Stabilisation de la formule des traces tordue: Volume 2 978-3-319-30058-0, 331930058X, 978-3-319-30057-3

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-xxviii
La partie géométrique de la formule des traces tordue (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 589-746
Descente globale (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 747-932
L’application \( \epsilon_{\tilde{M}} \) sur un corps de base local non-archimédien (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 933-978
Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 979-1143
Stabilisation spectrale (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 1145-1254
Appendice : représentations elliptiques ; caractérisation et formule de transfert de caractères (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 1255-1302
Back Matter ....Pages 1303-1315

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Progress in Mathematics 317

Colette Moeglin Jean-Loup Waldspurger

Stabilisation de la formule des traces tordue Volume 2

Progress in Mathematics Volume 317

Series Editors Antoine Chambert-Loir, Université Paris-Diderot, Paris, France Jiang-Hua Lu, The University of Hong Kong, Hong Kong SAR, China Yuri Tschinkel, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, USA

More information about this series at http://www.springer.com/series/4848

Colette Moeglin • Jean-Loup Waldspurger

Stabilisation de la formule des traces tordue Volume 2

Colette Moeglin CNRS/Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris-Rive-Gauche Paris, France

Jean-Loup Waldspurger CNRS/Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris-Rive-Gauche Paris, France

ISSN 0743-1643 ISSN 2296-505X (electronic) Progress in Mathematics ISBN 978-3-319-30057-3 ISBN 978-3-319-30058-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-319-30058-0 Library of Congress Control Number: 2016959578 Mathematics Subject Classification (2010): 11F70, 11F72, 22E50, 22E55 © Springer International Publishing Switzerland 2016 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, express or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. Printed on acid-free paper This book is published under the trade name Birkhäuser, www.birkhauser-science.com The registered company is Springer International Publishing AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Table des matières Volume 2 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv VI La partie géométrique de la formule des traces tordue Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 Les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.2 Remarque sur les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . VI.1.3 Mesures sur les espaces AM˜ . . . . . . . . . . . . . . . ˜ M ˜ )-familles . . . . . . . . VI.1.4 Formule de descente des (G, VI.1.5 Caractères pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.6 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.7 Une propriété globale de l’application φM˜ . . . . . . . VI.1.8 Espaces de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . VI.1.10 Système de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . VI.1.12 Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.13 Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes et systèmes de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.15 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . VI.1.16 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.17 K-espaces de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2 La partie géométrique de la formule des traces . . . . . . . . . VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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589 591 591 595 595 596 598 599 601 602 602 604 605 606 607

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. . . . .

. . . . .

607 613 615 618 621

. . . 621 . . . 623 . . . 625 v

vi

Table des matières

VI.2.4

VI.3

VI.4

VI.5

Développement de la partie géométrique de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.5 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.6 Variante avec caractère central, suite . . . . . . . . . . . . . VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante, variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.9 Variante pour les K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.1 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.2 Plongements de tores et ramification . . . . . . . . . . . . . VI.3.3 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.4 Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante pour une donnée endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier . . . . . . . . . . VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier . . VI.3.8 Une construction auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général . . . . . . . . . . . . VI.3.10 Adaptation aux K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales orbitales pondérées et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . VI.4.2 Formules de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.3 Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ VI.4.4 Le système de fonctions B G . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison . . . . . . . . . VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . La formule des traces stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ VI.5.2 Les distributions SAG (V, O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.3 VI.5.4 VI.5.5 VI.5.6

˜

Propriétés des distributions SAG (V, O) . . . . . . . . ˜ Les distributions AG,E (V, O, ω) . . . . . . . . . . . . . Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un théorème complémentaire concernant l’endoscopie non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

630 630 639 641 643 643 644 644 645 648 650 651 652 664 666 671 676 677 677 678 683 684 685 691 691 692 692 692 694

. . . 695 . . . 696 . . . 697 . . . 697

Table des matières

vii

VI.5.7 VI.5.8

VI.6

Réduction du théorème 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.9 La formule stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve conditionnelle du théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . VI.6.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.2 Au sujet des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.3 Combinatoire des sommes . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.5 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.6 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.7 Une première proposition auxiliaire . . . . . . . . . . . VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire . . . . . . . . . . VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.11 Le théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII Descente globale Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1 Coefficients et classes de conjugaison stable . . . . . . . . . VII.1.1 Ensemble de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples . . . . . VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure . . . . . . VII.1.4 Le cas local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié . . . . . . . . . VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié . . . . . . VII.1.7 Paramètres et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes de conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.9 Distributions associées à un paramètre . . . . . . . VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central . VII.1.12 Relation avec les distributions associées aux classes de conjugaison stable locales . . . . . . . . . . . . VII.2 Formules de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré . . VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré . . VII.2.3 Enoncé des formules de scindage . . . . . . . . . .

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. . . 700 . . . . . . .

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703 704 705 705 705 706 707

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708 708 710 712 714 714 719 745

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747 749 749 751 756 757 757 760 763

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772 774 774 777 779

viii

VII.2.4 VII.2.5 VII.3 Enoncés VII.3.1 VII.3.2 VII.3.3 VII.3.4

Table des matières

Preuve de la proposition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . de nouveaux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition d’une autre distribution stable . . . . . . . . . . Enoncé du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2, 1.10(ii) et [VI] 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i) et étend le théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.7 Quelques cas faciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4 Distributions à support unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.1 Mesures de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.2 Compatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.3 Coefficients et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement . . . . . . . . . . . . VII.4.6 Coefficients stables et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . VII.5 Descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.1 Une première transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.2 Descente des données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H . . . VII.5.4 Propriétés de relevance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.5 Les places hors de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.6 Une conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.7 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.8 Début du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6 Calculs de facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.1 Rappels cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne . . . . . . . . . . . . . . VII.6.3 Un lemme de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.4 Fibres de la descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.5 Dualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.6 Description d’un annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.7 L’ensemble DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.8 L’ensemble DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.9 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

781 787 787 787 788 790 790 792 793 794 795 795 796 799 800 806 809 811 811 814 817 818 820 822 825 826 830 833 833 835 836 837 844 847 849 854 857

Table des matières

ix

VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert . . . . . VII.7 Le cas où DF [dV ] est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.1 Une proposition de nullité . . . . . . . . . . . . . . VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 VII.7.3 Mise en place de la situation . . . . . . . . . . . . VII.7.4 Une première propriété de nullité . . . . . . . . . . VII.7.5 Description de l’ensemble Y˙  [dV ] . . . . . . . . . . VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q∞ . . . . . . . . VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q∞ . . . . . . . . . . VII.7.8 Un caractère de Q∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 . . . . . . . . . . . . . VII.7.10 Calcul d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.11 Calcul de |P 0 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.12 Un premier calcul de |P 0 ||U|−1 . . . . . . . . . . . VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa . . . VII.7.14 Calcul de d(I , G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 . . . . . . . . . . . . VII.7.16 Calcul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.8 Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 . . . . . . . . . . . . VII.8.2 Elimination de la somme en H . . . . . . . . . . . VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes VII.8.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème . . . . . . . . . . VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard . . . VII.9.3 Extension aux Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . .

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868 871 871 873 873 876 878 881 886 894 899 900 900 903 907 910 915 915 916 916 917 918 919 923 923 923 925 926 928 930 931

VIII L’application M ˜ sur un corps de base local non-archimédien Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1 L’application c θM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires . . . . . . . . . VIII.1.2 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.3 L’application c φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.4 Propriétés de l’application c φM˜ . . . . . . . . . . . . VIII.1.5 Définition de l’application c θM˜ . . . . . . . . . . . .

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933 935 935 936 938 941 945

˜

G VIII.1.6 Propriétés de l’application c θM ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 947

x

Table des matières

VIII.1.7 Fonctions de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.8 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.2 Stabilisation de l’application c θM˜ . . . . . . . . . . . . . VIII.2.1 Fonctions ωS˜ et endoscopie . . . . . . . . . . . VIII.2.2 VIII.2.3 VIII.2.4 VIII.2.5

. . . . . . . 950 . . . . . . . 952 . . . . . . . 954 . . . . . . . 956 . . . . . . . 956

˜

G Les applications c SθM ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . Une variante des intégrales orbitales pondérées stables ˜

G,E . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3 L’application endoscopique c θM ˜ VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique . . VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . VIII.3.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G,E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.4 Définition de c θM ˜ VIII.3.5 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G,E VIII.3.6 c θM ˜ (f ) est de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.7 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires . . . . . . . . . . VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques VIII.4 Les preuves et l’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables ou endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5 . . . . . . . . . . . VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 . . . VIII.4.4 L’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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957 959 959 960

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961 961 962 962 963 964 965 967 968 968 970

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. . . .

970 972 973 974

IX Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles . . . . . . . . . 982 IX.1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 IX.1.2 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 ˜ G IX.1.3 Propriétés des opérateurs δM ˜ (z) . . . . . . . . . . . . . . . 985 IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . 988 IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 IX.1.7 L’opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994 IX.1.8 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . 997 IX.2 Endoscopie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 1001

Table des matières

xi

IX.2.2

IX.3

IX.4

IX.5

Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels . . . IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques . . IX.2.5 Le résultat de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . Majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.3.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables . . IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques . . . . Propriétés locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . IX.4.3 Sauts des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . IX.4.4 Formules d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . Des variantes de l’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.5.1 Normalisation partielle des opérateurs d’entrelacement . IX.5.2 Caractères pondérés rationnels . . . . . . . . . . . . . . ˜

. . . . . .

. 1005 . 1007 . 1012 . 1017 . 1019 . 1019

. . . . . . . . . . . .

. 1021 . 1022 . 1023 . 1025 . 1025 . 1027 . 1043 . 1044 . 1048 . 1062 . 1062 . 1065

IX.5.3

G L’application φrat, ˜ M

IX.5.4

rat,G Relation entre les applications φG . . . . . . . . . 1067 ˜ et φM ˜ M

IX.5.5 IX.5.6 IX.5.7

rat,G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070 L’application θM ˜ Un lemme auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 ˜ rat,G . . . . . . . . . . . . . . . 1074 Propriétés de l’application θM ˜

IX.5.8

L’application c φG ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 M

IX.5.9

rat,G L’application c θM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 ˜

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 ˜

˜

˜

˜

˜

˜

G IX.5.10 Propriétés de l’application c θrat, . . . . . . . . . . . . . . . 1080 ˜ M ˜

IX.5.11 L’application c θG ˜ M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081 ˜

˜

˜

rat,G c rat,G IX.5.12 Relation entre les applications θM , θM˜ et c θG ˜ ˜ M IX.5.13 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.5.14 Preuve des propositions 5.9, 5.11 et de l’assertion 5.13(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G IX.5.15 Une propriété de l’espace UM ˜ . . . . . . . . . . . . .

IX.6

˜

˜

˜

. . . . 1082 . . . . 1083 . . . . 1084 . . . . 1085

rat,G c rat,G c G Endoscopie et applications θM , θM˜ , θ M˜ . . . . . . . . . . . . . 1091 ˜ IX.6.1 Les applications stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

xii

Table des matières ˜

IX.6.2

rat,G Propriétés de l’application c SθM . . . . . . . . . . . . . . 1092 ˜

IX.6.3

rat,G Propriétés de l’application SθM . . . . . . . . . . . . . . 1093 ˜

IX.6.4 IX.6.5 IX.6.6 IX.6.7

G . . . . . . . . . . . . . . Stabilité de l’application σM ˜ Une variante des intégrales orbitales pondérées stables Les applications endoscopiques . . . . . . . . . . . . . Egalité d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . .

IX.6.8

rat,K G,E . . . . . . . . . . . . . 1096 Propriétés de l’application θK ˜ M

˜

˜

. 1094 . 1094 . 1094 . 1096

˜

K G,E G IX.6.9 Egalité des fonctions ρK . . . . . . . . . . . . . 1099 ˜ et ρK M ˜ KM IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 1099 IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 Les preuves des assertions de la section 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 ˜ ˜ rat,K G,E rat,K G,E , c θK , IX.7.2 Relation entre les applications θK ˜ ˜ M M ˜ c K G,E θK M˜

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 . Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10 et du lemme 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.1 Un lemme élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.2 Définition locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.3 Définition globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente . . . . . . . IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 . . . . . IX.8.7 Expression de K M˜ (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.8 Description des fonctions ξK R,˜ ˜ σ ,H IX.8.9 K-finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.7.3 IX.7.4

IX.8

. . . .

˜

˜

IX.7

. . . .

. . . . . 1103 . . . . . 1105 . . . . . 1107 . . . . . . . . . . .

X Stabilisation spectrale X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues . . . . . X.3.1 Le côté géométrique de la formule des traces locales X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces locales et stabilisation des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. 1110 . 1111 . 1111 . 1112 . 1116 . 1118 . 1124 . 1127 . 1129 . 1135 . 1140

. . . .

. . . .

. . . .

. 1145 . 1148 . 1149 . 1149

. . . . 1152

Table des matières

X.3.3

X.4

X.5

X.6

Le côté spectral de la formule des traces locales et sa stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.4 Elimination de certaines conditions . . . . . . . . . . . . X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses . . . . . . . . X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.7 Une réduction étonnamment simple . . . . . . . . . . . X.3.8 Le cas des tores déployés . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.9 Fin des réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les caractères pondérés et leur stabilisation . . . . . . . . . . . . X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.2 Caractères pondérés invariants . . . . . . . . . . . . . . X.4.3 Le cas de la torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques . . . . . . . . . . X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux . . . . . . . . . . . . X.4.7 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.9 Caractères pondérés globaux . . . . . . . . . . . . . . . Le côté spectral de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . X.5.1 Rappel des termes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.2 Rappel des termes continus . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.3 Représentations semi-finies . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies . . . . X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité . . . . . . . . . . . X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu . . . . . . . . . . . X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable . . . . . X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence . . . . . . . . . . . X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . Digression, automorphismes de la situation . . . . . . . . . . . . X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.6.2 Fonction caractéristique du compact et action du groupe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

. . 1155 . . 1161 . . 1164 . . . . .

. 1170 . 1170 . 1171 . 1173 . 1174

. . . . . .

. 1174 . 1183 . 1188 . 1191 . 1195 . 1197

. . 1198 . . . . . . . . . .

. 1200 . 1200 . 1203 . 1203 . 1206 . 1207 . 1208 . 1213 . 1215 . 1215

. . . . .

. 1216 . 1218 . 1218 . 1219 . 1220

. . 1220 . . 1222

xiv

Table des matières

X.6.3

X.7

X.8

X.9

Action globale du groupe adjoint et de son analogue dans le cas tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fin de la stabilisation locale géométrique . . . . . . . . . . . . . X.7.1 Mise en place des objets . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.6 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale . . . . . Stabilisation de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . X.8.1 Stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu . . . . . . . . . . . X.8.4 Une remarque sur la finitude de πdisc,ν (cV ) et son calcul pour les groupes classiques . . . . . . . . . . . . X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence, récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.6 Stabilisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale . . . . . . Preuve de 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1223 . . . 1225 . . . 1225 . . . 1228 . . . 1231 . . . 1233 . . . . .

. . . . .

. 1234 . 1236 . 1237 . 1241 . 1241

. . . 1243 . . . 1244 . . . 1245 . . . .

XI Appendice : représentations elliptiques ; caractérisation et formule de transfert de caractères Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.1 Quelques définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . . . . . . XI.2.1 Rappel des définitions de [81] . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.2 La théorie du R-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet . . XI.2.6 Le calcul en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.7 Le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien XI.2.9 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 1247 . 1248 . 1248 . 1249

. . . . . .

. 1255 . 1256 . 1256 . 1256 . 1257 . 1258

. . . . . .

. 1259 . 1260 . 1262 . 1262 . 1264 . 1264

Table des matières

XI.2.10 Preuve du théorème de XI.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.11 Transfert de représentations elliptiques . . . . . . . . . . XI.2.12 Preuve du corollaire dans le cas archimédien . . . . . . XI.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ . . . . . XI.3.1 Décomposition des représentations stables de G XI.4 Représentations elliptiques comme transfert . . . . . . . . . . . . XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques XI.4.2 Globalisation et approximation . . . . . . . . . . . . . . XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème . . . . . . . . XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations elliptiques et fin de la preuve . . . . . . XI.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.5.1 Prolongement des formules de transfert . . . . . . . . . XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.6 Transfert et ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7 Calculs cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables modulo le centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable . . . . . XI.8 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.2 Rappel des globalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.3 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.4 Début de la preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . XI.8.5 Preuve du lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.9 La formule des traces simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.10 La formule des traces simple avec caractère . . . . . . . . . . . .

xv

. . . . . . . . .

. 1268 . 1269 . 1269 . 1270 . 1271 . 1272 . 1273 . 1275 . 1275

. . 1283 . . 1284 . . 1284 . . 1284 . . 1285 . . 1287 . . . . . . . . . .

. 1287 . 1288 . 1291 . 1291 . 1292 . 1293 . 1294 . 1294 . 1297 . 1297

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311

xvi

Table des matières

Volume 1 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv I Endoscopie tordue sur un corps local Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Les définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.2 Paires de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.3 Eléments semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.4 L-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.5 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.6 Systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.7 Espace endoscopique tordu . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.8 Correspondance entre classes de conjugaison semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.9 Remarques sur le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.10 Correspondance entre éléments semi-simples . . . . . . . I.1.11 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ab (F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.12 L’ensemble G I.1.13 Caractères de G(F ), G0,ab (F ), G0,ab (F )/N G (Gab (F )) . I.1.14 Image de la correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.2 Définition du bifacteur de transfert . . . . . . . . . . . . I.2.3 Bifacteur de transfert et K-groupes . . . . . . . . . . . I.2.4 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.5 Recollement de données auxiliaires . . . . . . . . . . . . I.2.6 Action de groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . I.2.7 Une propriété de transformation du facteur de transfert I.2.8 Le cas F = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Levi et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1 Espaces paraboliques, espaces de Levi . . . . . . . . . . I.3.2 Données endoscopiques d’espace de Levi . . . . . . . . . ˜ associées à une donnée I.3.3 Données endoscopiques de G endoscopique d’un espace de Levi . . . . . . . . . . . . . I.3.4 Levi de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . I.3.5 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.6 Preuve du lemme 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Stabilité et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 2 2 3 5 7 8 10 10

. .

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 17 23 24 27 27 28 33 34 35 39 41 44 51 51 58

. . . . .

. . . . .

59 62 63 67 74

Table des matières

I.4.1

I.5

I.6

Rappels sur la descente d’Harish-Chandra et la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Filtration de I(G(F I.4.3 Image de la restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.4 Conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ I.4.5 Conjugaison stable et application N G . . . . . . . . . . I.4.6 Description locale des classes de conjugaison stable . . . I.4.7 Conjugaison stable et K-espaces tordus . . . . . . . . . I.4.8 Descente d’Harish-Chandra et stabilité . . . . . . . . . . I.4.9 Conjugaison stable et endoscopie . . . . . . . . . . . . . I.4.10 Rappels sur la transformation de Fourier et l’endoscopie I.4.11 Image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.12 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.13 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas réel . . . . . . I.4.14 Un corollaire de la preuve dans le cas réel . . . . . . . . ˜ )) . . . . . . . . . . . . . . I.4.15 Filtration de l’espace SI(G(F I.4.16 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.17 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributions «géométriques» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 Distributions «géométriques» dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Distributions «géométriques» dans le cas archimédien . ˜ ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . I.5.3 Filtration de Dg´eom (G(F I.5.4 Distributions géométriques stables dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.5 Distributions géométriques stables dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.6 Constructions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.7 Transfert de distributions «géométriques» . . . . . . . . I.5.8 Preuve dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . I.5.9 Preuve dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . I.5.10 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.11 Induction et classes de conjugaison stable . . . . . . . . I.5.12 Un résultat de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.13 Induction et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.14 Suite de la preuve, cas F non-archimédien . . . . . . . . I.5.15 Suite de la preuve, cas F archimédien . . . . . . . . . . Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6.1 La situation non ramifiée . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

74 76 80 81 83 84 85 86 89 94 95

. . . . . . .

. . . . . . .

96 101 105 106 107 108 119

. . 119 . . 120 . . 125 . . 129 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

130 131 134 136 138 141 142 144 147 150 152 156 156

xviii

I.7

Table des matières

I.6.2 Données endoscopiques non ramifiées . . . . . I.6.3 Facteur de transfert . . . . . . . . . . . . . . I.6.4 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . Unitarité, conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . I.7.1 Données auxiliaires et unitarité . . . . . . . . I.7.2 Unitarité du facteur de transfert . . . . . . . I.7.3 Conjugaison complexe et intégrales orbitales . I.7.4 Conjugaison des données endoscopiques . . . I.7.5 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . I.7.6 Conjugaison complexe et transfert . . . . . . I.7.7 Formalisation du résultat . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

II Intégrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archimédien ; définitions et énoncés des résultats Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.2 Définition des intégrales pondérées d’après Arthur . . . . II.1.3 Propriétés des termes ρArt (β, u)βˇ . . . . . . . . . . . . . . II.1.4 Définition d’un nouveau terme ρ(β, u) . . . . . . . . . . . II.1.5 Modification de la définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.6 Définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.7 Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.8 Variantes des termes ρ(β, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.9 Variantes des intégrales orbitales pondérées dans le cas quasi-déployé à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . II.1.10 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . ˜ II.1.11 Définition d’un système de fonctions B G . . . . . . . . . . II.1.12 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.13 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . II.1.14 Formules de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.15 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.16 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.1 Germes de Shalika ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.2 Germes de Shalika et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

157 159 165 166 166 168 169 170 172 179 179

. . . . . .

181 184 184 185 189 191

. 194 . 197 . 198 . 203 . 209 . 213 . 226 . 229 . 232 . 233 . . . . .

257 259 259 259 261

Table des matières

xix

II.2.3 II.2.4 II.2.5 II.2.6

II.3

Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . Définition des germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . Développement en germes d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.7 Une égalité de germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.8 Relation entre la proposition 2.7 et le théorème 1.16 . . . . II.2.9 Relation entre la proposition 2.4 et le théorème 1.10 . . . . II.2.10 Premières conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.11 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.12 Une formule d’induction, cas endoscopique . . . . . . . . . II.2.13 Une formule d’induction, cas stable . . . . . . . . . . . . . . Développements des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . ˜ M ˜) . . . . . . . . . . . . II.3.1 Des espaces associés au couple (G, II.3.2 Un développement des intégrales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et fonction B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et système de fonctions B . . . . . . . . . . . . II.3.5 Termes d’un développement stable . . . . . . . . . . . . . . II.3.6 Quelques formalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.7 Développement des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.8 Termes d’un développement endoscopique . . . . . . . . . . II.3.9 Développement des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.10 Termes ρJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.11 Termes σJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜

II.4

 II.3.12 Termes ρG,E J (M , δ, a) et induction . . . . . . . . . . . . . . Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.1 Intégrales orbitales pondérées de la fonction caractéristique d’un espace hyperspécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.2 L’avatar stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.3 L’avatar endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.4 Le lemme fondamental pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.5 Développement en germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.6 Un espace de germes sous hypothèses sur p . . . . . . . . . ˜ ˜ G G ˜ ˜ II.4.7 Développement des fonctions rM ˜ (., K) et sM ˜ (., K) . . . . . II.4.8 Preuve du théorème 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 263 264 267 271 271 272 273 274 275 276 276 276 279 282 284 285 286 289 292 294 296 299 300 300 300 301 303 304 304 306 307 309

xx

Table des matières

III Intégrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archimédien ; réductions et preuves Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Le cas des groupes non tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.2 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . III.1.3 Germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.4 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . III.1.5 Germes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 Un lemme sur les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . III.2.2 Un lemme sur les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ a) quasi-déployé et à torsion III.2.3 Détordre un triplet (G, G, intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.4 Fonctions, intégrales orbitales, représentations . . . . . . . . III.2.5 Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.6 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.7 Intégrales orbitales pondérées équivariantes . . . . . . . . . III.2.8 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . III.2.9 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . III.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.1 Définition des homomorphismes de passage . . . . . . . . . III.3.2 Les termes ρG J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.3 Intégrales orbitales pondérées et revêtement . . . . . . . . . III.3.4 Germes de Shalika et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . III.3.5 Revêtement et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.6 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.7 Revêtement et germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . III.4 Germes et descente d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ III.4.1 Formule de descente pour les termes ρG J . . . . . . . . . . . III.4.2 Descente des germes d’intégrales orbitales pondérées . . . . III.4.3 Formule de descente pour les termes σJ . . . . . . . . . . . III.4.4 Formule de descente pour les germes des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5.1 Descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . III.5.2 Transfert des fonctions et des distributions . . . . . . . . . III.5.3 Levi et descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . III.5.4 Facteurs de transfert et transfert des distributions . . . . . III.5.5 Applications de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 314 314 314 318 318 320 321 321 322 325 326 332 335 338 339 341 343 343 347 348 350 351 353 355 358 358 361 362 363 363 363 366 368 372 374

Table des matières

III.6

III.7

Triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . . . . III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard . ˜ a) particuliers . . . . . . III.6.2 Définition de triplets (G, G, III.6.3 Mise en place des récurrences . . . . . . . . . . . . . III.6.4 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.5 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.6 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6 . . . . . . . . . Preuves conditionnelles de deux théorèmes . . . . . . . . . . . ˜ III.7.1 Les termes ρG,E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

. . . . . . . . . .

˜

Les termes ρG,E J , variante . . . . . . . . . . . . . . . . Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8 et du théorème [II] 1.16(i) . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii) . . . . . . . . . . . . . III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5 et du théorème [II] 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.7 Preuve de la proposition 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . Descente des germes de Shalika endoscopiques . . . . . . . . . . III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier . . . . . III.8.2 Début de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.8.3 Calcul de x(¯ s, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1 . . . . . . . . . III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques . . . . . III.8.6 Preuve de la proposition 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . III.8.7 Preuve de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . III.7.2 III.7.3 III.7.4

III.8

xxi

IV Transfert spectral archimédien Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Théorème de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . IV.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations . . . . . IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener . . . . . . . . . IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . ˜ ˜ IV.2.2 Les espaces Icusp (G(R)) et SIcusp (G(R)) .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

375 375 379 383 383 385 387 388 393 393

. . . 400 . . . 400 . . . 401 . . . 405 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

405 406 409 409 409 412 419 421 421 422

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

423 424 424 427 429 433

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

434 438 440 440 443

xxii

Table des matières

IV.2.3 IV.2.4 IV.2.5 IV.2.6 IV.2.7 IV.2.8 IV.3

Un théorème de Paley–Wiener décrivant ˜ l’espace SI(G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un résultat d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener . . . . . . Fonctions fϕ à support assez régulier . . . . . . . . . . . Utilisation de la propriété : une représentation elliptique est supertempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . st ˜ (G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’espace Dspec ˜ L’espace SI(G(R), K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.2.9 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique IV.3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.3 Le transfert spectral . . . . . . . . . . . . . IV.3.4 Transfert K-fini . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.5 Transfert K-fini, version générale . . . . . . IV.3.6 Le cas du corps de base C . . . . . . . . . .

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. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

447 447 449 452

. . 454 . . 456 . . . . . . . .

. . . . . . . .

V Intégrales orbitales et endoscopie sur le corps réel Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.2 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.3 Définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . V.1.4 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . V.1.5 Preuve du théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.6 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.7 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.8 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.9 Une propriété locale des intégrales orbitales ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières . . . . . V.1.12 Elimination des K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.13 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . V.2 Un nouvel espace de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ V.2.1 Définition de l’espace Dtr-orb (G(R), ω) . . . . . . . . . . . . ˜ V.2.2 Premières propriétés de l’espace Dtr-orb (G(R), ω) . . . . . . V.2.3 Un lemme de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2.4 Programme d’extension des définitions . . . . . . . . . . . .

456 456 456 457 460 461 464 464 465 467 467 468 474 477 482 482 483 485 486 489 489 490 491 491 491 497 499 502

Table des matières

V.3

V.4

V.5

V.6

V.7

V.2.5 Réduction des conditions imposées dans le cas (A) V.2.6 Réduction des conditions imposées dans le cas (C) V.2.7 Réduction des conditions imposées dans le cas (B) Extension des définitions, cas des groupes non tordus . . . . V.3.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . V.3.2 Réalisation du programme de 2.4 . . . . . . . . . . V.3.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . V.3.4 Revêtement et applications ρJ et σJ . . . . . . . . V.3.5 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . V.3.6 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension des définitions, cas quasi-déployé . . . . . . . . . V.4.1 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . V.4.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.4.3 Localisation des espaces Dtr-orb (O) . . . . . . . . . V.4.4 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ˜ G V.4.5 Définition des termes ρG J et σJ , premier cas . . . . ˜ ˜ G V.4.6 Définition des termes ρG J et σJ , deuxième cas . . . Extension des définitions, cas général . . . . . . . . . . . . . V.5.1 Un résultat complémentaire pour l’endoscopie non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.5.2 Réalisation conditionnelle du programme de 2.4 . . V.5.3 Preuve de la proposition 5.2, premier cas . . . . . ˜ et K G ˜J . . . . . . . V.5.4 Comparaison des espaces K G V.5.5 Preuve de la proposition 5.2, deuxième cas . . . . V.5.6 Preuve du lemme 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . V.5.7 Preuve du lemme 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Un résultat d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.1 Un espace de germes de fonctions . . . . . . . . . . V.6.2 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.3 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.4 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes associées aux éléments ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ . . . . . . . . . . de Dtr-orb (M V.6.5 Preuve de la proposition 6.3 . . . . . . . . . . . . . Le cas des groupes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxiii

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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507 511 513 513 513 513 514 519 520 527 528 528 530 531 533 535 537 541

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

541 544 545 547 549 553 561 564 564

. . . . . 565 . . . . . 568

. . . . . 569 . . . . . 571 . . . . . 573

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

Préface

Ainsi qu’on l’a dit dans l’introduction du premier volume, notre but est de stabiliser la formule des traces tordue en toute généralité, en suivant la méthode utilisée par Arthur dans ses trois articles [18], [19], [20]. Notre résultat élimine l’hypothèse essentielle posée par le même Arthur dans son livre [23] où il décrit le spectre discret des groupes classiques à partir de celui des groupes linéaires généraux. Nos données de départ sont un corps de nombres F , un groupe réductif ˜ sur G et un caractère automorphe ω connexe G défini sur F , un espace tordu G de G(AF ) (où AF est l’anneau d’adèles de F ). Si l’on préfère, on peut fixer un ˜ = Gθ, automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble G qui est muni des actions de G à gauche et à droite définies par (g, γ = xθ, g  ) → ˜ est associé un automorphisme γ  = gxθ(g  )θ. En particulier, à tout élément γ de G adγ de G : si γ = xθ, adγ = adx ◦ θ, où adx est la conjugaison par x. Dans cette situation, la formule des traces ω-équivariante permet d’étudier les représentations automorphes π de G(AF ) telles que π◦adγ  π⊗ω, où γ est un élément quelconque ˜ F ). Elle se présente de la façon suivante. On fixe un ensemble fini V de de G(A places de F , assez grand (contenant toutes les«mauvaises» places). On note FV le ˜ V )), on a une égalité produit des localisés Fv pour v ∈ V . Pour fV ∈ Cc∞ (G(F ˜

˜

G G Ig´ eom (ω, fV ) = Ispec (ω, fV ),

le premier terme étant le côté «géométrique» de la formule et le second étant son côté «spectral». Cette égalité a été établie par Arthur, cf. [8], à partir de la version non-ω-équivariante démontrée dans le fameux «Morning Seminar». Celui-ci a été enfin rédigé il y a quelques années par Labesse et l’un de ses collaborateurs [55]. Comme dans le cas local, on introduit la notion de donnée endoscopique de ˜ ω). Une telle donnée G est un objet assez riche et détermine en tout cas (G, G, un groupe G réductif connexe défini sur F et quasi-déployé et un espace tordu ˜  sur G . Il n’y a plus de caractère et l’espace tordu G ˜  est assez simple : la G  torsion se fait par automorphismes intérieurs de G . Cela étant, la stabilisation de la formule des traces tordue se fait par récurrence sur la dimension de G selon le schéma assez simple suivant. On considère d’abord le cas où G est quasi-déployé, ˜ est «à torsion intérieure» et ω = 1 (comme on vient de le dire, ces conditions G ˜ ω) par celle issue d’une sont remplies si l’on remplace la donnée de départ (G, G, xxv

xxvi

Préface

donnée endoscopique). Dans ce cas, pour un indice = g´eom ou = spec, on pose  ˜ ˜ ˜ G )SIG˜  (fVG˜  ). SIG (fV ) = IG (fV ) − i(G, G ;G =G ˜

On a supprimé le ω dans IG (fV ) puisqu’il est trivial. La somme porte sur les don˜ ω = 1) qui vérifient diverses conditions : ellipticité, nées endoscopiques de (G, G, ˜ G ) non-ramification hors de V etc. . . Il n’y en a qu’un nombre fini. Le terme i(G,  est une constante explicite. Puisqu’on impose de plus G = G, les groupes G qui apparaissent sont de dimension strictement plus petite que celle de G. On peut ˜ ˜ donc supposer définies les distributions SIG (.). La fonction fVG est le transfert de fV . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des travaux de Shelstad dans le cas des places archimédiennes (cf. [74]), de Ngo Bao Chau dans le cas des places finies. Le théorème que nous prouverons dans cette situation est que ˜ la distribution fV → SI G (fV ) est stable, c’est-à-dire qu’elle annule les fonctions dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. Revenons maintenant à un ˜ ˜ ω) quelconque. On définit la version endoscopique IG,E (ω, fV ) du triplet (G, G, terme géométrique ou spectral de la formule des traces par l’égalité  ˜ ˜ G )SIG˜  (fVG˜  ), i(G, IG,E (ω, fV ) = G

avec les mêmes explications que ci-dessus. Le théorème principal que nous prou˜ ˜ verons est l’égalité IG,E (ω, fV ) = IG (ω, fV ). Pour = spec, celle-ci relie les représentations automorphes π de G(AF ) vérifiant la condition π ◦ adγ  π ⊗ ω aux représentations automorphes des groupes associés aux données endoscopiques ˜ ω). Un travail assez facile, fait en [X] 5.7 et fortement inspiré de [24], de (G, G, ˜ G sépare la partie discrète de la partie continue de Ispec (ω, fV ). La partie discrète voit vraiment des traces de ω-représentations, même si se glissent des opérateurs d’entrelacement, tandis que la partie continue voit des intégrales de caractères pondérés parfaitement incalculables. La stabilisation vaut encore en ne gardant que les parties discrètes des deux membres de l’égalité ci-dessus. Celles-ci sont alors indépendantes, en un sens assez clair, du choix de l’ensemble de places V , grâce au lemme fondamental pour toute l’algèbre de Hecke sphérique (cf. [60]). Signalons tout de suite que la présentation ci-dessus est grandement simplifiée. D’abord, les places réelles nécessitent parfois de considérer ensemble plusieurs formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici les K-espaces. On a expliqué au chapitre I pourquoi leur introduction est utile, cf. [I] 1.11 et [I] ˜ 4.9. D’autre part, les transferts que l’on a noté ici fVG vivent en général non pas   ˜ , laquelle est un espace tordu sur une ˜ , mais sur une donnée auxiliaire G sur G 1 extension G1 de G par un tore central. ˜ G Le terme géométrique Ig´ eom (ω, fV ) se présente comme une somme sur les ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ espaces de Levi M de G de sommes de termes I G (AM (O, ω), fV ). Ici, AM (O, ω) ˜ M

Préface

xxvii

est une somme finie de ω-intégrales orbitales sur des classes de conjugaison par ˜ (F ) (c’est un objet essentiellement global) et I G˜ (., .) est M (FV ) d’éléments de M ˜ M une intégrale orbitale pondérée ω-équivariante (c’est un objet essentiellement local, fortement relié aux distributions que l’on a étudiées dans le premier volume). On doit stabiliser ces deux types d’ingrédients. La stabilisation des termes globaux ˜ AM (O, ω) a été l’objet de plusieurs travaux successifs de Langlands, Kottwitz, Kottwitz et Shelstad, Arthur et Labesse. Arthur a traité entièrement le problème, cf. [19], mais dans le cas non tordu. Labesse a traité le cas tordu, cf [53], mais seulement dans le cas des orbites semi-simples. Nous reprenons les méthodes de ces deux auteurs pour traiter le cas général dans le chapitre VII, en utilisant une technique de descente. Toutefois, comme dans Arthur, certaines classes de conjugaison exceptionnelles ne se traitent pas directement et leur stabilisation ne ˜ G sera obtenue que dans le chapitre X. La stabilisation des termes «locaux» IM ˜ (., .) ˜ ˜ est plus difficile (pour M = G). La raison en est que la méthode d’Arthur qui rend invariante la formule des traces est très dissymétrique : elle concentre les difficultés ˜ G du côté géométrique. En fait, ces distributions IM ˜ (., .) n’ont de «géométrique» ˜ (FV )). Leur que leur ensemble d’indexation (des classes de conjugaison dans M définition fait intervenir des objets spectraux et en fait, ces distributions sont à peu près incalculables en toute généralité. Leur stabilisation, obtenue au chapitre X, se fait par voie globale c’est-à-dire en utilisant toute la force de la formule des traces (bien que quelques résultats préparatoires aient déjà été prouvés dans le premier volume). C’est donc ce chapitre X qui contient l’essentiel de la preuve de la stabilisation géométrique. C’est aussi celui où sera abordé le côté spectral de la formule. Sa stabilisation résulte de celle de la partie géométrique mais, comme on vient de le dire, par une démonstration qui effectue un va-et-vient entre les deux côtés de la formule. Signalons que notre présentation de la formule spectrale est quelque peu simplifiée par rapport à celle d’Arthur quant aux questions de convergence car on dispose aujourd’hui des résultats sur ce sujet de Müller [65] et Finis, Lapid et Müller [35]. Le chapitre VI présente la partie géométrique de la formule et énonce les résultats concernant sa stabilisation. On y énonce aussi les hypothèses de récurrence générales qui vaudront pour toute la suite de la démonstration. Toutefois, dans bien des chapitres, une partie seulement de ces hypothèses sera utilisée et on expliquera selon les cas quelles sont les hypothèses vraiment utiles. On a déjà dit que le chapitre VII est consacré à la stabilisation de presque toutes les inté˜ grales orbitales AG (O, ω). C’est l’équivalent dans le cas tordu du deuxième article [19] d’Arthur. Le chapitre VIII commence la démonstration de la stabilisation des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. On y démontre l’analogue de la proposition 3.1 de [20]. Le chapitre IX démontre une proposition analogue mais sur le corps de base réel. En effet, contrairement à Arthur, nous utilisons la même méthode pour traiter les problèmes locaux, que le corps de base soit archimédien ou non. Les preuves sont toutefois assez différentes dans les deux cas. En particulier, les questions de K-finitude sont nettement plus compliquées sur un corps de base

xxviii

Préface

archimédien. Le chapitre X contient l’énoncé de la partie spectrale de la formule des traces et celui de sa stabilisation. Il contient aussi un énoncé de stabilisation de la formule des traces locale tordue. Enfin, comme on l’a dit, il contient l’essentiel des démonstrations. On y suit dans ses grandes lignes le troisième article d’Arthur [20]. Comme il s’agit de la partie la plus consistante de notre travail, on a choisi de renoncer dans ce chapitre à certains formalismes mis au point dans le premier chapitre. Ceux-ci n’auraient fait qu’obscurcir la rédaction et leur rétablissement ne serait qu’un exercice facile. Enfin, on a adjoint un appendice en guise de chapitre XI. Il contient des résultats sur les représentations supertempérées ainsi qu’une extension au cas tordu des résultats d’Arthur contenus dans son très bel article à Selecta [13]. Cet appendice n’utilise pas les résultats des chapitres précédents mais, au contraire, est utilisé dans ceux-ci. Comme dans le premier volume, nous énoncerons certains résultats comme «théorèmes à prouver». Nous les démontrerons bel et bien mais souvent beaucoup plus tard. La raison d’être de ces énoncés est la méthode de récurrence que nous ˜ nous avons besoin d’utiutilisons. Pour démontrer les résultats pour un espace G, liser toutes les conséquences de ceux-ci pour des espaces plus petits. On essaiera d’indiquer à chaque fois où se trouvent les démonstrations finales des résultats en question. Enfin, puisque c’est le point qui nous a valu le plus de commentaires, signalons qu’il reste un «trou» dans la démonstration. En effet, nous utilisons des résultats sur le lemme fondamental pondéré qui ont été annoncés par Chaudouard et Laumon mais qui n’ont été publiés par ces auteurs que sous des hypothèses restrictives. A nos yeux, ce problème n’est pas sérieux car il n’y a pas de doute que les méthodes des textes publiés permettent de traiter le cas général. Mais ce ne semble pas être l’opinion générale. En ce qui nous concerne, à notre regret, les lois de notre pays ne nous donnent pas les moyens de contraindre Chaudouard et Laumon à publier la partie manquante de leurs résultats. La partie «géométrique» de nos résultats a été exposée au congrès international de Séoul, on peut se référer à [82] pour une présentation condensée. Les renvois aux différents chapitres sont indiqués par des chiffres romains entre crochets : [VI] pour le chapitre VI par exemple.

Chapitre VI

La partie géométrique de la formule des traces tordue Introduction Ce chapitre énonce les résultats que l’on a en vue concernant la partie géométrique de la formule des traces tordue. Ce sont les généralisations au cas tordu des théorèmes énoncés par Arthur dans son premier article sur la stabilisation ([18]), du moins de ceux qui concernent cette partie géométrique. Nous ne démontrons pas ici les résultats en question. Ils seront démontrés plus tard en reprenant les méthodes des deux autres articles d’Arthur sur le sujet. On doit dire que généraliser au cas tordu les constructions d’Arthur pose certains problèmes techniques, mais aucun problème conceptuel. C’est-à-dire que l’essentiel est dû à Arthur lui-même. La première section présente le cadre global dans lequel on se place. On considère un corps de nombres F , un groupe réductif connexe G défini sur F , ˜ sous G et un caractère ω de G(A) trivial sur G(F ), où A est un espace tordu G l’anneau des adèles de F . On définit les intégrales orbitales pondérées globales, certaines de leurs variantes et on énonce les formules de descente qui les relient à leurs avatars locaux. La section 2 énonce la partie géométrique de la formule des traces tordue ω-équivariante. On énonce cette formule d’une façon un peu plus abstraite qu’Arthur. Il est traditionnel et naturel de l’écrire comme une somme avec coefficients ˜ d’intégrales orbitales I G (γ, ω, f ) ou plus généralement d’intégrales orbitales pon˜ G dérées ω-équivariantes IM ˜ (γ, ω, f ). La présence du caractère ω perturbe déjà la ˜

situation : les avatars locaux des intégrales I G (γ, ω, f ) ne dépendent pas seulement de la classe de conjugaison de γ mais bien du point base γ choisi. Surtout, comme on le sait, les coefficients dont sont affectés ces intégrales ne sont à ce jour pas connus explicitement (ils sont connus si γ est fortement régulier, mais pas si γ ˜ contient une partie unipotente). On a choisi de regrouper les intégrales I G (γ, ω, f ), © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_1

589

590

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

affectées de leurs coefficients, selon la classe de conjugaison à laquelle appartient ˜ la partie semi-simple de γ. On obtient ainsi des distributions notées AG (V, O, ω) dépendant d’un ensemble fini assez grand V de places du corps de base F et d’une ˜ ). On énonce en 2.3 leur définiclasse de conjugaison semi-simple O dans G(F tion. Ces distributions sont les ingrédients globaux de la partie géométrique de la formule des traces. Elles vérifient une formule de descente qui les ramène au cas ˜ = G n’est pas tordu et où O est simplement la classe {1} (dans ce basique où G ˜ G cas, A (V, O, ω) est exactement la «partie unipotente» de la formule des traces). Dans la section 3, on présente la théorie de l’endoscopie dans le cadre global. La différence essentielle avec le cas local développé en [I] est que, dans le cas global, pour une donnée endoscopique G relevante, il y a un facteur de transfert canonique. La situation tordue pose ici un problème technique. Usuellement, la ˜  (F ), assez régulier, qui se transfère définition d’un tel facteur utilise un point δ ∈ G ˜ v ) pour toute place v de F . Dans le cas non tordu, un tel en un élément γv ∈ G(F point existe si G est relevante. Ce n’est plus vrai dans le cas tordu. On dit que ˜  (F ) = ∅ et la donnée locale Gv est relevante G est relevante si et seulement G pour toute place v. On a posé cette définition parce que c’est la seule notion que ˜  (F ) vérifiant les l’on sache contrôler. Or cela n’assure pas l’existence d’un δ ∈ G  propriétés ci-dessus. Il est possible que les données G pour lesquelles il n’existe pas de tel δ puissent être éliminées du processus de stabilisation mais cela ne nous paraît pas clair. On a plutôt choisi de donner une définition du facteur de transfert global sous la seule hypothèse de relevance telle que définie ci-dessus. D’abord, en inspectant les définitions de Kottwitz–Shelstad ou de Labesse, on voit que l’on n’a pas vraiment besoin d’un δ comme ci-dessus. Il suffit qu’il existe un sous-tore tordu ˜  , défini sur F , de sorte que, pour toute place v, il existe un élément maximal T˜  de G  ˜ ˜ v ). Même cette δv ∈ T (Fv ) assez régulier qui se transfère en un élément γv ∈ G(F propriété moins forte n’est pas assurée par notre hypothèse de relevance. Mais on ˜ et G ˜  dans des espaces plus gros qui satisfont cette propriété. On peut plonger G ˜  , G) ˜ du définit alors le facteur de transfert comme la restriction à notre couple (G facteur de transfert défini sur ces espaces plus gros. Cela est fait au paragraphe 3.9. Dans la section 4, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales orbitales pondérées invariantes. On énonce le résultat principal en 4.5, à savoir qu’une intégrale orbitale pondérée endoscopique est en fait une intégrale orbitale pondérée (ω-équivariante) tout court. Ce résultat se déduit des analogues locaux énoncés en [II] et [V], qui restent à démontrer. La section 5 énonce la version stable de la partie géométrique de la formule ˜ des traces. Les distributions AG (V, O, ω) sont remplacées par des distributions ˜ ˜ ). Ces SAG (V, O), où cette fois, O est une classe de conjugaison stable dans G(F distributions doivent être stables. Le théorème 5.4 exprime que les coefficients ini˜ tiaux AG (V, O, ω) se récupèrent comme somme de transferts de tels coefficients   ˜ a) qui sont ellipSAG (V, OG ), où G décrit les données endoscopiques de (G, G, tiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Le théorème principal 5.10 exprime que la partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante se récupère de

VI.1. Les définitions

591

même comme somme de parties géométriques de formules des traces stables associées à ces mêmes données G . Dans la section 6, on montre que ce dernier théorème résulte des autres. Il s’agit ici d’une reprise du paragraphe 10 de l’article [18]. Il y a deux ingrédients. D’une part, la proposition combinatoire 6.5 qui fournit deux expressions a priori très différentes d’une double somme sur des données endoscopiques G et sur des «Levi» M de G . D’autre part, une proposition d’annulation 6.6 qui permet dans le paragraphe suivant de faire disparaître les termes apparaissant dans les formules de traces stables des données endoscopiques qui ne correspondent à rien du côté ˜ La démonstration de cette proposition 6.6 est un amusant de l’espace initial G. exercice basé sur les propriétés des facteurs de transfert globaux.

VI.1 Les définitions VI.1.1 Groupes et espaces tordus Soit F un corps de nombres. On note Val(F ) l’ensemble de ses places, Val∞ (F ) le sous-ensemble des places archimédiennes, Valf (F ) celui des places finies et AF son anneau d’adèles. On fixe une clôture algébrique F¯ de F . Il est commode de supposer tacitement que, pour toute place v ∈ Val(F ), on a choisi un prolongement v¯ de v à F¯ . Ainsi, on peut définir le sous-groupe de décomposition ΓFv ⊂ ΓF comme le fixateur de v¯. De même, pour une variété X définie sur F , on a une application X(F¯ ) → X(F¯v ) obtenue en identifiant F¯ à un sous-corps de F¯v grâce à la place v¯. ˜ un espace tordu sous G. Soient G un groupe réductif connexe défini sur F et G On utilise les définitions des quatre premiers paragraphes de [I]. Soit a un élément ˆ ˆ où ker1 (WF ; Z(G)) ˆ est le noyau (fini) ker1 (WF ; Z(G)), du groupe H 1 (WF ; Z(G))/ de l’homomorphisme de localisation  ˆ → ˆ H 1 (WF ; Z(G)) H 1 (WFv ; Z(G)). v∈Val(F )

Cet élément a détermine un caractère ω de G(A), trivial sur G(F ). L’application a → ω est bijective, cf. [83]. On impose les hypothèses analogues à celles de [I] 1.5 : ˜ ) = ∅ ; • G(F • l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini, où ici θ est la restriction de adγ ˜ à Z(G) pour n’importe quel élément γ ∈ G. On impose de plus • ω est unitaire. On pourrait ajouter la condition • ω est trivial sur Z(G; AF )θ , faute de laquelle la théorie devient vide. Mais, pour des raisons de récurrence, il vaut mieux ne pas l’imposer dès le départ.

592

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ a) un Pour toute place v ∈ Val(F ), on déduit par localisation de (G, G, ˜ v , av ) sur Fv , qui vérifie les hypothèses de [I]. On note Vram , ou plus triplet (Gv , G ˜ a), le plus petit ensemble de places v contenant les places précisément Vram (G, archimédiennes et tel que, pour v ∈ Vram , on ait : ˜ v ) possède un sous-espace hyperspécial ; – G et a sont non ramifiés en v et G(F – en notant p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ], on a p > 5 et p > N (G)ev + 1, où N (G) est l’entier défini en [79] 4.3. On fixe une paire parabolique (P0 , M0 ) de G définie sur F et minimale. On ˜ 0 ) de G. ˜ en déduit une paire parabolique (P˜0 , M ˜ puissent Soit V un ensemble fini de places contenant Vram et tel que G et G être définis sur l’anneau oV des éléments de F qui sont entiers hors de V . Fixer ˜ v) ˜ sur oV permet de définir les ensembles G(ov ) et G(o des structures de G et G pour tout v ∈ V , où ov est l’anneau d’entiers de Fv . Pour tout v ∈ Vram , on fixe un ˜v sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ) et un sous-espace hyperspécial K ˜ v ) associé à Kv . On impose que Kv = G(ov ) et K ˜ v = G(o ˜ v ) pour presque de G(F tout v. Cette condition ne dépend ni du choix de V , ni de celui des structures sur ˜ ), on a γ ∈ K ˜ v pour presque tout v. Pour oV . Elle implique que, pour γ ∈ G(F v ∈ Vram , on fixe un sous-groupe compact maximal Kv de G(Fv ), spécial si v est non archimédienne. On impose – pour toute place v ∈ Val(F ), Kv est en bonne position relativement à M0 . C’est possible puisque, pour v ∈ Vram , tout sous-groupe compact hyperspécial est conjugué par un élément de G(Fv ) à un tel sous-groupe en bonne position ˜v relativement à M0 . Pour v ∈ Vram , on note 1K˜ v la fonction caractéristique de K ˜ v ) et on appelle mesure canonique sur G(Fv ) la mesure de Haar sur ce dans G(F groupe telle que mes(Kv ) = 1 (elle est en effet canonique car tous les sous-groupes compacts hyperspéciaux ont même mesure). ˜ de G, ˜ on utilise les notations d’Arthur P(M ˜ ), Pour un espace de Levi M ˜ ) etc. . . Les éléments de ces ensembles sont des espaces paraboliques, resp. L(M ˜ ⊃M ˜ 0 et v ∈ Val(F ), on pose des espaces de Levi etc. . . définis sur F . Pour M ˜ M ˜ ˜ ˜ ˜ Kv = Kv ∩ M (Fv ). Ces données vérifient les mêmes conditions que celles pour G. Rappelons que l’on note AG˜ le plus grand sous-tore déployé contenu dans le sous-groupe d’invariants Z(G)θ . On note AG˜ = X∗ (AG˜ ) ⊗Z R. On dispose de l’homomorphisme habituel HG˜ : G(AF ) → AG˜ . On définit une application ˜ ˜ : G(A ˜ F ) → A ˜ par les conditions suivantes : H G G ˜ ˜ (γ) ˜ ); H ˙ = 0 pour tout γ˙ ∈ G(F G ˜ ˜ ˜ F ). HG˜ (xγ) = HG˜ (x) + HG˜ (γ) pour tous x ∈ G(AF ) et γ ∈ G(A  Soit V un ensemble fini de places de F . On pose FV = v∈V Fv et on note AVF le sous-anneau des adèles dont les composantes sur Fv sont nulles pour tout v ∈ V . On pose ˜ V )) = ⊗v∈V C ∞ (G(F ˜ v )). Cc∞ (G(F c ˜ V ), ω). On définit de la même façon l’espace I(G(F

VI.1. Les définitions

593

Remarque. On adopte cette définition par commodité. On pourrait aussi bien utiliser un espace un peu plus gros en regroupant les places archimédiennes. C’est˜ v )) à-dire que l’on pourrait remplacer la partie archimédienne ⊗v∈V ∩V∞ (F ) Cc∞ (G(F  ∞ ˜ du produit tensoriel ci-dessus par Cc ( v∈V ∩V∞ (F ) G(Fv )). ˜ V )) Considérons le cas où V ⊃ Vram . Dans ce cas, on peut identifier Cc∞ (G(F ˜ F )) en complétant un produit ⊗v∈V fv en le produit à un sous-espace de Cc∞ (G(A 1K˜ V ⊗ (⊗v∈V fv ), où 1K˜ V = ⊗v∈V 1K˜ v . . On peut aussi identifier Mes(G(FV )) à Mes(G(AF )) en prolongeant toute mesure sur G(FV ) par les produit sur v ∈ V ˜ v l’espace G ˜ des mesures canoniques sur G(Fv ). Pour tout v ∈ Val(F ), notons G vu comme un espace sur Fv . En [II] 1.6, on a défini l’ensemble A˜ ˜ de la façon Gv

suivante. On note G(Fv )1 le noyau et AG˜ v ,Fv l’image de l’homomorphisme HG˜ v : ˜ v ). G(Fv ) → AG˜ v . Alors le sous-groupe AG˜ v ,Fv agit naturellement sur G(Fv )1 \G(F On pose ˜ v )) ⊗A ˜ A˜ ˜ = (G(Fv )1 \G(F A˜ . Gv

Gv ,Fv

Gv

˜ ˜ : G(F ˜ v ) → A˜ ˜ l’application C’est un espace affine sous AG˜ v . On note H Gv Gv ˜ ˜ naturelle. Pour v ∈ Vram , l’image de Kv par HG˜ v est réduite à un point et on identifie A˜G˜ v à AG˜ v en identifiant ce point à 0. Posons A˜G˜ V =



A˜G˜ v .

v∈V

On définit une application p˜V : A˜G˜ V → AG˜ ˜ ). Tout élément X ˜ ∈ A˜ ˜ s’écrit X ˜ = de la façon suivante. Fixons γ˙ ∈ G(F GV ˜ (HG˜ v (γ) ˙ + Xv )v∈V , où Xv ∈ AG˜ v . On pose ˜ = p˜V (X)

 v∈V

 Xv,G˜

−



 ˜ ˜ (γ) (H ˙ ), Gv

v∈V

˜ G

˜ désignent les projections orthogonales sur l’espace A ˜ . Cette où les indices G G définition ne dépend pas du point γ˙ choisi. On définit une application ˜ ˜ : G(F ˜ V) → A˜ H GV G ˜ ˜ ((γv )v∈V ) = p˜V ((H ˜ ˜ (γv ))v∈V ). par H GV Gv ˜ V ), K) de Cc∞ (G(F ˜ V )) formé des foncOn introduit le sous-espace Cc∞ (G(F tions qui, en toute place archimédienne v ∈ V , sont Kv -finies à droite et à gauche. ˜ V ), K, ω) son image dans I(G(F ˜ V ), ω). On note I(G(F Considérons le cas de deux ensembles finis de places S ⊃ V ⊃ Vram . On pose  ˜ V )) à un sous-espace de Cc∞ (G(F ˜ S )) FSV = v∈S−V Fv . On peut identifier Cc∞ (G(F

594

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

en complétant un produit ⊗v∈V fv en le produit 1K˜ V ⊗ (⊗v∈V fv ). De même, on S ˜ V ), ω) à un sous-espace de I(G(F ˜ S ), ω). On peut aussi idenpeut identifier I(G(F tifier Mes(G(FV )) à Mes(G(FS )). Nos preuves se feront par récurrence. Posons en toute généralité les hypothèses de récurrence qu’on utilisera (qui étendent celles posées dans les chapitres ˜ a) définis sur un corps F précédents). Nos résultats concernent des triplets (G, G, qui est soit un corps de nombres comme ci-dessus, soit un corps local de caractéristique nulle comme dans les chapitres précédents. Une variante consiste à considérer ˜ a) que l’on a déjà définis sur le corps de base R et que l’on des K-triplets (KG, K G, définira en 1.16 sur un corps de nombres. On isole un cas particulier : celui d’un ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. En tout cas, on raisonne par triplet (G, G, récurrence sur l’entier dim(GSC ), où GSC est le revêtement simplement connexe du ˜ a) est un triplet groupe dérivé de G et dim(GSC ) est sa dimension sur F . Si (G, G, quasi-déployé et à torsion intérieure défini sur F , on suppose connues toutes les ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion intérieure assertions concernant des triplets (G , G   ˜ a) est un triplet définis sur un corps F tels que dim(GSC ) < dim(GSC ). Si (G, G, défini sur F qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion toutes les assertions concernant des triplets (G , G  intérieure définis sur un corps F tels que dim(GSC ) ≤ dim(GSC ) et on suppose ˜  , a ) quelconques déconnues toutes les assertions concernant des triplets (G , G   finis sur un corps F tels que dim(GSC ) < dim(GSC ). Quand on travaille avec ˜ a) défini sur F , on suppose connues toutes les assertions un K-triplet (KG, K G, ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion intérieure définis sur concernant des triplets (G , G   un corps F tels que dim(GSC ) ≤ dim(GSC ) et on suppose connues toutes les as˜  , a ) définis sur un corps F  tels que sertions concernant des K-triplets (KG , K G  dim(GSC ) < dim(GSC ). On utilise une deuxième récurrence lorsqu’une assertion ˜ d’un triplet (G, G, ˜ a) défini sur F . Dans ce cas, fait intervenir un espace de Levi M ˜ a) relatives on suppose connues toutes les assertions concernant le triplet (G, G, ˜ ˜ à un espace de Levi L contenant strictement M . On utilise une résurrence ana˜ d’un K-triplet logue lorsqu’une assertion fait intervenir un K-espace de Levi K M ˜ (KG, K G, a). Il intervient aussi des assertions annexes concernant des triplets endoscopiques non standard (G1 , G2 , j∗ ). Dans le cas local, on a déjà indiqué en [III] 6.3 comment on les insérait dans notre schéma de récurrence. Le cas global est similaire, cf. 5.8 ci-dessous. La nécessité de faire varier le corps de base F dans ces hypothèses a deux ˜ a) sur un corps de sources. D’abord, quand on travaille avec un triplet défini (G, G, ˜ v , av ). nombres F , on doit connaître certaines propriétés des triplets localisés (Gv , G Inversement, la preuve du principal théorème local ([II] 1.16) se fait par globalisation. On a donc besoin, pour démontrer ce théorème pour un triplet défini sur un corps local F , d’utiliser des propriétés concernant des triplets définis sur un corps de nombres dont F est un localisé.

VI.1. Les définitions

595

VI.1.2 Remarque sur les hypothèses On va montrer (1) il existe un groupe algébrique non connexe G+ défini sur F et réductif, de ˜ s’identifie à une composante connexe composante neutre G, de sorte que G + de G munie des actions de G par multiplication à droite et à gauche. ˜ ), posons θ = adγ . Parce que l’on suppose que la resPreuve. Fixons γ ∈ G(F triction de θ à Z(G) est d’ordre fini, il existe un entier n ≥ 1 tel que θn soit un automorphisme intérieur de G. Il existe donc x ∈ GSC (F¯ ) tel que θn = adx . Parce que θ est défini sur F , adx l’est aussi. Donc σ(x) ∈ xZ(GSC ) pour tout σ ∈ ΓF . Parce que θ commute à θn , donc à adx , on a aussi θ(x) ∈ xZ(GSC ). Notons m le nombre d’éléments de Z(GSC ). Posons N = mn et y = xm . Alors θN = ady et on a y ∈ GSC (F ) et θ(y) = y. Notons G+ l’ensemble des éléments (g, θi ) avec g ∈ G et i ∈ {0, . . . , N − 1}. On définit la multiplication par  si i + j ≤ N − 1, (gθi (g  ), θi+j ), i  j (g, θ )(g , θ ) = i  k (gθ (g )y, θ ), si i + j = N + k avec k ≥ 0. On obtient un groupe réductif non connexe défini sur F . L’application (g, θ) → gγ ˜ identifie la composante Gθ de G+ à G.  Cette remarque ne nous servira pas directement. Mais elle nous permet d’ap˜ les résultats démontrés dans la littérature pour les groupes pliquer à notre espace G non connexes.

VI.1.3 Mesures sur les espaces AM ˜ ˜ un espace de Levi de G. ˜ On aura besoin d’une mesure sur l’espace A ˜ . Soit M M On a choisi d’éviter autant que possible de normaliser les mesures. Logiquement, on devrait faire de même pour la mesure sur cet espace. Toutefois, cela conduirait à des formulations par trop inhabituelles des formules de descente. On fixe donc sur tout espace AM˜ une mesure de Haar, à laquelle on impose quelques conditions ˜ et M ˜  sont conjugués par un élément g ∈ G(F ), on évidentes ; par exemple, si M suppose que les mesures sur AM˜ et AM˜  se correspondent par cette conjugaison. ˜ ⊂L ˜ sont deux espaces de Levi, on munit AL˜ de la mesure pour laquelle la Si M ˜ M ˜

décomposition AM˜ = AL ˜ est compatible aux mesures. ˜ ⊕ AL M Il y a au moins deux façons de définir ces mesures. Identifions AM˜ à Hom(X ∗ (M )ΓF ,θ , R), où X ∗ (M ) est le groupe des caractères algébriques de M . Notons AM˜ ,Z le réseau Hom(X ∗ (M )ΓF ,θ , Z). On peut imposer que ce réseau est de covolume 1. C’est la normalisation de la théorie des mesures de Tamagawa. Elle a l’inconvénient de se comporter assez mal vis-à-vis des suites exactes. Une autre méthode est la suivante. Considérons la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ ,T ∗ ,(Eα∗ )α∈Δ ) de G, munie de l’action galoisienne quasi-déployée. Posons hR = X∗ (T ∗ ) ⊗Z R. On

596

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

munit cet espace vectoriel réel d’une forme quadratique définie positive invariante par l’action galoisienne quasi-déployée, par celle du groupe de Weyl W et par l’automorphisme θ associé à E ∗ . C’est possible puisque le groupe d’automorphismes ˜ un espace de Levi de G. ˜ En choisisde hR engendré par ces actions est fini. Soit M ˜ ), on peut identifier A ˜ à un sous-espace de hR . Alors sant un élément P˜ ∈ P(M M AM˜ se retrouve muni de la restriction de la forme quadratique précédente. Les invariances imposées à cette dernière impliquent que cette restriction ne dépend pas du choix de P˜ . On munit AM˜ et plus généralement tout sous-espace de AM˜ de la mesure euclidienne associée à cette forme quadratique. En tout cas, on suppose fixées les mesures sur ces espaces, d’une façon ou ˜ v est un espace de Levi de d’une autre. De même, si v est une place de F et M ˜ v , on suppose fixée une mesure de Haar sur A ˜ v . Notons qu’on n’impose pas de G M relation entre les mesures «locales» et les mesures «globales». Par exemple, si G ˜ est un espace de Levi de G, ˜ on a l’égalité A ˜ = A ˜ , mais est déployé et si M M Mv on ne demande pas que les mesures sur ces espaces soient les mêmes. Notons GQ le groupe sur Q déduit de G par restriction des scalaires et, comme toujours, AGQ le plus grand tore déployé central dans GQ . On note AG la composante neutre topologique de AGQ (R). Notons que AGQ est aussi le plus grand tore déployé dans le groupe sur Q déduit de AG par restriction des scalaires. On en déduit des inclusions 

AG ⊂ AG (F∞ ) ⊂ AG (AF ) ⊂ G(AF ),

où F∞ = v∈Val∞ (F ) Fv . L’espace AG est conservé par θ. On note AG˜ le sousespace des points fixes par θ. La restriction à AG de l’homomorphisme HG : G( AF ) → AG est un isomorphisme qui permet d’identifier AG à AG et AG˜ à AG˜ . On munit l’espace AG˜ de la mesure telle que ce dernier isomorphisme préserve les mesures.

˜ M ˜ )-familles VI.1.4 Formule de descente des (G, ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini non vide de places de F . Soient M ˜v, M ˜ v etc. . . les espaces G, ˜ M ˜ etc. . . vus comme des espaces Pour v ∈ V , on note G ˜ v un espace de Levi de M ˜ v défini sur Fv . On a mis sur Fv . Pour tout v, soit R ˜ v n’a pas de raison d’être le v en exposant pour éviter une possible confusion : R ˜ défini sur F . Soit (cv (S˜v ; Λ)) ˜v ˜ ˜v localisé d’un espace R ˜ v ) une (Gv , R )-famille S ∈P(R ˜ M ˜ )-famille de la façon (la variable Λ appartient à iA∗R˜ v ). On en déduit une (G, ˜ v ) tel que S˜v ⊂ P˜v . ˜ ) et v ∈ V , on choisit S˜v ∈ P(R suivante. Pour P˜ ∈ P(M ∗ ∗ ∗ L’espace iAM˜ se plonge dans iAR˜ v . Pour Λ ∈ iAM˜ , on pose  c(P˜ ; Λ) = cv (S˜v ; Λ). v∈V

˜ ˜ Cela ne dépend pas du choix des S˜v et la famille (c(P˜ ; Λ))P˜ ∈P(M) ˜ est une (G, M )˜ ), on note Δ ˜ l’ensemble des restrictions à A ˜ de racines famille. Pour P˜ ∈ P(M P

M

VI.1. Les définitions

597

simples relativement à P . A toute racine α ∈ ΔP˜ , on associe une coracine α ˇ ∈ ˇ n’importe pas, la demi-droite qu’elle porte AM˜ (la normalisation précise de α ˇ ˜ ) le réseau de AG˜ engendré par ces étant définie sans ambiguïté). On note Z(Δ ˜ P M coracines. On définit la fonction méromorphe ˜

˜

ˇ (Λ) = mes(AG G ˜ /Z[ΔP˜ ]) P˜ M



−1

Λ, α ˇ

α∈ΔP˜

˜ M ˜ )-famille une fonction sur le complexifié A∗M˜ ,C . On déduit de la (G, ˜

cG ˜ (Λ) = M



˜

c(P˜ ; Λ)G (Λ). P˜

˜ P˜ ∈P(M)

˜Qv ∈ F (R ˜v = L ˜vU ˜ v ), on déduit de (cv (S˜v ; Λ)) ˜v D’autre part, pour v ∈ V et Q ˜v) S ∈P(R v ˜ Q ˜v, R ˜ v )-famille (cv (S˜v ; Λ)) ˜v une (L (Λ). Posons ˜ v ˜v ˜ v , puis une fonction c S ∈P(R );S ⊂Q

˜v v,R

˜ V = (R ˜ v )v∈V et notons L(R ˜ V ) l’ensemble des familles L ˜ V = (L ˜ v )v∈V où L ˜v ∈ R ˜ v ) pour tout v ∈ V . Pour une telle famille, on pose L(R ˜

˜

G AL˜ V = ⊕v∈V AL˜ v , AG ˜ V = ⊕v∈V AL ˜v L ˜

où AG ˜ v de l’image naturelle de AG ˜ (notons que cette ˜ v est l’orthogonal dans AL L ˜ peut être plus image est incluse dans AG˜ v mais l’inclusion peut être stricte : G ˜

˜

G déployé sur Fv que sur F ). L’espace AG ˜ V contient AL ˜ V comme sous-espace. Il R ˜

contient aussi l’espace ΔV (AG ˜ ) où ΔV est le plongement diagonal. On définit le M ˜ G V ˜,L ˜ ). Il est nul sauf si coefficient dR˜V (M ˜

˜

˜

G G AG ˜ V = ΔV (AM ˜ ) ⊕ AL ˜V . R

Si cette égalité est vérifiée, c’est le rapport entre la mesure sur le membre de droite ˜ V tel que ce nombre soit non nul, et celle sur le membre de gauche. Pour tout L ˜ v )v∈V telle que Arthur définit, au moyen d’une donnée auxiliaire, une famille (Q v v ˜ ˜ Q ∈ P(L ) pour tout v ∈ V . On a alors la formule (1)

˜

cG ˜ (Λ) = M

 ˜ V ∈L(R ˜V ) L

˜ ˜ ˜V dG ˜ V (M , L ) R



˜v

Q cv, ˜ v (Λ). R

v∈V

Cf. [7] proposition 7.1. ˜ v )v∈V . On note ˜ V = (M On appliquera souvent cette formule à la famille R ˜ MV cette famille.

598

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.1.5 Caractères pondérés ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Rappelons que, pour une Soient M ˜ v ). place v ∈ Val(F ), on a défini en [81] 2.5 la notion de ω-représentation de G(F A toute telle ω-représentation π ˜ est associée une représentation sous-jacente π de ˜ : A˜ ˜ → R. A tout λ ˜ ∈ A˜∗ G(Fv ). On note A˜∗G˜ l’espace des applications affines λ ˜v Gv G v ˜ v) est associée une forme linéaire λ sur A ˜ . Si π ˜ est une ω-représentation de G(F Gv

˜ ˜ ˜ ∈ A˜∗ , on définit la ω-représentation π et λ ˜λ˜ par π ˜λ˜ (γ) = eλ,HG˜ v (γ) π ˜ (γ), où on ˜v G  ˜ au point H ˜ H ˜ ˜ (γ). Pour une ω-représentation ˜ ˜ (γ) l’évaluation de λ note λ, Gv Gv ˜ π ˜ admissible et de longueur finie de M (Fv ), on a défini, à la suite d’Arthur, le ˜

Gv π , f ). Dans la suite de ce paragraphe, on va globaliser caractère pondéré f → JM ˜ v (˜ cette définition. ˜ (Fv ), admissible et de Pour tout v ∈ V , soit π ˜v une ω-représentation de M ˜ ˜ longueur finie. Posons π ˜V = ⊗v∈V π ˜v . Fixons P ∈ P(M ), introduisons la repré˜ ˜ sentation induite IndG (˜ π ) de G(F ), que l’on réalise dans son espace habituel que V P˜ l’on note Vπ,P . Supposons dans un premier temps que π ˜ est en position générale de sorte que les opérateurs d’entrelacement qui vont apparaître soient bien définis ˜ ∈ P(M ˜ ), l’opérateur JP |Q (π)JQ|P (π) est un automorphisme et inversibles. Pour Q de Vπ,P . Notons μQ|P (π) son inverse. Pour Λ ∈ iA∗M˜ , posons

˜ = μQ|P (π)−1 μQ|P (πΛ/2 )JQ|P (π)−1 JQ|P (πΛ ). M(π; Λ, Q) ˜ ˜ ˜ ˜ La famille (M(π; Λ, Q)) ˜ est une (G, M )-famille à valeurs opérateurs. On Q∈P(M) ˜

˜

˜

G G en déduit un opérateur MG ˜ (π; Λ). On pose MM ˜ (π) = MM ˜ (π; 0). Le caractère M ∞ ˜ pondéré est la forme linéaire sur Cc (G(FV ), K) définie par ˜

˜

˜

G G JM π , f ) = trace(MG π , f )). ˜ (˜ ˜ (π) IndP˜ (˜ M

On vérifie que cette définition ne dépend pas de l’espace parabolique P˜ choisi. Au moins si π ˜ est tempérée, on peut supprimer la condition de K-finitude et définir ˜ G ˜ V )). (˜ π , f ) pour tout f ∈ Cc∞ (G(F JM ˜ ˜V En utilisant la formule de descente du paragraphe précédent appliquée à M et l’indépendance de l’espace parabolique que l’on vient d’indiquer, on montre que l’on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V (1) JM π, f ) = dG JM πv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜ ˜ (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Levons l’hypothèse que π ˜ est en position générale. L’ensemble ⊕v∈V A˜M˜ v est un espace affine sous ⊕v∈V AM˜ v , lequel se projette naturellement sur AM˜ . On note A˜M˜ le quotient de ⊕v∈V A˜M˜ v par le noyau de cette projection. C’est un espace

VI.1. Les définitions

599

affine sous AM˜ . On note encore A˜∗M˜ l’espace des fonctions affines sur cet espace, ˜ ∈ A˜∗ , on note λ ∈ A∗ la forme linéaire souset A˜∗M˜ ,C son complexifié. Pour λ ˜ ,C ˜ M M,C ˜ Pour π ˜ ∈ A˜∗ jacente à λ. ˜ quelconque et pour λ en position générale, π ˜ ˜ est en ˜ ,C M

˜

λ ˜

G position générale et l’opérateur MG πλ˜ , f ) ˜ (πλ ) comme la forme linéaire f → JM ˜ (˜ M ˜ ˜ sont bien définis. Ces termes sont méromorphes en λ. S’ils sont réguliers en λ = 0, ˜ ˜ G ˜ = 0. on note MG π , f ) leurs valeurs en λ ˜ (π) et f → JM ˜ (˜ M

˜ = 0. Proposition. Si π ˜ est unitaire, les termes ci-dessus sont réguliers en λ Preuve. La formule (1) nous ramène au cas local, qui est traité par Arthur ([14], proposition 2.3).  Evidemment, la formule (1) s’étend au cas où tous les termes de la formule sont définis.

VI.1.6 L’application φM ˜ ∞ ˜ Pour toute place v ∈ Valf (F ), on note Cac (G(Fv )) l’espace des fonctions f : ˜ v ) → C telles que : G(F

˜ ˜ (γ))f (γ) appartient (1) pour toute fonction b ∈ Cc∞ (A˜G˜ ), la fonction γ → b(H Gv ∞ ˜ à Cc (G(Fv )) ; – il existe un sous-groupe ouvert compact H de G(Fv ) tel que f soit biinvariante par H. ∞ ˜ (G(Fv )) l’espace des fonctions Pour toute place v ∈ Val∞ (F ), on note Cac ˜ v ), Kv ) le sous-espace des ˜ v ) → C qui vérifient (1). On note C ∞ (G(F f : G(F ac ∞ ˜ éléments Kv -finis à droite et à gauche de Cac (G(Fv )). ∞ ˜ ˜ v ), ω) le quotient de Cac On note Iac (G(F (G(Fv )) par le sous-espace des ˜v G ∞ ˜ ˜ reg (Fv ) f ∈ Cac (G(Fv )) telles que I (γ, ω, f ) = 0 pour tout élément γ ∈ G (on rappelle que l’on note ainsi l’ensemble des éléments semi-simples et forte˜ v )). Si v est archimédienne, on définit de même la variante ment réguliers de G(F ˜ v ), ω, Kv ). Iac (G(F ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini de places de F . Pour Soient M ∞ ˜ ˜ (Fv ), ω). (G(Fv )) → Iac (M v ∈ V , on définit une application linéaire φM˜ v : Cac Elle est définie en [81] 6.4 dans le cas où v est non-archimédienne, en [V] 1.2 dans le cas où v est archimédienne. Dans ce dernier cas, l’application se restreint ∞ ˜ ˜ (Fv ), ω, Kv ), cf. [81] 6.4. On (G(Fv ), Kv ) → Iac (M en une application linéaire Cac ∞ ˜ ˜ V ), ω) (avec la variante definit comme en 1.1 les espaces Cac (G(FV )) et Iac (G(F ˜ Iac (G(FV ), ω, K) si V contient des places archimédiennes). Comme dans le paragraphe précédent, on applique les définitions du paragraphe 1.2 à la famille ∞ ˜ ˜ v )v∈V . On définit une application φ ˜ : Cac ˜ (FV ), ω) ˜ V = (M (G(FV )) → Iac (M M M

600

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

par (2)



φM˜ (f ) =

 ˜ ˜,L ˜ V ) ⊗v∈V φL˜˜v (f ˜ v ) dG ( M ˜ v, Q ,ω MV Mv

˜ V ∈L(M ˜V ) L ∞ ˜ (G(FV )). pour une fonction f = ⊗v∈V fv ∈ Cac ˜ v en Cette définition dépend a priori d’une donnée auxiliaire puisque les Q dépendent. Pour qu’elle soit loisible, on doit montrer qu’en fait, elle n’en dépend pas. Pour cela, on utilise la caractérisation de [81] 6.4(5). Fixons pour tout v ∈ V ˜ (Fv ). Fixons aussi Xv ∈ une ω-représentation tempérée M -irréductible π ˜v de M ˜v M ˜ ˜ (Fv ), ω), AM˜ v . On a défini une forme linéaire ϕv → I (˜ πv , Xv , ϕv ) sur Iac (M cf. [81] 6.4 et [V] 1.2. Quand π ˜v et Xv varient, ces formes linéaires séparent les ˜ (Fv ), ω). Il suffit donc de prouver que la valeur sur le membre éléments de Iac (M de droite de (2) de la forme linéaire  ˜ I Mv (˜ πv , Xv , ϕv ) ⊗v∈V ϕv → v∈V

est bien définie. Cette valeur est   ˜ ˜ ˜v ˜ ˜V dG I Mv (˜ πv , Xv , φL ˜ v ,ω )), ˜ V (M , L ) ˜ v (fv,Q M M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

ou encore



v∈V ˜

˜ ˜V dG ˜ V (M , L ) M

˜ V ∈L(M ˜V ) L



˜v

L JM πv , Xv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜

v∈V

Par définition, on a pour tout v ∈ V une égalité ˜ ˜v ˜v L L (˜ π , X , f ) = c JM πv,λ˜ v , fv,Q˜ v ,ω )e−λv ,Xv  dλv JM ˜ v ,ω v v v,Q v ˜v ˜ v (˜ iA∗˜

Mv ,Fv

˜ v ∈ iA˜ ˜ ; leur produit se (les deux fonctions que l’on intègre dépendent de λ Mv descend en une fonction sur iA∗M˜ ,F ; cv est une constante dépendant seulement v v ˜ v )v∈V ∈ des mesures de Haar). Il suffit donc de prouver que, pour toute famille (λ ⊕iA˜∗M˜ , le terme v  ˜v  ˜ L ˜ ˜V dG JM πv,λ˜ v , fv,Q˜ v ,ω ) ˜ v (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

est bien défini. Quitte à remplacer π ˜v par π ˜v,λ˜ v , il suffit de considérer  ˜v  ˜ L ˜ ˜V dG JM πv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V ˜

G π , f ), où π ˜ = ⊗v∈V π ˜v . La formule 1.5(1) dit que cette expression est égale à JM ˜ (˜ Ce terme ne dépendant d’aucun paramètre auxiliaire, cela démontre l’assertion.

VI.1. Les définitions

601

VI.1.7 Une propriété globale de l’application φM ˜ La situation est la même que dans le paragraphe précédent, mais on suppose que ˜ ˜ : G(F ˜ V ) → A ˜ de 1.1. L’espace V contient Vram . On se rappelle l’application H GV G ˜ V )) : à b ∈ C ∞ (A ˜ ) et f ∈ C ∞ (AG˜ ) des fonctions C ∞ sur AG˜ opère sur Cc∞ (G(F G ˜ V )), on associe la fonction produit f (b◦ H ˜ ˜ ). L’espace C ∞ (A ˜ ) opère de Cc∞ (G(F GV G ∞ ˜ ˜ V ), ω) même sur Cac (G(FV )). Ces actions se descendent en des actions sur I(G(F ∞ ˜ ˜ V ), ω). Notons C ∞ ˜ V )) le sous-espace des f ∈ Cac et Iac (G(F ( G(F ( G(F V )) tels ac,glob ∞ ˜ ∞ ˜ ˜ que f (b ◦ HG˜ V ) ∈ Cc (G(FV )) pour tout b ∈ Cc (AG˜ ). Notons Iac,glob (G(FV ), ω) ˜ V ), ω). l’image de cet espace dans Iac (G(F ˜ V )) dans Iac,glob (M ˜ (FV ), ω). (G(F Lemme. L’homomorphisme φ ˜ envoie C ∞ ac,glob

M

∞ ˜ V (G(F Cac,glob

)) et b ∈ Cc∞ (A˜M˜ ). On doit montrer que Preuve. Soient f ∈ ˜ ˜ ) appartient à I(M ˜ (FV ), ω). Soit b ∈ Cc∞ (A˜ ˜ ) qui vaut 1 sur φM˜ (f )(b ◦ H MV G ˜ ˜ = (b ◦ H ˜ ˜ )(b ◦ H ˜ ˜ ). Il la projection dans AG˜ du support de b. Alors b ◦ H MV MV GV   ˜ ˜ résulte de la définition de φM˜ que φM˜ (f )(b ◦ HG˜ V ) = φM˜ (f (b ◦ HG˜ V )). D’où ˜ ˜ ) = φ ˜ (f (b ◦ H ˜ ˜ ))(b ◦ H ˜ ˜ ). φM˜ (f )(b ◦ H MV M GV MV ˜ ˜ ), on est ramené au cas où f ∈ Cc∞ (G(F ˜ V )). Quitte à remplacer f par f (b ◦ H GV En considérant la formule (1) du paragraphe précédent, on voit qu’il nous suffit ˜ V ) tel que dG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0 et de prouver que la fonction ˜ V ∈ L(M de fixer L ˜ M

(1)

V

 ˜v ˜˜ ) (f ) (b ◦ H ⊗v∈V φL ˜ ˜ v v,Qv ,ω MV M

˜ (FV ), ω). On relève chaque terme φL˜ v (f ˜ ) en un éléappartient à Iac,glob (M ˜ v v,Qv ,ω M ∞ ˜ (M (Fv )). Notons Ξv l’image de son support dans A˜M˜ v par l’appliment de Cac ˜ ˜ . Parce que fv est maintenant à support compact, on sait que l’on cation H Mv peut supposer que la projection naturelle de Ξv dans A˜L˜ v est compacte. Notons  ˜˜ . Ξ l’image du support de la fonction (1) dans A˜M˜ V par l’application v∈V H Mv ˜ (FV ), ω), il suffit que Ξ soit comPour que la fonction (1) appartienne à Iac,glob (M  pact. Or Ξ est le sous-ensemble des éléments de v∈V Ξv dont l’image par p˜V appartient au support compact de la fonction b. En fixant des points bases de nos espaces affines, qui permettent d’identifier A˜M˜ V à AM˜ V , on est ramené à la situation suivante. On a un sous-ensemble fermé Ξ ⊂ AM˜ V dont la projection dans AL˜ V est compacte et dont l’image par l’application pV :

AM˜ V (Hv )v∈V

→ AM˜  → ˜ v∈V Hv,M

est compacte. On doit montrer que ce sous-ensemble est compact. Il suffit que l’intersection des noyaux de pV et de la projection dans AL˜ V soit réduite à 0. Ou

602

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

encore que la somme de AL˜ V et de l’orthogonal du noyau de pV soit l’espace AM˜ V ˜ ˜,L ˜ V ) = 0 puisque l’orthogonal du tout entier. Cela résulte de la condition dG (M ˜V M

noyau de pV est l’espace AM˜ plongé diagonalement dans AM˜ V .



On a la variante suivante : ∞ ˜ V ), K) dans Iac,glob (M ˜ (FV ), ω, K). φM˜ envoie Cac,glob (G(F

VI.1.8 Espaces de distributions ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini de places de F . Pour Soient M ˜ (Fv ), ω) en [I] 5.1 et tout v ∈ V , on a défini l’espace de distributions Dg´eom (M 5.2. C’est celui des distributions ω-équivariantes supportées par un nombre fini de classes de conjugaison. Supposons v archimédienne. On a défini en [V] 1.3 et 2.1 les sous-espaces ˜ (Fv ), ω) ⊂ Dtr-orb (M ˜ (Fv ), ω) Dorb (M ˜ (Fv ), ω) ⊃ D ⊂ Dg´eom (M

˜

˜ -équi (M (Fv ), ω). g´ eom,G

˜ (Fv ), ω) est engendré par les intégrales orbitales ordinaires (ωL’espace Dorb (M ˜ (Fv ), ω) est le sous-espace des éléments équivariantes). L’espace Dg´eom,G˜ -équi (M ˜ (Fv ), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ M ˜ (Fv ) qui sont de Dg´eom (M ˜ ˜ (Fv ), ω) est G-équisinguliers c’est-à-dire tels que Mγ = Gγ . L’espace Dtr-orb (M ˜ défini par récurrence. Il est engendré par Dorb (M (Fv ), ω) et par les images par transfert des espaces Dtr-orb (Mv ) pour les données endoscopiques elliptiques Mv ˜ v ), avec la restriction Mv = Mv si (Mv , M ˜ v , av ) est quasi-déployé et à de (Mv , M torsion intérieure. Remarque. Si on applique les mêmes définitions pour une place v non-archimé˜ (Fv ), ω) = Dtr-orb (M ˜ (Fv ), ω) = Dg´eom (M ˜ (Fv ), ω). dienne, on a l’égalité Dorb (M ˜ (FV ), ω) = ⊗v∈V Dg´eom (M ˜ (Fv ), ω). On définit les sousOn pose Dg´eom (M ˜ ˜ ˜ (FV ), ω) en remespaces Dorb (M (FV ), ω), Dtr-orb (M (FV ), ω) et Dg´eom,G˜ -équi (M ˜ (Fv ), ω) par plaçant, pour toute place archimédienne v ∈ V , l’espace Dg´eom (M ˜ Dorb (M (Fv ), ω) etc. . .

VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Pour tout g = (gv )v∈V ∈ Soient M ˜ M ˜ )-famille (v ˜ (g; Λ)) ˜ G(FV ), Arthur définit une (G, ˜ , d’où une fonction P P ∈P(M) ˜

˜

˜

G G G vM ˜ (g; Λ). On pose vM ˜ (g) = vM ˜ (g, 0).  ˜ Soit γ = (γv )v∈V ∈ M (FV ). On pose Mγ = v∈V Mv,γv que l’on peut considérer comme un groupe défini sur l’anneau FV . On définit de même Gγ ,

VI.1. Les définitions

603 ˜

G ZM (γ) etc. . . Si ω n’est pas trivial sur Mγ (FV ), on pose JM ˜ (γ, ω, f ) = 0 pour ∞ ˜ tout f ∈ Cc (G(FV )). Supposons dans la suite que ω est trivial sur Mγ (FV ). On fixe des mesures de Haar sur G(FV ) et Mγ (FV ). Supposons d’abord que γ soit ˜ ˜ V )), on pose G-équisingulier, c’est-à-dire que Mγ = Gγ . Pour f ∈ Cc∞ (G(F ˜ ˜ G G 1/2 (γ, ω, f ) = D (γ) ω(g)f (g −1 γg)vM˜ (g) dg. JM ˜ Mγ (FV )\G(FV ) ˜

G Pour γ quelconque, Arthur définit JM ˜ (γ, ω, f ) par un procédé de limite. Nous allons le rappeler brièvement, tout en le modifiant. Soit v ∈ V et av ∈ AM˜ v (Fv ). ˜v , M ˜ v )-famille (r ˜ (γv , av ; Λ)) ˜ On a défini en [II] 1.5 une (G ˜ v ) , pourvu que P P ∈P(M av soit en position générale. Plus précisément, notons ηv la partie semi-simple de γv . Il suffit que av vérifie α(av ) = ±1 pour toute racine α de AMv,ηv dans Gv,ηv pour que les fonctions précédentes soient définies. Signalons que la définition de ces fonctions est légèrement différente de celle d’Arthur. Soit maintenant a = (av )v∈V ∈ AM˜ (FV ). Si a est en position générale, les av ne sont pas véritablement «en position générale» car le tore AMv ,ηv est en général plus gros que le localisé de AM˜ , mais ils vérifient la condition précise ci-dessus. Comme en 1.3, on déduit ˜ v )-familles ci-dessus une famille produit (r ˜ (γ, a; Λ)) ˜ ˜v , M alors des (G ˜ ) . On P P ∈P(M ˜

˜

˜

G G G en déduit une fonction rM ˜ (γ, a; Λ) et on pose rM ˜ (γ, a) = rM ˜ (γ, a; 0). Considérons l’expression  ˜ ˜ L G rM ˜ (γ, a)JL ˜ (aγ, ω, f ). ˜ ˜ L∈L( M)

Tous les termes sont bien définis puisque Maγ = Gaγ pour a en position générale. Arthur montre que cette expression a une limite quand a tend vers 1 ([9] théorème 5.2). La modification que l’on a apportée aux définitions n’affecte pas cette ˜ G propriété. On note JM ˜ (γ, ω, f ) cette limite. ˜ M ˜ )-familles intervenant sont indexées Remarque. La définition est globale : les (G, par des espaces paraboliques définis sur F . Même dans le cas où V est réduit à une seule place v, les intégrales orbitales pondérées ci-dessus ne coïncident pas en général avec leurs similaires locales relatives au corps de base Fv . La relation entre les deux objets est donnée par la formule (1) suivante. La même remarque s’appliquera aux intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes définies au paragraphe suivant. En utilisant plusieurs fois la formule 1.4(1), on montre que, pour f = ⊗v∈V fv , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V dG JM (1) JM ˜ v ,ω ). ˜ v (γv , ω, fv,Q ˜ (γ, ω, f ) = ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Comme dans le cas local, on peut formaliser les définitions ci-dessus et les ˜ G rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant JM ˜ (γ, f ) pour γ ∈

604

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ (FV ), ω)⊗ Mes(M (FV ))∗ et f ∈ Cc∞ (G(F ˜ V ))⊗ Mes(G(FV )). Signalons que Dorb (M ˜ ces intégrales dépendent tout de même de la mesure fixée sur AG ˜. M On aura besoin d’une variante de la formule (1). Supposons V réunion disjointe de deux sous-ensembles V1 et V2 . Pour i = 1, 2, soient ˜ (FVi ), ω) ⊗ Mes(M (FVi )) γ i ∈ Dorb (M

˜ Vi )) ⊗ Mes(G(FVi )). et fi ∈ Cc∞ (G(F

˜ = L ˜U ˜Q ∈ Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et f = f1 ⊗ f2 . Supposons que, pour tout Q ˜ L ˜ ˜ F (M ), l’intégrale orbitale pondérée JM˜ (γ 1 , f1,Q,ω ˜ ) ne dépende que de L. On a alors l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ G L G L (2) JM JM ˜ )JL ˜ (γ, f ) = ˜ (γ 1 , f1,Q,ω ˜ (γ 2 , f2 ), ˜ ˜ L∈L( M) ˜ ˜ est un élément quelconque de P(L) ˜ et où γ L ˜ où Q 2 est l’induite de γ 2 à L(FV2 ).

VI.1.10 Système de fonctions B ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Rappelons que dans ce Supposons (G, G, cas, on supprime le caractère trivial ω des notations. Pour une place v de F , on ˜ v ). Pour globaliser a défini en [II] 1.9 la notion de système de fonctions B sur G(F cette notion, on va en donner une définition un peu différente. Fixons une paire ˜ tels que de Borel (B ∗ , T ∗ ) de G définie sur F . Notons T˜ ∗ l’ensemble des γ ∈ G ∗ Gη ∗ ˜ adγ conserve cette paire. Pour η ∈ T , notons Σ (T ) l’ensemble des racines de T ∗ dans gη . L’ensemble ΣGη (T ∗ ) est un sous-ensemble de l’ensemble Σ(T ∗ ) des racines de T ∗ dans g. Pour tout sous-ensemble Σ ⊂ Σ(T ∗ ), considérons l’ensemble des η ∈ T˜ ∗ tels que ΣGη (T ∗ ) = Σ . C’est un sous-ensemble algébrique de T˜ ∗ que l’on décompose en composantes connexes. En faisant varier Σ , on obtient une décomposition de T˜ ∗ en réunion disjointe finie de sous-ensembles algébriques connexes. On note Ω cet ensemble de sous-ensembles algébriques. Pour Ω ∈ Ω, on note Σ(Ω) l’ensemble ΣGη (T ∗ ) pour un élément quelconque η ∈ Ω. Le groupe de Weyl W agit sur T˜ ∗ . Pour w ∈ W et η ∈ T˜ ∗ , l’élément w définit une bijection w : ΣGη (T ∗ ) → ΣGw(η) (T ∗ ). Le groupe de Galois ΓF agit aussi et, pour σ ∈ ΓF et η ∈ T˜ ∗ , on a aussi une bijection σ : ΣGη (T ∗ ) → ΣGσ(η) (T ∗ ). Il en résulte que les actions de W et ΓF sur T˜ ∗ permutent les éléments de Ω. On se donne pour tout Ω ∈ Ω une fonction BΩ : Σ(Ω) → Q>0 . On suppose vérifiées les conditions (1) et (2) suivantes pour tout Ω ∈ Ω : (1) pour toute composante irréductible Σ du système de racines Σ(Ω), ou bien Ω (β) est constante sur Σ , BΩ est constante sur Σ , ou bien la fonction β → B(β,β) où (., .) est une forme quadratique définie positive et invariante par le groupe de Weyl sur l’espace X ∗ (T ∗ ) ⊗Z R ; (2) pour w ∈ W , σ ∈ ΓF et β ∈ Σ(Ω), on a les égalités Bw(Ω) (w(β)) = Bσ(Ω) (σ(β)) = BΩ (β).

VI.1. Les définitions

605

A ces conditions, on dit que les fonctions BΩ forment un «système de fonc˜ Fixons un tel système. Il convient d’élargir l’ensemble Vram de 1.1 tions B» sur G. de sorte que (3) soit v ∈ Val(F )− Vram , notons p la caractéristique résiduelle de v ; alors, pour tout élément Ω ∈ Ω, les valeurs de BΩ sont premières à p. C’est possible puisque l’ensemble Ω est fini. Soit η ∈ T˜∗ (F¯ ). Il existe un unique Ω ∈ Ω tel que η ∈ Ω(F¯ ). On pose Bη = ˜ F¯ ), fixons une paire BΩ . Plus généralement, pour un élément semi-simple η ∈ G( de Borel (B, T ) de G conservée par adη . On définit comme ci-dessus le système de racines ΣGη (T ). On fixe un élément x ∈ G(F¯ ) tel que adx (B, T ) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adx identifie ΣGη (T ) à ΣGadx (η) (T ∗ ). En transportant la fonction Badx (η) par cet isomorphisme, on obtient une fonction Bη sur ΣGη (T ), qui ne dépend pas de l’élément x choisi. ˜ F¯v ). Le même Soit v une place de F et soit η un élément semi-simple de G( procédé permet de définir une fonction Bη sur le système de racines de Gη . La ˜ v ) est un système de fonctions B restriction de ces fonctions aux éléments η ∈ G(F ˜ v ), au sens de [II] 1.9. sur G(F ˜ un espace de Levi de G, ˜ V un ensemble fini de places de F et Soient M ˜ ˜v , M ˜ v )-familles γ = (γv )v∈V ∈ M (FV ). Pour v ∈ V , on a défini en [II] 1.9 des (G (rP˜ (γv , av , B; Λ))P˜ ∈P(M˜ v ) . En utilisant ces familles dans les constructions du para˜

G graphe précédent, on définit l’intégale orbitale pondérée JM ˜ (γ, B, f ). Elle coïncide ˜

G avec JM ˜ (γ, f ) dans le cas où Mγ = Gγ .

VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Soit γ ∈ M ˜ (FV ). On Soient M ∞ ˜ fixe encore des mesures de Haar sur G(FV ) et Mγ (FV ). Pour f ∈ Cc (G(FV )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante par la formule de récurrence ˜

˜

G G IM ˜ (γ, ω, f ) = JM ˜ (γ, ω, f ) −



˜

L IM ˜ (f )). ˜ (γ, ω, φL

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Remarque. Comme souvent, certaines propriétés de ces termes sont supposées ˜  , a ) similaires à (G, G, ˜ a) telles que dim(G ) < connues pour les données (G , G SC ˜ G dim(GSC ). Les propriétés utilisées ici est que IM ˜ (γ, ω, f ) ne dépend que de l’image ∞ ˜ ˜ V ), ω) et que la définition s’étend à f ∈ Cac (G(FV )). Grâce à ces de f dans I(G(F ˜ L ˜ = G. ˜ La formule hypothèses, les termes IM˜ (γ, ω, φL˜ (f )) sont bien définis pour L (1) ci-dessous, qui se déduit de la simple formule de définition ci-dessus, ramène la vérification des hypothèses de récurrence aux propriétés des intégrales analogues locales, pour lesquelles on renvoie à [II] et [V].

606

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Pour f = ⊗v∈V fv , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V (1) IM dG IM ˜ v ,ω ). ˜ (γ, ω, f ) = ˜ V (M , L ) ˜ v (γv , ω, fv,L M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Comme en 1.9, on peut formaliser les définitions ci-dessus et en particulier ˜ G les rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant IM ˜ (γ, f ) pour ∗ ∞ ˜ ˜ γ ∈ Dorb (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) et f ∈ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), ou f ∈ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). Ces intégrales dépendent tout de même de la mesure I(G(F ˜ fixée sur AG ˜. M ˜ (FVi ), ω) ⊗ Supposons V = V1  V2 . Pour i = 1, 2, soient γ i ∈ Dorb (M ˜ Vi ), ω) ⊗ Mes(G(FVi )). Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et Mes(M (FVi ))∗ et fi ∈ I(G(F f = f1 ⊗ f2 . On a la formule de scindage  ˜ ˜ ˜ G ˜ L˜ 1 (γ 1 , f ˜ )I L˜ 2 (γ 2 , f ˜ ). (2) IM dG ˜ (γ, f ) = ˜ (L1 , L2 )IM ˜ ˜ 1,L1 ,ω M 2,L2 ,ω M ˜ 2 ∈L(M) ˜ ˜ 1 ,L L ˜

G Conformément aux résultats de [V], on peut définir le terme IM ˜ (γ, f ) dans le ∗ ˜ cas où γ appartient à Dg´eom,G˜ -équi (M (FV ), ω)⊗Mes(M (FV )) : on le définit par la ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, ou si l’on suppose formule (1). Si (G, G, vérifiée l’hypothèse (Hyp) de [V] 2.5 en toute place archimédienne de V , on peut ˜ (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . aussi le définir dans le cas où γ appartient à Dtr-orb (M Les propriétés ci-dessus s’étendent à tous les cas où les termes sont définis.

VI.1.12 Une propriété de support ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F contenant Vram . Soient M ∞ ˜ V )). Alors Lemme. Soit Ξ ⊂ AM˜ un ensemble compact et soit f ∈ Cac,glob (G(F ˜ (FV ) tel que, pour tout γ ∈ M ˜ (FV ) il existe un sous-ensemble compact C˜V de M vérifiant les deux conditions : ˜ ˜ (γ) ∈ Ξ, – H

–

MV ˜ G IM˜ (γ, ω, f )

= 0,

γ soit conjugué à un élément de C˜V par un élément de M (FV ). Preuve. On choisit une fonction b ∈ Cc∞ (AG˜ ) qui vaut 1 sur la projection de Ξ dans ˜ ˜ G G ˜ ˜ )) pour tout γ ∈ M ˜ (FV ) AG˜ . On a alors l’égalité IM ˜ (γ, ω, f ) = IM ˜ (γ, ω, f (b ◦ HG V ˜ ˜ (γ) ∈ Ξ. Cela nous permet de remplacer f par f (b◦ H ˜ ˜ ). En oubliant tel que H MV GV cela, on peut supposer f à support compact. On utilise la définition donnée en ˜ ˜ G G 1.9. Pour que IM ˜ (γ, ω, f ) soit non nul, il faut que JM ˜ (γ, ω, f ) soit non nul ou ˜ L ˜ ˜ ˜ ˜ qu’il existe L ∈ L(M ) avec L = G tel que I (γ, ω, φ ˜ (f )) soit non nul. Dans le ˜ M

L

VI.1. Les définitions

607

premier cas, γ est conjugué par un élément de M (FV ) à un élément du support de f et la conclusion s’ensuit. Dans le deuxième cas, le lemme 1.7 nous dit que φL˜ (f ) ˜ (FV ), ω). Puisque L ˜ = G, ˜ on peut appliquer le lemme par appartient à Iac,glob (M récurrence, d’où encore la conclusion. 

VI.1.13 Le cas non ramifié Soit V un ensemble fini de places de F . Contrairement à l’habitude, on suppose ici ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). On V ∩ Vram = ∅. En particulier, les places dans V sont finies. Soit M se débarrasse des espaces de mesures en fixant sur G(FV ) et M (FV ) les mesures ˜ G ˜ ˜ canoniques. On définit une forme linéaire rM eom (M (FV ), ω) par ˜ (., KV ) sur Dg´ ˜

˜

G G ˜ rM ˜V ) ˜ (γ, KV ) = JM ˜ (γ, 1K

˜ (FV ), ω). Remarquons que, pour tout espace parabolique pour tout γ ∈ Dg´eom (M ˜ ˜ ˜ Q = LUQ ∈ L(M0 ) et tout v ∈ V , on a l’égalité (1K˜ v )Q,ω = 1K˜ L˜ . Pour γ = ˜ v ⊗v∈V γ v , la formule de descente 1.8(1) donne donc   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜ ˜V ˜ L˜ v rM dG rM ˜ v (γ v , Kv ), ˜ (γ, KV ) = ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

où les derniers facteurs sont les termes locaux définis en [II] 4.1.

VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes et systèmes de fonctions B ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de On suppose (G, G, ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), V un ensemble fini de places et fonctions B comme en 1.9. Soient M ˜ γ ∈ M (FV ). De la même façon que dans le paragraphe 1.10, et modulo des choix ˜ G de mesures de Haar, on définit l’intégrale orbitale pondérée invariante IM ˜ (γ, B, f ) ∞ ˜ pour f ∈ Cc (G(FV )). Elle vérifie les mêmes propriétés qu’en 1.10 et 1.11. ˜ (F ), notons γ son image Lemme. Supposons que V contienne Vram . Soit γ˙ ∈ M ˜ naturelle dans M (FV ). Alors on a l’égalité ˜

˜

G G IM ˜ (γ, B, f ) = IM ˜ (γ, f )

˜ V )). pour tout f ∈ Cc∞ (G(F Preuve. On vérifie que le procédé de limite utilisé pour définir les intégrales orbitales pondérées s’étend aux intégrales invariantes. On a donc  ˜ ˜ ˜ G L G rM IM ˜ (γ, f ) = lim ˜ (γ, a)IL ˜ (aγ, f ) a→1

˜ ˜ L∈L( M)

608

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ V )), où a parcourt les éléments de A ˜ (FV ) en position pour tout f ∈ Cc∞ (G(F M générale. De même,  ˜ ˜ ˜ G L G rM IM ˜ (γ, B, f ) = lim ˜ (γ, a, B)IL ˜ (aγ, f ). a→1

˜ ˜) L∈L( M

˜ Rappelons que, pour a en position générale, l’élément aγ est G-équisingulier donc ˜ ˜ G ˜ Rappelons que les termes rL˜ (γ, a) et (aγ, B, f ) = I (aγ, f ) pour tout L. ILG ˜ ˜ ˜ L M ˜ ˜ M ˜ )-familles rL (γ, a, B) sont issus de (G, ˜ M

et (rP˜ (γ, a, B; Λ))P˜ ∈P(M) ˜ .

(rP˜ (γ, a; Λ))P˜ ∈P(M) ˜

˜ M ˜ )-famille (c ˜ (γ, a, B; Λ)) ˜ Définissons une (G, ˜ par P P ∈P(M) cP˜ (γ, a, B; Λ) = rP˜ (γ, a, B; Λ)rP˜ (γ, a; Λ)−1 . ˜ ∈ L(M ˜ ), on a la formule de décomposition Pour tout L  ˜ ˜ ˜ L L rM cR ˜ (γ, a, B) = ˜ (γ, a, B)rR ˜ (γ, a). M ˜ ˜ R⊂ ˜ L ˜ R∈L( M),

D’où ˜

G IM ˜ (γ, B, f ) = lim

a→1

 ˜ ˜ R∈L( M)

˜

cR ˜ (γ, a, B) M



˜

˜

L G rR ˜ (γ, a)IL ˜ (aγ, f ).

˜ ˜ L∈L( R)

˜ la En utilisant la formule de descente 1.4(1) et [II] 1.7(12), on voit que pour tout R, ˜ ˜ G R somme intérieure a une limite quand a tend vers 1. Cette limite est IR˜ (γ , f ), où ˜ ˜ V ) de l’intégrale orbitale dans M ˜ (FV ) associée γ R est la distribution induite à R(F à γ. Pour prouver le lemme, il suffit de prouver la relation  ˜=M ˜, 1, si R ˜ (γ, a, B) = lim cR ˜ ˜ = M ˜ a→1 M 0, si R ˜ ∈ L(M ˜ ). Un tel R ˜ étant fixé, on peut remplacer l’espace ambiant G ˜ pour tout R ˜ par R. Cela nous ramène à prouver la relation  ˜=M ˜, 1, si G ˜ G (1) lim cM˜ (γ, a, B) = ˜ = M ˜. a→1 0, si G ˜=M ˜ est évident. On suppose désormais M ˜ = G. ˜ Le cas G ˜ ˜ Rappelons la construction de nos (G, M )-familles. Ecrivons γ˙ = uη, où η ∈ ˜ (F ) est semi-simple et u ∈ Mη (F ) est unipotent. On introduit les ensembles M

VI.1. Les définitions

609

ΣGη (Z(Mη )0 ) et Σ(AM˜ ) de racines de Z(Mη )0 dans gη , resp. de AM˜ dans g. On a une application de restriction ΣGη (Z(Mη )0 ) → Σ(AM˜ ) α → αM˜ Posons Z = X∗ (Z(M )0 ) ⊗Z R. On a AM˜ ⊂ Z. Puisque Z est muni d’une forme quadratique définie positive (cf. 1.3), on a aussi une inclusion d’espaces duaux A∗M˜ ⊂ Z ∗ . Fixons v ∈ V et α ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ). En [II] 1.4, on a défini un élément de Z, noté alors ρ(α, u). Sa définition dépend a priori de la place v, notons-le ˜ ), a = (av )v∈V ∈ A ˜ (FV ) et Λ ∈ iA∗ . Il résulte plutôt ρv (α, u). Soient P˜ ∈ P(M ˜ M M des définitions que l’on a l’égalité  

Λ,ρ (α,u)/2 (2) rP˜ (γ, a; Λ) = |α(av ) − α(av )−1 |Fv v , v∈V α∈ΣGη (Z(Mη )0 );αM ˜ >P 0

où le symbole >P désigne la positivité relative à P . Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par adη et telle que M soit standard pour cette paire. Introduisons l’ensemble ΣGη (T ) des racines de T dans gη . On a introduit en [II] 1.8 l’ensemble ΣGη (T, Bη ) formé des Bη (α)−1 α pour α ∈ ΣGη (T, Bη ) (on considère ces éléments comme des formes linéaires sur t). On note ΣGη (Z(Mη )0 , B) l’ensemble des restrictions à z(Mη ) d’éléments de ΣGη (T, Bη ). Fixons v ∈ V et α ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B). En [II] 1.4, on a défini un élément de Z, ˜ ), noté alors ρ(α , u, B), qu’il convient de noter plutôt ρv (α , u, B). Soient P˜ ∈ P(M ∗  Gη 0 a = (av )v∈V ∈ AM˜ (FV ) et Λ ∈ iAM˜ . Un élément α ∈ Σ (Z(Mη ) , B) se restreint à aM˜ en un élément αM˜ = qβ, où q ∈ Q>0 et β ∈ Σ(AM˜ ). On dit que αM˜ >P 0 si et seulement si β >P 0. D’autre part, l’élément a étant supposé proche de 1, on peut écrire av = exp(Hv ) pour tout v ∈ V , où Hv ∈ aM˜ (Fv ) est proche de 0. On pose α (av ) = exp(qβ(Hv )). Il résulte alors des définitions que l’on a l’égalité

(3)

rP˜ (γ, a, B; Λ)  =



Λ,ρv (α ,u,B)/2 |α (av ) − α (av )−1 |Fv .

v∈V α ∈ΣGη (Z(Mη )0 ,B);α >P 0 ˜ M

Notons Σind (AM˜ ) l’ensemble des éléments indivisibles de Σ(AM˜ ). Un élément α intervenant dans (2) se restreint en un élément αM˜ qui est un multiple entier positif d’un unique élément β ∈ Σind (AM˜ ). On regroupe les α selon cet élément β et on obtient une décomposition en produit  rP˜ (γ, a; Λ) = rβ (γ, a; Λ). β∈Σind (AM ˜ ),βM ˜ >P 0

Un élément α intervenant dans (3) se restreint en un élément αM˜ qui est un multiple rationnel positif d’un unique élément β ∈ Σind (AM˜ ). On regroupe les α

610

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

selon cet élément β et on obtient une décomposition en produit  rP˜ (γ, a, B; Λ) = rβ (γ, a, B; Λ). β∈Σind (AM ˜ ),βM ˜ >P 0

Fixons β ∈ Σind (AM˜ ). On peut introduire une coracine βˇ ∈ AM˜ , normalisée par la condition β, βˇ = 2. Il résulte des constructions de [II] 1.4 que, si α est un élément de ΣGη (Z(Mη )0 ) tel que αM˜ est un multiple entier de β, alors, pour tout ˇ Il en résulte v ∈ V , la projection orthogonale de ρv (α, u) sur AM˜ est colinéaire à β. que   Λ, ρv (α, u) /2 = β, ρv (α, u) Λ, βˇ /2. De même, il résulte des constructions de [II] 1.8 que, si α est un élément de ΣGη (Z(Mη )0 , B) tel que αM˜ est un multiple rationnel de β, alors, pour tout v ∈ V , ˇ Il en résulte la projection orthogonale de ρv (α , u, B) sur AM˜ est colinéaire à β. que   Λ, ρv (α , u, B) /2 = β, ρv (α , u, B) Λ, βˇ /2. Définissons une fonction cβ (γ, a, B; x) d’une variable réelle x par l’égalité cβ (γ, a, B; x) ⎛ ⎜ = ⎝



ixβ,ρv (α ,u,B)/4 ⎟ |α (av ) − α (av )−1 |Fv ⎠

α ∈ΣGη (Z(Mη )0 ,B);α˜ ∈Q>0 β

v∈V

M

⎛ (4)

⎞



⎝

⎞ −ix β,ρv (α,u)/4 ⎠

|α(av ) − α(av )−1 |Fv

.

α∈ΣGη (Z(Mη )0 );αM ˜ ∈Z>0 β

On obtient alors l’égalité   cβ (γ, a, B; −i Λ, βˇ ) = rβ (γ, a, B; Λ)rβ (γ, a; Λ)−1 . D’où l’égalité 

cP˜ (γ, a, B; Λ) =

  cβ (γ, a, B; −i Λ, βˇ ).

β∈Σind (AM ˜ ),β>P 0

Cela montre que la famille (cP˜ (γ, a, B; Λ))P˜ ∈P(M˜ ) est de la forme particulière étudiée par Arthur en [3]. Le lemme 7.1 de cette référence calcule explicitement ˜  cG ˜ (γ, a, B) : c’est une combinaison linéaire de produits des dérivées cβ (γ, a, B; x) M des fonctions cβ (γ, a, B; x) évaluées en x = 0. Pour prouver (1), il suffit de fixer β ∈ Σind (AM˜ ) et de prouver la relation lim cβ (γ, a, B; 0) = 0.

a→1

VI.1. Les définitions

611 G

Fixons β et considérons la formule (4). Notons Σindη (Z(Mη )0 ) l’ensemble des éléG ments indivisibles de ΣGη (Z(Mη )0 ). Pour αind ∈ Σindη (Z(Mη )0 ), définissons une fonction cα (γ, a, B; x) par une formule analogue à (4), où on se restreint aux α qui sont multiples entiers positifs de αind et aux α qui sont multiples rationnels positifs de αind . On obtient une décomposition  cαind (γ, a, B; x). cβ (γ, a, B; x) = G

η αind ∈Σind (Z(Mη )0 ),αind,M ˜ ∈Z>0 β

G

Il nous suffit de fixer αind ∈ Σindη (Z(Mη )0 ) et de prouver la relation lim cαind (γ, a, B; 0) = 0.

a→1 G

Fixons donc un élément de Σindη (Z(Mη )0 ). Pour la commodité de l’écriture, notonsG le simplement α. On a vu en [II] 1.8 que l’ensemble Σindη (Z(Mη )0 , B) possédait beaucoup des propriétés des systèmes de racines. En particulier, l’ensemble des G α ∈ Σindη (Z(Mη )0 , B) qui sont des multiples rationnels positifs de α possède un unique élément minimal, notons-le simplement α . Les autres éléments de cet ensemble sont des multiples entiers positifs de α . Posons alors  (5) Xα (γ, a) = log(|α(av )n − α(av )−n |Fv )ρv (nα, u), v∈V n≥1

(6)

Xα (γ, a, B) =



log(|α (av )n − α (av )−n |Fv )ρv (nα , u, B),

v∈V n≥1

où, par convention, les termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) sont nuls si nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ),

resp.

nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B).

On calcule

i β, Xα (γ, a, B) − Xα (γ, a) , 4 où β est l’unique élément de Σind (AM˜ ) tel que αM˜ soit un multiple entier positif de β. Il nous suffit de prouver l’égalité cα (γ, a, B; 0) =

(7)

lim (Xα (γ, a) − Xα (γ, a, B)) = 0.

a→1

On a besoin de deux résultats préliminaires. D’abord (8) pour tout n ≥ 1, les termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) sont indépendants de v ∈V. Preuve. C’est clair si nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ), resp. nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B). Soit n ≥ 2, supposons que nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ). Soit v ∈ V . Notre terme ρv (nα, u) dépend

612

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule G

du groupe ambiant Gη , notons-le ici ρv η (nα, u). On a introduit en [II] 1.4 un G G sous-groupe Gη,nα de Gη . On a l’égalité ρv η (nα, u) = ρv η,nα (nα, u). L’hypothèse n ≥ 2 implique que dim(Gη,nα,SC ) < dim(Gη ). En raisonnant par récurrence sur G cette dimension, on peut supposer que ρv η,nα (nα, u) est indépendant de v. Donc Gη G ρv (nα, u) aussi. Le même raisonnement vaut pour ρv η (nα , u, B), en utilisant le groupe Gη,nα de [II] 1.8 (ce n’est plus un sous-groupe de Gη mais peu importe). L’assertion étant démontrée pour n ≥ 2, il nous suffit pour conclure de prouver que les sommes   ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) n≥1

n≥1

sont indépendantes de v. D’après [II] 1.8(6), ces deux sommes sont égales. D’après la définition de [II] 1.4, elles valent le terme ρArt α défini primitivement par v (α, u)ˇ Arthur en [9] paragraphe 3. Rappelons brièvement sa définition. Fixons une extension finie Fv de Fv sur laquelle Gη est déployée. A α est associé un Levi Mη,α de Gη qui contient strictement Mη et qui est minimal parmi les Levi vérifiant cette proα relatif au groupe ambiant Gη est égal à celui relatif à priété. Le terme ρArt v (α, u)ˇ Mη,α . On ne perd rien à supposer Gη = Mη,α . Fixons P = Mη UP ∈ P(Mη ), notons P¯ = Mη UP¯ le parabolique opposé et notons U l’orbite de u pour la conjugaison par Mη . Fixons un poids ω de AMη qui est dominant pour P , fixons une représentation algébrique irréductible Λω de Gη dans un espace Vω , de plus haut poids ω. Fixons un vecteur extrémal φω ∈ Vω , de poids ω. Pour a ∈ AMη en position générale et pour π = nν ∈ UUP¯ , avec n ∈ U et ν ∈ UP¯ , introduisons l’élément ν(a, π) ∈ UP¯ tel que aπ = ν(a, π)−1 anν(a, π). On pose ϕ(a, π) = Λω (ν(a, π)−1 )φω . Arthur montre en [14] page 238 que ϕ est une application rationnelle sur AMη × UUP¯ , à valeurs dans Vω , et qu’il existe un unique entier k ∈ Z tel que la fonction (a, π) → (α(a) − α(a)−1 )k ϕ(a, π) soit régulière et non nulle sur {1} × UUP¯ . Une coracine α ˇ étant fixée, ρArt v (α, u) est Art l’unique réel tel que k = ω(ˇ α)ρv (α, u). Fixons une extension finie F  de F telle que Gη soit déployé sur F  . La construction ci-dessus étant de nature algébrique, on peut la refaire sur le corps de base F  . On obtient un nombre réel ρArt (α, u) Art indépendant de la place v et il est clair que ρArt (α, u) pour tout v. v (α, u) = ρ Cela prouve (8).  Supprimons désormais les indices v des termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B). Comme on l’a dit dans la preuve ci-dessus, il résulte de [II] 1.8(6) que   (9) ρ(nα, u) = ρ(nα , u, B). n≥1

n≥1

Soit β ∈ ΣGη (T ) telle que α soit la restriction de Bη (β)−1 β à Z(Mη )0 . Posons b = Bη (β) et soit m ≥ 1 tel que la restriction de β soit mα. Alors α = m b α. L’élément a étant supposé proche de 1, on écrit av = exp(Hv ) pour tout v ∈ V , où

VI.1. Les définitions

613

Hv ∈ aM˜ (Fv ) est proche de 0. Pour n ≥ 1, on a α (av )n = exp( nm b α, Hv ). Donc l’expression log(|α (av )n − α (av )−n |Fv ) − log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv ) − log(| nm b |Fv ) tend vers 0 quand a tend vers 1. Posons     −1  log(|α(av ) − α(av ) |Fv ) ρ(nα , γ, B) Yα (γ, a, B) = v∈V



+

n≥1



ρ(nα , γ, B)

n≥1

 v∈V

     nm  log  .  b Fv

En se reportant à l’expression (6), on voit que Xα (γ, a, B) − Yα (γ, a, B) tend vers 0 quand a tend vers 1. On a supposé que V contenait Vram . Donc b est une unité en toute place v ∈ Val(F ) − V . Le même calcul que dans la preuve du lemme [II] 1.9 montre que les seuls premiers pouvant diviser les nombres n et m intervenant ci-dessus sont 2, 3 et 5. Ces nombres sont donc eux-aussi des unités hors de V . La formule du produit entraîne alors      nm  log  = 0.  b Fv v∈V

La définition de Yα (γ, a, B) se simplifie en Yα (γ, a, B) =



log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv )

v∈V



ρ(nα , γ, B).

n≥1

Un calcul analogue vaut pour Xα (γ, B). Si on pose Yα (γ, a) =



log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv )

v∈V



ρ(nα, γ),

n≥1

on a lima→1 (Xα (γ, a) − Yα (γ, a)) = 0. Mais (9) entraîne que Yα (γ,a) = Yα (γ,a,B). On en déduit la relation (7), ce qui achève la preuve. 

VI.1.15 Variante avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G → 1 ˜ 1 → G, ˜ encore où C1 est un tore induit central, et une extension compatible G à torsion intérieure. On fixe un caractère λ1 de C1 (AF ), automorphe c’est-à-dire ˜ 1 , λ1 )) le plus petit trivial sur C1 (F ). Notons V1,ram (ou plus précisément Vram (G ˜ ensemble de places de F contenant Vram (G1 ) et tel que λ1,v soit non ramifié pour v ∈ V1,ram .

614

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1,v de On doit fixer pour tout v ∈ V1,ram un sous-espace hyperspécial K ˜ 1 (Fv ), soumis aux conditions de 1.1. On suppose que K ˜ 1,v se projette sur K ˜ v . Le G groupe KC1 ,v = C1 (Fv ) ∩ K1,v est le plus grand sous-groupe compact de C1 (Fv ). ∞ ˜ 1 (Fv )). Pour v ∈ (G Pour toute place v, on a défini en [I] 2.4 l’espace Cc,λ 1 ˜ 1,v V1,ram , on note 1K˜ 1,v ,λ1 l’unique élément de cet espace à support dans C1 (Fv )K ∞ ˜ 1,v . On note C ˜ qui vaut 1 sur K c,λ1 (G1 (AF )) le produit tensoriel restreint des ∞ ˜ Cc,λ1 (G1 (Fv )) relativement à ces éléments 1K˜ 1,v ,λ1 . Pour un ensemble fini V de places de F , on définit ∞ ∞ ˜ 1 (FV )) = ⊗v∈V Cc,λ ˜ 1 (Fv )). Cc,λ (G (G 1 1

˜ 1 (FV )) et ses sous-espaces Dualement, on définit de même l’espace Dg´eom,λ1 (G ˜ Dorb,λ1 (G1 (FV )) etc. . . Les constructions des paragraphes précédents s’étendent à ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Notons M ˜ 1 son image réciproque cette situation. En particulier, soit M ˜1 ˜ G G ˜ 1 . On a l’égalité A dans G ˜ et on munit le premier espace de la mesure ˜ 1 = AM M ˜ 1 (FV )) ⊗ pour laquelle cette égalité préserve les mesures. Pour γ ∈ Dorb,λ1 (M ∗ ∞ ˜ (G1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on définit l’intégrale orbitale Mes(M (FV )) et f ∈ C c,λ1

pondérée

˜1 G JM ˜ 1 ,λ1 (γ, f )

˜

G1 et son avatar invariant IM ˜ ,λ (γ, f ). 1

1

˜

G1 ˜ Supposons que V ∩ Vram = ∅. On définit une forme linéaire rM ˜ 1 ,λ1 (., K1,V ) ˜ 1 (FV )) par sur Dg´eom,λ1 (M ˜ ˜ G G ˜ rM ˜ V ,λ1 ). ˜ ,λ1 (δ, K1,V ) = JM ˜ (δ, 1K

Elle vérifie une formule de descente analogue à celle de 1.13. Considérons d’autres données ˜ 2 → G, ˜ λ2 1 → C2 → G2 → G → 1, G ˜ 2,v de G ˜ 2 (Fv ) pour v ∈ V2,ram , vérifiant les et des sous-espaces hyperspéciaux K mêmes hypothèses. On note G12 le produit fibré de G1 et G2 au-dessus de G et ˜ 12 le produit fibré de G ˜ 1 et G ˜ 2 au-dessus de G. ˜ On suppose donné un caractère G automorphe λ12 de G12 (AF ) tel que la restriction de λ12 à C1 (AF ) × C2 (AF ) soit λ1 × λ−1 2 . Notons V12,ram le plus petit ensemble de places de F contenant V1,ram et V2,ram et tel que λ12 soit non ramifié hors de V12,ram . Pour un ensemble fini V de places de F , notons λ12,V la restriction de λ12 à ˜ 12,V sur G ˜ 12 (FV ) telle que G12 (FV ). Fixons une fonction λ (1)

˜ 12,V (γV ) ˜ 12,V (xV γV ) = λ12,V (xV )λ λ

˜ 12 (FV ). On définit un isomorphisme pour xV ∈ G12 (FV ) et γV ∈ G ∞ ˜ 1 (FV )) → C ∞ (G ˜ 2 (FV )) (G Cc,λ c,λ2 1 → f2 f1

VI.1. Les définitions

615

par la formule ˜ 12 (γ1 , γ2 )f1 (γ1 ) f2 (γ2 ) = λ ˜ 12 (FV ). Cet isomorphisme se dualise en un isomorphisme pour tous (γ1 , γ2 ) ∈ G ˜ 1 (FV ))  Dg´eom,λ2 (G ˜ 2 (FV )). Dg´eom,λ1 (G On vérifie que les intégrales orbitales pondérées et leurs avatars invariants se re˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et soient, pour i = collent selon ces isomorphismes. C’est-à-dire, soit M ˜ i (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ et fi ∈ C ∞ (G ˜ i (FV )) ⊗ Mes(G(FV )). 1, 2, γ i ∈ Dorb,λi (M c,λi Supposons que, par les isomorphismes précédents, γ 1 et γ 2 se correspondent, ainsi que f1 et f2 . Alors on a l’égalité ˜

˜

G1 G2 JM ˜ ,λ (γ 1 , f1 ) = JM ˜ ,λ (γ 2 , f2 ). 1

1

2

2

˜ 12,V canonique construite de la Si V contient V12,ram , il y a une fonction λ ˜12,v sur G ˜ 12 (Fv ) par les façon suivante. Pour v ∈ V12,ram , on définit une fonction λ conditions : ˜ 12,v vaut 1 sur G ˜ 12 (Fv ) ∩ (K ˜ 1,v × K ˜ 2,v ) ; – λ ˜12,v (xγ) = λ12,v (x)λ ˜ 12,v (γ). ˜ 12 (Fv ), λ – pour x ∈ G12 (Fv ) et γ ∈ G ˜ 12 sur G(A ˜ F ) par les conditions : On définit une fonction λ ˜ 12 vaut 1 sur G(F ˜ ); – λ ˜ 12 (xγ) = λ12 (x)λ ˜ 12 (γ). ˜ 12 (AF ), λ – pour x ∈ G12 (AF ) et γ ∈ G ˜ 12,V sur G ˜ 12 (FV ) de sorte que, pour Il existe alors une unique fonction λ  ˜ γ = γV v∈V γv ∈ G12 (AF ), on ait l’égalité ˜ 12,V (γV ) ˜ 12 (γ) = λ λ



˜ 12,v (γv ). λ

v∈V

Evidemment, elle vérifie (1). ˜ 12,V canonique : le produit des Si V ∩ V12,ram = ∅, il y a aussi une fonction λ G ˜ 12,v ci-dessus pour v ∈ V . Les formes linéaires r ˜ 1 (., K ˜ 1,V ) et rG˜ 2 (., K ˜ 2,V ) λ ˜ 1 ,λ1 ˜ 2 ,λ2 M M se correspondent par l’isomorphisme ˜ 1 (FV ))  Dg´eom,λ2 (M ˜ 2 (FV )) Dg´eom,λ1 (M ˜12,V . déduit de cette fonction λ

VI.1.16 K-espaces On utilise dans ce paragraphe les notations usuelles pour divers ensembles de cohomologie : H 1 (F ; G), H 1 (Fv ; G), H 1 (AF ; G) etc. . . Par exemple H 1 (F ; G) = H 1 (ΓF ; G(F¯ )). On renvoie à [51] pour des définitions complètes.

616

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On rappelle que l’on note π : GSC → G la projection naturelle ainsi que les applications qui s’en déduisent fonctoriellement. Ainsi, on a une application ˜ ), l’application adr π : H 1 (F ; GSC ) → H 1 (F, G). D’autre part, pour r ∈ G(F définit naturellement un automorphisme de H 1 (F ; G) qui ne dépend pas de r. On le note θ. On note ValR (F ) l’ensemble des places réelles de F . Lemme. L’application naturelle π(H 1 (F ; GSC )) ∩ H 1 (F ; G)θ →



π(H 1 (Fv ; GSC )) ∩ H 1 (Fv ; G)θ

v∈ValR (F )

est bijective. Preuve. On commence par prouver que l’application  (1) π(H 1 (F ; GSC )) → π(H 1 (Fv ; GSC )) v∈ValR (F )

est bijective. La surjectivité résulte de celle de l’application  H 1 (F ; GSC ) → H 1 (Fv ; GSC ), v∈ValR (F )

cf. [51] théorème 1.6.9. Soient p, p ∈ H 1 (F ; GSC ) tels que π(p) et π(p ) aient même image par l’application (1). Alors π(p) et π(p ) ont même image dans H 1 (AF ; G) (les images aux places non réelles sont triviales). Parce qu’ils proviennent de GSC , 1 les éléments π(p) et π(p ) ont aussi une image nulle dans Hab (F ; G), cf. [51] 1.6 pour la définition de ce groupe. D’après le théorème 1.6.10 de [51], ces deux propriétés entraînent π(p) = π(p ). D’où l’injectivité de (1). Il est immédiat que l’application (1) est équivariante pour les actions naturelles de θ. La bijectivité de (1) entraîne donc celle de l’application obtenue en remplaçant les espaces de départ et d’arrivée par leurs sous-espaces d’invariants par θ. Cette application n’est autre que celle de l’énoncé.  ˜ a) On devra à diverses occasions travailler non pas avec les données (G, G, de 1.1, mais avec une collection finie de telles données, que l’on appellera un K-espace. On a défini (après Arthur) cette notion en [I] 1.11 dans le cas local. La définition s’étend au cas global. Rappelons-la. On considère une famille finie ˜ p )p∈Π où, pour tout p, Gp est un groupe réductif connexe défini sur F (Gp , G ˜ et Gp est un espace tordu sur Gp . On suppose données des familles (φp,q )p,q∈Π , ˜q → G ˜p (φ˜p,q )p,q∈Π et (∇p,q )p,q∈Π . Pour p, q ∈ Π, φp,q : Gq → Gp et φ˜p,q : G sont des isomorphismes compatibles définis sur F¯ et ∇p,q : ΓF → Gp,SC (F¯ ) est un cocycle. On suppose les hypothèses (1) à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et σ ∈ ΓR : (1) φp,q ◦ σ(φp,q )−1 = ad∇p,q (σ) et φ˜p,q ◦ σ(φ˜p,q )−1 = ad∇p,q (σ) (ce dernier auto˜ p) ; morphisme est l’action par conjugaison de ∇p,q (σ) sur G

VI.1. Les définitions

617

(2) φp,q ◦ φq,r = φp,r et φ˜p,q ◦ φ˜q,r = φ˜p,r ; (3) ∇p,r (σ) = φp,q (∇q,r (σ))∇p,q (σ) ; ˜ p (F ) = ∅ ; (4) G (5) la famille (∇p,q )q∈Π s’envoie bijectivement sur π(H 1 (F ;Gp,SC ))∩H 1 (F ;Gp )θ . Sous ces hypothèses, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe ˜ comme la réunion disjointe des G ˜p. des Gp pour p ∈ Π et le K-espace K G Comme dans le cas local, les paires de Borel épinglées des différents Gp s’identifient et les Gp ont un L-groupe commun, que l’on note L G. La donnée ˆ ker1 (WF ; Z(G)) ˆ détermine un supplémentaire d’un élément a ∈ H 1 (WF ; Z(G))/ caractère de chaque Gp (AF ), que l’on note simplement ω. Pour tout p ∈ Π, on fixe une paire parabolique (Pp,0 , Mp,0 ) de Gp définie sur F et minimale. Pour toute place v ∈ Val(F ), on fixe une paire parabolique (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) de Gp définie sur Fv et minimale, de sorte que Pp,v,0 ⊂ Pp,0 et Mp,v,0 ⊂ Mp,0 . Soulignons que ces inclusions peuvent être strictes : le groupe Gp peut être plus déployé sur Fv que sur F . Il se déduit de ces paires des paires ˜ p,0 ) et (P˜p,v,0 , M ˜ p,v,0 ). d’espaces (P˜p,0 , M Soit v une place de F finie ou complexe. Alors H 1 (Fv ; Gp,SC ) = {1} pour tout p. Fixons un élément p ∈ Π. On peut fixer pour tout p ∈ Π un élément xp ∈ Gp ,SC (F¯v ) tel que ∇p ,p (σ) = x−1 p σ(xp ) pour tout σ ∈ ΓFv . Définissons   ˜ ˜ ˜p → φp ,p = adxp ◦φp ,p et φp ,p = adxp ◦φp ,p . Alors φp ,p : Gp → Gp et φ˜p ,p : G ˜ p sont des isomorphismes définis sur Fv . Quitte à multiplier xp à gauche par G un élément de Gp ,SC (Fv ), on peut supposer que φp ,p envoie (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) sur ˜ p,v,0 ) sur (P˜p ,v,0 , M ˜ p ,v,0 ). Les diffé(Pp ,v,0 , Mp ,v,0 ) et que φ˜p ,p envoie (P˜p,v,0 , M ˜ rents espaces I(Gp (Fv ), ω) s’identifient grâce à ces isomorphismes φ˜p ,p à l’espace ˜ p (Fv ), ω), que l’on peut noter simplement I(G(F ˜ v ), ω). Notons que, bien que I(G  ˜ les φp ,p dépendent du choix des xp , les isomorphismes qui s’en déduisent entre les ˜ p (Fv ), ω) ne dépendent pas de ce choix. espaces I(G ˜ p s’identifient sur Fv pour toute place finie, les Puisque les différents espaces G ˜ p , a) sont les mêmes, on les note Vram (G, ˜ a), ou simplement Vram . ensembles Vram (G Pour l’élément p fixé ci-dessus et pour toute place v ∈ Vram , on choisit un espace ˜ p ,v de G ˜ p (Fv ) de sorte que les conditions de 1.1 soient vérifiées. hyperspécial K ˜ p,v l’image de K ˜ p ,v par (φ˜  )−1 . Alors les fonctions Pour p ∈ Π, on note K p ,p ˜ p,v , pour p ∈ Π, ont même image dans I(G(F ˜ v ), ω). On caractéristiques 1K˜ p,v de K peut noter 1K˜ v cette image. Les choses sont plus compliquées en une place réelle. Soit v une telle place. Pour p, q ∈ Π, notons ∇p,q,v la restriction de ∇p,q à ΓFv . Disons que p et q sont v-équivalents si et seulement si π(∇p,q,v ) est cohomologiquement trivial. On vérifie que c’est une relation d’équivalence. Fixons un ensemble Πv ⊂ Π de représentants ˜ p,v )p∈Πv , munie des des classes de v-équivalence. On voit que la famille (Gp,v , G ˜ familles (φp,q )p,q∈Πv , (φp,q )p,q∈Πv et (∇p,q,v )p,q∈Πv , définit un K-espace sur Fv , au

618

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

sens de [I] 1.11. Soit p ∈ Π. Notons p l’unique élément de Πv tel que p soit véquivalent à p . On peut fixer xp ∈ Gp (F¯v ) tel que π(∇p ,p,v ) = x−1 p σ(xp ). Les ap  ˜ ˜ plications φp ,p = adxp ◦φp ,p et φp ,p = adxp ◦φp ,p sont encore des isomorphismes définis sur Fv . Quitte à multiplier xp à gauche par un élément de Gp (Fv ), on peut supposer que φp ,p envoie (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) sur (Pp ,v,0 , Mp ,v,0 ) et que φ˜p ,p envoie ˜ p,v,0 ) sur (P˜p ,v,0 , M ˜ p ,v,0 ). Décomposons xp en π(xp,sc )zp , où xp,sc ∈ (P˜p,v,0 , M ¯ ¯   Gp ,SC (Fv ) et zp ∈ Z(Gp ; Fv ). Définissons la cochaîne ∇p : ΓFv → Gp ,SC par ∇p (σ) = xp,sc ∇p ,p (σ)σ(xp,sc )−1 . C’est un cocycle à valeurs dans Z(Gp ,SC ) et le couple (∇p , zp ) définit un élément de H 1,0 (Fv ; Z(Gp ,SC ) → Z(Gp )) = Gp ,ab (Fv ), que l’on note hp . On sait que a définit un caractère de ce groupe. On note ω(hp ) sa valeur en hp . On définit un homomorphisme ˜ p (Fv )) Cc∞ (G f

˜ p (Fv )) → Cc∞ (G → f

˜ p (Fv ). C’est un isomorphisme qui se par f  ◦ φ˜p ,p (r) = ω(hp )f (r) pour tout r ∈ G ˜ p (Fv ), ω) sur I(G ˜ p (Fv ), ω). On vérifie que quotiente en un isomorphisme de I(G ce dernier isomorphisme ne dépend pas des choix de xp et xp,sc . Soit V un ensemble fini de places contenant les places réelles. Grâce au lemme ci-dessus et aux différents isomorphismes que l’on vient de construire, on obtient un isomorphisme

 ˜ p (FV ), ω)  ⊗v∈V −Val (F ) I(G(F ˜ v ), ω) ⊕p∈Π I(G R



˜ p (Fv ), ω) . ⊗ ⊗v∈ValR (F ) ⊕p ∈Πv I(G ˜ V ), ω) le membre de gauche. On a évidemment des isomorphismes On note I(K G(F duaux pour les espaces de distributions. Les différents groupes Gp étant formes intérieures l’un de l’autre, les espaces de mesures de Haar Mes(Gp (Fv )) s’identifient pour toute place v à un espace commun que l’on note Mes(G(Fv )). De même, les espaces AG˜ p s’identifient à un ˜ a) comme espace commun AG˜ . Comme dans le cas local, pour un triplet (G, G, ˜ en 1.1, on peut construire un K-espace dont G soit une composante connexe, cf. [I] 1.11.

VI.1.17 K-espaces de Levi On poursuit avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. Notons (B ∗ , T ∗ ) la paire de Borel commune des groupes Gp et Δ l’ensemble de racines simples associé. Le groupe ΓF et l’automorphisme θ agissent sur Δ. Toute paire parabolique (Pp , Mp ) de Gp détermine un sous-ensemble ΔMp ⊂ Δ. Ainsi, aux paires (Pp,0 , Mp,0 ) et (Pp,v,0 , Mp,v,0 ), pour v ∈ Val(F ), sont associés des sousensembles ΔMp,0 et ΔMp,v,0 de Δ. Ils sont invariants par l’action de θ. L’ensemble

VI.1. Les définitions

619

ΔMp,0 est invariant par l’action de ΓF et l’ensemble ΔMp,v,0 est invariant par l’action de ΓFv . Pour une place v réelle, on a vu que notre K-espace déterminait un K-espace sur Fv = R. En [I] 3.5, on lui a associé un sous-ensemble Δmin ⊂ Δ, qu’il convient de noter Δmin,v . Il est invariant par θ. Le lemme de cette référence dit que Δmin,v ⊂ ΔMp,v,0 pour tout p et que cette inclusion est une égalité pour au moins un p. La même construction vaut pour une place complexe ou nonarchimédienne. On réfère pour ce cas à [A 10] lemme 2.1. Pour une telle place, on définit donc un sous-ensemble Δmin,v ⊂ Δ. Puisque, pour une telle place, les groupes Gp sont tous isomorphes sur Fv , on a simplement Δmin,v = ΔMp,v,0 pour tout p. On vient de voir que, pour une place v quelconque, il existait p ∈ Π tel que Δmin,v = ΔMp,v,0 . Le lemme du paragraphe précédent renforce ce résultat en échangeant les quantificateurs : (1) il existe p ∈ Π tel que Δmin,v = ΔMp,v,0 pour tout v. Notons Δmin = ∪v∈Val(F ) Δmin,v et Δmin le plus petit sous-ensemble de Δ qui contient Δmin et qui est invariant par l’action de ΓF . Puisque les actions de ΓF et θ commutent, Δmin est invariant par θ. Lemme. On a l’inclusion Δmin ⊂ ΔMp,0 pour tout p. Cette inclusion est une égalité pour p vérifiant (1). Preuve. Pour tout p ∈ Π et toute place v, on a l’inclusion ΔMp,v,0 ⊂ ΔMp,0 . Donc ΔMp,0 contient Δmin . Puisqu’il est invariant par ΓF , il contient Δmin . Fixons p vérifiant (1), posons G = Gp , M0 = Mp,0 et Mv,0 = Mp,v,0 pour tout v. Introduisons une forme quasi-déployée G∗ de G et un torseur intérieur ψ : G → G∗ de sorte que (B ∗ , T ∗ ) s’identifie à une paire de Borel de G∗ définie sur F . Puisque Δmin est invariant par ΓF , il existe une paire parabolique (P ∗ , M ∗ ) de G∗ , définie sur ∗ F , contenant (B ∗ , T ∗ ), de sorte que Δmin = ΔM . Soit v une place de F . Puisque Δmin est invariant par ΓFv et que ΔMv,0 ⊂ Δmin , la paire (P ∗ , M ∗ ) se transfère en une paire parabolique de G définie sur Fv . Comme on le sait, à la forme intérieure G de G∗ est associé un élément κ ∈ H 1 (F ; G∗AD ). Cet élément se localise en un élément κv ∈ H 1 (Fv ; G∗AD ). La condition précédente signifie que κv appartient ∗ à l’image de l’application H 1 (Fv ; Mad ). D’après [51] proposition 1.6.12, on a un diagramme commutatif à lignes exactes (2)

∗ ∗ → Tad ) H 1 (F ; G∗AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ) → H 2,1 (AF /F ; Tsc ↑ ιAF ↑ ιab ↑ ιF ∗ ∗ ∗ ∗ H 1 (F ; Mad ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; Mad ) → H 2,1 (AF /F ; TM ∗ ,sc → Tad )

Conformément à la convention de [I], on a noté H 2,1 les groupes de cohomologie que Labesse note H 1 et que Kottwitz et Shelstad notent H 2 . On renvoie à ces auteurs (ou à 3.6 ci-dessous) pour la définition de la cohomologie H 2,1 (AF /F ; .). On a ∗ ∗ ∗ noté Tsc et TM dans les revêtements simplement ∗ ,sc les images réciproques de T ∗ ∗ connexes GSC et MSC des groupes dérivés de G∗ et M ∗ . Posons κAF = ⊕v∈Val(F ) κv . D’après ce que l’on a dit ci-dessus, on peut fixer ∗ M∗ ∗ ) tel que ιAF (κM κAF ∈ ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; Mad AF ) = κAF . Montrons que

620

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

(3) ιab est injectif. ∗ ˇ de coracines associé à Δ. Le Le groupe X∗ (Tsc ) a pour base l’ensemble Δ ∗ ˇ M ∗ associé à ΔM ∗ . On a donc groupe X∗ (TM ∗ ,sc ) a pour base le sous-ensemble Δ une suite exacte ∗ ∗ 1 → TM ∗ ,sc → Tsc → T1 → 1,

ˇ −Δ ˇ M ∗ . Puisque ΓF où T1 est un tore tel que X∗ (T1 ) a pour base l’ensemble Δ ∗ agit sur Δ par permutations laissant stable ΔM , les trois tores sont induits. On a le diagramme commutatif suivant 1 1

∗ → TM ∗ ,sc ↓ ∗ → Tad

∗ Tsc ↓ ∗ → Tad

→

→ T1 ↓ → 1

→ 1

dont les suites horizontales sont exactes. Il s’en déduit une suite exacte ab ∗ ∗ 2,1 ∗ ∗ H 1 (AF /F ; T1 ) → H 2,1 (AF /F ; TM (AF /F ; Tsc → Tad ). ∗ ,sc → Tad ) → H

ι

Puisque T1 est induit, le premier groupe est nul, ce qui prouve (3). ∗ ∗ → Tad ) est nulle. Puisque κAF provient de κ, son image dans H 2,1 (AF /F ; Tsc La commutativité du diagramme (2) et l’assertion (3) entraînent que l’image de ∗ 2,1 ∗ ∗ M∗ (AF /F ; TM provient d’un élément κM ∗ ,sc → Tad ) est nulle. Donc κA AF dans H F ∗ ∗ ). Notons κ l’image de cet élément dans H 1 (F ; G∗AD ). Les κM ∈ H 1 (F ; Mad éléments κ et κ ont même image κAF dans ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ). D’après [51] proposition 1.6.12, la fibre au-dessus de κAF de l’application H 1 (F ; G∗AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ) est isomorphe au noyau ker1 (F ; GAD ) de l’application similaire H 1 (F ; GAD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; GAD ). Or, GAD étant adjoint, cet ensemble est réduit à {1} ([71] corollaire 5.4). Donc ∗ κ = κ et κ provient d’un élément de H 1 (F : Mad ). Cela équivaut à dire que ∗ ∗ la paire parabolique (P , M ) se transfère à G, c’est-à-dire qu’il existe une paire parabolique de G qui est définie sur F et qui est conjuguée à ψ −1 (P ∗ , M ∗ ). Cela ∗ implique ΔM0 ⊂ ΔM . D’où le lemme.  Notons ΠM0 le sous-ensemble des p ∈ Π tels que ΔMp,0 = Δmin . Il est non vide d’après le lemme. Pour p ∈ Π et p ∈ ΠM0 , fixons un élément xp ,p ∈ Gp tel que ˜ p,0 ) contienne (P˜p ,0 , M ˜ p ,0 ). Le lemme implique l’existence adxp ,p ◦φ˜p ,p (P˜p,0 , M ˜ 0 la famille (M ˜ p,0 )p∈ΠM0 . C’est un K-espace de d’un tel élément. On note K M ˜ Levi de K G, la définition de cette notion étant similaire à celle du cas local, cf. [I] ˜ 0 ) l’ensemble des K-espaces de Levi K L ˜ = (L ˜ p )p∈ΠL de K G ˜ 3.5. On note L(K M vérifiant les deux conditions suivantes :

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

621

˜p ⊃ M ˜ p,0 pour tout p ∈ ΠL ; – L ˜ p) = L ˜ p pour tous p ∈ ΠL , p ∈ ΠM0 . – adxp ,p ◦φ˜p ,p (L ˜ 0 ), on note L(K M ˜ ) l’en˜ = (M ˜ p )p∈ΠM ∈ L(M Plus généralement, pour K M M L ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ semble des K L = (Lp )p∈ΠL ∈ L(K M0 ) tels que Π ⊂ Π et Mp ⊂ Lp pour tout ˜ ) et F (K M ˜ ). p ∈ ΠM . On définit de façon similaire les ensembles P(K M ˜ a) comme en 1.1, en n’inDans la suite, on travaillera avec un triplet (G, G, troduisant les K-espaces que lorsque cela sera indispensable. Dans ce cas, on sup˜ 0. posera fixé un espace de Levi minimal K M

VI.2 La partie géométrique de la formule des traces VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante On a défini en 1.1 le noyau G(AF )1 de l’homomorphisme HG˜ (contrairement à ce ˜ et pas seulement de G). On a la que suggère la notation, ce groupe dépend de G ˜ F )1 l’endécomposition en produit direct G(AF ) = AG˜ × G(AF )1 . On note G(A 1 ˜ )). ˜ ˜ (γ) = 0 (c’est-à-dire G(A ˜ F ) = G(AF )1 G(F ˜ F ) tels que H semble des γ ∈ G(A G ˜ F ) = A ˜ × G(A ˜ F )1 . On a encore la décomposition en produit direct G(A G ˜ F )). C’est-à-dire que f est combinaison linéaire de foncSoit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ v )) et, pour presque tout v, tions ⊗v∈Val(F ) fv où, pour tout v, fv ∈ Cc∞ (G(F ˜ F )) un peu plus gros que fv = 1K˜ v . Pour un instant, définissons l’espace C¯c∞ (G(A ∞ ˜ Cc (G(AF )), obtenu en remplaçant la composante archimédienne    ˜ v) . ˜ v )) par C ∞ G(F ⊗v∈Val∞ (F ) Cc∞ (G(F c v∈Val∞ (F )

˜ F )) telle que Introduisons une fonction ϕ ∈ C¯c∞ (G(A ϕa (γ) da f (γ) = AG ˜

˜ F )1 , où ϕa est la fonction ϕa (γ) = ϕ(aγ). Fixons une mesure de pour tout γ ∈ G(A ˜ F )) ⊗ Mes(G(AF )). Nous notons Haar dg sur G(AF ). Posons f = f ⊗ dg ∈ Cc∞ (G(A ˜ G Jg´eom (f , ω) le membre de gauche de l’égalité du théorème 11.3.2 de [55] appliqué à la fonction ϕ, multiplié par | det((1 − θ)|AG /AG˜ )|−1 . Dans le cas où ω = 1, c’est ˜ F )1 . . aussi le terme qu’Arthur note Jg´eom (f 1 ), où f 1 est la restriction de f à G(A Rappelons la définition pour mémoire. On renvoie à [55] pour les notations, qui sont d’ailleurs les notations standard. Pour un espace parabolique standard ˜ UP , on définit une fonction K ˜ (f ) sur G(AF ) par P˜ = M P  f (g −1 γug) du. KP˜ (f, g) = UP (F )\UP (AF )

γ∈P˜ (F )

622

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Soit T ∈ AM˜ 0 assez positif relativement à P˜0 . On pose   T kg´ (−1)aP˜ −aG˜ τˆP˜ (HP˜ (ξg) − T )KP˜ (f, ξg), eom (f, g) = P˜ ⊃P˜0

puis

ξ∈P (F )\G(F )

T Jg´ eom (f, ω) =

AG ˜ G(F )\G(AF )

T kg´ eom (f, g)ω(g) dg.

Quand T tend vers l’infini dans la chambre positive déterminée par P˜0 , cette ˜ G expression est asymptote à un polynôme en T . Alors Jg´ eom (f , ω) est la valeur de ce polynôme au point T0 défini en [55] lemme 3.3.3. ˜ )ell , l’ensemble des éléments semi-simples de G(F ˜ ), ˜ ss (F ), resp. G(F On note G ˜ ss (F )/ conj, resp. resp. celui des éléments semi-simples et elliptiques. On note G ˜ )ell / conj, l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans G ˜ ss (F ), resp. G(F ˜ )ell . G(F Remarque. Puisque F est un corps de nombres, les deux définitions possibles de l’ellipticité sont équivalentes. C’est-à-dire que, pour un élément semi-simple ˜ ), γ est elliptique si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes : γ ∈ G(F ˜ défini sur Q et elliptique tel que (1) il existe un sous-tore tordu maximal T˜ de G ˜ γ ∈ T (F ) ; (2) AGγ = AG˜ . ˜ ss (F )/ conj. Pour un espace parabolique standard P˜ , on définit Soit O ∈ G une fonction KP˜ ,O (f ) en restreignant dans la définition ci-dessus la somme sur γ ∈ P˜ (F ) aux γ dont la partie semi-simple appartient à O. En poursuivant comme ˜ G T T (f, g), JO (f, ω), puis JO (f , ω) (ou JO (f , ω) ci-dessus, on construit des termes kO s’il est bon de préciser l’espace). Tous ces termes sont nuls sauf si la classe de conjugaison par G(AF ) engendrée par O coupe le support de f . Il n’y a qu’un nombre fini de O vérifiant cette condition, en vertu du lemme suivant. En vue d’une application ultérieure, on énonce celui-ci sous une forme plus forte qu’il n’est à présent nécessaire. ˜V un sousLemme. Soit V un ensemble fini de places contenant Vram . Soit U ˜ V ). Considérons l’ensemble Ξ des classes de conjugaison ensemble compact de G(F ˜ ) telles que la classe de conjugaison O par G(F ) d’éléments semi-simples de G(F ˜V et que, pour tout v ∈ V , la classe OV par G(FV ) engendrée par O coupe AG˜ U ˜ v . Alors de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe K (i) Ξ est fini ; (ii) il existe un sous-ensemble compact C ⊂ AG˜ tel que, pour tout O ∈ Ξ, OV ∩ ˜V soit contenu dans C U ˜V . AG˜ U Preuve. Soient O ∈ Ξ et γ ∈ O. Les conditions imposées hors de V et la définition ˜ ˜ entraînent que H ˜ ˜ (γ) = 0. Soit a ∈ A ˜ et γV ∈ U ˜V tels que aγV ∈ OV . de H GV GV G

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

623

˜ ˜ (γV ) et, puisque U ˜V est compact, a reste dans un compact. Alors HG˜ (a) = −H GV ˜ Cela prouve (ii). Quitte à agrandir UV , on peut donc supposer que, pour O et γ ˜V . On peut fixer comme ci-dessus, la classe de conjugaison de γ par G(FV ) coupe U −1 ˜ xV ∈ G(FV ) tel que xV γxV ∈ UV et, pour tout v ∈ V , un élément xv ∈ G(Fv ) ˜ ˜ tel que x−1 v γxv ∈ Kv . Mais γ ∈ Kv pour presque tout v. On peut donc supposer xv = 1 pour presque tout v. Les éléments xV et (xv )v∈V se regroupent alors en ˜ ˜ , où U ˜ =U ˜V × ( un élément x ∈ G(AF ) tel que x−1 γx ∈ U v∈V Kv ). La classe de ˜ conjugaison par G(AF ) de γ coupe donc U et il reste à appliquer le lemme 3.7.4 de [55].  On a (3)

˜

G Jg´ eom (f , ω) =



JO (f , ω).

˜ ss (F )/ conj O∈G

Notons que tous ces termes sont nuls si ω n’est pas trivial sur Z(G; AF )θ . ˜ = G, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ Vram et O = {1}, Cas particulier. Dans le cas où G on remplace l’indice O par unip dans les termes définis ci-dessus et on ajoute G (f , ω) = J{1} (f , ω). l’exposant G. Par exemple Junip

VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante ˜ ss (F )/ conj. On a dit Soient V un ensemble fini de places contenant Vram et O ∈ G ∞ ˜ ˜ F )) et en 1.1 que l’on pouvait identifier Cc (G(FV )) à un sous-espace de Cc∞ (G(A ∞ ˜ identifier Mes(G(FV )) à Mes(G(AF )). Pour fV ∈ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), le terme JO (fV , ω) est donc bien défini. ˜ = G, K ˜ v = Kv pour tout On considère dans ce paragraphe le cas où G v ∈ Vram et où O = 1. En [5] théorème 8.1, Arthur prouve l’existence d’une ∗ distribution AG unip (V, ω) ∈ Dorb (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )) qui vérifie les propriétés suivantes : (1) pour tout fV ∈ Cc∞ (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité :  G I G (AG |W M ||W G |−1 unip (V, ω), fV ) = Junip (fV , ω) − M∈L(M0 ),M=G G JM (AM unip (V, ω), fV

);

(2) AG unip (V, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments unipotents u ∈ G(F ), ou plus exactement aux projections dans G(FV ) de tels éléments ; (3) AG unip (V, ω) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z(G, AF ). Supposons ω trivial sur Z(G, AF ). En général, on ne sait pas expliciter la distribution AG unip (V, ω). On peut toutefois la calculer dans le cas particulier où G

624

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

est un tore. Dans ce cas, soit fV ∈ Cc∞ (G(FV )) et dgV une mesure sur G(FV ), qui s’identifie à une mesure sur G(AF ) par produit avec les mesures canoniques sur G(Fv ) pour v ∈ V . Posons fV = fV ⊗ dgV . Alors I G (AG unip (V, ω), fV ) = mes(AG G(F )\G(AF ))fV (1). La distribution AG unip (V, ω) dépend, comme la partie géométrique de la formule des traces non-invariante, des choix du Levi minimal M0 et des compacts Kv pour tout v. Rappelons que ceux-ci sont supposés en bonne position relativement à M0 . Arthur montre que AG unip (V, ω) ne dépend pas des Kv pour v ∈ V V ([2] proposition 13.2). Notons plus précisément AG unip (V, ω, M0 , K ) notre distribution. Soit x ∈ G(F )M0 (AF ), remplaçons M0 et les Kv par M0 = adx (M0 ) et les Kv = adx (Kv ). Un raisonnement par transport de structure montre que (4)

 AG unip (V, ω, M0 , K



V

V ) = ω(xV )−1 AG unip (V, ω, M0 , K ),

où xV est la projection de x dans G(AVF ). On peut alors modifier formellement la définition de la façon suivante. On oublie pour un temps les objets fixés en 1.1. Pour tout v ∈ V , soit Kv un sous-groupe compact hyperspécial de G(Fv ). On suppose comme en 1.1 que Kv = G(ov ) pour presque tout v. Fixons un Levi minimal M0 . On peut choisir xV = (xv )v∈V ∈ G(AVF ) de sorte que, pour tout v ∈ V , Kv = adxv (Kv ) soit en bonne position relativement à M0 . On pose V V G AG unip (V, ω, K ) = ω(x )Aunip (V, ω, M0 , K



V

).

On doit prouver (5) cette définition ne dépend pas des choix de xV et M0 . Preuve. Montrons d’abord que, pour M0 fixé, la définition ne dépend pas de xV . Choisissons y V = (yv )v∈V ∈ G(AVF ) tel que, pour tout v ∈ V , Kv = adyv (Kv ) soit en bonne position relativement à M0 . Soit v ∈ V . Notons ov et ov les points hyperspéciaux de l’immeuble de GAD sur Fv qui sont fixés respectivement par Kv et Kv . Notons Sv l’ensemble des sous-tores de M0 définis et déployés sur Fv , qui sont maximaux parmi les sous-tores vérifiant ces conditions. Pour S ∈ Sv , notons A(S) l’appartement de l’immeuble associé à S. Les deux groupes Kv et Kv sont en bonne position relativement à M0 . Cela signifie que l’on peut fixer des soustores S  , S  ∈ Sv de sorte que ov appartienne à l’appartement A(S  ) et que ov   appartienne à l’appartement A(S  ). Posons gv = yv x−1 v . On a Kv = adgv (Kv ).    Donc ov appartient à A(adgv (S )). Puisque ov est hyperspécial, le fait que ov appartienne à la fois à A(S  ) et à A(adgv (S  )) entraîne que les deux tores S  et adgv (S  ) sont conjugués par un élément de Kv . Fixons un élément hv ∈ Kv tel que S  = adhv gv (S  ). L’ensemble Sv forme une seule classe de conjugaison par M0 (Fv ). Fixons donc rv ∈ M0 (Fv ) de sorte que S  = adrv (S  ). On obtient que hv gv rv appartient au normalisateur de S  dans G(Fv ). Comme on le sait, tout élément du groupe de Weyl de S  a un représentant dans Kv . Cela entraîne

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

625

que le normalisateur de S  dans G(Fv ) est contenu dans le produit de Kv et du centralisateur de S  dans G(Fv ). Ce dernier groupe est contenu dans M0 (Fv ). On obtient que hv gv rv ∈ Kv M0 (Fv ). Puisque hv ∈ Kv et rv ∈ M0 (Fv ), on a aussi gv ∈ Kv M0 (Fv ). Ecrivons donc gv = kv mv , avec kv ∈ Kv et mv ∈ M0 (Fv ). Remarquons que Kv = adkv−1 (Kv ) = adkv−1 gv (Kv ) = admv (Kv ). Dans la relation (4), remplaçons K V par K  V et x par un élément m ∈ M0 (AF ) dont les composantes hors de V sont les mv . On obtient l’égalité  V V AG ) = ω(mV )−1 AG ). unip (V, ω, M0 , K unip (V, ω, M0 , K

Les égalités yv x−1 v = gv = kv mv pour tout v ∈ V entraînent ω(mV ) = ω(y V )ω(xV )−1 . L’égalité ci-dessus devient ω(y V )AG unip (V, ω, M0 , K



V

) = ω(xV )AG unip (V, ω, M0 , K



V

).

Cela démontre que notre définition ne dépend pas du choix de xV . Changeons maintenant de Levi M0 . Cela signifie qu’on le remplace par adg (M0 ) pour un g ∈ G(F ). D’après l’indépendance déjà prouvée de xV , on peut remplacer xV par g V xV , où g V est la projection de g dans G(AVF ). La relation à prouver devient ω(xV )AG unip (V, ω, M0 , K



V

) = ω(g V xV )AG unip (V, ω, adg (M0 ), adgV (K

Cela résulte de (4).



V

)). 

VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple ˜ a) est quelconque. Soit O ∈ G ˜ ss (F )/ conj. Fixons γ˙ ∈ O Revenons au cas où (G, G, et une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) (définie sur F¯ ) de sorte que γ˙ ˜ E) et posons θ = ade . En notant Σ(T ) l’ensemble conserve (B, T ). Fixons e ∈ Z(G, des racines de T dans G, on sait définir N α pour tout α ∈ Σ(T ) : c’est la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ. On peut écrire γ˙ = te, avec t ∈ T . En fait, on peut fixer une extension finie E de F telle que t ∈ T (E). On a alors (N α)(t) ∈ E × pour tout α. On note S(O) le plus petit ensemble de places de F contenant Vram et tel que les propriétés suivantes soient vérifiées. Soit w une place de E au-dessus d’une place v ∈ S(O). Notons o× w le groupe des unités de Ew et Ew le corps résiduel. Alors (1) pour tout α ∈ Σ(T ), on a (N α)(t) ∈ o× w; (2) pour tous α ∈ Σ(T ), si (N α)(t) = ±1, alors la réduction dans Ew de (N α)(t) n’est pas égale à ±1. On voit que cette définition ne dépend pas des choix auxiliaires, en particulier ne dépend pas du choix de γ. ˙ Soit v ∈ S(O). On a

626

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜v ; (3) supposons que la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe K ˜ v forme une unique double ˙ ∈K alors l’ensemble des x ∈ G(Fv ) tels que x−1 γx classe dans Gγ˙ (Fv )\G(Fv )/Kv ; pour un élément x de cet ensemble, le groupe xKv x−1 ∩ Gγ˙ (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspécial de Gγ˙ (Fv ). Preuve. Il s’agit essentiellement de la proposition 7.1 de [46], que l’on a reprise dans le cadre tordu en [79]. L’hypothèse v ∈ Vram permet d’appliquer les résultats ˜ v comme en [79] ˜ v ) et K de [79] chapitres 4 et 5. En particulier, on décrit G(F ˜ 4.4. Notons simplement γ l’image de γ˙ dans G(Fv ). L’hypothèse que la classe ˜ v signifie que γ est un élément compact dans la de conjugaison de γ coupe K terminologie de cette référence. On peut le décomposer en γ = γtu γp , où γp est un élément d’ordre fini premier à la caractéristique résiduelle p et γtu est un élément topologiquement unipotent de G(Fv ) qui commute à γp . Les conditions (1) et (2) ci-dessus entraînent l’égalité Gγ = Gγp . Par ailleurs, la p -composante ˜ v appartenant aussi à K ˜ v , la condition x−1 γx ∈ K ˜ v implique d’un élément de K −1  ˜ x γp x ∈ Kv . Il reste à appliquer les lemmes [79] 5.6(ii) et 5.4(ii).  Soit V un ensemble fini de places de F contenant S(O). On va définir une ˜ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Elle est nulle sauf si distribution AG (V, O, ω) ∈ Dorb (G(F les trois conditions suivantes sont vérifiées : (4) ω est trivial sur Z(G, AF )θ et sur Z(Gγ˙ , AF ) pour γ˙ ∈ O ; (5) O est formé d’éléments elliptiques ; (6) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O ˜v. coupe K Supposons ces conditions vérifiées. On fixe γ˙ ∈ O. Pour tout v ∈ V , on fixe ˜ v . On pose Kγ,v ˙ v ∈K = xv Kv x−1 xv ∈ G(Fv ) tel que x−1 ˙ v γx v ∩ Gγ˙ (Fv ). Puisque ˜ γ˙ ∈ Kv pour presque tout v, on peut supposer xv = 1 pour presque tout v. Alors l’élément xV = (xv )v∈V appartient à G(AVF ) et la famille (Kγ,v ˙ )v∈V de compacts hyperspéciaux vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. La distribution Gγ˙ (V, ω, KγV˙ ) est bien définie. Fixons des mesures dgV sur G(FV ) et dhV sur Aunip ˜ V )), posons fV = fV ⊗ dgV . Pour y ∈ G(FV ), notons Gγ˙ (FV ). Soit fV ∈ Cc∞ (G(F y fV |Gγ˙ la fonction h → f (y −1 hγy) sur Gγ˙ (FV ). Posons y fV |Gγ˙ = y f V |Gγ˙ ⊗ dhV . ˜

On définit la distribution AG (V, O, ω) par la formule suivante : I G (AG (V, O, ω), fV ) = [ZG (γ, ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 ω(xV ) Gγ˙ I Gγ˙ (Aunip (V, ω, KγV˙ ), y fV |Gγ˙ )ω(y) dy, ˜

(7)

˜

Gγ˙ (FV )\G(FV )

dgV sur Gγ˙ (FV )\G(FV ). On vérifie que cela ne dépend ni du où dy est la mesure dh V choix de γ, ˙ ni de celui de l’élément xV , ni de celui des mesures. Par contre, la ˜ ˜ v pour v ∈ V . distribution AG (V, O, ω) dépend des K

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

627

Cas particulier : supposons O formée d’éléments elliptiques et fortement ré˜ ). Alors la formule (7) se simplifie en guliers dans G(F I G (AG (V, O, ω), fV ) = [ZG (γ, F ) : Gγ (F )]−1 ω(xV ) mes(AG˜ Gγ˙ (F )\Gγ˙ (AF )) f (y −1 γy)ω(y) ˙ dy. ˜

˜

Gγ˙ (FV )\G(FV )

Considérons maintenant un ensemble fini V de places, contenant Vram mais pas forcément S(O). On fixe un ensemble fini S de places contenant V et S(O). ˜ , l’intersection M ˜ (F )∩O se décompose Rappelons que, pour tout espace de Levi M en un nombre fini de classes de conjugaison semi-simples par M (F ). Pour une telle ˜ ˜ ˜ M,S ) classe OM˜ , on a S(OM˜ ) ⊂ S(O). La distribution AM (S, OM˜ , ω) (relative à K est bien définie. On peut écrire  ˜ ˜ ˜ kiM (OM˜ , ω)VS ⊗ AM (8) AM (S, OM˜ , ω) = ˜ , ω)V , i (OM i=1,...,n(OM ˜)

où

˜ ˜ (FSV ), ω) ⊗ Mes(M (FSV ))∗ kiM (OM˜ , ω)VS ∈ Dg´eom (M

et

˜ ∗ ˜ AM ˜ , ω)V ∈ Dorb (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . i (OM

˜ ∗ ˜ On note AG ˜ , ω)V ∈ Dorb (G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) la distribution induite i (OM ˜ M ˜ V ). On se rappelle l’application linéaire rG˜ (., K ˜ V ) définie de Ai (OM˜ , ω)V à G(F ˜ S M ˜ (F V ), ω)  Dg´eom (M ˜ (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))∗ en 1.13. On définit sur Dg´eom (M S S S ˜ la distribution AG (V, O, ω) par la formule   ˜ ˜ ˜ |W M ||W G |−1 AG (V, O, ω) = ˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜ ˜ 0) M∈L( M



(9)

˜ ˜ ˜ G M G V ˜V rM ˜ , ω)S , KS )Ai (OM ˜ , ω)V . ˜ (ki (OM

i=1,...,n(OM ˜) ˜

Proposition. La distribution AG (V, O, ω) vérifie les propriétés suivantes : ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité : (i) pour tout fV ∈ C ∞ (G(F c

JO (fV , ω) =



˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M ˜ ˜ G M JM ˜ , ω), fV ˜ (A (V, OM ˜



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

);

(ii) AG (V, O, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des ˜ V ) de tels éléments), éléments γ˙ (ou plus exactement aux projections dans G(F ˜ où γ˙ ∈ G(F ) est un élément dont la partie semi-simple appartient à O ;

628

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜

(iii) AG (V, O, ω) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) ˜v ; engendrée par O coupe K ˜

(iv) AG (V, O, ω) = 0 sauf si ω est trivial sur Z(G; AF )θ et sur Z(Gγ˙ , AF ) pour γ˙ ∈ O. ˜

Remarque. L’égalité (i) suffit à caractériser la distribution AG (V, O, ω) par récurrence. Cela prouve en particulier que la définition (9) ne dépend pas de l’ensemble S choisi. ˜

Preuve. On suppose d’abord que V contient S(O) et que AG (V, O, ω) est définie par la formule (7). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont immédiates d’après la Gγ˙ définition et l’analogue de la propriété (ii) pour la distribution Aunip (V, ω, KγV˙ ). L’assertion principale (i) est à peu près celle que prouve Arthur dans [6] théorème 8.1. La seule différence avec le résultat d’Arthur est la définition de l’ensemble ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) tels que O ∩ S(O). Expliquons ce point. Parmi les espaces de Levi M ˜ ˜ M (F ) = ∅, fixons un élément minimal M1 . Au lieu de la condition (6), Arthur ˜ 1 (F ) tel que γ˙ ∈ K ˜ v pour tout v ∈ V . impose qu’il existe un élément γ˙ ∈ O ∩ M L’existence d’un tel élément défini sur F ne résulte pas de (6). Mais on peut modifier très légèrement la preuve d’Arthur pour obtenir notre assertion. En effet, ˜ 1 (F ). On a fixons γ˙ ∈ O ∩ M (10) l’hypothèse (6) entraîne que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ M˜ 1 . M1 (Fv ) engendrée par γ˙ coupe K v ˜ v . Fixons P˜1 = M ˜ 1 UP1 ∈ ˙ ∈K Il y a en tout cas un x ∈ G(Fv ) tel que x−1 γx ˜ P(M1 ). Grâce à la décomposition d’Iwasawa, on écrit x = muk, avec m ∈ M1 (Fv ), ˜ v . Mais (mu)−1 γmu ˙ ∈K ˙ = u γ  , u ∈ UP1 (Fv ), k ∈ Kv . On a encore (mu)−1 γmu   −1 ˜ avec u ∈ UP1 (Fv ) et γ = m γm ˙ ∈ M1 (Fv ). Parce que Kv est en bonne position ˜ vM˜ 1 . D’où (10). relativement à M1 , cela entraîne γ  ∈ K ˜ M˜ 1 ,V . ˙ V ∈K Grâce à (10), on peut construire xV ∈ M1 (AVF ) tel que (xV )−1 γx  Dans la preuve de [6], l’élément y des dernières lignes de la page 203 appartient alors, non pas à KγV˙ \K V , mais à KγV˙ \xV K V . Mais un élément de xV K V ne contri bue pas aux fonctions vR de la page 204 parce que ces fonctions sont invariantes à V droite par K et à gauche par M1 (AF ), puisque les Levi R intervenant contiennent M1 . Ces éléments disparaissent et la suite de la démonstration d’Arthur s’applique sans changement. Il reste toutefois le terme ω(xV ) qui n’apparaissait pas dans Arthur simplement parce que celui-ci traitait le cas ω = 1. Cela prouve la proposition dans le cas où V contient S(O). ˜

Levons cette hypothèse et définissons AG (V, O, ω) par la formule (9). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont claires d’après cette définition et les mêmes pro˜ ˜ V )) ⊗ priétés de la distribution AG (S, O, ω). Il faut vérifier (i). Soit fV ∈ Cc∞ (G(F ∞ ˜ Mes(G(FV )). Notons fS ∈ Cc (G(FS )) ⊗ Mes(G(FS )) l’élément auquel fV s’identifie, c’est-à-dire fS = fV ⊗ 1K˜ V , où le dernier terme est tacitement tensorisé avec S

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

629

la mesure canonique sur G(FSV ). On connaît le développement (i) pour S : 

JO (fS , ω) =

˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M

(11)



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜ ˜ G M JM ˜ , ω), fS ). ˜ (A (S, OM

˜ et O ˜ intervenant Notons que JO (fS , ω) = JO (fV , ω) par définition. Soient M M ˜ ˜ ˜ est égale ci-dessus. Pour tout espace Q = LUQ ∈ F (M ), la fonction (1K˜ V )Q,ω ˜ S ˜ En utilisant (8), la relation 1.9(2) et la à 1 L,V ˜ . Elle ne dépend donc que de L. ˜ K S

˜ G ˜V définition de rM ˜ (., KS ), on obtient l’égalité ˜

˜

G M JM ˜ , ω), fS ) ˜ (A (S, OM   ˜ ˜ ˜ ˜ L M G L V ˜V = rM ˜ , ω)S , KS )JL ˜ , ω)V , fV ). ˜ (ki (OM ˜ (Ai (OM ˜ ˜ i=1,...,n(OM ˜ ) L∈L( M)

La formule (11) se récrit 

JO (fV , ω) =

|W L ||W G |−1 ˜

˜

˜ ˜ 0) L∈L( M



(12)



|W M ||W L |−1 ˜

˜

˜ ˜ ˜ ∈LL M (M0 )



˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O ˜ ˜ L M V ˜V rM ˜ , ω)S , KS ˜ (ki (OM

˜

˜

L )JLG ˜ , ω)V , fV ). ˜ (Ai (OM

i=1,...,n(OM ˜)

˜ ss (F )/ conj tel que On peut décomposer la somme en OM˜ en une somme sur OL˜ ∈ L ˜ OL˜ ⊂ O et une somme sur OM˜ ∈ Mss (F )/ conj tel que OM˜ ⊂ OL˜ . La contribution ˜ O ˜ ) est alors d’un couple (L, L 

˜

˜ ˜ L ˜ M∈L (M0 )





|W M ||W L |−1 ˜

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂OL ˜

˜ ˜ L M V ˜V rM ˜ , ω)S , KS ˜ (ki (OM

˜

˜

L )JLG ˜ , ω)V , fV ). ˜ (Ai (OM

i=1,...,n(OM ˜) ˜

˜

˜

L L Ceci qui n’est autre que JLG ˜ , ω), fV ) par définition de A (V, OL ˜ , ω). Alors ˜ (A (V, OL la formule (12) devient l’égalité (i) de l’énoncé. 

Remarque. La même preuve montre que l’égalité (9) est vraie pour tous S, V tels que Vram ⊂ V ⊂ S.

630

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.2.4 Développement de la partie géométrique de la formule des traces non invariante ˜ F ) ⊗ Mes(G(AF )). Si V est un ensemble fini de places assez Soit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) et 1 ˜ V grand, on peut écrire f = fV ⊗ 1K˜ V , où fV ∈ Cc∞ (G(F K est tacitement tensorisé avec la mesure canonique sur G(AVF ). En vertu de 2.1(3) et de la proposition 2.3(i), on a l’égalité (1)

˜

G Jg´ eom (f , ω) =





|W M ||W G |−1 ˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M

˜

˜

G M JM ˜ (A (V, O, ω), fV ).

˜ ss (F )/ conj O∈M

Le lemme 2.1 et sa preuve montrent que cette somme est finie indépendamment de V . Cette finitude et les définitions entraînent que, pour f fixé, il existe un ˜ , O) qui contribuent ensemble S(f ) tel que, pour V ⊃ S(f ), les seuls couples (M ˜ à la formule vérifient S(O) ⊂ V et O ⊂ M (F )ell . Notons que l’ensemble fini des indices contribuant à la formule (1) ainsi que l’ensemble S(f ) peuvent être choisis indépendants de f si on se limite à des fonctions dont le support est contenu dans un compact fixé.

VI.2.5 Variante avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G → 1, ˜ où G ˜ 1 est à torsion intérieure, et un caractère ˜ 1 → G, une extension compatible G automorphe λ1 de C1 (AF ). On introduit des données complémentaires comme en 1.15. On a une suite exacte 0 → AC1 → AG1 → AG → 0. On suppose des mesures choisies sur ces espaces de façon compatible à cette suite. ˜ par un espace de Levi M ˜ . Notons que cette On fait de même quand on remplace G hypothèse ne serait pas vérifiée si on normalisait les mesures «à la Tamagawa», cf. 1.3. Fixons des mesures dg sur G(AF ) et dc sur C1 (AF ). On en déduit une mesure dg1 sur G1 (AF ) compatible à la suite exacte 1 → C1 (AF ) → G1 (AF ) → G(AF ) → 1. ∞ ˜ 1 (AF )). On peut fixer une fonction φ ∈ C ∞ (G ˜ 1 (AF )) telle que Soit f ∈ Cc,λ (G c 1

φc (γ1 )λ1 (c) dc,

f (γ1 ) = C1 (AF )

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

631

où φc (γ1 ) = φ(cγ1 ). On pose ˜

G1 Jg´ eom,λ1 (f ⊗ dg)

(1)

= mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1



˜

C1 (F )\C1 (AF )

G1 c Jg´ eom (φ ⊗ dg1 )λ1 (c) dc.

On vérifie en effet, d’une part que la fonction à intégrer est invariante par C1 (F ) et à support compact modulo ce groupe, d’autre part que l’expression ci-dessus ne dépend que de f et dg et pas des choix de φ et de la mesure dc. De même, elle ne dépend que de la mesure sur AG˜ et pas de celle sur AC1 . Ces vérifications se font en exprimant comme en 2.1 les diverses expressions comme les valeurs en T0 d’un polynôme asymptote à des expressions qui, elles, vérifient évidemment ces propriétés. Remarquons qu’il y a une surjection naturelle ˜ ss (F )/ conj . ˜ 1,ss (F )/ conj → G G

(2)

˜ ss (F )/ conj, on pose Pour O ∈ G ˜

G1 JO,λ (f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 1



(3)

˜1 G JO (φc 1

C1 (F )\C1 (AF )

⊗ dg1 )λ1 (c) dc,

˜

O1 ∈FibG1 (O) ˜

où FibG1 (O) est la fibre de l’application (2) au-dessus de O. De nouveau, ce terme ne dépend que de f et dg et pas du choix de φ ni de la mesure dc. Pour un ensemble fini V de places contenant V1,ram , on peut encore identifier ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )) à un sous-espace de C ∞ (G ˜ 1 (AF )) ⊗ Mes(G(AF )). Cc,λ1 (G c,λ1 ˜1 G ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )). De même, Ainsi, J (fV ) est défini pour fV ∈ C ∞ (G g´ eom,λ1 ˜1 G JO,λ1 (fV ) est défini.

c,λ1

˜ ss (F )/ conj, on va définir une distribution Pour O ∈ G

˜ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ AλG11 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G

qui vérifie les propriétés suivantes : ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), (4) pour fV ∈ C ∞ (G c,λ1

˜

˜



˜

G1 IλG11 (AλG11 (V, O), fV ) = JO,λ (fV ) − 1

|W M ||W G |−1

M∈L(M0 ),M=G



˜

˜

G1 M JM ˜ ), fV ); ˜ ,λ (Aλ1 (V, OM 1

1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O ˜

(5) AλG11 (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des élé˜ 1 (FV ) de tels éléments), ments γ1 (ou plus exactement aux projections dans G

632

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1 (F ) se projette en un élément de G(F ˜ ) dont la partie semi-simple où γ1 ∈ G appartient à O ; ˜

(6) AλG11 (V, O) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) ˜v. engendrée par O coupe K ˜

Comme en 2.2, la propriété (4) caractérise AλG11 (V, O). Signalons que cette ˜ 1V . distribution dépend de K ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), que l’on écrit fV = fV ⊗ dg. On fixe Soit fV ∈ Cc,λ1 (G ∞ ˜ φV ∈ C (G1 (FV )) de sorte que c



φcV dc.

fV = C1 (FV )

˜ ˜ V . NoOn se rappelle que les distributions AG1 (V, O1 ) dépendent du choix de K 1 ˜ ˜ V ). Soit c ∈ C1 (AF ), que l’on décompose en c = cV cV . tons-les AG1 (V, O1 , K 1 Considérons le terme ˜ ˜ ˜ V ), φcV ⊗ dg1 ) I G1 (AG1 (V, O1 , cV K 1 V ˜

pour O1 ∈ FibG1 (O). Soit Γ un sous-ensemble compact de C1 (AF ). Le lemme ˜ 2.1(ii) entraîne qu’il existe un sous-ensemble fini Δ de FibG1 (O) tel que, pour ˜ tout O1 ∈ FibG1 (O) − Δ et tout c ∈ AC1 Γ, le terme ci-dessus soit nul. Le (i) du même lemme montre que, pour O1 ∈ Δ, ce terme est une fonction de c à support compact dans AC1 Γ. C’est aussi une fonction lisse de c. Les mêmes propriétés valent donc pour la somme  ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 ). I G1 (AG1 (V, O1 , cV K V ˜

O1 ∈FibG1 (O)

Comme fonction de c, celle-ci est invariante par C1 (F ). En effet, on voit facilement ˜ que, pour ξ ∈ C1 (F ) et O1 ∈ FibG1 (O), on a l’égalité (7)

˜ ˜ ˜ V ), φξV cV ⊗ dg1 ) I G1 (AG1 (V, ξO1 , ξ V cV K 1 V ˜

˜

˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 ). = I G1 (AG1 (V, O1 , cV K V

L’invariance requise en résulte. En se rappelant que l’on peut choisir Γ de sorte que C1 (AF ) = C1 (F )AC1 Γ, on voit que l’intégrale  ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc I G1 (AG1 (V, O1 , cV K (8) V C1 (F )\C1 (AF )

˜

O1 ∈FibG1 (O)

est convergente. On va montrer qu’elle ne dépend pas du choix de φV et définit ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . donc une forme linéaire en fV qui appartient à Dg´eom,λ1 (G

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

633

˜

˜ 1V ) n’est non nulle que si la condition Tout d’abord une distribution AG1 (V, O1 , cV K suivante est vérifiée : (9) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe ˜ 1,v . cv K ˜ v ) cela entraîne que la classe de conjugaison par Par projection dans G(F ˜ v . On obtient G(Fv ) engendrée par O coupe K (10) l’expression (8) est nulle s’il existe v ∈ V telle que la classe de conjugaison ˜v. par G(Fv ) engendrée par O ne coupe pas K Supposons que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engen˜ v . Posons Ξ = C1 (F ) ∩ (K V C1 (FV )). On va montrer drée par O coupe K C1 ˜

(11) l’ensemble des c ∈ C1 (AF ) tels qu’il existe O1 ∈ FibG1 (O) vérifiant (9) est V une unique classe modulo C1 (F )KC C1 (FV ) ; 1 ˜

(12) pour c dans cette classe, l’ensemble des O1 ∈ FibG1 (O) vérifiant (9) est une unique classe sous l’action de Ξ par multiplication. On démontre d’abord ˜ 1 ), γ1 ∈ K ˜ 1,v et ξ ∈ C1 (Fv ) ; alors ξγ1 est conjugué à un (13) soient v ∈ Vram (G ˜ 1,v si et seulement si ξ ∈ KC1 ,v . élément de K Preuve de (13). L’assertion «si» est évidente. Dans l’autre sens, soient γ2 ∈ ˜ 1,v et g ∈ G1 (Fv ), supposons ξγ1 = g −1 γ2 g. Ecrivons γ2 = kγ1 , avec k ∈ K1,v , K et posons θ = adγ1 . Alors ξ = g −1 kθ(g). Notons X ∗ (G1 ) et X ∗ (C1 ) les groupes des caractères algébriques de G1 et C1 . Pour χ ∈ X ∗ (G1 )ΓFv , le caractère continu x → |χ(x)|Fv de G1 (Fv ) est trivial sur K1,v puisque ce groupe est compact. Il est invariant par GAD (Fv ) parce que χ l’est. La torsion étant intérieure, θ est l’automorphisme associé à un élément de ce groupe GAD (Fv ). Donc le caractère précédent est invariant par θ. On en déduit qu’il vaut 1 sur ξ. On sait que l’application de restriction X ∗ (G1 )ΓFv → X ∗ (C1 )ΓFv a un conoyau fini. Puisque les caractères précédents sont à valeurs dans R>0 , on en déduit que |χ(ξ)|Fv = 1 pour tout χ ∈ X ∗ (C1 )ΓFv . Cette relation entraîne que que ξ appartient au sous-groupe compact maximal de C1 (Fv ), qui n’est autre que KC1 ,v . Cela prouve (13). Démontrons (11). Il est clair que l’ensemble des c en question est invariant ˜ V C1 (FV ). Il est non vide. En effet, fixons une classe O1 ∈ FibG1 (O). par C1 (F )KC 1 L’hypothèse sur O implique que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ v dans G ˜ 1 (Fv ), c’est-à-dire G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe l’image réciproque de K ˜ 1,v . ˜ C1 (Fv )K1,v . On peut donc choisir cv ∈ C1 (Fv ) tel que cette classe coupe cv K Il est clair que l’on peut choisir cv = 1 pour presque tout v. Les cv se regroupent alors en un élément c ∈ C1 (AF ) qui vérifie la condition requise. Soient maintenant c, c dans l’ensemble en question. On choisit O1 vérifiant (9) et O1 vérifiant son

634

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

analogue pour c . Il existe ξ ∈ C1 (F ) tel que ξO1 = O1 . Alors O1 vérifie (9) pour V . Cela entraîne c comme pour ξc . L’assertion (13) entraîne que cV ∈ (ξc )V KC 1 V que c ∈ c C1 (F )KC C (F ). D’où (11). 1 V 1 Le même calcul prouve (12) : pour c = c , la condition finale devient ξ V ∈ V KC , c’est-à-dire ξ ∈ Ξ. 1 Fixons un représentant ζ de la classe définie par (11), que l’on peut choisir dans C1 (AVF ). Dans la formule (8), on peut remplacer l’intégrale sur C1 (F )\C1 (AF ) V par une intégrale sur C1 (F )\ζC1 (F )KC C1 (FV ). La fonction que l’on intègre est 1 V invariante par KC . Cela permet, modulo translation par ζ, de remplacer cette 1 dernière intégrale par une intégrale sur ΞV \C1 (FV ), où ΞV est la projection de Ξ dans C1 (FV ). L’intégrale (8) est donc égale à  ˜ ˜ ˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K 1 V ΞV \C1 (FV )

˜

O1 ∈FibG1 (O)

D’après (12), l’ensemble des O1 qui contribuent à cette formule est une unique classe sous Ξ. Fixons un élément O1 de cette classe. L’action de Ξ n’est pas libre en général, il y a un noyau fini. Notons d le nombre d’éléments de ce noyau. Alors la formule précédente devient  ˜ ˜ −1 ˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, ξO1 , ζ K d 1 V ΞV \C1 (FV ) ξ∈Ξ

En utilisant (7), on obtient  ˜ ˜ −1 ˜ V ), φξcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K d 1 V ΞV \C1 (FV ) ξ∈Ξ V

On a aussi λ1 (ξ) = 1 pour tout ξ ∈ ΞV et l’égalité précédente se récrit ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV d−1 I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K V C (F ) 1 V (14) ˜ ˜ ˜ 1V ), fV ⊗ dg1 ), = d−1 λ1 (ζ)I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K λ1

˜ ˜ 1V ) désigne l’image de cette distrioù, dans cette dernière égalité, AG1 (V, O1 , ζ K ˜ bution dans Dorb,λ1 (G1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV ))∗ . Cela démontre que l’intégrale (8) a les propriétés voulues. Par ailleurs, on voit aisément qu’en multipliant cette intégrale par mes(AC1 C1 (F )\Z(AF ))−1 , elle ne dépend que de la mesure sur G(FV ) ˜ et pas de celle sur C1 (AF ). On peut donc définir une distribution AG λ1 (V, O) ∈ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ par l’égalité Dorb,λ1 (G ˜ ˜ −1 (V, O), f ) = mes(A C (F )\C (A )) IλG11 (AG V C1 1 1 F λ1

(15)

 ˜

O1 ∈FibG1 (O)

C1 (F )\C1 (AF )

I

˜1 G

˜1 G

(A

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, O1 , c K 1 V V

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

635

Elle vérifie la propriété (5). La propriété (6) résulte de (10). Il reste à vérifier (4). On conserve les termes fV , fV et φV ci-dessus. On complète fV en f = fV ⊗1K˜ V ,λ1 1 et φV en φ = φV ⊗ 1K˜ V . On a alors 1 f= φc λ1 (c) dc C1 (AF ) ˜

˜

G1 (φc ⊗ et l’égalité (3). Pour c ∈ C1 (AF ) et O1 ∈ FibG1 (O), on peut développer JO 1 ˜V . dg1 ) selon l’égalité de la proposition 2.3(i) relative à l’espace hyperspécial cV K 1 On obtient   ˜1 G −1 |W M ||W G |−1 JO,λ1 (fV ) = m C1 (F )\C1 (AF )



˜

O1 ∈FibG1 (O) M∈L(M0 )

˜1 ˜1 G M ˜ M˜ 1 ,V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc, JM (V, OM˜ ,1 , cV K 1 ˜ (A V 1

˜ OM,1 ⊂O1 ˜ ∈M1,ss (F )/ conj,OM,1 ˜ ˜

où m = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )). Pour un Levi M fixé, sommer en O1 ∈ FibG1 (O) ˜ 1,ss (F )/ conj, O ˜ ⊂ O1 revient à sommer en puis en OM˜ ,1 ∈ M M ,1 ˜ ss (F )/ conj, OM˜ ∈ M On obtient ˜

G1 JO,λ (fV ) = m−1 1

(16)



OM˜ ⊂ O,



puis en 

˜

OM˜ ,1 ∈ FibM1 (OM˜ ).

C1 (F )\C1 (AF ) M∈L(M ) 0 ˜



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj, OM ˜ ⊂O ˜

˜

G1 M1 ˜ M1 ,V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. JM (V, OM˜ ,1 , cV K 1 ˜ (A V 1

˜

M OM ˜ ,1 ∈Fib 1 (OM ˜)

˜ ss (F )/ conj. Il n’est pas difficile de voir en dévissant Fixons M ∈ L(M0 ) et OM˜ ∈ M ˜ les définitions que la définition (15) pour la distribution AM ˜ ) s’étend aux λ1 (V, OM intégrales orbitales pondérées. C’est-à-dire que l’on a ˜1 ˜ G M −1 JM (A (V, O ), f ⊗ dg) = m ˜ V λ1 ˜ ,λ M 1

1



˜1 ˜1 G V M JM (V, OM,1 ˜ ,c ˜ 1 (A

C1 (F )\C1 (AF ) ˜ M˜ 1 ,V ), φcV ⊗ K 1 V

dg1 )λ1 (c) dc.

˜

M OM ˜ ,1 ∈Fib 1 (OM ˜)

Alors, la relation (16) devient (5). Avec ces définitions, on obtient la formule ˜

(17)

G1 Jg´ eom,λ1 (fV )  ˜ ˜ = |W M ||W G |−1 ˜ ˜0) M∈L( M



˜

˜

G1 M1 JM ˜ ), fV ). ˜ ,λ (Aλ1 (V, OM 1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj

1

636

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Si S est un ensemble fini de places contenant V , on a une formule analogue ˜ ss (F )/ conj tel que ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et O ˜ ∈ M à 2.2(7). Plus précisément, pour M M OM˜ ⊂ O, on peut écrire  ˜1 ˜ ˜1 kλM11,i (OM˜ )VS ⊗ AM AM ˜) = ˜ )V , λ1 (S, OM λ1 ,i (OM i=1,...,n(OM ˜) ˜

˜

˜ 1 (F V ))⊗Mes(M (F V ))∗ et AM1 (O ˜ )V ∈ où, cette fois, kλM11,i (OM˜ )VS ∈ Dg´eom,λ1 (M S S M λ1 ,i ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . On note AG˜ 1 (O ˜ )V la distribution induite à Dorb,λ1 (M λ1 ,i

M

˜ 1 (FV ). On se rappelle la forme linéaire rG˜ (., K ˜ V ) sur Dg´eom,λ1 (M ˜ 1 (F V )) ⊗ G ˜ ,λ 1,S S M Mes(M (FVV ))∗ de 1.15. On a alors l’égalité  ˜ ˜ ˜ AλG11 (V, O) = |W M ||W G |−1 ˜ ˜ 0) M∈L( M



1

 ˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜1 ˜1 ˜ M G G V ˜V rM ˜ )S , K1,S )Aλ1 ,i (OM ˜ )V ˜ ,λ1 (kλ1 ,i (OM

.

i=1,...,n(OM ˜)

Il est utile d’obtenir une expression plus explicite pour la distribution ˜1 AG (V, O) dans le cas où V contient S(O), ce que l’on suppose dans ce qui suit. ˜1 λ On suppose aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(FV ) ˜ v (sinon, AG˜ 1 (V, O) est assez explicite d’après (6)). engendrée par O coupe K ˜1 λ ˜ 1 (F ) d’image O et γ˙ 1 ∈ O1 d’image Fixons γ˙ ∈ O, fixons une classe O1 ∈ G γ. On fixe ζ ∈ C1 (AVF ) tel que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ 1,v . On construit comme en 2.3 un élément G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe ζv K V V V −1 V ˜ V et on définit le groupe compact hyper˙ ∈ K x ∈ G(AF ) tel que (x ) γx V V V V −1 V spécial Kγ˙ = x K (x ) ∩ Gγ˙ (AF ) de Gγ˙ (AVF ). Il s’en déduit un groupe hyperspécial KγV˙ 1 de G1,γ˙ 1 (AVF ), qui n’est autre que xV K1V (xV )−1 ∩ G1,γ˙ 1 (AVF ). La distribution AGγ˙ (V, KγV˙ ) est bien définie. Considérons la suite exacte 0 → c1 (FV ) → g1,γ˙ 1 (FV ) → gγ˙ (FV ) → 0. On peut la scinder : le scindage est canonique au-dessus de la partie semi-simple de gγ˙ (FV ), il suffit de la scinder au-dessus du centre de cette algèbre. Notons ιV : gγ˙ (FV ) → g1,γ˙ 1 (FV ) un tel scindage, qui est un homomorphisme d’algèbres de Lie. Soit UV un voisinage invariant de l’unité dans Gγ˙ (FV ), assez petit pour que l’exponentielle y soit définie. On définit un plongement iV : UV → G1,γ˙ 1 (FV ) de la façon suivante : pour x ∈ UV , on écrit x = exp(X) avec X ∈ gγ˙ (FV ) et on pose iV (x) = exp(ιV (X)). Ce plongement est équivariant pour l’action par conjugaison de Gγ˙ (FV ). Il est canonique sur l’intersection de UV avec la partie semi-simple de Gγ˙ (FV ), a fortiori sur les éléments unipotents. On fixe des mesures dgV sur ∞ ˜ 1 (FV )), posons fV = fV ⊗ dgV . Pour G(FV ) et dhV sur Gγ˙ (FV ). Soit fV ∈ Cc,λ (G 1 y ∞ y ∈ G(FV ), notons fV |Gγ˙ un élément de Cc (Gγ˙ (FV )) qui coîncide sur UV avec

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

637

la fonction x → fV (y −1 iV (x)γ˙ 1 y). Posons y fV |Gγ˙ = y f V |Gγ˙ ⊗ dhV . On définit une ˜ ˜ 1 (FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ par les formules : distribution AG1 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G λ1

˜ AλG11 (V, O)

˜ )ell ; = 0 si O ⊂ G(F ˜ – si O ⊂ G(F )ell , –

˜

˜

1 IλG11 (AG ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 λ1 (ζ) ˜ 1 (V, O), fV ) = [ZG (γ, λ Gγ˙ I Gγ˙ (Aunip (V, KγV˙ ), y f V |Gγ˙ ) dy

Gγ˙ (FV )\G(FV )

où la mesure dy est déduite des mesures dgV et dhV . Alors ˜

˜

G1 1 (18) on a l’égalité AG ˜ (V, O) = Aλ ˜ (V, O). λ 1

1

Preuve. La formule (14) donne (19)

˜

˜

−1 −1 1 ˜ V ), fV ⊗ dg1 ). IλG11 (AG d λ1 (ζ)I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K 1 ˜ (V, O), fV ) = m λ ˜

˜

1

Rappelons que d est le nombre d’éléments du noyau de l’action de C1 (F ) sur ˜ FibG1 (O). On vérifie que d = [ZG (γ, F ) : Gγ (F )][ZG1 (γ1 , F ) : G1,γ1 (F )]−1 . ˜ ˜ 1V ) est définie On a S(O1 ) = S(O) par définition. La distribution AG1 (V, , O1 , ζ K par la formule (7) de 2.3. En particulier, elle est nulle si O1 n’est pas elliptique, ce qui équivaut à ce que O ne le soit pas. Supposons O elliptique. On fixe sur G1,γ˙ 1 (FV ) la mesure dh1,V déduite des mesures dhV sur Gγ˙ (FV ) et dz sur C1 (AF ) (cette dernière étant identifiée comme toujours à une mesure sur C1 (FV )). Notons que G1,γ˙ 1 (FV )\G1 (FV ) = Gγ˙ (FV )\G(FV ) et que la mesure sur ce quotient déduite de dg1,V et dh1,V coïncide avec celle déduite de dgV et dhV . Notons aussi que le terme [ZG1 (γ˙ 1 , F ) : G1,γ˙ 1 (F )] intervenant dans d va compenser le facteur intervenant dans 2.3(7). La conjonction de la formule (19) ci-dessus et de 2.3(7) donne ˜ ˜1 −1 [ZG (γ, ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 λ1 (ζ) IλG11 (AG ˜ 1 (V, O), fV ) = m λ G1,γ˙ 1 I G1,γ˙ 1 (Aunip (V, KγV˙ 1 ), y f V |G1,γ˙ 1 ⊗ dh1,V ) dy. Gγ˙ (FV )\G(FV )

Pour démontrer (18), il suffit de prouver que, pour tout y, on a l’égalité 1,γ ˙1 γ ˙ m−1 I G1,γ1 (Aunip (V, KγV˙ 1 ), y f V |G1,γ˙ 1 ⊗dh1,V ) = I Gγ˙ (Aunip (V, KγV˙ ), y f V |Gγ ⊗dhV ).

G

G

Remarquons que la fonction y f V |Gγ coïncide dans UV avec y f V |G1,γ1 ◦iV . L’égalité à prouver résulte alors de (17) ci-dessous. 

638

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On va simplement reformuler cette égalité sous une forme plus générale. On ˜ et G ˜ 1 . On fixe comme considère C1 , G1 et G comme précédemment, en oubliant G plus haut des compacts qui se correspondent K1,v et Kv pour v ∈ Vram (G1 ) et des mesures dg, dc et dg1 . Soit V un ensemble fini de places contenant Vram (G1 ). Notons G1,unip (FV ) et Gunip (FV ) les ensembles d’éléments unipotents de G1 (FV ) et G(FV ). La projection G1,unip (FV ) → Gunip (FV ) est un isomorphisme. Notons iV son inverse. Soit f1,V ∈ Cc∞ (G1 (FV )) et fV ∈ Cc∞ (G(FV )). On suppose que fV = f1,V ◦ iV sur Gunip (FV ). Alors on a l’égalité (20)

1 mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 I G1 (AG unip (V ), f1,V ⊗ dg1,V )

= I G (AG unip (V ), fV ⊗ dgV ),

où les distributions unipotentes sont relatives aux compacts fixés. Preuve. Fixons un ensemble UV de représentants des classes de conjugaison par G(FV ) dans l’ensemble des éléments unipotents de ce groupe. Son image iV (UV ) dans G1 (FV ) est un ensemble analogue pour G1 (FV ). Pour tout u ∈ UV , fixons une mesure sur Gu (FV ), dont on déduit une mesure sur G1,iV (u) (FV ). Le membre de gauche ci-dessus est combinaison linéaire de termes f1,V (x−1 1 iV (u)x1 ) dx1 G1,iV (u) (FV )\G1 (FV )

pour u ∈ UV , où la mesure dx1 sur le quotient se déduit des mesures sur les deux groupes, tandis que celui de droite est combinaison linéaire de termes analogues fV (x−1 ux) dx. Gu (FV )\G(FV )

De la définition de fV se déduit que les deux intégrales ci-dessus sont égales. L’assertion (20) revient à dire que les coefficients des deux combinaisons linéaires sont égaux. On déduit aisément de cela que, pour un Levi M = G, si l’on suppose par récurrence (20) vrai pour M , cette assertion se généralise aux intégrales orbitales pondérées, c’est-à-dire que l’on a l’égalité G1 1 mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 JM (AM unip (V ), f1,V ⊗ dg1,V ) 1 G (AM = JM unip (V ), fV ⊗ dgV ).

En vertu de 2.2(1), l’égalité (20) résulte par récurrence de l’égalité que l’on prouvera ci-dessous (21)

G1 G (f1,V ⊗ dg1 ) = Junip (fV ⊗ dg). mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 Junip

Soit v ∈ V . Alors 1K1,v et 1Kv se correspondent comme fV et f1,V , c’est-àdire que leurs restrictions aux ensembles d’unipotents G1,unip (Fv ) et Gunip (Fv ) se

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

639

correspondent par la projection bijective du premier ensemble sur le second. En effet, pour g1 ∈ G1 (Fv ), g1 appartient à K1,v si et seulement s’il vérifie les deux conditions suivantes : – sa projection g dans G(Fv ) appartient à Kv ; – pour tout χ ∈ X ∗ (G1 )ΓFv (cf. preuve de (13)), on a |χ(g1 )|Fv = 1. La deuxième condition étant toujours réalisée pour g1 unipotent, l’assertion s’ensuit. Notons f1 = f1,V ⊗1K1V , f = fV ⊗1K V . Alors les restrictions des fonctions f1 et f aux éléments unipotents de G1 (AF ) et G(AF ) s’identifient encore. On voit alors que, pour tout g1 ∈ G1 (AF ), on a l’égalité G1 ,T G,T kunip (f1 , g1 ) = kunip (f, g), G1 ,T G,T où g est la projection de g1 . On construit Junip (f1 ), resp. Junip (f ), en intégrant cette fonction sur AG1 G1 (F )\G1 (AF ), resp. AG G(F )\G(AF ). Ces intégrales sont égales, au rapport des mesures près, et ce rapport est bien sûr mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )). En prenant ensuite la valeur de ces termes au point T = T0 , on obtient (17). Cela achève les preuves de (21) et (19). 

VI.2.6 Variante avec caractère central, suite On continue avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. On se donne d’autres données ˜2 → G ˜ 1 → C2 → G2 → G → 1, G λ2 vérifiant les mêmes hypothèses, munies de données complémentaires comme en 1.15. On suppose donné un caractère automorphe λ12 de G12 (AF ) tel que la restriction de λ12 à C1 (AF ) × C2 (AF ) soit λ1 × λ−1 2 . Soit V un ensemble fini de ˜12,V places de F contenant V12,ram . On a construit en 1.15 une fonction canonique λ ˜ sur G12 (FV ), dont on déduit un isomorphisme ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗  Dg´eom,λ2 (G ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ Dg´eom,λ1 (G qui se restreint en un isomorphisme ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗  Dorb,λ2 (G ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Dorb,λ1 (G ˜

˜

˜ ss (F )/ conj, les distributions AG1 (V, O) et AG2 (V, O) se Lemme. Pour tout O ∈ G λ1 λ2 correspondent par cet isomorphisme. Preuve. Considérons d’abord la situation du paragraphe précédent dans le cas ∞ ˜ 1 (AF )) s’identifie à C ∞ (G(A ˜ F )). Pour un (G particulier où λ1 = 1. Alors Cc,λ c 1 élément f de cet espace et une mesure dg sur G(AF ), on a défini deux termes ˜1 ˜ G G Jg´ eom (f ⊗ dg). Le premier en 2.3 en considérant f comme un eom,λ1 (f ⊗ dg) et Jg´

640

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

élément du premier espace, le second en 2.1 en considérant f comme un élément du second espace. En dévissant les définitions, on vérifie que ces deux termes sont ˜ ss (F )/ conj, les deux termes J G˜ 1 (f ⊗ dg) et égaux. Plus finement, pour O ∈ G O,λ1 ˜

G (f ⊗ dg) définis en 2.3 et 2.1 sont égaux. JO ˜ F )) et λ un caractère automorphe de G(AF ). D’autre part, soit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ sur G(A ˜ F ) qui vaut 1 sur G(F ˜ ). On On en déduit comme en 1.15 une fonction λ vérifie immédiatement que l’on a l’égalité ˜ ˜ G G ˜ Jg´ eom ((f λ) ⊗ dg) = Jg´ eom (f ⊗ dg).

˜ ss (F )/ conj, on a l’égalité Plus finement, pour tout O ∈ G ˜ G ˜ ⊗ dg) = J G˜ (f ⊗ dg). ((f λ) JO O

Revenons maintenant à l’énoncé et fixons des mesures sur tous nos groupes. En considérant la relation 2.3(4), on voit que, par récurrence, il nous suffit de ∞ ˜ 1 (FV )) et f2,V ∈ C ∞ (G ˜ 2 (FV )) se correspondant prouver que, pour f1,V ∈ Cc,λ (G c,λ2 1 par l’isomorphisme ci-dessus, on a l’égalité ˜

˜

G1 G2 (f1,V ⊗ dg) = JO,λ (f2,V ⊗ dg). JO,λ 1 2

Posons fi = fi,V ⊗ 1K˜ V ,λi pour i = 1, 2. En vertu des définitions, ces fonctions se i correspondent par la relation ˜ 12 (γ1 , γ2 )f1 (γ1 ) f2 (γ2 ) = λ ˜ 12 (AF ). Et la relation à prouver est pour tous (γ1 , γ2 ) ∈ G ˜

˜

G1 G2 (f1 ⊗ dg) = JO,λ (f2 ⊗ dg). JO,λ 1 2

On s’est ainsi débarrassé de l’ensemble V . ˜ 1 (AF )) telle que Introduisons une fonction φ1 ∈ Cc∞ (G φc1 λ1 (c) dc. f1 = C1 (AF )

˜ 12 (AF ), invariante par le sousOn peut considérer φ1 comme une fonction sur G groupe C2 (AF ). En la considérant ainsi, on peut introduire une fonction φ12 ∈ ˜ 12 (AF )) telle que Cc∞ (G φc12 dc. φ1 = C2 (AF )

˜12 sur G ˜ 12 (AF ). Définissons une Notons φ21 le produit de φ12 et de la fonction λ fonction φ2 invariante par C1 (AF ) par φ2 = φc21 dc. C1 (AF )

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

641

˜ 2 (AF )). On vérifie qu’on a alors On peut la considérer comme un élément de Cc∞ (G l’égalité φc2 λ2 (c) dc.

f2 = C2 (AF )

Utilisons la formule 2.3(3) : ˜

G1 (f1 ⊗ dg) = m−1 JO,λ 1 1



 C1 (F )\C1 (AF ) O 1

˜

G1 JO (φc11 ⊗ dg1 )λ1 (c1 ) dc1 , 1

où m1 = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) et où la somme porte sur les O1 au-dessus de O. Pour chaque O1 , on utilise la première remarque ci-dessus. Elle entraîne que, pour tout c1 , on a l’égalité  G˜ ˜1 G c1 1,2 −1 JO (φ ⊗ dg ) = m JO12 (φc121 c2 ⊗ dg12 ) dc2 , 1 2 1 1 C2 (F )\C2 (AF ) O 12

˜ 12,ss (F )/conj où la signification de m2 est claire et où la somme porte sur les O12 ∈ G au-dessus de O1 . On obtient ˜1 G −1 −1 JO,λ1 (f1 ⊗ dg) = m1 m2  O12

C1 (F )\C1 (AF )×C2 (F )\C2 (AF ) ˜ 1,2 G JO12 (φc121 c2 ⊗ dg12 )λ1 (c1 ) dc1 dc2 ,

où cette fois, la somme porte sur les O12 au-dessus de O. On a une formule analogue en permutant les indices 1 et 2. Il nous suffit de fixer O12 au-dessus de O et de démontrer que, pour tous c1 , c2 , on a l’égalité ˜ G

˜ G

1,2 1,2 (φc121 c2 ⊗ dg12 )λ1 (c1 ) = JO12 (φc211 c2 ⊗ dg12 )λ2 (c2 ). JO12

Mais on voit que la fonction λ2 (c2 )φc211 c2 est le produit de λ1 (c1 )φc121 c2 et du ca˜12 de G ˜ 12 (AF ). L’égalité précédente résulte de la deuxième ractère automorphe λ remarque du début de la preuve. 

VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante On revient à la situation de 2.1. On fixe un ensemble fini V de places contenant ˜ ss (FV )/ conj l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples Vram . On note G ˜ V ), autrement dit l’ensemble des familles OV = (Ov )v∈V , où, par G(FV ) dans G(F pour tout v ∈ V , Ov est une classe de conjugaison semi-simple par G(Fv ) dans ˜ v ). Soit OV une telle famille. Pour O ∈ G ˜ ss (F )/ conj, la relation O ⊂ OV G(F signifie que la classe de conjugaison par G(FV ) engendrée par O est égale à OV . ˜ ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV ))∗ par la formule On définit un élément AG (OV , ω) ∈ Dorb (G(F  ˜ ˜ AG (OV , ω) = AG (V, O, ω). ˜ ss (F )/ conj,O⊂OV O∈G

642

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Notons que les O qui contribuent vérifient non seulement O ⊂ OV , mais aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe ˜ v , cf. 2.2(3). Il n’y en a qu’un nombre fini d’après le lemme 2.1. Pour f ∈ K ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), la formule 2.2(8) se récrit Cc∞ (G(F   ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G G M (1) Jg´ |W M ||W G |−1 JM ˜ (A (OV , ω), fV ). eom (f , ω) = ˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

˜ ˜0) M∈L( M

˜ V) Toutes les distributions intervenant sont à support dans l’ensemble des γ ∈ G(F ˜ ˜ (γ) = 0. Elles se prolongent donc à tout C ∞ ˜ V ))⊗Mes(G(FV )) tels que H ( G(F ac,glob G et l’égalité ci-dessus reste vraie sur cet espace. ˜ G En utilisant le lemme 1.7, on définit une distribution f → Ig´ eom (f , ω) sur ∞ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) par la formule de récurrence (G(F Cac,glob  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G G L (2) Ig´ |W L ||W G |−1 Ig´ ˜ (f ), ω). eom, (f , ω) = Jg´ eom (f , ω) − eom (φL ˜ ˜ 0 ),L ˜ =G ˜ L∈L( M

En [8] paragraphe 2, Arthur montre que c’est une distribution ω-équivariante (cette propriété est comme toujours supposée par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens). Elle se factorise donc en une forme linéaire sur ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). Soulignons que cette distribution dépend impliIac,glob (G(F ˜ v pour v ∈ V . citement des K ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité Proposition. Pour f ∈ Cc∞ (G(F 

˜

G Ig´ eom (f , ω) =

|W M ||W G |−1 ˜

˜



˜

˜

G M IM ˜ (A (OV , ω), f ).

˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

˜ ˜0) M∈L( M

La somme est en fait finie. Preuve. On démontre plus généralement la formule de l’énoncé pour ∞ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ Cac,glob (G(F ˜

L En raisonnant par récurrence, on exprime les termes Ig´ ˜ (f ), ω) qui intereom (φL viennent dans la relation (2) par la formule de l’énoncé. On exprime le terme ˜ G Jg´ eom (f , ω) par la formule (1). En regroupant les termes, on obtient   ˜ ˜ ˜ G Ig´ |W M ||W G |−1 eom (f , ω) = ˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜ ˜ G M JM ˜ (A (OV

˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

, ω), f ) −



˜ ˜ L M IM ˜ (A (OV

 , ω), φL˜ (f )) .

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M), ˜

˜

G M La dernière somme intérieure est par définition IM ˜ (A (OV , ω), f ) et on obtient la formule de l’énoncé. 

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

643

VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante, variante avec caractère central Dans la situation de 2.3, pour un ensemble fini V de places contenant V1,ram , ˜1 G ∞ ˜ on peut rendre invariante la distribution fV → Jg´ eom,λ1 (fV ) sur Cc,λ1 (G1 (FV )) ⊗ ∗ Mes(G(FV )) par le même procédé qu’au paragraphe précédent. En adaptant les définitions de façon plus ou moins évidente, on obtient la formule ˜

(1)

G1 Ig´ eom,λ1 (fV )  ˜ ˜ = |W M ||W G |−1



˜

˜

G1 M1 IM ˜ ,λ (Aλ1 (V, O), fV ). 1

1

˜ ss (FV )/ conj O∈M

˜ ˜0) M∈L( M

˜ ss (FV )/ conj, la distribution AG˜ 1 (V, O) est Remarquons que, pour O ∈ G λ1 donnée par une formule similaire à 2.3(11), à savoir avec les notations de ce paragraphe : ˜

−1 IλG11 (AG λ1 (V, O), fV ) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))

(2)

˜



I

˜1 G

˜1 G

(A

C1 (F )\C1 (AF )

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, O1 , c K 1 V V

˜

O1 ∈FibG1 (O)

˜ 1,ss (FV )/ conj qui se projettent La somme intérieure porte sur les éléments de G sur O. Cet ensemble n’est pas dénombrable, mais seuls un nombre fini de termes sont non nuls. Dans la situation de 2.6, on a un résultat similaire à celui du lemme de ce paragraphe : ˜

˜

G1 G2 (3) les distributions Ig´ eom,λ1 et Ig´ eom,λ2 définies sur ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ (G Cc,λ 1

∞ ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ et Cc,λ (G 2

se correspondent par l’isomorphisme défini en 2.6 entre ces espaces.

VI.2.9 Variante pour les K-espaces Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit V un ensemble fini de places conte˜ V ), ω), on pose nant Vram . Pour f = ⊕p∈Π fp ∈ I(K G(F ˜

KG Igeom (f , ω) =

 p∈Π

˜

Gp Igeom (fp , ω).

644

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜ G

p Par simple sommation sur p du développement de Igeom (fp , ω) fourni par la proposition 2.7, on obtient  ˜ ˜ ˜ KG |W K M ||W K G |−1 Ig´ eom (f , ω) =

˜ ˜ 0) K M∈L(K M



˜

˜

KG KM IK (OV , ω), f ). ˜ (A M

˜ ss (FV )/ conj OV ∈K M

˜ ∈ L(K M ˜ 0) Donnons quelques explications sur les notations. Un élément K M M ˜ est une famille (Mp )p∈ΠM où Π est un sous-ensemble de Π et, pour tout p ∈ ˜ p est un espace de Levi de G ˜ p (ces espaces doivent vérifier des condiΠM , M ˜ ss (FV )/ conj est un élément tions de cohérence, cf. 1.17). Un élément OV ∈ K M ˜ M ˜ de Mp,ss (FV )/ conj pour un certain p ∈ Π . Par définition, AK M (OV , ω) = ˜ AMp (OV , ω) et ˜

˜

˜ G

˜

KG KM (OV , ω), f ) = IM˜p (AMp (OV , ω), fp ). IK ˜ (A M p

VI.3 Endoscopie VI.3.1 Données endoscopiques ˜ a) est un triplet G = (G , G  , s˜) vérifiant les Une donnée endoscopique de (G, G, mêmes conditions que dans le cas local (cf. [I] 1.5), à l’unique différence suivante ˆ tel que : près. On suppose qu’il existe un cocycle a : WF → Z(G) – pour tout (g, w) ∈ G  , on ait l’égalité ads˜(g, w) = (a(w)g, w) ; ˆ ker1 (WF , Z(G)) ˆ est égal à a. – l’image de a dans H 1 (WF , , Z(G))/ La notion d’équivalence de données endoscopiques est la même que dans le cas local. Pour une donnée endoscopique G comme ci-dessus, on définit l’espace ˜  = G ×Z(G) Z(G) ˜ comme en [I] 1.7 (l’ensemble Z(G) ˜ a une endoscopique G structure sur F ). On note Vram (G ) la réunion de Vram et de l’ensemble des places v où Gv est ramifié (on rappelle que, pour v ∈ Vram , on dit que Gv est non ramifié si le groupe d’inertie Iv ⊂ WFv est contenu dans Gv ). On dit que G est relevante si elle vérifie les deux conditions ˜  (F ) = ∅ ; • G • pour tout v ∈ Val(F ), la donnée Gv est relevante.

˜  (F ) qui soit Attention. Il ne s’ensuit pas de ces conditions qu’il existe δ ∈ G ˜ ˜ v ). G-régulier et tel qu’en toute place v, δ corresponde à un élément γv ∈ G(F ˜ a) est quasi-déployé et à La situation se simplifie toutefois dans le cas où (G, G, torsion intérieure, d’après le lemme suivant.

VI.3. Endoscopie

645

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons Lemme. Supposons (G, G, ˜  (F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments G-réguliers ˜ ˜  (F ) n’est pas vide G de G ˜ reg (F ) qui correspond à δ. et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe γ ∈ G La preuve est la même que dans le cas local, cf. [I] lemme 1.9. ˜  (F ) soit vide. Par exemple, soient d ∈ F × , G = SL(2), Remarque. Il se peut que G ˜ G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E de F , il y a une donnée endoscopique G telle que G (F ) est le groupe des éléments ˜  (F ) est l’ensemble des éléments de E de norme d. On de E de norme 1. Alors G peut trouver choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide. ˆ ˆ  )ΓF ,0 = Z(G) ˆ ΓF ,θ,0 Comme dans le cas local, on dit que G est elliptique si Z(G .    On fixe une paire parabolique (P0 , M0 ) de G , définie sur F et minimale. Pour tout v ∈ Vram (G ), supposons fixé un sous-groupe compact hyperspécial Kv de G (Fv ) vérifiant des conditions analogues à celles de 1.1. D’après [I] 6.2, l’espace ˜ v détermine un espace hyperspécial K ˜ v dans G ˜  (Fv ) associé à Kv . Ces ensembles K vérifient encore la condition de compatibilité globale précédente.

VI.3.2 Plongements de tores et ramification Soient Tˆ un tore complexe et E une extension galoisienne finie de F . On suppose Tˆ muni d’une action algébrique de Gal(E/F ). Introduisons le groupe de Weil relatif WE/F . C’est un quotient de WF et il s’insère dans une suite exacte 1 → E × \A× E → WE/F → Gal(E/F ) → 1, cf. [75] paragraphe 1. Notons IFE le sous-groupe distingué de WF engendré par les images des groupes d’inertie Iv ⊂ WF pour toutes les places finies v de F non image dans WE/F . Le groupe IE/F est aussi ramifiées dans E et notons IE/F son  l’image dans WE/F du sous-groupe w o× w , où le produit est pris sur les places finies w de E au-dessus d’une telle place v de F et où o× w est le groupe des unités × de Ew . Soit a un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans Tˆ, que l’on relève en un 2-cocycle de WE/F dans Tˆ. Alors (1) il existe une cochaîne continue b : WE/F → Tˆ , biinvariante par IE/F , telle que a soit le bord de b. Preuve. Langlands prouve qu’il existe une cochaîne continue b : WE/F → Tˆ telle que a soit le bord de b ([56] lemme 4). Munissons le groupe compact IE/F de la mesure de Haar de masse totale 1. Pour w ∈ WE/F , posons b(w) = IE/F

b (iw) di.

646

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

C’est une cochaîne continue et invariante à gauche par IE/F , donc aussi à droite puisque IE/F est distingué. Pour w1 , w2 ∈ WE/F , on a l’égalité a(w1 , w2 )b (w1 w2 ) = b (w1 )w1 (b (w2 )). Soient i1 , i2 ∈ IE/F . Remplaçons w1 par i1 w1 et w2 par i2 w2 . Puisque les images de i1 et i2 dans Gal(E/F ) sont triviales, on obtient a(w1 , w2 )b (i3 w1 w2 ) = b (i1 w1 )w1 (b (i2 w2 )), où i3 = i1 w1 i2 w1−1 . En intégrant cette égalité en i1 et i2 , on obtient a(w1 , w2 )b(w1 w2 ) = b(w1 )w1 (b(w2 )), 

c’est-à-dire que a est le bord de b.

Soient E une extension galoisienne finie de F et Tˆi , pour i = 1, 2, 3, des tores complexes munis d’actions de ΓE/F . On suppose donnée une suite exacte 1 → Tˆ1 → Tˆ2 → Tˆ3 → 1 équivariante pour ces actions. Soit U un sous-groupe de IFE . On a (2) pour tout cocycle continu b3 : WF → Tˆ3 biinvariant par U , il existe un cocycle continu b2 : WF → Tˆ2 , biinvariant par U , dont l’image par composition avec l’homomorphisme Tˆ2 → Tˆ3 soit égale à b3 . Preuve. D’après la preuve de [56] lemme 4, il existe un cocycle b2 : WF → Tˆ2 dont l’image par composition avec l’homomorphisme Tˆ2 → Tˆ3 soit égale à b3 . On peut fixer une extension galoisienne finie E  de E telle que b2 et b3 se factorisent par WE  /F . Notons U  la clôture de l’image de U dans WE  /F et munissons ce groupe compact de la mesure de Haar de masse totale 1. Le cocycle b3 est encore biinvariant par U  . Pour w ∈ WE  /F , posons b2 (iw) di. b2 (w) = U

Le même calcul que ci-dessus montre que b2 est encore un cocycle. Son relèvement en un cocycle sur WF est biinvariant par U . Puisque b3 est biinvariant par U  , b2 vérifie comme b2 la dernière condition de l’assertion.  Remarque. Les deux propriétés ci-dessus ont été prouvées de façon différente par Arthur ([18], preuve du lemme 7.1). ˜ a) et S  un sousSoient G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, tore maximal de G défini sur F . Fixons comme en [I] 1.5 une paire de Borel ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ conservée par ads˜. On note θˆ l’automorphisme épinglée Eˆ = (B, déterminé par cette paire et on adapte l’action galoisienne de sorte que Eˆ soit

VI.3. Endoscopie

647

ˆ ˆ  , Tˆ  ) = (B ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 conservée par la nouvelle action. La paire de Borel (B ) se ˆ   ˆ complète en une paire de Borel épinglée de G . Le tore dual de S s’identifie à Tˆθ,0 muni de l’action galoisienne σ → ωS  ,G (σ) ◦ σ, où ωS  ,G est un cocycle à valeurs dans W θ . On note Sˆ ce tore muni de cette action galoisienne.

ˆ ⊂ G  se prolonge en un plongement L S  → G  ⊂ Lemme. Le plongement Sˆ ⊂ G L G de sorte que, pour toute place v ∈ Val(F ) telle que v ∈ Vram (G ) et S  soit non ramifié en v, l’image d’un élément w du groupe d’inertie Iv soit (1, w) ∈ L G. Preuve. Notons V la réunion de Vram (G ) et de l’ensemble des places au-dessus ˆ ˆ1 = G ˆ θ,0 ˆ 1  WF ⊂ L G. On et L G1 = G desquelles S  est ramifié. Posons G commence par prouver que ˆ 1 se prolonge en un plongement L S  → L G1 qui possède (3) le plongement Sˆ ⊂ G les propriétés de l’énoncé. Notons E l’extension galoisienne finie de F telle que ΓE soit l’intersection ˆ et sur Sˆ . Cette extension n’est pas ramifiée des noyaux des actions de ΓF sur G au-dessus des places hors de V . Le cocycle ωS  ,G se factorise par Gal(E/F ). Tout ˆ 1 , on peut fixer une application b : Gal(E/F ) → élément de W θ se relevant dans G 1 ˆ de sorte que b(σ) soit un relèvement de ωS  ,G (σ) pour tout σ ∈ Gal(E/F ). Le G cobord db(σ, σ  ) = b(σ)σ(b(σ  ))b(σσ  )−1 est un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans Sˆ . D’après (1), on peut fixer une cochaîne continue μ : WF → Sˆ telle que μ(Iv ) = 1 pour tout v ∈ V et dμ = db. Alors le plongement L  L 1 S → G (t, w) → (tμ(w)−1 b(w), w) satisfait les conditions requises (on a relevé b en une application définie sur WF via la projection WF → Gal(E/F )). Cela prouve (3). On fixe un plongement (t, w) → (tg 1 (w), w) vérifiant (3). Rappelons que, pour tout w ∈ WF , il existe gw = (g(w), w) ∈ G  tel que adgw préserve la paire ˆ  que l’on a fixée plus haut. L’élément g(w) normalise Tˆ, son image épinglée de G ωG (w) dans W est fixe par θ. Pour tout w ∈ WF , on a une égalité ωS  ,G (w) =  ωS  ,G (w)ωG (w), où ωS  ,G (w) ∈ W G . Il en résulte que, pour tout w, on peut choisir (x(w), w) ∈ G  tel que x(w) normalise Tˆ et que son image dans W soit ωS  ,G (w). Notons que x(w) est bien déterminé à multiplication à gauche près par un élément de Sˆ . Il existe t(w) ∈ Tˆ tel que x(w) = t(w)g 1 (w). L’image d(w) de t(w) dans Tˆ /Sˆ est uniquement déterminée. Montrons que l’application d : WF → Tˆ /Sˆ est continue. Il suffit de montrer que, pour tout w0 , on peut choisir x(w) continu au voisinage de w0 . Par hypothèse, on peut choisir une section continue w → sw de la projection G  → WF . En général, l’élément sw ne conserve ˆ  , Tˆ  ). Mais la paire sw (B ˆ  , Tˆ  ) varie continuement en w. Dans pas la paire (B un voisinage de w0 , on peut donc fixer une application continue w → h(w) à

648

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ  de sorte que adh(w) adsw (B ˆ  , Tˆ  ) = ωS  ,G (w)(B ˆ  , Tˆ  ). En posant valeurs dans G h(w)sw = (x(w), w), l’application x ainsi définie au voisinage de w0 convient. Cela prouve la continuité de d. On peut munir le tore Tˆ de l’action galoisienne σ → ωS  ,G (σ) ◦ σ. Notons Sˆ ce tore muni de cette action. On peut considérer d ˆ Sˆ . On vérifie qu’alors, c’est un cocycle. comme une application à valeurs dans S/ De plus, pour v ∈ V , d est triviale sur Iv . En effet, pour w ∈ Iv , on a g 1 (w) = 1 et l’hypothèse v ∈ Vram (G ) nous permet de choisir x(w) = 1, d’où d(w) = 1. On considère la suite exacte ˆ Sˆ → 1 1 → Sˆ → Sˆ → S/ D’après (2), on peut relever d en un cocycle e : WF → Sˆ tel que, pour tout v ∈ V , e soit trivial sur Iv . Fixons un tel cocycle. Pour tout w ∈ WF , posons y(w) = e(w)g 1 (w). Alors (y(w), w) appartient à G  . L’application S (t, w) L

→ G  → (te(w), w) 

vérifie les conditions du lemme.

VI.3.3 Données auxiliaires ˜ a). On suppose G ˜  (F ) = ∅. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G,  ˜ ˆ La notion de données auxiliaires G1 , G1 , C1 , ξ1 se définit comme dans le cas local ([I] 2.1). A de telles données est associé un caractère λ1 de C1 (AF ) et un caractère  λ+ G1 de G1 (AF ), à valeurs réelles positives (cf. [I] 7.1). Ces deux caractères sont automorphes, c’est-à-dire triviaux respectivement sur C1 (F ) et G1 (F ). On dit que les données auxiliaires sont unitaires si λ+ G est trivial. 1

Lemme. On peut choisir de telles données auxiliaires unitaires de sorte que, pour v ∈ Vram (G ), le groupe G1,v soit non ramifié, le plongement ξˆ1,v soit l’identité sur Iv et λ1 soit non ramifié en v. Remarque. C’est le lemme 7.1 de [18]. Nous reprenons la démonstration car Arthur formule les conditions de non-ramification un peu différemment de nous. ˆ conservée par l’action galoiPreuve. Fixons une paire de Borel épinglée Eˆ de G ˆ Notons (B, ˆ Tˆ ) la paire de Borel soussienne. Il s’en déduit un automorphisme θ. ˆ = B ˆ ∩G ˆ , ˆ On peut supposer que ads˜ conserve cette paire. Posons B jacente à E. ˆ ˆ  et on peut supposer qu’elle est conservée Tˆ  = Tˆθ,0 . C’est une paire de Borel de G par l’action galoisienne σ → σG . Posons ˆ  = (G ˆ  × Tˆ  )/ diag(Z(G ˆ  )). G 1 Ce groupe est à centre connexe (isomorphe à Tˆ ) et s’insère dans une extension  ˆ → G ˆ 1 → Tˆad 1→G → 1.

VI.3. Endoscopie

649

 ˆ 1 vérifie les conditions requises pour appliquer le Le tore Tˆad est induit. Alors G ˆ  se prolonge en un plongement τˆ : ˆ → G lemme 2.2.A de [48] : l’inclusion G 1  L  ˆ 1 est non ramifiée hors de G → G1 . Remarquons que l’action galoisienne sur G Vram (G ). Appliquons le lemme 3.2 au tore Tˆ  . Soit ˆι : L T  → G  un plongement vérifiant les propriétés de ce lemme. Pour w ∈ WF , posons τˆ◦ˆι(w) = (x(w), w). Cet élément agit comme w sur Tˆ  , donc x(w) appartient au commutant Tˆ1 de Tˆ  dans ˆ  . L’application w → x(w) est un cocycle de WF dans Tˆ1 . Pour v ∈ Vram (G ) G 1 ˆ  . Donc (x(w), w) et w ∈ Iv , on a ˆι(w) = (1, w) ∈ L G, donc ˆι(w) commute à G ˆ 1 ). Notons t3 le ˆ  . Il en résulte que x(w) ∈ Z(G puis x(w) commutent aussi à G ˆ  ). Alors t3 est un cocycle trivial composé de x et de la projection Tˆ1 → Tˆ1 /Z(G 1 ˆ 1 ) est connexe, on peut appliquer sur Iv pour tout v ∈ Vram (G ). Puisque Z(G 3.2(2) (on prend pour E la plus petite extension sur laquelle Tˆ  est déployée et pour U le sous-groupe de WF engendré par les Iv pour v ∈ Vram (G )). Il existe donc un cocycle t2 : WF → Tˆ1 relevant t3 et non ramifié hors de Vram (G ). Pour ˆ  ). w ∈ WF , posons ζ(w) = x(w)−1 t2 (w). Alors ζ est un cocycle à valeurs dans Z(G 1 Remplaçons le plongement τˆ par ξˆ1 défini par

ξˆ1 (g, w) = ζ(w)ˆ τ (g, w) pour tout (g, w) ∈ G  . On a alors ξˆ1 ◦ ˆι(w) = (t2 (w), w) pour tout w ∈ WF . Pour v ∈ Vram (G ) et w ∈ Iv , on a ˆι(w) = w et t2 (w) = 1, donc ξˆ1 (w) = w. C’est-à-dire que ξˆ1 est l’identité sur Iv . On prend pour G1 le groupe quasi-déployé ˆ  est le groupe dual. Alors les deux premières conditions du lemme sur F dont G 1 sont satisfaites. La condition de non-ramification de λ1 résulte formellement de ces deux premières conditions. ˜ 1 ne pose pas de problème. On fixe γ ∈ La définition d’un espace tordu G  ˜ (F ). L’automorphisme adγ se relève en un automorphisme θ1 de G qui est G 1 ˜ 1 le sous-ensemble G1 × {θ1 } du produit semi-direct défini sur F . On prend pour G ˜ → G ˜  est définie en de G1 avec son groupe d’automorphismes. La projection G 1 envoyant θ1 sur γ. Les données auxiliaires que l’on vient de construire ne sont pas forcément unitaires. Mais cette condition est facile à assurer. Soit b+ un cocycle de WF ˆ  ) auquel est associé le caractère λ+ . Parce que λ+ est à valeurs réelles dans Z(G 1 G1 G1 positives, on peut choisir b+ à valeurs dans la partie réelle positive du tore complexe ˆ  )ΓF ,0 (cf. [I] 7.1). Alors b+ est unique, c’est un caractère et il est non ramifié Z(G 1  en toute place finie. On définit le plongement ξˆ1 : G  → L G1 par ξˆ1 (g, w) = b+ (w)−1 ξˆ1 (g, w). Les données G1 ,. . ., ξˆ1 vérifient encore les conditions requises de non-ramification et sont de plus unitaires.  Dans la suite, toutes les données auxiliaires seront supposées unitaires sans qu’il soit besoin de l’indiquer. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). Soient G1 etc. . . des données auxiliaires telles que les conditions de l’énoncé soient satisfaites pour v ∈ V . Pour v ∈ V , le sous-groupe hyperspécial

650

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

 Kv de G (Fv ) détermine un tel sous-groupe K1,v de G1 (Fv ). On fixe un sous˜  de G ˜  (Fv ) au-dessus de K ˜  . On suppose que ces sousespace hyperspécial K 1,v 1 v espaces vérifient la même condition de compatibilité globale qu’en 1.1. On adjoint cette famille de sous-espaces hyperspéciaux aux données auxiliaires et on appelle ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V . données auxiliaires non ramifiées hors de V les données G1 , G 1 1,v  Si V est un autre ensemble fini de places contenant V , des données auxiliaires non ramifiées hors de V se restreignent en des données non ramifiées hors de V  ˜  pour v ∈ V  − V . en oubliant les K 1,v Considérons deux séries de données auxiliaires G1 etc. . . et G2 etc. . . non ramifiées hors de V . On définit comme en [I] 2.5 le produit fibré G12 de G1 et ˜  . Toujours comme en [I] 2.5, G2 au-dessus de G et le produit fibré analogue G 12 on définit un caractère λ12 qui est cette fois un caractère de G12 (A) trivial sur  pour v ∈ V . G12 (F ). Il est non ramifié hors de V , donc trivial sur K1,v ˜ ˜12,v sur ˜  (AF ), λ Comme en 1.15, on déduit de λ12 des fonctions λ12 sur G 12   ˜ ˜ ˜ G12 (Fv ) pour v ∈ V et λ12,V sur G12 (FV ). Cette dernière fonction permet de ∞ ˜  (FV )) et C ∞ (G ˜  (FV )) : à f1 ∈ C ∞ (G ˜  (FV )), on (G recoller les espaces Cc,λ 1 2 1 c,λ1 c,λ1 1 ∞ ˜ 12,V (δ1 , δ2 )f1 (δ1 ) où δ1 est n’im˜ 2 (FV )) telle que f2 (δ2 ) = λ associe f2 ∈ Cc,λ ( G 1 ˜  (FV ) tel que (δ1 , δ2 ) ∈ G ˜  (FV ). Ce recollement vérifie porte quel élément de G 1 12 une propriété de transitivité évidente qui permet de définir un espace Cc∞ (GV ) ∞  ˜ 1 (FV )) sur les données G1 ,. . .,(K ˜ 1,v comme la limite inductive des Cc,λ (G )v∈V 1 non ramifiées hors de V , les applications de transition étant celles que l’on vient de définir. Cette définition pose le même problème logique que dans le cas local, que l’on peut lever comme dans ce cas, cf. [I] 2.5. On définit de même les espaces I(GV ) et SI(GV ). De nouveau, si V  est un ensemble fini de places contenant V , les espaces Cc∞ (GV ) etc. . . s’identifient à des sous-espaces de Cc∞ (GV  ) etc. . .

VI.3.4 Levi ˜ et groupes de Les relations entre données endoscopiques d’espaces de Levi de G ˜ a) sont essentiellement les mêmes dans Levi de données endoscopiques de (G, G, le cas global que dans le cas local, cf. [I] paragraphes 3.2, 3.3 et 3.4. Signalons ˜ un espace de Levi de G. ˜ On l’analogue global de la relation 3.2(2) de [I]. Soit M ˆ comme Levi standard de G ˆ comme dans cette référence. Alors l’homoréalise M morphisme ˆ ker1 (WF , Z(G)) ˆ → H 1 (WF , Z(M ˆ ))/ ker1 (WF , Z(M ˆ )) H 1 (WF , Z(G))/ est injectif ([15], lemme 2). ˜ a). On suppose Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, ˜  (F ) = ∅. Soit M  un Levi de G contenant M  , dont on déduit un espace G 0 ˜  . Puisque G ˜  est à torsion intérieure, M ˜  est l’ensemble des γ ∈ G ˜ tels de Levi M qu’il existe m ∈ M de sorte que adγ = adm . Pour une place v ∈ Vram (G ), on  définit le sous-groupe hyperspécial KvM = M  (Fv ) ∩ Kv et l’espace hyperspécial

VI.3. Endoscopie

651

˜ vM  = M ˜  (Fv ) ∩ K ˜ v . On construit comme en [I] 3.4 un sous-groupe M ⊂ G  qui K ˆ  par WF . On pose M = (M  , M , s˜). Il peut exister un est une extension de M ˜ de G ˜ de sorte que M s’identifie à une donnée endoscopique espace de Levi M ˜ , aM ). Mais, comme dans le cas local, un tel espace de Levi n’existe pas de (M, M toujours. Toutefois, indépendamment de l’existence d’un tel espace, pour un ensemble fini de places V contenant Vram (G ), on peut définir des espaces Cc∞ (MV ), ˜ pour définir la I(MV ) etc. . . En effet, on n’a pas besoin qu’il existe un espace M notion de données auxiliaires de M non ramifiées hors de V ni pour définir des ˜12 . Et cela suffit pour définir les espaces précédents. fonctions de recollement λ  ˜  . On doit fixer une mesure sur A ˜  (qui est ˜ un espace de Levi de G Soit M M ˜  est intérieure). Comme on vient de d’ailleurs égal à AM  puisque la torsion sur G ˜ . Dans le cas où M ˜ ˜  peut correspondre ou non à un espace de Levi M le dire, M ˜ ne correspond à aucun espace de Levi M , la mesure sur AM˜  ne nous importera ˜  correspond à un espace de pas, on la choisit arbitrairement. Dans le cas où M ˜ Levi M , on a un isomorphisme naturel AM˜   AM˜ et on choisit la mesure sur le premier espace qui correspond par cet isomorphisme à celle fixée sur le second. ˜ n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais notre définition L’espace de Levi M est insensible à une telle conjugaison.

VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante pour une donnée endoscopique ˜ a). On suppose G ˜  (F ) = ∅. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G,  Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). Fixons des données ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V non ramifiées hors de V . On construit comme auxiliaires G1 , G 1 1,v ˜ G ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV )). Pour en 2.8 une distribution fV → I 1 (fV ) sur C ∞ (G c,λ1

g´ eom,λ1



˜  (F )/ conj, on construit une distribution AG˜ 1 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G ˜  (FV )) ⊗ O∈G ss 1 λ1  ∗ Mes(G (FV )) . Si on change de données auxiliaires, le lemme 2.6 et la relation 2.8(3) disent que ces distributions se recollent selon l’isomorphisme défini au paragraphe précédent. On peut donc les considérer comme des distributions sur G G les espaces Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV )). On les note alors Ig´ eom et A (V, O). Soit M  ∈ L(M0 ). Notons M = (M  , M , s˜) la donnée introduite dans le paragraphe précédent. On a une forme bilinéaire sur ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ ) × (Cc,λ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV ))) (Dorb,λ1 (M (G 1 ˜ G

qui, à (γ V , fV ), associe IM˜1 ,λ (γ V , fV ). Comme ci-dessus, quand on change de don1 1 nées auxiliaires, ces formes linéaires se recollent. On obtient une forme bilinéaire 

G (γ V , fV ) → IM  (γ V , fV )

sur

(Dorb (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ ) × (Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV ))).

652

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Il résulte de 2.8(1) que l’on a l’égalité 

G Ig´ eom (fV ) =



˜

˜

|W M ||W G |−1

˜  ∈L(M ˜ ) M 0







G M IM (V, O), fV )  (A

˜  (FV )/ conj O∈M ss

pour tout fV ∈ Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV )).

VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier ˜ a). Rappelons Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, ˜  est à torsion intérieure, à tout tore maximal T  de G défini sur F que, puisque G ˜  qui commutent est associé un unique tore tordu T˜  , à savoir l’ensemble des δ ∈ G   à tout élément de T . On peut toutefois avoir T˜ (F ) = ∅. On impose dans ce paragraphe l’hypothèse (Hyp). Il existe un sous-tore maximal T  de G , défini sur F , de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) avec δv ∈ T˜ (Fv ). Fixons un tel tore T  . On fixe pour tout v ∈ Val(F ) un couple (δv , γv ) ∈ avec δv ∈ T˜  (Fv ). Nous allons imposer à ces couples des conditions de «non-ramification». On impose d’abord ˜ v et γv ∈ K ˜ v pour presque tout v. (1) δv ∈ K D(Gv )

Considérons une place finie v. Fixons une paire de Borel épinglée Ev = (Bv , Tv , (Eα )α∈Δ ) de G telle que (Bv , Tv ) soit conservée par adγv . Ecrivons γv = ˜ E) et tv ∈ Tv . Rappelons que l’on note Σ(Tv ) l’ensemble des tv ev avec ev ∈ Z(G, racines de Tv dans g, Fvnr la plus grande extension non ramifiée de Fv , onr v son le groupe des unités. Notons aussi F le corps résiduel anneau d’entiers et onr,× v v ¯ v sa clôture algébrique, qui est aussi le corps résiduel de onr . Avec ces de ov et F v notations, on impose (2) pour presque toute place finie v et pour tout α ∈ Σ(Tv ), on a (N α)(tv ) ∈ ¯ v est différente de ±1. et la réduction de (N α)(tv ) dans F onr,× v Cette condition ne dépend pas des choix de Ev et de ev . En effet, on ne peut changer ev qu’en le multipliant par un élément de Z(G). Cela multiplie tv par l’inverse de cet élément, ce qui ne change pas les (N α)(tv ). Remplaçons Ev par une autre paire de Borel épinglée Ev dont la paire de Borel sous-jacente est conservée par adγv . Le tore Tv reste le même : puisque γv est fortement régulier, c’est le commutant de Gγv dans G. Soit x ∈ G tel que adx (Ev ) = Ev . Alors adx conserve Tv . D’après [I] 1.3(2), l’image de x dans W (identifié au groupe de Weyl de G pour Tv ) est invariante par θ = adev . Un tel élément se relève dans le groupe Gev . On peut donc écrire x = τ y avec τ ∈ Tv et y ∈ Gev . Alors ˜ E  ). On peut prendre pour décomposition ev = adτ (ev ) = (1 − θ)(τ )ev ∈ Z(G, v     relative à Ev l’égalité γv = tv ev où tv = (θ − 1)(τ )tv . Puisque (N α)((θ − 1)(τ )) = 1, on voit que la condition (2) ne change pas.

VI.3. Endoscopie

653

Nous montrerons plus loin qu’il existe des familles (δv )v∈Val(F )

et (γv )v∈Val(F )

vérifiant les deux conditions (1) et (2) ci-dessus. Fixons un ensemble fini V de places de F contenant Vram (G ), ainsi que des ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V , non ramifiées hors de V . On fixe données auxiliaires G1 , G 1 1,v  ˜ 1 (Fv ) de δv . La condition (1) permet d’imposer pour tout v un relèvement δ1,v ∈ G ˜  pour presque tout v. que δ1,v ∈ K 1,v Posons δ1 = (δ1,v )v∈Val(F ) , δ = (δv )v∈Val(F ) , γ = (γv )v∈Val(F ) . Ce sont des ˜  (AF ), G(A ˜ F ). Nous allons définir un facteur de trans˜ 1 (AF ), resp. G éléments de G fert global Δ(δ1 , γ). On fixe un sous-groupe de Borel B  de G , défini sur F¯ et contenant T  . Identifions la paire de Borel épinglée de G à une telle paire E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) définie sur F¯ . On fixe une application σ → uE ∗ (σ) à valeurs dans GSC (F¯ ), de sorte que aduE ∗ (σ) ◦σ conserve E ∗ pour tout σ ∈ ΓF . On peut supposer que cette application est continue, qu’elle se factorise par un quotient fini de ΓF et que uE ∗ (1) = 1. On construit une action quasi-déployée de ΓF sur G notée σ → σG∗ = aduE ∗ (σ) ◦σ (on note simplement σ → σ l’action naturelle de ΓF sur G). Des deux paires de Borel se déduit un homomorphisme ξT ∗ ,T  : T ∗ → T  . Il existe un cocycle ωT : ΓF → W θ de sorte que ξT ∗ ,T  ◦ ωT (σ) ◦ σG∗ = σG ◦ ξT ∗ ,T  sur T ∗ pour tout ˜ E ∗ ; F¯ ) et posons θ∗ = ade . D’après [44] corollaire σ ∈ ΓF . Fixons de plus e ∈ Z(G, θ∗ ¯ 2.2, on peut trouver x ∈ GSC (F ) tel que, pour tout σ ∈ ΓF , xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et ait pour image ωT (σ) dans W . On note T le tore T ∗ muni de l’action galoisienne σ → σT = ωT (σ) ◦ σG∗ . Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que – B  et T  soient définis sur E et T  soit déployé sur E ; – E ∗ soit définie sur E (pour l’action galoisienne naturelle) et T ∗ soit déployé sur E ; ˜ E ∗ ; E), x ∈ Gθ∗ (E) ; – e ∈ Z(G, SC – l’application σ → uE ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et, pour tout σ ∈ Gal(E/F ), on a uE ∗ (σ) ∈ GSC (E). Il en résulte que l’action galoisienne quasi-déployée et l’action naturelle coïncident sur ΓE . On a uE ∗ (σ) = 1 pour σ ∈ ΓE . La paire de Borel (B ∗ , T ∗ ) est aussi définie sur E et les tores T ∗ et T sont déployés sur E. Rappelons que, pour tout σ ∈ ΓF , il existe un unique z(σ) ∈ Z(G; F¯ ) tel que σG∗ (e) = z(σ)−1 e. L’application σ → z(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Z(G; E). On note AE l’anneau des adèles de E. Le groupe Gal(E/F ) agit sur AE . Pour tout groupe algébrique Hdéfini sur F , le groupe Gal(E/F ) agit sur H(AE ). Soit v ∈ Val(F ), posons Ev = w|v Ew où w parcourt les places de E divisant v. Alors le groupe Gal(E/F ) agit sur Ev . Pour tout groupe algébrique Hv défini sur Fv , le groupe Gal(E/F ) agit sur Hv (Ev ).

654

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Soit v ∈ Val(F ). Comme on l’a dit en 1.1, notre notion de localisation en v dépend du choix d’un prolongement v¯ de v à F¯ . Le corps F¯v est la clôture algébrique de Fv dans le complété de F¯ en v¯. Par abus de notation, notons-le plus précisément F¯v¯ . Le groupe ΓFv est le fixateur de v¯ dans ΓF , notons-le plus précisément Γv¯ . Ici, parce que l’on va travailler avec le corps E, on va devoir faire varier v¯. Notons w la restriction de v¯ à E. En reprenant la preuve du lemme 1.10 de [I], on voit que pour tout v ∈ Val(F ), on peut fixer un diagramme (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) où (B  , T  ) est la paire déjà fixée. Le groupe Bw est défini sur F¯v¯ et la condition d’équivariance du diagramme est relative à Γv¯ . Remarques. (3) Ce diagramme est unique. En effet, comme on l’a déjà dit, Tv est uniquement déterminé et Bw est en tout cas bien déterminé modulo l’action de W θ (en identifiant W au groupe de Weyl de G relatif à Tv ). Du diagramme se déduit un homomorphisme ξTv ,T  : Tv → T  , puis une application ˜ → T  ×Z(G ) Z(G ˜  ). ξ˜Tv ,T  : (Tv /(1 − θ)(Tv )) ×Z(G) Z(G) Cette application doit envoyer l’image de γv dans l’espace de départ sur l’image de δv dans l’espace d’arrivée. Si l’on remplace Bw par ω(Bw ), avec ω ∈ W θ , ξ˜Tv ,T  est remplacé par ξ˜Tv ,T  ◦ ω −1 . La forte régularité de γv et la propriété [I] 1.3(5) entraînent que cette nouvelle application ne vérifie plus la propriété précédente, sauf si ω = 1. (4) Fixons g ∈ G tel que adg (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adg identifie Tv au tore T , plus exactement à son localisé en la place v. Soit w une autre place de E au-dessus de v. Fixons τ ∈ ΓF tel que τ (w) = w . Notons v¯ l’image de v¯ par τ . L’élément τ définit naturellement un isomorphisme de F¯v¯ sur F¯v¯ et, pour tout groupe algébrique Hv défini sur Fv , un isomorphisme de Hv (F¯v¯ ) sur Hv (F¯v¯ ). On note encore τ ces isomorphismes. Puisque Tv et γv sont définis sur Fv donc invariants par τ , le couple (τ (Bw ), Tv ) est une paire de Borel de G définie sur F¯v¯ et conservée par adγv . En identifiant grâce à cette paire le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de Tv , on définit le sous-groupe de Borel Bw = ωT (τ )−1 τ (Bw ). Puisque ωT (τ ) ∈ W θ , la paire (Bw , Tv ) est encore conservée par adγv , cf. [I] 1.3(2). Montrons que (5) le sextuplet (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) est un diagramme, le corps F¯v étant identifié à F¯v¯ . Preuve. Les tores T  et Tv sont déployés sur Ew . Cela implique que le groupe de Borel Bw est défini sur Ew (B  aussi, mais c’est déjà dans l’hypothèse sur E). Les deux paires de Borel (Bw , Tv ) et (B ∗ , T ∗ ) étant toutes deux définies sur Ew , on peut fixer gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Posons gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ). C’est un élément de GSC (Ew ). Montrons que (6) on a l’égalité adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ).

VI.3. Endoscopie

655

Puisque adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ), on a adτ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = τ (B ∗ , T ∗ ). Donc aduE ∗ (τ )τ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = aduE ∗ (τ ) ◦τ (B ∗ , T ∗ ) = τG∗ (B ∗ , T ∗ ) = (B ∗ , T ∗ ). C’est donc l’isomorphisme aduE ∗ (τ )τ (gw ) qui identifie comme plus haut le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de Tv . C’est-à-dire que Bw est le groupe de Borel tel que aduE ∗ (τ )τ (gw ) (Bw , Tv ) = ωT (τ )−1 aduE ∗ (τ )τ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = ωT (τ )−1 (B ∗ , T ∗ ). D’où

ωT (τ ) aduE ∗ (τ )τ (gw ) (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ).

Puisque xτG∗ (x)−1 a pour image ωT (τ ) dans W , on peut remplacer dans l’égalité ci-dessus ωT (τ ) par adxτG∗ (x)−1 et on obtient (6). Aux choix des paires de Borel (B  , T  ) et (Bw , Tv ), resp. (Bw , Tv ), sont associés des homomorphismes de Tv dans T  notés précisément ξBw ,Tv ,B  ,T  et ξBw ,Tv ,B  ,T  . Montrons qu’ils vérifient la relation (7) ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ = τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  . ξ

Les deux homomorphismes sont les restrictions à Tv de ξT ∗ ,T  ◦ adgw , resp. ◦ adgw . Par définition de gw , on a

T ∗ ,T 

adgw ◦τ = ωT (τ ) ◦ τG∗ ◦ adgw . Par définition de ωT (τ ), on a aussi ξT ∗ ,T  ◦ ωT (τ ) ◦ τG∗ = τ ◦ ξT ∗ ,T  . La relation (7) en résulte. Pour prouver (5), on doit d’abord montrer que l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  : Tv → T  est équivariant pour l’action de Γv¯ . Pour σ ∈ Γv¯ , on a ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ σ = ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ ◦ (τ −1 στ )◦ τ −1 = τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ (τ −1 στ )◦ τ −1 . Mais τ −1 στ appartient à Γv¯ . En utilisant l’équivariance de ξBw ,Tv ,B  ,T  , on obtient ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ σ = τ ◦ (τ −1 στ ) ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ −1 = σ ◦ τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ −1 = σ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  comme on le voulait. On doit aussi prouver que l’application déduite ˜ → T  ×Z(G ) Z(G ˜ ) ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  : (Tv /(1 − θ)(Tv )) ×Z(G) Z(G)

656

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

envoie l’image de γv dans l’espace de départ sur l’image de δv dans l’espace d’ar˜ permet d’étendre la relation rivée. La définition de l’action galoisienne sur Z(G) (7) à ces applications, c’est-à-dire que l’on a la relation ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ = τ ◦ ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  . Puisque ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  envoie l’image de γv sur celle de δv et puisque les éléments γv et δv sont tous deux invariants par τ , la relation ci-dessus implique l’assertion cherchée. Cela prouve (5).  Définissons un homomorphisme   Tv (Ew ) → T  (Ev ) = T  (Ew ) ξTv ,T  : Tv (Ev ) = w  |v

w  |v

comme le produit sur les w divisant v des homomorphismes ξBw ,Tv ,B  ,T  . On a (8) ξTv ,T  est équivariant pour les actions de Gal(E/F ). Cela résulte de ce que, pour tout w , l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  est équivariant pour l’action de Γv¯ et que l’on a la relation (7) ci-dessus. Soit v ∈ Val(F ) telle que v ∈ Vram (G ) et v soit non-ramifiée dans E. Rappelons que le sous-groupe compact hyperspécial Kv est attaché à un schéma en groupes Kv défini sur l’anneau des entiers ov de Fv . Si w est une place de E ˜ v . Alors Kw est un sous˜ w  = Kw  K au-dessus de v, posons Kw = Kv (ow ) et K ˜ groupe compact hyperspécial de G(Ew ) et Kw est un sous-espace hyperspécial ˜ w ). On note aussi K nr = Kv (onr ), F nr étant identifié à une extension de G(E v v v de Ew . De Kv se déduisent des sous-groupes hyperspéciaux Kv,sc de GSC (Fv ) et Kv,ad de GAD (Fv ) et on utilise pour ces groupes des notations similaires. On peut fixer un ensemble fini V  de places de F , contenant V et les places ramifiées dans E, de sorte que, pour v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, on ait : – la condition (2) est vérifiée pour v ; (9) Kw est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée E∗ ; ˜ w , x ∈ Kw et, pour tout σ ∈ ΓF , uE ∗ (σ) ∈ Kw et z(σ) ∈ Kw . (10) e ∈ K Montrons que (11) pour v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, il existe gw ∈ Kw ,sc tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Preuve. On ne perd rien ici à supposer w = w (qui est la restriction de v¯ à E). Fixons un entier N ≥ 1 tel que (θ∗ )N = 1. L’hypothèse v ∈ Vram assure que l’on peut prendre N premier à la caractéristique résiduelle p de Fv . Introduisons ˜ le groupe non connexe G+ = G  {1, θ∗ , . . . , (θ∗ )N −1 } défini sur Ew . L’espace G ∗ ∗ s’identifie à la composante Gθ : pour g ∈ G, ge s’identifie à gθ . Le sous-espace

VI.3. Endoscopie

657

˜ w s’identifie à Kw θ∗ . Dans cette situation, on a défini en [79, 5.2] la notion d’éléK ˜ w ) : un élément est compact si et seulement si le sous-groupe ment compact de G(E ˜ v ⊂ Kw θ ∗ qu’il engendre dans G+ (Ew ) est d’adhérence compacte. Puisque γv ∈ K ∗ ∗ N −1 et que Kw  {1, θ , . . . , (θ ) } est un groupe compact, l’élément γv est compact. D’après [79, 5.2], on peut décomposer γv en uγv,p , où γv,p est d’ordre fini premier à p et u est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe engendré par γv et sont définis sur Fv . Comme on vient de le voir, ˜ resp. G, est contenue dans K ˜ w , resp. Kw . l’intersection de cette adhérence avec G, ˜ v et u ∈ Kv . Les éléments u et γv,p commutent entre eux et comDonc γv,p ∈ K mutent donc à γv . Cela entraîne que u ∈ ZG (γv ; Fv ) = Tvθ (Fv ). Ecrivons γv = tv ev comme dans la relation (2). Alors γv,p = u−1 tv ev . Puisque u est topologiquement unipotent, les valeurs de (N α)(u) sont des éléments de ow de réduction 1 dans le corps résiduel Ew de ow . Alors la relation (2) est encore vérifiée par γv,p , a fortiori γv,p est régulier. Le lemme [79, 5.4] implique l’existence de k ∈ Kvnr tel que adk (γv,p ) ∈ T ∗ e. Puisqu’il s’agit d’éléments réguliers, on a automatiquement l’égalité adk (Tv ) = T ∗ . Donc aussi adk (γv ) ∈ T ∗ e. L’automorphisme adk envoie Bw sur un groupe de Borel contenant T ∗ et conservé par θ∗ . Un tel groupe est de la forme ω(B ∗ ), où ω ∈ W θ . Relevons ω en un élément h ∈ Kw ∩ Ge . En remplaçant k par h−1 k, on obtient l’égalité adk (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Les théorèmes de structure de Bruhat-Tits entraînent que tout élément de Kvnr est produit d’un nr élément de T ∗ (onr v ) et d’un élément de Kv,sc . Quitte à multiplier k à gauche par ∗ nr nr un élément de T (ov ), on peut supposer k ∈ Kv,sc . La relation (4) entraîne que ∗ adk : Tv → T est équivariant pour l’action de ΓEw . Pour σ ∈ Gal(Fvnr /Ew ), on ∗ nr ∗ nr a donc kσ(k)−1 ∈ Tsc ∩ Kv,sc = Tsc (onr v ). On obtient un cocycle de Gal(Fv /Ew ) ∗ nr dans Tsc (ov ). Un tel cocycle est un cobord. Cela signifie que, quite à multiplier ∗ −1 (onr = 1 pour tout k à gauche par un élément de Tsc v ), on peut supposer kσ(k) nr σ ∈ Gal(Fv /Ew ). Autrement dit k ∈ Kw,sc . Cela prouve (11).  Pour toute place w de E, on introduit le diagramme (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) qui est unique d’après (3). On introduit un élément gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). On suppose gw ∈ Kw ,sc pour toute place w au-dessus d’une place v ∈ V  . On pose g = (gw )w ∈Val(E) . C’est un élément de GSC (AE ). Pour σ ∈ ΓF , posons VT (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 . En utilisant la relation (8), on voit facilement que VT (σ) appartient à Tsc (AE ) ∗ (AE ) muni de l’action galoisienne σ → σT ). Le cobord de la co(c’est-à-dire Tsc chaîne VT est égal à celui de σ → uE ∗ (σ) donc prend ses valeurs dans Tsc (E). En poussant VT en une cochaîne à valeurs dans Tsc (AE )/Tsc (E), VT devient un cocycle. On peut le considérer comme un cocycle de ΓF dans Tsc (AF¯ )/Tsc (F¯ ), où AF¯ est la limite inductive des AE  sur les extensions finies E  de F . Comme en [I] 2.2, notons T1 le produit fibré de T1 et T au-dessus de T  . Il est muni de l’action galoisienne produit de l’action naturelle sur T1 et de l’action σ → σT sur T . No˜) ⊂ G ˜  et fixons un relèvement e1 de e tons e l’image naturelle de e dans Z(G

658

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1 , E). Ecrivons gγg −1 = νe, δ1 = μ1 e1 . On a ν ∈ T (AE ), μ1 ∈ T1 (AE ). dans Z(G On note ν1 l’image de (μ1 , ν) dans T1 (AF¯ )/T1 (F¯ ). Pour deux tores S1 et S2 définis sur F et pour un homomorphisme f : f S1 → S2 défini sur F , on note selon l’usage H 1,0 (AF /F ; S1 → S2 ) le groupe f H 1,0 (ΓF ; S1 (AF¯ )/S1 (F¯ ) → S2 (AF¯ )/S1 (F¯ )), c’est-à-dire la limite inductive des f

H 1,0 (Gal(E  /F ); S1 (AE  )/S1 (E  ) → S2 (AE  )/S2 (E  )) sur les extensions galoif

siennes finies E  de F . On note aussi Z 1,0 (AF /F ; S1 → S2 ) l’ensemble de cocycles 1−θ

correspondant. On vérifie que le couple (VT , ν1 ) appartient à Z 1,0 (AF /F ; Tsc → 1−θ

T1 ). Sa classe dans H 1,0 (AF /F ; Tsc → T1 ) ne dépend pas du choix de l’élément g : on ne peut changer g qu’en le multipliant à gauche par un élément de Tsc (AE ), ce qui multiplie VT par un cobord. Dans le cas local, on a construit en [I] 2.2 (en suivant Kottwitz et Shelstad) un cocycle VˆT1 de WF dans le tore dual Tˆ1 . La même construction vaut dans le cas global, à condition bien sûr d’utiliser des χ-data globales (c’est-à-dire que les χα sont des caractères automorphes d’extensions Fα de F ). Comme dans cette ˆ avec s ∈ Tˆ . On note sad l’image de s dans Tˆad . On référence, on écrit s˜ = sθ, 1−θˆ vérifie que le couple (VˆT1 , sad ) appartient à Z 1,0 (WF ; Tˆ1 → Tˆad ). D’après [48] (C.2.3), on dispose d’un accouplement 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; Tsc → T1 ) × H 1,0 (WF ; Tˆ1 → Tˆad ) → C× ,

que l’on note ., .. On pose  −1 Δimp (δ1 , γ) = (VT , ν1 ); (VˆT1 , sad ) . On a déjà fixé des χ-data globales pour T . On fixe aussi des a-data globales, c’està-dire que les aα appartiennent à F¯ × . On peut alors définir un facteur ΔII (δ, γ) comme en [I] 2.2. Le point est ici qu’une expression comme (N α)(ν) − 1 est un élément du groupe d’idèles de l’extension Fα parce que (2) entraîne que c’est une unité pour presque tout v. On pose Δ(δ1 , γ) = ΔII (δ, γ)Δimp (δ1 , γ). On a utilisé de nombreuses données auxiliaires mais on va montrer que Δ(δ1 , γ) ne dépend que de δ1 et γ. Plus généralement, reprenons la construction à partir d’un autre tore T  vérifiant aussi l’hypothèse (Hyp). On souligne les données relatives à ce nouveau tore. On introduit de nouveaux éléments δ 1 , γ. Pour tout v ∈ Val(F ), les couples (δ1,v , γv ) et (δ 1,v , γ v ) appartiennent à D1,v , le facteur Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ) est donc bien défini. Proposition. (i) Pour presque tout v, on a Δ1,v (δ1,v , γv ; δ1,v , γ v ) = 1.

VI.3. Endoscopie

659

(ii) On a l’égalité Δ(δ1 , γ)Δ(δ 1 , γ)−1 =



Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ).

v∈Val(F )

(iii) Le terme Δ(δ1 , γ) ne dépend pas des données auxiliaires utilisées pour le définir. Preuve. Dans la construction de Δ(δ1 , γ), on a utilisé une paire de Borel épinglée E ∗ définie sur F¯ , une cochaîne uE ∗ à valeurs dans GSC (F¯ ), un élément ˜  ; F¯ ). Les choix des termes uE ∗ , e et e ˜ E ∗ ; F¯ ) et un élément e ∈ Z(G e ∈ Z(G, 1 1 1 n’influent pas sur Δ(δ1 , γ). En effet, le choix de uE ∗ ne change pas l’action galoisienne σ → σG∗ . On ne peut modifier uE ∗ que par des éléments qui appartiennent à Z(GSC ; F¯ ), donc à Tsc (F¯ ), et de tels termes ne changent pas l’image de VT dans Tsc (AF¯ )/Tsc (F¯ ). De même, on ne peut modifier le couple (e, e1 ) que par un élément du produit fibré de Z(G; F¯ ) et Z(G1 ; F¯ ) au-dessus de Z(G ; F¯ ), ce qui ne modifie pas l’image de ν1 modulo T1 (F¯ ). Dans la construction de Δ(δ 1 , γ 1 ), on utilise d’autres données E ∗ , uE ∗ , e, e1 . On peut fixer r ∈ GSC (F¯ ) qui conjugue E ∗ en E ∗ . D’après ce que l’on vient de dire, on peut supposer que uE ∗ (σ) = ruE ∗ (σ)σ(r)−1 pour tout σ ∈ ΓF et que e = adr (e). On peut alors supposer que e1 = e1 , puisque ˜  ; F¯ ). e et e ont alors la même image e dans Z(G On peut aussi modifier la définition de VT (et aussi de VT ) de la façon suivante. A l’aide des a-data globales que l’on a fixées, on peut définir une cochaîne rT comme dans le cas local, cf. [I] 2.2. On peut alors définir VT par VT (σ) = rT (σ)nE ∗ (ωT (σ))uE ∗ (σ)σ(g)g −1 . En effet, on passe de la définition précédente à celle-ci en multipliant à gauche par rT (σ)nE ∗ (ωT (σ))σG∗ (x)x−1 . Par définition de x, c’est un élément de Tsc (F¯ ). Il ne modifie donc pas l’image de VT modulo ce groupe. Ces modifications étant faites, on a l’égalité  −1 ˆT1 , VˆT ), (sad , sad )) )), (( V , Δimp (δ1 , γ)Δimp (δ 1 , γ)−1 = ((VT , VT−1 ), (ν1 , ν −1 1 1 le produit étant celui sur 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; (Tsc × T sc ) → (T1 × T 1 )) × H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )).

On introduit les tores U et S1 de [I] 2.2. Dans cette référence, le tore U est égal à adg−1 (T ) × adg −1 (T ))/ diag− (Z(GSC )), mais on peut l’identifier à (T × T )/ diag− (Z(GSC )). De même pour S1 . Alors les deux tores sont définis sur F . Rappelons que Sˆ1 est le tore des (t, t, tsc ) ∈ Tˆ1 × Tˆ 1 × Tˆsc tels que j(tsc ) = tt−1 , où on a identifié Tˆ et Tˆ à un tore commun (muni de deux actions galoisiennes en général distinctes) et où j : Tˆsc → Tˆ est l’homomorphisme naturel. La structure

660

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

galoisienne sur Sˆ1 est un peu compliquée, les formules sont les mêmes que dans ˆ SC )). On a un diagramme ˆ = (Tˆsc × Tˆ )/ diag(Z(G le cas local. On a aussi U sc commutatif évident 1−θˆ ˆ Sˆ1 → U ↓ ↓ 1−θˆ ˆ ˆ ˆ T1 × T → Tad × Tˆ 1

ad

d’où un homomorphisme ˆ

ˆ

1−θ 1−θ ˆ ) → H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )). H 1,0 (WF ; Sˆ1 → U

En copiant les définitions du cas local, on définit un élément 1−θˆ ˆ (Vˆ1 , s) ∈ H 1,0 (WF ; Sˆ1 → U ) ˆ

1−θ et on constate que son image dans H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )) est égale à

((VˆT1 , VˆT 1 ), (sad , sad )). Notons (V, ν 1 ) l’image de ((VT , VT−1 ), (ν1 , ν −1 1 )) 1−θ

dans H 1,0 (AF /F ; U → S1 ) par l’homomorphisme dual du précédent. Par compatibilité des produits, on a  −1 Δimp (δ1 , γ)Δimp (δ 1 , γ)−1 = (V, ν 1 ), (Vˆ1 , s) . 1−θ

Le terme (V, ν 1 ) se relève en un élément de H 1,0 (ΓF ; U (AF¯ ) → S1 (AF¯ )), défini exactement par les mêmes formules (après les modifications apportées ci-dessus). 1−θ

Cet élément appartient en fait à H 1,0 (Gal(E/F ); U (AE ) → S1 (AE )), si E désigne maintenant une extension finie de F vérifiant les mêmes propriétés que plus haut mais pour nos deux ensembles de données. Pour toute place v ∈ Val(F ), cet élé1−θ ment relevé définit un élément (Vv , ν 1,v ) ∈ H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ). De même, (Vˆ1 , s) 1−θˆ ˆ se restreint en un élément (Vˆ1,v , sv ) ∈ H 1,0 (WFv ; Sˆ1 → U ). La compatibilité des produits et le lemme C.1.B de [48] assurent que  (12) on a l’égalité (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) = 1 pour presque tout v ;

 (13)

(V, ν 1 ), (Vˆ1 , s) =



 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) .

v∈Val(F )

On a aussi ΔII (δ, γ) =

 v∈Val(F )

ΔII (δv , γv )

VI.3. Endoscopie

661

et les termes du produit sont presque tous égaux à 1. On en déduit Δ(δ1 , γ)Δ(δ 1 , γ)−1 =



 −1 ΔII (δv , γv )ΔII (δ v , γ v )−1 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) .

v∈ValF

Pour achever la preuve des deux premières assertions de l’énoncé, il suffit de prouver que, pour tout v, on a l’égalité  −1 ΔII (δv , γv )ΔII (δ v , γ v )−1 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) = Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ). Pour définir le membre de droite, on utilise les paires de Borel épinglées Ew = adgw−1 (E ∗ ) et E w = adg −1 (E ∗ ), où w est encore la place de E fixée au-dessus de w −1 uE ∗ (σ)σ(gw ) et uE w (σ) = g −1 uE ∗ (σ)σ(g w ) pour tout v. On choisit uEw (σ) = gw w σ ∈ ΓFv . On constate alors que les deux membres de l’égalité ci-dessus sont définis de la même façon, après l’identification que l’on a faite des tores adg−1 (T ) et adg−1 (T ) à T et T . Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé. L’assertion (iii) s’en déduit : puisque les termes Δ1 (δ 1 , γ) et

Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v )

ne dépendent pas des données auxiliaires utilisées pour définir Δ1 (δ1 , γ), ce dernier terme n’en dépend pas non plus.  Revenons à notre tore T  . Il reste à vérifier que l’on peut choisir des éléments δ et γ vérifiant les conditions (1) et (2). On introduit les mêmes données qu’au début du paragraphe, en particulier le corps E. On modifie la définition de l’ensemble V  . On note maintenant V  un ensemble fini de places de F , contenant V et les places ramifiées dans E, de sorte que, pour tout v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, les conditions (9) et (10) soient vérifiées, ainsi que les conditions (14) et (15) ci-dessous. Pour v ∈ V telle que v soit non ramifiée dans E, les tores T et T  sont non ramifiés en v et ont donc une structure naturelle sur ov . On note Tv = T ×ov Fv la fibre de T sur Fv . Un élément de Σ(T ) est aussi un caractère de ce tore. On impose ˜) ⊂ G ˜  de e appartient à K ˜   et T  (ow ) est inclus (14) l’image naturelle e ∈ Z(G w  dans Kw ; (15) soit t0 ∈ T (ow ) ; alors il existe t ∈ T (ov )t0 dont la réduction t ∈ Tv (Ew ) vérifie N α(t) = ±1 pour tout α ∈ Σ(T ). La condition (14) est satisfaite presque partout. Il faut montrer qu’il en est de même de (15). Il s’agit de montrer que, pour presque tout v, Tv (Fv ) n’est pas contenu dans la réunion sur α ∈ Σ(T ) et  = ±1 des sous-ensembles {t ∈ Tv (Fv ); N α(tt0 ) = }, où t0 est la réduction de t0 . Notons d la dimension de T et qv le nombre d’éléments de Fv . Il existe c > 0 indépendant de v tel que le nombre d’éléments de Tv (Fv ) soit au moins égal à cqvd . Il suffit de démontrer

662

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

qu’il existe c > 0 indépendant de v tel que chacun des sous-ensembles ci-dessus ait un nombre d’éléments au plus égal à c qvd−1 . Considérons le sous-ensemble {t ∈ Tv (Fv ); N α(tt0 ) = }. Il peut être vide. Sinon, il est en bijection avec {t ∈ Tv (Fv ); N α(t) = 1}, ou encore avec {t ∈ Tv (Fv ); ∀σ ∈ Gal(Ew /Fv ), (N σα)(t) = 1}. Introduisons le tore S sur Fv qui est la restriction des scalaires du tore multiplicatif Gm sur Ew . L’homomorphisme ¯× ¯ v ) → S(F ¯v) =  τ¯ : Tv (F σ∈Gal(Ew /Fv ) Fv t → ((N σα)(t))σ∈Gal(Ew /Fv ) est défini sur Fv . L’ensemble précédent est le noyau de l’homomorphisme τ : Tv (Fv ) → S(Fv ). On montre aisément que le nombre de composantes connexes du noyau de τ¯ est borné par un nombre qui ne dépend que de l’homomorphisme X∗ (Tv ) → X∗ (S) déduit de τ¯ et de la structure de ces Gal(Ew /Fv )-modules. De même, la composante neutre de ce noyau est un tore défini sur Fv et de dimension au plus d − 1, dont la structure ne dépend que des mêmes données. Or ces données ne varient que dans un ensemble fini, car le groupe Gal(Ew /Fv ) est lui-même toujours un sous-groupe de Gal(E/F ). Il en résulte que le nombre d’éléments du noyau est bien borné par c qvd−1 pour un c > 0 indépendant de v. Cela prouve que (15) est vérifié pour presque tout v. Soit v ∈ V  , notons w la restriction de v¯ à E. Pour tout g ∈ G, on note gad son image dans GAD . D’après (10), l’application σ → xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = xad uE ∗ ,ad (σ)σ(xad )−1 est un cocycle de Gal(Ew /Fv ) dans Kw,ad . Par le théorème de Lang, un tel cocycle est un cobord (cf. [79] lemme 4.2(ii)). On peut fixer yad ∈ Kw,ad tel que xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = yad σ(yad )−1 pour tout σ ∈ Gal(Ew /Fv ). ∗ Puisque Kw est le groupe hyperspécial associé à E ∗ d’après (9), on a Tad (ow ) = Tad (ow ) ⊂ Kw,ad et la décomposition d’Iwasawa montre que l’application Tad (ow ) × Kw,sc (t, x)

→ Kw,ad → tπad (x)

est surjective. On relève yad en (t, gw ) ∈ Tad (ow ) × Kw,sc . On a alors xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = tπad (gw σ(gw )−1 )σ(t)−1 , d’où

t−1 xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)σ(t) = πad (gw σ(gw )−1 ).

On a l’égalité xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)σ(t) = σT (t)xad σG∗ (xad )−1 uE ∗,ad (σ),

VI.3. Endoscopie

663

d’où −1 t−1 σT (t)xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)πad (σ(gw )gw ) = 1.

A fortiori, −1 ) ∈ Tad (ow ), xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)πad (σ(gw )gw −1 d’où il résulte que xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(gw )gw ∈ Tsc (ow ). Notons tsc (σ) cet élé∗ ment. Posons Ew = adgw−1 (E ) et notons (Bw , Tv ) la paire de Borel sous-jacente à Ew . Par le même calcul que dans la preuve de (6), la relation précédente entraîne que Tv est défini sur Fv et que l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  déduit des paires (Bw , Tv ) et (B  , T  ) est équivariant pour les actions de Γv¯ . Posons ev = adgw−1 (e). ˜ w. ˜ Ew ; Ew ). D’après (10), c’est aussi un élément de K C’est un élément de Z(G, Pour σ ∈ ΓFv , on a les égalités

σ(ev ) = adσ(gw−1 ) ◦σ(e) = adσ(gw )−1 uE ∗ (σ)−1 σG∗ (x)x−1 ◦ adxσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ) ◦σ(e). ∗

On a aduE ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. Puisque x ∈ GθSC (Ew ), l’élément xσG∗ (x)−1 commute à e et aussi, bien sûr, à z(σ). Donc adxσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. De plus −1 −1 σ(gw )−1 uE ∗ (σ)−1 σG∗ (x)x−1 = gw tsc (σ)−1 = tsc,w (σ)−1 gw ,

où tsc,w (σ) = adgw−1 (tsc (σ)) ∈ Tv (ow ). D’où σ(ev ) = z(σ)−1 adtsc,w (σ)−1 gw−1 (e) = z(σ)−1 tsc,w (σ)−1 ew tsc,w (σ) = z(σ)−1 (θ − 1)(tsc,w (σ))ev . L’application σ → z(σ)−1 (θ − 1)(tsc,w (σ)) prend ses valeurs dans Tv (ow ) et la relation ci-dessus implique que c’est un cocycle de Gal(Ew /Fv ) à valeurs dans ce groupe. Un tel cocycle est forcément un cobord. On peut donc fixer t0 ∈ Tv (ow ) ˜ v ). On peut tel que σ(t0 ) = t0 z(σ)(1 − θ)(tsc (σ)) pour tout σ. Alors t0 ev ∈ G(F multiplier t0 par un élément de Tv (ov ) de sorte que le produit t vérifie la conclusion de (15) transportée à Tv par l’isomorphisme adgw−1 . Cette condition implique que tev est régulier. En multipliant encore t par un élément de Tv (ov ) assez voisin de l’origine, on peut assurer que tev est fortement régulier. Posons γv = tev et ˜  ) est l’image naturelle de e (ou ev , c’est pareil). δv = ξBw ,Tv ,B  ,T  (t)e , où e ∈ Z(G ˜ v , δv ∈ K ˜ v et (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) est Les constructions impliquent que γv ∈ K un diagramme. Le choix de t implique que la condition (2) est satisfaite. Pour  v ∈ V  , on a donc construit des éléments vérifiant (1) et (2).

664

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier ˜ a). On suppose Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, qu’elle vérifie l’hypothèse (Hyp) du paragraphe précédent. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). On a défini l’espace Cc∞ (GV ) en 3.3. Pour v ∈ V , on a défini en [I] 2.5 un espace Cc∞ (Gv ) par une tout autre méthode. Proposition. Il existe un isomorphisme canonique Cc∞ (GV )  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V non ramiPreuve. Considérons des données auxiliaires G1 , G 1 1,v fiées hors de V . Pour v ∈ Val(F )−V , le choix des espaces hyperspéciaux détermine un facteur de transfert Δ1,v , cf. [I] 6.3. Pour v ∈ V , on ne sait pas normaliser le facteur de transfert. Mais on peut normaliser le produit sur v ∈ V de ces facteurs. En effet, construisons des éléments comme dans le paragraphe précédent, et il est plus ˜  (AF ), simple ici de les souligner. On a donc des éléments δ 1 = (δ 1,v )v∈Val(F ) ∈ G 1 ˜ γ = (γ v )v∈Val(F ) ∈ G(AF ) et le facteur Δ1 (δ 1 , γ). Soient δ1,V = (δ1,v )v∈V ∈ ˜ 1 (FV ), γV = (γv )v∈V ∈ G(F ˜ V ). Supposons (δ1,V , γV ) ∈ D1,V , on entend par là G que (δ1,v , γv ) ∈ D1,v pour tout v ∈ V . On pose  Δ1,V (δ1,V , γV ) = Δ1 (δ 1 , γ)

 v∈V

 Δ1,v (δ 1,v , γ v )−1



 Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ) .

v∈V

Il résulte des calculs du paragraphe précédent que les termes du premier produit sont presque tous égaux à 1. Le terme ainsi défini est un facteur de transfert. La proposition du paragraphe précédent montre qu’il ne dépend pas des données auxiliaires δ 1 et γ.  ˜ 1,v D’après 3.3, le choix des (K )v∈V permet d’identifier Cc∞ (G ) à V

∞ ˜  (FV )) = ⊗v∈V C ∞ (G ˜  (Fv )). Cc,λ (G 1 c,λ1 1 1

D’après [I] 2.5, le choix de Δ1,V permet d’identifier ce dernier espace à ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). D’où l’isomorphisme de l’énoncé. Pour qu’il soit «canonique», il suffit qu’il ne dépende pas des données auxiliaires. Considérons une autre famille G2 ,  ˜ 2 , C2 , ξˆ2 , (K ˜ 2,v G )v∈V de données auxiliaires non ramifiées hors de V . Il y a deux ∞ ˜  (FV )) et C ∞ (G ˜  (FV )) : isomorphismes de recollement entre les espaces Cc,λ (G 1 2 c,λ2 1   ˜ 1,v )v∈V et (K ˜ 2,v )v∈V ; celle de celle de 3.3 utilisant les espaces hyperspéciaux (K [I] 2.5 utilisant les facteurs de transfert Δ1,V et Δ2,V . On doit prouver que ce sont les mêmes. Les deux isomorphismes f1 → f2 sont définis pas une formule ˜ 12,V (δ1,V , δ2,V )f1 (δ1,V ) où δ1,V est un élément quelconque tel que f2 (δ2,V ) = λ ˜ 12,V n’est pas a priori la même pour ˜  (FV ), mais la fonction λ (δ1,V , δ2,V ) ∈ G 12 ˜ 12,Δ,V ˜ les deux recollements. Notons λ12,K,V celle pour le premier recollement et λ

VI.3. Endoscopie

665

˜ 12 (FV ) et (x1 , x2 ) ∈ G12 (FV ). On a en celle pour le second. Soient (δ1,V , δ2,V ) ∈ G tout cas ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ), ˜12,K,V (x1 δ1,V , x2 δ2,V ) = λ12,V (x1 , x2 )λ λ ˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V ), ˜12,Δ,V (x1 δ1,V , x2 δ2,V ) = λ12,V (x1 , x2 )λ λ pour un même caractère λ12,V de G12 (FV ). Il suffit donc de prouver l’égalité ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ ˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V ) pour un seul couple (δ1,V , δ2,V ). On choiλ ˜  (AF ) et γ ∈ G(A ˜ F ) comme sit ce couple ainsi : on construit des éléments δ ∈ G   ˜ (AF ) et δ2 ∈ G ˜ (AF ) ; on prend pour δ1,V et δ2,V les en 3.6, on relève δ en δ1 ∈ G 1 2 ˜ 12,Δ,V , produits sur v ∈ V des composantes locales de δ1 et δ2 . Par définition de λ on a l’égalité (1)

˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V )Δ1,V (δ1,V , γV ). Δ2,V (δ2,V , γV ) = λ

˜ 12 sur G ˜  (A) de sorte qu’elle vaille 1 sur En 1.15, on a normalisé une fonction λ 12  ˜ ˜ G12 (F ) et des fonctions λ12,v pour v ∈ V . Par définition,  ˜12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ ˜ 12 (δ1 , δ2 ) ˜12,v (δ1,v , δ2,v )−1 . λ λ v∈V

On a ˜ 12,v (δ1,v , δ2,v )Δ1,v (δ2,v , γv ) pour tout v ∈ V . (2) Δ2,v (δ2,v , γv ) = λ En effet, avec les notations de [I] 6.3, on a l’égalité ˜ ζ (δ1,v )λ ˜ ζ (δ2,v )−1 Δ1,v (δ1,v , γv ). Δ2,v (δ2,v , γv ) = λ 1 2 Il suffit de comparer les définitions pour constater que ˜ ζ2 (δ2,v )−1 = λ ˜12,v (δ1,v , δ2,v ). ˜ζ1 (δ1,v )λ λ D’où (2). Alors ˜ 12 (δ1 , δ2 ) ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ λ



Δ2,v (δ2,v , γv )−1 Δ1,v (δ1,v , γv )

v∈V

˜ 12 (δ1 , δ2 )Δ2 (δ2 , γ)−1 Δ1 (δ1 , γ)Δ2,V (δ2,V , γV )Δ1,V (δ1,V , γV )−1 . =λ En comparant avec (1), il reste à montrer l’égalité (3)

˜12 (δ1 , δ2 )Δ1 (δ1 , γ). Δ2 (δ2 , γ) = λ

La démonstration est similaire à celle du lemme [I] 2.5, nous n’en donnons que le squelette. De façon générale, pour un groupe réductif connexe H défini sur F , un ˆ détermine non seulement un caractère de H(AF ) trivial élément de H 1 (WF , Z(H)) sur H(F ), mais plus généralement un caractère du groupe (H(AF¯ )/Z(H; F¯ ))ΓF ,

666

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

trivial sur (H(F¯ )/Z(H; F¯ ))ΓF = HAD (F ). Avec les notations de [I] 2.5, le coˆ  ) détermine donc un caractère cycle w → (ζ1 (w), ζ2 (w)−1 ) de WF dans Z(G 12   Γ  ˜ . L’ende (G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F¯ )) F , trivial sur G12,AD (F ). Notons ce caractère λ 12    ΓF ˜ ¯ semble G12 (AF ) s’envoie naturellement dans (G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F )) . En effet, ˜  (AF ), on choisit (e , e ) ∈ Z(G ˜  ; F¯ ), on écrit δ = x1 e , pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ G 1 12 1 2 12 1   δ 2 = x2 e2 avec (x1 , x2 ) ∈ G12 (AF¯ ). L’image de (x1 , x2 ) dans G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F¯ ) ne dépend pas des choix de e1 et e2 et est invariante par ΓF . L’application cher˜ devient une fonction sur chée est (δ 1 , δ 2 ) → (x1 , x2 ). Par cette application, λ 12  ˜ G12 (AF ). Les mêmes calculs qu’en [I] 2.5 conduisent à l’égalité (4)

˜ (δ1 , δ2 )Δ1 (δ1 , γ). Δ2 (δ2 , γ) = λ 12

˜ se transforment selon ˜ 12 et λ Or il résulte des constructions que les fonctions λ 12 ˜ 12 vaut 1 sur G ˜ 12 (F ) et la le même caractère λ12 de G12 (AF ). Par définition, λ ˜ vérifie la même propriété. Les deux fonctions construction ci-dessus montre que λ 12 sont donc égales et l’égalité (4) équivaut à (3). 

VI.3.8 Une construction auxiliaire ˜ a). Soit (H, H, ˜ b) Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, ˜ a) et soit H = (H  , H , t˜) une donnée endoscopique un triplet similaire à (G, G, pour ce triplet. Considérons les hypothèses (1) à (6) suivantes. (1) Il y a une suite exacte ι

1→G→H →D→1 d’homomorphismes de groupes définis sur F , où D est un tore ; il y a un ˜ ι ˜ ˜→ H défini sur F compatible avec ι. plongement G ˜ ∈ H, ˜ l’automorphisme ad˜ se quotiente en un automorphisme de D Pour h h ˜ On le note θD . On ne demande pas qu’il soit l’identité. qui ne dépend pas de h. De la suite (1) se déduit une suite duale ˆ ι ˆ ˆ →H ˆ → G→1 1→D

ˆ ˜ → LG ˜ compatible avec ˆι (on rappelle que L G ˜ = L Gθ, et une projection ˆ ˜ι : L H H ˆ ˆ cf. [I] 1.4). Notons T le tore d’une paire de Borel de H comme en [I] 1.4. ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ H,θ,0 ˆ θ,0 (2) D =D . (3) On a l’égalité s˜ = ˜ˆι(t˜).

ˆ  et G ˆ  sont les composantes neutres des commutants de t˜ et s˜, on Puisque H a une suite exacte ˆ ˆ θ,0 ˆ → G ˆ  → 1. 1→D →H (4) On a l’égalité G  = ˆ˜ι(H ). ˆ → Z(G). ˆ Il en résulte que a est le composé de b et de la projection Z(H)

VI.3. Endoscopie

667

(5) On a l’égalité Vram (H ) = Vram (H). (6) La donnée H est relevante et vérifie l’hypothèse (Hyp) de [I] 6.4. ˜ i , bi ) et H = Considérons pour i = 1, 2 des familles de données (Hi , H i   ˜ (Hi , Hi , ti ) vérifiant les hypothèses (1) à (6). On peut dire que la famille indexée par 2 domine la famille indexée par 1 s’il existe un homomorphisme injectif κ : H1 → H2 ˜1 → H ˜ 2 de sorte que les hypothèses suivantes et une application compatible κ ˜:H soient vérifiées : – les diagrammes  ι1 G  ι2

H1 ↓κ

et

˜ G

 ˜ι1  ˜ι2

H2

˜1 H ↓κ ˜ ˜2 H

sont commutatifs ; ˜ 2 → LH ˜ 1 les applications déduites de κ, ˆ˜ : L H en notant κ ˆ : L H2 → L H1 et κ ˜ (t˜2 ) = t˜1 et κ ˆ (H2 ) = H1 . – Lκ Lemme. (i) Il existe des données vérifiant les hypothèses (1) à (6). ˜ i , bi ) et H = (H  , H , t˜i ) pour i = 1, 2 (ii) Pour deux familles de données (Hi , H i i i vérifiant toutes deux les hypothèses (1) à (6), il existe une troisième famille vérifiant les mêmes hypothèses et les dominant toutes deux. Preuve. Notons T ∗ le tore maximal de G muni de l’action galoisienne quasidéployée. Il est aussi muni de l’automorphisme θ∗ . Posons H = (G×T ∗ )/ diag− (Z(G)) où diag− est le plongement anti-diagonal ˜ le quotient de G ˜ × T ∗ par Z(G) agissant anti-diagonalement par et notons H ˜ par multiplication à gauche. On définit deux actions de G × T ∗ sur H (g, t)(γ, τ )(g  , t ) = (gγg  , tτ θ∗ (t )). ˜ qui font de H ˜ un espace Ces actions se descendent en des actions de H sur H tordu sous H. On a une suite exacte ∗ →1 1 → G → H → D = Tad ι

˜→H ˜ qui à γ associe l’image de (γ, 1) dans H. ˜ et un plongement compatible ˜ι : G ∗ ∗ Notons que le centre de H est (Z(G) × T )/ diag− (Z(G))  T . Donc (7) le centre Z(H) est connexe.

668

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ adaptée à s˜ On choisit une paire de Borel épinglée Eˆ = (B, et on écrit s˜ = sθˆ avec s ∈ Tˆ , cf. [I] 1.5. Cette paire se relève en une paire de Borel ˆ On note Tˆ H le tore de cette paire et encore θˆ l’automorphisme de épinglée de H. ˆ H associé à cette paire. Prouvons que l’égalité (2) est vérifiée. Il s’agit de prouver que la suite ˆ ˆ ˆ ˆ θ,0 → Tˆ H,θ,0 → Tˆ θ,0 → 1 1→D est exacte. Il revient au même de prouver que la suite ˆ θˆ → X∗ (TˆH )θˆ → X∗ (Tˆ )θˆ → 0 0 → X∗ (D) est exacte. Seule la surjectivité finale pose problème. Les actions galoisiennes n’interviennent pas ici. On peut travailler sur F¯ et identifier T ∗ à un sous-tore de G. Posons T ∗H = (T ∗ × T ∗ )/ diag− (Z(G)), qui est un sous-tore maximal de H. La surjectivité à prouver équivaut à celle de l’homomorphisme X ∗ (T ∗H )θ → X ∗ (T ∗ )θ issue du plongement t → (t, 1) de T ∗ dans T ∗H . Mais on a aussi un homomorphisme T ∗H → T ∗ défini par (t1 , t2 ) → t1 t2 dont le composé avec le précédent est l’identité de T ∗ . Ainsi l’homomorphisme ci-dessus s’inscrit dans une suite X ∗ (T ∗ )θ → X ∗ (T ∗H )θ → X ∗ (T ∗ )θ dont le composé est l’identité. La deuxième flèche est donc surjective, comme on le voulait. ˜ a), le groupe H est non ramifié sur Fv . Puisque Pour v ∈ Val(F ), v ∈ Vram (G, GAD = HAD , le sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ) détermine un tel ˜ H = K H ˜ι(K ˜ v ) est un espace hyperspécial sous-groupe KvH de H(Fv ). L’espace K v v pour ce groupe. ˆ La relation (3) est On choisit t ∈ Tˆ H d’image s dans Tˆ et on pose t˜ = tθ. ˆ θ,0 ˆ  . Il s’en ˆ au tore d’une paire de Borel épinglée de G vérifiée. On peut identifier T déduit une structure galoisienne sur ce tore, de la forme σ → σG = ωG (σ) ◦ σG , où ωG est un cocycle à valeurs dans W θ . Ce groupe W θ est le même pour G ou H. On peut donc relever l’action précédente en une action σ → σH  = ωG (σ) ◦ σH de ˆ ΓF sur Tˆ H,θ,0 . Ces actions se prolongent en des actions sur Tˆ et Tˆ H . Remarquons que ces actions sont non ramifiées en v pour v ∈ Val(F ) − Vram (G ). Notons Tˆ  ,    ˆ ˆ resp. Tˆ G , Tˆ H , Tˆ H , les tores Tˆ , resp. Tˆ θ,0 , Tˆ H , Tˆ H,θ,0 , munis de ces structures.     On note T G et T H les tores duaux de Tˆ G et Tˆ H définis sur F . D’après le lemme  ˆ ˆ θ,0 , 3.2 et la relation (3) de sa preuve, on peut prolonger le plongement Tˆ H → H  G  ˆ resp. T → G en des plongements L

H

T (x, w)

ˆ ˆ θ,0 → H  WF  → (xh1 (w), w),

VI.3. Endoscopie

669

resp. L

G

T (x, w)

→ G ⊂ LG  → (xg  (w), w),

tels que, pour v ∈ Vram (G ) et w ∈ Iv , on ait h1 (w) = 1 et g  (w) = 1. Quotientons ˆ ˆ ∩ Tˆ H,θ,0 ˆ ∩ TˆH  = D . On obtient un plongement le premier par D G

L

T (x, w)

→  →

ˆ ˆ θ,0 G  WF (xˆι(h1 (w)), w)

Les deux plongements précédents ne peuvent différer que par un cocycle. C’est-àdire qu’il existe un cocycle u : WF → Tˆ tel que g  (w) = u(w)ˆι(h1 (w)) pour tout w. Pour v ∈ Val(F ) − Vram (G ) et w ∈ Iv , on a u(w) = 1. En appliquant 3.2(2) à la suite exacte ˆ → Tˆ H → Tˆ → 1, 1→D on voit que l’on peut relever u en un cocycle uH : WF → Tˆ H tel que ˆι ◦ uH = u de sorte que, pour tous v ∈ Val(F ) − Vram (G ) et w ∈ Iv , on ait uH (w) = 1. On pose h (w) = uH (w)h1 (w). L’application L

H

T (x, w)

L → H   → (xh (w), w)

ˆ tel que est alors un homomorphisme. Pour w ∈ WF , soit b(w) ∈ H (8)

adt˜(h (w), w) = (b(w)h (w), w).

ˆ tel En projetant dans L G on voit que b(w) se projette sur l’élément a(w) de Z(G)   ˆ que ads˜(g (w), w) = (a(w)g (w), w). Donc b(w) ∈ Z(H). L’équation (8) oblige b à ˆ être un cocycle. On note b sa classe modulo ker1 (WF ; Z(H)). Elle se projette sur  0  ˆ  . On note ˆ ˜ a. On note H = ZHˆ (t) . L’équation (8) oblige (h (w), w) à normaliser H    ˆ H le groupe engendré par H et les (h (w), w) pour w ∈ WF . C’est une extension ˆ  . Elle détermine une action galoisienne sur ce groupe qui en conserve une de H ˆ  d’une telle paire de G ˆ paire de Borel épinglée : par exemple le relèvement dans H  conservée par l’action galoisienne. On note H le groupe quasi-déployé sur F dont ˆ  muni de cette structure galoisienne. Alors (H  , H , t˜) est une le L-groupe est H ˜ b) et la relation (3) est vérifiée. Cette donnée donnée endoscopique pour (H, H, est non ramifiée en tout v ∈ Val(F ) − Vram (G ) car, pour une telle place, on a h (w) = 1 pour w ∈ Iv . Montrons que cette donnée est relevante. Dualement à ˆ ι ˆ ˜ ˆ → G , on a un homomorphisme ι : G → H  qui est défini l’homomorphisme H ˜ → Z(H). ˜ sur F . On a aussi des plongements compatibles Z(G) → Z(H) et Z(G) L’homomorphisme ι se prolonge en ˜  = G ×Z(G) Z(G) ˜ →H ˜  = H  ×Z(H) Z(H). ˜ ˜ι : G

670

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  (F ) n’est pas vide, H ˜  (F ) ne l’est pas non plus. Remarquons que, Puisque G  . Il y a donc une bijection par construction, on a GSC = HSC et GSC = HSC entre paires de Borel pour G et pour H, et entre paires de Borel pour G et pour H  . Soit v ∈ Val(F ). Puisque G est relevante, on peut fixer un diagramme ˜  (Fv ), γ ∈ G(F ˜ v ) et γ fortement régulier. Notons δ H  (δ, B  , T  , B, T, γ) avec δ ∈ G H  ˜ (Fv ) et de γ dans H(F ˜ v ). Notons (B H  , T H  ) la et γ les images de δ dans H    H paire de Borel de H correspondant à (B , T ) et (B , T H ) la paire de Borel de H    correspondant à (B, T ). Alors (δ H , B H , T H , B H , T H , γ H ) est un diagramme et γ H est fortement régulier. Donc Hv est relevante. Pour achever la preuve de (i), il reste à prouver que H vérifie l’hypothèse (Hyp). Elle va être assurée par (7). On peut aussi bien revenir aux données initiales et prouver (9) si Z(G) est connexe et que G est relevante, alors G vérifie l’hypothèse (Hyp). Pour v ∈ Vram (G ), l’hypothèse que Gv est relevante permet de fixer un soustore maximal Tv de G , défini sur Fv , tel qu’il existe (δv , γv ) ∈ D(Gv ) de sorte que δv ∈ T˜v (Fv ). Fixons un élément Yv ∈ tv (Fv ) régulier dans g (Fv ). On peut fixer un élément Y ∈ g (F ) dont la composante en v soit aussi proche que l’on veut de Yv pour tout v ∈ Vram (G ). Notons T  le commutant de Y . C’est un sous-tore maximal de G , défini sur F . Si la composante de Y en v est assez proche de Yv , ce tore est conjugué à Tv par un élément de G (Fv ). Il vérifie donc la même condition que Tv . Il faut montrer qu’il vérifie aussi cette condition pour v ∈ Vram (G ). Pour une telle place, on peut identifier la paire de Borel épinglée de G à une paire E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) définie sur Fv et dont Kv soit le groupe hyperspécial associé. ˜ E ∗ )(Fvnr ) ∩ T ∗ (onr ˜ D’après [I] 6.2, on peut fixer e ∈ Z(G, v )Kv , avec les notations ¯ de cette référence. Soit z : ΓFv → Z(G; Fv ) l’application telle que σ(e) = z(σ)−1 e. nr Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs dans Z(G; F¯v ) ∩ T ∗ (onr v ) = Z(G; ov ). Puisque Z(G) est connexe, un tel cocycle est un cobord. Quitte à multiplier e par ˜ ∗ ˜ un élément de Z(G; onr v ), on a donc e ∈ Z(G, E )(Fv ) ∩ Kv . Posons θ = ade et    fixons un sous-groupe de Borel B de G contenant T . Grâce à [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ GθSC (F¯v ) de sorte qu’en posant adx−1 (B ∗ , T ∗ ) = (Bv , Tv ), le tore Tv soit défini sur Fv et l’homomorphisme ξTv ,T  déduit de (Bv , Tv ) et de (B  , T  ) soit équivariant pour les actions galoisiennes. Posons Ev = adx−1 (E ∗ ). Puisque ˜ Ev )(Fv ). On fixe ν ∈ Tv (Fv ) en position x commute à θ, on a encore e ∈ Z(G, ˜  ; Fv ) est l’image générale, on pose μ = ξTv ,T  (ν), γv = νe et δv = μe , où e ∈ Z(G    de e. Alors (δv , B , T , B, T, γv ) est un diagramme avec δv ∈ T˜ (Fv ) et γv fortement régulier. Cela démontre (9) et le (i) de l’énoncé. Soient maintenant deux familles comme dans le (ii) de l’énoncé. Pour i = 1, 2, ˜ i au quotient de on peut écrire Hi = (G × Z(Hi ))/ diag− (Z(G)) et identifier H ˜ (G × Z(Hi )) par Z(G) agissant anti-diagonalement par multiplication à gauche. Posons Z12 (G) = {(z, z1 , z2 ) ∈ Z(G); zz1 z2 = 1}. Posons H = (G × Z(H1 ) × ˜ le quotient de G ˜ × Z(H1 ) × Z(H2 ) par l’action de Z(H2 ))/Z12 (G) et notons H ˜ d’une structure d’espace tordu Z12 (G) par multiplication à gauche. On munit H

VI.3. Endoscopie

671

sur H comme au début de la preuve de (i). Il y a un diagramme naturel d’homomorphismes  ι1

H1

 κ1 H.

G  ι2

 κ2 H2

On vérifie qu’ils ont tous injectifs. L’homomorphisme composé ι s’insère dans une suite exacte ι

1 → G → H → D1 × D2 → 1 . Tous les homomorphismes se prolongent en des applications compatibles entre ˆ est le produit fibré de H ˆ1 les espaces tordus correspondants. Du côté dual, H ˆ ˆ et H2 au-dessus de G. Comme dans la preuve de (i), on fixe une paire de Borel ˆ de tore Tˆ de sorte que s˜ = sθˆ avec s ∈ Tˆ . Elle se relève en des épinglée de G ˆ 1 et H ˆ 2 de tores Tˆ1 et Tˆ2 . Pour i = 1, 2, on a t˜i = ti θˆ avec ti ∈ Tˆi . paires pour H ˆ On définit H comme l’ensemble des éléments On pose t = (t1 , t2 ) et t˜ = tθ. L (x1 , x2 , w) ∈ H tels que (x1 , w) ∈ H1 et (x2 , w) ∈ H2 . Comme dans la preuve de (i), on associe à ces données un groupe H  défini et quasi-déployé sur F , ainsi ˜ b) qu’une classe de cocycle b. On laisse le lecteur vérifier que les données (H, H,  et H = (H  , H , t˜) satisfont les conditions requises. ˜ qui sont indépendants Remarque. La preuve fournit un groupe H et un espace H  de la donnée endoscopique G .

VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général ˜ a). Soit V un enSoit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G,  ˜ b) semble fini de places de F contenant Vram (G ). Considérons des données (H, H,    ˜ et H = (H , H , t) vérifiant les hypothèses (1) à (6) du paragraphe précédent. ˜ 1 , C1,H , ξˆ1,H pour H , non ramiConsidérons aussi des données auxiliaires H1 , H   fiées hors de V . On a une projection H1 → H , un homomorphisme ι : G → H  , ˆ → G ˆ  . Notons G le produit fibré de H  défini sur F , et la projection duale ˆι : H 1 1   et G au-dessus de H et posons C1 = C1,H . On a la suite exacte 1 → C1 → G1 → G → 1. ˜ = Comme on l’a vu dans la preuve de 3.8, de ι se déduit une application ˜ι : G     ˜ →H ˜ = H ×Z(H) Z(H). ˜ On définit G ˜ 1 comme le produit fibré G ×Z(G) Z(G)    ˜ ˜ ˜ ˜ → G ˜  est compatible de H1 et G au-dessus de H . La projection naturelle G 1 avec la suite exacte ci-dessus. Du côté des groupes duaux, on vérifie que l’on a un

672

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

diagramme commutatif

1 1

1 ↓ ˆ ˆ θ,0 D ↓ ˆ → H ↓ ˆ → G ↓ 1

1 ↓ ˆ ˆ θ,0 = D ↓ ˆ → H1 ↓ ˆ 1 → G ↓ 1

→ Cˆ1  → Cˆ1

→ 1 → 1

dont toutes les suites sont exactes. On a aussi une suite exacte ˆ θ,0 → H → G  → 1 . 1→D ˆ

 ˆ ˆ θ,0 En quotientant par D , il se déduit du plongement ξˆ1,H : H → L H 1 un plongement  ξˆ1 : G  → L G1 . ˜ 1 , C1 , ξˆ1 sont des données auxiliaires pour G qui sont non Les données G1 , G ramifiées hors de V . On les complète par une famille d’espaces hyperspéciaux  ˜ 1,v )v∈V vérifiant les conditions usuelles, cf. 1.1. Les groupes G et H  ont même (K groupe adjoint. Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial Kv détermine   donc de tels sous-groupes KH,v de H  (Fv ) puis K1,H,v de H1 (Fv ). Alors l’ensemble  ˜  ) est un espace hyperspécial de H ˜  (Fv ). On le note K ˜ ˜ι1 (K K1,H,v 1,v 1,v 1,H,v . La fa˜ ) vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. On complète mille (K 1,H,v v∈V les données auxiliaires H1 etc. . . par cette famille. ˜  et Pour toute place v, on introduit les ensembles Dv et D1,v relatifs à G    ˜ ˜ ˜ G1 sur Fv et les ensembles similaires DH,v et D1,H,v relatifs à H et H1 . On a vu dans la preuve de 3.8 que pour (δ, γ) ∈ Dv , on a (˜ι (δ), ˜ι(γ)) ∈ DH,v . Il en ˜ → H ˜  est résulte que, pour (δ1 , γ) ∈ D1,v , on a (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ)) ∈ D1,H,v , où ˜ι1 : G 1 1  l’application naturelle. Puisque H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer les constructions de la preuve de la proposition 3.7 : de nos choix d’espaces hyperspéciaux  se déduit un facteur de transfert normalisé, notons-le  Δ1,H,V sur D1,H,V = v∈V D1,H,v . On définit une fonction Δ1,V sur D1,V = v∈V D1,v par Δ1,V (δ1 , γ) = Δ1,H,V (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ)). On a (1) Δ1,V est un facteur de transfert.

Preuve. Puisque Δ1,H,V en est un, il suffit de prouver que (2) pour toute place v et tous (δ1 , γ), (δ 1 , γ) ∈ D1,v , on a l’égalité Δ1,H,v (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ); ˜ι1 (δ 1 ), ˜ι(γ)) = Δ1,v (δ1 , γ; δ1 , γ). On reprend les définitions de [I] 2.2 en ajoutant judicieusement des indices ˜ Les facteurs ΔII intervenant sont les mêmes des H pour les termes relatifs à H.

VI.3. Endoscopie

673

deux côtés car ces facteurs sont insensibles aux centres et on a GAD = HAD ,  . Il faut comparer les facteurs Δimp,H,v et Δimp,v . On a des égalités GAD = HAD  −1 , Δimp,v (δ1 , γ; δ1 , γ) = (V, ν 1 ), (Vˆ1 , s)  −1 Δimp,H,v (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ); ˜ι1 (δ 1 ), ˜ι(γ)) = (VH , ν 1,H ), (Vˆ1,H , t) , les produits étant respectivement ceux sur 1−θ 1−θˆ ˆ ) H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ) × H 1,0 (WFv ; Sˆ1 → U

et 1−θ 1−θˆ ˆ H 1,0 (ΓFv ; UH → S1,H ) × H 1,0 (WFv ; Sˆ1,H → U H ).

En fait, on a UH = U et des homomorphismes duaux S1 → S1,H , Sˆ1,H → Sˆ1 . En choisissant convenablement les données auxiliaires intervenant, on vérifie que (Vˆ1 , s) est l’image naturelle de (Vˆ1,H , t) par l’homomorphisme 1−θˆ ˆ 1−θˆ ˆ 1,0 H 1,0 (WFv ; Sˆ1,H → U (WFv ; Sˆ1 → U ), H) → H

tandis que (VH , ν 1,H ) est l’image naturelle de (V, ν 1 ) par l’homomorphisme dual 1−θ

1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ) → H 1,0 (ΓFv ; UH → S1,H ). L’égalité (2) résulte alors simplement de la compatibilité des produits. Cela prouve (2) et (1).  Pour v ∈ V , on a deux facteurs de transfert normalisés Δ1,v sur D1,v et Δ1,H,v sur D1,H,v . Pour (δ1,v , γv ) ∈ D1,v , on a l’égalité (3) Δ1,v (δ1,v , γv ) = Δ1,H,v (˜ι1 (δ1,v ), ˜ι(γv )). La preuve est similaire à celle de (2). Comme en 3.7, de l’existence du facteur de transfert Δ1,V va résulter la proposition suivante. Proposition. Il existe un isomorphisme canonique Cc∞ (GV )  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). ˜ b) etc. . . et on construit le facteur de transPreuve. On choisit des données (H, H, fert Δ1,V sur D1,V . Comme en 3.7, on a alors les isomorphismes ∞ ˜ 1 (FV ))  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ), (G Cc∞ (GV )  Cc,λ 1

˜  )v∈V et le second au facteur de transfert le premier étant relatif aux données (K 1,v Δ1,V . Le composé de ces isomorphismes fournit celui de l’énoncé.

674

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On doit montrer qu’il est «canonique», c’est-à-dire qu’il ne dépend pas des données auxiliaires. ˜ b), H = (H  , H , t˜), mais remplaçons H  , Conservons les données (H, H, 1  ˆ ˜ ˜ 2 , C2,H , ξˆ2,H . On en déduit H1 , C1,H , ξ1,H par d’autres données auxiliaires H2 , H ˜  , C2 , ξˆ2 pour G . On fixe des familles de nouvelles données auxiliaires G2 , G 2    ˜ ˜ ˜ ˜  est un sous-espace hyperspécial de (K1,v )v∈V et (K2,v )v∈V où K1,v , resp. K 2,v ˜ 1 (Fv ), resp. G ˜ 2 (Fv ). Il s’en déduit des familles (K ˜ ˜ G 1,H,v )v∈V et (K2,H,v )v∈V où    ˜ ˜ ˜ ˜ 2 (Fv ). K1,H,v , resp. K2,H,v est un sous-espace hyperspécial de H1 (Fv ), resp. H Comme dans la preuve de 3.7, on a deux isomorphismes ∞ ∞ ˜ 1 (FV ))  Cc,λ ˜ 2 (FV )) (G (G Cc,λ 1 2

dont nous voulons prouver qu’ils sont égaux. Ils sont donnés par des fonctions de ˜12,Δ,V sur G ˜ 12,K,V et λ ˜  (FV ). Comme en 3.7, il s’agit de prouver recollement λ 12 que ces fonctions sont égales. Mais pour H , on a aussi des fonctions de recollement  ˜ 12,H,K,V et λ ˜12,H,Δ,V sur H ˜ 12 λ (FV ). Des applications ˜ι1 et ˜ι2 (avec des notations ˜ → H ˜  . Il résulte des définitions et évidentes) se déduit une application ˜ι12 : G 12 12 de (2) et (3) que l’on a les égalités ˜12,H,K,V ◦ ˜ι , λ ˜12,Δ,V = λ ˜ 12,H,Δ,V ◦ ˜ι . ˜ 12,K,V = λ λ 12 12 Parce que H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer la preuve de 3.7 ˜ 12,H,K,V = λ ˜ 12,H,Δ,V . L’égalité cherchée λ ˜12,K,V = λ ˜ 12,Δ,V qui montre l’égalité λ s’ensuit. ˜ b), H = (H  , H , t˜), Remplaçons maintenant les données auxiliaires (H, H, ˜  ˜ ¯ H, ¯ b) etc. . . vérifiant les mêmes conditions. En H1 , H1 , C1,H , ξˆ1,H par d’autres (H, ˜ b) et H = (H  , H , t˜ ) utilisant le lemme 3.8 (ii), on introduit des données (H, H, ˜¯ b) et H . On peut fixer des données ¯ H, ˜ b) et H ainsi que (H, qui dominent (H, H,  ˜ , C , ξˆ . On peut décomposer la preuve en deux : prouver auxiliaires H  , H 1

1

1,H

1,H

que l’isomorphisme ne change pas quand on remplace les données H etc. . . par les données H etc. . . puis qu’il ne change pas quand on remplace les données H ¯ etc. . . Les deux assertions sont similaires. On peut ne démontrer etc. . . par H ¯ etc. . . On s’est ainsi ramené au que la première partie et oublier les données H ˜ b) et H = (H  , H , t˜ ) dominent (H, H, ˜ b) et H . En cas où les données (H, H, ˜ → H ˜ et, particulier, on a des plongements compatibles κ : H → H, κ ˜ : H ˆ˜ . On a aussi des homomorphismes compatibles dualement, des plongements κ ˆ et κ ˜ → H ˜  . Le même procédé qui nous a permis de déduire de ˜ : H κ : H  → H  et κ H1 etc. . . des données auxiliaires G1 etc. . . nous permet maintenant de déduire des ˜  etc. . . Par données H 1 etc. . . des données auxiliaires pour H , que l’on note H2 , H 2     exemple, H2 est le produit fibré de H et H 1 au-dessus de H . D’après ce que l’on a déjà démontré, notre isomorphisme est insensible au changement de ces données auxiliaires, on peut donc supposer que H1 = H2 etc. . . Il résulte des constructions ˜ 1 , C1 , ξˆ1 pour G déduites de H1 etc. . . sont les que les données auxiliaires G1 , G

VI.3. Endoscopie

675

mêmes que celles déduites de H 1 etc. . . On a d’ailleurs C1 = C1,H = C1,H . On ˜  )v∈V d’espaces hyperspéciaux, dont on déduit des familles fixe une famille (K 1,v   ˜ ˜ )v∈V . Pour v ∈ V , ces familles déterminent des facteurs (K1,H,v )v∈V et (K1,H,v de transfert normalisés Δ1,H,v et Δ1,H,v . On démontre les assertions similaires à (2) et (3) : (4) pour v ∈ Val(F ) et (δ1,v , γv ), (δ 1,v , γ v ) ∈ D1,H,v , on a l’égalité κ1 (δ1,v ), κ ˜ (γv ); κ ˜1 (δ 1,v ), κ ˜ (γ v )) = Δ1,H,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ); Δ1,H,v (˜ (5) pour v ∈ V et (δ1,v , γv ) ∈ D1,H,v , on a l’égalité κ1 (δ1,v ), κ ˜ (γv )) = Δ1,H,v (δ1,v , γv ). Δ1,H,v (˜  de H  vérifiant l’hypothèse (Hyp) et construisons Fixons un tore maximal TH ˜  (AF ) × H(A ˜ F ) comme en 3.6. Alors le commutant T  de des éléments (δ1 , γ) ∈ H 1 H ˜  (AF ) × κ (δ1 ), κ ˜ (γ)) ∈ H κ (T  ) dans H  vérifie l’hypothèse (Hyp) et les éléments (˜ 1 ˜ F ) vérifient les hypothèses de ce paragraphe. De plus, on a H(A

(6)

ΔH (δ1 , γ) = ΔH (˜ κ (δ1 ), κ ˜ (γ)).

La preuve est similaire à celle de (2). Il résulte de (4), (5) et (6) que, pour (δ1,V , γV ) ∈ D1,H,V , on a l’égalité Δ1,H,V (˜ κ1 (δ1,V ), κ(γV )) = Δ1,H,V (δ1,V , γV ). ˜→H ˜ est le composé du plongement similaire ˜ιH : G ˜→H ˜ et Le plongement ˜ιH : G    de κ ˜ . De même, l’application ˜ιH est la composée de ˜ιH et de κ ˜ . L’égalité précédente montre que le facteur de transfert Δ1,V pour G déduit de Δ1,H,V est le même que celui déduit de Δ1,H,V . Donc l’isomorphisme ∞ ˜  (FV )) (G ⊗v∈V Cc∞ (Gv )  Cc,λ 1 1

est inchangé quand on remplace les données H etc. . . par H etc. . . L’isomorphisme ∞ ˜ 1 (FV )) Cc∞ (G V )  Cc,λ (G 1

˜  )v∈V . Cela ne change pas non plus puisqu’il ne dépend que de la famille (K 1,v achève la preuve.  Remarque. En 3.3, on a défini l’espace Cc∞ (G V ) en supposant G relevante et V ⊃ Vram (G ). Supposant toujours G relevante et soit V un ensemble fini quelconque de places de F . On peut poser Cc∞ (G V ) = ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). Il n’y a pas d’ambiguïté puisque la proposition précédente affirme que, dans le domaine commun des deux définitions (c’est-à-dire quand V contient Vram (G )), les deux espaces ainsi définis sont canoniquement isomorphes.

676

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.3.10 Adaptation aux K-espaces Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de ce K-espace. On fixe un ensemble fini V de places contenant Vram et des données auxiliaires non ramifiées hors de V . Soit v une place de F . Le bifacteur Δ1,v s’étend à tout le K-espace, c’est-àdire que l’on peut définir des termes Δ1,v (δ1 , γ; δ1 , γ) pour deux couples (δ1 , γ), ˜ p (Fv ) et γ ∈ G ˜ p (Fv ). La définition est la même (δ 1 , γ) se correspondant, avec γ ∈ G qu’en [I] 2.3. Avec les définitions de 1.16, on a les égalités Δ1,v (δ1 , γ; δ , γ) = Δ1,v (δ1 , φ˜  (γ); δ , φ˜  (γ)), si v est finie ou complexe ; 1

p ,p

Δ1,v (δ1 , γ; δ 1 , γ) =

1

p ,p

˜ ˜ ω(hp h−1 p )Δ1,v (δ1 , φp ,p (γ); δ 1 , φp ,p (γ))

si v est réelle.

Considérons les deux hypothèses Hyp . Il existe un sous-tore maximal T  de F , défini sur F , de sorte que, pour toute place v de F , il existe pv ∈ Π et un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) avec ˜ pv (Fv ) ; δv ∈ T˜  (Fv ) et γv ∈ G Hyp . Il existe un sous-tore maximal T  de F , défini sur F , et un élément p ∈ Π de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) ˜ p (Fv ). avec δv ∈ T˜  (Fv ) et γv ∈ G Elles sont équivalentes. En effet, la seconde implique évidemment la première. Supposons Hyp vérifiée. Pour toute place réelle, fixons pv vérifiant cette hypothèse. D’après le lemme 1.16, il existe p ∈ Π, d’ailleurs unique, tel que p soit v-équivalent à pv pour toute place v réelle. On voit alors que cet p vérifie Hyp . Supposons ces hypothèses vérifiées. On fixe T  et p vérifiant Hyp . Appli˜ p , on construit un couple (δ1 , γ) quant la construction de 3.6 à la composante G ˜ avec γ ∈ Gp (AF ) et un terme Δ(δ1 , γ). Si on remplace les données T  , p, δ1 et γ par d’autres données T  , p, δ 1 et γ, la proposition 3.6(ii) est encore vérifiée, les bifacteurs étant étendus comme ci-dessus au K-espace. La seule modification à faire à la démonstration est la suivante : en 3.6, on a fixé r ∈ GSC (F¯ ) tel que adr (E ∗ ) = E ∗ et on a posé uE ∗ (σ) = ruE ∗ (σ)σ(r)−1 ; il faut maintenant fixer r ∈ Gp,SC (F¯ ) tel que adr ◦φp,p (E ∗ ) = E ∗ et poser uE ∗ (σ) = rφp,p (uE ∗ (σ))∇p,p (σ)σ(r)−1 . Cette construction une fois faite, le reste des paragraphes 3.6 et 3.7 s’adapte sans changement aux K-espaces. Les paragraphes 3.8 et 3.9 s’adaptent aussi de la façon suivante. Fixons p ∈ Π et effectuons les constructions de 3.8 pour la composante Gp . On construit donc ˜ p comme en 3.8 relatif à Gp et G ˜ p . Pour q ∈ Π, on un groupe Hp et un espace H ˜ ¯ ˜ p ; on introduit un groupe Hq et un espace Hq : sur F , ils sont égaux à Hp et H H H ˜q → H ˜ p , on définit les actions galoinotant les identités φp,q : Hq → Hp et φ˜p,q : H H −1 ˜ = ad∇p,q (σ) siennes sur Hq et Hq de sorte que l’on ait les égalités φH p,q ◦ σ(φp,q )

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

677

˜H −1 = ad∇ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . On a alors des plongements et φ˜H p,q ◦ σ(φp,q ) p,q ˜q → H ˜ q définis sur F de sorte que les diagrammes suivants soient Gq → Hq et G commutatifs ˜p ˜p → Hp → H Gp G ˜p,q ↑ φp,q ↑ φH ↑ φ ↑ φ˜H p,q p,q ˜ ˜ Gq Gq → Hq → Hq . ˜ q )q∈Π n’a pas de raison d’être un K-espace au sens de 1.16 car La collection (H les applications H 1 (F ; Gq ) → H 1 (F ; Hq ) ne sont pas bijectives en général. Mais les conditions précises imposées en 1.16 ne servent qu’aux formules d’inversion de [I] 4.9. Elles ne sont pas nécessaires pour définir les facteurs de transfert de ˜ la la même façon que ci-dessus. Par abus de notations, on notera encore K H ˜ q )q∈Π . Alors, comme en 3.9, on définit les facteurs de transfert pour collection (H ˜ On obtient les cette collection puis on les restreint au K-espace de départ K G. mêmes conséquences qu’en 3.9.

VI.4 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et soit On suppose (G, G, V un ensemble fini de places. Posons st st ˜ (FV )) = Dst ˜ ˜ ˜ Dst (M ˜ -équi (M (FV )) + Dtr-orb (M (FV )) ⊂ Dg´ eom (M (FV )). g´ eom,G

On va définir une forme bilinéaire ˜

G (δ, f ) → SM ˜ (δ, f )

sur le produit 

 ˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ × Cc∞ (G(F ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) . Dst (M Le théorème qui suit énonce une de ses propriétés clés. On le prouvera au paragraphe suivant. ˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ , la distribution f → Théorème. Pour tout δ ∈ Dst (M ˜ G ˜ V )) ⊗ SM˜ (δ, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise par la projection de Cc∞ (G(F ˜ Mes(G(FV )) dans SI(G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )). Conformément à nos hypothèses de récurrence, on admet cette propriété ˜  ) vérifiant les mêmes hypothèses que (G, G) ˜ et tels que pour les couples (G , G  dim(GSC ) < dim(GSC ). Supposons définie notre forme bilinéaire. On doit étendre la définition à la situation «avec caractère central» de 1.15. On doit aussi montrer que, pour deux

678

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 12,V comme dans ce ˜ 1, G ˜ 2 de G ˜ et pour une fonction de recollement λ extensions G paragraphe, les deux définitions de la forme bilinéaire se recollent. Admettons cela ˜  ) comme ci-dessus. Soit s ∈ Z(M ˆ )ΓF . On par récurrence pour les couples (G , G  définit la donnée endoscopique G (s) comme dans le cas local (cf. [I] 3.3), dont la ˆ ΓF , donnée endoscopique maximale M est une «donnée de Levi». Pour s ∈ Z(G)  on a dim(G (s)SC ) < dim(GSC ) et les propriétés formelles ci-dessus permettent G (s) de définir SM (δ, f ) pour δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M (FV ))∗ et f ∈ SI(G (s)V ) ⊗ Mes(G (FV )). On définit d’autre part  ˆ  (s))ΓF : Z(G) ˆ ΓF ]−1 , si G (s) est elliptique, [Z(G  ˜ ˜ iM˜ (G, G (s)) = 0, sinon. On peut alors poser la définition  ˜ ˜ G G SM ˜ (δ, f ) = IM ˜ (δ, f ) −



˜ G ˜  (s))S G (s) (δ, f G (s) ). iM˜ (G, M

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

Il est clair que cette forme est invariante en f , c’est-à-dire ne dépend que de ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). l’image de f dans I(G(F

VI.4.2 Formules de décomposition La situation est la même que dans le paragraphe précédent. Le lien entre la forme bilinéaire qu’on y a définie et ses avatars locaux définis en [II] 1.10 et [V] 1.4 et ˜2 ∈ ˜ 1, L 2.4 est donné par la proposition suivante. Soient deux espaces de Levi L ˜ G G G ˜ 1, L ˜ 2 ) = 0. Alors A ∩ A = {0}. Cette condition entraîne ˜ ) tels que d (L L(M ˜ L1 L2 M dualement que l’homomorphisme ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF → Z(M ˆ )ΓF /Z(L ˆ 1 )ΓF ⊕ Z(M ˆ )ΓF /Z(L ˆ 2 )ΓF Z(M ˜ ˜ G ˜ est surjectif et de noyau fini. On note kM ˜ (L1 , L2 ) le nombre d’éléments de ce noyau ˜ ˜ ˜ ˜ 1, L ˜ 2 ) = dG (L ˜ 1, L ˜ 2 )k G (L ˜ 1, L ˜ 2 )−1 . Si au contraire dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ) = 0, et on pose eG (L ˜ M

˜ M

˜ M

˜ M

˜ ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜v ˜ ˜ ˜V on pose eG ˜ (L1 , L2 ) = 0. Soit L = (L )v∈V ∈ L(MV ) tel que dM ˜ V (M , L ) = 0. M Cette condition entraîne encore que l’homomorphisme

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF → ⊕v∈V Z(M ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v )ΓFv Z(M ˜ G ˜ ˜V est surjectif et de noyau fini. On note kM ˜ V (M , L ) le nombre d’éléments de ce ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜ ˜ V G˜ (M ˜,L ˜ V )−1 . Si au contraire noyau et on pose eG ˜ V (M , L ) = dM ˜ V (M , L )kM ˜V M ˜ ˜,L ˜ V ) = 0, on pose eG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0. dG (M ˜V M

˜V M

˜ (FV ))⊗ Mes(M (FV ))∗ et f = ⊗v∈V fv ∈ Proposition. Soient δ = ⊗v∈V δ v ∈ Dst (M ∞ ˜ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )).

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

679

(i) On a l’égalité 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜

˜ ˜V eG ˜ V (M , L ) M

˜ V ∈L(M ˜V ) L



˜v

L SM ˜ v ). ˜ v (δ v , fv,L

v∈V

(ii) Supposons V réunion disjointe de V1 et V2 . Pour i = 1, 2, posons δ i = ⊗v∈Vi δ v et fi = ⊗v∈Vi fv . Alors 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜1 ˜2 ˜ ˜ L L ˜ eG ˜ 1 )SM ˜ 2 ). ˜ (L1 , L2 )SM ˜ (δ 1 , f1,L ˜ (δ 2 , f2,L M

˜ 1 ,L ˜ 2 ∈L(M ˜) L

(iii) Supposons V réduit à une place v. Alors 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜

˜v

˜ ˜ v L˜ (δ, f ˜ v ). eG ˜ v (M , L )SM L M v

˜ v ∈L(M ˜ v) L

Preuve. On ne démontre pas cette proposition car nous ferons une démonstration analogue au paragraphe 4.4, dans une situation plus générale. On va simplement montrer ici que (i) est équivalente à la réunion des deux assertions (ii) et (iii). On va commencer par l’implication (ii)+(iii) implique (i).On raisonne par récurrence sur le nombre d’éléments de V . Si V est réduit à une place v, l’assertion (i) est identique à (iii). Si V a au moins deux éléments, on décompose V en union disjointe V1  V2 de deux sous-ensembles non vides, donc de nombres d’éléments strictement inférieurs à celui de V . On applique (ii). Pour i = 1, 2, on applique ˜i L (i) par récurrence aux termes SM ˜ i ) qui interviennent. Il apparaît des en˜ (δ i , fi,L ˜i ˜ L ˜ ˜ V ) est le produit de sembles de sommation L (MVi ) ⊂ L(MVi ). L’ensemble L(M ˜ ˜ L(MV1 ) et de L(MV2 ). On pose ˜ ˜ ˜ V ) = LL˜ 1 (M ˜ V1 ) × LL˜ 2 (M ˜ V2 ). LL1 ,L2 (M ˜ ˜ Vi ) est donc une somme sur Un produit pour i = 1, 2 de sommes sur LLi (M ˜2 ˜ ˜ 1 ,L L (MV ). D’où L ˜

˜

L1 L2 SM ˜ 1 )SM ˜2 ) ˜ (δ 1 , f1,L ˜ (δ 2 , f2,L  ˜v  ˜1 L L ˜,L ˜ V1 )eL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ) eM˜ (M SM = ˜v ) ˜ v (δ v , fv,L ˜ M ˜ ,L ˜ ˜ V ∈LL ˜V ) 1 2 (M L

V1

V2

v∈V

˜ Vi pour i = 1, 2 les deux composantes de L ˜ V ). En inversant les sommes (on a noté L V ˜ ˜ ˜ en L1 , L2 et en L , on obtient   ˜v ˜ ˜ G G L ˜ ˜V EM SM SM ˜ v ), ˜ v (δ v , fv,L ˜ (δ, f ) = ˜ V (M , L ) ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

680

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où 

˜ G ˜ ˜V EM ˜ V (M , L ) =

˜ ˜ ˜ L˜ 1 (M ˜,L ˜ V1 )eL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ). eG ˜ (L1 , L2 )eM ˜ ˜ M M V1

˜ 1 ,L ˜ 2 ∈L(M ˜ ), L ˜ ,L ˜ L V ˜ ˜V ) 1 2 L ∈L (M

V2

˜ V ), on a ˜ V ∈ L(M Pour obtenir (i), il reste à prouver que, pour L ˜ ˜ G G ˜ ˜V ˜ ˜V EM ˜ V (M , L ) = eM ˜ V (M , L ).

(1) On montre que

˜ 1, L ˜ 2 ∈ L(M ˜ ) tels que L ˜ V ∈ LL˜ 1 ,L˜ 2 (M ˜ V ) et (2) s’il existe L ˜

˜

˜

˜ ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )dL2 (M ˜,L ˜ V2 ) = 0, dG ˜ (L1 , L2 )dM ˜ ˜ M M V1

V2

˜ ˜ ˜V alors dG ˜ (M , L ) = 0. M V

˜

1 ˜ ˜ V1 L’hypothèse dL ˜ (M , L ) = 0 signifie que M V1

˜

˜

˜

L1 L1 1 ΔV1 (AL ˜ ) ⊕ AL ˜ V1 = AM ˜ , M V1

˜

où on utilise les notations de 1.4. En ajoutant l’espace ⊕v∈V1 AG ˜ 1 , qui est en somme L directe avec les précédents, on obtient ˜

˜

˜

G G 1 ΔV1 (AL ˜ V1 = AM ˜V . ˜ ) ⊕ AL M 1

De même en remplaçant les indices 1 par 2. En sommant les égalités obtenues, on obtient ˜

˜

˜

˜

L2 G G 1 ΔV1 (AL ˜ V = AM ˜V . ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊕ AL M

(3)

Montrons que l’on a l’inclusion (4)

˜

˜

˜

˜

˜

L2 G G G 1 ΔV1 (AL ˜ ) + (ΔV1 (AL ˜ 1 ) ⊕ ΔV2 (AL ˜ 2 )). ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊂ ΔV (AM M

˜ ˜ ˜ L’hypothèse dG ˜ (L1 , L2 ) = 0 entraîne que l’application linéaire somme des projecM tions orthogonales ˜1 ˜2 ˜ L → AL AG ˜ ˜ ⊕ AM ˜ M M ˜ ˜ H → (H L1 , H L2 ) ˜

i est bijective. Pour i = 1, 2, soit Hi ∈ AL ˜ . On introduit l’image réciproque H de M (H1 , H2 ) par l’application précédente. Alors

ΔV1 (H1 ) + ΔV2 (H2 ) = ΔV (H) − ΔV1 (HL˜ 1 ) − ΔV2 (HL˜ 2 ).

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

681

Le membre de droite appartient au membre de droite de (4), ce qui prouve cette assertion. ˜ ˜ ˜ G G L’espace AG ˜ V contient ΔV1 (AL ˜ 1 ) ⊕ ΔV2 (AL ˜ 2 ). Grâce à (3) et (4), on obtient L l’inclusion (5)

˜

˜

˜

˜

˜

˜

L1 L2 G G G AG ˜ V = ΔV1 (AM ˜ V ⊂ ΔV (AM ˜ ) + AL ˜V . ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊕ AL M ˜

La somme des dimensions est la même des deux côtés. En effet, ΔV (AG ˜ ) a même M ˜

˜

˜

Li Li dimension que AG ˜ et, pour i = 1, 2, ΔVi (AM ˜ ) a même dimension que AM ˜ . Or M ˜ ˜ ˜ ˜ L1 L2 G ˜ G ˜ l’hypothèse dM˜ (L1 , L2 ) = 0 entraîne que AM˜ = AM˜ ⊕ AM˜ . Cela implique l’égalité voulue des dimensions. Mais celle-ci implique que les espaces du membre de droite de (5) sont en somme directe et que l’inclusion est une égalité, c’est-à-dire

(6)

˜

˜

˜

G G ΔV (AG ˜ ) ⊕ AL ˜ V = AM ˜V . M

Cela signifie que la conclusion de (2) est vérifiée. Inversement, on a ˜ ˜ ˜V ˜ ˜ (7) si dG ˜ V (M , L ) = 0, alors il existe un unique couple (L1 , L2 ) vérifiant les M hypothèses de (2). AL˜ v

˜ V1 ∈ LL˜ 1 (M ˜ V1 ) signifie que A ˜ ⊂ Montrons d’abord l’unicité. La condition L L1 ˜ ˜,L ˜ V1 ) = 0 entraîne pour tout v ∈ V1 . La condition dL1 (M ˜V M 1

˜

˜

L1 1 AL ˜ ∩ (∩v∈V1 AL ˜ ) = {0}. M v

Leur conjonction conduit à l’égalité (8)

AL˜ 1 = AM˜ ∩ (∩v∈V1 AL˜ v ).

˜ 1 et de même celle de L ˜ 2 . Inversement, notons B l’intersection de D’où l’unicité de L droite ci-dessus, soit T le sous-tore défini sur F de AM˜ tel que X∗ (T ) = X∗ (AM˜ ) ∩ ˜ Il contient M ˜ et les L ˜ v pour v ∈ V1 . A ˜ 1 le commutant de T dans G. B. Soit L fortiori, il est non vide et c’est donc un espace de Levi. Les inclusions ci-dessus entraînent que AL˜ 1 est contenu dans B. Mais il contient par définition X∗ (T ) qui ˜1 engendre B. Il est donc égal à B. Cela prouve l’existence d’un espace de Levi L ˜ 2 . On va montrer que le couple (L ˜ 1, L ˜ 2) vérifiant (8). On définit de même l’espace L vérifie les hypothèses de (2). La définition de ces espaces n’entraîne pas l’égalité (3), mais elle entraîne que les espaces du membre de gauche de cette égalité sont ˜ ˜ ˜V en somme directe. L’hypothèse dG ˜ V (M , L ) = 0 entraîne l’égalité (6). On déduit M de ces deux faits l’inégalité ˜

˜

˜

L1 L2 dim(AG ˜ ) ≥ dim(AM ˜ ) + dim(AM ˜ ). M

682

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 2 entraînent que L’égalité (8) et son analogue pour L AL˜ 1 ∩ AL˜ 2 = AM˜ ∩ (∩v∈V AL˜ v ). ˜ ˜ ˜V Mais cette intersection est réduite à AG˜ en vertu de l’hypothèse dG ˜ (M , L ) = 0. M V

˜

˜

G Donc les espaces AG ˜ 1 et AL ˜ 2 sont en somme directe. En prenant les orthogonaux, L on obtient l’égalité ˜1 ˜2 ˜ L L AG ˜ = AM ˜ + AM ˜ . M

L’inégalité de dimensions prouvée ci-dessus entraîne que la somme de droite est ˜ ˜ ˜ directe. D’où dG ˜ (L1 , L2 ) = 0. D’où aussi : cette inégalité de dimensions est une M égalité. En reprenant le raisonnement conduisant à cette inégalité, on voit que ˜i l’égalité (3) est vérifiée. En la projetant sur ⊕v∈Vi AL ˜ , on obtient M ˜

˜

˜

Li Li i ΔVi (AL ˜ ) ⊕ AL ˜ Vi = AM ˜ . M Vi

˜

i ˜ ˜ Vi Cela signifie que dL ˜ (M , L ) = 0 pour i = 1, 2. Cela prouve (7). M Vi

Grâce à (2) et (7), on obtient ⎧ ˜ ˜ ˜V ⎨ 0, si dG ˜ V (M , L ) = 0, ˜ M G V ˜,L ˜ )= EM˜ V (M ˜ ˜ ˜ 1, L ˜ 2 )eL1 (M ˜,L ˜ V1 )eL2 (M ˜,L ˜ V2 ), si dG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0, ⎩ eG˜˜ (L ˜ ˜ ˜ M M M M V1

V

V2

˜ 2 ) est le couple déterminé par (7). Pour prouver (1), on peut supposer ˜ 1, L où (L ˜ ˜ ˜V dG ˜ (M , L ) = 0 et il faut prouver l’égalité M V

˜

˜

˜

˜

G ˜ ˜ ˜V ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )eL2 (M ˜,L ˜ V2 ). eG ˜ V (M , L ) = eM ˜ (L1 , L2 )eM ˜ ˜ M M V1

V2

Elle se décompose en les deux égalités ˜ ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜ L˜ 1 (M ˜,L ˜ V1 )dL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ), dG ˜ V (M , L ) = dM ˜ (L1 , L2 )dM ˜ ˜ M M V1

V2

et (9)

˜

˜

˜

˜

G G ˜ ˜ ˜V ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )k L2 (M ˜,L ˜ V2 ). kM ˜ V (M , L ) = kM ˜ (L1 , L2 )kM ˜ ˜ M V1

V2

La première se prouve en reprenant les démonstrations de (2) et (7) et en précisant comment se comportent les mesures selon les différentes décompositions en somme directe. On laisse les détails fastidieux au lecteur. Prouvons (9). L’homomorphisme ˆ v )ΓFv ˆ )ΓF Z(M Z(M → ⊕v∈V ˆ ΓF ˆ v )ΓFv Z(G) Z(L

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

683

se décompose en le produit de ˆ )ΓF ˆ )ΓF ˆ )ΓF Z(M Z(M Z(M → ⊕ ˆ ΓF ˆ 1 )ΓF ˆ 2 )ΓF Z(G) Z(L Z(L et de ˆ )ΓF ˆ )ΓF Z(M Z(M ⊕ → ˆ 1 )ΓF ˆ 2 )ΓF Z(L Z(L



ˆ v )ΓFv Z(M ⊕v∈V1 ˆ v )ΓFv Z(L



 ⊕

ˆ v )ΓFv Z(M ⊕v∈V2 ˆ v )ΓFv Z(L

 .

˜ G ˜ ˜V Tous ces homomorphismes sont surjectifs. Donc le nombre d’éléments kM ˜ V (M , L ) du noyau du composé est le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux homomorphismes ci-dessus. Ceux-ci sont respectivement ˜ ˜ G ˜ kM ˜ (L1 , L2 )

˜1 L ˜ ˜ V1 L˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ). et kM ˜ (M , L )kM ˜ V1

V2

Cela prouve (9) et achève la preuve de l’implication (ii) + (iii) implique (i). En fait, on a prouvé que, si on admettait (i) pour les facteurs du membre de droite de (ii), alors ce membre de droite était égal à celui de (i). Mais cela démontre que (i) implique (ii). De plus, (iii) n’est que (i) dans le cas particulier où V n’a qu’un élément. Donc (i) implique (ii) + (iii).  Le (i) de cette proposition ramène la preuve des propriétés requises de la ˜ G forme bilinéaire (δ, f ) → SM ˜ (δ, f ) à celle des mêmes propriétés pour ses avatars locaux. En ce qui concerne les propriétés formelles, on a fait cette preuve en [II] 1.10. La propriété de stabilité a été prouvée en [III] 2.8 dans le cas non-archimédien, en [V] 1.5 et section 4 dans le cas archimédien. Cela prouve le théorème 4.1. Variante. Supposons donné un système de fonctions B comme en 1.10. En rempla˜ ˜ G G çant les intégrales IM ˜ (γ, f ) par leurs variantes IM ˜ (γ, B, f ) dans les constructions ˜

G précédentes, on définit les variantes SM ˜ (δ, B, f ) des intégrales orbitales pondérées stables. Elles vérifient des propriétés analogues aux précédentes.

VI.4.3 Une propriété de support Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent mais on suppose que V contient Vram . ˜ V ))⊗Mes(G(FV )). Lemme. Soit Ξ ⊂ AM˜ un ensemble compact et soit f ∈ Cc∞ (G(F ˜ (FV ) tel que, pour tout δ ∈ Alors il existe un sous-ensemble compact C˜V de M ˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ vérifiant les deux conditions : Dst (M ˜ ˜ du support de δ est contenu dans Ξ, – l’image par H MV

˜

G – SM ˜ (δ, f ) = 0,

il existe un élément du support de δ qui soit conjugué à un élément de C˜V par un élément de M (FV ).

684

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Preuve. On utilise la définition. ˜ ˜ G G Pour que SM ˜ (δ, f ) soit non nul, il faut que IM ˜ (δ, f ) soit non nul ou qu’il  G (˜ s) ΓF ΓF ˆ ˆ existe s˜ ∈ Z(M ) /Z(G) avec s˜ = 1 de sorte que SM (δ, f G (˜s) ) soit non nul. Dans le premier cas, on conclut par le lemme 1.12. Dans le deuxième, l’application ˜ ou G ˜  (˜ ˜ ˜ ne dépendant pas des espaces ambiants G s), les hypothèses restent H MV ˜ par G ˜  (˜ vérifiées si l’on remplace G s). Puisque s˜ = 1, on peut appliquer le lemme par récurrence, ce qui conduit encore à la conclusion. 

VI.4.4 Le système de fonctions B G ˜

˜ a). Revenons au cas général. Soit G = (G ,G  ,˜ s) une donnée endoscopique de (G, G,  ˜ Nous allons munir G d’un système de fonctions comme en 1.10 que nous noterons ˜ ˆ pour laquelle B G . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée Eˆ de G ˆ on utilise les notations usuelles, cf. [I] 1.5. En particulier, on suppose s˜ = sθ, ˆ avec s ∈ T . Fixons des paires de Borel épinglées E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) de G et E  =  (B , T  , (Eα  )α ∈Δ ) de G . On suppose E  définie sur F . On note T˜ l’ensemble ˜  tels que adδ ˜ tels que adγ conserve (B, T ) et T˜  l’ensemble des δ ∈ G des γ ∈ G    conserve (B , T ). On a un homomorphisme ξ : T → T , qui se prolonge en une ˜ application ξ˜ : T˜ → T˜  . Soit  ∈ T˜  , fixons η ∈ T˜ tel que ξ(η) = , écrivons ˜ E). Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z(G,     g et ΣG  (T ) celui des racines de T dans g . On a décrit maintes fois ce dernier ensemble. C’est la réunion des ensembles (a) (b) (c) (d)

les les les les

N α pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = 1 ; 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = 1 ; 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N α ˆ (s) = 1 ; N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = −1.

On a introduit en 1.10 une décomposition T˜  = Ω∈Ω Ω. Soit Ω ∈ Ω tel que  ∈ Ω. Soit  un autre élément de Ω, que l’on relève en η  = ν  e ∈ T˜. Les ensembles   ΣG (T  ) et ΣG (T  ) sont égaux par définition de Ω. Une racine N α avec α de type 1 ne saurait être égale à une racine 2N β avec β de type 2, ni à N β avec β du type 3. Donc les racines de type (a) pour  sont aussi de type (a) pour  . De même, les racines de type (d) pour  sont aussi de type (d) pour  . Par contre, une racine de type (b), resp. (c), pour  pourrait être de type (b) ou (c) pour  . Mais, en tout cas, pour une racine 2N α de type (b) ou (c) pour , on a forcément N α(ν  ) = ±1. Or Ω est connexe par définition. Son image réciproque dans T˜ l’est aussi. Cela entraîne que N α(ν  ) est constant quand  parcourt Ω. Alors les racines de type (b), resp. (c), pour  sont aussi de type (b), resp. (c), pour tout  ∈ Ω. On définit  ˜ G sur Σ(Ω) = ΣG (T  ) de la façon suivante. Dans le cas (a), alors une fonction BΩ ˜ ˜ ˜ G G G (N α) = nα ; dans le cas (b), BΩ (2N α) = 2nα ; dans le cas (c), BΩ (2N α) = nα ; BΩ

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

685

˜

G dans le cas (d), BΩ (N α) = 2nα . La même preuve qu’en [II] 1.11 montre que la ˜ G )Ω∈Ω ainsi définie vérifie les conditions de 1.10. famille de fonctions (BΩ ˜ a) La même construction vaut si l’on travaille avec un K-triplet (KG, K G, puisque seule intervient la paire de Borel épinglée associée à ce K-triplet.

VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques Commençons par quelques rappels locaux. Pour quelques instants, supposons que F soit un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. Considérons un ˜ a) défini sur F , un espace de Levi M ˜ de G ˜ et une donnée endoscopique triplet (G, G, ˜ , aM ) elliptique et relevante. Pour δ ∈ Dst (M ) ⊗ Mes(M  (F ))∗ et M de (M, M g´ eom ˜ ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a défini en [II] 1.12 un terme I G,E (M , δ, f ). On f ∈ I(G(F ˜ M

en a déduit en [II] 1.15 une forme bilinéaire ˜

G,E (γ, f ) → IM ˜ (γ, f )

sur

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ ) × (I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F ))). (Dg´eom (M

Le procédé consistait à écrire γ comme somme i=1,...,n transfert(δ i ), où δ i est une distribution géométrique stable dans une donnée endoscopiques Mi , et à poser 

˜

G,E IM ˜ (γ, f ) =

˜

G,E  IM ˜ (Mi , δ i , f ).

i=1,...,n ˜

G,E   Pour la suite, on doit généraliser la définition de IM ˜ (M , δ, f ) au cas où M ˜ , a) qui est relevante mais pas forcément est une donnée endoscopique de (M, M ˜ de M ˜ et M est une donnée ˜  un Levi R elliptique. Dans ce cas, il correspond à M ˜ endoscopique elliptique et relevante de (R, R, a). On définit ˜

G,E  IM ˜ (M , δ, f ) =



˜ ˜ ˜ ˜ L,E  dG ˜ ). ˜ (M , L)IR ˜ (M , δ, fL,ω R

˜ ˜ L∈L( R)

En vertu de la relation [II] 1.15(1), on a encore l’égalité ˜

˜

G,E G,E  IM ˜ (transfert(δ), f ) = IM ˜ (M , δ, f ).

(1)

Supposons maintenant que F = R ou F = C. Des constructions analogues valent d’après [V] 1.7, 1.8 et 2.4. Il y a quelques modifications. On doit travailler avec un ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ . Pour une donnée endoscoK-espace (KG, K G, ˜ , aM ) elliptique et relevante, on a défini en [V] 1.7 l’espace pique M de (KM, K M st  st  st  Dg´ ˜ -équi (M ). On note D (M ) la somme de cet espace et de Dtr-orb (M ). Les eom,G ˜

K G,E  st   ∗ termes IK ˜ (M , δ, f ) sont définis pour δ ∈ D (M ) ⊗ Mes(M (F )) . Comme M

686

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ci-dessus, les constructions se généralisent au cas où M est relevante mais pas ˜ K G,E elliptique. On a une égalité analogue à (1). Les termes IK ˜ (γ, f ) sont définis M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . pour γ ∈ Dg´eom,G˜ -équi (M Revenons à notre corps de nombres F et considérons un K-triplet ˜ a) (KG, K G, ˜ un élément de comme en 1.16. Soient V un ensemble fini de places de F , K M ˜ une donnée endoscopique elliptique et relevante ˜ 0 ) et M = (M  , M , ζ) L(K M ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ, on définit comme dans le cas local ˜ aM ). Pour s˜ ∈ ζZ( de (KM, K M, s) qui contient M comme donnée de Levi. On pose la donnée endoscopique G (˜   ˜ ˜ iM˜  (G, G (˜ s)) = 0 si G (˜ s) n’est pas elliptique (on utilise ici et dans la suite la ˜ au lieu de K G ˜ chaque fois que cela peut se faire sans notation symbolique G ambiguïté). Si cette donnée est elliptique, on pose ˜ G ˜  (˜ ˆ  )ΓF : (Z(M ˆ  )ΓF ∩ Z(M ˆ ))] s)) = [Z(M iM˜  (G, ˆ  (˜ ˆ −1 . ˆ  (˜ s))ΓF : (Z(G s))ΓF ∩ Z(G))] [Z(G Comme en [II] 1.12, il y a un homomorphisme naturel ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ → Z(M ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ s))ΓF . Z(M ˜ G ˜  (˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléIl est surjectif et de noyau fini. Alors iM˜  (G, ments de ce noyau. st  st  On a défini en [V] 1.7 et ci-dessus les espaces Dg´ ˜ -équi (Mv ) et D (Mv ) eom,G pour une place v archimédienne. Il s’en déduit comme en 1.8 des espaces st  Dg´ ˜ -équi (MV ) et eom,G

Dst (Mv ).

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on peut Pour δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ et f ∈ I(K G(F alors définir   ˜ K G,E  ˜ ˜  s))S G (˜s) (δ, B G˜ , f G (˜s) ). (M , δ, f ) = i (2) IK  (G, G (˜ ˜ ˜ M M M ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ( ˜

K G,E Pour définir des termes IK ˜ (γ, f ), on ne peut pas appliquer le même procédé M que dans le cas local car, dans le cas global, il n’y a pas en général suffisam˜ , aM ) pour écrire ment de données endoscopiques définies sur F de (KM, K M γ comme somme de transfert à partir de telles données. Mais soient γ = ⊗γ v ∈ ˜ (FV ), ω)⊗Mes(FV )∗ et f = ⊗fv ∈ I(K G(F ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV )). Dg´eom,G˜ -équi (K M Puisqu’on a déjà défini les formes bilinéaires locales, on peut poser   K L˜ v ,E ˜ ˜ K G,E G ˜,L ˜V ) (γ, f ) = d ( M IK M˜ (γ v , fv,L˜ v ,ω ). (3) IK ˜ ˜ MV M v

˜ V ∈L(K M ˜V ) KL

v∈V

Cette définition se prolonge par multilinéarité à tout γ et tout f .

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

687

Proposition. Soient M une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜ , aM ) (KM, K M

et

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(K G(F

(i) Soit δ = ⊗v∈V δ v ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ . On a l’égalité   K L˜ v ,E ˜ ˜ K G,E  ˜ ˜V IK dG IK M˜ (Mv , δ v , fv,K L˜ v ,ω ). ˜ V (M , L ) ˜ (M , δ, f ) = M M v

˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

st   ∗ (ii) Soit δ ∈ Dg´ ˜ -équi (MV ) ⊗ Mes(M (FV )) . On a l’égalité eom,G ˜

˜

K G,E K G,E  IK ˜ (transfert(δ), f ) = IK M ˜ (M , δ, f ). M

Preuve. Dans le cas local, la relation (ii) est vraie d’après (1). Dans le cas présent, cette relation résulte donc de (i) et de la définition (3). On pourrait prouver (i) directement. Mais, pour être plus clair, on la décompose en deux assertions : (4) si V = V1  V2 , on a l’égalité ˜

K G,E  IK ˜ (M , δ, f ) M  =

˜ ˜ ˜ K L˜ 1 ,E (M , δ 1 , f ˜ ) dG ˜ (L1 , L2 )IK M ˜ 1,K L1 ,ω M

˜ 1 ,K L ˜ 2 ∈L(K M) ˜ KL ˜

K L2 ,E IK (M , δ 2 , f2,K L˜ 2 ,ω ) ˜ M

(avec des notations évidentes) ; (5) si V est réduit à une place v, on a l’égalité  v ˜ ˜ K G,E  ˜ ˜ v K L˜ ,E (M , δ v , f ˜ v ). IK dG ˜ v (M , L )IK M v ˜ (M , δ, f ) = ˜ v,K L ,ω M M v

˜ v ∈L(K M ˜v) KL

Comme dans la démonstration de 4.1, la réunion de ces deux assertions équivaut à (i). Prouvons (4). Dans le membre de droite de la définition (2), on applique la ˜ formule (ii) de la proposition 4.2. Notons que les fonctions B Li pour i = 1, 2 qui ˜ interviennent sont les restrictions de la fonction B G . Pour simplifier, on les note ˜ G encore B . On obtient  ˜ K G,E  ˜ G ˜  (˜ (M , δ, f ) = iM˜  (G, s)) IK ˜ M ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(



˜  (˜ G s)

˜  (˜ s ) (M ˜  ,L ˜  ∈LG ˜) L s ˜,1 s ˜,2

˜

G (˜ s)

(δ 1 , B G , (f1

eM˜



˜ s˜,1 , L ˜ s˜,2 )S L1(˜s) (L M

L (˜ s)

˜

G (˜ s)

)L1 (˜s) )SM2 (δ 2 , B G , (f2

)L2 (˜s) ).

688

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  intervenant dans cette formule Expliquons la notation. Un espace de Levi L s˜,1 ˜ 1 ∈ L(K M ˜ ) par l’égalité A ˜ = A ˜  . Alors détermine un K-espace de Levi K L L1 Ls˜,1 ˜  s’identifie à l’espace L ˜  (˜ L s ) associé à la donnée endoscopique elliptique L1 (˜ s) de 1 s˜,1   ˜ 1 , aL1 ). On a l’égalité (f G (˜s) )L = (f ˜ )L1 (˜s) . Regroupons les termes (KL1 , K L L1 ,ω

s ˜,1

˜ 1, K L ˜ 2 ) d’espaces de Levi selon les couples (K L ˜ ˜ couple, notons S(K L1 , K L2 ) l’ensemble des s˜ ∈ Li (˜ s) soit elliptique pour i = 1, 2. On obtient  ˜ K G,E  (M , δ, f ) = (6) IK ˜ M

qui apparaissent. Pour un tel ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ tels que ζZ( ˜ 1, K L ˜ 2 ), X(K L

˜ 1 ,K L ˜ 2 ∈L(K M) ˜ KL

où 

˜ 2) = ˜ 1, K L X(K L



˜ (˜ G s) ˜  ˜ G ˜  (˜ ˜  (˜ iM˜  (G, s))eM˜ (L s), L 1 (˜ 2 s))

˜ 1 ,K L ˜ 2) s˜∈S(K L L (˜ s)

L (˜ s)





SM˜1 (δ 1 , B G , (f1,L˜ 1 ,ω )L1 (˜s) )SM˜2 (δ 2 , B G , (f2,L˜ 2 ,ω )L2 (˜s) ). ˜

˜

˜ 2 ∈ L(K M ˜ ). Soit s˜ contribuant de façon non nulle à la somme ˜ 1, K L Fixons K L  ˜ ˜ ˜ G ˜  (˜ X(L1 , L2 ). La donnée G (˜ s) doit être elliptique (sinon iM˜  (G, s)) = 0). Les  ˜ G (˜ s )    ˜ ˜ s) aussi, pour i = 1, 2. Le coefficient e (L (˜ s), L (˜ s)) contient données L (˜ i ˜  (˜ G s) ˜  ˜ 2 (˜ s), L s)). dM˜ (L1 (˜

1

˜ M

2

Celui-ci ne dépend que des espaces AM˜ , AG˜  (˜s) et AL˜  (˜s) i pour i = 1, 2. Mais, par ellipticité, ces derniers sont respectivement égaux à AG˜ et AL˜ i pour i = 1, 2. On obtient l’égalité ˜  (˜ G s)

dM˜

˜  (˜ ˜  s)) = dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ). (L 1 s), L2 (˜ M ˜

˜ 1, K L ˜ 2 ) = 0. Supposons dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ) = Si ce dernier terme est nul, on a donc X(K L ˜ M 0. Le calcul ci-dessus permet de récrire ˜ 2) ˜ 1, K L X(K L (7)



˜ ˜ ˜ = dG ˜ (L1 , L2 ) M



˜ (˜ G s) ˜  ˜ G ˜  (˜ ˜ 2 (˜ iM˜  (G, s))kM˜ (L s), L s))−1 1 (˜

˜ 1 ,K L ˜ 2) s˜∈S(K L

S

L1 (˜ s) ˜ M

L (˜ s)





(δ 1 , B G , (f1,L˜ 1 ,ω )L1 (˜s) )SM˜2 (δ 2 , B G , (f2,L˜ 2 ,ω )L2 (˜s) ). ˜

˜

Introduisons l’homomorphisme ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ → Z(M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ˆ 1 )ΓF ,θ ⊕ Z(M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ˆ 2 )ΓF ,θ . q : Z(M ˜ ˜ ˜ L’hypothèse dG ˜ (L1 , L2 ) = 0 implique qu’il est surjectif et de noyau fini. Pour M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ, posons q(s) = (s1 , s2 ) et s˜i = si ζ˜ pour s˜ = sζ˜ avec s ∈ Z(M ˜ i (˜ ˜ i (˜ s) = L si ). Montrons que i = 1, 2. On a L

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

689

˜ 1, K L ˜ 2 ), on a l’égalité (8) pour s˜ ∈ S(K L ˜  (˜ G s)

˜ G ˜  (˜ s))kM˜ iM˜  (G,

˜ 1 (˜ ˜ 2 (˜ (L s), L s))−1

˜ ˜ G ˜ −1 i ˜  (L ˜ 1, L ˜  (˜ ˜ ˜  s2 )). = kM ˜  (L2 , L2 (˜ ˜ (L1 , L2 ) 1 s1 ))iM M

On a AG˜  (˜s) ⊂ AL˜  (˜s) ∩ AL˜  (˜s) = AL˜ 1 ∩ AL˜ 2 = AG˜ . 1

1



˜ G ˜  (˜ Donc G (˜ s) est elliptique et iM˜  (G, s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme ˆ ΓF ,θˆ → Z(M ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) s))ΓF . r : Z(M Introduisons les homomorphismes ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ 1 )ΓF ,θˆ ⊕ Z(M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ 2 )ΓF ,θˆ r12 : Z(M ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ → Z(M s1 ))ΓF ⊕ Z(M s2 ))ΓF 1

2

et ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ q12 : Z(M s))ΓF ΓF ΓF ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ → Z(M ⊕ Z(M . 1 s1 )) 2 s2 )) On a l’égalité r12 ◦q = q12 ◦r. Tous ces homomorphismes sont surjectifs et de noyaux finis. Le nombre d’éléments du noyau du composé est donc égal au produit des nombres d’éléments des noyaux de r12 et de q, ou de q12 et de r. Ces noyaux ont ˜ ˜ G −1 −1 ˜ 1, L ˜  (˜ ˜ 2, L ˜  (˜ ˜ iM˜  (L pour r12 , kM pour nombre d’éléments iM˜  (L 1 s1 )) 2 s2 )) ˜ (L1 , L2 ) ˜  (˜ G s) ˜  ˜ 2 (˜ ˜ G ˜  (˜ pour q, kM˜ (L1 (˜ s), L s)) pour q12 et iM˜  (G, s))−1 pour r. L’assertion (8) s’ensuit. Il résulte de (8) que le terme que l’on somme dans (7) ne dépend que du couple s1 , s˜2 ), le terme que (˜ s1 , s˜2 ). On peut récrire (7) comme une somme sur ces couples (˜ ˜ 2 ) qui se projettent ˜ 1, K L l’on somme étant multiplié par le nombre des s˜ ∈ S(K L ˜ 1, K L ˜ 2 ), ce nombre est nul si sur le couple en question. Par définition de S(K L  ˜ l’un des Li (˜ si ) n’est pas elliptique. Sinon, c’est le nombre d’éléments du noyau ˜ ˜ G ˜ de q, c’est-à-dire kM ˜ (L1 , L2 ). Ce terme compense le même facteur intervenant dans le membre de droite de (8). D’autre part, on se rappelle que la condition ˜ i, L ˜  (˜ ˜  si ). On obtient l’égalité iM˜  (L i si )) = 0 équivaut à l’ellipticité de Li (˜   ˜ 2 ) = dG˜˜ (L ˜ 1, L ˜ 2) ˜i, L ˜  (˜ ˜ 1, K L iM˜  (L X(K L i si )) M i=1,2 s˜ ∈ζZ( ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ i )ΓF ,θˆ i

S

Li (˜ si ) ˜ M



(δ i , B G , (fi,L˜ i ,ω )Li (˜si ) ). ˜

˜

K Li ,E  La somme en s˜i est égale par définition à IK ˜ i ,ω ). Donc ˜ (M , δ i , fi,L M ˜

˜

˜ 2 ) = dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 )I K L1 ,E (M , δ 1 , f ˜ )I K L2 ,E (M , δ 2 , f ˜ ). ˜ 1, K L X(K L ˜ ˜ 1,L1 ,ω K M 2,L2 ,ω M KM ˜

Les membres de droite de (4) et (6) sont alors égaux, ce qui démontre (4).

690

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Esquissons la preuve de (5). On a ici V = {v}. ˜ v , aMv ) n’est pas forcément elliptique mais elle La donnée Mv de (KMv , K M ˜ de K M ˜ . D’après nos est relevante. Il lui correspond un K-espace de Levi K R définitions, le membre de droite de (5) est égal à 



˜ ˜ ˜v dG ˜ v (M , L ) M

˜ v ∈L(K M ˜ v) KL

˜v ˜ ˜v K S˜ dL ˜ v (Mv , S )IK R ˜ R

v

v

˜v ∈L(K R ˜ KS

,E

(Mv , δ v , fv,K S˜v ,ω ).

v)

En échangeant les lettres L et S, on obtient  v ˜ G ˜ ˜ v K L˜ ,E (M , δ v , f ˜ v ) XR ˜ v (M , L )IK R v ˜ v,K L ,ω v

˜ v ∈L(K R ˜v ) KL

où



˜

G ˜ ˜v XR ˜ v (M , L ) =

˜

˜v

˜ ˜v S˜ (M ˜ v, L ˜ v ). dG ˜ v (M , S )dR M v

˜v ∈L(K L ˜ v) KS ˜ ˜ G G ˜ ˜v ˜ ˜v Un calcul déjà fait plusieurs fois prouve que XR ˜ v (M , L ) = dR ˜ v (M , L ). La relation (5) équivaut donc à ˜

K G,E  IK ˜ (M , δ, f ) = M



˜

˜ v ,E

˜ ˜v KL dG ˜ v (M , L )IK R ˜ R

v

(Mv , δ v , fv,K L˜ v ,ω ).

˜ v ∈L(K R ˜v ) KL

La preuve de cette égalité est similaire à celle de (4) et d’ailleurs presque identique à celle de la proposition [II] 1.14(i). On la laisse au lecteur.  Remarque. La preuve de (4) est réversible en ce sens que, si l’on suppose vérifiée la relation (i) de l’énoncé ainsi que la formule (ii) de la proposition 4.2 pour tous les termes sauf un du membre de droite de la définition (2), on en déduit cette formule (ii) pour le terme restant. Dans cette direction, cela prouve par récurrence cette formule (ii) de la proposition 4.2, puisque dans la situation de ce paragraphe, ˜ G l’analogue de la relation (i) est connue pour le terme IM ˜ (δ, f ). Pourquoi avoir travaillé ici avec des K-espaces ? Parce que, dans le cas lo˜ a), on ne connaît pas (pas encore, plutôt) cal et pour un unique triplet (G, G, l’analogue de la relation (ii) de l’énoncé. Expliquons cela. Supposons qu’un tri˜ a) soit une composante connexe d’un K-triplet (KG, K G, ˜ a), disons plet (G, G, que c’est la composante indexée par p ∈ Π. On peut appliquer la relation (ii) de ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) identifiée à un élément l’énoncé à une fonction f ∈ I(G(F ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) nul sur les autres composantes connexes. Mais de I(K G(F transfert(δ) vit sur toutes les composantes connexes, il est de la forme ⊕q∈Π γ q , où ˜ q (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . Le membre de gauche de (ii) est égal à γ q ∈ Dg´eom (M  q∈Π

˜

K G,E IK ˜ (γ q , f ). M

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

691

˜ p , on ne sait pas a priori que Bien que f soit concentrée sur la composante G ˜

K G,E IK ˜ (γ q , f ) = 0 pour q = p. C’est l’unique raison, nous semble-t-il, pour laquelle M nous devrons travailler avec des K-espaces. Notons toutefois que, pour un seul ˜ a), on peut parfaitement définir I G˜ (M , δ, f ) comme le membre de triplet (G, G, ˜ M ˜ a) comme composante connexe d’un droite de la formule (1). Si on inclut (G, G, ˜ a), ce terme coïncide avec I K G˜ (M , δ, f ), où f est identifié à une triplet (KG, K G, ˜ KM ˜ V ) nulle sur les autres composantes. fonction sur K G(F ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, si l’on Dans le cas où (G, G, fixe un système de fonctions B comme en 1.10, on peut aussi définir le terme ˜ G  IM ˜ (M , δ, B, f ).

VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent. ˜ (FV ), ω)⊗Mes(M (FV ))∗ Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D (K M ˜ g´ eom,G -équi

˜

˜

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité I K G,E (γ, f ) = I K G (γ, f ). et tout f ∈ I(K G(F ˜ ˜ KM KM D’après la définition du membre de gauche et la formule de descente 1.11(1), la proposition résulte de ses analogues locales, c’est-à-dire des théorèmes 1.16 de [II] et 1.10 de [V]. On a déjà dit que la preuve de ceux-ci ne sera achevée qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).

VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison On conserve la même situation. Proposition. On admet la validité des théorèmes II.1.16 et V.1.10. Soit M ˜ aM ) elliptique et relevante. Soit δ ∈ une donnée endoscopique de (KM, K M, st   ∗ ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV ))∗ , Dtr-orb (MV )⊗Mes(M (FV )) . Alors, pour tout f ∈ I(K G(F on a l’égalité ˜ ˜ K G,E KG  IK ˜ (transfert(δ), f ) = IK M ˜ (M , δ, f ). M Remarquons que transfert(δ) appartient à ˜ (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . Dtr-orb (K M Comme on l’a vu dans la section 5 de [V], la validité du théorème [V] 1.10 permet de définir le membre de gauche de l’égalité de l’énoncé. Preuve. Le membre de gauche de l’égalité à prouver vérifie la formule de descente 1.11(1). Celui de droite vérifie la formule parallèle de la proposition 4.5(i). Cela nous ramène à prouver l’analogue locale de l’égalité. En une place nonarchimédienne, cette égalité résulte directement du théorème [II] 1.16. En une

692

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

place réelle, on a vu dans la section 5 de [V] qu’elle résultait (moins directement) du théorème [V] 1.10. 

VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure ˜ a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de Soient (G, G, ˜ un espace fonctions comme en 1.10 et V un ensemble fini de places de F . Soient M ˜ ). ˜ et M une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, M de Levi de G ˜ V )) ⊗ Corollaire. Pour tout δ ∈ Dtr-orb (M ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ et tout f ∈ Cc∞ (G(F Mes(G(FV )), on a l’égalité G G  IM ˜ (transfert(δ), B, f ) = IM ˜ (M , δ, B, f ). ˜

˜

L’argument est le même que dans le paragraphe précédent. Parce que ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, le théorème [II] 1.16 est prouvé (G, G, (cf. [III] proposition 2.9) et un substitut du théorème [V] 1.10 aussi : c’est la proposition [V] 1.13 dont on a vu dans la section 4 de [V] qu’elle suffisait à notre propos.

VI.5 La formule des traces stable VI.5.1 Quelques définitions Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . On fixe un ensemble de ˜ a, V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques de représentants E(G, ˜ a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . (G, G, ˜ a, V ). On munit G des objets auxiliaires de 3.1. Soit G = (G , G  , s˜) ∈ E(G, ˜ G de En particulier, pour v ∈ Vram (G ), on fixe un sous-espace hyperspécial K v ˜  (Fv ) correspondant à K ˜ v . De l’homomorphisme naturel A ˜ → AG se déduit un G G homomorphisme AG˜ → AG . C’est un isomorphisme par l’hypothèse d’ellipticité. Il préserve les mesures par définition de celles-ci. Considérons les paires de Borel épinglées de G et G , dont on note les tores  ∗ ˜ F¯ ), resp. G ˜  (F¯ ), sont T et T ∗ . Les classes de conjugaison semi-simples dans G( classifiées par ˜ ((T ∗ /(1 − θ)(T ∗ ))/W θ ) ×Z(G) Z(G), resp.

  ˜  ). (T ∗ /W G ) ×Z(G ) Z(G

Il y a une application naturelle du second ensemble dans le premier, autrement dit ˜  (F¯ ), associe une application qui, à une classe de conjugaison semi-simple dans G ˜ ¯ une telle classe dans G(F ). Cette application est équivariante pour les actions

VI.5. La formule des traces stable

693

galoisiennes. Les classes de conjugaison géométriques (c’est-à-dire par G(F¯ )) semi˜ ) sont classifiées par un sous-ensemble de simples dans G(F

ΓF ˜ ((T ∗ /(1 − θ)(T ∗ ))/W θ ) ×Z(G) Z(G) .

La description exacte de ce sous-ensemble est compliquée. ˜ ) comme On définit la conjugaison stable entre éléments semi-simples de G(F ˜ ss (F ) sont stablement conjugués si et dans le cas local. Deux éléments η, η  ∈ G seulement s’il existe g ∈ G(F¯ ) tel que g −1 ηg = η  et gσ(g)−1 ∈ Iη (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF , où Iη = Z(G)θ Gη . La correspondance ci-dessus se raffine en une corres˜  (F ) et classes de conjugaison pondance entre classes de conjugaison stable dans G ss ˜ ss (F ). stable dans G De même, si on se place sur l’anneau FV , la correspondance ci-dessus se ˜  (FV ) raffine en une correspondance entre classes de conjugaison stable dans G ss ˜ et classes de conjugaison stable dans Gss (FV ). Si O est une classe de conjugaison ˜ ss (FV ), on note O ˜  la réunion (finie, éventuellement vide) des classes stable dans G G ˜ ss (FV ) qui correspondent à O. de conjugaison stable dans G On note Aut(G ) le groupe d’automorphismes de G . En fixant une paire de ˆ on a une suite exacte Borel épinglée convenable de G, ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ  → Out(G ) → 1, 1 → (Z(G)/(Z( G) ))ΓF → Aut(G )/G

où Out(G ) est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de G . On note selon l’usage π0 (X) le groupe des composantes connnexes d’un groupe algébrique complexe X. On pose ˜ G ˜  ) = | Out(G )|−1 | det((1 − θ)|A /A )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 i(G, G ˜ G ˆ ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 ((Z(G)/(Z( G) ))ΓF )|−1 |π0 (Z(G) )| 1  ΓF −1  ˆ ˆ |π0 (Z(G ) )| | ker (F, Z(G ))|.

ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 peut Remarquons que, par exemple, le produit |π0 (Z(G) s’interpréter comme le nombre de Tamagawa de G. Notons-le τ (G). La formule ci-dessus se récrit ˜ G ˜  ) = |π0 (Aut(G ))|−1 det((1 − θ)|A /A )|−1 i(G, G ˜ G ˆ ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 (Z(G) )|τ (G)τ (G )−1 . ˜ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ On a défini la distribution AG (V, O, ω) ∈ Dorb (G(F ˜ pour une classe de conjugaison par G(FV ) dans Gss (FV ). Si O est maintenant ˜ une réunion finie de telles classes, on note AG (V, O, ω) la somme des distributions ˜ associées à chacune de ces classes. En particulier, AG (V, O, ω) est défini pour une ˜ ss (FV ). classe de conjugaison stable O dans G

694

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.5.2 Les distributions SAG (V, O) ˜

La situation est la même que dans le paragraphe précédent. On suppose de plus ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour toute classe de conjugaison (G, G, ˜ ss (FV ), on va définir une distribution stable O dans G ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . SAG (V, O) ∈ Dtr-orb (G(F

Comme toujours, on a besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a les propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation de 1.15. Elles sont faciles à vérifier par récurrence et on les abandonne au lecteur. Il y a une autre propriété plus sub˜ ˜ v pour v ∈ V , ou plus exactement tile. La distribution AG (V, O) dépend des K ˜ des classes de conjugaison par G(Fv ) des Kv . La définition ci-dessous fournit une ˜ distribution SAG (V, O) qui en dépend aussi. De fait, elle en dépend. Mais on a besoin de savoir que ˜ v , pour (1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V . On a surtout besoin de supposer par récurrence que cette distribution ˜ SAG (V, O) est stable. Modulo ces propriétés, si G = (G , G  , s) est une donnée ˜ a) non ramifiée hors de V , avec dim(G ) < dim(GSC ), endoscopique de (G, G, SC  ˜ ss (FV ), on peut définir la et si O est une classe de conjugaison stable dans G  st   ∗ distribution SAG (V, O ) ∈ Dg´ eom (GV ) ⊗ Mes(G (FV )) . Remarque. Quant à la dépendance des espaces hyperspéciaux, une extension formelle de la propriété (1) montre que cette distribution ne dépend que des classes ˜  , pour v ∈ V . Mais ces classes sont bien de conjugaison par GAD (Fv ) des K v G ˜v. ˜ déterminées par les Kv . Donc SA (V, O ) ne dépend que des K On peut alors poser la définition  ˜ ˜ SAG (V, O) = AG (V, O) −

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, G

˜ ),G =G G ∈E(G,V ˜

Remarquons que la définition entraîne par récurrence que SAG (V, O) est à support ˜ V ) dont la partie semi-simple appartient à O. dans l’ensemble des éléments de G(F Enonçons les propriétés de notre distribution sous la forme d’un théorème à prouver. ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Théorème (à prouver). On suppose (G, G, ˜ V ). Alors SAG˜ (V, O) Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F est stable et vérifie (1). En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf. [VII] 3.4). Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente.

VI.5. La formule des traces stable

695

VI.5.3 Propriétés des distributions SAG (V, O) ˜

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient V un ensemble On suppose (G, G, fini de places de F contenant Vram et O une classe de conjugaison stable dans ˜ ss (FV ). On a G ˜ ˜ ss (F ) dont la (1) si SAG (V, O) = 0 alors il existe un élément semi-simple γ ∈ G ˜ ˜ projection dans G(FV ) appartienne à O et tel que HG˜ V (γ) = 0. ˜

Preuve. D’après la définition de 5.1, la condition SAG (V, O) = 0 entraîne que ˜ ˜ V ), avec G = G, tel que SAG (V, O ˜  ) = AG (V, O) = 0 ou qu’il existe G ∈ E(G, G ˜ ˜ ss (F ) dont la 0. Si AG (V, O) = 0, la définition de 2.7 entraîne qu’il existe γ ∈ G ˜ V ) appartienne à O et tel que, pour v ∈ V , γ soit conjugué projection dans G(F ˜ v par un élément de G(Fv ). Cette dernière condition et la à un élément de K ˜ V ), avec G = G, ˜ ˜ (γ) = 0. Soit G ∈ E(G, formule de produit entraîne que H GV G supposons SA (V, OG˜  ) = 0. En raisonnant par récurrence, on peut supposer ˜  (F ) dont la projection dans G ˜  (FV ) appartienne à O ˜  et tel qu’il existe γ  ∈ G ss G ˜ ˜  (γ  ) = 0. Puisque O ˜  est l’ensemble des classes de conjugaison stable que H GV G correspondant à O, il existe γ ∈ O et un diagramme (γ  , B  , T  , B, T, γ). Puisque ˜ ˜ et H ˜ ˜  sont compatibles, c’est-à-dire que G est elliptique, les applications H GV GV ˜ ˜ (γ) = H ˜ ˜  (γ  ) = 0. H  GV

GV

˜ un espace de Levi propre de G ˜ et soit O une classe de conjugaison Soit M ˜ stable dans Mss (FV ). Fixons un système de fonctions B comme en 1.10. Rappelons ˜ F¯ ) sont des unités que l’on impose que les valeurs des fonctions Bη pour η ∈ G( ˜ ˜ G M hors de Vram , a fortiori hors de V . On sait définir SM˜ (SA (V, O), B, f ) pour tout ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(G(F Lemme. L’égalité ˜

˜

˜

˜

G G M M SM ˜ (SA (V, O), B, f ) = SM ˜ (SA (V, O), f )

est vérifiée pour tout O. ˜ (FV ) qui sont G˜ Remarque. Si le support de O est formé d’éléments γ ∈ M ˜ ˜ G G équisinguliers, c’est évident. En effet, dans ce cas, l’égalité SM˜ (δ, B, f ) = SM˜ (δ, f ) st ∗ est vérifiée pour n’importe quel élément δ ∈ Dg´ eom (O) ⊗ Mes(M (FV )) . Preuve. En utilisant la définition de 4.1 et en raisonnant par récurrence, il suffit de prouver l’égalité ˜

˜

˜

˜

G G M M IM ˜ (SA (V, O), B, f ) = IM ˜ (SA (V, O), f ).

En utilisant la définition de 5.1, cette égalité résulte de l’égalité (2)

˜

˜

˜

˜

G G M M IM ˜ (A (V, O), B, f ) = IM ˜ (A (V, O), f ),

696

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ , V ), avec M  = M , de l’égalité et, pour tout M = (M  , M , ζ) ∈ E(M (3)





G G M M IM (V, OM˜  )), B, f ) = IM (V, OM˜  )), f ). ˜ (transfert(SA ˜ (transfert(SA ˜

˜

˜

La distribution AM (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales vérifiant l’hypothèse du lemme 1.14 et l’égalité (2) résulte de ce lemme. Les membres de gauche et de droite de (3) sont respectivement égaux à 

˜

G,E  M (V, OM˜  ), B, f ) IM ˜ (M , SA



˜

G,E  M et IM (V, OM˜  ), f ) ˜ (M , SA

d’après le corollaire 4.8. En utilisant la définition 4.5(1) de ce dernier terme et la variante ce cette définition pour le premier, on voit que, pour prouver qu’ils sont ˆ ΓF et de prouver l’égalité ˆ )ΓF /Z(G) égaux, il suffit de fixer s ∈ ζZ(M G (s)

SM 





G (s)

(SAM (V, OM˜  ), B, f G (s) ) = SM





(SAM (V, OM˜  ), f G (s) ).

C’est l’égalité de l’énoncé que l’on peut appliquer par récurrence puisque M  = M donc G (s) = G. 

VI.5.4 Les distributions AG,E (V, O, ω) ˜

Revenons au cas général. Pour une classe de conjugaison stable semi-simple O ˜ V ), on pose dans G(F ˜

AG,E (V, O, ω) =





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, G

˜ G ∈E(G,a,V ) ˜

Cette distribution AG,E (V, O, ω) est un élément de ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Dtr-orb (G(F ˜ V ) dont la partie Son support est contenu dans l’ensemble des éléments de G(F semi-simple appartient à O. ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure est un cas Remarque. Le cas où (G, G, particulier. Dans ce cas, nos hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la donnée endoscopique maximale G. Il convient de remplacer le terme transfert(SAG (V, O)) intervenant dans ˜ ˜ ˜ la somme par SAG (V, O). On a alors AG,E (V, O) = AG (V, O) par définition de ˜ SAG (V, O). Théorème (à prouver). Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜ ˜ ˜ V ). Alors, on a l’égalité AG,E G(F (V, O, ω) = AG (V, O, ω).

VI.5. La formule des traces stable

697

En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf. [VII] 3.5), sauf éventuellement pour un nombre fini de classes exceptionnelles. Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente. La fin de la démonstration du théorème ci-dessus, c’est-à-dire dans le cas où O est exceptionnelle, sera l’un de nos derniers résultats, cf. [X] 8.5. La définition ci-dessus s’adapte immédiatement aux K-espaces. Pour un tel K-espace, une classe de conjugaison stable semi-simple O est réunion dis˜ jointe de telles classes Op pour p ∈ Π. On a simplement AK G,E (V, O, ω) = ˜ ⊕p∈Π AGp ,E (V, Op , ω).

VI.5.5 Le théorème d’Arthur ˜ a = 1, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ V . Supposons ici G = G, Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 5.2 et 5.4 sont vérifiés. C’est le Global Theorem 1 de [18]. La preuve que nous donnerons des théorèmes 5.2 et 5.4 étant directement inspirée de celle d’Arthur, nous pourrions aussi bien redémontrer l’énoncé ci-dessus. Mais cela n’aurait aucun intérêt. Nous préférons simplifier un peu la nôtre en utilisant le résultat d’Arthur. La propriété 5.2(1) des distributions SAG (V, O) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais est incluse dans sa démonstration. Elle résulte en tout cas de la démonstration plus générale de cette propriété qui sera donnée ultérieurement.

VI.5.6 Un théorème complémentaire concernant l’endoscopie non standard Dans ce paragraphe, on considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) défini sur F . La définition est la même que dans le cas local ([79] 1.7), rappelonsla. Les termes G1 et G2 sont des groupes réductifs connexes définis sur F , quasidéployés et simplement connexes. On considère leurs paires de Borel épinglées, dont on note les tores T1 et T2 . Ils sont munis d’actions de ΓF . Pour i = 1, 2, on note Σi l’ensemble de racines de Ti dans Gi . Pour α ∈ Σi , on note α ˇ la coracine ∗ associée. On pose Xi,∗,Q = X∗ (Ti ) ⊗Z Q et Xi,Q = X ∗ (Ti ) ⊗Z Q. Le terme j∗ est ∗ ∗ → X1,Q l’isomorphisme un isomorphisme j∗ : X1,∗,Q → X2,∗,Q . On note j ∗ : X2,Q dual. On suppose (1) j∗ est équivariant pour les actions de ΓF . On suppose qu’il existe une bijection τ : Σ2 → Σ1 et une fonction b : Σ2 → Q>0 telles que (2) j ∗ (α2 ) = b(α2 )τ (α2 ) pour tout α2 ∈ Σ2 ; α1 ) = b(α2 )ˇ α2 pour tout α1 ∈ Σ1 , où α2 = τ −1 (α1 ). (3) j∗ (ˇ

698

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Remarquons que τ et b sont uniquement déterminés par ces conditions. Les groupes de Weyl W1 et W2 de G1 et G2 s’identifient, la symétrie relative à une racine α2 ∈ Σ2 s’identifiant à celle relative à τ (α2 ). Soit v une place de F . Alors j∗ définit un isomorphisme ((t1 (F¯v ) ∩ g1,reg (F¯v ))/W1 )ΓFv → ((t2 (F¯v ) ∩ g2,reg (F¯v ))/W2 )ΓFv . Autrement dit une bijection entre classes de conjugaison stable d’éléments semisimples réguliers dans g1 (Fv ) et g2 (Fv ). Pour X1 ∈ g2,reg (Fv ) et X2 ∈ g2,reg (Fv ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent, notons S1 et S2 leurs commutants dans G1 et G2 . L’isomorphisme j∗ définit un isomorphisme s1 (Fv ) → s2 (Fv ). On munit ces algèbres de mesures de Haar se correspondant par cet isomorphisme. Pour i = 1, 2, on munit Si (Fv ) de la mesure de Haar telle que le jacobien de l’exponentielle vaille 1 au point 0 ∈ si (Fv ). On dispose alors de l’intégrale orbitale fi ⊗ dgi → I Gi (Xi , fi ⊗ dgi ) = DGi (Xi )1/2 fi (adg−1 (Xi )) dgi Si (Fv )\Gi (Fv )

i

sur Cc∞ (gi (Fv )) ⊗ Mes(Gi (Fv )), puis de l’intégrale orbitale stable fi ⊗ dgi → S Gi (Xi , fi ⊗ dgi ). Disons que f1 ⊗ dg1 et f2 ⊗ dg2 se correspondent si et seulement si S G1 (X1 , f1 ⊗ dg1 ) = S G2 (X2 , f2 ⊗ dg2 ) pour tout couple (X1 , X2 ) comme ci-dessus. On a (4) cette correspondance se quotiente en un isomorphisme SI(g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  SI(g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv )). Si v est finie, c’est la proposition 1.8(ii) de [79]. Le cas complexe se ramène au cas réel en remplaçant les groupes complexes par les groupes sur R obtenus par restriction des scalaires. Le cas réel se déduit facilement des résultats de Shelstad comme on l’a vu en [V] 5.1. Dualement, on en déduit un isomorphisme st ∗ st ∗ Dg´ eom (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  Dg´ eom (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv )) . st st Pour i = 1, 2, notons Dnil (gi (Fv )) le sous-espace des éléments de Dg´ eom (gi (Fv )) à support nilpotent. L’isomorphisme ci-dessus se restreint en un isomorphisme

(5)

st st Dnil (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))∗  Dnil (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))∗ .

Soit V un ensemble fini de places de F tel que

VI.5. La formule des traces stable

699

– V contient les places archimédiennes de F ; – G1 et G2 sont non ramifiés hors de V ; – pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ] ; alors p > ev N (Gi ) + 1 pour i = 1, 2, où N (Gi ) est l’entier défini en [79] 4.3 ; – les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V . Pour i = 1, 2, on a défini en 5.2 la distribution SAGi (V, O) associée à une classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ Gi (FV ). On considère ici le cas i O = {1} et on note plutôt SAG unip (V ) la distribution associée à cette classe. On est ici dans le cas non tordu, cette distribution est relative à des sous-groupes compacts hyperspéciaux Ki,v de Gi (Fv ) pour v ∈ V . D’après le théorème d’Arthur cité en 5.5, la condition 5.2(1) est vérifiée. Puisque deux sous-groupes compacts hyperspéciaux de Gi (Fv ) sont toujours conjugués par Gi,AD (Fv ), la distribution i SAG unip (V ) ne dépend pas de ces choix. D’après le même théorème, elle est stable. On sait qu’elle est à support dans l’ensemble des éléments unipotents de Gi (FV ). Par l’exponentielle, on la descend en une distribution à support nilpotent sur st gi (FV ), qui est encore stable. Cela l’identifie à un élément de Dg´ eom (g1 (FV )) ⊗ ∗ Mes(G1 (FV )) . Théorème (à prouver). Sous ces hypothèses et modulo les identifications ci-dessus, G2 1 les distributions SAG unip (V ) et SAunip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (5). Cela sera prouvé en VII.9. Considérons deux triplets endoscopiques non standard (G1 , G2 , j∗ )

et (G1 , G2 , j∗ ).

On dit qu’ils sont équivalents si et seulement s’il existe des isomorphismes ιi : Gi → Gi définis sur F et un rationnel b non nul de sorte que le diagramme suivant soit commutatif X1,∗,Q ι1 ↓  X1,∗,Q

j∗

→ bj∗

→

X2,∗,Q ↓ ι2  X2,∗,Q .

Comme dans le cas local, on peut classifier tous les triplets possibles. Tout triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) est produit de triplets dont chacun est équivalent à un triplet quasi-élémentaire, cf. [III] 6.1. Evidemment, si un triplet est produit de deux triplets, le thèorème pour chacun de ces deux triplets implique celui pour le produit. On verra au paragraphe suivant que le théorème est insensible à une équivalence. Il suffit donc de le démontrer pour un triplet quasi-élémentaire. Remarquons que le théorème est tautologique dans le cas (1) de [III] 6.1, c’est-àdire si G1 = G2 et j∗ est l’identité.

700

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.5.7 Réduction du théorème 5.6 On considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) et un rationnel b = 0. Soit V un ensemble fini de places de F vérifiant les conditions du paragraphe précédent pour (G1 , G2 , j∗ ). On suppose que b est une unité hors de V . Alors V vérifie aussi ces conditions pour le triplet (G1 , G2 , bj∗ ). Lemme. Sous ces hypothèses, si le théorème 5.5 est vérifié pour le triplet (G1 , G2 , j∗ ), il l’est pour le triplet (G1 , G2 , bj∗ ). Preuve. Il y a deux correspondances entre classes de conjugaison stable semisimples dans g1 (FV ) et g2 (FV ), qui sont déduites de j∗ et de bj∗ . Il est clair que la seconde est la composée de la première et de la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans g2 (FV ) déduite de l’homothétie X → bX. Il y a deux isomorphismes SI(g1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV ))  SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )), qui sont déduits de j∗ et de bj∗ . Le second est le composé du premier et de l’automorphisme de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) déduit de l’homothétie X → bX.  ˜ ˜ Puisque b est une unité hors de V , on a v∈V |b|Fv = 1, d’où DG2 (bX) = DG2 (X) pour tout X ∈ g2 (FV ). De même, si X est fortement régulier, la multiplication par b préserve les mesures sur s(FV ), où S est le commutant de X. On voit alors que l’automorphisme ci-dessus de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) est dé−1 −1 duit de l’automorphisme f → f b de Cc∞ (g2 (FV )), où f b (X) = f (b−1 X). On −1 note encore f → f b cet automorphisme de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )). Soient f1 ∈ SI(g1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV )) et f2 ∈ SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) se correspondant par l’isomorphisme déduit de j∗ . Le théorème pour (G1 , G2 , j∗ ) affirme que G2 1 2 S G1 (SAG (SAG unip (V ), f1 ) = S unip (V ), f2 ). Le théorème pour (G1 , G2 , bj∗ ) affirme −1

G2 b 1 2 (SAG que S G1 (SAG unip (V ), f1 ) = S unip (V ), f2 ). Pour démontrer que ces assertions ont équivalentes, il suffit de prouver que G2 b−1 2 2 S G2 (SAG (SAG unip (V ), f2 ) = S unip (V ), f2 ). Seul le groupe G2 intervient ici. On peut simplifier la notation en posant G = G2 et en supprimant les indices 2. Toujours pour simplifier, on peut remplacer b par b−1 et fixer des mesures de Haar sur les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures. Puisque l’automorphisme f → f b se relève évidemment en un automorphisme de I(g(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on peut démontrer la relation G G b (1) I G (SAG unip (V ), f ) = I (SAunip (V ), f ) pour tout f ∈ I(g(FV )).

En utilisant la définition de 5.2, on est ramené à prouver G G b (2) I G (AG unip (V ), f ) = I (Aunip (V ), f ),

et, pour tout G ∈ E(G, V ) avec G = G, 











G b G ) = I G (SAG (3) I G (SAG unip (V ), f unip (V ), (f ) ).

VI.5. La formule des traces stable

701

Commençons par (3). Soit G ∈ E(G, V ) avec G = G. Puisqu’on travaille ici avec des algèbres de Lie, les données auxiliaires ne jouent guère de rôle et on   peut identifier f G à une fonction f G sur g (FV ). D’après [34] lemme 3.2.1, il   × tel que (f λ )G = χ(λ)(f G )λ pour existe un caractère automorphe χ de A× F /F ×  tout λ ∈ FV . Le fait que G soit non ramifié hors de V et la définition de ce caractère χ entraînent que χ est non ramifié hors de V . Donc, en notant bV et V −1 = 1. D’où bV les projections de b dans FV× et AV,× F , on a χ(bV ) = χ(b )   (f b )G = (f G )b . Puisque G = G, on peut appliquer (1) par récurrence en y remplaçant G par G . On obtient alors la relation (3). Pour prouver (2), introduisons sur Dorb (g(FV )) l’action duale de l’homothétie de rapport b. C’est-à-dire que, pour γ ∈ Dorb (g(FV )), on note γ b la distribution telle que I G (γ, f b ) = I G (γ b , f ) pour tout f . Si γ est l’intégrale orbitale associée à un élément X ∈ g(FV ) et à une mesure sur GX (FV ), γ b est l’intégrale orbitale associée à l’élément bX et à la même mesure sur GbX (FV ) = GX (FV ). Introduisons le système de fonctions B sur G ainsi défini : pour tout élément semi-simple η ∈ G et toute élément α du système de racines de Gη , Bη (α) = b−1 . Soient M un Levi standard de G et γ ∈ Dorb (m(FV )). Montrons que l’on a l’égalité G G (4) JM (γ, B, f b ) = JM (γ b , f ) pour tout f .

Les formules de descente habituelles nous ramènent au cas local. C’est alors l’assertion [III] 6.7(5). Le corps local était non-archimédien dans cette référence, mais cela n’importait pas pour cette assertion. Revenons à la définition de AG unip (V ). Dans l’égalité (2) à prouver, f est une fonction sur g(FV ). Notons-la plutôt fV et notons comme ci-dessus bV la projection de b dans FV . La fonction notée précédemment f b s’écrit maintenant (fV )bV . Par l’exponentielle, on relève ces deux fonctions en des fonctions définies sur un voisinage de 1 dans G(FV ) invariant par conjugaison. On continue de noter ces fonctions fV et (fV )bV . On les complète globalement en des fonctions f˙ = 1K V ⊗ fV , f˙bV = 1K V ⊗ (fV )bV . Montrons que l’on a l’égalité G G (f˙bV ) = Junip (f˙). Junip

(5)

D’après les définitions de 2.1, il suffit de fixer un sous-groupe parabolique standard P = M UP de G et de prouver l’égalité KP,unip(f˙bV , g) = KP,unip(f˙, g) pour tout g ∈ G(AF ). Rappelons que KP,unip(f˙bV , g) =



f˙bV (g −1 γug) du

UP (F )\UP (AF ) γ∈P unip (F )

=



UP (AF ) γ∈M unip (F )

f˙bV (g −1 γug) du,

702

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où Punip et Munip sont les ensembles d’éléments unipotents dans P et M . En introduisant l’ensemble mnil des éléments nilpotents de m, on a  f˙bV (g −1 exp(X)ug) du. KP,unip(f˙bV , g) = UP (AF ) X∈m (F ) nil

On descend aisément l’intégrale à l’algèbre de Lie et on obtient  f˙bV (g −1 exp(X + N )g) dN. KP,unip(f˙bV , g) = uP (AF ) X∈m (F ) nil

Puisque b ∈ Q× , on peut remplacer X par b−1 X et N par b−1 N . En décomposant les intégrales selon les places dans v et celles hors de V , on obtient  KP,unip (f˙bV , g) = CV (fVbV , b−1 X)C V (1K V , b−1 X), X∈mnil (F )



où CV (fVbV

,b

−1

fVbV (g −1 (b−1 X + b−1 N )g) dN

X) = uP (FV )

et C V (1K V , b−1 X) =



1K V (g −1 exp(b−1 X + b−1 N )g) dN.

uP (AV F)

Il résulte de la définition de (fV )bV que l’on a l’égalité CV (fVbV , b−1 X) = CV (fV , X). Si v est une place hors de V , on a v ∈ Vram et la caractéristique résiduelle est «grande». Cela assure la propriété suivante. Notons ov l’anneau des entiers de Fv . Au groupe hyperspécial Kv de G(Fv ) est associé une ov -algèbre de Lie kv . Alors, pour tout élément nilpotent N ∈ g(Fv ), on a exp(N ) ∈ Kv si et seulement si N ∈ kv . Puisque b est une unité en v, on a alors l’égalité 1Kv (g −1 exp(b−1 X + b−1 N )g) = 1Kv (g −1 exp(X + N )g) pour tous X, N , g intervenant ci-dessus. D’où l’égalité C V (1K V , b−1 X) = C V (1K V , X), puis KP,unip (f˙bV , g) =



CV (fV , X)C V (1K V , X).

X∈mnil (F )

A partir de là, le même calcul que ci-dessus, en sens inverse, conduit à l’égalité KP,unip(f˙bV , g) = KP,unip(f˙, g) cherchée. D’où (5).

VI.5. La formule des traces stable

703

Par définition, on a bV I G (AG unip (V ), fV )

(6)

G = Junip (f˙bV ) −



bV G |W M ||W G |−1 JM (AM unip (V ), fV ).

M∈L(M0 ),M=G G En appliquant (5), le premier terme devient Junip (f˙). Soit M un Levi tel que M = G. On est dans la situation où le lemme 1.14 s’applique. Ce lemme est énoncé pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, mais sa preuve s’applique aussi bien à leurs versions non invariantes. D’où bV bV G G M (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ), B, fV ).

En appliquant (4), on obtient bV G G M bV (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ) , fV ).

En raisonnant comme toujours par récurrence, on peut supposer l’analogue de (2) bV = connu si l’on remplace G par M . Cette relation équivaut à l’égalité AM unip (V ) M Aunip (V ). D’où encore bV G G M (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ), fV ).

Mais alors le membre de droite de (6) est égal à la même expression où (fV )bV est remplacée par fV . D’où l’égalité bV G G I G (AG unip (V ), fV ) = I (Aunip (V ), fV ),

c’est-à-dire (2). Cela achève la démonstration.



VI.5.8 Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence En [III] 6.1, on a associé un entier N (G1 , G2 , j∗ ) à tout triplet endoscopique non ˜ a) en [III] standard (G1 , G2 , j∗ ). On a aussi défini des triplets particuliers (G, G, 6.2. Les constructions de cette référence valent sur notre corps de nombres F . Les hypothèses de récurrence posées en 1.1 doivent être complétées de la fa˜ a) quasiçon suivante. Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, G, déployé et à torsion intérieure, on ne se soucie pas du théorème 5.6 qu’on n’utilisera pas dans ce cas. Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets parti˜ a) de [III] 6.2, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet culiers (G, G, (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) < dim(GSC ). Pour démontrer une assertion ˜ a) qui n’est pas l’un de ces triplets particuliers et qui concernant un triplet (G, G, n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) ≤ dim(GSC ). Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G1 , G2 , j∗ ), on suppose connu le théorème

704

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

5.6 pour tout triplet (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) < N (G1 , G2 , j∗ ). On sup˜ a) quelconques tels pose connus tous les résultats concernant les triplets (G, G, que dim(GSC ) < N (G1 , G2 , j∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant ˜ a) qui vérifient les deux conditions suivantes : les triplets (G, G, – ils sont quasi-déployés et à torsion intérieure ou ils font partie des triplets particuliers de [III] 6.2 ; – on a dim(GSC ) = N (G1 , G2 , j∗ ).

VI.5.9 La formule stable ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit V un ensemble Supposons (G, G, ˜ ss (FV )/ st-conj l’ensemble des classes de fini de places contenant Vram . On note G ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), ˜ V ). Pour f ∈ SI(G(F conjugaison stable semi-simples dans G(F on pose ˜

G Sg´ eom (f ) =



|W M ||W G |−1

˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜

˜

G M SM ˜ (SA (O, V ), f ).

˜ ss (FV )/ st-conj O∈M

Lemme. Cette somme est finie. ˜ . En utilisant 5.3(1) et le lemme 4.3, on voit Preuve. On peut évidemment fixer M ˜ (FV ) tel que, si qu’il existe un sous-ensemble compact C˜V de M ˜

˜

G M SM ˜ (SA (O, V ), f ) = 0,

alors O coupe C˜V . Il reste à prouver ˜ ss (FV )/ st-conj tels que SAM˜ (O, V ) = 0 (1) il n’y a qu’un nombre fini de O ∈ M ˜ et O coupe CV . ˜ = G. ˜ On utilise la définition de 5.2. Si On peut aussi bien supposer M ˜ G ˜ V ), avec G = G, SA (O, V ) = 0, alors A (O, V ) = 0 ou il existe G ∈ E(G, G ˜ ss (F ) dont la tel que SA (OG˜  , V ) = 0. Dans le premier cas, il existe γ ∈ G ˜ projection dans G(FV ) appartient à O et tel que, pour tout v ∈ V , γ soit conjugué ˜ v par un élément de G(Fv ). En imposant la condition que O à un élément de K ˜ coupe CV , l’ensemble de ces γ forme un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ) (lemme 2.1). A fortiori l’ensemble des classes de conjugaison stable O contenant un tel élément est fini. Dans le deuxième cas, le compact C˜V détermine ˜  (FV ) tel que la condition que O coupe C˜V entraîne que O ˜  un compact C˜V,G˜  de G G coupe C˜V,G˜  . Puisque G = G, on peut appliquer (1) par récurrence : l’ensemble ˜ ss (FV )/ st-conj tels que SAG (O ˜  , V ) = 0 et O ˜  coupe C˜ ˜  est des OG˜  ∈ G G G V,G fini. L’ensemble des classes O qui leur correspondent l’est aussi.  ˜ G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

705

VI.5.10 Le théorème principal ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et traLevons l’hypothèse que (G, G, ˜ a). Soit V un ensemble fini de places vaillons plutôt avec un K-triplet (KG, K G, de F contenant Vram . Par un procédé formel familier, de la définition du paraG G graphe précédent se déduit celle des termes Sg´ ) apparaissant dans l’énoncé eom (f suivant. ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égaThéorème (à prouver). Pour tout f ∈ Cc∞ (K G(F lité  ˜ KG G G ˜ G ˜  )Sg´ Ig´ i(G, ). eom (f eom (f , ω) = ˜ G ∈E(G,a,V )

On montrera dans la section 6 que ce théorème résulte assez facilement des autres théorèmes précédemment énoncés.

VI.6 Preuve conditionnelle du théorème 5.10 VI.6.1 Rappel ˜ a) et une donnée endoscopique G . On rappelle le On considère un triplet (G, G, lemme suivant qui se trouve déjà dans [15]. ˆ → ker1 (F, Tˆ) et Lemme. Les flèches naturelles, ker1 (F, Z(G)) ˆ ˆ  )) → ker1 (F, Tˆ θ,0 ) ker1 (F, Z(G

sont des isomorphismes. La preuve suit [45] preuve du lemme 4.3.2 et [15] lemme 2 : ces deux flèches ˆ ˆ . On démontre sont évidemment analogues puisque Tˆ θ,0 est un tore maximal de G donc la première. ˆ → Tˆ → Tˆ /Z(G) ˆ → 1 dont se déduit une On a la suite exacte : 1 → Z(G) ˆ ˆ suite exacte de groupes de cohomologie. Le tore T /Z(G) est induit c’est-à-dire que son groupe des caractères a une base sur laquelle ΓF agit par permutations ; ainsi ˆ ΓF est connexe et la flèche de l’énoncé est injective. Pour la surjectivité, (Tˆ /Z(G)) ˆ il suffit de remarquer que ker1 (F, (Tˆ/Z(G))) = 0 : en effet on se ramène au cas ˆ Dans ce cas où ΓF agit transitivement sur une base des caractères de Tˆ/Z(G). 1 1 ∗  ˆ ˆ H (WF , (T /Z(G))) s’identifie à H (WF  , C ) où F est une extension galoisienne de F déterminé par le sous-groupe de ΓF stabilisant un élément de la base des caractères avec l’action triviale de ΓF  sur C∗ ; ainsi ce groupe de cohomologie n’est autre que le groupe des caractères de WF  (continus à valeurs complexes). Un tel ˆ si le localisé caractère correspond à un élément du sous-groupe ker1 (F, (Tˆ/Z(G))) du caractère en toute place v est trivial ; le caractère est alors nécessairement trivial.

706

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.6.2 Au sujet des constantes ˜ un espace tordu, on note j(G) ˜ := | detA /A (1 − θ)| et, pour une donnée Pour G G ˜ G ˜ G ˜ ) = endoscopique elliptique G , on a posé en 5.1, i(G, ˜ −1 |π0 (Aut ˆ (G )/G ˆ  )|−1 | ker1 (F, Z(G ˆ  ))|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 δ(G, ˜ G ˜  ), j(G) G ˜ G ˜  ) = |π0 (Z(G) ˆ ΓF )||π0 (Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  ))|. On a précisé où δ(G,   ici la notation Aut(G ) de 5.1 en AutGˆ (G ). Avec la description de 5.1, la compoˆ  est exactement l’image de Z(G) ˆ ΓF ,0 dans ce groupe sante neutre de AutGˆ (G )/G d’automorphismes. Ainsi ˆ  |. ˆ ΓF ,0 G |π0 (AutGˆ (G ))| = | AutGˆ (G )/Z(G) ˆ  Z(G) ˆ ΓF qui est donc un groupe fini. On fixe On pose AutGˆ (G ) = AutGˆ (G )/G  ˜ ˜ ˜ et M ˜  . On suppose que M ˜  est un aussi des espaces de Levi de G et G , notés M ˜ espace endoscopique de M . On a alors défini en 4.4, la constante ˜ G ˜  ) := |Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 |Z(M ˆ  )ΓF /Z(M ˆ )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |. iM˜  (G, Ici on modifie cette constante car au lieu de sommer à l’intérieur d’une classe sous ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ on va sommer sur une classe sous Z(M ˆ )ΓF Z(G)/Z( ˆ ˆ Z(M G)(1 − ΓF   ˆ ˆ ˜ ˜ θ)(Z(M ) ) (cf. [I] 3.3 (2)) et on pose i  (G, G ) := ˜ M

˜ )|Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 |Z(M ˆ  )ΓF /Z(M ˆ )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |. ˜ −1 j(M j(G) et le but de ce paragraphe est de montrer la proposition suivante : ˜ G , M ˜ , M ; on a Proposition. Soient G, ˜ G ˜  )−1 i(M ˜,M ˜  )−1 = |Aut ˆ (G )|−1 |Aut ˆ (M )|. ˜ G ˜  )i ˜  (G, i(G, G M M ˜ G ˜  ) : par Il est clair que les j(?) se compensent. On récrit différemment δ(G, ˆ ˆ ΓF ,θ,0 , d’où l’inclusion Z(G ˆ  )ΓF ,0 ⊂ Z(G) ˆ ΓF ,0 . Ainsi ˆ  )ΓF ,0 = Z(G) ellipticité, Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  ))| = |Z(G ˆ  )/Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )|−1 . |π0 (Z(G ˜ G ˜  ) = |Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ||Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 . On considère Et δ(G, la suite exacte : ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 1 → Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF ). → Z(G) Et la suite exacte : ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF ˆ ΓF ∩ Z(G 1 → Z(G) ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF . → Z(G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

707

Et on obtient ˜ G ˜  ) = |Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G ˆ  )ΓF ∩Z(G) ˆ ΓF )||Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩Z(G ˆ  )ΓF |−1. δ(G, On remarque que ˆ. ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF ) = Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G) ˆ ΓF ,0 G ˆ ΓF ,0 (Z(G) Z(G) Ainsi ˆ  ||Z(G) ˆ ΓF ,0 G ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G ˆ  )ΓF ∩Z(G) ˆ ΓF )|−1 = |Aut ˆ (G )|. | AutGˆ (G )/Z(G) G Et ˜ G ˜  ) = |Aut ˆ (G )|−1 |Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 i(G, G ˆ  ))|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 × | ker1 (F, Z(G ˆ  )ΓF /Z(M ˆ  )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |−1 = |AutGˆ (G )|−1 iM˜  (G, G )−1 |Z(M ˆ  ))|| ker1 (F, Z(M ˆ ))|−1 × | ker1 (F, Z(M ˜,M ˜  ), = |AutGˆ (G )|−1 iM˜  (G, G )−1 |AutMˆ (M )|i(M ce qui est l’assertion cherchée.

VI.6.3 Combinatoire des sommes On donnera en 6.5 un analogue du lemme 10.2 de [18]. Auparavant, il faut rappeler ˜ a) et si M est un que, si G est une donnée endoscopique elliptique de (G, G,  espace de Levi de G (en un sens compréhensible), il ne correspond pas forcément ˜  un espace de Levi M ˜ de G. ˜ Mais il lui correspond un groupe de Levi M ˆ à M ˆ ˆ ˆ de G tel qu’il existe un sous-groupe parabolique P ∈ P(M ) qui soit stable par ˆ cf. [I] 3.4. Dans la suite, M ˆ est supposé vérifier cette l’action galoisienne et par θ, ˆ . Les propriété. On dira que M est une donnée endoscopique elliptique de M constantes définies dans le paragraphe précédent sont encore définies dans cette ˜ n’y intervenait que via M ˆ . On les utilise en remplaçant M ˜ par M ˆ situation : M dans les notations. ˆ On fixe une fonction notée S(G , M ) sur l’ensemble des triplets G , M , M ˜ formé d’un espace endoscopique elliptique de G, d’un espace de Levi de cet espace ˆ (vérifiant la condition ci-dessus) tel que endoscopique et d’un espace de Levi de G M en soit un espace endoscopique elliptique. On suppose que cette fonction est ˆ On va sommer de deux façons difféinvariante sous l’action par conjugaison de G. ˆ rentes cette fonction (avec des coefficients) sur l’ensemble des triplets G , M , M ˆ ; il faut préciser quelques notations. modulo conjugaison sous G ˆ de G ˆ et d’un couple Les triplets considérés sont formés d’un espace de Levi M     G , M , où M est un espace de Levi de la donnée endoscopique G et où G est une

708

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ tandis que M est une donnée endoscopique donnée endoscopique elliptique de G ˆ ; donc en particulier, dans la donnée endoscopique G , on a un elliptique de M ˆ G) ˆ θ/Z( ˆ et dans la donnée endoscopique M , on a un élément élément s˜G ∈ G ˆ M ˆ θ/Z( ˆ ). Et on a nécessairement s˜G = s˜M Z(M ˆ ). En tenant compte de s˜M ∈ M [I] 3.2 (1), on impose (ce qui est loisible) à s˜M d’être dans la classe canonique ˆ )ΓF Z(G) ˆ définie en loc. cite, à l’intérieur de sa classe sous Z(M ˆ ). Ainsi sous Z(M ˆ )ΓF Z(G)/Z( ˆ ˆ G). s˜G ∈ s˜M Z(M

On a besoin de remarquer que AutMˆ (M ) agit par conjugaison sur s˜M en ˆ )ΓF Z(G). ˆ En fait cela résulte d’un résultat laissant stable sa classe modulo Z(M ˜ G remplacé général prouvé dans le paragraphe suivant, que l’on applique avec G,  ˆ par M , M .

VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes de données endoscopiques Remarque. Soit G une donnée endoscopique (non nécessairement elliptique) de ˆ Alors pour tout x ∈ Aut ˆ (G ), ˜ d’où en particulier un élément s˜G ∈ G ˆ θ. G G −1 Γ ˆ F. x˜ sG x ∈ s˜G Z(G) ˆ tel que x˜ On note z l’élément de Z(G) sG x−1 = z˜ sG ; pour faire agir ΓF sur  z, on utilise les éléments de G : pour tout w ∈ ΓF , on fixe hw ∈ G  dont l’image −1 dans la projection de G  sur ΓF est w. On a hw zh−1 . On conjugue cette w = wzw égalité par x : −1 = x(wzw−1 )x−1 = wzw−1 , xhw x−1 z xh−1 w x

ˆ et x ∈ G. ˆ On utilise le fait que hw commute à s˜G à un cocycle car wzw−1 ∈ Z(G) près d’après les définitions de 3.1, cocycle noté a comme en [?]. En agissant par conjugaison, x laisse stable G  et donc xhw x−1 commute aussi à s˜G au même ˆ D’où : cocycle près et pour tout w ∈ ΓF , a(w) ∈ Z(G). −1 z˜ sG = x˜ sG x−1 = x(a(w)−1 hw s˜G h−1 w )x −1 = a(w)−1 xhw x−1 x˜ sG x−1 xh−1 w x −1 −1 = a(w)−1 xhw x−1 zxh−1 xhw x−1 s˜G xh−1 = wzw−1 s˜G . w x w x

Cela donne l’égalité cherchée z = wzw−1 .

VI.6.5 La combinatoire ˆ , M . Dans l’énoncé ci-dessous, on écrit ∼ H pour On a précisé les notations G , M indiquer que l’on prend l’élément considéré à conjugaison près sous le groupe H. ˆ /M ˆ , qui est muni d’une action galoisienne et ˆ ) := Norm ˆ M On définit aussi W (M G ˆ ˆ  ) = Norm ˆ  M ˆ  /M ˆ  , qui d’une action de θ. On définit de façon identique W (M G  est muni d’une action galoisienne provenant de M .

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

709

ˆ sont des triplets Proposition. Dans les deux sommes suivantes, les G , M , M comme ci-dessus. Et on a :   ˜ G ˜) ˆ  )ΓF |−1 S(G , M , M ˆ ); i(G, |W (M (1) ˆ G /∼G

ˆ M /∼G



= 

(2) G =G (˜ s);˜ s∈˜ sM

ˆ )ΓF  Z(M

=

˜ G ˜  )S(G , M , M ˆ) iM˜  (G,

ˆ ΓF /Z(G)

ˆ ˆ ΓF (1−θ)(Z( M)

ˆ )ΓF ,θˆ|−1 |W (M

)



ˆ,M ˜ ) i(M

ˆ M /∼M

ˆ ˆ M/∼ G



(3)

ˆ,M ˜ ) i(M

ˆ M /∼M

ˆ ˆ M/∼ G





ˆ )ΓF ,θˆ|−1 |W (M

˜ G ˜  )S(G , M , M ˆ ). iM˜  (G,

ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ G =G (˜ s);˜ s∈˜ sM Z(M)

L’égalité de (2) et (3) résulte de [I] 3.3(2). On prouve l’égalité de (1) et ˆ comme expliqué (2). Chaque somme est une somme sur les triplets G , M , M   ˆ  ˆ ) le nombre précédemment. Pour i = 1, 2 et pour G , M , M on note ni (G , M , M ˆ de représentants de la classe de conjugaison sous G de ce triplet qui apparaissent dans la somme (i) (on vérifiera que ces nombres sont finis). Et on doit montrer pour tout tel triplet que : ˆ

ˆ )ΓF ,θ |i(G, ˜ G ˜  )n1 (G , M , M ˆ) |W (M  Γ   ˜ G ˜ )i(M ˆ,M ˜  )n2 (G , M , M ˆ ))−1 ˆ ) F |i ˜  (G, × (|W (M M

vaut 1. En tenant compte de la proposition 6.2, cela revient au même que de démontrer : (4)

ˆ )ΓF ,θˆ|n1 (G , M , M ˆ )|W (M ˆ  )ΓF |−1 n2 (G , M , M ˆ )−1 |W (M = |AutGˆ (G )||AutMˆ (M )|−1

ˆ  opère sur les classes de G ˆ  -conjugaison formées Dans (1), le groupe AutGˆ (G )/G ˆ ) = | Aut ˆ (G )/G ˆ  Aut ˆ (G , M )|. Le sousd’éléments M . Ainsi n1 (G , M , M G G Γ  F ˆ de AutG (G ) opère trivialement sur tout M espace de Levi de groupe Z(G) ˆ  Aut ˆ (G , M ) comme un espace quotient G et on peut donc voir AutGˆ (G )/G G  de AutG (G ) et on a : ˆ ) = |AutG (G )|| Aut ˆ (G , M )/ Aut ˆ (G , M ) ∩ G ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 . n1 (G , M , M G G ˆ  Z(G) ˆ ΓF = Norm ˆ  (M )Z(G) ˆ ΓF ; d’où Or AutGˆ (G , M ) ∩ G G ˆ  Z(G) ˆ ΓF | | AutGˆ (G , M )/ AutGˆ (G , M ) ∩ G ˆ  Z(G) ˆ ΓF || Norm ˆ  (M )Z(G) ˆ ΓF /M ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 = | Aut ˆ (G , M )/M G

G

ˆ  Z(G) ˆ ΓF ||W (M ˆ  )ΓF |−1 |Z(G) ˆ ΓF ∩ G ˆ  /M ˆ  ∩ Z(G) ˆ ΓF |. = | AutGˆ (G , M )/M

710

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ ΓF ∩ G ˆ  ⊂ Z(G ˆ  ) ⊂ Z(M ˆ  ), et on trouve donc que Or Z(G) ˆ ) = |AutG (G )||W (M ˆ  )ΓF || Aut ˆ (G , M )/M ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 . n1 (G , M , M G ˆ )∗ de W (M ˆ )ΓF ,θˆ dans Dans (2), il y a d’abord l’image réciproque NormGˆ (M ˆ ) qui opère sur les M alors que dans la somme on n’a pris en compte NormGˆ (M ˆ )ΓF ˆ ; ensuite, sur les classes de conjugaison de G modulo Z(M que l’action de M   Γ ˆ Z(M ˆ ) F . Ainsi opère Aut ˆ (M )/M M

ˆ ) = | Norm ˆ (M ˆ )∗ /M ˆ Aut ˆ (G , M , M ˆ )| n2 (G , M , M G G ˆ )Z(M ˆ )ΓF |. × | Aut ˆ (M )/ Aut ˆ (G , M , M M

M

Ce nombre est évidemment fini et on peut le récrire sous la forme : ˆ )/ Aut ˆ (G , M , M ˆ )|−1 ˆ )ΓF ,θˆ|| Aut ˆ (G , M , M |W (M G M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|−1 × |Aut ˆ (M )|| Aut ˆ (G , M , M M

M

M

ˆ )ΓF ,θˆ||Aut ˆ (M )| = |W (M M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|−1 . | AutGˆ (G , M , M M Ainsi démontrer (4) est équivalent à montrer que ˆ  Z(G) ˆ ΓF | | AutGˆ (G , M )/M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|. = | AutGˆ (G , M , M M ˜ , ˆ est uniquement déterminé par G et son espace de Levi M Comme M ˆ) AutGˆ (G , M ) = AutGˆ (G , M , M et il suffit de montrer l’inclusion ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G ) → M ˆ  Z(G) ˆ ΓF . Z(M G ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G ) dans Pour montrer cette inclusion, on considère l’image de Z(M G ˆ ˆ ; l’image est incluse dans (Tˆ/Z(G)) ˆ ΓF ,θ ; or Tˆ/Z(G) ˆ est un tore induit au Tˆ/Z(G) sens suivant : le groupe de ces caractères admet une base sur laquelle θˆ et ΓF opère ˆ ΓF ,θˆ est un tore connexe et est nécessairement par permutations. Ainsi (Tˆ/Z(G)) ˆ ˆ ˆ  )ΓF et ainsi Z(M ˆ )ΓF ∩ l’image de Tˆ ΓF ,θ,0 ; or Tˆ ΓF ,θ,0 est un sous-groupe de (M   ΓF  ΓF ΓF ˆ ˆ ˆ ˆ AutGˆ (G ) est un sous-groupe de (M ) Z(G) et donc de (M ) Z(G) .

VI.6.6 Un résultat d’annulation On travaille ici avec des K-espaces. On fixe un ensemble fini V de places contenant ˆ Tˆ, (Eˆα )α∈Δ ) Vram . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée Eˆ = (B,

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

711

ˆ conservée par l’action galoisienne. Si K M ˜ est un K-espace de Levi de K G, ˜ de G, ˜ ˜ , aM ). En fait, K M on sait définir la notion de donnée endoscopique de (KM, K M ˆ de G ˆ qui lui est associé. On n’intervient dans cette définition que via le Levi M sait que l’on peut supposer ce Levi standard et invariant par θˆ et par l’action galoisienne. Pour se donner un peu plus de liberté, on peut imposer la condition plus faible ˆ et il existe Pˆ ∈ P(M ˆ ) de sorte que (Pˆ , M ˆ ) soit conservé par θˆ et par (1) Tˆ ⊂ M l’action galoisienne. ˜ de K G ˜ mais un Levi M ˆ de Considérons non plus un K-espace de Levi K M ˆ G qui vérifie la condition (1). Le cocycle a se pousse en un cocycle aMˆ à valeurs ˆ ). On définit comme en 3.1 la notion de donnée endoscopique disons de dans Z(M ˆ , a ˆ ). Si M ˆ correspond à un K-espace de Levi K M ˜ , cette notion coïncide avec (M M ˜ celle de donnée endoscopique de (KM, K M , aM ). Mais la présente notion est un ˆ ne corresponde pas toujours à un tel K-espace de peu plus générale puisque M ˆ comme ci-dessus et une donnée endoscopique Levi. Considérons donc un Levi M ˆ    ˜ ˆ ˆ  est isomorphe à Tˆ θ,0 . M = (M , M , ζ) de (M , aMˆ ). Un tore maximal de M   Si on introduit des sous-tores maximaux T de G et T de M , on a par dualité un homomorphisme ξ : T → T  . Il n’est défini qu’à conjugaison près mais sa restriction à Z(G) est bien définie et envoie Z(G) dans Z(M  ). On peut donc ˜  = M  ×Z(G) Z(G) ˜ comme en [I] 1.7. Pour une place définir l’espace tordu M ˜v v hors de V , la situation est non ramifiée. Il existe donc un espace de Levi M ˜ défini sur Fv qui correspond à M ˆ . La donnée localisée M est une donnée de G v ˜ v , aMv ). Le sous-espace hyperspécial K ˜v ∩ M ˜ v détermine endoscopique de (Mv , M ˜ vM  de M ˜  (Fv ), bien défini modulo conjugaison alors un sous-espace hyperspécial K  (Fv ). On fixe de tels sous-espaces, soumis à la condition de compatibilité par MAD ˜  , C1 , ξˆ1 définies sur F globale de 1.1. La notion de données auxiliaires M1 , M 1 et non ramifiées hors de V se définit comme en 3.3 et la preuve du lemme de ce paragraphe montre que de telles données existent. On adjoint à ces données ˜ vM  , soumise à la ˜ M  )v∈V relevant les K une familles d’espaces hyperspéciaux (K 1,v même condition de compatibilité globale. Considérons maintenant une autre série ˜ M  )v∈V . La même construction qu’en 1.15 définit de données auxilaires M2 ,. . .,(K 2,v ˜12,V qui permet de recoller C ∞ (M ˜ 1 (FV )) à C ∞ (M ˜ 1 (FV )), du une fonction λ c,λ1 c,λ2 ˜  (F ) = ∅. On définit alors l’espace C ∞ (M ) comme la limite inductive moins si M c V de ces espaces. On a de même des espaces I(MV ), SI(MV ) etc. . . Toutes les ˆ correspondait à un constructions formelles que l’on a faites dans le cas où M ˜ K-espace de Levi de K G s’étendent dans notre situation. ˜  (F ) = ∅ et M elliptique, c’est-à-dire que Cela étant, supposons M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ  )ΓF ,0 = Z(M . Z(M

Soient δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗

et

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(K G(F

712

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On peut poser (2)

I∗K G,E (M , δ, f ) = ˜



G (˜ s)

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))SM



(δ, B G , f G (˜s) ). ˜

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ( 

Par convention, f G (˜s) = 0 si G (˜ s) n’est pas relevante. S’il existe un espace de ˜ correspondant à M ˆ et si M est relevante pour cet espace de Levi, ce Levi K M ˜ K G,E  n’est autre que le terme IK ˜ (M , δ, f ) du paragraphe 4.4. M ˜ de K G ˜ corProposition. Supposons soit qu’il n’existe aucun espace de Levi K M ˜ , soit qu’un tel espace K M ˜ existe mais que M soit une donrespondant à M ˜ ˜ aM ). Alors I∗K G,E née non relevante de (KM, K M, (M , δ, f ) = 0 pour tout δ ∈ st   ∗ ˜ D (MV ) ⊗ Mes(M (FV )) et tout f ∈ I(K G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). Les places archimédiennes compliquent grandement la démonstration, cf. la remarque (30) de 6.10. On va énoncer deux propositions auxiliaires. On montrera en 6.9 que la seconde entraîne la première et que celle-ci entraîne la proposition ci-dessus. On prouvera la seconde proposition auxiliaire en 6.10. Dans les quatre paragraphes suivants, on conserve la présente situation et on impose les hypothèses de la proposition. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.

VI.6.7 Une première proposition auxiliaire ˆ v un Levi de G. ˆ Considérons la condition Soient v ∈ V et L ˆ v ∈ P(L ˆ v ) de sorte que (P ˆ v, L ˆ v ) soit conservé par θˆ et ˆ v et il existe P (1) Tˆ ⊂ L par l’action de ΓFv , qui est l’analogue locale de 6.6(1). ˆ v le commutant de Z(M ˆ  )ΓFv ,0 dans G. ˆ C’est un Levi de G ˆ inclus Notons M ˆ ˆ ˆ dans M . L’inclusion peut être stricte. Ce Levi vérifie (1). Posons MV = (Mv )v∈V . ˆ V = (L ˆ v )v∈V telles que, pour tout v ∈ V , ˆ V ) l’ensemble des familles L Notons L(M ˆ ˆ v . Considérons une telle famille. ˆ Lv soit un Levi de G vérifiant (1) et contenant M On pose ˆ v )) = Z(M ˆ v )ΓFv ,θˆ). ˆ V ) = Z(M ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L Z(L Pour une place v ∈ V , les mêmes considérations que dans le paragraphe précédent s’appliquent : on définit la notion de donnée endoscopique (locale) de ˆ v , a ˆ ). En particulier, puisque M est une donnée endoscopique elliptique de (L v Lv ˆ ˆ ˆ (Mv , aM ˆ v ) et que Mv est un Levi de Lv , on peut définir la donnée endosco ˜ M) ˆ v , a ˆ ) pour s˜ ∈ ζZ( ˆ ΓFv ,θˆ/Z(L) ˆ ΓFv ,θˆ. Considérons un élépique L (˜ s) de (L Lv

v

ˆ V ). Alors L (˜ ˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ment s ∈ ζZ( v s) est défini pour tout v ∈ V et on pose   ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ. Alors la s) = (Lv (˜ s))v∈V . Relevons s˜ en un élément de ζZ( LV (˜ ˆ

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

713

donnée globale G (˜ s) est bien définie. Pour tout v ∈ V , Lv (˜ s) est une «donnée de s). Fixons des données auxiliaires globales G1 (˜ s),. . ., Levi» de la donnée locale Gv (˜ ˜  )v∈V pour G (˜ (K s ). Il s’en déduit par restriction des données auxilaires locales 1,v s), ainsi que des données auxiliaires globales pour M . Conformépour les Lv (˜  ˜  (˜ ment à notre habitude, on note par exemple L s) l’image réciproque 1,v s) ou M1 (˜      ˜  (˜ ˜ ˜ ˜ s) ou M dans G1 (˜ s). En posant L1,V (˜ s; FV ) = v∈V L de Lv (˜ 1,v s, Fv ), on a un  ˜ espace de fonctions SIλ1 (L1,V (˜ s, FV )). Faisons varier le relèvement de s˜ et les données auxiliaires. On remplace l’indice 1 par 2 pour ces nouvelles données. On a une ˜  s; FV ) et ˜  (˜ fonction de recollement définie sur le produit fibré L 12,V s; FV ) de L1,V (˜   ˜ ˜ L2,V (˜ s; FV ) au-dessus de LV (˜ s; FV ). Elle n’est définie qu’à multiplication près par un scalaire. Mais on a remarqué au paragraphe précédent que l’on pouvait normaliser canoniquement les restrictions de ces fonctions au produit fibré similaire  ˜  (˜ ˜ 12 (FV ) qui est inclus dans L M 12,V s; FV ). Cette normalisation fixe la fonction de  ˜ recollement sur tout L12,V (˜ s; FV ). On peut alors définir par limite inductive un  st espace que l’on note SI(LV (˜ s)). Dualement, on a un espace Dg´ s)). eom (LV (˜  ˜ ¯ Soient v ∈ V et δ ∈ Lv (˜ s; Fv ). Sur la clôture algébrique Fv , il existe un ˜ v de G ˆ v . La classe de conjugaison de la partie ˜ qui correspond à L espace de Levi L semi-simple de δ correspond à une classe de conjugaison d’un élément semi-simple ˜ v . On dit que δ est G-régulier, ˜ ˜ resp. G-équisingulier, si γ est fortement γ de L ˜ ˜ ˜  (˜ G-régulier, resp. G-équisingulier. Un élément δ = (δv )v∈V ∈ L V s; FV ) est dit ˜ ˜ ˜ G-régulier, resp. G-équisingulier, aux places archimédiennes si δv est G-régulier, ˜ resp. G-équisingulier, pour tout v archimédienne. ˆ V ∈ L(M ˆ V ). On note L(R ˆ V ) l’ensemble des L ˆ V ∈ L(M ˆ V ) telles que Soit R ΓF ,θˆ ˆ ˜ ˆ ˆ ˆ /Z(LV ), f ∈ SI(LV (˜ s)) et Rv ⊂ Lv pour tout v ∈ V . Soient s ∈ ζZ(M )  ˜  st st s)). Supposons δ ∈ Dg´eom (RV (ζ)) = Dg´eom (RV (˜ ˜ (2) le support de δ soit formé d’éléments G-équisinguliers aux places archimédiennes. Fixons des données auxiliaires comme ci-dessus. Pour simplifier, on peut supposer que δ et f s’identifient respectivement à ⊗v∈V δ 1,v et ⊗v∈V f1,v . Les termes du produit  L˜  (˜s) ˜ 1,v SR (δ 1,v , B G , f1,v ) ˜  (˜ s),λ v∈V

1,v

1

sont bien définis. Notons que l’hypothèse (2) nous permet si l’on veut de supprimer ˜ la mention du système de fonctions B G aux places archimédiennes. Quand on fait varier les données auxiliaires, le produit ne change pas. On le note L (˜ s)

˜

G SRV (ζ) ˜ (δ, B , f ). V

ˆ V ∈ L(M ˆ V ) et s˜ ∈ ζZ( ˜ R ˆ V )/Z(G) ˜ ˆ ΓF ,θˆ. Supposons G (˜ Soient R s) et RV (ζ)  ˜ s) ˜  ˜   G (˜ ˜ ˜ (RV (ζ)) l’ensemble des familles LV = (Lv )v∈V telles elliptiques. Notons L

714

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  soit un espace de Levi de G ˜  (˜ que, pour tout v ∈ V , L s) défini sur Fv et contev ˜ Pour une telle famille et pour v ∈ V , notons L ˆ v le commutant de ˜  (ζ). nant R v  ΓFv ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ V ). La famille ˆ dans G. Alors la famille LV = (Lv )v∈V appartient à L(R Z(Lv )  ˜ LV apparaît comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique ˆ V , a ˆ ). Pour simplifier les notations, nous noterons directes) de (L elliptique LV (˜ LV ˜ ˜  (ζ)). ˜ Remarquons que l’application «terme ˜  (˜ s ) les éléments de LG (˜s) (R ment L V V constant» SI(G (˜ s)) → SI(L (˜ s)) f → fL (˜s) est bien définie. ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ et f ∈ I(K G(F ˆ V ∈ L(M ˜ V ), ω). On supSoient R V g´ eom pose (2) vérifiée. On suppose aussi ˜ est elliptique. (3) R (ζ) On définit ˆ V , δ, f ) = J(R  ˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (ζ)) ˜ L V s)∈L V

 ˜ R ˆV s ˜∈ζZ(

˜  (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV V

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ ΓF ,θˆ )/Z(G) L (˜ s)



G G (˜ s)  (˜ s))SRV (ζ) )LV (˜s) ). ˜ (δ, B , (f ˜

V

˜ et f ∈ I(K G(F ˆ V ∈ L(M ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ V ), ω). On Proposition. Soient R V g´ eom suppose que (2) et (3) sont vérifiées et que δ est l’image par induction d’un élément st  ˆ de Dg´ eom (MV ). Alors J(RV , δ, f ) = 0.

VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire ˆ V ∈ L(M ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ et f ∈ I(K G(F ˜ V ), ω). Proposition. Soient R V g´ eom  ˜ On suppose que R (ζ) est elliptique et que δ est l’image par induction d’un élést ˜ ment de Dorb (MV ) dont le support est formé d’éléments G-réguliers aux places ˆ V , δ, f ) = 0. archimédiennes. Alors J(R

VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6 Evidemment, la proposition 6.8 est un cas particulier de la proposition 6.7. Mais nous allons prouver qu’inversement, elle implique cette proposition. Considérons la situation de cette proposition 6.7. On peut supposer f = ⊗v∈V fv . On fait jouer ˜ et R (ζ) ˜ un rôle de référence. Pour simplifier, on supprime le aux données G (ζ) V ˜ R = R (ζ). ˜ Fixons des données terme ζ˜ des notations, en posant G = G (ζ), V V  ˜ 1,v supplémentaires G1 ,. . .,(K )v∈V pour G . On peut supposer que δ s’identifie à st ˜ ⊗v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )). On peut fixer pour tout v ∈ V une ˜  (Fv ) de sorte que δ 1,v soit classe de conjugaison stable semi-simple Ov dans M

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

715

st ˜ induite d’un élément de Dg´ eom,λ1,v (M1 (Fv )) dont le support est formé d’éléments ˜ R

de partie semi-simple dans Ov . Notons Ov v la classe de conjugaison stable dans ˜ v ˜  (Fv ) contenant O . L’hypothèse sur δ est que OvR ˜ est G-équisingulière pour R v toute place v archimédienne. Nous considérons comme fixés f et les composantes ˆ V , δ, f ) dépend des δ1,v pour v non archimédienne. On va étudier comment J(R δ1,v pour v archimédienne. Pour cela, considérons pour toute place archimédienne st ˜ un élément τ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )). On suppose soit que τ 1,v = δ 1,v , soit que ˜  (Fv )) et que son support est formé d’éléments G˜ τ 1,v appartient à Dst (R 1,v orb,λ1,v ˜ R v de Ov . Pour unifier

les notations, on pose τ 1,v = δ 1,v pour toute réguliers proches  st v ∈ V non-archimédienne. On note τ l’élément de Dg´ eom (RV ) auquel s’identifie ⊗v∈V τ 1,v . ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ, fixons des données supplémentaires Pour tout s˜ ∈ ζZ(  ˜ 1,v G1 (˜ s),. . .,(K (˜ s))v∈V pour G (˜ s). On a deux séries de données auxiliaires pour  ˜  (˜ s). Comme on l’a dit, les espaces SIλ1 (˜s) (R la donnée RV = RV (˜ 1,V s; FV )) et  ˜ SIλ1 (R1,V (FV )) se recollent canoniquement. On peut décomposer cet isomorphisme canonique en produit d’isomorphismes sur toutes les places v ∈ V . On a alors des isomorphismes duaux entre espaces de distributions. Pour tout v ∈ V , st ˜  s; Fv )). D’autre s) ∈ Dg´ τ 1,v s’identifie ainsi à un élément τ 1,v (˜ eom,λ1,v (˜ s) (R1,v (˜ 

part, f G (˜s) s’identifie à un élément ⊗v∈V f1,v (˜ s). On a l’égalité L (˜ s)

(1)

˜



1,v

1,v

SRV (˜s) (τ , B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ) V  L˜  (˜s) ˜ 1,v SR (τ 1,v (˜ s), B G , f1,v (˜ s)L˜  = ˜  (˜ s),λ (˜ s) v∈V

s) 1,v (˜

).

Si v est archimédienne, on a dit que l’on pouvait oublier le système de fonctions ˜ B G en vertu de l’hypothèse sur le support de τ 1,v . On a vu en [V] 1.4 (2) et (3) ˜  (˜ qu’il existait ϕ1,v ∈ SIλ1,v (˜s) (R 1,v s; Fv )) de sorte que (2) pour tout τ 1,v comme ci-dessus, on a ˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

1,v

(τ 1,v , f1,v (˜ s)L˜  (˜ s)

s) ) 1,v (˜

˜ R

(˜ s)

1,v = Sλ1,v s), ϕ1,v ). (˜ s) (τ 1,v (˜

A l’aide des recollements fixés, on peut identifier ϕ1,v à un élément de ˜  (Fv )). Comme cet élément dépend de s˜ et de L (˜ SIλ1,v (R V s), notons-le 1,v s, LV (˜ s)]. Le membre de droite de (2) devient φ1,v [˜ ˜ R

1,v Sλ1,v (τ 1,v , φ1,v [˜ s, LV (˜ s)]).

Notons V∞ l’ensemble des places archimédiennes de F et indiquons par un indice ∞ les produits ou produits tensoriels sur les places v ∈ V∞ . Par exemple τ 1,∞ =

716

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

⊗v∈V∞ τ 1,v . L’égalité (1) devient L (˜ s)

˜ R



1,∞ s, LV (˜ s)]Sλ1,∞ (τ 1,∞ , φ1,∞ [˜ s, LV (˜ s)]), SRV (˜s) (τ , B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ) = c[˜

˜

V

où c[˜ s, LV (˜ s)] est indépendant des τ 1,v pour v ∈ Val∞ (F ). Posons  ˜ G ˜  (˜ φ1,∞ = iM˜  (G, s)) ˆ

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(





˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (ζ)) ˜ L V s)∈L V

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s))c[˜ s, LV (˜ s)]φ1,∞ [˜ s, LV (˜ s)]. V

Alors ˜ R

ˆ V , τ , f ) = S 1,∞ (τ 1,∞ , φ1,∞ ). J(R λ1,∞

(3)

st ˜ ˜ Soit μ1,∞ ∈ Dg´ eom,λ1,∞ (M1 (F∞ )), à support dans les éléments de M (F∞ ) de  partie semi-simple dans O∞ , tel que δ 1,∞ soit l’induite de μ1,∞ . En appliquant (3) à τ = δ, on obtient ˜ M

ˆ V , δ, f ) = S 1,∞ (μ , φ J(R ˜ 1,∞ λ1,∞ 1,∞,M

1,∞

).

On veut prouver que le membre de gauche est nul. Il suffit de prouver que φ1,∞,M˜  1,∞  est nul au voisinage de O∞ . Précisément, il suffit de prouver que, pour ν 1,∞ ∈ st  ˜  (F∞ )), à support G-régulier ˜ (M et proche de O∞ , on a Dorb,λ 1 1,∞ ˜ M

1,∞ Sλ1,∞ (ν 1,∞ , φ1,∞,M˜ 

1,∞

) = 0.

˜  (F∞ ). Complétons τ 1,∞ Fixons un tel ν1,∞ , notons τ 1,∞ l’induite de ν 1,∞ à R 1,∞ en un élément τ de composantes δ 1,v aux places de V non-archimédiennes. Le même calcul que ci-dessus montre que ˜ M

1,∞ Sλ1,∞ (ν 1,∞ , φ1,∞,M˜ 

1,∞

ˆ V , τ , f ). ) = J(R

Mais τ vérifie les hypothèses de 6.8. Donc le membre de droite ci-dessus est nul. D’où l’assertion cherchée, ce qui prouve la proposition 6.7. Nous allons maintenant prouver que cette proposition 6.7 entraîne la proposition 6.6. Considérons la définition 6.6(2). On utilise la proposition 4.2(i) pour  ˜ G (˜ s) développer chaque terme SM (δ, B G , f G (˜s) ). Avec les notations que l’on a introduites, on obtient G (˜ s)

SM 

=



(δ, B G , f G (˜s) )  ˜

˜  (˜ G s ) (M ˜  (˜ ˜ ) L V s)∈L V





 ˜ (˜ ˜ L (˜ s) G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s))SMV (δ, B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). V

V

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

717

Fixons des données auxiliaires comme plus haut. Les intégrales du membre de droite se décomposent alors en produit sur v ∈ V d’intégrales locales. Considérons une place v archimédienne. Le terme local est ˜ L

(˜ s)

s) 1,v (˜

1,v

˜  (˜ G 1,v s)

˜

SM˜1,v  (˜ s),λ

(4)

(δ 1,v (˜ s), B G , (fv

)L˜ 

s) 1,v (˜

).

On peut supposer comme plus haut que les éléments du support de δ 1,v ont leur partie semi-simple dans une classe de conjugaison stable Ov . Fixons Hv ∈ AM˜  en v position générale. Relevons-le en un élément H1,v ∈ AM˜  (˜s) . Considérons un Levi 1,v ˜  (˜ ˜ de L v s) contenant Mv . Conformément aux notations introduites en 6.7, notons-le  ˜ Rv (˜ s). Les définitions de [V] 6.3 s’étendent au cas des distributions se transformant selon le caractère λ1,v (˜ s) de C1 (˜ s; Fv ). On a défini dans cette référence un élément ˜

˜ R

s), B G , H1,v1,v ξ R1,v (˜s),st (δ 1,v (˜ ˜

(˜ s)

).

st ˜  (˜ ˜  s; Fv )) C’est une distribution induite à R 1,v s; Fv ) d’un élément de Dg´ eom (M1,v (˜  dont le support est formé d’éléments de partie semi-simple dans Ov . La proposition [V] 6.3 entraîne que le (3) est faiblement équivalent à la fonction qui, à H1,v associe  ˜  (˜ L 1,v s) SR ˜  (˜ s),λ (˜ s)

 exp(H1,v,R ˜

1,v

1,v

˜  (˜ L ˜  (˜ ˜) v s ) (M R v s)∈L v

˜

1,v

˜ R

s),st R1,v (˜ (δ 1,v (˜ s), B G , H1,v1,v (˜ s) )ξ ˜

(˜ s)

˜  (˜ G 1,v s)

), (fv

 )L˜ 

s) 1,v (˜

.

Cela implique que, si l’on remplace dans l’expression ci-dessus H1,v par H1,v /n, pour un entier n ≥ 1, la limite de cette expression quand n tend vers l’infini est égale à (4). Posons ˜ R

τ 1,v1,v

(˜ s)

(n) = exp(H1,v,R ˜

s) /n)ξ 1,v (˜

˜  (˜ R 1,v s),st

˜ R

˜

(δ 1,v (˜ s), B G , H1,v1,v

(˜ s)

/n).

Pour unifier les notations, pour une place v ∈ V non-archimédienne, posons ˜ M

τ 1,v1,v

(˜ s)

(n) = δ1,v (˜ s). 

˜ (˜ ˜ G s) ˜  ˜  ). Notons L∞ Enfin, on a défini en 6.7 l’ensemble LG (˜s) (M (MV ) le sousV ˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  pour toute place nons ) ∈ L ( M ) tels que R s ) = M ensemble des R v v V V  ˜ G (˜ s) archimédienne. Avec ces définitions, on obtient que SM (δ, B G , f G (˜s) ) est égale à la limite quand n tend vers l’infini de   ˜  (˜ G s) ˜  ˜  e  (M , L (˜ s))

(5)

˜  (˜ ˜  (˜ G s) ˜  G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ R (MV ) L V s)∈L V s)) V s)∈L∞



v∈V

˜  (˜ L 1,v s) SR ˜  (˜ s),λ1,v (˜ s) 1,v

˜ M V

V

  ˜ ˜  (˜ M G (˜ s) s) ˜ τ 1,v1,v (n), B G , (fv 1,v )L˜ 

s) 1,v (˜

 .

718

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜ R

(˜ s)

Les distributions τ 1,v1,v (n) dépendent des données auxiliaires mais on vérifie sans peine qu’elles se recollent convenablement quand on change de données auxiliaires. ) On doit toutefois prendre garde au fait que la translation par exp(H1,v,R ˜  (˜ 1,v s) pour v archimédienne n’est compatible au recollement qu’à un caractère près. Plus précisément, pour une telle place, on a introduit en [IV] 2.1 un caractère λAG˜  (˜s) de AG˜  (˜s) . Alors les distributions 1

1,v







λAG˜ 

s) 1,v (˜

(H1,v,G˜ 

s) 1,v (˜

˜ R

⊗v∈V τ 1,v1,v

/n)

(˜ s)

(n)

v∈Val∞ (F ) 

se recollent en une distribution que l’on note τ RV (˜s) (n). Cette multiplication par le produit des λAG˜  (˜s) (H1,v,G˜  (˜s) /n) ne nous gêne pas : on peut multiplier (5) 1,v

1,v

par ce terme sans changer les propriétés de cette expression. Alors (5) se récrit 



˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜  (˜ G G s) ˜  s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ R (MV ) L V s)∈L V s)) V s)∈L∞

L (˜ s)



˜  (˜ ˜ , L eM˜  (M V s)) V



SRV (˜s) (τ RV (˜s) (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). ˜

V

˜

En revenant à 6.6(2), on voit que I∗K G,E (M , δ, f ) est égale à la limite quand n tend vers l’infini de 

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ

˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ R (MV ) V s)∈L∞

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(



(6)

˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

L (˜ s)





˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜ , L eM˜  (M V s)) V



SRV (˜s) (τ RV (˜s) (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). ˜

V

ˆ V ∈ L(M ˆ V ). Plus précisément, s) intervenant est associé un élément R A tout RV (˜ ˆ ˆv = M ˆv celui-ci appartient au sous-ensemble L∞ (MV ) défini par les conditions R  pour v ∈ V non-archimédienne. On peut remplacer la somme en RV (˜ s) par une ˆ V , que l’on permute avec la somme en s˜. On peut ensuite décomposer somme en R ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(R ˆ V ) et une somme en cette dernière somme en une somme sur t˜ ∈ ζZ( ˆ ΓF ,θ ˆ ˆ V ∈ L∞ (M ˆ V ) de ˆ ˜ . L’expression (6) devient la somme sur R s˜ ∈ tZ(RV )/Z(G)  ˆ V );R (t˜) elliptique ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(R t˜∈ζZ( V



ˆ V , t˜, τ RV (t˜) (n), f ), J(R

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

719

où 



ˆ V , t˜, τ RV (t) (n), f ) = J(R  ˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

˜

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈t˜Z(R ˜

L (˜ s)





RV (˜ s) V ˜ , L ˜  (˜ eM˜  (M (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). V s))SR (˜ s) (τ G (˜ s) V

˜

V

˜ cette expression est égale à l’expression J(R ˆ V , τ RV (t˜) (n), f ) Dans le cas où t˜ = ζ, de 6.7. Pour t˜ quelconque, elle est égale à l’analogue de cette expression quand ˜ par la donnée équivalente on remplace la donnée de départ M = (M  , M , ζ) (M  , M , t˜). On peut donc lui appliquer cette proposition 6.7. Les distributions  τ RV (t˜) (n) vérifient par construction les hypothèses de cette proposition : en une place archimédienne v, la translation par exp(H1,v,R /n) assure que le sup˜  (˜ 1,v s) ˜ port de la distribution est G-équisingulier puisque Hv est en position générale. ˆ V , t˜, τ RV (t˜) (n), f ) = 0. Alors l’expresLa proposition 6.7 implique donc que J(R ˜ sion (6) est nulle. Sa limite I∗K G,E (M , δ, f ) est nulle elle aussi, ce qui prouve la proposition 6.6.

VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8 ˆ V , δ et f comme dans l’énoncé de la proposition 6.8. On On fixe des données R suppose f = ⊗v∈V fv . On a besoin de facteurs de transfert globaux. Pour cela, on fixe les extensions ˜→H ˜ 1 → G → H → D → 1, G ˜ M ˆ ΓF ,θˆ, on étend ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) construites dans la preuve de 3.8. Pour tout s˜ ∈ ζZ( comme dans ce paragraphe la donnée G (˜ s) en une donnée H (t˜) et on fixe des don ˜ ˆ ˜ nées auxiliaires H1 (t),. . .,ξ1 (t). On en déduit comme en 3.9 des données auxiliaires G1 (˜ s),. . .,ξˆ1 (˜ s) pour G (˜ s), que l’on complète par le choix d’espaces hyperspé ˜ s))v∈V . Il s’en déduit un facteur de transfert canonique comme en ciaux (K1,v (˜ ˜  (˜ G s)

3.9, que l’on décompose en produit sur v ∈ V de facteurs locaux. On note fv 1 le transfert de fv calculé à l’aide de ce facteur. Comme en 6.9, on considère les données auxiliaires relatives à ζ˜ comme des données de référence et, pour celles-ci, ˜ G = G (ζ) ˜ etc. . . On peut supon supprime ζ˜ de la notation : G = G (ζ), 1 1 st ˜ poser que δ s’identifie à ⊗v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )) pour tout ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ de v ∈ V . Comme on l’a vu en 6.7, on dispose pour tout s˜ ∈ ζZ(   ˜ 1 (FV )) et SIλ (˜s) (M ˜ 1 (˜ recollements canoniques entre SIλ1 (M s; FV )) et aussi entre 1   ˜ ˜ s; FV )). On décompose ceux-ci en produit tensoSIλ1 (R1,V (FV )) et SIλ1 (˜s) (R1,V (˜ riel d’isomorphismes locaux. On fait de même pour les espaces de distributions. st ˜  s; Fv )). La définition de s) ∈ Dg´ Alors chaque δ 1,v s’identifie à δ 1,v (˜ eom,λ1,v (˜ s) (R1,v (˜

720

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ V , δ, f ) se récrit J(R 

ˆ V , δ, f ) = J(R

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s ˜∈ζZ(

 (1)  v∈V



˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

1,v

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s)) V

˜

˜  (˜ G 1,v s)

(δ (˜ s), B G , (fv (˜ s) 1,v

)L˜ 

s) 1,v (˜

).

On peut supposer que, pour tout v ∈ V , il y a une classe de conjugaison ˜  (Fv ) de sorte que stable semi-simple Ov ⊂ M  ˜ 1,v – δ 1,v est induite d’un élément de Dst (M (Fv )) dont le support est formé orb,λ1,v

d’éléments de partie semi-simple dans Ov ; ˜ – si v est archimédienne, Ov est formé d’éléments G-réguliers.

˜  le comFixons v ∈ Ov tel que Mv soit quasi-déployé sur Fv . On note R v  ˜ . On a A ˜  = AM  . On peut fixer une distribution mutant de AMv dans M Rv v ˜  (Fv )) de sorte que (R dv ∈ Dst g´ eom,λ1

1,v

˜  (Fv ) ; – δ 1,v soit l’induite de dv à R 1,v ˜  (Fv ) des éléments du sup– si v est non-archimédienne, les projections dans R v port de dv ont leur partie semi-simple dans la classe de conjugaison stable ˜  (Fv ) ; OR˜  de v dans R v v – si v est archimédienne, dv est une intégrale orbitale stable associée à un  ˜ 1,v relèvement de v dans R (Fv ). On a ˜ . (2) v appartient à un sous-tore tordu maximal elliptique de R v En effet, soit Tv un sous-tore maximal elliptique de Mv et Tv son commutant dans Rv . Alors l’ensemble Tv v répond à la question. Pour que cette construction soit correcte, il faut évidemment que Mv possède un sous-tore maximal elliptique. ˜ C’est toujours vrai si v est non-archimédienne. Si v est archimédienne, v est G régulier par hypothèse donc Mv est lui-même un tore et l’assertion s’ensuit. ˆ  )ΓFv ,0 dans G. ˆ C’est un Levi de M ˆ v . Quitte ˆ v le commutant de Z(R On note R v à remplacer la donnée locale Mv par une donnée équivalente, on peut supposer que tous ces Levi sont standard et que la donnée locale Mv provient d’une donnée ˆ v , cf. [I] 3.4. C’est-à-dire qu’en posant R = M ∩ L Rv , le triplet Rv pour R v v   ˜ est une donnée endoscopique de R ˆ v et que Mv = M ˆ  Rv . Notons Rv = (Rv , Rv , ζ)  que Rv est une donnée elliptique par construction. Remarque. On pourrait poser des définitions plus sophistiquées évitant de remplacer Mv par une donnée équivalente. En tout cas, ce remplacement ne perturbera pas la suite de la démonstration.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

721

ˆ v vérifie la condition 6.7(1). On pose R ˆ V = (R ˆv )v∈V . On définit Le Levi R ˆ V = (L ˆ v )v∈V telles que, pour tout ˆ V ) des familles L comme en 6.7 l’ensemble L(R ˆ v soit un Levi de G ˆ vérifiant 6.7(1) et contenant R ˆ v . Considérons une v ∈ V, L ΓF ,θˆ ΓF ,θˆ ˜ ˆ ˆ /Z(G) et pour une place v ∈ V , on définit telle famille. Pour s˜ ∈ ζZ(M ) ˆ v associée à s˜ et à la donnée endoscopique R s) de L la donnée endoscopique Lv (˜ v ˆ v de L ˆ v . En posant du Levi R ˆ V ) = Z(M ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L ˆ v )), Z(L ˆ V ). Considérons deux élécette donnée ne dépend que de l’image de s˜ modulo Z(L ˆ ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ ayant même image modulo ce groupe. On a ments s˜1 et s˜2 de ζZ( choisi ci-dessus des données auxiliaires pour les données G (˜ s1 ) et G (˜ s2 ) qui se res1 ) = Lv (˜ s2 ). streignent pour toute place v ∈ V en des données auxiliaires pour Lv (˜ ˜ 1,v (˜ ˜ 1,v (˜ On dispose donc d’espaces SIλ1,v (˜s1 ) (L s1 ; Fv )) et SIλ1,v (˜s2 ) (L s2 ; Fv )). Ces espaces sont canoniquement isomorphes. En effet, on sait que ces espaces sont isomorphes, l’isomorphisme n’étant en général défini qu’à un scalaire près. Il s’agit de normaliser celui-ci. On a déjà fixé les isomorphismes ˜  (˜ ˜ ˜  s2 ; Fv )). SIλ1,v (˜s1 ) (R s2 ) (R1,v (˜ 1,v s1 ; Fv ))  SIλ1,v (R1,v (Fv ))  SIλ1,v (˜ On normalise nos isomorphismes de sorte que le diagramme suivant soit commutatif ˜  (˜ ˜  s2 ; Fv )) SIλ1,v (˜s1 ) (R s2 ) (R1,v (˜ 1,v s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜ ↓ ↓   ˜ 1,v ˜ 1,v (˜ s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜s2 ) (R (˜ s1 ; Fv )) SIλ1,v (˜s1 ) (R ↑ ↑ ˜ 1,v (˜ ˜ 1,v (˜ SIλ1,v (˜s1 ) (L s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜s2 ) (L s2 ; Fv )) où les applications verticales sont les applications «termes constants». De mêmes considérations valent pour les espaces de distributions.  ˜ ˆ ˜ ˆ ΓF ,θˆ, supposons G (˜ ˜ = s) elliptique. Posons R V v∈V Rv . Soit ζZ(RV )/Z(G) ˜ ˜  ) l’ensemble des familles L ˜  = (L ˜  )v∈V telles que, pour tout Notons LG (˜s) (R v V V ˜ v soit un espace de Levi de G ˜  (˜ ˜ v . Pour v ∈ V, L s) défini sur Fv et contenant R  Γ ˆ ) Fv ,0 dans ˆ v le commutant de Z(L une telle famille et pour v ∈ V , notons L v ˆ Alors la famille L ˆ V = (L ˆ v )v∈V appartient à L(R ˆV ). La famille L ˜  apparaît G. V comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique elliptique ˆ V , a ˆ ). Comme en 6.7, on notera directement L ˜  (˜ s) de (L L (˜ V s) les éléments de LV  ˜ (˜ G s) ˜  L (R ). V

˜  (˜ Considérons la formule (1). Fixons s˜, L V s) y apparaissant et une place v ∈ V . Par les isomorphismes canoniques, la distribution dv introduite ci-dessus st ˜  s; Fv )). La distribution δ 1,v (˜ s’identifie à dv (˜ s) ∈ Dg´ s) est l’induite eom,λ1 (˜ s) (R1,v (˜  ˜ de dv (˜ s) à R (˜ s; Fv ). On applique les propositions [II] 1.14(ii) ou [V] 1.6(ii). On 1,v

722

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

obtient ˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

˜  (˜ G 1,v s)

˜

1,v

(δ (˜ s), B G , (fv (˜ s) 1,v ˜ L

(˜ s)

SR˜ 1,v (˜s),λ

1,v

v∈V

˜  (˜ G 1,v s)

)L˜ 

s) 1,v (˜

eR˜v

v

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)) v

).



ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = J(R 

˜  (˜ L s)

˜  (˜ L ˜ ) ˜  (˜ v s ) (R L v s)∈L v

(dv (˜ s), B G , (fv (˜ s)

ˆ V ∈ L(R ˆV ), posons Pour tout L

(3)



(˜ s) ) =

˜

1,v

1,v

)L˜ 

ˆ V , s˜) E(L

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ,L s˜∈ζZ( V

(˜ s) elliptique

˜  (˜ ˜  (˜ L G s) s) ˜ SR˜ 1,v (˜s),λ (˜s) (dv (˜ s), B G , (fv 1,v )L˜  (˜s) ), 1,v 1,v 1,v

où



˜ G ˜  (˜ ˆ V , s˜) = i ˜  (G, s)) E(L M (4)





˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ L (RV (˜ s)) V s)∈L ˜  (˜ G s) ˜  (L (˜ s)) ∩L

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s)) V

V

˜  (˜ L s) ˜  ˜  eR˜v (R s)). v , Lv (˜ v

v∈V

Alors la formule (1) se récrit ˆ V , δ, f ) = J(R



ˆV ,L ˆ V , δ, f ). J(R

ˆ V ∈L(R ˆV ) L

ˆ V et de Pour prouver que le membre de gauche est nul, il nous suffit de fixer L ˆ ˆ prouver que J(RV , LV , δ, f ) = 0. ˆ v, R ˆ v, R ˆ V ). Pour v ∈ V , aux Levi M ˆ v et ˆ V ∈ L(R Fixons désormais L ˆ v sont associés des espaces A ˜ , A ˜ , A ˜ et A ˜ . Par exemple, A ˜ = L Mv Rv Rv Lv Mv ˆ ˆ v )ΓFv ,θ,0 ) ⊗Z R. On a X ∗ (Z(M AR ˜v AM˜ v



⊂

AM ˜v AL˜ v

⎫ ⎬ ⎭

⊂ AR˜ v .

Posons par exemple AM ˜ V = ⊕v∈V AM ˜ v . Rappelons que l’on a un plongement ˜

diagonal Δ : AG ˜ V . Par composition, on obtient des homomorphismes ˜ → AM M ˜

AG ˜ V /AR ˜V ˜ → AM M et ˜

AG ˜ V → AR ˜ V → AR ˜ V /AL ˜V . ˜ → AM M

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

723

On note ˜

D : AG ˜ V /AR ˜ V ⊕ AR ˜ V /AL ˜V ˜ → AM M leur somme directe. On obtient dualement un homomorphisme ˆ : Z(M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ D

 ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(R ˆ v )ΓFv ,θˆ ⊕ Z(R ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ . → ⊕v∈V Z(M ˆ est surjectif et de noyau fini. On Supposons que D soit un isomorphisme. Alors D note k(D) le nombre d’éléments de ce noyau. On note d(D) le nombre tel que D identifie la mesure sur son ensemble de départ avec d(Δ) fois celle sur son ensemble d’arrivée. On pose e(D) = d(D)k(D)−1 . Pour v ∈ V , l’homomorphisme ˆ v )ΓFv ,θ → Z(M ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv ,θ /Z(R Z(M v v ˆ

ˆ

est surjectif et de noyau fini (car les données Mv et Rv sont elliptiques par déˆ ˜ finition). On note iM ˜  (Rv , Rv ) l’inverse du nombre d’éléments de son noyau. De v ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ tel que L (˜ même, soit s˜ ∈ ζZ( s) soit elliptique. Alors l’homomorphisme ΓFv ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ → Z(R ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ Z(R v v s)) ˆv, L ˜  (˜ est surjectif et de noyau fini. On note iR˜  (L v s)) l’inverse du nombre d’éléments v de son noyau. Soit s˜ comme ci-dessus. On va montrer ˆ V , s˜) = 0 ; (5) si D n’est pas un isomorphisme, E(L (6) supposons que D soit un isomorphisme ; alors ˆ V , s˜) = e(D) E(L



ˆ ˜  ˜  (L ˆv, L ˜  (˜ iM ˜  (Rv , Rv )iR v s)). v

v

v∈V

ˆ V , s˜) = 0. Alors i ˜  (G, ˜ G ˜  (˜ s)) = 0 donc G (˜ s) est elliptique. Supposons E(L M  ˆ ˆ ˆ s) soit elliptique et que les On peut fixer LV ∈ L(RV ) ∩ L(LV ) de sorte que LV (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ L G s) ˜  ˜   v s) ˜  ˜ s)) et d (R , L (˜ s)), pour v ∈ V , soient non nulles. constantes d  (M , L (˜ ˜ M V

˜ R v

V ˜ L AR˜v v

v

v

LV Lv Notons par exemple l’orthogonal de AL˜ v dans AR˜ v et AR ˜ V = ⊕v∈V AR ˜v .  Toutes les données endoscopiques intervenant étant elliptiques (Mv étant consiˆ v ), ces non-nullités signifient que l’on a les égalités dérée comme une donnée de M

(7)

˜

˜

˜

˜

G G AG ˜ V = Δ(AM ˜ ) ⊕ AL ˜V M

et (8)

LV LV LV AR ˜ = AR ˜ , ˜ ⊕ AL ˜

˜

V

˜

V

V

˜

724

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

L’application D est la composée des deux applications ˜

˜

Δ

G AG ˜ V /AL ˜V ˜ → AM ˜ V → AM M

et AM ˜ V /AL ˜ V → AM ˜ V /AR ˜ V ⊕ AR ˜ V /AL ˜V .

(9)

La première est un isomorphisme d’après (7). On peut décomposer l’espace de ˜V départ de (9) en AR ˜ V /AL ˜ V . Alors (9) devient une application triangulaire. ˜ V ⊕ AR M Les termes diagonaux sont les applications V → AM AR ˜ V /AR ˜V ˜ M

˜

V

et AR ˜ V /AL ˜ V → AR ˜ V /AL ˜V . La première est évidemment un isomorphisme et la seconde l’est d’après (8). Donc (9) est un isomorphisme et D aussi. Cela démontre (5). Remarquons qu’en précisant ces calculs, on obtient l’égalité ˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜ , L d(D) = dM˜  (M V s))

(10)

V



˜  (˜ L s)

dR˜v

v

v∈V

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)). v

ˆV Inversement, supposons que D soit un isomorphisme. Il y a au plus un espace L ˆ qui peut contribuer à la somme E(LV , s˜). En effet, l’égalité (8) doit être vérifiée par cet espace, ce qui détermine AL˜ V = AR ˜ V ∩ AL ˜V .

(11)

s) doit Définissons ainsi cet espace. Pour qu’il intervienne vraiment, la donnée LV (˜ être elliptique. Par hypothèse, les données RV et L (˜ s) sont elliptiques. Le membre de droite de (11) est donc égal à AR ˜  ∩ AL ˜ V

V

(˜ s) .

L’espace AL˜  (˜s) est inclus dans cette intersection. Il est donc inclus dans le membre V s) est elliptique. En inversant le calcul de gauche de (11), ce qui implique que LV (˜ fait ci-dessus, on voit que l’égalité (8) et l’hypothèse que D est un isomorphisme impliquent (7). Puisque LV (˜ s) est elliptique, le dernier terme de cette égalité ˜ ˜ . Cet espace contient Δ(AG ). Puisque les deux termes du est égal à AG ˜  (˜ ˜  (˜ s) G L s) V

˜

membre de droite de (7) sont en somme directe, l’espace AG est nul. Donc ˜  (˜ s) G s) est elliptique. Considérons la définition (4), où n’intervient plus la donnée G (˜ ˜  (˜ G s) ˜  ˜  ˜  (˜ s). Une constante telle que e  (M , L (˜ s)) est le produit de que notre Levi L V

˜ M V

V

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10 



V

V

725

˜ (˜ ˜ (˜ G G s) ˜  ˜  s) ˜  ˜  dM˜  (M , LV (˜ s)) et de l’inverse de kM˜  (M , LV (˜ s)), ce terme étant le nombre

d’éléments d’un certain noyau. L’égalité (10) montre que le produit des constantes d est égal à d(D). Pour prouver (6), il suffit de prouver l’égalité  ˆ ˜  ˜  (L ˆv, L ˜  (˜ iM k(D)−1 ˜  (Rv , Rv )iR v s)) v

v

v∈V

(12)



˜ (˜ G s) ˜  ˜  ˜ G ˜  (˜ = iM˜  (G, s))kM˜  (M , LV (˜ s))−1 V



˜  (˜ L s)

kR˜v

v∈V

v

˜ ,L ˜ v (˜ (R s))−1 . v

On a un diagramme commutatif ˆ

ˆ

ˆ D

ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ Z(M ⏐ ⏐ ⏐ "

→

ˆ v )ΓFv ,θ /Z(R ˆ v )ΓFv ,θ ⊕v∈V (Z(M

ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ s))ΓF Z(M

→

ˆ D

ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ) ⊕ Z(R ↓ ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ⊕v∈V (Z(M v v ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) . v

v

Tous les homomorphismes sont surjectifs et de noyaux finis. Calculons l’inverse du nombre d’éléments de l’homomorphisme composé. Si on utilise le chemin nord-est, on trouve le membre de gauche de (12). Si on utilise le chemin sud-ouest, on trouve ˜ G ˜  (˜ ˆ  )|−1 . L’homomorphisme D ˆ  se décompose en s))| ker(D iM˜  (G, ΓFv ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(G s))ΓF → ⊕v∈V Z(M Z(M v v s)) ⊕v∈V ˆ ιv

→

ΓFv ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ⊕ Z(R ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ⊕v∈V (Z(M ). v v v v s))

De nouveau, les homomophismes sont surjectifs et de noyaux finis. Le nombre ˜  (˜ G s) ˜  ˜  d’éléments du noyau du premier homomorphisme est égal à kM˜  (M , LV (˜ s)). Pour obtenir (12), il reste à prouver que, pour tout v ∈ V , on a ˜  (˜ L s)

| ker(ˆιv )| = kR˜v

(13)

v

V

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)). v

On a un diagramme commutatif 1 ↓ ιv ΓFv ˆ ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v )ΓFv /Z(R Z(M → (Z(M v s)) v ↓ ˆ ΓFv κ ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(R ˆ v )ΓFv /Z(L →v (Z(R Z(R v s)) v ↓ ˆ v )ΓFv = (Z(R ˆ v )ΓFv /Z(M ˆ v )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(M Z(R ↓ 1

1 ↓ ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) → 1 ↓ ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) → 1 ↓ ⊕ 1) ↓ 1.

726

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Les lignes et colonnes sont exactes. Il en resulte que | ker(ˆιv )| = | ker(ˆ κv )|. Mais ce dernier nombre est égal au membre de droite de (13). Cela prouve (13), (12) et achève la preuve de (6). ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = 0 et Si D n’est pas un isomorphisme, (5) entraîne que J(R on a fini. On suppose maintenant que D est un isomorphisme. On peut suppo˜ G

(˜ s)

ser qu’il existe s˜ intervenant dans la définition (3) tel que (fv 1,v )L˜  (˜s) soit 1,v ˜ v (˜ non nul pour tout v ∈ V . Cela entraîne que le Levi L s) est relevant. A for˜ v de K G ˜ v . On peut fixer une ˆ v correspond à un K-espace de Levi K L tiori, L ˜ ˜ collection K LV = (K Lv )v∈V de tels K-espaces de Levi et identifier Lv (˜ s) à une ˜ V , aL ). On a pour tout v l’égalité donnée endoscopique elliptique de (KLV , K L ˜  (˜ G 1,v s)

˜

= (fv,K L˜ v ,ωv )L1,v (˜s) . On se sert ici de la restriction du facteur de ˜ 1 (˜ ˜ v ) pour définir le transfert. Rappelons que le transfert fixé sur G s, Fv ) × G(F  ˜ ˜ s)) est nul si LV (˜ s) n’est pas elliptique. Compte tenu de l’égalité terme iR˜  (Lv , Lv (˜ v (6), la définition (3) se récrit

(fv

)L˜ 

s) 1,v (˜



ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = c J(R (14)

X(˜ s) ˆ

ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈Z(R





˜ L

(˜ s)

SR˜ 1,v (˜s),λ

v∈V

1,v

s) 1,v (˜

 ˜ ˜ dv (˜ s), B G (fv,K L˜ v ,ωv )L1,v (˜s) ,

où c = e(D)



ˆ ˜ iM ˜  (Rv , Rv ) v

v∈V

et X(˜ s) =



˜v, L ˜ v (˜ iR˜ v (L s)).

v∈V

ˆ v )∗ image réciproque dans Pour toute place v ∈ V , introduisons le groupe Z(R  ΓFv ˆ ˆ ˆ ˆ Z(R) de (Z(Rv )/Z(Rv ) ∩ Z(Rv )) . Le sous-groupe des éléments invariants par θˆ dans ˆ ˆ v )ΓFv (1 − θ)(Z( ˆv )∗ ) R ∩v∈V Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ comme sous-groupe d’indice fini. Le groupe contient ∩v∈V Z(L ˆ V ) ∩ ∩v∈V Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ)/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ (Z(R ˆ donc est fini. Il en résulte que le groupe est le noyau de D

 ˆ V ) ∩ ∩v∈V Z(L ˆ ˆ v )ΓFv (1 − θ)(Z( ˆ v )∗ ) /Z(G) ˆ ΓF ,θˆ Z(R R est fini. Il nous suffit d’en trouver un sous-groupe Z vérifiant la propriété suivante. ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ. Alors, dans l’expression (14), la sous-somme sur Fixons s˜0 ∈ ζZ( s˜ ∈ Z s˜0 est nulle. Considérons donc un sous-groupe Z que l’on précisera plus tard.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

727

La propriété requise dépend d’un élément s˜0 . Pour la simplicité de l’écriture, on ˜ On a peut supposer s˜0 = ζ.   ˜ ˜ les données endoscopiques L (˜ (15) pour s˜ ∈ Z ζ, V s) et LV = LV (ζ) sont équiva˜ lentes ; si ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X(ζ). ˆ ) d’un élément de Z. Pour toute place v ∈ V , Soit z un représentant dans Z(M ˆ ˆ v )ΓFv et ρv ∈ Z(R ˆ v )∗ . Puisque ρv ∈ R ˆv ⊂ on écrit z = τv (1 − θ)(ρv ), avec τv ∈ Z(L ˜ ˜ ˆ ˆ Lv , adρv est un automorphisme intérieur de Lv . On a l’égalité z ζ = ρv τv ζρ−1 v , ˜ Puisque τv ∈ Z(L ˜ sur L ˜ =L ˆ  (τv ζ) ˆ v ), on a L ˆ  (τv ζ) ˆ  (z ζ). ˆ  . Les donc adρv envoie L v v v v ˜ sont engendrés par R = M ∩ L Rv et L ˆ v , respectivement groupes Lv et Lv (z ζ) v v ˜ Puisque ρv ∈ Z(R ˜ ˆ  (z ζ). ˆ v )∗ , adρv conserve R . Donc adρv envoie L sur L (z ζ). L v v v v   ˜ Autrement dit, ρv définit une équivalence entre les données Lv et Lv (z ζ). L’égalité ˜ résulte évidemment de la définition de ces termes. Cela prouve (15). X(˜ s) = X(ζ) ˜ = 0. La somme que l’on considère On peut supposer LV elliptique, sinon X(ζ) est proportionnelle à  z∈Z v∈V

˜ L

˜ (z ζ)

SR˜ 1,v (zζ),λ ˜ 1,v

˜ 1,v (z ζ)

˜

˜

˜

˜ B G , (f ˜ )L1,v (zζ) ). (dv (z ζ), Lv ,ω

ˆ )ΓF ,θˆ relevant un élément de Z. Puisque Fixons z ∈ Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ ΓF ,θˆ, ˆ )ΓF ,θˆ = Z(M Z(G) Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 . Comme dans la preuve de (15), on écrit z = on peut supposer z ∈ Z(M ˆ v ) pour toute place v ∈ V , où τv ∈ Z(L ˆ v )ΓFv et ρv ∈ Z(R ˆ v )∗ . Les τv (1 − θ)(ρ   ˜  ˜ deux séries de données auxiliaires M1 = M1 (ζ),. . . et M1 (z ζ),. . . fournissent une ˜ M sur le produit fibré M ˜ FV ). Par ˜  (FV ) × M ˜  (z ζ; fonction de recollement λ(z) 1,V 1,V restriction puis dualité, on en déduit un isomorphisme   st st ˜ Fv ))  ˜  (z ζ; ˜ ι(z)M,∗ : Dg´ ( R Dg´ ˜ 1,v eom,λ1,v (R1,v (Fv )). eom,λ (z ζ) 1,v

v∈V

v∈V

˜ En posant d = ⊗v∈V dv , on a par définition, d = ι(z)M,∗ (d(z ζ)). ˆ  ˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ  en une Pour tout v ∈ V , on complète la paire de Borel (B ∩ Lv , T ) de L v  ˜ ˆ paire de Borel épinglée invariante par ΓFv . De même pour Lv (z ζ). On peut suppoˆ  de ces deux épinglages coïncident. Quitte à multiplier ser que les restrictions à R v ˆ ˆ v ), on peut ˆ v ) ∩ Tˆθ,0 , ce qui ne change pas (1 − θ)(ρ ρv par un élément de Z(R supposer que adρv échange ces deux épinglages. Alors adρv devient équivariant ˜ ainsi que pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes Lv et Lv (z ζ)    ˜ ˜ ˜ ˜ les espaces Lv et Lv (z ζ). Les données auxiliaires L1,v (z ζ) etc. . . se transportent ˜ est le en des données auxiliaires pour Lv . Le plongement de Lv dans L L1,v (z ζ) ˜ : L (z ζ) ˜ → L L1,v (z ζ). ˜ Le facteur de composé de adρv et du plongement ξˆ1 (z ζ) v transfert n’est bien défini que sur le produit de ces données auxiliaires sur toutes

728

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ issu de la les places v ∈ V . C’est alors la restriction du facteur canonique Δ1 (z ζ) ˜ On se retrouve avec deux séries de données auxiliaires pour L , donnée G (z ζ). V ˜ L . Il s’en déduit encore un isomorphisme d’où une fonction de recollement λ(z) ι(z)L,∗ :



st ˜ ˜ Dg´ ˜ (R1,v (z ζ; Fv ))  eom,λ1,v (z ζ)

v∈V



st ˜ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )).

v∈V ˜

˜

Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie ⊗v∈V (fL˜ v ,ω )L1,v (zζ) sur ˜ ˜ sur ι(z)L,∗ (d(z ζ)) ˜ = ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (d). ⊗v∈V (fL˜ v ,ω )L1,v . Il envoie d(z ζ) En décomposant nos isomorphismes de recollement en produits tensoriels sur les v ∈ V , on obtient l’égalité 

˜ L

˜ (z ζ)

SR˜ 1,v (zζ),λ ˜

v∈V

=

1,v

 v∈V

˜

1,v (z ζ)

˜ L

SR˜ 1,v ,λ 1,v

1,v

˜ ˜ B G˜ , (f ˜ )L˜ 1,v (zζ) (dv (z ζ), ) Lv ,ω ˜

((ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (dv ), B G , (fL˜ v ,ω )L1,v ). v v

Il nous suffit de prouver que 

˜

ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (d) = 0.

z∈Z

 ∞  ˜ 1,v (R (Fv )) est de la forme L’automorphisme (ι(z)M )−1 ◦ ι(z)L de v∈V Cc,λ 1,v   ˜ ˜ ˜ ϕ → λz ϕ, où λz est une fonction lisse sur v∈V R1,v (Fv ). Il nous suffit encore de prouver que

  ˜ ˜ 1,v (16) (Fv ) dans un voisinage invariant z∈Z λz (γ) = 0 pour tout γ ∈ v∈V R par conjugaison stable de l’élément  = v∈V v fixé plus haut. ˜ z . On On fixe de nouveau z que l’on écrit comme ci-dessus. On va calculer λ M M ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ simplifie les notations en posant λ = λz , λ = λ(z) etc. . . On pose ζ1 = ζ˜ et ˜ On supprime autant que c’est possible ces termes de la notation. Les ζ˜2 = z ζ. données relatives à ζ˜1 seront affectées d’un indice 1 et celles relatives à ζ˜2 d’un   ˜ Soit ˜ 2,v ˜ 1,v indice 2 (par exemple, on note R l’espace noté précédemment R (z ζ)).       ˜ v (Fv ) et, pour i = 1, 2, soit r ∈ ˜ r ∈ v∈V R i v∈V Ri,v (Fv ) un élément au-dessus de r . Par définition, ˜ M (r , r )−1 λ ˜ L (r , r ), ˜ ) = λ λ(r 1 1 2 1 2 ˜ M et λ ˜ L sont les fonctions de recollement introduites ci-dessus. Fixons m ∈ où λ  ˜ ˜  (F ) au-dessus de m . Soit (b1 , b2 ) M (F ) et, pour i = 1, 2, un élément mi ∈ M i    l’élément du produit fibré M1 (FV )×M (FV ) M2 (FV ) tel que (r1 , r2 ) = (b1 m1 , b2 m2 ). On a l’égalité ˜ M (m , m ). ˜ M (r , r ) = λM (b1 , b2 )λ λ 1 2 1 2

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

729

˜ M . Parce que les éléments m et m sont définis On se rappelle la définition de λ 1 2 sur F , on a  ˜ M (m , m )−1 , ˜ M (m , m ) = λ λ 1

v

2

1

2

v∈V

˜M pour v ∈ V sont les fonctions de recollement associées aux espaces hyoù les λ v ˜ i,v ∩ M ˜  (Fv ) pour i = 1, 2. Puisqu’on a supposé que Lv = Lv (ζ˜1 )  perspéciaux K i  ˜ v (Fv ) assez réLv (ζ˜2 ) était relevant pour tout v ∈ V , on peut fixer l ∈ v∈V K L    ˜ gulier et l ∈ v∈V Lv (Fv ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent. ˜ ˜ v la composante de K L ˜ v telle que l appartienne à  On note L v∈V Lv (Fv ). On note ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ la comG la composante de K G telle que Lv ⊂ Gv pour tout v ∈V et on note H   ˜ ˜ ˜ posante de K H qui contient G. Pour i = 1, 2 on fixe  li ∈ v∈V Li,v (Fv ) au-dessus de l . Notons (a1 , a2 ) l’élément du produit fibré v∈V L1,v (Fv ) ×L (Fv ) L2,v (Fv ) tel que (r1 , r2 ) = (a1 l1 , a2 l2 ). On a l’égalité ˜ L (l , l ) = λL (a1 , a2 )Δ2 (l , l)Δ1 (l , l)−1 . ˜ L (r , r ) = λL (a1 , a2 )λ λ 1 2 1 2 2 1 Pour calculer les facteurs de transfert, on utilise la définition de 3.9. Pour i = 1, 2, ˜ b), que on a relève la donnée endoscopique G (ζ˜i ) en une donnée de (KH, K H, l’on note pour simplifier H (ζ˜i ), munie de données auxiliaires. On choisit un couple comme en 3.6, qui est noté (δ1 , γ) dans ce paragraphe, et que nous noterons ici (hi , h(ζ˜i )). On dispose du facteur global que l’on note Δi,glob (hi , h(ζ˜i )) pour i = 1, 2. Par définition         −1   ˜ ˜ ˜ Δi,v (h , h(ζi )) Δi,v (l , l; h , h(ζi )) . Δi (l , l) = Δi,glob (h , h(ζi )) i

i

i

v∈V

i

i

v∈V

A ce point, on obtient l’égalité

(17)

˜  ) = λM (b1 , b2 )−1 λL (a1 , a2 )Δ2,glob (h , h(ζ˜2 ))Δ1,glob (h , h(ζ˜1 ))−1 λ(r 1 2 1    ˜M (m , m )Δ1,v (h , h(ζ˜1 ))Δ2,v (h , h(ζ˜2 ))−1 λ v 1 2 1 2 

v∈V



 Δ2,v (l2 , l; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 .

v∈V 



Pour tout v ∈ V , on fixe un diagramme (l , BvL , TvL , BvL , TvL , l) et des adata et des χ-data relatives à ce diagramme. On suppose les χ-data triviales sur les orbites asymétriques. On a la complication que l’on doit plonger G et G (ζ˜i ) pour i = 1, 2 dans les groupes plus gros H et H  (ζ˜i ). Il est clair que notre diagramme se prolonge en des diagrammes relatifs à ces groupes plus gros, que l’on   note (l , BvL (ζ˜i ), TvL (ζ˜i ), BvL,H , TvL,H , l). On utilise les diagrammes prolongés et

730

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

les mêmes a-data et χ-data pour calculer les facteurs de transfert intervenant ci-dessus. On doit aussi fixer des diagrammes (h (ζ˜i ), B  (ζ˜i ), T  (ζ˜i ), B(ζ˜i ), T (ζ˜i ), h(ζ˜i )) ˜  (ζ˜i ). On peut supposer et on pour i = 1, 2, où h (ζ˜i ) est l’image de hi dans H  ˜ suppose que le tore T (ζi ) est défini sur F et que le groupe de Borel B  (ζ˜i ) est défini sur F¯ . Dans chaque facteur de transfert interviennent des facteurs ΔII . Ceux relatifs aux couples (hi , h(ζ˜i )) disparaissent car leur intervention dans le facteur global compense leurs interventions dans les facteurs locaux. Ceux relatifs aux couples (li , l) disparaissent aussi. En effet, pour chaque v ∈ V , la contribution aux ˜ v est la même pour les deux facteurs. facteurs Δi,v des orbites galoisiennes dans L ˜ Les orbites hors de Lv sont asymétriques et leur contribution est triviale d’après le choix de nos χ-data. On peut donc remplacer chaque facteur de transfert par le facteur Δimp correspondant. Fixons provisoirement v ∈ V et abandonnons les indices v pour simplifier. Soit i = 1, 2. On introduit les tores L × Tsc (ζ˜i ))/ diag− (Z(GSC )); Ui = (Tsc    – T L (ζ˜i ) le produit fibré de TiL (ζ˜i ) et de T L,H au-dessus de T L (ζ˜i ), où TiL (ζ˜i )  est l’image réciproque de T L (ζ˜i ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) ; – T (ζ˜i ) le produit fibré de Ti (ζ˜i ) et de T (ζ˜i ) au-dessus de T  (ζ˜i ), où Ti (ζ˜i ) est l’image réciproque de T  (ζ˜i ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) ; – Si = (T L (ζ˜i ) × T (ζ˜i ))/ diag− (ZiH ), où ZiH est le produit fibré de Z(Hi (ζ˜i )) et de Z(H) au dessus de Z(H  (ζ˜i )) ; L ˆi = (Tˆsc ˆ SC )) ; – le tore dual U × Tˆsc (ζ˜i ))/ diag(Z(G   L ˜ ˆ – le tore dual T (ζi ) qui est le quotient de TˆiL (ζ˜i ) et de Tˆ L,H par Tˆ L (ζ˜i )  plongé par t → (ξˆiH (t )−1 , t ) (on note ξˆiH : H (ζ˜i ) → L H i (ζ˜i ) le plongement fixé) ; – le tore dual Tˆ (ζ˜i ) qui se décrit de la même façon ; – le tore dual Sˆi qui se décrit comme le sous-groupe des (tL , t, tsc ) ∈ Tˆ L (ζ˜i ) × Tˆ (ζ˜i ) × Tˆsc tels que j(tsc ) = tL t−1 ; on a ici identifié tous les tores à un tore commun, en oubliant leurs actions galoisiennes ; j est l’application naturelle j : Tˆsc → Tˆ L (ζ˜i )  Tˆ (ζ˜i ) ; on renvoie à [I] 2.2 pour la description de l’action galoisienne sur Sˆi .

ˆi apparaissent a priori les groupes H Remarque. Dans la description de Ui et U ˆ Mais ils n’apparaissent que via leurs revêtements simplement connexes, qui et H. ˆ SC . s’identifient à GSC et G On construit comme en [II] 2.2, 2.3 : L – une cochaîne (ViL , Vi−1 ) : ΓFv → Tsc × Tsc (ζ˜i ) ;

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

731

– un élément (ν L (ζ˜i ), νi−1 ) ∈ T L (ζ˜i ) × T (ζ˜i ) (la dissymétrie de cette notation et de la suivante s’expliquera plus loin) ; – un cocycle (Vˆ L (ζ˜i ), Vˆi , Vˆi,sc ) : WFv → Sˆi ; L i × Tˆsc ; pour cela, on note ζ l’élément de Tˆ tel – un élément (ζi,sc , ζi,sc ) ∈ Tˆsc ˜ ˆ que ζ = ζ θ et on choisit des relèvements ζsc et zsc dans Tˆsc des images de ζ et z dans Tˆad ; on pose ζ1,sc = ζsc et ζ2,sc = zsc ζsc . On note encore (ViL , Vi−1 ), resp. (ν L (ζ˜i ), νi−1 ), (ζi,sc , ζi,sc ), les images de ces ˆi . Pour définir les éléments (V L , V −1 ) et (ν L (ζ˜i ), ν −1 ), termes dans Ui , resp. Si , U i i i L,H on doit compléter (Bv , TvL,H ) en une paire de Borel épinglée E H et choisir un ˜ E H ) ainsi qu’une cochaîne uE H : ΓFv → GSC (F¯v ) comme en élément eH ∈ Z(H, [I] 1.2. Pour cela, on fixe une fois pour toutes une paire de Borel épinglée E ∗ de ˜ E ∗ ) et une cochaine uE ∗ : ΓF → GSC (F¯ ). G définie sur F¯ , un élément e∗ ∈ Z(G, On fixe un élément gsc,v ∈ GSC (F¯v ) tel que adgsc,v (B ∗ , T ∗ ) = (BvL,H , TvL,H ). L’application adgsc,v envoie l’épinglage de E ∗ sur un épinglage qui complète la paire (BvL,H , TvL,H ). On suppose que E H est cette paire de Borel complétée par cet épinglage. On pose eH = adgsc,v (e∗ ) et uE H (σ) = gsc,v uE ∗ (σ)σ(gsc,v )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . On notera simplement e = eH dans la suite. Par définition, on a l’égalité Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i )) 

 −1 

, = (ViL , Vi−1 ), (ν L (ζ˜i ), νi−1 ) , (Vˆ L (ζ˜i ), Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) où il s’agit du produit sur ˆ

1−θ 1−θ ˆ × H 1,0 (ΓFv ; Ui → Si ) × H 1,0 (WFv ; Sˆi → U i) → C .

On a des inclusions G (ζ˜i ) ⊂ H  (ζ˜i ). On note Gi (ζ˜i ) l’image réciproque de   ˜ G (ζi ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) et TiL l’image réciproque de T L dans   Gi (ζ˜i ). Notons TiL le produit fibré de TiL et de T L au-dessus de T L . La différence avec T L (ζ˜i ) est qu’ici, les tores restent dans des groupes issus de G et non pas de H. Posons S i = (TiL × T (ζ˜i ))/ diag− (Zi ), où Zi est le produit fibré de Z(Gi (ζ˜i )) et de Z(G) au dessus de Z(G (ζ˜i )). On a une application naturelle S i → Si . Parce ˜  (ζ˜i ) et G ˜ (et pas seulement dans H ˜  (ζ˜i ) et H) ˜ que les éléments li et l sont dans G i i −1 L ˜ on vérifie que le couple (ν (ζ˜i ), ν ) appartient à et parce que l’on a choisi e ∈ G, i TiL × T i et définit donc un élément de S i , que# l’on note plutôt (νiL ,$νi−1 ). Toujours d’après le choix de e, on vérifie que le couple (ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 ) est un cocycle  1−θ appartenant à Z 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ). Le tore dual TˆiL est le quotient de TˆiL × Tˆ L  ˆ est le groupe des (tL , t, tsc ) ∈ par TˆL plongé par t → (ξˆi (t )−1 , t ). Le tore dual S i TˆiL × Tˆ (ζ˜i ) × Tˆsc tels que tL est l’image naturelle dans TˆiL de l’élément j(tsc )t. On note VˆiL l’image naturelle de Vˆ L (ζ˜i ) dans TˆiL . Par compatibilité des produits, 

732

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

on obtient l’égalité Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i )) #  −1 $

, = (ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 ) , (VˆiL , Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) où il s’agit du produit sur ˆ

θ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ) × H 1,0 (WFv ; S i → Ui ). L 1 2 × Tsc × Tsc quotienté par Z(GSC ) plongé par z → Notons U12 le produit Tsc −1 −1 (z, z , z ). Parce que l’on a choisi les mêmes diagrammes et les mêmes objets auxiliaires pour construire V1L et V2L , ces deux cochaînes sont égales. Notons-les L 1 × Tsc × simplement V L . Alors (V L , V1−1 , V2−1 ) est une cochaîne à valeurs dans Tsc 2 Tsc , qui se descend en un cocycle à valeurs dans U12 . Rappelons la construction des ˜  (ζ˜i )). On écrit l = μi e et l = νe. éléments νiL . On note ei l’image de e dans Z(G i i   L L Alors νi est le couple (μi , ν). Notons T12 le produit fibré de T1L , T2L et T L au L L = (μ1 , μ2 , ν) ∈ T12 . Notons Z12 le groupe dessus de T L . On définit l’élément ν12  ˜  ˜ des triplets (z1 , z2 , z) ∈ Z(G1 (ζ1 )) × Z(G2 (ζ2 )) × Z(G) tels que, pour i = 1, 2, L × T (ζ˜1 ) × zi a même image que z dans Z(G (ζ˜i )). Notons S 12 le quotient de T12 −1 ˜ T (ζ2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 , z), (z1 , z) , (z2 , z)−1 ). L , ν −1 , ν −1 ) définit un élément de ce quotient et on voit que la paire Le triplet (ν12 # L −1 −1 1 L2 −1 −1 $ 1−θ (V , V1 , V2 ), (ν12 , ν1 , ν2 ) est un cocycle appartenant à Z 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ). Il y a des homomorphismes d’oubli d’une série de variables 1−θ

 p1

U12 → S 12

1−θ

 p2 1−θ

U1 → S 1

U2 → S 2 . 1−θ

1−θ

En notant encore pi : H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) → H 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ) l’homoL morphisme déduit par fonctorialité, on a pi ((V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 )) = ˆ θ ˆ θˆ 1,0 ˆ 1− ˆ 1− (WFv ; S ((ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 )). On note pˆi : H 1,0 (WFv ; S i → Ui ) → H 12 → ˆ12 ) l’homomorphisme dual de pi . Par compatibilité des produits, on en déduit U que Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i )) est égal à

#  −1 $ L (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 ) , pˆi (VˆiL , Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) , où il s’agit du produit sur θˆ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) × H 1,0 (WFv ; S 12 → U12 ).

ˆ est le groupe des (tL , t1 , t2 , tsc ) ∈ Tˆ L × Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) × Tˆsc Le tore dual S 12 12 L L tels que t soit le produit des images naturelles de tsc , t1 et t2 dans Tˆ12 . Le

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

733

L ˆ12 est le quotient de Tˆsc tore dual U × Tˆsc (ζ˜1 ) × Tˆsc (ζ˜2 ) par le groupe des triplets 3 ˆ SC ) tels que z = z1 z2 . L’élément (z, z1 , z2 ) ∈ Z(G 

−1

pˆ1 (Vˆ1L , Vˆ1 , Vˆ1,sc ), (ζ1,sc , ζ1,sc ) pˆ2 (Vˆ2L , Vˆ2 , Vˆ2,sc ), (ζ2,sc , ζ2,sc )

est de la forme



 L ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 −1 , V1 , V2 , V12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) . (Vˆ12

On obtient Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 

 L = (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 ) ,

 L ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 −1 (Vˆ12 , V1 , V2 , V12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) . L et Vˆ12,sc est long mais on l’a fait dans la preuve de la propoLe calcul de Vˆ12 sition 1.14(iii) de [II] et on va décrire le résultat. On a implicitement fixé des ˆ  (ζ˜2 ), les paires de Borel sous-jacentes ˆ  (ζ˜1 ) et G paires de Borel épinglées de G ˆ Tˆ) avec chacun des groupes. Puisque étant évidemment les intersections de (B, ˆ  , on peut supposer que ces paires ces deux groupes ont en commun le Levi M prolongent en un sens plus ou moins clair une paire de Borel épinglée de de Levi. ˆ ζ˜i ) est en réalité déterminé par le choix d’un relèPour i = 1, 2, le groupe H( ˆ Notons M ˆ H l’image réciproque de M ˆ dans H. ˆ Puisque vement t˜i de ζ˜i dans H. ˆ ˆ ΓF ,θ,0 H H ΓF ,θ,0 ˆ ˆ , on peut le relever en un élément z ∈ Z(M ) et supposer z ∈ Z(M ) ˆ  (ζ˜1 ) et H ˆ  (ζ˜2 ) ont en commun un Levi M ˆ H  qui relève M ˆ  . Les t˜2 = z H t˜1 . Alors H  ˜  ˜  ˆ ˆ ˆ paires de Borel épinglées de G (ζ1 ), G (ζ2 ) et M se relèvent en de telles paires de ˆ  (ζ˜1 ), H ˆ  (ζ˜2 ) et M ˆ H  . Ces paires de Borel épinglées déterminent précisément les H ˆ  (ζ˜1 ) actions galoisiennes sur chaque groupe. Ainsi, les actions galoisiennes sur H  ˜ H ˆ ˆ et H (ζ2 ) se restreignent en une même action sur M . Pour w ∈ WF et i = 1, 2, on fixe des éléments (hi (w), w) ∈ H (ζ˜i ) tels que adhi (w) ◦wH = wH  (ζ˜i ) . La pro  ˆ H  ). priété précédente assure que h2 (w) = mH (w)h1 (w), avec mH (w) ∈ Z(M  H 0  ˆ ) et de Z(H ˆ (ζ˜2 )), on peut supposer Puisque ce groupe est produit de Z(M  ˆ H  )0 . On note g1 (w), g2 (w) et m (w) les projections de h1 (w), mH (w) ∈ Z(M  ˆ Ces éléments vérifient des propriétés analogues aux h2 (w) et mH (w) dans G.  précédents. Pour i = 1, 2, on note ξˆi : G  (ζ˜i ) → L Gi (ζ˜i ) le plongement fixé et, pour w ∈ WF , on pose ξˆi (gi (w), w) = (ϕi (w), w). L’élément ϕi (w) appartient à ˆ  (ζ˜i )). On pose ϕ (w) = ξˆ2 (m (w))−1 ϕ2 (w), autrement dit ξˆ2 (g1 (w), w) = Z(G 2 i ˆ SC de l’image de ρv dans G ˆ AD et, (ϕ2 (w), w). On fixe un relèvement ρv,sc ∈ G   ˆ pour tout w ∈ WF , un relèvement msc (w) dans GSC de l’image de m (w) dans ˆ AD . On suppose ainsi qu’il est loisible que m (w) ∈ Z(M ˆ  )0 . Pour w ∈ WFv , G sc sc on a alors Vˆ L (w) = (ϕ1 (w), ϕ (w)−1 , wG (ρv )wT L (ρv )−1 ), 12

2

Vˆ12,sc (w) = (tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w)wG (ρv,sc )wT L (ρv,sc )−1 ),

734

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où, pour i = 1, 2, tsc (ζ˜i ) est une cochaîne ne dépendant que des objets issus de (hi , h(ζ˜i )). Remarque. Il y a un changement de signe par rapport à la référence [II] car on y calculait un rapport Δ1 /Δ2 alors que l’on calcule ici un rapport inverse. Par ailleurs, le résultat n’est pas tout-à-fait exact. Il faudrait multiplier les formules ci-dessus par un cobord qui disparaît immédiatement dans la suite du calcul. On a fixé plus haut des éléments m , m1 , m2 . On peut les supposer as   M le prosez réguliers. Notons T M , T1M , T2M leurs commutants et notons T12      duit fibré de T1M et T2M au-dessus de T M . On écrit mi = μM i ei pour i =  M M M 1, 2. Alors le couple μM 12 = (μ1 , μ2 ) appartient à T12 . Notons Σ le quo L M tient de T12 × T12 × T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) →  −1 L −1 −1 , (μM , ν1 , ν2−1 ) ((z1 , z2 , z), (z1 , z2 ) , (z1 , z)−1 , (z2 , z)−1 ). Le quadruplet (ν12 12 ) définit un élément de Σ. On a un homomorphisme d’oubli U12

1−θ

U12

1−θ

→ ↓

Σ

→

S 12 .

Il est clair que

# L −1 −1 $ L , ν1−1 , ν2−1 ) (V , V1 , V2 ), (ν12

est l’image de



 L −1 −1 −1 , (μM ) ν , ν ) (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 12 1 2

par l’homorphisme 1−θ

1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U12 → Σ) → H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) ˆ est le groupe des déduit par fonctorialité du précédent. Le tore dual Σ 



L M (tL , tM , t1 , t2 , tsc ) ∈ Tˆ12 × Tˆ12 × Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) × Tˆsc 

tels que tL soit le produit des images naturelles de tM , t1 , t2 et tsc . Par l’homomorphisme dual du précédent, l’élément 

(Vˆ L , Vˆ1 , Vˆ −1 , Vˆ12,sc ), (z −1 , ζsc , z −1 ζ −1 ) 12

s’envoie sur (18)



2

sc

sc

sc

 L −1 −1 −1 (Vˆ12 , 1, Vˆ1 , Vˆ2−1 , Vˆ12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) .

Par compatibilité des produits, on obtient Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 

  L = (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , (μM )−1 , ν1−1 , ν2−1 ) ,

 L −1 −1 −1 Vˆ12 , 1, Vˆ1 , Vˆ2−1 , Vˆ12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) ,

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

735

où il s’agit du produit sur ˆ

θ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; U12 → Σ) × H 1,0 (WFv ; Σ → U 12 ). 

L M × T12 par Z12 plongé par Notons ΣML le quotient de T12

(z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 , z), (z1 , z2 )−1 ). 



ˆ ML est le groupe des (tL , tM , tsc ) tels que tL (tM )−1 = j(tsc ). Pour Son dual Σ w ∈ WFv , posons L L L XML (w) = Vˆ12 (w) ∈ Tˆ12 , M M XML (w) = (ϕ1 (w), ϕ2 (w)−1 ) ∈ Tˆ12

XML,sc (w) = (wG (ρv,sc )wT L (ρv,sc )−1 ) ∈ Tˆsc . L M ˆ ML . Posons XML (w) = (XML (w), XML (w), XML,sc (w)). Ce terme appartient à Σ On a fixé arbitrairement l’élément zsc . Mais on se rappelle que, par définition, z ˆ AD étant connexe, on peut ˆ )ΓF ,θˆ. L’image de ce groupe dans G appartient à Z(M ˆ Γ , θ,0 ˆ sc ) F . On vérifie alors que le couple supposer et on suppose que zsc ∈ Z(M θˆ L −1 ˆ ML 1− ) est un cocycle qui définit un élément de H 1,0 (WFv ; Σ → Tˆsc ). On (XML , zsc a un homomorphisme plus ou moins évident θˆ L ˆ ML 1− Σ → Tˆsc ↓ ˆ 1− ˆ →θ U ˆ12 . Σ −1 ) s’envoie sur le Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, (XML , zsc cocycle

 L M −1 (Vˆ12 , XML , 1, 1, XML,sc), (zsc , 1, 1) .

Le cocycle (18) est le produit de celui-ci avec le cocycle

 M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 (19) (1, (XML ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (1, ζsc , zsc ζsc ) , où

Vˆ 12,sc (w) = (tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w)).

Il est clair que ce dernier cocycle vit dans des groupes plus petits, où l’on supprime M la première composante. C’est-à-dire, notons Σ le quotient de T12 ×T (ζ˜1 )×T (ζ˜2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 ), (z1 , z), (z2 , z)). Notons U = (Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ))/ diag(Z(GSC )). On a un homomorphisme ˆ

θ ˆ ˆ  1− Σ → U  ↓ θˆ ˆ ˆ 1− Σ → U 12 .

736

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, le cocycle (19) est l’image du cocycle

 θˆ ˆ M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ˆ  1− ((XML ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) ∈ H 1,0 (WFv ; Σ → U  ). On a des homomorphismes duaux aux précédents 1−θ

 H

1,0

L H 1,0 (ΓFv ; Tad → ΣML )

1−θ

(ΓFv ; U12 → Σ)

 1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U → Σ ) . Par ces homomorphismes, le cocycle

  L (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , (μM )−1 , ν1−1 , ν2−1 ) 

L , (μM )−1 )) et l’inverse de s’envoie respectivement sur (VL,ad , (ν12 

((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )). La décomposition ci-dessus et la compatibilité des produits conduit à l’égalité (20) où

Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 = Av Bv−1 ,

  L −1 , (μM )−1 )), (XML , zsc ) , Av = (VL,ad , (ν12 

  M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) . Bv = ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )), ((XML

On va d’abord se préoccuper du terme Bv . Evidemment, ce qui nous intéresse est le produit de ces termes sur toutes les places v ∈ V . Compte tenu du choix des éléments mi , hi et h(ζ˜i ), le terme Bv peut aussi bien être défini pour une place v ∈ V . De plus, bien que les éléments hi et h(ζ˜i ) soient seulement adéliques, les tores qui interviennent dans les définitions sont les localisés de tores définis sur F . Les cochaînes intervenant sont aussi «adéliques». Par exemple, le terme noté V1 est la localisée d’une cochaîne encore notée V1 : ΓF → Tsc (ζ˜1 ). On peut donc définir un terme

   M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) , B = ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )), ((XML où il s’agit cette fois du produit dans ˆ

1−θ θ ˆ ˆ  1− → U H 1,0 (AF /F ; U → Σ ) × H 1,0 (WF ; Σ  ).

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

737

D’après les propriétés générales de ce produit, on a  B= Bv , v∈Val(F )

les termes du produit étant presque tous égaux à 1. On a un homomorphisme naturel 1−θ Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 ) ↓ 1−θ

U  → Σ . Le quadruplet ((V1 , V2 ), (ν1 , ν2 )) définit naturellement un élément de 1−θ H 1,0 (AF /F ; Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 )) . 

1−θ

Le cocycle ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )) en est l’image dans H 1,0 (AF /F ; U → Σ ) par l’homomorphisme déduit par fonctorialité du précédent. En effet, parce que μ1 et μ2 sont définis sur F et parce que les éléments e1 et e2 sont définis sur F¯ , le terme  M ¯ μM appartient à T12 (F ). Il disparaît par définition des groupes de cohomologie «globaux». Par compatibilité des produits, on obtient  −1 −1 ζad )) , B = ((V1 , V2 ), (ν1 , ν2 )), ((Vˆ1 , Vˆ2−1 ), (ζad , zad où il s’agit du produit sur 1−θ H 1,0 (AF /F ; Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 )) × H 1,0 (WF ; Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) 1−θˆ

→ Tˆad (ζ˜1 ) × Tˆad (ζ˜2 )).

Ce produit se décompose selon les composantes indexées par 1 et 2. On n’a pas de mal à reconnaître ces composantes comme les facteurs Δi,glob (hi , h(ζ˜i )) privés de leurs facteurs ΔII . Notons ces facteurs Δi,imp,glob (hi , h(ζ˜i )). Il y a toutefois une inversion de signe sur le facteur d’indice 1 et on obtient (21)

B = Δ2,imp,glob (h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,glob (h1 , h(ζ˜1 ))−1 .

Pour v ∈ V , la relation (20) et le fait que le terme Av ne dépend pas des couples (hi , h(ζ˜i )) entraîne que, si l’on remplace dans les constructions ces couples par d’autres (hi , h(ζ˜i )), et si l’on note B v le terme obtenu, on a l’égalité Bv = B v Δ1,imp,v (h1 , h(ζ˜1 ); h1 , h(ζ˜1 ))Δ2,imp,v (h2 , h(ζ˜2 ); h2 , h(ζ˜2 ))−1 . On a (22) cette propriété perdure pour tout v ∈ Val(F ).

738

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Dans le calcul conduisant à l’égalité (20), on est parti d’un produit dépendant de trois données (l1 , l2 , l), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )). On a inséré une quatrième donnée (m1 , m2 ), puis on a décomposé le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (l1 , l2 , l) et (m1 , m2 ), l’autre aux données (m1 , m2 ), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )). Le même procédé permet d’insérer dans Bv de nouvelles données, disons (h1 , h(ζ˜1 )) puis de décomposer le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (m1 , m2 ), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )), l’autre relatif aux données (h1 , h(ζ˜1 )) et (h1 , h(ζ˜1 )). On reconnaît ces produits comme étant B v et Δ1,imp,v (h1 , h(ζ˜1 ); h1 , h(ζ˜1 )). On laisse les détails au lecteur. Cela prouve (22). Fixons une place v ∈ V . La situation étant non ramifiée, Mv est relevant. ˜ v (Fv ) assez régulier et y  ∈ M  (Fv ) de sorte que On peut fixer un élément y ∈ M leurs classes de conjugaison stable se correspondent. On fixe des relèvements y1 ˜  (ζ˜1 ), resp. G ˜  (ζ˜2 ). On construit B comme ci-dessus, relatif et y2 de y  dans G v 1 2   aux couples (hi , h(ζ˜i )) = (yi , y) pour i = 1, 2. La situation étant non ramifiée, on dispose de facteurs de transfert canoniques et la relation précédant (22) devient (23)

Bv = B v Δ1,imp,v (y1 , y)Δ2,imp,v (y2 , y)−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). 1

2

On va calculer B v . Par rapport à la situation antérieure, les tores T (ζ˜1 ) et T (ζ˜2 ) se confondent en un unique tore TyH . Les cocycles V1 et V2 sont égaux à un unique cocycle Vy . Les éléments ν1 et ν2 ne sont pas égaux, mais sont de la forme (μy,1 , νy ),  H (μy,2 , νy ), où les μy,i appartiennent aux sous-tores Ty,i de Hi (ζ˜i ) associés à TyH . ˜ En fait, on peut simplifier puisqu’on a choisi y ∈ Mv (Fv ) et non pas seulement ˜ vH (Fv ). On note Ty = G ∩ TyH et T  = T  H ∩ G (ζ˜i ) pour i = 1, 2. y ∈ M y,i y,i i   , Ty,2 et Ty au-dessus du tore Ty On introduit le tore Ty produit fibré de Ty,1 de M  (qui est un Levi commun de G (ζ˜1 ) et G (ζ˜2 )). On note νy,12 l’élément  (μy,1 , μy,2 , νy ) de Ty . On note Σy le quotient de T M × Ty par Z12 plongé par  (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 ), (z1 , z2 , z)). Le couple (Vy , (μM , νy,12 )) définit un élément de 1−θ

H 1,0 (ΓFv ; Ty,sc → Σy ). On a un homomorphisme évident 1−θ

Ty,sc → Σy ↓ 1−θ

U  → Σ . Par l’homomorphisme fonctoriellement associé, le cocycle précédent s’envoie sur celui intervenant dans la définition de B v . Pour utiliser la compatibilité des produits, M −1 ˆ ˆ ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc )) par l’homoon doit calculer l’image de (((XML morphisme dual θˆ ˆ θˆ 1,0 ˆ  1− ˆ y 1− → U (WFv ; Σ → Tˆy,ad ). H 1,0 (WFv ; Σ ) → H M se conserve tel quel. On peut remplacer Vˆi par son image Le premier terme XML ˜ ˆ remplace H. ˆ Une fois fait ce remplacement, ˆ dans l’analogue de T (ζi ) où le groupe G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

739

reportons-nous aux définitions de [I] 2.2. On a une égalité Vˆi (w) = (ϕi (w), t(ζ˜i )(w)) ˜ v , on pour tout w ∈ WFv . Parce que y appartient à l’espace de Levi commun M ˆ v,sc voit que t(ζ˜i ) est de la forme t(ζ˜i )(w) = N (w)gi (w)−1 N  (w), où N (w) ∈ M   ˆ ˆ ˆ ˆ et N (w) ∈ Msc sont les mêmes pour i = 1, 2. L’image de (V1 , V2 ) dans Ty est le ˜ ˜ −1 ), que l’on calcule grâce aux formules ci-dessus. C’est triplet (ϕ1 , ϕ−1 2 , t(ζ1 )t(ζ2 ) −1  (ϕ1 , ϕ2 , m ). Ce terme vit en fait dans un quotient par le groupe (Tˆy )2 plongé par −1 (t1 , t2 ) → (ξˆ1 (t1 ), ξˆ2 (t2 ), t−1 1 t2 ). Cela permet de remplacer le triplet précédent par  −1 (ϕ1 , ϕ2 , 1). Le terme V 12,sc se simplifie. Avec les mêmes notations que ci-dessus ˆ AD , on a et en fixant un relèvement g1,sc (w) de l’image de h1 (w) dans G V 12,sc (w) = tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w) = N  (w)−1 g1,sc (w)N (w)−1 N (w)g1,sc (w)−1 msc (w)−1 N  (w)msc (w) = 1 ˆ  )0 ). Enfin, le couple (ζsc , z −1 ζ −1 ) (on se rappelle que msc (w) appartient à Z(M sc sc sc −1 s’envoie évidemment sur zad . On obtient  



 −1   −1 B v = Vy , (μM , νy,12 ) , ((ϕ−1 . , ϕ ), (ϕ , ϕ , 1), 1), z 1 2 2 1 ad ˆ ad )ΓFv ,0 . Ce groupe est contenu dans Tˆ ΓFv ,0 D’après nos choix, on a zad ∈ Z(M y,ad ΓFv ,0 ˆ ˆ ˆ puisque Ty ⊂ M . Or le groupe T est le noyau de l’accouplement sur y,ad

1−θ θˆ ˆ y 1− → Tˆy,ad ). H 1,0 (ΓFv ; Ty,sc → Σy ) × H 1,0 (WFv ; Σ

On peut donc aussi bien supprimer le terme zad de la formule ci-dessus. Le couple −1 (ϕ1 , ϕ2 ), modulo le tore Tˆy plongé par t → (ξˆ1 (t), ξˆ2 (t)−1 ), ne dépend pas du choix de g1 (w). On peut modifier cette cochaîne g1 . La situation étant non ramifiée, on peut supposer que c’est un cocycle non ramifié. Il en est alors de même de ϕ1 et ϕ2 . Pour i = 1, 2, notons Z(Gi (ζ˜i ); G) la projection dans Z(Gi (ζ˜i )) du produit fibré de ce groupe avec Z(G), au-dessus de Z(G (ζ˜i )). Introduisons le tore Yi quotient   par Z(Gi (ζ˜i ); G) agissant diagonalement. Son dual Yˆi est l’ensemble de TiM × Ty,i    ˆ des (tM , ty , tsc ) ∈ Tˆ M × Tˆ  × Tˆθ tels que tM ty tsc = 1. On a un homomorphisme y,i

sc

Yˆi ↓ ˆy Σ

1−θˆ

→

Tˆy,ad

dont on déduit un homomorphisme θˆ ˆ y 1− → Tˆy,ad ). H 1 (WFv ; Yˆi ) → H 1,0 (WFv ; Σ 1 ˆ Le triplet (ϕ−1 1 , ϕ1 , 1) définit un élément de H (WFv ; Y1 ) tandis que le triplet   −1 1 ˆ (ϕ2 , ϕ2 , 1) définit un élément de H (WFv ; Y2 ).

740

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule −1

  Le cocycle ((ϕ−1 , 1), 1), 1) est le produit des images de ces 1 , ϕ2 ), (ϕ1 , ϕ2 deux cocycles. Par compatibilité des produits ([49] 4.3), on obtient      −1 , ϕ , 1) (μ , μ ), (ϕ , ϕ , 1) , B v = (μ1 , μy,1 ), (ϕ−1 1 y,2 2 2 2 1

où il s’agit des produits sur H 0 (ΓFv ; Yi ) × H 1 (WFv ; Yˆi ). Posons 2 M  = (M  (ζ˜i ) × M  (ζ˜i ))/ diag(Z(G (ζ˜i ); G)). i

i

i

i

Le tore Yi est un sous-tore maximal de ce groupe. On a un homomorphisme ˆ  )) ˆ  (ζ˜1 ))) → H 1 (WFv ; Z(2 M H 1 (WFv ; Z(M 1 1 −1 ϕ1 → (ϕ1 , ϕ1 , 1) et un homomorphisme analogue concernant ϕ2 . Notons λϕ1 le caractère de M1 (ζ˜1 ) déterminé par ϕ1 . On définit de même λϕ2 . On calcule alors B v = λϕ1 (μ1

−1

μy,1 )λϕ2 (μ2 μ−1 y,2 ).

˜ϕ l’unique fonction sur M ˜ 1 (ζ˜1 ) qui se transforme selon le caractère On note aussi λ 1 λϕ1 et qui vaut 1 sur l’espace hyperspécial fixé par les données auxiliaires. On peut aussi bien récrire ˜ ϕ (m )−1 λ ˜ ϕ (m )λ ˜ ϕ (y  )−1 . ˜ ϕ (y  )λ B =λ v

1

1

1

1

2

2

2

2

Il résulte des définitions que  −1 ˜ ˜ϕ (y  )λ = Δ1,imp,v (y1 , y)−1 Δ2,imp,v (y2 , y). λ 1 1 ϕ2 (y2 ) Cela assure en même temps que ˜ M (m , m ) = λ ˜ ϕ1 (m )λ ˜ ϕ (m )−1 . λ v

1

2

1

2

2

D’où l’égalité ˜M (m , m )−1 Δ1,imp,v (y  , y)−1 Δ2,imp,v (y  , y). Bv = λ v 1 2 1 2 Grâce à (23), on obtient ˜ M (m , m )−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). Bv = λ v

1

2

1

2

Rassemblons cette égalité avec les égalités (20) et (21). On obtient  Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 v∈V



=  =

 v∈V



 Av B −1 



Bv

v∈V

Av Δ1,imp,glob (h1 , h(ζ˜1 ))Δ2,imp,glob (h2 , h(ζ˜2 ))−1

v∈V



v∈V

˜ M (m , m )−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). λ v 1 2 1 2

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

741

Revenons maintenant à la formule (18), en se rappelant que l’on a déjà éliminé les facteurs ΔII de cette formule. On obtient  ˜z (r ) = λM (b1 , b2 )−1 λL (a1 , a2 ) Av , (24) λ 1 v∈V

où on a rétabli l’indice z pour plus de précision. Il faut revenir au calcul du terme Av . Il s’avère que c’est exactement le même que celui qui intervenait dans la preuve de la proposition 1.14(iii) de [II]. On peut utiliser les calculs de cette preuve. On décompose le problème en deux. Supposons d’abord que ˆ v ne corresponde à aucun K-espace de (25) il existe une place v ∈ V telle que R ˜ Levi de K G. Dans ce cas, on choisit pour Z le groupe   % ΓFv ΓFv ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ΓF ,θˆ (26) Z(RV ) ∩ Z(Lv ) (1 − θ) ◦ π(Z(Rsc ) ) /Z(G) v∈V

ˆ SC → G ˆ l’homomorphisme naturel). Dans les (on note comme toujours π : G constructions précédentes, on peut supposer que, pour v ∈ V , ρv est l’image ˆ sc )ΓFv . On rappelle que l’on a choisi un relèvement d’un élément ρv,sc ∈ Z(R ˆ ˆ v,sc )−1 . On voit qu’il s’agit d’un ˆ sc )ΓF ,θ,0 zsc ∈ Z(M . On pose τv,sc = zsc (1 − θ)(ρ Γ ˆ v,sc ) Fv . L’homomorphisme élément de Z(L ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 → Z(L ˆ v,sc )ΓFv /Z(L ˆ v,sc )ΓFv ,0 Z(G ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 qui s’envoie sur l’image de est surjectif. Fixons xv ∈ Z(G τv,sc dans le groupe de droite. Rappelons qu’au groupe G est associé un élément de H 1 (F ; GAD ) : la classe du cocycle σ → uE (σ)ad pour une paire de Borel épinglée E quelconque. On la note uG . Pour tout v ∈ V , le groupe H 1 (F ; GAD ) s’envoie dans son analogue H 1 (Fv ; GAD ). On note uG,v l’image de uG . Pour tout v ∈ V , on a un produit naturel sur ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 . H 1 (Fv ; GAD ) × Z(G A partir de l’égalité (24), les calculs de [II] prouvent que, pour z dans le groupe ˜z est constante, de valeur Z défini par (26), la fonction λ  uG,v , xv  . v∈V

 ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 , La famille (uG,v )v∈V définit un caractère de v∈V Z(G notons-le χG . La formule ci-dessus est l’évaluation de ce caractère χG au point (xv )v∈V . On a effectué divers choix pour définir les xv . La formule montre que ces

742

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

choix n’affectent la famille (xv )v∈V qu’en la multipliant par un élément du noyau de χG . On a donc une application  Z→



 ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 Z(G

/ Ker(χG ),

v∈V

qui est clairement un homomorphisme. Pour obtenir (17), il suffit de prouver que cet homomorphisme est non trivial. L’hypothèse (25) et le lemme [I] 3.5 (qui reprend le lemme 2.1 de [16]) entraînent que le sous-groupe 



ˆ SC )ΓFv ∩ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,0 )/Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 ⊂ (Z(G

v∈V

ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 Z(G

v∈V

n’est pas contenu dans Ker(χG ). Il suffit de prouver que tout élément de ce sous-groupe peut être choisi comme famille (xv )v∈V associée à un élément de Z. Soit donc pour tout v ∈ V un élément ˆ SC )ΓFv ∩ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,0 . Grâce à l’égalité xv ∈ Z(G ˆ ˆ ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 ˆ v,sc )ΓFv ,0 , ˆ v,sc )ΓFv ,0 = Z(R Z(R (1 − θ)(Z( R ˆ ˆ v,sc )−1 , avec yv ∈ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 on peut écrire xv = yv (1 − θ)(ρ et ρv,sc ∈ ˆ v,sc )ΓFv ,0 . Z(R ˆ V )sc l’image réciproque de Z(R ˆ V ) dans G ˆ SC et Z(R ˆ V )0 sa Notons Z(R sc ˆ ˆ ˆ )ΓF ,θ , on a Z(R ˆ V )0 ⊂ Z(M ˆ sc )ΓF ,θ,0 ˆ V ) ⊂ Z(M . composante neutre. Puisque Z(R sc On définit un homomorphisme

(27)

ˆ V )0 × Z(R sc

 v∈V

ˆ

ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 → Z(L



ˆ

ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 . Z(R

v∈V

ˆ ˆ V )0 , c’est le plongement diagonal. Sur chaque Z(L ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 Sur Z(R , c’est le sc ˆ ˆ ΓFv ,θ,0 ΓFv ,θ,0 ˆ ˆ ˆ enplongement naturel Z(Lv,sc ) → Z(Rv,sc ) . La surjectivité de D traîne que l’homomorphisme ainsi défini est surjectif. On peut donc choisir zsc ∈ ˆ ˆ  ˆ sc )ΓF ,θ,0 ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 ˆ V )0 ⊂ Z(M et, pour tout v ∈ V , un élément τv,sc ∈ Z(L Z(R sc  −1  de sorte que yv = zsc (τv,sc ) . Pour tout v ∈ V , on pose τv,sc = xv τv,sc . On a ˆ v,sc ). On voit que l’élément z = π(zsc ) appartient à Z et alors zsc = τv,sc (1 − θ)(ρ que, pour cet élément, on peut choisir la famille (xv )v∈V comme famille associée. Cela achève la preuve sous l’hypothèse (25). ˆ v est associé à un KSupposons maintenant que pour tout v ∈ V , le Levi R ˜ (sur Fv ). On fixe un tel espace K R ˜ v . On introduit le groupe espace de Levi de G ˆ ˆ vθ,0 ˜ v,0 . D’après . Il lui est associé un espace R Rv,0 quasi-déployé sur Fv et dual de R

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

743

[I] 1.12, on a des homomorphismes KRv,ab (Fv )

N Rv  Rv,0,ab (Fv )



 Rv,ab (Fv )

N Rv ,Rv 

et des applications compatibles ˜ v,ab (Fv ) KR ˜

N Rv  N

˜  ,R ˜v R v

˜  (Fv ) R v,ab

˜ v,0,ab (Fv ) . R



ˆ v )∗ définit un caractère χρv de Tout élément ρv ∈ Z(R Rv,0,ab (Fv )/N Rv (KRv,ab (Fv )) : ˆ c’est le caractère associé au cocycle w → wG (ρv )ρ−1 v de WFv dans Z(Rv,0 ). L’application ρv → χρv se quotiente en une surjection ˆ

ˆ v ) ∩ Tˆ θ,0 )Z(R ˆ v )ΓFv → (Rv,0,ab (Fv )/N Rv (KRv,ab (Fv )))∨ , ˆ v )∗ /(Z(R Z(R l’exposant ∨ désignant le groupe des caractères. On note χ ˜ρv la fonction sur ˜ Rv,0,ab (Fv ) qui se transforme selon le caractère χρv et qui vaut 1 sur l’image ˜ de N Rv . On choisit pour Z le groupe   % Γ ˆ v ) Fv (1 − θ)(Z( ˆ ˆ v )∗ ) /Z(G) ˆ ΓF ,θˆ ˆV ) ∩ Z(L R Z(R v∈V

ˆ v ), tout entier. Comme précédemment, pour z ∈ Z et v ∈ V , on écrit z = τv (1− θ)(ρ ΓFv ˆ ˆ et ρv ∈ Z(Rv )∗ . A partir de (24), le calcul de [II] conduit cette avec τv ∈ Z(Lv ) fois au résultat suivant : on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ z (r ) = λ χ ˜ρv (N Rv ,Rv (rv )), 1 v∈V

 ˜  (Fv ). Ici encore, le résultat où on a écrit r = (rv )v∈V l’image de r1 dans v∈V R v montre que le membre de droite ne dépend que de z et pas des choix des ρv . On peut donc écrire    ˜ ˜ ˜z (r ) = χ ˜ρv (N Rv ,Rv (rv )), λ (28) 1 z∈Z

(ρv )v∈V ∈J v∈V

744

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où J est le sous-groupe de  ˆ ˆ v )∗ /(Z(R ˆ v ) ∩ Tˆθ,0 ˆ v )ΓFv (29) Z(R )Z(R v∈V

formé des images naturelles des familles (ρv )v∈V que l’on peut associer comme ci-dessus à un élément z ∈ Z. On se rappelle la propriété (2) : pour tout v ∈ V , ˜ v . Il y a donc pour tout l’élément v appartient à un sous-tore tordu elliptique de R  ˜ v ∈ V des éléments elliptiques réguliers dans Rv (Fv ) qui sont aussi voisins qu’on le veut de v . Mais, puisque M n’est pas relevante, il y a a fortiori au moins une ˜ v n’est pas relevant. La proposition [I] 1.14 implique alors que, place v ∈ V où R ˜ ˜ ˜ ˜ v,ab (Fv )). Pour prouver (16), il pour cette place v, on a N Rv ,Rv (v ) ∈ N Rv (K R suffit de prouver que le membre de droite de (28) est nul pour r assez voisin de . D’après la propriété que l’on vient de voir de cet élément, il suffit que J soit égal ˆ v )∗ . Pour tout v ∈ V , au groupe (29) tout entier. Soit donc (ρv )v∈V ∈ v∈V Z(R on a ˆ v ) ∈ Z(R ˆ v )ΓFv = Z(G) ˆ ΓFv Z(R ˆ v )ΓFv ,0 (1 − θ)(ρ ˆ

ˆ ˆ ΓFv Z(R ˆ v )ΓFv ,θ,0 (1 − θ)(Z( ˆv )ΓFv ,0 ). = Z(G) R ˆ v )ΓFv ,0 , ce qui ne change pas l’image Quitte à multiplier ρv par un élément de Z(R ˆ v ) = ξv xv , avec ξv ∈ dans (29) de la famille (ρv )v∈V , on peut supposer (1 − θ)(ρ ˆ Γ Γ , θ,0 ˆ v ) Fv . On a un homomorphisme ˆ Fv et xv ∈ Z(R Z(G)   ˆ ˆ ˆ V )0 × ˆ v )ΓFv ,θ,0 ˆ v )ΓFv ,θ,0 Z(L → Z(R Z(R v∈V

v∈V

ˆ V )0 ˆ l’est. On peut donc trouver z ∈ Z(R similaire à (27), qui est surjectif car D ˆ  ΓFv ,θ,0  ˆ et, pour tout v ∈ V , un élément τv ∈ Z(Lv ) , de sorte que zτv = xv . Posons ˆ v ). On voit ˆ v )ΓFv et on a z = τv (1 − θ)(ρ τv = (ξv τv )−1 . C’est un élément de Z(L alors que z appartient à Z et que (ρv )v∈V est une famille associée à z comme plus haut. Cela achève cette brève démonstration.  Remarques. (30) Les complications du début de la preuve, à savoir le passage par les propositions auxiliaires 6.7 et 6.8, sont dues aux places archimédiennes. Cela parce que, sur un corps de base Fv archimédien, on n’a pas défini les inté˜ G st ˜ grales orbitales pondérées stables SM ˜ (δ, f ) pour tout δ ∈ Dg´ eom (M (Fv )) ⊗ ∗ Mes(M (Fv )) . Cela nous oblige à des contorsions pour assurer que les distributions dv de la démonstration ci-dessus sont dans le domaine de définition de ces intégrales orbitales pondérées stables. Si on remplace ces intégrales par leurs avatars spectraux, cette difficulté disparaît et une même démonstration s’applique tout en se simplifiant. (31) Si on oublie cette difficulté aux places archimédiennes, on voit que l’on démontre en fait un résultat plus fin que la proposition 6.6, qui est le suivant.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

745

Ecrivons δ = (δ v )v∈V et supposons que, pour tout v ∈ V , δ v soit induite à ˜  . Supposons qu’il existe v tel que R ˜  ne ˜  de M partir d’un espace de Levi R v v v ˜ v ou qu’il existe un tel K-espace corresponde à aucun K-espace de Levi de K G ˜ ˜  ne soit pas relevant. Alors I∗K G,E (M , δ, f ) = 0. de Levi mais que R v

VI.6.11 Le théorème 5.10 Dans ce paragraphe, on suppose démontrés les théorèmes [II] 1.16, [V] 1.10 et 5.2 et 5.4 ci-dessus. On va alors prouver le théorème 5.10. Notons  ˜ G ˜  )S G (f G ) i(G, X= g´ eom ˜ G ∈E(G,a,V )

le membre de droite de l’égalité de ce théorème. Développons X en appliquant les définitions. On obtient     ˜ G ˜ ) i(G, |W M ||W G |−1 X= ˜  ∈L(M ˜ ) M 0

˜ G ∈E(G,a,V )









G M SM (O , V ), f G ).  (SA

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

˜ associé naturellement aux données G et à Le terme M est le triplet (M  , M , ζ)   ˜ ˜ ˜  (F ) = ∅ pour tous les M ˜  intervel’espace de Levi M ∈ L(M0 ). Notons que M  G M nant. Le lemme 5.3 nous autorise à remplacer les termes SM (SA (O , V ), f G )  ˜ G M par leurs variantes SM (O , V ), B G , f G ). Il n’est pas difficile d’adapter la  (SA proposition 6.5 à nos présentes notations. Elle entraîne que l’on peut récrire cette somme sous la forme    ˜ ˜ ˜,M ˜ ) ˜ G ˜  (˜ |W M ||W G |−1 i(M iM˜  (G, s)) X= ˆ M

˜ M ,V ) M ∈E∗ (M,a



G (˜ s)

SM 

ˆ

ˆ

˜ M) ˆ ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ( 



(SAM (O , B, V ), B G , f G (˜s) ). ˜

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

ˆ parcourt les Levi de G ˆ contenant M ˆ 0 qui sont des composantes de Levi de Ici, M sous-groupes paraboliques invariants par θˆ et par ΓF . Un tel Levi ne correspond pas ˜ de K G ˜ mais on peut lui associer divers objets toujours à un K-espace de Levi K M que, par anticipation, nous notons comme si un tel K-espace existait. Par exemple ˜ ˆ )/M ˆ . Si W M est le sous-groupe des éléments invariants par θˆ et ΓF dans NormGˆ (M ˜ ˜ K M existe, l’ensemble E∗ (M , aM , V ) est celui des classes d’équivalence de données ˜ de (KM, K M ˜ , aM ) qui sont non ramifiées endoscopiques elliptiques (M  , M , ζ)  ˜ hors de V et telles que M (F ) = ∅. La définition de ces notions ne faisant intervenir ˆ , la définition s’étend au cas où K M ˜ n’existe pas. L’indice ∗ signifie que le groupe M

746

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

que l’on n’impose pas que la donnée soit relevante, contrairement à nos ensembles ˜ , aM , V ). Avec la définition de 6.6, on obtient habituels E(M   ˜ ˜ ˜,M ˜ ) |W M ||W G |−1 i(M X= ˆ M

˜ ,aM ,V ) M ∈E∗ (M





I∗K G,E (M , SAM (O , V ), f ). ˜

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

La proposition 6.6 nous dit que, pour que le terme que l’on somme soit non nul, il ˆ corresponde à un K-espace de Levi K M ˜ de G ˜ et que M soit relevant faut que M ˜ , aM ). Cela permet de récrire pour (KM, K M   ˜ ˜ ˜,M ˜ ) X= |W M ||W G |−1 i(M ˜ M ,V ) M ∈E(M,a

˜ ∈L(M ˜ 0) KM



˜ K G,E  M IK (O , V ˜ (M , SA M

), f ).

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées. Cela nous permet de rem˜ ˜ K G,E  M KG M placer les termes IK (O , V ), f ) par IK (O , V )), f ). ˜ (transfert(SA ˜ (M , SA M M On peut maintenant se limiter aux classes de conjugaison stable O qui corres˜ (FV ) : pondent à une telle classe dans le K-espace de Levi correspondant K M M  pour les autres, transfert(SA (O , V )) = 0. On peut regrouper ces classes selon ˜ (FV ). On obtient la classe qui leur correspond dans K M    ˜ ˜ ˜,M ˜ ) X= |W M ||W G |−1 i(M ˜ ss (FV )/ st-conj M ∈E(M,a ˜ M ,V ) O∈K M

˜ ˜ 0) K M∈L(K M





KG M IK (O , V )), f ), ˜ (transfert(SA M ˜

˜  (FV )/ st-conj;O  →O O  ∈M ss

où O → O désigne la correspondance entre classes de conjugaison stable. Pour ˜ et O intervenant ci-dessus, on a l’égalité tous K M    ˜,M ˜ ) i(M transfert(SAM (O , V )) ˜ M ,V ) M ∈E(M,a

˜  (FV )/ st-conj;O  →O O  ∈M ss ˜

= AK M ,E (O, V, a) ˜

d’après la définition de 5.4. C’est encore égal à AK M (O, V, ω) d’après le théorème 5.4. Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées et on obtient   ˜ ˜ ˜ ˜ KG KM |W M ||W G |−1 IK (O, V, ω), f ). X= ˜ (A M ˜ ∈L(K M ˜ 0) KM

˜ ss (FV )/ st-conj O∈M ˜

KG Ceci n’est autre que Ig´ eom (f , ω), cf. 2.9. Cela prouve le théorème 5.10.

Chapitre VII

Descente globale Introduction Nous commençons la preuve des théorèmes [VI] 5.2 et [VI] 5.4. Rappelons-en les ˜ a) est défini sur énoncés, en renvoyant à [VI] pour les définitions. Le triplet (G, G, un corps de nombres F . On fixe un ensemble fini V de places de F contenant l’ensemble Vram des «mauvaises» places. ˜ a) quasi-déployé et à torsion Théorème [VI] 5.2 (à prouver). On suppose (G, G, ˜ V ). intérieure. Soit OV une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F ˜ Alors SAG (V, OV ) est stable. Théorème [VI] 5.4 (à prouver). Soit OV une classe de conjugaison stable semi˜ ˜ ˜ V ). Alors on a l’égalité AG,E (V, OV , ω) = AG (V, OV , ω). simple dans G(F Dans ce chapitre, nous prouverons le premier théorème. Nous prouverons ˜ a) particuliers. Pour ceux-ci, nous aussi le second sauf pour certains triplets (G, G, le prouverons sauf pour un nombre fini de classes OV exceptionnelles. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Les cas restants de ce théorème seront prouvés en [X] en utilisant la formule des traces. ˜ )). On définit en On introduit en 1.1 un ensemble de paramètres Stab(G(F ˜ ), 1.2 une application qui, à une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F associe un élément de notre ensemble de paramètres. Cette application est toujours ˜ a) est injective. En général, elle n’est pas surjective. Elle l’est toutefois si (G, G, quasi-déployé et à torsion intérieure. La question de savoir si un paramètre provient bel et bien d’une classe de conjugaison stable semi-simple est délicate et nous ne la résoudrons pas. L’intérêt d’introduire cet ensemble de paramètres est justement ˜ a), de la contourner. Si G = (G , G  , s˜) est une donnée endoscopique de (G, G, ˜ la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans G (F ) ˜ ) est compliquée précisément parce qu’il y a des classes dans G ˜  (F ) qui et G(F ˜ ne correspondent à rien dans G(F ). Mais cette correspondance se traduit par une ˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )) entre ensembles de paramètres. véritable application Stab(G © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_2

747

748

Chapitre VII. Descente globale

On énonce dans la section 3 de nouveaux théorèmes qui sont pour l’essentiel des reformulations des théorèmes ci-dessus. Mais les données sont cette fois un ˜ )) et un ensemble fini de places V . Ces données sont élément X de Stab(G(F indépendantes l’une de l’autre. Pour X fixé, on peut faire varier V . On prouve dans la section 2 des formules de scindage qui entraînent que, si les théorèmes sont vérifiés pour V grand (cette notion dépendant de X ), alors ils le sont pour tout V . Les résultats de cette section 2 s’appuient sur le lemme fondamental pondéré tordu dû à Chaudouard et Laumon (cf. [31] ; fâcheusement, ces auteurs n’ont pas encore publié la preuve complète annoncée dans cette référence). Ils s’appuient aussi sur une version tordue d’un argument d’annulation dû à Kottwitz. Les sections 4 à 8 sont consacrées à la preuve des théorèmes de la section 3 pour un paramètre X et un ensemble de places V assez grand. Cette hypothèse sur V entraîne que toutes les distributions intervenant se calculent par la méthode de descente d’Harish-Chandra. Cela nous ramène à deux problèmes. D’abord, la méthode de descente appliquée globalement, c’est-à-dire sur F , fait intervenir une combinatoire compliquée contrôlée par divers groupes de cohomologie. Dans notre situation tordue, il s’agit de cohomologie de complexes de tores. Fort heureusement, cette combinatoire a été entièrement élucidée par Labesse dans une série d’articles (cf. [52], [51], [53]). On est alors ramené à des problèmes similaires aux problèmes initiaux, mais dans une situation non tordue et pour des distributions à support unipotent. Puisque la situation n’est plus tordue, on peut utiliser les résultats d’Arthur ([18]). Cela ne suffit toutefois pas car la descente d’HarishChandra appliquée au cas tordu fait inévitablement intervenir un phénomène qui ne se produit pas dans le cas non tordu : il apparaît des triplets endoscopiques non standard. Pour ceux-ci, on utilise le théorème [VI] 5.6 qui permet d’achever la preuve. Bien sûr, ce dernier théorème n’est pas encore prouvé. Toutefois, les hypothèses de récurrence sophistiquées que l’on a posées en [VI] 5.8 permettent de l’appliquer, sauf dans quelques cas particuliers. Cette restriction est précisément la raison pour laquelle la démonstration du théorème [VI] 5.4 restera incomplète. Dans la section 9, nous prouverons le théorème [VI] 5.6. La preuve est la même que ci-dessus, mais inversée. Ci-dessus, on déduit le théorème [VI] 5.4 du théorème [VI] 5.6. Maintenant, on déduit le théorème [VI] 5.6 du théorème [VI] 5.4. Les hypothèses de récurrence assurent cette fois que ce théorème est valide ˜ a) que nous utiliserons. Il faut toutefois prendre garde pour les triplets (G, G, que, toutes ces démonstrations se faisant par récurrence, elles ne deviendront de vraies démonstrations que quand tous les pas de la récurrence auront été traités. Comme on l’expliquera davantage en 3.7, il suffira pour cela d’achever la preuve du théorème [VI] 5.4. Comme on le voit, notre preuve suit de très près celle d’Arthur dans son deuxième article sur la stabilisation ([19]). Il s’agissait seulement d’y insérer les idées de Labesse afin de l’adapter à la situation tordue.

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

749

VII.1 Coefficients globaux et classes de conjugaison stable VII.1.1 Ensemble de paramètres Pour tout le chapitre, sauf mention expresse du contraire, F est un corps de ˜ est un espace tordu nombres, G est un groupe réductif connexe défini sur F , G ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ sous G défini sur F et a est un élément de H 1 (WF ; Z(G))/ On ˜ a) diverses données utilise les définitions de [VI] 1.1 et on adjoint au triplet (G, G, supplémentaires comme dans cette référence. Considérons la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) de G. Elle est munie de l’action galoisienne quasi-déployée, notée σ → σG∗ , cf. [I] 1.2. Elle est aussi munie d’un automorphisme θ∗ qui commute à l’action galoisienne. On note Σ(T ∗ ) l’ensemble des racines de T ∗ dans g. Pour α ∈ Σ(T ∗ ), on note αres ∗ sa restriction à T ∗,θ ,0 et on pose Σ(T ∗ )res = {αres ; α ∈ Σ(T ∗ )}. On note Σ+ (T ∗ ) et Σres,+ (T ∗ ) les sous-ensembles positifs déterminés par B ∗ . Pour α ∈ Σ(T ∗ ), on note N α la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ∗ . Ce caractère de T ∗ se descend en un caractère de T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). ˜ (cf. [I] 1.2 pour la définition de Soit μ ∈ (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) ∗ ˜ de sorte que μ soit l’image de (ν, e¯). On note ˜ fixons ν ∈ T et e¯ ∈ Z(G) Z(G)), Σ(μ) l’ensemble des αres pour α ∈ Σ(T ∗ ) vérifiant l’une des conditions suivantes – α est de type 1 ou 2 et (N α)(ν) = 1 ; – α est de type 3 et (N α)(ν) = −1. Cet ensemble s’interprète de la façon suivante. Identifions E ∗ à une paire de ˜ E ∗ ). Posons Borel épinglée particulière de G et relevons e¯ en un élément e ∈ Z(G, ∗ ∗ ∗,θ ,0 ¯ = G ¯ ∩ B et T¯ = T ˜ G ¯ = Gη , B . Alors Σ(μ) est l’ensemble η = νe ∈ G, ¯ ¯ G ¯ ¯ des racines Σ (T ) de T dans g. En particulier, Σ(μ) est un honnête système de ¯ racines et Σ+ (μ) = Σ(μ) ∩ Σres,+ (T ∗ ) est le sous-ensemble positif associé à B. θ∗ On introduit le groupe de Weyl W (μ) de Σ(μ), c’est-à-dire le sous-groupe de W engendré par les symétries relatives aux αres ∈ Σ(μ). C’est aussi le groupe de Weyl ¯ ¯ W G du groupe G. ∗ ˜ par l’action naturelle Le groupe W θ agit sur (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) sur le premier facteur et par l’action triviale sur le second. Tous les objets sont ∗ munis de l’action galoisienne quasi-déployée. Pour un cocycle ωG¯ : ΓF → W θ , considérons les conditions (1) ωG¯ (σ)σG∗ fixe μ pour tout σ ∈ ΓF ; (2) ωG¯ (σ)σG∗ fixe μ et conserve Σ+ (μ) pour tout σ ∈ ΓF . Remarquons que la condition (1) implique en tout cas que ωG¯ (σ)σG∗ conserve ˜ )) l’ensemble des couples (μ, ωG¯ ) tels Σ(μ) pour tout σ ∈ ΓF . On note Stab(G(F ˜ que ωG¯ vérifie (1) et Stab(G(F )) celui des couples (μ, ωG¯ ) tels que ωG¯ vérifie (2).

750

Chapitre VII. Descente globale

˜ )) sont équivalents si Disons que deux éléments (μ, ωG¯ ) et (μ , ωG¯  ) de Stab(G(F et seulement si μ = μ et ωG¯  (σ) ∈ W (μ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . On a ˜ )) est un ensemble de représentants des classes d’équivalence dans (3) Stab(G(F ˜ )). Stab(G(F ˜ )) et σ ∈ ΓF , il existe un unique u(σ) ∈ W (μ) tel Preuve. Pour (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F  que u(σ)ωG¯ (σ)σG∗ conserve Σ+ (μ). Posons ωG ¯ (σ). L’unicité de u(σ) ¯ (σ) = u(σ)ωG   entraîne facilement que ωG¯ est encore un cocycle. Alors (μ, ωG ¯ ) est un élément ˜ de Stab(G(F )) qui est équivalent à (μ, ωG¯ ). D’autre part, il est immédiat que ˜ )) sont équivalent si et seulement s’ils sont égaux. deux éléments de Stab(G(F D’où (3).  ∗ ˜ )) de la façon suivante. Pour (μ, ωG¯ ) ∈ Le groupe W θ agit sur Stab(G(F θ∗ ˜ Stab(G(F )) et w ∈ W , l’image de (μ, ωG¯ ) par w est le couple (μ , ωG¯  ) défini par μ = w(μ) et ωG¯  (σ) = wωG¯ (σ)σG∗ (w−1 ) pour tout σ. Cette action respecte la relation d’équivalence introduite ci-dessus. Montrons que ˜ )) ; alors les trois condi(4) soient (μ, ωG¯ ) et (μ , ωG¯  ) deux éléments de Stab(G(F tions suivantes sont équivalentes : ∗ (i) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) = w(μ, ωG¯ ) ; ∗ (ii) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) = w(μ, ωG¯ ) et w(Σ+ (μ)) = Σ+ (μ ) ; ∗ (iii) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) et w(μ, ωG¯ ) soient équivalents dans ˜ )). Stab(G(F

Preuve. Evidemment, (ii) entraîne (i) et (i) entraîne (iii). Soit w vérifiant (iii). On a w(μ) = μ donc w envoie Σ(μ) dans Σ(μ ). Il existe un unique u ∈ W (μ ) tel que uw envoie Σ+ (μ) dans Σ+ (μ ). Il est clair que (μ , ωG¯  ) et u(μ , ωG¯  ) sont équivalents. ∗ Puisque (μ , ωG¯  ) et w(μ, ωG¯ ) sont équivalents et que l’action de W θ conserve l’équivalence, u(μ , ωG¯  ) et uw(μ, ωG¯ ) sont équivalents. Donc aussi (μ , ωG¯  ) et uw(μ, ωG¯ ). On peut donc remplacer w par uw, la condition (iii) reste vérifiée et maintenant, w envoie Σ+ (μ) dans Σ+ (μ ). On voit que cette dernière condition ˜ )). Alors (μ , ωG¯  ) implique que w(μ, ωG¯ ) vérifie (2), donc appartient à Stab(G(F ˜ et w(μ, ωG¯ ) sont deux éléments équivalents de Stab(G(F )). Ils sont donc égaux et la conclusion de (ii) est vérifiée.  ˜ )), on dit qu’ils sont conjuPour deux éléments (μ, ωG¯ ), (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G(F gués si et seulement s’ils vérifient les trois conditions équivalentes ci-dessus. On ˜ )) l’ensemble des classes de conjugaison. Cet ensemble est en binote Stab(G(F ∗ ˜ )). jection avec celui des classes de conjugaison par W θ dans Stab(G(F ˜ Soit (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F )). Comme plus haut, relevons μ en un élément ˜ et définissons le groupe G. ¯ Complétons la paire de Borel (B, ¯ T¯ ) de G ¯ en une η∈G ¯ paire de Borel épinglée. Alors il existe une unique action de ΓF sur G qui conserve cette paire de Borel épinglée, de sorte que cette action et l’action σ → ωG¯ (σ)σG∗ ∗ coïncident sur T¯ = T ∗,θ ,0 et induisent la même action sur Σ+ (μ). On note cette ¯ est quasi-déployé. Le centre Z(G) ¯ est indépendant action σ → σG¯ . Pour celle-ci, G

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

751 ∗

du relèvement η : c’est le sous-groupe des x ∈ T ∗,θ ,0 tels que αres (x) = 1 pour tout αres ∈ Σ(μ). L’action galoisienne sur ce centre est σ → ωG¯ (σ)σG∗ . On dit ¯ ΓF ,0 = Z(G)ΓF ,θ,0 que (μ, ωG¯ ) est elliptique si et seulement si on a l’égalité Z(G) ∗ (on note simplement θ la restriction de θ à Z(G), ce qui est justifié par le fait que c’est aussi la restriction de adg ◦θ∗ pour tout g ∈ G). Cette propriété est ˜ )) le sous-ensemble des éléments conservée par conjugaison. On note Stabell (G(F ˜ )) l’ensemble des classes de conjugaison ˜ )) et Stabell (G(F elliptiques de Stab(G(F dans ce sous-ensemble.

VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples ˜ ss l’ensemble des éléments semi-simples de G. ˜ Pour Rappelons que l’on note G θ ˜ ˜ η ∈ Gss , on pose Iη = Z(G) Gη . Pour η ∈ Gss (F ), on note Yη l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ Iη = Iη (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . On dit que deux ˜ ss (F ) sont stablement conjugués si et seulement s’il existe y ∈ Yη éléments η, η  ∈ G −1 tel que y ηy = η  . ˜ ss (F ). Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par adη . Soit η ∈ G Complétons cette paire en une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ). Fixons ˜ E) et posons θ = ade . On introduit une cochaîne uE : ΓF → GSC de e ∈ Z(G, sorte que aduE (σ) ◦σ conserve E pour tout σ ∈ ΓF . L’action galoisienne naturelle fixe η donc conserve Gη . Le couple (B ∩ Gη , T θ,0) est une paire de Borel de Gη . On peut choisir une cochaîne uη : ΓF → GSC,η (GSC,η est le groupe des points fixes de adη dans GSC ) de sorte que aduη (σ) ◦σ conserve cette paire de Borel pour tout σ ∈ ΓF . Posons vη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 . On a (1) pour tout σ ∈ ΓF , vη (σ) normalise T et son image dans W est fixe par θ. Preuve. On a advη (σ) = (aduη (σ) ◦σ)(aduE (σ) ◦σ)−1 . Les deux facteurs conservent T , donc advη (σ) aussi. Pour la seconde assertion, on doit montrer qu’il existe t(σ) ∈ T de sorte que θ−1 advη (σ) θ = adt(σ) advη (σ) . Il suffit de vérifier la même assertion pour chacun des facteurs aduη (σ) ◦σ et aduE (σ) ◦σ. Pour le deuxième, c’est clair : il commute à θ. Pour le premier, on écrit η = νe avec ν ∈ T . Alors θ = ade = ad−1 ν adη . Le terme adη commute à aduη (σ) ◦σ car η est fixe par σ et uη (σ) ∈ Gη . Le terme ad−1 ν ne commute pas à aduη (σ) ◦σ mais vérifie la relation  plus faible que l’on souhaite simplement parce que aduη (σ) ◦σ normalise T . Ecrivons comme ci-dessus η = νe, avec ν ∈ T . Notons μη l’image de (ν, e) par les applications ˜ E) → (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, ˜ E)  (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). ˜ T × Z(G, ∗

Pour σ ∈ ΓF , notons ωη (σ) l’image dans W θ de vη (σ), modulo l’isomorphisme ∗ Wθ  Wθ . Le couple (μη , ωη ) ne dépend pas du choix de e : on ne peut changer e qu’en le multipliant par un élément de Z(G) et on voit que la construction est insensible

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Chapitre VII. Descente globale

à une telle multiplication. De même, il ne dépend pas des choix de cochaînes uE (σ) et uη (σ). Il ne dépend pas de toute la paire de Borel épinglée E mais seulement de la paire de Borel sous-jacente (B, T ). En effet, si on change seulement l’épinglage, sans changer la paire de Borel sous-jacente, μη ne change pas (cf. [I] preuve de 1.10(1)) et les éléments uE (σ) et uη (σ) sont multipliés par des éléments de T , ce qui ne change pas ωη . Proposition. ˜ ss (F ), le couple (μη , ωη ) construit ci-dessus appartient à (i) Pour η ∈ G ˜ Stab(G(F )). ˜ )) ne dépend pas de la paire (B, T ) (ii) L’image de ce couple dans Stab(G(F utilisée dans sa construction. ˜ ss (F ) et (B, T ), (B  , T  ) des paires de Borel conservées res(iii) Soient η, η  ∈ G pectivement par adη et adη . Les couples (μη , ωη ) et (μη , ωη ) déduits de ces données sont égaux si et seulement s’il existe y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy et (B  , T  ) = ady−1 (B, T ). ˜ ss (F ) et (B, T ), (B  , T  ) des paires de Borel conservées res(iv) Soient η, η  ∈ G pectivement par adη et adη . Les couples (μη , ωη ) et (μη , ωη ) déduits de ces ˜ )) si et seulement si η et η  sont données ont même image dans Stab(G(F stablement conjugués. Preuve. Pour démontrer (i), on peut identifier E à E ∗ . On a alors σG∗ = aduE (σ) ◦σ pour tout σ ∈ ΓF . Soulignons que cette formule définit une action galoisienne sur ˜ car l’action par conjugaison du cobord de la cochaîne G mais pas forcément sur G uE peut ne pas être triviale. Pour cette raison, on n’utilise la notation σG∗ que pour l’action sur G. On doit montrer que ωη (σ)σG∗ conserve μη pour tout σ. ˜ E) de L’élément ωη (σ)σG∗ (μη ) est l’image dans (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, (2)

(advη (σ) ◦σG∗ (ν), aduE (σ) ◦σ(e)).

˜ E ∗ ), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que On sait que σG∗ conserve Z(G, aduE (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. Parce que ωη (σ) ∈ W θ , on peut choisir n(σ) ∈ Ge qui le relève et t(σ) ∈ T de sorte que vη (σ) = t(σ)n(σ). On a alors advη (σ) ◦ aduE (σ) ◦σ(e) = t(σ)θ(t(σ))−1 z(σ)−1 e. Parce que η est fixe par ΓF et que uη (σ) ∈ Gη , on a aduη (σ) ◦σ(η) = η, ou encore advη (σ) ◦ aduE (σ) ◦σ(νe) = νe. Les deux relations précédentes entraînent advη (σ) ◦σG∗ (ν) = t(σ)−1 θ(t(σ))z(σ)ν. ˜ E). Mais alors le couple (2) a bien pour image μη dans (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, On doit montrer que ωη est un cocycle. L’application qui, à σ ∈ ΓF , associe l’automorphisme aduη (σ) ◦σ de T , est un homomorphisme : son cobord est

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

753

donné par des automorphismes intérieurs de Gη qui conservent (B ∩ Gη , T θ,0), donc commutent à T . Mais l’automorphisme ωη (σ)σG∗ de T est égal à aduη (σ) ◦σ. Donc σ → ωη (σ)σG∗ est un homomorphisme de ΓF à valeurs dans le groupe d’automorphismes de T . Cela signifie que ωη est un cocycle. De même, ωη (σ)σG∗ conserve Σ+ (μη ) parce que aduη (σ) ◦σ conserve B ∩ Gη . Cela prouve (i). Prouvons (ii). Changeons la paire (B, T ). D’après [I] 1.3(2), on ne peut que la remplacer par une paire adx ◦w(B, T ), où x ∈ Gη et w ∈ W θ . On sait que Gη ⊂ Z(G)GSC,η et que tout élément de W θ se relève en un élément de GSC,e . On est ramené à voir ce qui se passe quand on remplace E par adx E, avec ou bien x ∈ GSC,η , ou bien x ∈ GSC,e et normalise T . Comme dans la preuve de (i), on peut supposer E = E ∗ . Dans les deux cas, on doit construire les objets relatifs à E ∗ = adx (E ∗ ), notons-les en les soulignant, puis les ramener à E ∗ par l’isomorphisme canonique ad−1 x . Dans le cas où x ∈ GSC,η , on a η = adx (η) = adx (ν) adx (e) et on peut prendre ν = adx (ν), e = adx (e). On peut aussi choisir uE ∗ (σ) = xuE ∗ (σ)σ(x)−1 et uη (σ) = xuη (σ)σ(x)−1 . D’où v η (σ) = xvη (σ)x−1 . En ramenant les objets ν, e et v η par l’isomorphisme ad−1 x , on retrouve les objets initiaux, rien n’a changé. Dans le cas où x ∈ GSC,e et x normalise T , on a e = ˜ E ∗ ). On peut prendre ν = ν, e = e. On peut encore prendre adx (e) ∈ Z(G, ∗ uE ∗ (σ) = xuE ∗ (σ)σ(x)−1 . En posant B = xB ∗ x−1 , le couple (B ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ) est une paire de Borel de Gη et on peut fixer y ∈ GSC,η tel que cette paire soit égale ∗ à ady (B ∗ ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ). On peut alors prendre uη (σ) = yuη (σ)σ(y)−1 . Alors v η (σ) = yuη (σ)σ(y −1 x)uE ∗ (σ)−1 x−1 . Ramenons les éléments ν, e et v η par l’isomorphisme ad−1 x . On obtient respecti −1  vement les éléments ν = x νx, e = e, et vη (σ) = x−1 yuη (σ)σ(y −1 x)uE ∗ (σ)−1 = x−1 yvη (σ) aduE ∗ (σ) ◦σ(y −1 x). Les éléments x et y normalisent T ∗ . Leurs images dans W sont fixes par θ∗ , par hypothèse pour x, parce que y ∈ Gη pour y. Donc x−1 y définit un élément ∗ w ∈ W θ . En notant ωη (σ) l’image de vη (σ) dans W , on obtient ωη (σ) = wωη (σ)σG∗ (w)−1 . Parce que y normalise T ∗ et appartient à Gη , un calcul déjà fait plusieurs fois montre que yνy −1 a même image que ν dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). Donc ν  = x−1 νx a même image que w(ν). Mais alors le couple (μη , ωη ) construit à l’aide de E est (w(μη ), ωη ), où ωη est comme ci-dessus. Ce couple est conjugué à (μη , ωη ), ce qui prouve (ii).  Remarque. En inversant la preuve de (ii), on obtient le résultat suivant.

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Chapitre VII. Descente globale

(3) Soit (μη , ωη ) le couple associé à η et à une paire de Borel (B, T ). Soit ˜ )) un couple conjugué à (μη , ωη ). Alors il existe une (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G(F autre paire de Borel (B, T ) conservée par adη de sorte que – (μ , ωG¯  ) soit le couple associé à η et à cette paire (B, T ) ; – T = T et B ∩ Gη = B ∩ Gη . Preuve. On introduit E et e comme au début du paragraphe et on identifie E à ∗ E ∗ . D’après 1.1(4)(ii), on peut fixer w ∈ W θ de sorte que (μ , ωG¯  ) = w(μη , ωη )  et w(Σ+ (μη )) = Σ+ (μ ). Relevons l’élément w−1 en un élément x ∈ GSC,e qui normalise T = T ∗ . On pose E = adx (E). La preuve de (ii) montre que cette paire vérifie les propriétés requises, pourvu que l’on montre que B ∩ Gη = B ∩ Gη (cette propriété entraîne que l’on peut prendre y = 1 donc le w que l’on vient de choisir est le même que plus haut). Or l’égalité w(Σ+ (μη )) = Σ+ (μ ) entraîne que les racines de T ∗ dans le radical unipotent de B ∩ Gη sont positives pour B = B ∗ . Autrement dit B ∩ Gη ⊂ B. D’où forcément B ∩ Gη = B ∩ Gη . Cela prouve (3). Prouvons (iii). Soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iii). Supposons qu’il existe y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy et (B  , T  ) = ady−1 (B, T ). On fixe un tel y et on le décompose en y = ysc z, avec ysc ∈ GSC et z ∈ Z(G) (on identifie ici ysc à son image dans G). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on identifie ∗ −1 (E ). On affecte à E ∗ . On complète (B  , T  ) en la paire de Borel épinglée E  = adysc     −1 −1 −1 −1 eysc . d’un les objets relatifs à η et E . On a η = y ηy = ysc νysc z θ(z)ysc  −1 −1  −1 On peut prendre ν = ysc νysc z θ(z) et e = ysc eysc . On peut prendre uE  (σ) = ∗ −1 ysc uE ∗ (σ)σ(ysc ). Puisque aduη (σ) ◦σ conserve (B ∗ ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ), l’automorphisme ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady conserve (B  ∩ Gη , T  ∩ Gη ). On a ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady = ady−1 uη (σ)σ(y) ◦σ. Puisque σ(y) ∈ Iη y, on peut écrire σ(y) = z(σ)x(σ)y, avec z(σ) ∈ Z(G) et x(σ) ∈ GSC,η . Alors ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady = ady−1 uη (σ)x(σ)y ◦σ. −1 uη (σ)x(σ)ysc appartient à GSC,η et on peut choiL’élément y −1 uη (σ)x(σ)y = ysc −1 sir uη (σ) = ysc uη (σ)x(σ)ysc . D’où −1 −1 vη (σ) = ysc uη (σ)x(σ)ysc σ(ysc )−1 uE ∗ (σ)−1 ysc .

On a

x(σ)ysc σ(ysc )−1 = z(σ)−1 σ(y)y −1 ysc σ(ysc )−1 .

Ceci est un élément de Z(G), notons-le ζ(σ). Alors −1 vη (σ)ysc . vη (σ) = ζ(σ)ysc

Le couple (μη , ωη ) se déduit de ν  , e , vη en ramenant ces objets à E ∗ par l’isomorphisme adysc . Autrement dit, μη est l’image naturelle de (νz −1 θ(z), e) et ωη (σ)

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

755

est l’image dans W de ζ(σ)vη (σ). Ces images ne sont autres que μη et ωη . Cela prouve que (μη , ωη ) = (μη , ωη ). Inversement, soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iii) et supposons que  (μη , ωη ) = (μη , ωη ). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on peut supposer être égale à E ∗ et on complète (B  , T  ) en une paire de Borel épinglée E  . On note comme plus haut les termes relatifs à η. On choisit dsc ∈ GSC tel que  ˜  addsc (E  ) = E ∗ . L’élément e = d−1 sc edsc appartient à Z(G, E ). On peut écrire η = ν  e , avec ν  ∈ T  . L’hypothèse μη = μη signifie que ν et dsc ν  d−1 ont même image sc ∗ −1 dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). On peut choisir τ ∈ T ∗ de sorte que τ dsc ν  d−1 = ν. sc θ (τ ) Posons y = τ dsc . Alors y −1 ηy = η  et ady−1 (B, T ) = ady−1 (B ∗ , T ∗ ) = (B  , T  ). On peut choisir uE  (σ) = d−1 sc uE ∗ (σ)σ(dsc ). Choisissons une cochaîne uη  relative à η  et E  . Alors vη (σ) = uη (σ)σ(dsc )−1 uE ∗ (σ)−1 dsc . L’hypothèse ωη = ωη signifie que les deux éléments dsc vη (σ)d−1 sc et vη (σ) ont même image dans W . Autrement dit, on a la relation dsc uη (σ)σ(dsc )−1 uE ∗ (σ)−1 ∈ T ∗ uη (σ)uE ∗ (σ)−1 , ou encore

dsc uη (σ)σ(dsc )−1 ∈ T ∗ uη (σ).

On peut multiplier cette relation à gauche par τ et à droite par σ(τ )−1 . Parce que uη (σ) ◦ σ conserve T ∗ , on obtient yuη (σ)σ(y)−1 ∈ T ∗ uη (σ), ou encore

yuη (σ)y −1 yσ(y)−1 ∈ T ∗ uη (σ).

Les éléments yuη (σ)y −1 et uη (σ) appartiennent à Gη . Parce que y −1 ηy = η  , l’élément yσ(y)−1 appartient au commutant ZG (η). On peut donc remplacer dans la relation ci-dessus le tore T ∗ par son intersection avec ZG (η), autrement dit par ∗ ∗ T ∗,θ . Mais ce groupe est égal à Z(G)θ T ∗,θ ,0 , donc contenu dans Iη . La relation précédente entraîne alors que yσ(y)−1 ∈ Iη . Donc y ∈ Yη , ce qui achève la preuve de (iii). Prouvons (iv). Soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iv). Supposons η et  η stablement conjugués, fixons y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy. La paire ady−1 (B, T ) est conservée par adη . On peut remplacer (B  , T  ) par cette paire ady−1 (B, T ) ˜ )). puisque, d’après (ii), cela ne change pas l’image de (μη , ωη ) dans Stab(G(F Mais alors, d’après (iii), on a (μη , ωη ) = (μη , ωη ). A fortiori, ces termes ont ˜ )). Inversement, supposons que (μη , ωη ) et (μη , ωη ) même image dans Stab(G(F ˜ )). D’après (3), on peut changer la paire (B  , T  ) ont même image dans Stab(G(F de sorte que l’on ait l’égalité (μη , ωη ) = (μη , ωη ). Alors (iii) implique que η et η  sont stablement conjugués. 

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Chapitre VII. Descente globale

˜ ss (F )/ st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable semiNotons G ˜ ). La proposition nous fournit une application que l’on note simples dans G(F ˜

˜ ss (F )/ st-conj → Stab(G(F ˜ )). χG : G Celle-ci est injective d’après le (iv) de la proposition. ˜ )). Modulo divers choix, on lui associe un groupe G ¯ Soit X ∈ Stab(G(F ˆ ˆ ¯ comme en 1.1. En introduisant les tores «standard» T et T des groupes duaux ˆ ˆ Tˆ), muni d’une action galoisienne ¯ on peut identifier Tˆ¯ à Tˆ/(1 − θ)( ˆ et G, G σ → ωG¯ (σ) ◦ σG∗ . Un calcul de système de racines déjà fait plusieurs fois montre ˆ¯ Ainsi, la donnée a se pousse en un élément de ˆ s’envoie dans Z(G). que Z(G) 1 ˆ ˆ¯ Celui-ci détermine un caractère automorphe de ¯ ker (WF ; Z(G)). H 1 (WF ; Z(G))/ ¯ ¯ et de ce caractère ne dépend des G(AF ). On voit que la paire formée du groupe G choix qu’à isomorphisme près. ˜ ss (F ) et (B, T ) une paire de Borel conservée par adη . On peut Soient η ∈ G ¯ associé comme en 1.1 au couple utiliser l’élément η pour construire le groupe G (μη , ωη ). Ce groupe n’est autre qu’une forme quasi-déployée du groupe Gη . Le ¯ F ) se transfère en un caractère automorphe caractère automorphe ci-dessus de G(A de Gη (AF ), qui n’est autre que la restriction de ω à ce groupe. ˜ ss (F ) est elliptique s’il vérifie les Rappelons que l’on dit qu’un élément η ∈ G conditions équivalentes ˜ défini sur F et elliptique (c’est-à-dire tel (4) il existe un sous-tore tordu T˜ de G ΓF ,θ,0 ΓF ,θ,0 = Z(G) ) tel que η ∈ T˜(F ) ; que T (5) on a l’égalité Z(Gη )ΓF ,0 = Z(G)ΓF ,θ,0 . ˜ )ell l’ensemble des éléments elliptiques de G ˜ ss (F ). Cet ensemble On note G(F est invariant par conjugaison stable. On voit qu’une classe de conjugaison stable ˜ semi-simple est formée d’éléments elliptiques si et seulement si son image par χG ˜ )). appartient à Stabell (G(F

VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Lemme. Supposons (G, G, ˜

(i) L’application χG est bijective. ˜ )), il existe  ∈ G ˜ ss (F ) et une (ii) Plus précisément, pour (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F paire de Borel (B , T ) tels que – ad conserve (B , T ) ; – en utilisant la paire (B , T ) dans la construction de 1.2, on a l’égalité (μ , ω ) = (μ, ωG¯ ) ; – G est quasi-déployé et la paire de Borel (B∗ , T ) = (G ∩ B , T ) de ce groupe est définie sur F .

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

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Preuve. On peut identifier E ∗ à une paire de Borel épinglée de G définie sur F . L’action galoisienne quasi-déployée n’est autre que l’action naturelle. ˜ )). Le terme ωG¯ est un cocycle de ΓF dans W . Soit (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F D’après [44] corollaire 1.2, on peut fixer gsc ∈ GSC tel que, pour tout σ ∈ ΓF , gsc σ(gsc )−1 normalise T ∗ et ait ωG¯ (σ) pour image dans W . Le terme μ est un ˜ E ∗ ) et cet ensemble n’est autre que le centralisateur T˜ ∗ élément de T ∗ ×Z(G) Z(G, ∗ −1 ˜ de T dans G. Posons η = gsc μgsc . Parce que ωG¯ (σ)σ fixe μ pour tout σ, on voit ˜ que η ∈ G(F ). C’est un élément semi-simple. On pose (B , T ) = adgsc (B ∗ , T ∗ ). On vérifie immédiatement qu’en utilisant cette paire, la construction de 1.2 envoie  sur (μ, ωG¯ ). En utilisant les notations de l’énoncé, on a B∗ = adgsc (B ∗ ∩ Gμ ) et T = adgsc (T ∗ ). Parce que ωG¯ (σ)σ conserve Σ+ (μ) pour tout σ, l’automorphisme  adgsc σ(gsc )−1 ◦σ conserve (B ∗ ∩ Gμ , T ∗ ). Donc σ conserve (B∗ , T ).

VII.1.4 Le cas local Dans les trois paragraphes précédents, le corps de base F était notre corps de nombres. En fait, on peut le remplacer par un corps local de caractéristique nulle, tout reste vrai à l’exception suivante près. Exception. C’est la dernière assertion de 1.2 dans le cas où F est archimédien. Dans ce cas, les conditions (4) et (5) de 1.2 ne sont plus équivalentes. Dans les chapitres précédents, on a choisi la condition (4) pour définir l’ellipticité. Mais la dernière assertion de 1.2 n’est vraie que si on utilise la condition (5). En particulier, pour une place v de notre corps de nombres F , on définit ˜ v )). Il y a une application naturelle de ˜ v )) et Stab(G(F les ensembles Stab(G(F ˜ ˜ localisation Stab(G(F )) → Stab(G(Fv )) : à (μ, ωG¯ ), on associe (μ, ωG¯ v ), où ωG¯ v est la restriction de ωG¯ à ΓFv . Cette application se quotiente en une application ˜ )) → Stab(G(F ˜ v )). Le diagramme suivant est commutatif Stab(G(F ˜ ss (F )/ st-conj → G ˜ ss (Fv )/ st-conj G ˜ ˜ G ↓ χG v χ ↓ ˜ )) ˜ v )) . Stab(G(F → Stab(G(F On peut remplacer la place v par un ensemble fini V de places de F : on définit ˜ ˜ V )) =  Stab(G(F v∈V Stab(G(Fv )) et on a des propriétés analogues.

VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié Fixons une place finie v ∈ Vram . Nous allons d’abord fixer les notations qui seront utilisées dans toute la suite du chapitre. On note ov l’anneau des entiers de Fv , o× v nr nr,× ¯ le groupe d’unités et Fv le corps résiduel. On note ¯ov , ¯o× , v et Fv , resp. ov , ov ¯ v , les objets analogues pour la clôture algébrique F¯v , resp. pour la plus grande F nr extension non-ramifiée Fvnr contenue dans F¯v . On pose Γnr v = Gal(Fv /Fv ) et on nr note Iv ⊂ ΓFv le groupe d’inertie. On a aussi Iv ⊂ WFv et on pose Wv = WFv /Iv .

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Chapitre VII. Descente globale

On note p la caractéristique de Fv . En [VI] 1.1, on a fixé un sous-groupe compact ˜ v de G(F ˜ v ). Au groupe hyperspécial Kv de G(Fv ) et un sous-espace hyperspécial K Kv est associé un schéma en groupes lisse Kv sur ov . On note Kvnr = Kv (onr v ). Si E est une extension finie de F non ramifiée en v et si w est une place de E au-dessus de v, on utilise les notations ow etc. . . et Kw = Kv (ow ). Si E est une extension non ramifiée de Fv , on utilisera plutôt les notations oE etc. . . et KvE = Kv (oE ). Le groupe Kv détermine des sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes GSC , GAD et G = G/Z(G)θ . On les note Ksc,v , Kad,v , K,v . On se rappelle que le groupe Kv est issu d’une paire de Borel épinglée de G définie sur Fv . On fixe une telle paire E0 = (B0 , T0 , (E0,α )α∈Δ ). Le tore T0 est non ramifié et a donc une structure naturelle sur ov . On a T0 (ov ) = T0 (Fv ) ∩ Kv . D’après les théorèmes de structure de Bruhat et Tits, l’application (1)

T0 (ov ) × Ksc,v (t, x)

→ Kv → tπ(x)

est surjective, où π : GSC → G est l’homomorphisme naturel. On se rappelle le groupe Gab (Fv ) de [I] 1.12. On a Gab (Fv ) = G(Fv )/π(GSC (Fv )). Soit S un sous-tore maximal de G défini sur Fv et non ramifié. On a (2) S(ov ) et Kv ont même image dans Gab (Fv ). Preuve. C’est clair d’après (1) si S = T0 . Il suffit donc de prouver que, si S1 et S2 sont deux sous-tores maximaux de G définis sur Fv et non ramifiés, on a (3) S1 (ov ) et S2 (ov ) ont même image dans Gab (Fv ). Puisque S1 et S2 sont déployés sur Fvnr , on peut fixer x ∈ G(Fvnr ) de sorte que S2 = adx (S1 ). Soit s1 ∈ S1 (ov ), posons s2 = xs1 x−1 . Alors s2 ∈ S2 (onr v ). On sait que tout commutateur se relève canoniquement dans GSC . Cela entraîne qu’il existe y ∈ GSC (Fvnr ) tel que xs1 x−1 s−1 1 = π(y). On a s2 = π(y)s1 . −1 . On a σ(s ) = π(σ(y))s donc s σ(s = π(yσ(y)−1 ). Mais Soit σ ∈ Γnr 2 1 2 2) v −1 nr s2 σ(s2 ) appartient à S2 (ov ) et l’image réciproque de ce groupe dans GSC (Fvnr ) −1 −1 est S2,sc (onr ∈ S2,sc (onr est un cov ). Donc yσ(y) v ). L’application σ → yσ(y) 1 nr nr cycle et H (Γv ; S2,sc (ov )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ S2,sc (onr v ) tel que yσ(y)−1 = u−1 σ(u) pour tout σ. Posons s2 = π(u)s2 et y  = uy. Alors y  ∈    GSC (Fv ), s2 ∈ S2 (onr v ) et s2 = π(y )s1 . Ces relations entraînent que s2 ∈ S2 (ov ). De plus, puisque π(GSC (Fv )) est le noyau de la projection G(Fv ) → Gab (Fv ), s2 et s1 ont même image dans Gab (Fv ). Cela démontre que l’image dans ce groupe de S1 (ov ) est contenue dans celle de S2 (ov ). En échangeant les rôles de S1 et S2 , on obtient l’égalité de ces images.  ˆ est le groupe dual de Gab (Fv ). Notons Rappelons que H 1 (WFv ; Z(G)) ˆ → H 1 (Iv ; Z(G)) ˆ ResIv : H 1 (WFv ; Z(G)) l’homomorphisme de restriction.

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

759

On a ˆ de l’image de Kv (4) le noyau de ResIv est l’annulateur dans H 1 (WFv ; Z(G)) dans Gab (Fv ). Preuve. Supposons d’abord que G soit un tore, notons-le plutôt T0 . On a alors Kv = T0 (ov ). On a le diagramme de suites exactes 1 → H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ) → H 1 (WFv ; Tˆ0 ) nr 0 ← X∗ (T0 )Γv ← T0 (Fv )

ResIv

→ ←

H 1 (Iv ; Tˆ0 ) T0 (ov ) .

Le groupe H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ) s’identifie au quotient des coinvariants Tˆ0,Γnr , qui s’identiv nr fie lui-même à Hom(X∗ (T0 )Γv ; C× ). Les flèches de gauche du diagramme ci-dessus sont compatibles à cette dualité et à celle entre H 1 (WFv ; Tˆ0 ) et T0 (Fv ). Un élément de H 1 (WFv ; Tˆ0 ) appartient au noyau de ResIv si et seulement s’il provient d’un élément de H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ), ou encore si et seulement si le caractère de T0 (Fv ) nr qu’il définit se quotiente en un caractère de X∗ (T0 )Γv , ou encore si et seulement si ce caractère de T0 (Fv ) annule T0 (ov ). Cela prouve (4) pour un tore. Passons au cas général. Avec les notations introduites plus haut, on a le diagramme commutatif ˆ → H 1 (WFv ; Z(G)) ResIv ↓ ˆ H 1 (Iv ; Z(G)) →

H 1 (WFv ; Tˆ0 ) ResIv ↓ H 1 (Iv ; Tˆ0 ) .

Les flèches horizontales sont injectives : par des suites exactes de cohomologie, ΓFv Iv ˆ et Tˆ0,ad . Un élément χ ∈ H 1 (WFv ; Z(G)) cela résulte de la connexité de Tˆ0,ad appartient donc au noyau de ResIv si et seulement si son image dans H 1 (WFv ; Tˆ0 ) appartient au noyau de l’application similaire. D’après ce que l’on a déjà prouvé, cela équivaut à ce que χ annule l’image de T0 (ov ) dans Gab (Fv ). D’après (2), cette image est aussi celle de Kv .  On note précisément W le groupe de Weyl de G relatif à T0 . Soit E une extension finie non ramifiée de Fv telle que G soit déployé sur E. Montrons que (5) soit u : Gal(E/Fv ) → W un cocycle ; alors il existe x ∈ KvE tel que, pour tout σ ∈ Gal(E/Fv ), xσ(x)−1 normalise T0 et ait u(σ) pour image dans W . Fixons un Frobenius φ ∈ ΓFv . On peut relever u(φ) en un élément de Kvnr qui normalise T0 . On peut même supposer que cet élément appartient à un sous-groupe invariant par Γnr v dont tous les éléments sont d’ordre fini (le groupe engendré par l’image d’une section de Springer et tous les éléments d’ordre au plus 2 de nr −1 T0 (onr soit v ) convient). Appliquant [79] 4.2(2), il existe y ∈ Kv tel que yφ(y) un relèvement de u(φ) dans le normalisateur de T0 . Notons N = [E : Fv ]. Alors yφN (y)−1 relève u(φN ) = 1 donc appartient à T0 ∩ Kvnr = T0 (onr v ). L’application σ → yσ(y)−1 est un cocycle de Gal(Fvnr /E) dans T0 (onr v ). Un tel cocycle est

760

Chapitre VII. Descente globale

−1 un cobord. Il existe donc t ∈ T0 (onr = tσ(t)−1 pour tout σ ∈ v ) tel que yσ(y) nr −1 nr N Gal(Fv /E). On pose x = t y. Alors x ∈ Kv et xφ (x)−1 = 1, donc x ∈ KvE . De plus xφ(x)−1 relève u(φ). Par la relation de cocycle, xσ(x)−1 relève donc u(σ)  pour tout σ ∈ Gal(E/Fv ). Cela prouve (5).

On a vu en [I] 6.1 (5) et (6) qu’il existait un couple (ν0 , e0 ) tel que ν0 ∈ nr ˜ ˜ T0 (onr v ), e0 ∈ Z(G, E0 )(Fv ) et ν0 e0 ∈ Kv . L’hypothèse v ∈ Vram implique que p est «grand», donc que l’image naturelle de X∗ (T0,sc ) dans X∗ (T0,ad ) est d’indice premier à p. Puisqu’extraire des racines d’ordre premier à p d’unités ne crée que des extensions non-ramifiées, l’application nr T0,sc (onr v ) → T0,ad (ov )

est surjective. Quitte à multiplier ν0 par un élément de Z(G; Fvnr ) ∩ T0 (onr v ) et e0 par l’inverse de cet élément, on peut donc supposer qu’il existe ν0,sc ∈ T0,sc (onr v ) tel ˜ v ) implique alors qu’il existe un cocycle que ν0 = π(ν0,sc ). La condition ν0 e0 ∈ G(F non ramifié σ → z(σ) de ΓFv dans Z(GSC ) (= Z(GSC ; Fvnr ) d’après l’hypothèse v ∈ Vram ) tel que σ(ν0,sc ) = z(σ)ν0,sc et σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 pour tous σ. On suppose désormais que (ν0 , e0 ) vérifie cette hypothèse. On peut identifier E0 à la paire de Borel épinglée de G, munie de son action galoisienne quasi-déployée. Notons μ0 l’image du couple (ν0 , e0 ) dans (T ∗ /(1 − ˜ Ce terme dépend des choix effectués. Mais les groupes θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). ∗ nr ∗ ov ) agissent sur T ∗ et ces actions se descendent en des actions T (ov ) et T (¯ ∗ ∗ ˜ On vérifie que la classe T ∗ (onr sur (T /(1 − θ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). v )μ0 ne dépend pas des choix, a fortiori la classe T ∗ (¯ov )μ0 n’en dépend pas non plus. Remarquons que l’on obtiendrait les mêmes classes en remplaçant μ0 par l’image du couple (1, e0 ). On a ∗

(6) ces classes sont invariantes par l’action de W θ . ∗

Preuve. Le couple (1, e0 ) étant invariant par W θ , la seule chose à prouver est ∗ que les sous-groupes T ∗ (onr ov ) le sont aussi. C’est immédiat puisque, le v ) et T (¯ groupe G étant non ramifié en v, tout élément de W définit un automorphisme de  T ∗ défini sur Fvnr . ˜ v ) = T ∗ (¯ov )μ0 . On pose μ(K

VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié ˜ v )). Fixons (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F ˜ v )) d’image On fixe v ∈ Vram . Soit X ∈ Stab(G(F ˜ Considérons les X et relevons μ en un couple (ν, e¯), avec ν ∈ T ∗ et e¯ ∈ Z(G). conditions suivantes : (nr1) pour tout α ∈ Σ(T ∗ ), (N α)(ν) ∈ ¯o× v ; ∗ (nr2) (type 1) pour α ∈ Σ(T ) de type 1, la relation (N α)(ν) = 1 entraîne que ¯ v de (N α)(ν) est différente de 1 ; la réduction dans F

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

761

(nr2) (types 2 et 3) pour α ∈ Σ(T ∗ ) de type 2 ou 3, et pour  = ±1, la relation ¯ v de (N α)(ν) +  est non (N α)(ν) +  = 0 entraîne que la réduction dans F nulle ; ˜v) ; (nr3) μ ∈ μ(K (nr4) le cocycle ωG¯ est non ramifié. Ces conditions ne dépendent pas des relèvements choisis. Lemme. (i) Supposons vérifiées (nr3) et (nr4). Alors il existe une classe de conjugaison ˜ ss (Fv )/ st-conj et un élément η ∈ O tels que χG˜ (O) = X , que stable O ∈ G ˜ v et que Gη soit quasi-déployé. η∈K (ii) Supposons vérifiées (nr1) et (nr2) et supposons qu’il existe une classe de ˜ ss (Fv )/ st-conj telle que χG˜ (O) = X et que O coupe conjugaison stable O ∈ G ˜ v . Alors (nr3) et (nr4) sont vérifiées. Pour η ∈ O ∩ K ˜ v , le groupe Gη est K non ramifié et Kv ∩ Gη (Fv ) en est un sous-groupe compact hyperspécial. Plus précisément, en notant Kη le schéma en groupes associé à ce groupe hyperspécial, on a Kη (oE ) = Kv (oE ) ∩ Gη (E) pour toute extension non ramifiée E de Fv . Preuve de (i). Avec les notations de 1.5, on peut identifier E ∗ à E0 et supposer que e¯ est l’image de e0 . Notons ν¯ l’image de ν dans T0 /(1 − θ)(T0 ), où θ = ade0 . Puisque μ est fixe par l’action σ → ωG¯ (σ)σ et puisque σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 , on a l’égalité (1)

ν ) = z(σ)¯ ν. ωG¯ (σ)σ(¯

Puisque ωG¯ et z sont non ramifiés, cette relation implique que ν¯ ∈ (T0 /(1 − θ)(T0 ))(Fvnr ). D’après (nr3), on a aussi ν¯ ∈ (T0 /(1−θ)(T0 ))(¯ov ). Donc ν¯ appartient à l’intersection de ces deux groupes, qui n’est autre que (T0 /(1 − θ)(T0 ))(onr v ). De la suite exacte de tores non ramifiés 1 → (1 − θ)(T0 ) → T0 → T0 /(1 − θ)(T0 ) → 1 se déduit une suite exacte nr nr 1 → ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) → T0 (ov ) → (T0 /(1 − θ)(T0 ))(ov ) → 1.

Quitte à changer ν, on peut donc supposer ν ∈ T0 (onr v ). La relation (1) implique l’existence d’une cochaîne non ramifiée t : ΓFv → ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) telle que ωG¯ (σ)σ(ν) = z(σ)t(σ)ν. Puisque z est un cocycle à valeurs centrales, cette égalité implique que t est un cocycle si l’on munit ((1 − θ0 )(T0 ))(onr ¯ (σ)σG . v ) de la structure galoisienne σ → ωG

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Chapitre VII. Descente globale

Le théorème de Lang implique qu’un tel cocycle est un cobord. Donc, quitte à changer encore ν, on peut supposer ωG¯ (σ)σG (ν) = z(σ)ν pour tout σ. Introduisons le groupe GθSC des points fixes de θ = ade0 dans GSC . De la paire de Borel épinglée E0 se déduit une telle paire pour GθSC , puis un sousgroupe compact hyperspécial de GθSC (Fv ), notons-le Kv1 . Comme précédemment, il détermine un sous-groupe Kv1,nr de GθSC (Fvnr ). En appliquant 1.5(5), on obtient −1 un élément k ∈ Kv1,nr tel que, pour tout σ ∈ Γnr σ(k) normalise T0 et ait v , k θ −1 ˜ nr ). De plus ωG¯ (σ) pour image dans W . Posons η = kνe0 k . On a η ∈ G(F v σ(η) = σ(k)σ(ν)σ(k −1 )σ(e0 ) θ pour tout σ ∈ Γnr v parce k ∈ GSC . Puis

σ(η) = σ(k)ωG¯ (σ)−1 (z(σ)ν)σ(k −1 )z(σ)−1 e0 . En utilisant l’égalité ωG¯ (σ)−1 = adσ(k)−1 k , on obtient σ(η) = η, donc η appar˜ v ). Par un calcul analogue, la relation 1.1(2) entraîne que la paire de tient à G(F Borel (k(B0 ∩ Gνe0 )k −1 , kT0θ,0k −1 ) de Gη est définie sur Fv . Donc Gη est quasi˜ v ), déployé. On a aussi η = kνk −1 e0 = kνk −1 ν0−1 ν0 e0 . On sait que ν0 e0 ∈ G(F donc kνk −1 ν0−1 ∈ G(Fv ). Or c’est un élément de Kvnr . Donc il appartient à Kv . ˜ v , cela entraîne que η ∈ K ˜ v . Il est clair que la classe de conjuPuisque ν0 e0 ∈ K ˜ v )). La conclusion de (i) est gaison stable de η a pour image X dans Stab(G(F vérifiée.  ˜ v dont la classe de conjugaison stable s’envoie sur X . Preuve de (ii). Soit η ∈ K On peut fixer un entier N premier à p de sorte que – θN = 1 ; – le nombre d’éléments de Z(GSC ) divise N . On introduit le groupe non connexe G+ = G  {1, θ, . . . , θN −1 }, muni de ˜ s’identifie à la l’action de ΓFv définie par σ(g, θj ) = (z(σ)−j σ(g), θj ). Alors G composante Gθ, ge0 s’identifiant à gθ pour g ∈ G. Dans cette situation, on a dé˜ v ) : un élément est compact si fini en [79] 5.2 la notion d’élément compact de G(F et seulement si le sous-groupe qu’il engendre dans G+ (Fv ) est d’adhérence com˜ v entraîne que le sous-groupe engendré par η est inclus pacte. La condition η ∈ K + nr dans G (Fv ) ∩ (Kv × {1, θ, . . . , θN −1 }), donc η est compact. D’après [79] 5.2, on peut décomposer η en uηp , où ηp est d’ordre fini premier à p et u ∈ G(Fv ) est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe engendré par η. En particulier, ils commutent entre eux et le commutant de η dans G est l’intersection des commutants de u et ηp . La description ci-dessus de ˜ v . Le l’adhérence du sous-groupe engendré par η montre que u ∈ Kv et ηp ∈ K nr nr lemme [79] 5.4 nous dit qu’il existe k ∈ Kv et un élément νp ∈ T0 (ov ) d’ordre

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

763

fini premier à p de sorte que kηp k −1 = νp e0 et que le tore T = adk−1 (T0 ) soit défini sur Fv . L’élément u appartient à ZG (ηp ; Fv ). La condition v ∈ Vram implique que l’indice de Gηp (Fv ) dans ce groupe est premier à p. Puisque u est topologiquement unipotent, il appartient à Gηp (Fv ). On peut fixer x ∈ Gηp tel que xux−1 ∈ T . Posons u = kxux−1 k −1 . C’est un élément de T0 qui est topologiquement unipotent. Posons ν = u νp . On a kxη(kx)−1 = νe0 . Par construction, les hypothèses (nr1) et (nr2) s’appliquent à cet élément ν. Pour α ∈ Σ(T0 ), (N α)(νp ) est un élément d’ordre premier à p de onr,× , tandis que (N α)(u ) est un élément v topologiquement unipotent de F¯v× , donc une unité de réduction 1 dans le corps résiduel. La condition (nr2) nous dit donc que, pour  = 1 dans le cas où α est de type 1 et pour  = ±1 dans le cas où α est de type 2 ou 3, la condition (N α)(ν) =  est équivalente à (N α)(νp ) = . D’après la description des commutants de νe0 et νp e0 , cela entraîne que ces deux commutants ont même système de racines. On sait déjà que Gη ⊂ Gηp , donc Gνe0 ⊂ Gνp e0 . Ces deux groupes sont donc égaux et aussi Gη = Gηp . Les relations u ∈ Gηp = Gη ⊂ Gu entraînent que u appartient au centre de Gηp . Mais alors l’élément x de la construction ci-dessus ne sert à rien : on a xux−1 = u. On reprend la construction avec x = 1. L’élément u −1 appartient maintenant à T0 (onr = νe0 . En reprenant les v ) et ν aussi. On a kηk nr définitions, on voit que la relation ν ∈ T0 (ov ) entraîne la condition (nr3) tandis que la relation k ∈ Kvnr entraîne la condition (nr4). Enfin, les dernières assertions de (ii) résultent de l’égalité Gη = Gηp et du lemme [79] 5.4(ii) ou plus exactement de sa preuve, qui montre que ces assertions sont vérifiées par le groupe Gηp . 

VII.1.7 Paramètres et endoscopie ˜ a). On fixe une paire de Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ de sorte que ads˜ conserve (B, ˆ Tˆ ). On en Borel épinglée Eˆ = (B, ˆ ˆ ˆ déduit un automorphisme θ de G et une action galoisienne modifiée qui conserve E,   ˆ ˆ ˆ cf. [I] 1.4. On écrit s˜ = sθ. On choisit une paire de Borel épinglée E de G dont la ˆ ˆ ∩G ˆ  , Tˆθ,0 ). On note E  ∗ = (B  ∗ , T  ∗ , (Eα )α∈Δ ) paire de Borel sous-jacente soit (B ˆ la paire de Borel épinglée de G . De l’injection naturelle Tˆ θ,0 ⊂ Tˆ se déduit un homomorphisme ξ : T ∗ → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )  T  ∗ . En munissant ces objets des actions quasi-déployées, il y a un cocycle ωG : ΓF → ∗  W θ de sorte que σG ∗ ◦ ξ = ξ ◦ ωG (σ) ◦ σG∗ pour tout σ ∈ ΓF . Le groupe W G ∗  s’identifie à un sous-groupe de W θ en identifiant w ∈ W G à l’unique élément ∗ w ∈ W θ tel que ξ ◦ w = w ◦ ξ. On a décrit en [I] 1.6 l’ensemble de racines Σ(T  ∗ ). ˜ → Z(G ˜  ) qui est équivariant Il y a aussi un homomorphisme naturel Z(G) pour les actions galoisiennes. On en déduit un isomorphisme ˜  T  ∗ ×Z(G ) Z(G ˜  ). ξ˜ : (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G)

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Chapitre VII. Descente globale

˜  (F )). Par l’inverse de l’isomorphisme précédent, μ Soit (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G ˜ L’ensemble de racines s’identifie à un élément μ ∈ (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). Σ(μ ) ne s’identifie pas à un sous-ensemble de Σ(μ) car le premier ensemble est formé d’éléments N α ou 2N α pour α ∈ Σ(T ∗ ) tandis que le second est formé d’éléments αres . Mais, pour tout β  ∈ Σ(μ ), il existe un unique β ∈ Σ(μ) de sorte ∗ que la restriction de β  à T ∗,θ ,0 soit de la forme bβ, avec b ∈ Q, b > 0. Pour une ¯ raison qui apparaîtra plus tard, on note ΣH l’ensemble de ces racines β. Rappelons ˜ tel que μ soit plus précisément cette correspondance. On fixe ν ∈ T ∗ et e¯ ∈ Z(G) l’image de (ν, e¯). Alors ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = 1} Σ(μ ) = {N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 1, (N α ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = 1} ∪ {2N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 2, (N α ∪ {2N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 2, (N α ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = −1} ∗ ˆ )(s) = −1, (N α)(ν) = 1}. ∪ {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 3, (N α On envoie un élément N α du premier ensemble sur αres , un élément 2N α du deuxième sur αres , un élément 2N α du troisième sur 2αres , un élément N α du ¯ quatrième sur αres /2. On vérifie que ΣH est un sous-système de racines de Σ(μ),   dont le groupe de Weyl n’est autre que W G (μ ). Cela entraîne que W G (μ ) est un sous-groupe de W (μ). ∗ L’application σ → ωG¯  (σ)ωG (σ) est un cocycle de ΓF dans W θ . Pour tout σ ∈ ΓF , ωG¯  (σ)ωG (σ)σG∗ = ωG¯  (σ) ◦ σG ∗ fixe μ. Le couple formé de μ et de ˜ )). On note (μ, ωG¯ ) l’unique élément de ce cocycle appartient donc à Stab(G(F ˜ )) qui lui est équivalent. On note ω ˜ l’unique cocycle de ΓF dans W (μ) Stab(G(F H tel que ωH¯ (σ) ◦ ωG¯ (σ) = ωG¯  (σ)ωG (σ) pour tout σ. On a ainsi défini une application ˜ )) ˜  (F )) → Stab(G(F Stab(G  → (μ, ωG¯ ). (μ , ωG¯  ) On vérifie qu’elle se quotiente en une application (1)

˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )). Stab(G

ˆ Ses fibres sont Celle-ci ne dépend pas du choix de la paire de Borel épinglée E. évidemment finies. On a ˜  (F )), notons X son image par (2) supposons G elliptique ; soit X  ∈ Stab(G  l’application ci-dessus ; si X est elliptique, alors X l’est. Preuve. On reprend les constructions précédentes en supposant que (μ , ωG¯  ) est ¯ ΓF ,0 et elliptique. Avec les notations de 1.1, on a l’inclusion Z(G)ΓF ,θ,0 ⊂ Z(G) on doit prouver que c’est une égalité. Puisqu’il s’agit de groupes connexes et que ∗ l’homomorphisme naturel T ∗,θ ,0 → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ) a un noyau fini, il revient au même de prouver que les images de ces groupes dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ) sont

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

765

¯ est σ → ωG¯ (σ)σG∗ . Puisque ωH¯ (σ) apparégales. L’action galoisienne sur Z(G) ¯ ¯ est triviale et on peut aussi tient au groupe W (μ) = W G , son action sur Z(G) bien remplacer l’action précédente par σ → ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ = ωG¯  (σ)σG ∗ . Un ¯ 0 ) annule l’ensemble Σ(μ), donc aussi ΣH¯ . Son image dans élément x∗ ∈ X∗ (Z(G)  ∗ ∗ ∗ ¯ 0 s’envoie dans X∗ (T /(1 − θ )(T )) annule donc ΣG (μ ). Cela montre que Z(G)  0 Γ ,0  Γ ,0 ¯ ) . Donc Z(G) ¯ F s’envoie dans Z(G ¯ ) F , où l’action de ΓF est l’action Z(G ¯  ) est la même qu’en 1.1. L’ellipticité de X  nous ci-dessus. Cette action sur Z(G ¯  )ΓF ,0 = Z(G )ΓF ,0 . Mais l’ellipticité de G signifie que ce groupe est dit que Z(G précisément l’image de Z(G)ΓF ,θ,0 . D’où la conclusion.  Si l’on remplace le corps de base F par un complété Fv , on a une application similaire à (1). Soit v une place de F telle que v ∈ Vram (G ). Soit ˜  (Fv )), notons X ∈ Stab(G(F ˜ v )) son image par cette application. X  ∈ Stab(G On a (3) si X vérifie la condition (nr1) de 1.6, resp. (nr2), alors X  vérifie la même condition ; X vérifie la condition (nr3) si et seulement si X  vérifie la même condition. Quand on passe de X à X  , les termes (N α)(ν) de ces conditions sont remplacés par les mêmes termes ou éventuellement par (2N α)(ν) pour α de type 2 ou 3. De plus, pour G , toutes les racines sont de type 1. La première assertion ˜  est défini de telle sorte que, par l’isomorphisme s’ensuit. D’autre part, l’espace K v ˜ v ) s’identifie à μ(K ˜ v ). D’où la seconde assertion. ξ˜ défini plus haut, le terme μ(K On a aussi (4) si X  vérifie la condition (nr4), alors X la vérifie aussi. Soit σ dans le groupe d’inertie Iv . Avec les notations de la construction cidessus, σG∗ agit trivialement sur Σ(T ∗ ) puisque v ∈ Vram , ωG (σ) = 1 puisque v ∈ Vram (G ) et ωG¯  (σ) = 1 puisque X  vérifie (nr4). Donc ωG¯ (σ) = ωH¯ (σ)−1 . Cet  élément appartient à W (μ) et conserve Σ+ (μ). C’est donc l’identité.

VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes de conjugaison stable ˜ a) et soit V un ensemble Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, fini de places de F . On a un diagramme ˜ ss (FV )/ st-conj . . . G ˜ χG V ↓ ˜  (FV )) Stab(G →

˜ ss (FV )/ st-conj G ˜ ↓ χG V ˜ V )) . Stab(G(F

La ligne horizontale du haut n’est qu’une correspondance, précisément ˜  (FV )/ st-conj, à valeurs dans une fonction définie sur un sous-ensemble de G ss  ˜ ˜ ss (FV )/ st-conj. L’application χGV est bijective (lemme 1.3). On considère mainG tenant le cas où V est réduit à une seule place v.

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Chapitre VII. Descente globale

˜ ss (Fv )/ st-conj. Notons X  son image par χG˜ v et X l’image Lemme. Soit O ∈ G  ˜ v )). de X dans Stab(G(F ˜ ss (Fv )/ st-conj par la cor(i) Supposons que O corresponde à une classe O ∈ G ˜

respondance supérieure du diagramme. Alors χGv (O) = X . (ii) Supposons que v ∈ Vram et que X vérifie les conditions (nr3) et (nr4) de 1.6. ˜ ss (Fv )/ st-conj et on a χG˜ v (O) = X . Alors O correspond à une classe O ∈ G Preuve. Prouvons (i). On fixe des paires de Borel épinglées dans les groupes duaux comme en 1.7. Puisque O correspond à O , on peut fixer un diagramme (, B  , T  , B, T, η) (sur le corps de base Fv ) avec  ∈ O et η ∈ O. On complète (B, T ) et (B  , T  ) en des paires de Borel épinglées E et E  , que l’on peut identifier ˜ E). On a alors  = ξ(ν)e où e à E ∗ et E  ∗ . On écrit η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z(G,    ˜ ˜ est l’image de e dans Z(G )  Z(G , E ). Donc les termes μ et μ coïncident dans ˜ On introduit les cochaînes uE , uη , uE  et u comme (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G). en 1.2. Soit σ ∈ ΓFv . Parce que les éléments η et  et les tores T et T  sont définis sur Fv , les éléments uE (σ) et uη (σ) normalisent T et les éléments uE  (σ) et u (σ) normalisent T  . Leurs images dans W sont invariantes par θ (cf. [I] 1.3(3)). On les note par des lettres grasses : uE (σ) est l’image de uE (σ) dans W θ . Les définitions entraînent ωη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 , ω (σ) = u (σ)uE  (σ)−1 . L’homomorphisme ξ est équivariant pour les actions naturelles. Donc ξ ◦ uE (σ)−1 ◦ σG∗ = uE  (σ)−1 ◦ σG ∗ ◦ ξ. Il en résulte que

ωG (σ) = uE  (σ)uE (σ)−1 .

On vérifie que ω (σ)ωG (σ)σG∗ conserve μ. On peut donc introduire la cochaîne ωH¯ à valeurs dans W (μ) telle que ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ)σG∗ conserve Σ+ (μ). Pour ˜ prouver que χGv (O) = X , il suffit de prouver que ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ) = ωη (σ) pour tout σ ∈ ΓFv . Puisque, composés avec σG∗ , ces deux éléments conservent ∗ Σ+ (μ), il suffit de prouver que leurs images dans W (μ)\W θ sont égales. On a ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)−1 u (σ)uE  (σ)−1 ωG (σ) = ωH¯ (σ)−1 u (σ)uE (σ)−1 , ωη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 . Dans le membre de droite de la première égalité, les deux premiers termes appar tiennent à W G (μ ) ⊂ W (μ). Dans le membre de droite de la seconde, le premier terme appartient à W (μ). Les deux termes appartiennent donc à W (μ)uE (σ)−1 , ce qui prouve l’assertion cherchée. Prouvons (ii). On peut choisir  ∈ O tel que G soit quasi-déployé. On fixe une paire de Borel (B  , T  ) de G conservée par ad et telle que (B  ∩ G , T  )

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

767 ˜

soit définie sur Fv . D’après le lemme 1.6(i), X est l’image par χGv d’une classe ˜ ss (Fv )/ st-conj et on peut choisir un élément η ∈ O tel que Gη soit quasiO∈G déployé. On choisit une paire de Borel (B , T ) de G conservée par adη et telle que (B ∩ Gη , T ∩ Gη ) soit définie sur Fv . A l’aide des paires (B  , T  ) et (B , T ), on construit les couples (μ , ω ) et (μη , ωη ) comme en 1.2. De (μ , ω ) se déduit ˜ v )). L’hypothèse que X est l’image de X  comme en 1.7 un élément de Stab(G(F signifie que cet élément est conjugué à (μη , ωη ). En appliquant 1.2(3), on voit que l’on peut remplacer la paire (B , T ) par une autre qui possède les mêmes propriétés que ci-dessus, de sorte qu’après ce remplacement, le couple (μη , ωη ) soit égal à celui déduit de (μ , ω ). On complète les paires (B  , T  ) et (B , T ) en des ˜ E ) paires de Borel épinglées E  et E . Ecrivons η = ν e avec ν ∈ T et e ∈ Z(G, ˜  , E  ) est l’image de e . On a l’homomorphisme et  = ν  e , où ν  ∈ T  et e ∈ Z(G usuel ξT ,T  : T → T  . On voit que l’égalité des couples ci-dessus signifie que ξT ,T  (ν ) = ν  et qu’il existe un cocycle σ → ωH¯ (σ) de ΓFv dans W Gη de sorte que l’on ait la relation σG ◦ ξT ,T  = ξT ,T  ◦ ωH¯ (σ) ◦ σG . Parce que Gη est quasidéployé, on peut appliquer [44] corollaire 2.2 : on peut fixer g ∈ Gη,SC de sorte que le tore T = adg−1 (T ) soit défini sur Fv et que, pour tout σ ∈ ΓFv , l’élément gσ(g)−1 normalise T et ait ωH¯ (σ) pour image dans W Gη . Posons E = adg−1 (E ). Son tore sous-jacent est T et on note B le sous-groupe de Borel sous-jacent. Parce que adg fixe η, on a l’égalité η = νe, où ν = adg−1 (ν ) et e = adg−1 (e ). On a aussi ξT,T  = ξT ,T  ◦ adg . On vérifie alors que ξT,T  (ν) = ν  et que l’on a l’égalité σG ◦ ξT,T  = ξT,T  ◦ σ pour tout σ ∈ ΓFv . Mais cela signifie que (, B  , T  , B, T, η) est un diagramme. Donc O correspond à O . Cela prouve la première assertion de (ii). La seconde résulte de (i). 

VII.1.9 Distributions associées à un paramètre ˜ )). On peut représenter X par un élément (μ,ωG¯ ) ∈ Stab(G(F ˜ )) Soit X ∈ Stab(G(F ∗ ˜ et relever μ en (ν, e¯), avec ν ∈ T et e¯ ∈ Z(G). On considère les conditions (nr1),. . .,(nr4) de 1.6 pour une place v ∈ Val(F ) − Vram . Il est clair que chacune d’elles est vérifiée sauf pour un ensemble fini de places. On note S(X ) le plus petit ensemble de places contenant Vram tel que (nr1) et (nr2) soient vérifiées hors de ˜ le plus petit ensemble de places contenant Vram tel que S(X ). On note S(X , K) ˜ On a les conditions (nr1), (nr2), (nr3) et (nr4) soient vérifiées hors de S(X , K). ˜ évidemment S(X ) ⊂ S(X , K). ˜ ˜ ss (F ), Si X est l’image par χG d’une classe de conjugaison stable dans G l’ensemble S(X ) coïncide avec l’ensemble S(C) défini en [VI] 2.3 pour toute classe de conjugaison C contenue dans cette classe de conjugaison stable. ˜ )) et V un ensemble fini de places de F contenant Soient X ∈ Stab(G(F ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Vram . On définit une distribution AG (V, X , ω) ∈ Dg´eom (G(F ˜ Elle est nulle si X n’appartient pas à l’image de l’application χG . Supposons ˜ que X = χG (O), où O est une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour ˜ ss (F )/ conj, on a défini la distribution toute classe de conjugaison ordinaire C ∈ G

768

Chapitre VII. Descente globale

˜

AG (V, C, ω) en [VI] 2.3. On pose



˜

AG (V, X , ω) =

˜

AG (V, C, ω).

˜ ss (F )/ conj,C⊂O C∈G

Les termes de cette somme sont presque tous nuls. En effet, pour tout v ∈ V , ˜ v ) engendrée par O se décompose en un la classe de conjugaison stable dans G(F nombre fini de classes de conjugaison par G(Fv ). Il existe donc un sous-ensemble ˜V de G(F ˜ V ) tel que, pour tout η ∈ O, la classe de conjugaison par G(FV ) de fini U ˜ ˜ η coupe UV . De plus, un terme AG (V, C, ω) n’est non nul que si, pour tout v ∈ V , ˜ v , cf. [VI] 2.3(6). Le la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par C coupe K lemme [VI] 2.1 entraîne la finitude affirmée. On a ˜

˜ − S(X ) ⊂ V , alors AG (V, X , ω) = 0. (1) si S(X , K) ˜

˜

C’est clair si X n’est pas dans l’image de χG . Si X = χG (O), considérons ˜ − S(X ) qui n’appartient pas à V . En v, les conditions une place v ∈ S(X , K) (nr1) et (nr2) sont vérifiées, mais au moins une des conditions (nr3) ou (nr4) ne l’est pas. Le lemme 1.6(ii) nous dit qu’il n’existe aucune classe C ⊂ O telle que la ˜ v . Toutes les distributions AG˜ (V, C, ω) ˜ v ) coupe K classe engendrée par C dans G(F intervenant sont donc nulles.  On a ˜

(2) si S(X ) ⊂ V et si X n’est pas elliptique, alors AG (V, X , ω) = 0. Pour toute classe C ⊂ O, on a S(X ) = S(C) et l’hypothèse que X n’est pas elliptique entraîne que C ne l’est pas non plus. D’après la définition de [VI] 2.3, on ˜  a alors AG (V, C, ω) = 0. ¯ et un caractère automorphe de En 1.1 et 1.2 on a associé à X un groupe G ¯ F ). Le couple formé de ce groupe et de ce caractère n’est défini qu’à isomorG(A ¯ AF ) est triviale phisme près mais la condition que la restriction du caractère à Z(G; est insensible à un tel isomorphisme. Par abus de langage, nous la formulerons : ¯ AF ) est triviale. On a la restriction de ω à Z(G; ¯ AF ) ne sont pas toutes deux (3) si les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et à Z(G; ˜

triviales, alors AG (V, X , ω) = 0. ¯ AF ) est En effet, soient C ⊂ O et γ˙ ∈ C. Alors la restriction de ω à Z(G; triviale si et seulement si la restriction de ω à Z(Gγ˙ ; AF ) est triviale. L’assertion résulte alors de [VI] proposition 2.3(iv).

VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées à un paramètre ˜ a) On fixe un ensemble fini V de places de F contenant Vram . Supposons (G, G, ˜ quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab(G(F )). On va définir une

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

769

˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Comme toujours, on a distribution SAG (V, X ) ∈ Dg´eom (G(F besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a des propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation habituelle, cf. [VI] 1.15. Ce sont les mêmes que dans cette référence et on les abandonne au lecteur. On donnera toutefois dans le paragraphe suivant des formules plus explicites dans la situation «avec caractère central». Comme en [VI] 5.2(1), il y a une condition concernant les espaces hyperspéciaux ˜ v pour v ∈ V . La définition fournit une distribution qui dépend de ces espaces. K ˜

On doit savoir que ˜ v pour (1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V . ˜

Surtout, on doit supposer par récurrence que cette distribution SAG (V, X ) est stable. Modulo ces hypothèses, soit G = (G , G  , s) une donnée endoscopique ˜ a) relevante et non ramifiée hors de V , avec dim(G ) < dim(GSC ). de (G, G, SC ˜  (F )). Alors on peut définir SAG (V, X  ) ∈ Dst (G ) ⊗ Soit X  ∈ Stab(G V g´ eom Mes(G (FV ))∗ . On pose (avec les notations de [VI] 5.1) :  ˜ ˜ SAG (V, X ) = AG (V, X ) − 

(2)

˜ ),G =G G ∈E(G,V 

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )), i(G,

˜  (F )),X  →X X  ∈Stab(G

où on a noté X  → X l’application (1) de 1.7. ˜ a) est quelconque. Pour X ∈ Stab(G(F ˜ )), on On revient au cas où (G, G, pose ˜

(3)

AG,E (V, X , ω)  =





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ˜  (F )),X  →X G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G

˜ a) est quasi-déployé et à torsion Remarque. Comme souvent, le cas où (G, G, intérieure est un peu particulier. Dans ce cas, les hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la donnée endoscopique principale G. Il convient de remplacer ˜ le terme transfert(SAG (V, X )) intervenant dans la somme par SAG (V, X ). On a ˜ ˜ ˜ alors AG,E (V, X ) = AG (V, X ) par définition de ce terme SAG (V, X ). ˜ )), on a l’égalité Théorème (i) (à prouver). Pour tout X ∈ Stab(G(F ˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors, Théorème (ii). Supposons (G, G, ˜ ˜ pour tout X ∈ Stab(G(F )), SAG (V, X ) est stable et vérifie (1).

770

Chapitre VII. Descente globale

Le théorème (ii) sera prouvé dans ce chapitre, cf. 3.4. Dans ce chapitre, nous ˜ a) particuliers. Pour ceuxprouverons le théorème (i) sauf pour des triplets (G, G, ci, le théorème sera prouvé sauf pour des X exceptionnels, qui sont en nombre fini. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Pour ces X exceptionnels, le théorème (i) sera prouvé en même temps que le théorème [VI] 5.4, cf. 3.6. Ce dernier théorème sera prouvé en [X] 8.5.

VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnés une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G ˜1 → G ˜ où G ˜ 1 est où C1 est un tore central induit, une extension compatible G encore à torsion intérieure et un caractère automorphe λ1 de C1 (AF ). On a défini l’ensemble de places V1,ram en [VI] 1.15. Pour v ∈ V1,ram , on fixe un espace hyper˜ 1,v ⊂ G ˜ 1 (Fv ) au-dessus de K ˜ v . On impose la condition de compatibilité spécial K ˜ ˜ 1,v pour presque tout v. On a globale habituelle : pour γ1 ∈ G1 (F ), on a γ1 ∈ K une suite exacte 0 → AC1 → AG1 → AG → 0 . On a fixé en [VI] 1.3 une mesure de Haar sur AG . On en fixe sur les deux autres groupes de sorte que la suite soit compatible aux mesures. Introduisons les paires de Borel épinglées de G et G1 , dont on note les tores ˜ 1 ) → Z(G). ˜ On en T ∗ et T1∗ . On a des applications naturelles T1∗ → T ∗ et Z(G déduit une application ˜ 1 ) → T ∗ ×Z(G) Z(G) ˜ T1∗ ×Z(G1 ) Z(G μ1 → μ dont les fibres sont isomorphes à C1 . ˜ 1 (F )) → Stab(G(F ˜ )), qui, à (μ1 , ωG¯ ), associe D’où une application Stab(G (μ, ωG¯ ). Elle se quotiente en une application (1)

˜ )). ˜ 1 (F )) → Stab(G(F Stab(G

Celle-ci traduit simplement l’application de projection ˜ 1,ss (F )/ st-conj → G ˜ ss (F )/ st-conj . G Remarquons que les fibres de cette application ne sont pas isomorphes à C1 (F ) ˜ 1 (F )) de la forme (μ1 , ωG¯ ) et (cμ1 , ωG¯ ), avec en général, deux éléments de Stab(G ˜ 1 (F )). c ∈ C1 (F ), c = 1, pouvant avoir la même image dans Stab(G Soit V un ensemble fini de places contenant V1,ram . Fixons des mesures dg sur G(AF ) et dc sur C1 (AF ), dont on déduit une mesure dg1 sur G1 (AF ). On identifie ces mesures à des mesures sur G(FV ), C1 (FV ) et G1 (FV ), cf. [VI] 1.1. On rappelle

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

771

 ˜ ˜V = que les distributions définies en 1.9 et 1.10 dépendent de l’espace K v∈V Kv , bien que l’on n’ait pas fait figurer cet espace dans la notation. Dans les formules qui suivent, on insère si besoin est cet espace dans la notation, de façon que l’on espère compréhensible. ˜ )). Soit f ∈ C ∞ (G ˜ 1 (FV )). On fixe une fonction φ ∈ Soit X ∈ Stab(G(F c,λ1 ∞ ˜ Cc (G1 (FV )) de sorte que φc λ1 (c) dc. f= C1 (FV ) ˜

La formule [VI] 2.5(14) donne immédiatement la variante AλG11 (V, X ) de la distribution définie en 1.9 sous la forme ˜1 ˜1 G G −1 Iλ1 (Aλ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) C1 (F )\C1 (AF )



(2)

I

˜1 G

˜1 G

(A

˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc, (V, X1 , c K V

X1 ∈Fib(X )

où Fib(X ) est la fibre de l’application (1) au-dessus de X . ˜

On obtient par récurrence une formule analogue pour la variante SAλG11 (V, X ) de la distribution définie en 1.10 : ˜1 ˜1 G G −1 Iλ1 (SAλ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) C1 (F )\C1 (AF )



(3)

I

˜1 G

˜1 G

(SA

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, X1 , c K 1 V

X1 ∈Fib(X )

˜ v = Kv et K ˜ 1,v = K1,v ˜ = G, G ˜ 1 = G1 , K Considérons le cas particulier où G pour tout v ∈ V et où X correspond à la classe de conjugaison stable de l’élément neutre. Comme toujours, on remplace dans la notation la lettre X par un indice ˜ ˜ G unip : AG unip (V ) au lieu de A (V, X ) etc. . . La fibre Fib(X ) est alors l’ensemble {ξX1 ; ξ ∈ C1 (F )}, où X1 correspond à la classe de conjugaison stable de l’unité dans G1 (F ). D’après [VI] 2.4(7), on a l’égalité : ˜

˜

I G1 (AG1 (V, ξX1 , ξ V cV K1V ), φξV cV ⊗ dg1 ) ˜

˜

= I G1 (AG1 (V, X1 , cV K1V ), φcV ⊗ dg1 ). Puisque de plus ˜

˜

I G1 (AG1 (V, X1 , cV K1V ), φcV ⊗ dg1 )  ˜ ˜ I G1 (AG1 (V, X1 , K1V ), φcV ⊗ dg1 ), = 0,

V si cV ∈ KC , 1 sinon,

772

Chapitre VII. Descente globale

la formule (2) se simplifie en ˜

(4)

˜

G1 (V ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 IλG11 (Aunip,λ 1 ˜1 ˜ G I G1 (Aunip (V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. C1 (FV )

La formule (5) se simplifie de même en ˜

G1 (V ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 IλG1 (SAunip,λ 1 ˜1 ˜ G I G1 (SAunip (V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. ˜

(5)

C1 (FV ) ˜

G1 ˜  (FV )) (V )dg, qui appartient à Dunip,λ1 (G Autrement dit, la distribution Aunip,λ 1 1 ˜ ˜ 1 (FV )) est l’image de l’élément mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 AG1 (V )dg1 de Dunip (G unip ˜

G1 par l’application définie en [II] 1.10(3). De même, SAunip,λ (V )dg est l’image de 1 ˜

G1 (V )dg1 . mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 SAunip

VII.1.12 Relation avec les distributions associées aux classes de conjugaison stable locales ˜ ss (FV )/ st-conj. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . Soit OV ∈ G ˜V G ˜ )), on note simplement X → XV la Posons XV = χ (OV ). Pour X ∈ Stab(G(F relation : XV est l’image de X par localisation. Les distributions des membres de gauche des égalités de l’énoncé ci-dessous ont été définies en [VI] 2.3, 5.2 et 5.4. Proposition. (i) On a l’égalité ˜

AG (V, OV , ω) =



˜

AG (V, X , ω).

˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

(ii) On a l’égalité ˜

AG,E (V, OV , ω) =



˜

AG,E (V, X , ω).

˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors on a l’égalité (iii) Supposons (G, G,  ˜ ˜ SAG (V, OV ) = SAG (V, X ). ˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

773 ˜

Preuve. Les deux côtés de l’égalité (i) sont des sommes de AG (V, C, ω), où C ∈ ˜ ss (F )/ conj. Du côté gauche, on somme sur les C dont la classe localisée CV est G contenue dans OV . Du côté droit, on somme sur les C contenus dans une classe de conjugaison stable O dont le paramètre X s’envoie par localisation sur XV . La commutativité du diagramme de 1.4 entraîne que ces ensembles de sommation sont les mêmes. D’où (i). ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, les termes intervenant Si (G, G, dans (ii) sont identiques par définition aux mêmes termes où l’on supprime l’exposant E. L’assertion (ii) n’est alors autre que (i). Supposons maintenant que ˜ a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. Par définition (G, G, 

˜

AG,E (V, OV , ω) =

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, V,G

˜ G ∈E(G,a,V )

˜  (FV )/ st-conj qui Fixons G . Rappelons que OV,G˜  est la réunion des OV ∈ G ss correspondent à OV . Le lemme 1.8 nous dit que cet ensemble de classes est égal à celui des classes OV qui vérifient les deux conditions suivantes : ˜ ss (FV )/ st-conj ; – elles correspondent à une classe dans G – leur paramètre XV s’envoie sur XV par la version locale de l’application 1.7(1) (ce que l’on note XV → X ). 

On se rappelle que SAG (V, OV ) est à support dans l’ensemble des éléments dont la partie semi-simple appartient à OV , cf. [VI] 5.2. Si OV ne correspond à ˜ ss (FV ), le transfert de SAG (V, O ) est donc nul. On peut aucune classe dans G V donc aussi bien supprimer la première condition ci-dessus :    transfert(SAG (V, OV,G˜  )) = transfert(SAG (V, OV )), XV →XV

où OV est l’unique élément paramétré par XV . Modulo les formalités habituelles, on peut appliquer (iii) aux termes du membre de droite. On obtient ⎛ ⎞ 

transfert(SAG (V, OV,G˜  )) =

 XV →XV

⎜ ⎜ transfert ⎜ ⎝

 ˜  (F )), X  ∈Stab(G X  →XV

⎟  ⎟ SAG (V, X  )⎟ . ⎠

La localisation commute à l’application 1.7(1). Sommer en XV → XV puis X  → ˜ )) tels que X → XV puis sur les X  XV revient à sommer sur les X ∈ Stab(G(F  tels que X → X . Donc     transfert(SAG (V, OV,G˜  )) = transfert(SAG (V, X  )). ˜ )), X  ∈Stab(G ˜  (F )), X ∈Stab(G(F X →XV X  →X

774

Chapitre VII. Descente globale

Puis



˜

AG,E (V, OV , ω) = 



˜ G ˜ ) i(G,

˜ )), G ∈E(G,a,V ˜ X ∈Stab(G(F ) X →XV 

transfert(SAG (V, X  )).

˜  (F )), X  ∈Stab(G X  →X ˜

La double somme intérieure est par définition égale à AG,E (V, X , ω). On obtient (ii). La preuve de (iii) est analogue. Par définition, on a cette fois  ˜ ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, SAG (V, OV ) = AG (V, OV ) − V,G ˜ ), G ∈E(G,V G =G

On connaît (i) pour le premier terme de droite et (iii) par récurrence pour les autres termes. Par le même calcul, on en déduit (iii) pour le terme de gauche. 

VII.2 Formules de scindage VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré Par exception, dans ce paragraphe, F est un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. On note p sa caractéristique résiduelle. On considère un triplet ˜ a) défini sur F qui est «non ramifié». Précisément, comme en [VI] 1.1, on (G, G, ˜ ) possède un sous-espace hyperspésuppose que G et a sont non ramifiés, que G(F cial et que, en posant e = [F : Qp ], on a p > 5 et p > N (G)e+1, où N (G) est défini ˜ de groupe associé K. Soit M ˜ un en [79] 4.3. On fixe un espace hyperspécial K, ˜ tel que le Levi M associé soit en bonne position relativement espace de Levi de G à K. On munit G(F ) de la mesure canonique pour laquelle K est de masse totale ˜ G ˜ ˜ 1. On a défini en [II] 4.1 une forme linéaire rM eom (M (F ), ω) : on a ˜ (., K) sur Dg´ ˜ ˜ G G ˜ rM ˜ ), ˜ (γ, K) = JM ˜ (γ, 1K

˜ Dans le cas où (G, G, ˜ a) est quasioù 1K˜ est la fonction caractéristique de K. déployé et à torsion intérieure, on a défini en [II] 4.2 un avatar stable de cette ˜ est en bonne position reforme linéaire. Ici, il n’est plus besoin de supposer que M G ˜ sur Dst (M ˜ (F )). ˜ L’avatar stable est une forme linéaire s ˜ (., K) lativement à K. ˜ g´ eom M Elle vérifie ˜ ˜ ne dépend que de la classe de conjugaison de K ˜ par GAD (F ). (1) sG (., K) ˜ M

st ˜ Pour δ ∈ Dg´ eom (M (F )), on a la formule familière   ˜ ˜ = rG˜˜ (δ, K) ˜ − ˜ G ˜  (s))sG (s) (δ, K). ˜ (δ, K) iM˜ (G, sG ˜ M M M ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

VII.2. Formules de scindage

775

Expliquons la signification du dernier terme. Comme on l’a dit en [II] 4.2, pour ˜  (s) de s intervenant dans cette somme, le choix d’un sous-espace hyperspécial K  ˜  (s; F ) permet de définir par récurrence un terme sG (s) (δ, K ˜  (s)). Mais l’esG M   ˜ ˜ ˜ pace K détermine un sous-espace K (s) de G (s; F ) bien défini à conjugaison G (s) ˜ le terme près par G (s)AD (F ). La propriété (1) permet de noter sM (δ, K)  G (s) ˜  (s)) pour un tel K ˜  (s). sM (δ, K ˜ une ˜ a) quelconque. Soit M = (M  , M , ζ) Revenons à un triplet (G, G,  ˜ donnée endoscopique de (M, M , aM ). Si M est elliptique et non ramifiée (donc relevante d’après le lemme [I] 6.2), on a défini en [II] 4.3 une forme linéaire ˜ G,E  st  ˜ rM ˜ (M , ., K) sur Dg´ eom (M ) par l’égalité 

˜ G,E  ˜ rM ˜ (M , δ, K) =



G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ ˜ iM˜  (G, s))sM (δ, K).

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s ˜∈ζZ(

Il convient de généraliser la définition au cas où M est non ramifiée mais pas ˜ de M ˜ tel que M apparaisse elliptique. Dans ce cas, il existe un espace de Levi R ˜ aR ). On peut comme une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de (R, R, supposer R en bonne position relativement à K. Comme en [VI] 4.5, on pose alors  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L,E G,E   ˜ ˜ L˜ (2) rM dG ˜ (M , L)rR ˜ (M , δ, K) = ˜ (M , δ, K ), R ˜ ˜ L∈L( R)

˜ L˜ = K ˜ ∩ L(F ˜ ). où K ˜ une donnée endoscopique relevante de Proposition. Soit M = (M  , M , ζ) st  ˜ (M, M , aM ) et soit δ ∈ Dg´eom (M ). Alors ˜ ˜ G,E G  ˜ ˜ (i) si M est non ramifiée, on a l’égalité rM ˜ (transfert(δ), K) = rM ˜ (M , δ, K) ; ˜ ˜ = 0. (ii) si M n’est pas non ramifiée, on a l’égalité rG (transfert(δ), K) ˜ M



Preuve. Supposons que M ne soit pas elliptique. Comme ci-dessus, on introduit ˜ ⊂ M ˜ de sorte que M soit une donnée elliptique pour (R, R, ˜ aR ). RemarR  ˜ quons que M est non ramifiée pour (M, M , aM ) si et seulement si elle l’est pour ˜ ). Alors le transfert de δ à M ˜ (F ) est ˜ aR ). Notons γ le transfert de δ à R(F (R, R, ˜ M l’induite γ . On a la formule  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L ˜ G M ˜ L˜ dG rM ˜ (γ , K) = ˜ (M , L)rR ˜ (γ, K ), R ˜ ˜ L∈L( R)

cf. [II] 4.1(1). Celle-ci et la formule parallèle (2) nous ramène à démontrer les ˜ M ˜ ) par un couple assertions de la proposition quand on remplace le couple (G, ˜ ˜ (L, R). En oubliant cette construction, on est ramené au cas M est une donnée ˜ , aM ). L’assertion (i) est le lemme fondamental endoscopique elliptique de (M, M pondéré, cf. [II] 4.4.

776

Chapitre VII. Descente globale

Il reste à prouver (ii). On suppose donc que M n’est pas non ramifiée. On utilise la méthode d’Arthur qui se base sur un lemme de Kottwitz ([46] proposition 7.5) que l’on généralise à notre cas. Fixons une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) de G, définie sur F , telle que M soit standard pour E et que le groupe K soit celui issu de E. On pose M = M/Z(M )θ et TM = T /Z(M )θ . On ˜ (F ). Si on rappelle (cf. [I] 2.7) que le groupe M (F ) opère par conjugaison sur M   fixe des données auxiliaires M1 ,. . .,Δ1 pour M , le facteur de transfert Δ1 (δ1 , γ) se transforme, quand on conjugue γ par un élément de M (F ), par un caractère ω de M (F ) qui prolonge le caractère ω de M (F ). Notons o l’anneau des entiers de F . Montrons que (3) le groupe d’inertie IF est inclus dans M si et seulement si ω est trivial sur TM (o), ce qui est encore équivalent à ce que le cocycle définissant ω soit trivial sur IF . ˆ  . Pour w ∈ IF , fixons mw = (m(w), w) ∈ On a une action galoisienne sur M ˆ  comme w. Le groupe IF est contenu dans M exactement M qui agisse sur M ˆ  pour tout w ∈ IF , c’est-à-dire quand m(w) est dans la compoquand m(w) ∈ M ˆ. sante neutre du centralisateur de ζ˜ dans M La deuxième condition de (3) est équivalente à ce que la restriction de ω à TM (F ) soit non ramifiée c’est-à-dire que tout cocycle définissant ce caractère soit ˆ  ). Rappelons la construction trivial sur IF . Un tel cocycle est à valeurs dans Z(M de la restriction à IF d’un tel cocycle. On suppose ζ˜ = ζ θˆ avec ζ ∈ Tˆ , avec les notations habituelles. Soient w ∈ IF et mw = (m(w), w) comme ci-dessus. Comme pour tout élément de M , on a la propriété de commutation suivante vis-à-vis de ζ˜ : −1 ˆ = m(w) ζ θ(m(w))ζ

puisque G et a sont non ramifiés. Le cocycle associé à ω est défini en relevant les éléments intervenant ci-dessus dans le groupe dual de M et en fait, parce que le ˆ  est plus difficile à analyser, on relève même dans un revêtement simplegroupe M ˆ noté M ˆ SC . On fixe un élément z(w) ∈ Z(M ˆ) ment connexe du groupe dérivé de M ˆ tel que m(w)z(w) soit l’image d’un élément msc (w) ∈ MSC . Quitte à changer la donnée endoscopique en une donnée équivalente, on peut aussi relever ζ en un élément ζsc . Et on a une relation (4)

ˆ sc (w))ζ −1 = asc (w)msc (w), ζsc θ(m sc

ˆ SC dont on vérifie aisément qu’il est dans le centre de avec un élément asc (w) ∈ M ˆ  (par projection naturelle) et ce groupe. On note a (w) l’image de asc (w) dans M −1 ˆ on pose z (w) = a (w)z(w)θ(z(w)) . Par définition (cf. [I] 2.7), z est la restriction à IF d’un cocycle définissant ω . En [I] 2.7 (suite exacte suivant la suite (2)), il ˆ  ) si et seulement s’il existe est montré que z (w) est l’élément neutre de Z(M ˆ θ,0 −1 ˆ ˆ ˆ b(w) ∈ Z(MSC ) tel que z(w) ∈ b(w)T et asc (w) = θ(b(w))b(w) .

VII.2. Formules de scindage

777

Supposons que z (w) = 1. On fixe les choix précédents d’où en particulier ˆ SC ). On modifie z(w) en le remplaçant par z(w)b(w)−1 ; ainsi z(w) ∈ b(w) ∈ Z(M ˆ θ,0 ˆ T et asc (w) = 1. Ainsi, avec (4), msc (w) est dans le commutant de ζsc θˆ qui est un groupe connexe et son image m(w)z(w) est dans la composante connexe du ˆ ˆ  contient Tˆ θ,0 ˆ , c’est-à-dire M ˆ  . Mais M donc m(w) luicommutant de ζ˜ dans M    ˆ . Puisque (m(w), w) ∈ M , on a (1, w) ∈ M et M contient IF . même est dans M Réciproquement, supposons que (1, w) ∈ M pour tout w ∈ IF . Alors on peut prendre ci-dessus m(w) = 1. Il est alors clair que z (w) = 1 en reprenant la construction rappelée ci-dessus de cet élément. Cela démontre (3). On termine la preuve du (ii) de la proposition. Le groupe TM (o) agit par ˜ (F )). Il s’en déduit une action sur I(M ˜ (F ), ω) et, par duaconjugaison sur Cc∞ (M ˜ (F ), ω). La propriété de transformation des facteurs de transfert lité, sur Dg´eom (M ˜ (F )), les transferts à M de f et rappelée ci-dessus entraîne que, pour f ∈ Cc∞ (M de ω (x) adx (f ) sont égaux. Par dualité, il en résulte que ω (x) adx (transfert(δ)) = ˜ ), transfert(δ). On va faire agir x par conjugaison mais pour que x agisse sur G(F θ il faut commencer par relever x en un élément de G (F ), où G = G/Z(G) . Pour faire cela, posons T = T /Z(G)θ . On commence par démontrer que l’application T (o) → TM (o) est surjective : le conoyau s’injecte dans le groupe de cohomologie H 1 (Gal(F nr /F ); (Z(M )θ /Z(G)θ )(onr )), où F nr est l’extension non ramifiée maximale de F et onr est son anneau d’entiers. Or Z(M )θ /Z(G)θ est un tore (donc connexe) et ce groupe de cohomologie est nul par le théorème de Lang. On relève donc x en un élément de T (ov ). Par simple transport de structure, on a l’égalité ˜ ˜ G G ˜ ˜ rM ˜ (transfert(δ), K) = rM ˜ (adx (transfert(δ)), adx (K)).

Puisque transfert(δ) se transforme par un caractère non trivial de TM (o), il ne ˜ = adx (K). ˜ Certainement, adx conserve K puisque reste plus qu’à démontrer que K ˜ tel que adx (γ) ∈ K. ˜ K est associé à E. Il suffit donc de prouver qu’il existe γ ∈ K ˜ E; F nr ) de On a rappelé en 1.5 que l’on pouvait choisir t ∈ T (onr ) et e ∈ Z(G, ˜ On relève x en un élément y ∈ T (onr ) et on sorte que γ = te appartienne à K. écrit xγx−1 = yt ade (y −1 )e. Les éléments yt et ade (y −1 ) sont dans T (onr ). Ainsi yt ade (y −1 ) ∈ T (onr ) et aussi u = yt ade (y −1 )t−1 . Ainsi xγx−1 ∈ ute = uγ, ˜ ) donc u ∈ T (onr ) ∩ G(F ) = avec u ∈ T (onr ). Mais xγx−1 et γ sont dans G(F −1 ˜  T (o) ⊂ K. Ainsi xγx ∈ K, ce qui est l’assertion cherchée.

VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré Le corps de base est de nouveau notre corps de nombres. On considère un triplet ˜ a) défini sur F . Soit U un ensemble fini de places tel que, contrairement à (G, G,

778

Chapitre VII. Descente globale

˜ ∈ L(M ˜ 0 ). On a défini en [VI] 1.13 une forme l’habitude, U ∩ Vram = ∅ et soit M ˜ G ˜ ˜ linéaire rM˜ (., KU ) sur Dg´eom (M (FU ), ω) par ˜

˜

G G ˜ rM ˜ U ). ˜ (γ, KU ) = JM ˜ (γ, 1K

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Nous allons définir Supposons (G, G, ˜ st ˜ ˜ une forme linéaire δ → sG ˜ (δ, KU ) sur Dg´ eom (M (FU )). Elle doit vérifier les proM priétés formelles habituelles. Elle doit aussi posséder une propriété d’invariance relativement à l’action de GAD (FU ) en le sens suivant. On oublie pour un temps ˜ v . Soient K ˜ U et K ˜  deux sousque l’on a fixé en 1.1 les espaces hyperspéciaux K U ˜ U ) dont les groupes sous-jacents KU et K  sont en espaces hyperspéciaux de G(F U ˜ U et K ˜  soient conjugués par bonne position relativement à M0 . Supposons que K U un élément de GAD (FU ). On doit alors avoir l’égalité (1)

˜ ˜ G ˜ ˜ sG ˜ (δ, KU ) = sM ˜ (δ, KU ) M

pour tout δ. Comme en [II] 4.2, cette condition permet de généraliser la définition au cas où le groupe KU n’est pas supposé en bonne position relativement à M0 . ˆ )ΓF , introduisons la donnée endoscopique G = G (s) de Soit s ∈ Z(M ˜ ˜ 1 , C1 , ξˆ1 , K ˜  non ramifiées (G, G, a). Introduisons des données auxiliaires G1 , G 1,U  ˜ G ˜  ) pour dans U . Par une extension formelle des définitions, on définit s 1 (δ 1 , K

1,U ˜ ,λ1 M 1 st  ˜ Dg´eom,λ1 (M1 (FU )). Si on remplace les données auxiliaires par d’autres don˜  , ces termes se recollent pourvu que la fonction de recollement G2 , . . . , K 2,U

δ1 ∈ nées ˜ 12,U vérifie l’égalité λ ˜12,U (γ1 , γ2 ) = 1 pour γ1 ∈ K ˜ 1,U et γ2 ∈ K ˜ 2,U . Mais l’espace λ st ˜  , C1 , ξˆ1 , Δ1,U Dg´eom (MU ) a été défini en considérant des données auxiliaires G1 , G 1 et des fonctions de recollement identifiant les facteurs de transfert. L’identification entre les deux types de données auxiliaires se fait bien sûr en utilisant les ˜  , C1 , ξˆ1 , K ˜ facteurs de transfert «non ramifiés» : on déduit des données G1 , G 1 1,U ˜  , C1 , ξˆ1 , Δ1,U , où Δ1,U est le facteur de transfert déterminé par les données G1 , G 1 ˜U , K ˜  ). Les deux notions de recollement coïncident alors. Les formes le couple (K 1,U st linéaires précédemment définies se recollent en une forme linéaire sur Dg´ eom (MU ). La propriété (1) montre qu’elle ne dépend que de la classe de conjugaison par ˜  de G ˜  (FU ), laquelle ne dépend que de K ˜U GAD (FU ) de l’espace hyperspécial K U lui-même. Cela justifie de noter cette forme linéaire  ˜ δ → sG M (δ, KU ).

st ˜ On peut alors poser la définition, pour δ ∈ Dg´ eom (M (FU )) : ˜ ˜ G ˜ ˜ sG ˜ (δ, KU ) = rM ˜ (δ, KU ) − M

 ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M



˜ G ˜  (s))sG (s) (δ, K ˜ U ). iM˜ (G, M

VII.2. Formules de scindage

779

Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.2 montre que, pour δ = ⊗v∈U δ v , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ ˜ ˜ ˜U ˜ L˜ v eG sL sG ˜ v (δ v , Kv ), ˜ (δ, KU ) = ˜ U (M , L ) M M M ˜ U ∈L(M ˜U) L

v∈U

où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en [II] 4.2. Grâce à cette égalité, les propriétés formelles requises ainsi que la propriété (1) résultent des mêmes propriétés de ces formes linéaires locales prouvées en [II] 4.2. ˜ une ˜ a) est quelconque. Soit M = (M  , M , ζ) Revenons au cas où (G, G, ˜ , aM ) non ramifiée dans U . De nouveau, pour s˜ ∈ donnée endoscopique de (M, M G (˜ s) ΓF ,θˆ ˜ ˆ ˜ U ) sur Dst (M ). Pour ζZ(M ) , on définit une forme linéaire δ → sM (δ, K U g´ eom un tel δ, on pose  ˜ G (˜ s) G,E  ˜U ) = ˜ G ˜  (˜ ˜ U ). rM (M , δ, K iM˜  (G, s))sM (δ, K ˜ ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(

Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.5 montre que, pour δ = ⊗v∈U δ v , on a l’égalité 

˜ G,E  ˜ rM ˜ (M , δ, KU ) =

˜ ˜ ˜U dG ˜ U (M , L ) M

˜ U ∈L(M ˜U) L



˜ ,E L ˜ vL˜ v ), rM (M , δ v , K ˜ v

v

v∈U

où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en 2.1. Grâce à cette ˜ G ˜ égalité et à l’égalité parallèle concernant les termes rM ˜ (γ, KU ) (cf. [VI] 1.13) , la proposition suivante résulte de celle du paragraphe précédent. Proposition. Soit M une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜ , aM ) (M, M st  et soit δ ∈ Dg´ eom (MV ). Alors

(i) si M est non ramifiée dans U , on a l’égalité ˜

G,E G  ˜ ˜ rM ˜ (transfert(δ), KU ) = rM ˜ (M , δ, KU ); ˜

(ii) si M n’est pas non ramifiée dans U , on a l’égalité ˜

G ˜ rM ˜ (transfert(δ), KU ) = 0.

VII.2.3 Enoncé des formules de scindage ˜ a) et deux ensembles finis V et S de On considère un triplet quelconque (G, G, places de F tels que Vram ⊂ V ⊂ S.

780

Chapitre VII. Descente globale

˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Choisissons une paire de Borel épinglée E = (B,T,(Eα )α∈Δ ) Soit M de G telle que M soit standard. Alors M détermine un sous-ensemble ΔM ⊂ Δ et (B, T, (Eα )a∈ΔM ) est une paire de Borel épinglée de M . En identifiant ces paires aux paires de Borel épinglées de G et M , on a une inclusion na˜ (F )) ⊂ Stab(G(F ˜ )), qui dépend du choix de E. Il s’en déduit turelle Stab(M ˜ (F )) → Stab(G(F ˜ )). Celle-ci ne dépend plus du choix une application Stab(M ˜ (F )), on a déde E. On la note simplement XM → X . Pour XM ∈ Stab(M ˜ M ˜ fini en 1.9 une distribution A (S, XM , ω) ∈ Dg´eom (M (FS ), ω) ⊗ Mes(M (FS ))∗ . ˜ (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))∗ et de Cet espace est le produit tensoriel de Dg´eom (M S S ∗ ˜ Dg´eom (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . De plus, le choix des mesures canoniques identifie Mes(M (FSV ))∗ à C. On peut donc écrire  ˜ ˜ ˜ (1) AM (S, XM , ω) = kiM (XM , ω)VS ⊗ AM i (XM , ω)V i=1,...,n(XM ) ˜ ˜ (F V ), ω) et des avec des kiM (XM , ω)VS ∈ Dg´eom (M S ˜ ∗ ˜ AM eom (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . i (XM , ω)V ∈ Dg´

On note

∗ ˜ AG eom (G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) i (XM , ω)V ∈ Dg´ ˜

˜

l’induite de AM i (XM , ω)V . On a rappelé dans le paragraphe précédent la forme ˜ G ˜ S−V ) et on en a défini divers avatars. Nous modifions légèrement linéaire rM (., K ˜ ˜V . ˜ S−V par K leur notation en remplaçant K S ˜ )). Il résulte de la définition de 1.9 et de [VI] 2.3(9) que Soit X ∈ Stab(G(F l’on a l’égalité   ˜ ˜ ˜ AG (V, X , ω) = |W M ||W G |−1 (2)



˜ XM ∈Stab(M(F )),XM →X

˜ ˜ 0) M∈L( M

˜ ˜ G M V ˜V rM ˜ (ki (XM , ω)S , KS

˜

)AG i (XM , ω)V .

i=1,...,n(XM )

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et Supposons (G, G, ˜ M ˜ (F )), on a défini la distribution SA (S, XM ) en 1.10. Si M ˜ = G, ˜ XM ∈ Stab(M elle est stable d’après le théorème 1.10(ii) et nos hypothèses de récurrence. Si ˜ = G, ˜ supposons qu’elle est stable. On peut alors la décomposer comme en (1) en M  ˜ ˜ ˜ (3) SAM (S, XM ) = SkiM (XM )VS ⊗ SAM i (XM )V i=1,...,n(XM ) ˜ ˜ M st st ˜ V ˜ avec des SkiM (XM )VS ∈ Dg´ eom (M (FS )) et des SAi (XM )V ∈ Dg´ eom (M (FV )) ⊗ ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ l’induite de Mes(M (FV ))∗ . On note SAG (XM )V ∈ Dst (G(F i

˜

SAM i (XM )V .

g´ eom

VII.2. Formules de scindage

781

˜ a) est quelconque. Pour X ∈ Stab(G(F ˜ )), on a Revenons au cas où (G, G, ˜ G,E défini une distribution A (S, X , ω) en 1.10. On peut la décomposer de la même façon qu’en (1) : 

˜

AG,E (S, X , ω) =

(4)

˜

˜

kiG,E (X , ω)VS ⊗ AG,E (X , ω)V i

i=1,...,n(X ) ˜ ˜ V ), ω) et des avec des kiG,E (XM , ω)VS ∈ Dg´eom (G(F S ˜

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . (X , ω)V ∈ Dg´eom (G(F AG,E i ˜ )). Proposition. Soit X ∈ Stab(G(F (i) On a l’égalité 

˜

AG,E (V, X , ω) =

˜ ˜ ˜ ˜ V )AG,E rG (kiG,E (X , ω)VS , K (X , ω)V S i

i=1,...,n(X )



+

˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0 ), M ˜ =G ˜ M





|W M ||W G |−1

˜

˜ (F )), XM ∈Stab(M XM →X ˜

˜

G M G V ˜V rM ˜ (ki (XM , ω)S , KS )Ai (XM , ω)V .

i=1,...,n(XM )

˜ a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure et que (ii) Supposons que (G, G, ˜ G SA (S, X ) soit stable. Alors on a l’égalité   ˜ ˜ ˜ SAG (V, X ) = |W M ||W G |−1 

˜ ∈L(M ˜ 0) M

˜ (F )),XM →X XM ∈Stab(M

˜ ˜ M V ˜V sG ˜ (Ski (XM )S , KS M

˜

)SAG i (XM )V .

i=1,...,n(XM )

VII.2.4 Preuve de la proposition 2.3 ˜ a) est quasi-déployé et à torsion Prouvons le (i) de cette proposition. Si (G, G, intérieure, on a par définition les égalités ˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω) et

˜

˜

AG,E (S, X , ω) = AG (S, X , ω).

˜ a) La formule à prouver n’est autre que 2.3(2). On suppose maintenant que (G, G, n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. ˜ a, S) et M ˜  ∈ L(M ˜  ) (où M ˜  est le Levi minimal fixé dans Soient G ∈ E(G, 0 0   ˜ ˜  soit relevant. Alors il existe ˜ G ). Soit XM  ∈ Stab(M (F )). Supposons que M ˜ de G ˜ tel que M ˜  apparaisse comme l’espace associé à une un espace de Levi M

782

Chapitre VII. Descente globale

˜ , aM ). Comme on l’a dit en 1.10, des donnée endoscopique elliptique M de (M, M   formalités permettent de définir des distributions SAM (V, XM  ) et SAM (S, XM  ). On peut décomposer cette dernière par une formule similaire à 2.3(3) :     SkiM (XM  )VS ⊗ SAM (1) SAM (S, XM  ) = i (XM  )V . i=1,...,n(XM  ) 



 M On note SAG i (XM  )V l’induite à G de SAi (XM  )V .  ˜ a, V ) et XG ∈ Stab(G(F ˜ )). Montrons que l’on a l’égalité Soient G ∈ E(G,     |W M ||W G |−1 transfert(SAG (V, XG )) =

(2)





˜  ∈L(M ˜  ), M 0 ˜  relevant M 





M V ˜V G sG M (Ski (XM  )S , KS ) transfert(SAi (XM  )V ).

˜  (F )), i=1,...,n(XM  ) XM  ∈Stab(M XM  →XG 

Preuve. On fixe des données auxiliaires G1 etc. . . pour G . Alors SAG (V, XG ) ˜ G SAλ11 (V, XG ).

Grâce à nos hys’identifie à une distribution que l’on peut noter pothèses de récurrence et à quelques formalités, on peut lui appliquer le (ii) de la proposition 2.3. On applique ensuite l’application de transfert à la formule obtenue. On obtient une formule similaire à celle ci-dessus. Plus précisément, on ˜  ) de certains termes, notons-les X(M ˜  ). On ˜  ∈ L(M obtient une somme sur M 0   ˜ est relevant, X(M ˜ ) est égal au terme indexé par M ˜ voit facilement que, si M   ˜ n’est pas relevant, X(M ˜ ) est nul. intervenant dans (2). Il faut montrer que, si M ˜  ) est un transfert d’un élément de En tout cas, X(M st  ∗ ˜ Dg´ eom,λ1 (G1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV ))

qui est induit à partir d’un élément de st  ∗ ˜ Dg´ eom,λ1 (M1 (FV )) ⊗ Mes(M (FV )) .

˜  ) soit nul, il suffit qu’il existe une place v ∈ V Il s’ensuit que, pour que X(M ˜ v ne soit pas relevant. Par hypothèse, M ˜ telle que l’espace de Levi localisé M  ˜ n’est pas relevant. Par définition, cela signifie soit que M (F ) = ∅, soit qu’il existe ˜  n’est pas relevant. La première possibilité est exclue : G v ∈ Val(F ) tel que M v ˜ ˜  (F ) = ∅ puisque M ˜  est un espace de est relevant, donc G (F ) = ∅ et alors M   ˜ ˜ Levi de G . Donc il existe une place v ∈ Val(F ) telle que Mv n’est pas relevant. Il reste à montrer qu’une telle place appartient à V . Pour v ∈ V , G est quasi-déployé ˜ v de G ˜ v tel que M ˜ v apparaisse comme sur Fv donc il existe un espace de Levi M  ˜ v , aMv ). Parce l’espace associé à une donnée endoscopique elliptique Mv de (Mv , M    que G est non ramifiée en v, Mv l’est aussi. Alors Mv est relevante d’après le lemme [I] 6.2. Cela prouve (2).

VII.2. Formules de scindage

783

On applique la formule de définition 1.10(3) et la formule (2) ci-dessus. On obtient   ˜ ˜ G ˜) i(G, AG,E (V, X , ω) = ˜ ˜  (F )),X  →X G ∈E(G,a,V ) XG ∈Stab(G G









|W M ||W G |−1

˜  ∈L(M ˜  ),M ˜  relevant M 0



˜  (F )),X  →X  i=1,...,n(XM  ) XM  ∈Stab(M M G

 M V ˜V sG M (Ski (XM  )S , KS



) transfert(SAG i (XM  )V ).

˜ a) et un espace de Levi M ˜  de G ˜  , que l’on identifiera Pour un élément G ∈ E(G,  dans la notation à une «donnée de Levi» M , définissons un terme S(G , M ) de la façon suivante. Si G n’est pas non ramifiée hors de V ou si M n’est pas relevant, on pose S(G , M ) = 0. Si G est non ramifiée hors de V et si M est relevant, on pose S(G , M ) =





˜  (F )), X  ∈Stab(M ˜  (F )), XG ∈Stab(G M XG →X XM  →XG









M V ˜V G sG M (Ski (XM  )S , KS ) transfert(SAi (XM  )V ).

i=1,...,n(XM  )

La formule ci-dessus se récrit  ˜ AG,E (V, X , ω) =

˜ G ˜) i(G,







|W M ||W G |−1 S(G , M ).

˜  ∈L(M ˜ ) M 0

˜ G ∈E(G,a,V )

On peut appliquer la proposition [VI] 6.5. La formule de cette proposition fait ˆ du groupe dual G. ˆ Cela parce que l’on considérait une apparaître des Levi M   situation générale où le terme S(G , M ) pouvait être non nul même si M n’était ˆ pas relevant. Ici, seuls peuvent apparaître des M qui sont relevants et des M ˜ ˜ correspondant à des espaces de Levi M de G. On peut récrire cette proposition en ˜ et de telles données endoscopiques de (M, M ˜ , aM ). sommant sur de tels espaces M On obtient   ˜ ˜ ˜ ˜,M ˜ ) |W M ||W G |−1 i(M AG,E (V, X , ω) = (3)

˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜ M) M ∈E(M,a

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))S(G (˜ s), M ).

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ(

˜ On peut limiter la On a noté simplement ζ˜ le terme tel que M = (M  , M , ζ).   ˜ somme en M aux éléments de E(M , aM , V ). En effet, si M n’est pas ramifié hors de V , les données G (˜ s) apparaissant ne sont pas non plus non ramifiées hors de V

784

Chapitre VII. Descente globale

˜ , M et s˜ intervenant et les termes S(G (˜ s), M ) sont nuls. D’autre part, fixons M ci-dessus. On a un diagramme commutatif ˜  (F )) → Stab(G ˜  (˜ s; F )) Stab(M ↓ ↓ ˜ (F )) → ˜ )) . Stab(M Stab(G(F s), M ), on peut donc remplacer la double somme en Dans la définition de S(G (˜ XG (˜s) tel que XG (˜s) → X et en XM  tel que XM  → XG (˜s) par une double somme ˜ (F )) tel que XM → X et sur XM  ∈ Stab(M ˜  (F )) tel que sur XM ∈ Stab(M XM  → XM . On a aussi l’égalité G (˜ s)

transfert(SAi



G (XM  )V ) = (transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

On obtient 



S(G (˜ s), M ) =

˜ (F )),XM →X X  ∈Stab(M ˜  (F )),X  →XM XM ∈Stab(M M M



 G (˜ s) ˜ SV sM (SkiM (XM  )VS , K



G )(transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

i=1,...,n(XM  )

˜  (F )), posons Pour XM  ∈ Stab(M 

b(M , XM  ) =

˜

i=1,...,n(XM  )



(4)



G (transfert(SAM i (XM  )V )) 

 G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ ˜ V ). iM˜  (G, s))sM (SkiM (XM  )VS , K S

ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(

˜ (F )), posons Pour XM ∈ Stab(M (5)



˜ , XM ) = B(M



˜,M ˜ ) i(M

b(M , XM  ).

˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

˜ M ,V ) M ∈E(M,a

Les considérations ci-dessus permettent de récrire l’égalité (3) sous la forme (6)

˜

AG,E (V, X , ω) =

 ˜ ∈L(M ˜ 0) M



|W M ||W G |−1 ˜

˜

˜ , XM ). B(M

˜ (F )), XM ∈Stab(M XM →X

Dans la formule (4), on reconnaît la somme en s˜ : elle est égale à ˜ G,E  M V ˜V rM ˜ (M , Ski (XM  )S , KS ).

VII.2. Formules de scindage

785

On applique la proposition 2.2(i) et on obtient  ˜ M V G ˜V b(M , XM  ) = rM ˜ (transfert(Ski (XM  )S ), KS ) i=1,...,n(XM  ) (7) 

G (transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

On a supposé ici M non ramifié hors de V . Mais le membre de droite ci-dessus conserve un sens si M est seulement non ramifié hors de S. Pour un tel M , on définit b(M , XM  ) par l’égalité (7). Si M est non ramifié hors de S mais pas hors de V , on a b(M , XM  ) = 0 : cela résulte de la proposition 2.2(ii). Dans la ˜ , aM , V ) en une somme définition (5), on peut donc étendre la somme en M ∈ E(M  ˜ en M ∈ E(M , aM , S). C’est-à-dire   ˜ , XM ) = ˜,M ˜ ) (8) B(M i(M b(M , XM  ). ˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

˜ M ,S) M ∈E(M,a ˜

On note AG,E (V, X , ω) le membre de droite de l’égalité du (i) de la proposition ˜ (F )), posons ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et XM ∈ Stab(M 2.3. Pour M ˜ ˜ – si M = G,  ˜ ˜ ˜ G M G V ˜V ˜ , XM ) = rM B(M ˜ (ki (XM , ω)S , KS )Ai (XM , ω)V ; i=1,...,n(XM )

˜ = G, ˜ – si M



˜ XG ) = B(G,

˜ ˜ ˜ ˜ V )AG,E rG,E (kiG,E (XG , ω)VS , K (XG , ω)V . S i

i=1,...,n(XG )

On a alors



˜

AG,E (V, X , ω) =

(9)

˜ , XM ). |W M ||W G |−1 B(M ˜

˜

˜ ˜ 0) M∈L( M

˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et XM ∈ Stab(M ˜ (F )). Par définition, on a Fixons M  ˜ ˜,M ˜ ) AM ,E (S, XM , ω) = i(M ˜ M ,V ) M ∈E(M,a





transfert(SAM (S, XM  )).

˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

En utilisant (1), on obtient ˜

AM ,E (S, XM , ω) =  i=1,...,n(XM  )



˜,M ˜ ) i(M

˜ M ,S) M ∈E(M,a 

 ˜  (F )),X  →XM XM  ∈Stab(M M 

transfert(SkiM (XM  )VS ) transfert(SAM i (XM  )V ).

786

Chapitre VII. Descente globale ˜

˜

˜ = G, ˜ on a AM ,E (S, XM , ω) = AM (S, XM , ω) d’après les hypothèses de récurSi M rence. Alors la décomposition ci-dessus est de la forme 2.3(1) : l’ensemble d’indices {1, . . . , n(XM )} est la réunion disjointe des {1, . . . , n(XM  )} sur les M et XM  in˜ = G, ˜ cette décomposition est de même de la forme tervenant ci-dessus. Si M 2.3(4). Il en résulte par définition que 

˜ , XM ) = B(M

˜ M ,S) M ∈E(M,a





˜,M ˜ ) i(M

˜  (F )),X  →XM XM  ∈Stab(M M



˜ ˜ G M V M G ˜V rM ˜ (transfert(Ski (XM  )S ), KS )(transfert(SAi (XM  )V )) .

i=1,...,n(XM  )

En utilisant (7) et (8), on voit que ˜ , XM ) = B(M ˜ , XM ). B(M Alors les membres de droite de (6) et (9) coïncident. Cela prouve l’égalité (10)

˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω),

ce qui est le (i) de la proposition 2.3. ˜ a) quasiProuvons maintenant le (ii) de cette proposition. On suppose (G, G, ˜ )). La formule 1.10(3) se modéployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab(G(F difie en  ˜ ˜ AG,E (V, X ) = SAG (V, X ) + ˜ G ∈E(G,a,V ),G =G





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, XG )). i(G,

˜  (F )),X  →X XG ∈Stab(G G

Pour G = G, on a encore l’égalité (2) et on peut remplacer le terme 

transfert(SAG (V, XG )) ci-dessus par le membre de droite de cette égalité. Pour G = G, le membre de droite de (2) est égal au membre de droite de l’égalité du (ii) de la proposition ˜ 2.3. On ne sait pas qu’il est égal à SAG (V, X ), c’est ce qu’on veut prouver. Mais ˜ on peut remplacer SAG (V, X ) par le membre de droite de (2), plus un nombre C dont on veut prouver qu’il est nul. Le calcul se poursuit comme précédemment et on obtient l’égalité ˜ ˜ AG,E (V, X ) = C + AG,E (V, X ). Mais, comme on l’a dit au début de la preuve, dans notre situation quasi-déployée à torsion intérieure, le (i) de la proposition 2.3, c’est-à-dire l’égalité (10), est tautologique. On conclut C = 0, ce qui prouve le (ii) de la proposition 2.3. 

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

787

VII.2.5 Extension de l’ensemble fini de places Corollaire. (i) Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram et soit ˜ )). X ∈ Stab(G(F Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V et tel que l’assertion du théorème 1.10(i) soit vérifiée pour le couple (S, X ). Alors cette assertion est vérifiée pour le couple (V, X ). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors la même pro(ii) Supposons (G, G, priété vaut pour le théorème 1.10(ii). ˜

˜

Preuve. Si AG,E (S, X , ω) = AG (S, X , ω), on peut supposer que les décompositions 2.3 (1) et 2.3 (4) de cette distribution coïncident. L’égalité 2.3(2) et celle du ˜ ˜ (i) de la proposition 2.3 entraînent alors l’égalité AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’hypothèse du (ii) de Supposons (G, G, ˜ la proposition 2.3 est vérifiée. La formule de cette proposition exprime SAG (V, X ) ˜ G comme combinaison linéaire de distributions stables. Donc SA (V, X ) est stable. ˜ La distribution SAG (S, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) ˜ v pour v ∈ S − V . Pour un espace de ˜ v pour v ∈ S. Elle ne dépend pas des K des K ˜ ˜ ˜ ˜ Levi M ∈ L(M0 ) et pour XM ∈ Stab(M (F )), la distribution SAM (S, XM˜ ) vérifie les mêmes propriétés. En effet, elle ne dépend que des classes de conjusaison par ˜v ∩ M ˜ (Fv ) pour v ∈ S. On a vu dans la preuve de [II] 4.2(3) MAD (Fv ) des K  ˜ ˜ que, si Kv et Kv sont conjugués par un élément de GAD (Fv ) et sont tous deux en ˜ (Fv ) et K ˜  ∩M ˜ (Fv ) sont ˜ v ∩M bonne position relativement à M , alors les espaces K v conjugués par un élément de Mad (Fv ). L’assertion s’ensuit. Alors, pour v ∈ S, la formule du (ii) de la proposition 2.3 ne dépend que de la classe de conjugaison par ˜ v . Pour v ∈ S − V , la formule ne dépend des K ˜ v que par les formes GAD (Fv ) de K ˜ G V ˜ ). Or, d’après 2.2(1), celles-ci ne dépendent que des classes de linéaires sM˜ (., K S ˜ v pour v ∈ S − V . Finalement, SAG˜ (V, X ) ne conjugaison par GAD (Fv ) des K ˜ v pour v ∈ V . dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K 

VII.3 Enoncés de nouveaux théorèmes VII.3.1 Le théorème d’Arthur ˜ a = 1, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ V . Supposons ici G = G, Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 1.10(i) et (ii) sont vérifiés. C’est l’un des principaux résultats de l’article d’Arthur ([18] global theorem 1 ). La propriété 1.10(1) de SAG (V, X ) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais est incluse dans sa démonstration. On la retrouve en tout cas de la

788

Chapitre VII. Descente globale

façon suivante. Considérons d’autres sous-groupes hyperspéciaux Kv pour v ∈ V , soumis aux conditions de [VI] 1.1. Ces conditions impliquent qu’il existe un ensemble fini de places S contenant V tel que Kv = Kv pour v ∈ S. La distribution SAG (S, X ) ne change donc pas quand on remplace les Kv par les Kv . On sait qu’elle est stable d’après le théorème d’Arthur. De plus, pour v ∈ S − V , les compacts Kv et Kv sont conjugués par un élément de GAD (Fv ) : il en est ainsi pour tout couple de sous-groupes compacts hyperspéciaux. La preuve du corollaire 2.5 montre que la distribution SAG (V, X ) ne change pas non plus quand on remplace les Kv par les Kv . En fait, nous n’utiliserons le théorème d’Arthur que pour l’élément X correspondant à la classe de conjugaison stable réduite à {1}. Dans ce cas, on note G plutôt nos distributions AG,E unip (V ) et SAunip (V ).

VII.3.2 Définition d’une autre distribution stable ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient X ∈ On suppose que (G, G, ˜ Stab(G(F )) et V un ensemble fini de places contenant Vram . On a vu que X ˜ ss (F ). On sait qu’il existe correspondait à une classe de conjugaison stable dans G un élément  de cette classe telle que G soit quasi-déployé. On fixe un tel . Soit U un voisinage ouvert de l’unité dans G (FV ) qui vérifie les conditions suivantes : – x ∈ U si et seulement si sa partie semi-simple xss appartient à U ; – si x ∈U et y ∈ G (FV ) sont conjugués par un élément de ZG (; F¯V ) (où F¯V = v∈V F¯v ), alors y ∈ U . ˜ l’ensemble des éléments de G(F ˜ V ) dont la partie semi-simple On note U ˜ ), resp. SI(U ), le est stablement conjuguée à un élément de U . On note SI(U ˜ ˜, sous-espace des éléments de SI(G(FV )), resp. SI(G (FV )), à support dans U resp. U . On pose Ξ = ZG ()/G . Ce groupe est naturellement muni d’une action galoisienne. On a établi en [I] lemme 4.8 un isomorphisme de descente descst  : ΓF Ξ V ˜ SI(U ) ⊗ Mes(G(FV ))  SI(U ) ⊗ Mes(G (FV )) pourvu que U soit assez petit. Dans cette référence, on avait fixé les mesures mais l’isomorphisme devient canonique quand on l’écrit sous la forme ci-dessus. Rappelons la caractérisation de ˜ reg (FV ). Fixons une mesure de Haar sur l’isomorphisme. Soit x ∈ U tel que x ∈ G (G )x (FV ) = Gx (FV ). Rappelons que la donnée de x et de la mesure définit un st élément de Dorb (U ) ⊗ Mes(G (FV ))∗ , à savoir l’intégrale orbitale stable S G (x, .). De même, la donnée de x et de la mesure définit une intégrale orbitale stable ˜ ˜ ) ⊗ Mes(G(FV )) et f = descst S G (x, .). Soient alors f ∈ SI(U  (f ). On a l’égalité ˜

S G (x, f ) = S G (x, f ). Les distributions de 1.10 dépendent d’une mesure sur AG fixée en [VI] 1.3. On doit aussi fixer une mesure sur AG . Dans le cas général, le choix est arbitraire. Mais, si on suppose  elliptique, on a AG = AG et on choisit la mesure déjà fixée sur ce dernier espace.

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

789

Rappelons que, pour tout groupe réductif connexe H défini sur F , on pose ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 , τ (H) = |π0 (Z(H) cf. [VI] 5.1. Supposons S(X ) ⊂ V.

(1) ˜

˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ de la On définit une distribution SAG (V, X ) ∈ Dg´eom (G(F ˜ on pose façon suivante. Si X n’est pas elliptique ou si V ne contient pas S(X , K), ˜ G SA (V, X ) = 0. Supposons X

(2)

˜ ⊂ V. est elliptique et S(X , K)

˜ V ))⊗Mes(G(FV )). On restreint f à U ˜ . On considère l’image dans Soit f ∈ Cc∞ (G(F ΓF ˜ )⊗Mes(G(FV )) de cette restriction. On note f ∈ SI(U )Ξ V ⊗Mes(G (FV )) SI(U l’image de l’élément obtenu par l’isomorphisme descst  . On pose ˜

 I G (SAG (V, X ), f ) = |ΞΓ F |τ (G)τ (G )−1 S G (SAG unip (V ), f ).

˜

 Rappelons que l’on sait que SAG unip (V ) est stable et indépendante de tout choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux, cf. 3.1. Cela donne un sens à cette  définition. Puisque SAG unip (V ) est à support unipotent, la définition ne dépend pas du choix de U . Elle ne dépend pas non plus du choix de . En effet, remplaçons  par  vérifiant les mêmes propriétés. On peut fixer y ∈ G tel que y −1 y =  et yσ(y)−1 ∈ G pour tout σ ∈ ΓF . Parce que l’on suppose G et G quasi-déployés, on peut supposer que ady−1 envoie une paire de Borel épinglée définie sur F de G sur une telle paire de de G . Cela entraîne que yσ(y)−1 appartient au centre de G . Alors l’isomorphisme ady−1 : G → G est défini sur F . Cet isomorphisme G  identifie SAG unip (V ) à SAunip (V ) et f à f . L’indépendance affirmée s’ensuit.

Remarquons que ˜

(3) SAG (V, X ) est stable. ˜ V ))⊗Mes(G(FV )) est nulle, alors f = 0. En effet, si l’image de f dans SI(G(F L’assertion s’ensuit. ˜ La distribution SAG (V, X ) dépend évidemment de diverses données. Mais, ˜ v , on a quant à sa dépendance des espaces hyperspéciaux K ˜ ˜v (4) SAG (V, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K pour v ∈ V . ˜ v pour v ∈ V que par la En effet, la définition ci-dessus ne dépend des K ˜ ˜ cette condition S(X , K) ⊂ V . Or, d’après la définition de l’ensemble S(X , K), ˜ v pour condition ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V .

790

Chapitre VII. Descente globale

˜ )) et tout V contenant S(X ), on a l’égalité Théorème. Pour tout X ∈ Stab(G(F ˜

˜

SAG (V, X ) = SAG (V, X ). Cela sera démontré en 3.4.

VII.3.3 Enoncé du théorème principal ˜ a) particuliers. Dans cette référence, En [III] 6.2, on a défini certains triplets (G, G, le corps de base était local non-archimédien, mais les définitions et résultats valent aussi bien sur notre corps de nombres. Considérons un tel triplet. Rappelons que G est quasi-déployé sur F et simplement connexe. On a a = 1. Notons ΘF l’ensemble ˜ ) tels qu’il existe une paire de Borel épinglée E de G définie sur F de des η ∈ G(F sorte que adη conserve E. Cet ensemble n’est pas vide. L’ensemble des classes de conjugaison stable contenant un élément de ΘF , que l’on note ΘF / st-conj, est en ˜ ΓF . De plus, l’application naturelle bijection avec Z(G) ˜ → (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) ˜ Z(G) est injective, cf. preuve de [III] 6.2(4). On voit alors que l’ensemble ΘF / st-conj ˜ )) de Stab(G(F ˜ )) défini de est paramétré par le sous-ensemble fini Stabexcep (G(F la façon suivante. C’est l’ensemble des (μ, ωG¯ ) tels que μ appartienne à l’image ˜ ΓF par l’application précédente. On a alors W (μ) = W θ∗ donc ωG¯ est de Z(G) ˜ a) n’est pas l’un forcément trivial. L’indice excep signifie exceptionnel. Si (G, G, ˜ des triplets définis en [III] 6.2, on pose Stabexcep(G(F )) = ∅. ˜ a) quelconque. Considérons un triplet (G, G, ˜ )) et V un ensemble fini de places contenant Théorème. Soient X ∈ Stab(G(F ˜ )). Alors on a l’égalité S(X ). On suppose X ∈  Stabexcep(G(F   ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). AG (V, X , ω) = i(G, ˜ G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G (F ));X  →X

D’après 1.7(3), on a S(X  ) ⊂ S(X ) ⊂ V pour tout X  intervenant ci-dessus.  Alors les termes SAG (V, X  ) sont déduits de ceux définis au paragraphe précédent par les constructions formelles habituelles. La démonstration du théorème occupe les sections 5 à 8.

VII.3.4 Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2, 1.10(ii) et [VI] 5.2 ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. En particulier, On suppose que (G, G, ˜ )) est ce n’est pas l’un des triplets définis en [III] 6.2 et l’ensemble Stabexcep(G(F ˜ vide. Soient X ∈ Stab(G(F )) et V un ensemble fini de places contenant S(X ).

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

791

˜ V ) tel que G = G et X  ∈ Stab(G ˜  (F )) tel que X  → X . Soient G ∈ E(G,  Comme on l’a dit, on a S(X ) ⊂ S(X ) ⊂ V et on peut appliquer le théorème 3.2   par récurrence : SAG (V, X  ) = SAG (V, X  ). L’égalité du théorème 3.3 se récrit ˜

˜

AG (V, X ) = SAG (V, X )  +





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ), X  ∈Stab(G (F )); G ∈E(G,V X  →X G =G

En utilisant la définition 1.10(2), cela entraîne ˜

˜

SAG (V, X ) = SAG (V, X ), ce qui prouve le théorème 3.2. Grâce au théorème 3.2, les propriétés 3.2(3) et 3.2(4) de la distribution ˜ SAG (V, X ) impliquent l’assertion du théorème 1.10(ii) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Le corollaire 2.5 permet de supprimer cette restriction, d’où le théorème 1.10(ii). Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . En utilisant le théo˜ rème 1.10(ii), la proposition 1.12(iii) entraîne que SAG (V, OV ) est stable pour ˜ ss (FV )/ st-conj et qu’elle ne dépend que des classes de conjugaison tout OV ∈ G ˜ v pour v ∈ V . Ce sont les assertions du théorème [VI] 5.2. par GAD (Fv ) des K A ce point, on peut remarquer que le théorème 3.2 permet de retrouver la ˜ formule habituelle pour une distribution SAG (V, OV ) associée à une classe de conjugaison stable elliptique et fortement régulière. Précisément, considérons un ˜ ) elliptique et fortement régulier. Notons X le paramètre de sa élément δ ∈ G(F classe de conjugaison stable. Fixons un ensemble fini V de places de F contenant ˜ V ), fixons un ˜ Notons OV la classe de conjugaison stable de δ dans G(F S(X , K). ensemble de représentants Y˙ δ des classes de conjugaison par G(FV ) contenues dans OV . Fixons une mesure de Haar dx sur Gδ (FV ). Pour δ  ∈ Y˙ δ , Gδ (FV ) est isomorphe à Gδ (FV ) et on munit le premier groupe de la mesure correspondant ˜ V )) et dg une mesure de Haar sur G(FV ). Alors on a à dx. Soient f ∈ Cc∞ (G(F l’égalité S G (SAG (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (Gδ )−1 mes(AG Gδ (F )\Gδ (AF ))  f (g −1 δ  g) dg. ˜

(1)

˜

δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

˜ V )). La condition de Preuve. Notons XV l’image naturelle de X dans Stab(G(F forte régularité imposée à δ implique que l’ensemble de sommation de la pro˜ ˜ position 1.12(iii) est réduit à {X }. Donc SAG (V, OV ) = SAG (V, X ). Grâce au ˜ G théorème 3.2, ceci est égal à SA (V, X ). On utilise la définition de ce terme. Par forte régularité, le groupe Ξδ est réduit à {1}. On obtient δ S G (SAG (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (Gδ )−1 S Gδ (SAG unip (V ), (f ⊗ dg)δ ).

˜

˜

792

Chapitre VII. Descente globale

Gδ δ Puisque Gδ est un tore, on a SAG unip (V ) = Aunip (V ). Ecrivons (f ⊗ dg)δ = ϕ ⊗ dx. D’après [VI] 2.2, on a δ I Gδ (AG unip (V ), ϕ ⊗ dx) = mes(AG Gδ (F )\Gγ (AF ))ϕ(1).

Il résulte de la définition de l’application de descente que  f (g −1 δ  g) dg. ϕ(1) = δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

En mettant ces calculs bout à bout, on obtient (1).



Comme on l’expliquera en 4.1, si la mesure dx et la mesure sur AG sont les mesures de Tamagawa, on a l’égalité mes(AG Gδ (F )\Gδ (AF )) = τ (Gδ ). Alors la formule (1) se simplifie en  ˜ ˜ G G S (SA (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G) f (g −1 δ  g) dg. δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

On retrouve ainsi les formules de [48] et [53].

VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . On définit l’ensemble ˜ V )) de la même façon qu’en 3.3. Il est vide si (G, G, ˜ a) n’est pas Stabexcep(G(F ˜ a) est l’un de ces triplets, l’un des triplets définis en [III] 6.2. Si (G, G, ˜ V )) Stabexcep(G(F ˜ V ) d’éléments ηV = (ηv )v∈V ∈ paramètre les classes de conjugaison stable dans G(F ˜ Gss (FV ) tels que, pour tout v ∈ V , il existe une paire de Borel épinglée Ev de G ˜ V )) est en définie sur Fv de sorte que adηv conserve Ev . L’ensemble Stabexcep(G(F  Γ ˜ Fv . C’est un ensemble fini. bijection avec v∈V Z(G) Proposition. (i) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème 1.10(i) pour ˜ )). X ∈ Stabexcep(G(F (ii) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème [VI] 5.4 pour toute classe ˜ ss (FV )/ st-conj qui est paramétrée par un élément de Stab(G(F ˜ V )) OV ∈ G ˜ qui n’appartient pas à Stabexcep(G(FV )).

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

793

˜ a) n’est pas quasi-déployé et à torsion inPreuve. On peut supposer que (G, G, térieure, sinon les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 sont tautologiques. Soit X ∈ ˜ )), supposons d’abord S(X ) ⊂ V . Comme dans ˜ )) − Stabexcep (G(F Stab(G(F le paragraphe précédent, les hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le théorème 3.2, cette fois pour tout G . Alors l’égalité du théorème 3.3 devient   ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). AG (V, X , ω) = i(G, ˜ G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G (F ));X  →X

En comparant avec 1.10(3), on obtient ˜

˜

AG (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω). Cela démontre le théorème 1.10(i) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Celle-ci disparaît grâce au corollaire 2.5. Cela prouve (i). ˜ )) → Stab(G(F ˜ V )) envoie Stabexcep(G(F ˜ )) dans L’application Stab(G(F ˜ V )). Pour une classe OV qui est paramétrée par un élément de Stabexcep(G(F ˜ V )) qui n’est pas exceptionnel, les X qui interviennent dans les formules Stab(G(F (i) et (ii) de la proposition 1.12 ne sont donc pas exceptionnels. Le théorème 1.10(i) déjà démontré pour les éléments non exceptionnels implique que les membres de droite de ces deux formules sont égaux. D’où l’égalité des membres de gauche, ce qui est l’assertion du théorème [VI] 5.4. 

VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i) et étend le théorème 3.3 A la fin du présent chapitre, nous aurons démontré le théorème 3.3, avec ses conséquences décrites dans les deux paragraphes précédents. Nous compléterons ultérieurement la preuve du théorème [VI] 5.4, c’est-à-dire nous le démontre˜ V )). rons pour les classes OV paramétrées par des éléments de Stabexcep(G(F Montrons que cela suffira pour compléter la preuve du théorème 1.10(i). Soit ˜ )). Si X n’est pas exceptionnel, on a vu ci-dessus que l’assertion X ∈ Stab(G(F ˜ )). du théorème 1.10(i) résultait du théorème 3.3. Supposons X ∈ Stabexcep(G(F Cet élément paramètre une classe de conjugaison stable O. Il s’envoie sur un ˜ V )), qui paramètre la classe OV . En général, l’appliélément XV ∈ Stabexcep(G(F ˜ ˜ V )) n’est pas injective. Mais ici, la fibre de cette cation Stab(G(F )) → Stab(G(F application au-dessus de XV est réduite à {X }. En effet, le défaut d’injectivité est dû au fait qu’un cocycle ωG¯ n’est pas toujours déterminé par ses restrictions ˜ ΓF . ωG,v pour v ∈ V . Ici, X est l’image d’un couple (μ, ωG¯ ) tel que μ ∈ Z(G) ¯ θ∗  On a W (μ) = W tout entier et tout cocycle ωG¯ complétant μ en un élément  ˜ (μ, ωG ¯ ) ∈ Stab(G(F )) est forcément trivial. Les assertions (i) et (ii) de la proposition 1.12 se réduisent aux égalités ˜

˜

AG (V, OV , ω) = AG (V, X , ω), ˜

˜

AG,E (V, OV , ω) = AG,E (V, X , ω).

794

Chapitre VII. Descente globale

Le théorème [VI] 5.4 affirme l’égalité des deux membres de gauche. D’où l’égalité des membres de droite, ce qui est l’assertion du théorème 1.10(i). Sous la même hypothèse, l’égalité du théorème 3.3 est valable pour tout ˜ )). En effet, comme dans le paragraphe précédent, le membre de X ∈ Stab(G(F ˜ droite de cette égalité est égal à AG,E (V, X , ω). Le théorème 1.10(i) affirme que ce ˜ G terme est égal à A (V, X , ω).

VII.3.7 Quelques cas faciles ˜ )) et V contenant S(X ). On considère les hypothèses suiSoient X ∈ Stab(G(F vantes : ˜ ; (1) V contient S(X , K) (2) X est elliptique ; ˜ v )) appartient à (3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab(G(F ˜v G l’image de l’application χ ; ¯ AF ) sont triviales. (4) les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et à Z(G; Lemme. Si l’une de ces hypothèses n’est pas satisfaite, l’égalité du théorème 3.3 est vérifiée, les deux membres étant nuls. ˜

Preuve. Les assertions 1.9 (1), (2) et (3) nous disent que AG (V, X , ω) = 0 si (1), ˜ resp (2), (4), n’est pas vérifiée. On a aussi AG (V, X , ω) = 0 par définition si (3) ˜ n’est pas vérifiée car a fortiori X n’est pas dans l’image de χG . Considérons maintenant le membre de droite de l’égalité . Soient G et X  y  intervenant. Supposons transfert(SAG (V, X  )) = 0. On va prouver que les conditions (1) à (4) sont alors vérifiées. Les relations 1.7(3) et (4) nous disent que ˜ − S(X ) ⊂ S(X  , K ˜  ) − S(X  ). La non-nullité de S(X  ) ⊂ S(X ) ⊂ V et S(X , K) G   ˜ SA (V, X ) entraîne S(X , K ) ⊂ V d’après 3.2(2). Ces inclusions entraînent (1). De même, 3.2(2) implique que X  est elliptique, d’où (2) d’après 1.7(2). Notons ˜  (F ) associée à X  . Puisque SAG (V, X  ) O la classe de conjugaison stable dans G ˜  (FV ) engendrée par est à support dans la classe de conjugaison stable OV dans G  O , la non-nullité de transfert(SAG (V, X  )) entraîne que cette classe correspond ˜ V ). D’après le lemme 1.8, il existe à une classe de conjugaison stable dans G(F ˜ pour tout v ∈ V une classe Ov ∈ Gss (Fv )/ st-conj qui corresponde à Ov et dont ˜ ˜ v )). Puisqu’on a déjà prouvé que l’image par χGv soit l’image de X dans Stab(G(F (1) était vérifiée, le lemme 1.8(2) entraîne la même propriété pour v ∈ V . Cela entraîne (3). Cela entraîne aussi que, pour toute place v, on peut fixer un dia˜  (Fv ) et η ∈ Ov . D’après [48] gramme (, B  , T  , B, T, η) défini sur Fv , avec  ∈ G ss θ,0 lemme 4.4.C, ω est trivial sur T (Fv ). A fortiori ω est trivial sur le sous-groupe ¯ Fv ) soit Z(Gη ; Fv ) ⊂ T θ,0(Fv ). Cela équivaut à ce que la restriction de ω à Z(G; triviale. Enfin, l’existence de G entraîne que ω est trivial sur Z(G; AF )θ (cf. par exemple [I] lemme 2.7). Cela vérifie la condition (4). 

VII.4. Distributions à support unipotent

795

VII.4 Distributions à support unipotent VII.4.1 Mesures de Tamagawa Dans ce paragraphe, G est un groupe réductif connexe défini sur F . Pour toute place finie v de F , on note ov l’anneau des entiers de Fv , pv son idéal maximal et Fv le corps résiduel. Pour toute place v ∈ Val(F ), on munit Fv d’une mesure de Haar de sorte que mes(ov ) = 1 pour presque toute place finie v. Le produit de ces mesures est une mesure sur AF . On suppose que mes(AF /F ) = 1. Fixons une forme différentielle de degré maximal sur g, définie sur F et non nulle. Pour toute place v, on déduit de cette forme différentielle et de la mesure sur Fv une mesure dXv sur g(Fv ). Rappelons que l’ensemble des mesures de Haar sur g(Fv ) s’identifie à celui des mesures de Haar sur G(Fv ) : deux mesures se correspondent si et seulement si le jacobien de l’application exponentielle, calculé pour ces mesures, vaut 1 au point 0 ∈ g(Fv ). On a donc aussi une mesure dgv sur G(Fv ). Fixons un ensemble fini V de places de F , contenant les places archimédiennes, de sorte que G soit non ramifié hors de V . Notons ρG la représentation de ΓF dans X ∗ (G)⊗Z C. On note Lv (ρG , s) sa fonction L en la place v et LV (ρG , s) sa fonction L partielle hors de V . Notons r l’ordre du pôle en 1 de la fonction LV (ρG , s) et posons VG = lim (s − 1)r LV (ρG , s). s→1

La mesure de Tamagawa sur G(AF ) est par définition égale à     (VG )−1 Lv (ρG , 1)dgv ⊗ dgv , v∈V

v∈V

ce produit étant convergent. Conformément à nos définitions de [VI] 1.1, il se déduit de la mesure de Tamagawa sur G(AF ) une mesure dgVT am sur G(FV ). En effet, fixons pour tout v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ). On a une mesure canonique dgvcan sur G(Fv ) telle que la mesure de Kv soit 1. Alors dgVT am est la mesure telle que dgVT am ⊗ ⊗v∈V dgvcan soit la mesure de Tamagawa sur G(AF ). D’une façon générale, si X est un ensemble muni d’une mesure dx et si Y est un sous-ensemble mesurable de X, notons mes(Y, dx) la mesure de Y . La définition entraîne que dgVT am est égale à   V −1 (1) (G ) Lv (ρG , 1) mes(Kv , dgv ) dgv . v∈V

v∈V

Soit v ∈ V . On sait qu’à Kv est associé un schéma en groupes Kv sur ov . On note kv le groupe des points sur ov de son algèbre de Lie. C’est une sous-ov -algèbre de g(Fv ). On note Kv la fibre résiduelle de Kv . On a un homomorphisme surjectif Kv → Kv (Fv ) dont on note Kv1 le noyau. Alors l’exponentielle se restreint en un

796

Chapitre VII. Descente globale

isomorphisme pv kv → Kv1 qui préserve les mesures. La formule précédente se récrit sous la forme suivante : notre mesure dgVT am sur G(FV ) est égale à   V −1 (2) (G ) Lv (ρG , 1)|Kv (Fv )| mes(pv kv , dXv ) dgv . v∈V

v∈V

Jusqu’à la fin du chapitre, pour tout groupe G et tout ensemble V de places comme ci-dessus, on munit G(AF ) et G(FV ) des mesures de Tamagawa. Cela nous débarrasse des espaces de mesures. On a aussi besoin d’une mesure sur AG . Rappelons la normalisation habituelle dans le cadre des mesures de Tamagawa. Identifions AG à Hom(X ∗ (G)ΓF , R), où X ∗ (G) est le groupe des caractères algébriques de G. On définit le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF , Z). La mesure «de Tamagawa» sur AG est celle pour laquelle ce réseau est de covolume 1. Si on munit G(AF ) de la mesure de Tamagawa et que l’on choisit cette mesure sur AG , on sait que la mesure de AG G(F )\G(AF ) est égale au terme τ (G) défini en 3.2. Mais cette normalisation est peu commode. Par exemple, elle n’est pas compatible avec la situation de 4.2(2) ci-dessous. On fixe donc la mesure sur AG sans supposer qu’il s’agit de la mesure de Tamagawa. On note covol(AG,Z ) le covolume de ce réseau et τ  (G) la mesure de AG G(F )\G(AF ) calculée à l’aide de notre mesure sur AG . On a alors l’égalité (3)

τ  (G) = covol(AG,Z )−1 τ (G).

VII.4.2 Compatibilité des mesures Considérons les deux situations suivantes. (1) On se donne une suite exacte 1 → C1 → G1 → G → 1 de groupes réductifs connexes définis sur F , où C1 est un tore central induit. On a une suite exacte 1 → AC1 → AG1 → AG → 1. On suppose qu’elle est compatible aux mesures. On fixe un ensemble fini V de places de F tel que les trois groupes soient non ramifiés hors de V . (2) On se donne une suite exacte 1 → Ξ → G1 × G2 → G → 1 où G1 , G2 et G sont des groupes réductifs connexes définis sur F et Ξ est un sous-groupe fini central de G1 × G2 . On fixe un ensemble fini V de places

VII.4. Distributions à support unipotent

797

de F tel que G1 , G2 et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à p pour tout nombre premier p divisant une place hors de V . Lemme. (i) Dans la situation (1), la suite exacte 1 → C1 (FV ) → G1 (FV ) → G(FV ) → 1 est compatible aux mesures. On a l’égalité τ  (G1 ) = τ  (C1 )τ  (G). (ii) Dans la situation (2), le revêtement G1 (FV ) × G2 (FV ) → G(FV ) préserve localement les mesures. Preuve. On effectue les constructions du paragraphe précédent en adaptant les notations de façon évidente. Considérons la situation (1). Fixons un isomorphisme d’algèbres de Lie g1 = c1 ⊕ g. On fixe des formes différentielles de degré maximal sur c1 et g, définies sur F et non nulles. Par produit tensoriel, on en déduit une telle forme sur g1 . Pour chaque place v, on associe à ces formes des mesures de Haar sur C1 (Fv ), G1 (Fv ) et G(Fv ) comme dans le paragraphe précédent. La suite 1 → C1 (Fv ) → G1 (Fv ) → G(Fv ) → 1 est compatible à ces mesures. On a aussi ρG1 = ρC1 ⊕ ρG . On en déduit que la suite 1 → C1 (AF ) → G1 (AF ) → G(AF ) → 1 est compatible aux mesures de Tamagawa. La dernière assertion du (i) résulte alors de [68] théorème 5.3 (dont l’énoncé se simplifie grâce à l’hypothèse que C1 est induit). Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial KC1 ,v de C1 (Fv ) est unique et on peut choisir des sous-groupes compacts hyperspéciaux dans G1 (Fv ) et G(Fv ) qui fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe G1,AD = GAD . Alors la suite 1 → KC1 ,v → K1,v → Kv → 1 est exacte. Le théorème de Lang entraîne que la suite déduite 1 → KC1 ,v (Fv ) → K1,v (Fv ) → Kv (Fv ) → 1 est exacte. La suite 0 → kC1 ,v → k1,v → kv → 0

798

Chapitre VII. Descente globale

est aussi exacte. De ces deux faits, on déduit par un argument familier que la suite 1 → KC1 ,v → K1,v → Kv → 1 est aussi exacte. D’après la compatibilité des mesures, on a mes(KC1 ,v , dc1,v ) mes(K, dg) = mes(K1 , dg1 ). La première assertion de (i) résulte alors de la formule (1) du paragraphe précédent. Considérons la situation (2). On a un isomorphisme g1 ⊕ g2  g. On peut supposer que la forme différentielle fixée sur g est le produit des formes différentielles fixées sur g1 et sur g2 . Pour toute place v, l’isomorphisme g1 (Fv ) ⊕ g2 (Fv )  g(Fv ) est alors compatible aux mesures déduites de ces formes. Donc le revêtement G1 (Fv ) × G2 (Fv ) → G(Fv ) préserve localement ces mesures. Pour prouver le (ii) du lemme, il suffit de prouver que la constante figurant dans la formule (2) du paragraphe précédent pour G est le produit des constantes pour G1 et pour G2 . On a l’égalité ρG = ρG1 ⊕ ρG2 , les constantes provenant des fonctions L sont donc compatibles. Soit v ∈ V . On peut de nouveau supposer que les sous-groupes hyperspéciaux de G1 (Fv )×G2 (Fv ) et de G(Fv ) fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe GAD . L’hypothèse que |Ξ| est premier à la caractéristique résiduelle de Fv entraîne que l’on a l’égalité kv = k1,v ⊕ k2,v et que la suite 1 → Ξ → K1,v × K2,v → Kv → 1 est exacte. L’égalité ci-dessus entraîne (1)

mes(pv kv ) = mes(pv k1,v ) mes(pv k2,v ).

La suite exacte ci-dessus, jointe au théorème de Lang, entraîne l’exactitude de la suite nr 1 → ΞΓv → K1,v (Fv ) × K2,v (Fv ) → K(Fv ) → H 1 (Γnr v ; Ξ) → 1. On vérifie facilement l’égalité nr

|ΞΓv | = |H 1 (Γnr v ; Ξ)| qui est valable pour tout Γnr v -module abélien fini Ξ. D’où (2)

|K1,v (Fv ) × K2,v (Fv )| = |K(Fv )|.

Les égalités (1) et (2) entraînent l’égalité requise des constantes.



VII.4. Distributions à support unipotent

799

VII.4.3 Coefficients et revêtement ˜ a) tel que G ˜ = G. Mais Dans la suite de cette section, on considère un triplet (G, G, on n’impose pas que a = 1. On impose toutefois que ω est trivial sur Z(G; AF ). On ˜ v = Kv pour tout v ∈ Vram . On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un suppose K groupe réductif connexe G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G. Ces trois données sont définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q par l’identité sur Z. On obtient ainsi un homomorphisme noté q : G → G. On suppose qu’il s’inscrit dans une suite exacte q

1 → Ξ → G → G → 1 où Ξ est un sous-groupe fini central. On suppose que ω est trivial sur q(G (AF )). On fixe un ensemble fini V de places de F tel que G et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à tout nombre premier divisant une place v ∈ V . Exemple. On peut prendre Z = Z(G)0 , G = GSC et V ⊃ Vram . Ces données vérifient les conditions ci-dessus. On note Ξ la projection de Ξ dans G . Pour toute place v ∈ V , fixons un voisinage ouvert Ω,v de 1 dans G (Fv ). On suppose que x appartient à Ω,v si et seulement si la partie semi-simple de x appartient à Ω,v . On suppose que, si x et x sont deux éléments de G (Fv ) qui sont conjugués par un élément de G (F¯v ), alors x ∈ Ω,v si et seulement si x ∈ Ω,v . On suppose enfin que, si ξ ∈ Ξ(Fv ) est différent ∩ ξΩ,v = ∅. On pose Ωv = q (Z(Fv ) × Ω,v ). On pose  de 1, alors Ω,v  ΩV = v∈V Ωv , Ω,V = v∈V Ω,v . Fixons un ensemble de représentants UV du quotient fini q (G (FV ))\G(FV ). Pour f ∈ Cc∞ (ΩV ) et u ∈ UV , on définit la fonction (u f )G sur Ω,V par (u f )G (x) = f (u−1 q(x)u) pour tout x ∈ Ω,V . On pose (1)

ιG ,G (f ) = |UV |−1



ω(u)(u f )G .

u∈UV

Cette application est le produit sur les places v ∈ V de celles que l’on a définies et étudiées en [III] 3.1. Elle dépend du choix de UV , mais il s’en déduit une application ιG ,G : I(ΩV , ω) → I(Ω,V ) qui n’en dépend pas (les notations sont celles de [III] 3.1, adaptées à un ensemble fini de places). Elles sont aussi compatibles, en un sens facile à préciser, à un changement de voisinage Ω,V . Il s’en déduit dualement un homomorphisme Dg´eom (Ω,V ) → Dg´eom (ΩV , ω).

800

Chapitre VII. Descente globale

Celui-ci se restreint en un homomorphisme ι∗G ,G : Dunip(G (FV )) → Dunip (G(FV ), ω). On a fixé les mesures en 4.1, la distribution AG unip (V, ω) est donc un élément de Dunip (G(FV ), ω). Elle dépend de la mesure fixée sur AG , mais τ  (G)−1 AG unip (V, ω)  V n’en dépend pas. Elle dépend du groupe K = v∈V Kv . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. Pour le groupe G et pour v ∈ V , on choisit pour sous-groupe hyperspécial K,v de G (Fv ) le groupe tel que K,v et Kv fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe GAD . Autrement dit K,v = q −1 (Kv ). Soit S un sous-ensemble fini de places de F contenant V . Choisissons un ensemble de représentants USV du quotient q (G (FSV )\G(FSV ). Pour u = (uv )v∈S−V ∈ USV , posons     u V −1 K = K,v uv K,v uv . v∈S

Posons

V −1  AG unip;G,ω,S (V ) = |US |

v∈S−V



u V  ω(u)AG unip (V, K  ).

V u∈US

Cela ne dépend pas du choix de l’ensemble de représentants. Proposition. Si l’ensemble S est assez grand, la distribution τ  (G)−1 AG unip (V, ω)  (V ). est l’image par l’homomorphisme ι∗G ,G de τ  (G )−1 AG unip;G,ω,S

VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3 On doit commencer par quelques préliminaires. De tout Levi M de G se déduisent des Levi M = q−1 (M ) et M = q −1 (M ) de G et G . Pour v ∈ Val(F ), on pose K,v = q −1 (Kv ) et K,v = q−1 (Kv ). On note KvM = M (Fv ) ∩ Kv . On rappelle que l’on a fixé un Levi minimal M0 . On a l’égalité q (M0, (Fv ))\M0 (Fv ) = q (G (Fv ))\G(Fv ). On fixe un ensemble de représentants Uv de ce quotient, contenu dans M0 (Fv ). Considérons un ensemble fini S de places de F , contenant V et tel que : (1) pour tout M ∈ L(M0 ), on a les égalités M (AF ) = M (F )(M (FS ) × K M,S ), M (AF ) = M (F )(M (FS ) × KM ,S ).

VII.4. Distributions à support unipotent

801

Cette condition est vérifiée si S est assez grand. On va prouver l’assertion de la proposition pour un tel S. On pose US = v∈S Uv . Soit ϕ une fonction intégrable sur G(F )AG \G(AF ). On suppose qu’elle est invariante à droite par Z(G)0 (AF )K S . Montrons qu’on a l’égalité ϕ(g) dg τ  (G)−1 AG G(F )\G(AF ) (2)  = τ  (G )−1 |US |−1 ϕ(q(x)u) dx. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Preuve. On commence par faire un calcul à des constantes multiplicatives près, étant entendu que ces constantes ne dépendent pas de ϕ. Notons Δ la projection dans G(FS ) de G(F ) ∩ (G(FS ) × K S ) et définissons de même Δ . En vertu de (1) et de l’invariance de ϕ par K S , on a l’égalité ϕ(g) dg = ϕ(g) dg. AG G(F )\G(AF )

AG Δ\G(FS )

On montrera ci-dessous que (3) q (Δ ) est d’indice fini dans Δ. Il existe donc c1 > 0 tel que l’intégrale précédente soit égale à ϕ(g) dg. c1 AG q (Δ )\G(FS )

Les hypothèses entraînent que AG = q (AG ). Puisque G(FS ) = u∈US q (G (FS ))u, on peut décomposer l’intégrale précédente en  ϕ(gu) dg. c1 u∈US

q (AG Δ )\q (G (FS ))

Puisque G (FS ) → q (G (FS )) est un honnête revêtement, il existe une constante c2 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à  ϕ(q (y)u) dy. c2 u∈US

AG Δ \G (FS )

En utilisant (1) et l’invariance de la fonction à intégrer par KS , on peut reconstituer cette expression comme  c2 ϕ(q (y)u) dy. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Les intégrales se décomposent en produit d’intégrales sur z ∈ AZ Z(F )\Z(AF ) et sur x ∈ AG G (F )\G (AF ). D’après l’hypothèse d’invariance de ϕ, la fonction à

802

Chapitre VII. Descente globale

intégrer est constante en z. Puisque le volume de AZ Z(F )\Z(AF ) est fini, il existe c3 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à  c3 ϕ(q(x)u) dx. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Cela démontre l’égalité (2), au calcul près de la constante c3 . Pour calculer celle-ci, il suffit d’appliquer la relation obtenue à la fonction ϕ constante de valeur 1.  Preuve de (3). On peut définir vol(AG q (Δ )\G(FS )) =

dg AG q (Δ )\G(FS )

ce terme pouvant valoir +∞. L’assertion (3) équivaut à dire que ce volume est fini. On reprend le calcul ci-dessus en l’appliquant à la fonction ϕ constante de valeur 1. Il montre que vol(AG q (Δ )\G(FS )) est le produit d’une constante finie et de vol(AG G (F )\G (AF )). On sait bien que ce dernier volume est fini. Donc  vol(AG q (Δ )\G(FS )) l’est aussi et (3) est vérifiée. Soit f ∈ Cc∞ (G(AF )). Rappelons qu’en [VI] 2.1, pour un paramètre T ∈ AM0 T dans un certain cône, on a défini une fonction g → kunip (f, g) sur Z(G; AF )\G(AF ), puis l’intégrale T T (f, ω) = kunip (f, g)ω(g) dg. Junip AG G(F )\G(AF )

G Cette expression est asymptote à un polynôme en T , dont on note Junip (f, ω) la valeur enun certain point T0 . Tous ces objets, y compris le point T0 , dépendent de K = v∈Val(F ) Kv . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. En appliquant (2), on obtient T (f, ω) τ  (G)−1 Junip 

−1

= τ (G )

|US |

−1

 u∈US

AG G (F )\G (AF )

T kunip (f, q(x)u)ω(u) dx

puisque ω est trivial sur q (G (AF )). Pour tout u ∈ US , on pose u K = uK u−1 et on définit une fonction (u f )G sur G (AF ) par (u f )G (x) = f (u−1 q(x)u). En reprenant les définitions de [55], on voit qu’on a l’égalité G ,T −T0 +T0 (u K )

 T kunip (f, q(x)u) = kunip

((u f )G , x, u K  ).

On en déduit l’égalité (4)

G τ  (G)−1 Junip (f, ω) = τ  (G )−1 |US |−1

 u∈US

G ω(u)Junip ((u f )G , u K  ).

VII.4. Distributions à support unipotent

803

Supposons maintenant f = fV ⊗ 1K V , pour fV ∈ Cc∞ (ΩV ). En posant UV =  V V v∈V Uv et US = v∈S−V Uv , on a US = UV × US . Pour u ∈ US , que l’on écrit  u = u u , avec u ∈ UV et u ∈ USV , on a (u f )G = (u fV )G ⊗ 1u KV , avec des notations naturelles. Pour le membre de gauche de (4), on peut utiliser le développement [VI] 2.2(1) relatif à K V . Pour le terme indexé par u du membre de droite, on utilise le même développement relatif à u KV . On obtient l’égalité  (5) |W M ||W G |−1 XM = 0, 

M∈L(M0 )

où

G  −1 (AM |US |−1 XM = τ  (G)−1 JM unip (V, ω), fV ) − τ (G )    G u M ,V  ω(u)JM (AM K ), (u fV )G , u K ,V ). unip (V,  u∈US

Avec la définition de 4.3, on récrit G  −1 (AM |UV |−1 XM = τ  (G)−1 JM unip (V, ω), fV ) − τ (G )  G u u  ω(u)JM (AM unip;M,ω,S (V ), ( fV )G , K ,V ).  u∈UV

Soit M ∈ L(M0 ). Les distributions et intégrales orbitales pondérées intervenant dépendent de mesures sur AG , AM , AG et AM . L’homomorphisme q définit un isomorphisme de AM /AG sur AM /AG . On peut supposer que cet isomorphisme préserve les mesures. Pour tout γ ∈ Dunip (M (FV )), on a alors l’égalité  G G ∗ (ιM ,M (γ), ω, fV ) = |UV |−1 ω(u)JM (γ, (u fV )G , u K ,V ). (6) JM  u∈UV

En effet, on a vu l’égalité analogue dans le cas local en [III] 3.3. Pour obtenir (5), on peut soit reprendre la preuve de ce cas local, soit utiliser les formules de scindage habituelles. On laisse les détails au lecteur. Pour M = G, on peut utiliser la proposition 4.3 par récurrence : pour γ = ∗  −1 M  Aunip (V, ω) (notons que la τ  (M )−1 AM unip;M,ω,S (V ), on a ιM ,M (γ) = τ (M ) condition (1) imposée à S implique la même condition quand on remplace G par M ). En utilisant (6), on transforme XM en G (AM (τ  (G)−1 − τ  (G )−1 τ  (M )−1 τ  (M ))JM unip (V, ω), fV ).

On montrera ci-dessous que (7)

τ  (G)−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ).

On obtient alors XM = 0 pour tout Levi M = G. L’égalité (5) entraîne alors XG = 0. D’après les définitions, cela signifie que  −1 G  τ  (G)−1 I G (AG I (AG unip (V, ω), fV ) = τ (G ) unip;G,ω,S (V ), ιG ,G (fV )),

804

Chapitre VII. Descente globale

ou encore  −1 G ∗  τ  (G)−1 I G (AG I (ιG ,G (AG unip (V, ω), fV ) = τ (G ) unip;G,ω,S (V )), fV ).

Cela étant vrai pour tout fV ∈ Cc∞ (ΩV ), on en déduit  −1 ∗  τ  (G)−1 AG ιG ,G (AG unip (V, ω) = τ (G ) unip;G,ω,S (V )),

ce qui prouve la proposition 4.3. Il reste à prouver (7). Puisque G , resp. M , est le produit de Z et de G , resp. M , on a τ  (G )−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ). On peut aussi bien démontrer l’égalité (8)

τ  (G)−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ).

Rappelons que l’on a identifié AG à Hom(X ∗ (G)ΓF , R) et que l’on a défini le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF , Z). On a une injection X ∗ (G)ΓF → X ∗ (M )ΓF . Son conoyau est sans torsion. En effet, si on introduit un tore maximal T ⊂ M , ce conoyau est l’image de l’homomorphisme naturel X ∗ (M )ΓF → X ∗ (Tsc )ΓF , où, comme toujours, Tsc est l’image réciproque de T dans GSC . De l’injection précédente se déduisent des homomorphismes AM → AG et AM,Z → AG,Z . Le premier est trivialement surjectif. Le second est lui aussi surjectif, parce que le conoyau de l’injection X ∗ (G)ΓF → X ∗ (M )ΓF est sans torsion. En notant AG M et AG les noyaux de ces homomorphismes, on obtient une suite exacte M,Z G 0 → AG M /AM,Z → AM /AM,Z → AG /AG,Z → 0 .

Donc

−1 covol(AM,Z )−1 covol(AG,Z ) = covol(AG . M,Z )

En se rappelant la définition de 4.1, on obtient −1 τ  (G)−1 τ  (M ) = τ (G)−1 τ (M ) covol(AG . M,Z )

ˆ = ker1 (F, Z(M ˆ )). L’égalité préOn a démontré en [VI] 6.1 l’égalité ker1 (F, Z(G)) cédente se récrit donc (9)

−1 ˆ ΓF )|−1 |π0 (Z(M ˆ )ΓF )| covol(AG τ  (G)−1 τ  (M ) = |π0 (Z(G) . M,Z )

On a bien sûr une relation analogue pour G et M . On a un diagramme commutatif (10)

X ∗ (G)ΓF ↓ X ∗ (G )ΓF

→ →

X ∗ (M )ΓF ↓ X ∗ (M )ΓF

VII.4. Distributions à support unipotent

805

dont les flèches sont injectives. Les flèches verticales sont de conoyaux finis. On en déduit un diagramme d’isomorphismes 1 →

AG M 

1 → AG M

→

AM  → AM

→ →

AG  AG

→ 1 → 1

et un diagramme commutatif 1 1

→

AG M,Z ↑

→ AG M ,Z ↑ 1

→

AM,Z ↑ → AM ,Z ↑ 1

→

AG,Z ↑ → AG ,Z ↑ 1.

→ 1 → 1

G Les suites ci-dessus sont exactes. On les complète en notant BM , BM et BG les conoyaux des suites verticales. Ils sont finis et on a la suite exacte G → BM → BG → 1. 1 → BM G

On a normalisé les mesures de sorte que l’isomorphisme AG M → AM les conserve. On en déduit G G

covol(AG M ,Z ) = covol(AM,Z )|BM |,

d’où aussi (11)

G −1

covol(AG |BM |. M ,Z ) = covol(AM,Z )|BG |

ˆ 0 ). Dualement au diagramme (10), on a un diaOn sait que X ∗ (G)  X∗ (Z(G) gramme commutatif ˆ ΓF ,0 → Z(M ˆ )ΓF ,0 Z(G) ↓ ↓ ˆ  )ΓF ,0 → Z(M ˆ  )ΓF ,0 . Z(G Les flèches horizontales sont injectives. Les flèches verticales sont surjectives. On ˆG et B ˆM . Remarquons que, puisque G ˆ et G ˆ  ont même groupe note leurs noyaux B ˆ  )ΓF ˆ  )ΓF ,0 ∩Z(G adjoint, l’image réciproque par la deuxième flèche verticale de Z(M Γ ,0 Γ ˆ ) F ∩ Z(G) ˆ F . Remarquons aussi que le quotient n’est autre que Z(M ˆ ΓF ,0 \(Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) Z(G) ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ). On n’est autre que le groupe des composantes connexes π0 (Z(M

806

Chapitre VII. Descente globale

obtient alors un diagramme commutatif 1 1 1 ↓ ↓ ↓ ˆG ˆM ˆG → B → B →1 1 → B M ↓ ↓ ↓ ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF → π0 (Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) → 1 ˆ ΓF ,0 → Z(M 1 → Z(G) ↓ ↓ ↓ ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → π0 (Z(M ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF ) → 1 ˆ  )ΓF ,0 → Z(M 1 → Z(G ↓ ↓ ↓ 1 1 1 ˆ G est défini comme le noyau de la dernière suite verticale. Les lignes verticales où B M sont exactes. Les deux dernières lignes horizontales aussi. Donc la première ligne horizontale aussi. Revenons à la définition de BG , qui est le conoyau de l’homomorphisme AG ,Z → AG,Z . Par dualité, |BG | est aussi le nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme X ∗ (G)ΓF → X ∗ (G )ΓF . En vertu de l’isomorphisme X ∗ (G)  ˆ 0 ) et de l’isomorphisme analogue pour G , on voit que BG a même nombre X∗ (Z(G) ˆM . D’après ˆG . De même, BM a même nombre d’éléments que B d’éléments que B le diagramme ci-dessus, on obtient ˆ G | = |π0 (Z(M ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF )|. |BG |−1 |BM | = |B M On a la suite exacte ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) → π0 (Z(M ˆ )ΓF ) → π0 (Z(G) ˆ ΓF ) → 1. 1 → π0 (Z(M D’où l’égalité ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G ˆ  )ΓF )||π0 (Z(M ˆ )ΓF )||π0 (Z(G) ˆ ΓF )|−1 . |BG ||BM |−1 = |π0 (Z(M En insérant cette égalité dans (11) et en utilisant (9) ainsi que la relation analogue  pour G , on obtient (8). Cela achève la démonstration.

VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement On a étudié cette question dans le cas local en [III] 3.6 et 3.7 et en [V] 3.3. On se contente ici de reprendre brièvement les constructions dans notre cadre global. On suppose G quasi-déployé et a = 1. Comme on l’a vu en [III] 3.5, l’homomorphisme ιG ,G : Cc∞ (ΩV ) → Cc∞ (Ω,V ) de 4.3 se quotiente en un homomorphisme ιG ,G : SI(ΩV ) → SI(Ω,V ). Il est plus commode de noter cet homomorphisme ιG ,G : SI(G(FV )) → SI(G (FV )), étant entendu qu’il n’est défini que sur

VII.4. Distributions à support unipotent

807

les fonctions à support assez voisin de l’origine. Dualement, on a un homomorst st phisme Dg´ eom (G (FV )) → Dg´ eom (G(FV )), défini sur les distributions à support voisin de l’origine. Il se restreint en un homomorphisme st st (G (FV )) → Dunip (G(FV )). ι∗G ,G : Dunip st C’est aussi la restriction à Dunip (G (FV )) de l’homomorphisme ι∗G ,G défini en 4.3. Dualement à la suite exacte

1 → Ξ → Z × G → G → 1, on a une suite exacte ˆ → Zˆ × G ˆ  → 1, ˆ → G 1→Ξ ˆ Soit G = (G , G  , s) une donnée ˆ  est un sous-groupe fini central de G. où Ξ ˆ ˆ  . En endoscopique de G. L’élément s ∈ G s’envoie sur un élément (z, s ) ∈ Zˆ × G  ˆ notant G la composante neutre de ZG (s ), on a la suite exacte (1)

ˆ → G ˆ  → Zˆ × G ˆ  → 1. 1→Ξ

ˆ  contient Zˆ donc est de la forme Zˆ × G , où G est un sous-groupe Le groupe G  /Ξ L ˆ  . On introduit un groupe de G . Ce groupe définit une action galoisienne sur G   ˆ quasi-déployé G sur F dont G soit le groupe dual. Alors G = (G , G , s ) est une donnée endoscopique de G . En [I] 2.7, on a associé à une telle donnée un caractère de G,AD (AF ) noté alors ω et que nous noterons ici ω . Remarque. Dans cette référence, le corps de base était local mais la construction vaut aussi bien sur notre corps de nombres. Rappelons que G,AD = GAD . Pour la donnée que l’on vient de construire, on a (2) la restriction de ω à l’image de G(AF ) dans GAD (AF ) est triviale. Inversement, soit G = (G , G , s ) une donnée endoscopique de G . On fixe ˆ  . On note G  l’image réciproque de ˆ de (1, s ) ∈ Zˆ × G une image réciproque s ∈ G  L ˆ ˆ Z ×G dans G. Ce groupe agit sur Gs et munit ce groupe d’une action galoisienne. ˆ s est le groupe dual. Le On introduit un groupe G quasi-déployé sur F dont G   triplet (G , G , s) est une donnée endoscopique pour G muni d’un certain cocycle a. C’est une donnée endoscopique pour G, c’est-à-dire ce cocycle est trivial, si et seulement si la condition (2) est vérifiée. Ces constructions définissent des bijections inverses l’une de l’autre entre les classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et les classes d’équivalence de données endoscopiques pour G vérifiant (2). Ces bijections préservent l’ellipticité et la non-ramification hors de V . On a fixé des ensembles de représentants E(G, V ) et E(G , V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et G qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . On note EG (G , V ) le sousensemble des éléments de E(G , V ) qui vérifient la condition (2). Les ensembles E(G, V ) et EG (G , V ) sont en bijection.

808

Chapitre VII. Descente globale

Considérons une donnée G = (G , G  , s) et la donnée G = (G , G , s ) construite ci-dessus. Dualement à la suite (1), on a la suite exacte q

1 → Ξ → Z × G → G → 1. Les groupes G et G sont donc dans la même situation que les groupes G et G . Fixons des données auxiliaires G1 , C1 , ξˆ1 pour G . Notons G,1 le produit fibré ˆ  s’identifie à G ˆ  /ξˆ1 (Zˆ ), où Zˆ de G1 et G au-dessus de G . Le groupe dual G ,1 1  ˆ Puisque G est aussi isomorphe à G  /Zˆ , le est l’image réciproque de Zˆ dans G.  plongement ξˆ1 se quotiente en un plongement ξˆ,1 : G → L G,1 . Les données G,1 , C1 , ξˆ,1 sont des données auxiliaires pour G . Supposons les données endoscopiques non ramifiées hors de V , ainsi que les données auxiliaires pour G . Alors les données auxiliaires pour G sont elles-aussi non ramifiées hors de V . On a vu en [VI] 3.6 que le choix des groupes Kv pour v ∈ V permettait de définir un facteur de transfert canonique Δ1,V sur G1 (FV ) × G(FV ) (notons que, dans le cas non tordu, l’hypothèse Hyp de cette référence est toujours vérifiée). On a relevé les Kv en des sous-groupes K,v . Ils déterminent de même un facteur de transfert canonique Δ,1,V sur G,1 (FV )×G (FV ). On vérifie que si (δ,1 , γ ) ∈ G,1 (FV )×G (FV ) est un couple d’éléments semi-simples G -fortement réguliers qui se correspondent, on a l’égalité Δ,1,V (δ,1 , γ ) = Δ1,V (δ1 , γ), où δ1 et γ sont les projections naturelles de δ,1 et γ . Remarque. Il se peut que les éléments δ1 et γ se correspondent alors que δ,1 et γ ne se correspondent pas. L’égalité ci-dessus devient fausse, le membre de gauche étant nul alors que celui de droite ne l’est pas. On peut adapter les constructions de 4.3 et construire un homomorphisme ιG,1 ,G1 : SIλ1 (G1 (FV )) → SIλ1 (G,1 (FV )) bien défini sur les fonctions dont le support dans G (FV ) est voisin de l’origine. Le diagramme suivant est commutatif (3)

I(G(FV )) ιG ,G ↓

transfert

I(G (FV ))

transfert

→ →

SIλ1 (G1 (FV )) ↓ ιG,1 ,G1 SIλ1 (G,1 (FV )) .

Supposons que nos données endoscopiques soient elliptiques. Les espaces AG et AG sont isomorphes et, conformément aux conventions de [VI], on suppose que l’isomorphisme préserve les mesures. De même pour les espaces AG et AG . On fixe une mesure sur AC1 . En utilisant les suites exactes habituelles, des mesures déjà fixées se déduisent des mesures sur AG1 et AG,1 . Avec ces normalisations, montrons que l’on a l’égalité (4)

i(G, G )τ  (G)−1 τ  (G1 ) = i(G , G )τ  (G )−1 τ  (G,1 ).

VII.4. Distributions à support unipotent

809

Preuve. Rappelons (cf. [VI] 5.1) que, dans notre situation quasi-déployée et sans torsion, on a simplement i(G, G ) = | Out(G )|−1 τ (G)τ (G )−1 . D’autre part, le lemme 4.2 nous dit que τ  (G1 ) = τ  (G )τ  (C1 ). Le membre de gauche de (4) est donc égal à | Out(G )|−1 covol(AG,Z ) covol(AG ,Z )−1 τ  (C1 ). Parce que G est elliptique, on a les isomorphismes ˆ ΓF ,0 ) = X∗ (Z(G ˆ  )ΓF ,0 )  X ∗ (G )ΓF . X ∗ (G)ΓF  X∗ (Z(G) Il en résulte que covol(AG,Z ) = covol(AG ,Z ). Donc le membre de gauche de (4) est égal à | Out(G )|−1 τ  (C1 ). On a une formule analogue pour le membre de droite. On vérifie immédiatement que les groupes Out(G ) et Out(G ) sont isomorphes. L’égalité (4) s’ensuit. 

VII.4.6 Coefficients stables et revêtement On suppose encore G quasi-déployé et a = 1. Proposition. La distribution τ  (G)−1 SAG unip (V ) est l’image par l’homomorphisme  (V ). ι∗G ,G de τ  (G )−1 SAG unip Preuve. Soit f ∈ Cc∞ (G(FV )). On a par définition

(1)

 −1 G τ  (G)−1 I G (SAG I (AG unip (V ), f ) = τ (G) unip (V ), f )    −1  G G − τ (G) i(G, G )S (SAunip (V ), f G ). G ∈E(G,V ),G =G

Fixons G = (G , G  , s) ∈ E(G, V ) avec G = G. Introduisons des données auxiliaires pour G , non ramifiées hors de V . Introduisons aussi la donnée G comme  dans le paragraphe précédent, dont on utilise les notations. On identifie f G à un élément f1 ∈ SIλ1 (G1 (FV )). On a 





G

G

G 1 S G (SAG ) = Sλ11 (SAunip,λ (V ), f1 ). unip (V ), f 1

On peut appliquer la proposition par récurrence à G puisque G = G. On travaille ici avec des distributions qui se transforment selon le caractère λ1 de C1 (FV ) mais la dernière égalité du paragraphe 1.11 permet d’adapter la proposition à ce cas. On a donc G

G

,1 1 (V ) = τ  (G1 )τ  (G1, )−1 ι∗G,1 ,G1 (SAunip,λ (V )). SAunip,λ 1 1

810

Chapitre VII. Descente globale

D’où G

G

G

G

,1 1 (V ), f1 ) = τ  (G1 )τ  (G1, )−1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 ), Sλ11 (SAunip,λ 1 1

où f,1 = ιG,1 ,G1 (f1 ). En utilisant ces formules et 4.5(4), on transforme la somme en G de l’expression (1) en (2)



G

G

,1 τ  (G )−1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 ). 1

G ∈EG (G ,V )

Posons f = ιG ,G (f ). Remarquons que, d’après 4.5(3), les fonctions f,1 intervenant peuvent aussi se définir comme le transfert de f à G,1 (FV ). Le terme que l’on somme ne fait alors plus référence à G. En particulier, on peut le définir pour toute donnée G ∈ E(G , V ) et pas seulement pour celles qui proviennent d’une donnée endoscopique de G. D’autre part, les facteurs de transfert utilisés pour définir ces fonctions f,1 dépendent des compacts Kv pour v ∈ V . Notons-les G

,1 plus précisément f,1 [K V ]. On sait par contre que les distributions SAunip,λ (V ) ne 1 dépendent pas des compacts. Soit S un ensemble fini de places de F contenant V . Soit USV un ensemble de représentants du quotient q (G (FSV ))\G(FSV ). Pour u ∈ −1 USV , on définit pour v ∈ S−V le groupe u Kv = uKv u relève  , qui se en le compact u −1 u V K,v = uK,v u de G (Fv ). On pose K = ( v∈S−V u K v )( v∈S Kv ). Soit G ∈ E(G , V ). Montrons que

(3) si S est assez grand, on a l’égalité |USV |−1  =



G

G

,1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]) 1

V u∈US

G

G

,1 (V ), f,1 [K V ]), Sλ1,1 (SAunip,λ 1 0,

si G ∈ EG (G , V ), sinon.

En 4.5, on a rappelé l’existence d’un caractère ω de GAD (AF ) associé à G . La fonction f est par construction invariante par l’action de G(FV ). Il résulte de cela et de la définition du caractère ω que tous les transferts f,1 [u K V ] sont nuls sauf si ω est trivial sur G(FV ). Si cette condition n’est pas vérifiée, la relation (2) est donc évidente. Supposons que ω est trivial sur G(FV ). Pour v ∈ S − V , notons u Δ,1,v le facteur de transfert local associé à u K,v . Ce n’est autre que (δ,1 , γ ) → Δ,v (δ,1 , u−1 γ u), où Δ,v est associé à K,v . On a simplement Δ,v (δ,1 , u−1 γ u) = ω,v (u)Δ,v (δ,1 , γ ). Donc u Δ,1,v = ω,v (u)Δ,1,v . Ces facteurs locaux en v ∈ S − V sont les seules données qui changent quand on change de compacts. En se rappelant la définition des facteurs de transfert canoniques, on voit alors que f,1 [u K V ] = ω (u)−1 f,1 [K V ]. La somme de (3) vaut donc  G G,1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [K V ])|USV |−1 ω (u)−1 . 1 V u∈US

VII.5. Descente

811 G

G

,1 C’est-à-dire qu’elle vaut Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [K V ]) si ω est trivial sur G(FSV ) 1 et 0 sinon. Le caractère ω est automorphe et, parce que G est non ramifié hors de V , il est trivial sur K V . Choisissons S tel que G(AF ) = G(F )(G(FS ) × K S ). Parce que l’on a supposé que ω était trivial sur G(FV ), la condition que ce caractère soit trivial sur G(FSV ) équivaut alors à ce qu’il soit trivial sur tout G(AF ). C’est la condition 4.5(2), dont on a vu qu’elle équivalait à l’appartenance de G à EG (G , V ). Cela démontre (3). On fixe S assez grand. Grâce à (3), l’expression (2) se récrit

τ  (G )−1 |USV |−1





G

G

,1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]). 1

V G ∈E(G ,V ) u∈US  

La proposition 4.3 nous dit que le premier terme du membre de droite de (1) est égal à  u V  τ  (G )−1 |USV |−1 I G (AG unip (V, K  ), f ). V u∈US

Ainsi le membre de droite de la formule (1) est le produit de τ  (G )−1 |USV |−1 et de la somme en u ∈ USV de l’expression u V  I G (AG unip (V, K  ), f ) −



G

G

,1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]). 1

G ∈E(G ,V )  Celle-ci est par définition égale à I G (SAG unip (V ), f ). La référence aux compacts  disparaît puisqu’on sait que la distribution SAG unip (V ) n’en dépend pas. Ce terme étant indépendant de u, l’égalité (1) devient simplement

 −1 G  τ  (G)I G (SAG I (SAG unip (V ), f ) = τ (G ) unip (V ), f ).

Dire que cette égalité est vérifiée pour tout f équivaut à l’assertion de l’énoncé.



VII.5 Descente VII.5.1 Une première transformation ˜ a) est quelconque. On On commence la preuve du théorème 3.3. Le triplet (G, G, ˜ ˜ fixe X ∈ Stab(G(F )) qui n’appartient pas à Stabexcep(G(F )). On fixe un ensemble fini V de places de F contenant S(X ). En vertu du lemme 3.7, on impose de plus ˜ ; (1) V contient S(X , K) (2) X est elliptique ; ˜ v )) appartient à (3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab(G(F ˜ l’image de l’application χGv ; ¯ AF ) sont triviales. (4) les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et Z(G;

812

Chapitre VII. Descente globale

On pose 

˜

AG,E (V, X , ω) =



˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ˜  (F )); G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G X  →X

Il s’agit de démontrer l’égalité ˜

˜

AG (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω). ˆ Tˆ, (Eˆα )α∈Δ ) de G ˆ et on déOn fixe une paire de Borel épinglée Eˆ = (B, ˆ finit l’automorphisme θ ainsi que l’action galoisienne relativement à cette paire, ˜ a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, G, ˜ a) cf. [I] 1.2. Notons ETˆ (G,    ˆ ˆ qui sont de la forme G = (G , G , sθ) avec s ∈ T et qui sont elliptiques, reˆ et levantes et non ramifiées hors de V . Pour deux données G1 = (G1 , G1 , s1 θ)    ˆ ˆ G2 = (G2 , G2 , s2 θ) dans cet ensemble, disons qu’elles sont T -équivalentes s’il existe ˆ −1 ∈ s2 Z(G). ˆ Fixons un ensemble de repréx ∈ Tˆ tel que xG1 x−1 = G2 et xs1 θ(x) ˜ ˆ ˜ a, V ). Toute donnée sentants ETˆ (G, a, V ) des classes de T -équivalence dans ETˆ (G, endoscopique elliptique, relevante et non ramifiée hors de V est équivalente à une ˜ a, V ). Il y a donc une application surjective donnée appartenant à ETˆ (G, ˜ a, V ) → E(G, ˜ a, V ). ETˆ (G, ˆ ∈ E ˆ (G, ˜ a, V ). La fibre de cette application au-dessus de Soit G = (G , G  , sθ) T  ˆ à Tˆ-équivalence près, pour lesquels il l’image de G est formé des (G1 , G1 , s1 θ),  −1 ˆ −1 ∈ s1 Z(G). ˆ Puisque Gˆ et ˆ = G1 et xsθ(x) existe x ∈ G de sorte que xG x ˆ ˆ θ,0 θ,0  ˆ ˆ ˆ G1 contiennent T , on peut supposer que x normalise T , donc aussi Tˆ . La ˆ −1 ∈ s1 Z(G) ˆ implique alors que l’image de x dans W est fixe par condition xsθ(x) ˆ θ. Inversement, un élément x ∈ NormGˆ (Tˆ ) dont l’image dans W est fixe par θˆ ˆ Cette donnée est Tˆ -équivalente à G donne naissance à une donnée (G1 , G1 , s1 θ).  ˆ si et seulement si x ∈ T (Aut(G ) ∩ NormGˆ (Tˆ)). On a une suite exacte  1 → W G → Tˆ\Tˆ(Aut(G ) ∩ NormGˆ (Tˆ )) → Out(G ) → 1

Ainsi la fibre de l’application précédente au-dessus de l’image de G a pour nombre  d’éléments |W θ || Out(G )|−1 |W G |−1 . On peut donc récrire 

˜

AG,E (V, X , ω) = |W θ |−1 ˜ G ˜) i(G,





| Out(G )||W G |

G ∈ETˆ (G,a,V )

X  ∈Stab(G (F ));X  →X



transfert(SAG (V, X  )).

VII.5. Descente

813

ˆ ∈ E ˆ (G, a, V ). On fixe une paire de Borel épinglée de Soit G = (G , G  , sθ) T ˆ  ˆ ˆ  , Tˆ  ) est (B ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 G dont la paire de Borel sous-jacente (B ). En utilisant les notations de 1.7, cela définit l’application ξ : T ∗ → T  ∗ et une application ˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )) que l’on note simplement (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ). Notons Stab(G ˜ ˜ )) l’application naturelle. ici pG˜ : Stab(G(F )) → Stab(G(F Remarque. Les hypothèses que G est relevante et non ramifiée hors de V n’interviennent pas ici. Les mêmes notations seront utilisées plus loin pour des données ne vérifiant pas ces hypothèses. ˜ )), notons Fib(Y) la fibre de p ˜ au-dessus de Y. On Pour Y ∈ Stab(G(F G ˜  (F )) tels que ˜  . Sommer sur les X  ∈ Stab(G adopte de mêmes notations pour G  ˜ X → X revient à sommer sur les (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F )) tels que pG˜ (μ, ωG¯ ) = X et sur les (μ , ωG¯  ) tels que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ), à condition d’affecter les termes d’un coefficient | Fib(pG˜  (μ , ωG¯  ))|−1 . Ce nombre d’éléments se calcule aisément à   l’aide de 1.1(4). Notons FixG (μ , ωG¯  ) le groupe des w ∈ W G tels que wμ = μ ,   −1 w(Σ+ (μ )) = Σ+ (μ ) et wωG¯  (σ)σG ∗ (w) = ωG¯  (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Alors 





| Fib(pG˜  (μ , ωG¯  ))| = |W G ||W G (μ )|−1 | FixG (μ , ωG¯  )|−1 .

(4) On obtient







transfert(SAG (V, X  )) =

X  ∈Stab(G (F )); X  →X



˜ )), (μ,ωG ¯ )∈Stab(G(F pG ¯ )=X ˜ (μ,ωG 





|W G |−1 |W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )|

˜  (F )), (μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG 

transfert(SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  ))). Cela conduit à l’égalité ˜

AG,E (V, X , ω) = |W θ |−1 





˜ )), G ∈ETˆ (G,a,V ) (μ,ωG ¯ )∈Stab(G(F pG ¯ )=X ˜ (μ,ωG

˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))), i(G, G

˜  (F )), (μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG

où (5)

˜ G ˜  )| Out(G )||W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )|. ˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) = i(G, i(G,

814

Chapitre VII. Descente globale

Pour tout (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ), on a la formule parallèle à (4) : | Fib(X )| = |W θ ||W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 . Posons ˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1

G ∈ETˆ (G,a,V )



(6) 





˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))). i(G, G ˜

(μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (F )), (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG

On obtient la formule ˜

AG,E (V, X , ω) = | Fib(X )|−1



˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω).

(μ,ωG ¯ )∈Fib(X )

Enonçons une forme plus précise du théorème 3.3, qui implique celui-ci d’après la formule précédente. Proposition. Soient X et V comme plus haut. Pour tout (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ), on a l’égalité ˜

˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = AG (V, X , ω). C’est cette assertion que nous allons prouver. On fixe jusqu’à la fin de la preuve un élément (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ).

VII.5.2 Descente des données endoscopiques On identifie la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα )α∈Δ ) de G à une paire ˜ E ∗ ). On pose η = νe particulière. On relève μ en (ν, e) avec ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G, ¯ On ¯ = Gη . On note T¯ le tore T ∗,θ∗,0 vu comme un sous-tore maximal de G. et G ¯ ¯ G ¯ ¯ rappelle que Σ(μ) s’identifie à l’ensemble de racines Σ (T ) de T dans G. On fixe ¯ dont la paire de Borel sous-jacente soit (B, ¯ T¯ ), une paire de Borel épinglée E¯ de G ∗ ¯ ¯ ¯ où B = B ∩ G, et on munit G de l’unique action galoisienne σ → σG¯ conservant E¯ et coïncidant sur T¯ = T ∗,θ,0 avec l’action σ → ωG¯ (σ)σG∗ . Il est clair que cette ¯ et on munit action galoisienne s’étend en une action sur le groupe Iη = Z(G)θ G ˆ ¯ muni d’une paire de ce groupe de cette action. On introduit le groupe dual G, ˆ ˆ ¯ ¯ Borel épinglée dont on note la paire sous-jacente (B, T ). On peut identifier Tˆ¯ à ˆ Tˆ), muni de l’action galoisienne σ → ω ¯ (σ)σG∗ . L’ensemble de racines Tˆ/(1 − θ)( G ˆ ¯ ˆ¯ ΣG (Tˆ¯ ) est en bijection avec Σ(μ) et le sous-ensemble positif déterminé par B correspond au sous-ensemble Σ+ (μ).

VII.5. Descente

815

˜ a) de la forme Considérons une donnée endoscopique de (G, G, ˆ G = (G , G  , sθ), avec s ∈ Tˆ . On la suppose elliptique. ˜  (F )) tel que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ). Posons Tˆ¯ad = Soit (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G ˆ ¯ C’est un quotient de Tˆ . Notons s¯ l’image de s dans ce groupe. Posons Tˆ¯/Z(G). ˆ ˆ¯ ∩ H, ˆ¯ Tˆ¯ ). D’après ¯ H = Z ˆ¯ (¯ s)0 . On munit ce groupe de la paire de Borel (B ad ad GAD

la définition de 1.7, il y a une unique cochaîne σ → ωH¯ (σ) de ΓF dans W (μ) de sorte que l’on ait l’égalité ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Cette cochaîne s’étend en une cochaîne définie sur WF . Puisque ˆ ˆ ¯ ¯ W (μ) = W G = W GAD , pour tout w ∈ WF , on peut relever ωH¯ (w) en un élément ˆ¯ ˆ ¯ ⊂ L (G ¯ SC ) = G ¯ AD qui normalise Tˆ¯ad . On définit le sous-groupe H g¯(w) ∈ G AD  ˆ ¯ g(w), w) pour w ∈ WF . On a prouvé en [79] 3.5 que WF engendré par H et les (¯ ce groupe s’insérait dans une extension scindée ˆ¯ → H ¯ → WF → 1. 1→H ˆ¯ d’une L-action galoisienne compatible avec cette extension. On peut donc munir H ˆ¯ muni ¯ défini et quasi-déployé sur F tel que H, On introduit le groupe réductif H ¯ On a prouvé en [79] 3.5 de cette action galoisienne, soit le groupe dual de H. ¯ H, ¯ s¯) était une donnée endoscopique de G ¯ SC . Il s’agit ici ¯ = (H, que le triplet H d’endoscopie non tordue, toute torsion et tout caractère ont disparu. On fixe une ¯ ¯ ¯ définie sur F . paire de Borel (B H , T H ) de H Remarque. Dans [79], la situation de départ n’était pas la même qu’ici, on partait d’un diagramme. Mais on vérifie aisément que les présentes hypothèses sont suffisantes pour assurer la validité des propriétés énoncées ci-dessus. La même remarque vaut pour la suite. D’autre part, dans [79], le corps de base était local non-archimédien mais les constructions valent évidemment pour tout corps de base. Enfin, on a déjà repris cette construction dans la section 5 de [III], où l’on a ¯ Il nous semble plus clair de revenir ici à la notation de [79], ¯  la donnée H. noté G ¯  étant déjà utilisée. la notation G ˜ ss (F ) et une paire de Borel (B , T ) vérifiant les Fixons un élément  ∈ G conditions du (ii) du lemme 1.3 relativement à l’élément (μ , ωG¯  ). Le groupe G est quasi-déployé et est muni de la paire de Borel (B∗ , T ) définie dans ce lemme.   Fixons une paire de Borel (B G , T G ) de G définie sur F . Par la construction de  ce lemme, le tore T s’identifie à T G , l’identification n’étant pas ΓF -équivariante :  elle identifie l’action galoisienne sur T avec l’action σ → ωG¯  (σ)σG sur T G . On

816

Chapitre VII. Descente globale

a alors un diagramme ¯

(1)

H Tsc ↓ ¯ TH  T¯sc ↓ T¯ ↓ T∗

T,sc ↓ T  → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )



TG



¯ ¯ H ¯ SC , resp. de T (on a noté Tsc , resp. T,sc , T¯sc , les images réciproques de T H dans H  ¯ SC ). Pour tout tore S, posons X∗,Q (S) = X∗ (S)⊗Z Q. dans G,SC , resp. de T¯ dans G Le lemme [79] 3.6 affirme qu’il se déduit de ce diagramme un isomorphisme ¯

H )  X∗,Q (T,sc ) X∗,Q (Tsc

qui est équivariant pour les actions galoisiennes et grâce auquel les deux groupes ¯ SC et G H ,SC forment une paire endoscopique non standard. Le lemme [79] 3.6 nous dit que du diagramme (1) se déduit un diagramme commutatif

(2)

→ X∗,Q (Z(G )0 ) X∗,Q (Z(G)θ,0 ) ↓ ¯ 0) X∗,Q (Z(G) ↓ ↓ ¯ 0 ) ⊕ X∗,Q (Z(H) ¯ 0 )  X∗,Q (Z(G )0 ) . X∗,Q (Z(G)

Il est formé d’applications injectives équivariantes pour les actions galoisiennes et la flèche du bas est un isomorphisme. On a ¯ de G ¯ SC est (3) supposons (μ , ωG¯  ) elliptique ; alors la donnée endoscopique H elliptique. ˜  (F ). Dans le diagramme Preuve. L’hypothèse implique que  est elliptique dans G (2), on prend les invariants par ΓF . La flèche verticale de droite devient un isomorphisme par ellipticité de . La flèche horizontale du haut aussi par ellipticité de G . Donc les deux flèches de gauche deviennent aussi des isomorphismes. Cela ¯ 0 )ΓF = {0} et l’assertion. entraîne X∗,Q (Z(H)  On a ˜  ) ⊂ V ; alors la donnée H ¯ est non ramifiée hors (4) supposons S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K de V .

VII.5. Descente

817

La preuve est la même qu’en 1.7(4). Soit v ∈ V et σ dans le groupe d’inertie Iv . L’hypothèse implique ωG¯  (σ) = 1. On a ωG (σ) = 1 puisque G n’est pas ¯ ramifiée en v. Donc ωG¯ (σ) = ωH¯ (σ)−1 . Cet élément appartient à W G car ωH¯ (σ) ∈ ¯ G ¯ car c’est le cas de W et il conserve l’ensemble des racines positives de T¯ dans G ωG¯ (σ). Ces deux conditions entraînent qu’il est égal à 1, c’est-à-dire ωH¯ (σ) = 1. ¯ H, ¯ s¯) Dans le cas d’endoscopie non tordue, cela suffit à assurer que la donnée (H, est non ramifiée en v.  ¯ 0 un groupe réPosons quelques définitions. Soit v une place de F . Soient G ¯ ¯ ductif connexe défini sur Fv et ψv : G0 → G un torseur intérieur (pour l’action de ΓFv ). Soient (B , T ), (BH¯ , TH¯ ), (B , T ) et (B,0 , T,0 ) des paires de Borel res¯ G ¯ et G ¯ 0 définies sur F¯v . En conjuguant les trois premières pectivement de G , H, paires en celles fixées plus haut, on obtient des isomorphismes (5)

)  X∗,Q (T,sc ) X∗,Q (TH,sc ¯

et (6)

TH¯  T,sc .

La donnée de ψv établit aussi un isomorphisme (7)

T  T,0 .

Il se déduit de (6) et (7) un isomorphisme (8)

TH¯  T,0,sc

qui ne dépend pas de la paire (B , T ). On dit que (B , T ) et (BH¯ , TH¯ ) se correspondent si T et TH¯ sont définis sur Fv et que (5) est équivariant pour l’action de ΓFv . On définit de même la notion de correspondance entre (BH¯ , TH¯ ) et (B , T ), resp. (B , T ) et (B,0 , T,0 ), resp. (BH¯ , TH¯ ) et (B,0 , T,0 ), en remplaçant l’isomorphisme (5) respectivement par (6), (7) et (8). Les mêmes définitions peuvent être posées sur le corps de base F , en remplaçant simplement ci-dessus Fv et F¯v par F et F¯ .

VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H Considérons la définition 5.1(6). Dans la somme en (μ , ωG¯  ), on peut ajouter les ˜  ) ⊂ V . En effet, conditions que (μ , ωG¯  ) est elliptique et que S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K G  si elles ne sont pas vérifiées, la distribution SA (V, pG˜  (μ , ωG¯  )) est nulle. No¯ SC , V ) l’ensemble des données endoscopiques de G ¯ SC de la forme tons ETˆ¯ ,• (G ad ¯ H, ¯ s¯), où s¯ ∈ Tˆ¯ad , qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . A par¯ = (H, H ˆ ∈ E ˆ (G, ω, V ) et de (μ , ω ¯  ) ∈ Stab(G ˜  (F )) vérifiant les tir de G = (G , G  , sθ) G T  deux conditions ci-dessus et tel que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ), on a construit une don¯ SC , qui appartient à E ˆ¯ (G ¯ SC , V ), cf. 5.2(3) et (4). ¯ de G née endoscopique H T ,• ad

818

Chapitre VII. Descente globale

Pour H ∈ ETˆ¯

ad ,•

¯ SC , V ), on note J (H) la fibre de cette application. On note (G

˜ G,E

A (V, H, ω) la sous-somme de l’expression 5.1(6), où on somme sur les triplets (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Autrement dit  ˜ AG,E (V, H, ω) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 (G ,μ ,ωG ¯  )∈J (H) 

˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))). i(G, G On a l’égalité (1)



˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = H∈ETˆ¯

ad ,•

˜

AG,E (V, H, ω).

¯ SC ,V ) (G

On fixe jusqu’en 8.1 une donnée H ∈ ETˆ¯ ˜

ad ,•

¯ SC , V ). On va étudier la (G

distribution AG,E (V, H, ω).

VII.5.4 Propriétés de relevance Soit v ∈ Val(F ), plaçons-nous sur le corps Fv . Considérons l’ensemble Dv des ˜ v ) × G(F¯v ) tels que couples (ηv , rv ) ∈ G(F (1) rv ηv rv−1 = η ; (2) en utilisant la paire de Borel adrv−1 (B ∗ , T ∗ ) dans la construction de 1.2, on ait l’égalité (μηv , ωηv ) = (μ, ωG¯ v ). On peut traduire cette condition (2) de la façon suivante. La condition (1) implique que l’automorphisme adrv se restreint en un isomorphisme de Gηv sur ¯ Le groupe Gηv étant muni de sa structure galoisienne naturelle et le Gη = G. ¯ étant muni de sa structure quasi-déployée définie en 5.2, (2) équivaut à groupe G ¯ que l’on note ψrv . ce que adrv soit un torseur intérieur de Gηv sur G ¯ Le groupe Iη = Iη (Fv ) agit à gauche sur Dv par (x, (ηv , rv )) → (ηv , xrv ). Le groupe G(Fv ) agit à droite par ((ηv , rv ), g) → (g −1 ηv gv , rv g). ˜ v )) On se rappelle notre hypothèse 5.1(3) : l’image de X dans Stab(G(F ˜v G appartient à l’image de l’application χ . Montrons que (3) l’ensemble Dv est non vide. Preuve. La proposition 1.2 vaut bien sûr aussi sur le corps de base Fv . L’hy˜ ss (Fv ) et une paire de Borel pothèse 5.1(3) implique que l’on peut fixer ηv ∈ G (B, T ) conservée par adηv de sorte que le couple (μηv , ωηv ) déduit de ces données ˜ v )). D’après 1.2(3), on peut modiait même image que (μ, ωG¯ v ) dans Stab(G(F fier (B, T ) de sorte que (μηv , ωηv ) = (μ, ωG¯ v ). Fixons rv ∈ G = G(F¯v ) tel que (B, T ) = adrv −1 (B ∗ , T ∗ ). Par construction, l’égalité μηv = μ équivaut à la relation −1 rv ηv rv ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ )η. En multipliant rv à gauche par un élément convenable

VII.5. Descente

819

de T ∗ , on obtient un élément rv tel que (1) soit vérifiée. La propriété (2) l’est aussi  par construction. Alors (ηv , rv ) ∈ Dv , ce qui prouve (3). Fixons (ηv , rv ) ∈ Dv et rappelons que l’on a défini l’ensemble Yηv en 1.2 ; montrons que (4) l’ensemble Dv coïncide avec l’ensemble des (y −1 ηv y, rv y) pour y ∈ Yηv . Preuve. Pour y ∈ Yηv , il est clair que l’élément (y −1 ηv y, rv y) vérifie (1). Il résulte du (iii) de la proposition 1.2 que le couple (ωy−1 ηv y , ωy−1 ηv y ) associé à y −1 ηv y et à la paire ady−1 rv−1 (B ∗ , T ∗ ) est égal au couple (μηv , ωηv ) associé à ηv et à la paire adrv−1 (B ∗ , T ∗ ), donc à (μ, ωG¯ v ). Donc (y −1 ηv y, rv y) ∈ Dv . Inversement, soit (ηv , rv ) ∈ Dv . La même proposition 1.2(iii) implique qu’il existe y1 ∈ Yηv de sorte que ηv = y1−1 ηv y1 et adrv −1 (B ∗ , T ∗ ) = ady−1 rv−1 (B ∗ , T ∗ ). Cette dernière égalité 1 implique rv ∈ T ∗ rv y1 . En posant T = adrv−1 (T ∗ ), cela équivaut à l’existence de t ∈ T tel que rv = rv ty1 . Les égalités rv ηv rv −1 = η = rv ηv rv−1 et ηv = y1−1 ηv y1 impliquent alors tηv t−1 = ηv , donc t ∈ T θ ⊂ Iηv . L’élément y = ty1 appartient à Yηv et on a l’égalité (ηv , rv ) = (y −1 ηv y, rv y). Cela prouve (4).  Soit (ηv , rv ) ∈ Dv . La donnée locale Hv étant une donnée endoscopique de ¯ SC est aussi une donnée endoscopique pour Gηv ,SC , via le torseur ψrv introG duit ci-dessus. On dira plus précisément que c’est une donnée endoscopique pour (Gηv ,SC , ψrv ). On note Dvrel l’ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels que Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ). Pour deux éléments (ηv , rv ) et (ηv , rv ) de Dv dans la même double classe modulo les actions de Iη à gauche et de G(Fv ) à droite, les couples (Gηv , ψrv ) et (Gηv , ψrv ) sont isomorphes. Il en résulte que Dvrel est invariant par les actions de Iη et G(Fv ). On a défini l’ensemble J (H) en 5.3. Introduisons un ensemble J• (H) a priori ˜ a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, G, ˜ a) plus gros. Notons ETˆ,• (G, ˆ avec s ∈ Tˆ et qui sont elliptiques et non qui sont de la forme G = (G , G  , sθ) ˜ a, V ) des classes ramifiées hors de V . Fixons un ensemble de représentants ETˆ,• (G, ˜ a, V ). La différence avec E ˆ (G, ˜ a, V ) est que les de Tˆ -équivalence dans ETˆ ,• (G, T  données G ne sont pas supposées relevantes. Une partie de nos constructions ˜ a, V ) ⊂ vaut aussi bien sans cette hypothèse de relevance. On peut supposer ETˆ (G,   ˜ ETˆ,• (G, a, V ). On note J• (H) l’ensemble des triplets (G , μ , ωG¯  ), où ˜ a, V ) G ∈ ETˆ,• (G,

˜  (F )), et (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G

tels que – (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ) ; ˜ ) ⊂ V ; – (μ , ωG¯  ) est elliptique et S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K   – H est associé à (G , μ , ωG¯  ) par la construction de 5.2. ˜  (F ) comme en 5.2, Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J• (H). On définit un élément  ∈ G dont on reprend les notations.

820

Chapitre VII. Descente globale

˜  (Fv ) corresLemme. Supposons que la classe de conjugaison stable de  dans G rel ˜ v ). Alors D n’est pas vide. ponde à une classe de conjugaison stable dans G(F v Preuve. Par hypothèse, il existe un diagramme (, B  , T  , B, T, ηv ) joignant  à un ˜ v ). Comme on l’a vu en [I] 1.10, on peut remplacer élément semi-simple ηv ∈ G(F  B par n’importe quel Borel contenant T  , quitte à changer B. On peut donc supposer que la paire (B  , T  ) est conjuguée à la paire (B , T ) que l’on a fixée en 5.2 par un élément de G . Comme on l’a vu dans la preuve de la proposition 1.2, la construction de ce paragraphe est insensible à une telle conjugaison. Donc, en utilisant la paire (B  , T  ), on a l’égalité (μ , ω ) = (μ , ωG¯ v ). Fixons rv ∈ G(F¯v ) tel que adrv (B, T ) = (B ∗ , T ∗ ). Dans la preuve du lemme 1.8(i), on a calculé le couple (μηv , ωηv ) déduit de la paire (B, T ). Il est égal à l’image (μ, ωG¯ v ) de (μ , ω ). Or ˜ Donc adrv (ηv ) μηv est l’image de adrv (ηv ) dans (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). et η ont même image dans cet ensemble. Quitte à multiplier rv à gauche par un élément de T ∗ , on peut supposer adrv (ηv ) = η. Alors le couple (ηv , rv ) appartient à Dv . Il se déduit de (B, T ) une paire de Borel (B , T ) = (B ∩ Gηv , T ∩ Gηv ) de ¯ SC Gηv , puis une paire de Borel (B,sc , T,sc ) de Gηv ,SC . D’autre part, puisque H  et G,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de ¯ (on rappelle que le corps de base est ici Fv ) qui correspond Borel (BH¯ , TH¯ ) de H   à (Bsc , Tsc ). Puisque Hv est une donnée endoscopique de (Gηv ,SC , ψrv ), les deux paires (BH¯ , TH¯ ) et (B,sc , T,sc ) définissent un isomorphisme de T,sc sur TH¯ . Les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que cet isomorphisme est défini sur Fv , autrement dit que les paires ci-dessus se correspondent. Cela implique que Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ).  Inversement, soit (ηv , rv ) ∈ Dvrel . On peut alors fixer des paires de Borel ¯ et (B , T ) de Gηv qui se correspondent via le torseur ψrv . Les (BH¯ , TH¯ ) de H ¯ T¯) sont des paires de Borel de Gη sur F¯v . On peut fixer couples adrv (B , T ) et (B, ¯ T¯ ). Posons (B, T ) = ad−1 (B ∗ , T ∗ ). xv ∈ Gη de sorte que adxv rv (B , T ) = (B, x v rv On a B ∩ Gηv = B et T ∩ Gηv = T . D’autre part, puisque les groupes G,SC et ¯ SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel H (B , T ) de G qui correspond à (BH¯ , TH¯ ). On peut fixer uv ∈ G tel que (B , T ) = aduv (B∗ , T ). Posons (B  , T  ) = aduv (B , T ). On a B  ∩ G = B et T  = T . De nouveau, les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que (5) le sextuplet (, B  , T  , B, T, ηv ) est un diagramme.

VII.5.5 Les places hors de V Soit v une place de F , provisoirement quelconque. On a défini en [I] 2.7 le groupe G = G/Z(G)θ . On a une suite de projections G → G → GAD . On note G (Fv ) le sous-groupe des g ∈ G(F¯v ) dont l’image dans G (F¯v ) appartient à G (Fv ). Pour ˜ sont tous deux définis sur F . g ∈ G (Fv ), les automorphismes adg de G et de G Pour (ηv , rv ) ∈ Dv , G (Fv ) est inclus dans Yηv . Il résulte de 5.4(4) que G (Fv )

VII.5. Descente

821

agit à droite sur Dv par ((ηv , rv ), g) → (g −1 ηv g, rv g). Cette action étend celle de G(Fv ). Supposons maintenant v ∈ V . Le groupe Kv détermine un sous-groupe hyperspécial K,v de G (Fv ). On note K ,v le sous-groupe des éléments de G (Fv ) dont l’image dans G (Fv ) appartient à K,v . Utilisons les notations de 1.5. On a ˜ (1) K ,v est inclus dans Z(G)θ Kvnr ; pour g ∈ K ,v , l’automorphisme adg de G ˜v. conserve K Preuve. La surjectivité de l’application G → G se prolonge en la surjectivité de l’application analogue entre les schémas en groupes associés à Kv et K,v . On voit ainsi qu’il y a une suite exacte nr → 1. 1 → Z(G)θ ∩ Kvnr → Kvnr → K,v

Tout élément de K,v se relève donc en un élément de Kvnr . La première assertion en résulte. La seconde a été vue à la fin de la preuve de la proposition 2.1.  On note Dvnr l’ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels qu’il existe h ∈ G(Fv ) de sorte ˜ ˜ que ηv ∈ ad−1 h (Kv ). Puisque v ∈ V , on a v ∈ S(X , K) d’après l’hypothèse 5.1(1). Le lemme 1.6 implique alors que ˜ (2) Dvnr est non vide ; pour (ηv , rv ) ∈ Dvnr et h ∈ G(Fv ) tel que ηv ∈ ad−1 h (Kv ), le (K ) est un sous-groupe hypergroupe Gηv est non ramifié et Gηv (Fv ) ∩ ad−1 v h spécial de Gηv (Fv ). Plus précisément, en notant Kηv le schéma en groupes associé à ce sous-groupe hyperspécial, on a Kηv (oE ) = Gηv (E)∩adh−1 (Kv (oE )) pour toute extension non ramifiée E de Fv . Il est clair que Dvnr est invariant à gauche par Iη et à droite par G(Fv ). Remarquons que, puisque adg est défini sur Fv pour tout g ∈ G (Fv ), les ensembles G(Fv )K ,v et K ,v G(Fv ) sont égaux et ce sont des groupes. Lemme. L’ensemble Dvnr est stable par l’action à droite de K v, . Il forme une unique double classe modulo l’action à gauche de Iη et à droite de K ,v G(Fv ). Preuve. Soient (ηv , rv ) ∈ Dvnr et k ∈ K ,v . Posons ηv = k −1 ηv k, rv = rv k. Soit  −1 ˜ hk. C’est un élément de G(Fv ). h ∈ G(Fv ) tel que ηv ∈ ad−1 h (Kv ). Posons h = k On a ˜ v ) = adh−1 k−1 (K ˜ v ) = adh−1 (K ˜ v ), ηv ∈ adk−1 h−1 (K la dernière égalité résultant de (1). Donc (ηv , rv ) ∈ Dvnr , ce qui prouve la première ˜ v . Par assertion. Notons Dvnr,0 le sous-ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels que ηv ∈ K nr nr,0 définition, Dv est engendré par Dv sous l’action à droite de G(Fv ). La deuxième assertion du lemme résulte de (3) Dvnr,0 forme une unique double classe modulo l’action à gauche de Gη et à droite de K ,v .

822

Chapitre VII. Descente globale

Fixons un élément (ηv , rv ) ∈ Dvnr,0 . C’est loisible puisque Dvnr n’est pas vide. Remarquons que faire agir à gauche un élément de Gη sur (ηv , rv ) revient à faire agir à droite un élément de Gηv . L’assertion à prouver revient à dire que tout élément de Dvnr,0 s’écrit (y −1 ηv y, rv y) pour un y ∈ Gηv K ,v . Soit (ηv , rv ) ∈ Dvnr,0 . D’après 5.4(4), il existe y ∈ Yηv tel que (ηv , rv ) = (y −1 ηv y, rv y). D’après le lemme ˜ v entraîne que y ∈ Gηv Kvnr . Ecrivons y = xk, [79] 5.6(i), la relation y −1 ηv y ∈ K nr avec x ∈ Gηv et k ∈ Kv . On a encore k ∈ Yηv . Notons Z(G)p le sous-groupe des éléments de Z(G; F¯v ) d’ordre premier à p. C’est un sous-groupe de Kvnr ([79] 5.5(1)). Le lemme 5.5 de [79] implique que l’application Z(G)θp → Gηv ∩ Kvnr \Iηv ∩ Kvnr est surjective. Fixons un Frobenius φ ∈ ΓFv . Puisque k ∈ Yηv , on a kφ(k)−1 ∈ Iηv . Puisque k ∈ Kvnr , on a aussi kφ(k)−1 ∈ Kvnr . D’après l’assertion ci-dessus, on peut écrire kφ(k)−1 = g(φ)z(φ), avec g(φ) ∈ Gηv ∩ Kvnr et z(φ) ∈ Z(G)θp . Par les relations de cocycle habituelles, on prolonge g(φ) et z(φ) en des applications définies sur φZ . Par exemple, pour n ∈ N, on pose g(φn ) = g(φ)φ(g(φ)) · · · φn−1 (g(φ)). Parce que z(φ) est d’ordre fini, on voit qu’il existe N ≥ 1 tel que n → z(φn ) se factorise par Z/N Z. Puisque k ∈ Kvnr , il en est de même de l’application n → kφn (k)−1 . Puisque g(φn ) = kφn (k)−1 z(φn )−1 , il en est aussi de même de n → g(φn ). Alors cette application définit un cocycle continu et non ramifié de ΓFv dans Gηv ∩ Kvnr . Un tel cocycle est un cobord. On peut donc fixer x1 ∈ Gηv ∩ Kvnr −1 de sorte que g(φ) = x−1 = z(φ) ∈ Z(G)θ . 1 φ(x1 ). Posons k1 = x1 k. Alors k1 φ(k1 ) nr Donc k1 ∈ G (Fv ). Puisque de plus k1 ∈ Kv , cela implique k1 ∈ K ,v . Alors  y = xx−1 1 k1 appartient à Gηv K ,v . Cela achève la preuve. On a (4) soit (ηv , rv ) ∈ Dvnr ; alors Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ). Il s’agit d’endoscopie non tordue. Puisque Gηv ,SC est quasi-déployé, tout se transfère.

VII.5.6 Une conséquence ˜

Corollaire. Supposons qu’il existe v ∈ V tel que Dvrel = ∅. Alors AG,E (V, H, ω) = 0. ˜

Preuve. Par définition, AG,E (V, H, ω) est une somme sur les éléments (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H) 

des transferts des distributions SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  )).

VII.5. Descente

823

˜  (F ). Fixons un tel triplet (G , μ , ωG¯  ), auquel est associé un élément  ∈ G  ˜  (FV ) La distribution SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  )) est supportée par les éléments de G dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à  (plus exactement, ces distributions vivent sur des données auxiliaires, mais peu importe ici). Son transfert ˜  (Fv ) ne est nul s’il existe v ∈ V tel que la classe de conjugaison stable de  dans G ˜ correspond à aucune classe de conjugaison stable dans G(Fv ). D’après le lemme  5.4, il est donc nul s’il existe v ∈ V tel que Dvrel = ∅. Dorénavant, on suppose Dvrel = ∅ pour tout v ∈ V . Il résulte de 5.5(3) et (4) qu’alors Dvrel = ∅ pour tout v ∈ Val(F ). En conséquence (1) on a l’égalité J• (H) = J (H). ˜  (F ) est non-vide. Preuve. Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J• (H). Le lemme 1.3 entraîne que G Fixons un élément  comme dans ce lemme. Pour v ∈ Val(F ), soit (ηv , rv ) ∈ Dvrel . On a construit en 5.4(5) un diagramme (, B  , T  , B, T, ηv ). Donc la donnée locale Gv est relevante. Par définition, G est donc relevante et (G , μ , ωG¯  ) appartient à J• (H).  Dorénavant, pour v ∈ Val(F ), on notera dv un élément de Dv . Quand on aura besoin de l’écrire comme un couple (ηv , rv ), on écrira ce couple (η[dv ], r[dv ]). On supprimera le torseur ψrv de la notation : le groupe Gη[dv ] sera toujours consi¯ via ce torseur. On utilisera des notations déré comme une forme intérieure de G analogues de notre situation. Par exemple, on pose  dans différentes variantes  DV = v∈V Dv et DVrel = v∈V Dvrel . On note (η[dV ], r[dV ]) le couple associé à un élément dV ∈ DV etc. . . On notera j un élément de J (H). Quand on a besoin de l’écrire comme un triplet (G , μ , ωG¯  ), on note ce triplet (Gj , μj , ωG¯ j ) et on affecte tous les objets ˜  (F ) relatifs à ce triplet d’un indice j. Par exemple, on fixe un élément j ∈ G j vérifiant les conditions du lemme 1.3(ii). On a ¯ défini sur F , tel que, pour toute place (2) il existe un sous-tore maximal SH¯ de H, ¯ v si v est non-archimédienne et v ∈ V , le localisé SH,v soit elliptique dans H ¯ ¯ SH,v soit fondamental dans Hv si v est archimédienne. ¯ Preuve. Pour toute place v ∈ V , on peut en tout cas fixer un sous-tore maximal Sv ¯ v défini sur Fv qui possède cette propriété. On fixe un élément Xv ∈ sv (Fv ) ∩ de H ¯ ¯ ) est dense dans h(F ¯ V ). On peut donc fixer X ∈ h(F ¯ ) tel hreg (Fv ). L’espace h(F que, pour toute place v ∈ V , X soit arbitrairement proche de Xv . Si X est assez ¯reg (Fv ). A ¯ v ) coupe sv (Fv ) ∩ h proche de Xv , sa classe de conjugaison par H(F ¯ C’est fortiori, X est semi-simple et régulier. On note SH¯ son commutant dans H. un sous-tore maximal défini sur F . Pour tout v ∈ V , le localisé SH,v est conjugué ¯ à Sv donc possède la propriété requise. 

824

Chapitre VII. Descente globale

On fixe un tel tore, que l’on complète en une paire de Borel (BH¯ , SH¯ ) définie ¯ SC et G sur F¯ . Soit j ∈ J (H). Puisque H j,j ,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel (B,j , Sj ) de Gj,j qui correspond ∗ , Tj ) sont deux paires de Borel de Gj,j à (BH¯ , SH¯ ). Puisque (B,j , Sj ) et (B,j  ∗ définies sur F¯ , on peut fixer u ∈ Gj,j (F¯ ) tel que (B,j , Sj ) = adu (B,j , Tj ). On  pose (Bj , Sj ) = adu (Bj , Tj ). C’est une paire de Borel de Gj définie sur F¯ (avec Sj défini sur F ) conservée par adj . On a Bj ∩ Gj,j = B,j . Soit v ∈ Val(F ) et dv ∈ Dvrel . Si v ∈ V , supposons de plus dv ∈ Dvnr . Montrons que (3) il existe une paire de Borel (B [dv ], S [dv ]) de Gη[dv ] qui correspond à (BH¯ , SH¯ ). Preuve. Le corps de base est ici Fv . Si v ∈ V , l’hypothèse implique que Gη[dv ] est quasi-déployé. L’assertion résulte alors de [44] corollaire 2.2. Supposons v ∈ V . Il suffit de prouver l’existence d’une paire de Borel (B,sc [dv ], S,sc [dv ]) de Gη[dv ],SC qui correspond à (BH¯ , SH¯ ). Mais Hv est relevante pour Gη[dv ],SC . L’assertion résulte alors de la propriété générale suivante : (4) soient L un groupe réductif connexe défini sur Fv , L une donnée endosco  pique relevante de L (il s’agit d’endoscopie non tordue), (B L , S L ) une paire  de Borel de L telle que S L soit défini sur Fv et soit elliptique, resp. fondamental, dans L si v est non-archimédienne, resp. archimédienne. Alors il   existe une paire de Borel (B L , S L ) de L qui correspond à (B L , S L ). 



Preuve. Puisque L est relevante, on peut fixer des paires de Borel (B1L , S1L ) de L et (B1L , S1L ) de L qui se correspondent. Posons A = AS L et notons M  le  commutant de A dans L . Si v est non-archimédienne, S L est elliptique dans L   donc M  = L , a fortiori S1L ⊂ M  . Si v est archimédienne, S L est fondamental.    Quitte à conjuguer (B1L , S1L ), on peut donc supposer S1L ⊂ M  . Alors, quelle que   soit v, A ⊂ S1L . Par l’isomorphisme S1L  S1L déterminé par nos deux paires, A s’identifie à un sous-tore déployé A de S1L , dont on note M le commutant dans L. Alors M  se complète en une donnée endoscopique M de M qui est elliptique. Le  tore S L est un sous-tore elliptique de L . D’après [44] corollaire 2.2, il se transfère en un sous-tore d’une forme quasi-déployée de M . Ce sous-tore est encore elliptique et, d’après [46] lemme 10.2, il se transfère en un sous-tore S L de M . On peut    compléter S L et S L en des paires de Borel (B M , S L ) de M  et (B M , S L ) de M     qui se correspondent. Fixons x ∈ M  tel que (B M , S L ) = adx (B1L ∩ M  , S1L )   et posons B2L = adx (B1L ). Fxons x ∈ M tel que (B M , S L ) = adx (B1L ∩ M, S1L )    et posons B2L = adx (B1L ). L’isomorphisme S L  S L déduit des paires (B2L , S L )   de L et (B2L , S L ) de L est le même que celui déduit des paires (B M , S L ) de M  et (B M , S L ) de M . Il est donc défini sur Fv , ce qui revient à dire que les   paires (B2L , S L ) de L et (B2L , S L ) de L se correspondent. D’après [I] 1.10, on   peut remplacer B2L par B L , quitte à remplacer B2L par un autre sous-groupe de Borel B L . Cela prouve (4). 

VII.5. Descente

825

Fixons une paire (B [dv ], S [dv ]) vérifiant (3). Comme en 5.4(5), on en déduit une paire de Borel de G, notée ici (B[dv ], S[dv ]), qui est conservée par adηv . La preuve de 5.4(5) montre que (5) pour tout j ∈ J (H), tout v ∈ Val(F ) et tout dv ∈ Dvrel tel que dv ∈ Dvnr si v ∈ V , le sextuplet (j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) est un diagramme sur Fv . 

VII.5.7 Facteurs de transfert ˜  , Cj,1 , ξˆj,1 pour G , Soit j ∈ J (H). On fixe des données auxiliaires Gj,1 , G j,1 j ˜  (F ) au-dessus de j . non ramifiées hors de V . On fixe un élément j,1 ∈ G j,1 ˜  ) ⊂ V et le lemme Pour v ∈ Val(F ) − V , l’hypothèse que S(pG˜  (μj , ωG¯ j ), K j j ˜  qui soit stablement conjugué à j . Fixons 1.6 assurent qu’il existe j,v ∈ K j,v uv ∈ G (F¯v ) tel que u−1 j uv = j,v et uv σ(uv )−1 ∈ G pour tout σ ∈ ΓFv . j

v

j,j

Posons j,1,v = u−1 v j,1 uv . C’est un élément au-dessus de j,v et on vérifie qu’il  ˜ ˜  (Fv ). On pose K appartient à G j,1 j,1,v = Kj,1,v j,1,v . On peut choisir xv = 1 pour ˜  )v∈V vérifie alors la condition de compatibilité presque tout v. La famille (K j,1,v ˜  (F ), on a δ ∈ K ˜ globale habituelle, c’est-à-dire que, pour δ1 ∈ G j,1 j,1,v pour presque tout v. De ces choix d’espaces hyperspéciaux se déduit un facteur de transfert ˜  (Fv ) × G(F ˜ v ) pour toute place v ∈ V . La relation 5.6(5) et le fait Δj,1,v sur G j,1 que la paire (Bj , Sj ) est définie sur F¯ montrent que, non seulement la donnée Gj est relevante, mais qu’elle vérifie l’hypothèse Hyp de [VI] 3.6 qui permet de définir un facteur de transfert global. De ce facteur global et des facteurs Δj,1,v pour v ∈ V se déduit comme dans cette référence un facteur de transfert Δj,1,V ˜  (FV ) × G(F ˜ V ). sur G j,1 ¯ SC est quasi-déployé, la donnée H est relevante pour ce groupe. Puisque G ¯ au LPuisqu’il est aussi simplement connexe, on sait que l’on peut identifier H ¯ ¯ ¯ groupe de H. Autrement dit, on peut fixer des données auxiliaires H1 , C1 et ξˆ¯1 ¯1 = H ¯ et C¯1 = {1}. On fixe de telles données. Pour toute place v et telles que H rel tout dv ∈ Dv , ces données auxiliaires valent pour le groupe Gη[dv ],SC . Supposons v ∈ V et dv ∈ Dvnr . Dans ce cas, Hv est une donnée non ramifiée pour Gη[dv ],SC . On dispose d’un facteur de transfert canonique pourvu que l’on fixe un sous-groupe hyperspécial de Gη[dv ],SC (Fv ) (dans la situation non tordue, la donnée de ce sous˜ groupe suffit). Pour cela, on fixe un élément hv ∈ G(Fv ) tel que h−1 v η[dv ]hv ∈ Kv . On choisit le sous-groupe image réciproque dans Gη[dv ],SC (Fv ) de adhv (Kv ) ∩ Gη[dv ] (Fv ). Si v ∈ V , il n’y a pas de choix canonique de facteur de transfert, on en fixe un que l’on note Δ[dv ]. Par le choix de nos données auxiliaires, le facteur ¯ v ) × Gη[d ],SC (Fv ). Δ[dv ] est quel que soit v une fonction sur H(F v rel ¯SC (Fv ), Z2 ∈ z(H; ¯ Fv ) et Soient v ∈ Val(F ) et dv ∈ Dv . Soient Y¯sc ∈ h ¯ ¯ Z1 ∈ z(G; Fv ). On suppose ces éléments en position générale. Posons Y = Y¯sc +Z2 . On suppose que la classe de conjugaison stable de Y¯ se transfère en une classe de conjugaison stable dans gη[dv ],SC (Fv ). On fixe un élément X[dv ]sc dans cette classe.

826

Chapitre VII. Descente globale

¯ et Gη[d ] , les centres de ces groupes Puisqu’on a fixé un torseur intérieur entre G v s’identifient et on peut considérer Z1 comme un élément de z(Gη[dv ] ; Fv ). On pose ¯ SC et G X[dv ] = Z1 + X[dv ]sc ∈ gη[dv ] (Fv ). Soit j ∈ J (H). Puisque H j,j ,SC sont en situation d’endoscopie non standard, la classe de conjugaison stable de Y¯sc se transfère en une classe de conjugaison stable dans gj,j ,SC (Fv ). On fixe un élément Yj,sc dans cette classe. Par le diagramme 5.2(5), Z1 + Z2 s’identifie à un élément Zj ∈ z(Gj,j ; Fv ). On pose Yj = Yj,sc + Zj . C’est un élément de gj,j (Fv ). Supposons les éléments de départ assez proches de 0 pour que toutes les exponentielles qui suivent soient définies. Les classes de conjugaison stable de exp(Yj )j et de exp(X[dv ])η[dv ] se correspondent. Soit Yj,1 ∈ gj,1,j,1 (Fv ) au-dessus de Yj . On dispose des deux facteurs de transfert Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) et Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])). Théorème. (i) Si v est finie, il existe une constante δj [dv ] telle que, pour des éléments comme ci-dessus tels que Yj,1 soit assez proche de 0, on ait l’égalité Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) = δj [dv ]Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])). (ii) Si v est archimédienne, il existe une constante δj [dv ] et un élément bj ∈ 0 ˆ X∗ (Z(G j,1,j,1 ) ) ⊗ C tels que, pour des éléments comme ci-dessus pour lesquels Yj,1 est assez proche de 0, on ait l’égalité Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) = δj [dv ]Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])) exp(bj , Yj,1 ). (iii) Si v ∈ V , on a δj [dv ] = ω(hv )−1 , où hv est l’élément utilisé pour définir le sous-groupe hyperspécial de Gη[dv ],SC (Fv ). Preuve. L’assertion (i) est le théorème 3.9 de [79] : les deux facteurs locaux coïncident à une constante près. L’assertion (ii) a été vue en [V] 4.1. Supposons v ∈ V . Dans le cas où hv = 1, l’assertion (iii) est la proposition 5.9 de [79]. On se ramène ˜ v ) et à ce cas en introduisant le facteur Δj,1,v normalisé à l’aide des espaces adhv (K   ˜ Kj,1,v . On conserve le même facteur Δ[dv ]. On a une nouvelle constante δj [dv ] dont ˜ v ), on rem˜ v par adhv (K on vient de dire qu’elle valait 1 : quand on remplace K  place en même temps hv par 1. Mais on vérifie aisément que Δj,1,v = ω(hv )Δj,1,v . L’assertion (iii) en résulte. 

VII.5.8 Début du calcul ˜ ˜ V )). Notre but est de calculer I G˜ (AG,E Soit f ∈ Cc∞ (G(F (V, H, ω), f ). Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). On se propose de calculer le terme

˜ G ˜  , μ , ωG¯  )I G˜ (transfert(SAG (V, X  )), f ) i(G,

VII.5. Descente

827

qui intervient dans la définition de 5.3, où X  = pG˜  (μ , ωG¯  ). On le récrit immédiatement ˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ). i(G, On utilise les définitions et notations des paragraphes précédents associées à l’élément j = (G , μ , ωG¯  ), tout en supprimant cet indice j pour simplifier  ˜  (FV )). Alors la notation. Le transfert f G s’identifie à un élément f1 ∈ SIλ∞1 (G 1 



˜ G



˜ G

S G (SAG (V, X  ), f G ) est égal à Sλ11 (SAλ11 (V, X  ), f1 ). ˜ G

La distribution SAλ11 (V, X  ) est définie par une formule similaire à 1.11(3). ˜ 1 (FV )) telle que On fixe une fonction φ ∈ Cc∞ (G φc λ1 (c) dc.

f1 = C1 (FV )

On a l’égalité 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1



˜

˜

˜  ), φcV )λ1 (c) dc. S G1 (SAG1 (V, X1 , cV K 1 V

C1 (F )\C1 (AF ) X  ∈Fib(X  ) 1

˜  (F )) paramétrant la classe de conjugaison stable Notons X1 l’élément de Stab(G 1 de 1 . On peut remplacer la somme sur Fib(X  ) par la somme sur les ξX1 pour ξ ∈ C1 (F ), à condition de diviser par le nombre d’éléments du groupe Fix(X1 ) = {ξ ∈ C1 (F ); ξX1 = X1 }. Ensuite, par un calcul fait plusieurs fois, la somme en ξ ∈ C1 (F ) et l’intégrale en c ∈ C1 (F )\C1 (AF ) se recomposent en une intégrale en c ∈ C1 (AF ). On obtient 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1



˜ ˜ ˜  V ), φcV )λ1 (c) dc. S G1 (SAG1 (V, X1 , cV K 1

C1 (AF ) ˜ ˜  V ), ce terme est nul sauf si X1 Soit c ∈ C1 (AF ). Par définition de SAG1 (V, X1 , cV K 1   ˜ est elliptique et S(X1 , cK1 ) ⊂ V (remarquons que cette inclusion ne dépend que des  ˜ 1,v ˜  ) ⊂ V sont cv K pour v ∈ V ). Les conditions analogues X  elliptique et S(X  , K  satisfaites d’après l’hypothèse sur (μ , ωG¯  ). En revenant à leurs définitions, on voit que ces deux séries d’hypothèses sont équivalentes, à l’exception de la condition ˜ v n’implique pas (nr3) de 1.6 : en une place v ∈ V , cette condition pour X  et K    ˜ ˜ la même condition pour X1 et cv K1,v . Mais on a choisi les K1,v de sorte que, pour v ∈ V , (nr3) soit vérifiée pour cv = 1. Il résulte alors de [VI] 2.5(13) qu’elle est V satisfaite pour tout v ∈ V si et seulement si cV ∈ KC . La fonction à intégrer est 1

828

Chapitre VII. Descente globale

invariante par ce groupe et l’intégrale sur ce groupe disparaît. D’où 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 

−1

= τ (C1 )



˜ ˜ ˜  V ), φcV )λ1 (cV ) dcV S G1 (SAG1 (V, X1 , K 1

C1 (FV ) ˜ ˜  −1 G ˜ V | Fix(X1 )| S 1 (SAG1 (V, X1 , K 1

), f1 ).

Restreignons f1 à un voisinage de la classe de conjugaison stable de 1 . On a défini en [I] 4.8 un homomorphisme de descente d’Harish-Chandra  ˜ descst 1 : SI(G1 (FV )) → SI(G1,1 (FV )).

On pose f1 = descst 1 (f1 ). Pour définir correctement l’homomorphisme de descente, il faut en réalité remplacer l’espace de départ, resp. d’arrivée, par un espace de fonctions à support dans un voisinage convenable de 1 , resp. de l’élément neutre. Il est commode de le noter comme ci-dessus tout en se rappelant l’incorrection de cette notation. Concrètement, cela signifie que les intégrales orbitales stables de f1 n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G1,1 (FV ). Cela ne gêne pas pour appliquer à cette fonction une distribution à support unipotent. En appliquant la définition de 3.2, on obtient 





S G (SAG (V, X  ), f G ) G



1,1 = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 |ΞΓ1F |−1 τ  (G1 )τ  (G1,1 )−1 S G1,1 (SAunip (V ), f1 ).

Introduisons la fonction f,sc ∈ SI(G,SC (FV )) image de f1 par l’homomorphisme ιG,SC ,G1,1 . De la même façon que ci-dessus, les intégrales orbitales stables de f,sc n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G,SC (FV ). Puisque G,SC est simplement connexe, on a AG,SC = {0} donc τ  (G,SC ) = τ (G,SC ). Ce dernier terme vaut 1 d’après le théorème de Lai ([52] théorème 1.2). En utilisant la proposition 4.6, on obtient 

(1)





S G (SAG (V, X  ), f G ) 

G

,SC = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 |ΞΓ1F |−1 τ  (G1 )S G,SC (SAunip (V ), f,sc ).

D’après le lemme 4.2(i), on a (2)

τ (C1 )−1 τ (G1 ) = τ (G ).

Montrons que (3)

| Fix(X1 )||ΞΓ1F | = |ΞΓ F |.

On rappelle que Ξ = ZG ()/G . Pour x ∈ ZG (), l’élément x1 x−1 est un élément de la fibre de G1 au-dessus de , donc de la forme c1 pour c ∈ C1 . Cela

VII.5. Descente

829

définit une application ZG () → C1 . On voit que c’est un homomorphisme. Par ailleurs, le groupe G1,1 s’envoie surjectivement sur G et est l’image réciproque de ce groupe dans G1 . La suite suivante est donc exacte 1 → Ξ1 → Ξ → C1 . D’où aussi une suite exacte 1 → ΞΓ1F → ΞΓ F → C1 (F ). Il suffit de montrer que l’image du second homomorphisme est exactement Fix(X1 ). Soit x ∈ ZG () dont l’image dans Ξ est fixe par ΓF . Ecrivons x1 x−1 = c1 . La condition sur x implique que x1 x−1 est stablement conjugué à 1 . Donc c ∈ Fix(X1 ). Inversement, si c ∈ Fix(X1 ), il existe u ∈ G1 tel que u−1 1 u = c1 et uσ(u)−1 ∈ G1,1 pour tout σ ∈ ΓF . Soit x l’image de u dans G . La première condition sur u entraîne que x appartient à ZG () et la seconde condition entraîne que l’image de x dans Ξ est fixe par ΓF . Cela prouve (3). Montrons que (4)



|ΞΓ F | = | FixG (μ , ωG¯  )| .

On utilise la paire de Borel (B , T ) du lemme 1.3 pour construire (μ , ω ) comme en 1.2. Rappelons que ce couple est égal à (μ , ωG¯  ) par définition de  et  (B , T ). A l’aide de la paire (B , T ), on identifie W G au groupe de Weyl de T  dans g . Il y a donc deux actions galoisiennes sur W G : l’action quasi-déployée notée σ → σG ∗ et celle provenant de l’action naturelle sur le normalisateur de T , que l’on note σ → σ. Complètons (B , T ) en une paire de Borel épinglée E . L’action galoisienne σ → σG ∗ = uE (σ)◦σ conserve E . Parce que T est défini sur F , il en résulte que uE (σ) normalise T . Parce que B ∩ G est défini sur F , la cochaîne u de la construction de 1.2 est à valeurs dans T,sc . On voit alors que, parce que  (μ , ω ) = (μ , ωG¯  ), l’image dans W G de uE (σ)−1 est ωG¯  (σ). Il en résulte que, G pour w ∈ W et σ ∈ ΓF , on a l’égalité σ(w) = ωG¯  (σ)σG ∗ (w)ωG¯  (σ)−1 . Notons N l’ensemble des éléments n ∈ G tels que adn conserve  et la paire (B ∩ G , T ). Il est inclus dans ZG () et on voit que cette inclusion se quotiente en un isomorphisme N/T  Ξ . Cet isomorphisme identifie ΞΓ F au sous-groupe des éléments de N/T fixes par  l’action galoisienne naturelle. D’autre part, N/T est un sous-ensemble de W G .  On voit que c’est l’ensemble des w ∈ W G tels que – w(μ ) = μ (cela traduit la condition que adn conserve ) ; – w(Σ+ (μ )) = Σ+ (μ ) (cela traduit la condition que adn conserve la paire (B ∩ G , T )). D’après ce que l’on a dit ci-dessus, l’element w est fixe par l’action galoisienne naturelle si et seulement si

830

Chapitre VII. Descente globale

– w = ωG¯  (σ)σG ∗ (w)ωG¯  (σ)−1 pour tout σ ∈ ΓF . 

Ces trois conditions caractérisent le groupe StabG (μ , ωG¯  ), cf. 5.1. D’où (4). En utilisant (2), (3) et (4), la formule (1) se récrit 







G



,sc S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (G )| FixG (μ , ωG¯  )|−1 S G,sc (SAunip (V ), f,sc ).

Rappelons la formule ˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) = i(G, ˜ G ˜  )| Out(G )||W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )| i(G, de 5.1(5) et la définition ˜ G ˜  ) = | Out(G )|−1 | det((1 − θ)|A /A )|−1 τ (G)τ (G )−1 i(G, G ˜ G ˆ ΓF −1 ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 ((Z(G)/Z( G) ) )| |π0 (Z(G) )| 

de [VI] 5.1. Le groupe W G (μ ) s’identifie à W H . On a l’égalité ¯

τ  (G ) = covol(AG ,Z )−1 τ (G ). On a supposé que l’isomorphisme AG˜  AG préservait les mesures. Il transforme le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF ,θ , Z) en le réseau AG ,Z car, dualement, ˜ ˆ ˆ ΓF ,θ,0 = Z(G ˆ  )ΓF ,0 . Il en résulte que covol(AG ,Z ) = covol(A ˜ ), avec une Z(G) G,Z définition évidente de ce dernier terme. Posons ˜ = | det((1 − θ)|A /A )|−1 τ (G) covol(A ˜ )−1 C(G) G ˜ G,Z G ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 )|. |π0 ((Z(G)/Z( G) ˆ

ˆ

On obtient alors l’égalité 



(4)



˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯



G

,sc H ˜ |S G,sc (SAunip (V ), f,sc ). = C(G)|W

VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6 ¯ SC et G On poursuit notre calcul. Les deux groupes H ,SC sont en situation d’en¯ H ) → X∗,Q (T,sc ) doscopie non standard. Plus précisément, notons j∗ : X∗,Q (Tsc  ¯ SC , G l’isomorphisme déduit du diagramme 5.2(1). Alors (H ,SC , j∗ ) est un tri˜ )) implique que plet endoscopique non standard. L’hypothèse X ∈ Stabexcep(G(F  ¯ N (HSC , G,SC , j∗ ) < dim(GSC ), cf. [III] lemme 6.3. Nos hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6. On voit aisément que V vérifie les conditions de non-ramification imposées dans cette référence. Il n’y a pas d’isomor¯ SC (FV )) mais il y en a un par contre entre phisme entre SI(G,SC (FV )) et SI(H

VII.5. Descente

831

¯SC (FV )). Via l’exponentielle, on déduit de celui-ci un isoSI(g,SC (FV )) et SI(h ¯ SC (FV )), à savoir morphisme entre deux sous-espaces de SI(G,SC (FV )) et SI(H les sous-espaces de fonctions à support dans des voisinages convenables des éléments neutres. Comme pour les homomorphismes de descente, il est plus commode de considérer cet isomorphisme comme une correspondance entre SI(G,SC (FV )) ¯ SC (FV )). Introduisons la fonction f¯sc ∈ SI(H ¯ SC (FV )) qui correspond et SI(H  ainsi par endoscopie non standard à f,sc ∈ SI(G,SC (FV )). Ses intégrales orbi¯ SC (FV ) mais tales stables n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre de H cela nous suffit. Le théorème [VI] 5.6 transforme l’expression (4) du paragraphe précédent en 

(1)





˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯ SC ¯ ¯ H H ˜ |S HSC (SAunip (V ), f¯sc ). = C(G)|W

Si V était réduit à une seule place, la fonction f¯sc serait calculée par la formule [III] 5.2(6). Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien. Comme on l’a dit en [V] 4.1, le même calcul vaut sur un corps de base archimédien. Dans ce cas, parce qu’on remonte nos fonctions au revêtement simplement connexe ¯ SC , l’exponentielle pertubatrice du (ii) du théorème 5.7 disparaît. Le résultat H pour notre ensemble fini V de places s’ensuit, en faisant le produit sur tous les v ∈ V . Décrivons-le. Soit dV = (dv )v∈V ∈ DVrel . Puisqu’on a fait disparaître les espaces de mesures, on suppose implicitement fixées des mesures sur les groupes Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) (le choix fait en 4.1 des mesures de Tamagawa ne vaut pas ici puisque les groupes Gη[dV ] et Gη[dV ],SC ne sont pas définis sur F ). Elles se déduisent de mesures sur les algèbres de Lie des groupes en question. On a l’isomorphisme ¯ FV ) ⊕ gη[d ],SC (FV ). gη[dV ] (FV )  z(G; V ¯ FV ) de la mesure de Tamagawa. On ¯ 0 est défini sur F , on munit donc z(G; Or Z(G) suppose que l’isomorphisme ci-dessus est compatible aux mesures. Posons f [dV ] = ˜ ˜ G descG η[dV ] (f ), cf. [I] 4.1 pour la définition de l’homomorphisme de descente descη[dV ] . C’est un élément de I(Gη[dV ] (FV ), ω). Posons f [dV ]sc = ιGη[dV ],SC ,Gη[dV ] (f [dV ]). C’est un élément de I(Gη[dV ],SC (FV )). On a fixé le facteur de transfert Δ[dV ] en 5.7 (on supprime l’indice j de cette référence). Notons f¯[dV ] le transfert de f [dV ]sc ¯ V ). C’est un élément de SI(H(F ¯ V )). On note f¯[dV ]sc son image par ιH¯ ,H¯ . à H(F SC ¯ SC (FV )). Posons C’est un élément de SI(H c[dV ] = [Iη[dV ] (FV ) : Gη[dV ] (FV )]−1 et δ[dV ] =

 v∈V

δ[dv ],

832

Chapitre VII. Descente globale

avec la notation de 5.7 où on supprime les indices j. Fixons un ensemble de représentants D˙ Vrel dans DVrel de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯V )\DVrel /G(FV ). La formule [III] 5.2(6) nous dit que  f¯sc = c[dV ]δ[dV ]f¯[dV ]sc . ˙ rel d V ∈D V

Plus exactement, les intégrales orbitales stables des deux membres coïncident dans ¯ SC (FV ). un voisinage de l’élément neutre de H Remarque. Cette formule, qui est issue de [79] 3.11, nécessite certaines compatibilités dans nos choix de mesures. Précisément, les mesures sur G (FV ) et G,SC (FV ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une mesure sur z(G ; FV ) ; les mesures sur Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une ¯ V ) et H ¯ SC (FV ) se déduisent l’une mesure sur z(Gη[dV ] ; FV ) ; les mesures sur H(F ¯ FV ). Alors les mesures sur z(G ; FV ), de l’autre par le choix d’une mesure sur z(H;  ¯ FV ) doivent être compatibles avec l’isomorphisme z(Gη[dV ] ; FV ) et z(H; ¯ FV ) z(G ; FV )  z(Gη[dV ] ; FV ) ⊕ z(H; déduit du diagramme 5.2(1). Cette compatibilité est assurée par le choix fait cidessus des mesures sur Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) et par le choix des mesures de Tamagawa sur les autres groupes, cf. lemme 4.2(ii). On a donc ¯

¯

HSC S HSC (SAunip (V ), f¯sc ) =



¯

¯

HSC c[dV ]δ[dV ]S HSC (SAunip (V ), f¯[dV ]sc ).

˙ rel d V ∈D V

Appliquons la proposition 4.6. Elle se simplifie ici. En effet, puisque H est une don¯ = τ (H). ¯ ¯ SC , on a AH¯ = AG¯ = {1}, donc τ  (H) née endoscopique elliptique de G SC ¯ SC ) = τ (H ¯ SC ) = 1 d’après le théorème de On a de même AH¯ SC = {1}, donc τ  (H ¯ SC H ¯ −1 SAH¯ (V ). (V )) = τ (H) Lai ([52] théorème 1.2). On obtient que ι∗H¯ SC ,H¯ (SAunip unip rel ˙ Pour tout dV ∈ D , on a alors l’égalité V

¯ SC ¯ H ¯ −1 S H¯ (SAH¯ (V ), f¯[dV ]). (V ), f¯[dV ]sc ) = τ (H) S HSC (SAunip unip

La formule (1) se récrit 





˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G,  ¯ ¯ ¯ H ¯ ¯ −1 ˜ |τ (H) c[dV ]δ[dV ]S H (SAH = C(G)|W unip (V ), f [dV ]). ˙ rel d V ∈D V

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

833

On a fixé le triplet (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H) au début du paragraphe précédent. Faisons-le varier, en le notant j. Dans la formule ci-dessus, seul le terme δ[dV ] en dépend, on le note désormais δj [dV ]. En reprenant la définition de 5.3, la formule ci-dessus conduit à l’égalité

(2)

˜ ˜ ˜ (H) ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 C(G)τ   ¯ ¯ ¯ c[dV ]S H (SAH δj [dV ]. unip (V ), f [dV ]) ˙ rel d V ∈D V

j∈J (H)

VII.6 Calculs de facteurs de transfert VII.6.1 Rappels cohomologiques Rappelons quelques définitions usuelles. Soient T1 et T2 deux tores définis sur F et ϕ : T1 → T2 un homomorphisme défini sur F . On définit les groupes de cohomologie ϕ ϕ – H 1,0 (F ; T1 → T2 ) = H 1,0 (ΓF ; T1 (F¯ ) → T2 (F¯ )) ; ϕ

– H 1,0 (AF ; T1 → T2 ) ; c’est la limite inductive sur les extensions galoisiennes ϕ finies E de F des groupes H 1,0 (Gal(E/F ); T1 (AE ) → T2 (AE )) ; on peut aussi dire qu’en notant AF¯ la limite inductive des AE , c’est le groupe ϕ

H 1,0 (ΓF ; T1 (AF¯ ) → T2 (AF¯ )); ϕ

– H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ) : c’est la limite inductive comme ci-dessus des groupes ϕ H 1,0 (Gal(E/F ); T1 (AE )/T1 (E) → T2 (AE )/T2 (E)) ; ou encore c’est le groupe ϕ H 1,0 (ΓF ; T1 (AF¯ )/T1 (F¯ ) → T2 (AF¯ )/T2 (F¯ )) ; ϕ

ϕ

– pour toute place v, H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ) = H 1,0 (ΓFv ; T1 (Fv ) → T2 (Fv )) ; ϕ

– pour une place v finie où T1 et T2 sont non ramifiés, H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) = nr ϕ nr nr nr H 1,0 (Γnr v ; T1 (ov ) → T2 (ov )) (on rappelle que Γv = Gal(Fv /Fv )). ϕ

Ce dernier s’envoie injectivement dans H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ). Le groupe ϕ

H 1,0 (AF ; T1 → T2 ) ϕ

est isomorphe au produit restreint des H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ), la restriction étant ϕ relative aux sous-groupes H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) définis pour presque tout v. Dans l’appendice C de [48], Kottwitz et Shelstad définissent une topologie ϕ sur H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ), qui en fait un groupe localement compact. Ils défiϕ ˆ nissent un accouplement entre ce groupe et le groupe H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ). De cet accouplement se déduit un homomorphisme surjectif (1)

ϕ ˆ ϕ H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ) → Homcont (H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ), C× ),

834

Chapitre VII. Descente globale

où, pour deux groupes topologiques X et Y , Homcont (X, Y ) désigne le groupe des homomorphismes continus de X dans Y . Il y a une suite exacte ϕ ˆ Tˆ2ΓF → Tˆ1ΓF → H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ).

D’après le lemme C.2.C de [48], on a (2) le noyau de (1) est l’image de Tˆ1ΓF ,0 par le second homomorphise de la suite ci-dessus. Considérons maintenant – deux autres tores T1 et T2 définis sur F et un homomorphisme ϕ : T1 → T2 défini sur F ; – deux groupes diagonalisables Z1 et Z2 définis sur F et un homomorphisme ψ : Z1 → Z2 défini sur F ; – des diagrammes commutatifs et équivariants pour les actions galoisiennes Z1 ↓ T1

ψ

→ Z2 ↓ ϕ

→

et

T2

ψ

Z1 ↓

→ Z2 ↓

T1

→

ϕ

T2 .

On suppose que ces diagrammes sont des quasi-isomorphismes. Cela signifie qu’il s’en déduit des isomorphismes entre groupes de cohomologie, c’est-à-dire entre – le noyau ker(ψ) et le noyau ker(ϕ), resp. ker(ϕ ) ; – le conoyau coker(ψ) et le conoyau coker(ϕ), resp. coker(ϕ ). On a alors des homomorphismes naturels ψ



H 1,0 (F ; Z1 → Z2 )



ϕ

ϕ

H 1,0 (F ; T1 → T2 ) .

H 1,0 (F ; T1 → T2 )

Les deux flèches descendantes sont des isomorphismes. On en déduit un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (F ; T1 → T2 )  H 1,0 (F ; T1 → T2 ). De même, pour toute place v, on a un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (Fv ; T1 → T2 )  H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ). ϕ

On vérifie que, pour presque tout v, cet isomorphisme identifie H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) ϕ



à H 1,0 (ov ; T1 → T2 ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

835

On en déduit un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (AF ; T1 → T2 )  H 1,0 (AF ; T1 → T2 ). On a aussi un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 )  H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ). La preuve est plus délicate mais routinière et on la laisse au lecteur. Tous ces isomorphismes sont «fonctoriels» et compatibles aux suites exactes de cohomologie.

VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne On sait définir les groupes de cohomologie abélienne d’un groupe réductif connexe défini sur F . Ce sont les groupes de cohomologie d’un complexe de tores. Considérons l’exemple de G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . On peut 0 (F ; G) = H 1,0 (F ; Tsc → T ), prendre pour complexe Tsc → T . Ainsi, on définit Hab 1 2,1 Hab (F ; G) = H (F ; Tsc → T ). Les nombres (i + 1, i) en exposants indiquent que ces groupes classifient des cocycles qui sont des paires de cochaînes, la première étant de degré i + 1 à valeurs dans Tsc , la seconde étant de degré i à valeurs dans i i (Fv ; G) pour v ∈ Val(F ), Hab (AF ; G) et T . On définit de même les groupes Hab i Hab (AF /F ; G). Le choix du tore T n’importe pas. Plus généralement, introduisons le tore T ∗ de G, muni de l’action quasi-déployée et fixons un cocycle ωT  : ΓF → W . Définissons le tore T  comme étant égal à T ∗ , mais muni de l’action galoisienne  ∗ σ → ωT  (σ) ◦ σG∗ . On définit aussi Tsc comme étant égal à Tsc muni de l’action  précédente. Le tore T n’a pas de raison d’être isomorphe à un sous-tore de G mais les considérations du paragraphe précédent montrent que l’on peut aussi bien dé finir les groupes de cohomologie abélienne de G à l’aide du complexe Tsc → T .   En effet, les complexes Tsc → T et Tsc → T sont tous deux quasi-isomorphes au complexe Z(GSC ) → Z(G). Soit v ∈ Val(F ) − V . On peut choisir un sous-tore maximal Tv de G défini sur Fv et non ramifié. On définit alors i (ov ; G) = H i+1,i (ov ; Tsc,v → Tv ). Hab 1 0 (ov ; G) = {0} tandis que Hab (ov ; G) Cela ne dépend pas du choix de Tv . On a Hab 0 est l’image naturelle de Tv (ov ) dans Hab (Fv ; G) ([48] lemme C.1.A ; rappelons que 0 (Fv ; G) s’identifie à G(Fv )/π(GSC (Fv ))). L’assertion 1.5(2) peut se reformuler Hab ainsi 0 0 (1) Hab (ov ; G) est l’image naturelle de Kv dans Hab (Fv ; G). 0 0 On notera plus simplement Gab (Fv ) = Hab (Fv ; G) et Gab (ov ) = Hab (ov ; G). La définition des groupes de cohomologie abélienne s’étend aux groupes non connexes mais quasi-connexes, cf. [51] 1.6. Il faut dans ce cas utiliser des complexes de tores de longueur 3. Considérons par exemple un élément semi-simple γ ∈

836

Chapitre VII. Descente globale

˜ ), posons Iγ = Z(G)θ Gγ . Fixons un sous-tore maximal T de Gγ , notons T G(F son commutant dans G et T,sc l’image réciproque de T dans Gγ,SC . Alors les groupes de cohomologie abélienne de Iγ sont définis à l’aide du complexe T,sc → 1−θ

1−θ

1 (F ; Iγ ) = H 2,1,0 (F ; T,sc → T → (1 − θ)(T )). T → (1 − θ)(T ). Par exemple, Hab L’homomorphisme de complexes

Z(Gγ,SC ) → Z(Iγ ) ↓ ↓ T,sc

→

T

1−θ

→

(1 − θ)(Z(G)) ↓

1−θ

(1 − θ)(T )

→

est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire qu’il s’en déduit des isomorphismes entre groupes de cohomologie. Les considérations du paragraphe précédent s’étendent aux complexes de longueur finie quelconque, avec les mêmes conséquences. Identifions W Gγ au groupe de Weyl de T dans Gγ et fixons un cocycle ωT  : ΓF → W Gγ . Définissons le tore T  comme étant égal à T , muni de l’action galoisienne  σ → ωT  ◦ σ. On définit de même les tores T et T,sc . Alors on peut aussi bien définir les groupes de cohomologie abélienne de Iγ à l’aide du complexe de tores 1−θ

 T,sc → T  → (1 − θ)(T  ).

VII.6.3 Un lemme de densité 0 0 Il y a un homomorphisme naturel de Hab (F ; G) dans Hab (AF ; G) dont on note 0 l’image Im(Hab (F ; G)). Cette image est discrète pour la topologie naturelle de 0 (AF ; G) ([48] lemme C.3.A). D’autre part, pour toute place v, il y a un hoHab 0 momorphisme naturel G(Fv ) → Gab (Fv ) = Hab (Fv ; G). Il est continu et ouvert. Il est surjectif si v est finie. L’assertion 6.2(1) montre qu’il s’en déduit un homomor0 (AF ; G). Plus précisément, notons V∞ l’ensemble des places phisme G(AF ) → Hab 0 (AVF∞ ; G), l’asarchimédiennes de F . En définissant de façon évidente le groupe Hab V∞ V∞ 0 sertion 6.2(1) montre que l’homomorphisme G(AF ) → Hab (AF ; G) est continu, ouvert et surjectif.

Lemme. L’homomorphisme 0 0 (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) G(AF ) → Hab

est continu, ouvert et surjectif. Preuve. Le fait qu’il soit continu et ouvert résulte de ce que l’on a dit ci-dessus. D’après le lemme C.5.A de [48], la projection de 0 (F ; G)) Im(Hab

dans

 v∈V∞

0 Hab (Fv ; G)

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

837

est dense. Il revient au même de dire que l’image de 0 Hab (AVF∞ ; G) dans

0 0 Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G))

est dense, ou encore que l’image de G(AVF∞ ) dans ce quotient est dense. A fortiori, l’homomorphisme de l’énoncé est d’image dense. Cette image étant un sous-groupe 0 0 ouvert, elle est égale au groupe Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) tout entier. 

VII.6.4 Fibres de la descente ¯ H, ¯ s¯) ∈ E ˆ¯ On conserve la donnée H = (H, T

ad ,•

¯ V ) fixée en 5.3, soumise à la (G,

= ∅ pour tout v ∈ V posée en 5.6. On veut décrire l’ensemble J (H). ˆ¯ et H. ˆ¯ On peut identifier le On a fixé en 5.2 des paires de Borel des groupes G ˆ¯ ˆ ˆ Tˆ) et celui de la seconde à Tˆ¯ad = Tˆ¯/Z(G). tore T¯ de la première paire à Tˆ /(1 − θ)( Les actions galoisiennes sur ces tores sont de la forme σ → σG¯ = ωG¯ (σ)σG∗ et σ → σH¯ = ωH¯ (σ)σG¯ , où ωG¯ est un cocycle à valeurs dans W θ et ωH¯ est un cocycle ¯ ¯ On peut à valeurs dans W G . On a fixé en 5.6 une paire de Borel (BH¯ , SH¯ ) de H. ˆ ¯ ˆ identifier le tore dual SH¯ à Tad muni d’une action galoisienne σS = ωS,H¯ (σ)σH¯ , ¯ où ωS,H¯ est un cocycle de ΓF dans W H . On pose condition

Dvrel

ωS (σ) = ωS,H¯ (σ)ωH¯ (σ)ωG¯ (σ). On vérifie que ωS : ΓF → W θ est un cocycle pour l’action quasi-déployée σ → σG∗ de ΓF sur W θ . Introduisons le tore Sˆ isomorphe à Tˆ, muni de l’action galoisienne ˆ¯ On fixe des χ-data ˆ S))/Z( ˆ ˆ σS = ωS (σ)σG∗ . Alors SˆH¯ s’identifie à (S/(1 − θ)( G). ˆ ˆ ˆ θ,0 , définies sur F . On définit pour l’ensemble des racines du tore Sˆθ,0 dans G comme dans le cas local (cf. [I] 2.2) une cochaîne WF w

ˆ θˆ → G SC → rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) .

D’après [59] paragraphe 2.6, c’est un cocycle. Il prend ses valeurs dans le normaliˆ θˆ . En le poussant en un cocycle à valeurs dans W θ , on obtient sateur de Tˆ dans G SC ωS (relevé en un cocycle défini sur WF ). ˆ On ¯ On écrit G = (G , G  , sθ). Considérons un élément (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H).  ¯ G  H se rappelle que ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) et que W = W (μ ). On pose  ωS,G (σ) = ωS,H¯ (σ)ωG¯  (σ). On vérifie que ωS,G est un cocycle de WF dans W G ˆ (muni de l’action galoisienne provenant de G ). Le tore Sˆθ,0 s’identifie au sousˆ ˆ  . Par cette identification, l’action σ → σS coïncide tore maximal Tˆ  = Tˆθ,0 de G avec σ → ωS,G (σ)σG . Comme dans le cas local, des χ-data que l’on a fixées se ˆ déduisent de telles données pour l’ensemble des racines du tore Sˆθ,0 dans le groupe ˆ  . On définit comme ci-dessus le cocycle G WF w

ˆ → G SC  → rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) .

838

Chapitre VII. Descente globale

Pour w ∈ WF , on fixe un élément gw = (g(w), w) ∈ G  tel que adgw coïncide avec ˆ  . On pose wG sur G nG (ωS (w))g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . tS (w) = rˆS (w)ˆ ˆ Ce n’est pas forcément un cocycle, mais son C’est une cochaîne à valeurs dans S. ˆ θ,0 ˆ ˆ en est un, parce que g(w) est bien déterminé modulo image tS : WF → S/S ˆ θ,0 ˆ T . Pour la même raison, ce cocycle ne dépend pas du choix de gw , ni de celui des épinglages nécessaires pour définir les sections de Springer. Notons s l’image ˆ ˆ  Tˆad . On vérifie que le couple (t , s) est un élément de G) de s dans Sˆad = S/Z( S ˆ 1− θ ˆ θ,0 1,0 ˆ ˆ ˆ Z (WF ; S/S → Sad ). Posons ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad )

et notons encore (tS , s) la classe dans P du cocycle précédent. On a ainsi défini une application p:

J (H) j = (G , μ , ωG¯  )

→ P → p(j) = (tS , s).

˜ ω, V ) est un ensemble de représentants de données enL’ensemble ETˆ (G, doscopiques modulo Tˆ-équivalence. Evidemment, l’application ci-dessus peut se définir sur toutes les données et pas seulement sur un ensemble de représentants. Montrons qu’alors, elle se quotiente par cette Tˆ -équivalence. En effet, remplaçons la donnée G précédente par une donnée Tˆ -équivalente. Cette nouvelle ˆ −1 z), avec x ∈ Tˆ et z ∈ Z(G). ˆ L’endonnée est de la forme (G , xG  x−1 , xsθ(x)   ˜ semble Stab(G (F )) ne change pas et le couple (μ , ωG¯  ) est encore un élément de cet ensemble. Dans les constructions précédentes, on peut remplacer le conG (ωS,G (w)) par w → xˆ rS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))x−1 et gw par cycle w → rˆS,G (w)ˆ −1 −1 xgw x , donc g(w) par xg(w)wG (x) . Cela remplace tS (w) par nG (ωS (w))wG (x)g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 x−1 . rˆS (w)ˆ nG (ωS (w))◦wG =wS sur Tˆ , donc le terme précédent est wS (x)tS (w)x−1. On a rˆS (w)ˆ ˆ Evidemment, s est remplacé par (1 − θ)(x)s. Mais le couple formé du cocycle −1 ˆ est cohomologue à (tS , s), ce qui w → wS (x)tS (w)x et de l’élément (1 − θ)(x)s démontre l’assertion. On a des homomorphismes naturels ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆad )) ˆ Sˆθ,0 → Sad ) → H 0 (WF ; Sˆad /(1 − θ)( P = H 1,0 (WF ; S/ → H 0 (WF ; SˆH¯ ) = SˆΓ¯F . H

On note p1 leur composé.

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

839

Le diagramme commutatif

1 ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ 1

→ 1−θˆ

→

1−θˆ

→

1 ↓ ˆ Z(G) ↓ Sˆ ↓ Sˆad ↓ 1

fournit un homomorphisme naturel ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 ˆ → Sad ) → H 1 (WF ; Z(G)), p2 : P = H 1,0 (WF ; S/

puis ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ p2 : P → H 1 (WF ; Z(G))/ Soit v ∈ Val(F ) − V , notons Iv le groupe d’inertie de ΓFv . C’est aussi un sous-groupe de WFv . Remarquons que l’on n’a pas supposé que le tore S était non ramifié hors de V . On a un diagramme

ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad )

resIv

→

ˆ Sˆsc ))Iv (Sˆsc /(1 − θ)(  ˆ θˆ 1−θ ˆ 1,0 → Ssc ) H (Iv ; Sˆsc /Sˆsc ↓ ϕv ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (Iv ; S/ → Sad ).

ˆ SC . Son groupe On a noté comme toujours Sˆsc l’image réciproque de Sˆ dans G θˆ θˆ ˆ ˆ de points fixes Ssc est connexe et l’homomorphisme 1 − θ est injectif sur Sˆsc /Sˆsc . L’isomorphisme du haut en résulte, par la suite exacte de [48] p.119. L’homomorphisme resIv est la restriction. On note P (H) l’ensemble des p ∈ P tels que – p1 (p) = s¯ ; – p2 (p) = a ; – pour tout v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Proposition. L’application p est injective. Son image est P (H). Preuve. On commence par prouver l’injectivité. Considérons deux éléments (G1 , μ1 , ωG¯ 1 ) et (G2 , μ2 , ωG¯ 2 ) de J (H) ayant même image par p. On affecte les termes attachés à chacune des données d’un indice 1 ou 2. Les deux cocycles

840

Chapitre VII. Descente globale

(tS,1 , s1 ) et (tS,2 , s2 ) sont cohomologues. On a prouvé que remplacer la donnée G2 par une donnée Tˆ -équivalente remplaçait le cocycle (tS,2 , s2 ) par un cocycle cohomologue. En reprenant la preuve, on voit qu’à l’inverse, on peut remplacer G2 par une donnée Tˆ -équivalente de sorte que les deux cocycles (tS,1 , s1 ) et (tS,2 , s2 ) soient égaux. Alors les images de s1 et s2 dans Tˆad sont égales. A équivalence près, ˆ 1 = G ˆ 2 . Notons simplement G ˆ  ce groupe. Pour on peut supposer s1 = s2 . Alors G σ ∈ ΓF , on a l’égalité ωG¯ 1 (σ)ωG1 (σ)σG∗ = ωG¯ 2 (σ)ωG2 (σ)σG∗ parce que chacun des deux termes est égal à ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ . Mais, pour i = 1, 2, ˆ ˆ  , tandis que ωGi (σ)σG∗ conserve l’ensemble des racines positives de Tˆθ,0 dans G  ωG¯ i (σ) appartient à W G . Une décomposition en produits de termes vérifiant ces propriétés est unique. D’où les égalités (1)

ωG¯ 1 = ωG¯ 2 et ωG1 = ωG2 .

ˆ 2 est compatible aux actions gaˆ 1 = G La seconde égalité signifie que l’égalité G  loisiennes. Dualement, on peut supposer G1 = G2 . Pour w ∈ WF , les termes qui interviennent dans la construction de tS,1 (w) et tS,2 (w) sont égaux, à l’exception peut-être de g1 (w) et g2 (w). L’égalité tS,1 (w) = tS,2 (w) entraîne donc que ˆ ˆ  g1,w . Pour i = 1, 2, G  est g2 (w) ∈ Tˆ θ,0 g1 (w) pour tout w ∈ WF . Donc gw,2 ∈ G i   ˆ engendré par G et les gw,i pour w ∈ WF . Donc G1 = G2 . Cela prouve que, quitte à remplacer G2 par un élément Tˆ -équivalent, on a l’égalité G1 = G2 . Puisque les deux éléments de départ appartiennent à un ensemble de représentants modulo Tˆ -équivalence, ces deux éléments de départ sont en fait égaux. Enfin, on a l’égalité μ1 = μ2 = μ. D’où, grâce à (1), (G1 , μ1 , ωG¯ 1 ) = (G2 , μ2 , ωG¯ 2 ). Cela prouve l’injectivité de p. Montrons maintenant que p(J (H)) ⊂ P (H). Soit j = (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). ˆ On lui associe le cocycle p = (t , s). Le fait que p1 (p) = On écrit G = (G , G  , sθ). S s¯ est immédiat. Concrètement, l’image z = p2 (p) se construit ainsi. Le cocycle (tS , s) se relève ˆ est défini par en la cochaîne (tS , s). Le cocycle z : WF → Z(G) −1 ˆ z(w). (1 − θ)(t S (w)) = wS (s)s

ˆ on a nG (ωS (w)) est fixe par θ, Parce que rˆS (w)ˆ ˆ (1 − θ)(t S (w)) # $ = θˆ rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))g(w) g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 # $ −1 ˆ = s−1 sθˆ rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) s−1 sθ(g(w))g(w) n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . ˆ D’autre part, ˆ  , ce terme est fixe par ads ◦θ. Parce que rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) ∈ G on a une égalité ˆ sθ(g(w)) = a(w)g(w)wG∗ (s),

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

841

ˆ d’image a dans où a est un cocycle à valeurs dans Z(G), ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ H 1 (WF ; Z(G))/ On obtient ˆ (1 − θ)(t S (w)) = a(w)s−1 rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))g(w)wG∗ (s)g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . Mais adnˆ G (ωS,G (w))g(w) ◦wG∗ = wS . D’où

−1 ˆ (1 − θ)(t wS (s). S (w)) = a(w)s

Alors le cocycle z est égal à a. Il s’ensuit que p2 (p) = a. Soit v ∈ Val(F ) − V . Pour w ∈ Iv , on peut prendre g(w) = 1 puisque G est non ramifié en v. Alors les termes intervenant dans la définition de tS (w) ˆ SC . On peut considérer tS comme une cochaîne à valeurs appartiennent tous à G ˆ dans Ssc . C’est encore un cocycle. On en déduit un cocycle encore noté tS à valeurs θˆ . On fixe un élément ssc ∈ Sˆsc ayant même image que s dans Sˆad . Le dans Sˆsc /Sˆsc même calcul que ci-dessus montre que le couple (tS , ssc ) est un cocycle et définit ˆ θˆ 1−θ ˆ un élément de H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ). Il est clair que resIv (tS , s) est l’image par ϕv de ce cocycle. Cela achève de prouver que p = (tS , s) appartient à P (H). Réciproquement, soit p ∈ P (H). On représente p par un cocycle (tS , s). On ˆ 0 . On munit ce groupe d’une ˆ  = Z ˆ (sθ) relève s en un élément s ∈ Tˆ . On pose G G ˆ ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 paire de Borel épinglée dont la paire sous-jacente soit (B ). ˆ Parce que Sˆθ,0 est connexe, l’homomorphisme ˆ

ˆ → H 1 (WF ; S/ ˆ Sˆθ,0 ) H 1 (WF ; S) ˆ est surjectif, cf. [56] p. 719 (1). On relève tS en un cocycle tS à valeurs dans S. Pour w ∈ WF , posons nG (ωS (w)), u(w) = tS (w)−1 rˆS (w)ˆ puis uw = (u(w), w) ∈ L G. On vérifie que w → uw est un homomorphisme de WF ˆ dont l’image dans L G. Parce que p2 (p) = a, il existe un cocycle a : WF → Z(G), ˆ ker1 (F, Z(G)) ˆ est a, tel que dans le groupe H 1 (WF ; Z(G))/ (2)

ˆ S (w)) = wS (s)s−1 a(w) (1 − θ)(t

pour tout w ∈ WF . Montrons que l’on a −1 ˆ = a(w)u(w) pour tout w ∈ WF . (3) sθ(u(w))w G∗ (s)

842

Chapitre VII. Descente globale

ˆ on a Parce que rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) est fixe par θ, −1 ˆ ˆ S (w))−1 rˆS (w)ˆ sθ(u(w))w = sθ(t nG (ωS (w))wG∗ (s)−1 . G∗ (s)

Parce que wS = adrˆS (w)ˆnG (ωS (w)) ◦wG∗ , on obtient −1 ˆ S (w))−1 wS (s)−1 rˆS (w)ˆ ˆ = sθ(t nG (ωS (w)). sθ(u(w))w G∗ (s)

En utilisant (2), on obtient −1 ˆ sθ(u(w))w = a(w)tS (w)−1 rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) = a(w)u(w). G∗ (s)

Cela prouve (3). ˆ donc aussi sa La relation (3) entraîne aisément que aduw normalise ZGˆ (sθ),   ˆ ˆ composante neutre G . Alors l’ensemble G {uw ; w ∈ WF } est un groupe. Notons-le G  . On a la suite exacte ˆ  → G  → WF → 1 1→G qui est scindée par l’homomorphisme u. Comme toujours, pour w ∈ WF , on peut ˆ  uw tel que adgw conserve l’épinglage fixé de G ˆ  . Alors fixer un élément gw ∈ G  ˆ w → adgw munit G d’une action galoisienne préservant l’épinglage. On introduit ˆ  , muni de son action le groupe réductif connexe G sur F , quasi-déployé, tel que G  ˆ galoisienne, soit le groupe dual de G . La relation (3) montre que G = (G , G  , sθ) ˜ a). est une donnée endoscopique pour (G, G, Montrons que (4) cette donnée endoscopique est non ramifiée hors de V . Soit v ∈ V . On sait resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Fixons un cocycle ˆ θˆ 1−θ ˆ ∈ H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ) tel que resIv (p) = ϕv (tS,sc , ssc ). Cela signiˆ sc et tS (w) = t (w)wS (x)x−1 fie qu’il existe x ∈ Sˆ tel que l’on ait s ∈ Z(G)xs S,sc pour tout w ∈ Iv (en identifiant un élément de GSC à son image dans G). On ˆ On remplace (t , ssc ) par le cocycle écrit x = zxsc , avec xsc ∈ Sˆsc et z ∈ Z(G). S,sc  cohomologue (tS,sc , ssc ) défini par tS,sc (w) = tS,sc (w)wS (xsc )x−1 sc et ssc = ssc xsc . −1 ˆ sc et t (w) = t Les relations deviennent s ∈ Z(G)s pour σ ∈ Iv . S S,sc (w)wS (z)z ˆ Elles y sont non ramiMais toutes les actions galoisiennes coïncident sur Z(G). fiées en v puisque v ∈ Vram . Donc wS (z) = z pour w ∈ Iv et on a simplement θˆ est connexe, le résultat de [56] cité tS (w) = tS,sc (w) pour w ∈ Iv . Parce que Sˆsc ci-dessus permet de relever tS,sc en un cocycle tS,sc à valeurs dans Sˆsc . En se rapˆ SC , on nG (ωS (w)) est naturellement un élément de G pelant que le terme rˆS (w)ˆ −1 ˆ nG (ωS (w)) ∈ GSC . Parce que (tS,sc , ssc ) est un définit usc (w) = tS,sc (w) rˆS (w)ˆ cocycle, le même calcul qu’en (3) montre que (tS,sc , ssc )

ˆ sc (w))wG∗ (ssc )−1 = usc (w) ssc θ(u

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

843

pour w ∈ Iv . On a en fait wG∗ (ssc ) = ssc puisque l’action w → wG∗ est non ramifiée. Donc usc (w) appartient au groupe des points fixes de l’automorphisme ˆ SC . Ce dernier groupe étant simplement connexe, le groupe de points adssc ◦θˆ de G ˆ est la composante neutre du groupe des points fixes est connexe. Son image dans G ˆ  ˆ ˆ fixes de ads ◦θ, c’est-à-dire G . Il résulte des définitions que u(w) ∈ Sˆθ,0 usc (w) pour ˆ  pour w ∈ Iv . Alors (1, w) = u(w)−1 uw ∈ G  , ce qui est la w ∈ Iv . Donc u(w) ∈ G condition pour que la donnée G soit non ramifiée en v. Cela prouve (4). Par construction, l’élément u(w) normalise Tˆ. La relation (3) entraîne que ˆ Il en résulte que l’élément g(w) défini par gw = son image dans W est fixe par θ. (g(w), w) a les mêmes propriétés. On note ωG (w) son image dans W θ et on note ωS,G (w) l’élément de W θ tel que l’image de u(w) dans W soit ωS,G (w)ωG (w). ˆ  uw , on a en fait ωS,G (w) ∈ W G . Il est clair que les applications Parce que gw ∈ G ωG et ωS,G , qui sont définies sur WF , se factorisent en des applications continues sur ΓF . La définition de uw entraîne l’égalité ωS,G (σ)ωG (σ) = ωS (σ) = ωSH¯ (σ)ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Comme en 1.7, l’élément μ s’identifie à un élément μ ∈ ˜  ), où T  ∗ est le tore de G . Les calculs de systèmes de racines T  ∗ ×Z(G ) Z(G ¯ de ce paragraphe et l’hypothèse p1 (p) = s¯ entraînent que le groupe W H s’identifie G  au groupe W (μ ). Le terme ωSH¯ (σ) appartient à ce groupe. Posons ωG¯  (σ) = ωSH¯ (σ)−1 ωS,G (σ). 

On a ωG¯  (σ) ∈ W G et l’égalité précédente se récrit (5)

ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ).

D’où aussi ωG¯  (σ)σG = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ . Le membre de droite fixe μ donc celui de gauche fixe μ . Le membre de droite ¯ donc celui de gauche conserve conserve l’ensemble des racines positives de H, G   ˜  (F )). La relation (5) enl’ensemble Σ+ (μ ). Donc (μ , ωG¯  ) appartient à Stab(G ˜  (F )) dans traîne que cet élément s’envoie sur (μ, ωG¯ ) par l’application de Stab(G ˜ )). D’après 1.7(3), (μ , ωG¯  ) vérifie pour v ∈ V les conditions (nr1), (nr2) Stab(G(F et (nr3) de 1.6, puisque (μ, ωG¯ ) les vérifie. La condition (nr4) résulte de (5) : pour v ∈ V et σ ∈ Iv , on a ωG (σ) = 1 puisque G est non ramifié, ωH¯ (σ) = 1 puisque ˜ (on a imposé S(X , K) ˜ ⊂ V, H est non ramifié, ωG¯ (σ) = 1 puisque v ∈ S(X , K) ˜ ) ⊂ V . cf. 5.1) ; d’où ωG¯  (σ) = 1. Donc S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K En inversant la preuve de 5.2(3), on voit que les hypothèses d’ellipticité de H et de (μ, ωG¯ ) entraînent que G est elliptique et que (μ , ωG¯  ) l’est aussi. En utilisant l’hypothèse p1 (p) = s¯ et la relation (5), on voit que les données (G , μ , ωG¯  ) s’envoient sur H par la construction du paragraphe 5.2. Evidemment, la donnée

844

Chapitre VII. Descente globale

G n’a pas de raison d’appartenir à l’ensemble de représentants des classes de Tˆéquivalence que l’on a fixé, mais on peut la remplacer par l’élément de cet ensemble qui lui est Tˆ -équivalent. Alors (G , μ , ωG¯  ) appartient à l’ensemble J• (H) introduit en 5.4. On rappelle que cet ensemble est défini de façon analogue à J (H), sauf que l’on supprime la condition que G est relevante. Mais on a vu en 5.6(1) que, sous l’hypothèse posée sur H, cette condition de relevance était automatique. Donc (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Il résulte des constructions que l’image de cet élément par p est l’élément p ∈ P (H) dont on est parti. Cela achève la preuve. 

VII.6.5 Dualités On a déjà introduit le groupe ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 → Sad ). P = H 1,0 (WF ; S/

Introduisons le tore S sur F égal à T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ)σG∗ . ˆ Introduisons le groupe Son dual est S. 1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Comme on l’a dit en 6.1, Kottwitz et Shelstad définissent une topologie sur Q, pour laquelle ce groupe est localement compact, ainsi qu’un accouplement entre P et Q. On a (1) l’accouplement entre P et Q identifie P au groupe Homcont (Q, C× ) des homomorphismes continus de Q dans C× . D’après 6.1(2), il suffit de prouver que l’homomorphisme 1−θˆ ΓF ,0 SˆΓF ,0 → Sˆad

ˆ¯ Elle est ˆ ˆ S) ˆ → SˆH¯ de noyau Z(G). est surjectif. On a une projection S/(1 − θ)( ¯ v pour équivariante pour les actions galoisiennes. Le tore SH¯ est elliptique dans H toute place non-archimédienne v ∈ V . Cet ensemble de places est non vide puisque V contient Vram , lequel contient les places de caractéristique résiduelle 2, 3 et 5. ¯ De plus H ¯ est une donnée elliptique pour G ¯ SC . Donc SH¯ est elliptique dans H. Γ ,0 ˆ F Γ ,0 Γ ,0 ˆ S)) ¯ F . Mais (μ, ωG¯ ) ˆ ˆ F ⊂ Z(G) Il en résulte que SˆH¯ = {1}. Donc (S/(1 − θ)( ˆ Γ ,0 Γ ¯ F est l’image naturelle de Z(G) ˆ F ,0 . Il en résulte que est elliptique. Donc Z(G) ˆ Sˆad ))ΓF ,0 = {1}. C’est équivalent à la surjectivité cherchée.  (Sˆad /(1 − θ)( Pour une place v ∈ Val(F ), on pose ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 Pv = H 1,0 (WFv ; S/ → Sad )

et 1−θ

Qv = H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

845

On note resv : P → Pv l’homomorphisme de restriction et ιv : Qv → Q l’homomorphisme naturel. On note ˆ p2,v : Pv → H 1 (WFv ; Z(G)) l’analogue local de l’homomorphisme p2 . On a rappelé en 5.5 le groupe G = G/Z(G)θ . On a le diagramme commutatif Ssc ↓ Ssc ↓

→

Ssc

1−θ

→ →

S ↓ S/Z(G)θ ↓1−θ (1 − θ)(S) .

Comme on l’a dit en 6.2, le groupe Gab (Fv ) peut se définir à l’aide du complexe Ssc → S. De même, G,ab (Fv ) peut se définir à l’aide du complexe Ssc → S/Z(G)θ . On déduit du diagramme ci-dessus un diagramme commutatif Gab (Fv ) ↓

 ζv  ζ ,v

Qv .

G,v Enfin, on note q1 : H 1 (AF /F ; SH¯ ) → Q l’homomorphisme déduit de l’homomorphisme SH¯ → Ssc dual de Sˆad → SˆH¯ . Proposition. (i) Pour toute place v, le noyau de p2,v ◦ resv est l’annulateur dans P de ιv ◦ ζ v (Gab (Fv )). (ii) Pour toute place v ∈ V , le sous-groupe des p ∈ P tels que resIv appartienne à l’image de ϕv est l’annulateur dans P de ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov ). (iii) Le noyau de p1 est l’annulateur dans P de l’image de q1 . ΓF Preuve. L’accouplement entre H 1 (AF /F ; SH¯ ) et SˆH ¯ identifie le second groupe à celui des homomorphismes continus du premier dans C× . Comme dans la preuve de (1), cela résulte de [48] lemme C.2.C et de l’ellipticité de SH¯ . Alors p1 s’identifie à l’homomorphisme

Homcont (Q, C× ) → Homcont (H 1 (AF /F ; SH¯ ), C× ) déduit par dualité de q1 . L’assertion (iii) résulte de la propriété générale suivante : si f : X → Y est un homomorphisme continu entre groupes abéliens localement compacts, le noyau de l’homomorphisme dual f D : Homcont (Y, C× ) → Homcont (X, C× ) est l’annulateur de l’image de f .

846

Chapitre VII. Descente globale

Soit v une place de F . On a un diagramme P Q

resv

→

Pv

ι

Qv

v ←

p2,v

→

ˆ H 1 (WFv ; Z(G))

←

Gab (Fv ) .

ζv

ˆ Il y a des accouplements entre P et Q, entre Pv et Qv et entre H 1 (WFv ; Z(G)) et Gab (Fv ). On a déjà dit que, par le premier accouplement, P s’identifiait à ˆ s’identifie à Homcont (Q, C× ). On sait aussi que, par le dernier, H 1 (WFv ; Z(G)) × Homcont (Gab (Fv ), C ). On vérifie que p2,v ◦ resv s’identifie à l’homomorphisme Homcont (Gab (Fv ), C× ) → Homcont (Q, C× ) dual de ιv ◦ζ v . L’assertion (ii) résulte alors du même principe général que ci-dessus. Remarque. En général, l’accouplement entre Pv et Qv a un noyau dans Pv , égal Γ ,0 à l’image naturelle de l’homomorphisme SˆadFv → Pv . C’est le conoyau de cet homomorphisme qui s’identifie à Homcont (Qv , C× ). Soit v ∈ V . Notons S = S/Z(G)θ . On a décrit le tore dual Sˆ en [I] 2.7. On a une suite exacte θˆ 1 → Sˆsc /Sˆsc

ˆ (π,1−θ)

→

ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ × Sˆsc → Sˆ → 1.

Il s’en déduit un diagramme commutatif θˆ Sˆsc /Sˆsc ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ Sˆ

1−θˆ

→

1−θˆ

→ →

Sˆsc ↓ Sˆad ↓ Sˆad .

C’est un triangle distingué dans la catégorie des complexes de tores. On obtient un diagramme

P

resv

→

Pv ↓ p2,,v H 1,0 (WFv ; Sˆ → Sˆad )  1 ˆ  )) H (WFv ; Z(G

ResIv

→

Res,Iv

→

Res,Iv

→

ˆ θˆ 1−θ ˆ H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ) ↓ ϕv ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (Iv ; S/ → Sad ) ↓ H 1,0 (Iv ; Sˆ → Sˆad )  1 ˆ  )) . H (Iv ; Z(G

Les deux premiers homomorphismes de la colonne de droite forment une suite exacte. D’autre part, on a l’égalité resIv = ResIv ◦ resv avec la notation ci-dessus.

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

847

Donc, pour p ∈ P , la condition que resIv (p) appartienne à l’image de ϕv est équivalente à ce que p2,,v ◦ resv (p) appartienne au noyau de Res,Iv . Le groupe ˆ  )) s’identifie à Homcont (G,ab (Fv ), C× ). D’après 1.5(4) et 6.2(1), un H 1 (WFv ; Z(G ˆ  )) est annulé par Res,Iv si et seulement si χ annule élément χ ∈ H 1 (WFv ; Z(G G,ab (ov ). La condition que resIv (p) appartienne à l’image de ϕv équivaut donc à l’égalité p2,,v ◦ resv (p),  k = 1 pour  tout k ∈ G,ab (ov ). Mais on a l’égalité < p2,,v ◦ resv (p), k >= p, ιv ◦ ζ ,v (k) . La condition ci-dessus équivaut donc à ce  que p annule ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov )). Cela prouve (ii). Supposons que v soit une place hors de V en laquelle S est non ramifiée. On a alors (2) le groupe ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov )) coïncide avec l’image naturelle dans Q de ((1 − θ)(S))(ov ). Preuve. On a une suite exacte 1−θ

1 → S θ /Z(G)θ → S → (1 − θ)(S) → 1. Il s’en déduit une suite exacte 1−θ

nr nr 1 → (S θ /Z(G)θ )(onr v ) → S (ov ) → ((1 − θ)(S))(ov ) → 1.

Mais le groupe S θ /Z(G)θ est connexe en vertu de l’égalité S θ = S θ,0 Z(G)θ . En prenant les invariants par le groupe de Galois Γnr v , le théorème de Lang implique la surjectivité de l’homomorphisme 1−θ

S (ov ) → ((1 − θ)(S))(ov ). On a le diagramme commutatif S (ov ) ↓ G,ab (Fv )

1−θ

→

→

((1 − θ)(S))(ov ) ↓ Qv .

D’après 1.5(2) et 6.2(1), l’image de S (ov ) dans G,ab (Fv ) coïncide avec G,ab (ov ). Cela conclut. 

VII.6.6 Description d’un annulateur On note P 0 le sous-groupe des p ∈ P tels que – p1 (p) = 0 ; – pour toute place v, p2,v ◦ resv (p) = 0 ; – pour toute place v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Remarquons que l’ensemble P (H) ⊂ P introduit en 6.4 est soit vide, soit une unique classe modulo ce sous-groupe P 0 .

848

Chapitre VII. Descente globale

On a déjà défini l’homomorphisme q1 : H 1 (AF /F ; SH¯ ) → Q. On pose Q1 = H (AF /F ; SH¯ ). Pour toute place v, on a défini des homomorphismes ζ v : Gab (Fv ) → Qv et 0 (AF ; G) → ζ ,v : G,ab (Fv ) → Qv . Ils se globalisent en des homomorphismes ζ : Hab 1

1−θ

1−θ

0 (AF ; G ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)). H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) et ζ  : Hab 1−θ

En poussant le premier par l’application naturelle H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → 0 Q, on obtient un homomorphisme Hab (AF ; G) → Q. Il est clair qu’il annule l’image 0 0 (F ; G)) cette naturelle de Hab (F ; G) dans l’espace de départ. En notant Im(Hab 0 0 image et Q2 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)), on obtient un homomorphisme q2 : 0 0 Q2 → Q. Notons Q3 = v∈V Hab (ov ; G ). C’est un sous-groupe de Hab (AF ; G ). En utilisant l’homomorphisme ζ  , on obtient de même un homomorphisme q3 : Q3 → Q. On note Q0 le sous-groupe de Q engendré par les sous-groupes qi (Qi ) pour i = 1, 2, 3. Lemme. Le groupe Q0 est un sous-groupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q. Le groupe P 0 est l’annulateur de Q0 dans P . Le groupe Q0 est l’annulateur de P 0 dans Q. Preuve. On a une suite d’homomorphismes (1)

1−θ

((1 − θ)(S))(AF ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → Q.

Pour toute place v, le diagramme suivant est commutatif 

S(Fv )

G(Fv ) ↓ ζ

→v

Gab (Fv )



(1 − θ)(S(Fv )) ↓ ((1 − θ)(S))(Fv ) ↓ Qv .

Donc Q0 contient l’image naturelle de (1 − θ)(S(Fv )). Ce groupe s’envoyant sur un sous-groupe ouvert d’indice fini de ((1 − θ)(S))(Fv ), Q0 contient l’image naturelle d’un tel sous-groupe. L’assertion 6.5(2) montre qu’il contient aussi ((1−θ)(S))(ov ) pour presque toute place finie v. Donc Q0 contient l’image par la suite d’homomorphismes (1) d’un sous-groupe ouvert de ((1 − θ)(S))(AF ). D’après la définition de la topologie de Q ([48] page 147), Q0 est donc un sous-groupe ouvert de Q. En [48] page 151, Kottwitz et Shelstad définissent un homomorphisme (2)

1−θ

1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → coker(ASsc → A(1−θ)(S) ).

Cet homomorphisme possède une section naturelle. On a l’égalité AS = ASsc ×AG, d’où A(1−θ)(S) = (1 − θ)(AS ) = (1 − θ)(ASsc ) × (1 − θ)(AG ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

849

Le conoyau ci-dessus est donc isomorphe à (1−θ)(AG ). En reprenant les définitions de [48], on voit que l’image de ce groupe par la section de l’homomorphisme (2) coïncide avec l’image de AG →





G(Fv )

v∈Val∞ (F ) ιv ◦ζ v

−→

Q.

v∈Val∞ (F )

Notons Qc le noyau de (2). On obtient un isomorphisme Q  Qc × (1 − θ)(AG ). C’est un homéomorphisme et le groupe Qc est compact d’après [48] lemme C.2.D. La description que l’on vient de donner de l’image de (1 − θ)(AG ) dans Q montre que ce groupe est contenu dans Q0 . Donc Q0 est le produit de (1 − θ)(AG ) et d’un sous-groupe ouvert de Qc . Ce dernier étant compact, ce sous-groupe est aussi fermé et d’indice fini. D’où la première assertion de l’énoncé. Par définition de P 0 et d’après la proposition 6.5, P 0 est l’annulateur du sous-groupe Q0 de Q engendré par les images des différents homomorphismes décrits dans cette proposition. C’est aussi l’annulateur de l’adhérence Q0 de ce sous-groupe. Tous les groupes décrits dans la proposition 6.5 sont inclus dans Q0 . Donc Q0 ⊂ Q0 et aussi Q0 ⊂ Q0 puisque Q0 est fermé. En sens inverse, Q0 contient q1 (Q1 ). Il contient ιv ◦ ζ v (Gab (Fv )) pour tout v. Il est clair que q2 (Q2 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ). Donc q2 (Q2 ) ⊂ Q0 . De même, Q0 contient ιv ◦ ζ ,v (Gab (ov )) pour tout v ∈ V . Le groupe q3 (Q3 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ) − V . Donc q3 (Q3 ) ⊂ Q0 . Cela démontre que Q0 = Q0 donc que P 0 est l’annulateur de Q0 . Puisque Q0 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de Q, de la dualité entre P et Q se déduit une dualité entre les groupes finis P 0 et Q/Q0 . Alors Q0 est aussi l’annulateur de P 0 dans Q. 

VII.6.7 L’ensemble DAF Pour toute place v ∈ Val(F ), on a défini l’ensemble Dv en 5.4. La condition 5.1(3) signifie qu’il est non vide. On note DAF l’ensemble des familles d = (dv )v∈Val(F ) ˜ F ), où η[d] = (η[dv ])v∈Val(F ) . Soulitelles que dv ∈ Dv pour tout v et η[d] ∈ G(A gnons qu’on n’impose aucune condition «globale» à la famille r[d] = (r[dv ])v∈Val(F ) . On définit de même DAVF en remplaçant l’ensemble d’indices Val(F ) par Val(F )−V . On a l’égalité DAF = DV ×DAVF . Pour un élément d = (dv )v∈Val(F ) , on ˜ v pour presque tout v, donc dv ∈ Dvnr pour presque tout v. Inversement, a η[dv ] ∈ K on a dit en 5.5(2) que le lemme 1.6 impliquait que l’ensemble Dvnr était non vide pour tout v ∈ V . Puisque DV non vide d’après 5.1(3), l’ensemble DAF n’est pas vide lui non plus. On note DAnrV le sous-ensemble des d = (dv )v∈Val(F )−V ∈ DAVF F tels que dv ∈ Dvnr pour tout v ∈ V . Il n’est pas vide lui non plus.

850

Chapitre VII. Descente globale

Soit d = (dv )v∈Val(F ) ∈ DVrel ×DAnrV ⊂ DAF . On peut fixer pour toute place v ∈ F Val(F ) une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6. Rappelons celles-ci. Le tore S[dv ] est défini sur Fv . Le sous-groupe de Borel B[dv ] est défini sur F¯v . La paire (B[dv ], S[dv ]) est conservée par adη[dv ] . Il existe u ∈ Gη[dv ] tel que adr[dv ]u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et que adr[dv ]u se restreigne en un isomorphisme défini sur Fv de S[dv ] sur S (on rappelle que S = T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ)σG∗ ). Nous allons imposer des conditions supplémentaires «globales» à ces paires. On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E ∗ de G, une paire de Borel ¯ et des éléments ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G, ˜ E ∗ ). On a noté θ∗ = ade . On épinglée E¯ de G fixe pour tout σ ∈ ΓF un élément uE ∗ (σ) ∈ GSC (F¯ ) tel que σG∗ = aduE ∗ (σ) ◦σ conserve E ∗ . On peut supposer que σ → uE ∗ (σ) est continue et se factorise par un quotient fini de ΓF . On peut aussi supposer uE ∗ (1) = 1. D’autre part, les ∗ applications σ → ωG¯ (σ) et σ → ωS (σ) sont des cocycles de ΓF dans W θ (muni ∗ de l’action quasi-déployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ GθSC (F¯ ) tel que xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et ait ωS (σ) pour image dans W . On fixe une extension galoisienne finie E de F telle que – E ∗ et E¯ soient définies sur E et G soit déployé sur E ; ˜ E ∗ ; E), x ∈ Gθ∗ (E) ; – ν ∈ T ∗ (E), e ∈ Z(G, SC

– l’application σ → uE ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans GSC (E) : – l’application σ → ωG¯ (σ) se factorise par Gal(E/F ). Il en résulte que toutes les actions galoisiennes coïncident sur ΓE et que tous les groupes qui interviennent sont déployés sur E. Utilisons les définitions de 1.5. Fixons un ensemble fini V  de places de F , contenant V , de sorte que, pour toute place v ∈ V  et toute place w de E au-dessus de v, Ew /Fv soit non ramifiée et que les propriétés suivantes soient vérifiées – Kw est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée E∗ ; ˜ w , ν ∈ T ∗ (ow ), x ∈ Kw et, pour tout σ ∈ ΓF , uE ∗ (σ) ∈ Kw . – e∈K Soit v ∈ Val(F ). Rappelons que v a été prolongée en une place v¯ de F¯ , cf. [VI] 1.1. Le corps F¯v a été identifié à la clôture algébrique de Fv dans le complété de F¯ en v¯. Par abus de notations, notons-le F¯v¯ . Le groupe ΓFv a été identifié au fixateur de v¯ dans ΓF . Notons-le plutôt Γv¯ . On notera sans plus de commentaire w la restriction de v¯ à E. Soit w une autre place de E divisant v. On fixe une fois pour toutes un élément τ ∈ ΓF telle que τ (w) = w (avec τ = 1 dans le cas w = w). v ). De τ se déduit un isomorphisme de F¯v¯ sur F¯v¯ . Pour toute variété Notons v¯ = τ (¯ algébrique X défini sur Fv , on a aussi un isomorphisme τ : X(F¯v¯ ) → X(F¯v¯ ). Pour une paire (B[dv ], S[dv ]) comme ci-dessus, le groupe B[dv ] est précisément défini sur F¯v¯ . En fait, le tore S[dv ] est déployé sur Ew donc tout sous-groupe de Borel contenant ce tore est défini sur Ew . En particulier B[dv ] est défini sur Ew . Notons S[d](AE ) le produit restreint des S[dv ](Ew ) sur toutes les places v ∈ Val(F ) et les

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

851

places w de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S[dv ](ow ) qui sont définis pour presque tous v et w . Le groupe de Galois Gal(E/F ) agit naturellement sur S[d](AE ). Proposition. Soit d = (dv )v∈Val(F ) ∈ DVrel × DAnrV ⊂ DAF . On peut fixer F

– pour toute place v une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6 ; – un élément g = (gw )w ∈Val(E) ∈ GSC (AE ) ; – un élément t = (tw )w ∈Val(E) ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ) ; de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées : ˜ v , alors, pour tout w divisant v, on a S[dv ](ow ) ⊂ Kw , (i) si v ∈ V  et η[dv ] ∈ K gw ∈ Ksc,w et tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(ow ) ; (ii) adg (S[d](AE )) = S(AE ) et adg se restreint en un isomorphisme de S[d](AE ) sur S(AE ) qui est équivariant pour les actions galoisiennes ; (iii) pour toute place v ∈ Val(F ), on a adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et gw appartient à T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]Gη[dv ] (F¯v¯ ) ; (iv) pour toute place v ∈ Val(F ) et toute place w de E divisant v, on a l’égalité gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ), où τ ∈ ΓF est l’élément fixé tel que τ (w) = w ; (v) adg (η[d]) = tη. Remarques. (1) La condition (i) entraîne que S[d](AE ) est contenu dans G(AE ). Cela donne un sens à la condition (ii). (2) On peut choisir arbitrairement la paire (B[dv ], S[dv ]) pour un ensemble fini de places inclus dans V  , pourvu que ces paires satisfassent aux conditions de 5.6. (3) Sous les hypothèses de (i), la première inclusion se généralise en S[dv ](onr v ) ⊂ , on en déduit S[d ](o ) ⊂ K . Kvnr . En prenant les invariants par Γnr v v v v Preuve. Soit v ∈ Val(F ), fixons une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6. On va prouver l’existence de gv = (gw )w |v et tv = (tw )w |v (où w |v signifie que w divise v) vérifiant les analogues des conditions (ii) à (v) où l’on se restreint aux places de E divisant v. Comme on l’a dit, on note w la restriction de v¯ à E. Les tores S[dv ] et T ∗ sont déployés sur Ew . Il en résulte que les groupes de Borel B[dv ] et B ∗ sont définis sur Ew . Il existe donc gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). On fixe un tel élément. L’une des propriétés de la paire (B[dv ], S[dv ]) est qu’il existe u ∈ Gη[dv ] (F¯v¯ ) tel que adr[dv ]u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adgw u−1 r[dv ]−1 conserve (B ∗ , T ∗ ). Cela implique que gw appartient à T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]u. La condition (iii) est donc satisfaite. Soit w une place de E audessus de v. On note τ l’élément fixé de ΓF tel que τ (w) = w . On définit gw par l’égalité de la condition (iv). Montrons que (4) adgw (S[dv ]) = T ∗ ;

852

Chapitre VII. Descente globale

(5) pour σ ∈ Γv¯ et s ∈ S[dv ](F¯v¯ ), on a l’égalité adgw ◦σ(s) = σS ◦ adgw (s), où σS = ωS (σ) ◦ σG∗ ; (6) pour s ∈ S[dv ](F¯v¯ ), on a adg  ◦τ (s) = τS ◦ adgw (s) ; w

(7) il existe tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(Ew ) tel que adgw (η[dv ]) = tw η. La preuve de (4), (5) et (6) est similaire à celle de [VI] 3.6(5) et (6). On la laisse au lecteur. Prouvons (7). Remarquons que, si l’on prouve l’existence de tw ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯v¯ )) satisfaisant l’égalité ci-dessus, on a nécessairement tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(Ew ) puisque les autres termes de cette égalité sont définis sur Ew . Pour w = w, on sait qu’il existe t0 ∈ T ∗ (F¯v¯ ) et u ∈ Gη[dv ] (F¯v¯ ) tels que gw = t0 r[dv ]u. On a alors adgw (η[dv ]) = adt0 ◦ adr[dv ] (η[dv ]) = adt0 (η) = (1 − θ∗ )(t0 )η. D’où l’assertion avec tw = (1 − θ∗ )(t0 ). Pour une autre place w , on a adgw (η[dv ]) = adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦ adτ (gw ) (η[dv ]). ˜ v ). Donc On a τ (η[dv ]) = η[dv ] puisque η[dv ] ∈ G(F adτ (gw ) (η[dv ]) = τ ◦ adgw (η[dv ]) = τ (tw η). L’application τS se prolonge en une application de ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(F¯v¯ ) sur ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(F¯v¯ ) et on a adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (tw ) = τS (tw ). Il reste à prouver que adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))η. On a écrit η = νe. Soit z(τ ) ∈ Z(G) tel que aduE ∗ (τ ) ◦τ (e) = z(τ )−1 e. Parce que ∗ x appartient à GθSC , on a adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) = z(τ )−1 adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (ν)e = z(τ )−1 ωS (τ ) ◦ τG∗ (ν)e. On peut décomposer ωS (τ ) en ωS,G¯ (τ )ωG¯ (τ ). Les conditions imposées en 1.1 à η impliquent que z(τ )−1 ωG¯ (τ ) ◦ τG∗ (ν) appartient à (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))ν. L’élément ¯ ωS,G¯ (τ ) appartient à W G et tout élément de ce groupe conserve l’ensemble (1 − ∗ ∗ ¯ θ )(T (F ))ν. On obtient adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))νe = (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))η. Cela prouve (7). Pour w divisant v, on a défini le terme gw et la relation (7) définit le terme tw . En posant gv = (gw )w |v et tv = (tw )w |v , la relation (7) entraîne la condition

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

853

(v) restreinte aux places divisant v. Les relations (4), (5) et (6) entraînent la condition (ii) restreinte aux mêmes places. ˜ v . On va Supposons maintenant que v ∈ V  et que η[dv ] appartient à K prouver qu’en choisissant convenablement la paire (B[dv ], S[dv ]), on peut imposer la condition (i). Puisque v ∈ V , on peut fixer une paire de Borel épinglée E0 = (B0 , T0 , (E0,α )α∈Δ ) de G, définie sur Fv , dont est issu de groupe Kv . Puisque E ∗ et E0 sont toutes deux définies sur Ew , il existe yad ∈ GAD (Ew ) tel que adyad (E0 ) = E ∗ . L’automorphisme adyad conserve le groupe Kw puisque ce groupe est issu de chacune des deux paires. Donc yad ∈ Kad,w . On sait que les deux applications ∗ (ow ) × Ksc,w Tad (t, k)

→ Kad,w → tπ(k)

et ∗ ∗ nr (onr Tsc v ) → Tad (ov )

sont surjectives (le corps Fvnr est ici un sous-corps de F¯v¯ ). On peut donc fixer ∗ nr (onr t1 ∈ Tsc v ) et y ∈ Ksc,w tels que yad = π(t1 y). On a t1 y ∈ Kv . Posons η1 = ad(t1 y)−1 (η). On reprend maintenant la preuve du lemme 1.6. Puisque η ∈ ˜ w , on a η1 ∈ K ˜ nr . De plus, adη1 conserve (B0 , T0 ). Fixons ν0 ∈ T0 (onr ) et K v v ˜ E0 )(Fvnr ) tels que ν0 e0 ∈ K, ˜ cf. 1.5. On peut écrire η1 = ν1 e0 , avec e0 ∈ Z(G, ˜ nr , on a ν1 ∈ T0 (onr ). Introduisons le cocycle z : ΓFv → ν1 ∈ T0 . Puisque η1 ∈ K v v Z(G) ∩ T0 (onr ) tel que σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 et posons θ = ade0 . La propriété de v définition de η se transporte à η1 . C’est-à-dire qu’en identifiant W au groupe de Weyl relatif à T0 , il existe une cochaîne t : ΓFv → (1 − θ)(T0 (F¯v¯ )) telle que ωG¯ (σ)σ(ν1 ) = z(σ)t(σ)ν1 pour tout σ ∈ Γv¯ . Puisque ν1 ∈ T0 (onr v ) et que ce groupe est normalisé par W , cette relation implique que t(σ) ∈ ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) et que σ → t(σ) est un cocycle à valeurs dans ce groupe, si on munit celui-ci de l’action σ → σG¯ = ωG¯ (σ) ◦ σ. Un tel cocycle est un cobord. De plus, l’hypothèse v ∈ Vram nr implique que 1 − θ : T0 (onr v ) → ((1 − θ)(T0 ))(ov ) est surjective. On peut donc nr fixer t0 ∈ T0 (ov ) tel que t(σ) = (1 − θ)(t0 σG¯ (t0 )−1 ). Posons ν2 = ν1 (1 − θ)(t0 ). On a σG¯ (ν2 ) = z(σ)ν2 . On introduit le groupe GθSC des points fixes de θ dans GSC . De E0 se déduit une paire de Borel épinglée de ce groupe puis un schéma en groupes Kv1 . En appliquant 1.5(5), on construit k ∈ Kv1 (ow ) tel que, pour tout σ ∈ ΓFv , k −1 σ(k) normalise T0 et ait ωG¯ (σ) pour image dans W θ . On pose ˜ v et que la paire η = kν2 e0 k −1 . Le même calcul qu’en 1.6 montre que η ∈ K de Borel (kB0 k −1 ∩ Gη , kT0 k −1 ∩ Gη ) de Gη est définie sur Fv . En reprenant la preuve de [79] lemme 5.4, on peut la compléter en une paire de Borel épinglée définie sur Fv de sorte que le schéma en groupes K issu de cette paire vérifie la nr ¯¯ ). On note K,sc le schéma en groupes associé condition K (onr v ) = Kv ∩ Gη (Fv dans le groupe Gη ,SC . Pour σ ∈ ΓFv , on pose ωS,G¯ (σ) = ωS (σ)ωG¯ (σ)−1 . Par ¯ définition, c’est un élément du groupe de Weyl W G , lequel s’identifie à W Gη . En appliquant de nouveau 1.5(5), on construit h ∈ K,sc (ow ) tel que, pour tout σ ∈ ΓFv , h−1 σ(h) normalise kT0 k −1 ∩ Gη et ait pour image ωS,G¯ (σ) dans W Gη .

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Chapitre VII. Descente globale

−1 Posons (B , S ) = adhk (B0 , T0 ), t = t1 yt−1 , g = yk −1 h−1 et r = t g . 0 y ˜ v , que la paire On voit que d = (η , r ) appartient à Dv , que η appartient à K (B , S ) vérifie les conditions de 5.6 relatives à l’élément d , que t ∈ T ∗ (onr v ), que g ∈ Ksc,w et que adg envoie la paire (B , S ) sur (B ∗ , T ∗ ). Revenons à notre élément quelconque dv = (η[dv ], r[dv ]) ∈ Dv tel que η[dv ] ∈ ˜ v . D’après 5.5(3), on peut fixer k ∈ K ¯¯ ) tels que η = K ,v et u ∈ Gη[dv ] (Fv −1 k η[dv ]k et r = r[dv ]uk . L’automorphisme adk envoie Gη sur Gη[dv ] et est défini sur Fv . On peut donc prendre pour paire (B[dv ], S[dv ]) la paire adk (B , S ). Comme plus haut, l’application produit

Ksc,w × T0 (onr v ) → K,w est surjective. Mais S est conjugué à T0 par un élément de Ksc,w . En conjuguant la propriété ci-dessus, on obtient que l’application produit Ksc,w × S (onr v ) → K,w est surjective. On peut donc écrire k = zls, avec z ∈ Z(G)θ (F¯v¯ ), s ∈ S (onr v ) et l ∈ Ksc,w . Posons gw = g l−1 et x = z −1 t g s−1 g−1 . On a gw ∈ Kw,sc , adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et gw = x−1 r[dv ]u. Puisque x ∈ T ∗ (F¯v¯ ), la condition ˜v (iii) est satisfaite. On a adgw (η[dv ]) = tw η, où tw = (θ∗ −1)(x). Puisque η[dv ] ∈ K ˜ ˜ et gw ∈ Ksc,w , on a adgw (η[dv ]) ∈ Kw . On a aussi η ∈ Kw par définition de V  . L’égalité précédente entraîne alors tw ∈ (1 − θ)(T ∗ (F¯v¯ )) ∩ Kw = ((1 − θ)(T ∗ ))(ow ). −1 ∈ Enfin, puisque Kw est issu de E ∗ , on a T ∗ (ow ) ⊂ Kw . En conjuguant par gw Ksc,w , on en déduit S[dv ](ow ) ⊂ Kw . Cela satisfait les conditions (i), (iii) et (v) en la place w. Comme on l’a vu dans la première partie de la preuve, la condition (iii) implique (ii). Pour une autre place w de E au-dessus de v, on construit gw et tw comme dans cette première partie. Puisque le schéma en groupes Kv est défini sur ov , on a τ (Ksc,w ) = Ksc,w . Les conditions imposées à V  entraînent que tous les termes de la formule (iv) appartiennent à Ksc,w donc gw ∈ Ksc,w . Le même raisonnement que dans le cas de la place w entraîne alors que tw ∈  ((1 − θ)(T ∗ ))(ow ) et que S[dv ](ow ) ⊂ Kw . Cela achève la preuve.

VII.6.8 L’ensemble DF ˜ ) × G(F¯ ) tels que On note DF l’ensemble des couples d = (η[d], r[d]) ∈ G(F – r[d]η[d]r[d]−1 = η ; – en utilisant la paire de Borel adr[d]−1 (B ∗ , T ∗ ) dans la construction de 1.2, on ait l’égalité (μη[d] , ωη[d] ) = (μ, ωG¯ ). ¯ définie sur Soit d ∈ DF . On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E¯ de G ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ¯ ¯ ¯ F . Posons (B [d], T [d]) = adr[d]−1 (B , T ), (B[d], T [d]) = (B [d] ∩ Gη[d] , T ∗ [d] ∩ ¯ = adr[d]−1 (E). ¯ Alors E[d] ¯ est une paire de Borel épinglée de Gη[d] Gη(d] ) et E[d] ¯ ¯ définie sur F dont la paire de Borel sous-jacente est (B[d], T¯ [d]). Pour tout σ ∈

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

855

¯ ΓF , fixons u¯[d](σ) ∈ Gη[d],SC (F¯ ) tel que adu¯[d](σ) ◦σ conserve E[d]. On note σ → ¯ On suppose que σ → σG∗η[d] = adu¯[d](σ) ◦σ l’action quasi-déployée qui conserve E[d]. u ¯[d](σ) est continue et que u ¯[d](1) = 1. La deuxième condition ci-dessus signifie que adr[d] , qui envoie T ∗ [d] sur T ∗ , entrelace l’action σ → σG∗η[d] sur T ∗ [d] avec l’action σ → ωG¯ (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . Transportons par adr[d]−1 le cocycle ωS,G¯ en un cocycle à valeurs dans le groupe de Weyl de Gη[d] relatif à T¯ [d] (pour l’action quasidéployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x¯[d] ∈ Gη[d],SC (F¯ ) tel que, pour x[d])−1 normalise T¯ [d] et que son image dans le groupe tout σ ∈ ΓF , x¯[d]σG∗η[d] (¯ de Weyl soit ωS,G¯ (σ). Alors adr[d] entrelace l’action σ → adx¯[d]σG∗ (¯x[d])−1 ◦σG∗η[d] η[d]

sur T ∗ [d] avec l’action σ → ωS (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . Fixons une décomposition r[d] = z[d]r[d]sc avec z ∈ Z(G; F¯ ) et r[d]sc ∈ GSC (F¯ ). Il est facile de traduire la condition précédente par la propriété ∗ ¯ (F ) tel que (1) pour tout σ ∈ ΓF , il existe t(σ) ∈ Tsc ¯[d]σG∗η[d] (¯ x[d])−1 u¯[d](σ). xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc ) = t(σ)r[d]sc x Pour d ∈ DF et v ∈ Val(F ), on note dv le même couple (η[d], r[d]), vu ˜ v )×G(F¯v ). L’application d → (dv )v∈Val(F ) est une injection comme élément de G(F DF ⊂ DAF . Soit d ∈ DF . Supposons que l’image de d dans DAF appartienne à DVrel × DAnrV . On reprend les constructions du paragraphe précédent. On impose de F plus au corps E les conditions suivantes – z[d] ∈ Z(G; E), r[d]sc ∈ GSC (E), x¯[d] ∈ Gη[d],SC (E) et E¯ est définie sur E ; – l’application σ → u ¯[d](σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Gη[d],SC (E). Il en résulte que l’application σ → t(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ∗ (E). Construisons des paires de Borel et des éléments g et t ses valeurs dans Tsc vérifiant la proposition 6.7. ∗ Lemme. Sous ces hypothèses, l’élément g appartient à Tsc (AE )r[d]sc Gη[d],SC (AE ).

Preuve. Soient v une place de F et w une place de E au-dessus de v. Montrons que (2)

∗ (Ew )r[d]sc Gη[d],SC (Ew ). gw ∈ Tsc

Supposons d’abord que w = w soit la restriction de v¯ à E. Par construction, il existe u1 ∈ Gη[d] (F¯v¯ ) de sorte que adu1 (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ [d], T ∗ [d]). Les deux couples (B[dv ]∩Gη[d] , S[dv ]∩Gη[d] ) et (B ∗ [d]∩Gη[d] , T ∗ [d]∩Gη[d] ) sont des paires de Borel de Gη[d] qui sont définies sur Ew . Il existe donc u ∈ Gη[d],SC (Ew ) telle que la seconde soit l’image de la première par adu . Puisque u1 vérifie la même propriété, on a u1 ∈ (T ∗ [d] ∩ Gη[d] )u. Alors on a aussi adu (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ [d], T ∗ [d]). Donc adr[d]sc u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). Puisque gw vérifie la même propriété et que les deux éléments r[d]sc u et gw appartiennent à GSC (Ew ), ces deux éléments

856

Chapitre VII. Descente globale

∗ diffèrent par multiplication à gauche par un élément de Tsc (Ew ). Cela prouve (2) pour la place w. Considérons maintenant une autre place w au-dessus de v. Rappelons que ∗ (Ew ) gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ). Ecrivons gw = tw r[d]sc uw , avec tw ∈ Tsc et uw ∈ Gη[d],SC (Ew ). Posons t0,w = adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (tw ). Comme dans la ∗ preuve de 6.7(7), on a t0,w = τS (tw ) ∈ Tsc (Ew ). On a aussi τ (uw ) ∈ Gη[d],SC (Ew ). Puisque gw = t0,w xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (r[d]sc )τ (uw ),

la relation (2) à prouver équivaut à ∗ xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (r[d]sc ) ∈ Tsc (Ew )r[d]sc Gη[d],SC (Ew ).

Mais cette relation résulte de (1) et des conditions imposées à E. Cela prouve (2) en général. Fixons un ensemble fini V  de places de E vérifiant les conditions du paragraphe précédent ainsi que les conditions suivantes. On impose que, pour tout v ∈ V  et pour toute place w de E divisant v, on ait d’abord – z[d] ∈ Ksc,w et r[d]sc ∈ Ksc,w . ˜ w ∩ G(F ˜ v) = K ˜ v . On sait qu’alors le groupe Il en résulte que η[d] ∈ K Kv [d] = Kv ∩ Gη[d] (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d] (Fv ) (cf. lemme 1.6). Il s’en déduit un tel sous-groupe Ksc,v [d] de Gη[d],SC (Fv ) puis un tel sous-groupe Ksc,w [d] de Gη[d],SC (Ew ). On impose de plus que ¯[d](σ) ∈ Ksc,w [d] pour tout σ ∈ ΓF . – x ¯[d] ∈ Ksc,w [d] et u ∗ Toutes ces conditions impliquent que l’on a aussi t(σ) ∈ Tsc (ow ) pour tout σ ∈ ΓF , où t(σ) est l’élément figurant dans (1). Soient v ∈ V  et w une place de E divisant v. Puisque gw conjugue ∗ S[dv ]sc (Ew ) en Tsc (Ew ) (où S[dv ]sc est l’image réciproque de S[dv ] dans GSC ), la relation (2) équivaut à gw ∈ r[d]sc Gη[d],SC (Ew )S[dv ]sc (Ew ). Ecrivons gw = r[d]sc us, avec u ∈ Gη[d],SC (Ew ) et s ∈ S[dv ]sc (Ew ). Cela entraîne us = r[d]−1 sc gw  ∈ Ksc,w  . Appliquons l’opérateur θ = adη[d] . ˜ v , θ conserve Ksc,w . Donc uθ(s) = θ(us) ∈ Ksc,w . D’où (1 − Puisque η[d] ∈ K θ)(s) = (uθ(s))−1 us ∈ Ksc,w . Fixons une uniformisante  de Fv , qui est aussi une uniformisante de Ew puisque Ew /Fv est non ramifiée. Puisque S[dv ]sc est déployé sur Ew , l’élément s s’écrit de façon unique s0 x∗ () pour un élément s0 ∈ S[dv ]sc (ow ) et un élément x∗ ∈ X∗ (S[dv ]sc ). On a alors (1−θ)(s) = (1−θ)(s0 )((1− θ)(x∗ ))(). Puisque S[dv ]sc (ow ) ⊂ Ksc,w d’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne ((1 − θ)(x∗ ))() ∈ Ksc,w . Cette condition ne peut être réalisée que si θ,0 (1 − θ)(x∗ ) = 0. Alors x∗ ∈ X∗ (S[dv ]θ,0 sc ) et x∗ () ∈ S[dv ]sc (Ew  ). Ce groupe est contenu dans GSC,η[d] (Ew ).

Remarque. Le groupe GSC,η[d] est la composante neutre du commutant de η[d] dans GSC ; on prend garde de le distinguer du groupe Gη[d],SC qui est le revêtement

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

857

simplement connexe du groupe dérivé de Gη[d] , ou encore le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de GSC,η[d] . On a ux∗ () = (us)s−1 0 ∈ Ksc,w  . Donc ux∗ () appartient au groupe GSC,η[d] (Ew ) ∩ Ksc,w , qui est un sous-groupe compact hyperspécial de GSC,η[d] (Ew ). D’après 1.5(2), il existe s1 ∈ S[dv ]sc (ow ) tel que ux∗ () et s1 aient même image dans GSC,η[d],ab (Ew ). Puisque u ∈ Gη[d],SC (Ew ), son image dans GSC,η[d],ab (Ew ) est l’identité. Cela entraîne que l’image de x∗ ()s−1 est aussi l’identité. Donc x∗ ()s−1 est 1 1 ¯ v ]sc l’image réciproque l’image d’un élément s2 ∈ Gη[d],SC (Ew ). En notant S[d ¯ v ]sc (Ew ). Comme de S[dv ] dans Gη[d],SC , l’élément s2 appartient forcément à S[d ¯ ¯ v ]sc ). ¯∗ () avec s¯0 ∈ S[dv ]sc (ow ) et x ¯∗ ∈ X∗ (S[d plus haut, on peut écrire s2 = s¯0 x L’unicité de ces décompositions entraîne que x∗ = x ¯∗ . Cela entraîne que x∗ () ap¯ v ]sc (Ew ) donc aussi à Gη[d],SC (Ew ) (plus exactement, c’est l’image partient à S[d dans GSC (Ew ) d’un élément de ce groupe). Posons u = ux∗ (). Alors u appartient à Gη[d],SC (Ew ) et son image dans GSC (Ew ) appartient à Ksc,w . Donc u ∈ Ksc,w [d]. On a gw = r[d]sc us0 ∈ r[d]sc Ksc,w [d]S[dv ]sc (ow ). Comme plus ∗ haut, cela implique par conjugaison que gw ∈ Tsc (ow )r[d]sc Ksc,w [d]. Cette rela  tion est vérifiée pour tout v ∈ V et tout w divisant v. Jointe à (2), elle entraîne le lemme. 

VII.6.9 Un résultat d’annulation Soit dV = (dv )v∈V ∈ DVrel . On note DF [dV ] l’ensemble des d ∈ DF tels que – la projection de d dans DAVF appartient à DAnrV ; F

– la projection de d dans DV appartient à Iη dV G(FV ). Pour j ∈ J (H), on a défini la constante δj [dV ] en 5.9. Proposition. Soit dV ∈ DVrel . Si DF [dV ] = ∅, alors 

δj [dV ] = 0.

j∈J (H)

Preuve. Ce résultat est trivial si J (H) est vide. On suppose cet ensemble non vide. Alors l’application p de 6.4 l’identifie à P (H), qui est une unique classe modulo le sous-groupe P 0 ⊂ P de 6.6. Fixons p ∈ P (H). Soit p0 ∈ P 0 . Posons j = p−1 (p) et j  = p−1 (p0 p). On va calculer le rapport δj  [dV ]δj [dV ]−1 .

858

Chapitre VII. Descente globale

On dispose des paires de Borel (Bj , Sj ) de Gj et (Bj  , Sj  ) de Gj  dont les groupes de Borel sont définis sur F¯ et les tores sont définis sur F . Par construction, on a des isomorphismes ¯ 0 )  X∗,Q (Sj  ) X∗,Q (Sj )  X∗,Q (SH¯ ) ⊕ X∗,Q (Z(G) qui sont équivariants pour les actions galoisiennes. En fait, l’isomorphisme composé provient d’un isomorphisme Sj  Sj  sur F¯ , qui est le composé de Sj  T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )  Sj  . Puisque l’isomorphisme X∗,Q (Sj )  X∗,Q (Sj  ) qui s’en déduit fonctoriellement est équivariant pour les actions galoisiennes, l’isomorphisme Sj  Sj  est lui-même défini sur F . On complète la donnée dV en fixant un élément dV = (dv )v∈V ∈ DAnrV et F

en posant d = dV × dV = (dv )v∈Val(F ) . On applique à cet élément la proposition 6.7. On en déduit des paires de Borel (B[dv ], S[dv ]) pour toute place v ∈ Val(F ) et des éléments g ∈ GSC (AE ) et t ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ). Pour toute place v, les sextuplets (j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) et (j  , Bj  , Sj  , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) sont des diagrammes. ¯ Fv ) et Z2 ∈ Pour v ∈ V , on fixe des éléments Y¯sc,v ∈ sH¯ (Fv ), Z1 ∈ z(G; ¯ Fv ). On les suppose en position générale et proches de 0. On construit comme z(H; en 5.7 un élément X[dv ] ∈ gη[dv ] (Fv ) dont on peut supposer qu’il appartient à s[dv ]θ (Fv ). On construit les éléments Yj,v et Yj  ,v comme en 5.7. On peut supposer que Yj,v appartient à sj (Fv ), plus précisément que Yj,v est l’image de X[dv ] par l’homomorphisme s[dv ](Fv ) → sj (Fv ) provenant du premier diagramme cidessus. On peut supposer que Yj  ,v vérifie des propriétés analogues. Alors Yj,v et Yj  ,v se correspondent via l’isomorphisme ci-dessus entre Sj et Sj  . On en fixe des relèvements Yj,1,v ∈ gj,1,j,1 (Fv ) de Yj,v et Yj  ,1,v ∈ gj  ,1,j ,1 (Fv ) de Yj  ,v , que l’on suppose proches de 0. On pose x[dv ] = exp(X[dv ]), yj,v = exp(Yj,v ), yj  ,v = exp(Yj  ,v ), yj,1,v = exp(Yj,1,v ), yj  ,1,v = exp(Yj  ,1,v ). Les sextuplets (yj,v j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], x[dv ]η[dv ]) et (yj  ,v j  , Bj  , Sj  , B[dv ], S[dv ], x[dv ]η[dv ]) sont des diagrammes. Pour v ∈ V , on fixe des éléments x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (Fv ), yj,v ∈ Sj (Fv ) et yj  ,v ∈ Sj  (Fv ) de sorte que les sextuplets ci-dessus soient encore des diagrammes. On impose que x[dv ]η[dv ] est fortement régulier. Pour presque tout v, S[dv ] est non ramifié et possède une structure naturelle sur ov . On impose x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (ov ) pour presque tout v. D’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne que x[dv ]η[dv ] ∈

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

859

˜ v pour presque tout v. Cela entraîne aussi que yj,v ∈ K ˜  et yj  ,v ∈ K ˜   pour K j,v j ,v presque tout v. Enfin, on impose que x[dv ]η[dv ] vérifie la condition [VI] 3.6(2) pour presque tout v. C’est loisible car, d’après la même preuve que celle de [VI] 3.6(15), on peut choisir pour presque tout v un élément x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (ov ) tel que cette condition soit vérifiée. On relève yj,v et yj  ,v en des éléments yj,1,v et yj  ,1,v . On ˜ ˜ suppose comme il est loisible que yj,1,v ∈ K j,1,v et yj  ,1,v ∈ Kj  ,1,v pour presque tout v. On supprime les indices v pour noter les produits sur toutes les places de  F . Par exemple x[d] = v∈Val(F ) x[dv ]. On remplace ces indices v par V pour  noter les produits sur v ∈ V , par exemple x[d]V = v∈V x[dv ]. Par définition δj  [dV ]δj [dV ]−1 est la limite quand les termes Yj,1,V et Yj  ,1,V tendent vers 0 de Δj  ,1,V (yj  ,1 j  ,1 , x[dV ]η[dV ])Δj,1,V (yj,1 j,1 , x[dV ]η[dV ])−1 . Par définition, ce rapport est le produit du quotient des facteurs globaux de [VI] 3.6 (1)

Δj  ,1 (yj  ,1 j  ,1 , x[d]η[d])Δj,1 (yj j,1 , x[d]η[d])−1

et du produit pour toute place v ∈ V des quotients des facteurs normalisés (2)

Δj  ,1,v (yj  ,1 j  ,1 , x[dv ]η[dv ])−1 Δj,1,v (yj,1 j,1 , x[dv ]η[dv ]).

On a (3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, le quotient (2) vaut 1 pour tout v ∈ V . Comme on l’a vu en [VI] 3.6, les deux termes de ce rapport valent 1 en presque toute place, disons pour v ∈ V  , où V  est un ensemble fini de places contenant V . Pour v ∈ V  − V , remplaçons les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres. Le théorème 5.7(i) dit que le rapport est alors égal à δj [dv ]δj  [dv ]−1 , ces termes étant définis comme dans ce paragraphe. Le (iii) du même théorème dit que ce rapport vaut 1. D’où (3). On doit calculer le quotient (1), ou plus exactement sa limite quand les composantes yj,1,v et yj  ,1,v tendent vers 1 pour tout v ∈ V (dans la suite, on dira simplement «sa limite»). Comme ci-dessus, on peut s’autoriser à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres. On se reporte à la définition de [VI] 3.6. L’automorphisme adg envoie S[d](AE ) sur S(AE ) de façon équivariante pour l’action de Gal(E/F ).  En particulier, il envoie x[d] sur un élément de S(AF ). que l’on note xS [d] = v∈Val(F ) xS [dv ]. D’autre part, on a adg (η[d]) = tη. D’où adg (x[d]η[d]) = xS [d]tη. Posons Δj  ,j,II [d] = Δj  ,II (yj  j  , x[d]η[d])Δj,II (yj j  , x[d]η[d])−1 .

860

Chapitre VII. Descente globale

Montrons que (4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, on a lim Δj  ,j,II [d] = 1. ∗

∗

On note Σ(S)res l’ensemble des restrictions à S θ ,0 = T ∗,θ ,0 des racines de S dans G et Σ(S)res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles. Les termes intervenant dans Δj  ,j,II [d] sont produits de termes indexés par les orbites de ΓF dans l’ensemble Σ(S)res,ind . Considérons une orbite galoisienne d’un élément αres ∈ Σ(S)res,ind qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 1. Une telle racine contribue au numérateur comme au dénominateur de Δj  ,j,II [d] soit par 1, soit par   (N α)(xS [d]ν) − 1 (5) χαres aαres (le terme t disparaît quand on applique N α). Si (N α)(ν) = 1, on peut fixer un ensemble V  de places contenant V et assez grand pour que, pour v ∈ V  , on ait     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 χαres ,v = χαres ,v = 1. aαres aαres Pour v ∈ V  − V , quitte à remplacer nos données x[dv ] etc. . . par des termes assez proches des éléments neutres, on peut supposer que l’on a     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 χαres ,v = χαres ,v . aαres aαres Pour v ∈ V , on a en tout cas     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 = χαres ,v . lim χαres ,v aαres aαres ), qui vaut 1 puisque les Ainsi, la limite de l’expression (5) est χαres ( (N α)(ν)−1 aαres éléments qui interviennent appartiennent à Fα et que le caractère χαres est automorphe. Donc la racine αres ne contribue pas à lim Δj  ,j,II [d] si (N α)(ν) = 1. ¯ Mais alors, par Supposons (N α)(ν) = 1. Dans ce cas, αres est une racine de G. construction, on a les égalités (N α ˆ )(sj  ) = (N α)(s ˆ j ) = (N α ˆ )(¯ s). Les conditions ˆ j ) = 1 sont équivalentes. Donc αres contribue au numéra(N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α)(s teur de Δj  ,j,II [d] si et seulement si elle contribue au dénominateur. Quand elles contribuent, leur contributions sont toutes deux égales. Donc αres ne contribue pas au quotient. Considérons maintenant une orbite galoisienne d’un élément αres ∈ Σ(S)res,ind

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

861

qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 2. Une telle racine contribue au numérateur comme au dénominateur de Δj  ,j,II [d] soit par 1, soit par  χαres

(N α)(xS [d]ν)2 − 1 aαres

 ,

soit par χαres ((N α)(xS [d]ν) + 1). Si (N α)(ν) = ±1, le même raisonnement que cidessus montre que αres ne contribue pas à lim Δj  ,j,II [d]. Supposons (N α)(ν) = 1. Le même raisonnement montre que la troisième contribution possible est triviale et que l’on peut remplacer la seconde par χαres ((N α)(xS [d]ν) − 1). La condition ¯ et 2N α (N α)(ν) = 1 signifie que αres est une racine de G ˆ est une racine de ˆ 2 2 ¯ On a alors les égalités (N α)(s G. ˆ j  ) = (N α ˆ )(sj ) = (N α ˆ )(¯ s)2 . Les conditions 2 2 ˆ ) (sj ) = 1 sont équivalentes et de nouveau, αres contribue (N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α de la même façon au numérateur et au dénominateur de Δj  ,j,II [d]. Donc αres ne contribue pas au quotient. Supposons enfin (N α)(ν) = −1. Le même raisonnement que ci-dessus montre que les deux contributions non triviales possibles sont toutes deux égales à χαres ((N α)(xS [d]ν) + 1). Ce terme intervient au numérateur si et ˆ )(sj ) = 1. seulement si (N α ˆ )(sj  ) = 1 et au dénominateur si et seulement si (N α ¯ et N α La condition (N α)(ν) = −1 signifie que 2αres est une racine de G ˆ est une ˆ ¯ ˆ )(sj ) = (N α ˆ )(¯ s). Les conditions racine de G. On a de nouveau (N α ˆ )(sj  ) = (N α (N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α ˆ )(sj ) = 1 sont équivalentes et, comme précédemment, αres ne contribue pas à Δj  ,j,II [d]. Cela prouve (4). La limite du quotient (1) est donc la même que celle du quotient (6)

Δj  ,imp(yj  ,1 j  ,1 , x[d]η[d])Δj  ,imp (yj j,1 , x[d]η[d])−1 .

On utilise les définitions de [VI] 3.6. On y remplace les T par des Set on ˆ ajoute des indices j ou j  . Le dénominateur de (6) est l’inverse d’un produit h, h dans 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ) × H 1,0 (WF ; Sˆj,1 → Sˆad ). 1−θ

L’élément h ∈ H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ) intervenant est un couple formé d’un cocycle VS à valeurs dans Ssc (AE )/Ssc (E) et d’un élément de Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Rappelons la définition de VS . Avec les notations de 6.7, on a VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 pour tout σ ∈ ΓF . Comme on le voit, ce terme ne dépend pas de j. On note ˜  ; E) l’image naturelle de e et on relève cet élément en un élément ej,1 ∈ ej ∈ Z(G j ˜  ; E). On écrit j,1 = μj,1 ej,1 . L’élément de Sj,1 (AE )/Sj,1 (E) intervenant est Z(G j,1 l’image du couple (xS [d]tν, yj,1 μj,1 ) ∈ S(AE ) × Sj,1 (AE ) dans Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Un calcul déjà fait de nombreuses fois montre que la contribution de (xS [d], yj,1 ) est la valeur en ce point d’un caractère automorphe de Sj,1 (AF ). On peut fixer

862

Chapitre VII. Descente globale

un ensemble fini de places V  contenant V tel que le caractère vaille 1 aux composantes hors de V  de ce point, puis supposer les composantes dans V  − V assez proches de l’élément neutre pour que le caractère vaille aussi 1 sur ces composantes. Modulo ces modifications, la limite de la valeur du caractère quand les composantes dans V tendent vers l’élément neutre vaut 1. Donc, pour calculer notre limite, on peut remplacer le couple (xS [d]tν, yj  ,1 μj,1 ) par (tν, μj,1 ). Mais ν et μj,1 sont des éléments de S(E) et Sj,1 (E). Ils disparaissent dans Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Le terme t est l’image de ce même terme considéré comme un élément de ((1 − θ)(S))(AE )/((1 − θ)(S))(E). On vérifie que le couple (VS , t) définit un cocycle 1−θ dans Z 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Notre élément h est l’image de ce cocycle par l’homomorphisme naturel 1−θ

1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ). ˆ ˆ Sˆθ,0 . Par compatibilité des produits, on a l’égalité Le tore dual de (1 − θ)(S) est S/      ˆ = (VS , t), h ˆ , où hˆ est l’image de h ˆ par l’homomorphisme dual h, h ˆ 1−θˆ ˆ 1−θˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (WF ; Sˆj,1 → Sˆad ) → P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad ).

ˆ  n’est autre que p(j) = p. Il suffit de comparer les définitions pour constater que h La limite du dénominateur de (6) est donc égale à (VS , t), p−1 . Un même calcul −1  . On obtient que la limite s’applique au numérateur : sa limite est (VS , t), p0 p   0 −1 de (6) est (VS , t), p . Cela achève le calcul de notre rapport −1  δj  [dV ]δj [dV ]−1 = (VS , t), p0 . La somme de l’énoncé de la proposition est donc égale à   −1 δj [dV ] (VS , t), p0 . p0 ∈P 0

Cette somme est nulle si (VS , t) n’appartient pas à l’annulateur de P 0 , c’est-à-dire à Q0 d’après le lemme 6.6. Pour établir la proposition, il suffit donc de prouver que, si (VS , t) appartient à Q0 , alors DF [dV ] = ∅. On va d’abord prouver (7) supposons que (VS , t) appartienne à Q0 ; alors il existe un élément d vérifiant les mêmes hypothèses que d et tel que son couple associé (VS , t ) appartienne à q1 (Q1 ). D’après le lemme 6.3, l’application G(AF ) → Q2 est surjective. D’après  6.2(1), l’application naturelle v∈V K,v → Q3 est surjective. L’hypothèse  signifie qu’il existe β ∈ Q1 , h = (hv )v∈Val(F ) ∈ G(AF ) et k = (k,v )v∈V ∈ v∈V K,v de sorte que (VS , t) = q1 (β)q2 (h)q3 (k ), où on identifie h et k à leurs images

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

863

dans Q2 et Q3 . Pour presque tout v, hv appartient à Kv . Alors l’image de hv par q2 est la même que l’image par q3 de l’image naturelle de hv dans K,v . Quitte à modifier k,v , on peut donc supposer hv = 1. On peut donc fixer un ensemble fini V  de places de F , contenant V , tel que hv = 1 pour v ∈ V  . On peut imposer de plus que S est non ramifié hors de V  . Pour v ∈ V  , l’image de K,v dans G,ab (Fv ) coïncide avec celle de (S[dv ]/Z(G)θ )(ov ) (cf. 1.5(2)). On peut donc supposer que k,v est un élément de (S[dv ]/Z(G)θ )(ov ). Pour tout v, on relève k,v en un élément k ,v ∈ K ,v (on rappelle que ce groupe est l’image réciproque de K,v dans G(F¯v )). Pour unifier l’écriture, on pose k ,v = 1 pour v ∈ V . Pour tout v, on définit l’élément dv = (η[dv ], r[dv ]) par η[dv ] = ad(hv k,v )−1 (η[dv ]), r[dv ] = r[dv ]hv k ,v . La famille d = (dv )v∈Val(F ) appartient encore à DAF car, pour v ∈ V  , η[dv ] = (1 − θ)(k ,v )η[dv ] ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(ov )η[dv ] et cet ensemble est contenu dans Kv η[dv ] pour presque tout v d’après le (i) de la proposition 6.7. Pour v ∈ V , dv appartient à Dvnr et le lemme 5.5 entraîne que dv ∈ Dvnr . La projection de d dans DV appartient à dV G(FV ) puisque dv = dv hv pour v ∈ V . Pour tout v ∈ Val(F ), posons (B[dv ], S[dv ]) = ad(hv k,v )−1 (B[dv ], S[dv ]). Puisque ad(hv k,v )−1 est défini sur Fv , cette paire vérifie pour dv les mêmes conditions que (B[dv ], S[dv ]) pour dv . De plus, on a (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]) pour v ∈ V  puisqu’alors hv = 1 et k ,v ∈ S[dv ](F¯v ). Soit v une place de F , notons w la restriction de v¯ à E. Les deux paires (B[dv ], S[dv ]) et (B[dv ], S[dv ]) étant déployées sur Ew , on peut fixer gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]). Les deux paires étant égales pour v ∈ V  , on suppose gw = 1 dans ce cas. Puisque hv k,v vérifie la même condition que gw , c’est-à-dire adhv k,v (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]), il existe cw ∈ S[dv ] tel que hv k ,v = cw gw . On a adgw (η[dv ]) = tw η[dv ], où tw = (θ − 1)(cw ). Cette relation entraîne que tw ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(Ew ). De plus, on a cw = k ,v pour v ∈ V  , donc tw ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(ov ) dans ce cas. Pour une autre place w de E au-dessus de v, on a fixé τ ∈ ΓF tel que τ (w) = w , on pose gw = τ (gw ) et tw = τ (tw ). On pose g = (gw )w ∈Val(E) et t = (tw )w ∈Val(E) . On voit alors que les paires (B[dv ], S[dv ]) pour v ∈ Val(F ) et les éléments g  = gg et t = t adg (t) satisfont les conditions de la proposition 6.7 pour l’élément d . On peut reprendre nos constructions pour l’élément d et ces données auxiliaires. On affecte d’un  les objets obtenus. On calcule VS (σ) = VS (σ) adg (σ(g)g−1 ) pour tout σ ∈ ΓF . Le couple (VS , t ) est donc le produit de (VS , t) et du cocycle (adg (χ), adg (t)), où χ(σ) = σ(g)g−1 . Pour v ∈ Val(F ), on définit le cocycle localisé −1 (adgw (χv ), adgw (tw )), où χv (σ) = σ(gw )gw pour σ ∈ ΓFv . Alors (adg (χ), adg (t)) 1−θ

est l’image naturelle dans Q de l’élément de H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) dont la composante en une place v est (adgw (χv ), adgw (tw )). Ce dernier est un élé1−θ

ment de H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)). D’autre part, il résulte des définitions que q2 (hv )q3 (k,v ) est l’image de (hv , k,v ) par la suite d’applications suivantes : – on envoie (hv , k,v ) sur le produit des images de hv et k,v dans G,ab (Fv ) ;

864

Chapitre VII. Descente globale 1−θ

– on envoie G,ab (Fv ) dans H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) par la suite d’applicatons G,ab (Fv )  H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → S[dv ]/Z(G)θ,0 ) 1−θ

→ H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → (1 − θ)(S[dv ])) adgw

1−θ

 H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)); 1−θ

– on envoie H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) dans Q par la même application que plus haut. En se rappelant les égalités hv k ,v = cw gw et tw = (θ − 1)(cw ) et les définitions, on voit que l’image de (hv , k,v ) dans H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → S[dv ]/Z(G)θ,0 ) est 1−θ

1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) est (χ−1 v , cw ), donc son image dans H −1 (adgw (χ−1 v ), adgw (tw )).

On obtient que q2 (hv )q3 (k,v ) est l’inverse de l’image de (adgw (χv ), adgw (tw )) dans Q. Donc (VS , t ) est égal au produit de (VS , t) et de q2 (h)−1 q3 (k )−1 . D’où (VS , t ) = q1 (β). Cela prouve (7). Il reste à prouver (8) supposons que (VS , t) appartienne à q1 (Q1 ) ; alors DF [dV ] = ∅. Supposons (VS , t) = q1 (β), où β ∈ Q1 = H 1 (AF /F ; SH¯ ). On relève β en une cochaîne encore notée β à valeurs dans SH¯ (AF¯ ), que l’on pousse en une cochaîne à valeurs dans Ssc (AF¯ ). Il est maintenant plus commode d’identifier S à T ∗ , muni de l’action galoisienne σ → σS . Notons que le tore SH¯ s’identifie à l’image réciproque ¯ SC du sous-tore maximal T¯ = T θ∗,0 de G. ¯ L’égalité (VS , t) = q(β) T¯sc dans G ∗ signifie qu’il existe un élément tsc ∈ Tsc (AF¯ ) de sorte que l’on ait les relations (9) pour tout σ ∈ ΓF et

∗ ¯ (F ) VS (σ)σS (tsc )−1 tsc ∈ β(σ)Tsc

∗ ¯ tt−1 sc θ(tsc ) ∈ ((1 − θ)(T ))(F ).

Fixons un tel élément. On a ((1 − θ)(T ∗ ))(F¯ ) = (1 − θ)(T ∗ (F¯ )). Il existe donc ∗ ¯ t ∈ T ∗ (F¯ ) tel que t−1 (1−θ)(tsc ) = (1−θ)(t ). On écrit t = tsc z  , avec tsc ∈ Tsc (F )   −1 ¯ et z ∈ Z(G; F ). On peut remplacer tsc par tsc (tsc ) sans perturber la relation (9). On peut donc supposer qu’il existe z  ∈ Z(G; F¯ ) tel que t−1 (1−θ)(tsc ) = (1−θ)(z  ). On peut remplacer g par t−1 sc g. Cela ne perturbe pas les conditions imposées à cet élément. Evidemment, le nouvel élément obtenu n’a pas de raison d’appartenir à GSC (AE ). Mais on peut à ce point oublier cette propriété et considérer g comme un ∗ (AE )). élément de GSC (AF¯ ) (ou bien, on étend E de sorte que tsc appartienne à Tsc En modifiant ainsi g, le cocycle VS est remplacé par σ → VS (σ)σS (tsc )−1 tsc et l’élément t est remplacé par t(θ − 1)(tsc ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

865

Donc, pour ce nouveau choix d’élément g, on a (10)

∗ ¯ (F ) VS (σ) ∈ β(σ)Tsc

pour tout σ ∈ ΓF et t−1 = (1 − θ)(z  ), avec z  ∈ Z(G; F¯ ). Pour σ ∈ ΓF , on pose A(σ) = β(σ)VS (σ)−1 et X(σ) = A(σ)xσG∗ (x)−1 = β(σ)gσ(g)−1 uE ∗ (σ)−1 . ∗ ¯ D’après (10), A est une cochaîne à valeurs dans Tsc (F ), donc X prend ses valeurs dans Gsc (F¯ ). On calcule

adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ(η) = adβ(σ)gσ(g)−1 ◦σ(η) = adβ(σ)g (σ(g)−1 σ(η)σ(g)) = adβ(σ)g ◦σ(g −1 ηg). Par définition de g et t, on a g −1 tηg = η[d]. Puisque t = (θ − 1)(z  ) est central, cela implique g −1 ηg = t−1 η[d]. L’élément η[d] est fixe par ΓF . D’où adβ(σ) ◦σ(g −1 ηg) = adβ(σ)g (σ(t−1 )η[d]) = σ(t)−1 adβ(σ) ◦ adg (η[d]) = σ(t−1 ) adβ(σ) (tη) = tσ(t)−1 adβ(σ) (η) ¯ SC (AF¯ ) toujours parce que t est central. Mais β(σ) ∈ SH¯ (AF¯ ), a fortiori β(σ) ∈ G donc adβ(σ) fixe η. On obtient finalement adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ(η) = tσ(t)−1 η. ¯ L’égalité précédente Puisque t est central, on a l’égalité Gtσ(t)−1 η = Gη = G. ¯ ¯ F¯ ). Notons ψ(σ) implique que l’automorphisme adX(σ) ◦σG∗ de G(F ) conserve G( ¯ ¯ relative à sa restriction à G. On a introduit l’action quasi-déployée σ → σG¯ sur G la paire de Borel épinglée fixée en 5.2. Rappelons que l’on a adX(σ) ◦σG∗ = adA(σ) adxσG∗ (x)−1 ◦σG∗ . Par définition de x, xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et son image dans le groupe W est ∗ ∗ ¯ ωS (σ). De plus, A(σ) ∈ Tsc (F ). On en déduit que ψ(σ) conserve T¯ = T θ ,0 et que sa restriction à T¯ coincide avec ωS,G¯ (σ)σG¯ , où ωS,G¯ (σ) = ωS (σ)ωG¯ (σ)−1 . On a ¯ ¯ SC (F¯ ) ¯∈G ωS,G¯ (σ) ∈ W G et le corollaire 2.2 de [44] permet de fixer un élément x ¯ G −1 ¯ x) normalise T et que son image dans W soit ωS,G¯ (σ). Alors les tel que x¯σG¯ (¯ ¯ F¯ ) coïncident sur T¯. Il existe donc automorphismes ψ(σ) et adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ de G( ¯ ¯ ¯ tsc (σ) ∈ Tsc (F ) tel que adt¯sc (σ) ◦ψ(σ) = adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ . L’élément β(σ) est un relèvement dans T¯sc (AF¯ ) de notre cocycle initial à valeurs dans T¯sc (AF¯ )/T¯sc (F¯ ). On peut le multiplier par l’élément t¯sc (σ) ∈ T¯sc (F¯ ). On voit

866

Chapitre VII. Descente globale

que cela ne perturbe aucune des relations ci-dessus mais cela remplace ψ(σ) par adt¯sc (σ) ◦ψ(σ). Après ce remplacement, on obtient simplement (11)

ψ(σ) = adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ .

En utilisant les définitions, on en déduit (12)

σG¯ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ψ(σ) = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ) ◦σG∗ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adβ(σ)gσ(g)−1 ◦σ.

Il résulte de (11) que ψ est un homomorphisme de ΓF dans le groupe des automor¯ (il s’agit ici d’automorphismes de groupes abstraits). En revenant à phismes de G la définition de ψ, on obtient que, pour σ1 , σ2 ∈ ΓF , les automorphismes adX(σ)1 ◦σ1,G∗ ◦ adX(σ2 ) ◦σ2,G∗ et adX(σ1 σ2 ) ◦(σ1 σ2 )G∗ ¯ Cela équivaut à dire que X(σ1 )σ1,G∗ (X(σ2 ))X(σ1 σ2 )−1 comcoïncident sur G. ¯ En utilisant la définition de la cochaîne X et en se rappelant que mute à G. adxσG∗ (x)−1 ◦σG∗ = σS sur T ∗ , on calcule X(σ1 )σ1,G∗ (X(σ2 ))X(σ1 σ2 )−1 = A(σ1 )σ1,S (A(σ2 ))A(σ1 σ2 )−1 = ∂S (A)(σ1 , σ2 ). On a noté ∂S la différentielle calculée pour l’action σ → σS . Donc ∂S (A) prend ¯ Par définition, on a ses valeurs dans le commutant de G. ∂S (A) = ∂S (β)∂S (VS−1 ). On calcule aisément ∂S (VS−1 ) = ∂(uE ∗ )−1 , où ∂ est la différentielle calculée pour l’action naturelle. On sait que ∂(uE ∗ ) est à valeurs dans Z(GSC ), a fortiori dans le ¯ Donc ∂S (β) prend aussi ses valeurs dans ce commutant. Puisque commutant de G. β devient un cocycle quand on le pousse dans T¯sc (AF¯ )/T¯sc (F¯ ), ∂S (β) est à valeurs ¯ est Z(G ¯ SC ; F¯ ). dans T¯sc (F¯ ). L’intersection de ce groupe avec le commutant de G Donc ∂S (β) est à valeurs dans ce dernier groupe. ¯ SC (AF¯ ) par X(σ) ¯ ¯ : ΓF → G = β(σ)−1 x¯σG¯ (¯ x)−1 . Définissons une cochaîne X −1 ¯ Un calcul simple montre que ∂G¯ (X) = ∂S (β) , où ∂G¯ est la différentielle pour l’ac¯ se pousse en un cocycle de ΓF dans G ¯ SC (AF¯ )/Z(G ¯ SC ; F¯ ). tion σ → σG¯ . Donc X ¯ Parce que GSC est simplement connexe, le théorème 2.2 de [46] dit que l’application naturelle ¯ SC (F¯ )/Z(GSC ; F¯ )) → H 1 (ΓF ; G ¯ SC (AF¯ )/Z(G ¯ SC ; F¯ )) H 1 (ΓF ; G ¯ SC (AF¯ ) tel que est surjective. Ainsi, on peut fixer a ¯∈G ¯ ¯ SC (F¯ ) a) ∈ G a ¯−1 X(σ)σ ¯ (¯ G

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

867

¯ pour tout σ ∈ ΓF . En utilisant la définition de X(σ) et la relation (12), cela équivaut à ¯ SC (F¯ ), x)−1 adσG¯ (¯x)¯x−1 β(σ)gσ(g)−1 (σ(¯ a)) ∈ G a ¯−1 β(σ)−1 x¯σG¯ (¯ ou encore

¯ SC (F¯ ). a−1 g)−1 σ(g)g −1 β(σ)−1 x ¯σG¯ (¯ x)−1 ∈ G a ¯−1 gσ(¯

¯ SC (F¯ ) et que β(σ)gσ(g)−1 = X(σ)uE ∗ (σ), cela équivaut aussi à Puisque x ¯∈G (13)

¯ SC (F¯ )X(σ)uE ∗ (σ). a−1 g)−1 ∈ G a ¯−1 gσ(¯

A fortiori a ¯−1 gσ(¯ a−1 g)−1 ∈ GSC (F¯ ). L’application σ → a ¯−1 gσ(g −1 a ¯) est un co¯ cycle à valeurs dans GSC (F ) qui devient évidemment un cobord quand on le pousse dans GSC (AF¯ ). D’après le théorème [51] 1.6.9, c’est un cobord. On peut donc fixer g˙ sc ∈ GSC (F¯ ) et h ∈ GSC (AF ) tel que g = a ¯g˙ sc h. Posons g˙ = z  g˙ sc et ˙ g). ˙ Montrons que d˙ = (g˙ −1 η g, d˙ ∈ DF [dV ].

(14)

¯ on a Puisque g˙ = z  a ¯−1 gh−1 et que a ¯ ∈ G, g˙ −1 η g˙ = adhg−1 ((θ − 1)(z  )η) = adhg−1 (tη) = adh (η[d]). ˜ F ). Puisque c’est aussi un élément de G( ˜ F¯ ), c’est un élément Donc g˙ −1 η g˙ ∈ G(A ˜ ). Notons ψ˙ la restriction de adg˙ à Gg˙ −1 ηg˙ , qui est un isomorphisme de ce de G(F ¯ Pour σ ∈ ΓF , calculons groupe sur G. ˙ ◦ ψ˙ −1 = σ ¯ ◦ ψ˙ ◦ σ −1 ◦ ψ˙ −1 . σ(ψ) G En utilisant (12), c’est la restriction à Gg˙ −1 ηg˙ de adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ ◦ adg˙ ◦σ −1 ◦ adg˙ −1 = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦ adσ(g) ˙ g˙ −1 . D’après les définitions, on a −1 = adσ(¯ adσ(g) ˙ g˙ −1 = adσ(g˙ sc )g˙ sc a−1 g)g−1 a ¯.

˙ ◦ ψ˙ −1 est la resPosons u ¯(σ) = X(σ)uE ∗ (σ)σ(¯ a−1 g)g −1 a ¯. On obtient que σ(ψ) ¯ ¯ ¯ triction à G de adσG¯ (¯x)¯x−1 u¯(σ) . Mais x ¯ ∈ GSC (F ) et (13) montre que l’on a aussi ¯ SC (F¯ ). Donc ψ˙ est un torseur intérieur de Gg˙ −1 ηg˙ sur G. ¯ Cela prouve u ¯(σ) ∈ G ˙ que d ∈ DF . On peut étendre le corps E de sorte que tous les éléments intervenant appartiennent à G(AE ). Soit v une place de F , notons w la restriction de v¯ à E. On se rappelle que gw ∈ T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]Gη[dv ] (F¯v¯ ). Ecrivons conformément

868

Chapitre VII. Descente globale

gw = tw r[dv ]uw . Les égalités adgw (η[dv ]) = tη = (θ∗ − 1)(z  )η et adr[dv ] (η[dv ]) = η ∗ impliquent que tw ∈ (z  )−1 T θ ⊂ (z  )−1 Iη . Il résulte des définitions que  −1  −1 −1 ¯−1 g˙ = a ¯−1 w z g w hv = a w z tw r[dv ]uw hv = uw r[dv ]hv ,  ¯¯ ). où uw = a ¯−1 w z tw adr[dv ] (uw ). L’élément uw est un produit d’éléments de Iη (Fv ¯ L’élément hv appartient à G(Fv ). Donc g˙ ∈ Iη (Fv¯ )r[dv ]G(Fv ). Les propriétés de ˙ c’est-à-dire que la projection de d˙ dans D V appartient dv se propagent donc à d, AF nr à DAV et sa projection dans DV appartient à Iη dV G(FV ). Cela prouve (14). F

Evidemment, (14) démontre (8), ce qui achève la preuve de la proposition.  Remarque. On peut prouver la réciproque, à savoir que, si DF [dV ] = ∅, alors (VS , t) appartient à Q0 . Dans ce cas, l’application j → δj [dV ] est constante sur J (H). Nous n’utiliserons pas ce résultat, en le remplaçant par la proposition du paragraphe suivant.

VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert Soit d ∈ DF . On suppose (1) la projection de d dans DAVF appartient à DAnrV . F

Notons dV la projection de d dans DV . On suppose (2) dV ∈ DVrel . ˜ ), donc le groupe Gη[d] est défini sur F . Le L’élément η[d] appartient à G(F torseur ψr[d] est défini sur F¯ . La construction de [VI] 3.6 s’applique à la donnée ¯ de Gη[d],SC et fournit un facteur Δ[dV ] canonique, pourvu que endoscopique H l’on ait choisi en toute place v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d],SC (Fv ). Pour cela, comme en 5.7, on fixe en toute place v ∈ V un élément ˜ v . C’est loisible d’après (1). On peut supposer hv ∈ G(Fv ) tel que adh−1 (η[d]) ∈ K v que hv = 1 pour presque tout v. On choisit le sous-groupe image réciproque dans Gη[d],SC (Fv ) de adhv (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ). On pose h = (hv )v∈V et on note plus précisément Δ[dV , h] le facteur de transfert canonique attaché à ce choix de compacts. Utilisons ce facteur dans la définition des constantes de 5.7. On note δj [dV , h] le produit de ces constantes sur les places v ∈ V . Proposition. Pour tout j ∈ J (H), on a l’égalité δj [dV , h] = ω(h). Preuve. On reprend les constructions de la preuve précédente, en utilisant les no¯ v ]sc l’image tations des paragraphes 6.7 et 6.8. Pour toute place v, on note S[d θ,0 réciproque de S[dv ] dans Gη[d],SC . Pour v ∈ V , on pose y¯v = exp(Y¯sc,v ) et xsc [dv ] = exp(Xsc [dv ]) (cf. 5.7 pour ces notations ; dv est l’image de d dans Dv ). Pour v ∈ V , on a fixé dans la preuve précédente un élément x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (Fv ) vérifiant diverses conditions. On vérifie facilement qu’on peut lui imposer de plus ¯ v ]sc (Fv ). On que son image dans Gη[d],AD est l’image d’un élément xsc [dv ] ∈ S[d

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

869

fixe un tel élément et on note y¯v ∈ SH¯ (Fv ) l’élément qui lui correspond par l’iso¯ et ¯ v ]sc et SH¯ déterminé par les paires de Borel (BH¯ , SH¯ ) de H morphisme entre S[d ¯ v ]sc , S[d ¯ v ]sc ) de Gη[d],SC , où B[d ¯ v ]sc est l’image réciproque dans ce groupe de (B[d B[dv ] ∩ Gη[d] . Le terme δj [dV , h] est la limite quand le terme Yj,1,V tend vers 0 de Δj,1,V (yj,1 j,1 , x[dV ]η)Δ[dV , h](¯ yV , xsc [dV ])−1 . Comme dans le paragraphe précédent, on note simplement lim cette notion de limite. Ce rapport est le produit des rapports des facteurs globaux et du produit sur les places v ∈ V des rapports de facteurs normalisés yV , xsc [dV ]). Δj,1,v (yj,1 j,1 , x[dV ]η)−1 Δ[dv , h](¯ Montrons que (3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], xsc [dv ] et yj,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, le terme ci-dessus vaut ω(hv ) pour tout v ∈ V . On peut fixer un ensemble fini V  de places contenant V de sorte que le rapport vaille 1 et ω(hv ) = 1 pour tout v ∈ V  . Pour v ∈ V  − V , on remplace nos termes par des termes assez proches de 1. Les assertions (i) et (iii) du théorème 5.8 disent qu’alors le rapport vaut ω(hv ). D’où (3). On est ramené à calculer le rapport des facteurs globaux. Il se décompose encore en produit du rapport des facteurs ΔII et de celui des facteurs Δimp . Montrons que (4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], xsc [dv ] et yj,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, on a  ΔII,v (yj j , x[dv ]η)ΔII [dv , h](¯ yv , xsc [dv ])−1 = 1. lim v∈Val(F )

Pour toute place v, les relations (1) et (2) de [79] 10.3 nous disent que le rapport intervenant ci-dessus a une limite quand les données x[dv ] etc. . . tendent vers les éléments neutres et elles calculent cette limite. Notons-la v . En se reportant aux définitions de [79] 9.3 et 10.3, on voit que, pour toute élément αres ∈ Σ(S)res,ind , il existe un élément cαres ∈ Fα×res de sorte que – pour σ ∈ ΓF , cσ(αres ) = σ(cαres ) ;  – pour tout v, v = αres ∈Σ(S)res,ind /ΓFv χαres ,w (cαres ), où w est ici la restriction de v¯ à Fαres et Σ(S)res,ind /ΓFv est le quotient de Σ(S)res,ind par l’action de ΓFv . Les propriétés des χ-data (qui sont bien sûr définies sur F ) et des cαres permettent de récrire   χαres ,w (cαres ), v = αres ∈Σ(S)res,ind /ΓF w|v

où le produit en w est sur les places de Fαres au-dessus de v.

870

Chapitre VII. Descente globale

On peut fixer un ensenble fini V  de places contenant V de sorte que, pour v∈  V  , yv , xsc [dv ])−1 = 1 ; – ΔII,v (yj j , x[dv ]η)ΔII [dv , h](¯ – v = 1. Pour v ∈ V  − V , on remplace les données x[dv ] etc. . . par des éléments assez proches des éléments neutres pour  que le rapport des facteurs ΔII,v vaille v . Alors la limite de l’assertion (4) est v∈Val(F ) v . Mais ce produit vaut 



χαres ,w (cαres ).

Σ(S)res,ind /ΓF w∈Val(Fαres )

Cela vaut 1 par la formule du produit. D’où (4). Il reste à calculer la limite du rapport des facteurs globaux y , xsc [d])−1 . Δj,imp (yj,1 j,1 , x[d]η)Δimp [d](¯ On a montré dans la preuve de la proposition 6.9 que le premier terme avait −1 une limite, égale à (VS , t), p(j) avec les notations de ce paragraphe. La même −1 preuve montre que le second terme a aussi une limite, égale à VS¯ , s¯ , où VS¯ : ΓF → SH¯ (AF¯ )/SH¯ (F¯ ) est un cocycle analogue à VS . Il reste à prouver l’égalité (VS , t), j = VS¯ , s¯ .

(5)

Reprenons la construction de (VS , t) du paragraphe précédent. Ici, l’élément d appartient à DF et on peut appliquer le lemme 6.8. On peut donc écrire g = ∗ t1 r[d]sc u, avec t1 ∈ Tsc (AE ) et u ∈ Gη[d],SC (AE ). Cela entraîne g = z[d]−1 t1 r[d]u. L’élément t ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ) a été défini par adg (η[d]) = tη. La relation précédente entraîne t = (1 − θ∗ )(t1 z[d]−1 ). Pour σ ∈ ΓF , on a VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 −1 −1 = σS (t1 )xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc )r[d]−1 )t1 sc adr[d]sc (σ(u)u  = σS (t1 )t−1 1 VS (σ),

où

−1 ). VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc )r[d]−1 sc adr[d] (σ(u)u

∗ Le couple formé du cocycle σ → σS (t1 )t−1 1 et de l’élément (1−θ )(t1 ) est un cobord. ∗ −1 On peut le supprimer. Le terme (1 − θ )(z[d]) appartient à (1 − θ∗ )(S)(E) et disparaît dans notre groupe de cohomologie Q. On obtient que (VS , t) (ou plus exactement son image dans Q) est l’image par l’homomorphisme naturel 1−θ

H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc ) → Q = H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc → (1 − θ)(S)) du cocycle VS .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

871

Pour calculer VS¯ , on utilise les objets définis en 6.8. Posons   ¯ = S[d] = S[dv ] et S[d] (S[dv ] ∩ Gη[d] ). v∈Val(F )

v∈Val(F )

Notons aussi S¯∗ [d] le tore T¯ [d] muni de l’action σ → σS transportée par adr[d]−1 . ¯ sc et S¯∗ [d]sc les images réciproques de S[d] ¯ Notons S[d] et S¯∗ [d] dans Gη[d],SC . Puisque adg se restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d] sur S, adu se ¯ sur S¯∗ [d]. La définition de [VI] restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d]  ∗ ¯ 3.6 fournit un cocycle VS¯ à valeurs dans S [d]sc (AE )/S¯∗ [d]sc (E) défini par VS¯ (σ) = x ¯[d]σGη[d]∗ (¯ x[d])−1 u ¯[d](σ)σ(u)u−1 . Le cocycle VS¯ est l’image de VS¯ par l’isomorphisme adr[d] : S¯∗ [d]sc → S¯sc = SH¯ . On voit sur les formules ci-dessus que VS (σ) est le produit de l’image naturelle de VS¯ (σ) et de termes appartenant à Ssc (E). Il en résulte que (VS , t) est l’image de VS¯ par l’homomorphisme 1−θ q1 : H 1 (AF¯ /F¯ ; SH¯ ) → Q = H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc → (1 − θ)(S)).

Puisque l’application ˆ 1−θˆ ˆ ΓF ˆ Sˆθ,0 p1 : P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad ) → SˆH ¯

est duale de q1 , cela entraîne que (VS , t), p(j) = VS¯ , p1 ◦ p(j) . Mais p1 ◦p(j) = s¯ d’après la proposition 6.4. Cela prouve (5) et la proposition.



VII.7 Le cas où DF [dV ] est non vide VII.7.1 Une proposition de nullité Dans cette section, on fixe un élément dV ∈ DVrel . On a (1) l’ensemble de classes Iη (F¯ )\DF [dV ]/G(F ) est fini. ˜ ) qui apPreuve. Quand d parcourt DF [dV ], les η[d] sont des éléments de G(F partiennent à la même classe de conjugaison stable. Pour v ∈ V , leurs classes de ˜ v . D’après le lemme [VI] 2.1, ils sont contenus conjugaison par G(Fv ) coupent K dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ). Fixons un sous-ensemble fini X0 ⊂ DF [dV ] tel que, pour tout d ∈ DF [dV ], il existe d0 ∈ X0 tel que η[d] et η[d0 ] soient conjugués par un élément de G(F ). L’ensemble Iη (F¯ )\ZG (η; F¯ ) est fini. Fixons-en un ensemble de représentants Z0 . Pour d ∈ DF [dV ] et z ∈ Z0 ,

872

Chapitre VII. Descente globale

l’élément zd peut appartenir ou non à DF [dV ]. Notons X1 l’ensemble des zd0 qui appartiennent à DF [dV ], pour d0 ∈ X0 et z ∈ Z0 . Soit d ∈ DF [dV ]. On peut choisir d0 ∈ X0 et x ∈ G(F ) tels que η[d] = xη[d0 ]x−1 . Alors les deux éléments r[d0 ] et r[d]x conjuguent η[d0 ] en η. Ils diffèrent donc par multiplication à gauche par un élément de ZG (η; F¯ ), que l’on peut écrire u−1 z, avec z ∈ Z0 et u ∈ Iη (F¯ ). On a alors zd0 = udx. L’élément de droite appartient à DF [dV ] donc aussi celui de gauche. Ce dernier appartient donc à X1 . L’égalité précédente montre que cet élément a même image que d dans notre ensemble de doubles classes. Cet ensemble est donc contenu dans l’image de X1 , lequel est fini.  Fixons un ensemble de représentants D˙ F [dV ] de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DF [dV ]/G(F ). Considérons un ensemble fini V  de places de F contenant V et tel que ˜v. (2) pour tout d ∈ D˙ F [dV ] et tout v ∈ V  , on a η[d] ∈ K Soit d ∈ D˙ F [dV ]. On fixe un ensemble de représentants U[V  , d] de l’ensemble de classes Gη[d] (FVV  )/Z(Gη[d] ; FVV  )Gη[d],SC (FVV  ). On suppose que 1 ∈ U[V  , d]. Pour v ∈ V  − V , on fixe hv [d] ∈ G(Fv ) tel que ˜ v . On pose h[d] = (hv [d])v∈V  −V . Pour u = (uv )v∈V  −V ∈ adhv [d]−1 (η[d]) ∈ K  V [d, u] défini ainsi : U[V , d], munissons Gη[d],SC (AVF ) du sous-groupe compact Ksc pour tout v ∈ V , Ksc,v [d, u] est l’image réciproque dans Gη[d],SC (Fv ) de Kv ∩ Gη[d] (Fv ) si v ∈ V  et de aduv hv [d] (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ) si v ∈ V  − V . Ce groupe permet de définir un facteur de transfert canonique sur ¯ V ) × Gη[d],SC (FV ) H(F que nous notons ΔV [d, u]. ¯ V )). Pour d ∈ D˙ F [dV ], la En 5.9, on a défini une fonction f¯[dV ] ∈ SI(H(F «composante en V » de d n’est pas forcément dV , cette composante appartient seulement à Iη (F¯V )dV G(FV ). On peut néanmoins appliquer la définition de 5.9 en remplaçant dV par cette composante en V . Dans cette définition, il intervient un facteur de transfert. On peut prendre ΔV [d, u] pour un élément u ∈ U[V  , d]. On note alors f¯[d, u] la fonction obtenue. Posons (3)

ϕ[V ¯  , dV ] =

 ˙ F [dV ] d∈D

|U[V  , d]|−1



ω(uh[d])f¯[d, u].

u∈U [V  ,d]

Cette expression dépend de plusieurs données auxiliaires, en particulier de l’ensemble de places V  puisque les ensembles U[V  , d] en dépendent. Les paragraphes 7.3 à 7.9 sont consacrés à prouver la proposition suivante. Proposition. Supposons J (H) = ∅. Alors, si V  est assez grand, on a ϕ[V ¯  ,dV ] = 0.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

873

VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 Considérons l’expression (1)



f¯[dV ]

δj [dV ]

j∈J (H)

qui apparaît dans l’expression 5.9(2). Corollaire. L’expression (1) est nulle si DF [dV ] = ∅. Supposons DF [dV ] non vide. ¯  , dV ] pourvu que V  soit Alors cette expression (1) est égale à |P 0 ||D˙ F [dV ]|−1 ϕ[V assez grand. Preuve. La première assertion résulte de la proposition 6.9. Supposons DF [dV ] non vide. Si J (H) est vide, l’expression (1) est nulle et ϕ[V ¯  , dV ] aussi d’après la proposition 7.1. Supposons J (H) non vide. L’expression (1) ne dépend que de la double classe Iη (F¯V )dV G(FV ). On peut remplacer ce terme dV par la composante en V d’un élément d ∈ D˙ F [dV ]. On peut utiliser dans les définitions le facteur de transfert ΔV [d, u] pour un élément u ∈ U[V  , d]. La fonction f¯[dV ] est alors remplacée par f¯[d, u]. La proposition 6.10 calcule les facteurs δj [dV ] pour nos choix : ils sont égaux à ω(uh[d]), où u et h[d] sont complétés en des éléments de G(AF ) de composantes 1 hors de V  − V . L’expression (1) devient |J (H)|ω(uh[d])f¯[d, u]. On peut moyenner en d et u et on obtient l’expression |J (H)||D˙ F [dV ]|−1 ϕ[V ¯  , dV ]. D’après 6.4 et 6.6, on a |J (H)| = |P 0 | puisque J (H) = ∅. D’où la deuxième assertion du corollaire. 

VII.7.3 Mise en place de la situation La conclusion de la proposition 7.1 est triviale si DF [dV ] est vide. On suppose jusqu’en 7.15 que DF [dV ] = ∅. On fixe un élément de cet ensemble, que l’on note d = (η , r ). Pour simplifier les notations, on pose simplement ¯  = Gη . I = Iη , G ¯  sur Ces groupes sont définis sur F et adr se restreint en un torseur intérieur de G ¯ ¯ ¯ G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . Notons T son commutant ¯  (F¯ ) tel que adr¯ (T¯ ) = ad −1 (T ∗ ) ∩ G ¯  . On a dans G. On peut fixer r¯ ∈ G r ¯ ∗ ¯ adr r¯ (T¯ ) = T¯ (= G∩T ) et adr r¯ (T ) = T ∗ . Il existe un cocycle ωT : ΓF → W G tel que adr r¯ entrelace l’action galoisienne naturelle sur T¯ avec l’action σ → ωT (σ)◦σG¯ sur T¯ . Puisque σG¯ = ωG¯ (σ)◦σG∗ , adr r¯ entrelace l’action naturelle sur

874

Chapitre VII. Descente globale

T avec l’action σ → ωT (σ)ωG¯ (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . On a défini le tore S comme étant T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ) ◦ σG∗ et on a ωS (σ) = ωS,G¯ (σ)ωG¯ (σ), ¯ ¯ où ωS,G¯ (σ) ∈ W G . Par l’isomorphisme adr r¯ , on identifie W G au groupe de Weyl ¯ ¯  relatif à T¯ . On définit ωS,T (σ) = ωS,G¯ (σ)ωT (σ)−1 . C’est un élément W G de G ¯ de W G et S s’identifie au tore T muni de l’action σ → ωS,T (σ) ◦ σ (ce dernier σ étant l’action naturelle sur T ). Dans cette section, on identifie ainsi S à T . On ¯  , c’est-à-dire S¯ = T¯ muni de l’action σ → ωS,T (σ) ◦ σ. On note note S¯ = S ∩ G ¯ ¯ ,SC et Ssc l’image réciproque de S dans GSC . Ssc l’image réciproque de S¯ dans G ¯ Le tore Ssc s’identifie à notre précédent tore SH¯ . En appliquant les constructions de 6.7 à notre élément d = (η , r ), on fixe pour toute place v ∈ Val(F ) une paire de Borel (B[d,v ], S[d,v ]) vérifiant toutes les propriétés de ce paragraphe. On note simplement S,v = S[d,v ]. Pour une extension galoisienne finie E de F , on note S (AE ) le produit restreint des S,v (Ew ) sur les places v de F et sur les places w de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S,v (ow ) qui se définissent naturellement en presque tout couple (v, w ) de places. On note S (AF¯ ) la limite inductive de S (AE ) quand E parcourt les extensions galoisiennes finies de F . D’après le lemme 6.8, on peut ¯  (AF¯ ) tel que adr u (S (AF¯ )) = T ∗ (AF¯ ) et que adr u entrelace fixer u ∈ G l’action galoisienne naturelle de ΓF sur S (AF¯ ) avec l’action σ → ωS (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ (AF¯ ). Il en résulte que adr¯−1 u se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de ΓF de S (AF¯ ) sur S(AF¯ ). De même, pour tout v, cet isomorphisme se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de ΓFv de S,v (F¯v ) sur S(Fv ). Des tores S,v se déduisent comme ci-dessus des tores S¯,v , S¯,v,sc et ¯ S¯sc , Ssc . S,v,sc et des isomorphismes analogues relient ces tores à S, ¯ Ainsi, quand on considère les points sur Fv , resp. AF¯ , on peut identifier S à S . La différence essentielle est que S à une structure sur F¯ , donc le groupe S(F¯ ) est bien défini tandis que S (F¯ ) n’a pas de sens. Toutefois, le groupe Z(I ; AF¯ ) se plonge naturellement dans S(AF¯ ) comme dans S (AF¯ ). Puisque r¯ et u ap¯  , l’isomorphisme S(AF¯ )  S (AF¯ ) se restreint en l’identité de partiennent à G Z(I ; AF¯ ). Puisque Z(I ) est défini sur F , on obtient le diagramme commutatif S(F¯ ) →   Z(I ; F¯ ) → Z(I ; AF¯ ) 

S(AF¯ ) ↓ S (AF¯ ) .

Une propriété analogue vaut pour S¯sc et S¯,sc , le groupe Z(I ) étant remplacé par ¯ ,SC ). Z(G En vertu de ce que l’on a dit en 6.2, les groupes de cohomologie abélienne de I , à coefficients dans F , Fv , AF ou AF /F , peuvent se calculer à l’aide du 1−θ complexe S¯sc → S → (1 − θ)(S). Sur Fv ou AF , on peut aussi bien utiliser le 1−−θ complexe S¯,sc → S → (1 − θ)(S ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

875

On pose Y = Yη . Rappelons que c’est l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ I . Pour y ∈ Y , posons η[y] = ady−1 (η ). L’application y → (η[y], r y) est une bijection de Y sur DF (la preuve est la même qu’en 5.4(4)). Grâce au lemme 5.5, l’inverse de cette bijection identifie le sous-ensemble DF [dV ] ⊂ DF au sous-ensemble des y ∈ Y tels que – pour tout v ∈ V , y ∈ I (F¯v )G(Fv ) ; – pour tout v ∈ V , y ∈ I (F¯v )K G(Fv ). ,v

On note Y [dV ] cet ensemble. L’inverse de la bijection ci-dessus identifie D˙ F [dV ] à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes I (F¯ )\Y [dV ]/G(F ). On note cet ensemble Y˙  [dV ]. On a (1) pour tout y ∈ Y [dV ], il existe y  ∈ I (F¯ )y tel que y  σ(y  )−1 appartienne au centre de I pour tout σ ∈ ΓF . Preuve. Pour y ∈ Y [dV ], notons χy le cocycle σ → yσ(y)−1 de ΓF dans I et ¯ ,AD . L’automorphisme ady se restreint χy,ad son image naturelle à valeurs dans G ¯ en un torseur intérieur de Gη[y] sur G . La classe d’isomorphisme de Gη[y] est ¯ ,AD ). Or, par définition de Y [dV ], ce déterminé par l’élément χy,ad ∈ H 1 (ΓF ; G cocycle est localement un cobord en toute place v ∈ Val(F ). Parce que le groupe ¯ ,AD est adjoint, l’application G ¯ ,AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G ¯ ,AD ) H 1 (F ; G est injective ([71] corollaire 5.4). Donc χy,ad est un cobord. Quitte à multiplier y à ¯  (F¯ ) ⊂ I (F¯ ), on peut donc supposer que χy,ad (σ) = 1 gauche par un élément de G pour tout σ ∈ ΓF . Cela entraîne que χy (σ) appartient au centre de I .  Remarquons que la propriété de y  entraîne que ady se restreint en un isomorphisme défini sur F de Iη[y] sur I . Par la bijection de Y [dV ] sur DF [dV ], la multiplication à gauche par I (F¯ ) correspond à la multiplication à gauche par Iη (F¯ ). On voit qu’une telle multiplication ne modifie pas les termes intervenant dans la définition de la fonction ϕ[V ¯  , dV ]. En conséquence, on peut supposer que tous les éléments de l’ensemble de représentants Y˙  [dV ] satisfont la conclusion de (1). On ne perd rien non plus à supposer que d appartient à l’ensemble D˙ F [dV ]. Il revient au même de supposer que 1 appartient à Y˙  [dV ]. Pour d ∈ D˙ F [dV ], on a défini en 7.1 des termes h[d], U[V  , d] et, pour u ∈ U[V  , d], des termes Ksc,v [d, u], ΔV [d, u], f¯[d, u]. Si d correspond à y ∈ Y˙  [dV ], on note aussi ces termes h[y], U[V  , y], Ksc,v [y, u], ΔV [y, u] et f¯[y, u]. On fera une exception pour le terme d correspondant à 1 ∈ Y˙  [dV ]. Dans ce cas, on notera h = h[1] et f¯ [u] = f¯[1, u].

876

Chapitre VII. Descente globale

VII.7.4 Une première propriété de nullité ¯ SC définit un caractère automorphe de G ¯ AD (AF ) (cf. [I] 2.7), que La donnée H de G ¯ ,AD (AF ). nous notons ici ωH . Il se transporte en un caractère automorphe de G ¯ ,AD (AF ) grâce auquel le caractère On a un homomorphisme naturel I (AF ) → G ωH devient un caractère de I (AF ). De même, pour y ∈ Y˙  (dV ], on a un caractère de Iη[y] (AF ) que l’on note encore ωH et qui n’est autre que le composé du caractère de I (AF ) par l’isomorphisme ady entre ces deux groupes. On a aussi le caractère ω qui se restreint à chacun des groupes Iη[y] (AF ) et I (AF ). Remarquons que (1) l’isomorphisme ady conserve le caractère ω. En effet, soient v ∈ Val(F ) et x ∈ Iη[y] (Fv ). Le commutateur ady (x)x−1 est l’image naturelle de l’élément adysc (xsc )x−1 sc de GSC , où ysc et xsc sont des éléments de GSC ayant même image que y et x dans GAD . Pour σ ∈ ΓFv , la condition que yσ(y)−1 commute à I , cf. 7.3(1), implique que σ(ysc )−1 ysc commute à xsc . Puisque de plus σ(xsc ) ∈ Z(GSC )xsc , on vérifie que adysc (xsc )x−1 sc est fixe par σ, donc adysc (xsc )x−1 ∈ G (F ). Le caractère ω est trivial sur ce groupe. SC v sc  Donc ω(ady (x)x−1 ) = 1, ce qui prouve l’assertion (1). ¯  (Fv ). C’est un sous-groupe comPour v ∈ V , posons K,v = adh,v (Kv ) ∩ G ¯  (Fv ). Imposons à l’ensemble de places V  de 7.1 la pact hyperspécial de de G condition ¯  (F )G ¯  (FV  )  ¯ (2) l’ensemble G  K,v est dense dans G (AF ). v∈V

Lemme. Si ωH et ω ne coïncident pas sur I (AF ), alors ϕ[V ¯  , dV ] = 0. Preuve. Soient y ∈ Y˙  [dV ] et u ∈ U[V  , y]. Rappelons la construction de la fonction f¯[y, u]. On descend la fonction f en une fonction, disons f [y], sur Gη[y] (FV ). On définit la fonction f [y]sc sur Gη[y],SC (FV ) par f [y]sc = ιGη[y],SC ,Gη[y] (f [y]). Alors ¯ V ) pour le facteur de transfert ΔV [y, u]. Nof¯[y, u] est le transfert de f [y]sc à H(F ˜ V ), ω). Le tons que cette construction ne dépend que de l’image de f dans I(G(F groupe ZG (η[y]; FV ) agit naturellement sur I(Gη[y],SC (FV )). Parce que l’on part ˜ V ), ω), la fonction f [y]sc appartient au sous-espace isotyd’un élément de I(G(F pique de I(Gη[y],SC (FV )) sur lequel ZG (η[y]; FV ) agit par le caractère ω. Le groupe Gη[y],AD (FV ) agit aussi sur Gη[y],SC (FV ) et sur I(Gη[y],SC (FV )). Par cette action, −1 le facteur de transfert ΔV [y, u] se transforme par le caractère ωH . Donc le transfert se factorise par la projection sur le sous-espace isotypique de I(Gη[y],SC (FV )) sur lequel Gη[y],AD (FV ) agit par le caractère ωH . Le groupe Iη[y] (FV ) s’envoie à la fois dans ZG (η[y]; FV ) et dans Gη[y],AD (FV ) et les deux actions coïncident sur ce groupe. Cela entraîne que le transfert f¯[y, u] de f [y]sc est nul si les deux caractères ne coïncident pas sur Iη[y] (FV ). D’après (1), cette condition de coïncidence équivaut à la même condition portant sur les caractères de I (FV ). On obtient que ϕ[V ¯  , dV ] = 0 si les deux caractères ωH et ω de I (FV ) sont distincts.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

877

Soient de nouveau y ∈ Y˙  [dV ] et u ∈ U[V  , y]. Rappelons que l’on a supposé 1 ∈ U[V  , y]. Par construction, le rapport ΔV [y, u]/ΔV [y, 1] est égal au produit sur les places v ∈ V  − V des rapports de facteurs locaux normalisés Δv [y, 1]/Δv [y, uv ]. Le facteur Δv [y, 1] est relatif au sous-groupe compact Ksc,v [y, 1] et le facteur Δv [y, u] est relatif au sous-groupe Ksc,v [y, u] = aduv (Ksc,v [y, 1]). ¯ v ) et x ∈ Gη[y],SC (Fv ), on a par simple transport de structure Pour y¯ ∈ H(F y, aduv (x)) = Δv [y, 1](¯ y, x). Mais le premier terme est égal à l’égalité Δv [y, u](¯ ωH (uv )−1 Δv [y, u](¯ y , x). On en déduit Δv [y, 1]/Δv [y, uv ] = ωH (uv )−1

puis

ΔV [y, u]/ΔV [y, 1] = ωH (u)−1 .

Donc f¯[y, u] = ωH (u)−1 f¯[y, u]. Dans la définition 7.1(3), la somme en u se récrit donc  ω(u)ωH (u)−1 . ω(h[y])f¯[y, 1] u∈U [V  ,y]

Remarquons que les deux caractères ω et ωH sont évidemment triviaux sur Gη[y],SC (FVV  ) et le sont aussi sur Z(Gη[y] ; FVV ) : pour ωH , cela résulte de sa construction comme image réciproque d’un caractère de Gη[y],AD (FVV  ) ; pour ω, cela résulte de l’hypothèse 5.1(4). La somme en u ci-dessus est donc égale à la somme des valeurs d’un caractère du groupe quotient Gη[y] (FVV  )/Z(Gη[y] ; FVV )Gη[y],SC (FVV  ). Elle est nulle si ce caractère n’est pas trivial, autrement dit si ω et ωH ne coïncident pas sur Gη[y] (FVV  ). De nouveau, cela équivaut à ce que les caractères correspondant ¯  (F V  ) sont distincts. On obtient que ϕ[V ¯  , dV ] = 0 si les deux caractères ωH de G V V ¯ et ω de G (FV  ) sont distincts. Soit v ∈ V . Comme on l’a expliqué dans la preuve du lemme 1.6, les conditions imposées à V nous autorisent à appliquer les résultats de [79]. Le lemme 5.6(ii) de cette référence implique ¯  (Fv )(adh,v (Kv ) ∩ I (Fv )). (3) I (Fv ) = G Du groupe K,v se déduit un sous-groupe compact hyperspécial K,ad,v de ¯ ,AD (Fv ). Montrons que G ¯ ,AD (Fv ) est contenue dans K,ad,v . (4) l’image de adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) dans G On a dit dans la preuve du lemme 5.5 que l’application ¯  \ adh,v (K nr ) ∩ I Z(G)θp → adh,v (Kvnr ) ∩ G v ¯ ,AD (Fv ) était surjective. Il en résulte que l’image de adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) dans G nr nr ¯ est contenue dans celle de adh,v (Kv ) ∩ G , c’est-à-dire celle de K,v . Celle-ci nr ¯ ,AD (Fv ) est égale à . L’intersection de ce groupe avec G est contenue dans K,ad,v K,ad,v , d’où (4).

878

Chapitre VII. Descente globale

Puisque V ⊃ Vram , ω est trivial sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). La donnée H est non ramifiée hors de V . Donc le caractère ωH est trivial sur K,ad,v . D’après (4), le caractère de I (Fv ) qui s’en déduit est trivial sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). Achevons la preuve du lemme. Supposons ϕ[V ¯  , dV ] = 0. On a vu que cela ¯  (F V  ). Ces caractères impliquait que ω et ωH coïncidaient sur I (FV ) et sur G V coïncident aussi sur K,v pour v ∈ V . Puisque ces caractères sont automorphes, la ¯  (AF ). Pour v ∈ V , la propriété condition (2) implique qu’ils coïncident sur tout G (3) et le fait qu’ils sont triviaux sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) impliquent alors qu’ils coïncident sur I (Fv ). Donc ils coïncident sur I (AF ), ce qui prouve le lemme. 

VII.7.5 Description de l’ensemble Y˙  [dV ] 1 1 Les ensembles Hab (F, G) et H 1 (AF , G) s’envoient naturellement dans Hab (AF ; G). On note 1 1 1 (A ;G) H (AF , G) (F, G) ×Hab Hab F 1 leur produit fibré au-dessus de Hab (AF ; G). On a un diagramme commutatif

(1)

H 1 (F ; I ) ↓ H 1 (F ; G)

1 1 1 (A ;I ) H (AF , I ) → Hab (F, I ) ×Hab F  ↓ 1 1 1 (A ;G) H (AF , G) . → Hab (F, G) ×Hab F

1 Soit v une place finie de F . Alors l’application naturelle H 1 (Fv ; I ) → Hab (Fv ; I ) est bijective ([51] proposition 1.6.7). Supposons v ∈ V . Alors le groupe I est 1 1 (ov ; I ) ⊂ Hab (Fv ; I ). Rappelons non ramifié et on définit le sous-groupe Hab 1 1 que Hab (AF ; I ) s’identifie au produit restreint des Hab (Fv ; I ) relativement à ces 1 1 sous-groupes. On note Hab (oV ; I ) le produit des Hab (ov ; I ) sur toutes les places v ∈ V . Notons U le sous-ensemble des u ∈ H 1 (F ; I ) qui vérifient les trois conditions 1 (2) l’image de u dans Hab (F ; G) par l’application issue du diagramme (1) est nulle ;

(3) pour v ∈ V , l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) est nulle ; 1 1 (AVF ; I ) appartient à Hab (oV ; I ). (4) l’image de u dans Hab

On a une application naturelle H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ). Montrons que (5) son noyau Ker est un sous-groupe et l’application se quotiente en une injection H 1 (F ; Z(I ))/ Ker → H 1 (F ; I ). Preuve. Soient z1 et z2 deux éléments de Ker, que l’on relève en des cocycles. On peut choisir i1 et i2 dans I tels que, pour j = 1, 2 et pour tout σ ∈ ΓF , on ait zj (σ) = ij σ(ij )−1 . Puisque z2 (σ) est central dans I , on a z1 (σ)z2 (σ) = i1 σ(i1 )−1 z2 (σ) = i1 z2 (σ)σ(i1 )−1 = i1 i2 σ(i1 i2 )−1 .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

879

Donc z1 z2 ∈ Ker. On a aussi −1 −1 −1 i1 = i−1 z1 (σ)−1 = i−1 1 z1 (σ) 1 σ(i1 )i1 i1 = i1 σ(i1 ).

Donc z1−1 ∈ Ker et Ker est bien un sous-groupe. Soient z1 et z2 deux éléments de H 1 (F ; Z(I )), que l’on relève en des cocycles. Leurs images dans H 1 (F ; I ) coïncident si et seulement s’il existe i ∈ I de sorte que, pour tout σ ∈ ΓF , on ait z1 (σ) = iz2 (σ)σ(i)−1 . Parce que z2 est à valeurs centrales, cela équivaut à z1 (σ)z2 (σ)−1 = iσ(i)−1 . Mais l’existence de i vérifiant cette condition équivaut à z1 z2−1 ∈ Ker. D’où la seconde assertion de (5).  Notons HZ1 (F ; I ) l’image de H 1 (F ; Z(I )) dans H 1 (F ; I ). Grâce à (5), cet ensemble est naturellement un groupe. On définit une application Y → H 1 (F ; I ) qui, à y ∈ Y [dV ], associe la classe du cocycle σ → yσ(y)−1 . Lemme. Cette application se restreint en une bijection de Y˙  [dV ] sur U. L’ensemble U est un sous-groupe de HZ1 (F ; I ). Preuve. Il est immédiat que notre application se quotiente en une bijection de I (F¯ )\Y /G(F )

(6) dans le noyau de l’application

H 1 (F ; I ) → H 1 (F ; G).

(7)

Rappelons que Y˙  [dV ] est un ensemble de représentants de l’image de Y [dV ] ⊂ Y dans l’ensemble de doubles classes (6). L’application se restreint donc en une injection de Y˙  [dV ] dans le noyau de (7). D’après la définition de 7.3, son image est formée des éléments u de ce noyau qui vérifient la condition (3) et (8) pour tout v ∈ V , il existe k ∈ K ,v tel que l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) soit cohomologue au cocycle σ → kσ(k)−1 . Rappelons que, par définition de K ,v , ce dernier cocycle prend ses valeurs dans Z(G)θ ⊂ Z(I ). Montrons que (9) les conditions (4) et (8) sont équivalentes. ¯  défini sur Fv et non Soit v ∈ V . Fixons un sous-tore maximal T de G ramifié. Notons T son commutant dans G et T,sc l’image réciproque de T dans ¯ ,SC . Par définition G 1−θ

1 Hab (ov ; I) = H 2,1,0 (ov ; T,sc → T → (1 − θ)(T )).

Le diagramme T,sc ↓

→

T,sc ↓ T

→ T /Z(G)θ ↓ → T /Z(G)θ

T ↓

1−θ

→

(1 − θ)(T ) ↓

1−θ

(1 − θ)(T )

→

880

Chapitre VII. Descente globale

est un triangle exact dans la catégorie des complexes de tores. On en déduit une suite exacte 1−θ

(10)

H 1,0 (ov ; T → T /Z(G)θ ) → H 2,1,0 (ov ; T,sc → T → (1 − θ)(T )) 1−θ

→ H 2,1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)θ → (1 − θ)(T )).

D’autre part, le diagramme T,sc ↓

→ T θ /Z(G)θ ↓

T,sc

→

T /Z(G)θ

1−θ

→

(1 − θ)(T )

induit un isomorphisme de cohomologie 1−θ

H 2,1 (ov ; T,sc → T θ /Z(G)θ )  H 2,1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)θ → (1 − θ)(T )). Or le premier groupe est nul ([48] lemme C.1.A). On en déduit que le premier homomorphisme de la suite (10) est surjectif. Cet homomorphisme se récrit 0 1 (ov ; G ) → Hab (ov ; I ) Hab

où on rappelle que G = G/Z(G)θ . L’ensemble de départ est un sous-groupe 0 (Fv ; G ), lequel est un quotient de G (Fv ). L’assertion 1.5(2) équivaut à de Hab 0 0 dire que Hab (ov ; G ) est l’image de K,v dans Hab (Fv ; G ). Puisque K ,v s’envoie surjectivement sur K,v , on obtient une application surjective (11)

1 (ov ; I ). K ,v → Hab

On a alors deux façons d’envoyer K ,v dans H 1 (Fv , I ). D’abord celle de la relation (8) : à k ∈ K ,v on associe le cocycle σ → kσ(k)−1 . On peut aussi envoyer k en 1 (ov , I ) par l’application précédente, puis on relève celui-ci en un élément de Hab 1 un élément de H (Fv , I ) en utilisant la bijectivité de l’application H 1 (Fv , I ) → 1 (Fv , I ) ([51] prop. 1.6.7). En inspectant les définitions, on s’aperçoit que les Hab deux applications obtenues coïncident. Puisque l’application (11) est surjective, la 1 condition (8) équivaut donc à ce que l’image de u dans Hab (Fv ; I ) appartienne à 1 Hab (ov ; I ), ce qui est la condition (4). Cela prouve (9). Montrons que, pour u ∈ H 1 (F ; I ) vérifiant les conditions (3) et (4), on a (12) l’image de u dans H 1 (F ; G) est nulle si et seulement si son image dans 1 Hab (F ; G) est nulle. La première condition implique la seconde. Inversement, notre élément u vérifie (8) d’après (9). Cela entraîne que, pour v ∈ V , son image dans H 1 (Fv ; G) est nulle. En ajoutant (3), l’image de u dans H 1 (AF ; G) est nulle. Si de plus l’image 1 (F ; G) est nulle, son image dans le terme sud-est du diagramme (1) de u dans Hab est nulle. Or l’application du bas de ce diagramme est bijective ([51] théorème 1.6.10). Donc l’image de u dans H 1 (F ; G) est nulle. Cela prouve (12).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

881

On a vu que l’image de Y˙  [dV ] dans H 1 (F ; I ) est l’ensemble des u vérifiant les conditions (3) et (8) et dont l’image dans H 1 (F ; G) est nulle. Grâce à (9) et (12), c’est exactement l’ensemble U. D’après 7.3(1), cette image, c’est-à-dire U, est contenue dans HZ1 (F ; I ). Il reste à prouver que c’est un sous-groupe. On vérifie facilement que les applications composées 1 H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ) → Hab (F ; G) et 1 H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ) → Hab (AVF ; I )

sont des homomorphismes de groupes. On en déduit que l’ensemble des éléments de HZ1 (F ; I ) qui vérifient les conditions (2) et (4) est un sous-groupe de HZ1 (F ; I ). D’autre part, pour v ∈ V , on a le diagramme commutatif H 1 (F ; Z(I )) ↓ H 1 (Fv ; Z(I ))

→

H 1 (F ; I ) ↓ → H 1 (Fv ; I ) .

Un élément de HZ1 (F ; I ) vérifie (3) si et seulement si c’est l’image d’un élément de H 1 (F ; Z(I )) dont l’image dans H 1 (Fv ; Z(I )) pout v ∈ V appartient au noyau de l’application du bas. La même preuve qu’en (5) montre que ce noyau est un groupe. Donc l’ensemble des éléments de HZ1 (F ; I ) qui vérifient (3) est l’image  d’un sous-groupe de H 1 (F ; Z(I )). Cela conclut.

VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q∞ Considérons les groupes 0 0 Q1 = H 1 (AF /F ; S¯sc ), Q2 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)),  0 V 0 Hab (ov ; G ) Q3 = Hab (o ; G ) = v∈V

définis en 6.6. Posons Q× = Q1 × Q2 × Q3 , 0 0 Q1,2 = I (AF ), Q1,3 = Hab (oV ; I /Z(G)θ ), Q2,3 = Hab (oV ; G).

Le groupe Q1,2 s’envoie naturellement dans G(AF ) lequel s’envoie dans Q2 . Il s’en¯ ,AD ). Ce dernier groupe s’iden¯ ,AD (AF ) puis dans H 0 (AF ; G voie aussi dans G ab 1,0 θ ¯ tifie à H (AF ; Ssc → S /Z(I )), lequel s’envoie dans H 1 (AF ; S¯sc ) puis dans Q1 . Puisque I /Z(G)θ est un sous-groupe de G , Q1,3 s’envoie naturellement dans Q3 . 0 (AF ; I /Z(G)θ ) que l’on peut identifier à Le groupe Q1,3 est un sous-groupe de Hab 1,0 θ θ ¯ H (AF ; Ssc → S /Z(G) ). Ce dernier s’envoie naturellement dans H 1 (AF ; S¯sc ) puis dans Q1 . Par composition, on obtient un homomorphisme Q1,3 → Q1 . Le

882

Chapitre VII. Descente globale

groupe Q2,3 s’envoie naturellement dans Q2 et Q3 . Toutes ces applications sont des homomorphismes. Ainsi, pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, on a des homomorphismes  Qj,j 

Qj

 Qj  .

On en déduit un homomorphisme qj,j  : Qj,j  → Q× dont la composante dans Qj est l’homomorphisme précédent, la composante dans Qj  est l’opposé de l’homomorphisme précédent et la dernière composante est triviale. On note Q∞ le quotient de Q× par le groupe engendré par les images des homomorphismes qj,j  . Soit u : ΓF → Z(I ; F¯ ) un cocycle dont l’image dans H 1 (F ; I ) appartient à U. Pour v ∈ V , l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) est nulle. On peut fixer iv ∈ I de sorte que u(σ) = iv σ(iv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Pour v ∈ V , u vérifie la condition 7.5(8). On peut fixer kv ∈ K ,v et iv ∈ I de sorte que u(σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Montrons que (1) on peut supposer kv ∈ K ,v ∩ Kvnr et iv ∈ I (Fvnr ) ∩ Kvnr pour presque tout v. Preuve. D’après le lemme 7.5, on peut fixer y ∈ Y˙  [dV ] tel que u soit cohomologue au cocycle σ → yσ(y)−1 . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I (F¯ ), on obtient un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On fixe un ensemble fini V  de places de F , contenant V , tel que, pour v ∈ V  , – y ∈ Kvnr ; ˜v. – η ∈ K Soit v ∈ V  . D’après 5.5(1), on a K ,v = Z(G)θ (K ,v ∩ Kvnr ). On peut donc écrire kv = zv kv avec zv ∈ Z(G)θ et kv ∈ K ,v ∩ Kvnr . Puisque Z(G)θ ⊂ I , on peut remplacer le couple (iv , kv ) par (iv zv , kv ). Après ce remplacement, on a kv ∈ K ,v ∩ Kvnr . L’égalité iv kv σ(iv kv )−1 = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓFv implique qu’il existe g1 ∈ G(Fv ) tel que y = iv kv g1 . Posons g = adkv (g1 ). Puisque K ,v normalise G(Fv ), on a encore g ∈ G(Fv ). On a y = iv gkv . D’où ˜ vnr ) = K ˜ vnr . adg−1 (η ) = adkv y−1 iv (η ) = adkv y−1 (η ) ∈ adkv y−1 (K ˜ v ), cela entraîne adg−1 (η ) ∈ K ˜ v . Comme on l’a expliqué Puisque adg−1 (η ) ∈ G(F dans la preuve du lemme 1.6, on peut appliquer les résultats de [79] 5.6. Le (ii) ¯  (Fv )Kv . Ecrivons g = xk  , avec du lemme de cette référence implique que g ∈ G  ¯ x ∈ G (Fv ) et k ∈ Kv . On peut remplacer notre couple (iv , kv ) par (iv x, k  kv ). Notons simplement (iv , kv ) ce nouveau couple. Il vérifie les mêmes propriétés que l’ancien mais vérifie de plus y = iv kv . Donc iv kv ∈ Kvnr . Puisque kv ∈ Kvnr , cela entraîne iv ∈ I (Fvnr ) ∩ Kvnr . 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

883

On suppose vérifiée la condition (1). Soit v ∈ Val(F ). Si v ∈ V , on a iv σ(iv )−1 = u(σ) donc iv σ(iv )−1 ∈ Z(I ) pour tout σ ∈ ΓFv . La même propriété vaut si v ∈ V car alors kv σ(kv )−1 ∈ Z(G)θ ⊂ Z(I ). Donc l’image iv,ad de ¯ ,AD appartient à G ¯ ,AD (Fv ). On a des applications naturelles iv dans G ¯ ,AD (Fv ) → H 1 (Fv ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (Fv ; S¯sc ). G ¯  (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspéPour presque tout v, le groupe Kv ∩ G ¯ ¯ ,v,ad de G ¯ ,AD (Fv ). La condition cial de G (Fv ). Il détermine un tel sous-groupe K (1) entraîne que iv,ad appartient à ce sous-groupe pour presque tout v. Si de plus, S¯sc est non ramifié en v, on voit que l’image de iv,ad par l’application précédente appartient au sous-groupe H 1 (ov ; S¯sc ), qui est nul. On a ainsi construit pour tout v un élément de H 1 (Fv ; S¯sc ) qui est nul pour presque tout v. La collection de ces termes est un élément de H 1 (AF ; S¯sc ). On l’envoie dans Q1 par l’application naturelle. Notons u1 l’élément de Q1 obtenu. Fixons comme dans la preuve de (1) un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . Fixons une décomposition y = zπ(ysc ), avec z ∈ Z(G; F¯ ) et ysc ∈ GSC (F¯ ). Pour unifier les notations, posons kv = 1 pour v ∈ V . Pour tout v ∈ Val(F ), fixons une décomposition iv kv = zv π(xsc,v ), avec zv ∈ Z(G; F¯v ) et xsc,v ∈ GSC (F¯v ). Pour σ ∈ ΓFv , les termes ysc σ(ysc )−1 et xsc,v σ(xsc,v )−1 ont même image dans GAD : c’est l’image de u(σ). Celle-ci appartient à l’image dans GAD de Z(I ), laquelle est contenu dans celle de S,v . Il en résulte que les termes ci-dessus appartiennent à S,sc,v (F¯v ) et que leur rapport −1 appartient à Z(GSC ; F¯v ). Posons χv (σ) = σ(xsc,v )x−1 . L’égalité sc,v ysc σ(ysc ) iv kv σ(iv kv )−1 = u(σ) = yσ(y)−1 entraîne que le couple (χv , zzv−1) est un cocycle de ΓFv dans le complexe Z(GSC ) → Z(G), que l’on pousse en un cocycle à valeurs dans le complexe Ssc → S. On 0 obtient ainsi un élément de H 0 (Fv ; Ssc → S) = Hab (Fv ; G). Il est clair que cet élément ne dépend pas des décompositions choisies de y et iv kv . Pour presque nr tout v, on a ysc ∈ Ksc,v et z ∈ Kvnr . L’hypothèse (1) permet de choisir des 0 éléments xsc,v ∈ Ksc,v et zv ∈ Kvnr . On vérifie alors que l’élément de Hab (Fv ; G) 0 que l’on vient de construire appartient à Hab (ov ; G). La collection de ces éléments 0 appartient à Hab (AF ; G). On pousse cet élément en un élément de Q2 que l’on note u2 . On a choisi pour le construire un élément y. Mais on ne peut modifier y qu’en le multipliant à droite par un élément g ∈ G(F ). On vérifie qu’une telle 0 (AF ; G) que l’on a construit par l’image multiplication multiplie l’élément de Hab −1 de g dans ce groupe par la suite d’applications 0 0 G(F ) → Hab (F ; G) → Hab (AF ; G).

Donc l’image u2 dans Q2 est inchangée. 0 (ov ; G ), cf. 6.2(1). On Pour tout v ∈ V , kv a une image naturelle dans Hab note u3 le produit de ces éléments dans Q3 . Notons q∞ (u) l’image dans Q∞ du triplet (u1 , u2 , u3 ) ∈ Q× .

884

Chapitre VII. Descente globale

Lemme. (i) L’élément q∞ (u) ne dépend pas des choix effectués. (ii) L’application u → q∞ (u) se quotiente en un homomorphisme de U dans Q∞ . Notation. On notera encore q∞ cet homomorphisme de U dans Q∞ . Preuve. Le cocycle u étant fixé, les choix sont ceux des éléments iv et kv . Pour une place v ∈ Val(F ), considérons d’autres choix iv , kv . Notons u1 etc. . . les analogues de u1 etc. . . construits à l’aide de ces nouveaux choix. Supposons d’abord v ∈ V . On a alors kv = kv = 1 et u3 = u3 . La relation iv σ(iv )−1 = u(σ) = iv σ(iv )−1 implique qu’il existe g ∈ G(Fv ) tel que iv = iv g. Puisque iv et iv appartiennent à I , on a g ∈ I (Fv ). Cet élément g s’envoie en un élément de Q1,2 . On voit que le couple (u1 , u2 ) est le produit de (u1 , u2 ) et de l’image par q1,2 de cet élément de Q1,2 . Donc les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Supposons maintenant v ∈ V . On a fixé un élément h,v ∈ G(Fv ) tel ˜ v . Remarquons que, puisque kv σ(kv )−1 est central pour tout que adh−1 (η ) ∈ K ,v σ ∈ ΓFv , on a l’égalité h,v kv σ(h,v kv )−1 = kv σ(kv )−1 . On a donc u(σ) = iv h,v kv σ(iv h,v kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . On a une relation analogue avec iv et kv . Cela entraîne qu’il existe g1 ∈ G(Fv ) tel que iv h,v kv = iv h,v kv g1 . Posons g = adkv (g1 ). On a encore g ∈ G(Fv ) et on a iv h,v kv = iv h,v gkv . On a alors adg−1 ◦ adh−1 (η ) = adkv kv −1 ◦ adh−1 ◦ adiv −1 iv (η ) ,v ,v ˜v) = K ˜v. = adkv kv −1 ◦ adh−1 (η ) ∈ adkv kv −1 (K ,v D’après le lemme 5.6(ii) de [79], cela implique g ∈ Gad

−1 (η ) h,v

¯  (Fv ))Kv . (Fv )Kv = adh−1 (G ,v

¯  (Fv ) et b ∈ Kv . Posons iv = iv a et kv = bkv . Ecrivons g = adh−1 (a)b, avec a ∈ G ,v On voit que le couple (iv , kv ) est encore un choix possible, donnant naissance à des termes u1 etc. . . On a de plus iv h,v kv = iv h,v kv . L’élément a a une image naturelle a ∈ Q1,2 . L’élément b a une image naturelle b ∈ Q2,3 . On vérifie que (u1 , u2 , u3 ) est le produit de (u1 , u2 , u3 ) et de q1,2 (a)q2,3 (b)−1 . Donc les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Pour simplifier les notations, on peut supposer maintenant iv = iv et kv = kv . On a alors l’égalité iv h,v kv =   −1 −1 iv h,v kv . Posons j = i−1 h,v . Alors j ∈ I (F¯v ) ∩ adh,v (K ,v ). v iv = h,v kv kv D’après 5.5(1), cette intersection est égale au produit de Z(G)θ et de I (F¯v ) ∩ adh,v (K ,v ∩ Kvnr ). Le groupe ¯  (Fv ) ∩ adh,v (Kv ) G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

885

¯  (Fv ), qui donne naissance à un tel est un sous-groupe compact hyperspécial de G ¯ ,AD (Fv ). La propriété précédente entraîne que l’image ¯ ,ad,v de G sous-groupe K ¯ ,AD (Fv ) appartient à K ¯ ,ad,v . Elle définit donc un élément j de jad de j dans G Q1,3 . On voit que u2 = u2 tandis que (u1 , u3 ) est le produit de (u1 , u3 ) et de q1,3 (j). De nouveau, les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Cela prouve le (i) de l’énoncé. Considérons deux cocycles u et u de ΓF dans Z(I ; F¯ ) qui ont même image dans H 1 (F ; I ), cette image appartenant à U. Alors on peut fixer i ∈ I (F¯ ) tel que u (σ) = iu(σ)σ(i)−1 pour tout σ ∈ ΓF . Cette relation implique que iσ(i)−1 ∈ Z(I ; F¯ ). Des données iv et kv étant fixées pour tout v pour le cocycle u, on peut choisir pour u les données iv = iiv et kv = kv . On note u1 etc. . . les termes associés à u et aux données iv et kv et u1 etc. . . ceux associés à u et aux données iv et kv . On a trivialement u3 = u3 . La relation iσ(i)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF ¯ ,AD appartient à G ¯ ,AD (F ). On voit que u1 implique que l’image iad de i dans G est le produit de u1 et de l’image de iad par la suite d’applications naturelles ¯ ,AD (F ) → H 1 (F ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (F ; S¯sc ) → H 1 (AF /F ; S¯sc ) = Q1 . G Or la dernière application ci-dessus est nulle, donc u1 = u1 . Dans la construction de u2 , on a choisi un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On peut choisir pour u l’élément y  = iy. On vérifie alors que u2 = u2 . Donc q∞ (u ) = q∞ (u). Cela prouve que l’application q∞ se quotiente en une application de U dans Q∞ . Considérons deux cocycles u et u de ΓF dans Z(I ; F¯ ) dont les images dans 1 H (F ; I ) appartiennent à U. Posons u = uu . Choisissons pour toute place v des données iv et kv pour u et des données iv et kv pour u . Pour tout v et tout σ ∈ ΓFv , on a u (σ) = u(σ)u (σ) = iv kv σ(iv kv )−1 u (σ) = kv σ(kv )−1 iv σ(iv )−1 u (σ), parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G). Puis u (σ) = kv σ(kv )−1 iv u (σ)σ(iv )−1 parce que u (σ) ∈ Z(I ). Puis u (σ) = kv σ(kv )−1 iv iv kv σ(iv kv )−1 σ(iv )−1 = kv σ(kv )−1 iv iv kv σ(iv iv kv )−1 = iv iv kv kv σ(kv )−1 σ(iv iv kv )−1 toujours parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G). D’où u (σ) = iv iv kv kv σ(iv iv kv kv )−1 . Pour u , on peut donc choisir pour données iv = iv iv et kv = kv kv . On note u1 etc. . ., u1 etc. . ., u1 etc. . . les termes construits avec ces différentes données. Il

886

Chapitre VII. Descente globale

est immédiat que u1 = u1 u1 et u3 = u3 u3 . Pour construire le terme u2 , on doit choisir un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF et des décompositions y = zπ(ysc ) et iv kv = zv π(xsc,v ). Pour cette dernière, on peut choisir des décompositions iv = av π(isc,v ) et kv = bv π(ksc,v ) avec av , bv ∈ Z(G) et isc,v , ksc,v ∈ GSC . On pose alors zv = av bv , xsc,v = isc,v ksc,v . On choisit des termes analogues pour u , que l’on affecte d’un  . Pour u , on choisit un terme y   et une décomposition y  = z  π(ysc ). On peut choisir isc,v = isc,v isc,v , av = av av ,     ksc,v = ksc,v ksc,v , bv = bv bv . Pour σ ∈ ΓFv , posons   χv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v σ(xsc,v )xsc,v

−1  xsc,v σ(xsc,v )−1 .

Parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G), on a ksc,v σ(ksc,v )−1 ∈ Z(GSC ). Notons I,sc l’image réciproque dans GSC de l’image de I dans GAD . On a isc,v ∈ I,sc . Parce que iv σ(iv )−1 ∈ Z(I ), on a isc,v σ(isc,v )−1 ∈ Z(I,sc ). De mêmes propriétés valent   , ksc,v , isc,v et isc,v . On calcule alors pour ksc,v −1   σ(ksc,v )ksc,v χv (σ) = σ(ksc,v )ksc,v

(2)

−1   ksc,v σ(ksc,v )−1

−1

    −1 σ(isc,v )i−1 . sc,v σ(isc,v )i sc,v isc,v σ(isc,v )

On a       σ(ksc,v )−1 = ksc,v ksc,v σ(ksc,v )−1 σ(ksc,v )−1 = ksc,v σ(ksc,v )−1 ksc,v σ(ksc,v )−1 ksc,v

et les six premiers termes de (2) disparaissent. On a aussi −1

−1

−1

    −1   σ(isc,v )i−1 sc,v σ(isc,v )i sc,v = σ(isc,v )σ(isc,v )i sc,v isc,v = σ(isc,v )i sc,v

et les six derniers termes de (2) disparaissent. D’où χv (σ) = 1. −1 est l’image dans En appliquant les définitions, on voit alors que u2 u2 u2   −1 0 ) ∈ Hab (AF ; G), où ξ est défini par Q2 du cocycle (ξ, zz z   −1   ξ(σ) = ysc σ(ysc )−1 ysc σ(ysc ) σ(ysc )ysc

−1

.

0 0 (F ; G). Or Hab (F ; G) s’envoie sur 0 Ce cocycle est l’image d’un élément de Hab   dans Q2 . D’où u2 = u2 u2 . Cela prouve que l’application q∞ , quotientée en une application définie sur U, est un homomorphisme. 

VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q∞ Rappelons que 1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Pour j = 1, 2, 3, on a défini en 6.6 un homomorphisme qj : Qj → Q. On en déduit un homomorphisme produit (1)

Q× = Q1 × Q2 × Q3 → Q.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

887

Montrons que (2) pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, le composé de l’homomorphisme (1) et de qj,j  est nul. Prouvons-le pour (j, j  ) = (1, 2), la démonstration étant similaire pour les autres couples. Il s’agit de prouver que le diagramme suivant  Q1

Q1,2

q1 

 Q2

 q2 Q

est commutatif, où les flèches du haut sont celles définies en 7.6. Le composé des homomorphismes de gauche est composé de 0 0 ¯ ,AD ) Q1,2 = I (AF ) → Hab (AF ; I ) → Hab (AF ; G = H 1,0 (AF ; S¯sc → S θ /Z(I )) → H 1 (AF ; S¯sc ) → Q1 1−θ

= H 1 (AF /F ; S¯sc ) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). On peut remplacer les deux derniers homomorphismes par 1−θ

1−θ

H 1 (AF ; S¯sc ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Le composé des homomorphismes de droite du diagramme est composé de 0 0 Q1,2 = I (AF ) → Hab (AF ; I ) → Hab (AF ; G) → Q2 0 0 0 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) → Hab (AF /F ; G) 1−θ

= H 1,0 (AF /F ; Ssc → S) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Il est égal au composé de 0 0 (AF ; I ) → Hab (AF ; G) Q1,2 = I (AF ) → Hab 1−θ

= H 1,0 (AF ; Ssc → S) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) 1−θ

→ H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Ainsi, nos deux homomorphismes se factorisent par des homomorphismes 1−θ

0 Hab (AF ; I ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)),

que l’on décompose en produits d’homomorphismes locaux 1−θ

0 (Fv ; I ) → H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)). Hab

888

Chapitre VII. Descente globale

On fixe v et il suffit de montrer que ces homomorphismes locaux sont égaux. 0 (Fv ; I ) = H 1,0 (Fv ; S¯sc → S θ ). On vérifie que le premier hoRappelons que Hab momorphisme est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes de tores S¯sc → Sθ ↓ ↓ S¯sc → 0 ↓ ↓ Ssc

1−θ

→

(1 − θ)(S) .

Le second est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes de tores S¯sc → Sθ ↓ ↓ S Ssc → ↓ ↓1−θ Ssc

1−θ

→

(1 − θ)(S) .

Mais les deux homomorphismes composés S¯sc ↓

→

Sθ ↓

Ssc

1−θ

(1 − θ)(S)

→

sont égaux. Cela prouve l’égalité de nos homomorphismes. D’où (2). Grâce à (2), l’homomorphisme (1) se quotiente en un homomorphisme q0 : Q∞ → Q. Son image est égale au groupe Q0 défini en 6.6. Lemme. L’image de l’homomorphisme q∞ est égale au noyau de q0 . Preuve. Montrons d’abord que l’image de q∞ est contenue dans le noyau de q0 . On introduit les notations suivantes pour les homomorphismes naturels ¯ ,SC G

π ¯

π ¯,sc 

→

G. π

GSC Soit u : ΓF → Z(I ) un cocycle dont l’image dans H 1 (F ; I ) appartient à U. On fixe y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On fixe ysc ∈ GSC (F¯ ) et z ∈ Z(G; F¯ ) tels que y = zπ(ysc ). Pour toute place v, on fixe des éléments iv et kv comme en 7.6. On fixe – zv ∈ Z(G; F¯v ) et xsc,v ∈ GSC (F¯v ) tels que iv kv = zv π(xsc,v ) ; ¯ ,SC (F¯v ) tels que iv = ζv π ¯ (¯isc,v ) ; – ζv ∈ Z(I ; F¯v ) et ¯isc,v ∈ G ¯ ¯ – bv ∈ Z(G; Fv ) et ksc,v ∈ GSC (Fv ) tels que kv = bv π(ksc,v ) (on prend bv = 1 et ksc,v = 1 pour v ∈ V ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

889

Reprenons les constructions des termes u1 , u2 et u3 de 7.6. De l’isomorphisme adr¯−1 u : S¯ → S¯ se déduisent des isomorphismes H 1 (AF ; S¯,sc ) → H 1 (AF ; S¯sc ), H 1,0 (AF ; S,sc → S ) → H 1,0 (AF ; Ssc → S), H 1,0 (AF ; S,sc → S /Z(G)0 ) → H 1,0 (AF ; Ssc → S/Z(G)0 ). Les espaces d’arrivée s’envoient ensuite respectivement dans Q1 , Q2 et Q3 . Les espaces de départ s’envoient donc eux-aussi dans ces groupes. Le terme u1 est l’image par l’application ainsi définie de l’élément de H 1 (AF ; S¯,sc ) dont la composante en v est le cocycle σ → ¯isc,v σ(¯isc,v )−1 . Le terme u2 est l’image de l’élément de H 1,0 (AF ; S,sc → S ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle −1 σ → ysc σ(ysc )−1 σ(xsc,v )x−1 sc,v et de l’élement zzv de S . Le terme u3 est l’image 1,0 0 de l’élément de H (AF ; S,sc → S /Z(G) ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle σ → ksc,v σ(ksc,v )−1 et de l’image de bv dans S /Z(G)0 . On envoie u1 , u2 et u3 dans Q et on fait le produit. On obtient l’image 1−θ naturelle d’un élément de H 1,0 (AF ; S,sc → (1 − θ)(S )) dont la composante en −1 v est (χv , (1 − θ)(zzv bv )), où χv est défini par ¯,sc (¯isc,v σ(¯isc,v )−1 )ksc,v σ(ksc,v )−1 ysc σ(ysc )−1 σ(xsc,v )x−1 χv (σ) = π sc,v . ¯ L’élément σ(xsc,v )x−1 sc,v appartient à S,sc,v (Fv ) et on ne change pas χv (σ) en le conjuguant par cet élément. On obtient χv (σ) = Xv (σ)ysc σ(ysc )−1 , où

¯,sc (¯isc,v σ(¯isc,v )−1 )ksc,v σ(ksc,v )−1 . Xv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v π

Parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G), on a ksc,v σ(ksc,v )−1 ∈ Z(GSC ) et on peut récrire ¯,sc (¯isc,v )ksc,v σ(ksc,v )−1 σ(¯ π,sc (¯isc,v ))−1 Xv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v π −1 −1 = σ(xsc,v )x−1 σ(τv ), sc,v τv xsc,v σ(xsc,v ) −1 où τv = xsc,v ksc,v π ¯,sc (¯isc,v )−1 . Il résulte des définitions que π(τv ) = zv−1 bv ζv . Ce dernier terme appartient à Z(G; F¯v )Z(I ; F¯v ) ⊂ S,v (F¯v ). Donc τv ∈ S,sc,v (F¯v ). En particulier, il commute à xsc,v σ(xsc,v )−1 et on obtient simplement Xv (σ) = τv−1 σ(τv ). L’élément σ(τv ) commute aussi à χv (σ) et on obtient

χv (σ) = σ(τv )−1 χv (σ)σ(τv ) = σ(τv )−1 Xv (σ)ysc σ(ysc )−1 σ(τv ) = τv−1 ysc σ(ysc )−1 σ(τv ). Le couple (χv , (1 − θ)(zzv−1 bv )) est cohomologue au cocycle (χv , (1 − θ)(zzv−1 bv π(τv−1 ))),

où χv (σ) = ysc σ(ysc )−1 .

890

Chapitre VII. Descente globale

On calcule zv−1 bv π(τv−1 ) = ζv−1 . Or cet élément appartient à Z(I ) donc est annulé par 1 − θ. Notre cocycle est donc cohomologue au cocycle (χv , (1 − θ)(z)). Notons que χv prend ses valeurs dans Z(I,sc ) et que z ∈ Z(G). L’automorphisme adr¯−1 u est l’identité sur ces groupes. Notre cocycle se transporte donc en un cocycle défini 1−θ par les mêmes formules, à valeurs cette fois dans le complexe Ssc (F¯v ) → ((1 − θ)(S))(F¯v ). Il devient alors la composante en v d’un cocycle de ΓF dans le complexe 1−θ 1−θ Ssc (F¯ ) → ((1 − θ)(S))(F¯ ). Donc son image dans Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) est nulle. Cela prouve que l’image de q∞ est contenue dans le noyau de q0 . Démontrons la réciproque. Considérons des éléments qj ∈ Qj , pour j = 1, 2, 3, tels que q0 (q1 , q2 , q3 ) = 0. On relève q1 en une cochaîne β˙ : ΓF → S¯sc (AF¯ ) telle que ∂ β˙ prend ses valeurs dans S¯sc (F¯ ). On a noté ∂ la différentielle. D’après le lemme 0 0 6.3, l’application G(AF ) → Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) = Q2 est surjective. On relève q2 en un élément g = (gv )v∈Val(F ) de G(AF ). On sait que l’application 0 naturelle K V → Hab (oV ; G ) = Q3 est surjective. On relève q3 en un élément  V V k = v∈V kv ∈ K . Pour unifier les notations, on pose kv = 1 pour v ∈ V . Fixons un ensemble fini V  de places de F contenant V et tel que, pour v ∈ V  , le tore S,v soit non ramifié et gv appartienne à Kv . Pour v ∈ V  , on 0 (Fv ; G), cf. 1.5(2). Puisque seule sait que Kv et S,v (ov ) ont même image dans Hab compte l’image de gv dans ce groupe, on peut supposer gv ∈ S,v (ov ) pour v ∈ V  .   Pour la même raison, on peut supposer kv ∈ S,v (onr v ) pour v ∈ V . Pour v ∈ V , on choisit des éléments gsc,v , ksc,v ∈ GSC (F¯v ) et av , bv ∈ Z(G; F¯v ) de sorte que gv = av π(gsc,v ), kv = bv π(ksc,v ). On suppose bv = 1 et ksc,v = 1 pour v ∈ V . Pour v ∈ V  , on pose gsc,v = 1, ksc,v = 1 et av = gv , bv = kv . Pour tout v, av et bv sont des éléments de S,v (F¯v ). Pour tout v et tout σ ∈ ΓFv , on pose γv (σ) = gsc,v σ(gsc,v )−1 et κv (σ) = ksc,v σ(ksc,v )−1 . Ce sont des cocycles à valeurs dans Z(GSC ; F¯v ) et ils sont triviaux si v ∈ V  . Le couple (γv , av ) est l’image 0 naturelle de gv dans H 1,0 (Fv ; S,sc,v → S,v )  Hab (Fv ; G). On note a˙ v l’image de av dans S(F¯v ) par l’isomorphisme adr¯−1 u . Alors (γv , a˙ v ) est l’image naturelle de 0 (Fv ; G). Avec des notations similaires, (κv , b˙ v ) gv dans H 1,0 (Fv ; Ssc → S)  Hab 0 (Fv ; G ). Nos est l’image naturelle de kv dans H 1,0 (Fv ; Ssc → S/Z(G)θ )  Hab cocycles s’étendent en des cocycles adéliques γ et κ et nos termes av , a˙ v etc. . . se regroupent en des termes adéliques a, a˙ etc. . . ˙ La condition q0 (q1 , q2 , q3 ) = 0 signifie que la cochaîne (¯ π,sc (β)κγ, (1 − 1−θ

θ)(b˙ a)), ˙ à valeurs dans le complexe Ssc (AF¯ ) → (1 − θ)(S(AF¯ )), est cohomo1−θ logue à une cochaîne à valeurs dans le complexe Ssc (F¯ ) → (1 − θ)(S(F¯ )). On −1 peut donc fixer x˙ ∈ Ssc (AF¯ ) de sorte que (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ ) ∈ (1 − θ)(S(F¯ )) et ˙ que, en posant δ(σ) = xσ( ˙ x) ˙ −1 π ¯,sc (β(σ))κ(σ)γ(σ), on ait (4) pour tout σ ∈ ΓF , δ(σ) ∈ Ssc (F¯ ). On peut écrire (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ −1 ) = (1 − θ)(z  π(x˙  )), avec z  ∈ Z(G; F¯ ) et ¯ x˙ ∈ Ssc (F ). On peut remplacer x˙ par x˙ x˙  . Cela ne perturbe pas la relation (4). 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

891

Mais la relation précédente devient (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ −1 ) = (1 − θ)(z  ),

avec z  ∈ Z(G; F¯ ).

˙ prend ses valeurs dans S θ . ¯,sc (β) Parce que β˙ prend ses valeurs dans S¯sc , π sc ˙ De plus, les couples (γ, (1 − θ)(a)) ˙ et (κ, (1 − θ)(b)) sont des cocycles. Cela permet de calculer (5) (1 − θ) ◦ π(δ(σ)) = (1 − θ)(σ(z  )(z  )−1 ) pour tout σ ∈ ΓF . θ ¯ (F )Z(GSC ; F¯ ). A fortiori (1−θ)◦π(δ(σ)) ∈ Z(G; F¯ ). Cela entraîne δ(σ) ∈ Ssc Rappellons que l’on note I,sc l’image réciproque dans GSC de l’image de I dans θ ¯ (F )Z(GSC ; F¯ ) est le produit de Z(I,sc ; F¯ ) et de π ¯,sc (S¯sc (F¯ )). GAD . Le groupe Ssc 1 ˙ ¯ Seule compte pour nous l’image de β dans H (AF /F ; Ssc ). On peut modifier β˙ par une cochaîne à valeurs dans S¯sc (F¯ ). Par une telle modification, on peut donc supposer (6) δ(σ) ∈ Z(I,sc ; F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . ˙ Transportons par adu−1 ¯ la cochaîne β en une cochaîne β à valeurs dans  r ¯ S,sc (AF¯ ). Transportons de même x˙ en un élément x ∈ S,sc (AF¯ ). Puisque l’isomorphisme adu−1 ¯ est équivariant pour les actions galoisiennes et est l’identité  r sur Z(I,sc ), nos relations se conservent. C’est-à-dire que l’on a ¯,sc (β(σ))κ(σ)γ(σ) pour tout σ ∈ ΓF ; (7) δ(σ) = xσ(x)−1 π (8) (1 − θ)(baπ(x)−1 ) = (1 − θ)(z  ). ¯,sc (∂β). D’après (6), ∂δ prend ses valeurs dans Z(I,sc ; F¯ ). Mais ∂δ = π ¯ ,SC ; F¯ ). Alors β se pousse en un cocycle à Donc ∂β prend ses valeurs dans Z(G ¯ ,SC (AF¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ ). Parce que G ¯ ,SC est simplement connexe, valeurs dans G le théorème 2.2 de [46] dit que l’application ¯ ,SC (F¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ )) → H 1 (ΓF ; G ¯ ,SC (AF¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ )) H 1 (ΓF ; G ¯ ,SC (AF¯ ) tel que, en posant α est surjective. On peut donc fixer m ¯ ∈ G ¯ (σ) = −1 ¯ ,SC (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . Posons m = π σ(m) ¯ −1 , on ait α(σ) ¯ ∈G ¯,sc (m) ¯ mβ(σ) ¯ et α(σ) = π ¯,sc (¯ α(σ)). En utilisant (7), on obtient α(σ) = mδ(σ)−1 xσ(x)−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)−1 . Mais δ(σ) ∈ Z(I,sc ) commute à m et à α(σ). D’où (9)

α(σ)δ(σ) = mxσ(x)−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)−1 .

La cochaîne αδ prend ses valeurs dans GSC (F¯ ). C’est un cocycle car le terme de droite ci-dessus en est un. Montrons que (10) ce cocycle est localement trivial. On peut fixer une extension finie E de F telle que tous nos éléments et toutes nos cochaînes prennent leurs valeurs dans AE . Soit v ∈ Val(F ). Comme

892

Chapitre VII. Descente globale

d’habitude, on note v¯ le prolongement fixé de v à F¯ et w sa restriction à E. Les termes x et m ont des composantes locales xw et mw . Pour simplifier, on les note xv et mv . Ces notations seront utilisées dans la suite de la preuve. Pour σ ∈ ΓFv , on a γv (σ) = gsc,v σ(gsc,v )−1 et κv (σ) = ksc,v σ(ksc,v )−1 , ces deux éléments appartenant à Z(GSC ) et valant 1 si v ∈ V  . On en déduit que la composante dans Ew de α(σ)δ(σ) est égale à mv xv ksc,v gsc,v σ(mv xv ksc,v gsc,v )−1 . Ce cocycle est un cobord, d’où l’assertion (10). Parce que GSC est simplement connexe, l’application H 1 (F ; GSC ) → H 1 (AF ; GSC ) est injective ([51] théorème 1.6.9). Il en résulte que l’image de αδ dans H 1 (F ; GSC ) est triviale. On peut donc fixer Ysc ∈ GSC tel que α(σ)δ(σ) = Ysc σ(Ysc )−1 pour tout σ ∈ ΓF . Le calcul de locale trivialité que l’on vient de faire implique que, pour toute place v, il existe hsc,v ∈ GSC (Fv ) tel que (11)

Ysc = mv xv ksc,v gsc,v hsc,v .

Posons Y = z  π(Ysc ). Montrons que (12) Y appartient à Y [dV ]. Pour σ ∈ ΓF , on a Y σ(Y )−1 = π(α(σ)δ(σ))z  σ(z  )−1 . On a π(α(σ)) ∈ ¯ ¯ G (F ) ⊂ I (F¯ ). On a δ(σ) ∈ Z(I,sc ; F¯ ) donc π(δ(σ)) ∈ Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ ) et aussi π(δ(σ))z  σ(z  )−1 ∈ Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ ). La relation (5) entraîne que cet élément est invariant par θ. Donc il appartient à Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ )θ qui est inclus dans Z(I ; F¯ ). Donc Y σ(Y )−1 ∈ I (F¯ ). Cela prouve que Y ∈ Y . Soit v ∈ Val(F ). La relation (8) entraîne qu’il existe ξv ∈ S,v (F¯v )θ tel que (13) z  = ξv π(xv )−1 bv av . Utilisons (11). Puisque z  est central, on a Y = π(Ysc )z  = π(mv xv )z  π(ksc,v gsc,v hsc,v ) = π(mv )ξv bv av π(ksc,v gsc,v hsc,v ). Par construction, on a av ∈ Z(G; F¯v ) si v ∈ V  et ksc,v = 1 si v ∈ V  . En tout cas, av et ksc,v commutent. L’égalité précédente se récrit (14)

Y = π(mv )ξv bv π(ksc,v )av π(gsc,v )π(hsc,v ) = π(mv )ξv kv gv π(hsc,v ).

Cette égalité décompose Y en le produit d’un élément de I (F¯v ), à savoir π(mv )ξv , d’un élément kv qui est égal à 1 si v ∈ V et qui appartient à K v si v ∈ V , et d’un élément de G(Fv ), à savoir gv π(hsc,v ). C’est exactement la condition pour que Y appartienne à Y [dV ]. Cela prouve (12). Fixons j ∈ I(F¯ ) et g  ∈ G(F ) tels que l’élément y = jY g  appartienne à notre ensemble de représentants Y˙  [dV ]. Pour σ ∈ ΓF , posons u(σ) = yσ(y)−1 . Alors u est un cocycle de ΓF dans Z(I ) qui appartient à U (lemme 7.5). Pour achever la preuve du lemme, il suffit de prouver que l’image de (q1 , q2 , q3 ) dans Q∞ est égale

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

893

à q∞ (u). Reprenons la construction de q∞ (u) de 7.6. On dispose déjà de l’élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On doit fixer pour toute place v des éléments iv ∈ I(F¯v ) et kv avec kv = 1 si v ∈ V et kv ∈ K ,v si v ∈ V , de sorte que u(σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . L’égalité (14) montre que l’on peut choisir iv = jπ(mv )ξv et kv = kv . Ces éléments vérifient la relation 7.6(1)  pour presque tout v. C’est clair pour kv puisque kv ∈ S,v (onr v ) pour v ∈ V . −1 Grâce à (13), on a iv = jz  π(mv xv )b−1 a . Les termes b et a appartiennent à v v v v Kvnr pour v ∈ V  . Les termes j et z  sont définis sur F¯ , donc appartiennent à Kvnr pour presque tout v. Les termes mv et xv sont les composantes en w de termes adéliques donc vérifient la même condition. On peut donc utiliser ces termes iv et kv dans la construction de 7.6. L’élément u3 construit dans ce paragraphe est trivialement égal à q3 . Avant de calculer u1 , on a besoin d’un résultat préliminaire. On fixe une ¯ ,SC (F¯ ) et ζj ∈ Z(I ; F¯ ). Introduisons le décomposition j = π ¯ (jsc )ζj avec jsc ∈ G ¯ ¯ −1 σ(jsc m). ¯ cocycle ψ : ΓF → G,SC (AF¯ ) défini par ψ(σ) = (jsc m) Montrons que ¯ ,SC ; F¯ ) pour tout (15) ψ prend ses valeurs dans S¯,sc (AF¯ ) ; on a ψ(σ)β(σ) ∈ Z(G σ ∈ ΓF . On a vu dans la preuve de (12) que Y σ(Y )−1 ∈ π(α(σ))Z(I ; F¯ ). On a aussi jY σ(jY )−1 = yσ(y)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) par définition de y. Il en résulte que ¯ ,SC ; F¯ ). En remplajπ(α(σ))σ(j)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) puis que jsc α ¯ (σ)σ(jsc )−1 ∈ Z(G −1 σ(m) ¯ −1 et par inversion, on obtient çant α ¯ (σ) par sa valeur mβ(σ) ¯ ¯ ,SC ; F¯ ). ¯ ¯ −1 ∈ Z(G σ(jsc m)β(σ)(j sc m) On peut aussi bien conjuguer cette relation par (jsc m) ¯ −1 et on obtient la seconde assertion de (15). La première en résulte immédiatement. L’élément u1 est l’image dans Q1 d’un cocycle adélique. Calculons sa com¯ ,AD . Elle appartient à posante en une place v. On note iv,ad l’image de iv dans G ¯ G,AD (Fv ). Alors u1,v est l’image de iv,ad par l’application ¯ ,AD (Fv ) → H 1 (ΓFv ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (Fv ; S¯sc ). G On fixe une décomposition ξv = π ¯ (ξsc,v )ζv avec ξsc,v ∈ S¯,sc,v (F¯v ) et ζv ∈ Z(I ; F¯v ). On a alors l’égalité iv = π ¯ (jsc m ¯ w ξsc,v )ζj ζv . Pour σ ∈ Γv¯ , on a u1,v (σ) = jsc m ¯ w ξsc,v σ(jsc m ¯ w ξsc,v )−1 . ¯ ,SC ; F¯v ) On peut aussi bien conjuguer le terme ciCe terme appartient à Z(G −1 dessus par σ(ξsc,v )m ¯ −1 j w sc et on obtient u1,v (σ) = ξsc,v σ(jsc m ¯ w )−1 jsc m ¯ w σ(ξsc,v )−1 , autrement dit

u1,v (σ) = ξsc,v ψv (σ)−1 σ(ξsc,v )−1 .

894

Chapitre VII. Descente globale

Tous les termes appartiennent à S,sc,v (F¯v ) et leur produit appartient à ¯ ,SC ; F¯v ). On peut aussi bien conjuguer chaque terme par r¯−1 u . D’où Z(G  u1,v (σ) = ξ˙sc,v ψ˙ v (σ)−1 σ(ξ˙sc,v )−1 , où ξ˙sc,v et ψ˙ v (σ) sont les images de ξsc,v et ψv (σ) dans S¯sc (F¯v ). Cela montre que les cocycles u1,v et ψ˙ v−1 sont cohomologues. Il en résulte que l’image de u1 dans Q1 est la même que celle du cocycle ψ˙ −1 . En conjuguant la propriété (14) par r¯−1 u , ¯ ,SC ; F¯ ). Leurs on voit que ψ˙ −1 et β˙ diffèrent par une cochaîne à valeurs dans Z(G 1 ¯ images dans Q1 = H (AF /F ; Ssc ) sont donc égales. Puisque l’image de β˙ est q1 , cela démontre que u1 = q1 . Pour calculer u2 , on doit fixer une décomposition y = π(ysc )z avec ysc ∈ GSC (F¯ ) et z ∈ Z(G; F¯ ). Pour tout v, on fixe une décomposition iv kv = π(xsc,v )zv avec xsc,v ∈ GSC (F¯v ) et zv ∈ Z(G; F¯v ). Alors u2 est l’image du cocycle adélique à valeurs dans le complexe Ssc → S dont la composante en v est la suivante. −1 et le second est zzv−1 . NoLe premier terme est σ → σ(xsc,v )x−1 sc,v ysc σ(ysc ) tons que le premier terme est à valeurs centrales, il est égal à son conjugué σ → −1    x−1 sc,v ysc σ(xsc,v ysc ). Or y = jY g = jπ(mv )ξv kv gv π(hsc,v )g = iv kv gv π(hsc,v )g . Il  −1 −1 en résulte que gv π(hsc,v )g = π(xsc,v ysc )zzv . Donc le terme u2 apparaît comme l’image naturelle dans Q2 de l’élément gπ(hsc )g  ∈ G(AF ). L’élément π(hsc ) s’en0 0 voie sur 1 dans Hab (AF ; G). L’élément g  s’envoie sur un élément de Hab (F ; G), qui devient trivial dans Q2 . Donc u2 est l’image naturelle de g, c’est-à-dire q2 . Cela achève la démonstration. 

VII.7.8 Un caractère de Q∞ Dans ce paragraphe, on suppose (1) ω et ωH coïncident sur I (AF ). ˆ¯ ΓF est aussi un ¯ l’élément s¯ ∈ Z(H) Puisque S¯sc  SH¯ est un sous-tore de H, ¯ΓF . On a un produit sur élément de Sˆ ad ΓF . H 1 (AF /F ; S¯sc ) × Sˆ¯ad

Donc s¯ définit un caractère du premier groupe, lequel n’est autre que Q1 . On le note ˆ ˆ en un cocycle encore ker1 (WF ; Z(G)) ω1 . Relevons l’élément a ∈ H 1 (WF ; Z(G))/ ˆ noté a à valeurs dans Z(G). Il se pousse en un élément de H 1,0 (WF ; Sˆ → Sˆad ), qui, par les dualités usuelles, définit un caractère de H 1,0 (AF /F ; Ssc → S). Via le plongement de Q2 dans ce groupe, on récupère un caractère ω2 de Q2 . On vérifie que le composé de ω2 avec l’application naturelle G(AF ) → Q2 n’est autre que ω. Puisque qu’on a déjà dit que cette application etait surjective, cela fournit une autre définition de ω2 . On note ω3 le caractère trivial de Q3 . Notons ω× le caractère de Q× dont la composante sur Qj est ωj pour tout j = 1, 2, 3.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

895

Montrons que (2) pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, ω× est trivial sur l’image de qj,j  . Preuve. Pour j = 2 et j  = 3, cela résulte de la non-ramification de ω hors de V , qui implique que ω est trivial sur Kv pour v ∈ V . Pour j = 1, cela va résulter de la propriété 0 ¯ ,AD ) → Q1 est le ca(AF ; G (3) le composé de ω1 et de l’homomorphisme Hab ractère ωH , que l’on prouvera ci-dessous. L’homomorphisme Q1,2 → Q1 se factorisant par 0 ¯ ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1 un homomorphisme naturel Q1,2 → Hab (AF ; G  et j = 2 résulte, grâce à (3), de l’hypothèse que ω coïncide sur I (AF ) avec le caractère de ce groupe déduit de ωH . L’homomorphisme Q1,3 → Q1 se factorisant 0 ¯ ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1 par un homomorphisme naturel Q1,3 → Hab (AF ; G  et j = 3 résulte, grâce à (3), de la non-ramification de ωH hors de V qui implique que ωH est trivial sur K,ad,v pour v ∈ V . Cela prouve (2).  Preuve de (3). On reprend la construction de ωH donnée en [I] 2.7. Elle se simplifie puisqu’il n’y a pas ici de torsion. On fixe un relèvement s¯sc ∈ Tˆ¯sc de s¯ ∈ Tˆ¯ad . ˆ¯ soit ˆ tel que l’action galoisienne sur H Pour tout w ∈ WF , on fixe (¯ g (w), w) ∈ H ˆ¯ ¯(w). On définit w → wH¯ = adg¯w ◦wG¯ . On fixe un relèvement g¯sc (w) ∈ G SC de g ˆ¯ ) −1 −1 ssc ) g¯sc (w) . Il est à valeurs dans Z(G le cocycle asc (w) = s¯sc g¯sc (w)wG¯ (¯ SC ¯ et ωH¯ est le caractère de GAD (AF ) associé à ce cocycle. Remarquons que l’on a ssc )−1 . On peut identifier Sˆ¯sc au tore Tˆ¯sc muni d’une action aussi asc (w) = s¯sc wH¯ (¯ galoisienne σ → σS . Celle-ci est de la forme σS = ωS,H¯ (σ) ◦ σH¯ , où ωS,H¯ est ¯ un cocycle à valeurs dans W H . Un élément ωS,H¯ (σ) se représente comme l’action ˆ¯ . Il en résulte que adjointe d’un élément du centralisateur de s¯sc dans G SC ssc ) = ωS,H¯ (w)(wH¯ (¯ ssc )) = ωS,H¯ (w)(asc (w)−1 s¯sc ) = asc (w)−1 s¯sc . wS (¯ Donc asc (w) = s¯sc wS (¯ ssc )−1 . Ce cocycle est l’image naturelle de l’élément de ¯sc → Sˆ ¯ad ) dont la première composante est asc et la seconde est triviale. H 1,0 (WF ; Sˆ Mais ce cocycle est cohomologue à celui dont la première composante est triviale et la seconde est s¯. Celui-ci définit le caractère ω1 de Q1 . L’assertion (3) résulte de cela par dualité.  Grâce à (2), le caractère ω× de Q× se quotiente en un caractère noté ω∞ de Q∞ . Lemme. Si ω∞ n’est pas trivial sur l’image de l’homomorphisme q∞ , alors ϕ[V ¯  , dV ] = 0. Preuve. La fonction ϕ[V ¯  , dV ] est définie par la formule 7.1(3). Conformément aux bijections de 7.3, on la récrit en remplaçant l’ensemble de sommation D˙ F [dV ] et ses éléments d par Y˙  [dV ] et ses éléments y. L’hypothèse (1) posée ci-dessus

896

Chapitre VII. Descente globale

permet de simplifier la formule 7.1(3). La preuve du lemme 7.4 montre en effet que, sous cette hypothèse (1), on a l’égalité ω(uh[y])f¯[y, u] = ω(h[y])f¯[y, 1] pour tout y ∈ Y˙  [dV ] et tout u ∈ U[V  , y]. Posons simplement f¯[y] = f¯[y, 1]. On a donc  ω(h[y])f¯[y]. (4) ϕ[V ¯  , dV ] = y∈Y˙  [dV ]

Soit y ∈ Y˙  [dV ], notons uy : ΓF → Z(I ; F¯ ) le cocycle défini par uy (σ) = yσ(y)−1 . On note encore uy son image dans H 1 (F ; I ). C’est un élément de U (lemme 7.5). On va prouver (5)

ω(h[y])f¯[y] = ω∞ ◦ q∞ (uy )−1 ω(h )f¯ ,

où on rappelle que h = h[1] et f¯ = f¯[1]. En admettant ce résultat, et en utilisant le lemme 7.5, la formule (4) se récrit  ω∞ ◦ q∞ (u)−1 . ϕ[V ¯  , dV ] = ω(h )f¯ u∈U



Le lemme en résulte.

¯ V) Il s’agit donc de prouver (5). On considère y comme ci-dessus. Soit x ∈ H(F un élément en position générale et proche de 1. Par définition,  ¯ ΔV [y](x, x)I Gη[y],SC (x, f [y]sc ). S H (x, f¯[y]) = x

Ici, x parcourt, modulo conjugaison par Gη[y],SC (FV ), l’ensemble des éléments de ce groupe qui correspondent à x. Le facteur ΔV [y] est le facteur de transfert canonique associé aux choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux Ksc,v [y] de Gη[y],SC (Fv ) pour v ∈ V . On rappelle que Ksc,v [y] est l’image réciproque de Kv [y] = adhv [y] (Kv ) ∩ Gη[y] (Fv ). Enfin, on a rappelé dans la preuve du lemme 7.4 la construction de la fonction f [y]sc . D’après 7.3(1), ady est un isomorphisme ¯  = Gη . Il se relève en un tel isomorphisme de défini sur F de Gη[y] sur G ¯ ,SC que l’on note encore ady . Cet isomorphisme envoie l’ensemble Gη[y],SC sur G des éléments de Gη[y],SC (FV ) qui correspondent à x sur l’ensemble des éléments ¯ ,SC (FV ) qui correspondent à x. Notons X (x) ce dernier ensemble. Introde G ¯ V)×G ¯ ,SC (FV ) associé aux sousduisons le facteur de transfert ΔV [y] sur H(F ¯ ,SC (Fv ) pour v ∈ V . On a groupes compacts hyperspéciaux ady (Ksc,v [y]) de G ¯ V )×G ¯ ,SC (FV ). Par ΔV [y](x , x ) = ΔV [y](x , ady−1 (x )) pour tout (x , x ) ∈ H(F simple transport de structure, on obtient  ¯ ¯ (6) S H (x, f¯[y]) = ΔV [y](x, x)I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ). x∈X (x)

Pour toute place v, on fixe des éléments iv et kv associés à uy comme en 7.6. En particulier, on a uy (σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Cela implique qu’il

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

897

existe un unique gv ∈ G(Fv ) tel que y = iv kv gv . Pour v ∈ V , les éléments hv [y] et ˜ v et adh [y]−1 (η[y]) ∈ K ˜v. (η ) ∈ K h,v = hv [1] de G(Fv ) ont été fixés tels que adh−1 v ,v On a ˜ v ⇐⇒ adh [y]−1 y−1 (η ) ∈ K ˜v adhv [y]−1 (η[y]) ∈ K v ˜ ⇐⇒ ad −1 −1 −1 −1 (η ) ∈ Kv . hv [y]

gv kv iv

Puisque adi−1 (η ) = η , ces relations sont encore équivalentes à v ˜v. adhv [y]−1 gv−1 kv−1 (η ) ∈ K Posons gv = adkv (gv hv [y]). On sait que gv ∈ G(Fv ). La relation précédente équi˜ v , ou encore adg −1 (η ) ∈ K ˜ v puisque adkv conserve cet vaut à adkv−1 g −1 (η ) ∈ K v v ensemble. On a encore l’équivalence ˜ v ⇐⇒ adg −1 h (ad −1 (η )) ∈ K ˜v. adgv −1 (η ) ∈ K ,v h,v v Ainsi qu’on l’a déjà fait plusieurs fois, on peut appliquer à adh−1 (η ) le lemme ,v −1  5.6(ii) de [79]. Il implique h,v gv ∈ Gad −1 (η ) (Fv )Kv . On peut donc fixer mv ∈ h,v ¯  (Fv ) et k  ∈ Kv de sorte que h−1 g  = ad −1 (mv )k  . G v

,v v

h,v

v

Cela équivaut à kv gv hv [y] = mv h,v kv kv . Le groupe ady (Ksc,v [y]) est l’image ¯  (Fv ). On a ¯ ,SC (Fv ) de adyh [y] (Kv ) ∩ G réciproque dans G v adyhv [y] (Kv ) = adiv kv gv hv [y] (Kv ) = adiv mv h,v kv kv (Kv ) = adiv mv h,v (Kv ), ¯  (Fv ) et K,sc,v son puisque adkv kv conserve Kv . Notons K,v = adh,v (Kv ) ∩ G ¯ ,SC (Fv ). On obtient l’égalité adyh [y] (Kv ) ∩ G ¯  (Fv ) = image réciproque dans G v ¯  se relève en un automorphisme de adiv mv (K,v ). L’automorphisme adiv mv de G ¯ ,SC noté de la même façon. D’où l’égalité G (7)

ady (Ksc,v [y]) = adiv mv (K,sc,v ).

¯ V)× On note Δ,V = ΔV [1]. Rappelons que c’est le facteur de transfert sur H(F ¯ G,SC (FV ) associé aux choix de compacts K,sc,v pour v ∈ V . A l’aide de la formule (7), le même calcul que dans la preuve du lemme 7.4 conduit à l’égalité  ωH¯ (iv,ad mv,ad )−1 , ΔV [y] = Δ,V v∈V

¯ F,AD (Fv ). Soit v ∈ V . D’après où iv,ad et mv,ad sont les images de iv et mv dans G l’hypothèse (1), on a ωH¯ (mv,ad ) = ω(mv ). Par définition, on a mv = adkv (gv hv [y])(kv )−1 h−1 ,v . Le caractère ω est non ramifié en v, donc trivial sur Kv . On a déjà remarqué qu’il était invariant par conjugaison par un élément de G (Fv ). Il en résulte que

898

Chapitre VII. Descente globale

ω(mv ) = ω(gv hv [y]h−1 ,v ). On rappelle que h[y] = (hv [y])v∈V et que de même h = (h,v )v∈V . La formule plus haut se récrit ΔV [y] = ω(h )ω(h[y])−1 Δ,V



ωH¯ (iv,ad )−1 ω(gv )−1 .

v∈V

La formule (6) se récrit S (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ¯ H



(8)



−1

ωH¯ (iv,ad )

−1



ω(gv )

v∈V ¯

Δ,V (x, x)I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ).

x∈X (x)

La fonction f [y]sc ◦ady−1 est l’image par ιG¯ ,SC ,G¯  de f [y]◦ady−1 . Pour un élément ¯  (FV ) en position générale et proche de 1, on a x∈G ¯

I G (x, ω, f [y] ◦ ady−1 ) = I Gη[y] (ady−1 (x), ω, f [y]) ˜

= I G (ady−1 (x)η[y], ω, f ) ˜

= I G (ady−1 (xη ), ω, f ). ˜ V ). On rappelle que kv = 1 pour Le terme ady−1 (xη ) est un élément de G(F v ∈ V . On a donc précisément ady−1 (xη ) = adg−1 i−1 (xη ) où, par exemple, V V gV = (gv )v∈V . On a I G (adg−1 i−1 (xη ), ω, f ) = ω(gV )−1 I G (adi−1 (xη ), ω, f ) ˜

˜

V

V

V

= ω(gV )−1 I G (adi−1 (x)η , ω, f ) ˜

V

= ω(gV−1 )I G (adi−1 (x), ω, f ), ¯

V

˜ ¯ où on rappelle que f = descG η (f ). L’automorphisme adiV de G est défini sur FV ¯  (FV ), lequel est égal à ω. Il en résulte que et conserve le caractère ωH¯ de G ¯

¯

I G (adi−1 (x), ω, f ) = I G (x, ω, f ◦ adi−1 ). V

V

En rassemblant ces calculs, on obtient l’égalité f [y] ◦ ady−1 = ω(gV−1 )f ◦ adi−1 . V

D’où aussi f [y]sc ◦ ady−1 = ω(gV−1 )f,sc ◦ adi−1 où iV,ad est l’image de iV dans V,ad ¯ ,AD (FV ). Pour x ∈ X (x), on a G I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ) = ω(gV−1 )I G,SC (x, f,sc ◦ adi−1 ) ¯

¯

V,ad

= ω(gV−1 )I G,SC (adi−1 (x), f,sc ). ¯

V,ad

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

899

L’automorphisme adiV,ad conserve X (x). Par changement de variables, l’égalité (8) se récrit S H (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1   ¯ Δ,V (x, adiV,ad (x))I G,SC (x, f,sc ) ωH¯ (iv,ad )−1 , ¯

v∈V

x∈X (x)

où g = (gv )v∈Val(F ) . Mais on a l’égalité Δ,V (x, adiV,ad (x)) = ωH¯ (i−1 V,ad )Δ,V (x, x), cf. [I] 2.7. D’où  ¯ ¯ S H (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1 ωH¯ (iad )−1 Δ,V (x, x)I G,SC (x, f,sc ), x∈X (x) ¯ où i = (iv )v∈Val(F ) . La somme du membre de droite n’est autre que S H (x, f¯ ). D’où l’égalité f¯[y] = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1 ωH¯ (iad )−1 f¯ .

En reprenant les définitions, on voit que ω(g)ωH¯ (iad ) = ω∞ ◦ q∞ (uy ). L’égalité (5) s’en déduit, ce qui achève la démonstration. 

VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 On suppose DF [dV ] non vide car sinon la proposition 7.1 est triviale, ainsi qu’on l’a dit en 7.3. On utilise les constructions de 7.3. On suppose que l’ensemble de ¯  , dV ] = 0. D’après places V  satisfait les conditions 7.1(2) et 7.4(2). Supposons ϕ[V le lemme 7.4, ω et ωH¯ coïncident sur I (AF ), c’est-à-dire que l’hypothèse (1) de 7.8 est vérifiée. Le lemme de ce paragraphe implique que ω∞ est trivial sur l’image de q∞ . Puisque cette image est le noyau de q0 , cf. lemme 7.7, ω∞ se quotiente en un caractère de l’image de q0 . Cette image est le groupe Q0 de 6.6. C’est un sousgroupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q, cf. lemme 6.6. On vérifie aisément que le caractère ainsi défini de Q0 est continu. Il se prolonge donc en un caractère ωQ de Q. D’après 6.5(1), ce caractère s’identifie à un élément p ∈ P . Par construction, on a – le composé de ωQ et de l’homomorphisme q1 : Q1 → Q est le caractère de ΓF ; Q1 associé à l’élément s¯ ∈ Sˆ¯ad q2

– le composé de ωQ et de l’homomorphisme Gab (AF ) → Q2 → Q est le caractère ω ; – le composé de ωQ et de l’homomorphisme q3 : Q3 → Q est trivial. Les mêmes calculs qu’en 6.5 montrent que ces propriétés sont respectivement équivalentes à – p1 (p) = s¯ ; – p2 (p) = a ; – pour tout v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv .

900

Chapitre VII. Descente globale

Autrement dit, p ∈ P (H). Donc cet ensemble n’est pas vide. Alors J (H) ne l’est pas non plus d’après la proposition 6.4. Cela prouve la proposition 7.1. 

VII.7.10 Calcul d’une constante On a fixé une fois pour toutes une mesure sur AG˜ . En 5.8, on a défini le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF ,θ , Z) ⊂ AG˜ et on a noté covol(AG,Z ˜ ˜ ) le volume du quo. La donnée X est elliptique, cf. 5.1(2). Pour tout d ∈ DF [dV ], tient AG˜ /AG,Z ˜ l’élément η[d] est donc elliptique (cf. fin de 1.2). Il en résulte que AGη[d] = AG˜ . On définit dans cet espace le réseau AGη[d] ,Z = Hom(X ∗ (Gη[d] )ΓF , Z) et on note covol(AGη[d] ,Z ) le volume du quotient AG˜ /AGη[d] ,Z . Proposition. Supposons DF [dV ] non vide. Alors, pour tout d ∈ DF [dV ], on a l’égalité ˜ −1 τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 |P 0 ||D˙ F [dV ]|−1 = C(G) [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )] covol(AGη[d] ,Z )−1 . ˜ La preuve occupe les paragraphes On renvoie à 5.8 pour la définition de C(G). 7.11 à 7.15.

VII.7.11 Calcul de |P 0 | Labesse définit des groupes de cohomologie abélienne de I \G, cf. [52] 3.3. Considérons comme en 7.3 un sous-tore maximal T¯ de I défini sur F , notons T son ¯ ,SC commutant dans G et introduisons les images réciproques T¯,sc de T¯ dans G et T,sc de T dans GSC . On a un complexe de tores T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T . ¯ ,SC → G, π ¯ ,SC → GSC et π : GSC → G les homomor¯,sc : G En notant π ¯ : G phismes naturels, les flèches sont π,sc (x)) x → (¯ π (x), −¯ pour la première et (y, z) → ((1 − θ)(y), y + π(z)) pour la seconde. On pose 0 (F ; I \G) = H 2,1,0 (F ; T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T ). Hab 0 0 0 On définit de même Hab (AF ; I \G), Hab (AF /F ; I \G) et Hab (Fv ; I \G) pour v ∈ Val(F ). Pour v ∈ V , on peut choisir T non ramifié en v et on pose 0 Hab (ov ; I \G) = H 2,1,0 (ov ; T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

901

 0 0 On pose aussi Hab (oV ; I \G) = v∈V Hab (ov ; I \G). Des notations analogues seront utilisées dans la suite. Ces définitions ne dépendent pas du choix de T¯ , à isomorphismes canoniques près. Les isomorphismes T × T,sc (y, z) et

→ T × T,sc → (y + π(z), −z)

(1 − θ)(T ) × T (y  , z  )

→ T × (1 − θ)(T ) → (z  , y  − (1 − θ)(z  ))

fournissent un isomorphisme entre le complexe (1) et la somme des deux complexes π ¯ ,sc 1−θ T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )

(2) id

et T → T . Puisque le deuxième complexe est cohomologiquement trivial, la cohomologie de I \G peut se définir à l’aide du complexe (2). Comme en 6.2, on voit que l’on peut remplacer le complexe (2) par π ¯ ,sc 1−θ S¯sc → Ssc → (1 − θ)(S).

(3)

En effet, les deux complexes sont quasi-isomorphes au complexe π ¯ ,sc

1−θ

¯ ,SC ) → Z(I,sc ) → (1 − θ)(Z(G)). Z(G On a une suite exacte 0 0 1 1 (F ; G) → Hab (F ; I \G) → Hab (F ; I ) → Hab (F ; G). Hab

Labesse définit E(I , G; F ) comme le conoyau de la première flèche, ou encore le noyau de la troisième. Cf. [52] 3.3. On définit de même E(I , G; AF ), E(I , G; Fv ) pour v ∈ Val(F ) et E(I , G; ov ) pour v ∈ V . Attention. Labesse définit par contre E(I , G; AF /F ) comme le conoyau de l’homomorphisme composé 0 0 0 Hab (AF ; G) → Hab (AF /F, G) → Hab (AF /F ; I \G).

On a un diagramme commutatif 0 (oV ; G) Hab ↓ 0 (AF ; G) Hab ↓ 0 (AF ; G) Hab

→

0 Hab (oV ; I \G) → ↓ 0 → Hab (AF ; I \G) → ↓ 0 → Hab (AF /F ; I \G) →

E(I , G; oV ) → ↓ E(I , G; AF ) → ↓ E(I , G; AF /F ) →

dont les suites horizontales sont exactes. Notons eV : E(I , G; oV ) → E(I , G; AF /F ) le composé des deux dernières flèches verticales.

1 1 1

902

Chapitre VII. Descente globale

Lemme. On a l’égalité |P 0 | = |E(I , G; AF /F )/ Im(eV )|. Preuve. Comme on l’a dit ci-dessus, on peut utiliser le complexe (3) pour calculer la cohomologie abélienne de I \G. Il s’en déduit une suite exacte de cohomologie 1−θ

H 1 (AF /F ; S¯sc ) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) ι

0 → Hab (AF /F ; I \G) → H 2 (AF /F ; S¯sc ).

¯ et que H est une On se rappelle que S¯sc  S¯H¯ est un sous-tore elliptique de H ¯ ¯ donnée endoscopique elliptique de G,SC . Il en résulte que Ssc est elliptique, donc H 2 (AF /F ; S¯sc ) = 0 d’après les isomorphismes de Tate–Nakayama ([45] 3.4.2.1). Avec les notations des paragraphes précédents, la suite exacte ci-dessus se récrit q1

ι

0 (AF /F ; I \G) → 0 . Q1 → Q → Hab

On voit facilement que l’homomorphisme naturel 0 0 (AF ; G) → Hab (AF /F ; I \G) Hab

(4)

est le composé de l’homomorphisme naturel du groupe de départ dans Q2 et de ι ◦ q2 . Notons Q le quotient de Q par le sous-groupe engendré par q1 (Q1 ) et q2 (Q2 ). On obtient que ι se quotiente en un isomorphisme entre Q et le conoyau de (4), c’est-à-dire E(I , G; AF /F ). Montrons que (5) cet isomorphisme envoie l’image dans Q de q3 (Q3 ) sur Im(eV ). Du diagramme

S¯sc

π ¯ ,sc

→

Ssc 

→

Ssc

1−θ

→

S/Z(G)θ ↓1−θ (1 − θ)(S)

de complexes de tores se déduit un homomorphisme 0 0 Hab (AF ; G ) → Hab (AF ; I \G).

Il se restreint en un homomorphisme (6)

0 0 (oV ; G ) → Hab (oV ; I \G). Hab

On obtient un diagramme 0 (oV ; G ) Hab ↓ 0 (AF ; G ) Hab ↓ 1−θ

H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) ↓ 1−θ

H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) ↓ Q

→ → →

0 Hab (oV ; I \G) ↓ 0 Hab (AF ; I \G) ↓ 0 Hab (AF ; I \G) ↓

0 → Hab (AF /F ; I \G) ↓ ι → E(I , G; AF /F ) .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

903

Il est clair que ce diagramme est commutatif. Par définition, l’image de q3 (Q3 ) dans Q est l’image de la suite verticale de gauche tandis que Im(eV ) est l’image de celle de droite. Pour prouver (5), il suffit donc de prouver que l’homomorphisme (6) est surjectif. On peut aussi bien fixer v ∈ V et démontrer que l’analogue local de (6) est surjectif. Comme on l’a dit, on peut remplacer le tore S et ses divers avatars Ssc etc. . . par un tore T et ses avatars T,sc etc. . . comme au début du paragraphe et on peut supposer que ce tore est non ramifié en v. L’analogue local de (6) se factorise en 0 (ov ; G ) = H 1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)0 ) Hab 1−θ

(7)

→ H 1,0 (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )) 1−θ → H 1,0 (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )) 0 = Hab (ov ; I \G).

La deuxième flèche est surjective car son conoyau s’envoie injectivement dans H 2 (ov ; T¯,sc ) qui est nul ([48] lemme C.1.A). L’homomorphisme entre complexes de tores donnant naissance à la première flèche se complète en une suite exacte de complexes de tores 1 ↓ 1 → Tθ /Z(G)θ ↓ ↓ T,sc → T /Z(G)0 ↓ ↓1−θ T,sc ↓ 1

1−θ

→

(1 − θ)(T )) ↓ 1.

Le conoyau de la première flèche de (7) s’envoie donc injectivement dans H 1 (ov ; Tθ /Z(G)θ ) qui est nul car Tθ /Z(G)θ est connexe ([48] lemme C.1.A). Cette flèche est donc surjective. La surjectivité des deux flèches de (7) entraîne l’assertion cherchée. Cela prouve (5). Cette assertion prouve que le nombre d’éléments de E(I , G; AF /F )/ Im(eV ) est égal à celui du quotient de Q par le sous-groupe engendré par les qj (Qj ) pour j = 1, 2, 3. Ce sous-groupe n’est autre que Q0 . Mais le lemme 6.6 dit que P 0 et Q/Q0 sont des groupes (finis) duaux. D’où l’égalité |P 0 | = |Q/Q0 |. Le lemme en résulte.



VII.7.12 Un premier calcul de |P 0 ||U|−1 On définit usuellement le nombre de Tamagawa τ (G) de G, qui est calculé par la formule rappelée en 3.2. Labesse étend la définition aux groupes quasi-connexes

904

Chapitre VII. Descente globale

([52] 1.2). On dispose donc du nombre de Tamagawa τ (I ) de I . Labesse définit aussi le groupe D(I , G) comme le conoyau de l’homomorphisme 1 1 (AF /F ; I ) → Hab (AF /F ; G). Hab

C’est un groupe fini dont on note d(I , G) le nombre d’éléments. Lemme. On a l’égalité ¯  )(FV )|. |P 0 ||U|−1 = τ (I )τ (G)−1 d(I , G)|(I /G 1 Preuve. Soit v ∈ Val(F ). On peut calculer le groupe Hab (Fv ; I ) à l’aide du complexe 1−θ S¯sc → S → (1 − θ)(S).

Celui-ci est équivalent au complexe S¯sc → S θ Ici, le groupe S θ n’est plus un tore mais c’est un groupe diagonalisable. En utilisant ce complexe, on a un homomorphisme naturel 1 1 (Fv ; I ) → Hab (Fv ; S θ /S θ,0 ). Hab

Ces deux groupes sont finis. Labesse les munit en [52] 2.3 de mesures. On s’aperçoit en utilisant sa définition que la mesure d’un point est la même dans chacun des groupes (deuxième suite exacte de la page 417 de loc.cit.). Dans le deuxième groupe, la mesure d’un point est |(S θ /S θ,0)(Fv )|−1 . L’homomorphisme naturel ¯  est un isomorphisme. La mesure d’un point dans H 1 (Fv ; I ) est S θ /S θ,0 → I /G ab ¯ donc |(I /G )(Fv )|−1 . 1 Par définition, E(I , G; Fv ) est un sous-groupe de Hab (Fv ; I ). On le munit de la mesure induite. La mesure d’un point est donc la même que précédemment. Supposons v ∈ V . L’homomorphisme E(I , G; ov ) → E(I , G; Fv ) est in1 jectif. En effet, les deux groupes se plongent respectivement dans Hab (ov ; I ) et 1 1 1 (Fv ; I ) et l’homomorphisme Hab (ov ; I ) → Hab (Fv ; I ) est injectif. Identifions Hab E(I , G; ov ) à un sous-groupe de E(I , G; Fv ). Montrons que (1)

mes(E(I , G; ov )) = 1.

D’après la définition de la mesure, cela équivaut à (2)

¯  )(Fv )|. |E(I , G; ov )| = |(I /G On utilise ici la définition de E(I , G; ov ) comme conoyau de 0 0 Hab (ov ; G) → Hab (ov ; I \G).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

905

On fixe un tore T¯ comme en 7.11, non ramifié en v. L’homomorphisme ci-dessus devient 1−θ

1,0 2,1,0 (ov ; T,sc → T ) → Hab (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )). Hab

On a une suite de cohomologie 1−θ 1,0 1 (ov ; T¯,sc ) → Hab (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )) Hab 1−θ

2,1,0 2 (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )) → Hab (ov ; T¯,sc ). → Hab

Les deux groupes extrêmes sont nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme et E(I , G; ov ) devient le conoyau de l’homomorphisme 1−θ

1,0 1,0 Hab (ov ; T,sc → T ) → Hab (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )).

Ces deux groupes se calculent comme respectivement T (ov )/π(T,sc (ov )) et ((1 − θ)(T ))(ov )/(1−θ)◦π(T,sc (ov )), cf. [48] lemme C.1.A. Donc E(I , G; ov ) s’identifie au conoyau de 1−θ T (ov ) → ((1 − θ)(T ))(ov ). De la suite exacte nr nr 1 → Tθ (onr v ) → T (ov ) → ((1 − θ)(T ))(ov ) → 1 θ nr 1 (où Tθ (onr v ) = T ∩ T (ov )) et de la nullité des H pour les groupes connexes 1 nr résulte que le conoyau ci-dessus s’identifie à H (Γv ; Tθ (onr v )). On note ce groupe H 1 (ov ; Tθ ). On a une suite exacte

H 1 (ov ; Tθ,0) → H 1 (ov ; Tθ ) → H 1 (ov ; Tθ /Tθ,0) → H 2 (ov ; Tθ,0 ), avec une définition évidente du troisième groupe. Les deux groupes extrêmes sont θ,0 nr nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme. Le groupe Tθ (onr v )/T (ov ) est fini. Le lemme 5.5 de [79] implique qu’il est isomorphe à Tθ (F¯v )/Tθ,0 (F¯v ), lequel est ¯  (F¯v ). Il résulte de ces deux faits que les groupes suivants ont isomorphe à I (F¯v )/G même nombre d’éléments : H 1 (ov ; Tθ /Tθ,0), H 0 (ov ; Tθ /Tθ,0), H 0 (Fv ; Tθ /Tθ,0), ¯  ). En rassemblant ces égalités, on obtient (2), d’où (1). H 0 (Fv ; I /G On a une suite exacte (3)

1 → Bab (I , G) → E(I , G; F ) → E(I , G; AF ) → E(I , G; AF /F )

(première suite de la page 427 de [52]). On n’aura pas besoin de connaître le groupe Bab (I , G), disons seulement qu’il est fini. Le conoyau de la dernière flèche est fini. Les deux derniers groupes sont munis de topologies. La dernière flèche envoie E(I , G; AF ) sur un sous-groupe ouvert de E(I , G; AF /F ) et ce dernier groupe est compact. Le produit sur v ∈ Val(F ) des mesures locales définies cidessus donne une mesure sur E(I , G; AF ). On munit les deux premiers groupes

906

Chapitre VII. Descente globale

de la suite (1) de la mesure de comptage et le dernier de la mesure compatible avec cette suite et les mesures définies sur les autres groupes. En utilisant cette mesure, on peut récrire le lemme 7.11 sous la forme (4)

|P 0 | = mes(E(I , G; AF /F ))/ mes(Im(eV )).

Rappelons que eV est le composé de la suite E(I , G; oV ) → E(I , G; AF ) → E(I , G; AF /F ) On a vu ci-dessus que la première flèche était injective. On s’en sert pour identifier E(I , G; oV ) à un sous-groupe de E(I , G; AF ). Notons Uab l’image réciproque de E(I , G; oV ) dans E(I , G; F ) par l’homomorphisme de la suite (3). Il résulte des définitions des mesures que (5)

mes(Im(eV )) = mes(E(I , G; oV ))|Uab |−1 |Bab (I , G)|.

Vu comme sous-groupe de E(I , G; AF ), E(I , G; oV ) est le produit sur toutes les places v ∈ Val(F ) du sous-groupe {0} si v ∈ V , du sous-groupe E(I , G; ov ) de E(I , G; Fv ) si v ∈ V . Sa mesure est le produit des mesures de ces sous-groupes. ¯  )(Fv )|−1 , (1) entraîne Puisque la mesure d’un point dans E(I , G; Fv ) est |(I /G  ¯  )(Fv )|−1 ). |(I /G (6) mes(E(I , G; oV )) = ( v∈V

Notons ker1 (F ; G) le noyau de l’application H 1 (F ; G) → H 1 (AF ; G). On définit de même ker1 (F ; I ). On a une application naturelle ker1 (F ; I ) → ker1 (F ; G). On note B(I , G) son noyau (c’est-à-dire, puisqu’il ne s’agit pas de groupes, l’ensemble des éléments de ker1 (F ; I ) qui deviennent triviaux dans H 1 (F ; G)). Rappelons que U est un sous-ensemble de H 1 (F ; I ) et que Uab est un sous-ensemble de 1 E(I , G; F ), lequel est un sous-ensemble de Hab (F ; I ). Montrons que 1 (F ; I ) se restreint en une application (7) l’application naturelle H 1 (F ; I ) → Hab surjective U → Uab dont toutes les fibres ont même nombre d’éléments ;

(8) l’image réciproque de Bab (I , G) par cette application est B(I , G). 1 Par définition, Uab est l’ensemble des uab ∈ Hab (F ; I ) tels que 1 (F ; G) est nulle ; (9) l’image de uab dans Hab 1 1 (AVF ; I ) appartient à Hab (oV ; I ) ; (10) l’image de uab dans Hab 1 (11) l’image de uab dans Hab (FV ; I ) est nulle.

On se rappelle l’application 1 1 1 (A ;I ) H (AF ; I ) (F ; I ) ×Hab H 1 (F ; I ) → Hab F  1 (Fv ; I ) est bijective ([51] de 7.5(1). Pour v ∈ V , l’application H 1 (Fv ; I ) → Hab proposition 1.6.7). L’application ci-dessus s’identifie donc à

(12)

1 1 1 (F ;I ) H (FV ; I ). (F ; I ) ×Hab H 1 (F ; I ) → Hab V 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

907

Notons 1 l’élément trivial de H 1 (FV ; I ). La condition (11) équivaut à ce que (uab , 1) appartienne au produit fibré ci-dessus. En particulier, Uab × {1} est un sous-ensemble de ce produit fibré. Notons u → (uab , u) l’application (12). Un élément u ∈ H 1 (F ; I ) appartient à U si et seulement s’il vérifie les conditions (2), (3) et (4) de 7.5. La condition (3) équivaut à l’égalité u = 1. Les conditions (2) et (4) équivalent aux conditions (9) et (10) ci-dessus. Jointes au fait que (uab , u) appartient au produit fibré de droite de la relation (12), cela équivaut comme on vient de le dire à la relation uab ∈ Uab . Ainsi U est exactement l’image réciproque de Uab × 1 par l’application (12). Puisque cette application est surjective ([51] théorème 1.6.10), cela démontre les premières assertions de (7). Cela démontre aussi que les fibres de l’application U → Uab sont des fibres de l’application (12). Notons K(I ) le noyau de cette application. Soit u ∈ H 1 (F ; I ). On voit que la fibre de (12) au-dessus de l’image de u est isomorphe à K(I,u ), où I,u est la forme intérieure de I associée au cocycle uad . Il n’est pas difficile de prouver en général que K(I,u ) a même nombre d’éléments que K(I ). Dans notre cas, on s’intéresse aux éléments u ∈ U et l’assertion est triviale puisque, d’après 7.3(1) et le lemme 7.5, on a I,u  I pour tout u ∈ U. Cela achève de prouver (7). D’après (3), Bab (I , G) est l’ensemble des éléments de Uab d’image nulle 1 dans Hab (AF ; I ). Donc son image réciproque dans U est U ∩ ker1 (F ; I ). On a vu en 7.5(12) que l’image dans H 1 (F ; G) d’un élément de U était nulle. Donc U ∩ ker1 (F ; I ) ⊂ B(I , G). Inversement, un élément de B(I , G) est d’image nulle 1 dans H 1 (AF ; I ), a fortiori d’image nulle dans Hab (AF ; I ). Il vérifie donc les conditions (3) et (4) de 7.5. Il est aussi d’image nulle dans H 1 (F ; G). Il vérifie donc aussi la condition (2) de 7.5, d’après 7.5(12). Donc il appartient à U. Il appartient aussi à ker1 (F ; I ), donc B(I , G) ⊂ U ∩ ker1 (F ; I ). Finalement, ces deux ensembles sont égaux, ce qui achève la preuve de (8). On déduit de (7) et (8) l’égalité (13)

|Uab |−1 |Bab (I , G)| = |U|−1 |B(I , G)|.

D’après la proposition 3.7 de [52], on a (14)

mes(E(I , G; AF /F )) = τ (I )|B(I , G)|d(I , G)τ (G)−1 .

En mettant bout-à-bout les égalités (4), (5), (6), (13) et (14), on obtient le lemme. 

VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa Pour tout groupe algébrique H défini sur F , on note X ∗ (H) le groupe de caractères algébriques de H. On a un homomorphisme naturel de restriction X ∗ (I ) → ¯  ) dont les noyau et conoyau sont finis. On a donc aussi un homomorphisme X ∗ (G (1)

¯  )ΓF X ∗ (I )ΓF → X ∗ (G

908

Chapitre VII. Descente globale

qui a les mêmes propriétés. Notons x(I ) le quotient du nombre d’éléments de son noyau par le nombre d’éléments de son conoyau. Lemme. On a l’égalité ¯  )x(I )[I (F ) : G ¯  (F )]−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )]|(I /G ¯  )(FV )|−1 . τ (I ) = τ (G ¯  (AF ). Preuve. On a rappelé en 4.1 la définition de la mesure de Tamagawa sur G −1 Elle est de la forme dx = G¯  ⊗v∈Val(F ) dxv , où G¯  est le terme principal du développement en s = 1 d’une certaine fonction L et où, pour toute place v, ¯  (Fv ). Une définition analogue vaut pour le dxv est une certaine mesure sur G groupe quasi-connexe I . La mesure de Tamagawa sur I (AF ) est de la forme di = −1 I ⊗v∈Val(F ) div , avec des notations évidentes. En inspectant la définition de [52] 1.2, on s’aperçoit que – on a I = G¯  ; ¯  (Fv ) de I (Fv ) est – pour tout v ∈ Val(F ), la restriction de div à l’ouvert G ¯  )(Fv )|−1 dxv . égale à |(I /G Pour définir les nombres de Tamagawa, on a aussi besoin de mesures sur ¯  )ΓF , R), ou enle groupe AG¯  . Ce groupe s’identifie naturellement à Hom(X ∗ (G ∗ ΓF ¯  )ΓF , Z) core à Hom(X (I ) , R). On définit les réseaux AG¯  ,Z = Hom(X ∗ (G ∗ ΓF et AI ,Z = Hom(X (I ) , Z). On note daG¯  la mesure de Haar sur AG¯  telle que AG¯  ,Z soit de covolume 1. Selon [52] 1.2, on note daI la mesure de Haar ¯  )ΓF |−1 . Alors τ (G ¯  ) est la sur AG¯  telle que AI ,Z soit de covolume |X ∗ (I /G ¯  (F )\G ¯  (AF )/AG¯ , G ¯  (AF ) et AG¯ étant munis des mesures dx et mesure de G   daG¯  . Et τ (I ) est la mesure de I (F )\I (AF )/AG¯  , I (AF ) et AG¯  étant munis des mesures di et daI . Le réseau AG¯  ,Z est contenu dans AI ,Z et l’indice de ce sous-groupe est égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme ¯  )ΓF est le noyau cet homomorphisme. Il en résulte que (1). Le groupe X ∗ (I /G −1 daI = x(I ) daG¯  . On peut donc utiliser l’unique mesure daG¯  sur AG¯  et définir τ (I ) comme le produit de x(I ) et de la mesure de I (F )\I (AF )/AG¯  , I (AF ) et AG¯  étant munis des mesures di et daG¯  . ¯  (Fv ). Pour v ∈ V , on a défini le groupe hyperspécial K,v = adh,v (Kv ) ∩ G Posons KI ,v = adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). Montrons que ¯  )(Fv ) est surjective ; les (2) pour toute place v ∈ V , l’application KI ,v → (I /G ¯ ¯ groupes (I /G )(Fv ), KI ,v /K,v et I (Fv )/G (Fv ) sont isomorphes. ¯  dont est issu le sousOn peut fixer une paire de Borel définie sur Fv de G groupe hyperspécial K,v . On note son tore T¯0 . Notons T0 son commutant dans ¯   T θ /T θ,0. On a déjà dit que, pour un tel tore, on a G. On a alors I /G 0 0 θ,0 nr θ,0 1 T0θ (F¯v )/T0θ,0(F¯v ) = T0θ (onr )/T v 0 (ov ). Parce que H (ov ; T0 ) = 0, l’homomorphisme ¯  )(Fv ) T0θ (ov ) → H 0 (ov ; T0θ /T0θ,0) = (T0θ /T0θ,0)(Fv ) = (I /G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

909

est surjectif. Par ailleurs, le lemme 5.5 de [79] entraîne que T0θ (onr v ) est engendré θ par T0θ,0 (onr ) et par les éléments de Z(G) d’ordre fini premier à la caractéristique v nr résiduelle p. Ces deux groupes étant contenus dans Kvnr , on a T0θ (onr v ) ⊂ Kv , donc T0θ (ov ) ⊂ KI ,v . La première assertion de (2) en résulte. La seconde en est une conséquence immédiate. Fixons un ensemble fini V  de places de F , contenant V et tel que l’on ait l’égalité ¯  (F )(G ¯  (FV  ) × K V  ), ¯  (AF ) = G G   V  où K = v∈V  K,v . Il résulte de (2) que l’on a ¯  (AVF  )KIV  = G ¯  (AF )(I (FV  ) × KIV  ). I (AF ) = I (FV  ) × G   L’égalité précédente entraîne 

¯  (F )(I (FV  ) × KIV ), I (AF ) = G 

(3) a fortiori



I (AF ) = I (F )(I (FV  ) × KIV ). 

¯  (FV  ) de G ¯  (F )∩(G ¯  (FV  )× K V ). Définissons Notons ΞG¯  la projection dans G  de même ΞI . Alors on a les égalités ¯  (FV  )/AG¯ ), ¯  ) = mes(KV  ) mes(ΞG¯ \G τ (G  

(4)



τ (I ) = x(I ) mes(KIV ) mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ).

(5)

¯  (Fv ) en la mesure dxv multipliée Pour tout v ∈ V  , la mesure div se restreint à G −1 ¯ par |(I /G )(Fv )| . La relation (2) entraîne que mes(KI ,v ) = mes(K,v ). Donc   (6) mes(KV ) = mes(KIV ). ¯  (FV  )\I (FV  ). Alors Fixons un ensemble de représentants U du quotient G ¯  (FV  )u/AG¯ ΞG¯  \I (FV  )/AG¯  est réunion disjointe des sous-ensembles ΞG¯  \G  pour u ∈ U. La comparaison des mesures locales montre que chacun de ces sousensembles a pour mesure ¯  )(FV  )|−1 mes(ΞG¯ \G ¯  (FV  )/AG¯ ). |(I /G   ¯  (FV  )], on obtient Puisque |U| = [I (FV  ) : G mes(ΞG¯  \I (FV  )/AG¯  ) ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] mes(ΞG¯ \G ¯  (FV  )/AG¯ ), = |(I /G   ou encore mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ) ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] = [ΞI : ΞG¯  ]−1 |(I /G ¯ mes(ΞG¯ \G (FV  )/AG¯ ). 



910

Chapitre VII. Descente globale

La relation (2) entraîne que ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] = |(I /G ¯  )(FV )|−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )]. |(I /G ¯  (F )ΞI . Donc l’application naturelle D’autre part, (3) entraîne que I (F ) = G ¯  (F ) est bijective. La relation ci-dessus se récrit ΞI /ΞG¯  → I (F )/G (7)

mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ) ¯  (F )]−1 |(I /G ¯  )(FV )|−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )] = [I (F ) : G ¯  (FV  )/AG¯ ). mes(ΞG¯  \G  

Le lemme résulte de (4), (5), (6) et (7).

VII.7.14 Calcul de d(I , G) En appliquant la définition de 7.10 à l’élément η , on définit le covolume covol(AG¯  ,Z ). ˜ D’autre part, on a défini en 5.8 une constante notée C(G). Lemme. On a l’égalité ˜ −1 covol(AG¯ ,Z )−1 . d(I , G) = x(I )−1 τ (G)C(G)  Preuve. Par définition, D(I , G) est le conoyau de l’homomorphisme 1 1 Hab (AF /F ; I ) → Hab (AF /F ; G),

c’est-à-dire de l’homomorphisme 1−θ

H 2,1,0 (AF /F ; S¯sc → S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S). On a une suite exacte 1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → 1−θ

H 2,1,0 (AF /F ; S¯sc → S → (1 − θ)(S)) → H 2 (AF /F ; S¯sc ). Comme on l’a dit en 7.11, le dernier groupe est nul car S¯sc est un tore elliptique. Donc D(I , G) est aussi le conoyau de l’homomorphisme composé (1)

1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S).

Dans la catégorie des complexes de tores, le triangle Ssc 

→

Ssc ↓π

1−θ

→

(1 − θ)(S) 

S

1−θ

(1 − θ)(S)

→

S ↓1−θ

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

911

est distingué. Il donne naissance à une suite exacte 1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S) 1−θ

1−θ

→ H 2,1 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). En inspectant les définitions, on voit que le premier homomorphisme ci-dessus est égal à celui de (1). Donc D(I , G) est aussi le noyau du dernier homomorphisme cidessus. Le lemme C.2.A de [48] entraîne par dualité que ce noyau a même nombre d’éléments que le conoyau de l’homomorphisme dual (2)

H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) → H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )).

La flèche X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S) envoie un caractère x∗ de (1 − θ)(S) sur le caractère x∗ ◦ (1 − θ) de S. La flèche X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc ) envoie un caractère x∗ de (1 − θ)(S) sur le caractère x∗ ◦ (1 − θ) ◦ π de Ssc . Montrons que (3) le groupe H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )) est isomorphe à ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆθ,0 π0 ((Z(G)/Z( G) ) ). ˆ ˆ Sˆθ,0 On a X ∗ ((1 − θ)(S)) = X∗ (S/ ) et X ∗ (Ssc ) = X∗ (Sˆad ). Pour simplifier, notons ces groupes X1 et X2 . Notons ϕ : X1 → X2 l’homomorphisme défini cidessus ainsi que les homomorphismes qui s’en déduisent fonctoriellement. On a la suite exacte de complexes de ΓF -modules

1 1 ↓ ↓ ϕ X1 → X2 ↓ ↓ ϕ X1 ⊗ Z Q → X2 ⊗ Z Q ↓ ↓ ϕ X1 ⊗Z Q/Z → X2 ⊗Z Q/Z ↓ ↓ 1 1. D’où une suite exacte H 0,. (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) (4)

→ H 0,. (ΓF ; X1 ⊗Z Q/Z → X2 ⊗Z Q/Z) → H 1,0 (ΓF ; X1 → X2 ) → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q).

On a noté H 0,. le groupe noté simplement H 0 par Kottwitz et Shelstad. On a aussi une suite exacte H 0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q) → H 0 (ΓF ; X2 ⊗Z Q) → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) → H 1 (ΓF ; X1 ⊗Z Q).

912

Chapitre VII. Descente globale

Le dernier groupe est limite inductive de groupes H 1 (Gal(E/F ); X1 ⊗Z Q) sur les extensions galoisiennes finies E de F telles que ΓE agisse trivialement sur X1 . Or ces groupes sont nuls puisque Gal(E/F ) est fini et X1 ⊗Z Q est divisible. La suite ci-dessus se récrit (5)

X1ΓF ⊗Z Q → X2ΓF ⊗Z Q → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) → 0.

Il résulte des définitions que ˆ

X2 ⊗Z Q = ϕ(X1 ⊗Z Q) ⊕ X2θ ⊗Z Q. D’où (6)

ˆ

X2ΓF ⊗Z Q = ϕ(X1ΓF ⊗Z Q) ⊕ X2ΓF ,θ ⊗Z Q.

¯ ΓF = Le tore S¯sc est elliptique donc X∗ (S¯sc )ΓF = 0. Il en résulte que X∗ (S) 0 Γ ¯  ) ) F . On a déjà remarqué que η était elliptique dans G(F ˜ ). Le groupe X∗ (Z(G ¯ = X∗ (S)θ . On obtient l’égaci-dessus est donc X∗ (Z(G)θ,0 )ΓF . D’autre part X∗ (S) lité X∗ (S)ΓF ,θ = X∗ (Z(G)θ,0 )ΓF . Cela entraîne X∗ (Ssc )ΓF ,θ = 0, ce qui équivaut à ˆ X2ΓF ,θ = 0. Il résulte alors de (6) que la première application de (5) est surjective. En conséquence, H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) = 0. Il résulte des définitions que les deux premiers groupes de la suite (4) sont respectivement les noyaux des homomorphismes X1ΓF ⊗Z Q → X2ΓF ⊗Z Q et (X1 ⊗Z Q/Z)ΓF → (X2 ⊗Z Q/Z)ΓF . On peut identifier Q/Z au groupe des racines de l’unité dans C× . Alors l’applicaˆ ˆ Sˆθ,0 tion x∗ ⊗ ζ → x∗ (ζ) identifie X1 ⊗Z Q/Z au sous-groupe de torsion (S/ )tors ⊂ ˆ ˆ Γ θ,0 θ,0 F ΓF ˆ ˆ ˆ ˆ S/S . Le sous-groupe (X1 ⊗Z Q/Z) s’identifie à (S/S )tors . Notons K le noyau de l’homomorphisme ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ → Sˆad . ΓF Alors le deuxième groupe de la suite (4) s’identifie à Ktors . On voit que l’image du premier groupe est (K ΓF ,0 )tors . A ce point, on déduit de (4) une suite exacte ΓF → H 1,0 (ΓF ; X1 → X2 ) → 0 (K ΓF ,0 )tors → Ktors

On vérifie facilement que l’homomorphisme naturel ΓF → π0 (K ΓF ) (K ΓF ,0 )tors \Ktors

est bijectif. D’autre part, le noyau de l’application t → (1 − θ)(tad ) de Sˆ dans ˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 ˆ ˆ ∩ Sˆθ,0 Sˆad est Z(G) . Il en résulte que K  Z(G)/Z( G) . Le tore Sˆ est égal à

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

913

ˆ cette action coïncide Tˆ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ) ◦ σG∗ . Sur Z(G), ˆ ˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ avec σ → σG∗ . Donc Z(G)/Z(G) ∩ S = Z(G)/Z(G) ∩ T θ,0 (en tant que groupes munis d’actions galoisiennes). On en déduit ˆ ΓF ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0  π0 (K ΓF )  π0 ((Z(G)/Z( G) ) ) (K ΓF ,0 )tors \Ktors

puis (3). L’application (2) s’insère dans un diagramme de suites exactes de cohomologie H 0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) ↓ H 0 (ΓF ; X ∗ (S)) ↓ H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) ↓ H 1 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)))

H 0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) ↓ → H 0 (ΓF ; X ∗ (Ssc )) ↓ → H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )) ↓ = H 1 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) . =

Il en résulte formellement que le noyau de (2) est l’image dans H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) du noyau de H 0 (ΓF ; X ∗ (S)) → H 0 (ΓF ; X ∗ (Ssc )). Mais le noyau de X ∗ (S) → X ∗ (Ssc ) n’est autre que X ∗ (G). Donc le noyau de (2) est l’image naturelle dans H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) de X ∗ (G)ΓF . D’autre part, on a la suite exacte 1−θ

1 → S θ → S → (1 − θ)(S) → 1 . Le groupe S θ n’est pas connexe mais est diagonalisable. Il en résulte une suite exacte 0 → X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S) → X ∗ (S θ ) → 0 puis l’égalité H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) = X ∗ (S θ )ΓF . L’homomorphisme de X ∗ (G)ΓF dans ce groupe n’est autre que l’application de restriction. En notant Im(X ∗ (G)ΓF ) son image, on obtient que l’image de l’application (2) est isomorphe à X ∗ (S θ )ΓF / Im(X ∗ (G)ΓF ). On a dit que d(I , G) était égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme (2). Grâce à (3) et au résultat précédent, on obtient ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 G) ) )|[X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF )]−1 . d(I , G) = |π0 ((Z(G)/Z(

914

Chapitre VII. Descente globale

Notons Im(X ∗ (G)ΓF ,θ ) l’image dans X ∗ (S θ )ΓF du sous-groupe X ∗ (G)ΓF ,θ ⊂ X ∗ (G)ΓF . Kottwitz et Shelstad ont calculé ˆ ˆ ΓF ,0 )|−1 , [Im(X ∗ (G)ΓF ) : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] = | det((1 − θ)|AG /AG˜ )||π0 (Tˆθ,0 ∩ Z(G)

cf. [48] calcul de l’expression 6.4.14. L’expression ci-dessus se transforme en ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 d(I , G) = |π0 ((Z(G)/Z( G) ) )|| det((1 − θ)|AG /AG˜ )| ˆ ˆ ΓF ,0 )|−1 [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 . |π0 (Tˆ θ,0 ∩ Z(G)

˜ donnée en 5.8, on peut récrire En se rappelant la définition de C(G) ˜ −1 τ (G) covol(A ˜ )−1 [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 . d(I , G) = C(G) G,Z Pour obtenir le lemme, il reste à prouver l’égalité (7)

x(I ) covol(AG¯  ,Z ) = [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] covol(AG,Z ˜ ).

¯ ,SC par le sous-groupe Le groupe I est isomorphe au quotient de Z(I ) × G ¯ ,SC ). Il en résulte que X ∗ (I ) est le groupe formé des (¯ π (z)−1 , z) pour z ∈ Z(G ¯ ,SC )). L’homomorphisme naturel de ce des caractères du groupe Z(I )/¯ π (Z(G groupe dans S θ /¯ π (S¯sc ) est un isomorphisme. Donc X ∗ (I ) = X ∗ (S θ /¯ π (S¯sc )). On obtient une suite exacte 0 → X ∗ (I ) → X ∗ (S θ ) → X ∗ (S¯sc ). D’où aussi une suite exacte 0 → X ∗ (I )ΓF → X ∗ (S θ )ΓF → X ∗ (S¯sc )ΓF . Mais S¯sc est un tore elliptique donc le dernier groupe est nul. Finalement X ∗ (I )ΓF = X ∗ (S θ )ΓF .

(8)

On a un diagramme commutatif d’homomorphismes naturels (9) 0

¯  )ΓF → X ∗ (I /G

→ X ∗ (I )ΓF

X ∗ (G)ΓF ,θ  ↓φ ¯  )ΓF . → X ∗ (G

La suite horizontale est exacte. La flèche verticale φ s’inscrit dans un diagramme commutatif X ∗ (G)ΓF ,θ → X ∗ (Z(G)0 )ΓF ,θ ↓φ ↓ ¯  )ΓF → X ∗ (Z(G ¯  )0 )ΓF . X ∗ (G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

915

Les flèches horizontales sont injectives. La flèche de droite est injective : cela résulte de l’ellipticité de η . Donc la flèche de gauche est aussi injective. En revenant au diagramme (9), on en déduit un diagramme commutatif à flèches injectives X ∗ (G)ΓF ,θ φ1  ∗

ΓF

X (I )

∗

φ φ2

¯ ) /X (I /G

→

ΓF

¯  )ΓF . X ∗ (G

Par définition, on a ¯  )ΓF || coker(φ2 )|−1 . x(I ) = |X ∗ (I /G L’injectivité de φ1 et la relation (8) entraînent que ¯  )ΓF || coker(φ1 )|. [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] = |X ∗ (I /G Il en résulte que x(I )[X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 = | coker(φ2 )|−1 | coker(φ1 )|−1 = | coker(φ)|−1 . D’après les définitions, on a aussi −1 . | coker(φ)| = |AG,Z ¯  ,Z | = covol(AG ¯  ,Z ) covol(AG,Z ˜ /AG ˜ )

L’égalité (7) résulte des deux égalités ci-dessus. Cela achève la démonstration.



VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 Les lemmes 7.12, 7.13 et 7.14 conduisent à l’égalité ˜ (G ¯  )[I (F ) : G ¯  (F )]−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )] covol(AG¯ )−1 . |P 0 ||U|−1 = C(G)τ  On a aussi |U| = |D˙ F [dV ]| d’après le lemme 7.5. Enfin, l’assertion 7.3(1) entraîne que pour tout d ∈ DF [dV ], il y a des isomorphismes compatibles et définis sur ¯  sur Gη[d] . On peut donc remplacer dans le deuxième F de I sur Iη[d] et de G ¯  par Iη[d] et Gη[d] . La proposition membre de l’égalité ci-dessus les termes I et G 7.10 en résulte.

VII.7.16 Calcul final On lève l’hypothèse DF [dV ] = ∅ posée en 7.3. Considérons l’expression  δj [dV ] (1) f¯[dV ] j∈J (H)

qui apparaît dans la formule 5.9(2).

916

Chapitre VII. Descente globale

Corollaire. Pourvu que l’ensemble de places V  soit assez grand, l’expression (1) est égale à  ˜ −1 τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )] C(G) ˙ F [dV ] d∈D



covol(AGη[d] )−1 |U[V  , d]|−1

ω(uh[d])f¯[d, u].

u∈U [V  ,d]

Cela résulte du corollaire 7.2 et de la proposition 7.10.

VII.8 Preuve du théorème 3.3 VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 Utilisons le corollaire 7.16 pour transformer la formule 5.9(2). Il y a deux simpli˜ apparaît deux fois et ses deux occurences se comfications. La constante C(G) pensent. Le terme c[dV ] défini en 5.9 est égal à [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )]−1 pour tout d ∈ D˙ F [dV ] et ce terme compense l’un de ceux intervenant dans le corollaire 7.16. D’autre part, il intervient dans ce corollaire un ensemble fini de places V  qui doit être assez grand. Cette notion dépend a priori des éléments fixés dans la section 7, à savoir dV et H. Mais ces données dV et H parcourent des ensembles finis. On peut donc fixer un ensemble V  assez grand pour que le corollaire 7.16 soit valable pour tous dV et H. On obtient alors ˜ ˜ ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 τ (H)   τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 covol(AGη[d] ,Z )−1 ˙ rel d∈D ˙ F [dV ] d V ∈D V

|U[V  , d]|−1



¯

¯

¯ ω(uh[d])S H (SAH unip (V ), f [d, u]).

u∈U [V  ,d]

Notons DFV −nr l’ensemble des d ∈ DF tels que la projection de d dans DAVF appartienne à DAnrV . L’ensemble DF [dV ] a été défini en 6.9. Dans ce paragraphe, F on supposait dV relevante mais c’était inutile pour cette définition. On peut alors définir D˙ F [dV ] comme en 7.1 sans cette hypothèse de relevance. Notons D˙ FV −nr la réunion des D˙ F [dV ] pour dV ∈ D˙ V . C’est un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DFV −nr /G(F ). La même preuve qu’en 7.1(1) montre que c’est un ensemble fini. Grâce à 5.5(4), la double somme ci-dessus en dV ∈ D˙ Vrel et d ∈ D˙ F [dV ] se simplifie en une somme

VII.8. Preuve du théorème 3.3

917

sur les d ∈ D˙ FV −nr tels que H soit relevante pour Gη[d],SC . D’où ˜ ˜ ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 τ (H)  τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 covol(AGη[d] ,Z )−1 ˙ V −nr , d∈D F H relevante pour Gη[d],SC

|U[V  , d]−1



¯ ¯ ¯ ω(uh[d])S H (SAH unip (V ), f [d, u]).

u∈U [V  ,d]

On peut maintenant lever la première hypothèse faite sur H, à savoir que DVrel est non vide. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de droite est nul car la somme en d est vide. Le membre de gauche est nul lui-aussi d’après le corollaire 5.6. L’égalité est donc encore vérifiée. Rappelons que la fonction f¯[d, u] qui intervient ici est le ¯ V ) d’une fonction f [d]sc sur Gη[d],SC (FV ), le facteur de transfert transfert à H(F étant déterminé par u. Il convient d’introduire la donnée H dans la notation et de noter plutôt cette fonction f¯H [d, u]. Utilisons maintenant l’égalité 5.3(1). On obtient ˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1  τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 ˜

(1)

˙ V −nr d∈D F

covol(AGη[d] ,Z )−1 |U[V  , d]|−1

 u∈U [V

ω(uh[d])X[d, u],

 ,d]

où 

X[d, u] = H∈ETˆ¯

ad ,•

¯ ¯H ¯ −1 |W H¯ |S H¯ (SAH τ (H) unip (V ), f [d, u]).

¯ SC ,V ), (G

H relevante pour Gη[d],SC

VII.8.2 Elimination de la somme en H Fixons d ∈ D˙ FV −nr et u ∈ U[V  , d]. Notons ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) l’ensemble de somad mation qui intervient dans la définition de X[d, u], c’est-à-dire l’ensemble des ¯ SC , V ) qui sont relevantes pour Gη[d],SC . Fixons comme toujours H ∈ ETˆ¯ ,• (G ad un ensemble E(Gη[d],SC , V ) de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques de Gη[d],SC qui sont elliptiques, non ramifiées hors de V et relevantes. Il y a une application naturelle ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) → E(Gη[d],SC , V ) qui, à ad H dans l’ensemble de départ, associe le représentant de sa classe d’équivalence. Cette application est surjective : toute donnée endoscopique de Gη[d],SC est équi¯ H, ¯ s¯) telle que s¯ appartienne à Tˆ¯ad . Les nombres d’élévalente à une donnée (H, ments des fibres de cette application se calculent comme en 5.1. On obtient que

918

Chapitre VII. Descente globale

la fibre contenant un élément H ∈ ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) a pour nombre d’éléments |W G ||W H |−1 | Out(H)|−1 . On obtient ¯

¯



¯

X[d, u] = |W G |

ad

¯H ¯ −1 | Out(H)|−1 S H (SAH τ (H) unip (V ), f [d, u]). ¯

¯

H∈E(Gη[d],SC ,V )

En utilisant la définition [VI] 5.1, on voit que ¯ −1 | Out(H)|−1 = τ (Gη[d],SC )−1 i(Gη[d],SC , H). ¯ τ (H) Ici τ (Gη[d],SC ) = 1 puisque Gη[d],SC est simplement connexe ([52] théorème 1.2). D’autre part, ¯ ¯ ¯ Gη[d],SC ¯H S H (SAH (transfertu (SAH unip (V ), f [d, u]) = I unip (V )), f [d]sc ),

où transfertu désigne le transfert relatif au facteur de transfert ΔV [d, u] défini en 7.1. On obtient ¯ X[d, u] = |W G |I Gη[d],SC (B[d, u], f [d]sc ), où



B[d, u] =

¯

¯ transfertu (SAH i(Gη[d],SC , H) unip (V )).

H∈E(Gη[d],SC ,V )

En se reportant à la définition de 1.10, on voit que B[d, u] n’est autre que la Gη[d],SC ,E (V ). Plus exactement, on se rappelle que cette distribudistribution Aunip tion dépend d’un choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes Gη[d],SC (Fv ) pour v ∈ V . Puisqu’on utilise le facteur de transfert ΔV [d, u], ces groupes sont les Ksc,v [d, u] définis en 7.1. Notons Kv [d] le sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d] (Fv ) défini par Kv [d] = adhv [d] (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ). Avec la notation de 4.3, on a v∈V Ksc,v [d, u] = u K[d]Vsc . On a donc précisément B[d, u] = G

,E

η[d],SC Aunip (V, u K[d]Vsc ). On est ici dans une situation sans torsion et on peut ap-

G

η[d],SC (V, u K[d]Vsc ) et pliquer le théorème d’Arthur 3.1. Donc B[d, u] = Aunip

G

¯

η[d],SC (V, u K[d]Vsc ), f [d]sc ). X[d, u] = |W G |I Gη[d],SC (Aunip

VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes Fixons d ∈ D˙ FV −nr . Grâce à la dernière formule ci-dessus, on a |U[V  , d]|−1



ω(uh[d])X[d, u]

u∈U [V  ,d] ¯

G

η[d],SC = |W G |ω(h[d])I Gη[d],SC (Aunip;G  (V ), f [d]sc ), η[d] ,ω,V

VII.8. Preuve du théorème 3.3

919

G

η[d],SC où Aunip;G  (V ) est défini en 4.3. Puisque f [d]sc = ιGη[d],SC ,Gη[d] (f [d]), on a η[d] ,ω,V

G

η[d],SC I Gη[d],SC (Aunip;G  (V ), f [d]sc ) η[d] ,ω,V

G

η[d],SC = I Gη[d] (ι∗Gη[d],SC ,Gη[d] (Aunip;G  (V )), f [d]). η[d] ,ω,V

On applique la proposition 4.3. L’ensemble de places V  doit être assez grand, cette notion dépendant de d. Puisqu’on a déjà dit que l’ensemble D˙ FV −nr était fini, on peut supposer que l’ensemble V  fixé en 8.1 satisfait cette condition pour tout d. La proposition 4.3 nous dit que η[d],SC η[d]   −1 Aunip (V, ω, K[d]V ). ι∗Gη[d],SC ,Gη[d] (Aunip;G  (V )) = τ (Gη[d],SC )τ (Gη[d] ) η[d] ,ω,V

G

G

Puisque Gη[d],SC est simplement connexe, on a AGη[d],SC = {0} et τ (Gη[d],SC ) = 1 ([52] théorème 1.2). Donc aussi τ  (Gη[d],SC ) = 1. On a aussi par définition τ  (Gη[d] ) = τ (Gη[d] ) covol(AGη[d] ,Z )−1 . D’où 

|U[V  , d]|−1

ω(uh[d])X[d, u]

u∈U [V  ,d] G

η[d] = |W G |ω(h[d])τ (Gη[d] )−1 covol(AGη[d] ,Z )I Gη[d] (Aunip (V, ω, K[d]V ), f [d]).

¯

Reportons cette valeur dans la formule 8.1(1). Comme on l’a dit en 1.1, le groupe ¯ W G (μ) s’identifie à W G . On obtient ˜

(1)



˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = | FixG (μ, ωG¯ )|−1 G

η[d] [Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 ω(h[d])I Gη[d] (Aunip (V, ω, K[d]V ), f [d]).

˙ V −nr d∈D F

VII.8.4 Fin de la preuve Rappelons qu’il nous suffit de prouver la proposition 5.1, c’est-à-dire l’égalité (1)

˜

˜

˜

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = I G (AG (V, X , ω), f ). ˜

Supposons que X n’appartienne pas à l’image de l’application χG , c’est-à-dire ˜ ss (F ). Alors l’enne corresponde à aucune classe de conjugaison stable dans G semble DF est vide, a fortiori D˙ FV −nr aussi et la formule 8.3(1) montre que ˜ ˜ I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = 0. ˜ ˜ D’après la définition 1.9, on a aussi I G (AG (V, X , ω), f ) = 0. L’égalité (1) ci-dessus en résulte.

920

Chapitre VII. Descente globale ˜

Nous supposons maintenant que X est l’image par χG d’une classe de conju˜ ). Cette classe est unique d’après la proposition 1.2 et c’est gaison stable O ⊂ G(F la classe de conjugaison stable de η[d] pour tout d ∈ DF . Notons Cl(O) l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) contenues dans O. Il y a une application naturelle DF → Cl(O) qui, à d ∈ DF , associe la classe de conjugaison de η[d]. Elle est surjective et se quotiente en une application de Iη (F¯ )\DF /G(F ) dans Cl(O). Etendons l’ensemble D˙ FV −nr en un ensemble de représentants D˙ F de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DF /G(F ). L’application ci-dessus devient une application cl : D˙ F → Cl(O). Soit d ∈ D˙ F , posons C = cl(d). Utilisons la définition [VI] 2.3 ainsi que les hypothèses (1), (2) et (4) posées en 5.1. Considérons la propriété (2) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par C ˜v. coupe K Elle équivaut à ce que, pour tout v ∈ V , l’image de d dans Dv appartienne à ˜ cf. 5.5. Ou encore à d ∈ D˙ FV −nr . Si (2) n’est pas vérifiée, on a AG (V, C, ω) = 0. Si (2) est vérifiée, la définition [VI] 2.3(7) conduit à l’égalité Dvnr ,

˜

˜

I G (AG (V, C, ω), f ) G

η[d] (V, ω, K[d]V ), f [d]). = [ZG (η[d]; F ) : Gη[d] (F )]−1 ω(h[d])I Gη[d] (Aunip

Il résulte alors de 8.3(1) que ˜

(3)

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f )  ˜ ˜ = | FixG (μ, ωG¯ )|−1 [ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]I G (AG (V, cl(d), ω), f ). ˙F d∈D

L’ensemble de sommation peut maintenant être infini mais seuls un nombre fini de termes sont non nuls. On va prouver (4) pour tout d ∈ D˙ F , la fibre de l’application cl au-dessus de cl(d) a pour nombre d’éléments | FixG (μ, ωG¯ )|[ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]−1 . L’élément d ∈ D˙ F est fixé. On rappelle que l’on note Yη[d] l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ Iη[d] (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . L’application y → (y −1 η[d]y, r[d]y) est une bijection de Yη[d] sur DF (la preuve est analogue à celle de 5.4(4)). L’inverse de cette bijection identifie D˙ F à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes Iη[d] (F¯ )\Yη[d] /G(F ). L’élément y −1 η[d]y est conjugué à η[d] par un élément de G(F ) si et seulement si y ∈ ZG (η[d]; F¯ )G(F ). Ou encore, puisque y est supposé appartenir à Yη[d] , si et

VII.8. Preuve du théorème 3.3

921

seulement si y ∈ (ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] )G(F ). Donc la fibre de cl au-dessus de cl(d) est en bijection avec l’ensemble de doubles classes (5)

Iη[d] (F¯ )\(ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] )G(F )/G(F ).

Posons Ξ[d] = Iη[d] (F¯ )\ZG (η[d]; F¯ ). C’est un groupe fini qui est muni d’une action naturelle de ΓF . Il résulte des définitions que Ξ[d]ΓF = Iη[d] (F¯ )\(ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] ). Ce groupe contient le sous-groupe ΞF [d] = Iη[d] (F )\ZG (η[d]; F ). On voit que l’application naturelle de Ξ[d]ΓF dans l’ensemble (5) se quotiente en une bijection de Ξ[d]ΓF /ΞF [d] sur cet ensemble. On en déduit que le nombre d’éléments de la fibre de cl au-dessus de cl(d) est égal à (6)

|Ξ[d]ΓF |[ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]−1 .

On va identifier l’ensemble Ξ[d] et son action galoisienne. Munissons le groupe ∗ W θ de l’action galoisienne σ → σG¯ définie par σG¯ (w) = ωG¯ (σ)σG∗ (w)ωG¯ (σ)−1 . Le ∗ ˜ cf. 1.1. Notons groupe W θ agit naturellement sur (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G), ∗ G Fix (μ) le groupe des w ∈ W θ tels que wμ = μ et w(Σ+ (μ)) = Σ+ (μ), cf. 1.1 pour les notations. Pour tout σ ∈ ΓF , ωG¯ (σ) ◦ σG∗ fixe μ et conserve Σ+ (μ). On ∗ en déduit que l’action galoisienne σ → σG¯ sur W θ conserve FixG (μ). D’après la G définition de 5.1, Fix (μ, ωG¯ ) n’est autre que l’ensemble de points fixes par cette action dans FixG (μ). On va montrer (7) il existe un isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ) qui entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σG¯ sur FixG (μ). En admettant cela, on a |Ξ[d]ΓF | = | FixG (μ, ωG¯ )| et (4) résulte alors de la formule (6). Prouvons (7). Posons Ξ = Iη \ZG (η) = Iη (F¯ )\ZG (η; F¯ ). Soit ξ ∈ Ξ et relevons ξ en un élément x ∈ ZG (η). Quitte à multiplier x à gauche par un élément de Iη , on peut supposer que adx conserve ∗ ¯ = B ∗ ∩ G. ¯ Il en résulte que adx conserve T ∗ donc x s’envoie sur un T ∗,θ ,0 et B élément w ∈ W . Cet élément est invariant par θ∗ . L’élément x est uniquement ∗ déterminé modulo multiplication à gauche par un élément de T ∗,θ . Donc w est bien déterminé. Le fait que x appartient à ZG (η) entraîne que w fixe μ. Parce que ¯ = B ∗ ∩ G, ¯ w conserve Σ+ (μ). Autrement dit, w ∈ FixG (μ). Cela adx conserve B définit une application ξ → w de Ξ dans FixG (μ). Il est immédiat que c’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est l’ensemble des ξ ∈ Ξ qui se relèvent en ∗ un élément x ∈ T ∗ ∩ ZG (η). Mais ce groupe est égal à T ∗,θ qui est contenu dans Iη . Donc le noyau est réduit à l’élément neutre. Montrons que l’application ξ → w

922

Chapitre VII. Descente globale

˜ E ∗ ). On est surjective. Soit w ∈ FixG (μ). Ecrivons η = νe avec ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G; ∗ relève w en un élément x ∈ Ge qui normalise T . Parce que w fixe μ, il existe t ∈ T ∗ tel que adx (ν) = (1 − θ∗ )(t)ν. Ou encore, puisque adx fixe e, adx (η) = (1 − θ∗ )(t)η. L’élément t−1 x relève encore w et appartient à ZG (η). En notant ξ l’image de t−1 x dans Ξ, on voit que ξ s’envoie sur w par l’application précédente. Cela prouve que l’application ξ → w est un isomorphisme de Ξ sur FixG (μ). Posons r = r[d]. Alors adr est un isomorphisme de Ξ[d] sur Ξ. Par composition, on obtient un isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ). Pour étudier les actions galoisiennes, on doit se rappeler que, par définition de DF , ωG¯ coïncide avec le cocycle ωη[d] calculé comme en 1.2 à l’aide de la paire de Borel (adr−1 (B ∗ ), adr−1 (T ∗ )). En reprenant les définitions de 1.2, on voit que cela se traduit par la propriété suivante : ¯ tel que g¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 normalise (8) pour tout σ ∈ ΓF , il existe g¯(σ) ∈ G ∗ T et s’envoie sur l’élément ωG¯ (σ) ∈ W . Soient σ ∈ ΓF et ξ[d] ∈ Ξ[d]. L’élément ξ[d] s’envoie par adr sur un élément ξ ∈ Ξ, que l’on relève comme ci-dessus en un élément x ∈ ZG (η), qui s’envoie sur un élément w ∈ FixG (μ). L’élément σ(ξ[d]) s’envoie par adr sur un élément ξ  ∈ Ξ, que l’on relève en un élément x ∈ ZG (η), qui s’envoie sur un élément w ∈ FixG (μ). Relevons ξ[d] en l’élément adr−1 (x). Alors ξ  est l’image dans Ξ ¯ conserve de l’élément adr ◦σ ◦ adr−1 (x) = adrσ(r)−1 ◦σ(x). La conjugaison par G  ZG (η) et se quotiente en l’identité de Ξ. Donc ξ est aussi l’image dans Ξ de l’élément x = adg¯(σ)rσ(r)−1 ◦σ(x). On a x = adg¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 ◦ aduE ∗ (σ) ◦σ(x).

(9)

L’élément x normalise T ∗ . Les automorphismes adg¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 et aduE ∗ (σ) ◦σ aussi. Il en résulte que x normalise T ∗ . Puisque x et x relèvent tous deux ξ  , x se déduit de x par multiplication à gauche par un élément du normalisateur de T ∗ dans Iη . L’image w de x dans W se déduit de l’image w de x par multiplication à gauche par un élément de W (μ). D’après (8) et (9), on a w = ωG¯ (σ) ◦ σG∗ (w) = σG¯ (w). Cela implique que w ∈ FixG (μ). Puisque w et w sont deux éléments de cet ensemble qui se déduisent l’un de l’autre par multiplication à gauche par un élément de W (μ), ils sont égaux (parce que les éléments de FixG (μ) conservent Σ+ (μ)). On obtient w = w = σG¯ (w). Mais cela prouve que l’isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ) entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σG¯ sur FixG (μ). Cela achève la preuve de (7) et de (4). En utilisant (4), l’égalité (3) se récrit ˜

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) =



˜

˜

I G (AG (V, C, ω), f ).

C∈Cl(O)

D’après la définition de 1.9, le membre de droite ci-dessus est égal à celui de l’égalité (1). Cela prouve cette égalité et cela achève la preuve du théorème 3.3.

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

923

VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème On rappelle brièvement l’énoncé du théorème [VI] 5.6, en renvoyant à cette référence pour plus de détails. On considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) défini sur F . Pour i = 1, 2, on fixe une paire de Borel (Bi , Ti ) de Gi définie sur F . On note Σi l’ensemble des racines de Ti dans gi . Le terme j∗ est un isomorphisme de X∗ (T1 ) ⊗Z Q sur X∗ (T2 ) ⊗Z Q. Il y a une bijection τ : Σ2 → Σ1 et une fonction b : Σ2 → Q>0 de sorte que, pour tout α2 ∈ Σ2 , on ait l’égalité j∗ (ˇ α1 ) = b(α2 )ˇ α2 , où α1 = τ (α2 ) et α ˇ i est la coracine associée à αi . Pour toute place v de F , on a un isomorphisme (1)

st ∗ st ∗ Dg´ eom (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  Dg´ eom (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))

qui se restreint en un isomorphisme analogue pour les distributions à support nilpotent. Par l’exponentielle, il s’en déduit un isomorphisme (2)

st st Dunip (G1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))∗  Dunip (G2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))∗ .

On fixe un ensemble fini de places V de sorte que – V contient les places archimédiennes de F ; – G1 et G2 sont non ramifiés hors de V ; – pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ] ; alors p > ev N (Gi ) + 1 pour i = 1, 2, où N (Gi ) est l’entier défini en [79] 4.3 ; – les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V . G2 1 Théorème. Sous ces hypothèses, les distributions SAG unip (V ) et SAunip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (2) ci-dessus.

Pour simplifier, on note encore j∗ toute application déduite de l’application j∗ primitive. Par exemple, on note j∗ les isomorphismes (1) et (2). Pour i = 1, 2, on pose Mi,0 = Ti . On a un isomorphisme j∗ : AM1,0  AM2,0 . On fixe des mesures sur ces espaces qui se correspondent par cet isomorphisme. On se débarrasse des espaces de mesures comme dans les paragraphes précédents. C’est-à-dire que, en une place v ∈ V , on utilise les mesures canoniques. Pour i = 1, 2, on munit Gi (A) de la mesure de Tamagawa, cf. 4.1. De ces choix se déduit une mesure sur Gi (FV ). Pour des Levi M1 ∈ L(M1,0 ) et M2 ∈ L(M2,0 ) qui se correspondent, on fait des choix analogues.

VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe une place v ∈ V et on considère que le corps de base est Fv . Pour i = 1, 2, soit Mi ∈ L(Mi,0 ). On a défini en [II] 4.2 une st fonction sur Dg´ eom (Mi (Fv )). Dans la situation générale de cette référence, elle était

924

Chapitre VII. Descente globale ˜

Gi ˜ notée sM ˜ i (., Ki ). Elle ne dépendait que de la classe de conjugaison par Gi,AD (Fv ) ˜ i . Ici, la situation n’est pas tordue, on prend K ˜ i = Ki du sous-espace hyperspécial K et la classe de conjugaison par Gi,AD (Fv ) de ce groupe est uniquement déterminée. i On peut donc noter simplement sG Mi notre fonction. Supposons que M1 et M2 se correspondent. On a défini en [III] 6.4 une 1 ,G2 × constante cG M1 ,M2 ∈ C . st Proposition. Soit δ 1 ∈ Dg´ eom (M1 (Fv )). Supposons que son support est assez voisin de l’origine. Alors on a l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 (δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 (j∗ (δ 1 )). i Preuve. Pour i = 1, 2, il y a une analogue sgmii de la fonction sG Mi , définie sur st st Dg´eom (mi (Fv )). Pour d1 ∈ Dg´eom (m1 (Fv )) à support régulier dans g1 (Fv ), on a l’égalité g2 1 ,G2 sgm11 (d1 ) = cG M1 ,M2 sm2 (j∗ (d1 )).

Cette égalité est la conjecture 3.7 de [80]. Une preuve est annoncée par Chaudouard et Laumon ([31]). st Pour di ∈ Dg´ eom (mi (Fv )) à support assez voisin de l’origine, on peut définir st exp(di ) ∈ Dg´ eom (Gi (Fv )). gi i Il résulte des définitions que l’on a l’égalité sG Mi (exp(di )) = smi (di ). Pour δ 1 ∈ st Dg´ eom (M1 (Fv )) à support régulier dans G1 (Fv ) et assez voisin de l’origine, il existe st d1 ∈ Dg´ eom (m1 (Fv )) à support régulier dans g1 (Fv ) et assez voisin de l’origine de sorte que δ 1 = exp(d1 ). Les considérations ci-dessus entraînent l’égalité de l’énoncé pour un tel δ 1 . Il reste à lever l’hypothèse que le support de δ 1 est régulier dans G1 (Fv ). Cela se fait en deux temps comme dans la section 4 de [II]. Considérons d’abord une classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ M1 (Fv ) qui est G1 -équisingulière st et assez proche de l’origine. Soit δ 1 ∈ Dg´ eom (O), c’est-à-dire que son support est formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O. D’après le lemme [II] st 2.2, on peut fixer δ 1 ∈ Dg´ eom (M1 (Fv )), à support régulier dans G1 (Fv ) aussi voisin M1  qu’on le veut de O, de sorte que δ 1 = gM (δ 1 ). D’après la proposition [III] 6.6, on 1 M2  a l’égalité j∗ (δ 1 ) = gM2 ◦ j∗ (δ 1 ). D’après la relation [II] 4.5(2), on a les égalités   G1 M1 G1 1 sG M1 (δ 1 ) = sM1 (gM1 (δ 1 )) = sM1 (δ 1 ),  G2 M2  G2 2 sG M2 (j∗ (δ 1 )) = sM2 (gM2 ◦ j∗ (δ 1 )) = sM2 (j∗ (δ 1 )).

L’égalité de l’énoncé déjà prouvée pour δ 1 entraîne alors l’égalité analogue pour δ 1 . Soit maintenant δ 1 soumis à la seule restriction que son support est assez voisin de l’origine. Posons δ 2 = j∗ (δ 1 ). Pour i = 1, 2, on introduit une variable

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

925

ai ∈ AMi (Fv ) en position générale et proche de 1. D’après [II] 4.7, le germe en 1 Gi i de la fonction ai → sG Mi (ai δ i ) est équivalent à un élément de l’espace UMi dont i le terme constant est égal à sG Mi (δ i ) (cf. [II] 4.6 pour les définitions). Considérons l’application qui, à une fonction ϕ de a2 , associe la fonction a1 → ϕ(j∗ (a1 )). Les considérations de [III] 6.4 et l’hypothèse v ∈ V entraînent que cette application G2 G1 G2 sur UM et sa restriction à UM commute respecte l’équivalence. Elle envoie UM 2 1 2 à l’application «terme constant». Il en résulte que le germe en 1 de la fonction G1 2 a1 → sG M2 (j∗ (a1 )δ 2 ) est équivalent à un élément de l’espace UM1 dont le terme G2 constant est égal à sM2 (δ 2 ). Puisque a1 δ 1 est à support G1 -équisingulier, on a démontré l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 (a1 δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 (j∗ (a1 )δ 2 ). G1 Le germe de cette fonction en 1 est équivalent à un élément de UM et on a deux 1 G1 façons de calculer son terme constant : la première donne sM1 (δ 1 ) ; la seconde G2 1 ,G2 donne cG M1 ,M2 sM2 (δ 2 ). D’où l’égalité de ces deux termes, ce qui achève la démonstration. 

VII.9.3 Extension aux Levi Pour i = 1, 2, soient Mi et Li deux Levi de Gi tels que Mi,0 ⊂ Mi ⊂ Li . Les définitions de [II] 4.2 se simplifient comme dans le paragraphe précédent : on a st i une fonction sL eom (Mi (Fv )). On suppose que M1 et M2 , resp. L1 et L2 , Mi sur Dg´ se correspondent. On note comme toujours Li,SC le revêtement simplement connexe de Li et on note Mi,sc , resp. Ti,sc , l’image réciproque de Mi , resp. Ti , dans Li,SC . De j∗ se déduit un isomorphisme j∗,sc : X∗ (T1,sc ) ⊗Z Q → X∗ (T2,sc ) ⊗Z Q. Le triplet (L1,SC , L2,SC , j∗,sc ) est encore endoscopique non standard. On a défini en [III] 3.5 un homomorphisme surjectif st st (Mi,sc (Fv )) → Dunip (Mi (Fv )). ι∗Mi,sc ,Mi : Dunip

Lemme. st (i) Pour i = 1, 2 et pour δ i,sc ∈ Dunip (Mi,sc (Fv )), on a l’égalité i,SC ∗ i sL Mi (ιMi,sc ,Mi (δ i,sc )) = sMi,sc (δ i,sc ).

L

st (ii) Pour δ 1 ∈ Dunip (M1 (Fv )), on a l’égalité L

,L

1,SC 2,SC L2 1 sL M1 (δ 1 ) = cM1,sc ,M2,sc sM2 (j∗ (δ 1 )).

Preuve de (i). Le temps de cette preuve, l’indice i = 1, 2 est fixé et on le supLSC prime pour simplifier. Rappelons que les fonctions sL M et sMsc sont déduites de L L L fonctions primitives rM (., K L ) et rMSC (., Ksc ) qui calculent les intégrales orbisc tales pondérées non-invariantes des fonctions caractéristiques des compacts K L

926

Chapitre VII. Descente globale

L et Ksc . Fixons un ensemble de représentants U de l’ensemble de doubles classes Z(M )0 (Fv )\M (Fv )/π(Msc (Fv )).

Soit γ sc ∈ Dunip (Msc (Fv )). Posons γ sc = |U|−1 u∈U adu (γ sc ). Il résulte du lemme [III] 3.3 que l’on a l’égalité LSC L L (ι∗Msc ,M (γ sc ), K L ) = rM (γ sc , Ksc ). rM sc



Remarque. Dans le lemme cité apparaissaient des espaces de mesures que l’on a ici fait disparaître. En utilisant la preuve du lemme 4.2 du présent chapitre, on montre que cette disparition est légitime compte tenu de nos choix de mesures canoniques. Une distribution stable est invariante par l’action du groupe adjoint. Pour st (Msc (Fv )), on a donc δ sc = δ sc et l’égalité se simplifie en δ sc ∈ Dunip LSC L L (ι∗Msc ,M (δ sc ), K L ) = rM (δ sc , Ksc ). rM sc LSC Cette égalité se propage alors aux fonctions sL M et sMsc par la même preuve qu’en [III] 3.6. Cela prouve le (i) de l’énoncé.

Preuve de (ii). Le triplet (L1,SC , L2,SC , j∗,sc ) étant endoscopique non standard, la proposition 8.2 fournit l’égalité L

L

,L

L

2,SC sM1,SC (δ 1,sc ) = cM1,SC sM2,SC (j∗,sc (δ 1,sc )) 1,sc 1,sc ,M2,sc 2,sc

st pour tout δ 1,sc ∈ Dunip (M1,sc (Fv )). En utilisant (i), on obtient 1,SC 2,SC L2 ∗ ∗ 1 sL M1 (ιM1,sc ,M1 (δ 1,sc )) = cM1,sc ,M2,sc sM2 (ιM2,sc ,M2 ◦ j∗,sc (δ 1,sc )).

L

,L

Evidemment, ι∗M2,sc ,M2 ◦ j∗,sc = j∗ ◦ ι∗M1,sc ,M1 . st (M1 (Fv )) peut s’écrire sous la forme δ 1 = Puisque tout élément δ 1 ∈ Dunip ∗  ιM1,sc ,M1 (δ 1,sc ), on en déduit le (ii) de l’énoncé.

VII.9.4 Globalisation On revient à notre corps de base F . Soit U un ensemble fini de places de F disjoint de V et non vide. Pour i = 1, 2, soit Mi ∈ L(Mi,0 ). Comme en 9.2, les constructions du paragraphe 2.2 se simplifient dans notre situation et donnent naissance st i à une fonction que l’on note sG eom (Mi (FU )). Supposons que M1 et Mi ,U sur Dg´ 1 ,G2 M2 se correspondent. On définit une constante cG M1 ,M2 de la même façon qu’en [III] 6.4, en y remplaçant le corps de base local de cette référence par notre corps F . Rappelons la définition. Soit n ≥ 1 un entier tel que nj∗ envoie X∗ (T1 ) dans X∗ (T2 ). L’homomorphisme dual de nj∗ envoie X ∗ (T2 ) dans X ∗ (T1 ). Il s’identifie à un homomorphisme de X∗ (Tˆ2 ) dans X∗ (Tˆ1 ), qui définit un homomorphisme de Tˆ2 dans Tˆ1 . Celui-ci se restreint en un homomorphisme ˆ 2 )ΓF → Z(M ˆ 1 )ΓF ˆjn : Z(M

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

927

qui est surjectif et de noyau fini. On pose −aM2 1 ,G2 cG | ker(ˆjn )|, M1 ,M2 = n

où aM2 = dim(AM2 ) = dim(AM1 ). Cela ne dépend pas du choix de n. st Proposition. Soit δ 1 ∈ Dunip (M1 (FU )). On a l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 ,U (δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 ,U (j∗ (δ 1 )).

Preuve. On peut supposer δ 1 = ⊗v∈U δ 1,v . On a écrit en 2.2 la formule de décomposition   Lv U 1 1 eG sM11,v (δ 1,v ), (1) sG M1 ,U (δ 1 ) = M1,U (M1 , L1 ) LU 1 ∈L(M1,U )

v∈U

v Pour tout LU 1 ∈ L(M1,U ) et tout v ∈ U , notons L2 l’élément de L(M2,v ) qui v correspond à L1 . Le lemme 9.3(ii) entraîne l’égalité Lv

Lv

,Lv

Lv

2,SC sM11,v (δ 1,v ) = cM1,SC s 2 (j∗ (δ 1,v )). 1,v,sc ,M2,v,sc M2,v

v Posons LU 2 = (L2 )v∈U . Cette famille est un élément de L(M2,U ). On prouvera ci-dessous l’égalité  Lv ,Lv G2 2,SC U U 1 ,G2 1 (2) eG cM1,SC = cG M1,U (M1 , L1 ) M1 ,M2 eM2,U (M2 , L2 ). 1,v,sc ,M2,v,sc v∈U

Admettons-la. La formule (1) se transforme en  Lv  G1 ,G2 U 1 2 sG eG sM22,v (j∗ (δ 1,v )). M1 ,U (δ 1 ) = cM1 ,M2 M2,U (M2 , L2 ) LU 1 ∈L(M1,U )

v∈U

 LU L’application LU 1 → 2 est une bijection de L(M1,U ) sur L(M2,U ). On peut remU placer la somme en LU 1 ci-dessus par une somme en L2 ∈ L(M2,U ). Grâce à la formule similaire à (1), le membre de droite ci-dessus est égal à G2 1 ,G2 cG M1 ,M2 sM2 ,U (j∗ (δ 1 )),

ce qui démontre l’égalité de l’énoncé. Il reste à prouver (2). D’après la définition de [VI] 4.2, on a pour i = 1, 2 l’égalité Gi Gi U U U −1 i . eG Mi,U (Mi , Li ) = dMi,U (Mi , Li )kMi,U (Mi , Li ) Gi U i Le terme dG Mi,U (Mi , Li ) est le rapport entre deux mesures sur l’espace AMi,U , cf. [VI] 1.4. Il résulte de nos définitions que les espaces et mesures ne dépendent pas de l’indice i. Donc G2 U U 1 dG M1,U (M1 , L1 ) = dM2,U (M2 , L2 ).

928

Chapitre VII. Descente globale

Il suffit donc de prouver l’égalité G2 (M2 , LU kM 2) 2,U

(3)



Lv

,Lv

2,SC G1 U 1 ,G2 cM1,SC = cG M1 ,M2 kM1,U (M1 , L1 ). 1,v,sc ,M2,v,sc

v∈U

Fixons un entier n comme au début du paragraphe. L’application ˆjn a des avatars locaux ˆjn,v . Considérons le diagramme ˆ jn

ˆ 2 )ΓF Z(M ↓

 v∈V

ˆ 1 )ΓF Z(M ↓

→ 

Z(Mˆ2,v )ΓFv /Z(Lˆv2 )ΓFv

ˆ jn,v

→

v∈U

 v∈V

Z(Mˆ1,v )ΓFv /Z(Lˆv1 )ΓFv

Les flèches verticales sont les homomorphismes naturels. Le diagramme est commutatif. Tous les homomorphismes sont surjectifs, de noyaux finis. Il résulte des définitions que G2 (M2 , LU – kM 2 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de 2,U gauche ; G1 (M1 , LU – kM 1 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de 1,U droite ; 1 ,G2 – cG M1 ,M2 est le nombre d’éléments du noyau de la flèche horizontale du haut, multiplié par n−aM2 ;  Lv ,Lv 2,SC – v∈U cM1,SC est le nombre d’éléments de la flèche horizontale de 1,v,sc ,M2,v,sc  −a +a v droite, multiplié par v∈U n M2,v L2 .

En utilisant le chemin sud-ouest du diagramme, on voit que le membre de gauche est le nombre d’éléments du noyau de la flèche composée, multiplié  de (3) −a +a v par v∈U n M2,v L2 . En utilisant le chemin nord-est, on voit que le membre de droite de (3) est le nombre d’éléments du même noyau, multiplié par n−aM2 . Parce que LU 2 appartient à L(M2,U ), on vérifie l’égalité aM2 =



aM2,v − aLv2 .

v∈U

L’égalité (3) en résulte, ce qui achève la démonstration.

VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 Soient M1 ∈ L(M1,0 ) et M2 ∈ L(M2,0 ) deux Levi qui se correspondent. Proposition. Supposons M1 = G1 . Alors on a l’égalité M1 M2 1 ,G2 cG M1 ,M2 j∗ (SAunip (V )) = SAunip (V ).



VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

929

Preuve. Comme en 9.3, de j∗ se déduit un isomorphisme j∗,sc tel que le triplet (M1,SC , M2,SC , j∗,sc ) soit endoscopique non standard. Puisqu’on suppose M1 = G1 , nos hypothèses de récurrence habituelles nous permettent d’appliquer le théorème 9.1 à ce triplet. Donc M

M

1,SC 2,SC (V )) = SAunip (V ). j∗,sc (SAunip

Pour i = 1, 2, on a l’égalité i,SC  −1 ∗ i ιMi,SC ,Mi (SAunip (V )) τ  (Mi )−1 SAM unip (V ) = τ (Mi,SC )

M

d’après la proposition 4.6. Puisque ι∗M2,SC ,M2 ◦ j∗,sc = j∗ ◦ ι∗M1,SC ,M1 , on obtient l’égalité τ  (M2 )τ  (M1,SC ) M2 1 j∗ (SAM unip (V )) = SAunip (V ). τ  (M1 )τ  (M2,SC ) Il suffit de prouver l’égalité (1)

τ  (M2 )τ  (M1,SC ) 1 ,G2 = cG M1 ,M2 . τ  (M1 )τ  (M2,SC )

Pour i = 1, 2, Mi,SC est simplement connexe. On a déjà dit plusieurs fois que cela impliquait τ  (Mi,SC ) = 1. Par définition (cf. 4.1), on a τ  (Mi ) = τ (Mi ) covol(AMi ,Z )−1 ˆ i )ΓF )|| ker1 (F ; Z(M ˆ i ))|−1 covol(AMi ,Z )−1 . = |π0 (Z(M ˆ i est un Levi du groupe G ˆ i qui est adjoint. Il en résulte que Z(M ˆ i )ΓF Le groupe M 1 1 ˆ ˆ est connexe. D’autre part, on a ker (F ; Z(Mi ))  ker (F ; Z(Gi )) d’après le lemme ˆ i ) = {1} parce que Gi est simplement connexe. D’où τ  (Mi ) = [VI] 6.1. Or Z(G −1 covol(AMi ,Z ) . Le membre de gauche de (1) est égal à covol(AM1 ,Z ) covol(AM2 ,Z )−1 . Rappelons que l’on a un isomorphisme j∗ = AM1  AM2 compatible aux mesures sur ces espaces. Donc covol(AM1 ,Z ) = vol(AM1 /AM1 ,Z ) = vol(AM2 /j∗ (AM1 ,Z )). On note covol(j∗ (AM1 ,Z )) ce dernier volume. Les réseaux j∗ (AM1 ,Z ) et AM2 ,Z sont commensurables. Choisissons un entier n ≥ 1 tel que nj∗ (AM1 ,Z ) ⊂ AM2 ,Z . Alors covol(j∗ (AM1 ,Z )) = n−aM2 covol(nj∗ (AM1 ,Z )) = n−aM2 [AM2 ,Z : nj∗ (AM1 ,Z )] covol(AM2 ,Z ). On en déduit que le membre de gauche de (1) est égal à (2)

n−aM2 [AM2 ,Z : nj∗ (AM1 ,Z )].

930

Chapitre VII. Descente globale

Modifions l’hypothèse sur n en supposant que nj∗ (X∗ (T1 )) ⊂ X∗ (T2 ). On a ˆ 2 )ΓF → Z(M ˆ 1 )ΓF , comme on l’a dit en 9.4, alors un homomorphisme ˆjn : Z(M Γ ˆ 2 )) F → X∗ (Z(M ˆ 1 ))ΓF . Le nombre et aussi un homomorphisme ˆj∗,n : X∗ (Z(M d’éléments du noyau de ˆjn est égal à celui du conoyau de ˆj∗,n . La définition de 9.4 conduit donc à l’égalité −aM2 1 ,G2 | coker(ˆj∗,n )|. cG M1 ,M2 = n

ˆ i )) et X ∗ (Mi ) sont isomorphes. L’homomorPour i = 1, 2, les groupes X∗ (Z(M ˆ phisme j∗,n s’identifie à un homomorphisme X ∗ (M2 )ΓF → X ∗ (M1 )ΓF dont on déduit par dualité un homomorphisme AM1 ,Z → AM2 ,Z . On voit que ce dernier n’est autre que nj∗ . Il en résulte d’une part que n satisfait aussi l’hypothèse posée avant l’égalité (2), d’autre part que le conoyau de ˆj∗,n a même nombre d’éléments 1 ,G2 que celui du conoyau de l’homomorphisme nj∗ : AM1 ,Z → AM2 ,Z . Donc cG M1 ,M2 est lui-aussi égal au terme (2), ce qui prouve (1) et la proposition. 

VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places Lemme. Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V tel que le théorème 9.1 soit vérifié pour cet ensemble S. Alors il l’est pour l’ensemble V . Preuve. On peut supposer S = V . On pose U = S − V . Soit M1 ∈ L(M1,0 ). Comme en 2.3(3), on peut écrire 1 SAM unip (S) =

(1)



M1 1 Sk,U ⊗ SAM ,V ,

=1,...,nM1 M1 st st 1 avec des Sk,U ∈ Dunip (M1 (FU )) et des SAM ,V ∈ Dunip (M1 (FV )). En adaptant les notations, la proposition 2.3(ii) implique

(2)

SAG1 (V ) =



|W M1 ||W G1 |−1

M1 ∈L(M1,0 )



M1 M1 G1 1 sG . M1 ,U (Sk,U )(SA,V )

=1,...,nM1

Pour tout M1 ∈ L(M1,0 ), notons M2 ∈ L(M2,0 ) le Levi correspondant. Si M1 = G1 , la proposition 9.5 appliquée à l’ensemble S dit que M1 M2 1 ,G2 cG M1 ,M2 j∗ (SAunip (S)) = SAunip (S). 1 ,G2 Si M1 = G1 , la constante cG G1 ,G2 vaut 1 et l’égalité ci-dessus reste valable d’après l’hypothèse de l’énoncé. On déduit alors de (1) l’égalité

2 SAM unip (S) =

 =1,...,nM1

M2 2 Sk,U ⊗ SAM ,V ,

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

931

M2 M1 M2 M1 1 ,G2 où Sk,U = cG M1 ,M2 j∗ (Sk,U ) et SA,V = j∗ (SA,V ). De ces égalités et de la proposition 9.4 se déduisent les deux égalités M2 G1 M1 2 G2 1 G1 1 = j∗ ((SAM ), sG (SAM ,V ) ,V ) M2 ,U (Sk,U ) = sM1 ,U (Sk,U ).

Le terme SAG2 (V ) est calculé par une égalité similaire à (2). En utilisant les égalités ci-dessus, on voit que le terme de droite de cette égalité est égal à l’image  par j∗ de celui de (2). D’où l’égalité SAG2 (V ) = j∗ (SAG1 (V )).

VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 En [III] 6.2, on a attaché à notre triplet endoscopique non standard un triplet ˜ ω). En fait ω = 1 et on le supprime des notations. On considère particulier (G, G, ˜ )), cf. 3.3. Le lemme 9.6 ce triplet et on fixe un élément X ∈ Stabexcep (G(F nous autorise à agrandir l’ensemble de places V . On peut donc supposer que ˜ On reprend maintenant la démonstration des sections 5 à V contient S(X , K). ˜ 8 qui calcule la distribution AG,E (V, X ). On a une première simplification car l’ensemble Fib(X ) de 5.1 est réduit à un élément. En effet, comme on l’a dit en ˜ ΓF . Notons μ son image naturelle dans 3.3, X correspond à un élément de Z(G) ∗ ∗ ∗ ˜ L’unique élément de Fib(X ) est (μ, 1). L’assertion du (T /(1 − θ )(T )) × Z(G). théorème 3.3 est donc équivalente à celle de la proposition 5.1. Comme on l’a noté ¯ associé à (μ, 1) comme en 1.1 est isomorphe au groupe en [III] 7.7, le groupe G G1 de notre triplet endoscopique non standard. En particulier, il est simplement connexe. La démonstration des sections 5 à 8 vaut jusqu’au point où on avait utilisé le théorème [VI] 5.6, c’est-à-dire jusqu’en 5.9. Au début de ce paragraphe, on a ¯ SC , V ) et un triplet (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Il s’en déduit une donnée H ∈ ETˆad ,• (G  ¯ ¯ SC , G un triplet endoscopique non standard (H ,SC , j∗ ). Si N (HSC , G,SC , j∗ ) < dim(GSC ), nos hypothèses de récurrence nous permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6 à ce triplet et on a encore l’égalité 5.9(1), c’est-à-dire (1)

˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯ SC ¯ ¯ H H ˜ |S HSC (SAunip (V ), f¯sc ). = C(G)|W

¯ SC , G Le lemme [III] 6.2 entraîne que l’on a en tout cas N (H ,SC , j∗ ) ≤ dim(GSC ). Reste le cas où cette inégalité est une égalité. Dans ce cas, le lemme cité entraîne que la donnée G = (G , G  , s˜) est équivalente à la donnée maximale ˜ Puisque G appartient à l’ensemble E ˆ (G, ˜ V ) défini en 5.1, on voit facide (G, G). T ˆ θˆ  WF . lement qu’il n’y a qu’une telle donnée : on peut supposer s˜ = θˆ et G  = G ˜) La donnée (μ , ωG¯  ) est elle-aussi unique : μ est l’image naturelle de μ dans Z(G ¯ et ωG¯  = 1. Ces unicités impliquent celle de H : c’est la donnée maximale de G, L¯ ¯ c’est-à-dire H = (G, G, 1). Supposons ces conditions vérifiées. Alors le triplet ¯ ¯ SC , G (H ,SC , j∗ ) est égal à notre triplet de départ (G1 , G2 , j∗ ). Notons f1 = fsc et

932

Chapitre VII. Descente globale

f2 = f,sc avec les notations de 5.8 et 5.9. On a f1 ∈ SI(G1 (FV )), f2 ∈ SI(G2 (FV )) et les fonctions f1 ◦ exp et f2 ◦ exp définies au voisinage de 0 dans les algèbres de Lie se correspondent par endoscopie non standard. On ne connaît pas l’égalité (1) mais on peut en tout cas écrire ˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G,

 ¯ SC ¯ ¯ H H ˜ | S HSC (SAunip (V ), f¯sc ) + X(f ) , = C(G)|W où (2)

G1 2 1 X(f ) = S G2 (SAG (SAG unip (V ), f2 ) − S unip (V ), f1 ).

¯ le calcul de 5.9 est Pour toutes les données H sauf la donnée maximale de G, donc valable. Pour la donnée maximale, la formule 5.9(2) doit être corrigée : on ajoute au membre de droite le terme X(f ) multiplié par une constante. Il est facile ˜ Le calcul se poursuit et on obtient finalement non de calculer celle-ci : c’est C(G). pas l’égalité 8.4(1), mais l’égalité ˜

˜

˜

˜

˜ ). I G (AG,E (V, μ, ωG¯ ), f ) = I G (AG (V, X ), f ) + C(G)X(f ˜

˜

Comme on l’a dit ci-dessus, le membre de gauche est égal à I G (AG,E (V, X ), f ). ˜ D’après nos hypothèses de récurrence, le théorème [VI] 5.4 est connu pour (G, G). Comme on l’a vu en 3.6, l’égalité du théorème 3.3 est donc vérifiée. Cela entraîne l’égalité ˜ ˜ ˜ ˜ I G (AG,E (V, μ, ωG¯ ), f ) = I G (AG (V, X ), f ). Il en résulte que X(f ) = 0. Le même raisonnement qu’en [III] 7.7 montre que, pour tout ϕ ∈ SI(G1 (FV )), il existe f tel que f1 coïncide avec ϕ au voisinage de l’unité. 1 L’égalité X(f ) = 0 pour tout f entraîne donc l’égalité voulue j∗ (SAG unip (V )) = 2 SAG  unip (V ). Cela prouve le théorème 9.1.

Chapitre VIII

L’application M˜ sur un corps de base local non-archimédien Introduction Dans les chapitres précédents, nous avons énoncé les théorèmes qui conduisent à la stabilisation de la partie géométrique de la formule des traces tordue. Le théorème clé est local. Rappelons-le très sommairement. Le corps de base F est local de caractéristique nulle. On considère un groupe réductif connexe G défini ˆ ˜ sous G et une classe de cocycle a ∈ H 1 (WF ; Z(G)), sur F , un espace tordu G ˜ auquel est associé un caractère ω de G(F ), supposé unitaire. Soit M un espace ˜ Pour un élément γ ∈ M ˜ (F ) qui est fortement régulier dans G(F ˜ ) de Levi de G. ∞ ˜ et pour une fonction f ∈ Cc (G(F )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ω˜ G équivariante IM ˜ (γ, ω, f ) (la définition exacte nécessite d’introduire des mesures dont nous ne tenons pas compte dans cette introduction). Dans le chapitre [II], ˜ G,E nous avons défini un avatar endoscopique de ce terme, que l’on note IM ˜ (γ, ω, f ). Le théorème principal affirme que, pour tous γ et f comme ci-dessus, on a l’égalité ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, ω, f ) = IM

Nous supposons ici que F est non-archimédien. Sous cette hypothèse, nous effectuons le premier pas dans la démonstration du théorème. Il consiste à prouver ˜ )), il existe une fonction  ˜ (f ) sur M ˜ (F ) vérifiant la que pour f ∈ Cc∞ (G(F M ˜ condition suivante. Pour tout élément γ ∈ M (F ) qui est fortement régulier dans ˜ ), la différence entre les deux termes dont nous voulons prouver l’égalité est G(F égale à l’intégrale orbitale de M˜ (f ) au point γ. Cette dernière est une intégrale ˜ (F ), non pondérée, mais tenant évidemment compte du caractère orbitale sur M ω. Autrement dit (1)

˜

˜

˜

G,E G I M (γ, ω, M˜ (f )) = IM ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, ω, f ) − IM

© Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_3

933

934

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

La suite de la démonstration (cf. [X] 7.7) consistera à appliquer la formule des ˜ à cette fonction  ˜ (f ) et à en déduire que celle-ci est nulle. Cela traces dans M M démontrera le théorème principal. Au point où nous en sommes, nous pouvons seulement prouver l’existence d’une telle fonction M˜ (f ). Nous ne pouvons même pas prouver que l’on peut la choisir localement constante et à support compact. Nous prouvons toutefois qu’on peut lui imposer les deux conditions – il existe un sous-groupe ouvert compact de M (F ) tel que M˜ (f ) soit biinvariante par ce sous-groupe ; ˜˜ :M ˜ (F ) → – la restriction de M˜ (f ) à toute fibre de l’application usuelle H M ˜ AM˜ (cf. 1.1) est à support compact. ˜

Ces conditions suffisent pour définir les intégrales orbitales I M (γ, ω, M˜ (f )). En fait, nous démontrons plus que la seconde propriété ci-dessus : la fonction M˜ (f ) est de Schwartz. Nous définissons en 1.7 ce que nous entendons par là (on trouve dans la littérature d’autres définitions des fonctions de Schwartz, qui ne coïncident sans doute pas avec la nôtre). ˜ a), on Il y a une restriction à notre résultat. Pour certains triplets (G, G, impose que les intégrales orbitales ordinaires de f (ω-équivariantes) sont nulles en tout point de la réunion d’un certain ensemble fini de classes de conjugaison (cf. 4.4 pour un énoncé précis). Notre résultat est l’exact analogue dans le cas tordu de la proposition 3.1 de [20], dont nous reprenons la preuve. En utilisant les résultats sur les germes de Shalika prouvés en [II] et [III], il est assez bref de démontrer que, pour tout élément ˜ (F ), il existe une fonction  ˜ (f ) lisse et à support compact de semi-simple η ∈ M M sorte que (1) soit vérifié pour γ au voisinage de η. On a envie ensuite de recoller les fonctions ainsi construites en utilisant une partition de l’unité. Mais on ne peut contrôler ni l’uniforme lissité de la fonction ainsi construite, ni sa croissance à l’infini. On a besoin d’une deuxième construction qui, elle, nous fournit une fonction M˜ (f ) qui a les bonnes propriétés de lissité et de croissance et qui vérifie l’égalité (1), cette fois pour γ hors d’un certain compact. On arrive à bon port en utilisant à la fois les deux constructions. Cette deuxième construction utilise des variantes ˜ G des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes, que l’on note c IM ˜ (γ, ω, f ) en suivant comme toujours Arthur. La magnifique propriété de ces termes est que, pour f fixée, ils sont à support compact en γ, modulo conjugaison. On doit d’abord définir et étudier ces termes, ainsi que certaines applications nécessaires à leur définition. C’est l’objet de la section 1. On doit ensuite les stabiliser (section 2) et en définir des avatars endoscopiques (section 3). La définition de l’application M˜ et la preuve de ses propriétés est donnée dans la dernière section.

VIII.1. L’application c θM˜

935

VIII.1 L’application c θM˜ VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non archimédien et de carac˜ a) défini sur F . On suppose que le téristique nulle. On considère un triplet (G, G, caractère ω associé à a est unitaire. ˜ un espace de Levi de G. ˜ On note Σ(A ˜ ) l’ensemble des racines de Soit M M AM˜ dans G. Un élément α ∈ Σ(AM˜ ) peut être considéré comme un élément de ˇ ∈ AM˜ . Sa définition précise est un peu A∗M˜ . Il lui est associé une coracine α arbitraire, l’ensemble Σ(AM˜ ) n’étant pas en général un système de racines au sens de Bourbaki. Toutefois, la demi-droite portée par α ˇ est définie sans ambiguïté et ˜) c’est la seule chose qui nous importera. Tout sous-espace parabolique P˜ ∈ P(M P˜ détermine un sous-ensemble positif dans Σ(AM˜ ) que l’on note Σ (AM˜ ). On en déduit des chambres positives ˜

A+ = {X ∈ AM˜ ; α, X > 0 ∀α ∈ ΣP (AM˜ )}, P˜ A∗,+ = {μ ∈ A∗M˜ ; μ, α ˇ > 0 ∀α ∈ ΣP (AM˜ )}. P˜ ˜

˜ ), les ensembles A+ décrivent les composantes connexes de Quand P˜ décrit P(M P˜ AM˜ privé des hyperplans annulés par les racines α ∈ Σ(AM˜ ). Dans notre situation tordue, il y a un espace affine A˜M˜ sur AM˜ . Rappelons sa définition. On note M (F )1 le noyau de l’application HM˜ : M (F ) → AM˜ et ˜ (F ). Le groupe A ˜ agit AM˜ ,F son image. Notons A˜M˜ ,F le quotient M (F )1 \M M ,F par translations sur ce quotient et celui-ci est un espace principal homogène sous ˜˜ : M ˜ (F ) → A˜ ˜ cette action. On pose A˜M˜ = A˜M,F ×AM,F AM˜ . On note H ˜ ˜ M M l’application naturelle. ˜ ), on fixe une fonction ω ˜ : A˜ ˜ → [0, 1], soumise aux Pour tout P˜ ∈ P(M P M conditions suivantes : ; (1) il existe XP˜ ∈ A˜M˜ tel que le support de ωP˜ soit contenu dans XP˜ + A+ P˜

˜˜. (2) ˜ ωP˜ (X) = 1 pour tout X ∈ AM P˜ ∈P(M) De telles fonctions existent. Remarquons que ces deux conditions impliquent (3) il existe Y ˜ ∈ A˜ ˜ tel que ω ˜ vaille 1 sur Y ˜ + A+ . P

M

P

P

P˜

˜ . On leur impose la Les fonctions ωP˜ sont fixées pour tout espace de Levi M ˜ condition (4) suivante. Soit x ∈ G(F ). L’automorphisme adx induit un isomorphisme A˜M˜ → A˜adx (M) ˜ . Alors ˜ ) et tout X ∈ A˜ ˜ , ω (4) pour tout P˜ ∈ P(M M adx (P˜ ) (adx (X)) = ωP˜ (X). C’est possible. ˜ )/M (F ). ˜ , posons W (M ˜ ) = NormG(F ) (M En effet, pour tout espace de Levi M + ˜ Ce groupe agit sur P(M ), sur AM˜ en permutant les chambres AP˜ et sur A˜M˜ ,F .

936

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

Fixons un ensemble L de représentants des classes de conjugaison par G(F ) d’es˜ ), on peut remplacer la fonction ω ˜ par ˜ ∈ L et P˜ ∈ P(M paces de Levi. Pour M P la fonction  ˜ )|−1 ωwP˜ (wX). X → |W (M ˜) w∈W (M

Les nouvelles fonctions vérifient encore (1) et (2) et de plus ωwP˜ (wX) = ωP˜ (X) ˜ l’unique ˜ ). Pour M ˜  quelconque, soit M pour tout P˜ , tout X et tout w ∈ W (M  ˜ ˜) = M ˜ . élément de L qui est conjugué à M et fixons x ∈ G(F ) tel que adx (M     ˜ ˜ Pour P ∈ P(M ), on définit ωP˜  par ωP˜  (X ) = ωad−1 (P˜  ) (adx−1 (X )). Cela ne x dépend pas du choix de x et le système de fonctions obtenu vérifie (4). ˜ On suppose des fonctions Enfin, on peut faire varier le groupe ambiant G. ˜ ˜ et M ˜ un espace de ωP˜ fixées comme ci-dessus. Soient L un espace de Levi de G ˜ Levi de L. Il y a une application naturelle ˜ ˜ ˜ ˜ ) → P L (M ) P G (M ˜ P˜ → P˜ ∩ L. ˜ ˜ Pour P˜  ∈ P L (M ), on pose

(5)

ωP˜  =



ωP˜ ,

P˜

˜ ) tels que P˜ ∩ L ˜ = P˜  . Ces fonctions vérifient où l’on somme sur les P˜ ∈ P(M encore les conditions (1), (2) et (4). Des fonctions ωP˜ vérifiant les conditions ci-dessus sont désormais fixées pour tout le chapitre.

VIII.1.2 Fonctions rationnelles ˜ un espace de Levi de G. ˜ On note A∨ le sous-groupe des λ ∈ A∗ tels que Soit M ˜ ,F ˜ M M . C’est un groupe λ, X ∈ 2πZ pour tout X ∈ AM˜ ,F . On pose A∗M˜ ,F = A∗M˜ /A∨ ˜ M,F ∗ compact que l’on munit de la mesure de masse totale 1. Le quotient AM˜ ,C /iA∨ ˜ M,F s’identifie à un tore complexe, ce qui permet de parler de fonctions polynomiales ou rationnelles sur ce quotient. Considérons une telle fonction rationnelle ϕ. Supposons qu’il existe une famille finie (ˇ αi , ci )i=1,...,n vérifiant les conditions suivantes : ˇ i est une coracine – pour tout i = 1, . . . , n, ci est un nombre complexe et α associée à une racine αi ∈ Σ(AM˜ ), normalisée de sorte que α ˇ i ∈ AM˜ ,F ; 

λ,α ˇi  – la fonction λ → ϕ(λ) i=1,...,n (e − ci ) est polynomiale. A cette condition, nous dirons que ϕ n’a qu’un nombre fini d’hyperplans ˇ = c, pour α ∈ Σ(AM˜ ). polaires d’équations de la forme e λ,α

VIII.1. L’application c θM˜

937

Remarque. La condition α ˇi ∈ AM˜ ,F est nécessaire pour que la fonction λ → e λ,αˇ i  soit invariante par iA∨ ˜ ,F . Évidemment, cette fonction dépend de la normalisation M choisie. On note A˜∗M˜ l’espace des formes linéaires affines sur l’espace réel A˜M˜ . On a donc une suite exacte 0 → R → A˜∗M˜ → A∗M˜ → 0. On ajoute un indice C pour désigner les complexifiés. On a une suite exacte analogue 0 → C → A˜∗M˜ ,C → A∗M˜ ,C → 0.

(1)

  ˜ ˜ X ∈ 2πZ pour tout ˜∗ tels que λ, On note A˜∨ ˜ ,F le sous-groupe des λ ∈ AM ˜ M X ∈ A˜M˜ ,F . On a une suite exacte ∨ 0 → 2πZ → A˜∨ ˜ ,F → AM ˜ ,F → 0. M ∗ ˜ un élément de A˜∗ On note usuellement λ ˜ ,C et λ sa projection dans AM ˜ ,C . ConsiM ∗ ∨ ˜ ˜ ˜ → C. Pour X ∈ AM,F dérons une fonction ϕ : AM˜ ,C /iAM,F ˜ , considérons les ˜ conditions ˜  ˜ −λ,X (2) le produit ϕ(λ)e ne dépend que de la projection λ.

. On note Ce produit ne dépend alors que de la projection de λ dans A∗M˜ ,C /iA∨ ˜ M,F ˜ ˜ −λ,X  la fonction obtenue sur cet ensemble. λ → ϕ(λ)e ˜ −λ,X  est polynomiale ; (3) Sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e ˜  ˜ −λ,X est rationnelle ; (4) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e ˜

˜  ˜ −λ,X (5) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e est rationnelle et n’a qu’un ˇ = c, pour nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e λ,α α ∈ Σ(AM˜ ) ˜  ˜ −λ,X Pour un autre point X  ∈ A˜M˜ ,F , la fonction ϕ(λ)e est le produit de ˜  −λ,X λ,X−X    ˜ ϕ(λ)e et du polynôme e . Il en résulte que les conditions (2), (3), (4) et (5) ne dépendent pas du choix de X. Plus précisément, sous la condition (5), les hyperplans polaires ne dépendent pas de ce choix. Si ϕ vérifie (2) et (3), resp. et , (4), resp. et (5), nous dirons simplement que ϕ est polynomiale sur A˜∗M˜ ,C /iA˜∨ ˜ M,F resp. est rationnelle, resp. est rationnelle et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans ˇ = c, pour α ∈ Σ(AM˜ ). polaires d’équations de la forme e λ,α Une variante de la propriété (2) vaut aussi pour des fonctions ϕ définies sur . le sous-ensemble iA˜∗M˜ /iA˜∨ ˜ M,F On peut scinder la suite exacte (1) en fixant un point X0 ∈ A˜M˜ ,F et en ˜ tel que λ(X ˜ 0 ) = 0. Une telle en l’unique relèvement λ relevant tout λ ∈ A∗ ˜ M,C

938

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜∨ . Fixons une telle section. Sous la condition (2), section envoie A∨ ˜ ,F dans AM ˜ ,F M ˜  −λ,X ˜ on a l’égalité ϕ(λ)e = ϕ(λ)e− λ,X .

VIII.1.3 L’application c φM ˜ ˜ 0 et un sous-groupe compact spécial K de Fixons un espace de Levi minimal M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). G(F ) en bonne position relativement à M0 . Soit M ˜ ∈ A˜∗ /iA˜∨ , on sait ˜ (F ) et pour λ Pour une ω-représentation π ˜ de M ˜ ,C ˜ M M,F ˜H ˜ ˜ (x) λ,  ˜ (F ). M ˜λ˜ (x) = e définir la représentation π ˜λ˜ : on a π π ˜ (x) pour tout x ∈ M ∞ ˜ ˜ πλ˜ (f )) est polynomiale Pour f ∈ Cc (M (F )) ⊗ Mes(M (F )), la fonction λ → trace(˜ sur A˜∗ /iA˜∨ . ˜ ,C M

˜ M,F

˜ (F ), ω) engendré par les caractères On a défini en [81] 2.9 l’espace Dtemp (M ˜ de ω-représentations tempérées de M (F ). Remarque. On considère ici les caractères comme des distributions, c’est-à-dire ˜ (F )). Ils dépendent donc des mesures. Vus comme des formes linéaires sur Cc∞ (M ˜ (F ), ω) ⊗ fonctions localement intégrables, les caractères vivent dans Dtemp (M ˜ ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ asMes(M (F ))∗ . On note I M (˜ π , .) l’élément de Dtemp (M socié à une ω-représentation π ˜. ˜ (F ), ω) engendré par les caracOn a défini en [81] 2.12 le sous-espace Dell (M tères de représentations elliptiques. L’induction fournit un isomorphisme ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ Dtemp(M ˜

M ∗ W ˜ ˜ = ⊕R∈L M ˜ 0 )/W M (M ˜ 0 ) IndR ˜ ˜ (Dell (R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F )) ) (M

M

˜ (R)

.

˜ ∈ LM˜ (M ˜ 0 ), π ˜ ) et f ∈ ˜ une ω-représentation elliptique de R(F Soient R ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). Pour X ∈ A˜ ˜ , la fonction Cc∞ (G(F R,F M G πλ˜ ), f )e−λ,X  λ → JM ˜ (˜ ˜ (IndR ˜

˜

˜

∨ définie en [81] 2.7 est rationnelle sur A∗R,C ˜ /iAR,F ˜ . Elle a un nombre fini d’hyper-

ˇ = c, pour α ∈ Σ(AR˜ ). plans polaires d’équations de la forme e λ,α Ces hyperplans ne dépendent pas de X comme on l’a dit en 1.2. Ils ne dépendent pas non plus de f , au sens qu’il existe une famille finie d’hyperplans de la forme indiquée de sorte que, pour tout f , les hyperplans polaires de la fonction ˜ ˜ Fixons un point νS˜ ∈ A∗R˜ ci-dessus appartiennent à cette famille. Soit S˜ ∈ P G (R). ˜ ˜ S tel que νS˜ , α ˇ  soit assez grand pour tout α ∈ Σ (R). Alors l’intégrale ˜ ˜ ˜ M G JM πλ˜ ), f )e−λ,X  dλ ˜ (˜ ˜ (IndR νS˜ +iA∗˜

R,F

ne dépend pas du choix de νS˜ .

VIII.1. L’application c θM˜

939

Posons ˜ ˜ c G JM˜ (IndM π ), f ) ˜ (˜ R

(1)



=





ωS˜ (X)

˜

νS˜ +iA∗˜

˜ ˜ G ˜ ˜ S∈P ˜ X∈A (R) R,F

M G JM πλ˜ ), f )e−λ,X  dλ, ˜ (˜ ˜ (IndR ˜

˜

R,F

où les points νS˜ sont choisis comme ci-dessus. Il n’est pas clair que cette somme ˜

converge. Il n’est pas non plus clair qu’elle ne dépende que de IndM π ). Ces deux ˜ (˜ R propriétés sont assurées par la proposition suivante. Proposition. ˜

π ). (i) L’expression (1) est une somme finie et ne dépend que de IndM ˜ (˜ R (ii) Il existe une unique application linéaire ˜ )) ⊗ Mes(G(F )) Cc∞ (G(F f

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) → I(M c  → φM˜ (f )

˜ 0 ), toute ω-représentation elliptique π ˜ ∈ LM˜ (M ˜ de de sorte que, pour tout R ∞ ˜ ˜ R(F ) et tout f ∈ Cc (G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on ait l’égalité ˜

˜

˜

˜

M I M (IndM π ), c φM˜ (f )) = c J G π ), f ). ˜ (IndR ˜ (˜ ˜ (˜ M R

Preuve. Fixons des mesures de Haar sur tous les groupes pour nous débarrasser ˜ )). On va commencer par prouver une des espaces de mesures. Soit f ∈ Cc∞ (G(F formule de descente, sous une forme assez générale car cela nous servira ultérieu˜⊂M ˜ ⊂ M ˜ . On a ˜  tel que R rement. Fixons un espace de Levi M

 ˜ ˜ ˜ M πλ˜ ) = IndM πλ˜ ) . IndM ˜ (˜ ˜ (˜ ˜  IndR R M Utilisons la formule de descente du lemme 5.4(iv) de [81]. On obtient

  ˜ ˜ ˜ ˜ M G ˜ ˜ L˜˜  (IndM Ind (˜ π dG πλ˜ ), fQ,ω JM ˜ ˜ ), ˜ (˜ ˜ ˜ ˜  (M , L)JM λ , f) = R R M ˜ ˜ ) L∈L( M

˜ ∈ P(L) ˜ est déterminé par le choix d’un paramètre auxiliaire. Cela transforme où Q (1) en

  ˜ ˜ ˜ c G ˜ , L)J ˜ (L), ˜ J ˜ IndM π ), f = dG˜  (M ˜ (˜ M

R

M

˜ ˜ ) L∈L( M

où ˜ = J (L)





˜ ˜ G ˜ ˜ S∈P ˜ X∈A (R) R,F

ωS˜ (X)

νS˜ +iA∗˜

R,F

 ˜ ˜ ˜ M L e−λ,X  dλ. JM πλ˜ ), fQ,ω ˜ ˜ (˜ ˜  IndR

940

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ Pour S˜ ∈ P L˜ (R), ˜ fixons un point ν ˜ ∈ A∗ tel que ν ˜ , α Fixons L. ˜ S S ˇ soit assez R  ˜ ˜ S L ˜ ˜ ˜ grand pour tout α ∈ Σ (AR˜ ) ⊂ Σ (AR˜ ). Soit S ∈ P(R), posons S˜ = S˜ ∩ L. ˇ  est grand Alors le segment joignant νS˜ à νS˜ est formé de points ν tels que ν, α ˜ S pour toute racine α ∈ Σ (AR˜ ). Il ne coupe aucun hyperplan polaire de la fonction ˜ ˜ ˜ J L (IndM (˜ π ˜ ), f ˜ )e−λ,X  . On peut donc déplacer le contour d’intégration et ˜ M

˜ R

λ

Q,ω

˜ par celle sur νS˜ + iA∗R,F remplacer l’intégrale sur νS˜ + iA∗R,F ˜ ˜ . La somme sur les S devient une somme sur les S˜ d’intégrales ne dépendant que de S˜ et de la somme  ωS˜ (X). ˜ S∩ ˜ L= ˜ S ˜ S;

D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ωS˜ (X). On obtient alors

 ˜ ˜ = c J L˜˜  IndM . J (L) (˜ π ), f ˜ ˜ Q,ω M R Nous retenons la formule obtenue 

 ˜ ˜ c G (2) JM˜ IndM (˜ π ), f = ˜ R

 ˜ ˜ ˜ , L) ˜ c J L˜˜  IndM dG ( M (˜ π ), f . ˜ ˜  ˜ Q,ω M R M

˜ ˜ ) L∈L( M

Le calcul ci-dessus est formel puisqu’on n’a pas encore prouvé que les sommes étaient convergentes. Mais il entraîne que, pour démontrer cette convergence, plus précisément pour démontrer que les sommes sont finies, il suffit de le faire pour ˜ on est ˜  = R, chaque terme de la somme ci-dessus. En appliquant ceci au cas M ˜ ˜ G ˜ ˜ ˜ ramené au cas où R = M . Dans ce cas, fixons S ∈ P (M ). On voit que l’intégrale appartient figurant dans (1) n’est non nulle que si la projection XG˜ de X dans A˜G,F ˜ à la projection du support de f . Cette projection est finie puisque f est à support compact. On peut donc décomposer la somme en X selon cette projection et prouver que la somme en les X ayant une projection XG˜ fixée est finie. Fixons comme en 1.2 une section de la projection A˜∗M˜ ,C → A∗M˜ ,C . La fonction ˜

G λ → JM πλ , f ) ˜ (˜

est rationnelle. Pour | Re(λ)| assez grand, elle vérifie une majoration G |JM πλ , f )| ≤ c1 eC1 | Re(λ)| ˜ (˜ ˜

pour des constantes positives convenables c1 et C1 . Faisons tendre le point νS˜ vers ˜ l’infini de sorte que |νS˜ | reste équivalent à νS˜ , α ˇ  pour tout α ∈ ΣS (AM˜ ). Puisque les α, X sont minorés pour de tels α quand ωS˜ (X) = 0, il existe des nombres réels strictement positifs c1 , C2 et C3 de sorte que |e λ,X | ≤ c2 eC2 |λ|−C3 |X||λ| pour X tel que ωS˜ (X) = 0 et que la projection XG˜ soit fixée. En faisant tendre νS˜ vers l’infini, l’intégrale devient nulle pourvu que C3 |X| > C1 + C2 . Or il n’y

VIII.1. L’application c θM˜

941

a qu’un nombre fini de X vérifiant les conditions précédentes et ne vérifiant pas cette inégalité. Cela démontre que la somme en X est finie. ˜ π ). C’est-à-dire, On doit prouver que la somme (1) ne dépend que de IndM ˜ (˜ R ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). On doit voir que le membre de droite fixons x ∈ M (F ) tel que adx (R) ˜ et π ˜ par adx (R) ˜ par π ˜ ◦ ad−1 de (1) ne change pas si l’on remplace R x . On vérifie immédiatement qu’un terme indexé par X et S˜ de la formule (1) est égal au terme ˜ de la nouvelle formule indexé par adx (X) et adx (S). Pour démontrer (ii), on utilise le théorème de Paley–Wiener ([42] théorème 3.3, repris en [81] théorème 6.1). On doit d’abord prouver une propriété de finitude. ˜ il existe un ensemble fini Ξ de ω-représentations ellipA savoir que, pour tout R, ˜ ˜ M G ˜ ∈ iA˜∗ de ˜ π ), f ) = 0, alors il existe λ tiques de R(F ) tel que, si π ˜ vérifie c JM ˜ (˜ ˜ (IndR ˜ R sorte que π ˜λ˜ ∈ Ξ. Puisque f est biinvariante par un sous-groupe ouvert compact de G(F ), il existe aussi un sous-groupe ouvert compact de R(F ) tel que la non-nullité ˜ ˜ M G π ), f ) entraîne que π admet des invariants non nuls par ce compact. de c JM ˜ (˜ ˜ (IndR Or, à torsion près par iA˜∗R˜ , il n’existe qu’un nombre fini de ω-représentations el˜ ) vérifiant cette propriété. D’où la finitude requise. Fixons R ˜ et liptiques de R(F ∗ ∗ ˜ π ˜ . Fixons aussi un scindage AR˜ → AR˜ . On doit montrer que la fonction ˜

˜

M μ → c J G πμ ), f ) ˜ (IndR ˜ (˜ M

est de Paley–Wiener sur iA∗R,F ˜ . Par un changement de variables, on a c

 ˜ ˜ M G JM πμ ), f ˜ (˜ ˜ IndR   =

ωS˜ (X)e μ,X

˜ ˜ G ˜ ˜ S∈P ˜ X∈A (R) R,F

νS˜ +iA∗˜

 ˜ ˜ ˜ M G JM πλ˜ ), f e−λ,X  dλ. ˜ (˜ ˜ IndR

R,F

Le raisonnement fait ci-dessus montre que la somme en X est finie indépendamment de μ. Donc, comme fonction de μ, l’expression ci-dessus est une somme finie de termes e μ,X . C’est donc une fonction de Paley–Wiener. Cela achève la démonstration. 

VIII.1.4 Propriétés de l’application c φM ˜ ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Conformément à nos habitudes, on ajoute un exposant G ˜ si On fixe M ˜ c G c besoin est pour indiquer l’espace ambiant : φM˜ au lieu de φM˜ . ˜ 0 ), supposons M ˜ ⊂ M ˜ . Pour f ∈ Cc∞ (G(F ˜ )) ⊗ Mes(G(F )), ˜  ∈ L(M Soit M on a 

 ˜ ˜ c G ˜ ˜ c L˜˜  (f ˜ ), φM˜ (f ) = dG (1) ˜  (M , L) φM Q,ω M ˜  ,ω M

˜ ˜ ) L∈L( M

˜ ∈ P(L) ˜ est déterminé par le choix d’un paramètre auxiliaire. où Q

942

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ ∈ P(M ˜ 0 ) avec R ˜⊂M ˜  et soit π Preuve. Soit R ˜ une ω-représentation elliptique de ˜ ˜ M ˜ R(F ). On doit prouver que la distribution I (IndM π ), .) prend la même valeur ˜ (˜ R sur les deux membres de (1). Par définition de l’induction, on a



 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M c G c G M = I Ind (˜ π ), ( φ (f )) (˜ π ), φ (f ) I M IndM  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M ,ω M R R M

 ˜ ˜ G M π ), f . = c J M˜ IndR˜ (˜ C’est le membre de gauche de 1.3(2). ˜

On voit aussi que la valeur de I M



 ˜ IndM (˜ π ), . sur le membre de droite de ˜ R

(1) est le membre de droite de 1.3(2). Cette égalité 1.3(2) conclut.



˜ )) Cc∞ (G(F

˜ = LU ˜ Q ∈ F(M ˜ 0 ), Arthur ⊗ Mes(G(F )), y ∈ G(F ) et Q Pour f ∈ ∞ ˜ définit en [2] paragraphe 3 une fonction fQ,y ˜ ∈ Cc (L(F ))⊗Mes(L(F )) (il convient ˜ = G, ˜ on a simplement de glisser dans la définition notre caractère ω). Pour Q fQ,y ˜ = f . On a (2)



˜

ω(y)−1c φG ˜ (f ◦ ady ) = M

˜ c L φM˜ (fQ,y ˜ ).

˜ LU ˜ Q ∈F (M) ˜ Q=

˜ ∈ P(M ˜ 0 ) avec R ˜⊂M ˜ et soit π Preuve. Soit R ˜ une ω-représentation elliptique de ˜ ˜ M ˜ R(F ). On doit prouver que la distribution I (IndM π ), .) prend la même valeur ˜ (˜ R sur les deux membres de (1). Il revient au même de prouver que



  ˜ ˜ ˜ ˜ M M c L Ind = Ind (˜ π ), f ◦ ad J (˜ π ), f (3) ω(y)−1c J G ˜ y ˜ ˜ ˜ ˜ Q,y . M M R R ˜ LU ˜ Q ∈F (M) ˜ Q=

Le membre de gauche est défini par 1.3(1) où l’on remplace f par f ◦ady . On utilise la formule



  ˜ ˜ ˜ ˜ M M G L ω(y)−1 JM Ind = Ind (˜ π ), f ◦ ad J (˜ π ), f ˜ ˜ ˜ y ˜ ˜ ˜ ˜ Q,y , λ λ R R M ˜ LU ˜ Q ∈F (M) ˜ Q=

cf. [10] lemme 6.2. On obtient

 ˜ ˜ M Ind = (˜ π ), f ◦ ad ω(y)−1c J G y ˜ ˜ M R







ωS˜ (X)

˜ ˜ ˜ LU ˜ Q ∈F (M) G ˜ X∈A ˜ ˜ S∈P ˜ Q= (R) R,F

(4)

νS˜ +iA∗˜

 ˜ ˜ ˜ M L e−λ,X  dλ. JM πλ˜ ), fQ,y ˜ ˜ (˜ ˜ IndR

R,F

˜ Pour la même raison que dans la preuve de 1.3(2), on peut remplacer un Fixons L. ˜ La somme en S˜ devient une somme en S˜ ∈ P L˜ (R) ˜ point νS˜ par νS˜ , où S˜ = S˜ ∩ L.

VIII.1. L’application c θM˜

943

d’une intégrale ne dépendant que de S˜ et de la somme  ωS˜ (X). ˜ S∩ ˜ L= ˜ S ˜ S;

D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ωS˜ (X). Alors le membre de droite de (4) devient celui de (3). Cela achève la preuve.  ∞ ˜ Soit b une fonction sur A˜G,F ˜ , à valeurs complexes. Pour tout f ∈ Cc (G(F ))⊗ Mes(G(F )), on a ˜ ˜ )) = (c φ ˜ (f ))(b ◦ H ˜ ˜ ). (5) c φ ˜ (f (b ◦ H M

G

M

G

Preuve. Il revient au même de dire que, pour Y ∈ A˜G,F ˜ , si f est supportée par ˜ ˜ l’ensemble des γ ∈ G(F ) tels que HG˜ (γ) = Y , alors c φM˜ (f ) est supportée par ˜ (F ) tels que H ˜ ˜ (γ) = Y . Fixons donc Y et une fonction l’ensemble des γ ∈ M G f vérifiant la condition de support ci-dessus. Par transformation de Fourier, la conclusion espérée équivaut à ce que, pour toute ω-représentation tempérée σ ˜ de ˜ (F ) et tout μ M ˜ ∈ iA˜∗G˜ , on a l’égalité I M (˜ σμ˜ , c φM˜ (f )) = e ˜μ,Y  I M (˜ σ , c φM˜ (f )). ˜

˜

˜ ˜ ˜ M ˜ ˜ est une ω-représentation On peut supposer que σ ˜ = IndM ˜ , où R ∈ L (M0 ) et π R ˜ ). On doit alors prouver que elliptique de R(F



  ˜ ˜ ˜ ˜ M c G JM˜ IndM πμ˜ ), f = e ˜μ,Y c J G π ), f . ˜ IndR ˜ (˜ ˜ (˜ M R

Il suffit pour cela d’utiliser la définition 1.3(1) et la relation facile  



˜ ˜ ˜ ˜ M M G

˜ μ,Y  G (˜ π ), f = e J (˜ π ), f , Ind Ind JM ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ λ+˜ μ λ R R M qui résulte de l’hypothèse sur le support de f .



∞ ˜ ˜ ) → C qui On a défini en [II] 1.6 l’espace Cac (G(F )) des fonctions f : G(F sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de G(F ) et qui vérifient ˜ )) pour tout b ∈ C ∞ (A˜ ˜ ) (ce dernier espace n’est autre ˜ ˜ ) ∈ C ∞ (G(F f (b ◦ H c c G G,F à support fini). On a aussi défini l’espace que l’espace des fonctions sur A˜G,F ˜ ∞ ˜ ˜ ), ω). C’est le quotient de Cac (G(F )) par le sous-espace des éléments dont Iac (G(F toutes les intégrales orbitales sont nulles. On a

(6) l’application c φM˜ s’étend de façon unique en une application linéaire ∞ ˜ ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) (G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → Iac (M Cac

qui vérifie encore (5).

944

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

∞ ˜ Preuve. Un élément f ∈ Cac (G(F )) ⊗ Mes(G(F )) s’écrit de façon unique f =

˜ ) tels que H ˜ ˜ (γ) = f , où f est supportée par l’ensemble des γ ∈ G(F ˜ Y Y G Y ∈AG,F ˜ c Y . La seule définition de φM˜ (f ) qui soit compatible avec (5) est  c c φM˜ (f ) = φM˜ (fY ). ˜˜ Y ∈A G,F

Justement, (5) assure la convergence de cette expression. Pour que la somme ap˜ (F ), ω)⊗ Mes(M (F )), il faut prouver qu’il existe un sous-groupe partienne à Iac (M ouvert compact de M (F ) tel que, pour tout Y , c φM˜ (fY ) soit l’image d’un élément ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) qui soit biinvariant par le sous-groupe en question. de Cc∞ (M On a vu dans la preuve de la proposition 1.3 que, pour tout Y , il y avait un sousgroupe ouvert compact de M (F ) tel que c φM˜ (fY ) soit l’image d’un élément de ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) qui soit biinvariant par ce sous-groupe. Cette preuve Cc∞ (M fournit plus : ce sous-groupe ne dépend que d’un sous-groupe ouvert compact de G(F ) tel que fY soit elle-même invariante par ce sous-groupe. Par définition de ∞ ˜ Cac (G(F )), on peut choisir ce dernier sous-groupe indépendant de Y . Le sousgroupe de M (F ) qu’on en déduit est donc lui-aussi indépendant de Y .  ˜ )) et z ∈ Z(G; F )θ , on note f z la fonction γ → f (zγ). Pour f ∈ Cc∞ (G(F ˜ )) ⊗ Mes(G(F )), on pose f z = f z ⊗ dg. Soit Z un Pour f = f ⊗ dg ∈ Cc∞ (G(F θ sous-groupe de Z(G) . Notons Z l’image dans AG,F de Z(F ) par l’application ˜ HG˜ . Supposons ˜ S de G, ˜ tout X ∈ A˜ ˜ et tout H ∈ Z, (7) pour tout espace parabolique S˜ = LU L on a l’égalité ωS˜ (X + H) = ωS˜ (X). Montrons que ˜

˜

z c G z (8) sous l’hypothèse (7), on a l’égalité c φG ˜ (f ) = ( φM ˜ (f )) pour tout z ∈ Z(F ) M ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). et tout f ∈ Cc∞ (G(F

˜ un espace de Levi contenu dans M ˜ et π Preuve. Soient R ˜ une ω-représentation ˜ ˜ M ˜ π ), .) prend la elliptique de R(F ). On doit prouver que la distribution I (IndM ˜ (˜ R même valeur sur les deux membres de l’égalité à démontrer. Notons μ le caractère central de π (rappelons que π n’est pas irréductible en général, mais toutes ses composantes irréductibles ont même caractère central). On a immédiatement



 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M c G z −1 M c G = μ(z) Ind (˜ π ), ( φ (f )) I (˜ π ), φ (f ) I M IndM ˜ ˜ ˜ ˜ M R R M

 ˜ ˜ M −1c G π ), f ) . = μ(z) J M˜ IndR˜ (˜ On a aussi 



 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M z c G I M IndM π ), c φG π ), f z ˜ (f ) = J M ˜ IndR ˜ (˜ ˜ (˜ M R

   ˜ ˜ ˜ M G = ωS˜ (X) JM πλ˜ ), f z e−λ,X  dλ. ˜ (˜ ˜ IndR ˜ ˜ G ˜ ˜ S∈P ˜ X∈A (R) R,F

νS˜ +iA∗˜

R,F

VIII.1. L’application c θM˜

On a

945



 ˜ ˜ ˜ ˜ M M G G JM πλ˜ ), f z = μ(z)−1 e− λ,H JM πλ˜ ), f , ˜ (˜ ˜ (˜ ˜ IndR ˜ IndR

où H = HG˜ (z). D’où νS˜ +iA∗˜

 ˜ ˜ ˜ M G JM πλ˜ ), f z e−λ,X  dλ ˜ (˜ ˜ IndR

R,F

= μ(z)−1

νS˜ +iA∗˜

 ˜ ˜ ˜ M G JM πλ˜ ), f e−λ,X+H  dλ. ˜ (˜ ˜ IndR

R,F

En changeant X en X − H, on obtient

 ˜ ˜ ˜ z I M IndM π ), c φG ˜ (f ) ˜ (˜ M R   −1 ωS˜ (X − H) = μ(z) ˜ ˜ G ˜ ˜ S∈P ˜ X∈A (R) R,F

νS˜ +iA∗˜



˜ ˜ ˜ M G JM πλ˜ ), f e−λ,X  dλ. ˜ (˜ ˜ IndR

R,F

L’hypothèse (7) nous permet de faire disparaître H de cette formule et on obtient



  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M c G z −1c G Ind (˜ π ), φ (f ) = μ(z) J (˜ π ), f . I M IndM ˜ ˜ ˜ ˜ M M R R Cela prouve l’égalité souhaitée.



Soit μ un caractère de G(F ) invariant par θ (c’est-à-dire μ ◦ adγ = μ pour ˜ )). Soit μ ˜ ) telle que μ tout γ ∈ G(F ˜ une fonction non nulle sur G(F ˜(xγ) = μ(x)˜ μ(γ) ˜ ). On a pour tous x ∈ G(F ) et γ ∈ G(F ˜) = μ ˜c φM˜ (f ). (9) c φM˜ (f μ ˜ et π Preuve. Soient R ˜ comme dans la preuve précédente. Le produit π ˜μ ˜ est encore ˜ ). On vérifie aisément que une ω-représentation elliptique de R(F   



˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M M c c c M M (˜ π ), φ (f μ ˜ ) = I (˜ π μ ˜ ), φ (f ) = I (˜ π ), μ ˜ φ (f ) . Ind Ind I M IndM ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ M M M R R R 

D’où (9).

VIII.1.5 Définition de l’application c θM ˜ ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Nous allons définir une application linéaire Soit M ˜ c G θM˜

˜ )) ⊗ Mes(G(F )) → Iac (M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). : Cc∞ (G(F

Comme toujours, on a besoin d’en connaître une propriété par récurrence. A savoir qu’elle est ω-équivariante, c’est-à-dire qu’elle se quotiente en une application

946

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On peut alors poser par récurrence linéaire définie sur I(G(F la définition ˜ c G θM˜ (f )

(1)



˜

= φG ˜ (f ) − M

˜ ˜ c L θ M˜ (c φG ˜ (f )) L

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

˜ )) ⊗ Mes(G(F )). Le terme φG (f ) est celui défini en [81] 6.4. pour tout f ∈ Cc∞ (G(F ˜ M Prouvons la propriété d’équivariance. ˜

˜

G Proposition. L’application c θM ˜ se quotiente en une application linéaire définie sur ˜ I(G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).

˜ )) ⊗ Mes(G(F )) et tout Preuve. On doit prouver que, pour tout f ∈ Cc∞ (G(F y ∈ G(F ), on a l’égalité ˜

˜

c G ω(y)−1c θG ˜ (f ◦ ady ) = θ M ˜ (f ). M ˜

On utilise la relation 1.4(2). On sait que l’application φG ˜ vérifie la même relation. M D’après la définition (1), on obtient 

˜

ω(y)−1c θ G ˜ (f ◦ ady ) = M

˜

φL ˜  ,y ) ˜ (fQ M

˜  =L ˜  U  ∈F (M) ˜ Q Q

−





˜ ˜ c L θM˜ (c φL ˜  ,y )) ˜ (fQ L

˜ ˜ Q ˜  =L ˜  U  ∈F (L) ˜ L∈L( M), Q ˜ =G ˜ L

⎛



=

˜

⎝φL˜ (f ˜  ) − M Q ,y

˜  =L ˜  U  ∈F (M), ˜ Q Q ˜  =G ˜ Q ˜

+ φG ˜ )− ˜ (fG,y M



⎞ ˜ ˜ c L θM˜ (c φL ˜  ,y ))⎠ ˜ (fQ L

˜ ˜ L ˜ L∈L (M )



˜ ˜ c L θ M˜ (c φG ˜ )). ˜ (fG,y L

˜ ˜ G ˜ L∈L (M ), ˜ =G ˜ L

˜ remplacé La première somme est nulle d’après la définition (1) appliquée avec G ˜  c G ˜ par L . Comme on l’a dit, on a fG,y ˜ = f et la deuxième somme est égale à θM ˜ (f ). Cela conclut.  ˜

G On montre facilement que l’application c θM ˜ se prolonge en une application ∞ ˜ définie sur Cac (G(F )) ⊗ Mes(G(F )), qui se quotiente en une application définie ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Nous laissons ce point au lecteur. sur Iac (G(F

VIII.1. L’application c θM˜

947

G VIII.1.6 Propriétés de l’application c θM ˜ ˜

˜ 0 et un sous-groupe compact spécial K de On a fixé un espace de Levi minimal M ˜ G G(F ) en bonne position relativement à M0 . On a alors défini l’application c θM ˜ pour ˜ ˜ ˜ un espace de Levi M contenant M0 . L’espace M0 étant fixé, on montre qu’elle ne dépend pas de K. L’argument est que, quand on remplace K par un autre groupe compact spécial K  en bonne position relativement à M0 , les ingrédients basiques ˜ G σ , f ) de toutes nos distributions sont changés en d’autres qui se déduisent des JM ˜ (˜ premiers par une formule de la même forme que 1.4(2). Un raisonnement similaire à celui de la preuve de la proposition précédente permet alors de conclure. Nous renvoyons pour plus de détails à [2] proposition 13.2. Cela étant, ajoutons pour un ˜ c G ˜ 0 dans la notation : c θG˜ instant l’espace M ˜ M ˜ 0 au lieu de θM ˜ . Par simple transport M, de structure, on a une égalité (1)

˜ c G θM˜ ,M˜ 0 (f

˜

◦ ady ) = (c θG ˜ ),ady (M ˜ 0 ) (f )) ◦ ady ady (M

˜ )) ⊗ Mes(G(F )) et tout y ∈ G(F ). Pour y ∈ M (F ), grâce pour tout f ∈ Cc∞ (G(F à la proposition précédente, cette égalité devient ˜

˜

c G ω(y)c θG ˜ ,M ˜ 0 (f ) = ω(y) θ M,ad ˜ ˜ (f ). M y (M0 ) ˜

G ˜ Il en résulte que notre application c θM ˜ ,M ˜ 0 ne change pas quand on remplace M0 ˜ 0 ). Puisque tous les espaces de Levi minimaux contenus dans M ˜ sont par ady (M ˜ 0 . Cet conjugués par un élément de M (F ), cette application ne dépend pas de M ˜

G espace peut de nouveau disparaître de la notation. D’autre part, l’application c θM ˜ ˜ puisque, un tel espace de Levi étant fixé, on peut peut être définie pour tout M ˜ 0 minimal contenu dans M ˜. toujours choisir un M ˜ ˜ ) agit naturellement On fixe un espace de Levi M quelconque. Le groupe W (M ˜ ˜) sur Iac (M (F ), ω). Rappelons la définition de cette action. Notons NormG(F ) (M ˜ dans G(F ). On définit une action de ce groupe sur l’espace le normalisateur de M ˜ (F ) : à n ∈ NormG(F ) (M ˜ ) et à une fonction ϕ sur M ˜ (F ), on des fonctions sur M −1 ˜ associe la fonction nϕ sur M (F ) définie par (nϕ)(γ) = ω(n)ϕ(n γn). De cette ˜ ) sur I(M ˜ (F ), ω) et Iac (M ˜ (F ), ω). action se déduit une action de NormG(F ) (M ˜ ) est triviale et Sur ces espaces, l’action du sous-groupe M (F ) ⊂ NormG(F ) (M ˜ l’action se quotiente en une action du quotient W (M ). Par tensorisation avec ˜ ) sur l’action triviale de ce groupe sur Mes(M (F )), on obtient une action de W (M ˜ Iac (M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). On peut appliquer (1) à un élément y qui normalise ˜ . On obtient le résultat suivant M ˜ G ˜ (2) c θM ˜ prend ses valeurs dans le sous-espace des éléments de Iac (M (F ), ω) ⊗ ˜ ). Mes(M (F )) qui sont invariants par W (M

948

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

∞ ˜ Soit b une fonction sur A˜G,F ˜ , à valeurs complexes. Pour tout f ∈ Cc (G(F ))⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité ˜ c G θM˜ (f (b

(3)

˜

˜ ˜ )) = (c θG˜ (f ))(b ◦ H ˜ ˜ ). ◦H G G M

Cela résulte par récurrence de 1.4(5) et de la relation similaire vérifiée par l’appli˜ cation φG ˜. M Soit Z un sous-groupe de Z(G)θ . On a ˜

˜

G z c G z (4) sous l’hypothèse 1.4(7), on a l’égalité c θM ˜ (f ) = ( θM ˜ (f )) pour tout z ∈ ˜ )) ⊗ Mes(G). Z(F ) et tout f ∈ Cc∞ (G(F

Cela résulte par récurrence de 1.4(8) et de la relation similaire vérifiée par ˜ ˜ G l’application φG ˜ (dans le cas de φM ˜ , cette propriété est indépendante de l’hypoM thèse 1.4(7)). Soit μ ˜ un «caractère affine» comme en 1.4(9). On a de même ˜ ˜ G ∞ ˜ ˜) = μ ˜c θ G (5) c θM ˜ (f ) pour tout f ∈ Cc (G(F )) ⊗ Mes(G). ˜ (f μ M

˜  un espace de Levi contenu dans M ˜ . Pour tout f ∈ I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Lemme. Soit M Mes(G(F )), on a l’égalité  ˜ G ˜ , L) ˜ c θ L˜˜  (f ˜ ). dM˜  (M (c θM ˜  ,ω = ˜ (f ))M L,ω M ˜ ˜ ) L∈L( M

Preuve. On applique la formule de définition 1.5(1) et on lui applique l’application ˜  . On obtient l’égalité «terme constant» relative à M  ˜1 c ˜ L (φG (c θM ˜  ,ω = ˜ 1 (f )))M ˜  ,ω . ˜ (f ))M ˜ ( φL M ˜ 1 ∈L(M ˜) L

˜ 1 = G, ˜ on peut utiliser par récurrence la Pour un terme de la somme indexé par L ˜ 1 = G, ˜ on ne peut pas. Mais formule du présent énoncé. Pour le terme indexé par L on peut quand même, à condition d’ajouter la différence entre les deux membres de cet énoncé. Précisément, posons  ˜ G ˜ , L) ˜ c θL˜˜  (f ˜ ). dM˜  (M X = (c θM ˜  ,ω − ˜ (f ))M L,ω M ˜ ˜ ) L∈L( M

On obtient alors ˜

(φG ˜  ,ω = X + ˜ (f ))M M





˜1 ˜ ˜ ˜ c L˜ 2 ((c φG dL ˜ 2 ,ω ). ˜ 1 (f ))L ˜ ˜  (M , L2 ) θ M L M

˜ 1 ∈L(M) ˜ 2 ∈L(M ˜ L ˜  ),L ˜ 2 ⊂L ˜1 L ˜

Utilisons la relation 1.4(1) et la relation analogue concernant l’application φG ˜ . On M obtient  ˜ , L)φ ˜ L˜˜  (f ˜ ) = X + Y, dM˜  (M (6) Q,ω M ˜ ˜ ) L∈L( M

VIII.1. L’application c θM˜

où



Y =

949





˜1 ˜ ˜ dL ˜  (M , L2 ) M

˜ 1 ∈L(M) ˜ 2 ∈L(M ˜ L ˜  ),L ˜ 2 ⊂L ˜1 L

˜ ˜ ˜ c L˜ 2 (c φL˜ 3 (f ˜ )). dG ˜ 2 (L1 , L3 ) θ M ˜ ˜ Q3 ,ω L L 2

˜ 3 ∈L(L ˜ 2) L

˜ et Q ˜ 3 qui interviennent ici. On fixe Revenons sur la définition des espaces Q ˜ G ˜ ˜  ) tel que d ˜  (M ˜ , L) ˜ = 0. un point ξ ∈ AM˜  en position générale. Soit L ∈ L(M M On a alors la décomposition ˜

˜

˜

G G AG ˜  = AM ˜ ⊕ AL ˜. M

˜ ∈ AG˜ . L’espace paraConformément à celle-ci, on projette ξ en un point ξ[L] ˜ L ˜ est l’unique élément de P(L) ˜ tel que ξ[L] ˜ appartienne à la chambre bolique Q ˜ ), L ˜ 2 ∈ L(M ˜  ) avec L ˜2 ⊂ L ˜1 ˜ De même, fixons L ˜ 1 ∈ L(M positive associée à Q. ˜ ˜ L1 ˜ ˜ G ˜ ˜ et d (M , L2 ) = 0. Fixons un point ξ(L1 , L2 ) ∈ A en position générale. Soit ˜2 L

˜ M

˜ 2 ) tel que dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 3 ) = 0. On a alors la décomposition ˜ 3 ∈ L(L L ˜ L 2

˜

˜

˜

G G AG ˜ 2 = AL ˜ 1 ⊕ AL ˜3 . L

˜ 2 ) en un point ξ(L ˜ 1, L ˜ 2 )[L ˜ 3 ] ∈ AG˜ . ˜ 1, L Conformément à celle-ci, on projette ξ(L ˜3 L ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L’espace parabolique Q3 est l’unique élément de P(L3 ) tel que ξ(L1 , L2 )[L3 ] ap˜ 3 . Le point ξ étant fixé, nous allons partienne à la chambre positive associée à Q ˜ ˜ ˜ choisir le point ξ(L1 , L2 ) de la façon suivante. On note comme toujours ξL˜ 1 et ξ L1 ˜ ˜ ˜ ˜,L ˜ 2 ) = 0. On les projections orthogonales sur AG et AL1 . On a supposé dL1 (M ˜1 L

a donc la décomposition

˜ M

˜

˜ M

˜

˜

L1 L1 1 AL ˜  = AM ˜ ⊕ AL ˜ . M 2

On peut décomposer conformément ξ

˜1 L

en ξ

˜1 L

˜ ] + ξ L˜ 1 [L ˜ 2 ]. On choisit [M

˜ 1, L ˜ 2 ) = ξ ˜ + ξ L˜ 1 [L ˜ 2 ] = ξ − ξ L˜ 1 [M ˜ ]. ξ(L L1 On récrit la définition



Y =



˜ 2, L ˜ 3 ), Y (L

˜ ˜ 3 ∈L(M ˜ ) L ˜ 2 ∈LL ˜ ) 3 (M L

où (7)

˜ 3) = ˜ 2, L Y (L



˜1 ˜ ˜ ˜ ˜ G ˜ c L˜ 2 (c φL˜ 3 (f ˜ )). dL ˜ 2 (L1 , L3 ) θ M ˜ ˜  (M , L2 )dL ˜ Q3 ,ω M L 2

˜ 1 ∈L(M), ˜ L ˜ 2 ⊂L ˜1 L

˜ 2 et L ˜ 3 . On a vu en [II] 1.7(5) que la somme ci-dessus en L ˜ 1 était vide si Fixons L ˜ ˜ G G ˜,L ˜ 3 ) = 0. Si d  (M ˜,L ˜ 3 ) = 0, la somme est réduite à un seul élément pour dM˜  (M ˜ M lequel ˜1 ˜ ˜ ˜ G ˜ ˜ G ˜ ˜ ˜ dL ˜ 2 (L1 , L3 ) = dM ˜  (M , L3 ). ˜  (M , L2 )dL M

950

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ 1 de la somme est caractérisé par l’égalité L’unique élément L ˜

˜

˜

G G AG ˜ 1 = AM ˜ ∩ AL ˜2 . L

(8)

˜ ˜ ˜ ˜ Supposons dG ˜  (M , L3 ) = 0. Dans (7) apparaît un espace parabolique Q3 . En M ˜ = L ˜ 3 , cet espace de Levi intervient dans le membre de gauche de la posant L ˜ Montrons que formule (6) et il lui est associé un espace parabolique Q.

˜ ˜ 3 = Q. Q

(9)

˜ = D’après la construction rappelée ci-dessus, il suffit de prouver que ξ[L] ˜ 2 )[L ˜ 3 ]. On a ˜ 1, L ξ(L ˜

˜

˜

˜

˜ ∈ ξ + AG˜ = ξ(L ˜ 1, L ˜ 2 ) + ξ L 1 [M ˜ ] + AG˜ = ξ(L ˜ 1, L ˜ 2 ) + AG˜ ξ[L] M M M ˜ ˜ ] ∈ AG˜ . Les éléments ξ[L] ˜ et ξ(L ˜1, L ˜ 2 ) appartenant tous deux à puisque ξ L1 [M ˜ M ˜

AG ˜ , la relation précédente se renforce en L 2

˜

˜

˜ ∈ ξ(L ˜ 1, L ˜ 2 ) + AG˜ ∩ AG ξ[L] ˜2 , M L ou encore, d’après (8), en ˜ ˜ ∈ ξ(L ˜ 1, L ˜ 2 ) + AG ξ[L] ˜1 . L

˜ appartient à l’intersection de cet espace affine avec AG˜ . Or cette interAlors ξ[L] ˜3 L ˜ 1, L ˜ 2 )[L ˜ 3 ]. Cela prouve (9). section est réduite au point ξ(L ˜ et L ˜ 2 par L ˜  . On obtient ˜ 3 par L Modifions les notations en remplaçant L 

˜  , L) ˜ = dG˜˜  (M ˜ , L) ˜ c θL˜˜  (c φL˜˜  (f ˜ )) Y (L Q,ω M M L puis Y =



˜ ˜ ˜ dG ˜  (M , L) M

˜ ˜) L∈L( M



˜ ˜ c L θ M˜  (c φL ˜ )). ˜  (fQ,ω L

˜ ˜ ˜  ∈LL L (M )

˜ de chaque Reportons cette relation dans la formule (6). Les termes indexés par L ˜ c L côté de la formule sont égaux par définition des applications θM˜  . On obtient simplement X = 0. C’est ce qu’affirme l’énoncé. 

VIII.1.7 Fonctions de Schwartz ˜ ). Pour une fonction Soit π ˜ une ω-représentation tempérée de G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), ϕ ∈ I(G(F

VIII.1. L’application c θM˜

951

˜ → I G˜ (˜ ˜ ∈ A˜∗ /iA˜∨ . C’est une la fonction λ πλ˜ , ϕ) est bien définie pour tout λ ˜ ˜ G,C G,F , on définit le coefficient de fonction polynomiale sur cet espace. Pour X ∈ A˜G,F ˜ Fourier ˜ ˜ ˜ π , X, ϕ) = I G (˜ π ˜ , ϕ)e−λ,X  dλ. I G (˜ λ

iA∗ ˜ G,F

˜ apparaissant dans l’intégrale est un relèvement quelComme en 1.2, le terme λ ∗ ˜ conque de λ dans iAG˜ . On a les égalités (1)

˜

˜

˜ ˜ )ϕ), π , X, ϕ) = I G (˜ π , (1X ◦ H I G (˜ G

et où 1X est la fonction caractéristique de X dans A˜G,F ˜ (2)

˜

πλ˜ , ϕ) = I G (˜



eλ,X  I G (˜ π , X, ϕ) ˜

˜

˜˜ X∈A G,F

˜ ∈ A˜∗ /iA˜∨ . Cette somme ne contient qu’un nombre fini de termes pour tout λ ˜ ˜ G,C G,F non nuls. ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on ne peut plus en général Pour une fonction ϕ ∈ Iac (G(F ˜ G ˜ πλ˜ , ϕ). Par contre, pour X ∈ A˜G,F définir la fonction λ → I (˜ ˜ , on peut définir le ˜

coefficient de Fourier I G (˜ π , X, ϕ), cf. [81] 6.4. Dans notre cas où le corps de base est non-archimédien, il est défini par la formule (1) : le membre de droite de cette ˜ ˜ )ϕ est à support compact. Nous formule a un sens puisque la fonction (1X ◦ H G ˜ ), dirons que ϕ est de Schwartz si, pour toute ω-représentation tempérée π ˜ de G(F la fonction (3)

˜

π , X, ϕ) X → I G (˜

est à décroissance rapide sur A˜G,F ˜ . Dans ce cas, on peut définir une fonction ˜ G ∗ ∨ ˜ ˜ ˜ ˜ π , λ, ϕ) sur iAG˜ /iAG,F par la formule d’inversion de Fourier λ → I (˜ ˜ (4)

˜ ˜ ϕ) = I G (˜ π , λ,



eλ,X  I G (˜ π , X, ϕ). ˜

˜

˜˜ X∈A G,F

˜ Inversement, supposons que, pour tout π ˜ , il existe une C’est une fonction C ∞ de λ. ∞ ∗ ∨ ˜ ˜ fonction C sur iAG˜ /iAG,F vérifiant la condition 1.2(2) et dont la fonction (3) ˜ soit la transformée de Fourier. Alors cette fonction (3) est à décroissance rapide, donc ϕ est de Schwartz. Pour une fonction de Schwartz ϕ, il arrive que la fonction (4) définie sur ˜∨ . Supposons se prolonge en une fonction rationnelle sur A˜∗G,C iA˜∗G˜ /iA˜∨ ˜ ˜ /iAG,F ˜ G,F ˜ G ˜ ˜ π , λ, ϕ) ce prolongement. Soit ν ∈ A∗ qu’il en soit ainsi. On note encore λ → I (˜ ˜ G

952

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

un élément tel que cette fonction n’ait pas de pôle sur l’ensemble des éléments ˜ ∈ A˜∗ tels que Re(λ) = ν. Pour X ∈ A˜ ˜ , on pose λ ˜ G,F G,C

˜

π , ν, X, ϕ) = I G (˜

˜ ϕ)e−λ,X  dλ. I G (˜ π , λ, ˜

˜

ν+iA∗˜ G,F

On a la formule d’inversion ˜ ˜ ϕ) = π , λ, I G (˜



eλ,X  I G (˜ π , ν, X, ϕ) ˜

˜

˜˜ X∈A G,F

˜ ∈ A˜∗ /iA˜∨ tel que Re(λ) = ν. pour tout λ ˜ ˜ G G,F Remarque. L’hypothèse sur ϕ n’implique nullement que le membre de droite de ˜ ∈ iA˜∗ /iA˜∨ . Même s’il l’est, la fonction prolongée n’a (4) soit convergent pour λ ˜ ˜ G G,F pas de raison d’être égale à ce membre de droite.

VIII.1.8 Une propriété d’annulation ˜ . Soit f ∈ I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a On fixe un espace de Levi M ˜

G (1) la fonction c θM ˜ (f ) est de Schwartz ;

˜ (F ) ; la fonction (2) soit π ˜ une ω-représentation tempérée de M ˜ → I M˜ (˜ ˜ c θG˜˜ (f )) λ π , λ, M

sur

iA˜∗M˜ /iA˜∨ ˜ M,F

est la restriction d’une fonction rationnelle sur A˜∗M˜ ,C /iA˜∨ ; celle-ci a un ˜ M,F ˇ = c, pour α ∈ Σ(AM˜ ). nombre fini d’hyperplans polaires d’équations e λ,α

Le signification de ces assertions a été expliquée en 1.2. ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). En utilisant la Preuve. Relevons f en un élément de Cc∞ (G(F ˜ définition 1.5(1), il suffit par récurrence de prouver que la fonction φG ˜ (f ) vérifie M ˜ (F ). Par les mêmes propriétés. Or, soit π ˜ une ω-représentation tempérée de M ˜ ˜ G M π , X, φM˜ (f )) est la transformée de Fourier de la définition, la fonction X → I (˜ ˜ G ∗ ˜ ˜ fonction λ → J (˜ π ˜ , f ) sur iA /iA˜∨ . Celle-ci est C ∞ et se prolonge en une ˜ M

λ

˜ M

˜ M,F

dont les pôles ont la propriété indiquée en fonction rationnelle sur A˜∗M˜ ,C /iA˜∨ ˜ M,F (2). Cela prouve les assertions (1) et (2).  ˜ c θG˜˜ (f )). ˜ → I M˜ (˜ π , λ, On utilise les définitions et notations de 1.7 pour la fonction λ M

VIII.1. L’application c θM˜

953

˜ = G ˜ et π ˜ ), fixons un Proposition. Supposons M ˜ elliptique. Pour tout S˜ ∈ P(M ˜ cette notion point νS˜ comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour S, dépendant de la représentation π ˜ . Alors on a l’égalité  ˜ ˜ ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, c θG ˜ (f )) = 0 M ˜ ˜ S∈P( M)

˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout X ∈ A˜ ˜ . pour tout f ∈ I(G(F M,F ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). On utilise la Preuve. On relève f en un élément de Cc∞ (G(F définition 1.5(1). Il résulte de la preuve de (1) et (2) ci-dessus que  ˜ ˜ ˜ ˜ c θ G˜˜ (f )) = I M˜ (˜ ˜ φG˜˜ (f )) − ˜ c θ L˜˜ (c φG π , λ, π , λ, I M (˜ π , λ, I M (˜ ˜ (f ))). M M M L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

On en déduit que la somme de l’énoncé est égale à la somme de  ˜ ˜ (3) ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, φG ˜ (f )) M ˜ ˜ S∈P( M)

˜ ∈ P(M ˜ ) tel que L ˜ = G, ˜ de et, pour tout L  ˜ c G ˜ ˜ ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, c θL (4) − ˜ ( φL ˜ (f ))). M ˜ ˜ S∈P( M)

˜ = G. ˜ Par un argument déjà utilisé plusieurs fois, pour S˜ ∈ P(M ˜ ), Fixons L  ˜ ˜ ˜ on peut remplacer le point νS˜ par νS˜ , où S = S ∩ L. On peut ensuite, pour S˜ ˜ = S˜ par ω ˜ (X). On obtient que fixé, remplacer la somme des ωS˜ (X) pour S˜ ∩ L S ˜ par L ˜ la somme (4) est égale à l’opposée de celle de l’énoncé où l’on remplace G ˜ c G ˜ ˜ ˜ ˜ et f par φL˜ (f ). Dans l’énoncé figure l’hypothèse M = G. Si L = M , elle reste vérifiée et, par récurrence, la somme (4) est nulle. ˜=M ˜ . Dans ce cas c θM˜ est l’identité. On a donc Considérons l’espace L ˜ M ˜

˜

˜

˜

˜

˜ c θM˜ (c φG˜ (f ))) = I M (˜ ˜ c φG˜ (f )). I M (˜ π , λ, π , λ, M M M ˜

Or c φG ˜ (f ) est à support compact. Il en résulte que cette fonction n’a pas de pôle. M ˜

˜

Ses coefficients de Fourier I M (˜ π , ν, X,c φG ˜ (f )) sont donc indépendants du point M ν. Ils sont égaux à ˜ ˜ ˜ ˜  ˜ ˜ ˜ −λ,X M M c G c G π , X, φM˜ (f )) = I (˜ π , 0, X, φM˜ (f )) = I M (˜ πλ˜ , c φG I (˜ dλ. ˜ (f ))e M iA∗˜

M ,F

Dans la somme (4), on peut remplacer tous les points νS˜ par 0. Cette somme devient  ˜ ˜ π , X, c φG ωS˜ (X), −I M (˜ ˜ (f )) M ˜ ˜) S∈P( M

954

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien ˜

˜

˜

c G qui est simplement −I M (˜ π , X, c φG ˜ (f )). Par définition de φM ˜ (f ), on a M ˜

˜

˜

c G I M (˜ πλ˜ , c φG πλ˜ , f ) ˜ (f )) = J M ˜ (˜ M

˜ ∈ iA˜∗ /iA˜∨ . Parce que π pour λ ˜ est elliptique, ceci n’est autre que ˜ ˜ M M,F 





ωS˜ (Y )

˜ ˜ ˜˜ Y ∈A M ,F S∈P(M)

G − ˜ ν ,Y  JM πλ+˜ dν. ˜ ν , f )e ˜ (˜ ˜

νS˜ +iA∗˜

M ,F

Par inversion de Fourier, on en déduit (5)

˜

˜

π , X, c φG I M (˜ ˜ (f )) = M





ωS˜ (X)

˜ ˜ S∈P( M)

G JM πν˜ , f )e− ˜ν ,X dν. ˜ (˜ ˜

νS˜ +iA∗˜

M ,F

˜ = G ˜ des termes (4) est égale à l’opposé du membre En résumé, la somme sur les L de droite de (5). Ainsi qu’il résulte de la preuve de (1) et (2), on a l’égalité ˜ ˜ φG˜˜ (f )) = J G˜˜ (˜ π , λ, πλ˜ , f ) I M (˜ M M

˜ ∈ A∗ /iA˜∨ . Il résulte alors des définitions que pour tout λ ˜ ,C ˜ M M,F ˜

˜

π , νS˜ , X, φG I M (˜ ˜ (f )) = M



G JM πν˜ , f )e− ˜ν ,X dν ˜ (˜ ˜

νS˜ +iA∗˜

M ,F

˜ Donc la somme (3) est égale au membre de droite de (5). La somme pour tout S. de (3) et (4) est donc nulle. Cela achève la démonstration. 

VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ . L’application c φG˜ définie en 1.3 vérifie les mêmes Fixons un espace de Levi M ˜ M ˜

propriétés formelles que φG ˜ . Dans beaucoup de constructions que l’on a faites, M on peut remplacer la deuxième application par la première. Ainsi, fixons pour un moment un sous-groupe compact spécial K de G(F ) en bonne position relative˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . On a défini en [II] 1.5 la ment à M . Soit γ ∈ Dg´eom (M distribution ˜ G f → JM ˜ (γ, f ) ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). On définit une nouvelle distribution par la formule sur Cc∞ (G(F  ˜ ˜ ˜ ˜ c L G c G (1) IM˜ (γ, f ) = JM I M˜ (γ, c φG ˜ (f )). ˜ (γ, f ) − L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

VIII.1. L’application c θM˜

955 ˜

G Elle vérifie les mêmes propriétés formelles que la distribution IM ˜ (γ, f ). En particulier, elle est ω-équivariante, c’est-à-dire se descend en une distribution sur ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Elle est aussi compatible à l’induction, c’est-à-dire vériI(G(F fie une propriété analogue au lemme [II] 1.7. Mais elle vérifie une propriété utile ˜ G ˜ que la distribution IM ˜ (γ, f ) ne vérifie pas. Pour tout sous-ensemble Ω de M (F ), M −1 posons Ω = {m γm; m ∈ M (F ), γ ∈ Ω}. On a ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), il existe un sous-ensemble compact (2) pour tout f ∈ I(G(F ˜ (F ) tel que c I G˜ (γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas ΩM . Ω⊂M ˜ M

˜ )) ⊗ Mes(G(F )). La formule (1) Preuve. On relève f en un élément de Cc∞ (G(F ˜ G ramène par récurrence à prouver que le terme JM ˜ (γ, f ) vérifie la même propriété.  ˜ (F ) tel que Notons Ω le support de f . Il existe un sous-ensemble compact Ω de M ˜ G M  G ˜ (F ). Il est clair que J (γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas Ω = (Ω ) ∩ M ˜ M M  Ω . Le lien entre nos deux distributions ω-équivariantes est établi par la formule suivante  ˜ ˜ ˜ L c G c G IM˜ (γ, f ) = IM (3) ˜ (f )). ˜ (γ, θ L ˜ ˜) L∈L( M

˜ )) ⊗ Mes(G(F )) et appliquons cette Preuve. Relevons f en un élément de Cc∞ (G(F formule par récurrence au termes de la somme du membre de droite de la formule (1). On obtient ˜ c G IM˜ (γ, f )



˜

G = JM ˜ (γ, f ) −



˜

˜

˜

L2 c L1 c G IM ˜ 1 (f ))). ˜ ( φL ˜ (γ, θ L 2

˜ 1 ∈L(M), ˜ 2 ∈L(M), ˜ L ˜ 1 =G ˜L ˜ L ˜ 2 ⊂L ˜1 L

˜ 2 ∈ L(M ˜ ) de la Renversons l’ordre de sommation. On obtient une somme sur L ˜2 L distribution IM˜ (γ, .) appliquée à la fonction 

˜ ˜ c L θ L˜ 1 (c φG ˜ 1 (f )). L 2

˜ 1 ∈L(L ˜ 2 ),L ˜ 1 =G ˜ L ˜

˜

˜

G G c G Par définition de c θL ˜ 2 (f ). En remplaçant ˜ 2 , cette fonction est égale à φL ˜ 2 (f ) − θ L ˜ ˜ L2 simplement par L, on obtient alors l’égalité ˜ c G IM˜ (γ, f )

˜

G = JM ˜ (γ, f ) −

 ˜ ˜) L∈L( M

˜

˜

L G IM ˜ (γ, φL ˜ (f )) +



˜

˜

L c G IM ˜ (f )). ˜ (γ, θ L

˜ ˜ L∈L( M)

La somme des deux premières expressions est nulle par définition de la distribution ˜ ˜ G c G IM  ˜ (γ, .). Donc IM ˜ (γ, f ) est égal à la dernière somme, ce qui est l’égalité (3).

956

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

VIII.2 Stabilisation de l’application c θM˜ VIII.2.1 Fonctions ωS˜ et endoscopie ˜ a). Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (G, G, ∗ ∗  ∗ ∗ Introduisons les paires de Borel (B , T ) et (B , T ) de G et G . Modulo certains choix dans les groupes duaux, cf. [I] 1.5, on a un homomorphisme ξ : T ∗ → T  ∗ . Il se restreint en un homomorphisme ξ : AG˜ → AG˜  qui est équivariant pour les actions galoisiennes. L’hypothèse d’ellipticité signifie que cet homomorphisme est un revêtement. Il s’en déduit un isomorphisme AG˜  AG˜  . On a (1) il existe un unique isomorphisme ξ˜ : A˜G˜  A˜G˜  tel que ˜ + H) = ξ(X) + ξ(H) ˜ (i) ξ(X pour tout X ∈ AG˜ et H ∈ A˜G˜ ; ˜  (F ) et (ii) pour tout couple (δ, γ) formé d’un élément semi-simple δ ∈ G ˜ ) qui se correspondent (cf. [I] 1.10), d’un élément semi-simple γ ∈ G(F on ait l’égalité ˜H ˜ ˜  (δ). ˜ ˜ (γ)) = H ξ( G G La preuve est la même qu’en [IV] 2.1(1). Signalons qu’en général, les en˜ A˜ ˜ ) et A˜ ˜  ne sont pas inclus l’un dans l’autre. Leur intersection sembles ξ( G,F G ,F est toutefois non vide d’après (ii) ci-dessus. En prenant pour point-base un élément de cette intersection, ces ensembles s’identifient respectivement aux réseaux ξ(AG,F ˜ ) et AG ˜  ,F . Ceux-ci ne sont pas non plus inclus l’un dans l’autre, mais sont commensurables (leur intersection est d’indice finie dans chacun d’eux). Dans la suite, on abandonne les notations ξ et ξ˜ et on identifie simplement ˜ A ˜ à A ˜  par ξ, ainsi que A˜ ˜ à A˜ ˜  par ξ. G

G

G

G

Soit M  un Levi de G . Supposons M  relevant. Il lui correspond donc un ˜ de G ˜ et M  se complète en une donnée endoscopique elliptique espace de Levi M    ˜ , a). On a comme ci-dessus des identifications compaM = (M , M , s˜) de (M, M ˜ ˜  ). Des descriptions des ensembles tibles AM˜  AM˜  et AM˜  A˜M˜  . Soit P˜  ∈ P(M de racines de nos différents groupes résulte que la clôture de la chambre positive ˜ ). AP˜  est réunion de clôtures de chambres positives AP˜ pour certains P˜ ∈ P(M  ˜ ˜ ˜ Notons simplement P → P pour signifier que P appartient à cet ensemble. On a fixé des fonctions ωP˜ . On définit la fonction ωP˜  sur A˜M˜  par (2)

ωP˜  =



ωP˜ .

˜ );P˜ →P˜  P˜ ∈P(M

˜ n’est pas unique, il n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais L’espace de Levi M les propriétés d’invariance imposées aux fonctions ωP˜ entraînent que la définition ˜ . Il est immédiat que l’ensemble de fonctions ci-dessus ne dépend pas du choix de M ainsi définies vérifie les mêmes conditions qu’en 1.1. ˜ des fonctions Dans le cas où M  n’est pas relevant, on fixe sans référence à G   ˜ ˜ ωP˜  pour P ∈ P(M ) qui vérifient les conditions de 1.1.

VIII.2. Stabilisation de l’application c θM˜

957

G VIII.2.2 Les applications c SθM ˜ ˜

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure Pour la suite de la section, on suppose (G, G, ˜ de G. ˜ Nous allons définir une application linéaire et on fixe un espace de Levi M c

˜ G ˜ ˜ SθM ˜ : I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SIac (M (F )) ⊗ Mes(M (F )).

Comme toujours, on doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés. Les premières sont formelles et permettent de définir des applications analogues pour des données endoscopiques. On y revient ci-dessous. La seconde est que cette application est stable, c’est-à-dire qu’elle se factorise en une application définie sur ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) → SIac (M ˜ (F )) ⊗ ˜ )) ⊗ Mes(G(F )). Notons pst : Iac (M SI(G(F ˜ M ˜ Mes(M (F )) la projection naturelle. Pour f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose   ˜ ˜ G st c G ˜ G ˜  (s))c SθG (s) (f G (s) ). (1) c SθM iM˜ (G, ˜ (f ) − ˜ (f ) = pM ˜ ◦ θM M ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF , s∈Z(M s=1

Enonçons la propriété évoquée ci-dessus. ˜

G Proposition. L’application c SθM ˜ se quotiente en une application linéaire

˜ )) ⊗ Mes(G(F )) → SIac (M ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )). SI(G(F Cette proposition sera prouvée en 4.2. Revenons sur les questions formelles. Considérons des extensions compatibles ˜ → G ˜ 1 → C → G → G → 1 et G ˜  est encore à torsion intérieure. Soit λ un caractère où C est un tore induit et G ˜ ) = de C (F ). On a une projection naturelle AM˜ → AM˜ et une identification P(M ˜ ˜ ˜ ˜ P(M ), notons-la P ↔ P . Pour P ∈ PM˜ , on a une fonction ωP˜ sur AM˜ . Pour P˜ ↔ P˜ , on choisit pour fonction ω ˜ la composée de cette fonction avec la projection P

précédente. Fixons des mesures de Haar dc sur C (F ), dg sur G(F ) et dm sur ∞ ˜  (F )) ⊗ Mes(G(F )). Ecrivons-la f = f ⊗ dg. Choisissons M (F ). Soient f ∈ Cc,λ (G ˜  (F )) telle que une fonction f˙ ∈ Cc∞ (G f˙(cγ )λ (c) dc

f (γ ) = C (F )

˜  (F ). De dg et dc se déduit une mesure de Haar dg sur G (F ). pour tout γ ∈ G De même, de dm et dc se déduit une mesure de Haar dm sur M (F ). On définit ˜ G ˜  (F )). Cette fonction alors c Sθ (f˙ ⊗ dg ). Ecrivons-la ϕ˙ ⊗ dm avec ϕ˙ ∈ SIac (M ˜ M

n’est pas à support compact. Toutefois, on vérifie aisément par récurrence sur

958

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien ˜ G

la définition (1) que l’application c SθM˜ vérifie la relation 1.6(3) (la vérification

précise nécessite encore quelques considérations formelles que l’on passe). Il en ˜  (F ), la fonction c → ϕ(cγ ˙  ) est à support compact. résulte que, pour tout γ ∈ M On peut alors définir ϕ ∈ SIac,λ (M (F )) par ϕ(γ ) =

ϕ(cγ ˙  )λ (c) dc. C (F )

∞ Remarque. L’espace SIac,λ (M (F )) se déduit de Cac,λ (M (F )). Ce dernier est celui des fonctions ψ : M (F ) → C qui se transforment par C (F ) selon le caractère λ , qui sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de M (F ) et qui vérifient la condition suivante. Soit b une fonction à support compact sur A˜M˜ ,F . Notons b sa composée avec la projection A˜M˜ ,F → A˜M˜ ,F . Alors la fonction (b ◦ ˜ ˜ )ψ appartient à C ∞ (M ˜  (F )). H M

c,λ

Le terme ϕ ⊗ dm dépend a priori des choix de mesures et du choix de la fonction f˙. On vérifie facilement que changer de mesures ne modifie pas ϕ ⊗ dm. Changer de f˙ revient à ajouter à cette fonction une combinaison linéaire ˜  (F )) et c ∈ C (F ). Notre système de de fonctions ψ c − λ (c)ψ, où ψ ∈ Cc∞ (G fonctions ωP˜ sur AM˜ vérifie par construction la condition 1.4(7) pour Z = C . ˜ G

On voit par récurrence que l’application c SθM˜ vérifie la propriété 1.6(4). Il en résulte qu’ajouter ψ c − λ (c)ψ à f˙ revient à ajouter à ϕ˙ une fonction de la forme (ψ  )c − λ (c)ψ  . Un tel terme disparaît par intégration et ne change pas ϕ. Ainsi le terme ϕ ⊗ dm est bien défini et on peut poser c

˜ G

SθM˜ ,λ (f ) = ϕ ⊗ dm.



Considérons d’autres données ˜  → G, ˜ λ 1 → C → G → G → 1, G vérifiant les mêmes hypothèses. Introduisons le produit fibré G, de G et G au˜ , de G ˜  et G ˜  au-dessus de G. ˜ Supposons donnés dessus de G et le produit fibré G un caractère λ, de G, (F ) dont la restriction à C (F ) × C (F ) est λ × λ−1 et  ˜, sur G ˜ , (F ) qui se transforme selon le caractère λ, . une fonction non nulle λ On en déduit un isomorphisme ∞ ˜  (F )) ⊗ Mes(G(F ))  C ∞ (G (F )) ⊗ Mes(G(F )), (G Cc,λ c,

cf. [II] 1.10, et de même un isomorphisme SIac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))  SIac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F )).

VIII.2. Stabilisation de l’application c θM˜

959

∞ ˜  (F )) ⊗ Mes(G(F )) et f ∈ C ∞ (G ˜  (F )) ⊗ Mes(G(F )) qui Soient f ∈ Cc,λ (G c,λ

˜ G

˜

G

se correspondent par le premier isomorphisme. Alors c SθM˜ ,λ (f ) et c SθM ˜ ,λ (f )







se correspondent par le second. La preuve est similaire à celle de [II] 1.10(7). Rappelons-en seulement la structure. On commence par prouver que les deux termes sont égaux à des termes analogues relatifs aux extensions communes G, ˜ , , où le caractère de C (F ) × C (F ) est λ ⊗ 1 pour le premier terme et 1 ⊗ λ et G pour le second. On passe de l’un à l’autre par tensorisation par le caractère affine ˜ , . Cette tensorisation est compatible à nos constructions parce que l’on voit par λ récurrence que nos distributions vérifient l’analogue de 1.6(5). ˆ ΓF tel que G (s) est elliptique, ˆ )ΓF /Z(G) Cela étant, pour un élément s ∈ Z(M  on choisit des données auxiliaires G1 (s), . . . , Δ1 (s). On définit comme ci-dessus l’application linéaire c

˜  (s) G

SθM˜1 (s),λ 1

1 (s)

∞ ˜  (s; F )) ⊗ Mes(G (s; F )) : Cc,λ (G 1 1 (s)

˜ 1 (s; F )) ⊗ Mes(M (F )). → SIac,λ1 (s) (M La propriété précédente assure que, quand on change de données auxiliaires, ces applications se recollent en une application linéaire c

G (s)

SθM

: Cc∞ (G (s)) ⊗ Mes(G (s; F )) → SIac (M) ⊗ Mes(M (F )).

Elle se quotiente en tout cas en une application définie sur I(G (s))⊗Mes(G (s; F )) ˜  (s) et pour un choix de et, pourvu que la proposition soit démontrée pour G 1 données auxiliaires, en une application définie sur SI(G (s)) ⊗ Mes(G (s; F )).

VIII.2.3 Commutation à l’induction ˜ un espace de Levi de M ˜ . Pour tout f ∈ I(G(F ˜ )) ⊗ Mes(G(F )), on Lemme. Soit R a l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ c ˜ G L eG (c SθM ˜ = ˜ ). ˜ (f ))R ˜ (M , L) SθR ˜ (fL R ˜ ˜ L∈L( R)

En utilisant le lemme 1.6, la preuve est similaire à celle de la proposition [II] 1.14(ii). 

VIII.2.4 Une propriété d’annulation st ˜ (F )) qui est le sous-espace des éléRappelons que l’on a défini l’espace Dtemp (M ˜ ments de Dtemp (M (F )) qui sont des distributions stables. On définit de même st ˜ ˜0 ⊂ M ˜. l’espace Dell (M (F )). Fixons pour simplifier un espace de Levi minimal M Il est prouvé en [XI] corollaire 2.1 que l’induction fournit un isomorphisme st ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F ))∗ (M Dtemp ˜ ˜ M st ˜ ∗ W M (R) ˜ = ⊕R∈L . M ˜ ˜ 0 )/W M (M ˜ 0 ) IndR ˜ ((Dell (R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F )) ) (M

960

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ (F )) ⊗ Les définitions de 1.7 s’adaptent aux fonctions appartenant à SI(M Mes(M (F )) et on utilise des notations similaires. Il suffit de se limiter dans les st ˜ (F )). Soit (M définitions de ce paragraphe aux représentations appartenant à Dtemp ˜ c ˜ f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On voit par récurrence que la fonction SθG ˜ (f ) est M st ∗ ˜ de Schwartz. Soit π ˜ ∈ Dtemp (M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) . On voit de même que la ˜ ˜→ ˜ c SθG˜˜ (f )) sur iA˜∗ /iA˜∨ fonction λ  S M (˜ π , λ, vérifie la propriété 1.8(2). ˜ ˜ M M M,F

˜ = G ˜ et π ˜ ), fixons un Proposition. Supposons M ˜ elliptique. Pour tout S˜ ∈ P(M ˜ point νS˜ comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour S, cette notion dépendant de la représentation π ˜ . Alors on a l’égalité  ˜ ˜ ωS˜ (X)S M (˜ π , νS˜ , X, c SθG ˜ (f )) = 0 M ˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X ∈ A˜M˜ ,F . Preuve. Pour tous points ν et X, on a par définition l’égalité ˜

˜

˜

˜

M S M (˜ π , ν, X, c SθG π , ν, X, c θG ˜ (f )) = I (˜ ˜ (f )) M M   G (s) − S M (˜ π , ν, X, c SθM (f G (s) )). ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF , s∈Z(M s=1

Le premier terme vérifie la relation de l’énoncé d’après la proposition 1.8. Fixons s apparaissant ci-dessus. On doit prouver la relation de l’énoncé pour le terme indexé par s dans la somme ci-dessus. On a dit en 2.1 qu’il y avait une application ˜ ˜ ˜ ˜ ). Pour de tels S˜ et S˜ , la fonction ) dans P G (s) (M naturelle S˜ → S˜ de P G (M   G (s) ˜ → S M (˜ ˜ c Sθ λ π , λ, (f G (s) )) n’a pas de pôle sur le segment joignant νS˜ à νS˜ . M Cela nous permet de remplacer dans la relation de l’énoncé le point νS˜ par νS˜ . On vertu de la définition 2.1(2) de la fonction ωS˜ , la relation à démontrer devient ˜  (s), ou plutôt G (s), et la fonction f G (s) . Celle-ci est celle de l’énoncé pour G vérifiée par récurrence puisque s = 1. 

VIII.2.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables ˜ st ∗ c G ˜ Soit δ ∈ Dg´ ˜ (δ, .) par eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) . On définit une forme linéaire SM la formule habituelle   ˜ ˜ c G ˜ G ˜  (s))c S G (s) (δ, f G (s) ). SM˜ (δ, f ) = c I G iM˜ (G, ˜ (δ, f ) − M M ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

Outre quelques formalités que l’on passe, cette définition utilise par récurrence la propriété suivante.

˜

G,E VIII.3. L’application endoscopique c θM ˜

961

st ∗ ˜ Proposition. Pour tout δ ∈ Dg´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) , la distribution ˜

f → c S G ˜ (δ, f ) M est stable. Cette proposition sera prouvée en 4.2. Par récurrence, on voit que notre distribution vérifie la propriété de compacité 1.9(2). ˜

G,E VIII.3 L’application endoscopique cθM ˜

VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique ˜ a) est quelconque et on fixe un espace de Levi M ˜ de G. ˜ Soit Le triplet (G, G,    ˜ ˜ M = (M , M , ζ) une donnée endoscopique de (M, M , a) qui est elliptique et relevante. On définit une application linéaire ˜ c G,E θM˜ (M )

˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )) : I(G(F

par l’égalité (1)

˜ c G,E θM˜ (M , f )

=

 ˆ



 G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))c SθM (f G (˜s) ). ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(

Les mêmes considérations formelles qu’en 2.2 permettent de définir les termes du membre de droite. Ces termes sont bien définis car les distributions qui apparaissent vérifient par récurrence la proposition 2.2, c’est-à-dire sont stables, sauf ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où dans un cas. C’est celui où (G, G, M = M. On ne connaît pas alors les propriétés du terme indexé par s = 1. On le ˜ G remplace alors par c SθM ˜ (f ). Par définition de ce dernier terme, on a alors l’égalité tautologique ˜ c G,E θM˜ (M, f )

(2)

˜

c G = pst ˜ (f ). ˜ ◦ θM M

Soit b une fonction sur A˜G˜ à valeurs complexes. Pour tout s˜ intervenant dans la somme ci-dessus, on a une identification A˜G˜  (˜s) = A˜G˜ et on peut considérer b comme une fonction sur le premier espace. D’autre part, la composée de la projection A˜M˜  → A˜G˜  (˜s) et de l’identification ci-dessus est indépendante de s˜. Elle coïncide en effet avec la composée de l’identification A˜M˜  = A˜M˜ et de la ˜ projection de cet espace sur A˜G˜ . Notons pG ˜  cette composée. D’après 2.1(1), on M   G (˜ s) G (˜ s) ˜ ˜ = f (b ◦ H ˜  ). On a déjà dit que la propriété 1.6(3) se a (f (b ◦ H ˜ )) G

G (˜ s)

962

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien ˜

G propageait aux applications c SθM ˜ . Il résulte de la définition (1) ci-dessus qu’on a l’égalité

(3)

˜ c G,E θM˜ (M , f (b

˜

˜ ˜ )) = c θG,E (M , f )(b ◦ pG˜  ◦ H ˜ ˜  ). ◦H ˜ G M M M ˜

Remarque. L’identification A˜M˜  = A˜M˜ n’envoie pas nécessairement A˜M˜  ,F dans ˜ ˜ ˜  dans A˜ ˜ . Le membre de A˜M˜ ,F . Donc pG ˜  n’envoie pas nécessairement AM G,F ,F M gauche ci-dessus ne dépend que de la restriction de b à A˜G,F ˜ . L’égalité entraîne que c’est aussi le cas du membre de droite mais cela ne résulte pas trivialement de la définition de celui-ci. L’explication est que, par définition du transfert, les supports  ˜  (˜ ˜ ˜  (δ) ∈ A˜ ˜ . s; F ) tels que H des transferts f G (˜s) sont formés d’éléments δ ∈ G G (˜ G,F s) Il résulte de (1) et de ce que l’on a dit en 2.4 que (4) pour tout ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), f ∈ I(G(F ˜

G,E  la fonction c θM ˜ (M , f ) est de Schwartz ; pour tout st (M ) ⊗ Mes(M  (F ))∗ , π ˜ ∈ Dtemp  ˜  ˜ → ˜ c θG,E ˜∗  /iA˜∨  se prola fonction λ  SI M (˜ π , λ, ˜ ˜ ,F ˜ (M , f )) définie sur iAM M M longe en une fonction rationnelle sur A˜∗M˜  ,C /iA˜∨ dont les pôles sont de la ˜  ,F M forme décrite en 1.8(2).

VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes On conserve les mêmes données. On a introduit en [I] 3.2 le groupe d’automor˜ , M ). Il agit sur SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )). phismes Aut(M ˜

G,E  Lemme. L’application c θM ˜ (M ) prend ses valeurs dans le sous-espace d’inva

riants (SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )))Aut(M,M ) . ˜

La preuve est similaire à celle du lemme [II] 1.13.



VIII.3.3 Commutation à l’induction On conserve les mêmes données. On considère les situations suivantes. (a) Soit R un groupe de Levi de M  qui est relevant. Modulo certains choix, cf. ˜ de M ˜ et une donnée endoscopique R [I] 3.4, on construit un espace de Levi R ˜ de R qui est elliptique et relevante. On a l’homomorphisme «terme constant» SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )) ϕ

→ SIac (R ) ⊗ Mes(R (F ))  → ϕR .

˜

G,E VIII.3. L’application endoscopique c θM ˜

963

(b) Soit R un groupe de Levi de M  qui n’est pas relevant. La donnée R n’est plus définie et l’homomorphisme du (i) n’a plus de sens. Par contre, pour ϕ ∈ SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )), la relation ϕR˜  = 0 conserve un sens. On fixe des données auxilaires M1 , . . . , Δ1 pour M . On identifie ϕ à un élément ˜  (F )) ⊗ Mes(M  (F )). La relation signifie que (ϕ1 ) ˜  = 0, ce ϕ1 ∈ SIac,λ1 (M 1 R1 qui ne dépend pas du choix des données auxiliaires. ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Proposition. Soit f ∈ I(G(F (i) Dans la situation (a), on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ c L,E G,E   (c θM dG ˜ ) ˜ (M , L) θ R ˜ (M , f ))R = ˜ (R , fL,ω R ˜ ˜ L∈L( R)

(ii) Dans la situation (b), on a l’égalité ˜

G,E  (c θM ˜  = 0. ˜ (M , f ))R st   Preuve. Dans la situation (a), soit δ ∈ Dg´ eom (R ) ⊗ Mes(R (F )). On doit prouver l’égalité    ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G,E  R  SI M (δ M ,c θM dG (δ, c θL,E ˜ )). ˜ (M , L)SI ˜ (M , f )) = ˜ (R , fL,ω R R ˜ ˜ L∈L( R)

Dans la situation (b), fixons des données auxiliaires M1 , . . . , Δ1 pour M . Soit δ ∈ ˜ M st  ˜ ˜ 1 appartient à D st Dg´ eom,λ1 (R1 (F )) ⊗ Mes(R (F )). L’induite δ g´ eom,λ1 (M1 (F )) ⊗  st   Mes(M (F )). On l’identifie à un élément de Dg´eom (M ) ⊗ Mes(M (F )) que l’on 

note δ M . On doit prouver l’égalité 



˜

G,E  SI M (δ M ,c θM ˜ (M , f )) = 0.

La preuve de ces assertions est la même que celle de (i) et (iii) de la proposition [II] 1.14, en utilisant la relation initiale fournie par le lemme 1.6.  G,E VIII.3.4 Définition de c θM ˜ ˜

Proposition. Il existe une unique application linéaire ˜ c G,E θM˜

˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → Iac (M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) : I(G(F

˜ , a) qui est elliptique et telle que, pour toute donnée endoscopique M de (M, M ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on ait l’égalité relevante et pour tout f ∈ I(G(F ˜



˜

G,E G,E M  (c θM = c θM ˜ (f )) ˜ (M , f ).

964

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ , a) des classes d’équivalence de Preuve. Fixons un ensemble de représentants E(M ˜ , a). Soit f ∈ I(G(F ˜ ), ω)⊗ données endoscopiques elliptiques et relevantes de (M, M ˜  c G,E  ˜ Mes(G(F )). Pour M ∈ E(M , a), posons ϕM = θM˜ (M , f ). On a ϕM ∈ SIac (M ) ⊗ Mes(M  (F )). Oublions pour un instant l’indice ac, c’est-à-dire supposons ϕM ∈ SI(M ) ⊗ Mes(M  (F )). On a décrit dans la proposition [I] 4.11 ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de l’application de transfert l’image I E (M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) → ⊕  SI(M ) ⊗ Mes(M  (F )). I(M ˜ M ∈E(M,a) Il s’agit de montrer que la collection (ϕM )M ∈E(M,a) appartient à cette image. Elle ˜ doit pour cela vérifier les conditions (1), (2) et (3) de [I] 4.11. La condition d’invariance par automorphismes est le lemme 3.2. Les deux autres conditions résultent de la proposition 3.3. Cela conclut sous l’hypothèse faite ci-dessus. Levons cette ˜ , a), on hypothèse. Soit b une fonction à support compact sur A˜M˜ . Pour M ∈ E(M   ˜ ˜  ) ∈ SI(M )⊗Mes(M (F )). On peut appliquer le même raisonnement a ϕM (b◦ H M ˜ ˜  ))  . Celle-ci est donc le transfert d’un unique à la collection (ϕM (b ◦ H ˜ M M ∈E(M,a) ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). En choisissant une suite de fonctions élément ϕ[b] ∈ I(M

(bi )i∈N localement finie et telle que i∈N bi soit constante de valeur 1, on vérifie aisément que la suite de fonctions (ϕ[bi ])i∈N est localement finie. La série i∈N ϕ[bi ] converge donc et est son transfert est bien la collection (ϕM )M ∈E(M,a) . Il faut ˜ ˜ toutefois vérifier que la somme de la série appartient à Iac (M (F ), ω)⊗Mes(M (F )), ˜ (F ) qui est biinvariante par un c’est-à-dire qu’elle provient d’une fonction sur M  ˜ , a), fixons des données auxisous-groupe ouvert compact. Pour chaque M ∈ E(M  ˜  (F ))⊗Mes(M  (F )). liaires M1 , . . . , Δ1 . Identifions ϕM à un élément de SIac,λ1 (M 1 Par définition de cet espace, on peut fixer un sous-groupe ouvert compact KM1 ˜  (F ) biinvariante par de M1 (F ) de sorte que ϕM provienne d’une fonction sur M 1 KM1 . Il en résulte que, pour tout i ∈ N, ϕM (bi ◦ HM˜  ) provient d’une fonction sur ˜  (F ) biinvariante par KM  . D’après le corollaire [XI] 6, il existe un sous-groupe M 1 1 ouvert compact KM de M (F ), qui ne dépend que des KM1 (donc qui ne dépend ˜ (F ) qui est biinvariante d’une fonction sur M pas de i), de sorte que ϕ[bi ] provienne par KM . Alors la somme de la série i∈N ϕ[bi ] provient elle-aussi d’une fonction  biinvariante par KM . Cela achève la preuve.

VIII.3.5 Commutation à l’induction ˜ un espace de Levi de M ˜ et f ∈ I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a Lemme. Soient R l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ c L,E c G,E θM˜ (f )R,ω = dG ˜ ˜ ). ˜ (M , L) θ R ˜ (fL,ω R ˜ ˜ L∈L( M)

˜ a) qui Preuve. Il suffit de voir que, pour toute donnée endoscopique R de (R, R,  est elliptique et relevante, les deux membres ont même transfert à R . Pour une

˜

G,E VIII.3. L’application endoscopique c θM ˜

965

˜ , a) qui est telle donnée R , on peut trouver une donnée endoscopique M de (M, M elliptique et relevante, de sorte que R soit une «donnée de Levi» de M . L’égalité cherchée résulte alors de la proposition 3.3 et de la relation 



R = (ϕM )R (ϕR,ω ˜ )

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). pour tout ϕ ∈ I(M

VIII.3.6

˜ c G,E θM˜ (f)



est de Schwartz

˜ ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Alors c θG,E Lemme. Soit f ∈ I(G(F ˜ (f ) est une fonction de M Schwartz. Pour tout

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ , π ˜ ∈ Dtemp (M ˜ ˜ → I G˜ (˜ ˜ c θG,E ˜ ˜∗ /iA˜∨ la fonction λ π , λ, se prolonge en ˜ ˜ ˜ (f )) définie pour λ ∈ iAM M,F M ∗ ∨ une fonction rationnelle sur A˜M˜ ,C /iA˜M,F dont les pôles sont de la forme décrite ˜ en 1.8(2).

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . On doit montrer que la foncPreuve. Soit π ˜ ∈ Dtemp (M ˜ ˜ c G,E M tion X → I (˜ π , X, θ M˜ (f )) définie sur A˜M˜ ,F est à décroissance rapide. On doit ˜ ˜ c θ G,E ˜ → I M˜ (˜ π , λ, ensuite étudier la fonction λ ˜ (f )). Par linéarité, on peut supposer M ˜ de M ˜ et une soit que π ˜ est elliptique, soit qu’il existe un espace de Levi propre R ˜ M ˜ ω-représentation elliptique σ ˜ de R(F ) de sorte que π ˜ = IndR˜ (˜ σ ). ˜ , a) Supposons d’abord π ˜ elliptique. Fixons un ensemble de représentants E(M des classes d’équivalence de données endoscopiques elliptiques et relevantes de ˜ , a). Rappelons que le transfert définit un isomorphisme (M, M  st ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . ⊕M ∈E(M,a) (Dell (M ) ⊗ Mes(M  (F ))∗ )Aut(M ) → Dell (M ˜

On écrit conformément (1)



π ˜=

transfert(˜ πM ),

˜ M ∈E(M,a)  st ˜ ∈ A˜∗ , il est clair que où π ˜M ∈ (Dell (M ) ⊗ Mes(M  (F ))∗ )Aut(M ) . Pour λ ˜ ,C M



π ˜λ˜ =

transfert(˜ πM ,λ˜ ).

˜ M ∈E(M,a)

˜ modulo iA˜∨ . Il n’est pas clair a Le membre de gauche ne dépend que de λ ˜ M,F priori que chaque terme π ˜  ˜ vérifie la même propriété, car les ensembles A˜∨ M ,λ

˜ M,F

966

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

et A˜∨ ˜  ,F peuvent être distincts. Mais l’unicité de la décomposition ci-dessus assure M ˜ modulo iA˜∨ . qu’il en est bien ainsi : π ˜  ˜ ne dépend que de λ M ,λ

˜ M,F

Pour X ∈ A˜M˜ ,F , on a l’égalité ˜

˜

˜

˜

G,E M ˜ ˜ )c θG,E (f )), I M (˜ π , X, c θM π , (1X ◦ H ˜ (f )) = I (˜ ˜ M M

où 1X est la fonction caractéristique de X dans A˜M˜ . Appliquons (1). Pour tout ˜ ˜ ˜ , a), le transfert à M de la fonction c θG,E M ∈ E(M (f ) est c θG,E (M , f ). Le trans˜ M

˜ M

˜ ˜  ˜ ˜ )c θ G,E ˜ ˜  )c θG,E fert de la fonction (1X ◦ H ˜ (f ) est (1X ◦ HM ˜ (M , f ). D’où l’égalité M M M



˜

˜

G,E I M (˜ π , X, c θM ˜ (f )) =



˜

˜ ˜  )c θG,E (M , f )) SI M (˜ πM , (1X ◦ H ˜ M M

˜ M ∈E(M,a)



=



˜

G,E  SI M (˜ πM , X, c θM ˜ (M , f )).

˜ M ∈E(M,a) ˜

G,E  D’après 3.1(4), les fonctions c θM ˜ (M , f ) sont de Schwartz. L’expression ci-dessus ˜ → est donc à décroissance rapide en X. On peut donc définir la fonction λ ˜ ˜ G,E c ∗ ∨ M ˜ θ (f )) sur iA˜ /iA˜ I (˜ π , λ, par ˜ M

˜ M

˜ M,F



˜ ˜ ˜ c θG,E I M (˜ π , λ, ˜ (f )) = M

G,E eλ,X  I M (˜ π , X, c θM ˜ (f )). ˜

˜

˜

˜˜ X∈A M ,F

˜ , a) on voit apparaître la somme Pour M ∈ E(M 

G,E  eλ,X  SI M (˜ πM , X, c θM ˜ (M , f )). 

˜

˜

˜˜ X∈A M,F  ˜ G,E  Pour X ∈ A˜M˜  ,F , les termes SI M (˜ πM , X, c θM ˜ (M , f )) sont nuls par définition. ∨ ˜ modulo iA˜ , les mêmes termes sont nuls Parce que π ˜M ,λ˜ ne dépend que de λ ˜ M,F pour X ∈ A˜ ˜  − (A˜ ˜ ∩ A˜ ˜  ). On peut donc remplacer l’ensemble de som-

M ,F

M ,F

M ,F

˜



˜ c θG,E (f )). On obtient mation ci-dessus par A˜M˜  ,F . La somme devient SI M (˜ πM , λ, ˜ M (1)

˜

˜

˜ c θ G,E (f )) = I M (˜ π , λ, ˜ M





˜

˜ c θG,E (f )). SI M (˜ πM , λ, ˜ M

˜ M ∈E(M,a)

Grâce à 3.1(4), cette fonction se prolonge en une fonction rationnelle sur A˜M˜ ,C /iA˜∗M,F avec des hyperplans polaires de la forme habituelle. Cela démontre ˜ les propriétés voulues pour une ω-représentation elliptique.

˜

G,E VIII.3. L’application endoscopique c θM ˜

967

˜ de M ˜ et une ω-représentation Fixons maintenant un espace de Levi propre R ˜ M ˜ ˜ σ ). Soit X ∈ AM˜ ,F . D’après le lemme 3.5, elliptique σ ˜ de R(F ). Posons π ˜ = IndR˜ (˜ on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ R ˜ ˜ ˜ )c θG,E ˜ ˜ )c θL,E (2) I M (˜ π , (1X ◦ H (f )) = dG σ , (1X ◦ H ˜ )). ˜ (M , L)I (˜ ˜ ˜ (fL,ω M M R M R ˜ ˜ L∈L( R)

˜ , L) ˜ = 0. On a une projection ˜ ∈ L(R) ˜ tel que dG˜ (M Fixons un espace de Levi L ˜ R sur A˜M˜ ,F . On a l’égalité Y → YM˜ de A˜R,F ˜ 

˜ ˜ ˜ )c θL,E (1X ◦ H ˜ )= ˜ (fL,ω M R

˜ ˜ ˜ )c θL,E (1Y ◦ H ˜ ). ˜ (fL,ω R R

˜ ˜ ;Y ˜ =X Y ∈A R,F M ˜ La projection dans A˜L˜ du support de c θL,E ˜ ) est compacte. ˜ (fL,ω R ˜ ˜ ˜ G dont la L’hypothèse dR˜ (M , L) = 0 entraîne que l’ensemble des Y ∈ A˜R,F ˜ projection dans A˜L˜ appartient à ce compact et dont la projection dans A˜M˜ est X est fini. La somme ci-dessus n’a donc qu’un nombre fini de termes non nuls. Il en résulte l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ )c θL,E (3) I R (˜ σ , (1X ◦ H I R (˜ σ , Y, c θL,E ˜ )) = ˜ )). ˜ (fL,ω ˜ (fL,ω M R R ˜ ˜ ;Y ˜ =X Y ∈A R,F M ˜

˜

˜ = M ˜ , on sait par récurrence que la fonction Y → I R (˜ σ , Y, c θL,E Puisque R ˜ )) ˜ (fL,ω R est à décroissance rapide. Donc l’expression ci-dessus est à décroissance rapide en ˜ ˜ ˜ ˜ )c θ G,E X. D’après (2), il en est de même de I M (˜ π , (1X ◦ H ˜ (f )). En multipliant M M ˜ (3) par eλ,X  et en sommant en X, on obtient 

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ R ˜ c θL,E ˜ ˜ )c θL,E eλ,X  I R (˜ σ , (1X ◦ H σ , λ, ˜ )) = I (˜ ˜ )). ˜ (fL,ω ˜ (fL,ω M R R

˜˜ X∈A M ,F

D’où, grâce à (2), ˜

˜

˜ c θG,E (f )) = π , λ, I M (˜ ˜ M



˜

˜

˜

˜ c θL,E (f ˜ )). ˜ ˜ R σ , λ, dG ˜ (M , L)I (˜ ˜ L,ω R R

˜ ˜ L∈L( R)

Les propriétés voulues du terme de gauche résultent des mêmes propriétés du membre de droite, qui sont connues par récurrence. 

VIII.3.7 Une propriété d’annulation ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et π ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . On Soient f ∈ I(G(F ˜ ∈ Dtemp(M reprend les définitions et notations de 1.7.

968

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ = G ˜ et supposons que π Proposition. Supposons M ˜ est elliptique. Pour tout S˜ ∈ ˜ ), fixons un point ν ˜ comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour P(M S ˜ cette notion dépendant de la représentation π S, ˜ . Alors on a l’égalité  ˜ ˜ G,E ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, c θM ˜ (f )) = 0 ˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X ∈ A˜M˜ ,F . Preuve. On reprend les notations de la première partie de la preuve du lemme ˜ et 3.6. En vertu des égalités 3.6(1) et 3.1(1), on peut fixer M = (M  , M , ζ) ΓF ,θˆ ΓF ,θˆ  ˜ ˆ ˆ /Z(G) tel que G (˜ s) soit elliptique et prouver l’égalité s˜ ∈ ζZ(M )    G (˜ s) ωS˜ (X)S M (˜ πM , νS˜ , X, c SθM (f G (˜s) )) = 0. (1) ˜ ˜ S∈P( M)

Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 3.6, les termes intervenant sont nuls si X ∈ A˜M˜ ,F ∩ A˜M˜  ,F . On peut donc supposer que X appartient à cette intersection. La proposition 2.4 nous dit alors que l’on a une égalité    G (˜ s) ωS˜ (X)S M (˜ πM , νS˜ , X, c SθM (f G (˜s) )) = 0. ˜  (˜ s ) (M ˜ ∈P G ˜ ) S

Le même calcul que dans la preuve de la proposition 2.4 montre que cette égalité est équivalente à (1). 

VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a l’égalité Proposition (à prouver). Soient f ∈ I(G(F ˜ c G,E θM˜ (f )

˜

= c θG ˜ (f ). M

˜ a) est quasiCette proposition sera prouvée en 4.3 dans le cas où (G, G, déployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X, cf. [X] 3.5 et [X] 7.7.

VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques ˜ une donnée endoscopique de (M, M ˜ , a) qui est elliptique Soit M = (M  , M , ζ) st   ∗ ˜ ), ω) ⊗ (M ) ⊗ Mes(M (F )) et soit f ∈ I(G(F et relevante. Soit δ ∈ Dg´ ˜ -reg eom,G Mes(G(F )). On pose   ˜ G (˜ s) c G,E ˜ G ˜  (˜ IM˜ (M , δ, f ) = iM˜  (G, s))c S M (δ, f G (˜s) ). ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(

˜

G,E VIII.3. L’application endoscopique c θM ˜

969

˜ a) est quasi-déployé et à Comme toujours, il y a un cas particulier. Si (G, G,  G (1)  torsion intérieure et si M = M, on doit remplacer le terme c SM (δ, f G (1) ) par c

˜

˜

˜

G c G,E c G SM ˜ (δ, f ). ˜ (δ, f ). Dans ce cas, on a tautologiquement IM ˜ (M, δ, f ) = I M ˜

G,E  Le terme ainsi défini jouit des mêmes propriétés que le terme IM ˜ (M , δ, f ) défini en [II] 1.12. En particulier les propriétés démontrées en [II] 1.13, 1.14 et 1.15 valent aussi pour nos nouveaux objets. On peut alors poser la même défini˜ , a) de représentants des tion qu’en [II] 1.15. C’est-à-dire, fixons un ensemble E(M ˜ , a) qui sont elliptiques classes d’équivalence de données endoscopiques de (M, M ˜ et relevantes. Soit γ ∈ Dg´eom,G˜ -reg (M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . On peut l’écrire sous la forme  (1) γ= transfert(δ M ), ˜ M ∈E(M,a) st   ∗ avec des δ M ∈ Dg´ ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (F )) . On pose eom,G ˜ c G,E IM˜ (γ, f )

=



˜ c G,E I M˜ (M , δ M , f ).

˜ M ∈E(M,a)

La décomposition (1) n’est pas unique mais le terme ci-dessus ne dépend pas de la décomposition choisie. ˜

G,E La propriété de compacité 1.9(2) se propage à notre distribution c IM ˜ (γ, .).

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ et Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ Dg´eom,G˜ -reg (M ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité tout f ∈ I(G(F ˜ c G,E IM˜ (γ, f )

˜

= cI G ˜ (γ, f ). M

Comme la proposition précédente, celle-ci sera prouvée en 4.3 dans le cas ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général où (G, G, dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X, cf. [X] 3.5 et [X] 7.7. Remarque. On s’est limité ici à des distributions γ à support fortement régulier ˜ Cela parce qu’une définition correcte pour les éléments ne vérifiant pas dans G. ˜ cette propriété nécessite l’introduction du système de fonctions B G de [II] 1.11. Cela compliquerait grandement les choses alors que les distributions à support ˜ a) est fortement régulier suffiront aux applications. Mais, dans le cas où (G, G, ˜ quasi-déployé et à torsion intérieure, le recours au système de fonctions B G se trivialise. Dans ce cas, on peut poser les mêmes définitions que ci-dessus et énoncer la même proposition pour une distribution γ à support quelconque.

970

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

VIII.4 Les preuves et l’application M˜ VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables ou endoscopiques et leurs variantes Proposition. (i) Soient ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ et f ∈ I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )). γ ∈ Dg´eom,G˜ -reg (M On a l’égalité ˜ c G,E IM˜ (γ, f )

=



˜

˜

L,E c G,E IM ˜ (γ, θ L ˜ (f )).

˜ ˜ L∈L( M)

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient (ii) Supposons (G, G, st ∗ ˜ ˜ δ ∈ Dg´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )).

On a l’égalité c

˜

G SM ˜ (δ, f ) =



˜

˜

G L c SM ˜ (f )). ˜ (δ, Sθ L

˜ ˜ L∈L( M) ˜

L Remarque. L’expression (ii) a un sens puisqu’on sait que les distributions SM ˜ (δ, .) sont stables, cf. [II] théorème 1.10.

Preuve de (i). Par linéarité, on peut fixer une donnée endoscopique ˜ de (M, M ˜ , a), M = (M  , M , ζ) st   elliptique et relevante, et un élément δ ∈ Dg´ ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (F )) et supeom,G poser que γ = transfert(δ). D’après les définitions, l’égalité à prouver devient  ˜ ˜ ˜ L,E c G,E  c G,E (1) IM˜ (M , δ, f ) = IM ˜ (M , δ, θ L ˜ (f )). ˜ ˜ L∈L( M)

˜ a) est quasi-déployé et à torsion intéConsidérons d’abord le cas où (G, G, rieure et où M = M. Comme on l’a dit, on a tautologiquement l’égalité ˜ c G,E IM˜ (M, δ, f )

˜

= cI G ˜ (δ, f ). M ˜

˜

L,E L De façon également tautologique, les distributions IM ˜ (δ, .) sont ˜ (M, δ, .) et IM égales. L’égalité à prouver prend la forme  ˜ ˜ ˜ L c G c G,E (2) IM˜ (δ, f ) = IM ˜ (δ, θ L ˜ (f )). ˜ ˜ L∈L( M)

VIII.4. Les preuves et l’application M˜

971

˜ = M ˜ , nos habituelles hypothèses de récurrence nous autorisent à utiliser la Si L ˜ ˜ G,E c G ˜ ˜ proposition 3.8 : c θ L ˜ (f ). Considérons le cas L = M . Puisque δ est ˜ (f ) = θ L ˜

˜

G,E stable, la distribution I M (δ, .) est stable et on peut remplacer le terme c θM ˜ (f ) ˜ par sa projection dans SI(M (F ))⊗Mes(M (F )). L’égalité 3.1(2) n’est qu’une façon ˜ ˜ c G ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) de c θG,E de dire que les projections dans SI(M ˜ (f ) ˜ (f ) et de θ M M ˜ ˜ sont égales. On a ainsi obtenu le même résultat que dans le cas L = M , à savoir que l’on peut supprimer les exposants E figurant dans la formule (2). Alors cette formule devient simplement 1.9(3). ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intéExcluons maintenant le cas où (G, G, rieure et où M = M. On utilise la définition   ˜ G (˜ s) c G,E ˜ G ˜  (˜ IM˜ (M , δ, f ) = iM˜  (G, s))c S M (δ, f G (˜s) ). ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(

s)SC ) < dim(GSC ) pour tous les s˜ intervenant et on peut utiliser par On a dim(G (˜ récurrence le (ii) de la présente proposition. En utilisant les mêmes notations que dans la preuve de la proposition [II] 2.6 (dont la présente preuve est une variante), on obtient  ˜ c G,E ˜ G ˜  (˜ IM˜ (M , δ, f ) = iM˜  (G, s)) ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ(



L

G (˜ s)

SMs˜ (δ, c SθL



(f G (˜s) )).

s ˜

˜  (˜ s ) (M ˜  ∈LG ˜ ) L s ˜

˜  ) selon l’espace de Levi L ˜ de G ˜ déterminé par l’égalité On regroupe les paires (˜ s, L s˜ AL˜ = AL˜  . On obtient s ˜

˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )

=





˜ ˜ s˜∈ζZ( ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L) ˆ ΓF ,θˆ, L∈L( M) L (˜ s) elliptique



L (˜ s)

G (t˜)



˜ G ˜  (t˜))S  (δ, c Sθ  (f G (t) )). iM˜  (G, M L (˜ s) ˜

ˆ ΓF ,θˆ ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) t˜∈˜ sZ(L)

On a l’égalité

˜ G ˜  (t˜)) = i ˜  (L, ˜ L ˜  (˜ ˜ G ˜  (t˜)) s))iL˜  (˜s) (G, iM˜  (G, M

et l’expression ci-dessus devient  ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f ) = ˜ ˜) s ˜ M) ˆ L∈L( M ˜∈ζZ(



 ˆ ΓF ,θ

ˆ ΓF ,θˆ ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) t˜∈˜ sZ(L)

ˆ /Z(L)

˜ L ˜  (˜ iM˜  (L, s)) ˆ ΓF ,θ 





˜ G ˜  (t˜))S L (˜s) (δ, c SθG (t˜) (f G (t˜) )). iL˜  (˜s) (G, M L (˜ s)

972

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ et s˜, on reconnaît Pour tous L 

G (t˜)



˜ G ˜  (t˜))c Sθ  (f G (t) ) iL˜  (˜s) (G, L (˜ s) ˜

ˆ ΓF ,θˆ ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) t˜∈˜ sZ(L) ˜



˜

G,E G,E  L (˜ s) s), f ) = (c θL . = c θL ˜ (L (˜ ˜ (f ))

L’expression plus haut devient ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )

=





L (˜ s)

˜



G,E L (˜ s) ˜ L ˜  (˜ iM˜  (L, s))SM (δ, (c θL ). ˜ (f ))

˜ ˜ s˜∈ζZ( ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L) ˆ ΓF ,θˆ L∈L( M)

˜ la somme en s˜ n’est autre que Par définition, pour tout L, ˜

˜

L,E  c G,E IM ˜ (M , δ, θ L ˜ (f )).

Alors l’expression ci-dessus devient simplement la formule (1) qu’il fallait démontrer. Cela prouve le (i) de l’énoncé.  ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On Preuve du (ii). Maintenant (G, G, st ∗ identifie δ à un élément de Dg´ eom (M) ⊗ Mes(M (F )) . On a prouvé l’identité (1) (pour M = M) par une méthode spécifique. Mais on peut aussi reprendre le calcul du cas général. Comme toujours, il y a un terme auquel on ne peut plus appliquer par récurrence l’égalité du (ii) de l’énoncé. C’est celui indexé par s = 1. On le remplace par le membre de droite du (ii) de l’énoncé plus la différence X entre le membre de gauche et ce membre de droite. Le calcul se poursuit, la seule différence est l’addition de ce terme X. On obtient  ˜ ˜ ˜ L,E c G,E c G,E IM˜ (M, δ, f ) = X + IM ˜ (M, δ, θ L ˜ (f )). ˜ ˜ L∈L( M)

Puisqu’on a déjà démontré l’égalité analogue sans le terme X, cela implique X = 0, ce que l’on devait prouver. 

VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5 ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit f ∈ I(G(F ˜ )) ⊗ On suppose (G, G, ˜ Mes(G(F )) dont l’image dans SI(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est nulle. On veut prou˜ G st ∗ ˜ ver que c SθM ˜ (f ) = 0 et que, pour tout δ ∈ Dg´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) , on ˜

G a c SM ˜ (δ, f ) = 0. Le lemme 2.3 et nos hypothèses de récurrence assurent que ˜ G c ˜ de M ˜ , autrement dit c SθG˜ (f ) ( SθM˜ (f ))R˜ = 0 pour tout espace de Levi propre R ˜ M ˜ ∈ L(M ˜ ), avec L ˜ = M ˜ , nos hypothèses de récurrence assurent est cuspidale. Pour L

VIII.4. Les preuves et l’application M˜

973

˜

G que c SθL ˜ (f ) = 0. Pour δ comme ci-dessus, la formule de la proposition 4.1(ii) se simplifie en c

(1)

˜

˜

˜

G G c M SM ˜ (δ, f ) = S (δ, SθM ˜ (f )).

On utilise la propriété de compacité 1.9(2) dont on a dit qu’elle se propageait à la distribution de gauche ci-dessus : le terme est nul quand le support de δ ne ˜ ). Il en résulte que coupe pas ΩG pour un certain sous-ensemble compact Ω de G(F ˜ G c ˜ SθM ˜ (f ), qui est a priori un élément de SIac (M (F )) ⊗ Mes(M (F )), est «à support ˜ compact», c’est-à-dire appartient à SI(M (F )) ⊗ Mes(M (F )). Il en résulte que, st ˜ ˜ → S M˜ (˜ ˜ c SθG˜ (f )) n’a pas (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))∗ , la fonction λ π , λ, pour π ˜ ∈ Dell ˜ M ˜

˜

G de pôle. Ses coefficients de Fourier S M (˜ π , ν, X, c SθM ˜ (f )) sont donc indépendants ∗ du point ν ∈ AM˜ . Dans la formule de la proposition 2.4, on peut remplacer chaque νS˜ par 0. Puisque ˜ ˜ (X) = 1 pour tout X, on obtient que ˜ ωS S∈P( M) ˜

˜

G S M (˜ π , 0, X, c SθM ˜ (f )) = 0 pour tout X. ˜

˜

G Par inversion de Fourier, S M (˜ π , c SθM ˜ (f )) = 0. Un élément cuspidal de ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) annulé par les distributions S M˜ (˜ SI(M π , .) pour tout π ˜ ∈ ˜ G st ˜ ∗ c Dell (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) est nul ([XI] corollaire 4.2(i)). Donc SθM˜ (f ) = 0, ce qui prouve la proposition 2.2. Le membre de droite de (1) est maintenant nul, donc aussi celui de gauche. Cela prouve la proposition 2.5.

VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 ˜ a) est quelconque mais on pose l’hypothèse suivante : Ici (G, G, ˜ (F ), ω)⊗ Mes(M (F ))∗ et tout f ∈ I(G(F ˜ ), ω)⊗ (1) pour tout γ ∈ Dg´eom,G˜ -reg (M Mes(G(F )), on a l’égalité ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, f ). ˜ (γ, f ) = IM

Ainsi qu’on l’a déjà dit plusieurs fois, cette hypothèse sera vérfiée au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7). Soient γ et f comme ci-dessus. Considérons le membre de droite de la formule ˜ ˜ ∈ L(M ˜ ), la distribution I L,E du (i) de la proposition 4.1. Pour L ˜ (γ, .) est égale M ˜ ˜ = G, ˜ soit par l’hypothèse (1) si à I L (γ, .) soit par hypothèse de récurrence si L ˜ M

˜ ˜ c G ˜ = G. ˜ Si L ˜ = M ˜ , on a aussi c θG,E L ˜ (f ) par nos hypothèses de récurrence. ˜ (f ) = θ L L La formule devient  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L c G,E c G IM˜ (γ, f ) = I M (γ, c θ G,E (f )) + IM ˜ (f )). ˜ (γ, θ L ˜ M ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

En comparant avec 1.9(3), on obtient (2)

˜ c G IM˜ (γ, f )

˜

˜

M − c I G,E ˜ (γ, f ) = I (γ, ϕ), M

974

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

où

˜

˜

c G,E ϕ = c θG ˜ (f ) − θ M ˜ (f ). M

La propriété de compacité 1.9(3) se propage comme on l’a dit au membre de ˜ (F ), ω) ⊗ gauche de (2). Il en résulte que ϕ, qui est a priori un élément de Iac (M ˜ (F ), ω)⊗ Mes(M (F )), est «à support compact», c’est-à-dire est un élément de I(M ˜ → ˜ Mes(M (F )). Pour une ω-représentation elliptique π ˜ de M (F ), la fonction λ ˜ ˜ M M ˜ ϕ) n’a donc pas de pôle. Ses coefficients de Fourier I (˜ π , λ, π , ν, X, ϕ) ne I (˜ dépendent donc pas du point ν ∈ A∗M˜ . Par construction, on a ˜

˜

˜

˜

˜

G,E M π , ν, X, ϕ) = I M (˜ π , ν, X, c θG π , ν, X, cθ M I M (˜ ˜ (f )) − I (˜ ˜ (f )). M

On utilise les propositions 1.8 et 3.7 qui nous disent que  ˜ ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, ϕ) = 0 ˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X. Comme dans le paragraphe précédent, on peut remplacer les points ˜ π , 0, X, ϕ) = 0 pour tout X. Par inversion de Fourier, νS˜ par 0 et conclure que I M (˜ ˜ π , ϕ) = 0. Par ailleurs, les lemmes 1.6 et 3.5 et nos hypothèses de on obtient I M (˜ ˜ de M ˜ , c’estrécurrence impliquent que ϕR˜ = 0 pour tout espace de Levi propre R ˜ M π , .) pour toute à-dire que ϕ est cuspidale. Etant annulée par la distribution I (˜ ˜ (F ), cette fonction est nulle. Donc ω-représentation elliptique π ˜ de M ˜ c G θM˜ (f )

˜

G,E = c θM ˜ (f ),

ce qui prouve la proposition 3.8. La fonction ϕ étant nulle, l’égalité (2) entraîne ˜ c G IM˜ (γ, f )

˜

G,E = cI M ˜ (γ, f ),

ce qui prouve la proposition 3.9. ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, l’hypothèse Dans le cas où (G, G, (1) est le théorème [II] 1.16(ii), que l’on a déjà prouvé. Donc les propositions 3.8 et 3.9 sont prouvées inconditionnellement dans ce cas. Comme on l’a dit, la ˜ ne sert qu’à éviter dans restriction que δ est à support fortement régulier dans G ˜ le cas général l’introduction du délicat système de fonctions B G . Dans le cas quasidéployé et à torsion intérieure, ce système de fonctions est trivial, la preuve vaut aussi bien pour δ quelconque.

VIII.4.4 L’application M ˜ ˜ a). Considérons un tel triplet. On a défini en [III] 6.2 des triplets particuliers (G, G, Le groupe G est simplement connexe et quasi-déployé. On note ΘF l’ensemble des

VIII.4. Les preuves et l’application M˜

975

˜ ) tels que adη conserve une paire de Borel épinglée éléments semi-simples η ∈ G(F définie sur F . On a vu en [III] 6.2 que ces éléments sont contenus dans un nombre ˜ ), ω)00 comme le fini de classes de conjugaison stable. On définit l’espace I(G(F ˜ ), ω) dont les intégrales orbitales sont nulles sous-espace des éléments f ∈ I(G(F ˜ ) dont la partie semi-simple appartient à une classe de en tout point γ ∈ G(F conjugaison stable coupant ΘF . ˜ a) n’est pas l’un des triplets particuliers définis en [III] 6.2, on pose Si (G, G, ˜ ), ω)00 = I(G(F ˜ ), ω). simplement I(G(F ˜ (F ), ω) le sous-espace des éléments cuspiOn note naturellement Iac,cusp (M ˜ (F ), ω). daux de Iac (M Proposition. Il existe une unique application linéaire ˜ ), ω)00 ⊗ Mes(G(F )) → Iac,cusp (M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) M˜ : I(G(F telle que ˜

˜

˜

G,E G M IM ˜ (f )) ˜ (γ, f ) = I (γ, M ˜ (γ, f ) − IM

pour tout ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ γ ∈ Dg´eom (M et tout ˜ ), ω)00 ⊗ Mes(G(F )). f ∈ I(G(F Preuve. Il est clair que l’application M˜ est unique si elle existe. Fixons f ∈ ˜ ), ω)00 ⊗ Mes(G(F )). Considérons l’égalité I(G(F ˜

˜

˜

G,E G M IM ˜ (γ, f ) = I (γ, ϕ). ˜ (γ, f ) − IM

(1)

Commençons par prouver ˜ (F ), il existe (2) pour toute classe de conjugaison stable semi-simple O dans M ˜ ϕ ∈ I(M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de sorte que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈ ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ assez proche de O. Dg´eom,G˜ -équi (M On rappelle qu’on dit que γ est assez proche de O si les parties semi-simples des éléments du support de γ sont assez proches de O. On utilise les développements en germes des deux termes du membre de gauche fournis par les propositions [II] 2.3 et [II] 2.6. On a ainsi ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, f ) = ˜ (γ, f ) − IM



˜

˜

˜

˜

L,E G L ILG,E ˜ (gM ˜ ,O (γ), f ). ˜ (gM ˜ ,O (γ), f ) − IL

˜ ˜ L∈L( M) ˜ ˜ ˜ = M ˜ , on applique par récurrence le théorème [II] 1.16(i) : I G,E Si L = ILG ˜ . Si ˜ L ˜ ˜ ˜ = G, ˜ on utilise par récurrence la proposition [II] 2.7 : g L,E L = g L . La formule ˜ M,O

˜ M,O

976

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

se simplifie en ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, f ) ˜ (γ, f ) − IM ˜

˜

˜

˜

˜

˜

˜

G,E G,E M G G M = I G (gM (γ), f ) + IM (γ), f ) − IM ˜ ˜ ˜ (gM ˜ ,O (γ), f ). ˜ ,O (γ) − gM,O ˜ (gM,O ˜

˜

˜

˜

˜

G,E G (γ) et gM,O (γ) sont en tout cas des éléments de Dg´eom (OG , ω) ⊗ Les termes gM,O ˜ ˜ ˜ ˜ ) contenant O. Si Mes(G(F ))∗ où OG est la classe de conjugaison stable dans G(F ˜ ˜ a) est l’un des triplets construits en [III] 6.2 et si OG coupe ΘF , l’hypothèse (G, G, ˜ ), ω)00 ⊗ Mes(G(F )) entraîne que le premier terme du membre de que f ∈ I(G(F ˜ a) n’est pas l’un de ces triplets ou droite ci-dessus est nul. Si au contraire (G, G, ˜ G si c’est l’un d’eux mais O ne coupe pas ΘF , la proposition [III] 8.5 affirme que ˜ ˜ G,E G (γ) = gM,O (γ). Le premier terme ci-dessus est donc encore nul. L’égalité se gM,O ˜ ˜ simplifie en

(3)

˜

˜

˜

˜

G,E G,E M G G M IM (γ), f ) − IM ˜ (γ, f ) = IM ˜ ˜ (gM ˜ ,O (γ), f ). ˜ (γ, f ) − IM ˜ (gM,O

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que Choisissons une fonction ϕ ∈ I(M ˜

˜

˜

G,E G I M (τ , ϕ) = IM ˜ (τ , f ) ˜ (τ , f ) − IM

pour tout τ ∈ Dg´eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . C’est possible puisque Dg´eom (O, ω) ⊗ ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ est un sous-espace de dimension finie du dual de I(M Mes(M (F )). Cela entraîne en particulier que ˜

˜

˜

˜

˜

˜

G,E M M G M I M (gM,O (γ), ϕ) = IM (γ), f ) − IM ˜ ˜ ˜ (gM ˜ ,O (γ), f ). ˜ (gM,O

Par le développement en germes de Shalika ordinaires, le membre de gauche ci˜ dessus est égal à I M (γ, ϕ) pourvu que γ soit assez proche de O. Alors l’égalité (3) devient (1). Cela démontre l’assertion (2). Prouvons que ˜ (F ) et une fonction (4) il existe un sous-ensemble compact Ω ⊂ M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) ϕ ∈ Iac (M de sorte que l’on ait l’égalité (1) pour tout ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ γ ∈ Dg´eom (M dont le support ne coupe pas ΩM . On utilise la relation 1.9(3) et la proposition 4.1(i). On obtient l’égalité ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, f ) ˜ (γ, f ) − IM ˜

˜

G,E c G = cI M ˜ (γ, f ) − ˜ (γ, f ) − I M

 ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

˜

˜

˜

˜

L,E L c G,E c G IM ˜ (f )). ˜ (γ, θ L ˜ (γ, θ L ˜ (f )) − IM

VIII.4. Les preuves et l’application M˜

977

˜ = G ˜ : on a On peut utiliser le théorème [II] 1.16(i) par récurrence puisque L ˜ ˜ ˜ ˜ L,E L c G,E ˜ ˜ IM˜ = IM˜ . Si L = M , on peut aussi utiliser la proposition 3.8 : θL˜ (f ) = c θ G ˜ (f ). L L’égalité se simplifie en (5)

˜

˜

˜

˜

˜

G,E G M c G,E c G IM ˜ (γ, f ) + I (γ, ϕ), ˜ (γ, f ) = I M ˜ (γ, f ) − IM ˜ (γ, f ) − I M

où

˜

˜

G,E c G ϕ = c θM ˜ (f ). ˜ (f ) − θ M

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). La propriété Cette fonction ϕ est bien un élément de Iac (M de compacité 1.9(2), qui se propage au premier terme du membre de droite de ˜ (F ) tel que les deux (5), assure l’existence d’un sous-ensemble compact Ω de M premiers termes de ce membre de droite soient nuls si le support de γ ne coupe pas ΩM . Cela prouve (4). On peut évidemment supposer ΩM ouvert, fermé et invariant par conjugaison stable. Par partition de l’unité, l’assertion (2) permet de construire une ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈ fonction ϕ ∈ I(M ˜ Dg´eom,G˜ -équi (M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ à support contenu dans ΩM . L’assertion (4) construit une telle fonction telle que (1) soit vérifiée pour ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ à support disjoint de ΩM . En recollant tout γ ∈ Dg´eom (M ces deux fonctions, on obtient une fonction ϕ telle que (1) soit vérifiée pour tout ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . Montrons que l’on peut supprimer la γ ∈ Dg´eom,G˜ -équi (M restriction sur le support de γ. Pour cela, il suffit de fixer une classe de conjugaison ˜ (F ) et de prouver que la relation (1) est encore vérifiée stable semi-simple O dans M pour γ ∈ Dg´eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . Pour de tels O et γ, on peut choisir γ  à ˜ et proche de O de sorte que g M˜ (γ  ) = γ, cf. support fortement régulier dans G ˜ M,O [II] 2.1(1). La relation (3) appliquée à ce γ  nous dit que ˜

˜

G,E G,E G G   IM ˜ (γ , f ) = IM ˜ (γ, f ). ˜ (γ , f ) − IM ˜ (γ, f ) − IM ˜

˜

De même, on a I M (γ  , ϕ) = I M (γ, ϕ). ˜

˜

Puisque les membres de gauche des deux égalités précédentes sont égaux, ceux de droite le sont aussi. ˜ (F )) ⊗ Mes(M (F )) pour laquelle On a ainsi construit une fonction ϕ ∈ Iac (M ˜ ˜ un espace de (1) est vérifée pour tout γ ∈ Dg´eom (M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . Soit R ∗ ˜ ˜ Levi propre de M et τ ∈ Dg´eom (R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F )) . Les relations de descente du lemme [II] 1.7 et de [II] 1.15(1), jointes à nos hypothèses de récurrence, assurent ˜ ˜ ˜ que le membre de gauche de (1) est nul pour γ = τ M . Donc I M (τ M , ϕ) = 0. Cela assure que ϕ est cuspidale.  ˜ ), ω)00 ⊗ Mes(G(F )), la Il résulte de la preuve que, pour tout f ∈ I(G(F ˜ ˜ G,E c G fonction M˜ (f ) est la somme de c θM ˜ (f ) et d’une fonction à support ˜ (f ) − θ M

978

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). Il résulte alors compact, c’est-à-dire d’un élément de I(M de 1.8 et 3.6 que (6) la fonction M˜ (f ) est de Schwartz ; ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ ; alors la fonction (7) soit π ˜ ∈ Dtemp (M ˜  ˜ (f )) définie sur iA˜∗˜ /iA˜∨˜ ˜ → I M˜ (˜ π , λ, λ M M M,F se prolonge en une fonction rationnelle sur A˜∗M˜ ,C /iA˜∨ ; ses pôles sont de ˜ M,F la forme décrite en 1.8(2).

Chapitre IX

Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel Introduction Dans le chapitre précédent, on a établi le résultat suivant. Soient F un corps local non-archimédien de caractéristique nulle, G un groupe réductif connexe défini sur ˆ auquel est associé ˜ un espace tordu sous G et a un élément de H 1 (WF ; Z(G)) F, G ˜ un espace un caractère ω de G(F ), lequel est supposé unitaire. Soit de plus M ˜ )), nulle au voisinage de certaines ˜ Pour toute fonction f ∈ C ∞ (G(F de Levi de G. c classes de conjugaison dites exceptionnelles, il existe une fonction cuspidale M˜ (f ) ˜ (F ) telle que sur M ˜

˜

˜

G,E G I M (γ, ω, M˜ (f )) = IM ˜ (γ, ω, f ) ˜ (γ, ω, f ) − IM

˜ (F ) qui est fortement régulier dans G. ˜ On renvoie aux chapitres pour tout γ ∈ M précédents pour les définitions de ces termes. La fonction M˜ (f ) est localement constante mais on n’a pas prouvé qu’elle était à support compact. Mais elle est «de Schwartz» en un sens que l’on a défini en [VIII] (en fait, on prouvera au chapitre X que M˜ (f ) = 0 mais ce n’est pas encore d’actualité). Dans le présent chapitre, on se propose de démontrer essentiellement le même résultat, le corps de base étant maintenant R. Ce changement de corps de base induit plusieurs différences. D’abord, on doit souvent travailler non pas avec un ˜ a), mais avec (KG, K G, ˜ a), où K G ˜ est un K-espace tordu, cf. [I] triplet (G, G, 1.11. Comme on l’a déjà dit plusieurs fois, les K-espaces tordus sont nécessaires pour qu’il y ait une correspondance bijective entre l’espace des intégrales orbi˜ tales sur K G(R) à support elliptique et la somme sur les données endoscopiques elliptiques G des espaces d’intégrales orbitales stables sur ces données, à support elliptique. On renvoie pour cela à [I] 4.9 et à la remarque de [VI] 4.5. On © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_4

979

980

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ de K G ˜ et on va construire une application considère un K-espace de Levi K M f → K M˜ (f ). L’introduction des K-espaces n’est qu’une complication mineure. Plus sérieusement, pour que l’application f → K M˜ (f ) soit utilisable, on doit montrer qu’elle vérifie des propriétés supplémentaires. D’une part, elle doit être équivariante en un sens facile à préciser pour l’action du centre Z(G) de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G. D’autre part, on définit facilement la no˜ (R). Si f est ˜ tion de fonction K-finie sur K G(R) ou de fonction K M -finie sur K M K-finie, la fonction K M˜ (f ) doit être K M -finie. En fait, l’action de Z(G) comme les questions de K-finitude vont intervenir non seulement dans le résultat mais dans la construction elle-même de l’application K M˜ . En particulier, K M˜ (f ) n’est définie que pour une fonction f qui est K-finie. Il y a enfin une dernière différence avec le cas non-archimédien, qui porte sur les propriétés des caractères pondérés. Dans une série d’articles, Arthur avait défini ceux-ci en utilisant des opérateurs d’entrelacement normalisés. En conséquence, ces opérateurs, que l’on peut faire dépendre d’une variable parcourant un espace vectoriel complexe, étaient méromorphes avec un nombre fini d’hyperplans polaires. Dans l’article [14], Arthur a introduit une nouvelle définition des caractères pondérés. Pour stabiliser ceux-ci, il est nécessaire d’utiliser cette nouvelle définition. Fâcheusement, sur le corps de base réel, ces nouveaux opérateurs peuvent avoir un nombre infini d’hyperplans polaires, parce qu’il intervient des fonctions Γ qui ont une infinité de pôles. Cela conduit à modifier substantiellement la construction de l’application K M˜ . Dans les deux premières sections, on étudie comment se transforment sous l’action de Z(G) les intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Ces actions se réalisent par des opérateurs différentiels et on montre que ces opérateurs sont les mêmes pour les deux types d’intégrales. Il s’agit de la version tordue du résultat qu’Arthur démontre dans [17]. Notre démonstration est différente de celle d’Arthur. Elle consiste à prouver d’abord l’égalité des opérateurs différentiels associés à l’élément de Casimir de Z(G), ce que l’on fait par un calcul explicite. On montre ensuite que, pour un élément général de Z(G), les opérateurs différentiels associés à cet élément vérifient des propriétés formelles de commutation aux mêmes opérateurs associés au Casimir. Ces propriétés sont suffisamment fortes pour que l’égalité prouvée par ces derniers se propage en l’égalité des opérateurs différentiels associés à un élément quelconque de Z(G). La section 3 traite des majorations locales vérifiées par les intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Pour les premières, on dispose des majorations établies par Arthur dans [9]. On montre que celles-ci sont aussi vérifiées par les variantes endoscopiques. La section 4 étudie les sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et de leurs avatars endoscopiques. De nouveau, ces sauts sont connus grâce à Arthur pour les premiers types d’intégrales. On montre que les avatars endoscopiques satisfont les mêmes relations de sauts. La démonstration ressemble beaucoup à celle de Shelstad concernant les intégrales orbitales non pondérées, cf. [74], ainsi qu’à celle de l’article [22] d’Arthur.

Introduction

981

Dans la section 5, on définit les variantes «compactes» des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. Ici, on peut travailler de nouveau avec un tri˜ a). Pour γ ∈ M ˜ (R) qui est fortement régulier dans G ˜ et pour f ∈ plet (G, G, ˜ ∞ ˜ c G Cc (G(R)), on note I M˜ (γ, ω, f ) cette intégrale. Elle a beaucoup de propriétés ˜ G communes avec l’intégrale plus usuelle IM ˜ (γ, ω, f ). Mais, pour f fixée, elle est ˜ à support compact en γ ∈ M (R), à conjugaison près par M (R). Pour définir ˜ c G I M˜ (γ, ω, f ), on ne peut pas utiliser la même construction que dans le cas nonarchimédien (cette dernière était directement tirée d’Arthur). La possible infinité des hyperplans polaires des caractères pondérés invalide cette construction. On commence par définir de nouveaux caractères pondérés en supprimant dans la définition de [14] les fonctions Γ qui peuvent créer une infinité de pôles. Ces nouveaux termes n’ont plus qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. La définition est adaptée pour que ces nouveaux termes se stabilisent aussi aisément que ceux définis par Arthur. On doit avouer que cette définition est un peu artificielle. On pourrait sans doute la rendre plus conceptuelle en utilisant les récents résultats de Mezo ([61]). Notre unique excuse pour ne pas utiliser ceux-ci est que l’on a commencé ce travail alors que l’article de Mezo n’était pas encore disponible. Dans une seconde étape, on reprend la construction du cas non-archimédien, en l’appliquant à nos nouveaux caractères pondérés. ˜ Les sections 6 et 7 sont consacrés à la stabilisation des intégrales c I G ˜ (γ, ω, f ). M La méthode est similaire à celle du cas non-archimédien. Dans la section 8, on construit l’application K M˜ qui est le but principal du chapitre. Sa définition est similaire à celle du cas non-archimédien. Montrer que l’application ainsi construite est équivariante pour les actions de Z(G) est facile en utilisant les résultats des deux premières sections. Par contre, prouver qu’elle conserve la K-finitude nécessite du travail supplémentaire. On utilise pour cela la version symétrique de la formule des traces locale, développée dans [12] dans le cas non tordu et étendue au cas général dans [62]. Celle-ci permet d’exprimer ˜ KG IK ˜ (γ, ω, f ) en termes de l’image de f dans l’espace de Paley–Wiener. C’est-à-dire M que l’on obtient grosso-modo une expression ˜ ˜ KG IK (γ, ω, f ) = ξ(γ, π ˜ )I K G (˜ π , f )d˜ π, ˜ M ˜ où π ˜ parcourt les ω-représentations tempérées de K G(R). La fonction (γ, π ˜ ) → ξ(γ, π ˜ ) possède des singularités qui sont assez raison˜ K G,E nables. Un résultat analogue vaut pour l’intégrale endoscopique IK ˜ (γ, ω, f ) M ˜

donc aussi pour I K M (γ, ω, K M˜ (f )). De ce résultat et de l’équivariance pour les actions de Z(G) se déduit la conservation de la K-finitude par des méthodes standard. Notons que K M˜ (f ) est définie pour tout f (à support compact et K-finie) : contrairement au cas non-archimédien, on n’impose pas que f s’annule au voisinage des classes de conjugaison exceptionnelles.

982

Chapitre IX. Le cas archimédien

Dans tout le chapitre, le corps de base est R mais nos résultats s’étendent au cas du corps de base C. On renvoie à [V] section 7 pour la justification élémentaire de cette affirmation.

IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles IX.1.1 Opérateurs différentiels ˜ a) un triplet comme en [IV] Dans cette section, le corps de base est R. Soit (G, G, ˜ ˜ 1.1. Fixons un tore tordu maximal T de G. On note θ l’automorphisme adγ de T pour n’importe quel élément γ ∈ T˜ . On suppose que ω est trivial sur T (R)θ . On ˜ reg . pose T˜G˜ -reg = T˜ ∩ G Tout élément H ∈ t(R) définit un opérateur différentiel ∂H sur T (R). Précisément, nous privilégions les actions à gauche. C’est-à-dire que, pour une fonction d f (exp(−xH)t)|x=0 . L’application H → ∂H s’étend f sur T (R) on a (∂H f )(t) = dx linéairement à t = t(C), puis s’étend en un isomorphisme noté ∂ de l’algèbre Sym(t) sur l’algèbre des opérateurs différentiels sur T (R) invariants par translations à gauche par T (R). En fixant un élément γ ∈ T˜ (R), on peut identifier T (R) à T˜(R) par t → tγ. Ainsi Sym(t) est aussi isomorphe à l’algèbre des opérateurs différentiels sur T˜(R) invariants par translations à gauche par T (R). Notons C ∞ (T˜(R))ω -inv l’espace des fonctions ϕ : T˜(R) → C qui sont C ∞ et vérifient la relation ϕ(t−1 γt) = ω(t−1 )ϕ(γ) pour tous γ ∈ T˜ (R) et t ∈ T (R). Un opérateur différentiel sur T˜(R) invariant par translations à gauche par T (R) conserve cet espace. On note Diff cst (T˜(R))ω -inv l’espace des restrictions à C ∞ (T˜(R))ω -inv d’opérateurs différentiels invariants par translations à gauche. On a introduit en [IV] 1.2 un élément μ ˜(ω) ∈ h∗ . L’espace h∗ s’identifie naturellement à t∗ , on peut donc considérer que μ ˜ (ω) appartient à t∗ . C’est un élément central, invariant par le groupe de Weyl W de T (C) dans G(C). Pour H ∈ (1 − θ)(t) et ϕ ∈ ˜(ω) ϕ. Notons Iθ,ω l’idéal de C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv , on a l’égalité ∂H ϕ = H, μ Sym(t) engendré par les H − H, μ ˜ (ω) pour H ∈ (1 − θ)(t) et notons Sym(t)θ,ω le quotient Sym(t)/Iθ,ω . L’application H → ∂H se quotiente en un isomorphisme de Sym(t)θ,ω sur Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Afin de ne pas surcharger les notations, pour H ∈ Sym(t)θ,ω , on notera encore ∂H l’image de cet opérateur dans Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Remarquons que Sym(t)θ,ω s’identifie à l’algèbre des polynômes sur l’espace affine μ ˜(ω)+t∗,θ . Remarquons aussi que l’homomorphisme naturel Sym(tθ ) → Sym(t)θ,ω est un isomorphisme. En remplaçant T˜ (R) par T˜G˜ -reg (R), on définit comme ci-dessus l’espace ∞ ˜ C (TG˜ -reg (R))ω -inv . Notons C ∞ (T˜G˜ -reg (R))inv l’espace des fonctions ϕ : T˜G˜ -reg (R) → C qui sont (R) et t ∈ T (R). C ∞ et vérifient la relation ϕ(t−1 γt) = ϕ(γ) pour tous γ ∈ T˜ ˜ G -reg

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

983

On pose Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv = C ∞ (T˜G˜ -reg (R))inv ⊗C Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Cet espace agit naturellement sur C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv : pour ϕ ∈ C ∞ (T˜G˜ -reg (R))inv , D ∈ Diff cst (T˜ (R))ω -inv et ϕ ∈ C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv , (ϕ ⊗ D)(ϕ) est la fonction définie par ((ϕ ⊗ D)(ϕ))(γ) = ϕ (γ)(Dϕ)(γ). Il est clair que l’on peut munir Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv d’une unique structure d’algèbre telle que cette action devienne une action d’algèbres. On note (D, D ) → D ◦ D le produit pour cette structure. Notation. Un élément δ ∈ Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv sera plutôt considéré comme une fonction C ∞ de T˜G˜ -reg (R) dans Diff cst (T˜ (R))ω -inv . On notera δ(γ) sa valeur en un point γ. Pour ϕ ∈ C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv , on notera δ(γ)ϕ(γ) la valeur en γ de la fonction δϕ. Les ensembles T (C) et T˜ (C) sont des variétés algébriques complexes. On peut donc parler de fonctions polynomiales, rationnelles, holomorphes ou méromorphes sur ces ensembles. Par exemple, l’espace des polynômes sur T (C) est engendré linéairement par les caractères algébriques, c’est-à-dire les éléments de X ∗ (T ). Introduisons le tore T  = T /(1 − θ)(T ) et l’espace T˜  = T˜/(1 − θ)(T ). On peut de même définir les espaces de fonctions polynomiales, rationnelles etc. . . sur T  (C) ou T˜  (C). L’ensemble T˜G˜ -reg est invariant par conjugaison par T , donc aussi par produit avec (1 − θ)(T ). Cela permet d’introduire le sous-ensemble T˜G˜ -reg = T˜G˜ -reg /(1 − θ)(T ) de T˜  . On appelle fonction rationnelle régulière sur T˜  (C) une fonction rationnelle sur T˜  (C) qui n’a pas de pôle dans T˜  (C). ˜ -reg G

˜ -reg G

Notons P ol(T˜G˜ -reg (C)) l’espace de ces fonctions. La restriction de T˜G˜ -reg (C) à T˜G˜ -reg (R) définit une application P ol(T˜G˜ -reg (C)) → C ∞ (T˜G˜ -reg (R))inv . Elle est injective. Son image est conservée par l’action de tout opérateur différentiel sur T˜(R) invariant par translations à gauche. Posons Diff reg (T˜G˜ -reg (R))ω -inv = P ol(T˜G˜ -reg (C)) ⊗C Diff cst (T˜(R))ω -inv . L’application ci-dessus permet d’identifier cet espace à une sous-algèbre de Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv .

IX.1.2 Les équations différentielles ˜ de G ˜ et un sous-tore tordu Pour la suite de la section, on fixe un espace de Levi M θ ˜ ˜ maximal T de M . On suppose que ω est trivial sur T (R) .

984

Chapitre IX. Le cas archimédien

Rappelons que l’on note U(G) l’algèbre enveloppante de la complexifiée de l’algèbre de Lie g de G et que l’on note Z(G) le centre de U(G). On dispose d’homomorphismes Z(G) z

→ Z(M ), → zM ,

Z(G) z

→ Z(T ) → zT .

L’algèbre Z(T ) s’identifie à Sym(t). L’homomorphisme z → zT identifie Z(G) à la sous-algèbre des invariants Sym(t)W , où W est le groupe de Weyl de G relatif à T . ˜ via les translations à gauche. Il s’en déduit une L’algèbre U(G) agit sur Cc∞ (G(R)) ˜ action de Z(G) sur I(G(R), ω). Cette action se quotiente en l’action d’une algèbre θ quotient Z(G)θ,ω . Celle-ci est isomorphe à Sym(t)W θ,ω . Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. ˜ (R)∩ G ˜ reg (R) et pour f ∈ Cc∞ (G(R)), ˜ Pour γ ∈ M on sait définir l’intégrale orbitale ˜ ˜ G G pondérée ω-équivariante IM (γ, ω, f ), cf. [81] 6.5. La fonction γ → IM ˜ ˜ (γ, ω, f ) ∞ ˜ ω -inv . appartient à C (TG˜ -reg (R)) Arthur démontre en [9] proposition 11.1 et [17] paragraphe 1 qu’il existe une unique application linéaire Z(G) z

→ Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv ˜ G → δM ˜ (z)

qui vérifie la propriété suivante : ˜ tout γ ∈ T˜G˜ -reg (R) et tout z ∈ Z(R), on a l’égalité – pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)), 

˜

G IM ˜ (γ, ω, zf ) =

(1)

˜

˜

L G δM ˜ )IL ˜ (γ, zL ˜ (γ, ω, f ).

˜ ˜ L∈L( M) ˜

˜

L L On a noté δM ˜ ) la valeur au point γ de δM ˜ ) et on a utilisé la notation ˜ (γ, zL ˜ (zL introduite dans le paragraphe précédent. ˜

G On vérifie formellement que δM ˜ (z) ne dépend que de l’image de z dans ˜

G Z(G)θ,ω . On pourra donc considérer que δM ˜ (z) est défini pour z ∈ Z(G)θ,ω . D’autre part, d’après [9] lemme 12.4,

˜ = G, ˜ on a simplement δ G˜ (γ, z) = ∂zT pour tout z ∈ Z(G) et tout (2) si M ˜ G γ ∈ T˜G˜ -reg (R). Montrons que (3) pour z, z  ∈ Z(G), on a l’égalité G  δM ˜ (zz ) = ˜

 ˜ ˜ L∈L( M)

L G  δM ˜ ) ◦ δL ˜ (zL ˜ (z ). ˜

˜

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

985

˜

 ∞ ˜ Preuve. Notons δ G ˜ (zz ) le membre de droite de cette égalité. Pour f ∈ Cc (G(R)), M ˜ G notons ψM˜ (f ) la fonction γ → IM˜ (γ, ω, f ). L’égalité (1) prend la forme

(4)

ψM˜ (zf ) =



˜

L δM ˜ )ψL ˜ (f ). ˜ (zL

˜ ˜ L∈L( M)

Remplaçons dans cette égalité f par z  f . Développons ensuite chaque terme ˜ par L. ˜ On obtient ψL˜ (z  f ) par la même égalité où l’on remplace z par z  et M facilement l’égalité ψM˜ (zz  f ) =



˜

 δL ˜ )ψL ˜ (f ). ˜ ((zz )L M

˜ ˜ L∈L( M)

En raisonnant par récurrence, on peut supposer que ˜

L   δL ˜ ) = δM ˜) ˜ ((zz )L ˜ ((zz )L M ˜

˜ = G. ˜ En comparant l’égalité précédente avec l’égalité (1) où z est pour tout L remmplacé par zz , on en déduit l’égalité (5)

˜

G G   (δM ˜ (f ) = 0. ˜ (zz ))ψG ˜ (zz ) − δ M ˜

Soit γ ∈ T˜G˜ -reg (R). L’espaces des germes au point γ des fonctions ψG˜ (f ) quand f ˜ décrit Cc∞ (G(R)) est égal à celui des germes des fonctions ϕ pour ϕ ∈ C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv . On en déduit que 0 est le seul élément de Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv qui annule toute fonction ψG˜ (f ). L’égalité (5) entraîne alors la conclusion de (3).  G IX.1.3 Propriétés des opérateurs δM ˜ (z) ˜

On note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. A tout élément α ∈ Σ(T ), on nα associe le plus petit Nα ∈

entier nα ≥ 1ktel que θ (α) = α. On définit un élément ∗ X (T ) par N α = k=0,...,nα −1 θ (α). Il se descend en un élément de X ∗ (T  ). On pose αT  = N α si α est de type 1 ou 3, αT  = 2N α si α est de type 2 (cf. [I] 1.6). On pose Σ(T  ) = {αT  ; α ∈ Σ(T )}. C’est un système de racines en général non réduit. Fixons un sous-groupe de Borel B de G de tore maximal T et invariant par θ. Notons Δ la base de Σ(T ) associée à B. On dira qu’une suite (tk )k∈N d’éléments de T  (C) tend vers l’infini selon Δ si et seulement si, limk→∞ |αT  (tk )| = ∞ pour tout α ∈ Δ. Considérons une fonction ϕ : T˜G˜ -reg (C) → C et un nombre complexe c. Introduisons la condition

986

Chapitre IX. Le cas archimédien

(1) pour tout γ  ∈ T˜  (C) et pour toute suite (tk )k∈N d’éléments de T  (C) tendant vers l’infini selon Δ et telle que tk γ  ∈ T˜G˜ -reg (C) pour tout k, on a limk→∞ ϕ(tk γ  ) = c. On peut remplacer «pour tout γ  ∈ T˜  (C)» par «il existe γ  ∈ T˜  (C) tel que. . .», on obtient une condition équivalente. On notera limγ  →Δ ∞ ϕ(γ  ) = c si cette condition est vérifiée. ˜ G Fixons une base B de Sym(t)θ,ω . Pour tout z ∈ Z(G), l’opérateur δM ˜ (z) s’écrit de façon unique comme une somme finie  ˜ ˜ G G δM qM ˜ (z) = ˜ (U ; z)∂U , U∈B ˜ ˜ G G ∞ ˜ ω -inv où les qM . On note qM ˜ -reg (R)) ˜ (U ; z) sont des éléments de C (TG ˜ (U ; γ, z) la valeur de cette fonction en un point γ.

˜ = G. ˜ Soient z ∈ Z(G) et U ∈ B. Proposition. Supposons M ˜ G ˜˜ (i) La fonction qM ˜ (U ; z) est la restriction à TG -reg (R) d’une fonction rationnelle ˜  ˜ (C), que l’on note encore q G (U ; z). régulière sur T ˜ -reg G

(ii) Pour toute base Δ de Σ(T ), on a

˜ M ˜ G limγ  →Δ ∞ qM˜ (U ; γ  , z)

= 0.

Cette proposition sera prouvée en 1.5. Remarquons que le (i) est vrai aussi ˜ =G ˜ en vertu de 1.2(2). si M

IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe Pour deux racines α, β ∈ Σ(T ), disons qu’elles sont dans la même orbite si et seulement s’il existe m ∈ N tel que β = θm α. On note (α) l’orbite de α. Fixons un ensemble de représentants Σ(T )θ ⊂ Σ(T ) des orbites. On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E en fixant des éléments non nuls Eα ∈ gα pour α ∈ Δ, ˜ E) et on définit où gα ⊂ g est la droite radicielle associée à α. On fixe e ∈ Z(G, l’automorphisme θ = ade de G. Pour α ∈ Σ(T )θ , fixons un élément non nul Eα de gα . On suppose que c’est l’élément déjà fixé si α ∈ Δ. Pour m = 1, . . . , nα − 1, posons Eθm α = θm (Eα ). C’est un élément non nul de gθm α . D’après [48] 1.3, on a θnα (Eα ) = α Eα , où α = 1 si α est de type 1 ou 2 et α = −1 si α est de type  3. Soit γ ∈ T˜G˜ -reg (C). On écrit γ = tγ e, avec tγ ∈ T . On pose (α)(γ) = α m=0,...,nα −1 θm (α)(tγ ). On en fixe une racine nα -ième ν(α) (γ) et on note ζ nα le groupe des racines nα -ièmes de 1. Pour ζ ∈ ζ nα , posons     −m −m j ν(α) (γ) ζ θ (α)(tγ ) Eθm (α) . E((α), γ, ζ) = m=0,...,nα −1

j=0,...,m

On vérifie que adγ (E((α), γ, ζ)) = ν(α) (γ)ζE((α), γ, ζ).

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

987

La famille (E(α), γ, ζ))ζ∈ζ nα est une base de l’espace g(α) = m=0,...,nα −1 gθm (α) . Notons q le sous-espace de g engendré par les algèbres de Lie des radicaux unipo¯ tents de B et du sous-groupe de Borel opposé B. La famille (E(α), γ, ζ))α∈Σ(T )θ ,ζ∈ζnα est une base de q. Si l’on remplace γ par tγ, avec t ∈ T θ,0, on peut supposer ν(α) (tγ) = αres (t)ν(α) (γ), où αres est la restriction de α à T θ,0. On a alors E((α), tγ, ζ) = E((α), γ, ζ). Les familles ci-dessus sont donc indépendantes de t. Remarquons que E((α), γ, ζ) est vecteur propre pour l’action adtγ , de valeur propre ζαres (t)ν(α) (γ) et est aussi vecteur propre pour l’action adt , de valeur propre αres (t). Posons    ˜ (1 − ζν(α) (γ)) = (1 − (α)(γ)). DG (γ) = α∈Σ(T )θ ζ∈ζ nα

α∈Σ(T )θ

Remarque. Ce terme est défini pour γ ∈ T˜G˜ -reg (C) et appartient à C× . Il appar˜ tient à R× si γ ∈ T˜ (R). En [I] 2.4, on a défini un terme DG (γ) pour γ ∈ T˜G˜ -reg (R). On a l’égalité ˜

˜

DG (γ) = |DG (γ) det((1 − θ)t/tθ )|R . ˜ Puisque la restriction de DG à T˜G˜ -reg (R) est à valeurs réelles non nulles, on ˜ peut choisir une racine carrée (DG )1/2 qui soit une fonction C ∞ sur T˜G˜ -reg (R). Pour H ∈ Sym(t) ou H ∈ Sym(t)θ,ω , on définit l’opérateur

∂H, ∈ Diff ∞ (T˜G˜ -reg )ω -inv par l’égalité ∂H, = (DG )1/2 ◦ ∂H ◦ (DG )−1/2 . ˜

˜

˜

Cela ne dépend pas du choix de la racine carrée (DG )1/2 . Ecrivons ∂H, =



b(U ; H)∂U .

U∈B

Les termes b(U ; H) sont des éléments de C ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv . On note b(U ; γ, H) leurs valeurs en un point γ. Lemme. Soient H ∈ Sym(t) et U ∈ B. Alors la fonction b(U ; H) est combinaison 1 linéaire de produits de fonctions γ → (1−(α)(γ)) m pour m ∈ N et α ∈ Σ(T )θ , α > 0. Preuve. Supposons d’abord H ∈ t. Pour α ∈ Σ(T )θ et γ ∈ T˜G˜ -reg (R), on calcule (1)

∂H (α)(γ) = − N α, H (α)(γ).

988

Chapitre IX. Le cas archimédien

Pour tout m ∈ N, on en déduit l’égalité ∂H (2)

1 −m N α, H (α)(γ) = (1 − (α)(γ))m (1 − (α)(γ))m+1 m N α, H m N α, H = − . m (1 − (α)(γ)) (1 − (α)(γ))m+1

En introduisant l’ordre sur les racines relatif à la base Δ fixée, on peut récrire  ˜ DG (γ) = (1 − (α)(γ))(1 − (α)(γ)−1 ) α∈Σ(T )θ ,α>0

=



−(α)(γ)−1 (1 − (α)(γ))2 .

α∈Σ(T )θ ,α>0

Fixons γ. Pour γ  voisin de γ, on peut choisir des racines carrées (α)(γ  )1/2 qui sont C ∞ en γ  . On peut supposer que  ˜ DG (γ  )1/2 = i(α)(γ  )−1/2 (1 − (α)(γ  )) α∈Σ(T )θ ,α>0

au voisinage de γ, où i est une racine carrée de −1. En utilisant cette formule et la relation (1), on obtient    1 1 − (3) ∂H, (γ) = ∂H + N α, H . 2 1 − (α)(γ) α∈Σ(T )θ ,α>0

Cela vérifie le lemme pour H ∈ t. En raisonnant par récurrence sur le dégré de H, il reste à vérifier l’assertion suivante. Soient H ∈ t et H  ∈ Sym(t). Supposons que le lemme soit vérifié pour H  . Alors il l’est pour HH  . La formule (2) montre que ∂H conserve l’ensemble des 1 fonctions qui sont combinaisons linéaires de produits de fonctions γ → (1−(α)(γ)) m pour m ∈ N et α ∈ Σ(T )θ , α > 0. L’assertion résulte alors facilement de (3). 

IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra Notons Tens(q) l’algèbre tensorielle de q. Il contient le sous-espace Sym(q). Soit γ ∈ T˜G˜ -reg (C). On définit une application linéaire Γγ : Tens(q) ⊗C Sym(t) → U(G) par (1)

Γγ (X1 · · · Xa ⊗ H) = (Radγ (X1 ) − LX1 ) · · · (Radγ (Xa ) − LXa )H

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

989

pour X1 , . . . , Xa ∈ q et U ∈ Sym(t). On a noté LX et RX les applications Y → XY et Y → Y X de U(G) dans lui-même. D’après [37] lemme 22, cette application se restreint en un isomorphisme d’espaces vectoriels Sym(q) ⊗C Sym(t) → U(G). Fixons des bases (Yk )k∈N de Sym(q) et (Hl )l∈N de Sym(t). Pour tout V ∈ U(G) et tout γ ∈ T˜G˜ -reg (C), on peut écrire de façon unique (2)

V =



ak,l (γ, V )Γγ (Yk ⊗ Hl )

k,l

où ak,l (γ, V ) ∈ C et ak,l (γ, V ) = 0 pour presque tout (k, l). Remarques. (3) Les preuves de Harish-Chandra concernent le cas non tordu, mais leur extension au cas tordu est immédiate. On les reprendra d’ailleurs partiellement ci-dessous. (4) Ici et dans la suite, il y a de légères différences avec les références citées dues au fait que nous provilégions les actions par translations à gauche alors que les auteurs cités utilisent les translations à droite. Supposons que Y0 = 1 tandis que le terme constant de Yk est nul si k ≥ 1. Lemme. Soient V ∈ U(G) et k, l ∈ N. (i) La fonction γ → ak,l (γ, V ) est rationnelle sur T˜G˜ -reg (C). Plus précisément, ˜

il existe un entier nk,l ∈ N tel que la fonction γ → DG (γ)nk,l ak,l (γ, V ) se prolonge en un polynôme sur T˜(C). (ii) Supposons que k ≥ 1 et que V est invariant par l’action adjointe de T θ,0(C). Soient γ ∈ T˜G˜ -reg (C), Δ une base de Σ(T ) et (tj )j∈N une suite d’éléments de T θ,0(C). On suppose que tj γ ∈ T˜G˜ -reg (C) pour tout j et que l’image de la suite dans T  (C) tend vers l’infini selon Δ. Alors limj→∞ ak,l (tj γ, V ) = 0. Preuve. Si on change les bases (Yk )k∈N et (Hl )l∈N en d’autres bases (Yk )k∈N et (Hl )l∈N , on obtient de nouveaux coefficients ak,l (γ, V ) qui se déduisent des précédents par un système d’équations linéaires. Il est clair que les assertions de l’énoncé pour ces nouveaux coefficients sont équivalentes aux mêmes assertions pour les anciens. On a donc le choix des bases (Yk )k∈N et (Hl )l∈N . Fixons γ ∈ T˜G˜ -reg (C). La fonction t → ak,l (tγ, V ) est définie pour presque tout t ∈ T (C) (précisément pour les t tels que tγ ∈ T˜G˜ -reg (C)). On la restreint à T θ,0(C).

990

Chapitre IX. Le cas archimédien

On va commencer par prouver (5) la fonction t →  ak,l (tγ, V ) est rationnelle sur T θ,0(C) ; il existe un entier ˜ nk,l ∈ N tel que la fonction t → DG (tγ)nk,l ak,l (tγ, V ) soit régulière sur T θ,0(C). Comme ci-dessus, cette assertion ne dépend pas du choix des bases. En conséquence, on suppose que (Hl )l∈N est formé d’éléments homogènes et que la base (Yk )k∈N est formée des symétrisés des éléments E((α), γ, ζ) introduits dans le paragraphe précédent. Rappelons que l’homomorphisme de symétrisation identifie Sym(q) à un sous-espace de U(G) et que, modulo cette identification, on a l’isomorphisme U(G) = Sym(t)⊗C Sym(q). Ainsi, la famille (Hl Yk )k,l∈N est une base de U(G). Elle est formée de vecteurs propres pour l’action de T θ,0 (C). Par linéarité, on peut supposer que V est l’un de ces éléments de base Hl0 Yk0 , et on peut raisonner par récurrence sur le degré de cet élément. Ecrivons simplement Y = Yk0 , H = Hl0 . Si k0 = 0, on a simplement V = Γtγ (Y0 ⊗ H) pour tout t ∈ T θ,0(C) et l’assertion (5) est claire. Remarquons que V est invariant par l’action adjointe de T θ,0 (C) et que l’assertion (ii) du lemme est tout aussi claire. Supposons k0 ≥ 1. L’élément Y est le symétrisé de X1 · · · Xa , où chaque Xi est un élément E((α), γ, ζ). Ainsi, pour chaque i = 1, . . . , a, il existe une racine αi ∈ Σ(T ) et un élément νi ∈ C× de sorte que adt (Xi ) = αi,res (t)Xi pour tout t ∈ T θ,0(C) et adγ (Xi ) = νi Xi . On a Γtγ (X1 · · · Xa ⊗ H) = (Radtγ (X1 ) − LX1 ) · · · (Radtγ (Xa ) − LXa )H . = (Radtγ (X1 ) − RX1 + RX1 − LX1 ) .. (Radtγ (Xa ) − RXa + RXa − LXa )H = (c1 (t)RX1 + RX1 − LX1 ) · · · (ca (t)RXa + RXa − LXa )H, où ci (t) = νi αi,res (t) − 1. On développe cette expression en séparant les termes ci (t)RXi des RXi − LXi . Ces deux opérateurs envoient un vecteur propre pour l’action adjointe de T θ,0(C) sur un tel vecteur propre. De plus, le second opérateur fait baisser strictement le degré. On obtient une expression    ci (t) HXa · · · X1 Γtγ (X1 · · · Xa ⊗ H) = i=1,...,a

+





b=0,...,a−1 1≤i1 0

On calcule classiquement (1)



ΩT =

Hj2 − ρB (Hj )2 ,

j=1,...,n

où ρB est la demi-somme des racines positives. Notons plus précisément ΣG (T ) l’ensemble noté jusqu’alors Σ(T ). L’ensemble M Σ (T ) est invariant par θ et on peut supposer ΣM (T )θ ⊂ ΣG (T )θ . Ainsi ΣG (T )θ − ΣM (T )θ est un ensemble de représentants des orbites dans ΣG (T ) − ΣM (T ). On peut aussi supposer que ΣG (T )θ est invariant par α → −α et que ν(−α) (γ) = ν(α) (γ)−1 pour tout γ ∈ T˜G˜ -reg (C). Posons d = aM˜ − aG˜ . Supposons d ≥ 1. ˜ Définissons la fonction C G sur T˜ ˜ (C) par G -reg

˜ M

– si d ≥ 2, – si d = 1,

˜ G CM ˜

= 0; 

˜

G CM ˜ (γ) = −

|(N α)|AM˜ |nα (1 − (α)(γ))−1 (1 − (α)(γ)−1 )−1 .

α∈ΣG (T )θ −ΣM (T )θ

Le terme (α)(γ) a été défini en 1.4. On a noté (N α)|AM˜ la projection orthogonale de N α sur AM˜ , ce dernier espace s’identifiant à un sous-espace de t. Proposition. On suppose d ≥ 1. Alors, pour tout γ ∈ T˜G˜ -reg (R), l’opérateur ˜

˜

G G δM ˜ (γ, Ω) est la multiplication par CM ˜ (γ).

Preuve. Soit γ ∈ T˜G˜ -reg . Utilisons les éléments E((α), γ, ζ) de 1.4. On vérifie que, pour tout α ∈ Σ(T )θ , on a l’égalité   Eθm (α) E−θm (α) = n−1 E((α), γ, ζ)E((−α), γ, ζ −1 ). α m=0,...,nα −1



Ainsi Ω=

ζ∈ζ nα

 j=1,...,n

 Hj2

+

 α∈Σ(T )θ ,α>0

n−1 α



Y ((α), γ, ζ),

ζ∈ζ nα

où Y ((α), γ, ζ) = E((α), γ, ζ)E((−α), γ, ζ −1 ) + E((−α), γ, ζ −1 )E((α), γ, ζ).

996

Chapitre IX. Le cas archimédien

Pour tous α, ζ, on calcule Γγ (Y ((α), γ, ζ) ⊗ 1) = (1 − ν(α) (γ)ζ)(1 − ν(α) (γ)−1 ζ −1 )Y ((α), γ, ζ) +(ν(α) (γ)ζ − ν(α) (γ)−1 ζ −1 )[E((α), γ, ζ), E((−α), γ, ζ −1 )]. Le dernier terme appartient à t puisqu’il est fixe par adγ . On en déduit  n−1 Ω=U+ α 

α∈Σ(T )θ ,α>0

(1 − ν(α) (γ)ζ)−1 (1 − ν(α) (γ)−1 ζ −1 )−1 Γγ (Y ((α), γ, ζ) ⊗ 1),

ζ∈ζ nα ˜

G avec U ∈ Sym(t). En appliquant 1.6(1), on obtient que δM ˜ (γ, Ω) est la multiplication par   ˜ n−1 (1 − ν(α) (γ)ζ)−1 (1 − ν(α) (γ)−1 ζ −1 )−1 cG (2) ˜ (Y ((α), γ, ζ)). α M α∈Σ(T )θ , α>0

ζ∈ζ nα

˜ ), α ∈ Σ(T )θ et ζ ∈ ζ n . Si α ∈ ΣM (T ), on a E(±(α), γ, ζ) ∈ p1 et Soit P˜ ∈ P(M α μP˜ (Y ((α), γ, ζ)) = 0. Supposons α ∈ ΣM (T ). Soit ξ ∈ {±1} tel que ξα soit positif pour P . Alors E(ξ(α), γ, ζ) ∈ p1 et on calcule μP˜ (Y ((α), γ, ζ)) = ξ[E(−(α), γ, ζ −1 ), E((α), γ, ζ)]. Puisqu’on a déjà remarqué que ce terme appartenait à t, on le calcule facilement :  μP˜ (Y ((α), γ, ζ)) = ξ [E−θm (α) , Eθm (α) ]. m=0,...,nα

Soit β ∈ Σ(T ). Parce que notre forme bilinéaire est invariante par l’action adjointe, on a ([E−β , H], Eβ ) + (H, [E−β , Eβ ]) = 0 pour tout H ∈ t. On a aussi [E−β , H] = β(H)E−β . Puisqu’on a choisi nos éléments de sorte que (E−β , Eβ ) = 1, on obtient (H, [E−β , Eβ ]) = −β(H). Modulo notre identification de t∗ à t, on obtient [E−β , Eβ ] = −β. D’où  θm (α) = −ξN α. μP˜ (Y ((α), γ, ζ)) = −ξ m=0,...,nα ˜

Ce terme est homogène de degré 1. Si d ≥ 2, on en déduit cG ˜ (Y ((α), γ, ζ)) = 0 M ˜ ) et un ce qui démontre l’énoncé dans ce cas. Supposons d = 1. Fixons P˜ ∈ P(M ˜ G élément X ∈ AM˜ positif pour P et tel que |X| = 1. Il résulte des définitions que ˜

cG ˜ (Y ((α), γ, ζ)) = 2(μP˜ (Y ((α), γ, ζ), X)) = −2ξ(N α, X). M

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

997

Il résulte de la définition de X que ceci est égal à −2|(N α)|AM˜ |. Cela transforme (2) en   |(N α)|AM˜ |n−1 (1−ν(α) (γ)ζ)−1 (1−ν(α) (γ)−1 ζ −1 )−1 . −2 α α∈ΣG (T )θ −ΣM (T )θ ,α>0

ζ∈ζ nα

On montre aisément l’égalité des fractions rationnelles en x :  n−1 (1 − xζ)−1 (1 − x−1 ζ −1 )−1 = nα (1 − xnα )−1 (1 − x−nα )−1 . α ζ∈ζ nα

On se rappelle que ν(α) (γ)nα = (α)(γ). Alors l’expression ci-dessus devient  −2 |(N α)|AM˜ |nα (1 − (α)(γ))−1 (1 − (α)(γ)−1 )−1 . α∈ΣG (T )θ −ΣM (T )θ ,α>0

Les expressions étant symétriques en α et −α, on peut supprimer le facteur 2 en supprimant la restriction α > 0 dans la sommation. Le terme ci-dessus devient ˜ G  CM ˜ (γ). Cela prouve la proposition. Remarque. L’algèbre Z(G) contient Sym(z(G)), où z(G) est l’algèbre de Lie du ˜ G centre de G. Il résulte facilement de 1.6(1) que, pour d ≥ 1, on a δM ˜ (γ, z) = 0 pour z ∈ Sym(z(G)). La proposition précédente reste vraie si l’on remplace Ω par n’importe quel élément de Ω + Sym(z(G)).

IX.1.8 Variante avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère des exOn suppose (G, G, tensions compatibles ˜ → G ˜ 1 → C → G → G → 1 et G ˜  est encore à torsion intérieure. Soit λ un où C est un tore central induit et où G ˜ ˜ ˜  de M ˜ et T˜. caractère de C (R). On note M et T les images réciproques dans G cst ˜ Puisqu’il n’y a pas de torsion, on note simplement Diff (T (R)) l’algèbre que l’on a notée Diff cst (T˜ (R))ω -inv en 1.1. Elle agit sur l’espace des fonctions C ∞ sur T˜ (R). Restreignons-nous aux fonctions f qui vérifient pour tout γ ∈ T˜ (R) la propriété (1) f (γ c) = λ (c)−1 f (γ ) pour tout c ∈ C (R). Alors l’action de Diff cst (T˜ (R)) se quotiente en une action d’une algèbre quotient Diff cst (T˜ (R))λ .

Notons μ(λ ) ∈ c∗ le paramètre de λ (c’est-à-dire que λ (exp(H)) = e H,μ(λ ) pour H ∈ c (R) assez proche de 0). Notons Iλ l’idéal de Sym(t ) engendré par les H + H, μ(λ ) pour H ∈ c . Posons Sym(t )λ = Sym(t )/Iλ . Introduisons

998

Chapitre IX. Le cas archimédien

l’ensemble t∗,λ des éléments de t∗ qui se projettent sur μ(λ ) ∈ c∗ . C’est un espace affine sous t∗ et Sym(t )λ s’identifie à l’algèbre des polynômes sur t∗,λ . L’application H → ∂H se quotiente en un isomorphisme noté de même de Sym(t )λ sur Diff cst (T˜ (R))λ . ∞ ˜  (R)) l’espace des fonctions f sur G ˜  (R) Rappelons que l’on note Cc,λ (G ∞ qui sont C , à support compact modulo C (R) et qui vérifient la condition (1) ˜  (R). On note Iλ (G ˜  (R)) le quotient de C ∞ (G ˜  (R)) par le souspour tous γ ∈ G c,λ espace des fonctions dont les orbitales orbitales sont nulles en tout point fortement ∞ ˜  (R)) ou Iλ (G ˜  (R)) se quotiente en l’action (G régulier. L’action de Z(G ) sur Cc,λ d’une algèbre quotient Z(G )λ . Celle-ci est isomorphe à Sym(t )W λ . ∞ ˜ ˜ Soient γ ∈ T ˜ (R) et f ∈ C (G (R)). Rappelons que l’on définit ,G -reg

˜ G IM˜ ,λ (γ , f )

c,λ

de la façon suivante (cf. [II] 1.10).

˜  (R)) telle que On fixe une fonction f˙ ∈ Cc∞ (G f (γ ) = f˙(cγ )λ (c) dc. C (R)



Alors ˜ G

IM˜ ,λ (γ , f ) =



C (R)

˜ G

IM˜ (γ , f˙c )λ (c) dc,

où f˙c est définie par f˙c (γ ) = f˙(cγ ). En appliquant 1.2, on a pour z ∈ Z(G ) une égalité  L˜ ˜ ˜ G G (2) IM˜ ,λ (γ , zf ) = δM˜ (γ , zL )IL˜ ,λ (γ , f ).









˜ ˜ L∈L( M)

Puisque les opérateurs différentiels s’appliquent ici à des fonctions vérifiant (1), on peut les remplacer par leurs images dans l’espace Diff cst (T˜ (R))λ . On note ˜ G

˜ G

δM˜ ,λ (γ , z) l’image de δM˜ (γ , z) dans cet espace. Il résulte formellement de l’éga





lité (2) que ˜ G

– δM˜ ,λ (γ , z) ne dépend que de l’image de z dans Z(G )λ ;



˜ G

– δM˜ ,λ (γ , z) ne dépend que de l’image γ ∈ T˜(R) de γ .



˜ G

On peut donc noter δM˜ ,λ (γ, z) notre opérateur. Il est défini pour γ ∈ ˜ λ et prend ses valeurs dans Diff cst (T˜ (R))λ . La proposition T˜G˜ -reg (R) et z ∈ Z(G) ˜ G

1.3 reste vraie pour ces opérateurs. En particulier, la fonction γ → δM˜ ,λ (γ, z) est rationnelle et régulière. Posons Diff reg (T˜G˜ -reg (R))λ = P ol(T˜G˜ -reg (C)) ⊗C Diff cst (T˜ (R))λ .

IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles

999

˜ G On a alors un élément δM˜ ,λ (z) ∈ Diff reg (T˜G˜ -reg (R))λ dont la valeur en un point

γ est



˜ G δM˜ ,λ (γ, z).

On a muni X∗ (T ) ⊗Z R d’une forme quadratique définie positive. Fixons un scindage d’algèbres de Lie g = c ⊕ g, dont on déduit une égalité X∗ (T ) ⊗Z R = X∗ (C ) ⊗Z R ⊕ X∗ (T ) ⊗Z R. Munissons le premier facteur d’une forme quadratique définie positive et munissons l’espace total de la forme somme directe des formes sur les deux facteurs. On dira que cettte dernière forme est compatible avec celle sur X∗ (T ) ⊗Z R. On définit ˜ alors l’opérateur de Casimir ΩG . Il dépend des constructions ci-dessus, mais la ˜ G classe Ω + Sym(z(G )) n’en dépend pas. Pour tout élément z de cette classe, ˜ G

l’opérateur δM˜ ,λ (γ, z) est donné par la formule de la proposition 1.7 (pourvu que



d ≥ 1). Considérons d’autres données

˜ → G ˜ 1 → C → G → G → 1 et G ainsi qu’un caractère λ de C (R) vérifiant les mêmes conditions que précédem˜ , de G et G au-dessus de G, ment. On introduit les produits fibrés G, et G ˜  et G ˜  au-dessus de G. ˜ On suppose donnés un caractère λ, de G, (R) resp. de G ˜ ˜ et une fonction λ, sur G, (R) tels que – λ, (c x , c x ) = λ (c )λ (c )−1 λ, (x , x ) pour tous (x , x ) ∈ G, (R), c ∈ C (R), c ∈ C (R) ; ˜ , (x γ , x γ ) = λ ˜ , (γ , γ )λ, (x , x ) pour tous (γ , γ ) ∈ G ˜ , (R) et – λ (x , x ) ∈ G, (R). On définit un isomorphisme ∞ ˜  (R)) Cc,λ (G f

∞ ˜ → Cc, (G (R)) → f

˜, (γ , γ )f (γ ) où γ est n’importe quel élément de G ˜  (R) tel que par f (γ ) = λ ˜ (γ , γ ) ∈ G, (R). On a de même un isomorphisme entre l’espace des fonctions sur T˜ (R) vérifiant (1) et l’espace de fonctions analogue sur T˜ (R). De cet isomorphisme se déduit un isomorphisme (3)

Diff cst (T˜ (R))λ  Diff cst (T˜ (R)) .

Au caractère λ, est associé un paramètre μ(λ, ) ∈ t∗, , où T, est l’image réciproque de T dans G, . On a t∗, = (t∗ ⊕ t∗ )/ diag− (t∗ ).

1000

Chapitre IX. Le cas archimédien

La projection de μ(λ, ) dans c∗ ⊕c∗ est (μ(λ ), −μ(λ )). Pour ν ∈ t∗,λ il existe un unique ν ∈ t∗,λ tel que (−ν , ν ) ait pour projection μ(λ, ) dans t∗, . L’application ν → ν est un isomorphisme de t∗,λ sur t∗,λ . Il est compatible à (3) et au fait que les algèbres d’opérateurs différentiels s’identifient à des algèbres de polynômes sur ces deux espaces affines. Il s’en déduit un isomorphisme Z(G )λ  Z(G )λ .

(4)

˜ G

Il est formel de vérifier que, si z et z se correspondent par (4), alors δM˜ ,λ (γ, z )

et

˜

G δM ˜ ,λ (γ, z ) se ˜ G



correspondent par (3). Remarquons que l’image dans Z(G )λ

de la classe Ω + Sym(z(G )) correspond par (4) à l’image dans Z(G )λ de la ˜ classe ΩG + Sym(z(G )). ˜ a) est quelconque. Considérons des données enRevenons au cas où (G, G,    ˜ de (M, M ˜ a) et M = (M  , M , ζ) ˜ , aM ). doscopiques G = (G , G , s˜) de (G, G,    Supposons que M s’identifie à un Levi de G et que M soit la donnée déduite de G via cette identification (cf. [I] 3.4). Supposons aussi que M soit relevante ˜ 1 , C1 , ξˆ1 , Δ1 pour G , qui se (donc aussi G ). Fixons des données auxiliaires G1 , G  restreignent en des données auxiliaires M1 , . . . , Δ1 pour M . Soient γ0 ∈ T˜G˜ -reg (R) ˜  (R) correspondant à γ0 . Notons T˜  le sous-tore tordu maximal de M ˜ et δ0 ∈ M  tel que δ ∈ T˜ (R). Alors on dispose d’un isomorphisme ξ : T /(1 − θ)(T )  T  ˜ 0 ) = ξ(t)δ0 . dont on déduit un isomorphisme ξ˜ : T˜/(1 − θ)(T )  T˜  tel que ξ(tγ Modulo ces isomorphismes, les notations T  et T˜ sont cohérentes avec celles du paragraphe 1.1. Pour z1 ∈ Z(G1 )λ1 et δ ∈ T˜G˜  -reg (R), on construit comme plus haut l’opéra˜ G

teur δM˜1 ,λ (δ, z1 ) ∈ Diff cst (T˜1 (R))λ1 . Faisons varier les données auxiliaires. Les 1

1

algèbres Z(G1 )λ1 se recollent en une algèbre que l’on a notée Z(G ) en [IV]  ∗ se recollent en un espace affine isomorphe à t∗θ,ω , 2.1. Les espaces affines t1,λ 1 cf. [IV] 2.1. Donc les algèbres Diff cst (T˜1 (R))λ1 se recollent en une algèbre isomorphe à Diff(T˜(R))θ,ω . D’après les considérations ci-dessus, pour z  ∈ Z(G ), ˜ G

les opérateurs δM˜1 ,λ (δ, z1 ) (où z1 correspond à z  ) se recollent en un opérateur 1 1 cst ˜ G  que l’on peut noter δM (T (R))θ,ω . Les algèbres de fonctions ra (δ, z ) ∈ Diff  ˜ tionnelles et régulières P ol(T  (C)) se recollent aussi en une sous-algèbre de ˜ -reg 1,G

l’algèbre notée P ol(T˜G˜ -reg (C)) en 1.1. Ce n’est pas forcément cette algèbre tout ˜  est plus faible que celle relaentière car la condition de régularité relative à G ˜ G ˜ En tout cas, les termes δ 1 (z  ) se recollent en un élément δ G (z  ) ∈ tive à G. Diff

reg

(T˜G˜ -reg (R))ω -inv .

˜ ,λ1 M 1

1

M

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1001

IX.2 Versions stables et endoscopiques des opérateurs différentiels IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On On suppose dans ce paragraphe (G, G, ˜ et un sous-tore tordu maximal T˜ de M ˜, fixe comme en 1.1 un espace de Levi M ainsi que des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. On sait définir ˜ G ˜ ˜ SM ˜ (δ, f ) pour une distribution stable δ sur M (R) à support G-régulier et pour ˜ cf. [V] 1.4. A un élément δ ∈ T˜G˜ -reg (R) est associée une telle f ∈ Cc∞ (G(R)), ˜ (R) associée à la classe distribution δ, à savoir l’intégrale orbitale stable sur M ˜ ˜ G G de conjugaison stable de δ. On pose simplement SM˜ (δ, f ) = SM ˜ (δ, f ). Ce terme devient ainsi une fonction de δ, qui est clairement C ∞ sur T˜G˜ -reg (R). Proposition. Il existe une unique application linéaire Z(G) z

→ Diff reg (T˜G˜ -reg (R)) ˜ G → SδM ˜ (z)

qui vérifie la propriété suivante ˜ – pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)), tout δ ∈ T˜G˜ -reg (R) et tout z ∈ Z(G), on a l’égalité ˜

G SM ˜ (δ, zf ) =



˜

˜

L G SδM ˜ (δ, zL )SL ˜ (δ, f ).

˜ ˜ L∈L( M)

Preuve. Soit δ ∈ T˜G˜ -reg (R). ˜

G On va commencer par définir les opérateurs SδM ˜ (δ, z) et on montrera ensuite Γ ˆ ΓR , s = 1. On fixe des ˆ ) R /Z(G) qu’ils vérifient les propriétés requises. Soit s ∈ Z(M   données auxiliaires G1 (s), . . . , Δ1 (s) pour G (s). L’élément z détermine un élément   z G (s) ∈ Z(G (s)), cf. [III] 2.1. Fixons un élément z1 (s) ∈ Z(G1 (s)) d’image z G (s) ˜ 1 (s) et T˜1 (s) les images réciproques de M ˜ et T˜ dans dans Z(G (s)). Notons M  ˜ ˜ ˜ G1 (s). Soit δ ∈ TG˜ -reg (R) et fixons un élément δ1 (s) ∈ T1 (s) se projetant sur δ. Puisque dim(G1,SC (s)) < dim(GSC ), on peut supposer la proposition connue pour  ˜ 1 (s). On dispose donc d’un opérateur Sδ G˜ 1 (s) (δ1 (s), z1 (s)). Les mêmes formalités G ˜ 1 (s) M

˜

G que l’on a développées en 1.8 pour les opérateurs δM ˜ (γ, z) s’appliquent. On est ˜ , aM ) est la dans le cas particulier simple où la donnée endoscopique de (M, M donnée endoscopique maximale M = (M, L M , 1). On voit que, quand on fait ˜  (s) G

varier les données auxiliaires, les opérateurs SδM˜1 (s) (δ1 (s), z1 (s)) se recollent en G (s)

des opérateurs SδM

1

 (δ, z G (s) ) ∈ Diff cst (T˜ (R)). On dispose aussi de l’opérateur

1002

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜

G δM ˜ (δ, z) de 1.2. On définit alors ˜



˜

G G SδM ˜ (δ, z) = δM ˜ (δ, z) −

(1)



˜ G ˜  (s))Sδ G (s) (δ, z G (s) ). iM˜ (G, M

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR , s∈Z(M s=1 G (s)



Par récurrence, pour s = 1, l’application δ → SδM (δ, z G (s) ) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur T˜G˜  (s) -reg (C), a fortiori sur ˜ G T˜G˜ -reg (C). Il en est de même de δ → δM ˜ (δ, z) d’après la proposition 1.3. Donc δ → ˜ G Sδ (δ, z) est la restriction d’une fonction rationnelle et régulière sur T˜ ˜ (C). G -reg

˜ M

Posons

˜

ΛG ˜ (δ, f ) = M



˜

G IM ˜ (γ, f ),

γ∈X˙ (δ)

où X˙ (δ) est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (R) dans la classe de conjugaison stable de δ. Par définition   ˜ ˜ G G ˜ G ˜  (s))S G (s) (δ, (zf )G (s) ). (2) SM iM˜ (G, ˜ (δ, zf ) = ΛM ˜ (δ, zf )− M ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR , s∈Z(M) s=1

Cette formule requiert une explication. On a défini l’espace de distributions stables st st ˜ Dg´ eom (M) par recollement des espaces Dg´ eom,λ1 (M1 (R)) pour les différentes don˜ 1 etc. . . Mais pour notre donnée M, on peut prendre pour nées auxiliaires M1 , M ˜1 = M ˜ etc. . . L’élément δ données auxiliaires les données triviales M1 = M , M ˜ ayant déjà été identifié à une distribution stable sur M (R), il s’identifie aussi à un st élément de Dg´ eom (M). Cela donne un sens à la formule (2) ci-dessus. ˜ ˙ Etudions ΛG ˜ (δ, zf ). Fixons δ. Pour tout γ ∈ X (δ), il existe un tore tordu M T˜γ et un élément xγ ∈ M tel que adxγ (T˜) = T˜γ , adxγ (δ) = γ et l’isomorphisme adxγ : T˜ → T˜γ soit défini sur R. Pour tout δ  ∈ T˜ ˜ (R), on peut supposer G -reg

X˙ (δ  ) = {adxγ (δ  ); γ ∈ X˙ (δ)}. Alors

 ΛG ˜ (δ , f ) = M ˜



G  IM ˜ (adxγ (δ ), f ). ˜

γ∈X˙ (δ)

Remplaçons z par zf . En appliquant 1.2, on obtient   ˜ ˜ ˜ L G ΛG (δ, zf ) = δM ˜ ˜ (adxγ (δ), zL )IL ˜ (adxγ (δ), f ), M ˜ ˜ M) γ∈X˙ (δ) L∈L( L G  où le terme δM ˜ (adxγ (δ), zL )IL ˜ (adxγ (δ), f ) est ici la valeur en γ = adxγ (δ) de la ˜ ˜ L G   ˜ fonction γ  → δM ˜ (γ , zL )IL ˜ (γ , f ) définie sur Tγ (R). La propriété 1.6(4) implique ˜

˜

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1003

L  qu’il revient au même d’évaluer d’appliquer l’opérateur δM ˜ (δ , zL ) à la fonction ˜

G  δ  → IM ˜ (adxγ (δ ), f ), puis dévaluer la fonction obtenue en δ. On obtient alors l’égalité  ˜ ˜ ˜ L G (δ, zf ) = δM (3) ΛG ˜ ˜ (δ, zL )ΛL ˜ (δ, f ). M ˜

˜ ˜) L∈L( M

ˆ ΓR , s = 1. Comme plus haut, on fixe des données ˆ )ΓR /Z(G) Fixons s ∈ Z(M auxiliaires G1 (s), . . . , Δ1 (s) pour G (s) ainsi que des éléments z1 (s) ∈ Z(G1 (s))  d’image z G (s) dans Z(G (s)) et δ1 (s) ∈ T˜1 (s) se projetant sur δ. En tant qu’élést ment de Dg´ eom (M), δ s’identifie à un certain multiple de la distribution stable  associée à δ1 (s), disons que c’est c1 (s) fois cette distribution. Identifions aussi f G ˜ ∞ ˜ 1 (s; R)). Alors à un élément f G1 (s) ∈ Cc,λ (G 1 (s) G (s)

SM

˜  (s) G



˜

(δ, (zf )G (s) ) = c1 (s)SM˜1 (s) (δ1 (s), z1 (s)f G1 (s) ). 1

Puisque dim(G1,SC (s)) < dim(GSC ), on peut appliquer la proposition par récurrence. On obtient l’égalité G (s)



(δ, (zf )G (s) )  = c1 (s)

SM

˜ L

˜  (s) ˜ ˜  ∈LG L (M) 1,s

˜  (s) G

SδM˜1,s(s) (δ1 (s), z1 (s)L1,s )SL˜ 1 1

˜

(δ1 (s), f G1 (s) ).

1,s

Comme on l’a dit plus haut, quand on fait varier les données auxiliaires, les opé˜  (s)  G G (s) rateurs SδM˜1 (s) (δ1 (s), z1 (s)) se recollent en des opérateurs SδM (δ, z G (s) ) ∈ 1 Diff cst (T˜ (R)). L’égalité ci-dessus se récrit (4)

G (s)

SM





(δ, (zf )G (s) ) =

L (s)

SδM



G (s)



(δ, (z G (s) )L (s )SL (s) (δ, f G (s) ).

˜  (s) ˜ ˜  ∈LG L (M) s

˜ ∈ L(M ˜ ) et une donnée endoscopique ˜  détermine un espace de Levi L On sait que L s  ˜ de (L, L). On a noté L (s) cette donnée endoscopique. Maintenant, la preuve reprend celle de la proposition 2.5 de [II]. On insère la ˜ s ) détermine un espace formule (4) dans la somme en s de (2). Chaque couple (s, L ˜ ˜ de Levi L de G et, comme on vient de le dire, une donnée endoscopique L (s) de ˜ dont la classe ne dépend que de l’image de s dans Z(M ˆ )ΓR /Z(L) ˆ ΓR . Le terme L, G (s)  L (s) )Ls ) est égal à (zL ) . La somme en s de (2) se transforme en (z    ˜ G ˜  (t)) iM˜ (G, ˜ ˜ ) s∈Z(M) ˆ ΓR /Z(L) ˆ ΓR , t∈sZ(L) ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR , L∈L( M t=1 L (s) elliptique L (s)

SδM



G (t)



(δ, (zL )L (s) )SL (s) (δ, f G (t) ).

1004

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ et s est en fait limitée à (L, ˜ s) = (G, ˜ 1) puisque Remarquons que la somme en L G (δ, z G ) corpour ce terme exceptionnel, la somme en t est vide. L’opérateur SδM ˜ 1) n’intervient donc pas (ce qui est heureux puisqu’on respondant au couple (G, ne l’a pas encore défini). Mais, pour la commodité du calcul qui suit, il convient ˜ G G de poser formellement SδM (δ, z G ) = SδM ˜ (δ, z). Pour s, t intervenant ci-dessus, on vérifie l’égalité ˜ G ˜  (t)) = i ˜ (L, ˜ L ˜  (s))i ˜  (G, ˜ G ˜  (t)). iM˜ (G, M L (s) De plus, la non-nullité du membre de droite ci-dessus implique l’ellipticité de L (s). La somme ci-dessus devient   ˜ L ˜  (s))X(L, ˜ s), i ˜ (L, (5) M

˜ ˜ ) s∈Z(M ˆ )ΓR /Z(L) ˆ ΓR L∈L( M L (s)



L (s) ˜ s) s’obtient en appliquant l’opérateur différentiel Sδ où X(L, ) à la M (δ, (zL ) fonction de δ   ˜ G ˜  (t))S G (t) (δ, f G (t) ). (6) i ˜  (G, L (s)

L (s)

ˆ ΓR /Z(G ˆ ΓR ,t=1 t∈sZ(L)

˜ = M ˜ et s = 1. Dans la formule (6), la restriction t = 1 est Supposons d’abord L ˜  superflue et (6) n’est autre que ILG,E ˜ (L (s), δ, f ). Le transfert de δ vu comme une distribution stable n’est autre que la somme des intégrales orbitales sur les éléments ˜ ˜ G  de X˙ (δ). On a prouvé en [V] proposition 1.13 l’égalité ILG,E ˜ (δ, f ). ˜ (L (s), δ, f ) = ΛL ˜ ˜ = M ˜ et s = 1. Alors (6) est égal à I G,E Supposons maintenant L (L, δ, f )−S ˜ (δ, f ). ˜ L

L

˜ ˜ G ˜ ˜ Ou encore, par le même argument, à ΛG ˜ (δ, f ) − SL ˜ (δ, f ). Si enfin L = M , la L ˜

˜

G somme (6) est encore égale à ΛG ˜ (δ, f ) − SM ˜ (δ, f ) : c’est la formule (1) pour z = 1. M Remarquons que la contribution des termes pour lesquels s = 1 se simplifie : on a  ˜ L ˜  (1)) = i ˜ (L, ˜ L) ˜ = 1 et Sδ L (1) (δ, (zL )L (1) ) = Sδ L˜ (δ, zL ). On simplement iM˜ (L, ˜ M M M transforme (5) conformément à ces calculs. On obtient    ˜ ˜ L ˜  (s))Sδ L (s) (δ, (zL )L (s) )ΛG iM˜ (L, ˜ (δ, f ) M L ˜ ˜ s∈Z(M ˆ )ΓR /Z(L) ˆ ΓR L∈L( M)

−



˜

˜

L G SδM ˜ (δ, zL )SL ˜ (δ, f ).

˜ ˜ L∈L( M)

˜ par L, ˜ la première somme ci-dessus En utilisant la formule (1) en y remplaçant G devient simplement  ˜ ˜ L G δM ˜ (δ, zL )ΛL ˜ (δ, f ), ˜ ˜ L∈L( M)

ce qui est le membre de droite de (3). En appliquant (3), on obtient que (5) est égal à  ˜ ˜ ˜ L G SδM ΛG ˜ (δ, zf ) − ˜ (δ, zL )SL ˜ (δ, f ). M ˜ ˜ L∈L( M)

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1005

On se rappelle que (5) est la somme en s intervenant dans (2) et que, dans cette formule, elle est affectée du signe −. En appliquant la formule ci-dessus, la formule (1) devient celle de l’énoncé. 

IX.2.2 Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels On conserve la situation du paragraphe précédent. La formule de définition (1) de ˜ G ce paragraphe et une récurrence immédiate montrent que les opérateurs SδM ˜ (δ, z) vérifient une proposition analogue à 1.3. On a ˜ = G, ˜ alors Sδ G˜ (δ, z) = ∂zT . (1) si M ˜ M ˜

˜

G G En effet, la définition 2.1(1) donne simplement SδM ˜ (δ, z) = δM ˜ (δ, z), d’où le résultat d’après 1.2(2). Comme en 1.6, introduisons l’opérateur de Casimir Ω. Posons d = aM˜ − aG˜ = aM − aG et supposons d ≥ 1. Supposons d’abord d = 1. Remarquons que, ˜ G dans notre situation à torsion intérieure, la définition de la fonction CM ˜ de 1.7 se simplifie. On a simplement  ˜ G |α|AM |(1 − α(δ))−1 (1 − α(δ)−1 )−1 . (2) CM ˜ (δ) = − α∈ΣG (T )−ΣM (T )

On a noté simplement α(δ) le terme α(tδ ), où tδ est défini en 1.4. Une définition équivalente dans notre situation à torsion intérieure est d’envoyer δ en un élément δad ∈ Tad ⊂ GAD et de poser α(δ) = α(δad ). Introduisons comme toujours une ˆ pour laquelle on réalise M ˆ comme un Levi standard. paire de Borel épinglée de G ˆ On note T le tore de cette paire. Il y a une bijection α → α ˆ de ΣG (T ) sur ˆ ˆ ˆ ΣG (Tˆ), qui se restreint en une bijection de ΣG (T ) − ΣM (T ) sur ΣG (Tˆ) − ΣM (Tˆ ). ˆ )ΓR d’éléments de ΣGˆ (Tˆ) − ΣMˆ (Tˆ ) sont Puisque d = 1, les restrictions à Z(M ˆ ˆ toutes proportionnelles. Précisément, pour β ∈ ΣG (Tˆ ) − ΣM (Tˆ ), notons β∗ sa ˆ ˆ ˆ )ΓR . On peut fixer β1 ∈ ΣG (Tˆ ) − ΣM (Tˆ ) et un entier N ≥ 1 restriction à Z(M ˆ ˆ tels que l’ensemble des β∗ pour β ∈ ΣG (Tˆ ) − ΣM (Tˆ) soit exactement l’ensemble ˆ ˆ ˆ {±kβ1,∗ ; k = 1, . . . , N }. Pour tout β ∈ ΣG (Tˆ )−ΣM (Tˆ ), on note k G (β) ∈ N l’entier ˆ ˜ G ˜˜ tel que β∗ = ±k G (β)β1,∗ . On définit une fonction SCM ˜ sur TG -reg par (3)

˜

G SCM ˜ (δ) = −



k G (ˆ α)−1 |α|AM |(1 − α(δ))−1 (1 − α(δ)−1 )−1 . ˆ

α∈ΣG (T )−ΣM (T ) ˜

G Si maintenant d ≥ 2, on pose SCM ˜ = 0.

Proposition. On suppose d ≥ 1. Alors, pour tout δ ∈ T˜G˜ -reg (R), l’opérateur ˜

˜

G G SδM ˜ (δ, Ω) est la multiplication par SCM ˜ (δ).

1006

Chapitre IX. Le cas archimédien

Preuve. On va plutôt prouver que cela est vrai quand on remplace Ω par n’importe quel élément Ω ∈ Ω + Sym(z(G)). Utilisons la définition 2.1(1) pour z = Ω. ˜ ˜ G G Le premier terme δM ˜ (δ, Ω) est la multiplication par CM ˜ (δ), cf. la remarque de ˆ ΓR avec s = 1. On introduit des données auxiliaires ˆ )ΓR /Z(G) 1.7. Soit s ∈ Z(M ˜ ⊂ G ˜  (s) dans G1 (s), . . . , Δ1 (s). En notant T˜1 (s) l’image réciproque de T˜ ⊂ M  ˜ (s), on fixe une forme quadratique définie positive sur X∗ (T1 (s)) ⊗Z R compaG 1 tible avec celle déjà fixée sur X∗ (T ) ⊗Z R, au sens expliqué en 1.8. On introduit  l’opérateur de Casimir ΩG1 (s) relatif à cette forme. Il n’est pas vrai en général que G1 (s) dans Z(G (s)) soit égale à celle de Ω = ΩG . Mais on vérifie facil’image de Ω  lement que l’image de l’espace affine ΩG1 (s) + Sym(z(G1 (s))) contient celle de l’es  pace affine ΩG +Sym(z(G)). On peut donc choisir ΩG1 (s) ∈ ΩG1 (s) +Sym(z(G1 (s))) dont l’image dans Z(G (s)) soit égale à celle de Ω. Pour δ1 ∈ T˜1 (s; R) au-dessus de ˜  (s) G

˜  (s) G



δ, l’opérateur δM˜1 (s) (δ1 , ΩG1 (s) ) est la multiplication par SCM˜1 (s) (δ1 ). Ce terme 1

˜  (s) G

coïncide avec SCM˜

G (s)

(δ). On obtient que SδM

1



(δ, ΩG (s) ) est la multiplication

˜  (s) G

par SCM˜ (δ). En revenant à la définition 2.1(1), on voit que, pour prouver la proposition, il suffit de prouver l’égalité   ˜ ˜ G G ˜ G ˜  (s))SC G˜ (s) (δ), iM˜ (G, SCM ˜ (δ) = CM ˜ (δ) − ˜ M ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M

ou encore (4)

˜

G CM ˜ (δ) =





˜ G ˜  (s))SC G˜ (s) (δ). iM˜ (G, ˜ M

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR s∈Z(M 

Cela est clair si d ≥ 2 : tout est nul. Supposons d = 1. Pour tout s, l’ensemble ΣG (s) est un sous-ensemble de ΣG . Tous les termes sont donc des sommes sur l’ensemble ΣG (T ) − ΣM (T ). On peut fixer un élément α de cet ensemble et montrer que le terme indexé par α dans le membre de gauche de (4) est égal à la somme des termes indexés par α dans le membre de droite. Dans chacun de ces termes apparaît un facteur commun −|α|AM˜ |(1−α(δ))−1 (1−α(δ)−1 )−1 . On peut se limiter aux autres termes. D’après les formules (2) et (3), l’égalité restant à prouver se réduit à  ˆ ˜ G ˜  (s)). (5) 1= k G (s) (ˆ α)−1 iM˜ (G, ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,α∈ΣG (s) (T ) s∈Z(M ˆ ˆ ˆ )ΓR soit indivisible. Quitte à Fixons β1 ∈ ΣG − ΣM dont la restriction β1,∗ à Z(M ˆ G ˆ ∗ = k (ˆ α)β1,∗ . L’application s → β1 (s) changer β1 en −β1 , on peut supposer que α  ΓR ΓR ×  G ˆ ˆ identifie Z(M ) /Z(G) à C . Pour α ∈ Σ (T ) − ΣM (T ), on a α ∈ ΣG (s) (T ) ˆ G  si et seulement si β1 (s)k (α ) = 1. Il en résulte d’abord que la somme sur s de ˆ l’expression (5) s’identifie à une somme sur ζ ∈ ζ k , où k = k G (α) et ζ k est le groupe des racines k-ièmes de l’unité dans C× . Ensuite, soit ζ ∈ ζ k et soit s tel que β1 (s) =

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1007

ζ. Notons l(ζ) l’ordre de ζ. Il divise k. Le calcul ci-dessus montre que ΣG(s) (T ) − ˆ ∗ ∈ l(ζ)Zβ1,∗ . Cela entraîne ΣM (T ) est formé des α ∈ ΣG (T ) − ΣM (T ) tels que α  ˆ ˆ )ΓR ∩ Z(G ˆ  (s)))/Z(G) ˆ ΓR s’identifie au groupe que k G (s) (α) = k/l(ζ) et que (Z(M  ×  l(ζ) = 1. Ce groupe a l(ζ) élements. Par construction de des ζ ∈ C tels que (ζ ) ˆ  (s)) et sur Z(M ˆ ) s’identifient sur Z(G ˆ  (s))∩ G (s), les actions galoisiennes sur Z(G  ΓR ΓR ˆ ˆ ˆ Z(M ). Le groupe précédent est donc égal à Z(G (s)) /Z(G) . En se rappelant la ˜ G ˜  (s)) ([II] 1.10), on obtient i ˜ (G, ˜ G ˜  (s)) = l(ζ)−1 . L’égalité définition de iM˜ (G, M (5) à prouver se récrit  l(ζ) l(ζ)−1 . 1= k ζ∈ζ k

Cette égalité est évidente.



IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels ˜ a), on considère maintenant un triplet (KG, K G, ˜ a) Au lieu d’un triplet (G, G, ˜ 0 . Soit K M ˜ ∈ comme en [I] 1.11. On fixe un K-espace de Levi minimal K M ˜ 0 ), cf. [I] 3.5. Au lieu d’un tore tordu T˜, on fixe des familles finies (T˜i )i∈I et L(K M (˜ιi,j )i,j∈I vérifiant les conditions suivantes (on renvoie à [I] 1.11 et [I] 3.5 pour les ˜ q) = M ˜ p pour tous p, q ∈ ΠM . Pour tout notations). On peut supposer que φ˜p,q (M M ˜ ˜ p(i) . i ∈ I, il existe p(i) ∈ Π tel que Ti soit un sous-tore tordu maximal de M Pour deux éléments i, j ∈ I, ˜ιi,j est un isomorphisme défini sur R de T˜j sur T˜i . On suppose qu’il existe xi,j ∈ Mp(i) tel que ˜ιi,j soit la restriction de adxi,j ◦φ˜p(i),p(j) . On note ιi,j : Tj → Ti la restriction de adxi,j ◦φp(i),p(j) , qui est un isomorphisme défini sur R. On suppose que ˜ιi,j ◦ ˜ιj,k = ˜ιi,k pour tous i, j, k ∈ I. On suppose enfin que, pour tout i ∈ I et tout γ ∈ T˜i (R) qui est fortement régulier dans ˜ p(i) , l’ensemble {˜ιj,i (γ); j ∈ I} est un ensemble de représentants des classes de M ˜ (R). conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ dans K M ˜ p , on peut Remarque. Pour tout p ∈ ΠM et tout sous-tore tordu maximal T˜ de M compléter T˜ en une famille (T˜i )i∈I et définir une famille d’isomorphismes (˜ιi,j )i,j∈I de sorte que les conditions ci-dessus soient vérifiées. On note T˜ l’ensemble des familles γI = (γi )i∈I telles que, pour tout i ∈ I, γi ∈ T˜i et, pour tous i, j ∈ I, on ait γi = ˜ιi,j (γj ). On définit le sous-ensemble évident T˜G˜ -reg . Pour i ∈ I, on a introduit en 1.1 divers espaces de fonctions ou opérateurs différentiels Cc∞ (T˜i,G˜ i -reg (R))ω -inv , Diff cst (T˜i (R))ω -inv etc. . . Pour i, j ∈ I, les isomorphismes ˜ιi,j identifient les espaces indexés par i à ceux indexés par j. On note simplement ces espaces Cc∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv , Diff cst (T˜ (R))ω -inv etc. . . Pour chacun de ces espaces, disons pour l’espace E, on note MatI (E) l’espace des matrices carrées I × I à coefficients dans E. De nouveau, on fixe des mesures sur tous les groupes intervenant. On suppose que les mesures sur les Gp (R) sont cohérentes en ce sens que, pour p, q ∈ Π,

1008

Chapitre IX. Le cas archimédien

les mesures sur Gp (R) et Gq (R) se correspondent via le torseur intérieur φp,q . De même pour les mesures sur les Mp (R). On suppose aussi que, pour i, j ∈ I, l’isomorphisme ιi,j transporte la mesure sur Tj (R) en celle sur Ti (R). ˜ (R) et f ∈ Cc∞ (K G(R)). Pour i ∈ I, on définit Soient γI = (γi )i∈I ∈ T˜ ˜ G -reg

˜

K G,E l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante endoscopique IK ˜ (γi , ω, f ) comme M en [V] 1.8. A partir de maintenant, on va utiliser les hypothèses de récurrence telles qu’on les a posées en [V] 1.1.

Proposition. Il existe une unique application linéaire Z(G) z

→ MatI (Diff reg (T˜G−reg (R))ω -inv ) ˜ →

˜

˜

K G,E K G,E δK ˜ (z) = (δK M ˜ ;i,j (z))i,j∈I M

qui vérifie la propriétés suivante : ˜ tout γI ∈ T˜G˜ -reg (R), tout z ∈ Z(G) et tout i ∈ I, – pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)), on a l’égalité ˜

K G,E IK ˜ (γi , ω, zf ) = M





˜

˜

K L,E K G,E δK ˜ ;i,j (γj , zL )IK L ˜ (γj , ω, f ). M

˜ ˜ j∈I K L∈L(K M)

Preuve. On peut s’autoriser à conjuguer chaque T˜i par un élément de Mp(i) (R). ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ) contenu On peut donc supposer qu’il existe un K-espace de Levi K R ˜ ˜ dans K M tel que, pour tout i, Ti soit un sous-tore tordu maximal elliptique de ˜ p(i) . Pour simplifier, on note simplement R ˜i = R ˜ p(i) , M ˜i = M ˜ p(i) , G ˜i = G ˜ p(i) . En R appliquant la description de [I] 4.9, on voit que l’on peut fixer des familles (Ri )i∈I et (T˜i )i∈I vérifiant les conditions qui suivent. Pour tout i ∈ I, Ri est une donnée ˜ aR ) et T˜  est un sous-tore tordu endoscopique elliptique et relevante de (KR, K R, i  ˜ maximal de Ri . Pour tous i, j ∈ I, il y a un homomorphisme ξi,j : Tj → Ti et une application compatible ξ˜i,j : T˜j → T˜i , tous deux définis sur R, qui se quotientent en des isomorphismes Tj /(1 − θ)(Tj )  Ti et T˜j /(1 − θ)(Tj )  T˜i (on note uniformément θ les automorphismes bien qu’ils dépendent évidemment du tore en question). On a ξ˜i,j ◦ ˜ιj,k = ξ˜i,k pour tous i, j, k ∈ I. Pour un élément ˜ i , la classe de conjugaison stable de ξ˜i,j (γj ) γj ∈ T˜j (R) fortement régulier dans R  ˜ j (R). Notons T˜  l’ensemble des δI = (δi )i∈I ˜ dans Ri (R) correspond à celle γj dans R  tels que δi ∈ T˜i pour tout i et il existe γI ∈ T˜ de sorte que δi = ξ˜i,j (γj ) pour tous i, j ∈ I. Des applications ξ˜i,j se déduit une application surjective ξ˜ : T˜ → T˜  .  Pour tout i ∈ I, fixons des données auxiliaires Ri,1 , . . . , Δi,1 pour Ri . Notons   ˜ ˜ T1 l’ensemble des δI,1 = (δi,1 )i∈I où δi,1 ∈ Ti,1 pour tout i, tels que, en notant δi l’image de δi,1 dans T˜i , la famille δI = (δi )i∈I appartienne à T˜  . Soient ϕ = ˜ (ϕi )i∈I ∈ Cc∞ (K R(R)), γI = (γi )i∈I ∈ T˜G˜ -reg (R) et δI,1 = (δi,1 )i∈I ∈ T˜1 (R) un

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1009

˜ I ). On a pour tout i ∈ I les formules d’inversion élément au-dessus de ξ(γ  ˜ ˜ ˜ Δi,1 (δi,1 , γj )I Rj (γj , ω, ϕj ), (1) S Ri,1 (δi,1 , ϕRi,1 ) = c j∈I

(2)

I

˜i R

(γi , ω, ϕi ) = c−1 |I|−1



˜

˜

Δj,1 (δj,1 , γi )−1 S Rj,1 (δj,1 , ϕRj,1 ),

j∈I

où c est une constante non nulle. Pour tout i, réalisons la donnée endoscopique ˜ comme une «donnée de Levi» d’une donnée endoscopique elliptique Ri de K R  ˜ et supposons que les données auxiliaires ci-dessus sont Mi = (Mi , Mi , ζ˜i ) de K M les restrictions de données auxiliaires pour les Mi . Alors, par simple induction, on peut remplacer les R par des M dans les formules d’inversion ci-dessus. Désormais, ˜ qui ne nous a servi qu’à appliquer les considérations de on oublie le K-espace K R [I] 4.9. Soient γI = (γi )i∈I ∈ T˜G˜ -reg (R) et δI,1 = (δi,1 )i∈I ∈ T˜1 (R) un élément au˜ I ). Pour tout i ∈ I, on peut identifier comme en 2.1 l’élement δi,1 dessus de ξ(γ st ˜ à un élément de Dg´ eom,λi,1 (Mi,1 (R)), à savoir l’intégrale orbitale stable associée à st  δi,1 . On l’identifie ensuite à un élément de Dg´ eom (Mi ). La formule (2) ci-dessus ˜ i associée à γi est (avec R remplacé par M ) signifie que l’intégrale orbitale dans M −1 −1 −1 égale à c |I| transfert(δj,1 ). Par définition, on a alors j∈I Δj,1 (δj,1 , γi )  ˜ ˜ K G,E K G,E −1  Mj IK |I|−1 Δj,1 (δj,1 , γi )−1 IK ). ˜ (γi , ω, f ) = c ˜ (Mj , δj,1 , f M M j∈I

= c−1 |I|−1



Δj,1 (δj,1 , γi )−1

j∈I



G (˜ sj )

j ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, j sj ))SM j

j



(δj,1 , f Gj (˜sj ) ).

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s ˜j ∈ζ˜j Z(M

Remplaçons f par zf et appliquons la proposition 2.1 à chaque terme G (˜ sj )

SMj

j



(δj,1 , (zf )Gj (˜sj ) ).

˜  ∈ LG˜ j (˜ ˜  ). Ce terme se développe en une somme sur des espaces de Levi L sj )(M j,˜ sj j  ˜ ˜∈ Comme toujours, aux données j, s˜j et L est associé un K-espace de Levi K L j,˜ sj ˜  (˜ ˜ ). Le Levi L ˜ s’identifie à l’espace L L(K M j sj ) de la donnée endoscopique j,˜ sj   ˜ Lj (˜ sj ) de (KL, K L, aL ) déduite de Mj et s˜j . En regroupant les termes selon le ˜ on obtient K-espace K L,    ˜ K G,E −1 −1 −1 IK (γ , ω, zf ) = c |I| Δ (δ , γ ) i j,1 j,1 i ˜ M ˜ ˜ K L∈L(K M) L (˜ sj )

˜ G ˜ j (˜ iM˜  (G, sj ))SδMj j

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, s ˜j ∈ζ˜j Z(M Lj (˜ sj ) elliptique

j∈I

j



G (˜ sj )



(δj , (zL )Lj (˜sj ) )SLj(˜sj (δj,1 , f Gj (˜sj ) ). j

1010

Chapitre IX. Le cas archimédien

On a passé quelques considérations formelles similaires à celles développées en 1.8 et qu’on laisse au lecteur. On décompose la somme en s˜j en une double somme sur ˆ )ΓR ,θˆ/Z(L) ˆ ΓR ,θˆ s˜j ∈ ζ˜j Z(M ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ. Comme en [II] 2.6, on tel que Lj (˜ sj ) soit elliptique et t˜j ∈ s˜j Z(L) a l’égalité ˜ G ˜  (t˜j )) = i ˜  (L, ˜ L ˜  (˜ ˜ ˜ ˜ iM˜  (G, ˜  (˜ j j sj ))iL M sj ) (G, Gj (tj )) j

j

j

et la non-nullité de ce dernier terme implique l’ellipticité de Lj (˜ sj ). D’où (3) =

˜



c−1 |I|−1

˜ ˜ K L∈L(K M)





K G,E IK ˜ (γi , ω, zf ) M

Δj,1 (δj,1 , γi )−1

˜ L ˜  (˜ iM˜  (L, j sj )) j

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(L) ˆ ΓR ,θˆ s˜j ∈ζ˜j Z(M

j∈I

L (˜ sj )

˜ G ˜  (t˜j ))Sδ j iL˜  (˜sj ) (G, j M j



j



G (t˜j )



(δj , (zL )Lj (˜sj ) )SLj(˜sj ) (δj,1 , f Gj (tj ) ). ˜

j

ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ sj Z(L) t˜j ∈˜

Pour exploiter cette formule, on a besoin de quelques préliminaires. On a (4) pour i, j, k ∈ I, le terme Δj,1 (δj,1 , γi )−1 Δj,1 (δj,1 , γk ) ne dépend ni de γI , ni de δj,1 mais seulement de i, j, k. Remarquons que Δj,1 (δj,1 , γi )−1 Δj,1 (δj,1 , γk ) = Δj,1 (δj,1 , γk ; δj,1 , γi ). Fixons xk ∈ Mk tel que ˜ιi,k = φi,k ◦ ad(xk ). Décomposons xk en xk = π(xk,sc )zk , où zk ∈ Z(Mk ) et xk,sc ∈ Mk,SC . On note Tk,sc l’image réciproque de Tk dans ˆ AD . Pour σ ∈ ΓR , posons Mk,SC et Tˆk,ad l’image de Tˆk dans M Vk,i (σ) = x−1 k,sc ∇k,i (σ)σ(xk,sc ), cf. [I] 1.11 pour la définition de ∇k,i . On vérifie que Vk,i est un cocycle à valeurs 1−θ

dans Tk,sc . Le couple (Vk,i , (1 − θ)(zk )−1 ) définit un élément de H 1,0 (ΓR ; Tk,sc → (1 − θ)(Tk )). Le cocycle tTk défini en [I] 2.2 se pousse en un cocycle de WR ˆ dans Tˆk /Tˆkθ,0 . Rappelons que Mk = (Mk , Mk , ζ˜k ) et que l’on suppose impliciˆ avec ζk ∈ Tˆk . Le couple (tT , ζk ) définit un élément de tement que ζ˜k = ζk θ, k

H

1,0

ˆ

ˆ 1−θ (WR ; Tˆk /Tˆkθ,0 → Tˆk,ad ). En dévissant les définitions de [I] 2.2, on vérifie que   Δj,1 (δj,1 , γk ; δj,1 , γi ) = (Vk,i , (1 − θ)(zk )−1 ), (tTk , ζk ) ,

le produit étant celui sur ˆ 1−θˆ 1−θ H 1,0 (ΓR ; Tk,sc → (1 − θ)(Tk )) × H 1,0 (WR ; Tˆk /Tˆkθ,0 → Tˆk,ad ).

Cela prouve (4).

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1011

 Pour j, k ∈ I, l’algèbre Diff cst (T˜j,1 (R))λj,1 s’identifie à Diff(T˜k (R))ω -inv , cf. 1.8. L’identification a été faite de sorte que la propriété suivante soit vérifiée.  (R) dont la projection dans T˜j (R) soit Fixons γk ∈ T˜k,G˜ k,reg (R) et δj,1 ∈ T˜j,1 ξ˜j,k (γk ). Soit ϕ une fonction sur T˜k (R) telle que ϕ(x−1 γk x) = ω(x)−1 ϕ(γk ) pour tous x ∈ Tk (R) et γk ∈ T˜k (R). On en déduit une fonction ϕ sur un voisinage de  (R) par la formule ϕ (δ1 ) = Δj,1 (δ1 , γ  )ϕ(γk ) où γk est un élément δj,1 dans T˜j,1 ˜ de Tk (R) proche de γk tel que ξ˜j,k (γk ) est égal à la projection de δ1 dans T˜j (R).  Soit D ∈ Diff cst (T˜j,1 (R))λj,1 et notons D l’élément de Diff cst (T˜k (R))ω -inv auquel il s’identifie. Alors on a l’égalité (D ϕ )(δj,1 ) = (Dϕ) (δj,1 ). En composant les isomorphismes  Diff cst (T˜j,1 (R))λj,1  Diff cst (T˜k (R))ω -inv  Diff cst (T˜ (R))ω -inv ,

on obtient un isomorphisme qui ne dépend pas de k : cela résulte de la propriété  ci-dessus et de (4). Désormais, on identifie Diff cst (T˜j,1 (R))λj,1 à Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Revenons à l’expression (3). On reconnaît la dernière somme en t˜j : c’est L (˜ sj )

˜

K G,E  (δj , (zL )Lj (˜sj ) )IK sj ), δj,1 , f ), ˜ (Lj (˜ L

L (˜ sj )

K G,E (δj , (zL )Lj (˜sj ) )IK ˜ (transfert(δj,1 ), ω, f ). L

j

ou encore



SδMj SδMj

j



˜

La formule (1) décrit le transfert de δj,1 . On obtient   ˜ L (˜ sj ) K G,E Δj,1 (δj,1 , γk )IK SδMj (δj , (zL )Lj (˜sj ) )c ˜ (γk , ω, f ). L j

k∈I

En utilisant la description ci-dessus de l’isomorphisme  (R))λj,1  Diff cst (T˜ (R))ω -inv , Diff cst (T˜j,1

on transforme cette expression en   ˜ L (˜ sj ) K G,E Δj,1 (δj,1 , γk )SδMj (δj , (zL )Lj (˜sj ) )IK c ˜ (γk , ω, f ). L j

k∈I

En reportant cela dans la formule (3), on obtient    ˜ K G,E |I|−1 Δj,1 (δj,1 , γi )−1 Δj,1 (δj,1 , γk ) IK ˜ (γi , ω, zf ) = M ˜ ˜ k∈I K L∈L(K M)



˜ L ˜  (˜ iM˜  (L, j sj ))Sδ j

ˆ

j∈I Lj (˜ sj ) Mj



˜

K G,E (δj , (zL )Lj (˜sj ) )IK ˜ (γk , ω, f ). L

ˆ

ˆ )ΓR ,θ /Z(L) ˆ ΓR ,θ s˜j ∈ζ˜j Z(M

En posant grâce à (4) κj (i, k) = Δj,1 (δj,1 , γi )−1 Δj,1 (δj,1 , γk ),

1012

Chapitre IX. Le cas archimédien

on obtient (5)

˜

K G,E IK ˜ (γi , ω, zf ) = M



|I|−1

˜ ˜ k∈I K L∈L(K M)





κj (i, k)

j∈I



 ˜ L (˜ sj ) K G,E ˜ L ˜ j (˜ iM˜  (L, sj ))SδMj (δj , (zL )Lj (˜sj ) )IK ˜ (γk , ω, f ). L j

ˆ



j

ˆ

ˆ )ΓR ,θ /Z(L) ˆ ΓR ,θ s˜j ∈ζ˜j Z(M

Définissons maintenant les opérateurs de l’énoncé par   ˜ K G,E (γk , z) = |I|−1 κj (i, k) (6) δK ˜ M,i,k ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s˜j ∈ζ˜j Z(M

j∈I

˜ G ˜ j (˜ iM˜  (G, sj ))Sδ j

Gj (˜ sj ) Mj



(δj , z Gj (˜sj ) ).

Alors la formule (5) devient celle de l’énoncé. Le tore tordu T˜  (C) s’identifie à T˜ (C)/(1−θ)(T (C)) (c’est-à-dire à T˜k (C)/(1− G (˜ sj )



θ)(Tk (C)) pour tout k). Les fonctions δj → SδMj (δj , z Gj (˜sj ) ) s’étendent en des j fonctions rationnelles sur ce tore. Chacune est régulière sur un sous-ensemble qui ˜  -réguliers. Mais cet ensemble contient l’endépend de j : l’ensemble des points G j ˜ semble commun des points qui sont G-réguliers. Il en résulte que la fonction γk → ˜ K G,E (γk , z) s’étend en une fonction rationnelle régulières sur T˜k,G˜ k -reg (C)/(1 − δK ˜ M,i,k θ)(Tk (C)). Cela achève la preuve. 

IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques Il résulte de la définition 2.3(6) et de ce que l’on a dit en 2.2 que les opérateurs ˜ K G,E δK (γI , z) vérifient des propriétés analogues à celles de la proposition 1.3. ˜ M,i,k Les différents homomorphismes Z(G) → Z(Ti ) → Sym(ti )θ,ω , pour i ∈ I, coïncident modulo les identifications de Sym(ti )θ,ω à une algèbre commune Sym(t)θ,ω . Pour z ∈ Z(G), on note zT l’image de z dans cette algèbre. On a ˜ = K G, ˜ la matrice δ K G˜ (γI , z) est diagonale, de termes diagonaux tous (1) si K M ˜ KG égaux à ∂zT . En effet, la définition 2.3(6) se simplifie en    ˜ K G,E −1 δK (γ , z) = |I| κj (i, k)S Gj (δj , z Gj ). I ˜ G,i,k j∈I 





D’après 2.2(1), l’opérateur S Gj (δj , z Gj ) est simplement ∂ Gj , où on identifie z Gj z à son image naturelle dans Sym(tj,1 )λj,1 (avec les notations de la preuve précédente). Modulo l’identification Sym(tj,1 )λj,1  Sym(t)θ,ω , ce n’est autre que ∂zT .

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1013

La formule devient ˜

K G,E δK (γI , z) = ∂zT |I|−1 ˜ G,i,k



κj (i, k).

j∈I

Il est sous-jacent aux formules d’inversion de [I] 4.9 que la correspondance entre les γi et les δi est essentiellement une transformation de Fourier entre un groupe abélien fini et son dual, de sorte que la somme en j ci-dessus vaut |I| si i = k et 0 sinon. Cette propriété est largement développée dans [53] et [48] et on ne la détaillera pas. Elle entraîne la conclusion (1). Posons d = aM˜ − aG˜ , supposons d ≥ 1. Pour tout i ∈ I, on a défini en 1.7 ˜i G ˜ ˜ une fonction CM ˜ i sur Ti,G -reg (C). Ces fonctions s’identifient par les isomorphismes ˜ (C). Soit Ω l’opérateur de Casimir. ˜ιi,j . On en déduit une fonction C K G sur T˜ ˜ G -reg

˜ KM

Proposition. Pour d ≥ 1, la matrice

˜ KG δK ˜ (γI , Ω) M

est diagonale. Ses coefficients ˜

KG diagonaux sont tous égaux à la multiplication par CK ˜ (γI ). M

Preuve. On va plus généralement prouver que ces propriétés sont vérifiées si l’on remplace Ω par un élément Ω ∈ Ω+Sym(z(G)). On considère la formule 2.3(6). Les mêmes considérations formelles que dans la preuve de la proposition 2.2 montre G (˜ sj )

que, pour j et s˜j intervenant dans cette formule, l’opérateur SδMj ˜  (˜ G sj )

est la multiplication par la fonction SCM˜j

j



(δj , ΩGj (˜sj ) )

(δj ).

j

˜

KG (γI , Ω) est la multiplication par la fonction Ainsi, pour i, k ∈ I, δK ˜ M,i,k

|I|−1



κj (i, k)Xj (δj ),

j∈I

où



Xj (δj ) =

˜

G (˜ sj ) ˜ G ˜ j (˜ iM˜  (G, sj ))SCM˜j (δj ). j

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s ˜j ∈ζ˜j Z(M

j

On va prouver ˜

KG (2) on a Xj (δj ) = CK ˜ (γI ) pour tout j ∈ I. M ˜

KG En admettant cela, on obtient que δK (γI , Ω) est la multiplication par la ˜ M,i,k fonction  ˜ KG −1 CK κj (i, k). ˜ (γI )|I| M j∈I

La proposition s’en déduit par le même argument d’inversion utilisé dans la preuve de (1). Prouvons (2). Cette égalité est évidente si d ≥ 2 car alors tout est nul. On suppose d = 1. Pour simplifier, on fixe j et on abandonne les indices j. De même,

1014

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

˜

Gi KG on fixe un certain i ∈ I, on identifie CK ˜ (γI ) à CM ˜ i (γi ) et on abandonne l’indice M ˆ ˆ ˜ M ˆ D’après [48] 1.3, repris en ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ , que l’on écrit s˜ = sθ. i. Soit s˜ ∈ ζZ( G (˜ s)  M  (T ) − Σ (T ) sont les [I] 1.6, les éléments de Σ

– N α pour α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 1 tel que N α ˆ (s) = 1 ; ˆ (s) = 1 ; – 2N α pour α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 2 tel que N α – N α pour α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 3 tel que N α ˆ (s) = −1. ˆ pour laquelle M ˆ est Fixons comme toujours une paire de Borel épinglée de G ˆ ˆ standard et dont on note le tore T . Dualement, la racine de G(˜ s) correspondant à N α, pour α de type 1 ou 3, ou à 2N α pour α de type 2, est la restriction de ˆ α ˆ à Tˆ θ,0 . On se rappelle que, d’une racine α de type 2, se déduit une racine β = α + θnα /2 (α) de type 3. On peut choisir l’ensemble ΣG (T )θ de sorte que, de cette correspondance, se déduise une bijection entre les éléments de ΣG (T )θ de type 2 et les éléments de ΣG (T )θ de type 3. On a β ∈ ΣM (T ) si et seulement si α ∈ ΣM (T ). On peut donc supposer que la bijection ci-dessus se restreint en une bijection entre les éléments de ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 2 et ceux de type 3. ˜ G Ainsi, X(δ) comme CM ˜ (γ) apparaissent comme des sommes sur les α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ . On va prouver (3) pour α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 1, les termes indexés par α dans X(δ) ˜ G et dans CM ˜ (γ) sont égaux ; (4) soit α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 2 ; soit β ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ l’élément de type 3 correspondant ; alors la somme des termes indexés par α et β dans ˜ G X(δ) est égale à la somme des termes indexés par α et β dans CM ˜ (γ). Soit α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 1. En utilisant les définitions de 1.7 et 2.2, prouver (3) se ramène à prouver l’égalité  −|N α|AM˜ |nα (1 − (α)(γ))−1 (1 − (α)(γ)−1 )−1 = − ˜  (˜ s) ˜ M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ,N α∈ΣG s˜∈ζZ(

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))|N α|AM˜  |k

ˆ  (˜ G s)

(ˆ α)−1 (1 − N α(δ))−1 (1 − N α(δ)−1 )−1 .

Puisque AM˜ = AM˜  , les termes |N α|AM˜ | et |N α|AM˜  | sont égaux. De même, il résulte des définitions que 1 − (α)(γ)±1 = 1 − N α(δ)±1 . L’égalité à prouver se simplifie en  ˆ ˜ G ˜  (˜ (5) nα = iM˜  (G, s))k G (˜s) (ˆ α)−1 . ˜  (˜ s) ˜ M) ˆ ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ ,N α∈ΣG s˜∈ζZ( ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆ θ,0 ˆ ΓR ∩ Tˆ θ,0 Posons Tˆ = (Z(M )/(Z(G) ). Remarquons que les homomorphismes de la suite suivante ˆ ˆ ˆ )ΓR ,θ,0 ˆ → Tˆ → Z(M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ ˆ )ΓR ,θ,0 /(Z(M ∩ Z(G)) Z(M

IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1015

sont des isomorphismes. Ce groupe commun est un tore complexe de dimension 1. La restriction de α ˆ à ce tore n’est pas triviale. Il en résulte que l’on peut trouver ΓR ,θˆ ˜ ˆ ΓR ,θˆ tel que N α ˆ /Z(G) ˆ (s) = 1, autrement dit la somme en s˜ cis˜ ∈ ζZ(M ) dessus est non vide. On ne perd alors rien à supposer que ζ˜ lui-même vérifie cette ˜ avec t ∈ Tˆ , la somme sur les s˜ tels que N α ∈ ΣG˜  (˜s) condition. En posant s˜ = ζt ˆ devient une somme sur les t tels que N α ˆ (t) = 1. Puisque t est invariant par θ, nα ˜ cette dernière condition équivaut à α ˆ (t) = 1. Considérons un tel t et s˜ = ζt l’élément correspondant. Pour β ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ , notons βˆ∗ la restriction de ˆ  )ΓR . Parmi les β tels que βˆ ∈ ΣGˆ  (˜s) , on peut en fixer un tel que que βˆ∗ βˆ à Z(M ˆ ˆ  (˜ soit indivisible et que α ˆ ∗ = k G (˜s) (ˆ α)βˆ∗ . Le groupe Z(G s))ΓR est égal à celui des ˆ  Γ ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆθ,0 ˆ ) R tel que β(z) = 1. Il contient le groupe des z ∈ Z(M tels z ∈ Z(M ˆ que β(z) = 1. Donc ˆ ΓR ∩ Tˆ θ,0 ] ˆ  (˜ s))ΓR : Z(G) [Z(G ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆ θ,0 ˆ  )ΓR ; β(z) = 1} : {z ∈ Z(M ; β(z) = 1}] = [{z ∈ Z(M ˆ

ˆ

ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆθ,0 ; β(z) ˆ ΓR ∩ Tˆθ,0 ]. [{z ∈ Z(M = 1} : Z(G) ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆθ,0 , l’homomorphisme Puisque βˆ n’est pas trivial sur Z(M ˆ ˆ ˆ ˆ )ΓR ∩ Tˆ θ,0 ˆ  )ΓR ; β(z) = 1}/{z ∈ Z(M ; β(z) = 1} {z ∈ Z(M

ˆ )ΓR ∩ Tˆθ,0 ) ˆ  )ΓR /(Z(M → Z(M ˆ

est un isomorphisme. D’autre part, βˆ se quotiente en un caractère du tore Tˆ . Il en résulte que ˆ ˆ ˆ ˆ  (˜ ˆ ΓR ∩ Tˆθ,0 ˆ  )ΓR : Z(M ˆ )ΓR ∩ Tˆ θ,0 [Z(G s))ΓR : Z(G) ] = [Z(M ]|{z ∈ Tˆ ; β(z) = 1}|.

˜ G ˜  (˜ En se rappelant la définition de iM˜  (G, s)), cf. [II] 1.7, on obtient ˆ ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s)) = |{z ∈ Tˆ ; β(z) = 1}|−1 . On a un homomorphisme surjectif ˆ  )ΓR /Z(G ˆ  (˜ Tˆ → Z(M s))ΓR . ˆ ˆ Puisque la restriction de α ˆ au tore de droite est égale à k G (˜s) (ˆ α) fois celle de β, ˆ on a la même relation entre les restrictions de ces racines à T . Puisque ce tore est de dimension 1, on obtient ˆ

˜ G ˜  (˜ k G (˜s) (ˆ α)−1 iM˜  (G, s)) = |{z ∈ Tˆ ; α ˆ (z) = 1}|−1 , ou encore, par le même argument ˆ ˜ G ˜  (˜ k G (˜s) (ˆ α)−1 iM˜  (G, s)) = nα |{z ∈ Tˆ ; N α ˆ (z) = 1}|−1 .

1016

Chapitre IX. Le cas archimédien

La relation (5) à prouver se réduit à  nα = nα |{z ∈ Tˆ ; N α ˆ (z) = 1}|−1 . t∈Tˆ ,N α(t)=1 ˆ

C’est évident et cela prouve (3). Soit α ∈ ΣG (T )θ − ΣM (T )θ de type 2 et soit β = α + θnα /2 (α) l’élément de type 3 associé. L’égalité (4) à prouver se ramène à (6)

Aα + Aβ = Bα + Bβ ,

où Aα = − |N α|AM˜ |nα (1 − (α)(γ))−1 (1 − (α)(γ)−1 )−1 , Aβ = − |N β|AM˜ |nβ (1 − (β)(γ))−1 (1 − (β)(γ)−1 )−1 ,  ˆ ˜ G ˜  (˜ Bα = − iM˜  (G, s))|2N α|AM˜  |k G (˜s) (ˆ α)−1 ˜  (˜ s) ˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ ,2N α∈ΣG s˜∈ζZ( ˆ

ˆ

(1 − (2N α)(δ))−1 (1 − (2N α)(δ)−1 )−1 ,  ˆ ˆ −1 ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))|N β|AM˜  |k G (˜s) (β) Bβ = − ˜  (˜ s) ˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ ,N β∈ΣG s˜∈ζZ( ˆ

ˆ

(1 − N β(δ))−1 (1 − N β(δ)−1 )−1 . On a N α = N β et |N α|AM˜ | = |N α|AM˜  |. D’après les définitions, (α)(γ) = N α(δ) et (β)(γ) = −N α(δ). En posant x = N α(δ) et c = −|N α|AM˜ |, on obtient Aα = cnα (1 − x)−1 (1 − x−1 )−1 , Aβ = cnβ (1 + x)−1 (1 + x−1 )−1 , Bα = 2c(1 − x2 )−1 (1 − x−2 )−1 bα , Bβ = c(1 − x)−1 (1 − x−1 )−1 bβ , où



bα =

ˆ ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))k G (˜s) (ˆ α)−1 ,

˜  (˜ s) ˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ ,2N α∈ΣG s˜∈ζZ( ˆ

ˆ



bβ =

ˆ ˆ −1 . ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))k G (˜s) (β)

˜  (˜ s) ˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ ,N β∈ΣG s˜∈ζZ( ˆ

ˆ

˜

˜

ˆ (s) = 1, resp. Les conditions 2N α ∈ ΣG (˜s) ou N β ∈ ΣG (˜s) équivalent à N α ˆ N β(s) = −1. Le même calcul que dans la preuve de (3) conduit aux égalités bα = nα , bβ = nβ . On a l’égalité nα = 2nβ . L’égalité (6) équivaut alors à 2(1 − x)−1 (1 − x−1 )−1 + (1 + x)−1 (1 + x−1 )−1 = 4(1 − x2 )−1 (1 − x−2 )−1 + (1 − x)−1 (1 − x−1 )−1 . Cela résulte d’un calcul immédiat. Cela prouve (4) et la proposition.



IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels

1017

IX.2.5 Le résultat de stabilisation Les hypothèses et notations sont comme en 2.3. Soit z ∈ Z(G). ˜

Gi D’après 1.6(4), les différents opérateurs δM ˜ i (z) s’identifient tous à un même reg ˜ ω -inv . élément de Diff (TG˜ -reg (R)) ˜ KG On note δK M˜ (z) l’élément diagonal de MatI (Diff reg (T˜G˜ -reg (R))ω -inv ) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à cet élément.

Proposition. Pour tout z ∈ Z(G), on a l’égalité ˜

˜

K G,E KG δK ˜ (z). ˜ (z) = δK M M

˜ = K G. ˜ On suppose K M ˜ = K G. ˜ Soient z, z  ∈ Z(G). Preuve. C’est clair si K M La relation 1.2(3) donne  ˜ ˜ ˜  KG  KL KG (1) δK δK ˜ (zz ) = ˜ (zL )δK L ˜ (z ). M M ˜ ˜ K L∈L(K M)

Il s’agit ici de produits de matrices d’opérateurs différentiels. Une même preuve s’applique aux opérateurs endoscopiques et donne la relation similaire :  ˜ ˜ ˜ K G,E K L,E K G,E   (zz ) = δK (2) δK ˜ ˜ (zL )δK L ˜ (z ). M M ˜ ˜ K L∈L(K M)

On raisonne par récurrence sur dim(GSC ), mais aussi par récurrence sur aM˜ − aG˜ . ˜ par On peut donc supposer que l’égalité de l’énoncé est vérifiée si l’on remplace G ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L avec L = G et aussi si l’on remplace M par L pour L = M . Alors les termes ˜ différents de M ˜ et G ˜ sont des deux membres de droite ci-dessus indexés par des L égaux. D’autre part, d’après 1.2(2) et 2.4(1), on a ˜

K G,E  KG   ), δK ˜ (z ) = δK G ˜ (z ) = diag(∂zT G ˜

˜

˜

K M,E KM δK ˜ (zM ) = δK M ˜ (zM ) = diag(∂zT ). M

Pour D ∈ Diff cst (T˜ (R))ω -inv , on a ici identifié D à la fonction constante sur T˜G˜ -reg (R) de valeur D, et on a noté diag(D) la matrice diagonale de coefficients diagonaux tous égaux à D. Posons ˜

˜

K G,E KG A(z) = δK ˜ (z). ˜ (z) − δK M M

Par différence de (2) et (1), on obtient A(zz  ) = diag(∂zT )A(z  ) + A(z) diag(∂zT ). Puisque le membre de gauche est symétrique en z et z  , on obtient (3)

diag(∂zT )A(z  ) + A(z) diag(∂zT ) = diag(∂zT )A(z) + A(z  ) diag(∂zT ).

1018

Chapitre IX. Le cas archimédien

De même que l’on a défini T˜ comme l’ensemble des familles γI = (γi )i∈I telles que γi ∈ T˜i pour tout i et γi = ˜ιi,j (γj ) pour tous i, j, on peut définir les ensembles T , t et X∗ (T ). On a une forme quadratique définie positive sur chaque X∗ (Ti )⊗Z R. Elles se correspondent par les isomorphismes ιi,j . Donc X∗ (T )⊗Z R est muni d’une telle forme. Cet espace est aussi muni d’un automorphisme θ. Fixons une base orthonormée {H1 , . . . , Hm } de X∗ (T )θ ⊗Z R. C’est aussi une base sur C de tθ (C). On dispose d’un homomorphisme H → ∂H de tθ (R) dans Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Par linéarité, il s’étend en un isomorphisme de Sym(tθ (C)) sur Diff cst (T˜ (R))ω -inv . Pour l = (l1 , . . . , lm ) ∈ Nm , on pose l1 lm · · · ∂H . ∂ l = ∂H 1 m

Ainsi, pour i, j ∈ I et γI ∈ T˜G˜ -reg (R), on peut écrire de façon unique (4)

Ai,j (γI , z) =



ai,j;l (γI )∂ l ,

l∈Nm

où les ai,j;l sont des fonctions rationnelles en γI . Définissons l’opérateur 2 2 + · · · + ∂H . ∇ = ∂H 1 m

Introduisons le Casimir Ω. Il résulte de 1.7(1) que l’on peut choisir Ω ∈ Ω + Sym(z(G)) tel que ∂ΩT = ∇. Les propositions 1.7 et 2.4 impliquent que A(Ω) = 0. Pour z  = Ω, la relation (3) se simplifie en (5)

A(z) diag(∇) = diag(∇)A(z).

Fixons γI ∈ T˜G˜ -reg (R). Pour H ∈ tθ (R), on définit l’élément exp(H) ∈ T (R). Si H est assez voisin de 0, le produit exp(H)γI appartient encore à T˜G˜ -reg (R). Pour i, j ∈ I et l ∈ Nm , posons simplement bi,j;l (H) = ai,j;l (exp(H)γI ). Alors  Ai,j (exp(H)γI , z) = bi,j;l (H)∂ l . l∈Nm

Montrons que (6) pour tous i, j ∈ I et l ∈ Nm , bi,j;l (H) est un polynôme en H. Tout élément H ∈ tθ (C) agit sur les fonctions définies sur tθ (R) par l’opérateur de dérivation usuel ∂H . Pour k = 1, . . . , m, notons 1k l’élément de Nm dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf la k-ième qui vaut 1. Les règles usuelles de dérivation montrent que l’égalité (5) évaluée au point exp(H)γI équivaut aux égalités     2 (∂H b )(H)∂ l + 2 (∂Hk bi,j;l )(H)∂ l+1k = 0, k i,j;l l∈Nm k=1,...,m

l∈Nm k=1,...,m

IX.3. Majorations

1019

pour tous i, j ∈ I. Fixons i et j et abandonnons ces indices pour simplifier la notation. L’égalité précédente se récrit   # $ 2 b )(H) + 2(∂Hk bl−1k )(H) ∂ l = 0, (∂H k l l∈Nm k=1,...,m

avec la convention bl = 0 si une coordonnée de l est stritement négative. Ou encore, pour tout l ∈ Nm ,  2 (7) ∂H b + 2∂Hk bl−1k = 0. k l k=1,...,m

Pour tout l, posons S(l) = l1 + · · · + lm . On peut supposer que les bl ne sont pas tous nuls, sinon (6) est clair. On note alors N le plus grand entier pour lequel il existe l avec S(l) = N et bl = 0. On va prouver que, pour tout n = 1, . . . , m et tout l tel que S(l) ≤ N , on a (8)

N −ln +1 ∂H bl = 0. n

On raisonne par récurrence descendante sur S = S(l) et, cet entier étant fixé, sur ln ∈ {0, . . . , S}. Soit l ∈ Nm tel que S(l) = S ≤ N . On applique (7) à l + 1n . N −ln à l’égalité obtenue. L’élément bl+1n est annulé par On applique l’opérateur ∂H n N −ln : si S = N , on a simplement bl+1n = 0 et si S < N , c’est l’hypothèse ∂Hn de récurrence. Donc la première somme disparaît. Pour k = n, il apparaît dans N −ln ∂Hk bl+1n −1k . C’est nul si lk = 0. Supposons le deuxième somme le terme ∂H n lk = 0. Alors l’hypothèse de récurrence pour ln + 1 assure que le terme est nul. Il reste seulement le terme de la deuxième somme indexé par k = n, qui est N −ln +1 bl . Cela prouve (8). Evidemment, (8) donc nul lui-aussi. Or ce terme est ∂H n implique (6). Pour i, j ∈ I et l ∈ Nm , la fonction γI → ai,j;l (γI , z) est rationnelle. Pour γI fixé, la fonction H → ai,j,l (exp(H)γI ; z) est donc rationnelle en exp(H). Or (6) montre que c’est un polynôme en H. Un résultat élémentaire sur les polynômes exponentiels montre que ces deux propriétés ne sont vérifiées que pour les constantes. On obtient que γI → ai,j;l (γI ) est localement constant. Puisque c’est une fraction rationnelle, elle est vraiment constante. On utilise maintenant le (ii) de la proposition 1.3, qui se propage lui-aussi aux variantes de nos opérateurs différentiels : quand γI tend vers l’infini au sens expliqué en 1.3, ai,j;l (γI ) tend vers 0. Puisque c’est une constante, cette constante est nulle. On conclut que Ai,j (γI , z) = 0. C’est ce qu’il fallait démontrer. 

IX.3 Majorations IX.3.1 Quelques considérations formelles ˜ a) un triplet comme en 1.1, T˜ un sous-tore tordu maximal de G ˜ et Soient (G, G, θ ˜ η un élément de T (R). On suppose ω trivial sur T (R) .

1020

Chapitre IX. Le cas archimédien

Ainsi qu’on l’a dit en 1.1, on a des isomorphismes Sym(tθ )  Sym(t)/Iθ,ω = Sym(t)θ,ω  Diff(T˜(R))ω -inv . ˜ a). SuppoSoit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, sons donné un diagramme (, B  , T  , B, T, η), où  est un élément semi-simple de ˜  (R), cf. [I] 1.10. Fixons des données auxiliaires G1 ,. . .,Δ1 pour G et un point G 1 ∈ G1 (R) au-dessus de . Posons T˜  = T   et notons T˜1 l’image réciproque de T˜  ˜ 1 . Fixons une décomposition d’algèbres de Lie dans G (1)

g1 = c1 ⊕ g .

Remarquons que G1,SC = GSC donc la section gSC → g1 est uniquement déterminée. Choisir une décomposition comme ci-dessus équivaut à choisir une décomposition z(G1 ) = c1 ⊕ z(G ). Il se déduit de (1) une décomposition (2)

t1 = c1 ⊕ t .

Le diagramme fournit un isomorphisme ξ : tθ → t . Considérons la fonction X → Δ1 (exp(ξ(X)), exp(X)η) définie presque partout dans un voisinage de 0 dans tθ (R) (dans le premier terme, ξ(X) est identifié à un élément de t1 (R) grâce à la décomposition (2)). Précisément, cette fonction est définie en tout X proche de 0 tel que exp(X)η soit fortement régulier. Le lemme [I] 2.8 montre qu’elle est localement proportionnelle à la fonction X → e b,ξ(X)⊕X , avec les notations de ce lemme. D’après [I] 2.8(1), b est un élément de z(G1 )∗ ⊕ (1 − θ)(t∗ ). Puisque X est fixe par θ, son produit avec la deuxième composante de b est nul. En notant b1 la première composante, on obtient (3) Δ1 (exp(ξ(X)), exp(X)η) est le produit de e b1 ,ξ(X) et d’une fonction qui est localement constante sur les éléments X ∈ tθ (R) proches de 0 et tels que exp(X)η soit fortement régulier. Remarquons que, puisque b1 ∈ z(G1 )∗ , on a b1 , ξ(X) = 0 si ξ(X) ∈ tsc , en  l’image réciproque de T  dans GSC . notant Tsc De (2) se déduit un isomorphisme Sym(t ) → Sym(t1 )λ1 . D’après ce que l’on a dit en 1.8, on a donc des isomorphismes Sym(tθ )  Sym(t)θ,ω  Diff(T˜ (R))ω -inv  Diff(T˜1 (R))λ1  Sym(t1 )λ1  Sym(t ).

IX.3. Majorations

1021

On note Ξ1 : Sym(tθ ) → Sym(t ) l’isomorphisme composé. On prendra garde que l’isomorphisme Ξ1 n’est pas en général celui déduit de ξ. Avec les notations cidessus, l’isomorphisme Ξ1 envoie un élément X ∈ tθ sur l’élément ξ(X)−b1 , ξ(X). En particulier, Ξ1 dépend de la décomposition (1). Considérons d’autres données auxiliaires G2 , etc. . . et une décomposition t2 = c2 ⊕ t définie de la même façon que ci-dessus. On se souvient de l’application de tran˜ 1,2 définie en [I] 2.5. On a rappelé en 1.8 l’isomorphisme C ∞ (G ˜ 1 (R))  sition λ c,λ1 ∞   ˜ 12 une fonction τ12 sur t (R) par ˜ (R)). On déduit de λ Cc,λ2 (G 2 ˜ 12 (exp(X)1 , exp(X)2 )−1 . τ12 (X) = λ ˜ 12 est C ∞ , il en est donc de même de la fonction τ12 . Par définition La fonction λ ˜ 12 , on a l’égalité de λ τ12 (X) = Δ1 (exp(X)1 , exp(ξ −1 (X))η)Δ2 (exp(X)2 , exp(ξ −1 (X))η)−1 si exp(ξ −1 (X))η est fortement régulier. Il résulte de ce qui précède qu’il existe un élément b12 ∈ z(G )∗ tel que τ12 (X) soit le produit d’une constante non nulle avec la fonction X → e b12 ,X (b12 est la différence entre les projections de b1 et b2 dans z(G )∗ ). En particulier, τ12 prend la même valeur sur des points stablement conjugués. Fixons une mesure de Haar sur T  (R). Pour X régulier, l’application duale de la précédente envoie l’intégrale orbitale associée à exp(X)1 et à cette mesure sur l’intégrale orbitale associée à exp(X)2 et à cette même mesure, multipliée par τ12 (X). Pour H ∈ Sym(tθ ), notons H1 = Ξ1 (H) et H2 = Ξ2 (H). Il se déduit de H1 et H2 des opérateurs différentiels ∂H1 et ∂H2 sur t (R). On a l’égalité −1 ◦ ∂H1 ◦ τ12 . ∂H2 = τ12

IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ un espace de Levi de G, ˜ T˜ un sous-tore tordu maximal de M ˜ et η un Soient M θ ˜ élément de T (R). On suppose ω trivial sur T (R) . Fixons des voisinages u et u de 0 dans tθ,0 (R) vérifiant les conditions suivantes (1) l’application X → exp(X)η(1 − θ)(T (R)) est un isomorphisme de u sur un voisinage de l’image de η dans T˜(R)/(1 − θ)(T (R)) ; (2) u et u sont ouverts ; la clôture de u est compacte et est contenue dans u ; (3) pour X ∈ u , X est régulier dans gη (R) si et seulement si exp(X)η est régulier ˜ dans G(R). Remarque. Le groupe ZG (η) agit naturellement sur gη . Une variante de la condition (3) est (3) pour X ∈ u , le stabilisateur de X dans ZG (η) est égal à T θ si et seulement ˜ si exp(X)η est fortement régulier dans G(R).

1022

Chapitre IX. Le cas archimédien

On fixe des mesures de Haar sur G(R), M (R) et T θ,0(R) qui permettent de définir les intégrales orbitales qui suivent. On a ˜ (4) pour tout U ∈ Sym(t)θ,ω , il existe un entier N et, pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration G Gη (X)−N |∂U IM ˜ (exp(X)η, ω, f )| ≤ cD ˜

˜ pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans G(R). Cf. [9] lemme 13.2.

IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables ˜ a) quasi-déployé et à torsion On conserve la même situation mais on suppose (G, G, intérieure. On a ˜ Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration Gη G (X)−N |∂U SM ˜ (exp(X)η, f )| ≤ cD ˜

˜ pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans G(R). ˆ ΓR avec s = 1, on fixe des données auxiliaires ˆ )ΓR /Z(G) Preuve. Pour tout s ∈ Z(M  ˜ ˜ dans G ˜  (s) et T˜1 (s) celle G1 (s),. . .,Δ1 (s). On note M1 (s) l’image réciproque de M 1 ˜ ˜ de T . On fixe un point η1 (s) ∈ T1 (s; R) au-dessus de η et une décomposition t1 (s) = c1 (s) ⊕ t selon la recette de 3.1. Comme on l’a dit dans ce paragraphe (et en adaptant ˜ (R) associée à les notations de façon compréhensible), l’intégrale orbitale sur M ˜ exp(X)η s’identifie à celle sur M1 (s; R) associée à exp(X)η1 (s), multipliée par une fonction que l’on note τ (s; X). L’élément U se transfère en un element que  ˜ l’on note Ξ1 (s; U ) ∈ Sym(t). On identifie le transfert f G (s) à une fonction f G1 (s) ˜ ˜  (s; R). On introduit le terme ΛG (exp(X)η, f ) de 2.1. C’est la somme des sur G 1 ˜ M G     IM ˜ (exp(X )η , f ) quand exp(X )η décrit un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (R) dans la classe de conjugaison stable de exp(X)η dans ˜ (R). On a alors l’égalité M ˜

(1) −

˜



˜

G G ∂U S M ˜ (exp(X)η, f ) = ∂U ΛM ˜ (exp(X)η, f ) 

˜ G ˜  (s))τ (s; X)∂Ξ (s;U) S G˜ 1 (s) iM˜ (G, 1 ˜ (s),λ M 1

1 (s)

˜

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ).

ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR , s∈Z(M) s=1 ˜

Il est clair que le fait que f G1 (s) ne soit pas à support compact mais se transforme selon le caractère λ1 (s) de C1 (s; R) ne change rien aux propriétés locales de ses

IX.3. Majorations

1023

intégrales orbitales stables. Pour s =  1, on peut donc appliquer par récurrence ˜  (s) G ˜ la majoration du lemme au terme ∂Ξ1 (s;U) SM˜1 (s),λ (s) (exp(X)η1 (s), f G1 (s) ). On 1

1



obtient que celui-ci est majoré par une puissance négative de DG1 (s)η1 (s) (X). Ce  terme est égal à DG (s)η (X). Or le système de racines de G (s)η est inclus dans  celui de Gη . Dans un voisinage compact de 0, DG (s)η (X)−1 est donc majoré par DGη (X)−1 . Les mêmes arguments qu’en 2.1 montrent que la majoration 3.2(4) ˜ ˜ G G pour ∂U IM ˜ (exp(X)η, f ) s’étend au terme ∂U ΛM ˜ (exp(X)η, f ). Tous les termes du membre de droite de (1) sont donc majorés par une puissance négative de DGη (X). L’assertion de l’énoncé s’ensuit. 

IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques ˜ a) est quelconque. On suppose que G ˜ est On revient à la situation de 3.2 où (G, G, ˜ ˜ une composante connexe d’un K-espace K G. Alors M est une composante connexe ˜ ˜ et on suppose K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ). Pour f ∈ Cc∞ (K G(R)) d’un K-espace de Levi K M et X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier, on sait définir l’intégrale orbitale ˜ K G,E endoscopique IK ˜ (exp(X)η, ω, f ). M ˜ Lemme. Pour tout U ∈ Sym(t), il existe un entier N et, pour tout f ∈ Cc∞ (K G(R)), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration ˜

K G,E Gη (X)−N |∂U IK ˜ (exp(X)η, f )| ≤ cD M

˜ pour tout X ∈ u tel que exp(X)η soit fortement régulier dans G(R). Preuve. On peut fixer les objets suivants : – une famille finie (Mi )i=1,...,n de données endoscopiques elliptiques et rele˜ , a), munies de données auxiliaires M  ,. . .,Δi,1 ; vantes de (M, M i,1 



– pour tout i = 1, . . . , n, un diagramme (i , B Mi , T Mi , BiM , T, η) joignant η à ˜  (R) ; on note ξi : tθ → tMi l’isomorphisme un élément semi-simple i ∈ M i déduit du diagramme ;  ˜  (R) de i et, en notant T Mi – pour tout i = 1, . . . , n, un relèvement i,1 ∈ M i;1



 l’image réciproque de T Mi dans Mi,1 , une décomposition Mi

t1



= ci,1 ⊕ tMi

selon la recette de 3.1 ; – un nombre cT˜ > 0 ; ˜ (R)). ces données vérifiant la condition suivante. Soit ϕ ∈ Cc∞ (K M

1

1024

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜ ˜  . Alors on a l’égalité Pour tout i, notons ϕMi,1 son transfert à M i,1 ˜

I K M (exp(X)η, ω, ϕ)  ˜ M ˜ Δi,1 (exp(ξi (X))i,1 , exp(X)η)−1 Sλi,1i,1 (exp(ξi (X))i,1 , ϕMi,1 ). = cT˜ i=1,...,n ˜

K G,E  Pour tout i = 1, . . . , n, on a défini l’intégrale IK ˜ (Mi , δ, f ) pour tout M ˜

K G,E st   δ ∈ Dg´ ˜ -équi (M ). On note simplement IK M ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ) ce terme eom,G st  quand δ est l’élément de l’espace Dg´ ˜ -équi (M ) auquel s’identifie l’intégrale oreom,G ˜  (R) associée au point exp(ξi (X))i,1 . Il résulte des définitions bitale stable sur M i,1 que l’on a aussi ˜

K G,E IK ˜ (exp(X)η, f ) M  ˜ K G,E  Δi,1 (exp(ξi (X))i,1 , exp(X)η)−1 IK = cT˜ ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ). M i=1,...,n 

Pour tout i, on a un homomorphisme Ξi : Sym(tθ ) → Sym(tMi ) comme en 3.1. On a alors  ˜ K G,E ∂U IK (exp(X)η, f ) = c Δi,1 (exp(ξi (X))i,1 , exp(X)η)−1 ˜ ˜ T M i=1,...,n ˜

K G,E  ∂Ξi (U) IK ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ). M ˜

K G,E  Précisons que ∂Ξi (U) IK ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ) est la valeur en ξi (X) de la M 

˜

K G,E  Mi fonction Y → ∂Ξi (U) IK (R). La formule ci-dessus ˜ (Mi , exp(Y )i,1 , f ) sur t M ˜

K G,E   nous permet de fixer i et de majorer ∂U  IK ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ) pour U ∈ M Mi

Sym(t ). Puisque i est fixé, on le fait disparaître de la notation et on pose ˜ Pour tout s˜ ∈ Z(M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, on introduit des données M = (M  , M , ζ). ˜  (˜ ˜ M  s) s),. . .,Δ1 (˜ s). On introduit les images réciproques M auxiliaires G1 (˜ 1 s) et T1 (˜   ˜  et T˜ M dans G ˜  (˜ de M s) ∈ T˜1M (˜ s; R) au-dessus de  et 1 s). On fixe un point 1 (˜ une décomposition   s) = c1 (˜ s) ⊕ t M tM 1 (˜ 

selon la recette de 3.1. D’après 3.1, pour Y ∈ tM (R), l’intégrale orbitale dans ˜  (R) associée à exp(Y )1 s’identifie à l’intégrale orbitale dans M ˜  (˜ M 1 1 s; R) associée  à exp(Y )1 (˜ s), multipliée par une fonction τ (˜ s, Y ). Un élément U  ∈ Sym(tM ) se transfère en un élément Ξ(˜ s, U  ) de la même algèbre. On a alors  ˜ K G,E  ˜ G ˜  (˜ ∂U  IK iM˜  (G, s)) ˜ (M , exp(Y )1 , f ) = M ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s ˜∈Z(M) ˜  (˜ G s)

τ (˜ s, Y )∂Ξ(˜s,U  ) SM˜1 (˜s),λ 1

s) 1 (˜

˜

(exp(Y )1 (˜ s), f G1 (˜s) ).

IX.4. Propriétés locales

1025

D’après le lemme 3.3, le terme indexé par s˜ est majoré par une puissance négative   de DG (˜s) (Y ). On sait que, par l’homomorphisme ξ : tθ → tM , les racines du  groupe G (˜ s) s’identifie à des multiples rationnels de racines du groupe Gη . Il en  résulte que DG (˜s) (ξ(X))−1 est majoré par DGη (X)−1 dans un voisinage de 0. ˜ K G,E  On en déduit la majoration cherchée pour ∂U  IK  ˜ (Mi , exp(ξi (X))i,1 , f ). M

IX.4 Propriétés locales IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ un espace de Levi de G, ˜ T˜ un sous-tore tordu maximal de M ˜ et η un Soient M θ ˜ élément de T (R). On suppose ω trivial sur T (R) . On impose dans toute la section les hypothèses (1), (2) et (3) ci-dessous : ˜; (1) T˜ est un sous-tore tordu elliptique de M (2) Gη,SC est isomorphe à SL(2) ; (3) l’image réciproque Td de T θ,0 dans Gη,SC est un tore déployé. Fixons un sous-tore maximal Tc non déployé de Gη,SC . Il existe un unique sous-tore maximal de Gη dont l’image réciproque dans Gη,SC soit Tc . On note T son commutant dans G et T˜ = T η. L’ensemble T˜ est un sous-tore tordu maximal ˜ Notons M ˜ le plus petit espace de Levi dans lequel T˜ est contenu, c’est-à-dire de G. ˜ On a le commutant de AT˜ dans G. ˜ est un sous-espace de Levi propre et (4) Mη = T θ,0, M η = Gη , AM˜ = AGη , M ˜. ˜ et T˜ est un sous-tore tordu elliptique de M maximal de M Preuve. Pour un sous-tore T  de Gη qui est déployé, on a deux possibilités. Ou bien son image dans Gη,AD est triviale. Dans ce cas T  est contenu dans Z(Gη ) et donc (puisque c’est un tore déployé) dans AGη . Ou bien l’image de T  dans Gη,AD est de rang 1 et possède au signe près une seule racine α. La composante neutre du noyau de cette racine est alors un sous-tore T  de T  qui est du premier cas, donc contenu dans AGη . Et on a dim(T  ) = dim(T  ) − 1. Puisque T θ,0 et T θ,0 sont des soustores maximaux de Gη , on a les inclusions AGη ⊂ AT θ,0 , AGη ⊂ AT θ,0 . Puisque les images réciproques de T θ,0 et T θ,0 dans Gη,SC sont respectivement déployées et non déployées, la discussion précédente montre que AGη = AT θ,0 , tandis que dim(AT θ,0 ) = dim(AGη ) + 1. La première égalité entraîne que le commutant M de AT θ,0 dans G contient Gη . A fortiori M η = Gη . On a aussi AT θ,0 = AGη ⊂ AT θ,0 . ˜ et en se rappelant que le commutant de AT θ,0 En prenant les commutants dans G ˜ ˜ ⊂M ˜ . Puisque l’image de AT θ,0 dans Gη,AD est M d’après (1), on obtient que M est égale à celle de Td , AT θ,0 ne commute pas à Gη . Donc ce groupe Gη n’est pas contenu dans M . Donc l’inclusion Mη ⊂ Gη est stricte. Puisqu’il s’agit d’une inclusion d’un Levi dans un groupe de rang semi-simple 1, Mη est un tore, donc

1026

Chapitre IX. Le cas archimédien

égal à T θ,0 . Puisque M contient Gη tandis que M ne le contient pas, l’inclusion ˜ ⊂M ˜ est stricte. Les inclusions M AGη ⊂ AM˜ ⊂ AM˜ = AT θ,0 jointes aux faits que la deuxième inclusion est stricte et que la différence des dimensions entre le tore de droite et celui de gauche est 1 entraîne que la première ˜ est maximal parmi les espaces de Levi propres inclusion est une égalité et que M ˜ ˜ résulte simplement de la définition de ˜ de M . Enfin, que T soit elliptique dans M cet espace de Levi.  On fixe l’une des racines de T θ,0 dans Gη , que l’on note α. On introduit la coracine associée, que l’on peut voir comme un élément α ˇ ∈ X∗ (T θ,0). On a même α ˇ ∈ X∗ (AM˜ ). On se rappelle que l’on a fixé une forme quadratique définie positive sur AM˜ = X∗ (AM˜ ) ⊗Z R, qui nous sert à définir la mesure sur cet espace. On dispose donc de la norme |ˇ α| pour cette forme. Cela étant, on définit au voisinage 0 dans tθ (R) une modification de l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante de ˜ la façon suivante. Pour f ∈ Cc∞ (G(R)) et X ∈ tθ (R) assez proche de 0, on pose ˜

˜

˜

G,mod G G IM (exp(X)η, ω, f ) = IM α| log(|α(X)|)IM ˜ (exp(X)η, ω, f ) + |ˇ ˜ (exp(X)η, ω, f ). ˜

On fixe un élément u ∈ Gη,SC (C) tel que adu (Td ) = Tc . Alors adu envoie td (R) sur itc (R). Fixons un élément non nul Hd ∈ td (R) et introduisons l’élément Hc de tc (R) tel que adu (Hd ) = iHc . De l’application adu se déduit un isomorphisme C : Sym(tθ,0 ) → Sym(tθ,0 ). On note wd , resp. wc , l’unique élément non trivial du groupe de Weyl de Gη relativement à T θ,0 , resp. T θ,0 . L’isomorphisme C entrelace l’action de wd sur le premier espace avec celle de wc sur le second. On a fixé une mesure sur T θ,0 (R) pour définir nos intégrales orbitales. Elle se déduit d’une forme différentielle de rang maximal sur T θ,0, autrement dit d’un élément d ∈ ∧n tθ,∗ (R) où n = dim(T θ,0 ). De adu se déduit un isomorphisme ∧n tθ,∗  ∧n tθ,∗ , qui se restreint en un isomorphisme de ∧n tθ,∗ (R) sur i ∧n tθ,∗ (R). On introduit l’élément d ∈ ∧n tθ,∗ (R) tel que adu (d) = id. De d se déduit alors une mesure sur T θ,0 (R) qui nous sert à définir les intégrales orbitales dans ce qui suit. Il y a deux possibilités pour la classe de conjugaison stable de Hc dans gη (R). Soit elle est réduite à la classe de conjugaison de Hc par Gη (R), auquel cas on pose c(η) = 0. Soit elle se décompose en deux classes de conjugaison par Gη (R), celles de Hc et de −Hc , auquel cas on pose c(η) = 1. Selon l’usage, pour un voisinage V de 0 dans R et pour une fonction ϕ définie sur V −{0}, on note limr→0+ ϕ(r) et limr→0− ϕ(r) les limites de ϕ(r) quand r tend vers 0 en restant strictement positif, resp. négatif (ces limites existent ou pas). ˜ Proposition. Soient f ∈ Cc∞ (G(R)). (i) Pour tout U ∈ Sym(tθ ), les limites ˜

G,mod lim ∂U IM (exp(rHd )η, ω, f ) ˜

r→0+

existent.

et

˜

G,mod lim ∂U IM (exp(rHd )η, ω, f ) ˜

r→0−

IX.4. Propriétés locales

1027

(ii) Si wd (U ) = U , ces limites sont égales. (iii) Pour tout U ∈ Sym(tθ ), les limites ˜

G lim ∂U IM ˜ (exp(rHc )η, ω, f )

r→0+

et

˜

G lim ∂U IM ˜ (exp(rHc )η, ω, f )

r→0−

existent. (iv) Soit U ∈ Sym(tθ ), supposons wd (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a les égalités ˜

˜

G,mod G,mod lim ∂U IM (exp(rHd )η, ω, f ) − lim ∂U IM (exp(rHd )η, ω, f ) ˜ ˜

r→0+

r→0−

˜

G α| lim ∂U IM = 21+c(η) πi|ˇ ˜ (exp(rHc )η, ω, f ) r→0+

˜

G = −21+c(η) πi|ˇ α| lim ∂U IM ˜ (exp(rHc )η, ω, f ). r→0−

α| et celle Cf. [9] lemme 13.1. La différence entre notre constante 21+c(η) πi|ˇ d’Arthur provient de nos normalisations différentes.

IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables On conserve les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent. On impose de ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un sous-groupe plus que (G, G, de Borel de G contenant T et pour lequel M et M sont standard. Complétons (B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. Fixons une paire de Borel épinglée Eˆ ˆ conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore Tˆ (l’action galoisienne de G ˆ et M ˆ sur ce tore n’en fait pas le tore dual de T ). On en déduit des réalisations de M ˆ De la coracine α comme des groupes de Levi standard de G. ˇ se déduit une racine ˆ )ΓR . Notons Z(M ˆ )αˆ le α ˆ de Tˆ qui se restreint en un caractère non trivial de Z(M Γ ˆ ) R tels que α ˆ )ΓR groupe des s ∈ Z(M ˆ (s) = 1. Il résulte des définitions que Z(M Γ Γ ˆ ) R /Z(G) ˆ R est la composante est inclus dans ce groupe. Plus précisément, Z(M ˆ )αˆ /Z(G) ˆ ΓR . On pose neutre de Z(M ˜ ˆ αˆ ˆ ΓR −1 . iG ˜ (η) = [Z(M ) : Z(M ) ] M

˜ Pour tout élément semi-simple  ∈ G(R), posons Y() = {y ∈ G(C); ∀σ ∈ ΓR , yσ(y)−1 ∈ G }. Pour un element y de cet ensemble, on pose [y] = y −1 y. On fixe un ensemble de ˙ représentants Y() de l’ensemble de doubles classes G \Y()/G(R). ˙ Remarquons que l’application qui, à y ∈ Y(), associe la classe du cocycle σ → −1 ˙ yσ(y) , est une bijection de Y() sur le noyau de l’application H 1 (ΓR ; G ) → H 1 (ΓR ; G).

1028

Chapitre IX. Le cas archimédien

Soulignons que les ensembles ci-dessus ne sont pas des groupes. Le noyau est l’ensemble des éléments de H 1 (ΓR ; G ) qui deviennent des cobords dans G. Si ˜  est fortement régulier dans G(R), la famille (η[y])y∈Y() est un ensemble de ˙ représentants des classes de conjugaison par G(R) dans la classe de conjugaison stable de . Dans ce cas, modulo le choix de mesures de Haar sur les groupes intervenant, on a défini l’intégrale orbitale stable associée à  comme la forme ˜ linéaire qui, à f ∈ Cc∞ (G(R)), associe  ˜ ˜ I G ([y], f ). S G (, f ) = ˙ y∈Y()

Si  est régulier mais pas fortement régulier, la famille (η[y])y∈Y() n’ est plus, en ˙ général, un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans ˜ la classe de conjugaison stable de . On définit néanmoins S G (, f ) par la formule ci-dessus. Pour Y ∈ g (R) voisin de 0 et en position générale, l’élément exp(Y ) ˙ ˙ est fortement régulier et on voit que l’on peut choisir Y(exp(Y )) = Y(). Parce que les intégrales orbitales ordinaires sont continues en un point régulier, on a la propriété de continuité ˜

˜

S G (, f ) = lim S G (exp(Y ), f ). Y →0

˜ un espace de Levi Cela entraîne que la distribution de gauche est stable. Soient L ˜ ˜ de G et  un élément semi-simple de L(R), régulier dans cet ensemble. On définit les ensembles Y L () et Y˙ L () en remplaçant G par L dans les définitions ci-dessus. ˜ ˜ associée à , On vient de définir une distribution stable δ  = S L (, .) sur L(R) qui est une combinaison linéaire d’intégrales orbitales. On sait donc définir la ˜ ˜ G ˜ distribution f → SLG ˜ (δ  , f ) sur G(R). On la note simplement f → SL ˜ (, f ). ˜ et X ∈ t(R) ∩ gη,reg (R) assez proche de 0, on pose Pour f ∈ C ∞ (G(R)) c

˜ G,mod (exp(X)η, f ) SM ˜

˜

˜

˜

G G G = SM α| log(|α(X)|)SM ˜ (exp(X)η, f ) + iM ˜ (η)|ˇ ˜ (exp(X)η, f ).

˜ (R) et dans M ˜ (R). Remarquons que l’élément exp(X)η est régulier dans M ˜ Proposition. Soient f ∈ C ∞ (G(R)). c

(i) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites ˜

G,mod (exp(rHd )η, f ) lim ∂U SM ˜

r→0+

et

˜

G,mod lim ∂U SM (exp(rHd )η, f ) ˜

r→0−

existent. (ii) Si wd (U ) = U , ces limites sont égales. (iii) Pour tout U ∈ Sym(t), les limites ˜

G lim ∂U SM ˜ (exp(rHc )η, f )

r→0+

existent.

et

˜

G lim ∂U SM ˜ (exp(rHc )η, f )

r→0−

IX.4. Propriétés locales

1029

(iv) Soit U ∈ Sym(t), supposons wd (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a les égalités ˜

˜

G,mod G,mod (exp(rHd )η, f ) − lim ∂U SM (exp(rHd )η, f ) lim ∂U SM ˜ ˜

r→0+

r→0−

˜

˜

G = 2πi|ˇ α|iG ˜ (η) lim ∂U SM ˜ (exp(rHc )η, f ) M r→0+

˜

˜

G = −2πi|ˇ α|iG ˜ (η) lim ∂U SM ˜ (exp(rHc )η, f ). M r→0−

Preuve. Considérons un élément X ∈ t(R) ∩ gη,reg (R) proche de 0. Remarquons que, puisque Mη = T = Mexp(X)η , on peut supposer Y˙ M (exp(X)η) = Y˙ M (η). Montrons que (1) on peut supposer Y˙ M (exp(X)η) = Y˙ M (η). Puisque M exp(X)η = T , on a simplement Y M (exp(X)η) = Y M (exp(X)η) ∩ M ⊂ Y M (exp(X)η). On veut montrer que de cette injection se déduit une bijection T \Y M (exp(X)η)/M (R)  T \Y M (exp(X)η)/M (R). D’après ce que l’on a dit plus haut, il suffit de voir que les noyaux des applications H 1 (ΓR ; T ) → H 1 (ΓR ; M ) et H 1 (ΓR ; T ) → H 1 (ΓR ; M ) sont égaux. Or ces applications s’inscrivent dans un diagramme commutatif  H 1 (ΓR ; T )

H 1 (ΓR ; M ) ↓



H 1 (ΓR ; M ) La flèche de droite est injective car M est un Levi de M . L’égalité cherchée en résulte. Cela prouve (1). Pour tout y ∈ Y˙ M (η), on pose X[y] = ady−1 (X). Les définitions entraînent  ˜ ˜ G G SM IM ˜ (exp(X)η, f ) = ˜ (exp(X[y])η[y], f ) (2)

−



y∈Y˙ M (η) 

˜ G ˜  (s))S G (s) (exp(X)η, f G (s) ). iM˜ (G, M

ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M)

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR tel que G (s) soit elliptique. On fixe des données auxiSoit s ∈ Z(M  ˜ 1 (s), resp. T˜1 (s), les images réciproques de M ˜, liaires G1 (s),. . .,Δ1 (s), on note M  ˜ ˜ ˜ resp. T , dans G1 (s) ; on fixe η1 (s) ∈ T1 (s; R) au-dessus de η. On doit aussi fixer une décomposition t1 (s) = c1 (s) ⊕ t

1030

Chapitre IX. Le cas archimédien

selon la recette de 3.1, c’est-à-dire en fixant au préalable une décomposition d’algèbres de Lie g1 (s) = c1 (s) ⊕ g (s). Comme on l’a expliqué en 3.1, il y a une fonction X → τ (s; X) sur t(F ) de sorte que l’on ait l’égalité G (s)

SM

˜  (s) G



(exp(X)η, f G (s) ) = τ (s; X)SM˜1 (s),λ 1

1 (s)

˜

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ).

Il résulte des définitions que τ (s, X) = Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η)−1 si exp(X)η ˜ est fortement G-régulier. ˆ )αˆ . En utilisant encore Supposons d’abord α ˆ (s) = 1, autrement dit s ∈ Z(M  une fois la description du système de racines de G (s)η , cf. [79] 3.3, on voit que ˜  (s)-équisingulier et η1 (s) est G ˜  (s)-équisingulier. D’après G (s)η = T . Alors η est G 1 ∞ ˜ [V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ Cc (M1 (s); F ) de sorte que l’on ait l’égalité ˜  (s) G

SM˜1 (s),λ 1

˜

1 (s)

˜

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ) = S M1 (s) (exp(X)η1 (s), ϕ).

˜  (s). On sait qu’alors l’intégrale ci-dessus Mais le point η1 (s) est régulier dans M 1 ∞ est C en X. Il en est de même de la fonction X → τ (s; X). Donc X →  G (s) ˆ )αˆ contriSM (exp(X)η, f G (s) ) est C ∞ . Les indices s n’appartenant pas à Z(M ∞ buent donc au membre de droite de l’égalité (2) par une fonction C . Cela permet de récrire cette égalité sous la forme  ˜ ˜ G G IM SM ˜ (exp(X)η, f ) = φ(X) + ˜ (exp(X[y])η[y], f ) (3)



−

y∈Y˙ M (η) 

˜ G ˜  (s))S G (s) (exp(X)η, f G (s) ), iM˜ (G, M

ˆ /Z(G) ˆ α ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M)

où φ est une fonction C ∞ de X. ˆ )αˆ . Dans ce cas, Supposons maintenant α ˆ (s) = 1, autrement dit s ∈ Z(M  l’ensemble de racines de G (s)η relatif à T est égal à {±α}. Puisque l’action galoisienne sur T n’a pas changé, α est encore réelle, c’est-à-dire fixe par ΓR . Il en résulte que G (s)η,SC est isomorphe à SL(2). Autrement dit, η et T˜ vérifient en˜ par G ˜  (s). On dispose donc sur t(R) core les hypothèses de 4.1 où l’on remplace G de l’intégrale orbitale stable modifiée ˜  (s),mod ˜  (s) ˜ ˜ G G (exp(X)η1 (s), f G1 (s) ) = SM˜1 (s),λ (s) (exp(X)η1 (s), f G1 (s) ) 1 1 (s) 1 1 ˜  (s) ˜  (s) ˜ G G +iM˜1 (η1 (s))|ˇ α| log(|α(X)|)SM˜1 (s),λ (s) (exp(X)η1 (s), f G1 (s) ). 1 1

SM˜1 (s),λ

1

Expliquons davantage. Le fait que l’on travaille ici avec des fonctions qui se transforment selon le caractère λ1 (s) de C1 (s; R) ne perturbe rien : puisqu’on travaille

IX.4. Propriétés locales

1031

au voisinage de η1 (s), on peut remplacer ces fonctions par des fonctions à support compact. La norme |ˇ α| ne dépend pas de s car la norme provient d’une forme ˜ par quadratique qui, d’après nos définitions, ne change pas quand on remplace G    ˜ ˜ ˜  G (s). L’espace M 1 (s) est l’espace de Levi de G1 (s) tel que AM˜ (s) soit le noyau de 1 ˜  (s) l’espace de Levi de G ˜  (s) tel que A ˜  α dans A ˜  . Ou encore, notons M M1 (s)

M (s)

˜ 1 (s) est l’image soit le noyau de α dans AM˜ , autrement dit AM˜  (s) = AM˜ . Alors M ˜  (s) dans G ˜  (s). Montrons que réciproque de M 1

˜  (s) G

(4)

˜  (s) G

iM˜1 (s) (η1 (s)) = iM˜

(η).

1

On a les suites exactes ˆ ) → Z(M ˆ 1 (s)) → Cˆ1 (s) → 1, 1 → Z(M ˆ  (s)) → Cˆ1 (s) → 1. ˆ  (s)) → Z(M 1 → Z(M 1 Parce que C1 (s) est un tore induit, Cˆ1 (s)ΓR est connexe. On en déduit que les suites ˆ 1 (s))ΓR → Cˆ1 (s)ΓR → 1, ˆ )ΓR → Z(M 1 → Z(M

(5)





ˆ (s))ΓR → Cˆ1 (s)ΓR → 1. ˆ (s))ΓR → Z(M 1 → Z(M 1

sont encore exactes. De la première se déduit une suite ˆ )αˆ → Z(M ˆ 1 (s))αˆ → Cˆ1 (s)ΓR → 1. 1 → Z(M

(6)

Elle est encore exacte. En effet, le seul point non évident est la surjectivité de l’homomorphisme de droite. Cette surjectivité est assurée par celle du dernier homomorphisme de (5) et par l’inclusion 

ˆ (s))ΓR ⊂ Z(M ˆ 1 (s))αˆ . Z(M 1 L’exactitude des deux suites (5) et (6) entraîne l’égalité ˆ  (s))ΓR ] = [Z(M ˆ 1 (s))αˆ : Z(M ˆ  (s))ΓR ], ˆ )αˆ : Z(M [Z(M 1 d’où (4). ˜ G On peut aussi exprimer les intégrales IM ˜ (exp(X[y])η[y], f ) à l’aide des inté˜

G,mod (exp(X[y])η[y], f ). On transforme ainsi l’expression (3) en grales modifiées IM ˜ ˜

G α| log(|α(X)|)B(X) = φ(X) + SM ˜ (exp(X)η, f ) + |ˇ

(7) −



˜

G,mod IM (exp(X[y])η[y], f ) ˜

y∈Y˙ M (η) 

˜ G ˜  (s))τ (s; X)S G˜ 1 (s),mod (exp(X)η1 (s), f G˜ 1 (s) ), iM˜ (G, ˜ (s),λ (s) M 1

ˆ ˆ )α ˆ ΓR , s∈Z(M /Z(G) s=1



1

1032

Chapitre IX. Le cas archimédien

où 

B(X) =

y∈Y˙ M (η)



−

˜

G IM ˜ (exp(X[y])η[y], f ) 



˜ G ˜  (s))τ (s; X)iG˜ (s) (η)S G˜ 1(s) iM˜ (G, ˜ ˜ (s),λ M M 1

ˆ ˆ α ˆ ΓR , s∈Z(M) /Z(G) s=1

˜

1 (s)

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ).

Considérons B(X). On peut décomposer la somme en s en une somme en t ∈ ˆ )αˆ /Z(M ˆ )ΓR suivie d’une somme en s ∈ tZ(M ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR , avec s = 1. C’estZ(M à-dire   ˜ G B(X) = IM B(X; t), ˜ (exp(X[y])η[y], f ) − y∈Y˙ M (η)

ˆ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR t∈Z(M

où



B(X; t) =

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR , s∈tZ(M s=1 



˜ G ˜  (s))τ (s; X)iG˜ (s) (η)S G˜ 1(s) iM˜ (G, ˜ ˜ M

M 1 (s),λ1 (s)

˜

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ). 

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR , M ˜ (s) est l’image réciproque Fixons t. On voit que, pour s ∈ tZ(M 1   ˜ ˜ dans G1 (s) d’un espace de Levi M (t) indépendant de s. C’est l’espace de la donnée ˜ ). Un calcul simple conduit à l’égalité endoscopique M (t) de (M , M (8)

˜  (s) G

˜ G ˜  (s))i iM˜ (G, ˜ M

˜ G ˜  (s))iG˜ (η). (η) = iM˜  (t) (G, M ˜

˜ (R) Pour un moment, notons pour plus de clarté δ l’intégrale orbitale stable sur M associée à exp(X)η. Comme on l’a dit, pour tout s, elle s’identifie à l’intégrale ˜ 1 (s; R) associée à exp(X)η1 (s), multipliée par τ (s, X). Notons orbitale stable sur M δ(s) cette distribution. La distribution qui intervient dans la définition de B(X; t)  ˜ est la distribution induite δ(s)M 1 (s) . C’est la réalisation de la distribution δ M (t) ∈  st Dg´ eom (M (t)). Si on oublie la restriction s = 1 dans la définition de B(X; t), on voit alors en utilisant (8) que ˜



G,E M (t)  , f ). B(X; t) = iG ˜ (η)IM ˜ (M (t), δ M ˜

On rétablit cette restriction s = 1 en retirant de la formule ci-dessus l’éventuel terme correspondant à s = 1. On obtient que B(X, t) est donné par la formule ci-dessus pour t = 1, tandis que ˜

G,E M M G B(X; 1) = iG ˜ (η)(IM ˜ (δ , f )). ˜ (M, δ , f ) − SM M ˜

˜

IX.4. Propriétés locales

1033

 ˜ La distribution δ M (t) étant à support G-équisingulier, on peut utiliser la proposition [V] 1.13 qui nous dit que 

˜



G,E M (t) M (t)  G , f ) = IM ), f ). IM ˜ (transfert(δ ˜ (M (t), δ ˜



Le transfert commutant à l’induction, le transfert de δ M (t) est l’induite du trans˜ (R) associée à exp(X)η ou fert de δ. Ce dernier est l’intégrale orbitale stable dans M encore la somme sur y ∈ Y˙ M (η) des intégrales orbitales associées à exp(X[y])η[y]. ˜ (R). On Son induite est la même somme d’intégrales orbitales, cette fois sur M obtient  ˜ ˜ G IM (9) B(X; t) = iG ˜ (η) ˜ (exp(X[y])η[y], f ) M y∈Y˙ M (η)

si t = 1, tandis que B(X; 1) est le même terme moins ˜

˜

G iG ˜ (η)SM ˜ (exp(X)η, f ). M

A ce dernier terme près, les B(X; t) sont tous égaux. Leur somme est donc le membre de gauche de (9) multiplié par le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation, c’est-à-dire ˆ )ΓR ]. ˆ )αˆ : Z(M [Z(M ˜

Ce facteur compense le terme iG ˜ (η) figurant dans (9). D’où M  B(X; t) ˆ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR t∈Z(M





=

 ˜ G IM ˜ (exp(X[y])η[y], f )

˜

˜

G − iG ˜ (η)SM ˜ (exp(X)η, f ). M

y∈Y˙ M (η)

En se reportant à la définition de B(X), on obtient ˜

˜

G B(X) = iG ˜ (η)SM ˜ (exp(X)η, f ). M ˜

G,mod (exp(X)η, f ) et on a obLe membre de gauche de (7) devient simplement SM ˜ tenu l’égalité  ˜ ˜ G,mod G,mod (exp(X)η, f ) = φ(X) + IM (exp(X[y])η[y], f ) SM ˜ ˜

−



y∈Y˙ M (η) 

˜ G ˜  (s))τ (s; X)S G˜ 1 (s),mod (exp(X)η1 (s), f G˜ 1 (s) ). iM˜ (G, ˜ (s),λ (s) M 1

1

ˆ /Z(G) ˆ α ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M)

Soit U ∈ Sym(t). Pour tout y ∈ Y˙ M (η), ady−1 envoie T sur un tore T [y] défini sur R et envoie conformément U sur un élément U [y] ∈ Sym(t[y]). Pour tout

1034

Chapitre IX. Le cas archimédien

ˆ )αˆ /Z(G) ˆ ΓR , on a introduit en 3.1 un isomorphisme qui devient ici un s ∈ Z(M automorphisme de Sym(t), que l’on note Ξ(s). On pose U (s) = Ξ(s)(U ). De l’expression précédente se déduit l’égalité  ˜ ˜ G,mod G,mod (exp(X)η, f ) = ∂U φ(X) + ∂U[y] IM (exp(X[y])η[y], f ) ∂U SM ˜ ˜ y∈Y˙ M (η)



−

˜  (s),mod ˜ G (exp(X)η1 (s), f G1 (s) ). (s) 1 1

˜ G ˜  (s))τ (s; X)∂U(s) S 1 iM˜ (G, ˜ (s),λ M

ˆ /Z(G) ˆ α ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M)

On applique maintenant cette égalité au point X = rHd , où r est réel non nul et proche de 0. Remarquons que, puisque le tore Td se projette dans le centre ˜ , l’élément Hd est fixé par ady−1 pour tout y ∈ Y˙ M (η). Remarquons aussi de M ˆ )αˆ , Hd provient d’un élément de m (s)η,SC (R), a fortiori que, pour tout s ∈ Z(M  d’un élément de g (s)SC (R). Comme on l’a dit en 3.1, il en résulte que la fonction r → τ (s; rHd ) est constante. On note τ (s; 0) sa valeur constante. On obtient alors ˜

(10) −

G,mod ∂U S M (exp(rHd )η, f ) ˜  = ∂U φ(rHd ) +



˜

G,mod ∂U[y] IM (exp(rHd )η[y], f ) ˜

y∈Y˙ M (η) ˜  (s),mod G 1 1 (s)

˜ G ˜  (s))τ (s; 0)∂U(s) S 1 iM˜ (G, ˜ (s),λ M

 ˜ exp(rHd )η1 (s), f G1 (s) .

ˆ ˆ α ˆ ΓR , s∈Z(M) /Z(G) s=1

Les deux premières assertions de l’énoncé en résultent. En effet, ces assertions sont vérifiées par la fonction φ qui est C ∞ . Elles le sont pour les intégrales orbitales de la première somme d’après la proposition 4.1. En raisonnant par récurrence, elles le sont aussi pour les intégrales orbitales stables de la deuxième somme (puisqu’on somme sur s = 1). ˜ (R), est Prouvons l’assertion (iii). L’élément η, vu comme un élément de M ˜ ˜ (R)) tel que, G-équisingulier. D’après [V] 1.4(2), il existe une fonction ϕ ∈ Cc∞ (M pour tout X ∈ mη (R) assez proche de 0, on ait l’égalité ˜

˜

G M SM ˜ (exp(X)η, f ) = S (exp(X)η, ϕ).

Alors l’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales stables. Le même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv), l’élement U intervenant étant antisymétrique, c’est-à-dire tel que wc (U ) = −U . ˆ )αˆ , Il reste à prouver la première égalité de cette assertion (iv). Pour s ∈ Z(M   on a vu que G (s)η,SC était isomorphe à SL(2). L’ensemble de racines de G (s)η relatif au sous-tore maximal T est {±α}. Les deux groupes Gη et G (s)η sont donc quasi-déployés. Ils ont un tore maximalement déployé commun (le tore T ) et ont

IX.4. Propriétés locales

1035

même ensemble de racines. Ils sont donc isomorphes. Plus précisément, on peut fixer un isomorphisme entre eux qui soit l’identité sur T . Par cet isomorphisme, T devient un sous-tore maximal de G (s)η . Rappelons que ce dernier groupe est égal à M  (s)η . De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T , on peut introduire un isomorphisme C(s). Mais l’isomorphisme entre nos deux groupes permet de choisir C(s) = C. De la décomposition déjà fixée de g1 (s) se déduit une décomposition t1 (s) = c1 (s) ⊕ t. Avec des notations compréhensibles, on a un diagramme Sym(t) C↓ Sym(t)

Ξ(s)

→

Ξ(s)

→

Sym(t) C(s) ↓ Sym(t) .

Montrons qu’il est commutatif. On a vu en 3.1 que Ξ(s) envoyait un élément H ∈ t sur H − H, b(s), où b(s) est un certain élément de z(G1 (s))∗ . L’homomorphisme Ξ(s) envoie aussi un élément H ∈ t sur H − H, b(s). Le chemin nord-est du diagramme envoie H sur C(H) − H, b(s). Le chemin sud-ouest envoie H sur C(H) − C(H), b(s). Mais C est une conjugaison par un élément de G (s)SC et fixe donc b(s) qui est central. Donc H, b(s) = C(H), b(s), d’où la commutativité cherchée. On est dans un cas particulier très simple de la théorie locale rappelée en [III] section 5 et [V] 4.1 . Celle-ci nous dit que G (s)η,SC est un «groupe endoscopique» de Gη,SC . Ces deux groupes sont ici égaux. En particulier, on peut prendre pour facteur de transfert pour cette donnée endoscopique celui qui vaut 1 sur la diagonale. La relation [V] 4.1(1) implique alors l’existence d’une constante d(s) = 0 telle que la propriété suivante soit vérifiée. Soit Xsc ∈ gη,SC (R) un élément régulier et Z ∈ z(Gη ; R) en position générale. Ces éléments sont tous deux proches de 0. On considère Xsc comme fixé et Z comme variable. Alors lim Δ1 (s)(exp(Z + Xsc )η1 (s), exp(Z + Xsc )η) = d(s).

Z→0

Le premier Z + Xsc est identifié à un élément de g1 (s) par la section g (s) → g1 (s) que l’on a fixée. Appliquons cela à Xsc ∈ tsc (R). Le facteur de transfert ci-dessus n’est autre que τ (s; Z + Xsc )−1 . Sa limite est τ (s; Xsc )−1 . On a déjà dit que τ (s; Xsc ) était constant, on a noté sa valeur τ (s; 0). On obtient d(s) = τ (s; 0)−1 . Supposons maintenant Xsc ∈ tsc (R). Alors Z + Xsc ∈ t(R). On a dit en 3.1 qu’alors Δ1 (s)(exp(Z + Xsc )η1 (s), exp(Z + Xsc )η) était le produit de e b(s),Z et d’une fonction localement constante sur les éléments Z +Xsc assez réguliers. Ce qui précède montre que cette fonction est constante, de valeur τ (s; 0)−1 . On peut donc étendre la définition de Δ1 (s)(exp(Z +Xsc )η1 (s), exp(Z +Xsc )η) ou, si l’on préfère, de Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η) pour X ∈ t(R) (sans condition de régularité), par l’égalité (11)

Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η) = τ (s; 0)−1 e b(s),X .

1036

Chapitre IX. Le cas archimédien

Fixons U ∈ Sym(t) tel que wd (U ) = −U , posons U = C(U ). Pour X ∈ t(R) ∩ gη,reg (R), posons   ˜ G ˜  (s))iG˜ (s) (η)Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η)−1 iM˜ (G, S(X) = ˜ M ˆ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR s∈Z(M

˜  (s) G

(12)

˜

∂U(s) SM˜1 (s),λ

1 (s)

1

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ),

où U (s) = Ξ(s)(U ). Par la même décomposition déjà utilisée, on a  S(X) = S(X, t), ˆ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR t∈Z(M

où S(X, t) =





˜ G ˜  (s))iG˜ (s) (η)Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η)−1 iM˜ (G, ˜ M

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR s∈tZ(M ˜  (s) G

∂U(s) SM˜1 (s),λ

1 (s)

1

˜

(exp(X)η1 (s), f G1 (s) ).

ˆ ) /Z(M ˆ ) . Pour simplifier la notation, on considère que t est l’un Fixons t ∈ Z(M ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR , des points de la sommation en s. Comme plus haut, pour s ∈ tZ(M  les données M 1 (s),. . .,Δ1 (s) sont différentes données auxiliaires pour une même ˜ ). Les distributions donnée endoscopique M (t) de (M , M α ˆ

ΓR

˜  (s) M

1 (exp(X)η1 (s), .) Δ1 (s)(exp(X)η1 (s), exp(X)η)−1 ∂U (s) Sλ1 (s)

st  se recollent en une même distribution δ U,X ∈ Dg´ ˜ -équi (M (t)). En utilisant eom,G (8), on obtient l’égalité ˜

G,E  S(X, t) = iG ˜ (η)IM ˜ (M (t), δ U ,X , f ). M ˜

En utilisant la proposition [V] 1.13, on obtient ˜

˜

G S(X, t) = iG ˜ (η)IM ˜ (transfert(δ U,X ), f ). M

Calculons le transfert de la distribution δ U,X en supposant d’abord exp(X)η fortement régulier. On réalise maintenant cette distribution en utilisant les données auxiliaires M 1 (t),. . .,Δ1 (t). Notons δ X l’intégrale orbitale stable associée à exp(X)η1 (t). Par définition, son transfert est la distribution  ˜ Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X[y])η[y])I M (exp(X[y])η[y], ϕ) ϕ → y∈Y˙ M (exp(X)η)

˜ (R), avec des notations similaires à celles utilisées plus haut. En appliquant sur M  à δ X l’opérateur différentiel ∂U(t) , on obtient une distribution que l’on note δ U,X .

IX.4. Propriétés locales

1037

Pour tout y ∈ Y˙ M (exp(X)η), notons T [y] = ady−1 (T ). On a encore un isomorphisme Ξ(t, y) : Sym(t[y]) → Sym(t). En notant U [y] l’image réciproque de U (t) par cet isomorphisme, le transfert de δ U ,X est la distribution ϕ →



˜

Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X[y])η[y])∂U [y] I M (exp(X[y])η[y], ϕ).

y∈Y˙ M (exp(X)η)

Si y = 1, on a Ξ(t, 1) = Ξ(t) donc U [1] = U . En fait, il résulte des définitions que le diagramme Sym(t)  Ξ(t) ady−1 ↓ Sym(t)  Ξ(t, y) Sym(t[y]) est commutatif. Donc U [y] est simplement l’image de U par l’isomorphisme ady−1 . Pour obtenir le transfert de δ U,X , il reste à diviser par Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X)η). On obtient que ce transfert est la distribution ϕ →

 y∈Y˙ M (exp(X)η)

Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X[y])η[y]) ˜ ∂U [y] I M (exp(X[y])η[y], ϕ). Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X)η)

On en déduit l’égalité ˜

S(X, t) = iG ˜ (η) M (13)

 y∈Y˙ M (exp(X)η)

Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X[y])η[y]) Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X)η)

˜

G ∂U [y] IM ˜ (exp(X[y])η[y], f ).

Remarquons que l’on peut choisir l’ensemble Y˙ M (exp(X)η) indépendant de X : il ne dépend que de T . Notons-le plutôt Y˙ M (T ). Les considérations faites plus haut sur le facteur de transfert Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X)η) s’appliquent aussi au facteur Δ1 (t)(exp(X)η1 (t), exp(X[y])η[y]) pour y ∈ Y˙ M (T ). C’est-à-dire que G (t)η,SC est un groupe endoscopique de Gη[y],SC . Ce dernier groupe n’est plus toujours SL(2), ce peut être une forme intérieure. Mais le premier groupe est encore SL(2) donc est la forme quasi-déployée du second. On peut encore choisir pour facteur de transfert pour cette donnée endoscopique celui qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui se correspondent. Il existe alors une constante non nulle d(t, y) vérifiant la propriété suivante. Soient  ∈ g (t)η,SC (R) deux éléments réguliers dont les classes Xsc [y] ∈ gη[y],SC (R) et Xsc

1038

Chapitre IX. Le cas archimédien

de conjugaison stables se correspondent et soit Z ∈ z(Gη ; R) en position générale. Ces éléments sont tous deux proches de 0. Alors (14)

 )η1 (t), exp(Z[y] + Xsc [y])η) = d(t, y). lim Δ1 (t)(exp(Z + Xsc

Z→0

 = rHc , pour un réel r = 0 et proche de 0, On peut prendre en particulier Xsc et Xsc [y] = rHc [y]. Appliquons l’égalité (13) à X = Z + rHc et pour un élément Z ∈ z(Gη ; R) en position générale. Faisons tendre Z vers 0. Tous les termes sont continus en Z et on obtient l’égalité  ˜ ˜ G S(rHc , t) = iG (η) d(t, y)d(t, 1)−1 ∂U [y] IM ˜ ˜ (exp(rHc [y])η[y], f ). M y∈Y˙ M (T )

D’où (15)

S(rHc ) =



˜

G d(y)∂U [y] IM ˜ (exp(rHc [y])η[y], f ),

y∈Y˙ M (T )

où

˜

d(y) = iG ˜ (η) M



d(t, y)d(t, 1)−1 .

ˆ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR t∈Z(M

On a par définition l’inclusion Y M (η) = Y M (η) ∩ M . D’où une application T \Y M (η)/M (R) → M η \Y M (η)/M (R).

(16) Montrons que

(17) cette application est injective ; son image est l’image dans l’espace d’arrivée de l’ensemble des y ∈ Y M (η) tels que le groupe M η[y],SC soit isomorphe à SL(2). Le membre de gauche de (16) s’identifie au noyau de l’application H 1 (ΓR ; T ) → H 1 (ΓR ; M ) tandis que celui de droite s’identifie au noyau de l’application H 1 (ΓR ; M η ) → H 1 (ΓR ; M ). L’injectivité de l’application (16) résulte de celle de l’application H 1 (ΓR ; T ) → H 1 (ΓR ; M η ), laquelle provient du fait que T est un Levi de M η . Si y ∈ Y M (η), ady−1 se relève en un torseur intérieur de M η,SC sur M η[y],SC . Rappelons que le sous-tore Td de M η,SC se projette sur un sous-tore déployé du centre de M . Si y ∈ M , le tore ady−1 (Td ) se projette sur le même tore. Il en résulte que ady−1 (Td ) est défini

IX.4. Propriétés locales

1039

sur R et est déployé. Le groupe M η[y],SC est donc une forme intérieure de SL(2) qui contient un sous-tore déployé non trivial. Cela implique qu’il est isomorphe à SL(2). Inversement, supposons que M η[y],SC soit isomorphe à SL(2). Quitte à multiplier à gauche y par un élément de M η , on peut supposer que ady−1 induit un isomorphisme défini sur R de M η,SC sur M η[y],SC . Alors ady−1 induit aussi un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] . Le groupe AM˜ est inclus dans M η . Posons A = ady−1 (AM˜ ). Alors A est un tore défini et déployé sur R. Son commutant est le groupe M  = ady−1 (M ) et est défini sur R. Soit P un sous-groupe parabolique de M de Levi M . Posons P  = ady−1 (P ). Puisque P est déterminé par son ensemble associé de racines positives, qui sont des caractères de AM˜ , le parabolique P  est déterminé par le même ensemble transporté à A par ady−1 . Donc P  est défini sur R. Les paires (P, M ) et (P  , M  ) sont toutes deux définies sur R et sont conjuguées par y ∈ M (C). On sait qu’alors elles sont aussi conjuguées par un élément de M (R). Autrement dit, quitte à multiplier à droite y par un élément de M (R), on peut supposer que les deux paires sont égales. On a alors ady−1 (P, M ) = (P, M ), ce qui entraîne y ∈ M . Cela prouve (17). En vertu de (17), on peut supposer Y˙ M (η) ⊂ Y˙ M (η). La démonstration montre que l’on peut supposer que, pour tout y ∈ Y˙ M (η), ady−1 se restreint en un isomorphisme défini sur R de M η sur M η[y] . Puisque T ⊂ M η , on a l’inclusion Y M (exp(X)η) ⊂ Y M (η) pour tout X ∈ t(R) ∩ gη,reg (R). On en déduit une application naturelle T \Y M (exp(X)η)/M (R) → M η \Y M (η)/M (R). Cette application est surjective. Cela résulte du fait que T est un sous-tore fondamental de M η et se transfère donc à toute forme intérieure de ce groupe. Autrement dit, on peut choisir notre système Y˙ M (T ) vérifiant la propriété suivante. Il y a une application surjective q : Y˙ M (T ) → Y˙ M (η) telle que, pour tout y ∈ Y˙ M (T ), q(y) est l’unique élément de M η y ∩ Y˙ M (η). On détermine les fibres de l’application q. Pour y ∈ Y˙ M (η), la classe de conjugaison stable dans mη,SC d’un X comme ci-dessus se transfère par ady−1 en une classe  −1 (y)} est un de conjugaison stable dans mη[y],SC . L’ensemble {ad−1 y  (X); y ∈ q ensemble de représentants des classes de conjugaison par M η[y] (R) dans cette classe de conjugaison stable. Montrons que (18) on a d(y) = 1 pour tout y ∈ Y˙ M (T ) tel que q(y) ∈ Y˙ M (η) tandis que d(y) = 0 pour tout y ∈ Y˙ M (T ) tel que q(y) ∈ Y˙ M (η). C’est en fait un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Reprenons partiellement le calcul. Si q(y) ∈ Y˙ M (η), on peut appliquer la définition (14) aux éléments  ˆ )αˆ /Z(M ˆ )ΓR , Xsc [y] = Hd [q(y)] et Xsc = Hd . On obtient que, pour tout t ∈ Z(M

1040

Chapitre IX. Le cas archimédien

on a l’égalité d(t, y)d(t, 1)−1 = lim

Z→0

Δ1 (t)(exp(Z + Hd )η1 (t), exp(Z[y] + Hd [q(y)])η) . Δ1 (t)(exp(Z + Hd )η1 (t), exp(Z + Hd )η)

Les éléments exp(Z[y] + Hd [q(y)])η et exp(Z + Hd )η appartiennent à la même ˜ (R). Le facteur Δ1 (t), restreint aux éléments classe de conjugaison stable dans M ˜ ˜ de M1 (t; R) × M (R), est un facteur pour la donnée endoscopique triviale M de ˜ ). Il est donc invariant par conjugaison stable en la deuxième variable. Le (M, M ˜ rapport ci-dessus vaut donc 1. Puisque iG ˜ (η) est l’inverse du nombre d’éléments M α ˆ ˆ )ΓR , on obtient la première assertion. ˆ de l’ensemble de sommation Z(M ) /Z(M M ˙ Supposons maintenant q(y) ∈ Y (η). Le cocycle σ → yσ(y)−1 à valeurs dans Gη se pousse en un cocycle à valeurs dans Gη,ad , ce groupe étant l’image de Gη dans GAD . On note τ [y] sa classe. Introduisons le tore Tˆ dual de T (ce n’est plus le tore d’une paire de Borel épinglée Eˆ comme au début du paragraphe). Puisque T ˆ et est un sous-tore maximal de M comme de Gη , on a des plongements Tˆ ⊂ M ˆ η . Le second réalise Tˆ comme Levi de G ˆ η . Il est équivariant pour les actions Tˆ ⊂ G ˆ ) → Tˆ, qui est galoisiennes. Du premier plongement se déduit une inclusion Z(M ˆ )ΓR ⊂ Tˆ ΓR ⊂ équivariante pour les actions galoisiennes. D’où un plongement Z(M ˆ ΓR . Puisque α ˆ η , Z(M ˆ )αˆ est exactement G ˆ est la seule racine (au signe près) de G η ˆ sc et Tˆsc ˆ η )ΓR par le plongement précédent. Notons M l’image réciproque de Z(G ˆ et Tˆ dans G ˆ et notons G ˆ η,sc le groupe dual de Gη,ad . les images réciproques de M ˆ )αˆ . On a pour ces groupes des propriétés analogues aux précédentes. Soit t ∈ Z(M ΓR ,0 ˆ ˆ qui se projette dans GAD sur le même On choisit un élément tsc ∈ Z(Msc ) ˆ η,sc )ΓR , que l’on projette élément que t. Alors tsc s’identifie à un élément de Z(G ΓR ˆ dans le groupe des composantes connexes π0 (Z(Gη,sc ) ). On note u(t) son image. Remarquons qu’elle peut dépendre du choix de tsc . On a un produit sur ˆ η,sc )ΓR ). H 1 (ΓR ; Gη,ad ) × π0 (Z(G Le calcul de [III] 8.4 montre que d(t, y)d(t, 1)−1 = τ [y], u(t) . Remarque. On pourrait aussi utiliser le théorème 5.1.D de [48] pour obtenir cette formule. ˆ η,sc )ΓR ). La formule montre Notons Ann[y] l’annulateur de τ [y] dans π0 (Z(G Γ ˆ η,sc ) R )/ Ann[y] est bien détermique l’image v(t) de u(t) dans le quotient π0 (Z(G née. On obtient ainsi une application ˆ )αˆ /Z(M ˆ )ΓR → π0 (Z(G ˆ η,sc )ΓR )/ Ann[y]. v : Z(M C’est un homomorphisme. Pour prouver la nullité de d(y), il suffit de prouver que l’image de v n’est pas réduite à {1}. Or cette image contient l’image naturelle du

IX.4. Propriétés locales

1041

noyau de l’homomorphisme ΓR ˆ η,sc )ΓR ) → π0 (Tˆsc π0 (Z(G ).

(19)

ˆ η,sc )ΓR ∩ TˆΓR ,0 . En effet, un élément x de ce noyau se relève en un élément tsc ∈ Z(G sc Γ ,0 Γ ˆ sc ) R ,0 . Donc tsc se Parce que T est elliptique dans M , on a l’égalité TˆscR = Z(M ˆ η,sc ), on a t ∈ Z(M ˆ )αˆ . ˆ )ΓR . Parce que tsc ∈ Z(G projette en un élément t ∈ Z(M On voit alors que x = v(t), d’où l’assertion. Il nous suffit de prouver que le noyau de (19) n’est pas contenu dans Ann[y]. On a un homomorphisme naturel ˆ η,SC )ΓR ) → π0 (Z(G ˆ η,sc )ΓR ). π0 (Z(G ˆ η,SC = SL(2, C), Son image est contenue dans le noyau de (19). En effet, puisque G Γ ˆ η,SC ) R ) n’est autre que le centre {±1} de G ˆ η,SC , qui est contenu le groupe π0 (Z(G ΓR ,0 dans Tˆd = TˆdΓR ,0 , donc se projette dans Tˆsc . Il suffit donc de prouver que l’image ˆ η,SC )ΓR ) n’est pas contenue dans Ann[y]. Cela équivaut à ce que l’image de π0 (Z(G τ [y]AD de τ [y] dans H 1 (ΓR ; Gη,AD ) ne soit pas dans le noyau de l’accouplement entre les deux ensembles ˆ η,SC )ΓR ). H 1 (ΓR ; Gη,AD ) × π0 (Z(G Il résulte de [46] théorème 1.2 que ce dernier noyau est réduit à l’élément 1 ∈ H 1 (ΓR ; Gη,AD ). Or τ [y]AD détermine la forme intérieure Gη[y],SC de Gη,SC . L’hypothèse sur y et l’assertion (17) entraînent que cette forme intérieure est non déployée, donc que τ [y]AD n’est pas égal à 1. Cela achève la preuve de (18). En utilisant (18), on transforme l’égalité (15) en   ˜ G  ∂U [y ] IM (20) S(rHc ) = ˜ (exp(rHc [y ])η[y], f ). y∈Y˙ M (η) y  ∈q−1 (y)

Remplaçons X par rHc dans la formule (12) et utilisons (11). On isole le terme s = 1 pour lequel on peut prendre pour G (s) des données auxiliaires triviales. On a pour celles-ci τ (1, 0) = 1. On obtient ˜

+



˜

G S(rHc ) = iG ˜ (η)∂U SM ˜ (exp(rHc η, f ) M 



˜ G ˜  (s))iG˜ (s) (η)τ (s; 0)∂U (s) S G˜ 1(s) iM˜ (G, ˜ ˜ (s),λ M M

ˆ ˆ )α ˆ ΓR , s∈Z(M /Z(G) s=1

1

 ˜ exp(rHc )η1 (s), f G1 (s) .

En utilisant cette égalité et l’égalité (10), on voit que ˜

(21)

˜

G,mod G,mod ∂U SM (exp(rHd )η, f ) − ∂U SM (exp(−rHd )η, f ) ˜ ˜ ˜

˜

G −2πi|ˇ α|iG ˜ (η)∂U SM ˜ (exp(rHc )η, f ) M

1 (s)

1042

Chapitre IX. Le cas archimédien

est la somme des expressions suivantes (22) (23)



∂U φ(rHd ) − ∂U φ(−rHd ); ˜ G,mod (∂U[y] IM (exp(rHd )η[y], f ) ˜

˜

G,mod − ∂U[y] IM (exp(−rHd )η[y], f )); ˜

y∈Y˙ M (η)

(24)

−2πi|ˇ α|S(rHc );



(25)

˜ G ˜  (s))τ (s; 0)C(r, s), iM˜ (G,

ˆ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M

où

˜  (s) G

C(r, s) = 2πi|ˇ α|iM˜

˜  (s) G

(η)∂U (s) SM˜1 (s),λ 1

˜  (s) G

− ∂U(s) SM˜1 (s),λ 1

1 (s)

˜  (s) G

+ ∂U(s) SM˜1 (s),λ 1

1 (s)

1 (s)

˜

(exp(rHc )η1 (s), f G1 (s) ) ˜

(exp(rHd )η1 (s), f G1 (s) ) ˜

(exp(−rHd )η1 (s), f G1 (s) ).

Parce que φ est C ∞ , la limite de (22) quand r tend vers 0 est nulle. Pour s ∈ ˆ ΓR , s = 1, on peut utiliser par récurrence l’assertion (iv) de l’énoncé. ˆ )αˆ /Z(G) Z(M On a donc limr→0 C(r, s) = 0 et la limite de l’expression (25) quand r tend vers 0 est nulle. En utilisant (20), on voit que la somme de (23) et de (24) s’écrit  D(r, y), y∈Y˙ M (η)

où ˜

˜

G,mod G,mod (exp(rHd )η[y], f ) − ∂U[y] IM (exp(−rHd )η[y], f ) D(r, y) = ∂U[y] IM ˜ ˜  ˜ G  − 2πi|ˇ α| ∂U [y ] IM ˜ (exp(rHc [y ])η[y], f ). y  ∈q−1 (y)

Fixons y. Comme on l’a dit, le nombre d’éléments de q −1 (y) est le nombre de classes de conjugaison par Gη[y] (R) dans la classe de conjugaison stable de exp(rHc [y  ])η[y]), pour tout y  ∈ q −1 (y). Autrement dit, il est égal à 2c(η[y]) , avec la notation de la proposition 4.1. On peut donc récrire  D (r, y  ), D(r, y) = 2−c(η[y]) y  ∈q−1 (y)

où ˜

˜

G,mod G,mod (exp(rHd )η[y], f ) − ∂U[y] IM (exp(−rHd )η[y], f ) D (r, y  ) = ∂U[y] IM ˜ ˜ G  − 21+c(η[y]) πi|ˇ α|∂U [y ] IM ˜ (exp(rHc [y ])η[y], f ). ˜

La proposition 4.1 nous dit que, pour tout y  ∈ q −1 (y), limr→0 D (r, y  ) = 0. Il en résulte que la limite quand r tend vers 0 de la somme des expressions (23) et (24)

IX.4. Propriétés locales

1043

est nulle. On conclut que la limite quand r tend vers 0 de l’expression (21) est nulle. C’est ce qu’affirme le (iv) de l’énoncé. Cela achève la démonstration. 

IX.4.3 Sauts des intégrales orbitales pondérées endoscopiques ˜ a) étant de nouveau général. On On conserve les hypothèses de 4.1, le triplet (G, G, ˜ est une composante connexe d’un K-espace K G ˜ et que les espaces suppose que G ˜ et ˜ ˜ de Levi M et M sont des composantes connexes de K-espaces de Levi K M θ ˜ K G. Pour X ∈ t (R) ∩ gη,reg (R) assez proche de 0, notons γ(X) la distribution ˜ ˜ (R)). Parce que l’élément exp(X)η ϕ → I K M (exp(X)η, ω, ϕ) pour ϕ ∈ Cc∞ (K M ˜ ˜ ˜ (R), ω). On a de M (R) est G-équisingulier, γ(X) appartient à Dg´eom,G˜ -équi (K M défini en [V] 1.8 la distribution ˜

K G,E f → IK ˜ (γ(X), f ) M ˜ K G,E ˜ On note maintenant ce terme IK pour f ∈ Cc∞ (K G(R)). ˜ (exp(X)η, ω, f ). De M ˜

K G,E même, on définit IK ˜ (exp(X)η, ω, f ). On définit alors comme en 4.1 l’intégrale M modifiée ˜

˜

K G,E,mod K G,E (exp(X)η, ω, f ) = IK IK ˜ ˜ (exp(X)η, ω, f ) M M ˜

K G,E + |ˇ α| log(|α(X)|)IK ˜ (exp(X)η, ω, f ). M

˜ Proposition. Soient f ∈ Cc∞ (K G(R)). (i) Pour tout U ∈ Sym(tθ ), les limites ˜

K G,E,mod (exp(rHd )η, ω, f ) et lim ∂U IK ˜ M

r→0+

˜

K G,E,mod lim ∂U IK (exp(rHd )η, ω, f ) ˜ M

r→0−

existent. (ii) Si wd (U ) = U , ces limites sont égales. (iii) Pour tout U ∈ Sym(tθ ), les limites ˜

K G,E lim ∂U IK ˜ (exp(rHc )η, ω, f ) M

r→0+

et

˜

K G,E lim ∂U IK ˜ (exp(rHc )η, ω, f ) M

r→0−

existent. (iv) Soit U ∈ Sym(tθ ), supposons wd (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a les égalités ˜

˜

K G,E,mod K G,E,mod (exp(rHd )η, ω, f ) − lim ∂U IK (exp(rHd )η, ω, f ) lim ∂U IK ˜ ˜ M M

r→0+

r→0−

˜

K G,E α| lim ∂U IK = 21+c(η) πi|ˇ ˜ (exp(rHc )η, ω, f ) M r→0+

= −2

1+c(η)

˜

K G,E πi|ˇ α| lim ∂U IK ˜ (exp(rHc )η, ω, f ). M r→0−

La preuve occupe les deux paragraphes suivants.

1044

Chapitre IX. Le cas archimédien

IX.4.4 Formules d’inversion ˜ p )p∈Π le K-espace K G ˜ et p0 l’indice tel que G ˜ =G ˜ p0 . On pose simOn note (G ˜ ˜ ˜ et plement φp = φp0 ,p , φp = φp0 ,p , ∇p = ∇p0 ,p , cf. [I] 1.11. Les K-espaces K M M M ˜ sont indexés par des sous-ensembles Π ⊂ Π ⊂ Π. On peut supposer que, KM pour p ∈ ΠM , resp. p ∈ ΠM , ∇p prend ses valeurs dans MSC , resp. M SC , et ˜ p) = M ˜ , resp. φ˜p (M ˜ ) = M ˜ . On fixe comme toujours une paire de Borel φ˜p (M p ˆ ˆ épinglée E de G conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore Tˆ (pour ce qui est des actions galoisiennes, il ne s’agit pas du tore dual de T ). On fixe un ˜ ) tels que P˜ ⊂ P˜ . A l’aide de ces ˜ ) et un élément P˜ ∈ P(M élément P˜ ∈ P(M ˆ et M ˆ à des Levi de espaces paraboliques, on peut identifier les groupes duaux M ˆ ˆ G qui sont standard pour E. ˜ (R), notons X M (γ) Pour tout élément semi-simple fortement régulier γ ∈ M l’ensemble des couples (M , δ), où M est une donnée endoscopique elliptique de ˜ , a) et δ ∈ M ˜  (R) est un élément semi-simple (forcément fortement régulier) (M, M qui correspond à γ. Deux tels couples (M1 , δ1 ) et (M2 , δ2 ) sont dits équivalents s’il existe une équivalence entre M1 et M2 , à laquelle est associé un isomorphisme ˜ 1 → M ˜ 2 défini sur R, de sorte que δ2 soit stablement conjugué à ˜ι(δ1 ). On ˜ι : M fixe un ensemble de représentants X˙ M (γ) des classes d’équivalence dans X M (γ). Considérons un élément X0 ∈ t(R) proche de 0 tel que exp(X0 )η soit for˜ (R). On indexe X˙ M (exp(X0 )η) par un ensemble fini J : tement régulier dans M M  ˙ X (exp(X0 )η) = (Mj , δj )j∈J . On note Tj le commutant de δj dans Mj et on pose T˜j = Tj δj . Le choix d’un diagramme (δj , Bj , Tj , B M , T, exp(X0 )η) détermine un homomorphisme ξj : T → Tj  T /(1 − θ)(T ). Il s’étend en une application compatible ξ˜j : T˜ → T˜j qui est définie sur R et vérifie ξ˜j (exp(X0 )η) = δj . On pose j = ξ˜j (η). Alors (j , Bj , Tj , B M , T, η) est encore un diagramme. On vérifie que, pour tout X ∈ t(R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit fortement ˜ (R), on peut choisir pour ensemble X˙ M (exp(X)η) l’ensemble régulier dans M   (Mj , exp(ξj (X))j )j∈J . On fixe pour tout j des données auxiliaires Mj,1 ,. . .,Δj,1 ,   ˜ ˜ un élément j,1 ∈ Mj,1 (R) au-dessus de j et on note Tj,1 l’image réciproque de T˜j ˜  . On fixe aussi une décomposition dans M j,1 tj,1 = cj,1 ⊕ tj ˜ . La formule d’inselon la recette de 3.1. Rappelons que T˜ est elliptique dans M ∞ ˜ version [I] 4.9(5) se traduit ainsi. Pour f ∈ Cc (K M (R)), on a l’égalité I K M (exp(X)η, ω, f ) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2  Δj,1 (exp(ξj (X))1,j , exp(X)η)−1 ˜

j∈J ˜ M

˜

j,1 Sλj,1 (exp(ξj (X))1,j , f Mj,1 ).

IX.4. Propriétés locales

1045

Tous les termes sont continus en un point exp(X)η qui est seulement régulier dans ˜ (et non fortement régulier). Or, puisque η lui-même est régulier dans M ˜ , c’est M le cas de tout exp(X)η pour X voisin de 0. La formule ci-dessus est donc vérifiée en tout X proche de 0. On peut traduire cette formule de la façon suivante. Notons γ(X) la distribu˜ st  tion I K M (exp(X)η, ω, .) et, pour tout j, δ j (X) l’élement de Dg´ eom (Mj ) à laquelle ˜ M

j,1 s’identifie la distribution Sλj,1 (exp(ξj (X))1,j , .), multipliée par

Δj,1 (exp(ξj (X))1,j , exp(X)η)−1 . Remarquons que cette distribution est indépendante des données auxiliaires  Mj,1 ,. . .,Δj,1 . Alors  (1) γ(X) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2 transfert(δ j (X)). j∈J

˜ Pour tout élément semi-simple γ ∈ G(R) et tout p ∈ Π, on note Yp (γ) −1 l’ensemble des y ∈ G tels que y∇p (σ)σ(y) ∈ Iγ pour tout σ ∈ ΓR (on rappelle −1 que Iγ = Z(G)θ Gγ ). Pour y dans cet ensemble, on pose γ[y] = φ˜−1 γy). p (y ˙ ˜ Alors γ[y] ∈ Gp (R). On fixe un ensemble de représentants Yp (γ) de l’ensemble ˙ des doubles classes Iγ \Yp (γ)/φp (Gp (R)). On note Y(γ), resp. Y(γ), la réunion disjointe des Yp (γ), resp. Y˙ p (γ), pour p ∈ Π. Si γ est fortement régulier, l’ensemble ˙ {γ[y]; y ∈ Y(γ)} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison dans ˜ est un espace de Levi de G, ˜ composante la classe de conjugaison stable de γ. Si L ˜ de K G, ˜ et si γ ∈ L(R), ˜ connexe d’un K-espace de Levi K L on peut effectuer les ˜ par K L. ˜ On affecte d’un exposant L les mêmes constructions en remplaçant K G objets obtenus, par exemple Y˙ L (γ). Soit comme ci-dessus X ∈ tθ (R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit forθ ˜ (F ). On a I M tement régulier dans M exp(X)η = T . Les définitions des ensembles Y˙ M (exp(X)η) et Y˙ pM (exp(X)η) ne dépendent que de ce groupe. On peut donc les choisir indépendants de X et on les note plutôt Y˙ M (T˜ ) et Y˙ pM (T˜). Soient p ∈ ΠM et y ∈ Y M (T˜ ). On pose T˜ [y] = φ˜−1 ◦ ady−1 (T˜ ), η[y] = φ˜−1 ◦ ady−1 (η), p

p

p

 st  X[y] = φ−1 p ◦ ady −1 (X). Pour j ∈ J, notons δ j (X) l’élement de Dg´ eom (Mj ) à ˜ M

j,1 (exp(ξj (X))1,j , .). La formule d’inversion laquelle s’identifie la distribution Sλj,1 [I] 4.9(4) se traduit par  transfert(δ j (X)) = d(θ∗ )1/2 [T [y]θ (R) : T [y]θ,0(R)]−1

y∈Y˙ M (T˜ )

Δj,1 (exp(ξj (X))j,1 , exp(X[y])η[y])γ(X, y), ˜

où γ(X, y) est la distribution I K M (exp(X[y])η[y], ω, .). Pour obtenir le transfert de δ j (X), il suffit de diviser par Δj,1 (exp(ξj (X))1,j , exp(X)η). Considérons le

1046

Chapitre IX. Le cas archimédien

rapport Δj,1 (exp(ξj (X))j,1 , exp(X[y])η[y]) . Δj,1 (exp(ξj (X))1,j , exp(X)η) Puisque exp(ξj (X))η[y] et exp(X)η sont stablement conjugués, cette conjugaison stable étant réalisée par l’élément y qui est indépendant de X, il résulte de [48] théorème 5.1.D(1) que ce rapport est d’une part indépendant de X, d’autre part  ,. . .,Δj,1 . On le note dj (y). On obtient indépendant des données auxiliaires Mj,1 (2)

transfert(δ j (X)) = d(θ∗ )1/2



[T [y]θ (R) : T [y]θ,0(R)]−1 dj (y)γ(X, y).

y∈Y˙ M (T˜ )

On peut évidemment supposer que notre ensemble Y˙ M (T˜) contient l’élément y = 1. En comparant les formules (1) et (2), on obtient pour y ∈ Y˙ M (T˜) l’égalité   1, si y = 1, (3) |J|−1 dj (y) = 0, si y = 1. j∈J

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, Fixons j ∈ J. On note Mj = (Mj , Mj , ζ˜j ). Pour s˜ ∈ ζ˜j Z(M  on introduit des données supplémentaires G1 (˜ s),. . .,Δ1 (˜ s) pour la donnée endo˜  (˜ ˜  s) s). On fixe un point 1 (˜ s) au-dessus de j et on note M scopique G (˜ 1 s) et T1 (˜ ˜  et T˜  dans G ˜ 1 (˜ les images réciproques de M s). On fixe aussi une décomposition j j s) = c1 (˜ s) ⊕ tj t1 (˜ ˆ dont on a noté selon la recette de 3.1. On a fixé une paire de Borel épinglée Eˆ de G, ˆ ˆ ˜ ˆ le tore T . On peut supposer ζj = ζj θ et on écrit tout élément s˜ sous la forme sθ.   M On a fixé un diagramme (j , Bj , Tj , B , T, η) reliant j et η, d’espaces ambiants ˜ et M ˜  . On a aussi fixé un élément P˜ ∈ P(M ˜ ). Notons B le sous-groupe de Borel M j M de G tel que B ⊂ P et B ∩ M = B . On vérifie que le diagramme s’étend pour ˜ et G ˜  (˜ s), Tj , B, T, η), d’espaces ambiants G s). tout s˜ en un diagramme (j , B  (˜ On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. On fixe un élément ˜ E) et on écrit η = νe, avec ν ∈ T . Le groupe Gη a une unique racine (au e ∈ Z(G, signe près) que l’on a notée α. C’est un élément de X ∗ (T θ,0). Rappelons que l’on note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. Introduisons un élément β ∈ Σ(T ) ˇ si β est de type dont la restriction βres à T θ,0 soit α. La coracine α ˇ est alors N (β) ˇ 1 ou 3, 2N (β) si β est de type 2. D’après [79] 3.3, l’ensemble des racines de Gη  est formé des βres , pour β  ∈ Σ(T ) tels que N (β  )(ν) = 1 si β  est de type 1 ou 2,  N (β )(ν) = −1 si β  est de type 3. Notre hypothèse est donc que cet ensemble de racines se réduit aux racines de la forme ±θk (β) pour k ∈ N. Il correspond à β une racine βˆ de Tˆ . De la description de l’ensemble de racines de G (˜ s)j donnée en [79] s)j est un tore ou de rang 3.3 se déduisent les résultats suivants. Le groupe G (˜ semi-simple 1. Il est de rang semi-simple 1 si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

IX.4. Propriétés locales

(a) (b) (c) (d)

de de de de

β β β β

type type type type

1 2 2 3

et et et et

1047

ˆ N (β)(s) = 1; ˆ N (β)(s) = 1 : ˆ N (β)(s) = −1 ; ˆ N (β)(s) = 1.

s)j (au signe près) se L’unique racine α(˜ s) et l’unique coracine α(˜ ˇ s) de G (˜ décrivent dans chacun des cas de la façon suivante : ˇ (˜ s) = ξj ◦ βˇ ; (a) α(˜ s) ◦ ξj = N (β), α (b) α(˜ s) ◦ ξj = 2N (β), α ˇ (˜ s) = ξj ◦ βˇ ; (c) α(˜ s) ◦ ξj = N (β), α ˇ (˜ s) = 2ξj ◦ βˇ ; ˇ (d) α(˜ s) ◦ ξj = 2N (β), α ˇ (˜ s) = 1 ξj ◦ β. 2

Puisque β se restreint en un élément non nul de X∗ (AM˜ ), N βˆ se restreint en ˆ ˆ )ΓR ,θ,0 . Quitte à multiplier ζ˜j par un élément de ce un caractère non trivial de Z(M ˆ ˆ si β est de type 1 ou 3, groupe, on peut supposer N (β)(ζj ) = 1. Posons α ˆ∗ = N (β) ∗ ˆ si β est de type 2. Notons Z(M ˆ )αˆ l’ensemble des t ∈ Z(M ˆ )ΓR ,θˆ tels α ˆ ∗ = 2N (β) ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, le groupe G (˜ s)j est de rang semique α ˆ ∗ (t) = 1. Pour s˜ ∈ ζ˜j Z(M α ˆ∗ ΓR ,θˆ ˜ ˆ ˆ simple 1 si et seulement si s˜ ∈ ζj Z(M ) /Z(G) . Supposons cette condition s)j ,SC est isomorphe à SL(2). Remarquons que, puisque vérifiée. Le groupe G (˜ ˜  (˜ βres est fixe par ΓR , il en est de même de la racine α(˜ s) de G (˜ s)j . On note M s)  ˜ l’espace de Levi de G (˜ s) tel que A ˜  soit le noyau de la racine α(˜ s) vue comme M (˜ s)

˜  (˜ ˜  s). On voit forme linéaire sur AM˜  . On note M 1 s) son image réciproque dans G1 (˜ 

j

˜ (˜ s) n’est autre que l’espace endoscopique de la donnée endoscopique M (˜ s) que M ˜ , a) associée à s˜. Cette donnée est elliptique. En effet, on a les inclusions de (M , M AM˜ ⊂ AM˜  (˜s)  AM˜  = AM˜ . j

Puisque la différence des dimensions des deux espaces extrêmes est 1, la première inclusion est une égalité, ce qui prouve l’ellipticité. D’autre part, d’après la défi˜  (˜ nition de M s), on a M  (˜ s)j = G (˜ s)j . ∗ ˆ )αˆ . Utilisons la théorie locale rappelée en [III] section 5. On Soit s˜ ∈ ζ˜j Z(M ¯  (¯ introduit la donnée endoscopique G s) du groupe Gη,SC .   ¯ La paire (G (¯ s)SC , G (˜ s)j ,SC ) se complète en un triplet endoscopique non s)j ,SC sont tous deux isomorphes à SL(2). standard. Mais on sait que Gη,SC et G (˜ ¯  (¯ Il en résulte que G s) est lui-même simplement connexe et isomorphe à SL(2). Le triplet endoscopique non standard est équivalent à un triplet «trivial». Notons toutefois que l’isomorphisme j∗ entre les algèbres de Lie des tores déployés maximaux de ces groupes est en général un multiple de l’isomorphisme naturel entre ces deux algèbres (la notation j∗ se réfère à [III] 6.1, elle n’a rien à voir avec ¯  (¯ notre élément j ∈ J). La donnée G s) est la donnée endoscopique maximale de Gη,SC . On peut prendre pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur

1048

Chapitre IX. Le cas archimédien

des couples d’éléments qui se correspondent. De l’homomorphisme ξj : T → Tj se déduit un homomorphisme ξj : z(Gη ) → z(G (˜ s)j ). La relation [V] 4.1(1) se traduit par l’existence d’une constante non nulle d(˜ s) vérifiant la condition suivante. Soit Xsc ∈ gη,SC (R) un élément régulier. On le transfère en un élément  ¯ sc ∈ ¯ X g (¯ s)(R) et on transfère celui-ci en un élément Xsc ∈ g (˜ s)j ,SC (R). On suppose ces éléments proches de 0. Soit Z ∈ z(Gη , R) en position générale. Alors (4)

 lim Δ1 (˜ s)(exp(ξj (Z) + Xsc )1 (˜ s), exp(Z + Xsc )η) = d(˜ s).

Z→0

Plus généralement, soit p ∈ Π et y ∈ Yp (η). L’application φ−1 p ◦ ady −1 se restreint en un torseur intérieur de Gη sur Gη[y] . Il se restreint en un isomorphisme défini sur R de z(Gη ) sur z(Gη[y] ). On note Z → Z[y] cet isomorphisme. Le groupe Gη[y],SC n’est plus en général isomorphe à SL(2), c’en est une forme intérieure. La donnée ¯  (¯ G s) est encore la donnée endoscopique maximale de Gη[y],SC . On peut prendre pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui se correspondent. La relation [V] 4.1(1) implique l’existence d’une constante non nulle d(˜ s, y) vérifiant la condition suivante. Soit Xsc [y] ∈ gη[y],SC (R) un élément ¯ sc ∈ g¯ (¯ s)(R) et on transfère celui-ci régulier. On le transfère en un élément X   en un élément Xsc ∈ g (˜ s)j ,SC (R). On suppose ces éléments proches de 0. Soit Z ∈ z(Gη , R) en position générale. Alors (5)

 lim Δ1 (˜ s)(exp(ξj (Z) + Xsc )1 (˜ s), exp(Z[y] + Xsc [y])η) = d(˜ s, y).

Z→0

La constante d(˜ s) introduite ci-dessus n’est autre que d(˜ s, 1).  ,. . .,Δj,1 . On a introduit au début du paragraphe des données auxiliaires Mj,1  On peut prendre pour celles-ci les données M1 (˜ s),. . .,Δ1 (˜ s) (quant à Δ1 (˜ s), il s’agit plutôt ici de la restriction de ce facteur de transfert aux couples d’éléments ˜ ˙M ˜  (˜ de M 1 s, R)× M (R) qui se correspondent). Dans le cas où y ∈ Y (η), la constante −1 dj (y) définie plus haut n’est autre que d(˜ s, y)d(˜ s, 1) . Elle est indépendante du choix de s˜.

IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3 Soit X ∈ tθ (R) ∩ gη,reg (R). Considérons la formule 4.4(1). Toutes les distributions ˜ y intervenant sont G-équisingulières. On a alors par définition ˜

(1)

˜

K G,E K G,E IK ˜ (exp(X)η, ω, f ) = IK M ˜ (γ(X), f ) M  K G,E ˜ IK M˜ (Mj , δ j (X), f ) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2 j∈J

˜ pour tout f ∈ Cc∞ (K G(R)). Fixons j ∈ J et utilisons les notations introduites dans le paragraphe précéˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, la distribution δ j (X) s’identifie à dent. Pour tout s˜ ∈ ζ˜j Z(M ˜  (˜ M s)

s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 Sλ11(˜s) (exp(ξj (X))1 (˜ s), .). Δ1 (˜

IX.4. Propriétés locales

1049

On a donc 

˜

K G,E  IK ˜ (Mj , δ j (X), f ) = M

(2)

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s)) j

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s˜∈ζ˜j Z(M ˜  (˜ s) G

˜

s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 SM˜1 (˜s),λ Δ1 (˜

s) 1 (˜

1

(exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ).

ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, supposons d’abord s˜ ∈ ζ˜j Z(M ˆ )αˆ ∗ /Z(G) ˆ ΓR ,θˆ. Alors Soit s˜ ∈ ζ˜j Z(M   ˜ (˜ G (˜ s)j est un tore et j est régulier dans G s). Il en résulte que la fonction ˜  (˜ G s)

˜

s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 SM˜1 (˜s),λ X → Δ1 (˜

s) 1 (˜

1

(exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) )

ˆ )αˆ ∗ /Z(G) ˆ ΓR ,θˆ. Le est C ∞ au voisinage de 0. Supposons maintenant s˜ ∈ ζ˜j Z(M s)j ,SC = M  (˜ s)j ,SC est isomorphe à SL(2). On peut introduire l’intégroupe G (˜ grale orbitale pondérée stable modifiée ˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ) s) 1 (˜ 1

(3) SM˜1 (˜s),λ

˜  (˜ G s)

s) 1 (˜

1

˜  (˜ G s)

˜  (˜ s) G

+iM˜  (˜s) (1 )|ˇ α(˜ s)| log(|α(˜ s)(ξj (X))|)SM˜1 (˜s),λ 1

˜

= SM˜1 (˜s),λ 1

s) 1 (˜

(exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ) ˜

(exp(ξj (X))1 , f G1 (˜s) ).

D’après les formules de 4.4, on a α(˜ s)(ξj (X)) = n(˜ s)β(X) = n(˜ s)α(X), où n(˜ s) = nβ ou 2nβ selon le cas. Donc log(|α(˜ s)(ξj (X))|) = log(n(˜ s))+log(|α(X)|). Le point ˜  (˜ ˜  (˜ j , considéré comme un élément de M s; R), est G s)-équisingulier. Il existe donc  ∞ ˜ une fonction ϕ ∈ Cc (M 1 (˜ s, R)) telle que ˜  (˜ G s)

SM˜1 (˜s),λ 1

1

˜

˜  (˜ M s)

1 (exp(ξj (X))1 , f G1 (˜s) ) = Sλ1 (˜ s) (exp(ξj (X))1 , ϕ) (˜ s)

˜ (˜ pour tout X proche de 0. L’élément j n’est pas régulier dans M s), mais la  seule racine de Tj singulière en j est «réelle». Comme on le sait, cela entraîne que l’intégrale orbitale de droite ci-dessus est C ∞ pour X proche de 0. Donc remplacer log(|α(˜ s)(ξj (X))|) par log(|α(X)|) dans la formule (3) modifie le membre de droite par une fonction C ∞ au voisinage de X = 0. Le facteur de transfert s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 X → Δ1 (˜ ˜ (R), il s’agit est lui aussi C ∞ au voisinage de 0. En effet, exp(X)η appartenant à M d’un facteur de transfert pour une donnée auxiliaire de la donnée endoscopique ˜ (R). Ces considérations transforment Mj . Il est C ∞ car η est régulier dans M l’expression (2) sous la forme suivante. (4)

˜

K G,E  IK ˜ (Mj , δ j (X), f ) = φj (X) + Bj (X) − log(|α(X)|)Dj (X) M

1050

Chapitre IX. Le cas archimédien

où φj est une fonction C ∞ en X = 0, 

Bj (X) =

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))Δ1 (˜ s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 j

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θ s˜∈ζ˜j Z(M

ˆ

˜  (˜ G s),mod

˜

SM˜1 (˜s),λ (˜s) (exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ), 1 1  ˜  (˜ G s) ˜ G ˜  (˜ Dj (X) = iM˜  (G, s))iM˜  (˜s) (1 )|ˇ α(˜ s)| j

1

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θˆ s˜∈ζ˜j Z(M

Δ1 (˜ s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 ˜  (˜ G s)

SM˜1 (˜s),λ

˜

s) 1 (˜

1

On récrit Dj (X) =

(exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ). 

Dj (X, t˜),

ˆ ∗ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR ,θˆ t˜∈ζ˜j Z(M

où Dj (X, t˜) est la sous-somme de l’expression précédente sur l’ensemble des s˜ ∈ ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ. t˜Z(M ˆ )αˆ ∗ /Z(M ˆ )ΓR ,θˆ. Cet élément détermine une donnée endoFixons t˜ ∈ ζ˜j Z(M ˜ , a), qui est elliptique comme on l’a dit en 4.4. Soit scopique M (t˜) de (M , M ˆ ˆ ˆ ΓR ,θ . Alors l’espace M ˜  (˜ ˆ )ΓR ,θ /Z(G) s˜ ∈ t˜Z(M 1 s) fait partie de données auxiliaires  ˜ pour cette donnée M (t). Posons ˆ )ΓR ,θˆ]. ˆ )αˆ ∗ : Z(M m = [Z(M Montrons que (5)



˜ (˜ G s) ˜ G ˜  (˜ ˜ G ˜  (˜ s))iM˜1 (˜s) (1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)| = m−1 iM˜  (t˜) (G, s))|ˇ α|. iM˜  (G, j

1

˜ G ˜  (˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau K1 de Rappelons que iM˜  (G, j l’homomorphisme ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ → Z(M ˆ j )ΓR /Z(G ˆ  (˜ s))ΓR . Z(M ˆ ˆ  s’identifie à Tˆ θ,0 . Notons α ˆ  la restricRappelons qu’un sous-tore maximal de M j ˆ ˆ tion à ce tore de N (β) si β est de type 1 ou 3, de 2N (β) si β est de type 2. Notons ˆ  )αˆ  le groupe des x ∈ Z(M ˆ  )ΓR tels que α ˆ (x) = 1. Z(M j j ˆ )αˆ ∗ /Z(G) ˆ ΓR ,θˆ est l’image réciproque par l’homomorphisme précéAlors Z(M  α ˆ ˆ )  /Z(G ˆ  (˜ dent du groupe Z(M s))ΓR . On a donc une suite exacte j

ˆ )αˆ ∗ /Z(G) ˆ ΓR ,θˆ → Z(M ˆ j )αˆ  /Z(G ˆ  (˜ 1 → K1 → Z(M s))ΓR → 1.

IX.4. Propriétés locales

1051

Cette suite s’insère dans un diagramme 1 ↑ 1 → K2 ↑ 1 → K1 ↑ 1 → K3 ↑ 1

1 1 ↑ ↑ ˆ )αˆ ∗ /Z(M ˆ )ΓR ,θˆ → ˆ  )αˆ  /Z(M ˆ  (t˜))ΓR → Z(M Z(M j ↑ ↑ α ˆ∗ ΓR ,θˆ  α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  (˜ → Z(M ) /Z(G) → Z(Mj ) /Z(G s))ΓR ↑ ↑  ΓR ,θˆ ΓR ,θˆ ΓR ˆ ˆ ˆ ˆ  (˜ ˜ → Z(M ) /Z(G) → Z(M (t)) /Z(G s))ΓR ↑ ↑ 1 1

→1 →

1

→

1.

Les groupes K2 et K3 sont définis de sorte que les suites horizontales soient exactes. Les deux suites verticales de droite sont exactes. Donc aussi celle de gauche. D’où l’égalité |K1 | = |K2 ||K3 |. −1 ˜ G ˜  (˜ s)). D’où les égalités Par définition, |K3 | = i ˜  ˜ (G, M (t)

˜ G ˜  (˜ ˜ G ˜  (˜ s)) = |K1 |−1 = |K2 |−1 iM˜  (t˜) (G, s)). iM˜  (G, j

La première suite horizontale ci-dessus est formée de groupes finis. Donc |K2 | est le quotient du nombre d’éléments du groupe central de cette suite par le nombre d’éléments du groupe de droite. Le nombre d’éléments du groupe central est m. D’où l’égalité (6)





˜ G ˜  (˜ ˆ j )αˆ : Z(M ˆ (t˜))ΓR ]i ˜  ˜ (G, ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s)) = m−1 [Z(M s)). M (t) j

ˆ s) ˆ  )ΓR : les sous-groupes Z(M ˆ  )α(˜ On a introduit deux sous-groupes de Z(M et j j  α ˆ ˆ ˆ s) : les formules pour les racines dans les groupes Z(Mj ) . On calcule la racine α(˜ duaux sont identiques à celles pour les coracines dans les groupes sur R. A l’aide des descriptions de 4.4, on obtient dans chaque cas ˆ ˆ  = nα βˆres (l’indice res désignant la restriction à Tˆθ,0 ) ; (a) α ˆ (˜ s) = βˆres , α (b) α ˆ (˜ s) = βˆres , α ˆ  = 2nα βˆres ; ˆ ˆ  = 2nα βˆres ; (c) α ˆ (˜ s) = 2βres , α ˆ  = nα βˆres . (d) α ˆ (˜ s) = 1 βˆres , α 2

En comparant avec les formules données en 4.4 pour les coracines, on obtient l’égalité α||ˇ α(˜ s)|−1 α ˆ (˜ s). α ˆ  = |ˇ On a utilisé ici la compatibilité de nos différentes normes : elles proviennent de formes quadratiques sur X∗ (T θ,0 ) ⊗Z R, resp. X∗ (Tj ) ⊗Z R, qui se correspondent par l’isomorphisme naturel entre ces espaces. On déduit de ces calculs l’égalité ˆ s) ˆ j )αˆ  : Z(M ˆ  (t˜))ΓR ] = |ˇ ˆ j )α(˜ ˆ  (t˜))ΓR ]. [Z(M α||ˇ α(˜ s)|−1 [Z(M : Z(M

1052

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜  (˜ G s)

Par définition, le dernier terme ci-dessus est égal à iM˜  (j )−1 . L’égalité (6) se j

transforme en ˜  (˜ G s)

˜ G ˜  (˜ ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))iM˜  (j )|ˇ α(˜ s)| = m−1 |ˇ α|iM˜  (t˜) (G, s)). j

j

Le même calcul qu’en 4.2(4) montre que l’on a l’égalité ˜  (˜ s) G

˜  (˜ G s)

1

j

iM˜1 (˜s) (1 (˜ s)) = iM˜  (j ) et on en déduit (5). A l’aide de cette égalité (5), on récrit 

Dj (X, t˜) = m−1 |ˇ α|

ˆ) s˜∈t˜∈Z(M

ˆ ΓR ,θ

˜ G ˜  (˜ iM˜  (t˜) (G, s)) ˆ /Z(G)

ˆ ΓR ,θ

Δ1 (˜ s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 ˜  (˜ G s)

SM˜1 (˜s),λ 1

˜

s) 1 (˜

(exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ).

s), Il est clair que, pour tout s˜, l’intégrale orbitale stable associée à exp(ξj (X))1 (˜ multipliée par Δ1 (˜ s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 , s’identifie à une unique distri ˜ st M (t˜) bution appartenant à Dg´ induite de la eom (M (t)). C’est la distribution δ j (X) distribution δ j (X) introduite en 4.4. L’égalité ci-dessus se récrit 

˜

K G,E  ˜ M (t) α|IK , f ). Dj (X, t˜) = m−1 |ˇ ˜ (M (t), δ j (X) M ˜

˜ Nos distributions sont à support G-équisingulier. On peut donc récrire 

˜

K G,E M (t) α|IK ), f ). Dj (X, t˜) = m−1 |ˇ ˜ (transfert(δ j (X) M ˜

Ou encore, en utilisant la commutation du transfert à l’induction, ˜ ˜ K G,E M Dj (X, t˜) = m−1 |ˇ α|IK ˜ (transfert(δ j (X)) , f ). M

Ceci est indépendant de t˜. Alors Dj (X) est la même expression, multipliée par le nombre d’éléments de la sommation en t˜, lequel n’est autre que m. D’où ˜

˜

K G,E M Dj (X) = |ˇ α|IK ˜ (transfert(δ j (X)) , f ). M

(7)

Reprenons les formules (1) et (4). On obtient (8)

˜

K G,E IK α| log(|α(X)|)D(X), ˜ (exp(X)η, ω, f ) = φ(X) + B(X) − |ˇ M

IX.4. Propriétés locales

où

1053

B(X) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2



Bj (X),

j∈J

D(X) = |ˇ α|−1 [T θ (R) : T θ,0 (R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2



Dj (X),

j∈J

et φ est une fonction C ∞ au voisinage de 0 dans tθ (R). Grâce à (7), on obtient ˜

K G,E M  D(X) = IK ˜ (γ (X) , f ), M

où

˜

γ  (X) = [T θ (R) : T θ,0 (R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2



transfert(δ j (X)).

j∈J

D’après 4.4(1), on a γ  (X) = γ(X). Rappelons que cette distribution est ˜ l’induite de cette (exp(X)η, ω, .). Le point exp(X)η étant régulier dans G, I ˜ ˜ K G,E KM distribution est I (exp(X)η, ω, .). Alors D(X) = IK M˜ (exp(X)η, ω, f ). La formule (8) se récrit ˜ KM

˜

K G,E,mod IK (exp(X)η, ω, f ) = φ(X) + B(X). ˜ M

Soit U ∈ Sym(tθ ). Appliquons l’opérateur ∂U . Pour tout j ∈ J, posons  ˜ G ˜  (˜ Bj (X, U ) = iM˜  (G, s))Δ1 (˜ s)(exp(ξj (X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 j

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θ s ˜∈ζ˜j Z(M

ˆ

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξj (X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ), (˜ s ) 1 1

∂Ξ(˜s,U) SM˜1 (˜s),λ

où Ξ(˜ s) est l’homomorphisme Sym(tθ ) → Sym(tj ) de 3.1. Posons  Bj (X, U ). B(X, U ) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2 j∈J

On obtient alors ˜

K G,E,mod (exp(X)η, ω, f ) = ∂U φ(X) + B(X, U ). ∂U IK ˜ M

Appliquons cela à X = rHd pour un réel r non nul et proche de 0. On obtient (9)

˜

K G,E,mod (exp(rHd )η, ω, f ) = ∂U φ(rHd ) + B(rHd , U ). ∂U IK ˜ M

Remarquons que, pour tout j ∈ J, la définition de Bj (X, U ) et la formule 4.4(4) conduisent à l’égalité  ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))d(˜ s)−1 Bj (rHd , U ) = j

(10)

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θˆ s ˜∈ζ˜j Z(M

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξj (rHd ))1 (˜ s), f G1 (˜s) ), s) 1 (˜ 1

∂Us˜ SM˜1 (˜s),λ où on a posé Us˜ = Ξ(˜ s, U ).

1054

Chapitre IX. Le cas archimédien

Les deux premières assertions de l’énoncé résultent de ces formules. En effet, elles sont vérifiées pour la fonction φ qui est C ∞ . Elles le sont d’après la proposition 4.2 pour les intégrales orbitales stables modifiées qui figurent dans la définition des fonctions Bj (rHd , U ). Les assertions sont donc vérifiées pour la fonction B(rHd , U ) et la conclusion s’ensuit. La troisième assertion de l’énoncé se prouve comme en 4.2. Puisque η, vu ˜ ˜ (R), est G-équisingulier, il existe une fonction ϕ ∈ comme un élément de M ˜ (R)) telle que, pour tout X ∈ m (R) assez proche de 0, on ait l’égalité Cc∞ (M η ˜

˜

K G,E M IK ˜ (exp(X)η, ω, f ) = I (exp(X)η, ω, ϕ). M

L’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales. Le même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv). Il reste à prouver la première égalité de cette assertion. Soient j ∈ J et ˆ )αˆ ∗ . Le sous-tore Tc de Gη,SC se transfère en un sous-tore de G ¯  (¯ s) s˜ ∈ ζ˜j Z(M  (cf. 4.4), qui se transfère lui-même en un sous-tore Tc (˜ s) de G (˜ s)j ,SC . Notons T  (˜ s) le commutant dans G (˜ s)j de l’image de Tc (˜ s) dans ce groupe et posons     ˜ ˜ ˜ T (˜ s) = T (˜ s)j . Les paires (T , T ) et (T (˜ s), T (˜ s)) sont dans la même situation que les paires (T, T˜ ) et (T  , T˜  ). C’est-à-dire qu’il y a un homomorphisme ξ(˜ s) : T → j

j

˜ s) : T˜ → T˜ (˜ T  (˜ s) et une application compatible ξ(˜ s) qui vérifient les conditions ˜ suivantes. Ils sont définis sur R. On a ξ(˜ s)(η) = j . Pour tout γ ∈ T˜ (R), les ˜ s)(γ) se correspondent. De plus, ξ(˜ s) coïncide avec ξj sur Z(Gη )0 . éléments γ et ξ(˜ De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T défini sur C, on introduit un isomorphisme C(˜ s) : Tj → T  (˜ s). Il est plus ou moins clair que l’on peut le choisir tel que le diagramme suivant soit commutatif T C↓ T

ξj

→

Tj C(˜ s) ↓

ξ(˜ s)

T  (˜ s) .

→

s) = c1 (˜ s) ⊕ tj provenant comme en 3.1 d’une On a déjà fixé une décomposition t1 (˜ décomposition d’algèbres de Lie s) = c1 (˜ s) ⊕ g (˜ s). g1 (˜ On déduit de cette dernière une décomposition t1 (˜ s) = c1 (˜ s) ⊕ t (˜ s). Avec des notations compréhensibles au moins par l’auteur, on a alors le diagramme Sym(tθ ) C↓

Ξ(˜ s)

→

Sym(tj ) C(˜ s) ↓

Sym(tθ )

Ξ(˜ s)

Sym(t (˜ s))

→

qui est commutatif pour la même raison qu’en 4.2

IX.4. Propriétés locales

1055

Soit U ∈ Sym(tθ ) tel que wd (U ) = −U , posons U = C(U ). Pour X ∈ t(R) ∩ gη (R), posons (11)



B j (X, U ) =



˜ (˜ G s) ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))iM˜1 (˜s) (1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|−1 j

1

ˆ ∗ /Z(G) ˆ α ˆ ΓR ,θ s˜∈ζ˜j Z(M)

ˆ

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξ(˜ s, X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ), (˜ s ) 1 1

Δ1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 ∂U s˜ SM˜1 (˜s),λ

où U s˜ = Ξ(˜ s, U ) = C(˜ s) ◦ Ξ(˜ s)(U ). Comme plus haut, on décompose  B j (X, U ) = B j (X, U , t˜), ˆ ∗ /Z(M ˆ α ˆ )ΓR ,θˆ t˜∈ζ˜j Z(M)

où B j (X, U , t˜) =





˜ (˜ G s) ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))iM˜1 (˜s) (1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|−1 j

1

ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s˜∈t˜Z(M)

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξ(˜ s, X))1 (˜ s), f G1 (˜s) ). s) 1 (˜ 1

Δ1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 ∂U s˜ SM˜1 (˜s),λ

ˆ )αˆ ∗ /Z(M ˆ )ΓR ,θˆ. Pour simplifier la notation, on considère que Fixons t˜ ∈ ζ˜j Z(M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ, t˜ est l’un des éléments de la sommation en s˜. Pour s˜ ∈ t˜Z(M  s),. . .,Δ1 (˜ s) sont différentes données auxiliaires pour une même les données M 1 (˜ ˜ , a). Les distributions donnée endospcopique elliptique M (t˜) de (M , M ˜  (˜ M s)

1 Δ1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X))1 (˜ s), exp(X)η)−1 ∂U s˜ Sλ1 (˜ s, X))1 (˜ s), .) s) (exp(ξ(˜

 ˜ st se recollent en une même distribution δ X,U,t˜ ∈ Dg´ ˜ -équi (M (t)). En utilisant eom,G (5), on obtient

(12)

˜ K G,E  ˜ B j (X, U, t˜) = m−1 IK ˜ (M (t), δ X,U ,t˜, f ) M ˜

K G,E = m−1 IK ˜ (transfert(δ X,U ,t˜), f ). M

On pose γ X,U,j = m−1



transfert(δ X,U ,t˜),

ˆ ∗ /Z(M ˆ α ˆ )ΓR ,θˆ t˜∈ζ˜j Z(M)

γ X,U = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2



γ X,U,j ,

j∈J

B(X, U ) = [T θ (R) : T θ,0(R)]|J|−1 d(θ∗ )−1/2

 j∈J

B j (X, U ).

1056

Chapitre IX. Le cas archimédien

La formule (12) entraîne (13)

˜

K G,E B(X, U ) = IK ˜ (γ X,U , f ). M

On va calculer la distribution γ X,U . Supposons l’élément exp(X)η fortement régulier. L’ensemble Y M (exp(X)η) introduit en 4.4 ne dépend par définition que M M de T˜ . D’autre part, l’inclusion Iexp(X)η ⊂ Iη entraîne l’inclusion Y M (exp(X)η) ⊂ Y M (η). On peut donc d’une part choisir l’ensemble Y˙ M (exp(X)η) indépendant de X et on le note plutôt Y˙ M (T˜) ; d’autre part supposer qu’il existe une application q : Y˙ M (T˜) → Y˙ M (η) M de sorte que, pour y ∈ Y˙ M (T˜ ), q(y) soit l’unique élément de Iη y ∩ Y˙ M (η). On M M utilise des notations similaires à celles de 4.1 : pour p ∈ Π et y ∈ Y˙ p (T˜), on pose −1 T˜[y] = φ˜p ◦ ady−1 (T˜) et on note simplement x → x[y] l’isomorphisme φ−1 p ◦ ady −1 de T sur T [y]. ˆ )αˆ ∗ /Z(M ˆ )ΓR ,θˆ. Supposons comme ci-dessus l’éléSoient j ∈ J et t˜ ∈ ζ˜j Z(M ment exp(X)η fortement régulier. Puisque T˜ est un sous-tore tordu maximal et ˜ (R). ˜ , l’élément exp(X)η est elliptique dans M elliptique dans M   ˜ st Notons δ X,t˜ l’élément de Dg´eom,G˜ -reg (M (t)) auquel s’identifie la distribution ˜  (t˜) M 1 ˜ ˜ ˜) (exp(ξ(t, X))1 (t), .). 1 (t

Sλ

D’après [I] 4.9(4), on a l’égalité  transfert(δ X,t˜) = d(θ∗ )1/2 Δ1 (t˜)(exp(ξ(t˜, X))1 (t˜), exp(X[y])η[q(y)]) y∈Y˙ M (T˜ )

[T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 I K M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .). ˜

 ˜ st Notons δ X,U,t˜ l’élément de Dg´ ˜ -reg (M (t)) auquel s’identifie la distribution eom,G ˜  (t˜) M 1 ˜ ˜ ˜) (exp(ξ(t, X))1 (t), .). 1 (t

∂U t˜Sλ Alors transfert(δ X,U,t˜) = d(θ∗ )1/2



Δ1 (t˜)(exp(ξ(t˜, X))1 (t˜), exp(X[y])η[q(y)])

y∈Y˙ M (T˜ )

[T [y] (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 ∂U [y] I K M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .). ˜

θ

Comme en 4.2, l’opérateur U [y] apparaissant ici n’est autre que le transporté de U par l’isomorphisme x → x[y] de T sur T [y]. Pour obtenir le transfert de δ X,U,t˜, il reste à diviser par Δ1 (t˜)(exp(ξ(t˜, X))1 (t˜), exp(X)η). D’où transfert(δ X,U,t˜) = d(θ∗ )1/2

 y∈Y˙ M (T˜ )

Δ1 (t˜)(exp(ξ(t˜, X))1 (t˜), exp(X[y])η[q(y)]) Δ1 (t˜)(exp(ξ(t˜, X))1 (t˜), exp(X)η)

[T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 ∂U [y] I K M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .). ˜

IX.4. Propriétés locales

1057

On peut maintenant remplacer X par exp(rHc ) pour r réel non nul et proche de 0, tous les termes étant continus en un tel point. En utilisant les relations (4) et (5) de 4.4, on obtient  d(t˜, q(y))d(t˜)−1 [T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 transfert(δ rHc ,U,t˜) = d(θ∗ )1/2 y∈Y˙ M (T˜ ) ˜

∂U[y] I K M (exp(rHc [y])η[q(y)]), ω, .). Pour tout y ∈ Y˙ M (η), posons d(y) = m−1 |J|−1





d(t˜, y)d(t˜)−1 .

j∈J t˜∈ζ˜j Z(M) ˆ ∗ /Z(M ˆ α ˆ )ΓR ,θˆ

Les définitions entraînent alors γ rHc ,U = [T θ (R) : T θ,0 (R)]



d(q(y))[T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1

y∈Y˙ M (T˜ )

(14) ˜

∂U[y] I K M (exp(rHc [y])η[q(y)]), ω, .). Considérons un élément X ∈ t(R) ∩ gη,reg (R) proche de 0. On a IηM = T θ = On peut donc supposer Y˙ M (exp(X)η) = Y˙ M (η). On a l’égalité IηM =

M Iexp(X)η . M Iη ∩ M .

Il en résulte que, pour tout p ∈ ΠM , on a une application naturelle

(15)

IηM \YpM (η)/φp (Mp (R)) → IηM \YpM (η)/φp (M p (R)).

Montrons que (16) cette application est injective ; son image est l’image dans l’espace d’arrivée M de l’ensemble des y ∈ Yp (η) tels que M η[y],SC soit isomorphe à SL(2). Considérons l’application qui, à y ∈ YpM (η), associe la classe du cocycle σ → y∇p (σ)σ(y)−1 . Elle se quotiente en une bijection IηM \YpM (η)/φp (Mp (R)) sur l’image réciproque de la classe du cocycle ∇p par l’application H 1 (ΓR ; T θ ) → H 1 (ΓR ; M ). M

M

De même, on a une bijection de Iη \Yp (η)/φp (M p (R)) sur l’image réciproque de la classe du cocycle ∇p par l’application H 1 (ΓR ; IηM ) → H 1 (ΓR ; M ). Pour prouver l’injectivité de (15), il suffit de prouver que l’application H 1 (ΓR ; T θ ) → H 1 (ΓR ; IηM )

1058

Chapitre IX. Le cas archimédien M

M

est injective. Notons Z le centre de Iη . Alors Iη /Z = M η,AD et on sait que ce groupe est P GL(2). L’image Tad de T θ dans ce groupe est un sous-tore maximal déployé. On a donc H 1 (ΓR ; Tad ) = {0}. Donc l’application naturelle H 1 (ΓR ; Z) → H 1 (ΓR ; T θ ) est surjective. Soient u et v deux cocycles à valeurs dans Z. SupM posons que leurs images dans H 1 (ΓR ; Iη ) soient égales. On doit prouver que M 1 θ leurs images dans H (ΓR ; T ) le sont. L’hypothèse signifie qu’il existe x ∈ Iη −1 tel que u(σ) = xv(σ)σ(x) pour tout σ ∈ ΓR . Puisque u est à valeurs centrales, cela équivaut à σ(x)u(σ)v(σ)−1 = x. Introduisons un sous-groupe de Borel Bad = Tad U de M η,AD de tore Tad et relevons-le en un sous-groupe B = T θ U M de Iη . Ces groupes sont définis sur R. Puisque M η,SC  SL(2), il existe un élément w ∈ M η,SC (R) tel que l’élément x s’écrive de façon unique tn1 ou n2 wtn1 , avec t ∈ T θ et n1 , n2 ∈ U . Supposons par exemple x = n2 wtn1 . On a alors σ(n2 )wσ(t)u(σ)v(σ)−1 σ(n1 ) = x. Cela fournit une autre décomposition de x. Par unicité, on en déduit σ(t)u(σ)v(σ)−1 = t, ou encore u(σ) = tv(σ)σ(t)−1 . Donc les images de u et v dans H 1 (ΓR ; T θ ) sont égales comme on le voulait. Cela démontre l’injectivité. La deuxième assertion de (16) se démontre comme en 4.2(17). Il résulte de (16) que l’on peut supposer Y˙ M (η) ⊂ Y˙ M (η). Soit y ∈ Y˙ M (η). ˆ )αˆ ∗ , on a les égalités Pour j ∈ J et t˜ ∈ ζ˜j Z(M d(t˜, y)d(t˜)−1 = d(t˜, y)d(t˜, 1)−1 = dj (y), avec les notations de 4.4. On en déduit d(y) = |J|−1



dj (y).

j∈J

L’assertion 4.4(3) nous dit que cette somme est nulle si y = 1 et qu’elle vaut 1 si y = 1. Montrons que (17) pour y ∈ Y˙ M (η), y ∈ Y˙ M (η), et pour tout j ∈ J, on a l’égalité 

d(t˜, y)d(t˜)−1 = 0.

ˆ ∗ /Z(M ˆ )α ˆ )ΓR ,θˆ t˜∈ζ˜j Z(M

Comme en 4.2(18), c’est un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Soit M M p ∈ ΠM tel que y ∈ Yp (η). Le cocycle σ → y∇p (σ)σ(y)−1 , à valeurs dans Iη , se pousse en un cocycle à valeurs dans M η,ad , ce groupe étant l’image de M η dans GAD . On note τ [y] sa classe. Notons ici Tˆ le tore dual de T . On peut le considérer ˆ muni d’une action galoisienne tordue. comme celui de la paire de Borel épinglée E, ˆ ˆ ¯ ˆ ˆ Posons T = T /(1 − θ)(T ). Puisque T est un sous-tore maximal de M et que ˆ et Tˆ¯ ⊂ T θ,0 est un sous-tore maximal de M η , on a des plongements Tˆ → M ˆ . En prenant les images réciproques dans G ˆ SC , on a encore des plongements M η ∗ ˆ ¯sc ⊂ M ˆ sc et Tˆ ˆ η,sc . Soit t ∈ Z(M ˆ )αˆ . On choisit tsc ∈ Z(M ˆ )ΓscR ,θ,0 Tˆsc → M dont

IX.4. Propriétés locales

1059

ˆ AD soit la même que celle de t. Parce que T˜ est elliptique dans l’image dans G ˆ ˆ ΓR ,θ,0 ˜ ˆ )ΓscR ,θ,0 M , on a l’égalité Z(M = Tˆsc . L’élément tsc s’envoie donc sur un élément ˆ ˆ )αˆ ∗ entraîne que ¯sc ⊂ M . On voit comme en 4.2 que l’hypothèse t ∈ Z(M t¯sc ∈ Tˆ η,sc ˆ )ΓR . On note u(t) son image dans le groupe des composantes connexes t¯sc ∈ Z(M sc ˆ π0 (Z(M sc )ΓR ). Le calcul de [III] 8.4 montre que d(ζ˜j t, y)d(ζ˜j t)−1 = d(ζ˜j , y)d(ζ˜j )−1 τ [y], u(t) , le produit étant celui sur ˆ )ΓR ). H 1 (ΓR ; M η,ad ) × π0 (Z(M sc Il reste à prouver que l’application t → τ [y], u(t) est un caractère non trivial ˆ )αˆ ∗ /Z(M ˆ )ΓR ,θˆ. La preuve est similaire à celle de 4.2(18) et on la laisse au de Z(M lecteur. Il résulte évidemment de (17) que d(y) = 0 pour tout y ∈ Y˙ M (η). Finalement d(1) = 1 et d(y) = 0 pour tout y = 1. La formule (14) devient simplement  [T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 γ rHc ,U = [T θ (R) : T θ,0(R)] y∈q−1 (1) ˜

∂U [y] I K M (exp(rHc [y])η), ω, .). La formule (13), évaluée pour X = exp(rHc ), devient  B(rHc , U ) = [T θ (R) : T θ,0(R)] [T [y]θ (R) : T [y]θ,0 (R)]−1 y∈q−1 (1)

(18)

˜ K G,E ∂U [y] IK ˜ (exp(rHc [y])η, ω, f ). M

Montrons que (19) on peut supposer que T [y] = T pour tout y ∈ q −1 (1) ; le nombre d’éléments de q −1 (1) est égal à 2c(η) [T θ (R) : T θ,0(R)]−1 [T θ (R) : T θ,0 (R)]; la limite

˜

K G,E lim ∂U [y] IK ˜ (exp(rHc [y])η, ω, f ) M

r→0+

ne dépend pas de y ∈ q −1 (1). Notons Y0 l’ensemble des y ∈ Iη tels que yσ(y)−1 ∈ T θ . D’après les définitions, q −1 (y) est un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes M T θ \Y0 /Iη (R). Pour y ∈ q −1 (1), l’image réciproque de T [y] dans M η,SC est un sous-tore maximal de ce groupe, qui est défini sur R et non déployé. Il est donc conjugué à Tc par un élément de M η,SC (R). Quitte à multiplier y à droite par un M

1060

Chapitre IX. Le cas archimédien

tel élément, on peut donc supposer que cette image réciproque est Tc . Mais cela entraîne que T [y] = T . D’où la première assertion. Notons Y1 = Y0 ∩ M η . Parce M que Iη = T θ M η , on voit que l’injection Y1 → Y0 induit une surjection Y1 → T θ \Y0 /IηM (R). Il s’en déduit une surjection T θ,0 \Y1 /M η (R) → T θ \Y0 /IηM (R). Le premier ensemble classifie les classes de conjugaison par M η (R) dans la classe de conjugaison stable de Hc dans mη (R). Son nombre d’éléments est 2c(η) . Ce nombre est au plus 2 donc les fibres de la surjection ci-dessus ont forcément le même nombre d’éléments. Le nombre d’éléments de q −1 (1) est alors 2c(η) divisé M par le nombre d’éléments d’une fibre. La fibre au-dessus de la classe T θ Iη (R) est F = T θ,0 \(T θ IηM (R) ∩ M η )/M η (R). M

On définit une application de Iη (R) dans ce quotient de la façon suivante. Pour M x ∈ Iη (R), on choisit t ∈ T θ tel que tx ∈ M η et on envoie x sur l’image de tx dans F. Cette image ne dépend pas du choix de t. On vérifie que l’application ainsi définie se quotiente en une bijection T θ (R)\IηM (R)/M η (R) → F. Le nombre d’éléments du premier ensemble est [IηM (R) : M η (R)][T θ (R) : T θ,0 (R)]−1 . On a une application naturelle T θ (R)/T θ,0 (R) → IηM (R)/M η (R). M

Elle est clairement injective. Reprenons la preuve de (16). Tout élément x ∈ Iη s’écrit de façon unique x = tn1 ou x = n2 wtn1 avec les notations de cette preuve. M Si x ∈ Iη (R), l’unicité entraîne que ces éléments t, n1 , n2 sont tous définis sur R. Les éléments n1 , n2 et w appartenant à M η (R) et ce groupe étant distingué dans M Iη (R), on voit que x et t ont même image modulo M η (R). Donc l’application ci-dessus est surjective. D’où l’égalité [IηM (R) : M η (R)] = [T θ (R) : T θ,0 (R)]. En mettant ces calculs bout à bout, on obtient la deuxième assertion de (19). Il résulte de la description ci-dessus que, pour y ∈ q −1 (1), on a soit Hc [y] = Hc et

IX.4. Propriétés locales

1061

alors U [y] = U , soit Hc [y] = −Hc et alors U [y] est l’image de U par la symétrie wc de Sym(t). Dans ce cas, on a ˜

˜

K G,E K G,E lim ∂U [y] IK ˜ (exp(rHc [y])η, ω, f ) = − lim ∂U IK M ˜ (exp(rHc )η, ω, f ) M

r→0+

r→0−

puisqu’on a supposé wd (U ) = −U , donc wc (U ) = −U . Mais on a déjà remarqué que les deux dernières limites de l’assertion (iv) de l’énoncé étaient égales. C’està-dire que la limite ci-dessus n’est autre que ˜

K G,E lim ∂U IK ˜ (exp(rHc )η, ω, f ). M

r→0+

Cela démontre la troisième assertion de (19). Il résulte de (18) et (19) que (20)

˜

K G,E lim B(rHc , U ) = 2c(η) lim ∂U IK ˜ (exp(rHc )η, ω, f ). M

r→0+

r→0+

Soit j ∈ J. En remplaçant X par rHc dans la formule (11) et en utilisant 4.4(4), on obtient 

B j (rHc , U ) =



˜ (˜ G s) ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))iM˜1 (˜s) (1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|−1 j

1

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θ s˜∈ζ˜j Z(M

ˆ

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(ξ(˜ s, rHc ))1 (˜ s), f G1 (˜s) ). (˜ s ) 1 1

d(˜ s)−1 ∂U s˜ SM˜1 (˜s),λ

Jointe à la formule (10), cette égalité entraîne Bj (rHd , U ) − Bj (−rHd , U ) − 2πi|α|B j (rHc , U )  ˜ G ˜  (˜ = iM˜  (G, s))d(˜ s)−1 X(˜ s, r), j

ˆ ∗ /Z(G) ˆ )α ˆ ΓR ,θ s ˜∈ζ˜j Z(M

ˆ

où ˜  (˜ G s)

˜

X(˜ s, r) = ∂Us˜ SM˜1 (˜s),λ

s) 1 (˜

1

(exp(rξj (Hd ))η, f G1 (˜s) )

˜  (˜ G s)

˜

− ∂Us˜ SM˜1 (˜s),λ 1

s) 1 (˜

(exp(−rξj (Hd ))η, f G1 (˜s) )

˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜ G s),mod (exp(rξ(˜ s, Hc ))1 (˜ s), f G1 (˜s) ). (˜ s ) 1 1

− 2πi|ˇ α(˜ s)|iM˜1 (˜s) (1 (˜ s))∂U s˜ SM˜1 (˜s),λ 1

On a l’égalité C(˜ s)(ξj (Hd )) = iξ(˜ s, Hc ). On est donc dans la situation où l’on peut appliquer la proposition 4.2. Elle entraîne que lim X(˜ s, r) = 0

r→0+

1062

Chapitre IX. Le cas archimédien

pour tout s˜ apparaissant ci-dessus. Donc lim

r→0+

# $ Bj (rHd , U ) − Bj (−rHd , U ) − 2πi|α|B j (rHc , U ) = 0.

Cela étant vrai pour tout j, on a aussi lim (B(rHd , U ) − B(−rHd , U ) − 2πi|α|B(rHc , U )) = 0.

r→0+

Considérons l’égalité (9). Parce que φ est C ∞ , on a lim (∂U φ(rHd ) − ∂U φ(−rHd )) = 0.

r→0+

On en déduit ˜

K G,mod lim (∂U IK (exp(rHd )η, ω, f ) ˜ M

r→0+

˜

K G,mod (exp(−rHd )η, ω, f ) − 2πi|α|B(rHc , U )) = 0. − ∂U IK ˜ M

En utilisant (20), on obtient la première égalité de l’assertion (iv) de l’énoncé qu’il restait à prouver. 

IX.5 Des variantes de l’application φM˜ IX.5.1 Normalisation partielle des opérateurs d’entrelacement ˜ 0) Pour la suite du chapitre, on suppose fixés une paire parabolique minimale (P˜0 , M et un sous-groupe compact maximal K de G(R) en bonne position relativement à M0 . Supposons fixées des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Soit M ∈ L(M0 ) et π une représentation de M (R) irréductible et tempérée dans un espace Vπ . Pour λ ∈ A∗M,C , on définit la représentation πλ par πλ (m) = e λ,HM (m) π(m). Soient P, P  ∈ P(M ). On sait définir l’opérateur d’entrelacement G JP  |P (πλ ) : IndG P (πλ ) → IndP  (πλ ). Il est méromorphe en λ. On sait normaliser cet opérateur, cf. [10] théorème 2.1. L’opérateur normalisé RP  |P (πλ ) est égal à rP  |P (πλ )−1 JP  |P (πλ ), où λ → rP  |P (πλ ) est une fonction méromorphe à valeurs dans C. Nous allons définir une normalisation partielle que l’on pourra plus facilement stabiliser. Supposons que π soit de la série discrète. Cela implique que M possède un sous-tore maximal elliptique et on fixe un tel sous-tore T . L’action de ΓR  {±1} décompose X∗ (T )Z ⊗ R en X∗ (T ) ⊗Z R = (X∗ (T ) ⊗Z R)+ ⊕ (X∗ (T ) ⊗Z R)− ,

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1063

où, pour  = ±1, X∗ (T ) ⊗Z R) est le sous-espace où l’élément non trivial σ de ΓR agit par multiplication par . L’hypothèse d’ellipticité signifie que (X∗ (T ) ⊗Z R)+ = aM (R). − Posons hM R = (X∗ (T ) ⊗Z R) . On a

t(R) = aM (R) ⊕ ihM R tandis que l’espace hR usuel est isomorphe à hR = aM (R) ⊕ hM R . Le paramètre μ(π) est la classe de conjugaison par le groupe de Weyl W M relatif à T d’un élément de it(R). Supposons que le caractère central ωπ de π soit trivial sur AM (on rappelle que ce groupe est la composante neutre pour la topologie réelle de AM (R)). Alors μ(π) est la classe de conjugaison par W M d’un élément de hM R . On fixe un élément de cette classe. Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. Pour P, P  ∈ P(M ), notons ΣUP (T ) le sous-ensemble des racines qui apparaissent dans l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et posons ΣP  |P (T ) = ΣUP (T ) − (ΣUP (T ) ∩ ΣUP  (T )). Le groupe ΓR agit naturellement sur ces ensembles. Soit α ∈ ΣUP (T ) dont l’orbite (α) pour cette action ait deux éléments, autrement dit σ(α) = α. Quitte à échanger α et σ(α), on peut supposer μ(π), σ(ˇ α) − α ˇ  ≤ 0. Pour λ ∈ A∗M,C , on pose r(α) (πλ ) = 2π μ(π) + λ, α ˇ

−1

.

Soit α ∈ ΣUP (T ) dont l’orbite soit réduite à un élément, autrement dit σ(α) = α (α est «réelle»). Remarquons qu’alors μ(π), α ˇ = 0. On pose rα (πλ ) = ΓR (λ, α ˇ  + Nα )ΓR (λ, α ˇ + Nα + 1)−1 , où ΓR est la fonction usuelle ΓR (s) = π −s/2 Γ(s/2), et où Nα est un élément de {0, 1} qui dépend de π et α. D’après [10] paragraphe 3, le facteur de normalisation rP  |P (πλ ) est le produit des r(α) (πλ ) pour les orbites (α) à deux éléments contenues dans ΣP  |P (T ) et des rα (πλ ) pour les α réelles contenues dans le même ensemble. Définissons la fonction d’une variable complexe Γ0 (s) = ΓR (s)ΓR (s + 1)−1 . D’après la formule usuelle Γ(s + 1) = sΓ(s), on a Γ0 (s + 1) =

2π Γ0 (s)−1 . s

1064

Chapitre IX. Le cas archimédien

Considérons une racine α réelle. Posons (α) = (−1)Nα et ρα (πλ ) = Γ0 (λ, α) ˇ (α) . D’après la formule ci-dessus, on a  rα (πλ ) = ρα (πλ )

2π λ, α ˇ

Nα .

On définit ρP  |P (πλ ) comme les produit des ρα (πλ ) sur les racines réelles α contenues dans ΣP  |P (T ). On pose rPrat |P (πλ ) = ρP  |P (πλ )−1 rP  |P (πλ ). Il résulte des formules ci-dessus que rPrat |P (πλ ) est une fonction rationnelle en λ. Remarquons qu’au contraire, la fonction ρP  |P (πλ ) peut avoir une infinité d’hyperplans polaires. On pose RPrat |P (πλ ) = ρP  |P (πλ )−1 JP  |P (πλ ) = rPrat |P (πλ )RP  |P (πλ ). Cet opérateur est rationnel en λ. On entend par là la propriété suivante. On G peut réaliser les espaces des induites IndG P (πλ ) et IndP  (πλ ) comme des espaces de fonctions sur K indépendants de λ. Ils sont munis de produits hermitiens définis G  positifs. Soient e ∈ IndG P (πλ ) et e ∈ IndP  (πλ ) deux éléments K-finis. Alors le produit hermitien (e , RPrat |P (πλ )(e)) est une fonction rationnelle en λ. On peut préciser que ses hyperplans polaires sont d’équations λ, α ˇ = c pour des racines α de AM dans G (la définition exacte de α ˇ n’ayant pas beaucoup d’importance). On prendra garde toutefois que les pôles dépendent des K-types selon lesquels se transforment e et e . En général, il n’y a pas un nombre fini d’hyperplans hors desquels la fonction ci-dessus n’a pas de pôle quels que soient e et e . Considérons maintenant le cas général où π est une représentation irréductible tempérée quelconque. On peut fixer – un groupe de Levi R de M contenant M0 et un sous-groupe parabolique S ∈ P M (R) ; – une représentation σ de R(R), irréductible, de la série discrète et telle que ωσ soit trivial sur AR ; – un élément λ0 ∈ iA∗R ;  de sorte que π soit une sous-représentation de l’induite IndM S (σλ0 ). Soient P, P ∈ ∗   P(M ) et λ ∈ AM,C . Notons Q et Q les éléments de P(R) tels que Q ⊂ P , Q ⊂ P  , Q ∩ M = Q ∩ M = S. On pose

ρP  |P (πλ ) = ρQ |Q (σλ0 +λ ), rat rPrat |P (πλ ) = rQ  |Q (σλ0 +λ ),

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1065

et on définit comme ci-dessus RPrat |P (πλ ) = ρP  |P (πλ )−1 JP  |P (πλ ) = rPrat |P (πλ )RP  |P (πλ ). Ces termes ont les mêmes propriétés que ci-dessus. On a supposé π irréductible. Remarquons que l’on peut poser les mêmes définitions pour une représentation π réductible qui est une sous-représentation d’une induite IndM S (σλ0 ) comme ci-dessus.

IX.5.2 Caractères pondérés rationnels ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), R ˜ un espace de Levi de M ˜ contenant M ˜ 0 et σ Soient M ˜ une ω˜ ˜ ˜ représentation elliptique de R(R). Fixons un espace parabolique S˜ ∈ P M (R) et ˜ M ∗ ˜ ˜ posons π ˜ = IndS˜ (˜ σ ). Fixons P ∈ P(M ) et soit λ ∈ AM˜ ,C . A la suite d’Arthur, on a ˜

˜

G défini en [81] 2.7 un opérateur MG ˜ (πλ ) de l’espace de la représentation IndP˜ (πλ ), M qui est méromorphe en λ. Rappelons sa définition. La représentation sous-jacente π de M (R) n’est pas irréductible en général, mais vérifie la dernière propriété du ˜ ), on peut donc définir les termes rP  |P (πλ ) paragraphe précédent. Pour P˜  ∈ P(M etc. . . On pose μP  |P (πλ ) = rP |P  (πλ )−1 rP  |P (πλ )−1 . Pour Λ ∈ iA∗M˜ , on définit l’opérateur

M(πλ ; Λ, P˜  ) = μP  |P (πλ )−1 μP  |P (πλ+Λ/2 )JP  |P (πλ )−1 JP  |P (πλ+Λ ). ˜ ˜ La famille (M(πλ ; Λ, P˜  ))P˜  ∈P(M) ˜ est une (G, M )-famille à valeurs opérateurs. ˜

L’opérateur MG ˜ (πλ ) est déduit de cette famille de la façon habituelle. M Avec les mêmes notations que ci-dessus, posons rat −1 rat rP  |P (πλ )−1 μrat P  |P (πλ ) = rP |P  (πλ )

et définissons l’opérateur −1 rat μP  |P (πλ+Λ/2 )RPrat |P (πλ )−1 RPrat |P (πλ+Λ ). Mrat (πλ ; Λ, P˜  ) = μrat P  |P (πλ )

˜ M ˜ )-famille à valeurs opéLa famille (Mrat (πλ ; Λ, P˜  ))P˜  ∈P(M˜ ) est encore une (G, ˜

rat,G (πλ ). Il est clair rateurs. On en déduit encore un opérateur que l’on note MM ˜ qu’il est rationnel en λ. Ses hyperplans polaires sont d’équations λ, α ˇ  = c pour les racines α de AM˜ dans G. On a ˜

rat,G (1) l’opérateur MM (πλ ) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA∗M˜ . ˜

En effet, la démonstration de [14] proposition 2.3 s’applique. ˜ (R) → A ˜ qui permet de Rappelons que l’on a fixé une fonction HM˜ : M M ˜ on a défini le définir la ω-représentation π ˜λ , cf. [IV] 1.1. Pour f ∈ Cc∞ (G(R)), caractère pondéré de π ˜λ par ˜

˜

˜

G G πλ , f ) = trace(MG πλ , f )). JM ˜ (˜ ˜ (πλ ) IndP˜ (˜ M

1066

Chapitre IX. Le cas archimédien

On définit de même le caractère pondéré «rationnel» ˜

˜

˜

rat,G rat,G JM (˜ πλ , f ) = trace(MM (πλ ) IndG (˜ πλ , f )). ˜ ˜ P˜

Il vérifie les mêmes propriétés que le précédent et on utilisera ces propriétés sans ˜ (˜ π , f ) n’est plus de commentaires. Il n’est pas rationnel en λ car l’opérateur IndG P˜ λ pas rationnel. Mais ce dernier est holomorphe en λ et à décroissance rapide dans les bandes verticales, au sens suivant. Pour un espace vectoriel réel V de dimension finie et pour une fonction ψ méromorphe sur le complexifié VC , on dit que ψ est à décroissance rapide dans les bandes verticales si, pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ V tel que cette fonction ψ n’ait pas de pôle dans Γ + iV , celle-ci est ˜ rat,G (πλ ) à décroissance rapide sur cet ensemble. Les propriétés de l’opérateur MM ˜ entraînent les propriétés suivantes : ˜

rat,G (˜ πλ , f ) n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires ; (2) JM ˜

(3) chacun de ces hyperplans est d’équation λ, α ˇ = c où α est une racine de AM˜ dans G et c ∈ C ; ˜

rat,G (˜ πλ , f ) est à décroissance rapide dans les bandes verticales. (4) λ → JM ˜

Les hyperplans polaires dépendent de f . Toutefois, on a le raffinement sui˜ Ω) vant. Rappelons que, pour un ensemble fini Ω de K-types, on note Cc∞ (G(R), ∞ ˜ le sous-espace des f ∈ Cc (G(R)) qui se transforment à droite et à gauche selon des K-types appartenant à Ω, cf. [IV] 3.4. Alors (5) soit Ω un ensemble fini de K-types ; alors il existe un ensemble fini d’hyper˜ Ω), les hyperplans polaires plans de la forme (3) tel que, pour f ∈ Cc∞ (G(R), ˜ rat,G de JM˜ (˜ πλ , f ) appartiennent à cet ensemble. ˜

rat,G Le terme JM (˜ πλ , f ) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA∗M˜ . Pour X ∈ AM˜ , on ˜ peut définir ˜ ˜ rat,G rat,G JM˜ (˜ π , X, f ) = JM (˜ πλ , f )e− λ,X dλ. ˜ iA∗˜

M

On obtient une fonction de Schwartz en X. On a défini en [81] 6.4 l’espace ∞ ˜ ˜ Cac (G(R)). C’est celui des fonctions f : G(R) → C telles que f (b ◦ HG˜ ) ∈ ∞ ˜ ∞ Cc (G(R)) pour toute fonction b ∈ Cc (AG˜ ). Comme en [81] 6.4, on peut étendre ˜ ∞ ˜ π , X, f ) par continuité à f ∈ Cac (G(R)). la définition de J rat,G (˜ ˜ M

˜

On a imposé à π ˜ d’être une induite π ˜ = IndM σ ) où σ ˜ est une ω-représenta˜ (˜ S ˜ ˜ rat, G rat,G ˜ tion elliptique de R(R). Par linéarité, les termes JM˜ (˜ πλ , f ) et JM (˜ π , X, f ) ˜ ˜ M ˜ s’étendent à π ˜ ∈ IndR˜ (Dell (R(R), ω)), cf. [IV] 1.2. Il est plus ou moins clair que ˜ 0 ) sur cet espace. En ces termes sont invariants par l’action du groupe W M (M utilisant la version tempérée de la décomposition [IV] 1.2(2), on peut alors étendre ˜ (R), ω). ces termes par linéarité à tout π ˜ ∈ Dtemp(M

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1067

G IX.5.3 L’application φrat, ˜ M ˜

On conserve la même situation. On vient de rappeler la définition de l’espace ∞ ˜ ∞ ˜ ˜ (G(R)). On note Cc∞ (G(R), K), resp. Cac (G(R), K), le sous-espace des éléCac ∞ ˜ ∞ ˜ ments de Cc (G(R)), resp. de Cac (G(R)), qui sont K-finis à droite et à gauche. ˜ ˜ ˜ ω), Iac (G(R), ω, K), le quotient de On note I(G(R), ω, K), resp. Iac (G(R), ∞ ˜ ∞ ˜ ˜ K), resp. Cac (G(R)), Cac (G(R), K), par le sous-espace des éléments f Cc∞ (G(R), ˜ ˜ fortement régulier. On pose K M = tels que I G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ G(R) K ∩ M (R). Proposition. Il existe une unique application linéaire ˜ G ∞ ˜ ˜ (R)) : Cac (G(R)) → Iac (M φrat, ˜ M

˜ (R), ω) et tout X ∈ A ˜ , on ait l’égalité telle que, pour tout π ˜ ∈ Dtemp(M M ˜

˜

˜

G rat,G I M (˜ π , X, φrat, (f )) = JM (˜ π , X, f ). ˜ ˜ M ˜ rat,G ∞ ˜ ˜ (R), K M ). L’application φM envoie Cac (G(R), K) dans Iac (M ˜

Preuve. La preuve de la première assertion est la même que celle de la proposition 6.4 de [81]. Supposons f K-finie à droite et à gauche. Elle se décompose donc selon un nombre fini de K-types, qui eux-mêmes se décomposent en un nombre ˜ est l’induite d’une ω-représentation elliptique d’un espace fini de K M -types. Si π ˜ , il résulte des constructions que J rat,G˜ (˜ de Levi de M π , X, f ) = 0 si aucun de ˜ M M ces K -types n’apparaît dans π. Le théorème de Paley–Wiener de Delorme-Mezo (repris en [81] 6.2) conduit alors à la seconde assertion.  De la définition résulte que ˜ ˜ (R), ω) ; alors la fonction X → et π ˜ ∈ Dtemp (M (1) soient f ∈ Cc∞ (G(R)) ˜

˜

G π , X, φrat, (f )) est de Schwartz sur AM˜ . I M (˜ ˜ M

Comme toujours, on élimine les choix de mesures de Haar en définissant plus canoniquement une application ˜ G ∞ ˜ ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R)). φrat, : Cac (G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (M ˜ M

rat,G IX.5.4 Relation entre les applications φG ˜ et φM ˜ M ˜

˜

Fixons un sous-tore maximal T de M . Pour β ∈ Σ(T ), la coracine βˇ peut être considérée comme une forme linéaire sur X ∗ (T ) ⊗Z R et se restreint en une forme ˇ  (A ˜ ) linéaire βˇM˜ sur A∗M˜ , autrement dit en un élément βˇM˜ ∈ AM˜ . Notons Σ M ˇ l’ensemble de ces restrictions βM˜ qui sont non nulles. Cet ensemble ne dépend pas

1068

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ (R), supposons comme en 5.1 du choix de T . Soit π ˜ une ω-représentation de M M que π est une sous-représentation d’une induite IndM S (σλ0 ), où S ∈ P (R), σ est de la série discrète de R(R) et ωσ = 1 sur AR . Supposons que T est un sous-tore ˇ  (A ˜ ). Notons Eαˇ (π) l’ensemble des β ∈ Σ(T ) maximal elliptique de R. Soit α ˇ∈Σ M ˇ . Cet ensemble dépend de π car la notion de qui sont réelles et telles que βˇM˜ = α racine réelle dépend de la structure sur R de T ; ce tore lui-même dépend de R qui dépend de π. Pour tout β ∈ Eαˇ (π), on a défini la fonction ρβ (πλ ) pour λ ∈ A∗M,C , a fortiori pour λ ∈ A∗M˜ ,C . Pour un tel λ, elle est de la forme   ˇ (β) ρβ (πλ ) = Γ0 ( λ0 , βˇ + λ, α) où (β) ∈ {±1}. Nous noterons maintenant e au  lieude β les éléments de Eαˇ (π). Pour e = β, on pose (e) = (β) et μ(e) = λ0 , βˇ . Remarquons que μ(e) est imaginaire. La formule précédente devient ˇ (e) . ρe (πλ ) = Γ0 (μ(e) + λ, α) On pose



ραˇ (πλ ) =

ρe (πλ ).

e∈Eα ˇ (π)

Remarquons qu’il y a une bijection naturelle de E−αˇ (π) sur Eαˇ (π), que l’on peut noter e → −e, de sorte que μ(−e) = −μ(e) et (−e) = (e). On a ainsi la formule ρ−αˇ (πλ¯ ) = ραˇ (πλ ). P ˜ ), on définit les sous-ensembles Σ ˇU ˇ Pour P˜ , P˜  ∈ P(M ˜ ) et Σ,P  |P (AM ˜ ) en  (AM imitant les définitions de 5.1. Il résulte des constructions de ce paragraphe que  ραˇ (πλ ). (1) ρP  |P (πλ ) =

ˇ α∈ ˇ Σ ˜) ,P  |P (AM

Considérons P˜ comme fixé. Pour Λ ∈ iA∗M˜ , posons (2)

ρ(πλ : Λ, P˜  ) = ρP |P  (πλ )ρP |P  (πλ+Λ/2 )−1 ρP  |P (πλ+Λ/2 )−1 ρP  |P (πλ+Λ ).

Il résulte des définitions que l’on a l’égalité M(πλ ; Λ, P˜  ) = ρ(πλ : Λ, P˜  )Mrat (πλ ; Λ, P˜  ). ˜ ˜ La famille (ρ(πλ : Λ, P˜  ))P˜  ∈P(M) ˜ est une (G, M )-famille. Les descriptions ci-dessus montrent qu’elle est d’une forme particulière pour laquelle le corollaire 6.5 de [2] s’applique. C’est-à-dire que l’on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ rat,G ρL (πλ ). MG ˜ (πλ ) = ˜ (πλ )ML ˜ M M ˜ ˜ L∈L( M)

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1069

En utilisant les propriétés usuelles de commutation des opérateurs d’entrelacement ˜ : à l’induction, on obtient la formule suivante, pour tout f ∈ Cc∞ (G(R)) ˜

G πλ , f ) = JM ˜ (˜

(3)



˜

˜

˜

rat,G ρL (IndL πλ ), f ), ˜ (˜ ˜ (πλ )JL ˜ Q M

˜ ˜ L∈L( M)

˜ on a fixé un espace parabolique Q ˜ ∈ P L˜ (M ˜ ). où, pour tout L, ˜ Calculons la fonction ρG ˇ = ˜ (πλ ). Considérons l’ensemble des ensembles α M {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} où les α ˇ i sont des éléments linéairements indépendants de ˇ  (A ˜ ) et où n = a ˜ − a ˜ . Disons que deux tels ensembles α Σ ˇ = {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} M M G et α ˇ  = {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} sont équivalents si, quitte à changer leur numérotation, ˜ G on a α ˇ i = ±α ˇ i pour tout i. Notons JM ˜ l’ensemble des classes d’équivalence. Puis˜ G qu’on a fixé un espace parabolique P˜ , on peut identifier JM ˜ à l’ensemble des ˇ UP (A ˜ ) et c’est ce que α ˇ = {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} comme ci-dessus tels que α ˇi ∈ Σ  M nous faisons pour quelque temps. Pour un élément α ˇ = {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} de cet ˜ ensemble, on note m(ˇ α) le volume du quotient de AG ˜ par le Z-module engendré M ˇ  (A ˜ ), posons par les α ˇ i . Pour α ˇ∈Σ M cαˇ (πλ ; Λ) = ρ−αˇ (πλ )ραˇ (πλ+Λ/2 )−1 ρ−αˇ (πλ+Λ/2 )−1 ραˇ (πλ+Λ ). Considérons pour un instant λ comme une constante. Pour e ∈ Eαˇ (π), définissons la fonction ce d’une variable complexe s par ce (s) = Γ0 (−μ(e) − λ, α ˇ )(e) Γ0 (μ(e) + λ, α ˇ  + s/2)−(e) Γ0 (−μ(e) − λ, α ˇ  − s/2)−(e) Γ0 (μ(e) + λ, α ˇ + s)(e) . Il résulte des descriptions ci-dessus et de (1) et (2) que  cαˇ (πλ : Λ) = ce (Λ, α ˇ ), e∈Eα ˇ (π)



ρ(πλ : Λ, P˜  ) =

cαˇ (πλ ; Λ).

ˇ α∈ ˇ Σ ˜) ,P  |P (AM ˜

On peut alors utiliser le lemme 7.1 de [3] qui calcule ρG ˜ (πλ ) sous la forme : M ˜

ρG ˜ (πλ ) = M



m(ˇ α) ˜ M

α={ ˇ α ˇ i ;i=1,...,n}∈J G ˜





ce (0).

i=1,...,n e∈Eα ˇ i (π)

Le terme ce (0) est la dérivée de ce évaluée en 0. On calcule   ˇ i ) Γ0 (−μ(e) − λ, α ˇ i ) (e) Γ0 (μ(e) + λ, α  ce (0) = + . 2 Γ0 (μ(e) + λ, α ˇ i ) Γ0 (−μ(e) − λ, α ˇ i )

1070

Chapitre IX. Le cas archimédien

Définissons la fonction Γ1 d’une variable complexe s par   1 Γ (s/2) Γ (−s/2) Γ ((1 + s)/2) Γ ((1 − s)/2) + − − Γ1 (s) = . 4 Γ(s/2) Γ(−s/2) Γ((1 + s)/2) Γ((1 − s)/2) On obtient

ˇ i ), ce (0) = (e)Γ1 (μ(e) + λ, α

d’où (4)

˜

ρG ˜ (πλ ) = M





m(ˇ α)



(e)Γ1 (μ(e) + λ, α ˇ i ).

i=1,...,n e∈Eα ˇ i (π)

˜ α={ ˇ α ˇ i ;i=1,...,n}∈J G ˜ M

On a supposé que les α ˇ i étaient positifs relativement à P . En vertu des propriétés des ensembles Eαˇ i (π) et de la parité de la fonction Γ1 , on voit que cette formule ne change pas si l’on remplace α ˇ i par −α ˇ i . Elle reste donc correcte en considérant ˜ G comme un ensemble de classes d’équivalence comme on l’a défini plus haut. JM ˜ G ∗ Notons UM ˜ l’espace de fonctions sur AM ˜ ,C engendré par les fonctions de la forme  λ → Γ1 (ci + λ, α ˇ i ) ˜

i=1,...,n ˜

G où α ˇ = {α ˇ i ; i = 1, . . . , n} parcourt JM ˜ , ou plus exactement un ensemble de représentants de cet ensemble de classes, et où, pour tout i = 1, . . . , n, ci est un nombre ˜ imaginaire. La formule ci-dessus montre que la fonction λ → ρG ˜ (πλ ) appartient à M ˜

G UM ˜ . On démontre classiquement la formule

Γ1 (s) =



(−1)k

k≥1

k . s2 − k 2

˜

G Pour u ∈ UM ˜ , on en déduit aisément les propriétés suivantes :

(5) la fonction u n’a pas de pôle sur iA∗M˜ ; pour tout sous-ensemble compact Ω ⊂ A∗M˜ tel que u n’ait pas de pôle sur Ω + iA∗M˜ , la fonction u et ses dérivées sont bornées sur cet ensemble. rat,G IX.5.5 L’application θM ˜ ˜

Nous allons définir une application linéaire ˜

rat,G ˜ ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R)). θM : Cc∞ (G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (M ˜

On doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés. A savoir qu’elle se ∞ ˜ (G(R)) ⊗ Mes(G(R)), qu’elle est continue et se quotiente prolonge à l’espace Cac

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1071

˜ en une application linéaire définie sur Iac (G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)). On pose alors la définition  ˜ ˜ ˜ ˜ rat,G rat,L G (f ) = φG θM (φrat, (f )). θM ˜ (f ) − ˜ ˜ ˜ M L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

La preuve des propriétes évoquées ci-dessus est formelle à partir des propriétés de ˜ l’application φG ˜ , que l’on a prouvées en [V] 1.2, et des propriétés analogues de M ˜

G . l’application φrat, ˜ M

IX.5.6 Un lemme auxiliaire Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. ˜ (R), ω). Il Lemme. Soient π ˜1 , . . . , π ˜n un ensemble fini d’éléments de Dtemp (M existe un sous-ensemble H de A∗M˜ ,C qui est une réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A∗G,C de sorte que, pour tout λ ∈ iA∗M˜ , ˜ ˜ (R), ω), il existe f ∈ I(G(R), ˜ λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I(M ω) de sorte que l’on ait l’égalité ˜ ˜ M πi,λ , fM,ω πi,λ , φ) I M (˜ ˜ ) = I (˜ pour tout i = 1, . . . , n. ˜ ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et tout e ∈ Dell,0 (R(R), ˜ ω), Preuve. Soit f ∈ I(G(R), ω). Pour tout R ˜ R ∗ on définit la fonction ϕR,e,f sur AR,C par ϕR,e,f (μ) = I (eμ , fR,ω ˜ ˜ ˜ ). On rap˜ pelle que le théorème de Paley–Wiener affirme que l’application qui à f associe la collection de fonctions (ϕR,e,f )R∈L( est une bijection de ˜ ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M ∞ ˜ ˜ I(G(R), ω) sur un espace P W (G, ω) décrit en [IV] 1.4. C’est l’espace des fade fonctions qui vérifient certaines conditions milles (ϕR,e ˜ )R∈L( ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M ˜ 0 ). Préd’analycité, de croissance et d’invariance relativement à l’action de W (M ˜ ˜ ˜ cisons cette dernière condition. Pour w ∈ W (M0 ) et R ∈ L(M0 ), w induit un ˜ ˜ ω) sur Dell,0 (w(R)(R), ω), que l’on note encore w. isomorphisme de Dell,0 (R(R), Considérons la propriété ˜ e, μ) pour tout e ∈ Dell,0 (R(R), ˜ (1) R,w ϕw(R),w(e) (w(μ)) = ϕ(R, ω) et tout ˜ ˜ ∗ μ ∈ AR,C . ˜ ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et tout La condition est que (1)R,w doit être vérifiée pour tout R ˜ ˜ ˜ w ∈ W (M0 ). L’espace I(M (R), ω) se décrit aussi comme un espace de familles (ϕR,e . Elles doivent vérifier les mêmes conditions d’ana˜ )R∈L( ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M lycité et de croissance que précédemment. Ce qui change est la condition d’indoit être vérifiée pour tout variance. Cette condition est maintenant que (1)R,w ˜ M ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ R ∈ L(M0 ) avec R ⊂ M et pour tout w ∈ W (M0 ). On doit de plus avoir ˜ ⊂ M ˜. (2) ϕ ˜ = 0 si R R,e

1072

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ (R), ω) On ne perd rien à remplacer les π ˜i par d’autres éléments de Dtemp (M qui engendrent le même sous-espace. On peut donc supposer que, pour tout i = 1, . . . , n, il existe ˜ 0) ; ˜ i ∈ LM˜ (M – R √ ˜ i (R), ω) et μi ∈ iA∗ (le dernier i étant −1) ; – ei ∈ Dell,0 (R ˜ R

˜i à M ˜ de ei,μi . L’égalité de l’énoncé s’écrit alors de sorte que π ˜i soit l’induite de R (3)

ϕR˜ i ,ei ,f (μi + λ) = ϕR˜ i ,ei ,φ (μi + λ).

Considérons l’ensemble des triplets (i, j, w), où i, j ∈ {1, . . . , n} et w ∈ ˜ 0 ) − W M (M ˜ 0 ), tels que w(R ˜i ) = R ˜ j . Puisque w ∈ W M (M ˜ 0 ), l’ensemble W (M ∗ des λ ∈ AM˜ ,C vérifiant l’équation w(μi + λ) = μj + λ est soit vide, soit un sousespace affine propre invariant par translations par A∗G,C ˜ . On note H la réunion de ∗ ˜ ˜ 0 ). Considérons les deux ces ensembles. Soit λ ∈ iAM˜ tel que λ ∈ H. Soit R ∈ L(M ensembles suivants ˜ est l’ensemble des w(μi + λ) pour i = 1, . . . , n et w ∈ W M (M ˜ 0 ) tels – E  (R) ˜ ˜ que w(Ri ) = R ; ˜ est l’ensemble des w(μi + λ) pour i = 1, . . . , n et w ∈ W (M ˜ 0) − – E  (R) ˜ 0 ) tels que w(R ˜i ) = R. ˜ W M (M Puisque λ ∈ H, ces ensembles sont disjoints. On peut donc fixer un poly˜ et p ˜ (μ) = 0 nôme pR˜ sur A∗R,C de sorte que pR˜ (μ) = 1 pour tout μ ∈ E  (R) ˜ R  ˜ ˜ (R), ω), que l’on décrit par la collection pour tout μ ∈ E (R). Soit φ ∈ I(M (ϕR,e,φ )R∈L( comme ci-dessus. ˜ ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), e ∈ Dell,0 (R(R), ˜ Pour R ω) et μ ∈ A∗ , posons ˜ R,C

(4)



M ˜ −1 ϕR,e ˜ (μ) = |W (M0 )|

ϕw(R),w(e),φ (w(μ))pw(R) ˜ ˜ (w(μ)).

˜ 0) w∈W (M

vérifie les conditions d’analycité et de La famille (ϕR,e ˜ )R∈L( ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M ˜ ω). Elle vérifie aussi par décroissance requises pour appartenir à l’espace P W ∞ (G, ˜ ˜ 0 ) et tout w ∈ W (M ˜ 0 ). finition la condition d’invariance (1)R,w pour tout R ∈ L(M ˜ ˜ Elle appartient donc à cet espace de Paley–Wiener. Donc il existe f ∈ I(G(R), ω) ˜ = ϕ pour tous R, e. Il reste à prouver que la condition (3) telle que ϕR,e,f ˜ ˜ R,e ˜ 0 ). Si w ∈ W M (M ˜ 0 ), l’élément est vérifiée. Fixons i ∈ {1, . . . , n}. Soit w ∈ W (M  M ˜ ˜ w(μi + λ) appartient à E (w(Ri )). Donc pw(R) ˜ (w(μi + λ)) = 0. Si w ∈ W (M0 ), ˜ donc p ˜ (w(μi +λ)) = 1. La définition l’élément w(μi +λ) appartient à E  (w(R)) w(R)

(4) donne alors ˜ 0 )|−1 ϕR˜ i ,ei (μi + λ) = |W M (M

 ˜ 0) w∈W M (M

ϕw(R˜ i ),w(ei ),φ (w(μi + λ)).

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1073

Mais tous les termes de cette somme sont égaux à ϕR˜i ,ei ,φ (μi + λ) d’après la condi)R∈L( . L’égalité tion d’invariance vérifiée par la famille (ϕR,e,φ ˜ ˜ ˜ 0 ),e∈Dell,0 (R(R),ω) ˜ M ci-dessus devient (3), ce qui achève la démonstration.  On peut renforcer le lemme de la façon suivante. ˜ (R), ω). ˜n un ensemble fini d’éléments de Dtemp (M Lemme (bis). Soient π ˜1 , . . . , π ∗ Il existe un sous-ensemble H de AM˜ ,C , qui est une réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A∗G,C ˜ , et il existe un ensemble fini Ω ∗ ˜ (R), ω), de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iAM˜ , λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I(M ˜ il existe f ∈ I(G(R), ω, Ω) de sorte que l’on ait l’égalité ˜

˜

M I M (˜ πi,λ , fM,ω πi,λ , φ) ˜ ) = I (˜

pour tout i = 1, . . . , n. ˜ ω) l’isomorphisme du théorème de ˜ Preuve. Notons pw : I(G(R), ω) → P W ∞ (G, Renard, cf. [IV] 1.4. Avec la terminologie introduite en [IV] 3.5, il existe un en˜ πi,λ , fM,ω semble fini Ωpw de types spectraux de sorte que, pour tous i et λ, I M (˜ ˜ ) ˜ ω, Ωpw ). ne dépende que de la projection de pw(f ) dans le sous-espace P W (G, D’après le théorème de Delorme et Mezo, on peut fixer un ensemble fini Ω de K˜ ˜ ω, Ωpw ) ⊂ pw(I(G(R), ω, Ω)). Il suffit alors de remplacer types de sorte que P W (G, ˜ ω, Ω) la fonction f fournie par le lemme précédent par une fonction f  ∈ I(G(R), ˜ ω, Ωpw ) soit égale à pw(f  ). telle que la projection de pw(f ) dans P W (G,  ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On a défini un Supposons (G, G, inst ˜ (M ), cf. [IV] 2.2. sous-espace «instable» Dell,0 inst ˜ Lemme (ter). Soient π ˜1 , . . . , π ˜n un ensemble fini d’éléments de Dell,0 (M (R)). Il ∗ existe un sous-ensemble H de AM˜ ,C , qui est une réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A∗G,C ˜ , et il existe un ensemble fini ˜ (R)), Ω de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iA∗M˜ , λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I(M ˜ il existe f ∈ I(G(R), Ω) de sorte que

˜ – l’image de f dans SI(G(R)) soit nulle ; – on ait l’égalité ˜ ˜ πi,λ , fM˜ ) = I M (˜ πi,λ , φ) I M (˜ pour tout i = 1, . . . , n. ˜ en somme de deux Preuve. On a décomposé l’espace de Paley–Wiener P W ∞ (G) ∞,st ˜ ∞,inst ˜ (G) et P W (G), cf. [IV] 2.3. L’hypothèse d’instabilité sous-espaces P W des π ˜i entraîne que la conclusion ne dépend que de la projection de pw(f ) dans ˜ On peut remplacer la fonction f fournie par le lemme bis par une P W ∞,inst (G).

1074

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ et la même profonction f  telle que pw(f  ) a une projection nulle dans P W ∞,st (G) ˜ La première condition implique que l’image jection que pw(f ) dans P W ∞,inst (G). ˜ de f  dans SI(G(R)) est nulle, d’après le théorème [IV] 2.3.  rat,G IX.5.7 Propriétés de l’application θM ˜ ˜

˜

Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 de l’application c θ G ˜ sur un corps de base M ˜ rat,G θM . ˜

non-archimédien valent aussi pour notre application Les démonstrations en sont les mêmes. ˜ On a défini l’espace Dtemp(G(R), ω) engendré par les caractères de représen˜ tations tempérées et son sous-espace Dtemp,0 (G(R), ω) engendré par les caractères de représentations tempérées dont le caractère central ωπ est trivial sur AG˜ . Ainsi, en notant C[iA∗G˜ ] l’espace vectoriel complexe de base iA∗G˜ , l’application ˜ ˜ ω) ⊗ C[iA∗G˜ ] → Dtemp(G(R), ω) Dtemp,0 (G(R),

→ ˜λ π ˜ ⊗ ( λ cλ λ) λ cλ π ˜

G est un isomorphisme. On a défini en 5.4 l’espace UM ˜ . Considérons un élément ˜ G ∗ ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) , un élément λ ∈ A∗ v ∈ UM˜ ⊗ Dtemp,0 (M ˜ ,C et une fonction M

˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R)). On peut écrire v = f ∈ I(M ˜j où les uj sont j=1,...,k uj π ˜ G ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ . des éléments de UM˜ et les π ˜j appartiennent à Dtemp,0 (M On peut alors définir  ˜ uj (λ)I M (˜ πλ , f ). j=1,...,k ˜

Cela ne dépend pas de la décomposition choisie de v. On note I M (v(λ), f ) cette expression. Remarquons que, puisque les uj (λ) et ses dérivées sont bornées pour ˜ ˜ λ ∈ iA∗M˜ et que I M (˜ πλ , f ) est de Schwartz sur cet ensemble, la fonction I M (v(λ), f ) est elle aussi de Schwartz sur iA∗M˜ . Lemme. Il existe une unique application linéaire ˜ ˜ G ∗ ∗ ˜ ˜ ρG ˜ : Dtemp,0 (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) → UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) M

vérifiant la condition suivante. ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ et ˜ Soient f ∈ I(G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), π ˜ ∈ Dtemp,0 (M X ∈ AM˜ . Alors on a l’égalité ˜ ˜ ˜ ˜ rat,G M I (˜ π , X, θM˜ (f )) = I M (ρG π ; λ), fM˜ ,ω )e− λ,X dλ. ˜ (˜ M iA∗˜

M

Remarque. Il résulte de cette formule et de 5.4(5) que la transformée de Fourier ˜ ˜ ˜ ˜ rat,G rat,G λ → I M (˜ π , λ, θM (f )) de la fonction X → I M (˜ π , X, θM (f )) s’étend en une ˜ ˜

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1075

fonction méromorphe sur tout A∗M˜ ,C . Elle est à décroissance rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). Par contre, le nombre de ces pôles (ou plus exactement ces hyperplans polaires) n’est pas toujours fini. ˜ (R). Supposons comme en 5.1 Preuve. Soit π ˜ une ω-représentation tempérée de M M que π soit une sous-représentation d’une induite IndM S (σλ0 ), où S ∈ P (R), σ est de la série discrète de R(R) et ωσ = 1 sur AR . On suppose de plus que le caractère central de π est trivial sur AM˜ , c’est-à-dire que λ0 annule cet espace. On ˜ ˜ π ) comme le produit u ⊗ π ˜ , où u est la fonction u(λ) = ρG définit ρG ˜ (˜ ˜ (πλ ). Pour M M ˜ simplifier, on fixe des mesures sur les groupes intervenant. Soit f ∈ Cc∞ (G(R)). L’égalité de l’énoncé s’écrit plus explicitement ˜ ˜ ˜ ˜ rat,G M − λ,X (1) I M (˜ π , X, θM (f )) = ρG πλ , fM,ω dλ. ˜ )e ˜ (πλ )I (˜ ˜ M iA∗˜

M

On va vérifier cette égalité. On a par définition ˜

˜

rat,G I M (˜ π , X, θM (f )) ˜

(2)

˜



˜

= I M (˜ π , X, φG ˜ (f )) − M

˜

˜

˜

rat,L rat,G I M (˜ π , X, θM (φL˜ (f ))). ˜

˜ ˜ ),L ˜ =G ˜ L∈L( M ˜

G Le premier terme est par définition JM π , X, f ), c’est-à-dire ˜ (˜ ˜ ˜ ˜ G π , X, φG JM πλ , f )e− λ,X dλ. (3) I M (˜ ˜ (f )) = ˜ (˜ M iA∗˜

M

˜ = G. ˜ On ne peut pas appliquer par récurrence la formule de l’énoncé pour Fixons L ˜ car la fonction φrat,G˜ (f ) n’est pas à support compact calculer le terme indexé par L ˜ L en général. Mais, X étant fixé, on choisit une fonction b ∈ Cc∞ (AL˜ ) qui vaut 1 au ˜

˜

rat,L rat,G voisinage de la projection XL˜ de X sur AL˜ . Posons ϕ1 = θM (φL˜ (f ))(b ◦ HL˜ ). ˜ On a alors ˜ ˜ ˜ ˜ rat,L G π , X, θM (φrat, (f ))) = I M (˜ π , X, ϕ1 ). I M (˜ ˜ ˜ L ˜

rat,L , on a ϕ1 = D’après [VIII] 1.6(3) qui est valable pour notre application θM ˜ ˜

˜

rat,L rat,G (ϕ2 ), où ϕ2 = φL (f )(b ◦ HL˜ ). Maintenant, ϕ2 est à support compact et θM ˜ ˜ on peut appliquer par récurrence la formule de l’énoncé. On obtient ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ rat,L rat,G M I M (˜ π , X, θM (φ (f ))) = ρL πλ , ϕ2,M˜ ,ω )e− λ,X dλ. ˜ (πλ )I (˜ ˜ ˜ M L iA∗˜

M

˜

˜

L,∗ Il est clair que ρL ˜ (πλ ) ne dépend que de la projection de λ sur iAM ˜ . On peut M récrire l’égalité ci-dessus ˜ ˜ ˜ ˜ rat,L rat,G M − μ,X (4) I (˜ π , X, θM˜ (φL˜ (f ))) = ρL dμ, ˜ (πμ )B(μ)e M ˜ iAL,∗ ˜ M

1076

Chapitre IX. Le cas archimédien



où

I M (˜ πλ+μ , ϕ2,M˜ ,ω )e− λ,X dλ. ˜

B(μ) = iA∗˜

L

˜ L

˜ ∈ P (M ˜ ). On a aussi Fixons Q ˜ ˜ ˜ ˜ I L (IndL πμ+λ ), ϕ2 )e− λ,X dλ = I L (IndL πμ ), XL˜ , ϕ2 ). B(μ) = ˜ (˜ ˜ (˜ Q Q iA∗˜

L

˜

rat,G En se rappelant la définition ϕ2 = φL (f )(b ◦ HL˜ ), on voit que le terme ci-dessus ˜ ˜

˜

˜

G πμ ), XL˜ , φrat, (f )). Ou encore, par définition, est égal à I L (IndL ˜ (˜ ˜ Q L



˜

B(μ) = iA∗˜ L

˜

G JLrat, (IndL πμ+λ ), f )e− λ,X dλ. ˜ (˜ ˜ Q

On peut alors reconstituer la formule (4) sous la forme ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ rat,L rat,G rat,G M (5) I (˜ π , X, θM˜ (φL˜ (f ))) = ρL (IndL πλ ), f )e− λ,X dλ, ˜ (˜ ˜ (πλ )JL ˜ Q M iA∗˜

M

puisque la fonction que l’on intègre est à décroissance rapide. Les formules (2), (3) et (5) conduisent à l’égalité ˜ ˜ rat,G M π , X, θM˜ (f )) = C(λ)e− λ,X dλ, I (˜ iA∗˜

M

où

˜

G C(λ) = JM πλ , f ) − ˜ (˜



˜

˜

˜

rat,G ρL (IndL πλ ), f ). ˜ (˜ ˜ (πλ )JL ˜ Q M

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M), ˜ ˜ ˜ G G ˜ ∈ P(M ˜ ), ou encore D’après 5.4(3), on a C(λ) = ρG πλ ), f ) où Q ˜ (˜ ˜ (πλ )I (IndQ M ˜

˜

M C(λ) = ρG πλ , fM,ω ˜ ). La formule précédente devient (1). Cela prouve ˜ (πλ )I (˜ M cette relation. ˜ π ) pour un ensemble de π ˜ qui engendre On vient de prouver l’existence de ρG ˜ (˜ M ˜ (R), ω). On peut donc définir par linéarité une linéairement l’espace Dtemp,0 (M ˜ application ρG ˜ qui vérifie l’égalité de l’énoncé. On doit prouver son unicité. CelleM ci résulte de l’assertion suivante ˜ G ˜ ˜ (6) soit v ∈ UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (M (R), ω) ; supposons que, pour tout f ∈ I(G(R), ω) et tout X ∈ AM˜ , on ait l’égalité ˜ I M (v(λ), fM˜ ,ω )e− λ,X dλ = 0; iA∗˜

M

alors v = 0.

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1077

Par inversion de Fourier, l’hypothèse équivaut à l’égalité ˜

I M (v(λ), fM˜ ,ω ) = 0

˜ ˜i , où pour tout f ∈ I(G(R), ω) et tout λ ∈ iA∗M˜ . Ecrivons v = i=1,...,k ui ⊗ π ˜ G ˜ (R), ω) pour tout i. On peut supposer que ui = 0 ˜i ∈ Dtemp,0 (M ui ∈ UM˜ et π pour tout i et que la famille (˜ πi )i=1,...,k est linéairement indépendante. Si v = 0, ˜ (R), ω) tel que I M˜ (˜ on a k ≥ 1 et on peut fixer φ1 ∈ I(M π1 , φ1 ) = 1 tandis que ˜ πi , φ1 ) = 0 pour tout i ≥ 2. Introduisons l’ensemble H du lemme 5.6 pour I M (˜ notre famille (˜ πi )i=1,...,k . Fixons λ ∈ iA∗M˜ tel que λ ∈ H et u1 (λ) = 0. Définissons ˜ (R) par φ(γ) = e−λ,HM˜ (γ) φ1 (γ). On a la fonction φ sur M ˜

˜

I M (˜ πi,λ , φ) = I M (˜ πi , φ1 ) ˜ pour tout i. Associons à φ une fonction f ∈ I(G(R), ω) satisfaisant la conclusion ˜ ˜ M π1,λ , fM,ω ) = 1 tandis que I M (˜ πi,λ , fM,ω du lemme 5.6. On a alors I (˜ ˜ ˜ ) = 0 pour ˜

tout i ≥ 2. Alors I M (v(λ), fM˜ ,ω ) = u1 (λ) = 0, ce qui contredit l’hypothèse. Cela prouve (6) et le lemme.  ˜ Rappelons que, pour une ω-représentation π ˜ de G(R) telle que π soit irréductible, on définit son paramètre infinitésimal μ(˜ π ) qui est une orbite dans h∗ pour ˜ l’action du groupe de Weyl W . Pour une telle orbite, on note Dtemp,μ (G(R), ω) ˜ ω) engendré par les π ˜ de paramètre infinitésimal le sous-espace de Dtemp (G(R), ˜ ˜ ˜ μ. On a les variantes Dtemp,0,μ (G(R), ω), Dell,μ (G(R), ω), Dell,0,μ (G(R), ω). Ce dernier espace est de dimension finie. Plus généralement, pour λ ∈ iA∗G˜ , notons ˜ ˜ ω)λ l’ensemble des π ˜λ pour π ˜ ∈ Dell,0,μ (G(R), ω). La construction Dell,0,μ (G(R), ˜ G explicite de l’application ρM˜ effectuée dans la preuve ci-dessus entraîne la pro˜ 0 ), μ une orbite dans h∗ pour l’action de W R ˜ ∈ LM (M priété suivante. Soient R ˜ et λ ∈ iAM,∗ ˜ . Alors R ˜

(7) ρG ˜ envoie M dans

˜ ∗ ˜ IndM ˜ (Dell,0,μ (R(R), ω)λ ) ⊗ Mes(R(R)) R ˜ ˜ M G ∗ ˜ UM ˜ (Dell,0,μ (R(R), ω)λ ) ⊗ Mes(R(R)) . ˜ ⊗ IndR

En conséquence ˜ rat,G ˜ ˜ (R), ω, K)⊗Mes(M (R)). envoie Cc∞ (G(R), K)⊗Mes(G(R)) dans Iac (M (8) θM ˜

Preuve. On oublie comme souvent les espaces de mesures. L’espace de Paley– ∞ ˜ (G, ω) est un espace de familles de fonctions holomorphes indexées Wiener P Well ˜ par une base de Dell,0 (G(R), ω). On peut supposer que cette base est réunion

1078

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ de bases des sous-espaces Dell,0,μ (G(R), ω) quand μ décrit tous les paramètres ˜ ω) le sous-espace des familles appartenant à possibles. On note P Well,μ (G, ∞ ˜ P Well (G, ω) dont les composantes sont nulles pour les indices n’appartenant pas ˜ ω). Rappelons que l’on a des homomorphismes naturels à Dell,0,μ (G(R), sym pw ∞ ˜ ∞ ˜ ˜ ⊕L∈L( ˜ ˜ 0 ) P Well (L, ω) → P W (G, ω) ← I(G(R), ω). M

˜ ˜ Un élément f ∈ Iac (G(R), ω) appartient à Iac (G(R), ω, K) si et seulement s’il existe ˜ i ∈ L(M ˜ 0 ) et μi est une W L -orbite ˜ i , μi )i=1,...,k , où L un nombre fini de couples (L dans h∗ , de sorte que, pour toute fonction b ∈ Cc∞ (AG˜ ), on ait la relation ˜ i , ω)). pw(f (b ◦ HG˜ )) ∈ sym(⊕i=1,...,k P Well,μi (L ˜ Soit f ∈ Cc∞ (G(R), K). Alors fM˜ ,ω est K M -finie à droite et à gauche et on peut ˜ i , μi )i=1,...,k comme ci-dessus, avec L ˜i ⊂ M ˜, fixer un ensemble fini de couples (L de sorte que M ˜ pwM (fM,ω ˜ ) ∈ sym (⊕i=1,...,k P Well,μi (Li , ω)) ˜ plutôt qu’à (on a ajouté des exposants M pour désigner les objets relatifs à M ˜ ˜ G). Quitte à accroître la famille (Li , μi )i=1,...,k , on peut la supposer invariante ˜ ∈ LM˜ (M ˜ 0 ) et μ une W L -orbite par l’action de W M . Soit b ∈ Cc∞ (AM˜ ). Soient L ˜ ˜ dans h∗ . Pour tout λ ∈ iAM,∗ ˜ ∈ Dell,μ,0 (L(R), ω)λ et tout X ∈ AM˜ , on a ˜ , tout π L l’égalité ˜

˜

˜

˜

˜

˜

rat,G rat,G π ), X, θM (f )(b ◦ HM˜ )) = I M (IndM π ), X, θM (f ))b(X). I M (IndM ˜ (˜ ˜ (˜ ˜ ˜ L L

˜ μ) n’est pas L’assertion (7) et la formule du lemme montrent que ceci est nul si (L, ˜ M rat,G ˜ l’un des (Li , μi ). Il en résulte que la composante de pw (θM˜ (f )(b ◦ HM˜ )) dans ˜ ω) est nulle si (L, ˜ μ) n’est pas l’un des (L ˜ i , μi ). Cela prouve (8). P Well,μ (L, 

IX.5.8 L’application c φG ˜ M ˜

˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et tout P˜ ∈ P(M ˜ ), on fixe une fonction ω ˜ : A ˜ → [0, 1]. Pour tout M P M On suppose que ces fonctions vérifient les hypothèses de [VIII] 1.1. Remarque. Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien et on avait défini des fonctions ωP˜ sur les espaces A˜M˜ . Ici, le corps de base est archimé˜ (R) → A ˜ que l’on a fixées permettent d’identifier dien et les fonctions HM˜ : M M ˜ AM˜ à AM˜ . On suppose de plus que les fonctions ωP˜ sont C ∞ . ˜ 0 ), π ˜ ˜ ∈ LM˜ (M ˜ un élément de Dell (R(R), ω) ⊗ Mes(R(R))∗ et f ∈ Soient R ∞ ˜ Cc (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Pour X ∈ AR˜ , la fonction

 ˜ ˜ rat,G IndM πλ , f )e− λ,X λ → JM ˜ (˜ ˜ R

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1079

est méromorphe sur A∗R,C et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. Elle est ˜ à décroissance rapide dans les bandes verticales. Cela résulte des propriétés de ˜ rat,G JM et de l’hypothèse que f est K-finie à droite et à gauche. Pour ν ∈ A∗R˜ tel ˜ que cette fonction n’ait pas de pôle sur ν + iA∗R˜ , on peut former l’intégrale ν+iA∗˜

 ˜ ˜ rat,G IndM JM (˜ π ), f e− λ,X dλ. λ ˜ ˜ R

R

˜ ˜ Fixons un point νS˜ ∈ A∗R˜ tel que νS˜ , α ˇ  soit assez grand pour Soit S˜ ∈ P G (R). ˜ ˜ S tout α ∈ Σ (R). L’intégrale ci-dessus pour ν = νS˜ ne dépend pas du choix de νS˜ . On pose 

˜ ˜ c rat,G JM˜ (˜ π ), f IndM ˜ R

  ˜ ˜ rat,G IndM = ωS˜ (X) JM (˜ π ), f e− λ,X dλ dX. λ ˜ ˜ R νS˜ +iA∗˜

AR ˜ ˜ ˜ ˜ S∈P G (R)

R

Proposition. (i) La fonction en X que l’on intègre ci-dessus est C ∞ et à support compact. Le ˜ ˜ ˜ rat,G ˜ terme c JM (IndM π ), f ) ne dépend que de IndM π ) (et pas des choix de R ˜ (˜ ˜ (˜ ˜ R R et π ˜ ). (ii) Il existe une unique application linéaire ˜ c G φM˜

˜ ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)) : Cc∞ (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I(M

˜ ∈ LM (M ˜ 0 ), tout π ˜ ˜ ∈ Dell (R(R), ω) ⊗ Mes(R(R)) et de sorte que, pour tout R ∞ ˜ tout f ∈ Cc (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on ait l’égalité ˜

˜

˜

˜

˜

c rat,G π ), c φG (IndM π ), f ). I M (IndM ˜ (f )) = J M ˜ (˜ ˜ (˜ ˜ M R R

La preuve est identique à celle du cas non-archimédien, cf. [VIII] 1.3. Remarque. On peut préciser que, si Ω est un ensemble fini de K-types, il existe un ˜ ∞ ˜ ensemble fini ΩM de K M -types de sorte que c φG ˜ envoie Cc (G(R), Ω)⊗Mes(G(R)) M ˜ (R), ω, ΩM ) ⊗ Mes(M (R)). dans I(M Les propriétés prouvées dans le cas non-archimédien en [VIII] 1.4 valent aussi dans notre cas où le corps de base est réel. En particulier, la propriété [VIII] 1.4(6) ˜ dit que c φG ˜ s’étend en une application linéaire M ∞ ˜ ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)). Cac (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (M

1080

Chapitre IX. Le cas archimédien

rat,G IX.5.9 L’application c θ M ˜ ˜

On définit une application ˜ c rat,G θM˜

˜ ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)) : Cc∞ (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (M

par la formule de récurrence ˜ c rat,G θ M˜ (f )



˜

G = φrat, (f ) − ˜ M

˜ ˜ c rat,L θ M˜ (c φG ˜ (f )). L

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Pour que cette définition ait un sens, il faut admettre par récurrence la propriété suivante. ˜

G se quotiente en une application linéaire définie Proposition. L’application c θrat, ˜ M ˜ sur I(G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). ˜

G est ω-équivariante. C’estOn démontre facilement que l’application c θrat, ˜ M ∞ à-dire que soit h ∈ Cc (G(R)) une fonction K-finie à droite et à gauche. Notons hω la fonction hω (g) = ω(g)h(g). Fixons des mesures de Haar. Pour f ∈ ˜ ˜ ω, K), on définit les fonctions f h et hω f sur G(R) par Cc∞ (G(R), (f h)(γ) = f (γg −1 )h(g) dg, G(R) hω (g)f (g −1 γ) dg. (hω f )(γ) = G(R) ˜

G (f Ces fonctions sont encore K-finies à droite et à gauche. On montre que c θ rat, ˜ M ˜

rat,G h) = c θM (hω f ). Mais, dans notre cas où le corps de base est réel, cela ne ˜ suffit pas à prouver la proposition. Il faudrait de plus prouver une propriété de continuité de notre application. On préfère revenir à la méthode d’Arthur. La proposition sera prouvée en 5.14. Comme dans le paragraphe précédent, on peut préciser que, si Ω est un ensemble fini de K-types, il existe un ensemble fini ΩM de K M -types de sorte que ˜ c rat,G ˜ ˜ (R), ω, ΩM ) ⊗ Mes(M (R)). θM˜ envoie Cc∞ (G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) dans Iac (M

rat,G IX.5.10 Propriétés de l’application c θ M ˜ ˜

Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 et 1.8 dans le cas non-archimédien pour ˜ G l’application notée alors c θM ˜ valent aussi sur le corps de base réel pour l’application ˜ rat, G c ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ et soit θM˜ . Rappelons la principale. Soit π ˜ ∈ Dtemp(M ∞ ˜ f ∈ Cc (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). La fonction ˜

˜

rat,G X → I M (˜ π , X, φM (f )) ˜

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1081 ˜

rat,G sur AM˜ est la transformée de Fourier de la fonction λ → JM (˜ πλ , f ) sur iA∗M˜ . ˜ ∗ Celle-ci se prolonge en une fonction méromorphe sur AM˜ ,C qui vérifie les propriétés (2), (3), (4) et (5) de 5.2. On voit alors par récurrence que la fonction ˜

˜

G π , X, c θrat, (f )) X → I M (˜ ˜ M

est la transformée de Fourier d’une fonction sur iA∗M˜ , laquelle se prolonge en une qui a les mêmes propriétés que ci-dessus. On note fonction méromorphe sur A∗M,C ˜ ˜

rat,G λ → I M (˜ π , λ, c θM (f )) cette fonction. Pour ν ∈ A∗M˜ tel que cette fonction n’ait ˜ pas de pôle sur ν + iA∗M˜ et pour X ∈ AM˜ , on pose ˜ ˜ ˜ ˜ G c rat,G M π , ν, X, θM˜ (f )) = I M (˜ π , λ, c θrat, (f ))e− λ,X dλ. I (˜ ˜ M ˜

ν+iA∗˜

M

˜ ) un point ν ˜ comme en 5.8. Dans l’énoncé suivant, on fixe pour tout S˜ ∈ P(M S ˜ = G ˜ et π ˜ Proposition. Supposons M ˜ elliptique. Soit f ∈ Cc∞ (G(R),K)⊗Mes(G(R)). ˜ on a l’égalité Si chaque point νS˜ est assez positif relativement à S,  ˜ ˜ G ωS˜ (X)I M (˜ π , νS˜ , X, c θrat, (f )) = 0 ˜ M ˜ ˜) S∈P( M

pour tout X ∈ AM˜ . ˜ et Remarque. La condition «assez positif» imposée aux points νS˜ dépend de π de f . Toutefois, la propriété 5.2(5) implique que, si l’on fixe un ensemble fini de K-types, on peut choisir des points νS˜ assez positifs, cette notion ne dépendant plus que de Ω, de sorte que l’égalité de l’énoncé soit vérifiée pour tous π ˜ et f , ˜ Ω) ⊗ Mes(G(R)). pourvu que f ∈ Cc∞ (G(R),

IX.5.11 L’application c θ G ˜ M ˜

On définit une application ˜ c G θM˜

˜ ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)) : Cc∞ (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (M

par la formule de récurrence ˜ c G θM˜ (f )

˜

= φG ˜ (f ) − M



˜ ˜ c L θM˜ (c φG ˜ (f )). L

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

La différence avec la définition de 5.9 est que l’on a remplacé le premier terme ˜ ˜ rat,G φM (f ) par φG ˜ (f ). Comme en 5.9, pour que cette définition ait un sens, il faut ˜ M admettre par récurrence la propriété suivante, qui sera prouvée en 5.14.

1082

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

Proposition. L’application c θG ˜ se quotiente en une application linéaire définie sur M ˜ I(G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Soit ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ π ˜ ∈ Dtemp(M et soit ˜ f ∈ Cc∞ (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). La fonction ˜

˜

X → I M (˜ π , X, c θG ˜ (f )) M ˜

˜

sur AM˜ est la transformée de Fourier d’une fonction λ → I M (˜ π , λ, c θG ˜ (f )) sur M ∗ ∗ qui est à décroissance iAM˜ . Celle-ci s’étend en une fonction méromorphe sur AM,C ˜ rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). Par contre, le nombre de ces pôles (ou plutôt de ces hyperplans polaires) n’est pas forcément fini. Ces propriétés résultent par récurrence de la définition ci-dessus et ˜ ˜ π , X, φG des propriétés analogues des fonctions X → I M (˜ ˜ (f )). M rat,G c rat,G IX.5.12 Relation entre les applications θM , θM et c θ G ˜ ˜ ˜ M ˜

˜

˜

˜ Lemme. Soit f ∈ Cc∞ (G(R, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité ˜ c G θM˜ (f )



=

˜

˜

rat,L c rat,G θM ◦ θL˜ (f ). ˜

˜ ˜ L∈L( M)

˜ = G, ˜ les trois applications θrat,G˜ , c θrat,G˜ et c θG˜ sont l’identité et Preuve. Si M ˜ ˜ ˜ G G G ˜ = G. ˜ En utilisant le fait que la relation de l’énoncé est claire. Supposons M ˜ c rat,M ˜ ˜ rat,M M θM , θM˜ et c θM ˜ sont l’identité, les définitions de nos applications peuvent ˜ se reformuler de la façon suivante : (1)

˜

˜

c G φG ˜ (f ) = ˜ (f ) − φM M



˜ ˜ c L θ M˜ (c φG ˜ (f )), L

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

(2)

˜

˜

rat,G φG (f ) = ˜ (f ) − φM ˜ M



˜

˜

rat,L rat,G θM (φL˜ (f )), ˜

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

(3)

˜ rat,G φM (f ) ˜

−

˜ c G φM˜ (f )

=



˜ ˜ c rat,L θ M˜ (c φG ˜ (f )). L

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

˜ on utilise (3) avec M ˜ Dans le terme du membre de droite de (2) indexé par L,

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1083

˜ Cela transforme (2) en remplacé par L.  ˜ ˜ c G ˜ ˜ rat,G rat,L (f ) = θM ( φL˜ (f )) φG ˜ (f ) − φM ˜ ˜ M ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),



+



˜

˜

˜

rat,L c rat,L c G θM ◦ θL˜ ( φL˜  (f )). ˜

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L ˜  ∈L(L), ˜ L ˜  =L ˜ L∈L( M),

˜  , L). ˜ ˜ L ˜  ) par (L Dans la dernière somme, on change la notation en remplaçant (L, Le membre de gauche de (1) est la somme de ceux de (2) et (3). Il en est donc de même des membres de droite. On obtient   ˜ c G ˜ ˜ ˜ rat,L c L θM˜ (c φG θM ( φL˜ (f )) ˜ (f )) = ˜ L ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

˜ ˜ ),L ˜ =M ˜ L∈L( M

+





˜

˜

˜

rat,L rat,L c G θM ◦ c θL ( φL˜ (f )) ˜ ˜

˜  ∈L(M ˜ ˜  ),L ˜ ),L ˜  =M ˜ L∈L( ˜ =L ˜ L L

+



˜ ˜ c rat,L θM˜ (c φG ˜ (f )). L

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

On peut inclure la première somme du membre de droite dans la deuxième somme, ˜ On peut de même inclure la troisième somme ˜  = L. en supprimant la condition L ˜  = M ˜ . On obtient dans la deuxième en supprimant la condition L    ˜  c rat,L ˜ ˜ ˜ ˜ rat,L c L θM˜ (c φG θM ◦ θ L˜  (c φG ˜ (f )) = ˜ (f )). ˜ L L ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

˜ ˜ ˜ ˜ ),L ˜ =M ˜ L ˜  ∈LL L∈L( M (M)

En raisonnant par récurrence, on peut supposer la relation de l’énoncé prouvée si ˜ par L ˜ = G. ˜ Alors les termes des deux membres ci-dessus indexés l’on remplace G ˜ ˜ Cette par un tel L sont égaux. Il ne reste que l’égalité des termes indexés par G. égalité est celle de l’énonce. 

IX.5.13 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ , cf. [V] 1.3 pour cette notation. On définit Soit γ ∈ Dorb (M une application linéaire ˜ f → c I G ˜ (γ, f ) M ˜ K) ⊗ Mes(G(R)) par la formule de récurrence sur Cc∞ (G(R),  ˜ ˜ ˜ ˜ c L G c G (1) I M˜ (γ, f ) = JM I M˜ (γ, c φG ˜ (f )). ˜ (γ, f ) − L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Elle vérifie les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien. Rappelons-les.

1084

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

(2) La distribution f → c I G ˜ (γ, f ) se quotiente en une forme linéaire sur M ˜ I(G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Remarquons que cette propriété est utilisée par récurrence pour poser la définition (1). Comme pour les propositions 5.9 et 5.11, la preuve est plus délicate dans le cas archimédien. Elle sera faite en 5.14. Les propriétés suivantes se prouvent, elles, comme dans le cas non-archimédien, cf. [VIII] 1.9. ˜ K)⊗Mes(G(R)), il existe un sous-ensemble compact (3) Pour tout f ∈ Cc∞ (G(R), ˜ (R) tel que c I G˜˜ (γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas ΓM = Γ ⊂ M M {m−1 γm; m ∈ M (R), γ ∈ Γ}. ˜ ∈ LM (M ˜ 0 ) et γ ∈ Dorb (R(R), ˜ (4) Soient R ω) ⊗ Mes(R(R))∗ . On a l’égalité ˜ ˜ c G I M˜ (γ M , f )



=

˜ ˜ ˜ ˜ c L dG ˜ ). ˜ (γ, fL,ω ˜ (M , L) I R R

˜ ˜ L∈L( R)

(5) On a l’égalité ˜ c G I M˜ (γ, f )

=



˜

˜

L c G IM ˜ (f )). ˜ (γ, θ L

˜ ˜ L∈L( M)

IX.5.14 Preuve des propositions 5.9, 5.11 et de l’assertion 5.13(2) ˜ Soit f ∈ Cc∞ (G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Supposons que l’image de f dans ˜ I(G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) soit nulle. On veut prouver les assertions ˜

rat,G (1) c θM (f ) = 0 ; ˜ ˜

(2) c θG ˜ (f ) = 0 ; M ˜ G ∗ ˜ (3) c IM ˜ (γ, f ) = 0 pour tout γ ∈ Dorb (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) .

˜ = G. ˜ Supposons M ˜ = G. ˜ Dans la Ces assertions sont tautologiques si M ˜ par L ˜ formule 5.13(5), utilisons par récurrence l’assertion (2) où l’on remplace M ˜ ∈ L(M ˜ ), L ˜ = M ˜ . Cette formule 5.13(5) se simplifie en pour L (4)

˜ c G IM˜ (γ, f )

˜

˜

= I M (γ, c θ G ˜ (f )). M

Dans le lemme 5.12, utilisons de la même façon l’assertion (1) par récurrence ˜ rat,L (remarquons que, pour les applications θM , il n’y a pas de problème : on sait ˜ ˜ qu’elles se factorisent par Iac (L(R), ω, K) ⊗ Mes(L(R))). On obtient (5)

˜ c G θM˜ (f )

˜

rat,G = c θM (f ). ˜

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1085

En conséquence de (4) et (5), on a ˜ c G IM˜ (γ, f )

˜

˜

G = I M (γ, c θrat, (f )). ˜ M

˜ G ˜ (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). En appli(f ) est un élément de Iac (M La fonction c θrat, ˜ M ˜

˜

G quant la propriété 5.13(3), l’égalité ci-dessus entraîne que I M (γ, c θrat, (f )) = 0 si ˜ M M le support de γ ne coupe pas Ω , où Ω est un certain sous-ensemble compact de ˜ (R). Il en résulte que c θrat,G˜ (f ) est «à support compact», c’est-à-dire est un éléM ˜ M ˜ (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Pour π ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ , ment de I(M ˜ ∈ Dtemp(M ˜

˜

G π , λ, c θrat, (f )) est donc holomorphe. Ses coefficients de Foula fonction λ → I M (˜ ˜ M ˜

˜

G π , ν, X, c θrat, (f )) ne dépendent pas du point ν. Dans la proposition 5.10, rier I M (˜ ˜ M on peut remplacer tous les νS˜ par 0. Puisque



ωS˜ (X) = 1,

˜ ˜ S∈P( M) ˜

˜

rat,G on obtient que, pour π ˜ elliptique, les coefficients de Fourier I M (˜ π , 0, X, cθ M (f )) ˜ ˜

˜

G π , c θrat, (f )) = 0. D’autre part, la fonction sont tous nuls. Cela entraîne que I M (˜ ˜ M

˜ c rat,G θM˜ (f )

est cuspidale. En effet, on a la formule de descente ˜

rat,G (c θM (f ))R,ω = ˜ ˜



˜

˜

˜ ˜ c rat,L (f ˜ ) dG ˜ (M , L) θ R ˜ Q,ω R

˜ ˜ L∈L( R)

˜ ∈ LM (M ˜ 0 ). En utilisant l’assertion (1) par récurpour tout espace de Levi R ˜ rat, G ˜ est propre. Un élément de rence, on en déduit que (c θM˜ (f ))R,ω = 0 si R ˜ ˜ (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)) qui est cuspidal et annulé par toutes les représentaI(M tions elliptiques est nul. L’assertion (1) en résulte. L’égalité (5) entraîne alors (2) et l’égalité (4) entraîne (3).  G IX.5.15 Une propriété de l’espace UM ˜ ˜

On note F l’espace des fonctions holomorphes sur A∗M˜ ,C . Soit H un sous-ensemble de A∗M˜ ,C qui est réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par trans-

k lations par A∗G,C ˜ . Soient k ≥ 1 un entier et E un sous-ensemble de F . Un élément de E est une famille e = (ej )j=1,...,k où ej ∈ F pour tout j. On suppose

(1) pour tout λ ∈ A∗M˜ ,C − H, il existe e = (ej )j=1,...,k ∈ E tel que e1 (λ) = 1 tandis que ej (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k.

1086

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ = G. ˜ Soit (uj )j=1,...,k une famille d’éléments de U G˜ . Proposition. On suppose M ˜ M On suppose que, pour tout e = (ej )j=1,...,k ∈ E, la fonction  λ → uj (λ)ej (λ) j=1,...,k

est holomorphe hors de H. Alors u1 = 0. Preuve. On peut agrandir H et supposer que c’est une réunion finie d’hyperplans k affines. Définissons une fonction p : C → {−1/2, 0, 1/2} par p(k) = (−1) 2sgn(k) pour k ∈ Z − {0} et p(s) = 0 pour s ∈ Z ou s = 0. La fonction Γ1 (s) de 5.4 a pour pôles les points s tels que p(s) = 0, et son résidu en s est p(s). Remarquons la propriété suivante (2) soient s ∈ C et k ∈ 2Z ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous deux non nuls et s’ils sont de même signe, on a p(s) = p(s + k) ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous deux non nuls mais sont de signes opposés, on a p(s) = −p(s + k). ˜

˜

G Notons n la dimension de AG ˜ . On a défini l’ensemble JM ˜ en 5.4. On fixe M ˜ ), qui permet de supposer que les éléments de J G˜ sont des un élément P˜ ∈ P(M ˜ M familles α ˇ = (ˇ αi )i=1,...,n telles que, pour tout i, α ˇ i est positif pour P . Considérons une telle famille, ainsi qu’une famille y = (yi )i=1,...,n de nombres complexes imaginaires. Soient λ, μ ∈ A∗M˜ ,C , supposons μ en position générale (précisément μ, α ˇ i  = 0 pour tout i). On voit que

(3) la fonction



s →

Γ1 (yi + λ + sμ, α ˇ i )

i=1,...,n

sur C a un pôle d’ordre au plus n en s = 0 ; le coefficient de s−n dans son développement en 0 est égal à  p(yi + λ, α ˇ i ) μ, α ˇ i −1 . i=1,...,n

Pour tout j = 1, . . . , k, on peut fixer – un ensemble fini d’indices Bj ; – pour b ∈ Bj , un nombre complexe cb , une famille y b = (yb,i )i=1,...,n de ˜

G nombres complexes imaginaires et une famille α ˇ b = (ˇ αb,i )i=1,...,n ∈ JM ˜ ;

de sorte que, pour tout λ ∈ A∗M˜ ,C , on ait l’égalité uj (λ) =

 b∈Bj

cb



Γ1 (yb,i + λ, α ˇ b,i ).

i=1,...,n

Cette formule ne change pas si, pour un indice j et pour élément b ∈ Bj , on remplace les familles y b = (yb,i )i=1,...,n et α ˇ b = (ˇ αb,i )i=1,...,n par les familles y b =

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1087

(yb,σ(i) )i=1,...,n et α ˇ b = (ˇ αb,σ(i) )i=1,...,n , où σ est une permutation de {1, . . . , n}. On s’autorisera à effectuer de telles permutations d’indices. On peut supposer que cb = 0 pour tout b ∈ Bj et que, si b, b sont deux éléments distincts de Bj , les familles associées à b et b sont distinctes ( c’est-à-dire qu’il n’y a pas de ˇ b,i = α ˇ b ,σ(i) pour tout i). permutation σ de {1, . . . , n} telle que yb,i = yb ,σ(i) et α ∗ − H, μ ∈ A en position générale et e = (ej )j=1,...,k ∈ E. Soient λ ∈ A∗M,C ˜ ˜ ,C M −n D’après (3) le coefficient de s dans le développement en 0 de la fonction  uj (λ + sμ)ej (λ + sμ) s → j=1,...,k

est





ej (λ)

j=1,...,k



cb

b∈Bj

−1

p(yb,i + λ, α ˇ b,i ) μ, α ˇ b,i 

.

i=1,...,n

L’hypothèse d’holomorphie et l’hypothèse n ≥ 1 impliquent que cette expression est nulle. Par ailleurs, d’après la condition (1), on peut choisir e de sorte que e1 (λ) = 1 et ej (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k. En posant simplement B = B1 (on peut évidemment supposer k ≥ 1), on obtient (4) pour tout λ ∈ A∗M˜ ,C − H et tout μ ∈ A∗M˜ ,C en position générale, on a  b∈B

cb



p(yb,i + λ, α ˇ b,i ) μ, α ˇ b,i −1 = 0.

i=1,...,n

Remarquons que l’on peut supprimer la condition que μ est en position générale : l’expression ci-dessus est méromorphe en μ, la condition est que cette fonction méromorphe est nulle. Remarquons aussi que nos fonctions ne dépendent que des projections de λ et μ modulo A∗G,C ˜ . On ne perd rien à supposer que cet espace est nul. On veut prouver que u1 = 0, c’est-à-dire que B est vide. Raisonnons par ˜ G l’absurde et supposons B non vide. Par construction de l’ensemble JM ˜ , tous les ˜

éléments α ˇ b,i appartiennent à un Z-module de type fini contenu dans AG ˜ . MonM trons que l’on peut choisir un élément b0 ∈ B tel que, quitte à permuter les indices, on ait (5) soient m ∈ {1, . . . , n} et b ∈ B ; supposons qu’il existe c ∈ Q tel que α ˇ b,i = α ˇ b0 ,i pour i = 1, . . . , m − 1 et α ˇ b,m = cˇ αb0 ,m ; alors 0 < c ≤ 1 ; En effet, soit m ∈ {1, . . . , n}, supposons choisi b0 tel que cette propriété soit vérifiée pour tout m < m. Notons B  le sous-ensemble des b ∈ B tels que, quitte à permuter les indices, on ait α ˇ b,i = α ˇ b0 ,i pour i = 1, . . . , m − 1. Considérons l’ensemble des éléments α ˇb,i pour b ∈ B  et i ≥ m. On peut choisir un élément ˇ b,i vérifie α ˇ b1 ,i1 de cet ensemble qui soit maximal, au sens que, si un autre élément α α ˇ b,i = cˇ αb1 ,i1 , avec c ∈ Q, on ait |c| ≤ 1. On a automatiquement 0 < c ≤ 1 par l’hypothèse de positivité imposée à nos coracines. Quitte à permuter les indices,

1088

Chapitre IX. Le cas archimédien

on peut supposer i1 = m. On remplace b0 par b1 et on voit que la propriété (5) est alors vérifiée pour tout m ≤ m. Par récurrence, on obtient (5). Fixons un élément b0 ∈ B vérifiant (5). Pour i = 1, . . . , n, on pose simplement ˇ b0 ,i . La famille (Hi )i=1,...,n est une base de AM˜ (puisqu’on a supposé Hi = α AG˜ = {0}). On introduit les coordonnées duales sur A∗M˜ ,C , c’est-à-dire que l’on note tout élément λ de cet espace sous la forme λ = (λi )i=1,...,n , où λi = λ, Hi . Pour tout b ∈ B et tout i ∈ {1, . . . , n}, on peut écrire  (6) α ˇ b,i = xb,i,l Hl , l=1,...,n

avec des coefficients xb,i,l ∈ Q. On fixe un dénominateur commun D ∈ N, D = 0. On note C1 un majorant des valeurs absolues |xb,i,l | pour tous b, i et l. Par hypothèse, H est réunion finie d’hyperplans, on note h le nombre de ces hyperplans. Soit C un réel tel que C > 5DnhC1 . Pour un entier m ∈ {0, . . . , n}, notons V [m] l’ensemble des λ ∈ A∗M˜ − H tels que C 2i−1 ≤ | Re(λi )| ≤ C 2i pour tout i et Re(λi ) > 0 pour i ≤ m. Notons B[m] le sous-ensemble des b ∈ B tels qu’il existe des indices i1 , . . . , im ∈ {1, . . . , n} tous distincts de sorte que – α ˇ b,i1 appartient au sous-espace de AM˜ engendré par H1 ; – α ˇ b,i2 appartient au sous-espace engendré par H1 et H2 ; – ··· – α ˇ b,im appartient au sous-espace engendré par H1 ,. . .,Hm . Ces conditions déterminent les indices et, quitte à permuter l’ensemble d’indices, on peut supposer i1 = 1,. . ., im = m. On va prouver par récurrence sur m que (7) pour tout λ ∈ V [m] et tout μ ∈ A∗M,C ˜ , on a l’égalité  b∈B[m]

cb



−1

p(yb,i + λ, α ˇ b,i ) μ, α ˇ b,i 

= 0.

i=1,...,n

Pour m = 0, B[m] = B et l’égalité est un cas particulier de (4). Supposons m > 0 et la relation prouvée pour m − 1. Soit λ ∈ V [m]. Les conditions imposées à C impliquent qu’il y a au moins h + 1 points z ∈ C tels que λm − z ∈ 2DZ, −C 2m ≤ Re(z) ≤ −C 2m−1 . Pour un tel point, notons λ[z] l’élément de A∗M˜ ,C tel que λ[z]i = λi pour i = m et λ[z]m = z. Montrons que l’on peut choisir z tel que λ[z] ∈ H. En effet, supposons que tous les λ[z] appartiennent à H. Puisqu’on a au moins h + 1 points z, il y en a au moins deux, disons z et z  , tels que λ[z] et λ[z  ] appartiennent à un même  z−λm  m hyperplan contenu dans H. Alors λ = zz−λ  −z λ[z] + z−z  λ[z ] appartient aussi à cet hyperplan, contrairement à l’hypothèse. Cela prouve l’assertion. On choisit un z tel que λ[z] ∈ H et on pose simplement λ = λ[z]. Les deux éléments λ et λ

IX.5. Des variantes de l’application φM˜

1089

appartiennent à V [m − 1]. On applique l’hypothèse de récurrence à chacun d’eux et on obtient par différence   −1 cb Xb (λ, λ ) μ, α ˇ b,i  = 0, (8) b∈B[m−1]

où



Xb (λ, λ ) =

i=1,...,n

p(yb,i + λ, α ˇ b,i ) −

i=1,...,n



p(yb,i + λ , α ˇ b,i ).

i=1,...,n

Montrons que (9) pour b ∈ B[m − 1], on a les égalités   2 i=1,...,n p(yb,i + λ, α ˇ b,i ),  Xb (λ, λ ) = 0,

si b ∈ B[m], si b ∈  B[m].

Pour i ≤ m − 1, λ, α ˇ b,i  est combinaison linéaire des λl pour l ≤ m − 1 et remplacer λ par λ ne change rien. Soit i ≥ m. Notons li,max le plus grand entier l tel que xb,i,l = 0, avec la notation de (6). On a li,max ≥ m. On a  xb,i,l λl . λ, α ˇb,i  = l=1,...,li,max

La condition λ ∈ V [m − 1] et la condition imposée à C impliquent que  | Re(xb,i,li,max λli,max )| > |xb,i,l λl |. l=1,...,li,max −1

Donc Re(λ, α ˇb,i ) est du même signe que Re(xb,i,li,max λli,max ). La même propriété vaut avec λ remplacé par λ . En conséquence, Re(λ, α ˇb,i ) et Re(λ , α ˇ b,i ) sont de même signe si li,max > m, tandis qu’ils sont de signes opposés si li,max = m. Par ailleurs, la condition λm − λm ∈ 2DZ implique que ˇ b,i  ∈ 2Z. λ, α ˇ b,i  − λ , α D’après (2), on a donc ˇ b,i ) = p(yb,i + λ , α ˇ b,i ) p(yb,i + λ, α si li,max > m tandis que ˇ b,i ) = −p(yb,i + λ , α ˇb,i ) p(yb,i + λ, α si li,max = m. Les deux produits figurant dans la définition de Xb (λ, λ ) sont donc soit égaux, soit opposés. Ils sont égaux exactement si le nombre d’indices i ≥ m tels que li,max = m est impair. Or il résulte des définitions que ce nombre d’indices est au plus 1 et qu’il est égal à 1 exactement si b ∈ B[m]. Cela prouve (9).

1090

Chapitre IX. Le cas archimédien

Les relations (8) et (9) entraînent la conclusion de (7). Cela prouve cette assertion (7). Pour b ∈ B[n], l’ordre des indices des familles associées à b est imposé (ˇ αb,i appartient au sous-espace engendré par H1 , . . . , Hi ). Pour un entier q ∈ {1, . . . , n+ 1}, notons B[n, q] le sous-ensemble des b ∈ B[n] tels que xb,i,l = 0 pour i ≥ q et l = i. Autrement dit, en posant simplement xb,i = xb,i,i , on a α ˇb,i = xb,i Hi pour i ≥ q. Montrons que (10) pour tout λ ∈ V [n] et tout μ ∈ A∗M,C ˜ , on a l’égalité  b∈B[n,q]

 cb 



 p(yb,i + λ, α ˇ b,i )

i=1,...,n



−1

 x−1 b,i

i=q,...,n

 μ, α ˇ b,i 



= 0.

i=1,...,q−1

On raisonne par récurrence descendante sur q. Pour q = n + 1, c’est l’assertion (7) pour m = n. Supposons q ≤ n et l’assertion prouvée pour q + 1. Remarquons que l’assertion à prouver ne dépend de μ que via les coordonnées μ1 ,. . .,μq−1 . Puisque l’expression est méromorphe en μ, on peut se limiter au cas où ces coordonnées sont en position générale. Considérons ces coordonnées comme fixées et considérons la relation ci-dessus pour q + 1. Elle dépend de la coordonnée μq que l’on considère comme variable. On regarde son résidu en μq = 0. Les −1 seuls termes pouvant créer un résidu sont les μ, α ˇ b,q  pour b ∈ B[n, q + 1]. Plus explicitement, ce terme est  −1  μi xb,q,i . i=1,...,q

S’il y a un i < q tel que xb,q,i = 0, l’hypothèse que μ1 ,. . .,μq−1 sont en position générale implique que le terme ci-dessus n’a pas de pôle en μq = 0. Si xb,q,i = 0 pour tout i < q, il y a un pôle et le résidu est x−1 b,q,q . Or la condition que xb,q,i = 0 pour tout i < q équivaut à b ∈ B[n, q]. On voit alors que l’expression à prouver est égale au résidu en μq = 0 de la même expression pour q + 1. Cela prouve (10). Posons simplement B ∗ = B[n, 1]. C’est l’ensemble des b ∈ B tels que, pour tout i, α ˇ b,i = xb,i Hi . La relation (10) pour q = 1 se récrit   cb x−1 (11) b,i p(yb,i + λi xb,i ) = 0 b∈B ∗

i=1,...,n

pour tout λ ∈ V [n]. Montrons que (12) il existe λ ∈ V [n] tel que yb0 ,i + λi ∈ 1 + 2DZ pour tout i. Rappelons que yb0 ,i est imaginaire pour tout i. Pour tout i, notons Zi l’ensemble des points z ∈ C tels que yb0 ,i + z ∈ 1 + 2DZ et C 2i−1 ≤ Re(z) ≤ C 2i .

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6. Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

1091

La condition imposée à C implique que Zi a au moins h + 1 éléments. Notons Z l’ensemble des λ tels que λi ∈ Zi pour tout i. Un élément λ de cet ensemble convient, pourvu qu’il n’appartienne pas à H. Il s’agit de prouver que Z n’est pas inclus dans H. Soit H un hyperplan contenu dans H. Il y a un indice i tel que l’hyperplan vectoriel sous-jacent à H ne contienne pas la droite portée par Hi . Pour  cet indice, la projection λ → (λl )l=i est injective sur H.Elle envoie Z ∩ H dans l=i Zl . Donc le nombre d’éléments de Z ∩H est au plus l=i |Zl |, ou encore |Z||Zi |−1 , et ce nombre est majoré par (h + 1)−1 |Z|. Puisqu’il y a h hyperplans, h on en déduit que Z ∩ H a au plus h+1 |Z| éléments. Donc Z n’est pas contenu dans H, ce qui prouve (12). Appliquons (11) à un λ vérifiant (12). Pour b ∈ B ∗ et i ∈ {1, . . . , n}, on a ˇ b,i . On a aussi Re(λi ) > 0 par xb,i > 0 d’après la condition de positivité imposée à α définition de V [n]. Donc les termes yb,i +λi xb,i et yb,i +(1−yb0 ,i )xb,i ont des parties réelles de même signe. Leur différence appartient à 2Z. D’après (2), la fonction p prend la même valeur sur ces deux termes. Puisque Re(yb,i + (1 − yb0 ,i )xb,i ) = xb,i , la définition de cette fonction entraîne p(yb,i + λi xb,i ) = 0 si xb,i < 1. Supposons b = b0 . Prenons pour i le plus petit indice tel que xb,i = 1. La condition (5) implique xb,i < 1. La contribution de b à la formule (11) est donc nulle. Par contre, le même calcul montre que la contribution de b0 est p(1)n , c’est-à-dire cb0 (−2)−n . D’où cb0 (−2)−n = 0, ce qui est contradictoire puisque cb0 = 0. Cela achève la démonstration.  ˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6 Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

IX.6.1 Les applications stables Toute les constructions de cette section sont similaires à celles du cas non-archimédien. On se contentera la plupart du temps de rappeler les définitions et énoncés. ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Supposons (G, G, On note ˜ (R), K M ) ⊗ Mes(M (R)) → SIac (M ˜ (R), K M ) ⊗ Mes(M (R)) pst˜ : Iac (M M

˜

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G G la projection naturelle. Notons θM , θM˜ , θ M˜ . ˜ l’une de nos applications θM ˜ On définit une application linéaire ˜ G M ˜ ˜ SθM ˜ : I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → SIac (M (R), K ) ⊗ Mes(M (R))

par la formule de récurrence ˜



˜

G G st SθM ˜ (f ) = pM ˜ (f ) − ˜ ◦ θM

G (s)

˜ G ˜  (s))Sθ iM˜ (G, M



(f G (s) ).

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M ˜

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G G Selon ce qu’est l’application θM , SθM , SθM ˜ , on notera SθM ˜ l’applica˜ ˜ ˜

G tion SθM ˜.

1092

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

˜

˜

rat,G c rat,G G Proposition. Les applications SθM , SθM et c SθM ˜ se quotientent en des ap˜ ˜ ˜ plications linéaires définies sur SI(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).

Cela sera prouvé en 7.3. La proposition 2.3 de [VIII] est valable pour chacune de nos applications. Remarques. ˜

rat,G (1) L’application SθM peut être définie comme une application linéaire de ˜ ˜ ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R)). C’est-à-dire que l’on I(G(R)) ⊗ Mes(G(R)) dans SIac (M n’a pas besoin de supposer nos fonctions K-finies. L’application préserve ˜ rat,G néanmoins la propriété de K-finitude, puisqu’il en est de même de θM . ˜ ˜

G (2) Il résulte par récurrence des propriétés des applications θM ˜ que si l’on fixe un M ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω de K M -types tel que ˜ G M ˜ ˜ SθM ˜ envoie I(G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) dans SIac (M (R), Ω ) ⊗ Mes(M (R)).

rat,G IX.6.2 Propriétés de l’application c SθM ˜ ˜

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit On suppose encore (G, G, st ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ (M π ˜ ∈ Dtemp

˜ et f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).

On voit par récurrence que la fonction ˜

˜

rat,G X → S M (˜ π , X, c SθM (f )) ˜

est la transformée de Fourier d’une fonction sur iA∗M˜ , laquelle se prolonge en une fonction méromorphe sur A∗M˜ ,C qui vérifie les propriétés (2) à (5) de 5.2. On note ˜

rat,G π , λ, c SθM (f )). Pour ν ∈ A∗M˜ , on définit comme en 5.10 cette fonction λ → S M (˜ ˜ ˜

˜

˜

rat,G π , ν, X, c SθM (f )). On voit par récurrence la transformée de Fourier X → S M (˜ ˜ que l’on a l’analogue suivant de la proposition 5.10.

˜ = G ˜ et π ˜ Proposition. Supposons M ˜ elliptique. Soit f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). ˜ on a l’égalité Si chaque point νS˜ est assez positif relativement à S, 

˜

˜

G ωS˜ (X)S M (˜ π , νS˜ , X, c Sθrat, (f )) = 0 ˜ M

˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X ∈ AM˜ . Comme en 5.10, si l’on fixe un ensemble fini de K-types, on peut choisir les ˜ νS˜ indépendants de f et π ˜ , pourvu que f ∈ I(G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)).

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6. Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

1093

rat,G IX.6.3 Propriétés de l’application SθM ˜ ˜

Lemme. Il existe une unique application linéaire ˜ ˜ G G st ∗ ∗ ˜ ˜ σM ˜ : Dtemp,0 (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) → UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (M (R)) ⊗ Mes(M (R))

vérifiant la condition suivante. Soient st ˜ (R), ω)⊗Mes(M (R))∗ et X ∈ A ˜ . ˜ (M f ∈ I(G(R), K)⊗Mes(G(R)), π ˜ ∈ Dtemp,0 M

Alors on a l’égalité

˜

˜

rat,G S M (˜ π , X, SθM (f )) = ˜

G I M (σM π ; λ), fM˜ )e− λ,X dλ. ˜ (˜ ˜

˜

iA∗˜ M

˜

rat,G Preuve. On utilise la définition de SθM (f ) de 6.1. Pour le premier terme, on a ˜ ˜

˜

˜

˜

rat,G rat,G π , X, pst (f )) = I M (˜ π , X, θM (f )) S M (˜ ˜ ◦ θM ˜ ˜ M

puisque π ˜ est stable, d’où ˜

˜



rat,G S M (˜ π , X, pst (f )) = ˜ ◦ θM ˜ M

iA∗˜ M

I M (ρG π ; λ), fM˜ )e− λ,X dλ ˜ (˜ M ˜

˜

d’après le lemme 5.7. Pour les autres termes, on utilise l’énoncé par récurrence :  ˜ rat,G (s) G (s) G (s) S M (˜ π , X, SθM˜ (f )) = I M (σM (˜ π ; λ), (f G (˜s) )M )e− λ,X dλ. iA∗˜

M

˜, Evidemment, en identifiant l’espace de la donnée endoscopique maximale M à M  ˜ G (˜ π ) par on a simplement (f G (˜s) )M ) = fM˜ . En définissant σM ˜ ˜

˜

G π ) = ρG π) − σM ˜ (˜ ˜ (˜ M





˜ G ˜  (s))σ G (s) (˜ iM˜ (G, π ), M

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M

les formules précédentes conduisent à l’égalité de l’énoncé. L’unicité de l’applica˜ G  tion σM ˜ se prouve comme au lemme 5.7. Avec les mêmes notations qu’en 5.7(7), la définition par récurrence donnée ci-dessus entraîne ˜

G (1) σM ˜ envoie

dans

˜

st ∗ ˜ IndM ˜ (Dell,0,μ (R(R), ω)λ ⊗ Mes(R(R)) ) R ˜ ˜ M G ∗ ˜ UM ˜ (Dell,0,μ (R(R), ω)λ ⊗ Mes(R(R)) ). ˜ ⊗ IndR

1094

Chapitre IX. Le cas archimédien

G IX.6.4 Stabilité de l’application σM ˜ ˜

On conserve les mêmes hypothèses. ˜

G Lemme. L’application σM ˜ prend ses valeurs dans ˜ G st ∗ ˜ UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) .

Cela sera prouvé en 7.3.

IX.6.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit On suppose encore (G, G, st ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ . (M δ ∈ Dorb ˜

˜ On définit une forme linéaire f → c S G ˜ (δ, f ) sur I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) par la M formule habituelle   ˜ ˜ c G ˜ G ˜  (s))c S G (s) (δ, f G (s) ). SM˜ (δ, f ) = c I G iM˜ (G, ˜ (δ, f ) − M M ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M)

La propriété de compacité 5.13(3) reste valable pour cette distribution. st ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ , la forme linéaire f → (M Proposition. Pour tout δ ∈ Dorb ˜ G ˜ S M˜ (δ, f ) se quotiente en une forme linéaire sur SI(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).

c

Cela sera prouvé en 7.3.

IX.6.6 Les applications endoscopiques ˜ une ˜ a) est quelconque. Soient M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et M = (M  , M , ζ) Le triplet (G, G, ˜ , a). Considérons l’une de donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, M ˜ c rat,G ˜ ˜ ˜ rat,G G nos applications θM , θM˜ , c θG ˜ que l’on note θM ˜ . On définit une application ˜ M linéaire 

˜

G,E   M ˜ ) ⊗ Mes(M  (R)) θM ˜ (M ) : I(G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → SIac (M , K

par la formule ˜

G,E  θM ˜ (M , f ) =





 G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))SθM (f G (˜s) ).

˜ M) ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s˜∈ζZ(

˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où Dans le cas particulier où (G, G, ˜ G  M = M, il faut remplacer le terme indexé par s = 1 par SθM ˜ (f ), cela parce que

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6. Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

1095 ˜

G l’on n’a pas encore démontré que l’application SθM ˜ était stable. On note suivant ˜

˜

˜

G,E rat,G,E rat,G,E  les cas cette application θM (M ), c θM (M ), c θM ˜ (M ). ˜ ˜ ˜ a), un K-espace de Levi Considérons maintenant un K-espace (KG, K G, ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ) et une donnée endoscopique M de (KM, K M ˜ , a) qui est ellipKM tique et relevante. On définit par la même formule une application linéaire ˜ K G,E   M ˜ θK ) ⊗ Mes(M  (R)). ˜ (M ) : I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → SIac (M , K M

Proposition. Il existe une unique application linéaire ˜

K G,E M ˜ ˜ θK ˜ : I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (K M (R), ω, K ) ⊗ Mes(M (R)) M

˜ , a) qui est elliptique telle que, pour toute donnée endoscopique M de (KM, K M ˜ et relevante et pour tout f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on ait l’égalité ˜



˜

K G,E K G,E M  = θK (θK ˜ (f )) ˜ (M , f ). M M ˜

˜

˜

rat,K G,E c rat,K G,E c K G,E L’application sera notée selon le cas θK , θK M˜ , θK M˜ . La preuve ˜ M est la même que dans le cas non-archimédien. Il faut utiliser la version «K-finie» de la proposition 4.11 de [I], à savoir le corollaire 3.5 de [IV]. Ces applications vérifient les mêmes propriétés que dans le cas non-archimé˜ une composante connexe de K M ˜ , soit π dien, cf. en particulier [VIII] 3.6. Soit M ˜∈ ∗ ˜ ˜ Dell (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) et f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). L’application ˜ ˜ K G,E X → I K M (˜ π , X, θK ˜ . Sa transformée de Fourier ˜ (f )) est de Schwartz sur AM M ˜

K G,E ∗ λ → I K M (˜ π , λ, θK ˜ ,C . Elle est ˜ (f )) s’étend en une fonction méromorphe sur AM M à décroissance rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite ˜ rat,K G,E en 5.2(3). Dans le cas de l’application c θK (et, en général, seulement dans ˜ M ce cas), les hyperplans polaires sont en nombre fini. ˜

Rappelons une propriété importante : ˜ = K G ˜ ; soit M ˜ une composante connexe de K M ˜ , soit π (1) supposons K M ˜ ∈ ∗ ˜ ˜ Dell (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) et f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) ; si chaque ˜ on a l’égalité point νS˜ est assez positif relativement à S, 

˜

˜

G,E ωS˜ (X)I K M (˜ π , νS˜ , X, c θrat,K (f )) = 0 ˜ KM

˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X ∈ AM˜ . Les propriétés de K-finitude du transfert entraînent que, si l’on fixe un ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini ΩM de K M -types de sorte que ˜ K G,E M ˜ ˜ θK ˜ envoie I(K G(R), ω, Ω)⊗Mes(G(R)) dans Iac (K M (R), ω, Ω )⊗Mes(M (R)). M

1096

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

G,E La remarque qui suit la proposition 5.10 vaut pour l’application c θrat,K . C’est˜ KM ˜

˜

G,E à-dire que les pôles de la fonction λ → I K M (˜ π , λ, c θrat,K (f )) restent dans un ˜ KM ˜ nombre fini d’hyperplans indépendants de f , pourvu que f ∈ I(K G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)). ˜

rat,K G,E Remarque. Ici encore, l’application θK peut être définie sur des fonctions ˜ M qui ne sont pas K-finies.

IX.6.7 Egalité d’applications linéaires ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ). Considérons un K-espace (KG, K G, ˜ ˜ ˜ ˜ Notons K G = (Gp )p∈Π , K M = (Mp )p∈ΠM . Considérons l’une de nos applica˜

˜

˜

˜

rat,G c rat,G G , θM˜ ou c θ G tions génériques θM ˜ , que l’on note simplement θM ˜ . On définit ˜ M l’application linéaire ˜ KG M ˜ ˜ θK ˜ : I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac (K M (R), ω, K ) ⊗ Mes(M (R)) M ˜ G

comme la somme directe des applications θM˜p pour p ∈ ΠM et des applications p

nulles pour p ∈ Π − ΠM . ˜

˜

K G,E KG Proposition (à prouver). On a l’égalité θK ˜. ˜ = θK M M

On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7). rat,K G,E IX.6.8 Propriétés de l’application θK ˜ M ˜

˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ . Ecrivons Considérons un K-espace (KG, K G, ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ K G = (Gp )p∈Π , K M = (Mp )p∈ΠM . On définit Dtemp(K M (R), ω) comme la

˜ p (R), ω) pour p ∈ ΠM . Pour π somme directe des espaces Dtemp(M ˜ = p∈ΠM π ˜p ˜ dans cet espace et pour f = (fp )p∈ΠM ∈ I(M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)), on pose ˜

π, f ) = I K M (˜



˜

I Mp (˜ πp , fp ).

p∈ΠM

˜ (R), ω) etc. . . On a diverses variantes : Dtemp,0 (K M Lemme. Il existe une unique application linéaire ˜

K G,E ∗ ˜ ρK ˜ : Dtemp,0 (K M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) M ˜ G ∗ ˜ → UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (K M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6. Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

1097

vérifiant la condition suivante. Soient ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ π ˜ ∈ Dtemp,0 (K M

˜ f ∈ I(K G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), et X ∈ AM˜ . Alors on a l’égalité I

˜ KM

˜ rat,K G,E (˜ π , X, θK (f )) ˜ M



G I K M (ρK π ; λ), fK M˜ )e− λ,X dλ. ˜ (˜ KM ˜

= iA∗˜ M

˜

˜ , a) de représentants des classes d’équivaPreuve. On introduit un ensemble E(K M ˜ a) qui sont elliptiques et relevantes. lence de données endoscopiques de (KM, K M,  st ˜ Pour tout M ∈ E(K M , a), on peut introduire un élément π ˜M ∈ Dtemp,0 (M ) ⊗  ∗ Mes(M (R)) de sorte que 

π ˜=

transfert(˜ πM ).

˜ M ∈E(K M,a)

On n’a aucun mal à prouver l’égalité 

˜

˜

rat,K G,E I K M (˜ π , X, θK (f )) = ˜ M



˜



rat,K G,E S M (˜ πM , X, θK (f )M ). ˜ M

˜ M ∈E(K M,a)

A droite, on a identifié X à un élément de AM˜  par l’isomorphisme entre cet espace ˜ Par définition ˜ , a), que l’on écrit M = (M  , M , ζ). et AM˜ . Fixons M ∈ E(K M ˜

rat,K G,E de θK (f ), le dernier terme ci-dessus est aussi ˜ M 

˜

rat,K G,E S M (˜ πM , X, θK (M , f )). ˜ M

Ou encore 



 rat,G (˜ s) G (˜ ˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))S M (˜ πM , X, SθM (f s) )).

ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ s˜∈ζZ(

Fixons s˜ et appliquons le lemme 6.2. Nos hypothèses de récurrence nous autorisent à utiliser le lemme 6.3. On obtient rat,G (˜ s)





πM , X, SθM (f G (˜s) )) S M (˜   G (˜ s) = S M (σM (˜ πM ; λ), (f G (˜s) )M )e− λ,X dλ. iA∗˜  M





On a (f G (˜s) )M = (fK M˜ ,ω )M . Alors 

G (˜ s)



G (˜ s)

S M (σM (˜ πM ; λ), (f G (˜s) )M ) = I K M (transfert(σM ˜

(˜ πM ; λ)), fK M˜ ,ω ).

1098

Chapitre IX. Le cas archimédien G (˜ s)

˜  (˜ G s)

On peut identifier A∗M˜  à A∗M˜ . L’application σM prend ses valeurs dans UM˜ 

G (˜ s) st Dtemp,0 (M ). Ecrivons σM (˜ πM ) = j=1,...,k uj ⊗ τ˜j . Alors G (˜ s)

transfert(σM



(˜ πM ; λ)) =

⊗

uj (λ) transfert(˜ τj,λ ).

j=1,...,k

Cela s’interprète comme la valeur en λ de l’élément j=1,...,k uj ⊗ transfert(˜ τj ). Pour interpréter ce dernier terme comme un élément de notre espace ˜

G ˜ UM ˜ ⊗ Dtemp,0 (K M (R), ω),

il faut remarquer que ˜  (˜ G s)

(1) UM˜ 

˜

G est inclus dans UM ˜.

˜ et (B  , T  ) de G (˜ Introduisons des paires de Borel (B, T ) de K G s) de sorte que M soit standard pour (B, T ) et M  soit standard pour (B  , T  ). L’ensemble ˇ  (A ˜ ) de 5.4 est celui des restrictions non nulles à A∗ d’éléments de Σ(T ˇ ). L’enΣ ˜ M M ∗ ˇ semble similaire Σ (AM˜  ) est celui des restrictions non nulles à AM˜  d’éléments ˇ  ). On a un isomorphisme T   T /(1 − θ)(T ), d’où un homomorphisme de Σ(T X∗ (T ) → X∗ (T  ). Les descriptions usuelles des systèmes de racines montrent que ˇ  ) est contenu dans l’image de Σ(T ˇ ) par cet homomorphisme. Modulo l’idenΣ(T ˇ  (A ˜  ) ⊂ Σ ˇ  (A ˜ ). tification de A∗M˜  à A∗M˜ , on en déduit aisément l’inclusion Σ M M ˜  (˜ G s)

L’assertion (1) résulte alors de la définition donnée en 5.4 des espaces UM˜ 

˜

G et UM ˜.

˜

K G,E  ˜M ) par la formule Définissons ρK ˜ (M , π M ˜

(2)

K G,E  ρK ˜M ) ˜ (M , π M  =

G (˜ s)

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s)) transfert(σM (˜ πM )).

ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ s˜∈ζZ(

On obtient l’égalité 

(3)



˜

rat,K G,E S M (˜ πM , X, θK (f )M ) ˜ M ˜ ˜ K G,E  = I K M (ρK ˜M , λ), fK M˜ ,ω )e− λ,X dλ. ˜ (M , π M iA∗˜

M

˜

K G,E π ) par Définissons ρK ˜ (˜ M ˜

K G,E π) = ρK ˜ (˜ M



˜

K G,E  ρK ˜M ). ˜ (M , π M

˜ M ∈E(K M,a)

On obtient alors la formule de l’énoncé. L’unicité se prouve comme au lemme 5.7. 

˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G IX.6. Endoscopie et applications θM , θ M˜ , θM˜ ˜

1099

K G,E G IX.6.9 Egalité des fonctions ρK ˜ et ρK M ˜ KM ˜

˜

On conserve la même situation. On définit ˜ ˜ G G ∗ ∗ ˜ ˜ ρK ˜ ⊗ Dtemp,0 (K M (R)) ⊗ Mes(M (R)) ˜ : Dtemp,0 (K M (R)) ⊗ Mes(M (R)) → UM KM ˜ G

comme la somme directe des applications ρM˜p pour p ∈ ΠM . p

˜

˜

K G,E KG Lemme (à prouver). On a l’égalité ρK ˜. ˜ = ρK M M

On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).

IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques ˜ a) un triplet général et M ˜ un espace de Levi de G. ˜ Soit (G, G,    ˜ Soit M = (M , M , ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de   ∗ ˜ , a). Pour δ ∈ Dst ˜ (M, M ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (R)) et f ∈ I(G(R), ω, K) ⊗ orb,G Mes(G(R)), on pose ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )



=

G (˜ s)



˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))c S M (δ, f G (˜s) ).

˜ M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(G) ˆ ΓR ,θˆ s˜∈ζZ(

˜ a) est quasi-déployé et à torsion intéIci encore, dans le cas particulier où (G, G, ˜ G  rieure et où M = M, on doit remplacer le terme indexé par s = 1 par c SM ˜ (δ, f ). ˜ Considérons maintenant un K-espace (KG, K G, a) et un K-espace de Levi ˜ une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜ . Soit M = (M  , M , ζ) KM st ˜ ˜ ω, K) ⊗ (KM, K M , a). Pour δ ∈ Dorb,G˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M  (R))∗ et f ∈ I(K G(R), ˜

K G,E  Mes(G(R)), on définit c IK ˜ (M , δ, f ) par la même formule que ci-dessus. M ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ . On peut déSoit maintenant γ ∈ Dorb,G˜ -reg (K M

˜ p (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ . Pour composer γ en p∈ΠM γ p , où γ p ∈ Dorb,G˜ -reg (M ˜ ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on pose f = (fp )p∈Π ∈ I(K G(R), ˜ c KG I K M˜ (γ, f )

=



˜ c G I M˜p (γ p , fp ). p

p∈ΠM

˜ , a) de représentants des classes d’équivaOn introduit un ensemble E(K M ˜ a) qui sont elliptiques et relevantes. lence de données endoscopiques de (KM, K M, On écrit  transfert(δ M ), γ= ˜ M ∈E(K M,a)

1100

Chapitre IX. Le cas archimédien

st   ∗ où les δ M appartiennent à Dorb, ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (R)) . On pose G ˜ c K G,E IK M˜ (γ, f )



=

˜ c K G,E I K M˜ (M , δ M , f ).

˜ M ∈E(K M,a)

Cela ne dépend pas de la décomposition de γ choisie (la preuve est analogue à celle de [II] 1.15). ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ et Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ Dorb,G˜ -reg (K M ˜ tout f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité ˜ c K G,E IK M˜ (γ, f )

˜

G = cI K ˜ (γ, f ). KM

On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui sera vérifiée au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).

IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure ˜ a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On n’a pas envie de Soit (G, G, le plonger dans un K-espace car cela perturberait nos hypothèses de récurrence. Mais on peut reformuler les assertions des paragraphes 6.6 à 6.10 en se passant d’un tel plongement. ˜ un espace de Levi de G ˜ et soit M = (M  , M , ζ) une donnée enAinsi, soit M ˜ ). Notons θG˜ l’une de nos applications doscopique elliptique et relevante de (M, M ˜ M ˜

˜

˜

rat,G c rat,G c G , θ M˜ , θM˜ . La proposition 6.7 se reformule par : θM ˜

˜ (A) pour tout f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité ˜



G,E G  M . θM ˜ (f )) ˜ (M , f ) = (θM ˜

st   ∗ Soit δ ∈ Dorb, ˜ -reg (M )⊗ Mes(M (R)) . La proposition 6.10 se reformule par G

˜ (B) pour tout f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )

˜

= cI G ˜ (transfert(δ), f ). M

st Soit π ˜M ∈ Dtemp,0 (M ) ⊗ Mes(M  (R))∗ . On peut poser comme en 6.8(2) : ˜

G,E  ρM ˜ M ) = ˜ (M , π

 ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR s∈ζZ(M



˜ G ˜  (s)) transfert(σ G (s) (˜ iM˜  (G, πM )). M

IX.7. Les preuves des assertions de la section 6

1101

˜ Pour f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), l’égalité 6.8(3) (qui est déjà prouvée) peut se récrire 

˜

rat,G,E S M (˜ πM , X, θM (M , f )) ˜ ˜ ˜ G,E  I M (ρM ˜M , λ), fM˜ ,ω )e− λ,X dλ. = ˜ (M , π

(1)

iA∗˜

M

Le lemme 6.9 peut se récrire st (C) pour tout π ˜M ∈ Dtemp,0 (M ) ⊗ Mes(M  (R))∗ , on a l’égalité ˜

G,E  πM )) = ρM ˜M ). ρG ˜ (transfert(˜ ˜ (M , π M ˜

Les assertions (A), (B) et (C) seront prouvées en 7.5. On aura besoin d’un substitut de la propriété 6.6(1) (qui est déjà prouvée). ˜ K)⊗Mes(G(R)). On n’a aucun Soit π ˜M ∈ Dell (M )⊗Mes(M  (R))∗ et f ∈ I(G(R),  ˜ rat, G,E mal à définir les termes S M (˜ πM , ν, X, cθ M˜ (M , f )) pour ν ∈ A∗M˜ et X ∈ AM˜ . Alors ˜ on ˜ = G ˜ ; si chaque point ν ˜ est assez positif relativement à S, (2) supposons M S a l’égalité   ˜ rat,G,E ωS˜ (X)S M (˜ πM , νS˜ , X, c θM (M , f )) = 0 ˜ ˜ ˜ S∈P( M)

pour tout X ∈ AM˜ .

IX.7 Les preuves des assertions de la section 6 IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques et leurs variantes Dans ce paragraphe et le suivant, on considère l’une des trois situations ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0) ; (A) on se donne un triplet (KG, K G, ˜ (B) on se donne un triplet (G, G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et un ˜; espace de Levi M ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un (C) on se donne un triplet (G, G, ˜) ˜ espace de Levi M et une donnée endoscopique M = (M  , M , ζ) de (M, M qui est elliptique et relevante. Lemme. ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ et f ∈ (i) Dans le cas (A), soient γ ∈ Dorb,G˜ -reg (K M ˜ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité  ˜ ˜ ˜ K L,E c K G,E c K G,E IK M˜ (γ, f ) = IK ˜ (γ, θ K L ˜ (f )). M ˜ ˜ K L∈L(K M)

1102

Chapitre IX. Le cas archimédien

(ii) Dans le cas (B), soient st ∗ ˜ ˜ δ ∈ Dorb, ˜ -reg (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) et f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). G

On a l’égalité c



˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜

˜

G L c SM ˜ (f )). ˜ (δ, Sθ L

˜ ˜ L∈L( M)

(iii) Dans le cas (C), soient st   ∗ ˜ δ ∈ Dorb, ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (R)) et f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). G

On a l’égalité ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )





˜

 = S M (δ, c θ G,E ˜ (M , f )) + M

˜

˜

L,E  c G IM ˜ (f )). ˜ (M , δ, θ L

˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

Preuve. La preuve du (i) est similaire à celle du cas non-archimédien ([VIII] proposition 4.1). Traitons (iii). Supposons d’abord que M est la donnée triviale M. ˜ La distribution f → c S G ˜ (δ, f ) est définie de sorte que l’on ait l’égalité M ˜ c G,E IM˜ (M, δ, f )

˜

= cI G ˜ (δ, f ). M

˜ ∈ L(M ˜ ) avec L ˜= ˜ , la distribution ϕ → S L˜ (δ, ϕ) est définie De même, pour L  M ˜ M de sorte que l’on ait l’égalité ˜

˜

L,E L IM ˜ (δ, ϕ). ˜ (M, δ, ϕ) = IM ˜

G L’application c SθM ˜ est définie de sorte que l’on ait l’égalité ˜ c G,E θM˜ (M, f )

˜

c G = pst ˜ (f ). ˜ ◦ θM M

˜

˜

M Puisque δ est stable, on a S M (δ, pst ˜ (ϕ)) = I (δ, ϕ) pour tout M

˜ (R), K M ) ⊗ Mes(M (R)). ϕ ∈ I(M L’égalité à prouver se transforme en ˜ c G IM˜ (δ, f )

=



˜

˜

L c G IM ˜ (f )), ˜ (δ, θ L

˜ ˜) L∈L( M

ce qui est la relation 5.13(5). Cela conclut le cas M = M. Supposons maintenant M = M. Le même calcul qu’en [VIII] 4.1 conduit à l’égalité ˜ c G,E IM˜ (M , δ, f )

(1)

=





˜ ˜ ) s∈ζZ(M ˆ ΓR /Z(G) ˆ ΓR L∈L( M



˜  ˜ L ˜  (s))S L (s) (δ, c θG,E iM˜  (L, ˜ (L (s), f )). M L

IX.7. Les preuves des assertions de la section 6

1103

˜=M ˜ , la somme en s est réduite à l’élément s = ζ et le terme dans la somme Pour L ˜ = M ˜ , on est le premier terme du membre de droite de l’égalité de l’énoncé. Pour L ˜ ˜ c G,E  c G L (s) . Le peut utiliser par récurrence l’assertion 6.11(A) : θL˜ (L (s), f ) = ( θL˜ (f )) ˜ ˜ L,E  c G ˜ terme indexé par L dans l’expression ci-dessus devient alors IM˜ (M , δ, θL˜ (f )). ˜ dans le membre de droite de l’égalité de l’énoncé. C’est le terme indexé par L L’égalité (1) devient donc celle de l’énoncé. Le (ii) se prouve comme dans le cas non-archimédien en appliquant au cas M = M la preuve que l’on a donnée du (iii) dans le cas M = M. On renvoie le lecteur à la preuve de [VIII] proposition 4.1(ii).  rat,K G,E c rat,K G,E c K G,E IX.7.2 Relation entre les applications θK , θK M , θK M ˜ ˜ ˜ M ˜

˜

˜

On se réfère aux cas (A), (B), (C) du paragraphe précédent. Lemme. ˜ (i) Dans le cas (A), soit f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité  ˜ ˜ ˜ rat,K L,E G,E c K G,E θK M˜ (f ) = θK ◦ c θ rat,K (f ). ˜ ˜ M KL ˜ ˜ K L∈L(K M)

˜ (ii) Dans le cas (B), soit f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité  ˜ ˜ c ˜ ˜ rat,G rat,L rat,G G c SθM (f ) + SθM ◦ SθL (f ). ˜ (f ) = SθM ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

˜ (iii) Dans le cas (C), soit f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ G,E rat,L,E G c G,E θM˜ (M , f ) = c θrat, (M , f ) + θM (M , c θrat, (f )). ˜ ˜ ˜ M L ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M), ˜

rat,G Remarque. Quand on aura prouvé la stabilité de l’application SθM , le premier ˜ terme du membre de droite de (ii) rentrera dans la somme qui le suit, où la ˜ = G ˜ disparaîtra. restriction L

˜ , a), Preuve. Considérons (i). Il suffit de prouver que, pour tout M ∈ E(K M  les transferts à M des deux membres de l’égalité sont égaux. En appliquant les définitions, cela revient à prouver l’égalité  ˜ ˜ ˜ rat,K L,E G,E c K G,E (1) θK M˜ (M , f ) = θK (M , c θ rat,K (f )). ˜ ˜ M KL ˜ ˜ K L∈L(K M)

˜ Utilisons la définition du membre de gauche Notons M = (M  , M , ζ).   ˜ G (˜ s) c K G,E ˜ G ˜  (˜ θK M˜ (M , f ) = iM˜  (G, s))c SθM (f G (˜s) ). ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓR ,θ /Z(G) ˆ ΓR ,θ s˜∈ζZ(

1104

Chapitre IX. Le cas archimédien

Nos hypothèses de récurrence et quelques formalités nous autorisent à appliquer aux termes du membre de droite le (ii) du présent énoncé, simplifié par la remarque qui suit cet énoncé. Le terme indexé par s˜ se développe en une somme indexée par ˜  ∈ LG˜  (˜s) (M ˜  ). Comme toujours, un tel L ˜  détermine un K-espace de Levi K L. ˜ L s˜ s˜ ˜ a). On Il s’identifie alors à l’espace de la donnée endoscopique L (˜ s) de (KL, K L, ˜ s˜) selon le K-espace de Levi K L. ˜ On obtient regroupe les couples (˜ s, L ˜ c K G,E θK M˜ (M , f )



˜ ˜ ) s˜∈ζZ( ˜ M ˆ )ΓR ,θˆ/Z(L) ˆ ΓR ,θˆ,L (˜ K L∈L(K M s) elliptique



(2)



=







˜ (˜ s) c rat,G (t˜) ˜ G ˜  (t˜))Sθrat,L iM˜  (G, ◦ SθL (˜s) (f G (t) ). M

ˆ ΓR ,θˆ ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) t˜∈˜ sZ(L)

On a comme toujours l’égalité ˜ G ˜  (t˜)) = i ˜  (L, ˜ L ˜  (˜ ˜ G ˜  (t˜)). iM˜  (G, s))iL˜  (˜s) (G, M Sous cette forme, la restriction que L (˜ s) doit être elliptique devient superflue. Pour tout s˜, on a par définition 

rat,G (t˜)

˜ G ˜  (t˜))c Sθ  iL˜  (˜s) (G, L (˜ s)



˜

G,E (f G (t) ) = c θrat,K (L (˜ s), f ) ˜ KL ˜

ˆ ΓR ,θˆ ˆ ΓR ,θˆ/Z(G) t˜∈˜ sZ(L) ˜



G,E (f )L (˜s) . = c θrat,K ˜ KL

˜ de l’expression (1) devient Le terme indexé par K L 



 ˜ rat,L (˜ s) c rat,K G,E ˜ L ˜  (˜ iM˜  (L, s))SθM ( θK L˜ (f )L (˜s) ).

ˆ

ˆ

˜ M) ˆ ΓR ,θ /Z(L) ˆ ΓR ,θ s ˜∈ζZ( ˜

˜

rat,K L,E G,E (M , c θ rat,K (f )). Mais alors le membre de droite Par définition, c’est θK ˜ ˜ M KL de (2) devient égal à celui de (1). Cela démontre cette égalité (1) et l’assertion (i) de l’énoncé. ˜ G Traitons (iii). Supposons d’abord M = M. Comme on l’a dit, en notant θM ˜ ˜

˜

G G l’une de nos application c θrat, etc. . ., l’application SθM ˜ est définie de sorte que ˜ M l’on ait l’égalité ˜ ˜ G,E G st θM ˜ (f ). ˜ ◦ θM ˜ (M, f ) = pM

Alors l’égalité du (iii) n’est autre que l’égalité du lemme 5.12 à laquelle on applique  la projection pst ˜ . Supposons maintenant M = M. On reprend la preuve du (i) en M supprimant les K et en remplaçant s˜ par s. Le calcul marche jusqu’au point où on  ˜ ˜ rat,G,E rat,G,E a utilisé l’égalité c θL (L (s), f ) = (c θL (f ))L (s) . Ici, on ne dispose plus de ˜ ˜ ˜ ˜ = M ˜ , on peut utiliser l’assertion 6.11(A) : on a l’application c θrat,G,E . Mais, si L ˜ L

IX.7. Les preuves des assertions de la section 6

1105

˜ c rat,G θL˜ (L (s), f )

 ˜ rat,G ˜ = M ˜ se = (c θL (f ))L (s) . Le calcul des termes indexés par un L ˜ poursuit comme ci-dessus et donne le terme voulu du membre de droite de l’égalité  ˜ rat,G,E ˜ . C’est simplement Sθrat,M du (iii). Il reste le terme indexé par M (c θM (M , f )). ˜ M 

rat,M Mais SθM est simplement l’identité de l’espace SIac (M ) ⊗ Mes(M  (R)). Le  ˜

rat,G,E (M , f ), qui est le premier terme du membre de terme précédent est donc c θM ˜ droite de l’égalité du (iii). Cela prouve (iii). Le (ii) se prouve comme toujours en appliquant au cas M = M la preuve que l’on a donnée du (iii) dans le cas M = M. On renvoie le lecteur à la preuve similaire de [VIII] proposition 4.1(ii). 

IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Comme toujours, les On suppose (G, G, ˜ = G. ˜ On suppose M ˜ = G. ˜ propriétés à démontrer sont tautologiques si M ˜ Soit f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) dont l’image dans ˜ SI(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) st ∗ ˜ ˜ ˜ ˜ M ˜ , nos est nulle. Soit δ ∈ Dorb, ˜ -reg (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) . Pour L ∈ L(M ), L = G ˜

G hypothèses de récurrence assurent que c SθL ˜ (f ) = 0. Le lemme 7.1(ii) se simplifie en c

(1)

˜

˜

˜

rat,G G SθM (δ, f ) = S M (δ, c SθM ˜ (f )). ˜

˜ rat,G ˜ = G ˜ et le lemme 7.2(ii) se simplifie en (f ) = 0 pour L On a aussi c SθL ˜ c

(2)

˜

˜

˜

rat,G rat,G G c SθM (f ) + SθM (f ). ˜ (f ) = SθM ˜ ˜

Le membre de gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte ˜ G M ˜ que c SθM ˜ (f ), qui est a priori un élément de SIac (M (R), K )⊗ Mes(M (R)), est en ˜ (R), K M ) ⊗ Mes(M (R)). fait «à support compact», c’est-à-dire appartient à SI(M ˜ G st ∗ c ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R)) . Puisque Sθ (f ) est à support compact, Soit π ˜ ∈ Dell,0 (M ˜ M

G ∗ la fonction λ → S M (˜ πλ , c SθM ˜ (f )) est holomorphe pour λ ∈ AM ˜ ,C . Sa transformée ˜

˜

G π , X, c SθM de Fourier sur iA∗M˜ est la fonction X → S M (˜ ˜ . D’après (2), ˜ (f )) sur AM c’est la fonction ˜

˜

˜

˜

˜

˜

rat,G rat,G π , X, c SθM (f )) + S M (˜ π , X, SθM (f )). X → S M (˜ ˜ ˜

Or la première fonction est la transformée de Fourier de la fonction ˜

˜

rat,G π , λ, c SθM (f )). λ → S M (˜ ˜

1106

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

˜

G La seconde est la transformée de Fourier de λ → I M (σM π , λ), fM˜ ) d’après le ˜ (˜ lemme 6.2. Il en résulte que ˜

˜

˜

˜

˜

˜

rat,G G M G πλ , c SθM π , λ, c SθM (f )) + I M (σM π , λ), fM˜ ). S M (˜ ˜ (f )) = S (˜ ˜ (˜ ˜

(3)

La fonction de gauche est holomorphe. La première fonction de droite n’a qu’un ˜ ˜ G nombre fini d’hyperplans polaires. Donc λ → I M (σM π , λ), f ) n’a qu’un nombre ˜ (˜ fini d’hyperplans polaires. On peut préciser que, si on fixe un ensemble fini Ω de K-types, ces hyperplans restent dans un ensemble fini indépendant de f pourvu ˜ (R)) en somme de ˜ que f ∈ I(G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)). On sait décomposer Dell,0 (M st inst ˜ ˜ sa partie stable Dell,0 (M (R)) et de sa partie instable Dell,0 (M (R)), cf. [IV] 2.2. ˜

G On peut décomposer σM π ) sous la forme ˜ (˜  ˜ G π) = uj ⊗ π ˜j σM ˜ (˜ j=1,...,k

de sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées : ˜

G – u j ∈ UM ˜ et uj = 0 pour tout j ; ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ et la famille (˜ πj )j=1,...,k est linéairement – π ˜j ∈ Dell,0 (M indépendante ; inst ˜ – il existe un entier l ∈ {0, . . . , k} de sorte que π ˜j ∈ Dell,0 (M (R))⊗Mes(M (R))∗ st ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ si j > l. si j ≤ l, tandis que π ˜j ∈ Dell,0 (M

˜ (R)) ⊗ Mes(M (R)) L’hypothèse sur f implique que l’image de fM˜ dans SI(M ˜ M est nulle. Donc I (˜ πj,λ , fM˜ ) = 0 pour tout j > l et tout λ. Supposons l > 0. πl . On obtient un ensemble fini Ω Appliquons le lemme 5.6 ter pour les π ˜1 ,. . .,˜ de K-types et une réunion finie de sous-espaces affines H vérifiant la conclusion de ce lemme. Comme on l’a dit, pour cet ensemble Ω, les hyperplans polaires ˜ ˜ G π , λ), f ) restent dans un ensemble fini pourvu que de la fonction λ → I M (σM ˜ (˜ ˜ f ∈ I(G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)). Quitte à accroître H, on peut supposer que H contient tous ces hyperplans. Notons F l’espace des fonctions holomorphes sur ˜ ˜ Ω) le sous-espace des éléments f ∈ I(G(R), Ω) d’image A∗M˜ ,C . Notons I inst (G(R), inst ˜ ˜ nulle dans SI(G(R)). A tout élément f ∈ I (G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)), associons ˜

πj,λ , fM˜ ). Puisque la famille ef = (ef ,j )j=1,...,l ∈ F l définie par ef ,j (λ) = I M (˜  ˜ ˜ ˜ G I M (σM π , λ), f ) = uj (λ)I M (˜ πj,λ , fM˜ ), ˜ (˜ j=1,...,l

on obtient ˜ (4) pour tout f ∈ I inst (G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)), la fonction  λ → uj (λ)ef ,j (λ) j=1,...,l

n’a pas de pôle hors de H.

IX.7. Les preuves des assertions de la section 6

1107

On a aussi ˜ − H, il existe f ∈ I inst (G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) tel que (5) pour tout λ ∈ A∗M,C ˜ ef ,1 (λ) = 1 et ef ,j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , l. ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R)) tel que I M˜ (˜ En effet, on peut choisir φ ∈ I(M π1,λ , φ) = 1 ˜

tandis que I M (˜ πj,λ , φ) = 0 pour j = 2, . . . , l. Le lemme 5.6 ter associe à φ une fonction f vérifiant (5). Les propriétés (4) et (5) et la proposition 5.15 entraînent que u1 = 0. Cela ˜ G π ) appartient contredit l’hypothèse. Cela démontre que l = 0, autrement dit, σM ˜ (˜ ˜ ˜ ˜ G M G st ∗ ˜ à UM˜ ⊗ Dell,0 (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) . Il en résulte que I (σM˜ (˜ π , λ), fM˜ ) = 0 pour tout f comme au début de la preuve. En remontant le calcul, cela entraîne ˜ ˜ ˜ rat,G rat,G S M (˜ π , X, SθM (f )) = 0 pour tout X. Mais la fonction SθM (f ) est cuspidale : ˜ ˜ il résulte de la formule de descente [VIII] 2.3 et de nos hypothèses de récurrence ˜ rat,G ˜  M ˜ . Une fonction cuspidale que SθM (f )R˜ = 0 pour tout espace de Levi R ˜ qui vérifie la nullité ci-dessus pour tout π ˜ elliptique est nulle. Cela prouve que ˜ rat,G (f ) = 0. SθM ˜ Revenons à la situation de la formule (3). On vient de montrer que le deuxième terme du membre de droite était nul. Donc la fonction ˜

˜

rat,G π , λ, c SθM (f )) λ → S M (˜ ˜ ˜

˜

rat,G est holomorphe. La transformée de Fourier X → S M (˜ π , ν, X, c SθM (f )) ne dé˜ pend pas du point ν ∈ A∗M˜ . Dans la proposition 6.2, on peut remplacer tous les points νS˜ par 0. Puisque S∈P( ˜ ˜ ) ωS ˜ (X) = 1 pour tout X, on obtient que M ˜

˜

rat,G π , X, c SθM (f )) = 0 pour tout X. Pour la même raison que ci-dessus, la S M (˜ ˜ ˜

rat,G fonction c SθM (f ) est cuspidale et la nullité ci-dessus pour tout π ˜ elliptique en˜ ˜

˜

rat,G G traîne c SθM (f ) = 0. L’égalité (2) entraîne alors c SθM ˜ (f ) = 0. Cela démontre la ˜ proposition 6.1. La proposition 6.5 en résulte grâce à l’égalité (1). On vient de prouver le lemme 6.4 restreint aux représentations elliptiques. st ˜ (R))⊗Mes(M (R))∗ , la formule du lemme 6.3 et la proposition (M Pour π ˜ ∈ Dtemp,0 ˜ ˜ G π , λ), fM˜ ) = 0 pour tout f ∈ 6.1 maintenant démontrée entraînent que I M (σM ˜ (˜ ˜ ˜ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) d’image nulle dans SI(G(R)) ⊗ Mes(G(R)). L’usage du lemme 5.7 ter et de la proposition 5.15 permet d’en déduire comme ci-dessus que ˜ ˜ G G st ∗ ˜ π ) appartient à UM  σM ˜ (˜ ˜ ⊗ Dell,0 (M (R)) ⊗ Mes(M (R)) .

IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10 et du lemme 6.9 ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ). Les On considère un triplet (KG, K G, ˜ ˜ ˜ ˜ propriétés à prouver sont tautologiques si K M = K G. On suppose K M = K G. On impose la condition suivante :

1108

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ ˜ (R), ω) ⊗ (Hyp). Soient f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ Dorb,G˜ -reg (K M Mes(M (R))∗ ; alors on a l’égalité ˜

˜

K G,E KG IK ˜ (γ, f ). ˜ (γ, f ) = IK M M

Cette hypothèse sera vérifiée au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7). Sous cette hypothèse, nous allons prouver les propositions 6.7, 6.10 et le lemme 6.9. Soient ˜ ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ . f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ Dorb,G˜ -reg (K M Posons c c

˜

˜

K G,E c KG ϕ = c θK ˜ (f ), ˜ (f ) − θ K M M ˜

˜

G,E G ϕrat = c θrat,K (f ) − c θrat,K (f ), ˜ ˜ KM KM ˜

˜

rat,K G,E rat,K G (f ) − θK (f ). ϕrat = θK ˜ ˜ M M

Faisons la différence entre la formule du lemme 7.1(i) et la formule 5.13(5), étendue de façon évidente à notre K-espace. On obtient  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ K L,E c K G,E KG c K G,E KL c KG IK M˜ (γ, f ) − c IK IK ˜ (f )). ˜ (γ, f ) = ˜ (γ, θ K L ˜ (γ, θ K L ˜ (f )) − IK M M M ˜ ˜ K L∈L(K M) ˜ ˜ KL ˜ = K G, ˜ les hypothèses de récurrence assurent que I K L,E Pour K L ˜ (γ,.). ˜ (γ,.) = IK M KM ˜ = K G, ˜ cette égalité est assurée par notre hypothèse (Hyp). Si K L ˜ = K M ˜, Si K L ˜

˜

K G,E c KG nos hypothèses de récurrence assurent que c θK ˜ (f ). Il reste ˜ (f ) = θ K L L ˜ c K G,E IK M˜ (γ, f )

(1)

˜

˜

KG KM − c IK (γ, c ϕ). ˜ (γ, f ) = I M

Faisons la différence entre la formule du lemme 7.2(ii) et celle du lemme 5.12. De la même façon, les hypothèses de récurrence conduisent à l’égalité c

(2)

ϕ = c ϕrat + ϕrat .

La suite de la preuve est similaire à celle du paragraphe précédent. Le membre de gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte que c ϕ, qui ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)), est en fait à supest a priori un élément de Iac (K M ˜ (R), ω, K M ) ⊗ Mes(M (R)). Fixons port compact, c’est-à-dire appartient à I(K M ˜ ˜ ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ . une composante connexe M de K M . Soit π ˜ ∈ Dell,0 (M ˜ c De la compacité du support de ϕ résulte que la fonction λ → I K M (˜ πλ , c ϕ) est ∗ holomorphe sur AM˜ ,C . On calcule cette fonction grâce à (2) comme en 7.3. On a ˜

˜

˜

˜

˜

K G,E G πλ , c ϕ) = I K M (˜ π , λ, c ϕrat ) + I K M (ρK π , λ) − ρK π , λ), fK M˜ ,ω ). (3) I K M (˜ ˜ (˜ ˜ (˜ KM M

IX.7. Les preuves des assertions de la section 6

1109

La première fonction de droite n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. Si on fixe un ensemble fini Ω de K-types, ces hyperplans restent dans un ensemble fini ˜ indépendant de f pourvu que f ∈ I(K G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)). Il en est donc de ˜ ˜ G,E G π ) − ρK π ) en même de la deuxième fonction. On décompose ρK ˜ (˜ ˜ (˜ KM KM  ˜ ˜ K G,E G ρK π ) − ρK π) = uj ⊗ π ˜j , ˜ (˜ ˜ (˜ KM M j=1,...,k

où ˜

G – u j ∈ UM  0 pour tout j ; ˜ et uj = ˜ πj )j=1,...,k – π ˜j ∈ Dell,0 (K M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ pour tout j et la famille (˜ est linéairement indépendante. ˜ ApLe lemme 5.6 bis se généralise immédiatement à notre K-espace K G. pliqué à la famille (˜ πj )j=1,...,k , il nous fournit un ensemble fini Ω de K-types et une réunion finie H de sous-espaces affines de A∗M,C ˜ . Quitte à accroître cet ensemble, on peut supposer que les fonctions du membre de droite de (3) n’ont pas ˜ de pôle hors de H. A tout f ∈ I(K G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)), on associe la famille ef = (ef ,j )j=1,...,k de fonctions holomorphes sur A∗M˜ ,C définie par ef ,j (λ) =

I K M (˜ πj , fM˜ ,ω ). Le lemme 5.6 assure que, pour tout λ ∈ A∗M˜ ,C −H, on peut trouver ˜ f ∈ I(K G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)) de sorte que ef ,1 (λ) = 1 tandis que ef ,j (λ) = 0 si j = 2, . . . , k. Puisque  ˜ ˜ ˜ K G,E G π , λ) − ρK π , λ), fK M˜ ,ω ) = uj (λ)ef ,j (λ), I K M (ρK ˜ (˜ ˜ (˜ KM M ˜

j=1,...,k

˜ cette dernière somme est holomorphe hors de H pour tout f ∈ I(K G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)). La proposition 5.15 assure alors que u1 = 0, ce qui est contradictoire avec nos hypothèses sauf si k = 0. On a donc k = 0, ce qui équivaut à l’égalité ˜ ˜ ˜ K G,E G ρK π ) = ρK π ). En remontant le calcul, cela assure que I K M (˜ π , X, ϕrat ) = 0. ˜ (˜ ˜ (˜ KM M Les hypothèses de récurrence et les formules habituelles de descente impliquent ˜ que ϕrat est cuspidale. La nullité précédente pour toute composante connexe M rat et tout π ˜ elliptique impliquent alors ϕ = 0. Revenons à la situation de la formule (3). Le deuxième terme du membre de droite est maintenant nul. Donc le premier est holomorphe puisque le membre de ˜ π , ν, X, c ϕrat ) gauche l’est. Il en résulte que la transformée de Fourier X → I K M (˜ ne dépend pas du point ν choisi. Par différence entre la formule 6.6(1) et celle de la proposition 5.10, on a  ˜ ωS˜ (X)I K M (˜ π , νS˜ , X, c ϕrat ) = 0. ˜ ˜ S∈P( M)

On peut remplacer chaque νS˜ par 0 et, par un raisonnement déjà fait plusieurs ˜ fois, on en déduit que I K M (˜ π , X, c ϕrat ) = 0 pour tout X. Pour la même raison

1110

Chapitre IX. Le cas archimédien

que ci-dessus, la fonction c ϕrat est cuspidale et la nullité précédente pour toute ˜ et tout π composante M ˜ elliptique implique que la fonction c ϕrat est nulle. Enfin l’égalité (2) entraîne que c ϕ = 0. Cela prouve la proposition 6.7. La proposition 6.10 résulte maintenant de (1). On a prouvé ci-dessus l’égalité du lemme 6.9 pour les π ˜ elliptiques. Pour ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ , les formules des lemmes 5.7 et 6.8 et π ˜ ∈ Dtemp,0 (K M ˜

˜

rat,G,E rat,G = θK l’égalité maintenant prouvée θK ˜ ˜ entraînent que M M ˜

˜

˜

K G,E G I K M (ρK π , λ) − ρK π , λ), f ) = 0 ˜ (˜ ˜ (˜ KM M

˜ ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Comme ci-dessus, pour tout λ ∈ A∗M˜ ,C et tout f ∈ I(K G(R), ˜

K G,E π) = l’usage du lemme 5.6 et de la proposition 5.15 démontrent l’égalité ρK ˜ (˜ M ˜



G ρK π ). ˜ (˜ KM

IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure et un esOn considère un triplet (G, G, ˜ . Soit M = (M  , M , ζ) une donnée endoscopique elliptique et pace de Levi M ˜ ). On va prouver les assertions (A), (B) et (C) de 6.11. Soit relevante de (M, M ˜ f ∈ I(G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Comme toujours, ces assertions sont tautologiques ˜ = G. ˜ On suppose M ˜ = G. ˜ On pose si M c c

˜



˜

G,E  c G M ϕ = c θM , ˜ (f )) ˜ (M , f ) − ( θ M ˜



˜

G,E G ϕrat = c θrat, (M , f ) − (c θrat, (f ))M , ˜ ˜ M M ˜

˜



rat,G,E rat,G ϕrat = θM (M , f ) − (θM (f ))M . ˜ ˜ st   ∗ Soit δ ∈ Dorb, ˜ -reg (M ) ⊗ Mes(M (R)) . D’après 5.13(5) et le lemme 7.1(iii), on a G   ˜ ˜ ˜ ˜ L,E c G,E   c G I M˜ (M , δ, f ) = S M (δ, c θ G,E IM ˜ (f )) ˜ (M , f )) + ˜ (M , δ, θ L M ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M),

et

˜ c G I M˜ (transfert(δ), f )

=



˜

˜

L c G IM ˜ (f )). ˜ (transfert(δ), θ L

˜ ˜ L∈L( M)

On a prouvé en [V] proposition 1.13 que l’on avait l’égalité ˜

L,E L  IM ˜ (transfert(δ), ϕ) ˜ (M , δ, ϕ) = IM ˜

˜ pour tout ϕ ∈ I(L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Cette égalité s’étend immédiatement à ϕ ∈ ˜ Iac (L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Par différence, on obtient ˜ c G,E I M˜ (M , δ, f ) 

˜

− cI G ˜ (transfert(δ), f ) M ˜

˜

G,E  c G M = S M (δ, c θM ˜ (f )). ˜ (M , f )) − I (transfert(δ), θ M ˜

IX.8. L’application M˜

1111

Par définition du transfert des distributions, le dernier terme est aussi 



˜

M ). S M (δ, c θG ˜ (f ) M

On obtient alors (1)

˜ c G,E I M˜ (M , δ, f )



˜

M − cI G (δ, c ϕ). ˜ (transfert(δ), f ) = S M

Transférons la formule du lemme 5.12. On obtient    ˜ c rat,G ˜ ˜ rat,L c G θM˜ (f )M = (θM ◦ θL˜ (f ))M . ˜ ˜ ˜) L∈L( M

˜=M ˜ , θrat,M˜ est l’identité. Pour L ˜ = G, ˜ c θrat,G˜ est l’identité. Pour L ˜ = M ˜, Pour L ˜ ˜ M G ˜ = G, ˜ on peut appliquer la formule 6.11(A) par récurrence : L ˜



˜

˜

˜



rat,L c rat,G rat,L,E G (θM ◦ θL˜ (f ))M = θM (M , c θrat, (f )M ). ˜ ˜ ˜ L

La formule ci-dessus se récrit  ˜ c G θM˜ (f )M



˜



˜

rat,G rat,G = c θM (f )M + θM (f )M ˜ ˜   ˜ ˜ rat,L,E rat,G + θM (M , c θL (f )M ). ˜ ˜ ˜ ˜ L ˜ =M ˜ ,L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Utilisons la formule du lemme 7.2(iii). Dans cette formule, on peut remplacer ˜ ˜ rat,G ˜ = G ˜ par θrat,G,E le terme indexé par L (M , f ) puisque c θG est l’identité. On ˜ ˜ M obtient  ˜ c G θM˜ (f )M

˜

˜

rat,G,E rat,G,E = c θM (M , f ) + θM (M , f ) ˜ ˜   ˜ ˜ rat,L,E rat,G + θM (M , c θL (f )M ). ˜ ˜ ˜ ˜ L ˜ =M ˜ ,L ˜ =G ˜ L∈L( M),

En comparant les deux formules ci-dessus, on obtient l’égalité (2)

c

ϕ = c ϕrat + ϕrat .

A partir des égalités (1) et (2), la preuve devient similaire à celles des deux paragraphes précédents. On doit utiliser la variante 6.11(2) de la propriété 6.6(1). On laisse les détails au lecteur. 

IX.8 L’application M˜ IX.8.1 Un lemme élémentaire On rappelle le lemme 6.2 de [22] dont nous ferons usage plusieurs fois. Considérons un espace V = Rn , notons B ⊂ V la boule fermée de centre 0 et de rayon 1.

1112

Chapitre IX. Le cas archimédien

Notons Diff cst (V ) l’espace des opérateurs différentiels à coefficients constants sur V . Considérons une famille finie (li )i=1,...,k de formes linéaires non nulles sur V . Notons Vreg = {v ∈ V ; ∀i = 1, . . . , k, li (v) = 0}. Lemme. Soit q ∈ N. Pour tout D ∈ Diff cst (V ), il existe un nombre fini D1 ,. . ., Dn d’éléments de Diff cst (V ) tels que la propriété suivante soit vérifiée. Soit une fonction c : Diff cst (V ) → R≥0 et soit ϕ : Vreg → C une fonction C ∞ . Supposons que, pour tout D ∈ Diff cst (V ) et tout v ∈ B ∩ Vreg , on ait l’inégalité |D ϕ(v)| ≤ c(D )



|li (v)|−q .

i=1,...,k

Alors pour tout v ∈ B ∩ Vreg , on a l’inégalité |Dϕ(v)| ≤ c(D1 ) + · · · + c(Dn ).

IX.8.2 Définition locale ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ) de On considère un triplet (KG, K G, ˜ Dans ce paragraphe, on fixe une composante connexe M ˜ de K M ˜ , on note G ˜ K G. ˜ la composante correspondante de K G. ˜ Proposition. Soient f ∈ I(K G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) et η un élément semi-simple ˜ ˜ de η dans M ˜ (R) et une fonction ϕ ∈ de M (R). Alors il existe un voisinage U ˜ Icusp (M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) telle que ˜

˜

˜

K G,E KG I M (γ, ϕ) = IK ˜ (γ, f ) ˜ (γ, f ) − IK M M

˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R))∗ dont le support est formé d’éléments pour tout γ ∈ Dorb (M ˜ qui sont fortement réguliers dans G. ˜ de U Preuve. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar dm sur M (R), dg sur G(R) ˜ et on écrit f = f ⊗ dg avec f ∈ I(K G(R), ω). Soit T˜ un sous-tore tordu maximal ˜ tel que η ∈ T˜ (R). On fixe une mesure de Haar dt sur T θ,0 (R). Pour γ ∈ de M ˜ reg (R), l’intégrale orbitale sur M ˜ (R) associée à γ et dt est bien définie. T˜ (R) ∩ G Notons-la γ pour un instant. On pose simplement ˜

˜

KG KG IK ˜ (γ, ω, f ) = IK M ˜ (γ, f ⊗ dg). M ˜

K G,E On définit de façon similaire IK ˜ (γ, ω, f ). On définit une fonction ϕf,T˜ presque M partout sur T˜ (R) par ˜

˜

K G,E KG ϕf,T˜ (γ) = IK ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, ω, f ) − IK M M

IX.8. L’application M˜

1113

Soit m ∈ ZM (η; R). Posons T˜  = adm (T˜ ) et transportons par adm la mesure sur T θ,0 (R) en une mesure sur T  ,θ,0 (R). Il est clair que, pour presque tout γ ∈ T˜(R), on a l’égalité ϕf,T˜ (mγm−1 ) = ω(m)ϕf,T˜ (γ).

(1) On a

˜ , alors ϕ ˜ = 0. (2) si T˜ n’est pas elliptique dans M f,T ˜M ˜ tel que T˜ ⊂ R. ˜ Quitte à conjuguer En effet, il existe un espace de Levi R ˜ ˜ ˜ 0 ). D’après les T , cet espace donne naissance à un K-espace de Levi K R ∈ L(K M formules de descente [II] lemme 1.7 et 1.15(1), on a l’égalité

˜   ˜ ˜ ˜ ˜ K L,E KL ϕf,T˜ (γ) = dG ˜ ) − IK R ˜ ) . ˜ (M , L) IK R ˜ (γ, ω, fK L,ω ˜ (γ, ω, fK L,ω R ˜ ˜ K L∈L(K R)

˜ intervenant sont des K-espaces propres de K G. ˜ Nos hypothèses de Les espaces K L récurrence assurent que tous les termes de ce développement sont nuls. D’où (2). Supposons maintenant T˜ elliptique. Notons ΣGη (T θ,0 ) et ΣMη (T θ,0 ) les ensembles de racines de T θ,0 dans Gη , resp. Mη . L’hypothèse d’ellipticité entraîne que tous les éléments de ΣMη (T θ,0 ) sont imaginaires. Par contre, aucun élément de ΣGη (T θ,0 ) − ΣMη (T θ,0) n’est imaginaire : un tel élément se restreint non trivialement à AMη . On fixe un sous-ensemble positif dans ΣMη (T θ,0 ) et on définit une fonction Δη presque partout sur tθ (R) par  sgn(iα(X)). Δη (X) = α∈ΣMη (T θ,0 ),α>0

On va prouver ˜ , la fonction X → (3) si T˜ est elliptique dans M  Δη (X)ϕf,T˜ (exp(X)η) se prolonge ∞ en une fonction C dans un voisinage de 0 dans tθ (R). Admettons ce résultat. La théorie de la descente et les résultats de Bouaziz et Shelstad caractérisent les fonctions sur les tores T˜ comme ci-dessus qui sont au ˜ (R). voisinage de η les intégrales orbitales d’une fonction C ∞ et cuspidale sur M Ce sont précisément celles qui vérifient les propriétés (1), (2) et (3). On obtient alors l’assertion de la proposition. ˜ . Supposons d’abord que Prouvons (3). On suppose donc T˜ elliptique dans M ˜ le point η est G-équisingulier. D’après [V] 1.3 et lemme 1.9, il existe une fonction ˜ tel que ˜ (R), ω) telle que, pour tout sous-tore tordu maximal T˜  de M ϕ ∈ I(M   ˜ ˜ ˜ η ∈ T (R) et pour tout γ ∈ T (R) ∩ Greg (R) assez voisin de η, on ait l’égalité ˜

ϕf,T˜ (γ) = I M (γ, ω, ϕ). La fonction ϕ est cuspidale d’après (2). Alors la propriété (3) résulte des propriétés habituelles des intégrales orbitales.

1114

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ On ne suppose plus que η est G-équisingulier. Notons t1 , resp. t2 , le sousensemble des X ∈ tθ tels que α(X) = 0 pour tout α ∈ ΣGη (T θ,0 ) − ΣMη (T θ,0 ), resp. α ∈ ΣGη (T θ,0). Soit X0 ∈ t1 (R), supposons X0 proche de 0. Le point ˜ On vient de prouver que la fonction X  → η0 = exp(X0 )η est G-équisingulier.   Δη0 (X )ϕf,T˜ (exp(X )η0 ) se prolongeait en une fonction C ∞ au voisinage de 0. Mais on a l’égalité Δη0 (X  ) = Δη (X0 +X  ) pour X  proche de 0, avec un  ∈ {±1} constant. Donc la fonction X → Δη (X)ϕf,T˜ (exp(X)η) se prolonge en une fonction C ∞ au voisinage de X0 . Soit Ω une composante connexe de t1 (R). On obtient (4) il existe un voisinage u de 0 dans tθ (R) tel que la fonction X → Δη (X)ϕf,T˜ (exp(X)η) se prolonge en une fonction C ∞ sur Ω ∩ u. Considérons le groupe des g ∈ G tels que adg (η) = η et adg (T˜) = T˜. Il contient T θ comme sous-groupe distingué d’indice fini. Notons W le quotient. Le groupe W agit naturellement dans tθ . Pour w ∈ W − {1}, l’ensemble des points fixes est un sous-espace propre. Notons t3 le complémentaire dans t2 de la réunion de ces sous-espaces. On voit que, pour X ∈ t3 (R) assez proche de 0, l’élément ˜ Quitte à restreindre u, la propriété 3.2(4) exp(X)η est fortement régulier dans G. et le lemme 3.4 entraînent que ˜ ω), il (5) pour tout U ∈ Sym(tθ ), il existe un entier N et, pour tout f ∈ I(G(R), existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration |∂U ϕf,T˜ (exp(X)η)| ≤ cDGη (X)−N pour tout X ∈ t3 (R) ∩ u. Rappelons l’homomorphisme d’Harish-Chandra, que l’on peut interpréter ici comme un homomorphisme Z(G) z

→ Sym(tθ ) → zT θ,0 .

Montrons que (6) on a l’égalité ϕzf,T˜ (exp(X)η) = ∂zT θ,0 ϕf,T˜ (exp(X)η) pour tout X ∈ t3 (R). En effet, la proposition 2.5 conduit à l’égalité  ˜ L δM ϕzf,T˜ (exp(X)η) = ˜ (exp(X)η, zL ) ˜ ˜ K L∈L(K M)



 ˜ ˜ K G,E KG IK (exp(X)η, ω, f ) − I (exp(X)η, ω, f ) . ˜ ˜ K L L

IX.8. L’application M˜

1115

Les hypothèses de récurrence assurent que tous les termes sont nuls, sauf celui ˜=M ˜ . Celui-ci est égal à ∂z ϕf,T˜ (exp(X)η). D’où (6). pour L T θ,0 θ L’algèbre Sym(t ) est de type fini sur l’image de l’homomorphisme d’Harishθ Chandra. On peut donc fixer

des éléments U1 , . . . , Uk ∈ Sym(t ) de sorte que tout θ U ∈ Sym(t ) s’écrive U = i=1,...,k Ui zi,T θ,0 , avec des zi ∈ Z(G). On a alors  ∂U ϕf,T˜ (exp(X)η) = ∂Ui ϕzi f,T˜ (exp(X)η). i=1,...,k

L’assertion (5) associe à chaque Ui un entier Ni . En prenant pour N un majorant de ces entiers, on obtient qu’il existe N tel que, pour tout U ∈ Sym(tθ ) et pour ˜ tout f ∈ I(G(R), ω), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration |∂U ϕf,T˜ (exp(X)η)| ≤ cDGη (X)−N pour tout X ∈ t3 (R) ∩ u. On applique alors le lemme 8.1. On obtient que, pour ˜ tout U ∈ Sym(tθ ) et pour tout f ∈ I(G(R), ω), la fonction ∂U ϕf,T˜ (exp(X)η) est bornée sur t3 (R) ∩ u. Joint à (4), ce résultat implique ˜ (7) pour tout U ∈ Sym(tθ ) et pour tout f ∈ I(G(R), ω), la fonction ∂U ϕf,T˜ (X) est bornée sur Ω ∩ u. Il résulte de (4) et (7) que cette fonction se prolonge continuement à l’adhérence de Ω ∩ u et même à un voisinage de cette adhérence, cf. [29] remarque 3.2. Soit α ∈ ΣGη (T θ,0 ) une racine réelle. Soit X0 ∈ u tel que l’ensemble des éléments de ΣGη (T θ,0 ) annulant X0 soit {±α}. On va prouver (8) la fonction X → Δη (X)ϕf,T˜ (exp(X)η) se prolonge en une fonction C ∞ au voisinage de X0 . Puisque α est réelle, la fonction Δη (X) est constante au voisinage de X0 et on peut l’oublier. Le point X0 appartient aux adhérences de deux composantes connexes Ω1 et Ω2 séparées par l’hyperplan annulé par α. Soit U ∈ Sym(tθ ). Il suffit de montrer que les deux prolongements de ∂U ϕf,T˜ (exp(X)η) dans les adhérences de ces deux composantes coïncident sur cet hyperplan. Soit X1 un élément de cet hyperplan assez voisin de X0 . Posons η1 = exp(X1 )η. Le couple (η1 , T˜) vérifie les hypothèses de la section 4 et on utilise les notations de cette section.Les valeurs en X1 des prolongements ci-dessus sont les deux limites (9)

lim ∂U ϕf,T˜ (exp(rHd )η1 ) et lim ∂U ϕf,T˜ (exp(rHd )η1 ).

r→0+

r→0−

Il s’agit de prouver qu’elles sont égales. Pour X voisin de 0, on a ˜

˜

K G,E,mod K G,mod (exp(X)η1 , ω, f ) − ∂U IK (exp(X)η1 , ω, f ). ∂U ϕf,T˜ (exp(X)η1 ) = ∂U IK ˜ ˜ M M

En effet, si on oublie les exposants mod, c’est la définition. Ajouter ces exposants ajoute au terme de droite l’image par ∂U de la fonction ˜

˜

K G,E KG |ˇ α| log(|α(X)|)(IK ˜ (exp(X)η1 , ω, f )). ˜ (exp(X)η1 , ω, f ) − IK M M

1116

Chapitre IX. Le cas archimédien

Or cette fonction est nulle par hypothèse de récurrence puisque dim(AM˜ ) < dim(AM˜ ). La différence entre les deux limites (9) est calculée par les propositions 4.1 et 4.3. Le même argument montre qu’elle est nulle. Cela prouve (8). Supposons maintenant que α soit imaginaire au lieu d’être réelle. Le même résultat vaut : la racine α appartient à ΣMη (T θ,0 ), le point X0 appartient à t1 (R) et l’assertion résulte de (4). Pour une racine α qui n’est ni réelle, ni imaginaire, le sous-espace des éléments de tθ (R) annulés par α est de codimension deux : un tel élément est annulé par α et par son conjugué. Mais alors, la fonction X → Δη (X)ϕf,T˜ (exp(X)η) et l’ensemble de racines ΣGη (T θ,0) vérifient les hypothèses du lemme 21 de [76]. Ce lemme conclut que cette fonction se prolonge en une  fonction C ∞ au voisinage de 0. Cela prouve (3) et la proposition.

IX.8.3 Définition globale ˜ Pour f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), posons c

˜

˜

K G,E c KG ϕf = c θK ˜ (f ). ˜ (f ) − θ K M M

˜ (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Un argument de descente C’est un élément de Iac (K M déjà utilisé plusieurs fois montre qu’il est cuspidal. ˜ Proposition. Soit f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Il existe une fonction φ ∈ ˜ Icusp (K M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que l’on ait l’égalité ˜

˜

˜

K G,E KG I M (γ, φ − c ϕf ) = IK ˜ (γ, f ) ˜ (γ, f ) − IK M M

˜ (R), ω)⊗Mes(M (R))∗ dont le support est formé d’éléments pour tout γ ∈ Dorb (K M ˜ fortement réguliers dans G. Preuve. On reprend le début de la preuve de 7.4. On n’impose plus l’hypothèse (Hyp) de ce paragraphe. Le terme qui était annulé par cette hypothèse ne l’est plus et l’égalité (1) de ce paragraphe se transforme en ˜ c K G,E IK M˜ (γ, f )

˜

˜

˜

˜

K G,E G KM KG − cI K (γ, c ϕf ) + (IK ˜ (γ, f ) = I ˜ (γ, f )). ˜ (γ, f ) − IK M KM M

Le deuxième terme du membre de droite est localement une intégrale orbitale d’après la proposition 8.2. Il en est trivialement de même du premier terme. Donc le membre de gauche est localement une intégrale orbitale. Or il est à support dans un ensemble ΓM où Γ est compact. Par partition de l’unité, on peut trouver ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que ce membre de gauche soit égal à φ ∈ I(K M ˜ M I (γ, φ). On obtient la formule de l’énoncé. Les formules de descente habituelles et les hypothèses de récurrence entraînent que le membre de droite de cette formule de l’énoncé est nul si le support de γ n’est pas formé d’éléments elliptiques. Cela  entraîne que φ − c ϕf est cuspidale, donc aussi φ.

IX.8. L’application M˜

1117

La fonction φ de l’énoncé est uniquement déterminée. On pose K M˜ (f ) = φ − c ϕf . On a ainsi défini une application linéaire ˜ ˜ (R), ω) ⊗ Mes(M (R)). ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → Iac,cusp (K M K M˜ : I(K G(R), A ce point, on peut préciser que K M˜ prend ses valeurs dans ˜ (R), ω) + Iac,cusp (K M ˜ (R), ω, K)) ⊗ Mes(M (R)), (Icusp (M c’est-à-dire que K M˜ (f ) est somme d’une fonction qui est à support compact mais qui n’est pas forcément K-finie et d’une fonction K-finie qui n’est pas forcément à support compact. On prouvera dans les paragraphes suivants que l’on peut ˜ (R), ω), autrement dit que  ˜ prend ses supprimer le premier terme Icusp (M KM valeurs dans le sous-espace des fonctions K-finies. Notons une propriété importante : (1) on a l’égalité K M˜ (zf ) = zM˜ K M˜ (f ) pour tout ˜ f ∈ I(K G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et tout z ∈ Z(G). Cela résulte de 8.1(6). On a aussi ˜ (R), la fonction (2) pour toute ω-représentation elliptique π ˜ de K M ˜

X → I K M (˜ π , X, M˜ (f )) ˜

est à décroissance rapide ; sa transformée de Fourier λ → I K M (˜ π , λ, M˜ (f )) sur iA∗M˜ se prolonge en une fonction méromorphe sur A∗M˜ ,C qui est à décroissance rapide dans les bandes verticales ; ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). ˜ (R) est une telle Preuve. On rappelle qu’une ω-représentation elliptique de K M ˜ p (R). L’assertion résulte du fait que ω-représentation d’une composante connexe M ˜

˜

G c K G,E K M˜ (f ) est la somme d’une fonction à support compact et de c θK ˜ (f )− θ K M ˜ (f ). KM On a déjà prouvé (cf. 5.11 et 6.6) que cette dernière fonction vérifiait la propriété (2). Cette propriété est aussi vérifiée pour une fonction à support compact. D’où l’assertion. 

Soulignons que l’on n’affirme pas que les hyperplans polaires sont en nombre fini.

1118

Chapitre IX. Le cas archimédien

IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar pour la fin du chapitre. Dans ce ˜ a). Pour un espace de Levi L ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), paragraphe, on considère un triplet (G, G, ˜ on introduit un ensemble de représentants E ell,0 (L, ω) des classes d’équivalence des ˜ ω-représentations elliptiques π ˜ de L(R) dont le caractère central ωπ est trivial sur ˜ ω) des classes AL˜ . Introduisons de même un ensemble de représentants E disc,0 (L, ˜ d’équivalence des ω-représentations discrètes π ˜ de L(R) dont le caractère central ωπ est trivial sur AL˜ . On renvoie à [81] 2.11 pour la notion de ω-représentation ˜ ω). Il résulte du lemme 2.11 de [81] que c’est l’induite discrète. Soit π ˜ ∈ E disc,0 (L, ˜ C’est-à-dire que l’on peut d’une représentation elliptique d’un espace de Levi de L. écrire ˜

σν ), π ˜ = c IndL ˜ (˜ R

(1)

˜ ∈ L(M ˜ 0 ) est un espace de Levi contenu dans L, ˜ σ où c ∈ C, R ˜ appartient à ˜ ω) et ν ∈ iA∗ . E ell,0 (R, ˜ R ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et σ ˜ ω). Montrons que Inversement, soient R ˜ ∈ E ell,0 (R, ˜ π ˜ ∈ L(R) ˜ et π ˜ (2) il n’existe qu’un nombre fini de couples (L, ˜ ), où L ˜ ∈ E disc,0 (L,ω), ˜ σ tels que le couple (R, ˜ ) soit celui intervenant dans la décomposition (1). ˜ et prouver la finitude de l’ensemble des Preuve. On peut évidemment fixer L π ˜ . La représentation σ ˜ est issue d’un triplet elliptique (M, τ, ˜r), cf. [81] 2.11. Le terme M est un Levi de R contenant M0 et τ est une représentation de la série ˜ discrète de M (R). Soit ν ∈ iA∗R˜ . On veut que le caractère central de IndL ˜ (σν ) R ˜

˜

L σν ) soit soit trivial sur AL˜ . Cela impose que ν appartient à iAL,∗ ˜ (˜ ˜ . Pour que IndR R ˜ une ω-représentation discrète, il est nécessaire qu’il existe γ ∈ L(R) vérifiant les conditions suivantes :

– adγ conserve M ; – τν ◦ adγ  τν ⊗ ω ; ˜

– l’automorphisme wγ de AL M déduit de adγ n’a pas de points fixes non nuls. Il n’y a qu’un nombre fini d’automorphismes wγ possibles. Pour chacun d’eux, ˜ la deuxième relation détermine (wγ−1 − 1)(ν) ∈ iAL∗ M . D’après la troisième relation, cela revient à déterminer ν. Cela prouve (2).  ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et σ ˜ ω). A chaque couple (L, ˜ π Soient R ˜ ∈ E ell,0 (R, ˜ ) vérifiant (2), associons le sous-espace affine H = ν + iA∗L˜ de iA∗R˜ . On obtient un ensemble fini

G HR σ ) de sous-espaces affines de iA∗R˜ . Cet ensemble contient iA∗R˜ : cet espace ˜ (˜ ˜ π ˜ σ est associé au couple (L, ˜ ) = (R, ˜ ) lui-même. L’ensemble est symétrique au ˜ sur w(R) ˜ et σ ˜ 0 ) agit en envoyant R ˜ , sinon sens suivant. Un élément w ∈ W (M ˜ sur un élément de E ell,0 (w(R), ω), du moins sur un multiple d’un tel élément, ˜

IX.8. L’application M˜

1119

˜ ω). Alors HG (˜ c’est-à-dire w(˜ σ ) = zw σ ˜w , où zw ∈ C× et σ ˜w ∈ E ell,0 (w(R), ˜ σ) = R ˜

G w−1 (Hw( σw )). ˜ (˜ R) ˜

C

∞

˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et pour tout π ˜ ω), soit φ ˜ une fonction Pour tout L ˜ ∈ E disc,0 (L, L,˜ π ∗ ˜ et à croissance polynomiale sur iAL˜ . Pour f ∈ I(G(R), ω, K), l’expression J(f ) =







˜ ˜ 0) π ˜ L∈L( M ˜ ∈E disc,0 (L,ω)

iA∗˜ L

˜

L φL,˜ πλ , fL,ω ˜ π (λ)I (˜ ˜ ) dλ.

est convergente. , on Le résultat ci-dessus montre qu’à la famille (φL,˜ ˜ π )L∈L( ˜ ˜ 0 ),˜ ˜ M π∈E disc,0 (L,ω) ) , où φ est une peut associer une famille (φR,˜ ˜ ˜ σ,H R∈L( ˜ σ,H G (˜ ˜ ˜ 0 ),˜ ˜ R,˜ M σ∈E (R,ω),H∈H σ) ell,0

˜ R

fonction C ∞ à croissance polynomiale sur H, de sorte que    ˜ R φR,˜ σλ , fR,ω J(f ) = ˜ σ,H (λ)I (˜ ˜ ) dλ. ˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ R∈L( M ˜ ∈E ell,0 (R,ω) H∈HG σ) ˜ (˜

H

R

En vertu des propriétés de symétries de la famille (fR,ω ˜ )R∈L( ˜ ˜ 0 ) , on peut syméM ˜ et supposer triser la famille (φR,˜ ˜ σ,H )R∈L( G ˜ ˜ 0 ),˜ ˜ M σ∈E (R,ω),H∈H (˜ σ) ell,0

˜ R

˜ G HR σ ), ˜ (˜

˜ ω), H ∈ ˜ 0 ), on ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), σ ˜ ∈ E ell,0 (R, λ ∈ H et w ∈ W (M (3) pour R a l’égalité φR,˜ (λ) = z φ (wλ), où on a écrit w(˜ σ ) = zw σ ˜w ˜ σ,H ˜ σw ,w(H) w w(R),˜ comme ci-dessus. En imposant cette condition, la famille (φR,˜ ˜ σ,H )R∈L( ˜ ˜ 0 ),˜ M σ ∈E

˜ G ˜ σ) ell,0 (R,ω),H∈HR ˜ (˜

est entièrement déterminée par la forme linéaire f → J(f ). ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et soit T˜ un sous-tore tordu maximal elliptique de M ˜ . Fixons Soit M ˜ ˜ un sous-ensemble ouvert U ⊂ T (R), invariant par multiplication par (1 − θ)(T (R)) ˜reg = et dont l’image dans T˜ (R)/(1−θ))(T (R)) est d’adhérence compacte. Posons U ∞ ˜ ω −1 -inv ˜ ˜ ˜ U ∩Greg (R). Notons Cc (Ureg ) l’espace des fonctions ϕ sur T (R) qui vérifient les conditions suivantes : – ϕ est C ∞ ; – on a ϕ(t−1 γt) = ω(t)ϕ(γ) pour tous γ ∈ T˜(R) et t ∈ T (R) ; ˜reg et est d’image compacte dans T˜ (R)/(1− – le support de ϕ est contenu dans U θ)(T (R)). Soulignons que la condition de transformation n’est pas la même qu’en 1.1 : on a inversé ω. Rappelons que l’on suppose ω unitaire (cf. introduction) donc −1 ω −1 = ω ¯ . L’algèbre d’opérateurs différentiels Diff cst (T˜ (R))ω -inv de 1.1 (avec ω −1 −1 ˜reg )ω -inv . Pour ϕ ∈ C ∞ (U ˜reg )ω -inv , posons inversé) agit sur Cc∞ (U c ˜

δ(ϕ) = infγ∈Supp(ϕ) DG (γ).

1120

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜reg )ω Proposition. Pour tout ϕ ∈ Cc∞ (U

−1

-inv

(φR,˜ ˜ σ,H (ϕ))R∈L( ˜ ˜ 0 ),˜ M σ∈E

, il existe une unique famille

˜ G ˜ σ) ell,0 (R,ω),H∈HR ˜ (˜

vérifiant les conditions suivantes. ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), σ ˜ ω) et H ∈ HG˜ (˜ (i) Soient R ˜ ∈ E ell,0 (R, ˜ σ ,H (ϕ) est ˜ σ ). Le terme φR,˜ R ∞ une fonction C sur H. On note φR,˜ ˜ σ,H (ϕ, λ) sa valeur en un point λ ∈ H. ˜ ω) et H ∈ HG˜ (˜ ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), σ ˜ ∈ E ell,0 (R, (ii) Soient R ˜ σ ). Pour N ∈ N et pour un R opérateur différentiel à coefficients constants Δ sur H, il existe des opérateurs −1 Di ∈ Diff cst (T˜ (R))ω -inv pour i = 1, . . . , n indépendants de ϕ et un entier d ∈ N indépendant de ϕ de sorte que  −N δ(ϕ)−d sup |Di ϕ(γ)| |ΔφR,˜ ˜ σ ,H (ϕ, λ)| ≤ (1 + |λ|) ˜ i=1,...,n γ∈U

pour tout λ ∈ H. (iii) La famille vérifie la condition de symétrie (3). ˜ (iv) Pour tout f ∈ I(G(R), ω, K), on a l’égalité ˜ G ϕ(γ)IM ˜ (γ, ω, f ) dγ ˜ T (R)/(1−θ)(T (R))    ˜ R φR,˜ σλ , fR,ω = ˜ σ,H (ϕ, λ)I (˜ ˜ ) dλ. ˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ R∈L( M ˜ ∈E ell,0 (R,ω) H∈HG σ) ˜ (˜

H

R

Preuve. On peut évidemment supposer que ω est trivial sur T θ (R), sinon ˜reg )ω−1 -inv = {0}. On peut effectuer une partition de l’unité et supposer Cc∞ (U ˜ est de la forme suivante. Fixons η ∈ T˜(R). Notons NormG (T˜) le normaque U lisateur de T˜ dans G. Il contient T . Posons N = NormG (T˜ ; R) ∩ ZG (η; R) et Ξ = N/T θ (R). Ce groupe est fini et agit naturellement sur tθ (R). Fixons un voisinage u de 0 dans tθ (R), que l’on suppose assez petit et invariant par Ξ. On ˜reg , ω −1 ) ˜ = {x−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ NormG (T˜ ; R)}. Notons I(U suppose que U −1 ˜reg )ω -inv qui vérifient la condition le sous-espace des éléments ϕ ∈ Cc∞ (U ϕ(x−1 exp(X)ηx) = ω(x)ϕ(exp(X)η) pour tout X ∈ u et x ∈ NormG (T˜ ; R). Posons WT = NormG (T˜ ; R)/T (R). On a une application de symétrisation ˜reg )ω−1 -inv Cc∞ (U ϕ

˜reg , ω −1 ) → I(U → ϕsym

définie par la formule ϕsym (γ) = |WT |−1

 x∈NormG (T˜ ;R)/T (R)

ω(x)−1 ϕ(x−1 γx).

IX.8. L’application M˜

1121

Remarquons que l’action de NormG (T˜ ; R) conserve AT˜ , lequel est égal à AM˜ ˜ . Donc cette action conserve M ˜ . Il en puisque T˜ est un sous-tore elliptique de M ˜ G résulte que la fonction γ → IM˜ (γ, ω, f ) intervenant dans (iv) vérifie elle-même une condition de symétrie relativement à cette action. Cela implique que le membre de gauche de (iv) ne change pas quand on remplace ϕ par ϕsym . On peut donc se ˜reg , ω −1 ). On définit l’espace limiter à démontrer la proposition pour des ϕ ∈ I(U −1 ˜ ˜ I(Ureg , ω) comme on a défini I(Ureg , ω ). Parce que ω est unitaire, l’application ˜reg , ω −1 ) sur I(U ˜reg , ω). Noϕ → ϕ¯ est un automorphisme antilinéaire de I(U ˜ ˜ ˜ reg (R), ω) l’image dans I(G(R), ω) de l’espace des éléments de Cc∞ (G(R)) tons I(G ˜ à support fortement régulier. L’espace I(Ureg , ω) s’identifie à un sous-espace de ˜reg , ω) s’identifie à la ˜ reg (R), ω) de la façon suivante. Une fonction ϕ ∈ I(U I(G ˜ ˜ reg (R), ω) telle que I G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ G(R) ˜ fonction f ∈ I(G qui n’est ˜ G ˜ pas conjugué à un élément de T (R) et que I (γ, ω, f ) = ϕ(γ) pour tout γ ∈ T˜ (R). On utilise [62] proposition 2, dont on reprend les notations. ˜reg , ω), on a l’égalité Pour ϕ ∈ I(U ˜ G ϕ(γ)IM ˜ (γ, ω, f ) dγ ˜ T (R)/(1−θ)(T (R))   ˜ ˜ G cL,˜ IL˜ (˜ πλ , ϕ)I L (˜ πλ , fL,ω = ˜ π ˜ ) dλ. iA∗˜

˜ ˜ 0) π ˜ L∈L( M ˜ ∈E disc,0 (L,ω)

L

˜reg , ω −1 ), on en déduit Pour ϕ ∈ I(U ˜ G ϕ(γ)IM ˜ (γ, ω, f ) dγ T˜ (R)/(1−θ)(T (R))



=



cL,˜ ˜ π

˜ ˜ 0) π ˜ L∈L( M ˜ ∈E disc,0 (L,ω)

˜ G

iA∗ ˜ L

˜

IL˜ (˜ πλ , ϕ)I ¯ L (˜ πλ , fL,ω ˜ ) dλ.

Les explications données avant l’énoncé permettent de convertir cette formule en celle du (iv) de l’énoncé. On peut imposer (iii) et la famille obtenue est alors unique. Les conditions (i) et (ii) se déduisent d’assertions analogues concernant ˜ G ˜reg , ω). Il reste à les fonctions λ → IL˜ (˜ πλ , ϕ) intervenant ci-dessus, pour ϕ ∈ I(U ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et π ˜ ω). Soit f ∈ C ∞ (G(R)), ˜ prouver ces assertions. On fixe L ˜ ∈ E disc,0 (L, c supposons f à support fortement régulier. On définit par récurrence un terme (4)

˜ G

˜

IL˜ (˜ πλ , f ) = JLG πλ , f ) − ˜ (˜



˜ R

˜ G

IL˜ (˜ πλ , φR˜ (f )).

˜ ˜ R ˜ =G ˜ R∈L( L), ˜ G

On rappellera plus loin la définition de φR˜ (f ). En [62], Moeglin montre que ˜ G

l’application linéaire f → IL˜ (˜ πλ , f ) se quotiente en une application définie sur

1122

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜ G

˜ reg (R), ω). Le terme I  (˜ I(G ˜ πλ , ϕ) intervenant ci-dessus est la valeur de cette apL ˜ reg (R), ω). Que ce terme soit C ∞ en λ est immédiat par plication en ϕ ∈ I(G ˜ récurrence sur la formule (4) car le terme JLG πλ , f ) est C ∞ en λ. Nous voulons ˜ (˜ ˜ G

montrer que IL˜ (˜ πλ , ϕ) vérifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé. ˜ G des éléments de G(R) ˜ ˜ L’ensemble U qui sont conjugués à un élément de U −1 est égal à {x exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ G(R)}. Notons ureg le sous-ensemble des éléments de u dont le stabilisateur dans Ξ est réduit à {1}. Considérons l’application ureg × T θ (R)\G(R) (X, x)

˜ → G(R) → x−1 exp(X)ηx.

Le groupe N agit sur l’espace de départ par (y, X, x) → (ady (X), yx) pour y ∈ N . Cette action se quotiente en une action du groupe fini Ξ. L’application ci-dessus a ˜ reg (R) et, pourvu que u soit assez petit, est un revêtement fini ˜ G˜ ∩ G pour image U de groupe Ξ au-dessus de cette image. Fixons une fonction β ∈ Cc∞ (T θ (R)\G(R)) dont l’intégrale vaut 1 et qui est invariante par l’action de Ξ par translation à ˜reg , ω), notons f  la fonction sur ureg × T θ (R)\G(R) définie gauche. Pour ϕ ∈ I(U ϕ par ˜ fϕ (X, x) = ω(x)−1 β(x)DG (exp(X)η)−1/2 ϕ(exp(X)η). Elle est invariante par l’action de Ξ. Elle se descend donc en une fonction fϕ sur ˜ ˜ G˜ ∩ G ˜ reg (R). On peut fixer un sous-ensemble ouvert V˜ de G(R), à support dans U ˜ G(R), d’adhérence compacte, qui contient x−1 exp(X)ηx pour tout X ∈ u et tout x dans le support de β. La fonction fϕ est à support dans V˜ . L’algèbre enveloppante U(G) agit à droite et à gauche sur Cc∞ (V˜ ). On note ces actions (X, f, Y ) → Xf Y . On munit Cc∞ (V˜ ) des semi-normes f → supγ∈V˜ |(Xf Y )(γ)| pour X, Y ∈ U(G). Montrons que (5) pour toute semi-norme N sur Cc∞ (V˜ ), il existe un entier d et un ensemble fini d’éléments Di ∈ Diff cst (T˜(R))ω -inv pour i = 1, . . . , n de sorte que, pour ˜reg , ω), on ait tout ϕ ∈ I(U  N (fϕ ) ≤ δ(ϕ)−d sup |Di ϕ(exp(X)η)|. i=1,...,n X∈u

Fixons une base (Uj )j∈N de U(G) et une base (Hl )l∈N de Sym(tθ ). L’algèbre Sym(tθ )⊗U(G) agit naturellement sur l’espace des fonctions sur ureg ×T θ (R)\G(R). Fixons j1 , j2 ∈ N. En utilisant l’application d’Harish-Chandra de 1.5, on montre que l’on a une égalité  cj,l (x, exp(X)η)(Hl Uj fϕ )(X, x) (Uj1 fϕ Uj2 )(x−1 exp(X)ηx) = j,l∈N

où les fonctions cj,l (x, exp(X)η) sont presque toutes nulles, sont C ∞ en x et rationnelles en exp(X)η. Le (i) du lemme 1.5 montre que, multipliées par une puissance

IX.8. L’application M˜

1123

˜

convenable de DG (exp(X)η), ces fonctions deviennent polynomiales en exp(X)η. Pour prouver (5), il suffit alors d’appliquer la définition de fϕ et le fait que cette fonction est à support compact en x, ce support ne dépendant pas de ϕ. Cela prouve (5). ˜ G ˜ L’image de fϕ dans I(G(R), ω) est égale à ϕ. Cela implique I  (˜ πλ , ϕ) = ˜ L

˜ G

πλ , fϕ ). L’égalité (4) devient IL˜ (˜ ˜ G



˜

IL˜ (˜ πλ , ϕ) = JLG πλ , fϕ ) − ˜ (˜

(6)

˜ R

˜ G

IL˜ (˜ πλ , φR˜ (fϕ )).

˜ ˜ R ˜ =G ˜ R∈L( L),

Rappelons l’estimation du premier terme du membre de droite, que l’on reprend d’Arthur. Pour tout N ∈ N et tout opérateur différentiel Δ sur iA∗L˜ à coefficients constants, il existe un ensemble fini de semi-normes Nj pour j = 1, . . . , m sur Cc∞ (V˜ ) de sorte que 

|ΔJLG πλ , f )| ≤ (1 + |λ|)−N ˜ (˜ ˜

Nj (f )

j=1,...,m

pour tout λ ∈ iA∗L˜ et tout f ∈ Cc∞ (V˜ ). Remarque. On a rappelé en [81] 5.2 la preuve de cette majoration pour Δ = 1. Le même argument vaut pour tout Δ. ˜

πλ , fϕ ) véOn applique cela à fϕ et on utilise (5). On obtient que le terme JLG ˜ (˜ −1 rifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé (l’algèbre Diff cst (T˜(R))ω -inv cst ˜ étant remplacée par Diff (T (R))ω -inv conformément à l’isomorphisme antilinéaire que l’on a utilisé plus haut). ˜ ˜ ∈ L(L), ˜ R ˜ = G. ˜ Considérons φ G˜ (fϕ ) comme un élément de I(R(R), ω). Soit R ˜ R

˜

˜reg , ω), l’analogue de I(U ˜reg , ω) pour l’espace ambiant R. ˜ C’est un élément de I R (U En raisonnant par récurrence, on peut supposer que l’application ˜ R

πλ , ϕ ) ϕ → IL˜ (˜ ˜ ˜ définie sur I R (U reg , ω) vérifie les majorations souhaitées. Il intervient dans ces ˜ ˜ par R. ˜ majorations un terme δ R (ϕ ) analogue de δ(ϕ ) quand on remplace G ˜ R    Mais, d’après sa définition, on a δ (ϕ ) ≥ cδ(ϕ ) pour tout ϕ , avec une constante c > 0 indépendante de ϕ . Pour X ∈ u et n ∈ NormG (T˜; R), on a par définition ˜ G

G −1 exp(X)ηn, ω, fϕ ) φR˜ (fϕ )(n−1 exp(X)ηn) = JR ˜ (n = ϕ(exp(X)η)ω(n)−1 ˜

T θ (R)\G(R)

˜

G β(nx)vR ˜ (x) dx.

1124

Chapitre IX. Le cas archimédien

Il en résulte que, pour tout D ∈ Diff cst (T˜ (R))ω -inv , il existe c > 0 tel que ˜ G

sup |DφR˜ (fϕ ; γ)| ≤ c sup |Dϕ(γ)|

˜ γ∈U

˜ γ∈U

˜ G ˜reg , ω). On en déduit que le terme I  R˜ (˜ pour tout ϕ ∈ I(U ˜ πλ , φR ˜ (fϕ )) vérifie une L majoration comme dans le (ii) de l’énoncé. Alors l’égalité (6) entraîne une telle ˜ G

majoration pour IL˜ (˜ πλ , ϕ). Cela achève la démonstration.



IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère un espace On suppose (G, G, ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), un sous-tore tordu T˜ de M ˜ maximal et elliptique et un de Levi M ˜ ⊂ T˜ (R). On suppose U ˜ ouvert et d’adhérence compacte. Pour tout ensemble U ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), on fixe une base B(L) ˜ de Dell,0 (L), ˜ possédant les espace de Levi L ˜ μ) des souspropriétés de [IV] 2.2. En particulier, elle est réunion de bases B(L, ˜ pour tout paramètre infinitésimal μ. On suppose de plus que, espaces Dell,0,μ (L), inst ˜ ˜ μ) de Dst ˜ ˜ μ) est réunion de bases B st (L, (L, μ) pour tout μ, B(L, ell,0,μ (L) et B inst st inst ˜ La base B(L) ˜ elle-même est donc réunion de B (L) ˜ et B (L). ˜ de D (L). ell,0,μ

˜ il existe un ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et tout σ ˜ ∈ B st (R), Proposition. Pour tout espace de Levi R ˜ G ∗ σ ) de sous-espaces affines de iAR˜ de sorte que les propriétés ensemble fini SHR˜ (˜ ˜ , T˜ , U ˜ comme ci-dessus. Pour tout ϕ ∈ suivantes soient vérifiées pour tous M ˜reg ), il existe une famille Cc∞ (U (SφR,˜ ˜ ˜ σ,H (ϕ))R∈L( G ˜ 0 ),˜ ˜ ˜ M σ∈B st (R),H∈SH (˜ σ) ˜ R

vérifiant les conditions (i) et (ii) de la proposition précédente ainsi que ˜ (iii) pour tout f ∈ SI(G(R), K), on a l’égalité

˜

T˜ (R)

=

G ϕ(δ)SM ˜ (δ, f ) dδ









˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ H∈SHG R∈L( M ˜ ∈B st (R) σ) ˜ (˜

H

˜

R SφR,˜ σλ , fR˜ ) dλ. ˜ σ,H (ϕ, λ)S (˜

R

Preuve. Fixons un ensemble de représentants X de l’ensemble de doubles classes T \{x ∈ M ; ∀σ ∈ ΓR , xσ(x)−1 ∈ T }/M (R). ˜ (R)), on a l’égalité Pour ψ ∈ Cc∞ (M ˜

S M (δ, ψ) =

 x∈X

I M (x−1 δx, ψ) ˜

IX.8. L’application M˜

1125

˜ pour tout δ ∈ T˜G˜ -reg (R). Soit f ∈ I(G(R), K). Le membre de gauche de l’égalité (iii) est la somme de  ˜ −1 G ϕ(δ) IM δx, f ) dδ (1) ˜ (x T˜ (R)

x∈X

ˆ ) /Z(G) ˆ ΓR , s = 1, de et de la somme sur s ∈ Z(M  G (s) ˜ G ˜  (s)) ϕ(δ)SM (δ, f G (s) ) dδ. (2) −iM˜ (G, ΓR

T˜ (R)

Un changement de variables transforme (1) en  ˜ G ϕ(xδx−1 )IM ˜ (δ, f ) dδ. x∈X

T˜ (R)

Grâce à la proposition précédente, ce terme s’écrit sous la forme     ˜ R (3) φR,˜ σλ , fR˜ ) dλ. ˜ σ ,H (adx−1 (ϕ), λ)I (˜ H

˜ ˜ ˜0) σ ˜ H∈HG R∈L( M ˜  ∈E ell,0 (R) σ ) x∈X ˜ (˜ R

˜ et introduisons la matrice de changement de base reliant les deux Fixons R ˜ ˜ ˜ on écrit σ bases E ˜  ∈ E ell,0 (R), ˜ = ell,0 (R) et B(R). C’est-à-dire que, pour σ

   c σ ˜ . Pour σ ˜ fixé, il n’y a qu’un nombre fini de σ ˜ tels que c ˜ σ ˜ ,˜ σ σ ˜ ,˜ σ = 0. σ ˜ ∈B(R) Les propriétés des bases entraînent que, dans l’autre sens, pour σ ˜ fixé, il n’y a ˜ ˜ posons HG,0 qu’un nombre fini de σ ˜  tels que cσ˜  ,˜σ = 0. Pour σ ˜ ∈ B(R), σ) = ˜ (˜ R ∪σ˜  ∈E

˜

G,0 G  HR σ ). Pour H ∈ HR σ ), posons ˜ (˜ ˜ (˜   cσ˜  ,˜σ φR,˜ φ0R,˜ ˜ σ ,H (adx−1 (ϕ)). ˜ σ,H (ϕ) = ˜

˜  ,˜ σ =0 ell,0 (R),cσ

˜

˜ G x∈X σ ˜ ˜  ∈E ell,0 (R),H∈H σ ) ˜ (˜ R

On transforme facilement l’expression (3) en    ˜ R φ0R,˜ σλ , fR˜ ) dλ. (4) ˜ σ,H (ϕ, λ)I (˜ ˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ H∈HG,0 R∈L( M ˜ ∈B(R) (˜ σ)

H

˜ R

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR tel que s = 1 et i ˜ (G, ˜ G ˜  (s)) = 0. Par récurFixons s ∈ Z(M M rence, le terme (2) s’écrit comme une multiple somme. L’un des indices est un ˜ ). Comme on le sait, un tel espace est associé à une ˜  ∈ LG˜  (s) (M espace de Levi R s ˜ ∈ L(M ˜ ). L’espace R ˜ s donnée endoscopique elliptique R (s) d’un espace de Levi R étant fixé, la somme intérieure est   ˜ G ˜  (s)) −iM˜ (G, G (s) H  ∈SHR (s) (˜ σ )

σ ˜  ∈B st (R (s)) H  ∈SHG (s) (˜ σ ) R (s)





SφR (s),˜σ ,H  (ϕ, λ)S R (s) (˜ σλ , (f G (s) )R (s) ) dλ.

1126

Chapitre IX. Le cas archimédien G (s)



Comme toujours, fR (s) = (fR˜ )R (s) , d’où 



S R (s) (˜ σλ , (f G (s) )R (s) ) = I R (transfert(˜ σλ ), fR˜ ). ˜

On peut identifier H  à un sous-espace affine de iA∗R˜ . On peut aussi écrire  transfert(˜ σλ ) = cσ˜  ,˜σ σ ˜λ , ˜ σ ˜ ∈B(R)

˜ . L’intégrale intervenant ciavec des coefficients cσ˜  ,˜σ nuls pour presque tout σ dessus est alors  ˜  cσ˜ ,˜σ SφR (s),˜σ ,H  (ϕ, λ)I R (˜ σλ , fR˜ ) dλ. H

˜ σ ˜ ∈B(R)

Les propriétés de finitude du transfert assurent que, pour tout σ ˜ , il n’existe ˜ G,s  ˜ qu’un nombre fini de σ ˜ tels que cσ˜  ,˜σ = 0. Pour σ ˜ ∈ B(R), posons HR σ) = ˜ (˜ G (s)

˜

G,s σ  ). Pour H ∈ HR σ ), posons ∪σ˜  ∈B st (R (s)),cσ˜  ,˜σ =0 SHR (s) (˜ ˜ (˜  cσ˜  ,˜σ SφR (s),˜σ ,H (ϕ). φsR,˜ ˜ σ ,H (ϕ) = G (s)

σ ˜  ∈B st (R (s)),H∈SHR (s) (˜ σ )

˜ tel ˜ ∈ L(M ˜ ) tel que R (s) soit elliptique. Pour R Ces définitions valent pour R ˜ G,s ˜ Alors σ ) = ∅ pour tout σ ˜ ∈ B(R). que R (s) n’est pas elliptique, on pose HR ˜ (˜ l’expression (2) s’écrit    ˜ R  ˜ ˜ φsR,˜ σλ , fR˜ ) dλ. (5) −iM˜ (G, G (s)) ˜ σ,H (ϕ, λ)I (˜ ˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ H∈HG,s R∈L( M ˜ ∈B(R) (˜ σ)

H

˜ R

˜

˜

G,0 G,s On peut accroître les ensembles HR σ ) et HR σ ) intervenant dans (4) et (5), ˜ (˜ ˜ (˜ quitte à introduire des fonctions nulles φ0R,˜ (ϕ) ou φsR,˜ ˜ σ,H ˜ σ,H (ϕ). Dans un premier temps, on peut donc remplacer chacun de ces ensembles par leur réunion. On ˜ . On peut de nouveau accroître obtient ainsi un ensemble qui, a priori, dépend de M ˜ ∈ LR˜ (M ˜ 0 ) des ensembles nos ensembles en les remplaçant par la réunion sur les M ˜ G ˜ . Pour ˜ σ ) qui ne dépend plus de M relatifs à M . On obtient un ensemble SHR˜ (˜ ˜

G H ∈ SHR σ ), posons ˜ (˜



0 SφR,˜ ˜ σ ,H (ϕ) = φR,˜ ˜ σ,H (ϕ) −

˜ G ˜  (s))φs˜ iM˜ (G, (ϕ). R,˜ σ ,H

ˆ )ΓR /Z(G) ˆ ΓR ,s=1 s∈Z(M

On obtient que le membre de gauche de l’égalité (iii) de l’énoncé est égal à    ˜ R (6) SφR,˜ σλ , fR˜ ) dλ. ˜ σ ,H (ϕ, λ)I (˜ ˜ ˜ ˜0) σ ˜ H∈SHG R∈L( M ˜ ∈B(R) σ) ˜ (˜ R

H

IX.8. L’application M˜

1127

D’après leur construction, les fonctions φR,˜ ˜ σ,H (ϕ) vérifient les propriétés (i) et (ii) de la proposition 8.3. On doit remarquer que, dans les majorations de φsR,˜ ˜ σ ,H (ϕ),  ˜ ˜ par G ˜  (s). il intervient un terme δ G (s) (ϕ) analogue à δ(ϕ) quand on remplace G Mais ce terme est minoré par le produit de δ(ϕ) et d’une constante indépendante de ϕ. On décompose l’expression (6) en une somme de deux expressions J st (ϕ, f ) inst et J (ϕ, f ). Dans la première, resp. la seconde, on regroupe les contributions des ˜ resp. σ ˜ Pour σ ˜ on a par définition I R˜ (˜ σ ˜ ∈ B st (R), ˜ ∈ B inst (R). ˜ ∈ B st (R), σλ , fR˜ ) = ˜ R st S (˜ σλ , fR˜ ). Donc J (ϕ, f ) est de la forme du membre de droite du (iii) de l’énoncé. Pour démontrer la proposition, il reste à prouver que J inst (ϕ, f ) = 0. On a dé˜ ⊕ P W inst,∞ (G), ˜ cf. [IV] 2.4. Il composé l’espace de Paley–Wiener en P W st,∞ (G) st résulte des définitions que J (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur ˜ tandis que J inst (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur P W st,∞ (G), ˜ G inst,∞ ˜ (G). Mais on sait que les intégrales orbitales pondérées f → SM PW ˜ (δ, f ) sont stables ([V] théorème 1.4). Donc le membre de gauche de (iii) est stable. ˜ Soit f  l’élément de I(G(R)) tel que pw(f  ) soit égal à la projection de pw(f ) st,∞ ˜ (G). La fonction f  est encore K-finie. Le membre de gauche pour f sur P W est alors égal au même membre pour f  . Puisque ces termes sont calculés par la formule (6), on obtient J st (ϕ, f ) + J inst (ϕ, f ) = J st (ϕ, f  ) + J inst (ϕ, f  ). Par construction de f  , on a J st (ϕ, f ) = J st (ϕ, f  ) tandis que J inst (ϕ, f  ) = 0. Cela entraîne J inst (ϕ, f ) = 0. Comme on l’a dit, cela prouve la proposition. 

IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 ˜ a) et un K-espace K M ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ). On fixe On considère ici un triplet (KG, K G, ˜ ˜ ˜ de K G, ˜ une composante connexe M de K M , contenue dans une composante G ˜ ˜ ˜ ˜ un sous-tore tordu maximal elliptique T de M et un ensemble U ⊂ T (R) vérifiant les mêmes propriétés qu’en 8.4. ˜ ω), il existe un ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ) et tout σ ˜ ∈ E ell,0 (K R, Proposition. Pour tout K R ˜

K G,E ensemble fini HK σ ) de sous-espaces affines de iA∗R˜ vérifiant les conditions ˜ (˜ R suivantes. ˜ ˜ K G,E ˜ 0 ), w(HK G,E σ )) = Hw(K σw ), où on a posé w(˜ σ) = (1) Pour w ∈ W (K M ˜ (˜ ˜ (˜ KR R) zw σ ˜w comme en 8.4. ˜reg )ω−1 -inv , il ˜ , T˜ , U comme ci-dessus et pour tout ϕ ∈ C ∞ (U (2) Pour tous M c existe une unique famille

(φEK R,˜ ˜ σ ,H (ϕ))K R∈L(K ˜ ˜ M

σ∈E ell,0 (K R,ω),H∈H 0 ),˜ ˜

˜ K G,E (˜ σ) ˜ KR

vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de la proposition 8.4 ainsi que

1128

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ (iv) pour tout f ∈ I(K G(R), ω, K), on a l’égalité ˜ K G,E ϕ(γ)IK ˜ (γ, ω, f ) dγ M T˜ (R)/(1−θ)(T (R))



=





˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ K R∈L(K M ˜ ∈E ell,0 (K R,ω) H∈HK G,E (˜ σ)



H

˜ KR

φEK R,˜ ˜ σ,H (ϕ, λ)I

˜ KR

(˜ σλ , fK R,ω ˜ ) dλ.

˜ et Preuve. On affirme l’existence de familles d’espaces affines indépendantes de M ˜ ˜ ˜ T . Mais, si on démontre pour chaque couple (M , T ) l’existence d’une telle famille vérifiant les conditions requises pour ce couple, il suffit de prendre la réunion de ces ˜ , T˜) pris à conjugaison près pour résoudre familles sur l’ensemble des couples (M ˜ 0) : le problème. De même, on peut négliger les conditions d’invariance par W (M si on résout le problème sans ces conditions, on peut ensuite accroître les familles d’espaces affines de sorte à les rendre symétriques et symétriser les familles (φEK R,˜ ˜ σ ,H (ϕ))K R∈L(K ˜ ˜ M

σ∈E ell,0 (K R,ω),H∈H 0 ),˜ ˜

˜ K G,E (˜ σ) ˜ KR

.

˜ , T˜ et U ˜ . On peut supposer comme dans la preuve de 8.3 que Fixons donc M −1 ˜ U = {x exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ NormG (T˜; R)}, où η est un élément fixé de T˜ (R) ˜ et u est un voisinage de 0 dans tθ (R), assez petit. Soit f ∈ I(K G(R), ω, K) et ∞ ˜ ω −1 -inv ϕ ∈ Cc (Ureg ) . Le membre de gauche de (iv) est égal à ˜ K G,E ϕ(exp(X)η)IK ˜ (exp(X)η, ω, f ) dX. M u

Ici comme dans la suite, les mesures doivent être convenablement normalisées pour que la formule soit exacte, mais ces normalisations importent peu puisqu’on ne se propose pas de calculer explicitement les fonctions φEK R,˜ ˜ σ,H (ϕ). On reprend les constructions et notations de 4.4. La formule (1) de ce paragraphe entraîne l’égalité  ˜ K G,E IK Δj,1 (exp(ξj (X))j,1 , exp(X)η)−1 ˜ (exp(X)η, ω, f ) = c M j∈J ˜ G

˜

SM˜j,1 (exp(ξj (X))j,1 , f Gj,1 ),  ,λ j,1

j,1

où c est une constante non nulle. Pour chaque j ∈ J, posons uj = ξj (u). Le membre de gauche de (iv) est donc  ˜ G ˜ ϕj (exp(Y )j,1 )SM˜j,1 (exp(Y ))j,1 , f Gj,1 ) dY,  ,λ j∈J

uj

j,1

j,1

IX.8. L’application M˜

1129

où ϕj (exp(Y )j,1 ) = cΔj,1 (exp(Y )j,1 , exp(ξj−1 (Y ))η)−1 ϕ(exp(ξj−1 (Y ))η). Pour chaque j, on peut appliquer la proposition 8.5. Certes, il faut l’adapter à la situation des données auxiliaires où l’on considère des fonctions se transformant selon le caractère λj,1 de C1 (R). On laisse ces détails techniques. Remarquons que la fonction ϕj est C ∞ car le facteur de transfert l’est sur l’ensemble des éléments fortement réguliers. Le résultat est que le terme indexé par j dans la somme cidessus s’exprime sous la forme      SφR ,˜σ ,H (ϕj , λ)S Rj (˜ σλ , (f Gj )Rj ) dλ. ˜ ˜ G ˜  ∈B st (Rj ) ˜  ∈LGj (M ˜ ) σ R H∈SH j (˜ σ ) j j

H

˜ R j

˜  apparaît comme l’espace On a utilisé la notation Rj : comme toujours, l’espace R j  ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ). La démonsd’une donnée endoscopique Rj d’un K-espace de Levi K R  ˜ tration se poursuit alors comme celle de 8.5. Fixons Rj intervenant ci-dessus. On ˜ G

identifie A∗R˜  à A∗R˜ . Pour chaque σ ˜  intervenant, l’ensemble SHR˜ j (˜ σ  ) s’identifie à j

j

un ensemble de sous-espaces affines de iAR˜ . On écrit  cσ˜  ,˜σ σ ˜λ . transfert(˜ σλ ) = ˜ σ ˜ ∈E(K R,ω)

Alors







SφR ,˜σ ,H (ϕj , λ)S Rj (˜ σλ , (f Gj )Rj ) dλ H  ˜ = cσ˜  ,˜σ SφR ,˜σ ,H (ϕj , λ)I K R (˜ σλ , fK R,ω ˜ ) dλ. ˜ σ ˜ ∈E(K R,ω)

H

Pour chaque σ ˜ , il n’y a qu’un nombre fini de σ ˜  pour lesquels cσ˜  ,˜σ = 0. En sommant les expressions obtenues, on obtient finalement une expression du membre de gauche de (iv) de la forme voulue. Les familles de sous-espaces affines dépendent des données Mj choisies, mais on peut supposer que celles-ci appartiennent à un ensemble fini de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques ˜ , a). Donc ces sous-espaces affines restent dans un enelliptiques pour (KM, K M semble fini. Parce que le facteur de transfert Δj,1 (exp(Y )j,1 , exp(ξj−1 (Y ))η) est C ∞ en Y , on voit facilement que les fonctions SφR ,˜σ ,H (ϕj , λ) vérifient les majorations souhaitées. Cela achève la démonstration. 

IX.8.7 Expression de K M ˜ (f ) La proposition 8.4 s’adapte évidemment aux K-espaces. Puisque l’on peut toujours accroître nos familles de sous-espaces affines, on peut supposer que, pour

1130

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ ∈ L(K M ˜ 0 ), toute composante connexe R ˜ de K R, ˜ tout σ ˜ ω), tout K R ˜ ∈ E ell,0 (R, ˜ ˜ K G,E G ˜ , T˜ l’ensemble HR˜ (˜ σ ) de 8.4 est contenu dans l’ensemble HK R˜ (˜ σ ) de 8.6. Pour M ˜ et U comme en 8.6, la conjonction des propositions 8.4 et 8.6 entraîne le résultat ˜reg )ω−1 -inv , il existe une unique famille suivant. Pour tout ϕ ∈ Cc∞ (U (φK R,˜ ˜ σ,H (ϕ))K R∈L(K ˜ ˜ 0 ),˜ M σ∈E

˜ KG ˜ σ) ell,0 (K R,ω),H∈HK R ˜ (˜

vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de 8.4 ainsi que : ˜ (1) pour tout f ∈ I(K G(R), ω, K), on a l’égalité

˜

T˜ (R)/(1−θ)(T (R))

ϕ(γ)I K M (γ, ω, K M˜ (f )) dγ



=





˜ ˜ ˜ 0) σ ˜ K R∈L( M ˜ ∈E ell,0 (K R,ω) H∈HK G,E (˜ σ) ˜ KR



φK R,˜ ˜ σ,H (ϕ, λ)I

˜ KR

(˜ σλ , fK R,ω ˜ ) dλ.

H

On a muni l’espace tθ (R) d’une norme euclidienne. On définit une fonction ˜ reg (R) → R>0 : pour γ ∈ T˜(R) ∩ G ˜ reg (R), dreg (γ) est la borne dreg : T˜(R) ∩ G θ inférieure de l’ensemble des normes |Y | pour Y ∈ t (R) tel que exp(Y )γ ne soit pas fortement régulier. ˜ K G,E ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ), tout σ ˜ Proposition. Pour tout K R ˜ ∈ E ell,0 (K R,ω), tout H ∈ HK σ ), ˜ (˜ R ˜ ˜ il existe une unique fonction ξK R,˜ ˜ σ ,H sur (T (R) ∩ Greg (R)) × H de sorte que les ˜ σ conditions suivantes soient vérifiées. Dans les deux premières, on fixe K R, ˜ et H. ∞ ˜ ˜ est C sur (T (R) ∩ Greg (R)) × H ; (i) La fonction ξ ˜ K R,˜ σ,H

(ii) Pour tout opérateur différentiel D ∈ Diff cst (T˜ (R))ω -inv , tout opérateur différentiel Δ à coefficients constants sur H et tout sous-ensemble compact Γ ⊂ T˜(R), il existe d, N ∈ N et une constante c > 0 de sorte que −d |DΔξK R,˜ (1 + |λ|)N ˜ σ,H (γ, λ)| ≤ cdreg (γ)

˜ reg (R) et tout λ ∈ H. pour tout γ ∈ Γ ∩ G (iii) La famille vérifie la condition de symétrie (2) de 8.4. ˜ ˜ reg (R), on a l’égalité (iv) Pour tout f ∈ I(K G(R), ω, K) et tout γ ∈ T˜ (R) ∩ G 

˜

I K M (γ, ω, K M˜ (f )) =





˜ ˜ ˜0) σ ˜ K R∈L(K M ˜ ∈E ell,0 (R,ω) H∈HK G,E (˜ σ) ˜ KR



ξK R,˜ ˜ σ,H (γ, λ)I H

˜ KR

(˜ σλ , fK R,ω ˜ ) dλ.

IX.8. L’application M˜

1131

Preuve. La preuve d’Arthur [12] p. 198, 199, 200 s’applique. On va la reprendre car Arthur énonce une majoration plus faible que celle du (ii) de l’énoncé. Notons u une boule ouverte centrée en 0 de rayon c0 assez petit et u la boule de rayon 2c0 . ˜ = {(1 − θ)(t) exp(X)η; t ∈ T (R), X ∈ u}. Notons Fixons η ∈ T˜ (R) et posons U ureg , resp. u reg , le sous-ensemble des X ∈ u, resp. X ∈ u , tels que exp(X)η soit ˜ Avec les notations de 8.3, ureg est l’ensemble des X ∈ u fortement régulier dans G. dont le fixateur dans Ξ est trivial, pourvu que c0 soit assez petit. La propriété suivante est claire : (2) il existe c1 > 0 tel que, pour tout X ∈ ureg et pour tout Y ∈ t(R), la condition |X − Y | ≤ c1 dreg (exp(X)η) implique que Y ∈ ureg et que dreg (exp(Y )η) ≥ dreg (exp(X)η)/2. ˜reg )ω−1 -inv s’identifie à C ∞ (ureg ). Les fonctions φ ˜ L’espace Cc∞ (U c K R,˜ σ ,H (ϕ) de (1) sont donc définies pour ϕ ∈ Cc∞ (ureg ). Pour tout m ∈ N, notons Ccm (ureg ) l’espace des fonctions de classe C m sur tθ (R) dont le support est compact et inclus dans ureg . Considérons une suite (ϕi )i∈N d’éléments de Ccm (ureg ). On dit qu’elle tend vers 0 s’il existe un sous-ensemble compact de ureg tel que le support de ϕi soit inclus dans ce compact pour tout i et si, pour tout H ∈ Sym(tθ ) de degré inférieur ou égal à m, la suite (∂H ϕi )i∈N tend uniformément vers 0. Cela munit Ccm (ureg ) d’une topologie. L’application ϕ → δ(ϕ) de 8.3 se définit aussi bien pour ϕ ∈ Ccm (ureg ). Pour H intervenant dans (1), notons C m (H) l’espace des fonctions de classe C m sur H. On munit cet espace de la topologie usuelle. Montrons que ˜ σ (3) pour tout m0 ∈ N, il existe un entier m1 ∈ N tel que, pour tous K R, ˜, H intervenant dans (1), l’application ϕ → φK R,˜ ˜ σ,H (ϕ) s’étend par continuité en une application de C m1 (ureg ) dans C m0 (H) ; pour tout opérateur différentiel à coefficients constants Δ sur H de degré ≤ m0 , il existe une famille finie (Hi )i=1,...,n d’éléments de Sym(tθ ) de degré ≤ m1 et un entier d ∈ N de sorte que  −d |ΔφK R,˜ sup |∂Hi ϕ(X)| ˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ) i=1,...,n X∈u

pour tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ C m1 (ureg ) ; ces applications vérifient la propriété de symétrie 8.4(3) et l’égalité (1) ci-dessus ; Pour tout H, on fixe une base (ΔH,j )j=1,...,jH de l’espace des opérateurs différentiels à coefficients constants sur H de degré ≤ m0 . En appliquant les majorations déjà prouvées, on voit que l’on peut trouver une famille finie (Hi )i=1,...,n d’éléments de Sym(tθ ), un entier d ∈ N et une constante c > 0 de sorte que  −d (4) |ΔH,j φK R,˜ sup |∂Hi ϕ(X)| ˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ) i=1,...,n X∈u

˜ σ pour tous K R, ˜ , H, tout j = 1, . . . , jH , tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ Cc∞ (ureg ). Notons m1 le plus grand des degrés des Hi . Quand une suite (ϕk )k∈N d’éléments de Cc∞ (ureg ) tend vers une fonction ϕ ∈ Ccm1 (ureg ), les termes δ(ϕk ) sont minorés

1132

Chapitre IX. Le cas archimédien

puisque les supports des ϕk restent dans un compact de ureg . Il résulte alors de la m0 (H). Elle majoration (4) que la suite (φK R,˜ ˜ σ ,H (ϕk ))k∈N est de Cauchy dans C converge vers un élément de cet espace que l’on note φK R,˜ ˜ σ,H (ϕ). Les propriétés de cette application résultent par continuité des propriétés de l’application initiale définie pour ϕ ∈ Cc∞ (ureg ). On doit juste préciser un point. Pour une suite (ϕk )k∈N tendant vers une fonction ϕ comme ci-dessus, il n’y a pas de raison que δ(ϕk ) tende vers δ(ϕ). La majoration voulue de ΔH,j φK R,˜ ˜ σ,H (ϕ, λ) ne résulte pas des m1 majorations (4) des ΔH,j φK R,˜ ˜ σ,H (ϕk , λ). Mais, pour tout ϕ ∈ Cc (ureg ), on peut ∞ choisir une suite (ϕk )k∈N d’éléments de Cc (ureg ) tendant vers ϕ et vérifiant de plus la propriété δ(ϕk ) ≥ δ(ϕ)/2 pour tout k. En utilisant une telle suite, on obtient la majoration voulue. Cela prouve (3). Notons  l’élément de Sym(tθ ) tel que ∂ soit le laplacien relatif à notre métrique. Puisque Sym(tθ ) est un module de type fini sur l’image de Z(G) par l’application d’Harish-Chandra z → zT θ , on a (5) il existe un entier r ≥ 1 tel que, pour tout entier m ≥ 1, il existe des éléments zj de Z(G) pour j = 1, . . . , r de sorte que  mr = zj,T θ m(r−j) . j=1,...,r

Notons δ0 la mesure de Dirac en 0 sur tθ (R). La théorie des opérateurs elliptiques implique que (6) il existe m2 ∈ N tel que, pour tout m ≥ m2 /2, il existe une fonction ψ m de classe 2m − m2 sur tθ (R) et C ∞ sur tθ (R) − {0} de sorte que δ0 = ∂m ψ m . Fixons une fonction α ∈ Cc∞ (u) qui soit constante de valeur 1 au voisinage de 0. Pour  > 0 et m ∈ N, posons ψm (X) = ψ m (X)α(−1 X). La fonction ψm est de classe 2m − m2 et est à support dans la boule centrée en 0 et de rayon 2c0 . On a une égalité δ0 = ∂m ψm + χm  ∞ où χm sur tθ (R) à support dans la boule centrée en 0 et de  est une fonction C rayon 2c0 . Fixons maintenant un élément X ∈ ureg et un entier m0 ∈ N. On pose γ = exp(X)η. Fixons un  > 0 tel que


m0 + m1 + m2 où m1 et m2 sont déterminés par (3) et (6). Posons ψ = ψmr et χ = χmr  . Pour toute fonction β sur tθ (R) et tout X  ∈ tθ (R), définissons βX  par βX  (Y ) = β(Y − X  ) pour tout Y ∈ tθ (R). La propriété (2) et le choix de  entraînent que ψX et

IX.8. L’application M˜

1133

χX sont à support dans l’ensemble des éléments Y ∈ ureg qui vérifient l’inégalité dreg (exp(Y )η) ≥ dreg (γ)/2. La fonction χX est C ∞ tandis que ψX est de classe 2mr − m2 . En notant δX la mesure de Dirac en X, on a δX = ∂mr ψX + χX . Ou encore, en utilisant (5),



δX = χX +

∂zj,T θ m(r−j) ψX .

j=1,...,r

˜ Soit f ∈ I(K G(R), ω). Appliquons δX à la fonction ˜

Y → I K M (exp(Y )η, ω, K M˜ (f )). ˜

On obtient I K M (γ, ω, K M˜ (f )). En utilisant la formule précédente, on en déduit  ˜ (7) I K M (γ, ω, K M˜ (f )) = Ij , j=0,...,r



où I0 =

˜

tθ (R)

χX (Y )I K M (exp(Y )η, ω, K M˜ (f )) dY

et, pour j = 1, . . . , r, Ij = ψX (Y )∂z∗ tθ (R)

On a noté ∂z∗

j,T θ

 m(r−j )

j,T θ

 m(r−j ) I

˜ KM

(exp(Y )η, ω, K M˜ (f )) dY.

l’opérateur dual de ∂zj,T θ m(r−j ) . Notons que l’application

Y → −Y fixe  donc aussi les zj,T θ d’après la définition (5). Donc ∂z∗

j,T θ

 m(r−j )

=

∂zj,T θ m(r−j ) . Pour tout j = 1, . . . , r, la fonction ∂m(r−j) ψX est de classe 2m−m2 (qui est > 0 par le choix de m) et est à support compact. Par intégration par parties, Ij se récrit ˜ Ij = ∂m(r−j ) ψX (Y )∂zj,T θ I K M (exp(Y )η, ω, K M˜ (f )) dY. tθ (R)

Ou encore, grâce à 8.2(1) ˜ Ij = ∂m(r−j ) ψX (Y )I K M (exp(Y )η, ω, K M˜ (zj f )) dY. tθ (R)

Les fonctions χX comme ∂m(r−j ) ψX appartiennent à Ccm1 (ureg ). Grâce à (3), on peut exprimer chaque intégrale Ij sous la forme (1). La formule (7) devient alors    ˜ I K M (γ, ω, K M˜ (f )) = (8)

˜ ˜ ˜0) σ ˜ K R∈L(K M ˜ ∈E ell,0 (R,ω) H∈HK G,E (˜ σ)





H j=0,...,r

˜ KR

ΨK R,˜ ˜ σ,H,j (λ) dλ,

1134

Chapitre IX. Le cas archimédien

où

˜

KR (˜ σλ , fK R,ω ΨK R,˜ ˜ σ,H,0 (λ) = φK R,˜ ˜ σ,H (χX , λ)I ˜ )

et, pour j = 1, . . . , r, ˜

KR (˜ σλ , zj fK R,ω ΨK R,˜ ˜ σ,H,j (λ) = φK R,˜ ˜ σ,H (∂ m(r−j) ψX , λ)I ˜ ).

On sait qu’à σ ˜ est associé un paramètre infinitésimal μ(˜ σ ) qui est une orbite dans h∗ pour l’action de W R . Identifions-le à un point de cette orbite. En identifiant Z(G) à l’algèbre des polynômes sur h∗  t∗ , on a l’égalité ˜

˜

I K R (˜ σλ , zj fK R,ω σ ) + λ)I K R (˜ σλ , fK R,ω ˜ ) = zj (μ(˜ ˜ ). Posons (9)

ξK R,˜ ˜ σ,H (γ, λ) = φK R,˜ ˜ σ,H (χX , λ)  zj (μ(˜ σ ) + λ)φK R,˜ + ˜ σ,H (∂ m(r−j) ψX , λ). j=1,...,r

Alors



˜

KR ΨK R,˜ (˜ σλ , fK R,ω ˜ σ,H,j (λ) = ξK R,˜ ˜ σ,H (γ, λ)I ˜ )

j=0,...,r

et la formule (8) devient celle du (iv) de l’énoncé. D’après (3) et la définition (9), les fonctions λ → ξK R,˜ ˜ σ ,H (γ, λ) sont de classe C m0 . Reprenons la construction en remplaçant l’élément X par un élément X  voisin de X. Si X  est assez proche de X, on peut utiliser le même . Les fonctions χX  et ψX  dépendent de X  seulement par translation. En se rappelant la condition imposée à m, on voit alors que les applications X  → χX  et X  → ψX  sont des applications m0 fois dérivables à valeurs dans C m1 (ureg ). Pour U ∈ Sym(tθ ) de degré au plus m0 , les images de ces applications par ∂U sont égales à X  → ∂U χX  et X  → ∂U ψX  . D’autre part, considérons un ouvert E d’un espace Ra , b ∈ N un entier et e → ϕ[e] une application b fois dérivable de E ˜ σ dans C m1 (ureg ). La majoration (3) entraîne que, pour tous K R, ˜ , H et tout (ϕ[e], λ) est b fois dérivable. Pour un opérateur λ ∈ H, l’application e → φK R,˜ ˜ σ ,H différentiel D sur Ra , à coefficients constants et de degré au plus b, l’image par D de cette application est l’application e → φK R,˜ ˜ σ,H (Dϕ[e], λ). De cela et de la  (exp(X )η, λ) est m0 fois dérivable au point formule (9) résulte que X  → ξK R,˜ ˜ σ ,H θ X et que, pour D ∈ Sym(t ) de degré au plus m0 , on a l’égalité (10)

DξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) = φK R,˜ ˜ σ,H (DχX , λ)  zj (μ(˜ σ ) + λ)φK R,˜ + ˜ σ ,H (∂ m(r−j) DψX , λ). j=1,...,r

Il existe un entier d > 0 et un réel c2 > 0 tels que l’on ait une minoration  ˜ DG (exp(Y )η) ≥ c2 dreg (Y )d pour tout Y ∈ ureg . D’après le choix de , δ(DχX )

IX.8. L’application M˜

1135 

et δ(DψX ) sont donc minorées par c2 (dreg (exp(X)η)/2)d . En utilisant (3), on en déduit que l’application (X, λ) → ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) est m0 fois dérivable en les deux variables. De plus, pour tout opérateur différentiel à coefficients constants Δ sur H de degré au plus m0 et tout élément D ∈ Sym(tθ ) de degré au plus m0 , il existe un entier N ∈ N, une famille finie (Hi )i=1,...,n d’éléments de Sym(tθ ) de degré au plus m3 = 2m(r − 1) + m0 + m1 et un entier d ∈ N de sorte que 

(11)

−dd |DΔξK R,˜ (1 + |λ|)N ˜ σ ,H (exp(X)η, λ)| ≤ dreg (exp(X)η)  ( sup |∂Hi χ(Y )|) + ( sup |∂Hi ψ(Y )|). θ i=1,...,n Y ∈t (R)

Y ∈tθ (R)

Notons que m3 < 2mr − m2 par définition de m. Le terme (1 + |λ|)N s’introduit à σ ) + λ) de la formule (10). Reprenons la définition des cause des polynômes zj (μ(˜ fonctions χ et ψ. On voit que les termes |∂Hi χ(Y )| et |∂Hi ψ(Y )| sont bornés par une constante et une puissance négative de , l’exposant étant au plus m3 . On a supposé c1 c1 dreg (exp(X)η) mais on peut aussi bien choisir  = 4c dreg (exp(X)η). Les  < 2c 0 0 termes ci-dessus sont alors bornés par une constante et une puissance négative de dreg (exp(X)η), l’exposant étant au plus m3 . La majoration (11) prend alors la forme du (ii) de l’énoncé. On obtient ainsi une forme affaiblie des assertions (i) et (ii) de l’énoncé : pour (i), on prouve seulement que la fonction est C m0 en chaque variable ; pour (ii), on impose que les degrés des opérateurs différentiels sont au plus m0 . Mais le principe d’unicité énoncé en 8.3 entraîne que les fonctions ξK R,˜ ˜ σ ,H que l’on a construites sont indépendantes de l’entier m0 utilisé pour les construire. En faisant varier cet entier, les formes faibles de (i) et (ii) entraînent ces assertions telles qu’énoncées dans la proposition. 

IX.8.8 Description des fonctions ξK R,˜ ˜ σ,H ˜ reg (R). On On conserve la situation du paragraphe précédent. Fixons η ∈ T˜ (R) ∩ G dispose de l’exponentielle exp : tθ (R) → T θ,0 (R). Son noyau est un sous-Z-module de type fini de tθ (R) que l’on note KerT . Il engendre le sous-espace X∗ (T θ,0)− ⊗ iR de tθ (R), où l’exposant − désigne le sousespace sur lequel ΓR agit par son unique caractère non trivial. Notons t le sous˜ (R). ensemble des éléments X ∈ tθ (R) tels que exp(X)η soit régulier dans M C’est le complémentaire d’un ensemble localement fini d’hyperplans affines. Chacun de ces hyperplans est invariant par translations par aM˜ (R) et ne contient pas ˜ Cet ensemble d’hyperplans est conservé 0 puisque η est fortement régulier dans G. par translations par KerT . Pour X ∈ t , notons n(X) le nombres de ces hyperplans qui séparent X de 0 et posons (X) = (−1)n(X) . Cela définit une fonction  : t → {±1}.

1136

Chapitre IX. Le cas archimédien

˜ ˜ ∈ L(K M ˜ 0 ), σ ˜ ω) et H ∈ HK G,E Soient K R ˜ ∈ E ell,0 (K R, σ ). On sait définir ˜ (˜ KR le paramètre infinitésimal μ(˜ σ ) qui est une orbite dans h∗ pour l’action de W . On a vu en [IV] 1.2 que son intersection avec l’espace affine μ ˜ (ω) + hθ,∗ était une θ unique orbite pour l’action de W . Fixons un point de cette intersection que, pour simplifier, on note encore μ(˜ σ ). On identifie t∗ à h∗ et donc H à un sous-ensemble ∗ ∗ de h , en fait de ihR . Notons Wσ˜ ,H le sous-groupe des éléments de W θ qui fixent tout élément de μ(˜ σ ) + H. Notons H  le sous-ensemble des λ ∈ H tels que le fixateur de μ(˜ σ ) + λ dans W θ soit égal à Wσ˜ ,H . C’est le complémentaire dans H d’un ensemble fini de sous-espaces affines propres.

Proposition. (i) Pour tout w ∈ W θ /Wσ˜ ,H , il existe une unique fonction tθ (R) × H  (X, λ)

→ C  → Pw (X, λ)

vérifiant les conditions suivantes : – Pw (X, λ) est C ∞ en λ et polynomiale en X de degré inférieur ou égal à |Wσ˜ ,H | ; ˜ et pour – pour X ∈ tθ (R) tel que exp(X)η soit fortement régulier dans G  λ ∈ H , on a l’égalité  ξK R,˜ e X,w(μ(˜σ)+λ) Pw (X, λ). ˜ σ,H (exp(X)η, λ) = (X) w∈W θ /Wσ ˜ ,H

(ii) On a ξK R,˜ ˜ ). ˜ σ,H = 0 si dim(H) > dim(AM ˜ σ Preuve. On oublie nos données fixées K R, ˜ et H qui ne joueront pas de rôle particulier, ce qui libère ces symboles. Notons t le sous-ensemble des éléments ˜ C’est un sous-ensemble X ∈ tθ (R) tels que exp(X)η soit fortement régulier dans G. de t qui est le complémentaire dans tθ (R) d’un ensemble localement fini de sousespaces affines propres. Rappelons que l’on dispose de l’homomorphisme d’Harishθ θ Wθ Chandra z → zT θ,0 de Z(G) dans Sym(t)W . Soient z ∈ Z(G), X ∈ t θ,ω  Sym(t ) ˜ et f ∈ I(G(R), ω). On a l’égalité K M˜ (zf ) = zM K M˜ (f ), cf. 8.2(1). On a donc ˜

˜

I K M (exp(X)η, ω, K M˜ (zf )) = I K M (exp(X)η, ω, zM K M˜ (f )) ˜

= ∂zT θ,0 I K M (exp(X)η, ω, K M˜ (f )). Exprimons les deux termes à l’aide du (iv) de la proposition 8.7. On obtient pour ˜ σ chacun d’eux une somme en K R, ˜ , H d’intégrales ˜ KR ∂zT θ,0 ξK R,˜ (˜ σλ , fK R,ω ˜ σ,H (exp(X)η, λ)I ˜ ) dλ H

IX.8. L’application M˜

1137

pour le membre de droite et ˜ KR ξK R,˜ (˜ σλ , (zf )K R,ω ˜ σ,H (exp(X)η, λ)I ˜ ) dλ H

pour celui de gauche. On a ˜

˜

˜

KR σλ , (zf )K R,ω (˜ σλ , zR fK R,ω σ ) + λ)I K R (˜ σλ , fK R,ω I K R (˜ ˜ ) =I ˜ ) = z(μ(˜ ˜ ).

On obtient ainsi des expressions similaires, avec une fonction ∂zT θ,0 ξK R,˜ ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) dans le membre de droite et une fonction z(μ(˜ σ ) + λ)ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) dans ˜ σ celui de gauche. Ces fonctions forment deux familles indexées par R, ˜ , H. Ces deux familles vérifient la condition de symétrie (2) de 8.4. Mais elles calculent le même terme. Comme on l’a dit en 8.4, elles sont donc égales. On obtient l’égalité (1)

σ ) + λ)ξK R,˜ ∂zT θ,0 ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) = z(μ(˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ).

L’algèbre Sym(tθ ) est un module de type fini sur l’image de Z(G). On peut en fixer une base (Ui )i=1,...,n . Pour U ∈ Sym(tθ ), écrivons U = i=1,...,n zi,T θ,0 Ui avec des zi ∈ Z(G). Alors  ∂Ui ∂zi,T θ,0 ξK R,˜ ∂U ξK R,˜ ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) = ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) i=1,...,n

=



zi (μ(˜ σ ) + λ)∂Ui ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ).

i=1,...,n

On en déduit une première amélioration du (ii) de la proposition 8.7 : (2) pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ tθ (R), il existe d ∈ N tel que, pour tout U ∈ Sym(tθ ), il existe un entier N ∈ N et une constante c > 0 de sorte que −d (1 + |λ|)N |∂U ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ)| ≤ c|dreg (exp(X)η)| pour tout X ∈ Γ ∩ t et tout λ ∈ H. L’entier d est devenu indépendant de U . Pour un compact Γ comme cidessus, il existe un nombre fini de formes linéairesli , i = 1, . . . , k, sur tθ (R) et une constante c > 0 de sorte que dreg (exp(X)η) ≥ c| i=1,...,k li (X)| pour X ∈ Γ ∩ t . En appliquant le lemme 8.1, on obtient la seconde amélioration suivante : (3) pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ tθ (R) et tout U ∈ Sym(tθ ), il existe un entier N ∈ N et une constante c > 0 de sorte que N |∂U ξK R,˜ ˜ σ ,H (exp(X)η, λ)| ≤ c(1 + |λ|)

pour tout X ∈ Γ ∩ t et tout λ ∈ H.

1138

Chapitre IX. Le cas archimédien

Considérons pour quelques instants que λ est fixé et qu’il appartient à H  . Notons simplement ξ(X) = ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ). L’égalité (1) est une équation différentielle portant sur la fonction ξ. En faisant varier z, on obtient un système d’équations différentielles. On connaît grâce à [76] théorème 11 la forme des solutions. Dans tout ouvert connexe où ξ est C ∞ , ξ s’écrit  ξ(X) = e X,w(μ(˜σ )+λ) Pw (X), w∈W θ /Wσ ˜ ,H

où Pw est un polynôme en X de degré au plus |Wσ˜ ,H |. Ces polynômes sont uniquement déterminés. Evidemment, quand on considère de nouveau λ comme variable, les polynômes dépendent de λ. On vérifie aisément par interpolation ∞ en λ, les polynômes obtenus sont C ∞ que, puisque ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) est C en tout point λ en position générale. Par ailleurs, on peut aussi bien remplacer ξK R,˜ ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) par (X)ξK R,˜ ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) puisque  est localement constante sur t . En résumé, pour toute composante connexe Ω de t , il existe d’uniques fonctions PwΩ (X, λ), pour w ∈ W θ /Wσ˜ ,H , qui sont polynomiales en X de degré au plus |Wσ˜ ,H | et qui sont C ∞ en tout point λ ∈ H  , de sorte que  (4) (X)ξK R,˜ e X,w(μ(˜σ)+λ) PwΩ (X, λ) ˜ σ,H (exp(X)η, λ) = w∈W θ /Wσ ˜ ,H Ω pour tout X ∈ Ω et tout λ ∈ H  . Notons ξK ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) le membre de R,˜

Ω droite ci-dessus. On remarque que la fonction X → ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) s’étend R,˜

naturellement en une fonction C ∞ sur tθ (R) définie par la même formule. On va prouver que cette fonction ne dépend pas de Ω. Le complémentaire de t est une réunion de sous-espaces propres. Mais les sous-espaces de codimension au moins 2 ne créent pas de disconnexité. Il nous suffit de prouver l’égalité Ω Ω  ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) quand Ω et Ω sont deux compo˜ σ ,H (exp(X)η, λ) = ξK R,˜ R,˜ santes connexes séparées par un unique hyperplan singulier. Considérons de telles Ω et Ω . Considérons un élément X0 de l’hyperplan singulier qui sépare ces deux composantes, qui est en position générale dans cet hyperplan et qui appartient aux adhérences de Ω et Ω . On a défini en 8.2 un signe Δexp(X0 )η (Y ) pour un élément Y général et proche de 0. On vérifie sur la définition que le rapport Δexp(X0 )η (Y )(X0 + Y )−1 est constant pour Y général et proche de 0. Soit f ∈ ˜ I(K G(R), ω, K). Parce que K M˜ (f ) est une fonction cuspidale, la fonction Y → ˜ Δexp(X0 )η (Y )I K M (exp(Y + X0 )η, ω, K M˜ (f )) est C ∞ au voisinage de 0. Ou encore ˜ la fonction X → (X)I K M (exp(X)η, ω, K M˜ (f )) est C ∞ au voisinage de X0 . Soit ˜ U ∈ Sym(tθ ). Pour X ∈ t proche de X0 , (X)∂U I K M (exp(X)η, ω, K M˜ (f )) se ˜ σ calcule par la formule 8.7(iv). On obtient une somme en K R, ˜ , H d’intégrales ˜ KR ∂U ξK R,˜ (˜ σλ , fK R,ω (X) ˜ σ,H (exp(X)η, λ)I ˜ ) dλ. H

IX.8. L’application M˜

1139

Supposons X ∈ Ω. Pour λ ∈ H  , on peut remplacer (X)∂U ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ) Ω  par ∂U ξK R,˜ ˜ σ,H (exp(X)η, λ). Faisons tendre X vers X0 . Pour tout λ ∈ H , Ω ∂U ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) R,˜ Ω tend vers ∂U ξK ˜ σ,H (exp(X0 )η, λ). R,˜ Ω L’assertion (3) montre que ∂U ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) reste uniformément borR,˜

née par le produit d’une constante et de (1 + |λ|)N pour un entier N convenable. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée. La fonction Ω ∂U ξK ˜ σ,H (exp(X0 )η, λ) est encore bornée par une puissance de 1 + |λ| et la limite R,˜ ˜ ˜ quand X tend vers 0 de (X)∂U I K M (exp(X)η, ω, K M˜ (f )) est la somme en K R, σ ˜ , H des intégrales ˜ Ω KR ∂U ξK (˜ σλ , fK R,ω ˜ ) dλ. ˜ σ ,H (exp(X0 )η, λ)I R,˜ H

On peut évidemment refaire le calcul en remplaçant Ω par Ω . On obtient une expression similaire. Les deux expressions obtenues vérifient la condition de symétrie 8.4(3) (parce que ce sont des limites d’expressions qui la vérifient). Il en résulte ˜ σ que ces deux expressions coïncident. C’est-à-dire que, pour tous K R, ˜ , H et pour tout U , on a l’égalité 

Ω Ω ∂U ξK ˜ σ,H (exp(X0 )η, λ). ˜ σ ,H (exp(X0 )η, λ) = ∂U ξK R,˜ R,˜ 

Ω Ω Puisque les deux fonctions ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) sont des ˜ σ ,H (exp(X)η, λ) et ξK R,˜ R,˜ exponentielles-polynômes, l’égalité de toutes leurs dérivées en un point entraîne Ω leur égalité. Donc, pour λ ∈ H  , ξK ˜ σ,H (exp(X)η, λ) ne dépend pas de Ω. Les R,˜

termes PwΩ (X, λ) non plus. Mais alors, l’assertion (4) démontre le (i) de l’énoncé. ˜ σ Considérons de nouveau des données K R, ˜ et H fixées. On voit facilement que la fonction  vérifie la condition de périodicité : pour Y ∈ KerT , (X)/(X +Y ) ne dépend pas de X ∈ t . Il en résulte que (X + 2Y ) = (X) pour X ∈ t et Y ∈ KerT . Puisqu’on a aussi exp(X + 2Y ) = exp(X), la formule du (i) de l’énoncé entraîne   e X+2Y,w(μ(˜σ)+λ) Pw (X + 2Y, λ) = e X,w(μ(˜σ)+λ) Pw (X, λ). w∈W θ /Wσ ˜ ,H

w∈W θ /Wσ ˜ ,H

Cette égalité pour tout X ∈ t et tout λ ∈ H  entraîne que (5)

e 2Y,w(μ(˜σ)+λ) Pw (X + 2Y, λ) = Pw (X, λ)

pour tous w ∈ W θ , X ∈ t , λ ∈ H  et Y ∈ KerT . Si Pw (X, λ) est identiquement nul pour tout w, la conclusion du (ii) de l’énoncé est claire. Sinon, fixons w, X tels que la fonction λ → Pw (X, λ) ne soit pas nulle. Pour ces valeurs de w et X

1140

Chapitre IX. Le cas archimédien

et pour λ tel que Pw (X, λ) = 0, considérons l’égalité (5) comme une égalité de fonctions en Y . Elle dit qu’une fonction exponentielle coïncide avec une fonction rationnelle sur le Z-module KerT . Il en résulte aisément que cette exponentielle est constante sur ce réseau, ce qui implique que 2Y, w(μ(˜ σ ) + λ) ∈ 2πiZ pour tout Y ∈ KerT . On se rappelle que H est un sous-espace affine de iA∗R˜ . Notons H 0 le sous-espace linéaire associé. Les seules conditions imposées à λ sont λ ∈ H  et Pw (X, λ) = 0. Elles définissent un ouvert non vide et la relation ci-dessus est vérifiée pour tout λ dans cet ouvert. On peut donc remplacer λ par λ + ν, où ν est un élément de H 0 assez voisin de 0. On en déduit que 2Y, w(ν) ∈ 2πiZ pour tout Y ∈ KerT et tout ν ∈ H 0 assez proche de 0. Cela entraîne facilement que Y, w(ν) = 0 pour tout ν ∈ H 0 ⊗R C et tout Y dans le C-sous-espace de tθ (R) engendré par KerT . Comme on l’a dit, ce sous-espace est X∗ (T θ,0)− ⊗Z C. Parce ˜ , l’orthogonal de ce sous-espace est a∗ . que T˜ est un sous-tore tordu elliptique de M ˜ M 0 La relation précédent signifie que w(H ⊗R C) est inclus dans a∗M˜ . Cela implique que dim(H) ≤ dim(aM˜ (R)) = dim(AM˜ ). Cela prouve le (ii) de l’énoncé. 

IX.8.9 K-finitude ˜ ω) et son sous-espace P W (K G, ˜ ω) On réalise l’espace de Paley–Wiener P W ∞ (K G, ˜ ˜ ˜ ∈ en utilisant les bases E ell,0 (K R, ω) des espaces Dell,0 (K R, ω) pour tout K R ˜ et un élément σ ˜ ω). Notons F l’es˜ 0 ). Fixons un tel K R ˜ ∈ E ell,0 (K R, L(K M ∗ pace des fonctions de Paley–Wiener sur AR,C ˜ . On l’identifie au sous-espace des ˜  ∈ P Well (K R, ω) dont toutes les composantes sont éléments (ϕσ˜ )  ˜ σ ˜ ∈E ell,0 (K R,ω)

˜ . On dispose alors de l’homomorphisme de symétrinulles sauf celle pour σ ˜ = σ ˜ ˜ ω) et de l’isomorphisme de Paley–Wiener sation sym : F → F W (R) → P W (G, ˜ ˜ ω) (cf. [IV] 2.4 et [81] 6.1). Pour ϕ ∈ F , on pose pw : I(G(R), ω, K) → P W (G, fϕ = pw−1 ◦ sym(ϕ). Proposition. (i) Supposons dim(AR˜ ) < dim(AM˜ ). Alors K M˜ (fϕ ) = 0 pour tout ϕ ∈ F. (ii) Supposons dim(AR˜ ) ≥ dim(AM˜ ). Alors K M˜ (fϕ ) est K-finie, c’est-à-dire ˜ (R), ω, K), pour tout ϕ ∈ F . appartient à Iac,cusp (K M ˜ , ω). Soit ϕ ∈ F. Comme on l’a dit en 8.3(2), on Preuve. Fixons π ˜ ∈ E ell,0 (K M dispose d’une fonction méromorphe λ → I K M (˜ π , λ, M˜ (fϕ )) sur A∗M˜ ,C . Montrons que ˜

(1) pour λ ∈ A∗M˜ ,C et z ∈ Z(M ), on a l’égalité ˜

˜

I K M (˜ π , λ, zM˜ (fϕ )) = z(μ(˜ π ) + λ)I K M (˜ π , λ, M˜ (fϕ )). Considérons les espaces S(iA∗M˜ ) et S(AM˜ ) des fonctions de Schwartz sur iA∗M˜ et AM˜ et la transformation de Fourier ψ → ψˆ de S(iA∗M˜ ) sur S(AM˜ ). L’algèbre

IX.8. L’application M˜

1141

Z(M ) est isomorphe à l’algèbre des polynômes sur h∗ invariants par W M . On π ) + λ)ψ(λ). Par transformation de la fait agir sur S(iA∗M˜ ) par (zψ)(λ) = z(μ(˜ Fourier, on obtient une action sur S(AM˜ ) que l’on note ρ. C’est-à-dire que l’on a ˆ Il est facile d’expliciter cette action. On décompose h∗ = hM,∗ ⊕a ˜ . (zψ)ˆ = ρ(z)ψ. M Cela décompose Z(M ) en produit tensoriel de l’algèbre des polynômes sur hM,∗ invariants par W M et une algèbre isomorphe à Sym(aM˜ ). Pour z dans la première algèbre, ρ(z) est la multiplication par z(μ(˜ π )). Pour X ∈ aM˜ , l’action ρ(X) est ˜ (R), ω). La fonction X → I K M˜ (˜ π , X, h) est la la dérivation ∂X . Soit h ∈ I(K M ˜ πλ , h). On sait que, pour z ∈ Z(M ), on a transformée de Fourier de λ → I K M (˜ l’égalité ˜ ˜ I K M (˜ πλ , zh) = z(μ(˜ π ) + λ)I K M (˜ πλ , h). On en déduit que ˜

˜

I K M (˜ π , X, zh) = ρ(z)I K M (˜ π , X, h).

(2)

˜ (R), ω). En effet, fixons X, puis une Mais cette formule se généralise à h ∈ Iac (K M ∞ fonction b ∈ Cc (AM˜ ) qui vaut 1 dans un voisinage de X. On a ˜

˜

I K M (˜ π , X, z(h(b ◦ HM˜ ))) = ρ(z)I K M (˜ π , X, h(b ◦ HM˜ )).

(3)

˜

Il résulte de la description de l’action ρ que ρ(z)I K M (˜ π , X, h(b ◦ HM˜ )) ne dépend ˜ KM   (˜ π , X , h(b ◦ HM˜ )) pour X proche de X. Or, pour de que des valeurs de I ˜ ˜ tels X  , on a I K M (˜ π , X  , h(b ◦ HM˜ )) = I K M (˜ π , X  , h). D’autre part, la différence z(h(b ◦ HM˜ )) − (zh)(b ◦ HM˜ ) est nulle en un point γ tel que HM˜ (γ) est proche de X. On en déduit ˜

˜

˜

I K M (˜ π , X, z(h(b ◦ HM˜ ))) = I K M (˜ π , X, (zh)(b ◦ HM˜ )) = I K M (˜ π , X, zh). L’égalité (3) est donc identique à (2). En particulier, l’égalité (2) est vérifiée pour h = M˜ (fϕ ). Par inversion de Fourier, on en déduit l’égalité de l’assertion (1). Soit ν ∈ A∗M˜ ,C . Définissons une forme linéaire lν sur F par ˜

π , ν, M˜ (fϕ )). lν (ϕ) = I K M (˜ Les assertions (1) ci-dessus et 8.3(1) entraînent que lν (zϕ) = z(μ(˜ π ) + ν)lν (ϕ). En notant Jν l’idéal des éléments z ∈ Z(G) tels que z(μ(˜ π ) + ν) = 0, on obtient que lν annule Jν F . Rappelons que Z(G) agit sur F par (zϕ)(λ) = z(μ(˜ σ ) + λ)ϕ(λ). ) = ∅. Le lemme [IV] 2.5 entraîne alors Supposons que W (μ(˜ π ) + ν) ∩ (μ(˜ σ ) + A∗R,C ˜ π ) + ν) ∩ (μ(˜ σ ) + A∗R,C que Jν F = F , donc lν est nulle. Supposons que W (μ(˜ ˜ ) ∗ soit non vide, notons λ1 ,. . .,λm les éléments de AR,C tels que cette intersection ˜ soit {μ(˜ σ ) + λj ; j = 1, . . . , m}. Le même lemme entraîne l’existence d’un entier N ≥ 0 tel que Jν F contienne tous les éléments de F qui s’annulent à l’ordre

1142

Chapitre IX. Le cas archimédien ˜

K G,E N en chaque λj . Pour chaque espace H ∈ HK σ ), écrivons H = iμH + iVH , ˜ (˜ R où VH est un sous-espace de A∗R˜ et μH ∈ A∗R˜ est orthogonal à VH et posons ˜

˜

K G,E K G,E σ , ≤ aM˜ ) le sous-ensemble des H ∈ HK σ) HC = iμH + VH,C . Notons HK ˜ (˜ ˜ (˜ R R tels que dim(H) ≤ aM˜ = dim(AM˜ ). Montrons que ˜

K G,E (4) supposons que, pour tout j = 1, . . . , m et tout H ∈ HK σ , ≤ aM˜ ), λj ˜ (˜ R n’appartient pas à HC ; alors lν = 0.

Sous l’hypothèse de (4), on peut trouver un polynôme Q sur A∗R,C tel que Q−1 ˜ ˜

K G,E σ , ≤ aM˜ ). s’annule à l’ordre N en tout λj et Q s’annule sur tout élément de HK ˜ (˜ R ˜ Ces conditions étant invariantes par W (R), on peut supposer Q invariant par ce groupe. Pour ϕ ∈ F , on a ϕ = (1 − Q)ϕ + Qϕ. Le premier terme appartient à Jν F donc est annulé par lν . On va montrer que

(5)

K M˜ (fQϕ ) = 0.

˜ Cela entraîne a fortiori lν (Qϕ) = 0, ce qui prouve (4). Prouvons (5). Si K M ne possède pas de sous-tore tordu maximal elliptique, toute fonction elliptique sur ˜ (R) est nulle, d’où (5). Sinon, fixons un tel sous-tore tordu maximal elliptique KM ˜ . Pour γ ∈ T˜ (R)∩ G ˜ reg (R), on va prouver que I K M˜ (γ, ω,  ˜ (fQϕ )) = 0, T˜ de K M KM ce qui démontrera (5). Cette intégrale orbitale est calculée par la proposition 8.7. Compte tenu de la définition de F , seules les paires conjuguées à la paire ˜ σ fixée (K R, ˜ ) interviennent dans les deux premières sommes. Compte tenu des invariances par conjugaison de nos différents objets, on voit que, pour prouver la nullité souhaitée, il suffit de prouver que ˜

KR (˜ σλ , (fQϕ )K R,ω ξK R,˜ ˜ σ,H (γ, λ)I ˜ ) =0 ˜

K G,E σ ) et tout λ ∈ H en position générale. On a pour tout H ∈ HK ˜ (˜ R

˜ −1 σλ , (fQϕ )K R,ω I K R (˜ ˜ ) = |W (R)| ˜



Q(wλ)ϕ(wλ).

˜ w∈W (R)

D’après l’invariance de Q, il suffit de prouver que ξK R,˜ ˜ σ ,H (γ, λ)Q(λ) = 0 ˜

K G,E σ ) et tout λ ∈ H en position générale. Or, si dim(H) ≤ aM˜ , pour tout H ∈ HK ˜ (˜ R Q(λ) = 0. Si dim(H) > aM˜ , c’est la première fonction qui est nulle d’après la proposition 8.8(ii). Cela prouve (5) et (4). Il résulte de (4) que, pour que lν soit non nulle, il est nécessaire qu’il existe ˜ K G,E H ∈ HK σ , ≤ aM˜ ) de sorte que ˜ (˜ R

W (μ(˜ π ) + ν) ∩ (μ(˜ σ ) + iμH + VH,C ) = ∅.

IX.8. L’application M˜

1143

Notons E l’ensemble des ν ∈ A∗M˜ ,C vérifiant cette condition. Supposons dorénavant que ˜

π , X, K M˜ (fϕ )) sur AM˜ × F est non nulle. (6) la fonction (X, ϕ) → I K M (˜ Il en est de même de la fonction (ν, ϕ) → I K M (˜ π , ν, ϕ) sur iA∗M˜ × F . Puisque ∞ cette fonction est C en ν, cela entraîne que lν est non nulle pour ν dans un ouvert non vide de iA∗M˜ . Un tel ouvert est donc contenu dans E. A fortiori E n’est pas inclus dans une réunion finie d’hyperplans affines de A∗M˜ ,C . Remplaçons les orbites μ(˜ π ) et μ(˜ σ ) par des points dans ces orbites. L’ensemble E est la réunion ˜ K G,E σ , ≤ aM˜ ), w ∈ W et w ∈ W M des ensembles sur H ∈ HK R˜ (˜ ˜

EH,w,w = (w(μ(˜ σ ) + iμH + VH,C ) − w (μ(˜ π ))) ∩ A∗M,C ˜ . On peut donc fixer H, w et w tels que EH,w,w ne soit pas inclus dans un hyperplan affine de A∗M˜ ,C . Mais EH,w,w est clairement contenu dans un tel hyperplan, sauf si c’est A∗M˜ ,C tout entier. Donc (7)

σ ) + iμH + VH,C ) − w (μ(˜ π ))). A∗M˜ ,C ⊂ (w(μ(˜

Cette condition implique A∗M˜ ,C ⊂ w(VH,C ). En vertu de l’hypothèse dim(H) ≤ aM˜ , π )) = w(μ(˜ σ) + cette inclusion est une égalité. L’égalité (7) entraîne alors w (μ(˜ iμH ). En considérant de nouveau μ(˜ π ) comme une orbite sous l’action de W M , cette égalité impose à μ(˜ π ) d’appartenir à un ensemble fini d’orbites déterminé par σ ˜ . La condition (6) implique donc ˜

K G,E σ ) tel que dim(H) = aM˜ ; (8) il existe H ∈ HK ˜ (˜ R

(9) l’orbite μ(˜ π ) appartient à un ensemble fini d’orbites déterminé par σ ˜. Si dim(AR˜ ) < dim(AM˜ ), la condition (8) n’est jamais vérifiée. En général, ˜ , ω). Les la condition (9) n’est vérifiée que pour un ensemble fini de π ˜ ∈ E ell,0 (M mêmes assertions valent donc pour la condition (6). Cela prouve la proposition.  La proposition entraîne immédiatement le corollaire suivant. ˜ (R), ω, K) pour tout f ∈ C ∞ (G(R), ˜ K). Corollaire. On a K M˜ (f ) ∈ Iac,cusp (K M c

Chapitre X

Stabilisation spectrale X.1 Introduction Le but de ce chapitre est de finir la stabilisation de la formule des traces tordues. La méthode est très voisine de celle de [20]. Le principe même de cette méthode due à Langlands et Arthur, est de mener de front des réductions pour l’expression géométrique et l’expression spectrale de cette stabilisation,  ˜ ˜ G )SI G (f G ), i(G, (1) I G (ω, f ) − G

où les notations sont expliquées dans le texte mais sont à peu près standard, en fait, pour être correct, il faut fixer un ensemble fini de places V suffisamment grand (la condition précise est que V contient l’ensemble Vram défini en [VI] 1.1) et ne considérer que les fonctions f qui hors de V sont les fonctions caractéristiques d’un espace compact hyperspecial ; ce n’est qu’avec ce choix de V que les distributions (vues uniquement pour les places dans V ) sont invariantes pour le côté gauche et stables pour le côté droit. Dans ce cas seules les données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V interviennent dans le membre de droite et il n’y a qu’un nombre fini de telles données endoscopiques. Très schématiquement, la réduction spectrale montre que (1) est une distribution qui s’exprime avec des caractères de représentations (ce serait même une somme discrète de traces de représentations si le sous-groupe du centre de G inva˜ était un groupe algébrique compact) ; la réduction géométrique avec riant sous G d’autres résultats montre, elle, qu’en fait (1) n’est pas du tout une distribution discrète si elle n’est pas nulle. Cette incompatibilité prouve la nullité cherchée. Ce qui est intéressant est la traduction de (1) en une égalité de transfert spectral qui ne fait intervenir que la partie discrète du côté spectral de la formule des traces ; ce résultat fait partie de la démonstration et se raffine de la façon suivante. En toute place archimédienne, on fixe un caractère infinitésimal et on note le produit de ces caractères infinitésimaux, ν. On fixe aussi V un ensemble © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_5

1145

1146

Chapitre X. Stabilisation spectrale

fini de places suffisamment grand (précisément V doit contenir Vram comme cidessus) et pour toute place v hors de V , on fixe un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de G(Fv ), cv . On note cV le produit de ces caractères pour toutes les ˜ ˜ places v non dans V . On note alors πνG [cV ] la somme des ω représentations de G intervenant dans la partie discrète du côté spectral de la formule des traces (on ne voit évidemment que la trace tordue de ces représentations), qui ont ν comme caractère infinitésimal et cV comme action de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V . Alors on considère l’ensemble des fonctions f qui en une place v finie ont une composante cuspidale nulle (au sens de la décomposition de Paley–Wiener) et pour ces fonctions on montre le transfert :  ˜ ˜ G ) tr π G [cV ](f G ), i(G, (2) tr πνG [cV ](f ) = ν,st G

où G parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques et non ramifiées ˜ ω et où hors de V de G,    G [cV ] = πνG ,st [cV,G ] πν,st ν  ,cV,G

la somme portant sur les caractères infinitésimaux ν  de G se transférant en ν par la fonctorialité entre algèbres de Lie et sur les caractères des algèbres de Hecke hors de V pour G se transférant en cV pour la fonctorialité non ramifiée de Langlands (il y a une inclusion de L-groupes qui fixe cette fonctorialité et les facteurs de   ˜ transfert de façon compatible) et πνG ,st [cV,G ] est l’analogue stable de πνG [cV ]. En d’autres termes on montre que le terme de gauche de (2) moins le transfert du terme de droite est une somme discrète de ω-représentations elliptiques en toute place de V . Comme on a toujours le droit d’ajouter à V un ensemble fini de places V0 et de n’appliquer la formule qu’aux fonctions non ramifiées en les places V0 , on conclut facilement si les fonctions non ramifiées en une place de V0 ont leur composante elliptique nulle (dans la réalisation de Paley–Wiener de cet espace) ; ceci est exactement équivalent au fait qu’il n’y ait pas de donnée endoscopique elliptique qui soit un tore non ramifié et n’est donc pas toujours vrai. On se tire de cet ennui en faisant agir le groupe adjoint de G ou plutôt dans le cas tordu le groupe (G/Z(G)θ )(AF ). Ce groupe agit du côté gauche via son action sur les fonctions et on montre que cette action se décompose suivant un nombre fini de caractères automorphes non ramifiés hors de V (du moins si V est suffisamment grand). Il agit aussi du côté droit en fait sur les facteurs de transfert ; en [I] 2.7, il ˜ ω donne un caractère est montré que chaque donnée endoscopique elliptique de G, θ de (G/Z(G) )(AF ) dont la restriction à l’image de G(AF ) est le caractère ω ; on  note ωG ce caractère. Et l’égalité (2) se raffine en une égalité, pour tout caractère automorphe χ de (G/Z(G)θ )(AF ) :   ˜ G G ˜ G ) tr πν,st [cV ](f ) = i(G, [cV ](f G ). (3) tr πν,χ  

G ;ωG =χ

X.1. Introduction

1147

Et c’est cette égalité plus fine que l’on démontre ; on vérifie qu’elle est vraie pour toute fonction f = fV 1K˜ V si l’une des composantes fv a sa composante elliptique nulle ; c’est le raffinement de l’égalité (2). Mais pour χ fixé, il existe une place v dans V où ce caractère est trivial. Le côté gauche appliqué à f valant 1K˜ v prend la même valeur qu’en la fonction où on remplace simplement la composante 1K˜ v par la fonction  ˜ v ) → γ ∈ G(F 1K˜ v (ad(g )γ)χ−1  (g ), g

où g parcourt un ensemble de représentants de (G/Z(G)θ )(Fv )/G(Fv ) (l’image ˜ v ), ω) de cette fonction ne dépend pas de l’ensemble de représentants) ; dans I(G(F le côté droit ne change pas quand on remplace fv par cette nouvelle fonction. On gagne car la nouvelle fonction a sa composante elliptique nulle. en la place v. On connaît donc l’égalité pour cette fonction ce qui permet de conclure. Les réductions géométriques sont les plus difficiles et ont été menées dans les chapitres précédents. Elles ramènent le problème à deux assertions : d’une part la stabilisation des intégrales pondérées locales invariantes pour des éléments semi-simples réguliers et d’autre part une identification des coefficients pour les intégrales orbitales ordinaires mais correspondant aux éléments exceptionnels au sens de [III] 6.2 (c’est [VII] 3.3, 3.4, 3.5 qui donne les réductions). La réduction spectrale est effectuée ici et est bien plus simple (cf X.5.11) ; on montre que par récurrence on sait stabiliser la partie continue de cette forme spectrale de la formule des traces et donc la formule (1) s’écrit en termes de caractères de représentations. Admettons pour le moment le point clé, c’est-à-dire la preuve de la stabilisation locale des intégrales pondérées invariantes. Alors les réductions géométriques montrent que (1) est nulle si en une place, v, que l’on peut choisir arbitrairement, ˜ v ). Quand on fixe la fonction f est nulle près des éléments exceptionnels de G(F f aux autres places et que l’on fait varier fv disons parmi les fonctions non ramifiées, alors (1) définit une distribution en fv qui est une combinaison linéaire des intégrales orbitales en les composantes en v des éléments exceptionnels (il n’y en a qu’un nombre fini) ; or les intégrales orbitales sont des transformées de Fourier ˜ ([12] géde caractères de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de G néralisé en [62]) et on peut supposer que ces Levi sont propres car on a supposé fv non ramifié. En revenant à l’écriture spectrale de (1) on montre une incompatibilité entre ces deux expressions qui forcent leur nullité. Quand on fixe f , on peut toujours trouver v tel que fv soit non ramifié et c’est ce qui fournit suffisamment de fonctions pour lesquelles on sait stabiliser la formule des traces et permet de conclure comme expliqué plus haut. Il faut donc montrer la stabilisation locale géométrique ; la première partie du chapitre relie cette stabilisation géométrique à la stabilisation de la formule des traces locales ; la stabilisation géométrique entraîne la stabilisation de la formule des traces locales, la réciproque est loin d’être claire mais c’est bien cela que l’on démontre (cf. X.3.2 et X.3.5). La stabilisation de la formule des traces locales a

1148

Chapitre X. Stabilisation spectrale

elle aussi une écriture géométrique et une écriture spectrale. L’écriture spectrale est simple, c’est essentiellement une combinaison linéaire de traces de représentations discrètes. Là aussi il faut montrer que l’écriture géométrique s’apparente à une distribution continue au sens que c’est une intégrale pour des espaces de Levi propres de représentations discrètes de ces Levi. On aura encore une incompatibilité entre les deux formes de la distribution qui assure sa nullité. Malheureusement la démonstration est compliquée par le fait que les hypothèses clés de X.3.5 sont démontrées par voie globale en X.7.7 et nécessitent donc elles aussi de jouer avec la réduction du côté spectral. De plus dans le cas tordu, il est encore plus difficile de globaliser une situation locale que dans le cas non tordu ; on utilise pour cela les travaux de Kottwitz et Rogawski ([47]) qu’il faut compléter (cf X.7.6).

X.2 Notations générales Le corps de base, toujours noté F sera parfois local (p-adique ou archimédien) et parfois un corps de nombres. Si F = R ou si F est un corps de nombres, on doit travailler avec des K-espaces, cf. [I] 1.11 et [VI] 1.16. Pour notre propos, cela ne change rien. Aussi, pour simplifier, on négligera dans la notation ce passage aux K-espaces que l’on notera comme des espaces -appelés aussi bitorseurs- connexes. ˜ un bitorseur sous un groupe algébrique G ; On reprend la notation M ˜ On fixe G ˜ et on note L(M ˜ ) les espaces de Levi de G ˜ qui pour les espaces de Levi de G ˜ ; on renvoie à [I] pour ces notations/définitions. Pour M ˜ un espace contiennent M ˜ on note M le sous-groupe de Levi de G sous-jacent et on pose : de Levi de G, ˜ )/M (F ). ˜ ) := NormG(F ) (M W (M ˜ sera invariant par ce groupe donc dans les Tout objet invariant attaché à M ˜ pris à conjugaison formules faisant intervenir une somme sur les espaces de Levi M ˜ )|−1 . près de tels objets, cette somme sera très naturellement quotientée par |W (M Mais, il est en fait plus simple de sommer sur les Levi semi-standard, ce qui a l’avantage de donner des formules qui fonctionnent aussi dans certains cas où les ˜ ne sont pas invariants : c’est-à-dire on fixe un espace de objets attachés à M ˜ et un Levi semi-standard est un Levi qui contient M ˜ 0. ˜ Levi M0 minimal de G ˜ ˜ ˜ Pour un tel espace de Levi, on note WM := NormM(F ) (M0 )/M0 (F ) et WG := ˜ 0 )/M0 (F ), c’est le groupe que l’on avait auparavant noté W (M ˜ 0 ). NormG(F ) (M Dans les formules qui font intervenir des sommes d’espaces de Levi semi-standard, le coefficient qui revient quasiment en permanence est : ˜ ) := |W ˜ M |/|W ˜ G |. w(M ˜ , on note AM le tore déployé maximal du centre de M Pour tout espace de Levi M ˜ . Pour et AM˜ le tore déployé maximal de AM inclus dans le centralisateur de M certaines formules, on a une somme alternée sur les espaces de Levi semi-standard,

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1149

le signe est alors (−1)aM˜ ,G˜ où aM, ˜ G ˜ := rang (AM ˜ /AG ˜ ). ˜ ) que l’on considérera seront toujours Si F = R ou F = C, les fonctions sur G(F supposées K-finies à droite et à gauche. Si F est un corps de nombres, les fonctions ˜ F ) que l’on considérera seront toujours supposées K-finies à droite et à sur G(A gauche aux places archimédiennes. On ne fait pas figurer cette condition dans la notation pour alléger celle-ci.

X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues Dans ce paragraphe, le corps F est local. On va montrer que la stabilisation de la formule des traces locales tordues est équivalente à la stabilisation des intégrales orbitales pondérées tordues invariantes pour les éléments semi-simples réguliers, modulo des hypothèses de récurrence tout à fait naturelles, précisément sur cette stabilisation des intégrales orbitales pour des groupes «plus petits».

X.3.1 Le côté géométrique de la formule des traces locales Rappel du côté géométrique de la formule des traces locales et de sa variante endoscopique En [81] 6.6, la formule des traces locale invariante est définie. Le côté géométrique ˜ ω) : est, pour toute paire de fonctions f1 , f2 ∈ I(G,  ˜ G ˜ G ˜ ˜ )I G˜˜ (ω, f1 , f2 ), Igeo (ω, f1 , f2 ) = (−1)aM, w(M M ˜ M

˜ ) et a ˜ ˜ sont définis dans le paragraphe X.2 et où où w(M M,G ˜



G IM ˜ (ω, f1 , f2 ) =

˜ ell /∼ M

G i (γ)IM ˜ (γ, ω, f1 , f2 ) dγ, ˜

˜ ell/ ∼, où où on renvoie à [81] pour la description de la mesure sur M i (γ) = mes(Cent0M (γ, F )/AM˜ (F ))| CentM (γ, F )/ Cent0M (γ, F )|−1 , et ˜

(S)1

G IM ˜ (γ, ω, f1 , f2 )  = ˜ i ∈L(M ˜ );i=1,2 L

˜ ˜ ˜ L˜ 1 (γ, ω, f ˜ )I L˜ 2 (γ, ω, f ˜ ), dG ˜ (L1 , L2 )IM ˜ ˜ 1,L1 M 2,L2 M

1150

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜1 ˜2 ˜ ˜ ˜ L L G ˜ avec dG ˜ (L1 , L2 ) vaut zéro si l’application naturelle AM ˜ n’est pas ˜ ⊕ AM ˜ dans AM M bijective et vaut le jacobien de cette application sinon, ce qui reflète le rapport des mesures sur ces espaces indispensables pour construire des intégrales orbitales pondérées.

Pour le côté endoscopique, on précise ici quelques notations : on est dans une ˜ et du situation locale. Pour G une donnée endoscopique elliptique du bitorseur G caractère ω, on pose ˜ G ) := | det (1 − θ)|−1 |π0 (Aut(G )/G ˆ  )|−1 i(G, AG /AG ˜

ˆ ΓF )||π0 (Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  ))|. |π0 (Z(G) ˜ G ) de [I] 4.17 (ce qui suit la formule (3)). C’est la notation c(G, Il faut aussi définir la variante stable de la formule des traces locales pour un tel G . En [I] 4.17 ( formule (3)), cette formule stable est écrite pour la partie elliptique de G . Avec un choix de mesure complètement explicité, c’est l’intégrale sur les points elliptiques de G , des intégrales orbitales stables. Pour M un Levi de G , on généralise la définition de façon immédiate en remplaçant l’intégrale sur les éléments elliptiques de G par l’intégrale sur les éléments elliptiques de M et en remplaçant les intégrales orbitales stables par les intégrales orbitales pondérées stables, c’est-à-dire G   G   (f , f ) = kM  (δ)−1 mes(AM  (F )\Mδ (F ))SIM SIM  ,geo  (δ, f1 , f2 ) 1 2 ˜  (F )ell / st-conj M

où kM  (δ) est le nombre de classes de conjugaison par M  (F ) contenues dans la classe de conjugaison stable de δ (la définition doit être adaptée dans le cas F = R, G   cf. loc.cit.) et où SIM  (δ, f1 , f2 ) se calcule par la formule de scindage 

(S)2

G   SIM  (δ, f1 , f2 )  =



L i ∈L(M );i=1,2



  G  G  eG M (L1 , L2 )SIM (δ, f1,L )SIM (δ, f2,L2 ) 

1

où les intégrales orbitales pondérées stables sont celles de [II] 1.10 (8) (c’est la    définition standard due à Arthur généralisée au cas tordu) et où eG M (L1 , L2 ) est défini en [II] 1.14, ce sont les constantes ”universelles” qui interviennent dans des formules de scindage pour des distributions stables et que l’on rappelle même si on va utiliser (S)3 ci-dessous au lieu de (S)2 ;    G   ˆ  ΓF ∩ Z(L ˆ  )ΓF )/Z(G ˆ  )ΓF |−1 . eG M (L1 , L2 ) = dM (L1 , L2 )|(Z(L1 ) 2 

G    On a aussi dG ˜ (L1 , L2 ) = dM  (L1 , L2 ) si M est une donnée endoscopique elliptique M ˜ i. ˜ et si L pour i = 1, 2 est une donnée endoscopique elliptique de L de M i ˜

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1151

˜ et pour G , M comme Pour toute paire de fonctions fi pour i = 1, 2 sur G, ci-dessus, on pose : ˜

G,E IM  ,geo (f1 , f2 ) = 0,

(1)

˜ et si M n’est pas une donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi de G  ˜ G,E G G G ˜ G )SIM (2) IM iM˜ (G,  ,geo (f1 , f2 ),  ,geo (f1 , f2 ) = G

˜ contenant M où la somme porte sur les données endoscopiques elliptiques de G et où ˜ G ) = j(G) ˜ −1 j(M ˜ )|Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 iM˜ (G, ˆ  )ΓF /Z(M ˆ )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |, |Z(M ˜ ) est son analogue pour M ˜ . On remarque ˜ = | detA /A (1 − θ)| et j(M avec j(G) G ˜ G ˆ et pas de l’espace M ˜ et est donc défini même si M que (2) ne dépend que de M ˜ n’est pas relevant pour un espace de Levi de G (cf. [VI] 6.6). Mais une preuve analogue à celle de la proposition de [VI] 6.6 montre que (2) est alors nul, ce qui est compatible avec (1). On donne tout de suite la formule de scindage suivante, pour M un donnée ˜ et pour δ une classe de conjugaison stable d’éléments endoscopique elliptique de M  elliptiques de M ˜

G,E IM ˜ (δ, f1 , f2 ) =

(S)3



˜

˜

˜

˜ ˜ L1 ,E (δ, f ˜ )I L2 ,E (δ, f ˜ ). dG ˜ (L1 , L2 )IM ˜ ˜ 1,L1 M 2,L2 M

˜ i ∈L(M);i=1,2 ˜ L

Ceci est similaire à [VI] 4.5 proposition (i), où V n’a que deux places. Séparation suivant les espaces de Levi ˜ on a l’égalité Proposition. Pour toute paire de fonctions fi pour i = 1, 2 sur G,    ˜ G G ˜ G )SIgeo Igeo (ω, f1 , f2 ) − i(G, (f1G , f2G ) G

(3) =

 ˜ M

   ˜  G,E ˜ )(−1)aM˜ ,G˜ I G˜˜ ˜ w(M (ω, f , f ) − i( M , M )I (f , f ) , 1 2 M ,geo 1 2 M ,geo M

˜ parcourt l’ensemble des espaces de Levi de G ˜ semi-standard et où M paroù M ˜. court l’ensemble des données endoscopiques elliptiques relevantes de M Il y a deux étapes dans cette proposition ; la première consiste à vérifier que ˜ qui ne sont les sous-groupes de Levi des données endoscopiques elliptiques de G ˜ pas relevants pour un sous-espace de Levi de G ne contribuent pas, c’est ce que l’on

1152

Chapitre X. Stabilisation spectrale

a expliqué avant l’énoncé. Et la deuxième partie est purement combinatoire : on utilise [VI] 6.3 pour échanger la somme sur les données endoscopiques elliptiques ˜ et celles sur d’abord les espaces de Levi M ˜ puis les données endoscopiques pour G ˜ ; les constantes i(G, ˜ G ) n’y étaient pas les mêmes mais le quotient elliptiques de M ˜ , M ) est bien le même (les Ker1 qui sont les objets globaux ne jouent ˜ G )/i(M i(G, pas de rôle dans cette combinatoire).

X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces locales et stabilisation des intégrales orbitales pondérées On note d(θ) le déterminant défini précisément dans ce qui précède le théorème de [I] 2.4 et qui si θ stabilise un épinglage est la valeur absolue du déterminant de 1 − θ dans t/tθ (où T est le tore de l’épinglage). Cette constante va redisparaître aussi vite qu’elle est intervenue. ˜ un espace de Levi de G ˜ et γ ∈ M ˜ ; on a déjà défini i (γ). On note Soit M X (γ) l’ensemble des classes de conjugaison sous M (F ) à l’intérieur de la classe de conjugaison stable de γ et on voit cet ensemble comme un ensemble fini de cardinal k(γ). On note X E (γ) l’ensemble des couples (M , δ  ) où M est une donnée ˜ et où δ  est une classe de conjugaison stable endoscopique elliptique relevante de M  de M qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ ; on prend ces couples à conjugaison près, c’est-à-dire que le groupe des automorphismes stabilisant M agit sur la classe de δ  et c’est le quotient Out(M ) qui agit et il agit librement. ˜ , on pose : Pour γ un élément elliptique de M x(γ) := | CentM (γ, F )/ Cent0M (γ, F )|k(γ)−1 . Lemme. Le terme (3) dans la proposition de X.3.1 est la somme sur les espaces ˜ semi-standard du produit de w(M ˜ ) par l’intégrale sur les classes de de Levi M ˜ , dont un représentant est noté γ de la conjugaison d’éléments elliptiques de M fonction    ˜ ˜ G,E G −1 2  i (γ) IM (γ, f , f ) − d(θ) x(γ) I (δ , f , f ) .  1 2 1 2 ˜ M (M ,δ  )∈X E (γ)

Le deuxième membre de l’égalité (3) de la section X.3.1 est une intégrale sur ˜ avec une mesure (et des les classes de conjugaison des éléments elliptiques dans M ˜ coefficients) écrits en [I] 4.17, où il faut généraliser de G à tous ses espaces de Levi ; comme expliqué en [I] les choix de mesures sont cohérents avec ceux de [81]. Le ˜ est donc, pour I G˜ terme indexé par M ˜ ,geo (ω, f1 , f2 ) une intégrale sur les classes M ˜ , représentées par un élément noté γ de l’intégrale de conjugaison elliptiques de M G  orbitale pondérée IM ˜ (γ, ω, f1 , f2 ) affectée du coefficient i (γ). Le deuxième terme intervenant est une somme sur M , les groupes endosco˜ , pris à isomorphisme près, de l’intégrale sur les piques elliptiques relevants de M ˜

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1153

classes de conjugaison stable d’éléments elliptiques de M  avec un représentant ˜ , M ) noté δ  , chaque terme étant affecté du produit du coefficient général i(M  −1   avec k(δ ) mes(AM  (F )\Mδ (F )) où k(δ ) est le nombre de classes de conjugaison sous M  (F ) à l’intérieur de la classe de conjugaison stable de δ  (dans le cas où le corps de base est archimédien, c’est la classe dans le K-groupe qui intervient évidemment). On reprend les calculs de [I] preuve de la proposition 4.16 ; on fixe ˜ , ou plutôt sa classe de conjugaison sous M (F ). On γ un élément elliptique de M peut récrire le deuxième terme en faisant une somme sur les classes de conjugaison ˜ comme stable d’éléments elliptiques de M  ˜ , M )| Out(M )|k(δ)−1 i(M (M ,δ)∈X E (γ) (1) ˜

G,E mes(AM  (F )\Mδ (F ))IM  (δ, f1 , f2 ),

ce qui ressemble à [I] 4.17 (4). On peut simplifier les coefficients car il est démontré en [I] 4.17 (5), pour (M , δ) ∈ X E (γ), l’égalité : ˜ , M ) = d(θ)−1 | Out(M )|−1 k(δ) mes(AM  (F )\Mδ (F ))−1 k(γ)−1 i(M mes(AM˜ (F )\ CentM (γ, F )). Ainsi (1) devient 

˜

G,E d(θ)−1 k(γ)x(γ)−1 i (γ)IM  (δ, f1 , f2 ).

(M ,δ)∈X E (γ)

Cela montre l’énoncé puisque dans l’énoncé on somme sur les classes de conjugaison et non comme ci-dessus sur les classes de conjugaison stable (d’où la disparition du k(γ)) ˜ et γ On peut encore simplifier l’énoncé du lemme précédent ; on fixe M ˜ une classe de conjugaison d’élément elliptique de M ; on reprend les notations précédentes en particulier x(γ). On pose  ˜ ˜ G,E G,E −1/2 x(γ) Δ(δ, γ)−1 IM IM  (δ, f ). ˜ (γ, f ) := d(θ) (M ,δ)∈X E (γ)

˜ remplacé par un de ses sous-espaces de Levi conteOn généralise la définition à G ˜ . Alors on a : ˜ ˜ i contenant M nant M . Pour i = 1, 2 fixons des espaces de Levi L Remarque.



d(θ)−1 x(γ) =

 γ

˜

˜

L1 L2 IM  (δ, f1,L ˜ 1 )IM  (δ, f2,L ˜2 )

(M ,δ)∈X E (γ) ˜

˜

L1 ,E L2 ,E IM (γ  , f1,L˜ 1 )IM (γ  , f2,L˜ 2 ), ˜ ˜

où la somme porte sur les classes de conjugaison γ  stablement conjuguées de γ.

1154

Chapitre X. Stabilisation spectrale

C’est simplement la formule d’inversion des facteurs de transfert. Corollaire. Avec les notations précédentes et γ  parcourant le même ensemble que ci-dessus,    ˜ ˜ G −1 2 G,E IM (γ, ω, f , f ) − d(θ) x(γ) I (δ, f , f )  1 2 1 2 ˜ M γ

=



(M ,δ)∈X E (γ) ˜ ˜ ˜ dG ˜ (L1 , L2 ) M

˜ 1 ,L ˜2 L

  ˜ ˜ 1 ,E ˜ 2 ,E ˜2 L L L1 L IM (γ, f )I (γ, f ) − I (γ, f )I (γ, f ) , ˜1 M ˜2 ˜1 M ˜2 ˜ ˜ ˜ ˜ 1,L 2,L 1,L 2,L M γ

˜ contenant M ˜. où la somme porte sur les couples d’espaces de Levi de G Chacun des termes de la première égalité vérifie une formule de scindage (cf ˜ G X.3.1 (S)1 et (S)3 ). Pour IM ˜ , on scinde en sommant sur les couples d’espaces de ˜ G,E ˜ Levi contenant M comme dans l’énoncé. Pour IM  , il s’agit des couples de Levi ˜ L1 , L2 contenant M  et inclus dans un groupe endoscopique elliptique G de G. ˜ 1, L ˜ 2 les espaces de Levi de G ˜ ; ainsi, Dans ce dernier cas, on note évidemment L ˜ i. pour i = 1, 2, Li et M définissent une donnée endoscopique elliptique pour L ˜ ˜ G ˜ Et il résulte alors de la définition même donnée en [X] 3.1 que dM˜ (L1 , L2 ) =    dG M  (L1 , L2 ). Le corollaire résulte alors de la remarque précédente. Réduction pour la stabilisation géométrique Hypothèse de récurrence locale géométrique : on suppose que l’on connaît l’égalité ˜ ˜ L,E L ˜ ˜ IM ˜ (γ, ω, f ) = IM ˜ (γ, f ) pour tout espace de Levi propre M de G et pour tout ˜ ˜ ˜ espace de Levi propre L de G contenant M . ˜ =L ˜ =G ˜ ce qui On remarque que l’on a de toute façon cette égalité si M ˜ n’a pas de Levi propre. permet de commencer la récurrence quand L Proposition. Avec les hypothèses faites, pour toute paire de fonctions fi pour i = ˜ on a l’égalité 1, 2 sur G,    ˜ G G ˜ G )SIgeo (ω, f1 , f2 ) − i(G, (f1G , f2G ) Igeo G

=

 ˜ M

˜ G ˜ ˜ )−1 (−1)aM, w(M

˜ ell /∼ M

  ˜ ˜ ˜ G,E G i (γ) IM˜ (γ, ω, f1 ) − IM˜ (γ, f1 ) I M (γ, ω, f2,M˜ ) 

  ˜ ˜ G,E ˜ G M + I (γ, ω, f1,M˜ ) IM˜ (γ, ω, f2 ) − IM˜ (γ, f2 )

C’est un corollaire des paragraphes précédents.

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1155

X.3.3 Le côté spectral de la formule des traces locales et sa stabilisation Rappel des notations On note Rat(G(F )) le groupe des caractères rationnels Homalg (G(F ), F ∗ ) ; c’est un Z-module et on pose A∗G,C := Rat(G(F )) ⊗Z C. On a ainsi défini un espace ˜ ) opère sur cet espace vectoriel de façon vectoriel avec une structure réelle ; G(F ∗ le sous-espace vectoriel des éléments invariants pour semi-simple et on note AG,C ˜ cette action ; ce sous-espace vectoriel a aussi une structure réelle et il existe une ˜ ) invariante de A∗ dans A∗ . Les éléments de A∗ application injective, G(F ˜ G,C G,C G,C s’identifient à des caractères continus à valeurs dans C∗ de G(F ) par l’application ∀g ∈ G(F ), (χ ⊗ c)(g) = |χ(g)|c . On notera iA∗G˜ la partie imaginaire de A∗G,C ˜ , c’est-à-dire Rat(G(F )) ⊗Z iR. Par les définitions ci-dessus, on a une application (c’est l’application usuelle) HG de G(F ) dans l’espace vectoriel dual de A∗G et qui, par projection donne une application HG˜ dans l’espace vectoriel dual de A∗G˜ ; on note AG et AG˜ les espaces vectoriels duaux. On note L l’ensemble des éléments de A∗G,C qui envoient dans ˜ 2πiZ l’image de HG˜ dans AG˜ ; L est trivial si F est un corps archimédien et est le quotient de un réseau de iA∗G˜ si F est p-adique. Dans la suite, on note iA∗G,F ˜ iA∗G˜ par ce réseau (trivial si F est un corps archimédien). ˜ ; on ne peut pas le On veut faire opérer A∗ sur toute ω-représentation de G ˜ G,C

˜ ), on pose pour tout élément faire canoniquement mais dès que l’on fixe g˜0 ∈ G(F ˜ ), H ˜ (g˜ g˜ g0 ∈ G(F g ) = H (g) et en composant avec HG˜ , tout élément de A∗G,C ˜ 0 ˜ G G ˜ ). La mutiplication d’une ω-représentation par s’identifie en une fonction sur G(F une telle fonction est encore une ω-représentation. sur l’ensemble des ω-représentations. On a ainsi défini une action de iA∗G,F ˜ ˜ de G ˜ en On généralise toutes ces notations aux sous-espaces de Levi, M remplaçant l’indice G par un indice M . La partie spectrale de la formule des traces locales est écrite en [81] 3.25, 3.26 ˜ et 6.6, pour toute fonction f1 , f2 ∈ I(G)  ˜ G Ispec (ω, f1 , f2 ) = dλι(τ )| StabW G ×iA∗˜ (τ )|−1 τλ (f1 )τλ (f2 ), τ

iA∗˜

G,F

G,F

où τ parcourt un système de représentants de l’action de iA∗G˜ agissant par ten˜ ; ι(τ ) est défini en sorisation sur l’ensemble des ω-représentations discrètes de G [81] à la fin de 2.11 et le stabilisateur à la fin de [81] 2.9 et leurs valeurs explicites n’ont guère d’importance pour nous ici.

1156

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Une remarque sur les mesures ˜ fait intervenir des intégrales Le côté spectral de la formule des traces locale pour G ∗ ˜ sur les espaces iAG,F de ω-représentations de G. Tous les termes ont un coeffi˜ cient qui tient compte du stabilisateur de la représentation sous iA∗G,F ce groupe ˜ agissant par tensorisation. Dans le cas des corps p-adiques, on peut donc modifier l’espace d’intégration en intégrant sur iA∗M˜ /L où L est un sous-réseau inclus dans le réseau L décrit ci-dessus. Cela modifiera le coefficient calculant le stabilisateur et ne modifiera pas l’intégrale. C’est une remarque à faire car on va comparer le côté spectral de la formule ˜ à celle de ses données endoscopiques elliptiques ; notant G une des traces pour G telle donnée. L’éllipticité assure que AG˜ = AG mais n’assure évidemment pas que iAG,F soit égal à son analogue pour G , iAG ,F si le corps de base est p-adique.Et ˜ la remarque précédente montre que l’on peut quand même intégrer sur le même ˜ et pour ses données endoscopiques elliptiques à condition de prendre espace pour G les stabilisateurs dans l’espace sur lequel on intégre. Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales, préliminaires ˜ est un bi-torseur sous un groupe G quasi-déployé, qu’il est Ici on suppose que G ˜ G . Par tensorisation à torsion intérieure et que ω est trivial. Il faut définir SIspec ∗ opère dans l’ensemble des caractères unitaires de A iAG,F ˜ ˜ G (F ) et on fixe un ensemble, X , de représentants pour ces orbites. Pour chacun de ces caractères, χ, ˜ se transformant on fixe une base des représentations tempérées et stables de G sous AG˜ (F ) par ce caractère χ et on note Bχ cette base. On impose en plus à cette base d’avoir la propriété d’orthogonalité suivante : on considère le produit scalaire elliptique défini pour les représentations elliptiques. On commence d’abord par choisir une base des représentations elliptiques stables orthogonale pour ce produit scalaire, ceci est possible grâce à [I] 4.17 qui montre la compatibilité de ce produit scalaire avec le transfert des fonctions cuspidales. Ensuite on utilise le fait que la décomposition d’une représentation tempérée stable en induites de représentations elliptiques (modulo le centre) ne fait intervenir que des induites de on représentations elliptiques stables. En tensorisant par des éléments de iA∗G,F ˜ obtient alors une base pour les représentations elliptiques stables sans hypothèse sur le caractère de AG˜ (F ). On fait la même construction pour les espaces de Levi ˜ et en induisant on a ainsi une base des représentations tempérées stables de G grâce aux propriétés des décompositions des représentations tempérées stables en combinaison linéaires d’induites de représentations elliptiques nécessairement stables (cf. le paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2). ˜ , χM ) formés d’un espace de Remarque. Fixons un ensemble fini de couples (M ˜ et d’un élément de iA∗ . Fixons aussi un K-type. Alors il n’existe Levi de G ˜ ,F M qu’un nombre fini de représentations tempérées irréductibles admettant un vecteur

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1157

invariant sous ce K-type et qui soient un sous-module d’une combinaison linéaire ˜ , σ où en notant χσ d’induites de représentations elliptiques à partir de données M ˜ , χσ ) soient dans l’ensemble le caractère de σ restreint à AM˜ (F ), les couples (M fixé. Cette propriété de finitude est une généralisation simple d’un résultat analogue pour les séries discrètes dû à Harish-Chandra : en effet le résultat d’HarishChandra se généralise aux représentations elliptiques (cf. [62] paragraphe 6) et donc aux sous-modules des induites comme dans l’énoncé. On fixe χ et on considère un ensemble de nombres complexes bφ,φ indexés par les couples φ, φ d’éléments de Bχ ; on dit qu’un tel système est centralement fini si ˜ , χM tel que b(φ, φ ) = 0 sauf éventuellement il existe un nombre fini de couples M  si φ et φ ont une composante sous-quotient d’une induite d’une représentation ˜ avec comme restriction à A ˜ (F ) le caractère χM . elliptique de l’un des M M Il résulte de la remarque que, pour un tel ensemble de nombres complexes, ˜ la somme et pour toute paire de fonctions f1 , f2 sur G,   b(φ, φ ) tr φ(f1 )tr φ (f2 ) (1) χ φ,φ ∈Bχ

est finie. Elle définit alors une distribution stable. Quelques propriétés de finitude Le lecteur est en droit de se demander pourquoi ces définitions techniques. C’est à cause de problème de définition du côté spectral de la formule des traces locales, on ne veut que des sommes finies et c’est justifié par le lemme suivant : Lemme. Soit χ un élément de iA∗G,F ˜ . Alors il existe un ensemble fini de couples ˜ dont le carac˜ (M , χM ) comme ci-dessus tel que toute représentation discrète de G, tère se restreint en le caractère χ de AG˜ (F ), soit sous-module d’une combinaison ˜ en linéaire d’induites de représentations elliptiques des sous-groupes de Levi M n’autorisant que l’un des caractères χM en restriction à AM˜ (F ). La démonstration repose sur la remarque suivante : Remarque. Soit π une représentation discrète associée à un triplet discret comme ˜ , σM ) (unique à conjugaison dans [81] 2.11. Alors il existe un unique couple (M ˜ ˜ près sous G) formé d’un espace de Levi M de G et d’une représentation elliptique ˜ tel que π soit l’induite de σM . σM de M ˜ minimal contenant le triplet définissant π. Comme expliqué en On prend M ˜ ˜ correspond à une représentation elliptique σM de M [81] 2.11, ce triplet pour M et [81] 2.12 montre alors que π est l’induite de σM . Et cette référence montre aussi l’unicité à conjugaison près.

1158

Chapitre X. Stabilisation spectrale

La remarque entraîne le lemme. En effet si π comme dans la remarque a pour restriction à AG˜ (F ) le caractère χ, σM a la même propriété. La représentation σM a pour restriction à AM˜ (F ) la restriction du caractère central d’une représentation d’un sous-groupe de Levi de G invariant sous un élément régulier du groupe de Weyl de ce sous-groupe de Levi. Par définition de la régularité cela ne laisse qu’un nombre fini de possibilités. Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales On revient à la situation de X.3.3 On suppose défini par récurrence le côté spectral G ˜ propres, noté SIspec , de la stable pour les groupes endoscopiques elliptiques de G forme :    G (f1 , f2 ) = dλbG (φ, φ )tr φλ (f1 )tr φλ (f2 ) SIspec χ φ,φ ∈BG χ

iA∗ G ,F



avec un ensemble de nombres complexes bG (φ, φ ) centralement fini. Il faut remarquer que le sous-groupe de iA∗G ,F formé des caractères dont la restriction à AG (F ) est trivial opère sur l’ensemble des représentations stables ayant un caractère sur AG (F ) fixé. Comme on intégre sur iA∗G ,F , on demande

 aussi à φ,φ bG (φ, φ )φ ⊗ φ d’être invariant sous cette action. Proposition. Il existe un système de coefficients centralement fini b(φ, φ ) associé ˜ G la distribution obtenue au triplet χ, φ, φ comme ci-dessus tel que en notant SIspec ∗ ˜ en intégrant (1) sur iAG,F ˜ , on ait pour toute paire de fonctions f1 , f2 sur G ˜

G Ispec (f1 , f2 ) −









G G SIspec (f1G , f2G ) = SIspec (f1 , f2 ). ˜

˜ G =G

Ce que dit la proposition est que le côté gauche est stable et s’écrit sous la forme (1) pour des bons choix. On montre d’abord que le côté gauche de l’égalité d’une somme comme dans (1) mais où φ et φ parest une intégrale sur iA∗G,F ˜ court une base de l’ensemble des représentations tempérées et pas seulement des représentations stables. Pour cela, on transfère terme à terme les éléments de la somme sur G (cf. le théorème du paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2 dans le cas archimédien) ; un caractère χ pour AG (F ) se transfère en un caractère χ1 de AG˜ (F ) par l’application naturelle du deuxième groupe dans le premier. On tensorise par un élément de iA∗G,F pour le ramener en l’un des représentants fixés, χ. On fait ˜ la somme sur toutes les données et tous les caractères et on obtient l’assertion (sans la stabilité). On montre maintenant que les sommes que l’on intégre pour χ fixé sont des distributions stables ; c’est ici qu’il faut commencer par faire agir le qui agit trivialement. Ce sous-groupe est fini et après cette sous-groupe de iA∗G,F ˜ opération l’intégrale porte sur le quotient de iA∗G,F par ce sous-groupe. ˜

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1159

Dans le cas de torsion intérieure que nous sommes en train de considérer, il a été montré en [V] 1.13, que les intégrales orbitales pondérées équivariantes pour les éléments fortement réguliers sont stabilisables c’est-à-dire que ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, f ) = IM ˜ (γ, f )

en de tels points γ. Ainsi la partie géométrique de la formule des traces locales est stabilisable ou encore le membre de gauche de (3) dans X.3.1 est nul (cf. X.3.2). Ainsi on a une distribution du côté spectral qui est stable c’est-à-dire nulle si on l’applique à un couple de fonctions f1 , f2 où l’une des fonctions annule toutes les intégrales orbitales semi-simples stables. ˜ d’image nulle dans SI(G) ˜ ; f2 varie librement donc l’appliFixons f1 ∈ I(G) cation π → tr π(f2 ) décrit toutes les fonctions de Paley–Wiener sur l’ensemble des ˜ Cela prouve que si φ parcourt une base des repréreprésentations tempérées de G. sentation tempérées (ayant les propriétés d’orthogonalité que nous avons fixées), le coefficient de φ qui est une fonction de f1 est nul quand on l’évalue en f1 . Ainsi on peut faire parcourir à φ une base des représentations stables (cf. [XI] paragraphe 2 et [IV] 2.8 dans le cas archimédien) modulo l’action de iA∗G,F ; comme ˜ ˜ ˜ l’application I(G) → SI(G) est surjective, on échange les rôles de f1 et f2 pour obtenir le résultat annoncé. Description plus fine du côté spectral de la formule des traces locale On peut améliorer la proposition précédente en découpant suivant les espaces de ˜ et leurs représentations elliptiques. On fixe toujours un ensemble de Levi de G représentants des caractères unitaires de AG˜ (F ) modulo l’action de iA∗G,F ˜ . Pour ˜ χ un tel représentant, on considère l’ensemble fini de couples (M , χM ) satisfaisant ˜ , χM ) dans cet ensemble on fixe Quand on a fixé le lemme de X.3.3. Pour (M ˜ un tel caractère et si G, ω est à torsion intérieure comme dans le paragraphe précédent, on fixe aussi une base orthogonale (pour le produit scalaire elliptique) ˜ sur lesquelles A ˜ (F ) de l’ensemble des représentations elliptiques stables de M M agit par ce caractère ; on note B(χM ) cette base. ˜ un espace de Levi de G ˜ et On utilise la notation ambiguë suivante : soit L ˜ c’est à dire correspondant à un triplet soit τ une représentation elliptique de L, elliptique de [81] 2.11 qui avec les notations de [81] est de la forme (M, σ, w) ˜ ; ici ˜ de ce paragraphe. M est un sous-groupe de Levi de L et n’a rien à voir avec les M ˜ à G ˜ est irréductible si le R-groupe ˜ On dit que l’induite de τ de L de σ calculé ˜ est aussi celui calculé dans G, ˜ c’est-à-dire que le morphisme de W L˜ (σ) dans L ˜ dans W0G (σ)\W G (σ) est un isomorphisme ; ce morphisme est injectif car τ a été supposé elliptique et c’est la surjectivité qui est la condition. La représentation ˜ pour laquelle ι(ind τ ) est bien induite de τ est une représentation discrète de G défini ([81] 2.11).

1160

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Proposition. ˜ ω. (i) On ne fait pas d’hypothèse sur G, ˜

G (ω, f1 , f2 ) Ispec  = dλ | StabW G ×iA∗˜ (ind τ )|−1 ι(ind τ )tr τλ (f1,M˜ ) tr τλ (f2,M˜ ) iA∗˜

G,F

G

˜ ,χ ˜ ,τ M M

˜ parcourt les classes de conjugaison d’espaces de Levi et où les τ paroù M ˜ dont l’induite à G ˜ est court l’ensemble des représentations elliptiques de M ˜ irréductible (modulo conjugaison sous le normalisateur de M dans G) de caractère central χM . ˜ ω est à torsion intérieure avec ω = 1 et G quasi(ii) Ici on suppose que G, ˜ , χ ˜ , φ, φ ) centralement fini déployé. Il existe un système de coefficients b(M M indexé par les données précédant l’énoncé (les espaces de Levi sont pris à conjugaison près), identiquement nul pour presque tout χM tel que pour toute paire de fonctions f1 , f2 ,  ˜ G ˜ , χM , φ, φ )tr φλ (f ˜ )tr φ (f ˜ ) dλ, (f1 , f2 ) = b(M SIspec λ 2,M 1,M iA∗˜

G,F

˜ ,χM ,φ,φ M

où l’indice λ est la tensorisation par λ. ˜

G seules des représentations dis(i) Il faut d’abord remarquer que dans Ispec ˜ crètes de G interviennent. De plus, on a bien une somme d’intégrales sur iA∗G,F ˜

de produit tr τλ (f1 ) tr τλ (f2 ), où comme on vient de le dire τ est discrète. Or une représentation discrète est induite d’une représentation elliptique comme on l’a vu ˜ (unique à conjugaison près). Cela dans X.3.3 pour un unique espace de Levi de G donne (i) (ii) On raisonne comme dans la proposition précédente : on applique le résultat par récurrence aux données endoscopiques elliptiques propres. On remarque qu’un sous-groupe de Levi, M d’une donnée endoscopique elliptique G qui n’est ˜ a une contribution nulle car il s’applique à f G = 0. On n’a pas relevant pour G M donc qu’à transférer des représentations elliptiques stables de sous-groupes endo˜ Un tel transfert est une combinaison scopiques elliptiques d’espaces de Levi de G. linéaire de représentations elliptiques de ce sous-espace de Levi. Cela montre une formule comme dans l’énoncé mais sans savoir que les φ et φ sont stables. Pour avoir cette stabilité, on utilise encore [IV] 2.8 dans le cas archimédien et le paragraphe 2 de [XI] dans le cas p-adique. Remarque sur la stabilisation locale spectrale ˜ général, donc on ne connaît plus la stabilisation Ici on revient à un espace G des intégrales orbitales pondérées et on n’a ni la stabilisation géométrique ni la

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1161

stabilisation spectrale. Comme dans le cas à torsion intérieure, on fixe un ensemble de représentants dans le quotient du groupe des caractères unitaires de AG˜ (F ) modulo l’action par tensorisation de iA∗G,F et pour χ un tel représentant, on ˜ ˜ et d’un caractère ˜ , χM formés d’un espace de Levi de G considère les couples M ˜ , χM ) du groupe de unitaire de AM˜ (F ) prolongeant χ. On fixe une base B(M ˜ se transformant Grothendieck (complexifié) des représentations elliptiques de M via χM sous AM˜ (F ). ˜ , χM et τ, τ  ∈ B(M, χM ), il existe un système Lemme. Pour tout χ et pour tout M  ˜ , χM , τ, τ ) nul pour presque tout χM , tel que pour toute paire de coefficients a(M ˜ on ait : de fonctions f1 , f2 sur G, ˜

G (ω, f1 , f2 ) − Ispec

(∗) (1)

dλ

= iA∗˜

G,F













G ˜ G )SIspec i(G, (f1G , f2G )

G

˜ , χM , τ, τ  )tr τλ (f ˜ )tr τ  (f ˜ ). a(M λ 2,M 1,M

˜ ˜ M τ,τ  ∈BM M,χ (χM )

Cela se démontre comme dans le cas de torsion intérieure, et ici on s’attend à ce que les coefficients soient tous nuls et on le démontrera. ˜ sous-espace Remarque. Dans l’énoncé précédent, la somme ne porte que sur les M ˜ de Levi propre de G. En effet, supposons que f1 et f2 soient cuspidales. Alors dans (1) ne reste ˜ = G. ˜ On écrit (∗) à l’aide de l’écriture géométrique de que le terme pour M X.3.2. Comme on suppose que f1 et f2 sont cuspidales les termes constants de f1 ˜ ont toutes leurs intégrales orbitales et f2 pour les espaces de Levi propres de G nulles. Avec X.3.2, on sait que (∗) est nul. Donc (1) est nul pour toutes f1 , f2 cuspidales. Via la trace tordue, les fonctions cuspidales séparent les éléments d’une ˜ χ) pour χ fixé. Par inversion de Fourier, on conclut alors à la nullité des base B(G, ˜ ˜ χ, τ, τ  ) quand τ et τ  parcourt une base des représentations elliptiques de G a(G, de caractère χ en restriction à AG˜ (F ) comme dans l’énoncé du lemme.

X.3.4 Elimination de certaines conditions On va aussi en déduire le corollaire ci-dessous. On a besoin de la terminologie ˜ ω) se décompose suivant le théorème de Paley– suivante. Une fonction f ∈ I(G, Wiener en une composante cuspidale et une composante dite non elliptique dont ˜ On a aussi besoin la trace est nulle sur toute les ω représentations elliptiques de G. de la notion d’éléments isolés ou plus exactement exceptionnels. Ils sont définis en ˜ ω (donnés [VIII] 4.4 : ces éléments n’apparaissent que pour certains choix de G, en [III] 6.3) et sont tels que leur partie semi-simple stabilise une paire de Borel épinglée ; appelons un tel élément un élément isolé. C’est une généralisation de la notion d’élément unipotents modulo le centre du cas non tordu mais ils ne gênent

1162

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ ω et on ne les considère que dans ces cas. On a besoin de que pour certains G, les considérer séparément à cause des hypothèses de la proposition de [VIII] 4.4. C’est pour cela qu’il vaut mieux les appeler exceptionnels. Ceci dit pour nous la seule chose qui nous importe est qu’ils n’apparaissent pas sur un corps local archimédien. ˜ de G ˜ et une fonction f ∈ I(G, ˜ ω). On dit que On fixe un espace de Levi M ˜ cuspidale si les termes constants de f sont nuls pour tout espace de Levi f est M ˜ (c’est la généralisation immédiate de qui ne contient pas, à conjugaison près, M la définition donnée en [20] avant le lemme 2.3) ˜ ω) en supposant ˜ un espace de Levi de G ˜ et on fixe f2 ∈ I(G, Corollaire. On fixe M ˜ que f2 est M -cuspidale. (i) (1)

˜

G (ω, f1 , f2 ) − Ispec









˜ G )SI G (f G , f G ) = 0 i(G, spec 1 2

G

˜ ω) si et seulement si cela est vrai pour toute pour toute fonction f1 ∈ I(G, ˜ -cuspidale. fonction f1 qui est M (ii) On suppose que le corps de base est p-adique. Alors    ˜ G G ˜ G )SIspec Ispec (ω, f1 , f2 ) − i(G, (f1G , f2G ) = 0 G

˜ ω) si et seulement si cela est vrai pour toute pour toute fonction f1 ∈ I(G, ˜ ω) où l’on suppose que f1 est M ˜ cuspidale et a une comfonction f1 ∈ I(G, posante non elliptique nulle près des éléments isolés. ˜ cuspidale, dans (1) il suffit de sommer Comme on suppose que f2 est M ˜ sur les espaces de Levi contenant M . On fixe f1 et on note f1 une fonction dans ˜ ω) qui a même composante de Paley–Wiener que f1 pour tous les espaces I(G, ˜ et qui vaut 0 ailleurs. Vérifions que f1 est M ˜ cuspidale : de Levi contenant M puisque les traces de cette fonction pour toute induite à partir d’un espace de ˜ sont nulles, on applique le théorème 0 de [81] 5.5. Pour Levi ne contenant pas M ˜ ˜ dont aucun conjugué ne contient M ˜ et une cela on fixe L un espace de Levi de G  représentation πL˜ de cet espace de Levi. Comme la trace de f1 sur l’induite de  πL˜ est nulle, la trace du terme constant f1, ˜ est nulle. On sait alors que le ˜ sur πL L  terme constant de f1 pour un tel espace de Levi a toutes ses intégrales orbitales ˜ -cuspidale. Cela démontre semi-simples régulières nulles et donc que f1 est bien M le (i) du corollaire. Pour le (ii) du corollaire, on suppose comme dans l’énoncé que le corps de base est p-adique. Comme on l’a remarqué dans le corollaire précédent, dans (1) ˜ et des représentations ellipn’interviennent que des espaces de Levi propres de G tiques de ces espaces de Levi. Ainsi (1) est certainement nul si f1 est cuspidale. On peut donc dès le départ supposer que f1 a sa composante elliptique nulle.

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1163

Ainsi avec l’hypothèse on sait que (1) est nulle si en plus f1 est nulle près des éléments exceptionnels, on voit que (1) restreint à f2 fixé comme dans l’énoncé est ˜ ω) de composante elliptique nulle qui est une forme linéaire sur les éléments de I(G, nécessairement une combinaison linéaire convenable des intégrales orbitales en les points isolés. A la suite de [12], on a montré qu’une intégrale orbitale est une somme ˜ parcourt l’ensemble des sous-espaces (quand L d’intégrales sur les espaces iA∗L,F ˜ ˜ de traces d’induites de représentations elliptiques de l’espace de Levi de Levi de G) ˜ (cf [62], théorème du paragraphe 5). Par hypothèse sur la composante elliptique L ˜ propres interviennent de façon éventuellement non nulle. de f1 , seuls les espaces L Mais en revenant à la définition de (1) comme intégrale sur iA∗G,F l’égalité des ˜ deux distributions est impossible sans que chacune des distributions soit nulle. Ainsi (1) est nul sous la seule hypothèse que f1 a sa composante elliptique nulle, ce qui prouve (ii). Remarque. En jouant sur la symétrie entre f1 et f2 , on vient de montrer que ˜ ω) dont l’une est M ˜ (1) est nulle pour tout couple de fonctions (f1 , f2 ) dans I(G, cuspidale si et seulement si cela est vrai pour tout couple de fonctions (f1 , f2 ) dont ˜ cuspidales et que les deux ont une composante on suppose que les deux sont M non elliptique nulle près des éléments isolés (condition que l’on n’impose que pour les places p-adiques). ˜ de G. ˜ Supposons que l’on sache que pour Remarque. On fixe un espace de Levi M ˜ , y compris L ˜=M ˜ , on toute fonction f et pour tout espace de Levi contenant M ˜ ait pour tout γ élément semi-simple régulier de L, ˜

˜

G,E ILG ˜ (ω, γ, f ) = IL ˜ (γ, f ),

(2)

˜ -cuspidale, (2) est vrai pour tout espace alors pour toute fonction f qui est M ˜ de G ˜ sans restriction. En particulier (2) est vrai pour toute fonction de Levi L ˜ et pour tout espace de Levi L. ˜ cuspidale sur G En effet, d’après l’hypothèse, la formule des traces locales pour deux fonctions ˜ toutes deux M ˜ cuspidales est stabilisable, c’est-à dire que (1) est nulle f1 , f2 de G sous ces conditions. D’après la remarque précédente, (1) est nulle sous la seule ˜ cuspidale, donc sans hypothèse sur f2 . Cela force la nullité hypothèse que f1 est M du côté géométrique de X.3.2 pour toute fonction f2 et pour f1 = f comme dans ˜ cuspidalité de f = f1 , on obtient l’énoncé. En utilisant l’hypothèse (2) et la M qu’une combinaison linéaire des termes ˜ ˜ ˜ G,E L i (γ)(ILG ˜) ˜ (ω, γ, f ) − IL ˜ (γ, f ))I (γ, ω, f2,L ˜ ell /∼ L

est nulle sans hypothèse sur f2 . Cela force la nullité des fonctions ˜

˜

G,E ILG ˜ (ω, γ, f ) − IL ˜ (γ, f ).

1164

Chapitre X. Stabilisation spectrale

X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses Hypothèses de récurrence locales géométriques propres : on suppose que pour ˜ de G ˜ et pour tout espace de Levi R ˜ de L, ˜ on sait tout espace de Levi propre L ˜ ˜ on a que pour tout f ∈ I(L, ω) et pour tout élément γ semi-simple régulier de R, ˜ ˜ L,E L IR ˜ (ω, γ, f ) = IR ˜ (γ, f ). Hypothèses de récurrence locales géométriques dépendant d’un espace de Levi ˜ de G ˜ fixé : on suppose aussi que pour tout espace de Levi, L ˜ de G ˜ contenant M ˜ et pour tout f ∈ I(G, ˜ ω) et tout γ élément semi-simple régulier de strictement M ˜ ˜ I G˜ (ω, γ, f ) = I G,E L, ˜ ˜ (γ, f ). L L Ce sont des hypothèses de récurrence que l’on a évidemment le droit de ˜ = G. ˜ Par contre les deux faire puisqu’on les initialise sans problème pour M hypothèses ci-dessous sont d’une autre nature, on les démontrera via un argument ˜ un espace de Levi propre de G. ˜ On fixe aussi M global en X.7.7. On fixe M ˜ une donnée endoscopique elliptique de M ; on fixe des données auxiliaires M1 ,. . ., ˜  (F ) que l’on relève en un élément ΔM ; soit δ un élément semi-simple régulier de M  ˜ ˜ δ1 ∈ M1 (F ). On pose, pour tout f ∈ I(G, ω) nul près des éléments exceptionnels (quand il y en a)  ˜ M (1) M ΔM (δ1 , γ)z(γ)−1 I M (γ, ω, M˜ (f )), ˜ (f )(δ1 ) := ˜ γ∈M

où z(γ) est le nombre d’éléments de CentM (γ, F )/ Cent0M (γ, F ). La fonction M˜ (f ) est celle définie en [VIII] et [IX], c’est-à-dire que l’on a ˜

˜

˜

G,E G I M (γ, ω, M˜ (f )) = IM ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, f ) − IM

Dans le cas p-adique, elle n’est définie que si f est nulle près des éléments exceptionnels. Hypothèse clé 1. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M ˜ comme ci-dessus il existe une fonction lisse sur l’ensemble des éléments de M ˜  (F ), (M , δ) telle que pour toute semi-simples réguliers fortement réguliers de M ˜ fonction f sur G, nulle près des éléments exceptionnels et pour tout élément semisimple fortement régulier δ de M , on a 



M  M M ˜ (f )(δ1 ) = (M , δ)fM ˜ (δ1 ),

où le terme de droite est évidemment défini comme dans (1). Puisque les deux fonctions de δ1 se transforment selon le même caractère du tore central C1 (F ), le terme (M , δ) ne dépend bien que de δ. On voit facilement qu’il ne dépend pas du choix des données auxiliaires. Dans la suite, on oublie ces données qui ne sont pas importantes et on note simplement δ l’élément δ1 .

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1165

Dans les cas courants (avec ω = 1 ou seulement quadratique) par exemple les cas de GL(n) tordu, cette seule hypothèse va suffire pour la stabilisation locale des intégrales orbitales pondérées. Mais dans le cas général et en particulier si ω n’est pas quadratique on a besoin de plus. On va utiliser l’hypothèse suivante, qui est très facile à démontrer au moment où on démontre l’hypothèse clé 1 : Hypothèse clé 2. On suppose que la situation locale est une composante locale d’une situation globale : c’est-à-dire que F est un corps global, que v0 est une place de F et que ce qui nous intéresse est ce qui se passe en la place v0 . On suppose aussi que M est une donnée endoscopique elliptique de la situation globale et que δ est un élément semi-simple régulier de M (F ). On fixe encore un ensemble V de places ˜ vM  de F contenant Vram et tel que, pour v ∈ V , M soit non ramifiée en v et δ ∈ K   et on a donc défini pour tout v ∈ V , (M , δv ) noté v (M , δ) alors : 

v (M , δ) = 0.

v∈V

˜ et pour tout Théorème. Sous les hypothèses faites, pour toute fonction f sur G ˜ ˜ G,E G ˜ élément γ fortement régulier de M , IM˜ (ω, γ, f ) = IM˜ (γ, f ). On fait d’abord la réduction suivante : il suffit de montrer que (M , δ) est une ˜. fonction identiquement nulle pour toute donnée endoscopique elliptique M de M En effet supposons qu’il en soit ainsi, par inversion des facteurs de transfert, on en ˜ ω), nulle près des éléments exceptionnels déduit que pour toute fonction f ∈ I(G, si Fv0 est p-adique et sans restriction si Fv0 est archimédien, la fonction M˜ (γ, f ) est identiquement nulle. C’est le résultat cherché pour ces fonctions f . Il faut donc enlever la restriction dans le cas où Fv0 est p-adique. Avec les formules de descente, ˜. on se ramène immédiatement au cas où γ est elliptique dans M Comme le théorème est déjà montré pour les fonctions cuspidales (cf. la deuxième remarque de X.3.4), on a le théorème pour toute fonction f dont la composante de Paley–Wiener non cuspidale est nulle près des éléments exception˜ ω) ; on suppose que la nels. On considère f1 , f2 un couple d’éléments dans I(G, ˜ cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels. Pour tout f1 fonction f2 est M ˜ -cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels, on a : M ˜

˜

G G,E Igeo (ω, f1 , f2 ) − Igeo (f1 , f2 ) = 0.

Ainsi les hypothèses du corollaire de X.3.3 sont satisfaites et on sait que ˜

˜

G G,E (ω, f1 , f2 ) − Ispec (f1 , f2 ) = 0, Ispec

˜ cuspidale et sans hypothèse sur f1 . On récrit sous la seule hypothèse que f2 est M ˜

˜

G G,E (ω, f1 , f2 ) − Igeo (f1 , f2 ) = 0, Igeo

1166

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ -cuspidale. En utilisant X.3.2 cela se traduit par : avec l’hypothèse que f2 est M ˜ ω) ∀f1 ∈ I(G,    ˜ ˜ G,E aL, ˜ G ˜ ˜ w(L)(−1) (γ, ω, f ) − I (γ, f ) I L˜ (γ, ω, f1,L˜ ) dγ (1) 0 = ILG 2 2 ˜ ˜ L ˜ ell /∼ L

˜ L



˜ )(−1)aM˜ ,G˜ + w(M

(2)

˜ ell /∼ M

˜ )(−1)aM˜ ,G˜ + w(M

(3)

˜ ell /∼ M

  ˜ ˜ ˜ G,E G (γ, ω, f ) − I (γ, f ) I M (γ, ω, f2,M˜ ) dγ IM 1 1 ˜ ˜ M

  ˜ ˜ G,E G I M˜ (γ, ω, f1,M˜ ) IM (γ, ω, f ) − I (γ, f ) dγ, 2 2 ˜ ˜ M

˜ ne contenant pas M ˜ où la première somme ne porte que sur les espaces de Levi L à conjugaison près (pour ces espaces de Levi, par définition, f2,L˜ = 0). Rajoutons l’hypothèse que f1 est nulle près des éléments exceptionnels ce qui permet d’avoir la nullité des termes (2) ; ainsi on obtient que pour toute fonction f1 nulle près des éléments exceptionnels, on a    ˜ ˜ G,E aL, G ˜ G ˜ ˜ w(L)(−1) IL˜ (γ, ω, f2 ) − IL˜ (γ, f2 ) I L˜ (γ, ω, f1,L˜ ) dγ = 0, ˜ L

˜ ell /∼ L

˜ ne contenant pas M ˜ à conjugaison où la somme porte sur les espaces de Levi de G ˜ lui-même. près et M En modifiant les coefficients, on peut ne sommer que sur les espaces de Levi ˜ pris à conjugaison près. Mais en faisant varier f1 , les fonctions I L (γ, ω, f1,L˜ ) définie ˜ ell sont soumises uniquement au fait qu’elles sont invariantes sous le normasur L   ˜ ˜ Les fonctions I G˜ (γ, ω, f2 ) − I G,E (γ, f2 ) ont la même lisateur dans G de L. ˜ L

˜ L

propriété d’invariance. Ainsi chaque terme est nul et les fonctions que l’on intégre sont nulles elles aussi au moins presque partout. Par continuité elles sont nulles ˜ de G ˜ et pour toute fonction sur tous ces éléments. D’où pour tout espace de Levi L ˜ -cuspidale : f que l’on suppose M (4)

˜

˜

G,E ILG ˜ (γ, ω, f ) − IL ˜ (γ, f ) = 0.

On reporte cette nullité dans (1),(2), (3), où on ne fait plus d’hypothèse sur f1 et on obtient alors la nullité : ˜ ∀f1 ∈ I(G),

˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, ω, f1 ) = IM ˜ (γ, f1 ).

Ceci est la réduction cherchée. Au passage on a démontré que les hypothèses de récurrence et l’hypothèse clé, entraînent la stabilisation locale géométrique pour ˜ -cuspidale et pour tout espace de Levi L ˜ ; mais cette toute fonction f supposée M propriété ne sert pas dans la suite.

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1167

Début de la preuve de la nullité de (M , δ) On fait les hypothèses locales de récurrence et l’hypothèse clé 1. Lemme. Avec les notations précédentes, (M , δ) + (M , δ) = 0. C’est la même preuve que [20] 6.5. On récrit X.3.2 pour des fonctions f1 et ˜ cuspidales, nulles près des éléments isolés si le corps est pf2 que l’on suppose M adique. On suppose aussi que le terme constant f1,M˜ est à support dans l’ensemble ˜ . On voit que des éléments réguliers de M ˜ I M˜ (γ, ω, M˜ (f1 ))f2,M˜ (γ) + f1,M˜ (γ)I M (γ, ω, M˜ (f2 )) dγ (1) ˜ ell /∼ M

˜ G )I G (f G , f G ). On récrit cela avec le côté spectral vaut I (ω, f1 , f2 )− G i(G, 1 2 et (1) vaut donc :  ˜ χL , τ, τ  )tr τλ f ˜ tr τ  f ˜ . dλ b(L, (2) λ 2,L 1,L ˜ G

˜ L ,τ,τ  L,χ

iA∗˜

G,F

˜ Dans le terme de droite, seuls interviennent les espaces de Levi contenant M ˜ puisque les fonctions considérées sont M cuspidales. On montre par récurrence ˜ contenant stricdescendante que le terme de (2) indexé par un espace de Levi L ˜ ˜ est tement M est nul : en effet le terme de (2) indexé par un espace de Levi L ˜ ˜ nul si et seulement si il est nul pour les fonctions L-cuspidales. Quand L contient ˜ , on a déjà démontré la stabilisation locale géométrique (hypothèse strictement M ˜ = G ˜ dans le de récurrence) et (1) est donc nul ; c’est l’argument utilisé pour L premier corollaire de X.3.3. D’où l’assertion. ˜ que l’on récrit : Ainsi (2) est réduit au terme indexé par M  dλ b(χM , τ  , τ  )tr τλ f1,M˜ tr τλ f2,M˜ , (3) iA∗˜

G,F

χM τ  ,τ 

˜ modulo où la somme porte sur une base des représentations elliptiques de M ˜. identifié à des caractères de M l’action par tensorisation de iA∗G,F ˜ On revient à (1) que l’on interprète comme le terme géométrique de la formule ˜ pour des fonctions cuspidales. On écrit ce côté géomédes traces locale pour M trique comme transfert, donc une somme sur les groupes endoscopiques elliptiques ˜ des termes M de M  M (f )(δ)f M (δ) dδ M 1 ˜ ˜ 2,M Mell /∼

plus un terme où on échange les rôles de f1 et f2 , à la conjugaison complexe près. Avec l’hypothèse clé 1, cela se récrit comme somme sur les données endoscopiques elliptiques M de  M (δ)f M (δ). dδ((M , δ) + (M , δ))f1, ˜ ˜ 2,M M Mell /∼

1168

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Ici on a la forme stable de la formule des traces pour M et la paire de M M fonction (((M , δ) + (M, δ))f1, ˜ (δ), f2,M ˜ (δ)). On récrit (1) en utilisant la forme M spectrale de cette formule des traces donnée en X.3.3 (b). On se rappelle que les fonctions f2,M˜ sont cuspidales et on obtient donc une intégrale sur iA∗M,F de ˜ traces de représentations nécessairement elliptiques de M (on n’a pas besoin de les écrire). On compare (3) avec ce résultat comme distributions en f2,M˜ . Ces deux distributions ne peuvent être égales que si elles sont toutes les deux nulles. Fin de la preuve du théorème dans certains cas En [I] en particulier dans le paragraphe 7.4 de cette référence, il a été défini une bijection entre les classes d’isomorphie de données endoscopiques elliptiques pour ˜ , ω et celles pour M ˜ , ω −1 , notée M → M . A une classe de conjugaison stable M ∇  δ de M correspond une classe de conjugaison stable de M∇ mais ces deux classes s’identifient naturellement (cf. [I] 7.4 (2)) et on garde la notation δ pour la classe dans M∇ . Les facteurs de transfert sont modifiés par le passage au complexe conjugué. Lemme. Avec les notations du paragraphe précédent, (M , δ) = (M∇ , δ). En [I] 7.4, il est démontré que pour toute donnée endoscopique elliptique G ˜ ω et pour toute fonction f ∈ I(G, ˜ ω), on a de G, 

f G = (f )G∇ . Avec les propriétés des facteurs de transfert, on a immédiatement, pour tout élé˜: ment γ semi-simple régulier de G ˜

˜

G,E G,E IM ˜ ,ω (γ, f ) = IM ˜ ,ω −1 (γ, f );

on rajoute dans la notation le caractère puisqu’il varie. ˜

G,E G −1 −1 M˜ (γ, ω, f ) = IM , f ) − IM , f ); ˜ (γ, ω ˜ (γ, ω ˜ ,ω −1 (γ, f ) = M  ˜  M M (δ, f ) = M ΔM (γ, δ)I M (γ, ω −1 , M,ω ˜ −1 (f )) =  ∇ (δ, f ). ˜ ˜

˜ γ∈M 

M

∇ M (δ) = f (δ) d’où en récrivant la définition de D’autre part, on a aussi fM ˜ ˜ M  (M , δ) ou plutôt du conjugué de ce nombre :



M∇ (δ, f ) = (M , δ)fM˜

M∇

(δ)

et en comparant à la définition de (M∇ , δ) on obtient le lemme.

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1169

˜, Corollaire. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M de M on a M = M∇ (cela force ω 2 = 1), alors pour tout élément semi-simple régulier ˜ , on a de M ˜ ˜ G,E G IM ˜ (ω, γ, f ) = IM ˜ (ω, γ, f ). Avec les formules d’inversion des facteurs de transfert, et les réductions déjà ˜ faites, il suffit de montrer que pour toute donnée endoscopique elliptique de M ˜ et pour tout f ∈ I(G, ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a, la M fonction M ˜ (f ) est identiquement nulle. Il suffit donc de montrer que la fonction (M , δ) est identiquement nulle. Or on a vu en X.3.5 que cette fonction est à valeurs dans l’ensemble des nombres complexes purement imaginaires. Le lemme précédent assure que puisque M = M∇ elle est aussi à valeurs dans l’ensemble des nombres réels. Elle est donc nulle. Remarque. L’hypothèse du corollaire précédent équivaut à ce que les facteurs de transfert puissent être choisis à valeurs réelles (ce qui force ω 2 = 1). On peut démontrer ce corollaire plus directement. ˜ , on pose En effet, pour γ, γ  des éléments semi-simples réguliers de M  a(γ, γ  ) := c−1 ΔM (δ, γ)ΔM (δ, γ  )−1 (M , δ), M ,δ

où c est le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. On calcule directement, en utilisant les inversions des facteurs de transfert :  ˜ ˜ ˜ G,E G a(γ, γ  )I M (γ  , ω, fM˜ ), IM ˜ (γ, ω, f ) − IM ˜ (γ, f ) = γ

où la somme sur γ  porte sur des représentants des classes de conjugaison d’élé˜ . Les nombres a(γ, γ  ) sont purement imaginaires sous ments semi-simples dans M l’hypothèse de la remarque puisque c’est le cas des nombres (M , δ). On applique l’égalité ci-dessus à f remplacé par f . Le terme de gauche est remplacé par son ˜ conjugué puisque ω 2 = 1 et I M (γ  , ω, fM˜ ) aussi. Donc on obtient, en appliquant d’abord l’égalité à f  ˜ ˜ G,E G IM (γ, ω, f ) − I (γ, f ) = a(γ, γ  )I M˜ (γ  , ω, fM˜ ) ˜ ˜ M γ

puis en conjuguant simplement l’égalité pour f  ˜ ˜ G,E G IM (γ, ω, f ) − I (γ, f ) = − a(γ, γ  )I M˜ (γ  , ω, fM˜ ). ˜ ˜ M γ

Cela force la nullité du terme de gauche. Remarque. Les hypothèses de la remarque précédente sont satisfaites si ω = 1 pour GL(n) tordu que ce soit dans la situation du changement de base ou de la torsion avec l’automorphisme g → t g −1 .

1170

Chapitre X. Stabilisation spectrale

X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres Lemme. Ici F est un corps global et S est un ensemble fini de places de F . On fixe aussi un entier d et pour tout v ∈ S, on fixe une extension galoisienne K v de Fv de degré inférieur ou égal à d. Alors il existe un corps K qui est une extension galoisienne de F de degré inférieur ou égal à d! telle que tout v ∈ S et pour toute place v  de K au-dessus de v, on ait Kv = K v . Pour v ∈ S, on fixe un polynôme de degré d à coefficients dans Fv dont les racines sont distinctes (mais peuvent être dans Fv ) et engendrent K v sur Fv . On note X d + a1,v X d−1 + · · · + ad,v ces polynômes. On fixe  > 0. Par approximation forte, on fixe un polynôme à coefficients dans F X d + a1 X d−1 + · · · + ad tel que pour tout i ∈ [1, d] et pour tout v ∈ S, on ait |ai − ai,v |v ≤ . Et on note K l’extension de F engendrée par toutes les racines de ce polynômes. Pour  suffisamment petit, K répond aux conditions du lemme.

X.3.7 Une réduction étonnamment simple On revient momentanément à la situation locale mais on suppose qu’elle vient d’une situation globale ; on verra en X.7.4 et X.7.6 que l’on peut approximer les situations locales et que ce n’est donc pas restrictif. On note donc F le corps de ˜ , ω et M une donnée nombres, v0 la place qui nous intéresse. On fixe aussi M ˜ ˜ (F ) un élément endoscopique elliptique de M , ω. On a aussi un élément γ ∈ M ˜  (F ) qui rationnel que l’on suppose semi-simple et régulier, et un élément δ ∈ M correspond à γ. On fixe un ensemble de places V vérifiant les conditions de la deuxième hypothèse clé de 3.5 pour M et δ. ˜ n’est pas un tore et que les hypothèses de X.3.5 sont Lemme. On suppose que M  satisfaites. Alors v0 (M , δ) = 0. On reprend la notation T˜ pour un tore tordu maximal contenant γ. Si T˜ n’est ˜ , par les formules de descente, en toute place v, v (M , δ) = 0 pas elliptique dans M pour toute donnée endoscopique elliptique M et pour tout δ dont la classe stable correspond à γv et il n’y a rien de non trivial à démontrer. Puisque le lemme porte sur la place v0 , on suppose plus précisément que T˜ est sur Fv0 un tore elliptique de ˜ . On suppose comme dans l’énoncé que M ˜ n’est pas un tore et on va conclure. M On note T le tore sous-jacent à T˜ . On note d le degré d’une extension galoisienne de F qui déploie T et on note S l’ensemble des places de F qui contient v0 , V et l’ensemble des places v  de F tel que l’on ait pv ≤ N (G)ev d! où ces termes sont définis en [VI] 1.1 (c’est une condition technique). Pour tout v ∈ S on fixe K v : si v = v0 , K v0 = Fv0 et si

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1171

v = v0 , K v est une extension galoisienne de Fv qui déploie Tv et qui est de degré inférieur ou égal à d. Avec le lemme de X.3.6, on fixe une extension galoisienne, K, de F de degré inférieur ou égal à d! et qui en toute place v  de K au-dessus d’une place v de F qui est dans S, Kv  K v . On considère la situation sur K au lieu de la considérer sur F . Au dessus de v0 , on n’a pas changé grand chose, on a démultiplié la place v0 ; en particulier M définit naturellement une donnée ˜ sur K qui se localise en toute place au dessus de v0 en la donnée endoscopique de M endoscopique de départ. Donc elle est elliptique. Le nouveau Vram est inclus dans SK où SK est l’ensemble des places de K situées au dessus d’une place de S : grâce à la définition de S, la condition technique qui doit être satisfaite hors de Vram de [VI] 1.1, l’est grâce à la définition de S et les conditions de non ramification hors de Vram proviennent de celles qui sont déjà vérifiées avant le changement de corps. Mais en toute place v  de SK qui n’est pas au-dessus de v0 , γv n’est plus elliptique. Donc on sait que M˜ (fv ) est nulle sur la classe de conjugaison stable de γv et donc que v (M , δ) = 0. La deuxième hypothèse clé de X.3.5 donne alors simplement : (1) Dv0 (M , δ) = 0, où D est le degré de K sur F . Ceci est la nullité cherchée. Remarque. Pour éviter de faire deux fois la même preuve, on remarque que la démonstration que l’on vient de faire donne aussi le résultat suivant : supposons que l’on sache que, pour tout corps local Fv , M˜ (fv ) est nul (avec les notations ˜ est un tore déployé sur Fv , alors on a aussi v0 (M , δ) = 0 sans ci-dessus) si M ˜. restriction sur M ˜ est un tore. Comme dans Grâce au résultat précédent, on suppose que M ˜ la preuve ci-dessus, on déploie M sur une extension galoisienne puis on fixe K ˜ sur S − {v0 } où S est comme ci-dessus et tel que, au dessus de qui déploie M v0 , l’extension de corps est totalement scindée. Et on a encore (1) qui donne le résultat cherché.

X.3.8 Le cas des tores déployés Dans le cas de l’endoscopie ordinaire, le cas des tores déployés est trivial, il n’en est pas de même pour l’endoscopie tordue. C’est ici que l’on va utiliser X.3.5. On rappelle qu’à toute donnée endoscopique M est attaché un caractère ω du groupe M (F ) := (M/Z(M )θ )(F ) ([I] 2.7), cela se fait d’abord localement, puis comme ce caractère est une propriété de transformation des facteurs de transfert, ces caractères locaux donnent un caractère automorphe du groupe M . Le caractère  ω dépend de la donnée endoscopique, on le note donc plutôt ωM . La restriction de ce caractère à l’image de M (F ) dans M (F ) est ω. Par la définition même, on voit que M∇

ω



= ωM = (ωM )−1 . 

1172

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ est un tore déployé. L’applicaLemme. La situation est locale et on suppose que M ˜, tion qui a une classe d’isomorphie, M de données endoscopiques elliptiques de M  ω, associe le caractère ωM induit une bijection de cet ensemble de classes d’isomorphie sur l’ensemble des caractères de M (F ) dont la restriction à l’image de M (F ) est ω. En particulier les données endoscopiques elliptiques fixes par l’opération ∇ (cf. X.3.5) sont exactement les données endoscopiques pour lesquelles  (ωM )2 = 1 ˜ est un tore déployé, tout se simplifie : une donnée Comme on suppose que M ˆ est déterminé modulo endoscopique est un triplet (M  , M , sˆ). L’élément sˆ ∈ M ˆ ˆ Alors M ˆ) = M ˆ . Ainsi on prend sˆ = θ. ˆ = M ˆ θ,0 . Et M est uniquement Z(M ˆ ˆ ˆ θ,0 qui se relève en une déterminé par un homomorphisme de WF dans M /M ˆ ˆ vérifiant que l’application w → a−1 application w ∈ WF → aw ∈ M w θ(aw ) est ˆ donnant le caractère ω de M (F ). Or M = M/M θ le cocycle de WF dans M est lui aussi un tore ; il s’identifie (comme groupe algébrique) à (1 − θ)M . Son ˆ ˆ /M ˆ θ,0 . Et l’application w → aw après passage au quotient groupe dual est alors M ˆ ˆ θ,0 est par définition un morphisme de groupes. Il est facile de voir que par M ce morphisme correspond exactement au caractère ω de la donnée endoscopique. ˆ qui après La réciproque est claire : soit w → aw une application de WF dans M ˆ θ,0 ˆ ˆ est un morphisme et qui est tel que w → a−1 passage au quotient par M w θ(aw )  soit le cocycle correspondant à ω. On définit alors M comme le sous-groupe de ˆ ˆ engendré par M ˆ θ,0 M et les éléments (aw , w) et c’est la donnée endoscopique nécessairement elliptique cherchée. ˜ est un tore déployé et que Corollaire. La situation est locale ; on suppose que M M  ω est un caractère trivial. Alors (M , δ) = 0. On vérifie que sous les hypothèses faites, M satisfait aux conditions du corollaire de X.3.5 grâce au lemme précédent. Lemme. On suppose que ω est d’ordre fini, alors (M , δ) = 0 pour toute donnée ˜ , ω. endoscopique elliptique de M Le fait que ω soit d’ordre fini, entraîne le fait que pour tout M , le caractère  ωM est lui aussi d’ordre fini. Par exemple si la place est une place complexe, cela  force ωM à être trivial et on applique alors le corollaire précédent. En général  on se ramène au cas où ωM est trivial. On se remet dans une situation globale, on fixe la place v0 qui nous intéresse et ω est toujours d’ordre fini. On note d le degré d’une extension galoisienne de F qui trivialise ω et on procède comme dans X.3.7, en construisant une extension galoisienne de F telle qu’on ne change rien au-dessus de v0 , et en toute place v = v0 appartenant à l’ensemble S construit en  3.7, le caractère ωM est trivial. On conclut alors comme dans X.3.7. Remarque. On suppose qu’il existe un caractère μ de G(F ) tel que ω(g) = ˜ ). Alors l’application f →  ˜ ( , ω, f ) μ(gθ(g)−1 ) où θ est adγ0 pour γ0 ∈ G(F M est nulle et en particulier toutes les fonctions (M , ) sont identiquement nulles.

X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues

1173

˜ ) ; fixons donc γ0 ∈ Le choix de θ dépend du choix d’un élément γ0 de G(F ˜ ) ; on peut changer de θ, cela ne change pas μ. On définit la fonction μ G(F ˜ sur ˜ en posant μ G ˜ (γ) = μ(g0 ) où g0 est l’unique élément de G(F ) tel que g0 γ0 = γ. Evidemment pour tout g, g  ∈ G(F ), on a : μ ˜(gγg  ) = μ(gg0 θ(g  )) = μ(g)μ(θ(g) )˜ μ(γ). ˜ ω) un élément fμ := μ ˜ 1). Les On associe ainsi à tout élément, f , de I(G, ˜f de I(G, ω-intégrales orbitales pondérées de f deviennent des intégrales orbitales pondérées de fμ : ˜ ˜ G G IM ˜(γ)IM ˜ (ω, γ, f ) = μ ˜ (γ, fμ ). Le point à vérifier est donc que ˜

˜

G,E G,E ˜(γ)IM IM ˜ ,ω (γ, f ) = μ ˜ ,1 (γ, fμ ).

ˆ définisOn vérifie aisément, qu’en notant aμ () un cocycle à valeurs dans Z(G) sant μ, il existe une bijection entre les classes d’isomorphie de données endosco˜ et le cocycle fixé définissant le caractère ω de G et les piques elliptiques pour G ˜ sans caractère et cette bijection est dondonnées endoscopiques elliptiques de G  née simplement en modifiant G en H où si (x(w), w) ∈ G  pour w ∈ WF alors (aμ (w)x(w), w) ∈ H . Notons G → H cette correspondance ; il faut montrer que les facteurs de transfert se déduisent par multiplication par μ(g0 ) où g0 relie γ au point de base choisi pour normaliser les facteurs de transfert. Précisément : ˜



˜



ΔG,G (γ, δ) = μ(g0 )ΔG,H (γ, δ). On revient aux définitions rappelées en [I] 2.2. Ce qui change est le cocycle w → Vˆ1 (w) qui est multiplié par aμ (w)−1 (cela intervient dans la définition de tT (w)). Donc Δimp a bien la propriété de transformation écrite.   Avec cela, on en déduit que f G = (fμ˜ )H en regardant le transfert des intégrales orbitales des éléments semi-simples réguliers. D’où l’assertion cherchée. Ce raisonnement prouve la remarque car il nous ramène au cas ω = 1 qui est traité par le lemme précédent.

X.3.9 Fin des réductions Proposition. On fait les hypothèses de X.3.5 et alors l’application f → M˜ (f ) est identiquement nulle. ˜ est un tore déployé et où ω est Il ne nous reste plus qu’à faire le cas où M ˜ est un un caractère qui n’est pas de la forme (1 − θ)μ. On suppose donc que M

1174

Chapitre X. Stabilisation spectrale

tore déployé et il n’y a rien à démontrer si ω n’est pas trivial sur M (F )θ où θ est ˜. l’automorphisme obtenu par conjugaison sous n’importe quel élément de M On globalise ; si v0 est une place complexe on globalise avec une extension totalement imaginaire F de Q. D’abord par une extension convenable, K  de F , on se ramène au cas où ω ◦ NormK  /F est non ramifié en toutes les places finies. On note d le degré de cette extension. On remarque que pour toute place v finie de K  , si un caractère de G(K  ) est non ramifié, il est uniquement déterminé par l’image ˆ On note av,F r,ω l’élément de G ˆ correspondant à du Frobenius, F rv dans Z(G). cet élément. Comme ω est la restriction des caractères ω décrit en X.3.8, av,F r,ω ˆ G. ˆ (Cela traduit le fait que ω est nul sur G(F )θ ). est nécessairement dans (1 − θ) ˆ v,F r )−1 . On note μv le caractère non ˆ tel que av,F r,ω = zv,F r θ(z On fixe zv,F r ∈ G ramifié pour lequel qui zv,F r est l’image du Frobenius (via la théorie du corps de classe). Alors (ω ◦ NormK  /F )v = μv (μv ◦ θ)−1 . Par la méthode de X.3.7 et grâce à la remarque de 3.8 on se débarrasse ainsi des places finies pour obtenir le résultat aux places complexes. Ensuite, puisqu’on a le résultat aux places complexes, on peut encore appliquer la méthode de X.3.7 et le même raisonnement que ci-dessus pour n’avoir que la place v0 qui nous intéresse et on conclut.

X.4 Les caractères pondérés ω-équivariants et leur stabilisation Comme pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, on a une définition locale des caractères pondérés invariants et une définition semi-globale de ces caractères. La définition semi-globale se ramenant à la définition locale par une formule de scindage. Avant de revenir sur ces définitions, il faut considérer les places non ramifiées hors de V , celles où l’on ne rend pas les objets invariants. Donc ici F est un corps de nombres.

X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation On fixe V un ensemble fini de places de F contenant Vram (cf. [VI] 1.1 pour la ˜ v un sous-espace hyperspécial (cf. définition de Vram ). On fixe pour v ∈ / Vram , K ˜ [I] 6.1 pour la définition de Kv ). On note 1K˜ V la fonction caractéristique du sous˜ V de G(F ˜ V ). La notion d’invariance n’a pas de sens dans cette espace compact K ˜ G V situation, par contre on peut calculer JM ˜ V ) et stabiliser cette formule. ˜ (π , 1K C’est fait en [15] que l’on reprend ici pour adapter les coefficients à la situation tordue. On utilise la classification de Langlands des représentations non ramifiées des groupes p-adiques. Ainsi les caractères pondérés pour les représentations non ramifiées et pour l’unité de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V s’expriment en termes de fonctions L. On va les calculer.

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1175

Rappel On rappelle le lemme suivant qui s’inspire fortement du lemme 2 de [15] pour ˜ un sous-espace de Levi de G. ˜ On dispose des pouvoir y référer facilement. Soit M L L ˆ ˆ et G ˆ L-groupes, G, M et de l’automorphisme θ et des composantes neutres M  ˜ des L-groupes. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique G de G, ω et M ˜ , ω. On suppose que M est un espace de Levi de G . Alors : de M ˆ )θˆ = Z(G) ˆ θ (Z(M ˆ )θˆ)0 . Et aussi Lemme. On a l’égalité Z(M ˆ ˆ ΓF ,θˆ(Z(M ˆ ))ΓF ,θ,0 ˆ )ΓF ,θˆ = Z(G) . Z(M ˆ ˆ  ) et ˆ ∩ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 ⊂ Z(G Corollaire. On a Z(G) ˆ ˆ −1 ˜ G ) = |Z(G ˆ  ) ∩ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ ∩ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 /Z(G) | . iM˜ (G, ˆ ˆ  )ΓF ,0 par ellipticité. ˆ )ΓF ,θ,0 = Z(M La première assertion est claire car Z(M D’après le lemme précédent, l’application naturelle

ˆ  )ΓF ∩ Z(G) ˆ → Z(M ˆ  )ΓF /Z(M ˆ  )ΓF ∩ Z(M ˆ) ˆ  )ΓF /Z(G Z(G ˜ G ˜  ) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau. Or un est surjective. Et iM˜ (G,   Γ F ˆ ) est dans le noyau si son image dans Z(G ˆ  )/Z(G ˆ  )∩Z(M ˆ )ΓF ,θˆ élement z ∈ Z(G ˆ ˆ ˆ ΓF ,θ et m ∈ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 . Ainsi m ∈ G ˆ est nulle. C’est-à-dire z  = zm avec z ∈ Z(G)   ΓF  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ et z ∈ Z(G) ∩ G et z ∈ Z(G ), plus précisément z ∈ Z(G ) ∩ Z(G). Ainsi le noyau est exactement isomorphe à ˆ ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ ∩ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ  ) ∩ Z(M /Z(G) . Z(G

Cela termine la preuve. Factorisation des facteurs L ˜ de G ˜ et on fixe α un caractère, non trivial, On fixe un sous-espace de Levi M ˆ ˆ ΓF ,θ,0 ˆ ˆ )θ,0 de Z(M ) . On suppose que ce caractère intervient dans l’action de Z(M ˆ dans l’algèbre de Lie de G ; sinon la fonction attachée à un tel α est, par définition, la fonction identiquement 1. Avec cette hypothèse, il est clair qu’il existe un ˆ ΓF ,θˆ. On peut donc voir ˆ )ΓF ,θˆ trivial sur Z(G) unique prolongement de α à Z(M ˆ ˆ ΓF ,θˆ ou de la ˆ )ΓF ,θ trivial sur Z(G) indifféremment α comme un caractère de Z(M composante neutre de ce groupe. ˆ )ΓF ,θˆ On note ˆ g[α] l’espace propre de valeur propre α pour l’action de Z(M ˆ On remarque que M ˆ et plus généralement le L-groupe dans l’algèbre de Lie de G. ˆ )ΓF ,θˆ et agit donc par conjude M , agit trivialement par conjugaison dans Z(M gaison dans ˆ g[α].

1176

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Soit v une place de F et cv un homomorphisme de WFv dans le groupe dual de M . On a le facteur L, Lv (α, cv , s) qui correspond à la représentation de WFv dans ˆ g[α] via le composé de cv avec la représentation adjointe de L M dans ˆ g[α]. Il est clair que ce facteur L est un produit fini d’objets définis en [15], précisément le produit des Lv (β, cv , s) où β parcourt l’ensemble des caractères de ˆ )ΓF ,θˆ. On fixe encore V un ensemble ˆ )ΓF ayant α comme restriction à Z(M Z(M fini de places de V contenant Vram et on suppose que cv est donné pour tout v ∈ / V ; on note cV le produit de ces cv . On définit alors LV (α, cV , s) en faisant le produit sur toutes les places v en tant que fonction méromorphe de s : ceci est bien défini sous des hypothèses assez faibles sur cV , puisqu’il suffit que ce soit vrai pour les fonctions LV (β, cV , s), on peut donc prendre les hypothèses de [15] qui suivent la formule (1) du paragraphe 2. Pour nous, il suffit par exemple que cV soit la composante non ramifiée hors de V d’une représentation automorphe ˜ puisque cela donne aussi une représentation automorphe de M . On peut de M aussi poser l’hypothèse plus faible que cV soit la composante non ramifiée hors de V d’une représentation automorphe d’une donnée endoscopique elliptique M de ˜ , ω ; en fait ce sont les représentations des données auxiliaires attachées à une M donnée endoscopique elliptique qui interviennent. Les représentations considérées ont alors en restriction au tore induit central un caractère déterminé par la donnée endoscopique et le choix de la donnée auxiliaire (cf [15] paragraphe 2, le même phénomène existant dans le cas non tordu). On dira pour simplifier qu’une telle représentation est une représentation de M . On peut encore affaiblir l’hypothèse sur cV de la façon suivante. On définit de façon inductive la notion de caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique de M . Un caractère cV est dit quasi-automorphe si : – ou bien il est automorphe (disons précisément qu’il intervient dans la partie ˜ , cf. X.5.1 ci-dessous) ; discrète de la formule des traces tordue pour M ˜ , ω, relevante – ou bien il existe une donnée endoscopique elliptique M de M et non ramifiée hors de V , avec M  = M dans le cas où M est quasi-déployé, ˜ est à torsion intérieure et ω = 1, de sorte que cV soit le transfert d’un M caractère quasi-automorphe de M . Remarquons qu’un caractère quasi-automorphe est unitaire, c’est-à-dire que chaque représentation correspondant à cv pour v ∈ V est unitaire. Pour de tels caractères, la factorisation que l’on va démontrer ci-dessous, en suivant la méthode de [15], montre que les fonctions L partielles sont bien définies comme fonctions méromorphes. ˜ ; on supSoit M =: (M  , M , sˆM  ) un espace endoscopique elliptique de M V  V pose que c est à valeurs dans M et que c est quasi-automorphe pour M . ˆ Soit s ∈ sM  Z(M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ on associe un espace On écrit sˆM  = sM  θ. ˆ de G ˜ où tout simplement, Gˆ := G ˆ  (ˆ s), G  , sˆ = sθ) s) est la endoscopique G = (G (ˆ    ˆ ˆ composante neutre du centralisateur de sˆ dans G, G = G M , ce qui donne une ˆ  et un groupe quasidéployé G . Avec l’égalité (Z(M ˆ  )ΓF )0 = action de ΓF sur G

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1177

ˆ )ΓF ,θˆ)0 , on voit α comme un caractère de (Z(M ˆ  )ΓF )0 et on le note alors (Z(M   V α . On définit alors LG (ˆs) (α , c , s) (avec un double emploi de la lettre s qu’on espère compréhensible). On remarque que ˆg [α ] = gˆ[α] ∩ gˆ et que cet espace peut être vide, la fonction est alors égale à 1. Clairement gˆ est l’algèbre de Lie du centralisateur de sˆ agissant par conjugaison dans ˆg. Soit z ∈ Ker α et considérons la donnée endoscopique associée à sˆz. On a : ˆg[α] ∩ Centgˆ s ⊂ gˆ[α] ∩ Centgˆ sˆz puisque z commute à ˆg[α] et par la même raison l’inclusion inverse est vraie, d’où l’égalité LVG (ˆs) (α , cV , s) = LVG(sz) (α , cV , s).  V  V Proposition. LVG (α, cV , s) = sˆ∈ˆs  Z(Mˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ Ker α LG (ˆ s) (α , c , s) et le M membre de gauche est une fonction méromorphe de s. ˆ )ΓF ,θˆ, il agit par conjugaison Comme sˆM  commute aux éléments de Z(M dans ˆ g[α] et on décompose ˆg[α] sous l’action de sˆM  . L’élément sˆM  opère donc de façon semi-simple dans cet espace vectoriel. Ainsi, ˆg[α] = ⊕x gˆ[α, x],

(1)

où x parcourt l’ensemble des valeurs propres de l’action de sˆM  ; en particulier x = 0 puisque sˆM  est un élément inversible. Pour toute valeur propre x interˆ ˆ )ΓF ,θ,0 tel que α(tx ) = x−1 et on pose sˆx := sˆM  tx ; venant, on fixe tx ∈ Z(M évidemment, tx est bien déterminé modulo Ker α. On note G (ˆ sx ) l’espace endoscopique correspondant à sˆx et M . On remarque que sˆx commute aux éléments de ˆ g[α, x] et cet espace est donc inclus dans ˆg (ˆ sx ), d’où ˆg[α, x] ⊂ ˆg (ˆ sx )[α ]. ˆ[α, x] = ˆg (ˆ sx )[α ]. L’inclusion inverse est tout aussi claire d’où g ˆ )ΓF ,θˆ, c’est-à-dire sˆ = sˆM  z avec z ∈ Réciproquement soit sˆ ∈ sˆM  Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θ . On suppose que ˆg (ˆ Z(M s)[α ] = 0 ; cela veut dire qu’il existe v ∈ ˆg (ˆ s)[α ] −1 ˆ non nul commutant à sˆ ou avec ce qui précède appartenant à g[α, α(z) ]. Ainsi α(z)−1 est l’un des x considérés ci-dessus et z ∈ tx Ker α. Ainsi (1) se récrit ˆg[α] = ⊕sˆ∈ˆs

ˆ

M  Z(M )

ˆ ΓF ,θ / Ker

α

ˆg[α] ∩ ˆg (ˆ s).

Et l’égalité du lemme résulte de cette décomposition par définition des facteurs L. Comme on l’a rappelé ci-dessus, la fonction LVG (α, cV , s) est méromorphe en s si cV est vraiment automorphe. Si cV n’est pas automorphe, il provient d’une donnée M avec M  = M . On applique l’égalité que l’on vient de démontrer. Par récurrence, les termes du membre de droite sont méromorphes en s donc le membre de gauche aussi. C’est exactement la démonstration de [15] que l’on a recopiée. Définition des caractères pondérés non ramifiés dans le cas d’un espace de Levi maximal ˜ Soit λ ∈ A∗M,C ˜ . Ici on considère les éléments invariants sous l’action de M . On identifie, A∗M˜ ,C à un sous-groupe des homomorphismes non ramifiés de WF V dans

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Chapitre X. Stabilisation spectrale ˆ

ˆ )ΓF ,θ,0 . Pour tout λ on tensorise cV (notations du paragraphe précédent) par Z(M λ et on note cVλ le résultat. On remarque alors que si cV est à valeurs dans M comme précédemment, il en est de même de cVλ . Pour α comme dans le paragraphe précédent, on définit LV (α, cVλ , s) ou L(α, cVλ , s) (le V étant déjà dans la notation cV ). On remarque que pour s fixé, cette fonction de λ est méromorphe non identiquement nulle : en effet en voyant λ comme un homomorphisme de WF V dans ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 , on considère α ◦ λ comme un homomorphisme de WF V dans C∗ , non Z(M ramifié. On voit dα comme une forme linéaire sur A∗M˜ ,C et dα(λ) ∈ C est tel que dα(λ)

le caractère précédent soit | |WF . On a ainsi L(α, cVλ , s) = L(α, cV , dα(λ) + s). On pose alors r(α, cV , λ) := L(α, cVλ , 0)/L(α, cVλ , 1). Et sous l’hypothèse que cV est à valeurs dans M , on a encore une factorisation : 

r(α, cV , λ) =



rG (ˆs) (α , cV , λ).

ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 s ˆ∈ˆ sM  Z(M / Ker(α)

On pose donc, pour tout λ, Λ ∈ A∗M˜ ,C r(α, cV , Λ, λ) := r(α, cV , λ + 1/2Λ)−1r(α, cV , λ + Λ) r(−α, cV , λ + 1/2Λ)−1 r(−α, cV , λ + Λ), où −α est la notation additive pour le caractère inverse de α qui jouit des mêmes propriétés que α. La fonction en Λ ci-dessus est, comme on l’a vu en X.4.1 une fonction de dα(Λ) ; on écrit alors plus simplement r˜V (α, cVλ , s) := rV (α, cV , Λ, λ) où s = dα(Λ). Lemme. On suppose que cV est quasi-automorphe. La dérivée en s = 0 de r˜V (α, cVλ , s) est holomorphe en λ au voisinage de tout point λ0 imaginaire. On écrit r˜(α, cVλ , s) comme fonction méromorphe de s et de λ. On calcule sa dérivée logarithmique en s et on obtient : r˜ (α, cVλ , s)˜ r (α, cVλ , s)−1 = −1/2r (α, cVλ , s/2)r(α, cVλ , s/2)−1 + r (α, cVλ , s)r(α, cVλ , s)−1 − 1/2r (−α, cVλ , s/2)r(−α, cVλ , s/2)−1 + r (−α, cVλ , s)r(−α, cVλ , s)−1 On fait s = 0 et on obtient    V  V V  V V (1) r˜ (α, cλ , 0) = 1/2 r (α, cλ , 0)/r(α, cλ , 0) + r (−α, cλ , 0)/r(−α, cλ , 0)

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1179

ce qui fort heureusement est une formule symétrique en α et −α. On fixe λ0 imaginaire et on pose λ = λ0 + μ. On a alors r (α, cVλ , 0)/r(α, cVλ , 0) = r (α, cVλ0 , dα(μ))/r(α, cVλ0 , dα(μ)); r (−α, cVλ , 0)/r(−α, cVλ , 0) = r (−α, cVλ0 , −dα(μ))/r(−α, cVλ0 , −dα(μ)) Pour éviter les confusions, on pose σ := dα(μ) et on développe la fonction écrite en (1) au voisinage de σ = 0. Pour η = ±, on note dη l’ordre en σ = 0 de la fonction r(ηα, cVλ0 , s) et on voit que (1) est la somme de fonctions holomorphes en σ = 0 avec (d+ − d− )σ −1 . Le lemme est donc équivalent à montrer que d+ = d− . Comme on suppose que φ est unitaire et que λ0 est imaginaire, on peut remplacer cV par cVλ0 et oublier λ0 . On note cV ∗ le morphisme correspondant à la représentation contragrédiente de la représentation définie par cV . On vérifie sur les définitions que r(−α, cV , s) = r(α, cV ∗ − s); cela vient du fait que l’espace propre pour la valeur propre α pour l’action de ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 est en dualité avec son analogue pour la valeur propre −α. En utiZ(M lisant l’unitarité, on a encore r(α, cV ∗ , −s) = r(α, cV , −s). D’où r(−α, cV , s) = r(α, cV , −s). Ainsi l’ordre en s = 0 de la fonction r(−α, cV , s) est égal à l’ordre en s = 0 de la fonction r(α, cV , −s), c’est-à-dire aussi de la fonction r(α, cV , s). ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 Pour un caractère α de Z(M qui intervient dans l’algèbre de Lie de ˆ on a interprété ci-dessus dα comme une forme linéaire sur A∗ , autrement G, ˜ ,C M ˜

G dit comme un élément de AM,C ˜ . Il est clair que dα ∈ AM ˜ . On se rappelle que cet ˜ espace est muni d’une mesure. Supposons que M est un espace de Levi maximal ˜ On pose alors de G. 1 ˜ ˜ dG (α) = vol(AG ˜ /Zdα). M 2 ˜ est un espace de Levi maximal de G, ˜ avec les notaDéfinition. Dans le cas où M tions précédentes, on pose :  ˜ ˜ G G V V rM rM ˜ (c , λ) := ˜ (α, cλ ), α ˆ

ˆ )ΓF ,θ,0 qui interviennent dans l’algèbre de Lie où α parcourt les caractères de Z(M ˆ et de G ˜ ˜ G G V  V V rM ˜ (α, cλ ) = d (α)r (α, cλ , 0)/r(α, cλ , 0). Stabilisation dans le cas d’un espace de Levi maximal ˜ V ˜ On définit aussi sG ˜ (α, cλ ) sous l’hypothèse que G est à torsion intérieure, que ω est M ˜ est maximal ; cette dernière hypothèse assure que la composante trivial et que M

1180

Chapitre X. Stabilisation spectrale

ˆ ΓF et donc dans Z(G) ˆ ∩ Z(M ˆ )ΓF ,0 . neutre du groupe Ker(α) est incluse dans Z(G) On pose V ˆ ˆ ΓF ,0 )|−1 dG (α)r (α, cV , 0)/r(α, cV , 0); sG ˜ (α, cλ ) = | Ker(α)/Z(G) ∩ Z(M ) λ λ M ˜

˜

˜ est un espace de Levi maximal de G, ˜ on et dans le cas que l’on considère ici où M pose aussi  ˜ ˜ V V sG sG ˜ (c , λ) = ˜ (α, cλ ), M M α

ˆ )ΓF (ici, dans le cas de torsion intéoù α parcourt l’ensemble des caractères de Z(M ˆ ˆ Et cette définition coïncide rieure, θ est trivial) agissant dans l’algèbre de Lie de G. ˜ avec celle du cas non tordu quand G = G, ce qui est indispensable, évidemment, précisément parce que l’on a repris la définition de [15]. La définition précédente s’adapte au formalisme des données endoscopiques, ce qui donne naissance aux fonctions qui interviennent ci-dessous. ˜ ω, supposons que cV provienne d’une donnée enLemme. Sans hypothèse sur G,  ˜ doscopique M de M , ω. Alors  ˜ G (ˆ s) G V ˜ G (ˆ rM iM˜ (G, s))sM (α , cVλ ). ˜ (α, cλ ) = ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s ˆ∈ˆ sM  Z(M)

D’où l’égalité de fonctions méromorphes :  ˜ G V rM ˜ (c , λ) = ˆ



G (ˆ s) ˜ G (ˆ iM˜ (G, s))sM (cV , λ). ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ sˆ∈ˆ sM  Z(M

Pour sˆ intervenant dans cette somme, tel que α soit aussi une racine dans ˜  (ˆ ˜ G s) ˆ  (ˆ G s) notée α , l’isomorphisme AG  A préserve les mesures par définitions ˜ ˜ M M ˜

et il envoie dα sur dα . Donc dG (α) = dG (ˆs) (α ). De X.4.1, on a la formule  ˜ ˜ ˜ G V rM (rG (ˆs) ) (α , cVλ , 0)/rG (ˆs) (α , cVλ , 0). ˜ (α, cλ ) = ˜

ˆ

ˆ )ΓF ,θ / Ker(α) sˆ∈ˆ sM  Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 à condition de On peut sommer sur sˆ ∈ sˆM  Z(M ˆ ΓF ∩ mettre devant chaque terme le bon coefficient, c’est-à-dire | Ker(α)/Z(G) ˆ −1 ΓF ,θ,0 ˆ | . Il faut donc montrer pour tout sˆ fixé, l’égalité Z(M )

(1)

˜ G (ˆ s)) iM˜ (G, ˆ )ΓF ,θ,0 |−1 | Ker(α )/Z(G ˆ  (ˆ ˆ  )ΓF ,0 )|. ˆ ΓF ∩ Z(M s)) ∩ Z(M = | Ker(α)/Z(G) ˆ

Evidemment Ker(α) = Ker(α ). Ainsi (1) vaut ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ  (ˆ ˆ  )ΓF ,0 )|. ˆ ΓF ∩ Z(M /Z(G s)) ∩ Z(M |Z(G) ˆ ˆ  )ΓF ,0 = Z(M ˆ )ΓF ,θ,0 ˜ G (ˆ Par ellipticité Z(M et on trouve iM˜  (G, s)) d’après X.4.1.

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1181

Stabilisation dans le cas non ramifié Le caractère pondéré dans le cas non ramifié et pour un espace de Levi qui n’est pas maximal se calcule par une formule de descente que l’on va récrire. ˜. On fixe V un ensemble fini de places contenant Vram et un espace de Levi M ˜ (AV ). Soit cV un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique de M F ˆ ˆ on a déjà ˆ )θ,0 intervenant dans l’algèbre de Lie de G, Pour un caractère α de Z(M ˜ V G ˜ défini rM ˜ (α, c , λ) dans le cas où M était un espace de Levi propre maximal de ˜ ˜ G. Si cette condition n’est pas vérifiée, on pose rG (α, cV , λ) = 0. En remplaçant ˜ M

˜ par L, ˜ on a ainsi défini rL˜ (α, cV , λ) comme fonction méromorphe de λ ∈ A∗ G ˜ ˜ M M,C ˜ contenant M ˜. pour tout espace de Levi L ˆ ˆ )θ,0 Formule de descente. Soit A un ensemble de caractères de Z(M intervenant ˆ Si A est réduit à un seul élément α, on pose dans l’algèbre de Lie de G. ˜

˜

G G V V rM ˜ (A, c , λ) := rM ˜ (α, c , λ).

En général, soit A = A1 ∪ A2 une décomposition de A. On pose alors en utilisant les définitions par récurrence :  ˜ G V ˜ L ˜  )rL˜˜ (A1 , cV , λ)rL˜˜ (A2 , cV , λ), dM˜ (L, (1) rM ˜ (A, c , λ) := M M ˜ ˜ L ˜  ∈L(M) L,

ce qui donne une définition. Il faut évidemment remarquer que le membre de ˜ M ˜ -famille formée avec les fonctions gauche est aussi celui qui est associé à la G, L partielles définies avec les éléments de A comme dans le paragraphe 4 de [15] et ainsi la définition du membre de gauche ne dépend pas de la décomposition ˜ M ˜ familles couplée A = A1 ∪ A2 choisie. C’est la formule de descente pour les G, au lemme 7.1 de [3] dans le cas non tordu et [55] lemme 2.10.2. ˜ est à torsion intérieure Version stable des caractères pondérés. Dans le cas où G avec un groupe sous-jacent quasi-déployé et un caractère trivial, on a une formule de descente pour le caractère pondéré stable. On pose, avec A = A1 ∪ A2 comme ci-dessus.  ˜ V ˜ L ˜  )sL˜˜ (A1 , cV , λ)sL˜˜ (A2 , cV , λ). eM˜ (L, (2) sG ˜ (A, c , λ) = M M M ˜ L ˜  ∈L(M) ˜ L,

Comme on a défini les caractères pondérés stables dans le cas d’un espace de Levi maximal, cela donne une définition en toute généralité qui a priori dépend de la décomposition. Cette définition coïncide avec celle de [15] theorem 5 dans les cas déjà connus, c’est à dire les cas où il n’y a pas de torsion et quand on aura démontré la proposition ci-dessous, on aura en prime que la définition est indépendante de la décomposition de A. Ici encore, la définition passe au formalisme des données endoscopiques.

1182

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ généVersion endoscopique des caractères pondérés. On revient à la situation de G ral considérée ci-dessus et on suppose que cV provient d’une donnée endoscopique ˜ , ω. On pose : M de M 

˜

G,E V rM  (A, c , λ) =

G(ˆ s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s))sM (A, cV , λ).

ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ sˆ∈ˆ sM  Z(M)

Proposition. On a l’égalité entre fonctions méromorphes ˜

˜

G,E G V V rM ˜ (A, c , λ) = rM (A, c , λ).

On a déjà montré la proposition dans le cas des espaces de Levi maximaux. Et pour la montrer en toute généralité, il suffit donc de démontrer que la fonction ˜ ˜ G,E G V V rM  (c , λ) vérifie la même formule de descente écrite en (1) que r ˜ (c , λ). C’est M la combinatoire de [81] 1.14 (i) (dans le cas non tordu c’est le paragraphe 6 de [16]). ˜

˜

˜

˜

G G G G V V V V Définition. On pose rM ˜ (c , λ) := rM ˜ (A, c , λ) et sM ˜ (c , λ) := sM ˜ (A, c , λ), où A ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 est exactement la réunion des caractères non triviaux pour l’action de Z(M ˆ agissant dans l’algèbre de Lie de G.

Une propriété de croissance On généralise dans ce paragraphe le lemme 3.2 de [18]. Lemme. Soit cV un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique ˜ (AV ). La fonction de λ, rG˜ (cV , λ) définie dans le paragraphe précédent de M ˜ F M est holomorphe sur l’axe imaginaire et comme fonction de λ ∈ iA∗M˜ c’est une distribution tempérée ce qui veut dire qu’il existe un nombre entier N tel que ˜ G V −N soit intégrable en λ. rM ˜ (c , λ)(1 + λ) ˜ est un espace de Levi maximal et on On commence par considérer le cas où M va se ramener aux résultats du cas non tordu démontrés par J. Arthur. Supposons ˜ G V d’abord cV automorphe. On a donné une formule explicite pour rM ˜ (c , λ) comme somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. De plus chacun de ces termes est lui-même somme de dérivées logarithmiques 



LGV (β, cVλ , 0)/LVG) (β, cVλ , 0) + LGV (−β, cVλ , 0)/LVG (−β, cVλ , 0) ˆ )ΓF qui interviennent où β parcourt l’ensemble des caractères non triviaux de Z(M ˆ dans l’algèbre de Lie de G. Il suffit donc d’avoir le résultat pour une telle fonction. Il suffit d’appliquer le résultat de [18] 3.2. Plus exactement, ce résultat s’applique à une somme sur différents β et non pas à une fonction indépendamment. Ce problème est résolu dans la preuve de la proposition 1 de [15] où il est montré que quitte à changer encore de groupe on se ramène facilement au cas où la somme est réduite à un seul terme.

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1183

Supposons maintenant que cV provienne d’une donnée endoscopique M de ˜ , ω, avec M  = M . Alors on a encore donné une formule explicite pour rG˜ (cV , λ) M ˜ M comme somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. Ces termes sont sommes de dérivées logarithmiques 



LGV (ˆs) (α , cVλ , 0)/LVG (ˆs)) (α , cVλ , 0) + LGV (ˆs) (−α , cVλ , 0)/LVG (ˆs) (−α , cVλ , 0) ˜ et où α est une racine convenable s) est une donnée endoscopique de G où G (ˆ ΓF  ˆ ˆ pour l’action de Z(M ) dans G (ˆ s). En raisonnant par récurrence, chacune de ces fonctions vérifie la propriété de l’énoncé. On passe maintenant au cas général. On revient à la formule (1) de X.4.1 ; ˜ L ˜  y intervenant, on peut appliquer le lemme par récurrence pour tout couple L, puisque l’on a déjà démontré le cas des espaces de Levi maximaux ; le fait que ˜ L ˜  ) soit non nul, entraîne la décomposition en somme directe : dM˜ (L, i(A∗M˜ /A∗G˜ ) = i(A∗M˜ /A∗L˜ ) ⊕ i(A∗M˜ /A∗L˜  ). Donc l’intégration en λ se décompose en produit d’intégrations et chacune d’elle est convergente. Cela entraîne le lemme.

X.4.2 Caractères pondérés invariants Dans tout ce paragraphe le corps de base est local. Rappel des définitions ˜ un espace de Levi de G ˜ et soit λ ∈ A∗ . On voit λ comme un caractère Soit M ˜ ,C M ˜ /M 1 dans A ˜ . On ˜ ce qui nécessite d’avoir choisi une application H ˜ de M de M M M fixe donc une telle application comme en [II] 1.6. ˜ . On a défini pour tout f ∈ I(G, ˜ ω), Soit encore π une ω représentation de M ˜ G la fonction méromorphe de λ : JM˜ (πλ , f ). Soit X ∈ AM˜ ; pour tout espace de Levi ˜ contenant M ˜ , on note X ˜ la projection de X sur A ˜ . Pour tout λ ∈ A∗ L ˜ ,C tel L L M G que λ + iA∗M˜ ne coupe pas les hyperplans singuliers de la fonction JM ˜ (πλ , f ), on pose : ˜ G dμ e−μ(X) J(πμ , f ). JM ˜ (π, λ, X, f ) := ˜

μ∈λ+iA∗˜

M

Cette fonction de λ, est localement constante sur son espace de définition ; elle ˜ tels que ne dépend que de la restriction de f à l’ensemble des éléments γ ∈ G ˜ ω) et cela HG˜ (γ) = X. Cette distribution s’étend donc aux éléments de Iac (G, permet de définir, par induction, les distributions invariantes :  ˜ ˜ L G ˜ ω) → I G˜˜ (π, λ, X, f ) =: J G˜˜ (πλ , X, f ) − IM f ∈ Iac (G, ˜ (π, λ, X, φL ˜ (f )), M M ˜ L∈E

1184

Chapitre X. Stabilisation spectrale

où encore λ est tel que λ + iA∗M˜ ne coupe pas un réseau d’hyperplans dépendant ˜ ˜ ˜ de π et où φG ˜ est l’application de I(G, ω) dans Iac (L, ω) définie par la proposition L de [81] 6.4. ˜ La propriété qui résulte de la définition des fonctions φG ˜ est que pour tout L ˜ ω), I G˜ (π, λ, X, f ) = 0 si λ est π tempérée, pour tout X ∈ AM˜ et tout f ∈ I(G, ˜ M imaginaire. De plus dans tous les cas, I(π, λ, X, f ) ne dépend que de la restriction ˜ tels que H ˜ (γ) = X. Et en tant que fonction de f à l’ensemble des éléments γ ∈ G G de λ, I(π, λ, X, f ) est une fonction localement constante mais non partout définie. ˜ un sous-espace de Levi de M ˜ et on Lemme (formule de descente). On fixe R ˜ suppose qu’il existe une ω représentation de R telle que π soit l’induite de σ. ˜ ω) et pour tout X ∈ A ˜ Alors, on a pour tout f ∈ I(G, M  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G L IM dG dY IR ˜ ), ˜ (π, λ, X, f ) = ˜ (L, M ) ˜ (σ, λ, Y, fL R Y ∈AR ˜ ;YM ˜ =X

˜ ˜ L∈L( R)

formule qui mérite les explications ci-dessous. D’abord on commence par remarquer que si la place considérée est non archimédienne, l’intégrale est une somme finie : en effet, il n’y a qu’un nombre fini ˜ M ˜ ) est non nul seulement si l’appli˜ et le coefficient dG˜ (L, d’éléments dans L(R) ˜ R ˜

˜

˜

M G cation naturelle de AL ˜ ⊕ AR ˜ dans AR ˜ est un isomorphisme. Ainsi on somme sur R ˜

Y ∈ X + AM ˜ dans AL ˜ est ˜ et sur cet ensemble la projection orthogonale Y → YL R ˜

˜

M injective : en effet le noyau est AL ˜ ∩ AR ˜ qui est nul d’après ce que l’on vient de R voir. Ainsi dans la somme sur les Y la composante de Y dans AM˜ est fixée et par ˜ contre la composante de Y sur AG ˜ est laissée libre ; mais cette dernière compoL ˜ et f ˜ est à support compact. D’où la finitude. Dans sante concerne le centre de L L le cas archimédien, le même argument dit que l’intégrale porte sur un compact, elle est donc bien définie. Montrons le résultat cherché : on part de la formule de descente pour les caractères pondérés non invariants donnée en [81] 5.4 (iv) (comme les termes ne sont pas invariants, il faut des données auxiliaires pour définir les termes constants comme ceci est expliqué en [81]) :  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G L dG JM ˜ ). ˜ (ind σλ , f ) = ˜ (L, M )JR ˜ (σλ , fL R ˜ ˜ L∈L( R)

On intègre cette formule sur iA∗M˜ : ˜ ˜ G G −(λ+μ)(X) dμ JM = JM ˜ (ind σλ+μ , f )e ˜ (ind σλ , X, f ) μ∈iA∗˜

M

car c’est la définition. Pour traiter le côté droit, on reprend la définition pour ˜ ∈ L(R) ˜ et pour Z ∈ A ˜ de J G˜ (σλ , Z, f ˜ ) comme une intégrale sur iA∗ . Puisque L ˜ ˜ R L R R

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1185

l’on n’intègre que sur iA∗M˜ , on obtient une formule d’inversion de Fourier, que l’on écrit dans le cas d’un corps de base non-archimédien :  ˜  ˜ ˜ ˜ L dG JR ˜ ). ˜ (L, M ) ˜ (σλ , X + Z, fL R ˜ ˜ L∈L( R)

˜ R

Z∈AM ˜

Autrement dit, on a la même formule que dans l’énoncé avec les distributions J au lieu de I. D’après les définitions, il suffit donc d’obtenir une formule analogue pour  ˜ ˜ L G IM ˜ (ind σ, λ, X, φL ˜  (f )), ˜ L

˜  contenant M ˜ . Soit L ˜  ∈ L(M ˜ ) un où l’on somme sur les espaces de Levi propres L ˜ ˜ L G tel espace de Levi ; on considère IM˜ (ind σ, λ, X, φL˜  (f )). On applique la formule de l’énoncé par récurrence à ce terme, ce qui est loisible car on peut restreindre ˜ ˜ φG ˜  (γ) = XL ˜  et alors la fonction ainsi ˜  (f ) à l’ensemble des γ ∈ L tels que HL L restreinte est à support compact. On obtient : ˜

˜

L G IM ˜ (ind σ, λ, X, φL ˜  (f ))  ˜  ˜  ˜ = dL ˜ (L , M ) R



˜ 

˜

L G IR ˜  ). ˜ (σ, λ, Y, (φL ˜  )(f )L

Y ∈AR ˜ ;YM ˜ =X

˜  ∈L(R),L ˜  ⊂L ˜ L

˜

Il faut encore utiliser la formule de scindage pour les termes (φG ˜  donnée en ˜  )(f )L L [81] 6.4 (11) :  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L (φG dG ˜  = ˜ ). ˜  )(f )L ˜  (L , L)(φL ˜  )(fL L L ˜ ˜ L ˜  ⊂L ˜ L∈L( R);

D’où 

˜

˜

L G IM ˜ (ind σ, λ, X, φL ˜  (f ))

˜  ∈L(M); ˜ L ˜  =G ˜ L

=





˜  ˜ ˜  G ˜ ˜ ˜ dL ˜ (M , L )dL ˜  (L , L) R

˜ ˜ L ˜  ,L ˜  ∈L(R); ˜ L ˜  =G, ˜ L ˜  ⊂L ˜  ∩L ˜ L∈L( R)



˜ 

˜

L L IR ˜ )). ˜ (σ, λ, Y, φL ˜  (fL

Y ∈AR ˜ ;YM ˜ =X

˜  en utilisant [II] 1.7 (5) : l’ensemble Dans la somme de droite on fait disparaître L  ˜  ˜ ˜ ˜ , R ˜  , R) ˜ in [II] 1.7), B de [II] 1.7 est ici celui des triplets (L, L , L ) (au lieu de (L ˜ ˜ ˜ ˜ R ici joue le rôle de M in [II] 1.7 et M ici joue le rôle de L in [II] 1.7. On a en particulier l’égalité ˜ ˜ ˜ ˜  ˜ ˜  G ˜ ˜ ˜ L dG ˜ (M , L )dL ˜ (M , L) = dR ˜  (L , L). R

1186

Chapitre X. Stabilisation spectrale

et on obtient que le côté droit vaut :   ˜ ˜ ˜ dG ( M , L) ˜ R ˜ ˜ L∈L( R)



˜ 

˜

L L IR ˜ )). ˜ (σ, λ, Y, φL ˜  (fL

˜  ∈L(R); ˜ L ˜  L ˜ Y ∈AR ˜ ,YM ˜ =X L

Et on obtient le lemme. Les caractères pondérés, variante compacte ˜

Il est défini en [VIII] 1.4 et [IX] 5.8 une variante compacte de l’application φG ˜ ; M dans le cas où le corps local est archimédien, il y a deux variantes compacte et on ˜ ω) dans va utiliser celle construite à partir de c φM˜ . C’est une application de I(G, ˜ I(M , ω). On pose  ˜ ˜ ˜ ˜ G c G c L IM˜ (π, λ, f ) := JM IM˜ (π, λ, c φG (1) ˜ (πλ , f ) − ˜ (f )). L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M);

Cette distribution dépend méromorphiquement de λ et l’on n’a pas besoin de ˜ prendre de coefficients de Fourier pour définir cette distribution car c φG ˜ préserve L le caractère compact du support. Cette distribution vérifie une formule de descente, pour des représentations induites, plus simple que sa variante non compacte : pour tout sous-espace de Levi ˜ de M ˜ et pour toute ω représentation de R ˜: R  ˜ c G ˜ M ˜ ) c I L˜˜ (σ, λ, f ˜ ). IM˜ (ind σ, λ, f ) = dR˜ (L, L R ˜ ˜ L∈L( R)

Pour comparer cette distribution à celle déjà définie, on définit comme dans le paragraphe précédent les coefficients de Fourier ˜ ˜ G c G −(λ+μ)(X) IM˜ (π, λ, X, f ) := dμ c IM . ˜ (π, λ + μ, f )e μ∈iA∗˜

M

˜

G Dans les références déjà mentionnées, il a été construit une application c θM ˜ de ˜ ˜ G c G ˜ ˜ I(G, ω) dans Iac (G, ω) qui relie les définitions de φ et φ par la formule : ˜ M

(2)

˜ ω), ∀f ∈ I(G,

˜ c G θM˜ (f )

˜

= φG ˜ (f ) − M



˜ M

˜ ˜ c L θM˜ (c φG ˜ (f )). L

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Cette application sert à relier les distributions définies ici et dans le paragraphe précédent. Lemme. Pour tout λ ∈ A∗M˜ où les termes ci-dessous sont définis, on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ L c G c G IM˜ (π, λ, X, f ) = IM ˜ (π, λ, X, θL ˜ (f )). ˜ ˜) L∈L( M

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1187

On utilise la définition (1) pour calculer le membre de gauche et on applique tout de suite le lemme par récurrence pour les termes faisant intervenir un espace ˜ à la place de G. ˜ On obtient de Levi strictement inclus dans G ˜ c G IM˜ (π, λ, X, f )



˜

G = JM ˜ (π, λ, X, f ) −



˜

˜

˜

L2 c L1 c G IM ˜ 1 (f ))). ˜ (π, λ, X, θL ˜ ( φL 2

˜ 1 ∈L(M), ˜ 2 ∈L(M), ˜ L ˜ 1 =G ˜ L ˜ L ˜ 2 ⊂L ˜1 L

˜ 1 et la somme sur L ˜ 2 et on a donc une somme sur les On échange la somme sur L ˜ ) vérifiant L ˜ 2 = G ˜ de −I L˜ 2 (π, λ, X, F2,1 ) où ˜ 2 ∈ L(M espaces de Levi L ˜ M 

F2,1 :=

˜ ˜ c L θL˜ 1 (φG ˜ 1 (f )). L 2

˜ 1 ∈L(L ˜ 2 ),L ˜ 1 =G ˜ L ˜

˜

c G Avec (2), on a F2,1 = φG ˜ (f ) − θL ˜ (f ). Ainsi L 2

(3)

˜ c G IM˜ (π, λ, X, f )

2



˜

G = JM ˜ (π, λ, X, f ) −

˜

˜

L2 G IM ˜ 2 (f )) ˜ (π, λ, X, φL

˜ 2 ∈L(M); ˜ L ˜ 2 =G ˜ L

(4)



+

˜

˜

L2 c G IM ˜ 2 (f )). ˜ (π, λ, X, θL

˜ 2 ∈L(M); ˜ L ˜ 2 =G ˜ L ˜

˜

G c G Le terme (3) est IM ˜ (π, λ, X, f ) par définition ; or θG ˜ (f ) = f et en ajoutant (3) et (4), on obtient le lemme.

Les caractères pondérés compacts des représentations tempérées On suppose que π est une ω-représentation tempérée. Il a été vérifié en [IX] 5.11 ˜ ˜ G que le coefficient de Fourier I M (π, X, c θM ˜ (f )) est la transformée de Fourier d’une G fonction sur iA∗M˜ . Ceci n’est autre par définition que tr πλ ( c θM ˜ (f )). La fonction de ˜

˜

˜

˜

G M c G λ, tr πλ ( c θM ˜ (f )) se prolonge méromorphiquement en λ. On note I (πλ , θM ˜ (f )) ce prolongement.

Lemme. On suppose que π est une ω-représentation tempérée ; on a l’égalité, pour ˜ ω), des fonctions méromorphes en λ tout f ∈ I(G, ˜ c G IM˜ (π, λ, f )

˜

˜

G = I M (πλ , c θM ˜ (f )).

Chaque terme de l’égalité est une fonction méromorphe en λ et il suffit donc de montrer l’égalité pour λ imaginaire. Sous cette hypothèse  ˜ ˜ ˜ ˜ c L G c G IM˜ (π, λ, f ) = JM IM˜ (πλ , c φG ˜ (π, λ, f ) − ˜ (f )). L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

1188

Chapitre X. Stabilisation spectrale ˜

˜

˜

G G Par construction de φL ˜ (f ), on a l’égalité : JM ˜ (πλ , f ) = tr πλ (φM ˜ (f )) et avec une M récurrence facile, on obtient l’égalité :  # ˜ $ ˜ ˜ ˜ c L c G IM˜ (π, λ, f ) = tr πλ φG θM˜ (c φG ˜ (f ) − ˜ (f )) . M L ˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

C’est exactement la formule (2) ci-dessus qui donne alors le lemme.

X.4.3 Le cas de la torsion intérieure Les caractères pondérés invariants stables, premières définitions ˜ est à torsion intérieure, c’est-à-dire que θˆ = 1, ω = 1 et que On suppose ici que G le groupe G est quasidéployé. Dans ce cas, on a besoin de définir les caractères ˜ un espace de Levi de G. ˜ On fixe π une représentation pondérés stables. Soit M ∗ ˜ → ˜ de M , on définit pour X ∈ AM˜ et λ ∈ AM˜ général, la distribution f ∈ I(G) ˜

G IM ˜ (π, X, λ, f ). La condition sur λ pour que cette distribution soit définie est que λ + iA∗M˜ ne coupe pas un réseau d’hyperplans. On suppose que π est stable. Pour ˜ on pose en recopiant les définitions de J. Arthur : tout f ∈ I(G), ˜

(1)

˜

G G SIM ˜ (π, λ, X, f ) := IM ˜ (π, λ, X, f )    ˜ G (s))SI G˜ (s) (π, λ, X, f G (s) ) iM˜ (G, ˜ M

−

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M) ˜  (s) G

Bien sûr cette définition n’a de sens que si les distributions SIM˜ (π, λ, X, .) sont stables. On l’admet par récurrence en remarquant que puisque si s = 1 le groupe G (s) est plus ”petit” que G et on doit évidemment montrer la stabilité de ˜ G SIM ˜ (π, λ, X, .) ce qui sera fait dans le paragraphe X.4.3 qui suit. On a aussi défini les variantes compactes avec les mêmes propriétés de sta˜ On pose bilité admises par récurrence pour G (s) si s = 1 et à démontrer pour G. ˜ : donc aussi pour tout f ∈ I(G)

(2)

˜

˜

c G (SI)G ˜ (π, λ, X, f ) := IM ˜ (π, λ, X, f ) M   ˜ G (s)) c (SI)G˜ (s) (π, λ, X, f G (s) ). iM˜ (G, ˜ M c

−

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M) ˜

G Pour relier ces deux définitions, il faut utiliser les applications c θL ˜ et on pose pour ˜ : tout f ∈ I(G) c

˜

˜

c G (Sθ)G ˜ (f ) := θL ˜ (f ) − L

 ˆ ,ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(L)



˜ G (s)) c (Sθ)G˜ (s) (f G (s) ). iL˜ (G, ˜ L

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1189

Il a été montré en [VIII] 2.2 (dont la preuve est en [VIII] 4.2) et [IX] 6.1 (dont la ˜ preuve est en [IX] 7.3) que cette application f → c (Sθ)G ˜ (f ) est stable, c’est-à-dire L ˜ ˜ que c (Sθ)G (f ) ne dépend que de l’image de f dans SI(G). ˜ L

˜ on a l’égalité Lemme. Pour tout f ∈ I(G),  ˜ ˜ ˜ L G c c (SI)G (π, λ, X, f ) = SIM ˜ ˜ (π, λ, X, (Sθ)L ˜ (f )). M ˜ ˜ L∈L( M)

On écrit 

(3)



˜ G (s)) c (SI)G˜ (s) (π, λ, X, f G (s) ) iM˜ (G, ˜ M

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

en utilisant le lemme par récurrence puisque s = 1. On obtient :   ˜ ˜ s ˜ ∈Z(M ˆ )ΓF /Z(L) ˆ ΓF ,s ˜ =1 L∈L( M) L L



˜  (s ˜ ) L L

˜ G (s))SI iM˜ (G, ˜ M

˜  (s) G

˜ L

ˆ Γ ˆ Γ s∈sL ˜ Z(L) F /Z(G) F

+







(π, λ, X, c (Sθ)L˜  (s ) (f G (s) )) 

˜ G (s))SI L˜˜ (π, λ, X, c (Sθ)G˜ (s) (f G (s) )), iM˜ (G, ˜ M L

˜ ˜ s∈Z(L) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 L∈L( M)

où cette dernière somme correspond aux sL˜ = 1 et en gardant évidemment l’hypoˆ ΓF et pour L ˜ ∈ L(M ˜ ), on note s ˜ l’image ˆ )ΓF /Z(G) thèse que s = 1. Soit s ∈ Z(M L ΓF ˆ de s modulo Z(L) . On a l’égalité : ˜ G (s)) = i ˜ (L, ˜ L (s ˜ ))i ˜ (G, ˜ G (s)). iM˜ (G, M L L On est dans le cas de torsion intérieure, donc la stabilisation des intégrales orbitales est connue. Cela entraîne avec [VIII], 3.8 et 4.3 et [IX] 6.11 (A), qu’avec les notations ci-dessus pour tout sL˜ = 1 : (4)



˜  (s) G



˜

˜ L

ˆ Γ ˆ Γ s∈sL ˜ Z(L) F /Z(G) F

Donc la somme sur les sL˜ = 1 ci-dessus est la somme des termes ˜  (s ˜ ) L L

˜ L (s ˜ ))SI iM˜ (L, ˜ L M



G L (sL ˜) (π, λ, X, c θL ). ˜ (f ) ˜

Par définition ceci n’est autre que ˜



G G (s) L (sL ˜) ˜ G (s))c (Sθ) iL˜ (G, ) = c θL . ˜ (f ) ˜  (s ) (f L

˜

˜

L c G c G IM ˜ (π, λ, X, θL ˜ (f )) − SI(π, λ, X, θL ˜ (f )).

1190

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Considérons la somme correspondant à sL˜ = 1 ; l’égalité (4) se remplace par la tautologie 



˜ ˜ G (s))c (Sθ)G˜ (s) (f G (s) ) = c θG iL˜ (G, ˜ (f ) ˜ L L

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF s∈Z(L)

et on obtient que les termes correspondant à sL˜ = 1 contribuent simplement par ˜

˜

˜

L G c G c SIM ˜ (π, λ, X, θL ˜ (f )) − (Sθ)L ˜ (f )).

En regroupant avec ce que l’on a trouvé ci-dessus, on voit que (3) vaut 

˜

˜

˜

˜

L L G c G c IM ˜ (π, λ, X, θL ˜ (f )) − SIM ˜ (π, λ, X, (Sθ)L ˜ (f )).

˜ ˜) L∈L( M

Avec le lemme de X.4.2 ceci n’est autre que ˜ c G IM˜ (π, λ, X, f )

−



˜

˜

c L G SIM ˜ (π, λ, X, (Sθ)L ˜ (f )).

˜ ˜ L∈L( M) ˜

En revenant à la définition de c (SI)G ˜ (π, λ, X, f ) on obtient le lemme cherché. M Preuve de la stabilité ˜ un espace de Levi de G ˜ et une représentation stable π de M ˜ (on rappelle On fixe M que l’on est dans le cas de la torsion intérieure et que ω = 1). ˜

˜ → SI G (π, λ, X, f ) et f ∈ I(G) ˜ → Proposition. Les distributions f ∈ I(G) ˜ M c

˜

(SI)G ˜ (π, λ, X, f ) sont stables en tout point λ où elles sont définies M

˜ et on suppose que les intégrales orbitales stables de f sont On fixe f ∈ I(G) toutes nulles, en bref, on dit qu’une telle fonction f est instable. On doit montrer ˜ ˜ G G c que SIM ˜ (π, λ, X, f ) = 0 et SIM ˜ (π, λ, X, f ) = 0. On reprend la formule du lemme ˜=G ˜ : d’après les X.4.3 et son côté droit. Considérons le terme correspondant à L ˜ ˜ ˜ G c G = θ (f ) = f . Ce terme est donc SI formules données, on a c (Sθ)G ˜ ˜ ˜ (π, λ, X, f ). G G M ˜ ˜ L G c ˜ un espace de Considérons maintenant les termes SI (π, λ, X, (Sθ) (f )), pour L ˜ M

˜ L

˜ Puisque f est instable, on sait que c (Sθ)G˜ (f ) = 0 dans SI(L). ˜ Levi propre de G. ˜ L ˜

L Par récurrence on sait aussi que SIM ˜ (π, λ, X, .) est une distribution stable. Ainsi ˜ ˜ L c ˜ ˜ pour L = G, on a SI (π, λ, X, (Sθ)G (f )) = 0 et l’égalité ˜ M

c

˜ L

˜

˜

G (SI)G ˜ (π, λ, X, f ) = SIM ˜ (π, λ, X, f ). M

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1191

Il suffit donc de montrer que le membre de gauche est nul. En utilisant les formules de descente, on se ramène au cas où π est tempérée modulo le centre. On écrit la définition : ˜

˜

c G (SI)G ˜ (π, λ, X, f ) = IM ˜ (π, λ, X, f ) M   ˜ G (s)) c (SI)G˜ (s) (π, λ, X, f G (s) ). iM˜ (G, ˜ M c

−

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M)

Ce sont des coefficients de Fourier des distributions qui se déduisent de c I(πλ , f ) de façon formelle. Par méromorphie, il suffit donc encore de considérer le cas où π est tempérée (et non seulement tempérée modulo le centre). On a donc par ˜ définition l’égalité : c (SI)G ˜ (πλ , f ) = M ˜ c G IM˜ (πλ , f )



−



˜ G (s)) c (SI)G˜ (s) (πλ , f G (s) ). iM˜ (G, ˜ M

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M ˜

˜

G c G On sait que c IM ˜ (πλ , f ) = tr πλ ( θM ˜ (f )) (cf. X.4.2). On admet par récurrence pour tout s = 1 comme ci-dessus que c

˜  (s) G

(SI)M˜

˜  (s) G



(πλ , , f G (s) ) = tr πλ ( c (Sθ)M˜



(f G (s) ))

˜

puisque l’égalité ci-dessus donne alors : c (SI)G ˜ (πλ , f ) = tr πλ (F ), avec M 

˜

G F = c θM ˜ (f ) −



˜ G (s)) c (Sθ)G˜ (s) (f G (s) ). iM˜ (G, ˜ M

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M ˜

Par définition F = c (Sθ)G ˜ (f ) et on sait que si f est instable, l’image de F dans M ˜ SI(M ) est nulle. Comme πλ est une représentation stable par hypothèse, si f est in˜ stable, sa trace contre F est nulle. On a donc bien montré que c (SI)G ˜ (π, λ, X, f ) = M 0 si f est instable ce qui termine la preuve de la proposition.

X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques Définition ˜ ; on a On fixe M une donnée endoscopique non nécessairement elliptique de G  besoin de la notation sˆM  qui fait partie de la donnée. On fixe aussi πM  une représentation de M . On entend par là que, si l’on fixe des données auxiliaires M1 ,  ˜ C1 etc. . . πM  s’identifie à une représentation de M1 qui se transforme selon le caractère λ1 de C1 (F ) déterminé par la situation. On suppose que cette représen˜ contenant M tation est stable. Pour toute donnée endoscopique elliptique G de G comme espace de Levi, on sait définir le caractère pondéré invariant en tant que G  distribution stable SIM  (πM  , λ, X, .). On suppose qu’il existe un espace de Levi

1192

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ de G ˜ tel que M soit une donnée endoscopique elliptique relevante de M ˜ . On M peut alors normaliser les facteurs de transfert, en fixant les facteurs de transfert ˜ : ˜ , M de façon à poser pour tout f ∈ I(G) pour le couple M ˜

(1)

G,E  IM  (πM  , λ, X, f )  :=

G (ˆ s)

˜ G (ˆ iM˜  (G, s))SIM



 G (ˆ s) (πM ).  , λ, X, f

ˆ

ˆ )ΓF ,θ / sˆ∈ˆ sM  Z(M ˆ ΓF ,θ ˆ ˆ )ΓF ,θˆ Z(G) ∩Z(M

C’est ce que l’on appelle le caractère pondéré endoscopique. On a aussi une variante compacte : ˜ c G,E  IM (πM  , λ, X, f )

(2)



:=

G (ˆ s)



 G (ˆ s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s)) c (SI)M (πM ).  , λ, X, f ˆ

ˆ )ΓF ,θ / sˆ∈ˆ sM  Z(M ˆ ΓF ,θ ˆ ˆ )ΓF ,θˆ Z(G) ∩Z(M

Lemme. Avec les deux premières hypothèses de récurrence géométriques de X.3.5, pour tout λ tel que la distribution suivante est définie et pour tout X, on a l’égalité : ˜ c G,E  IM (πM  , λ, X, f )  ˜ ˜ L,E  c G IM =  (πM  , λ, X, θ ˜ (f )) L ˜ ˜ L∈L( M)



˜



M  c G,E c G M + IM ).  (πM  , λ, X, ( θM )(f ) − ( θ ˜ (f )) M ˜

On utilise le lemme de X.4.3 pour écrire le terme de droite de (2) : d’où avec les mêmes manipulations que dans cette référence ˜ c G,E  IM (πM  , λ, X, f )

=

 ˜ ˜ L∈L( M)





L (ˆ s )  ˜ L (ˆ iM˜  (L, sL˜ )) c (SI)M L˜ (πM sL˜ )),  , λ, X, F (ˆ

ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L) ˆ ΓF ,θˆ∩Z(M ˆ )ΓF ,θˆ s ˆL sM  Z(M ˜ ∈ˆ

où F (ˆ sL˜ ) :=





 G (ˆ s) ˜ G (ˆ iL˜  (ˆs ˜ ) (G, s)) c (Sθ)L (ˆs ˜ ) (f G (s) ). L

ˆ

L

ˆ

ˆ Γ ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ sˆ∈ˆ sL ˜ Z(L) F

˜ G,E ˜ = M ˜ , la deuxième hypothèse de récurrence Ainsi F (ˆ sL˜ ) = c θL (f ). Tant que L  (ˆ sL ˜) faite assure que l’on connaît la stabilisation géométrique. Ainsi on connaît aussi l’égalité : ˜ c G,E θL (ˆs ˜ ) (f ) L



G L (ˆ sL ˜) = (c θL ˜ (f )) ˜

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1193

d’après [VII] 3.8 et 4.3 et [IX] 6.11, que l’on est en droit d’appliquer. On a donc alors :  ˜ ˜ ˜ L,E c G,E   c G IM (πM IM  , λ, X, f ) =  (πM  , λ, X, θ ˜ (f )) L ˜ ˜ L ˜ =M ˜ L∈L( M);



+



G (ˆ s) G (ˆ M  c s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s))IM )).  (πM  , λ, X, (Sθ) M (f ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ sˆ∈ˆ sM  Z(M

La première somme de l’énoncé du lemme donne la première somme ci-dessus ˜ =M ˜ qui (dans l’énoncé du lemme) est simexcepté le terme correspondant à L plement ˜ M  c G M ); IM  (πM  , λ, X, θ ˜ (f ) M c’est-à-dire que ce terme manque dans la première somme ci-dessus. La deuxième somme ci-dessus est exactement égale à 

˜

M  c G,E IM  (πM  , λ, X, ( θ M )(f )).

On en déduit le lemme. Propriétés de descente des caractères pondérés endoscopiques Il faut un analogue de la proposition 1.14 de [II] pour les caractères pondérés endoscopiques à la place des intégrales orbitales pondérées endoscopiques. On fixe ˜ comme dans le paragraphe préM une donnée endoscopique non elliptique de G cédent et on fixe π  une représentation stable de M . On fixe aussi un sous-groupe de Levi R de M  . On peut définir R à partir de M mais même si il existe un ˜ tel que R en soit une donnée endoscopique elliptique rien sous-espace de Levi R  n’assure que R est relevant. On fixe une représentation stable σ  de R . Pour la proposition ci-dessous, on suppose que π  est l’induite de σ  . Proposition. ˜ existe de telle sorte que R en soit une donnée endoscopique (i) On suppose que R elliptique relevante. Alors si F est un corps non-archimédien : ˜

G,E  IM  (π , λ, X, f ) =

 ˜ ˜ L∈L( R)

˜ , L) ˜ dR˜ (M



˜

L,E  IR  (σ , λ, Y, fL ˜ ),

Y

où l’on somme sur les Y ∈ AR˜ ayant X pour projection dans AM˜ ; si F est un corps archimédien, la somme est une intégrale sur l’ensemble défini de façon analogue. (ii) On suppose que R n’est pas une donnée endoscopique elliptique relevante ˜  ˜ , alors I G,E pour un sous-espace de Levi de M M (π , λ, X, f ) = 0.

1194

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Le début de la preuve est commun à (i) et (ii). On écrit la définition :   ˜ G (ˆ s) G,E  ˜ G (ˆ iM˜  (G, s))SIM (π  , λ, X, f G (ˆs) ). IM  (π , λ, X, f ) = ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ sˆ∈ˆ sM  Z(M

On écrit la formule de descente pour les termes du membre de droite et on obtient :   ˜ G (ˆ iM˜  (G, s)) ˜  (ˆ s ) (R ˜  ∈LG ˜) L

ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ sˆ∈ˆ sM  Z(M





L  G (ˆ s) ˜ , L ˜  )SIR eR˜  (M )L ).  (σ , λ, Y, (f

Y ∈AR ;YM  =X 

On remarque que dans les formules ci-dessus, (f G (ˆs) )L = 0 sauf si L est une ˜ de G. ˜ On regroupe donnée endoscopique elliptique pour un espace de Levi L ˜ fixé. Nécessairement un tel donc les termes correspondant à un espace de Levi L ˜ intervient s’il existe L une de ses données endoscopiques elliptiques telle que L ˜ , L ˜  ) = 0. Comme en [II] 1.14, même si R n’est pas une donnée endoscodR˜  (M ˜ on pose R ˆ l’unique sous-groupe de Levi pique elliptique d’un espace de Levi de G, ˆ ΓF ,θ,0  ΓF ,0 ˆ ˆ ˆ de G tel que Z(R) = Z(R ) . La condition sur L se traduit alors par le ˆ ˆ ˆ G L fait que ARˆ est la somme directe de AM ˆ et de AR ˆ ; en considérant les orthogonaux R ˜

˜

˜

G G de ces espaces dans AG ˜ , on obtient le fait que AR ˜ est la somme directe de AM ˜ avec R ˜ G ˜ ˜ AL˜ , ce qui est équivalent à la non nullité de dRˆ (M , L). Réciproquement pour un ˜ satisfaisant cela et pour L une donnée endoscopique elliptique de L, ˜ on a aussi L ˜ ˜  ˜  G  ˜ contenant dR˜  (M , L ) = 0 pour toute donnée endoscopique elliptique G de G   M et L . ˆ )/Z(G) ˆ dans Z(R)/Z( ˆ ˆ est surjective et L’application naturelle de Z(M L) donne encore une application surjective (cf X.4.1) de

(1)

ˆ ˆ ˆ ˆ ΓF ,θ,0 ˆ ∩ Z(R) ˆ ΓF ,θ,0 ˆ )ΓF ,θ,0 → Z(R) /Z(L) . Z(M

Donc pour L comme ci-dessus, l’ensemble des données endoscopiques elliptiques G contenant L et M est non vide. On se place maintenant dans la situation de (i) ; ici R est une donnée endo˜ de M ˜ ; les facteurs de transfert scopique elliptique relevante d’un espace de Levi R  ˜ ont été normalisés à l’aide du couple M , M , ils impliquent une normalisation pour ˜ , M ) et donc une ˜ R (puisque ce couple est un ”espace” de Levi de M le couple R,  ˜ ˜ G (ˆ normalisation directe pour le couple L, L sans passer par l’un des couples G, s) ˆ G (ˆ s)  L (ˆ s ) Γ , θ,0 ˆ ) F /Z(G)∩ ˆ )L = (fL˜ ) où sˆ ∈ sˆM  Z(M et pour tout choix de sˆ, on a (f ˆ ˆ ˆ ˆ ΓF ,θ,0 ˆ ∩ Z(R) ˆ ΓF ,θ,0 ˆ )ΓF ,θ,0 a pour image sˆ dans sˆM  Z(R) /Z(L) . Ainsi dans la Z(M formule de descente écrite ci-dessus, G (ˆ s) disparaît au profit de L (ˆ s ) pour sˆ et  sˆ ayant la propriété précédente. Il y a donc un calcul de coefficients à faire mais qui a été fait en [II] 1.14 pour passer en (5) et (6). Ce calcul donne exactement le résultat cherché comme en [II] 1.14.

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1195

Pour (ii) on se raccroche évidemment à 1.14 de [II] qui construit un sousgroupe Z du noyau de l’application (1) tel que l’analogue géométrique de  L (ˆs z)   SIR (σ  , λ, Y, (f G (ˆs z) )L ) (2) z∈Z

soit nul. C’est un subtil problème de facteurs de transfert qui nécessite l’introduction des données auxiliaires mais qui n’est pas à refaire puisqu’il a déjà été fait. Introduisons des données auxiliaires M1 , C1 , etc. . . pour la donnée M , qui se restreignent en des données R1 , C1 , etc. . . Ce que montre ce qui suit (10) de [II] 1.14, ∞ ˜ 1 ) et donne est que l’introduction de z ∈ Z induit un automorphisme de Cc,λ (R 1 ˜  dont donc dualement un automorphisme sur l’ensemble des représentations de R 1 le caractère central se restreint en le caractère λ1 de C1 (F ). C’est l’ensemble de ce qu’on a appelé les représentations de R . Ainsi (2) est en fait une somme sur un ensemble de représentations σ  (z) dépendant de z ∈ Z. L’automorphisme de ∞ ˜ 1 ) est la multiplication par une fonction sur R ˜  . Cette fonction est calculée Cc,λ (R 1 en [II] 1.14 près des éléments elliptiques. D’où l’intérêt pour nous de se ramener au ˜  par un de ses cas où σ  est elliptique ; c’est tout à fait loisible quitte à remplacer R sous-groupes de Levi qui ne sera pas plus relevant et on ne perd pas l’hypothèse de stabilité grâce à la section 2 de [XI] et [IV] 2.8. L’automorphisme se lit alors sur l’ensemble des fonctions cuspidales dont le support est formé d’éléments elliptiques et il est montré en [II] 1.14 qu’en sommant sur z, on obtient 0. Dualement on a donc aussi 0 pour σ  elliptique et c’est ce qui était cherché.

X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale Ici on démontre que la stabilisation locale géométrique entraîne la stabilisation ˜ un espace de Levi de G ˜ et M une donnée endoscopique locale spectrale. On fixe M   ˜ elliptique de M . On fixe aussi une représentation stable πM et on note π  de M ˜ la ω-représentation de M que l’on obtient par transfert. Corollaire. ˜ fixé comme en 3.5) et (i) Sous les deux premières hypothèses de 3.5 (avec M sous l’hypothèse que pour toutes les intégrales orbitales pondérées de la forme ˜ ˜ G,E ˜ ∈ L(M ˜ ) y compris L ˜ = M ˜ , alors on a la sont égales, pour L ILG ˜ et IL ˜ stabilisation des caractères pondérés : ˜

G,E G  IM  (πM  , λ, X, f ) = I ˜ (π, λ, X, f ). M ˜

˜ remplacé (ii) On ne suppose que l’hypothèse de stabilisation géométrique pour G par ses espaces de Levi propres. Alors la conclusion est vraie pour les repré sentations πM  de caractère central unitaire et pour λ dans un petit voisinage de l’axe imaginaire. Le (ii) est un point clé de la stabilisation et résulte d’une astuce (cf. la preuve) remarquée par J. Arthur.

1196

Chapitre X. Stabilisation spectrale ˜



G,E c G M (i) L’hypothèse de (i) assure que c θM et donc dans le  (f ) = ( θ ˜ (f )) M lemme de X.4.4, on a simplement l’égalité  ˜ ˜ ˜ L,E c G,E   c G IM (πM IM  , λ, X, f ) =  (πM  , λ, X, θ ˜ (f )). L ˜

˜ ˜ L∈L( M)

On rappelle aussi la formule : ˜ c G IM˜ (π, λ, X, f )

=



˜

˜

L c G IM ˜ (π, λ, X, θL ˜ (f )).

˜ ˜) L∈L( M

Ainsi le lemme est équivalent à l’égalité ˜ c G,E  IM (πM  , λ, X, f )

˜

G = c IM ˜ (π, λ, X, f ).

On doit donc montrer l’égalité des fonctions méromorphes en λ :  ˜ G (ˆ s)  G G (s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s)) c (SI)M (πM ) = c IM  ,λ , f ˜ (πλ , f ). ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G ˆ ΓF ,θˆ) sˆ∈ˆ sM  Z(M

(1)  On se ramène par les formules de descente au cas où πM  et donc π sont tempérées ; on a alors le droit de supposer que λ est unitaire par méromorphie et on sait alors que le membre de gauche vaut :  G (ˆ s) G (ˆ  c s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s)) tr πM ))  ,λ ( (Sθ) M (f ˆ

ˆ

ˆ ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˆ∈ˆ sM  Z(M)

˜

 c G,E ce qui vaut aussi par définition tr πM  ,λ ( θM (f )). Et avec l’hypothèse faite cela 

 c G M  vaut tr πM ). Par définition du transfert de πM  cela n’est autre que  ,λ ( θ ˜ (f ) M ˜

˜

G tr πλ ( c θM ˜ (f )). Ce qui est le membre de droite de (1). Cela termine la preuve de (i)  (ii) On décompose πM  dans son groupe de Grothendieck (complexifié) ; le   caractère central de πM  est unitaire par hypothèse et cela force πM  d’être la somme d’une représentation tempérée avec des induites propres. Pour les représentations tempérées les caractères pondérés invariants sont nuls et l’égalité cherchée est triviale ; il reste le cas des induites propres, en acceptant que λ soit dans un voisinage de 0 puisqu’il peut y avoir un problème de définition en certains points de l’axe imaginaire. Les formules de descente ramènent à démontrer l’assertion ˜ remplacé par des espaces de Levi propres ; pour les espaces de cherchée pour G Levi propres l’hypothèse faite en (i) est vérifiée et on a donc le résultat cherché.  Remarque. Dans (ii) si on suppose πM  unitaire, alors ˜

G,E G  IM  (πM  , λ, X, f ) = I ˜ (π, λ, X, f ) M ˜

pour tout λ imaginaire. Cela vient du fait que les distributions sont alors définies en tout λ unitaire et sont localement constantes en λ.

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1197

X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux Ici le corps de base est global, c’est-à-dire un corps de nombres. On fixe V un ensemble fini de places de F contenant au moins une place archimédienne. On fixe ˜ un espace de Levi de G ˜ et πV une ω-représentation de M ˜ (FV ). On note L(M ˜) M ˜ ˜ l’ensemble des sous-espaces de Levi de G contenant M . Ceci est un objet global. On définit une application : ˜ ˜ ˜ φG ˜ ,V : I(G(FV ), ω) → Iac (M (FV ), ω) M

comme en [VI] 1.6 et 1.7. ce qui permet de définir un caractère pondéré invariant ˜ V ), ω) semi-global : ∀f ∈ I(G(F  ˜ ˜ ˜ ˜ G G L G IM (1) IM ˜ (πV , λ, X, f ) := JM ˜ (πV , λ, X, f ) − ˜ (πV , λ, X, φL,V ˜ (f )). ˜ ˜ L∈L( M) G ∗ Dans la définition de JM ˜ (πV , λ, X, f ) il y a une intégrale sur λ + iAM ˜ qui est un espace affine car on a supposé que V contient au moins une place archimédienne. On peut remplacer l’hypothèse que V contient au moins une place archimédienne par l’hypothèse que V ne contient que des places ayant même caractéristique résiduelle ; on intègre alors sur un tore si ces places sont p-adiques. On peut ˜ G donc définir de façon semi-globale IM ˜ (πv , λ, X, fv ) pour toute place v en considérant que V = {v}. Montrons que cette définition s’exprime en fonction de la définition locale des paragraphes précédents ainsi : ˜

˜

(2)

G IM ˜ (πv , λ, X, fv )  ˜ , L(v)) ˜ dM˜ v (M = ˜ ˜v) L(v)∈L( M

˜ L(v)

Y ∈AM ˜ v ;YM ˜ =X

dY IM˜ (πv , λ, X, fv,L(v) ), ˜ v

où YM˜ est la projection orthogonale de Y ∈ AM˜ v dans AM˜ . En effet, pour prouver une telle formule, il faut d’abord la prouver pour ˜ G (π JM v , λ, X, fv ). Cette distribution s’obtient par transformation de Fourier à par˜ ˜ G ˜ ˜ tir de la distribution JM ˜ (πv,λ , fv ). Par les propriétés de G, M famille, on a l’égalité de fonctions méromorphes en λ ∈ A∗M˜ : ˜

G JM ˜ (πv,λ , fv ) =



˜ L(v) ˜ , L(v))J ˜ dM˜ v (M (πv,λ , fv,L(v) ). ˜ ˜ M v

˜ ˜v) L(v)∈L( M

Le terme de gauche doit être intégré sur λ + iA∗M˜ contre e−λ(X) pour trouver G ∗ −λ(X) JM pour ˜ (πv , λ, X, fv ). Du côté droit, il faut intégrer sur λ + iAM ˜ contre e ˜

˜ L(v)

v

). On passe de l’une des intégrales à l’autre en faisant trouver JM˜ (πv , λ, X, fv,L(v) ˜ v précisément une transformée de Fourier sur AM˜ v /AM˜ . D’où le résultat annoncé.

1198

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Ensuite, on passe aux termes en I au lieu de J par un calcul standard utilisant les formules de descente. On ne le fait pas. On revient à l’ensemble V ; on ramène la définition (1) à une définition locale, par récurrence sur le nombre de places dans V ; pour simplifier on suppose que πV est un produit tensoriel, ⊗v∈V πv ; on se ramène à ce cas en faisant des combinaisons linéaires. ˜V = ˜ V ) comme l’ensemble des familles L Pour cela on définit aussi L(M v v ˜ ; v ∈ V ) où pour tout v ∈ V , L ˜ ∈ L(M ˜ (Fv )) et on a les formules de (L scindage qui relient cette définition aux définitions locales : pour toute fonction ˜ V ), ω) produit de ses composantes locales : fV ∈ I(G(F ˜

G IM ˜ (πV , λ, X, fV )  v ˜ ˜ dM˜ (G, {L }) =



{Xv ∈AM ˜v ;

˜ v }∈L(M ˜V ) {L

 v

Xv,M ˜ =X} v∈V

˜v

L IM ˜ v )dXv . ˜ v (πv , λ, Xv , fv;L

X.4.7 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème d’annulation On définit les variantes stables et endoscopiques de caractères pondérés semiglobaux. ˜ est à On suppose d’abord que ω = 1 que G est quasi-déployé et que G ˜ V )) produit de ses torsion intérieure. On pose, pour toute fonction fV ∈ I(G(F composantes locales :  ˜ G ˜ , {L ˜ v }) eM˜ V (M SIM ˜ (πV , λ, X, fV ) = ˜ v }∈L(M ˜V ) {L



(1)

{Xv ∈AM ˜v ;

  v

Xv,M ˜ =X} v∈V

˜v

L SIM ˜ v )dXv . ˜ v (πv , λ, Xv , fv;L

Avec une telle définition, la distribution est certainement stable parce que c’est le cas des distributions locales. Et cela est conforme à la définition usuelle (cf. [VI] (i) de la proposition 4.2) ˜

G SIM ˜ (πV , λ, X, fV ) ˜

G = IM ˜ (πV , λ, X, fV ) −



˜  (s) G

SIM˜

G (s)

(πV , λ, X, fV

).

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ;s=1 s∈Z(M)

˜ ; soit M une donnée endoscopique non On ne fait plus d’hypothèse sur G ˜ On fixe une représentation π  , nécessairement elliptique ni même relevante de G. V  stable, de M sur FV ) ; c’est nécessairement par définition de la stabilité, une combinaison linéaire de représentations stables elles mêmes produit tensoriel de

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1199

ˆ on note M ˆ le sous-groupe représentations stables en toute place v ∈ V . Dans G, ˆ ΓF ,θ,0  ΓF ,0 ˆ ˆ ˆ = Z(M ) ; plus précisément M est la composante de Levi tel que Z(M ) ˆ de Z(M ˆ  )ΓF ,0 . On pose alors pour toute fonction neutre du centralisateur dans G ˜ V ), ω) produit de ses composantes locales : fV ∈ I(G(F ˜

G,E  IM  (πV , λ, X, fV )  :=





G (ˆ s) G (ˆ s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s))(SI)M (πV , λ, X, fV ). ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˆ∈ˆ sM  Z(M

Les facteurs de transfert sont normalisés globalement. Dans le cas où M est une ˜ de G, ˜ on a la décomposition, donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi M sous l’hypothèse que πV est un produit tensoriel : 

˜

G,E  IM  (πV , λ, X, fV ) =

(2)

˜ v }∈L(M ˜V ) {L

{Xv ∈AM ˜v ;

˜ , {L ˜ v }) dM˜ V (M

  v

Xv,M ˜ =X} v∈V

˜v

L ,E IM (πv , λ, Xv , fv;L˜ v )dXv .  v

On renvoie au (i) de la proposition de [VI] 4.5 pour la preuve de cette formule, c’est juste un calcul de coefficients. Lemme. Avec les notations précédentes, on suppose qu’en toute place v ∈ V la reM présentation πv est une induite de la forme indRv(v) σv avec σv une représentation stable et elliptique modulo le centre de R (v) où R (v) est un espace de Levi de Mv . On suppose aussi que pour au moins une place v, R (v) n’est pas une donnée ˜ v ), alors endoscopique relevante de G(F ˜

G,E  IM  (πV , λ, X, fV ) = 0

On a utilisé l’écriture R (v) pour signifier que R (v) est un espace de Levi de Mv qui ne provient pas forcément par localisation d’une donnée globale. C’est bien l’analogue géométrique de cet énoncé qui est démontré en 6.10, (31) de [VI] mais comme ce n’est pas exactement l’hypothèse faite en [VI] 6.1 et suivant on commence par s’y ramener. On commence donc par supposer que M ˜ Et on montre la nullité : on considère est une donnée endoscopique relevante de G. (2) et on fixe v tel que R (v) ne soit pas une donnée endoscopique relevante de v ˜ v ). On a alors montré en X.4.4 (ii) que les termes I L˜ ,E (πv , λ, Xv , f ˜ ) sont G(F Mv v,Lv tous nuls. D’où l’assertion dans ce cas. Maintenant on a exactement l’hypothèse que M n’est pas une donnée en˜ comme dans 6.6 de [VI] et la même preuve s’applique doscopique relevante de G avec beaucoup moins (voire pas du tout) de difficultés aux places archimédiennes.

1200

Chapitre X. Stabilisation spectrale

X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème de transfert Dans ce paragraphe on fait l’hypothèse de récurrence géométrique de X.3.2. On ˜ un espace de Levi de G ˜ et M une donnée endoscopique elliptique relevante fixe M ˜ de M . On fixe une représentation πV , stable, de M dont on note πV le transfert en ˜ . On suppose que ces représentations ont un caractère une ω-représentation de M central. Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes et en supposant que le caractère central de πV est unitaire, on a l’égalité des distributions pour tout λ très voisin de 0 où ces distributions sont définies ˜

G,E G  IM ˜ (πV , λ, X, fV ) = IM (πV , λ, X, fV ). ˜

˜ V ), ω), ∀fV ∈ I(G(F

On se ramène aisément au cas où πV est un produit tensoriel. On compare les définitions de X.4.6 et X.4.7 (2). Il suffit donc de montrer avec les notations de ˜ v ), on a l’égalité ˜ v ∈ L(M ces références que pour tout L ˜ v )) ∀f ∈ I(G(F

˜v

L ,E L IM (πv , λ, Xv , fv ) = IM  ˜ v (πv , λ, Xv , fv ). ˜v

v

Ceci a été montré en X.4.5 (ii) parce que l’on a supposé que πV a un caractère central unitaire, pour tout λ dans un voisinage de 0 comme dans l’énoncé. Remarque. Les fonctions, en λ, de l’énoncé sont localement constantes. Si l’une est définie en λ = 0 l’autre l’est aussi au moins par continuité. Donc avec la seule hypothèse que soit πV soit πV est somme de représentations unitaires, on aura une égalité de distributions en λ = 0. On supprime alors λ de la notation. Une difficulté mineure de cette théorie est que l’on ne sait pas que le transfert préserve l’unitarité, il n’y a même sans doute pas de raison que ce soit vrai, d’où l’intérêt de la remarque.

X.4.9 Caractères pondérés globaux Définition des caractères pondérés globaux ˜ un espace de Levi de G. ˜ On fixe un ensemble fini de places V contenant On fixe M Vram . Pour tout v ∈ / V , on fixe un morphisme cv : WFv → L M (Fv ) (en notant ainsi le L-groupe de M vu sur Fv ). On pose cV = (cv )v∈V et on suppose que cV est quasi-automorphe, cf. X.4.1. ˜ G V On a défini en X.4.1 la fonction méromorphe de λ ∈ A∗M,C ˜ (cλ ) ; cette ˜ , rM ˜ fonction est invariante sous A∗ . On généralise cette définition en remplaçant G ˜ G,C

˜ ∈ L(M ˜ ). Et la fonction méromorphe de λ ∈ A∗ , notée par un espace de Levi L ˜ ,C M L V ∗ et elle ne dépend donc que de la projection λL rM ˜ (cλ ), est invariante sous AL,C ˜ ˜

˜

X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation

1201

∗L de λ dans AM ˜ ,C . Comme on l’a dit en X.4.1, les représentations paramétrées par cv pour tout v ∈ / V sont unitaires. La fonction méromorphe ainsi définie est donc ˜ holomorphe en tout λ tel que λL est imaginaire. ˜ ∈ L(M ˜ ), on décompose λ = λL˜ + λ ˜ suivant la déOn fixe λ ∈ A∗ ; pour L ˜

˜ ,C M

L

∗L composition orthogonale A∗M˜ ,C = A∗L,C ˜ ⊕ AM ˜ ,C . Dans les paragraphes précédents, ˜ pour toute ω représentation πV de G(FV ), on a défini la distribution ˜

˜  ˜ ˜ L L ˜ V ), ω) → I G ind , (π ⊗ λ ), λ , X , f fV ∈ I(G(F ˜ ˜ V V ˜ ˜ L L M L où XL˜ ∈ AL˜ . Cette distribution n’est pas partout définie, elle est localement ˜ constante en λL˜ (là où elle est définie) et elle dépend méromorphiquement de λL : cela résulte des formules de descente. Si πV est unitaire la distribution est définie pour λ imaginaire. On peut donc la calculer en λL˜ = 0. On suppose que πV est unitaire et on revient à cV qui est aussi unitaire ; ˜ L V pour λ ∈ A∗M˜ ,C on définit rM ˜ (cλ ). Cette fonction méromorphe de λ ne dépend ˜ ˜ V ), ω) que de λL . On définit alors pour tout fV ∈ I(G(F ˜

(1)

G V IM ˜ (πV ⊗ c , f )  = ˜ ˜ L∈L( M)

iA∗˜ /iA∗˜ M

˜  ˜ L ˜ ˜ ˜ L G L V dλL rM ˜ (πV ⊗ λ ), 0, 0, fV . ˜ (cλ )IL ˜ indM

L

Cette intégrale converge grâce à X.4.1. C’est le caractère pondéré global. Caractères pondérés globaux stables (cas de la torsion intérieure) ˜ est à torsion intérieure avec ω = 1 et G Dans ce paragraphe, on suppose que G quasidéployé. On définit une version stable des caractères pondérés globaux. On ˜ , cV et πV comme dans le paragraphe précédent. Pour λ ∈ A∗ fixe encore M ˜ M,C ˜ L ˜ ˜ et pour L ∈ L(M ), on considère encore la décomposition λ = λL˜ + λ . Fixons ˜ ∈ L(M ˜ ). On a défini en X.4.1 les fonctions méromorphes de λ, sG˜ (cV ) que L ˜ M

λ

˜ remplacé par L, ˜ ce sont donc des fonctions sL˜ (cV ) qui ne l’on considère pour G ˜ λ M ˜

dépendent que de λL . Et on pose, avec les notations précédentes ˜

(2)

V (SI)G ˜ (πV ⊗ c , f ) M  = ˜ ˜ L∈L( M)

iA∗˜ /iA∗˜ M L

˜

˜

˜

˜

˜

L G L V dλL sL ˜ )(SI) ˜ (ind ˜ (πV ⊗ λ ), 0, 0, fV ). ˜ (cλL M M L

Il est clair d’après X.4.7 qu’une telle distribution est stable.

1202

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Caractères pondérés globaux endoscopiques, transfert ˜ et on définit aussi les variantes endoscopiques On ne fait plus d’hypothèses sur G ˜ un espace de Levi de G. ˜ Soit M des caractères pondérés globaux. On fixe M  ˜ et π une représentation unitaire de une donnée endoscopique elliptique de M V   M (FV ) que l’on suppose stable. On suppose aussi donné c V produit tensoriel  pour tout v ∈ / V de morphisme de WFv dans M . Et on suppose aussi que c V est quasi-automorphe. Par inclusion de M dans le L-groupe de M , on obtient un  morphisme du type de ceux considérés précédemment et on le note encore c V . Si M n’est pas relevant, on pose πV = 0 et sinon on note πV la représentation de ˜ (FV ) obtenue à partir de π  par transfert. On pose pour tout fV ∈ I(G(F ˜ V ), ω) M V 

˜

(3)

G,E  V , fV ) IM  (πV ⊗ c  =





 G (ˆ s) G (ˆ s) ˜ G (ˆ iM˜  (G, s))(SI)M (πV ⊗ c V , fV ).

ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ sˆ∈ˆ sM  Z(M

Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes, pour tout ˜ V ), ω) fV ∈ I(G(F on a l’égalité : ˜





G,E G  V V , fV ) = IM IM  (πV ⊗ c ˜ (πV ⊗ c , fV ). ˜

En particulier si M n’est pas relevant le terme de gauche est nul. Il faut montrer que le terme de gauche vérifie une propriété de descente ana˜ on dit que L ∈ L(M ) logue à X.4.9 (1). Pour L une donnée endoscopique de G       si L = (L , L , sˆL ) et M = (M , M , sˆM  ) sont telles que M  est un sous-groupe ˆ )ΓF ,θˆ et L = L ˆ  M . A une telle donnée on associe le de Levi de L , sˆL ∈ sˆM  Z(M ˆ ˆ ˆ est le commutant dans G ˆ de sous-groupe de Levi L de G défini par le fait que L  G (ˆ s)  G (ˆ s)  ΓF ,0 V ˆ . A chaque terme (SI)M (πV ⊗ c , fV ) on applique la définition Z(L ) X.4.9 (2), ce qui fait intervenir une somme sur les L contenant M et inclus dans G (ˆ s). On peut modifier l’ordre des sommes (cf [VI], 6.6) pour avoir une somme ˆ de G ˆ contenant M ˆ et sur les données endoscosur les sous-groupes de Levi, L   ˆ s) contenant L : comme toujours piques L donnant L puis sur les données G (ˆ ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L) ˆ ΓF ,θˆ et la somme en sˆ se décompose en une somme sur sˆL ∈ sˆM  Z(M ˆ ˆ ˆ ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ . On a déjà vu que quand on fixe L la deuxième somme sˆ ∈ sˆL Z(L) donne le terme (5) ci-dessous et on obtient donc que le terme correspondant à un L fixé est    V ˆ L ˆ ) dλL sL (4) iM˜  (L, M  (cλL ) λL ∈iA∗ /iA∗ M L

(5)

˜ L  ILG,E  (indM (πV



⊗ λL ), 0, 0, fV ).

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1203

Si M n’est pas relevant tous les termes (5) sont nuls d’après 4.7. On est donc ramené au cas où M est relevant. Dans ce cas là, les L sont aussi relevants et on ˜ l’espace de Levi de G ˜ correspondant et, d’après X.4.1, on a : note L  ˜ L (ˆ s)  L V ˆ L ˆ  (ˆ iM˜  (L, s))sM (cλV ) = rM ˜ (cλ ), ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L) ˆ ΓˆF ,θˆ s ˆ∈ˆ sM  Z(M 

où cVλ est l’image de cλV dans le L-groupe de M via l’inclusion de M dans ce groupe. On utilise encore la proposition de X.4.8 pour transformer (5) en ˜ ˜ L ILG ˜ πV , 0, 0, fV ). Et on obtient exactement (1), ce qui prouve la proposition. ˜ (indM ˜ et considérons une donnée endoscopique M de Oublions l’espace de Levi M ˜ ˜ Soit π  et c V comme ciG, ω qui ne correspond à aucun espace de Levi de G. V ˜   V ˆ de G. ˆ On définit encore I G,E dessus. On peut associer à M un Levi M M (πV ⊗c , fV ) par la formule (3) qui conserve un sens. La même preuve que ci-dessus montre que : Proposition. Sous ces hypothèses, ˜



G,E  V , fV ) = 0. IM  (πV ⊗ c

X.5 Le côté spectral de la formule des traces X.5.1 Rappel des termes discrets Il y a deux notions pour ”discret” en ce qui concerne les représentations automorphes ; la notion habituelle est que ce sont les représentations intervenant discrètement dans la décomposition spectrale des fonctions de carré intégrable. L’autre notion qui nous concerne ici est le fait que ces représentations interviennent dans la partie discrète de la formule des traces, qui va être décrite ci-dessous. Il serait plus logique mais beaucoup trop lourd de distinguer en parlant de représentations discrètes pour les premières et de représentation t-discrète pour les secondes. On va quand même le faire dans ce paragraphe, en utilisant la notation générique ρ pour les représentations puis on posera πdisc = ρt−disc et donc le disc utilisé avec π sera pour les représentations t-discrètes et c’est la notation qui sera ensuite utilisée. On reprend [55] 6.1. On ne peut pas parler de représentations discrètes sans caractère unitaire du centre du groupe. Pour faire simple (et pas le plus général possible) on reprend les définitions AG et AG˜ introduites en [VI] fin de 1.3 : pour AG c’est la composante neutre topologique des points sur R d’un tore déployé maximal dans G vu comme groupe sur Q et AG˜ en est le sous-ensemble des éléments invariants sous θ. Ces espaces s’identifient naturellement (via l’application log) à AG et AG˜ . On utilise alors l’inclusion diagonale de AG dans G(F∞ ) pour identifier G(AF ) = AG˜ G(AF )1 . Les représentations que nous allons considérer sont invariantes ont un caractère

1204

Chapitre X. Stabilisation spectrale

sous AG˜ unitaire et un caractère pour l’action de AG qui est θ- semi-invariant ˜ ) sur au sens θ(χ) = χω si χ est ce caractère ; on a supposé que l’action de G(F le centre de G(F ) est d’ordre fini et que ω est unitaire. Donc un tel caractère χ ˜ F) est nécessairement unitaire et donc toute ω-représentation irréductible de G(A ayant un caractère unitaire pour l’action de AG˜ a un caractère unitaire pour l’action de AG . Remarquons qu’il y a un unique caractère χ de AG qui vérifie l’égalité ci-dessus et qui est trivial sur AG˜ . On le note χG . ˜ ) agit naturellement par conjugaison Le groupe des points rationnels G(F dans l’ensemble des formes automorphes se transformant par le caractère χG de AG et de carré intégrable modulo AG et on pose pour toute telle forme automorphe ˜ F) de carré intégrable φ, pour tout g ∈ G(AF ), γ ∈ G(A −1 gγ)φ(δ −1 gγ), ρG disc (γ, ω)φ(g) = ω(δ ˜

˜ ) et où δ −1 gγ ∈ G(AF ) est défini par l’égaoù δ est n’importe quel élément de G(F −1 ˜ lité gγ = δ(δ gγ) dans G(AF ). On remarque que cette formule est indépendante de δ. Soit x, y ∈ G(AF ) est appliquons cette formule avec γ remplacé par xγy : −1 gxγy)φ(δ −1 gxγy) = ω(y)ω(δ −1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ −1 gxγ). ρG disc (xγy, ω)φ(g) = ω(δ ˜

Or D’où

ω(δ −1 gxγ)ρ(y)(φ)(δ −1 gxγ) = ρG disc (γ, ω)(ρ(y)φ)(gx). ˜

˜

˜

G ρG disc (xγy, ω)φ(g) = ω(y)ρ(x)ρdisc (γ, ω)(ρ(y)φ)(g).

ce qui est bien une ω représentation. Les autres termes à ajouter pour avoir la partie discrète de la formule spectrale viennent des sous groupes de Levi de G, M tel que NormG(F ˜ ) M non seulement est non vide mais en plus contient un élément régulier, c’est-à-dire un élément u qui agit sans point fixe sur A∗M /A∗G˜ . Soit u un tel élément. La partie discrète associée à M et u est écrite en [55] dans la section 14.3 (avant l’énoncé de 14.3.2) dans le cas non invariant. Rappelons la construction. On fixe un sous-groupe parabolique P de G de sous-groupe de Levi M ; on note u.P le sous-groupe parabolique de G obtenu en conjuguant P par u. On note, pour tout sous-groupe parabolique Q de G de sous-groupe de Levi M , UQ son radical unipotent. Soit φ une fonction sur G(AF ) invariante à gauche sous M (F )UP (AF ). Pour ˜ F ), on définit la fonction γω .φ en posant pour tout g ∈ G(AF ) : tout γ ∈ G(A (γω .φ)(g) = ω(u−1 gγ)φ(u−1 gγ). C’est une fonction sur G(AF ) invariante à gauche sous M (F )Uu.P (AF ). Pour revenir en une fonction invariante à gauche sous M (F )UP (AF ) on utilise l’opérateur d’entrelacement standard. Pour que cette opérateur soit holomorphe il suffit que φ se transforme à gauche sous AM par un caractère unitaire.

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1205

Pour cela, on note A2 (UP (AF )M (F )AM,ω \G(AF )) l’espace des formes automorphes de carré intégrable au sens de [63] I.2.17, invariantes pour l’action à gauche de UP (AF )M (F )AG˜ et de AG M et se transformant sous l’action à gauche de AG par le caractère χG . Remarquons que ω est forcément trivial sur AG M puisque ce groupe est dans l’image de GSC (AF ). Puisque a → a−1 (u.a) est une bijection de AM /AG˜ sur lui-même, on peut aussi dire que ces formes automorphes sont invariantes par AG˜ et se transforment sous l’action à gauche par un élément de AM de la forme a−1 (u.a) (avec a ∈ AM ) par la multiplication par ω(a). Puisque ω est unitaire, il est clair que ces formes se transforment sous l’action à gauche de AM par un caractère unitaire. On sait alors définir l’opérateur d’entrelacement par prolongement méromorphe MP |u.P (0) : A2 (Uu.P (AF )M (F )AM,ω \G(AF )) → A2 (UP (AF )M (F )AM,ω \G(AF )). Et l’action de γ sur φ est alors ρt−disc (γ)(φ) := MP |u.P (0)γω φ. ˜ F ) dans On vérifie comme ci-dessus que cela donne une ω-représentation de G(A 2 l’espace A (UP (AF )M (F )AM,ω \G(AF )). On la note ρdisc,M,u,ω . On pose w(M ) := | NormG(F ) (M )/M (F )| et : ρt−disc,ω :=

 M,u

w(M )

1 ρdisc,M,u,ω , |det(u − 1)|AM /AG |

où M parcourt l’ensemble des sous-groupes de Levi de G, pris à conjugaison près ˜ ) normalisant M réguliers au sens et où u parcourt l’ensemble des éléments de G(F ci-dessus et pris à translation près par l’action de M (F ) opérant à gauche ou à droite (cela n’a pas d’importance). Définition et Notations. On fixe un ensemble fini de places, V , de F contenant Vram . Pour tout v non dans V , on note cv un morphisme non ramifié de WFv dans L G(Fv ), où encore L G(Fv ) désigne le L-groupe de G sur Fv . On note cV le produit tensoriel de ces morphismes ; ainsi cV donne une représentation non ramifiée de G(AVF ) ou suivant le point de vue un caractère du produit des algèbres de Hecke sphériques en toute place hors de V . On suppose que cV est ω, θˆ invariant. En ˜ V sur les vecteurs K V -invariants de la représentation, faisant opérer trivialement K ˜ V ) ; c’est la hors de V la représentation s’étend en une représentation de G(A F normalisation, canonique, que nous utiliserons systématiquement hors de V . Aux places archimédiennes, on fixe ν un caractère infinitésimal tel que θ(ν) = ν +dω ; on réalise AG˜ comme un sous-groupe du centre de G(F∞ ) formé d’éléments ˜ ∞ ). On suppose que ν est trivial sur l’algèbre de Lie de ce invariants sous G(F groupe (vu comme sous espace du centre de l’algèbre enveloppante).

1206

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ F ) qui est le produit du On note alors πdisc,ν (cV ) la ω représentation de G(A scalaire | det(1 − θ)|AG /AG˜ |−1 et de la somme des sous-représentations de ρt−disc,ω ˜ V et sur lesquelles l’algèbre enveloppante de ayant des vecteurs invariants sous K G(F∞ ) opère par le caractère central ν et où toute fonction sur K V \G(AVF )/K V ˜ V invariants par le caractère cV . On voit cette représenopère, sur les vecteurs K ˜ V ) en se limitant aux éléments K ˜V tation comme une ωV -représentation de G(F −1 invariants. Le scalaire | det(1 − θ)|AG /AG˜ | a été mis un peu formellement pour ˜ et ses espaces de Levi, (cf. [VI]) que les formules soient cohérentes entre l’espace G D’après les constructions, cet espace de représentations se réalise dans un espace de fonctions invariantes à gauche sous AG˜ . On fixe λ ∈ iA∗G˜ cela donne ˜ F ) triun caractère unitaire de AG˜ qui s’étend en un caractère unitaire de G(A vial évidemment sur G(AF )1 . On note alors πdisc,ν,λ (cV ) le produit tensoriel de ce caractère λ avec πdisc,ν (cV ) et on voit cette représentation comme une ωV ˜ V ). Il faut faire attention aux places hors de V , ce n’est plus représentation de G(F cV le caractère de l’algèbre de Hecke sphérique mais cV ⊗ λ. C’est la distribution suivante sur laquelle on a prise via la formule des traces : (1)

˜ V ), ω) → tr πdisc,ν,λ (cV )(fV ). fV ∈ I(G(F

On a évidemment πdisc,ν,λ+μ (cV ) = πdisc,ν,λ (cV ) ⊗ μ pour tout λ, μ ∈ iA∗G˜ . Mais dans la formule des traces, c’est le coefficient de Fourier de cette distri˜ V ), ω) bution qui intervient : pour X ∈ AG˜ , on définit la distribution, ∀fV ∈ I(G(F dλ tr πdisc,ν,λ (cV )(fV )e−λ(X) . Iν (cV , X, fV ) := λ∈iA∗˜

G

Et la partie discrète de la formule des traces invariante dans V est la distribution ⊕ν,cV Iν (cV , 0, fV ), ce qui veut dire que l’on ne considère que les traces des ˜ ). ˜ V )K ˜ V ∩ G(A)1 G(F représentations restreintes à G(F

X.5.2 Rappel des termes continus ˜ de G ˜ ; on généralise la définition πdisc,ν,λ (cV ) en On fixe un espace de Levi M supposant ici que ν est un caractère infinitésimal de M (F∞ ) et cV est un caractère automorphe de l’algèbres de Hecke sphérique de M (AVF ) ; on note alors plutôt ˜ M ˜ V ), ω), (cV ). On a donc défini en X.4.9 la distribution sur I(G(F πdisc,ν,λ ˜

˜

G M V fV → IM ˜ (πdisc,ν (c ), fV ).

La partie continue de la formule des traces invariantes est d’après [8] Theorem 4.4 ˜ V ), ω) obtenue en sommant (on reviendra ci-dessous sur la distribution sur I(G(F les problèmes de convergence)  ˜  ˜ G M V ˜) w(M IM ˜ (πν,disc (c ), fV ); ˜ M

ν,cV

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1207

la présentation ici est un peu différente qu’en [8] car, d’une part, on a choisi de faire entrer ce qui est noté aM (π) dans [8] (4.5) pour la partie ”multiplicité” dans ˜ (noté aM1 , le M1 est notre M ˜ ) dans π M˜ (cV ) et d’autre part le rM (π1,λ ) a M M1 ν,disc disc ˜

˜

G M V été pris en compte dans la définition de IM ˜ (πν,disc (c ), fV ) dans X.4.9. Ensuite on remplace dans l’énoncé de [8] theorem 4.4, l’intégrale sur Π(M, t) par sa valeur donnée avant (4.5) de [8] ; cela devient une intégrale sur Πdisc (M1 , t), ce qui est essentiellement notre formulation. La différence avec [8] est le fait que l’on n’a pas mis de somme sur la partie imaginaire du caractère infinitésimal (le t) ; ici on utilise les résultats de Finis, Lapid et Müller qui assurent la convergence comme pour la formule des traces non invariantes dans le paragraphe 14.3 de [55]. ˜ sous espace de Levi propre de G, ˜ on a une intégrale sur iA∗ Pour tout M ˜ M ce qui explique que l’on a une partie continue.

X.5.3 Représentations semi-finies Définition ˜ F ) ou plutôt On a besoin de cette définition : soit π une ω représentation de G(A une combinaison linéaire formelle à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles, appelées composantes de π. On dit que π est semi-finie si les conditions suivantes sont vérifiées : (i) pour toute composante irréductible π  de π, les caractères infinitésimaux de π  et de π ˇ  sont égaux(c’est-à-dire que le caractère infinitésimal est hermitien) ; (ii) pour tout ensemble fini de K∞ -types, K∞ , il existe R ∈ R>0 tel que les composantes de π dont la trace est non nulle sur des fonctions se transformant sous au moins un de ces K∞ -types ont toutes un caractère infinitésimal dont la partie réelle est de norme inférieure ou égale à R ; (iii) pour tout ensemble fini de places V contenant Vram et pour tout nombre réel positif R et pour tout K∞ comme en (ii), pour tout sous-groupe compact ouvert de ×v∈V  Kv (où V  est V moins les places archimédiennes), il n’existe qu’un nombre fini de caractères de l’algèbre de Hecke sphérique, cV hors de ˜ V , c’est-à-dire de ⊗v∈V / Cc (Kv \Gv /Kv ) et qu’un nombre fini de caractères infinitésimaux, ν, de partie imaginaire de norme bornée par R tels que π ait des composantes non ramifiées hors de V , associées au caractère cV , ayant comme caractère infinitésimal ν, ayant des K∞ -types dans K∞ et dont la trace n’annule pas identiquement les fonctions bi-invariantes dans ×v∈V  Kv ; (iv) pour tout ensemble fini V de places contenant Vram , pour tout caractère infinitésimal ν, et pour tout ensemble fini de KV -types, KV , il n’existe qu’un nombre fini de composantes de π de caractère infinitésimal ν, non ramifiées hors de V et associées au caractère cV hors de V et de trace non identiquement nulle sur l’espace des fonctions se transformant sous au moins un de ces KV types ;

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Chapitre X. Stabilisation spectrale

(v) pour ν un caractère infinitésimal fixé, on note πνK la somme des ω-représentations irréductibles intervenant dans π ayant une trace non nulle sur les fonctions se transformant selon des K-types dans K et ayant pour caractère infinitésimal ν. Cette représentation est de longueur finie d’après les propriétés demandées et on demande en plus que la somme sur ν des traces de ces ˜ F )), se transformant représentations évaluées sur des fonctions f ∈ Cc∞ (G(A selon des K-types inclus dans l’ensemble fixé K, converge absolument. Fixons π une représentation semi-finie et V un ensemble fini de places. On suppose que toutes

les composantes de π sont non ramifiées hors de V . On décomdes termes de caractère infinitésimal pose alors π = ν πν où πν est la somme

ν et pour ν fixé on décompose πν = cV πν (cV ), où cV parcourt l’ensemble des caractères des algèbres de Hecke sphériques hors de V . ˜ que l’on ne suppose pas elliptique Soit M une donnée endoscopique de G mais que l’on suppose relevante ; plus exactement on note M1 une donnée auxiliaire relative à cette donnée endoscopique de sorte que le groupe M (de la donnée endoscopique) soit plongé dans le groupe dual, L M1 de M1 ; ainsi M1 est une extension par un tore induit du groupe M  de la donnée endoscopique M et il existe un caractère de ce tore (donné par M et le plongement de M dans L M1 ) tel que tous les objets attachés à M1 intervenant dans l’endoscopie définie par M se transforment par ce caractère sous l’action du tore induit. Surtout pour ˜  = M ˜ 1 : ce que l’on fait ici, on peut simplifier les notations en ”oubliant” que M  ˜ au lieu d’objets attachés à M1 se transformant selon ce caractère, on parlera symboliquement d’objets attachés à M . A tout caractère infinitésimal ν  de M est associé un caractère infinitésimal ν de G tel que le transfert d’un paquet stable ˜ ait de représentations de M de caractère infinitésimal ν  à un espace de Levi de G  ν pour caractère infinitésimal. On écrira ν → ν pour signifier cette relation qui  n’est ni injective ni surjective. Soit aussi c V un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de M hors de V . Par la correspondance de Langlands, cela définit ˜ On note encore un caractère pour l’algèbre de Hecke sphérique hors de V de G.  V V c → c cette relation qui n’est là aussi ni injective ni surjective.

X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies Dans ce paragraphe on utilise le fait que le transfert spectral est compatible au transfert des caractères centraux ; pour la commodité du lecteur on rappelle ce résultat qui est évidemment conséquence d’une propriété des facteurs de transfert démontrée par Kottwitz et Shelstad en [48] page 53 : ici on est dans une situation locale mais on laisse tomber l’indice v de la place fixée. Soit G une donnée ˜ et on a vraiment besoin d’introduire des données auxiliaires, endoscopique de G c’est-à-dire une z-extension G1 de G . Il existe une application naturelle surjective de Z(G1 ) sur Z(G ) et une application naturelle de Z(G) dans Z(G ) de noyau ˜ (1 − θ)(T ) ∩ Z(G), T étant le tore sous-jacent à un tore tordu maximal T˜ de G.   On note Z, le produit fibré de Z(G1 ) et Z(G) sur Z(G ) et on note C1 le tore cen-

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1209

tral de la z-extension. Alors Z contient naturellement C1 et il existe un caractère λ de Z prolongeant le caractère de C1 défini par la z-extension tel que l’on ait l’invariance des facteurs de transfert : pour tous δ1 , γ des éléments semi-simples ˜ et pour tout (z1 , z) ∈ Z fortement réguliers dans G1 et G Δ(z1 δ1 , zγ) = λ(z1 , z)−1 Δ(δ1 , γ). On aura aussi besoin du fait qu’une représentation stable de longueur finie de G est somme de représentations stables ayant des caractères centraux et on appli˜ mais à des sous-espaces de Levi de G ˜ où le quera tout ce qui précède non pas à G centre, comme on va le voir, joue un rôle assez important. Dans la définition de semi-finie, on a utilisé l’écriture de ω-représentations sur la base des représentations irréductibles. Pour le transfert, une autre base est mieux adaptée, c’est la base dite endoscopique que l’on va décrire ci-dessous. Et on va montrer que la définition donnée est exactement équivalente à la même définition donnée en termes de cette base. Avant de pouvoir introduire cette base, on introduit la base des modules standard. Un module standard se définit d’abord localement, c’est-à-dire que l’on fixe ˜ v est un espace de ˜ v , τv ) où M une place v et c’est alors la donnée d’un couple (M ˜ ˜ , c’est-à-dire Levi de G(Fv ) et τv est une représentation elliptique simple de M ˜ associé à un triplet essentiel de Mv en [81] 2.12. On ne regarde ces couples qu’à conjugaison près sous G(Fv ). Le module standard local est la ω-représentation ˜ v. obtenue en induisant τv à partir d’un espace parabolique d’espace de Levi M Comme on ne s’intéresse qu’aux traces des ω-représentations, ceci est bien défini indépendamment des choix possibles. Pour passer au global, il faut d’abord fixer un ensemble fini de places V contenant Vram et hors de V on fixe une ω-représentation non ramifiée. Pour tout v ∈ V on fixe un module standard et on fait le produit tensoriel des représentations non ramifiées fixées hors de V et des modules standard dans V ; il n’y a pas de condition locale/globale pour les choix, en particulier les ˜ v n’ont aucune raison d’être les localisés d’un espace de Levi défini différents M globalement. Quand V est fixé on appelle un tel module standard un module standard dans V Fixons V , les traces tordues des modules standard forment elles-aussi une base de l’espace vectoriel engendré par les formes linéaires qui sont les traces des ω-représentations non ramifiées hors de V . On définit encore une autre base des ω-représentations non ramifiées hors de ˜ v , pour tout caractère du centre V . Pour tout v ∈ V , et pour tout espace de Levi M ˜ v , ω) à de Mv , μv , la théorie des pseudo-coefficients permet d’identifier Icusp,μv (M ˜ l’espace des combinaisons linéaires de représentations elliptiques de Mv de caractère central μv . On considère la décomposition orthogonale, pour le produit scalaire elliptique, ˜ v , ω) ⊕M Icusp,μv (M ˜ v ; M ), Icusp,μv (M

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Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ v (à autooù M parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de M ˜ v des représentamorphismes près) et le terme indexé par M est le transfert à M tions elliptiques stables de cette donnée avec un caractère central qui se transfère en μv . On fixe une base des représentations elliptiques stables d’une telle donnée endoscopiques en considérant la projection sur la partie stable Icusp,st (M ) des représentations elliptiques simples (c’est-à-dire correspondant à un triplet essentiel) et par transfert et en faisant varier les données endoscopiques, on construit une ˜ v . On fait ensuite le produit sur toutes les base des représentations elliptiques de M ˜ places v ∈ V et on obtient une base des ω-représentations de G(A) non ramifiées hors de V . Ici il n’y a pas d’hypothèse d’automorphie. C’est ce que l’on appelle la base endoscopique des représentations non ramifiées hors de V . On pourrait d’ailleurs prendre n’importe quelle base du moment que ses éléments aient un caractère central et que la base soit orthogonale. Lemme. Soient V un ensemble fini de places contenant Vram , un caractère cV de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V et un caractère infinitésimal ν. Soit π une ω-représentation (au sens de X.5.3, c’est-à-dire que π est une combinaison linéaire à coefficients complexes de ω-représentations irréductibles) non ramifiée hors de V , associée au caractère cV hors de V , de caractère infinitésimal ν. Alors les conditions ci-dessous sont équivalentes : (i) pour tout ensemble fini de KV types, π n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au moins l’un de ces KV -types ; (ii) en écrivant π dans la base des modules standard, π n’a qu’un nombre fini de composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au moins l’un de ces KV -types ; (iii) en écrivant π dans la base endoscopique, π n’a qu’un nombre fini de composantes dont la trace n’annule pas les fonctions se transformant sous au moins l’un de ces KV -types. En d’autres termes le (iv) de la définition de X.5.3 est équivalent aux assertions analogues où on écrit π dans n’importe laquelle des trois bases, le seul point étant que la notion même d’écriture dans les bases semi-standard et endoscopique nécessite d’avoir d’abord fixé V ; il n’est pas utile d’avoir fixé cV et ν. Montrons cela. L’équivalence de (i) et (ii) vient du fait que quand on décompose une ω-représentation locale en module standard, et vice et versa, on reste dans la même composante de Bernstein. Et (i) et (ii) sont équivalentes à dire qu’avec les hypothèses faites pour chaque composante de Bernstein fixé, les composantes de π dans cette composante de Bernstein sont en nombre fini. Montrons l’équivalence de (ii) et de (iii). Ce n’est un problème qu’aux places finies de V , puisque le caractère infinitésimal est fixé et que la situation hors de ˜ v un espace de Levi de V est aussi fixée. On fixe v une place finie dans V . Soit M ˜ G(Fv ). Pour tout v, place finie dans V , on fixe un caractère central de Mv , μv .  On fixe aussi un sous-groupe compact ouvert KM de Mv et on montre d’abord v

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

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sans aucune autre hypothèse qu’il n’y a qu’un nombre fini d’éléments de la base  : endoscopique ayant une trace non nulle sur des fonctions bi-invariantes sous KM v on sait, d’après la finitude démontrée en [XI].4.1 qu’il n’y a qu’un nombre fini de ω˜ v ayant ces propriétés. Les représentations représentations elliptiques simples de M elliptiques simples forment une base orthogonale et la même propriété est donc vraie pour toute autre base orthogonale, par un calcul élémentaire de changement de bases. Donc les finitudes en (ii) et (iii) ne portent que sur les caractères centraux. Mais le caractère central étant est le même pour les deux bases on a clairement l’équivalence. On récrit cette démonstration sous forme de remarque car elle nous reservira : Remarque. (ii) et (iii) du lemme précédent sont encore équivalentes à ce que pour ˜ v et pour un ensemble fini de KV -types fixé, il n’y un espace de Levi fixé, ×v∈V M a qu’un nombre fini de caractères centraux des Mv , pour v, une place finie dans V , ˜ v) intervenant réellement dans le calcul de la trace de π sur des fonctions sur G(F se transformant sur au moins l’un de ces Kv -types. Les représentations semi-finies et la partie discrète de la formule des traces On fixe V un ensemble fini de places contenant les places archimédiennes. On ˜ G reprend la notation Idisc (ω, fV 1K˜ V ) pour la partie discrète de la formule des traces. Remarque. Cette distribution s’exprime comme la trace d’une représentation semifinie. Ceci est loin d’être évident mais les arguments sont déjà dans la littérature comme on va l’expliquer. Le premier point qu’il nous faut est la propriété suivante. On fixe un ensemble fini de K∞ -types. Soit π une des représentations irréductibles intervenant dans Idisc ; on suppose que π∞ a au moins un K∞ -type dans l’ensemble fixé. Alors la partie réelle du caractère infinitésimal de π est bornée indépendamment de π. C’est utilisé en [20] preuve de 4.1 qu’on peut remonter à [8] fin de la preuve de 6.5. Faute de référence dans ces citations (le résultat doit être bien connu des experts dès la fin des années 80, cf. [1] (4) du corollaire 7.2), on explique le résultat ainsi : une représentation unitaire, π, est unitairement induite à partir d’une représentation unitaire, π  d’un de ses sous-groupes de Levi ayant un caractère infinitésimal réel (voir [77] paragraphe 3). Pour les représentations unitaires, Müller a montré en [66] (8.1) qui renvoie à (3.4) (et qui n’est pas difficile) que pour π  une représentation unitaire d’un groupe de Lie réel et pour σ l’un de ses K∞ -types l’action de l’opérateur de Casimir agissant sur π  est bornée par l’action du Laplacien de K∞ agissant sur σ. Avec l’hypothèse que le caractère infinitésimal de π  est réel cela borne ce caractère infinitésimal. Comme le fait que l’on impose à π de contenir au moins certains K∞ -types se propage à π  (pour des types qui dépendent du sous-groupe de Levi mais pas des représentations), on obtient l’assertion.

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Chapitre X. Stabilisation spectrale

Ensuite la propriété de convergence absolue résulte des travaux de Müller sur la traçabilité du spectre discret ([65]) et les propriétés restantes sont des propriétés générales de finitude du nombre de représentations automorphes quand on a fixé le caractère infinitésimal et la ramification. Cela prouve la remarque. Utilisation des multiplicateurs sur les représentations semi-finies Cette théorie des multiplicateurs est due à Arthur et permet de séparer les caractères infinitésimaux ([4] 4.2). On l’utilise comme dans [20], en montrant ici la propriété qui servira. Soit V un ensemble fini de places contenant Vram et soit F un ensemble ˜ V ), ω) (donc en particulier KV finies). On suppose que de fonctions dans I(G(F F est stable par convolution pour tout multiplicateur α. On fixe aussi π une ˜ F ) dont toutes les composantes sont non ramifiées représentation semi-finie de G(A

hors de V . On reprend la notation π = ν,cV πν (cV ) de X.5.3. Lemme. (i) On suppose que tr π(fV 1VK˜ ) = 0 pour tout fV ∈ F . Alors tr πν (fV 1K˜ V ) = 0 pour tout fV ∈ F et tout caractère infinitésimal ν. (ii) On suppose en plus que pour tout ensemble fini de places V  de F contenant ˜ V  −V ), ω) non ramifiée, on a V et pour toute fonction fV  −V dans I(G(F tr π(fV fV  −V 1K˜ V  ) = 0 alors tr πν (cV )(fV 1K˜ V ) = 0 pour tout couple ν, cV comme précédemment. On fixe f ∈ F ; il suffit de supposer que F est exactement l’ensemble des éléments fα pour α parcourant l’ensemble des mutliplicateurs ; on rappelle que α est une fonction à support compact sur h où h est l’algèbre de Lie (complexifiée) d’un tore de G(F∞ ), invariante sous W∞ , le groupe de Weyl de ce tore complexifié. On note α ˇ la transformée de Fourier de α et α ˇ parcourt donc l’ensemble des fonctions de Paley Wiener sur h∗ invariantes sous W∞ . Comme fV est KV -fini et que π est non ramifié hors de V , l’hypothèse de semi-finitude assure qu’il existe R ∈ R>0 tel que si πν a des vecteurs invariants sous l’un des K-types fixés, alors || Re ν|| ≤ R. On fixe ν0 avec cette propriété sur les invariants. On fixe aussi, grâce à [24], 2e partie, lemme 15.2, α tel que α ˇ (ν) ∈ [0, 1] pour tout caractère infinitésimal ν de partie réelle bornée en norme par R et tel que ν soit le caractère infinitésimal νπ d’une représentation π vérifiant νπ  νπˇ ; et on impose en plus (avec la même référence) que α ˇ (ν) = 1 pour un tel ν uniquement si ν = ν0 . Pour tout m ∈ N on note ∗m α le convolé de α m-fois. Alors tr π(f∗m α ) =

m α ˇ (ν) tr π (f 1 ). Pour ν intervenant dans cette somme, avec ν = ν0 , ˜V ν V K ν α ˇ (ν)m tend vers 0 quand m tend vers l’infini. On utilise alors l’hypothèse de convergence absolue pour montrer que quand m tend vers l’infini cette somme converge vers tr πν0 (fV 1VK˜ ). On a ainsi montré (i). Montrons (ii). On fixe ν0 et fV ∈ F . On fixe aussi un ensemble de K-types qui sont les K V types triviaux hors de V et tel que fV se transforme suivant ces

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

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KV -types. On sait alors que πν0 a un nombre fini de composantes irréductibles admettant ces K-types et on les décompose en cV πν0 (cV ). On fixe V  un ensemble fini de places contenant V et tel que les caractères des représentations constituant ˜ v ), ω) soient linéairement πν0 (cV ) restreints en des distributions sur ⊗v∈V  I(G(F ˜ v ), ω) séparent les différentes représenindépendants, ou encore que ⊗v∈V  I(G(F tations πν0 (cV ). Par hypothèse tr π(fV fV  −V 1K˜ V  ) = 0 donc d’après (i) appliqué à V  ce qui est loisible, tr πν0 (fV fV  −V 1K˜ V  ) = 0 et en faisant varier fV  −V on obtient tr πν0 (cV )(fV fV  −V 1K˜ V  ) = 0 pour tout choix de fV  −V et pour tout cV . Cela entraîne a fortiori (ii).

X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité ˜ à torsion intérieure et ω = 1. Soit π une On suppose ici G quasi-déployé, G ˜ on la suppose stable ; cela veut dire que pour toute représentation semi-finie de G, place v0 , pour tout ensemble fini de places V  contenant Vram et v0 et pour toute ˜ V  )) décomposée, dont la composante en la place v0 annule fonction fV  ∈ I(G(F ˜ v0 ), tr π(fV  1 ˜ V  ) = 0. On fixe V toutes les intégrales orbitales stables de G(F K contenant Vram comme précédemment et on décompose π en ν,cV πν (cV ). Corollaire. (i) Pour tout ν, cV , les distributions ˜ V )) → tr πν (cV )(fV 1 ˜ V ) fV ∈ I(G(f K sont stables. (ii) Une représentation semi-finie est stable si et seulement si elle est semi-finie et son écriture dans la base endoscopique de X.5.4 ne fait intervenir que des produits tensoriels de représentations locales stables. (i) On fixe ν, cV et v0 ∈ V . et on doit montrer que pour toute fonction ˜ v0 )) qui annule les intégrales orbitales stables en la place v0 et pour fv0 ∈ I(G(F ˜ v )) décomposée et ayant fv0 comme composante en toute fonction fV ∈ I(G(F la place v0 , on a tr πν (cV )(fV 1K˜ V ) = 0. On applique X.5.4 à l’ensemble F qui est précisément l’ensemble des fV,α où α parcourt l’ensemble des multiplicateurs. Mais pour cela il faut vérifier que pour tout fV dans cet ensemble fv 0 annule encore toutes les intégrales orbitales stables. C’est évident d’après les définitions si v0 n’est pas une place archimédienne. Supposons donc que v0 est une place ˜ v0 ), on a archimédienne. Pour toute représentation stable, πv 0 de G(F ˇ (νπv ) tr πv 0 (fv0 ) = 0, tr πv 0 (fv0 ,α ) = α 0

par hypothèse sur fv0 . D’après [IV] 2.3, la fonction fv0 ,α annule donc toutes les intégrales orbitales stables en la place v0 . Cela permet d’appliquer X.5.4 (i) et (ii) pour obtenir le (i) du corollaire.

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Chapitre X. Stabilisation spectrale

Montrons maintenant l’assertion (ii). Le sens ”si” est clair. Réciproquement soit π une ω-représentation semi-finie et stable. En fixant V , un nombre fini de places contenant Vram et un caractère infinitésimal ν, on a la ω-représentation ˜ V ), dont on sait maintenant qu’elle est stable. On écrit cette repréπν (cV ) de G(F sentation dans la base endoscopique de X.5.4. La propriété cherchée est que dans cette base, seuls les produits tensoriels de représentations stables interviennent pour l’écriture de πν (cV ). On commence par démontrer cela pour la partie elliptique, c’est-à-dire les composantes de cette représentation relativement à l’espace ˜ V ) lui-même. On note πν,ell (cV ), cette composante. Soit fV de Levi qui est G(F ˜ V ) produits de fonctions cuspidales en toutes les places de V . une fonction sur G(F ˜ V ) et πν,ell,st (cV ) Et on note fV,st la projection de cette fonction sur SIcusp (G(F V la somme des composantes de πν,ell (c ) qui sont produits tensoriels de représentations elliptiques stables. On a alors les égalités suivantes : tr πν (cV )(fV 1K˜ V ) = tr πν,ell (cV )(fV 1K˜ V ) = tr πν,ell (cV )(fV,st 1K˜ V ) = tr πν,ell,st (cV )(fV,st 1K˜ V ) = tr πν,ell,st (cV )(fV 1K˜ V ). Ou encore la trace de la représentation τ := πν,ell (cV ) − πν,ell,st (cV ) annule toutes les fonctions cuspidales en toutes place dans V . On décompose τ suivant les caractères centraux : on peut le faire en fixant un ensemble fini de KV -type ce qui permet d’utiliser les propriétées de finitude de la remarque de X.5.4 pour séparer ces caractères. Soit μV , un tel caractère central, bien sûr c’est un produit sur toutes les places dans V de caractères centraux qui n’ont pas de cohérence entre eux, on note alors τ (μV ) la composante de τ ayant ce caractère central et τ (μV ) a sa trace qui annule aussi toutes les fonctions cuspidales en toutes places de V . Mais, comme le caractère central est fixé, les fonctions cuspidales séparent les représentations elliptiques et cela force τ (μV ) = 0. On remplace πν (cV ) par πν (cV ) − πν,ell (cV ) ; cette représentation est encore stable, elle n’a plus de composante non nulle dans la base endoscopique formée de produit tensoriel de représentations elliptiques et on veut montrer pour elle la propriété cherchée au départ pour πν (cV ). Progressivement, on se ramène donc à la situation suivante : soit τV une ω-représentation ˜ V ), stable, vérifiant les propriétés de finitude de X.5.4 et telle que pour de G(F ˜ v tel que τV n’a pas de composante tout v ∈ V , il existe un espace de Levi M ˜ ˜ ⊃ M ˜ v avec non nulle pour les espaces de Levi ×v∈V Mv si pour tout v ∈ V , M v au moins une inégalité stricte. Et on doit alors montrer que dans la base endo˜ v que des scopique τV n’a comme composante relative à l’espace de Levi ×v∈V M produits tensoriels d’induites de représentations elliptiques stables. C’est la même ˜ v , pour tout v, en utilisant cette fois les ˜v = G démonstration que dans le cas de M ˜ fonctions Mv -cuspidales en toute place de v. Dans les formules de trace, ce sont alors les termes constants de ces fonctions qui interviennent et le point est que ces ˜ v qui termes constants engendrent l’espace de toutes les fonctions cuspidales sur M sont invariantes sous le stabilisateur dans Gv de cet espace. Mais on peut supposer que les représentations considérées ont les mêmes propriétés d’invariance, d’où le résultat cherché.

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1215

X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu La situation ici est locale et on note v la place considérée. On suppose que v ∈ / Vram . ˜ v ), ω. A tout On fixe G une donnée endoscopique elliptique non ramifiée de G(F morphisme non ramifié de WFv dans G  , on associe un morphisme non ramifié de WFv dans le L-groupe de G. Dans notre cas non ramifié, on peut fixer un  isomorphisme G   L G . Cela donne une correspondance entre les représentations non ramifiées de G (Fv ) dans l’ensemble des représentations non ramifiées π de G(Fv ) telles que π θ  π ⊗ ω. Comme on a supposé que v ∈ / Vram , une telle représentation non ramifiée de G(Fv ) s’étend canoniquement en une représentation ˜ v ) en demandant que K ˜ v agisse trivialement sur l’espace des invariants sous de G(F Kv (cet espace est de dimension 1, bien entendu). Si la donnée endoscopique a elle aussi une torsion (nécessairement intérieure) on étend aussi les représentations non ramifiées de G (Fv ) à l’espace tordu. Le lemme fondamental tordu pour toute ˜ v ), ω) est bi-invariante sous Kv et l’algèbre de Hecke sphérique dit que si fv ∈ I(G(F G ˜  (Fv )) bi-invariante sous KG ,v qui alors on peut choisir une fonction fv dans I(G  soit un transfert de fv et qui vérifie tr π(fv ) = tr π  (fvG ) si π et π  se correspondent dans la correspondance que l’on vient de décrire. C’est la même formulation que [I] 6.4. Ce lemme est maintenant démontré dans [60] et il est indispensable pour avoir la stabilisation de la formule des traces, qu’elle soit tordue ou non. Dans le cas non tordu, il a été démontré par Hales, cf. [36]. Dans le cas tordu comme dans le cas non tordu le point clé est de connaître le lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke. Ceci est démontré par Ngo et la démonstration de Ngo a donc fait sauter le verrou bloquant la stabilisation de la formule des traces non tordue. Il est démontré que le résultat de Ngo entraîne le lemme fondamental pour l’élément unité de l’algèbre de Hecke dans le cas tordu ([80]).

X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable ˜ et une représentation semi-finie stable, Ici on fixe G une donnée endoscopique de G  de cette donnée. On définit le transfert de la trace de cette représentation en πst posant pour tout ensemble fini de places V , contenant Vram et les places où la donnée endoscopique n’est pas non ramifiée, et pour toute fV ∈ Cc∞ (G(FV )), (1)

 transfert πst (fV 1K˜ V ) :=

 ν  ,c V



G (FV ) G (F V ) 1K  V ),

tr πν  ,st (c V )(fV

où la somme porte sur l’ensemble des caractères infinitésimaux pour la donnée endoscopique et l’ensemble des caractères de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V pour G . Ceci est bien défini d’après les propriétés de stabilité et de finitude montrées pour le terme de droite. Grâce au lemme fondamental, le terme de gauche ne dépend pas du choix de V du moment que V est suffisamment grand.

1216

Chapitre X. Stabilisation spectrale

 Lemme. Soit πst une représentation semi-finie et stable de G , alors le transfert  πst est la trace d’une représentation semi-finie.

On fixe d’abord V un ensemble fini de place vérifiant les propriétés précédent l’énoncé. On fixe un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V , noté cV et un caractère infinitésimal ν. On définit alors πν (cV ) en ne gardant dans le terme   de droite de (1) que les πν  ,st (c V ) tel que ν  se transfère sur ν et c V se transfère  sur cV . Fixons un ensemble fini de KV -types ; on fixe un ensemble fini de KG  (F ) V types vérifiant le premier lemme du paragraphe 6 de [XI], c’est-à-dire que si fV se transforme sous au moins l’un des KV -types, la trace de fV sur les transferts des représentations stables de G (FV ) ayant une trace nulle sur les fonctions n’ayant  pas de KG  (F ) -type dans l’ensemble fixé est nulle. En d’autres termes la trace de V V πν (c ) sur les fonctions ayant des KV -types dans un ensemble fini fixé se calcule à   l’aide des traces des πν  ,st (c V ) sur les fonctions ayant des KG  (F ) -types dans un V ensemble lui-aussi fini. Elle est donc nulle pour presque tout ν et cV ; et quand on

 fixe ν et cV , πν (cV ) est le transfert de ν  ,c V πν  ,st (c V ) où la somme est précisée ci-dessus. Ce transfert se calcule facilement dans la base endoscopique grâce au (ii) du corollaire de X.5.5 et seul un nombre fini de termes apparaissent puisque ceci est vrai pour G . On a donc, en tenant compte de X.5.4 les propriétés (iii) et (iv) de X.5.3 ; les propriétés (i) et (ii) qui portent sur le caractère infinitésimal sont aussi vérifiées puisque cela est vrai pour le terme de droite. La propriété de convergence se déduit des définitions. Cela prouve le lemme.

X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces ˜ est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé avec On suppose ici que G ω = 1. On fixe un ensemble fini de places V de F contenant Vram . On considère ˜ V )) associe la distribution qui à fV ∈ I(G(F (2)

˜

˜

G G (fV 1K˜ V ) := Idisc (fV 1K˜ V ) − SIdisc

 G ;G =G





G ˜ G )SIdisc i(G, (fVG 1K˜ V  ); G

seuls les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V interviennent non trivialement. Ainsi on vérifie facilement que cette distribution est la trace d’une représentation semi-finie (parce que le transfert d’une représentation semifinie est semi-finie d’après X.5.7). On a une décomposition d’après X.5.3, ˜

G (fV 1K˜ V ) = SIdisc



tr πν,st (cV )(fV 1K˜ V ),

ν,cV

la notation anticipe la proposition suivante où on va montrer les propriétés de stabilité

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

Proposition. On fixe ν et cV . Alors  (2) πν,st (cV ) = πdisc,ν (cV )−

1217



˜ G ) i(G,





transfert(πνG ,st (c V ))

ν  →ν;c V →cV

G ;G =G

et les représentations πν,st (cV ) sont stables. L’égalité (2) est facile : on part de la définition (1) que l’on écrit, pour tout ˜ V )) fV ∈ I(G(F    ˜ ˜ G G  G G ˜ i(G, G )SIdisc (fV 1K˜ V  ) = 0. SIdisc (fV 1K˜ V ) − Idisc (fV 1K˜ V ) − G

G ;G =G

Il faut remarquer que si V  est un ensemble fini de places contenant V , on a une égalité analogue en remplaçant V par V  avec une compatibilité évidente si on prend pour fV  = fV 1K˜ V  −V . Comme on a démontré que les représentations sousjacentes aux deux membres de (2) sont semi-finies, on applique X.5.4 pour obtenir (2) et il faut savoir évidemment comment se comporte le transfert vis à vis des caractères infinitésimaux et des caractères des algèbres de Hecke sphériques. Pour le caractère infinitésimal on renvoie à [I] corollaire de 2.8 et pour les algèbres de Hecke sphériques, c’est le lemme fondamental tel que rappelé en X.5.6. Montrons la stabilité. On sait que la distribution  ˜ V )) → I G˜ (fV 1 ˜ V ) − ˜ G )SI G (f G 1 ˜ V ), i(G, fV ∈ I(G(F V K K  G

G ;G =G

écrite sous forme géométrique est stable ([VII] 3.4 sachant que le théorème 3.3 de [VII] est démontré de [VII] 3.5 à 3.8). Sous forme spectrale, elle est une somme de ˜ de G. ˜ Et on va isoler le terme qui nous termes indexés par les espaces de Levi M ˜ ˜ Fixons M ˜ un sous-espace de intéresse c’est-à-dire celui correspondant à M = G. ˜ Levi propre de G et écrivons le terme lui correspondant ; on utilise la combinatoire de [VI] 6.5. C’est une somme sur les couples νM , cVM où νM parcourt l’ensemble des caractères infinitésimaux de M (F∞ ) triviaux sur AM˜ et cVM l’ensemble des caractères quasi-automorphes des algèbres de Hecke sphériques hors de V , du ˜) : terme ci-dessous multiplié par le coefficient w(M ˜

G V IM ˜V ) ˜ (πνM (cM ), fV 1K   ˜ G,E ˜ , M ) i(M IM −  (πνM  ,st , fV 1K ˜V )

(1) (2)

M =M

(3)

−



νM  ,cV →νM ,cV M M G (s)

˜ G (s))SI iM˜ (G, ˜ M



(πν,st , f G (s)V 1K˜  V ).

ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1) s∈Z(M)

On a montré que dans les termes de (1), on peut enlever l’exposant E en remplaçant ˜ . Ainsi (1) moins (2) les représentations stables de M par leur transfert à M

1218

Chapitre X. Stabilisation spectrale ˜

G V est exactement IM ˜ V ). Quand on enlève à ce terme les termes ˜ (πνM ,st (cM ), fV 1K ˜

G V écrits en (3), on a exactement la définition de SIM ˜ V ). Et on ˜ (πνM ,st (cM ), fV 1K a montré que cette distribution est stable en X.4.9. Ainsi la somme des trois termes (1), (2), (3) est une distribution stable. Et on en déduit que la distribution ˜ G (fV 1K˜ V ) est stable. Il reste à séparer les termes en fonction des couples fV → SIdisc ν, cV et montrer que chaque terme est stable, ce qui a été fait en X.5.5

X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale 



On a défini les représentations semi-finies πνG ,st (c V ) pour toute donnée endosco˜ ω, où ν  est un caractère infinitésimal de G trivial sur AG et c V est pique de G, un caractère quasi-automorphe du produit des algèbres de Hecke sphériques hors de V . On pose     ˜ ˜ G ) i(G, transfert πνG ,st (c V ). πνG,E (cV ) = G

ν  →ν;c V →cV

On rappelle que V contient Vram et que G ne parcourt que les groupes endoscopiques elliptiques non ramifiés hors de V et relevants. La stabilisation de la partie discrète spectrale de la formule des traces consiste à montrer que (1)

˜

˜

G (cV ) = πνG,E (cV ) πdisc,ν

pour tout couple ν, cV . En termes plus explicites, on veut montrer que pour toute ˜ V ), ω), on a fonction fV ∈ I(G(F      ˜ G ˜ G ) (cV )(fV 1VK ) = i(G, tr πνG ,st (c V )(fVG 1K˜  V ). tr πν,disc G

ν  →ν;c V →cV

Comme la dépendance en V n’est qu’un problème de ramification et que l’on dispose du lemme fondamental (X.5.6) cela veut dire que pour toute fonction ˜ F ), ω), qui hors d’un nombre fini de places, V  contenant V est la f ∈ I(G(A fonction caractéristique du compact Kv (pour v ∈ / V  ) et qui est bi-invariante par  Kv pour tout v ∈ V − V , on a      ˜ G ˜ G ) (cV )(f ) = i(G, πνG ,st (c V )(f G ). tr πdisc,ν G

ν  →ν;c V →cV

X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence ˜ par l’un de ses On peut évidemment généraliser les définitions en remplaçant G espaces de Levi et l’hypothèse spectrale de récurrence est exactement que pour ˜ de G, ˜ on a l’égalité : tout espace de Levi propre M ˜

˜

M (cVM ) = πνMM,E (cVM ). πdisc,ν M

X.5. Le côté spectral de la formule des traces

1219

X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale ˜

Pour une fonction f de la forme fV 1K˜ V , on note ici I G (V, ω, f ) la formule des   traces tordue de X.5.2 appliquée à fV . On note SI G (V, f G ) sa version stable. Proposition. Sous l’hypothèse spectrale de récurrence et sous l’hypothèse de récurrence locale géométrique de X.3.5, pour toute fonction f de la forme fV 1K˜ V , on a :   ˜ ˜ G )SI G (V, f G ) = I G˜ (f ) − ˜ G )SI G (f G ). I G (V, ω, f ) − i(G, i(G, disc disc G

G

En particulier le membre de gauche ne dépend pas de V . La somme sur G ne porte ˜ ω non ramifiées hors de V et relevantes. que sur les données endoscopiques de G, La présence de V mérite explications : les distributions I et SI dépendent du choix de V car elles ne sont invariantes qu’en tant que distributions sur ˜ V ), ω). Dans le membre de droite I G˜ qui est spontanément une distribution I(G(F disc invariante, n’en dépend pas. En tenant compte de X.5.4 la stabilisation de la partie discrète de la formule des traces, c’est-à-dire la nullité du membre de droite de l’énoncé, est exactement équivalente à la preuve de l’égalité (1) de X.5.9 pour tout ν, cV . Montrons la proposition. On fixe V et on décompose :  ˜ G )(SI G (V, f G ) − SI G (f G )). i(G, disc G

Comme en [VI] 6.5, on transforme cette expression en une somme sur les sousgroupes de Levi des données endoscopiques G ; si M est une donnée endoscopique ˜ de G, ˜ le terme correspondant est (à un scalaire elliptique pour un espace de Levi M près)  G,E ˜ ˜ , M ) IM (πνM  ,st (cVM  ), fV 1K˜ V ). (1) i(M νM  ,cV M

˜ on a une expression similaire Si M n’est relevant pour aucun espace de Levi de G,  ˜ avec une définition formelle de i(M , M ) et on a montré en X.4.9 que ce terme correspondant (1) est nul. Revenant au cas où M est une donnée relevante et el˜ , on a déjà montré en X.4.9 que sous l’hypothèse liptique pour un espace de Levi M géométrique de récurrence, l’expression (1) vaut  ˜ G V ˜ , M ) IM (2) i(M ˜ V ). ˜ (transfert πνM  ,st (cM  ), fV 1K νM  ,cV M

˜

˜

G M ,E V IM ˜ V ). Avec l’hy˜ (πνM (cM ), fV 1K ˜ dans l’écriture pothèse spectrale de récurrence, on obtient le terme indexé par M ˜ G spectrale de la distribution f → I (V, ω, f ). Ainsi en sommant sur les espaces de ˜ , la somme des contributions des données non elliptiques relevantes de G ˜ Levi M

Et ceci vaut encore par les définitions

˜

˜

G (f ). est exactement I G (V, ω, f ) − Idisc

νM ,cV M

1220

Chapitre X. Stabilisation spectrale

X.6 Digression, automorphismes de la situation X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu On se place dans une situation locale en fixant une place v. Pour simplifier, on remplace Fv par F . On note G le groupe G/Z(G)θ . Il a été montré en [I] 2.6 que ce groupe opère sur les facteurs de transfert : soit G une donnée endoscopique ˜ ω alors il existe un caractère ω G de G (F ) qui vaut ω sur l’image elliptique de G,  ˜ reg (F ) et de G(F ) dans G (F ) et tel que, pour tout g ∈ G (F ), pour tout γ ∈ G  δ dans une donnée auxiliaire attachée à G : 

Δ(δ, ad(g )−1 γ) = ωG (g )Δ(δ, γ). ˜ ω) et opère donc sur les ω-représentations de D’autre part G (F ) opère sur I(G, ˜ G(F ). Par définition, le transfert commute à ces actions. Pour ce qui suit, on suppose que ω = 1. Soit ξ un caractère de G (F )/G(F ) ; on fixe un système de représentants du ˜ ω) et tout γ ∈ G(F ˜ ) on pose groupe fini G (F )/G(F ), noté R. Pour tout f ∈ I(G,  ξ(g )f (ad(g )−1 γ). f ξ (γ) := |G (F )/G(F )|−1 g ∈R

˜ ω) ne dépend pas du choix de R. L’image de f ξ dans I(G, Lemme. Avec les notations précédentes : ˜ ω) est nul s’il n’existe pas une donnée endoscopique (i) l’élément f ξ de I(G,  elliptique G telle que ξ = ωG . Et pour toute donnée endoscopique elliptique  ˜ le transfert (f ξ )G vérifie : (f ξ )G = 0 si ω G = ξ et (f ξ )G = f G G de G,  sinon. ˜ = G, que la place locale n’est pas dans Vram et que f est (ii) On suppose que G bi-invariante par le compact maximal K. Alors la composante elliptique de f 1G est nulle sauf éventuellement si G est un tore (ici 1G est la notation pour le caractère trivial de G ). ˜ mais on suppose que G n’est pas un tore. On suppose aussi (iii) On revient à G ˜ sont à que G est déployé et que les données endoscopiques elliptiques de G torsion intérieure triviale. On suppose encore que f est bi-invariante par le compact maximal K. Alors la composante elliptique de f 1G est nulle ˜ ). On écrit π comme transfert à Soit π une représentation tempérée de G(F partir de représentations tempérées stables de données endoscopiques elliptiques ˜ ), c’est-à-dire que pour tout G une donnée endoscopique elliptique de de G(F G ˜ ˜ G(F ), il existe πst tel que pour tout f ∈ I(G)   G tr π(f ) = tr πst (f G ). G

X.6. Digression, automorphismes de la situation

1221 

On fait agir G (F ). On calcule le transfert (f ξ )G en partant des définitions : pour    g ∈ G (F ), le transfert (g f )G vaut ωG (g )−1 f G . On obtient alors les formules de la deuxième partie de (i) et (1)

tr π(f ξ ) =







G tr πst (f G ).



G ;ωG =ξ

Avec (1) on démontre la totalité de (i). On utilise cette égalité (1) pour la preuve de (ii) et (iii) et dans (1) on se limite aux représentations π qui sont elliptiques ; les représentations stables du côté droit de l’égalité sont alors elles aussi elliptiques. On se place d’abord sous ˜ = G et la situation est non ramifiée. En particulier f l’hypothèse de (ii). Ici G est non ramifiée. Pour que le membre de gauche de (1) soit non nul il faut que l’une des représentations g .π pour g ∈ G (F ) = Gad (F ) soit non ramifiée. On peut évidemment supposer que π est ”irréductible” au sens qu’elle correspond à un triplet (M, σ, r) de [81] 2.10, 2.11. Cela veut dire que g .π est une représentation elliptique incluse dans une série principale non ramifiée donc M est un tore. On dans l’ensemble des sait que Gad (F )/G(F ) agit transitivement par permutation

sous-quotients irréductibles d’une telle induite. Ainsi g ∈Gad (F )/G(F ) g .π vaut un multiple de :      μ(r) πτ , ˆ μ∈R

πτ

où μ parcourt les caractères du R-groupe évalué en l’élément r ∈ R déterminant π et où πτ parcourt l’ensemble des sous-quotients irréductibles de la série principale considérée. Ceci vaut 0 puisque r est un élément régulier de R, sauf si M = G. Dans ce dernier cas, π est la série principale nécessairement irréductible et G est un tore. Cela montre (ii). Montrons (iii), on a mis comme hypothèse que les données endoscopiques ˜ sont des groupes non tordus. Le côté droit de (1) est nul sauf s’il existe de G  G une donnée endoscopique de caractère ωG trivial et ayant des représentations elliptiques stables n’annulant pas une fonction non ramifiée ; ici on utilise encore le lemme fondamental tordu. Fixons une telle donnée G . Le groupe adjoint de G agit trivialement dans SIcusp (G ). Donc on peut reprendre l’argument donné pour démontrer (ii) qui entraîne que G ne contribue au côté droit de (1) que si  G est un tore. On exploite maintenant le fait que le caractère ωG est trivial. On revient à la définition de ce caractère donnée en [I] 2.7. Soit w ∈ WF et ˆ  ; on utilise tout de suite le fait gw = (g(w), w) ∈ G  donnant l’action de ΓF sur G ˆ que ΓF agit trivialement dans G. Donc par hypothèse g(w) respecte un épinglage ˆ  et vérifie, en écrivant sˆ = sθˆ l’élément de la donnée endoscopique dont le de G ˆ centralisateur est G −1 ˆ sθ(g(w))s = g(w).

1222

Chapitre X. Stabilisation spectrale

ˆ SC , de G ˆ en ssc ∈ On relève s et g(w) dans le revêtement simplement connexe, G ˆ SC et g(w)sc et il existe donc asc (w) ∈ Z(G ˆ SC ) tel que (θˆ se relève canoniquement G ˆ SC ) en un automorphisme de G −1 ˆ ssc θ(g(w) sc )ssc = asc (w)g(w)sc .

ˆ en identifiant g(w)sc ∈ G ˆ SC à son On écrit g(w) = z(w)g(w)sc , avec z(w) ∈ Z(G), ˆ Le caractère ω G est donné par le cocycle qui, à w ∈ WF , associe image dans G.  ˆ  ) (cf. ce qui précède l’énoncé du lemme en l’image de (z(w), asc (w)) dans Z(G [I] 2.7). Par hypothèse ce cocycle est trivial et comme ΓF agit trivialement sur ˆ ˆ cela signifie qu’il existe z(w)sc ∈ Z(G ˆ SC ) de sorte que z(w) ∈ z(w)sc Tˆθ,0 G, et ˆ asc (w) = (1 − θ)(z(w) sc ). On modifie la décomposition g(w) = z(w)g(w)sc en remplaçant z(w) par z(w)z(w)−1 sc et g(w)sc par z(w)sc g(w)sc . Les relations précédentes ˆ deviennent z(w) ∈ Tˆθ,0 et asc (w) = 1. Alors g(w)sc est dans le centralisateur de ˆ Comme G ˆ SC est simplement connexe le centralisal’automorphisme ad(ssc ) ◦ θ. teur d’un automorphisme semi-simple est connexe. Cette connexité entraîne que ˆ  et donc que l’image de l’image du centralisateur de ad(ssc ) ◦ θˆ est exactement G ˆ θ,0   ˆ ˆ ˆ ˆ  . Comme ⊂ G , g(w) est aussi dans G g(w)sc est dans G . Puisque z(w) ∈ T   ˆ ˆ g(w) stabilise un épinglage de G , g(w) est central dans G . Ainsi gw agit triviaˆ  fait partie d’une donnée endoscopique elliptique de G ˜ ˆ  . Comme G lement sur G qui est un tore, on a : ˆ ˆ  = (G ˆ  )ΓF ,0 = Z(G) ˆ ΓF ,θ,0 G . ˆ ce qui ne peut se produire ˆ  contient Tˆθ,0 , ce tore est inclus dans Z(G), Puisque G ˆ est un tore. Cela termine la preuve. que si G ˆ

X.6.2 Fonction caractéristique du compact et action du groupe adjoint On garde la situation locale de X.6.1. On suppose que la place fixée n’est pas dans Vram , en particulier, on est dans une situation locale p-adique non ramifiée. On note encore 1K˜ v la fonction caractéristique du compact hyperspecial fixé et pour tout caractère ξ de G (F )/G(F ), on a défini 1ξK˜ . On note K,v le compact v maximal hyperspecial de G (F ) contenant l’image de Kv dans G (F ). Lemme. (i) La fonction 1ξK˜ est non nulle seulement si ξ est non ramifié, c’est-à-dire v trivial sur K,v . (ii) On suppose que ξ = 1 ; la composante elliptique de 1ξK˜ est nulle dans le cas v non tordu, pourvu que G ne soit pas un tore. C’est aussi vrai dans le cas ˜ v ) a des classes de conjugaison exceptionnelles. tordu au moins si G(F

X.6. Digression, automorphismes de la situation

1223

(i) est une reformulation du (ii) de la proposition de [VII] 2.1 appliqué à ˜ = G. ˜ En effet en appliquant cette proposition à M ˜ =G ˜ on voit que le transfert M ˜ v est nulle pour tout espace endoscopique qui de la fonction caractéristique de K n’est pas non ramifié. D’où avec le (i) du lemme de X.6.1 pour que 1ξK˜ soit non v



nul il faut que ξ = ωG pour une donnée endoscopique non ramifiée G . Pour une  telle donnée ωG est non ramifié d’après [VII] 2.1 (3). L’assertion (ii) dans le cas non tordu est conséquence du (ii) du lemme 6.1. ˜ v ) a des classes de conjugaison exceptionDans le cas tordu, on suppose que G(F ˜ provient par changement de base (ce nelles. D’après [III] 6.3, cela entraîne que G qui est inoffensif) d’un espace pour lequel les hypothèses du (iii) du lemme 6.1 sont satisfaites. Cela entraîne de plus que G est simplement connexe. Alors l’assertion résulte de cette assertion (iii) du lemme 6.1.

X.6.3 Action globale du groupe adjoint et de son analogue dans le cas tordu On revient à une situation globale. On définit sur F , le groupe G := G/Z(G)θ . Et les caractères automorphes de G (AF ) sont définis de façon usuelle. On fixe un ensemble V de places de F contenant Vram . Remarque. Il n’existe qu’un nombre fini de caractères automorphes de G non ramifiés hors de V , triviaux sur l’image de G(AF ) ou plus généralement prolongeant un caractère fixé de G(AF ). On fixe un ensemble V  de places de F , contenant V et tel que 

G (AF ) = G (F )G (FV  )KV .

(1)

La remarque résulte alors facilement du fait que G (FV  )/G(FV  ) est un groupe fini. Pour tout v on fixe un caractère ξ(v) de G (Fv ) prolongeant ωv . On a donc  ξ(v) ˜ v ), ω). On note ξ(V ) := pour tout fv ∈ I(G(F défini fv v ξ(v) et on définit ξ(V ) ξ(v) ˜ pour tout fV ∈ I(G(FV ), ω), décomposée, en faisant le produit des fv . fV On note C(V ) l’ensemble des caractères de la remarque précédente prolon˜ G,V geant ω et pour ν un caractère infinitésimal de G(F∞ ), on note πdisc,ν la somme ˜

G (cV ) de X.5.1 quand cV varie. C’est la partie discrète de la formule des des πdisc,ν traces pour un caractère infinitésimal fixé et non ramifiée hors de V . ˜ ξ(V ) ˜ V ), ω). Alors tr π G,V Lemme. Soit fV ∈ I(G(F 1K V ) = 0 s’il n’existe par disc,ν (fV ξ ∈ C(V ) tel que ξ(V ) = ξV c’est-à-dire que ξ(V ) soit la restriction de ξ à G (FV ).

Pour démontrer ce lemme, on est en droit d’augmenter V : en effet soit ˜ ˜  ξ(V ) ξ(V ) G,V G,V (fV 1K V ) = tr πdisc,ν (fV 1K V ). V ⊃ V . On a clairement tr πdisc,ν 

1224

Chapitre X. Stabilisation spectrale

On décompose 1KV  −V suivant les caractères nécessairement non ramifiés du groupe G (FV  −V ) et il suffit évidemment de démontrer la proposition pour V  et le produit de ξ(V ) avec l’un de ces caractères. On suppose donc que V est tel que (1) ci-dessus soit vérifié pour V  = V . Pour démontrer la proposition, on doit donc montrer que ξV est trivial sur G (F )KV ∩ G(FV ). Soit g,V dans cet intersection. On calcule g f ξ(V ) = ξ(V )(g )−1 f ξ(V ) . On écrit aussi g,V g V = gF où gF ∈ G (F ) et g V ∈ KV . Le groupe G (F ) opère directement sur l’espace de la représentation ˜

G,V πdisc,ν à une double difficulté près : la partie t-discrète mais non discrète décrite en X.5.1 fait intervenir des induites, un élément de G (F ) transforme cette induite en une autre induite mais les semi-simplifiés sont les mêmes. L’autre difficulté vient du fait que les espaces de formes automorphes considérés sont K∞ -finis et G (F ) ne conserve pas cette finitude puisque les éléments de G (F ) remplacent K∞ en un de ses conjugués sous G(F∞ ) (les compacts maximaux sont conjugués en les places archimédiennes) ; mais on peut élargir l’espace des représentations automorphes considérées pour qu’il soit conservé par l’action de G (F ) et ensuite on ne calcule ˜ ∞ ), ω), or cet espace est en fait indépendant la trace que sur les éléments de I(G(F du choix de K∞ puisque les différents choix sont conjugués. On remarque aussi que l’action de G (F ) préserve le caractère infinitésimal. ˜ V ainsi gF préserve la non On fait agir un élément gF = g,V g V avec g V dans K ˜ F ), ω) et pour tout ramification hors de Vram . Et pour toute fonction f ∈ I(G(A gF ∈ G (F ) comme précédemment, on a ˜

˜

G,V G,V (gF f ) = tr πdisc,ν (f ). tr πdisc,ν

Les éléments de KV agissent trivialement sur fV 1K V et on en déduit donc que l’action de ˜

G,V (fV ξ(V )(g,V )−1 tr πdisc,ν

ξ(V )

˜

ξ(V )

G,V 1K V ) = tr πdisc,ν ( g,V fV

= tr

˜ ξ(V ) G,V πdisc,ν (fV 1K V

1K V ) )

ce qui force ξ(V )(g,V ) = 1 comme voulu. On fixe V suffisamment grand pour que (1) soit satisfait. Soit ˜ V ), ω) et fV ∈ I(G(F

ξ ∈ C.

On note ξ(V ) la restriction de ξ à G (FV ). Proposition. Avec ces hypothèses et notations, on a pour toute place v  de F non dans V : ˜

ξ(V )

G,V tr πdisc,ν (fV

˜ ∪{v  } G,V

1K V ) = tr πdisc,ν

ξ(V ) ξv 1Kv 1K V −{v } )

(fV

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1225

On a évidemment ˜

ξ(V )

G,V tr πdisc,ν (fV

˜ ∪{v  } G,V

ξ(V )

1K V ) = tr πdisc,ν (fV 1K V )  ˜ G,V ∪{v  } ξ(V ) ξ(v  ) tr πdisc,ν (fV 1Kv 1K V −{v } ), = ξ(v  )

où la somme porte sur les caractères de G (Fv )/G(Fv ). On a vu en X.6.2 que ξ(v  ) est nécessairement non ramifié pour réellement intervenir. Par le lemme précédent on sait que ξ(V )ξ(v  ) est la restriction à G (FV ∪{v } ) d’un caractère dans C et comme V est suffisamment grand pour que (1) soit satisfait, ce caractère est uniquement déterminé par ξ(V ) et vaut donc ξ. D’où la proposition.

X.7 Fin de la stabilisation locale géométrique X.7.1 Mise en place des objets Hypothèse de récurrence. On suppose que l’hypothèse locale géométrique de récur˜ contenant strictement M ˜, rence de 3.5 est satisfaite pour tout espace de Levi L ˜ contenant strictement M ˜ , pour toute place v ∈ V , pour c’est-à-dire que pour tout L ˜ ˜ v ), ω) et pour tout γ ∈ L(F ˜ v ), on a I G˜ (γ, ω, fv ) = I G,E tout fv ∈ I(G(F ˜ ˜ (γ, fv ). L L ˜ L ˜  ) où On suppose aussi que pour toute place v ∈ V et pour toute paire (L,  ˜ ˜ ˜ L est un espace de Levi propre de G contenant L, on a la stabilisation locale ˜  (Fv ), ω) et pour tout γ ∈ L(F ˜ v ), géométrique c’est-à-dire que pour tout fv ∈ I(L ˜  ,E ˜ L L on a IL˜ (γ, ω, fv ) = IL˜ (γ, fv ). On suppose aussi que l’hypothèse spectrale globale de récurrence est satisfaites, c’est-à-dire qu’avec les notations de X.5.10, pour tout sous-espace de Levi V ˜ V ), ω), on a tr π L˜ ˜ de G, ˜ et pour tout fV ∈ I(L(F ˜) = propre, L ˜ V,L disc,ν (c )(fV 1K ˜

L,E (cV )(fV 1K˜ V,L˜ ). tr πdisc,ν

˜ V ), ω) et fixons v0 ∈ V . On reprend les constructions de Soit fV ∈ I(G(F l’application M,v ˜ 0 donnée en [VIII] 4.4 pour v0 , p-adique et dans le paragraphe 8 de [IX] si v0 est une place archimédienne ; cette application envoie l’ensemble des ˜ v ) nulles près des éléments exceptionnels de G(F ˜ v0 ), s’il y en a fonctions sur G(F ˜ et si v0 est p-adique, dans Iac (M (Fv0 ), ω). On pose, pour de telles fonctions fV :  hf (v0 ) := M,v fv,M˜ . ˜ 0 (fv0 ) v∈V,v=v0

˜ (FV ), ω). Soit πV une représentation de longueur finie C’est un élément de Iac (M ˜ (FV ) triviale sur A ˜ et ayant un caractère infinitésimal, noté μπ . On suppose de M M en plus que πV est unitaire. ˜ Pour X ∈ AM˜ , on a défini I M (πV , X, hf (v0 )), ce qui utilise l’unitarité de πV . On va montrer que c’est un coefficient de Fourier d’une fonction que l’on va

1226

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ agissant un peu expliciter pour pouvoir contrôler l’action des multiplicateurs de G sur fV . Lemme. Il existe une fonction méromorphe sur A∗M˜ , notée I M (λ, hf (v0 )) à décroissance rapide quand on restreint cette fonction à l’axe des λ unitaires et telle que ˜

˜

I M (πV , X, hf (v0 )) =

dλ I M (λ, hf (v0 ))e−λ(X) . ˜

iA∗˜

M

De plus pour tout élément z du centre de l’algèbre enveloppante de G(F∞ ), on a : ˜

˜

I M (λ, hz.f (v0 )) = z(μπ + λ)I M (λ, hf (v0 )). ˜ (FV ), elliptique (modulo le centre) On note πV,v0 l’unique représentation de M ˜ (FV ), ω) en la place v0 et qui a même trace que πV sur toutes les fonctions dans I(M cuspidales en la place v0 . Cela revient à décomposer dans le groupe de Grothendieck (complexifié) en la place v0 suivant la base formée par les induites de représentations elliptiques et en enlevant toutes les induites propres. Montrons que ˜

˜

I M (πV , X, hf (v0 )) = I M (πV,v0 , X, hf (v0 )); ˜ (FV ) on sait que les intégrales orbitales de hf (v0 ) sont nulles en les points de M dont la composante en la place v0 est conjuguée d’un élément non elliptique de ˜ (Fv0 ) (cf. [VIII] 4.4 et [IX] 8.9 (ii)). Donc le seul problème est que hf (v0 ) n’a M pas dans ses propriétés d’être à support compact. Soit b une fonction à support ˜ (FV ) et compact sur AM˜ qui vaut 1 en X. On voit b comme une fonction sur M f le produit bh (v0 ) est maintenant à support compact. Ce produit vérifie toujours les propriétés de nullité de certaines intégrales orbitales au même titre que hf (v0 ). D’où ˜

˜

I M (πV , X, bhf (v0 )) = I M (πV,v0 , X, bhf (v0 )); mais aussi ˜

˜

I M (πV , X, hf (v0 )) = I M (πV , X, bhf (v0 )) et ˜

˜

I M (πV,v0 , X, hf (v0 )) = I M (πV,v0 , X, bhf (v0 )), d’où le résultat annoncé. ˜ (Fv ) et pour tout Fixons v ∈ V ; si v = v0 , pour toute représentation ρv de M Xv ∈ AM˜ (Fv ) , on a ˜

I M (ρv , Xv , fv,M˜ ) =

(2)



˜

iA∗˜

dλv I M (ρv , λv , fv ),

M (Fv )

où I M (ρv , λv , fv ) = tr ind(ρv⊗λv )(fv )e−λv (Xv ) . ˜

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1227

En v0 , il existe encore, (cf. le début de la preuve de [IX], 8.9) une fonction ˜ méromorphe de λv0 ∈ A∗M˜ (F ) , notée I M (ρv0 , λv0 , M,v ˜ 0 (fv0 )) telle que l’on ait v0 ˜ (Fv0 ), c’est-à-dire l’analogue de (2) pour ρv0 une représentation tempérée de M ˜ M



I (ρv0 , Xv0 , M,v ˜ 0 (fv0 )) =

˜

iA∗˜ M (Fv0 )

dλv0 I M (ρv0 , λv0 , M,v ˜ 0 (fv0 )).

Et si v0 est une place archimédienne, remplacer f par zf avec z dans le centre de ˜ v0 ) multiplie par la fonction méromorphe de λv0 par l’algèbre enveloppante de G(F z(μρv0 + λv0 ) (si ρv0 a un caractère infinitésimal, μρv0 ) d’après la même référence dans le cas où v0 est une place archimédienne. Dans le cas où v est une place archimédienne différente de v0 la transformation sous le centre de l’algèbre enveloppante est évidemment complètement claire. ˜ Puisque l’on peut remplacer πV par πV,v0 pour calculer I M (π, X, hf (v0 )), on peut réaliser cette fonction de X comme transformée de Fourier de la fonction de ˜=M ˜ ), λ ∈ A∗M˜ qui vaut en λ (cf. X.4.6 appliqué à G I(ρv0 , λ, M˜ ,v0 (fv0 ))



I(ρv , λ, fv ),

v=v0

où on a écrit πV,v0 = ⊗v∈V ρv . Cela donne le lemme. ˜ on a l’égalité Corollaire. Pour tout multiplicateur α de G, ˜ ˜ I M (πV , X, hfvα0 ) = dλ α(ν ˆ πV + λ)I M (λ, hfv0 )e−λ(X) . iA∗˜

M

La famille de formes linéaires (dépendant méromorphiquement de λ ∈ A∗M˜ ) λ ∈ A∗M˜ → (λ, fV ) := I M (λ, hf (v0 )) ˜

se voit sur l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur l’espace des ω-représen˜ V ) ; ces applications linéaires, fV → (λ, fV ), vérifient tations tempérées de G(F (λ, z.fV ) = z(νπV + λ)(λ, fV ). Fixons λ telle que la forme linéaire (λ, fV ) soit définie. C’est une forme li˜ V ), ω), où Mχ est l’idéal maximal du centre ˜ V ), ω)/Mχ I(G(F néaire sur I(G(F λ λ de l’algèbre enveloppante correspondant au caractère infinitésimal νπV + λ. Soit q ˜ V ), ω) dans ce quotient et on va montrer l’asserl’application naturelle de I(G(F ˇ (νπV + λ)q(fV ). tion : pour tout α, fV comme ci-dessus, q(fV,α ) = α Pour démontrer cette assertion, il suffit de le faire pour fv∞ dans une composante de Paley–Wiener. On fixe donc une telle composante que l’on note F et on utilise le lemme de [IV] 2.5 de la façon suivante. On note Πχλ l’ensemble des représentations induites de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de ˜ à G. ˜ ˜ v∞ ) ayant même caractère infinitésimal que l’induite de π∞ ⊗ λ de M G(F

1228

Chapitre X. Stabilisation spectrale

C’est un ensemble fini. Si la composante de Paley–Wiener ne coupe pas Πχλ alors Mχλ F = F d’après le (i) de ce lemme. Si l’intersection est non vide, alors Mχλ F contient les éléments de F nuls à un ordre suffisant, notons le N , en les points de l’intersection ; c’est le (ii) du lemme. Soit φ un élément de F et α un multipli˜ v∞ ), ω) correspond à φ alors fv∞ ,α correspond au produit cateur ; si fv∞ ∈ I(G(F α ˇ φ où α ˇ φ en une représentation π est le produit de φ(π) avec la valeur de α ˇ sur le caractère infinitésimal de π. On peut approximer la restriction de α ˇ à Πχσ ∩ F en utilisant le centre de l’algèbre enveloppante, c’est à dire qu’il existe zα dans ce centre tel que α ˇ − zα s’annule en l’ordre au moins N en le caractère infinitésimal χλ . Et alors q(fv∞ ,α ) = q(zα f ) = zα (νπV + λ)q(f ) = α ˇ (νπV + λ)q(f ), ce qui est l’assertion cherchée. Et le corollaire s’en déduit.

X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions ˜ V ), ω) ; on suppose que pour tout v ∈ V , fv est nulle près des Soit fV ∈ I(G(F éléments exceptionnels, s’il y en a et si v est p-adique, et on suppose qu’il y a au moins une place v pour laquelle fv est à support dans les éléments réguliers (c’est une condition qui vient du problème technique suivant : tant que l’on ne sait pas ˜ G,E stabiliser les termes locaux de la formule des traces, les termes IM ˜ (γv , vv ) ne sont pas définis pour γv un élément singulier). On pose pour une telle fonction fV :  ˜  hfV := G fv ,M˜ . ˜ (fv ) M,v v∈V

v  ∈V −{v}

L’ensemble V contient au moins deux places (il contient Vram qui contient les places divisant 2, 3 et 5) et on fixe v1 , v2 ∈ V . On suppose que les fonctions fV ˜ -cuspidales en v1 et v2 . Cela veut dire que, pour i = 1, 2 et considérées sont M ˜ vi de G ˜ défini sur Fvi , on a f ˜ vi = 0 si L ˜ vi ne pour tout sous-espace de Levi L vi ,L ˜ . A fortiori f ˜ est cuspidale pour i = 1, 2. Ainsi contient pas un conjugué de M vi ,M hfV est somme de fonctions cuspidales en au moins deux places ; on rappelle que ˜ ˜ v ), ω) dans Icusp,ac (M ˜ (Fv ), ω). On rappelle aussi est une application de I(G(F G ˜ M,v que la première somme sur v ne porte en fait que sur les éléments de v ∈ V tel ˜ que AM˜ = AM˜ ,v car sinon on sait déjà avec les formules de descente que G ˜ M,v est une application identiquement nulle. Notons V  l’ensemble des places de F appartenant à V où l’égalité AM˜ = AM˜ ,v est satisfaite. Lemme. Sous l’hypothèse de récurrence de X.7.1, on a pour tout fV comme ce qui précède l’énoncé, avec les notations des paragraphes précédents : ˜

˜

˜

G G,E M Igeo (ω, fV 1K˜ V ) − Igeo (ω, fV 1K˜ V ) = xIgeo (ω, hfV 1K˜ M,V ),

où x est un scalaire non nul explicite (indépendant de fV ).

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1229

On reprend les notations de [VI] 6.11. Le terme de gauche de l’énoncé est ˜ de G ˜ des termes : une somme sur les espaces de Levi L 

−

 ˜ L ∈E(L,ω,V )

˜ OL

˜ L ) i(L,

˜

˜

˜

L L ILG ˜ (A (O , V, ω), f )



˜ ˜  (FV )/ st-conj;O L →O L O L ∈L ss

˜





 L L ILG,E ˜ (L , SA (O ), V, f ).

C’est la différence entre les deux valeurs de X de [VI] 6.11. On sait que les termes ˜=G ˜ sont nuls, d’après [VII] 3.3 sauf (éventuellement) pour les correspondants à L éléments exceptionnels où le résultat est encore à montrer. Mais l’hypothèse que fV est nulle près de ces éléments en les places non-archimédiennes assure aussi la nullité de ces termes. ˜ soit un espace de Levi propre de G ˜ ; par récurrence on Supposons que L

 ˜ ˜  L L L ˜ sait que A (O , V, ω) est le transfert de L i(L, L )SA (OL , V ) ; le terme écrit ˜ est donc une combinaison linéaire de distributions de la forme ILG ˜ (ω, γ, fV ) − ˜ ˜ ILG,E ˜ (ω, γ, fV ) pour γ des éléments rationnels de L pris à conjugaison près. Par hypothèse de récurrence et les formules de descente, il ne reste qu’une combinaison linéaire de termes, de la forme à un scalaire près

    ˜ ˜ ˜ G,E L ILG ω (ω , γ , f ) I , γ , f (2) ˜ v v v v v ˜ (ωv0 , γv0 , fv0 ) − IL ˜ 0 0 0 ˜ v,L . L v0 ∈V

v∈V −{v0 }

En utilisant les propriétés de cuspidalité de la fonction fV en les places v1 et v2 un ˜ ne contient pas (à conjugaison près) M ˜ ; il est tel terme est certainement nul si L donc ici important de sommer sur les classes de conjugaison d’espaces de Levi et non pas sur les espaces de Levi semi-standard, d’où des coefficients qu’il n’est pas ˜ contient strictement M ˜ , les hypothèses de récurrence important de calculer. Si L donnent la stabilisation locale géométrique pour les éléments semi-simples réguliers et on a donc cette stabilisation géométrique pour tout élément grâce à [V] 1.11. ˜=M ˜ ; en utilisant les propriétés Finalement il ne reste que les termes avec L de descente, la première somme ne porte que sur v0 ∈ V  (où V  a été défini avant l’énoncé). Par cuspidalité, il reste encore uniquement les termes correspondant ˜ . Or (2) n’est autre que à des éléments semi-simples réguliers elliptiques de M ˜ ˜ ˜ f M M M IM˜ (ω, γV , hV ). En revenant à A (O , V, ω), on voit que le terme de gauche de l’énoncé est exactement  ˜ ˜ ˜ I M (AM (OM , V, ω), hfV ). ˜ OM

Maintenant on utilise les propriétés de cuspidalité de hfV pour vérifier que ceci est ˜ M (ω, V, hfV ). exactement Igeo

1230

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Proposition. Avec les hypothèses et notations du lemme précédent et celles de X.7.1, pour tout ν, cV ˜

˜

G,E G tr πdisc,ν (cV )(fV 1K˜ V ) = tr πdisc,ν (cV )(fV 1K˜ V )

Le lemme précédent donne l’égalité ˜

˜

˜

G G,E M Igeo (ω, fV ) − Igeo (ω, fV ) = xIgeo (ω, hfV ).

(1)

On remplace ces distributions, écrites à l’aide du côté géométrique, par les distributions qui leur sont égales mais écrites à l’aide du côté spectral. On a vu en X.5.11 que le terme de gauche vaut ˜

˜

G,E G Idisc (ω, fV ) − Idisc (ω, fV ).

(2) ˜

M Le terme de droite vaut xIdisc (ω, hfV 1K˜ M,V ˜ ) car hfV est une somme finie de fonctions cuspidales en deux places. On fixe fV et ν et on a déjà vu qu’en fixant convenablement un multiplicateur α, en remplaçant fV par fαm ,V avec m ∈ N où αm est le convolé m fois de α, (2) a une limite qui est la somme sur les caractères cV de

 ˜ ˜ G,E G dλ tr πdisc,ν,λ (cV )(fV 1K˜ V ) − tr πdisc,ν,λ (cV )(fV 1K˜ V ) iA∗˜

G

où l’indice λ indique la tensorisation par le caractère λ de AG˜ . ˜

M Quant à Idisc (ω, hfVαm 1K˜ M˜ ,V ) c’est la somme absolument convergente des co˜ ˜ m M (cVM ), 0, hfVα ) calculés en X.7.1. On a vu en X.7.1 efficients de Fourier I M (πdisc,ν M qu’un tel terme valait ˜ M dλ α ˆ m (λ + νM )I(πdisc,ν (cV ), λ, hfV ). (3) M iA∗˜

M

On sait, d’après [IX] 8.9, que la fonction hfV est K ∩M finie. Ainsi dans le calcul de ˜ M , seuls interviennent l’expression (3), grâce aux propriétés de semi-finitude de πdisc les caractères infinitésimaux de partie réelle bornée, la borne dépendant de K ∩M . Ainsi, pour un bon choix de α (qui ne dépend que des K-types déterminés par f ) la limite quand m tend vers l’infini de α ˆ m (λ + νM ) est 0 presque partout. On en déduit que la limite de (3) quand m tend vers l’infini est nulle grâce à la propriété de convergence absolue démontrée dans la proposition ci-dessous (cf. X.7.3). ˜ M (ω, hfαm ,V 1K˜ M,V ˜ ) On trouve que la limite quand m tend vers l’infini de Idisc est nulle. Ainsi, pour ν fixé, la somme sur cV des termes écrits en (2) est nulle pour toute fonction fV . Par inversion de Fourier sur iA∗G˜ qui est dual de AG˜ , on en déduit :  # ˜ $ ˜ G tr πdisc,ν (cV ) − πνG,E (cV ) (fV 1K˜ V ) = 0. cV

On en déduit l’égalité cherchée pour cV fixé en utilisant X.5.4 (ii).

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1231

X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces On veut démontrer que (3) de X.7.2 (ou une variante) converge absolument. On veut donc montrer

& ˜ Proposition. ˜ dλ |I(λ, π M , hfV )| converge où la somme porte sur les reπM iA∗˜ M ˜ (AF ), non ramifiées présentations discrètes (au sens de la formule des traces) de M hors de V et ayant des KV types dans un ensemble fixé a priori par le choix de f . Comme on se ramène aux résultats de Müller sur le spectre discret de M (AF ), on modifie l’énoncé. Pour toute représentation automorphe irréductible unitaire, πM , de M (AF ) vérifiant : ˜ F ), ∀γ ∈ G(A

γ

πM  πM ⊗ ω

˜ (AF ) unitaire. On note A2 [π] la somme des souson fixe une ω-représentation de M espaces des formes automorphes de carré intégrable sur M (AF ) isomorphes à π ; on note m(π) := dim HomM(AF ) (π, A2 [π]). Cet espace A2 [π] est une ω-représentation ˜ (A)) ˜ (AF ) (cf. X.5.1) et on vérifie que pour tout f ∈ I(M de M (1)

π )|| tr π ˜ (f )|, | trA2 [π] (f )| = |z(˜

avec z(˜ π ) un nombre complexe vérifiant |z(˜ π)| ≤ m(π) : le z(˜ π ) est la trace d’un ˜ (F ) dans l’espace opérateur unitaire défini par un élément de M HomM(AF ) (π, A2 (M (F )\M (AF ))) de dimension m(π) et la valeur absolue de ce nombre ne dépend pas du choix de π ˜ . On rappelle le résultat clé de [66] : il existe un entier k tel que  m(π)(1 + |ν(π∞ )|)−k ≤ ∞ (2) π

converge, où la somme porte sur les représentations π incluses dans le spectre discret de M (AF ), non ramifiées hors de V et ayant des KV -types dans un ensemble fixé a priori. Ce résultat s’étend au spectre t-discret en suivant toujours [66], ˜ (AF ) fait intervenir, plus comme on va l’expliquer ici. Le spectre t-discret de M généralement (cf. X.5.1), les représentations dans A2 (UP (AF )L(F )AL \M (AF )) où P est un sous-groupe parabolique de M de radical unipotent UP et de sousgroupe de Levi L. Comme on ne regarde que les représentations non ramifiées hors de V , cela fixe dans ces induites uniquement la composante hors de V et l’induite se décompose donc en au plus NV -représentations irréductibles où NV est le produit du cardinal de V avec sup | NormM(Fv ) (L(Fv ))/L(Fv )|.

v∈V

1232

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Ainsi le résultat (2) s’étend en sommant sur les représentations t-discrètes de M (AF ), non ramifiées hors de V et ayant des KV -types dans un ensemble fixé a priori. Il n’y a évidemment aucune difficulté à vérifier que (1) s’étend aussi pour toute représentation π de M (AF ) donnant lieu à une représentation t-discrète de ˜ (AF ). On a donc M  (3) |z(˜ π)(1 + |ν(π∞ )|)−k ≤ ∞, π

pour k convenable et où la somme porte sur les représentations π de M (AF ) ˜ (AF ) comme expliqué intervenant dans la construction du spectre t-discret de M en X.5.1. En tenant compte de (3), pour démontrer la proposition, il suffit de prouver que pour tout entier N , il existe une constante positive cN tel que pour tout λ ∈ iA∗M˜ , on ait, pour tout π comme ci-dessus : |I(˜ π , λ, hfV )| ≤ cN (1 + |ν(π∞ )| + |λ|)−N .

(4)

Comme hfV est une somme sur les places de v, il suffit de montrer cette assertion v pour tout place v de V en remplaçant hfV par M˜ (fv )fM ˜ . De plus avec les formules de descente, il suffit de prouver que les inégalités suivantes : – si v est une place archimédienne : (5)

|I(˜ πv , λ, fv,M˜ )| ≤ cN (1 + |ν(π∞ )| + |λ|)−N

– si v est une place p-adique |I(˜ πv , λ, fv,M˜ )| ≤ cN

(6)

donc une inégalité indépendante de λ – si v est une place archimédienne (7)

|I(˜ πv , λ, M˜ (fv ))| ≤ cN (1 + |ν(π∞ )| + |λ|)−N

– si v est une place p-adique (8)

|I(˜ πv , λ, M˜ (fv ))| ≤ cN

Pour les assertions (5) et (6), on commence par remarquer que puisque le terme constant fv,M˜ est à support compact, I(λ, π ˜v , fv,M˜ ) n’est autre que la trace de π ˜λ,v sur fv,M˜ . L’assertion (5) est alors démontrée en 2.1 de [32] ; l’exponentielle en la partie réelle de ν∞ (π) est bornée ici puisque l’on a fixé les K∞ -types possibles. L’assertion (6) ; la trace est une somme de coefficients matriciels où on ne considère que les Kv -types sous-lesquels se transforment fv,M˜ . Or ces Kv -types sont fixés et leur multiplicité dans π ˜λ,v est bornée indépendamment de cette représentation. Donc le terme de gauche de (6) est borné par une constante dépendant

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1233

& uniquement des Kv type fois M˜ (Fv ) |fv,M˜ (γ)| dγ qui est fini puisque fv,M˜ est à support compact. D’où (6). Montrons (8). On va d’abord montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de représentations π ˜v pour lesquelles I(λ, π ˜v , M˜ (fv )) est non nul. Les représentations globales qui interviennent ont un caractère central trivial sur AM˜ . Elles sont non ramifiées hors de V et leur caractère sous les points adéliques du tore AM˜ (AF ) ne parcourt donc qu’un ensemble fini de caractères automorphes unitaires. De plus la fonction M˜ ,v (fv ) n’intervient que si A∗M˜ = A∗M˜ ,v ce que l’on suppose. Donc l’action de π ˜v restreinte à AM˜ ,v (Fv ) se fait via un caractère unitaire dans un ensemble fini. On utilise le fait que M,v ˜ (fv ) est une fonction cuspidale donc ˜v − ρv est une induite propre. On peut I(˜ πv , λ, M˜ (fv )) = I(ρv , λ, M˜ (fv )) si π trouver ρv ayant cette propriété, étant elliptique, avec même caractère que πv sur AM˜ ,v (Fv ) et pour que I(ρv , λ, M˜ (fv )) soit non nul, ρv doit contenir certains Kv -types déterminés uniquement par fv . Il n’y a donc qu’un nombre fini de possibilités ; en particulier le support cuspidal de ρv varie dans un ensemble fini et il en est donc de même de πv , en tout cas pour que I(πv , λ, M˜ (fv )) soit non nul. D’où l’assertion de finitude ; cette assertion entraîne (8) car λ parcourt un ensemble compact, la place étant finie, et la dépendance en λ est continue. Montrons (7). L’assertion de finitude est analogue, on remplace l’usage du support cuspidal par l’action du centre de l’algèbre enveloppante. Ici λ ne varie pas dans un tore compact. La fonction λ → I(˜ πv , λ, M˜ (fv )) est à décroissance ˜v rapide, il existe donc, pour tout entier N , une constante cN indépendante de π tel que |I(˜ πv , M˜ (fv ))| ≤ cN (1 + |λ|)−N . Comme

(1 + |λ|)−N ≤ (1 + |ν∞ (π∞ )|)N (1 + |ν∞ (π∞ )| + |λ|)−N ,

en modifiant la constante, on obtient (7).

X.7.4 Globalisation On note avec des indices 0 les termes locaux que l’on veut globaliser. On a un ˜ 0 avec un caractère ω0 et un groupe G0 , en fait corps local F0 , un espace tordu G ˜0 c’est le cocycle a0 qui détermine ω0 qui compte et on a aussi un espace de Levi M ˜ de G0 . D’après [47] paragraphe 2, il existe un corps de nombres F , des données ˜ M ˜ définies sur F et une place v0 de F qui se localisent en les données locales G, G, ˜ (F ) est précédentes. Et on peut en plus supposer comme nous le ferons que M ˜ dense dans M (Fv0 ) et que AM˜ = AM˜ ,v . ˜ 0 , a . Puisque On fixe M0 une donnée endoscopique elliptique relevante de M 0 ˜ ˜ M (F ) est dense dans M (Fv0 ), l’ensemble des éléments δ0 dans M0 qui appartiennent à une classe de conjugaison stable formées d’éléments semi-simples réguliers correspondant à une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples ˜ (F ) ˜ (F ) est dense dans M0 . On fixe δ0 dans cet ensemble et γ ∈ M réguliers de M

1234

Chapitre X. Stabilisation spectrale

˜ contenant γ. Le seul lui correspondant. On note T˜ le tore tordu maximal de M cas qui nous intéresse est le cas elliptique, donc on suppose que T˜ est elliptique ˜. dans M ˜ , a, notée Proposition. Il existe un cocycle a de WF , une donnée endoscopique de M M , et un élément δ de cette donnée, défini sur F , tel que la localisation de a en la place v0 soit le cocycle a0 et la localisation de M , δ soit M0 , δ0 . La démonstration de cette proposition est reportée en X.9. Cette globalisation n’est pas suffisante pour séparer les éléments de la classe de conjugaison stable de γ qui interviennent dans les formules globales, uniquement par des considérations locales. A M est associé un caractère de M (AF ) ; comme M = M/Z(M )θ , il y a une application naturelle de M := M/Z(G)θ dans M . On a besoin des propriétés suivantes, pour toute place v de F : l’application naturelle M (Fv )/M (Fv ) → G (Fv )/G(Fv ) est bijective et l’application naturelle M (Fv ) → M (Fv ) est surjective. En effet, G (Fv ) est engendré par un Levi minimal et par GSC (Fv ), d’où la surjectivité de la première application et son injectivité est claire. Pour la deuxième application, on remarque que l’application de groupes algébriques, M = M/Z(G)θ → M = M/Z(M )θ a pour noyau le tore Z(M )θ /Z(G)θ = Z(M )θ,0 /Z(G)θ ∩ Z(M )θ,0 . Ce tore est induit et la surjectivité annoncée s’en déduit. On peut donc relever ω en ω un caractère de M (Fv ) (pour toute place v de F ) et cette application de relèvement est injective. Et en utilisant le premier isomorphisme ci-dessus, on voit ω comme un caractère de G (Fv ). C’est le carac˜ tère de G (Fv ) associé à M vu comme groupe endoscopique non elliptique de G. M On note ce caractère ω,v .

X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines données endoscopiques ˜ est défini sur un corps de nombres F , On se place dans une situation globale où G que le caractère ω est donné par un cocycle fixé, a et où on a un espace de Levi ˜ de G. ˜ On fixe aussi un nombre fini de places V de F contenant Vram . On note M ˜ , ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques (à équivalence près) de M ˜ , ω, EF (M définies sur F , qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . C’est un ensemble fini. Rappelons que l’on a montré en [VII] 2.1(3) que, pour une donnée ˜ , ω, la donnée M est non ramifiée hors de V si endoscopique elliptique M de M M et seulement si le caractère ω est non ramifié hors de V . Fixons un sous-tore ˜ , défini sur F et elliptique. On suppose en plus qu’il existe tordu maximal T˜ de M une extension galoisienne E de F qui déploie le tore T et une place u de F tel que Eu soit un corps. L’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(Eu /Fu ) est alors bijective.

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1235

On fixe γ ∈ T˜(F ) fortement régulier et on considère les couples (M , δ) formés ˜ , ω, V ) et d’une classe de conjugaison stable δ dans cette d’un élément de EF (M donnée qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ. Soit M , δ  satisfaisant à ces conditions. On commence par considérer la situation après extension de F à E ; sur E le tore T se déploie par hypothèse et les données endoscopiques relatives à des classes de conjugaison stable de T˜ (E) donnent lieu à des caractères automorphes de M (AE ) qui valent ω ◦ NormE/F ˆ  ). Ce dersur l’image de M (AF ) ; d’où un homomorphisme de WE dans Z(M nier groupe est décrit en [I] 2.7. On reprend la suite exacte qui suit (2) de cette référence : ˆ ˆ (π,1−θ)

(∗)

ˆ SC )θ ˆ SC )/Z(M 1 → Z(M

→

→

ˆ

ˆ )/(Z(M ˆ ) ∩ Tˆ θ,0 ) × Z(M ˆ SC ) Z(M ˆ  ) → 1. Z(M

ˆ ˆ ˆ := Z(M ˆ )Tˆ θ,0 /Tˆ θ,0 . Le couple (M , δ  ) est associé à un cocycle dans On pose U ˆ

ˆ (1−θ) ˆ )). Z 1,0 (WF ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ/Z(M

On note simplement δ  ce cocycle. En restreignant à WE , on obtient un morˆ (qui ne dépend pas des choix). On note χδ ce morphisme. phisme de WE dans U Montrons : (1) L’application qui, à (M , δ  ) comme ci-dessus, associe le localisé en la place u, (Mu , δu ) et le caractère χδ est injective : en effet soit pour i = 1, 2, des données (Mi , δi ) ayant même image. Alors δ1 (δ2 )−1 est un cocycle trivial sur WE puisque χδ1 = χδ2 . Il se factorise donc par Gal(E/F ) mais en la place u les localisés sont les mêmes. Comme on a supposé que la localisation de Gal(E/F ) dans Gal(Eu /Fu ) est bijective, cela veut dire que l’on a l’égalité de cocycles δ1 = δ2 . D’où l’injectivité. Il est clair que l’ensemble des couples (M , δ) vérifiant les conditions ci-dessus est fini. On peut toutefois retrouver cette propriété de la façon suivante. D’après (1), il suffit de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de caractères χδ possibles. Et pour cela on montre d’abord que χδ est non ramifié hors des places de E au-dessus de places de F dans V : soit v une place de F hors de V et v  une place M  ˜ , ω, V ). de E au dessus. On sait que ω,v ∈ EF (M  est non ramifié puisque M M On vérifie que ω,v est l’image de χδ ,v dans (∗) : ces cocycles doivent être cohomologues et comme la situation est déployée sur E, ils coïncident. Soit w ∈ IEv le groupe d’inertie de WEv . On vient de vérifier que (χδ ,v (w), 1) est d’image ˆ  ). D’après l’exactitude de (∗) cela entraîne l’existence de z ∈ triviale dans Z(M ˆ θ ˆ et χδ ,v (w) = π(z) où π est l’application ˆ SC )/Z(M ˆ ) tel que 1 = (1 − θ)z Z(M SC ˆ ˆ SC )/Z(M ˆ SC )θˆ cela force z = 1 et naturelle. Comme (1 − θ) est injective sur Z(M la non ramification cherchée de χδ ,v .

1236

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Pour avoir la finitude du nombre de caractères, il ne reste plus qu’à remarquer sont à valeurs dans que si l’on fixe un point de base M , δ, les cocycles χδ χ−1 δ ˆ θˆ θˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ Z(M ) /Z(M ) ∩ T qui est un groupe fini : en effet (1 − θ)χδ est à valeurs dans ˆ ) et doit coïncider avec le cocyle a déterminant ω ◦ NormE/F . D’où l’assertion Z(M qui prouve la finitude.

X.7.6 Globalisation fine On fixe M0 une donnée endoscopique elliptique en la place v0 . On globalise une première fois à l’aide de X.7.4, d’où un corps de nombres F . On fixe aussi un ˜ qui en la place v0 se localise en un tore tordu tore tore tordu elliptique T˜ de M ˜ et un élément elliptique. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique M de M  δ de cette donnée dont on suppose qu’il appartient à un tore se transférant en T˜ . On dit que E, une extension finie de F, est une bonne extension pour la place v0 si les conditions suivantes sont satisfaites. D’une part, il existe une place v0 de E au-dessus de v0 telle que Ev0 = Fv0 . D’autre part, il existe une extension galoisienne E  de E qui déploie T˜ et deux places u1 et u2 de E distinctes de v0 telles que Eu i soit un corps pour i = 1, 2, donc telles que la localisation de Gal(E  /E) dans Gal(Eu i /Eui ) soit un isomorphisme. Il existe de bonnes extensions pour la place v0 . E l’analogue de Vram sur le corps E. On fixe de telles données. On note Vram E Pour V un ensemble de places de E contenant Vram et tel que T˜ soit non ramifié ˜ , ω, V ) de X.7.4, c’est l’ensemble des hors de V , on reprend la notation EE (M ˜ (vu sur E) qui sont non données endoscopiques elliptiques et relevantes pour M ramifiées hors de V . Pour la suite, on aura besoin de deux places, pour le lemme qui suit il suffit d’une place u ayant les propriétés de u1 et u2 . On fixe donc une telle place. E ) tel que pour Lemme. Il existe un ensemble fini de places V de E (contenant Vram  ˜ toute donnée endoscopique elliptique M ∈ EE (M , ω, V ) contenant un élément δ  dans un tore se transférant en T˜ telles que le localisé de M , δ  coïncide avec le localisé de M , δ  en la place u, on a :

– soit (M , δ  ) = (M , δ  ) à équivalence près – soit le caractère automorphe associé à M est différent du caractère automorphe associé à M’. Comme annoncé on reprend l’assertion (1) de la preuve de X.7.5 en remplaçant F et E par E et E  ; l’hypothèse faite sur E et chacune des places ui pour i = 1, 2 assure que l’on peut l’utiliser. On fixe M , δ  satisfaisant à la condition du lemme. D’après l’assertion (1) de X.7.5, soit (M , δ  ) = (M , δ  ) soit, avec les notations introduites à cette place, χδ = χδ . On va montrer que cela force 



ωM ◦ NormE  /E = ωM ◦ NormE  /E .

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1237 

M En effet soit v  une place de E  tel que χδ ,v = χδ ,v ; on note ω,v  la composante   M en la place v du caractère ω ◦NormE  /E et on utilise une notation analogue avec M M −1 M remplacé par M . Et comme dans la preuve de X.7.5, on voit que ω,v  (ω,v  ) est l’image du cocycle (χδ ,v χ−1 δ  ,v  , 1) dans la suite exacte (∗) de cette preuve. Et on conclut comme en X.7.5.

X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale On a montré dans les chapitres II à V que le théorème X.3.5 impliquait la stabilisation géométrique locale, c’est–dire le même énoncé que ce théorème mais où l’on supprime l’hypothèse de régularité. Le théorème X.3.5 a été démontré dans ce paragraphe sous deux hypothèses clés qu’il nous reste à démontrer. La première hypothèse clé On démontre ici la première hypothèse clé faite en X.3.5. Dans X.3.5 la situation est locale ; on la globalise grâce à X.7.4 et X.7.6 On a ainsi construit une situation globale où en la place v = v0 on retrouve ˜ (F ) la situation locale de X.3.5 et tel que M (F ) est dense dans M (Fv0 ) ; comme M ˜ ˜ est non vide et que M (F ) est dense dans M (Fv0 ), M (F ) est dense dans M (Fv0 ). D’après la construction, on a aussi AM = AM0 et AM˜ = AM˜ 0 . On a construit la situation globale de façon à globaliser le caractère de M (Fv0 ) et les données endoscopiques elliptiques M0 en la place locale. Lemme. Il existe une fonction lisse (M , δ0 ) sur l’ensemble des classes de conjugaison stable d’éléments fortement réguliers de M (Fv0 ) telle que pour toute fonc˜ v0 ), ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a et si v0 tion fv0 ∈ I(G(F est p-adique : (1)





M  M M ˜ (f )(δ0 ) = (M , δ0 )fM ˜ (δ0 ),

On commence par remarquer que si (M , δ0 ) existe en tant que fonction elle est nécessairement lisse. Le problème est donc de démontrer l’existence de cette fonction. On sait que le membre de gauche est l’intégrale orbitale en δ0 d’une fonction cuspidale. Il suffit donc de démontrer l’existence de cette fonction pour les éléments δ0 qui sont elliptiques dans M (Fv0 ). On remarque aussi qu’il suffit de prouver l’existence d’une telle fonction en ˜ (Fv0 ) qui provient, par tout point de M (Fv0 ) qui correspond à un élément γ ∈ M ˜ (F ), puisque l’on a supposé que M ˜ (F ) est dense dans M ˜ (Fv0 ). localisation, de M On fixe un tel γ, on note T˜ le tore tordu maximal le contenant et on peut supposer que T˜ est elliptique en v0 . On reprend à peu près telle quelle la démonstration de [20] 7.3 avec les modifications nécessaires puisque la globalisation est plus compliquée.

1238

Chapitre X. Stabilisation spectrale

On remplace éventuellement F par une extension finie E de F , bonne pour la place v0 comme en X.7.6, munie de ses places v0 , u1 et u2 . On fixe V un ensemble de E places de E contenant v0 , contenant Vram ainsi que ui pour i = 1, 2 et satisfaisant pour u = u1 et u = u2 au lemme de X.7.6. Ici on peut remplacer F par E, v0 par ˜ , ω, V ) l’ensemble des données endoscopiques v0 , E disparaît et on a donc EF (M ˜ , ω, qui sont non ramifiées hors de V . On sait que cet elliptiques relevantes de M ensemble est fini. On suppose bien évidemment (quitte à élargir V ) que M est dans cet ensemble et on a δ ∈ M une globalisation de δv0 . En utilisant les lemmes de X.7.5 et X.7.6, on fixe S un ensemble de places de F hors de V tel que pour tout couple M , δ  comme dans X.7.6, pour lequel en la place u1 ou (c’est bien ”ou” et pas ”et”) la place u2 , le localisé de ce couple est le même que le localisé du couple M , δ, soit (M , δ  ) = (M , δ), soit il existe au moins deux places distinctes dans S où le caractère associé à M diffère du caractère associé à M . On pose V  = V ∪ S. On construit maintenant des fonctions auxquelles on va pouvoir appliquer X.7.2. On considère une fonction fV  = ⊗v∈V  fv vérifiant les hypothèses de cette référence. En particulier, fv0 est une fonction quelconque vérifiant l’hypothèse de l’énoncé. On affine les constructions de la façon suivante : en les places ui pour  i = 1, 2, on suppose que fui vérifie en plus, fui ,M˜ est cuspidale et (fui ,M˜ )M = 0 M   si M n’a pas la même localisation que M en ui et fM,u ˜ i (δi ) = 0 pour tout δi correspondant à γ qui n’est pas dans la classe de conjugaison stable de δui ni dans ˜ ). . En toutes les places de V  hormis celles au un de ses conjugués sous NormG (M M dessus de v0 , on impose en plus que fv, ˜ (δv ) = 1. Pour v ∈ S, on impose en plus M ωM



que la fonction considérée soit de la forme fv  , et en particulier se transforme sous l’action de M (Fv ) suivant la composante locale du caractère associé à M . On applique la proposition de X.7.2 à fV  , c’est-à-dire que l’on connaît pour une telle fonction la stabilisation spectrale. On revient alors au lemme de X.7.2 et le membre de gauche de ce lemme est nul ; il en est donc de même du membre de droite de ce lemme c’est-à-dire : (2)

˜

M (ω, hfV  1K˜ V  ) = 0. Igeo

Le membre de gauche de (2) est une somme d’intégrales orbitales sur les éléments ˜ (F ). La somme est finie et plus précisément, l’ensemble de somrationnels de M mation est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que du support de fV  . Ceci n’est pas évident à cause des fonctions M˜ ,v (fv ) qui apparaissent dans la définition de hfV  et dont on ne contrôle pas le support. Mais l’argument est le même que dans le cas non tordu, cf. [20] p. 849. C’est-à-dire que (2) a été construit à ˜ et des formules de traces stables de partir de la formule de traces tordues de G ses espaces endoscopiques. Un raisonnement par récurrence montre qu’il suffit que ˜ soit contenu dans l’ensemble de sommation dans la formule de traces tordues de G un ensemble fini qui ne dépend que du support de fV  . Or c’est l’assertion du théorème 3.3 de [8].

X.7. Fin de la stabilisation locale géométrique

1239

Remarque. On peut aussi montrer directement que, pour v ∈ V  telle que AM,v = ˜ AM˜ , l’ensemble de sommation de ˜

M (ω, M,v Igeo ˜ (fv ) ⊗ (⊗v  ∈V  ,v  =v fv  ,M ˜V) ˜ )1K

est contenu dans un ensemble fini qui ne dépend que des supports des fv ,M˜ pour v  = v, donc aussi que des supports des fv pour v  = v. Cela résulte facilement du fait que M,v ˜ (fv ) est cuspidale. En restreignant les supports des fonctions fui pour i = 1, 2, on peut alors sortir de l’ensemble de sommation les éléments qui ne sont pas dans la réunion ˜ ) des classes de conjugaison stable de nγn−1 . Il ne reste plus sur n ∈ NormG (M ˜ ) et sur les éléments stablement conjugués qu’une double somme sur n ∈ NormG (M −1 ˜ ), on obtient à nγn . Les fonctions intervenant étant invariantes par NormG (M simplement la somme sur les éléments stablement conjugués à γ, multipliée par le ˜ ). On écrit alors (2) en termes endoscopiques en nombre d’éléments de NormG (M considérant séparément chaque terme composant hfV  (qui, on le rappelle, est une somme sur v ∈ V  ). A cause des conditions en ui pour i = 1 et 2, on est sûr que les couples M , δ  intervenant dans la somme se localisent en au moins une de ces places en le localisé de M , δ. Ainsi soit (M , δ  ) = (M , δ) soit il existe deux   places dans S où le caractère ωM différe du caractère ωM . Or pour contribuer la donnée endoscopique doit évidemment avoir son caractère qui coïncide avec celui de M en toute place de S (sauf éventuellement une) puisque qu’en toute place de S, le terme constant de fV  ,M˜ a cette propriété de transformation. Contradiction, qui entraîne (M , δ  ) = (M , δ). 





,V Alors le terme de gauche de (2) n’est autre que SI M (δ, hfV  ⊗ 1M ). Cela ˜ K donne l’égalité     M 0 = xSI M (δv0 , M SI M (δ, fv,M˜ ) + ySI M (δv0 , fv0 ,M˜ ), ˜ (fv0 )) v∈V  ;v=v0

où x est un scalaire non nul et y un autre scalaire (éventuellement nul) qui est la M contribution des places v = v0 faisant intervenir M ˜ (fv ). D’où encore 



M SI M (δv0 , M ˜ (fv0 )) = 0

(3) 

si SI M (δv0 , fv0 ,M˜ ) = 0. Ainsi la première forme linéaire est proportionnelle à la seconde et cela termine la preuve de la première hypothèse clé. Preuve de la deuxième hypothèse clé ˜ M ˜ , a. Pour toute donnée endoLa situation est encore globale. On dispose de G,  ˜ scopique elliptique M de M et en toute place v, on a défini la fonction sur les éléments très réguliers de M (Fv ), v (M , ). On sait que cette fonction est nulle sauf éventuellement sur les éléments elliptiques.

1240

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Lemme. Pour tout ensemble fini V de places contenant Vram , pour toute donnée ˜ non ramifiée hors de V et pour tout élément δ ∈ M (F ) endoscopique M de M ˜ vM  pour v ∈ V : non ramifié hors de V c’est-à-dire δ ∈ K  v (M , δv ) = 0. v∈V

 ˜ V ), ω), qui On écrit X.7.2 : on considère des fonctions fV = v∈V fv ∈ I(G(F ˜ sont M cuspidales en au moins deux places et qui sont nulles près des éléments isolés pour tout v ∈ V s’il y en a et si v est p-adique. On connaît donc la stabilisa˜ M tion spectrale pour ces fonctions et donc Igeo (ω, hfV 1K˜ M,V ) = 0 (avec les notations f de X.7.2). Par définition hV est une somme sur les places v0 ∈ V des fonctions  ˜ ˜ M hv0 := G ˜ . On écrit Igeo sous forme endoscopique pour ˜ 0 (fv0 ) v  ∈V −{v0 } fv  ,M M,v chacune de ces fonctions et on obtient une somme sur v0 ∈ V des termes  ˜ , M )SI M (hM 1 ˜ M ,V ). i(M geo v0 K M

On calcule 



M (Fv0 ) hM ˜ ,v0 (fv0 )) v0 = (M





(fv,M˜ )M (Fv ) = v0 (M , )

v∈V −{v0 }





(fv,M˜ )M (Fv ) .

v∈V

Donc finalement on obtient :         ˜ , M )SI M (1) i(M v (M , ) (fv,M˜ )M (Fv ) 1K˜ M ,V = 0. geo M

v∈V

v∈V

Un terme indexé par une donnée M est une somme sur les classes de conjugaisons stables coupant les points rationnels de M , et quand fV est fixée la somme est nécessairement finie puisque la fonction à laquelle on l’applique est à support compact. On fixe en toute place de V un sous ensemble compact et on s’autorise encore à restreindre le support des fonctions en supposant qu’il se trouve à l’intérieur de ce compact. On fixe M0 et δ ∈ M0 (F ). On note δV la composante dans V de δ ; on considère en fait la classe de conjugaison stable de δV sous l’action du ˜ dans G. En jouant sur les fonctions fV , on peut restreindre normalisateur de M la somme aux données endoscopiques elliptiques qui se localisent en toute place de V en le localisé de M0 ; on peut encore imposer que la somme sur les points rationnels d’une telle donnée ne porte que sur les classes de conjugaison stable qui en toute place de V se localisent en la même classe que δV . On obtient alors :      v (M , δv ) SI M ((δ  )V , 1K˜ M ,V ) = 0, v∈V

M ,δ 

où la somme porte sur les couples M , δ  décrits.  Mais les termes SI M ((δ  )V , 1K˜ M ,V ) sont à valeurs positives ou nulles et au moins l’un d’eux est strictement positif d’après l’hypothèse de non-ramification de δ hors de V . Et on obtient le lemme.

X.8. Stabilisation de la formule des traces

1241

X.8 Stabilisation de la formule des traces X.8.1 Stabilisation spectrale ˜ Théorème. Pour toute fonction f ∈ G(A),  ˜ G )SI G (f G ), i(G, (1) Idisc (ω, f ) = disc G

˜ Ou encore, où G parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de G. pour tout caractère infinitésimal ν de G(F∞ ) et pour tout ensemble fini de places ˜ est ramifié (c’est-à-dire V contenant les places archimédiennes et les places où G Vram ) et pour tout caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique cV hors de V , on a l’égalité (dans le groupe de Grothendieck complexifié des ω ˜ représentations de G(A)) (2)

πdisc,ν (cV ) =





˜ G ) i(G,

G





G V transfert(πdisc,st,ν )),  (c

ν  →ν;c V →cV

˜ non où ici G parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques de G ramifiées hors de V et relevantes On fixe un ensemble fini V  de places contenant Vram . On suppose en plus que V  − Vram contient au moins une place et on en fixe une v0 . On a démontré la stabilisation locale des intégrales orbitales pondérées. On considère   ˜ G G ˜ G )SIgeo (3) Igeo (ω, fV  1K˜ V  ) − i(G, (fVG 1K G ,V  ). G

Il ne reste que les termes correspondant aux éléments exceptionnels (cf. la preuve de X.7.2). Donc (3) est nulle pour toute fonction f qui en v0 , est nulle près des éléments exceptionnels (s’il y en a). Ainsi pour une telle fonction on a l’égalité (1) du théorème. On a vérifié en X.5.4 que cela entraine l’égalité des traces en (2) à condition de se limiter aux fonctions que l’on vient de préciser. On pose V = V  − {v0 }. ˜ V ), ω), on note alors f v0 le produit de cette fonction avec On fixe fV ∈ I(G(F 1K˜ V  . La forme linéaire ˜ v0 ), ω) fv0 ∈ I(G(F 

→ tr πν (cV )(fv0 f v0 ) −

 G

˜ G ) i(G,













G V πst,ν )(fvG0 f v0 ,G )  (c

ν  →ν;c V  →cV 

est nulle sur l’intersection des noyaux des formes linéaires définies par les ω˜ v0 ). On sait comme dans X.3.4 que intégrales orbitales en les éléments isolés de G(F cette nullité se propage à toutes les fonctions fv0 dont la composante elliptique est

1242

Chapitre X. Stabilisation spectrale

nulle ; pour nous il suffit de l’avoir pour les fonctions fv0 dans l’algèbre de Hecke sphérique. Malheureusement, il n’est pas vrai en toute généralité que de telles fonctions ont leur composante elliptique nulle. Comme ce bug apparaît déjà dans la stabilisation de la formule des traces non tordue, on explique ici comment faire fonctionner cette preuve dans le cas tordu et dans le cas non tordu. Dans le cas non tordu les éléments exceptionnels sont les produits d’éléments centraux et d’éléments unipotents et il y en a dans tous les cas (mais ils ne posent pas de problème si G est un tore) et dans le cas tordu, il n’y en a que si ω = 1 et G vérifie les hypothèses du (iii) de X.6.1 (pas tout à fait, le groupe n’est déployé qu’à une restriction des scalaires près, opération insignifiante). V et on suppose que V On reprend les notations de X.6.3, en particulier πdisc,ν est suffisamment grand pour que le (1) de X.6.3 soit vérifié. On veut montrer que   G ,V V ˜ G ) tr πν,st (4) tr πdisc,ν (fV 1K˜ V ) = i(G, (fVG 1K˜ V  ). G

G

On reprend la notation C(V ) de X.6.3 et pour ξ ∈ C(V ) on note ξ(V ) la restriction / V on note ξ(v0 ) la restriction de ξ à G (Fv0 ). de ξ à G (FV ) et pour tout v0 ∈ ξ(V ) On garde aussi les notations fV de X.6.3. Le côté gauche de (4) est, d’après la proposition de X.6.3  ξ(V ) V V (5) tr πdisc,ν (fV 1K˜ V ) = tr πdisc,ν (fV 1K˜ V ). ξ∈C(V )

Fixons ξ ∈ C(V ) et avec X.6.3 fixons v0 tel que ξ(v0 ) = 1. On sait alors (cf. X.6.2) ξ(v ) que 1K˜ 0 a sa composante elliptique nulle. D’après la proposition 6.3, on a : v0

(6)

ξ(V )

V (fV tr πdisc,ν

V ∪{v }

ξ(V ) ξ(v0 ) 1K˜ 1K˜ V ∪{v0 } ) v0

1K˜ V ) = tr πdisc,ν 0 (fV

ξ(v0 )

et on va pouvoir appliquer la stabilisation grâce à la propriété de 1K˜ d’abord remarquer que   ξ(V ) G ,V ˜ G ) tr πν,st i(G, ((fV )G 1K˜ V  ) (7)

G

=

. Il faut

v0

G

 G



G ,V ∪{v0 }

˜ G ) tr πν,st i(G,

ξ(V ) G

((fV

)

ξ(v0 ) G

(1K˜

)

v0

1K˜ V ∪{v0 } ). G



En effet le membre de gauche de (7) ne voit que les G tel que le caractère ωG soit dans C(V ) : le caractère doit être non ramifié hors de V car les données endoscopiques le sont et il doit être trivial sur l’image de G(AF ). De plus comme ξ(V ) la fonction qui intervient est le transfert de fV , ce terme ne voit que les éléments de C(V ) ayant pour à G (FV ) le caractère ξ(V ) (cf. X.6.1). Ainsi pour de telles

X.8. Stabilisation de la formule des traces

1243

données endoscopiques en la place v0 on a aussi le caractère ξ(v0 ) et donc, avec   ξ(v ) ˜ G . D’où X.6.1 (1K˜ 0 )G = (1K˜ v )G c’est-à-dire la fonction caractéristique de K v0 0

v0

l’égalité. On a l’égalité du terme de droite de (6) avec le terme de droite de (7) ξ(v ) puisque la composante elliptique de 1K˜ 0 est nulle. D’où ξ(V )

V tr πdisc,ν (fV

1K˜ V ) =



v0



ξ(V ) G

G ,V ˜ G ) tr πν,st i(G, ((fV

)

On a aussi

 



ξ(V ) G

˜ G ) tr π G ,V ((f i(G, ν,st V

)

=

 G



1K˜ V  ) G

ξ∈C(V ) G

(8)

1K˜ V  ). G

G



˜ G ) tr π G ,V (f G 1 ˜ V ). i(G, ν,st V K  G

ξ  (V ) En effet, fV = où cette fois les ξ  (V ) parcourt tous les caracξ  (V ) fV tères de G (FV )/G(FV ). Mais pour une donnée endoscopique elliptique G fixée,  ξ  (V ) G G ,V tr πν,st ((fV ) 1K˜ V  ) = 0 si ξ  (V ) n’est pas la restriction de ωG à G (FV ) G dont si ξ  (V ) n’est pas de la forme ξ(V ) avec ξ ∈ C(V ). D’où (8). Puisque le terme de droite de (6) vaut le terme de gauche de (8), on obtient l’égalité du terme de gauche de (6) avec le terme de droite de (8) ce qui est (4) et termine la preuve dans le cas tordu comme dans le cas non tordu.

X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation On généralise un peu les constructions de X.6.1 pour inclure le cas où ω n’est pas trivial. On ne s’intéresse qu’au cas global. On fixe ξ un caractère automorphe de G (AF ). On suppose que la restriction de ξ à l’image de G(AF ) est ω. On fixe V un ensemble de places de F (contenant Vram ) tel que G (AF ) = G (F )G (FV )KV , où KV est un compact maximal hyperspecial hors de V . On reprend la nota˜

G tion πdisc,ν (cV ) des paragraphes précédents. On peut définir la distribution sur ˜ V ), ω), I(G(F ˜ G (cV )(fV 1K˜ V ). fV → tr πdisc,ν

˜ V ), ω) et donc Soit g,V ∈ G (FV ), cet élément agit par conjugaison sur I(G(F V sur la distribution. On suppose en plus que g,V ∈ (G (F )K ∩ G(FV )). Un tel élément laisse invariante cette distribution. Et si g,V est dans l’image de G(FV ), l’action se fait via le caractère ω −1 . On suppose que le caractère ξ est non ramifié hors de V . La distribution ˜

G (cV )(g,V fV 1K˜ V ) fV → ξ(g,V ) tr πdisc,ν

1244

Chapitre X. Stabilisation spectrale

ne dépend que de l’image de g,V dans le groupe fini H := G (FV )/G(FV )(G (F )KV ∩ G(FV )). On la note ξ(g,V ) tr ˜

g,V

˜

G πdisc,ν (cV ). Et on définit la distribution

G,ξ (cV ) := |H|−1 tr πdisc,ν



ξ(g,V ) tr

g,V

˜

G πdisc,ν (cV ).

g,V ∈H

Théorème. Avec ξ et V satisfaisant les hypothèses précédentes, c’est-à-dire que V est suffisamment grand et ξ est non ramifié hors de V , on a pour tout élément ˜ V ), ω) fV ∈ I(G(F   ˜ G,ξ G ˜ G ) tr πν,st (cV )(fV 1K˜ V ) = i(G, (cV )(fVG 1K˜ V  ), tr πdisc,ν 

G ;ωG =ξ

G



où l’on a regroupé dans le terme de droite la somme sur les ν  et les c V de X.8. La preuve est élémentaire : ˜ G le terme de gauche est la valeur de tr πdisc,ν (fVξ 1K˜ V ) où la fonction f ξ vaut, après un choix de représentant de H dans G (FV )  ξ(g,V ) g,V fV . fVξ = |H|−1 g,V

On applique la stabilisation spectrale à cette fonction, on obtient un analogue du terme de droite en généralisant simplement le (i) de X.6.1 où la somme porte sur les données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V et dont le caractère associé de G (AF ) coïncide avec ξ sur G (FV ). Mais comme V est suffisamment grand cela force l’égalité de ce caractère avec ξ.

X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu On va donner l’exemple de GL(n) tordu par l’automorphisme g → t g −1 . ˜ G (cV ) est une représentation irréductible. Le groupe G vaut Dans ce cas, πdisc,ν GL(n)/{±1}. Soit v une place de F et z un élément du centre de GL(n, Fv ). On note E l’extension au plus quadratique de Fv tel que z y admette une racine carré, notée z 1/2 . L’image de z 1/2 dans G (E) est en fait dans G (Fv ). Et on vérifie aisément que G (Fv ) est engendré par l’image de GL(n, Fv ) et par ces éléments. Pour un caractère quadratique μ du centre de GL(n, Fv ) et un caractère ξ de G (Fv ) trivial sur GL(n, Fv ), on dit que ξ et μ se correspondent si et seulement si ξ(z 1/2 ) = μ(z) pour tout élément z du centre de GL(n, Fv ). Pour des caractères automorphes μ du centre de GL(n, AF ) et ξ de G (AF ) vérifiant les mêmes conditions, on dit qu’ils se correspondent si leurs composantes locales se correspondent en toute place. On note ξ  μ cette correspondance.

X.8. Stabilisation de la formule des traces

1245

Proposition. Avec les notations du paragraphe précédent, la distribution ˜

G,ξ (cV ) tr πdisc,ν

est nulle sauf si ξ correspond au caractère central de la représentation irréductible ˜ ˜ ˜ G,ξ G,ξ G de πdisc,ν (cV ). Et dans ce dernier cas, tr πdisc,ν (cV ) = tr πdisc,ν (cV ). ˜

G (cV ) et la représentation Corollaire. On note ω(cV ) le caractère central de πdisc,ν ˜

G πdisc,ν (cV ) est un transfert de

(1)





G ˜ G )πν,st i(G, (cV ).



G ;ωG ω(cV )

Cela n’est qu’un exemple car [23] donne beaucoup plus de précisions. Tou˜ G tefois, par exemple si n est impair et si πdisc,ν (cV ) est de carré intégrable (par exemple cuspidale) cela permet de démontrer assez vite (uniquement avec le paragraphe 3 de [23]) que la somme à droite n’a qu’un terme. Si n est pair, sous les ˜ G (cV ), si le caractère central de cette représentation mêmes hypothèses pour πdisc,ν est non trivial, ce caractère central détermine une extension quadratique de F et dans la somme on ne trouve encore qu’une donnée endoscopique elliptique, celle correspondant au groupe orthogonal pair quasidéployé non déployé qui se déploie dans l’extension de F à E. Si le caractère central est trivial, on ne peut pas distinguer par cette méthode une donnée endoscopique avec le groupe orthogonal impair SO(n + 1) de la donnée endoscopique avec le groupe orthogonal pair déployé et on n’évite pas l’utilisation des fonctions L partielles et les derniers chapitres de [23].

X.8.4 Une remarque sur la finitude de πdisc,ν (cV ) et son calcul pour les groupes classiques ˜ est l’espace tordu considéré en X.8.3, Arthur a Dans le cas où G = GL(n, F ) et G démontré en [23] en toute généralité que pour G n’importe laquelle des données ˜ les représentations π G  (cG ,V ) sont de longueur endoscopiques elliptiques de G, disc,ν finie (ici l’indice st est remplacé par disc). On peut renforcer cette propriété de finitude en ˜ Alors pour tout Remarque. Soit G une donnée endoscopique elliptique de G. V  ν, c comme ci-dessus, la représentation automorphe de G (AF ), 



G G ,V ⊕ν  →ν,cG ,V →cV πdisc,ν )  (c

est de longueur finie. Ceci est même vrai pour cV fixé et en n’imposant rien au caractère infinitésimal. C’est-à-dire avec des notations évidentes : la représentation  G ⊕cG ,V →cV πdisc (cG ,V ) est de longueur finie.

1246

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Cela résulte évidemment des résultats de [23]. Arthur montre entre autre que toute composante locale d’une des composantes irréductibles d’une des repréG G ,V ) en une place v ∈ V est nécessairement dans un paquet sentations πdisc,ν  (c de représentations qui ne dépend que de la composante locale en la place v de ˜ G (cV ) (qui est une représentation irréductible) et qui est caractérisé par des πdisc,ν relations de transfert (cf. [23]). En particulier il n’y a qu’un nombre fini de possibilités. L’ensemble des représentations automorphes de carré intégrable de G (AF ) qui dans V sont l’une des représentations déterminées et qui sont non ramifiées hors de V sont en nombre fini (on rappelle que V contient les places archimédiennes et que le caractère infinitésimal est donc fixé dans un ensemble fini). D’où la finitude ; la toute petite difficulté qu’il a fallu contourner est qu’il y a en gé néral un nombre infini de cG ,V qui se transfèrent en cV si G est un produit de groupes classiques l’un étant un groupe special orthogonal pair. Et on vient de voir  que seul un nombre fini de cG ,V intervient vraiment dans l’ensemble des formes automorphes de carré intégrable, ceci est bien sûr dans [23]. 



G (cG ,V ) est aussi de longueur finie. Remarque. La représentation ⊕cG ,V →cV πst

C’est la même démonstration. Le même résultat de finitude est vrai d’après [64] si E/F est une extension ˜ est défini par l’automorphisme g → t g−1 où g quadratique, G = GL(n, E) et G est la conjugaison induite par l’extension E de F . Soit G une forme intérieure d’un groupe classique, c’est-à-dire que le groupe quasi-déployé correspondant est un groupe spécial orthogonal, symplectique ou unitaire. Les résultats d’Arthur seront très certainement généralisés à terme à un tel groupe mais on peut déjà avoir une description qualitative des représentations G (cV ). πdisc,ν G Remarque. Les représentations πdisc (cV ) sont de longueur finie.

˜ = G. Il n’y a qu’un nombre fini de termes On applique (1) de X.8.1 avec G dans le membre de droite de (1) : en effet il n’y a qu’un nombre fini de données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V . Fixons l’un de ces groupes, G et  cG ,V un système de caractères de Hecke qui par transfert non ramifié s’envoie sur G G ,V cV et tel que pour au moins un caractère infinitésimal ν  , πdisc,ν ) ne soit pas  (c nul. Alors G est un produit de groupes classiques et il existe un entier m = m1 +m2 (dépendant de G ) et une représentation automorphe irréductible de GL(m1 , AF )× GL(m2 , AF ) qui est une induite de représentations automorphes de carré intégrable et qui en toutes places hors de V a pour caractères de Hecke le transfert  de cG ,V . Ainsi la représentation de GL(m1 + m2 , AF ) obtenue par induction (ou série d’Eisenstein) est une induite de représentations de carré intégrable avec hors de V un système de caractères de Hecke qui s’obtient directement par transfert non ramifié à partir de cV . Ainsi il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour cette représentation de GL(m1 + m2 , AF ) et donc aussi pour les représentations

X.8. Stabilisation de la formule des traces

1247

de GL(mi , AF ) pour i = 1, 2. Avec la remarque précédente le membre de droite de (1) est de longueur finie, son transfert est donc certainement de longueur finie. Question. Soit G un groupe réductif défini sur F , et V, cV comme précédemment. G Soit ν un caractère infinitésimal. Il est naturel de se demander si πdisc,ν (cV ) est de V G (cV ) longueur finie. Il est même vraisemblable que pour c fixé, la somme ⊕ν πdisc,ν est de longueur finie

X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence, récapitulatif Pour arriver à la stabilisation de la formule des traces, nous avons fait un certain ˜ nombre d’hypothèses de récurrence et il faut donc les vérifier pour G. On avait récapitulé les hypothèses en X.7.1 ; il y a des hypothèses locales ˜ leur vérification est faite en X.7.7. Disons tout de suite que géométriques. Pour G nous n’avions pas d’hypothèses locales spectrales car on les avait résolues en X.4.5. Et il y a les hypothèses de récurrence globales ; l’hypothèse spectrale de récurrence est le théorème X.8 que l’on vient de démontrer. Il reste l’hypothèse géométrique c’est-à-dire que pour tout O une classe de conjugaison stable semi˜ V ) (notations de [VI] 5.3 et 5.4) simple de G(F ˜

˜

AG (O, V ) = AG,E (O, V ).

(1)

Des réductions ont été faites en [VII] 3.5 ramenant la preuve de cette assertion aux éléments exceptionnels (cf. X.3.4), cette réduction a servi pour la preuve de la stabilisation spectrale. ˜

˜

La distribution fV → I G (AG (O, V ), fV 1K˜ V ) est une combinaison linéaire d’intégrales orbitales d’après le (ii) de la proposition de 2.3 dans [VI] associées à des éléments uγ où u est un élément unipotent du centralisateur de γ et où γ est un élé˜ ment de O. Il en est de même de la distribution construite avec AG,E (O, V ) par la définition de [VI] 5.4 (cf. le début de ce paragraphe). Rappelons que quand γ, u varient avec les propriétés précédentes, ces intégrales orbitales sont des distributions ˜ ˜ linéairement indépendantes. Or on sait déjà que I G (ω, fV 1K˜ V )−I G,E (fV 1K˜ V ) = 0 ˜ V ), ω) puisque l’on a démontré la stabilisation spectrale (en pour tout fV ∈ I(G(F X.5.11 et X.8.1). Avec les réductions déjà connues, ceci est la somme des distributions ˜

˜

˜

˜

I G (AG (O, V ), fV 1K˜ V ) − I G (AG,E (O, V ), fV 1K˜ V ) quand O varie (cf. [VI] 6.11). Ainsi chacune de ces distributions doit être nulle par indépendance linéaire. Cela termine la preuve.

1248

Chapitre X. Stabilisation spectrale

X.8.6 Stabilisation géométrique Le théorème de [VI] 5.9 est démontré :   ˜ G G ˜ G )SIgeo Igeo (ω, f ) = i(G, (f G ). G

La démonstration a été donnée en [VI] 6.11 sous les hypothèses que l’on a vérifiées en X.8.5 mais bien évidemment c’est aussi un corollaire de X.8.1.

X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale La partie elliptique Ici F est un corps local ; pour simplifier les formules on suppose que AG˜ = 1, sinon ˜ ω, on fixe une il faut intégrer sur A∗G˜ . Pour toute donnée endoscopique G de G, G . Pour τ une base orthonormale des caractères elliptiques stables de G , notée Bst représentation elliptique, on note i (τ ) son produit scalaire elliptique, il est calculé dans le (ii) du théorème de [81] 7.3. ˜ ω), on a l’égalité Théorème. Pour tout couple de fonctions f1 , f2 ∈ I(G, 

i (τ )tr τ (f1 ) tr τ (f2 ) =

˜ τ ∈Repell (G)



˜ G ) i(G,







tr φG (f1G ) tr φG (f2G ). 



G

G φG ∈Bst

Ce théorème est une traduction spectrale de la proposition de [I] 4.17 : en effet supposons d’abord que f1 et f2 soient des fonctions cuspidales. Alors le côté gauche s’interprète comme le produit scalaire de f1 et f2 pour le produit scalaire elliptique grâce au fait que la norme d’une représentation elliptique τ est précisément i (τ ) par définition (cf. [81] 7.3). Cette égalité est donc une égalité de transfert entre représentations elliptiques qui est vraie pour les fonctions cuspidales. Elle est donc vraie pour toute fonction d’après le résultat principal de [XI] pour les corps padiques et [IV] 3.2 pour les corps archimédiens. La partie discrète non elliptique On rappelle que l’on a montré en X.3.3 qui s’appuie sur les paragraphes précédents, ˜ que l’on pouvait décomposer I G (ω, f1 , f2 ) et les analogues stables pour les groupes endoscopiques en une somme sur les espaces de Levi :  ˜ ˜ ˜ , ω, f1 , f2 ), I G (ω, f1 , f2 ) = I G (M ˜ M

˜ et où où la somme porte sur les classes de conjugaison d’espace de Levi de G  ˜ ˜ , ω, f1 , f2 ) = i (τ )tr τ (f1,M˜ ) tr τ (f2,M˜ ), I G (M τ

X.9. Preuve de 7.4

1249

˜ dont l’induite est où la somme porte sur les représentations elliptiques τ de M ˜ modulo conjugaison sous le normalisateur de M ˜ une représentation discrète de G dans G et où ι (τ ) est le coefficient intervenant dans X.3.3. On a aussi montré en X.3.3 que l’on avait aussi une décomposition pour la variante stable de cette distribution bien que l’écriture soit moins jolie et surtout  moins explicite. Notons SI G (M , f1 , f2 ) la distribution correspondant. ˜ espace de Levi de G ˜ et pour tout couple de fonctions Proposition. Pour tout M ˜ f1 , f2 ∈ I(G, ω), on a l’égalité :   ˜ ˜ ˜ , M ) ˜ G )SI G (M , f1G , f2G ), , ω, f1 , f2 ) = i(M iM˜  (G, I G (M M

G

où la somme sur M est la somme sur les données endoscopiques elliptiques re˜ et où la somme sur G , quand M est fixé est la somme sur les levantes de M ˜ contenant M  comme sous groupe de Levi. groupes endoscopiques elliptiques de G Les distributions sont des combinaisons linéaires de traces de représentations ˜ pour le côté gauche et M pour induites à partir de représentations elliptiques de M le côté droit. Elles s’expriment donc en fonction des termes constants f1,M˜ , f2,M˜ et de leurs transferts à M . Il suffit donc de montrer cette égalité pour f1 et f2 des ˜ -cuspidales. Puisqu’on a démontré la stabilisation des intégrales orbifonctions M tales pondérées, on sait stabiliser la formule des traces locale ; on a donc l’égalité cherchée en sommant sur les espaces de Levi mais avec l’hypothèse sur f1 et f2 il ˜ et on obtient la proposition suffit de sommer sur les espaces de Levi contenant M avec une récurrence facile qui est initialisée par le cas elliptique du paragraphe précédent.

X.9 Preuve de 7.4 Suivant Kottwitz–Rogawski, on peut choisir un corps de nombres F , des données, ˜ M ˜ sur F et une place v0 de F de sorte que Fv0  F0 et que, modulo cet G, G, ˜ M ˜ localisées en v0 soient isomorphes à G0 , G ˜0, M ˜ 0. isomorphisme, les données G, G, ˜ ˜ On peut de plus supposer que M (F ) soit dense dans M (F0 ) et que AM˜ 0 soit le localisé de AM˜ . L’ensemble des δ0 ∈ M0 (F0 )ell qui correspondent à la classe de ˜ (F ) est dense dans M (F0 )rel (on désigne conjugaison stable d’un élément de M 0 ell ˜ 0 (F0 )). On note D cet ensemble. ainsi l’ensemble des éléments qui se transfèrent à M ˜ (F ) dont la classe de conjugaison stable correspond à On fixe δ0 ∈ D et γ ∈ M ˜ ˜ contenant γ. Il est nécessairement δ0 . On note T le tore tordu maximal de M elliptique. Fixons une extension galoisienne E0 de F0 finie que l’on précisera plus loin telle que le tore localisé Tv0 se déploie sur E0 . On peut choisir une extension galoisienne finie E  /F , une place v0 de E  au-dessus de v0 de sorte que T se déploie sur E  et Ev  contienne E0 via l’isomorphisme F0  Fv0 . Le groupe Gal(Ev  /F0 ) 0

0

1250

Chapitre X. Stabilisation spectrale

s’identifie au fixateur de v0 dans Gal(E  /F ). On remplace F par le corps des points fixes de ce fixateur et v0 par la place v0 restreinte à ce sous-corps. Alors Gal(Ev  /F0 ) = Gal(E  /F ). On note E l’extension intermédiaire F ⊂ E ⊂ E  0 telle que Gal(E  /E) = Gal(Ev  /E0 ). Alors E/F est galoisienne, Gal(E/F ) = 0 Gal(E0 /F0 ) et les actions galoisiennes globale et locale en v0 coïncident sur X∗ (T ). Donc T est déployé sur E ce qui entraîne que G et M le sont aussi. Puisque T˜v0 est ˜ v0 et que le plus grand tore déployé A ˜ central dans M ˜ a pour elliptique dans M M ˜ v0 , T˜ est elliptique dans M ˜. localisé en v0 le plus grand tore déployé AM˜ v dans M 0

Remarque. On peut supposer que ces dernières propriétés sont aussi vérifiées pour deux autres places u1 , u2 de F . Il suffit pour cela de fixer une extension galoisienne finie K/F telle que v0 soit totalement décomposée dans K avec [K : F ] ≥ 3. On remplace F par K et E par EK qui est nécessairement un corps. On remplace v0 par une place au-dessus du v0 initial et on choisit pour u1 , u2 deux autres places au-dessus du v0 initial. Globalisation du caractère ω0 et de l’élément δ0 . On commence par quelques rappels sur la classe de conjugaison stable de γ dans ˜ 0 (F0 ). Pour ces rappels on suppose que F0 = R, le cas F0 = R se traite de la M même façon mais avec des K-espaces. ˜ 0 (F0 ); ∃m ∈ La classe de conjugaison stable de γ est C st (γ) := {γ  ∈ M  −1  −1 ˜ M0 (F 0 ); γ = m γm}. Si γ = m γm la condition d’être dans M0 (F0 ) se traduit exactement par le fait que pour tout σ ∈ Gal(F 0 /F0 ), mσ(m)−1 ∈ T θ . On pose : Y := {m ∈ M0 (F 0 ); ∀σ ∈ Gal(F 0 /F0 ), mσ(m)−1 ∈ T θ }. On note π la projection naturelle de M0,SC dans M0 . On a une bijection : 1−θ

T θ \Y/π(M0,SC (F0 ))  H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → (1 − θ)T ), où Tsc est l’image réciproque de T dans M0,SC . Rappel de la construction : pour m ∈ Y, on écrit m = zπ(msc ) avec z ∈ Z(M0 )(F 0 ), msc ∈ M0,SC (F 0 ). Pour σ ∈ ΓF0 , on pose u(σ) = msc σ(msc )−1 . On voit que u(σ) ∈ Tsc et que le couple (u, (1 − θ)z) définit un élément de 1−θ

H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → (1 − θ)T ). 1−θ

Notons KF0 (T, ω0 ) l’ensemble des caractères de H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → (1 − θ)T ) qui via la bijection ci-dessus, deviennent des fonctions sur T θ \Y qui se transforment selon le caractère ω0 par multiplication à droite par M0 (F0 ). D’après la théorie générale, l’ensemble des couples (M1 , δ1 ) où M1 est une ˜ 0 , a0 ) et δ1 est un élément de M1 (F0 ) donnée endoscopique elliptique de (M0 , M correspondant à γ, couples pris à équivalence près, est naturellement en bijection avec KF0 (T, ω0 ). En particulier, le couple fixé (M0 , δ0 ) correspond à un élément de KF0 (T, ω0 ), que l’on note simplement δ0 .

X.9. Preuve de 7.4

1251

On a défini le groupe M0,ab (F0 ) := π(M0,SC (F0 ))\M0 (F0 )  H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → T ). On a le diagramme commutatif (cf [I], 1.12) : Tsc =



Tsc

/T (1−θ)

 (1−θ) / (1 − θ)T.

D’où un homomorphisme 1−θ

H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → T ) → H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → (1 − θ)T ).

(∗)

On voit que l’action par multiplication à droite de M0,ab (F0 ) sur T θ \Y/π(M0,SC (F0 )) correspond à la multiplication par H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → T ) via l’homomorphisme ci1−θ

dessus. Donc KF0 (T, ω0 ) est l’ensemble des caractères de H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → (1 − θ)T ) qui poussés par l’homomorphisme ci-dessus deviennent le caractère ω0 de H 1,0 (ΓF0 ; Tsc → T ). Les groupes de caractères des deux groupes de (∗) sont les deux derniers groupes de la suite exacte : ˆ 1−θˆ ˆ 1−θˆ Γ ,0 H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆ θ,0 → Tˆ )/ Im Tˆ ΓF0 ,0 → H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆad )/ Im TˆadF0 ˆ )), → H 1,0 (WF0 , Tˆ → Tˆad )  H 1 (WF0 ; Z(M

ˆ ). Donc δ0 s’interprète comme un élément du groupe central où ici Tˆad = Tˆ/Z(M qui s’envoie sur l’élément a0 du dernier groupe. ˜ 0 . On peut faire la même construction On s’est placé dans l’espace ambiant M ˜ 0 . Pour préciser les notations avec M ˜ 0 , on a l’ensemble ˜ 0 par G en remplaçant M ˜0 ˜0 M G ˜ KF0 (T, ω0 ) et avec G0 , l’ensemble KF0 (T, ω0 ). En fait ces ensembles sont identiques : ceci est bien connu mais nous allons le revérifier. Du côté dual, ce qui ˆ ) et dans l’autre est Tˆ/Z(G). ˆ change est le tore Tˆad qui dans un cas est Tˆ /Z(M Pour vérifier l’égalité annoncée, on montre : Lemme. (i) L’homorphisme ˆ 1−θˆ ˆ ˆ ΓF0 ,0 Im (Tˆ/Z(G)) H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ /Z(G))/ ˆ 1−θˆ ˆ ))/ Im (Tˆ/Z(M ˆ ))ΓF0 ,0 → H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ /Z(M

est injectif. ˆ 1−θˆ ˆ ))/ Im (Tˆ/Z(M ˆ ))ΓF0 ,0 qui s’en(ii) Un élément de H 1,0 (WF0 ; Tˆ/Tˆθ,0 → Tˆ /Z(M voie sur a0 est dans l’image de l’homorphisme de (i).

1252

Chapitre X. Stabilisation spectrale

ˆ ΓF0 ,0 et (Tˆ /Z(M ˆ ))ΓF0 ,0 sont les images naturelles Remarquons que (Tˆ /Z(G)) Γ ,0 du même groupe Tˆ F0 . Donc le noyau de l’homomorphisme écrit dans l’énoncé de (i) est la projection du noyau de l’homomorphisme (1)

ˆ

ˆ

ˆ 1−θ ˆ 1−θ ˆ ˆ → H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 ˆ )). → T /Z(M H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ /Z(G))

On a la suite exacte de tores complexes : 1

ˆ )/Z(G) ˆ / Z(M O

ˆ / Tˆ /Z(G) O

1

ˆ / Tˆ/Tˆ θ,0

ˆ) / Tˆ /Z(M O =

/1

ˆ / Tˆ /Tˆθ,0

/ 1.

Le noyau de (1) est donc l’image de ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ )/Z(G)) ˆ → H 1,0 (WF0 ; Tˆ/Tˆθ,0 ˆ ˆ )/Z(G)) ˆ ΓF0 = H 0 (WF0 ; Z(M → T /Z(G)). (Z(M

ˆ )/Z(G) ˆ est un tore induit ce qui entraîne que (Z(M ˆ )/Z(G)) ˆ ΓF0 est connexe Or Z(M ΓF0 ,0 ˆ ˆ et son image tombe dans l’image de (T /Z(G)) . Cela prouve (i). ˆ 1−θˆ ˆ )) qui s’envoie Considérons un cocycle (u, t) ∈ Z 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ /Z(M ˆ 1− θ ˆ θ,0 1,0 ˆ )). sur a0 dans H (WF0 ; Tˆ /Tˆ → Tˆ /Z(M ˆ Cette image est ((1 − θ)u, t). Représentons a0 par un cocycle à valeurs dans ˆ t) est cohomologue à ˆ en revenant à a ∈ H 1 (WF0 , Z(G)). ˆ Z(G) Alors ((1 − θ)u, 0 ˆ (a0 , 1). Il existe donc x ∈ Tˆ tel que (1− θ)u(σ) = a0 (σ)x−1 σ(x) pour tout σ ∈ WF0 ˆ ). Le couple (u, xad ), où xad est l’image de x dans Tˆ /Z(G) ˆ et t = x modulo Z(M ˆ 1−θˆ ˆ est un cocycle dans Z 1,0 (WF0 ; Tˆ/Tˆ θ,0 → Tˆ /Z(G)). On voit que son image par l’homomorphisme du (i) est le cocycle de départ (u, t). Cela prouve (ii).

On peut donc identifier δ0 à un élément de ˆ 1−θˆ ˆ ˆ ΓF0 ,0 H 1,0 (WF0 ; Tˆ/Tˆθ,0 → Tˆ/Z(G))/ Im (Tˆ/Z(G))

ˆ On le représente par un cocycle qui s’envoie sur a0 dans H 1,0 (WF0 , Tˆ → Tˆ/Z(G)). (u0 , t). Soit K0 /F0 l’extension galoisienne qui déploie T . La restriction de u0 à WK0 ˆ ˆ 0 (σ)ad = σ(t)t−1 = 1 est un homomorphisme WK0 → Tˆ/Tˆθ,0 qui vérifie (1 − θ)u ˆ Or l’enpour tout σ ∈ WK0 (l’indice ad désigne la projection dans Tˆad = Tˆ /Z(G)). ˆ ˆ ˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Tˆθ,0 semble des éléments x ∈ T /T tels que (1 − θ)(x)ad = 1 est U := Z(G) /Tˆ θ,0 qui n’est pas connexe en général. Si F0 = R, on pose E0 = C et comme WE0 = C∗ , ˆ 0 . Si F0 est p-adique, on interprète la restriction de u0 à WE0 est à valeurs dans U ˆ . Soit C le noyau la restriction de u0 à WK0 comme un caractère χK0 de K0∗ dans U ∗ de la restriction de ce caractère au groupe des unités OK0 . Parce que u0 est un cocycle, χK0 (σ(x)) = σχK0 (x) pour tout σ ∈ Gal(K0 /F0 ) et tout x ∈ K0∗ . En

X.9. Preuve de 7.4

1253

ˆ ΓF0 . En notant n := [U ˆ ΓF0 : U ˆ ΓF0 ,0 ], χK0 envoie particulier χK0 envoie F0∗ dans U ∗,n ∗,n n ∗ Γ ,0 ˆ F0 . Le groupe CF est ouvert d’indice fini dans F0 := {x ; x ∈ F0 } dans U 0 K0∗ . Par le corps de classes, c’est le groupe des normes d’une extension abélienne finie E0 et parce que u0 est un cocycle, on vérifie que l’extension E0 de F0 est elle aussi galoisienne. On a maintenant défini le corps E0 que l’on utilise dans la construction précédente de globalisation. ˆ 1−θˆ ˆ qui par loOn va construire l’élément δ ∈ H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ/Z(G)) calisation s’envoie sur δ0 . On dispose des quotients WE/F et WE0 /F0 . On a fait ce qu’il fallait pour que u0 se quotiente par WE0 /F0 . Et parce que Gal(E/F ) = Gal(E0 /F0 ), on voit que WE/F s’identifie au produit semi-direct de A∗E /E ∗  WE0 /F0 quotienté par E0∗ plongé antidiagonalement. Pour prolonger u0 en un coˆ ˆ cycle u : WE/F → Tˆ/Tˆθ,0 , il suffit de prolonger le caractère χ0 := u0|E0∗ : E0∗ → U ∗ ∗ ˆ qui soit équivariant pour Gal(E/F ). Si F0 = C, en un caractère χ : AE /E → U on a aussi E0 = F0 donc E = F . La condition d’équivariance est triviale. D’autre ˆ 0 . Il est trivial que l’on peut propart, on a vu que χ0 prend ses valeurs dans U longer χ0 en χ. Si F0 est p-adique, on s’est arrangé pour que χ0 soit non ramifié ˆ ΓF0 ,0 . Ecrivons U ˆ ΓF0 ,0 = (C∗ )N . Alors χ0 est de la et prenne ses valeurs dans U s1 sN forme (| |E0 , . . . , | |E0 ) que l’on prolonge par (| |sA1E , . . . , | |sANE ). Reste le cas, F0 = R, E0 = C, E/F quadratique. Le caractère χ0 prend ˆ 0 . On sait que l’on peut décomposer U ˆ 0 muni de l’action de ses valeurs dans U ∗ Gal(E/F ) = {1, σ} en produits de trois types de tores : C avec σ(x) = x, C∗ × C∗ l’action du groupe de Galois échangeant les deux copies et C∗ avec σ(x) = x−1 . Il suffit de traiter chaque cas. On traite le dernier qui est le plus difficile. La condition d’équivariance est que χ doit être trivial sur les normes NE/F (E ∗ ). On vérifie que E ∗ NE/F (A∗E ) est un sous-groupe fermé de A∗E , on munit A∗E /E ∗ NE/F (A∗E ) de la topologie quotient. C’est un groupe compact. L’homomorphisme E0∗ /NE0 /F0 (E0∗ ) → A∗E /E ∗ NE/F (A∗E ) est continu. On va voir qu’il est injectif. Alors son image est un sous-groupe compact de A∗E /E ∗ NE/F (A∗E ) et on peut considérer que χ0 est défini sur ce sous-groupe. Il est connu qu’un caractère continu d’un sous-groupe compact d’un groupe compact à valeurs dans C∗ se prolonge au groupe tout entier en un caractère continu. Cela conclut modulo l’assertion d’injectivité admise. Montrons-la : soit e0 ∈ E0∗ et supposons que e0 ∈ E ∗ NE/F (A∗E ). Ainsi il existe e ∈ E ∗ tel que e ∈ e0 NE0 /F0 (E0∗ ) et e ∈ NEv /Fv (Ev∗ ) pour toute place v = v0 . Cela entraîne que e ∈ F ∗ et, en notant κ le caractère quadratique associé à E/F , on a κv (e) = 1 pour tout v = v0 . La formule de produit entraîne que κv0 (e) = 1 donc e0 ∈ NE0 /F0 (E0∗ ) ce qu’il fallait démontrer. ˆ

ˆ (1−θ) ˆ qui par locaOn a maintenant défini δ ∈ H 1,0 (WF0 ; Tˆ /Tˆθ,0 → Tˆ/Z(G)) 1,0 ˆ = lisation s’envoie sur δ0 . On note a l’image de δ dans H (WF ; Tˆ → Tˆ /Z(G)) 1 1 ˆ ˆ H (WF ; Z(G)), ou plutôt son image modulo ker (WF ; Z(G)). Il est clair que a s’envoie sur a0 par localisation. Il définit un caractère ω de G(AF ), automorphe, qui se restreint en ω0 en la place v0 .

1254

Chapitre X. Stabilisation spectrale

Remarque. Le caractère ω est trivial sur T θ (AF ). En effet la restriction de ω à T (AF ) est associée à l’élément de H 1 (WF ; Tˆ ) qui ˆ si δ est représenté par (u, t). Donc cette restriction est composée est égal à (1− θ)u, 1−θ

de T (AF ) → (1 − θ)(T )(AF ) et du caractère de ce dernier groupe déterminé par u. En tout cas, c’est trivial sur T θ (AF ).

Chapitre XI

Appendice : représentations elliptiques ; caractérisation et formule de transfert de caractères Introduction Le but de cet appendice est de généraliser l’article d’Arthur [13] au cas tordu. La seule différence est que l’on donne une caractérisation des représentations elliptiques à la Harish-Chandra, c’est ce qu’Harish-Chandra appelle super-tempéré. Une représentation elliptique est une représentation virtuelle combinaison linéaire de représentations tempérées ; les modules de Jacquet (avec la généralisation définie dans le texte de cette notion aux places archimédiennes) ont donc des exposants dans la chambre de Weyl obtuse positive fermée et les représentations elliptiques sont caractérisées par le fait que la trace tordue (pour l’espace de Levi en question) dans l’espace relatif aux exposants qui ne sont pas à l’intérieur de cette chambre est nulle ; cela a été démontré en [39] pour le cas archimédien non tordu et en [43] pour le cas non-archimédien non tordu. Les conséquences sont importantes comme dans [13] : on montre que toute représentation d’un espace tordu est une combinaison linéaire convenable de transferts de représentations stables pour les groupes associés aux données endoscopiques elliptiques et que toute identité de transfert qui ne met en jeu que des représentations elliptiques est réalisée si et seulement si elle est correcte pour les fonctions cuspidales, c’est-à-dire les fonctions dont les intégrales orbitales sont nulles en tout point semi-simple régulier non elliptique. Cette dernière propriété est par exemple indispensable pour la classification des séries discrètes des groupes classiques.

© Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_6

1255

1256

Chapitre XI. Appendice

XI.1 Quelques définitions de base On fixe un groupe réductif connexe sur un corps local, F , de caractéristique 0 ; ˜ et un caractère ω de G, provenant d’une classe de on fixe aussi un G-bitorseur G cocycle a comme dans les paragraphes précédents. ˜ un espace vectoriel complexe V et des On appelle ω-représentation de G, ˜ ˜ dans Aut(V ) et l’autre un morphisme de groupes, morphismes, l’un noté π G de G noté π de G dans le même espace reliés par la propriété : ˜ ∀g, g  ∈ G, π G (gγg  ) = π(g)π G (γ)π(g  )ω(g  ). ∀γ ∈ G, ˜

˜

La notion d’isomorphisme est la notion évidente et il est facile de voir que les ˜ sont en bijection avec les classes classes d’isomorphismes de ω-représentations de G d’isomorphismes des couples π, A où π est une représentation de G et où A est un ˜ isomorphisme de π ◦ ad(γ0 )  π ⊗ ω, où γ0 est un élément fixé de G. ˜ que de Pour alléger la rédaction, on parlera plutôt de représentations de G ω-représentations.

XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques La caractérisation des représentations elliptiques est foncièrement la même dans le cas archimédien et dans le cas non-archimédien : ce sont les représentations super-tempérées mais pour clarifier la situation on préfère séparer ces deux cas.

XI.2.1 Rappel des définitions de [81] On fixe un sous-groupe de Levi M de G et une série discrète σ de M . On note ˜ de la forme γ˜ qui stabilisent M et StabG˜ (M, σ, ω) l’ensemble des éléments de G vérifient γ˜ .σ  ω ⊗ σ ; un tel ensemble est un espace homogène sous StabG (M, σ). ˜σ,˜r une On suppose que StabG˜ (M, σ, ω) = ∅ et soit r˜ dans cet ensemble, on définit π ˜ de la façon suivante : on fixe P un sous-groupe parabolique ω représentation de G de G de sous-groupe de Levi M et on note r˜.P le sous-groupe de Levi formé des éléments p ∈ G tel que p r˜ ∈ r˜P . C’est un sous-groupe de Levi de G de groupe de Levi M . Pour λ un caractère de M , on note Mr˜.P |P (λ, σ, ω) l’opérateur d’entrelacement standard de l’induite pour le parabolique P de la représentation λ ⊗ σ de M vers l’induite de cette même représentation pour le parabolique r˜.P . L’action naturelle de r˜ envoie cette dernière induite vers l’induite pour P de la représentation λ σ ⊗ ω (on peut sortir le caractère ω) où λ est le composé de λ avec l’action de r˜. On obtient ainsi un opérateur de l’induite pour P de σ ⊗ λ vers l’induite de σ ⊗ ω ⊗ λ qui dépend méromorphiquement de λ. On fixe une fonction méromorphe de λ de sorte qu’après multiplication par cette fonction l’opérateur soit r ) l’opérateur ainsi obtenu ; il n’est holomorphe et non nul en λ = 0 et on note M0 (˜ défini qu’à un scalaire près et est un homomorphisme de la représentation induite

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1257

de la représentation σ de P à G dans l’induite de σ ⊗ ω de P à G. On note π la représentation induite de σ de P à G et pour tout g ∈ G, on pose π ˜ (˜ r g) := π ˜ (r)π(g) et c’est une ω représentation.Elle dépend du choix de l’opérateur d’entrelacement, et n’est donc bien définie qu’à un scalaire près ; on lui demande d’être unitaire ce qui fait qu’elle est définie à un nombre complexe de module un près.

XI.2.2 La théorie du R-groupe On dispose de la théorie du R groupe pour l’induite de σ avec les notations du paragraphe précédent. On note WM,σ := StabG (M, σ)/M et W0,σ le sous-groupe défini par Harish-Chandra : W0,σ est un sous-groupe distingué de WM,σ et il est stable sous l’action de r˜. Ainsi r˜ opère par adjonction sur R = WM,σ /W0,σ . En fait, il est préférable de rappeler comment on construit l’action du R-groupe : pour toute paire de sous groupes paraboliques de G de sous-groupe de Levi M , (P, P  ) on fixe une famille d’opérateurs d’entrelacement dépendant méromorphiquement de λ ∈ A∗M,C , de IndG P (σλ ) dans IndP  (σλ ), noté NP  |P (σ, λ) qui vérifient la formule d’inversion NP |P  (σ, λ)◦NP  |P (σ, λ) = 1. Pour P un sous-groupe parabolique de G de Levi M , on remarque que IndP (σ−λ¯ ) est une représentation duale de IndP (σλ ) (pour une dualité sesquilinéaire) ; on impose alors aussi aux opérateurs construits d’être adjoints pour cette dualité. Ainsi ces opérateurs sont holomorphes en λ = 0 et on pose NP  |P (σ) la valeur en ce point. Pour w ∈ WM,σ , on fixe un représentant de w dans G, encore noté w et un isomorphisme entrelaçant w.σ et σ et en appliquant cet opérateur on obtient un isomorphisme pour tout sous groupe-parabolique P  de IndP  (w.σ) sur IndP  (σ) qui commute à l’action induite de G. D’autre part on a une application naturelle f (g) ∈ IndP (σ) → f (w−1 g) ∈ Indw.P (w.σ) et en composant on obtient un opérateur de IndP (σ) dans Indw.P (σ) qui commute aux actions de G. On note N (w, σ) le composé de l’opérateur que l’on vient de construire avec NP |w.P (σ). Cet opérateur dépend évidemment des choix précédents mais n’en dépend qu’à un scalaire près. Alors W0,σ est précisément l’ensemble des éléments w ∈ WM,σ tel que l’opérateur ci-dessus soit un scalaire. On remarque aussi que l’action de r˜ construite dans le paragraphe précédent est de même nature toutefois N (˜ r , σ) entrelace l’action de G et l’action de G tordu par un automorphisme ; même si l’automorphisme est intérieur ce n’est pas ˜ la même chose et W0,σ est relatif à G et non à G. Comme il n’est pas clair pour F un corps p-adique que l’on puisse faire des choix tel que N (w, σ) soit trivial pour w ∈ W0,σ et donne par passage au quotient une action du groupe R sur IndP (σ) (quand on a fixé P ), il faut considérer que ce n’est pas R qui agit mais une extension de R (cf. [11]). Pour ne pas alourdir, on garde la notation R mais c’est une extension du R-groupe et, comme montré en [11], il existe un caractère, λ, du noyau de l’extension, tel qu’en notant Rˆ les représentation irréductible de R de restriction au noyau de l’extension ce caractère,

1258

Chapitre XI. Appendice

on a la décomposition : IndG P (σ) ρ∈Rˆ πρ ⊗ ρ. Dans la suite représentation de R veut précisément dire représentation de cette extension de restriction le caractère λ au noyau de l’extension. L’action par adjonction de r˜ conjugue les représentations de R d’une part et les composantes isotypiques avec une torsion par ω d’autre part de façon évidemment compatible. On ne considère que le sous-espace de indG P σ isomorphe à ⊕ρ∈Rˆ;˜r.ρρ πρ ⊗ ρ. L’opérateur M0 (˜ r ) envoie ce sous-espace sur son analogue pour l’induite de σ ⊗ ω ; en identifiant ces deux espaces, on obtient une ω-représentation ˜ que l’on peut décrire ainsi : pour chaque ρ intervenant, on fixe ρ˜(˜ de G r ) un opérateur entrelaçant ρ et r˜.ρ. Un tel opérateur est uniquement défini à un scalaire r ) entrelaçant πρ près et le choix entraîne un unique choix pour un opérateur π ˜ρ (˜ et πρ ⊗ ω de sorte que le produit tensoriel de ces deux opérateurs soit exacter ) sur la composante πρ ⊗ ρ. La représentation que nous ment la restriction de M0 (˜ définissons est alors pour tout g ∈ G, π ˜σ,˜r (˜ r g) := ⊕ρ;˜r.ρρ π ˜ρ (˜ r )πρ (g) ⊗ ρ˜(˜ r ). Définition. On dit que π ˜σ,˜r est elliptique si W0 (σ) = 1, r˜ n’est inclus dans aucun ˜ et r˜ est essentiel (cf. [81] 2.9, c’est-à-dire non conjugué espace de Levi propre de G dans R à un élément de la forme z˜ r avec z un élément non trivial du noyau de l’extension). Grâce à [81] 2.11 on peut récrire de façon moins redondante cette définition ; on a besoin de la condition que le triplet soit essentiel pour que la trace ne soit pas nulle mais au lieu des deux premières conditions écrites, on demande qu’il ˜ noté L, ˜ contenant un élément r˜L tel n’existe pas d’espace de Levi propre de G, L qu’en notant W0 (σ) l’analogue de W0 (σ) pour L, l’intersection W0 (σ)˜ r ∩W0L (σ)˜ rL soit non vide.

XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques ˜ et soit Q ˜ un espace parabolique de G ˜ d’espace Soit π ˜ une représentation de G ˜ de Levi L. Ainsi, dans le cas non-archimédien le module de Jacquet (normalisé) πN défini grâce au radical unipotent du sous-groupe parabolique Q de G associé ˜ a une action naturelle de L. ˜ On note π ˜ On la à Q ˜N cette représentation de L. décompose suivant les caractères généralisés pour l’action du centre de L ; on note πL,u la somme des espaces propres généralisés pour les caractères unitaires de ce groupe ; l’espace vectoriel où se réalise naturellement πL,u est un sous-espace de ˜ On note π ˜L,u cet espace muni des opérateurs l’espace de π ˜N qui est stable sous L. ˜ Seule la trace nous intéresse et elle ne dépend que de l’espace de Levi venant de L. et non de l’espace parabolique. Dans le cas archimédien, une construction analogue sera donnée en XI.2.7, on l’admet ici. On suppose que π ˜ est une combinaison linéaire de représentations tempérées. Ainsi l’image de π ˜ dans le groupe de Grothendieck des représentations tempérées

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1259

˜ (modulo les représentations de traces nulles) est une combinaison linéaire de G d’induites de représentations elliptiques. On veut montrer, en suivant l’article de R. Herb [43] : Théorème. La représentation π ˜ est une somme de représentations elliptiques si et ˜ de G ˜ la trace de L ˜ opérant sur π seulement si pour tout espace de Levi propre L ˜L,u est nulle.

XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non-archimédien ˜ et on suppose que la représentation Ici π ˜ est une représentation tempérée de G sous-jacente π de G est irréductible (on dira plus rapidement que π ˜ est irréductible). On sait que deux induites de séries discrètes ayant un facteur commun sont isomorphes ; ainsi à π est associée une paire L, σ formé d’un sous-groupe de Levi et d’une série discrète telles que Q étant un sous-groupe parabolique de G ayant L comme sous-groupe de Levi, l’induite de σ de Q à G contient π comme sousquotient irréductible et cette paire est unique à conjugaison près sous G. On note G (σ) cette induite dont la classe d’isomorphie est bien déterminée. IQ On définit de façon usuelle Wσ comme le stabilisateur dans G de la paire L, σ ˜ σ comme l’analogue dans G. ˜ Ainsi W ˜ σ est un Wσ torseur. modulo L et on définit W ˜ ˜ ˜ ˜ Soit  ∈ Wσ vu comme un élément de G ; en notant L la classe à gauche sous L ˜ on définit un L bitorseur. Et on a LW ˜ σ . On prolonge σ en ˜ σ = LW de l’élément , G ˜ une représentation σ, σ ˜ de ce torseur. Ainsi, on munit IQ d’un prolongement à G dont la trace tordue ne dépend que du choix de σ ˜ ; ce prolongement est donc bien ˜ défini à un scalaire près en tant que distribution sur les fonctions lisses sur G. ˜ On reprend les notations de XI.2.2. On a fixé un prolongement ρ˜ à R unique˜ sur πρ , notée π ˜ρ˜ qui est ment défini à un scalaire près et cela force une action de G uniquement définie de façon à ce que le produit tensoriel π ˜ρ˜ ⊗ ρ˜ soit la restriction ˜×R ˜ à cette sous-représentation. de l’action de G Revenons à π ˜ fixée au départ ; il existe ρ tel que, à un scalaire près π, π ˜ soit ˜ρ ; on peut évidemment modifier le choix de ρ˜ de façon à ce que ce scalaire πρ , π soit 1. ˜ un espace de Levi de G, G ˜ ; alors on définit les modules de JacSoit M, M ˜M . Et on note πM,u , π ˜M,u la sous-représentation qui dans quet ordinaires, πM , π le groupe de Grothendieck donne la somme des sous-quotients ayant un caractère central unitaire ; en d’autres termes les sous-quotients irréductibles de πM,u sont exactement les sous-quotients irréductibles de πM qui sont tempérés. Lemme. On suppose que W0,σ = {1} ; alors πM,u est semi-simple et il est nul si M ne contient pas L. Ce lemme est en fait dû à R. Herb. En effet en [43] 3.5, elle a calculé le semi-simplifié de πM,u . En particulier, elle a montré que ce module de Jacquet est nul si, à conjugaison près, M ne contient pas L. En supposant que M contient M L, on construit l’induite IQ∩M (σ) qui est une représentation tempérée. Alors,

1260

Chapitre XI. Appendice

d’après [43], le semi-simplifié de πM,u est la somme directe des τ , sous-modules M (σ), chacun intervenant avec multiplicité la multiplicité de irréductibles de IQ∩M G π dans l’induite IP (τ ) de τ à G, où P est un parabolique de Levi M . Mais par la réciprocité de Frobenius, (1)

HomG (π, I(τ ))  HomM (πM , τ ) = HomM (πM,u , τ ).

Ainsi τ intervient comme quotient irréductible de π avec cette même multiplicité. D’où la semi-simplicité. On suppose que πM,u n’est pas nul et on suppose donc que M contient L. On a alors clairement le corollaire suivant : ˜, π ˜M,u a même Corollaire. On suppose que W0,σ = {1}. La représentation de M ˜ se trace que la trace de la représentation ⊕τ τ ⊗ HomM (τ, πM,u ) où l’action de M fait sur πM,u et où τ parcourt l’ensemble des sous-M -représentations irréductibles (prises à isomorphisme près) incluses dans IndM Q∩M (σ).

XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet Évidemment, dans le corollaire précédent, on peut ne considérer que les repré˜ , et donc construire une sentations τ stables sous-l’action par conjugaison de M ˜ le produit tenreprésentation τ˜. Ainsi ⊕τ˜ τ˜ ⊗ HomM (˜ τ, π ˜M,u ) a une action de M ˜ sur τ˜ avec l’action diagonale sur HomM (˜ τ, π ˜M,u ) qui s’en soriel de l’action de M déduit ; cette action diagonale est évidemment triviale sur M et donne donc uni˜ /M . Il faut interpréter ce scalaire à quement un opérateur, qui est l’action de M ˜ l’aide du R-groupe. ˜ On fixe L, σ, Q et r˜ dans le R-groupe de l’induite de σ. On a donc défini πr˜ ; c’est une représentation virtuelle et ses modules de Jacquet sont bien définis. ˜ de G ˜ comme dans le paragraphe précédent, on a donc Avec un espace de Levi M ˜ . On suppose toujours qui est une représentation semi-simple de M défini πr˜,M,u ˜ ˜ W0,σ = 1. Comme ci-dessus, la trace de l’action de M sur ce module de Jacquet est la somme des traces sur chacune des composantes : τ˜ ⊗ HomM (˜ τ, π ˜M,u ). On revient à [11] page 88 et 89 pour fixer de façon compatible les extensions ˜ opérant des représentations. On a fixé des opérateurs N (w, σ) pour tout w ∈ R ˜ M , cet opérateur est induit d’un opérateur analogue sur dans IndG (σ). Si w ∈ R Q ˜ est un espace de Levi de G. ˜ Pour toute sous-représentation (σ) car M IndM Q∩M irréductible de RM , χτ intervenant pour l’action de RM dans la décomposition de ˜ l’induite IndM ˜ la Q∩M (σ), stable sous RM , on fixe une extension χτ˜ et on définit τ ˜ par sa trace : pour tout γ˜ semi-simple régulier représentation irréductible de M ˜ : dans M  M (1) tr τ˜(˜ γ ) := |RM |−1 tr χτ˜ (w) ˜ tr (N (w, ˜ σ)IQ∩M (σ)(w˜−1 γ˜ )). ˜M w∈ ˜ R

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1261

Par rapport au paragraphe précédent, on a inversé l’ordre des choix et on les rend ˜ On induit (1), comme en [11] et pour tout compatibles aux choix faits pour G. ˜ semi-simple régulier, pour cela il faut remarquer que pour w ∈ R et pour γ˜ ∈ G ˜ on a w ˜∈R G G ˜  )−1 , σ)IQ (σ)(w w ˜−1 (w )−1 γ˜ )) = tr (N (w, ˜ σ)IQ (σ)(w˜−1 γ˜ )). tr (N (w w(w

C’est l’analogue de l’assertion de [11] avant dernière formule de la page 89. Et ceci ˜ résulte des définitions, pour tout w ∈ R  −1 G (σ)(w˜ γ˜ )) = χρ˜(w ) tr ρ˜(˜ γ ). (2) tr (N (w˜ , σ)IQ ρ

Maintenant on peut induire (1) pour obtenir :  G (3) tr Ind τ˜(˜ γ ) = |R|−1 tr ind(χτ˜ )(w) ˜ tr (N (w, ˜ σ)IQ (σ)(w˜−1 γ˜ )). ˜ w∈ ˜ R

En reportant (2) dans (3), on trouve que   tr Ind τ˜(˜ γ) = (|R|−1 tr ind(χτ˜ )(w) ˜ tr χρ˜(w)) ˜ tr ρ˜(˜ γ ). ρ

˜ w∈ ˜ R

Le terme entre parenthèses (|R|−1 w∈ ˜ tr χρ˜(w)) ˜ est un scalaire ˜ tr ind(χτ˜ )(w) ˜ R τ , ρ˜). qui calcule la ”multiplicité” de χρ˜ dans l’induite de χτ˜ et que l’on note x(˜ Avec ces choix, pour tout ρ˜ intervenant ci-dessus, HomG (Ind τ˜, ρ˜) a précisément ˜ un opérateur dont la trace est ce scalaire x(˜ pour action diagonale de G τ , ρ˜). ˜ ˜ Lemme. Soit r˜ ∈ R. L’action de G dans HomG (Ind τ˜, πr˜) a pour trace la trace de r ). r˜ agissant dans ind χτ˜ , c’est-à-dire tr ind(χτ˜ )(˜

Par définition r )˜ ρ et avec les calculs fait ci-dessus, la trace

πr˜ vaut ρ˜ tr ρ˜(˜ cherchée vaut ρ˜ x(˜ τ , ρ˜) tr ρ˜(˜ r ) ou encore tr ind(χτ˜ )(˜ r ). ˜ dans Lemme. Avec les notations précédentes, la trace de l’action de M HomM (˜ τ , πr˜,M,u ) r ). En particulier cette trace est nulle si r˜ n’est pas conjugué d’un est tr ind(χτ˜ )(˜ ˜. élément de M On obtient ce lemme à partir du lemme précédant en remarquant que la ˜ /M = réciprocité de Frobenius identifie HomM (˜ τ , πr˜,M ) et HomG (Ind τ˜, πr˜). Or M ˜ ˜. G/G et l’identification est compatible à l’action de M Corollaire. Avec les notations précédentes et en supposant que L est inclus dans M , ˜ associées aux triplets (L, σ, r˜ ) alors π ˜r˜,M,u est la somme des représentations de M ˜ . Précisément, la représentation où r˜ parcourt les conjugués de r˜ inclus dans M associée à un tel triplet (L, σ, r˜ ) intervient avec la multiplicité [ZR (˜ r ) : ZRM (˜ r )], r ) et ZRM (˜ r ) sont les commutants de r˜ dans R et RM . où ZR (˜ C’est un corollaire du lemme précédent.

1262

Chapitre XI. Appendice

XI.2.6 Le calcul en général Ici, on lève l’hypothèse W0,σ = 1 posée dans les paragraphes précédents. On fixe ˜ L, σ et r˜ dans le R-groupe de l’induite de σ. On note π ˜ la représentation de ˜ ˜ de G ˜ et on va G déterminée par ce triplet. On considère un espace de Levi M  ˜ ˜ calculer π ˜M,u . On sait qu’il existe un espace de Levi M de G tel que L ⊆ M  , que M ˜  . On fixe un tel espace ˜ et que le triplet (L, σ, r˜) soit elliptique dans M r˜ ∈ R  ˜ ˜ et on suppose pour simplifier que M et M contiennent un même espace de Levi ˜ 0 )/M0 . ˜ 0 . On note W G˜ = NormG (M minimal M ˜ associées Lemme. La représentation π ˜M,u est somme des représentations de M ˜ ˜ ˜ M aux triplets w(L, σ, r˜) quand w décrit l’ensemble des éléments de W \W G /W M  ˜ )⊂M ˜. tels que w(M ˜ ce lemme dit que π ˜  = G, ˜M,u = Notons que, si π ˜ est elliptique, c’est-à-dire M ˜ ˜ ). Cela résulte immédiatement du 0 si M est propre (et évidemment π ˜G,u = π ˜ est corollaire précédent puisqu’alors l’hypothèse W0,σ est vérifiée et que, si M propre, il ne contient aucun conjugué de (L, σ, r˜). Passons au cas général. On note ˜  associée à (L, σ, r˜). La formule de Bernstein–Zelevinsky π ˜  la représentation de M calculant les modules de Jacquet des induites a été généralisée au cas tordu par Henniart et Lemaire [42] 2.10. Cette formule s’adapte immédiatement aux modules ˜ ˜ ˜ de Jacquet unitaires et on obtient que π ˜M,u est la somme sur w ∈ W M \W G /W M  ˜ des représentations w(˜ ˜ ˜ des induites à M πw ˜ −1 (M)∩M  ,u ) de w(M ) ∩ M . Puisque π   ˜ , la représentation π est elliptique dans M ˜ −1 se calcule comme on vient  w

(M)∩M ,u

de le voir ci-dessus : elle est nulle si w−1 (M ) ne contient pas M  (ce qui équivaut ˜ ) ne contient pas M ˜  ) et elle est égale à π à w−1 (M ˜  si w−1 (M ) contient M  . Le lemme en résulte.

XI.2.7 Le cas archimédien Ici on suppose que F = R puisque le cas F = C en résulte par restriction des ˜ de G ˜ et on scalaires. On fixe, comme précédemment, un sous-espace de Levi M ˜ ˜ note P un espace parabolique d’espace de Levi M . On note P et M les sous-groupes ˜. correspondant à P˜ et M Harish-Chandra a défini le terme constant le long de P pour des fonctions satisfaisant des conditions de croissance en [38] section 21 ; en [39] théorèmes 1 et 2, il étend cette définition aux distributions tempérées. ˜ que l’on suppose tempérée ; on rappelle Soit π, π ˜ une représentation de G, G que d’après [29] 3.5.1, le caractère de π ˜ est tempéré au sens d’Harish-Chandra. On définit alors le terme constant du caractère de π et de π ˜ , notée θπ,P et θπ˜ ,P respectivement. En [39] 5.6, Harish-Chandra a donné une interprétation de θπ,P . En effet, notons V un espace de π. L’espace vectoriel des coefficients matriciels pour π et

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1263

celui pour π ˜ coïncident ; on note V0 le sous-espace de V formé des éléments tels que le terme constant de tout coefficient matriciel dont un des éléments est dans ˜ , admissible V0 est nul. On pose V := V /V0 ; c’est une représentation pour M, M (c’est un quotient de l’homologie en degré 0 pour le radical unipotent de P qui est une représentation admissible d’après [84] section 5.8). D’après [39] 5.6, le terme constant θπ,P en tant que fonction sur M est le caractère pour l’action de M sur V . En effet, soit v, v  des éléments de V et V  (le dual lisse de V ) donnant lieu à un coefficient matriciel ; dans V  on considère l’orthogonal de V0 noté V0⊥ . On note p, p la projection de V sur V et celle de V0⊥ sur le dual lisse de V . La distribution f → π(f )v, v   est tempérée et son terme constant est caractérisé, d’après[39] 2.1, par la valeur de la distribution sur les fonctions à support compact dans N M N où N est le radical unipotent du parabolique opposé à P . Or pour v  ∈ V0⊥ et nmn dans cette décomposition, on a : p(π(nmn)v), p (v  ) = π(m)p(v), p (v  ) . Ainsi (à la constante près définie par [39] qui vient des mesures), le terme constant du coefficient matriciel associé à v, v  est le coefficient matriciel associé à p(v), p (v  ). On en déduit ensuite l’assertion de [39] 5.6. Ainsi la même assertion est ˜ dans V : θ ˜ est la vraie dans le cas tordu c’est-à-dire pour π ˜ et l’action de M π ˜ ,P ˜ opérant dans V . trace de M On note V M,u le sous-espace de V sur lequel le tore déployé maximal du centre de M opère par des caractères généralisés unitaires. C’est une représentation ˜ dans V M,u . ˜ . On note π pour M et pour M ˜M,u la représentation de M On note n l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et on définit aussi, VN,u le sous-espace de H0 (n, V ) (l’homologie en degré 0) sur lequel le tore déployé du centre de M agit par des caractères généralisés unitaires. Il existe une applica˜ équivariante. Sous l’hypothèse tion naturelle surjective de VN,u sur V M,u , M, M que la représentation V est tempérée, les exposants unitaires sont nécessairement maximaux. Lemme. Soit V une représentation tempérée de G donc sous-module d’une induite de série discrète, σ, (uniquement déterminée) ; on suppose que W0,σ = 1. L’application naturelle de VN,u dans V M,u est une bijection et chacun de ces espaces est une représentation semi-simple de M . On note σ, L, Q un triplet formé d’un sous-groupe parabolique Q de G, d’un sous-groupe de Levi L de Q et d’une série discrète unitaire σ de L tel que π soit G (σ). On vérifie d’abord que VN,u = 0 si M ne contient sous-quotient de l’induite IQ pas un conjugué de L : en effet supposons que VN,u ne soit pas nul. Alors il existe un quotient irréductible τ (qui est nécessairement une représentation tempérée) de cette représentation et par la réciprocité de Frobenius, π est une sous-module M  de l’induite de τ . Ainsi τ est un sous-quotient d’une induite IQ  ∩M (σ ) de série discrète pour M . Par unicité des données, le couple L, σ est conjugué du couple L , σ  où L est un sous-groupe de Levi convenable de Q ∩ M . D’où l’assertion.

1264

Chapitre XI. Appendice

G On montre que (IQ (σ))N,u (défini de façon analogue à VN,u ) est la somme M   directe des représentations IQ  ∩M (σ ) où Q ∩ M est un sous-groupe parabolique de M contenant un sous-groupe de Levi L tel que L , σ  soit conjugué de L, σ, ces couples étant pris à association près sous l’action de M : c’est un calcul sur le caractère des induites (cf. par exemple [40] page 122 preuve de (b) ; le ν de [40] est ici n’importe quel caractère unitaire sachant qu’un tel caractère est exG (σ))N,u est la somme directe des VN,u quand π trêmal). Par semi-simplicité, (IQ G parcourt l’ensemble des sous-représentations de l’induite IQ (σ) ; par réciprocité de Frobenius, VN,u admet comme quotient la somme directe des représentations τ ⊗ HomG (π, IPG (τ )) où τ parcourt l’ensemble des représentations tempérées de M et coïncide donc avec ce quotient. Ainsi VN,u est semi-simple en tant que représentation de M . D’autre part V M,u a exactement les mêmes propriétés que VN,u pour la réciprocité de Frobenius (cf. ci-dessus) ; ceci force le fait que l’application naturelle de VN,u sur V M,u soit un isomorphisme. Pour finir, un referee nous a fait remarquer que l’on ne pouvait pas dire que cette démonstration était tirée de [39]. Nous pensons tout de même qu’elle est due à Harish-Chandra, même si [39] ne fait qu’en esquisser les idées.

XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien ˜ associée à un triplet essentiel (L, σ, r˜) (cf. [81] Soit π ˜ une représentation de G ˜ ˜ On définit π 2.12). Et soit M un espace de Levi de G. ˜M,u en sommant sur les espaces définis dans le paragraphe précédent pour une représentation tempérée irréductible. Alors on a : ˜ dans π Corollaire. On suppose W0,σ = 1. La trace de M ˜M,u est nulle si (L, σ, r˜) ˜ n’est pas conjugué d’un triplet essentiel pour M . On suppose maintenant que L est ˜ sur les représentations inclus dans M , alors la trace est la somme des traces de M   ˜ de r˜ associées aux triplets (L, σ, r˜ ) où r˜ parcourt l’ensemble des conjugués sous R ˜ inclus dans M , pour une normalisation convenable. Précisément, la représentation associée à un tel triplet (L, σ, r˜ ) intervient avec la multiplicité [ZR (˜ r ) : ZRM (˜ r )] Toutes les représentations intervenant dans cet énoncé, y compris π ˜ , dépendent de la normalisation des opérateurs d’entrelacement relatifs à σ et il faut bien sûr choisir les mêmes opérateurs normalisés pour définir chacune d’elles. Ce corollaire est un corollaire de la preuve du lemme précédent : en effet dans le lemme précédent on a calculé π ˜M,u exactement dans les mêmes termes que dans le cas non-archimédien. La démonstration de XI.2.5 ne fait ensuite qu’utiliser les résultats de [11] qui sont valables dans le cas archimédien. D’où le corollaire.

XI.2.9 Une formule d’induction ˜ = LU ˜ Q et P˜ = M ˜ U P deux sous-espaces paraboliques de G. ˜ Soit σ Soient Q ˜ ˜ G ˜ une ω-représentation tempérée de L, posons π ˜ = IndQ˜ (˜ σ ). Le module de Jac-

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1265

quet π ˜M,u défini en XI.2.7 se calcule par la même formule que dans le cas nonarchimédien. Faute de référence, on va donner une démonstration. Pour l’énoncer ˜ minUmin , d’où commodément, fixons un sous-espace parabolique minimal P˜min = M ˜ min )/Mmin . On suppose que P˜ et Q ˜ sont stan˜ G = NormG (M un groupe de Weyl W ˜ et L ˜ contiennent M ˜ min. On dard, c’est-à-dire qu’ils contiennent P˜min , et que M ˜ M \W ˜ G /W ˜ L à l’ensemble de représentants formés des éléments de W ˜G identifie W de longueur minimale dans leur double classe. ˜ M \W ˜ G /W ˜ L des traces des Lemme. La trace de π ˜M,u est la somme sur w ∈ W ˜

représentations IndM σw−1 (M)∩L,u ). ˜ ∩w(L) ˜ w(˜ M ˜ c’est-àNotons L l’ensemble des sous-espaces de Levi semi-standard de G, ˜ ˜ ˜ dire ceux qui contiennent Mmin . Pour R ∈ L, notons Rell l’ensemble des éléments ˜ et R ˜ ell / conj l’ensemble des classes de conjugaison par elliptiques réguliers dans R ˜ ell / conj. Soit f ∈ Cc∞ (G). ˜ On sait que, pour des mesures convenables, R dans R la formule d’intégration de Weyl peut s’écrire sous la forme  ˜ G R ˜ G −1 ˜ f (γ) dγ = |W ||W | D (γ) f (g −1 γg) dg dγ, ˜ G

˜ ell / conj R

˜ R∈L

Gγ \G

cf. [11] page 81. Soit Θ une distribution ω-équivariante localement intégrable, c’est-à-dire donnée par une formule Θ(f ) = θ(γ)f (γ) dγ, ˜ G

où θ est une fonction localement intégrable telle que θ(g −1 γg) = ω(g)θ(γ). La formule précédente appliquée à l’intégrale ci-dessus devient  ˜ ˜ ˜ R ||W ˜ G |−1 (1) Θ(f ) = |W DG (γ)1/2 θ(γ)I G (γ, ω, f ) dγ ˜ ell / conj R

˜ R∈L ˜

(une racine carrée de DG (γ) a été incorporée dans l’intégrale orbitale, par définition de celle-ci). ˜ ˜ localeConsidérons maintenant une distribution ω-équivariante ΘL sur L, ˜ ˜ On définit la distribution ment intégrable donc associée à une fonction θL sur L. ˜ L ˜ ˜ L ˜ induite Θ = IndG ˜ ). Pour un élément assez régulier ˜ Θ de G par Θ(f ) = Θ (fL L ˜ ˜ L G ˜ γ ∈ L, on a l’égalité I (γ, ω, fL˜ ) = I (γ, ω, f ). En utilisant cela et la formule (1) ˜ appliquée à ΘL (fL˜ ), on voit facilement que Θ est localement intégrable et que sa ˜ ∈ L et γ ∈ R ˜ ell , fonction associée θ est déterminée par la formule suivante : pour R  ˜ ˜ ˜ (2) θ(γ) = DG (γ)−1/2 DL (w−1 (γ))1/2 θL (w−1 (γ)). ˜ G /W ˜ L ,w −1 (R)⊂L w∈W ˜

˜

L On introduit la notation IndG ˜ θ = θ. L

1266

Chapitre XI. Appendice ˜

Supposons maintenant que ΘL soit la distribution trace σ ˜ . Alors Θ est la ˜ . Sa distribution distribution trace π ˜ . On introduit la représentation π ˜M,u de M associée est localement intégrable, on note θM,u sa fonction associée. Par définition, ˜ , la limite de δ ˜ (aγ)1/2 θ(aγ) − θM,u (aγ) est nulle quand a ∈ A ˜ tend pour γ ∈ M P M vers l’infini en direction de P˜ . On a aussi (3) la limite de DG (aγ)1/2 DM (γ)−1/2 θ(aγ) − θM,u (aγ) est nulle quand a ∈ AM˜ tend vers l’infini en direction de P˜ . ˜

˜

En effet, on montre facilement que, γ étant fixé, la fonction c(a) = DG (aγ)1/2 DM (γ)−1/2 δP˜ (aγ)−1/2 ˜

˜

tend vers 1 quand a tend vers l’infini comme ci-dessus. L’expression (3) est alors c(a)δP˜ (aγ)1/2 θ(aγ) − θM,u (aγ) = c(a)(δP˜ (aγ)1/2 θ(aγ) − θM,u (aγ)) + (c(a) − 1)θM,u (aγ). Le premier facteur tend vers 0. Puisque π ˜M,u est tempérée, la fonction a → θM,u (aγ) reste bornée. Multipliée par c(a) − 1, ce terme tend vers 0, d’où (3). ˜ ∈ L contenu dans M ˜ et un élément γ ∈ R ˜ ell . Dans Fixons un espace de Levi R le calcul qui suit, on considère des fonctions de a ∈ AM˜ et, pour deux fonctions a → u1 (a) et a → u2 (a), on note u1 (a) ≡ u2 (a) si la limite de u1 (a) − u2 (a) tend vers 0 quand a ∈ AM˜ tend vers l’infini en direction de P˜ . D’après (3), on a ainsi θM,u (aγ) ≡ DG (aγ)1/2 DM (γ)−1/2 θ(aγ). ˜

˜

˜ ⊂ M ˜ , on On utilise la formule (2) pour calculer ce dernier terme. Puisque R peut décomposer la somme en w en une somme en vw, où w parcourt maintenant ˜ G /W ˜ L et v parcourt W ˜ M /W ˜ M∩w(L) . On obtient ˜ M \W W  ˜ ˜ DG (aγ)1/2 DM (γ)−1/2 θ(aγ) = θw (aγ), ˜ M \W ˜ G /W ˜L w∈W

où θw (aγ) = DM (γ)−1/2 ˜

 ˜ M /W ˜ M ∩w(L) , v∈W v −1 (R)⊂w(L)∩M

(4)

DL (w−1 v −1 (aγ))1/2 θL (w−1 v −1 (aγ)). ˜

˜

˜ M , d’où Fixons w. Puisque a ∈ AM˜ , on a v −1 (a) = a pour tout v ∈ W w−1 v −1 (aγ) = aw w−1 v −1 (γ) où aw = w−1 (a). On a aw ∈ AL∩w −1 (M) ˜ ˜ et, parce que w est de longueur minimale dans sa double ˜ classe, aw tend vers l’infini en direction de l’espace parabolique standard de L

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1267

˜ ∩ w−1 (M ˜ ) quand a ∈ A ˜ tend vers l’infini en direction de P˜ . d’espace de Levi L M ˜ ˜ on obtient En appliquant (3) avec G remplacé par L, DL (w−1 v −1 (aγ))1/2 θL (w−1 v −1 (aγ)) ˜

˜

= DL (aw w−1 v −1 (γ))1/2 θL (aw w−1 v −1 (γ)) ˜

˜

˜

−1

˜) (M

L −1 −1 (w−1 v −1 (γ))1/2 θL∩w v (γ)) −1 (M),u (aw w

˜

−1

˜) (M

L −1 −1 (w−1 v −1 (γ))1/2 θL∩w v (aγ)) −1 (M),u (w

≡ DL∩w = DL∩w

˜ ˜

Remarquons que l’on a l’égalité ˜

DL∩w

−1

˜ (M)

(w−1 v −1 (γ)) = DL∩w ˜

−1

˜) (M

(aw w−1 v −1 (γ))

parce que aw appartient à AL∩w −1 (M) ˜ ˜ . D’où aussi ˜

DL∩w

−1

˜) (M

(w−1 v −1 (γ)) = DL∩w ˜

−1

˜ (M)

(w−1 v −1 (aγ)) = Dw(L)∩M (v −1 (aγ)). ˜

˜

˜ L ˜ ˜ En introduisant la fonction w.θL∩w −1 (M) sur w(L) ∩ M définie par  −1  L L (γ )), w.θL∩w −1 (M) (γ ) = θL∩w −1 (M) (w ˜

˜

la formule ci-dessus devient L −1 (aγ)). DL (w−1 v −1 (aγ))1/2 θL (w−1 v −1 (aγ)) ≡ Dw(L)∩M (v −1 (aγ))w.θL∩w −1 (M) (v ˜

˜

˜

˜

˜

Reportons cette formule dans (4). Pour la même raison que ci-dessus, on a l’égalité ˜ ˜ DM (γ) = DM (aγ) et cette formule entraîne  ˜ ˜ ˜ ˜ L −1 θw (aγ) ≡ DM (aγ)−1/2 Dw(L)∩M (v −1 (aγ))w.θL∩w (aγ)). −1 (M) (v ˜ M /W ˜ M ∩w(L) , v∈W v −1 (R)⊂w(L)∩M

˜ par M ˜. On reconnaiît cette expression grâce à la formule (2) où l’on remplace G C’est ˜ ˜ L θw (aγ) ≡ IndM ˜ M ˜ (w.θL∩w −1 (M) )(aγ). w(L)∩ En remontant le calcul, on obtient  θM,u (aγ) ≡

˜

˜

L IndM ˜ M ˜ (w.θL∩w −1 (M) )(aγ). w(L)∩

˜ M \W ˜ G /W ˜L w∈W

A gauche, on a la fonction associée à la trace de la représentation π ˜M,u , évaluée en aγ. A droite, on a la somme des fonctions associées aux traces des représentations ˜ σw−1 (M)∩L,u ), évaluées au même point. Leur différence tend induites IndM ˜ ∩w(L) ˜ w(˜ M vers 0 quand a tend vers l’infini. Mais toutes les représentations sont tempérées, donc les fonctions de a ci-dessus sont des sommes finies de caractères unitaires. Leur différence ne peut tendre vers 0 que si les fonctions sont égales. Cela démontre l’égalité de l’énoncé.

1268

Chapitre XI. Appendice

Corollaire. Le lemme XI.2.6 est valable sur le corps de base R (sans hypothèse sur W0,σ ). La preuve est la même que dans le cas non-archimédien, en utilisant le lemme ci-dessus et le corolaire XI.2.8.

XI.2.10 Preuve du théorème de XI.2.3 Rappelons-en d’abord l’énoncé. On revient à une représentation π ˜ tempérée de ˜ On écrit π G. ˜ dans la base du groupe de Grothendieck des représentations de ˜ définie par les couples (M ˜ , τ˜) (pris à conjugaison près sous G) où M ˜ est un G ˜ et où τ˜ en est une représentation elliptique irréductible, sous-espace de Levi de G c’est-à-dire correspondant à un triplet (L, σ, r˜) où L est un sous-groupe de Levi de ˜ M˜ du M , σ en est une série discrète irréductible et r˜ est un élément régulier de R ˜ ˜ (avec W M˜ = 1) (cf. [81] 2.12) et ces triplets sont essentiels R-groupe de σ dans M 0,σ au sens de [81]. Par définition π ˜ est elliptique si dans cette décomposition il n’intervient que ˜ qui coïncident avec G ˜ et le théorème dit que ceci est équivalent à ce que, les M ˜ de G, ˜ la trace de M ˜ dans les π pour tout espace de Levi M ˜M,u est nulle. Montrons cela. pour L un sous-groupe de Levi de G et σ une série discrète irréductible de L, on note π ˜ [L, σ] la somme des composantes de π ˜ correspondant ˜ , τ˜ où (quitte à conjuguer ce couple sour G), M ˜ contient L et à des couples M τ˜ correspond à un triplet de la forme (L, σ, r˜) où L, σ sont les données fixées. Donc π ˜ est la somme des π ˜ [L, σ] quand (L, σ) parcourt l’ensemble des classes de conjugaison que l’on vient de décrire. ˜ minimal tel que L soit On fixe (L, σ) tel que π ˜ [L, σ] = 0 ; on fixe aussi M ˜ M ˜ M˜ et un sous-groupe de Levi de M vérifiant W0,σ = 1 et il existe r˜ dans le R ˜ associée au π ˜ [L, σ] contient avec un coefficient non nul la représentation de G ˜ triplet (L, σ, r˜) ; cela force, par construction, ce triplet a être essentiel pour G. ˜ Montrons que la condition de minimalité sur M entraîne que π ˜ [L, σ]M,u est ˜ : on fixe r˜ tel que la représentation associée une représentation elliptique de M ˜ alors la représentation ne à (L, σ, r˜) contribue à π ˜ [L, σ]. Si r˜ n’est pas dans M contribue pas au module de Jacquet π ˜ [L, σ]M,u d’après le lemme de XI.2.6 et le ˜ , un élément r˜ qui contribue est nécescorollaire XI.2.9. Et par minimalité de M sairement régulier d’après [81] 2.11 et alors la contribution de cette représentation ˜ associée au triplet (L, σ, r˜) à π ˜ [L, σ]M,u est exactement la représentation de M d’après le lemme de XI.2.6 et le corolllaire XI.2.9. ˜ la condition de minimalité précédente mais en Imposons maintenant à M acceptant en plus que (L, σ) varie. Ainsi π ˜M,u est la somme des représentations ˜ (L, σ, r˜) tels qu’à conjugaison elliptiques associées aux triplets (essentiels pour G) ˜ près (L, σ, r˜) soit un triplet elliptique pour M qui intervient dans π ˜ (les normali˜ sont celles imposées par les choix pour π sations pour M ˜ comme cela a été fait en ˜ sur π XI.2.5). Ainsi la trace de M ˜M,u n’est pas nulle puisqu’un triplet (L, σ, r˜) qui

XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques

1269

˜ l’est aussi pour M ˜ (s’il est inclus dans M ˜ ) et π est essentiel pour G ˜ est elliptique ˜ est M ˜ = G. ˜ Cela prouve le théorème. si et seulement si le seul choix pour M

XI.2.11 Transfert de représentations elliptiques ˜ ; on suppose que la G-trace ˜ Corollaire. Soit π ˜ une représentation de G de π ˜ est un transfert d’une combinaison linéaire stable de représentations elliptiques de groupes ˜ Alors π endoscopiques elliptiques de G. ˜ est elliptique. La preuve du corollaire est la même dans le cas archimédien et le cas non archimédien, seules les notations diffèrent. On la donne dans le cas archimédien, le cas non-archimédien sera traité dans un cadre plus général en XI.4.3

XI.2.12 Preuve du corollaire dans le cas archimédien On montre d’abord que π ˜ est tempérée. On écrit π ˜ dans la base du groupe de Grothendieck formée par les représentations induites à partir de représentations ˜ Si π elliptiques modulo le centre d’espaces paraboliques (standard) de G. ˜ n’est pas tempérée, dans cette écriture intervient des induites avec des paramètres dans la chambre de Weil négative pour l’espace parabolique. On fixe une telle induite, en supposant d’abord que l’espace parabolique est minimal pour ce choix puis (à espace parabolique fixé) que l’exposant est minimal pour ce choix : ˜ minimal avec la on note P˜ un espace parabolique d’espace de Levi noté M propriété qu’en notant A un tore déployé maximal dans le centre de M il existe un caractère ν de A et une représentation elliptique σ ˜ de M intervenant dans l’écriture ci-dessus avec ν dans la chambre de Weyl négative et on suppose ν minimal. On précise le choix de σ ˜ en faisant la combinaison linéaire de toutes les représentations elliptiques intervenant avec le caractère ν et on suppose que la trace de σ ˜ est non ˜ la limite nulle. Il faut vérifier que pour tout m ˜ élément fortement régulier de M ˜ (am) quand a tend vers l’infini dans la direction de P de ν(a)−1 δP˜ (am)1/2 θG˜ π est égale à θσ˜ (m), où les caractères sont normalisés de la façon usuelle. C’est la démonstration du cas non tordu : on remarque d’abord que dans le terme de gauche, quand on écrit π ˜ dans le groupe de Grothendieck n’interviennent que des ˜ puis on utilise la minimalité induites à partir d’espaces paraboliques contenant M de l’exposant, ν. ˜ (am) se calcule par transfert. Explicitons : on fixe l’ensemble fini des Or θG˜ π ˜ et d’un couples (G , m ) formée d’une donnée endoscopique elliptique, G de G   ˜ élément m ∈ G (R) se tranférant en m ; ces couples sont pris à équivalence près. Pour chaque (G , m ) le choix d’un diagramme joignant m à m (cf. [I], 1.8) permet d’envoyer AM˜ en un sous-tore déployé A de Gm ⊂ G . On note M  le commutant de A dans G . D’où une application a → a de AM˜ dans AM  . Et on a ˜

˜ (am) = DG (am)1/2 θG˜ π

 (G ,m )



˜

ΔG (am, a m )DG (a m )1/2 θG π  (a m ),

1270

Chapitre XI. Appendice 

pour les représentations π  de G qui déterminent π ˜ par transfert et où les ΔG   sont les facteurs de transfert. Pour tout (G , m ), l’espace parabolique associé à P détermine un sous-groupe parabolique P  de G de sous-groupe de Levi M  tel que la chambre positive pour P dans AM˜ s’envoie sur la chambre positive pour P  de AM  . On peut récrire la formule ci-dessus    ˜ (am) = cG (a m )ΔG (am, a m )δP  (a m )1/2 θG π  (a m ), δP˜ (am)1/2 θG˜ π (G ,m )

où





cG (a m ) = δP˜ (am)1/2 DG (am)−1/2 δP  (a m )−1/2 DG (a m )1/2 . ˜

On fait tendre a vers l’infini dans la formule ci-dessus après avoir multiplié par ν(a)−1 ; a tend lui aussi vers l’infini dans la direction de P  . Les facteurs de transfert sont des nombres complexes de module 1 donc leur norme vaut constamment 1. Par hypothèse les représentations π  sont elliptiques donc δP  (a m )1/2 |θG π  (a m )| 

reste borné et la limite ν(a)−1 |θG π  (a m )| tend vers 0. On vérifie que cG (a m )  ˜ reste borné et tend vers DM (m)−1/2 DM (m )1/2 . Ainsi la limite quand on multiplie −1 par ν(a) est nulle ce qui donne la contradiction cherchée. Maintenant que l’on est ramené aux représentations tempérées, on peut utiliser la caractérisation de la proposition précédente. Pour cela il suffit de remarquer que par définition du terme constant donnée en XI.2.7, la trace tordue sur les termes constants unitaires sont des transferts de leurs analogues pour les groupes endoscopiques exactement comme ci-dessus. Ils sont donc nuls pour les espaces paraboliques propres puisque ceci est vrai pour les représentations elliptiques que l’on transfère.

XI.3 Stabilité A partir de maintenant on suppose que le corps de base est non archimédien ; les ˜ résultats dans le cas archimédien sont démontrés dans [IV]. Ici on suppose que G est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé et ω = 1. ˜ ; on suppose que pour toute Théorème. Soit π, π ˜ une représentation elliptique de G ˜ G ˜ for˜ vérifiant S (˜ γ , f ) = 0 pour tout élément γ˜ ∈ G fonction cuspidale f sur G tement régulier, on a trace(˜ π )(f ) = 0 alors cette nullité est vraie en enlevant l’hypothèse de cuspidalité sur f . En termes simples, une représentation virtuelle elliptique stable sur l’ensemble des points elliptiques est stable. Dans le cas, où l’on est, du corps de base non-archimédien, la démonstration se fait par voie globale en suivant [13] et en remplaçant les arguments de [13]

XI.3. Stabilité

1271

8.2 à 8.4 par l’utilisation des propriétés locales démontrées précédemment. C’est la méthode que l’on va suivre pour démontrer XI.4 ci-dessous. On ne fait pas la démonstration ici d’autant que ce théorème résulte du même théorème démontré en [13] puiqu’en [III] 2.3 et suivants, il a été montré que le cas quasidéployé et à torsion intérieure, on peut se ramener au cas non tordu. Avec cette démonstration elliptique, il n’est pas clair de voir pourquoi on élimine le cas du corps de base archimédien ; en fait comme on le verra plus loin, dans l’utilisation de la formule des traces, il faut impérativement savoir que le transfert des fonctions peut se faire en gardant la K-finitude. Cela est démontré en [IV] et tous les théorèmes ci-dessous sont démontrés dans le cas archimédien en [IV], pas dans le même ordre et sans utilisation de la formule des traces.

˜ XI.3.1 Décomposition des représentations stables de G ˜ est à torsion intérieure et ω = 1. On suppose encore ici que G est quasi-déployé, G ˜ on la suppose stable, c’est-à-dire que pour Soit π ˜ une représentation virtuelle de G, ˜ dont les intégrales orbitales stables sont nulles, tr π toute fonction f sur G ˜ (f ) = 0. On décompose π ˜ dans le groupe de Grothendieck et en particulier pour toute ˜ de G, ˜ on définit π classe de conjugaison de sous-espace de Levi L ˜L une représentation virtuelle combinaison linéaires de représentations elliptiques modulo le centre ˜ (groupe noté habituellement W G (L) ˜ en ˜ invariante sous l’action de StabG L de L, particulier en [81]) de telle sorte que π ˜ est la somme des induites de π ˜L (le choix de l’espace parabolique pour induire n’a pas d’importance). Corollaire. Chaque π ˜L est stable. C’est essentiellement la même démonstration que dans le cas non tordu mais on la redonne. Soit f une fonction cuspidale. On a évidemment tr π ˜ (f ) = tr π ˜G (f ) ; ainsi l’hypothèse de stabilité de π ˜ entraîne que π ˜G est stable sur les éléments elliptiques ; ici π ˜G est uniquement supposé une combinaison linéaire de représentations elliptiques modulo le centre. On sait donc, grâce au théorème précédent, que c’est une représentation stable. ˜ une classe de conjugaison d’espace de Levi de G ˜ et on suppose que On fixe L  ˜ l’on a déjà montré que π ˜L est stable pour tout espace L contenant strictement ˜ En remplaçant π un conjugué de L. ˜ par la différence de π ˜ avec l’induite de ces représentations, on garde la même hypothèse de stabilité mais on a en plus que π ˜L = 0 si L contient strictement un conjugué de L. On montre que π ˜L est stable. On fixe un espace parabolique P˜ d’espace de ˜ Levi L et on calcule le module de Jacquet de π ˜ pour le radical unipotent de cet espace parabolique.  Le module de Jacquet d’une induite, IndG Q π est, d’après Bernstein et Ze levinski la somme des induites IndL Qw (w.πQw ) où w parcourt un ensemble de représentants des doubles classes du groupe de Weyl de G modulo celui de L et

1272

Chapitre XI. Appendice

celui d’un Levi, MQ de Q, de longueur minimale dans leur double classe et où Qw est un sous-groupe parabolique de L de Levi L ∩ wMQ w−1 tandis que Qw est le sous-groupe parabolique de MQ , w−1 Lw ∩ MQ . Ainsi Qw est un sous-groupe parabolique propre de L sauf si w−1 Lw est inclus dans Q ; dans ce dernier cas π ˜Q = 0 par hypothèse sauf si Q = P (plus exactement si Q et P sont dans la même classe d’association mais on peut alors les supposer égaux). Comme on a précisé que π ˜L est invariant par conjugaison sous le groupe de Weyl de G stabilisant L, le module de Jacquet cherché est donc la somme d’un multiple de π ˜L avec ˜ Toutefois ici on des induites propres en tant que représentation de L et non de L. ˜ sur G est intérieure. est dans le cas où G est quasi-déployé et où l’action de G Alors à tout sous-groupe parabolique est associé un espace parabolique. L’action ˜ est naturelle sur toutes les induites. Donc ainsi le module de Jacquet de π de L ˜ en ˜ est la somme d’un multiple non nul de π tant que représentation virtuelle de L ˜L et de représentations induites propres. Ce module de Jacquet est certainement stable puisque π ˜ est stable et π ˜L est alors stable sur les éléments elliptiques (propriété qui ne voit pas les induites propres). On sait donc, grâce au théorème précédent, que c’est une représentation stable. Ceci termine la preuve.

XI.4 Représentations elliptiques comme transfert ˜ ; alors π Théorème. Soit π ˜ une représentation elliptique de G ˜ est une combinaison linéaire de transferts de représentations elliptiques stables de groupes endo˜ Et réciproquement, le transfert d’une représentation scopiques elliptiques de G. ˜ est une représentation elliptique stable d’un groupe endoscopique elliptique de G ˜ elliptique de G. Ce théorème se démontre en suivant exactement la preuve de [13]. On résume ici la preuve du sens direct du théorème (le plus difficile, en fait) et on l’explicite ˜ dont dans les paragraphes suivants. Soit τ˜ une représentation elliptique de G ˜ ; ici nous on note φτ˜ un pseudo coefficient qui est une fonction cuspidale sur G avons une difficulté quand AG˜ = 1. On fixe un caractère unitaire μ de AG˜ , on suppose que τ˜ se transforme suivant ce caractère et que φτ˜ se transforme suivant le caractère μ−1 , c’est un pseudo coefficient avec un caractère central (cf. [81] 7.2). Bien entendu μ doit satisfaire à la condition de transformation : ad(γ).μ = μω ˜ pour que l’énoncé ne soit pas vide. pour tout γ dans G ˜ ω. Le tranfert de φτ˜ est Soit H une donnée endoscopique elliptique de G, ˜ une fonction cuspidale avec caractère central pour H (quand on fait vraiment intervenir les données auxiliaires indispensables même si on les néglige aussi, on a de toute façon un caractère pour un sous-groupe du centre de H1 la donnée auxiliaire). On note φH τ˜ ce transfert qui n’est bien défini que dans SIcusp (H). On voit SIcusp (H) comme le sous-espace vectoriel de Icusp (H) qui est l’orthogonal pour le produit scalaire elliptique des éléments de Icusp (H) obtenu par transfert à partir des données endoscopiques elliptiques propres de H (cf. [I] (i) de 4.11).

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1273

On identifie alors par la dualité de [81] 7.2 la fonction φH τ˜ a une somme de pseudo coefficients de représentations elliptiques de H avec un caractère central déterminé par μ ou encore cela détermine une représentation elliptique τ˜H sur laquelle la trace sur φH τ˜ vaut 1 et qui donne la trace 0 à tous les éléments de Icusp (H) (avec le même caractère central que φH τ˜ ) orthogonaux pour le produit scalaire elliptique H à φH ). En particulier τ ˜ annule toutes les fonctions cuspidales instables (c’est-àτ˜ dire ayant leurs intégrales orbitales stables nulles) et, grâce au théorème de XI.3 est donc une représentation elliptique stable de H. On note donc τ˜H par τ˜H,st . On vient donc de construire pour toute donnée endoscopique elliptique H de ˜ une représentation elliptique τ˜H,st stable et il est à peu près clair que l’on a G l’égalité :  tr τ˜H,st (f H ) (1) tr τ˜(f ) = H

˜ Et pour démontrer la première partie du pour toute fonction cuspidale f sur G. théorème, il suffit donc de montrer que puisque (1) est vrai pour les fonctions cuspidales alors (1) est vrai pour toutes les fonctions. Pour cela on fixe une fonction f0 et on pose     H (2) φf0 := φτ˜ tr τ˜(f0 ) − tr τ˜H,st (f0 ) , τ˜

H

˜ (prises à homothétie où τ˜ parcourt l’ensemble des représentations elliptiques de G près) ayant μ comme caractère cental. Le terme de droite est fini on le montrera avant de commencer la preuve. L’argument consiste ensuite à globaliser la situation et à montrer que toute fonction test globale ayant φf0 en la place qui nous intéresse et étant cuspidale en deux autres places (de façon à avoir une formule des traces simple), annule le côté spectral de la formule des traces. Par approximation on en déduira que les ˜ sont nulles et comme φf0 ω-intégrales orbitales de φf0 en les points elliptiques de G est une fonction cuspidale cela suffit pour savoir que toute les ω-intégrales orbitales ˜ sont nulles. Donc φf0 est d’image pour des éléments semi-simple réguliers de G ˜ nulle dans Icusp (G, ω). Comme les éléments φτ˜ sont linéairement indépendant dans ˜ ω) d’après [81] 7.2, le coefficient affectant φτ˜ dans la définition de φf0 est Icusp (G, nul pour toute représentation elliptique τ˜ et cela donne l’égalité (1) pour f0 .

XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques Une représentation elliptique est dite simple si elle est associée à un triplet (M, σ, r˜) où M est un sous-groupe de Levi de G, σ est une série discrète de M et r˜ est un élément régulier du R-groupe tordu de σ (cf. [81] 2.11 et 2.12). On dit que deux représentations elliptiques sont homothétiques s’il existe x ∈ C∗ (de norme 1) tel que l’une des représentations se déduise de l’autre par multiplication par x.

1274

Chapitre XI. Appendice

Un triplet comme précédemment ne détermine que la classe d’homothétie d’une représentation elliptique. La proposition suivante est essentiellement un corollaire d’un résultat de finitude dû à Harish-Chandra, comme la preuve va le montrer. Proposition. Soit K un sous-groupe ouvert compact de G. Modulo l’action par tensorisation des caractères non ramifiés de G provenant de iA∗G˜ , il n’y a qu’un ˜ ayant des vecteurs invanombre fini de représentations elliptiques simples de G riants sous K à homothétie près. ˜ Elle, ou plutôt sa En effet fixons une représentation elliptique simple de G. classe d’homothétie, est associée à un triplet (M, σ, r˜). On suppose que cette représentation elliptique a des vecteurs invariants sous K. A fortiori, la représentation de G obtenue en induisant σ a des vecteurs invariants sous K. Cela entraîne que σ a des vecteurs invariants par un sous-groupe ouvert compact K M de M ne dépendant que de K. On fixe M et r˜ que l’on relève en un élément w de NormG˜ (M ) que l’on suppose régulier. On considère l’ensemble des séries discrètes σ  de M ayant des vecteurs invariants sur K M et étant normalisées (à isomorphisme près) par w ; σ fait partie de cet ensemble. On en extrait un sous-ensemble fini E(M, K, w) tel que pour tout σ  ayant les propriétés précédentes, il existe σ0 dans E(M, K, w) et un caractère non ramifié χ de M tel que σ  = χ ⊗ σ0 ; ceci est possible car modulo l’action des caractères non ramifiés de M , il n’y a qu’un nombre fini de séries discrètes de M ayant des vecteurs K M invariants d’après Harish-Chandra. Remarquons que puisque σ  et σ0 sont normalisés par w, on a aussi que χ w χ−1 est dans le stabilisateur de σ0 pour l’action des caractères non ramifiés. On restreint au tore déployé central AM de M . Le groupe des caractères unitaires de ce tore est le quotient de l’espace vectoriel réel, iA∗M par un réseau ; on voit le stabilisateur de σ0 comme un sous-réseau de iA∗M contenant le réseau précédent. L’élément w agit dans iA∗M de façon semi-simple. Le sous-espace vectoriel iA∗G˜ est aussi stable par w et est exactement l’espace propre pour la valeur propre 1 parce que w est régulier ; w laisse stable le réseau stabilisant σ0 et par passage au quotient w agit de façon semi-simple, l’espace propre pour la valeur propre 1 étant exactement l’image de iA∗G˜ . Ainsi, il existe un caractère unitaire de G provenant d’un élément de iA∗G˜ dont la restriction à AM est χ. Notons χ0 ce caractère et χ diffère donc de χ0 par un caractère χ1 non ramifié de M , trivial sur AM , il n’y en a qu’un nombre fini. On a donc montré que modulo l’action des caractères de AG˜ , il n’y a qu’un nombre fini de séries discrètes de M ayant des vecteurs invariants par K M ˜ et invariantes sous l’action de w. Le R-groupe d’une représentation σ est le même que celui d’une représentation σ ⊗ χ1 si χ1 est un caractère provenant de iA∗G˜ et on a donc montré que modulo l’action de tels caractères il n’y a qu’un nombre fini de couples (σ, w) pour M fixé et tels que (M, σ, r˜) (˜ r est l’image de w comme précédemment) soit un triplet elliptique. En faisant varier M dans un ensemble de représentants des classes de conjugaison sous G de sous-groupe de Levi de G, on obtient la proposition.

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1275

Corollaire. L’expression (2) du paragraphe XI.4 est une somme finie. En effet on a fixé f0 avec un caractère central ; cette fonction est K-finie pour un bon sous-groupe compact ouvert K de G. Il n’y a donc qu’un nombre fini de représentations elliptiques simples (à homothétie près) ayant des vecteurs invariants sous K et ayant le caractère central fixé, d’après le lemme précédent. Il n’y a qu’un ˜ et ω. On en fixe une et nombre fini de données endoscopiques elliptiques H pour G il faut encore montrer que tr τ˜H,st (f0H ) = 0 sauf pour un nombre fini de représentations τ˜. On décompose f0H suivant le théorème de Paley–Wiener ce qui nécessite de voir f0H comme un élément de Icusp (H) relevant l’élément bien défini uniquement H la composante elliptique dans cette décomposition et dans SI(H). On note f0,cusp H f0,cusp,st la projection de cette composante elliptique dans SIcusp (H) ; on remarque que f0H est invariant sous les automorphismes de la donnée endoscopique, on supH H puis f0,cusp,st ont aussi cette propriété pose donc comme on a le droit que f0,cusp ˜ d’invariance. Alors il existe un élément de Icusp (G, ω), noté f0 , dont le transfert a H même image que f0,cusp,st dans SIcusp (H) (cf. encore [I], 4.11 (i)) et on note K1 un sous-groupe compact ouvert de G tel que f0 soit biinvariante sous K1 . On a donc ˜ : tr τ˜H,st (f H ) = tr τ˜H,st (f H ) car pour toute représentation elliptique τ˜ de G 0 0,cusp H ) car la représentation τ˜H,st est elliptique, puis cela vaut encore tr τ˜H,st (f0,cusp,st est stable, puis tr τ˜(f0 ) car τ˜H,st est un transfert au moins en les points elliptiques de τ˜. Et ceci est donc nul dès que τ˜ n’a pas de vecteurs invariants sous K1 . On applique alors encore le lemme de finitude précédent pour avoir la nullité cherchée pour presque toute représentation elliptique τ˜ avec les hypothèses faites.

XI.4.2 Globalisation et approximation Ici on note F0 le corps de base p-adique qui était noté F dans les paragraphes ˜ 0 , ω0 les données notées G, G, ˜ ω jusquà précédents. Et de même on note G0 , G ˜ présent. Soit φ0 ∈ Icusp (G0 , ω0 ) ; le ω0 introduit une réelle difficulté. On suppose aussi que φ0 a un caractère unitaire, ν0 , sous l’action de AG˜ . ˜ ω qui en une place v de On suppose que pour toute donnée globale, F, G, G, ˜ 0 , ω0 et pour toute fonction test f v := ⊗v =v fv qui est F se localise en F0 , G0 , G cuspidale et à support dans les éléments semi-simples réguliers en au moins deux ˜ G (ω, φ0 ⊗ f v ) = 0 où la distribution écrite est le côté géométrique places, on a Igeo de la formule des traces avec un caractère central (cf. XI.9). ˜ 0 , ω0 ). Proposition. Sous ces hypothèses, φ0 est nulle dans Icusp (G Cette proposition est démontrée dans l’appendice en XI.8.

XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème ˜ v l’algèbre de Hecke hors de v et on se limite aux fonctions qui sont On note H cuspidales en au moins deux places et qui en une place sont à support dans l’ensemble des éléments semi-simples réguliers ; on suppose en plus que ces fonctions

1276

Chapitre XI. Appendice

sont invariantes sous AG˜ qui est le AθG de [48] début du paragraphe 6. On a donc une formule des traces simples, dont la partie géométrique se stabilise grâce à ˜ v et pour tout f dans l’algèbre de [48] 6.4.C et [50] V.4.2 : pour tout f˙v ∈ H ˜0 : Hecke de G (∗)

I(f˙v f ) =



˜ H)S ˜ H (f˙v,H f H ), i(G, ˜

˜ H

où à droite on a des distributions stables appliquées à des fonctions transfert de f˙v f ce qui est la formulation de [50] plutôt que celle de [48]. Comme dans [13] 8.1 cette égalité se coupe à l’aide des multiplicateurs ; ceci est possible car toutes les fonctions apparaissant aux places archimédiennes sont K-finies, on utilise donc [IV] 3.4. Pour le lecteur qui ne veut pas utiliser cette référence qui utilise elle-même la première partie de ce chapitre, on peut aussi supposer que les places archimédiennes sont toutes des places complexes où la situation est bien plus simple. On fixe V un ensemble de places suffisamment grand et on ne regarde que les fonctions qui hors de V sont les fonctions caractéristiques des compacts hyperspéciaux. On fixe ν un caractère infinitésimal qui apparaît pour une représentation unitaire de G(F∞ ). Il n’est pas difficile de définir a priori Iν (f˙v f ) : cette distribution, grâce à la formule des traces simple se décompose en une somme de distributions qui sont des traces pour des représentations automorphes de carré intégrable de ˜ G(A) et on ne garde que celles dont le caractère infinitésimal est ν. C’est plus compliqué pour les termes du côté droit puisqu’on n’a pas (pour le moment) de stabilisation spectrale. On procède ainsi : on vérifie d’abord que pour ˜ (où ˜ une donnée endoscopique elliptique fixé, la distribution qui à fH ∈ Isimp (H) H ˜ ˜ représente une donnée auxiliaire pour la donnée endoscopique) associe S H H (fH ) est une somme de caractères stables dans V (finie quand les KH -types de fH sont fixés dans V ) ; l’indice simp signifie que l’on ne regarde que des fonctions cuspidales en au moins deux places de V et à support dans les éléments semisimples réguliers. Cela se montre par récurrence en considérant cette distribution ˜ avec les comme la différence du côté géométrique de la formule des traces pour H ˜ ; la stabilité est démontrée transferts pour les données endoscopiques propres de H puisque c’est le côté géométrique. Quand on développe en termes de caractères, on garde la stabilité et le fait que l’on puisse donc développer en une somme de caractères stables résulte alors de XI.3.1 appliqué dans V . On définit alors Sν (· · · ) en ne gardant que les représentations dont le caractère infinitésimal se transfère en ν. En utilisant les multiplicateurs on transforme l’égalité (∗) en son analogue en ajoutant ν en indice. Ici on utilise la convergence absolue démontrée par Müller [66] pour la partie discrète de la formule des traces pour pouvoir passer à la limite comme dans [13] 8.1.

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1277

On développe les distributions obtenues à ν fixé pour séparer la partie ellip˜ v )) de tique en v (c’est-à-dire les traces sur les représentations elliptiques de G(F la partie parabolique en v. Ce qui nous intéresse est la distribution : f → Iν (f˙v f ), ˜ et plus précisément sur la où f˙v est fixé, dans le groupe de Grothendieck de G, G base obtenue à l’aide des induites de représentations elliptiques :   (1) Iν (f˙v f ) = Iν (f˙v , π ˜ )˜ π (f ) ⊕ Iν (f˙v , σ ˜ )˜ σ (f ). π ˜ ,elliptique

σ ˜ ,induite

On décompose aussi le côté droit de (∗) : d’abord les données endoscopiques ˜ qui se localisent en un groupe endoscopique non elliptique en la place v globales H fournissent une combinaison linéaire stable de représentations qui se transfèrent en des représentations nécessairement induites. On ne considère donc que les données endoscopiques globales qui se localisent en la place v en une donnée endoscopique elliptique locale. On a alors à transférer des distributions stables écrites comme dans XI.3.1 comme une somme d’induites de représentations stables. On ne transfère pour le moment que celles qui sont des induites propres. Si ˜ la l’induite se fait à partir d’un sous-groupe de Levi qui ne se transfère pas à G contribution de ce sous-groupe de Levi qui est une trace d’un transfert de f est nécessairement nulle sur ce transfert de f . Par récurrence sur les dimensions des espaces, pour les Levi qui se transfèrent on peut transférer les représentations en des représentations induites et on le fait. Ainsi du côté droit de (∗), il ne reste que des représentations elliptiques en la place fixée et du côté gauche, on a d’une part la partie elliptique écrite en (1) que l’on n’a pas modifiée et une combinaison linéaire d’induites propres de représentations elliptiques. On va montrer que cette combinaison linéaire est nécessairement nulle. Récapitulons d’abord les notations, ici on fixe f v et on note ˜ par la combinaison linéaire telle que pour toute fonction fv on ait Π  ˜ par (fv ) Iν (f˙v , π ˜ )˜ π (fv ) ⊕ tr Π (2)

π ˜ ,elliptique

=



Sν (f˙v,H , π ˜H,st ) tr π ˜H,st (f H ),

˜ πH,st H,˜

où H parcourt les sous-groupes endoscopiques elliptiques de G0 , ω0 (locaux) et où π ˜H,st parcourt une base des représentations elliptiques stables de H. Et on va ˜ par (fv ) = 0 pour tout fv . démontrer que tr Π ˜ min. Fixons un sous-espace parabolique minimal P˜min , d’espace de Levi M D’où les groupes de Weyl W G0 = NormG0 (Mmin )/Mmin

˜ G0 = NormG0 (M ˜ min )/Mmin . et W

1278

Chapitre XI. Appendice

D’où aussi des chambres de Weyl positives aiguë et obtuse ouvertes C + et + C dans A∗min = A∗Mmin , dont on note C¯ + et + C¯ les adhérences. On munit A∗min de ¯ D’autre part, de M ˜ min se l’ordre partiel λ ≤ μ si et seulement si μ − λ ∈ + C. ∗ ∗ est le sous-espace des éléments déduit un automorphisme θ de Amin et AM˜ min ˜ invariants par θ. On décompose Πpar selon les supports cuspidaux des représentations qui interviennent. Dans chaque composante, il n’y a plus qu’un nombre fini de représentations. Fixons un tel support cuspidal et considérons la compo˜ par . C’est une somme finie d’induites de représentations sante correspondante de Π ˜ ˜ de G ˜ 0 , où σ ˜ est une représentation elliptique de M σ ˜ ⊗ λ d’espaces de Levi M ∗ ˜ ˜ et λ ∈ AM˜ . Quitte à conjuguer M , on peut supposer que M est standard et que λ ∈ −(C¯ + )θ . ˜ par sous la forme On peut donc écrire la composante en question de Π (3)



˜0 G ˜ , λ] ⊗ λ), IndM σ [M ˜ (˜

˜ λ∈Λ M

˜ parcourt les Levi standard et σ ˜ , λ] ˜ [M où Λ est un sous-ensemble fini de (−C¯ + )θ , M ˜ ˜ . Pour simplifier, on a noté IndG0 l’induction est une représentation elliptique de M ˜ M ˜ 0 où P˜M est l’espace de Levi standard d’espace de Levi M ˜ . D’autre de P˜M à G part, il est entendu que, λ étant fixé, il n’intervient dans la somme intérieure ˜ tels que λ ∈ A∗ . Pour tout λ, notons M λ le plus grand que des espaces M ˜ M sous-groupe de Levi standard M  tel que λ appartienne à AM  . Parce que λ est ˜ λ. invariant par θ, M λ l’est aussi et il lui est associé un espace de Levi standard M ˜ intervenant dans la sous-somme de (3) indexée par λ Ainsi, les espaces de Levi M λ ˜ M λ à l’intérieur ˜ sont contenus dans M . On peut faire agir librement le groupe W de cette sous-somme. On peut donc supposer que, dans cette sous-somme, deux ˜ Mλ espaces de Levi intervenant ne sont conjugués par un élément de ce groupe W ˜ , λ] est fixe par le stabilisateur de M ˜ que s’ils sont égaux et aussi que chaque σ ˜ [M dans ce groupe. Supposons que (3) n’est pas nul. On fixe λ0 minimal parmi les ˜ 0 minimal éléments de Λ intervenant vraiment dans la somme, puis un espace M parmi ceux qui interviennent vraiment dans la sous-somme indexée par λ (au sens ˜ 0 ne contient pas strictement un conjugué d’un autre tel espace de Levi). que M ˜ 0 , λ0 ]. On va montrer que On pose pour simplifier σ ˜0 = σ ˜ [M ˜ par,M0 . (4) σ ˜0 ⊗ λ0 intervient de façon non nulle dans le module de Jacquet Π Puisque ce module de Jacquet se décompose selon les différents supports ˜ par par sa composante (3) selon le support cuscuspidaux, on peut ici remplacer Π ˜0 G ˜ , λ] ⊗ λ) intervenant dans (3). pidal fixé. Considérons une composante IndM σ [M ˜ (˜ ˜ , λ]. Le module de Jacquet tordu relatif à M ˜ 0 de Posons pour simplifier σ ˜=σ ˜ (M l’induite ci-dessus se calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky généralisée au cas tordu par Henniart et Lemaire [42] 2.10. On obtient la somme sur w ∈ ˜ G0 / W ˜ M des représentations induites Ind ˜ ˜ w((˜ ˜ M0 \W σ ⊗ λ)M∩w−1 (M0 ) ). W w(M)∩M0

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1279

˜ M0 \W ˜ G0 / W ˜ M à l’ensemble des éléments de W G˜ 0 de Précisément, on identifie W longueur minimale dans leur double classe. Supposons que l’induite ci-dessus indexée par w possède une composante commune avec σ ˜0 ⊗ λ0 . A fortiori, il en est de même des représentations de M0 sous-jacentes. Il existe donc un groupe de Levi standard M0,cusp ⊂ M0 (non tordu) et une composante cuspidale irréductible commune dans les modules de Jacquet relatifs à M0,cusp de Indw(M)∩M0 w((σ ⊗ λ)M∩w−1 (M0 ) ) et de σ0 ⊗ λ0 . Calculons la partie réelle λ0,cusp de l’exposant d’une telle composante. Puisque σ0 est tempérée, la partie réelle d’un exposant cuspidal M0 ,∗ 0 ,∗ +¯ de σ0 appartient à + C¯ ∩ AM M0,cusp . Donc λ0,cusp = λ0 + μ0 , avec μ0 ∈ C ∩ AM0,cusp . Le module de Jacquet relatif à M0,cusp de Indw(M)∩M w((σ ⊗ λ)M∩w−1 (M0 ) ) se calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky. On obtient qu’il existe un élément v ∈ W M0,cusp \W M0 (identifié à un élément de W M0 de longueur minimale dans sa classe) tel que v −1 (M0,cusp ) ⊂ M0 ∩ w(M ) et il existe un exposant cuspidal λ1,cusp de w((σ ⊗ λ)M∩w−1 (M0 ) relatif à v −1 (M0,cusp ) de sorte que λ0,cusp = v(λ1,cusp ). Ou encore il existe un exposant cuspidal λcusp de σ ⊗ λ relatif à Mcusp = w−1 v −1 (M0,cusp ) tel que λ0,cusp = vw(λcusp ). Comme ci-dessus, parce +¯ que σ est tempérée, on a λcusp = λ+μ, où μ ∈ AM,∗ Mcusp ∩ C. On obtient les égalités (5)

λ0,cusp = λ0 + μ0 = vw(λ) + vw(μ).

¯ Les propriétés Puisque λ ∈ −C¯ + , il est bien connu que vw(λ)− λ appartient à + C. M,∗ +¯ de minimalité de w et v et le fait que μ appartient à AMcusp ∩ C entraînent que ¯ Ainsi λ0,cusp = λ + (vw(λ) − λ) + vw(μ), le premier terme vw(μ) appartient à + C. ¯ La relation appartient à −C¯ + et les deux derniers termes appartiennent à + C. (5) dit que λ0 est la projection orthogonale de λ0,cusp sur A∗M0 . Une propriété géométrique familière des systèmes de racines entraîne, sous ces conditions, que λ ≤ λ0 . Or λ0 a été choisi minimal. Donc λ = λ0 . L’égalité (5) se récrit (vw(λ0 ) − λ0 )+ vw(μ) = μ0 . Les deux premiers termes sont des sommes à coefficients positifs ou nuls de racines positives. Leur somme μ0 appartient à AM0 ,∗ , donc ne peut contenir que des racines dans M0 . Il en résulte que chaque terme vw(λ0 ) − λ0 et vw(μ) ne contient que des racines dans M0 , autrement dit appartient à AM0 ,∗ . Puisque v ∈ W M0 conserve cet espace et fixe λ0 , on en déduit que w(λ0 ) − λ0 et w(μ) appartiennent à AM0 ,∗ . Ecrivons w(λ0 ) = λ0 + ν avec ν ∈ AM0 ,∗ . Cette décomposition est orthogonale puisque λ0 ∈ A∗M0 . Puisque w(λ0 ) et λ0 sont de ˜ M λ0 . La même norme, on obtient ν = 0. D’où w(λ0 ) = λ0 , ce qui implique w ∈ W deuxième relation w(μ) ∈ AM0 ,∗ et le fait que μ appartient à AM,∗ Mcusp entraînent que −1

μ appartient à AM∩w (M0 ),∗ . On se rappelle que λcusp est un exposant cuspidal de σ ⊗ λ0 relatif à Mcusp et donc aussi un exposant cuspidal de (σ ⊗ λ0 )M∩w−1 (M0 ) relatif à Mcusp . La propriété précédente signifie que c’est en fait un exposant cuspidal du module de Jacquet unitaire (σ ⊗ λ0 )M∩w−1 (M0 ),u . A ce point, on a ˜ M λ0 et on a montré que éliminé les λ = λ0 et les w qui n’appartiennent pas à W l’on pouvait remplacer les modules de Jacquet (σ ⊗ λ0 )M∩w−1 (M0 ) par leur partie unitaire (σ ⊗ λ0 )M∩w−1 (M0 ),u . On peut maintenant rétablir l’action de l’espace

1280

Chapitre XI. Appendice

˜0 : σ ˜ par,M0 et dans la représentation M ˜0 ⊗ λ0 intervient de la même façon dans Π 



˜0 ˜ , λ0 ] ⊗ λ0 )M∩w−1 (M ),u ), IndM σ [M ˜ M ˜ w((˜ 0 w(M)∩ 0

˜ W ˜ M0 \W ˜ M λ 0 /W ˜M M

˜ parcourt les espaces de Levi intervenant dans la composante de (3) indexée où M ˜ , λ0 ] est elliptique, on a vu en XI.2.6 que par λ0 . Puisqu’une représentation σ[M ˜ , λ0 ] ⊗ λ0 )M∩w−1 (M ),u est nul sauf si M ⊂ w−1 (M0 ). Puisqu’on a supposé (˜ σ [M 0 ˜ 0 minimal, cela entraîne M ˜ =M ˜ 0 puis (˜ ˜ , λ0 ] ⊗ λ0 )M∩w−1 (M ),u = σ M σ [M ˜0 ⊗ λ0 . 0 Il ne reste dans la représentation ci-dessus que la somme des w(˜ σ0 ⊗ λ0 ) sur les ˜ M0 \W ˜ M λ0 / W ˜ M0 . Puisqu’on a aussi supposé σ ˜ M λ0 , on w∈W ˜0 invariante par W obtient σ ˜0 ⊗ λ0 multiplié par le nombre des w. Cela prouve (4). Donc le module de Jacquet de Πpar calculé suivant l’espace parabolique stan˜ 0 a une composante de trace tordue non nulle avec un dard d’espace de Levi M exposant λ0 . On peut encore ajouter le module de Jacquet de la partie elliptique ˜ sans perdre la non nullité : en effet, cette contribution à l’excorrespondant à G posant λ0 nécessite que celui-ci soit nul mais même dans ce cas, grâce à XI.2.3, la contribution est de trace tordue nulle. Pour terminer la preuve, on voudrait que le module de Jacquet du côté gauche de (2) soit un transfert d’un module de Jacquet pour le membre de droite de (2) ; le côté droit n’a que des représentations elliptiques dont les modules de Jacquet propres sont de traces nulles dans la λ0 composante pour la même raison que ˜ par ci-dessus et cela donnerait la contradiction montrant que la trace tordue de Π ˜ 0 . Le problème est que le membre de droite annule toutes les fonctions sur G est a priori une somme infinie qui ne devient finie que quand on fixe fv et pas seulement un K-type selon lequel fv se transforme. On ne peut donc pas comparer les modules ; pour pouvoir les comparer, il faut avoir une égalité de la forme tr σ ˜ (fv ) = ˜H,st (fvH ) avec des représentations de longueur finie, définie H tr σ indépendamment de fv , fv variant dans une famille de fonctions, famille stable par translations à gauche sous a ∈ AM˜ 0 au moins pour a vérifiant |α(a)| < η (où η ∈ R>0 est fixé) pour tout α racine positive de l’espace parabolique standard de Levi M0 . Grâce à Labesse [50], on peut le faire en introduisant comme en [78] 4.2 ˜ 0 ) et K un groupe compact la famille de fonctions suivantes : soit fM0 ∈ Cc∞ (M ouvert de G0 que l’on suppose suffisamment petit. Alors il existe η > 0 de sorte que pour tout a ∈ AM˜ 0 vérifiant comme ci-dessus |α(a)| < η pour toute racine ˜0 de AM˜ 0 agissant dans le radical unipotent de P il existe une fonction a f K sur G vérifiant : (6) a f K est K-invariante à droite sous K ˜ 0 est un élément semi-simple régulier non conjugué du support de (7) si g ∈ G a fM0 (fonction obtenue en translatant fM0 à gauche par a), alors K ) = 0. I(g, ω, a fM 0

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1281

˜ 0 est un élément semi-simple régulier de M ˜ 0 appartenant au (8) et si g ∈ M ˜0 a a K a M support de fM0 , alors I(g, ω, fM0 ) = I (g, ω, fM0 ). On fixe fM0 , K et η. ˜ 0 incluse dans H. On On fixe MH une donnée endoscopique elliptique de M MH note fM0 un transfert de fM0 à cette donnée. Pour toute donnée endoscopique ˜ 0 contenant MH , on fixe KH , ηH tel que l’on puisse faire la elliptique H de G KH construction précédente dans H en partant de cette fonction ; on note alors a fH le résultat, ici on a encore a ∈ AM˜ 0 = AMH par ellipticité. On a fixé toutes les données et on considère η1 suffisamment petit pour que les toutes les fonctions associées aux élements a ∈ AM˜ 0 tel que |α(a)| < η  (pour α comme ci-dessus) KH soient définies. Avec les propriétés (7) et (8) ci-dessus appliquées à a f K et a fH , on voit que la deuxième fonction est un transfert de la première pour les intégrales ˜ 0 stablement conjugués d’un élément orbitales correspondant à des éléments de G ˜ de M0 se transférant en une classe de conjugaison stable de MH . En sommant sur tous les choix de MH (à équivalence près) on construit ainsi les transferts non nuls des fonctions a f K . On a ainsi vérifié qu’il existe η suffisamment petit tel que pour ˜ 0 , ω0 , un sous-groupe compact ouvert toute donnée endoscopique elliptique H de G a K KH tel que pour toutes les fonctions f quand a varie en vérifiant pour toute racine positive α (cf. ci-dessus) |α(a)| < η, admette un transfert à H invariant sous KH . On se rappelle que le côté droit de (2) n’a alors plus qu’un nombre fini de KH (on a fixé le représentations qui ont une trace non nulle sur les fonctions a fH caractère infinitésimal et la fonction aux places autres que v). On s’est donc ramené à une situation finie où on peut faire tendre a ∈ AM˜ 0 vers l’infini. Cela permet de comparer les modules de Jacquet associés à ces représentations évaluées en les fonctions que l’on vient de définir. A droite, on ne voit pas l’exposant λ0 puisque cet exposant est au plus unitaire et comme il est à gauche, on a une contradiction ˜ par (fv ) = 0. qui prouve que tr Π ˜ 0 se transfère sur les elliptiques (cf. XI.4 Toute représentation elliptique π ˜ de G les explications qui suivent l’énoncé) ce qui veut dire qu’il existe une combinaison

π, π ˜H,st )˜ πH,st de représentations elliptiques stables avec linéaire finie, H,˜πH,st c(˜ la bonne propriété de variance sous le groupe d’automorphismes, où π ˜H,st parcourt une base des représentations elliptiques stables (cf. ci-dessus) telle que pour toute fonction cuspidale f on ait l’égalité :  c(˜ π, π ˜H,st )˜ πH,st (f H ). π ˜ (f ) = H,˜ πH,st

On rappelle que les représentations que l’on considère ont un caractère sous l’action de AG˜ 0 que l’on a fixé. On prend pour base des représentations elliptiques ˜ 0 , ω0 ) engendrée par les pseudo stables quand H varie, l’image de la base de Icusp (G ˜ 0 (c’est-à-dire associées à coefficients des représentations elliptiques simples de G un triplet elliptique en [81] 7.2).

1282

Chapitre XI. Appendice

On a donc l’égalité :  (9)

   Iν (f˙v , π ˜) π ˜ (f ) − c(˜ π, π ˜H,st )˜ πH,st (f H ) H,˜ πH,st

π ˜ ,elliptique

  ˜H,st ) − = Sν (f˙v,H , π H,˜ πH,st



 v ˙ Iν (f , π ˜ )c(˜ π, π ˜H,st ) π ˜H,st (f H ).

π ˜ ,elliptique

Si on suppose f cuspidale le membre de gauche est nul par définition, le membre de droite l’est donc aussi mais cela force la nullité des coefficients :  ˜H,st ) − Iν (f˙v , π ˜ )c(˜ π, π ˜H,st ), Sν (f˙v,H , π π ˜ ,elliptique

puisque tout pseudo coefficient des π ˜H,st peut être obtenu par transfert à partir ˜ 0 (c’est la construction de la base décrite ci-dessus). d’une fonction cuspidale sur G Ainsi (9) est nulle pour tout f . On veut montrer que cela force l’égalité pour tout ˜ 0 et pour tout f π ˜ représentation elliptique de G (10)

π ˜ (f ) −



c(˜ π, π ˜H,st )˜ πH,st (f H ).

H,˜ πH,st

Pour cela, on fixe f et on pose     H φf := φπ˜ π c(˜ π, π ˜H,st )˜ πH,st (f ) , ˜ (f ) − π ˜ ,elliptique

H,˜ πH,st

˜ ; la somme est nécessairement finie. où φπ˜ est un pseudo coefficient cuspidal de π Comme φf est cuspidale, Iν (f˙v φf ) =



Iν (f˙v , π ˜ )˜ π (φf ).

π ˜ ,elliptique

Et ceci est nul puisque cela vaut (9) par construction. Puisque ceci est vrai pour tout ν, on a I(f˙v φf ) = 0 pour tout f˙v . Cela entraîne donc que le côté géométrique est nul (c’est le même) d’où pour tout f˙v , Igeo (f˙v φf ) = 0. On utilise alors XI.4.2 pour conclure que φf a toutes ses ω-intégrales orbitales nulles. Cette fonction est donc de trace nulle dans toute représentation et en particulier sur les représentations elliptiques. Mais comme elle est une combinaison linéaire de pseudo coefficients cela veut dire que les coefficients de la combinaison linéaire sont tous nuls ce que nous voulions puisque cette nullité réalise toute ˜ 0 comme un transfert de représentations elliptiques représentation elliptique de G ˜0. stables des groupes endoscopiques elliptiques de G

XI.4. Représentations elliptiques comme transfert

1283

XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations elliptiques et fin de la preuve On récrit ici un peu différemment ce que l’on vient de démontrer, pour pouvoir le citer aisément. On revient à une situation locale. ˜ fixons une représenPour tout sous-groupe endoscopique elliptique H de G, ˜ une représentation virtuelle elliptique tation virtuelle elliptique stable π ˜H,st . Soit π ˜ On suppose que pour toute fonction cuspidale f sur G ˜ on a l’égalité de de G. transfert :  tr π ˜H,st (f H ). (1) tr π ˜ (f ) = H

Corollaire. Alors (1) est vrai pour toute fonction f . On peut d’abord décomposer (1) (sur les elliptiques) en fonction des caractères unitaires de AG˜ et se ramener à démontrer l’égalité en supposant en plus que π ˜ à un caractère unitaire sous AG˜ . C’est alors exactement ce que l’on a démontré. On peut maintenant terminer la preuve du théorème. On fixe H un sous˜ et π groupe endoscopique elliptique de G ˜H,st une représentation elliptique stable de H. Le groupe d’automorphismes de la donnée endoscopique agit canoniquement sur l’ensemble des représentations elliptiques stables ; plutôt que sur l’ensemble des représentations c’est sur l’ensemble des fonctions cuspidales que ce groupe opère (cf. [I] 2.6) et on passe de l’un des ensembles à l’autre via les pseudo-coefficients. Aut(H) la La composante neutre de ce groupe agit trivialement ([I] 2.6) et on note π ˜H,st projection de π ˜H,st sur l’espace des invariants sous ce groupe d’automorphismes. ˜ le transfert f H est une fonction cuspidale Pour toute fonction f cuspidale sur G, sur H invariante sous ce groupe d’automorphismes. Ainsi on a tr π ˜H,st (f H ) = Aut(H) H tr π ˜H,st (f ). On transfère cette représentation sur les elliptiques c’est-à-dire ˜ uniquement déterminée par le que l’on note π ˜ la représentation elliptique de G, ˜ fait que pour toute fonction cuspidale f sur G, on ait, tr π ˜ (f ) = tr π ˜H,st (f H ) : pour voir que cela existe, on suppose qu’un caractère est fixé pour l’action de AG˜ ˜ dont tous les transferts relatifs et on note fπ˜ l’unique fonction cuspidale sur G aux données endoscopiques elliptiques non isomorphes à H sont nuls et dont le Aut(H) transfert à H est une fonction nulle sur l’orthogonal de π ˜H,st et qui vaut 1 sur cette représentation. Alors π ˜ n’est autre que la représentation elliptique dans l’orthogonal du noyau de la forme linéaire σ ˜ → tr σ ˜ (fπ˜ ) et qui a pour trace 1 sur fπ˜ . Cette représentation vérifie (1) et avec le corollaire elle est donc un transfert de πH,st . Cela prouve la fin du théorème.

1284

Chapitre XI. Appendice

XI.5 Conséquences Ici le corps est de nouveau un corps local archimédien ou non-archimédien pour unifier le contexte.

XI.5.1 Prolongement des formules de transfert ˜ et soit π Soit H un sous-groupe endoscopique elliptique de G ˜H,st une représentation stable de H ˜ telle que pour toute fonction f sur Corollaire. Il existe une représentation π ˜ de G ˜ G, on ait l’égalité de transfert tr π ˜ (f ) = tr π ˜H,st (f H ). En XI.3.1, on a décomposé πH,st en somme de représentations induites à partir de représentations elliptiques (modulo le centre) stables. Comme l’induction est compatible au transfert, il suffit d’appliquer le corollaire de XI.4.4 dans le cas non-archimédien et son analogue [III] 3.2 dans le cas archimédien.

XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction Le corollaire ci-dessous a sans doute une démonstration plus élémentaire. Corollaire. ˜ est à torsion intérieure et que (i) On suppose que G est quasi-déployé, que G ˜ ω = 1. Soit f une fonction sur G. On suppose que tr π ˜ (f ) = 0 pour toute ˜ alors les intégrales orbitales stables de représentation tempérée stable de G, ˜ sont nulles. f en tous les points semi-simples réguliers de G ˜ (ii) On ne fait pas d’hypothèses sur G. Soit H une donnée endoscopique elliptique ˜ et soit f une fonction sur G. ˜ On suppose que tr π de G ˜ (f ) = 0 pour toute ˜ représentation tempérée de G qui est un transfert d’une représentation stable de H. Alors la fonction identiquement nulle est un transfert de f à H. On rappelle qu’en utilisant la formule des traces locale non invariante, il résulte de [81] 5.5, que si f annule toutes les représentations tempérées alors les intégrales orbitales de f en tous les points semi-simples réguliers sont nulles. C’est donc ici une version stable et endoscopique de ce résultat. ˜ ; on fixe f ayant la propriété de Montrons (i) par récurrence sur le rang de G ˜ On suppose d’abord que γ˜ l’énoncé. Soit γ˜ un élément semi-simple régulier de G. ˜ n’est pas elliptique et on note L un espace de Levi tel que γ˜ soit elliptique dans ˜ L’intégrale stable de f en γ˜ se calcule en fonction de l’intégrale stable de f ˜ L. L en γ˜ : vérifions cela. Le centralisateur de γ˜ dans G et dans L sont les mêmes. Ainsi toute classe de conjugaison sous G dans la classe de conjugaison stable sous ˜ et coupe L ˜ en une classe G dans la classe de conjugaison stable de γ˜ coupe L

XI.6. Transfert et ramification

1285

˜ De plus f ˜ annule aussi toutes les représentations de conjugaison sous StabG˜ (L). L ˜ tempérées stables de L car l’induction est compatible à la stabilité. Par l’hypothèse de récurrence on obtient donc que l’intégrale orbitale stable de f en γ˜ est nulle. Pour démontrer la même propriété quand γ˜ est elliptique on globalise la situation comme en XI.4.3. On remarque que l’hypothèse faite sur f et XI.3.1 assure que tr π ˜ (f ) = 0 pour toute représentation π ˜ stable (pas seulement les tempérées). On vérifie alors que le côté spectral de la formule des traces stable simple appliqué à f f v est nul pour toute fonction f v cuspidale en au moins deux places différentes de v et à support dans les éléments réguliers. Le côté géométrique est une somme d’intégrales orbitales stables. Comme dans XI.4.2, on en déduit que les intégrales ˜ de f sont nulles. Cela termine la orbitales stables en tout point elliptique de G preuve de (i). (ii) résulte essentiellement de (i). Soit π ˜H,st une représentation tempérée stable de H. On note π ˜ le transfert de π ˜H,st qui existe d’après le corollaire précédent. On a tr π ˜ (f ) = 0 = tr π ˜H,st (f H ). Ainsi f H satisfait aux conditions de (i) et la conclusion de (i) est alors la conclusion cherchée de (ii).

XI.6 Transfert et ramification Lemme. Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endo˜ il existe un sous-groupe ouvert compact K  de G scopique elliptique G de G, ˜ ω) qui annule toute représentation elliptel que pour tout élément f de Icusp (G,  tique n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f G de f dans SIcusp (G ) annulant toute représentation n’ayant pas de vecteur invariant sous K  . ˜ ω, K) l’ensemble des fonctions cuspidales sur G ˜ annulant les On note Icusp (G, représentations elliptiques n’ayant pas de vecteurs K-invariants. Par le théorème de Paley–Wiener, cet espace s’identifie à un produit de fonctions de Paley–Wiener sur iA∗G,F ˜ , produit indexé par un système de représentants des classes d’homo˜ modulo l’action de iA∗ , ayant des thétie de représentations elliptiques de G, ˜ G,F

vecteurs invariants sous K. En tenant compte de la proposition précédente cet ensemble de représentants est fini. Soit G une donnée endoscopique elliptique ˜ On considère le sous-espace vectoriel Ellst (G , K) de Ellst (G ) engendré de G. ˜ ayant des vecteurs invariants par les images des représentations elliptiques de G sous K, c’est-à-dire l’espace vectoriel engendré par les représentations combinai˜ son linéaires de représentations elliptiques de G , stables, dont le transfert vers G modulo le transfert d’une représentation convenable des autres données endosco˜ ayant des vecteurs piques elliptiques est l’une des représentations elliptiques de G  ˜ A∗  = A∗ ; K-invariants. Puisque G est une donnée endoscopique elliptique de G, ˜ G G cette égalité est compatible au transfert au sens de [IV] 2.1 (ii) (cf. la remarque de cette référence) et elle donne une correspondance entre les caractères de AG˜  ,F et ceux de AG,F compatible au transfert : en effet, la correspondance entre éléments ˜

1286

Chapitre XI. Appendice

˜ et de G ˜  de [I] 1.3 et 1.8 donne une application naturelle de semi-simples de G  dans G . Donc un caractère non ramifié de AG˜  ,F donne un caractère de G AG,F ˜ qui se restreint en un caractère de AG,F et c’est la correspondance précédente (cf. ˜ [IV] 2.1). L’espace Ellst (G , K) est donc stable par tensorisation sous iA∗G˜  ,F ; on note SIcusp,st (G , K) l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur Ellst (G , K) ; on voit cet espace comme un sous-espace de SIcusp (G ) en prolongeant par 0 sur l’orthogonal de Ellst (G , K) dans Ellst (G ) pour le produit scalaire elliptique. Comme le transfert est compatible au produit scalaire elliptique d’après la proposition 4.17 ˜ ω, K) sur SIcusp (G ) est incluse dans de [I], par transfert la projection de Icusp (G,  SIcusp,st (G , K). Par finitude, il existe un sous-groupe compact ouvert K  de G tel que SIcusp,st (G , K) annule les représentations elliptiques de G n’ayant pas de vecteurs invariants sous K  . Cela prouve le lemme. Théorème. (i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endoscopique ˜ il existe un sous-groupe ouvert compact K  de G tel elliptique G de G, ˜ ω) qui annule toute représentation tempérée que pour tout élément f de I(G,  n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f G de f dans SI(G ) annulant toute représentation tempérée n’ayant pas de vecteur invariant sous K  . ˜ et soit K  un sous-groupe (ii) Soit G une donnée endoscopique elliptique de G  compact ouvert de G ; alors il existe un sous-groupe compact ouvert K de G tel que pour toute représentation tempérée stable de G dont toutes les composantes irréductibles ont des vecteurs K  -invariants, le transfert est une ˜ dont toutes les composantes irréductibles ont des vecteurs représentation de G K-invariants. ˜ et on démontre le théorème pour les éléments On fixe un espace de Levi M ˜ de I(G, ω) dont les composantes de Paley–Wiener sont nulles sauf celles cor˜ et aux représentations elliptiques respondant à la classe de conjugaison de M ˜ de M . Par passage aux termes constants cet espace de fonctions s’identifie à ˜ , ω)NormG˜ (M) . Soit f une telle fonction que l’on suppose en plus bi-inIcusp (M variante sous K et fM˜ son terme constant. On fixe G une donnée endoscopique ˜ ; si cette donnée ne contient pas de sous-groupe de Levi qui se elliptique de G transfère en un conjugué de M , le transfert des fonctions considérées à G est zéro et il n’y a rien à démontrer pour G . Sinon, on fixe M  un tel sous-groupe de Levi.   Grâce au lemme précédent, on fixe KM  un sous-groupe ouvert de M tel que fM ˜    ait un transfert à M invariant sous KM  , on fixe un tel transfert, f (M  ) ; quitte à    restreindre KM  , on suppose que f (M ) est invariant sous le normalisateur dans   G de M . On fait cela pour toutes les données endoscopiques elliptiques M de M incluses dans G . Ainsi un transfert de f à G annule nécessairement toute représentation tempérée de G qui n’est pas sous-quotient d’une représentation induite à partir de l’une de ces données M et d’une représentation elliptique de cette

XI.7. Calculs cohomologiques

1287

donnée ayant des vecteurs invariants sous KM  . Il existe alors K  un sous-groupe compact ouvert de G tel que tout transfert de f à G annule nécessairement toute représentation tempérée de G n’ayant pas de vecteurs invariants sous K  . Ce K  convient. Cela prouve le (i) du théorème. Pour la preuve de (ii), on fixe G et K  comme dans l’énoncé. Pour tout   espace de Levi M de G , il existe un sous-groupe compact ouvert KM  de M tel    que pour toute représentation elliptique irréductible σ de M l’induite de σ a des  vecteurs K  invariants uniquement si σ  a des vecteurs KM  invariant. Ensuite on procède comme dans la preuve ci-dessus. Corollaire. (i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G et soit G une donnée endosco˜ Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K  de pique elliptique de G.  ˜ qui est K-bi-invariante, il existe une G tel que pour toute fonction f sur G    fonction f sur G qui est K -bi-invariante et qui soit un transfert de f . ˜ on fixe un sous-groupe (ii) Pour toute donnée endoscopique elliptique G de G  compact ouvert KG de G . Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K de G tel pour tout ensemble de fonctions fG indexées par les données G chacune des fonctions étant invariante sour KG s’il existe une fonction f ˜ dont chacune des fG est un transfert pour G , alors on peut choisir sur G f bi-invariante sour K. Cela résulte du théorème précédent via le théorème de Paley–Wiener : en effet dans (i) comme dans (ii), le théorème précédent dit que la fonction que l’on cherche ne vit que sur un ensemble fini de composantes de Paley–Wiener.

XI.7 Calculs cohomologiques XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables modulo le centre ˆ des tores complexes munis d’une action contiSoient F0 un corps p-adique, Tˆ, U ˆ → Tˆ . On définit le nue de ΓF0 et un homomorphisme ΓF0 -équivariant, φˆ : U ˆ φ ˆ → Tˆ ), ce groupe est défini par Kottwitz–Shelstad en [48] groupe H 1,0 (WF0 ; U ˆ

φ ˆ → Tˆ) l’ensemble des couples A3 et par Labesse en [50] : on note Z 1,0 (WF0 ; U ˆ (w → u(w); t) formés d’un cocycle de WF0 dans U et d’un élément de Tˆ satisˆ φ ˆ ˆ → = w(t)t−1 et H 1,0 (WF0 ; U Tˆ) est l’ensemble des faisant à ∀w ∈ WF0 , φ(u(w)) ˆ φ ˆ → Tˆ ) pour la relation d’équivalence la plus classes d’équivalence dans Z 1,0 (WF0 ; U naturelle (cf. [I] 1.12) :

ˆ ˆ ; (u(w), t)  (u(w)w(x)x−1 , tφ(x)). ∀x ∈ U

1288

Chapitre XI. Appendice

ˆ Soit E0 une extension galoisienne finie de F0 tel que ΓE0 agisse trivialement sur U ˆ φ ˆ → Tˆ) se restreint à WE0 en donnant un homoet Tˆ . Un élément de Z 1,0 (WF0 ; U ˆ morphisme de WE dans Ker φ ; cette restriction ne dépend que de la classe d’équi0

ˆ

φ ˆ → Tˆ). valence de l’élément fixé et est donc attachée à un élément de H 1,0 (WF0 ; U ˆ φ

ˆ → Tˆ ) et une extension galoisienne E0 de F0 . On On fixe δ0 ∈ H 1,0 (WF0 ; U ˆ et Tˆ et si δ0 restreint dit que E0 est adaptée à F0 si ΓE0 agit trivialement sur U ˆ ΓF0 ,0 . à WE0 est un homomorphisme non ramifié de WE0 dans (Ker φ) Lemme 1. Quand δ0 est fixé, il existe des extensions galoisiennes E0 de F0 adaptées à δ0 . Voir le paragraphe 9 de [X]. On garde les notations du paragraphe précédent et on fixe δ0 et une extension galoisienne E0 de F0 adaptée à δ0 . On fixe aussi un corps de nombres F et une extension galoisienne finie E de F . On suppose qu’il existe une place v0 de F telle que Fv0 = F0 et qu’il n’existe qu’une seule place de E au-dessus de F et que l’on ˆ ait Ev0 = E0 . On a alors un isomorphisme Gal(E/F )  Gal(E0 /F0 ). Ainsi Tˆ, U ˆ φ ˆ → Tˆ ) sont munis d’action de ΓF triviales sur ΓE . On définit le groupe H 1,0 (WF ; U de façon analogue à la situation locale et on a un homomorphisme de localisation : ˆ

ˆ

φ φ ˆ→ ˆ → Tˆ) → H 1,0 (WF0 ; U Tˆ ). H 1,0 (WF ; U

Lemme 2. L’image de l’homomorphisme de localisation ci-dessus contient δ0 . Voir le paragraphe 9 de [X].

XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable Soit F un corps local different de R ; si F = R, il faudrait passer aux K-espaces, on ˜ de groupe sous-jacent G, définis sur ne le fait pas ici. On considère l’espace tordu G F et ayant des points sur F et le caractère ω de G(F ). On fixe aussi un caractère ˜  = G/A ˜ ˜. unitaire μ de AG˜ (F ). On pose G := G/AG˜ et G G ˜ ) ; on suppose que l’image de γ dans G ˜  (F ) est un Soit γ un élément de G(F ˜ contenant γ. On définit élément fortement régulier. On note T˜ le tore tordu de G alors ˜ ∃g ∈ G(F ), ∃a ∈ A ˜ (F ) | γ  = ag −1 γg}. Xγ := {γ  ∈ G; G Le groupe AG˜ (F ) agit sur Xγ par translations et le groupe G(F ) y agit par conjugaison. On s’intéresse aux fonctions sur Xγ ω-invariantes sous l’action de G(F ) et se transformant par le caractère μ sous l’action de AG˜ (F ), c’est-à-dire les fonctions φ vérifiant : φ(ag −1 γ  g) = ω(g)μ(a)φ(γ  ),

XI.7. Calculs cohomologiques

1289

pour tout a, g, γ  . On remarque qu’une telle fonction est invariante sous l’action de l’image π(GSC (F )) dans G(F ). Pour décrire les orbites de AG˜ (F ) × G(F ) dans Xγ on commence par décrire les orbites sous l’action de π(GSC )(F ) (π est ici l’application naturelle de GSC dans G) puis on décrira l’action de AG˜ (F ) × Gab (F ) où Gab (F ) = G(F )/π(GSC (F )). On rappelle que, T étant un tore fixé de G et Tsc étant un tore de GSC d’image T , π Gab (F ) s’identifie naturellement à H 1,0 (ΓF , Tsc → T ) : en effet soit g ∈ Gab (F ).  Alors il existe z ∈ ZG (F ) et g ∈ GSC (F ) tel que g soit l’image dans Gab (F ) de l’élément zπ(g  ) ∈ G(F ). Ainsi le cocycle w ∈ WF → w(g  )(g  )−1 est à valeurs dans Z(GSC ) et son image sous π est le cobord défini par z. On définit donc ainsi π un élément de Z 1,0 (ΓF , ZGSC → ZG ). Cet élément dépend du choix de z mais π sa classe dans H 1,0 (ΓF , ZGSC → ZG ) n’en dépend pas. De plus changer g par  g ∈ gπ(GSC ) permet de garder le même choix de z et il est facile de voir que Gab (F ) s’identifie bien à π

π

H 1,0 (ΓF , ZGSC → ZG )  H 1,0 (ΓF , Tsc → T ). On introduit aussi le sous-tore U de T engendré par AG˜ et (1 − θ)T (où θ est l’action adjointe sur T de n’importe quel élément de T˜ ) et le groupe H 1,0 (ΓF , Tsc

(1−θ)◦π

→

U ).

On a des applications naturelles de (1)

H 0 (ΓF , AG˜ ) = AG˜ (F ) → H 1,0 (ΓF , Tsc

(1−θ)◦π

→

U ) a → (1, a)

et π

(2)

Gab (F ) = H 1,0 (ΓF , Tsc → T ) → H 1,0 (ΓF , Tsc −1

(tsc (w), t) → (tsc (w), tθ(t)

(1−θ)◦π

→

U)

).

D’où une action de AG˜ (F ) × G(F ) dans H 1,0 (ΓF , Tsc via son quotient Gab (F ).

(1−θ)◦π

→

U ), G(F ) agissant

Lemme. Il existe une application surjective γ  ∈ Xγ → γ  ∈ H 1,0 (ΓF , Tsc

(1−θ)◦π

→

U)

équivariante pour les actions de AG˜ (F ) × G(F ) définies sur chacun des termes. Les fibres de cette application sont précisément les orbites de l’action de GSC (F ) agissant via π et la conjugaison sur Xγ . Soit γ  ∈ Xγ . On fixe a ∈ AG˜ (F ), g ∈ G(F ) tel que γ  = ag −1 γg. Soit σ ∈ ΓF et on écrit que σ(γ  ) = γ  : (gσ(g)−1 )−1 γ(gσ(g)−1 ) = σ(a)a−1 γ.

1290

Chapitre XI. Appendice

˜  (F ) est fortement régulière par hypothèse, cela veut Comme l’image de γ dans G dire que gσ(g)−1 ∈ T (F ). Comme γ ∈ T˜ l’égalité précédente devient (θ − 1)(gσ(g)−1 ) = σ(a)a−1 . Ecrivons g = zπ(gsc ) avec gsc ∈ Tsc (F ) et z ∈ ZG (F ). Considérons l’application de ΓF dans Tsc (F ), σ → α(σ) := gsc σ(gsc )−1 . On calcule : (1 − θ)π(α(σ)) = a(θ − 1)(z)σ(a)−1 σ(θ − 1)(z)−1 . Posons x := a(θ − 1)(z) ∈ U (F ) et l’élément (σ → α(σ), x) est un élément de Z 1,0 (ΓF , Tsc

(1−θ)◦π

→

U ). (1−θ)◦π

Montrons que l’image de cet élément dans H 1,0 (ΓF , Tsc → U ) ne dépend pas des choix : il est clair que le choix de la décomposition g = zπ(gsc ) n’intervient pas, il faut donc uniquement considérer le premier choix celui de a et g. Soit donc a , g  tel que γ  = a (g  )−1 γg  = ag −1 γg. Donc g  ∈ gT (F ) ; on peut donc trouver tsc ∈ Tsc (F ) tel que dans les choix ci = tsc gsc ; cela change α en le cocycle σ → α(σ)gsc σ(tsc )−1 et x en dessus gsc x(1 − θ)π(tsc ). Ceci est l’invariance cherchée. On vérifie aisément que remplacer γ  par a γ  avec a ∈ AG˜ (F ) ci-dessus revient à remplacer (α(σ), x) par (α(σ), xa ).  −1    ) γ π(gsc ) avec gsc ∈ GSC (F ). Alors x Remplaçons maintenant γ  par π(gsc   −1  ne change pas ci-dessus et α(σ) est remplacé par α(σ)gsc σ(gsc ) = α(σ) car gsc est un point à valeurs dans F . (1−θ)◦π

Montrons la surjectivité : soit (α(σ), x) un élément de H 1,0 (ΓF , Tsc → U ). On écrit x = x (1 − θ)π(tsc ) avec tsc ∈ Tsc (F ) et x ∈ AG˜ (F )(1 − θ)(ZG )(F ). Suivant cette décomposition, on écrit x = a(1 − θ)(z). On se ramène à tsc = 1 en changeant α(σ) en un cocycle homologue. Ainsi x = x = a(1 − θ)z. On considère l’image du cocycle défini par α comme un cocycle à valeurs dans GSC ; il est nécessairement trivial car on a supposé que F = R. Ainsi il existe gsc tel que α(σ) = gsc σ(gsc )−1 . On pose alors g = zgsc et γ  := ag −1 γg, c’est un élément ˜ ) et donc de Xγ ; clairement il est dans la préimage de l’élément fixé dans G(F (1−θ)◦π

dans H 1,0 (ΓF , Tsc → U ). Sur cette construction, on vérifie que la fibre audessus de cet élément est l’ensemble des éléments obtenus en remplaçant gsc par n’importe quel élément dans gsc GSC (F ). Le reste du lemme est sans difficulté en suivant les constructions. Remarque. Il y a des fonctions sur Xγ , ω ×μ-équivariantes sous l’action de G(F )× (1−θ)◦π

AG˜ (F ) si et seulement si il existe un caractère du groupe H 1,0 (ΓF , Tsc → U ) dont la restriction à Gab (F ) × AG˜ (F ) (cf. (1) et (2) ci-dessus) est le caractère ω × μ−1 .

XI.8. Approximation

1291

L’espace vectoriel (nécessairement de dimension finie) des fonctions sur Xγ avec les bonnes propriétés d’équivariance est en bijection naturelle avec l’espace (1−θ)◦π

vectoriel engendré par les caractères de H 1,0 (ΓF , Tsc → U ) dont la restriction à Gab (F ) × AG˜ (F ) est le caractère ω × μ−1 . La remarque s’en déduit. Remarque. On peut remplacer le corps local par un corps de nombres du moment que H 1 (ΓF , GSC ) = 1. Ceci se produit si toutes les places archimédiennes de ˜ ) d’image fortement régulière dans G ˜  (F ) et F sont complexes. Fixons γ ∈ G(F ˜ ˜ notons Xγ le sous-ensemble de G(F ) contenant les éléments de G(F ) stablement conjugués d’un élément de AG˜ (F )γ. Alors les orbites de GSC (F ) dans Xγ et les orbites de AG˜ (F ) × G(F ) dans Xγ se décrivent comme ci-dessus.

XI.8 Approximation XI.8.1 Enoncé ˜ 0 , ω0 et un caractère unitaire μ0 de A ˜ (F0 ). On fixe F0 , G0 , G G ˜ 0 (F0 )) les fonctions C ∞ sur G ˜ 0 (F0 ) à support compact moOn note Cμ∞0 ,c (G dulo le tore central AG˜ 0 (F0 ) et se transformant sous AG˜ 0 (F0 ) par le caractère μ0 . On considère dans cet espace le sous-espace vectoriel des fonctions dont toutes les ω0 -intégrales orbitales en des éléments semi-simples réguliers non elliptiques ˜ 0 , ω0 ), Icusp,μ0 (G ˜ 0 , ω0 ) sont, par définition, les quotients des sont nulles. Et Iμ0 (G espaces vectoriels que l’on vient de définir par les sous-espaces vectoriels engendrés par les fonctions dont toutes les ω0 -intégrales orbitales sont nulles. ˜ 0 , ω0 ). On suppose que pour tout corps de nombres F Soit f0 ∈ Icusp,μ0 (G ˜ ω, μ qui se localisent muni d’une place v0 , tout ensemble de données globales G, G, ˜ en la place v0 en F0 , G0 , G0 , ω0 , μ0 et pour toute fonction test f v0 = ⊗v=v0 fv ∈ ˜ v0 ), ω) cuspidale en au moins deux places et à support dans les éléments Iμ (G(A F semi-simples réguliers en au moins une place, on a : (1)

˜

G (ω, f v0 f0 ) = 0 Igeo

˜ 0 , ω0 ). Théorème. Sous ces hypothèses, f0 est nul dans Icusp,μ0 (G Le côté gauche de (1) est une somme finie d’intégrales orbitales sur des élé˜ ) semi-simples réguliers. La démonstration consiste à démontrer que ments de G(F pour un choix judicieux de globalisation et d’une fonction f v0 , le côté gauche de ˜ (1) est un multiple avec un coefficient non nul de l’intégrale I G (γ, ω, f v0 f0 ) et que  ˜ G v=v0 I (γv , ωv , fv ) = 0. La preuve consiste d’abord à construire une situation globale où par lo˜ ) est dense dans G(F ˜ 0 ) ; il suffit de démontrer que calisation l’image de G(F ˜ G ˜ I (γ, ωv0 , f0 ) = 0 pour tout élément γ de G(F ) (fortement régulier).

1292

Chapitre XI. Appendice

On fixe un tel γ et on s’autorise encore des extensions galoisiennes de F et on peut encore jouer sur le choix de f v0 . A partir de là, les démonstrations deviennent de plus en plus compliqués quand on passe du cas non tordu de [13], au cas tordu mais sans caractère de [47] puis au cas traité ici. On peut toujours réduire le support de f v0 de façon à ce que du côté gauche de (1) il n’y ait que des éléments γ  dont les composantes locales hormis éventuellement en la place v0 , sont soient conjugués des composantes locales de γ soit sont ˜v. des éléments de K Alors [47] (et on reviendra ici sur les hypothèses qu’il faut pour appliquer ce résultat) montre que pour de tels γ  , la conjugaison locale vaut aussi en la place v0 . A partir de là les arguments différent. Dans le cas non tordu, on peut s’arranger pour qu’il n’y ait qu’une classe de conjugaison, celle de γ du côté gauche et il est alors facile de conclure. Dans le cas tordu où ω = 1 traité par [47], on garde (en général) plusieurs intégrales orbitales du côté gauche de (1) mais elles sont toutes égales ; chacune est affectée d’un coefficient positif et la nullité de la somme permet de conclure. Dans le cas qui nous concerne, la difficulté supplémentaire vient du fait que les ω intégrales orbitales locales a priori dépendent du choix de l’élément qui sert de ˜ ) dont point de base. Donc même si γ et γ  sont des éléments rationnels dans G(F ˜ toutes les composantes locales sont soit conjuguées soit dans Kv , les ω intégrales orbitales n’ont pas de raison d’être les mêmes. Il faut donc le démontrer, au moins pour des bons choix.

XI.8.2 Rappel des globalisations Pour démontrer le théorème, il faut évidemment des globalisations avec des pro˜ 0 de sorte priétés fines. On rappelle que d’après [47], on peut globaliser F0 , G0 , G ˜ ˜ que G(F ) est dense dans G0 (F0 ) (par localisation en une place fixée v0 ) et tel que AG˜ = AG˜ 0 , c’est-à-dire que Z(G)θ n’est pas plus déployé en la place v0 que ˜ )∗ l’ensemble des éléments de G(F ˜ ) dont l’image dans globalement. On note G(F ˜ ˜ )(F ) est fortement régulier. Cet ensemble est encore dense par localisation (G/A G ˜ 0 (F0 ). Il faut donc prouver que I G˜ 0 (ω0 , γ0 , f0 ) = 0 pour tout γ0 compodans G ˜ )∗ . On fixe donc γ ∈ G(F ˜ )∗ et on note γ0 sa sante locale d’un élément de G(F ˜ ˜ composante locale en v0 . On note T le tore tordu de G tel que T˜(F ) contienne γ. Si T˜ n’est pas elliptique en la place v0 , la composante de γ en cette place n’est pas elliptique et I(ω0 , γ0 , f0 ) = 0 par cuspidalité de f0 . On suppose donc que T˜ est elliptique en v0 et T˜ est alors elliptique puisque AG˜ = AG˜ 0 . ˜ 0 ). La fonction γ  ∈ En XI.7.2, on a défini Xγ0 comme sous-ensemble de G(F  Xγ0 → I(ω0 , γ , f0 ) est une fonction sur Xγ0 , ω0 × μ0 -invariante pour l’action de G(F0 ) × AG˜ (F0 ). Il n’y a rien à démontrer si cette application est identiquement nulle ; on suppose qu’il n’en est pas ainsi et conformément à la remarque de XI.7.2 on fixe un caractère, δ0 , de H 1,0 (ΓF0 , Tsc

(1−θ)◦π

→

U ) qui se restreint en le caractère

XI.8. Approximation

1293

ω0 × μ−1 de G0,ab (F0 ) × AG˜ (F0 ). D’après [48] A3, le groupe des caractères de 0 H 1,0 (ΓF0 , Tsc

(1−θ)◦π

→

ˆ

θ) ˆ (1− U ) est le quotient de H 1,0 (ΓF0 , U → Tˆad ) par l’image de ˆ

θ) ΓF ,0 ˆ (1− Tˆad 0 . On fixe δ0 ∈ H 1,0 (ΓF0 , U → Tˆad ) qui s’envoie sur δ0 .

XI.8.3 Globalisation fine Il faut encore montrer que quitte à remplacer F par une extension galoisienne sans modifier γ, T˜ , le caractère δ0 du paragraphe précédent est la localisation d’un analogue global. Il faut avoir les hypothèses de XI.7.1 ci-dessus. On note T := T /AG˜ et on note encore θ l’action de θ sur T . Comme le groupe H 1 (ΓF0 , X ∗ (Tθ )) est fini, on fixe E0 une extension galoisienne de F0 telle que T soit déployé sur E0 . On a une application naturelle : (1)

H 1 (Gal(E0 /F0 ), X ∗ (Tθ )) → H 1 (ΓF0 , X ∗ (Tθ ))

qui, par finitude, est surjective si E0 est suffisamment grande. On fixe E0 tel que (1) soit surjective et tel que E0 soit adapté à δ0 (cf XI.7.1). Cela ne sert que pour pouvoir utiliser le lemme 4 de [47] qui est un lemme clé pour ce que nous faisons. On va maintenant définir E quitte à étendre F : on commence par remplacer F par une extension galoisienne totalement déployée en v0 et n’ayant que des places archimédiennes complexes. L’existence d’une telle extension est bien connue et rappelée en [X] 3.6. Ensuite on fixe une extension galoisienne E de F tel que T se déploie sur E et il existe une place v0 de E au dessus de v0 tel que Ev0 contienne E0 . On remplace alors F par le corps des points fixes du fixateur de v0 dans Gal(E/F ) et on remplace alors v0 par la restriction de v0 à F . Cela nous ramène au cas où E n’a qu’une place au dessus de v0 que l’on note v0 . On va encore démultiplier v0 en au moins trois places : en tensorisant F et E par une extension de degré supérieure ou égale à trois, totalement décomposée en la place v0 , on fixe, v0 et ui pour i = 1, 2 telles qu’en ces trois places on retrouve la situation locale de départ. On remarque (ce qui est aussi une hypothèse pour pouvoir utiliser [47]) qu’avec ces constructions l’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E0 /F0 ) est un isomorphisme. On applique le lemme de XI.7.1 : on fixe un élément ˆ

θ) ˆ (1− → Tˆad ) δ ∈ H 1,0 (WF , U

qui se localise en δ0 en la place v0 . On a maintenant construit ω et μ des globalisations de ω0 et μ0 : il suffit de restreindre δ à Gab (AF ) × AG˜ (AF ) suivant les applications décrites en XI.7.2 (1) et (2). Et ω, μ sont des caractères automorphes par la théorie du corps de classe. On rappelle qu’en toute place v, δv vérifie la dernière remarque de XI.7.1, c’est-à-dire qu’il y a des fonctions non triviales sur Xγv et que ces fonctions séparent les orbites sous AG˜ (Fv ) × G(Fv ).

1294

Chapitre XI. Appendice

XI.8.4 Début de la preuve du théorème On fixe toutes les données comme dans le paragraphe précédent. On fixe aussi un ensemble de places V de F , contenant v0 , u1 , u2 , Vram , tel que ω, μ soient non ˜ v pour tout v ∈ / V . On demande aussi que V soit ramifiés hors de V et que γv ∈ K suffisamment grand pour que le lemme 5 de [47] soit applicable. / V , on prend une fonction On définit les fonctions f v0 de XI.8.1 : pour v ∈ ˜ v invariante sous Kv et se transformant par μv sous à support dans AG˜ (Fv )K ˜ v , ωv ) (cf XI.8.1 pour les AG˜ (Fv ). Pour tout v ∈ V , v = v0 , on fixe fv ∈ Iμv (G ˜v ˜v G G  notations) telle que I (γv , ωv , fv ) = 1 et I (γv , ωv , fv ) = 0 pour tout γv ∈ Xγv qui n’est pas dans la AG˜ (Fv ) × G(Fv ) orbite de γv . Cela existe parce que l’on a une compatibilité entre μv et ωv (XI.7.1). Puisque γui pour i = 1, 2 est elliptique et fortement régulier modulo AG˜ (Fui ), en ces places on prend fui cuspidale et à support dans les éléments fortement réguliers modulo AG˜ (Fui ). On pose f v0 := ⊗v=v0 fv et on applique l’hypothèse de l’énoncé de XI.8.1 : ˜ G Igeo,μ (ω, f0 ⊗ f v0 ) = 0. C’est une somme finie d’intégrales orbitales en des points  ˜ ) avec des coefficients positifs. On restreint encore le support de fu1 de γ ∈ G(F façon à ne laisser subsister que les γ  qui en la place u1 sont dans Xγu1 . Ecrire que γ  est dans l’orbite de γ sous l’action de AG˜ (F )×G(F ) revient à dire qu’un système d’équations algébriques a une solution dans F ; or on sait que ce système a une solution dans F u1 si γ  intervient de façon non triviale dans la somme et il a donc bien aussi une solution dans F . Notons Ξ l’ensemble des orbites de AG˜ (F ) × G(F ) dans Xγ et on fixe un représentant γ  dans chacune de ces orbites. On vient de montrer qu’en choississant convenablement fu1 , on a  ˜ ˜ G Igeo,μ (ω, f0 ⊗ f v0 ) = c(γ  )I G (γ  , ω, f0 ⊗ f v0 ), γ  ∈Ξ

où les c(γ  ) ≥ 0 avec uniquement un nombre fini de coefficients non nuls. Il reste à montrer le lemme suivant : Lemme. Pour tout γ  ∈ Ξ tel que I G (γ  , ω, f0 ⊗ f v0 ) = 0 ˜

I G (γ  , ω, f0 ⊗ f v0 ) = I G (γ, ω, f0 ⊗ f v0 ), ˜

˜

ou encore que ˜ G Igeo,μ (ω, f0

 ˜ G

⊗ f v0 ) = I (γ, ω, f0 ⊗ f v0 )



 c(γ  ) .

˜ γ  ∈Ξ;I G (γ  ,ω,f0 ⊗f v0 )=0

Il est alors clair que ce lemme termine la démonstration.

XI.8.5 Preuve du lemme (1−θ)◦π

Soit γ  ∈ Ξ ; on lui associe un élément de H 1,0 (ΓF , Tsc → U ) comme cela a été fait en XI.7.2. L’élément γ  se localise en toute place v en γv ; on note

XI.8. Approximation

1295 (1−θ)◦π

γ  v ∈ H 1,0 (ΓFv , Tsc → U ) sa classe de GSC (Fv )-conjugaison. On note φv l’application (cf. XI.7.1 (2)) π

Gab (Fv )  H 1,0 (ΓFv , Tsc → T ) → H 1,0 (ΓFv Tsc

(1−θ)◦π

→

U ),

et ψv l’application (cf. XI.7.1 (1)) AG˜ (Fv )  H 0 (ΓFv , AG˜ ) → H 1,0 (ΓFv Tsc

(1−θ)◦π

→

U ).

θˆ ˆ 1− On va aussi utiliser l’élément δ ∈ H 1,0 (WF , U → Tˆad ) et on le suppose non ramifié θˆ ˆ 1− hors de V , c’est-à-dire que pour tout v ∈ / V la restriction de δv à H 1,0 (Ovnr , U → Tˆad ) est triviale.

On impose la condition que I G (γ  , ω, f0 ⊗ f v0 ) = 0 ; par la condition sur fv pour tout v ∈ V − {v0 }, on sait que γ  est conjugué de γ sous AG˜ (Fv ) × G(Fv ). Donc il existe gv ∈ Gab (Fv ) et av ∈ AG˜ (Fv ) tel que γ v = φv (gv )ψv (av )γ v . Par choix de point de base, δv (γ v ) = 1. D’où γ v = φv (gv )ψv (av ). Par définition ˜

I Gv (γ  , ω, fv ) = ωv (gv )μv (av )I Gv (γ, ω, fv ) = δ(γv )I Gv (γ, ω, fv ). ˜

(1)

˜

˜

Soit v ∈ / V . La non nullité de l’intégrale orbitale globale entraîne qu’il existe ˜ v et on écrit ici dans l’orbite de γv sous AG˜ (Fv ) × G(Fv ) un élément, γv dans K  −1  ˜ v . On introduit γ = av gv γv gv . On a choisi V de telle sorte que γv est dans K comme on l’a déjà fait les groupes et les espaces obtenus en quotientant par le tore ˜  = G/A ˜ ˜ AG˜ et on note avec un  le quotient. En particulier on a l’espace tordu G G   ˜ et on note γ et γ les images de γ et γ dans G (Fv ). v

v,

Hors de V , Kv et Kv, sont associés à des schémas en groupes sur l’anneau des entiers Ov . On définit donc Kv (Ovnr ) et Kv, (Ovnr ). On définit aussi AG˜ (Ovnr ). Montrons qu’il existe k ∈ Kv (Ovnr ) et a ∈ AG˜ (Ovnr ) tel que γv = ak −1 γk. ˜ ,v , c’est le lemme 5 de [47], c’estAprès quotient par AG˜ , c’est-à-dire dans G nr à-dire qu’il existe h ∈ K,v (Ov ) tel que  = h−1 γ h. γ,v

On vérifie que la suite : 1 → AG˜ (Ovnr ) → Kv (Ovnr ) → K,v (Ovnr ) → 1 est exacte et on relève h en un élément k ∈ Kv (Ovnr ). Alors il existe a ∈ AG˜ (F ) tel que γv = ak −1 γk. D’où nécessairement a ∈ AG˜ (F v ) ∩ Kv (Ovnr ) = AG˜ (Ovnr ). D’où l’assertion. Ainsi δv (γv ) = 1 puisque par hypothèse δ est non ramifié hors de v et : I Gv (γ  , ω, fv ) = ωv (gv )μv (av )I Gv (γv , ω, fv ) = δ(γv )I Gv (γv , ω, fv ). ˜

˜

˜

1296

Chapitre XI. Appendice

Montrons encore que I Gv (γv , ω, fv ) = I Gv (γv , ω, fv ) = .1 ˜

(2)

˜

Pour cela on utilise le fait démontré en [79],lemme 5.6 (ii) que I Gv (γv , ω, 1K˜ v ) = I Gv (γv , ω, 1K˜ v ) = 1. ˜

˜

Pour montrer (2), il suffit donc de montrer que si x ∈ G(Fv ) vérifie x−1 γv x ∈ ˜ v alors x−1 γv x ∈ K ˜ v (et le même argument va s’appliquer avec γv ) : on AG˜ (Fv )K ˜ ˜ fixe H : G(Fv ) → AG˜ de façon compatible à l’application analogue pour G(Fv ) et ˜ K ˜ v ) = 0. Alors : tel que H( ˜ −1 γ  x) = H(ak), ˜ ˜  ) = H(x 0 = H(γ v v ˜ v . Ainsi H(a) ˜ si on a écrit x−1 γv x = ak avec a ∈ AG˜ (Fv ) et k ∈ K = 0 et a ∈ AG˜ (Ov ) ⊂ Kv . D’où l’assertion. Donc pour tout v ∈ V , on a aussi (3)

I Gv (γ  , ω, fv ) = δ(γv )I Gv (γv , ω, fv ) = δv (γ  )I Gv (γv , ω, fv ). ˜

˜

˜

Il reste la place v0 ; on sait que γ et γ sont localement conjugués en toute place ˜ ,v pour tout v ∈ de V − {v0 } et qu’il sont conjugués d’un élément de K / V . Les hypothèses du lemme 4 de [47] sont satisfaites (on a fait ce qu’il fallait pour cela) et  ce lemme montre alors que γ,v est conjugué de γ,v0 par un élément de G (Fv0 ). 0 1 Comme H (ΓFv0 , AG˜ (F¯v0 )) = 0 car AG˜ est un tore déployé sur Fv0 , l’application de G(Fv0 ) dans G (Fv0 ) est surjective. Ainsi il existe encore a0 ∈ AG˜ (Fv0 ) et g0 ∈ G(Fv0 ) tel que γ  = a0 g0−1 γg0 . D’où l’égalité de (1) aussi en la place v0 . En regroupant avec (3), on obtient :  ˜  ˜ I(γ  , ω, f v0 f0 ) = I Gv (γ  , ω, fv ) = δv (γ  )I Gv (γ, ω, fv ) v ˜ G

v

= I (γ, ω, f0 ⊗ f ) v0



δv (γ  ).

v



Comme δ est automorphe et γ  rationnel, v δv (γ  ) = 1 et on l’égalité ci-dessus donne ˜ ˜ I G (γ  , ω, f0 ⊗ f v0 ) = I G (γ, ω, f0 ⊗ f v0 ), si l’intégrale de gauche est non nulle, comme annoncé. Cela termine la preuve.

XI.9. La formule des traces simple

1297

XI.9 La formule des traces simple ˜ a) un triplet défini sur F . On considère une Soient F un corps de nombres et (G, G, ˜ F )) vérifiant les conditions : il existe au moins deux fonction f = ⊗v fv ∈ Cc∞ (G(A places v telles que fv soit cuspidale ; il existe au moins une place v telle que fv soit à support fortement régulier ; fv est Kv -finie pour toute place v archimédienne. Les deux termes de la formule des traces ˜

˜

G G Ig´ eom (ω, f ) = Ispec (ω, f )

se simplifient de la façon suivante. On suppose fixées des mesures sur G(AF ) et AG˜  AG˜ . On a ˜

G Ig´ eom (ω, f )  =

[ZG (γ; F ) : Gγ (F )]−1 mes(AG˜ Gγ (F )\Gγ (AF ))I G (γ, ω, f ), ˜

˜ )ell / conj γ∈G(F

˜ )ell / conj est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par où G(F ˜ )ell des éléments fortement réguliers et elliptiques de G(F ) dans l’ensemble G(F ˜ ) ; Gγ est la composante neutre du centralisateur ZG (γ) ; on a posé G(F ˜ G I (γ, ω, f ) = f (g −1 γg)ω(g) dg. (1) Gγ (AF )\G(AF )

˜ ˜ G G ˜ disc est l’ensemble des ω(ω, f ) = π , 0, f ) où Π On a Ispec ˜ disc zπ ˜ I (˜ π ˜ ∈Π ˜ F ) intervenant dans la partie discrète de la représentations irréductibles de G(A formule des traces (discrète au sens d’Arthur) ; puisqu’on est dans la situation tordue, cette notion n’est définie qu’à homothétie près et on doit plutôt consi˜ disc est un ensemble de représentants modulo homothétie, formé de dérer que Π ˜ disc ont représentations unitaires ; rappelons que, par définition, les éléments π ˜∈Π un caractère central ωπ de ZG (AF ) qui est trivial sur AG˜ ; zπ˜ est un scalaire pas forcément positif et incluant le facteur d(θ)−1 qui intervient sournoisement un peu partout ; on a posé ˜

I G (˜ π , 0, f ) = iA∗˜

trace πλ (f ) dλ.

G

XI.10 La formule des traces simple avec caractère Fixons de plus un caractère unitaire μ de AG˜ (AF )/AG˜ (F ). Pour toute place v ∞ ˜ v )) l’espace des fonctions fv sur G(F ˜ v ) qui sont lisses et (G(F de F , on note Cc,μ v à support compact modulo AG˜ (Fv ), vérifient la relation fv (aγ) = μv (a)−1 fv (γ) ˜ v ) et qui sont Kv -finies si v est archimédienne. pour tous a ∈ AG˜ (Fv ) et γ ∈ G(F Si v ∈ Vram et μv est non ramifié, on note 1K˜ v ,μv l’unique élément de cet espace

1298

Chapitre XI. Appendice

∞ ˜ ˜ v et qui vaut 1 sur K ˜ v . On note Cc,μ qui est à support dans AG˜ (Fv )K (G(AF )) le ∞ ˜ produit tensoriel restreint des Cc,μv (G(Fv )), c’est-à-dire l’espace engendré par les ∞ ˜ v )) pour tout v et fv = 1 ˜ (G(F fonctions f = ⊗v fv où fv ∈ Cc,μ Kv ,μv pour presque v tout v. On considère une telle fonction f = ⊗v fv , on suppose qu’il existe au moins deux places v telles que fv soit cuspidale et qu’il existe au moins une place v telle que fv soit à support fortement régulier modulo AG˜ . La notion de cuspidalité se ∞ ˜ v )). La notion de forte régularité définit aussi bien pour des éléments de Cc,μ (G(F v ˜  = G/A ˜ ˜. modulo AG˜ se définit de la façon suivante. On note G = G/AG˜ et G G ˜ ˜ Alors G est un espace tordu sous G . On dit qu’un élément γ ∈ G est fortement ˜  est fortement régulier. On va établir une régulier modulo AG˜ si son image dans G variante de la formule des traces simples pour une telle fonction. On fixe de plus une mesure sur AG˜ (AF ). ˜ ) l’ensemble des éléments de G(F ˜ ) qui sont fortement réguliers Notons G(F ˜ ) par modulo AG˜ et qui sont elliptiques. Le groupe AG˜ (F ) × G(F ) agit sur G(F −1 ˜ ) / ∼ l’ensemble des orbites, que l’on identifie à (a, g, γ) → ag γg. Notons G(F ˜ ) , notons Stab(γ; F ) le fixaun ensemble de représentants. Pour tout γ ∈ G(F teur de γ dans AG˜ (F ) × G(F ). Il contient Gγ (F ) et on vérifie que le quotient Stab(γ; F )/Gγ (F ) est fini. On pose ˜

G Ig´ eom,μ (ω, f )  ˜ [Stab(γ; F ) : Gγ (F )]−1 mes(AG˜ (AF )Gγ (F )\Gγ (AF ))I G (γ, ω, f ), = ˜ ) /∼ γ∈G(F ˜

où I G (γ, ω, f ) est définie par la même formule (1) que dans le paragraphe précédent. Remarques. ˜ ) , on vérifie que la composante locale I G˜ v (γ, ωv , 1 ˜ (1) Pour γ ∈ G(F Kv ,μv ) de l’intégrale précédente vaut 1 pour presque toute place v, pourvu que l’on utilise les mesures non ramifiées standard. ˜  = A ˜ \G. ˜ Parce que (2) Utilisons le groupe G = AG˜ \G et l’espace tordu G G 1 ¯ AG˜ est déployé, le groupe H (ΓF ; AG˜ (F )) est nul. Donc les applications ˜ ) →G ˜  (F ) sont surjectives. On voit que cette derG(F ) → G (F ) et G(F ˜ ) / ∼ sur un ensemble de renière application envoie bijectivement G(F ˜  (F )ell . De même, présentants des classes de conjugaison par G (F ) dans G ˜ pour γ ∈ G(F ) , Stab(γ; F ) est l’image réciproque dans G(F ) du groupe ˜  (F ). ZG (γ ; F ), où γ est l’image de γ dans G On n’a pas supposé que μ était trivial sur AG˜ . Mais il existe un unique caractère μ de AG˜ (AF ) trivial sur AG˜ AG˜ (F ) et un unique élément ν ∈ iA∗G˜ ˜ disc,μ le soustels que μ(a) = μ (a)eν,HG˜ (a) pour tout a ∈ AG˜ (AF ). On note Π   ˜ ˜ ∈ Πdisc et où le caractère central ωπ coïncide avec μ ensemble des π ˜=π ˜ν où π

XI.10. La formule des traces simple avec caractère

1299

sur AG˜ (AF ). Pour une telle représentation π ˜ , on définit l’opérateur π ˜ (f ) = π ˜ (γ)f (γ) dγ. ˜ AG ˜ (AF )\G(AF )

On pose ˜

G Ispec,μ (ω, f ) =



zπ˜ trace π ˜ (f ).

˜ disc,μ π ˜ ∈Π ∞ ˜ (G(AF )) vérifiant les conditions ci-dessus, on a l’égaProposition. Pour f ∈ Cc,μ lité ˜ ˜ G G Ig´ eom,μ (ω, f ) = Ispec,μ (ω, f ).

Preuve. On se ramène d’abord au cas où la restriction de μ à AG˜ est triviale. Il suffit pour cela de définir la fonction f  par f  (γ) = f (γ)eν,HG˜ (γ) pour tout ˜ F ) (on rappelle que l’application H ˜ est normalisée par H ˜ (γ) = 0 si γ ∈ G(A G G  ˜ F )) et on vérifie trivialement que I G˜ ˜ )). Alors f  ∈ C ∞  (G(A γ ∈ G(F  (ω, f ) = c,μ

g´ eom,μ

G G G    Ig´ eom,μ (ω, f ) et que Ispec,μ (ω, f ) = Ispec,μ (ω, f ). L’assertion pour f et μ implique donc celle pour f et μ. Désormais, on suppose μ trivial sur AG˜ . On peut choisir une fonction ϕ ∈ ∞ ˜ Cc (G(AF )) telle que ˜

˜

˜

ϕ(aγ)μ(a) da

f (γ) = AG ˜ (AF )

˜ F ). On voit que l’on peut imposer à ϕ d’être de la forme pour tout γ ∈ G(A ϕ = ⊗v ϕv , avec ϕv cuspidale en au moins deux places et ϕv à support régulier modulo AG˜ en au moins une place. Pour tout a ∈ AG˜ (AF ), on a l’égalité du paragraphe précédent ˜

˜

G G a a Ig´ eom (ω, ϕ) = Ispec,μ (ω, ϕ),

où a ϕ est la fonction définie par a ϕ(γ) = ϕ(aγ). On considère les deux membres de cette égalité comme des fonctions de a. On voit que les deux membres sont invariants par translations par AG˜ (F ). Le lemme 2.1 de Stabilisation de [VI] montre que le membre de gauche (donc aussi celui de droite) est à support compact modulo ce groupe AG˜ (F ). Evidemment, les fonctions sont lisses en a. On a donc l’égalité ˜ ˜ G G a Ig´ (ω, ϕ)μ(a) da = Ispec (ω, a ϕ)μ(a) da. eom AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )

AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )

Posons m = mes(AG˜ AG˜ (F )\AG˜ (AF )). On va prouver que le membre de gauche ˜ G de cette égalité est égal à mIg´ eom,μ (ω, f ) tandis que le membre de droite est égal ˜

G à mIspec,μ (ω, f ). Cela prouvera l’énoncé.

1300

Chapitre XI. Appendice ˜

G a ˜ Dans Ig´ eom (ω, ϕ) intervient l’ensemble de sommation G(F )ell / conj. La condition de régularité modulo AG˜ imposée à fv en au moins une place implique que ˜ ) / conj. Le groupe A ˜ (F ) agit par multiplication l’on peut le remplacer par G(F G ˜ ) / ∼. L’action n’est pas forcément sur cet ensemble. Les orbites s’identifient à G(F libre. On note stab(γ; F ) le stabilisateur d’un élément γ (précisément, pour γ ∈ ˜ ) , stab(γ; F ) est le groupe des a˙ ∈ A ˜ (F ) tels que aγ G(F ˙ soit de la forme g −1 γg G

pour un g ∈ G(F )). Une somme γ∈G(F ˜ ) / conj X(γ) s’écrit donc aussi   | stab(γ; F )|−1 X(aγ). ˙ ˜ ) /∼ γ∈G(F

Ainsi ˜

G a Ig´ eom (ω, ϕ) =



a∈A ˙ ˜ (F ) G

| stab(γ; F )|−1

˜ ) /∼ γ∈G(F



−1 [ZG (aγ; ˙ F ) : Gaγ ˙ (F )]

a∈A ˙ ˜ (F ) G ˜

G mes(AG˜ Gaγ ˙ ω, a ϕ). ˙ (F )\Gaγ ˙ (AF ))I (aγ,

˙ = ZG (γ) et Gaγ Soient γ et a˙ intervenant ci-dessus. On a évidemment ZG (aγ) ˙ = Gγ . L’application (x, g) → x envoie Stab(γ; F ) dans stab(γ; F ) et on vérifie immédiatement que la suite suivante est exacte 1 → ZG (γ; F ) → Stab(γ; F ) → stab(γ; F ) → 1 En conséquence, | stab(γ; F )|[ZG (γ; F ) : Gγ (F )] = [Stab(γ; F ) : Gγ (F )]. On a aussi

˜

˜

˙ I G (aγ, ˙ ω, a ϕ) = I G (γ, ω, aa ϕ).

Enfin, mes(AG˜ Gγ (F )\Gγ (AF )) = m mes(AG˜ (AF )Gγ (F )\Gγ (AF )). Donc

˜

G a Ig´ eom (ω, ϕ) = m





[Stab(γ; F ) : Gγ (F )]

˜ ) a∈A ˙ ˜ (F ) γ∈G(F G ˜

˙ mes(AG˜ (AF )Gγ (F )\Gγ (AF ))I G (γ, ω, aa ϕ).

Multiplions cette expression par μ(a) et intégrons en a ∈ AG˜ (F )\AG˜ (AF ). La somme en a˙ et l’intégrale en a se composent en une unique intégrale en a ∈ AG˜ (AF ). On obtient  ˜ G a Ig´ [Stab(γ; F ) : Gγ (F )]−1 eom (ω, ϕ)μ(a) da = m AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )

mes(AG˜ (AF )Gγ (F )\Gγ (AF ))



˜ ) γ∈G(F ˜

I G (γ, ω, a ϕ)μ(a) da. AG ˜ (AF )

XI.10. La formule des traces simple avec caractère

1301

˜

Mais la dernière intégrale n’est autre que I G (γ, ω, f ). On obtient que le membre ˜ G de droite ci-dessus est égal à mIg´ eom,μ (ω, f ), ce qui est le résultat annoncé. Passons au côté spectral. Pour toute ω-représentation irréductible π ˜ , la dis˜ ˜ F )1 des éléπ , 0, h) est à support dans le sous-ensemble G(A tribution h → I G (˜ ˜ F ) tels que H ˜ (γ) = 0. La fonction ϕ étant fixée, l’ensemble ments γ ∈ G(A G des a ∈ AG˜ (F )\AG˜ (AF ) tels que le support de a ϕ coupe l’ensemble précédent est compact. Notons C ce compact. On obtient que pour tout π ˜ , la fonction ˜ π , 0, a ϕ) est à support dans C. Donc a → I G (˜  ˜ ˜ G a (3) Ispec (ω, ϕ)μ(a) da = zπ˜ I G (˜ π , 0, a ϕ)μ(a) da. AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )

C

˜ disc π ˜ ∈Π

Montrons que : (4) cette expression est absolument convergente. Il est évidemment plus fort de prouver que l’intégrale  |zπ˜ | | trace π ˜λ (a ϕ)| dλ da C

iA∗˜

˜ disc π ˜ ∈Π

G

est convergente. Or trace π ˜λ (a ϕ) = ωπλ (a)−1 trace π ˜λ (ϕ). Le caractère central est forcément unitaire, et l’intégrale ci-dessus est simplement le produit des deux & expressions C da et  |zπ˜ | | trace π ˜λ (ϕ)| dλ. iA∗˜

˜ disc π ˜ ∈Π

G

La première est convergente puisque C est compact. On a prouvé la convergence de la seconde en [X], proposition 7.3, en utilisant les résultats de Müller. D’où (4). En conséquence, l’expression (3) vaut aussi  ˜ zπ˜ I G (˜ π , 0, a ϕ)μ(a) da, C

˜ disc π ˜ ∈Π

ou encore, par le même argument de support que ci-dessus,  ˜ (5) zπ˜ I G (˜ π , 0, a ϕ)μ(a) da. ˜ disc π ˜ ∈Π

AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )

˜ disc . On a l’égalité Fixons π ˜∈Π ˜ I G (˜ π , 0, a ϕ)μ(a) da (6)

AG ˜ (F )\AG ˜ (AF )







= AG ˜ (F )AG ˜ \AG ˜ (AF )

AG ˜

iA∗˜

G

trace π ˜λ (za ϕ) dλ dz μ(a) da.

1302

Chapitre XI. Appendice

On a trace π ˜λ (za ϕ) = e−λ,HG˜ (z) trace π ˜λ (a ϕ). La double intégrale intérieure cidessus disparaît donc par inversion de Fourier. C’est-à-dire trace π ˜λ (za ϕ) dλ dz = trace π ˜ (a ϕ). AG ˜

On a aussi

iA∗˜

G

trace π ˜ (a ϕ) = ωπ (a)−1 trace π ˜ (ϕ)

et l’expression (6) devient simplement trace π ˜ (ϕ) AG ˜ (F )AG ˜ \AG ˜ (AF )

ωπ (a)−1 μ(a) da.

Cette dernière intégrale vaut m si ωπ = μ, 0 sinon. Si ωπ = μ, on transforme le premier terme de la façon suivante : π ˜ (γ)ϕ(γ) dγ π ˜ (ϕ) = ˜ F) G(A = π ˜ (aγ)ϕ(aγ) da dγ ˜ AG ˜ (AF )\G(AF )



AG ˜ (AF )



π ˜ (γ)

= ˜ AG ˜ (AF )\G(AF )

=

μ(a)ϕ(aγ) da dγ AG ˜ (AF )

π ˜ (γ)f (γ) dγ ˜ AG ˜ (AF )\G(AF )

=π ˜ (f ), en utilisant nos définitions. En conséquence, l’expression (6) vaut m trace π ˜ (f ) si ˜ disc,μ , 0 sinon. En utilisant l’égalité de (3) et (5), on obtient que l’expression π ˜∈Π ˜ G (3) vaut Ispec,μ (ω, f ), comme annoncé. 

Index des notations, par ordre alphabétique AG AG AG˜ AG˜ adγ I.1.1 ; a Aut(G ) I.1.5 ; ˆ I.1.6 ; αres α ˜ , M ) I.3.2 ; aM Aut(M c AG˜ (F ) I.4.17 ; A˜G,F II.1.6 ; ˜ ˜

AnnG ˜ II.3.1 ; M

˜

˜

B G BG II.1.11 ; ¯  III.5.1 ; B B ˜ ¯ VII.1.1 ; B G VI.4.4 ; B ˜ ˜ ˜ B inst (L) ˜ B(L) B(L, μ) B st (L) st ˜ inst ˜ B (L, μ) B (L, μ) IX.8.5 ; G Bst X.8.7 ;

˜

AnnG O II.3.2 ;

C1 I.2.1 ; ∞ ˜ 1 (F )) I.2.4 ; Cc,λ (G 1 ˜ G ) I.4.17 ; Cc∞ (G ) I.2.5 ; c(G, ˜ Cac (G(F )) II.1.6 ;

˜

AnnG,st II.3.5 ; O AG AG˜ IV.1.1 ; AVF VI.1.1 ; AG AG˜ VI.1.3 ; ˜ AGV VI.1.4 ; A˜∗ ˜ L G Aunip (V, ω) ˜ G

˜v G

VI.1.5 ;

VI.2.2 ;

A (V, O, ω) VI.2.3 ; ˜

˜

AλG11 (V, O) VI.2.5 ; AG (OV , ω) VI.2.7 ; ˜

AK M (OV , ω) VI.2.9 ; ˜ G,E

A (V, O, ω) VI.5.4 ; ˜ AG (V, X , ω) VII.1.9 ; ˜ AG,E (V, X , ω) VII.1.10 ; ˜ AλG11 (V, X ) VII.1.11 ; AG,E unip (V ) VII.3.1 ; ∗ AG unip;G,ω,S (V ) VII.4.3 ; ˜ ˜ G,E G,E

A

(V, X , ω) A VII.5.1 ;

˜

(V, μ, ωG¯ , ω)

AG,E (V, H, ω) VII.5.3 ; A+ A∗,+ VIII.1.1 ; P˜ P˜ ∗ ˜∗ A˜∨ A∨ ˜ ,F AM ˜ ,F AM ˜ ˜ ,F VIII.1.2 ; M M

cT III.3.1 ; c[y] III.5.2 ; 1 ,G2 cG M1 ,M2 III.6.4 ; χσ IV.1.2 ; ∞ ˜ Ccusp (G(R), K) IV.2.2 ; C[[t(R)]] V.3.5 ; ˜ V ), K) VI.1.1 ; Cc∞ (G(F ∞ ˜ V )) VI.1.7 ; Cac,glob (G(F ∞ ˜ (G1 (FV )) VI.1.15 ; C c,λ1

Cc∞ (GV ) VI.3.3 ; χG VII.1.2 ; ˜ VII.5.8 ; covol(AG,Z VII.4.1 ; C(G) c[dV ] VII.5.9 ; Cc∞ (T˜ (R))ω -inv IX.1.1 ; ˜ G CM ˜ (γ) IX.1.7 ; ˜

˜

KG CK ˜ (γI ) IX.2.4 ; M c(η) IX.4.1 ; cV X.4.1 ;

aM, ˜ G ˜ X.2 ;

D(G ) I.1.8 ; D1 Δ1 Δ1 I.2.1 ; Δimp ΔII ΔII,αres I.2.2 ;

Bη II.1.9 ;

DG I.2.4 ;

˜

© Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0

1303

1304

Index des notations

d(θ∗ ) I.2.4 ; ˜

descG η I.4.1 ; descst  I.4.8 ; Δη I.4.13 ; ˜ ), ω) Dg´eom (O, ω) I.5.1 ; Dg´eom (G(F st st ˜ Dg´ eom (G(F )) Dg´ eom (O) I.5.4 ;  st st   Dg´eom (G ) Dg´eom (G ) Dg´ eom (G , O ) I.5.6 ; ˜

˜

G,∗ descst, Dunip (Gη (F ), ω) descG,∗ η η I.5.10 ; Δimp I.6.3 ; ˜ ˜ ˜ L ) II.1.7 ; dG (L, ˜ M

˜ (F ), ω) II.2.3 ; (M Dg´eom,G,-équi ˜ ˜ (F )) II.2.4 ; Dst (M ˜ g´ eom,G,-équi

st  Dg´ ˜ -équi (M ) II.2.6 ; eom,G

˜ )) Dtemp(G(F ˜ )) Dell (G(F ˜ )) Dspec (G(F III.2.4 ; Δ(y) d(y) III.5.1 ; ˜ ¯ 2 ) δ[y, Z2 ] δ SC δ(Z) δ(Z)G1 δ¯ SC δ(Z ˜ G

δ[y, Z] δ[y, Z] III.5.2 ; Δ(¯ s, y) d(˜ s, y) III.5.4 ; d(˜ s) III.5.5 ; ˜ ˜ Dspec (G(R), ω) Dtemp (G(R), ω) ˜ ˜ ω) Dspec,μ (G(R), ω) Dell (G(R), ˜ ˜ Dell,0 (G(R), ω) Dell,0,μ (G(R), ω) ˜ ω) IV.1.2 ; Dell,C (G(R), d(τ ) IV.1.4 ; ˜  (R)) IV.2.1 ; Dspec,λ1 (G 1 st inst ˜ ˜ Dst ˜ (G) Dell,0 ell,0,μ (G) Dell,0 (G) inst ˜ IV.2.2 ; Dell,0,μ (G) st ˜ IV.2.8 ; Dspec (G(R)) ˜ (R), ω) Dorb,unip (G(R)) V.1.3 ; Dorb (M st ˜ (R)) V.1.4 ; Dg´ (M ˜ eom,G,-équi st ˜ ˜ Dtr-orb (G(R)) Dtr-orb (G(R)) st ˜  (R)) D ˜ Dtr-orb,λ (G tr-orb,λ (G (R)) V.2.1 ; st (O) V.2.2 ; Dtr-orb (O, ω) Dtr-orb

st ˜ ˜ (G(R), O) Dtr-orb (G(R), O) Dtr-orb V.6.3 ; ˜ ˜ ˜V dG ˜ V (M , L ) VI.1.4 ; R Δ(δ1 , γ) VI.3.6 ; ˜ (FV )) VI.4.1 ; Dst (M Dv Dvrel VII.5.4 ; Dvnr Dvnr,0 VII.5.5 ; DV VII.5.6 ; δj [dv ] VII.5.7 ; δ[dV ] VII.5.9 ; DAF DAVF VII.6.7 ; DF VII.6.8 ; DF [dV ] VII.6.9 ; δj [dV , h] VII.6.10 ; D˙ F [dV ] VII.7.1 ; d VII.7.3 ; d(I , G) VII.7.12 ; Diff cst (T˜ (R))ω -inv Diff ∞ (T˜G˜ -reg (R))ω -inv Diff reg (T˜G˜ -reg (R))ω -inv IX.1.1 ; ˜

G δM ˜ (z) IX.1.2 ; ˜

DG (γ) IX.1.4 ; G  δM  (δ, z ) IX.1.8 ; ˜

K G,E δK ˜ (z) IX.2.3 ; M ˜

δ(ϕ) IX.8.4 ; dG (α) X.4.1 ; Epingle I.1.3 ; η[y] I.4.6 ; eF I.6.1 ; ˜ ˜ ˜ eG ˜ (M , L) II.1.14 ; R ˜

eG ˜ (η) III.4.3 ; M ˜ ω) IV.1.2 ; Eell (G, ˜ ω) IV.1.4 ; E ell,0 (G, (w) V.3.5 ; ˜ G (Λ) VI.1.4 ; P˜ ˜ G ˜,L ˜ V ) VI.4.2 ; e (M ˜V M

˜ a, V ) VI.5.1 ; E(G, EG (G∗ , V ) VII.4.5 ;

Index des notations

˜ a, V ) E ˆ (G, ˜ a, V ) VII.5.1 ; ETˆ (G, T ¯ SC , V ) VII.5.3 ; ETˆad ,• (G η VII.7.3 ; E(I , G; .) VII.7.11 ; M˜ VIII.4.4 ; E((α), γ, ζ) IX.1.4 ; (α) IX.5.1 ; K M˜ (f ) IX.8.3 ; ˜ ω) E ˜ E ell,0 (L, disc,0 (L, ω) IX.8.4 ; 

M  M ˜ (f ) (M , δ) X.3.5 ; ˜ , ω, V ) X.7.5 ; EF (M

φp,q φ˜p,q I.1.11 ; I.3.1 ; fM,ω ˜ n ˜ ), ω) I.4.2 ; F I(G(F n ˜ )) I.4.15 ; F SI(G(F n ˜ ), ω) F n Dg´eom (O, ω) F Dg´eom (G(F I.5.3 ; Fq I.6.1 ; F nr I.6.2 ; φM˜ III.2.6 ; f1 f  (Z)sc f [y] f [y, Z1 ]sc f¯[y, Z1 ] f¯[y, Z1 ]sc III.5.2 ; f [r] III.6.7 ; f [˜ π ] IV.2.2 ; FV VI.1.1 ; φM˜ VI.1.6 ; 

FixG (μ , ωG¯  ) Fib(Y) VII.5.1 ; ϕv VII.6.4 ; ϕ[V ¯  , dV ] VII.7.1 ; c φM˜ VIII.1.3 ; ˜

rat,G φM IX.5.3 ; ˜ ˜ c G φM˜ IX.5.8 ; ˜ φG ˜ ,V X.4.6 ; M ξ

f X.6.1 ;

ΓF GAD GSC Gγ I.1.1 ; ˜ ss G ˜ reg I.1.3 ; G ˆ LG LG ˜ I.1.4 ; G  G = (G , G  , s˜) gw I.1.5 ;

1305

˜ 0,ab 1.1.12 ; Gab G G I.2.7 ; ˆ  (˜ G s) G  (˜ s) G (˜ s) G (˜ s) I.3.3 ; g(F )ell I.4.1 ; ˜ ), ω) I.4.2 ; Grn I(G(F ˜ ss (F )ell / st-conj G ˜ ss (F )ell I.4.9 ; G ˜ γ(g) I.4.10 ; Greg (F )/ conj I.4.17 ; ˜

γ G I.5.1 ; Γnr F I.6.1 ;  G∇ I.7.4 ; Gβ II.1.4 ; gO (γ) II.2.1 ; ˜

˜

˜

˜

G G L gM,O gM,O (γ, B) gM,unip (γ, B) II.2.3 ; ˜ ˜ G,E G,E gM,O gM,O (γ, B) II.2.6 ; ˜ ˜

˜ J II.3.1 ; GJ G G III.3.1 ; γ z III.3.1 ; ¯ G ¯  G¯ III.5.1 ; G ¯  (¯ G s) III.5.3 ; γ[r] III.6.7 ; ˜ F )1 G(AF )1 VI.2.1 ; G(A ¯ VII.1.1 ; G ˜ ss (F )/ st-conj VII.1.2 ; G G (Fv ) VII.5.5 ; ¯  VII.7.3 ; G Γγ IX.1.5 ; Γ0 (s) IX.5.1 ; Γ1 (s) IX.5.4 ; gˆ[α] X.4.1 ; H 1,0 (ΓF ; A  B) H 1,0 (ΓF ; A  B) H 1,0 (ΓF ; A → B) I.1.12 ; ˜ ˜ II.1.6 ; HG HG˜ H G HG˜ h hR IV.1.1 ; hZ IV.1.2 ;  hG ,∗ IV.2.1 ; ˜ ˜ VI.1.1 ; H G ˜ ˜ VI.1.1 ; H GV i (ov ; G) VII.6.2 ; Hab ˜

G σ ) IX.8.4 ; HR ˜ (˜

1306

Index des notations

˜

K G,E HK σ ) IX.8.6 ; ˜ (˜ R

hf X.7.1 ; hfV X.7.2 ;

˜

˜

K G,E K G,E  IK ˜ (γ, f ) IK M ˜ (M , δ, f ) M  ˜ G ˜ (˜ s)) VI.4.5 ; iM˜  (G,  ˜ ˜ i(G, G ) τ (G) VI.5.1 ; ˜

˜ G

˜ ), ω) I.2.4 ; I (γ, ω, f ) I(G(F  I(G ) I.2.5 ; ˜ ), ω) I.3.1 ; Icusp (G(F Iη I.4.4 ; E ˜ ˜ ), ω) I.4.11 ; I+ (G(F ), ω) I E (G(F st ˜ Icusp (G(R)) I.4.14 ; inst ˜ I (G(F )) I.4.15 ; i(γ) I.4.17 ; ˜ ), ω)O,loc I.5.1 ; I(G(F ˜ ), ω)O,loc I.5.2 ; Icusp (G(F IF I.6.2 ; ˜ ), ω) I G˜ (γ, ω, f ) II.1.6 ; Iac (G(F ˜ M ˜

G IM ˜ (γ, B, f ) II.1.9 ; ˜ G ˜  (s)) II.1.10 ; i ˜ (G, M ˜

G,E  ˜ ˜  s)) IM ˜  (G, G (˜ ˜ (M , δ, f ) iM ˜

G,E  IM ˜ (M , δ, B, f ) II.1.12 ; ˜

G,E IM ˜ (γ, f ) II.1.15 ;

iG J III.1.2 ; ιG ,G ιG,G ι∗G ,G ι∗G,G III.3.1 ; ˜

π , f ) IV.1.2 ; I G (˜ inst ˜ ˜ Icusp (G(R), ω, K) ι Icusp (G(R) IV.2.2 ; ˜ Iac (G(R), ω) V.1.2 ; ˜ K G,E  IK ˜ (M , δ, f ) M

V.1.7 ; ˜ I(G(FV ), K, ω) VI.1.1 ; ˜ V ), ω) VI.1.7 ; Iac,glob (G(F ˜

˜

G G IM ˜ (γ, ω, f ) IM ˜ (γ, f ) VI.1.11 ; ˜

G IM ˜ (γ, B, f ) VI.1.14 ; ˜

G1 IM ˜ ,λ (γ, f ) VI.1.15 ; 1

˜

1

KG Ig´ eom (f , ω) VI.2.9 ; Iv VI.3.1 ; G IM  (γ V , fV ) VI.3.5 ; ˜ G ˜  (s)) VI.4.1 ; iM˜ (G,

I∗K G,E (M , δ, f ) VI.6.6 ; ˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) VII.5.1 ; i(G, I VII.7.3 ; ˜ ˜ ˜ ˜ ϕ) π , X, ϕ) I G (˜ π , ν, X, ϕ) I G (˜ π , λ, I G (˜ VIII.1.7 ; ˜ c G IM˜ (γ, f ) VIII.1.9 ; ˜ ˜ G,E c G,E IM˜ (M , δ, f ) c IM ˜ (γ, f )

VIII.3.9 ;

˜ (F ), ω) I(G(F ˜ ), ω)00 Iac,cusp (M VIII.4.4 ; Iθ,ω Sym(t)θ,ω IX.1.1 ; ˜

G,mod IM (exp(X)η, ω, f ) IX.4.1 ; ˜ ˜

iG ˜ (η) IX.4.2 ; M ˜ c G IM˜ (γ, f ) IX.5.13 ; ˜ ˜ K G,E c G,E  IM˜ (M , δ, f ) c IK ˜ (M , δ, f ) M ˜ c K G,E IK M˜ (γ, f ) IX.6.10 ; ˜ ˜ G G  Igeo (ω, f1 , f2 ) IM ˜ (γ, ω, f1 , f2 ) i (γ) ˜ G,E  ˜  IM  ,geo (f1 , f2 ) i ˜ (G, G ) X.3.1 ; M ˜ G (ω, f1 , f2 ) X.3.3 ; Ispec ˜ ˜ G c G IM˜ (π, λ, f ) c IM ˜ (π, λ, X, f ) X.4.2 ; ˜ ˜ G,E  c G,E  IM  (πM  , λ, X, f ) IM (πM  , λ, X, f )

X.4.4 ; ˜ G IM ˜ (πV , λ, X, f ) X.4.6 ; ˜

G,E  IM  (πV , λ, X, fV ) X.4.7 ; ˜

G V IM ˜ (πV ⊗ c , f ) X.4.9 ; ˜



G,E  V IM , fV ) X.4.9 ;  (πV ⊗ c ˜

G Idisc (ω, fV 1K˜ V ) X.5.4 ; ˜

I M (λ, hf (v0 )) X.7.1 ; ˜ ˜ , ω, f1 , f2 ) X.8.7 ; I G (M JG˜ (ω, f1 , f2 ) I.4.17 ; ˜

˜

G,Art G JM (γ, ω, f ) II.1.2 ; ˜ (γ, ω, f ) JM ˜

Index des notations

1307

˜

G JM ˜ II.3.1 ; G JM (B) II.3.3 ; ˜ G JM ˜ (BO ) II.3.4 ; ˆjn III.6.4 ; ˜

μ ˜(ω) μ(˜ π ) IV.1.2 ; ˜ V VI.1.4 ; M

˜

G G JM π , f ) JM π , f ) VI.1.5 ; ˜ (˜ ˜ (˜ ˜

˜

G G JM ˜ (γ, ω, f ) JM ˜ (γ, f ) VI.1.9 ; ˜

G JM ˜ (γ, B, f ) VI.1.10 ; ˜

G1 JM ˜ ,λ (γ, f ) VI.1.15 ; 1

1

˜ MG˜ (π) VI.1.5 ; μQ|P (π) M(π; Λ, Q) ˜ M μη VII.1.2 ; ˜ v ) VII.1.5 ; μ(K MatI IX.2.3 ; ˜ IX.4.1 ; M ˜ M(πλ ; Λ, P˜  ) Mrat (πλ ; Λ, P˜  ) MG ˜ (πλ ) M ˜

G (πλ ) IX.5.2 ; Mrat, ˜ M

˜

G T Jg´ eom (f , ω) JO (f, ω) JO (f , ω) VI.2.1 ; ˜

˜

G1 G1 Jg´ eom,λ1 (f ⊗ dg) JO,λ1 (f ⊗ dg) VI.2.5 ; ˜ VI.6.2 ; j(G) ˆ V , δ, f ) VI.6.7 ; J(R

J (H) VII.5.3 ; J• (H) VII.5.4 ; c

˜

˜

M G JM π ), f ) VIII.1.3 ; ˜ (˜ ˜ (IndR ˜

˜

rat,G rat,G JM (˜ πλ , f ) JM (˜ π , X, f ) IX.5.2 ; ˜ ˜ c

˜

˜

rat,G JM (IndM π ), f ) IX.5.8 ; ˜ (˜ ˜ R

˜ I.1.11 ; KG K G ˜ I.3.5 ; KM k(δ) I.4.17 ; K I.6.2 ; ˜ KvM VI.1.1 ; T T KP˜ (f ) kg´ eom (f, g) kO (f, g) VI.2.1 ; Ksc,v Kad,v K,v VII.1.5 ; Kη VII.1.6 ; u V K∗ VII.4.3 ; K ,v VII.5.5 ; ˜

k G (β) IX.2.2 ; λ12 I.2.5 ; ˜ ) I.3.1 ; L(M ˜ λz λz I.6.3 ; LV (ρG , s) VG VII.4.1 ; Lv (α, cv , s) LVG (α, cV , s) X.4.1 ; Mes(G(F )) I.2.4 ;

N α I.1.6 ; ∇p,q I.1.11 ; ˜ ˜ ˜ N G ,G N G I.1.12 ; nE I.2.2 ; ˜ ) I.3.1 ; NormG(F ) (M N (G) I.6.1 ; ∇H I.7.4 ; N (G1 , G2 , j∗ ) III.6.1 ; N N (f ) IV.1.3 ; ν(α) (γ) IX.1.4 ; ω Out(G ) I.1.5 ; ωT ωT,G I.2.2 ; ω I.2.7 ; onr I.6.2 ; ˜ OG II.2.3 ; ˜ OK G V.2.4 ; oV VI.1.1 ; ωG¯ VII.1.1 ; ωη VII.1.2 ; ωG VII.1.7 ; ωH VII.7.4 ; ω∞ VII.7.8 ; ωP˜ VIII.1.1 ; Ω IX.1.7 ;  ωG X.6.1 ; π : GSC → G I.1.1 ; π ˜λ IV.1.2 ; P ol(˜ μ(ω) + hθ,∗ ) IV.1.2 ;

1308

Index des notations

P W r NNr (f ) P W r P W P W IV.1.3 ; ∞ ˜ ˜ ω) IV.1.4 ; (G, ω) P W ∞ (G, P Well ∞ ˜ P Well,μ (G, ω) IV.1.5 ; ˜ P W ∞,inst (G) ˜ pw IV.2.2 ; P W ∞,st (G) ell

ell

pwst IV.2.3 ; P p p1 p2 p2 P (H) VII.6.4 ; Pv p2,v VII.6.5 ; P 0 VII.6.6 ; πν,disc (cV ) πν,disc,λ (cV ) X.5.1 ; πν,st (cV ) X.5.8 ; ˜ πνG,E (cV ) X.5.9 ; ˜ G,ξ πdisc,ν (cV

) X.8.2 ; π ˜σ,˜r XI.2.2 ; ˜L,u XI.2.3 ; πL,u π π ˜M,u XI.2.7 ; Q Qv q1 VII.6.5 ; Q1 Q2 Q3 Q0 VII.6.6 ; Q× Q∞ Qj,j  qj,j  q∞ VII.7.6 ; q0 VII.7.7 ; rT rˆT I.2.2 ; resM˜ res I.4.3 ; ˆ+ R ˆ u I.7.1 ; R Art ρ (β, u) rPArt ˜ (γ, a; λ) II.1.2 ; ρ(β, u) rP˜ (γ, a; λ) II.1.4 ; ρG (β, u, B) II.1.8 ; rP˜ (γ, a, B; λ) II.1.9 ; RJ II.3.1 ; ˜ ρG J II.3.2 ; ρG J II.3.3 ; ˜ ρG J II.3.4 ; ˜

 ρG,E J (M ) II.3.8 ; ˜ G ˜ II.4.1 ; r (γ, K)

˜ M ˜ G,E ˜ II.4.3 ; rM˜ (M , δ  , K) ˜ G ρK V.2.4 ; J ˜ G ˜ V ) VI.1.13 ; rM˜ (γ, K ˜ G1 ˜ rM ˜ 1 ,λ1 (., K1,V ) VI.1.15 ;

ResIv VII.1.5 ;

˜ G,E  ˜ rM ˜ (M , δ, KU ) VII.2.2 ; resIv VII.6.4 ; r VII.7.3 ; r(α) (πλ ) rα (πλ ) IX.5.1 ; ρα (πλ ) rPrat |P (πλ ) ρP  |P (πλ ) RPrat |P (πλ ) IX.5.1 ; ˜ G ρM˜ (˜ π ; λ) IX.5.7 ; Rat(G(F )) X.3.3 ; r(α, cV , λ) r(α, cV , Λ, λ) r˜V (α, cVλ , s) ˜ ˜ G G V V rM ˜ (c , λ) rM ˜ (α, cλ ) X.4.1 ; ˜

G V rM ˜ (c , λ) X.4.1 ; ˜

ρG disc (γ, ω) ρt−disc (γ) ρt−disc,ω X.5.1 ; ˇ ∗ ) Σ(Tˆ ) Σ( ˇ Tˆ ) Σ(T ∗ )res Σ(T ∗ ) Σ(T Σ(Tˆ)res I.1.6 ; ˜ ˜  (F )) I.2.4 ; S G (δ1 , f1 ) SIλ1 (G 1  SI(G ) I.2.5 ; ˜ )) I.3.1 ; SIcusp (G(F ˜ ))O,loc I.5.4 ; SI(G(F SI(G )O ,loc I.5.6 ; Σind II.1.2 ; Σ(AM , B) II.1.8 ; ˜

G SM ˜ (δ, B, f ) II.1.10 ; ˜

G (δ, B) II.2.4 ; SgM,O ˜ ˜

σJG II.3.5 ; ˜ ˜ II.4.2 ; sG (δ, K) ˜ M

s¯ III.5.1 ; S III.5.3 ; symW IV.2.4 ; ˜ SI(G(R), K) IV.2.9 ; S(O) VI.2.3 ; ˜

G SM ˜ (δ, f ) VI.4.1 ; ˜

G SM ˜ (δ, B, f ) VI.4.2 ; ˜

SAG (V, O) VI.5.2 ; SAG unip (V ) VI.5.6 ; ˜

G Sg´ eom (f ) VI.5.9 ;

Index des notations

1309

˜ )) Stab(G(F ˜ )) Σ(μ) Σ+ (μ) Stab(G(F ˜ )) ˜ )) Stabell (G(F Stab(G(F ˜ )) VII.1.1 ; Stabell (G(F ˜ VII.1.9 ; S(X ) S(X , K) ˜ G SA (V, X ) VII.1.10 ; ˜

SAλG11 (V, X ) VII.1.11 ; ˜ G ˜ ˜ sG ˜ (δ, KU ) sM (δ, KU ) VII.2.2 ; M SAG unip (V ) VII.3.1 ; SA (V, X ) VII.3.2 ; ˜ )) VII.3.3 ; Stabexcep(G(F ˜

ΣP (AM˜ ) VIII.1.1 ; ˜

G (s)

G c SθM ˜ SθM

c

G SM ˜ (δ, f ) VIII.2.6 ;

˜ c G,E θM˜ (M , f ) VIII.3.1 ; ˜ c G,E θM˜ (f ) VIII.3.4 ;

T˜G˜ -reg IX.1.1 ; Tc Td T IX.4.1 ; ˜

˜ G

c

T¯ VII.1.1 ; τ  (G) VII.4.1 ; ˜ c G θM˜ VIII.1.5 ;

VIII.2.2 ;

˜

rat,G θM IX.5.5 ; ˜ ˜ c rat,G θM˜ IX.5.9 ; ˜ c G θM˜ IX.5.11 ; ˜ ˜ ˜ ˜ rat,G,E c G,E c rat,G,E c K G,E θM˜ θM θM˜ θK M˜ ˜ ˜ c rat,K G,E θK M˜ IX.6.6 ;

θπ,P θπ˜ ,P XI.2.7 ;

˜

G SδM ˜ (z) IX.2.1 ; ˜

G SCM ˜ (δ) IX.2.2 ; ˜

G,mod SM (exp(X)η, f ) IX.4.2 ; ˜ ΣP  |P (T ) IX.5.1 ; c

˜

˜

˜

rat,G c rat,G G SθM SθM IX.6.1 ; ˜ SθM ˜ ˜ ˜

G σM ˜ IX.6.3 ; ˜

G SHR σ ) IX.8.5 ; ˜ (˜ 

G   SIM  ,geo (f1 , f2 ) X.3.1 ; 

G SIspec (f1 , f2 ) X.3.3 ; ˜

uE (σ) I.1.2 ; U I.7.1 ; UJ II.3.1 ; ˜ G UM ˜ II.4.6 ; U IV.1.2 ; uη VII.1.2 ; UV VII.4.3 ; U VII.7.5 ; ˜ G UM ˜ IX.5.4 ;

˜

G V V sG ˜ (α, cλ ) sM ˜ (c , λ) X.4.1 ; M ˜ V sG ˜ (c , λ) X.4.1 ; M ˜ ˜ G G c SIM ˜ (π, λ, X, f ) (SI)M ˜ (π, λ, X, f )

X.4.3 ; ˜ G SIM ˜ (πV , λ, X, fV ) X.4.7 ; ˜

V (SI)G ˜ (πV ⊗ c , f ) X.4.9.2 ; M ˜

G SIdisc (fV 1K˜ V ) X.5.8 ;

Θ I.1.3 ; θˆ I.1.4 ; T  T¯  III.5.1 ; ΘF III.6.2 ; τ λ IV.1.2 ;

VT Vˆ1 I.2.2 ; G G VG M V 0,M VM V.6.1 ; Val(F ) Val∞ (F ) Valf (F ) v¯ Vram VI.1.1 ; vη VII.1.2 ; V¯M,u VN,u XI.2.7 ; WF I.1.4 ; ˜ ) I.3.1 ; W (M ˜ , M ) I.3.2 ; W (M W (μ) VII.1.1 ; Wvnr VII.1.5 ; wd wc IX.4.1 ; ˜ ) X.2 ; ˜) W ˜ G w(M W (M

˜

rat,K G,E θK ˜ M

1310

W0,σ XI.2.2 ; ξ I.1.5 ; ξˆ1 I.2.1 ; Ξ I.4.8 ; X˙ E (η) X˙ (η) I.4.9 ; x(¯ s, y) ξ[y] III.8.2 ; ˜ G ξ (B) V.6.2 ; x(I ) VII.7.13 ; x(γ) X.3.2 ; Y(η) I.4.4 ; ˙ Y(η) I.4.6 ; Yη VII.1.2 ; Y Y [dV ] Y˙  [dV ] VII.7.3 ; Z(G) ZG (γ) I.1.1 ; ˜ E) Z(G, ˜ E) Z(G) ˜ I.1.2 ; Z(G, Z(G) I.2.8 ; ˆ ∗ II.1.14 ; Z(R) Z(G ) IV.2.1 ; ˇ ˜ ) VI.1.4 ; Z(Δ P ˆ V ) VI.6.10 ; Z(L ζ v ζ ,v VII.6.5 ; Z(G)θ,ω IX.1.2 ; ˆ )αˆ IX.4.2 ; Z(M ?ad ?sc I.1.1 ; 1K˜ 1K˜  ,λ1 I.6.4 ; 1 ∂H V.3.3 ; (η[dv ], r[dv ]) (η[dV ], r[dV ]) VII.5.6 ; ∂H, (α) IX.1.4 ; 1G X.6.1.

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