Stabilisation de la formule des traces tordue: Volume 2 978-3-319-30058-0, 331930058X, 978-3-319-30057-3

Ce travail en deux volumes donne la preuve de la stabilisation de la formule des trace tordue. Stabiliser la formule des

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Stabilisation de la formule des traces tordue: Volume 2
 978-3-319-30058-0, 331930058X, 978-3-319-30057-3

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-xxviii
La partie géométrique de la formule des traces tordue (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 589-746
Descente globale (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 747-932
L’application \( \epsilon_{\tilde{M}} \) sur un corps de base local non-archimédien (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 933-978
Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 979-1143
Stabilisation spectrale (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 1145-1254
Appendice : représentations elliptiques ; caractérisation et formule de transfert de caractères (Colette Moeglin, Jean-Loup Waldspurger)....Pages 1255-1302
Back Matter ....Pages 1303-1315

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Progress in Mathematics 317

Colette Moeglin Jean-Loup Waldspurger

Stabilisation de la formule des traces tordue Volume 2

Progress in Mathematics Volume 317

Series Editors Antoine Chambert-Loir, Université Paris-Diderot, Paris, France Jiang-Hua Lu, The University of Hong Kong, Hong Kong SAR, China Yuri Tschinkel, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, USA

More information about this series at http://www.springer.com/series/4848

Colette Moeglin • Jean-Loup Waldspurger

Stabilisation de la formule des traces tordue Volume 2

Colette Moeglin CNRS/Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris-Rive-Gauche Paris, France

Jean-Loup Waldspurger CNRS/Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris-Rive-Gauche Paris, France

ISSN 0743-1643 ISSN 2296-505X (electronic) Progress in Mathematics ISBN 978-3-319-30057-3 ISBN 978-3-319-30058-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-319-30058-0 Library of Congress Control Number: 2016959578 Mathematics Subject Classification (2010): 11F70, 11F72, 22E50, 22E55 © Springer International Publishing Switzerland 2016 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, express or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. Printed on acid-free paper This book is published under the trade name Birkhäuser, www.birkhauser-science.com The registered company is Springer International Publishing AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Table des matières Volume 2 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv VI La partie géométrique de la formule des traces tordue Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 Les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.2 Remarque sur les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . VI.1.3 Mesures sur les espaces AM˜ . . . . . . . . . . . . . . . ˜ M ˜ )-familles . . . . . . . . VI.1.4 Formule de descente des (G, VI.1.5 Caractères pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.6 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.7 Une propriété globale de l’application φM˜ . . . . . . . VI.1.8 Espaces de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . VI.1.10 Système de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . VI.1.12 Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.13 Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes et systèmes de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.15 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . VI.1.16 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.17 K-espaces de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2 La partie géométrique de la formule des traces . . . . . . . . . VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . .

589 591 591 595 595 596 598 599 601 602 602 604 605 606 607

. . . . .

. . . . .

. . . . .

607 613 615 618 621

. . . 621 . . . 623 . . . 625 v

vi

Table des matières

VI.2.4

VI.3

VI.4

VI.5

Développement de la partie géométrique de la formule des traces non invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.5 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.6 Variante avec caractère central, suite . . . . . . . . . . . . . VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante, variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2.9 Variante pour les K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.1 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.2 Plongements de tores et ramification . . . . . . . . . . . . . VI.3.3 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.4 Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante pour une donnée endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier . . . . . . . . . . VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier . . VI.3.8 Une construction auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général . . . . . . . . . . . . VI.3.10 Adaptation aux K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales orbitales pondérées et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . VI.4.2 Formules de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.3 Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ VI.4.4 Le système de fonctions B G . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison . . . . . . . . . VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . La formule des traces stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ VI.5.2 Les distributions SAG (V, O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.3 VI.5.4 VI.5.5 VI.5.6

˜

Propriétés des distributions SAG (V, O) . . . . . . . . ˜ Les distributions AG,E (V, O, ω) . . . . . . . . . . . . . Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un théorème complémentaire concernant l’endoscopie non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

630 630 639 641 643 643 644 644 645 648 650 651 652 664 666 671 676 677 677 678 683 684 685 691 691 692 692 692 694

. . . 695 . . . 696 . . . 697 . . . 697

Table des matières

vii

VI.5.7 VI.5.8

VI.6

Réduction du théorème 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.9 La formule stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.5.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve conditionnelle du théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . VI.6.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.2 Au sujet des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.3 Combinatoire des sommes . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.5 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.6 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.7 Une première proposition auxiliaire . . . . . . . . . . . VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire . . . . . . . . . . VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . VI.6.11 Le théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII Descente globale Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1 Coefficients et classes de conjugaison stable . . . . . . . . . VII.1.1 Ensemble de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples . . . . . VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure . . . . . . VII.1.4 Le cas local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié . . . . . . . . . VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié . . . . . . VII.1.7 Paramètres et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes de conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.9 Distributions associées à un paramètre . . . . . . . VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central . VII.1.12 Relation avec les distributions associées aux classes de conjugaison stable locales . . . . . . . . . . . . VII.2 Formules de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré . . VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré . . VII.2.3 Enoncé des formules de scindage . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . 700 . . . . . . .

. . . . . . .

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703 704 705 705 705 706 707

. . . . . . . .

. . . . . . . .

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708 708 710 712 714 714 719 745

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747 749 749 751 756 757 757 760 763

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. . . . .

772 774 774 777 779

viii

VII.2.4 VII.2.5 VII.3 Enoncés VII.3.1 VII.3.2 VII.3.3 VII.3.4

Table des matières

Preuve de la proposition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . de nouveaux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition d’une autre distribution stable . . . . . . . . . . Enoncé du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2, 1.10(ii) et [VI] 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i) et étend le théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.3.7 Quelques cas faciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4 Distributions à support unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.1 Mesures de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.2 Compatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.3 Coefficients et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement . . . . . . . . . . . . VII.4.6 Coefficients stables et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . VII.5 Descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.1 Une première transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.2 Descente des données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H . . . VII.5.4 Propriétés de relevance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.5 Les places hors de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.6 Une conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.7 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.8 Début du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6 Calculs de facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.1 Rappels cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne . . . . . . . . . . . . . . VII.6.3 Un lemme de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.4 Fibres de la descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.5 Dualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.6 Description d’un annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.7 L’ensemble DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.8 L’ensemble DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.6.9 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

781 787 787 787 788 790 790 792 793 794 795 795 796 799 800 806 809 811 811 814 817 818 820 822 825 826 830 833 833 835 836 837 844 847 849 854 857

Table des matières

ix

VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert . . . . . VII.7 Le cas où DF [dV ] est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.1 Une proposition de nullité . . . . . . . . . . . . . . VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 VII.7.3 Mise en place de la situation . . . . . . . . . . . . VII.7.4 Une première propriété de nullité . . . . . . . . . . VII.7.5 Description de l’ensemble Y˙  [dV ] . . . . . . . . . . VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q∞ . . . . . . . . VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q∞ . . . . . . . . . . VII.7.8 Un caractère de Q∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 . . . . . . . . . . . . . VII.7.10 Calcul d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.11 Calcul de |P 0 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.12 Un premier calcul de |P 0 ||U|−1 . . . . . . . . . . . VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa . . . VII.7.14 Calcul de d(I , G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 . . . . . . . . . . . . VII.7.16 Calcul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.8 Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 . . . . . . . . . . . . VII.8.2 Elimination de la somme en H . . . . . . . . . . . VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes VII.8.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème . . . . . . . . . . VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard . . . VII.9.3 Extension aux Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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868 871 871 873 873 876 878 881 886 894 899 900 900 903 907 910 915 915 916 916 917 918 919 923 923 923 925 926 928 930 931

VIII L’application M ˜ sur un corps de base local non-archimédien Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1 L’application c θM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires . . . . . . . . . VIII.1.2 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.3 L’application c φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.4 Propriétés de l’application c φM˜ . . . . . . . . . . . . VIII.1.5 Définition de l’application c θM˜ . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

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. . . . . . .

933 935 935 936 938 941 945

˜

G VIII.1.6 Propriétés de l’application c θM ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 947

x

Table des matières

VIII.1.7 Fonctions de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . VIII.1.8 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.2 Stabilisation de l’application c θM˜ . . . . . . . . . . . . . VIII.2.1 Fonctions ωS˜ et endoscopie . . . . . . . . . . . VIII.2.2 VIII.2.3 VIII.2.4 VIII.2.5

. . . . . . . 950 . . . . . . . 952 . . . . . . . 954 . . . . . . . 956 . . . . . . . 956

˜

G Les applications c SθM ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . Une variante des intégrales orbitales pondérées stables ˜

G,E . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3 L’application endoscopique c θM ˜ VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique . . VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . VIII.3.3 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G,E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.4 Définition de c θM ˜ VIII.3.5 Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G,E VIII.3.6 c θM ˜ (f ) est de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.7 Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires . . . . . . . . . . VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques VIII.4 Les preuves et l’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables ou endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5 . . . . . . . . . . . VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 . . . VIII.4.4 L’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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957 959 959 960

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961 961 962 962 963 964 965 967 968 968 970

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. . . .

970 972 973 974

IX Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes sur le corps réel Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles . . . . . . . . . 982 IX.1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 IX.1.2 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 ˜ G IX.1.3 Propriétés des opérateurs δM ˜ (z) . . . . . . . . . . . . . . . 985 IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . 988 IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 IX.1.7 L’opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994 IX.1.8 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . 997 IX.2 Endoscopie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . 1001

Table des matières

xi

IX.2.2

IX.3

IX.4

IX.5

Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels . . . IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques . . IX.2.5 Le résultat de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . Majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.3.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables . . IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques . . . . Propriétés locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . IX.4.3 Sauts des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . IX.4.4 Formules d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . Des variantes de l’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.5.1 Normalisation partielle des opérateurs d’entrelacement . IX.5.2 Caractères pondérés rationnels . . . . . . . . . . . . . . ˜

. . . . . .

. 1005 . 1007 . 1012 . 1017 . 1019 . 1019

. . . . . . . . . . . .

. 1021 . 1022 . 1023 . 1025 . 1025 . 1027 . 1043 . 1044 . 1048 . 1062 . 1062 . 1065

IX.5.3

G L’application φrat, ˜ M

IX.5.4

rat,G Relation entre les applications φG . . . . . . . . . 1067 ˜ et φM ˜ M

IX.5.5 IX.5.6 IX.5.7

rat,G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070 L’application θM ˜ Un lemme auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 ˜ rat,G . . . . . . . . . . . . . . . 1074 Propriétés de l’application θM ˜

IX.5.8

L’application c φG ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 M

IX.5.9

rat,G L’application c θM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 ˜

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 ˜

˜

˜

˜

˜

˜

G IX.5.10 Propriétés de l’application c θrat, . . . . . . . . . . . . . . . 1080 ˜ M ˜

IX.5.11 L’application c θG ˜ M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081 ˜

˜

˜

rat,G c rat,G IX.5.12 Relation entre les applications θM , θM˜ et c θG ˜ ˜ M IX.5.13 Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.5.14 Preuve des propositions 5.9, 5.11 et de l’assertion 5.13(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ G IX.5.15 Une propriété de l’espace UM ˜ . . . . . . . . . . . . .

IX.6

˜

˜

˜

. . . . 1082 . . . . 1083 . . . . 1084 . . . . 1085

rat,G c rat,G c G Endoscopie et applications θM , θM˜ , θ M˜ . . . . . . . . . . . . . 1091 ˜ IX.6.1 Les applications stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

xii

Table des matières ˜

IX.6.2

rat,G Propriétés de l’application c SθM . . . . . . . . . . . . . . 1092 ˜

IX.6.3

rat,G Propriétés de l’application SθM . . . . . . . . . . . . . . 1093 ˜

IX.6.4 IX.6.5 IX.6.6 IX.6.7

G . . . . . . . . . . . . . . Stabilité de l’application σM ˜ Une variante des intégrales orbitales pondérées stables Les applications endoscopiques . . . . . . . . . . . . . Egalité d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . .

IX.6.8

rat,K G,E . . . . . . . . . . . . . 1096 Propriétés de l’application θK ˜ M

˜

˜

. 1094 . 1094 . 1094 . 1096

˜

K G,E G IX.6.9 Egalité des fonctions ρK . . . . . . . . . . . . . 1099 ˜ et ρK M ˜ KM IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 1099 IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 Les preuves des assertions de la section 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 ˜ ˜ rat,K G,E rat,K G,E , c θK , IX.7.2 Relation entre les applications θK ˜ ˜ M M ˜ c K G,E θK M˜

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 . Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10 et du lemme 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’application M˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.1 Un lemme élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.2 Définition locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.3 Définition globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente . . . . . . . IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 . . . . . IX.8.7 Expression de K M˜ (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.8.8 Description des fonctions ξK R,˜ ˜ σ ,H IX.8.9 K-finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.7.3 IX.7.4

IX.8

. . . .

˜

˜

IX.7

. . . .

. . . . . 1103 . . . . . 1105 . . . . . 1107 . . . . . . . . . . .

X Stabilisation spectrale X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues . . . . . X.3.1 Le côté géométrique de la formule des traces locales X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces locales et stabilisation des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. 1110 . 1111 . 1111 . 1112 . 1116 . 1118 . 1124 . 1127 . 1129 . 1135 . 1140

. . . .

. . . .

. . . .

. 1145 . 1148 . 1149 . 1149

. . . . 1152

Table des matières

X.3.3

X.4

X.5

X.6

Le côté spectral de la formule des traces locales et sa stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.4 Elimination de certaines conditions . . . . . . . . . . . . X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses . . . . . . . . X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.7 Une réduction étonnamment simple . . . . . . . . . . . X.3.8 Le cas des tores déployés . . . . . . . . . . . . . . . . . X.3.9 Fin des réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les caractères pondérés et leur stabilisation . . . . . . . . . . . . X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.2 Caractères pondérés invariants . . . . . . . . . . . . . . X.4.3 Le cas de la torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques . . . . . . . . . . X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux . . . . . . . . . . . . X.4.7 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.4.9 Caractères pondérés globaux . . . . . . . . . . . . . . . Le côté spectral de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . X.5.1 Rappel des termes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.2 Rappel des termes continus . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.3 Représentations semi-finies . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies . . . . X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité . . . . . . . . . . . X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu . . . . . . . . . . . X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable . . . . . X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence . . . . . . . . . . . X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . Digression, automorphismes de la situation . . . . . . . . . . . . X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.6.2 Fonction caractéristique du compact et action du groupe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

. . 1155 . . 1161 . . 1164 . . . . .

. 1170 . 1170 . 1171 . 1173 . 1174

. . . . . .

. 1174 . 1183 . 1188 . 1191 . 1195 . 1197

. . 1198 . . . . . . . . . .

. 1200 . 1200 . 1203 . 1203 . 1206 . 1207 . 1208 . 1213 . 1215 . 1215

. . . . .

. 1216 . 1218 . 1218 . 1219 . 1220

. . 1220 . . 1222

xiv

Table des matières

X.6.3

X.7

X.8

X.9

Action globale du groupe adjoint et de son analogue dans le cas tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fin de la stabilisation locale géométrique . . . . . . . . . . . . . X.7.1 Mise en place des objets . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.6 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale . . . . . Stabilisation de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . X.8.1 Stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu . . . . . . . . . . . X.8.4 Une remarque sur la finitude de πdisc,ν (cV ) et son calcul pour les groupes classiques . . . . . . . . . . . . X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence, récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.6 Stabilisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale . . . . . . Preuve de 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1223 . . . 1225 . . . 1225 . . . 1228 . . . 1231 . . . 1233 . . . . .

. . . . .

. 1234 . 1236 . 1237 . 1241 . 1241

. . . 1243 . . . 1244 . . . 1245 . . . .

XI Appendice : représentations elliptiques ; caractérisation et formule de transfert de caractères Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.1 Quelques définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . . . . . . XI.2.1 Rappel des définitions de [81] . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.2 La théorie du R-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet . . XI.2.6 Le calcul en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.7 Le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien XI.2.9 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. 1247 . 1248 . 1248 . 1249

. . . . . .

. 1255 . 1256 . 1256 . 1256 . 1257 . 1258

. . . . . .

. 1259 . 1260 . 1262 . 1262 . 1264 . 1264

Table des matières

XI.2.10 Preuve du théorème de XI.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . XI.2.11 Transfert de représentations elliptiques . . . . . . . . . . XI.2.12 Preuve du corollaire dans le cas archimédien . . . . . . XI.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ . . . . . XI.3.1 Décomposition des représentations stables de G XI.4 Représentations elliptiques comme transfert . . . . . . . . . . . . XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques XI.4.2 Globalisation et approximation . . . . . . . . . . . . . . XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème . . . . . . . . XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations elliptiques et fin de la preuve . . . . . . XI.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.5.1 Prolongement des formules de transfert . . . . . . . . . XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.6 Transfert et ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7 Calculs cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables modulo le centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable . . . . . XI.8 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.2 Rappel des globalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.3 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.8.4 Début de la preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . XI.8.5 Preuve du lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.9 La formule des traces simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI.10 La formule des traces simple avec caractère . . . . . . . . . . . .

xv

. . . . . . . . .

. 1268 . 1269 . 1269 . 1270 . 1271 . 1272 . 1273 . 1275 . 1275

. . 1283 . . 1284 . . 1284 . . 1284 . . 1285 . . 1287 . . . . . . . . . .

. 1287 . 1288 . 1291 . 1291 . 1292 . 1293 . 1294 . 1294 . 1297 . 1297

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311

xvi

Table des matières

Volume 1 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv I Endoscopie tordue sur un corps local Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Les définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.2 Paires de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.3 Eléments semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.4 L-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.5 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.6 Systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.7 Espace endoscopique tordu . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.8 Correspondance entre classes de conjugaison semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.9 Remarques sur le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.10 Correspondance entre éléments semi-simples . . . . . . . I.1.11 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ab (F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.12 L’ensemble G I.1.13 Caractères de G(F ), G0,ab (F ), G0,ab (F )/N G (Gab (F )) . I.1.14 Image de la correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.2 Définition du bifacteur de transfert . . . . . . . . . . . . I.2.3 Bifacteur de transfert et K-groupes . . . . . . . . . . . I.2.4 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.5 Recollement de données auxiliaires . . . . . . . . . . . . I.2.6 Action de groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . I.2.7 Une propriété de transformation du facteur de transfert I.2.8 Le cas F = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Levi et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1 Espaces paraboliques, espaces de Levi . . . . . . . . . . I.3.2 Données endoscopiques d’espace de Levi . . . . . . . . . ˜ associées à une donnée I.3.3 Données endoscopiques de G endoscopique d’un espace de Levi . . . . . . . . . . . . . I.3.4 Levi de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . I.3.5 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.6 Preuve du lemme 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Stabilité et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 2 2 3 5 7 8 10 10

. .

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 17 23 24 27 27 28 33 34 35 39 41 44 51 51 58

. . . . .

. . . . .

59 62 63 67 74

Table des matières

I.4.1

I.5

I.6

Rappels sur la descente d’Harish-Chandra et la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Filtration de I(G(F I.4.3 Image de la restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.4 Conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ I.4.5 Conjugaison stable et application N G . . . . . . . . . . I.4.6 Description locale des classes de conjugaison stable . . . I.4.7 Conjugaison stable et K-espaces tordus . . . . . . . . . I.4.8 Descente d’Harish-Chandra et stabilité . . . . . . . . . . I.4.9 Conjugaison stable et endoscopie . . . . . . . . . . . . . I.4.10 Rappels sur la transformation de Fourier et l’endoscopie I.4.11 Image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.12 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.13 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas réel . . . . . . I.4.14 Un corollaire de la preuve dans le cas réel . . . . . . . . ˜ )) . . . . . . . . . . . . . . I.4.15 Filtration de l’espace SI(G(F I.4.16 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.17 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributions «géométriques» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 Distributions «géométriques» dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Distributions «géométriques» dans le cas archimédien . ˜ ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . I.5.3 Filtration de Dg´eom (G(F I.5.4 Distributions géométriques stables dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.5 Distributions géométriques stables dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.6 Constructions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.7 Transfert de distributions «géométriques» . . . . . . . . I.5.8 Preuve dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . I.5.9 Preuve dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . I.5.10 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.11 Induction et classes de conjugaison stable . . . . . . . . I.5.12 Un résultat de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.13 Induction et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.14 Suite de la preuve, cas F non-archimédien . . . . . . . . I.5.15 Suite de la preuve, cas F archimédien . . . . . . . . . . Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6.1 La situation non ramifiée . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

74 76 80 81 83 84 85 86 89 94 95

. . . . . . .

. . . . . . .

96 101 105 106 107 108 119

. . 119 . . 120 . . 125 . . 129 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

130 131 134 136 138 141 142 144 147 150 152 156 156

xviii

I.7

Table des matières

I.6.2 Données endoscopiques non ramifiées . . . . . I.6.3 Facteur de transfert . . . . . . . . . . . . . . I.6.4 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . Unitarité, conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . I.7.1 Données auxiliaires et unitarité . . . . . . . . I.7.2 Unitarité du facteur de transfert . . . . . . . I.7.3 Conjugaison complexe et intégrales orbitales . I.7.4 Conjugaison des données endoscopiques . . . I.7.5 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . I.7.6 Conjugaison complexe et transfert . . . . . . I.7.7 Formalisation du résultat . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

II Intégrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archimédien ; définitions et énoncés des résultats Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.2 Définition des intégrales pondérées d’après Arthur . . . . II.1.3 Propriétés des termes ρArt (β, u)βˇ . . . . . . . . . . . . . . II.1.4 Définition d’un nouveau terme ρ(β, u) . . . . . . . . . . . II.1.5 Modification de la définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.6 Définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.7 Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.8 Variantes des termes ρ(β, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.9 Variantes des intégrales orbitales pondérées dans le cas quasi-déployé à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . II.1.10 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . ˜ II.1.11 Définition d’un système de fonctions B G . . . . . . . . . . II.1.12 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.13 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . II.1.14 Formules de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.15 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.16 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.1 Germes de Shalika ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.2 Germes de Shalika et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

157 159 165 166 166 168 169 170 172 179 179

. . . . . .

181 184 184 185 189 191

. 194 . 197 . 198 . 203 . 209 . 213 . 226 . 229 . 232 . 233 . . . . .

257 259 259 259 261

Table des matières

xix

II.2.3 II.2.4 II.2.5 II.2.6

II.3

Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . Définition des germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . Développement en germes d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.7 Une égalité de germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.8 Relation entre la proposition 2.7 et le théorème 1.16 . . . . II.2.9 Relation entre la proposition 2.4 et le théorème 1.10 . . . . II.2.10 Premières conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.11 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.12 Une formule d’induction, cas endoscopique . . . . . . . . . II.2.13 Une formule d’induction, cas stable . . . . . . . . . . . . . . Développements des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . ˜ M ˜) . . . . . . . . . . . . II.3.1 Des espaces associés au couple (G, II.3.2 Un développement des intégrales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et fonction B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et système de fonctions B . . . . . . . . . . . . II.3.5 Termes d’un développement stable . . . . . . . . . . . . . . II.3.6 Quelques formalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.7 Développement des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.8 Termes d’un développement endoscopique . . . . . . . . . . II.3.9 Développement des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.10 Termes ρJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.11 Termes σJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜

II.4

 II.3.12 Termes ρG,E J (M , δ, a) et induction . . . . . . . . . . . . . . Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.1 Intégrales orbitales pondérées de la fonction caractéristique d’un espace hyperspécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.2 L’avatar stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.3 L’avatar endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.4 Le lemme fondamental pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.5 Développement en germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.6 Un espace de germes sous hypothèses sur p . . . . . . . . . ˜ ˜ G G ˜ ˜ II.4.7 Développement des fonctions rM ˜ (., K) et sM ˜ (., K) . . . . . II.4.8 Preuve du théorème 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 263 264 267 271 271 272 273 274 275 276 276 276 279 282 284 285 286 289 292 294 296 299 300 300 300 301 303 304 304 306 307 309

xx

Table des matières

III Intégrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archimédien ; réductions et preuves Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Le cas des groupes non tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.2 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . III.1.3 Germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.4 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . III.1.5 Germes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 Un lemme sur les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . III.2.2 Un lemme sur les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ a) quasi-déployé et à torsion III.2.3 Détordre un triplet (G, G, intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.4 Fonctions, intégrales orbitales, représentations . . . . . . . . III.2.5 Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.6 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.7 Intégrales orbitales pondérées équivariantes . . . . . . . . . III.2.8 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . III.2.9 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . III.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.1 Définition des homomorphismes de passage . . . . . . . . . III.3.2 Les termes ρG J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.3 Intégrales orbitales pondérées et revêtement . . . . . . . . . III.3.4 Germes de Shalika et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . III.3.5 Revêtement et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.6 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.7 Revêtement et germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . III.4 Germes et descente d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ III.4.1 Formule de descente pour les termes ρG J . . . . . . . . . . . III.4.2 Descente des germes d’intégrales orbitales pondérées . . . . III.4.3 Formule de descente pour les termes σJ . . . . . . . . . . . III.4.4 Formule de descente pour les germes des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5.1 Descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . III.5.2 Transfert des fonctions et des distributions . . . . . . . . . III.5.3 Levi et descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . III.5.4 Facteurs de transfert et transfert des distributions . . . . . III.5.5 Applications de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 314 314 314 318 318 320 321 321 322 325 326 332 335 338 339 341 343 343 347 348 350 351 353 355 358 358 361 362 363 363 363 366 368 372 374

Table des matières

III.6

III.7

Triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . . . . III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard . ˜ a) particuliers . . . . . . III.6.2 Définition de triplets (G, G, III.6.3 Mise en place des récurrences . . . . . . . . . . . . . III.6.4 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.5 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.6 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6 . . . . . . . . . Preuves conditionnelles de deux théorèmes . . . . . . . . . . . ˜ III.7.1 Les termes ρG,E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

. . . . . . . . . .

˜

Les termes ρG,E J , variante . . . . . . . . . . . . . . . . Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8 et du théorème [II] 1.16(i) . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii) . . . . . . . . . . . . . III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5 et du théorème [II] 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.7 Preuve de la proposition 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . Descente des germes de Shalika endoscopiques . . . . . . . . . . III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier . . . . . III.8.2 Début de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.8.3 Calcul de x(¯ s, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1 . . . . . . . . . III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques . . . . . III.8.6 Preuve de la proposition 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . III.8.7 Preuve de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . III.7.2 III.7.3 III.7.4

III.8

xxi

IV Transfert spectral archimédien Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Théorème de Paley–Wiener . . . . . . . . . . . . . IV.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations . . . . . IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener . . . . . . . . . IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . ˜ ˜ IV.2.2 Les espaces Icusp (G(R)) et SIcusp (G(R)) .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

375 375 379 383 383 385 387 388 393 393

. . . 400 . . . 400 . . . 401 . . . 405 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

405 406 409 409 409 412 419 421 421 422

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

423 424 424 427 429 433

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

434 438 440 440 443

xxii

Table des matières

IV.2.3 IV.2.4 IV.2.5 IV.2.6 IV.2.7 IV.2.8 IV.3

Un théorème de Paley–Wiener décrivant ˜ l’espace SI(G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un résultat d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener . . . . . . Fonctions fϕ à support assez régulier . . . . . . . . . . . Utilisation de la propriété : une représentation elliptique est supertempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . st ˜ (G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’espace Dspec ˜ L’espace SI(G(R), K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.2.9 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique IV.3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.3 Le transfert spectral . . . . . . . . . . . . . IV.3.4 Transfert K-fini . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.5 Transfert K-fini, version générale . . . . . . IV.3.6 Le cas du corps de base C . . . . . . . . . .

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. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

447 447 449 452

. . 454 . . 456 . . . . . . . .

. . . . . . . .

V Intégrales orbitales et endoscopie sur le corps réel Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.2 L’application φM˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.3 Définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . V.1.4 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . V.1.5 Preuve du théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.6 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.7 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.8 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.9 Une propriété locale des intégrales orbitales ω-équivariantes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières . . . . . V.1.12 Elimination des K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.13 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . V.2 Un nouvel espace de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ V.2.1 Définition de l’espace Dtr-orb (G(R), ω) . . . . . . . . . . . . ˜ V.2.2 Premières propriétés de l’espace Dtr-orb (G(R), ω) . . . . . . V.2.3 Un lemme de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2.4 Programme d’extension des définitions . . . . . . . . . . . .

456 456 456 457 460 461 464 464 465 467 467 468 474 477 482 482 483 485 486 489 489 490 491 491 491 497 499 502

Table des matières

V.3

V.4

V.5

V.6

V.7

V.2.5 Réduction des conditions imposées dans le cas (A) V.2.6 Réduction des conditions imposées dans le cas (C) V.2.7 Réduction des conditions imposées dans le cas (B) Extension des définitions, cas des groupes non tordus . . . . V.3.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . V.3.2 Réalisation du programme de 2.4 . . . . . . . . . . V.3.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . V.3.4 Revêtement et applications ρJ et σJ . . . . . . . . V.3.5 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . V.3.6 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension des définitions, cas quasi-déployé . . . . . . . . . V.4.1 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . V.4.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.4.3 Localisation des espaces Dtr-orb (O) . . . . . . . . . V.4.4 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . ˜ ˜ G V.4.5 Définition des termes ρG J et σJ , premier cas . . . . ˜ ˜ G V.4.6 Définition des termes ρG J et σJ , deuxième cas . . . Extension des définitions, cas général . . . . . . . . . . . . . V.5.1 Un résultat complémentaire pour l’endoscopie non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.5.2 Réalisation conditionnelle du programme de 2.4 . . V.5.3 Preuve de la proposition 5.2, premier cas . . . . . ˜ et K G ˜J . . . . . . . V.5.4 Comparaison des espaces K G V.5.5 Preuve de la proposition 5.2, deuxième cas . . . . V.5.6 Preuve du lemme 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . V.5.7 Preuve du lemme 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Un résultat d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.1 Un espace de germes de fonctions . . . . . . . . . . V.6.2 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.3 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6.4 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes associées aux éléments ˜ (R)) ⊗ Mes(M (R))∗ . . . . . . . . . . de Dtr-orb (M V.6.5 Preuve de la proposition 6.3 . . . . . . . . . . . . . Le cas des groupes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxiii

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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507 511 513 513 513 513 514 519 520 527 528 528 530 531 533 535 537 541

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

541 544 545 547 549 553 561 564 564

. . . . . 565 . . . . . 568

. . . . . 569 . . . . . 571 . . . . . 573

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

Préface

Ainsi qu’on l’a dit dans l’introduction du premier volume, notre but est de stabiliser la formule des traces tordue en toute généralité, en suivant la méthode utilisée par Arthur dans ses trois articles [18], [19], [20]. Notre résultat élimine l’hypothèse essentielle posée par le même Arthur dans son livre [23] où il décrit le spectre discret des groupes classiques à partir de celui des groupes linéaires généraux. Nos données de départ sont un corps de nombres F , un groupe réductif ˜ sur G et un caractère automorphe ω connexe G défini sur F , un espace tordu G de G(AF ) (où AF est l’anneau d’adèles de F ). Si l’on préfère, on peut fixer un ˜ = Gθ, automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble G qui est muni des actions de G à gauche et à droite définies par (g, γ = xθ, g  ) → ˜ est associé un automorphisme γ  = gxθ(g  )θ. En particulier, à tout élément γ de G adγ de G : si γ = xθ, adγ = adx ◦ θ, où adx est la conjugaison par x. Dans cette situation, la formule des traces ω-équivariante permet d’étudier les représentations automorphes π de G(AF ) telles que π◦adγ  π⊗ω, où γ est un élément quelconque ˜ F ). Elle se présente de la façon suivante. On fixe un ensemble fini V de de G(A places de F , assez grand (contenant toutes les«mauvaises» places). On note FV le ˜ V )), on a une égalité produit des localisés Fv pour v ∈ V . Pour fV ∈ Cc∞ (G(F ˜

˜

G G Ig´ eom (ω, fV ) = Ispec (ω, fV ),

le premier terme étant le côté «géométrique» de la formule et le second étant son côté «spectral». Cette égalité a été établie par Arthur, cf. [8], à partir de la version non-ω-équivariante démontrée dans le fameux «Morning Seminar». Celui-ci a été enfin rédigé il y a quelques années par Labesse et l’un de ses collaborateurs [55]. Comme dans le cas local, on introduit la notion de donnée endoscopique de ˜ ω). Une telle donnée G est un objet assez riche et détermine en tout cas (G, G, un groupe G réductif connexe défini sur F et quasi-déployé et un espace tordu ˜  sur G . Il n’y a plus de caractère et l’espace tordu G ˜  est assez simple : la G  torsion se fait par automorphismes intérieurs de G . Cela étant, la stabilisation de la formule des traces tordue se fait par récurrence sur la dimension de G selon le schéma assez simple suivant. On considère d’abord le cas où G est quasi-déployé, ˜ est «à torsion intérieure» et ω = 1 (comme on vient de le dire, ces conditions G ˜ ω) par celle issue d’une sont remplies si l’on remplace la donnée de départ (G, G, xxv

xxvi

Préface

donnée endoscopique). Dans ce cas, pour un indice = g´eom ou = spec, on pose  ˜ ˜ ˜ G )SIG˜  (fVG˜  ). SIG (fV ) = IG (fV ) − i(G, G ;G =G ˜

On a supprimé le ω dans IG (fV ) puisqu’il est trivial. La somme porte sur les don˜ ω = 1) qui vérifient diverses conditions : ellipticité, nées endoscopiques de (G, G, ˜ G ) non-ramification hors de V etc. . . Il n’y en a qu’un nombre fini. Le terme i(G,  est une constante explicite. Puisqu’on impose de plus G = G, les groupes G qui apparaissent sont de dimension strictement plus petite que celle de G. On peut ˜ ˜ donc supposer définies les distributions SIG (.). La fonction fVG est le transfert de fV . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des travaux de Shelstad dans le cas des places archimédiennes (cf. [74]), de Ngo Bao Chau dans le cas des places finies. Le théorème que nous prouverons dans cette situation est que ˜ la distribution fV → SI G (fV ) est stable, c’est-à-dire qu’elle annule les fonctions dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. Revenons maintenant à un ˜ ˜ ω) quelconque. On définit la version endoscopique IG,E (ω, fV ) du triplet (G, G, terme géométrique ou spectral de la formule des traces par l’égalité  ˜ ˜ G )SIG˜  (fVG˜  ), i(G, IG,E (ω, fV ) = G

avec les mêmes explications que ci-dessus. Le théorème principal que nous prou˜ ˜ verons est l’égalité IG,E (ω, fV ) = IG (ω, fV ). Pour = spec, celle-ci relie les représentations automorphes π de G(AF ) vérifiant la condition π ◦ adγ  π ⊗ ω aux représentations automorphes des groupes associés aux données endoscopiques ˜ ω). Un travail assez facile, fait en [X] 5.7 et fortement inspiré de [24], de (G, G, ˜ G sépare la partie discrète de la partie continue de Ispec (ω, fV ). La partie discrète voit vraiment des traces de ω-représentations, même si se glissent des opérateurs d’entrelacement, tandis que la partie continue voit des intégrales de caractères pondérés parfaitement incalculables. La stabilisation vaut encore en ne gardant que les parties discrètes des deux membres de l’égalité ci-dessus. Celles-ci sont alors indépendantes, en un sens assez clair, du choix de l’ensemble de places V , grâce au lemme fondamental pour toute l’algèbre de Hecke sphérique (cf. [60]). Signalons tout de suite que la présentation ci-dessus est grandement simplifiée. D’abord, les places réelles nécessitent parfois de considérer ensemble plusieurs formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici les K-espaces. On a expliqué au chapitre I pourquoi leur introduction est utile, cf. [I] 1.11 et [I] ˜ 4.9. D’autre part, les transferts que l’on a noté ici fVG vivent en général non pas   ˜ , laquelle est un espace tordu sur une ˜ , mais sur une donnée auxiliaire G sur G 1 extension G1 de G par un tore central. ˜ G Le terme géométrique Ig´ eom (ω, fV ) se présente comme une somme sur les ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ espaces de Levi M de G de sommes de termes I G (AM (O, ω), fV ). Ici, AM (O, ω) ˜ M

Préface

xxvii

est une somme finie de ω-intégrales orbitales sur des classes de conjugaison par ˜ (F ) (c’est un objet essentiellement global) et I G˜ (., .) est M (FV ) d’éléments de M ˜ M une intégrale orbitale pondérée ω-équivariante (c’est un objet essentiellement local, fortement relié aux distributions que l’on a étudiées dans le premier volume). On doit stabiliser ces deux types d’ingrédients. La stabilisation des termes globaux ˜ AM (O, ω) a été l’objet de plusieurs travaux successifs de Langlands, Kottwitz, Kottwitz et Shelstad, Arthur et Labesse. Arthur a traité entièrement le problème, cf. [19], mais dans le cas non tordu. Labesse a traité le cas tordu, cf [53], mais seulement dans le cas des orbites semi-simples. Nous reprenons les méthodes de ces deux auteurs pour traiter le cas général dans le chapitre VII, en utilisant une technique de descente. Toutefois, comme dans Arthur, certaines classes de conjugaison exceptionnelles ne se traitent pas directement et leur stabilisation ne ˜ G sera obtenue que dans le chapitre X. La stabilisation des termes «locaux» IM ˜ (., .) ˜ ˜ est plus difficile (pour M = G). La raison en est que la méthode d’Arthur qui rend invariante la formule des traces est très dissymétrique : elle concentre les difficultés ˜ G du côté géométrique. En fait, ces distributions IM ˜ (., .) n’ont de «géométrique» ˜ (FV )). Leur que leur ensemble d’indexation (des classes de conjugaison dans M définition fait intervenir des objets spectraux et en fait, ces distributions sont à peu près incalculables en toute généralité. Leur stabilisation, obtenue au chapitre X, se fait par voie globale c’est-à-dire en utilisant toute la force de la formule des traces (bien que quelques résultats préparatoires aient déjà été prouvés dans le premier volume). C’est donc ce chapitre X qui contient l’essentiel de la preuve de la stabilisation géométrique. C’est aussi celui où sera abordé le côté spectral de la formule. Sa stabilisation résulte de celle de la partie géométrique mais, comme on vient de le dire, par une démonstration qui effectue un va-et-vient entre les deux côtés de la formule. Signalons que notre présentation de la formule spectrale est quelque peu simplifiée par rapport à celle d’Arthur quant aux questions de convergence car on dispose aujourd’hui des résultats sur ce sujet de Müller [65] et Finis, Lapid et Müller [35]. Le chapitre VI présente la partie géométrique de la formule et énonce les résultats concernant sa stabilisation. On y énonce aussi les hypothèses de récurrence générales qui vaudront pour toute la suite de la démonstration. Toutefois, dans bien des chapitres, une partie seulement de ces hypothèses sera utilisée et on expliquera selon les cas quelles sont les hypothèses vraiment utiles. On a déjà dit que le chapitre VII est consacré à la stabilisation de presque toutes les inté˜ grales orbitales AG (O, ω). C’est l’équivalent dans le cas tordu du deuxième article [19] d’Arthur. Le chapitre VIII commence la démonstration de la stabilisation des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. On y démontre l’analogue de la proposition 3.1 de [20]. Le chapitre IX démontre une proposition analogue mais sur le corps de base réel. En effet, contrairement à Arthur, nous utilisons la même méthode pour traiter les problèmes locaux, que le corps de base soit archimédien ou non. Les preuves sont toutefois assez différentes dans les deux cas. En particulier, les questions de K-finitude sont nettement plus compliquées sur un corps de base

xxviii

Préface

archimédien. Le chapitre X contient l’énoncé de la partie spectrale de la formule des traces et celui de sa stabilisation. Il contient aussi un énoncé de stabilisation de la formule des traces locale tordue. Enfin, comme on l’a dit, il contient l’essentiel des démonstrations. On y suit dans ses grandes lignes le troisième article d’Arthur [20]. Comme il s’agit de la partie la plus consistante de notre travail, on a choisi de renoncer dans ce chapitre à certains formalismes mis au point dans le premier chapitre. Ceux-ci n’auraient fait qu’obscurcir la rédaction et leur rétablissement ne serait qu’un exercice facile. Enfin, on a adjoint un appendice en guise de chapitre XI. Il contient des résultats sur les représentations supertempérées ainsi qu’une extension au cas tordu des résultats d’Arthur contenus dans son très bel article à Selecta [13]. Cet appendice n’utilise pas les résultats des chapitres précédents mais, au contraire, est utilisé dans ceux-ci. Comme dans le premier volume, nous énoncerons certains résultats comme «théorèmes à prouver». Nous les démontrerons bel et bien mais souvent beaucoup plus tard. La raison d’être de ces énoncés est la méthode de récurrence que nous ˜ nous avons besoin d’utiutilisons. Pour démontrer les résultats pour un espace G, liser toutes les conséquences de ceux-ci pour des espaces plus petits. On essaiera d’indiquer à chaque fois où se trouvent les démonstrations finales des résultats en question. Enfin, puisque c’est le point qui nous a valu le plus de commentaires, signalons qu’il reste un «trou» dans la démonstration. En effet, nous utilisons des résultats sur le lemme fondamental pondéré qui ont été annoncés par Chaudouard et Laumon mais qui n’ont été publiés par ces auteurs que sous des hypothèses restrictives. A nos yeux, ce problème n’est pas sérieux car il n’y a pas de doute que les méthodes des textes publiés permettent de traiter le cas général. Mais ce ne semble pas être l’opinion générale. En ce qui nous concerne, à notre regret, les lois de notre pays ne nous donnent pas les moyens de contraindre Chaudouard et Laumon à publier la partie manquante de leurs résultats. La partie «géométrique» de nos résultats a été exposée au congrès international de Séoul, on peut se référer à [82] pour une présentation condensée. Les renvois aux différents chapitres sont indiqués par des chiffres romains entre crochets : [VI] pour le chapitre VI par exemple.

Chapitre VI

La partie géométrique de la formule des traces tordue Introduction Ce chapitre énonce les résultats que l’on a en vue concernant la partie géométrique de la formule des traces tordue. Ce sont les généralisations au cas tordu des théorèmes énoncés par Arthur dans son premier article sur la stabilisation ([18]), du moins de ceux qui concernent cette partie géométrique. Nous ne démontrons pas ici les résultats en question. Ils seront démontrés plus tard en reprenant les méthodes des deux autres articles d’Arthur sur le sujet. On doit dire que généraliser au cas tordu les constructions d’Arthur pose certains problèmes techniques, mais aucun problème conceptuel. C’est-à-dire que l’essentiel est dû à Arthur lui-même. La première section présente le cadre global dans lequel on se place. On considère un corps de nombres F , un groupe réductif connexe G défini sur F , ˜ sous G et un caractère ω de G(A) trivial sur G(F ), où A est un espace tordu G l’anneau des adèles de F . On définit les intégrales orbitales pondérées globales, certaines de leurs variantes et on énonce les formules de descente qui les relient à leurs avatars locaux. La section 2 énonce la partie géométrique de la formule des traces tordue ω-équivariante. On énonce cette formule d’une façon un peu plus abstraite qu’Arthur. Il est traditionnel et naturel de l’écrire comme une somme avec coefficients ˜ d’intégrales orbitales I G (γ, ω, f ) ou plus généralement d’intégrales orbitales pon˜ G dérées ω-équivariantes IM ˜ (γ, ω, f ). La présence du caractère ω perturbe déjà la ˜

situation : les avatars locaux des intégrales I G (γ, ω, f ) ne dépendent pas seulement de la classe de conjugaison de γ mais bien du point base γ choisi. Surtout, comme on le sait, les coefficients dont sont affectés ces intégrales ne sont à ce jour pas connus explicitement (ils sont connus si γ est fortement régulier, mais pas si γ ˜ contient une partie unipotente). On a choisi de regrouper les intégrales I G (γ, ω, f ), © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_1

589

590

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

affectées de leurs coefficients, selon la classe de conjugaison à laquelle appartient ˜ la partie semi-simple de γ. On obtient ainsi des distributions notées AG (V, O, ω) dépendant d’un ensemble fini assez grand V de places du corps de base F et d’une ˜ ). On énonce en 2.3 leur définiclasse de conjugaison semi-simple O dans G(F tion. Ces distributions sont les ingrédients globaux de la partie géométrique de la formule des traces. Elles vérifient une formule de descente qui les ramène au cas ˜ = G n’est pas tordu et où O est simplement la classe {1} (dans ce basique où G ˜ G cas, A (V, O, ω) est exactement la «partie unipotente» de la formule des traces). Dans la section 3, on présente la théorie de l’endoscopie dans le cadre global. La différence essentielle avec le cas local développé en [I] est que, dans le cas global, pour une donnée endoscopique G relevante, il y a un facteur de transfert canonique. La situation tordue pose ici un problème technique. Usuellement, la ˜  (F ), assez régulier, qui se transfère définition d’un tel facteur utilise un point δ ∈ G ˜ v ) pour toute place v de F . Dans le cas non tordu, un tel en un élément γv ∈ G(F point existe si G est relevante. Ce n’est plus vrai dans le cas tordu. On dit que ˜  (F ) = ∅ et la donnée locale Gv est relevante G est relevante si et seulement G pour toute place v. On a posé cette définition parce que c’est la seule notion que ˜  (F ) vérifiant les l’on sache contrôler. Or cela n’assure pas l’existence d’un δ ∈ G  propriétés ci-dessus. Il est possible que les données G pour lesquelles il n’existe pas de tel δ puissent être éliminées du processus de stabilisation mais cela ne nous paraît pas clair. On a plutôt choisi de donner une définition du facteur de transfert global sous la seule hypothèse de relevance telle que définie ci-dessus. D’abord, en inspectant les définitions de Kottwitz–Shelstad ou de Labesse, on voit que l’on n’a pas vraiment besoin d’un δ comme ci-dessus. Il suffit qu’il existe un sous-tore tordu ˜  , défini sur F , de sorte que, pour toute place v, il existe un élément maximal T˜  de G  ˜ ˜ v ). Même cette δv ∈ T (Fv ) assez régulier qui se transfère en un élément γv ∈ G(F propriété moins forte n’est pas assurée par notre hypothèse de relevance. Mais on ˜ et G ˜  dans des espaces plus gros qui satisfont cette propriété. On peut plonger G ˜  , G) ˜ du définit alors le facteur de transfert comme la restriction à notre couple (G facteur de transfert défini sur ces espaces plus gros. Cela est fait au paragraphe 3.9. Dans la section 4, on définit les avatars stables et endoscopiques des intégrales orbitales pondérées invariantes. On énonce le résultat principal en 4.5, à savoir qu’une intégrale orbitale pondérée endoscopique est en fait une intégrale orbitale pondérée (ω-équivariante) tout court. Ce résultat se déduit des analogues locaux énoncés en [II] et [V], qui restent à démontrer. La section 5 énonce la version stable de la partie géométrique de la formule ˜ des traces. Les distributions AG (V, O, ω) sont remplacées par des distributions ˜ ˜ ). Ces SAG (V, O), où cette fois, O est une classe de conjugaison stable dans G(F distributions doivent être stables. Le théorème 5.4 exprime que les coefficients ini˜ tiaux AG (V, O, ω) se récupèrent comme somme de transferts de tels coefficients   ˜ a) qui sont ellipSAG (V, OG ), où G décrit les données endoscopiques de (G, G, tiques, relevantes et non ramifiées hors de V . Le théorème principal 5.10 exprime que la partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante se récupère de

VI.1. Les définitions

591

même comme somme de parties géométriques de formules des traces stables associées à ces mêmes données G . Dans la section 6, on montre que ce dernier théorème résulte des autres. Il s’agit ici d’une reprise du paragraphe 10 de l’article [18]. Il y a deux ingrédients. D’une part, la proposition combinatoire 6.5 qui fournit deux expressions a priori très différentes d’une double somme sur des données endoscopiques G et sur des «Levi» M de G . D’autre part, une proposition d’annulation 6.6 qui permet dans le paragraphe suivant de faire disparaître les termes apparaissant dans les formules de traces stables des données endoscopiques qui ne correspondent à rien du côté ˜ La démonstration de cette proposition 6.6 est un amusant de l’espace initial G. exercice basé sur les propriétés des facteurs de transfert globaux.

VI.1 Les définitions VI.1.1 Groupes et espaces tordus Soit F un corps de nombres. On note Val(F ) l’ensemble de ses places, Val∞ (F ) le sous-ensemble des places archimédiennes, Valf (F ) celui des places finies et AF son anneau d’adèles. On fixe une clôture algébrique F¯ de F . Il est commode de supposer tacitement que, pour toute place v ∈ Val(F ), on a choisi un prolongement v¯ de v à F¯ . Ainsi, on peut définir le sous-groupe de décomposition ΓFv ⊂ ΓF comme le fixateur de v¯. De même, pour une variété X définie sur F , on a une application X(F¯ ) → X(F¯v ) obtenue en identifiant F¯ à un sous-corps de F¯v grâce à la place v¯. ˜ un espace tordu sous G. Soient G un groupe réductif connexe défini sur F et G On utilise les définitions des quatre premiers paragraphes de [I]. Soit a un élément ˆ ˆ où ker1 (WF ; Z(G)) ˆ est le noyau (fini) ker1 (WF ; Z(G)), du groupe H 1 (WF ; Z(G))/ de l’homomorphisme de localisation  ˆ → ˆ H 1 (WF ; Z(G)) H 1 (WFv ; Z(G)). v∈Val(F )

Cet élément a détermine un caractère ω de G(A), trivial sur G(F ). L’application a → ω est bijective, cf. [83]. On impose les hypothèses analogues à celles de [I] 1.5 : ˜ ) = ∅ ; • G(F • l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini, où ici θ est la restriction de adγ ˜ à Z(G) pour n’importe quel élément γ ∈ G. On impose de plus • ω est unitaire. On pourrait ajouter la condition • ω est trivial sur Z(G; AF )θ , faute de laquelle la théorie devient vide. Mais, pour des raisons de récurrence, il vaut mieux ne pas l’imposer dès le départ.

592

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ a) un Pour toute place v ∈ Val(F ), on déduit par localisation de (G, G, ˜ v , av ) sur Fv , qui vérifie les hypothèses de [I]. On note Vram , ou plus triplet (Gv , G ˜ a), le plus petit ensemble de places v contenant les places précisément Vram (G, archimédiennes et tel que, pour v ∈ Vram , on ait : ˜ v ) possède un sous-espace hyperspécial ; – G et a sont non ramifiés en v et G(F – en notant p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ], on a p > 5 et p > N (G)ev + 1, où N (G) est l’entier défini en [79] 4.3. On fixe une paire parabolique (P0 , M0 ) de G définie sur F et minimale. On ˜ 0 ) de G. ˜ en déduit une paire parabolique (P˜0 , M ˜ puissent Soit V un ensemble fini de places contenant Vram et tel que G et G être définis sur l’anneau oV des éléments de F qui sont entiers hors de V . Fixer ˜ v) ˜ sur oV permet de définir les ensembles G(ov ) et G(o des structures de G et G pour tout v ∈ V , où ov est l’anneau d’entiers de Fv . Pour tout v ∈ Vram , on fixe un ˜v sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ) et un sous-espace hyperspécial K ˜ v ) associé à Kv . On impose que Kv = G(ov ) et K ˜ v = G(o ˜ v ) pour presque de G(F tout v. Cette condition ne dépend ni du choix de V , ni de celui des structures sur ˜ ), on a γ ∈ K ˜ v pour presque tout v. Pour oV . Elle implique que, pour γ ∈ G(F v ∈ Vram , on fixe un sous-groupe compact maximal Kv de G(Fv ), spécial si v est non archimédienne. On impose – pour toute place v ∈ Val(F ), Kv est en bonne position relativement à M0 . C’est possible puisque, pour v ∈ Vram , tout sous-groupe compact hyperspécial est conjugué par un élément de G(Fv ) à un tel sous-groupe en bonne position ˜v relativement à M0 . Pour v ∈ Vram , on note 1K˜ v la fonction caractéristique de K ˜ v ) et on appelle mesure canonique sur G(Fv ) la mesure de Haar sur ce dans G(F groupe telle que mes(Kv ) = 1 (elle est en effet canonique car tous les sous-groupes compacts hyperspéciaux ont même mesure). ˜ de G, ˜ on utilise les notations d’Arthur P(M ˜ ), Pour un espace de Levi M ˜ ) etc. . . Les éléments de ces ensembles sont des espaces paraboliques, resp. L(M ˜ ⊃M ˜ 0 et v ∈ Val(F ), on pose des espaces de Levi etc. . . définis sur F . Pour M ˜ M ˜ ˜ ˜ ˜ Kv = Kv ∩ M (Fv ). Ces données vérifient les mêmes conditions que celles pour G. Rappelons que l’on note AG˜ le plus grand sous-tore déployé contenu dans le sous-groupe d’invariants Z(G)θ . On note AG˜ = X∗ (AG˜ ) ⊗Z R. On dispose de l’homomorphisme habituel HG˜ : G(AF ) → AG˜ . On définit une application ˜ ˜ : G(A ˜ F ) → A ˜ par les conditions suivantes : H G G ˜ ˜ (γ) ˜ ); H ˙ = 0 pour tout γ˙ ∈ G(F G ˜ ˜ ˜ F ). HG˜ (xγ) = HG˜ (x) + HG˜ (γ) pour tous x ∈ G(AF ) et γ ∈ G(A  Soit V un ensemble fini de places de F . On pose FV = v∈V Fv et on note AVF le sous-anneau des adèles dont les composantes sur Fv sont nulles pour tout v ∈ V . On pose ˜ V )) = ⊗v∈V C ∞ (G(F ˜ v )). Cc∞ (G(F c ˜ V ), ω). On définit de la même façon l’espace I(G(F

VI.1. Les définitions

593

Remarque. On adopte cette définition par commodité. On pourrait aussi bien utiliser un espace un peu plus gros en regroupant les places archimédiennes. C’est˜ v )) à-dire que l’on pourrait remplacer la partie archimédienne ⊗v∈V ∩V∞ (F ) Cc∞ (G(F  ∞ ˜ du produit tensoriel ci-dessus par Cc ( v∈V ∩V∞ (F ) G(Fv )). ˜ V )) Considérons le cas où V ⊃ Vram . Dans ce cas, on peut identifier Cc∞ (G(F ˜ F )) en complétant un produit ⊗v∈V fv en le produit à un sous-espace de Cc∞ (G(A 1K˜ V ⊗ (⊗v∈V fv ), où 1K˜ V = ⊗v∈V 1K˜ v . . On peut aussi identifier Mes(G(FV )) à Mes(G(AF )) en prolongeant toute mesure sur G(FV ) par les produit sur v ∈ V ˜ v l’espace G ˜ des mesures canoniques sur G(Fv ). Pour tout v ∈ Val(F ), notons G vu comme un espace sur Fv . En [II] 1.6, on a défini l’ensemble A˜ ˜ de la façon Gv

suivante. On note G(Fv )1 le noyau et AG˜ v ,Fv l’image de l’homomorphisme HG˜ v : ˜ v ). G(Fv ) → AG˜ v . Alors le sous-groupe AG˜ v ,Fv agit naturellement sur G(Fv )1 \G(F On pose ˜ v )) ⊗A ˜ A˜ ˜ = (G(Fv )1 \G(F A˜ . Gv

Gv ,Fv

Gv

˜ ˜ : G(F ˜ v ) → A˜ ˜ l’application C’est un espace affine sous AG˜ v . On note H Gv Gv ˜ ˜ naturelle. Pour v ∈ Vram , l’image de Kv par HG˜ v est réduite à un point et on identifie A˜G˜ v à AG˜ v en identifiant ce point à 0. Posons A˜G˜ V =



A˜G˜ v .

v∈V

On définit une application p˜V : A˜G˜ V → AG˜ ˜ ). Tout élément X ˜ ∈ A˜ ˜ s’écrit X ˜ = de la façon suivante. Fixons γ˙ ∈ G(F GV ˜ (HG˜ v (γ) ˙ + Xv )v∈V , où Xv ∈ AG˜ v . On pose ˜ = p˜V (X)

 v∈V

 Xv,G˜





 ˜ ˜ (γ) (H ˙ ), Gv

v∈V

˜ G

˜ désignent les projections orthogonales sur l’espace A ˜ . Cette où les indices G G définition ne dépend pas du point γ˙ choisi. On définit une application ˜ ˜ : G(F ˜ V) → A˜ H GV G ˜ ˜ ((γv )v∈V ) = p˜V ((H ˜ ˜ (γv ))v∈V ). par H GV Gv ˜ V ), K) de Cc∞ (G(F ˜ V )) formé des foncOn introduit le sous-espace Cc∞ (G(F tions qui, en toute place archimédienne v ∈ V , sont Kv -finies à droite et à gauche. ˜ V ), K, ω) son image dans I(G(F ˜ V ), ω). On note I(G(F Considérons le cas de deux ensembles finis de places S ⊃ V ⊃ Vram . On pose  ˜ V )) à un sous-espace de Cc∞ (G(F ˜ S )) FSV = v∈S−V Fv . On peut identifier Cc∞ (G(F

594

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

en complétant un produit ⊗v∈V fv en le produit 1K˜ V ⊗ (⊗v∈V fv ). De même, on S ˜ V ), ω) à un sous-espace de I(G(F ˜ S ), ω). On peut aussi idenpeut identifier I(G(F tifier Mes(G(FV )) à Mes(G(FS )). Nos preuves se feront par récurrence. Posons en toute généralité les hypothèses de récurrence qu’on utilisera (qui étendent celles posées dans les chapitres ˜ a) définis sur un corps F précédents). Nos résultats concernent des triplets (G, G, qui est soit un corps de nombres comme ci-dessus, soit un corps local de caractéristique nulle comme dans les chapitres précédents. Une variante consiste à considérer ˜ a) que l’on a déjà définis sur le corps de base R et que l’on des K-triplets (KG, K G, définira en 1.16 sur un corps de nombres. On isole un cas particulier : celui d’un ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. En tout cas, on raisonne par triplet (G, G, récurrence sur l’entier dim(GSC ), où GSC est le revêtement simplement connexe du ˜ a) est un triplet groupe dérivé de G et dim(GSC ) est sa dimension sur F . Si (G, G, quasi-déployé et à torsion intérieure défini sur F , on suppose connues toutes les ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion intérieure assertions concernant des triplets (G , G   ˜ a) est un triplet définis sur un corps F tels que dim(GSC ) < dim(GSC ). Si (G, G, défini sur F qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connues ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion toutes les assertions concernant des triplets (G , G  intérieure définis sur un corps F tels que dim(GSC ) ≤ dim(GSC ) et on suppose ˜  , a ) quelconques déconnues toutes les assertions concernant des triplets (G , G   finis sur un corps F tels que dim(GSC ) < dim(GSC ). Quand on travaille avec ˜ a) défini sur F , on suppose connues toutes les assertions un K-triplet (KG, K G, ˜  , a ) quasi-déployés et à torsion intérieure définis sur concernant des triplets (G , G   un corps F tels que dim(GSC ) ≤ dim(GSC ) et on suppose connues toutes les as˜  , a ) définis sur un corps F  tels que sertions concernant des K-triplets (KG , K G  dim(GSC ) < dim(GSC ). On utilise une deuxième récurrence lorsqu’une assertion ˜ d’un triplet (G, G, ˜ a) défini sur F . Dans ce cas, fait intervenir un espace de Levi M ˜ a) relatives on suppose connues toutes les assertions concernant le triplet (G, G, ˜ ˜ à un espace de Levi L contenant strictement M . On utilise une résurrence ana˜ d’un K-triplet logue lorsqu’une assertion fait intervenir un K-espace de Levi K M ˜ (KG, K G, a). Il intervient aussi des assertions annexes concernant des triplets endoscopiques non standard (G1 , G2 , j∗ ). Dans le cas local, on a déjà indiqué en [III] 6.3 comment on les insérait dans notre schéma de récurrence. Le cas global est similaire, cf. 5.8 ci-dessous. La nécessité de faire varier le corps de base F dans ces hypothèses a deux ˜ a) sur un corps de sources. D’abord, quand on travaille avec un triplet défini (G, G, ˜ v , av ). nombres F , on doit connaître certaines propriétés des triplets localisés (Gv , G Inversement, la preuve du principal théorème local ([II] 1.16) se fait par globalisation. On a donc besoin, pour démontrer ce théorème pour un triplet défini sur un corps local F , d’utiliser des propriétés concernant des triplets définis sur un corps de nombres dont F est un localisé.

VI.1. Les définitions

595

VI.1.2 Remarque sur les hypothèses On va montrer (1) il existe un groupe algébrique non connexe G+ défini sur F et réductif, de ˜ s’identifie à une composante connexe composante neutre G, de sorte que G + de G munie des actions de G par multiplication à droite et à gauche. ˜ ), posons θ = adγ . Parce que l’on suppose que la resPreuve. Fixons γ ∈ G(F triction de θ à Z(G) est d’ordre fini, il existe un entier n ≥ 1 tel que θn soit un automorphisme intérieur de G. Il existe donc x ∈ GSC (F¯ ) tel que θn = adx . Parce que θ est défini sur F , adx l’est aussi. Donc σ(x) ∈ xZ(GSC ) pour tout σ ∈ ΓF . Parce que θ commute à θn , donc à adx , on a aussi θ(x) ∈ xZ(GSC ). Notons m le nombre d’éléments de Z(GSC ). Posons N = mn et y = xm . Alors θN = ady et on a y ∈ GSC (F ) et θ(y) = y. Notons G+ l’ensemble des éléments (g, θi ) avec g ∈ G et i ∈ {0, . . . , N − 1}. On définit la multiplication par  si i + j ≤ N − 1, (gθi (g  ), θi+j ), i  j (g, θ )(g , θ ) = i  k (gθ (g )y, θ ), si i + j = N + k avec k ≥ 0. On obtient un groupe réductif non connexe défini sur F . L’application (g, θ) → gγ ˜ identifie la composante Gθ de G+ à G.  Cette remarque ne nous servira pas directement. Mais elle nous permet d’ap˜ les résultats démontrés dans la littérature pour les groupes pliquer à notre espace G non connexes.

VI.1.3 Mesures sur les espaces AM ˜ ˜ un espace de Levi de G. ˜ On aura besoin d’une mesure sur l’espace A ˜ . Soit M M On a choisi d’éviter autant que possible de normaliser les mesures. Logiquement, on devrait faire de même pour la mesure sur cet espace. Toutefois, cela conduirait à des formulations par trop inhabituelles des formules de descente. On fixe donc sur tout espace AM˜ une mesure de Haar, à laquelle on impose quelques conditions ˜ et M ˜  sont conjugués par un élément g ∈ G(F ), on évidentes ; par exemple, si M suppose que les mesures sur AM˜ et AM˜  se correspondent par cette conjugaison. ˜ ⊂L ˜ sont deux espaces de Levi, on munit AL˜ de la mesure pour laquelle la Si M ˜ M ˜

décomposition AM˜ = AL ˜ est compatible aux mesures. ˜ ⊕ AL M Il y a au moins deux façons de définir ces mesures. Identifions AM˜ à Hom(X ∗ (M )ΓF ,θ , R), où X ∗ (M ) est le groupe des caractères algébriques de M . Notons AM˜ ,Z le réseau Hom(X ∗ (M )ΓF ,θ , Z). On peut imposer que ce réseau est de covolume 1. C’est la normalisation de la théorie des mesures de Tamagawa. Elle a l’inconvénient de se comporter assez mal vis-à-vis des suites exactes. Une autre méthode est la suivante. Considérons la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ ,T ∗ ,(Eα∗ )α∈Δ ) de G, munie de l’action galoisienne quasi-déployée. Posons hR = X∗ (T ∗ ) ⊗Z R. On

596

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

munit cet espace vectoriel réel d’une forme quadratique définie positive invariante par l’action galoisienne quasi-déployée, par celle du groupe de Weyl W et par l’automorphisme θ associé à E ∗ . C’est possible puisque le groupe d’automorphismes ˜ un espace de Levi de G. ˜ En choisisde hR engendré par ces actions est fini. Soit M ˜ ), on peut identifier A ˜ à un sous-espace de hR . Alors sant un élément P˜ ∈ P(M M AM˜ se retrouve muni de la restriction de la forme quadratique précédente. Les invariances imposées à cette dernière impliquent que cette restriction ne dépend pas du choix de P˜ . On munit AM˜ et plus généralement tout sous-espace de AM˜ de la mesure euclidienne associée à cette forme quadratique. En tout cas, on suppose fixées les mesures sur ces espaces, d’une façon ou ˜ v est un espace de Levi de d’une autre. De même, si v est une place de F et M ˜ v , on suppose fixée une mesure de Haar sur A ˜ v . Notons qu’on n’impose pas de G M relation entre les mesures «locales» et les mesures «globales». Par exemple, si G ˜ est un espace de Levi de G, ˜ on a l’égalité A ˜ = A ˜ , mais est déployé et si M M Mv on ne demande pas que les mesures sur ces espaces soient les mêmes. Notons GQ le groupe sur Q déduit de G par restriction des scalaires et, comme toujours, AGQ le plus grand tore déployé central dans GQ . On note AG la composante neutre topologique de AGQ (R). Notons que AGQ est aussi le plus grand tore déployé dans le groupe sur Q déduit de AG par restriction des scalaires. On en déduit des inclusions 

AG ⊂ AG (F∞ ) ⊂ AG (AF ) ⊂ G(AF ),

où F∞ = v∈Val∞ (F ) Fv . L’espace AG est conservé par θ. On note AG˜ le sousespace des points fixes par θ. La restriction à AG de l’homomorphisme HG : G( AF ) → AG est un isomorphisme qui permet d’identifier AG à AG et AG˜ à AG˜ . On munit l’espace AG˜ de la mesure telle que ce dernier isomorphisme préserve les mesures.

˜ M ˜ )-familles VI.1.4 Formule de descente des (G, ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini non vide de places de F . Soient M ˜v, M ˜ v etc. . . les espaces G, ˜ M ˜ etc. . . vus comme des espaces Pour v ∈ V , on note G ˜ v un espace de Levi de M ˜ v défini sur Fv . On a mis sur Fv . Pour tout v, soit R ˜ v n’a pas de raison d’être le v en exposant pour éviter une possible confusion : R ˜ défini sur F . Soit (cv (S˜v ; Λ)) ˜v ˜ ˜v localisé d’un espace R ˜ v ) une (Gv , R )-famille S ∈P(R ˜ M ˜ )-famille de la façon (la variable Λ appartient à iA∗R˜ v ). On en déduit une (G, ˜ v ) tel que S˜v ⊂ P˜v . ˜ ) et v ∈ V , on choisit S˜v ∈ P(R suivante. Pour P˜ ∈ P(M ∗ ∗ ∗ L’espace iAM˜ se plonge dans iAR˜ v . Pour Λ ∈ iAM˜ , on pose  c(P˜ ; Λ) = cv (S˜v ; Λ). v∈V

˜ ˜ Cela ne dépend pas du choix des S˜v et la famille (c(P˜ ; Λ))P˜ ∈P(M) ˜ est une (G, M )˜ ), on note Δ ˜ l’ensemble des restrictions à A ˜ de racines famille. Pour P˜ ∈ P(M P

M

VI.1. Les définitions

597

simples relativement à P . A toute racine α ∈ ΔP˜ , on associe une coracine α ˇ ∈ ˇ n’importe pas, la demi-droite qu’elle porte AM˜ (la normalisation précise de α ˇ ˜ ) le réseau de AG˜ engendré par ces étant définie sans ambiguïté). On note Z(Δ ˜ P M coracines. On définit la fonction méromorphe ˜

˜

ˇ (Λ) = mes(AG G ˜ /Z[ΔP˜ ]) P˜ M



−1

Λ, α ˇ

α∈ΔP˜

˜ M ˜ )-famille une fonction sur le complexifié A∗M˜ ,C . On déduit de la (G, ˜

cG ˜ (Λ) = M



˜

c(P˜ ; Λ)G (Λ). P˜

˜ P˜ ∈P(M)

˜Qv ∈ F (R ˜v = L ˜vU ˜ v ), on déduit de (cv (S˜v ; Λ)) ˜v D’autre part, pour v ∈ V et Q ˜v) S ∈P(R v ˜ Q ˜v, R ˜ v )-famille (cv (S˜v ; Λ)) ˜v une (L (Λ). Posons ˜ v ˜v ˜ v , puis une fonction c S ∈P(R );S ⊂Q

˜v v,R

˜ V = (R ˜ v )v∈V et notons L(R ˜ V ) l’ensemble des familles L ˜ V = (L ˜ v )v∈V où L ˜v ∈ R ˜ v ) pour tout v ∈ V . Pour une telle famille, on pose L(R ˜

˜

G AL˜ V = ⊕v∈V AL˜ v , AG ˜ V = ⊕v∈V AL ˜v L ˜

où AG ˜ v de l’image naturelle de AG ˜ (notons que cette ˜ v est l’orthogonal dans AL L ˜ peut être plus image est incluse dans AG˜ v mais l’inclusion peut être stricte : G ˜

˜

G déployé sur Fv que sur F ). L’espace AG ˜ V contient AL ˜ V comme sous-espace. Il R ˜

contient aussi l’espace ΔV (AG ˜ ) où ΔV est le plongement diagonal. On définit le M ˜ G V ˜,L ˜ ). Il est nul sauf si coefficient dR˜V (M ˜

˜

˜

G G AG ˜ V = ΔV (AM ˜ ) ⊕ AL ˜V . R

Si cette égalité est vérifiée, c’est le rapport entre la mesure sur le membre de droite ˜ V tel que ce nombre soit non nul, et celle sur le membre de gauche. Pour tout L ˜ v )v∈V telle que Arthur définit, au moyen d’une donnée auxiliaire, une famille (Q v v ˜ ˜ Q ∈ P(L ) pour tout v ∈ V . On a alors la formule (1)

˜

cG ˜ (Λ) = M

 ˜ V ∈L(R ˜V ) L

˜ ˜ ˜V dG ˜ V (M , L ) R



˜v

Q cv, ˜ v (Λ). R

v∈V

Cf. [7] proposition 7.1. ˜ v )v∈V . On note ˜ V = (M On appliquera souvent cette formule à la famille R ˜ MV cette famille.

598

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.1.5 Caractères pondérés ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Rappelons que, pour une Soient M ˜ v ). place v ∈ Val(F ), on a défini en [81] 2.5 la notion de ω-représentation de G(F A toute telle ω-représentation π ˜ est associée une représentation sous-jacente π de ˜ : A˜ ˜ → R. A tout λ ˜ ∈ A˜∗ G(Fv ). On note A˜∗G˜ l’espace des applications affines λ ˜v Gv G v ˜ v) est associée une forme linéaire λ sur A ˜ . Si π ˜ est une ω-représentation de G(F Gv

˜ ˜ ˜ ∈ A˜∗ , on définit la ω-représentation π et λ ˜λ˜ par π ˜λ˜ (γ) = eλ,HG˜ v (γ) π ˜ (γ), où on ˜v G  ˜ au point H ˜ H ˜ ˜ (γ). Pour une ω-représentation ˜ ˜ (γ) l’évaluation de λ note λ, Gv Gv ˜ π ˜ admissible et de longueur finie de M (Fv ), on a défini, à la suite d’Arthur, le ˜

Gv π , f ). Dans la suite de ce paragraphe, on va globaliser caractère pondéré f → JM ˜ v (˜ cette définition. ˜ (Fv ), admissible et de Pour tout v ∈ V , soit π ˜v une ω-représentation de M ˜ ˜ longueur finie. Posons π ˜V = ⊗v∈V π ˜v . Fixons P ∈ P(M ), introduisons la repré˜ ˜ sentation induite IndG (˜ π ) de G(F ), que l’on réalise dans son espace habituel que V P˜ l’on note Vπ,P . Supposons dans un premier temps que π ˜ est en position générale de sorte que les opérateurs d’entrelacement qui vont apparaître soient bien définis ˜ ∈ P(M ˜ ), l’opérateur JP |Q (π)JQ|P (π) est un automorphisme et inversibles. Pour Q de Vπ,P . Notons μQ|P (π) son inverse. Pour Λ ∈ iA∗M˜ , posons

˜ = μQ|P (π)−1 μQ|P (πΛ/2 )JQ|P (π)−1 JQ|P (πΛ ). M(π; Λ, Q) ˜ ˜ ˜ ˜ La famille (M(π; Λ, Q)) ˜ est une (G, M )-famille à valeurs opérateurs. On Q∈P(M) ˜

˜

˜

G G en déduit un opérateur MG ˜ (π; Λ). On pose MM ˜ (π) = MM ˜ (π; 0). Le caractère M ∞ ˜ pondéré est la forme linéaire sur Cc (G(FV ), K) définie par ˜

˜

˜

G G JM π , f ) = trace(MG π , f )). ˜ (˜ ˜ (π) IndP˜ (˜ M

On vérifie que cette définition ne dépend pas de l’espace parabolique P˜ choisi. Au moins si π ˜ est tempérée, on peut supprimer la condition de K-finitude et définir ˜ G ˜ V )). (˜ π , f ) pour tout f ∈ Cc∞ (G(F JM ˜ ˜V En utilisant la formule de descente du paragraphe précédent appliquée à M et l’indépendance de l’espace parabolique que l’on vient d’indiquer, on montre que l’on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V (1) JM π, f ) = dG JM πv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜ ˜ (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Levons l’hypothèse que π ˜ est en position générale. L’ensemble ⊕v∈V A˜M˜ v est un espace affine sous ⊕v∈V AM˜ v , lequel se projette naturellement sur AM˜ . On note A˜M˜ le quotient de ⊕v∈V A˜M˜ v par le noyau de cette projection. C’est un espace

VI.1. Les définitions

599

affine sous AM˜ . On note encore A˜∗M˜ l’espace des fonctions affines sur cet espace, ˜ ∈ A˜∗ , on note λ ∈ A∗ la forme linéaire souset A˜∗M˜ ,C son complexifié. Pour λ ˜ ,C ˜ M M,C ˜ Pour π ˜ ∈ A˜∗ jacente à λ. ˜ quelconque et pour λ en position générale, π ˜ ˜ est en ˜ ,C M

˜

λ ˜

G position générale et l’opérateur MG πλ˜ , f ) ˜ (πλ ) comme la forme linéaire f → JM ˜ (˜ M ˜ ˜ sont bien définis. Ces termes sont méromorphes en λ. S’ils sont réguliers en λ = 0, ˜ ˜ G ˜ = 0. on note MG π , f ) leurs valeurs en λ ˜ (π) et f → JM ˜ (˜ M

˜ = 0. Proposition. Si π ˜ est unitaire, les termes ci-dessus sont réguliers en λ Preuve. La formule (1) nous ramène au cas local, qui est traité par Arthur ([14], proposition 2.3).  Evidemment, la formule (1) s’étend au cas où tous les termes de la formule sont définis.

VI.1.6 L’application φM ˜ ∞ ˜ Pour toute place v ∈ Valf (F ), on note Cac (G(Fv )) l’espace des fonctions f : ˜ v ) → C telles que : G(F

˜ ˜ (γ))f (γ) appartient (1) pour toute fonction b ∈ Cc∞ (A˜G˜ ), la fonction γ → b(H Gv ∞ ˜ à Cc (G(Fv )) ; – il existe un sous-groupe ouvert compact H de G(Fv ) tel que f soit biinvariante par H. ∞ ˜ (G(Fv )) l’espace des fonctions Pour toute place v ∈ Val∞ (F ), on note Cac ˜ v ), Kv ) le sous-espace des ˜ v ) → C qui vérifient (1). On note C ∞ (G(F f : G(F ac ∞ ˜ éléments Kv -finis à droite et à gauche de Cac (G(Fv )). ∞ ˜ ˜ v ), ω) le quotient de Cac On note Iac (G(F (G(Fv )) par le sous-espace des ˜v G ∞ ˜ ˜ reg (Fv ) f ∈ Cac (G(Fv )) telles que I (γ, ω, f ) = 0 pour tout élément γ ∈ G (on rappelle que l’on note ainsi l’ensemble des éléments semi-simples et forte˜ v )). Si v est archimédienne, on définit de même la variante ment réguliers de G(F ˜ v ), ω, Kv ). Iac (G(F ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini de places de F . Pour Soient M ∞ ˜ ˜ (Fv ), ω). (G(Fv )) → Iac (M v ∈ V , on définit une application linéaire φM˜ v : Cac Elle est définie en [81] 6.4 dans le cas où v est non-archimédienne, en [V] 1.2 dans le cas où v est archimédienne. Dans ce dernier cas, l’application se restreint ∞ ˜ ˜ (Fv ), ω, Kv ), cf. [81] 6.4. On (G(Fv ), Kv ) → Iac (M en une application linéaire Cac ∞ ˜ ˜ V ), ω) (avec la variante definit comme en 1.1 les espaces Cac (G(FV )) et Iac (G(F ˜ Iac (G(FV ), ω, K) si V contient des places archimédiennes). Comme dans le paragraphe précédent, on applique les définitions du paragraphe 1.2 à la famille ∞ ˜ ˜ v )v∈V . On définit une application φ ˜ : Cac ˜ (FV ), ω) ˜ V = (M (G(FV )) → Iac (M M M

600

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

par (2)



φM˜ (f ) =

˜ ˜,L ˜ V ) ⊗v∈V φL˜˜v (f ˜ v ) dG ( M ˜ v, Q ,ω MV Mv

˜ V ∈L(M ˜V ) L ∞ ˜ (G(FV )). pour une fonction f = ⊗v∈V fv ∈ Cac ˜ v en Cette définition dépend a priori d’une donnée auxiliaire puisque les Q dépendent. Pour qu’elle soit loisible, on doit montrer qu’en fait, elle n’en dépend pas. Pour cela, on utilise la caractérisation de [81] 6.4(5). Fixons pour tout v ∈ V ˜ (Fv ). Fixons aussi Xv ∈ une ω-représentation tempérée M -irréductible π ˜v de M ˜v M ˜ ˜ (Fv ), ω), AM˜ v . On a défini une forme linéaire ϕv → I (˜ πv , Xv , ϕv ) sur Iac (M cf. [81] 6.4 et [V] 1.2. Quand π ˜v et Xv varient, ces formes linéaires séparent les ˜ (Fv ), ω). Il suffit donc de prouver que la valeur sur le membre éléments de Iac (M de droite de (2) de la forme linéaire  ˜ I Mv (˜ πv , Xv , ϕv ) ⊗v∈V ϕv → v∈V

est bien définie. Cette valeur est   ˜ ˜ ˜v ˜ ˜V dG I Mv (˜ πv , Xv , φL ˜ v ,ω )), ˜ V (M , L ) ˜ v (fv,Q M M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

ou encore



v∈V ˜

˜ ˜V dG ˜ V (M , L ) M

˜ V ∈L(M ˜V ) L



˜v

L JM πv , Xv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜

v∈V

Par définition, on a pour tout v ∈ V une égalité ˜ ˜v ˜v L L (˜ π , X , f ) = c JM πv,λ˜ v , fv,Q˜ v ,ω )e−λv ,Xv  dλv JM ˜ v ,ω v v v,Q v ˜v ˜ v (˜ iA∗˜

Mv ,Fv

˜ v ∈ iA˜ ˜ ; leur produit se (les deux fonctions que l’on intègre dépendent de λ Mv descend en une fonction sur iA∗M˜ ,F ; cv est une constante dépendant seulement v v ˜ v )v∈V ∈ des mesures de Haar). Il suffit donc de prouver que, pour toute famille (λ ⊕iA˜∗M˜ , le terme v  ˜v  ˜ L ˜ ˜V dG JM πv,λ˜ v , fv,Q˜ v ,ω ) ˜ v (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

est bien défini. Quitte à remplacer π ˜v par π ˜v,λ˜ v , il suffit de considérer  ˜v  ˜ L ˜ ˜V dG JM πv , fv,Q˜ v ,ω ). ˜ v (˜ ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V ˜

G π , f ), où π ˜ = ⊗v∈V π ˜v . La formule 1.5(1) dit que cette expression est égale à JM ˜ (˜ Ce terme ne dépendant d’aucun paramètre auxiliaire, cela démontre l’assertion.

VI.1. Les définitions

601

VI.1.7 Une propriété globale de l’application φM ˜ La situation est la même que dans le paragraphe précédent, mais on suppose que ˜ ˜ : G(F ˜ V ) → A ˜ de 1.1. L’espace V contient Vram . On se rappelle l’application H GV G ˜ V )) : à b ∈ C ∞ (A ˜ ) et f ∈ C ∞ (AG˜ ) des fonctions C ∞ sur AG˜ opère sur Cc∞ (G(F G ˜ V )), on associe la fonction produit f (b◦ H ˜ ˜ ). L’espace C ∞ (A ˜ ) opère de Cc∞ (G(F GV G ∞ ˜ ˜ V ), ω) même sur Cac (G(FV )). Ces actions se descendent en des actions sur I(G(F ∞ ˜ ˜ V ), ω). Notons C ∞ ˜ V )) le sous-espace des f ∈ Cac et Iac (G(F ( G(F ( G(F V )) tels ac,glob ∞ ˜ ∞ ˜ ˜ que f (b ◦ HG˜ V ) ∈ Cc (G(FV )) pour tout b ∈ Cc (AG˜ ). Notons Iac,glob (G(FV ), ω) ˜ V ), ω). l’image de cet espace dans Iac (G(F ˜ V )) dans Iac,glob (M ˜ (FV ), ω). (G(F Lemme. L’homomorphisme φ ˜ envoie C ∞ ac,glob

M

∞ ˜ V (G(F Cac,glob

)) et b ∈ Cc∞ (A˜M˜ ). On doit montrer que Preuve. Soient f ∈ ˜ ˜ ) appartient à I(M ˜ (FV ), ω). Soit b ∈ Cc∞ (A˜ ˜ ) qui vaut 1 sur φM˜ (f )(b ◦ H MV G ˜ ˜ = (b ◦ H ˜ ˜ )(b ◦ H ˜ ˜ ). Il la projection dans AG˜ du support de b. Alors b ◦ H MV MV GV   ˜ ˜ résulte de la définition de φM˜ que φM˜ (f )(b ◦ HG˜ V ) = φM˜ (f (b ◦ HG˜ V )). D’où ˜ ˜ ) = φ ˜ (f (b ◦ H ˜ ˜ ))(b ◦ H ˜ ˜ ). φM˜ (f )(b ◦ H MV M GV MV ˜ ˜ ), on est ramené au cas où f ∈ Cc∞ (G(F ˜ V )). Quitte à remplacer f par f (b ◦ H GV En considérant la formule (1) du paragraphe précédent, on voit qu’il nous suffit ˜ V ) tel que dG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0 et de prouver que la fonction ˜ V ∈ L(M de fixer L ˜ M

(1)

V

˜v ˜˜ ) (f ) (b ◦ H ⊗v∈V φL ˜ ˜ v v,Qv ,ω MV M

˜ (FV ), ω). On relève chaque terme φL˜ v (f ˜ ) en un éléappartient à Iac,glob (M ˜ v v,Qv ,ω M ∞ ˜ (M (Fv )). Notons Ξv l’image de son support dans A˜M˜ v par l’appliment de Cac ˜ ˜ . Parce que fv est maintenant à support compact, on sait que l’on cation H Mv peut supposer que la projection naturelle de Ξv dans A˜L˜ v est compacte. Notons  ˜˜ . Ξ l’image du support de la fonction (1) dans A˜M˜ V par l’application v∈V H Mv ˜ (FV ), ω), il suffit que Ξ soit comPour que la fonction (1) appartienne à Iac,glob (M  pact. Or Ξ est le sous-ensemble des éléments de v∈V Ξv dont l’image par p˜V appartient au support compact de la fonction b. En fixant des points bases de nos espaces affines, qui permettent d’identifier A˜M˜ V à AM˜ V , on est ramené à la situation suivante. On a un sous-ensemble fermé Ξ ⊂ AM˜ V dont la projection dans AL˜ V est compacte et dont l’image par l’application pV :

AM˜ V (Hv )v∈V

→ AM˜  → ˜ v∈V Hv,M

est compacte. On doit montrer que ce sous-ensemble est compact. Il suffit que l’intersection des noyaux de pV et de la projection dans AL˜ V soit réduite à 0. Ou

602

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

encore que la somme de AL˜ V et de l’orthogonal du noyau de pV soit l’espace AM˜ V ˜ ˜,L ˜ V ) = 0 puisque l’orthogonal du tout entier. Cela résulte de la condition dG (M ˜V M

noyau de pV est l’espace AM˜ plongé diagonalement dans AM˜ V .



On a la variante suivante : ∞ ˜ V ), K) dans Iac,glob (M ˜ (FV ), ω, K). φM˜ envoie Cac,glob (G(F

VI.1.8 Espaces de distributions ˜ un espace de Levi de G ˜ et V un ensemble fini de places de F . Pour Soient M ˜ (Fv ), ω) en [I] 5.1 et tout v ∈ V , on a défini l’espace de distributions Dg´eom (M 5.2. C’est celui des distributions ω-équivariantes supportées par un nombre fini de classes de conjugaison. Supposons v archimédienne. On a défini en [V] 1.3 et 2.1 les sous-espaces ˜ (Fv ), ω) ⊂ Dtr-orb (M ˜ (Fv ), ω) Dorb (M ˜ (Fv ), ω) ⊃ D ⊂ Dg´eom (M

˜

˜ -équi (M (Fv ), ω). g´ eom,G

˜ (Fv ), ω) est engendré par les intégrales orbitales ordinaires (ωL’espace Dorb (M ˜ (Fv ), ω) est le sous-espace des éléments équivariantes). L’espace Dg´eom,G˜ -équi (M ˜ (Fv ), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ M ˜ (Fv ) qui sont de Dg´eom (M ˜ ˜ (Fv ), ω) est G-équisinguliers c’est-à-dire tels que Mγ = Gγ . L’espace Dtr-orb (M ˜ défini par récurrence. Il est engendré par Dorb (M (Fv ), ω) et par les images par transfert des espaces Dtr-orb (Mv ) pour les données endoscopiques elliptiques Mv ˜ v ), avec la restriction Mv = Mv si (Mv , M ˜ v , av ) est quasi-déployé et à de (Mv , M torsion intérieure. Remarque. Si on applique les mêmes définitions pour une place v non-archimé˜ (Fv ), ω) = Dtr-orb (M ˜ (Fv ), ω) = Dg´eom (M ˜ (Fv ), ω). dienne, on a l’égalité Dorb (M ˜ (FV ), ω) = ⊗v∈V Dg´eom (M ˜ (Fv ), ω). On définit les sousOn pose Dg´eom (M ˜ ˜ ˜ (FV ), ω) en remespaces Dorb (M (FV ), ω), Dtr-orb (M (FV ), ω) et Dg´eom,G˜ -équi (M ˜ (Fv ), ω) par plaçant, pour toute place archimédienne v ∈ V , l’espace Dg´eom (M ˜ Dorb (M (Fv ), ω) etc. . .

VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Pour tout g = (gv )v∈V ∈ Soient M ˜ M ˜ )-famille (v ˜ (g; Λ)) ˜ G(FV ), Arthur définit une (G, ˜ , d’où une fonction P P ∈P(M) ˜

˜

˜

G G G vM ˜ (g; Λ). On pose vM ˜ (g) = vM ˜ (g, 0).  ˜ Soit γ = (γv )v∈V ∈ M (FV ). On pose Mγ = v∈V Mv,γv que l’on peut considérer comme un groupe défini sur l’anneau FV . On définit de même Gγ ,

VI.1. Les définitions

603 ˜

G ZM (γ) etc. . . Si ω n’est pas trivial sur Mγ (FV ), on pose JM ˜ (γ, ω, f ) = 0 pour ∞ ˜ tout f ∈ Cc (G(FV )). Supposons dans la suite que ω est trivial sur Mγ (FV ). On fixe des mesures de Haar sur G(FV ) et Mγ (FV ). Supposons d’abord que γ soit ˜ ˜ V )), on pose G-équisingulier, c’est-à-dire que Mγ = Gγ . Pour f ∈ Cc∞ (G(F ˜ ˜ G G 1/2 (γ, ω, f ) = D (γ) ω(g)f (g −1 γg)vM˜ (g) dg. JM ˜ Mγ (FV )\G(FV ) ˜

G Pour γ quelconque, Arthur définit JM ˜ (γ, ω, f ) par un procédé de limite. Nous allons le rappeler brièvement, tout en le modifiant. Soit v ∈ V et av ∈ AM˜ v (Fv ). ˜v , M ˜ v )-famille (r ˜ (γv , av ; Λ)) ˜ On a défini en [II] 1.5 une (G ˜ v ) , pourvu que P P ∈P(M av soit en position générale. Plus précisément, notons ηv la partie semi-simple de γv . Il suffit que av vérifie α(av ) = ±1 pour toute racine α de AMv,ηv dans Gv,ηv pour que les fonctions précédentes soient définies. Signalons que la définition de ces fonctions est légèrement différente de celle d’Arthur. Soit maintenant a = (av )v∈V ∈ AM˜ (FV ). Si a est en position générale, les av ne sont pas véritablement «en position générale» car le tore AMv ,ηv est en général plus gros que le localisé de AM˜ , mais ils vérifient la condition précise ci-dessus. Comme en 1.3, on déduit ˜ v )-familles ci-dessus une famille produit (r ˜ (γ, a; Λ)) ˜ ˜v , M alors des (G ˜ ) . On P P ∈P(M ˜

˜

˜

G G G en déduit une fonction rM ˜ (γ, a; Λ) et on pose rM ˜ (γ, a) = rM ˜ (γ, a; 0). Considérons l’expression  ˜ ˜ L G rM ˜ (γ, a)JL ˜ (aγ, ω, f ). ˜ ˜ L∈L( M)

Tous les termes sont bien définis puisque Maγ = Gaγ pour a en position générale. Arthur montre que cette expression a une limite quand a tend vers 1 ([9] théorème 5.2). La modification que l’on a apportée aux définitions n’affecte pas cette ˜ G propriété. On note JM ˜ (γ, ω, f ) cette limite. ˜ M ˜ )-familles intervenant sont indexées Remarque. La définition est globale : les (G, par des espaces paraboliques définis sur F . Même dans le cas où V est réduit à une seule place v, les intégrales orbitales pondérées ci-dessus ne coïncident pas en général avec leurs similaires locales relatives au corps de base Fv . La relation entre les deux objets est donnée par la formule (1) suivante. La même remarque s’appliquera aux intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes définies au paragraphe suivant. En utilisant plusieurs fois la formule 1.4(1), on montre que, pour f = ⊗v∈V fv , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V dG JM (1) JM ˜ v ,ω ). ˜ v (γv , ω, fv,Q ˜ (γ, ω, f ) = ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Comme dans le cas local, on peut formaliser les définitions ci-dessus et les ˜ G rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant JM ˜ (γ, f ) pour γ ∈

604

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ (FV ), ω)⊗ Mes(M (FV ))∗ et f ∈ Cc∞ (G(F ˜ V ))⊗ Mes(G(FV )). Signalons que Dorb (M ˜ ces intégrales dépendent tout de même de la mesure fixée sur AG ˜. M On aura besoin d’une variante de la formule (1). Supposons V réunion disjointe de deux sous-ensembles V1 et V2 . Pour i = 1, 2, soient ˜ (FVi ), ω) ⊗ Mes(M (FVi )) γ i ∈ Dorb (M

˜ Vi )) ⊗ Mes(G(FVi )). et fi ∈ Cc∞ (G(F

˜ = L ˜U ˜Q ∈ Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et f = f1 ⊗ f2 . Supposons que, pour tout Q ˜ L ˜ ˜ F (M ), l’intégrale orbitale pondérée JM˜ (γ 1 , f1,Q,ω ˜ ) ne dépende que de L. On a alors l’égalité  ˜ ˜ ˜ ˜ G L G L (2) JM JM ˜ )JL ˜ (γ, f ) = ˜ (γ 1 , f1,Q,ω ˜ (γ 2 , f2 ), ˜ ˜ L∈L( M) ˜ ˜ est un élément quelconque de P(L) ˜ et où γ L ˜ où Q 2 est l’induite de γ 2 à L(FV2 ).

VI.1.10 Système de fonctions B ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Rappelons que dans ce Supposons (G, G, cas, on supprime le caractère trivial ω des notations. Pour une place v de F , on ˜ v ). Pour globaliser a défini en [II] 1.9 la notion de système de fonctions B sur G(F cette notion, on va en donner une définition un peu différente. Fixons une paire ˜ tels que de Borel (B ∗ , T ∗ ) de G définie sur F . Notons T˜ ∗ l’ensemble des γ ∈ G ∗ Gη ∗ ˜ adγ conserve cette paire. Pour η ∈ T , notons Σ (T ) l’ensemble des racines de T ∗ dans gη . L’ensemble ΣGη (T ∗ ) est un sous-ensemble de l’ensemble Σ(T ∗ ) des racines de T ∗ dans g. Pour tout sous-ensemble Σ ⊂ Σ(T ∗ ), considérons l’ensemble des η ∈ T˜ ∗ tels que ΣGη (T ∗ ) = Σ . C’est un sous-ensemble algébrique de T˜ ∗ que l’on décompose en composantes connexes. En faisant varier Σ , on obtient une décomposition de T˜ ∗ en réunion disjointe finie de sous-ensembles algébriques connexes. On note Ω cet ensemble de sous-ensembles algébriques. Pour Ω ∈ Ω, on note Σ(Ω) l’ensemble ΣGη (T ∗ ) pour un élément quelconque η ∈ Ω. Le groupe de Weyl W agit sur T˜ ∗ . Pour w ∈ W et η ∈ T˜ ∗ , l’élément w définit une bijection w : ΣGη (T ∗ ) → ΣGw(η) (T ∗ ). Le groupe de Galois ΓF agit aussi et, pour σ ∈ ΓF et η ∈ T˜ ∗ , on a aussi une bijection σ : ΣGη (T ∗ ) → ΣGσ(η) (T ∗ ). Il en résulte que les actions de W et ΓF sur T˜ ∗ permutent les éléments de Ω. On se donne pour tout Ω ∈ Ω une fonction BΩ : Σ(Ω) → Q>0 . On suppose vérifiées les conditions (1) et (2) suivantes pour tout Ω ∈ Ω : (1) pour toute composante irréductible Σ du système de racines Σ(Ω), ou bien Ω (β) est constante sur Σ , BΩ est constante sur Σ , ou bien la fonction β → B(β,β) où (., .) est une forme quadratique définie positive et invariante par le groupe de Weyl sur l’espace X ∗ (T ∗ ) ⊗Z R ; (2) pour w ∈ W , σ ∈ ΓF et β ∈ Σ(Ω), on a les égalités Bw(Ω) (w(β)) = Bσ(Ω) (σ(β)) = BΩ (β).

VI.1. Les définitions

605

A ces conditions, on dit que les fonctions BΩ forment un «système de fonc˜ Fixons un tel système. Il convient d’élargir l’ensemble Vram de 1.1 tions B» sur G. de sorte que (3) soit v ∈ Val(F )− Vram , notons p la caractéristique résiduelle de v ; alors, pour tout élément Ω ∈ Ω, les valeurs de BΩ sont premières à p. C’est possible puisque l’ensemble Ω est fini. Soit η ∈ T˜∗ (F¯ ). Il existe un unique Ω ∈ Ω tel que η ∈ Ω(F¯ ). On pose Bη = ˜ F¯ ), fixons une paire BΩ . Plus généralement, pour un élément semi-simple η ∈ G( de Borel (B, T ) de G conservée par adη . On définit comme ci-dessus le système de racines ΣGη (T ). On fixe un élément x ∈ G(F¯ ) tel que adx (B, T ) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adx identifie ΣGη (T ) à ΣGadx (η) (T ∗ ). En transportant la fonction Badx (η) par cet isomorphisme, on obtient une fonction Bη sur ΣGη (T ), qui ne dépend pas de l’élément x choisi. ˜ F¯v ). Le même Soit v une place de F et soit η un élément semi-simple de G( procédé permet de définir une fonction Bη sur le système de racines de Gη . La ˜ v ) est un système de fonctions B restriction de ces fonctions aux éléments η ∈ G(F ˜ v ), au sens de [II] 1.9. sur G(F ˜ un espace de Levi de G, ˜ V un ensemble fini de places de F et Soient M ˜ ˜v , M ˜ v )-familles γ = (γv )v∈V ∈ M (FV ). Pour v ∈ V , on a défini en [II] 1.9 des (G (rP˜ (γv , av , B; Λ))P˜ ∈P(M˜ v ) . En utilisant ces familles dans les constructions du para˜

G graphe précédent, on définit l’intégale orbitale pondérée JM ˜ (γ, B, f ). Elle coïncide ˜

G avec JM ˜ (γ, f ) dans le cas où Mγ = Gγ .

VI.1.11 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F . Soit γ ∈ M ˜ (FV ). On Soient M ∞ ˜ fixe encore des mesures de Haar sur G(FV ) et Mγ (FV ). Pour f ∈ Cc (G(FV )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ω-équivariante par la formule de récurrence ˜

˜

G G IM ˜ (γ, ω, f ) = JM ˜ (γ, ω, f ) −



˜

L IM ˜ (f )). ˜ (γ, ω, φL

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M),

Remarque. Comme souvent, certaines propriétés de ces termes sont supposées ˜  , a ) similaires à (G, G, ˜ a) telles que dim(G ) < connues pour les données (G , G SC ˜ G dim(GSC ). Les propriétés utilisées ici est que IM ˜ (γ, ω, f ) ne dépend que de l’image ∞ ˜ ˜ V ), ω) et que la définition s’étend à f ∈ Cac (G(FV )). Grâce à ces de f dans I(G(F ˜ L ˜ = G. ˜ La formule hypothèses, les termes IM˜ (γ, ω, φL˜ (f )) sont bien définis pour L (1) ci-dessous, qui se déduit de la simple formule de définition ci-dessus, ramène la vérification des hypothèses de récurrence aux propriétés des intégrales analogues locales, pour lesquelles on renvoie à [II] et [V].

606

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Pour f = ⊗v∈V fv , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜V (1) IM dG IM ˜ v ,ω ). ˜ (γ, ω, f ) = ˜ V (M , L ) ˜ v (γv , ω, fv,L M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

Comme en 1.9, on peut formaliser les définitions ci-dessus et en particulier ˜ G les rendre indépendantes de tout choix de mesures en définissant IM ˜ (γ, f ) pour ∗ ∞ ˜ ˜ γ ∈ Dorb (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) et f ∈ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), ou f ∈ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). Ces intégrales dépendent tout de même de la mesure I(G(F ˜ fixée sur AG ˜. M ˜ (FVi ), ω) ⊗ Supposons V = V1  V2 . Pour i = 1, 2, soient γ i ∈ Dorb (M ˜ Vi ), ω) ⊗ Mes(G(FVi )). Posons γ = γ 1 ⊗ γ 2 et Mes(M (FVi ))∗ et fi ∈ I(G(F f = f1 ⊗ f2 . On a la formule de scindage  ˜ ˜ ˜ G ˜ L˜ 1 (γ 1 , f ˜ )I L˜ 2 (γ 2 , f ˜ ). (2) IM dG ˜ (γ, f ) = ˜ (L1 , L2 )IM ˜ ˜ 1,L1 ,ω M 2,L2 ,ω M ˜ 2 ∈L(M) ˜ ˜ 1 ,L L ˜

G Conformément aux résultats de [V], on peut définir le terme IM ˜ (γ, f ) dans le ∗ ˜ cas où γ appartient à Dg´eom,G˜ -équi (M (FV ), ω)⊗Mes(M (FV )) : on le définit par la ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, ou si l’on suppose formule (1). Si (G, G, vérifiée l’hypothèse (Hyp) de [V] 2.5 en toute place archimédienne de V , on peut ˜ (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . aussi le définir dans le cas où γ appartient à Dtr-orb (M Les propriétés ci-dessus s’étendent à tous les cas où les termes sont définis.

VI.1.12 Une propriété de support ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et V un ensemble fini de places de F contenant Vram . Soient M ∞ ˜ V )). Alors Lemme. Soit Ξ ⊂ AM˜ un ensemble compact et soit f ∈ Cac,glob (G(F ˜ (FV ) tel que, pour tout γ ∈ M ˜ (FV ) il existe un sous-ensemble compact C˜V de M vérifiant les deux conditions : ˜ ˜ (γ) ∈ Ξ, – H



MV ˜ G IM˜ (γ, ω, f )

= 0,

γ soit conjugué à un élément de C˜V par un élément de M (FV ). Preuve. On choisit une fonction b ∈ Cc∞ (AG˜ ) qui vaut 1 sur la projection de Ξ dans ˜ ˜ G G ˜ ˜ )) pour tout γ ∈ M ˜ (FV ) AG˜ . On a alors l’égalité IM ˜ (γ, ω, f ) = IM ˜ (γ, ω, f (b ◦ HG V ˜ ˜ (γ) ∈ Ξ. Cela nous permet de remplacer f par f (b◦ H ˜ ˜ ). En oubliant tel que H MV GV cela, on peut supposer f à support compact. On utilise la définition donnée en ˜ ˜ G G 1.9. Pour que IM ˜ (γ, ω, f ) soit non nul, il faut que JM ˜ (γ, ω, f ) soit non nul ou ˜ L ˜ ˜ ˜ ˜ qu’il existe L ∈ L(M ) avec L = G tel que I (γ, ω, φ ˜ (f )) soit non nul. Dans le ˜ M

L

VI.1. Les définitions

607

premier cas, γ est conjugué par un élément de M (FV ) à un élément du support de f et la conclusion s’ensuit. Dans le deuxième cas, le lemme 1.7 nous dit que φL˜ (f ) ˜ (FV ), ω). Puisque L ˜ = G, ˜ on peut appliquer le lemme par appartient à Iac,glob (M récurrence, d’où encore la conclusion. 

VI.1.13 Le cas non ramifié Soit V un ensemble fini de places de F . Contrairement à l’habitude, on suppose ici ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). On V ∩ Vram = ∅. En particulier, les places dans V sont finies. Soit M se débarrasse des espaces de mesures en fixant sur G(FV ) et M (FV ) les mesures ˜ G ˜ ˜ canoniques. On définit une forme linéaire rM eom (M (FV ), ω) par ˜ (., KV ) sur Dg´ ˜

˜

G G ˜ rM ˜V ) ˜ (γ, KV ) = JM ˜ (γ, 1K

˜ (FV ), ω). Remarquons que, pour tout espace parabolique pour tout γ ∈ Dg´eom (M ˜ ˜ ˜ Q = LUQ ∈ L(M0 ) et tout v ∈ V , on a l’égalité (1K˜ v )Q,ω = 1K˜ L˜ . Pour γ = ˜ v ⊗v∈V γ v , la formule de descente 1.8(1) donne donc   ˜v ˜ ˜ G L ˜ ˜ ˜V ˜ L˜ v rM dG rM ˜ v (γ v , Kv ), ˜ (γ, KV ) = ˜ V (M , L ) M ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

où les derniers facteurs sont les termes locaux définis en [II] 4.1.

VI.1.14 Intégrales orbitales pondérées invariantes et systèmes de fonctions B ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de On suppose (G, G, ˜ ∈ L(M ˜ 0 ), V un ensemble fini de places et fonctions B comme en 1.9. Soient M ˜ γ ∈ M (FV ). De la même façon que dans le paragraphe 1.10, et modulo des choix ˜ G de mesures de Haar, on définit l’intégrale orbitale pondérée invariante IM ˜ (γ, B, f ) ∞ ˜ pour f ∈ Cc (G(FV )). Elle vérifie les mêmes propriétés qu’en 1.10 et 1.11. ˜ (F ), notons γ son image Lemme. Supposons que V contienne Vram . Soit γ˙ ∈ M ˜ naturelle dans M (FV ). Alors on a l’égalité ˜

˜

G G IM ˜ (γ, B, f ) = IM ˜ (γ, f )

˜ V )). pour tout f ∈ Cc∞ (G(F Preuve. On vérifie que le procédé de limite utilisé pour définir les intégrales orbitales pondérées s’étend aux intégrales invariantes. On a donc  ˜ ˜ ˜ G L G rM IM ˜ (γ, f ) = lim ˜ (γ, a)IL ˜ (aγ, f ) a→1

˜ ˜ L∈L( M)

608

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ V )), où a parcourt les éléments de A ˜ (FV ) en position pour tout f ∈ Cc∞ (G(F M générale. De même,  ˜ ˜ ˜ G L G rM IM ˜ (γ, B, f ) = lim ˜ (γ, a, B)IL ˜ (aγ, f ). a→1

˜ ˜) L∈L( M

˜ Rappelons que, pour a en position générale, l’élément aγ est G-équisingulier donc ˜ ˜ G ˜ Rappelons que les termes rL˜ (γ, a) et (aγ, B, f ) = I (aγ, f ) pour tout L. ILG ˜ ˜ ˜ L M ˜ ˜ M ˜ )-familles rL (γ, a, B) sont issus de (G, ˜ M

et (rP˜ (γ, a, B; Λ))P˜ ∈P(M) ˜ .

(rP˜ (γ, a; Λ))P˜ ∈P(M) ˜

˜ M ˜ )-famille (c ˜ (γ, a, B; Λ)) ˜ Définissons une (G, ˜ par P P ∈P(M) cP˜ (γ, a, B; Λ) = rP˜ (γ, a, B; Λ)rP˜ (γ, a; Λ)−1 . ˜ ∈ L(M ˜ ), on a la formule de décomposition Pour tout L  ˜ ˜ ˜ L L rM cR ˜ (γ, a, B) = ˜ (γ, a, B)rR ˜ (γ, a). M ˜ ˜ R⊂ ˜ L ˜ R∈L( M),

D’où ˜

G IM ˜ (γ, B, f ) = lim

a→1

 ˜ ˜ R∈L( M)

˜

cR ˜ (γ, a, B) M



˜

˜

L G rR ˜ (γ, a)IL ˜ (aγ, f ).

˜ ˜ L∈L( R)

˜ la En utilisant la formule de descente 1.4(1) et [II] 1.7(12), on voit que pour tout R, ˜ ˜ G R somme intérieure a une limite quand a tend vers 1. Cette limite est IR˜ (γ , f ), où ˜ ˜ V ) de l’intégrale orbitale dans M ˜ (FV ) associée γ R est la distribution induite à R(F à γ. Pour prouver le lemme, il suffit de prouver la relation  ˜=M ˜, 1, si R ˜ (γ, a, B) = lim cR ˜ ˜ = M ˜ a→1 M 0, si R ˜ ∈ L(M ˜ ). Un tel R ˜ étant fixé, on peut remplacer l’espace ambiant G ˜ pour tout R ˜ par R. Cela nous ramène à prouver la relation  ˜=M ˜, 1, si G ˜ G (1) lim cM˜ (γ, a, B) = ˜ = M ˜. a→1 0, si G ˜=M ˜ est évident. On suppose désormais M ˜ = G. ˜ Le cas G ˜ ˜ Rappelons la construction de nos (G, M )-familles. Ecrivons γ˙ = uη, où η ∈ ˜ (F ) est semi-simple et u ∈ Mη (F ) est unipotent. On introduit les ensembles M

VI.1. Les définitions

609

ΣGη (Z(Mη )0 ) et Σ(AM˜ ) de racines de Z(Mη )0 dans gη , resp. de AM˜ dans g. On a une application de restriction ΣGη (Z(Mη )0 ) → Σ(AM˜ ) α → αM˜ Posons Z = X∗ (Z(M )0 ) ⊗Z R. On a AM˜ ⊂ Z. Puisque Z est muni d’une forme quadratique définie positive (cf. 1.3), on a aussi une inclusion d’espaces duaux A∗M˜ ⊂ Z ∗ . Fixons v ∈ V et α ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ). En [II] 1.4, on a défini un élément de Z, noté alors ρ(α, u). Sa définition dépend a priori de la place v, notons-le ˜ ), a = (av )v∈V ∈ A ˜ (FV ) et Λ ∈ iA∗ . Il résulte plutôt ρv (α, u). Soient P˜ ∈ P(M ˜ M M des définitions que l’on a l’égalité  

Λ,ρ (α,u) /2 (2) rP˜ (γ, a; Λ) = |α(av ) − α(av )−1 |Fv v , v∈V α∈ΣGη (Z(Mη )0 );αM ˜ >P 0

où le symbole >P désigne la positivité relative à P . Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par adη et telle que M soit standard pour cette paire. Introduisons l’ensemble ΣGη (T ) des racines de T dans gη . On a introduit en [II] 1.8 l’ensemble ΣGη (T, Bη ) formé des Bη (α)−1 α pour α ∈ ΣGη (T, Bη ) (on considère ces éléments comme des formes linéaires sur t). On note ΣGη (Z(Mη )0 , B) l’ensemble des restrictions à z(Mη ) d’éléments de ΣGη (T, Bη ). Fixons v ∈ V et α ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B). En [II] 1.4, on a défini un élément de Z, ˜ ), noté alors ρ(α , u, B), qu’il convient de noter plutôt ρv (α , u, B). Soient P˜ ∈ P(M ∗  Gη 0 a = (av )v∈V ∈ AM˜ (FV ) et Λ ∈ iAM˜ . Un élément α ∈ Σ (Z(Mη ) , B) se restreint à aM˜ en un élément αM˜ = qβ, où q ∈ Q>0 et β ∈ Σ(AM˜ ). On dit que αM˜ >P 0 si et seulement si β >P 0. D’autre part, l’élément a étant supposé proche de 1, on peut écrire av = exp(Hv ) pour tout v ∈ V , où Hv ∈ aM˜ (Fv ) est proche de 0. On pose α (av ) = exp(qβ(Hv )). Il résulte alors des définitions que l’on a l’égalité

(3)

rP˜ (γ, a, B; Λ)  =



Λ,ρv (α ,u,B)/2 |α (av ) − α (av )−1 |Fv .

v∈V α ∈ΣGη (Z(Mη )0 ,B);α >P 0 ˜ M

Notons Σind (AM˜ ) l’ensemble des éléments indivisibles de Σ(AM˜ ). Un élément α intervenant dans (2) se restreint en un élément αM˜ qui est un multiple entier positif d’un unique élément β ∈ Σind (AM˜ ). On regroupe les α selon cet élément β et on obtient une décomposition en produit  rP˜ (γ, a; Λ) = rβ (γ, a; Λ). β∈Σind (AM ˜ ),βM ˜ >P 0

Un élément α intervenant dans (3) se restreint en un élément αM˜ qui est un multiple rationnel positif d’un unique élément β ∈ Σind (AM˜ ). On regroupe les α

610

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

selon cet élément β et on obtient une décomposition en produit  rP˜ (γ, a, B; Λ) = rβ (γ, a, B; Λ). β∈Σind (AM ˜ ),βM ˜ >P 0

Fixons β ∈ Σind (AM˜ ). On peut introduire une coracine βˇ ∈ AM˜ , normalisée par la condition β, βˇ = 2. Il résulte des constructions de [II] 1.4 que, si α est un élément de ΣGη (Z(Mη )0 ) tel que αM˜ est un multiple entier de β, alors, pour tout ˇ Il en résulte v ∈ V , la projection orthogonale de ρv (α, u) sur AM˜ est colinéaire à β. que   Λ, ρv (α, u) /2 = β, ρv (α, u) Λ, βˇ /2. De même, il résulte des constructions de [II] 1.8 que, si α est un élément de ΣGη (Z(Mη )0 , B) tel que αM˜ est un multiple rationnel de β, alors, pour tout v ∈ V , ˇ Il en résulte la projection orthogonale de ρv (α , u, B) sur AM˜ est colinéaire à β. que   Λ, ρv (α , u, B) /2 = β, ρv (α , u, B) Λ, βˇ /2. Définissons une fonction cβ (γ, a, B; x) d’une variable réelle x par l’égalité cβ (γ, a, B; x) ⎛ ⎜ = ⎝



ixβ,ρv (α ,u,B)/4 ⎟ |α (av ) − α (av )−1 |Fv ⎠

α ∈ΣGη (Z(Mη )0 ,B);α˜ ∈Q>0 β

v∈V

M

⎛ (4)







⎞ −ix β,ρv (α,u) /4 ⎠

|α(av ) − α(av )−1 |Fv

.

α∈ΣGη (Z(Mη )0 );αM ˜ ∈Z>0 β

On obtient alors l’égalité   cβ (γ, a, B; −i Λ, βˇ ) = rβ (γ, a, B; Λ)rβ (γ, a; Λ)−1 . D’où l’égalité 

cP˜ (γ, a, B; Λ) =

  cβ (γ, a, B; −i Λ, βˇ ).

β∈Σind (AM ˜ ),β>P 0

Cela montre que la famille (cP˜ (γ, a, B; Λ))P˜ ∈P(M˜ ) est de la forme particulière étudiée par Arthur en [3]. Le lemme 7.1 de cette référence calcule explicitement ˜  cG ˜ (γ, a, B) : c’est une combinaison linéaire de produits des dérivées cβ (γ, a, B; x) M des fonctions cβ (γ, a, B; x) évaluées en x = 0. Pour prouver (1), il suffit de fixer β ∈ Σind (AM˜ ) et de prouver la relation lim cβ (γ, a, B; 0) = 0.

a→1

VI.1. Les définitions

611 G

Fixons β et considérons la formule (4). Notons Σindη (Z(Mη )0 ) l’ensemble des éléG ments indivisibles de ΣGη (Z(Mη )0 ). Pour αind ∈ Σindη (Z(Mη )0 ), définissons une fonction cα (γ, a, B; x) par une formule analogue à (4), où on se restreint aux α qui sont multiples entiers positifs de αind et aux α qui sont multiples rationnels positifs de αind . On obtient une décomposition  cαind (γ, a, B; x). cβ (γ, a, B; x) = G

η αind ∈Σind (Z(Mη )0 ),αind,M ˜ ∈Z>0 β

G

Il nous suffit de fixer αind ∈ Σindη (Z(Mη )0 ) et de prouver la relation lim cαind (γ, a, B; 0) = 0.

a→1 G

Fixons donc un élément de Σindη (Z(Mη )0 ). Pour la commodité de l’écriture, notonsG le simplement α. On a vu en [II] 1.8 que l’ensemble Σindη (Z(Mη )0 , B) possédait beaucoup des propriétés des systèmes de racines. En particulier, l’ensemble des G α ∈ Σindη (Z(Mη )0 , B) qui sont des multiples rationnels positifs de α possède un unique élément minimal, notons-le simplement α . Les autres éléments de cet ensemble sont des multiples entiers positifs de α . Posons alors  (5) Xα (γ, a) = log(|α(av )n − α(av )−n |Fv )ρv (nα, u), v∈V n≥1

(6)

Xα (γ, a, B) =



log(|α (av )n − α (av )−n |Fv )ρv (nα , u, B),

v∈V n≥1

où, par convention, les termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) sont nuls si nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ),

resp.

nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B).

On calcule

i β, Xα (γ, a, B) − Xα (γ, a) , 4 où β est l’unique élément de Σind (AM˜ ) tel que αM˜ soit un multiple entier positif de β. Il nous suffit de prouver l’égalité cα (γ, a, B; 0) =

(7)

lim (Xα (γ, a) − Xα (γ, a, B)) = 0.

a→1

On a besoin de deux résultats préliminaires. D’abord (8) pour tout n ≥ 1, les termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) sont indépendants de v ∈V. Preuve. C’est clair si nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ), resp. nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 , B). Soit n ≥ 2, supposons que nα ∈ ΣGη (Z(Mη )0 ). Soit v ∈ V . Notre terme ρv (nα, u) dépend

612

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule G

du groupe ambiant Gη , notons-le ici ρv η (nα, u). On a introduit en [II] 1.4 un G G sous-groupe Gη,nα de Gη . On a l’égalité ρv η (nα, u) = ρv η,nα (nα, u). L’hypothèse n ≥ 2 implique que dim(Gη,nα,SC ) < dim(Gη ). En raisonnant par récurrence sur G cette dimension, on peut supposer que ρv η,nα (nα, u) est indépendant de v. Donc Gη G ρv (nα, u) aussi. Le même raisonnement vaut pour ρv η (nα , u, B), en utilisant le groupe Gη,nα de [II] 1.8 (ce n’est plus un sous-groupe de Gη mais peu importe). L’assertion étant démontrée pour n ≥ 2, il nous suffit pour conclure de prouver que les sommes   ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B) n≥1

n≥1

sont indépendantes de v. D’après [II] 1.8(6), ces deux sommes sont égales. D’après la définition de [II] 1.4, elles valent le terme ρArt α défini primitivement par v (α, u)ˇ Arthur en [9] paragraphe 3. Rappelons brièvement sa définition. Fixons une extension finie Fv de Fv sur laquelle Gη est déployée. A α est associé un Levi Mη,α de Gη qui contient strictement Mη et qui est minimal parmi les Levi vérifiant cette proα relatif au groupe ambiant Gη est égal à celui relatif à priété. Le terme ρArt v (α, u)ˇ Mη,α . On ne perd rien à supposer Gη = Mη,α . Fixons P = Mη UP ∈ P(Mη ), notons P¯ = Mη UP¯ le parabolique opposé et notons U l’orbite de u pour la conjugaison par Mη . Fixons un poids ω de AMη qui est dominant pour P , fixons une représentation algébrique irréductible Λω de Gη dans un espace Vω , de plus haut poids ω. Fixons un vecteur extrémal φω ∈ Vω , de poids ω. Pour a ∈ AMη en position générale et pour π = nν ∈ UUP¯ , avec n ∈ U et ν ∈ UP¯ , introduisons l’élément ν(a, π) ∈ UP¯ tel que aπ = ν(a, π)−1 anν(a, π). On pose ϕ(a, π) = Λω (ν(a, π)−1 )φω . Arthur montre en [14] page 238 que ϕ est une application rationnelle sur AMη × UUP¯ , à valeurs dans Vω , et qu’il existe un unique entier k ∈ Z tel que la fonction (a, π) → (α(a) − α(a)−1 )k ϕ(a, π) soit régulière et non nulle sur {1} × UUP¯ . Une coracine α ˇ étant fixée, ρArt v (α, u) est Art l’unique réel tel que k = ω(ˇ α)ρv (α, u). Fixons une extension finie F  de F telle que Gη soit déployé sur F  . La construction ci-dessus étant de nature algébrique, on peut la refaire sur le corps de base F  . On obtient un nombre réel ρArt (α, u) Art indépendant de la place v et il est clair que ρArt (α, u) pour tout v. v (α, u) = ρ Cela prouve (8).  Supprimons désormais les indices v des termes ρv (nα, u) et ρv (nα , u, B). Comme on l’a dit dans la preuve ci-dessus, il résulte de [II] 1.8(6) que   (9) ρ(nα, u) = ρ(nα , u, B). n≥1

n≥1

Soit β ∈ ΣGη (T ) telle que α soit la restriction de Bη (β)−1 β à Z(Mη )0 . Posons b = Bη (β) et soit m ≥ 1 tel que la restriction de β soit mα. Alors α = m b α. L’élément a étant supposé proche de 1, on écrit av = exp(Hv ) pour tout v ∈ V , où

VI.1. Les définitions

613

Hv ∈ aM˜ (Fv ) est proche de 0. Pour n ≥ 1, on a α (av )n = exp( nm b α, Hv ). Donc l’expression log(|α (av )n − α (av )−n |Fv ) − log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv ) − log(| nm b |Fv ) tend vers 0 quand a tend vers 1. Posons     −1  log(|α(av ) − α(av ) |Fv ) ρ(nα , γ, B) Yα (γ, a, B) = v∈V



+

n≥1



ρ(nα , γ, B)

n≥1

 v∈V

     nm  log  .  b Fv

En se reportant à l’expression (6), on voit que Xα (γ, a, B) − Yα (γ, a, B) tend vers 0 quand a tend vers 1. On a supposé que V contenait Vram . Donc b est une unité en toute place v ∈ Val(F ) − V . Le même calcul que dans la preuve du lemme [II] 1.9 montre que les seuls premiers pouvant diviser les nombres n et m intervenant ci-dessus sont 2, 3 et 5. Ces nombres sont donc eux-aussi des unités hors de V . La formule du produit entraîne alors      nm  log  = 0.  b Fv v∈V

La définition de Yα (γ, a, B) se simplifie en Yα (γ, a, B) =



log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv )

v∈V



ρ(nα , γ, B).

n≥1

Un calcul analogue vaut pour Xα (γ, B). Si on pose Yα (γ, a) =



log(|α(av ) − α(av )−1 |Fv )

v∈V



ρ(nα, γ),

n≥1

on a lima→1 (Xα (γ, a) − Yα (γ, a)) = 0. Mais (9) entraîne que Yα (γ,a) = Yα (γ,a,B). On en déduit la relation (7), ce qui achève la preuve. 

VI.1.15 Variante avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G → 1 ˜ 1 → G, ˜ encore où C1 est un tore induit central, et une extension compatible G à torsion intérieure. On fixe un caractère λ1 de C1 (AF ), automorphe c’est-à-dire ˜ 1 , λ1 )) le plus petit trivial sur C1 (F ). Notons V1,ram (ou plus précisément Vram (G ˜ ensemble de places de F contenant Vram (G1 ) et tel que λ1,v soit non ramifié pour v ∈ V1,ram .

614

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1,v de On doit fixer pour tout v ∈ V1,ram un sous-espace hyperspécial K ˜ 1 (Fv ), soumis aux conditions de 1.1. On suppose que K ˜ 1,v se projette sur K ˜ v . Le G groupe KC1 ,v = C1 (Fv ) ∩ K1,v est le plus grand sous-groupe compact de C1 (Fv ). ∞ ˜ 1 (Fv )). Pour v ∈ (G Pour toute place v, on a défini en [I] 2.4 l’espace Cc,λ 1 ˜ 1,v V1,ram , on note 1K˜ 1,v ,λ1 l’unique élément de cet espace à support dans C1 (Fv )K ∞ ˜ 1,v . On note C ˜ qui vaut 1 sur K c,λ1 (G1 (AF )) le produit tensoriel restreint des ∞ ˜ Cc,λ1 (G1 (Fv )) relativement à ces éléments 1K˜ 1,v ,λ1 . Pour un ensemble fini V de places de F , on définit ∞ ∞ ˜ 1 (FV )) = ⊗v∈V Cc,λ ˜ 1 (Fv )). Cc,λ (G (G 1 1

˜ 1 (FV )) et ses sous-espaces Dualement, on définit de même l’espace Dg´eom,λ1 (G ˜ Dorb,λ1 (G1 (FV )) etc. . . Les constructions des paragraphes précédents s’étendent à ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Notons M ˜ 1 son image réciproque cette situation. En particulier, soit M ˜1 ˜ G G ˜ 1 . On a l’égalité A dans G ˜ et on munit le premier espace de la mesure ˜ 1 = AM M ˜ 1 (FV )) ⊗ pour laquelle cette égalité préserve les mesures. Pour γ ∈ Dorb,λ1 (M ∗ ∞ ˜ (G1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on définit l’intégrale orbitale Mes(M (FV )) et f ∈ C c,λ1

pondérée

˜1 G JM ˜ 1 ,λ1 (γ, f )

˜

G1 et son avatar invariant IM ˜ ,λ (γ, f ). 1

1

˜

G1 ˜ Supposons que V ∩ Vram = ∅. On définit une forme linéaire rM ˜ 1 ,λ1 (., K1,V ) ˜ 1 (FV )) par sur Dg´eom,λ1 (M ˜ ˜ G G ˜ rM ˜ V ,λ1 ). ˜ ,λ1 (δ, K1,V ) = JM ˜ (δ, 1K

Elle vérifie une formule de descente analogue à celle de 1.13. Considérons d’autres données ˜ 2 → G, ˜ λ2 1 → C2 → G2 → G → 1, G ˜ 2,v de G ˜ 2 (Fv ) pour v ∈ V2,ram , vérifiant les et des sous-espaces hyperspéciaux K mêmes hypothèses. On note G12 le produit fibré de G1 et G2 au-dessus de G et ˜ 12 le produit fibré de G ˜ 1 et G ˜ 2 au-dessus de G. ˜ On suppose donné un caractère G automorphe λ12 de G12 (AF ) tel que la restriction de λ12 à C1 (AF ) × C2 (AF ) soit λ1 × λ−1 2 . Notons V12,ram le plus petit ensemble de places de F contenant V1,ram et V2,ram et tel que λ12 soit non ramifié hors de V12,ram . Pour un ensemble fini V de places de F , notons λ12,V la restriction de λ12 à ˜ 12,V sur G ˜ 12 (FV ) telle que G12 (FV ). Fixons une fonction λ (1)

˜ 12,V (γV ) ˜ 12,V (xV γV ) = λ12,V (xV )λ λ

˜ 12 (FV ). On définit un isomorphisme pour xV ∈ G12 (FV ) et γV ∈ G ∞ ˜ 1 (FV )) → C ∞ (G ˜ 2 (FV )) (G Cc,λ c,λ2 1 → f2 f1

VI.1. Les définitions

615

par la formule ˜ 12 (γ1 , γ2 )f1 (γ1 ) f2 (γ2 ) = λ ˜ 12 (FV ). Cet isomorphisme se dualise en un isomorphisme pour tous (γ1 , γ2 ) ∈ G ˜ 1 (FV ))  Dg´eom,λ2 (G ˜ 2 (FV )). Dg´eom,λ1 (G On vérifie que les intégrales orbitales pondérées et leurs avatars invariants se re˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et soient, pour i = collent selon ces isomorphismes. C’est-à-dire, soit M ˜ i (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ et fi ∈ C ∞ (G ˜ i (FV )) ⊗ Mes(G(FV )). 1, 2, γ i ∈ Dorb,λi (M c,λi Supposons que, par les isomorphismes précédents, γ 1 et γ 2 se correspondent, ainsi que f1 et f2 . Alors on a l’égalité ˜

˜

G1 G2 JM ˜ ,λ (γ 1 , f1 ) = JM ˜ ,λ (γ 2 , f2 ). 1

1

2

2

˜ 12,V canonique construite de la Si V contient V12,ram , il y a une fonction λ ˜12,v sur G ˜ 12 (Fv ) par les façon suivante. Pour v ∈ V12,ram , on définit une fonction λ conditions : ˜ 12,v vaut 1 sur G ˜ 12 (Fv ) ∩ (K ˜ 1,v × K ˜ 2,v ) ; – λ ˜12,v (xγ) = λ12,v (x)λ ˜ 12,v (γ). ˜ 12 (Fv ), λ – pour x ∈ G12 (Fv ) et γ ∈ G ˜ 12 sur G(A ˜ F ) par les conditions : On définit une fonction λ ˜ 12 vaut 1 sur G(F ˜ ); – λ ˜ 12 (xγ) = λ12 (x)λ ˜ 12 (γ). ˜ 12 (AF ), λ – pour x ∈ G12 (AF ) et γ ∈ G ˜ 12,V sur G ˜ 12 (FV ) de sorte que, pour Il existe alors une unique fonction λ  ˜ γ = γV v∈V γv ∈ G12 (AF ), on ait l’égalité ˜ 12,V (γV ) ˜ 12 (γ) = λ λ



˜ 12,v (γv ). λ

v∈V

Evidemment, elle vérifie (1). ˜ 12,V canonique : le produit des Si V ∩ V12,ram = ∅, il y a aussi une fonction λ G ˜ 12,v ci-dessus pour v ∈ V . Les formes linéaires r ˜ 1 (., K ˜ 1,V ) et rG˜ 2 (., K ˜ 2,V ) λ ˜ 1 ,λ1 ˜ 2 ,λ2 M M se correspondent par l’isomorphisme ˜ 1 (FV ))  Dg´eom,λ2 (M ˜ 2 (FV )) Dg´eom,λ1 (M ˜12,V . déduit de cette fonction λ

VI.1.16 K-espaces On utilise dans ce paragraphe les notations usuelles pour divers ensembles de cohomologie : H 1 (F ; G), H 1 (Fv ; G), H 1 (AF ; G) etc. . . Par exemple H 1 (F ; G) = H 1 (ΓF ; G(F¯ )). On renvoie à [51] pour des définitions complètes.

616

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On rappelle que l’on note π : GSC → G la projection naturelle ainsi que les applications qui s’en déduisent fonctoriellement. Ainsi, on a une application ˜ ), l’application adr π : H 1 (F ; GSC ) → H 1 (F, G). D’autre part, pour r ∈ G(F définit naturellement un automorphisme de H 1 (F ; G) qui ne dépend pas de r. On le note θ. On note ValR (F ) l’ensemble des places réelles de F . Lemme. L’application naturelle π(H 1 (F ; GSC )) ∩ H 1 (F ; G)θ →



π(H 1 (Fv ; GSC )) ∩ H 1 (Fv ; G)θ

v∈ValR (F )

est bijective. Preuve. On commence par prouver que l’application  (1) π(H 1 (F ; GSC )) → π(H 1 (Fv ; GSC )) v∈ValR (F )

est bijective. La surjectivité résulte de celle de l’application  H 1 (F ; GSC ) → H 1 (Fv ; GSC ), v∈ValR (F )

cf. [51] théorème 1.6.9. Soient p, p ∈ H 1 (F ; GSC ) tels que π(p) et π(p ) aient même image par l’application (1). Alors π(p) et π(p ) ont même image dans H 1 (AF ; G) (les images aux places non réelles sont triviales). Parce qu’ils proviennent de GSC , 1 les éléments π(p) et π(p ) ont aussi une image nulle dans Hab (F ; G), cf. [51] 1.6 pour la définition de ce groupe. D’après le théorème 1.6.10 de [51], ces deux propriétés entraînent π(p) = π(p ). D’où l’injectivité de (1). Il est immédiat que l’application (1) est équivariante pour les actions naturelles de θ. La bijectivité de (1) entraîne donc celle de l’application obtenue en remplaçant les espaces de départ et d’arrivée par leurs sous-espaces d’invariants par θ. Cette application n’est autre que celle de l’énoncé.  ˜ a) On devra à diverses occasions travailler non pas avec les données (G, G, de 1.1, mais avec une collection finie de telles données, que l’on appellera un K-espace. On a défini (après Arthur) cette notion en [I] 1.11 dans le cas local. La définition s’étend au cas global. Rappelons-la. On considère une famille finie ˜ p )p∈Π où, pour tout p, Gp est un groupe réductif connexe défini sur F (Gp , G ˜ et Gp est un espace tordu sur Gp . On suppose données des familles (φp,q )p,q∈Π , ˜q → G ˜p (φ˜p,q )p,q∈Π et (∇p,q )p,q∈Π . Pour p, q ∈ Π, φp,q : Gq → Gp et φ˜p,q : G sont des isomorphismes compatibles définis sur F¯ et ∇p,q : ΓF → Gp,SC (F¯ ) est un cocycle. On suppose les hypothèses (1) à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et σ ∈ ΓR : (1) φp,q ◦ σ(φp,q )−1 = ad∇p,q (σ) et φ˜p,q ◦ σ(φ˜p,q )−1 = ad∇p,q (σ) (ce dernier auto˜ p) ; morphisme est l’action par conjugaison de ∇p,q (σ) sur G

VI.1. Les définitions

617

(2) φp,q ◦ φq,r = φp,r et φ˜p,q ◦ φ˜q,r = φ˜p,r ; (3) ∇p,r (σ) = φp,q (∇q,r (σ))∇p,q (σ) ; ˜ p (F ) = ∅ ; (4) G (5) la famille (∇p,q )q∈Π s’envoie bijectivement sur π(H 1 (F ;Gp,SC ))∩H 1 (F ;Gp )θ . Sous ces hypothèses, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe ˜ comme la réunion disjointe des G ˜p. des Gp pour p ∈ Π et le K-espace K G Comme dans le cas local, les paires de Borel épinglées des différents Gp s’identifient et les Gp ont un L-groupe commun, que l’on note L G. La donnée ˆ ker1 (WF ; Z(G)) ˆ détermine un supplémentaire d’un élément a ∈ H 1 (WF ; Z(G))/ caractère de chaque Gp (AF ), que l’on note simplement ω. Pour tout p ∈ Π, on fixe une paire parabolique (Pp,0 , Mp,0 ) de Gp définie sur F et minimale. Pour toute place v ∈ Val(F ), on fixe une paire parabolique (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) de Gp définie sur Fv et minimale, de sorte que Pp,v,0 ⊂ Pp,0 et Mp,v,0 ⊂ Mp,0 . Soulignons que ces inclusions peuvent être strictes : le groupe Gp peut être plus déployé sur Fv que sur F . Il se déduit de ces paires des paires ˜ p,0 ) et (P˜p,v,0 , M ˜ p,v,0 ). d’espaces (P˜p,0 , M Soit v une place de F finie ou complexe. Alors H 1 (Fv ; Gp,SC ) = {1} pour tout p. Fixons un élément p ∈ Π. On peut fixer pour tout p ∈ Π un élément xp ∈ Gp ,SC (F¯v ) tel que ∇p ,p (σ) = x−1 p σ(xp ) pour tout σ ∈ ΓFv . Définissons   ˜ ˜ ˜p → φp ,p = adxp ◦φp ,p et φp ,p = adxp ◦φp ,p . Alors φp ,p : Gp → Gp et φ˜p ,p : G ˜ p sont des isomorphismes définis sur Fv . Quitte à multiplier xp à gauche par G un élément de Gp ,SC (Fv ), on peut supposer que φp ,p envoie (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) sur ˜ p,v,0 ) sur (P˜p ,v,0 , M ˜ p ,v,0 ). Les diffé(Pp ,v,0 , Mp ,v,0 ) et que φ˜p ,p envoie (P˜p,v,0 , M ˜ rents espaces I(Gp (Fv ), ω) s’identifient grâce à ces isomorphismes φ˜p ,p à l’espace ˜ p (Fv ), ω), que l’on peut noter simplement I(G(F ˜ v ), ω). Notons que, bien que I(G  ˜ les φp ,p dépendent du choix des xp , les isomorphismes qui s’en déduisent entre les ˜ p (Fv ), ω) ne dépendent pas de ce choix. espaces I(G ˜ p s’identifient sur Fv pour toute place finie, les Puisque les différents espaces G ˜ p , a) sont les mêmes, on les note Vram (G, ˜ a), ou simplement Vram . ensembles Vram (G Pour l’élément p fixé ci-dessus et pour toute place v ∈ Vram , on choisit un espace ˜ p ,v de G ˜ p (Fv ) de sorte que les conditions de 1.1 soient vérifiées. hyperspécial K ˜ p,v l’image de K ˜ p ,v par (φ˜  )−1 . Alors les fonctions Pour p ∈ Π, on note K p ,p ˜ p,v , pour p ∈ Π, ont même image dans I(G(F ˜ v ), ω). On caractéristiques 1K˜ p,v de K peut noter 1K˜ v cette image. Les choses sont plus compliquées en une place réelle. Soit v une telle place. Pour p, q ∈ Π, notons ∇p,q,v la restriction de ∇p,q à ΓFv . Disons que p et q sont v-équivalents si et seulement si π(∇p,q,v ) est cohomologiquement trivial. On vérifie que c’est une relation d’équivalence. Fixons un ensemble Πv ⊂ Π de représentants ˜ p,v )p∈Πv , munie des des classes de v-équivalence. On voit que la famille (Gp,v , G ˜ familles (φp,q )p,q∈Πv , (φp,q )p,q∈Πv et (∇p,q,v )p,q∈Πv , définit un K-espace sur Fv , au

618

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

sens de [I] 1.11. Soit p ∈ Π. Notons p l’unique élément de Πv tel que p soit véquivalent à p . On peut fixer xp ∈ Gp (F¯v ) tel que π(∇p ,p,v ) = x−1 p σ(xp ). Les ap  ˜ ˜ plications φp ,p = adxp ◦φp ,p et φp ,p = adxp ◦φp ,p sont encore des isomorphismes définis sur Fv . Quitte à multiplier xp à gauche par un élément de Gp (Fv ), on peut supposer que φp ,p envoie (Pp,v,0 , Mp,v,0 ) sur (Pp ,v,0 , Mp ,v,0 ) et que φ˜p ,p envoie ˜ p,v,0 ) sur (P˜p ,v,0 , M ˜ p ,v,0 ). Décomposons xp en π(xp,sc )zp , où xp,sc ∈ (P˜p,v,0 , M ¯ ¯   Gp ,SC (Fv ) et zp ∈ Z(Gp ; Fv ). Définissons la cochaîne ∇p : ΓFv → Gp ,SC par ∇p (σ) = xp,sc ∇p ,p (σ)σ(xp,sc )−1 . C’est un cocycle à valeurs dans Z(Gp ,SC ) et le couple (∇p , zp ) définit un élément de H 1,0 (Fv ; Z(Gp ,SC ) → Z(Gp )) = Gp ,ab (Fv ), que l’on note hp . On sait que a définit un caractère de ce groupe. On note ω(hp ) sa valeur en hp . On définit un homomorphisme ˜ p (Fv )) Cc∞ (G f

˜ p (Fv )) → Cc∞ (G → f

˜ p (Fv ). C’est un isomorphisme qui se par f  ◦ φ˜p ,p (r) = ω(hp )f (r) pour tout r ∈ G ˜ p (Fv ), ω) sur I(G ˜ p (Fv ), ω). On vérifie que quotiente en un isomorphisme de I(G ce dernier isomorphisme ne dépend pas des choix de xp et xp,sc . Soit V un ensemble fini de places contenant les places réelles. Grâce au lemme ci-dessus et aux différents isomorphismes que l’on vient de construire, on obtient un isomorphisme

˜ p (FV ), ω)  ⊗v∈V −Val (F ) I(G(F ˜ v ), ω) ⊕p∈Π I(G R



˜ p (Fv ), ω) . ⊗ ⊗v∈ValR (F ) ⊕p ∈Πv I(G ˜ V ), ω) le membre de gauche. On a évidemment des isomorphismes On note I(K G(F duaux pour les espaces de distributions. Les différents groupes Gp étant formes intérieures l’un de l’autre, les espaces de mesures de Haar Mes(Gp (Fv )) s’identifient pour toute place v à un espace commun que l’on note Mes(G(Fv )). De même, les espaces AG˜ p s’identifient à un ˜ a) comme espace commun AG˜ . Comme dans le cas local, pour un triplet (G, G, ˜ en 1.1, on peut construire un K-espace dont G soit une composante connexe, cf. [I] 1.11.

VI.1.17 K-espaces de Levi On poursuit avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. Notons (B ∗ , T ∗ ) la paire de Borel commune des groupes Gp et Δ l’ensemble de racines simples associé. Le groupe ΓF et l’automorphisme θ agissent sur Δ. Toute paire parabolique (Pp , Mp ) de Gp détermine un sous-ensemble ΔMp ⊂ Δ. Ainsi, aux paires (Pp,0 , Mp,0 ) et (Pp,v,0 , Mp,v,0 ), pour v ∈ Val(F ), sont associés des sousensembles ΔMp,0 et ΔMp,v,0 de Δ. Ils sont invariants par l’action de θ. L’ensemble

VI.1. Les définitions

619

ΔMp,0 est invariant par l’action de ΓF et l’ensemble ΔMp,v,0 est invariant par l’action de ΓFv . Pour une place v réelle, on a vu que notre K-espace déterminait un K-espace sur Fv = R. En [I] 3.5, on lui a associé un sous-ensemble Δmin ⊂ Δ, qu’il convient de noter Δmin,v . Il est invariant par θ. Le lemme de cette référence dit que Δmin,v ⊂ ΔMp,v,0 pour tout p et que cette inclusion est une égalité pour au moins un p. La même construction vaut pour une place complexe ou nonarchimédienne. On réfère pour ce cas à [A 10] lemme 2.1. Pour une telle place, on définit donc un sous-ensemble Δmin,v ⊂ Δ. Puisque, pour une telle place, les groupes Gp sont tous isomorphes sur Fv , on a simplement Δmin,v = ΔMp,v,0 pour tout p. On vient de voir que, pour une place v quelconque, il existait p ∈ Π tel que Δmin,v = ΔMp,v,0 . Le lemme du paragraphe précédent renforce ce résultat en échangeant les quantificateurs : (1) il existe p ∈ Π tel que Δmin,v = ΔMp,v,0 pour tout v. Notons Δmin = ∪v∈Val(F ) Δmin,v et Δmin le plus petit sous-ensemble de Δ qui contient Δmin et qui est invariant par l’action de ΓF . Puisque les actions de ΓF et θ commutent, Δmin est invariant par θ. Lemme. On a l’inclusion Δmin ⊂ ΔMp,0 pour tout p. Cette inclusion est une égalité pour p vérifiant (1). Preuve. Pour tout p ∈ Π et toute place v, on a l’inclusion ΔMp,v,0 ⊂ ΔMp,0 . Donc ΔMp,0 contient Δmin . Puisqu’il est invariant par ΓF , il contient Δmin . Fixons p vérifiant (1), posons G = Gp , M0 = Mp,0 et Mv,0 = Mp,v,0 pour tout v. Introduisons une forme quasi-déployée G∗ de G et un torseur intérieur ψ : G → G∗ de sorte que (B ∗ , T ∗ ) s’identifie à une paire de Borel de G∗ définie sur F . Puisque Δmin est invariant par ΓF , il existe une paire parabolique (P ∗ , M ∗ ) de G∗ , définie sur ∗ F , contenant (B ∗ , T ∗ ), de sorte que Δmin = ΔM . Soit v une place de F . Puisque Δmin est invariant par ΓFv et que ΔMv,0 ⊂ Δmin , la paire (P ∗ , M ∗ ) se transfère en une paire parabolique de G définie sur Fv . Comme on le sait, à la forme intérieure G de G∗ est associé un élément κ ∈ H 1 (F ; G∗AD ). Cet élément se localise en un élément κv ∈ H 1 (Fv ; G∗AD ). La condition précédente signifie que κv appartient ∗ à l’image de l’application H 1 (Fv ; Mad ). D’après [51] proposition 1.6.12, on a un diagramme commutatif à lignes exactes (2)

∗ ∗ → Tad ) H 1 (F ; G∗AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ) → H 2,1 (AF /F ; Tsc ↑ ιAF ↑ ιab ↑ ιF ∗ ∗ ∗ ∗ H 1 (F ; Mad ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; Mad ) → H 2,1 (AF /F ; TM ∗ ,sc → Tad )

Conformément à la convention de [I], on a noté H 2,1 les groupes de cohomologie que Labesse note H 1 et que Kottwitz et Shelstad notent H 2 . On renvoie à ces auteurs (ou à 3.6 ci-dessous) pour la définition de la cohomologie H 2,1 (AF /F ; .). On a ∗ ∗ ∗ noté Tsc et TM dans les revêtements simplement ∗ ,sc les images réciproques de T ∗ ∗ connexes GSC et MSC des groupes dérivés de G∗ et M ∗ . Posons κAF = ⊕v∈Val(F ) κv . D’après ce que l’on a dit ci-dessus, on peut fixer ∗ M∗ ∗ ) tel que ιAF (κM κAF ∈ ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; Mad AF ) = κAF . Montrons que

620

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

(3) ιab est injectif. ∗ ˇ de coracines associé à Δ. Le Le groupe X∗ (Tsc ) a pour base l’ensemble Δ ∗ ˇ M ∗ associé à ΔM ∗ . On a donc groupe X∗ (TM ∗ ,sc ) a pour base le sous-ensemble Δ une suite exacte ∗ ∗ 1 → TM ∗ ,sc → Tsc → T1 → 1,

ˇ −Δ ˇ M ∗ . Puisque ΓF où T1 est un tore tel que X∗ (T1 ) a pour base l’ensemble Δ ∗ agit sur Δ par permutations laissant stable ΔM , les trois tores sont induits. On a le diagramme commutatif suivant 1 1

∗ → TM ∗ ,sc ↓ ∗ → Tad

∗ Tsc ↓ ∗ → Tad



→ T1 ↓ → 1

→ 1

dont les suites horizontales sont exactes. Il s’en déduit une suite exacte ab ∗ ∗ 2,1 ∗ ∗ H 1 (AF /F ; T1 ) → H 2,1 (AF /F ; TM (AF /F ; Tsc → Tad ). ∗ ,sc → Tad ) → H

ι

Puisque T1 est induit, le premier groupe est nul, ce qui prouve (3). ∗ ∗ → Tad ) est nulle. Puisque κAF provient de κ, son image dans H 2,1 (AF /F ; Tsc La commutativité du diagramme (2) et l’assertion (3) entraînent que l’image de ∗ 2,1 ∗ ∗ M∗ (AF /F ; TM provient d’un élément κM ∗ ,sc → Tad ) est nulle. Donc κA AF dans H F ∗ ∗ ). Notons κ l’image de cet élément dans H 1 (F ; G∗AD ). Les κM ∈ H 1 (F ; Mad éléments κ et κ ont même image κAF dans ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ). D’après [51] proposition 1.6.12, la fibre au-dessus de κAF de l’application H 1 (F ; G∗AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G∗AD ) est isomorphe au noyau ker1 (F ; GAD ) de l’application similaire H 1 (F ; GAD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; GAD ). Or, GAD étant adjoint, cet ensemble est réduit à {1} ([71] corollaire 5.4). Donc ∗ κ = κ et κ provient d’un élément de H 1 (F : Mad ). Cela équivaut à dire que ∗ ∗ la paire parabolique (P , M ) se transfère à G, c’est-à-dire qu’il existe une paire parabolique de G qui est définie sur F et qui est conjuguée à ψ −1 (P ∗ , M ∗ ). Cela ∗ implique ΔM0 ⊂ ΔM . D’où le lemme.  Notons ΠM0 le sous-ensemble des p ∈ Π tels que ΔMp,0 = Δmin . Il est non vide d’après le lemme. Pour p ∈ Π et p ∈ ΠM0 , fixons un élément xp ,p ∈ Gp tel que ˜ p,0 ) contienne (P˜p ,0 , M ˜ p ,0 ). Le lemme implique l’existence adxp ,p ◦φ˜p ,p (P˜p,0 , M ˜ 0 la famille (M ˜ p,0 )p∈ΠM0 . C’est un K-espace de d’un tel élément. On note K M ˜ Levi de K G, la définition de cette notion étant similaire à celle du cas local, cf. [I] ˜ 0 ) l’ensemble des K-espaces de Levi K L ˜ = (L ˜ p )p∈ΠL de K G ˜ 3.5. On note L(K M vérifiant les deux conditions suivantes :

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

621

˜p ⊃ M ˜ p,0 pour tout p ∈ ΠL ; – L ˜ p) = L ˜ p pour tous p ∈ ΠL , p ∈ ΠM0 . – adxp ,p ◦φ˜p ,p (L ˜ 0 ), on note L(K M ˜ ) l’en˜ = (M ˜ p )p∈ΠM ∈ L(M Plus généralement, pour K M M L ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ semble des K L = (Lp )p∈ΠL ∈ L(K M0 ) tels que Π ⊂ Π et Mp ⊂ Lp pour tout ˜ ) et F (K M ˜ ). p ∈ ΠM . On définit de façon similaire les ensembles P(K M ˜ a) comme en 1.1, en n’inDans la suite, on travaillera avec un triplet (G, G, troduisant les K-espaces que lorsque cela sera indispensable. Dans ce cas, on sup˜ 0. posera fixé un espace de Levi minimal K M

VI.2 La partie géométrique de la formule des traces VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante On a défini en 1.1 le noyau G(AF )1 de l’homomorphisme HG˜ (contrairement à ce ˜ et pas seulement de G). On a la que suggère la notation, ce groupe dépend de G ˜ F )1 l’endécomposition en produit direct G(AF ) = AG˜ × G(AF )1 . On note G(A 1 ˜ )). ˜ ˜ (γ) = 0 (c’est-à-dire G(A ˜ F ) = G(AF )1 G(F ˜ F ) tels que H semble des γ ∈ G(A G ˜ F ) = A ˜ × G(A ˜ F )1 . On a encore la décomposition en produit direct G(A G ˜ F )). C’est-à-dire que f est combinaison linéaire de foncSoit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ v )) et, pour presque tout v, tions ⊗v∈Val(F ) fv où, pour tout v, fv ∈ Cc∞ (G(F ˜ F )) un peu plus gros que fv = 1K˜ v . Pour un instant, définissons l’espace C¯c∞ (G(A ∞ ˜ Cc (G(AF )), obtenu en remplaçant la composante archimédienne    ˜ v) . ˜ v )) par C ∞ G(F ⊗v∈Val∞ (F ) Cc∞ (G(F c v∈Val∞ (F )

˜ F )) telle que Introduisons une fonction ϕ ∈ C¯c∞ (G(A ϕa (γ) da f (γ) = AG ˜

˜ F )1 , où ϕa est la fonction ϕa (γ) = ϕ(aγ). Fixons une mesure de pour tout γ ∈ G(A ˜ F )) ⊗ Mes(G(AF )). Nous notons Haar dg sur G(AF ). Posons f = f ⊗ dg ∈ Cc∞ (G(A ˜ G Jg´eom (f , ω) le membre de gauche de l’égalité du théorème 11.3.2 de [55] appliqué à la fonction ϕ, multiplié par | det((1 − θ)|AG /AG˜ )|−1 . Dans le cas où ω = 1, c’est ˜ F )1 . . aussi le terme qu’Arthur note Jg´eom (f 1 ), où f 1 est la restriction de f à G(A Rappelons la définition pour mémoire. On renvoie à [55] pour les notations, qui sont d’ailleurs les notations standard. Pour un espace parabolique standard ˜ UP , on définit une fonction K ˜ (f ) sur G(AF ) par P˜ = M P  f (g −1 γug) du. KP˜ (f, g) = UP (F )\UP (AF )

γ∈P˜ (F )

622

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Soit T ∈ AM˜ 0 assez positif relativement à P˜0 . On pose   T kg´ (−1)aP˜ −aG˜ τˆP˜ (HP˜ (ξg) − T )KP˜ (f, ξg), eom (f, g) = P˜ ⊃P˜0

puis

ξ∈P (F )\G(F )

T Jg´ eom (f, ω) =

AG ˜ G(F )\G(AF )

T kg´ eom (f, g)ω(g) dg.

Quand T tend vers l’infini dans la chambre positive déterminée par P˜0 , cette ˜ G expression est asymptote à un polynôme en T . Alors Jg´ eom (f , ω) est la valeur de ce polynôme au point T0 défini en [55] lemme 3.3.3. ˜ )ell , l’ensemble des éléments semi-simples de G(F ˜ ), ˜ ss (F ), resp. G(F On note G ˜ ss (F )/ conj, resp. resp. celui des éléments semi-simples et elliptiques. On note G ˜ )ell / conj, l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans G ˜ ss (F ), resp. G(F ˜ )ell . G(F Remarque. Puisque F est un corps de nombres, les deux définitions possibles de l’ellipticité sont équivalentes. C’est-à-dire que, pour un élément semi-simple ˜ ), γ est elliptique si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes : γ ∈ G(F ˜ défini sur Q et elliptique tel que (1) il existe un sous-tore tordu maximal T˜ de G ˜ γ ∈ T (F ) ; (2) AGγ = AG˜ . ˜ ss (F )/ conj. Pour un espace parabolique standard P˜ , on définit Soit O ∈ G une fonction KP˜ ,O (f ) en restreignant dans la définition ci-dessus la somme sur γ ∈ P˜ (F ) aux γ dont la partie semi-simple appartient à O. En poursuivant comme ˜ G T T (f, g), JO (f, ω), puis JO (f , ω) (ou JO (f , ω) ci-dessus, on construit des termes kO s’il est bon de préciser l’espace). Tous ces termes sont nuls sauf si la classe de conjugaison par G(AF ) engendrée par O coupe le support de f . Il n’y a qu’un nombre fini de O vérifiant cette condition, en vertu du lemme suivant. En vue d’une application ultérieure, on énonce celui-ci sous une forme plus forte qu’il n’est à présent nécessaire. ˜V un sousLemme. Soit V un ensemble fini de places contenant Vram . Soit U ˜ V ). Considérons l’ensemble Ξ des classes de conjugaison ensemble compact de G(F ˜ ) telles que la classe de conjugaison O par G(F ) d’éléments semi-simples de G(F ˜V et que, pour tout v ∈ V , la classe OV par G(FV ) engendrée par O coupe AG˜ U ˜ v . Alors de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe K (i) Ξ est fini ; (ii) il existe un sous-ensemble compact C ⊂ AG˜ tel que, pour tout O ∈ Ξ, OV ∩ ˜V soit contenu dans C U ˜V . AG˜ U Preuve. Soient O ∈ Ξ et γ ∈ O. Les conditions imposées hors de V et la définition ˜ ˜ entraînent que H ˜ ˜ (γ) = 0. Soit a ∈ A ˜ et γV ∈ U ˜V tels que aγV ∈ OV . de H GV GV G

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

623

˜ ˜ (γV ) et, puisque U ˜V est compact, a reste dans un compact. Alors HG˜ (a) = −H GV ˜ Cela prouve (ii). Quitte à agrandir UV , on peut donc supposer que, pour O et γ ˜V . On peut fixer comme ci-dessus, la classe de conjugaison de γ par G(FV ) coupe U −1 ˜ xV ∈ G(FV ) tel que xV γxV ∈ UV et, pour tout v ∈ V , un élément xv ∈ G(Fv ) ˜ ˜ tel que x−1 v γxv ∈ Kv . Mais γ ∈ Kv pour presque tout v. On peut donc supposer xv = 1 pour presque tout v. Les éléments xV et (xv )v∈V se regroupent alors en ˜ ˜ , où U ˜ =U ˜V × ( un élément x ∈ G(AF ) tel que x−1 γx ∈ U v∈V Kv ). La classe de ˜ conjugaison par G(AF ) de γ coupe donc U et il reste à appliquer le lemme 3.7.4 de [55].  On a (3)

˜

G Jg´ eom (f , ω) =



JO (f , ω).

˜ ss (F )/ conj O∈G

Notons que tous ces termes sont nuls si ω n’est pas trivial sur Z(G; AF )θ . ˜ = G, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ Vram et O = {1}, Cas particulier. Dans le cas où G on remplace l’indice O par unip dans les termes définis ci-dessus et on ajoute G (f , ω) = J{1} (f , ω). l’exposant G. Par exemple Junip

VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante ˜ ss (F )/ conj. On a dit Soient V un ensemble fini de places contenant Vram et O ∈ G ∞ ˜ ˜ F )) et en 1.1 que l’on pouvait identifier Cc (G(FV )) à un sous-espace de Cc∞ (G(A ∞ ˜ identifier Mes(G(FV )) à Mes(G(AF )). Pour fV ∈ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), le terme JO (fV , ω) est donc bien défini. ˜ = G, K ˜ v = Kv pour tout On considère dans ce paragraphe le cas où G v ∈ Vram et où O = 1. En [5] théorème 8.1, Arthur prouve l’existence d’une ∗ distribution AG unip (V, ω) ∈ Dorb (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )) qui vérifie les propriétés suivantes : (1) pour tout fV ∈ Cc∞ (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité :  G I G (AG |W M ||W G |−1 unip (V, ω), fV ) = Junip (fV , ω) − M∈L(M0 ),M=G G JM (AM unip (V, ω), fV

);

(2) AG unip (V, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments unipotents u ∈ G(F ), ou plus exactement aux projections dans G(FV ) de tels éléments ; (3) AG unip (V, ω) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z(G, AF ). Supposons ω trivial sur Z(G, AF ). En général, on ne sait pas expliciter la distribution AG unip (V, ω). On peut toutefois la calculer dans le cas particulier où G

624

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

est un tore. Dans ce cas, soit fV ∈ Cc∞ (G(FV )) et dgV une mesure sur G(FV ), qui s’identifie à une mesure sur G(AF ) par produit avec les mesures canoniques sur G(Fv ) pour v ∈ V . Posons fV = fV ⊗ dgV . Alors I G (AG unip (V, ω), fV ) = mes(AG G(F )\G(AF ))fV (1). La distribution AG unip (V, ω) dépend, comme la partie géométrique de la formule des traces non-invariante, des choix du Levi minimal M0 et des compacts Kv pour tout v. Rappelons que ceux-ci sont supposés en bonne position relativement à M0 . Arthur montre que AG unip (V, ω) ne dépend pas des Kv pour v ∈ V V ([2] proposition 13.2). Notons plus précisément AG unip (V, ω, M0 , K ) notre distribution. Soit x ∈ G(F )M0 (AF ), remplaçons M0 et les Kv par M0 = adx (M0 ) et les Kv = adx (Kv ). Un raisonnement par transport de structure montre que (4)

 AG unip (V, ω, M0 , K



V

V ) = ω(xV )−1 AG unip (V, ω, M0 , K ),

où xV est la projection de x dans G(AVF ). On peut alors modifier formellement la définition de la façon suivante. On oublie pour un temps les objets fixés en 1.1. Pour tout v ∈ V , soit Kv un sous-groupe compact hyperspécial de G(Fv ). On suppose comme en 1.1 que Kv = G(ov ) pour presque tout v. Fixons un Levi minimal M0 . On peut choisir xV = (xv )v∈V ∈ G(AVF ) de sorte que, pour tout v ∈ V , Kv = adxv (Kv ) soit en bonne position relativement à M0 . On pose V V G AG unip (V, ω, K ) = ω(x )Aunip (V, ω, M0 , K



V

).

On doit prouver (5) cette définition ne dépend pas des choix de xV et M0 . Preuve. Montrons d’abord que, pour M0 fixé, la définition ne dépend pas de xV . Choisissons y V = (yv )v∈V ∈ G(AVF ) tel que, pour tout v ∈ V , Kv = adyv (Kv ) soit en bonne position relativement à M0 . Soit v ∈ V . Notons ov et ov les points hyperspéciaux de l’immeuble de GAD sur Fv qui sont fixés respectivement par Kv et Kv . Notons Sv l’ensemble des sous-tores de M0 définis et déployés sur Fv , qui sont maximaux parmi les sous-tores vérifiant ces conditions. Pour S ∈ Sv , notons A(S) l’appartement de l’immeuble associé à S. Les deux groupes Kv et Kv sont en bonne position relativement à M0 . Cela signifie que l’on peut fixer des soustores S  , S  ∈ Sv de sorte que ov appartienne à l’appartement A(S  ) et que ov   appartienne à l’appartement A(S  ). Posons gv = yv x−1 v . On a Kv = adgv (Kv ).    Donc ov appartient à A(adgv (S )). Puisque ov est hyperspécial, le fait que ov appartienne à la fois à A(S  ) et à A(adgv (S  )) entraîne que les deux tores S  et adgv (S  ) sont conjugués par un élément de Kv . Fixons un élément hv ∈ Kv tel que S  = adhv gv (S  ). L’ensemble Sv forme une seule classe de conjugaison par M0 (Fv ). Fixons donc rv ∈ M0 (Fv ) de sorte que S  = adrv (S  ). On obtient que hv gv rv appartient au normalisateur de S  dans G(Fv ). Comme on le sait, tout élément du groupe de Weyl de S  a un représentant dans Kv . Cela entraîne

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

625

que le normalisateur de S  dans G(Fv ) est contenu dans le produit de Kv et du centralisateur de S  dans G(Fv ). Ce dernier groupe est contenu dans M0 (Fv ). On obtient que hv gv rv ∈ Kv M0 (Fv ). Puisque hv ∈ Kv et rv ∈ M0 (Fv ), on a aussi gv ∈ Kv M0 (Fv ). Ecrivons donc gv = kv mv , avec kv ∈ Kv et mv ∈ M0 (Fv ). Remarquons que Kv = adkv−1 (Kv ) = adkv−1 gv (Kv ) = admv (Kv ). Dans la relation (4), remplaçons K V par K  V et x par un élément m ∈ M0 (AF ) dont les composantes hors de V sont les mv . On obtient l’égalité  V V AG ) = ω(mV )−1 AG ). unip (V, ω, M0 , K unip (V, ω, M0 , K

Les égalités yv x−1 v = gv = kv mv pour tout v ∈ V entraînent ω(mV ) = ω(y V )ω(xV )−1 . L’égalité ci-dessus devient ω(y V )AG unip (V, ω, M0 , K



V

) = ω(xV )AG unip (V, ω, M0 , K



V

).

Cela démontre que notre définition ne dépend pas du choix de xV . Changeons maintenant de Levi M0 . Cela signifie qu’on le remplace par adg (M0 ) pour un g ∈ G(F ). D’après l’indépendance déjà prouvée de xV , on peut remplacer xV par g V xV , où g V est la projection de g dans G(AVF ). La relation à prouver devient ω(xV )AG unip (V, ω, M0 , K



V

) = ω(g V xV )AG unip (V, ω, adg (M0 ), adgV (K

Cela résulte de (4).



V

)). 

VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple ˜ a) est quelconque. Soit O ∈ G ˜ ss (F )/ conj. Fixons γ˙ ∈ O Revenons au cas où (G, G, et une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) (définie sur F¯ ) de sorte que γ˙ ˜ E) et posons θ = ade . En notant Σ(T ) l’ensemble conserve (B, T ). Fixons e ∈ Z(G, des racines de T dans G, on sait définir N α pour tout α ∈ Σ(T ) : c’est la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ. On peut écrire γ˙ = te, avec t ∈ T . En fait, on peut fixer une extension finie E de F telle que t ∈ T (E). On a alors (N α)(t) ∈ E × pour tout α. On note S(O) le plus petit ensemble de places de F contenant Vram et tel que les propriétés suivantes soient vérifiées. Soit w une place de E au-dessus d’une place v ∈ S(O). Notons o× w le groupe des unités de Ew et Ew le corps résiduel. Alors (1) pour tout α ∈ Σ(T ), on a (N α)(t) ∈ o× w; (2) pour tous α ∈ Σ(T ), si (N α)(t) = ±1, alors la réduction dans Ew de (N α)(t) n’est pas égale à ±1. On voit que cette définition ne dépend pas des choix auxiliaires, en particulier ne dépend pas du choix de γ. ˙ Soit v ∈ S(O). On a

626

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜v ; (3) supposons que la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe K ˜ v forme une unique double ˙ ∈K alors l’ensemble des x ∈ G(Fv ) tels que x−1 γx classe dans Gγ˙ (Fv )\G(Fv )/Kv ; pour un élément x de cet ensemble, le groupe xKv x−1 ∩ Gγ˙ (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspécial de Gγ˙ (Fv ). Preuve. Il s’agit essentiellement de la proposition 7.1 de [46], que l’on a reprise dans le cadre tordu en [79]. L’hypothèse v ∈ Vram permet d’appliquer les résultats ˜ v comme en [79] ˜ v ) et K de [79] chapitres 4 et 5. En particulier, on décrit G(F ˜ 4.4. Notons simplement γ l’image de γ˙ dans G(Fv ). L’hypothèse que la classe ˜ v signifie que γ est un élément compact dans la de conjugaison de γ coupe K terminologie de cette référence. On peut le décomposer en γ = γtu γp , où γp est un élément d’ordre fini premier à la caractéristique résiduelle p et γtu est un élément topologiquement unipotent de G(Fv ) qui commute à γp . Les conditions (1) et (2) ci-dessus entraînent l’égalité Gγ = Gγp . Par ailleurs, la p -composante ˜ v appartenant aussi à K ˜ v , la condition x−1 γx ∈ K ˜ v implique d’un élément de K −1  ˜ x γp x ∈ Kv . Il reste à appliquer les lemmes [79] 5.6(ii) et 5.4(ii).  Soit V un ensemble fini de places de F contenant S(O). On va définir une ˜ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Elle est nulle sauf si distribution AG (V, O, ω) ∈ Dorb (G(F les trois conditions suivantes sont vérifiées : (4) ω est trivial sur Z(G, AF )θ et sur Z(Gγ˙ , AF ) pour γ˙ ∈ O ; (5) O est formé d’éléments elliptiques ; (6) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O ˜v. coupe K Supposons ces conditions vérifiées. On fixe γ˙ ∈ O. Pour tout v ∈ V , on fixe ˜ v . On pose Kγ,v ˙ v ∈K = xv Kv x−1 xv ∈ G(Fv ) tel que x−1 ˙ v γx v ∩ Gγ˙ (Fv ). Puisque ˜ γ˙ ∈ Kv pour presque tout v, on peut supposer xv = 1 pour presque tout v. Alors l’élément xV = (xv )v∈V appartient à G(AVF ) et la famille (Kγ,v ˙ )v∈V de compacts hyperspéciaux vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. La distribution Gγ˙ (V, ω, KγV˙ ) est bien définie. Fixons des mesures dgV sur G(FV ) et dhV sur Aunip ˜ V )), posons fV = fV ⊗ dgV . Pour y ∈ G(FV ), notons Gγ˙ (FV ). Soit fV ∈ Cc∞ (G(F y fV |Gγ˙ la fonction h → f (y −1 hγy) sur Gγ˙ (FV ). Posons y fV |Gγ˙ = y f V |Gγ˙ ⊗ dhV . ˜

On définit la distribution AG (V, O, ω) par la formule suivante : I G (AG (V, O, ω), fV ) = [ZG (γ, ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 ω(xV ) Gγ˙ I Gγ˙ (Aunip (V, ω, KγV˙ ), y fV |Gγ˙ )ω(y) dy, ˜

(7)

˜

Gγ˙ (FV )\G(FV )

dgV sur Gγ˙ (FV )\G(FV ). On vérifie que cela ne dépend ni du où dy est la mesure dh V choix de γ, ˙ ni de celui de l’élément xV , ni de celui des mesures. Par contre, la ˜ ˜ v pour v ∈ V . distribution AG (V, O, ω) dépend des K

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

627

Cas particulier : supposons O formée d’éléments elliptiques et fortement ré˜ ). Alors la formule (7) se simplifie en guliers dans G(F I G (AG (V, O, ω), fV ) = [ZG (γ, F ) : Gγ (F )]−1 ω(xV ) mes(AG˜ Gγ˙ (F )\Gγ˙ (AF )) f (y −1 γy)ω(y) ˙ dy. ˜

˜

Gγ˙ (FV )\G(FV )

Considérons maintenant un ensemble fini V de places, contenant Vram mais pas forcément S(O). On fixe un ensemble fini S de places contenant V et S(O). ˜ , l’intersection M ˜ (F )∩O se décompose Rappelons que, pour tout espace de Levi M en un nombre fini de classes de conjugaison semi-simples par M (F ). Pour une telle ˜ ˜ ˜ M,S ) classe OM˜ , on a S(OM˜ ) ⊂ S(O). La distribution AM (S, OM˜ , ω) (relative à K est bien définie. On peut écrire  ˜ ˜ ˜ kiM (OM˜ , ω)VS ⊗ AM (8) AM (S, OM˜ , ω) = ˜ , ω)V , i (OM i=1,...,n(OM ˜)



˜ ˜ (FSV ), ω) ⊗ Mes(M (FSV ))∗ kiM (OM˜ , ω)VS ∈ Dg´eom (M

et

˜ ∗ ˜ AM ˜ , ω)V ∈ Dorb (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . i (OM

˜ ∗ ˜ On note AG ˜ , ω)V ∈ Dorb (G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) la distribution induite i (OM ˜ M ˜ V ). On se rappelle l’application linéaire rG˜ (., K ˜ V ) définie de Ai (OM˜ , ω)V à G(F ˜ S M ˜ (F V ), ω)  Dg´eom (M ˜ (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))∗ en 1.13. On définit sur Dg´eom (M S S S ˜ la distribution AG (V, O, ω) par la formule   ˜ ˜ ˜ |W M ||W G |−1 AG (V, O, ω) = ˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜ ˜ 0) M∈L( M



(9)

˜ ˜ ˜ G M G V ˜V rM ˜ , ω)S , KS )Ai (OM ˜ , ω)V . ˜ (ki (OM

i=1,...,n(OM ˜) ˜

Proposition. La distribution AG (V, O, ω) vérifie les propriétés suivantes : ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité : (i) pour tout fV ∈ C ∞ (G(F c

JO (fV , ω) =



˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M ˜ ˜ G M JM ˜ , ω), fV ˜ (A (V, OM ˜



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

);

(ii) AG (V, O, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des ˜ V ) de tels éléments), éléments γ˙ (ou plus exactement aux projections dans G(F ˜ où γ˙ ∈ G(F ) est un élément dont la partie semi-simple appartient à O ;

628

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜

(iii) AG (V, O, ω) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) ˜v ; engendrée par O coupe K ˜

(iv) AG (V, O, ω) = 0 sauf si ω est trivial sur Z(G; AF )θ et sur Z(Gγ˙ , AF ) pour γ˙ ∈ O. ˜

Remarque. L’égalité (i) suffit à caractériser la distribution AG (V, O, ω) par récurrence. Cela prouve en particulier que la définition (9) ne dépend pas de l’ensemble S choisi. ˜

Preuve. On suppose d’abord que V contient S(O) et que AG (V, O, ω) est définie par la formule (7). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont immédiates d’après la Gγ˙ définition et l’analogue de la propriété (ii) pour la distribution Aunip (V, ω, KγV˙ ). L’assertion principale (i) est à peu près celle que prouve Arthur dans [6] théorème 8.1. La seule différence avec le résultat d’Arthur est la définition de l’ensemble ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) tels que O ∩ S(O). Expliquons ce point. Parmi les espaces de Levi M ˜ ˜ M (F ) = ∅, fixons un élément minimal M1 . Au lieu de la condition (6), Arthur ˜ 1 (F ) tel que γ˙ ∈ K ˜ v pour tout v ∈ V . impose qu’il existe un élément γ˙ ∈ O ∩ M L’existence d’un tel élément défini sur F ne résulte pas de (6). Mais on peut modifier très légèrement la preuve d’Arthur pour obtenir notre assertion. En effet, ˜ 1 (F ). On a fixons γ˙ ∈ O ∩ M (10) l’hypothèse (6) entraîne que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ M˜ 1 . M1 (Fv ) engendrée par γ˙ coupe K v ˜ v . Fixons P˜1 = M ˜ 1 UP1 ∈ ˙ ∈K Il y a en tout cas un x ∈ G(Fv ) tel que x−1 γx ˜ P(M1 ). Grâce à la décomposition d’Iwasawa, on écrit x = muk, avec m ∈ M1 (Fv ), ˜ v . Mais (mu)−1 γmu ˙ ∈K ˙ = u γ  , u ∈ UP1 (Fv ), k ∈ Kv . On a encore (mu)−1 γmu   −1 ˜ avec u ∈ UP1 (Fv ) et γ = m γm ˙ ∈ M1 (Fv ). Parce que Kv est en bonne position ˜ vM˜ 1 . D’où (10). relativement à M1 , cela entraîne γ  ∈ K ˜ M˜ 1 ,V . ˙ V ∈K Grâce à (10), on peut construire xV ∈ M1 (AVF ) tel que (xV )−1 γx  Dans la preuve de [6], l’élément y des dernières lignes de la page 203 appartient alors, non pas à KγV˙ \K V , mais à KγV˙ \xV K V . Mais un élément de xV K V ne contri bue pas aux fonctions vR de la page 204 parce que ces fonctions sont invariantes à V droite par K et à gauche par M1 (AF ), puisque les Levi R intervenant contiennent M1 . Ces éléments disparaissent et la suite de la démonstration d’Arthur s’applique sans changement. Il reste toutefois le terme ω(xV ) qui n’apparaissait pas dans Arthur simplement parce que celui-ci traitait le cas ω = 1. Cela prouve la proposition dans le cas où V contient S(O). ˜

Levons cette hypothèse et définissons AG (V, O, ω) par la formule (9). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont claires d’après cette définition et les mêmes pro˜ ˜ V )) ⊗ priétés de la distribution AG (S, O, ω). Il faut vérifier (i). Soit fV ∈ Cc∞ (G(F ∞ ˜ Mes(G(FV )). Notons fS ∈ Cc (G(FS )) ⊗ Mes(G(FS )) l’élément auquel fV s’identifie, c’est-à-dire fS = fV ⊗ 1K˜ V , où le dernier terme est tacitement tensorisé avec S

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

629

la mesure canonique sur G(FSV ). On connaît le développement (i) pour S : 

JO (fS , ω) =

˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M

(11)



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜ ˜ G M JM ˜ , ω), fS ). ˜ (A (S, OM

˜ et O ˜ intervenant Notons que JO (fS , ω) = JO (fV , ω) par définition. Soient M M ˜ ˜ ˜ est égale ci-dessus. Pour tout espace Q = LUQ ∈ F (M ), la fonction (1K˜ V )Q,ω ˜ S ˜ En utilisant (8), la relation 1.9(2) et la à 1 L,V ˜ . Elle ne dépend donc que de L. ˜ K S

˜ G ˜V définition de rM ˜ (., KS ), on obtient l’égalité ˜

˜

G M JM ˜ , ω), fS ) ˜ (A (S, OM   ˜ ˜ ˜ ˜ L M G L V ˜V = rM ˜ , ω)S , KS )JL ˜ , ω)V , fV ). ˜ (ki (OM ˜ (Ai (OM ˜ ˜ i=1,...,n(OM ˜ ) L∈L( M)

La formule (11) se récrit 

JO (fV , ω) =

|W L ||W G |−1 ˜

˜

˜ ˜ 0) L∈L( M



(12)



|W M ||W L |−1 ˜

˜

˜ ˜ ˜ ∈LL M (M0 )



˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O ˜ ˜ L M V ˜V rM ˜ , ω)S , KS ˜ (ki (OM

˜

˜

L )JLG ˜ , ω)V , fV ). ˜ (Ai (OM

i=1,...,n(OM ˜)

˜ ss (F )/ conj tel que On peut décomposer la somme en OM˜ en une somme sur OL˜ ∈ L ˜ OL˜ ⊂ O et une somme sur OM˜ ∈ Mss (F )/ conj tel que OM˜ ⊂ OL˜ . La contribution ˜ O ˜ ) est alors d’un couple (L, L 

˜

˜ ˜ L ˜ M∈L (M0 )





|W M ||W L |−1 ˜

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂OL ˜

˜ ˜ L M V ˜V rM ˜ , ω)S , KS ˜ (ki (OM

˜

˜

L )JLG ˜ , ω)V , fV ). ˜ (Ai (OM

i=1,...,n(OM ˜) ˜

˜

˜

L L Ceci qui n’est autre que JLG ˜ , ω), fV ) par définition de A (V, OL ˜ , ω). Alors ˜ (A (V, OL la formule (12) devient l’égalité (i) de l’énoncé. 

Remarque. La même preuve montre que l’égalité (9) est vraie pour tous S, V tels que Vram ⊂ V ⊂ S.

630

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.2.4 Développement de la partie géométrique de la formule des traces non invariante ˜ F ) ⊗ Mes(G(AF )). Si V est un ensemble fini de places assez Soit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) et 1 ˜ V grand, on peut écrire f = fV ⊗ 1K˜ V , où fV ∈ Cc∞ (G(F K est tacitement tensorisé avec la mesure canonique sur G(AVF ). En vertu de 2.1(3) et de la proposition 2.3(i), on a l’égalité (1)

˜

G Jg´ eom (f , ω) =





|W M ||W G |−1 ˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0) M

˜

˜

G M JM ˜ (A (V, O, ω), fV ).

˜ ss (F )/ conj O∈M

Le lemme 2.1 et sa preuve montrent que cette somme est finie indépendamment de V . Cette finitude et les définitions entraînent que, pour f fixé, il existe un ˜ , O) qui contribuent ensemble S(f ) tel que, pour V ⊃ S(f ), les seuls couples (M ˜ à la formule vérifient S(O) ⊂ V et O ⊂ M (F )ell . Notons que l’ensemble fini des indices contribuant à la formule (1) ainsi que l’ensemble S(f ) peuvent être choisis indépendants de f si on se limite à des fonctions dont le support est contenu dans un compact fixé.

VI.2.5 Variante avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G → 1, ˜ où G ˜ 1 est à torsion intérieure, et un caractère ˜ 1 → G, une extension compatible G automorphe λ1 de C1 (AF ). On introduit des données complémentaires comme en 1.15. On a une suite exacte 0 → AC1 → AG1 → AG → 0. On suppose des mesures choisies sur ces espaces de façon compatible à cette suite. ˜ par un espace de Levi M ˜ . Notons que cette On fait de même quand on remplace G hypothèse ne serait pas vérifiée si on normalisait les mesures «à la Tamagawa», cf. 1.3. Fixons des mesures dg sur G(AF ) et dc sur C1 (AF ). On en déduit une mesure dg1 sur G1 (AF ) compatible à la suite exacte 1 → C1 (AF ) → G1 (AF ) → G(AF ) → 1. ∞ ˜ 1 (AF )). On peut fixer une fonction φ ∈ C ∞ (G ˜ 1 (AF )) telle que Soit f ∈ Cc,λ (G c 1

φc (γ1 )λ1 (c) dc,

f (γ1 ) = C1 (AF )

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

631

où φc (γ1 ) = φ(cγ1 ). On pose ˜

G1 Jg´ eom,λ1 (f ⊗ dg)

(1)

= mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1



˜

C1 (F )\C1 (AF )

G1 c Jg´ eom (φ ⊗ dg1 )λ1 (c) dc.

On vérifie en effet, d’une part que la fonction à intégrer est invariante par C1 (F ) et à support compact modulo ce groupe, d’autre part que l’expression ci-dessus ne dépend que de f et dg et pas des choix de φ et de la mesure dc. De même, elle ne dépend que de la mesure sur AG˜ et pas de celle sur AC1 . Ces vérifications se font en exprimant comme en 2.1 les diverses expressions comme les valeurs en T0 d’un polynôme asymptote à des expressions qui, elles, vérifient évidemment ces propriétés. Remarquons qu’il y a une surjection naturelle ˜ ss (F )/ conj . ˜ 1,ss (F )/ conj → G G

(2)

˜ ss (F )/ conj, on pose Pour O ∈ G ˜

G1 JO,λ (f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 1



(3)

˜1 G JO (φc 1

C1 (F )\C1 (AF )

⊗ dg1 )λ1 (c) dc,

˜

O1 ∈FibG1 (O) ˜

où FibG1 (O) est la fibre de l’application (2) au-dessus de O. De nouveau, ce terme ne dépend que de f et dg et pas du choix de φ ni de la mesure dc. Pour un ensemble fini V de places contenant V1,ram , on peut encore identifier ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )) à un sous-espace de C ∞ (G ˜ 1 (AF )) ⊗ Mes(G(AF )). Cc,λ1 (G c,λ1 ˜1 G ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )). De même, Ainsi, J (fV ) est défini pour fV ∈ C ∞ (G g´ eom,λ1 ˜1 G JO,λ1 (fV ) est défini.

c,λ1

˜ ss (F )/ conj, on va définir une distribution Pour O ∈ G

˜ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ AλG11 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G

qui vérifie les propriétés suivantes : ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), (4) pour fV ∈ C ∞ (G c,λ1

˜

˜



˜

G1 IλG11 (AλG11 (V, O), fV ) = JO,λ (fV ) − 1

|W M ||W G |−1

M∈L(M0 ),M=G



˜

˜

G1 M JM ˜ ), fV ); ˜ ,λ (Aλ1 (V, OM 1

1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O ˜

(5) AλG11 (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des élé˜ 1 (FV ) de tels éléments), ments γ1 (ou plus exactement aux projections dans G

632

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1 (F ) se projette en un élément de G(F ˜ ) dont la partie semi-simple où γ1 ∈ G appartient à O ; ˜

(6) AλG11 (V, O) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) ˜v. engendrée par O coupe K ˜

Comme en 2.2, la propriété (4) caractérise AλG11 (V, O). Signalons que cette ˜ 1V . distribution dépend de K ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV )), que l’on écrit fV = fV ⊗ dg. On fixe Soit fV ∈ Cc,λ1 (G ∞ ˜ φV ∈ C (G1 (FV )) de sorte que c



φcV dc.

fV = C1 (FV )

˜ ˜ V . NoOn se rappelle que les distributions AG1 (V, O1 ) dépendent du choix de K 1 ˜ ˜ V ). Soit c ∈ C1 (AF ), que l’on décompose en c = cV cV . tons-les AG1 (V, O1 , K 1 Considérons le terme ˜ ˜ ˜ V ), φcV ⊗ dg1 ) I G1 (AG1 (V, O1 , cV K 1 V ˜

pour O1 ∈ FibG1 (O). Soit Γ un sous-ensemble compact de C1 (AF ). Le lemme ˜ 2.1(ii) entraîne qu’il existe un sous-ensemble fini Δ de FibG1 (O) tel que, pour ˜ tout O1 ∈ FibG1 (O) − Δ et tout c ∈ AC1 Γ, le terme ci-dessus soit nul. Le (i) du même lemme montre que, pour O1 ∈ Δ, ce terme est une fonction de c à support compact dans AC1 Γ. C’est aussi une fonction lisse de c. Les mêmes propriétés valent donc pour la somme  ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 ). I G1 (AG1 (V, O1 , cV K V ˜

O1 ∈FibG1 (O)

Comme fonction de c, celle-ci est invariante par C1 (F ). En effet, on voit facilement ˜ que, pour ξ ∈ C1 (F ) et O1 ∈ FibG1 (O), on a l’égalité (7)

˜ ˜ ˜ V ), φξV cV ⊗ dg1 ) I G1 (AG1 (V, ξO1 , ξ V cV K 1 V ˜

˜

˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 ). = I G1 (AG1 (V, O1 , cV K V

L’invariance requise en résulte. En se rappelant que l’on peut choisir Γ de sorte que C1 (AF ) = C1 (F )AC1 Γ, on voit que l’intégrale  ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc I G1 (AG1 (V, O1 , cV K (8) V C1 (F )\C1 (AF )

˜

O1 ∈FibG1 (O)

est convergente. On va montrer qu’elle ne dépend pas du choix de φV et définit ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . donc une forme linéaire en fV qui appartient à Dg´eom,λ1 (G

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

633

˜

˜ 1V ) n’est non nulle que si la condition Tout d’abord une distribution AG1 (V, O1 , cV K suivante est vérifiée : (9) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe ˜ 1,v . cv K ˜ v ) cela entraîne que la classe de conjugaison par Par projection dans G(F ˜ v . On obtient G(Fv ) engendrée par O coupe K (10) l’expression (8) est nulle s’il existe v ∈ V telle que la classe de conjugaison ˜v. par G(Fv ) engendrée par O ne coupe pas K Supposons que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engen˜ v . Posons Ξ = C1 (F ) ∩ (K V C1 (FV )). On va montrer drée par O coupe K C1 ˜

(11) l’ensemble des c ∈ C1 (AF ) tels qu’il existe O1 ∈ FibG1 (O) vérifiant (9) est V une unique classe modulo C1 (F )KC C1 (FV ) ; 1 ˜

(12) pour c dans cette classe, l’ensemble des O1 ∈ FibG1 (O) vérifiant (9) est une unique classe sous l’action de Ξ par multiplication. On démontre d’abord ˜ 1 ), γ1 ∈ K ˜ 1,v et ξ ∈ C1 (Fv ) ; alors ξγ1 est conjugué à un (13) soient v ∈ Vram (G ˜ 1,v si et seulement si ξ ∈ KC1 ,v . élément de K Preuve de (13). L’assertion «si» est évidente. Dans l’autre sens, soient γ2 ∈ ˜ 1,v et g ∈ G1 (Fv ), supposons ξγ1 = g −1 γ2 g. Ecrivons γ2 = kγ1 , avec k ∈ K1,v , K et posons θ = adγ1 . Alors ξ = g −1 kθ(g). Notons X ∗ (G1 ) et X ∗ (C1 ) les groupes des caractères algébriques de G1 et C1 . Pour χ ∈ X ∗ (G1 )ΓFv , le caractère continu x → |χ(x)|Fv de G1 (Fv ) est trivial sur K1,v puisque ce groupe est compact. Il est invariant par GAD (Fv ) parce que χ l’est. La torsion étant intérieure, θ est l’automorphisme associé à un élément de ce groupe GAD (Fv ). Donc le caractère précédent est invariant par θ. On en déduit qu’il vaut 1 sur ξ. On sait que l’application de restriction X ∗ (G1 )ΓFv → X ∗ (C1 )ΓFv a un conoyau fini. Puisque les caractères précédents sont à valeurs dans R>0 , on en déduit que |χ(ξ)|Fv = 1 pour tout χ ∈ X ∗ (C1 )ΓFv . Cette relation entraîne que que ξ appartient au sous-groupe compact maximal de C1 (Fv ), qui n’est autre que KC1 ,v . Cela prouve (13). Démontrons (11). Il est clair que l’ensemble des c en question est invariant ˜ V C1 (FV ). Il est non vide. En effet, fixons une classe O1 ∈ FibG1 (O). par C1 (F )KC 1 L’hypothèse sur O implique que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ v dans G ˜ 1 (Fv ), c’est-à-dire G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe l’image réciproque de K ˜ 1,v . ˜ C1 (Fv )K1,v . On peut donc choisir cv ∈ C1 (Fv ) tel que cette classe coupe cv K Il est clair que l’on peut choisir cv = 1 pour presque tout v. Les cv se regroupent alors en un élément c ∈ C1 (AF ) qui vérifie la condition requise. Soient maintenant c, c dans l’ensemble en question. On choisit O1 vérifiant (9) et O1 vérifiant son

634

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

analogue pour c . Il existe ξ ∈ C1 (F ) tel que ξO1 = O1 . Alors O1 vérifie (9) pour V . Cela entraîne c comme pour ξc . L’assertion (13) entraîne que cV ∈ (ξc )V KC 1 V que c ∈ c C1 (F )KC C (F ). D’où (11). 1 V 1 Le même calcul prouve (12) : pour c = c , la condition finale devient ξ V ∈ V KC , c’est-à-dire ξ ∈ Ξ. 1 Fixons un représentant ζ de la classe définie par (11), que l’on peut choisir dans C1 (AVF ). Dans la formule (8), on peut remplacer l’intégrale sur C1 (F )\C1 (AF ) V par une intégrale sur C1 (F )\ζC1 (F )KC C1 (FV ). La fonction que l’on intègre est 1 V invariante par KC . Cela permet, modulo translation par ζ, de remplacer cette 1 dernière intégrale par une intégrale sur ΞV \C1 (FV ), où ΞV est la projection de Ξ dans C1 (FV ). L’intégrale (8) est donc égale à  ˜ ˜ ˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K 1 V ΞV \C1 (FV )

˜

O1 ∈FibG1 (O)

D’après (12), l’ensemble des O1 qui contribuent à cette formule est une unique classe sous Ξ. Fixons un élément O1 de cette classe. L’action de Ξ n’est pas libre en général, il y a un noyau fini. Notons d le nombre d’éléments de ce noyau. Alors la formule précédente devient  ˜ ˜ −1 ˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, ξO1 , ζ K d 1 V ΞV \C1 (FV ) ξ∈Ξ

En utilisant (7), on obtient  ˜ ˜ −1 ˜ V ), φξcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV . I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K d 1 V ΞV \C1 (FV ) ξ∈Ξ V

On a aussi λ1 (ξ) = 1 pour tout ξ ∈ ΞV et l’égalité précédente se récrit ˜ ˜ ˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (ζcV ) dcV d−1 I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K V C (F ) 1 V (14) ˜ ˜ ˜ 1V ), fV ⊗ dg1 ), = d−1 λ1 (ζ)I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K λ1

˜ ˜ 1V ) désigne l’image de cette distrioù, dans cette dernière égalité, AG1 (V, O1 , ζ K ˜ bution dans Dorb,λ1 (G1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV ))∗ . Cela démontre que l’intégrale (8) a les propriétés voulues. Par ailleurs, on voit aisément qu’en multipliant cette intégrale par mes(AC1 C1 (F )\Z(AF ))−1 , elle ne dépend que de la mesure sur G(FV ) ˜ et pas de celle sur C1 (AF ). On peut donc définir une distribution AG λ1 (V, O) ∈ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ par l’égalité Dorb,λ1 (G ˜ ˜ −1 (V, O), f ) = mes(A C (F )\C (A )) IλG11 (AG V C1 1 1 F λ1

(15)

 ˜

O1 ∈FibG1 (O)

C1 (F )\C1 (AF )

I

˜1 G

˜1 G

(A

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, O1 , c K 1 V V

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

635

Elle vérifie la propriété (5). La propriété (6) résulte de (10). Il reste à vérifier (4). On conserve les termes fV , fV et φV ci-dessus. On complète fV en f = fV ⊗1K˜ V ,λ1 1 et φV en φ = φV ⊗ 1K˜ V . On a alors 1 f= φc λ1 (c) dc C1 (AF ) ˜

˜

G1 (φc ⊗ et l’égalité (3). Pour c ∈ C1 (AF ) et O1 ∈ FibG1 (O), on peut développer JO 1 ˜V . dg1 ) selon l’égalité de la proposition 2.3(i) relative à l’espace hyperspécial cV K 1 On obtient   ˜1 G −1 |W M ||W G |−1 JO,λ1 (fV ) = m C1 (F )\C1 (AF )



˜

O1 ∈FibG1 (O) M∈L(M0 )

˜1 ˜1 G M ˜ M˜ 1 ,V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc, JM (V, OM˜ ,1 , cV K 1 ˜ (A V 1

˜ OM,1 ⊂O1 ˜ ∈M1,ss (F )/ conj,OM,1 ˜ ˜

où m = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )). Pour un Levi M fixé, sommer en O1 ∈ FibG1 (O) ˜ 1,ss (F )/ conj, O ˜ ⊂ O1 revient à sommer en puis en OM˜ ,1 ∈ M M ,1 ˜ ss (F )/ conj, OM˜ ∈ M On obtient ˜

G1 JO,λ (fV ) = m−1 1

(16)



OM˜ ⊂ O,



puis en 

˜

OM˜ ,1 ∈ FibM1 (OM˜ ).

C1 (F )\C1 (AF ) M∈L(M ) 0 ˜



|W M ||W G |−1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj, OM ˜ ⊂O ˜

˜

G1 M1 ˜ M1 ,V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. JM (V, OM˜ ,1 , cV K 1 ˜ (A V 1

˜

M OM ˜ ,1 ∈Fib 1 (OM ˜)

˜ ss (F )/ conj. Il n’est pas difficile de voir en dévissant Fixons M ∈ L(M0 ) et OM˜ ∈ M ˜ les définitions que la définition (15) pour la distribution AM ˜ ) s’étend aux λ1 (V, OM intégrales orbitales pondérées. C’est-à-dire que l’on a ˜1 ˜ G M −1 JM (A (V, O ), f ⊗ dg) = m ˜ V λ1 ˜ ,λ M 1

1



˜1 ˜1 G V M JM (V, OM,1 ˜ ,c ˜ 1 (A

C1 (F )\C1 (AF ) ˜ M˜ 1 ,V ), φcV ⊗ K 1 V

dg1 )λ1 (c) dc.

˜

M OM ˜ ,1 ∈Fib 1 (OM ˜)

Alors, la relation (16) devient (5). Avec ces définitions, on obtient la formule ˜

(17)

G1 Jg´ eom,λ1 (fV )  ˜ ˜ = |W M ||W G |−1 ˜ ˜0) M∈L( M



˜

˜

G1 M1 JM ˜ ), fV ). ˜ ,λ (Aλ1 (V, OM 1

˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj

1

636

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Si S est un ensemble fini de places contenant V , on a une formule analogue ˜ ss (F )/ conj tel que ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et O ˜ ∈ M à 2.2(7). Plus précisément, pour M M OM˜ ⊂ O, on peut écrire  ˜1 ˜ ˜1 kλM11,i (OM˜ )VS ⊗ AM AM ˜) = ˜ )V , λ1 (S, OM λ1 ,i (OM i=1,...,n(OM ˜) ˜

˜

˜ 1 (F V ))⊗Mes(M (F V ))∗ et AM1 (O ˜ )V ∈ où, cette fois, kλM11,i (OM˜ )VS ∈ Dg´eom,λ1 (M S S M λ1 ,i ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . On note AG˜ 1 (O ˜ )V la distribution induite à Dorb,λ1 (M λ1 ,i

M

˜ 1 (FV ). On se rappelle la forme linéaire rG˜ (., K ˜ V ) sur Dg´eom,λ1 (M ˜ 1 (F V )) ⊗ G ˜ ,λ 1,S S M Mes(M (FVV ))∗ de 1.15. On a alors l’égalité  ˜ ˜ ˜ AλG11 (V, O) = |W M ||W G |−1 ˜ ˜ 0) M∈L( M



1

 ˜ OM ˜ ∈Mss (F )/ conj,OM ˜ ⊂O

˜1 ˜1 ˜ M G G V ˜V rM ˜ )S , K1,S )Aλ1 ,i (OM ˜ )V ˜ ,λ1 (kλ1 ,i (OM

.

i=1,...,n(OM ˜)

Il est utile d’obtenir une expression plus explicite pour la distribution ˜1 AG (V, O) dans le cas où V contient S(O), ce que l’on suppose dans ce qui suit. ˜1 λ On suppose aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(FV ) ˜ v (sinon, AG˜ 1 (V, O) est assez explicite d’après (6)). engendrée par O coupe K ˜1 λ ˜ 1 (F ) d’image O et γ˙ 1 ∈ O1 d’image Fixons γ˙ ∈ O, fixons une classe O1 ∈ G γ. On fixe ζ ∈ C1 (AVF ) tel que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par ˜ 1,v . On construit comme en 2.3 un élément G1 (Fv ) engendrée par O1 coupe ζv K V V V −1 V ˜ V et on définit le groupe compact hyper˙ ∈ K x ∈ G(AF ) tel que (x ) γx V V V V −1 V spécial Kγ˙ = x K (x ) ∩ Gγ˙ (AF ) de Gγ˙ (AVF ). Il s’en déduit un groupe hyperspécial KγV˙ 1 de G1,γ˙ 1 (AVF ), qui n’est autre que xV K1V (xV )−1 ∩ G1,γ˙ 1 (AVF ). La distribution AGγ˙ (V, KγV˙ ) est bien définie. Considérons la suite exacte 0 → c1 (FV ) → g1,γ˙ 1 (FV ) → gγ˙ (FV ) → 0. On peut la scinder : le scindage est canonique au-dessus de la partie semi-simple de gγ˙ (FV ), il suffit de la scinder au-dessus du centre de cette algèbre. Notons ιV : gγ˙ (FV ) → g1,γ˙ 1 (FV ) un tel scindage, qui est un homomorphisme d’algèbres de Lie. Soit UV un voisinage invariant de l’unité dans Gγ˙ (FV ), assez petit pour que l’exponentielle y soit définie. On définit un plongement iV : UV → G1,γ˙ 1 (FV ) de la façon suivante : pour x ∈ UV , on écrit x = exp(X) avec X ∈ gγ˙ (FV ) et on pose iV (x) = exp(ιV (X)). Ce plongement est équivariant pour l’action par conjugaison de Gγ˙ (FV ). Il est canonique sur l’intersection de UV avec la partie semi-simple de Gγ˙ (FV ), a fortiori sur les éléments unipotents. On fixe des mesures dgV sur ∞ ˜ 1 (FV )), posons fV = fV ⊗ dgV . Pour G(FV ) et dhV sur Gγ˙ (FV ). Soit fV ∈ Cc,λ (G 1 y ∞ y ∈ G(FV ), notons fV |Gγ˙ un élément de Cc (Gγ˙ (FV )) qui coîncide sur UV avec

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

637

la fonction x → fV (y −1 iV (x)γ˙ 1 y). Posons y fV |Gγ˙ = y f V |Gγ˙ ⊗ dhV . On définit une ˜ ˜ 1 (FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ par les formules : distribution AG1 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G λ1

˜ AλG11 (V, O)

˜ )ell ; = 0 si O ⊂ G(F ˜ – si O ⊂ G(F )ell , –

˜

˜

1 IλG11 (AG ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 λ1 (ζ) ˜ 1 (V, O), fV ) = [ZG (γ, λ Gγ˙ I Gγ˙ (Aunip (V, KγV˙ ), y f V |Gγ˙ ) dy

Gγ˙ (FV )\G(FV )

où la mesure dy est déduite des mesures dgV et dhV . Alors ˜

˜

G1 1 (18) on a l’égalité AG ˜ (V, O) = Aλ ˜ (V, O). λ 1

1

Preuve. La formule (14) donne (19)

˜

˜

−1 −1 1 ˜ V ), fV ⊗ dg1 ). IλG11 (AG d λ1 (ζ)I G1 (AG1 (V, O1 , ζ K 1 ˜ (V, O), fV ) = m λ ˜

˜

1

Rappelons que d est le nombre d’éléments du noyau de l’action de C1 (F ) sur ˜ FibG1 (O). On vérifie que d = [ZG (γ, F ) : Gγ (F )][ZG1 (γ1 , F ) : G1,γ1 (F )]−1 . ˜ ˜ 1V ) est définie On a S(O1 ) = S(O) par définition. La distribution AG1 (V, , O1 , ζ K par la formule (7) de 2.3. En particulier, elle est nulle si O1 n’est pas elliptique, ce qui équivaut à ce que O ne le soit pas. Supposons O elliptique. On fixe sur G1,γ˙ 1 (FV ) la mesure dh1,V déduite des mesures dhV sur Gγ˙ (FV ) et dz sur C1 (AF ) (cette dernière étant identifiée comme toujours à une mesure sur C1 (FV )). Notons que G1,γ˙ 1 (FV )\G1 (FV ) = Gγ˙ (FV )\G(FV ) et que la mesure sur ce quotient déduite de dg1,V et dh1,V coïncide avec celle déduite de dgV et dhV . Notons aussi que le terme [ZG1 (γ˙ 1 , F ) : G1,γ˙ 1 (F )] intervenant dans d va compenser le facteur intervenant dans 2.3(7). La conjonction de la formule (19) ci-dessus et de 2.3(7) donne ˜ ˜1 −1 [ZG (γ, ˙ F ) : Gγ˙ (F )]−1 λ1 (ζ) IλG11 (AG ˜ 1 (V, O), fV ) = m λ G1,γ˙ 1 I G1,γ˙ 1 (Aunip (V, KγV˙ 1 ), y f V |G1,γ˙ 1 ⊗ dh1,V ) dy. Gγ˙ (FV )\G(FV )

Pour démontrer (18), il suffit de prouver que, pour tout y, on a l’égalité 1,γ ˙1 γ ˙ m−1 I G1,γ1 (Aunip (V, KγV˙ 1 ), y f V |G1,γ˙ 1 ⊗dh1,V ) = I Gγ˙ (Aunip (V, KγV˙ ), y f V |Gγ ⊗dhV ).

G

G

Remarquons que la fonction y f V |Gγ coïncide dans UV avec y f V |G1,γ1 ◦iV . L’égalité à prouver résulte alors de (17) ci-dessous. 

638

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On va simplement reformuler cette égalité sous une forme plus générale. On ˜ et G ˜ 1 . On fixe comme considère C1 , G1 et G comme précédemment, en oubliant G plus haut des compacts qui se correspondent K1,v et Kv pour v ∈ Vram (G1 ) et des mesures dg, dc et dg1 . Soit V un ensemble fini de places contenant Vram (G1 ). Notons G1,unip (FV ) et Gunip (FV ) les ensembles d’éléments unipotents de G1 (FV ) et G(FV ). La projection G1,unip (FV ) → Gunip (FV ) est un isomorphisme. Notons iV son inverse. Soit f1,V ∈ Cc∞ (G1 (FV )) et fV ∈ Cc∞ (G(FV )). On suppose que fV = f1,V ◦ iV sur Gunip (FV ). Alors on a l’égalité (20)

1 mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 I G1 (AG unip (V ), f1,V ⊗ dg1,V )

= I G (AG unip (V ), fV ⊗ dgV ),

où les distributions unipotentes sont relatives aux compacts fixés. Preuve. Fixons un ensemble UV de représentants des classes de conjugaison par G(FV ) dans l’ensemble des éléments unipotents de ce groupe. Son image iV (UV ) dans G1 (FV ) est un ensemble analogue pour G1 (FV ). Pour tout u ∈ UV , fixons une mesure sur Gu (FV ), dont on déduit une mesure sur G1,iV (u) (FV ). Le membre de gauche ci-dessus est combinaison linéaire de termes f1,V (x−1 1 iV (u)x1 ) dx1 G1,iV (u) (FV )\G1 (FV )

pour u ∈ UV , où la mesure dx1 sur le quotient se déduit des mesures sur les deux groupes, tandis que celui de droite est combinaison linéaire de termes analogues fV (x−1 ux) dx. Gu (FV )\G(FV )

De la définition de fV se déduit que les deux intégrales ci-dessus sont égales. L’assertion (20) revient à dire que les coefficients des deux combinaisons linéaires sont égaux. On déduit aisément de cela que, pour un Levi M = G, si l’on suppose par récurrence (20) vrai pour M , cette assertion se généralise aux intégrales orbitales pondérées, c’est-à-dire que l’on a l’égalité G1 1 mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 JM (AM unip (V ), f1,V ⊗ dg1,V ) 1 G (AM = JM unip (V ), fV ⊗ dgV ).

En vertu de 2.2(1), l’égalité (20) résulte par récurrence de l’égalité que l’on prouvera ci-dessous (21)

G1 G (f1,V ⊗ dg1 ) = Junip (fV ⊗ dg). mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 Junip

Soit v ∈ V . Alors 1K1,v et 1Kv se correspondent comme fV et f1,V , c’est-àdire que leurs restrictions aux ensembles d’unipotents G1,unip (Fv ) et Gunip (Fv ) se

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

639

correspondent par la projection bijective du premier ensemble sur le second. En effet, pour g1 ∈ G1 (Fv ), g1 appartient à K1,v si et seulement s’il vérifie les deux conditions suivantes : – sa projection g dans G(Fv ) appartient à Kv ; – pour tout χ ∈ X ∗ (G1 )ΓFv (cf. preuve de (13)), on a |χ(g1 )|Fv = 1. La deuxième condition étant toujours réalisée pour g1 unipotent, l’assertion s’ensuit. Notons f1 = f1,V ⊗1K1V , f = fV ⊗1K V . Alors les restrictions des fonctions f1 et f aux éléments unipotents de G1 (AF ) et G(AF ) s’identifient encore. On voit alors que, pour tout g1 ∈ G1 (AF ), on a l’égalité G1 ,T G,T kunip (f1 , g1 ) = kunip (f, g), G1 ,T G,T où g est la projection de g1 . On construit Junip (f1 ), resp. Junip (f ), en intégrant cette fonction sur AG1 G1 (F )\G1 (AF ), resp. AG G(F )\G(AF ). Ces intégrales sont égales, au rapport des mesures près, et ce rapport est bien sûr mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )). En prenant ensuite la valeur de ces termes au point T = T0 , on obtient (17). Cela achève les preuves de (21) et (19). 

VI.2.6 Variante avec caractère central, suite On continue avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. On se donne d’autres données ˜2 → G ˜ 1 → C2 → G2 → G → 1, G λ2 vérifiant les mêmes hypothèses, munies de données complémentaires comme en 1.15. On suppose donné un caractère automorphe λ12 de G12 (AF ) tel que la restriction de λ12 à C1 (AF ) × C2 (AF ) soit λ1 × λ−1 2 . Soit V un ensemble fini de ˜12,V places de F contenant V12,ram . On a construit en 1.15 une fonction canonique λ ˜ sur G12 (FV ), dont on déduit un isomorphisme ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗  Dg´eom,λ2 (G ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ Dg´eom,λ1 (G qui se restreint en un isomorphisme ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗  Dorb,λ2 (G ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Dorb,λ1 (G ˜

˜

˜ ss (F )/ conj, les distributions AG1 (V, O) et AG2 (V, O) se Lemme. Pour tout O ∈ G λ1 λ2 correspondent par cet isomorphisme. Preuve. Considérons d’abord la situation du paragraphe précédent dans le cas ∞ ˜ 1 (AF )) s’identifie à C ∞ (G(A ˜ F )). Pour un (G particulier où λ1 = 1. Alors Cc,λ c 1 élément f de cet espace et une mesure dg sur G(AF ), on a défini deux termes ˜1 ˜ G G Jg´ eom (f ⊗ dg). Le premier en 2.3 en considérant f comme un eom,λ1 (f ⊗ dg) et Jg´

640

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

élément du premier espace, le second en 2.1 en considérant f comme un élément du second espace. En dévissant les définitions, on vérifie que ces deux termes sont ˜ ss (F )/ conj, les deux termes J G˜ 1 (f ⊗ dg) et égaux. Plus finement, pour O ∈ G O,λ1 ˜

G (f ⊗ dg) définis en 2.3 et 2.1 sont égaux. JO ˜ F )) et λ un caractère automorphe de G(AF ). D’autre part, soit f ∈ Cc∞ (G(A ˜ sur G(A ˜ F ) qui vaut 1 sur G(F ˜ ). On On en déduit comme en 1.15 une fonction λ vérifie immédiatement que l’on a l’égalité ˜ ˜ G G ˜ Jg´ eom ((f λ) ⊗ dg) = Jg´ eom (f ⊗ dg).

˜ ss (F )/ conj, on a l’égalité Plus finement, pour tout O ∈ G ˜ G ˜ ⊗ dg) = J G˜ (f ⊗ dg). ((f λ) JO O

Revenons maintenant à l’énoncé et fixons des mesures sur tous nos groupes. En considérant la relation 2.3(4), on voit que, par récurrence, il nous suffit de ∞ ˜ 1 (FV )) et f2,V ∈ C ∞ (G ˜ 2 (FV )) se correspondant prouver que, pour f1,V ∈ Cc,λ (G c,λ2 1 par l’isomorphisme ci-dessus, on a l’égalité ˜

˜

G1 G2 (f1,V ⊗ dg) = JO,λ (f2,V ⊗ dg). JO,λ 1 2

Posons fi = fi,V ⊗ 1K˜ V ,λi pour i = 1, 2. En vertu des définitions, ces fonctions se i correspondent par la relation ˜ 12 (γ1 , γ2 )f1 (γ1 ) f2 (γ2 ) = λ ˜ 12 (AF ). Et la relation à prouver est pour tous (γ1 , γ2 ) ∈ G ˜

˜

G1 G2 (f1 ⊗ dg) = JO,λ (f2 ⊗ dg). JO,λ 1 2

On s’est ainsi débarrassé de l’ensemble V . ˜ 1 (AF )) telle que Introduisons une fonction φ1 ∈ Cc∞ (G φc1 λ1 (c) dc. f1 = C1 (AF )

˜ 12 (AF ), invariante par le sousOn peut considérer φ1 comme une fonction sur G groupe C2 (AF ). En la considérant ainsi, on peut introduire une fonction φ12 ∈ ˜ 12 (AF )) telle que Cc∞ (G φc12 dc. φ1 = C2 (AF )

˜12 sur G ˜ 12 (AF ). Définissons une Notons φ21 le produit de φ12 et de la fonction λ fonction φ2 invariante par C1 (AF ) par φ2 = φc21 dc. C1 (AF )

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

641

˜ 2 (AF )). On vérifie qu’on a alors On peut la considérer comme un élément de Cc∞ (G l’égalité φc2 λ2 (c) dc.

f2 = C2 (AF )

Utilisons la formule 2.3(3) : ˜

G1 (f1 ⊗ dg) = m−1 JO,λ 1 1



 C1 (F )\C1 (AF ) O 1

˜

G1 JO (φc11 ⊗ dg1 )λ1 (c1 ) dc1 , 1

où m1 = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) et où la somme porte sur les O1 au-dessus de O. Pour chaque O1 , on utilise la première remarque ci-dessus. Elle entraîne que, pour tout c1 , on a l’égalité  G˜ ˜1 G c1 1,2 −1 JO (φ ⊗ dg ) = m JO12 (φc121 c2 ⊗ dg12 ) dc2 , 1 2 1 1 C2 (F )\C2 (AF ) O 12

˜ 12,ss (F )/conj où la signification de m2 est claire et où la somme porte sur les O12 ∈ G au-dessus de O1 . On obtient ˜1 G −1 −1 JO,λ1 (f1 ⊗ dg) = m1 m2  O12

C1 (F )\C1 (AF )×C2 (F )\C2 (AF ) ˜ 1,2 G JO12 (φc121 c2 ⊗ dg12 )λ1 (c1 ) dc1 dc2 ,

où cette fois, la somme porte sur les O12 au-dessus de O. On a une formule analogue en permutant les indices 1 et 2. Il nous suffit de fixer O12 au-dessus de O et de démontrer que, pour tous c1 , c2 , on a l’égalité ˜ G

˜ G

1,2 1,2 (φc121 c2 ⊗ dg12 )λ1 (c1 ) = JO12 (φc211 c2 ⊗ dg12 )λ2 (c2 ). JO12

Mais on voit que la fonction λ2 (c2 )φc211 c2 est le produit de λ1 (c1 )φc121 c2 et du ca˜12 de G ˜ 12 (AF ). L’égalité précédente résulte de la deuxième ractère automorphe λ remarque du début de la preuve. 

VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante On revient à la situation de 2.1. On fixe un ensemble fini V de places contenant ˜ ss (FV )/ conj l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples Vram . On note G ˜ V ), autrement dit l’ensemble des familles OV = (Ov )v∈V , où, par G(FV ) dans G(F pour tout v ∈ V , Ov est une classe de conjugaison semi-simple par G(Fv ) dans ˜ v ). Soit OV une telle famille. Pour O ∈ G ˜ ss (F )/ conj, la relation O ⊂ OV G(F signifie que la classe de conjugaison par G(FV ) engendrée par O est égale à OV . ˜ ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV ))∗ par la formule On définit un élément AG (OV , ω) ∈ Dorb (G(F  ˜ ˜ AG (OV , ω) = AG (V, O, ω). ˜ ss (F )/ conj,O⊂OV O∈G

642

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Notons que les O qui contribuent vérifient non seulement O ⊂ OV , mais aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par O coupe ˜ v , cf. 2.2(3). Il n’y en a qu’un nombre fini d’après le lemme 2.1. Pour f ∈ K ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), la formule 2.2(8) se récrit Cc∞ (G(F   ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G G M (1) Jg´ |W M ||W G |−1 JM ˜ (A (OV , ω), fV ). eom (f , ω) = ˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

˜ ˜0) M∈L( M

˜ V) Toutes les distributions intervenant sont à support dans l’ensemble des γ ∈ G(F ˜ ˜ (γ) = 0. Elles se prolongent donc à tout C ∞ ˜ V ))⊗Mes(G(FV )) tels que H ( G(F ac,glob G et l’égalité ci-dessus reste vraie sur cet espace. ˜ G En utilisant le lemme 1.7, on définit une distribution f → Ig´ eom (f , ω) sur ∞ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) par la formule de récurrence (G(F Cac,glob  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ G G L (2) Ig´ |W L ||W G |−1 Ig´ ˜ (f ), ω). eom, (f , ω) = Jg´ eom (f , ω) − eom (φL ˜ ˜ 0 ),L ˜ =G ˜ L∈L( M

En [8] paragraphe 2, Arthur montre que c’est une distribution ω-équivariante (cette propriété est comme toujours supposée par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens). Elle se factorise donc en une forme linéaire sur ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). Soulignons que cette distribution dépend impliIac,glob (G(F ˜ v pour v ∈ V . citement des K ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité Proposition. Pour f ∈ Cc∞ (G(F 

˜

G Ig´ eom (f , ω) =

|W M ||W G |−1 ˜

˜



˜

˜

G M IM ˜ (A (OV , ω), f ).

˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

˜ ˜0) M∈L( M

La somme est en fait finie. Preuve. On démontre plus généralement la formule de l’énoncé pour ∞ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ Cac,glob (G(F ˜

L En raisonnant par récurrence, on exprime les termes Ig´ ˜ (f ), ω) qui intereom (φL viennent dans la relation (2) par la formule de l’énoncé. On exprime le terme ˜ G Jg´ eom (f , ω) par la formule (1). En regroupant les termes, on obtient   ˜ ˜ ˜ G Ig´ |W M ||W G |−1 eom (f , ω) = ˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜ ˜ G M JM ˜ (A (OV

˜ ss (FV )/ conj O V ∈M

, ω), f ) −



˜ ˜ L M IM ˜ (A (OV

 , ω), φL˜ (f )) .

˜ ˜ L ˜ =G ˜ L∈L( M), ˜

˜

G M La dernière somme intérieure est par définition IM ˜ (A (OV , ω), f ) et on obtient la formule de l’énoncé. 

VI.2. La partie géométrique de la formule des traces

643

VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante, variante avec caractère central Dans la situation de 2.3, pour un ensemble fini V de places contenant V1,ram , ˜1 G ∞ ˜ on peut rendre invariante la distribution fV → Jg´ eom,λ1 (fV ) sur Cc,λ1 (G1 (FV )) ⊗ ∗ Mes(G(FV )) par le même procédé qu’au paragraphe précédent. En adaptant les définitions de façon plus ou moins évidente, on obtient la formule ˜

(1)

G1 Ig´ eom,λ1 (fV )  ˜ ˜ = |W M ||W G |−1



˜

˜

G1 M1 IM ˜ ,λ (Aλ1 (V, O), fV ). 1

1

˜ ss (FV )/ conj O∈M

˜ ˜0) M∈L( M

˜ ss (FV )/ conj, la distribution AG˜ 1 (V, O) est Remarquons que, pour O ∈ G λ1 donnée par une formule similaire à 2.3(11), à savoir avec les notations de ce paragraphe : ˜

−1 IλG11 (AG λ1 (V, O), fV ) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))

(2)

˜



I

˜1 G

˜1 G

(A

C1 (F )\C1 (AF )

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, O1 , c K 1 V V

˜

O1 ∈FibG1 (O)

˜ 1,ss (FV )/ conj qui se projettent La somme intérieure porte sur les éléments de G sur O. Cet ensemble n’est pas dénombrable, mais seuls un nombre fini de termes sont non nuls. Dans la situation de 2.6, on a un résultat similaire à celui du lemme de ce paragraphe : ˜

˜

G1 G2 (3) les distributions Ig´ eom,λ1 et Ig´ eom,λ2 définies sur ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ (G Cc,λ 1

∞ ˜ 2 (FV )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ et Cc,λ (G 2

se correspondent par l’isomorphisme défini en 2.6 entre ces espaces.

VI.2.9 Variante pour les K-espaces Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit V un ensemble fini de places conte˜ V ), ω), on pose nant Vram . Pour f = ⊕p∈Π fp ∈ I(K G(F ˜

KG Igeom (f , ω) =

 p∈Π

˜

Gp Igeom (fp , ω).

644

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜ G

p Par simple sommation sur p du développement de Igeom (fp , ω) fourni par la proposition 2.7, on obtient  ˜ ˜ ˜ KG |W K M ||W K G |−1 Ig´ eom (f , ω) =

˜ ˜ 0) K M∈L(K M



˜

˜

KG KM IK (OV , ω), f ). ˜ (A M

˜ ss (FV )/ conj OV ∈K M

˜ ∈ L(K M ˜ 0) Donnons quelques explications sur les notations. Un élément K M M ˜ est une famille (Mp )p∈ΠM où Π est un sous-ensemble de Π et, pour tout p ∈ ˜ p est un espace de Levi de G ˜ p (ces espaces doivent vérifier des condiΠM , M ˜ ss (FV )/ conj est un élément tions de cohérence, cf. 1.17). Un élément OV ∈ K M ˜ M ˜ de Mp,ss (FV )/ conj pour un certain p ∈ Π . Par définition, AK M (OV , ω) = ˜ AMp (OV , ω) et ˜

˜

˜ G

˜

KG KM (OV , ω), f ) = IM˜p (AMp (OV , ω), fp ). IK ˜ (A M p

VI.3 Endoscopie VI.3.1 Données endoscopiques ˜ a) est un triplet G = (G , G  , s˜) vérifiant les Une donnée endoscopique de (G, G, mêmes conditions que dans le cas local (cf. [I] 1.5), à l’unique différence suivante ˆ tel que : près. On suppose qu’il existe un cocycle a : WF → Z(G) – pour tout (g, w) ∈ G  , on ait l’égalité ads˜(g, w) = (a(w)g, w) ; ˆ ker1 (WF , Z(G)) ˆ est égal à a. – l’image de a dans H 1 (WF , , Z(G))/ La notion d’équivalence de données endoscopiques est la même que dans le cas local. Pour une donnée endoscopique G comme ci-dessus, on définit l’espace ˜  = G ×Z(G) Z(G) ˜ comme en [I] 1.7 (l’ensemble Z(G) ˜ a une endoscopique G structure sur F ). On note Vram (G ) la réunion de Vram et de l’ensemble des places v où Gv est ramifié (on rappelle que, pour v ∈ Vram , on dit que Gv est non ramifié si le groupe d’inertie Iv ⊂ WFv est contenu dans Gv ). On dit que G est relevante si elle vérifie les deux conditions ˜  (F ) = ∅ ; • G • pour tout v ∈ Val(F ), la donnée Gv est relevante.

˜  (F ) qui soit Attention. Il ne s’ensuit pas de ces conditions qu’il existe δ ∈ G ˜ ˜ v ). G-régulier et tel qu’en toute place v, δ corresponde à un élément γv ∈ G(F ˜ a) est quasi-déployé et à La situation se simplifie toutefois dans le cas où (G, G, torsion intérieure, d’après le lemme suivant.

VI.3. Endoscopie

645

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons Lemme. Supposons (G, G, ˜  (F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments G-réguliers ˜ ˜  (F ) n’est pas vide G de G ˜ reg (F ) qui correspond à δ. et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe γ ∈ G La preuve est la même que dans le cas local, cf. [I] lemme 1.9. ˜  (F ) soit vide. Par exemple, soient d ∈ F × , G = SL(2), Remarque. Il se peut que G ˜ G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E de F , il y a une donnée endoscopique G telle que G (F ) est le groupe des éléments ˜  (F ) est l’ensemble des éléments de E de norme d. On de E de norme 1. Alors G peut trouver choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide. ˆ ˆ  )ΓF ,0 = Z(G) ˆ ΓF ,θ,0 Comme dans le cas local, on dit que G est elliptique si Z(G .    On fixe une paire parabolique (P0 , M0 ) de G , définie sur F et minimale. Pour tout v ∈ Vram (G ), supposons fixé un sous-groupe compact hyperspécial Kv de G (Fv ) vérifiant des conditions analogues à celles de 1.1. D’après [I] 6.2, l’espace ˜ v détermine un espace hyperspécial K ˜ v dans G ˜  (Fv ) associé à Kv . Ces ensembles K vérifient encore la condition de compatibilité globale précédente.

VI.3.2 Plongements de tores et ramification Soient Tˆ un tore complexe et E une extension galoisienne finie de F . On suppose Tˆ muni d’une action algébrique de Gal(E/F ). Introduisons le groupe de Weil relatif WE/F . C’est un quotient de WF et il s’insère dans une suite exacte 1 → E × \A× E → WE/F → Gal(E/F ) → 1, cf. [75] paragraphe 1. Notons IFE le sous-groupe distingué de WF engendré par les images des groupes d’inertie Iv ⊂ WF pour toutes les places finies v de F non image dans WE/F . Le groupe IE/F est aussi ramifiées dans E et notons IE/F son  l’image dans WE/F du sous-groupe w o× w , où le produit est pris sur les places finies w de E au-dessus d’une telle place v de F et où o× w est le groupe des unités × de Ew . Soit a un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans Tˆ, que l’on relève en un 2-cocycle de WE/F dans Tˆ. Alors (1) il existe une cochaîne continue b : WE/F → Tˆ , biinvariante par IE/F , telle que a soit le bord de b. Preuve. Langlands prouve qu’il existe une cochaîne continue b : WE/F → Tˆ telle que a soit le bord de b ([56] lemme 4). Munissons le groupe compact IE/F de la mesure de Haar de masse totale 1. Pour w ∈ WE/F , posons b(w) = IE/F

b (iw) di.

646

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

C’est une cochaîne continue et invariante à gauche par IE/F , donc aussi à droite puisque IE/F est distingué. Pour w1 , w2 ∈ WE/F , on a l’égalité a(w1 , w2 )b (w1 w2 ) = b (w1 )w1 (b (w2 )). Soient i1 , i2 ∈ IE/F . Remplaçons w1 par i1 w1 et w2 par i2 w2 . Puisque les images de i1 et i2 dans Gal(E/F ) sont triviales, on obtient a(w1 , w2 )b (i3 w1 w2 ) = b (i1 w1 )w1 (b (i2 w2 )), où i3 = i1 w1 i2 w1−1 . En intégrant cette égalité en i1 et i2 , on obtient a(w1 , w2 )b(w1 w2 ) = b(w1 )w1 (b(w2 )), 

c’est-à-dire que a est le bord de b.

Soient E une extension galoisienne finie de F et Tˆi , pour i = 1, 2, 3, des tores complexes munis d’actions de ΓE/F . On suppose donnée une suite exacte 1 → Tˆ1 → Tˆ2 → Tˆ3 → 1 équivariante pour ces actions. Soit U un sous-groupe de IFE . On a (2) pour tout cocycle continu b3 : WF → Tˆ3 biinvariant par U , il existe un cocycle continu b2 : WF → Tˆ2 , biinvariant par U , dont l’image par composition avec l’homomorphisme Tˆ2 → Tˆ3 soit égale à b3 . Preuve. D’après la preuve de [56] lemme 4, il existe un cocycle b2 : WF → Tˆ2 dont l’image par composition avec l’homomorphisme Tˆ2 → Tˆ3 soit égale à b3 . On peut fixer une extension galoisienne finie E  de E telle que b2 et b3 se factorisent par WE  /F . Notons U  la clôture de l’image de U dans WE  /F et munissons ce groupe compact de la mesure de Haar de masse totale 1. Le cocycle b3 est encore biinvariant par U  . Pour w ∈ WE  /F , posons b2 (iw) di. b2 (w) = U

Le même calcul que ci-dessus montre que b2 est encore un cocycle. Son relèvement en un cocycle sur WF est biinvariant par U . Puisque b3 est biinvariant par U  , b2 vérifie comme b2 la dernière condition de l’assertion.  Remarque. Les deux propriétés ci-dessus ont été prouvées de façon différente par Arthur ([18], preuve du lemme 7.1). ˜ a) et S  un sousSoient G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, tore maximal de G défini sur F . Fixons comme en [I] 1.5 une paire de Borel ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ conservée par ads˜. On note θˆ l’automorphisme épinglée Eˆ = (B, déterminé par cette paire et on adapte l’action galoisienne de sorte que Eˆ soit

VI.3. Endoscopie

647

ˆ ˆ  , Tˆ  ) = (B ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 conservée par la nouvelle action. La paire de Borel (B ) se ˆ   ˆ complète en une paire de Borel épinglée de G . Le tore dual de S s’identifie à Tˆθ,0 muni de l’action galoisienne σ → ωS  ,G (σ) ◦ σ, où ωS  ,G est un cocycle à valeurs dans W θ . On note Sˆ ce tore muni de cette action galoisienne.

ˆ ⊂ G  se prolonge en un plongement L S  → G  ⊂ Lemme. Le plongement Sˆ ⊂ G L G de sorte que, pour toute place v ∈ Val(F ) telle que v ∈ Vram (G ) et S  soit non ramifié en v, l’image d’un élément w du groupe d’inertie Iv soit (1, w) ∈ L G. Preuve. Notons V la réunion de Vram (G ) et de l’ensemble des places au-dessus ˆ ˆ1 = G ˆ θ,0 ˆ 1  WF ⊂ L G. On et L G1 = G desquelles S  est ramifié. Posons G commence par prouver que ˆ 1 se prolonge en un plongement L S  → L G1 qui possède (3) le plongement Sˆ ⊂ G les propriétés de l’énoncé. Notons E l’extension galoisienne finie de F telle que ΓE soit l’intersection ˆ et sur Sˆ . Cette extension n’est pas ramifiée des noyaux des actions de ΓF sur G au-dessus des places hors de V . Le cocycle ωS  ,G se factorise par Gal(E/F ). Tout ˆ 1 , on peut fixer une application b : Gal(E/F ) → élément de W θ se relevant dans G 1 ˆ de sorte que b(σ) soit un relèvement de ωS  ,G (σ) pour tout σ ∈ Gal(E/F ). Le G cobord db(σ, σ  ) = b(σ)σ(b(σ  ))b(σσ  )−1 est un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans Sˆ . D’après (1), on peut fixer une cochaîne continue μ : WF → Sˆ telle que μ(Iv ) = 1 pour tout v ∈ V et dμ = db. Alors le plongement L  L 1 S → G (t, w) → (tμ(w)−1 b(w), w) satisfait les conditions requises (on a relevé b en une application définie sur WF via la projection WF → Gal(E/F )). Cela prouve (3). On fixe un plongement (t, w) → (tg 1 (w), w) vérifiant (3). Rappelons que, pour tout w ∈ WF , il existe gw = (g(w), w) ∈ G  tel que adgw préserve la paire ˆ  que l’on a fixée plus haut. L’élément g(w) normalise Tˆ, son image épinglée de G ωG (w) dans W est fixe par θ. Pour tout w ∈ WF , on a une égalité ωS  ,G (w) =  ωS  ,G (w)ωG (w), où ωS  ,G (w) ∈ W G . Il en résulte que, pour tout w, on peut choisir (x(w), w) ∈ G  tel que x(w) normalise Tˆ et que son image dans W soit ωS  ,G (w). Notons que x(w) est bien déterminé à multiplication à gauche près par un élément de Sˆ . Il existe t(w) ∈ Tˆ tel que x(w) = t(w)g 1 (w). L’image d(w) de t(w) dans Tˆ /Sˆ est uniquement déterminée. Montrons que l’application d : WF → Tˆ /Sˆ est continue. Il suffit de montrer que, pour tout w0 , on peut choisir x(w) continu au voisinage de w0 . Par hypothèse, on peut choisir une section continue w → sw de la projection G  → WF . En général, l’élément sw ne conserve ˆ  , Tˆ  ). Mais la paire sw (B ˆ  , Tˆ  ) varie continuement en w. Dans pas la paire (B un voisinage de w0 , on peut donc fixer une application continue w → h(w) à

648

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ  de sorte que adh(w) adsw (B ˆ  , Tˆ  ) = ωS  ,G (w)(B ˆ  , Tˆ  ). En posant valeurs dans G h(w)sw = (x(w), w), l’application x ainsi définie au voisinage de w0 convient. Cela prouve la continuité de d. On peut munir le tore Tˆ de l’action galoisienne σ → ωS  ,G (σ) ◦ σ. Notons Sˆ ce tore muni de cette action. On peut considérer d ˆ Sˆ . On vérifie qu’alors, c’est un cocycle. comme une application à valeurs dans S/ De plus, pour v ∈ V , d est triviale sur Iv . En effet, pour w ∈ Iv , on a g 1 (w) = 1 et l’hypothèse v ∈ Vram (G ) nous permet de choisir x(w) = 1, d’où d(w) = 1. On considère la suite exacte ˆ Sˆ → 1 1 → Sˆ → Sˆ → S/ D’après (2), on peut relever d en un cocycle e : WF → Sˆ tel que, pour tout v ∈ V , e soit trivial sur Iv . Fixons un tel cocycle. Pour tout w ∈ WF , posons y(w) = e(w)g 1 (w). Alors (y(w), w) appartient à G  . L’application S (t, w) L

→ G  → (te(w), w) 

vérifie les conditions du lemme.

VI.3.3 Données auxiliaires ˜ a). On suppose G ˜  (F ) = ∅. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G,  ˜ ˆ La notion de données auxiliaires G1 , G1 , C1 , ξ1 se définit comme dans le cas local ([I] 2.1). A de telles données est associé un caractère λ1 de C1 (AF ) et un caractère  λ+ G1 de G1 (AF ), à valeurs réelles positives (cf. [I] 7.1). Ces deux caractères sont automorphes, c’est-à-dire triviaux respectivement sur C1 (F ) et G1 (F ). On dit que les données auxiliaires sont unitaires si λ+ G est trivial. 1

Lemme. On peut choisir de telles données auxiliaires unitaires de sorte que, pour v ∈ Vram (G ), le groupe G1,v soit non ramifié, le plongement ξˆ1,v soit l’identité sur Iv et λ1 soit non ramifié en v. Remarque. C’est le lemme 7.1 de [18]. Nous reprenons la démonstration car Arthur formule les conditions de non-ramification un peu différemment de nous. ˆ conservée par l’action galoiPreuve. Fixons une paire de Borel épinglée Eˆ de G ˆ Notons (B, ˆ Tˆ ) la paire de Borel soussienne. Il s’en déduit un automorphisme θ. ˆ = B ˆ ∩G ˆ , ˆ On peut supposer que ads˜ conserve cette paire. Posons B jacente à E. ˆ ˆ  et on peut supposer qu’elle est conservée Tˆ  = Tˆθ,0 . C’est une paire de Borel de G par l’action galoisienne σ → σG . Posons ˆ  = (G ˆ  × Tˆ  )/ diag(Z(G ˆ  )). G 1 Ce groupe est à centre connexe (isomorphe à Tˆ ) et s’insère dans une extension  ˆ → G ˆ 1 → Tˆad 1→G → 1.

VI.3. Endoscopie

649

 ˆ 1 vérifie les conditions requises pour appliquer le Le tore Tˆad est induit. Alors G ˆ  se prolonge en un plongement τˆ : ˆ → G lemme 2.2.A de [48] : l’inclusion G 1  L  ˆ 1 est non ramifiée hors de G → G1 . Remarquons que l’action galoisienne sur G Vram (G ). Appliquons le lemme 3.2 au tore Tˆ  . Soit ˆι : L T  → G  un plongement vérifiant les propriétés de ce lemme. Pour w ∈ WF , posons τˆ◦ˆι(w) = (x(w), w). Cet élément agit comme w sur Tˆ  , donc x(w) appartient au commutant Tˆ1 de Tˆ  dans ˆ  . L’application w → x(w) est un cocycle de WF dans Tˆ1 . Pour v ∈ Vram (G ) G 1 ˆ  . Donc (x(w), w) et w ∈ Iv , on a ˆι(w) = (1, w) ∈ L G, donc ˆι(w) commute à G ˆ 1 ). Notons t3 le ˆ  . Il en résulte que x(w) ∈ Z(G puis x(w) commutent aussi à G ˆ  ). Alors t3 est un cocycle trivial composé de x et de la projection Tˆ1 → Tˆ1 /Z(G 1 ˆ 1 ) est connexe, on peut appliquer sur Iv pour tout v ∈ Vram (G ). Puisque Z(G 3.2(2) (on prend pour E la plus petite extension sur laquelle Tˆ  est déployée et pour U le sous-groupe de WF engendré par les Iv pour v ∈ Vram (G )). Il existe donc un cocycle t2 : WF → Tˆ1 relevant t3 et non ramifié hors de Vram (G ). Pour ˆ  ). w ∈ WF , posons ζ(w) = x(w)−1 t2 (w). Alors ζ est un cocycle à valeurs dans Z(G 1 Remplaçons le plongement τˆ par ξˆ1 défini par

ξˆ1 (g, w) = ζ(w)ˆ τ (g, w) pour tout (g, w) ∈ G  . On a alors ξˆ1 ◦ ˆι(w) = (t2 (w), w) pour tout w ∈ WF . Pour v ∈ Vram (G ) et w ∈ Iv , on a ˆι(w) = w et t2 (w) = 1, donc ξˆ1 (w) = w. C’est-à-dire que ξˆ1 est l’identité sur Iv . On prend pour G1 le groupe quasi-déployé ˆ  est le groupe dual. Alors les deux premières conditions du lemme sur F dont G 1 sont satisfaites. La condition de non-ramification de λ1 résulte formellement de ces deux premières conditions. ˜ 1 ne pose pas de problème. On fixe γ ∈ La définition d’un espace tordu G  ˜ (F ). L’automorphisme adγ se relève en un automorphisme θ1 de G qui est G 1 ˜ 1 le sous-ensemble G1 × {θ1 } du produit semi-direct défini sur F . On prend pour G ˜ → G ˜  est définie en de G1 avec son groupe d’automorphismes. La projection G 1 envoyant θ1 sur γ. Les données auxiliaires que l’on vient de construire ne sont pas forcément unitaires. Mais cette condition est facile à assurer. Soit b+ un cocycle de WF ˆ  ) auquel est associé le caractère λ+ . Parce que λ+ est à valeurs réelles dans Z(G 1 G1 G1 positives, on peut choisir b+ à valeurs dans la partie réelle positive du tore complexe ˆ  )ΓF ,0 (cf. [I] 7.1). Alors b+ est unique, c’est un caractère et il est non ramifié Z(G 1  en toute place finie. On définit le plongement ξˆ1 : G  → L G1 par ξˆ1 (g, w) = b+ (w)−1 ξˆ1 (g, w). Les données G1 ,. . ., ξˆ1 vérifient encore les conditions requises de non-ramification et sont de plus unitaires.  Dans la suite, toutes les données auxiliaires seront supposées unitaires sans qu’il soit besoin de l’indiquer. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). Soient G1 etc. . . des données auxiliaires telles que les conditions de l’énoncé soient satisfaites pour v ∈ V . Pour v ∈ V , le sous-groupe hyperspécial

650

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

 Kv de G (Fv ) détermine un tel sous-groupe K1,v de G1 (Fv ). On fixe un sous˜  de G ˜  (Fv ) au-dessus de K ˜  . On suppose que ces sousespace hyperspécial K 1,v 1 v espaces vérifient la même condition de compatibilité globale qu’en 1.1. On adjoint cette famille de sous-espaces hyperspéciaux aux données auxiliaires et on appelle ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V . données auxiliaires non ramifiées hors de V les données G1 , G 1 1,v  Si V est un autre ensemble fini de places contenant V , des données auxiliaires non ramifiées hors de V se restreignent en des données non ramifiées hors de V  ˜  pour v ∈ V  − V . en oubliant les K 1,v Considérons deux séries de données auxiliaires G1 etc. . . et G2 etc. . . non ramifiées hors de V . On définit comme en [I] 2.5 le produit fibré G12 de G1 et ˜  . Toujours comme en [I] 2.5, G2 au-dessus de G et le produit fibré analogue G 12 on définit un caractère λ12 qui est cette fois un caractère de G12 (A) trivial sur  pour v ∈ V . G12 (F ). Il est non ramifié hors de V , donc trivial sur K1,v ˜ ˜12,v sur ˜  (AF ), λ Comme en 1.15, on déduit de λ12 des fonctions λ12 sur G 12   ˜ ˜ ˜ G12 (Fv ) pour v ∈ V et λ12,V sur G12 (FV ). Cette dernière fonction permet de ∞ ˜  (FV )) et C ∞ (G ˜  (FV )) : à f1 ∈ C ∞ (G ˜  (FV )), on (G recoller les espaces Cc,λ 1 2 1 c,λ1 c,λ1 1 ∞ ˜ 12,V (δ1 , δ2 )f1 (δ1 ) où δ1 est n’im˜ 2 (FV )) telle que f2 (δ2 ) = λ associe f2 ∈ Cc,λ ( G 1 ˜  (FV ) tel que (δ1 , δ2 ) ∈ G ˜  (FV ). Ce recollement vérifie porte quel élément de G 1 12 une propriété de transitivité évidente qui permet de définir un espace Cc∞ (GV ) ∞  ˜ 1 (FV )) sur les données G1 ,. . .,(K ˜ 1,v comme la limite inductive des Cc,λ (G )v∈V 1 non ramifiées hors de V , les applications de transition étant celles que l’on vient de définir. Cette définition pose le même problème logique que dans le cas local, que l’on peut lever comme dans ce cas, cf. [I] 2.5. On définit de même les espaces I(GV ) et SI(GV ). De nouveau, si V  est un ensemble fini de places contenant V , les espaces Cc∞ (GV ) etc. . . s’identifient à des sous-espaces de Cc∞ (GV  ) etc. . .

VI.3.4 Levi ˜ et groupes de Les relations entre données endoscopiques d’espaces de Levi de G ˜ a) sont essentiellement les mêmes dans Levi de données endoscopiques de (G, G, le cas global que dans le cas local, cf. [I] paragraphes 3.2, 3.3 et 3.4. Signalons ˜ un espace de Levi de G. ˜ On l’analogue global de la relation 3.2(2) de [I]. Soit M ˆ comme Levi standard de G ˆ comme dans cette référence. Alors l’homoréalise M morphisme ˆ ker1 (WF , Z(G)) ˆ → H 1 (WF , Z(M ˆ ))/ ker1 (WF , Z(M ˆ )) H 1 (WF , Z(G))/ est injectif ([15], lemme 2). ˜ a). On suppose Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, ˜  (F ) = ∅. Soit M  un Levi de G contenant M  , dont on déduit un espace G 0 ˜  . Puisque G ˜  est à torsion intérieure, M ˜  est l’ensemble des γ ∈ G ˜ tels de Levi M qu’il existe m ∈ M de sorte que adγ = adm . Pour une place v ∈ Vram (G ), on  définit le sous-groupe hyperspécial KvM = M  (Fv ) ∩ Kv et l’espace hyperspécial

VI.3. Endoscopie

651

˜ vM  = M ˜  (Fv ) ∩ K ˜ v . On construit comme en [I] 3.4 un sous-groupe M ⊂ G  qui K ˆ  par WF . On pose M = (M  , M , s˜). Il peut exister un est une extension de M ˜ de G ˜ de sorte que M s’identifie à une donnée endoscopique espace de Levi M ˜ , aM ). Mais, comme dans le cas local, un tel espace de Levi n’existe pas de (M, M toujours. Toutefois, indépendamment de l’existence d’un tel espace, pour un ensemble fini de places V contenant Vram (G ), on peut définir des espaces Cc∞ (MV ), ˜ pour définir la I(MV ) etc. . . En effet, on n’a pas besoin qu’il existe un espace M notion de données auxiliaires de M non ramifiées hors de V ni pour définir des ˜12 . Et cela suffit pour définir les espaces précédents. fonctions de recollement λ  ˜  . On doit fixer une mesure sur A ˜  (qui est ˜ un espace de Levi de G Soit M M ˜  est intérieure). Comme on vient de d’ailleurs égal à AM  puisque la torsion sur G ˜ . Dans le cas où M ˜ ˜  peut correspondre ou non à un espace de Levi M le dire, M ˜ ne correspond à aucun espace de Levi M , la mesure sur AM˜  ne nous importera ˜  correspond à un espace de pas, on la choisit arbitrairement. Dans le cas où M ˜ Levi M , on a un isomorphisme naturel AM˜   AM˜ et on choisit la mesure sur le premier espace qui correspond par cet isomorphisme à celle fixée sur le second. ˜ n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais notre définition L’espace de Levi M est insensible à une telle conjugaison.

VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante pour une donnée endoscopique ˜ a). On suppose G ˜  (F ) = ∅. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G,  Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). Fixons des données ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V non ramifiées hors de V . On construit comme auxiliaires G1 , G 1 1,v ˜ G ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV )). Pour en 2.8 une distribution fV → I 1 (fV ) sur C ∞ (G c,λ1

g´ eom,λ1



˜  (F )/ conj, on construit une distribution AG˜ 1 (V, O) ∈ Dorb,λ1 (G ˜  (FV )) ⊗ O∈G ss 1 λ1  ∗ Mes(G (FV )) . Si on change de données auxiliaires, le lemme 2.6 et la relation 2.8(3) disent que ces distributions se recollent selon l’isomorphisme défini au paragraphe précédent. On peut donc les considérer comme des distributions sur G G les espaces Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV )). On les note alors Ig´ eom et A (V, O). Soit M  ∈ L(M0 ). Notons M = (M  , M , s˜) la donnée introduite dans le paragraphe précédent. On a une forme bilinéaire sur ∞ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ ) × (Cc,λ ˜ 1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV ))) (Dorb,λ1 (M (G 1 ˜ G

qui, à (γ V , fV ), associe IM˜1 ,λ (γ V , fV ). Comme ci-dessus, quand on change de don1 1 nées auxiliaires, ces formes linéaires se recollent. On obtient une forme bilinéaire 

G (γ V , fV ) → IM  (γ V , fV )

sur

(Dorb (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ ) × (Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV ))).

652

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Il résulte de 2.8(1) que l’on a l’égalité 

G Ig´ eom (fV ) =



˜

˜

|W M ||W G |−1

˜  ∈L(M ˜ ) M 0







G M IM (V, O), fV )  (A

˜  (FV )/ conj O∈M ss

pour tout fV ∈ Cc∞ (GV ) ⊗ Mes(G (FV )).

VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier ˜ a). Rappelons Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, ˜  est à torsion intérieure, à tout tore maximal T  de G défini sur F que, puisque G ˜  qui commutent est associé un unique tore tordu T˜  , à savoir l’ensemble des δ ∈ G   à tout élément de T . On peut toutefois avoir T˜ (F ) = ∅. On impose dans ce paragraphe l’hypothèse (Hyp). Il existe un sous-tore maximal T  de G , défini sur F , de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) avec δv ∈ T˜ (Fv ). Fixons un tel tore T  . On fixe pour tout v ∈ Val(F ) un couple (δv , γv ) ∈ avec δv ∈ T˜  (Fv ). Nous allons imposer à ces couples des conditions de «non-ramification». On impose d’abord ˜ v et γv ∈ K ˜ v pour presque tout v. (1) δv ∈ K D(Gv )

Considérons une place finie v. Fixons une paire de Borel épinglée Ev = (Bv , Tv , (Eα )α∈Δ ) de G telle que (Bv , Tv ) soit conservée par adγv . Ecrivons γv = ˜ E) et tv ∈ Tv . Rappelons que l’on note Σ(Tv ) l’ensemble des tv ev avec ev ∈ Z(G, racines de Tv dans g, Fvnr la plus grande extension non ramifiée de Fv , onr v son le groupe des unités. Notons aussi F le corps résiduel anneau d’entiers et onr,× v v ¯ v sa clôture algébrique, qui est aussi le corps résiduel de onr . Avec ces de ov et F v notations, on impose (2) pour presque toute place finie v et pour tout α ∈ Σ(Tv ), on a (N α)(tv ) ∈ ¯ v est différente de ±1. et la réduction de (N α)(tv ) dans F onr,× v Cette condition ne dépend pas des choix de Ev et de ev . En effet, on ne peut changer ev qu’en le multipliant par un élément de Z(G). Cela multiplie tv par l’inverse de cet élément, ce qui ne change pas les (N α)(tv ). Remplaçons Ev par une autre paire de Borel épinglée Ev dont la paire de Borel sous-jacente est conservée par adγv . Le tore Tv reste le même : puisque γv est fortement régulier, c’est le commutant de Gγv dans G. Soit x ∈ G tel que adx (Ev ) = Ev . Alors adx conserve Tv . D’après [I] 1.3(2), l’image de x dans W (identifié au groupe de Weyl de G pour Tv ) est invariante par θ = adev . Un tel élément se relève dans le groupe Gev . On peut donc écrire x = τ y avec τ ∈ Tv et y ∈ Gev . Alors ˜ E  ). On peut prendre pour décomposition ev = adτ (ev ) = (1 − θ)(τ )ev ∈ Z(G, v     relative à Ev l’égalité γv = tv ev où tv = (θ − 1)(τ )tv . Puisque (N α)((θ − 1)(τ )) = 1, on voit que la condition (2) ne change pas.

VI.3. Endoscopie

653

Nous montrerons plus loin qu’il existe des familles (δv )v∈Val(F )

et (γv )v∈Val(F )

vérifiant les deux conditions (1) et (2) ci-dessus. Fixons un ensemble fini V de places de F contenant Vram (G ), ainsi que des ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V , non ramifiées hors de V . On fixe données auxiliaires G1 , G 1 1,v  ˜ 1 (Fv ) de δv . La condition (1) permet d’imposer pour tout v un relèvement δ1,v ∈ G ˜  pour presque tout v. que δ1,v ∈ K 1,v Posons δ1 = (δ1,v )v∈Val(F ) , δ = (δv )v∈Val(F ) , γ = (γv )v∈Val(F ) . Ce sont des ˜  (AF ), G(A ˜ F ). Nous allons définir un facteur de trans˜ 1 (AF ), resp. G éléments de G fert global Δ(δ1 , γ). On fixe un sous-groupe de Borel B  de G , défini sur F¯ et contenant T  . Identifions la paire de Borel épinglée de G à une telle paire E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) définie sur F¯ . On fixe une application σ → uE ∗ (σ) à valeurs dans GSC (F¯ ), de sorte que aduE ∗ (σ) ◦σ conserve E ∗ pour tout σ ∈ ΓF . On peut supposer que cette application est continue, qu’elle se factorise par un quotient fini de ΓF et que uE ∗ (1) = 1. On construit une action quasi-déployée de ΓF sur G notée σ → σG∗ = aduE ∗ (σ) ◦σ (on note simplement σ → σ l’action naturelle de ΓF sur G). Des deux paires de Borel se déduit un homomorphisme ξT ∗ ,T  : T ∗ → T  . Il existe un cocycle ωT : ΓF → W θ de sorte que ξT ∗ ,T  ◦ ωT (σ) ◦ σG∗ = σG ◦ ξT ∗ ,T  sur T ∗ pour tout ˜ E ∗ ; F¯ ) et posons θ∗ = ade . D’après [44] corollaire σ ∈ ΓF . Fixons de plus e ∈ Z(G, θ∗ ¯ 2.2, on peut trouver x ∈ GSC (F ) tel que, pour tout σ ∈ ΓF , xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et ait pour image ωT (σ) dans W . On note T le tore T ∗ muni de l’action galoisienne σ → σT = ωT (σ) ◦ σG∗ . Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que – B  et T  soient définis sur E et T  soit déployé sur E ; – E ∗ soit définie sur E (pour l’action galoisienne naturelle) et T ∗ soit déployé sur E ; ˜ E ∗ ; E), x ∈ Gθ∗ (E) ; – e ∈ Z(G, SC – l’application σ → uE ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et, pour tout σ ∈ Gal(E/F ), on a uE ∗ (σ) ∈ GSC (E). Il en résulte que l’action galoisienne quasi-déployée et l’action naturelle coïncident sur ΓE . On a uE ∗ (σ) = 1 pour σ ∈ ΓE . La paire de Borel (B ∗ , T ∗ ) est aussi définie sur E et les tores T ∗ et T sont déployés sur E. Rappelons que, pour tout σ ∈ ΓF , il existe un unique z(σ) ∈ Z(G; F¯ ) tel que σG∗ (e) = z(σ)−1 e. L’application σ → z(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Z(G; E). On note AE l’anneau des adèles de E. Le groupe Gal(E/F ) agit sur AE . Pour tout groupe algébrique Hdéfini sur F , le groupe Gal(E/F ) agit sur H(AE ). Soit v ∈ Val(F ), posons Ev = w|v Ew où w parcourt les places de E divisant v. Alors le groupe Gal(E/F ) agit sur Ev . Pour tout groupe algébrique Hv défini sur Fv , le groupe Gal(E/F ) agit sur Hv (Ev ).

654

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Soit v ∈ Val(F ). Comme on l’a dit en 1.1, notre notion de localisation en v dépend du choix d’un prolongement v¯ de v à F¯ . Le corps F¯v est la clôture algébrique de Fv dans le complété de F¯ en v¯. Par abus de notation, notons-le plus précisément F¯v¯ . Le groupe ΓFv est le fixateur de v¯ dans ΓF , notons-le plus précisément Γv¯ . Ici, parce que l’on va travailler avec le corps E, on va devoir faire varier v¯. Notons w la restriction de v¯ à E. En reprenant la preuve du lemme 1.10 de [I], on voit que pour tout v ∈ Val(F ), on peut fixer un diagramme (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) où (B  , T  ) est la paire déjà fixée. Le groupe Bw est défini sur F¯v¯ et la condition d’équivariance du diagramme est relative à Γv¯ . Remarques. (3) Ce diagramme est unique. En effet, comme on l’a déjà dit, Tv est uniquement déterminé et Bw est en tout cas bien déterminé modulo l’action de W θ (en identifiant W au groupe de Weyl de G relatif à Tv ). Du diagramme se déduit un homomorphisme ξTv ,T  : Tv → T  , puis une application ˜ → T  ×Z(G ) Z(G ˜  ). ξ˜Tv ,T  : (Tv /(1 − θ)(Tv )) ×Z(G) Z(G) Cette application doit envoyer l’image de γv dans l’espace de départ sur l’image de δv dans l’espace d’arrivée. Si l’on remplace Bw par ω(Bw ), avec ω ∈ W θ , ξ˜Tv ,T  est remplacé par ξ˜Tv ,T  ◦ ω −1 . La forte régularité de γv et la propriété [I] 1.3(5) entraînent que cette nouvelle application ne vérifie plus la propriété précédente, sauf si ω = 1. (4) Fixons g ∈ G tel que adg (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adg identifie Tv au tore T , plus exactement à son localisé en la place v. Soit w une autre place de E au-dessus de v. Fixons τ ∈ ΓF tel que τ (w) = w . Notons v¯ l’image de v¯ par τ . L’élément τ définit naturellement un isomorphisme de F¯v¯ sur F¯v¯ et, pour tout groupe algébrique Hv défini sur Fv , un isomorphisme de Hv (F¯v¯ ) sur Hv (F¯v¯ ). On note encore τ ces isomorphismes. Puisque Tv et γv sont définis sur Fv donc invariants par τ , le couple (τ (Bw ), Tv ) est une paire de Borel de G définie sur F¯v¯ et conservée par adγv . En identifiant grâce à cette paire le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de Tv , on définit le sous-groupe de Borel Bw = ωT (τ )−1 τ (Bw ). Puisque ωT (τ ) ∈ W θ , la paire (Bw , Tv ) est encore conservée par adγv , cf. [I] 1.3(2). Montrons que (5) le sextuplet (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) est un diagramme, le corps F¯v étant identifié à F¯v¯ . Preuve. Les tores T  et Tv sont déployés sur Ew . Cela implique que le groupe de Borel Bw est défini sur Ew (B  aussi, mais c’est déjà dans l’hypothèse sur E). Les deux paires de Borel (Bw , Tv ) et (B ∗ , T ∗ ) étant toutes deux définies sur Ew , on peut fixer gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Posons gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ). C’est un élément de GSC (Ew ). Montrons que (6) on a l’égalité adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ).

VI.3. Endoscopie

655

Puisque adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ), on a adτ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = τ (B ∗ , T ∗ ). Donc aduE ∗ (τ )τ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = aduE ∗ (τ ) ◦τ (B ∗ , T ∗ ) = τG∗ (B ∗ , T ∗ ) = (B ∗ , T ∗ ). C’est donc l’isomorphisme aduE ∗ (τ )τ (gw ) qui identifie comme plus haut le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de Tv . C’est-à-dire que Bw est le groupe de Borel tel que aduE ∗ (τ )τ (gw ) (Bw , Tv ) = ωT (τ )−1 aduE ∗ (τ )τ (gw ) (τ (Bw ), Tv ) = ωT (τ )−1 (B ∗ , T ∗ ). D’où

ωT (τ ) aduE ∗ (τ )τ (gw ) (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ).

Puisque xτG∗ (x)−1 a pour image ωT (τ ) dans W , on peut remplacer dans l’égalité ci-dessus ωT (τ ) par adxτG∗ (x)−1 et on obtient (6). Aux choix des paires de Borel (B  , T  ) et (Bw , Tv ), resp. (Bw , Tv ), sont associés des homomorphismes de Tv dans T  notés précisément ξBw ,Tv ,B  ,T  et ξBw ,Tv ,B  ,T  . Montrons qu’ils vérifient la relation (7) ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ = τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  . ξ

Les deux homomorphismes sont les restrictions à Tv de ξT ∗ ,T  ◦ adgw , resp. ◦ adgw . Par définition de gw , on a

T ∗ ,T 

adgw ◦τ = ωT (τ ) ◦ τG∗ ◦ adgw . Par définition de ωT (τ ), on a aussi ξT ∗ ,T  ◦ ωT (τ ) ◦ τG∗ = τ ◦ ξT ∗ ,T  . La relation (7) en résulte. Pour prouver (5), on doit d’abord montrer que l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  : Tv → T  est équivariant pour l’action de Γv¯ . Pour σ ∈ Γv¯ , on a ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ σ = ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ ◦ (τ −1 στ )◦ τ −1 = τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ (τ −1 στ )◦ τ −1 . Mais τ −1 στ appartient à Γv¯ . En utilisant l’équivariance de ξBw ,Tv ,B  ,T  , on obtient ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ σ = τ ◦ (τ −1 στ ) ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ −1 = σ ◦ τ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ −1 = σ ◦ ξBw ,Tv ,B  ,T  comme on le voulait. On doit aussi prouver que l’application déduite ˜ → T  ×Z(G ) Z(G ˜ ) ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  : (Tv /(1 − θ)(Tv )) ×Z(G) Z(G)

656

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

envoie l’image de γv dans l’espace de départ sur l’image de δv dans l’espace d’ar˜ permet d’étendre la relation rivée. La définition de l’action galoisienne sur Z(G) (7) à ces applications, c’est-à-dire que l’on a la relation ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  ◦ τ = τ ◦ ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  . Puisque ξ˜Bw ,Tv ,B  ,T  envoie l’image de γv sur celle de δv et puisque les éléments γv et δv sont tous deux invariants par τ , la relation ci-dessus implique l’assertion cherchée. Cela prouve (5).  Définissons un homomorphisme   Tv (Ew ) → T  (Ev ) = T  (Ew ) ξTv ,T  : Tv (Ev ) = w  |v

w  |v

comme le produit sur les w divisant v des homomorphismes ξBw ,Tv ,B  ,T  . On a (8) ξTv ,T  est équivariant pour les actions de Gal(E/F ). Cela résulte de ce que, pour tout w , l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  est équivariant pour l’action de Γv¯ et que l’on a la relation (7) ci-dessus. Soit v ∈ Val(F ) telle que v ∈ Vram (G ) et v soit non-ramifiée dans E. Rappelons que le sous-groupe compact hyperspécial Kv est attaché à un schéma en groupes Kv défini sur l’anneau des entiers ov de Fv . Si w est une place de E ˜ v . Alors Kw est un sous˜ w  = Kw  K au-dessus de v, posons Kw = Kv (ow ) et K ˜ groupe compact hyperspécial de G(Ew ) et Kw est un sous-espace hyperspécial ˜ w ). On note aussi K nr = Kv (onr ), F nr étant identifié à une extension de G(E v v v de Ew . De Kv se déduisent des sous-groupes hyperspéciaux Kv,sc de GSC (Fv ) et Kv,ad de GAD (Fv ) et on utilise pour ces groupes des notations similaires. On peut fixer un ensemble fini V  de places de F , contenant V et les places ramifiées dans E, de sorte que, pour v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, on ait : – la condition (2) est vérifiée pour v ; (9) Kw est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée E∗ ; ˜ w , x ∈ Kw et, pour tout σ ∈ ΓF , uE ∗ (σ) ∈ Kw et z(σ) ∈ Kw . (10) e ∈ K Montrons que (11) pour v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, il existe gw ∈ Kw ,sc tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Preuve. On ne perd rien ici à supposer w = w (qui est la restriction de v¯ à E). Fixons un entier N ≥ 1 tel que (θ∗ )N = 1. L’hypothèse v ∈ Vram assure que l’on peut prendre N premier à la caractéristique résiduelle p de Fv . Introduisons ˜ le groupe non connexe G+ = G  {1, θ∗ , . . . , (θ∗ )N −1 } défini sur Ew . L’espace G ∗ ∗ s’identifie à la composante Gθ : pour g ∈ G, ge s’identifie à gθ . Le sous-espace

VI.3. Endoscopie

657

˜ w s’identifie à Kw θ∗ . Dans cette situation, on a défini en [79, 5.2] la notion d’éléK ˜ w ) : un élément est compact si et seulement si le sous-groupe ment compact de G(E ˜ v ⊂ Kw θ ∗ qu’il engendre dans G+ (Ew ) est d’adhérence compacte. Puisque γv ∈ K ∗ ∗ N −1 et que Kw  {1, θ , . . . , (θ ) } est un groupe compact, l’élément γv est compact. D’après [79, 5.2], on peut décomposer γv en uγv,p , où γv,p est d’ordre fini premier à p et u est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe engendré par γv et sont définis sur Fv . Comme on vient de le voir, ˜ resp. G, est contenue dans K ˜ w , resp. Kw . l’intersection de cette adhérence avec G, ˜ v et u ∈ Kv . Les éléments u et γv,p commutent entre eux et comDonc γv,p ∈ K mutent donc à γv . Cela entraîne que u ∈ ZG (γv ; Fv ) = Tvθ (Fv ). Ecrivons γv = tv ev comme dans la relation (2). Alors γv,p = u−1 tv ev . Puisque u est topologiquement unipotent, les valeurs de (N α)(u) sont des éléments de ow de réduction 1 dans le corps résiduel Ew de ow . Alors la relation (2) est encore vérifiée par γv,p , a fortiori γv,p est régulier. Le lemme [79, 5.4] implique l’existence de k ∈ Kvnr tel que adk (γv,p ) ∈ T ∗ e. Puisqu’il s’agit d’éléments réguliers, on a automatiquement l’égalité adk (Tv ) = T ∗ . Donc aussi adk (γv ) ∈ T ∗ e. L’automorphisme adk envoie Bw sur un groupe de Borel contenant T ∗ et conservé par θ∗ . Un tel groupe est de la forme ω(B ∗ ), où ω ∈ W θ . Relevons ω en un élément h ∈ Kw ∩ Ge . En remplaçant k par h−1 k, on obtient l’égalité adk (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). Les théorèmes de structure de Bruhat-Tits entraînent que tout élément de Kvnr est produit d’un nr élément de T ∗ (onr v ) et d’un élément de Kv,sc . Quitte à multiplier k à gauche par ∗ nr nr un élément de T (ov ), on peut supposer k ∈ Kv,sc . La relation (4) entraîne que ∗ adk : Tv → T est équivariant pour l’action de ΓEw . Pour σ ∈ Gal(Fvnr /Ew ), on ∗ nr ∗ nr a donc kσ(k)−1 ∈ Tsc ∩ Kv,sc = Tsc (onr v ). On obtient un cocycle de Gal(Fv /Ew ) ∗ nr dans Tsc (ov ). Un tel cocycle est un cobord. Cela signifie que, quite à multiplier ∗ −1 (onr = 1 pour tout k à gauche par un élément de Tsc v ), on peut supposer kσ(k) nr σ ∈ Gal(Fv /Ew ). Autrement dit k ∈ Kw,sc . Cela prouve (11).  Pour toute place w de E, on introduit le diagramme (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) qui est unique d’après (3). On introduit un élément gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (Bw , Tv ) = (B ∗ , T ∗ ). On suppose gw ∈ Kw ,sc pour toute place w au-dessus d’une place v ∈ V  . On pose g = (gw )w ∈Val(E) . C’est un élément de GSC (AE ). Pour σ ∈ ΓF , posons VT (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 . En utilisant la relation (8), on voit facilement que VT (σ) appartient à Tsc (AE ) ∗ (AE ) muni de l’action galoisienne σ → σT ). Le cobord de la co(c’est-à-dire Tsc chaîne VT est égal à celui de σ → uE ∗ (σ) donc prend ses valeurs dans Tsc (E). En poussant VT en une cochaîne à valeurs dans Tsc (AE )/Tsc (E), VT devient un cocycle. On peut le considérer comme un cocycle de ΓF dans Tsc (AF¯ )/Tsc (F¯ ), où AF¯ est la limite inductive des AE  sur les extensions finies E  de F . Comme en [I] 2.2, notons T1 le produit fibré de T1 et T au-dessus de T  . Il est muni de l’action galoisienne produit de l’action naturelle sur T1 et de l’action σ → σT sur T . No˜) ⊂ G ˜  et fixons un relèvement e1 de e tons e l’image naturelle de e dans Z(G

658

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 1 , E). Ecrivons gγg −1 = νe, δ1 = μ1 e1 . On a ν ∈ T (AE ), μ1 ∈ T1 (AE ). dans Z(G On note ν1 l’image de (μ1 , ν) dans T1 (AF¯ )/T1 (F¯ ). Pour deux tores S1 et S2 définis sur F et pour un homomorphisme f : f S1 → S2 défini sur F , on note selon l’usage H 1,0 (AF /F ; S1 → S2 ) le groupe f H 1,0 (ΓF ; S1 (AF¯ )/S1 (F¯ ) → S2 (AF¯ )/S1 (F¯ )), c’est-à-dire la limite inductive des f

H 1,0 (Gal(E  /F ); S1 (AE  )/S1 (E  ) → S2 (AE  )/S2 (E  )) sur les extensions galoif

siennes finies E  de F . On note aussi Z 1,0 (AF /F ; S1 → S2 ) l’ensemble de cocycles 1−θ

correspondant. On vérifie que le couple (VT , ν1 ) appartient à Z 1,0 (AF /F ; Tsc → 1−θ

T1 ). Sa classe dans H 1,0 (AF /F ; Tsc → T1 ) ne dépend pas du choix de l’élément g : on ne peut changer g qu’en le multipliant à gauche par un élément de Tsc (AE ), ce qui multiplie VT par un cobord. Dans le cas local, on a construit en [I] 2.2 (en suivant Kottwitz et Shelstad) un cocycle VˆT1 de WF dans le tore dual Tˆ1 . La même construction vaut dans le cas global, à condition bien sûr d’utiliser des χ-data globales (c’est-à-dire que les χα sont des caractères automorphes d’extensions Fα de F ). Comme dans cette ˆ avec s ∈ Tˆ . On note sad l’image de s dans Tˆad . On référence, on écrit s˜ = sθ, 1−θˆ vérifie que le couple (VˆT1 , sad ) appartient à Z 1,0 (WF ; Tˆ1 → Tˆad ). D’après [48] (C.2.3), on dispose d’un accouplement 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; Tsc → T1 ) × H 1,0 (WF ; Tˆ1 → Tˆad ) → C× ,

que l’on note ., .. On pose  −1 Δimp (δ1 , γ) = (VT , ν1 ); (VˆT1 , sad ) . On a déjà fixé des χ-data globales pour T . On fixe aussi des a-data globales, c’està-dire que les aα appartiennent à F¯ × . On peut alors définir un facteur ΔII (δ, γ) comme en [I] 2.2. Le point est ici qu’une expression comme (N α)(ν) − 1 est un élément du groupe d’idèles de l’extension Fα parce que (2) entraîne que c’est une unité pour presque tout v. On pose Δ(δ1 , γ) = ΔII (δ, γ)Δimp (δ1 , γ). On a utilisé de nombreuses données auxiliaires mais on va montrer que Δ(δ1 , γ) ne dépend que de δ1 et γ. Plus généralement, reprenons la construction à partir d’un autre tore T  vérifiant aussi l’hypothèse (Hyp). On souligne les données relatives à ce nouveau tore. On introduit de nouveaux éléments δ 1 , γ. Pour tout v ∈ Val(F ), les couples (δ1,v , γv ) et (δ 1,v , γ v ) appartiennent à D1,v , le facteur Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ) est donc bien défini. Proposition. (i) Pour presque tout v, on a Δ1,v (δ1,v , γv ; δ1,v , γ v ) = 1.

VI.3. Endoscopie

659

(ii) On a l’égalité Δ(δ1 , γ)Δ(δ 1 , γ)−1 =



Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ).

v∈Val(F )

(iii) Le terme Δ(δ1 , γ) ne dépend pas des données auxiliaires utilisées pour le définir. Preuve. Dans la construction de Δ(δ1 , γ), on a utilisé une paire de Borel épinglée E ∗ définie sur F¯ , une cochaîne uE ∗ à valeurs dans GSC (F¯ ), un élément ˜  ; F¯ ). Les choix des termes uE ∗ , e et e ˜ E ∗ ; F¯ ) et un élément e ∈ Z(G e ∈ Z(G, 1 1 1 n’influent pas sur Δ(δ1 , γ). En effet, le choix de uE ∗ ne change pas l’action galoisienne σ → σG∗ . On ne peut modifier uE ∗ que par des éléments qui appartiennent à Z(GSC ; F¯ ), donc à Tsc (F¯ ), et de tels termes ne changent pas l’image de VT dans Tsc (AF¯ )/Tsc (F¯ ). De même, on ne peut modifier le couple (e, e1 ) que par un élément du produit fibré de Z(G; F¯ ) et Z(G1 ; F¯ ) au-dessus de Z(G ; F¯ ), ce qui ne modifie pas l’image de ν1 modulo T1 (F¯ ). Dans la construction de Δ(δ 1 , γ 1 ), on utilise d’autres données E ∗ , uE ∗ , e, e1 . On peut fixer r ∈ GSC (F¯ ) qui conjugue E ∗ en E ∗ . D’après ce que l’on vient de dire, on peut supposer que uE ∗ (σ) = ruE ∗ (σ)σ(r)−1 pour tout σ ∈ ΓF et que e = adr (e). On peut alors supposer que e1 = e1 , puisque ˜  ; F¯ ). e et e ont alors la même image e dans Z(G On peut aussi modifier la définition de VT (et aussi de VT ) de la façon suivante. A l’aide des a-data globales que l’on a fixées, on peut définir une cochaîne rT comme dans le cas local, cf. [I] 2.2. On peut alors définir VT par VT (σ) = rT (σ)nE ∗ (ωT (σ))uE ∗ (σ)σ(g)g −1 . En effet, on passe de la définition précédente à celle-ci en multipliant à gauche par rT (σ)nE ∗ (ωT (σ))σG∗ (x)x−1 . Par définition de x, c’est un élément de Tsc (F¯ ). Il ne modifie donc pas l’image de VT modulo ce groupe. Ces modifications étant faites, on a l’égalité  −1 ˆT1 , VˆT ), (sad , sad )) )), (( V , Δimp (δ1 , γ)Δimp (δ 1 , γ)−1 = ((VT , VT−1 ), (ν1 , ν −1 1 1 le produit étant celui sur 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; (Tsc × T sc ) → (T1 × T 1 )) × H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )).

On introduit les tores U et S1 de [I] 2.2. Dans cette référence, le tore U est égal à adg−1 (T ) × adg −1 (T ))/ diag− (Z(GSC )), mais on peut l’identifier à (T × T )/ diag− (Z(GSC )). De même pour S1 . Alors les deux tores sont définis sur F . Rappelons que Sˆ1 est le tore des (t, t, tsc ) ∈ Tˆ1 × Tˆ 1 × Tˆsc tels que j(tsc ) = tt−1 , où on a identifié Tˆ et Tˆ à un tore commun (muni de deux actions galoisiennes en général distinctes) et où j : Tˆsc → Tˆ est l’homomorphisme naturel. La structure

660

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

galoisienne sur Sˆ1 est un peu compliquée, les formules sont les mêmes que dans ˆ SC )). On a un diagramme ˆ = (Tˆsc × Tˆ )/ diag(Z(G le cas local. On a aussi U sc commutatif évident 1−θˆ ˆ Sˆ1 → U ↓ ↓ 1−θˆ ˆ ˆ ˆ T1 × T → Tad × Tˆ 1

ad

d’où un homomorphisme ˆ

ˆ

1−θ 1−θ ˆ ) → H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )). H 1,0 (WF ; Sˆ1 → U

En copiant les définitions du cas local, on définit un élément 1−θˆ ˆ (Vˆ1 , s) ∈ H 1,0 (WF ; Sˆ1 → U ) ˆ

1−θ et on constate que son image dans H 1,0 (WF ; (Tˆ1 × Tˆ 1 ) → (Tˆad × Tˆ ad )) est égale à

((VˆT1 , VˆT 1 ), (sad , sad )). Notons (V, ν 1 ) l’image de ((VT , VT−1 ), (ν1 , ν −1 1 )) 1−θ

dans H 1,0 (AF /F ; U → S1 ) par l’homomorphisme dual du précédent. Par compatibilité des produits, on a  −1 Δimp (δ1 , γ)Δimp (δ 1 , γ)−1 = (V, ν 1 ), (Vˆ1 , s) . 1−θ

Le terme (V, ν 1 ) se relève en un élément de H 1,0 (ΓF ; U (AF¯ ) → S1 (AF¯ )), défini exactement par les mêmes formules (après les modifications apportées ci-dessus). 1−θ

Cet élément appartient en fait à H 1,0 (Gal(E/F ); U (AE ) → S1 (AE )), si E désigne maintenant une extension finie de F vérifiant les mêmes propriétés que plus haut mais pour nos deux ensembles de données. Pour toute place v ∈ Val(F ), cet élé1−θ ment relevé définit un élément (Vv , ν 1,v ) ∈ H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ). De même, (Vˆ1 , s) 1−θˆ ˆ se restreint en un élément (Vˆ1,v , sv ) ∈ H 1,0 (WFv ; Sˆ1 → U ). La compatibilité des produits et le lemme C.1.B de [48] assurent que  (12) on a l’égalité (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) = 1 pour presque tout v ;

 (13)

(V, ν 1 ), (Vˆ1 , s) =



 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) .

v∈Val(F )

On a aussi ΔII (δ, γ) =

 v∈Val(F )

ΔII (δv , γv )

VI.3. Endoscopie

661

et les termes du produit sont presque tous égaux à 1. On en déduit Δ(δ1 , γ)Δ(δ 1 , γ)−1 =



 −1 ΔII (δv , γv )ΔII (δ v , γ v )−1 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) .

v∈ValF

Pour achever la preuve des deux premières assertions de l’énoncé, il suffit de prouver que, pour tout v, on a l’égalité  −1 ΔII (δv , γv )ΔII (δ v , γ v )−1 (Vv , ν 1,v ), (Vˆ1,v , sv ) = Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ). Pour définir le membre de droite, on utilise les paires de Borel épinglées Ew = adgw−1 (E ∗ ) et E w = adg −1 (E ∗ ), où w est encore la place de E fixée au-dessus de w −1 uE ∗ (σ)σ(gw ) et uE w (σ) = g −1 uE ∗ (σ)σ(g w ) pour tout v. On choisit uEw (σ) = gw w σ ∈ ΓFv . On constate alors que les deux membres de l’égalité ci-dessus sont définis de la même façon, après l’identification que l’on a faite des tores adg−1 (T ) et adg−1 (T ) à T et T . Cela prouve les deux premières assertions de l’énoncé. L’assertion (iii) s’en déduit : puisque les termes Δ1 (δ 1 , γ) et

Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v )

ne dépendent pas des données auxiliaires utilisées pour définir Δ1 (δ1 , γ), ce dernier terme n’en dépend pas non plus.  Revenons à notre tore T  . Il reste à vérifier que l’on peut choisir des éléments δ et γ vérifiant les conditions (1) et (2). On introduit les mêmes données qu’au début du paragraphe, en particulier le corps E. On modifie la définition de l’ensemble V  . On note maintenant V  un ensemble fini de places de F , contenant V et les places ramifiées dans E, de sorte que, pour tout v ∈ V  et pour toute place w de E au-dessus de v, les conditions (9) et (10) soient vérifiées, ainsi que les conditions (14) et (15) ci-dessous. Pour v ∈ V telle que v soit non ramifiée dans E, les tores T et T  sont non ramifiés en v et ont donc une structure naturelle sur ov . On note Tv = T ×ov Fv la fibre de T sur Fv . Un élément de Σ(T ) est aussi un caractère de ce tore. On impose ˜) ⊂ G ˜  de e appartient à K ˜   et T  (ow ) est inclus (14) l’image naturelle e ∈ Z(G w  dans Kw ; (15) soit t0 ∈ T (ow ) ; alors il existe t ∈ T (ov )t0 dont la réduction t ∈ Tv (Ew ) vérifie N α(t) = ±1 pour tout α ∈ Σ(T ). La condition (14) est satisfaite presque partout. Il faut montrer qu’il en est de même de (15). Il s’agit de montrer que, pour presque tout v, Tv (Fv ) n’est pas contenu dans la réunion sur α ∈ Σ(T ) et  = ±1 des sous-ensembles {t ∈ Tv (Fv ); N α(tt0 ) = }, où t0 est la réduction de t0 . Notons d la dimension de T et qv le nombre d’éléments de Fv . Il existe c > 0 indépendant de v tel que le nombre d’éléments de Tv (Fv ) soit au moins égal à cqvd . Il suffit de démontrer

662

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

qu’il existe c > 0 indépendant de v tel que chacun des sous-ensembles ci-dessus ait un nombre d’éléments au plus égal à c qvd−1 . Considérons le sous-ensemble {t ∈ Tv (Fv ); N α(tt0 ) = }. Il peut être vide. Sinon, il est en bijection avec {t ∈ Tv (Fv ); N α(t) = 1}, ou encore avec {t ∈ Tv (Fv ); ∀σ ∈ Gal(Ew /Fv ), (N σα)(t) = 1}. Introduisons le tore S sur Fv qui est la restriction des scalaires du tore multiplicatif Gm sur Ew . L’homomorphisme ¯× ¯ v ) → S(F ¯v) =  τ¯ : Tv (F σ∈Gal(Ew /Fv ) Fv t → ((N σα)(t))σ∈Gal(Ew /Fv ) est défini sur Fv . L’ensemble précédent est le noyau de l’homomorphisme τ : Tv (Fv ) → S(Fv ). On montre aisément que le nombre de composantes connexes du noyau de τ¯ est borné par un nombre qui ne dépend que de l’homomorphisme X∗ (Tv ) → X∗ (S) déduit de τ¯ et de la structure de ces Gal(Ew /Fv )-modules. De même, la composante neutre de ce noyau est un tore défini sur Fv et de dimension au plus d − 1, dont la structure ne dépend que des mêmes données. Or ces données ne varient que dans un ensemble fini, car le groupe Gal(Ew /Fv ) est lui-même toujours un sous-groupe de Gal(E/F ). Il en résulte que le nombre d’éléments du noyau est bien borné par c qvd−1 pour un c > 0 indépendant de v. Cela prouve que (15) est vérifié pour presque tout v. Soit v ∈ V  , notons w la restriction de v¯ à E. Pour tout g ∈ G, on note gad son image dans GAD . D’après (10), l’application σ → xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = xad uE ∗ ,ad (σ)σ(xad )−1 est un cocycle de Gal(Ew /Fv ) dans Kw,ad . Par le théorème de Lang, un tel cocycle est un cobord (cf. [79] lemme 4.2(ii)). On peut fixer yad ∈ Kw,ad tel que xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = yad σ(yad )−1 pour tout σ ∈ Gal(Ew /Fv ). ∗ Puisque Kw est le groupe hyperspécial associé à E ∗ d’après (9), on a Tad (ow ) = Tad (ow ) ⊂ Kw,ad et la décomposition d’Iwasawa montre que l’application Tad (ow ) × Kw,sc (t, x)

→ Kw,ad → tπad (x)

est surjective. On relève yad en (t, gw ) ∈ Tad (ow ) × Kw,sc . On a alors xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ) = tπad (gw σ(gw )−1 )σ(t)−1 , d’où

t−1 xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)σ(t) = πad (gw σ(gw )−1 ).

On a l’égalité xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)σ(t) = σT (t)xad σG∗ (xad )−1 uE ∗,ad (σ),

VI.3. Endoscopie

663

d’où −1 t−1 σT (t)xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)πad (σ(gw )gw ) = 1.

A fortiori, −1 ) ∈ Tad (ow ), xad σG∗ (xad )−1 uE ∗ ,ad (σ)πad (σ(gw )gw −1 d’où il résulte que xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(gw )gw ∈ Tsc (ow ). Notons tsc (σ) cet élé∗ ment. Posons Ew = adgw−1 (E ) et notons (Bw , Tv ) la paire de Borel sous-jacente à Ew . Par le même calcul que dans la preuve de (6), la relation précédente entraîne que Tv est défini sur Fv et que l’homomorphisme ξBw ,Tv ,B  ,T  déduit des paires (Bw , Tv ) et (B  , T  ) est équivariant pour les actions de Γv¯ . Posons ev = adgw−1 (e). ˜ w. ˜ Ew ; Ew ). D’après (10), c’est aussi un élément de K C’est un élément de Z(G, Pour σ ∈ ΓFv , on a les égalités

σ(ev ) = adσ(gw−1 ) ◦σ(e) = adσ(gw )−1 uE ∗ (σ)−1 σG∗ (x)x−1 ◦ adxσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ) ◦σ(e). ∗

On a aduE ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. Puisque x ∈ GθSC (Ew ), l’élément xσG∗ (x)−1 commute à e et aussi, bien sûr, à z(σ). Donc adxσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. De plus −1 −1 σ(gw )−1 uE ∗ (σ)−1 σG∗ (x)x−1 = gw tsc (σ)−1 = tsc,w (σ)−1 gw ,

où tsc,w (σ) = adgw−1 (tsc (σ)) ∈ Tv (ow ). D’où σ(ev ) = z(σ)−1 adtsc,w (σ)−1 gw−1 (e) = z(σ)−1 tsc,w (σ)−1 ew tsc,w (σ) = z(σ)−1 (θ − 1)(tsc,w (σ))ev . L’application σ → z(σ)−1 (θ − 1)(tsc,w (σ)) prend ses valeurs dans Tv (ow ) et la relation ci-dessus implique que c’est un cocycle de Gal(Ew /Fv ) à valeurs dans ce groupe. Un tel cocycle est forcément un cobord. On peut donc fixer t0 ∈ Tv (ow ) ˜ v ). On peut tel que σ(t0 ) = t0 z(σ)(1 − θ)(tsc (σ)) pour tout σ. Alors t0 ev ∈ G(F multiplier t0 par un élément de Tv (ov ) de sorte que le produit t vérifie la conclusion de (15) transportée à Tv par l’isomorphisme adgw−1 . Cette condition implique que tev est régulier. En multipliant encore t par un élément de Tv (ov ) assez voisin de l’origine, on peut assurer que tev est fortement régulier. Posons γv = tev et ˜  ) est l’image naturelle de e (ou ev , c’est pareil). δv = ξBw ,Tv ,B  ,T  (t)e , où e ∈ Z(G ˜ v , δv ∈ K ˜ v et (δv , B  , T  , Bw , Tv , γv ) est Les constructions impliquent que γv ∈ K un diagramme. Le choix de t implique que la condition (2) est satisfaite. Pour  v ∈ V  , on a donc construit des éléments vérifiant (1) et (2).

664

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier ˜ a). On suppose Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, qu’elle vérifie l’hypothèse (Hyp) du paragraphe précédent. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram (G ). On a défini l’espace Cc∞ (GV ) en 3.3. Pour v ∈ V , on a défini en [I] 2.5 un espace Cc∞ (Gv ) par une tout autre méthode. Proposition. Il existe un isomorphisme canonique Cc∞ (GV )  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). ˜  , C1 , ξˆ1 , (K ˜  )v∈V non ramiPreuve. Considérons des données auxiliaires G1 , G 1 1,v fiées hors de V . Pour v ∈ Val(F )−V , le choix des espaces hyperspéciaux détermine un facteur de transfert Δ1,v , cf. [I] 6.3. Pour v ∈ V , on ne sait pas normaliser le facteur de transfert. Mais on peut normaliser le produit sur v ∈ V de ces facteurs. En effet, construisons des éléments comme dans le paragraphe précédent, et il est plus ˜  (AF ), simple ici de les souligner. On a donc des éléments δ 1 = (δ 1,v )v∈Val(F ) ∈ G 1 ˜ γ = (γ v )v∈Val(F ) ∈ G(AF ) et le facteur Δ1 (δ 1 , γ). Soient δ1,V = (δ1,v )v∈V ∈ ˜ 1 (FV ), γV = (γv )v∈V ∈ G(F ˜ V ). Supposons (δ1,V , γV ) ∈ D1,V , on entend par là G que (δ1,v , γv ) ∈ D1,v pour tout v ∈ V . On pose  Δ1,V (δ1,V , γV ) = Δ1 (δ 1 , γ)

 v∈V

 Δ1,v (δ 1,v , γ v )−1



 Δ1,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ) .

v∈V

Il résulte des calculs du paragraphe précédent que les termes du premier produit sont presque tous égaux à 1. Le terme ainsi défini est un facteur de transfert. La proposition du paragraphe précédent montre qu’il ne dépend pas des données auxiliaires δ 1 et γ.  ˜ 1,v D’après 3.3, le choix des (K )v∈V permet d’identifier Cc∞ (G ) à V

∞ ˜  (FV )) = ⊗v∈V C ∞ (G ˜  (Fv )). Cc,λ (G 1 c,λ1 1 1

D’après [I] 2.5, le choix de Δ1,V permet d’identifier ce dernier espace à ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). D’où l’isomorphisme de l’énoncé. Pour qu’il soit «canonique», il suffit qu’il ne dépende pas des données auxiliaires. Considérons une autre famille G2 ,  ˜ 2 , C2 , ξˆ2 , (K ˜ 2,v G )v∈V de données auxiliaires non ramifiées hors de V . Il y a deux ∞ ˜  (FV )) et C ∞ (G ˜  (FV )) : isomorphismes de recollement entre les espaces Cc,λ (G 1 2 c,λ2 1   ˜ 1,v )v∈V et (K ˜ 2,v )v∈V ; celle de celle de 3.3 utilisant les espaces hyperspéciaux (K [I] 2.5 utilisant les facteurs de transfert Δ1,V et Δ2,V . On doit prouver que ce sont les mêmes. Les deux isomorphismes f1 → f2 sont définis pas une formule ˜ 12,V (δ1,V , δ2,V )f1 (δ1,V ) où δ1,V est un élément quelconque tel que f2 (δ2,V ) = λ ˜ 12,V n’est pas a priori la même pour ˜  (FV ), mais la fonction λ (δ1,V , δ2,V ) ∈ G 12 ˜ 12,Δ,V ˜ les deux recollements. Notons λ12,K,V celle pour le premier recollement et λ

VI.3. Endoscopie

665

˜ 12 (FV ) et (x1 , x2 ) ∈ G12 (FV ). On a en celle pour le second. Soient (δ1,V , δ2,V ) ∈ G tout cas ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ), ˜12,K,V (x1 δ1,V , x2 δ2,V ) = λ12,V (x1 , x2 )λ λ ˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V ), ˜12,Δ,V (x1 δ1,V , x2 δ2,V ) = λ12,V (x1 , x2 )λ λ pour un même caractère λ12,V de G12 (FV ). Il suffit donc de prouver l’égalité ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ ˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V ) pour un seul couple (δ1,V , δ2,V ). On choiλ ˜  (AF ) et γ ∈ G(A ˜ F ) comme sit ce couple ainsi : on construit des éléments δ ∈ G   ˜ (AF ) et δ2 ∈ G ˜ (AF ) ; on prend pour δ1,V et δ2,V les en 3.6, on relève δ en δ1 ∈ G 1 2 ˜ 12,Δ,V , produits sur v ∈ V des composantes locales de δ1 et δ2 . Par définition de λ on a l’égalité (1)

˜ 12,Δ,V (δ1,V , δ2,V )Δ1,V (δ1,V , γV ). Δ2,V (δ2,V , γV ) = λ

˜ 12 sur G ˜  (A) de sorte qu’elle vaille 1 sur En 1.15, on a normalisé une fonction λ 12  ˜ ˜ G12 (F ) et des fonctions λ12,v pour v ∈ V . Par définition,  ˜12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ ˜ 12 (δ1 , δ2 ) ˜12,v (δ1,v , δ2,v )−1 . λ λ v∈V

On a ˜ 12,v (δ1,v , δ2,v )Δ1,v (δ2,v , γv ) pour tout v ∈ V . (2) Δ2,v (δ2,v , γv ) = λ En effet, avec les notations de [I] 6.3, on a l’égalité ˜ ζ (δ1,v )λ ˜ ζ (δ2,v )−1 Δ1,v (δ1,v , γv ). Δ2,v (δ2,v , γv ) = λ 1 2 Il suffit de comparer les définitions pour constater que ˜ ζ2 (δ2,v )−1 = λ ˜12,v (δ1,v , δ2,v ). ˜ζ1 (δ1,v )λ λ D’où (2). Alors ˜ 12 (δ1 , δ2 ) ˜ 12,K,V (δ1,V , δ2,V ) = λ λ



Δ2,v (δ2,v , γv )−1 Δ1,v (δ1,v , γv )

v∈V

˜ 12 (δ1 , δ2 )Δ2 (δ2 , γ)−1 Δ1 (δ1 , γ)Δ2,V (δ2,V , γV )Δ1,V (δ1,V , γV )−1 . =λ En comparant avec (1), il reste à montrer l’égalité (3)

˜12 (δ1 , δ2 )Δ1 (δ1 , γ). Δ2 (δ2 , γ) = λ

La démonstration est similaire à celle du lemme [I] 2.5, nous n’en donnons que le squelette. De façon générale, pour un groupe réductif connexe H défini sur F , un ˆ détermine non seulement un caractère de H(AF ) trivial élément de H 1 (WF , Z(H)) sur H(F ), mais plus généralement un caractère du groupe (H(AF¯ )/Z(H; F¯ ))ΓF ,

666

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

trivial sur (H(F¯ )/Z(H; F¯ ))ΓF = HAD (F ). Avec les notations de [I] 2.5, le coˆ  ) détermine donc un caractère cycle w → (ζ1 (w), ζ2 (w)−1 ) de WF dans Z(G 12   Γ  ˜ . L’ende (G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F¯ )) F , trivial sur G12,AD (F ). Notons ce caractère λ 12    ΓF ˜ ¯ semble G12 (AF ) s’envoie naturellement dans (G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F )) . En effet, ˜  (AF ), on choisit (e , e ) ∈ Z(G ˜  ; F¯ ), on écrit δ = x1 e , pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ G 1 12 1 2 12 1   δ 2 = x2 e2 avec (x1 , x2 ) ∈ G12 (AF¯ ). L’image de (x1 , x2 ) dans G12 (AF¯ )/Z(G12 ; F¯ ) ne dépend pas des choix de e1 et e2 et est invariante par ΓF . L’application cher˜ devient une fonction sur chée est (δ 1 , δ 2 ) → (x1 , x2 ). Par cette application, λ 12  ˜ G12 (AF ). Les mêmes calculs qu’en [I] 2.5 conduisent à l’égalité (4)

˜ (δ1 , δ2 )Δ1 (δ1 , γ). Δ2 (δ2 , γ) = λ 12

˜ se transforment selon ˜ 12 et λ Or il résulte des constructions que les fonctions λ 12 ˜ 12 vaut 1 sur G ˜ 12 (F ) et la le même caractère λ12 de G12 (AF ). Par définition, λ ˜ vérifie la même propriété. Les deux fonctions construction ci-dessus montre que λ 12 sont donc égales et l’égalité (4) équivaut à (3). 

VI.3.8 Une construction auxiliaire ˜ a). Soit (H, H, ˜ b) Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G, ˜ a) et soit H = (H  , H , t˜) une donnée endoscopique un triplet similaire à (G, G, pour ce triplet. Considérons les hypothèses (1) à (6) suivantes. (1) Il y a une suite exacte ι

1→G→H →D→1 d’homomorphismes de groupes définis sur F , où D est un tore ; il y a un ˜ ι ˜ ˜→ H défini sur F compatible avec ι. plongement G ˜ ∈ H, ˜ l’automorphisme ad˜ se quotiente en un automorphisme de D Pour h h ˜ On le note θD . On ne demande pas qu’il soit l’identité. qui ne dépend pas de h. De la suite (1) se déduit une suite duale ˆ ι ˆ ˆ →H ˆ → G→1 1→D

ˆ ˜ → LG ˜ compatible avec ˆι (on rappelle que L G ˜ = L Gθ, et une projection ˆ ˜ι : L H H ˆ ˆ cf. [I] 1.4). Notons T le tore d’une paire de Borel de H comme en [I] 1.4. ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ H,θ,0 ˆ θ,0 (2) D =D . (3) On a l’égalité s˜ = ˜ˆι(t˜).

ˆ  et G ˆ  sont les composantes neutres des commutants de t˜ et s˜, on Puisque H a une suite exacte ˆ ˆ θ,0 ˆ → G ˆ  → 1. 1→D →H (4) On a l’égalité G  = ˆ˜ι(H ). ˆ → Z(G). ˆ Il en résulte que a est le composé de b et de la projection Z(H)

VI.3. Endoscopie

667

(5) On a l’égalité Vram (H ) = Vram (H). (6) La donnée H est relevante et vérifie l’hypothèse (Hyp) de [I] 6.4. ˜ i , bi ) et H = Considérons pour i = 1, 2 des familles de données (Hi , H i   ˜ (Hi , Hi , ti ) vérifiant les hypothèses (1) à (6). On peut dire que la famille indexée par 2 domine la famille indexée par 1 s’il existe un homomorphisme injectif κ : H1 → H2 ˜1 → H ˜ 2 de sorte que les hypothèses suivantes et une application compatible κ ˜:H soient vérifiées : – les diagrammes  ι1 G  ι2

H1 ↓κ

et

˜ G

 ˜ι1  ˜ι2

H2

˜1 H ↓κ ˜ ˜2 H

sont commutatifs ; ˜ 2 → LH ˜ 1 les applications déduites de κ, ˆ˜ : L H en notant κ ˆ : L H2 → L H1 et κ ˜ (t˜2 ) = t˜1 et κ ˆ (H2 ) = H1 . – Lκ Lemme. (i) Il existe des données vérifiant les hypothèses (1) à (6). ˜ i , bi ) et H = (H  , H , t˜i ) pour i = 1, 2 (ii) Pour deux familles de données (Hi , H i i i vérifiant toutes deux les hypothèses (1) à (6), il existe une troisième famille vérifiant les mêmes hypothèses et les dominant toutes deux. Preuve. Notons T ∗ le tore maximal de G muni de l’action galoisienne quasidéployée. Il est aussi muni de l’automorphisme θ∗ . Posons H = (G×T ∗ )/ diag− (Z(G)) où diag− est le plongement anti-diagonal ˜ le quotient de G ˜ × T ∗ par Z(G) agissant anti-diagonalement par et notons H ˜ par multiplication à gauche. On définit deux actions de G × T ∗ sur H (g, t)(γ, τ )(g  , t ) = (gγg  , tτ θ∗ (t )). ˜ qui font de H ˜ un espace Ces actions se descendent en des actions de H sur H tordu sous H. On a une suite exacte ∗ →1 1 → G → H → D = Tad ι

˜→H ˜ qui à γ associe l’image de (γ, 1) dans H. ˜ et un plongement compatible ˜ι : G ∗ ∗ Notons que le centre de H est (Z(G) × T )/ diag− (Z(G))  T . Donc (7) le centre Z(H) est connexe.

668

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ adaptée à s˜ On choisit une paire de Borel épinglée Eˆ = (B, et on écrit s˜ = sθˆ avec s ∈ Tˆ , cf. [I] 1.5. Cette paire se relève en une paire de Borel ˆ On note Tˆ H le tore de cette paire et encore θˆ l’automorphisme de épinglée de H. ˆ H associé à cette paire. Prouvons que l’égalité (2) est vérifiée. Il s’agit de prouver que la suite ˆ ˆ ˆ ˆ θ,0 → Tˆ H,θ,0 → Tˆ θ,0 → 1 1→D est exacte. Il revient au même de prouver que la suite ˆ θˆ → X∗ (TˆH )θˆ → X∗ (Tˆ )θˆ → 0 0 → X∗ (D) est exacte. Seule la surjectivité finale pose problème. Les actions galoisiennes n’interviennent pas ici. On peut travailler sur F¯ et identifier T ∗ à un sous-tore de G. Posons T ∗H = (T ∗ × T ∗ )/ diag− (Z(G)), qui est un sous-tore maximal de H. La surjectivité à prouver équivaut à celle de l’homomorphisme X ∗ (T ∗H )θ → X ∗ (T ∗ )θ issue du plongement t → (t, 1) de T ∗ dans T ∗H . Mais on a aussi un homomorphisme T ∗H → T ∗ défini par (t1 , t2 ) → t1 t2 dont le composé avec le précédent est l’identité de T ∗ . Ainsi l’homomorphisme ci-dessus s’inscrit dans une suite X ∗ (T ∗ )θ → X ∗ (T ∗H )θ → X ∗ (T ∗ )θ dont le composé est l’identité. La deuxième flèche est donc surjective, comme on le voulait. ˜ a), le groupe H est non ramifié sur Fv . Puisque Pour v ∈ Val(F ), v ∈ Vram (G, GAD = HAD , le sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ) détermine un tel ˜ H = K H ˜ι(K ˜ v ) est un espace hyperspécial sous-groupe KvH de H(Fv ). L’espace K v v pour ce groupe. ˆ La relation (3) est On choisit t ∈ Tˆ H d’image s dans Tˆ et on pose t˜ = tθ. ˆ θ,0 ˆ  . Il s’en ˆ au tore d’une paire de Borel épinglée de G vérifiée. On peut identifier T déduit une structure galoisienne sur ce tore, de la forme σ → σG = ωG (σ) ◦ σG , où ωG est un cocycle à valeurs dans W θ . Ce groupe W θ est le même pour G ou H. On peut donc relever l’action précédente en une action σ → σH  = ωG (σ) ◦ σH de ˆ ΓF sur Tˆ H,θ,0 . Ces actions se prolongent en des actions sur Tˆ et Tˆ H . Remarquons que ces actions sont non ramifiées en v pour v ∈ Val(F ) − Vram (G ). Notons Tˆ  ,    ˆ ˆ resp. Tˆ G , Tˆ H , Tˆ H , les tores Tˆ , resp. Tˆ θ,0 , Tˆ H , Tˆ H,θ,0 , munis de ces structures.     On note T G et T H les tores duaux de Tˆ G et Tˆ H définis sur F . D’après le lemme  ˆ ˆ θ,0 , 3.2 et la relation (3) de sa preuve, on peut prolonger le plongement Tˆ H → H  G  ˆ resp. T → G en des plongements L

H

T (x, w)

ˆ ˆ θ,0 → H  WF  → (xh1 (w), w),

VI.3. Endoscopie

669

resp. L

G

T (x, w)

→ G ⊂ LG  → (xg  (w), w),

tels que, pour v ∈ Vram (G ) et w ∈ Iv , on ait h1 (w) = 1 et g  (w) = 1. Quotientons ˆ ˆ ∩ Tˆ H,θ,0 ˆ ∩ TˆH  = D . On obtient un plongement le premier par D G

L

T (x, w)

→  →

ˆ ˆ θ,0 G  WF (xˆι(h1 (w)), w)

Les deux plongements précédents ne peuvent différer que par un cocycle. C’est-àdire qu’il existe un cocycle u : WF → Tˆ tel que g  (w) = u(w)ˆι(h1 (w)) pour tout w. Pour v ∈ Val(F ) − Vram (G ) et w ∈ Iv , on a u(w) = 1. En appliquant 3.2(2) à la suite exacte ˆ → Tˆ H → Tˆ → 1, 1→D on voit que l’on peut relever u en un cocycle uH : WF → Tˆ H tel que ˆι ◦ uH = u de sorte que, pour tous v ∈ Val(F ) − Vram (G ) et w ∈ Iv , on ait uH (w) = 1. On pose h (w) = uH (w)h1 (w). L’application L

H

T (x, w)

L → H   → (xh (w), w)

ˆ tel que est alors un homomorphisme. Pour w ∈ WF , soit b(w) ∈ H (8)

adt˜(h (w), w) = (b(w)h (w), w).

ˆ tel En projetant dans L G on voit que b(w) se projette sur l’élément a(w) de Z(G)   ˆ que ads˜(g (w), w) = (a(w)g (w), w). Donc b(w) ∈ Z(H). L’équation (8) oblige b à ˆ être un cocycle. On note b sa classe modulo ker1 (WF ; Z(H)). Elle se projette sur  0  ˆ  . On note ˆ ˜ a. On note H = ZHˆ (t) . L’équation (8) oblige (h (w), w) à normaliser H    ˆ H le groupe engendré par H et les (h (w), w) pour w ∈ WF . C’est une extension ˆ  . Elle détermine une action galoisienne sur ce groupe qui en conserve une de H ˆ  d’une telle paire de G ˆ paire de Borel épinglée : par exemple le relèvement dans H  conservée par l’action galoisienne. On note H le groupe quasi-déployé sur F dont ˆ  muni de cette structure galoisienne. Alors (H  , H , t˜) est une le L-groupe est H ˜ b) et la relation (3) est vérifiée. Cette donnée donnée endoscopique pour (H, H, est non ramifiée en tout v ∈ Val(F ) − Vram (G ) car, pour une telle place, on a h (w) = 1 pour w ∈ Iv . Montrons que cette donnée est relevante. Dualement à ˆ ι ˆ ˜ ˆ → G , on a un homomorphisme ι : G → H  qui est défini l’homomorphisme H ˜ → Z(H). ˜ sur F . On a aussi des plongements compatibles Z(G) → Z(H) et Z(G) L’homomorphisme ι se prolonge en ˜  = G ×Z(G) Z(G) ˜ →H ˜  = H  ×Z(H) Z(H). ˜ ˜ι : G

670

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  (F ) n’est pas vide, H ˜  (F ) ne l’est pas non plus. Remarquons que, Puisque G  . Il y a donc une bijection par construction, on a GSC = HSC et GSC = HSC entre paires de Borel pour G et pour H, et entre paires de Borel pour G et pour H  . Soit v ∈ Val(F ). Puisque G est relevante, on peut fixer un diagramme ˜  (Fv ), γ ∈ G(F ˜ v ) et γ fortement régulier. Notons δ H  (δ, B  , T  , B, T, γ) avec δ ∈ G H  ˜ (Fv ) et de γ dans H(F ˜ v ). Notons (B H  , T H  ) la et γ les images de δ dans H    H paire de Borel de H correspondant à (B , T ) et (B , T H ) la paire de Borel de H    correspondant à (B, T ). Alors (δ H , B H , T H , B H , T H , γ H ) est un diagramme et γ H est fortement régulier. Donc Hv est relevante. Pour achever la preuve de (i), il reste à prouver que H vérifie l’hypothèse (Hyp). Elle va être assurée par (7). On peut aussi bien revenir aux données initiales et prouver (9) si Z(G) est connexe et que G est relevante, alors G vérifie l’hypothèse (Hyp). Pour v ∈ Vram (G ), l’hypothèse que Gv est relevante permet de fixer un soustore maximal Tv de G , défini sur Fv , tel qu’il existe (δv , γv ) ∈ D(Gv ) de sorte que δv ∈ T˜v (Fv ). Fixons un élément Yv ∈ tv (Fv ) régulier dans g (Fv ). On peut fixer un élément Y ∈ g (F ) dont la composante en v soit aussi proche que l’on veut de Yv pour tout v ∈ Vram (G ). Notons T  le commutant de Y . C’est un sous-tore maximal de G , défini sur F . Si la composante de Y en v est assez proche de Yv , ce tore est conjugué à Tv par un élément de G (Fv ). Il vérifie donc la même condition que Tv . Il faut montrer qu’il vérifie aussi cette condition pour v ∈ Vram (G ). Pour une telle place, on peut identifier la paire de Borel épinglée de G à une paire E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) définie sur Fv et dont Kv soit le groupe hyperspécial associé. ˜ E ∗ )(Fvnr ) ∩ T ∗ (onr ˜ D’après [I] 6.2, on peut fixer e ∈ Z(G, v )Kv , avec les notations ¯ de cette référence. Soit z : ΓFv → Z(G; Fv ) l’application telle que σ(e) = z(σ)−1 e. nr Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs dans Z(G; F¯v ) ∩ T ∗ (onr v ) = Z(G; ov ). Puisque Z(G) est connexe, un tel cocycle est un cobord. Quitte à multiplier e par ˜ ∗ ˜ un élément de Z(G; onr v ), on a donc e ∈ Z(G, E )(Fv ) ∩ Kv . Posons θ = ade et    fixons un sous-groupe de Borel B de G contenant T . Grâce à [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ GθSC (F¯v ) de sorte qu’en posant adx−1 (B ∗ , T ∗ ) = (Bv , Tv ), le tore Tv soit défini sur Fv et l’homomorphisme ξTv ,T  déduit de (Bv , Tv ) et de (B  , T  ) soit équivariant pour les actions galoisiennes. Posons Ev = adx−1 (E ∗ ). Puisque ˜ Ev )(Fv ). On fixe ν ∈ Tv (Fv ) en position x commute à θ, on a encore e ∈ Z(G, ˜  ; Fv ) est l’image générale, on pose μ = ξTv ,T  (ν), γv = νe et δv = μe , où e ∈ Z(G    de e. Alors (δv , B , T , B, T, γv ) est un diagramme avec δv ∈ T˜ (Fv ) et γv fortement régulier. Cela démontre (9) et le (i) de l’énoncé. Soient maintenant deux familles comme dans le (ii) de l’énoncé. Pour i = 1, 2, ˜ i au quotient de on peut écrire Hi = (G × Z(Hi ))/ diag− (Z(G)) et identifier H ˜ (G × Z(Hi )) par Z(G) agissant anti-diagonalement par multiplication à gauche. Posons Z12 (G) = {(z, z1 , z2 ) ∈ Z(G); zz1 z2 = 1}. Posons H = (G × Z(H1 ) × ˜ le quotient de G ˜ × Z(H1 ) × Z(H2 ) par l’action de Z(H2 ))/Z12 (G) et notons H ˜ d’une structure d’espace tordu Z12 (G) par multiplication à gauche. On munit H

VI.3. Endoscopie

671

sur H comme au début de la preuve de (i). Il y a un diagramme naturel d’homomorphismes  ι1

H1

 κ1 H.

G  ι2

 κ2 H2

On vérifie qu’ils ont tous injectifs. L’homomorphisme composé ι s’insère dans une suite exacte ι

1 → G → H → D1 × D2 → 1 . Tous les homomorphismes se prolongent en des applications compatibles entre ˆ est le produit fibré de H ˆ1 les espaces tordus correspondants. Du côté dual, H ˆ ˆ et H2 au-dessus de G. Comme dans la preuve de (i), on fixe une paire de Borel ˆ de tore Tˆ de sorte que s˜ = sθˆ avec s ∈ Tˆ . Elle se relève en des épinglée de G ˆ 1 et H ˆ 2 de tores Tˆ1 et Tˆ2 . Pour i = 1, 2, on a t˜i = ti θˆ avec ti ∈ Tˆi . paires pour H ˆ On définit H comme l’ensemble des éléments On pose t = (t1 , t2 ) et t˜ = tθ. L (x1 , x2 , w) ∈ H tels que (x1 , w) ∈ H1 et (x2 , w) ∈ H2 . Comme dans la preuve de (i), on associe à ces données un groupe H  défini et quasi-déployé sur F , ainsi ˜ b) qu’une classe de cocycle b. On laisse le lecteur vérifier que les données (H, H,  et H = (H  , H , t˜) satisfont les conditions requises. ˜ qui sont indépendants Remarque. La preuve fournit un groupe H et un espace H  de la donnée endoscopique G .

VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général ˜ a). Soit V un enSoit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de (G, G,  ˜ b) semble fini de places de F contenant Vram (G ). Considérons des données (H, H,    ˜ et H = (H , H , t) vérifiant les hypothèses (1) à (6) du paragraphe précédent. ˜ 1 , C1,H , ξˆ1,H pour H , non ramiConsidérons aussi des données auxiliaires H1 , H   fiées hors de V . On a une projection H1 → H , un homomorphisme ι : G → H  , ˆ → G ˆ  . Notons G le produit fibré de H  défini sur F , et la projection duale ˆι : H 1 1   et G au-dessus de H et posons C1 = C1,H . On a la suite exacte 1 → C1 → G1 → G → 1. ˜ = Comme on l’a vu dans la preuve de 3.8, de ι se déduit une application ˜ι : G     ˜ →H ˜ = H ×Z(H) Z(H). ˜ On définit G ˜ 1 comme le produit fibré G ×Z(G) Z(G)    ˜ ˜ ˜ ˜ → G ˜  est compatible de H1 et G au-dessus de H . La projection naturelle G 1 avec la suite exacte ci-dessus. Du côté des groupes duaux, on vérifie que l’on a un

672

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

diagramme commutatif

1 1

1 ↓ ˆ ˆ θ,0 D ↓ ˆ → H ↓ ˆ → G ↓ 1

1 ↓ ˆ ˆ θ,0 = D ↓ ˆ → H1 ↓ ˆ 1 → G ↓ 1

→ Cˆ1  → Cˆ1

→ 1 → 1

dont toutes les suites sont exactes. On a aussi une suite exacte ˆ θ,0 → H → G  → 1 . 1→D ˆ

 ˆ ˆ θ,0 En quotientant par D , il se déduit du plongement ξˆ1,H : H → L H 1 un plongement  ξˆ1 : G  → L G1 . ˜ 1 , C1 , ξˆ1 sont des données auxiliaires pour G qui sont non Les données G1 , G ramifiées hors de V . On les complète par une famille d’espaces hyperspéciaux  ˜ 1,v )v∈V vérifiant les conditions usuelles, cf. 1.1. Les groupes G et H  ont même (K groupe adjoint. Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial Kv détermine   donc de tels sous-groupes KH,v de H  (Fv ) puis K1,H,v de H1 (Fv ). Alors l’ensemble  ˜  ) est un espace hyperspécial de H ˜  (Fv ). On le note K ˜ ˜ι1 (K K1,H,v 1,v 1,v 1,H,v . La fa˜ ) vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. On complète mille (K 1,H,v v∈V les données auxiliaires H1 etc. . . par cette famille. ˜  et Pour toute place v, on introduit les ensembles Dv et D1,v relatifs à G    ˜ ˜ ˜ G1 sur Fv et les ensembles similaires DH,v et D1,H,v relatifs à H et H1 . On a vu dans la preuve de 3.8 que pour (δ, γ) ∈ Dv , on a (˜ι (δ), ˜ι(γ)) ∈ DH,v . Il en ˜ → H ˜  est résulte que, pour (δ1 , γ) ∈ D1,v , on a (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ)) ∈ D1,H,v , où ˜ι1 : G 1 1  l’application naturelle. Puisque H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer les constructions de la preuve de la proposition 3.7 : de nos choix d’espaces hyperspéciaux  se déduit un facteur de transfert normalisé, notons-le  Δ1,H,V sur D1,H,V = v∈V D1,H,v . On définit une fonction Δ1,V sur D1,V = v∈V D1,v par Δ1,V (δ1 , γ) = Δ1,H,V (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ)). On a (1) Δ1,V est un facteur de transfert.

Preuve. Puisque Δ1,H,V en est un, il suffit de prouver que (2) pour toute place v et tous (δ1 , γ), (δ 1 , γ) ∈ D1,v , on a l’égalité Δ1,H,v (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ); ˜ι1 (δ 1 ), ˜ι(γ)) = Δ1,v (δ1 , γ; δ1 , γ). On reprend les définitions de [I] 2.2 en ajoutant judicieusement des indices ˜ Les facteurs ΔII intervenant sont les mêmes des H pour les termes relatifs à H.

VI.3. Endoscopie

673

deux côtés car ces facteurs sont insensibles aux centres et on a GAD = HAD ,  . Il faut comparer les facteurs Δimp,H,v et Δimp,v . On a des égalités GAD = HAD  −1 , Δimp,v (δ1 , γ; δ1 , γ) = (V, ν 1 ), (Vˆ1 , s)  −1 Δimp,H,v (˜ι1 (δ1 ), ˜ι(γ); ˜ι1 (δ 1 ), ˜ι(γ)) = (VH , ν 1,H ), (Vˆ1,H , t) , les produits étant respectivement ceux sur 1−θ 1−θˆ ˆ ) H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ) × H 1,0 (WFv ; Sˆ1 → U

et 1−θ 1−θˆ ˆ H 1,0 (ΓFv ; UH → S1,H ) × H 1,0 (WFv ; Sˆ1,H → U H ).

En fait, on a UH = U et des homomorphismes duaux S1 → S1,H , Sˆ1,H → Sˆ1 . En choisissant convenablement les données auxiliaires intervenant, on vérifie que (Vˆ1 , s) est l’image naturelle de (Vˆ1,H , t) par l’homomorphisme 1−θˆ ˆ 1−θˆ ˆ 1,0 H 1,0 (WFv ; Sˆ1,H → U (WFv ; Sˆ1 → U ), H) → H

tandis que (VH , ν 1,H ) est l’image naturelle de (V, ν 1 ) par l’homomorphisme dual 1−θ

1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U → S1 ) → H 1,0 (ΓFv ; UH → S1,H ). L’égalité (2) résulte alors simplement de la compatibilité des produits. Cela prouve (2) et (1).  Pour v ∈ V , on a deux facteurs de transfert normalisés Δ1,v sur D1,v et Δ1,H,v sur D1,H,v . Pour (δ1,v , γv ) ∈ D1,v , on a l’égalité (3) Δ1,v (δ1,v , γv ) = Δ1,H,v (˜ι1 (δ1,v ), ˜ι(γv )). La preuve est similaire à celle de (2). Comme en 3.7, de l’existence du facteur de transfert Δ1,V va résulter la proposition suivante. Proposition. Il existe un isomorphisme canonique Cc∞ (GV )  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). ˜ b) etc. . . et on construit le facteur de transPreuve. On choisit des données (H, H, fert Δ1,V sur D1,V . Comme en 3.7, on a alors les isomorphismes ∞ ˜ 1 (FV ))  ⊗v∈V Cc∞ (Gv ), (G Cc∞ (GV )  Cc,λ 1

˜  )v∈V et le second au facteur de transfert le premier étant relatif aux données (K 1,v Δ1,V . Le composé de ces isomorphismes fournit celui de l’énoncé.

674

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On doit montrer qu’il est «canonique», c’est-à-dire qu’il ne dépend pas des données auxiliaires. ˜ b), H = (H  , H , t˜), mais remplaçons H  , Conservons les données (H, H, 1  ˆ ˜ ˜ 2 , C2,H , ξˆ2,H . On en déduit H1 , C1,H , ξ1,H par d’autres données auxiliaires H2 , H ˜  , C2 , ξˆ2 pour G . On fixe des familles de nouvelles données auxiliaires G2 , G 2    ˜ ˜ ˜ ˜  est un sous-espace hyperspécial de (K1,v )v∈V et (K2,v )v∈V où K1,v , resp. K 2,v ˜ 1 (Fv ), resp. G ˜ 2 (Fv ). Il s’en déduit des familles (K ˜ ˜ G 1,H,v )v∈V et (K2,H,v )v∈V où    ˜ ˜ ˜ ˜ 2 (Fv ). K1,H,v , resp. K2,H,v est un sous-espace hyperspécial de H1 (Fv ), resp. H Comme dans la preuve de 3.7, on a deux isomorphismes ∞ ∞ ˜ 1 (FV ))  Cc,λ ˜ 2 (FV )) (G (G Cc,λ 1 2

dont nous voulons prouver qu’ils sont égaux. Ils sont donnés par des fonctions de ˜12,Δ,V sur G ˜ 12,K,V et λ ˜  (FV ). Comme en 3.7, il s’agit de prouver recollement λ 12 que ces fonctions sont égales. Mais pour H , on a aussi des fonctions de recollement  ˜ 12,H,K,V et λ ˜12,H,Δ,V sur H ˜ 12 λ (FV ). Des applications ˜ι1 et ˜ι2 (avec des notations ˜ → H ˜  . Il résulte des définitions et évidentes) se déduit une application ˜ι12 : G 12 12 de (2) et (3) que l’on a les égalités ˜12,H,K,V ◦ ˜ι , λ ˜12,Δ,V = λ ˜ 12,H,Δ,V ◦ ˜ι . ˜ 12,K,V = λ λ 12 12 Parce que H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer la preuve de 3.7 ˜ 12,H,K,V = λ ˜ 12,H,Δ,V . L’égalité cherchée λ ˜12,K,V = λ ˜ 12,Δ,V qui montre l’égalité λ s’ensuit. ˜ b), H = (H  , H , t˜), Remplaçons maintenant les données auxiliaires (H, H, ˜  ˜ ¯ H, ¯ b) etc. . . vérifiant les mêmes conditions. En H1 , H1 , C1,H , ξˆ1,H par d’autres (H, ˜ b) et H = (H  , H , t˜ ) utilisant le lemme 3.8 (ii), on introduit des données (H, H, ˜¯ b) et H . On peut fixer des données ¯ H, ˜ b) et H ainsi que (H, qui dominent (H, H,  ˜ , C , ξˆ . On peut décomposer la preuve en deux : prouver auxiliaires H  , H 1

1

1,H

1,H

que l’isomorphisme ne change pas quand on remplace les données H etc. . . par les données H etc. . . puis qu’il ne change pas quand on remplace les données H ¯ etc. . . Les deux assertions sont similaires. On peut ne démontrer etc. . . par H ¯ etc. . . On s’est ainsi ramené au que la première partie et oublier les données H ˜ b) et H = (H  , H , t˜ ) dominent (H, H, ˜ b) et H . En cas où les données (H, H, ˜ → H ˜ et, particulier, on a des plongements compatibles κ : H → H, κ ˜ : H ˆ˜ . On a aussi des homomorphismes compatibles dualement, des plongements κ ˆ et κ ˜ → H ˜  . Le même procédé qui nous a permis de déduire de ˜ : H κ : H  → H  et κ H1 etc. . . des données auxiliaires G1 etc. . . nous permet maintenant de déduire des ˜  etc. . . Par données H 1 etc. . . des données auxiliaires pour H , que l’on note H2 , H 2     exemple, H2 est le produit fibré de H et H 1 au-dessus de H . D’après ce que l’on a déjà démontré, notre isomorphisme est insensible au changement de ces données auxiliaires, on peut donc supposer que H1 = H2 etc. . . Il résulte des constructions ˜ 1 , C1 , ξˆ1 pour G déduites de H1 etc. . . sont les que les données auxiliaires G1 , G

VI.3. Endoscopie

675

mêmes que celles déduites de H 1 etc. . . On a d’ailleurs C1 = C1,H = C1,H . On ˜  )v∈V d’espaces hyperspéciaux, dont on déduit des familles fixe une famille (K 1,v   ˜ ˜ )v∈V . Pour v ∈ V , ces familles déterminent des facteurs (K1,H,v )v∈V et (K1,H,v de transfert normalisés Δ1,H,v et Δ1,H,v . On démontre les assertions similaires à (2) et (3) : (4) pour v ∈ Val(F ) et (δ1,v , γv ), (δ 1,v , γ v ) ∈ D1,H,v , on a l’égalité κ1 (δ1,v ), κ ˜ (γv ); κ ˜1 (δ 1,v ), κ ˜ (γ v )) = Δ1,H,v (δ1,v , γv ; δ 1,v , γ v ); Δ1,H,v (˜ (5) pour v ∈ V et (δ1,v , γv ) ∈ D1,H,v , on a l’égalité κ1 (δ1,v ), κ ˜ (γv )) = Δ1,H,v (δ1,v , γv ). Δ1,H,v (˜  de H  vérifiant l’hypothèse (Hyp) et construisons Fixons un tore maximal TH ˜  (AF ) × H(A ˜ F ) comme en 3.6. Alors le commutant T  de des éléments (δ1 , γ) ∈ H 1 H ˜  (AF ) × κ (δ1 ), κ ˜ (γ)) ∈ H κ (T  ) dans H  vérifie l’hypothèse (Hyp) et les éléments (˜ 1 ˜ F ) vérifient les hypothèses de ce paragraphe. De plus, on a H(A

(6)

ΔH (δ1 , γ) = ΔH (˜ κ (δ1 ), κ ˜ (γ)).

La preuve est similaire à celle de (2). Il résulte de (4), (5) et (6) que, pour (δ1,V , γV ) ∈ D1,H,V , on a l’égalité Δ1,H,V (˜ κ1 (δ1,V ), κ(γV )) = Δ1,H,V (δ1,V , γV ). ˜→H ˜ est le composé du plongement similaire ˜ιH : G ˜→H ˜ et Le plongement ˜ιH : G    de κ ˜ . De même, l’application ˜ιH est la composée de ˜ιH et de κ ˜ . L’égalité précédente montre que le facteur de transfert Δ1,V pour G déduit de Δ1,H,V est le même que celui déduit de Δ1,H,V . Donc l’isomorphisme ∞ ˜  (FV )) (G ⊗v∈V Cc∞ (Gv )  Cc,λ 1 1

est inchangé quand on remplace les données H etc. . . par H etc. . . L’isomorphisme ∞ ˜ 1 (FV )) Cc∞ (G V )  Cc,λ (G 1

˜  )v∈V . Cela ne change pas non plus puisqu’il ne dépend que de la famille (K 1,v achève la preuve.  Remarque. En 3.3, on a défini l’espace Cc∞ (G V ) en supposant G relevante et V ⊃ Vram (G ). Supposant toujours G relevante et soit V un ensemble fini quelconque de places de F . On peut poser Cc∞ (G V ) = ⊗v∈V Cc∞ (Gv ). Il n’y a pas d’ambiguïté puisque la proposition précédente affirme que, dans le domaine commun des deux définitions (c’est-à-dire quand V contient Vram (G )), les deux espaces ainsi définis sont canoniquement isomorphes.

676

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.3.10 Adaptation aux K-espaces Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique relevante de ce K-espace. On fixe un ensemble fini V de places contenant Vram et des données auxiliaires non ramifiées hors de V . Soit v une place de F . Le bifacteur Δ1,v s’étend à tout le K-espace, c’est-àdire que l’on peut définir des termes Δ1,v (δ1 , γ; δ1 , γ) pour deux couples (δ1 , γ), ˜ p (Fv ) et γ ∈ G ˜ p (Fv ). La définition est la même (δ 1 , γ) se correspondant, avec γ ∈ G qu’en [I] 2.3. Avec les définitions de 1.16, on a les égalités Δ1,v (δ1 , γ; δ , γ) = Δ1,v (δ1 , φ˜  (γ); δ , φ˜  (γ)), si v est finie ou complexe ; 1

p ,p

Δ1,v (δ1 , γ; δ 1 , γ) =

1

p ,p

˜ ˜ ω(hp h−1 p )Δ1,v (δ1 , φp ,p (γ); δ 1 , φp ,p (γ))

si v est réelle.

Considérons les deux hypothèses Hyp . Il existe un sous-tore maximal T  de F , défini sur F , de sorte que, pour toute place v de F , il existe pv ∈ Π et un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) avec ˜ pv (Fv ) ; δv ∈ T˜  (Fv ) et γv ∈ G Hyp . Il existe un sous-tore maximal T  de F , défini sur F , et un élément p ∈ Π de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δv , γv ) ∈ D(Gv ) ˜ p (Fv ). avec δv ∈ T˜  (Fv ) et γv ∈ G Elles sont équivalentes. En effet, la seconde implique évidemment la première. Supposons Hyp vérifiée. Pour toute place réelle, fixons pv vérifiant cette hypothèse. D’après le lemme 1.16, il existe p ∈ Π, d’ailleurs unique, tel que p soit v-équivalent à pv pour toute place v réelle. On voit alors que cet p vérifie Hyp . Supposons ces hypothèses vérifiées. On fixe T  et p vérifiant Hyp . Appli˜ p , on construit un couple (δ1 , γ) quant la construction de 3.6 à la composante G ˜ avec γ ∈ Gp (AF ) et un terme Δ(δ1 , γ). Si on remplace les données T  , p, δ1 et γ par d’autres données T  , p, δ 1 et γ, la proposition 3.6(ii) est encore vérifiée, les bifacteurs étant étendus comme ci-dessus au K-espace. La seule modification à faire à la démonstration est la suivante : en 3.6, on a fixé r ∈ GSC (F¯ ) tel que adr (E ∗ ) = E ∗ et on a posé uE ∗ (σ) = ruE ∗ (σ)σ(r)−1 ; il faut maintenant fixer r ∈ Gp,SC (F¯ ) tel que adr ◦φp,p (E ∗ ) = E ∗ et poser uE ∗ (σ) = rφp,p (uE ∗ (σ))∇p,p (σ)σ(r)−1 . Cette construction une fois faite, le reste des paragraphes 3.6 et 3.7 s’adapte sans changement aux K-espaces. Les paragraphes 3.8 et 3.9 s’adaptent aussi de la façon suivante. Fixons p ∈ Π et effectuons les constructions de 3.8 pour la composante Gp . On construit donc ˜ p comme en 3.8 relatif à Gp et G ˜ p . Pour q ∈ Π, on un groupe Hp et un espace H ˜ ¯ ˜ p ; on introduit un groupe Hq et un espace Hq : sur F , ils sont égaux à Hp et H H H ˜q → H ˜ p , on définit les actions galoinotant les identités φp,q : Hq → Hp et φ˜p,q : H H −1 ˜ = ad∇p,q (σ) siennes sur Hq et Hq de sorte que l’on ait les égalités φH p,q ◦ σ(φp,q )

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

677

˜H −1 = ad∇ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . On a alors des plongements et φ˜H p,q ◦ σ(φp,q ) p,q ˜q → H ˜ q définis sur F de sorte que les diagrammes suivants soient Gq → Hq et G commutatifs ˜p ˜p → Hp → H Gp G ˜p,q ↑ φp,q ↑ φH ↑ φ ↑ φ˜H p,q p,q ˜ ˜ Gq Gq → Hq → Hq . ˜ q )q∈Π n’a pas de raison d’être un K-espace au sens de 1.16 car La collection (H les applications H 1 (F ; Gq ) → H 1 (F ; Hq ) ne sont pas bijectives en général. Mais les conditions précises imposées en 1.16 ne servent qu’aux formules d’inversion de [I] 4.9. Elles ne sont pas nécessaires pour définir les facteurs de transfert de ˜ la la même façon que ci-dessus. Par abus de notations, on notera encore K H ˜ q )q∈Π . Alors, comme en 3.9, on définit les facteurs de transfert pour collection (H ˜ On obtient les cette collection puis on les restreint au K-espace de départ K G. mêmes conséquences qu’en 3.9.

VI.4 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et soit On suppose (G, G, V un ensemble fini de places. Posons st st ˜ (FV )) = Dst ˜ ˜ ˜ Dst (M ˜ -équi (M (FV )) + Dtr-orb (M (FV )) ⊂ Dg´ eom (M (FV )). g´ eom,G

On va définir une forme bilinéaire ˜

G (δ, f ) → SM ˜ (δ, f )

sur le produit

˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ × Cc∞ (G(F ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )) . Dst (M Le théorème qui suit énonce une de ses propriétés clés. On le prouvera au paragraphe suivant. ˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ , la distribution f → Théorème. Pour tout δ ∈ Dst (M ˜ G ˜ V )) ⊗ SM˜ (δ, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise par la projection de Cc∞ (G(F ˜ Mes(G(FV )) dans SI(G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )). Conformément à nos hypothèses de récurrence, on admet cette propriété ˜  ) vérifiant les mêmes hypothèses que (G, G) ˜ et tels que pour les couples (G , G  dim(GSC ) < dim(GSC ). Supposons définie notre forme bilinéaire. On doit étendre la définition à la situation «avec caractère central» de 1.15. On doit aussi montrer que, pour deux

678

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 12,V comme dans ce ˜ 1, G ˜ 2 de G ˜ et pour une fonction de recollement λ extensions G paragraphe, les deux définitions de la forme bilinéaire se recollent. Admettons cela ˜  ) comme ci-dessus. Soit s ∈ Z(M ˆ )ΓF . On par récurrence pour les couples (G , G  définit la donnée endoscopique G (s) comme dans le cas local (cf. [I] 3.3), dont la ˆ ΓF , donnée endoscopique maximale M est une «donnée de Levi». Pour s ∈ Z(G)  on a dim(G (s)SC ) < dim(GSC ) et les propriétés formelles ci-dessus permettent G (s) de définir SM (δ, f ) pour δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M (FV ))∗ et f ∈ SI(G (s)V ) ⊗ Mes(G (FV )). On définit d’autre part  ˆ  (s))ΓF : Z(G) ˆ ΓF ]−1 , si G (s) est elliptique, [Z(G  ˜ ˜ iM˜ (G, G (s)) = 0, sinon. On peut alors poser la définition  ˜ ˜ G G SM ˜ (δ, f ) = IM ˜ (δ, f ) −



˜ G ˜  (s))S G (s) (δ, f G (s) ). iM˜ (G, M

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

Il est clair que cette forme est invariante en f , c’est-à-dire ne dépend que de ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). l’image de f dans I(G(F

VI.4.2 Formules de décomposition La situation est la même que dans le paragraphe précédent. Le lien entre la forme bilinéaire qu’on y a définie et ses avatars locaux définis en [II] 1.10 et [V] 1.4 et ˜2 ∈ ˜ 1, L 2.4 est donné par la proposition suivante. Soient deux espaces de Levi L ˜ G G G ˜ 1, L ˜ 2 ) = 0. Alors A ∩ A = {0}. Cette condition entraîne ˜ ) tels que d (L L(M ˜ L1 L2 M dualement que l’homomorphisme ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF → Z(M ˆ )ΓF /Z(L ˆ 1 )ΓF ⊕ Z(M ˆ )ΓF /Z(L ˆ 2 )ΓF Z(M ˜ ˜ G ˜ est surjectif et de noyau fini. On note kM ˜ (L1 , L2 ) le nombre d’éléments de ce noyau ˜ ˜ ˜ ˜ 1, L ˜ 2 ) = dG (L ˜ 1, L ˜ 2 )k G (L ˜ 1, L ˜ 2 )−1 . Si au contraire dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ) = 0, et on pose eG (L ˜ M

˜ M

˜ M

˜ M

˜ ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜v ˜ ˜ ˜V on pose eG ˜ (L1 , L2 ) = 0. Soit L = (L )v∈V ∈ L(MV ) tel que dM ˜ V (M , L ) = 0. M Cette condition entraîne encore que l’homomorphisme

ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF → ⊕v∈V Z(M ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v )ΓFv Z(M ˜ G ˜ ˜V est surjectif et de noyau fini. On note kM ˜ V (M , L ) le nombre d’éléments de ce ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜ ˜ V G˜ (M ˜,L ˜ V )−1 . Si au contraire noyau et on pose eG ˜ V (M , L ) = dM ˜ V (M , L )kM ˜V M ˜ ˜,L ˜ V ) = 0, on pose eG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0. dG (M ˜V M

˜V M

˜ (FV ))⊗ Mes(M (FV ))∗ et f = ⊗v∈V fv ∈ Proposition. Soient δ = ⊗v∈V δ v ∈ Dst (M ∞ ˜ Cc (G(FV )) ⊗ Mes(G(FV )).

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

679

(i) On a l’égalité 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜

˜ ˜V eG ˜ V (M , L ) M

˜ V ∈L(M ˜V ) L



˜v

L SM ˜ v ). ˜ v (δ v , fv,L

v∈V

(ii) Supposons V réunion disjointe de V1 et V2 . Pour i = 1, 2, posons δ i = ⊗v∈Vi δ v et fi = ⊗v∈Vi fv . Alors 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜1 ˜2 ˜ ˜ L L ˜ eG ˜ 1 )SM ˜ 2 ). ˜ (L1 , L2 )SM ˜ (δ 1 , f1,L ˜ (δ 2 , f2,L M

˜ 1 ,L ˜ 2 ∈L(M ˜) L

(iii) Supposons V réduit à une place v. Alors 

˜

G SM ˜ (δ, f ) =

˜

˜v

˜ ˜ v L˜ (δ, f ˜ v ). eG ˜ v (M , L )SM L M v

˜ v ∈L(M ˜ v) L

Preuve. On ne démontre pas cette proposition car nous ferons une démonstration analogue au paragraphe 4.4, dans une situation plus générale. On va simplement montrer ici que (i) est équivalente à la réunion des deux assertions (ii) et (iii). On va commencer par l’implication (ii)+(iii) implique (i).On raisonne par récurrence sur le nombre d’éléments de V . Si V est réduit à une place v, l’assertion (i) est identique à (iii). Si V a au moins deux éléments, on décompose V en union disjointe V1  V2 de deux sous-ensembles non vides, donc de nombres d’éléments strictement inférieurs à celui de V . On applique (ii). Pour i = 1, 2, on applique ˜i L (i) par récurrence aux termes SM ˜ i ) qui interviennent. Il apparaît des en˜ (δ i , fi,L ˜i ˜ L ˜ ˜ V ) est le produit de sembles de sommation L (MVi ) ⊂ L(MVi ). L’ensemble L(M ˜ ˜ L(MV1 ) et de L(MV2 ). On pose ˜ ˜ ˜ V ) = LL˜ 1 (M ˜ V1 ) × LL˜ 2 (M ˜ V2 ). LL1 ,L2 (M ˜ ˜ Vi ) est donc une somme sur Un produit pour i = 1, 2 de sommes sur LLi (M ˜2 ˜ ˜ 1 ,L L (MV ). D’où L ˜

˜

L1 L2 SM ˜ 1 )SM ˜2 ) ˜ (δ 1 , f1,L ˜ (δ 2 , f2,L  ˜v  ˜1 L L ˜,L ˜ V1 )eL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ) eM˜ (M SM = ˜v ) ˜ v (δ v , fv,L ˜ M ˜ ,L ˜ ˜ V ∈LL ˜V ) 1 2 (M L

V1

V2

v∈V

˜ Vi pour i = 1, 2 les deux composantes de L ˜ V ). En inversant les sommes (on a noté L V ˜ ˜ ˜ en L1 , L2 et en L , on obtient   ˜v ˜ ˜ G G L ˜ ˜V EM SM SM ˜ v ), ˜ v (δ v , fv,L ˜ (δ, f ) = ˜ V (M , L ) ˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

680

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où 

˜ G ˜ ˜V EM ˜ V (M , L ) =

˜ ˜ ˜ L˜ 1 (M ˜,L ˜ V1 )eL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ). eG ˜ (L1 , L2 )eM ˜ ˜ M M V1

˜ 1 ,L ˜ 2 ∈L(M ˜ ), L ˜ ,L ˜ L V ˜ ˜V ) 1 2 L ∈L (M

V2

˜ V ), on a ˜ V ∈ L(M Pour obtenir (i), il reste à prouver que, pour L ˜ ˜ G G ˜ ˜V ˜ ˜V EM ˜ V (M , L ) = eM ˜ V (M , L ).

(1) On montre que

˜ 1, L ˜ 2 ∈ L(M ˜ ) tels que L ˜ V ∈ LL˜ 1 ,L˜ 2 (M ˜ V ) et (2) s’il existe L ˜

˜

˜

˜ ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )dL2 (M ˜,L ˜ V2 ) = 0, dG ˜ (L1 , L2 )dM ˜ ˜ M M V1

V2

˜ ˜ ˜V alors dG ˜ (M , L ) = 0. M V

˜

1 ˜ ˜ V1 L’hypothèse dL ˜ (M , L ) = 0 signifie que M V1

˜

˜

˜

L1 L1 1 ΔV1 (AL ˜ ) ⊕ AL ˜ V1 = AM ˜ , M V1

˜

où on utilise les notations de 1.4. En ajoutant l’espace ⊕v∈V1 AG ˜ 1 , qui est en somme L directe avec les précédents, on obtient ˜

˜

˜

G G 1 ΔV1 (AL ˜ V1 = AM ˜V . ˜ ) ⊕ AL M 1

De même en remplaçant les indices 1 par 2. En sommant les égalités obtenues, on obtient ˜

˜

˜

˜

L2 G G 1 ΔV1 (AL ˜ V = AM ˜V . ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊕ AL M

(3)

Montrons que l’on a l’inclusion (4)

˜

˜

˜

˜

˜

L2 G G G 1 ΔV1 (AL ˜ ) + (ΔV1 (AL ˜ 1 ) ⊕ ΔV2 (AL ˜ 2 )). ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊂ ΔV (AM M

˜ ˜ ˜ L’hypothèse dG ˜ (L1 , L2 ) = 0 entraîne que l’application linéaire somme des projecM tions orthogonales ˜1 ˜2 ˜ L → AL AG ˜ ˜ ⊕ AM ˜ M M ˜ ˜ H → (H L1 , H L2 ) ˜

i est bijective. Pour i = 1, 2, soit Hi ∈ AL ˜ . On introduit l’image réciproque H de M (H1 , H2 ) par l’application précédente. Alors

ΔV1 (H1 ) + ΔV2 (H2 ) = ΔV (H) − ΔV1 (HL˜ 1 ) − ΔV2 (HL˜ 2 ).

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

681

Le membre de droite appartient au membre de droite de (4), ce qui prouve cette assertion. ˜ ˜ ˜ G G L’espace AG ˜ V contient ΔV1 (AL ˜ 1 ) ⊕ ΔV2 (AL ˜ 2 ). Grâce à (3) et (4), on obtient L l’inclusion (5)

˜

˜

˜

˜

˜

˜

L1 L2 G G G AG ˜ V = ΔV1 (AM ˜ V ⊂ ΔV (AM ˜ ) + AL ˜V . ˜ ) ⊕ ΔV2 (AM ˜ ) ⊕ AL M ˜

La somme des dimensions est la même des deux côtés. En effet, ΔV (AG ˜ ) a même M ˜

˜

˜

Li Li dimension que AG ˜ et, pour i = 1, 2, ΔVi (AM ˜ ) a même dimension que AM ˜ . Or M ˜ ˜ ˜ ˜ L1 L2 G ˜ G ˜ l’hypothèse dM˜ (L1 , L2 ) = 0 entraîne que AM˜ = AM˜ ⊕ AM˜ . Cela implique l’égalité voulue des dimensions. Mais celle-ci implique que les espaces du membre de droite de (5) sont en somme directe et que l’inclusion est une égalité, c’est-à-dire

(6)

˜

˜

˜

G G ΔV (AG ˜ ) ⊕ AL ˜ V = AM ˜V . M

Cela signifie que la conclusion de (2) est vérifiée. Inversement, on a ˜ ˜ ˜V ˜ ˜ (7) si dG ˜ V (M , L ) = 0, alors il existe un unique couple (L1 , L2 ) vérifiant les M hypothèses de (2). AL˜ v

˜ V1 ∈ LL˜ 1 (M ˜ V1 ) signifie que A ˜ ⊂ Montrons d’abord l’unicité. La condition L L1 ˜ ˜,L ˜ V1 ) = 0 entraîne pour tout v ∈ V1 . La condition dL1 (M ˜V M 1

˜

˜

L1 1 AL ˜ ∩ (∩v∈V1 AL ˜ ) = {0}. M v

Leur conjonction conduit à l’égalité (8)

AL˜ 1 = AM˜ ∩ (∩v∈V1 AL˜ v ).

˜ 1 et de même celle de L ˜ 2 . Inversement, notons B l’intersection de D’où l’unicité de L droite ci-dessus, soit T le sous-tore défini sur F de AM˜ tel que X∗ (T ) = X∗ (AM˜ ) ∩ ˜ Il contient M ˜ et les L ˜ v pour v ∈ V1 . A ˜ 1 le commutant de T dans G. B. Soit L fortiori, il est non vide et c’est donc un espace de Levi. Les inclusions ci-dessus entraînent que AL˜ 1 est contenu dans B. Mais il contient par définition X∗ (T ) qui ˜1 engendre B. Il est donc égal à B. Cela prouve l’existence d’un espace de Levi L ˜ 2 . On va montrer que le couple (L ˜ 1, L ˜ 2) vérifiant (8). On définit de même l’espace L vérifie les hypothèses de (2). La définition de ces espaces n’entraîne pas l’égalité (3), mais elle entraîne que les espaces du membre de gauche de cette égalité sont ˜ ˜ ˜V en somme directe. L’hypothèse dG ˜ V (M , L ) = 0 entraîne l’égalité (6). On déduit M de ces deux faits l’inégalité ˜

˜

˜

L1 L2 dim(AG ˜ ) ≥ dim(AM ˜ ) + dim(AM ˜ ). M

682

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ 2 entraînent que L’égalité (8) et son analogue pour L AL˜ 1 ∩ AL˜ 2 = AM˜ ∩ (∩v∈V AL˜ v ). ˜ ˜ ˜V Mais cette intersection est réduite à AG˜ en vertu de l’hypothèse dG ˜ (M , L ) = 0. M V

˜

˜

G Donc les espaces AG ˜ 1 et AL ˜ 2 sont en somme directe. En prenant les orthogonaux, L on obtient l’égalité ˜1 ˜2 ˜ L L AG ˜ = AM ˜ + AM ˜ . M

L’inégalité de dimensions prouvée ci-dessus entraîne que la somme de droite est ˜ ˜ ˜ directe. D’où dG ˜ (L1 , L2 ) = 0. D’où aussi : cette inégalité de dimensions est une M égalité. En reprenant le raisonnement conduisant à cette inégalité, on voit que ˜i l’égalité (3) est vérifiée. En la projetant sur ⊕v∈Vi AL ˜ , on obtient M ˜

˜

˜

Li Li i ΔVi (AL ˜ ) ⊕ AL ˜ Vi = AM ˜ . M Vi

˜

i ˜ ˜ Vi Cela signifie que dL ˜ (M , L ) = 0 pour i = 1, 2. Cela prouve (7). M Vi

Grâce à (2) et (7), on obtient ⎧ ˜ ˜ ˜V ⎨ 0, si dG ˜ V (M , L ) = 0, ˜ M G V ˜,L ˜ )= EM˜ V (M ˜ ˜ ˜ 1, L ˜ 2 )eL1 (M ˜,L ˜ V1 )eL2 (M ˜,L ˜ V2 ), si dG˜ (M ˜,L ˜ V ) = 0, ⎩ eG˜˜ (L ˜ ˜ ˜ M M M M V1

V

V2

˜ 2 ) est le couple déterminé par (7). Pour prouver (1), on peut supposer ˜ 1, L où (L ˜ ˜ ˜V dG ˜ (M , L ) = 0 et il faut prouver l’égalité M V

˜

˜

˜

˜

G ˜ ˜ ˜V ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )eL2 (M ˜,L ˜ V2 ). eG ˜ V (M , L ) = eM ˜ (L1 , L2 )eM ˜ ˜ M M V1

V2

Elle se décompose en les deux égalités ˜ ˜ ˜ G ˜ ˜V ˜ L˜ 1 (M ˜,L ˜ V1 )dL˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ), dG ˜ V (M , L ) = dM ˜ (L1 , L2 )dM ˜ ˜ M M V1

V2

et (9)

˜

˜

˜

˜

G G ˜ ˜ ˜V ˜ L1 (M ˜,L ˜ V1 )k L2 (M ˜,L ˜ V2 ). kM ˜ V (M , L ) = kM ˜ (L1 , L2 )kM ˜ ˜ M V1

V2

La première se prouve en reprenant les démonstrations de (2) et (7) et en précisant comment se comportent les mesures selon les différentes décompositions en somme directe. On laisse les détails fastidieux au lecteur. Prouvons (9). L’homomorphisme ˆ v )ΓFv ˆ )ΓF Z(M Z(M → ⊕v∈V ˆ ΓF ˆ v )ΓFv Z(G) Z(L

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

683

se décompose en le produit de ˆ )ΓF ˆ )ΓF ˆ )ΓF Z(M Z(M Z(M → ⊕ ˆ ΓF ˆ 1 )ΓF ˆ 2 )ΓF Z(G) Z(L Z(L et de ˆ )ΓF ˆ )ΓF Z(M Z(M ⊕ → ˆ 1 )ΓF ˆ 2 )ΓF Z(L Z(L



ˆ v )ΓFv Z(M ⊕v∈V1 ˆ v )ΓFv Z(L



 ⊕

ˆ v )ΓFv Z(M ⊕v∈V2 ˆ v )ΓFv Z(L

 .

˜ G ˜ ˜V Tous ces homomorphismes sont surjectifs. Donc le nombre d’éléments kM ˜ V (M , L ) du noyau du composé est le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux homomorphismes ci-dessus. Ceux-ci sont respectivement ˜ ˜ G ˜ kM ˜ (L1 , L2 )

˜1 L ˜ ˜ V1 L˜ 2 (M ˜,L ˜ V2 ). et kM ˜ (M , L )kM ˜ V1

V2

Cela prouve (9) et achève la preuve de l’implication (ii) + (iii) implique (i). En fait, on a prouvé que, si on admettait (i) pour les facteurs du membre de droite de (ii), alors ce membre de droite était égal à celui de (i). Mais cela démontre que (i) implique (ii). De plus, (iii) n’est que (i) dans le cas particulier où V n’a qu’un élément. Donc (i) implique (ii) + (iii).  Le (i) de cette proposition ramène la preuve des propriétés requises de la ˜ G forme bilinéaire (δ, f ) → SM ˜ (δ, f ) à celle des mêmes propriétés pour ses avatars locaux. En ce qui concerne les propriétés formelles, on a fait cette preuve en [II] 1.10. La propriété de stabilité a été prouvée en [III] 2.8 dans le cas non-archimédien, en [V] 1.5 et section 4 dans le cas archimédien. Cela prouve le théorème 4.1. Variante. Supposons donné un système de fonctions B comme en 1.10. En rempla˜ ˜ G G çant les intégrales IM ˜ (γ, f ) par leurs variantes IM ˜ (γ, B, f ) dans les constructions ˜

G précédentes, on définit les variantes SM ˜ (δ, B, f ) des intégrales orbitales pondérées stables. Elles vérifient des propriétés analogues aux précédentes.

VI.4.3 Une propriété de support Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent mais on suppose que V contient Vram . ˜ V ))⊗Mes(G(FV )). Lemme. Soit Ξ ⊂ AM˜ un ensemble compact et soit f ∈ Cc∞ (G(F ˜ (FV ) tel que, pour tout δ ∈ Alors il existe un sous-ensemble compact C˜V de M ˜ (FV )) ⊗ Mes(M (FV ))∗ vérifiant les deux conditions : Dst (M ˜ ˜ du support de δ est contenu dans Ξ, – l’image par H MV

˜

G – SM ˜ (δ, f ) = 0,

il existe un élément du support de δ qui soit conjugué à un élément de C˜V par un élément de M (FV ).

684

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Preuve. On utilise la définition. ˜ ˜ G G Pour que SM ˜ (δ, f ) soit non nul, il faut que IM ˜ (δ, f ) soit non nul ou qu’il  G (˜ s) ΓF ΓF ˆ ˆ existe s˜ ∈ Z(M ) /Z(G) avec s˜ = 1 de sorte que SM (δ, f G (˜s) ) soit non nul. Dans le premier cas, on conclut par le lemme 1.12. Dans le deuxième, l’application ˜ ou G ˜  (˜ ˜ ˜ ne dépendant pas des espaces ambiants G s), les hypothèses restent H MV ˜ par G ˜  (˜ vérifiées si l’on remplace G s). Puisque s˜ = 1, on peut appliquer le lemme par récurrence, ce qui conduit encore à la conclusion. 

VI.4.4 Le système de fonctions B G ˜

˜ a). Revenons au cas général. Soit G = (G ,G  ,˜ s) une donnée endoscopique de (G, G,  ˜ Nous allons munir G d’un système de fonctions comme en 1.10 que nous noterons ˜ ˆ pour laquelle B G . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée Eˆ de G ˆ on utilise les notations usuelles, cf. [I] 1.5. En particulier, on suppose s˜ = sθ, ˆ avec s ∈ T . Fixons des paires de Borel épinglées E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) de G et E  =  (B , T  , (Eα  )α ∈Δ ) de G . On suppose E  définie sur F . On note T˜ l’ensemble ˜  tels que adδ ˜ tels que adγ conserve (B, T ) et T˜  l’ensemble des δ ∈ G des γ ∈ G    conserve (B , T ). On a un homomorphisme ξ : T → T , qui se prolonge en une ˜ application ξ˜ : T˜ → T˜  . Soit  ∈ T˜  , fixons η ∈ T˜ tel que ξ(η) = , écrivons ˜ E). Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z(G,     g et ΣG  (T ) celui des racines de T dans g . On a décrit maintes fois ce dernier ensemble. C’est la réunion des ensembles (a) (b) (c) (d)

les les les les

N α pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = 1 ; 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = 1 ; 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N α ˆ (s) = 1 ; N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N α ˆ (s) = −1.

On a introduit en 1.10 une décomposition T˜  = Ω∈Ω Ω. Soit Ω ∈ Ω tel que  ∈ Ω. Soit  un autre élément de Ω, que l’on relève en η  = ν  e ∈ T˜. Les ensembles   ΣG (T  ) et ΣG (T  ) sont égaux par définition de Ω. Une racine N α avec α de type 1 ne saurait être égale à une racine 2N β avec β de type 2, ni à N β avec β du type 3. Donc les racines de type (a) pour  sont aussi de type (a) pour  . De même, les racines de type (d) pour  sont aussi de type (d) pour  . Par contre, une racine de type (b), resp. (c), pour  pourrait être de type (b) ou (c) pour  . Mais, en tout cas, pour une racine 2N α de type (b) ou (c) pour , on a forcément N α(ν  ) = ±1. Or Ω est connexe par définition. Son image réciproque dans T˜ l’est aussi. Cela entraîne que N α(ν  ) est constant quand  parcourt Ω. Alors les racines de type (b), resp. (c), pour  sont aussi de type (b), resp. (c), pour tout  ∈ Ω. On définit  ˜ G sur Σ(Ω) = ΣG (T  ) de la façon suivante. Dans le cas (a), alors une fonction BΩ ˜ ˜ ˜ G G G (N α) = nα ; dans le cas (b), BΩ (2N α) = 2nα ; dans le cas (c), BΩ (2N α) = nα ; BΩ

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

685

˜

G dans le cas (d), BΩ (N α) = 2nα . La même preuve qu’en [II] 1.11 montre que la ˜ G )Ω∈Ω ainsi définie vérifie les conditions de 1.10. famille de fonctions (BΩ ˜ a) La même construction vaut si l’on travaille avec un K-triplet (KG, K G, puisque seule intervient la paire de Borel épinglée associée à ce K-triplet.

VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques Commençons par quelques rappels locaux. Pour quelques instants, supposons que F soit un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. Considérons un ˜ a) défini sur F , un espace de Levi M ˜ de G ˜ et une donnée endoscopique triplet (G, G, ˜ , aM ) elliptique et relevante. Pour δ ∈ Dst (M ) ⊗ Mes(M  (F ))∗ et M de (M, M g´ eom ˜ ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a défini en [II] 1.12 un terme I G,E (M , δ, f ). On f ∈ I(G(F ˜ M

en a déduit en [II] 1.15 une forme bilinéaire ˜

G,E (γ, f ) → IM ˜ (γ, f )

sur

˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ ) × (I(G(F ˜ ), ω) ⊗ Mes(G(F ))). (Dg´eom (M

Le procédé consistait à écrire γ comme somme i=1,...,n transfert(δ i ), où δ i est une distribution géométrique stable dans une donnée endoscopiques Mi , et à poser 

˜

G,E IM ˜ (γ, f ) =

˜

G,E  IM ˜ (Mi , δ i , f ).

i=1,...,n ˜

G,E   Pour la suite, on doit généraliser la définition de IM ˜ (M , δ, f ) au cas où M ˜ , a) qui est relevante mais pas forcément est une donnée endoscopique de (M, M ˜ de M ˜ et M est une donnée ˜  un Levi R elliptique. Dans ce cas, il correspond à M ˜ endoscopique elliptique et relevante de (R, R, a). On définit ˜

G,E  IM ˜ (M , δ, f ) =



˜ ˜ ˜ ˜ L,E  dG ˜ ). ˜ (M , L)IR ˜ (M , δ, fL,ω R

˜ ˜ L∈L( R)

En vertu de la relation [II] 1.15(1), on a encore l’égalité ˜

˜

G,E G,E  IM ˜ (transfert(δ), f ) = IM ˜ (M , δ, f ).

(1)

Supposons maintenant que F = R ou F = C. Des constructions analogues valent d’après [V] 1.7, 1.8 et 2.4. Il y a quelques modifications. On doit travailler avec un ˜ a) et un K-espace de Levi K M ˜ . Pour une donnée endoscoK-espace (KG, K G, ˜ , aM ) elliptique et relevante, on a défini en [V] 1.7 l’espace pique M de (KM, K M st  st  st  Dg´ ˜ -équi (M ). On note D (M ) la somme de cet espace et de Dtr-orb (M ). Les eom,G ˜

K G,E  st   ∗ termes IK ˜ (M , δ, f ) sont définis pour δ ∈ D (M ) ⊗ Mes(M (F )) . Comme M

686

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ci-dessus, les constructions se généralisent au cas où M est relevante mais pas ˜ K G,E elliptique. On a une égalité analogue à (1). Les termes IK ˜ (γ, f ) sont définis M ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ . pour γ ∈ Dg´eom,G˜ -équi (M Revenons à notre corps de nombres F et considérons un K-triplet ˜ a) (KG, K G, ˜ un élément de comme en 1.16. Soient V un ensemble fini de places de F , K M ˜ une donnée endoscopique elliptique et relevante ˜ 0 ) et M = (M  , M , ζ) L(K M ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ, on définit comme dans le cas local ˜ aM ). Pour s˜ ∈ ζZ( de (KM, K M, s) qui contient M comme donnée de Levi. On pose la donnée endoscopique G (˜   ˜ ˜ iM˜  (G, G (˜ s)) = 0 si G (˜ s) n’est pas elliptique (on utilise ici et dans la suite la ˜ au lieu de K G ˜ chaque fois que cela peut se faire sans notation symbolique G ambiguïté). Si cette donnée est elliptique, on pose ˜ G ˜  (˜ ˆ  )ΓF : (Z(M ˆ  )ΓF ∩ Z(M ˆ ))] s)) = [Z(M iM˜  (G, ˆ  (˜ ˆ −1 . ˆ  (˜ s))ΓF : (Z(G s))ΓF ∩ Z(G))] [Z(G Comme en [II] 1.12, il y a un homomorphisme naturel ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ → Z(M ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ s))ΓF . Z(M ˜ G ˜  (˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléIl est surjectif et de noyau fini. Alors iM˜  (G, ments de ce noyau. st  st  On a défini en [V] 1.7 et ci-dessus les espaces Dg´ ˜ -équi (Mv ) et D (Mv ) eom,G pour une place v archimédienne. Il s’en déduit comme en 1.8 des espaces st  Dg´ ˜ -équi (MV ) et eom,G

Dst (Mv ).

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on peut Pour δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ et f ∈ I(K G(F alors définir   ˜ K G,E  ˜ ˜  s))S G (˜s) (δ, B G˜ , f G (˜s) ). (M , δ, f ) = i (2) IK  (G, G (˜ ˜ ˜ M M M ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ( ˜

K G,E Pour définir des termes IK ˜ (γ, f ), on ne peut pas appliquer le même procédé M que dans le cas local car, dans le cas global, il n’y a pas en général suffisam˜ , aM ) pour écrire ment de données endoscopiques définies sur F de (KM, K M γ comme somme de transfert à partir de telles données. Mais soient γ = ⊗γ v ∈ ˜ (FV ), ω)⊗Mes(FV )∗ et f = ⊗fv ∈ I(K G(F ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV )). Dg´eom,G˜ -équi (K M Puisqu’on a déjà défini les formes bilinéaires locales, on peut poser   K L˜ v ,E ˜ ˜ K G,E G ˜,L ˜V ) (γ, f ) = d ( M IK M˜ (γ v , fv,L˜ v ,ω ). (3) IK ˜ ˜ MV M v

˜ V ∈L(K M ˜V ) KL

v∈V

Cette définition se prolonge par multilinéarité à tout γ et tout f .

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

687

Proposition. Soient M une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜ , aM ) (KM, K M

et

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(K G(F

(i) Soit δ = ⊗v∈V δ v ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ . On a l’égalité   K L˜ v ,E ˜ ˜ K G,E  ˜ ˜V IK dG IK M˜ (Mv , δ v , fv,K L˜ v ,ω ). ˜ V (M , L ) ˜ (M , δ, f ) = M M v

˜ V ∈L(M ˜V ) L

v∈V

st   ∗ (ii) Soit δ ∈ Dg´ ˜ -équi (MV ) ⊗ Mes(M (FV )) . On a l’égalité eom,G ˜

˜

K G,E K G,E  IK ˜ (transfert(δ), f ) = IK M ˜ (M , δ, f ). M

Preuve. Dans le cas local, la relation (ii) est vraie d’après (1). Dans le cas présent, cette relation résulte donc de (i) et de la définition (3). On pourrait prouver (i) directement. Mais, pour être plus clair, on la décompose en deux assertions : (4) si V = V1  V2 , on a l’égalité ˜

K G,E  IK ˜ (M , δ, f ) M  =

˜ ˜ ˜ K L˜ 1 ,E (M , δ 1 , f ˜ ) dG ˜ (L1 , L2 )IK M ˜ 1,K L1 ,ω M

˜ 1 ,K L ˜ 2 ∈L(K M) ˜ KL ˜

K L2 ,E IK (M , δ 2 , f2,K L˜ 2 ,ω ) ˜ M

(avec des notations évidentes) ; (5) si V est réduit à une place v, on a l’égalité  v ˜ ˜ K G,E  ˜ ˜ v K L˜ ,E (M , δ v , f ˜ v ). IK dG ˜ v (M , L )IK M v ˜ (M , δ, f ) = ˜ v,K L ,ω M M v

˜ v ∈L(K M ˜v) KL

Comme dans la démonstration de 4.1, la réunion de ces deux assertions équivaut à (i). Prouvons (4). Dans le membre de droite de la définition (2), on applique la ˜ formule (ii) de la proposition 4.2. Notons que les fonctions B Li pour i = 1, 2 qui ˜ interviennent sont les restrictions de la fonction B G . Pour simplifier, on les note ˜ G encore B . On obtient  ˜ K G,E  ˜ G ˜  (˜ (M , δ, f ) = iM˜  (G, s)) IK ˜ M ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(



˜  (˜ G s)

˜  (˜ s ) (M ˜  ,L ˜  ∈LG ˜) L s ˜,1 s ˜,2

˜

G (˜ s)

(δ 1 , B G , (f1

eM˜



˜ s˜,1 , L ˜ s˜,2 )S L1(˜s) (L M

L (˜ s)

˜

G (˜ s)

)L1 (˜s) )SM2 (δ 2 , B G , (f2

)L2 (˜s) ).

688

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  intervenant dans cette formule Expliquons la notation. Un espace de Levi L s˜,1 ˜ 1 ∈ L(K M ˜ ) par l’égalité A ˜ = A ˜  . Alors détermine un K-espace de Levi K L L1 Ls˜,1 ˜  s’identifie à l’espace L ˜  (˜ L s ) associé à la donnée endoscopique elliptique L1 (˜ s) de 1 s˜,1   ˜ 1 , aL1 ). On a l’égalité (f G (˜s) )L = (f ˜ )L1 (˜s) . Regroupons les termes (KL1 , K L L1 ,ω

s ˜,1

˜ 1, K L ˜ 2 ) d’espaces de Levi selon les couples (K L ˜ ˜ couple, notons S(K L1 , K L2 ) l’ensemble des s˜ ∈ Li (˜ s) soit elliptique pour i = 1, 2. On obtient  ˜ K G,E  (M , δ, f ) = (6) IK ˜ M

qui apparaissent. Pour un tel ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ tels que ζZ( ˜ 1, K L ˜ 2 ), X(K L

˜ 1 ,K L ˜ 2 ∈L(K M) ˜ KL

où 

˜ 2) = ˜ 1, K L X(K L



˜ (˜ G s) ˜  ˜ G ˜  (˜ ˜  (˜ iM˜  (G, s))eM˜ (L s), L 1 (˜ 2 s))

˜ 1 ,K L ˜ 2) s˜∈S(K L L (˜ s)

L (˜ s)





SM˜1 (δ 1 , B G , (f1,L˜ 1 ,ω )L1 (˜s) )SM˜2 (δ 2 , B G , (f2,L˜ 2 ,ω )L2 (˜s) ). ˜

˜

˜ 2 ∈ L(K M ˜ ). Soit s˜ contribuant de façon non nulle à la somme ˜ 1, K L Fixons K L  ˜ ˜ ˜ G ˜  (˜ X(L1 , L2 ). La donnée G (˜ s) doit être elliptique (sinon iM˜  (G, s)) = 0). Les  ˜ G (˜ s )    ˜ ˜ s) aussi, pour i = 1, 2. Le coefficient e (L (˜ s), L (˜ s)) contient données L (˜ i ˜  (˜ G s) ˜  ˜ 2 (˜ s), L s)). dM˜ (L1 (˜

1

˜ M

2

Celui-ci ne dépend que des espaces AM˜ , AG˜  (˜s) et AL˜  (˜s) i pour i = 1, 2. Mais, par ellipticité, ces derniers sont respectivement égaux à AG˜ et AL˜ i pour i = 1, 2. On obtient l’égalité ˜  (˜ G s)

dM˜

˜  (˜ ˜  s)) = dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ). (L 1 s), L2 (˜ M ˜

˜ 1, K L ˜ 2 ) = 0. Supposons dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 ) = Si ce dernier terme est nul, on a donc X(K L ˜ M 0. Le calcul ci-dessus permet de récrire ˜ 2) ˜ 1, K L X(K L (7)



˜ ˜ ˜ = dG ˜ (L1 , L2 ) M



˜ (˜ G s) ˜  ˜ G ˜  (˜ ˜ 2 (˜ iM˜  (G, s))kM˜ (L s), L s))−1 1 (˜

˜ 1 ,K L ˜ 2) s˜∈S(K L

S

L1 (˜ s) ˜ M

L (˜ s)





(δ 1 , B G , (f1,L˜ 1 ,ω )L1 (˜s) )SM˜2 (δ 2 , B G , (f2,L˜ 2 ,ω )L2 (˜s) ). ˜

˜

Introduisons l’homomorphisme ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ → Z(M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ˆ 1 )ΓF ,θ ⊕ Z(M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ˆ 2 )ΓF ,θ . q : Z(M ˜ ˜ ˜ L’hypothèse dG ˜ (L1 , L2 ) = 0 implique qu’il est surjectif et de noyau fini. Pour M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ, posons q(s) = (s1 , s2 ) et s˜i = si ζ˜ pour s˜ = sζ˜ avec s ∈ Z(M ˜ i (˜ ˜ i (˜ s) = L si ). Montrons que i = 1, 2. On a L

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

689

˜ 1, K L ˜ 2 ), on a l’égalité (8) pour s˜ ∈ S(K L ˜  (˜ G s)

˜ G ˜  (˜ s))kM˜ iM˜  (G,

˜ 1 (˜ ˜ 2 (˜ (L s), L s))−1

˜ ˜ G ˜ −1 i ˜  (L ˜ 1, L ˜  (˜ ˜ ˜  s2 )). = kM ˜  (L2 , L2 (˜ ˜ (L1 , L2 ) 1 s1 ))iM M

On a AG˜  (˜s) ⊂ AL˜  (˜s) ∩ AL˜  (˜s) = AL˜ 1 ∩ AL˜ 2 = AG˜ . 1

1



˜ G ˜  (˜ Donc G (˜ s) est elliptique et iM˜  (G, s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme ˆ ΓF ,θˆ → Z(M ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) s))ΓF . r : Z(M Introduisons les homomorphismes ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ 1 )ΓF ,θˆ ⊕ Z(M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ 2 )ΓF ,θˆ r12 : Z(M ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ → Z(M s1 ))ΓF ⊕ Z(M s2 ))ΓF 1

2

et ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ q12 : Z(M s))ΓF ΓF ΓF ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(L ˆ  (˜ → Z(M ⊕ Z(M . 1 s1 )) 2 s2 )) On a l’égalité r12 ◦q = q12 ◦r. Tous ces homomorphismes sont surjectifs et de noyaux finis. Le nombre d’éléments du noyau du composé est donc égal au produit des nombres d’éléments des noyaux de r12 et de q, ou de q12 et de r. Ces noyaux ont ˜ ˜ G −1 −1 ˜ 1, L ˜  (˜ ˜ 2, L ˜  (˜ ˜ iM˜  (L pour r12 , kM pour nombre d’éléments iM˜  (L 1 s1 )) 2 s2 )) ˜ (L1 , L2 ) ˜  (˜ G s) ˜  ˜ 2 (˜ ˜ G ˜  (˜ pour q, kM˜ (L1 (˜ s), L s)) pour q12 et iM˜  (G, s))−1 pour r. L’assertion (8) s’ensuit. Il résulte de (8) que le terme que l’on somme dans (7) ne dépend que du couple s1 , s˜2 ), le terme que (˜ s1 , s˜2 ). On peut récrire (7) comme une somme sur ces couples (˜ ˜ 2 ) qui se projettent ˜ 1, K L l’on somme étant multiplié par le nombre des s˜ ∈ S(K L ˜ 1, K L ˜ 2 ), ce nombre est nul si sur le couple en question. Par définition de S(K L  ˜ l’un des Li (˜ si ) n’est pas elliptique. Sinon, c’est le nombre d’éléments du noyau ˜ ˜ G ˜ de q, c’est-à-dire kM ˜ (L1 , L2 ). Ce terme compense le même facteur intervenant dans le membre de droite de (8). D’autre part, on se rappelle que la condition ˜ i, L ˜  (˜ ˜  si ). On obtient l’égalité iM˜  (L i si )) = 0 équivaut à l’ellipticité de Li (˜   ˜ 2 ) = dG˜˜ (L ˜ 1, L ˜ 2) ˜i, L ˜  (˜ ˜ 1, K L iM˜  (L X(K L i si )) M i=1,2 s˜ ∈ζZ( ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(L ˆ i )ΓF ,θˆ i

S

Li (˜ si ) ˜ M



(δ i , B G , (fi,L˜ i ,ω )Li (˜si ) ). ˜

˜

K Li ,E  La somme en s˜i est égale par définition à IK ˜ i ,ω ). Donc ˜ (M , δ i , fi,L M ˜

˜

˜ 2 ) = dG˜ (L ˜ 1, L ˜ 2 )I K L1 ,E (M , δ 1 , f ˜ )I K L2 ,E (M , δ 2 , f ˜ ). ˜ 1, K L X(K L ˜ ˜ 1,L1 ,ω K M 2,L2 ,ω M KM ˜

Les membres de droite de (4) et (6) sont alors égaux, ce qui démontre (4).

690

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Esquissons la preuve de (5). On a ici V = {v}. ˜ v , aMv ) n’est pas forcément elliptique mais elle La donnée Mv de (KMv , K M ˜ de K M ˜ . D’après nos est relevante. Il lui correspond un K-espace de Levi K R définitions, le membre de droite de (5) est égal à 



˜ ˜ ˜v dG ˜ v (M , L ) M

˜ v ∈L(K M ˜ v) KL

˜v ˜ ˜v K S˜ dL ˜ v (Mv , S )IK R ˜ R

v

v

˜v ∈L(K R ˜ KS

,E

(Mv , δ v , fv,K S˜v ,ω ).

v)

En échangeant les lettres L et S, on obtient  v ˜ G ˜ ˜ v K L˜ ,E (M , δ v , f ˜ v ) XR ˜ v (M , L )IK R v ˜ v,K L ,ω v

˜ v ∈L(K R ˜v ) KL





˜

G ˜ ˜v XR ˜ v (M , L ) =

˜

˜v

˜ ˜v S˜ (M ˜ v, L ˜ v ). dG ˜ v (M , S )dR M v

˜v ∈L(K L ˜ v) KS ˜ ˜ G G ˜ ˜v ˜ ˜v Un calcul déjà fait plusieurs fois prouve que XR ˜ v (M , L ) = dR ˜ v (M , L ). La relation (5) équivaut donc à ˜

K G,E  IK ˜ (M , δ, f ) = M



˜

˜ v ,E

˜ ˜v KL dG ˜ v (M , L )IK R ˜ R

v

(Mv , δ v , fv,K L˜ v ,ω ).

˜ v ∈L(K R ˜v ) KL

La preuve de cette égalité est similaire à celle de (4) et d’ailleurs presque identique à celle de la proposition [II] 1.14(i). On la laisse au lecteur.  Remarque. La preuve de (4) est réversible en ce sens que, si l’on suppose vérifiée la relation (i) de l’énoncé ainsi que la formule (ii) de la proposition 4.2 pour tous les termes sauf un du membre de droite de la définition (2), on en déduit cette formule (ii) pour le terme restant. Dans cette direction, cela prouve par récurrence cette formule (ii) de la proposition 4.2, puisque dans la situation de ce paragraphe, ˜ G l’analogue de la relation (i) est connue pour le terme IM ˜ (δ, f ). Pourquoi avoir travaillé ici avec des K-espaces ? Parce que, dans le cas lo˜ a), on ne connaît pas (pas encore, plutôt) cal et pour un unique triplet (G, G, l’analogue de la relation (ii) de l’énoncé. Expliquons cela. Supposons qu’un tri˜ a) soit une composante connexe d’un K-triplet (KG, K G, ˜ a), disons plet (G, G, que c’est la composante indexée par p ∈ Π. On peut appliquer la relation (ii) de ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) identifiée à un élément l’énoncé à une fonction f ∈ I(G(F ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) nul sur les autres composantes connexes. Mais de I(K G(F transfert(δ) vit sur toutes les composantes connexes, il est de la forme ⊕q∈Π γ q , où ˜ q (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . Le membre de gauche de (ii) est égal à γ q ∈ Dg´eom (M  q∈Π

˜

K G,E IK ˜ (γ q , f ). M

VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

691

˜ p , on ne sait pas a priori que Bien que f soit concentrée sur la composante G ˜

K G,E IK ˜ (γ q , f ) = 0 pour q = p. C’est l’unique raison, nous semble-t-il, pour laquelle M nous devrons travailler avec des K-espaces. Notons toutefois que, pour un seul ˜ a), on peut parfaitement définir I G˜ (M , δ, f ) comme le membre de triplet (G, G, ˜ M ˜ a) comme composante connexe d’un droite de la formule (1). Si on inclut (G, G, ˜ a), ce terme coïncide avec I K G˜ (M , δ, f ), où f est identifié à une triplet (KG, K G, ˜ KM ˜ V ) nulle sur les autres composantes. fonction sur K G(F ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, si l’on Dans le cas où (G, G, fixe un système de fonctions B comme en 1.10, on peut aussi définir le terme ˜ G  IM ˜ (M , δ, B, f ).

VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent. ˜ (FV ), ω)⊗Mes(M (FV ))∗ Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D (K M ˜ g´ eom,G -équi

˜

˜

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égalité I K G,E (γ, f ) = I K G (γ, f ). et tout f ∈ I(K G(F ˜ ˜ KM KM D’après la définition du membre de gauche et la formule de descente 1.11(1), la proposition résulte de ses analogues locales, c’est-à-dire des théorèmes 1.16 de [II] et 1.10 de [V]. On a déjà dit que la preuve de ceux-ci ne sera achevée qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).

VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison On conserve la même situation. Proposition. On admet la validité des théorèmes II.1.16 et V.1.10. Soit M ˜ aM ) elliptique et relevante. Soit δ ∈ une donnée endoscopique de (KM, K M, st   ∗ ˜ V ), ω)⊗Mes(G(FV ))∗ , Dtr-orb (MV )⊗Mes(M (FV )) . Alors, pour tout f ∈ I(K G(F on a l’égalité ˜ ˜ K G,E KG  IK ˜ (transfert(δ), f ) = IK M ˜ (M , δ, f ). M Remarquons que transfert(δ) appartient à ˜ (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV ))∗ . Dtr-orb (K M Comme on l’a vu dans la section 5 de [V], la validité du théorème [V] 1.10 permet de définir le membre de gauche de l’égalité de l’énoncé. Preuve. Le membre de gauche de l’égalité à prouver vérifie la formule de descente 1.11(1). Celui de droite vérifie la formule parallèle de la proposition 4.5(i). Cela nous ramène à prouver l’analogue locale de l’égalité. En une place nonarchimédienne, cette égalité résulte directement du théorème [II] 1.16. En une

692

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

place réelle, on a vu dans la section 5 de [V] qu’elle résultait (moins directement) du théorème [V] 1.10. 

VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure ˜ a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de Soient (G, G, ˜ un espace fonctions comme en 1.10 et V un ensemble fini de places de F . Soient M ˜ ). ˜ et M une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, M de Levi de G ˜ V )) ⊗ Corollaire. Pour tout δ ∈ Dtr-orb (M ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗ et tout f ∈ Cc∞ (G(F Mes(G(FV )), on a l’égalité G G  IM ˜ (transfert(δ), B, f ) = IM ˜ (M , δ, B, f ). ˜

˜

L’argument est le même que dans le paragraphe précédent. Parce que ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, le théorème [II] 1.16 est prouvé (G, G, (cf. [III] proposition 2.9) et un substitut du théorème [V] 1.10 aussi : c’est la proposition [V] 1.13 dont on a vu dans la section 4 de [V] qu’elle suffisait à notre propos.

VI.5 La formule des traces stable VI.5.1 Quelques définitions Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . On fixe un ensemble de ˜ a, V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques de représentants E(G, ˜ a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V . (G, G, ˜ a, V ). On munit G des objets auxiliaires de 3.1. Soit G = (G , G  , s˜) ∈ E(G, ˜ G de En particulier, pour v ∈ Vram (G ), on fixe un sous-espace hyperspécial K v ˜  (Fv ) correspondant à K ˜ v . De l’homomorphisme naturel A ˜ → AG se déduit un G G homomorphisme AG˜ → AG . C’est un isomorphisme par l’hypothèse d’ellipticité. Il préserve les mesures par définition de celles-ci. Considérons les paires de Borel épinglées de G et G , dont on note les tores  ∗ ˜ F¯ ), resp. G ˜  (F¯ ), sont T et T ∗ . Les classes de conjugaison semi-simples dans G( classifiées par ˜ ((T ∗ /(1 − θ)(T ∗ ))/W θ ) ×Z(G) Z(G), resp.

  ˜  ). (T ∗ /W G ) ×Z(G ) Z(G

Il y a une application naturelle du second ensemble dans le premier, autrement dit ˜  (F¯ ), associe une application qui, à une classe de conjugaison semi-simple dans G ˜ ¯ une telle classe dans G(F ). Cette application est équivariante pour les actions

VI.5. La formule des traces stable

693

galoisiennes. Les classes de conjugaison géométriques (c’est-à-dire par G(F¯ )) semi˜ ) sont classifiées par un sous-ensemble de simples dans G(F

ΓF ˜ ((T ∗ /(1 − θ)(T ∗ ))/W θ ) ×Z(G) Z(G) .

La description exacte de ce sous-ensemble est compliquée. ˜ ) comme On définit la conjugaison stable entre éléments semi-simples de G(F ˜ ss (F ) sont stablement conjugués si et dans le cas local. Deux éléments η, η  ∈ G seulement s’il existe g ∈ G(F¯ ) tel que g −1 ηg = η  et gσ(g)−1 ∈ Iη (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF , où Iη = Z(G)θ Gη . La correspondance ci-dessus se raffine en une corres˜  (F ) et classes de conjugaison pondance entre classes de conjugaison stable dans G ss ˜ ss (F ). stable dans G De même, si on se place sur l’anneau FV , la correspondance ci-dessus se ˜  (FV ) raffine en une correspondance entre classes de conjugaison stable dans G ss ˜ et classes de conjugaison stable dans Gss (FV ). Si O est une classe de conjugaison ˜ ss (FV ), on note O ˜  la réunion (finie, éventuellement vide) des classes stable dans G G ˜ ss (FV ) qui correspondent à O. de conjugaison stable dans G On note Aut(G ) le groupe d’automorphismes de G . En fixant une paire de ˆ on a une suite exacte Borel épinglée convenable de G, ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ  → Out(G ) → 1, 1 → (Z(G)/(Z( G) ))ΓF → Aut(G )/G

où Out(G ) est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de G . On note selon l’usage π0 (X) le groupe des composantes connnexes d’un groupe algébrique complexe X. On pose ˜ G ˜  ) = | Out(G )|−1 | det((1 − θ)|A /A )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 i(G, G ˜ G ˆ ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 ((Z(G)/(Z( G) ))ΓF )|−1 |π0 (Z(G) )| 1  ΓF −1  ˆ ˆ |π0 (Z(G ) )| | ker (F, Z(G ))|.

ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 peut Remarquons que, par exemple, le produit |π0 (Z(G) s’interpréter comme le nombre de Tamagawa de G. Notons-le τ (G). La formule ci-dessus se récrit ˜ G ˜  ) = |π0 (Aut(G ))|−1 det((1 − θ)|A /A )|−1 i(G, G ˜ G ˆ ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 (Z(G) )|τ (G)τ (G )−1 . ˜ ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ On a défini la distribution AG (V, O, ω) ∈ Dorb (G(F ˜ pour une classe de conjugaison par G(FV ) dans Gss (FV ). Si O est maintenant ˜ une réunion finie de telles classes, on note AG (V, O, ω) la somme des distributions ˜ associées à chacune de ces classes. En particulier, AG (V, O, ω) est défini pour une ˜ ss (FV ). classe de conjugaison stable O dans G

694

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.5.2 Les distributions SAG (V, O) ˜

La situation est la même que dans le paragraphe précédent. On suppose de plus ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour toute classe de conjugaison (G, G, ˜ ss (FV ), on va définir une distribution stable O dans G ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . SAG (V, O) ∈ Dtr-orb (G(F

Comme toujours, on a besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a les propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation de 1.15. Elles sont faciles à vérifier par récurrence et on les abandonne au lecteur. Il y a une autre propriété plus sub˜ ˜ v pour v ∈ V , ou plus exactement tile. La distribution AG (V, O) dépend des K ˜ des classes de conjugaison par G(Fv ) des Kv . La définition ci-dessous fournit une ˜ distribution SAG (V, O) qui en dépend aussi. De fait, elle en dépend. Mais on a besoin de savoir que ˜ v , pour (1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V . On a surtout besoin de supposer par récurrence que cette distribution ˜ SAG (V, O) est stable. Modulo ces propriétés, si G = (G , G  , s) est une donnée ˜ a) non ramifiée hors de V , avec dim(G ) < dim(GSC ), endoscopique de (G, G, SC  ˜ ss (FV ), on peut définir la et si O est une classe de conjugaison stable dans G  st   ∗ distribution SAG (V, O ) ∈ Dg´ eom (GV ) ⊗ Mes(G (FV )) . Remarque. Quant à la dépendance des espaces hyperspéciaux, une extension formelle de la propriété (1) montre que cette distribution ne dépend que des classes ˜  , pour v ∈ V . Mais ces classes sont bien de conjugaison par GAD (Fv ) des K v G ˜v. ˜ déterminées par les Kv . Donc SA (V, O ) ne dépend que des K On peut alors poser la définition  ˜ ˜ SAG (V, O) = AG (V, O) −

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, G

˜ ),G =G G ∈E(G,V ˜

Remarquons que la définition entraîne par récurrence que SAG (V, O) est à support ˜ V ) dont la partie semi-simple appartient à O. dans l’ensemble des éléments de G(F Enonçons les propriétés de notre distribution sous la forme d’un théorème à prouver. ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Théorème (à prouver). On suppose (G, G, ˜ V ). Alors SAG˜ (V, O) Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F est stable et vérifie (1). En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf. [VII] 3.4). Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente.

VI.5. La formule des traces stable

695

VI.5.3 Propriétés des distributions SAG (V, O) ˜

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient V un ensemble On suppose (G, G, fini de places de F contenant Vram et O une classe de conjugaison stable dans ˜ ss (FV ). On a G ˜ ˜ ss (F ) dont la (1) si SAG (V, O) = 0 alors il existe un élément semi-simple γ ∈ G ˜ ˜ projection dans G(FV ) appartienne à O et tel que HG˜ V (γ) = 0. ˜

Preuve. D’après la définition de 5.1, la condition SAG (V, O) = 0 entraîne que ˜ ˜ V ), avec G = G, tel que SAG (V, O ˜  ) = AG (V, O) = 0 ou qu’il existe G ∈ E(G, G ˜ ˜ ss (F ) dont la 0. Si AG (V, O) = 0, la définition de 2.7 entraîne qu’il existe γ ∈ G ˜ V ) appartienne à O et tel que, pour v ∈ V , γ soit conjugué projection dans G(F ˜ v par un élément de G(Fv ). Cette dernière condition et la à un élément de K ˜ V ), avec G = G, ˜ ˜ (γ) = 0. Soit G ∈ E(G, formule de produit entraîne que H GV G supposons SA (V, OG˜  ) = 0. En raisonnant par récurrence, on peut supposer ˜  (F ) dont la projection dans G ˜  (FV ) appartienne à O ˜  et tel qu’il existe γ  ∈ G ss G ˜ ˜  (γ  ) = 0. Puisque O ˜  est l’ensemble des classes de conjugaison stable que H GV G correspondant à O, il existe γ ∈ O et un diagramme (γ  , B  , T  , B, T, γ). Puisque ˜ ˜ et H ˜ ˜  sont compatibles, c’est-à-dire que G est elliptique, les applications H GV GV ˜ ˜ (γ) = H ˜ ˜  (γ  ) = 0. H  GV

GV

˜ un espace de Levi propre de G ˜ et soit O une classe de conjugaison Soit M ˜ stable dans Mss (FV ). Fixons un système de fonctions B comme en 1.10. Rappelons ˜ F¯ ) sont des unités que l’on impose que les valeurs des fonctions Bη pour η ∈ G( ˜ ˜ G M hors de Vram , a fortiori hors de V . On sait définir SM˜ (SA (V, O), B, f ) pour tout ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(G(F Lemme. L’égalité ˜

˜

˜

˜

G G M M SM ˜ (SA (V, O), B, f ) = SM ˜ (SA (V, O), f )

est vérifiée pour tout O. ˜ (FV ) qui sont G˜ Remarque. Si le support de O est formé d’éléments γ ∈ M ˜ ˜ G G équisinguliers, c’est évident. En effet, dans ce cas, l’égalité SM˜ (δ, B, f ) = SM˜ (δ, f ) st ∗ est vérifiée pour n’importe quel élément δ ∈ Dg´ eom (O) ⊗ Mes(M (FV )) . Preuve. En utilisant la définition de 4.1 et en raisonnant par récurrence, il suffit de prouver l’égalité ˜

˜

˜

˜

G G M M IM ˜ (SA (V, O), B, f ) = IM ˜ (SA (V, O), f ).

En utilisant la définition de 5.1, cette égalité résulte de l’égalité (2)

˜

˜

˜

˜

G G M M IM ˜ (A (V, O), B, f ) = IM ˜ (A (V, O), f ),

696

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ , V ), avec M  = M , de l’égalité et, pour tout M = (M  , M , ζ) ∈ E(M (3)





G G M M IM (V, OM˜  )), B, f ) = IM (V, OM˜  )), f ). ˜ (transfert(SA ˜ (transfert(SA ˜

˜

˜

La distribution AM (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales vérifiant l’hypothèse du lemme 1.14 et l’égalité (2) résulte de ce lemme. Les membres de gauche et de droite de (3) sont respectivement égaux à 

˜

G,E  M (V, OM˜  ), B, f ) IM ˜ (M , SA



˜

G,E  M et IM (V, OM˜  ), f ) ˜ (M , SA

d’après le corollaire 4.8. En utilisant la définition 4.5(1) de ce dernier terme et la variante ce cette définition pour le premier, on voit que, pour prouver qu’ils sont ˆ ΓF et de prouver l’égalité ˆ )ΓF /Z(G) égaux, il suffit de fixer s ∈ ζZ(M G (s)

SM 





G (s)

(SAM (V, OM˜  ), B, f G (s) ) = SM





(SAM (V, OM˜  ), f G (s) ).

C’est l’égalité de l’énoncé que l’on peut appliquer par récurrence puisque M  = M donc G (s) = G. 

VI.5.4 Les distributions AG,E (V, O, ω) ˜

Revenons au cas général. Pour une classe de conjugaison stable semi-simple O ˜ V ), on pose dans G(F ˜

AG,E (V, O, ω) =





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, G

˜ G ∈E(G,a,V ) ˜

Cette distribution AG,E (V, O, ω) est un élément de ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Dtr-orb (G(F ˜ V ) dont la partie Son support est contenu dans l’ensemble des éléments de G(F semi-simple appartient à O. ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure est un cas Remarque. Le cas où (G, G, particulier. Dans ce cas, nos hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la donnée endoscopique maximale G. Il convient de remplacer le terme transfert(SAG (V, O)) intervenant dans ˜ ˜ ˜ la somme par SAG (V, O). On a alors AG,E (V, O) = AG (V, O) par définition de ˜ SAG (V, O). Théorème (à prouver). Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜ ˜ ˜ V ). Alors, on a l’égalité AG,E G(F (V, O, ω) = AG (V, O, ω).

VI.5. La formule des traces stable

697

En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf. [VII] 3.5), sauf éventuellement pour un nombre fini de classes exceptionnelles. Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente. La fin de la démonstration du théorème ci-dessus, c’est-à-dire dans le cas où O est exceptionnelle, sera l’un de nos derniers résultats, cf. [X] 8.5. La définition ci-dessus s’adapte immédiatement aux K-espaces. Pour un tel K-espace, une classe de conjugaison stable semi-simple O est réunion dis˜ jointe de telles classes Op pour p ∈ Π. On a simplement AK G,E (V, O, ω) = ˜ ⊕p∈Π AGp ,E (V, Op , ω).

VI.5.5 Le théorème d’Arthur ˜ a = 1, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ V . Supposons ici G = G, Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 5.2 et 5.4 sont vérifiés. C’est le Global Theorem 1 de [18]. La preuve que nous donnerons des théorèmes 5.2 et 5.4 étant directement inspirée de celle d’Arthur, nous pourrions aussi bien redémontrer l’énoncé ci-dessus. Mais cela n’aurait aucun intérêt. Nous préférons simplifier un peu la nôtre en utilisant le résultat d’Arthur. La propriété 5.2(1) des distributions SAG (V, O) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais est incluse dans sa démonstration. Elle résulte en tout cas de la démonstration plus générale de cette propriété qui sera donnée ultérieurement.

VI.5.6 Un théorème complémentaire concernant l’endoscopie non standard Dans ce paragraphe, on considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) défini sur F . La définition est la même que dans le cas local ([79] 1.7), rappelonsla. Les termes G1 et G2 sont des groupes réductifs connexes définis sur F , quasidéployés et simplement connexes. On considère leurs paires de Borel épinglées, dont on note les tores T1 et T2 . Ils sont munis d’actions de ΓF . Pour i = 1, 2, on note Σi l’ensemble de racines de Ti dans Gi . Pour α ∈ Σi , on note α ˇ la coracine ∗ associée. On pose Xi,∗,Q = X∗ (Ti ) ⊗Z Q et Xi,Q = X ∗ (Ti ) ⊗Z Q. Le terme j∗ est ∗ ∗ → X1,Q l’isomorphisme un isomorphisme j∗ : X1,∗,Q → X2,∗,Q . On note j ∗ : X2,Q dual. On suppose (1) j∗ est équivariant pour les actions de ΓF . On suppose qu’il existe une bijection τ : Σ2 → Σ1 et une fonction b : Σ2 → Q>0 telles que (2) j ∗ (α2 ) = b(α2 )τ (α2 ) pour tout α2 ∈ Σ2 ; α1 ) = b(α2 )ˇ α2 pour tout α1 ∈ Σ1 , où α2 = τ −1 (α1 ). (3) j∗ (ˇ

698

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Remarquons que τ et b sont uniquement déterminés par ces conditions. Les groupes de Weyl W1 et W2 de G1 et G2 s’identifient, la symétrie relative à une racine α2 ∈ Σ2 s’identifiant à celle relative à τ (α2 ). Soit v une place de F . Alors j∗ définit un isomorphisme ((t1 (F¯v ) ∩ g1,reg (F¯v ))/W1 )ΓFv → ((t2 (F¯v ) ∩ g2,reg (F¯v ))/W2 )ΓFv . Autrement dit une bijection entre classes de conjugaison stable d’éléments semisimples réguliers dans g1 (Fv ) et g2 (Fv ). Pour X1 ∈ g2,reg (Fv ) et X2 ∈ g2,reg (Fv ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent, notons S1 et S2 leurs commutants dans G1 et G2 . L’isomorphisme j∗ définit un isomorphisme s1 (Fv ) → s2 (Fv ). On munit ces algèbres de mesures de Haar se correspondant par cet isomorphisme. Pour i = 1, 2, on munit Si (Fv ) de la mesure de Haar telle que le jacobien de l’exponentielle vaille 1 au point 0 ∈ si (Fv ). On dispose alors de l’intégrale orbitale fi ⊗ dgi → I Gi (Xi , fi ⊗ dgi ) = DGi (Xi )1/2 fi (adg−1 (Xi )) dgi Si (Fv )\Gi (Fv )

i

sur Cc∞ (gi (Fv )) ⊗ Mes(Gi (Fv )), puis de l’intégrale orbitale stable fi ⊗ dgi → S Gi (Xi , fi ⊗ dgi ). Disons que f1 ⊗ dg1 et f2 ⊗ dg2 se correspondent si et seulement si S G1 (X1 , f1 ⊗ dg1 ) = S G2 (X2 , f2 ⊗ dg2 ) pour tout couple (X1 , X2 ) comme ci-dessus. On a (4) cette correspondance se quotiente en un isomorphisme SI(g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  SI(g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv )). Si v est finie, c’est la proposition 1.8(ii) de [79]. Le cas complexe se ramène au cas réel en remplaçant les groupes complexes par les groupes sur R obtenus par restriction des scalaires. Le cas réel se déduit facilement des résultats de Shelstad comme on l’a vu en [V] 5.1. Dualement, on en déduit un isomorphisme st ∗ st ∗ Dg´ eom (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  Dg´ eom (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv )) . st st Pour i = 1, 2, notons Dnil (gi (Fv )) le sous-espace des éléments de Dg´ eom (gi (Fv )) à support nilpotent. L’isomorphisme ci-dessus se restreint en un isomorphisme

(5)

st st Dnil (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))∗  Dnil (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))∗ .

Soit V un ensemble fini de places de F tel que

VI.5. La formule des traces stable

699

– V contient les places archimédiennes de F ; – G1 et G2 sont non ramifiés hors de V ; – pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ] ; alors p > ev N (Gi ) + 1 pour i = 1, 2, où N (Gi ) est l’entier défini en [79] 4.3 ; – les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V . Pour i = 1, 2, on a défini en 5.2 la distribution SAGi (V, O) associée à une classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ Gi (FV ). On considère ici le cas i O = {1} et on note plutôt SAG unip (V ) la distribution associée à cette classe. On est ici dans le cas non tordu, cette distribution est relative à des sous-groupes compacts hyperspéciaux Ki,v de Gi (Fv ) pour v ∈ V . D’après le théorème d’Arthur cité en 5.5, la condition 5.2(1) est vérifiée. Puisque deux sous-groupes compacts hyperspéciaux de Gi (Fv ) sont toujours conjugués par Gi,AD (Fv ), la distribution i SAG unip (V ) ne dépend pas de ces choix. D’après le même théorème, elle est stable. On sait qu’elle est à support dans l’ensemble des éléments unipotents de Gi (FV ). Par l’exponentielle, on la descend en une distribution à support nilpotent sur st gi (FV ), qui est encore stable. Cela l’identifie à un élément de Dg´ eom (g1 (FV )) ⊗ ∗ Mes(G1 (FV )) . Théorème (à prouver). Sous ces hypothèses et modulo les identifications ci-dessus, G2 1 les distributions SAG unip (V ) et SAunip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (5). Cela sera prouvé en VII.9. Considérons deux triplets endoscopiques non standard (G1 , G2 , j∗ )

et (G1 , G2 , j∗ ).

On dit qu’ils sont équivalents si et seulement s’il existe des isomorphismes ιi : Gi → Gi définis sur F et un rationnel b non nul de sorte que le diagramme suivant soit commutatif X1,∗,Q ι1 ↓  X1,∗,Q

j∗

→ bj∗



X2,∗,Q ↓ ι2  X2,∗,Q .

Comme dans le cas local, on peut classifier tous les triplets possibles. Tout triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) est produit de triplets dont chacun est équivalent à un triplet quasi-élémentaire, cf. [III] 6.1. Evidemment, si un triplet est produit de deux triplets, le thèorème pour chacun de ces deux triplets implique celui pour le produit. On verra au paragraphe suivant que le théorème est insensible à une équivalence. Il suffit donc de le démontrer pour un triplet quasi-élémentaire. Remarquons que le théorème est tautologique dans le cas (1) de [III] 6.1, c’est-àdire si G1 = G2 et j∗ est l’identité.

700

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.5.7 Réduction du théorème 5.6 On considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) et un rationnel b = 0. Soit V un ensemble fini de places de F vérifiant les conditions du paragraphe précédent pour (G1 , G2 , j∗ ). On suppose que b est une unité hors de V . Alors V vérifie aussi ces conditions pour le triplet (G1 , G2 , bj∗ ). Lemme. Sous ces hypothèses, si le théorème 5.5 est vérifié pour le triplet (G1 , G2 , j∗ ), il l’est pour le triplet (G1 , G2 , bj∗ ). Preuve. Il y a deux correspondances entre classes de conjugaison stable semisimples dans g1 (FV ) et g2 (FV ), qui sont déduites de j∗ et de bj∗ . Il est clair que la seconde est la composée de la première et de la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans g2 (FV ) déduite de l’homothétie X → bX. Il y a deux isomorphismes SI(g1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV ))  SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )), qui sont déduits de j∗ et de bj∗ . Le second est le composé du premier et de l’automorphisme de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) déduit de l’homothétie X → bX.  ˜ ˜ Puisque b est une unité hors de V , on a v∈V |b|Fv = 1, d’où DG2 (bX) = DG2 (X) pour tout X ∈ g2 (FV ). De même, si X est fortement régulier, la multiplication par b préserve les mesures sur s(FV ), où S est le commutant de X. On voit alors que l’automorphisme ci-dessus de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) est dé−1 −1 duit de l’automorphisme f → f b de Cc∞ (g2 (FV )), où f b (X) = f (b−1 X). On −1 note encore f → f b cet automorphisme de SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )). Soient f1 ∈ SI(g1 (FV )) ⊗ Mes(G1 (FV )) et f2 ∈ SI(g2 (FV )) ⊗ Mes(G2 (FV )) se correspondant par l’isomorphisme déduit de j∗ . Le théorème pour (G1 , G2 , j∗ ) affirme que G2 1 2 S G1 (SAG (SAG unip (V ), f1 ) = S unip (V ), f2 ). Le théorème pour (G1 , G2 , bj∗ ) affirme −1

G2 b 1 2 (SAG que S G1 (SAG unip (V ), f1 ) = S unip (V ), f2 ). Pour démontrer que ces assertions ont équivalentes, il suffit de prouver que G2 b−1 2 2 S G2 (SAG (SAG unip (V ), f2 ) = S unip (V ), f2 ). Seul le groupe G2 intervient ici. On peut simplifier la notation en posant G = G2 et en supprimant les indices 2. Toujours pour simplifier, on peut remplacer b par b−1 et fixer des mesures de Haar sur les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures. Puisque l’automorphisme f → f b se relève évidemment en un automorphisme de I(g(FV )) ⊗ Mes(G(FV )), on peut démontrer la relation G G b (1) I G (SAG unip (V ), f ) = I (SAunip (V ), f ) pour tout f ∈ I(g(FV )).

En utilisant la définition de 5.2, on est ramené à prouver G G b (2) I G (AG unip (V ), f ) = I (Aunip (V ), f ),

et, pour tout G ∈ E(G, V ) avec G = G, 











G b G ) = I G (SAG (3) I G (SAG unip (V ), f unip (V ), (f ) ).

VI.5. La formule des traces stable

701

Commençons par (3). Soit G ∈ E(G, V ) avec G = G. Puisqu’on travaille ici avec des algèbres de Lie, les données auxiliaires ne jouent guère de rôle et on   peut identifier f G à une fonction f G sur g (FV ). D’après [34] lemme 3.2.1, il   × tel que (f λ )G = χ(λ)(f G )λ pour existe un caractère automorphe χ de A× F /F ×  tout λ ∈ FV . Le fait que G soit non ramifié hors de V et la définition de ce caractère χ entraînent que χ est non ramifié hors de V . Donc, en notant bV et V −1 = 1. D’où bV les projections de b dans FV× et AV,× F , on a χ(bV ) = χ(b )   (f b )G = (f G )b . Puisque G = G, on peut appliquer (1) par récurrence en y remplaçant G par G . On obtient alors la relation (3). Pour prouver (2), introduisons sur Dorb (g(FV )) l’action duale de l’homothétie de rapport b. C’est-à-dire que, pour γ ∈ Dorb (g(FV )), on note γ b la distribution telle que I G (γ, f b ) = I G (γ b , f ) pour tout f . Si γ est l’intégrale orbitale associée à un élément X ∈ g(FV ) et à une mesure sur GX (FV ), γ b est l’intégrale orbitale associée à l’élément bX et à la même mesure sur GbX (FV ) = GX (FV ). Introduisons le système de fonctions B sur G ainsi défini : pour tout élément semi-simple η ∈ G et toute élément α du système de racines de Gη , Bη (α) = b−1 . Soient M un Levi standard de G et γ ∈ Dorb (m(FV )). Montrons que l’on a l’égalité G G (4) JM (γ, B, f b ) = JM (γ b , f ) pour tout f .

Les formules de descente habituelles nous ramènent au cas local. C’est alors l’assertion [III] 6.7(5). Le corps local était non-archimédien dans cette référence, mais cela n’importait pas pour cette assertion. Revenons à la définition de AG unip (V ). Dans l’égalité (2) à prouver, f est une fonction sur g(FV ). Notons-la plutôt fV et notons comme ci-dessus bV la projection de b dans FV . La fonction notée précédemment f b s’écrit maintenant (fV )bV . Par l’exponentielle, on relève ces deux fonctions en des fonctions définies sur un voisinage de 1 dans G(FV ) invariant par conjugaison. On continue de noter ces fonctions fV et (fV )bV . On les complète globalement en des fonctions f˙ = 1K V ⊗ fV , f˙bV = 1K V ⊗ (fV )bV . Montrons que l’on a l’égalité G G (f˙bV ) = Junip (f˙). Junip

(5)

D’après les définitions de 2.1, il suffit de fixer un sous-groupe parabolique standard P = M UP de G et de prouver l’égalité KP,unip(f˙bV , g) = KP,unip(f˙, g) pour tout g ∈ G(AF ). Rappelons que KP,unip(f˙bV , g) =



f˙bV (g −1 γug) du

UP (F )\UP (AF ) γ∈P unip (F )

=



UP (AF ) γ∈M unip (F )

f˙bV (g −1 γug) du,

702

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où Punip et Munip sont les ensembles d’éléments unipotents dans P et M . En introduisant l’ensemble mnil des éléments nilpotents de m, on a  f˙bV (g −1 exp(X)ug) du. KP,unip(f˙bV , g) = UP (AF ) X∈m (F ) nil

On descend aisément l’intégrale à l’algèbre de Lie et on obtient  f˙bV (g −1 exp(X + N )g) dN. KP,unip(f˙bV , g) = uP (AF ) X∈m (F ) nil

Puisque b ∈ Q× , on peut remplacer X par b−1 X et N par b−1 N . En décomposant les intégrales selon les places dans v et celles hors de V , on obtient  KP,unip (f˙bV , g) = CV (fVbV , b−1 X)C V (1K V , b−1 X), X∈mnil (F )



où CV (fVbV

,b

−1

fVbV (g −1 (b−1 X + b−1 N )g) dN

X) = uP (FV )

et C V (1K V , b−1 X) =



1K V (g −1 exp(b−1 X + b−1 N )g) dN.

uP (AV F)

Il résulte de la définition de (fV )bV que l’on a l’égalité CV (fVbV , b−1 X) = CV (fV , X). Si v est une place hors de V , on a v ∈ Vram et la caractéristique résiduelle est «grande». Cela assure la propriété suivante. Notons ov l’anneau des entiers de Fv . Au groupe hyperspécial Kv de G(Fv ) est associé une ov -algèbre de Lie kv . Alors, pour tout élément nilpotent N ∈ g(Fv ), on a exp(N ) ∈ Kv si et seulement si N ∈ kv . Puisque b est une unité en v, on a alors l’égalité 1Kv (g −1 exp(b−1 X + b−1 N )g) = 1Kv (g −1 exp(X + N )g) pour tous X, N , g intervenant ci-dessus. D’où l’égalité C V (1K V , b−1 X) = C V (1K V , X), puis KP,unip (f˙bV , g) =



CV (fV , X)C V (1K V , X).

X∈mnil (F )

A partir de là, le même calcul que ci-dessus, en sens inverse, conduit à l’égalité KP,unip(f˙bV , g) = KP,unip(f˙, g) cherchée. D’où (5).

VI.5. La formule des traces stable

703

Par définition, on a bV I G (AG unip (V ), fV )

(6)

G = Junip (f˙bV ) −



bV G |W M ||W G |−1 JM (AM unip (V ), fV ).

M∈L(M0 ),M=G G En appliquant (5), le premier terme devient Junip (f˙). Soit M un Levi tel que M = G. On est dans la situation où le lemme 1.14 s’applique. Ce lemme est énoncé pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, mais sa preuve s’applique aussi bien à leurs versions non invariantes. D’où bV bV G G M (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ), B, fV ).

En appliquant (4), on obtient bV G G M bV (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ) , fV ).

En raisonnant comme toujours par récurrence, on peut supposer l’analogue de (2) bV = connu si l’on remplace G par M . Cette relation équivaut à l’égalité AM unip (V ) M Aunip (V ). D’où encore bV G G M (AM JM unip (V ), fV ) = JM (Aunip (V ), fV ).

Mais alors le membre de droite de (6) est égal à la même expression où (fV )bV est remplacée par fV . D’où l’égalité bV G G I G (AG unip (V ), fV ) = I (Aunip (V ), fV ),

c’est-à-dire (2). Cela achève la démonstration.



VI.5.8 Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence En [III] 6.1, on a associé un entier N (G1 , G2 , j∗ ) à tout triplet endoscopique non ˜ a) en [III] standard (G1 , G2 , j∗ ). On a aussi défini des triplets particuliers (G, G, 6.2. Les constructions de cette référence valent sur notre corps de nombres F . Les hypothèses de récurrence posées en 1.1 doivent être complétées de la fa˜ a) quasiçon suivante. Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, G, déployé et à torsion intérieure, on ne se soucie pas du théorème 5.6 qu’on n’utilisera pas dans ce cas. Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets parti˜ a) de [III] 6.2, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet culiers (G, G, (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) < dim(GSC ). Pour démontrer une assertion ˜ a) qui n’est pas l’un de ces triplets particuliers et qui concernant un triplet (G, G, n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) ≤ dim(GSC ). Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G1 , G2 , j∗ ), on suppose connu le théorème

704

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

5.6 pour tout triplet (G1 , G2 , j∗ ) tel que N (G1 , G2 , j∗ ) < N (G1 , G2 , j∗ ). On sup˜ a) quelconques tels pose connus tous les résultats concernant les triplets (G, G, que dim(GSC ) < N (G1 , G2 , j∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant ˜ a) qui vérifient les deux conditions suivantes : les triplets (G, G, – ils sont quasi-déployés et à torsion intérieure ou ils font partie des triplets particuliers de [III] 6.2 ; – on a dim(GSC ) = N (G1 , G2 , j∗ ).

VI.5.9 La formule stable ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit V un ensemble Supposons (G, G, ˜ ss (FV )/ st-conj l’ensemble des classes de fini de places contenant Vram . On note G ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV )), ˜ V ). Pour f ∈ SI(G(F conjugaison stable semi-simples dans G(F on pose ˜

G Sg´ eom (f ) =



|W M ||W G |−1

˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜

˜

G M SM ˜ (SA (O, V ), f ).

˜ ss (FV )/ st-conj O∈M

Lemme. Cette somme est finie. ˜ . En utilisant 5.3(1) et le lemme 4.3, on voit Preuve. On peut évidemment fixer M ˜ (FV ) tel que, si qu’il existe un sous-ensemble compact C˜V de M ˜

˜

G M SM ˜ (SA (O, V ), f ) = 0,

alors O coupe C˜V . Il reste à prouver ˜ ss (FV )/ st-conj tels que SAM˜ (O, V ) = 0 (1) il n’y a qu’un nombre fini de O ∈ M ˜ et O coupe CV . ˜ = G. ˜ On utilise la définition de 5.2. Si On peut aussi bien supposer M ˜ G ˜ V ), avec G = G, SA (O, V ) = 0, alors A (O, V ) = 0 ou il existe G ∈ E(G, G ˜ ss (F ) dont la tel que SA (OG˜  , V ) = 0. Dans le premier cas, il existe γ ∈ G ˜ projection dans G(FV ) appartient à O et tel que, pour tout v ∈ V , γ soit conjugué ˜ v par un élément de G(Fv ). En imposant la condition que O à un élément de K ˜ coupe CV , l’ensemble de ces γ forme un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ) (lemme 2.1). A fortiori l’ensemble des classes de conjugaison stable O contenant un tel élément est fini. Dans le deuxième cas, le compact C˜V détermine ˜  (FV ) tel que la condition que O coupe C˜V entraîne que O ˜  un compact C˜V,G˜  de G G coupe C˜V,G˜  . Puisque G = G, on peut appliquer (1) par récurrence : l’ensemble ˜ ss (FV )/ st-conj tels que SAG (O ˜  , V ) = 0 et O ˜  coupe C˜ ˜  est des OG˜  ∈ G G G V,G fini. L’ensemble des classes O qui leur correspondent l’est aussi.  ˜ G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

705

VI.5.10 Le théorème principal ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et traLevons l’hypothèse que (G, G, ˜ a). Soit V un ensemble fini de places vaillons plutôt avec un K-triplet (KG, K G, de F contenant Vram . Par un procédé formel familier, de la définition du paraG G graphe précédent se déduit celle des termes Sg´ ) apparaissant dans l’énoncé eom (f suivant. ˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )), on a l’égaThéorème (à prouver). Pour tout f ∈ Cc∞ (K G(F lité  ˜ KG G G ˜ G ˜  )Sg´ Ig´ i(G, ). eom (f eom (f , ω) = ˜ G ∈E(G,a,V )

On montrera dans la section 6 que ce théorème résulte assez facilement des autres théorèmes précédemment énoncés.

VI.6 Preuve conditionnelle du théorème 5.10 VI.6.1 Rappel ˜ a) et une donnée endoscopique G . On rappelle le On considère un triplet (G, G, lemme suivant qui se trouve déjà dans [15]. ˆ → ker1 (F, Tˆ) et Lemme. Les flèches naturelles, ker1 (F, Z(G)) ˆ ˆ  )) → ker1 (F, Tˆ θ,0 ) ker1 (F, Z(G

sont des isomorphismes. La preuve suit [45] preuve du lemme 4.3.2 et [15] lemme 2 : ces deux flèches ˆ ˆ . On démontre sont évidemment analogues puisque Tˆ θ,0 est un tore maximal de G donc la première. ˆ → Tˆ → Tˆ /Z(G) ˆ → 1 dont se déduit une On a la suite exacte : 1 → Z(G) ˆ ˆ suite exacte de groupes de cohomologie. Le tore T /Z(G) est induit c’est-à-dire que son groupe des caractères a une base sur laquelle ΓF agit par permutations ; ainsi ˆ ΓF est connexe et la flèche de l’énoncé est injective. Pour la surjectivité, (Tˆ /Z(G)) ˆ il suffit de remarquer que ker1 (F, (Tˆ/Z(G))) = 0 : en effet on se ramène au cas ˆ Dans ce cas où ΓF agit transitivement sur une base des caractères de Tˆ/Z(G). 1 1 ∗  ˆ ˆ H (WF , (T /Z(G))) s’identifie à H (WF  , C ) où F est une extension galoisienne de F déterminé par le sous-groupe de ΓF stabilisant un élément de la base des caractères avec l’action triviale de ΓF  sur C∗ ; ainsi ce groupe de cohomologie n’est autre que le groupe des caractères de WF  (continus à valeurs complexes). Un tel ˆ si le localisé caractère correspond à un élément du sous-groupe ker1 (F, (Tˆ/Z(G))) du caractère en toute place v est trivial ; le caractère est alors nécessairement trivial.

706

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

VI.6.2 Au sujet des constantes ˜ un espace tordu, on note j(G) ˜ := | detA /A (1 − θ)| et, pour une donnée Pour G G ˜ G ˜ G ˜ ) = endoscopique elliptique G , on a posé en 5.1, i(G, ˜ −1 |π0 (Aut ˆ (G )/G ˆ  )|−1 | ker1 (F, Z(G ˆ  ))|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 δ(G, ˜ G ˜  ), j(G) G ˜ G ˜  ) = |π0 (Z(G) ˆ ΓF )||π0 (Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  ))|. On a précisé où δ(G,   ici la notation Aut(G ) de 5.1 en AutGˆ (G ). Avec la description de 5.1, la compoˆ  est exactement l’image de Z(G) ˆ ΓF ,0 dans ce groupe sante neutre de AutGˆ (G )/G d’automorphismes. Ainsi ˆ  |. ˆ ΓF ,0 G |π0 (AutGˆ (G ))| = | AutGˆ (G )/Z(G) ˆ  Z(G) ˆ ΓF qui est donc un groupe fini. On fixe On pose AutGˆ (G ) = AutGˆ (G )/G  ˜ ˜ ˜ et M ˜  . On suppose que M ˜  est un aussi des espaces de Levi de G et G , notés M ˜ espace endoscopique de M . On a alors défini en 4.4, la constante ˜ G ˜  ) := |Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 |Z(M ˆ  )ΓF /Z(M ˆ )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |. iM˜  (G, Ici on modifie cette constante car au lieu de sommer à l’intérieur d’une classe sous ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ on va sommer sur une classe sous Z(M ˆ )ΓF Z(G)/Z( ˆ ˆ Z(M G)(1 − ΓF   ˆ ˆ ˜ ˜ θ)(Z(M ) ) (cf. [I] 3.3 (2)) et on pose i  (G, G ) := ˜ M

˜ )|Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 |Z(M ˆ  )ΓF /Z(M ˆ )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |. ˜ −1 j(M j(G) et le but de ce paragraphe est de montrer la proposition suivante : ˜ G , M ˜ , M ; on a Proposition. Soient G, ˜ G ˜  )−1 i(M ˜,M ˜  )−1 = |Aut ˆ (G )|−1 |Aut ˆ (M )|. ˜ G ˜  )i ˜  (G, i(G, G M M ˜ G ˜  ) : par Il est clair que les j(?) se compensent. On récrit différemment δ(G, ˆ ˆ ΓF ,θ,0 , d’où l’inclusion Z(G ˆ  )ΓF ,0 ⊂ Z(G) ˆ ΓF ,0 . Ainsi ˆ  )ΓF ,0 = Z(G) ellipticité, Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  ))| = |Z(G ˆ  )/Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )|−1 . |π0 (Z(G ˜ G ˜  ) = |Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ||Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 . On considère Et δ(G, la suite exacte : ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 1 → Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF ). → Z(G) Et la suite exacte : ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF ˆ ΓF ∩ Z(G 1 → Z(G) ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF . → Z(G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

707

Et on obtient ˜ G ˜  ) = |Z(G) ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G ˆ  )ΓF ∩Z(G) ˆ ΓF )||Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩Z(G ˆ  )ΓF |−1. δ(G, On remarque que ˆ. ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF ) = Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G) ˆ ΓF ,0 G ˆ ΓF ,0 (Z(G) Z(G) Ainsi ˆ  ||Z(G) ˆ ΓF ,0 G ˆ ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,0 (Z(G ˆ  )ΓF ∩Z(G) ˆ ΓF )|−1 = |Aut ˆ (G )|. | AutGˆ (G )/Z(G) G Et ˜ G ˜  ) = |Aut ˆ (G )|−1 |Z(G ˆ  )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ∩ Z(G ˆ  )ΓF |−1 i(G, G ˆ  ))|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 × | ker1 (F, Z(G ˆ  )ΓF /Z(M ˆ  )ΓF ∩ Z(M ˆ  )ΓF |−1 = |AutGˆ (G )|−1 iM˜  (G, G )−1 |Z(M ˆ  ))|| ker1 (F, Z(M ˆ ))|−1 × | ker1 (F, Z(M ˜,M ˜  ), = |AutGˆ (G )|−1 iM˜  (G, G )−1 |AutMˆ (M )|i(M ce qui est l’assertion cherchée.

VI.6.3 Combinatoire des sommes On donnera en 6.5 un analogue du lemme 10.2 de [18]. Auparavant, il faut rappeler ˜ a) et si M est un que, si G est une donnée endoscopique elliptique de (G, G,  espace de Levi de G (en un sens compréhensible), il ne correspond pas forcément ˜  un espace de Levi M ˜ de G. ˜ Mais il lui correspond un groupe de Levi M ˆ à M ˆ ˆ ˆ de G tel qu’il existe un sous-groupe parabolique P ∈ P(M ) qui soit stable par ˆ cf. [I] 3.4. Dans la suite, M ˆ est supposé vérifier cette l’action galoisienne et par θ, ˆ . Les propriété. On dira que M est une donnée endoscopique elliptique de M constantes définies dans le paragraphe précédent sont encore définies dans cette ˜ n’y intervenait que via M ˆ . On les utilise en remplaçant M ˜ par M ˆ situation : M dans les notations. ˆ On fixe une fonction notée S(G , M ) sur l’ensemble des triplets G , M , M ˜ formé d’un espace endoscopique elliptique de G, d’un espace de Levi de cet espace ˆ (vérifiant la condition ci-dessus) tel que endoscopique et d’un espace de Levi de G M en soit un espace endoscopique elliptique. On suppose que cette fonction est ˆ On va sommer de deux façons difféinvariante sous l’action par conjugaison de G. ˆ rentes cette fonction (avec des coefficients) sur l’ensemble des triplets G , M , M ˆ ; il faut préciser quelques notations. modulo conjugaison sous G ˆ de G ˆ et d’un couple Les triplets considérés sont formés d’un espace de Levi M     G , M , où M est un espace de Levi de la donnée endoscopique G et où G est une

708

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ tandis que M est une donnée endoscopique donnée endoscopique elliptique de G ˆ ; donc en particulier, dans la donnée endoscopique G , on a un elliptique de M ˆ G) ˆ θ/Z( ˆ et dans la donnée endoscopique M , on a un élément élément s˜G ∈ G ˆ M ˆ θ/Z( ˆ ). Et on a nécessairement s˜G = s˜M Z(M ˆ ). En tenant compte de s˜M ∈ M [I] 3.2 (1), on impose (ce qui est loisible) à s˜M d’être dans la classe canonique ˆ )ΓF Z(G) ˆ définie en loc. cite, à l’intérieur de sa classe sous Z(M ˆ ). Ainsi sous Z(M ˆ )ΓF Z(G)/Z( ˆ ˆ G). s˜G ∈ s˜M Z(M

On a besoin de remarquer que AutMˆ (M ) agit par conjugaison sur s˜M en ˆ )ΓF Z(G). ˆ En fait cela résulte d’un résultat laissant stable sa classe modulo Z(M ˜ G remplacé général prouvé dans le paragraphe suivant, que l’on applique avec G,  ˆ par M , M .

VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes de données endoscopiques Remarque. Soit G une donnée endoscopique (non nécessairement elliptique) de ˆ Alors pour tout x ∈ Aut ˆ (G ), ˜ d’où en particulier un élément s˜G ∈ G ˆ θ. G G −1 Γ ˆ F. x˜ sG x ∈ s˜G Z(G) ˆ tel que x˜ On note z l’élément de Z(G) sG x−1 = z˜ sG ; pour faire agir ΓF sur  z, on utilise les éléments de G : pour tout w ∈ ΓF , on fixe hw ∈ G  dont l’image −1 dans la projection de G  sur ΓF est w. On a hw zh−1 . On conjugue cette w = wzw égalité par x : −1 = x(wzw−1 )x−1 = wzw−1 , xhw x−1 z xh−1 w x

ˆ et x ∈ G. ˆ On utilise le fait que hw commute à s˜G à un cocycle car wzw−1 ∈ Z(G) près d’après les définitions de 3.1, cocycle noté a comme en [?]. En agissant par conjugaison, x laisse stable G  et donc xhw x−1 commute aussi à s˜G au même ˆ D’où : cocycle près et pour tout w ∈ ΓF , a(w) ∈ Z(G). −1 z˜ sG = x˜ sG x−1 = x(a(w)−1 hw s˜G h−1 w )x −1 = a(w)−1 xhw x−1 x˜ sG x−1 xh−1 w x −1 −1 = a(w)−1 xhw x−1 zxh−1 xhw x−1 s˜G xh−1 = wzw−1 s˜G . w x w x

Cela donne l’égalité cherchée z = wzw−1 .

VI.6.5 La combinatoire ˆ , M . Dans l’énoncé ci-dessous, on écrit ∼ H pour On a précisé les notations G , M indiquer que l’on prend l’élément considéré à conjugaison près sous le groupe H. ˆ /M ˆ , qui est muni d’une action galoisienne et ˆ ) := Norm ˆ M On définit aussi W (M G ˆ ˆ  ) = Norm ˆ  M ˆ  /M ˆ  , qui d’une action de θ. On définit de façon identique W (M G  est muni d’une action galoisienne provenant de M .

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

709

ˆ sont des triplets Proposition. Dans les deux sommes suivantes, les G , M , M comme ci-dessus. Et on a :   ˜ G ˜) ˆ  )ΓF |−1 S(G , M , M ˆ ); i(G, |W (M (1) ˆ G /∼G

ˆ M /∼G



= 

(2) G =G (˜ s);˜ s∈˜ sM

ˆ )ΓF  Z(M

=

˜ G ˜  )S(G , M , M ˆ) iM˜  (G,

ˆ ΓF /Z(G)

ˆ ˆ ΓF (1−θ)(Z( M)

ˆ )ΓF ,θˆ|−1 |W (M

)



ˆ,M ˜ ) i(M

ˆ M /∼M

ˆ ˆ M/∼ G



(3)

ˆ,M ˜ ) i(M

ˆ M /∼M

ˆ ˆ M/∼ G





ˆ )ΓF ,θˆ|−1 |W (M

˜ G ˜  )S(G , M , M ˆ ). iM˜  (G,

ˆ ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ G =G (˜ s);˜ s∈˜ sM Z(M)

L’égalité de (2) et (3) résulte de [I] 3.3(2). On prouve l’égalité de (1) et ˆ comme expliqué (2). Chaque somme est une somme sur les triplets G , M , M   ˆ  ˆ ) le nombre précédemment. Pour i = 1, 2 et pour G , M , M on note ni (G , M , M ˆ de représentants de la classe de conjugaison sous G de ce triplet qui apparaissent dans la somme (i) (on vérifiera que ces nombres sont finis). Et on doit montrer pour tout tel triplet que : ˆ

ˆ )ΓF ,θ |i(G, ˜ G ˜  )n1 (G , M , M ˆ) |W (M  Γ   ˜ G ˜ )i(M ˆ,M ˜  )n2 (G , M , M ˆ ))−1 ˆ ) F |i ˜  (G, × (|W (M M

vaut 1. En tenant compte de la proposition 6.2, cela revient au même que de démontrer : (4)

ˆ )ΓF ,θˆ|n1 (G , M , M ˆ )|W (M ˆ  )ΓF |−1 n2 (G , M , M ˆ )−1 |W (M = |AutGˆ (G )||AutMˆ (M )|−1

ˆ  opère sur les classes de G ˆ  -conjugaison formées Dans (1), le groupe AutGˆ (G )/G ˆ ) = | Aut ˆ (G )/G ˆ  Aut ˆ (G , M )|. Le sousd’éléments M . Ainsi n1 (G , M , M G G Γ  F ˆ de AutG (G ) opère trivialement sur tout M espace de Levi de groupe Z(G) ˆ  Aut ˆ (G , M ) comme un espace quotient G et on peut donc voir AutGˆ (G )/G G  de AutG (G ) et on a : ˆ ) = |AutG (G )|| Aut ˆ (G , M )/ Aut ˆ (G , M ) ∩ G ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 . n1 (G , M , M G G ˆ  Z(G) ˆ ΓF = Norm ˆ  (M )Z(G) ˆ ΓF ; d’où Or AutGˆ (G , M ) ∩ G G ˆ  Z(G) ˆ ΓF | | AutGˆ (G , M )/ AutGˆ (G , M ) ∩ G ˆ  Z(G) ˆ ΓF || Norm ˆ  (M )Z(G) ˆ ΓF /M ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 = | Aut ˆ (G , M )/M G

G

ˆ  Z(G) ˆ ΓF ||W (M ˆ  )ΓF |−1 |Z(G) ˆ ΓF ∩ G ˆ  /M ˆ  ∩ Z(G) ˆ ΓF |. = | AutGˆ (G , M )/M

710

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ ΓF ∩ G ˆ  ⊂ Z(G ˆ  ) ⊂ Z(M ˆ  ), et on trouve donc que Or Z(G) ˆ ) = |AutG (G )||W (M ˆ  )ΓF || Aut ˆ (G , M )/M ˆ  Z(G) ˆ ΓF |−1 . n1 (G , M , M G ˆ )∗ de W (M ˆ )ΓF ,θˆ dans Dans (2), il y a d’abord l’image réciproque NormGˆ (M ˆ ) qui opère sur les M alors que dans la somme on n’a pris en compte NormGˆ (M ˆ )ΓF ˆ ; ensuite, sur les classes de conjugaison de G modulo Z(M que l’action de M   Γ ˆ Z(M ˆ ) F . Ainsi opère Aut ˆ (M )/M M

ˆ ) = | Norm ˆ (M ˆ )∗ /M ˆ Aut ˆ (G , M , M ˆ )| n2 (G , M , M G G ˆ )Z(M ˆ )ΓF |. × | Aut ˆ (M )/ Aut ˆ (G , M , M M

M

Ce nombre est évidemment fini et on peut le récrire sous la forme : ˆ )/ Aut ˆ (G , M , M ˆ )|−1 ˆ )ΓF ,θˆ|| Aut ˆ (G , M , M |W (M G M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|−1 × |Aut ˆ (M )|| Aut ˆ (G , M , M M

M

M

ˆ )ΓF ,θˆ||Aut ˆ (M )| = |W (M M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|−1 . | AutGˆ (G , M , M M Ainsi démontrer (4) est équivalent à montrer que ˆ  Z(G) ˆ ΓF | | AutGˆ (G , M )/M ˆ )/M ˆ  (Z(M ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G , M , M ˆ ))|. = | AutGˆ (G , M , M M ˜ , ˆ est uniquement déterminé par G et son espace de Levi M Comme M ˆ) AutGˆ (G , M ) = AutGˆ (G , M , M et il suffit de montrer l’inclusion ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G ) → M ˆ  Z(G) ˆ ΓF . Z(M G ˆ )ΓF ∩ Aut ˆ (G ) dans Pour montrer cette inclusion, on considère l’image de Z(M G ˆ ˆ ; l’image est incluse dans (Tˆ/Z(G)) ˆ ΓF ,θ ; or Tˆ/Z(G) ˆ est un tore induit au Tˆ/Z(G) sens suivant : le groupe de ces caractères admet une base sur laquelle θˆ et ΓF opère ˆ ΓF ,θˆ est un tore connexe et est nécessairement par permutations. Ainsi (Tˆ/Z(G)) ˆ ˆ ˆ  )ΓF et ainsi Z(M ˆ )ΓF ∩ l’image de Tˆ ΓF ,θ,0 ; or Tˆ ΓF ,θ,0 est un sous-groupe de (M   ΓF  ΓF ΓF ˆ ˆ ˆ ˆ AutGˆ (G ) est un sous-groupe de (M ) Z(G) et donc de (M ) Z(G) .

VI.6.6 Un résultat d’annulation On travaille ici avec des K-espaces. On fixe un ensemble fini V de places contenant ˆ Tˆ, (Eˆα )α∈Δ ) Vram . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée Eˆ = (B,

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

711

ˆ conservée par l’action galoisienne. Si K M ˜ est un K-espace de Levi de K G, ˜ de G, ˜ ˜ , aM ). En fait, K M on sait définir la notion de donnée endoscopique de (KM, K M ˆ de G ˆ qui lui est associé. On n’intervient dans cette définition que via le Levi M sait que l’on peut supposer ce Levi standard et invariant par θˆ et par l’action galoisienne. Pour se donner un peu plus de liberté, on peut imposer la condition plus faible ˆ et il existe Pˆ ∈ P(M ˆ ) de sorte que (Pˆ , M ˆ ) soit conservé par θˆ et par (1) Tˆ ⊂ M l’action galoisienne. ˜ de K G ˜ mais un Levi M ˆ de Considérons non plus un K-espace de Levi K M ˆ G qui vérifie la condition (1). Le cocycle a se pousse en un cocycle aMˆ à valeurs ˆ ). On définit comme en 3.1 la notion de donnée endoscopique disons de dans Z(M ˆ , a ˆ ). Si M ˆ correspond à un K-espace de Levi K M ˜ , cette notion coïncide avec (M M ˜ celle de donnée endoscopique de (KM, K M , aM ). Mais la présente notion est un ˆ ne corresponde pas toujours à un tel K-espace de peu plus générale puisque M ˆ comme ci-dessus et une donnée endoscopique Levi. Considérons donc un Levi M ˆ    ˜ ˆ ˆ  est isomorphe à Tˆ θ,0 . M = (M , M , ζ) de (M , aMˆ ). Un tore maximal de M   Si on introduit des sous-tores maximaux T de G et T de M , on a par dualité un homomorphisme ξ : T → T  . Il n’est défini qu’à conjugaison près mais sa restriction à Z(G) est bien définie et envoie Z(G) dans Z(M  ). On peut donc ˜  = M  ×Z(G) Z(G) ˜ comme en [I] 1.7. Pour une place définir l’espace tordu M ˜v v hors de V , la situation est non ramifiée. Il existe donc un espace de Levi M ˜ défini sur Fv qui correspond à M ˆ . La donnée localisée M est une donnée de G v ˜ v , aMv ). Le sous-espace hyperspécial K ˜v ∩ M ˜ v détermine endoscopique de (Mv , M ˜ vM  de M ˜  (Fv ), bien défini modulo conjugaison alors un sous-espace hyperspécial K  (Fv ). On fixe de tels sous-espaces, soumis à la condition de compatibilité par MAD ˜  , C1 , ξˆ1 définies sur F globale de 1.1. La notion de données auxiliaires M1 , M 1 et non ramifiées hors de V se définit comme en 3.3 et la preuve du lemme de ce paragraphe montre que de telles données existent. On adjoint à ces données ˜ vM  , soumise à la ˜ M  )v∈V relevant les K une familles d’espaces hyperspéciaux (K 1,v même condition de compatibilité globale. Considérons maintenant une autre série ˜ M  )v∈V . La même construction qu’en 1.15 définit de données auxilaires M2 ,. . .,(K 2,v ˜12,V qui permet de recoller C ∞ (M ˜ 1 (FV )) à C ∞ (M ˜ 1 (FV )), du une fonction λ c,λ1 c,λ2 ˜  (F ) = ∅. On définit alors l’espace C ∞ (M ) comme la limite inductive moins si M c V de ces espaces. On a de même des espaces I(MV ), SI(MV ) etc. . . Toutes les ˆ correspondait à un constructions formelles que l’on a faites dans le cas où M ˜ K-espace de Levi de K G s’étendent dans notre situation. ˜  (F ) = ∅ et M elliptique, c’est-à-dire que Cela étant, supposons M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ  )ΓF ,0 = Z(M . Z(M

Soient δ ∈ Dst (MV ) ⊗ Mes(M  (FV ))∗

et

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). f ∈ I(K G(F

712

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

On peut poser (2)

I∗K G,E (M , δ, f ) = ˜



G (˜ s)

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))SM



(δ, B G , f G (˜s) ). ˜

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ( 

Par convention, f G (˜s) = 0 si G (˜ s) n’est pas relevante. S’il existe un espace de ˜ correspondant à M ˆ et si M est relevante pour cet espace de Levi, ce Levi K M ˜ K G,E  n’est autre que le terme IK ˜ (M , δ, f ) du paragraphe 4.4. M ˜ de K G ˜ corProposition. Supposons soit qu’il n’existe aucun espace de Levi K M ˜ , soit qu’un tel espace K M ˜ existe mais que M soit une donrespondant à M ˜ ˜ aM ). Alors I∗K G,E née non relevante de (KM, K M, (M , δ, f ) = 0 pour tout δ ∈ st   ∗ ˜ D (MV ) ⊗ Mes(M (FV )) et tout f ∈ I(K G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )). Les places archimédiennes compliquent grandement la démonstration, cf. la remarque (30) de 6.10. On va énoncer deux propositions auxiliaires. On montrera en 6.9 que la seconde entraîne la première et que celle-ci entraîne la proposition ci-dessus. On prouvera la seconde proposition auxiliaire en 6.10. Dans les quatre paragraphes suivants, on conserve la présente situation et on impose les hypothèses de la proposition. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.

VI.6.7 Une première proposition auxiliaire ˆ v un Levi de G. ˆ Considérons la condition Soient v ∈ V et L ˆ v ∈ P(L ˆ v ) de sorte que (P ˆ v, L ˆ v ) soit conservé par θˆ et ˆ v et il existe P (1) Tˆ ⊂ L par l’action de ΓFv , qui est l’analogue locale de 6.6(1). ˆ v le commutant de Z(M ˆ  )ΓFv ,0 dans G. ˆ C’est un Levi de G ˆ inclus Notons M ˆ ˆ ˆ dans M . L’inclusion peut être stricte. Ce Levi vérifie (1). Posons MV = (Mv )v∈V . ˆ V = (L ˆ v )v∈V telles que, pour tout v ∈ V , ˆ V ) l’ensemble des familles L Notons L(M ˆ ˆ v . Considérons une telle famille. ˆ Lv soit un Levi de G vérifiant (1) et contenant M On pose ˆ v )) = Z(M ˆ v )ΓFv ,θˆ). ˆ V ) = Z(M ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L Z(L Pour une place v ∈ V , les mêmes considérations que dans le paragraphe précédent s’appliquent : on définit la notion de donnée endoscopique (locale) de ˆ v , a ˆ ). En particulier, puisque M est une donnée endoscopique elliptique de (L v Lv ˆ ˆ ˆ (Mv , aM ˆ v ) et que Mv est un Levi de Lv , on peut définir la donnée endosco ˜ M) ˆ v , a ˆ ) pour s˜ ∈ ζZ( ˆ ΓFv ,θˆ/Z(L) ˆ ΓFv ,θˆ. Considérons un élépique L (˜ s) de (L Lv

v

ˆ V ). Alors L (˜ ˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(L ment s ∈ ζZ( v s) est défini pour tout v ∈ V et on pose   ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ. Alors la s) = (Lv (˜ s))v∈V . Relevons s˜ en un élément de ζZ( LV (˜ ˆ

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

713

donnée globale G (˜ s) est bien définie. Pour tout v ∈ V , Lv (˜ s) est une «donnée de s). Fixons des données auxiliaires globales G1 (˜ s),. . ., Levi» de la donnée locale Gv (˜ ˜  )v∈V pour G (˜ (K s ). Il s’en déduit par restriction des données auxilaires locales 1,v s), ainsi que des données auxiliaires globales pour M . Conformépour les Lv (˜  ˜  (˜ ment à notre habitude, on note par exemple L s) l’image réciproque 1,v s) ou M1 (˜      ˜  (˜ ˜ ˜ ˜ s) ou M dans G1 (˜ s). En posant L1,V (˜ s; FV ) = v∈V L de Lv (˜ 1,v s, Fv ), on a un  ˜ espace de fonctions SIλ1 (L1,V (˜ s, FV )). Faisons varier le relèvement de s˜ et les données auxiliaires. On remplace l’indice 1 par 2 pour ces nouvelles données. On a une ˜  s; FV ) et ˜  (˜ fonction de recollement définie sur le produit fibré L 12,V s; FV ) de L1,V (˜   ˜ ˜ L2,V (˜ s; FV ) au-dessus de LV (˜ s; FV ). Elle n’est définie qu’à multiplication près par un scalaire. Mais on a remarqué au paragraphe précédent que l’on pouvait normaliser canoniquement les restrictions de ces fonctions au produit fibré similaire  ˜  (˜ ˜ 12 (FV ) qui est inclus dans L M 12,V s; FV ). Cette normalisation fixe la fonction de  ˜ recollement sur tout L12,V (˜ s; FV ). On peut alors définir par limite inductive un  st espace que l’on note SI(LV (˜ s)). Dualement, on a un espace Dg´ s)). eom (LV (˜  ˜ ¯ Soient v ∈ V et δ ∈ Lv (˜ s; Fv ). Sur la clôture algébrique Fv , il existe un ˜ v de G ˆ v . La classe de conjugaison de la partie ˜ qui correspond à L espace de Levi L semi-simple de δ correspond à une classe de conjugaison d’un élément semi-simple ˜ v . On dit que δ est G-régulier, ˜ ˜ resp. G-équisingulier, si γ est fortement γ de L ˜ ˜ ˜  (˜ G-régulier, resp. G-équisingulier. Un élément δ = (δv )v∈V ∈ L V s; FV ) est dit ˜ ˜ ˜ G-régulier, resp. G-équisingulier, aux places archimédiennes si δv est G-régulier, ˜ resp. G-équisingulier, pour tout v archimédienne. ˆ V ∈ L(M ˆ V ). On note L(R ˆ V ) l’ensemble des L ˆ V ∈ L(M ˆ V ) telles que Soit R ΓF ,θˆ ˆ ˜ ˆ ˆ ˆ /Z(LV ), f ∈ SI(LV (˜ s)) et Rv ⊂ Lv pour tout v ∈ V . Soient s ∈ ζZ(M )  ˜  st st s)). Supposons δ ∈ Dg´eom (RV (ζ)) = Dg´eom (RV (˜ ˜ (2) le support de δ soit formé d’éléments G-équisinguliers aux places archimédiennes. Fixons des données auxiliaires comme ci-dessus. Pour simplifier, on peut supposer que δ et f s’identifient respectivement à ⊗v∈V δ 1,v et ⊗v∈V f1,v . Les termes du produit  L˜  (˜s) ˜ 1,v SR (δ 1,v , B G , f1,v ) ˜  (˜ s),λ v∈V

1,v

1

sont bien définis. Notons que l’hypothèse (2) nous permet si l’on veut de supprimer ˜ la mention du système de fonctions B G aux places archimédiennes. Quand on fait varier les données auxiliaires, le produit ne change pas. On le note L (˜ s)

˜

G SRV (ζ) ˜ (δ, B , f ). V

ˆ V ∈ L(M ˆ V ) et s˜ ∈ ζZ( ˜ R ˆ V )/Z(G) ˜ ˆ ΓF ,θˆ. Supposons G (˜ Soient R s) et RV (ζ)  ˜ s) ˜  ˜   G (˜ ˜ ˜ (RV (ζ)) l’ensemble des familles LV = (Lv )v∈V telles elliptiques. Notons L

714

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜  soit un espace de Levi de G ˜  (˜ que, pour tout v ∈ V , L s) défini sur Fv et contev ˜ Pour une telle famille et pour v ∈ V , notons L ˆ v le commutant de ˜  (ζ). nant R v  ΓFv ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ V ). La famille ˆ dans G. Alors la famille LV = (Lv )v∈V appartient à L(R Z(Lv )  ˜ LV apparaît comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique ˆ V , a ˆ ). Pour simplifier les notations, nous noterons directes) de (L elliptique LV (˜ LV ˜ ˜  (ζ)). ˜ Remarquons que l’application «terme ˜  (˜ s ) les éléments de LG (˜s) (R ment L V V constant» SI(G (˜ s)) → SI(L (˜ s)) f → fL (˜s) est bien définie. ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ et f ∈ I(K G(F ˆ V ∈ L(M ˜ V ), ω). On supSoient R V g´ eom pose (2) vérifiée. On suppose aussi ˜ est elliptique. (3) R (ζ) On définit ˆ V , δ, f ) = J(R  ˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (ζ)) ˜ L V s)∈L V

 ˜ R ˆV s ˜∈ζZ(

˜  (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV V

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ ΓF ,θˆ )/Z(G) L (˜ s)



G G (˜ s)  (˜ s))SRV (ζ) )LV (˜s) ). ˜ (δ, B , (f ˜

V

˜ et f ∈ I(K G(F ˆ V ∈ L(M ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ V ), ω). On Proposition. Soient R V g´ eom suppose que (2) et (3) sont vérifiées et que δ est l’image par induction d’un élément st  ˆ de Dg´ eom (MV ). Alors J(RV , δ, f ) = 0.

VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire ˆ V ∈ L(M ˆ V ), δ ∈ Dst (R (ζ)) ˜ et f ∈ I(K G(F ˜ V ), ω). Proposition. Soient R V g´ eom  ˜ On suppose que R (ζ) est elliptique et que δ est l’image par induction d’un élést ˜ ment de Dorb (MV ) dont le support est formé d’éléments G-réguliers aux places ˆ V , δ, f ) = 0. archimédiennes. Alors J(R

VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6 Evidemment, la proposition 6.8 est un cas particulier de la proposition 6.7. Mais nous allons prouver qu’inversement, elle implique cette proposition. Considérons la situation de cette proposition 6.7. On peut supposer f = ⊗v∈V fv . On fait jouer ˜ et R (ζ) ˜ un rôle de référence. Pour simplifier, on supprime le aux données G (ζ) V ˜ R = R (ζ). ˜ Fixons des données terme ζ˜ des notations, en posant G = G (ζ), V V  ˜ 1,v supplémentaires G1 ,. . .,(K )v∈V pour G . On peut supposer que δ s’identifie à st ˜ ⊗v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )). On peut fixer pour tout v ∈ V une ˜  (Fv ) de sorte que δ 1,v soit classe de conjugaison stable semi-simple Ov dans M

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

715

st ˜ induite d’un élément de Dg´ eom,λ1,v (M1 (Fv )) dont le support est formé d’éléments ˜ R

de partie semi-simple dans Ov . Notons Ov v la classe de conjugaison stable dans ˜ v ˜  (Fv ) contenant O . L’hypothèse sur δ est que OvR ˜ est G-équisingulière pour R v toute place v archimédienne. Nous considérons comme fixés f et les composantes ˆ V , δ, f ) dépend des δ1,v pour v non archimédienne. On va étudier comment J(R δ1,v pour v archimédienne. Pour cela, considérons pour toute place archimédienne st ˜ un élément τ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )). On suppose soit que τ 1,v = δ 1,v , soit que ˜  (Fv )) et que son support est formé d’éléments G˜ τ 1,v appartient à Dst (R 1,v orb,λ1,v ˜ R v de Ov . Pour unifier

les notations, on pose τ 1,v = δ 1,v pour toute réguliers proches  st v ∈ V non-archimédienne. On note τ l’élément de Dg´ eom (RV ) auquel s’identifie ⊗v∈V τ 1,v . ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ, fixons des données supplémentaires Pour tout s˜ ∈ ζZ(  ˜ 1,v G1 (˜ s),. . .,(K (˜ s))v∈V pour G (˜ s). On a deux séries de données auxiliaires pour  ˜  (˜ s). Comme on l’a dit, les espaces SIλ1 (˜s) (R la donnée RV = RV (˜ 1,V s; FV )) et  ˜ SIλ1 (R1,V (FV )) se recollent canoniquement. On peut décomposer cet isomorphisme canonique en produit d’isomorphismes sur toutes les places v ∈ V . On a alors des isomorphismes duaux entre espaces de distributions. Pour tout v ∈ V , st ˜  s; Fv )). D’autre s) ∈ Dg´ τ 1,v s’identifie ainsi à un élément τ 1,v (˜ eom,λ1,v (˜ s) (R1,v (˜ 

part, f G (˜s) s’identifie à un élément ⊗v∈V f1,v (˜ s). On a l’égalité L (˜ s)

(1)

˜



1,v

1,v

SRV (˜s) (τ , B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ) V  L˜  (˜s) ˜ 1,v SR (τ 1,v (˜ s), B G , f1,v (˜ s)L˜  = ˜  (˜ s),λ (˜ s) v∈V

s) 1,v (˜

).

Si v est archimédienne, on a dit que l’on pouvait oublier le système de fonctions ˜ B G en vertu de l’hypothèse sur le support de τ 1,v . On a vu en [V] 1.4 (2) et (3) ˜  (˜ qu’il existait ϕ1,v ∈ SIλ1,v (˜s) (R 1,v s; Fv )) de sorte que (2) pour tout τ 1,v comme ci-dessus, on a ˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

1,v

(τ 1,v , f1,v (˜ s)L˜  (˜ s)

s) ) 1,v (˜

˜ R

(˜ s)

1,v = Sλ1,v s), ϕ1,v ). (˜ s) (τ 1,v (˜

A l’aide des recollements fixés, on peut identifier ϕ1,v à un élément de ˜  (Fv )). Comme cet élément dépend de s˜ et de L (˜ SIλ1,v (R V s), notons-le 1,v s, LV (˜ s)]. Le membre de droite de (2) devient φ1,v [˜ ˜ R

1,v Sλ1,v (τ 1,v , φ1,v [˜ s, LV (˜ s)]).

Notons V∞ l’ensemble des places archimédiennes de F et indiquons par un indice ∞ les produits ou produits tensoriels sur les places v ∈ V∞ . Par exemple τ 1,∞ =

716

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

⊗v∈V∞ τ 1,v . L’égalité (1) devient L (˜ s)

˜ R



1,∞ s, LV (˜ s)]Sλ1,∞ (τ 1,∞ , φ1,∞ [˜ s, LV (˜ s)]), SRV (˜s) (τ , B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ) = c[˜

˜

V

où c[˜ s, LV (˜ s)] est indépendant des τ 1,v pour v ∈ Val∞ (F ). Posons  ˜ G ˜  (˜ φ1,∞ = iM˜  (G, s)) ˆ

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(





˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (ζ)) ˜ L V s)∈L V

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s))c[˜ s, LV (˜ s)]φ1,∞ [˜ s, LV (˜ s)]. V

Alors ˜ R

ˆ V , τ , f ) = S 1,∞ (τ 1,∞ , φ1,∞ ). J(R λ1,∞

(3)

st ˜ ˜ Soit μ1,∞ ∈ Dg´ eom,λ1,∞ (M1 (F∞ )), à support dans les éléments de M (F∞ ) de  partie semi-simple dans O∞ , tel que δ 1,∞ soit l’induite de μ1,∞ . En appliquant (3) à τ = δ, on obtient ˜ M

ˆ V , δ, f ) = S 1,∞ (μ , φ J(R ˜ 1,∞ λ1,∞ 1,∞,M

1,∞

).

On veut prouver que le membre de gauche est nul. Il suffit de prouver que φ1,∞,M˜  1,∞  est nul au voisinage de O∞ . Précisément, il suffit de prouver que, pour ν 1,∞ ∈ st  ˜  (F∞ )), à support G-régulier ˜ (M et proche de O∞ , on a Dorb,λ 1 1,∞ ˜ M

1,∞ Sλ1,∞ (ν 1,∞ , φ1,∞,M˜ 

1,∞

) = 0.

˜  (F∞ ). Complétons τ 1,∞ Fixons un tel ν1,∞ , notons τ 1,∞ l’induite de ν 1,∞ à R 1,∞ en un élément τ de composantes δ 1,v aux places de V non-archimédiennes. Le même calcul que ci-dessus montre que ˜ M

1,∞ Sλ1,∞ (ν 1,∞ , φ1,∞,M˜ 

1,∞

ˆ V , τ , f ). ) = J(R

Mais τ vérifie les hypothèses de 6.8. Donc le membre de droite ci-dessus est nul. D’où l’assertion cherchée, ce qui prouve la proposition 6.7. Nous allons maintenant prouver que cette proposition 6.7 entraîne la proposition 6.6. Considérons la définition 6.6(2). On utilise la proposition 4.2(i) pour  ˜ G (˜ s) développer chaque terme SM (δ, B G , f G (˜s) ). Avec les notations que l’on a introduites, on obtient G (˜ s)

SM 

=



(δ, B G , f G (˜s) )  ˜

˜  (˜ G s ) (M ˜  (˜ ˜ ) L V s)∈L V





 ˜ (˜ ˜ L (˜ s) G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s))SMV (δ, B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). V

V

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

717

Fixons des données auxiliaires comme plus haut. Les intégrales du membre de droite se décomposent alors en produit sur v ∈ V d’intégrales locales. Considérons une place v archimédienne. Le terme local est ˜ L

(˜ s)

s) 1,v (˜

1,v

˜  (˜ G 1,v s)

˜

SM˜1,v  (˜ s),λ

(4)

(δ 1,v (˜ s), B G , (fv

)L˜ 

s) 1,v (˜

).

On peut supposer comme plus haut que les éléments du support de δ 1,v ont leur partie semi-simple dans une classe de conjugaison stable Ov . Fixons Hv ∈ AM˜  en v position générale. Relevons-le en un élément H1,v ∈ AM˜  (˜s) . Considérons un Levi 1,v ˜  (˜ ˜ de L v s) contenant Mv . Conformément aux notations introduites en 6.7, notons-le  ˜ Rv (˜ s). Les définitions de [V] 6.3 s’étendent au cas des distributions se transformant selon le caractère λ1,v (˜ s) de C1 (˜ s; Fv ). On a défini dans cette référence un élément ˜

˜ R

s), B G , H1,v1,v ξ R1,v (˜s),st (δ 1,v (˜ ˜

(˜ s)

).

st ˜  (˜ ˜  s; Fv )) C’est une distribution induite à R 1,v s; Fv ) d’un élément de Dg´ eom (M1,v (˜  dont le support est formé d’éléments de partie semi-simple dans Ov . La proposition [V] 6.3 entraîne que le (3) est faiblement équivalent à la fonction qui, à H1,v associe  ˜  (˜ L 1,v s) SR ˜  (˜ s),λ (˜ s)

 exp(H1,v,R ˜

1,v

1,v

˜  (˜ L ˜  (˜ ˜) v s ) (M R v s)∈L v

˜

1,v

˜ R

s),st R1,v (˜ (δ 1,v (˜ s), B G , H1,v1,v (˜ s) )ξ ˜

(˜ s)

˜  (˜ G 1,v s)

), (fv

 )L˜ 

s) 1,v (˜

.

Cela implique que, si l’on remplace dans l’expression ci-dessus H1,v par H1,v /n, pour un entier n ≥ 1, la limite de cette expression quand n tend vers l’infini est égale à (4). Posons ˜ R

τ 1,v1,v

(˜ s)

(n) = exp(H1,v,R ˜

s) /n)ξ 1,v (˜

˜  (˜ R 1,v s),st

˜ R

˜

(δ 1,v (˜ s), B G , H1,v1,v

(˜ s)

/n).

Pour unifier les notations, pour une place v ∈ V non-archimédienne, posons ˜ M

τ 1,v1,v

(˜ s)

(n) = δ1,v (˜ s). 

˜ (˜ ˜ G s) ˜  ˜  ). Notons L∞ Enfin, on a défini en 6.7 l’ensemble LG (˜s) (M (MV ) le sousV ˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  pour toute place nons ) ∈ L ( M ) tels que R s ) = M ensemble des R v v V V  ˜ G (˜ s) archimédienne. Avec ces définitions, on obtient que SM (δ, B G , f G (˜s) ) est égale à la limite quand n tend vers l’infini de   ˜  (˜ G s) ˜  ˜  e  (M , L (˜ s))

(5)

˜  (˜ ˜  (˜ G s) ˜  G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ R (MV ) L V s)∈L V s)) V s)∈L∞



v∈V

˜  (˜ L 1,v s) SR ˜  (˜ s),λ1,v (˜ s) 1,v

˜ M V

V

  ˜ ˜  (˜ M G (˜ s) s) ˜ τ 1,v1,v (n), B G , (fv 1,v )L˜ 

s) 1,v (˜

 .

718

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule ˜ R

(˜ s)

Les distributions τ 1,v1,v (n) dépendent des données auxiliaires mais on vérifie sans peine qu’elles se recollent convenablement quand on change de données auxiliaires. ) On doit toutefois prendre garde au fait que la translation par exp(H1,v,R ˜  (˜ 1,v s) pour v archimédienne n’est compatible au recollement qu’à un caractère près. Plus précisément, pour une telle place, on a introduit en [IV] 2.1 un caractère λAG˜  (˜s) de AG˜  (˜s) . Alors les distributions 1

1,v







λAG˜ 

s) 1,v (˜

(H1,v,G˜ 

s) 1,v (˜

˜ R

⊗v∈V τ 1,v1,v

/n)

(˜ s)

(n)

v∈Val∞ (F ) 

se recollent en une distribution que l’on note τ RV (˜s) (n). Cette multiplication par le produit des λAG˜  (˜s) (H1,v,G˜  (˜s) /n) ne nous gêne pas : on peut multiplier (5) 1,v

1,v

par ce terme sans changer les propriétés de cette expression. Alors (5) se récrit 



˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜  (˜ G G s) ˜  s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ R (MV ) L V s)∈L V s)) V s)∈L∞

L (˜ s)



˜  (˜ ˜ , L eM˜  (M V s)) V



SRV (˜s) (τ RV (˜s) (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). ˜

V

˜

En revenant à 6.6(2), on voit que I∗K G,E (M , δ, f ) est égale à la limite quand n tend vers l’infini de 

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ

˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ R (MV ) V s)∈L∞

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(



(6)

˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

L (˜ s)





˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜ , L eM˜  (M V s)) V



SRV (˜s) (τ RV (˜s) (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). ˜

V

ˆ V ∈ L(M ˆ V ). Plus précisément, s) intervenant est associé un élément R A tout RV (˜ ˆ ˆv = M ˆv celui-ci appartient au sous-ensemble L∞ (MV ) défini par les conditions R  pour v ∈ V non-archimédienne. On peut remplacer la somme en RV (˜ s) par une ˆ V , que l’on permute avec la somme en s˜. On peut ensuite décomposer somme en R ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(R ˆ V ) et une somme en cette dernière somme en une somme sur t˜ ∈ ζZ( ˆ ΓF ,θ ˆ ˆ V ∈ L∞ (M ˆ V ) de ˆ ˜ . L’expression (6) devient la somme sur R s˜ ∈ tZ(RV )/Z(G)  ˆ V );R (t˜) elliptique ˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(R t˜∈ζZ( V



ˆ V , t˜, τ RV (t˜) (n), f ), J(R

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

719

où 



ˆ V , t˜, τ RV (t) (n), f ) = J(R  ˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

˜

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈t˜Z(R ˜

L (˜ s)





RV (˜ s) V ˜ , L ˜  (˜ eM˜  (M (n), B G , (f G (˜s) )LV (˜s) ). V s))SR (˜ s) (τ G (˜ s) V

˜

V

˜ cette expression est égale à l’expression J(R ˆ V , τ RV (t˜) (n), f ) Dans le cas où t˜ = ζ, de 6.7. Pour t˜ quelconque, elle est égale à l’analogue de cette expression quand ˜ par la donnée équivalente on remplace la donnée de départ M = (M  , M , ζ) (M  , M , t˜). On peut donc lui appliquer cette proposition 6.7. Les distributions  τ RV (t˜) (n) vérifient par construction les hypothèses de cette proposition : en une place archimédienne v, la translation par exp(H1,v,R /n) assure que le sup˜  (˜ 1,v s) ˜ port de la distribution est G-équisingulier puisque Hv est en position générale. ˆ V , t˜, τ RV (t˜) (n), f ) = 0. Alors l’expresLa proposition 6.7 implique donc que J(R ˜ sion (6) est nulle. Sa limite I∗K G,E (M , δ, f ) est nulle elle aussi, ce qui prouve la proposition 6.6.

VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8 ˆ V , δ et f comme dans l’énoncé de la proposition 6.8. On On fixe des données R suppose f = ⊗v∈V fv . On a besoin de facteurs de transfert globaux. Pour cela, on fixe les extensions ˜→H ˜ 1 → G → H → D → 1, G ˜ M ˆ ΓF ,θˆ, on étend ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) construites dans la preuve de 3.8. Pour tout s˜ ∈ ζZ( comme dans ce paragraphe la donnée G (˜ s) en une donnée H (t˜) et on fixe des don ˜ ˆ ˜ nées auxiliaires H1 (t),. . .,ξ1 (t). On en déduit comme en 3.9 des données auxiliaires G1 (˜ s),. . .,ξˆ1 (˜ s) pour G (˜ s), que l’on complète par le choix d’espaces hyperspé ˜ s))v∈V . Il s’en déduit un facteur de transfert canonique comme en ciaux (K1,v (˜ ˜  (˜ G s)

3.9, que l’on décompose en produit sur v ∈ V de facteurs locaux. On note fv 1 le transfert de fv calculé à l’aide de ce facteur. Comme en 6.9, on considère les données auxiliaires relatives à ζ˜ comme des données de référence et, pour celles-ci, ˜ G = G (ζ) ˜ etc. . . On peut supon supprime ζ˜ de la notation : G = G (ζ), 1 1 st ˜ poser que δ s’identifie à ⊗v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )) pour tout ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ de v ∈ V . Comme on l’a vu en 6.7, on dispose pour tout s˜ ∈ ζZ(   ˜ 1 (FV )) et SIλ (˜s) (M ˜ 1 (˜ recollements canoniques entre SIλ1 (M s; FV )) et aussi entre 1   ˜ ˜ s; FV )). On décompose ceux-ci en produit tensoSIλ1 (R1,V (FV )) et SIλ1 (˜s) (R1,V (˜ riel d’isomorphismes locaux. On fait de même pour les espaces de distributions. st ˜  s; Fv )). La définition de s) ∈ Dg´ Alors chaque δ 1,v s’identifie à δ 1,v (˜ eom,λ1,v (˜ s) (R1,v (˜

720

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

ˆ V , δ, f ) se récrit J(R 

ˆ V , δ, f ) = J(R

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s ˜∈ζZ(

 (1)  v∈V



˜  (˜ G s ) (R ˜  (˜ ˜  (˜ L V s)∈L V s))

˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

1,v

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s)) V

˜

˜  (˜ G 1,v s)

(δ (˜ s), B G , (fv (˜ s) 1,v

)L˜ 

s) 1,v (˜

).

On peut supposer que, pour tout v ∈ V , il y a une classe de conjugaison ˜  (Fv ) de sorte que stable semi-simple Ov ⊂ M  ˜ 1,v – δ 1,v est induite d’un élément de Dst (M (Fv )) dont le support est formé orb,λ1,v

d’éléments de partie semi-simple dans Ov ; ˜ – si v est archimédienne, Ov est formé d’éléments G-réguliers.

˜  le comFixons v ∈ Ov tel que Mv soit quasi-déployé sur Fv . On note R v  ˜ . On a A ˜  = AM  . On peut fixer une distribution mutant de AMv dans M Rv v ˜  (Fv )) de sorte que (R dv ∈ Dst g´ eom,λ1

1,v

˜  (Fv ) ; – δ 1,v soit l’induite de dv à R 1,v ˜  (Fv ) des éléments du sup– si v est non-archimédienne, les projections dans R v port de dv ont leur partie semi-simple dans la classe de conjugaison stable ˜  (Fv ) ; OR˜  de v dans R v v – si v est archimédienne, dv est une intégrale orbitale stable associée à un  ˜ 1,v relèvement de v dans R (Fv ). On a ˜ . (2) v appartient à un sous-tore tordu maximal elliptique de R v En effet, soit Tv un sous-tore maximal elliptique de Mv et Tv son commutant dans Rv . Alors l’ensemble Tv v répond à la question. Pour que cette construction soit correcte, il faut évidemment que Mv possède un sous-tore maximal elliptique. ˜ C’est toujours vrai si v est non-archimédienne. Si v est archimédienne, v est G régulier par hypothèse donc Mv est lui-même un tore et l’assertion s’ensuit. ˆ  )ΓFv ,0 dans G. ˆ C’est un Levi de M ˆ v . Quitte ˆ v le commutant de Z(R On note R v à remplacer la donnée locale Mv par une donnée équivalente, on peut supposer que tous ces Levi sont standard et que la donnée locale Mv provient d’une donnée ˆ v , cf. [I] 3.4. C’est-à-dire qu’en posant R = M ∩ L Rv , le triplet Rv pour R v v   ˜ est une donnée endoscopique de R ˆ v et que Mv = M ˆ  Rv . Notons Rv = (Rv , Rv , ζ)  que Rv est une donnée elliptique par construction. Remarque. On pourrait poser des définitions plus sophistiquées évitant de remplacer Mv par une donnée équivalente. En tout cas, ce remplacement ne perturbera pas la suite de la démonstration.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

721

ˆ v vérifie la condition 6.7(1). On pose R ˆ V = (R ˆv )v∈V . On définit Le Levi R ˆ V = (L ˆ v )v∈V telles que, pour tout ˆ V ) des familles L comme en 6.7 l’ensemble L(R ˆ v soit un Levi de G ˆ vérifiant 6.7(1) et contenant R ˆ v . Considérons une v ∈ V, L ΓF ,θˆ ΓF ,θˆ ˜ ˆ ˆ /Z(G) et pour une place v ∈ V , on définit telle famille. Pour s˜ ∈ ζZ(M ) ˆ v associée à s˜ et à la donnée endoscopique R s) de L la donnée endoscopique Lv (˜ v ˆ v de L ˆ v . En posant du Levi R ˆ V ) = Z(M ˆ )ΓF ,θˆ ∩ (∩v∈V Z(L ˆ v )), Z(L ˆ V ). Considérons deux élécette donnée ne dépend que de l’image de s˜ modulo Z(L ˆ ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ ayant même image modulo ce groupe. On a ments s˜1 et s˜2 de ζZ( choisi ci-dessus des données auxiliaires pour les données G (˜ s1 ) et G (˜ s2 ) qui se res1 ) = Lv (˜ s2 ). streignent pour toute place v ∈ V en des données auxiliaires pour Lv (˜ ˜ 1,v (˜ ˜ 1,v (˜ On dispose donc d’espaces SIλ1,v (˜s1 ) (L s1 ; Fv )) et SIλ1,v (˜s2 ) (L s2 ; Fv )). Ces espaces sont canoniquement isomorphes. En effet, on sait que ces espaces sont isomorphes, l’isomorphisme n’étant en général défini qu’à un scalaire près. Il s’agit de normaliser celui-ci. On a déjà fixé les isomorphismes ˜  (˜ ˜ ˜  s2 ; Fv )). SIλ1,v (˜s1 ) (R s2 ) (R1,v (˜ 1,v s1 ; Fv ))  SIλ1,v (R1,v (Fv ))  SIλ1,v (˜ On normalise nos isomorphismes de sorte que le diagramme suivant soit commutatif ˜  (˜ ˜  s2 ; Fv )) SIλ1,v (˜s1 ) (R s2 ) (R1,v (˜ 1,v s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜ ↓ ↓   ˜ 1,v ˜ 1,v (˜ s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜s2 ) (R (˜ s1 ; Fv )) SIλ1,v (˜s1 ) (R ↑ ↑ ˜ 1,v (˜ ˜ 1,v (˜ SIλ1,v (˜s1 ) (L s1 ; Fv )) → SIλ1,v (˜s2 ) (L s2 ; Fv )) où les applications verticales sont les applications «termes constants». De mêmes considérations valent pour les espaces de distributions.  ˜ ˆ ˜ ˆ ΓF ,θˆ, supposons G (˜ ˜ = s) elliptique. Posons R V v∈V Rv . Soit ζZ(RV )/Z(G) ˜ ˜  ) l’ensemble des familles L ˜  = (L ˜  )v∈V telles que, pour tout Notons LG (˜s) (R v V V ˜ v soit un espace de Levi de G ˜  (˜ ˜ v . Pour v ∈ V, L s) défini sur Fv et contenant R  Γ ˆ ) Fv ,0 dans ˆ v le commutant de Z(L une telle famille et pour v ∈ V , notons L v ˆ Alors la famille L ˆ V = (L ˆ v )v∈V appartient à L(R ˆV ). La famille L ˜  apparaît G. V comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique elliptique ˆ V , a ˆ ). Comme en 6.7, on notera directement L ˜  (˜ s) de (L L (˜ V s) les éléments de LV  ˜ (˜ G s) ˜  L (R ). V

˜  (˜ Considérons la formule (1). Fixons s˜, L V s) y apparaissant et une place v ∈ V . Par les isomorphismes canoniques, la distribution dv introduite ci-dessus st ˜  s; Fv )). La distribution δ 1,v (˜ s’identifie à dv (˜ s) ∈ Dg´ s) est l’induite eom,λ1 (˜ s) (R1,v (˜  ˜ de dv (˜ s) à R (˜ s; Fv ). On applique les propositions [II] 1.14(ii) ou [V] 1.6(ii). On 1,v

722

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

obtient ˜ L

(˜ s)

1,v SR ˜  (˜ s),λ 1,v

˜  (˜ G 1,v s)

˜

1,v

(δ (˜ s), B G , (fv (˜ s) 1,v ˜ L

(˜ s)

SR˜ 1,v (˜s),λ

1,v

v∈V

˜  (˜ G 1,v s)

)L˜ 

s) 1,v (˜

eR˜v

v

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)) v

).



ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = J(R 

˜  (˜ L s)

˜  (˜ L ˜ ) ˜  (˜ v s ) (R L v s)∈L v

(dv (˜ s), B G , (fv (˜ s)

ˆ V ∈ L(R ˆV ), posons Pour tout L

(3)



(˜ s) ) =

˜

1,v

1,v

)L˜ 

ˆ V , s˜) E(L

˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ,L s˜∈ζZ( V

(˜ s) elliptique

˜  (˜ ˜  (˜ L G s) s) ˜ SR˜ 1,v (˜s),λ (˜s) (dv (˜ s), B G , (fv 1,v )L˜  (˜s) ), 1,v 1,v 1,v





˜ G ˜  (˜ ˆ V , s˜) = i ˜  (G, s)) E(L M (4)





˜  (˜ G s) ˜  ˜  (˜ L (RV (˜ s)) V s)∈L ˜  (˜ G s) ˜  (L (˜ s)) ∩L

˜ (˜ G s) ˜  ˜  eM˜  (M , LV (˜ s)) V

V

˜  (˜ L s) ˜  ˜  eR˜v (R s)). v , Lv (˜ v

v∈V

Alors la formule (1) se récrit ˆ V , δ, f ) = J(R



ˆV ,L ˆ V , δ, f ). J(R

ˆ V ∈L(R ˆV ) L

ˆ V et de Pour prouver que le membre de gauche est nul, il nous suffit de fixer L ˆ ˆ prouver que J(RV , LV , δ, f ) = 0. ˆ v, R ˆ v, R ˆ V ). Pour v ∈ V , aux Levi M ˆ v et ˆ V ∈ L(R Fixons désormais L ˆ v sont associés des espaces A ˜ , A ˜ , A ˜ et A ˜ . Par exemple, A ˜ = L Mv Rv Rv Lv Mv ˆ ˆ v )ΓFv ,θ,0 ) ⊗Z R. On a X ∗ (Z(M AR ˜v AM˜ v





AM ˜v AL˜ v

⎫ ⎬ ⎭

⊂ AR˜ v .

Posons par exemple AM ˜ V = ⊕v∈V AM ˜ v . Rappelons que l’on a un plongement ˜

diagonal Δ : AG ˜ V . Par composition, on obtient des homomorphismes ˜ → AM M ˜

AG ˜ V /AR ˜V ˜ → AM M et ˜

AG ˜ V → AR ˜ V → AR ˜ V /AL ˜V . ˜ → AM M

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

723

On note ˜

D : AG ˜ V /AR ˜ V ⊕ AR ˜ V /AL ˜V ˜ → AM M leur somme directe. On obtient dualement un homomorphisme ˆ : Z(M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ D

ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(R ˆ v )ΓFv ,θˆ ⊕ Z(R ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ . → ⊕v∈V Z(M ˆ est surjectif et de noyau fini. On Supposons que D soit un isomorphisme. Alors D note k(D) le nombre d’éléments de ce noyau. On note d(D) le nombre tel que D identifie la mesure sur son ensemble de départ avec d(Δ) fois celle sur son ensemble d’arrivée. On pose e(D) = d(D)k(D)−1 . Pour v ∈ V , l’homomorphisme ˆ v )ΓFv ,θ → Z(M ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv ,θ /Z(R Z(M v v ˆ

ˆ

est surjectif et de noyau fini (car les données Mv et Rv sont elliptiques par déˆ ˜ finition). On note iM ˜  (Rv , Rv ) l’inverse du nombre d’éléments de son noyau. De v ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ tel que L (˜ même, soit s˜ ∈ ζZ( s) soit elliptique. Alors l’homomorphisme ΓFv ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ → Z(R ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ Z(R v v s)) ˆv, L ˜  (˜ est surjectif et de noyau fini. On note iR˜  (L v s)) l’inverse du nombre d’éléments v de son noyau. Soit s˜ comme ci-dessus. On va montrer ˆ V , s˜) = 0 ; (5) si D n’est pas un isomorphisme, E(L (6) supposons que D soit un isomorphisme ; alors ˆ V , s˜) = e(D) E(L



ˆ ˜  ˜  (L ˆv, L ˜  (˜ iM ˜  (Rv , Rv )iR v s)). v

v

v∈V

ˆ V , s˜) = 0. Alors i ˜  (G, ˜ G ˜  (˜ s)) = 0 donc G (˜ s) est elliptique. Supposons E(L M  ˆ ˆ ˆ s) soit elliptique et que les On peut fixer LV ∈ L(RV ) ∩ L(LV ) de sorte que LV (˜ ˜  (˜ ˜  (˜ L G s) ˜  ˜   v s) ˜  ˜ s)) et d (R , L (˜ s)), pour v ∈ V , soient non nulles. constantes d  (M , L (˜ ˜ M V

˜ R v

V ˜ L AR˜v v

v

v

LV Lv Notons par exemple l’orthogonal de AL˜ v dans AR˜ v et AR ˜ V = ⊕v∈V AR ˜v .  Toutes les données endoscopiques intervenant étant elliptiques (Mv étant consiˆ v ), ces non-nullités signifient que l’on a les égalités dérée comme une donnée de M

(7)

˜

˜

˜

˜

G G AG ˜ V = Δ(AM ˜ ) ⊕ AL ˜V M

et (8)

LV LV LV AR ˜ = AR ˜ , ˜ ⊕ AL ˜

˜

V

˜

V

V

˜

724

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

L’application D est la composée des deux applications ˜

˜

Δ

G AG ˜ V /AL ˜V ˜ → AM ˜ V → AM M

et AM ˜ V /AL ˜ V → AM ˜ V /AR ˜ V ⊕ AR ˜ V /AL ˜V .

(9)

La première est un isomorphisme d’après (7). On peut décomposer l’espace de ˜V départ de (9) en AR ˜ V /AL ˜ V . Alors (9) devient une application triangulaire. ˜ V ⊕ AR M Les termes diagonaux sont les applications V → AM AR ˜ V /AR ˜V ˜ M

˜

V

et AR ˜ V /AL ˜ V → AR ˜ V /AL ˜V . La première est évidemment un isomorphisme et la seconde l’est d’après (8). Donc (9) est un isomorphisme et D aussi. Cela démontre (5). Remarquons qu’en précisant ces calculs, on obtient l’égalité ˜  (˜ G s)

˜  (˜ ˜ , L d(D) = dM˜  (M V s))

(10)

V



˜  (˜ L s)

dR˜v

v

v∈V

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)). v

ˆV Inversement, supposons que D soit un isomorphisme. Il y a au plus un espace L ˆ qui peut contribuer à la somme E(LV , s˜). En effet, l’égalité (8) doit être vérifiée par cet espace, ce qui détermine AL˜ V = AR ˜ V ∩ AL ˜V .

(11)

s) doit Définissons ainsi cet espace. Pour qu’il intervienne vraiment, la donnée LV (˜ être elliptique. Par hypothèse, les données RV et L (˜ s) sont elliptiques. Le membre de droite de (11) est donc égal à AR ˜  ∩ AL ˜ V

V

(˜ s) .

L’espace AL˜  (˜s) est inclus dans cette intersection. Il est donc inclus dans le membre V s) est elliptique. En inversant le calcul de gauche de (11), ce qui implique que LV (˜ fait ci-dessus, on voit que l’égalité (8) et l’hypothèse que D est un isomorphisme impliquent (7). Puisque LV (˜ s) est elliptique, le dernier terme de cette égalité ˜ ˜ . Cet espace contient Δ(AG ). Puisque les deux termes du est égal à AG ˜  (˜ ˜  (˜ s) G L s) V

˜

membre de droite de (7) sont en somme directe, l’espace AG est nul. Donc ˜  (˜ s) G s) est elliptique. Considérons la définition (4), où n’intervient plus la donnée G (˜ ˜  (˜ G s) ˜  ˜  ˜  (˜ s). Une constante telle que e  (M , L (˜ s)) est le produit de que notre Levi L V

˜ M V

V

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10 



V

V

725

˜ (˜ ˜ (˜ G G s) ˜  ˜  s) ˜  ˜  dM˜  (M , LV (˜ s)) et de l’inverse de kM˜  (M , LV (˜ s)), ce terme étant le nombre

d’éléments d’un certain noyau. L’égalité (10) montre que le produit des constantes d est égal à d(D). Pour prouver (6), il suffit de prouver l’égalité  ˆ ˜  ˜  (L ˆv, L ˜  (˜ iM k(D)−1 ˜  (Rv , Rv )iR v s)) v

v

v∈V

(12)



˜ (˜ G s) ˜  ˜  ˜ G ˜  (˜ = iM˜  (G, s))kM˜  (M , LV (˜ s))−1 V



˜  (˜ L s)

kR˜v

v∈V

v

˜ ,L ˜ v (˜ (R s))−1 . v

On a un diagramme commutatif ˆ

ˆ

ˆ D

ˆ

ˆ

ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ Z(M ⏐ ⏐ ⏐ "



ˆ v )ΓFv ,θ /Z(R ˆ v )ΓFv ,θ ⊕v∈V (Z(M

ˆ  )ΓF /Z(G ˆ  (˜ s))ΓF Z(M



ˆ D

ˆ v )ΓFv ,θˆ/Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ) ⊕ Z(R ↓ ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ⊕v∈V (Z(M v v ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) . v

v

Tous les homomorphismes sont surjectifs et de noyaux finis. Calculons l’inverse du nombre d’éléments de l’homomorphisme composé. Si on utilise le chemin nord-est, on trouve le membre de gauche de (12). Si on utilise le chemin sud-ouest, on trouve ˜ G ˜  (˜ ˆ  )|−1 . L’homomorphisme D ˆ  se décompose en s))| ker(D iM˜  (G, ΓFv ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ˆ  )ΓF /Z(G s))ΓF → ⊕v∈V Z(M Z(M v v s)) ⊕v∈V ˆ ιv



ΓFv ˆ  )ΓFv /Z(R ˆ  )ΓFv ⊕ Z(R ˆ  )ΓFv /Z(L ˆ  (˜ ⊕v∈V (Z(M ). v v v v s))

De nouveau, les homomophismes sont surjectifs et de noyaux finis. Le nombre ˜  (˜ G s) ˜  ˜  d’éléments du noyau du premier homomorphisme est égal à kM˜  (M , LV (˜ s)). Pour obtenir (12), il reste à prouver que, pour tout v ∈ V , on a ˜  (˜ L s)

| ker(ˆιv )| = kR˜v

(13)

v

V

˜ ,L ˜ v (˜ (R s)). v

On a un diagramme commutatif 1 ↓ ιv ΓFv ˆ ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v )ΓFv /Z(R Z(M → (Z(M v s)) v ↓ ˆ ΓFv κ ˆ  (˜ ˆ  )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(R ˆ v )ΓFv /Z(L →v (Z(R Z(R v s)) v ↓ ˆ v )ΓFv = (Z(R ˆ v )ΓFv /Z(M ˆ v )ΓFv ˆ v )ΓFv /Z(M Z(R ↓ 1

1 ↓ ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) → 1 ↓ ˆ v )ΓFv /Z(L ˆ v (˜ ⊕ Z(R s))ΓFv ) → 1 ↓ ⊕ 1) ↓ 1.

726

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Les lignes et colonnes sont exactes. Il en resulte que | ker(ˆιv )| = | ker(ˆ κv )|. Mais ce dernier nombre est égal au membre de droite de (13). Cela prouve (13), (12) et achève la preuve de (6). ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = 0 et Si D n’est pas un isomorphisme, (5) entraîne que J(R on a fini. On suppose maintenant que D est un isomorphisme. On peut suppo˜ G

(˜ s)

ser qu’il existe s˜ intervenant dans la définition (3) tel que (fv 1,v )L˜  (˜s) soit 1,v ˜ v (˜ non nul pour tout v ∈ V . Cela entraîne que le Levi L s) est relevant. A for˜ v de K G ˜ v . On peut fixer une ˆ v correspond à un K-espace de Levi K L tiori, L ˜ ˜ collection K LV = (K Lv )v∈V de tels K-espaces de Levi et identifier Lv (˜ s) à une ˜ V , aL ). On a pour tout v l’égalité donnée endoscopique elliptique de (KLV , K L ˜  (˜ G 1,v s)

˜

= (fv,K L˜ v ,ωv )L1,v (˜s) . On se sert ici de la restriction du facteur de ˜ 1 (˜ ˜ v ) pour définir le transfert. Rappelons que le transfert fixé sur G s, Fv ) × G(F  ˜ ˜ s)) est nul si LV (˜ s) n’est pas elliptique. Compte tenu de l’égalité terme iR˜  (Lv , Lv (˜ v (6), la définition (3) se récrit

(fv

)L˜ 

s) 1,v (˜



ˆV ,L ˆ V , δ, f ) = c J(R (14)

X(˜ s) ˆ

ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈Z(R





˜ L

(˜ s)

SR˜ 1,v (˜s),λ

v∈V

1,v

s) 1,v (˜

˜ ˜ dv (˜ s), B G (fv,K L˜ v ,ωv )L1,v (˜s) ,

où c = e(D)



ˆ ˜ iM ˜  (Rv , Rv ) v

v∈V

et X(˜ s) =



˜v, L ˜ v (˜ iR˜ v (L s)).

v∈V

ˆ v )∗ image réciproque dans Pour toute place v ∈ V , introduisons le groupe Z(R  ΓFv ˆ ˆ ˆ ˆ Z(R) de (Z(Rv )/Z(Rv ) ∩ Z(Rv )) . Le sous-groupe des éléments invariants par θˆ dans ˆ ˆ v )ΓFv (1 − θ)(Z( ˆv )∗ ) R ∩v∈V Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ comme sous-groupe d’indice fini. Le groupe contient ∩v∈V Z(L ˆ V ) ∩ ∩v∈V Z(L ˆ v )ΓFv ,θˆ)/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ (Z(R ˆ donc est fini. Il en résulte que le groupe est le noyau de D

ˆ V ) ∩ ∩v∈V Z(L ˆ ˆ v )ΓFv (1 − θ)(Z( ˆ v )∗ ) /Z(G) ˆ ΓF ,θˆ Z(R R est fini. Il nous suffit d’en trouver un sous-groupe Z vérifiant la propriété suivante. ˜ R ˆ V )/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ. Alors, dans l’expression (14), la sous-somme sur Fixons s˜0 ∈ ζZ( s˜ ∈ Z s˜0 est nulle. Considérons donc un sous-groupe Z que l’on précisera plus tard.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

727

La propriété requise dépend d’un élément s˜0 . Pour la simplicité de l’écriture, on ˜ On a peut supposer s˜0 = ζ.   ˜ ˜ les données endoscopiques L (˜ (15) pour s˜ ∈ Z ζ, V s) et LV = LV (ζ) sont équiva˜ lentes ; si ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X(ζ). ˆ ) d’un élément de Z. Pour toute place v ∈ V , Soit z un représentant dans Z(M ˆ ˆ v )ΓFv et ρv ∈ Z(R ˆ v )∗ . Puisque ρv ∈ R ˆv ⊂ on écrit z = τv (1 − θ)(ρv ), avec τv ∈ Z(L ˜ ˜ ˆ ˆ Lv , adρv est un automorphisme intérieur de Lv . On a l’égalité z ζ = ρv τv ζρ−1 v , ˜ Puisque τv ∈ Z(L ˜ sur L ˜ =L ˆ  (τv ζ) ˆ v ), on a L ˆ  (τv ζ) ˆ  (z ζ). ˆ  . Les donc adρv envoie L v v v v ˜ sont engendrés par R = M ∩ L Rv et L ˆ v , respectivement groupes Lv et Lv (z ζ) v v ˜ Puisque ρv ∈ Z(R ˜ ˆ  (z ζ). ˆ v )∗ , adρv conserve R . Donc adρv envoie L sur L (z ζ). L v v v v   ˜ Autrement dit, ρv définit une équivalence entre les données Lv et Lv (z ζ). L’égalité ˜ résulte évidemment de la définition de ces termes. Cela prouve (15). X(˜ s) = X(ζ) ˜ = 0. La somme que l’on considère On peut supposer LV elliptique, sinon X(ζ) est proportionnelle à  z∈Z v∈V

˜ L

˜ (z ζ)

SR˜ 1,v (zζ),λ ˜ 1,v

˜ 1,v (z ζ)

˜

˜

˜

˜ B G , (f ˜ )L1,v (zζ) ). (dv (z ζ), Lv ,ω

ˆ )ΓF ,θˆ relevant un élément de Z. Puisque Fixons z ∈ Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 ˆ ΓF ,θˆ, ˆ )ΓF ,θˆ = Z(M Z(G) Z(M ˆ ˆ )ΓF ,θ,0 . Comme dans la preuve de (15), on écrit z = on peut supposer z ∈ Z(M ˆ v ) pour toute place v ∈ V , où τv ∈ Z(L ˆ v )ΓFv et ρv ∈ Z(R ˆ v )∗ . Les τv (1 − θ)(ρ   ˜  ˜ deux séries de données auxiliaires M1 = M1 (ζ),. . . et M1 (z ζ),. . . fournissent une ˜ M sur le produit fibré M ˜ FV ). Par ˜  (FV ) × M ˜  (z ζ; fonction de recollement λ(z) 1,V 1,V restriction puis dualité, on en déduit un isomorphisme   st st ˜ Fv ))  ˜  (z ζ; ˜ ι(z)M,∗ : Dg´ ( R Dg´ ˜ 1,v eom,λ1,v (R1,v (Fv )). eom,λ (z ζ) 1,v

v∈V

v∈V

˜ En posant d = ⊗v∈V dv , on a par définition, d = ι(z)M,∗ (d(z ζ)). ˆ  ˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ  en une Pour tout v ∈ V , on complète la paire de Borel (B ∩ Lv , T ) de L v  ˜ ˆ paire de Borel épinglée invariante par ΓFv . De même pour Lv (z ζ). On peut suppoˆ  de ces deux épinglages coïncident. Quitte à multiplier ser que les restrictions à R v ˆ ˆ v ), on peut ˆ v ) ∩ Tˆθ,0 , ce qui ne change pas (1 − θ)(ρ ρv par un élément de Z(R supposer que adρv échange ces deux épinglages. Alors adρv devient équivariant ˜ ainsi que pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes Lv et Lv (z ζ)    ˜ ˜ ˜ ˜ les espaces Lv et Lv (z ζ). Les données auxiliaires L1,v (z ζ) etc. . . se transportent ˜ est le en des données auxiliaires pour Lv . Le plongement de Lv dans L L1,v (z ζ) ˜ : L (z ζ) ˜ → L L1,v (z ζ). ˜ Le facteur de composé de adρv et du plongement ξˆ1 (z ζ) v transfert n’est bien défini que sur le produit de ces données auxiliaires sur toutes

728

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

˜ issu de la les places v ∈ V . C’est alors la restriction du facteur canonique Δ1 (z ζ) ˜ On se retrouve avec deux séries de données auxiliaires pour L , donnée G (z ζ). V ˜ L . Il s’en déduit encore un isomorphisme d’où une fonction de recollement λ(z) ι(z)L,∗ :



st ˜ ˜ Dg´ ˜ (R1,v (z ζ; Fv ))  eom,λ1,v (z ζ)

v∈V



st ˜ Dg´ eom,λ1,v (R1,v (Fv )).

v∈V ˜

˜

Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie ⊗v∈V (fL˜ v ,ω )L1,v (zζ) sur ˜ ˜ sur ι(z)L,∗ (d(z ζ)) ˜ = ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (d). ⊗v∈V (fL˜ v ,ω )L1,v . Il envoie d(z ζ) En décomposant nos isomorphismes de recollement en produits tensoriels sur les v ∈ V , on obtient l’égalité 

˜ L

˜ (z ζ)

SR˜ 1,v (zζ),λ ˜

v∈V

=

1,v

 v∈V

˜

1,v (z ζ)

˜ L

SR˜ 1,v ,λ 1,v

1,v

˜ ˜ B G˜ , (f ˜ )L˜ 1,v (zζ) (dv (z ζ), ) Lv ,ω ˜

((ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (dv ), B G , (fL˜ v ,ω )L1,v ). v v

Il nous suffit de prouver que 

˜

ι(z)L,∗ ◦ (ι(z)M,∗ )−1 (d) = 0.

z∈Z

 ∞  ˜ 1,v (R (Fv )) est de la forme L’automorphisme (ι(z)M )−1 ◦ ι(z)L de v∈V Cc,λ 1,v   ˜ ˜ ˜ ϕ → λz ϕ, où λz est une fonction lisse sur v∈V R1,v (Fv ). Il nous suffit encore de prouver que

  ˜ ˜ 1,v (16) (Fv ) dans un voisinage invariant z∈Z λz (γ) = 0 pour tout γ ∈ v∈V R par conjugaison stable de l’élément  = v∈V v fixé plus haut. ˜ z . On On fixe de nouveau z que l’on écrit comme ci-dessus. On va calculer λ M M ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ simplifie les notations en posant λ = λz , λ = λ(z) etc. . . On pose ζ1 = ζ˜ et ˜ On supprime autant que c’est possible ces termes de la notation. Les ζ˜2 = z ζ. données relatives à ζ˜1 seront affectées d’un indice 1 et celles relatives à ζ˜2 d’un   ˜ Soit ˜ 2,v ˜ 1,v indice 2 (par exemple, on note R l’espace noté précédemment R (z ζ)).       ˜ v (Fv ) et, pour i = 1, 2, soit r ∈ ˜ r ∈ v∈V R i v∈V Ri,v (Fv ) un élément au-dessus de r . Par définition, ˜ M (r , r )−1 λ ˜ L (r , r ), ˜ ) = λ λ(r 1 1 2 1 2 ˜ M et λ ˜ L sont les fonctions de recollement introduites ci-dessus. Fixons m ∈ où λ  ˜ ˜  (F ) au-dessus de m . Soit (b1 , b2 ) M (F ) et, pour i = 1, 2, un élément mi ∈ M i    l’élément du produit fibré M1 (FV )×M (FV ) M2 (FV ) tel que (r1 , r2 ) = (b1 m1 , b2 m2 ). On a l’égalité ˜ M (m , m ). ˜ M (r , r ) = λM (b1 , b2 )λ λ 1 2 1 2

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

729

˜ M . Parce que les éléments m et m sont définis On se rappelle la définition de λ 1 2 sur F , on a  ˜ M (m , m )−1 , ˜ M (m , m ) = λ λ 1

v

2

1

2

v∈V

˜M pour v ∈ V sont les fonctions de recollement associées aux espaces hyoù les λ v ˜ i,v ∩ M ˜  (Fv ) pour i = 1, 2. Puisqu’on a supposé que Lv = Lv (ζ˜1 )  perspéciaux K i  ˜ v (Fv ) assez réLv (ζ˜2 ) était relevant pour tout v ∈ V , on peut fixer l ∈ v∈V K L    ˜ gulier et l ∈ v∈V Lv (Fv ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent. ˜ ˜ v la composante de K L ˜ v telle que l appartienne à  On note L v∈V Lv (Fv ). On note ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ la comG la composante de K G telle que Lv ⊂ Gv pour tout v ∈V et on note H   ˜ ˜ ˜ posante de K H qui contient G. Pour i = 1, 2 on fixe  li ∈ v∈V Li,v (Fv ) au-dessus de l . Notons (a1 , a2 ) l’élément du produit fibré v∈V L1,v (Fv ) ×L (Fv ) L2,v (Fv ) tel que (r1 , r2 ) = (a1 l1 , a2 l2 ). On a l’égalité ˜ L (l , l ) = λL (a1 , a2 )Δ2 (l , l)Δ1 (l , l)−1 . ˜ L (r , r ) = λL (a1 , a2 )λ λ 1 2 1 2 2 1 Pour calculer les facteurs de transfert, on utilise la définition de 3.9. Pour i = 1, 2, ˜ b), que on a relève la donnée endoscopique G (ζ˜i ) en une donnée de (KH, K H, l’on note pour simplifier H (ζ˜i ), munie de données auxiliaires. On choisit un couple comme en 3.6, qui est noté (δ1 , γ) dans ce paragraphe, et que nous noterons ici (hi , h(ζ˜i )). On dispose du facteur global que l’on note Δi,glob (hi , h(ζ˜i )) pour i = 1, 2. Par définition         −1   ˜ ˜ ˜ Δi,v (h , h(ζi )) Δi,v (l , l; h , h(ζi )) . Δi (l , l) = Δi,glob (h , h(ζi )) i

i

i

v∈V

i

i

v∈V

A ce point, on obtient l’égalité

(17)

˜  ) = λM (b1 , b2 )−1 λL (a1 , a2 )Δ2,glob (h , h(ζ˜2 ))Δ1,glob (h , h(ζ˜1 ))−1 λ(r 1 2 1    ˜M (m , m )Δ1,v (h , h(ζ˜1 ))Δ2,v (h , h(ζ˜2 ))−1 λ v 1 2 1 2 

v∈V



 Δ2,v (l2 , l; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 .

v∈V 



Pour tout v ∈ V , on fixe un diagramme (l , BvL , TvL , BvL , TvL , l) et des adata et des χ-data relatives à ce diagramme. On suppose les χ-data triviales sur les orbites asymétriques. On a la complication que l’on doit plonger G et G (ζ˜i ) pour i = 1, 2 dans les groupes plus gros H et H  (ζ˜i ). Il est clair que notre diagramme se prolonge en des diagrammes relatifs à ces groupes plus gros, que l’on   note (l , BvL (ζ˜i ), TvL (ζ˜i ), BvL,H , TvL,H , l). On utilise les diagrammes prolongés et

730

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

les mêmes a-data et χ-data pour calculer les facteurs de transfert intervenant ci-dessus. On doit aussi fixer des diagrammes (h (ζ˜i ), B  (ζ˜i ), T  (ζ˜i ), B(ζ˜i ), T (ζ˜i ), h(ζ˜i )) ˜  (ζ˜i ). On peut supposer et on pour i = 1, 2, où h (ζ˜i ) est l’image de hi dans H  ˜ suppose que le tore T (ζi ) est défini sur F et que le groupe de Borel B  (ζ˜i ) est défini sur F¯ . Dans chaque facteur de transfert interviennent des facteurs ΔII . Ceux relatifs aux couples (hi , h(ζ˜i )) disparaissent car leur intervention dans le facteur global compense leurs interventions dans les facteurs locaux. Ceux relatifs aux couples (li , l) disparaissent aussi. En effet, pour chaque v ∈ V , la contribution aux ˜ v est la même pour les deux facteurs. facteurs Δi,v des orbites galoisiennes dans L ˜ Les orbites hors de Lv sont asymétriques et leur contribution est triviale d’après le choix de nos χ-data. On peut donc remplacer chaque facteur de transfert par le facteur Δimp correspondant. Fixons provisoirement v ∈ V et abandonnons les indices v pour simplifier. Soit i = 1, 2. On introduit les tores L × Tsc (ζ˜i ))/ diag− (Z(GSC )); Ui = (Tsc    – T L (ζ˜i ) le produit fibré de TiL (ζ˜i ) et de T L,H au-dessus de T L (ζ˜i ), où TiL (ζ˜i )  est l’image réciproque de T L (ζ˜i ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) ; – T (ζ˜i ) le produit fibré de Ti (ζ˜i ) et de T (ζ˜i ) au-dessus de T  (ζ˜i ), où Ti (ζ˜i ) est l’image réciproque de T  (ζ˜i ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) ; – Si = (T L (ζ˜i ) × T (ζ˜i ))/ diag− (ZiH ), où ZiH est le produit fibré de Z(Hi (ζ˜i )) et de Z(H) au dessus de Z(H  (ζ˜i )) ; L ˆi = (Tˆsc ˆ SC )) ; – le tore dual U × Tˆsc (ζ˜i ))/ diag(Z(G   L ˜ ˆ – le tore dual T (ζi ) qui est le quotient de TˆiL (ζ˜i ) et de Tˆ L,H par Tˆ L (ζ˜i )  plongé par t → (ξˆiH (t )−1 , t ) (on note ξˆiH : H (ζ˜i ) → L H i (ζ˜i ) le plongement fixé) ; – le tore dual Tˆ (ζ˜i ) qui se décrit de la même façon ; – le tore dual Sˆi qui se décrit comme le sous-groupe des (tL , t, tsc ) ∈ Tˆ L (ζ˜i ) × Tˆ (ζ˜i ) × Tˆsc tels que j(tsc ) = tL t−1 ; on a ici identifié tous les tores à un tore commun, en oubliant leurs actions galoisiennes ; j est l’application naturelle j : Tˆsc → Tˆ L (ζ˜i )  Tˆ (ζ˜i ) ; on renvoie à [I] 2.2 pour la description de l’action galoisienne sur Sˆi .

ˆi apparaissent a priori les groupes H Remarque. Dans la description de Ui et U ˆ Mais ils n’apparaissent que via leurs revêtements simplement connexes, qui et H. ˆ SC . s’identifient à GSC et G On construit comme en [II] 2.2, 2.3 : L – une cochaîne (ViL , Vi−1 ) : ΓFv → Tsc × Tsc (ζ˜i ) ;

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

731

– un élément (ν L (ζ˜i ), νi−1 ) ∈ T L (ζ˜i ) × T (ζ˜i ) (la dissymétrie de cette notation et de la suivante s’expliquera plus loin) ; – un cocycle (Vˆ L (ζ˜i ), Vˆi , Vˆi,sc ) : WFv → Sˆi ; L i × Tˆsc ; pour cela, on note ζ l’élément de Tˆ tel – un élément (ζi,sc , ζi,sc ) ∈ Tˆsc ˜ ˆ que ζ = ζ θ et on choisit des relèvements ζsc et zsc dans Tˆsc des images de ζ et z dans Tˆad ; on pose ζ1,sc = ζsc et ζ2,sc = zsc ζsc . On note encore (ViL , Vi−1 ), resp. (ν L (ζ˜i ), νi−1 ), (ζi,sc , ζi,sc ), les images de ces ˆi . Pour définir les éléments (V L , V −1 ) et (ν L (ζ˜i ), ν −1 ), termes dans Ui , resp. Si , U i i i L,H on doit compléter (Bv , TvL,H ) en une paire de Borel épinglée E H et choisir un ˜ E H ) ainsi qu’une cochaîne uE H : ΓFv → GSC (F¯v ) comme en élément eH ∈ Z(H, [I] 1.2. Pour cela, on fixe une fois pour toutes une paire de Borel épinglée E ∗ de ˜ E ∗ ) et une cochaine uE ∗ : ΓF → GSC (F¯ ). G définie sur F¯ , un élément e∗ ∈ Z(G, On fixe un élément gsc,v ∈ GSC (F¯v ) tel que adgsc,v (B ∗ , T ∗ ) = (BvL,H , TvL,H ). L’application adgsc,v envoie l’épinglage de E ∗ sur un épinglage qui complète la paire (BvL,H , TvL,H ). On suppose que E H est cette paire de Borel complétée par cet épinglage. On pose eH = adgsc,v (e∗ ) et uE H (σ) = gsc,v uE ∗ (σ)σ(gsc,v )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . On notera simplement e = eH dans la suite. Par définition, on a l’égalité Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i ))

−1 

, = (ViL , Vi−1 ), (ν L (ζ˜i ), νi−1 ) , (Vˆ L (ζ˜i ), Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) où il s’agit du produit sur ˆ

1−θ 1−θ ˆ × H 1,0 (ΓFv ; Ui → Si ) × H 1,0 (WFv ; Sˆi → U i) → C .

On a des inclusions G (ζ˜i ) ⊂ H  (ζ˜i ). On note Gi (ζ˜i ) l’image réciproque de   ˜ G (ζi ) dans la donnée auxiliaire Hi (ζ˜i ) et TiL l’image réciproque de T L dans   Gi (ζ˜i ). Notons TiL le produit fibré de TiL et de T L au-dessus de T L . La différence avec T L (ζ˜i ) est qu’ici, les tores restent dans des groupes issus de G et non pas de H. Posons S i = (TiL × T (ζ˜i ))/ diag− (Zi ), où Zi est le produit fibré de Z(Gi (ζ˜i )) et de Z(G) au dessus de Z(G (ζ˜i )). On a une application naturelle S i → Si . Parce ˜  (ζ˜i ) et G ˜ (et pas seulement dans H ˜  (ζ˜i ) et H) ˜ que les éléments li et l sont dans G i i −1 L ˜ on vérifie que le couple (ν (ζ˜i ), ν ) appartient à et parce que l’on a choisi e ∈ G, i TiL × T i et définit donc un élément de S i , que# l’on note plutôt (νiL ,$νi−1 ). Toujours d’après le choix de e, on vérifie que le couple (ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 ) est un cocycle  1−θ appartenant à Z 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ). Le tore dual TˆiL est le quotient de TˆiL × Tˆ L  ˆ est le groupe des (tL , t, tsc ) ∈ par TˆL plongé par t → (ξˆi (t )−1 , t ). Le tore dual S i TˆiL × Tˆ (ζ˜i ) × Tˆsc tels que tL est l’image naturelle dans TˆiL de l’élément j(tsc )t. On note VˆiL l’image naturelle de Vˆ L (ζ˜i ) dans TˆiL . Par compatibilité des produits, 

732

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

on obtient l’égalité Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i )) # −1 $

, = (ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 ) , (VˆiL , Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) où il s’agit du produit sur ˆ

θ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ) × H 1,0 (WFv ; S i → Ui ). L 1 2 × Tsc × Tsc quotienté par Z(GSC ) plongé par z → Notons U12 le produit Tsc −1 −1 (z, z , z ). Parce que l’on a choisi les mêmes diagrammes et les mêmes objets auxiliaires pour construire V1L et V2L , ces deux cochaînes sont égales. Notons-les L 1 × Tsc × simplement V L . Alors (V L , V1−1 , V2−1 ) est une cochaîne à valeurs dans Tsc 2 Tsc , qui se descend en un cocycle à valeurs dans U12 . Rappelons la construction des ˜  (ζ˜i )). On écrit l = μi e et l = νe. éléments νiL . On note ei l’image de e dans Z(G i i   L L Alors νi est le couple (μi , ν). Notons T12 le produit fibré de T1L , T2L et T L au L L = (μ1 , μ2 , ν) ∈ T12 . Notons Z12 le groupe dessus de T L . On définit l’élément ν12  ˜  ˜ des triplets (z1 , z2 , z) ∈ Z(G1 (ζ1 )) × Z(G2 (ζ2 )) × Z(G) tels que, pour i = 1, 2, L × T (ζ˜1 ) × zi a même image que z dans Z(G (ζ˜i )). Notons S 12 le quotient de T12 −1 ˜ T (ζ2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 , z), (z1 , z) , (z2 , z)−1 ). L , ν −1 , ν −1 ) définit un élément de ce quotient et on voit que la paire Le triplet (ν12 # L −1 −1 1 L2 −1 −1 $ 1−θ (V , V1 , V2 ), (ν12 , ν1 , ν2 ) est un cocycle appartenant à Z 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ). Il y a des homomorphismes d’oubli d’une série de variables 1−θ

 p1

U12 → S 12

1−θ

 p2 1−θ

U1 → S 1

U2 → S 2 . 1−θ

1−θ

En notant encore pi : H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) → H 1,0 (ΓFv ; Ui → S i ) l’homoL morphisme déduit par fonctorialité, on a pi ((V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 )) = ˆ θ ˆ θˆ 1,0 ˆ 1− ˆ 1− (WFv ; S ((ViL , Vi−1 ), (νiL , νi−1 )). On note pˆi : H 1,0 (WFv ; S i → Ui ) → H 12 → ˆ12 ) l’homomorphisme dual de pi . Par compatibilité des produits, on en déduit U que Δi,imp,v (li , l ; hi , h(ζ˜i )) est égal à

# −1 $ L (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 ) , pˆi (VˆiL , Vˆi , Vˆi,sc ), (ζi,sc , ζi,sc ) , où il s’agit du produit sur θˆ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) × H 1,0 (WFv ; S 12 → U12 ).

ˆ est le groupe des (tL , t1 , t2 , tsc ) ∈ Tˆ L × Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) × Tˆsc Le tore dual S 12 12 L L tels que t soit le produit des images naturelles de tsc , t1 et t2 dans Tˆ12 . Le

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

733

L ˆ12 est le quotient de Tˆsc tore dual U × Tˆsc (ζ˜1 ) × Tˆsc (ζ˜2 ) par le groupe des triplets 3 ˆ SC ) tels que z = z1 z2 . L’élément (z, z1 , z2 ) ∈ Z(G

−1

pˆ1 (Vˆ1L , Vˆ1 , Vˆ1,sc ), (ζ1,sc , ζ1,sc ) pˆ2 (Vˆ2L , Vˆ2 , Vˆ2,sc ), (ζ2,sc , ζ2,sc )

est de la forme



L ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 −1 , V1 , V2 , V12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) . (Vˆ12

On obtient Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 

L = (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , ν1−1 , ν2−1 ) ,

L ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 −1 (Vˆ12 , V1 , V2 , V12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) . L et Vˆ12,sc est long mais on l’a fait dans la preuve de la propoLe calcul de Vˆ12 sition 1.14(iii) de [II] et on va décrire le résultat. On a implicitement fixé des ˆ  (ζ˜2 ), les paires de Borel sous-jacentes ˆ  (ζ˜1 ) et G paires de Borel épinglées de G ˆ Tˆ) avec chacun des groupes. Puisque étant évidemment les intersections de (B, ˆ  , on peut supposer que ces paires ces deux groupes ont en commun le Levi M prolongent en un sens plus ou moins clair une paire de Borel épinglée de de Levi. ˆ ζ˜i ) est en réalité déterminé par le choix d’un relèPour i = 1, 2, le groupe H( ˆ Notons M ˆ H l’image réciproque de M ˆ dans H. ˆ Puisque vement t˜i de ζ˜i dans H. ˆ ˆ ΓF ,θ,0 H H ΓF ,θ,0 ˆ ˆ , on peut le relever en un élément z ∈ Z(M ) et supposer z ∈ Z(M ) ˆ  (ζ˜1 ) et H ˆ  (ζ˜2 ) ont en commun un Levi M ˆ H  qui relève M ˆ  . Les t˜2 = z H t˜1 . Alors H  ˜  ˜  ˆ ˆ ˆ paires de Borel épinglées de G (ζ1 ), G (ζ2 ) et M se relèvent en de telles paires de ˆ  (ζ˜1 ), H ˆ  (ζ˜2 ) et M ˆ H  . Ces paires de Borel épinglées déterminent précisément les H ˆ  (ζ˜1 ) actions galoisiennes sur chaque groupe. Ainsi, les actions galoisiennes sur H  ˜ H ˆ ˆ et H (ζ2 ) se restreignent en une même action sur M . Pour w ∈ WF et i = 1, 2, on fixe des éléments (hi (w), w) ∈ H (ζ˜i ) tels que adhi (w) ◦wH = wH  (ζ˜i ) . La pro  ˆ H  ). priété précédente assure que h2 (w) = mH (w)h1 (w), avec mH (w) ∈ Z(M  H 0  ˆ ) et de Z(H ˆ (ζ˜2 )), on peut supposer Puisque ce groupe est produit de Z(M  ˆ H  )0 . On note g1 (w), g2 (w) et m (w) les projections de h1 (w), mH (w) ∈ Z(M  ˆ Ces éléments vérifient des propriétés analogues aux h2 (w) et mH (w) dans G.  précédents. Pour i = 1, 2, on note ξˆi : G  (ζ˜i ) → L Gi (ζ˜i ) le plongement fixé et, pour w ∈ WF , on pose ξˆi (gi (w), w) = (ϕi (w), w). L’élément ϕi (w) appartient à ˆ  (ζ˜i )). On pose ϕ (w) = ξˆ2 (m (w))−1 ϕ2 (w), autrement dit ξˆ2 (g1 (w), w) = Z(G 2 i ˆ SC de l’image de ρv dans G ˆ AD et, (ϕ2 (w), w). On fixe un relèvement ρv,sc ∈ G   ˆ pour tout w ∈ WF , un relèvement msc (w) dans GSC de l’image de m (w) dans ˆ AD . On suppose ainsi qu’il est loisible que m (w) ∈ Z(M ˆ  )0 . Pour w ∈ WFv , G sc sc on a alors Vˆ L (w) = (ϕ1 (w), ϕ (w)−1 , wG (ρv )wT L (ρv )−1 ), 12

2

Vˆ12,sc (w) = (tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w)wG (ρv,sc )wT L (ρv,sc )−1 ),

734

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où, pour i = 1, 2, tsc (ζ˜i ) est une cochaîne ne dépendant que des objets issus de (hi , h(ζ˜i )). Remarque. Il y a un changement de signe par rapport à la référence [II] car on y calculait un rapport Δ1 /Δ2 alors que l’on calcule ici un rapport inverse. Par ailleurs, le résultat n’est pas tout-à-fait exact. Il faudrait multiplier les formules ci-dessus par un cobord qui disparaît immédiatement dans la suite du calcul. On a fixé plus haut des éléments m , m1 , m2 . On peut les supposer as   M le prosez réguliers. Notons T M , T1M , T2M leurs commutants et notons T12      duit fibré de T1M et T2M au-dessus de T M . On écrit mi = μM i ei pour i =  M M M 1, 2. Alors le couple μM 12 = (μ1 , μ2 ) appartient à T12 . Notons Σ le quo L M tient de T12 × T12 × T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) →  −1 L −1 −1 , (μM , ν1 , ν2−1 ) ((z1 , z2 , z), (z1 , z2 ) , (z1 , z)−1 , (z2 , z)−1 ). Le quadruplet (ν12 12 ) définit un élément de Σ. On a un homomorphisme d’oubli U12

1−θ

U12

1−θ

→ ↓

Σ



S 12 .

Il est clair que

# L −1 −1 $ L , ν1−1 , ν2−1 ) (V , V1 , V2 ), (ν12

est l’image de



 L −1 −1 −1 , (μM ) ν , ν ) (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 12 1 2

par l’homorphisme 1−θ

1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U12 → Σ) → H 1,0 (ΓFv ; U12 → S 12 ) ˆ est le groupe des déduit par fonctorialité du précédent. Le tore dual Σ 



L M (tL , tM , t1 , t2 , tsc ) ∈ Tˆ12 × Tˆ12 × Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) × Tˆsc 

tels que tL soit le produit des images naturelles de tM , t1 , t2 et tsc . Par l’homomorphisme dual du précédent, l’élément

(Vˆ L , Vˆ1 , Vˆ −1 , Vˆ12,sc ), (z −1 , ζsc , z −1 ζ −1 ) 12

s’envoie sur (18)



2

sc

sc

sc

L −1 −1 −1 (Vˆ12 , 1, Vˆ1 , Vˆ2−1 , Vˆ12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) .

Par compatibilité des produits, on obtient Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 

 L = (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , (μM )−1 , ν1−1 , ν2−1 ) ,

L −1 −1 −1 Vˆ12 , 1, Vˆ1 , Vˆ2−1 , Vˆ12,sc ), (zsc , ζsc , zsc ζsc ) ,

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

735

où il s’agit du produit sur ˆ

θ ˆ 1−θ ˆ 1− H 1,0 (ΓFv ; U12 → Σ) × H 1,0 (WFv ; Σ → U 12 ). 

L M × T12 par Z12 plongé par Notons ΣML le quotient de T12

(z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 , z), (z1 , z2 )−1 ). 



ˆ ML est le groupe des (tL , tM , tsc ) tels que tL (tM )−1 = j(tsc ). Pour Son dual Σ w ∈ WFv , posons L L L XML (w) = Vˆ12 (w) ∈ Tˆ12 , M M XML (w) = (ϕ1 (w), ϕ2 (w)−1 ) ∈ Tˆ12

XML,sc (w) = (wG (ρv,sc )wT L (ρv,sc )−1 ) ∈ Tˆsc . L M ˆ ML . Posons XML (w) = (XML (w), XML (w), XML,sc (w)). Ce terme appartient à Σ On a fixé arbitrairement l’élément zsc . Mais on se rappelle que, par définition, z ˆ AD étant connexe, on peut ˆ )ΓF ,θˆ. L’image de ce groupe dans G appartient à Z(M ˆ Γ , θ,0 ˆ sc ) F . On vérifie alors que le couple supposer et on suppose que zsc ∈ Z(M θˆ L −1 ˆ ML 1− ) est un cocycle qui définit un élément de H 1,0 (WFv ; Σ → Tˆsc ). On (XML , zsc a un homomorphisme plus ou moins évident θˆ L ˆ ML 1− Σ → Tˆsc ↓ ˆ 1− ˆ →θ U ˆ12 . Σ −1 ) s’envoie sur le Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, (XML , zsc cocycle

L M −1 (Vˆ12 , XML , 1, 1, XML,sc), (zsc , 1, 1) .

Le cocycle (18) est le produit de celui-ci avec le cocycle

M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 (19) (1, (XML ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (1, ζsc , zsc ζsc ) , où

Vˆ 12,sc (w) = (tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w)).

Il est clair que ce dernier cocycle vit dans des groupes plus petits, où l’on supprime M la première composante. C’est-à-dire, notons Σ le quotient de T12 ×T (ζ˜1 )×T (ζ˜2 ) par le groupe Z12 plongé par (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 ), (z1 , z), (z2 , z)). Notons U = (Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ))/ diag(Z(GSC )). On a un homomorphisme ˆ

θ ˆ ˆ  1− Σ → U  ↓ θˆ ˆ ˆ 1− Σ → U 12 .

736

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, le cocycle (19) est l’image du cocycle

θˆ ˆ M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ˆ  1− ((XML ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) ∈ H 1,0 (WFv ; Σ → U  ). On a des homomorphismes duaux aux précédents 1−θ

 H

1,0

L H 1,0 (ΓFv ; Tad → ΣML )

1−θ

(ΓFv ; U12 → Σ)

 1−θ

H 1,0 (ΓFv ; U → Σ ) . Par ces homomorphismes, le cocycle

 L (V L , V1−1 , V2−1 ), (ν12 , (μM )−1 , ν1−1 , ν2−1 ) 

L , (μM )−1 )) et l’inverse de s’envoie respectivement sur (VL,ad , (ν12 

((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )). La décomposition ci-dessus et la compatibilité des produits conduit à l’égalité (20) où

Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 = Av Bv−1 ,

  L −1 , (μM )−1 )), (XML , zsc ) , Av = (VL,ad , (ν12 

 M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) . Bv = ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )), ((XML

On va d’abord se préoccuper du terme Bv . Evidemment, ce qui nous intéresse est le produit de ces termes sur toutes les places v ∈ V . Compte tenu du choix des éléments mi , hi et h(ζ˜i ), le terme Bv peut aussi bien être défini pour une place v ∈ V . De plus, bien que les éléments hi et h(ζ˜i ) soient seulement adéliques, les tores qui interviennent dans les définitions sont les localisés de tores définis sur F . Les cochaînes intervenant sont aussi «adéliques». Par exemple, le terme noté V1 est la localisée d’une cochaîne encore notée V1 : ΓF → Tsc (ζ˜1 ). On peut donc définir un terme

  M −1 ˆ ˆ −1 ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc ) , B = ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )), ((XML où il s’agit cette fois du produit dans ˆ

1−θ θ ˆ ˆ  1− → U H 1,0 (AF /F ; U → Σ ) × H 1,0 (WF ; Σ  ).

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

737

D’après les propriétés générales de ce produit, on a  B= Bv , v∈Val(F )

les termes du produit étant presque tous égaux à 1. On a un homomorphisme naturel 1−θ Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 ) ↓ 1−θ

U  → Σ . Le quadruplet ((V1 , V2 ), (ν1 , ν2 )) définit naturellement un élément de 1−θ H 1,0 (AF /F ; Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 )) . 

1−θ

Le cocycle ((V1 , V2 ), (μM , ν1 , ν2 )) en est l’image dans H 1,0 (AF /F ; U → Σ ) par l’homomorphisme déduit par fonctorialité du précédent. En effet, parce que μ1 et μ2 sont définis sur F et parce que les éléments e1 et e2 sont définis sur F¯ , le terme  M ¯ μM appartient à T12 (F ). Il disparaît par définition des groupes de cohomologie «globaux». Par compatibilité des produits, on obtient  −1 −1 ζad )) , B = ((V1 , V2 ), (ν1 , ν2 )), ((Vˆ1 , Vˆ2−1 ), (ζad , zad où il s’agit du produit sur 1−θ H 1,0 (AF /F ; Tsc (ζ˜1 ) × Tsc (ζ˜2 ) → T (ζ˜1 ) × T (ζ˜2 )) × H 1,0 (WF ; Tˆ (ζ˜1 ) × Tˆ (ζ˜2 ) 1−θˆ

→ Tˆad (ζ˜1 ) × Tˆad (ζ˜2 )).

Ce produit se décompose selon les composantes indexées par 1 et 2. On n’a pas de mal à reconnaître ces composantes comme les facteurs Δi,glob (hi , h(ζ˜i )) privés de leurs facteurs ΔII . Notons ces facteurs Δi,imp,glob (hi , h(ζ˜i )). Il y a toutefois une inversion de signe sur le facteur d’indice 1 et on obtient (21)

B = Δ2,imp,glob (h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,glob (h1 , h(ζ˜1 ))−1 .

Pour v ∈ V , la relation (20) et le fait que le terme Av ne dépend pas des couples (hi , h(ζ˜i )) entraîne que, si l’on remplace dans les constructions ces couples par d’autres (hi , h(ζ˜i )), et si l’on note B v le terme obtenu, on a l’égalité Bv = B v Δ1,imp,v (h1 , h(ζ˜1 ); h1 , h(ζ˜1 ))Δ2,imp,v (h2 , h(ζ˜2 ); h2 , h(ζ˜2 ))−1 . On a (22) cette propriété perdure pour tout v ∈ Val(F ).

738

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

Dans le calcul conduisant à l’égalité (20), on est parti d’un produit dépendant de trois données (l1 , l2 , l), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )). On a inséré une quatrième donnée (m1 , m2 ), puis on a décomposé le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (l1 , l2 , l) et (m1 , m2 ), l’autre aux données (m1 , m2 ), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )). Le même procédé permet d’insérer dans Bv de nouvelles données, disons (h1 , h(ζ˜1 )) puis de décomposer le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (m1 , m2 ), (h1 , h(ζ˜1 )) et (h2 , h(ζ˜2 )), l’autre relatif aux données (h1 , h(ζ˜1 )) et (h1 , h(ζ˜1 )). On reconnaît ces produits comme étant B v et Δ1,imp,v (h1 , h(ζ˜1 ); h1 , h(ζ˜1 )). On laisse les détails au lecteur. Cela prouve (22). Fixons une place v ∈ V . La situation étant non ramifiée, Mv est relevant. ˜ v (Fv ) assez régulier et y  ∈ M  (Fv ) de sorte que On peut fixer un élément y ∈ M leurs classes de conjugaison stable se correspondent. On fixe des relèvements y1 ˜  (ζ˜1 ), resp. G ˜  (ζ˜2 ). On construit B comme ci-dessus, relatif et y2 de y  dans G v 1 2   aux couples (hi , h(ζ˜i )) = (yi , y) pour i = 1, 2. La situation étant non ramifiée, on dispose de facteurs de transfert canoniques et la relation précédant (22) devient (23)

Bv = B v Δ1,imp,v (y1 , y)Δ2,imp,v (y2 , y)−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). 1

2

On va calculer B v . Par rapport à la situation antérieure, les tores T (ζ˜1 ) et T (ζ˜2 ) se confondent en un unique tore TyH . Les cocycles V1 et V2 sont égaux à un unique cocycle Vy . Les éléments ν1 et ν2 ne sont pas égaux, mais sont de la forme (μy,1 , νy ),  H (μy,2 , νy ), où les μy,i appartiennent aux sous-tores Ty,i de Hi (ζ˜i ) associés à TyH . ˜ En fait, on peut simplifier puisqu’on a choisi y ∈ Mv (Fv ) et non pas seulement ˜ vH (Fv ). On note Ty = G ∩ TyH et T  = T  H ∩ G (ζ˜i ) pour i = 1, 2. y ∈ M y,i y,i i   , Ty,2 et Ty au-dessus du tore Ty On introduit le tore Ty produit fibré de Ty,1 de M  (qui est un Levi commun de G (ζ˜1 ) et G (ζ˜2 )). On note νy,12 l’élément  (μy,1 , μy,2 , νy ) de Ty . On note Σy le quotient de T M × Ty par Z12 plongé par  (z1 , z2 , z) → ((z1 , z2 ), (z1 , z2 , z)). Le couple (Vy , (μM , νy,12 )) définit un élément de 1−θ

H 1,0 (ΓFv ; Ty,sc → Σy ). On a un homomorphisme évident 1−θ

Ty,sc → Σy ↓ 1−θ

U  → Σ . Par l’homomorphisme fonctoriellement associé, le cocycle précédent s’envoie sur celui intervenant dans la définition de B v . Pour utiliser la compatibilité des produits, M −1 ˆ ˆ ˆ −1 −1 ) , V1 , V2 , V 12,sc ), (ζsc , zsc ζsc )) par l’homoon doit calculer l’image de (((XML morphisme dual θˆ ˆ θˆ 1,0 ˆ  1− ˆ y 1− → U (WFv ; Σ → Tˆy,ad ). H 1,0 (WFv ; Σ ) → H M se conserve tel quel. On peut remplacer Vˆi par son image Le premier terme XML ˜ ˆ remplace H. ˆ Une fois fait ce remplacement, ˆ dans l’analogue de T (ζi ) où le groupe G

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

739

reportons-nous aux définitions de [I] 2.2. On a une égalité Vˆi (w) = (ϕi (w), t(ζ˜i )(w)) ˜ v , on pour tout w ∈ WFv . Parce que y appartient à l’espace de Levi commun M ˆ v,sc voit que t(ζ˜i ) est de la forme t(ζ˜i )(w) = N (w)gi (w)−1 N  (w), où N (w) ∈ M   ˆ ˆ ˆ ˆ et N (w) ∈ Msc sont les mêmes pour i = 1, 2. L’image de (V1 , V2 ) dans Ty est le ˜ ˜ −1 ), que l’on calcule grâce aux formules ci-dessus. C’est triplet (ϕ1 , ϕ−1 2 , t(ζ1 )t(ζ2 ) −1  (ϕ1 , ϕ2 , m ). Ce terme vit en fait dans un quotient par le groupe (Tˆy )2 plongé par −1 (t1 , t2 ) → (ξˆ1 (t1 ), ξˆ2 (t2 ), t−1 1 t2 ). Cela permet de remplacer le triplet précédent par  −1 (ϕ1 , ϕ2 , 1). Le terme V 12,sc se simplifie. Avec les mêmes notations que ci-dessus ˆ AD , on a et en fixant un relèvement g1,sc (w) de l’image de h1 (w) dans G V 12,sc (w) = tsc (ζ˜1 )(w)−1 tsc (ζ˜2 )(w)msc (w) = N  (w)−1 g1,sc (w)N (w)−1 N (w)g1,sc (w)−1 msc (w)−1 N  (w)msc (w) = 1 ˆ  )0 ). Enfin, le couple (ζsc , z −1 ζ −1 ) (on se rappelle que msc (w) appartient à Z(M sc sc sc −1 s’envoie évidemment sur zad . On obtient 



 −1   −1 B v = Vy , (μM , νy,12 ) , ((ϕ−1 . , ϕ ), (ϕ , ϕ , 1), 1), z 1 2 2 1 ad ˆ ad )ΓFv ,0 . Ce groupe est contenu dans Tˆ ΓFv ,0 D’après nos choix, on a zad ∈ Z(M y,ad ΓFv ,0 ˆ ˆ ˆ puisque Ty ⊂ M . Or le groupe T est le noyau de l’accouplement sur y,ad

1−θ θˆ ˆ y 1− → Tˆy,ad ). H 1,0 (ΓFv ; Ty,sc → Σy ) × H 1,0 (WFv ; Σ

On peut donc aussi bien supprimer le terme zad de la formule ci-dessus. Le couple −1 (ϕ1 , ϕ2 ), modulo le tore Tˆy plongé par t → (ξˆ1 (t), ξˆ2 (t)−1 ), ne dépend pas du choix de g1 (w). On peut modifier cette cochaîne g1 . La situation étant non ramifiée, on peut supposer que c’est un cocycle non ramifié. Il en est alors de même de ϕ1 et ϕ2 . Pour i = 1, 2, notons Z(Gi (ζ˜i ); G) la projection dans Z(Gi (ζ˜i )) du produit fibré de ce groupe avec Z(G), au-dessus de Z(G (ζ˜i )). Introduisons le tore Yi quotient   par Z(Gi (ζ˜i ); G) agissant diagonalement. Son dual Yˆi est l’ensemble de TiM × Ty,i    ˆ des (tM , ty , tsc ) ∈ Tˆ M × Tˆ  × Tˆθ tels que tM ty tsc = 1. On a un homomorphisme y,i

sc

Yˆi ↓ ˆy Σ

1−θˆ



Tˆy,ad

dont on déduit un homomorphisme θˆ ˆ y 1− → Tˆy,ad ). H 1 (WFv ; Yˆi ) → H 1,0 (WFv ; Σ 1 ˆ Le triplet (ϕ−1 1 , ϕ1 , 1) définit un élément de H (WFv ; Y1 ) tandis que le triplet   −1 1 ˆ (ϕ2 , ϕ2 , 1) définit un élément de H (WFv ; Y2 ).

740

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule −1

  Le cocycle ((ϕ−1 , 1), 1), 1) est le produit des images de ces 1 , ϕ2 ), (ϕ1 , ϕ2 deux cocycles. Par compatibilité des produits ([49] 4.3), on obtient      −1 , ϕ , 1) (μ , μ ), (ϕ , ϕ , 1) , B v = (μ1 , μy,1 ), (ϕ−1 1 y,2 2 2 2 1

où il s’agit des produits sur H 0 (ΓFv ; Yi ) × H 1 (WFv ; Yˆi ). Posons 2 M  = (M  (ζ˜i ) × M  (ζ˜i ))/ diag(Z(G (ζ˜i ); G)). i

i

i

i

Le tore Yi est un sous-tore maximal de ce groupe. On a un homomorphisme ˆ  )) ˆ  (ζ˜1 ))) → H 1 (WFv ; Z(2 M H 1 (WFv ; Z(M 1 1 −1 ϕ1 → (ϕ1 , ϕ1 , 1) et un homomorphisme analogue concernant ϕ2 . Notons λϕ1 le caractère de M1 (ζ˜1 ) déterminé par ϕ1 . On définit de même λϕ2 . On calcule alors B v = λϕ1 (μ1

−1

μy,1 )λϕ2 (μ2 μ−1 y,2 ).

˜ϕ l’unique fonction sur M ˜ 1 (ζ˜1 ) qui se transforme selon le caractère On note aussi λ 1 λϕ1 et qui vaut 1 sur l’espace hyperspécial fixé par les données auxiliaires. On peut aussi bien récrire ˜ ϕ (m )−1 λ ˜ ϕ (m )λ ˜ ϕ (y  )−1 . ˜ ϕ (y  )λ B =λ v

1

1

1

1

2

2

2

2

Il résulte des définitions que  −1 ˜ ˜ϕ (y  )λ = Δ1,imp,v (y1 , y)−1 Δ2,imp,v (y2 , y). λ 1 1 ϕ2 (y2 ) Cela assure en même temps que ˜ M (m , m ) = λ ˜ ϕ1 (m )λ ˜ ϕ (m )−1 . λ v

1

2

1

2

2

D’où l’égalité ˜M (m , m )−1 Δ1,imp,v (y  , y)−1 Δ2,imp,v (y  , y). Bv = λ v 1 2 1 2 Grâce à (23), on obtient ˜ M (m , m )−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). Bv = λ v

1

2

1

2

Rassemblons cette égalité avec les égalités (20) et (21). On obtient  Δ2,imp,v (l2 , l ; h2 , h(ζ˜2 ))Δ1,imp,v (l1 , l ; h1 , h(ζ˜1 ))−1 v∈V



=  =

 v∈V



 Av B −1 



Bv

v∈V

Av Δ1,imp,glob (h1 , h(ζ˜1 ))Δ2,imp,glob (h2 , h(ζ˜2 ))−1

v∈V



v∈V

˜ M (m , m )−1 Δ1,imp,v (h , h(ζ˜1 ))−1 Δ2,imp,v (h , h(ζ˜2 )). λ v 1 2 1 2

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

741

Revenons maintenant à la formule (18), en se rappelant que l’on a déjà éliminé les facteurs ΔII de cette formule. On obtient  ˜z (r ) = λM (b1 , b2 )−1 λL (a1 , a2 ) Av , (24) λ 1 v∈V

où on a rétabli l’indice z pour plus de précision. Il faut revenir au calcul du terme Av . Il s’avère que c’est exactement le même que celui qui intervenait dans la preuve de la proposition 1.14(iii) de [II]. On peut utiliser les calculs de cette preuve. On décompose le problème en deux. Supposons d’abord que ˆ v ne corresponde à aucun K-espace de (25) il existe une place v ∈ V telle que R ˜ Levi de K G. Dans ce cas, on choisit pour Z le groupe   % ΓFv ΓFv ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ΓF ,θˆ (26) Z(RV ) ∩ Z(Lv ) (1 − θ) ◦ π(Z(Rsc ) ) /Z(G) v∈V

ˆ SC → G ˆ l’homomorphisme naturel). Dans les (on note comme toujours π : G constructions précédentes, on peut supposer que, pour v ∈ V , ρv est l’image ˆ sc )ΓFv . On rappelle que l’on a choisi un relèvement d’un élément ρv,sc ∈ Z(R ˆ ˆ v,sc )−1 . On voit qu’il s’agit d’un ˆ sc )ΓF ,θ,0 zsc ∈ Z(M . On pose τv,sc = zsc (1 − θ)(ρ Γ ˆ v,sc ) Fv . L’homomorphisme élément de Z(L ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 → Z(L ˆ v,sc )ΓFv /Z(L ˆ v,sc )ΓFv ,0 Z(G ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 qui s’envoie sur l’image de est surjectif. Fixons xv ∈ Z(G τv,sc dans le groupe de droite. Rappelons qu’au groupe G est associé un élément de H 1 (F ; GAD ) : la classe du cocycle σ → uE (σ)ad pour une paire de Borel épinglée E quelconque. On la note uG . Pour tout v ∈ V , le groupe H 1 (F ; GAD ) s’envoie dans son analogue H 1 (Fv ; GAD ). On note uG,v l’image de uG . Pour tout v ∈ V , on a un produit naturel sur ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 . H 1 (Fv ; GAD ) × Z(G A partir de l’égalité (24), les calculs de [II] prouvent que, pour z dans le groupe ˜z est constante, de valeur Z défini par (26), la fonction λ  uG,v , xv  . v∈V

 ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 , La famille (uG,v )v∈V définit un caractère de v∈V Z(G notons-le χG . La formule ci-dessus est l’évaluation de ce caractère χG au point (xv )v∈V . On a effectué divers choix pour définir les xv . La formule montre que ces

742

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

choix n’affectent la famille (xv )v∈V qu’en la multipliant par un élément du noyau de χG . On a donc une application  Z→



 ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 Z(G

/ Ker(χG ),

v∈V

qui est clairement un homomorphisme. Pour obtenir (17), il suffit de prouver que cet homomorphisme est non trivial. L’hypothèse (25) et le lemme [I] 3.5 (qui reprend le lemme 2.1 de [16]) entraînent que le sous-groupe 



ˆ SC )ΓFv ∩ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,0 )/Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 ⊂ (Z(G

v∈V

ˆ SC )ΓFv /Z(G ˆ SC )ΓFv ,0 Z(G

v∈V

n’est pas contenu dans Ker(χG ). Il suffit de prouver que tout élément de ce sous-groupe peut être choisi comme famille (xv )v∈V associée à un élément de Z. Soit donc pour tout v ∈ V un élément ˆ SC )ΓFv ∩ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,0 . Grâce à l’égalité xv ∈ Z(G ˆ ˆ ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 ˆ v,sc )ΓFv ,0 , ˆ v,sc )ΓFv ,0 = Z(R Z(R (1 − θ)(Z( R ˆ ˆ v,sc )−1 , avec yv ∈ Z(R ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 on peut écrire xv = yv (1 − θ)(ρ et ρv,sc ∈ ˆ v,sc )ΓFv ,0 . Z(R ˆ V )sc l’image réciproque de Z(R ˆ V ) dans G ˆ SC et Z(R ˆ V )0 sa Notons Z(R sc ˆ ˆ ˆ )ΓF ,θ , on a Z(R ˆ V )0 ⊂ Z(M ˆ sc )ΓF ,θ,0 ˆ V ) ⊂ Z(M . composante neutre. Puisque Z(R sc On définit un homomorphisme

(27)

ˆ V )0 × Z(R sc

 v∈V

ˆ

ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 → Z(L



ˆ

ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 . Z(R

v∈V

ˆ ˆ V )0 , c’est le plongement diagonal. Sur chaque Z(L ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 Sur Z(R , c’est le sc ˆ ˆ ΓFv ,θ,0 ΓFv ,θ,0 ˆ ˆ ˆ enplongement naturel Z(Lv,sc ) → Z(Rv,sc ) . La surjectivité de D traîne que l’homomorphisme ainsi défini est surjectif. On peut donc choisir zsc ∈ ˆ ˆ  ˆ sc )ΓF ,θ,0 ˆ v,sc )ΓFv ,θ,0 ˆ V )0 ⊂ Z(M et, pour tout v ∈ V , un élément τv,sc ∈ Z(L Z(R sc  −1  de sorte que yv = zsc (τv,sc ) . Pour tout v ∈ V , on pose τv,sc = xv τv,sc . On a ˆ v,sc ). On voit que l’élément z = π(zsc ) appartient à Z et alors zsc = τv,sc (1 − θ)(ρ que, pour cet élément, on peut choisir la famille (xv )v∈V comme famille associée. Cela achève la preuve sous l’hypothèse (25). ˆ v est associé à un KSupposons maintenant que pour tout v ∈ V , le Levi R ˜ (sur Fv ). On fixe un tel espace K R ˜ v . On introduit le groupe espace de Levi de G ˆ ˆ vθ,0 ˜ v,0 . D’après . Il lui est associé un espace R Rv,0 quasi-déployé sur Fv et dual de R

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

743

[I] 1.12, on a des homomorphismes KRv,ab (Fv )

N Rv  Rv,0,ab (Fv )



 Rv,ab (Fv )

N Rv ,Rv 

et des applications compatibles ˜ v,ab (Fv ) KR ˜

N Rv  N

˜  ,R ˜v R v

˜  (Fv ) R v,ab

˜ v,0,ab (Fv ) . R



ˆ v )∗ définit un caractère χρv de Tout élément ρv ∈ Z(R Rv,0,ab (Fv )/N Rv (KRv,ab (Fv )) : ˆ c’est le caractère associé au cocycle w → wG (ρv )ρ−1 v de WFv dans Z(Rv,0 ). L’application ρv → χρv se quotiente en une surjection ˆ

ˆ v ) ∩ Tˆ θ,0 )Z(R ˆ v )ΓFv → (Rv,0,ab (Fv )/N Rv (KRv,ab (Fv )))∨ , ˆ v )∗ /(Z(R Z(R l’exposant ∨ désignant le groupe des caractères. On note χ ˜ρv la fonction sur ˜ Rv,0,ab (Fv ) qui se transforme selon le caractère χρv et qui vaut 1 sur l’image ˜ de N Rv . On choisit pour Z le groupe   % Γ ˆ v ) Fv (1 − θ)(Z( ˆ ˆ v )∗ ) /Z(G) ˆ ΓF ,θˆ ˆV ) ∩ Z(L R Z(R v∈V

ˆ v ), tout entier. Comme précédemment, pour z ∈ Z et v ∈ V , on écrit z = τv (1− θ)(ρ ΓFv ˆ ˆ et ρv ∈ Z(Rv )∗ . A partir de (24), le calcul de [II] conduit cette avec τv ∈ Z(Lv ) fois au résultat suivant : on a l’égalité  ˜ ˜ ˜ z (r ) = λ χ ˜ρv (N Rv ,Rv (rv )), 1 v∈V

 ˜  (Fv ). Ici encore, le résultat où on a écrit r = (rv )v∈V l’image de r1 dans v∈V R v montre que le membre de droite ne dépend que de z et pas des choix des ρv . On peut donc écrire    ˜ ˜ ˜z (r ) = χ ˜ρv (N Rv ,Rv (rv )), λ (28) 1 z∈Z

(ρv )v∈V ∈J v∈V

744

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

où J est le sous-groupe de  ˆ ˆ v )∗ /(Z(R ˆ v ) ∩ Tˆθ,0 ˆ v )ΓFv (29) Z(R )Z(R v∈V

formé des images naturelles des familles (ρv )v∈V que l’on peut associer comme ci-dessus à un élément z ∈ Z. On se rappelle la propriété (2) : pour tout v ∈ V , ˜ v . Il y a donc pour tout l’élément v appartient à un sous-tore tordu elliptique de R  ˜ v ∈ V des éléments elliptiques réguliers dans Rv (Fv ) qui sont aussi voisins qu’on le veut de v . Mais, puisque M n’est pas relevante, il y a a fortiori au moins une ˜ v n’est pas relevant. La proposition [I] 1.14 implique alors que, place v ∈ V où R ˜ ˜ ˜ ˜ v,ab (Fv )). Pour prouver (16), il pour cette place v, on a N Rv ,Rv (v ) ∈ N Rv (K R suffit de prouver que le membre de droite de (28) est nul pour r assez voisin de . D’après la propriété que l’on vient de voir de cet élément, il suffit que J soit égal ˆ v )∗ . Pour tout v ∈ V , au groupe (29) tout entier. Soit donc (ρv )v∈V ∈ v∈V Z(R on a ˆ v ) ∈ Z(R ˆ v )ΓFv = Z(G) ˆ ΓFv Z(R ˆ v )ΓFv ,0 (1 − θ)(ρ ˆ

ˆ ˆ ΓFv Z(R ˆ v )ΓFv ,θ,0 (1 − θ)(Z( ˆv )ΓFv ,0 ). = Z(G) R ˆ v )ΓFv ,0 , ce qui ne change pas l’image Quitte à multiplier ρv par un élément de Z(R ˆ v ) = ξv xv , avec ξv ∈ dans (29) de la famille (ρv )v∈V , on peut supposer (1 − θ)(ρ ˆ Γ Γ , θ,0 ˆ v ) Fv . On a un homomorphisme ˆ Fv et xv ∈ Z(R Z(G)   ˆ ˆ ˆ V )0 × ˆ v )ΓFv ,θ,0 ˆ v )ΓFv ,θ,0 Z(L → Z(R Z(R v∈V

v∈V

ˆ V )0 ˆ l’est. On peut donc trouver z ∈ Z(R similaire à (27), qui est surjectif car D ˆ  ΓFv ,θ,0  ˆ et, pour tout v ∈ V , un élément τv ∈ Z(Lv ) , de sorte que zτv = xv . Posons ˆ v ). On voit ˆ v )ΓFv et on a z = τv (1 − θ)(ρ τv = (ξv τv )−1 . C’est un élément de Z(L alors que z appartient à Z et que (ρv )v∈V est une famille associée à z comme plus haut. Cela achève cette brève démonstration.  Remarques. (30) Les complications du début de la preuve, à savoir le passage par les propositions auxiliaires 6.7 et 6.8, sont dues aux places archimédiennes. Cela parce que, sur un corps de base Fv archimédien, on n’a pas défini les inté˜ G st ˜ grales orbitales pondérées stables SM ˜ (δ, f ) pour tout δ ∈ Dg´ eom (M (Fv )) ⊗ ∗ Mes(M (Fv )) . Cela nous oblige à des contorsions pour assurer que les distributions dv de la démonstration ci-dessus sont dans le domaine de définition de ces intégrales orbitales pondérées stables. Si on remplace ces intégrales par leurs avatars spectraux, cette difficulté disparaît et une même démonstration s’applique tout en se simplifiant. (31) Si on oublie cette difficulté aux places archimédiennes, on voit que l’on démontre en fait un résultat plus fin que la proposition 6.6, qui est le suivant.

VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10

745

Ecrivons δ = (δ v )v∈V et supposons que, pour tout v ∈ V , δ v soit induite à ˜  . Supposons qu’il existe v tel que R ˜  ne ˜  de M partir d’un espace de Levi R v v v ˜ v ou qu’il existe un tel K-espace corresponde à aucun K-espace de Levi de K G ˜ ˜  ne soit pas relevant. Alors I∗K G,E (M , δ, f ) = 0. de Levi mais que R v

VI.6.11 Le théorème 5.10 Dans ce paragraphe, on suppose démontrés les théorèmes [II] 1.16, [V] 1.10 et 5.2 et 5.4 ci-dessus. On va alors prouver le théorème 5.10. Notons  ˜ G ˜  )S G (f G ) i(G, X= g´ eom ˜ G ∈E(G,a,V )

le membre de droite de l’égalité de ce théorème. Développons X en appliquant les définitions. On obtient     ˜ G ˜ ) i(G, |W M ||W G |−1 X= ˜  ∈L(M ˜ ) M 0

˜ G ∈E(G,a,V )









G M SM (O , V ), f G ).  (SA

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

˜ associé naturellement aux données G et à Le terme M est le triplet (M  , M , ζ)   ˜ ˜ ˜  (F ) = ∅ pour tous les M ˜  intervel’espace de Levi M ∈ L(M0 ). Notons que M  G M nant. Le lemme 5.3 nous autorise à remplacer les termes SM (SA (O , V ), f G )  ˜ G M par leurs variantes SM (O , V ), B G , f G ). Il n’est pas difficile d’adapter la  (SA proposition 6.5 à nos présentes notations. Elle entraîne que l’on peut récrire cette somme sous la forme    ˜ ˜ ˜,M ˜ ) ˜ G ˜  (˜ |W M ||W G |−1 i(M iM˜  (G, s)) X= ˆ M

˜ M ,V ) M ∈E∗ (M,a



G (˜ s)

SM 

ˆ

ˆ

˜ M) ˆ ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ( 



(SAM (O , B, V ), B G , f G (˜s) ). ˜

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

ˆ parcourt les Levi de G ˆ contenant M ˆ 0 qui sont des composantes de Levi de Ici, M sous-groupes paraboliques invariants par θˆ et par ΓF . Un tel Levi ne correspond pas ˜ de K G ˜ mais on peut lui associer divers objets toujours à un K-espace de Levi K M que, par anticipation, nous notons comme si un tel K-espace existait. Par exemple ˜ ˆ )/M ˆ . Si W M est le sous-groupe des éléments invariants par θˆ et ΓF dans NormGˆ (M ˜ ˜ K M existe, l’ensemble E∗ (M , aM , V ) est celui des classes d’équivalence de données ˜ de (KM, K M ˜ , aM ) qui sont non ramifiées endoscopiques elliptiques (M  , M , ζ)  ˜ hors de V et telles que M (F ) = ∅. La définition de ces notions ne faisant intervenir ˆ , la définition s’étend au cas où K M ˜ n’existe pas. L’indice ∗ signifie que le groupe M

746

Chapitre VI. La partie géométrique de la formule

que l’on n’impose pas que la donnée soit relevante, contrairement à nos ensembles ˜ , aM , V ). Avec la définition de 6.6, on obtient habituels E(M   ˜ ˜ ˜,M ˜ ) |W M ||W G |−1 i(M X= ˆ M

˜ ,aM ,V ) M ∈E∗ (M





I∗K G,E (M , SAM (O , V ), f ). ˜

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

La proposition 6.6 nous dit que, pour que le terme que l’on somme soit non nul, il ˆ corresponde à un K-espace de Levi K M ˜ de G ˜ et que M soit relevant faut que M ˜ , aM ). Cela permet de récrire pour (KM, K M   ˜ ˜ ˜,M ˜ ) X= |W M ||W G |−1 i(M ˜ M ,V ) M ∈E(M,a

˜ ∈L(M ˜ 0) KM



˜ K G,E  M IK (O , V ˜ (M , SA M

), f ).

˜  (FV )/ st-conj O  ∈M ss

Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées. Cela nous permet de rem˜ ˜ K G,E  M KG M placer les termes IK (O , V ), f ) par IK (O , V )), f ). ˜ (transfert(SA ˜ (M , SA M M On peut maintenant se limiter aux classes de conjugaison stable O qui corres˜ (FV ) : pondent à une telle classe dans le K-espace de Levi correspondant K M M  pour les autres, transfert(SA (O , V )) = 0. On peut regrouper ces classes selon ˜ (FV ). On obtient la classe qui leur correspond dans K M    ˜ ˜ ˜,M ˜ ) X= |W M ||W G |−1 i(M ˜ ss (FV )/ st-conj M ∈E(M,a ˜ M ,V ) O∈K M

˜ ˜ 0) K M∈L(K M





KG M IK (O , V )), f ), ˜ (transfert(SA M ˜

˜  (FV )/ st-conj;O  →O O  ∈M ss

où O → O désigne la correspondance entre classes de conjugaison stable. Pour ˜ et O intervenant ci-dessus, on a l’égalité tous K M    ˜,M ˜ ) i(M transfert(SAM (O , V )) ˜ M ,V ) M ∈E(M,a

˜  (FV )/ st-conj;O  →O O  ∈M ss ˜

= AK M ,E (O, V, a) ˜

d’après la définition de 5.4. C’est encore égal à AK M (O, V, ω) d’après le théorème 5.4. Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées et on obtient   ˜ ˜ ˜ ˜ KG KM |W M ||W G |−1 IK (O, V, ω), f ). X= ˜ (A M ˜ ∈L(K M ˜ 0) KM

˜ ss (FV )/ st-conj O∈M ˜

KG Ceci n’est autre que Ig´ eom (f , ω), cf. 2.9. Cela prouve le théorème 5.10.

Chapitre VII

Descente globale Introduction Nous commençons la preuve des théorèmes [VI] 5.2 et [VI] 5.4. Rappelons-en les ˜ a) est défini sur énoncés, en renvoyant à [VI] pour les définitions. Le triplet (G, G, un corps de nombres F . On fixe un ensemble fini V de places de F contenant l’ensemble Vram des «mauvaises» places. ˜ a) quasi-déployé et à torsion Théorème [VI] 5.2 (à prouver). On suppose (G, G, ˜ V ). intérieure. Soit OV une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F ˜ Alors SAG (V, OV ) est stable. Théorème [VI] 5.4 (à prouver). Soit OV une classe de conjugaison stable semi˜ ˜ ˜ V ). Alors on a l’égalité AG,E (V, OV , ω) = AG (V, OV , ω). simple dans G(F Dans ce chapitre, nous prouverons le premier théorème. Nous prouverons ˜ a) particuliers. Pour ceux-ci, nous aussi le second sauf pour certains triplets (G, G, le prouverons sauf pour un nombre fini de classes OV exceptionnelles. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Les cas restants de ce théorème seront prouvés en [X] en utilisant la formule des traces. ˜ )). On définit en On introduit en 1.1 un ensemble de paramètres Stab(G(F ˜ ), 1.2 une application qui, à une classe de conjugaison stable semi-simple dans G(F associe un élément de notre ensemble de paramètres. Cette application est toujours ˜ a) est injective. En général, elle n’est pas surjective. Elle l’est toutefois si (G, G, quasi-déployé et à torsion intérieure. La question de savoir si un paramètre provient bel et bien d’une classe de conjugaison stable semi-simple est délicate et nous ne la résoudrons pas. L’intérêt d’introduire cet ensemble de paramètres est justement ˜ a), de la contourner. Si G = (G , G  , s˜) est une donnée endoscopique de (G, G, ˜ la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans G (F ) ˜ ) est compliquée précisément parce qu’il y a des classes dans G ˜  (F ) qui et G(F ˜ ne correspondent à rien dans G(F ). Mais cette correspondance se traduit par une ˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )) entre ensembles de paramètres. véritable application Stab(G © Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_2

747

748

Chapitre VII. Descente globale

On énonce dans la section 3 de nouveaux théorèmes qui sont pour l’essentiel des reformulations des théorèmes ci-dessus. Mais les données sont cette fois un ˜ )) et un ensemble fini de places V . Ces données sont élément X de Stab(G(F indépendantes l’une de l’autre. Pour X fixé, on peut faire varier V . On prouve dans la section 2 des formules de scindage qui entraînent que, si les théorèmes sont vérifiés pour V grand (cette notion dépendant de X ), alors ils le sont pour tout V . Les résultats de cette section 2 s’appuient sur le lemme fondamental pondéré tordu dû à Chaudouard et Laumon (cf. [31] ; fâcheusement, ces auteurs n’ont pas encore publié la preuve complète annoncée dans cette référence). Ils s’appuient aussi sur une version tordue d’un argument d’annulation dû à Kottwitz. Les sections 4 à 8 sont consacrées à la preuve des théorèmes de la section 3 pour un paramètre X et un ensemble de places V assez grand. Cette hypothèse sur V entraîne que toutes les distributions intervenant se calculent par la méthode de descente d’Harish-Chandra. Cela nous ramène à deux problèmes. D’abord, la méthode de descente appliquée globalement, c’est-à-dire sur F , fait intervenir une combinatoire compliquée contrôlée par divers groupes de cohomologie. Dans notre situation tordue, il s’agit de cohomologie de complexes de tores. Fort heureusement, cette combinatoire a été entièrement élucidée par Labesse dans une série d’articles (cf. [52], [51], [53]). On est alors ramené à des problèmes similaires aux problèmes initiaux, mais dans une situation non tordue et pour des distributions à support unipotent. Puisque la situation n’est plus tordue, on peut utiliser les résultats d’Arthur ([18]). Cela ne suffit toutefois pas car la descente d’HarishChandra appliquée au cas tordu fait inévitablement intervenir un phénomène qui ne se produit pas dans le cas non tordu : il apparaît des triplets endoscopiques non standard. Pour ceux-ci, on utilise le théorème [VI] 5.6 qui permet d’achever la preuve. Bien sûr, ce dernier théorème n’est pas encore prouvé. Toutefois, les hypothèses de récurrence sophistiquées que l’on a posées en [VI] 5.8 permettent de l’appliquer, sauf dans quelques cas particuliers. Cette restriction est précisément la raison pour laquelle la démonstration du théorème [VI] 5.4 restera incomplète. Dans la section 9, nous prouverons le théorème [VI] 5.6. La preuve est la même que ci-dessus, mais inversée. Ci-dessus, on déduit le théorème [VI] 5.4 du théorème [VI] 5.6. Maintenant, on déduit le théorème [VI] 5.6 du théorème [VI] 5.4. Les hypothèses de récurrence assurent cette fois que ce théorème est valide ˜ a) que nous utiliserons. Il faut toutefois prendre garde pour les triplets (G, G, que, toutes ces démonstrations se faisant par récurrence, elles ne deviendront de vraies démonstrations que quand tous les pas de la récurrence auront été traités. Comme on l’expliquera davantage en 3.7, il suffira pour cela d’achever la preuve du théorème [VI] 5.4. Comme on le voit, notre preuve suit de très près celle d’Arthur dans son deuxième article sur la stabilisation ([19]). Il s’agissait seulement d’y insérer les idées de Labesse afin de l’adapter à la situation tordue.

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

749

VII.1 Coefficients globaux et classes de conjugaison stable VII.1.1 Ensemble de paramètres Pour tout le chapitre, sauf mention expresse du contraire, F est un corps de ˜ est un espace tordu nombres, G est un groupe réductif connexe défini sur F , G ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ sous G défini sur F et a est un élément de H 1 (WF ; Z(G))/ On ˜ a) diverses données utilise les définitions de [VI] 1.1 et on adjoint au triplet (G, G, supplémentaires comme dans cette référence. Considérons la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα∗ )α∈Δ ) de G. Elle est munie de l’action galoisienne quasi-déployée, notée σ → σG∗ , cf. [I] 1.2. Elle est aussi munie d’un automorphisme θ∗ qui commute à l’action galoisienne. On note Σ(T ∗ ) l’ensemble des racines de T ∗ dans g. Pour α ∈ Σ(T ∗ ), on note αres ∗ sa restriction à T ∗,θ ,0 et on pose Σ(T ∗ )res = {αres ; α ∈ Σ(T ∗ )}. On note Σ+ (T ∗ ) et Σres,+ (T ∗ ) les sous-ensembles positifs déterminés par B ∗ . Pour α ∈ Σ(T ∗ ), on note N α la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ∗ . Ce caractère de T ∗ se descend en un caractère de T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). ˜ (cf. [I] 1.2 pour la définition de Soit μ ∈ (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) ∗ ˜ de sorte que μ soit l’image de (ν, e¯). On note ˜ fixons ν ∈ T et e¯ ∈ Z(G) Z(G)), Σ(μ) l’ensemble des αres pour α ∈ Σ(T ∗ ) vérifiant l’une des conditions suivantes – α est de type 1 ou 2 et (N α)(ν) = 1 ; – α est de type 3 et (N α)(ν) = −1. Cet ensemble s’interprète de la façon suivante. Identifions E ∗ à une paire de ˜ E ∗ ). Posons Borel épinglée particulière de G et relevons e¯ en un élément e ∈ Z(G, ∗ ∗ ∗,θ ,0 ¯ = G ¯ ∩ B et T¯ = T ˜ G ¯ = Gη , B . Alors Σ(μ) est l’ensemble η = νe ∈ G, ¯ ¯ G ¯ ¯ des racines Σ (T ) de T dans g. En particulier, Σ(μ) est un honnête système de ¯ racines et Σ+ (μ) = Σ(μ) ∩ Σres,+ (T ∗ ) est le sous-ensemble positif associé à B. θ∗ On introduit le groupe de Weyl W (μ) de Σ(μ), c’est-à-dire le sous-groupe de W engendré par les symétries relatives aux αres ∈ Σ(μ). C’est aussi le groupe de Weyl ¯ ¯ W G du groupe G. ∗ ˜ par l’action naturelle Le groupe W θ agit sur (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) sur le premier facteur et par l’action triviale sur le second. Tous les objets sont ∗ munis de l’action galoisienne quasi-déployée. Pour un cocycle ωG¯ : ΓF → W θ , considérons les conditions (1) ωG¯ (σ)σG∗ fixe μ pour tout σ ∈ ΓF ; (2) ωG¯ (σ)σG∗ fixe μ et conserve Σ+ (μ) pour tout σ ∈ ΓF . Remarquons que la condition (1) implique en tout cas que ωG¯ (σ)σG∗ conserve ˜ )) l’ensemble des couples (μ, ωG¯ ) tels Σ(μ) pour tout σ ∈ ΓF . On note Stab(G(F ˜ que ωG¯ vérifie (1) et Stab(G(F )) celui des couples (μ, ωG¯ ) tels que ωG¯ vérifie (2).

750

Chapitre VII. Descente globale

˜ )) sont équivalents si Disons que deux éléments (μ, ωG¯ ) et (μ , ωG¯  ) de Stab(G(F et seulement si μ = μ et ωG¯  (σ) ∈ W (μ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . On a ˜ )) est un ensemble de représentants des classes d’équivalence dans (3) Stab(G(F ˜ )). Stab(G(F ˜ )) et σ ∈ ΓF , il existe un unique u(σ) ∈ W (μ) tel Preuve. Pour (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F  que u(σ)ωG¯ (σ)σG∗ conserve Σ+ (μ). Posons ωG ¯ (σ). L’unicité de u(σ) ¯ (σ) = u(σ)ωG   entraîne facilement que ωG¯ est encore un cocycle. Alors (μ, ωG ¯ ) est un élément ˜ de Stab(G(F )) qui est équivalent à (μ, ωG¯ ). D’autre part, il est immédiat que ˜ )) sont équivalent si et seulement s’ils sont égaux. deux éléments de Stab(G(F D’où (3).  ∗ ˜ )) de la façon suivante. Pour (μ, ωG¯ ) ∈ Le groupe W θ agit sur Stab(G(F θ∗ ˜ Stab(G(F )) et w ∈ W , l’image de (μ, ωG¯ ) par w est le couple (μ , ωG¯  ) défini par μ = w(μ) et ωG¯  (σ) = wωG¯ (σ)σG∗ (w−1 ) pour tout σ. Cette action respecte la relation d’équivalence introduite ci-dessus. Montrons que ˜ )) ; alors les trois condi(4) soient (μ, ωG¯ ) et (μ , ωG¯  ) deux éléments de Stab(G(F tions suivantes sont équivalentes : ∗ (i) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) = w(μ, ωG¯ ) ; ∗ (ii) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) = w(μ, ωG¯ ) et w(Σ+ (μ)) = Σ+ (μ ) ; ∗ (iii) il existe w ∈ W θ tel que (μ , ωG¯  ) et w(μ, ωG¯ ) soient équivalents dans ˜ )). Stab(G(F

Preuve. Evidemment, (ii) entraîne (i) et (i) entraîne (iii). Soit w vérifiant (iii). On a w(μ) = μ donc w envoie Σ(μ) dans Σ(μ ). Il existe un unique u ∈ W (μ ) tel que uw envoie Σ+ (μ) dans Σ+ (μ ). Il est clair que (μ , ωG¯  ) et u(μ , ωG¯  ) sont équivalents. ∗ Puisque (μ , ωG¯  ) et w(μ, ωG¯ ) sont équivalents et que l’action de W θ conserve l’équivalence, u(μ , ωG¯  ) et uw(μ, ωG¯ ) sont équivalents. Donc aussi (μ , ωG¯  ) et uw(μ, ωG¯ ). On peut donc remplacer w par uw, la condition (iii) reste vérifiée et maintenant, w envoie Σ+ (μ) dans Σ+ (μ ). On voit que cette dernière condition ˜ )). Alors (μ , ωG¯  ) implique que w(μ, ωG¯ ) vérifie (2), donc appartient à Stab(G(F ˜ et w(μ, ωG¯ ) sont deux éléments équivalents de Stab(G(F )). Ils sont donc égaux et la conclusion de (ii) est vérifiée.  ˜ )), on dit qu’ils sont conjuPour deux éléments (μ, ωG¯ ), (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G(F gués si et seulement s’ils vérifient les trois conditions équivalentes ci-dessus. On ˜ )) l’ensemble des classes de conjugaison. Cet ensemble est en binote Stab(G(F ∗ ˜ )). jection avec celui des classes de conjugaison par W θ dans Stab(G(F ˜ Soit (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F )). Comme plus haut, relevons μ en un élément ˜ et définissons le groupe G. ¯ Complétons la paire de Borel (B, ¯ T¯ ) de G ¯ en une η∈G ¯ paire de Borel épinglée. Alors il existe une unique action de ΓF sur G qui conserve cette paire de Borel épinglée, de sorte que cette action et l’action σ → ωG¯ (σ)σG∗ ∗ coïncident sur T¯ = T ∗,θ ,0 et induisent la même action sur Σ+ (μ). On note cette ¯ est quasi-déployé. Le centre Z(G) ¯ est indépendant action σ → σG¯ . Pour celle-ci, G

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

751 ∗

du relèvement η : c’est le sous-groupe des x ∈ T ∗,θ ,0 tels que αres (x) = 1 pour tout αres ∈ Σ(μ). L’action galoisienne sur ce centre est σ → ωG¯ (σ)σG∗ . On dit ¯ ΓF ,0 = Z(G)ΓF ,θ,0 que (μ, ωG¯ ) est elliptique si et seulement si on a l’égalité Z(G) ∗ (on note simplement θ la restriction de θ à Z(G), ce qui est justifié par le fait que c’est aussi la restriction de adg ◦θ∗ pour tout g ∈ G). Cette propriété est ˜ )) le sous-ensemble des éléments conservée par conjugaison. On note Stabell (G(F ˜ )) l’ensemble des classes de conjugaison ˜ )) et Stabell (G(F elliptiques de Stab(G(F dans ce sous-ensemble.

VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples ˜ ss l’ensemble des éléments semi-simples de G. ˜ Pour Rappelons que l’on note G θ ˜ ˜ η ∈ Gss , on pose Iη = Z(G) Gη . Pour η ∈ Gss (F ), on note Yη l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ Iη = Iη (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . On dit que deux ˜ ss (F ) sont stablement conjugués si et seulement s’il existe y ∈ Yη éléments η, η  ∈ G −1 tel que y ηy = η  . ˜ ss (F ). Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par adη . Soit η ∈ G Complétons cette paire en une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ). Fixons ˜ E) et posons θ = ade . On introduit une cochaîne uE : ΓF → GSC de e ∈ Z(G, sorte que aduE (σ) ◦σ conserve E pour tout σ ∈ ΓF . L’action galoisienne naturelle fixe η donc conserve Gη . Le couple (B ∩ Gη , T θ,0) est une paire de Borel de Gη . On peut choisir une cochaîne uη : ΓF → GSC,η (GSC,η est le groupe des points fixes de adη dans GSC ) de sorte que aduη (σ) ◦σ conserve cette paire de Borel pour tout σ ∈ ΓF . Posons vη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 . On a (1) pour tout σ ∈ ΓF , vη (σ) normalise T et son image dans W est fixe par θ. Preuve. On a advη (σ) = (aduη (σ) ◦σ)(aduE (σ) ◦σ)−1 . Les deux facteurs conservent T , donc advη (σ) aussi. Pour la seconde assertion, on doit montrer qu’il existe t(σ) ∈ T de sorte que θ−1 advη (σ) θ = adt(σ) advη (σ) . Il suffit de vérifier la même assertion pour chacun des facteurs aduη (σ) ◦σ et aduE (σ) ◦σ. Pour le deuxième, c’est clair : il commute à θ. Pour le premier, on écrit η = νe avec ν ∈ T . Alors θ = ade = ad−1 ν adη . Le terme adη commute à aduη (σ) ◦σ car η est fixe par σ et uη (σ) ∈ Gη . Le terme ad−1 ν ne commute pas à aduη (σ) ◦σ mais vérifie la relation  plus faible que l’on souhaite simplement parce que aduη (σ) ◦σ normalise T . Ecrivons comme ci-dessus η = νe, avec ν ∈ T . Notons μη l’image de (ν, e) par les applications ˜ E) → (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, ˜ E)  (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). ˜ T × Z(G, ∗

Pour σ ∈ ΓF , notons ωη (σ) l’image dans W θ de vη (σ), modulo l’isomorphisme ∗ Wθ  Wθ . Le couple (μη , ωη ) ne dépend pas du choix de e : on ne peut changer e qu’en le multipliant par un élément de Z(G) et on voit que la construction est insensible

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Chapitre VII. Descente globale

à une telle multiplication. De même, il ne dépend pas des choix de cochaînes uE (σ) et uη (σ). Il ne dépend pas de toute la paire de Borel épinglée E mais seulement de la paire de Borel sous-jacente (B, T ). En effet, si on change seulement l’épinglage, sans changer la paire de Borel sous-jacente, μη ne change pas (cf. [I] preuve de 1.10(1)) et les éléments uE (σ) et uη (σ) sont multipliés par des éléments de T , ce qui ne change pas ωη . Proposition. ˜ ss (F ), le couple (μη , ωη ) construit ci-dessus appartient à (i) Pour η ∈ G ˜ Stab(G(F )). ˜ )) ne dépend pas de la paire (B, T ) (ii) L’image de ce couple dans Stab(G(F utilisée dans sa construction. ˜ ss (F ) et (B, T ), (B  , T  ) des paires de Borel conservées res(iii) Soient η, η  ∈ G pectivement par adη et adη . Les couples (μη , ωη ) et (μη , ωη ) déduits de ces données sont égaux si et seulement s’il existe y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy et (B  , T  ) = ady−1 (B, T ). ˜ ss (F ) et (B, T ), (B  , T  ) des paires de Borel conservées res(iv) Soient η, η  ∈ G pectivement par adη et adη . Les couples (μη , ωη ) et (μη , ωη ) déduits de ces ˜ )) si et seulement si η et η  sont données ont même image dans Stab(G(F stablement conjugués. Preuve. Pour démontrer (i), on peut identifier E à E ∗ . On a alors σG∗ = aduE (σ) ◦σ pour tout σ ∈ ΓF . Soulignons que cette formule définit une action galoisienne sur ˜ car l’action par conjugaison du cobord de la cochaîne G mais pas forcément sur G uE peut ne pas être triviale. Pour cette raison, on n’utilise la notation σG∗ que pour l’action sur G. On doit montrer que ωη (σ)σG∗ conserve μη pour tout σ. ˜ E) de L’élément ωη (σ)σG∗ (μη ) est l’image dans (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, (2)

(advη (σ) ◦σG∗ (ν), aduE (σ) ◦σ(e)).

˜ E ∗ ), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que On sait que σG∗ conserve Z(G, aduE (σ) ◦σ(e) = z(σ)−1 e. Parce que ωη (σ) ∈ W θ , on peut choisir n(σ) ∈ Ge qui le relève et t(σ) ∈ T de sorte que vη (σ) = t(σ)n(σ). On a alors advη (σ) ◦ aduE (σ) ◦σ(e) = t(σ)θ(t(σ))−1 z(σ)−1 e. Parce que η est fixe par ΓF et que uη (σ) ∈ Gη , on a aduη (σ) ◦σ(η) = η, ou encore advη (σ) ◦ aduE (σ) ◦σ(νe) = νe. Les deux relations précédentes entraînent advη (σ) ◦σG∗ (ν) = t(σ)−1 θ(t(σ))z(σ)ν. ˜ E). Mais alors le couple (2) a bien pour image μη dans (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G, On doit montrer que ωη est un cocycle. L’application qui, à σ ∈ ΓF , associe l’automorphisme aduη (σ) ◦σ de T , est un homomorphisme : son cobord est

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

753

donné par des automorphismes intérieurs de Gη qui conservent (B ∩ Gη , T θ,0), donc commutent à T . Mais l’automorphisme ωη (σ)σG∗ de T est égal à aduη (σ) ◦σ. Donc σ → ωη (σ)σG∗ est un homomorphisme de ΓF à valeurs dans le groupe d’automorphismes de T . Cela signifie que ωη est un cocycle. De même, ωη (σ)σG∗ conserve Σ+ (μη ) parce que aduη (σ) ◦σ conserve B ∩ Gη . Cela prouve (i). Prouvons (ii). Changeons la paire (B, T ). D’après [I] 1.3(2), on ne peut que la remplacer par une paire adx ◦w(B, T ), où x ∈ Gη et w ∈ W θ . On sait que Gη ⊂ Z(G)GSC,η et que tout élément de W θ se relève en un élément de GSC,e . On est ramené à voir ce qui se passe quand on remplace E par adx E, avec ou bien x ∈ GSC,η , ou bien x ∈ GSC,e et normalise T . Comme dans la preuve de (i), on peut supposer E = E ∗ . Dans les deux cas, on doit construire les objets relatifs à E ∗ = adx (E ∗ ), notons-les en les soulignant, puis les ramener à E ∗ par l’isomorphisme canonique ad−1 x . Dans le cas où x ∈ GSC,η , on a η = adx (η) = adx (ν) adx (e) et on peut prendre ν = adx (ν), e = adx (e). On peut aussi choisir uE ∗ (σ) = xuE ∗ (σ)σ(x)−1 et uη (σ) = xuη (σ)σ(x)−1 . D’où v η (σ) = xvη (σ)x−1 . En ramenant les objets ν, e et v η par l’isomorphisme ad−1 x , on retrouve les objets initiaux, rien n’a changé. Dans le cas où x ∈ GSC,e et x normalise T , on a e = ˜ E ∗ ). On peut prendre ν = ν, e = e. On peut encore prendre adx (e) ∈ Z(G, ∗ uE ∗ (σ) = xuE ∗ (σ)σ(x)−1 . En posant B = xB ∗ x−1 , le couple (B ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ) est une paire de Borel de Gη et on peut fixer y ∈ GSC,η tel que cette paire soit égale ∗ à ady (B ∗ ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ). On peut alors prendre uη (σ) = yuη (σ)σ(y)−1 . Alors v η (σ) = yuη (σ)σ(y −1 x)uE ∗ (σ)−1 x−1 . Ramenons les éléments ν, e et v η par l’isomorphisme ad−1 x . On obtient respecti −1  vement les éléments ν = x νx, e = e, et vη (σ) = x−1 yuη (σ)σ(y −1 x)uE ∗ (σ)−1 = x−1 yvη (σ) aduE ∗ (σ) ◦σ(y −1 x). Les éléments x et y normalisent T ∗ . Leurs images dans W sont fixes par θ∗ , par hypothèse pour x, parce que y ∈ Gη pour y. Donc x−1 y définit un élément ∗ w ∈ W θ . En notant ωη (σ) l’image de vη (σ) dans W , on obtient ωη (σ) = wωη (σ)σG∗ (w)−1 . Parce que y normalise T ∗ et appartient à Gη , un calcul déjà fait plusieurs fois montre que yνy −1 a même image que ν dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). Donc ν  = x−1 νx a même image que w(ν). Mais alors le couple (μη , ωη ) construit à l’aide de E est (w(μη ), ωη ), où ωη est comme ci-dessus. Ce couple est conjugué à (μη , ωη ), ce qui prouve (ii).  Remarque. En inversant la preuve de (ii), on obtient le résultat suivant.

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Chapitre VII. Descente globale

(3) Soit (μη , ωη ) le couple associé à η et à une paire de Borel (B, T ). Soit ˜ )) un couple conjugué à (μη , ωη ). Alors il existe une (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G(F autre paire de Borel (B, T ) conservée par adη de sorte que – (μ , ωG¯  ) soit le couple associé à η et à cette paire (B, T ) ; – T = T et B ∩ Gη = B ∩ Gη . Preuve. On introduit E et e comme au début du paragraphe et on identifie E à ∗ E ∗ . D’après 1.1(4)(ii), on peut fixer w ∈ W θ de sorte que (μ , ωG¯  ) = w(μη , ωη )  et w(Σ+ (μη )) = Σ+ (μ ). Relevons l’élément w−1 en un élément x ∈ GSC,e qui normalise T = T ∗ . On pose E = adx (E). La preuve de (ii) montre que cette paire vérifie les propriétés requises, pourvu que l’on montre que B ∩ Gη = B ∩ Gη (cette propriété entraîne que l’on peut prendre y = 1 donc le w que l’on vient de choisir est le même que plus haut). Or l’égalité w(Σ+ (μη )) = Σ+ (μ ) entraîne que les racines de T ∗ dans le radical unipotent de B ∩ Gη sont positives pour B = B ∗ . Autrement dit B ∩ Gη ⊂ B. D’où forcément B ∩ Gη = B ∩ Gη . Cela prouve (3). Prouvons (iii). Soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iii). Supposons qu’il existe y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy et (B  , T  ) = ady−1 (B, T ). On fixe un tel y et on le décompose en y = ysc z, avec ysc ∈ GSC et z ∈ Z(G) (on identifie ici ysc à son image dans G). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on identifie ∗ −1 (E ). On affecte à E ∗ . On complète (B  , T  ) en la paire de Borel épinglée E  = adysc     −1 −1 −1 −1 eysc . d’un les objets relatifs à η et E . On a η = y ηy = ysc νysc z θ(z)ysc  −1 −1  −1 On peut prendre ν = ysc νysc z θ(z) et e = ysc eysc . On peut prendre uE  (σ) = ∗ −1 ysc uE ∗ (σ)σ(ysc ). Puisque aduη (σ) ◦σ conserve (B ∗ ∩ Gη , T ∗,θ ,0 ), l’automorphisme ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady conserve (B  ∩ Gη , T  ∩ Gη ). On a ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady = ady−1 uη (σ)σ(y) ◦σ. Puisque σ(y) ∈ Iη y, on peut écrire σ(y) = z(σ)x(σ)y, avec z(σ) ∈ Z(G) et x(σ) ∈ GSC,η . Alors ady−1 uη (σ) ◦σ ◦ ady = ady−1 uη (σ)x(σ)y ◦σ. −1 uη (σ)x(σ)ysc appartient à GSC,η et on peut choiL’élément y −1 uη (σ)x(σ)y = ysc −1 sir uη (σ) = ysc uη (σ)x(σ)ysc . D’où −1 −1 vη (σ) = ysc uη (σ)x(σ)ysc σ(ysc )−1 uE ∗ (σ)−1 ysc .

On a

x(σ)ysc σ(ysc )−1 = z(σ)−1 σ(y)y −1 ysc σ(ysc )−1 .

Ceci est un élément de Z(G), notons-le ζ(σ). Alors −1 vη (σ)ysc . vη (σ) = ζ(σ)ysc

Le couple (μη , ωη ) se déduit de ν  , e , vη en ramenant ces objets à E ∗ par l’isomorphisme adysc . Autrement dit, μη est l’image naturelle de (νz −1 θ(z), e) et ωη (σ)

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

755

est l’image dans W de ζ(σ)vη (σ). Ces images ne sont autres que μη et ωη . Cela prouve que (μη , ωη ) = (μη , ωη ). Inversement, soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iii) et supposons que  (μη , ωη ) = (μη , ωη ). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on peut supposer être égale à E ∗ et on complète (B  , T  ) en une paire de Borel épinglée E  . On note comme plus haut les termes relatifs à η. On choisit dsc ∈ GSC tel que  ˜  addsc (E  ) = E ∗ . L’élément e = d−1 sc edsc appartient à Z(G, E ). On peut écrire η = ν  e , avec ν  ∈ T  . L’hypothèse μη = μη signifie que ν et dsc ν  d−1 ont même image sc ∗ −1 dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ). On peut choisir τ ∈ T ∗ de sorte que τ dsc ν  d−1 = ν. sc θ (τ ) Posons y = τ dsc . Alors y −1 ηy = η  et ady−1 (B, T ) = ady−1 (B ∗ , T ∗ ) = (B  , T  ). On peut choisir uE  (σ) = d−1 sc uE ∗ (σ)σ(dsc ). Choisissons une cochaîne uη  relative à η  et E  . Alors vη (σ) = uη (σ)σ(dsc )−1 uE ∗ (σ)−1 dsc . L’hypothèse ωη = ωη signifie que les deux éléments dsc vη (σ)d−1 sc et vη (σ) ont même image dans W . Autrement dit, on a la relation dsc uη (σ)σ(dsc )−1 uE ∗ (σ)−1 ∈ T ∗ uη (σ)uE ∗ (σ)−1 , ou encore

dsc uη (σ)σ(dsc )−1 ∈ T ∗ uη (σ).

On peut multiplier cette relation à gauche par τ et à droite par σ(τ )−1 . Parce que uη (σ) ◦ σ conserve T ∗ , on obtient yuη (σ)σ(y)−1 ∈ T ∗ uη (σ), ou encore

yuη (σ)y −1 yσ(y)−1 ∈ T ∗ uη (σ).

Les éléments yuη (σ)y −1 et uη (σ) appartiennent à Gη . Parce que y −1 ηy = η  , l’élément yσ(y)−1 appartient au commutant ZG (η). On peut donc remplacer dans la relation ci-dessus le tore T ∗ par son intersection avec ZG (η), autrement dit par ∗ ∗ T ∗,θ . Mais ce groupe est égal à Z(G)θ T ∗,θ ,0 , donc contenu dans Iη . La relation précédente entraîne alors que yσ(y)−1 ∈ Iη . Donc y ∈ Yη , ce qui achève la preuve de (iii). Prouvons (iv). Soient η, η  , (B, T ) et (B  , T  ) comme en (iv). Supposons η et  η stablement conjugués, fixons y ∈ Yη tel que η  = y −1 ηy. La paire ady−1 (B, T ) est conservée par adη . On peut remplacer (B  , T  ) par cette paire ady−1 (B, T ) ˜ )). puisque, d’après (ii), cela ne change pas l’image de (μη , ωη ) dans Stab(G(F Mais alors, d’après (iii), on a (μη , ωη ) = (μη , ωη ). A fortiori, ces termes ont ˜ )). Inversement, supposons que (μη , ωη ) et (μη , ωη ) même image dans Stab(G(F ˜ )). D’après (3), on peut changer la paire (B  , T  ) ont même image dans Stab(G(F de sorte que l’on ait l’égalité (μη , ωη ) = (μη , ωη ). Alors (iii) implique que η et η  sont stablement conjugués. 

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Chapitre VII. Descente globale

˜ ss (F )/ st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable semiNotons G ˜ ). La proposition nous fournit une application que l’on note simples dans G(F ˜

˜ ss (F )/ st-conj → Stab(G(F ˜ )). χG : G Celle-ci est injective d’après le (iv) de la proposition. ˜ )). Modulo divers choix, on lui associe un groupe G ¯ Soit X ∈ Stab(G(F ˆ ˆ ¯ comme en 1.1. En introduisant les tores «standard» T et T des groupes duaux ˆ ˆ Tˆ), muni d’une action galoisienne ¯ on peut identifier Tˆ¯ à Tˆ/(1 − θ)( ˆ et G, G σ → ωG¯ (σ) ◦ σG∗ . Un calcul de système de racines déjà fait plusieurs fois montre ˆ¯ Ainsi, la donnée a se pousse en un élément de ˆ s’envoie dans Z(G). que Z(G) 1 ˆ ˆ¯ Celui-ci détermine un caractère automorphe de ¯ ker (WF ; Z(G)). H 1 (WF ; Z(G))/ ¯ ¯ et de ce caractère ne dépend des G(AF ). On voit que la paire formée du groupe G choix qu’à isomorphisme près. ˜ ss (F ) et (B, T ) une paire de Borel conservée par adη . On peut Soient η ∈ G ¯ associé comme en 1.1 au couple utiliser l’élément η pour construire le groupe G (μη , ωη ). Ce groupe n’est autre qu’une forme quasi-déployée du groupe Gη . Le ¯ F ) se transfère en un caractère automorphe caractère automorphe ci-dessus de G(A de Gη (AF ), qui n’est autre que la restriction de ω à ce groupe. ˜ ss (F ) est elliptique s’il vérifie les Rappelons que l’on dit qu’un élément η ∈ G conditions équivalentes ˜ défini sur F et elliptique (c’est-à-dire tel (4) il existe un sous-tore tordu T˜ de G ΓF ,θ,0 ΓF ,θ,0 = Z(G) ) tel que η ∈ T˜(F ) ; que T (5) on a l’égalité Z(Gη )ΓF ,0 = Z(G)ΓF ,θ,0 . ˜ )ell l’ensemble des éléments elliptiques de G ˜ ss (F ). Cet ensemble On note G(F est invariant par conjugaison stable. On voit qu’une classe de conjugaison stable ˜ semi-simple est formée d’éléments elliptiques si et seulement si son image par χG ˜ )). appartient à Stabell (G(F

VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Lemme. Supposons (G, G, ˜

(i) L’application χG est bijective. ˜ )), il existe  ∈ G ˜ ss (F ) et une (ii) Plus précisément, pour (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F paire de Borel (B , T ) tels que – ad conserve (B , T ) ; – en utilisant la paire (B , T ) dans la construction de 1.2, on a l’égalité (μ , ω ) = (μ, ωG¯ ) ; – G est quasi-déployé et la paire de Borel (B∗ , T ) = (G ∩ B , T ) de ce groupe est définie sur F .

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

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Preuve. On peut identifier E ∗ à une paire de Borel épinglée de G définie sur F . L’action galoisienne quasi-déployée n’est autre que l’action naturelle. ˜ )). Le terme ωG¯ est un cocycle de ΓF dans W . Soit (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F D’après [44] corollaire 1.2, on peut fixer gsc ∈ GSC tel que, pour tout σ ∈ ΓF , gsc σ(gsc )−1 normalise T ∗ et ait ωG¯ (σ) pour image dans W . Le terme μ est un ˜ E ∗ ) et cet ensemble n’est autre que le centralisateur T˜ ∗ élément de T ∗ ×Z(G) Z(G, ∗ −1 ˜ de T dans G. Posons η = gsc μgsc . Parce que ωG¯ (σ)σ fixe μ pour tout σ, on voit ˜ que η ∈ G(F ). C’est un élément semi-simple. On pose (B , T ) = adgsc (B ∗ , T ∗ ). On vérifie immédiatement qu’en utilisant cette paire, la construction de 1.2 envoie  sur (μ, ωG¯ ). En utilisant les notations de l’énoncé, on a B∗ = adgsc (B ∗ ∩ Gμ ) et T = adgsc (T ∗ ). Parce que ωG¯ (σ)σ conserve Σ+ (μ) pour tout σ, l’automorphisme  adgsc σ(gsc )−1 ◦σ conserve (B ∗ ∩ Gμ , T ∗ ). Donc σ conserve (B∗ , T ).

VII.1.4 Le cas local Dans les trois paragraphes précédents, le corps de base F était notre corps de nombres. En fait, on peut le remplacer par un corps local de caractéristique nulle, tout reste vrai à l’exception suivante près. Exception. C’est la dernière assertion de 1.2 dans le cas où F est archimédien. Dans ce cas, les conditions (4) et (5) de 1.2 ne sont plus équivalentes. Dans les chapitres précédents, on a choisi la condition (4) pour définir l’ellipticité. Mais la dernière assertion de 1.2 n’est vraie que si on utilise la condition (5). En particulier, pour une place v de notre corps de nombres F , on définit ˜ v )). Il y a une application naturelle de ˜ v )) et Stab(G(F les ensembles Stab(G(F ˜ ˜ localisation Stab(G(F )) → Stab(G(Fv )) : à (μ, ωG¯ ), on associe (μ, ωG¯ v ), où ωG¯ v est la restriction de ωG¯ à ΓFv . Cette application se quotiente en une application ˜ )) → Stab(G(F ˜ v )). Le diagramme suivant est commutatif Stab(G(F ˜ ss (F )/ st-conj → G ˜ ss (Fv )/ st-conj G ˜ ˜ G ↓ χG v χ ↓ ˜ )) ˜ v )) . Stab(G(F → Stab(G(F On peut remplacer la place v par un ensemble fini V de places de F : on définit ˜ ˜ V )) =  Stab(G(F v∈V Stab(G(Fv )) et on a des propriétés analogues.

VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié Fixons une place finie v ∈ Vram . Nous allons d’abord fixer les notations qui seront utilisées dans toute la suite du chapitre. On note ov l’anneau des entiers de Fv , o× v nr nr,× ¯ le groupe d’unités et Fv le corps résiduel. On note ¯ov , ¯o× , v et Fv , resp. ov , ov ¯ v , les objets analogues pour la clôture algébrique F¯v , resp. pour la plus grande F nr extension non-ramifiée Fvnr contenue dans F¯v . On pose Γnr v = Gal(Fv /Fv ) et on nr note Iv ⊂ ΓFv le groupe d’inertie. On a aussi Iv ⊂ WFv et on pose Wv = WFv /Iv .

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Chapitre VII. Descente globale

On note p la caractéristique de Fv . En [VI] 1.1, on a fixé un sous-groupe compact ˜ v de G(F ˜ v ). Au groupe hyperspécial Kv de G(Fv ) et un sous-espace hyperspécial K Kv est associé un schéma en groupes lisse Kv sur ov . On note Kvnr = Kv (onr v ). Si E est une extension finie de F non ramifiée en v et si w est une place de E au-dessus de v, on utilise les notations ow etc. . . et Kw = Kv (ow ). Si E est une extension non ramifiée de Fv , on utilisera plutôt les notations oE etc. . . et KvE = Kv (oE ). Le groupe Kv détermine des sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes GSC , GAD et G = G/Z(G)θ . On les note Ksc,v , Kad,v , K,v . On se rappelle que le groupe Kv est issu d’une paire de Borel épinglée de G définie sur Fv . On fixe une telle paire E0 = (B0 , T0 , (E0,α )α∈Δ ). Le tore T0 est non ramifié et a donc une structure naturelle sur ov . On a T0 (ov ) = T0 (Fv ) ∩ Kv . D’après les théorèmes de structure de Bruhat et Tits, l’application (1)

T0 (ov ) × Ksc,v (t, x)

→ Kv → tπ(x)

est surjective, où π : GSC → G est l’homomorphisme naturel. On se rappelle le groupe Gab (Fv ) de [I] 1.12. On a Gab (Fv ) = G(Fv )/π(GSC (Fv )). Soit S un sous-tore maximal de G défini sur Fv et non ramifié. On a (2) S(ov ) et Kv ont même image dans Gab (Fv ). Preuve. C’est clair d’après (1) si S = T0 . Il suffit donc de prouver que, si S1 et S2 sont deux sous-tores maximaux de G définis sur Fv et non ramifiés, on a (3) S1 (ov ) et S2 (ov ) ont même image dans Gab (Fv ). Puisque S1 et S2 sont déployés sur Fvnr , on peut fixer x ∈ G(Fvnr ) de sorte que S2 = adx (S1 ). Soit s1 ∈ S1 (ov ), posons s2 = xs1 x−1 . Alors s2 ∈ S2 (onr v ). On sait que tout commutateur se relève canoniquement dans GSC . Cela entraîne qu’il existe y ∈ GSC (Fvnr ) tel que xs1 x−1 s−1 1 = π(y). On a s2 = π(y)s1 . −1 . On a σ(s ) = π(σ(y))s donc s σ(s = π(yσ(y)−1 ). Mais Soit σ ∈ Γnr 2 1 2 2) v −1 nr s2 σ(s2 ) appartient à S2 (ov ) et l’image réciproque de ce groupe dans GSC (Fvnr ) −1 −1 est S2,sc (onr ∈ S2,sc (onr est un cov ). Donc yσ(y) v ). L’application σ → yσ(y) 1 nr nr cycle et H (Γv ; S2,sc (ov )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ S2,sc (onr v ) tel que yσ(y)−1 = u−1 σ(u) pour tout σ. Posons s2 = π(u)s2 et y  = uy. Alors y  ∈    GSC (Fv ), s2 ∈ S2 (onr v ) et s2 = π(y )s1 . Ces relations entraînent que s2 ∈ S2 (ov ). De plus, puisque π(GSC (Fv )) est le noyau de la projection G(Fv ) → Gab (Fv ), s2 et s1 ont même image dans Gab (Fv ). Cela démontre que l’image dans ce groupe de S1 (ov ) est contenue dans celle de S2 (ov ). En échangeant les rôles de S1 et S2 , on obtient l’égalité de ces images.  ˆ est le groupe dual de Gab (Fv ). Notons Rappelons que H 1 (WFv ; Z(G)) ˆ → H 1 (Iv ; Z(G)) ˆ ResIv : H 1 (WFv ; Z(G)) l’homomorphisme de restriction.

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

759

On a ˆ de l’image de Kv (4) le noyau de ResIv est l’annulateur dans H 1 (WFv ; Z(G)) dans Gab (Fv ). Preuve. Supposons d’abord que G soit un tore, notons-le plutôt T0 . On a alors Kv = T0 (ov ). On a le diagramme de suites exactes 1 → H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ) → H 1 (WFv ; Tˆ0 ) nr 0 ← X∗ (T0 )Γv ← T0 (Fv )

ResIv

→ ←

H 1 (Iv ; Tˆ0 ) T0 (ov ) .

Le groupe H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ) s’identifie au quotient des coinvariants Tˆ0,Γnr , qui s’identiv nr fie lui-même à Hom(X∗ (T0 )Γv ; C× ). Les flèches de gauche du diagramme ci-dessus sont compatibles à cette dualité et à celle entre H 1 (WFv ; Tˆ0 ) et T0 (Fv ). Un élément de H 1 (WFv ; Tˆ0 ) appartient au noyau de ResIv si et seulement s’il provient d’un élément de H 1 (Wvnr ; Tˆ0 ), ou encore si et seulement si le caractère de T0 (Fv ) nr qu’il définit se quotiente en un caractère de X∗ (T0 )Γv , ou encore si et seulement si ce caractère de T0 (Fv ) annule T0 (ov ). Cela prouve (4) pour un tore. Passons au cas général. Avec les notations introduites plus haut, on a le diagramme commutatif ˆ → H 1 (WFv ; Z(G)) ResIv ↓ ˆ H 1 (Iv ; Z(G)) →

H 1 (WFv ; Tˆ0 ) ResIv ↓ H 1 (Iv ; Tˆ0 ) .

Les flèches horizontales sont injectives : par des suites exactes de cohomologie, ΓFv Iv ˆ et Tˆ0,ad . Un élément χ ∈ H 1 (WFv ; Z(G)) cela résulte de la connexité de Tˆ0,ad appartient donc au noyau de ResIv si et seulement si son image dans H 1 (WFv ; Tˆ0 ) appartient au noyau de l’application similaire. D’après ce que l’on a déjà prouvé, cela équivaut à ce que χ annule l’image de T0 (ov ) dans Gab (Fv ). D’après (2), cette image est aussi celle de Kv .  On note précisément W le groupe de Weyl de G relatif à T0 . Soit E une extension finie non ramifiée de Fv telle que G soit déployé sur E. Montrons que (5) soit u : Gal(E/Fv ) → W un cocycle ; alors il existe x ∈ KvE tel que, pour tout σ ∈ Gal(E/Fv ), xσ(x)−1 normalise T0 et ait u(σ) pour image dans W . Fixons un Frobenius φ ∈ ΓFv . On peut relever u(φ) en un élément de Kvnr qui normalise T0 . On peut même supposer que cet élément appartient à un sous-groupe invariant par Γnr v dont tous les éléments sont d’ordre fini (le groupe engendré par l’image d’une section de Springer et tous les éléments d’ordre au plus 2 de nr −1 T0 (onr soit v ) convient). Appliquant [79] 4.2(2), il existe y ∈ Kv tel que yφ(y) un relèvement de u(φ) dans le normalisateur de T0 . Notons N = [E : Fv ]. Alors yφN (y)−1 relève u(φN ) = 1 donc appartient à T0 ∩ Kvnr = T0 (onr v ). L’application σ → yσ(y)−1 est un cocycle de Gal(Fvnr /E) dans T0 (onr v ). Un tel cocycle est

760

Chapitre VII. Descente globale

−1 un cobord. Il existe donc t ∈ T0 (onr = tσ(t)−1 pour tout σ ∈ v ) tel que yσ(y) nr −1 nr N Gal(Fv /E). On pose x = t y. Alors x ∈ Kv et xφ (x)−1 = 1, donc x ∈ KvE . De plus xφ(x)−1 relève u(φ). Par la relation de cocycle, xσ(x)−1 relève donc u(σ)  pour tout σ ∈ Gal(E/Fv ). Cela prouve (5).

On a vu en [I] 6.1 (5) et (6) qu’il existait un couple (ν0 , e0 ) tel que ν0 ∈ nr ˜ ˜ T0 (onr v ), e0 ∈ Z(G, E0 )(Fv ) et ν0 e0 ∈ Kv . L’hypothèse v ∈ Vram implique que p est «grand», donc que l’image naturelle de X∗ (T0,sc ) dans X∗ (T0,ad ) est d’indice premier à p. Puisqu’extraire des racines d’ordre premier à p d’unités ne crée que des extensions non-ramifiées, l’application nr T0,sc (onr v ) → T0,ad (ov )

est surjective. Quitte à multiplier ν0 par un élément de Z(G; Fvnr ) ∩ T0 (onr v ) et e0 par l’inverse de cet élément, on peut donc supposer qu’il existe ν0,sc ∈ T0,sc (onr v ) tel ˜ v ) implique alors qu’il existe un cocycle que ν0 = π(ν0,sc ). La condition ν0 e0 ∈ G(F non ramifié σ → z(σ) de ΓFv dans Z(GSC ) (= Z(GSC ; Fvnr ) d’après l’hypothèse v ∈ Vram ) tel que σ(ν0,sc ) = z(σ)ν0,sc et σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 pour tous σ. On suppose désormais que (ν0 , e0 ) vérifie cette hypothèse. On peut identifier E0 à la paire de Borel épinglée de G, munie de son action galoisienne quasi-déployée. Notons μ0 l’image du couple (ν0 , e0 ) dans (T ∗ /(1 − ˜ Ce terme dépend des choix effectués. Mais les groupes θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). ∗ nr ∗ ov ) agissent sur T ∗ et ces actions se descendent en des actions T (ov ) et T (¯ ∗ ∗ ˜ On vérifie que la classe T ∗ (onr sur (T /(1 − θ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). v )μ0 ne dépend pas des choix, a fortiori la classe T ∗ (¯ov )μ0 n’en dépend pas non plus. Remarquons que l’on obtiendrait les mêmes classes en remplaçant μ0 par l’image du couple (1, e0 ). On a ∗

(6) ces classes sont invariantes par l’action de W θ . ∗

Preuve. Le couple (1, e0 ) étant invariant par W θ , la seule chose à prouver est ∗ que les sous-groupes T ∗ (onr ov ) le sont aussi. C’est immédiat puisque, le v ) et T (¯ groupe G étant non ramifié en v, tout élément de W définit un automorphisme de  T ∗ défini sur Fvnr . ˜ v ) = T ∗ (¯ov )μ0 . On pose μ(K

VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié ˜ v )). Fixons (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F ˜ v )) d’image On fixe v ∈ Vram . Soit X ∈ Stab(G(F ˜ Considérons les X et relevons μ en un couple (ν, e¯), avec ν ∈ T ∗ et e¯ ∈ Z(G). conditions suivantes : (nr1) pour tout α ∈ Σ(T ∗ ), (N α)(ν) ∈ ¯o× v ; ∗ (nr2) (type 1) pour α ∈ Σ(T ) de type 1, la relation (N α)(ν) = 1 entraîne que ¯ v de (N α)(ν) est différente de 1 ; la réduction dans F

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

761

(nr2) (types 2 et 3) pour α ∈ Σ(T ∗ ) de type 2 ou 3, et pour  = ±1, la relation ¯ v de (N α)(ν) +  est non (N α)(ν) +  = 0 entraîne que la réduction dans F nulle ; ˜v) ; (nr3) μ ∈ μ(K (nr4) le cocycle ωG¯ est non ramifié. Ces conditions ne dépendent pas des relèvements choisis. Lemme. (i) Supposons vérifiées (nr3) et (nr4). Alors il existe une classe de conjugaison ˜ ss (Fv )/ st-conj et un élément η ∈ O tels que χG˜ (O) = X , que stable O ∈ G ˜ v et que Gη soit quasi-déployé. η∈K (ii) Supposons vérifiées (nr1) et (nr2) et supposons qu’il existe une classe de ˜ ss (Fv )/ st-conj telle que χG˜ (O) = X et que O coupe conjugaison stable O ∈ G ˜ v . Alors (nr3) et (nr4) sont vérifiées. Pour η ∈ O ∩ K ˜ v , le groupe Gη est K non ramifié et Kv ∩ Gη (Fv ) en est un sous-groupe compact hyperspécial. Plus précisément, en notant Kη le schéma en groupes associé à ce groupe hyperspécial, on a Kη (oE ) = Kv (oE ) ∩ Gη (E) pour toute extension non ramifiée E de Fv . Preuve de (i). Avec les notations de 1.5, on peut identifier E ∗ à E0 et supposer que e¯ est l’image de e0 . Notons ν¯ l’image de ν dans T0 /(1 − θ)(T0 ), où θ = ade0 . Puisque μ est fixe par l’action σ → ωG¯ (σ)σ et puisque σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 , on a l’égalité (1)

ν ) = z(σ)¯ ν. ωG¯ (σ)σ(¯

Puisque ωG¯ et z sont non ramifiés, cette relation implique que ν¯ ∈ (T0 /(1 − θ)(T0 ))(Fvnr ). D’après (nr3), on a aussi ν¯ ∈ (T0 /(1−θ)(T0 ))(¯ov ). Donc ν¯ appartient à l’intersection de ces deux groupes, qui n’est autre que (T0 /(1 − θ)(T0 ))(onr v ). De la suite exacte de tores non ramifiés 1 → (1 − θ)(T0 ) → T0 → T0 /(1 − θ)(T0 ) → 1 se déduit une suite exacte nr nr 1 → ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) → T0 (ov ) → (T0 /(1 − θ)(T0 ))(ov ) → 1.

Quitte à changer ν, on peut donc supposer ν ∈ T0 (onr v ). La relation (1) implique l’existence d’une cochaîne non ramifiée t : ΓFv → ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) telle que ωG¯ (σ)σ(ν) = z(σ)t(σ)ν. Puisque z est un cocycle à valeurs centrales, cette égalité implique que t est un cocycle si l’on munit ((1 − θ0 )(T0 ))(onr ¯ (σ)σG . v ) de la structure galoisienne σ → ωG

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Chapitre VII. Descente globale

Le théorème de Lang implique qu’un tel cocycle est un cobord. Donc, quitte à changer encore ν, on peut supposer ωG¯ (σ)σG (ν) = z(σ)ν pour tout σ. Introduisons le groupe GθSC des points fixes de θ = ade0 dans GSC . De la paire de Borel épinglée E0 se déduit une telle paire pour GθSC , puis un sousgroupe compact hyperspécial de GθSC (Fv ), notons-le Kv1 . Comme précédemment, il détermine un sous-groupe Kv1,nr de GθSC (Fvnr ). En appliquant 1.5(5), on obtient −1 un élément k ∈ Kv1,nr tel que, pour tout σ ∈ Γnr σ(k) normalise T0 et ait v , k θ −1 ˜ nr ). De plus ωG¯ (σ) pour image dans W . Posons η = kνe0 k . On a η ∈ G(F v σ(η) = σ(k)σ(ν)σ(k −1 )σ(e0 ) θ pour tout σ ∈ Γnr v parce k ∈ GSC . Puis

σ(η) = σ(k)ωG¯ (σ)−1 (z(σ)ν)σ(k −1 )z(σ)−1 e0 . En utilisant l’égalité ωG¯ (σ)−1 = adσ(k)−1 k , on obtient σ(η) = η, donc η appar˜ v ). Par un calcul analogue, la relation 1.1(2) entraîne que la paire de tient à G(F Borel (k(B0 ∩ Gνe0 )k −1 , kT0θ,0k −1 ) de Gη est définie sur Fv . Donc Gη est quasi˜ v ), déployé. On a aussi η = kνk −1 e0 = kνk −1 ν0−1 ν0 e0 . On sait que ν0 e0 ∈ G(F donc kνk −1 ν0−1 ∈ G(Fv ). Or c’est un élément de Kvnr . Donc il appartient à Kv . ˜ v , cela entraîne que η ∈ K ˜ v . Il est clair que la classe de conjuPuisque ν0 e0 ∈ K ˜ v )). La conclusion de (i) est gaison stable de η a pour image X dans Stab(G(F vérifiée.  ˜ v dont la classe de conjugaison stable s’envoie sur X . Preuve de (ii). Soit η ∈ K On peut fixer un entier N premier à p de sorte que – θN = 1 ; – le nombre d’éléments de Z(GSC ) divise N . On introduit le groupe non connexe G+ = G  {1, θ, . . . , θN −1 }, muni de ˜ s’identifie à la l’action de ΓFv définie par σ(g, θj ) = (z(σ)−j σ(g), θj ). Alors G composante Gθ, ge0 s’identifiant à gθ pour g ∈ G. Dans cette situation, on a dé˜ v ) : un élément est compact si fini en [79] 5.2 la notion d’élément compact de G(F et seulement si le sous-groupe qu’il engendre dans G+ (Fv ) est d’adhérence com˜ v entraîne que le sous-groupe engendré par η est inclus pacte. La condition η ∈ K + nr dans G (Fv ) ∩ (Kv × {1, θ, . . . , θN −1 }), donc η est compact. D’après [79] 5.2, on peut décomposer η en uηp , où ηp est d’ordre fini premier à p et u ∈ G(Fv ) est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe engendré par η. En particulier, ils commutent entre eux et le commutant de η dans G est l’intersection des commutants de u et ηp . La description ci-dessus de ˜ v . Le l’adhérence du sous-groupe engendré par η montre que u ∈ Kv et ηp ∈ K nr nr lemme [79] 5.4 nous dit qu’il existe k ∈ Kv et un élément νp ∈ T0 (ov ) d’ordre

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

763

fini premier à p de sorte que kηp k −1 = νp e0 et que le tore T = adk−1 (T0 ) soit défini sur Fv . L’élément u appartient à ZG (ηp ; Fv ). La condition v ∈ Vram implique que l’indice de Gηp (Fv ) dans ce groupe est premier à p. Puisque u est topologiquement unipotent, il appartient à Gηp (Fv ). On peut fixer x ∈ Gηp tel que xux−1 ∈ T . Posons u = kxux−1 k −1 . C’est un élément de T0 qui est topologiquement unipotent. Posons ν = u νp . On a kxη(kx)−1 = νe0 . Par construction, les hypothèses (nr1) et (nr2) s’appliquent à cet élément ν. Pour α ∈ Σ(T0 ), (N α)(νp ) est un élément d’ordre premier à p de onr,× , tandis que (N α)(u ) est un élément v topologiquement unipotent de F¯v× , donc une unité de réduction 1 dans le corps résiduel. La condition (nr2) nous dit donc que, pour  = 1 dans le cas où α est de type 1 et pour  = ±1 dans le cas où α est de type 2 ou 3, la condition (N α)(ν) =  est équivalente à (N α)(νp ) = . D’après la description des commutants de νe0 et νp e0 , cela entraîne que ces deux commutants ont même système de racines. On sait déjà que Gη ⊂ Gηp , donc Gνe0 ⊂ Gνp e0 . Ces deux groupes sont donc égaux et aussi Gη = Gηp . Les relations u ∈ Gηp = Gη ⊂ Gu entraînent que u appartient au centre de Gηp . Mais alors l’élément x de la construction ci-dessus ne sert à rien : on a xux−1 = u. On reprend la construction avec x = 1. L’élément u −1 appartient maintenant à T0 (onr = νe0 . En reprenant les v ) et ν aussi. On a kηk nr définitions, on voit que la relation ν ∈ T0 (ov ) entraîne la condition (nr3) tandis que la relation k ∈ Kvnr entraîne la condition (nr4). Enfin, les dernières assertions de (ii) résultent de l’égalité Gη = Gηp et du lemme [79] 5.4(ii) ou plus exactement de sa preuve, qui montre que ces assertions sont vérifiées par le groupe Gηp . 

VII.1.7 Paramètres et endoscopie ˜ a). On fixe une paire de Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, ˆ Tˆ, (E ˆα )α∈Δ ) de G ˆ de sorte que ads˜ conserve (B, ˆ Tˆ ). On en Borel épinglée Eˆ = (B, ˆ ˆ ˆ déduit un automorphisme θ de G et une action galoisienne modifiée qui conserve E,   ˆ ˆ ˆ cf. [I] 1.4. On écrit s˜ = sθ. On choisit une paire de Borel épinglée E de G dont la ˆ ˆ ∩G ˆ  , Tˆθ,0 ). On note E  ∗ = (B  ∗ , T  ∗ , (Eα )α∈Δ ) paire de Borel sous-jacente soit (B ˆ la paire de Borel épinglée de G . De l’injection naturelle Tˆ θ,0 ⊂ Tˆ se déduit un homomorphisme ξ : T ∗ → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )  T  ∗ . En munissant ces objets des actions quasi-déployées, il y a un cocycle ωG : ΓF → ∗  W θ de sorte que σG ∗ ◦ ξ = ξ ◦ ωG (σ) ◦ σG∗ pour tout σ ∈ ΓF . Le groupe W G ∗  s’identifie à un sous-groupe de W θ en identifiant w ∈ W G à l’unique élément ∗ w ∈ W θ tel que ξ ◦ w = w ◦ ξ. On a décrit en [I] 1.6 l’ensemble de racines Σ(T  ∗ ). ˜ → Z(G ˜  ) qui est équivariant Il y a aussi un homomorphisme naturel Z(G) pour les actions galoisiennes. On en déduit un isomorphisme ˜  T  ∗ ×Z(G ) Z(G ˜  ). ξ˜ : (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G)

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Chapitre VII. Descente globale

˜  (F )). Par l’inverse de l’isomorphisme précédent, μ Soit (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G ˜ L’ensemble de racines s’identifie à un élément μ ∈ (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). Σ(μ ) ne s’identifie pas à un sous-ensemble de Σ(μ) car le premier ensemble est formé d’éléments N α ou 2N α pour α ∈ Σ(T ∗ ) tandis que le second est formé d’éléments αres . Mais, pour tout β  ∈ Σ(μ ), il existe un unique β ∈ Σ(μ) de sorte ∗ que la restriction de β  à T ∗,θ ,0 soit de la forme bβ, avec b ∈ Q, b > 0. Pour une ¯ raison qui apparaîtra plus tard, on note ΣH l’ensemble de ces racines β. Rappelons ˜ tel que μ soit plus précisément cette correspondance. On fixe ν ∈ T ∗ et e¯ ∈ Z(G) l’image de (ν, e¯). Alors ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = 1} Σ(μ ) = {N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 1, (N α ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = 1} ∪ {2N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 2, (N α ∪ {2N α; α ∈ Σ(T ∗ ), α de type 2, (N α ˆ )(s) = 1, (N α)(ν) = −1} ∗ ˆ )(s) = −1, (N α)(ν) = 1}. ∪ {N α; α ∈ Σ(T ), α de type 3, (N α On envoie un élément N α du premier ensemble sur αres , un élément 2N α du deuxième sur αres , un élément 2N α du troisième sur 2αres , un élément N α du ¯ quatrième sur αres /2. On vérifie que ΣH est un sous-système de racines de Σ(μ),   dont le groupe de Weyl n’est autre que W G (μ ). Cela entraîne que W G (μ ) est un sous-groupe de W (μ). ∗ L’application σ → ωG¯  (σ)ωG (σ) est un cocycle de ΓF dans W θ . Pour tout σ ∈ ΓF , ωG¯  (σ)ωG (σ)σG∗ = ωG¯  (σ) ◦ σG ∗ fixe μ. Le couple formé de μ et de ˜ )). On note (μ, ωG¯ ) l’unique élément de ce cocycle appartient donc à Stab(G(F ˜ )) qui lui est équivalent. On note ω ˜ l’unique cocycle de ΓF dans W (μ) Stab(G(F H tel que ωH¯ (σ) ◦ ωG¯ (σ) = ωG¯  (σ)ωG (σ) pour tout σ. On a ainsi défini une application ˜ )) ˜  (F )) → Stab(G(F Stab(G  → (μ, ωG¯ ). (μ , ωG¯  ) On vérifie qu’elle se quotiente en une application (1)

˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )). Stab(G

ˆ Ses fibres sont Celle-ci ne dépend pas du choix de la paire de Borel épinglée E. évidemment finies. On a ˜  (F )), notons X son image par (2) supposons G elliptique ; soit X  ∈ Stab(G  l’application ci-dessus ; si X est elliptique, alors X l’est. Preuve. On reprend les constructions précédentes en supposant que (μ , ωG¯  ) est ¯ ΓF ,0 et elliptique. Avec les notations de 1.1, on a l’inclusion Z(G)ΓF ,θ,0 ⊂ Z(G) on doit prouver que c’est une égalité. Puisqu’il s’agit de groupes connexes et que ∗ l’homomorphisme naturel T ∗,θ ,0 → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ) a un noyau fini, il revient au même de prouver que les images de ces groupes dans T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ ) sont

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

765

¯ est σ → ωG¯ (σ)σG∗ . Puisque ωH¯ (σ) apparégales. L’action galoisienne sur Z(G) ¯ ¯ est triviale et on peut aussi tient au groupe W (μ) = W G , son action sur Z(G) bien remplacer l’action précédente par σ → ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ = ωG¯  (σ)σG ∗ . Un ¯ 0 ) annule l’ensemble Σ(μ), donc aussi ΣH¯ . Son image dans élément x∗ ∈ X∗ (Z(G)  ∗ ∗ ∗ ¯ 0 s’envoie dans X∗ (T /(1 − θ )(T )) annule donc ΣG (μ ). Cela montre que Z(G)  0 Γ ,0  Γ ,0 ¯ ) . Donc Z(G) ¯ F s’envoie dans Z(G ¯ ) F , où l’action de ΓF est l’action Z(G ¯  ) est la même qu’en 1.1. L’ellipticité de X  nous ci-dessus. Cette action sur Z(G ¯  )ΓF ,0 = Z(G )ΓF ,0 . Mais l’ellipticité de G signifie que ce groupe est dit que Z(G précisément l’image de Z(G)ΓF ,θ,0 . D’où la conclusion.  Si l’on remplace le corps de base F par un complété Fv , on a une application similaire à (1). Soit v une place de F telle que v ∈ Vram (G ). Soit ˜  (Fv )), notons X ∈ Stab(G(F ˜ v )) son image par cette application. X  ∈ Stab(G On a (3) si X vérifie la condition (nr1) de 1.6, resp. (nr2), alors X  vérifie la même condition ; X vérifie la condition (nr3) si et seulement si X  vérifie la même condition. Quand on passe de X à X  , les termes (N α)(ν) de ces conditions sont remplacés par les mêmes termes ou éventuellement par (2N α)(ν) pour α de type 2 ou 3. De plus, pour G , toutes les racines sont de type 1. La première assertion ˜  est défini de telle sorte que, par l’isomorphisme s’ensuit. D’autre part, l’espace K v ˜ v ) s’identifie à μ(K ˜ v ). D’où la seconde assertion. ξ˜ défini plus haut, le terme μ(K On a aussi (4) si X  vérifie la condition (nr4), alors X la vérifie aussi. Soit σ dans le groupe d’inertie Iv . Avec les notations de la construction cidessus, σG∗ agit trivialement sur Σ(T ∗ ) puisque v ∈ Vram , ωG (σ) = 1 puisque v ∈ Vram (G ) et ωG¯  (σ) = 1 puisque X  vérifie (nr4). Donc ωG¯ (σ) = ωH¯ (σ)−1 . Cet  élément appartient à W (μ) et conserve Σ+ (μ). C’est donc l’identité.

VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes de conjugaison stable ˜ a) et soit V un ensemble Soit G = (G , G  , s˜) une donnée endoscopique de (G, G, fini de places de F . On a un diagramme ˜ ss (FV )/ st-conj . . . G ˜ χG V ↓ ˜  (FV )) Stab(G →

˜ ss (FV )/ st-conj G ˜ ↓ χG V ˜ V )) . Stab(G(F

La ligne horizontale du haut n’est qu’une correspondance, précisément ˜  (FV )/ st-conj, à valeurs dans une fonction définie sur un sous-ensemble de G ss  ˜ ˜ ss (FV )/ st-conj. L’application χGV est bijective (lemme 1.3). On considère mainG tenant le cas où V est réduit à une seule place v.

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Chapitre VII. Descente globale

˜ ss (Fv )/ st-conj. Notons X  son image par χG˜ v et X l’image Lemme. Soit O ∈ G  ˜ v )). de X dans Stab(G(F ˜ ss (Fv )/ st-conj par la cor(i) Supposons que O corresponde à une classe O ∈ G ˜

respondance supérieure du diagramme. Alors χGv (O) = X . (ii) Supposons que v ∈ Vram et que X vérifie les conditions (nr3) et (nr4) de 1.6. ˜ ss (Fv )/ st-conj et on a χG˜ v (O) = X . Alors O correspond à une classe O ∈ G Preuve. Prouvons (i). On fixe des paires de Borel épinglées dans les groupes duaux comme en 1.7. Puisque O correspond à O , on peut fixer un diagramme (, B  , T  , B, T, η) (sur le corps de base Fv ) avec  ∈ O et η ∈ O. On complète (B, T ) et (B  , T  ) en des paires de Borel épinglées E et E  , que l’on peut identifier ˜ E). On a alors  = ξ(ν)e où e à E ∗ et E  ∗ . On écrit η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z(G,    ˜ ˜ est l’image de e dans Z(G )  Z(G , E ). Donc les termes μ et μ coïncident dans ˜ On introduit les cochaînes uE , uη , uE  et u comme (T /(1 − θ)(T )) ×Z(G) Z(G). en 1.2. Soit σ ∈ ΓFv . Parce que les éléments η et  et les tores T et T  sont définis sur Fv , les éléments uE (σ) et uη (σ) normalisent T et les éléments uE  (σ) et u (σ) normalisent T  . Leurs images dans W sont invariantes par θ (cf. [I] 1.3(3)). On les note par des lettres grasses : uE (σ) est l’image de uE (σ) dans W θ . Les définitions entraînent ωη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 , ω (σ) = u (σ)uE  (σ)−1 . L’homomorphisme ξ est équivariant pour les actions naturelles. Donc ξ ◦ uE (σ)−1 ◦ σG∗ = uE  (σ)−1 ◦ σG ∗ ◦ ξ. Il en résulte que

ωG (σ) = uE  (σ)uE (σ)−1 .

On vérifie que ω (σ)ωG (σ)σG∗ conserve μ. On peut donc introduire la cochaîne ωH¯ à valeurs dans W (μ) telle que ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ)σG∗ conserve Σ+ (μ). Pour ˜ prouver que χGv (O) = X , il suffit de prouver que ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ) = ωη (σ) pour tout σ ∈ ΓFv . Puisque, composés avec σG∗ , ces deux éléments conservent ∗ Σ+ (μ), il suffit de prouver que leurs images dans W (μ)\W θ sont égales. On a ωH¯ (σ)−1 ω (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)−1 u (σ)uE  (σ)−1 ωG (σ) = ωH¯ (σ)−1 u (σ)uE (σ)−1 , ωη (σ) = uη (σ)uE (σ)−1 . Dans le membre de droite de la première égalité, les deux premiers termes appar tiennent à W G (μ ) ⊂ W (μ). Dans le membre de droite de la seconde, le premier terme appartient à W (μ). Les deux termes appartiennent donc à W (μ)uE (σ)−1 , ce qui prouve l’assertion cherchée. Prouvons (ii). On peut choisir  ∈ O tel que G soit quasi-déployé. On fixe une paire de Borel (B  , T  ) de G conservée par ad et telle que (B  ∩ G , T  )

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

767 ˜

soit définie sur Fv . D’après le lemme 1.6(i), X est l’image par χGv d’une classe ˜ ss (Fv )/ st-conj et on peut choisir un élément η ∈ O tel que Gη soit quasiO∈G déployé. On choisit une paire de Borel (B , T ) de G conservée par adη et telle que (B ∩ Gη , T ∩ Gη ) soit définie sur Fv . A l’aide des paires (B  , T  ) et (B , T ), on construit les couples (μ , ω ) et (μη , ωη ) comme en 1.2. De (μ , ω ) se déduit ˜ v )). L’hypothèse que X est l’image de X  comme en 1.7 un élément de Stab(G(F signifie que cet élément est conjugué à (μη , ωη ). En appliquant 1.2(3), on voit que l’on peut remplacer la paire (B , T ) par une autre qui possède les mêmes propriétés que ci-dessus, de sorte qu’après ce remplacement, le couple (μη , ωη ) soit égal à celui déduit de (μ , ω ). On complète les paires (B  , T  ) et (B , T ) en des ˜ E ) paires de Borel épinglées E  et E . Ecrivons η = ν e avec ν ∈ T et e ∈ Z(G, ˜  , E  ) est l’image de e . On a l’homomorphisme et  = ν  e , où ν  ∈ T  et e ∈ Z(G usuel ξT ,T  : T → T  . On voit que l’égalité des couples ci-dessus signifie que ξT ,T  (ν ) = ν  et qu’il existe un cocycle σ → ωH¯ (σ) de ΓFv dans W Gη de sorte que l’on ait la relation σG ◦ ξT ,T  = ξT ,T  ◦ ωH¯ (σ) ◦ σG . Parce que Gη est quasidéployé, on peut appliquer [44] corollaire 2.2 : on peut fixer g ∈ Gη,SC de sorte que le tore T = adg−1 (T ) soit défini sur Fv et que, pour tout σ ∈ ΓFv , l’élément gσ(g)−1 normalise T et ait ωH¯ (σ) pour image dans W Gη . Posons E = adg−1 (E ). Son tore sous-jacent est T et on note B le sous-groupe de Borel sous-jacent. Parce que adg fixe η, on a l’égalité η = νe, où ν = adg−1 (ν ) et e = adg−1 (e ). On a aussi ξT,T  = ξT ,T  ◦ adg . On vérifie alors que ξT,T  (ν) = ν  et que l’on a l’égalité σG ◦ ξT,T  = ξT,T  ◦ σ pour tout σ ∈ ΓFv . Mais cela signifie que (, B  , T  , B, T, η) est un diagramme. Donc O correspond à O . Cela prouve la première assertion de (ii). La seconde résulte de (i). 

VII.1.9 Distributions associées à un paramètre ˜ )). On peut représenter X par un élément (μ,ωG¯ ) ∈ Stab(G(F ˜ )) Soit X ∈ Stab(G(F ∗ ˜ et relever μ en (ν, e¯), avec ν ∈ T et e¯ ∈ Z(G). On considère les conditions (nr1),. . .,(nr4) de 1.6 pour une place v ∈ Val(F ) − Vram . Il est clair que chacune d’elles est vérifiée sauf pour un ensemble fini de places. On note S(X ) le plus petit ensemble de places contenant Vram tel que (nr1) et (nr2) soient vérifiées hors de ˜ le plus petit ensemble de places contenant Vram tel que S(X ). On note S(X , K) ˜ On a les conditions (nr1), (nr2), (nr3) et (nr4) soient vérifiées hors de S(X , K). ˜ évidemment S(X ) ⊂ S(X , K). ˜ ˜ ss (F ), Si X est l’image par χG d’une classe de conjugaison stable dans G l’ensemble S(X ) coïncide avec l’ensemble S(C) défini en [VI] 2.3 pour toute classe de conjugaison C contenue dans cette classe de conjugaison stable. ˜ )) et V un ensemble fini de places de F contenant Soient X ∈ Stab(G(F ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Vram . On définit une distribution AG (V, X , ω) ∈ Dg´eom (G(F ˜ Elle est nulle si X n’appartient pas à l’image de l’application χG . Supposons ˜ que X = χG (O), où O est une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour ˜ ss (F )/ conj, on a défini la distribution toute classe de conjugaison ordinaire C ∈ G

768

Chapitre VII. Descente globale

˜

AG (V, C, ω) en [VI] 2.3. On pose



˜

AG (V, X , ω) =

˜

AG (V, C, ω).

˜ ss (F )/ conj,C⊂O C∈G

Les termes de cette somme sont presque tous nuls. En effet, pour tout v ∈ V , ˜ v ) engendrée par O se décompose en un la classe de conjugaison stable dans G(F nombre fini de classes de conjugaison par G(Fv ). Il existe donc un sous-ensemble ˜V de G(F ˜ V ) tel que, pour tout η ∈ O, la classe de conjugaison par G(FV ) de fini U ˜ ˜ η coupe UV . De plus, un terme AG (V, C, ω) n’est non nul que si, pour tout v ∈ V , ˜ v , cf. [VI] 2.3(6). Le la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par C coupe K lemme [VI] 2.1 entraîne la finitude affirmée. On a ˜

˜ − S(X ) ⊂ V , alors AG (V, X , ω) = 0. (1) si S(X , K) ˜

˜

C’est clair si X n’est pas dans l’image de χG . Si X = χG (O), considérons ˜ − S(X ) qui n’appartient pas à V . En v, les conditions une place v ∈ S(X , K) (nr1) et (nr2) sont vérifiées, mais au moins une des conditions (nr3) ou (nr4) ne l’est pas. Le lemme 1.6(ii) nous dit qu’il n’existe aucune classe C ⊂ O telle que la ˜ v . Toutes les distributions AG˜ (V, C, ω) ˜ v ) coupe K classe engendrée par C dans G(F intervenant sont donc nulles.  On a ˜

(2) si S(X ) ⊂ V et si X n’est pas elliptique, alors AG (V, X , ω) = 0. Pour toute classe C ⊂ O, on a S(X ) = S(C) et l’hypothèse que X n’est pas elliptique entraîne que C ne l’est pas non plus. D’après la définition de [VI] 2.3, on ˜  a alors AG (V, C, ω) = 0. ¯ et un caractère automorphe de En 1.1 et 1.2 on a associé à X un groupe G ¯ F ). Le couple formé de ce groupe et de ce caractère n’est défini qu’à isomorG(A ¯ AF ) est triviale phisme près mais la condition que la restriction du caractère à Z(G; est insensible à un tel isomorphisme. Par abus de langage, nous la formulerons : ¯ AF ) est triviale. On a la restriction de ω à Z(G; ¯ AF ) ne sont pas toutes deux (3) si les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et à Z(G; ˜

triviales, alors AG (V, X , ω) = 0. ¯ AF ) est En effet, soient C ⊂ O et γ˙ ∈ C. Alors la restriction de ω à Z(G; triviale si et seulement si la restriction de ω à Z(Gγ˙ ; AF ) est triviale. L’assertion résulte alors de [VI] proposition 2.3(iv).

VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées à un paramètre ˜ a) On fixe un ensemble fini V de places de F contenant Vram . Supposons (G, G, ˜ quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab(G(F )). On va définir une

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

769

˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . Comme toujours, on a distribution SAG (V, X ) ∈ Dg´eom (G(F besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a des propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation habituelle, cf. [VI] 1.15. Ce sont les mêmes que dans cette référence et on les abandonne au lecteur. On donnera toutefois dans le paragraphe suivant des formules plus explicites dans la situation «avec caractère central». Comme en [VI] 5.2(1), il y a une condition concernant les espaces hyperspéciaux ˜ v pour v ∈ V . La définition fournit une distribution qui dépend de ces espaces. K ˜

On doit savoir que ˜ v pour (1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V . ˜

Surtout, on doit supposer par récurrence que cette distribution SAG (V, X ) est stable. Modulo ces hypothèses, soit G = (G , G  , s) une donnée endoscopique ˜ a) relevante et non ramifiée hors de V , avec dim(G ) < dim(GSC ). de (G, G, SC ˜  (F )). Alors on peut définir SAG (V, X  ) ∈ Dst (G ) ⊗ Soit X  ∈ Stab(G V g´ eom Mes(G (FV ))∗ . On pose (avec les notations de [VI] 5.1) :  ˜ ˜ SAG (V, X ) = AG (V, X ) − 

(2)

˜ ),G =G G ∈E(G,V 

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )), i(G,

˜  (F )),X  →X X  ∈Stab(G

où on a noté X  → X l’application (1) de 1.7. ˜ a) est quelconque. Pour X ∈ Stab(G(F ˜ )), on On revient au cas où (G, G, pose ˜

(3)

AG,E (V, X , ω)  =





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ˜  (F )),X  →X G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G

˜ a) est quasi-déployé et à torsion Remarque. Comme souvent, le cas où (G, G, intérieure est un peu particulier. Dans ce cas, les hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la donnée endoscopique principale G. Il convient de remplacer ˜ le terme transfert(SAG (V, X )) intervenant dans la somme par SAG (V, X ). On a ˜ ˜ ˜ alors AG,E (V, X ) = AG (V, X ) par définition de ce terme SAG (V, X ). ˜ )), on a l’égalité Théorème (i) (à prouver). Pour tout X ∈ Stab(G(F ˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors, Théorème (ii). Supposons (G, G, ˜ ˜ pour tout X ∈ Stab(G(F )), SAG (V, X ) est stable et vérifie (1).

770

Chapitre VII. Descente globale

Le théorème (ii) sera prouvé dans ce chapitre, cf. 3.4. Dans ce chapitre, nous ˜ a) particuliers. Pour ceuxprouverons le théorème (i) sauf pour des triplets (G, G, ci, le théorème sera prouvé sauf pour des X exceptionnels, qui sont en nombre fini. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Pour ces X exceptionnels, le théorème (i) sera prouvé en même temps que le théorème [VI] 5.4, cf. 3.6. Ce dernier théorème sera prouvé en [X] 8.5.

VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnés une On suppose (G, G, extension 1 → C1 → G1 → G ˜1 → G ˜ où G ˜ 1 est où C1 est un tore central induit, une extension compatible G encore à torsion intérieure et un caractère automorphe λ1 de C1 (AF ). On a défini l’ensemble de places V1,ram en [VI] 1.15. Pour v ∈ V1,ram , on fixe un espace hyper˜ 1,v ⊂ G ˜ 1 (Fv ) au-dessus de K ˜ v . On impose la condition de compatibilité spécial K ˜ ˜ 1,v pour presque tout v. On a globale habituelle : pour γ1 ∈ G1 (F ), on a γ1 ∈ K une suite exacte 0 → AC1 → AG1 → AG → 0 . On a fixé en [VI] 1.3 une mesure de Haar sur AG . On en fixe sur les deux autres groupes de sorte que la suite soit compatible aux mesures. Introduisons les paires de Borel épinglées de G et G1 , dont on note les tores ˜ 1 ) → Z(G). ˜ On en T ∗ et T1∗ . On a des applications naturelles T1∗ → T ∗ et Z(G déduit une application ˜ 1 ) → T ∗ ×Z(G) Z(G) ˜ T1∗ ×Z(G1 ) Z(G μ1 → μ dont les fibres sont isomorphes à C1 . ˜ 1 (F )) → Stab(G(F ˜ )), qui, à (μ1 , ωG¯ ), associe D’où une application Stab(G (μ, ωG¯ ). Elle se quotiente en une application (1)

˜ )). ˜ 1 (F )) → Stab(G(F Stab(G

Celle-ci traduit simplement l’application de projection ˜ 1,ss (F )/ st-conj → G ˜ ss (F )/ st-conj . G Remarquons que les fibres de cette application ne sont pas isomorphes à C1 (F ) ˜ 1 (F )) de la forme (μ1 , ωG¯ ) et (cμ1 , ωG¯ ), avec en général, deux éléments de Stab(G ˜ 1 (F )). c ∈ C1 (F ), c = 1, pouvant avoir la même image dans Stab(G Soit V un ensemble fini de places contenant V1,ram . Fixons des mesures dg sur G(AF ) et dc sur C1 (AF ), dont on déduit une mesure dg1 sur G1 (AF ). On identifie ces mesures à des mesures sur G(FV ), C1 (FV ) et G1 (FV ), cf. [VI] 1.1. On rappelle

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

771

 ˜ ˜V = que les distributions définies en 1.9 et 1.10 dépendent de l’espace K v∈V Kv , bien que l’on n’ait pas fait figurer cet espace dans la notation. Dans les formules qui suivent, on insère si besoin est cet espace dans la notation, de façon que l’on espère compréhensible. ˜ )). Soit f ∈ C ∞ (G ˜ 1 (FV )). On fixe une fonction φ ∈ Soit X ∈ Stab(G(F c,λ1 ∞ ˜ Cc (G1 (FV )) de sorte que φc λ1 (c) dc. f= C1 (FV ) ˜

La formule [VI] 2.5(14) donne immédiatement la variante AλG11 (V, X ) de la distribution définie en 1.9 sous la forme ˜1 ˜1 G G −1 Iλ1 (Aλ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) C1 (F )\C1 (AF )



(2)

I

˜1 G

˜1 G

(A

˜ 1V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc, (V, X1 , c K V

X1 ∈Fib(X )

où Fib(X ) est la fibre de l’application (1) au-dessus de X . ˜

On obtient par récurrence une formule analogue pour la variante SAλG11 (V, X ) de la distribution définie en 1.10 : ˜1 ˜1 G G −1 Iλ1 (SAλ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF )) C1 (F )\C1 (AF )



(3)

I

˜1 G

˜1 G

(SA

˜ V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. (V, X1 , c K 1 V

X1 ∈Fib(X )

˜ v = Kv et K ˜ 1,v = K1,v ˜ = G, G ˜ 1 = G1 , K Considérons le cas particulier où G pour tout v ∈ V et où X correspond à la classe de conjugaison stable de l’élément neutre. Comme toujours, on remplace dans la notation la lettre X par un indice ˜ ˜ G unip : AG unip (V ) au lieu de A (V, X ) etc. . . La fibre Fib(X ) est alors l’ensemble {ξX1 ; ξ ∈ C1 (F )}, où X1 correspond à la classe de conjugaison stable de l’unité dans G1 (F ). D’après [VI] 2.4(7), on a l’égalité : ˜

˜

I G1 (AG1 (V, ξX1 , ξ V cV K1V ), φξV cV ⊗ dg1 ) ˜

˜

= I G1 (AG1 (V, X1 , cV K1V ), φcV ⊗ dg1 ). Puisque de plus ˜

˜

I G1 (AG1 (V, X1 , cV K1V ), φcV ⊗ dg1 )  ˜ ˜ I G1 (AG1 (V, X1 , K1V ), φcV ⊗ dg1 ), = 0,

V si cV ∈ KC , 1 sinon,

772

Chapitre VII. Descente globale

la formule (2) se simplifie en ˜

(4)

˜

G1 (V ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 IλG11 (Aunip,λ 1 ˜1 ˜ G I G1 (Aunip (V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. C1 (FV )

La formule (5) se simplifie de même en ˜

G1 (V ), f ⊗ dg) = mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 IλG1 (SAunip,λ 1 ˜1 ˜ G I G1 (SAunip (V ), φcV ⊗ dg1 )λ1 (c) dc. ˜

(5)

C1 (FV ) ˜

G1 ˜  (FV )) (V )dg, qui appartient à Dunip,λ1 (G Autrement dit, la distribution Aunip,λ 1 1 ˜ ˜ 1 (FV )) est l’image de l’élément mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 AG1 (V )dg1 de Dunip (G unip ˜

G1 par l’application définie en [II] 1.10(3). De même, SAunip,λ (V )dg est l’image de 1 ˜

G1 (V )dg1 . mes(AC1 C1 (F )\C1 (AF ))−1 SAunip

VII.1.12 Relation avec les distributions associées aux classes de conjugaison stable locales ˜ ss (FV )/ st-conj. Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . Soit OV ∈ G ˜V G ˜ )), on note simplement X → XV la Posons XV = χ (OV ). Pour X ∈ Stab(G(F relation : XV est l’image de X par localisation. Les distributions des membres de gauche des égalités de l’énoncé ci-dessous ont été définies en [VI] 2.3, 5.2 et 5.4. Proposition. (i) On a l’égalité ˜

AG (V, OV , ω) =



˜

AG (V, X , ω).

˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

(ii) On a l’égalité ˜

AG,E (V, OV , ω) =



˜

AG,E (V, X , ω).

˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors on a l’égalité (iii) Supposons (G, G,  ˜ ˜ SAG (V, OV ) = SAG (V, X ). ˜ )),X →XV X ∈Stab(G(F

VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable

773 ˜

Preuve. Les deux côtés de l’égalité (i) sont des sommes de AG (V, C, ω), où C ∈ ˜ ss (F )/ conj. Du côté gauche, on somme sur les C dont la classe localisée CV est G contenue dans OV . Du côté droit, on somme sur les C contenus dans une classe de conjugaison stable O dont le paramètre X s’envoie par localisation sur XV . La commutativité du diagramme de 1.4 entraîne que ces ensembles de sommation sont les mêmes. D’où (i). ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, les termes intervenant Si (G, G, dans (ii) sont identiques par définition aux mêmes termes où l’on supprime l’exposant E. L’assertion (ii) n’est alors autre que (i). Supposons maintenant que ˜ a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. Par définition (G, G, 

˜

AG,E (V, OV , ω) =

˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, V,G

˜ G ∈E(G,a,V )

˜  (FV )/ st-conj qui Fixons G . Rappelons que OV,G˜  est la réunion des OV ∈ G ss correspondent à OV . Le lemme 1.8 nous dit que cet ensemble de classes est égal à celui des classes OV qui vérifient les deux conditions suivantes : ˜ ss (FV )/ st-conj ; – elles correspondent à une classe dans G – leur paramètre XV s’envoie sur XV par la version locale de l’application 1.7(1) (ce que l’on note XV → X ). 

On se rappelle que SAG (V, OV ) est à support dans l’ensemble des éléments dont la partie semi-simple appartient à OV , cf. [VI] 5.2. Si OV ne correspond à ˜ ss (FV ), le transfert de SAG (V, O ) est donc nul. On peut aucune classe dans G V donc aussi bien supprimer la première condition ci-dessus :    transfert(SAG (V, OV,G˜  )) = transfert(SAG (V, OV )), XV →XV

où OV est l’unique élément paramétré par XV . Modulo les formalités habituelles, on peut appliquer (iii) aux termes du membre de droite. On obtient ⎛ ⎞ 

transfert(SAG (V, OV,G˜  )) =

 XV →XV

⎜ ⎜ transfert ⎜ ⎝

 ˜  (F )), X  ∈Stab(G X  →XV

⎟  ⎟ SAG (V, X  )⎟ . ⎠

La localisation commute à l’application 1.7(1). Sommer en XV → XV puis X  → ˜ )) tels que X → XV puis sur les X  XV revient à sommer sur les X ∈ Stab(G(F  tels que X → X . Donc     transfert(SAG (V, OV,G˜  )) = transfert(SAG (V, X  )). ˜ )), X  ∈Stab(G ˜  (F )), X ∈Stab(G(F X →XV X  →X

774

Chapitre VII. Descente globale

Puis



˜

AG,E (V, OV , ω) = 



˜ G ˜ ) i(G,

˜ )), G ∈E(G,a,V ˜ X ∈Stab(G(F ) X →XV 

transfert(SAG (V, X  )).

˜  (F )), X  ∈Stab(G X  →X ˜

La double somme intérieure est par définition égale à AG,E (V, X , ω). On obtient (ii). La preuve de (iii) est analogue. Par définition, on a cette fois  ˜ ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, O ˜  )). i(G, SAG (V, OV ) = AG (V, OV ) − V,G ˜ ), G ∈E(G,V G =G

On connaît (i) pour le premier terme de droite et (iii) par récurrence pour les autres termes. Par le même calcul, on en déduit (iii) pour le terme de gauche. 

VII.2 Formules de scindage VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré Par exception, dans ce paragraphe, F est un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. On note p sa caractéristique résiduelle. On considère un triplet ˜ a) défini sur F qui est «non ramifié». Précisément, comme en [VI] 1.1, on (G, G, ˜ ) possède un sous-espace hyperspésuppose que G et a sont non ramifiés, que G(F cial et que, en posant e = [F : Qp ], on a p > 5 et p > N (G)e+1, où N (G) est défini ˜ de groupe associé K. Soit M ˜ un en [79] 4.3. On fixe un espace hyperspécial K, ˜ tel que le Levi M associé soit en bonne position relativement espace de Levi de G à K. On munit G(F ) de la mesure canonique pour laquelle K est de masse totale ˜ G ˜ ˜ 1. On a défini en [II] 4.1 une forme linéaire rM eom (M (F ), ω) : on a ˜ (., K) sur Dg´ ˜ ˜ G G ˜ rM ˜ ), ˜ (γ, K) = JM ˜ (γ, 1K

˜ Dans le cas où (G, G, ˜ a) est quasioù 1K˜ est la fonction caractéristique de K. déployé et à torsion intérieure, on a défini en [II] 4.2 un avatar stable de cette ˜ est en bonne position reforme linéaire. Ici, il n’est plus besoin de supposer que M G ˜ sur Dst (M ˜ (F )). ˜ L’avatar stable est une forme linéaire s ˜ (., K) lativement à K. ˜ g´ eom M Elle vérifie ˜ ˜ ne dépend que de la classe de conjugaison de K ˜ par GAD (F ). (1) sG (., K) ˜ M

st ˜ Pour δ ∈ Dg´ eom (M (F )), on a la formule familière   ˜ ˜ = rG˜˜ (δ, K) ˜ − ˜ G ˜  (s))sG (s) (δ, K). ˜ (δ, K) iM˜ (G, sG ˜ M M M ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M

VII.2. Formules de scindage

775

Expliquons la signification du dernier terme. Comme on l’a dit en [II] 4.2, pour ˜  (s) de s intervenant dans cette somme, le choix d’un sous-espace hyperspécial K  ˜  (s; F ) permet de définir par récurrence un terme sG (s) (δ, K ˜  (s)). Mais l’esG M   ˜ ˜ ˜ pace K détermine un sous-espace K (s) de G (s; F ) bien défini à conjugaison G (s) ˜ le terme près par G (s)AD (F ). La propriété (1) permet de noter sM (δ, K)  G (s) ˜  (s)) pour un tel K ˜  (s). sM (δ, K ˜ une ˜ a) quelconque. Soit M = (M  , M , ζ) Revenons à un triplet (G, G,  ˜ donnée endoscopique de (M, M , aM ). Si M est elliptique et non ramifiée (donc relevante d’après le lemme [I] 6.2), on a défini en [II] 4.3 une forme linéaire ˜ G,E  st  ˜ rM ˜ (M , ., K) sur Dg´ eom (M ) par l’égalité 

˜ G,E  ˜ rM ˜ (M , δ, K) =



G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ ˜ iM˜  (G, s))sM (δ, K).

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s ˜∈ζZ(

Il convient de généraliser la définition au cas où M est non ramifiée mais pas ˜ de M ˜ tel que M apparaisse elliptique. Dans ce cas, il existe un espace de Levi R ˜ aR ). On peut comme une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de (R, R, supposer R en bonne position relativement à K. Comme en [VI] 4.5, on pose alors  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L,E G,E   ˜ ˜ L˜ (2) rM dG ˜ (M , L)rR ˜ (M , δ, K) = ˜ (M , δ, K ), R ˜ ˜ L∈L( R)

˜ L˜ = K ˜ ∩ L(F ˜ ). où K ˜ une donnée endoscopique relevante de Proposition. Soit M = (M  , M , ζ) st  ˜ (M, M , aM ) et soit δ ∈ Dg´eom (M ). Alors ˜ ˜ G,E G  ˜ ˜ (i) si M est non ramifiée, on a l’égalité rM ˜ (transfert(δ), K) = rM ˜ (M , δ, K) ; ˜ ˜ = 0. (ii) si M n’est pas non ramifiée, on a l’égalité rG (transfert(δ), K) ˜ M



Preuve. Supposons que M ne soit pas elliptique. Comme ci-dessus, on introduit ˜ ⊂ M ˜ de sorte que M soit une donnée elliptique pour (R, R, ˜ aR ). RemarR  ˜ quons que M est non ramifiée pour (M, M , aM ) si et seulement si elle l’est pour ˜ ). Alors le transfert de δ à M ˜ (F ) est ˜ aR ). Notons γ le transfert de δ à R(F (R, R, ˜ M l’induite γ . On a la formule  ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L ˜ G M ˜ L˜ dG rM ˜ (γ , K) = ˜ (M , L)rR ˜ (γ, K ), R ˜ ˜ L∈L( R)

cf. [II] 4.1(1). Celle-ci et la formule parallèle (2) nous ramène à démontrer les ˜ M ˜ ) par un couple assertions de la proposition quand on remplace le couple (G, ˜ ˜ (L, R). En oubliant cette construction, on est ramené au cas M est une donnée ˜ , aM ). L’assertion (i) est le lemme fondamental endoscopique elliptique de (M, M pondéré, cf. [II] 4.4.

776

Chapitre VII. Descente globale

Il reste à prouver (ii). On suppose donc que M n’est pas non ramifiée. On utilise la méthode d’Arthur qui se base sur un lemme de Kottwitz ([46] proposition 7.5) que l’on généralise à notre cas. Fixons une paire de Borel épinglée E = (B, T, (Eα )α∈Δ ) de G, définie sur F , telle que M soit standard pour E et que le groupe K soit celui issu de E. On pose M = M/Z(M )θ et TM = T /Z(M )θ . On ˜ (F ). Si on rappelle (cf. [I] 2.7) que le groupe M (F ) opère par conjugaison sur M   fixe des données auxiliaires M1 ,. . .,Δ1 pour M , le facteur de transfert Δ1 (δ1 , γ) se transforme, quand on conjugue γ par un élément de M (F ), par un caractère ω de M (F ) qui prolonge le caractère ω de M (F ). Notons o l’anneau des entiers de F . Montrons que (3) le groupe d’inertie IF est inclus dans M si et seulement si ω est trivial sur TM (o), ce qui est encore équivalent à ce que le cocycle définissant ω soit trivial sur IF . ˆ  . Pour w ∈ IF , fixons mw = (m(w), w) ∈ On a une action galoisienne sur M ˆ  comme w. Le groupe IF est contenu dans M exactement M qui agisse sur M ˆ  pour tout w ∈ IF , c’est-à-dire quand m(w) est dans la compoquand m(w) ∈ M ˆ. sante neutre du centralisateur de ζ˜ dans M La deuxième condition de (3) est équivalente à ce que la restriction de ω à TM (F ) soit non ramifiée c’est-à-dire que tout cocycle définissant ce caractère soit ˆ  ). Rappelons la construction trivial sur IF . Un tel cocycle est à valeurs dans Z(M de la restriction à IF d’un tel cocycle. On suppose ζ˜ = ζ θˆ avec ζ ∈ Tˆ , avec les notations habituelles. Soient w ∈ IF et mw = (m(w), w) comme ci-dessus. Comme pour tout élément de M , on a la propriété de commutation suivante vis-à-vis de ζ˜ : −1 ˆ = m(w) ζ θ(m(w))ζ

puisque G et a sont non ramifiés. Le cocycle associé à ω est défini en relevant les éléments intervenant ci-dessus dans le groupe dual de M et en fait, parce que le ˆ  est plus difficile à analyser, on relève même dans un revêtement simplegroupe M ˆ noté M ˆ SC . On fixe un élément z(w) ∈ Z(M ˆ) ment connexe du groupe dérivé de M ˆ tel que m(w)z(w) soit l’image d’un élément msc (w) ∈ MSC . Quitte à changer la donnée endoscopique en une donnée équivalente, on peut aussi relever ζ en un élément ζsc . Et on a une relation (4)

ˆ sc (w))ζ −1 = asc (w)msc (w), ζsc θ(m sc

ˆ SC dont on vérifie aisément qu’il est dans le centre de avec un élément asc (w) ∈ M ˆ  (par projection naturelle) et ce groupe. On note a (w) l’image de asc (w) dans M −1 ˆ on pose z (w) = a (w)z(w)θ(z(w)) . Par définition (cf. [I] 2.7), z est la restriction à IF d’un cocycle définissant ω . En [I] 2.7 (suite exacte suivant la suite (2)), il ˆ  ) si et seulement s’il existe est montré que z (w) est l’élément neutre de Z(M ˆ θ,0 −1 ˆ ˆ ˆ b(w) ∈ Z(MSC ) tel que z(w) ∈ b(w)T et asc (w) = θ(b(w))b(w) .

VII.2. Formules de scindage

777

Supposons que z (w) = 1. On fixe les choix précédents d’où en particulier ˆ SC ). On modifie z(w) en le remplaçant par z(w)b(w)−1 ; ainsi z(w) ∈ b(w) ∈ Z(M ˆ θ,0 ˆ T et asc (w) = 1. Ainsi, avec (4), msc (w) est dans le commutant de ζsc θˆ qui est un groupe connexe et son image m(w)z(w) est dans la composante connexe du ˆ ˆ  contient Tˆ θ,0 ˆ , c’est-à-dire M ˆ  . Mais M donc m(w) luicommutant de ζ˜ dans M    ˆ . Puisque (m(w), w) ∈ M , on a (1, w) ∈ M et M contient IF . même est dans M Réciproquement, supposons que (1, w) ∈ M pour tout w ∈ IF . Alors on peut prendre ci-dessus m(w) = 1. Il est alors clair que z (w) = 1 en reprenant la construction rappelée ci-dessus de cet élément. Cela démontre (3). On termine la preuve du (ii) de la proposition. Le groupe TM (o) agit par ˜ (F )). Il s’en déduit une action sur I(M ˜ (F ), ω) et, par duaconjugaison sur Cc∞ (M ˜ (F ), ω). La propriété de transformation des facteurs de transfert lité, sur Dg´eom (M ˜ (F )), les transferts à M de f et rappelée ci-dessus entraîne que, pour f ∈ Cc∞ (M de ω (x) adx (f ) sont égaux. Par dualité, il en résulte que ω (x) adx (transfert(δ)) = ˜ ), transfert(δ). On va faire agir x par conjugaison mais pour que x agisse sur G(F θ il faut commencer par relever x en un élément de G (F ), où G = G/Z(G) . Pour faire cela, posons T = T /Z(G)θ . On commence par démontrer que l’application T (o) → TM (o) est surjective : le conoyau s’injecte dans le groupe de cohomologie H 1 (Gal(F nr /F ); (Z(M )θ /Z(G)θ )(onr )), où F nr est l’extension non ramifiée maximale de F et onr est son anneau d’entiers. Or Z(M )θ /Z(G)θ est un tore (donc connexe) et ce groupe de cohomologie est nul par le théorème de Lang. On relève donc x en un élément de T (ov ). Par simple transport de structure, on a l’égalité ˜ ˜ G G ˜ ˜ rM ˜ (transfert(δ), K) = rM ˜ (adx (transfert(δ)), adx (K)).

Puisque transfert(δ) se transforme par un caractère non trivial de TM (o), il ne ˜ = adx (K). ˜ Certainement, adx conserve K puisque reste plus qu’à démontrer que K ˜ tel que adx (γ) ∈ K. ˜ K est associé à E. Il suffit donc de prouver qu’il existe γ ∈ K ˜ E; F nr ) de On a rappelé en 1.5 que l’on pouvait choisir t ∈ T (onr ) et e ∈ Z(G, ˜ On relève x en un élément y ∈ T (onr ) et on sorte que γ = te appartienne à K. écrit xγx−1 = yt ade (y −1 )e. Les éléments yt et ade (y −1 ) sont dans T (onr ). Ainsi yt ade (y −1 ) ∈ T (onr ) et aussi u = yt ade (y −1 )t−1 . Ainsi xγx−1 ∈ ute = uγ, ˜ ) donc u ∈ T (onr ) ∩ G(F ) = avec u ∈ T (onr ). Mais xγx−1 et γ sont dans G(F −1 ˜  T (o) ⊂ K. Ainsi xγx ∈ K, ce qui est l’assertion cherchée.

VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré Le corps de base est de nouveau notre corps de nombres. On considère un triplet ˜ a) défini sur F . Soit U un ensemble fini de places tel que, contrairement à (G, G,

778

Chapitre VII. Descente globale

˜ ∈ L(M ˜ 0 ). On a défini en [VI] 1.13 une forme l’habitude, U ∩ Vram = ∅ et soit M ˜ G ˜ ˜ linéaire rM˜ (., KU ) sur Dg´eom (M (FU ), ω) par ˜

˜

G G ˜ rM ˜ U ). ˜ (γ, KU ) = JM ˜ (γ, 1K

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Nous allons définir Supposons (G, G, ˜ st ˜ ˜ une forme linéaire δ → sG ˜ (δ, KU ) sur Dg´ eom (M (FU )). Elle doit vérifier les proM priétés formelles habituelles. Elle doit aussi posséder une propriété d’invariance relativement à l’action de GAD (FU ) en le sens suivant. On oublie pour un temps ˜ v . Soient K ˜ U et K ˜  deux sousque l’on a fixé en 1.1 les espaces hyperspéciaux K U ˜ U ) dont les groupes sous-jacents KU et K  sont en espaces hyperspéciaux de G(F U ˜ U et K ˜  soient conjugués par bonne position relativement à M0 . Supposons que K U un élément de GAD (FU ). On doit alors avoir l’égalité (1)

˜ ˜ G ˜ ˜ sG ˜ (δ, KU ) = sM ˜ (δ, KU ) M

pour tout δ. Comme en [II] 4.2, cette condition permet de généraliser la définition au cas où le groupe KU n’est pas supposé en bonne position relativement à M0 . ˆ )ΓF , introduisons la donnée endoscopique G = G (s) de Soit s ∈ Z(M ˜ ˜ 1 , C1 , ξˆ1 , K ˜  non ramifiées (G, G, a). Introduisons des données auxiliaires G1 , G 1,U  ˜ G ˜  ) pour dans U . Par une extension formelle des définitions, on définit s 1 (δ 1 , K

1,U ˜ ,λ1 M 1 st  ˜ Dg´eom,λ1 (M1 (FU )). Si on remplace les données auxiliaires par d’autres don˜  , ces termes se recollent pourvu que la fonction de recollement G2 , . . . , K 2,U

δ1 ∈ nées ˜ 12,U vérifie l’égalité λ ˜12,U (γ1 , γ2 ) = 1 pour γ1 ∈ K ˜ 1,U et γ2 ∈ K ˜ 2,U . Mais l’espace λ st ˜  , C1 , ξˆ1 , Δ1,U Dg´eom (MU ) a été défini en considérant des données auxiliaires G1 , G 1 et des fonctions de recollement identifiant les facteurs de transfert. L’identification entre les deux types de données auxiliaires se fait bien sûr en utilisant les ˜  , C1 , ξˆ1 , K ˜ facteurs de transfert «non ramifiés» : on déduit des données G1 , G 1 1,U ˜  , C1 , ξˆ1 , Δ1,U , où Δ1,U est le facteur de transfert déterminé par les données G1 , G 1 ˜U , K ˜  ). Les deux notions de recollement coïncident alors. Les formes le couple (K 1,U st linéaires précédemment définies se recollent en une forme linéaire sur Dg´ eom (MU ). La propriété (1) montre qu’elle ne dépend que de la classe de conjugaison par ˜  de G ˜  (FU ), laquelle ne dépend que de K ˜U GAD (FU ) de l’espace hyperspécial K U lui-même. Cela justifie de noter cette forme linéaire  ˜ δ → sG M (δ, KU ).

st ˜ On peut alors poser la définition, pour δ ∈ Dg´ eom (M (FU )) : ˜ ˜ G ˜ ˜ sG ˜ (δ, KU ) = rM ˜ (δ, KU ) − M

 ˆ )ΓF /Z(G) ˆ ΓF ,s=1 s∈Z(M



˜ G ˜  (s))sG (s) (δ, K ˜ U ). iM˜ (G, M

VII.2. Formules de scindage

779

Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.2 montre que, pour δ = ⊗v∈U δ v , on a l’égalité   ˜v ˜ ˜ ˜ ˜ ˜U ˜ L˜ v eG sL sG ˜ v (δ v , Kv ), ˜ (δ, KU ) = ˜ U (M , L ) M M M ˜ U ∈L(M ˜U) L

v∈U

où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en [II] 4.2. Grâce à cette égalité, les propriétés formelles requises ainsi que la propriété (1) résultent des mêmes propriétés de ces formes linéaires locales prouvées en [II] 4.2. ˜ une ˜ a) est quelconque. Soit M = (M  , M , ζ) Revenons au cas où (G, G, ˜ , aM ) non ramifiée dans U . De nouveau, pour s˜ ∈ donnée endoscopique de (M, M G (˜ s) ΓF ,θˆ ˜ ˆ ˜ U ) sur Dst (M ). Pour ζZ(M ) , on définit une forme linéaire δ → sM (δ, K U g´ eom un tel δ, on pose  ˜ G (˜ s) G,E  ˜U ) = ˜ G ˜  (˜ ˜ U ). rM (M , δ, K iM˜  (G, s))sM (δ, K ˜ ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s ˜∈ζZ(

Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.5 montre que, pour δ = ⊗v∈U δ v , on a l’égalité 

˜ G,E  ˜ rM ˜ (M , δ, KU ) =

˜ ˜ ˜U dG ˜ U (M , L ) M

˜ U ∈L(M ˜U) L



˜ ,E L ˜ vL˜ v ), rM (M , δ v , K ˜ v

v

v∈U

où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en 2.1. Grâce à cette ˜ G ˜ égalité et à l’égalité parallèle concernant les termes rM ˜ (γ, KU ) (cf. [VI] 1.13) , la proposition suivante résulte de celle du paragraphe précédent. Proposition. Soit M une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜ , aM ) (M, M st  et soit δ ∈ Dg´ eom (MV ). Alors

(i) si M est non ramifiée dans U , on a l’égalité ˜

G,E G  ˜ ˜ rM ˜ (transfert(δ), KU ) = rM ˜ (M , δ, KU ); ˜

(ii) si M n’est pas non ramifiée dans U , on a l’égalité ˜

G ˜ rM ˜ (transfert(δ), KU ) = 0.

VII.2.3 Enoncé des formules de scindage ˜ a) et deux ensembles finis V et S de On considère un triplet quelconque (G, G, places de F tels que Vram ⊂ V ⊂ S.

780

Chapitre VII. Descente globale

˜ ∈ L(M ˜ 0 ). Choisissons une paire de Borel épinglée E = (B,T,(Eα )α∈Δ ) Soit M de G telle que M soit standard. Alors M détermine un sous-ensemble ΔM ⊂ Δ et (B, T, (Eα )a∈ΔM ) est une paire de Borel épinglée de M . En identifiant ces paires aux paires de Borel épinglées de G et M , on a une inclusion na˜ (F )) ⊂ Stab(G(F ˜ )), qui dépend du choix de E. Il s’en déduit turelle Stab(M ˜ (F )) → Stab(G(F ˜ )). Celle-ci ne dépend plus du choix une application Stab(M ˜ (F )), on a déde E. On la note simplement XM → X . Pour XM ∈ Stab(M ˜ M ˜ fini en 1.9 une distribution A (S, XM , ω) ∈ Dg´eom (M (FS ), ω) ⊗ Mes(M (FS ))∗ . ˜ (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))∗ et de Cet espace est le produit tensoriel de Dg´eom (M S S ∗ ˜ Dg´eom (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . De plus, le choix des mesures canoniques identifie Mes(M (FSV ))∗ à C. On peut donc écrire  ˜ ˜ ˜ (1) AM (S, XM , ω) = kiM (XM , ω)VS ⊗ AM i (XM , ω)V i=1,...,n(XM ) ˜ ˜ (F V ), ω) et des avec des kiM (XM , ω)VS ∈ Dg´eom (M S ˜ ∗ ˜ AM eom (M (FV ), ω) ⊗ Mes(M (FV )) . i (XM , ω)V ∈ Dg´

On note

∗ ˜ AG eom (G(FV ), ω) ⊗ Mes(G(FV )) i (XM , ω)V ∈ Dg´ ˜

˜

l’induite de AM i (XM , ω)V . On a rappelé dans le paragraphe précédent la forme ˜ G ˜ S−V ) et on en a défini divers avatars. Nous modifions légèrement linéaire rM (., K ˜ ˜V . ˜ S−V par K leur notation en remplaçant K S ˜ )). Il résulte de la définition de 1.9 et de [VI] 2.3(9) que Soit X ∈ Stab(G(F l’on a l’égalité   ˜ ˜ ˜ AG (V, X , ω) = |W M ||W G |−1 (2)



˜ XM ∈Stab(M(F )),XM →X

˜ ˜ 0) M∈L( M

˜ ˜ G M V ˜V rM ˜ (ki (XM , ω)S , KS

˜

)AG i (XM , ω)V .

i=1,...,n(XM )

˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et Supposons (G, G, ˜ M ˜ (F )), on a défini la distribution SA (S, XM ) en 1.10. Si M ˜ = G, ˜ XM ∈ Stab(M elle est stable d’après le théorème 1.10(ii) et nos hypothèses de récurrence. Si ˜ = G, ˜ supposons qu’elle est stable. On peut alors la décomposer comme en (1) en M  ˜ ˜ ˜ (3) SAM (S, XM ) = SkiM (XM )VS ⊗ SAM i (XM )V i=1,...,n(XM ) ˜ ˜ M st st ˜ V ˜ avec des SkiM (XM )VS ∈ Dg´ eom (M (FS )) et des SAi (XM )V ∈ Dg´ eom (M (FV )) ⊗ ˜ ˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ l’induite de Mes(M (FV ))∗ . On note SAG (XM )V ∈ Dst (G(F i

˜

SAM i (XM )V .

g´ eom

VII.2. Formules de scindage

781

˜ a) est quelconque. Pour X ∈ Stab(G(F ˜ )), on a Revenons au cas où (G, G, ˜ G,E défini une distribution A (S, X , ω) en 1.10. On peut la décomposer de la même façon qu’en (1) : 

˜

AG,E (S, X , ω) =

(4)

˜

˜

kiG,E (X , ω)VS ⊗ AG,E (X , ω)V i

i=1,...,n(X ) ˜ ˜ V ), ω) et des avec des kiG,E (XM , ω)VS ∈ Dg´eom (G(F S ˜

˜ V ), ω) ⊗ Mes(G(FV ))∗ . (X , ω)V ∈ Dg´eom (G(F AG,E i ˜ )). Proposition. Soit X ∈ Stab(G(F (i) On a l’égalité 

˜

AG,E (V, X , ω) =

˜ ˜ ˜ ˜ V )AG,E rG (kiG,E (X , ω)VS , K (X , ω)V S i

i=1,...,n(X )



+

˜

˜

˜ ∈L(M ˜ 0 ), M ˜ =G ˜ M





|W M ||W G |−1

˜

˜ (F )), XM ∈Stab(M XM →X ˜

˜

G M G V ˜V rM ˜ (ki (XM , ω)S , KS )Ai (XM , ω)V .

i=1,...,n(XM )

˜ a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure et que (ii) Supposons que (G, G, ˜ G SA (S, X ) soit stable. Alors on a l’égalité   ˜ ˜ ˜ SAG (V, X ) = |W M ||W G |−1 

˜ ∈L(M ˜ 0) M

˜ (F )),XM →X XM ∈Stab(M

˜ ˜ M V ˜V sG ˜ (Ski (XM )S , KS M

˜

)SAG i (XM )V .

i=1,...,n(XM )

VII.2.4 Preuve de la proposition 2.3 ˜ a) est quasi-déployé et à torsion Prouvons le (i) de cette proposition. Si (G, G, intérieure, on a par définition les égalités ˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω) et

˜

˜

AG,E (S, X , ω) = AG (S, X , ω).

˜ a) La formule à prouver n’est autre que 2.3(2). On suppose maintenant que (G, G, n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. ˜ a, S) et M ˜  ∈ L(M ˜  ) (où M ˜  est le Levi minimal fixé dans Soient G ∈ E(G, 0 0   ˜ ˜  soit relevant. Alors il existe ˜ G ). Soit XM  ∈ Stab(M (F )). Supposons que M ˜ de G ˜ tel que M ˜  apparaisse comme l’espace associé à une un espace de Levi M

782

Chapitre VII. Descente globale

˜ , aM ). Comme on l’a dit en 1.10, des donnée endoscopique elliptique M de (M, M   formalités permettent de définir des distributions SAM (V, XM  ) et SAM (S, XM  ). On peut décomposer cette dernière par une formule similaire à 2.3(3) :     SkiM (XM  )VS ⊗ SAM (1) SAM (S, XM  ) = i (XM  )V . i=1,...,n(XM  ) 



 M On note SAG i (XM  )V l’induite à G de SAi (XM  )V .  ˜ a, V ) et XG ∈ Stab(G(F ˜ )). Montrons que l’on a l’égalité Soient G ∈ E(G,     |W M ||W G |−1 transfert(SAG (V, XG )) =

(2)





˜  ∈L(M ˜  ), M 0 ˜  relevant M 





M V ˜V G sG M (Ski (XM  )S , KS ) transfert(SAi (XM  )V ).

˜  (F )), i=1,...,n(XM  ) XM  ∈Stab(M XM  →XG 

Preuve. On fixe des données auxiliaires G1 etc. . . pour G . Alors SAG (V, XG ) ˜ G SAλ11 (V, XG ).

Grâce à nos hys’identifie à une distribution que l’on peut noter pothèses de récurrence et à quelques formalités, on peut lui appliquer le (ii) de la proposition 2.3. On applique ensuite l’application de transfert à la formule obtenue. On obtient une formule similaire à celle ci-dessus. Plus précisément, on ˜  ) de certains termes, notons-les X(M ˜  ). On ˜  ∈ L(M obtient une somme sur M 0   ˜ est relevant, X(M ˜ ) est égal au terme indexé par M ˜ voit facilement que, si M   ˜ n’est pas relevant, X(M ˜ ) est nul. intervenant dans (2). Il faut montrer que, si M ˜  ) est un transfert d’un élément de En tout cas, X(M st  ∗ ˜ Dg´ eom,λ1 (G1 (FV )) ⊗ Mes(G (FV ))

qui est induit à partir d’un élément de st  ∗ ˜ Dg´ eom,λ1 (M1 (FV )) ⊗ Mes(M (FV )) .

˜  ) soit nul, il suffit qu’il existe une place v ∈ V Il s’ensuit que, pour que X(M ˜ v ne soit pas relevant. Par hypothèse, M ˜ telle que l’espace de Levi localisé M  ˜ n’est pas relevant. Par définition, cela signifie soit que M (F ) = ∅, soit qu’il existe ˜  n’est pas relevant. La première possibilité est exclue : G v ∈ Val(F ) tel que M v ˜ ˜  (F ) = ∅ puisque M ˜  est un espace de est relevant, donc G (F ) = ∅ et alors M   ˜ ˜ Levi de G . Donc il existe une place v ∈ Val(F ) telle que Mv n’est pas relevant. Il reste à montrer qu’une telle place appartient à V . Pour v ∈ V , G est quasi-déployé ˜ v de G ˜ v tel que M ˜ v apparaisse comme sur Fv donc il existe un espace de Levi M  ˜ v , aMv ). Parce l’espace associé à une donnée endoscopique elliptique Mv de (Mv , M    que G est non ramifiée en v, Mv l’est aussi. Alors Mv est relevante d’après le lemme [I] 6.2. Cela prouve (2).

VII.2. Formules de scindage

783

On applique la formule de définition 1.10(3) et la formule (2) ci-dessus. On obtient   ˜ ˜ G ˜) i(G, AG,E (V, X , ω) = ˜ ˜  (F )),X  →X G ∈E(G,a,V ) XG ∈Stab(G G









|W M ||W G |−1

˜  ∈L(M ˜  ),M ˜  relevant M 0



˜  (F )),X  →X  i=1,...,n(XM  ) XM  ∈Stab(M M G

 M V ˜V sG M (Ski (XM  )S , KS



) transfert(SAG i (XM  )V ).

˜ a) et un espace de Levi M ˜  de G ˜  , que l’on identifiera Pour un élément G ∈ E(G,  dans la notation à une «donnée de Levi» M , définissons un terme S(G , M ) de la façon suivante. Si G n’est pas non ramifiée hors de V ou si M n’est pas relevant, on pose S(G , M ) = 0. Si G est non ramifiée hors de V et si M est relevant, on pose S(G , M ) =





˜  (F )), X  ∈Stab(M ˜  (F )), XG ∈Stab(G M XG →X XM  →XG









M V ˜V G sG M (Ski (XM  )S , KS ) transfert(SAi (XM  )V ).

i=1,...,n(XM  )

La formule ci-dessus se récrit  ˜ AG,E (V, X , ω) =

˜ G ˜) i(G,







|W M ||W G |−1 S(G , M ).

˜  ∈L(M ˜ ) M 0

˜ G ∈E(G,a,V )

On peut appliquer la proposition [VI] 6.5. La formule de cette proposition fait ˆ du groupe dual G. ˆ Cela parce que l’on considérait une apparaître des Levi M   situation générale où le terme S(G , M ) pouvait être non nul même si M n’était ˆ pas relevant. Ici, seuls peuvent apparaître des M qui sont relevants et des M ˜ ˜ correspondant à des espaces de Levi M de G. On peut récrire cette proposition en ˜ et de telles données endoscopiques de (M, M ˜ , aM ). sommant sur de tels espaces M On obtient   ˜ ˜ ˜ ˜,M ˜ ) |W M ||W G |−1 i(M AG,E (V, X , ω) = (3)

˜ ∈L(M ˜ 0) M



˜ M) M ∈E(M,a

˜ G ˜  (˜ iM˜  (G, s))S(G (˜ s), M ).

˜ M ˆ )ΓF ,θˆ/Z(G) ˆ ΓF ,θˆ s˜∈ζZ(

˜ On peut limiter la On a noté simplement ζ˜ le terme tel que M = (M  , M , ζ).   ˜ somme en M aux éléments de E(M , aM , V ). En effet, si M n’est pas ramifié hors de V , les données G (˜ s) apparaissant ne sont pas non plus non ramifiées hors de V

784

Chapitre VII. Descente globale

˜ , M et s˜ intervenant et les termes S(G (˜ s), M ) sont nuls. D’autre part, fixons M ci-dessus. On a un diagramme commutatif ˜  (F )) → Stab(G ˜  (˜ s; F )) Stab(M ↓ ↓ ˜ (F )) → ˜ )) . Stab(M Stab(G(F s), M ), on peut donc remplacer la double somme en Dans la définition de S(G (˜ XG (˜s) tel que XG (˜s) → X et en XM  tel que XM  → XG (˜s) par une double somme ˜ (F )) tel que XM → X et sur XM  ∈ Stab(M ˜  (F )) tel que sur XM ∈ Stab(M XM  → XM . On a aussi l’égalité G (˜ s)

transfert(SAi



G (XM  )V ) = (transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

On obtient 



S(G (˜ s), M ) =

˜ (F )),XM →X X  ∈Stab(M ˜  (F )),X  →XM XM ∈Stab(M M M



 G (˜ s) ˜ SV sM (SkiM (XM  )VS , K



G )(transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

i=1,...,n(XM  )

˜  (F )), posons Pour XM  ∈ Stab(M 

b(M , XM  ) =

˜

i=1,...,n(XM  )



(4)



G (transfert(SAM i (XM  )V )) 

 G (˜ s) ˜ G ˜  (˜ ˜ V ). iM˜  (G, s))sM (SkiM (XM  )VS , K S

ˆ

ˆ

˜ M ˆ )ΓF ,θ /Z(G) ˆ ΓF ,θ s˜∈ζZ(

˜ (F )), posons Pour XM ∈ Stab(M (5)



˜ , XM ) = B(M



˜,M ˜ ) i(M

b(M , XM  ).

˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

˜ M ,V ) M ∈E(M,a

Les considérations ci-dessus permettent de récrire l’égalité (3) sous la forme (6)

˜

AG,E (V, X , ω) =

 ˜ ∈L(M ˜ 0) M



|W M ||W G |−1 ˜

˜

˜ , XM ). B(M

˜ (F )), XM ∈Stab(M XM →X

Dans la formule (4), on reconnaît la somme en s˜ : elle est égale à ˜ G,E  M V ˜V rM ˜ (M , Ski (XM  )S , KS ).

VII.2. Formules de scindage

785

On applique la proposition 2.2(i) et on obtient  ˜ M V G ˜V b(M , XM  ) = rM ˜ (transfert(Ski (XM  )S ), KS ) i=1,...,n(XM  ) (7) 

G (transfert(SAM i (XM  )V )) . ˜

On a supposé ici M non ramifié hors de V . Mais le membre de droite ci-dessus conserve un sens si M est seulement non ramifié hors de S. Pour un tel M , on définit b(M , XM  ) par l’égalité (7). Si M est non ramifié hors de S mais pas hors de V , on a b(M , XM  ) = 0 : cela résulte de la proposition 2.2(ii). Dans la ˜ , aM , V ) en une somme définition (5), on peut donc étendre la somme en M ∈ E(M  ˜ en M ∈ E(M , aM , S). C’est-à-dire   ˜ , XM ) = ˜,M ˜ ) (8) B(M i(M b(M , XM  ). ˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

˜ M ,S) M ∈E(M,a ˜

On note AG,E (V, X , ω) le membre de droite de l’égalité du (i) de la proposition ˜ (F )), posons ˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et XM ∈ Stab(M 2.3. Pour M ˜ ˜ – si M = G,  ˜ ˜ ˜ G M G V ˜V ˜ , XM ) = rM B(M ˜ (ki (XM , ω)S , KS )Ai (XM , ω)V ; i=1,...,n(XM )

˜ = G, ˜ – si M



˜ XG ) = B(G,

˜ ˜ ˜ ˜ V )AG,E rG,E (kiG,E (XG , ω)VS , K (XG , ω)V . S i

i=1,...,n(XG )

On a alors



˜

AG,E (V, X , ω) =

(9)

˜ , XM ). |W M ||W G |−1 B(M ˜

˜

˜ ˜ 0) M∈L( M

˜ ∈ L(M ˜ 0 ) et XM ∈ Stab(M ˜ (F )). Par définition, on a Fixons M  ˜ ˜,M ˜ ) AM ,E (S, XM , ω) = i(M ˜ M ,V ) M ∈E(M,a





transfert(SAM (S, XM  )).

˜  (F )), XM  ∈Stab(M XM  →XM

En utilisant (1), on obtient ˜

AM ,E (S, XM , ω) =  i=1,...,n(XM  )



˜,M ˜ ) i(M

˜ M ,S) M ∈E(M,a 

 ˜  (F )),X  →XM XM  ∈Stab(M M 

transfert(SkiM (XM  )VS ) transfert(SAM i (XM  )V ).

786

Chapitre VII. Descente globale ˜

˜

˜ = G, ˜ on a AM ,E (S, XM , ω) = AM (S, XM , ω) d’après les hypothèses de récurSi M rence. Alors la décomposition ci-dessus est de la forme 2.3(1) : l’ensemble d’indices {1, . . . , n(XM )} est la réunion disjointe des {1, . . . , n(XM  )} sur les M et XM  in˜ = G, ˜ cette décomposition est de même de la forme tervenant ci-dessus. Si M 2.3(4). Il en résulte par définition que 

˜ , XM ) = B(M

˜ M ,S) M ∈E(M,a





˜,M ˜ ) i(M

˜  (F )),X  →XM XM  ∈Stab(M M



˜ ˜ G M V M G ˜V rM ˜ (transfert(Ski (XM  )S ), KS )(transfert(SAi (XM  )V )) .

i=1,...,n(XM  )

En utilisant (7) et (8), on voit que ˜ , XM ) = B(M ˜ , XM ). B(M Alors les membres de droite de (6) et (9) coïncident. Cela prouve l’égalité (10)

˜

˜

AG,E (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω),

ce qui est le (i) de la proposition 2.3. ˜ a) quasiProuvons maintenant le (ii) de cette proposition. On suppose (G, G, ˜ )). La formule 1.10(3) se modéployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab(G(F difie en  ˜ ˜ AG,E (V, X ) = SAG (V, X ) + ˜ G ∈E(G,a,V ),G =G





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, XG )). i(G,

˜  (F )),X  →X XG ∈Stab(G G

Pour G = G, on a encore l’égalité (2) et on peut remplacer le terme 

transfert(SAG (V, XG )) ci-dessus par le membre de droite de cette égalité. Pour G = G, le membre de droite de (2) est égal au membre de droite de l’égalité du (ii) de la proposition ˜ 2.3. On ne sait pas qu’il est égal à SAG (V, X ), c’est ce qu’on veut prouver. Mais ˜ on peut remplacer SAG (V, X ) par le membre de droite de (2), plus un nombre C dont on veut prouver qu’il est nul. Le calcul se poursuit comme précédemment et on obtient l’égalité ˜ ˜ AG,E (V, X ) = C + AG,E (V, X ). Mais, comme on l’a dit au début de la preuve, dans notre situation quasi-déployée à torsion intérieure, le (i) de la proposition 2.3, c’est-à-dire l’égalité (10), est tautologique. On conclut C = 0, ce qui prouve le (ii) de la proposition 2.3. 

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

787

VII.2.5 Extension de l’ensemble fini de places Corollaire. (i) Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram et soit ˜ )). X ∈ Stab(G(F Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V et tel que l’assertion du théorème 1.10(i) soit vérifiée pour le couple (S, X ). Alors cette assertion est vérifiée pour le couple (V, X ). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors la même pro(ii) Supposons (G, G, priété vaut pour le théorème 1.10(ii). ˜

˜

Preuve. Si AG,E (S, X , ω) = AG (S, X , ω), on peut supposer que les décompositions 2.3 (1) et 2.3 (4) de cette distribution coïncident. L’égalité 2.3(2) et celle du ˜ ˜ (i) de la proposition 2.3 entraînent alors l’égalité AG,E (V, X , ω) = AG (V, X , ω). ˜ a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’hypothèse du (ii) de Supposons (G, G, ˜ la proposition 2.3 est vérifiée. La formule de cette proposition exprime SAG (V, X ) ˜ G comme combinaison linéaire de distributions stables. Donc SA (V, X ) est stable. ˜ La distribution SAG (S, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) ˜ v pour v ∈ S − V . Pour un espace de ˜ v pour v ∈ S. Elle ne dépend pas des K des K ˜ ˜ ˜ ˜ Levi M ∈ L(M0 ) et pour XM ∈ Stab(M (F )), la distribution SAM (S, XM˜ ) vérifie les mêmes propriétés. En effet, elle ne dépend que des classes de conjusaison par ˜v ∩ M ˜ (Fv ) pour v ∈ S. On a vu dans la preuve de [II] 4.2(3) MAD (Fv ) des K  ˜ ˜ que, si Kv et Kv sont conjugués par un élément de GAD (Fv ) et sont tous deux en ˜ (Fv ) et K ˜  ∩M ˜ (Fv ) sont ˜ v ∩M bonne position relativement à M , alors les espaces K v conjugués par un élément de Mad (Fv ). L’assertion s’ensuit. Alors, pour v ∈ S, la formule du (ii) de la proposition 2.3 ne dépend que de la classe de conjugaison par ˜ v . Pour v ∈ S − V , la formule ne dépend des K ˜ v que par les formes GAD (Fv ) de K ˜ G V ˜ ). Or, d’après 2.2(1), celles-ci ne dépendent que des classes de linéaires sM˜ (., K S ˜ v pour v ∈ S − V . Finalement, SAG˜ (V, X ) ne conjugaison par GAD (Fv ) des K ˜ v pour v ∈ V . dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K 

VII.3 Enoncés de nouveaux théorèmes VII.3.1 Le théorème d’Arthur ˜ a = 1, K ˜ v = Kv pour tout v ∈ V . Supposons ici G = G, Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 1.10(i) et (ii) sont vérifiés. C’est l’un des principaux résultats de l’article d’Arthur ([18] global theorem 1 ). La propriété 1.10(1) de SAG (V, X ) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais est incluse dans sa démonstration. On la retrouve en tout cas de la

788

Chapitre VII. Descente globale

façon suivante. Considérons d’autres sous-groupes hyperspéciaux Kv pour v ∈ V , soumis aux conditions de [VI] 1.1. Ces conditions impliquent qu’il existe un ensemble fini de places S contenant V tel que Kv = Kv pour v ∈ S. La distribution SAG (S, X ) ne change donc pas quand on remplace les Kv par les Kv . On sait qu’elle est stable d’après le théorème d’Arthur. De plus, pour v ∈ S − V , les compacts Kv et Kv sont conjugués par un élément de GAD (Fv ) : il en est ainsi pour tout couple de sous-groupes compacts hyperspéciaux. La preuve du corollaire 2.5 montre que la distribution SAG (V, X ) ne change pas non plus quand on remplace les Kv par les Kv . En fait, nous n’utiliserons le théorème d’Arthur que pour l’élément X correspondant à la classe de conjugaison stable réduite à {1}. Dans ce cas, on note G plutôt nos distributions AG,E unip (V ) et SAunip (V ).

VII.3.2 Définition d’une autre distribution stable ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient X ∈ On suppose que (G, G, ˜ Stab(G(F )) et V un ensemble fini de places contenant Vram . On a vu que X ˜ ss (F ). On sait qu’il existe correspondait à une classe de conjugaison stable dans G un élément  de cette classe telle que G soit quasi-déployé. On fixe un tel . Soit U un voisinage ouvert de l’unité dans G (FV ) qui vérifie les conditions suivantes : – x ∈ U si et seulement si sa partie semi-simple xss appartient à U ; – si x ∈U et y ∈ G (FV ) sont conjugués par un élément de ZG (; F¯V ) (où F¯V = v∈V F¯v ), alors y ∈ U . ˜ l’ensemble des éléments de G(F ˜ V ) dont la partie semi-simple On note U ˜ ), resp. SI(U ), le est stablement conjuguée à un élément de U . On note SI(U ˜ ˜, sous-espace des éléments de SI(G(FV )), resp. SI(G (FV )), à support dans U resp. U . On pose Ξ = ZG ()/G . Ce groupe est naturellement muni d’une action galoisienne. On a établi en [I] lemme 4.8 un isomorphisme de descente descst  : ΓF Ξ V ˜ SI(U ) ⊗ Mes(G(FV ))  SI(U ) ⊗ Mes(G (FV )) pourvu que U soit assez petit. Dans cette référence, on avait fixé les mesures mais l’isomorphisme devient canonique quand on l’écrit sous la forme ci-dessus. Rappelons la caractérisation de ˜ reg (FV ). Fixons une mesure de Haar sur l’isomorphisme. Soit x ∈ U tel que x ∈ G (G )x (FV ) = Gx (FV ). Rappelons que la donnée de x et de la mesure définit un st élément de Dorb (U ) ⊗ Mes(G (FV ))∗ , à savoir l’intégrale orbitale stable S G (x, .). De même, la donnée de x et de la mesure définit une intégrale orbitale stable ˜ ˜ ) ⊗ Mes(G(FV )) et f = descst S G (x, .). Soient alors f ∈ SI(U  (f ). On a l’égalité ˜

S G (x, f ) = S G (x, f ). Les distributions de 1.10 dépendent d’une mesure sur AG fixée en [VI] 1.3. On doit aussi fixer une mesure sur AG . Dans le cas général, le choix est arbitraire. Mais, si on suppose  elliptique, on a AG = AG et on choisit la mesure déjà fixée sur ce dernier espace.

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

789

Rappelons que, pour tout groupe réductif connexe H défini sur F , on pose ˆ ΓF )|| ker1 (F, Z(G))| ˆ −1 , τ (H) = |π0 (Z(H) cf. [VI] 5.1. Supposons S(X ) ⊂ V.

(1) ˜

˜ V )) ⊗ Mes(G(FV ))∗ de la On définit une distribution SAG (V, X ) ∈ Dg´eom (G(F ˜ on pose façon suivante. Si X n’est pas elliptique ou si V ne contient pas S(X , K), ˜ G SA (V, X ) = 0. Supposons X

(2)

˜ ⊂ V. est elliptique et S(X , K)

˜ V ))⊗Mes(G(FV )). On restreint f à U ˜ . On considère l’image dans Soit f ∈ Cc∞ (G(F ΓF ˜ )⊗Mes(G(FV )) de cette restriction. On note f ∈ SI(U )Ξ V ⊗Mes(G (FV )) SI(U l’image de l’élément obtenu par l’isomorphisme descst  . On pose ˜

 I G (SAG (V, X ), f ) = |ΞΓ F |τ (G)τ (G )−1 S G (SAG unip (V ), f ).

˜

 Rappelons que l’on sait que SAG unip (V ) est stable et indépendante de tout choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux, cf. 3.1. Cela donne un sens à cette  définition. Puisque SAG unip (V ) est à support unipotent, la définition ne dépend pas du choix de U . Elle ne dépend pas non plus du choix de . En effet, remplaçons  par  vérifiant les mêmes propriétés. On peut fixer y ∈ G tel que y −1 y =  et yσ(y)−1 ∈ G pour tout σ ∈ ΓF . Parce que l’on suppose G et G quasi-déployés, on peut supposer que ady−1 envoie une paire de Borel épinglée définie sur F de G sur une telle paire de de G . Cela entraîne que yσ(y)−1 appartient au centre de G . Alors l’isomorphisme ady−1 : G → G est défini sur F . Cet isomorphisme G  identifie SAG unip (V ) à SAunip (V ) et f à f . L’indépendance affirmée s’ensuit.

Remarquons que ˜

(3) SAG (V, X ) est stable. ˜ V ))⊗Mes(G(FV )) est nulle, alors f = 0. En effet, si l’image de f dans SI(G(F L’assertion s’ensuit. ˜ La distribution SAG (V, X ) dépend évidemment de diverses données. Mais, ˜ v , on a quant à sa dépendance des espaces hyperspéciaux K ˜ ˜v (4) SAG (V, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K pour v ∈ V . ˜ v pour v ∈ V que par la En effet, la définition ci-dessus ne dépend des K ˜ ˜ cette condition S(X , K) ⊂ V . Or, d’après la définition de l’ensemble S(X , K), ˜ v pour condition ne dépend que des classes de conjugaison par GAD (Fv ) des K v ∈ V .

790

Chapitre VII. Descente globale

˜ )) et tout V contenant S(X ), on a l’égalité Théorème. Pour tout X ∈ Stab(G(F ˜

˜

SAG (V, X ) = SAG (V, X ). Cela sera démontré en 3.4.

VII.3.3 Enoncé du théorème principal ˜ a) particuliers. Dans cette référence, En [III] 6.2, on a défini certains triplets (G, G, le corps de base était local non-archimédien, mais les définitions et résultats valent aussi bien sur notre corps de nombres. Considérons un tel triplet. Rappelons que G est quasi-déployé sur F et simplement connexe. On a a = 1. Notons ΘF l’ensemble ˜ ) tels qu’il existe une paire de Borel épinglée E de G définie sur F de des η ∈ G(F sorte que adη conserve E. Cet ensemble n’est pas vide. L’ensemble des classes de conjugaison stable contenant un élément de ΘF , que l’on note ΘF / st-conj, est en ˜ ΓF . De plus, l’application naturelle bijection avec Z(G) ˜ → (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G) ˜ Z(G) est injective, cf. preuve de [III] 6.2(4). On voit alors que l’ensemble ΘF / st-conj ˜ )) de Stab(G(F ˜ )) défini de est paramétré par le sous-ensemble fini Stabexcep (G(F la façon suivante. C’est l’ensemble des (μ, ωG¯ ) tels que μ appartienne à l’image ˜ ΓF par l’application précédente. On a alors W (μ) = W θ∗ donc ωG¯ est de Z(G) ˜ a) n’est pas l’un forcément trivial. L’indice excep signifie exceptionnel. Si (G, G, ˜ des triplets définis en [III] 6.2, on pose Stabexcep(G(F )) = ∅. ˜ a) quelconque. Considérons un triplet (G, G, ˜ )) et V un ensemble fini de places contenant Théorème. Soient X ∈ Stab(G(F ˜ )). Alors on a l’égalité S(X ). On suppose X ∈  Stabexcep(G(F   ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). AG (V, X , ω) = i(G, ˜ G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G (F ));X  →X

D’après 1.7(3), on a S(X  ) ⊂ S(X ) ⊂ V pour tout X  intervenant ci-dessus.  Alors les termes SAG (V, X  ) sont déduits de ceux définis au paragraphe précédent par les constructions formelles habituelles. La démonstration du théorème occupe les sections 5 à 8.

VII.3.4 Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2, 1.10(ii) et [VI] 5.2 ˜ a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. En particulier, On suppose que (G, G, ˜ )) est ce n’est pas l’un des triplets définis en [III] 6.2 et l’ensemble Stabexcep(G(F ˜ vide. Soient X ∈ Stab(G(F )) et V un ensemble fini de places contenant S(X ).

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

791

˜ V ) tel que G = G et X  ∈ Stab(G ˜  (F )) tel que X  → X . Soient G ∈ E(G,  Comme on l’a dit, on a S(X ) ⊂ S(X ) ⊂ V et on peut appliquer le théorème 3.2   par récurrence : SAG (V, X  ) = SAG (V, X  ). L’égalité du théorème 3.3 se récrit ˜

˜

AG (V, X ) = SAG (V, X )  +





˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ), X  ∈Stab(G (F )); G ∈E(G,V X  →X G =G

En utilisant la définition 1.10(2), cela entraîne ˜

˜

SAG (V, X ) = SAG (V, X ), ce qui prouve le théorème 3.2. Grâce au théorème 3.2, les propriétés 3.2(3) et 3.2(4) de la distribution ˜ SAG (V, X ) impliquent l’assertion du théorème 1.10(ii) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Le corollaire 2.5 permet de supprimer cette restriction, d’où le théorème 1.10(ii). Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . En utilisant le théo˜ rème 1.10(ii), la proposition 1.12(iii) entraîne que SAG (V, OV ) est stable pour ˜ ss (FV )/ st-conj et qu’elle ne dépend que des classes de conjugaison tout OV ∈ G ˜ v pour v ∈ V . Ce sont les assertions du théorème [VI] 5.2. par GAD (Fv ) des K A ce point, on peut remarquer que le théorème 3.2 permet de retrouver la ˜ formule habituelle pour une distribution SAG (V, OV ) associée à une classe de conjugaison stable elliptique et fortement régulière. Précisément, considérons un ˜ ) elliptique et fortement régulier. Notons X le paramètre de sa élément δ ∈ G(F classe de conjugaison stable. Fixons un ensemble fini V de places de F contenant ˜ V ), fixons un ˜ Notons OV la classe de conjugaison stable de δ dans G(F S(X , K). ensemble de représentants Y˙ δ des classes de conjugaison par G(FV ) contenues dans OV . Fixons une mesure de Haar dx sur Gδ (FV ). Pour δ  ∈ Y˙ δ , Gδ (FV ) est isomorphe à Gδ (FV ) et on munit le premier groupe de la mesure correspondant ˜ V )) et dg une mesure de Haar sur G(FV ). Alors on a à dx. Soient f ∈ Cc∞ (G(F l’égalité S G (SAG (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (Gδ )−1 mes(AG Gδ (F )\Gδ (AF ))  f (g −1 δ  g) dg. ˜

(1)

˜

δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

˜ V )). La condition de Preuve. Notons XV l’image naturelle de X dans Stab(G(F forte régularité imposée à δ implique que l’ensemble de sommation de la pro˜ ˜ position 1.12(iii) est réduit à {X }. Donc SAG (V, OV ) = SAG (V, X ). Grâce au ˜ G théorème 3.2, ceci est égal à SA (V, X ). On utilise la définition de ce terme. Par forte régularité, le groupe Ξδ est réduit à {1}. On obtient δ S G (SAG (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G)τ (Gδ )−1 S Gδ (SAG unip (V ), (f ⊗ dg)δ ).

˜

˜

792

Chapitre VII. Descente globale

Gδ δ Puisque Gδ est un tore, on a SAG unip (V ) = Aunip (V ). Ecrivons (f ⊗ dg)δ = ϕ ⊗ dx. D’après [VI] 2.2, on a δ I Gδ (AG unip (V ), ϕ ⊗ dx) = mes(AG Gδ (F )\Gγ (AF ))ϕ(1).

Il résulte de la définition de l’application de descente que  f (g −1 δ  g) dg. ϕ(1) = δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

En mettant ces calculs bout à bout, on obtient (1).



Comme on l’expliquera en 4.1, si la mesure dx et la mesure sur AG sont les mesures de Tamagawa, on a l’égalité mes(AG Gδ (F )\Gδ (AF )) = τ (Gδ ). Alors la formule (1) se simplifie en  ˜ ˜ G G S (SA (V, OV ), f ⊗ dg) = τ (G) f (g −1 δ  g) dg. δ  ∈Y˙ δ

Gδ (FV )\G(FV )

On retrouve ainsi les formules de [48] et [53].

VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 Soit V un ensemble fini de places de F contenant Vram . On définit l’ensemble ˜ V )) de la même façon qu’en 3.3. Il est vide si (G, G, ˜ a) n’est pas Stabexcep(G(F ˜ a) est l’un de ces triplets, l’un des triplets définis en [III] 6.2. Si (G, G, ˜ V )) Stabexcep(G(F ˜ V ) d’éléments ηV = (ηv )v∈V ∈ paramètre les classes de conjugaison stable dans G(F ˜ Gss (FV ) tels que, pour tout v ∈ V , il existe une paire de Borel épinglée Ev de G ˜ V )) est en définie sur Fv de sorte que adηv conserve Ev . L’ensemble Stabexcep(G(F  Γ ˜ Fv . C’est un ensemble fini. bijection avec v∈V Z(G) Proposition. (i) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème 1.10(i) pour ˜ )). X ∈ Stabexcep(G(F (ii) Le théorème 3.3 implique l’assertion du théorème [VI] 5.4 pour toute classe ˜ ss (FV )/ st-conj qui est paramétrée par un élément de Stab(G(F ˜ V )) OV ∈ G ˜ qui n’appartient pas à Stabexcep(G(FV )).

VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes

793

˜ a) n’est pas quasi-déployé et à torsion inPreuve. On peut supposer que (G, G, térieure, sinon les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 sont tautologiques. Soit X ∈ ˜ )), supposons d’abord S(X ) ⊂ V . Comme dans ˜ )) − Stabexcep (G(F Stab(G(F le paragraphe précédent, les hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le théorème 3.2, cette fois pour tout G . Alors l’égalité du théorème 3.3 devient   ˜ ˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). AG (V, X , ω) = i(G, ˜ G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G (F ));X  →X

En comparant avec 1.10(3), on obtient ˜

˜

AG (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω). Cela démontre le théorème 1.10(i) sous la restriction S(X ) ⊂ V . Celle-ci disparaît grâce au corollaire 2.5. Cela prouve (i). ˜ )) → Stab(G(F ˜ V )) envoie Stabexcep(G(F ˜ )) dans L’application Stab(G(F ˜ V )). Pour une classe OV qui est paramétrée par un élément de Stabexcep(G(F ˜ V )) qui n’est pas exceptionnel, les X qui interviennent dans les formules Stab(G(F (i) et (ii) de la proposition 1.12 ne sont donc pas exceptionnels. Le théorème 1.10(i) déjà démontré pour les éléments non exceptionnels implique que les membres de droite de ces deux formules sont égaux. D’où l’égalité des membres de gauche, ce qui est l’assertion du théorème [VI] 5.4. 

VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i) et étend le théorème 3.3 A la fin du présent chapitre, nous aurons démontré le théorème 3.3, avec ses conséquences décrites dans les deux paragraphes précédents. Nous compléterons ultérieurement la preuve du théorème [VI] 5.4, c’est-à-dire nous le démontre˜ V )). rons pour les classes OV paramétrées par des éléments de Stabexcep(G(F Montrons que cela suffira pour compléter la preuve du théorème 1.10(i). Soit ˜ )). Si X n’est pas exceptionnel, on a vu ci-dessus que l’assertion X ∈ Stab(G(F ˜ )). du théorème 1.10(i) résultait du théorème 3.3. Supposons X ∈ Stabexcep(G(F Cet élément paramètre une classe de conjugaison stable O. Il s’envoie sur un ˜ V )), qui paramètre la classe OV . En général, l’appliélément XV ∈ Stabexcep(G(F ˜ ˜ V )) n’est pas injective. Mais ici, la fibre de cette cation Stab(G(F )) → Stab(G(F application au-dessus de XV est réduite à {X }. En effet, le défaut d’injectivité est dû au fait qu’un cocycle ωG¯ n’est pas toujours déterminé par ses restrictions ˜ ΓF . ωG,v pour v ∈ V . Ici, X est l’image d’un couple (μ, ωG¯ ) tel que μ ∈ Z(G) ¯ θ∗  On a W (μ) = W tout entier et tout cocycle ωG¯ complétant μ en un élément  ˜ (μ, ωG ¯ ) ∈ Stab(G(F )) est forcément trivial. Les assertions (i) et (ii) de la proposition 1.12 se réduisent aux égalités ˜

˜

AG (V, OV , ω) = AG (V, X , ω), ˜

˜

AG,E (V, OV , ω) = AG,E (V, X , ω).

794

Chapitre VII. Descente globale

Le théorème [VI] 5.4 affirme l’égalité des deux membres de gauche. D’où l’égalité des membres de droite, ce qui est l’assertion du théorème 1.10(i). Sous la même hypothèse, l’égalité du théorème 3.3 est valable pour tout ˜ )). En effet, comme dans le paragraphe précédent, le membre de X ∈ Stab(G(F ˜ droite de cette égalité est égal à AG,E (V, X , ω). Le théorème 1.10(i) affirme que ce ˜ G terme est égal à A (V, X , ω).

VII.3.7 Quelques cas faciles ˜ )) et V contenant S(X ). On considère les hypothèses suiSoient X ∈ Stab(G(F vantes : ˜ ; (1) V contient S(X , K) (2) X est elliptique ; ˜ v )) appartient à (3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab(G(F ˜v G l’image de l’application χ ; ¯ AF ) sont triviales. (4) les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et à Z(G; Lemme. Si l’une de ces hypothèses n’est pas satisfaite, l’égalité du théorème 3.3 est vérifiée, les deux membres étant nuls. ˜

Preuve. Les assertions 1.9 (1), (2) et (3) nous disent que AG (V, X , ω) = 0 si (1), ˜ resp (2), (4), n’est pas vérifiée. On a aussi AG (V, X , ω) = 0 par définition si (3) ˜ n’est pas vérifiée car a fortiori X n’est pas dans l’image de χG . Considérons maintenant le membre de droite de l’égalité . Soient G et X  y  intervenant. Supposons transfert(SAG (V, X  )) = 0. On va prouver que les conditions (1) à (4) sont alors vérifiées. Les relations 1.7(3) et (4) nous disent que ˜ − S(X ) ⊂ S(X  , K ˜  ) − S(X  ). La non-nullité de S(X  ) ⊂ S(X ) ⊂ V et S(X , K) G   ˜ SA (V, X ) entraîne S(X , K ) ⊂ V d’après 3.2(2). Ces inclusions entraînent (1). De même, 3.2(2) implique que X  est elliptique, d’où (2) d’après 1.7(2). Notons ˜  (F ) associée à X  . Puisque SAG (V, X  ) O la classe de conjugaison stable dans G ˜  (FV ) engendrée par est à support dans la classe de conjugaison stable OV dans G  O , la non-nullité de transfert(SAG (V, X  )) entraîne que cette classe correspond ˜ V ). D’après le lemme 1.8, il existe à une classe de conjugaison stable dans G(F ˜ pour tout v ∈ V une classe Ov ∈ Gss (Fv )/ st-conj qui corresponde à Ov et dont ˜ ˜ v )). Puisqu’on a déjà prouvé que l’image par χGv soit l’image de X dans Stab(G(F (1) était vérifiée, le lemme 1.8(2) entraîne la même propriété pour v ∈ V . Cela entraîne (3). Cela entraîne aussi que, pour toute place v, on peut fixer un dia˜  (Fv ) et η ∈ Ov . D’après [48] gramme (, B  , T  , B, T, η) défini sur Fv , avec  ∈ G ss θ,0 lemme 4.4.C, ω est trivial sur T (Fv ). A fortiori ω est trivial sur le sous-groupe ¯ Fv ) soit Z(Gη ; Fv ) ⊂ T θ,0(Fv ). Cela équivaut à ce que la restriction de ω à Z(G; triviale. Enfin, l’existence de G entraîne que ω est trivial sur Z(G; AF )θ (cf. par exemple [I] lemme 2.7). Cela vérifie la condition (4). 

VII.4. Distributions à support unipotent

795

VII.4 Distributions à support unipotent VII.4.1 Mesures de Tamagawa Dans ce paragraphe, G est un groupe réductif connexe défini sur F . Pour toute place finie v de F , on note ov l’anneau des entiers de Fv , pv son idéal maximal et Fv le corps résiduel. Pour toute place v ∈ Val(F ), on munit Fv d’une mesure de Haar de sorte que mes(ov ) = 1 pour presque toute place finie v. Le produit de ces mesures est une mesure sur AF . On suppose que mes(AF /F ) = 1. Fixons une forme différentielle de degré maximal sur g, définie sur F et non nulle. Pour toute place v, on déduit de cette forme différentielle et de la mesure sur Fv une mesure dXv sur g(Fv ). Rappelons que l’ensemble des mesures de Haar sur g(Fv ) s’identifie à celui des mesures de Haar sur G(Fv ) : deux mesures se correspondent si et seulement si le jacobien de l’application exponentielle, calculé pour ces mesures, vaut 1 au point 0 ∈ g(Fv ). On a donc aussi une mesure dgv sur G(Fv ). Fixons un ensemble fini V de places de F , contenant les places archimédiennes, de sorte que G soit non ramifié hors de V . Notons ρG la représentation de ΓF dans X ∗ (G)⊗Z C. On note Lv (ρG , s) sa fonction L en la place v et LV (ρG , s) sa fonction L partielle hors de V . Notons r l’ordre du pôle en 1 de la fonction LV (ρG , s) et posons VG = lim (s − 1)r LV (ρG , s). s→1

La mesure de Tamagawa sur G(AF ) est par définition égale à     (VG )−1 Lv (ρG , 1)dgv ⊗ dgv , v∈V

v∈V

ce produit étant convergent. Conformément à nos définitions de [VI] 1.1, il se déduit de la mesure de Tamagawa sur G(AF ) une mesure dgVT am sur G(FV ). En effet, fixons pour tout v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial Kv de G(Fv ). On a une mesure canonique dgvcan sur G(Fv ) telle que la mesure de Kv soit 1. Alors dgVT am est la mesure telle que dgVT am ⊗ ⊗v∈V dgvcan soit la mesure de Tamagawa sur G(AF ). D’une façon générale, si X est un ensemble muni d’une mesure dx et si Y est un sous-ensemble mesurable de X, notons mes(Y, dx) la mesure de Y . La définition entraîne que dgVT am est égale à   V −1 (1) (G ) Lv (ρG , 1) mes(Kv , dgv ) dgv . v∈V

v∈V

Soit v ∈ V . On sait qu’à Kv est associé un schéma en groupes Kv sur ov . On note kv le groupe des points sur ov de son algèbre de Lie. C’est une sous-ov -algèbre de g(Fv ). On note Kv la fibre résiduelle de Kv . On a un homomorphisme surjectif Kv → Kv (Fv ) dont on note Kv1 le noyau. Alors l’exponentielle se restreint en un

796

Chapitre VII. Descente globale

isomorphisme pv kv → Kv1 qui préserve les mesures. La formule précédente se récrit sous la forme suivante : notre mesure dgVT am sur G(FV ) est égale à   V −1 (2) (G ) Lv (ρG , 1)|Kv (Fv )| mes(pv kv , dXv ) dgv . v∈V

v∈V

Jusqu’à la fin du chapitre, pour tout groupe G et tout ensemble V de places comme ci-dessus, on munit G(AF ) et G(FV ) des mesures de Tamagawa. Cela nous débarrasse des espaces de mesures. On a aussi besoin d’une mesure sur AG . Rappelons la normalisation habituelle dans le cadre des mesures de Tamagawa. Identifions AG à Hom(X ∗ (G)ΓF , R), où X ∗ (G) est le groupe des caractères algébriques de G. On définit le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF , Z). La mesure «de Tamagawa» sur AG est celle pour laquelle ce réseau est de covolume 1. Si on munit G(AF ) de la mesure de Tamagawa et que l’on choisit cette mesure sur AG , on sait que la mesure de AG G(F )\G(AF ) est égale au terme τ (G) défini en 3.2. Mais cette normalisation est peu commode. Par exemple, elle n’est pas compatible avec la situation de 4.2(2) ci-dessous. On fixe donc la mesure sur AG sans supposer qu’il s’agit de la mesure de Tamagawa. On note covol(AG,Z ) le covolume de ce réseau et τ  (G) la mesure de AG G(F )\G(AF ) calculée à l’aide de notre mesure sur AG . On a alors l’égalité (3)

τ  (G) = covol(AG,Z )−1 τ (G).

VII.4.2 Compatibilité des mesures Considérons les deux situations suivantes. (1) On se donne une suite exacte 1 → C1 → G1 → G → 1 de groupes réductifs connexes définis sur F , où C1 est un tore central induit. On a une suite exacte 1 → AC1 → AG1 → AG → 1. On suppose qu’elle est compatible aux mesures. On fixe un ensemble fini V de places de F tel que les trois groupes soient non ramifiés hors de V . (2) On se donne une suite exacte 1 → Ξ → G1 × G2 → G → 1 où G1 , G2 et G sont des groupes réductifs connexes définis sur F et Ξ est un sous-groupe fini central de G1 × G2 . On fixe un ensemble fini V de places

VII.4. Distributions à support unipotent

797

de F tel que G1 , G2 et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à p pour tout nombre premier p divisant une place hors de V . Lemme. (i) Dans la situation (1), la suite exacte 1 → C1 (FV ) → G1 (FV ) → G(FV ) → 1 est compatible aux mesures. On a l’égalité τ  (G1 ) = τ  (C1 )τ  (G). (ii) Dans la situation (2), le revêtement G1 (FV ) × G2 (FV ) → G(FV ) préserve localement les mesures. Preuve. On effectue les constructions du paragraphe précédent en adaptant les notations de façon évidente. Considérons la situation (1). Fixons un isomorphisme d’algèbres de Lie g1 = c1 ⊕ g. On fixe des formes différentielles de degré maximal sur c1 et g, définies sur F et non nulles. Par produit tensoriel, on en déduit une telle forme sur g1 . Pour chaque place v, on associe à ces formes des mesures de Haar sur C1 (Fv ), G1 (Fv ) et G(Fv ) comme dans le paragraphe précédent. La suite 1 → C1 (Fv ) → G1 (Fv ) → G(Fv ) → 1 est compatible à ces mesures. On a aussi ρG1 = ρC1 ⊕ ρG . On en déduit que la suite 1 → C1 (AF ) → G1 (AF ) → G(AF ) → 1 est compatible aux mesures de Tamagawa. La dernière assertion du (i) résulte alors de [68] théorème 5.3 (dont l’énoncé se simplifie grâce à l’hypothèse que C1 est induit). Pour v ∈ V , le sous-groupe compact hyperspécial KC1 ,v de C1 (Fv ) est unique et on peut choisir des sous-groupes compacts hyperspéciaux dans G1 (Fv ) et G(Fv ) qui fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe G1,AD = GAD . Alors la suite 1 → KC1 ,v → K1,v → Kv → 1 est exacte. Le théorème de Lang entraîne que la suite déduite 1 → KC1 ,v (Fv ) → K1,v (Fv ) → Kv (Fv ) → 1 est exacte. La suite 0 → kC1 ,v → k1,v → kv → 0

798

Chapitre VII. Descente globale

est aussi exacte. De ces deux faits, on déduit par un argument familier que la suite 1 → KC1 ,v → K1,v → Kv → 1 est aussi exacte. D’après la compatibilité des mesures, on a mes(KC1 ,v , dc1,v ) mes(K, dg) = mes(K1 , dg1 ). La première assertion de (i) résulte alors de la formule (1) du paragraphe précédent. Considérons la situation (2). On a un isomorphisme g1 ⊕ g2  g. On peut supposer que la forme différentielle fixée sur g est le produit des formes différentielles fixées sur g1 et sur g2 . Pour toute place v, l’isomorphisme g1 (Fv ) ⊕ g2 (Fv )  g(Fv ) est alors compatible aux mesures déduites de ces formes. Donc le revêtement G1 (Fv ) × G2 (Fv ) → G(Fv ) préserve localement ces mesures. Pour prouver le (ii) du lemme, il suffit de prouver que la constante figurant dans la formule (2) du paragraphe précédent pour G est le produit des constantes pour G1 et pour G2 . On a l’égalité ρG = ρG1 ⊕ ρG2 , les constantes provenant des fonctions L sont donc compatibles. Soit v ∈ V . On peut de nouveau supposer que les sous-groupes hyperspéciaux de G1 (Fv )×G2 (Fv ) et de G(Fv ) fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe GAD . L’hypothèse que |Ξ| est premier à la caractéristique résiduelle de Fv entraîne que l’on a l’égalité kv = k1,v ⊕ k2,v et que la suite 1 → Ξ → K1,v × K2,v → Kv → 1 est exacte. L’égalité ci-dessus entraîne (1)

mes(pv kv ) = mes(pv k1,v ) mes(pv k2,v ).

La suite exacte ci-dessus, jointe au théorème de Lang, entraîne l’exactitude de la suite nr 1 → ΞΓv → K1,v (Fv ) × K2,v (Fv ) → K(Fv ) → H 1 (Γnr v ; Ξ) → 1. On vérifie facilement l’égalité nr

|ΞΓv | = |H 1 (Γnr v ; Ξ)| qui est valable pour tout Γnr v -module abélien fini Ξ. D’où (2)

|K1,v (Fv ) × K2,v (Fv )| = |K(Fv )|.

Les égalités (1) et (2) entraînent l’égalité requise des constantes.



VII.4. Distributions à support unipotent

799

VII.4.3 Coefficients et revêtement ˜ a) tel que G ˜ = G. Mais Dans la suite de cette section, on considère un triplet (G, G, on n’impose pas que a = 1. On impose toutefois que ω est trivial sur Z(G; AF ). On ˜ v = Kv pour tout v ∈ Vram . On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un suppose K groupe réductif connexe G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G. Ces trois données sont définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q par l’identité sur Z. On obtient ainsi un homomorphisme noté q : G → G. On suppose qu’il s’inscrit dans une suite exacte q

1 → Ξ → G → G → 1 où Ξ est un sous-groupe fini central. On suppose que ω est trivial sur q(G (AF )). On fixe un ensemble fini V de places de F tel que G et G soient non ramifiés hors de V et tel que le nombre d’éléments de Ξ soit premier à tout nombre premier divisant une place v ∈ V . Exemple. On peut prendre Z = Z(G)0 , G = GSC et V ⊃ Vram . Ces données vérifient les conditions ci-dessus. On note Ξ la projection de Ξ dans G . Pour toute place v ∈ V , fixons un voisinage ouvert Ω,v de 1 dans G (Fv ). On suppose que x appartient à Ω,v si et seulement si la partie semi-simple de x appartient à Ω,v . On suppose que, si x et x sont deux éléments de G (Fv ) qui sont conjugués par un élément de G (F¯v ), alors x ∈ Ω,v si et seulement si x ∈ Ω,v . On suppose enfin que, si ξ ∈ Ξ(Fv ) est différent ∩ ξΩ,v = ∅. On pose Ωv = q (Z(Fv ) × Ω,v ). On pose  de 1, alors Ω,v  ΩV = v∈V Ωv , Ω,V = v∈V Ω,v . Fixons un ensemble de représentants UV du quotient fini q (G (FV ))\G(FV ). Pour f ∈ Cc∞ (ΩV ) et u ∈ UV , on définit la fonction (u f )G sur Ω,V par (u f )G (x) = f (u−1 q(x)u) pour tout x ∈ Ω,V . On pose (1)

ιG ,G (f ) = |UV |−1



ω(u)(u f )G .

u∈UV

Cette application est le produit sur les places v ∈ V de celles que l’on a définies et étudiées en [III] 3.1. Elle dépend du choix de UV , mais il s’en déduit une application ιG ,G : I(ΩV , ω) → I(Ω,V ) qui n’en dépend pas (les notations sont celles de [III] 3.1, adaptées à un ensemble fini de places). Elles sont aussi compatibles, en un sens facile à préciser, à un changement de voisinage Ω,V . Il s’en déduit dualement un homomorphisme Dg´eom (Ω,V ) → Dg´eom (ΩV , ω).

800

Chapitre VII. Descente globale

Celui-ci se restreint en un homomorphisme ι∗G ,G : Dunip(G (FV )) → Dunip (G(FV ), ω). On a fixé les mesures en 4.1, la distribution AG unip (V, ω) est donc un élément de Dunip (G(FV ), ω). Elle dépend de la mesure fixée sur AG , mais τ  (G)−1 AG unip (V, ω)  V n’en dépend pas. Elle dépend du groupe K = v∈V Kv . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. Pour le groupe G et pour v ∈ V , on choisit pour sous-groupe hyperspécial K,v de G (Fv ) le groupe tel que K,v et Kv fixent le même point hyperspécial de l’immeuble commun du groupe GAD . Autrement dit K,v = q −1 (Kv ). Soit S un sous-ensemble fini de places de F contenant V . Choisissons un ensemble de représentants USV du quotient q (G (FSV )\G(FSV ). Pour u = (uv )v∈S−V ∈ USV , posons     u V −1 K = K,v uv K,v uv . v∈S

Posons

V −1  AG unip;G,ω,S (V ) = |US |

v∈S−V



u V  ω(u)AG unip (V, K  ).

V u∈US

Cela ne dépend pas du choix de l’ensemble de représentants. Proposition. Si l’ensemble S est assez grand, la distribution τ  (G)−1 AG unip (V, ω)  (V ). est l’image par l’homomorphisme ι∗G ,G de τ  (G )−1 AG unip;G,ω,S

VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3 On doit commencer par quelques préliminaires. De tout Levi M de G se déduisent des Levi M = q−1 (M ) et M = q −1 (M ) de G et G . Pour v ∈ Val(F ), on pose K,v = q −1 (Kv ) et K,v = q−1 (Kv ). On note KvM = M (Fv ) ∩ Kv . On rappelle que l’on a fixé un Levi minimal M0 . On a l’égalité q (M0, (Fv ))\M0 (Fv ) = q (G (Fv ))\G(Fv ). On fixe un ensemble de représentants Uv de ce quotient, contenu dans M0 (Fv ). Considérons un ensemble fini S de places de F , contenant V et tel que : (1) pour tout M ∈ L(M0 ), on a les égalités M (AF ) = M (F )(M (FS ) × K M,S ), M (AF ) = M (F )(M (FS ) × KM ,S ).

VII.4. Distributions à support unipotent

801

Cette condition est vérifiée si S est assez grand. On va prouver l’assertion de la proposition pour un tel S. On pose US = v∈S Uv . Soit ϕ une fonction intégrable sur G(F )AG \G(AF ). On suppose qu’elle est invariante à droite par Z(G)0 (AF )K S . Montrons qu’on a l’égalité ϕ(g) dg τ  (G)−1 AG G(F )\G(AF ) (2)  = τ  (G )−1 |US |−1 ϕ(q(x)u) dx. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Preuve. On commence par faire un calcul à des constantes multiplicatives près, étant entendu que ces constantes ne dépendent pas de ϕ. Notons Δ la projection dans G(FS ) de G(F ) ∩ (G(FS ) × K S ) et définissons de même Δ . En vertu de (1) et de l’invariance de ϕ par K S , on a l’égalité ϕ(g) dg = ϕ(g) dg. AG G(F )\G(AF )

AG Δ\G(FS )

On montrera ci-dessous que (3) q (Δ ) est d’indice fini dans Δ. Il existe donc c1 > 0 tel que l’intégrale précédente soit égale à ϕ(g) dg. c1 AG q (Δ )\G(FS )

Les hypothèses entraînent que AG = q (AG ). Puisque G(FS ) = u∈US q (G (FS ))u, on peut décomposer l’intégrale précédente en  ϕ(gu) dg. c1 u∈US

q (AG Δ )\q (G (FS ))

Puisque G (FS ) → q (G (FS )) est un honnête revêtement, il existe une constante c2 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à  ϕ(q (y)u) dy. c2 u∈US

AG Δ \G (FS )

En utilisant (1) et l’invariance de la fonction à intégrer par KS , on peut reconstituer cette expression comme  c2 ϕ(q (y)u) dy. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Les intégrales se décomposent en produit d’intégrales sur z ∈ AZ Z(F )\Z(AF ) et sur x ∈ AG G (F )\G (AF ). D’après l’hypothèse d’invariance de ϕ, la fonction à

802

Chapitre VII. Descente globale

intégrer est constante en z. Puisque le volume de AZ Z(F )\Z(AF ) est fini, il existe c3 > 0 tel que l’expression précédente soit égale à  c3 ϕ(q(x)u) dx. u∈US

AG G (F )\G (AF )

Cela démontre l’égalité (2), au calcul près de la constante c3 . Pour calculer celle-ci, il suffit d’appliquer la relation obtenue à la fonction ϕ constante de valeur 1.  Preuve de (3). On peut définir vol(AG q (Δ )\G(FS )) =

dg AG q (Δ )\G(FS )

ce terme pouvant valoir +∞. L’assertion (3) équivaut à dire que ce volume est fini. On reprend le calcul ci-dessus en l’appliquant à la fonction ϕ constante de valeur 1. Il montre que vol(AG q (Δ )\G(FS )) est le produit d’une constante finie et de vol(AG G (F )\G (AF )). On sait bien que ce dernier volume est fini. Donc  vol(AG q (Δ )\G(FS )) l’est aussi et (3) est vérifiée. Soit f ∈ Cc∞ (G(AF )). Rappelons qu’en [VI] 2.1, pour un paramètre T ∈ AM0 T dans un certain cône, on a défini une fonction g → kunip (f, g) sur Z(G; AF )\G(AF ), puis l’intégrale T T (f, ω) = kunip (f, g)ω(g) dg. Junip AG G(F )\G(AF )

G Cette expression est asymptote à un polynôme en T , dont on note Junip (f, ω) la valeur enun certain point T0 . Tous ces objets, y compris le point T0 , dépendent de K = v∈Val(F ) Kv . Si nécessaire, on fait figurer ce groupe dans la notation. En appliquant (2), on obtient T (f, ω) τ  (G)−1 Junip 

−1

= τ (G )

|US |

−1

 u∈US

AG G (F )\G (AF )

T kunip (f, q(x)u)ω(u) dx

puisque ω est trivial sur q (G (AF )). Pour tout u ∈ US , on pose u K = uK u−1 et on définit une fonction (u f )G sur G (AF ) par (u f )G (x) = f (u−1 q(x)u). En reprenant les définitions de [55], on voit qu’on a l’égalité G ,T −T0 +T0 (u K )

 T kunip (f, q(x)u) = kunip

((u f )G , x, u K  ).

On en déduit l’égalité (4)

G τ  (G)−1 Junip (f, ω) = τ  (G )−1 |US |−1

 u∈US

G ω(u)Junip ((u f )G , u K  ).

VII.4. Distributions à support unipotent

803

Supposons maintenant f = fV ⊗ 1K V , pour fV ∈ Cc∞ (ΩV ). En posant UV =  V V v∈V Uv et US = v∈S−V Uv , on a US = UV × US . Pour u ∈ US , que l’on écrit  u = u u , avec u ∈ UV et u ∈ USV , on a (u f )G = (u fV )G ⊗ 1u KV , avec des notations naturelles. Pour le membre de gauche de (4), on peut utiliser le développement [VI] 2.2(1) relatif à K V . Pour le terme indexé par u du membre de droite, on utilise le même développement relatif à u KV . On obtient l’égalité  (5) |W M ||W G |−1 XM = 0, 

M∈L(M0 )



G  −1 (AM |US |−1 XM = τ  (G)−1 JM unip (V, ω), fV ) − τ (G )    G u M ,V  ω(u)JM (AM K ), (u fV )G , u K ,V ). unip (V,  u∈US

Avec la définition de 4.3, on récrit G  −1 (AM |UV |−1 XM = τ  (G)−1 JM unip (V, ω), fV ) − τ (G )  G u u  ω(u)JM (AM unip;M,ω,S (V ), ( fV )G , K ,V ).  u∈UV

Soit M ∈ L(M0 ). Les distributions et intégrales orbitales pondérées intervenant dépendent de mesures sur AG , AM , AG et AM . L’homomorphisme q définit un isomorphisme de AM /AG sur AM /AG . On peut supposer que cet isomorphisme préserve les mesures. Pour tout γ ∈ Dunip (M (FV )), on a alors l’égalité  G G ∗ (ιM ,M (γ), ω, fV ) = |UV |−1 ω(u)JM (γ, (u fV )G , u K ,V ). (6) JM  u∈UV

En effet, on a vu l’égalité analogue dans le cas local en [III] 3.3. Pour obtenir (5), on peut soit reprendre la preuve de ce cas local, soit utiliser les formules de scindage habituelles. On laisse les détails au lecteur. Pour M = G, on peut utiliser la proposition 4.3 par récurrence : pour γ = ∗  −1 M  Aunip (V, ω) (notons que la τ  (M )−1 AM unip;M,ω,S (V ), on a ιM ,M (γ) = τ (M ) condition (1) imposée à S implique la même condition quand on remplace G par M ). En utilisant (6), on transforme XM en G (AM (τ  (G)−1 − τ  (G )−1 τ  (M )−1 τ  (M ))JM unip (V, ω), fV ).

On montrera ci-dessous que (7)

τ  (G)−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ).

On obtient alors XM = 0 pour tout Levi M = G. L’égalité (5) entraîne alors XG = 0. D’après les définitions, cela signifie que  −1 G  τ  (G)−1 I G (AG I (AG unip (V, ω), fV ) = τ (G ) unip;G,ω,S (V ), ιG ,G (fV )),

804

Chapitre VII. Descente globale

ou encore  −1 G ∗  τ  (G)−1 I G (AG I (ιG ,G (AG unip (V, ω), fV ) = τ (G ) unip;G,ω,S (V )), fV ).

Cela étant vrai pour tout fV ∈ Cc∞ (ΩV ), on en déduit  −1 ∗  τ  (G)−1 AG ιG ,G (AG unip (V, ω) = τ (G ) unip;G,ω,S (V )),

ce qui prouve la proposition 4.3. Il reste à prouver (7). Puisque G , resp. M , est le produit de Z et de G , resp. M , on a τ  (G )−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ). On peut aussi bien démontrer l’égalité (8)

τ  (G)−1 τ  (M ) = τ  (G )−1 τ  (M ).

Rappelons que l’on a identifié AG à Hom(X ∗ (G)ΓF , R) et que l’on a défini le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF , Z). On a une injection X ∗ (G)ΓF → X ∗ (M )ΓF . Son conoyau est sans torsion. En effet, si on introduit un tore maximal T ⊂ M , ce conoyau est l’image de l’homomorphisme naturel X ∗ (M )ΓF → X ∗ (Tsc )ΓF , où, comme toujours, Tsc est l’image réciproque de T dans GSC . De l’injection précédente se déduisent des homomorphismes AM → AG et AM,Z → AG,Z . Le premier est trivialement surjectif. Le second est lui aussi surjectif, parce que le conoyau de l’injection X ∗ (G)ΓF → X ∗ (M )ΓF est sans torsion. En notant AG M et AG les noyaux de ces homomorphismes, on obtient une suite exacte M,Z G 0 → AG M /AM,Z → AM /AM,Z → AG /AG,Z → 0 .

Donc

−1 covol(AM,Z )−1 covol(AG,Z ) = covol(AG . M,Z )

En se rappelant la définition de 4.1, on obtient −1 τ  (G)−1 τ  (M ) = τ (G)−1 τ (M ) covol(AG . M,Z )

ˆ = ker1 (F, Z(M ˆ )). L’égalité préOn a démontré en [VI] 6.1 l’égalité ker1 (F, Z(G)) cédente se récrit donc (9)

−1 ˆ ΓF )|−1 |π0 (Z(M ˆ )ΓF )| covol(AG τ  (G)−1 τ  (M ) = |π0 (Z(G) . M,Z )

On a bien sûr une relation analogue pour G et M . On a un diagramme commutatif (10)

X ∗ (G)ΓF ↓ X ∗ (G )ΓF

→ →

X ∗ (M )ΓF ↓ X ∗ (M )ΓF

VII.4. Distributions à support unipotent

805

dont les flèches sont injectives. Les flèches verticales sont de conoyaux finis. On en déduit un diagramme d’isomorphismes 1 →

AG M 

1 → AG M



AM  → AM

→ →

AG  AG

→ 1 → 1

et un diagramme commutatif 1 1



AG M,Z ↑

→ AG M ,Z ↑ 1



AM,Z ↑ → AM ,Z ↑ 1



AG,Z ↑ → AG ,Z ↑ 1.

→ 1 → 1

G Les suites ci-dessus sont exactes. On les complète en notant BM , BM et BG les conoyaux des suites verticales. Ils sont finis et on a la suite exacte G → BM → BG → 1. 1 → BM G

On a normalisé les mesures de sorte que l’isomorphisme AG M → AM les conserve. On en déduit G G

covol(AG M ,Z ) = covol(AM,Z )|BM |,

d’où aussi (11)

G −1

covol(AG |BM |. M ,Z ) = covol(AM,Z )|BG |

ˆ 0 ). Dualement au diagramme (10), on a un diaOn sait que X ∗ (G)  X∗ (Z(G) gramme commutatif ˆ ΓF ,0 → Z(M ˆ )ΓF ,0 Z(G) ↓ ↓ ˆ  )ΓF ,0 → Z(M ˆ  )ΓF ,0 . Z(G Les flèches horizontales sont injectives. Les flèches verticales sont surjectives. On ˆG et B ˆM . Remarquons que, puisque G ˆ et G ˆ  ont même groupe note leurs noyaux B ˆ  )ΓF ˆ  )ΓF ,0 ∩Z(G adjoint, l’image réciproque par la deuxième flèche verticale de Z(M Γ ,0 Γ ˆ ) F ∩ Z(G) ˆ F . Remarquons aussi que le quotient n’est autre que Z(M ˆ ΓF ,0 \(Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) Z(G) ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ). On n’est autre que le groupe des composantes connexes π0 (Z(M

806

Chapitre VII. Descente globale

obtient alors un diagramme commutatif 1 1 1 ↓ ↓ ↓ ˆG ˆM ˆG → B → B →1 1 → B M ↓ ↓ ↓ ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF → π0 (Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) → 1 ˆ ΓF ,0 → Z(M 1 → Z(G) ↓ ↓ ↓ ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF → π0 (Z(M ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF ) → 1 ˆ  )ΓF ,0 → Z(M 1 → Z(G ↓ ↓ ↓ 1 1 1 ˆ G est défini comme le noyau de la dernière suite verticale. Les lignes verticales où B M sont exactes. Les deux dernières lignes horizontales aussi. Donc la première ligne horizontale aussi. Revenons à la définition de BG , qui est le conoyau de l’homomorphisme AG ,Z → AG,Z . Par dualité, |BG | est aussi le nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme X ∗ (G)ΓF → X ∗ (G )ΓF . En vertu de l’isomorphisme X ∗ (G)  ˆ 0 ) et de l’isomorphisme analogue pour G , on voit que BG a même nombre X∗ (Z(G) ˆM . D’après ˆG . De même, BM a même nombre d’éléments que B d’éléments que B le diagramme ci-dessus, on obtient ˆ G | = |π0 (Z(M ˆ  )ΓF ,0 ∩ Z(G ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(M ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF )|. |BG |−1 |BM | = |B M On a la suite exacte ˆ )ΓF ,0 ∩ Z(G) ˆ ΓF ) → π0 (Z(M ˆ )ΓF ) → π0 (Z(G) ˆ ΓF ) → 1. 1 → π0 (Z(M D’où l’égalité ˆ  )ΓF )|−1 |π0 (Z(G ˆ  )ΓF )||π0 (Z(M ˆ )ΓF )||π0 (Z(G) ˆ ΓF )|−1 . |BG ||BM |−1 = |π0 (Z(M En insérant cette égalité dans (11) et en utilisant (9) ainsi que la relation analogue  pour G , on obtient (8). Cela achève la démonstration.

VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement On a étudié cette question dans le cas local en [III] 3.6 et 3.7 et en [V] 3.3. On se contente ici de reprendre brièvement les constructions dans notre cadre global. On suppose G quasi-déployé et a = 1. Comme on l’a vu en [III] 3.5, l’homomorphisme ιG ,G : Cc∞ (ΩV ) → Cc∞ (Ω,V ) de 4.3 se quotiente en un homomorphisme ιG ,G : SI(ΩV ) → SI(Ω,V ). Il est plus commode de noter cet homomorphisme ιG ,G : SI(G(FV )) → SI(G (FV )), étant entendu qu’il n’est défini que sur

VII.4. Distributions à support unipotent

807

les fonctions à support assez voisin de l’origine. Dualement, on a un homomorst st phisme Dg´ eom (G (FV )) → Dg´ eom (G(FV )), défini sur les distributions à support voisin de l’origine. Il se restreint en un homomorphisme st st (G (FV )) → Dunip (G(FV )). ι∗G ,G : Dunip st C’est aussi la restriction à Dunip (G (FV )) de l’homomorphisme ι∗G ,G défini en 4.3. Dualement à la suite exacte

1 → Ξ → Z × G → G → 1, on a une suite exacte ˆ → Zˆ × G ˆ  → 1, ˆ → G 1→Ξ ˆ Soit G = (G , G  , s) une donnée ˆ  est un sous-groupe fini central de G. où Ξ ˆ ˆ  . En endoscopique de G. L’élément s ∈ G s’envoie sur un élément (z, s ) ∈ Zˆ × G  ˆ notant G la composante neutre de ZG (s ), on a la suite exacte (1)

ˆ → G ˆ  → Zˆ × G ˆ  → 1. 1→Ξ

ˆ  contient Zˆ donc est de la forme Zˆ × G , où G est un sous-groupe Le groupe G  /Ξ L ˆ  . On introduit un groupe de G . Ce groupe définit une action galoisienne sur G   ˆ quasi-déployé G sur F dont G soit le groupe dual. Alors G = (G , G , s ) est une donnée endoscopique de G . En [I] 2.7, on a associé à une telle donnée un caractère de G,AD (AF ) noté alors ω et que nous noterons ici ω . Remarque. Dans cette référence, le corps de base était local mais la construction vaut aussi bien sur notre corps de nombres. Rappelons que G,AD = GAD . Pour la donnée que l’on vient de construire, on a (2) la restriction de ω à l’image de G(AF ) dans GAD (AF ) est triviale. Inversement, soit G = (G , G , s ) une donnée endoscopique de G . On fixe ˆ  . On note G  l’image réciproque de ˆ de (1, s ) ∈ Zˆ × G une image réciproque s ∈ G  L ˆ ˆ Z ×G dans G. Ce groupe agit sur Gs et munit ce groupe d’une action galoisienne. ˆ s est le groupe dual. Le On introduit un groupe G quasi-déployé sur F dont G   triplet (G , G , s) est une donnée endoscopique pour G muni d’un certain cocycle a. C’est une donnée endoscopique pour G, c’est-à-dire ce cocycle est trivial, si et seulement si la condition (2) est vérifiée. Ces constructions définissent des bijections inverses l’une de l’autre entre les classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et les classes d’équivalence de données endoscopiques pour G vérifiant (2). Ces bijections préservent l’ellipticité et la non-ramification hors de V . On a fixé des ensembles de représentants E(G, V ) et E(G , V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques pour G et G qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . On note EG (G , V ) le sousensemble des éléments de E(G , V ) qui vérifient la condition (2). Les ensembles E(G, V ) et EG (G , V ) sont en bijection.

808

Chapitre VII. Descente globale

Considérons une donnée G = (G , G  , s) et la donnée G = (G , G , s ) construite ci-dessus. Dualement à la suite (1), on a la suite exacte q

1 → Ξ → Z × G → G → 1. Les groupes G et G sont donc dans la même situation que les groupes G et G . Fixons des données auxiliaires G1 , C1 , ξˆ1 pour G . Notons G,1 le produit fibré ˆ  s’identifie à G ˆ  /ξˆ1 (Zˆ ), où Zˆ de G1 et G au-dessus de G . Le groupe dual G ,1 1  ˆ Puisque G est aussi isomorphe à G  /Zˆ , le est l’image réciproque de Zˆ dans G.  plongement ξˆ1 se quotiente en un plongement ξˆ,1 : G → L G,1 . Les données G,1 , C1 , ξˆ,1 sont des données auxiliaires pour G . Supposons les données endoscopiques non ramifiées hors de V , ainsi que les données auxiliaires pour G . Alors les données auxiliaires pour G sont elles-aussi non ramifiées hors de V . On a vu en [VI] 3.6 que le choix des groupes Kv pour v ∈ V permettait de définir un facteur de transfert canonique Δ1,V sur G1 (FV ) × G(FV ) (notons que, dans le cas non tordu, l’hypothèse Hyp de cette référence est toujours vérifiée). On a relevé les Kv en des sous-groupes K,v . Ils déterminent de même un facteur de transfert canonique Δ,1,V sur G,1 (FV )×G (FV ). On vérifie que si (δ,1 , γ ) ∈ G,1 (FV )×G (FV ) est un couple d’éléments semi-simples G -fortement réguliers qui se correspondent, on a l’égalité Δ,1,V (δ,1 , γ ) = Δ1,V (δ1 , γ), où δ1 et γ sont les projections naturelles de δ,1 et γ . Remarque. Il se peut que les éléments δ1 et γ se correspondent alors que δ,1 et γ ne se correspondent pas. L’égalité ci-dessus devient fausse, le membre de gauche étant nul alors que celui de droite ne l’est pas. On peut adapter les constructions de 4.3 et construire un homomorphisme ιG,1 ,G1 : SIλ1 (G1 (FV )) → SIλ1 (G,1 (FV )) bien défini sur les fonctions dont le support dans G (FV ) est voisin de l’origine. Le diagramme suivant est commutatif (3)

I(G(FV )) ιG ,G ↓

transfert

I(G (FV ))

transfert

→ →

SIλ1 (G1 (FV )) ↓ ιG,1 ,G1 SIλ1 (G,1 (FV )) .

Supposons que nos données endoscopiques soient elliptiques. Les espaces AG et AG sont isomorphes et, conformément aux conventions de [VI], on suppose que l’isomorphisme préserve les mesures. De même pour les espaces AG et AG . On fixe une mesure sur AC1 . En utilisant les suites exactes habituelles, des mesures déjà fixées se déduisent des mesures sur AG1 et AG,1 . Avec ces normalisations, montrons que l’on a l’égalité (4)

i(G, G )τ  (G)−1 τ  (G1 ) = i(G , G )τ  (G )−1 τ  (G,1 ).

VII.4. Distributions à support unipotent

809

Preuve. Rappelons (cf. [VI] 5.1) que, dans notre situation quasi-déployée et sans torsion, on a simplement i(G, G ) = | Out(G )|−1 τ (G)τ (G )−1 . D’autre part, le lemme 4.2 nous dit que τ  (G1 ) = τ  (G )τ  (C1 ). Le membre de gauche de (4) est donc égal à | Out(G )|−1 covol(AG,Z ) covol(AG ,Z )−1 τ  (C1 ). Parce que G est elliptique, on a les isomorphismes ˆ ΓF ,0 ) = X∗ (Z(G ˆ  )ΓF ,0 )  X ∗ (G )ΓF . X ∗ (G)ΓF  X∗ (Z(G) Il en résulte que covol(AG,Z ) = covol(AG ,Z ). Donc le membre de gauche de (4) est égal à | Out(G )|−1 τ  (C1 ). On a une formule analogue pour le membre de droite. On vérifie immédiatement que les groupes Out(G ) et Out(G ) sont isomorphes. L’égalité (4) s’ensuit. 

VII.4.6 Coefficients stables et revêtement On suppose encore G quasi-déployé et a = 1. Proposition. La distribution τ  (G)−1 SAG unip (V ) est l’image par l’homomorphisme  (V ). ι∗G ,G de τ  (G )−1 SAG unip Preuve. Soit f ∈ Cc∞ (G(FV )). On a par définition

(1)

 −1 G τ  (G)−1 I G (SAG I (AG unip (V ), f ) = τ (G) unip (V ), f )    −1  G G − τ (G) i(G, G )S (SAunip (V ), f G ). G ∈E(G,V ),G =G

Fixons G = (G , G  , s) ∈ E(G, V ) avec G = G. Introduisons des données auxiliaires pour G , non ramifiées hors de V . Introduisons aussi la donnée G comme  dans le paragraphe précédent, dont on utilise les notations. On identifie f G à un élément f1 ∈ SIλ1 (G1 (FV )). On a 





G

G

G 1 S G (SAG ) = Sλ11 (SAunip,λ (V ), f1 ). unip (V ), f 1

On peut appliquer la proposition par récurrence à G puisque G = G. On travaille ici avec des distributions qui se transforment selon le caractère λ1 de C1 (FV ) mais la dernière égalité du paragraphe 1.11 permet d’adapter la proposition à ce cas. On a donc G

G

,1 1 (V ) = τ  (G1 )τ  (G1, )−1 ι∗G,1 ,G1 (SAunip,λ (V )). SAunip,λ 1 1

810

Chapitre VII. Descente globale

D’où G

G

G

G

,1 1 (V ), f1 ) = τ  (G1 )τ  (G1, )−1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 ), Sλ11 (SAunip,λ 1 1

où f,1 = ιG,1 ,G1 (f1 ). En utilisant ces formules et 4.5(4), on transforme la somme en G de l’expression (1) en (2)



G

G

,1 τ  (G )−1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 ). 1

G ∈EG (G ,V )

Posons f = ιG ,G (f ). Remarquons que, d’après 4.5(3), les fonctions f,1 intervenant peuvent aussi se définir comme le transfert de f à G,1 (FV ). Le terme que l’on somme ne fait alors plus référence à G. En particulier, on peut le définir pour toute donnée G ∈ E(G , V ) et pas seulement pour celles qui proviennent d’une donnée endoscopique de G. D’autre part, les facteurs de transfert utilisés pour définir ces fonctions f,1 dépendent des compacts Kv pour v ∈ V . Notons-les G

,1 plus précisément f,1 [K V ]. On sait par contre que les distributions SAunip,λ (V ) ne 1 dépendent pas des compacts. Soit S un ensemble fini de places de F contenant V . Soit USV un ensemble de représentants du quotient q (G (FSV ))\G(FSV ). Pour u ∈ −1 USV , on définit pour v ∈ S−V le groupe u Kv = uKv u relève  , qui se en le compact u −1 u V K,v = uK,v u de G (Fv ). On pose K = ( v∈S−V u K v )( v∈S Kv ). Soit G ∈ E(G , V ). Montrons que

(3) si S est assez grand, on a l’égalité |USV |−1  =



G

G

,1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]) 1

V u∈US

G

G

,1 (V ), f,1 [K V ]), Sλ1,1 (SAunip,λ 1 0,

si G ∈ EG (G , V ), sinon.

En 4.5, on a rappelé l’existence d’un caractère ω de GAD (AF ) associé à G . La fonction f est par construction invariante par l’action de G(FV ). Il résulte de cela et de la définition du caractère ω que tous les transferts f,1 [u K V ] sont nuls sauf si ω est trivial sur G(FV ). Si cette condition n’est pas vérifiée, la relation (2) est donc évidente. Supposons que ω est trivial sur G(FV ). Pour v ∈ S − V , notons u Δ,1,v le facteur de transfert local associé à u K,v . Ce n’est autre que (δ,1 , γ ) → Δ,v (δ,1 , u−1 γ u), où Δ,v est associé à K,v . On a simplement Δ,v (δ,1 , u−1 γ u) = ω,v (u)Δ,v (δ,1 , γ ). Donc u Δ,1,v = ω,v (u)Δ,1,v . Ces facteurs locaux en v ∈ S − V sont les seules données qui changent quand on change de compacts. En se rappelant la définition des facteurs de transfert canoniques, on voit alors que f,1 [u K V ] = ω (u)−1 f,1 [K V ]. La somme de (3) vaut donc  G G,1 Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [K V ])|USV |−1 ω (u)−1 . 1 V u∈US

VII.5. Descente

811 G

G

,1 C’est-à-dire qu’elle vaut Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [K V ]) si ω est trivial sur G(FSV ) 1 et 0 sinon. Le caractère ω est automorphe et, parce que G est non ramifié hors de V , il est trivial sur K V . Choisissons S tel que G(AF ) = G(F )(G(FS ) × K S ). Parce que l’on a supposé que ω était trivial sur G(FV ), la condition que ce caractère soit trivial sur G(FSV ) équivaut alors à ce qu’il soit trivial sur tout G(AF ). C’est la condition 4.5(2), dont on a vu qu’elle équivalait à l’appartenance de G à EG (G , V ). Cela démontre (3). On fixe S assez grand. Grâce à (3), l’expression (2) se récrit

τ  (G )−1 |USV |−1





G

G

,1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]). 1

V G ∈E(G ,V ) u∈US  

La proposition 4.3 nous dit que le premier terme du membre de droite de (1) est égal à  u V  τ  (G )−1 |USV |−1 I G (AG unip (V, K  ), f ). V u∈US

Ainsi le membre de droite de la formule (1) est le produit de τ  (G )−1 |USV |−1 et de la somme en u ∈ USV de l’expression u V  I G (AG unip (V, K  ), f ) −



G

G

,1 i(G , G )Sλ1,1 (SAunip,λ (V ), f,1 [u K V ]). 1

G ∈E(G ,V )  Celle-ci est par définition égale à I G (SAG unip (V ), f ). La référence aux compacts  disparaît puisqu’on sait que la distribution SAG unip (V ) n’en dépend pas. Ce terme étant indépendant de u, l’égalité (1) devient simplement

 −1 G  τ  (G)I G (SAG I (SAG unip (V ), f ) = τ (G ) unip (V ), f ).

Dire que cette égalité est vérifiée pour tout f équivaut à l’assertion de l’énoncé.



VII.5 Descente VII.5.1 Une première transformation ˜ a) est quelconque. On On commence la preuve du théorème 3.3. Le triplet (G, G, ˜ ˜ fixe X ∈ Stab(G(F )) qui n’appartient pas à Stabexcep(G(F )). On fixe un ensemble fini V de places de F contenant S(X ). En vertu du lemme 3.7, on impose de plus ˜ ; (1) V contient S(X , K) (2) X est elliptique ; ˜ v )) appartient à (3) pour toute place v ∈ Val(F ), l’image de X dans Stab(G(F ˜ l’image de l’application χGv ; ¯ AF ) sont triviales. (4) les restrictions de ω à Z(G; AF )θ et Z(G;

812

Chapitre VII. Descente globale

On pose 

˜

AG,E (V, X , ω) =



˜ G ˜  ) transfert(SAG (V, X  )). i(G,

˜ ˜  (F )); G ∈E(G,a,V ) X  ∈Stab(G X  →X

Il s’agit de démontrer l’égalité ˜

˜

AG (V, X , ω) = AG,E (V, X , ω). ˆ Tˆ, (Eˆα )α∈Δ ) de G ˆ et on déOn fixe une paire de Borel épinglée Eˆ = (B, ˆ finit l’automorphisme θ ainsi que l’action galoisienne relativement à cette paire, ˜ a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, G, ˜ a) cf. [I] 1.2. Notons ETˆ (G,    ˆ ˆ qui sont de la forme G = (G , G , sθ) avec s ∈ T et qui sont elliptiques, reˆ et levantes et non ramifiées hors de V . Pour deux données G1 = (G1 , G1 , s1 θ)    ˆ ˆ G2 = (G2 , G2 , s2 θ) dans cet ensemble, disons qu’elles sont T -équivalentes s’il existe ˆ −1 ∈ s2 Z(G). ˆ Fixons un ensemble de repréx ∈ Tˆ tel que xG1 x−1 = G2 et xs1 θ(x) ˜ ˆ ˜ a, V ). Toute donnée sentants ETˆ (G, a, V ) des classes de T -équivalence dans ETˆ (G, endoscopique elliptique, relevante et non ramifiée hors de V est équivalente à une ˜ a, V ). Il y a donc une application surjective donnée appartenant à ETˆ (G, ˜ a, V ) → E(G, ˜ a, V ). ETˆ (G, ˆ ∈ E ˆ (G, ˜ a, V ). La fibre de cette application au-dessus de Soit G = (G , G  , sθ) T  ˆ à Tˆ-équivalence près, pour lesquels il l’image de G est formé des (G1 , G1 , s1 θ),  −1 ˆ −1 ∈ s1 Z(G). ˆ Puisque Gˆ et ˆ = G1 et xsθ(x) existe x ∈ G de sorte que xG x ˆ ˆ θ,0 θ,0  ˆ ˆ ˆ G1 contiennent T , on peut supposer que x normalise T , donc aussi Tˆ . La ˆ −1 ∈ s1 Z(G) ˆ implique alors que l’image de x dans W est fixe par condition xsθ(x) ˆ θ. Inversement, un élément x ∈ NormGˆ (Tˆ ) dont l’image dans W est fixe par θˆ ˆ Cette donnée est Tˆ -équivalente à G donne naissance à une donnée (G1 , G1 , s1 θ).  ˆ si et seulement si x ∈ T (Aut(G ) ∩ NormGˆ (Tˆ)). On a une suite exacte  1 → W G → Tˆ\Tˆ(Aut(G ) ∩ NormGˆ (Tˆ )) → Out(G ) → 1

Ainsi la fibre de l’application précédente au-dessus de l’image de G a pour nombre  d’éléments |W θ || Out(G )|−1 |W G |−1 . On peut donc récrire 

˜

AG,E (V, X , ω) = |W θ |−1 ˜ G ˜) i(G,





| Out(G )||W G |

G ∈ETˆ (G,a,V )

X  ∈Stab(G (F ));X  →X



transfert(SAG (V, X  )).

VII.5. Descente

813

ˆ ∈ E ˆ (G, a, V ). On fixe une paire de Borel épinglée de Soit G = (G , G  , sθ) T ˆ  ˆ ˆ  , Tˆ  ) est (B ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 G dont la paire de Borel sous-jacente (B ). En utilisant les notations de 1.7, cela définit l’application ξ : T ∗ → T  ∗ et une application ˜  (F )) → Stab(G(F ˜ )) que l’on note simplement (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ). Notons Stab(G ˜ ˜ )) l’application naturelle. ici pG˜ : Stab(G(F )) → Stab(G(F Remarque. Les hypothèses que G est relevante et non ramifiée hors de V n’interviennent pas ici. Les mêmes notations seront utilisées plus loin pour des données ne vérifiant pas ces hypothèses. ˜ )), notons Fib(Y) la fibre de p ˜ au-dessus de Y. On Pour Y ∈ Stab(G(F G ˜  (F )) tels que ˜  . Sommer sur les X  ∈ Stab(G adopte de mêmes notations pour G  ˜ X → X revient à sommer sur les (μ, ωG¯ ) ∈ Stab(G(F )) tels que pG˜ (μ, ωG¯ ) = X et sur les (μ , ωG¯  ) tels que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ), à condition d’affecter les termes d’un coefficient | Fib(pG˜  (μ , ωG¯  ))|−1 . Ce nombre d’éléments se calcule aisément à   l’aide de 1.1(4). Notons FixG (μ , ωG¯  ) le groupe des w ∈ W G tels que wμ = μ ,   −1 w(Σ+ (μ )) = Σ+ (μ ) et wωG¯  (σ)σG ∗ (w) = ωG¯  (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Alors 





| Fib(pG˜  (μ , ωG¯  ))| = |W G ||W G (μ )|−1 | FixG (μ , ωG¯  )|−1 .

(4) On obtient







transfert(SAG (V, X  )) =

X  ∈Stab(G (F )); X  →X



˜ )), (μ,ωG ¯ )∈Stab(G(F pG ¯ )=X ˜ (μ,ωG 





|W G |−1 |W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )|

˜  (F )), (μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG 

transfert(SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  ))). Cela conduit à l’égalité ˜

AG,E (V, X , ω) = |W θ |−1 





˜ )), G ∈ETˆ (G,a,V ) (μ,ωG ¯ )∈Stab(G(F pG ¯ )=X ˜ (μ,ωG

˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))), i(G, G

˜  (F )), (μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG

où (5)

˜ G ˜  )| Out(G )||W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )|. ˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) = i(G, i(G,

814

Chapitre VII. Descente globale

Pour tout (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ), on a la formule parallèle à (4) : | Fib(X )| = |W θ ||W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 . Posons ˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1

G ∈ETˆ (G,a,V )



(6) 





˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))). i(G, G ˜

(μ ,ωG ¯  )∈Stab(G (F )), (μ ,ωG ¯) ¯  )→(μ,ωG

On obtient la formule ˜

AG,E (V, X , ω) = | Fib(X )|−1



˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω).

(μ,ωG ¯ )∈Fib(X )

Enonçons une forme plus précise du théorème 3.3, qui implique celui-ci d’après la formule précédente. Proposition. Soient X et V comme plus haut. Pour tout (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ), on a l’égalité ˜

˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = AG (V, X , ω). C’est cette assertion que nous allons prouver. On fixe jusqu’à la fin de la preuve un élément (μ, ωG¯ ) ∈ Fib(X ).

VII.5.2 Descente des données endoscopiques On identifie la paire de Borel épinglée E ∗ = (B ∗ , T ∗ , (Eα )α∈Δ ) de G à une paire ˜ E ∗ ). On pose η = νe particulière. On relève μ en (ν, e) avec ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G, ¯ On ¯ = Gη . On note T¯ le tore T ∗,θ∗,0 vu comme un sous-tore maximal de G. et G ¯ ¯ G ¯ ¯ rappelle que Σ(μ) s’identifie à l’ensemble de racines Σ (T ) de T dans G. On fixe ¯ dont la paire de Borel sous-jacente soit (B, ¯ T¯ ), une paire de Borel épinglée E¯ de G ∗ ¯ ¯ ¯ où B = B ∩ G, et on munit G de l’unique action galoisienne σ → σG¯ conservant E¯ et coïncidant sur T¯ = T ∗,θ,0 avec l’action σ → ωG¯ (σ)σG∗ . Il est clair que cette ¯ et on munit action galoisienne s’étend en une action sur le groupe Iη = Z(G)θ G ˆ ¯ muni d’une paire de ce groupe de cette action. On introduit le groupe dual G, ˆ ˆ ¯ ¯ Borel épinglée dont on note la paire sous-jacente (B, T ). On peut identifier Tˆ¯ à ˆ Tˆ), muni de l’action galoisienne σ → ω ¯ (σ)σG∗ . L’ensemble de racines Tˆ/(1 − θ)( G ˆ ¯ ˆ¯ ΣG (Tˆ¯ ) est en bijection avec Σ(μ) et le sous-ensemble positif déterminé par B correspond au sous-ensemble Σ+ (μ).

VII.5. Descente

815

˜ a) de la forme Considérons une donnée endoscopique de (G, G, ˆ G = (G , G  , sθ), avec s ∈ Tˆ . On la suppose elliptique. ˜  (F )) tel que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ). Posons Tˆ¯ad = Soit (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G ˆ ¯ C’est un quotient de Tˆ . Notons s¯ l’image de s dans ce groupe. Posons Tˆ¯/Z(G). ˆ ˆ¯ ∩ H, ˆ¯ Tˆ¯ ). D’après ¯ H = Z ˆ¯ (¯ s)0 . On munit ce groupe de la paire de Borel (B ad ad GAD

la définition de 1.7, il y a une unique cochaîne σ → ωH¯ (σ) de ΓF dans W (μ) de sorte que l’on ait l’égalité ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Cette cochaîne s’étend en une cochaîne définie sur WF . Puisque ˆ ˆ ¯ ¯ W (μ) = W G = W GAD , pour tout w ∈ WF , on peut relever ωH¯ (w) en un élément ˆ¯ ˆ ¯ ⊂ L (G ¯ SC ) = G ¯ AD qui normalise Tˆ¯ad . On définit le sous-groupe H g¯(w) ∈ G AD  ˆ ¯ g(w), w) pour w ∈ WF . On a prouvé en [79] 3.5 que WF engendré par H et les (¯ ce groupe s’insérait dans une extension scindée ˆ¯ → H ¯ → WF → 1. 1→H ˆ¯ d’une L-action galoisienne compatible avec cette extension. On peut donc munir H ˆ¯ muni ¯ défini et quasi-déployé sur F tel que H, On introduit le groupe réductif H ¯ On a prouvé en [79] 3.5 de cette action galoisienne, soit le groupe dual de H. ¯ H, ¯ s¯) était une donnée endoscopique de G ¯ SC . Il s’agit ici ¯ = (H, que le triplet H d’endoscopie non tordue, toute torsion et tout caractère ont disparu. On fixe une ¯ ¯ ¯ définie sur F . paire de Borel (B H , T H ) de H Remarque. Dans [79], la situation de départ n’était pas la même qu’ici, on partait d’un diagramme. Mais on vérifie aisément que les présentes hypothèses sont suffisantes pour assurer la validité des propriétés énoncées ci-dessus. La même remarque vaut pour la suite. D’autre part, dans [79], le corps de base était local non-archimédien mais les constructions valent évidemment pour tout corps de base. Enfin, on a déjà repris cette construction dans la section 5 de [III], où l’on a ¯ Il nous semble plus clair de revenir ici à la notation de [79], ¯  la donnée H. noté G ¯  étant déjà utilisée. la notation G ˜ ss (F ) et une paire de Borel (B , T ) vérifiant les Fixons un élément  ∈ G conditions du (ii) du lemme 1.3 relativement à l’élément (μ , ωG¯  ). Le groupe G est quasi-déployé et est muni de la paire de Borel (B∗ , T ) définie dans ce lemme.   Fixons une paire de Borel (B G , T G ) de G définie sur F . Par la construction de  ce lemme, le tore T s’identifie à T G , l’identification n’étant pas ΓF -équivariante :  elle identifie l’action galoisienne sur T avec l’action σ → ωG¯  (σ)σG sur T G . On

816

Chapitre VII. Descente globale

a alors un diagramme ¯

(1)

H Tsc ↓ ¯ TH  T¯sc ↓ T¯ ↓ T∗

T,sc ↓ T  → T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )



TG



¯ ¯ H ¯ SC , resp. de T (on a noté Tsc , resp. T,sc , T¯sc , les images réciproques de T H dans H  ¯ SC ). Pour tout tore S, posons X∗,Q (S) = X∗ (S)⊗Z Q. dans G,SC , resp. de T¯ dans G Le lemme [79] 3.6 affirme qu’il se déduit de ce diagramme un isomorphisme ¯

H )  X∗,Q (T,sc ) X∗,Q (Tsc

qui est équivariant pour les actions galoisiennes et grâce auquel les deux groupes ¯ SC et G H ,SC forment une paire endoscopique non standard. Le lemme [79] 3.6 nous dit que du diagramme (1) se déduit un diagramme commutatif

(2)

→ X∗,Q (Z(G )0 ) X∗,Q (Z(G)θ,0 ) ↓ ¯ 0) X∗,Q (Z(G) ↓ ↓ ¯ 0 ) ⊕ X∗,Q (Z(H) ¯ 0 )  X∗,Q (Z(G )0 ) . X∗,Q (Z(G)

Il est formé d’applications injectives équivariantes pour les actions galoisiennes et la flèche du bas est un isomorphisme. On a ¯ de G ¯ SC est (3) supposons (μ , ωG¯  ) elliptique ; alors la donnée endoscopique H elliptique. ˜  (F ). Dans le diagramme Preuve. L’hypothèse implique que  est elliptique dans G (2), on prend les invariants par ΓF . La flèche verticale de droite devient un isomorphisme par ellipticité de . La flèche horizontale du haut aussi par ellipticité de G . Donc les deux flèches de gauche deviennent aussi des isomorphismes. Cela ¯ 0 )ΓF = {0} et l’assertion. entraîne X∗,Q (Z(H)  On a ˜  ) ⊂ V ; alors la donnée H ¯ est non ramifiée hors (4) supposons S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K de V .

VII.5. Descente

817

La preuve est la même qu’en 1.7(4). Soit v ∈ V et σ dans le groupe d’inertie Iv . L’hypothèse implique ωG¯  (σ) = 1. On a ωG (σ) = 1 puisque G n’est pas ¯ ramifiée en v. Donc ωG¯ (σ) = ωH¯ (σ)−1 . Cet élément appartient à W G car ωH¯ (σ) ∈ ¯ G ¯ car c’est le cas de W et il conserve l’ensemble des racines positives de T¯ dans G ωG¯ (σ). Ces deux conditions entraînent qu’il est égal à 1, c’est-à-dire ωH¯ (σ) = 1. ¯ H, ¯ s¯) Dans le cas d’endoscopie non tordue, cela suffit à assurer que la donnée (H, est non ramifiée en v.  ¯ 0 un groupe réPosons quelques définitions. Soit v une place de F . Soient G ¯ ¯ ductif connexe défini sur Fv et ψv : G0 → G un torseur intérieur (pour l’action de ΓFv ). Soient (B , T ), (BH¯ , TH¯ ), (B , T ) et (B,0 , T,0 ) des paires de Borel res¯ G ¯ et G ¯ 0 définies sur F¯v . En conjuguant les trois premières pectivement de G , H, paires en celles fixées plus haut, on obtient des isomorphismes (5)

)  X∗,Q (T,sc ) X∗,Q (TH,sc ¯

et (6)

TH¯  T,sc .

La donnée de ψv établit aussi un isomorphisme (7)

T  T,0 .

Il se déduit de (6) et (7) un isomorphisme (8)

TH¯  T,0,sc

qui ne dépend pas de la paire (B , T ). On dit que (B , T ) et (BH¯ , TH¯ ) se correspondent si T et TH¯ sont définis sur Fv et que (5) est équivariant pour l’action de ΓFv . On définit de même la notion de correspondance entre (BH¯ , TH¯ ) et (B , T ), resp. (B , T ) et (B,0 , T,0 ), resp. (BH¯ , TH¯ ) et (B,0 , T,0 ), en remplaçant l’isomorphisme (5) respectivement par (6), (7) et (8). Les mêmes définitions peuvent être posées sur le corps de base F , en remplaçant simplement ci-dessus Fv et F¯v par F et F¯ .

VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H Considérons la définition 5.1(6). Dans la somme en (μ , ωG¯  ), on peut ajouter les ˜  ) ⊂ V . En effet, conditions que (μ , ωG¯  ) est elliptique et que S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K G  si elles ne sont pas vérifiées, la distribution SA (V, pG˜  (μ , ωG¯  )) est nulle. No¯ SC , V ) l’ensemble des données endoscopiques de G ¯ SC de la forme tons ETˆ¯ ,• (G ad ¯ H, ¯ s¯), où s¯ ∈ Tˆ¯ad , qui sont elliptiques et non ramifiées hors de V . A par¯ = (H, H ˆ ∈ E ˆ (G, ω, V ) et de (μ , ω ¯  ) ∈ Stab(G ˜  (F )) vérifiant les tir de G = (G , G  , sθ) G T  deux conditions ci-dessus et tel que (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ), on a construit une don¯ SC , qui appartient à E ˆ¯ (G ¯ SC , V ), cf. 5.2(3) et (4). ¯ de G née endoscopique H T ,• ad

818

Chapitre VII. Descente globale

Pour H ∈ ETˆ¯

ad ,•

¯ SC , V ), on note J (H) la fibre de cette application. On note (G

˜ G,E

A (V, H, ω) la sous-somme de l’expression 5.1(6), où on somme sur les triplets (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Autrement dit  ˜ AG,E (V, H, ω) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 (G ,μ ,ωG ¯  )∈J (H) 

˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) transfert(SAG (V, p ˜  (μ , ωG¯  ))). i(G, G On a l’égalité (1)



˜

AG,E (V, μ, ωG¯ , ω) = H∈ETˆ¯

ad ,•

˜

AG,E (V, H, ω).

¯ SC ,V ) (G

On fixe jusqu’en 8.1 une donnée H ∈ ETˆ¯ ˜

ad ,•

¯ SC , V ). On va étudier la (G

distribution AG,E (V, H, ω).

VII.5.4 Propriétés de relevance Soit v ∈ Val(F ), plaçons-nous sur le corps Fv . Considérons l’ensemble Dv des ˜ v ) × G(F¯v ) tels que couples (ηv , rv ) ∈ G(F (1) rv ηv rv−1 = η ; (2) en utilisant la paire de Borel adrv−1 (B ∗ , T ∗ ) dans la construction de 1.2, on ait l’égalité (μηv , ωηv ) = (μ, ωG¯ v ). On peut traduire cette condition (2) de la façon suivante. La condition (1) implique que l’automorphisme adrv se restreint en un isomorphisme de Gηv sur ¯ Le groupe Gηv étant muni de sa structure galoisienne naturelle et le Gη = G. ¯ étant muni de sa structure quasi-déployée définie en 5.2, (2) équivaut à groupe G ¯ que l’on note ψrv . ce que adrv soit un torseur intérieur de Gηv sur G ¯ Le groupe Iη = Iη (Fv ) agit à gauche sur Dv par (x, (ηv , rv )) → (ηv , xrv ). Le groupe G(Fv ) agit à droite par ((ηv , rv ), g) → (g −1 ηv gv , rv g). ˜ v )) On se rappelle notre hypothèse 5.1(3) : l’image de X dans Stab(G(F ˜v G appartient à l’image de l’application χ . Montrons que (3) l’ensemble Dv est non vide. Preuve. La proposition 1.2 vaut bien sûr aussi sur le corps de base Fv . L’hy˜ ss (Fv ) et une paire de Borel pothèse 5.1(3) implique que l’on peut fixer ηv ∈ G (B, T ) conservée par adηv de sorte que le couple (μηv , ωηv ) déduit de ces données ˜ v )). D’après 1.2(3), on peut modiait même image que (μ, ωG¯ v ) dans Stab(G(F fier (B, T ) de sorte que (μηv , ωηv ) = (μ, ωG¯ v ). Fixons rv ∈ G = G(F¯v ) tel que (B, T ) = adrv −1 (B ∗ , T ∗ ). Par construction, l’égalité μηv = μ équivaut à la relation −1 rv ηv rv ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ )η. En multipliant rv à gauche par un élément convenable

VII.5. Descente

819

de T ∗ , on obtient un élément rv tel que (1) soit vérifiée. La propriété (2) l’est aussi  par construction. Alors (ηv , rv ) ∈ Dv , ce qui prouve (3). Fixons (ηv , rv ) ∈ Dv et rappelons que l’on a défini l’ensemble Yηv en 1.2 ; montrons que (4) l’ensemble Dv coïncide avec l’ensemble des (y −1 ηv y, rv y) pour y ∈ Yηv . Preuve. Pour y ∈ Yηv , il est clair que l’élément (y −1 ηv y, rv y) vérifie (1). Il résulte du (iii) de la proposition 1.2 que le couple (ωy−1 ηv y , ωy−1 ηv y ) associé à y −1 ηv y et à la paire ady−1 rv−1 (B ∗ , T ∗ ) est égal au couple (μηv , ωηv ) associé à ηv et à la paire adrv−1 (B ∗ , T ∗ ), donc à (μ, ωG¯ v ). Donc (y −1 ηv y, rv y) ∈ Dv . Inversement, soit (ηv , rv ) ∈ Dv . La même proposition 1.2(iii) implique qu’il existe y1 ∈ Yηv de sorte que ηv = y1−1 ηv y1 et adrv −1 (B ∗ , T ∗ ) = ady−1 rv−1 (B ∗ , T ∗ ). Cette dernière égalité 1 implique rv ∈ T ∗ rv y1 . En posant T = adrv−1 (T ∗ ), cela équivaut à l’existence de t ∈ T tel que rv = rv ty1 . Les égalités rv ηv rv −1 = η = rv ηv rv−1 et ηv = y1−1 ηv y1 impliquent alors tηv t−1 = ηv , donc t ∈ T θ ⊂ Iηv . L’élément y = ty1 appartient à Yηv et on a l’égalité (ηv , rv ) = (y −1 ηv y, rv y). Cela prouve (4).  Soit (ηv , rv ) ∈ Dv . La donnée locale Hv étant une donnée endoscopique de ¯ SC est aussi une donnée endoscopique pour Gηv ,SC , via le torseur ψrv introG duit ci-dessus. On dira plus précisément que c’est une donnée endoscopique pour (Gηv ,SC , ψrv ). On note Dvrel l’ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels que Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ). Pour deux éléments (ηv , rv ) et (ηv , rv ) de Dv dans la même double classe modulo les actions de Iη à gauche et de G(Fv ) à droite, les couples (Gηv , ψrv ) et (Gηv , ψrv ) sont isomorphes. Il en résulte que Dvrel est invariant par les actions de Iη et G(Fv ). On a défini l’ensemble J (H) en 5.3. Introduisons un ensemble J• (H) a priori ˜ a, V ) l’ensemble des données endoscopiques de (G, G, ˜ a) plus gros. Notons ETˆ,• (G, ˆ avec s ∈ Tˆ et qui sont elliptiques et non qui sont de la forme G = (G , G  , sθ) ˜ a, V ) des classes ramifiées hors de V . Fixons un ensemble de représentants ETˆ,• (G, ˜ a, V ). La différence avec E ˆ (G, ˜ a, V ) est que les de Tˆ -équivalence dans ETˆ ,• (G, T  données G ne sont pas supposées relevantes. Une partie de nos constructions ˜ a, V ) ⊂ vaut aussi bien sans cette hypothèse de relevance. On peut supposer ETˆ (G,   ˜ ETˆ,• (G, a, V ). On note J• (H) l’ensemble des triplets (G , μ , ωG¯  ), où ˜ a, V ) G ∈ ETˆ,• (G,

˜  (F )), et (μ , ωG¯  ) ∈ Stab(G

tels que – (μ , ωG¯  ) → (μ, ωG¯ ) ; ˜ ) ⊂ V ; – (μ , ωG¯  ) est elliptique et S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K   – H est associé à (G , μ , ωG¯  ) par la construction de 5.2. ˜  (F ) comme en 5.2, Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J• (H). On définit un élément  ∈ G dont on reprend les notations.

820

Chapitre VII. Descente globale

˜  (Fv ) corresLemme. Supposons que la classe de conjugaison stable de  dans G rel ˜ v ). Alors D n’est pas vide. ponde à une classe de conjugaison stable dans G(F v Preuve. Par hypothèse, il existe un diagramme (, B  , T  , B, T, ηv ) joignant  à un ˜ v ). Comme on l’a vu en [I] 1.10, on peut remplacer élément semi-simple ηv ∈ G(F  B par n’importe quel Borel contenant T  , quitte à changer B. On peut donc supposer que la paire (B  , T  ) est conjuguée à la paire (B , T ) que l’on a fixée en 5.2 par un élément de G . Comme on l’a vu dans la preuve de la proposition 1.2, la construction de ce paragraphe est insensible à une telle conjugaison. Donc, en utilisant la paire (B  , T  ), on a l’égalité (μ , ω ) = (μ , ωG¯ v ). Fixons rv ∈ G(F¯v ) tel que adrv (B, T ) = (B ∗ , T ∗ ). Dans la preuve du lemme 1.8(i), on a calculé le couple (μηv , ωηv ) déduit de la paire (B, T ). Il est égal à l’image (μ, ωG¯ v ) de (μ , ω ). Or ˜ Donc adrv (ηv ) μηv est l’image de adrv (ηv ) dans (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G). et η ont même image dans cet ensemble. Quitte à multiplier rv à gauche par un élément de T ∗ , on peut supposer adrv (ηv ) = η. Alors le couple (ηv , rv ) appartient à Dv . Il se déduit de (B, T ) une paire de Borel (B , T ) = (B ∩ Gηv , T ∩ Gηv ) de ¯ SC Gηv , puis une paire de Borel (B,sc , T,sc ) de Gηv ,SC . D’autre part, puisque H  et G,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de ¯ (on rappelle que le corps de base est ici Fv ) qui correspond Borel (BH¯ , TH¯ ) de H   à (Bsc , Tsc ). Puisque Hv est une donnée endoscopique de (Gηv ,SC , ψrv ), les deux paires (BH¯ , TH¯ ) et (B,sc , T,sc ) définissent un isomorphisme de T,sc sur TH¯ . Les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que cet isomorphisme est défini sur Fv , autrement dit que les paires ci-dessus se correspondent. Cela implique que Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ).  Inversement, soit (ηv , rv ) ∈ Dvrel . On peut alors fixer des paires de Borel ¯ et (B , T ) de Gηv qui se correspondent via le torseur ψrv . Les (BH¯ , TH¯ ) de H ¯ T¯) sont des paires de Borel de Gη sur F¯v . On peut fixer couples adrv (B , T ) et (B, ¯ T¯ ). Posons (B, T ) = ad−1 (B ∗ , T ∗ ). xv ∈ Gη de sorte que adxv rv (B , T ) = (B, x v rv On a B ∩ Gηv = B et T ∩ Gηv = T . D’autre part, puisque les groupes G,SC et ¯ SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel H (B , T ) de G qui correspond à (BH¯ , TH¯ ). On peut fixer uv ∈ G tel que (B , T ) = aduv (B∗ , T ). Posons (B  , T  ) = aduv (B , T ). On a B  ∩ G = B et T  = T . De nouveau, les propriétés d’équivariance du diagramme 5.2(1) entraînent que (5) le sextuplet (, B  , T  , B, T, ηv ) est un diagramme.

VII.5.5 Les places hors de V Soit v une place de F , provisoirement quelconque. On a défini en [I] 2.7 le groupe G = G/Z(G)θ . On a une suite de projections G → G → GAD . On note G (Fv ) le sous-groupe des g ∈ G(F¯v ) dont l’image dans G (F¯v ) appartient à G (Fv ). Pour ˜ sont tous deux définis sur F . g ∈ G (Fv ), les automorphismes adg de G et de G Pour (ηv , rv ) ∈ Dv , G (Fv ) est inclus dans Yηv . Il résulte de 5.4(4) que G (Fv )

VII.5. Descente

821

agit à droite sur Dv par ((ηv , rv ), g) → (g −1 ηv g, rv g). Cette action étend celle de G(Fv ). Supposons maintenant v ∈ V . Le groupe Kv détermine un sous-groupe hyperspécial K,v de G (Fv ). On note K ,v le sous-groupe des éléments de G (Fv ) dont l’image dans G (Fv ) appartient à K,v . Utilisons les notations de 1.5. On a ˜ (1) K ,v est inclus dans Z(G)θ Kvnr ; pour g ∈ K ,v , l’automorphisme adg de G ˜v. conserve K Preuve. La surjectivité de l’application G → G se prolonge en la surjectivité de l’application analogue entre les schémas en groupes associés à Kv et K,v . On voit ainsi qu’il y a une suite exacte nr → 1. 1 → Z(G)θ ∩ Kvnr → Kvnr → K,v

Tout élément de K,v se relève donc en un élément de Kvnr . La première assertion en résulte. La seconde a été vue à la fin de la preuve de la proposition 2.1.  On note Dvnr l’ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels qu’il existe h ∈ G(Fv ) de sorte ˜ ˜ que ηv ∈ ad−1 h (Kv ). Puisque v ∈ V , on a v ∈ S(X , K) d’après l’hypothèse 5.1(1). Le lemme 1.6 implique alors que ˜ (2) Dvnr est non vide ; pour (ηv , rv ) ∈ Dvnr et h ∈ G(Fv ) tel que ηv ∈ ad−1 h (Kv ), le (K ) est un sous-groupe hypergroupe Gηv est non ramifié et Gηv (Fv ) ∩ ad−1 v h spécial de Gηv (Fv ). Plus précisément, en notant Kηv le schéma en groupes associé à ce sous-groupe hyperspécial, on a Kηv (oE ) = Gηv (E)∩adh−1 (Kv (oE )) pour toute extension non ramifiée E de Fv . Il est clair que Dvnr est invariant à gauche par Iη et à droite par G(Fv ). Remarquons que, puisque adg est défini sur Fv pour tout g ∈ G (Fv ), les ensembles G(Fv )K ,v et K ,v G(Fv ) sont égaux et ce sont des groupes. Lemme. L’ensemble Dvnr est stable par l’action à droite de K v, . Il forme une unique double classe modulo l’action à gauche de Iη et à droite de K ,v G(Fv ). Preuve. Soient (ηv , rv ) ∈ Dvnr et k ∈ K ,v . Posons ηv = k −1 ηv k, rv = rv k. Soit  −1 ˜ hk. C’est un élément de G(Fv ). h ∈ G(Fv ) tel que ηv ∈ ad−1 h (Kv ). Posons h = k On a ˜ v ) = adh−1 k−1 (K ˜ v ) = adh−1 (K ˜ v ), ηv ∈ adk−1 h−1 (K la dernière égalité résultant de (1). Donc (ηv , rv ) ∈ Dvnr , ce qui prouve la première ˜ v . Par assertion. Notons Dvnr,0 le sous-ensemble des (ηv , rv ) ∈ Dv tels que ηv ∈ K nr nr,0 définition, Dv est engendré par Dv sous l’action à droite de G(Fv ). La deuxième assertion du lemme résulte de (3) Dvnr,0 forme une unique double classe modulo l’action à gauche de Gη et à droite de K ,v .

822

Chapitre VII. Descente globale

Fixons un élément (ηv , rv ) ∈ Dvnr,0 . C’est loisible puisque Dvnr n’est pas vide. Remarquons que faire agir à gauche un élément de Gη sur (ηv , rv ) revient à faire agir à droite un élément de Gηv . L’assertion à prouver revient à dire que tout élément de Dvnr,0 s’écrit (y −1 ηv y, rv y) pour un y ∈ Gηv K ,v . Soit (ηv , rv ) ∈ Dvnr,0 . D’après 5.4(4), il existe y ∈ Yηv tel que (ηv , rv ) = (y −1 ηv y, rv y). D’après le lemme ˜ v entraîne que y ∈ Gηv Kvnr . Ecrivons y = xk, [79] 5.6(i), la relation y −1 ηv y ∈ K nr avec x ∈ Gηv et k ∈ Kv . On a encore k ∈ Yηv . Notons Z(G)p le sous-groupe des éléments de Z(G; F¯v ) d’ordre premier à p. C’est un sous-groupe de Kvnr ([79] 5.5(1)). Le lemme 5.5 de [79] implique que l’application Z(G)θp → Gηv ∩ Kvnr \Iηv ∩ Kvnr est surjective. Fixons un Frobenius φ ∈ ΓFv . Puisque k ∈ Yηv , on a kφ(k)−1 ∈ Iηv . Puisque k ∈ Kvnr , on a aussi kφ(k)−1 ∈ Kvnr . D’après l’assertion ci-dessus, on peut écrire kφ(k)−1 = g(φ)z(φ), avec g(φ) ∈ Gηv ∩ Kvnr et z(φ) ∈ Z(G)θp . Par les relations de cocycle habituelles, on prolonge g(φ) et z(φ) en des applications définies sur φZ . Par exemple, pour n ∈ N, on pose g(φn ) = g(φ)φ(g(φ)) · · · φn−1 (g(φ)). Parce que z(φ) est d’ordre fini, on voit qu’il existe N ≥ 1 tel que n → z(φn ) se factorise par Z/N Z. Puisque k ∈ Kvnr , il en est de même de l’application n → kφn (k)−1 . Puisque g(φn ) = kφn (k)−1 z(φn )−1 , il en est aussi de même de n → g(φn ). Alors cette application définit un cocycle continu et non ramifié de ΓFv dans Gηv ∩ Kvnr . Un tel cocycle est un cobord. On peut donc fixer x1 ∈ Gηv ∩ Kvnr −1 de sorte que g(φ) = x−1 = z(φ) ∈ Z(G)θ . 1 φ(x1 ). Posons k1 = x1 k. Alors k1 φ(k1 ) nr Donc k1 ∈ G (Fv ). Puisque de plus k1 ∈ Kv , cela implique k1 ∈ K ,v . Alors  y = xx−1 1 k1 appartient à Gηv K ,v . Cela achève la preuve. On a (4) soit (ηv , rv ) ∈ Dvnr ; alors Hv est relevante pour (Gηv ,SC , ψrv ). Il s’agit d’endoscopie non tordue. Puisque Gηv ,SC est quasi-déployé, tout se transfère.

VII.5.6 Une conséquence ˜

Corollaire. Supposons qu’il existe v ∈ V tel que Dvrel = ∅. Alors AG,E (V, H, ω) = 0. ˜

Preuve. Par définition, AG,E (V, H, ω) est une somme sur les éléments (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H) 

des transferts des distributions SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  )).

VII.5. Descente

823

˜  (F ). Fixons un tel triplet (G , μ , ωG¯  ), auquel est associé un élément  ∈ G  ˜  (FV ) La distribution SAG (V, pG˜  (μ , ωG¯  )) est supportée par les éléments de G dont la partie semi-simple est stablement conjuguée à  (plus exactement, ces distributions vivent sur des données auxiliaires, mais peu importe ici). Son transfert ˜  (Fv ) ne est nul s’il existe v ∈ V tel que la classe de conjugaison stable de  dans G ˜ correspond à aucune classe de conjugaison stable dans G(Fv ). D’après le lemme  5.4, il est donc nul s’il existe v ∈ V tel que Dvrel = ∅. Dorénavant, on suppose Dvrel = ∅ pour tout v ∈ V . Il résulte de 5.5(3) et (4) qu’alors Dvrel = ∅ pour tout v ∈ Val(F ). En conséquence (1) on a l’égalité J• (H) = J (H). ˜  (F ) est non-vide. Preuve. Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J• (H). Le lemme 1.3 entraîne que G Fixons un élément  comme dans ce lemme. Pour v ∈ Val(F ), soit (ηv , rv ) ∈ Dvrel . On a construit en 5.4(5) un diagramme (, B  , T  , B, T, ηv ). Donc la donnée locale Gv est relevante. Par définition, G est donc relevante et (G , μ , ωG¯  ) appartient à J• (H).  Dorénavant, pour v ∈ Val(F ), on notera dv un élément de Dv . Quand on aura besoin de l’écrire comme un couple (ηv , rv ), on écrira ce couple (η[dv ], r[dv ]). On supprimera le torseur ψrv de la notation : le groupe Gη[dv ] sera toujours consi¯ via ce torseur. On utilisera des notations déré comme une forme intérieure de G analogues de notre situation. Par exemple, on pose  dans différentes variantes  DV = v∈V Dv et DVrel = v∈V Dvrel . On note (η[dV ], r[dV ]) le couple associé à un élément dV ∈ DV etc. . . On notera j un élément de J (H). Quand on a besoin de l’écrire comme un triplet (G , μ , ωG¯  ), on note ce triplet (Gj , μj , ωG¯ j ) et on affecte tous les objets ˜  (F ) relatifs à ce triplet d’un indice j. Par exemple, on fixe un élément j ∈ G j vérifiant les conditions du lemme 1.3(ii). On a ¯ défini sur F , tel que, pour toute place (2) il existe un sous-tore maximal SH¯ de H, ¯ v si v est non-archimédienne et v ∈ V , le localisé SH,v soit elliptique dans H ¯ ¯ SH,v soit fondamental dans Hv si v est archimédienne. ¯ Preuve. Pour toute place v ∈ V , on peut en tout cas fixer un sous-tore maximal Sv ¯ v défini sur Fv qui possède cette propriété. On fixe un élément Xv ∈ sv (Fv ) ∩ de H ¯ ¯ ) est dense dans h(F ¯ V ). On peut donc fixer X ∈ h(F ¯ ) tel hreg (Fv ). L’espace h(F que, pour toute place v ∈ V , X soit arbitrairement proche de Xv . Si X est assez ¯reg (Fv ). A ¯ v ) coupe sv (Fv ) ∩ h proche de Xv , sa classe de conjugaison par H(F ¯ C’est fortiori, X est semi-simple et régulier. On note SH¯ son commutant dans H. un sous-tore maximal défini sur F . Pour tout v ∈ V , le localisé SH,v est conjugué ¯ à Sv donc possède la propriété requise. 

824

Chapitre VII. Descente globale

On fixe un tel tore, que l’on complète en une paire de Borel (BH¯ , SH¯ ) définie ¯ SC et G sur F¯ . Soit j ∈ J (H). Puisque H j,j ,SC sont en situation d’endoscopie non standard, on peut fixer une paire de Borel (B,j , Sj ) de Gj,j qui correspond ∗ , Tj ) sont deux paires de Borel de Gj,j à (BH¯ , SH¯ ). Puisque (B,j , Sj ) et (B,j  ∗ définies sur F¯ , on peut fixer u ∈ Gj,j (F¯ ) tel que (B,j , Sj ) = adu (B,j , Tj ). On  pose (Bj , Sj ) = adu (Bj , Tj ). C’est une paire de Borel de Gj définie sur F¯ (avec Sj défini sur F ) conservée par adj . On a Bj ∩ Gj,j = B,j . Soit v ∈ Val(F ) et dv ∈ Dvrel . Si v ∈ V , supposons de plus dv ∈ Dvnr . Montrons que (3) il existe une paire de Borel (B [dv ], S [dv ]) de Gη[dv ] qui correspond à (BH¯ , SH¯ ). Preuve. Le corps de base est ici Fv . Si v ∈ V , l’hypothèse implique que Gη[dv ] est quasi-déployé. L’assertion résulte alors de [44] corollaire 2.2. Supposons v ∈ V . Il suffit de prouver l’existence d’une paire de Borel (B,sc [dv ], S,sc [dv ]) de Gη[dv ],SC qui correspond à (BH¯ , SH¯ ). Mais Hv est relevante pour Gη[dv ],SC . L’assertion résulte alors de la propriété générale suivante : (4) soient L un groupe réductif connexe défini sur Fv , L une donnée endosco  pique relevante de L (il s’agit d’endoscopie non tordue), (B L , S L ) une paire  de Borel de L telle que S L soit défini sur Fv et soit elliptique, resp. fondamental, dans L si v est non-archimédienne, resp. archimédienne. Alors il   existe une paire de Borel (B L , S L ) de L qui correspond à (B L , S L ). 



Preuve. Puisque L est relevante, on peut fixer des paires de Borel (B1L , S1L ) de L et (B1L , S1L ) de L qui se correspondent. Posons A = AS L et notons M  le  commutant de A dans L . Si v est non-archimédienne, S L est elliptique dans L   donc M  = L , a fortiori S1L ⊂ M  . Si v est archimédienne, S L est fondamental.    Quitte à conjuguer (B1L , S1L ), on peut donc supposer S1L ⊂ M  . Alors, quelle que   soit v, A ⊂ S1L . Par l’isomorphisme S1L  S1L déterminé par nos deux paires, A s’identifie à un sous-tore déployé A de S1L , dont on note M le commutant dans L. Alors M  se complète en une donnée endoscopique M de M qui est elliptique. Le  tore S L est un sous-tore elliptique de L . D’après [44] corollaire 2.2, il se transfère en un sous-tore d’une forme quasi-déployée de M . Ce sous-tore est encore elliptique et, d’après [46] lemme 10.2, il se transfère en un sous-tore S L de M . On peut    compléter S L et S L en des paires de Borel (B M , S L ) de M  et (B M , S L ) de M     qui se correspondent. Fixons x ∈ M  tel que (B M , S L ) = adx (B1L ∩ M  , S1L )   et posons B2L = adx (B1L ). Fxons x ∈ M tel que (B M , S L ) = adx (B1L ∩ M, S1L )    et posons B2L = adx (B1L ). L’isomorphisme S L  S L déduit des paires (B2L , S L )   de L et (B2L , S L ) de L est le même que celui déduit des paires (B M , S L ) de M  et (B M , S L ) de M . Il est donc défini sur Fv , ce qui revient à dire que les   paires (B2L , S L ) de L et (B2L , S L ) de L se correspondent. D’après [I] 1.10, on   peut remplacer B2L par B L , quitte à remplacer B2L par un autre sous-groupe de Borel B L . Cela prouve (4). 

VII.5. Descente

825

Fixons une paire (B [dv ], S [dv ]) vérifiant (3). Comme en 5.4(5), on en déduit une paire de Borel de G, notée ici (B[dv ], S[dv ]), qui est conservée par adηv . La preuve de 5.4(5) montre que (5) pour tout j ∈ J (H), tout v ∈ Val(F ) et tout dv ∈ Dvrel tel que dv ∈ Dvnr si v ∈ V , le sextuplet (j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) est un diagramme sur Fv . 

VII.5.7 Facteurs de transfert ˜  , Cj,1 , ξˆj,1 pour G , Soit j ∈ J (H). On fixe des données auxiliaires Gj,1 , G j,1 j ˜  (F ) au-dessus de j . non ramifiées hors de V . On fixe un élément j,1 ∈ G j,1 ˜  ) ⊂ V et le lemme Pour v ∈ Val(F ) − V , l’hypothèse que S(pG˜  (μj , ωG¯ j ), K j j ˜  qui soit stablement conjugué à j . Fixons 1.6 assurent qu’il existe j,v ∈ K j,v uv ∈ G (F¯v ) tel que u−1 j uv = j,v et uv σ(uv )−1 ∈ G pour tout σ ∈ ΓFv . j

v

j,j

Posons j,1,v = u−1 v j,1 uv . C’est un élément au-dessus de j,v et on vérifie qu’il  ˜ ˜  (Fv ). On pose K appartient à G j,1 j,1,v = Kj,1,v j,1,v . On peut choisir xv = 1 pour ˜  )v∈V vérifie alors la condition de compatibilité presque tout v. La famille (K j,1,v ˜  (F ), on a δ ∈ K ˜ globale habituelle, c’est-à-dire que, pour δ1 ∈ G j,1 j,1,v pour presque tout v. De ces choix d’espaces hyperspéciaux se déduit un facteur de transfert ˜  (Fv ) × G(F ˜ v ) pour toute place v ∈ V . La relation 5.6(5) et le fait Δj,1,v sur G j,1 que la paire (Bj , Sj ) est définie sur F¯ montrent que, non seulement la donnée Gj est relevante, mais qu’elle vérifie l’hypothèse Hyp de [VI] 3.6 qui permet de définir un facteur de transfert global. De ce facteur global et des facteurs Δj,1,v pour v ∈ V se déduit comme dans cette référence un facteur de transfert Δj,1,V ˜  (FV ) × G(F ˜ V ). sur G j,1 ¯ SC est quasi-déployé, la donnée H est relevante pour ce groupe. Puisque G ¯ au LPuisqu’il est aussi simplement connexe, on sait que l’on peut identifier H ¯ ¯ ¯ groupe de H. Autrement dit, on peut fixer des données auxiliaires H1 , C1 et ξˆ¯1 ¯1 = H ¯ et C¯1 = {1}. On fixe de telles données. Pour toute place v et telles que H rel tout dv ∈ Dv , ces données auxiliaires valent pour le groupe Gη[dv ],SC . Supposons v ∈ V et dv ∈ Dvnr . Dans ce cas, Hv est une donnée non ramifiée pour Gη[dv ],SC . On dispose d’un facteur de transfert canonique pourvu que l’on fixe un sous-groupe hyperspécial de Gη[dv ],SC (Fv ) (dans la situation non tordue, la donnée de ce sous˜ groupe suffit). Pour cela, on fixe un élément hv ∈ G(Fv ) tel que h−1 v η[dv ]hv ∈ Kv . On choisit le sous-groupe image réciproque dans Gη[dv ],SC (Fv ) de adhv (Kv ) ∩ Gη[dv ] (Fv ). Si v ∈ V , il n’y a pas de choix canonique de facteur de transfert, on en fixe un que l’on note Δ[dv ]. Par le choix de nos données auxiliaires, le facteur ¯ v ) × Gη[d ],SC (Fv ). Δ[dv ] est quel que soit v une fonction sur H(F v rel ¯SC (Fv ), Z2 ∈ z(H; ¯ Fv ) et Soient v ∈ Val(F ) et dv ∈ Dv . Soient Y¯sc ∈ h ¯ ¯ Z1 ∈ z(G; Fv ). On suppose ces éléments en position générale. Posons Y = Y¯sc +Z2 . On suppose que la classe de conjugaison stable de Y¯ se transfère en une classe de conjugaison stable dans gη[dv ],SC (Fv ). On fixe un élément X[dv ]sc dans cette classe.

826

Chapitre VII. Descente globale

¯ et Gη[d ] , les centres de ces groupes Puisqu’on a fixé un torseur intérieur entre G v s’identifient et on peut considérer Z1 comme un élément de z(Gη[dv ] ; Fv ). On pose ¯ SC et G X[dv ] = Z1 + X[dv ]sc ∈ gη[dv ] (Fv ). Soit j ∈ J (H). Puisque H j,j ,SC sont en situation d’endoscopie non standard, la classe de conjugaison stable de Y¯sc se transfère en une classe de conjugaison stable dans gj,j ,SC (Fv ). On fixe un élément Yj,sc dans cette classe. Par le diagramme 5.2(5), Z1 + Z2 s’identifie à un élément Zj ∈ z(Gj,j ; Fv ). On pose Yj = Yj,sc + Zj . C’est un élément de gj,j (Fv ). Supposons les éléments de départ assez proches de 0 pour que toutes les exponentielles qui suivent soient définies. Les classes de conjugaison stable de exp(Yj )j et de exp(X[dv ])η[dv ] se correspondent. Soit Yj,1 ∈ gj,1,j,1 (Fv ) au-dessus de Yj . On dispose des deux facteurs de transfert Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) et Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])). Théorème. (i) Si v est finie, il existe une constante δj [dv ] telle que, pour des éléments comme ci-dessus tels que Yj,1 soit assez proche de 0, on ait l’égalité Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) = δj [dv ]Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])). (ii) Si v est archimédienne, il existe une constante δj [dv ] et un élément bj ∈ 0 ˆ X∗ (Z(G j,1,j,1 ) ) ⊗ C tels que, pour des éléments comme ci-dessus pour lesquels Yj,1 est assez proche de 0, on ait l’égalité Δj,1,v (exp(Yj,1 )j,1 , exp(X[dv ])η[dv ]) = δj [dv ]Δ[dv ](exp(Y¯ ), exp(Xsc [dv ])) exp(bj , Yj,1 ). (iii) Si v ∈ V , on a δj [dv ] = ω(hv )−1 , où hv est l’élément utilisé pour définir le sous-groupe hyperspécial de Gη[dv ],SC (Fv ). Preuve. L’assertion (i) est le théorème 3.9 de [79] : les deux facteurs locaux coïncident à une constante près. L’assertion (ii) a été vue en [V] 4.1. Supposons v ∈ V . Dans le cas où hv = 1, l’assertion (iii) est la proposition 5.9 de [79]. On se ramène ˜ v ) et à ce cas en introduisant le facteur Δj,1,v normalisé à l’aide des espaces adhv (K   ˜ Kj,1,v . On conserve le même facteur Δ[dv ]. On a une nouvelle constante δj [dv ] dont ˜ v ), on rem˜ v par adhv (K on vient de dire qu’elle valait 1 : quand on remplace K  place en même temps hv par 1. Mais on vérifie aisément que Δj,1,v = ω(hv )Δj,1,v . L’assertion (iii) en résulte. 

VII.5.8 Début du calcul ˜ ˜ V )). Notre but est de calculer I G˜ (AG,E Soit f ∈ Cc∞ (G(F (V, H, ω), f ). Soit (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). On se propose de calculer le terme

˜ G ˜  , μ , ωG¯  )I G˜ (transfert(SAG (V, X  )), f ) i(G,

VII.5. Descente

827

qui intervient dans la définition de 5.3, où X  = pG˜  (μ , ωG¯  ). On le récrit immédiatement ˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ). i(G, On utilise les définitions et notations des paragraphes précédents associées à l’élément j = (G , μ , ωG¯  ), tout en supprimant cet indice j pour simplifier  ˜  (FV )). Alors la notation. Le transfert f G s’identifie à un élément f1 ∈ SIλ∞1 (G 1 



˜ G



˜ G

S G (SAG (V, X  ), f G ) est égal à Sλ11 (SAλ11 (V, X  ), f1 ). ˜ G

La distribution SAλ11 (V, X  ) est définie par une formule similaire à 1.11(3). ˜ 1 (FV )) telle que On fixe une fonction φ ∈ Cc∞ (G φc λ1 (c) dc.

f1 = C1 (FV )

On a l’égalité 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1



˜

˜

˜  ), φcV )λ1 (c) dc. S G1 (SAG1 (V, X1 , cV K 1 V

C1 (F )\C1 (AF ) X  ∈Fib(X  ) 1

˜  (F )) paramétrant la classe de conjugaison stable Notons X1 l’élément de Stab(G 1 de 1 . On peut remplacer la somme sur Fib(X  ) par la somme sur les ξX1 pour ξ ∈ C1 (F ), à condition de diviser par le nombre d’éléments du groupe Fix(X1 ) = {ξ ∈ C1 (F ); ξX1 = X1 }. Ensuite, par un calcul fait plusieurs fois, la somme en ξ ∈ C1 (F ) et l’intégrale en c ∈ C1 (F )\C1 (AF ) se recomposent en une intégrale en c ∈ C1 (AF ). On obtient 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1



˜ ˜ ˜  V ), φcV )λ1 (c) dc. S G1 (SAG1 (V, X1 , cV K 1

C1 (AF ) ˜ ˜  V ), ce terme est nul sauf si X1 Soit c ∈ C1 (AF ). Par définition de SAG1 (V, X1 , cV K 1   ˜ est elliptique et S(X1 , cK1 ) ⊂ V (remarquons que cette inclusion ne dépend que des  ˜ 1,v ˜  ) ⊂ V sont cv K pour v ∈ V ). Les conditions analogues X  elliptique et S(X  , K  satisfaites d’après l’hypothèse sur (μ , ωG¯  ). En revenant à leurs définitions, on voit que ces deux séries d’hypothèses sont équivalentes, à l’exception de la condition ˜ v n’implique pas (nr3) de 1.6 : en une place v ∈ V , cette condition pour X  et K    ˜ ˜ la même condition pour X1 et cv K1,v . Mais on a choisi les K1,v de sorte que, pour v ∈ V , (nr3) soit vérifiée pour cv = 1. Il résulte alors de [VI] 2.5(13) qu’elle est V satisfaite pour tout v ∈ V si et seulement si cV ∈ KC . La fonction à intégrer est 1

828

Chapitre VII. Descente globale

invariante par ce groupe et l’intégrale sur ce groupe disparaît. D’où 





S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 

−1

= τ (C1 )



˜ ˜ ˜  V ), φcV )λ1 (cV ) dcV S G1 (SAG1 (V, X1 , K 1

C1 (FV ) ˜ ˜  −1 G ˜ V | Fix(X1 )| S 1 (SAG1 (V, X1 , K 1

), f1 ).

Restreignons f1 à un voisinage de la classe de conjugaison stable de 1 . On a défini en [I] 4.8 un homomorphisme de descente d’Harish-Chandra  ˜ descst 1 : SI(G1 (FV )) → SI(G1,1 (FV )).

On pose f1 = descst 1 (f1 ). Pour définir correctement l’homomorphisme de descente, il faut en réalité remplacer l’espace de départ, resp. d’arrivée, par un espace de fonctions à support dans un voisinage convenable de 1 , resp. de l’élément neutre. Il est commode de le noter comme ci-dessus tout en se rappelant l’incorrection de cette notation. Concrètement, cela signifie que les intégrales orbitales stables de f1 n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G1,1 (FV ). Cela ne gêne pas pour appliquer à cette fonction une distribution à support unipotent. En appliquant la définition de 3.2, on obtient 





S G (SAG (V, X  ), f G ) G



1,1 = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 |ΞΓ1F |−1 τ  (G1 )τ  (G1,1 )−1 S G1,1 (SAunip (V ), f1 ).

Introduisons la fonction f,sc ∈ SI(G,SC (FV )) image de f1 par l’homomorphisme ιG,SC ,G1,1 . De la même façon que ci-dessus, les intégrales orbitales stables de f,sc n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre dans G,SC (FV ). Puisque G,SC est simplement connexe, on a AG,SC = {0} donc τ  (G,SC ) = τ (G,SC ). Ce dernier terme vaut 1 d’après le théorème de Lai ([52] théorème 1.2). En utilisant la proposition 4.6, on obtient 

(1)





S G (SAG (V, X  ), f G ) 

G

,SC = τ  (C1 )−1 | Fix(X1 )|−1 |ΞΓ1F |−1 τ  (G1 )S G,SC (SAunip (V ), f,sc ).

D’après le lemme 4.2(i), on a (2)

τ (C1 )−1 τ (G1 ) = τ (G ).

Montrons que (3)

| Fix(X1 )||ΞΓ1F | = |ΞΓ F |.

On rappelle que Ξ = ZG ()/G . Pour x ∈ ZG (), l’élément x1 x−1 est un élément de la fibre de G1 au-dessus de , donc de la forme c1 pour c ∈ C1 . Cela

VII.5. Descente

829

définit une application ZG () → C1 . On voit que c’est un homomorphisme. Par ailleurs, le groupe G1,1 s’envoie surjectivement sur G et est l’image réciproque de ce groupe dans G1 . La suite suivante est donc exacte 1 → Ξ1 → Ξ → C1 . D’où aussi une suite exacte 1 → ΞΓ1F → ΞΓ F → C1 (F ). Il suffit de montrer que l’image du second homomorphisme est exactement Fix(X1 ). Soit x ∈ ZG () dont l’image dans Ξ est fixe par ΓF . Ecrivons x1 x−1 = c1 . La condition sur x implique que x1 x−1 est stablement conjugué à 1 . Donc c ∈ Fix(X1 ). Inversement, si c ∈ Fix(X1 ), il existe u ∈ G1 tel que u−1 1 u = c1 et uσ(u)−1 ∈ G1,1 pour tout σ ∈ ΓF . Soit x l’image de u dans G . La première condition sur u entraîne que x appartient à ZG () et la seconde condition entraîne que l’image de x dans Ξ est fixe par ΓF . Cela prouve (3). Montrons que (4)



|ΞΓ F | = | FixG (μ , ωG¯  )| .

On utilise la paire de Borel (B , T ) du lemme 1.3 pour construire (μ , ω ) comme en 1.2. Rappelons que ce couple est égal à (μ , ωG¯  ) par définition de  et  (B , T ). A l’aide de la paire (B , T ), on identifie W G au groupe de Weyl de T  dans g . Il y a donc deux actions galoisiennes sur W G : l’action quasi-déployée notée σ → σG ∗ et celle provenant de l’action naturelle sur le normalisateur de T , que l’on note σ → σ. Complètons (B , T ) en une paire de Borel épinglée E . L’action galoisienne σ → σG ∗ = uE (σ)◦σ conserve E . Parce que T est défini sur F , il en résulte que uE (σ) normalise T . Parce que B ∩ G est défini sur F , la cochaîne u de la construction de 1.2 est à valeurs dans T,sc . On voit alors que, parce que  (μ , ω ) = (μ , ωG¯  ), l’image dans W G de uE (σ)−1 est ωG¯  (σ). Il en résulte que, G pour w ∈ W et σ ∈ ΓF , on a l’égalité σ(w) = ωG¯  (σ)σG ∗ (w)ωG¯  (σ)−1 . Notons N l’ensemble des éléments n ∈ G tels que adn conserve  et la paire (B ∩ G , T ). Il est inclus dans ZG () et on voit que cette inclusion se quotiente en un isomorphisme N/T  Ξ . Cet isomorphisme identifie ΞΓ F au sous-groupe des éléments de N/T fixes par  l’action galoisienne naturelle. D’autre part, N/T est un sous-ensemble de W G .  On voit que c’est l’ensemble des w ∈ W G tels que – w(μ ) = μ (cela traduit la condition que adn conserve ) ; – w(Σ+ (μ )) = Σ+ (μ ) (cela traduit la condition que adn conserve la paire (B ∩ G , T )). D’après ce que l’on a dit ci-dessus, l’element w est fixe par l’action galoisienne naturelle si et seulement si

830

Chapitre VII. Descente globale

– w = ωG¯  (σ)σG ∗ (w)ωG¯  (σ)−1 pour tout σ ∈ ΓF . 

Ces trois conditions caractérisent le groupe StabG (μ , ωG¯  ), cf. 5.1. D’où (4). En utilisant (2), (3) et (4), la formule (1) se récrit 







G



,sc S G (SAG (V, X  ), f G ) = τ  (G )| FixG (μ , ωG¯  )|−1 S G,sc (SAunip (V ), f,sc ).

Rappelons la formule ˜ G ˜  , μ , ωG¯  ) = i(G, ˜ G ˜  )| Out(G )||W G (μ )|| FixG (μ , ωG¯  )| i(G, de 5.1(5) et la définition ˜ G ˜  ) = | Out(G )|−1 | det((1 − θ)|A /A )|−1 τ (G)τ (G )−1 i(G, G ˜ G ˆ ΓF −1 ˆ ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 |π0 ((Z(G)/Z( G) ) )| |π0 (Z(G) )| 

de [VI] 5.1. Le groupe W G (μ ) s’identifie à W H . On a l’égalité ¯

τ  (G ) = covol(AG ,Z )−1 τ (G ). On a supposé que l’isomorphisme AG˜  AG préservait les mesures. Il transforme le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF ,θ , Z) en le réseau AG ,Z car, dualement, ˜ ˆ ˆ ΓF ,θ,0 = Z(G ˆ  )ΓF ,0 . Il en résulte que covol(AG ,Z ) = covol(A ˜ ), avec une Z(G) G,Z définition évidente de ce dernier terme. Posons ˜ = | det((1 − θ)|A /A )|−1 τ (G) covol(A ˜ )−1 C(G) G ˜ G,Z G ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 )ΓF )|−1 |π0 (Z(G) ˆ ΓF ,0 ∩ Tˆ θ,0 )|. |π0 ((Z(G)/Z( G) ˆ

ˆ

On obtient alors l’égalité 



(4)



˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯



G

,sc H ˜ |S G,sc (SAunip (V ), f,sc ). = C(G)|W

VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6 ¯ SC et G On poursuit notre calcul. Les deux groupes H ,SC sont en situation d’en¯ H ) → X∗,Q (T,sc ) doscopie non standard. Plus précisément, notons j∗ : X∗,Q (Tsc  ¯ SC , G l’isomorphisme déduit du diagramme 5.2(1). Alors (H ,SC , j∗ ) est un tri˜ )) implique que plet endoscopique non standard. L’hypothèse X ∈ Stabexcep(G(F  ¯ N (HSC , G,SC , j∗ ) < dim(GSC ), cf. [III] lemme 6.3. Nos hypothèses de récurrence permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6. On voit aisément que V vérifie les conditions de non-ramification imposées dans cette référence. Il n’y a pas d’isomor¯ SC (FV )) mais il y en a un par contre entre phisme entre SI(G,SC (FV )) et SI(H

VII.5. Descente

831

¯SC (FV )). Via l’exponentielle, on déduit de celui-ci un isoSI(g,SC (FV )) et SI(h ¯ SC (FV )), à savoir morphisme entre deux sous-espaces de SI(G,SC (FV )) et SI(H les sous-espaces de fonctions à support dans des voisinages convenables des éléments neutres. Comme pour les homomorphismes de descente, il est plus commode de considérer cet isomorphisme comme une correspondance entre SI(G,SC (FV )) ¯ SC (FV )). Introduisons la fonction f¯sc ∈ SI(H ¯ SC (FV )) qui correspond et SI(H  ainsi par endoscopie non standard à f,sc ∈ SI(G,SC (FV )). Ses intégrales orbi¯ SC (FV ) mais tales stables n’ont de sens qu’au voisinage de l’élément neutre de H cela nous suffit. Le théorème [VI] 5.6 transforme l’expression (4) du paragraphe précédent en 

(1)





˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯ SC ¯ ¯ H H ˜ |S HSC (SAunip (V ), f¯sc ). = C(G)|W

Si V était réduit à une seule place, la fonction f¯sc serait calculée par la formule [III] 5.2(6). Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien. Comme on l’a dit en [V] 4.1, le même calcul vaut sur un corps de base archimédien. Dans ce cas, parce qu’on remonte nos fonctions au revêtement simplement connexe ¯ SC , l’exponentielle pertubatrice du (ii) du théorème 5.7 disparaît. Le résultat H pour notre ensemble fini V de places s’ensuit, en faisant le produit sur tous les v ∈ V . Décrivons-le. Soit dV = (dv )v∈V ∈ DVrel . Puisqu’on a fait disparaître les espaces de mesures, on suppose implicitement fixées des mesures sur les groupes Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) (le choix fait en 4.1 des mesures de Tamagawa ne vaut pas ici puisque les groupes Gη[dV ] et Gη[dV ],SC ne sont pas définis sur F ). Elles se déduisent de mesures sur les algèbres de Lie des groupes en question. On a l’isomorphisme ¯ FV ) ⊕ gη[d ],SC (FV ). gη[dV ] (FV )  z(G; V ¯ FV ) de la mesure de Tamagawa. On ¯ 0 est défini sur F , on munit donc z(G; Or Z(G) suppose que l’isomorphisme ci-dessus est compatible aux mesures. Posons f [dV ] = ˜ ˜ G descG η[dV ] (f ), cf. [I] 4.1 pour la définition de l’homomorphisme de descente descη[dV ] . C’est un élément de I(Gη[dV ] (FV ), ω). Posons f [dV ]sc = ιGη[dV ],SC ,Gη[dV ] (f [dV ]). C’est un élément de I(Gη[dV ],SC (FV )). On a fixé le facteur de transfert Δ[dV ] en 5.7 (on supprime l’indice j de cette référence). Notons f¯[dV ] le transfert de f [dV ]sc ¯ V ). C’est un élément de SI(H(F ¯ V )). On note f¯[dV ]sc son image par ιH¯ ,H¯ . à H(F SC ¯ SC (FV )). Posons C’est un élément de SI(H c[dV ] = [Iη[dV ] (FV ) : Gη[dV ] (FV )]−1 et δ[dV ] =

 v∈V

δ[dv ],

832

Chapitre VII. Descente globale

avec la notation de 5.7 où on supprime les indices j. Fixons un ensemble de représentants D˙ Vrel dans DVrel de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯V )\DVrel /G(FV ). La formule [III] 5.2(6) nous dit que  f¯sc = c[dV ]δ[dV ]f¯[dV ]sc . ˙ rel d V ∈D V

Plus exactement, les intégrales orbitales stables des deux membres coïncident dans ¯ SC (FV ). un voisinage de l’élément neutre de H Remarque. Cette formule, qui est issue de [79] 3.11, nécessite certaines compatibilités dans nos choix de mesures. Précisément, les mesures sur G (FV ) et G,SC (FV ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une mesure sur z(G ; FV ) ; les mesures sur Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) se déduisent l’une de l’autre par le choix d’une ¯ V ) et H ¯ SC (FV ) se déduisent l’une mesure sur z(Gη[dV ] ; FV ) ; les mesures sur H(F ¯ FV ). Alors les mesures sur z(G ; FV ), de l’autre par le choix d’une mesure sur z(H;  ¯ FV ) doivent être compatibles avec l’isomorphisme z(Gη[dV ] ; FV ) et z(H; ¯ FV ) z(G ; FV )  z(Gη[dV ] ; FV ) ⊕ z(H; déduit du diagramme 5.2(1). Cette compatibilité est assurée par le choix fait cidessus des mesures sur Gη[dV ] (FV ) et Gη[dV ],SC (FV ) et par le choix des mesures de Tamagawa sur les autres groupes, cf. lemme 4.2(ii). On a donc ¯

¯

HSC S HSC (SAunip (V ), f¯sc ) =



¯

¯

HSC c[dV ]δ[dV ]S HSC (SAunip (V ), f¯[dV ]sc ).

˙ rel d V ∈D V

Appliquons la proposition 4.6. Elle se simplifie ici. En effet, puisque H est une don¯ = τ (H). ¯ ¯ SC , on a AH¯ = AG¯ = {1}, donc τ  (H) née endoscopique elliptique de G SC ¯ SC ) = τ (H ¯ SC ) = 1 d’après le théorème de On a de même AH¯ SC = {1}, donc τ  (H ¯ SC H ¯ −1 SAH¯ (V ). (V )) = τ (H) Lai ([52] théorème 1.2). On obtient que ι∗H¯ SC ,H¯ (SAunip unip rel ˙ Pour tout dV ∈ D , on a alors l’égalité V

¯ SC ¯ H ¯ −1 S H¯ (SAH¯ (V ), f¯[dV ]). (V ), f¯[dV ]sc ) = τ (H) S HSC (SAunip unip

La formule (1) se récrit 





˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G,  ¯ ¯ ¯ H ¯ ¯ −1 ˜ |τ (H) c[dV ]δ[dV ]S H (SAH = C(G)|W unip (V ), f [dV ]). ˙ rel d V ∈D V

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

833

On a fixé le triplet (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H) au début du paragraphe précédent. Faisons-le varier, en le notant j. Dans la formule ci-dessus, seul le terme δ[dV ] en dépend, on le note désormais δj [dV ]. En reprenant la définition de 5.3, la formule ci-dessus conduit à l’égalité

(2)

˜ ˜ ˜ (H) ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 C(G)τ   ¯ ¯ ¯ c[dV ]S H (SAH δj [dV ]. unip (V ), f [dV ]) ˙ rel d V ∈D V

j∈J (H)

VII.6 Calculs de facteurs de transfert VII.6.1 Rappels cohomologiques Rappelons quelques définitions usuelles. Soient T1 et T2 deux tores définis sur F et ϕ : T1 → T2 un homomorphisme défini sur F . On définit les groupes de cohomologie ϕ ϕ – H 1,0 (F ; T1 → T2 ) = H 1,0 (ΓF ; T1 (F¯ ) → T2 (F¯ )) ; ϕ

– H 1,0 (AF ; T1 → T2 ) ; c’est la limite inductive sur les extensions galoisiennes ϕ finies E de F des groupes H 1,0 (Gal(E/F ); T1 (AE ) → T2 (AE )) ; on peut aussi dire qu’en notant AF¯ la limite inductive des AE , c’est le groupe ϕ

H 1,0 (ΓF ; T1 (AF¯ ) → T2 (AF¯ )); ϕ

– H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ) : c’est la limite inductive comme ci-dessus des groupes ϕ H 1,0 (Gal(E/F ); T1 (AE )/T1 (E) → T2 (AE )/T2 (E)) ; ou encore c’est le groupe ϕ H 1,0 (ΓF ; T1 (AF¯ )/T1 (F¯ ) → T2 (AF¯ )/T2 (F¯ )) ; ϕ

ϕ

– pour toute place v, H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ) = H 1,0 (ΓFv ; T1 (Fv ) → T2 (Fv )) ; ϕ

– pour une place v finie où T1 et T2 sont non ramifiés, H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) = nr ϕ nr nr nr H 1,0 (Γnr v ; T1 (ov ) → T2 (ov )) (on rappelle que Γv = Gal(Fv /Fv )). ϕ

Ce dernier s’envoie injectivement dans H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ). Le groupe ϕ

H 1,0 (AF ; T1 → T2 ) ϕ

est isomorphe au produit restreint des H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ), la restriction étant ϕ relative aux sous-groupes H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) définis pour presque tout v. Dans l’appendice C de [48], Kottwitz et Shelstad définissent une topologie ϕ sur H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ), qui en fait un groupe localement compact. Ils défiϕ ˆ nissent un accouplement entre ce groupe et le groupe H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ). De cet accouplement se déduit un homomorphisme surjectif (1)

ϕ ˆ ϕ H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ) → Homcont (H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ), C× ),

834

Chapitre VII. Descente globale

où, pour deux groupes topologiques X et Y , Homcont (X, Y ) désigne le groupe des homomorphismes continus de X dans Y . Il y a une suite exacte ϕ ˆ Tˆ2ΓF → Tˆ1ΓF → H 1,0 (WF ; Tˆ2 → Tˆ1 ).

D’après le lemme C.2.C de [48], on a (2) le noyau de (1) est l’image de Tˆ1ΓF ,0 par le second homomorphise de la suite ci-dessus. Considérons maintenant – deux autres tores T1 et T2 définis sur F et un homomorphisme ϕ : T1 → T2 défini sur F ; – deux groupes diagonalisables Z1 et Z2 définis sur F et un homomorphisme ψ : Z1 → Z2 défini sur F ; – des diagrammes commutatifs et équivariants pour les actions galoisiennes Z1 ↓ T1

ψ

→ Z2 ↓ ϕ



et

T2

ψ

Z1 ↓

→ Z2 ↓

T1



ϕ

T2 .

On suppose que ces diagrammes sont des quasi-isomorphismes. Cela signifie qu’il s’en déduit des isomorphismes entre groupes de cohomologie, c’est-à-dire entre – le noyau ker(ψ) et le noyau ker(ϕ), resp. ker(ϕ ) ; – le conoyau coker(ψ) et le conoyau coker(ϕ), resp. coker(ϕ ). On a alors des homomorphismes naturels ψ



H 1,0 (F ; Z1 → Z2 )



ϕ

ϕ

H 1,0 (F ; T1 → T2 ) .

H 1,0 (F ; T1 → T2 )

Les deux flèches descendantes sont des isomorphismes. On en déduit un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (F ; T1 → T2 )  H 1,0 (F ; T1 → T2 ). De même, pour toute place v, on a un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (Fv ; T1 → T2 )  H 1,0 (Fv ; T1 → T2 ). ϕ

On vérifie que, pour presque tout v, cet isomorphisme identifie H 1,0 (ov ; T1 → T2 ) ϕ



à H 1,0 (ov ; T1 → T2 ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

835

On en déduit un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (AF ; T1 → T2 )  H 1,0 (AF ; T1 → T2 ). On a aussi un isomorphisme ϕ

ϕ

H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 )  H 1,0 (AF /F ; T1 → T2 ). La preuve est plus délicate mais routinière et on la laisse au lecteur. Tous ces isomorphismes sont «fonctoriels» et compatibles aux suites exactes de cohomologie.

VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne On sait définir les groupes de cohomologie abélienne d’un groupe réductif connexe défini sur F . Ce sont les groupes de cohomologie d’un complexe de tores. Considérons l’exemple de G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . On peut 0 (F ; G) = H 1,0 (F ; Tsc → T ), prendre pour complexe Tsc → T . Ainsi, on définit Hab 1 2,1 Hab (F ; G) = H (F ; Tsc → T ). Les nombres (i + 1, i) en exposants indiquent que ces groupes classifient des cocycles qui sont des paires de cochaînes, la première étant de degré i + 1 à valeurs dans Tsc , la seconde étant de degré i à valeurs dans i i (Fv ; G) pour v ∈ Val(F ), Hab (AF ; G) et T . On définit de même les groupes Hab i Hab (AF /F ; G). Le choix du tore T n’importe pas. Plus généralement, introduisons le tore T ∗ de G, muni de l’action quasi-déployée et fixons un cocycle ωT  : ΓF → W . Définissons le tore T  comme étant égal à T ∗ , mais muni de l’action galoisienne  ∗ σ → ωT  (σ) ◦ σG∗ . On définit aussi Tsc comme étant égal à Tsc muni de l’action  précédente. Le tore T n’a pas de raison d’être isomorphe à un sous-tore de G mais les considérations du paragraphe précédent montrent que l’on peut aussi bien dé finir les groupes de cohomologie abélienne de G à l’aide du complexe Tsc → T .   En effet, les complexes Tsc → T et Tsc → T sont tous deux quasi-isomorphes au complexe Z(GSC ) → Z(G). Soit v ∈ Val(F ) − V . On peut choisir un sous-tore maximal Tv de G défini sur Fv et non ramifié. On définit alors i (ov ; G) = H i+1,i (ov ; Tsc,v → Tv ). Hab 1 0 (ov ; G) = {0} tandis que Hab (ov ; G) Cela ne dépend pas du choix de Tv . On a Hab 0 est l’image naturelle de Tv (ov ) dans Hab (Fv ; G) ([48] lemme C.1.A ; rappelons que 0 (Fv ; G) s’identifie à G(Fv )/π(GSC (Fv ))). L’assertion 1.5(2) peut se reformuler Hab ainsi 0 0 (1) Hab (ov ; G) est l’image naturelle de Kv dans Hab (Fv ; G). 0 0 On notera plus simplement Gab (Fv ) = Hab (Fv ; G) et Gab (ov ) = Hab (ov ; G). La définition des groupes de cohomologie abélienne s’étend aux groupes non connexes mais quasi-connexes, cf. [51] 1.6. Il faut dans ce cas utiliser des complexes de tores de longueur 3. Considérons par exemple un élément semi-simple γ ∈

836

Chapitre VII. Descente globale

˜ ), posons Iγ = Z(G)θ Gγ . Fixons un sous-tore maximal T de Gγ , notons T G(F son commutant dans G et T,sc l’image réciproque de T dans Gγ,SC . Alors les groupes de cohomologie abélienne de Iγ sont définis à l’aide du complexe T,sc → 1−θ

1−θ

1 (F ; Iγ ) = H 2,1,0 (F ; T,sc → T → (1 − θ)(T )). T → (1 − θ)(T ). Par exemple, Hab L’homomorphisme de complexes

Z(Gγ,SC ) → Z(Iγ ) ↓ ↓ T,sc



T

1−θ



(1 − θ)(Z(G)) ↓

1−θ

(1 − θ)(T )



est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire qu’il s’en déduit des isomorphismes entre groupes de cohomologie. Les considérations du paragraphe précédent s’étendent aux complexes de longueur finie quelconque, avec les mêmes conséquences. Identifions W Gγ au groupe de Weyl de T dans Gγ et fixons un cocycle ωT  : ΓF → W Gγ . Définissons le tore T  comme étant égal à T , muni de l’action galoisienne  σ → ωT  ◦ σ. On définit de même les tores T et T,sc . Alors on peut aussi bien définir les groupes de cohomologie abélienne de Iγ à l’aide du complexe de tores 1−θ

 T,sc → T  → (1 − θ)(T  ).

VII.6.3 Un lemme de densité 0 0 Il y a un homomorphisme naturel de Hab (F ; G) dans Hab (AF ; G) dont on note 0 l’image Im(Hab (F ; G)). Cette image est discrète pour la topologie naturelle de 0 (AF ; G) ([48] lemme C.3.A). D’autre part, pour toute place v, il y a un hoHab 0 momorphisme naturel G(Fv ) → Gab (Fv ) = Hab (Fv ; G). Il est continu et ouvert. Il est surjectif si v est finie. L’assertion 6.2(1) montre qu’il s’en déduit un homomor0 (AF ; G). Plus précisément, notons V∞ l’ensemble des places phisme G(AF ) → Hab 0 (AVF∞ ; G), l’asarchimédiennes de F . En définissant de façon évidente le groupe Hab V∞ V∞ 0 sertion 6.2(1) montre que l’homomorphisme G(AF ) → Hab (AF ; G) est continu, ouvert et surjectif.

Lemme. L’homomorphisme 0 0 (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) G(AF ) → Hab

est continu, ouvert et surjectif. Preuve. Le fait qu’il soit continu et ouvert résulte de ce que l’on a dit ci-dessus. D’après le lemme C.5.A de [48], la projection de 0 (F ; G)) Im(Hab

dans

 v∈V∞

0 Hab (Fv ; G)

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

837

est dense. Il revient au même de dire que l’image de 0 Hab (AVF∞ ; G) dans

0 0 Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G))

est dense, ou encore que l’image de G(AVF∞ ) dans ce quotient est dense. A fortiori, l’homomorphisme de l’énoncé est d’image dense. Cette image étant un sous-groupe 0 0 ouvert, elle est égale au groupe Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) tout entier. 

VII.6.4 Fibres de la descente ¯ H, ¯ s¯) ∈ E ˆ¯ On conserve la donnée H = (H, T

ad ,•

¯ V ) fixée en 5.3, soumise à la (G,

= ∅ pour tout v ∈ V posée en 5.6. On veut décrire l’ensemble J (H). ˆ¯ et H. ˆ¯ On peut identifier le On a fixé en 5.2 des paires de Borel des groupes G ˆ¯ ˆ ˆ Tˆ) et celui de la seconde à Tˆ¯ad = Tˆ¯/Z(G). tore T¯ de la première paire à Tˆ /(1 − θ)( Les actions galoisiennes sur ces tores sont de la forme σ → σG¯ = ωG¯ (σ)σG∗ et σ → σH¯ = ωH¯ (σ)σG¯ , où ωG¯ est un cocycle à valeurs dans W θ et ωH¯ est un cocycle ¯ ¯ On peut à valeurs dans W G . On a fixé en 5.6 une paire de Borel (BH¯ , SH¯ ) de H. ˆ ¯ ˆ identifier le tore dual SH¯ à Tad muni d’une action galoisienne σS = ωS,H¯ (σ)σH¯ , ¯ où ωS,H¯ est un cocycle de ΓF dans W H . On pose condition

Dvrel

ωS (σ) = ωS,H¯ (σ)ωH¯ (σ)ωG¯ (σ). On vérifie que ωS : ΓF → W θ est un cocycle pour l’action quasi-déployée σ → σG∗ de ΓF sur W θ . Introduisons le tore Sˆ isomorphe à Tˆ, muni de l’action galoisienne ˆ¯ On fixe des χ-data ˆ S))/Z( ˆ ˆ σS = ωS (σ)σG∗ . Alors SˆH¯ s’identifie à (S/(1 − θ)( G). ˆ ˆ ˆ θ,0 , définies sur F . On définit pour l’ensemble des racines du tore Sˆθ,0 dans G comme dans le cas local (cf. [I] 2.2) une cochaîne WF w

ˆ θˆ → G SC → rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) .

D’après [59] paragraphe 2.6, c’est un cocycle. Il prend ses valeurs dans le normaliˆ θˆ . En le poussant en un cocycle à valeurs dans W θ , on obtient sateur de Tˆ dans G SC ωS (relevé en un cocycle défini sur WF ). ˆ On ¯ On écrit G = (G , G  , sθ). Considérons un élément (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H).  ¯ G  H se rappelle que ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) et que W = W (μ ). On pose  ωS,G (σ) = ωS,H¯ (σ)ωG¯  (σ). On vérifie que ωS,G est un cocycle de WF dans W G ˆ (muni de l’action galoisienne provenant de G ). Le tore Sˆθ,0 s’identifie au sousˆ ˆ  . Par cette identification, l’action σ → σS coïncide tore maximal Tˆ  = Tˆθ,0 de G avec σ → ωS,G (σ)σG . Comme dans le cas local, des χ-data que l’on a fixées se ˆ déduisent de telles données pour l’ensemble des racines du tore Sˆθ,0 dans le groupe ˆ  . On définit comme ci-dessus le cocycle G WF w

ˆ → G SC  → rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) .

838

Chapitre VII. Descente globale

Pour w ∈ WF , on fixe un élément gw = (g(w), w) ∈ G  tel que adgw coïncide avec ˆ  . On pose wG sur G nG (ωS (w))g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . tS (w) = rˆS (w)ˆ ˆ Ce n’est pas forcément un cocycle, mais son C’est une cochaîne à valeurs dans S. ˆ θ,0 ˆ ˆ en est un, parce que g(w) est bien déterminé modulo image tS : WF → S/S ˆ θ,0 ˆ T . Pour la même raison, ce cocycle ne dépend pas du choix de gw , ni de celui des épinglages nécessaires pour définir les sections de Springer. Notons s l’image ˆ ˆ  Tˆad . On vérifie que le couple (t , s) est un élément de G) de s dans Sˆad = S/Z( S ˆ 1− θ ˆ θ,0 1,0 ˆ ˆ ˆ Z (WF ; S/S → Sad ). Posons ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad )

et notons encore (tS , s) la classe dans P du cocycle précédent. On a ainsi défini une application p:

J (H) j = (G , μ , ωG¯  )

→ P → p(j) = (tS , s).

˜ ω, V ) est un ensemble de représentants de données enL’ensemble ETˆ (G, doscopiques modulo Tˆ-équivalence. Evidemment, l’application ci-dessus peut se définir sur toutes les données et pas seulement sur un ensemble de représentants. Montrons qu’alors, elle se quotiente par cette Tˆ -équivalence. En effet, remplaçons la donnée G précédente par une donnée Tˆ -équivalente. Cette nouvelle ˆ −1 z), avec x ∈ Tˆ et z ∈ Z(G). ˆ L’endonnée est de la forme (G , xG  x−1 , xsθ(x)   ˜ semble Stab(G (F )) ne change pas et le couple (μ , ωG¯  ) est encore un élément de cet ensemble. Dans les constructions précédentes, on peut remplacer le conG (ωS,G (w)) par w → xˆ rS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))x−1 et gw par cycle w → rˆS,G (w)ˆ −1 −1 xgw x , donc g(w) par xg(w)wG (x) . Cela remplace tS (w) par nG (ωS (w))wG (x)g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 x−1 . rˆS (w)ˆ nG (ωS (w))◦wG =wS sur Tˆ , donc le terme précédent est wS (x)tS (w)x−1. On a rˆS (w)ˆ ˆ Evidemment, s est remplacé par (1 − θ)(x)s. Mais le couple formé du cocycle −1 ˆ est cohomologue à (tS , s), ce qui w → wS (x)tS (w)x et de l’élément (1 − θ)(x)s démontre l’assertion. On a des homomorphismes naturels ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆad )) ˆ Sˆθ,0 → Sad ) → H 0 (WF ; Sˆad /(1 − θ)( P = H 1,0 (WF ; S/ → H 0 (WF ; SˆH¯ ) = SˆΓ¯F . H

On note p1 leur composé.

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

839

Le diagramme commutatif

1 ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ 1

→ 1−θˆ



1−θˆ



1 ↓ ˆ Z(G) ↓ Sˆ ↓ Sˆad ↓ 1

fournit un homomorphisme naturel ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 ˆ → Sad ) → H 1 (WF ; Z(G)), p2 : P = H 1,0 (WF ; S/

puis ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ p2 : P → H 1 (WF ; Z(G))/ Soit v ∈ Val(F ) − V , notons Iv le groupe d’inertie de ΓFv . C’est aussi un sous-groupe de WFv . Remarquons que l’on n’a pas supposé que le tore S était non ramifié hors de V . On a un diagramme

ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad )

resIv



ˆ Sˆsc ))Iv (Sˆsc /(1 − θ)(  ˆ θˆ 1−θ ˆ 1,0 → Ssc ) H (Iv ; Sˆsc /Sˆsc ↓ ϕv ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (Iv ; S/ → Sad ).

ˆ SC . Son groupe On a noté comme toujours Sˆsc l’image réciproque de Sˆ dans G θˆ θˆ ˆ ˆ de points fixes Ssc est connexe et l’homomorphisme 1 − θ est injectif sur Sˆsc /Sˆsc . L’isomorphisme du haut en résulte, par la suite exacte de [48] p.119. L’homomorphisme resIv est la restriction. On note P (H) l’ensemble des p ∈ P tels que – p1 (p) = s¯ ; – p2 (p) = a ; – pour tout v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Proposition. L’application p est injective. Son image est P (H). Preuve. On commence par prouver l’injectivité. Considérons deux éléments (G1 , μ1 , ωG¯ 1 ) et (G2 , μ2 , ωG¯ 2 ) de J (H) ayant même image par p. On affecte les termes attachés à chacune des données d’un indice 1 ou 2. Les deux cocycles

840

Chapitre VII. Descente globale

(tS,1 , s1 ) et (tS,2 , s2 ) sont cohomologues. On a prouvé que remplacer la donnée G2 par une donnée Tˆ -équivalente remplaçait le cocycle (tS,2 , s2 ) par un cocycle cohomologue. En reprenant la preuve, on voit qu’à l’inverse, on peut remplacer G2 par une donnée Tˆ -équivalente de sorte que les deux cocycles (tS,1 , s1 ) et (tS,2 , s2 ) soient égaux. Alors les images de s1 et s2 dans Tˆad sont égales. A équivalence près, ˆ 1 = G ˆ 2 . Notons simplement G ˆ  ce groupe. Pour on peut supposer s1 = s2 . Alors G σ ∈ ΓF , on a l’égalité ωG¯ 1 (σ)ωG1 (σ)σG∗ = ωG¯ 2 (σ)ωG2 (σ)σG∗ parce que chacun des deux termes est égal à ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ . Mais, pour i = 1, 2, ˆ ˆ  , tandis que ωGi (σ)σG∗ conserve l’ensemble des racines positives de Tˆθ,0 dans G  ωG¯ i (σ) appartient à W G . Une décomposition en produits de termes vérifiant ces propriétés est unique. D’où les égalités (1)

ωG¯ 1 = ωG¯ 2 et ωG1 = ωG2 .

ˆ 2 est compatible aux actions gaˆ 1 = G La seconde égalité signifie que l’égalité G  loisiennes. Dualement, on peut supposer G1 = G2 . Pour w ∈ WF , les termes qui interviennent dans la construction de tS,1 (w) et tS,2 (w) sont égaux, à l’exception peut-être de g1 (w) et g2 (w). L’égalité tS,1 (w) = tS,2 (w) entraîne donc que ˆ ˆ  g1,w . Pour i = 1, 2, G  est g2 (w) ∈ Tˆ θ,0 g1 (w) pour tout w ∈ WF . Donc gw,2 ∈ G i   ˆ engendré par G et les gw,i pour w ∈ WF . Donc G1 = G2 . Cela prouve que, quitte à remplacer G2 par un élément Tˆ -équivalent, on a l’égalité G1 = G2 . Puisque les deux éléments de départ appartiennent à un ensemble de représentants modulo Tˆ -équivalence, ces deux éléments de départ sont en fait égaux. Enfin, on a l’égalité μ1 = μ2 = μ. D’où, grâce à (1), (G1 , μ1 , ωG¯ 1 ) = (G2 , μ2 , ωG¯ 2 ). Cela prouve l’injectivité de p. Montrons maintenant que p(J (H)) ⊂ P (H). Soit j = (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). ˆ On lui associe le cocycle p = (t , s). Le fait que p1 (p) = On écrit G = (G , G  , sθ). S s¯ est immédiat. Concrètement, l’image z = p2 (p) se construit ainsi. Le cocycle (tS , s) se relève ˆ est défini par en la cochaîne (tS , s). Le cocycle z : WF → Z(G) −1 ˆ z(w). (1 − θ)(t S (w)) = wS (s)s

ˆ on a nG (ωS (w)) est fixe par θ, Parce que rˆS (w)ˆ ˆ (1 − θ)(t S (w)) # $ = θˆ rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))g(w) g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 # $ −1 ˆ = s−1 sθˆ rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) s−1 sθ(g(w))g(w) n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . ˆ D’autre part, ˆ  , ce terme est fixe par ads ◦θ. Parce que rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w)) ∈ G on a une égalité ˆ sθ(g(w)) = a(w)g(w)wG∗ (s),

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

841

ˆ d’image a dans où a est un cocycle à valeurs dans Z(G), ˆ ker1 (WF ; Z(G)). ˆ H 1 (WF ; Z(G))/ On obtient ˆ (1 − θ)(t S (w)) = a(w)s−1 rˆS,G (w)ˆ nG (ωS,G (w))g(w)wG∗ (s)g(w)−1 n ˆ G (ωS,G (w))−1 rˆS,G (w)−1 . Mais adnˆ G (ωS,G (w))g(w) ◦wG∗ = wS . D’où

−1 ˆ (1 − θ)(t wS (s). S (w)) = a(w)s

Alors le cocycle z est égal à a. Il s’ensuit que p2 (p) = a. Soit v ∈ Val(F ) − V . Pour w ∈ Iv , on peut prendre g(w) = 1 puisque G est non ramifié en v. Alors les termes intervenant dans la définition de tS (w) ˆ SC . On peut considérer tS comme une cochaîne à valeurs appartiennent tous à G ˆ dans Ssc . C’est encore un cocycle. On en déduit un cocycle encore noté tS à valeurs θˆ . On fixe un élément ssc ∈ Sˆsc ayant même image que s dans Sˆad . Le dans Sˆsc /Sˆsc même calcul que ci-dessus montre que le couple (tS , ssc ) est un cocycle et définit ˆ θˆ 1−θ ˆ un élément de H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ). Il est clair que resIv (tS , s) est l’image par ϕv de ce cocycle. Cela achève de prouver que p = (tS , s) appartient à P (H). Réciproquement, soit p ∈ P (H). On représente p par un cocycle (tS , s). On ˆ 0 . On munit ce groupe d’une ˆ  = Z ˆ (sθ) relève s en un élément s ∈ Tˆ . On pose G G ˆ ˆ∩G ˆ  , Tˆθ,0 paire de Borel épinglée dont la paire sous-jacente soit (B ). ˆ Parce que Sˆθ,0 est connexe, l’homomorphisme ˆ

ˆ → H 1 (WF ; S/ ˆ Sˆθ,0 ) H 1 (WF ; S) ˆ est surjectif, cf. [56] p. 719 (1). On relève tS en un cocycle tS à valeurs dans S. Pour w ∈ WF , posons nG (ωS (w)), u(w) = tS (w)−1 rˆS (w)ˆ puis uw = (u(w), w) ∈ L G. On vérifie que w → uw est un homomorphisme de WF ˆ dont l’image dans L G. Parce que p2 (p) = a, il existe un cocycle a : WF → Z(G), ˆ ker1 (F, Z(G)) ˆ est a, tel que dans le groupe H 1 (WF ; Z(G))/ (2)

ˆ S (w)) = wS (s)s−1 a(w) (1 − θ)(t

pour tout w ∈ WF . Montrons que l’on a −1 ˆ = a(w)u(w) pour tout w ∈ WF . (3) sθ(u(w))w G∗ (s)

842

Chapitre VII. Descente globale

ˆ on a Parce que rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) est fixe par θ, −1 ˆ ˆ S (w))−1 rˆS (w)ˆ sθ(u(w))w = sθ(t nG (ωS (w))wG∗ (s)−1 . G∗ (s)

Parce que wS = adrˆS (w)ˆnG (ωS (w)) ◦wG∗ , on obtient −1 ˆ S (w))−1 wS (s)−1 rˆS (w)ˆ ˆ = sθ(t nG (ωS (w)). sθ(u(w))w G∗ (s)

En utilisant (2), on obtient −1 ˆ sθ(u(w))w = a(w)tS (w)−1 rˆS (w)ˆ nG (ωS (w)) = a(w)u(w). G∗ (s)

Cela prouve (3). ˆ donc aussi sa La relation (3) entraîne aisément que aduw normalise ZGˆ (sθ),   ˆ ˆ composante neutre G . Alors l’ensemble G {uw ; w ∈ WF } est un groupe. Notons-le G  . On a la suite exacte ˆ  → G  → WF → 1 1→G qui est scindée par l’homomorphisme u. Comme toujours, pour w ∈ WF , on peut ˆ  uw tel que adgw conserve l’épinglage fixé de G ˆ  . Alors fixer un élément gw ∈ G  ˆ w → adgw munit G d’une action galoisienne préservant l’épinglage. On introduit ˆ  , muni de son action le groupe réductif connexe G sur F , quasi-déployé, tel que G  ˆ galoisienne, soit le groupe dual de G . La relation (3) montre que G = (G , G  , sθ) ˜ a). est une donnée endoscopique pour (G, G, Montrons que (4) cette donnée endoscopique est non ramifiée hors de V . Soit v ∈ V . On sait resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Fixons un cocycle ˆ θˆ 1−θ ˆ ∈ H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ) tel que resIv (p) = ϕv (tS,sc , ssc ). Cela signiˆ sc et tS (w) = t (w)wS (x)x−1 fie qu’il existe x ∈ Sˆ tel que l’on ait s ∈ Z(G)xs S,sc pour tout w ∈ Iv (en identifiant un élément de GSC à son image dans G). On ˆ On remplace (t , ssc ) par le cocycle écrit x = zxsc , avec xsc ∈ Sˆsc et z ∈ Z(G). S,sc  cohomologue (tS,sc , ssc ) défini par tS,sc (w) = tS,sc (w)wS (xsc )x−1 sc et ssc = ssc xsc . −1 ˆ sc et t (w) = t Les relations deviennent s ∈ Z(G)s pour σ ∈ Iv . S S,sc (w)wS (z)z ˆ Elles y sont non ramiMais toutes les actions galoisiennes coïncident sur Z(G). fiées en v puisque v ∈ Vram . Donc wS (z) = z pour w ∈ Iv et on a simplement θˆ est connexe, le résultat de [56] cité tS (w) = tS,sc (w) pour w ∈ Iv . Parce que Sˆsc ci-dessus permet de relever tS,sc en un cocycle tS,sc à valeurs dans Sˆsc . En se rapˆ SC , on nG (ωS (w)) est naturellement un élément de G pelant que le terme rˆS (w)ˆ −1 ˆ nG (ωS (w)) ∈ GSC . Parce que (tS,sc , ssc ) est un définit usc (w) = tS,sc (w) rˆS (w)ˆ cocycle, le même calcul qu’en (3) montre que (tS,sc , ssc )

ˆ sc (w))wG∗ (ssc )−1 = usc (w) ssc θ(u

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

843

pour w ∈ Iv . On a en fait wG∗ (ssc ) = ssc puisque l’action w → wG∗ est non ramifiée. Donc usc (w) appartient au groupe des points fixes de l’automorphisme ˆ SC . Ce dernier groupe étant simplement connexe, le groupe de points adssc ◦θˆ de G ˆ est la composante neutre du groupe des points fixes est connexe. Son image dans G ˆ  ˆ ˆ fixes de ads ◦θ, c’est-à-dire G . Il résulte des définitions que u(w) ∈ Sˆθ,0 usc (w) pour ˆ  pour w ∈ Iv . Alors (1, w) = u(w)−1 uw ∈ G  , ce qui est la w ∈ Iv . Donc u(w) ∈ G condition pour que la donnée G soit non ramifiée en v. Cela prouve (4). Par construction, l’élément u(w) normalise Tˆ. La relation (3) entraîne que ˆ Il en résulte que l’élément g(w) défini par gw = son image dans W est fixe par θ. (g(w), w) a les mêmes propriétés. On note ωG (w) son image dans W θ et on note ωS,G (w) l’élément de W θ tel que l’image de u(w) dans W soit ωS,G (w)ωG (w). ˆ  uw , on a en fait ωS,G (w) ∈ W G . Il est clair que les applications Parce que gw ∈ G ωG et ωS,G , qui sont définies sur WF , se factorisent en des applications continues sur ΓF . La définition de uw entraîne l’égalité ωS,G (σ)ωG (σ) = ωS (σ) = ωSH¯ (σ)ωH¯ (σ)ωG¯ (σ) pour tout σ ∈ ΓF . Comme en 1.7, l’élément μ s’identifie à un élément μ ∈ ˜  ), où T  ∗ est le tore de G . Les calculs de systèmes de racines T  ∗ ×Z(G ) Z(G ¯ de ce paragraphe et l’hypothèse p1 (p) = s¯ entraînent que le groupe W H s’identifie G  au groupe W (μ ). Le terme ωSH¯ (σ) appartient à ce groupe. Posons ωG¯  (σ) = ωSH¯ (σ)−1 ωS,G (σ). 

On a ωG¯  (σ) ∈ W G et l’égalité précédente se récrit (5)

ωG¯  (σ)ωG (σ) = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ).

D’où aussi ωG¯  (σ)σG = ωH¯ (σ)ωG¯ (σ)σG∗ . Le membre de droite fixe μ donc celui de gauche fixe μ . Le membre de droite ¯ donc celui de gauche conserve conserve l’ensemble des racines positives de H, G   ˜  (F )). La relation (5) enl’ensemble Σ+ (μ ). Donc (μ , ωG¯  ) appartient à Stab(G ˜  (F )) dans traîne que cet élément s’envoie sur (μ, ωG¯ ) par l’application de Stab(G ˜ )). D’après 1.7(3), (μ , ωG¯  ) vérifie pour v ∈ V les conditions (nr1), (nr2) Stab(G(F et (nr3) de 1.6, puisque (μ, ωG¯ ) les vérifie. La condition (nr4) résulte de (5) : pour v ∈ V et σ ∈ Iv , on a ωG (σ) = 1 puisque G est non ramifié, ωH¯ (σ) = 1 puisque ˜ (on a imposé S(X , K) ˜ ⊂ V, H est non ramifié, ωG¯ (σ) = 1 puisque v ∈ S(X , K) ˜ ) ⊂ V . cf. 5.1) ; d’où ωG¯  (σ) = 1. Donc S(pG˜  (μ , ωG¯  ), K En inversant la preuve de 5.2(3), on voit que les hypothèses d’ellipticité de H et de (μ, ωG¯ ) entraînent que G est elliptique et que (μ , ωG¯  ) l’est aussi. En utilisant l’hypothèse p1 (p) = s¯ et la relation (5), on voit que les données (G , μ , ωG¯  ) s’envoient sur H par la construction du paragraphe 5.2. Evidemment, la donnée

844

Chapitre VII. Descente globale

G n’a pas de raison d’appartenir à l’ensemble de représentants des classes de Tˆéquivalence que l’on a fixé, mais on peut la remplacer par l’élément de cet ensemble qui lui est Tˆ -équivalent. Alors (G , μ , ωG¯  ) appartient à l’ensemble J• (H) introduit en 5.4. On rappelle que cet ensemble est défini de façon analogue à J (H), sauf que l’on supprime la condition que G est relevante. Mais on a vu en 5.6(1) que, sous l’hypothèse posée sur H, cette condition de relevance était automatique. Donc (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Il résulte des constructions que l’image de cet élément par p est l’élément p ∈ P (H) dont on est parti. Cela achève la preuve. 

VII.6.5 Dualités On a déjà introduit le groupe ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 → Sad ). P = H 1,0 (WF ; S/

Introduisons le tore S sur F égal à T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ)σG∗ . ˆ Introduisons le groupe Son dual est S. 1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Comme on l’a dit en 6.1, Kottwitz et Shelstad définissent une topologie sur Q, pour laquelle ce groupe est localement compact, ainsi qu’un accouplement entre P et Q. On a (1) l’accouplement entre P et Q identifie P au groupe Homcont (Q, C× ) des homomorphismes continus de Q dans C× . D’après 6.1(2), il suffit de prouver que l’homomorphisme 1−θˆ ΓF ,0 SˆΓF ,0 → Sˆad

ˆ¯ Elle est ˆ ˆ S) ˆ → SˆH¯ de noyau Z(G). est surjectif. On a une projection S/(1 − θ)( ¯ v pour équivariante pour les actions galoisiennes. Le tore SH¯ est elliptique dans H toute place non-archimédienne v ∈ V . Cet ensemble de places est non vide puisque V contient Vram , lequel contient les places de caractéristique résiduelle 2, 3 et 5. ¯ De plus H ¯ est une donnée elliptique pour G ¯ SC . Donc SH¯ est elliptique dans H. Γ ,0 ˆ F Γ ,0 Γ ,0 ˆ S)) ¯ F . Mais (μ, ωG¯ ) ˆ ˆ F ⊂ Z(G) Il en résulte que SˆH¯ = {1}. Donc (S/(1 − θ)( ˆ Γ ,0 Γ ¯ F est l’image naturelle de Z(G) ˆ F ,0 . Il en résulte que est elliptique. Donc Z(G) ˆ Sˆad ))ΓF ,0 = {1}. C’est équivalent à la surjectivité cherchée.  (Sˆad /(1 − θ)( Pour une place v ∈ Val(F ), on pose ˆ

ˆ 1−θ ˆ ˆ Sˆθ,0 Pv = H 1,0 (WFv ; S/ → Sad )

et 1−θ

Qv = H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

845

On note resv : P → Pv l’homomorphisme de restriction et ιv : Qv → Q l’homomorphisme naturel. On note ˆ p2,v : Pv → H 1 (WFv ; Z(G)) l’analogue local de l’homomorphisme p2 . On a rappelé en 5.5 le groupe G = G/Z(G)θ . On a le diagramme commutatif Ssc ↓ Ssc ↓



Ssc

1−θ

→ →

S ↓ S/Z(G)θ ↓1−θ (1 − θ)(S) .

Comme on l’a dit en 6.2, le groupe Gab (Fv ) peut se définir à l’aide du complexe Ssc → S. De même, G,ab (Fv ) peut se définir à l’aide du complexe Ssc → S/Z(G)θ . On déduit du diagramme ci-dessus un diagramme commutatif Gab (Fv ) ↓

 ζv  ζ ,v

Qv .

G,v Enfin, on note q1 : H 1 (AF /F ; SH¯ ) → Q l’homomorphisme déduit de l’homomorphisme SH¯ → Ssc dual de Sˆad → SˆH¯ . Proposition. (i) Pour toute place v, le noyau de p2,v ◦ resv est l’annulateur dans P de ιv ◦ ζ v (Gab (Fv )). (ii) Pour toute place v ∈ V , le sous-groupe des p ∈ P tels que resIv appartienne à l’image de ϕv est l’annulateur dans P de ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov ). (iii) Le noyau de p1 est l’annulateur dans P de l’image de q1 . ΓF Preuve. L’accouplement entre H 1 (AF /F ; SH¯ ) et SˆH ¯ identifie le second groupe à celui des homomorphismes continus du premier dans C× . Comme dans la preuve de (1), cela résulte de [48] lemme C.2.C et de l’ellipticité de SH¯ . Alors p1 s’identifie à l’homomorphisme

Homcont (Q, C× ) → Homcont (H 1 (AF /F ; SH¯ ), C× ) déduit par dualité de q1 . L’assertion (iii) résulte de la propriété générale suivante : si f : X → Y est un homomorphisme continu entre groupes abéliens localement compacts, le noyau de l’homomorphisme dual f D : Homcont (Y, C× ) → Homcont (X, C× ) est l’annulateur de l’image de f .

846

Chapitre VII. Descente globale

Soit v une place de F . On a un diagramme P Q

resv



Pv

ι

Qv

v ←

p2,v



ˆ H 1 (WFv ; Z(G))



Gab (Fv ) .

ζv

ˆ Il y a des accouplements entre P et Q, entre Pv et Qv et entre H 1 (WFv ; Z(G)) et Gab (Fv ). On a déjà dit que, par le premier accouplement, P s’identifiait à ˆ s’identifie à Homcont (Q, C× ). On sait aussi que, par le dernier, H 1 (WFv ; Z(G)) × Homcont (Gab (Fv ), C ). On vérifie que p2,v ◦ resv s’identifie à l’homomorphisme Homcont (Gab (Fv ), C× ) → Homcont (Q, C× ) dual de ιv ◦ζ v . L’assertion (ii) résulte alors du même principe général que ci-dessus. Remarque. En général, l’accouplement entre Pv et Qv a un noyau dans Pv , égal Γ ,0 à l’image naturelle de l’homomorphisme SˆadFv → Pv . C’est le conoyau de cet homomorphisme qui s’identifie à Homcont (Qv , C× ). Soit v ∈ V . Notons S = S/Z(G)θ . On a décrit le tore dual Sˆ en [I] 2.7. On a une suite exacte θˆ 1 → Sˆsc /Sˆsc

ˆ (π,1−θ)



ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ × Sˆsc → Sˆ → 1.

Il s’en déduit un diagramme commutatif θˆ Sˆsc /Sˆsc ↓ ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ ↓ Sˆ

1−θˆ



1−θˆ

→ →

Sˆsc ↓ Sˆad ↓ Sˆad .

C’est un triangle distingué dans la catégorie des complexes de tores. On obtient un diagramme

P

resv



Pv ↓ p2,,v H 1,0 (WFv ; Sˆ → Sˆad )  1 ˆ  )) H (WFv ; Z(G

ResIv



Res ,Iv



Res ,Iv



ˆ θˆ 1−θ ˆ H 1,0 (Iv ; Sˆsc /Sˆsc → Ssc ) ↓ ϕv ˆ 1−θˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (Iv ; S/ → Sad ) ↓ H 1,0 (Iv ; Sˆ → Sˆad )  1 ˆ  )) . H (Iv ; Z(G

Les deux premiers homomorphismes de la colonne de droite forment une suite exacte. D’autre part, on a l’égalité resIv = ResIv ◦ resv avec la notation ci-dessus.

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

847

Donc, pour p ∈ P , la condition que resIv (p) appartienne à l’image de ϕv est équivalente à ce que p2,,v ◦ resv (p) appartienne au noyau de Res,Iv . Le groupe ˆ  )) s’identifie à Homcont (G,ab (Fv ), C× ). D’après 1.5(4) et 6.2(1), un H 1 (WFv ; Z(G ˆ  )) est annulé par Res,Iv si et seulement si χ annule élément χ ∈ H 1 (WFv ; Z(G G,ab (ov ). La condition que resIv (p) appartienne à l’image de ϕv équivaut donc à l’égalité p2,,v ◦ resv (p),  k = 1 pour  tout k ∈ G,ab (ov ). Mais on a l’égalité < p2,,v ◦ resv (p), k >= p, ιv ◦ ζ ,v (k) . La condition ci-dessus équivaut donc à ce  que p annule ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov )). Cela prouve (ii). Supposons que v soit une place hors de V en laquelle S est non ramifiée. On a alors (2) le groupe ιv ◦ ζ ,v (G,ab (ov )) coïncide avec l’image naturelle dans Q de ((1 − θ)(S))(ov ). Preuve. On a une suite exacte 1−θ

1 → S θ /Z(G)θ → S → (1 − θ)(S) → 1. Il s’en déduit une suite exacte 1−θ

nr nr 1 → (S θ /Z(G)θ )(onr v ) → S (ov ) → ((1 − θ)(S))(ov ) → 1.

Mais le groupe S θ /Z(G)θ est connexe en vertu de l’égalité S θ = S θ,0 Z(G)θ . En prenant les invariants par le groupe de Galois Γnr v , le théorème de Lang implique la surjectivité de l’homomorphisme 1−θ

S (ov ) → ((1 − θ)(S))(ov ). On a le diagramme commutatif S (ov ) ↓ G,ab (Fv )

1−θ





((1 − θ)(S))(ov ) ↓ Qv .

D’après 1.5(2) et 6.2(1), l’image de S (ov ) dans G,ab (Fv ) coïncide avec G,ab (ov ). Cela conclut. 

VII.6.6 Description d’un annulateur On note P 0 le sous-groupe des p ∈ P tels que – p1 (p) = 0 ; – pour toute place v, p2,v ◦ resv (p) = 0 ; – pour toute place v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv . Remarquons que l’ensemble P (H) ⊂ P introduit en 6.4 est soit vide, soit une unique classe modulo ce sous-groupe P 0 .

848

Chapitre VII. Descente globale

On a déjà défini l’homomorphisme q1 : H 1 (AF /F ; SH¯ ) → Q. On pose Q1 = H (AF /F ; SH¯ ). Pour toute place v, on a défini des homomorphismes ζ v : Gab (Fv ) → Qv et 0 (AF ; G) → ζ ,v : G,ab (Fv ) → Qv . Ils se globalisent en des homomorphismes ζ : Hab 1

1−θ

1−θ

0 (AF ; G ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)). H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) et ζ  : Hab 1−θ

En poussant le premier par l’application naturelle H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → 0 Q, on obtient un homomorphisme Hab (AF ; G) → Q. Il est clair qu’il annule l’image 0 0 (F ; G)) cette naturelle de Hab (F ; G) dans l’espace de départ. En notant Im(Hab 0 0 image et Q2 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)), on obtient un homomorphisme q2 : 0 0 Q2 → Q. Notons Q3 = v∈V Hab (ov ; G ). C’est un sous-groupe de Hab (AF ; G ). En utilisant l’homomorphisme ζ  , on obtient de même un homomorphisme q3 : Q3 → Q. On note Q0 le sous-groupe de Q engendré par les sous-groupes qi (Qi ) pour i = 1, 2, 3. Lemme. Le groupe Q0 est un sous-groupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q. Le groupe P 0 est l’annulateur de Q0 dans P . Le groupe Q0 est l’annulateur de P 0 dans Q. Preuve. On a une suite d’homomorphismes (1)

1−θ

((1 − θ)(S))(AF ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → Q.

Pour toute place v, le diagramme suivant est commutatif 

S(Fv )

G(Fv ) ↓ ζ

→v

Gab (Fv )



(1 − θ)(S(Fv )) ↓ ((1 − θ)(S))(Fv ) ↓ Qv .

Donc Q0 contient l’image naturelle de (1 − θ)(S(Fv )). Ce groupe s’envoyant sur un sous-groupe ouvert d’indice fini de ((1 − θ)(S))(Fv ), Q0 contient l’image naturelle d’un tel sous-groupe. L’assertion 6.5(2) montre qu’il contient aussi ((1−θ)(S))(ov ) pour presque toute place finie v. Donc Q0 contient l’image par la suite d’homomorphismes (1) d’un sous-groupe ouvert de ((1 − θ)(S))(AF ). D’après la définition de la topologie de Q ([48] page 147), Q0 est donc un sous-groupe ouvert de Q. En [48] page 151, Kottwitz et Shelstad définissent un homomorphisme (2)

1−θ

1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → coker(ASsc → A(1−θ)(S) ).

Cet homomorphisme possède une section naturelle. On a l’égalité AS = ASsc ×AG, d’où A(1−θ)(S) = (1 − θ)(AS ) = (1 − θ)(ASsc ) × (1 − θ)(AG ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

849

Le conoyau ci-dessus est donc isomorphe à (1−θ)(AG ). En reprenant les définitions de [48], on voit que l’image de ce groupe par la section de l’homomorphisme (2) coïncide avec l’image de AG →





G(Fv )

v∈Val∞ (F ) ιv ◦ζ v

−→

Q.

v∈Val∞ (F )

Notons Qc le noyau de (2). On obtient un isomorphisme Q  Qc × (1 − θ)(AG ). C’est un homéomorphisme et le groupe Qc est compact d’après [48] lemme C.2.D. La description que l’on vient de donner de l’image de (1 − θ)(AG ) dans Q montre que ce groupe est contenu dans Q0 . Donc Q0 est le produit de (1 − θ)(AG ) et d’un sous-groupe ouvert de Qc . Ce dernier étant compact, ce sous-groupe est aussi fermé et d’indice fini. D’où la première assertion de l’énoncé. Par définition de P 0 et d’après la proposition 6.5, P 0 est l’annulateur du sous-groupe Q0 de Q engendré par les images des différents homomorphismes décrits dans cette proposition. C’est aussi l’annulateur de l’adhérence Q0 de ce sous-groupe. Tous les groupes décrits dans la proposition 6.5 sont inclus dans Q0 . Donc Q0 ⊂ Q0 et aussi Q0 ⊂ Q0 puisque Q0 est fermé. En sens inverse, Q0 contient q1 (Q1 ). Il contient ιv ◦ ζ v (Gab (Fv )) pour tout v. Il est clair que q2 (Q2 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ). Donc q2 (Q2 ) ⊂ Q0 . De même, Q0 contient ιv ◦ ζ ,v (Gab (ov )) pour tout v ∈ V . Le groupe q3 (Q3 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ) − V . Donc q3 (Q3 ) ⊂ Q0 . Cela démontre que Q0 = Q0 donc que P 0 est l’annulateur de Q0 . Puisque Q0 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de Q, de la dualité entre P et Q se déduit une dualité entre les groupes finis P 0 et Q/Q0 . Alors Q0 est aussi l’annulateur de P 0 dans Q. 

VII.6.7 L’ensemble DAF Pour toute place v ∈ Val(F ), on a défini l’ensemble Dv en 5.4. La condition 5.1(3) signifie qu’il est non vide. On note DAF l’ensemble des familles d = (dv )v∈Val(F ) ˜ F ), où η[d] = (η[dv ])v∈Val(F ) . Soulitelles que dv ∈ Dv pour tout v et η[d] ∈ G(A gnons qu’on n’impose aucune condition «globale» à la famille r[d] = (r[dv ])v∈Val(F ) . On définit de même DAVF en remplaçant l’ensemble d’indices Val(F ) par Val(F )−V . On a l’égalité DAF = DV ×DAVF . Pour un élément d = (dv )v∈Val(F ) , on ˜ v pour presque tout v, donc dv ∈ Dvnr pour presque tout v. Inversement, a η[dv ] ∈ K on a dit en 5.5(2) que le lemme 1.6 impliquait que l’ensemble Dvnr était non vide pour tout v ∈ V . Puisque DV non vide d’après 5.1(3), l’ensemble DAF n’est pas vide lui non plus. On note DAnrV le sous-ensemble des d = (dv )v∈Val(F )−V ∈ DAVF F tels que dv ∈ Dvnr pour tout v ∈ V . Il n’est pas vide lui non plus.

850

Chapitre VII. Descente globale

Soit d = (dv )v∈Val(F ) ∈ DVrel ×DAnrV ⊂ DAF . On peut fixer pour toute place v ∈ F Val(F ) une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6. Rappelons celles-ci. Le tore S[dv ] est défini sur Fv . Le sous-groupe de Borel B[dv ] est défini sur F¯v . La paire (B[dv ], S[dv ]) est conservée par adη[dv ] . Il existe u ∈ Gη[dv ] tel que adr[dv ]u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et que adr[dv ]u se restreigne en un isomorphisme défini sur Fv de S[dv ] sur S (on rappelle que S = T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ)σG∗ ). Nous allons imposer des conditions supplémentaires «globales» à ces paires. On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E ∗ de G, une paire de Borel ¯ et des éléments ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G, ˜ E ∗ ). On a noté θ∗ = ade . On épinglée E¯ de G fixe pour tout σ ∈ ΓF un élément uE ∗ (σ) ∈ GSC (F¯ ) tel que σG∗ = aduE ∗ (σ) ◦σ conserve E ∗ . On peut supposer que σ → uE ∗ (σ) est continue et se factorise par un quotient fini de ΓF . On peut aussi supposer uE ∗ (1) = 1. D’autre part, les ∗ applications σ → ωG¯ (σ) et σ → ωS (σ) sont des cocycles de ΓF dans W θ (muni ∗ de l’action quasi-déployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ GθSC (F¯ ) tel que xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et ait ωS (σ) pour image dans W . On fixe une extension galoisienne finie E de F telle que – E ∗ et E¯ soient définies sur E et G soit déployé sur E ; ˜ E ∗ ; E), x ∈ Gθ∗ (E) ; – ν ∈ T ∗ (E), e ∈ Z(G, SC

– l’application σ → uE ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans GSC (E) : – l’application σ → ωG¯ (σ) se factorise par Gal(E/F ). Il en résulte que toutes les actions galoisiennes coïncident sur ΓE et que tous les groupes qui interviennent sont déployés sur E. Utilisons les définitions de 1.5. Fixons un ensemble fini V  de places de F , contenant V , de sorte que, pour toute place v ∈ V  et toute place w de E au-dessus de v, Ew /Fv soit non ramifiée et que les propriétés suivantes soient vérifiées – Kw est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée E∗ ; ˜ w , ν ∈ T ∗ (ow ), x ∈ Kw et, pour tout σ ∈ ΓF , uE ∗ (σ) ∈ Kw . – e∈K Soit v ∈ Val(F ). Rappelons que v a été prolongée en une place v¯ de F¯ , cf. [VI] 1.1. Le corps F¯v a été identifié à la clôture algébrique de Fv dans le complété de F¯ en v¯. Par abus de notations, notons-le F¯v¯ . Le groupe ΓFv a été identifié au fixateur de v¯ dans ΓF . Notons-le plutôt Γv¯ . On notera sans plus de commentaire w la restriction de v¯ à E. Soit w une autre place de E divisant v. On fixe une fois pour toutes un élément τ ∈ ΓF telle que τ (w) = w (avec τ = 1 dans le cas w = w). v ). De τ se déduit un isomorphisme de F¯v¯ sur F¯v¯ . Pour toute variété Notons v¯ = τ (¯ algébrique X défini sur Fv , on a aussi un isomorphisme τ : X(F¯v¯ ) → X(F¯v¯ ). Pour une paire (B[dv ], S[dv ]) comme ci-dessus, le groupe B[dv ] est précisément défini sur F¯v¯ . En fait, le tore S[dv ] est déployé sur Ew donc tout sous-groupe de Borel contenant ce tore est défini sur Ew . En particulier B[dv ] est défini sur Ew . Notons S[d](AE ) le produit restreint des S[dv ](Ew ) sur toutes les places v ∈ Val(F ) et les

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

851

places w de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S[dv ](ow ) qui sont définis pour presque tous v et w . Le groupe de Galois Gal(E/F ) agit naturellement sur S[d](AE ). Proposition. Soit d = (dv )v∈Val(F ) ∈ DVrel × DAnrV ⊂ DAF . On peut fixer F

– pour toute place v une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6 ; – un élément g = (gw )w ∈Val(E) ∈ GSC (AE ) ; – un élément t = (tw )w ∈Val(E) ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ) ; de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées : ˜ v , alors, pour tout w divisant v, on a S[dv ](ow ) ⊂ Kw , (i) si v ∈ V  et η[dv ] ∈ K gw ∈ Ksc,w et tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(ow ) ; (ii) adg (S[d](AE )) = S(AE ) et adg se restreint en un isomorphisme de S[d](AE ) sur S(AE ) qui est équivariant pour les actions galoisiennes ; (iii) pour toute place v ∈ Val(F ), on a adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et gw appartient à T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]Gη[dv ] (F¯v¯ ) ; (iv) pour toute place v ∈ Val(F ) et toute place w de E divisant v, on a l’égalité gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ), où τ ∈ ΓF est l’élément fixé tel que τ (w) = w ; (v) adg (η[d]) = tη. Remarques. (1) La condition (i) entraîne que S[d](AE ) est contenu dans G(AE ). Cela donne un sens à la condition (ii). (2) On peut choisir arbitrairement la paire (B[dv ], S[dv ]) pour un ensemble fini de places inclus dans V  , pourvu que ces paires satisfassent aux conditions de 5.6. (3) Sous les hypothèses de (i), la première inclusion se généralise en S[dv ](onr v ) ⊂ , on en déduit S[d ](o ) ⊂ K . Kvnr . En prenant les invariants par Γnr v v v v Preuve. Soit v ∈ Val(F ), fixons une paire de Borel (B[dv ], S[dv ]) vérifiant les conditions de 5.6. On va prouver l’existence de gv = (gw )w |v et tv = (tw )w |v (où w |v signifie que w divise v) vérifiant les analogues des conditions (ii) à (v) où l’on se restreint aux places de E divisant v. Comme on l’a dit, on note w la restriction de v¯ à E. Les tores S[dv ] et T ∗ sont déployés sur Ew . Il en résulte que les groupes de Borel B[dv ] et B ∗ sont définis sur Ew . Il existe donc gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). On fixe un tel élément. L’une des propriétés de la paire (B[dv ], S[dv ]) est qu’il existe u ∈ Gη[dv ] (F¯v¯ ) tel que adr[dv ]u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). Alors adgw u−1 r[dv ]−1 conserve (B ∗ , T ∗ ). Cela implique que gw appartient à T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]u. La condition (iii) est donc satisfaite. Soit w une place de E audessus de v. On note τ l’élément fixé de ΓF tel que τ (w) = w . On définit gw par l’égalité de la condition (iv). Montrons que (4) adgw (S[dv ]) = T ∗ ;

852

Chapitre VII. Descente globale

(5) pour σ ∈ Γv¯ et s ∈ S[dv ](F¯v¯ ), on a l’égalité adgw ◦σ(s) = σS ◦ adgw (s), où σS = ωS (σ) ◦ σG∗ ; (6) pour s ∈ S[dv ](F¯v¯ ), on a adg  ◦τ (s) = τS ◦ adgw (s) ; w

(7) il existe tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(Ew ) tel que adgw (η[dv ]) = tw η. La preuve de (4), (5) et (6) est similaire à celle de [VI] 3.6(5) et (6). On la laisse au lecteur. Prouvons (7). Remarquons que, si l’on prouve l’existence de tw ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯v¯ )) satisfaisant l’égalité ci-dessus, on a nécessairement tw ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(Ew ) puisque les autres termes de cette égalité sont définis sur Ew . Pour w = w, on sait qu’il existe t0 ∈ T ∗ (F¯v¯ ) et u ∈ Gη[dv ] (F¯v¯ ) tels que gw = t0 r[dv ]u. On a alors adgw (η[dv ]) = adt0 ◦ adr[dv ] (η[dv ]) = adt0 (η) = (1 − θ∗ )(t0 )η. D’où l’assertion avec tw = (1 − θ∗ )(t0 ). Pour une autre place w , on a adgw (η[dv ]) = adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦ adτ (gw ) (η[dv ]). ˜ v ). Donc On a τ (η[dv ]) = η[dv ] puisque η[dv ] ∈ G(F adτ (gw ) (η[dv ]) = τ ◦ adgw (η[dv ]) = τ (tw η). L’application τS se prolonge en une application de ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(F¯v¯ ) sur ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(F¯v¯ ) et on a adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (tw ) = τS (tw ). Il reste à prouver que adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))η. On a écrit η = νe. Soit z(τ ) ∈ Z(G) tel que aduE ∗ (τ ) ◦τ (e) = z(τ )−1 e. Parce que ∗ x appartient à GθSC , on a adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) = z(τ )−1 adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (ν)e = z(τ )−1 ωS (τ ) ◦ τG∗ (ν)e. On peut décomposer ωS (τ ) en ωS,G¯ (τ )ωG¯ (τ ). Les conditions imposées en 1.1 à η impliquent que z(τ )−1 ωG¯ (τ ) ◦ τG∗ (ν) appartient à (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))ν. L’élément ¯ ωS,G¯ (τ ) appartient à W G et tout élément de ce groupe conserve l’ensemble (1 − ∗ ∗ ¯ θ )(T (F ))ν. On obtient adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))νe = (1 − θ∗ )(T ∗ (F¯ ))η. Cela prouve (7). Pour w divisant v, on a défini le terme gw et la relation (7) définit le terme tw . En posant gv = (gw )w |v et tv = (tw )w |v , la relation (7) entraîne la condition

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

853

(v) restreinte aux places divisant v. Les relations (4), (5) et (6) entraînent la condition (ii) restreinte aux mêmes places. ˜ v . On va Supposons maintenant que v ∈ V  et que η[dv ] appartient à K prouver qu’en choisissant convenablement la paire (B[dv ], S[dv ]), on peut imposer la condition (i). Puisque v ∈ V , on peut fixer une paire de Borel épinglée E0 = (B0 , T0 , (E0,α )α∈Δ ) de G, définie sur Fv , dont est issu de groupe Kv . Puisque E ∗ et E0 sont toutes deux définies sur Ew , il existe yad ∈ GAD (Ew ) tel que adyad (E0 ) = E ∗ . L’automorphisme adyad conserve le groupe Kw puisque ce groupe est issu de chacune des deux paires. Donc yad ∈ Kad,w . On sait que les deux applications ∗ (ow ) × Ksc,w Tad (t, k)

→ Kad,w → tπ(k)

et ∗ ∗ nr (onr Tsc v ) → Tad (ov )

sont surjectives (le corps Fvnr est ici un sous-corps de F¯v¯ ). On peut donc fixer ∗ nr (onr t1 ∈ Tsc v ) et y ∈ Ksc,w tels que yad = π(t1 y). On a t1 y ∈ Kv . Posons η1 = ad(t1 y)−1 (η). On reprend maintenant la preuve du lemme 1.6. Puisque η ∈ ˜ w , on a η1 ∈ K ˜ nr . De plus, adη1 conserve (B0 , T0 ). Fixons ν0 ∈ T0 (onr ) et K v v ˜ E0 )(Fvnr ) tels que ν0 e0 ∈ K, ˜ cf. 1.5. On peut écrire η1 = ν1 e0 , avec e0 ∈ Z(G, ˜ nr , on a ν1 ∈ T0 (onr ). Introduisons le cocycle z : ΓFv → ν1 ∈ T0 . Puisque η1 ∈ K v v Z(G) ∩ T0 (onr ) tel que σ(e0 ) = z(σ)−1 e0 et posons θ = ade0 . La propriété de v définition de η se transporte à η1 . C’est-à-dire qu’en identifiant W au groupe de Weyl relatif à T0 , il existe une cochaîne t : ΓFv → (1 − θ)(T0 (F¯v¯ )) telle que ωG¯ (σ)σ(ν1 ) = z(σ)t(σ)ν1 pour tout σ ∈ Γv¯ . Puisque ν1 ∈ T0 (onr v ) et que ce groupe est normalisé par W , cette relation implique que t(σ) ∈ ((1 − θ)(T0 ))(onr v ) et que σ → t(σ) est un cocycle à valeurs dans ce groupe, si on munit celui-ci de l’action σ → σG¯ = ωG¯ (σ) ◦ σ. Un tel cocycle est un cobord. De plus, l’hypothèse v ∈ Vram nr implique que 1 − θ : T0 (onr v ) → ((1 − θ)(T0 ))(ov ) est surjective. On peut donc nr fixer t0 ∈ T0 (ov ) tel que t(σ) = (1 − θ)(t0 σG¯ (t0 )−1 ). Posons ν2 = ν1 (1 − θ)(t0 ). On a σG¯ (ν2 ) = z(σ)ν2 . On introduit le groupe GθSC des points fixes de θ dans GSC . De E0 se déduit une paire de Borel épinglée de ce groupe puis un schéma en groupes Kv1 . En appliquant 1.5(5), on construit k ∈ Kv1 (ow ) tel que, pour tout σ ∈ ΓFv , k −1 σ(k) normalise T0 et ait ωG¯ (σ) pour image dans W θ . On pose ˜ v et que la paire η = kν2 e0 k −1 . Le même calcul qu’en 1.6 montre que η ∈ K de Borel (kB0 k −1 ∩ Gη , kT0 k −1 ∩ Gη ) de Gη est définie sur Fv . En reprenant la preuve de [79] lemme 5.4, on peut la compléter en une paire de Borel épinglée définie sur Fv de sorte que le schéma en groupes K issu de cette paire vérifie la nr ¯¯ ). On note K,sc le schéma en groupes associé condition K (onr v ) = Kv ∩ Gη (Fv dans le groupe Gη ,SC . Pour σ ∈ ΓFv , on pose ωS,G¯ (σ) = ωS (σ)ωG¯ (σ)−1 . Par ¯ définition, c’est un élément du groupe de Weyl W G , lequel s’identifie à W Gη . En appliquant de nouveau 1.5(5), on construit h ∈ K,sc (ow ) tel que, pour tout σ ∈ ΓFv , h−1 σ(h) normalise kT0 k −1 ∩ Gη et ait pour image ωS,G¯ (σ) dans W Gη .

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Chapitre VII. Descente globale

−1 Posons (B , S ) = adhk (B0 , T0 ), t = t1 yt−1 , g = yk −1 h−1 et r = t g . 0 y ˜ v , que la paire On voit que d = (η , r ) appartient à Dv , que η appartient à K (B , S ) vérifie les conditions de 5.6 relatives à l’élément d , que t ∈ T ∗ (onr v ), que g ∈ Ksc,w et que adg envoie la paire (B , S ) sur (B ∗ , T ∗ ). Revenons à notre élément quelconque dv = (η[dv ], r[dv ]) ∈ Dv tel que η[dv ] ∈ ˜ v . D’après 5.5(3), on peut fixer k ∈ K ¯¯ ) tels que η = K ,v et u ∈ Gη[dv ] (Fv −1 k η[dv ]k et r = r[dv ]uk . L’automorphisme adk envoie Gη sur Gη[dv ] et est défini sur Fv . On peut donc prendre pour paire (B[dv ], S[dv ]) la paire adk (B , S ). Comme plus haut, l’application produit

Ksc,w × T0 (onr v ) → K,w est surjective. Mais S est conjugué à T0 par un élément de Ksc,w . En conjuguant la propriété ci-dessus, on obtient que l’application produit Ksc,w × S (onr v ) → K,w est surjective. On peut donc écrire k = zls, avec z ∈ Z(G)θ (F¯v¯ ), s ∈ S (onr v ) et l ∈ Ksc,w . Posons gw = g l−1 et x = z −1 t g s−1 g−1 . On a gw ∈ Kw,sc , adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ) et gw = x−1 r[dv ]u. Puisque x ∈ T ∗ (F¯v¯ ), la condition ˜v (iii) est satisfaite. On a adgw (η[dv ]) = tw η, où tw = (θ∗ −1)(x). Puisque η[dv ] ∈ K ˜ ˜ et gw ∈ Ksc,w , on a adgw (η[dv ]) ∈ Kw . On a aussi η ∈ Kw par définition de V  . L’égalité précédente entraîne alors tw ∈ (1 − θ)(T ∗ (F¯v¯ )) ∩ Kw = ((1 − θ)(T ∗ ))(ow ). −1 ∈ Enfin, puisque Kw est issu de E ∗ , on a T ∗ (ow ) ⊂ Kw . En conjuguant par gw Ksc,w , on en déduit S[dv ](ow ) ⊂ Kw . Cela satisfait les conditions (i), (iii) et (v) en la place w. Comme on l’a vu dans la première partie de la preuve, la condition (iii) implique (ii). Pour une autre place w de E au-dessus de v, on construit gw et tw comme dans cette première partie. Puisque le schéma en groupes Kv est défini sur ov , on a τ (Ksc,w ) = Ksc,w . Les conditions imposées à V  entraînent que tous les termes de la formule (iv) appartiennent à Ksc,w donc gw ∈ Ksc,w . Le même raisonnement que dans le cas de la place w entraîne alors que tw ∈  ((1 − θ)(T ∗ ))(ow ) et que S[dv ](ow ) ⊂ Kw . Cela achève la preuve.

VII.6.8 L’ensemble DF ˜ ) × G(F¯ ) tels que On note DF l’ensemble des couples d = (η[d], r[d]) ∈ G(F – r[d]η[d]r[d]−1 = η ; – en utilisant la paire de Borel adr[d]−1 (B ∗ , T ∗ ) dans la construction de 1.2, on ait l’égalité (μη[d] , ωη[d] ) = (μ, ωG¯ ). ¯ définie sur Soit d ∈ DF . On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E¯ de G ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ¯ ¯ ¯ F . Posons (B [d], T [d]) = adr[d]−1 (B , T ), (B[d], T [d]) = (B [d] ∩ Gη[d] , T ∗ [d] ∩ ¯ = adr[d]−1 (E). ¯ Alors E[d] ¯ est une paire de Borel épinglée de Gη[d] Gη(d] ) et E[d] ¯ ¯ définie sur F dont la paire de Borel sous-jacente est (B[d], T¯ [d]). Pour tout σ ∈

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

855

¯ ΓF , fixons u¯[d](σ) ∈ Gη[d],SC (F¯ ) tel que adu¯[d](σ) ◦σ conserve E[d]. On note σ → ¯ On suppose que σ → σG∗η[d] = adu¯[d](σ) ◦σ l’action quasi-déployée qui conserve E[d]. u ¯[d](σ) est continue et que u ¯[d](1) = 1. La deuxième condition ci-dessus signifie que adr[d] , qui envoie T ∗ [d] sur T ∗ , entrelace l’action σ → σG∗η[d] sur T ∗ [d] avec l’action σ → ωG¯ (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . Transportons par adr[d]−1 le cocycle ωS,G¯ en un cocycle à valeurs dans le groupe de Weyl de Gη[d] relatif à T¯ [d] (pour l’action quasidéployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x¯[d] ∈ Gη[d],SC (F¯ ) tel que, pour x[d])−1 normalise T¯ [d] et que son image dans le groupe tout σ ∈ ΓF , x¯[d]σG∗η[d] (¯ de Weyl soit ωS,G¯ (σ). Alors adr[d] entrelace l’action σ → adx¯[d]σG∗ (¯x[d])−1 ◦σG∗η[d] η[d]

sur T ∗ [d] avec l’action σ → ωS (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . Fixons une décomposition r[d] = z[d]r[d]sc avec z ∈ Z(G; F¯ ) et r[d]sc ∈ GSC (F¯ ). Il est facile de traduire la condition précédente par la propriété ∗ ¯ (F ) tel que (1) pour tout σ ∈ ΓF , il existe t(σ) ∈ Tsc ¯[d]σG∗η[d] (¯ x[d])−1 u¯[d](σ). xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc ) = t(σ)r[d]sc x Pour d ∈ DF et v ∈ Val(F ), on note dv le même couple (η[d], r[d]), vu ˜ v )×G(F¯v ). L’application d → (dv )v∈Val(F ) est une injection comme élément de G(F DF ⊂ DAF . Soit d ∈ DF . Supposons que l’image de d dans DAF appartienne à DVrel × DAnrV . On reprend les constructions du paragraphe précédent. On impose de F plus au corps E les conditions suivantes – z[d] ∈ Z(G; E), r[d]sc ∈ GSC (E), x¯[d] ∈ Gη[d],SC (E) et E¯ est définie sur E ; – l’application σ → u ¯[d](σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Gη[d],SC (E). Il en résulte que l’application σ → t(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ∗ (E). Construisons des paires de Borel et des éléments g et t ses valeurs dans Tsc vérifiant la proposition 6.7. ∗ Lemme. Sous ces hypothèses, l’élément g appartient à Tsc (AE )r[d]sc Gη[d],SC (AE ).

Preuve. Soient v une place de F et w une place de E au-dessus de v. Montrons que (2)

∗ (Ew )r[d]sc Gη[d],SC (Ew ). gw ∈ Tsc

Supposons d’abord que w = w soit la restriction de v¯ à E. Par construction, il existe u1 ∈ Gη[d] (F¯v¯ ) de sorte que adu1 (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ [d], T ∗ [d]). Les deux couples (B[dv ]∩Gη[d] , S[dv ]∩Gη[d] ) et (B ∗ [d]∩Gη[d] , T ∗ [d]∩Gη[d] ) sont des paires de Borel de Gη[d] qui sont définies sur Ew . Il existe donc u ∈ Gη[d],SC (Ew ) telle que la seconde soit l’image de la première par adu . Puisque u1 vérifie la même propriété, on a u1 ∈ (T ∗ [d] ∩ Gη[d] )u. Alors on a aussi adu (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ [d], T ∗ [d]). Donc adr[d]sc u (B[dv ], S[dv ]) = (B ∗ , T ∗ ). Puisque gw vérifie la même propriété et que les deux éléments r[d]sc u et gw appartiennent à GSC (Ew ), ces deux éléments

856

Chapitre VII. Descente globale

∗ diffèrent par multiplication à gauche par un élément de Tsc (Ew ). Cela prouve (2) pour la place w. Considérons maintenant une autre place w au-dessus de v. Rappelons que ∗ (Ew ) gw = xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (gw ). Ecrivons gw = tw r[d]sc uw , avec tw ∈ Tsc et uw ∈ Gη[d],SC (Ew ). Posons t0,w = adxτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ ) ◦τ (tw ). Comme dans la ∗ preuve de 6.7(7), on a t0,w = τS (tw ) ∈ Tsc (Ew ). On a aussi τ (uw ) ∈ Gη[d],SC (Ew ). Puisque gw = t0,w xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (r[d]sc )τ (uw ),

la relation (2) à prouver équivaut à ∗ xτG∗ (x)−1 uE ∗ (τ )τ (r[d]sc ) ∈ Tsc (Ew )r[d]sc Gη[d],SC (Ew ).

Mais cette relation résulte de (1) et des conditions imposées à E. Cela prouve (2) en général. Fixons un ensemble fini V  de places de E vérifiant les conditions du paragraphe précédent ainsi que les conditions suivantes. On impose que, pour tout v ∈ V  et pour toute place w de E divisant v, on ait d’abord – z[d] ∈ Ksc,w et r[d]sc ∈ Ksc,w . ˜ w ∩ G(F ˜ v) = K ˜ v . On sait qu’alors le groupe Il en résulte que η[d] ∈ K Kv [d] = Kv ∩ Gη[d] (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d] (Fv ) (cf. lemme 1.6). Il s’en déduit un tel sous-groupe Ksc,v [d] de Gη[d],SC (Fv ) puis un tel sous-groupe Ksc,w [d] de Gη[d],SC (Ew ). On impose de plus que ¯[d](σ) ∈ Ksc,w [d] pour tout σ ∈ ΓF . – x ¯[d] ∈ Ksc,w [d] et u ∗ Toutes ces conditions impliquent que l’on a aussi t(σ) ∈ Tsc (ow ) pour tout σ ∈ ΓF , où t(σ) est l’élément figurant dans (1). Soient v ∈ V  et w une place de E divisant v. Puisque gw conjugue ∗ S[dv ]sc (Ew ) en Tsc (Ew ) (où S[dv ]sc est l’image réciproque de S[dv ] dans GSC ), la relation (2) équivaut à gw ∈ r[d]sc Gη[d],SC (Ew )S[dv ]sc (Ew ). Ecrivons gw = r[d]sc us, avec u ∈ Gη[d],SC (Ew ) et s ∈ S[dv ]sc (Ew ). Cela entraîne us = r[d]−1 sc gw  ∈ Ksc,w  . Appliquons l’opérateur θ = adη[d] . ˜ v , θ conserve Ksc,w . Donc uθ(s) = θ(us) ∈ Ksc,w . D’où (1 − Puisque η[d] ∈ K θ)(s) = (uθ(s))−1 us ∈ Ksc,w . Fixons une uniformisante  de Fv , qui est aussi une uniformisante de Ew puisque Ew /Fv est non ramifiée. Puisque S[dv ]sc est déployé sur Ew , l’élément s s’écrit de façon unique s0 x∗ () pour un élément s0 ∈ S[dv ]sc (ow ) et un élément x∗ ∈ X∗ (S[dv ]sc ). On a alors (1−θ)(s) = (1−θ)(s0 )((1− θ)(x∗ ))(). Puisque S[dv ]sc (ow ) ⊂ Ksc,w d’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne ((1 − θ)(x∗ ))() ∈ Ksc,w . Cette condition ne peut être réalisée que si θ,0 (1 − θ)(x∗ ) = 0. Alors x∗ ∈ X∗ (S[dv ]θ,0 sc ) et x∗ () ∈ S[dv ]sc (Ew  ). Ce groupe est contenu dans GSC,η[d] (Ew ).

Remarque. Le groupe GSC,η[d] est la composante neutre du commutant de η[d] dans GSC ; on prend garde de le distinguer du groupe Gη[d],SC qui est le revêtement

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

857

simplement connexe du groupe dérivé de Gη[d] , ou encore le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de GSC,η[d] . On a ux∗ () = (us)s−1 0 ∈ Ksc,w  . Donc ux∗ () appartient au groupe GSC,η[d] (Ew ) ∩ Ksc,w , qui est un sous-groupe compact hyperspécial de GSC,η[d] (Ew ). D’après 1.5(2), il existe s1 ∈ S[dv ]sc (ow ) tel que ux∗ () et s1 aient même image dans GSC,η[d],ab (Ew ). Puisque u ∈ Gη[d],SC (Ew ), son image dans GSC,η[d],ab (Ew ) est l’identité. Cela entraîne que l’image de x∗ ()s−1 est aussi l’identité. Donc x∗ ()s−1 est 1 1 ¯ v ]sc l’image réciproque l’image d’un élément s2 ∈ Gη[d],SC (Ew ). En notant S[d ¯ v ]sc (Ew ). Comme de S[dv ] dans Gη[d],SC , l’élément s2 appartient forcément à S[d ¯ ¯ v ]sc ). ¯∗ () avec s¯0 ∈ S[dv ]sc (ow ) et x ¯∗ ∈ X∗ (S[d plus haut, on peut écrire s2 = s¯0 x L’unicité de ces décompositions entraîne que x∗ = x ¯∗ . Cela entraîne que x∗ () ap¯ v ]sc (Ew ) donc aussi à Gη[d],SC (Ew ) (plus exactement, c’est l’image partient à S[d dans GSC (Ew ) d’un élément de ce groupe). Posons u = ux∗ (). Alors u appartient à Gη[d],SC (Ew ) et son image dans GSC (Ew ) appartient à Ksc,w . Donc u ∈ Ksc,w [d]. On a gw = r[d]sc us0 ∈ r[d]sc Ksc,w [d]S[dv ]sc (ow ). Comme plus ∗ haut, cela implique par conjugaison que gw ∈ Tsc (ow )r[d]sc Ksc,w [d]. Cette rela  tion est vérifiée pour tout v ∈ V et tout w divisant v. Jointe à (2), elle entraîne le lemme. 

VII.6.9 Un résultat d’annulation Soit dV = (dv )v∈V ∈ DVrel . On note DF [dV ] l’ensemble des d ∈ DF tels que – la projection de d dans DAVF appartient à DAnrV ; F

– la projection de d dans DV appartient à Iη dV G(FV ). Pour j ∈ J (H), on a défini la constante δj [dV ] en 5.9. Proposition. Soit dV ∈ DVrel . Si DF [dV ] = ∅, alors 

δj [dV ] = 0.

j∈J (H)

Preuve. Ce résultat est trivial si J (H) est vide. On suppose cet ensemble non vide. Alors l’application p de 6.4 l’identifie à P (H), qui est une unique classe modulo le sous-groupe P 0 ⊂ P de 6.6. Fixons p ∈ P (H). Soit p0 ∈ P 0 . Posons j = p−1 (p) et j  = p−1 (p0 p). On va calculer le rapport δj  [dV ]δj [dV ]−1 .

858

Chapitre VII. Descente globale

On dispose des paires de Borel (Bj , Sj ) de Gj et (Bj  , Sj  ) de Gj  dont les groupes de Borel sont définis sur F¯ et les tores sont définis sur F . Par construction, on a des isomorphismes ¯ 0 )  X∗,Q (Sj  ) X∗,Q (Sj )  X∗,Q (SH¯ ) ⊕ X∗,Q (Z(G) qui sont équivariants pour les actions galoisiennes. En fait, l’isomorphisme composé provient d’un isomorphisme Sj  Sj  sur F¯ , qui est le composé de Sj  T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )  Sj  . Puisque l’isomorphisme X∗,Q (Sj )  X∗,Q (Sj  ) qui s’en déduit fonctoriellement est équivariant pour les actions galoisiennes, l’isomorphisme Sj  Sj  est lui-même défini sur F . On complète la donnée dV en fixant un élément dV = (dv )v∈V ∈ DAnrV et F

en posant d = dV × dV = (dv )v∈Val(F ) . On applique à cet élément la proposition 6.7. On en déduit des paires de Borel (B[dv ], S[dv ]) pour toute place v ∈ Val(F ) et des éléments g ∈ GSC (AE ) et t ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ). Pour toute place v, les sextuplets (j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) et (j  , Bj  , Sj  , B[dv ], S[dv ], η[dv ]) sont des diagrammes. ¯ Fv ) et Z2 ∈ Pour v ∈ V , on fixe des éléments Y¯sc,v ∈ sH¯ (Fv ), Z1 ∈ z(G; ¯ Fv ). On les suppose en position générale et proches de 0. On construit comme z(H; en 5.7 un élément X[dv ] ∈ gη[dv ] (Fv ) dont on peut supposer qu’il appartient à s[dv ]θ (Fv ). On construit les éléments Yj,v et Yj  ,v comme en 5.7. On peut supposer que Yj,v appartient à sj (Fv ), plus précisément que Yj,v est l’image de X[dv ] par l’homomorphisme s[dv ](Fv ) → sj (Fv ) provenant du premier diagramme cidessus. On peut supposer que Yj  ,v vérifie des propriétés analogues. Alors Yj,v et Yj  ,v se correspondent via l’isomorphisme ci-dessus entre Sj et Sj  . On en fixe des relèvements Yj,1,v ∈ gj,1,j,1 (Fv ) de Yj,v et Yj  ,1,v ∈ gj  ,1,j ,1 (Fv ) de Yj  ,v , que l’on suppose proches de 0. On pose x[dv ] = exp(X[dv ]), yj,v = exp(Yj,v ), yj  ,v = exp(Yj  ,v ), yj,1,v = exp(Yj,1,v ), yj  ,1,v = exp(Yj  ,1,v ). Les sextuplets (yj,v j , Bj , Sj , B[dv ], S[dv ], x[dv ]η[dv ]) et (yj  ,v j  , Bj  , Sj  , B[dv ], S[dv ], x[dv ]η[dv ]) sont des diagrammes. Pour v ∈ V , on fixe des éléments x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (Fv ), yj,v ∈ Sj (Fv ) et yj  ,v ∈ Sj  (Fv ) de sorte que les sextuplets ci-dessus soient encore des diagrammes. On impose que x[dv ]η[dv ] est fortement régulier. Pour presque tout v, S[dv ] est non ramifié et possède une structure naturelle sur ov . On impose x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (ov ) pour presque tout v. D’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne que x[dv ]η[dv ] ∈

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

859

˜ v pour presque tout v. Cela entraîne aussi que yj,v ∈ K ˜  et yj  ,v ∈ K ˜   pour K j,v j ,v presque tout v. Enfin, on impose que x[dv ]η[dv ] vérifie la condition [VI] 3.6(2) pour presque tout v. C’est loisible car, d’après la même preuve que celle de [VI] 3.6(15), on peut choisir pour presque tout v un élément x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (ov ) tel que cette condition soit vérifiée. On relève yj,v et yj  ,v en des éléments yj,1,v et yj  ,1,v . On ˜ ˜ suppose comme il est loisible que yj,1,v ∈ K j,1,v et yj  ,1,v ∈ Kj  ,1,v pour presque tout v. On supprime les indices v pour noter les produits sur toutes les places de  F . Par exemple x[d] = v∈Val(F ) x[dv ]. On remplace ces indices v par V pour  noter les produits sur v ∈ V , par exemple x[d]V = v∈V x[dv ]. Par définition δj  [dV ]δj [dV ]−1 est la limite quand les termes Yj,1,V et Yj  ,1,V tendent vers 0 de Δj  ,1,V (yj  ,1 j  ,1 , x[dV ]η[dV ])Δj,1,V (yj,1 j,1 , x[dV ]η[dV ])−1 . Par définition, ce rapport est le produit du quotient des facteurs globaux de [VI] 3.6 (1)

Δj  ,1 (yj  ,1 j  ,1 , x[d]η[d])Δj,1 (yj j,1 , x[d]η[d])−1

et du produit pour toute place v ∈ V des quotients des facteurs normalisés (2)

Δj  ,1,v (yj  ,1 j  ,1 , x[dv ]η[dv ])−1 Δj,1,v (yj,1 j,1 , x[dv ]η[dv ]).

On a (3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, le quotient (2) vaut 1 pour tout v ∈ V . Comme on l’a vu en [VI] 3.6, les deux termes de ce rapport valent 1 en presque toute place, disons pour v ∈ V  , où V  est un ensemble fini de places contenant V . Pour v ∈ V  − V , remplaçons les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres. Le théorème 5.7(i) dit que le rapport est alors égal à δj [dv ]δj  [dv ]−1 , ces termes étant définis comme dans ce paragraphe. Le (iii) du même théorème dit que ce rapport vaut 1. D’où (3). On doit calculer le quotient (1), ou plus exactement sa limite quand les composantes yj,1,v et yj  ,1,v tendent vers 1 pour tout v ∈ V (dans la suite, on dira simplement «sa limite»). Comme ci-dessus, on peut s’autoriser à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres. On se reporte à la définition de [VI] 3.6. L’automorphisme adg envoie S[d](AE ) sur S(AE ) de façon équivariante pour l’action de Gal(E/F ).  En particulier, il envoie x[d] sur un élément de S(AF ). que l’on note xS [d] = v∈Val(F ) xS [dv ]. D’autre part, on a adg (η[d]) = tη. D’où adg (x[d]η[d]) = xS [d]tη. Posons Δj  ,j,II [d] = Δj  ,II (yj  j  , x[d]η[d])Δj,II (yj j  , x[d]η[d])−1 .

860

Chapitre VII. Descente globale

Montrons que (4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], yj,1,v et yj  ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, on a lim Δj  ,j,II [d] = 1. ∗



On note Σ(S)res l’ensemble des restrictions à S θ ,0 = T ∗,θ ,0 des racines de S dans G et Σ(S)res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles. Les termes intervenant dans Δj  ,j,II [d] sont produits de termes indexés par les orbites de ΓF dans l’ensemble Σ(S)res,ind . Considérons une orbite galoisienne d’un élément αres ∈ Σ(S)res,ind qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 1. Une telle racine contribue au numérateur comme au dénominateur de Δj  ,j,II [d] soit par 1, soit par   (N α)(xS [d]ν) − 1 (5) χαres aαres (le terme t disparaît quand on applique N α). Si (N α)(ν) = 1, on peut fixer un ensemble V  de places contenant V et assez grand pour que, pour v ∈ V  , on ait     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 χαres ,v = χαres ,v = 1. aαres aαres Pour v ∈ V  − V , quitte à remplacer nos données x[dv ] etc. . . par des termes assez proches des éléments neutres, on peut supposer que l’on a     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 χαres ,v = χαres ,v . aαres aαres Pour v ∈ V , on a en tout cas     (N α)(xS [dv ]ν) − 1 (N α)(ν) − 1 = χαres ,v . lim χαres ,v aαres aαres ), qui vaut 1 puisque les Ainsi, la limite de l’expression (5) est χαres ( (N α)(ν)−1 aαres éléments qui interviennent appartiennent à Fα et que le caractère χαres est automorphe. Donc la racine αres ne contribue pas à lim Δj  ,j,II [d] si (N α)(ν) = 1. ¯ Mais alors, par Supposons (N α)(ν) = 1. Dans ce cas, αres est une racine de G. construction, on a les égalités (N α ˆ )(sj  ) = (N α)(s ˆ j ) = (N α ˆ )(¯ s). Les conditions ˆ j ) = 1 sont équivalentes. Donc αres contribue au numéra(N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α)(s teur de Δj  ,j,II [d] si et seulement si elle contribue au dénominateur. Quand elles contribuent, leur contributions sont toutes deux égales. Donc αres ne contribue pas au quotient. Considérons maintenant une orbite galoisienne d’un élément αres ∈ Σ(S)res,ind

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

861

qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 2. Une telle racine contribue au numérateur comme au dénominateur de Δj  ,j,II [d] soit par 1, soit par  χαres

(N α)(xS [d]ν)2 − 1 aαres

 ,

soit par χαres ((N α)(xS [d]ν) + 1). Si (N α)(ν) = ±1, le même raisonnement que cidessus montre que αres ne contribue pas à lim Δj  ,j,II [d]. Supposons (N α)(ν) = 1. Le même raisonnement montre que la troisième contribution possible est triviale et que l’on peut remplacer la seconde par χαres ((N α)(xS [d]ν) − 1). La condition ¯ et 2N α (N α)(ν) = 1 signifie que αres est une racine de G ˆ est une racine de ˆ 2 2 ¯ On a alors les égalités (N α)(s G. ˆ j  ) = (N α ˆ )(sj ) = (N α ˆ )(¯ s)2 . Les conditions 2 2 ˆ ) (sj ) = 1 sont équivalentes et de nouveau, αres contribue (N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α de la même façon au numérateur et au dénominateur de Δj  ,j,II [d]. Donc αres ne contribue pas au quotient. Supposons enfin (N α)(ν) = −1. Le même raisonnement que ci-dessus montre que les deux contributions non triviales possibles sont toutes deux égales à χαres ((N α)(xS [d]ν) + 1). Ce terme intervient au numérateur si et ˆ )(sj ) = 1. seulement si (N α ˆ )(sj  ) = 1 et au dénominateur si et seulement si (N α ¯ et N α La condition (N α)(ν) = −1 signifie que 2αres est une racine de G ˆ est une ˆ ¯ ˆ )(sj ) = (N α ˆ )(¯ s). Les conditions racine de G. On a de nouveau (N α ˆ )(sj  ) = (N α (N α ˆ )(sj  ) = 1 et (N α ˆ )(sj ) = 1 sont équivalentes et, comme précédemment, αres ne contribue pas à Δj  ,j,II [d]. Cela prouve (4). La limite du quotient (1) est donc la même que celle du quotient (6)

Δj  ,imp(yj  ,1 j  ,1 , x[d]η[d])Δj  ,imp (yj j,1 , x[d]η[d])−1 .

On utilise les définitions de [VI] 3.6. On y remplace les T par des Set on ˆ ajoute des indices j ou j  . Le dénominateur de (6) est l’inverse d’un produit h, h dans 1−θ 1−θˆ H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ) × H 1,0 (WF ; Sˆj,1 → Sˆad ). 1−θ

L’élément h ∈ H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ) intervenant est un couple formé d’un cocycle VS à valeurs dans Ssc (AE )/Ssc (E) et d’un élément de Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Rappelons la définition de VS . Avec les notations de 6.7, on a VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 pour tout σ ∈ ΓF . Comme on le voit, ce terme ne dépend pas de j. On note ˜  ; E) l’image naturelle de e et on relève cet élément en un élément ej,1 ∈ ej ∈ Z(G j ˜  ; E). On écrit j,1 = μj,1 ej,1 . L’élément de Sj,1 (AE )/Sj,1 (E) intervenant est Z(G j,1 l’image du couple (xS [d]tν, yj,1 μj,1 ) ∈ S(AE ) × Sj,1 (AE ) dans Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Un calcul déjà fait de nombreuses fois montre que la contribution de (xS [d], yj,1 ) est la valeur en ce point d’un caractère automorphe de Sj,1 (AF ). On peut fixer

862

Chapitre VII. Descente globale

un ensemble fini de places V  contenant V tel que le caractère vaille 1 aux composantes hors de V  de ce point, puis supposer les composantes dans V  − V assez proches de l’élément neutre pour que le caractère vaille aussi 1 sur ces composantes. Modulo ces modifications, la limite de la valeur du caractère quand les composantes dans V tendent vers l’élément neutre vaut 1. Donc, pour calculer notre limite, on peut remplacer le couple (xS [d]tν, yj  ,1 μj,1 ) par (tν, μj,1 ). Mais ν et μj,1 sont des éléments de S(E) et Sj,1 (E). Ils disparaissent dans Sj,1 (AE )/Sj,1 (E). Le terme t est l’image de ce même terme considéré comme un élément de ((1 − θ)(S))(AE )/((1 − θ)(S))(E). On vérifie que le couple (VS , t) définit un cocycle 1−θ dans Z 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Notre élément h est l’image de ce cocycle par l’homomorphisme naturel 1−θ

1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → Sj,1 ). ˆ ˆ Sˆθ,0 . Par compatibilité des produits, on a l’égalité Le tore dual de (1 − θ)(S) est S/      ˆ = (VS , t), h ˆ , où hˆ est l’image de h ˆ par l’homomorphisme dual h, h ˆ 1−θˆ ˆ 1−θˆ ˆ Sˆθ,0 H 1,0 (WF ; Sˆj,1 → Sˆad ) → P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad ).

ˆ  n’est autre que p(j) = p. Il suffit de comparer les définitions pour constater que h La limite du dénominateur de (6) est donc égale à (VS , t), p−1 . Un même calcul −1  . On obtient que la limite s’applique au numérateur : sa limite est (VS , t), p0 p   0 −1 de (6) est (VS , t), p . Cela achève le calcul de notre rapport −1  δj  [dV ]δj [dV ]−1 = (VS , t), p0 . La somme de l’énoncé de la proposition est donc égale à   −1 δj [dV ] (VS , t), p0 . p0 ∈P 0

Cette somme est nulle si (VS , t) n’appartient pas à l’annulateur de P 0 , c’est-à-dire à Q0 d’après le lemme 6.6. Pour établir la proposition, il suffit donc de prouver que, si (VS , t) appartient à Q0 , alors DF [dV ] = ∅. On va d’abord prouver (7) supposons que (VS , t) appartienne à Q0 ; alors il existe un élément d vérifiant les mêmes hypothèses que d et tel que son couple associé (VS , t ) appartienne à q1 (Q1 ). D’après le lemme 6.3, l’application G(AF ) → Q2 est surjective. D’après  6.2(1), l’application naturelle v∈V K,v → Q3 est surjective. L’hypothèse  signifie qu’il existe β ∈ Q1 , h = (hv )v∈Val(F ) ∈ G(AF ) et k = (k,v )v∈V ∈ v∈V K,v de sorte que (VS , t) = q1 (β)q2 (h)q3 (k ), où on identifie h et k à leurs images

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

863

dans Q2 et Q3 . Pour presque tout v, hv appartient à Kv . Alors l’image de hv par q2 est la même que l’image par q3 de l’image naturelle de hv dans K,v . Quitte à modifier k,v , on peut donc supposer hv = 1. On peut donc fixer un ensemble fini V  de places de F , contenant V , tel que hv = 1 pour v ∈ V  . On peut imposer de plus que S est non ramifié hors de V  . Pour v ∈ V  , l’image de K,v dans G,ab (Fv ) coïncide avec celle de (S[dv ]/Z(G)θ )(ov ) (cf. 1.5(2)). On peut donc supposer que k,v est un élément de (S[dv ]/Z(G)θ )(ov ). Pour tout v, on relève k,v en un élément k ,v ∈ K ,v (on rappelle que ce groupe est l’image réciproque de K,v dans G(F¯v )). Pour unifier l’écriture, on pose k ,v = 1 pour v ∈ V . Pour tout v, on définit l’élément dv = (η[dv ], r[dv ]) par η[dv ] = ad(hv k ,v )−1 (η[dv ]), r[dv ] = r[dv ]hv k ,v . La famille d = (dv )v∈Val(F ) appartient encore à DAF car, pour v ∈ V  , η[dv ] = (1 − θ)(k ,v )η[dv ] ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(ov )η[dv ] et cet ensemble est contenu dans Kv η[dv ] pour presque tout v d’après le (i) de la proposition 6.7. Pour v ∈ V , dv appartient à Dvnr et le lemme 5.5 entraîne que dv ∈ Dvnr . La projection de d dans DV appartient à dV G(FV ) puisque dv = dv hv pour v ∈ V . Pour tout v ∈ Val(F ), posons (B[dv ], S[dv ]) = ad(hv k ,v )−1 (B[dv ], S[dv ]). Puisque ad(hv k ,v )−1 est défini sur Fv , cette paire vérifie pour dv les mêmes conditions que (B[dv ], S[dv ]) pour dv . De plus, on a (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]) pour v ∈ V  puisqu’alors hv = 1 et k ,v ∈ S[dv ](F¯v ). Soit v une place de F , notons w la restriction de v¯ à E. Les deux paires (B[dv ], S[dv ]) et (B[dv ], S[dv ]) étant déployées sur Ew , on peut fixer gw ∈ GSC (Ew ) tel que adgw (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]). Les deux paires étant égales pour v ∈ V  , on suppose gw = 1 dans ce cas. Puisque hv k,v vérifie la même condition que gw , c’est-à-dire adhv k ,v (B[dv ], S[dv ]) = (B[dv ], S[dv ]), il existe cw ∈ S[dv ] tel que hv k ,v = cw gw . On a adgw (η[dv ]) = tw η[dv ], où tw = (θ − 1)(cw ). Cette relation entraîne que tw ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(Ew ). De plus, on a cw = k ,v pour v ∈ V  , donc tw ∈ ((1 − θ)(S[dv ]))(ov ) dans ce cas. Pour une autre place w de E au-dessus de v, on a fixé τ ∈ ΓF tel que τ (w) = w , on pose gw = τ (gw ) et tw = τ (tw ). On pose g = (gw )w ∈Val(E) et t = (tw )w ∈Val(E) . On voit alors que les paires (B[dv ], S[dv ]) pour v ∈ Val(F ) et les éléments g  = gg et t = t adg (t) satisfont les conditions de la proposition 6.7 pour l’élément d . On peut reprendre nos constructions pour l’élément d et ces données auxiliaires. On affecte d’un  les objets obtenus. On calcule VS (σ) = VS (σ) adg (σ(g)g−1 ) pour tout σ ∈ ΓF . Le couple (VS , t ) est donc le produit de (VS , t) et du cocycle (adg (χ), adg (t)), où χ(σ) = σ(g)g−1 . Pour v ∈ Val(F ), on définit le cocycle localisé −1 (adgw (χv ), adgw (tw )), où χv (σ) = σ(gw )gw pour σ ∈ ΓFv . Alors (adg (χ), adg (t)) 1−θ

est l’image naturelle dans Q de l’élément de H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) dont la composante en une place v est (adgw (χv ), adgw (tw )). Ce dernier est un élé1−θ

ment de H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)). D’autre part, il résulte des définitions que q2 (hv )q3 (k,v ) est l’image de (hv , k,v ) par la suite d’applications suivantes : – on envoie (hv , k,v ) sur le produit des images de hv et k,v dans G,ab (Fv ) ;

864

Chapitre VII. Descente globale 1−θ

– on envoie G,ab (Fv ) dans H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) par la suite d’applicatons G,ab (Fv )  H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → S[dv ]/Z(G)θ,0 ) 1−θ

→ H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → (1 − θ)(S[dv ])) adgw

1−θ

 H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)); 1−θ

– on envoie H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) dans Q par la même application que plus haut. En se rappelant les égalités hv k ,v = cw gw et tw = (θ − 1)(cw ) et les définitions, on voit que l’image de (hv , k,v ) dans H 1,0 (Fv ; Ssc [dv ] → S[dv ]/Z(G)θ,0 ) est 1−θ

1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)) est (χ−1 v , cw ), donc son image dans H −1 (adgw (χ−1 v ), adgw (tw )).

On obtient que q2 (hv )q3 (k,v ) est l’inverse de l’image de (adgw (χv ), adgw (tw )) dans Q. Donc (VS , t ) est égal au produit de (VS , t) et de q2 (h)−1 q3 (k )−1 . D’où (VS , t ) = q1 (β). Cela prouve (7). Il reste à prouver (8) supposons que (VS , t) appartienne à q1 (Q1 ) ; alors DF [dV ] = ∅. Supposons (VS , t) = q1 (β), où β ∈ Q1 = H 1 (AF /F ; SH¯ ). On relève β en une cochaîne encore notée β à valeurs dans SH¯ (AF¯ ), que l’on pousse en une cochaîne à valeurs dans Ssc (AF¯ ). Il est maintenant plus commode d’identifier S à T ∗ , muni de l’action galoisienne σ → σS . Notons que le tore SH¯ s’identifie à l’image réciproque ¯ SC du sous-tore maximal T¯ = T θ∗,0 de G. ¯ L’égalité (VS , t) = q(β) T¯sc dans G ∗ signifie qu’il existe un élément tsc ∈ Tsc (AF¯ ) de sorte que l’on ait les relations (9) pour tout σ ∈ ΓF et

∗ ¯ (F ) VS (σ)σS (tsc )−1 tsc ∈ β(σ)Tsc

∗ ¯ tt−1 sc θ(tsc ) ∈ ((1 − θ)(T ))(F ).

Fixons un tel élément. On a ((1 − θ)(T ∗ ))(F¯ ) = (1 − θ)(T ∗ (F¯ )). Il existe donc ∗ ¯ t ∈ T ∗ (F¯ ) tel que t−1 (1−θ)(tsc ) = (1−θ)(t ). On écrit t = tsc z  , avec tsc ∈ Tsc (F )   −1 ¯ et z ∈ Z(G; F ). On peut remplacer tsc par tsc (tsc ) sans perturber la relation (9). On peut donc supposer qu’il existe z  ∈ Z(G; F¯ ) tel que t−1 (1−θ)(tsc ) = (1−θ)(z  ). On peut remplacer g par t−1 sc g. Cela ne perturbe pas les conditions imposées à cet élément. Evidemment, le nouvel élément obtenu n’a pas de raison d’appartenir à GSC (AE ). Mais on peut à ce point oublier cette propriété et considérer g comme un ∗ (AE )). élément de GSC (AF¯ ) (ou bien, on étend E de sorte que tsc appartienne à Tsc En modifiant ainsi g, le cocycle VS est remplacé par σ → VS (σ)σS (tsc )−1 tsc et l’élément t est remplacé par t(θ − 1)(tsc ).

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

865

Donc, pour ce nouveau choix d’élément g, on a (10)

∗ ¯ (F ) VS (σ) ∈ β(σ)Tsc

pour tout σ ∈ ΓF et t−1 = (1 − θ)(z  ), avec z  ∈ Z(G; F¯ ). Pour σ ∈ ΓF , on pose A(σ) = β(σ)VS (σ)−1 et X(σ) = A(σ)xσG∗ (x)−1 = β(σ)gσ(g)−1 uE ∗ (σ)−1 . ∗ ¯ D’après (10), A est une cochaîne à valeurs dans Tsc (F ), donc X prend ses valeurs dans Gsc (F¯ ). On calcule

adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ(η) = adβ(σ)gσ(g)−1 ◦σ(η) = adβ(σ)g (σ(g)−1 σ(η)σ(g)) = adβ(σ)g ◦σ(g −1 ηg). Par définition de g et t, on a g −1 tηg = η[d]. Puisque t = (θ − 1)(z  ) est central, cela implique g −1 ηg = t−1 η[d]. L’élément η[d] est fixe par ΓF . D’où adβ(σ) ◦σ(g −1 ηg) = adβ(σ)g (σ(t−1 )η[d]) = σ(t)−1 adβ(σ) ◦ adg (η[d]) = σ(t−1 ) adβ(σ) (tη) = tσ(t)−1 adβ(σ) (η) ¯ SC (AF¯ ) toujours parce que t est central. Mais β(σ) ∈ SH¯ (AF¯ ), a fortiori β(σ) ∈ G donc adβ(σ) fixe η. On obtient finalement adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ(η) = tσ(t)−1 η. ¯ L’égalité précédente Puisque t est central, on a l’égalité Gtσ(t)−1 η = Gη = G. ¯ ¯ F¯ ). Notons ψ(σ) implique que l’automorphisme adX(σ) ◦σG∗ de G(F ) conserve G( ¯ ¯ relative à sa restriction à G. On a introduit l’action quasi-déployée σ → σG¯ sur G la paire de Borel épinglée fixée en 5.2. Rappelons que l’on a adX(σ) ◦σG∗ = adA(σ) adxσG∗ (x)−1 ◦σG∗ . Par définition de x, xσG∗ (x)−1 normalise T ∗ et son image dans le groupe W est ∗ ∗ ¯ ωS (σ). De plus, A(σ) ∈ Tsc (F ). On en déduit que ψ(σ) conserve T¯ = T θ ,0 et que sa restriction à T¯ coincide avec ωS,G¯ (σ)σG¯ , où ωS,G¯ (σ) = ωS (σ)ωG¯ (σ)−1 . On a ¯ ¯ SC (F¯ ) ¯∈G ωS,G¯ (σ) ∈ W G et le corollaire 2.2 de [44] permet de fixer un élément x ¯ G −1 ¯ x) normalise T et que son image dans W soit ωS,G¯ (σ). Alors les tel que x¯σG¯ (¯ ¯ F¯ ) coïncident sur T¯. Il existe donc automorphismes ψ(σ) et adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ de G( ¯ ¯ ¯ tsc (σ) ∈ Tsc (F ) tel que adt¯sc (σ) ◦ψ(σ) = adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ . L’élément β(σ) est un relèvement dans T¯sc (AF¯ ) de notre cocycle initial à valeurs dans T¯sc (AF¯ )/T¯sc (F¯ ). On peut le multiplier par l’élément t¯sc (σ) ∈ T¯sc (F¯ ). On voit

866

Chapitre VII. Descente globale

que cela ne perturbe aucune des relations ci-dessus mais cela remplace ψ(σ) par adt¯sc (σ) ◦ψ(σ). Après ce remplacement, on obtient simplement (11)

ψ(σ) = adx¯σG¯ (¯x)−1 ◦σG¯ .

En utilisant les définitions, on en déduit (12)

σG¯ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ψ(σ) = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ) ◦σG∗ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adβ(σ)gσ(g)−1 ◦σ.

Il résulte de (11) que ψ est un homomorphisme de ΓF dans le groupe des automor¯ (il s’agit ici d’automorphismes de groupes abstraits). En revenant à phismes de G la définition de ψ, on obtient que, pour σ1 , σ2 ∈ ΓF , les automorphismes adX(σ)1 ◦σ1,G∗ ◦ adX(σ2 ) ◦σ2,G∗ et adX(σ1 σ2 ) ◦(σ1 σ2 )G∗ ¯ Cela équivaut à dire que X(σ1 )σ1,G∗ (X(σ2 ))X(σ1 σ2 )−1 comcoïncident sur G. ¯ En utilisant la définition de la cochaîne X et en se rappelant que mute à G. adxσG∗ (x)−1 ◦σG∗ = σS sur T ∗ , on calcule X(σ1 )σ1,G∗ (X(σ2 ))X(σ1 σ2 )−1 = A(σ1 )σ1,S (A(σ2 ))A(σ1 σ2 )−1 = ∂S (A)(σ1 , σ2 ). On a noté ∂S la différentielle calculée pour l’action σ → σS . Donc ∂S (A) prend ¯ Par définition, on a ses valeurs dans le commutant de G. ∂S (A) = ∂S (β)∂S (VS−1 ). On calcule aisément ∂S (VS−1 ) = ∂(uE ∗ )−1 , où ∂ est la différentielle calculée pour l’action naturelle. On sait que ∂(uE ∗ ) est à valeurs dans Z(GSC ), a fortiori dans le ¯ Donc ∂S (β) prend aussi ses valeurs dans ce commutant. Puisque commutant de G. β devient un cocycle quand on le pousse dans T¯sc (AF¯ )/T¯sc (F¯ ), ∂S (β) est à valeurs ¯ est Z(G ¯ SC ; F¯ ). dans T¯sc (F¯ ). L’intersection de ce groupe avec le commutant de G Donc ∂S (β) est à valeurs dans ce dernier groupe. ¯ SC (AF¯ ) par X(σ) ¯ ¯ : ΓF → G = β(σ)−1 x¯σG¯ (¯ x)−1 . Définissons une cochaîne X −1 ¯ Un calcul simple montre que ∂G¯ (X) = ∂S (β) , où ∂G¯ est la différentielle pour l’ac¯ se pousse en un cocycle de ΓF dans G ¯ SC (AF¯ )/Z(G ¯ SC ; F¯ ). tion σ → σG¯ . Donc X ¯ Parce que GSC est simplement connexe, le théorème 2.2 de [46] dit que l’application naturelle ¯ SC (F¯ )/Z(GSC ; F¯ )) → H 1 (ΓF ; G ¯ SC (AF¯ )/Z(G ¯ SC ; F¯ )) H 1 (ΓF ; G ¯ SC (AF¯ ) tel que est surjective. Ainsi, on peut fixer a ¯∈G ¯ ¯ SC (F¯ ) a) ∈ G a ¯−1 X(σ)σ ¯ (¯ G

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

867

¯ pour tout σ ∈ ΓF . En utilisant la définition de X(σ) et la relation (12), cela équivaut à ¯ SC (F¯ ), x)−1 adσG¯ (¯x)¯x−1 β(σ)gσ(g)−1 (σ(¯ a)) ∈ G a ¯−1 β(σ)−1 x¯σG¯ (¯ ou encore

¯ SC (F¯ ). a−1 g)−1 σ(g)g −1 β(σ)−1 x ¯σG¯ (¯ x)−1 ∈ G a ¯−1 gσ(¯

¯ SC (F¯ ) et que β(σ)gσ(g)−1 = X(σ)uE ∗ (σ), cela équivaut aussi à Puisque x ¯∈G (13)

¯ SC (F¯ )X(σ)uE ∗ (σ). a−1 g)−1 ∈ G a ¯−1 gσ(¯

A fortiori a ¯−1 gσ(¯ a−1 g)−1 ∈ GSC (F¯ ). L’application σ → a ¯−1 gσ(g −1 a ¯) est un co¯ cycle à valeurs dans GSC (F ) qui devient évidemment un cobord quand on le pousse dans GSC (AF¯ ). D’après le théorème [51] 1.6.9, c’est un cobord. On peut donc fixer g˙ sc ∈ GSC (F¯ ) et h ∈ GSC (AF ) tel que g = a ¯g˙ sc h. Posons g˙ = z  g˙ sc et ˙ g). ˙ Montrons que d˙ = (g˙ −1 η g, d˙ ∈ DF [dV ].

(14)

¯ on a Puisque g˙ = z  a ¯−1 gh−1 et que a ¯ ∈ G, g˙ −1 η g˙ = adhg−1 ((θ − 1)(z  )η) = adhg−1 (tη) = adh (η[d]). ˜ F ). Puisque c’est aussi un élément de G( ˜ F¯ ), c’est un élément Donc g˙ −1 η g˙ ∈ G(A ˜ ). Notons ψ˙ la restriction de adg˙ à Gg˙ −1 ηg˙ , qui est un isomorphisme de ce de G(F ¯ Pour σ ∈ ΓF , calculons groupe sur G. ˙ ◦ ψ˙ −1 = σ ¯ ◦ ψ˙ ◦ σ −1 ◦ ψ˙ −1 . σ(ψ) G En utilisant (12), c’est la restriction à Gg˙ −1 ηg˙ de adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦σ ◦ adg˙ ◦σ −1 ◦ adg˙ −1 = adσG¯ (¯x)¯x−1 ◦ adX(σ)uE ∗ (σ) ◦ adσ(g) ˙ g˙ −1 . D’après les définitions, on a −1 = adσ(¯ adσ(g) ˙ g˙ −1 = adσ(g˙ sc )g˙ sc a−1 g)g−1 a ¯.

˙ ◦ ψ˙ −1 est la resPosons u ¯(σ) = X(σ)uE ∗ (σ)σ(¯ a−1 g)g −1 a ¯. On obtient que σ(ψ) ¯ ¯ ¯ triction à G de adσG¯ (¯x)¯x−1 u¯(σ) . Mais x ¯ ∈ GSC (F ) et (13) montre que l’on a aussi ¯ SC (F¯ ). Donc ψ˙ est un torseur intérieur de Gg˙ −1 ηg˙ sur G. ¯ Cela prouve u ¯(σ) ∈ G ˙ que d ∈ DF . On peut étendre le corps E de sorte que tous les éléments intervenant appartiennent à G(AE ). Soit v une place de F , notons w la restriction de v¯ à E. On se rappelle que gw ∈ T ∗ (F¯v¯ )r[dv ]Gη[dv ] (F¯v¯ ). Ecrivons conformément

868

Chapitre VII. Descente globale

gw = tw r[dv ]uw . Les égalités adgw (η[dv ]) = tη = (θ∗ − 1)(z  )η et adr[dv ] (η[dv ]) = η ∗ impliquent que tw ∈ (z  )−1 T θ ⊂ (z  )−1 Iη . Il résulte des définitions que  −1  −1 −1 ¯−1 g˙ = a ¯−1 w z g w hv = a w z tw r[dv ]uw hv = uw r[dv ]hv ,  ¯¯ ). où uw = a ¯−1 w z tw adr[dv ] (uw ). L’élément uw est un produit d’éléments de Iη (Fv ¯ L’élément hv appartient à G(Fv ). Donc g˙ ∈ Iη (Fv¯ )r[dv ]G(Fv ). Les propriétés de ˙ c’est-à-dire que la projection de d˙ dans D V appartient dv se propagent donc à d, AF nr à DAV et sa projection dans DV appartient à Iη dV G(FV ). Cela prouve (14). F

Evidemment, (14) démontre (8), ce qui achève la preuve de la proposition.  Remarque. On peut prouver la réciproque, à savoir que, si DF [dV ] = ∅, alors (VS , t) appartient à Q0 . Dans ce cas, l’application j → δj [dV ] est constante sur J (H). Nous n’utiliserons pas ce résultat, en le remplaçant par la proposition du paragraphe suivant.

VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert Soit d ∈ DF . On suppose (1) la projection de d dans DAVF appartient à DAnrV . F

Notons dV la projection de d dans DV . On suppose (2) dV ∈ DVrel . ˜ ), donc le groupe Gη[d] est défini sur F . Le L’élément η[d] appartient à G(F torseur ψr[d] est défini sur F¯ . La construction de [VI] 3.6 s’applique à la donnée ¯ de Gη[d],SC et fournit un facteur Δ[dV ] canonique, pourvu que endoscopique H l’on ait choisi en toute place v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d],SC (Fv ). Pour cela, comme en 5.7, on fixe en toute place v ∈ V un élément ˜ v . C’est loisible d’après (1). On peut supposer hv ∈ G(Fv ) tel que adh−1 (η[d]) ∈ K v que hv = 1 pour presque tout v. On choisit le sous-groupe image réciproque dans Gη[d],SC (Fv ) de adhv (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ). On pose h = (hv )v∈V et on note plus précisément Δ[dV , h] le facteur de transfert canonique attaché à ce choix de compacts. Utilisons ce facteur dans la définition des constantes de 5.7. On note δj [dV , h] le produit de ces constantes sur les places v ∈ V . Proposition. Pour tout j ∈ J (H), on a l’égalité δj [dV , h] = ω(h). Preuve. On reprend les constructions de la preuve précédente, en utilisant les no¯ v ]sc l’image tations des paragraphes 6.7 et 6.8. Pour toute place v, on note S[d θ,0 réciproque de S[dv ] dans Gη[d],SC . Pour v ∈ V , on pose y¯v = exp(Y¯sc,v ) et xsc [dv ] = exp(Xsc [dv ]) (cf. 5.7 pour ces notations ; dv est l’image de d dans Dv ). Pour v ∈ V , on a fixé dans la preuve précédente un élément x[dv ] ∈ S[dv ]θ,0 (Fv ) vérifiant diverses conditions. On vérifie facilement qu’on peut lui imposer de plus ¯ v ]sc (Fv ). On que son image dans Gη[d],AD est l’image d’un élément xsc [dv ] ∈ S[d

VII.6. Calculs de facteurs de transfert

869

fixe un tel élément et on note y¯v ∈ SH¯ (Fv ) l’élément qui lui correspond par l’iso¯ et ¯ v ]sc et SH¯ déterminé par les paires de Borel (BH¯ , SH¯ ) de H morphisme entre S[d ¯ v ]sc , S[d ¯ v ]sc ) de Gη[d],SC , où B[d ¯ v ]sc est l’image réciproque dans ce groupe de (B[d B[dv ] ∩ Gη[d] . Le terme δj [dV , h] est la limite quand le terme Yj,1,V tend vers 0 de Δj,1,V (yj,1 j,1 , x[dV ]η)Δ[dV , h](¯ yV , xsc [dV ])−1 . Comme dans le paragraphe précédent, on note simplement lim cette notion de limite. Ce rapport est le produit des rapports des facteurs globaux et du produit sur les places v ∈ V des rapports de facteurs normalisés yV , xsc [dV ]). Δj,1,v (yj,1 j,1 , x[dV ]η)−1 Δ[dv , h](¯ Montrons que (3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], xsc [dv ] et yj,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, le terme ci-dessus vaut ω(hv ) pour tout v ∈ V . On peut fixer un ensemble fini V  de places contenant V de sorte que le rapport vaille 1 et ω(hv ) = 1 pour tout v ∈ V  . Pour v ∈ V  − V , on remplace nos termes par des termes assez proches de 1. Les assertions (i) et (iii) du théorème 5.8 disent qu’alors le rapport vaut ω(hv ). D’où (3). On est ramené à calculer le rapport des facteurs globaux. Il se décompose encore en produit du rapport des facteurs ΔII et de celui des facteurs Δimp . Montrons que (4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[dv ], xsc [dv ] et yj,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, on a  ΔII,v (yj j , x[dv ]η)ΔII [dv , h](¯ yv , xsc [dv ])−1 = 1. lim v∈Val(F )

Pour toute place v, les relations (1) et (2) de [79] 10.3 nous disent que le rapport intervenant ci-dessus a une limite quand les données x[dv ] etc. . . tendent vers les éléments neutres et elles calculent cette limite. Notons-la v . En se reportant aux définitions de [79] 9.3 et 10.3, on voit que, pour toute élément αres ∈ Σ(S)res,ind , il existe un élément cαres ∈ Fα×res de sorte que – pour σ ∈ ΓF , cσ(αres ) = σ(cαres ) ;  – pour tout v, v = αres ∈Σ(S)res,ind /ΓFv χαres ,w (cαres ), où w est ici la restriction de v¯ à Fαres et Σ(S)res,ind /ΓFv est le quotient de Σ(S)res,ind par l’action de ΓFv . Les propriétés des χ-data (qui sont bien sûr définies sur F ) et des cαres permettent de récrire   χαres ,w (cαres ), v = αres ∈Σ(S)res,ind /ΓF w|v

où le produit en w est sur les places de Fαres au-dessus de v.

870

Chapitre VII. Descente globale

On peut fixer un ensenble fini V  de places contenant V de sorte que, pour v∈  V  , yv , xsc [dv ])−1 = 1 ; – ΔII,v (yj j , x[dv ]η)ΔII [dv , h](¯ – v = 1. Pour v ∈ V  − V , on remplace les données x[dv ] etc. . . par des éléments assez proches des éléments neutres pour  que le rapport des facteurs ΔII,v vaille v . Alors la limite de l’assertion (4) est v∈Val(F ) v . Mais ce produit vaut 



χαres ,w (cαres ).

Σ(S)res,ind /ΓF w∈Val(Fαres )

Cela vaut 1 par la formule du produit. D’où (4). Il reste à calculer la limite du rapport des facteurs globaux y , xsc [d])−1 . Δj,imp (yj,1 j,1 , x[d]η)Δimp [d](¯ On a montré dans la preuve de la proposition 6.9 que le premier terme avait −1 une limite, égale à (VS , t), p(j) avec les notations de ce paragraphe. La même −1 preuve montre que le second terme a aussi une limite, égale à VS¯ , s¯ , où VS¯ : ΓF → SH¯ (AF¯ )/SH¯ (F¯ ) est un cocycle analogue à VS . Il reste à prouver l’égalité (VS , t), j = VS¯ , s¯ .

(5)

Reprenons la construction de (VS , t) du paragraphe précédent. Ici, l’élément d appartient à DF et on peut appliquer le lemme 6.8. On peut donc écrire g = ∗ t1 r[d]sc u, avec t1 ∈ Tsc (AE ) et u ∈ Gη[d],SC (AE ). Cela entraîne g = z[d]−1 t1 r[d]u. L’élément t ∈ ((1 − θ∗ )(T ∗ ))(AE ) a été défini par adg (η[d]) = tη. La relation précédente entraîne t = (1 − θ∗ )(t1 z[d]−1 ). Pour σ ∈ ΓF , on a VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(g)g −1 −1 −1 = σS (t1 )xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc )r[d]−1 )t1 sc adr[d]sc (σ(u)u  = σS (t1 )t−1 1 VS (σ),



−1 ). VS (σ) = xσG∗ (x)−1 uE ∗ (σ)σ(r[d]sc )r[d]−1 sc adr[d] (σ(u)u

∗ Le couple formé du cocycle σ → σS (t1 )t−1 1 et de l’élément (1−θ )(t1 ) est un cobord. ∗ −1 On peut le supprimer. Le terme (1 − θ )(z[d]) appartient à (1 − θ∗ )(S)(E) et disparaît dans notre groupe de cohomologie Q. On obtient que (VS , t) (ou plus exactement son image dans Q) est l’image par l’homomorphisme naturel 1−θ

H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc ) → Q = H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc → (1 − θ)(S)) du cocycle VS .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

871

Pour calculer VS¯ , on utilise les objets définis en 6.8. Posons   ¯ = S[d] = S[dv ] et S[d] (S[dv ] ∩ Gη[d] ). v∈Val(F )

v∈Val(F )

Notons aussi S¯∗ [d] le tore T¯ [d] muni de l’action σ → σS transportée par adr[d]−1 . ¯ sc et S¯∗ [d]sc les images réciproques de S[d] ¯ Notons S[d] et S¯∗ [d] dans Gη[d],SC . Puisque adg se restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d] sur S, adu se ¯ sur S¯∗ [d]. La définition de [VI] restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d]  ∗ ¯ 3.6 fournit un cocycle VS¯ à valeurs dans S [d]sc (AE )/S¯∗ [d]sc (E) défini par VS¯ (σ) = x ¯[d]σGη[d]∗ (¯ x[d])−1 u ¯[d](σ)σ(u)u−1 . Le cocycle VS¯ est l’image de VS¯ par l’isomorphisme adr[d] : S¯∗ [d]sc → S¯sc = SH¯ . On voit sur les formules ci-dessus que VS (σ) est le produit de l’image naturelle de VS¯ (σ) et de termes appartenant à Ssc (E). Il en résulte que (VS , t) est l’image de VS¯ par l’homomorphisme 1−θ q1 : H 1 (AF¯ /F¯ ; SH¯ ) → Q = H 1,0 (AF¯ /F¯ ; Ssc → (1 − θ)(S)).

Puisque l’application ˆ 1−θˆ ˆ ΓF ˆ Sˆθ,0 p1 : P = H 1,0 (WF ; S/ → Sad ) → SˆH ¯

est duale de q1 , cela entraîne que (VS , t), p(j) = VS¯ , p1 ◦ p(j) . Mais p1 ◦p(j) = s¯ d’après la proposition 6.4. Cela prouve (5) et la proposition.



VII.7 Le cas où DF [dV ] est non vide VII.7.1 Une proposition de nullité Dans cette section, on fixe un élément dV ∈ DVrel . On a (1) l’ensemble de classes Iη (F¯ )\DF [dV ]/G(F ) est fini. ˜ ) qui apPreuve. Quand d parcourt DF [dV ], les η[d] sont des éléments de G(F partiennent à la même classe de conjugaison stable. Pour v ∈ V , leurs classes de ˜ v . D’après le lemme [VI] 2.1, ils sont contenus conjugaison par G(Fv ) coupent K dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ). Fixons un sous-ensemble fini X0 ⊂ DF [dV ] tel que, pour tout d ∈ DF [dV ], il existe d0 ∈ X0 tel que η[d] et η[d0 ] soient conjugués par un élément de G(F ). L’ensemble Iη (F¯ )\ZG (η; F¯ ) est fini. Fixons-en un ensemble de représentants Z0 . Pour d ∈ DF [dV ] et z ∈ Z0 ,

872

Chapitre VII. Descente globale

l’élément zd peut appartenir ou non à DF [dV ]. Notons X1 l’ensemble des zd0 qui appartiennent à DF [dV ], pour d0 ∈ X0 et z ∈ Z0 . Soit d ∈ DF [dV ]. On peut choisir d0 ∈ X0 et x ∈ G(F ) tels que η[d] = xη[d0 ]x−1 . Alors les deux éléments r[d0 ] et r[d]x conjuguent η[d0 ] en η. Ils diffèrent donc par multiplication à gauche par un élément de ZG (η; F¯ ), que l’on peut écrire u−1 z, avec z ∈ Z0 et u ∈ Iη (F¯ ). On a alors zd0 = udx. L’élément de droite appartient à DF [dV ] donc aussi celui de gauche. Ce dernier appartient donc à X1 . L’égalité précédente montre que cet élément a même image que d dans notre ensemble de doubles classes. Cet ensemble est donc contenu dans l’image de X1 , lequel est fini.  Fixons un ensemble de représentants D˙ F [dV ] de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DF [dV ]/G(F ). Considérons un ensemble fini V  de places de F contenant V et tel que ˜v. (2) pour tout d ∈ D˙ F [dV ] et tout v ∈ V  , on a η[d] ∈ K Soit d ∈ D˙ F [dV ]. On fixe un ensemble de représentants U[V  , d] de l’ensemble de classes Gη[d] (FVV  )/Z(Gη[d] ; FVV  )Gη[d],SC (FVV  ). On suppose que 1 ∈ U[V  , d]. Pour v ∈ V  − V , on fixe hv [d] ∈ G(Fv ) tel que ˜ v . On pose h[d] = (hv [d])v∈V  −V . Pour u = (uv )v∈V  −V ∈ adhv [d]−1 (η[d]) ∈ K  V [d, u] défini ainsi : U[V , d], munissons Gη[d],SC (AVF ) du sous-groupe compact Ksc pour tout v ∈ V , Ksc,v [d, u] est l’image réciproque dans Gη[d],SC (Fv ) de Kv ∩ Gη[d] (Fv ) si v ∈ V  et de aduv hv [d] (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ) si v ∈ V  − V . Ce groupe permet de définir un facteur de transfert canonique sur ¯ V ) × Gη[d],SC (FV ) H(F que nous notons ΔV [d, u]. ¯ V )). Pour d ∈ D˙ F [dV ], la En 5.9, on a défini une fonction f¯[dV ] ∈ SI(H(F «composante en V » de d n’est pas forcément dV , cette composante appartient seulement à Iη (F¯V )dV G(FV ). On peut néanmoins appliquer la définition de 5.9 en remplaçant dV par cette composante en V . Dans cette définition, il intervient un facteur de transfert. On peut prendre ΔV [d, u] pour un élément u ∈ U[V  , d]. On note alors f¯[d, u] la fonction obtenue. Posons (3)

ϕ[V ¯  , dV ] =

 ˙ F [dV ] d∈D

|U[V  , d]|−1



ω(uh[d])f¯[d, u].

u∈U [V  ,d]

Cette expression dépend de plusieurs données auxiliaires, en particulier de l’ensemble de places V  puisque les ensembles U[V  , d] en dépendent. Les paragraphes 7.3 à 7.9 sont consacrés à prouver la proposition suivante. Proposition. Supposons J (H) = ∅. Alors, si V  est assez grand, on a ϕ[V ¯  ,dV ] = 0.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

873

VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 Considérons l’expression (1)



f¯[dV ]

δj [dV ]

j∈J (H)

qui apparaît dans l’expression 5.9(2). Corollaire. L’expression (1) est nulle si DF [dV ] = ∅. Supposons DF [dV ] non vide. ¯  , dV ] pourvu que V  soit Alors cette expression (1) est égale à |P 0 ||D˙ F [dV ]|−1 ϕ[V assez grand. Preuve. La première assertion résulte de la proposition 6.9. Supposons DF [dV ] non vide. Si J (H) est vide, l’expression (1) est nulle et ϕ[V ¯  , dV ] aussi d’après la proposition 7.1. Supposons J (H) non vide. L’expression (1) ne dépend que de la double classe Iη (F¯V )dV G(FV ). On peut remplacer ce terme dV par la composante en V d’un élément d ∈ D˙ F [dV ]. On peut utiliser dans les définitions le facteur de transfert ΔV [d, u] pour un élément u ∈ U[V  , d]. La fonction f¯[dV ] est alors remplacée par f¯[d, u]. La proposition 6.10 calcule les facteurs δj [dV ] pour nos choix : ils sont égaux à ω(uh[d]), où u et h[d] sont complétés en des éléments de G(AF ) de composantes 1 hors de V  − V . L’expression (1) devient |J (H)|ω(uh[d])f¯[d, u]. On peut moyenner en d et u et on obtient l’expression |J (H)||D˙ F [dV ]|−1 ϕ[V ¯  , dV ]. D’après 6.4 et 6.6, on a |J (H)| = |P 0 | puisque J (H) = ∅. D’où la deuxième assertion du corollaire. 

VII.7.3 Mise en place de la situation La conclusion de la proposition 7.1 est triviale si DF [dV ] est vide. On suppose jusqu’en 7.15 que DF [dV ] = ∅. On fixe un élément de cet ensemble, que l’on note d = (η , r ). Pour simplifier les notations, on pose simplement ¯  = Gη . I = Iη , G ¯  sur Ces groupes sont définis sur F et adr se restreint en un torseur intérieur de G ¯ ¯ ¯ G. Fixons un sous-tore maximal T de G défini sur F . Notons T son commutant ¯  (F¯ ) tel que adr¯ (T¯ ) = ad −1 (T ∗ ) ∩ G ¯  . On a dans G. On peut fixer r¯ ∈ G r ¯ ∗ ¯ adr r¯ (T¯ ) = T¯ (= G∩T ) et adr r¯ (T ) = T ∗ . Il existe un cocycle ωT : ΓF → W G tel que adr r¯ entrelace l’action galoisienne naturelle sur T¯ avec l’action σ → ωT (σ)◦σG¯ sur T¯ . Puisque σG¯ = ωG¯ (σ)◦σG∗ , adr r¯ entrelace l’action naturelle sur

874

Chapitre VII. Descente globale

T avec l’action σ → ωT (σ)ωG¯ (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ . On a défini le tore S comme étant T ∗ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ) ◦ σG∗ et on a ωS (σ) = ωS,G¯ (σ)ωG¯ (σ), ¯ ¯ où ωS,G¯ (σ) ∈ W G . Par l’isomorphisme adr r¯ , on identifie W G au groupe de Weyl ¯ ¯  relatif à T¯ . On définit ωS,T (σ) = ωS,G¯ (σ)ωT (σ)−1 . C’est un élément W G de G ¯ de W G et S s’identifie au tore T muni de l’action σ → ωS,T (σ) ◦ σ (ce dernier σ étant l’action naturelle sur T ). Dans cette section, on identifie ainsi S à T . On ¯  , c’est-à-dire S¯ = T¯ muni de l’action σ → ωS,T (σ) ◦ σ. On note note S¯ = S ∩ G ¯ ¯ ,SC et Ssc l’image réciproque de S dans GSC . Ssc l’image réciproque de S¯ dans G ¯ Le tore Ssc s’identifie à notre précédent tore SH¯ . En appliquant les constructions de 6.7 à notre élément d = (η , r ), on fixe pour toute place v ∈ Val(F ) une paire de Borel (B[d,v ], S[d,v ]) vérifiant toutes les propriétés de ce paragraphe. On note simplement S,v = S[d,v ]. Pour une extension galoisienne finie E de F , on note S (AE ) le produit restreint des S,v (Ew ) sur les places v de F et sur les places w de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S,v (ow ) qui se définissent naturellement en presque tout couple (v, w ) de places. On note S (AF¯ ) la limite inductive de S (AE ) quand E parcourt les extensions galoisiennes finies de F . D’après le lemme 6.8, on peut ¯  (AF¯ ) tel que adr u (S (AF¯ )) = T ∗ (AF¯ ) et que adr u entrelace fixer u ∈ G l’action galoisienne naturelle de ΓF sur S (AF¯ ) avec l’action σ → ωS (σ) ◦ σG∗ sur T ∗ (AF¯ ). Il en résulte que adr¯−1 u se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de ΓF de S (AF¯ ) sur S(AF¯ ). De même, pour tout v, cet isomorphisme se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de ΓFv de S,v (F¯v ) sur S(Fv ). Des tores S,v se déduisent comme ci-dessus des tores S¯,v , S¯,v,sc et ¯ S¯sc , Ssc . S,v,sc et des isomorphismes analogues relient ces tores à S, ¯ Ainsi, quand on considère les points sur Fv , resp. AF¯ , on peut identifier S à S . La différence essentielle est que S à une structure sur F¯ , donc le groupe S(F¯ ) est bien défini tandis que S (F¯ ) n’a pas de sens. Toutefois, le groupe Z(I ; AF¯ ) se plonge naturellement dans S(AF¯ ) comme dans S (AF¯ ). Puisque r¯ et u ap¯  , l’isomorphisme S(AF¯ )  S (AF¯ ) se restreint en l’identité de partiennent à G Z(I ; AF¯ ). Puisque Z(I ) est défini sur F , on obtient le diagramme commutatif S(F¯ ) →   Z(I ; F¯ ) → Z(I ; AF¯ ) 

S(AF¯ ) ↓ S (AF¯ ) .

Une propriété analogue vaut pour S¯sc et S¯,sc , le groupe Z(I ) étant remplacé par ¯ ,SC ). Z(G En vertu de ce que l’on a dit en 6.2, les groupes de cohomologie abélienne de I , à coefficients dans F , Fv , AF ou AF /F , peuvent se calculer à l’aide du 1−θ complexe S¯sc → S → (1 − θ)(S). Sur Fv ou AF , on peut aussi bien utiliser le 1−−θ complexe S¯,sc → S → (1 − θ)(S ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

875

On pose Y = Yη . Rappelons que c’est l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ I . Pour y ∈ Y , posons η[y] = ady−1 (η ). L’application y → (η[y], r y) est une bijection de Y sur DF (la preuve est la même qu’en 5.4(4)). Grâce au lemme 5.5, l’inverse de cette bijection identifie le sous-ensemble DF [dV ] ⊂ DF au sous-ensemble des y ∈ Y tels que – pour tout v ∈ V , y ∈ I (F¯v )G(Fv ) ; – pour tout v ∈ V , y ∈ I (F¯v )K G(Fv ). ,v

On note Y [dV ] cet ensemble. L’inverse de la bijection ci-dessus identifie D˙ F [dV ] à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes I (F¯ )\Y [dV ]/G(F ). On note cet ensemble Y˙  [dV ]. On a (1) pour tout y ∈ Y [dV ], il existe y  ∈ I (F¯ )y tel que y  σ(y  )−1 appartienne au centre de I pour tout σ ∈ ΓF . Preuve. Pour y ∈ Y [dV ], notons χy le cocycle σ → yσ(y)−1 de ΓF dans I et ¯ ,AD . L’automorphisme ady se restreint χy,ad son image naturelle à valeurs dans G ¯ en un torseur intérieur de Gη[y] sur G . La classe d’isomorphisme de Gη[y] est ¯ ,AD ). Or, par définition de Y [dV ], ce déterminé par l’élément χy,ad ∈ H 1 (ΓF ; G cocycle est localement un cobord en toute place v ∈ Val(F ). Parce que le groupe ¯ ,AD est adjoint, l’application G ¯ ,AD ) → ⊕v∈Val(F ) H 1 (Fv ; G ¯ ,AD ) H 1 (F ; G est injective ([71] corollaire 5.4). Donc χy,ad est un cobord. Quitte à multiplier y à ¯  (F¯ ) ⊂ I (F¯ ), on peut donc supposer que χy,ad (σ) = 1 gauche par un élément de G pour tout σ ∈ ΓF . Cela entraîne que χy (σ) appartient au centre de I .  Remarquons que la propriété de y  entraîne que ady se restreint en un isomorphisme défini sur F de Iη[y] sur I . Par la bijection de Y [dV ] sur DF [dV ], la multiplication à gauche par I (F¯ ) correspond à la multiplication à gauche par Iη (F¯ ). On voit qu’une telle multiplication ne modifie pas les termes intervenant dans la définition de la fonction ϕ[V ¯  , dV ]. En conséquence, on peut supposer que tous les éléments de l’ensemble de représentants Y˙  [dV ] satisfont la conclusion de (1). On ne perd rien non plus à supposer que d appartient à l’ensemble D˙ F [dV ]. Il revient au même de supposer que 1 appartient à Y˙  [dV ]. Pour d ∈ D˙ F [dV ], on a défini en 7.1 des termes h[d], U[V  , d] et, pour u ∈ U[V  , d], des termes Ksc,v [d, u], ΔV [d, u], f¯[d, u]. Si d correspond à y ∈ Y˙  [dV ], on note aussi ces termes h[y], U[V  , y], Ksc,v [y, u], ΔV [y, u] et f¯[y, u]. On fera une exception pour le terme d correspondant à 1 ∈ Y˙  [dV ]. Dans ce cas, on notera h = h[1] et f¯ [u] = f¯[1, u].

876

Chapitre VII. Descente globale

VII.7.4 Une première propriété de nullité ¯ SC définit un caractère automorphe de G ¯ AD (AF ) (cf. [I] 2.7), que La donnée H de G ¯ ,AD (AF ). nous notons ici ωH . Il se transporte en un caractère automorphe de G ¯ ,AD (AF ) grâce auquel le caractère On a un homomorphisme naturel I (AF ) → G ωH devient un caractère de I (AF ). De même, pour y ∈ Y˙  (dV ], on a un caractère de Iη[y] (AF ) que l’on note encore ωH et qui n’est autre que le composé du caractère de I (AF ) par l’isomorphisme ady entre ces deux groupes. On a aussi le caractère ω qui se restreint à chacun des groupes Iη[y] (AF ) et I (AF ). Remarquons que (1) l’isomorphisme ady conserve le caractère ω. En effet, soient v ∈ Val(F ) et x ∈ Iη[y] (Fv ). Le commutateur ady (x)x−1 est l’image naturelle de l’élément adysc (xsc )x−1 sc de GSC , où ysc et xsc sont des éléments de GSC ayant même image que y et x dans GAD . Pour σ ∈ ΓFv , la condition que yσ(y)−1 commute à I , cf. 7.3(1), implique que σ(ysc )−1 ysc commute à xsc . Puisque de plus σ(xsc ) ∈ Z(GSC )xsc , on vérifie que adysc (xsc )x−1 sc est fixe par σ, donc adysc (xsc )x−1 ∈ G (F ). Le caractère ω est trivial sur ce groupe. SC v sc  Donc ω(ady (x)x−1 ) = 1, ce qui prouve l’assertion (1). ¯  (Fv ). C’est un sous-groupe comPour v ∈ V , posons K,v = adh,v (Kv ) ∩ G ¯  (Fv ). Imposons à l’ensemble de places V  de 7.1 la pact hyperspécial de de G condition ¯  (F )G ¯  (FV  )  ¯ (2) l’ensemble G  K,v est dense dans G (AF ). v∈V

Lemme. Si ωH et ω ne coïncident pas sur I (AF ), alors ϕ[V ¯  , dV ] = 0. Preuve. Soient y ∈ Y˙  [dV ] et u ∈ U[V  , y]. Rappelons la construction de la fonction f¯[y, u]. On descend la fonction f en une fonction, disons f [y], sur Gη[y] (FV ). On définit la fonction f [y]sc sur Gη[y],SC (FV ) par f [y]sc = ιGη[y],SC ,Gη[y] (f [y]). Alors ¯ V ) pour le facteur de transfert ΔV [y, u]. Nof¯[y, u] est le transfert de f [y]sc à H(F ˜ V ), ω). Le tons que cette construction ne dépend que de l’image de f dans I(G(F groupe ZG (η[y]; FV ) agit naturellement sur I(Gη[y],SC (FV )). Parce que l’on part ˜ V ), ω), la fonction f [y]sc appartient au sous-espace isotyd’un élément de I(G(F pique de I(Gη[y],SC (FV )) sur lequel ZG (η[y]; FV ) agit par le caractère ω. Le groupe Gη[y],AD (FV ) agit aussi sur Gη[y],SC (FV ) et sur I(Gη[y],SC (FV )). Par cette action, −1 le facteur de transfert ΔV [y, u] se transforme par le caractère ωH . Donc le transfert se factorise par la projection sur le sous-espace isotypique de I(Gη[y],SC (FV )) sur lequel Gη[y],AD (FV ) agit par le caractère ωH . Le groupe Iη[y] (FV ) s’envoie à la fois dans ZG (η[y]; FV ) et dans Gη[y],AD (FV ) et les deux actions coïncident sur ce groupe. Cela entraîne que le transfert f¯[y, u] de f [y]sc est nul si les deux caractères ne coïncident pas sur Iη[y] (FV ). D’après (1), cette condition de coïncidence équivaut à la même condition portant sur les caractères de I (FV ). On obtient que ϕ[V ¯  , dV ] = 0 si les deux caractères ωH et ω de I (FV ) sont distincts.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

877

Soient de nouveau y ∈ Y˙  [dV ] et u ∈ U[V  , y]. Rappelons que l’on a supposé 1 ∈ U[V  , y]. Par construction, le rapport ΔV [y, u]/ΔV [y, 1] est égal au produit sur les places v ∈ V  − V des rapports de facteurs locaux normalisés Δv [y, 1]/Δv [y, uv ]. Le facteur Δv [y, 1] est relatif au sous-groupe compact Ksc,v [y, 1] et le facteur Δv [y, u] est relatif au sous-groupe Ksc,v [y, u] = aduv (Ksc,v [y, 1]). ¯ v ) et x ∈ Gη[y],SC (Fv ), on a par simple transport de structure Pour y¯ ∈ H(F y, aduv (x)) = Δv [y, 1](¯ y, x). Mais le premier terme est égal à l’égalité Δv [y, u](¯ ωH (uv )−1 Δv [y, u](¯ y , x). On en déduit Δv [y, 1]/Δv [y, uv ] = ωH (uv )−1

puis

ΔV [y, u]/ΔV [y, 1] = ωH (u)−1 .

Donc f¯[y, u] = ωH (u)−1 f¯[y, u]. Dans la définition 7.1(3), la somme en u se récrit donc  ω(u)ωH (u)−1 . ω(h[y])f¯[y, 1] u∈U [V  ,y]

Remarquons que les deux caractères ω et ωH sont évidemment triviaux sur Gη[y],SC (FVV  ) et le sont aussi sur Z(Gη[y] ; FVV ) : pour ωH , cela résulte de sa construction comme image réciproque d’un caractère de Gη[y],AD (FVV  ) ; pour ω, cela résulte de l’hypothèse 5.1(4). La somme en u ci-dessus est donc égale à la somme des valeurs d’un caractère du groupe quotient Gη[y] (FVV  )/Z(Gη[y] ; FVV )Gη[y],SC (FVV  ). Elle est nulle si ce caractère n’est pas trivial, autrement dit si ω et ωH ne coïncident pas sur Gη[y] (FVV  ). De nouveau, cela équivaut à ce que les caractères correspondant ¯  (F V  ) sont distincts. On obtient que ϕ[V ¯  , dV ] = 0 si les deux caractères ωH de G V V ¯ et ω de G (FV  ) sont distincts. Soit v ∈ V . Comme on l’a expliqué dans la preuve du lemme 1.6, les conditions imposées à V nous autorisent à appliquer les résultats de [79]. Le lemme 5.6(ii) de cette référence implique ¯  (Fv )(adh,v (Kv ) ∩ I (Fv )). (3) I (Fv ) = G Du groupe K,v se déduit un sous-groupe compact hyperspécial K,ad,v de ¯ ,AD (Fv ). Montrons que G ¯ ,AD (Fv ) est contenue dans K,ad,v . (4) l’image de adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) dans G On a dit dans la preuve du lemme 5.5 que l’application ¯  \ adh,v (K nr ) ∩ I Z(G)θp → adh,v (Kvnr ) ∩ G v ¯ ,AD (Fv ) était surjective. Il en résulte que l’image de adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) dans G nr nr ¯ est contenue dans celle de adh,v (Kv ) ∩ G , c’est-à-dire celle de K,v . Celle-ci nr ¯ ,AD (Fv ) est égale à . L’intersection de ce groupe avec G est contenue dans K,ad,v K,ad,v , d’où (4).

878

Chapitre VII. Descente globale

Puisque V ⊃ Vram , ω est trivial sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). La donnée H est non ramifiée hors de V . Donc le caractère ωH est trivial sur K,ad,v . D’après (4), le caractère de I (Fv ) qui s’en déduit est trivial sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). Achevons la preuve du lemme. Supposons ϕ[V ¯  , dV ] = 0. On a vu que cela ¯  (F V  ). Ces caractères impliquait que ω et ωH coïncidaient sur I (FV ) et sur G V coïncident aussi sur K,v pour v ∈ V . Puisque ces caractères sont automorphes, la ¯  (AF ). Pour v ∈ V , la propriété condition (2) implique qu’ils coïncident sur tout G (3) et le fait qu’ils sont triviaux sur adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ) impliquent alors qu’ils coïncident sur I (Fv ). Donc ils coïncident sur I (AF ), ce qui prouve le lemme. 

VII.7.5 Description de l’ensemble Y˙  [dV ] 1 1 Les ensembles Hab (F, G) et H 1 (AF , G) s’envoient naturellement dans Hab (AF ; G). On note 1 1 1 (A ;G) H (AF , G) (F, G) ×Hab Hab F 1 leur produit fibré au-dessus de Hab (AF ; G). On a un diagramme commutatif

(1)

H 1 (F ; I ) ↓ H 1 (F ; G)

1 1 1 (A ;I ) H (AF , I ) → Hab (F, I ) ×Hab F  ↓ 1 1 1 (A ;G) H (AF , G) . → Hab (F, G) ×Hab F

1 Soit v une place finie de F . Alors l’application naturelle H 1 (Fv ; I ) → Hab (Fv ; I ) est bijective ([51] proposition 1.6.7). Supposons v ∈ V . Alors le groupe I est 1 1 (ov ; I ) ⊂ Hab (Fv ; I ). Rappelons non ramifié et on définit le sous-groupe Hab 1 1 que Hab (AF ; I ) s’identifie au produit restreint des Hab (Fv ; I ) relativement à ces 1 1 sous-groupes. On note Hab (oV ; I ) le produit des Hab (ov ; I ) sur toutes les places v ∈ V . Notons U le sous-ensemble des u ∈ H 1 (F ; I ) qui vérifient les trois conditions 1 (2) l’image de u dans Hab (F ; G) par l’application issue du diagramme (1) est nulle ;

(3) pour v ∈ V , l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) est nulle ; 1 1 (AVF ; I ) appartient à Hab (oV ; I ). (4) l’image de u dans Hab

On a une application naturelle H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ). Montrons que (5) son noyau Ker est un sous-groupe et l’application se quotiente en une injection H 1 (F ; Z(I ))/ Ker → H 1 (F ; I ). Preuve. Soient z1 et z2 deux éléments de Ker, que l’on relève en des cocycles. On peut choisir i1 et i2 dans I tels que, pour j = 1, 2 et pour tout σ ∈ ΓF , on ait zj (σ) = ij σ(ij )−1 . Puisque z2 (σ) est central dans I , on a z1 (σ)z2 (σ) = i1 σ(i1 )−1 z2 (σ) = i1 z2 (σ)σ(i1 )−1 = i1 i2 σ(i1 i2 )−1 .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

879

Donc z1 z2 ∈ Ker. On a aussi −1 −1 −1 i1 = i−1 z1 (σ)−1 = i−1 1 z1 (σ) 1 σ(i1 )i1 i1 = i1 σ(i1 ).

Donc z1−1 ∈ Ker et Ker est bien un sous-groupe. Soient z1 et z2 deux éléments de H 1 (F ; Z(I )), que l’on relève en des cocycles. Leurs images dans H 1 (F ; I ) coïncident si et seulement s’il existe i ∈ I de sorte que, pour tout σ ∈ ΓF , on ait z1 (σ) = iz2 (σ)σ(i)−1 . Parce que z2 est à valeurs centrales, cela équivaut à z1 (σ)z2 (σ)−1 = iσ(i)−1 . Mais l’existence de i vérifiant cette condition équivaut à z1 z2−1 ∈ Ker. D’où la seconde assertion de (5).  Notons HZ1 (F ; I ) l’image de H 1 (F ; Z(I )) dans H 1 (F ; I ). Grâce à (5), cet ensemble est naturellement un groupe. On définit une application Y → H 1 (F ; I ) qui, à y ∈ Y [dV ], associe la classe du cocycle σ → yσ(y)−1 . Lemme. Cette application se restreint en une bijection de Y˙  [dV ] sur U. L’ensemble U est un sous-groupe de HZ1 (F ; I ). Preuve. Il est immédiat que notre application se quotiente en une bijection de I (F¯ )\Y /G(F )

(6) dans le noyau de l’application

H 1 (F ; I ) → H 1 (F ; G).

(7)

Rappelons que Y˙  [dV ] est un ensemble de représentants de l’image de Y [dV ] ⊂ Y dans l’ensemble de doubles classes (6). L’application se restreint donc en une injection de Y˙  [dV ] dans le noyau de (7). D’après la définition de 7.3, son image est formée des éléments u de ce noyau qui vérifient la condition (3) et (8) pour tout v ∈ V , il existe k ∈ K ,v tel que l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) soit cohomologue au cocycle σ → kσ(k)−1 . Rappelons que, par définition de K ,v , ce dernier cocycle prend ses valeurs dans Z(G)θ ⊂ Z(I ). Montrons que (9) les conditions (4) et (8) sont équivalentes. ¯  défini sur Fv et non Soit v ∈ V . Fixons un sous-tore maximal T de G ramifié. Notons T son commutant dans G et T,sc l’image réciproque de T dans ¯ ,SC . Par définition G 1−θ

1 Hab (ov ; I) = H 2,1,0 (ov ; T,sc → T → (1 − θ)(T )).

Le diagramme T,sc ↓



T,sc ↓ T

→ T /Z(G)θ ↓ → T /Z(G)θ

T ↓

1−θ



(1 − θ)(T ) ↓

1−θ

(1 − θ)(T )



880

Chapitre VII. Descente globale

est un triangle exact dans la catégorie des complexes de tores. On en déduit une suite exacte 1−θ

(10)

H 1,0 (ov ; T → T /Z(G)θ ) → H 2,1,0 (ov ; T,sc → T → (1 − θ)(T )) 1−θ

→ H 2,1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)θ → (1 − θ)(T )).

D’autre part, le diagramme T,sc ↓

→ T θ /Z(G)θ ↓

T,sc



T /Z(G)θ

1−θ



(1 − θ)(T )

induit un isomorphisme de cohomologie 1−θ

H 2,1 (ov ; T,sc → T θ /Z(G)θ )  H 2,1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)θ → (1 − θ)(T )). Or le premier groupe est nul ([48] lemme C.1.A). On en déduit que le premier homomorphisme de la suite (10) est surjectif. Cet homomorphisme se récrit 0 1 (ov ; G ) → Hab (ov ; I ) Hab

où on rappelle que G = G/Z(G)θ . L’ensemble de départ est un sous-groupe 0 (Fv ; G ), lequel est un quotient de G (Fv ). L’assertion 1.5(2) équivaut à de Hab 0 0 dire que Hab (ov ; G ) est l’image de K,v dans Hab (Fv ; G ). Puisque K ,v s’envoie surjectivement sur K,v , on obtient une application surjective (11)

1 (ov ; I ). K ,v → Hab

On a alors deux façons d’envoyer K ,v dans H 1 (Fv , I ). D’abord celle de la relation (8) : à k ∈ K ,v on associe le cocycle σ → kσ(k)−1 . On peut aussi envoyer k en 1 (ov , I ) par l’application précédente, puis on relève celui-ci en un élément de Hab 1 un élément de H (Fv , I ) en utilisant la bijectivité de l’application H 1 (Fv , I ) → 1 (Fv , I ) ([51] prop. 1.6.7). En inspectant les définitions, on s’aperçoit que les Hab deux applications obtenues coïncident. Puisque l’application (11) est surjective, la 1 condition (8) équivaut donc à ce que l’image de u dans Hab (Fv ; I ) appartienne à 1 Hab (ov ; I ), ce qui est la condition (4). Cela prouve (9). Montrons que, pour u ∈ H 1 (F ; I ) vérifiant les conditions (3) et (4), on a (12) l’image de u dans H 1 (F ; G) est nulle si et seulement si son image dans 1 Hab (F ; G) est nulle. La première condition implique la seconde. Inversement, notre élément u vérifie (8) d’après (9). Cela entraîne que, pour v ∈ V , son image dans H 1 (Fv ; G) est nulle. En ajoutant (3), l’image de u dans H 1 (AF ; G) est nulle. Si de plus l’image 1 (F ; G) est nulle, son image dans le terme sud-est du diagramme (1) de u dans Hab est nulle. Or l’application du bas de ce diagramme est bijective ([51] théorème 1.6.10). Donc l’image de u dans H 1 (F ; G) est nulle. Cela prouve (12).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

881

On a vu que l’image de Y˙  [dV ] dans H 1 (F ; I ) est l’ensemble des u vérifiant les conditions (3) et (8) et dont l’image dans H 1 (F ; G) est nulle. Grâce à (9) et (12), c’est exactement l’ensemble U. D’après 7.3(1), cette image, c’est-à-dire U, est contenue dans HZ1 (F ; I ). Il reste à prouver que c’est un sous-groupe. On vérifie facilement que les applications composées 1 H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ) → Hab (F ; G) et 1 H 1 (F ; Z(I )) → H 1 (F ; I ) → Hab (AVF ; I )

sont des homomorphismes de groupes. On en déduit que l’ensemble des éléments de HZ1 (F ; I ) qui vérifient les conditions (2) et (4) est un sous-groupe de HZ1 (F ; I ). D’autre part, pour v ∈ V , on a le diagramme commutatif H 1 (F ; Z(I )) ↓ H 1 (Fv ; Z(I ))



H 1 (F ; I ) ↓ → H 1 (Fv ; I ) .

Un élément de HZ1 (F ; I ) vérifie (3) si et seulement si c’est l’image d’un élément de H 1 (F ; Z(I )) dont l’image dans H 1 (Fv ; Z(I )) pout v ∈ V appartient au noyau de l’application du bas. La même preuve qu’en (5) montre que ce noyau est un groupe. Donc l’ensemble des éléments de HZ1 (F ; I ) qui vérifient (3) est l’image  d’un sous-groupe de H 1 (F ; Z(I )). Cela conclut.

VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q∞ Considérons les groupes 0 0 Q1 = H 1 (AF /F ; S¯sc ), Q2 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)),  0 V 0 Hab (ov ; G ) Q3 = Hab (o ; G ) = v∈V

définis en 6.6. Posons Q× = Q1 × Q2 × Q3 , 0 0 Q1,2 = I (AF ), Q1,3 = Hab (oV ; I /Z(G)θ ), Q2,3 = Hab (oV ; G).

Le groupe Q1,2 s’envoie naturellement dans G(AF ) lequel s’envoie dans Q2 . Il s’en¯ ,AD ). Ce dernier groupe s’iden¯ ,AD (AF ) puis dans H 0 (AF ; G voie aussi dans G ab 1,0 θ ¯ tifie à H (AF ; Ssc → S /Z(I )), lequel s’envoie dans H 1 (AF ; S¯sc ) puis dans Q1 . Puisque I /Z(G)θ est un sous-groupe de G , Q1,3 s’envoie naturellement dans Q3 . 0 (AF ; I /Z(G)θ ) que l’on peut identifier à Le groupe Q1,3 est un sous-groupe de Hab 1,0 θ θ ¯ H (AF ; Ssc → S /Z(G) ). Ce dernier s’envoie naturellement dans H 1 (AF ; S¯sc ) puis dans Q1 . Par composition, on obtient un homomorphisme Q1,3 → Q1 . Le

882

Chapitre VII. Descente globale

groupe Q2,3 s’envoie naturellement dans Q2 et Q3 . Toutes ces applications sont des homomorphismes. Ainsi, pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, on a des homomorphismes  Qj,j 

Qj

 Qj  .

On en déduit un homomorphisme qj,j  : Qj,j  → Q× dont la composante dans Qj est l’homomorphisme précédent, la composante dans Qj  est l’opposé de l’homomorphisme précédent et la dernière composante est triviale. On note Q∞ le quotient de Q× par le groupe engendré par les images des homomorphismes qj,j  . Soit u : ΓF → Z(I ; F¯ ) un cocycle dont l’image dans H 1 (F ; I ) appartient à U. Pour v ∈ V , l’image de u dans H 1 (Fv ; I ) est nulle. On peut fixer iv ∈ I de sorte que u(σ) = iv σ(iv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Pour v ∈ V , u vérifie la condition 7.5(8). On peut fixer kv ∈ K ,v et iv ∈ I de sorte que u(σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Montrons que (1) on peut supposer kv ∈ K ,v ∩ Kvnr et iv ∈ I (Fvnr ) ∩ Kvnr pour presque tout v. Preuve. D’après le lemme 7.5, on peut fixer y ∈ Y˙  [dV ] tel que u soit cohomologue au cocycle σ → yσ(y)−1 . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I (F¯ ), on obtient un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On fixe un ensemble fini V  de places de F , contenant V , tel que, pour v ∈ V  , – y ∈ Kvnr ; ˜v. – η ∈ K Soit v ∈ V  . D’après 5.5(1), on a K ,v = Z(G)θ (K ,v ∩ Kvnr ). On peut donc écrire kv = zv kv avec zv ∈ Z(G)θ et kv ∈ K ,v ∩ Kvnr . Puisque Z(G)θ ⊂ I , on peut remplacer le couple (iv , kv ) par (iv zv , kv ). Après ce remplacement, on a kv ∈ K ,v ∩ Kvnr . L’égalité iv kv σ(iv kv )−1 = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓFv implique qu’il existe g1 ∈ G(Fv ) tel que y = iv kv g1 . Posons g = adkv (g1 ). Puisque K ,v normalise G(Fv ), on a encore g ∈ G(Fv ). On a y = iv gkv . D’où ˜ vnr ) = K ˜ vnr . adg−1 (η ) = adkv y−1 iv (η ) = adkv y−1 (η ) ∈ adkv y−1 (K ˜ v ), cela entraîne adg−1 (η ) ∈ K ˜ v . Comme on l’a expliqué Puisque adg−1 (η ) ∈ G(F dans la preuve du lemme 1.6, on peut appliquer les résultats de [79] 5.6. Le (ii) ¯  (Fv )Kv . Ecrivons g = xk  , avec du lemme de cette référence implique que g ∈ G  ¯ x ∈ G (Fv ) et k ∈ Kv . On peut remplacer notre couple (iv , kv ) par (iv x, k  kv ). Notons simplement (iv , kv ) ce nouveau couple. Il vérifie les mêmes propriétés que l’ancien mais vérifie de plus y = iv kv . Donc iv kv ∈ Kvnr . Puisque kv ∈ Kvnr , cela entraîne iv ∈ I (Fvnr ) ∩ Kvnr . 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

883

On suppose vérifiée la condition (1). Soit v ∈ Val(F ). Si v ∈ V , on a iv σ(iv )−1 = u(σ) donc iv σ(iv )−1 ∈ Z(I ) pour tout σ ∈ ΓFv . La même propriété vaut si v ∈ V car alors kv σ(kv )−1 ∈ Z(G)θ ⊂ Z(I ). Donc l’image iv,ad de ¯ ,AD appartient à G ¯ ,AD (Fv ). On a des applications naturelles iv dans G ¯ ,AD (Fv ) → H 1 (Fv ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (Fv ; S¯sc ). G ¯  (Fv ) est un sous-groupe compact hyperspéPour presque tout v, le groupe Kv ∩ G ¯ ¯ ,v,ad de G ¯ ,AD (Fv ). La condition cial de G (Fv ). Il détermine un tel sous-groupe K (1) entraîne que iv,ad appartient à ce sous-groupe pour presque tout v. Si de plus, S¯sc est non ramifié en v, on voit que l’image de iv,ad par l’application précédente appartient au sous-groupe H 1 (ov ; S¯sc ), qui est nul. On a ainsi construit pour tout v un élément de H 1 (Fv ; S¯sc ) qui est nul pour presque tout v. La collection de ces termes est un élément de H 1 (AF ; S¯sc ). On l’envoie dans Q1 par l’application naturelle. Notons u1 l’élément de Q1 obtenu. Fixons comme dans la preuve de (1) un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . Fixons une décomposition y = zπ(ysc ), avec z ∈ Z(G; F¯ ) et ysc ∈ GSC (F¯ ). Pour unifier les notations, posons kv = 1 pour v ∈ V . Pour tout v ∈ Val(F ), fixons une décomposition iv kv = zv π(xsc,v ), avec zv ∈ Z(G; F¯v ) et xsc,v ∈ GSC (F¯v ). Pour σ ∈ ΓFv , les termes ysc σ(ysc )−1 et xsc,v σ(xsc,v )−1 ont même image dans GAD : c’est l’image de u(σ). Celle-ci appartient à l’image dans GAD de Z(I ), laquelle est contenu dans celle de S,v . Il en résulte que les termes ci-dessus appartiennent à S,sc,v (F¯v ) et que leur rapport −1 appartient à Z(GSC ; F¯v ). Posons χv (σ) = σ(xsc,v )x−1 . L’égalité sc,v ysc σ(ysc ) iv kv σ(iv kv )−1 = u(σ) = yσ(y)−1 entraîne que le couple (χv , zzv−1) est un cocycle de ΓFv dans le complexe Z(GSC ) → Z(G), que l’on pousse en un cocycle à valeurs dans le complexe Ssc → S. On 0 obtient ainsi un élément de H 0 (Fv ; Ssc → S) = Hab (Fv ; G). Il est clair que cet élément ne dépend pas des décompositions choisies de y et iv kv . Pour presque nr tout v, on a ysc ∈ Ksc,v et z ∈ Kvnr . L’hypothèse (1) permet de choisir des 0 éléments xsc,v ∈ Ksc,v et zv ∈ Kvnr . On vérifie alors que l’élément de Hab (Fv ; G) 0 que l’on vient de construire appartient à Hab (ov ; G). La collection de ces éléments 0 appartient à Hab (AF ; G). On pousse cet élément en un élément de Q2 que l’on note u2 . On a choisi pour le construire un élément y. Mais on ne peut modifier y qu’en le multipliant à droite par un élément g ∈ G(F ). On vérifie qu’une telle 0 (AF ; G) que l’on a construit par l’image multiplication multiplie l’élément de Hab −1 de g dans ce groupe par la suite d’applications 0 0 G(F ) → Hab (F ; G) → Hab (AF ; G).

Donc l’image u2 dans Q2 est inchangée. 0 (ov ; G ), cf. 6.2(1). On Pour tout v ∈ V , kv a une image naturelle dans Hab note u3 le produit de ces éléments dans Q3 . Notons q∞ (u) l’image dans Q∞ du triplet (u1 , u2 , u3 ) ∈ Q× .

884

Chapitre VII. Descente globale

Lemme. (i) L’élément q∞ (u) ne dépend pas des choix effectués. (ii) L’application u → q∞ (u) se quotiente en un homomorphisme de U dans Q∞ . Notation. On notera encore q∞ cet homomorphisme de U dans Q∞ . Preuve. Le cocycle u étant fixé, les choix sont ceux des éléments iv et kv . Pour une place v ∈ Val(F ), considérons d’autres choix iv , kv . Notons u1 etc. . . les analogues de u1 etc. . . construits à l’aide de ces nouveaux choix. Supposons d’abord v ∈ V . On a alors kv = kv = 1 et u3 = u3 . La relation iv σ(iv )−1 = u(σ) = iv σ(iv )−1 implique qu’il existe g ∈ G(Fv ) tel que iv = iv g. Puisque iv et iv appartiennent à I , on a g ∈ I (Fv ). Cet élément g s’envoie en un élément de Q1,2 . On voit que le couple (u1 , u2 ) est le produit de (u1 , u2 ) et de l’image par q1,2 de cet élément de Q1,2 . Donc les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Supposons maintenant v ∈ V . On a fixé un élément h,v ∈ G(Fv ) tel ˜ v . Remarquons que, puisque kv σ(kv )−1 est central pour tout que adh−1 (η ) ∈ K ,v σ ∈ ΓFv , on a l’égalité h,v kv σ(h,v kv )−1 = kv σ(kv )−1 . On a donc u(σ) = iv h,v kv σ(iv h,v kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . On a une relation analogue avec iv et kv . Cela entraîne qu’il existe g1 ∈ G(Fv ) tel que iv h,v kv = iv h,v kv g1 . Posons g = adkv (g1 ). On a encore g ∈ G(Fv ) et on a iv h,v kv = iv h,v gkv . On a alors adg−1 ◦ adh−1 (η ) = adkv kv −1 ◦ adh−1 ◦ adiv −1 iv (η ) ,v ,v ˜v) = K ˜v. = adkv kv −1 ◦ adh−1 (η ) ∈ adkv kv −1 (K ,v D’après le lemme 5.6(ii) de [79], cela implique g ∈ Gad

−1 (η ) h,v

¯  (Fv ))Kv . (Fv )Kv = adh−1 (G ,v

¯  (Fv ) et b ∈ Kv . Posons iv = iv a et kv = bkv . Ecrivons g = adh−1 (a)b, avec a ∈ G ,v On voit que le couple (iv , kv ) est encore un choix possible, donnant naissance à des termes u1 etc. . . On a de plus iv h,v kv = iv h,v kv . L’élément a a une image naturelle a ∈ Q1,2 . L’élément b a une image naturelle b ∈ Q2,3 . On vérifie que (u1 , u2 , u3 ) est le produit de (u1 , u2 , u3 ) et de q1,2 (a)q2,3 (b)−1 . Donc les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Pour simplifier les notations, on peut supposer maintenant iv = iv et kv = kv . On a alors l’égalité iv h,v kv =   −1 −1 iv h,v kv . Posons j = i−1 h,v . Alors j ∈ I (F¯v ) ∩ adh,v (K ,v ). v iv = h,v kv kv D’après 5.5(1), cette intersection est égale au produit de Z(G)θ et de I (F¯v ) ∩ adh,v (K ,v ∩ Kvnr ). Le groupe ¯  (Fv ) ∩ adh,v (Kv ) G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

885

¯  (Fv ), qui donne naissance à un tel est un sous-groupe compact hyperspécial de G ¯ ,AD (Fv ). La propriété précédente entraîne que l’image ¯ ,ad,v de G sous-groupe K ¯ ,AD (Fv ) appartient à K ¯ ,ad,v . Elle définit donc un élément j de jad de j dans G Q1,3 . On voit que u2 = u2 tandis que (u1 , u3 ) est le produit de (u1 , u3 ) et de q1,3 (j). De nouveau, les images dans Q∞ de (u1 , u2 , u3 ) et de (u1 , u2 , u3 ) sont égales. Cela prouve le (i) de l’énoncé. Considérons deux cocycles u et u de ΓF dans Z(I ; F¯ ) qui ont même image dans H 1 (F ; I ), cette image appartenant à U. Alors on peut fixer i ∈ I (F¯ ) tel que u (σ) = iu(σ)σ(i)−1 pour tout σ ∈ ΓF . Cette relation implique que iσ(i)−1 ∈ Z(I ; F¯ ). Des données iv et kv étant fixées pour tout v pour le cocycle u, on peut choisir pour u les données iv = iiv et kv = kv . On note u1 etc. . . les termes associés à u et aux données iv et kv et u1 etc. . . ceux associés à u et aux données iv et kv . On a trivialement u3 = u3 . La relation iσ(i)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF ¯ ,AD appartient à G ¯ ,AD (F ). On voit que u1 implique que l’image iad de i dans G est le produit de u1 et de l’image de iad par la suite d’applications naturelles ¯ ,AD (F ) → H 1 (F ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (F ; S¯sc ) → H 1 (AF /F ; S¯sc ) = Q1 . G Or la dernière application ci-dessus est nulle, donc u1 = u1 . Dans la construction de u2 , on a choisi un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On peut choisir pour u l’élément y  = iy. On vérifie alors que u2 = u2 . Donc q∞ (u ) = q∞ (u). Cela prouve que l’application q∞ se quotiente en une application de U dans Q∞ . Considérons deux cocycles u et u de ΓF dans Z(I ; F¯ ) dont les images dans 1 H (F ; I ) appartiennent à U. Posons u = uu . Choisissons pour toute place v des données iv et kv pour u et des données iv et kv pour u . Pour tout v et tout σ ∈ ΓFv , on a u (σ) = u(σ)u (σ) = iv kv σ(iv kv )−1 u (σ) = kv σ(kv )−1 iv σ(iv )−1 u (σ), parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G). Puis u (σ) = kv σ(kv )−1 iv u (σ)σ(iv )−1 parce que u (σ) ∈ Z(I ). Puis u (σ) = kv σ(kv )−1 iv iv kv σ(iv kv )−1 σ(iv )−1 = kv σ(kv )−1 iv iv kv σ(iv iv kv )−1 = iv iv kv kv σ(kv )−1 σ(iv iv kv )−1 toujours parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G). D’où u (σ) = iv iv kv kv σ(iv iv kv kv )−1 . Pour u , on peut donc choisir pour données iv = iv iv et kv = kv kv . On note u1 etc. . ., u1 etc. . ., u1 etc. . . les termes construits avec ces différentes données. Il

886

Chapitre VII. Descente globale

est immédiat que u1 = u1 u1 et u3 = u3 u3 . Pour construire le terme u2 , on doit choisir un élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF et des décompositions y = zπ(ysc ) et iv kv = zv π(xsc,v ). Pour cette dernière, on peut choisir des décompositions iv = av π(isc,v ) et kv = bv π(ksc,v ) avec av , bv ∈ Z(G) et isc,v , ksc,v ∈ GSC . On pose alors zv = av bv , xsc,v = isc,v ksc,v . On choisit des termes analogues pour u , que l’on affecte d’un  . Pour u , on choisit un terme y   et une décomposition y  = z  π(ysc ). On peut choisir isc,v = isc,v isc,v , av = av av ,     ksc,v = ksc,v ksc,v , bv = bv bv . Pour σ ∈ ΓFv , posons   χv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v σ(xsc,v )xsc,v

−1  xsc,v σ(xsc,v )−1 .

Parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G), on a ksc,v σ(ksc,v )−1 ∈ Z(GSC ). Notons I,sc l’image réciproque dans GSC de l’image de I dans GAD . On a isc,v ∈ I,sc . Parce que iv σ(iv )−1 ∈ Z(I ), on a isc,v σ(isc,v )−1 ∈ Z(I,sc ). De mêmes propriétés valent   , ksc,v , isc,v et isc,v . On calcule alors pour ksc,v −1   σ(ksc,v )ksc,v χv (σ) = σ(ksc,v )ksc,v

(2)

−1   ksc,v σ(ksc,v )−1

−1

    −1 σ(isc,v )i−1 . sc,v σ(isc,v )i sc,v isc,v σ(isc,v )

On a       σ(ksc,v )−1 = ksc,v ksc,v σ(ksc,v )−1 σ(ksc,v )−1 = ksc,v σ(ksc,v )−1 ksc,v σ(ksc,v )−1 ksc,v

et les six premiers termes de (2) disparaissent. On a aussi −1

−1

−1

    −1   σ(isc,v )i−1 sc,v σ(isc,v )i sc,v = σ(isc,v )σ(isc,v )i sc,v isc,v = σ(isc,v )i sc,v

et les six derniers termes de (2) disparaissent. D’où χv (σ) = 1. −1 est l’image dans En appliquant les définitions, on voit alors que u2 u2 u2   −1 0 ) ∈ Hab (AF ; G), où ξ est défini par Q2 du cocycle (ξ, zz z   −1   ξ(σ) = ysc σ(ysc )−1 ysc σ(ysc ) σ(ysc )ysc

−1

.

0 0 (F ; G). Or Hab (F ; G) s’envoie sur 0 Ce cocycle est l’image d’un élément de Hab   dans Q2 . D’où u2 = u2 u2 . Cela prouve que l’application q∞ , quotientée en une application définie sur U, est un homomorphisme. 

VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q∞ Rappelons que 1−θ

Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Pour j = 1, 2, 3, on a défini en 6.6 un homomorphisme qj : Qj → Q. On en déduit un homomorphisme produit (1)

Q× = Q1 × Q2 × Q3 → Q.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

887

Montrons que (2) pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, le composé de l’homomorphisme (1) et de qj,j  est nul. Prouvons-le pour (j, j  ) = (1, 2), la démonstration étant similaire pour les autres couples. Il s’agit de prouver que le diagramme suivant  Q1

Q1,2

q1 

 Q2

 q2 Q

est commutatif, où les flèches du haut sont celles définies en 7.6. Le composé des homomorphismes de gauche est composé de 0 0 ¯ ,AD ) Q1,2 = I (AF ) → Hab (AF ; I ) → Hab (AF ; G = H 1,0 (AF ; S¯sc → S θ /Z(I )) → H 1 (AF ; S¯sc ) → Q1 1−θ

= H 1 (AF /F ; S¯sc ) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). On peut remplacer les deux derniers homomorphismes par 1−θ

1−θ

H 1 (AF ; S¯sc ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Le composé des homomorphismes de droite du diagramme est composé de 0 0 Q1,2 = I (AF ) → Hab (AF ; I ) → Hab (AF ; G) → Q2 0 0 0 = Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) → Hab (AF /F ; G) 1−θ

= H 1,0 (AF /F ; Ssc → S) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Il est égal au composé de 0 0 (AF ; I ) → Hab (AF ; G) Q1,2 = I (AF ) → Hab 1−θ

= H 1,0 (AF ; Ssc → S) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) 1−θ

→ H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). Ainsi, nos deux homomorphismes se factorisent par des homomorphismes 1−θ

0 Hab (AF ; I ) → H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)),

que l’on décompose en produits d’homomorphismes locaux 1−θ

0 (Fv ; I ) → H 1,0 (Fv ; Ssc → (1 − θ)(S)). Hab

888

Chapitre VII. Descente globale

On fixe v et il suffit de montrer que ces homomorphismes locaux sont égaux. 0 (Fv ; I ) = H 1,0 (Fv ; S¯sc → S θ ). On vérifie que le premier hoRappelons que Hab momorphisme est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes de tores S¯sc → Sθ ↓ ↓ S¯sc → 0 ↓ ↓ Ssc

1−θ



(1 − θ)(S) .

Le second est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes de tores S¯sc → Sθ ↓ ↓ S Ssc → ↓ ↓1−θ Ssc

1−θ



(1 − θ)(S) .

Mais les deux homomorphismes composés S¯sc ↓



Sθ ↓

Ssc

1−θ

(1 − θ)(S)



sont égaux. Cela prouve l’égalité de nos homomorphismes. D’où (2). Grâce à (2), l’homomorphisme (1) se quotiente en un homomorphisme q0 : Q∞ → Q. Son image est égale au groupe Q0 défini en 6.6. Lemme. L’image de l’homomorphisme q∞ est égale au noyau de q0 . Preuve. Montrons d’abord que l’image de q∞ est contenue dans le noyau de q0 . On introduit les notations suivantes pour les homomorphismes naturels ¯ ,SC G

π ¯

π ¯,sc 

→

G. π

GSC Soit u : ΓF → Z(I ) un cocycle dont l’image dans H 1 (F ; I ) appartient à U. On fixe y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On fixe ysc ∈ GSC (F¯ ) et z ∈ Z(G; F¯ ) tels que y = zπ(ysc ). Pour toute place v, on fixe des éléments iv et kv comme en 7.6. On fixe – zv ∈ Z(G; F¯v ) et xsc,v ∈ GSC (F¯v ) tels que iv kv = zv π(xsc,v ) ; ¯ ,SC (F¯v ) tels que iv = ζv π ¯ (¯isc,v ) ; – ζv ∈ Z(I ; F¯v ) et ¯isc,v ∈ G ¯ ¯ – bv ∈ Z(G; Fv ) et ksc,v ∈ GSC (Fv ) tels que kv = bv π(ksc,v ) (on prend bv = 1 et ksc,v = 1 pour v ∈ V ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

889

Reprenons les constructions des termes u1 , u2 et u3 de 7.6. De l’isomorphisme adr¯−1 u : S¯ → S¯ se déduisent des isomorphismes H 1 (AF ; S¯,sc ) → H 1 (AF ; S¯sc ), H 1,0 (AF ; S,sc → S ) → H 1,0 (AF ; Ssc → S), H 1,0 (AF ; S,sc → S /Z(G)0 ) → H 1,0 (AF ; Ssc → S/Z(G)0 ). Les espaces d’arrivée s’envoient ensuite respectivement dans Q1 , Q2 et Q3 . Les espaces de départ s’envoient donc eux-aussi dans ces groupes. Le terme u1 est l’image par l’application ainsi définie de l’élément de H 1 (AF ; S¯,sc ) dont la composante en v est le cocycle σ → ¯isc,v σ(¯isc,v )−1 . Le terme u2 est l’image de l’élément de H 1,0 (AF ; S,sc → S ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle −1 σ → ysc σ(ysc )−1 σ(xsc,v )x−1 sc,v et de l’élement zzv de S . Le terme u3 est l’image 1,0 0 de l’élément de H (AF ; S,sc → S /Z(G) ) dont la composante en v est le couple formé du cocycle σ → ksc,v σ(ksc,v )−1 et de l’image de bv dans S /Z(G)0 . On envoie u1 , u2 et u3 dans Q et on fait le produit. On obtient l’image 1−θ naturelle d’un élément de H 1,0 (AF ; S,sc → (1 − θ)(S )) dont la composante en −1 v est (χv , (1 − θ)(zzv bv )), où χv est défini par ¯,sc (¯isc,v σ(¯isc,v )−1 )ksc,v σ(ksc,v )−1 ysc σ(ysc )−1 σ(xsc,v )x−1 χv (σ) = π sc,v . ¯ L’élément σ(xsc,v )x−1 sc,v appartient à S,sc,v (Fv ) et on ne change pas χv (σ) en le conjuguant par cet élément. On obtient χv (σ) = Xv (σ)ysc σ(ysc )−1 , où

¯,sc (¯isc,v σ(¯isc,v )−1 )ksc,v σ(ksc,v )−1 . Xv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v π

Parce que kv σ(kv )−1 ∈ Z(G), on a ksc,v σ(ksc,v )−1 ∈ Z(GSC ) et on peut récrire ¯,sc (¯isc,v )ksc,v σ(ksc,v )−1 σ(¯ π,sc (¯isc,v ))−1 Xv (σ) = σ(xsc,v )x−1 sc,v π −1 −1 = σ(xsc,v )x−1 σ(τv ), sc,v τv xsc,v σ(xsc,v ) −1 où τv = xsc,v ksc,v π ¯,sc (¯isc,v )−1 . Il résulte des définitions que π(τv ) = zv−1 bv ζv . Ce dernier terme appartient à Z(G; F¯v )Z(I ; F¯v ) ⊂ S,v (F¯v ). Donc τv ∈ S,sc,v (F¯v ). En particulier, il commute à xsc,v σ(xsc,v )−1 et on obtient simplement Xv (σ) = τv−1 σ(τv ). L’élément σ(τv ) commute aussi à χv (σ) et on obtient

χv (σ) = σ(τv )−1 χv (σ)σ(τv ) = σ(τv )−1 Xv (σ)ysc σ(ysc )−1 σ(τv ) = τv−1 ysc σ(ysc )−1 σ(τv ). Le couple (χv , (1 − θ)(zzv−1 bv )) est cohomologue au cocycle (χv , (1 − θ)(zzv−1 bv π(τv−1 ))),

où χv (σ) = ysc σ(ysc )−1 .

890

Chapitre VII. Descente globale

On calcule zv−1 bv π(τv−1 ) = ζv−1 . Or cet élément appartient à Z(I ) donc est annulé par 1 − θ. Notre cocycle est donc cohomologue au cocycle (χv , (1 − θ)(z)). Notons que χv prend ses valeurs dans Z(I,sc ) et que z ∈ Z(G). L’automorphisme adr¯−1 u est l’identité sur ces groupes. Notre cocycle se transporte donc en un cocycle défini 1−θ par les mêmes formules, à valeurs cette fois dans le complexe Ssc (F¯v ) → ((1 − θ)(S))(F¯v ). Il devient alors la composante en v d’un cocycle de ΓF dans le complexe 1−θ 1−θ Ssc (F¯ ) → ((1 − θ)(S))(F¯ ). Donc son image dans Q = H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) est nulle. Cela prouve que l’image de q∞ est contenue dans le noyau de q0 . Démontrons la réciproque. Considérons des éléments qj ∈ Qj , pour j = 1, 2, 3, tels que q0 (q1 , q2 , q3 ) = 0. On relève q1 en une cochaîne β˙ : ΓF → S¯sc (AF¯ ) telle que ∂ β˙ prend ses valeurs dans S¯sc (F¯ ). On a noté ∂ la différentielle. D’après le lemme 0 0 6.3, l’application G(AF ) → Hab (AF ; G)/ Im(Hab (F ; G)) = Q2 est surjective. On relève q2 en un élément g = (gv )v∈Val(F ) de G(AF ). On sait que l’application 0 naturelle K V → Hab (oV ; G ) = Q3 est surjective. On relève q3 en un élément  V V k = v∈V kv ∈ K . Pour unifier les notations, on pose kv = 1 pour v ∈ V . Fixons un ensemble fini V  de places de F contenant V et tel que, pour v ∈ V  , le tore S,v soit non ramifié et gv appartienne à Kv . Pour v ∈ V  , on 0 (Fv ; G), cf. 1.5(2). Puisque seule sait que Kv et S,v (ov ) ont même image dans Hab compte l’image de gv dans ce groupe, on peut supposer gv ∈ S,v (ov ) pour v ∈ V  .   Pour la même raison, on peut supposer kv ∈ S,v (onr v ) pour v ∈ V . Pour v ∈ V , on choisit des éléments gsc,v , ksc,v ∈ GSC (F¯v ) et av , bv ∈ Z(G; F¯v ) de sorte que gv = av π(gsc,v ), kv = bv π(ksc,v ). On suppose bv = 1 et ksc,v = 1 pour v ∈ V . Pour v ∈ V  , on pose gsc,v = 1, ksc,v = 1 et av = gv , bv = kv . Pour tout v, av et bv sont des éléments de S,v (F¯v ). Pour tout v et tout σ ∈ ΓFv , on pose γv (σ) = gsc,v σ(gsc,v )−1 et κv (σ) = ksc,v σ(ksc,v )−1 . Ce sont des cocycles à valeurs dans Z(GSC ; F¯v ) et ils sont triviaux si v ∈ V  . Le couple (γv , av ) est l’image 0 naturelle de gv dans H 1,0 (Fv ; S,sc,v → S,v )  Hab (Fv ; G). On note a˙ v l’image de av dans S(F¯v ) par l’isomorphisme adr¯−1 u . Alors (γv , a˙ v ) est l’image naturelle de 0 (Fv ; G). Avec des notations similaires, (κv , b˙ v ) gv dans H 1,0 (Fv ; Ssc → S)  Hab 0 (Fv ; G ). Nos est l’image naturelle de kv dans H 1,0 (Fv ; Ssc → S/Z(G)θ )  Hab cocycles s’étendent en des cocycles adéliques γ et κ et nos termes av , a˙ v etc. . . se regroupent en des termes adéliques a, a˙ etc. . . ˙ La condition q0 (q1 , q2 , q3 ) = 0 signifie que la cochaîne (¯ π,sc (β)κγ, (1 − 1−θ

θ)(b˙ a)), ˙ à valeurs dans le complexe Ssc (AF¯ ) → (1 − θ)(S(AF¯ )), est cohomo1−θ logue à une cochaîne à valeurs dans le complexe Ssc (F¯ ) → (1 − θ)(S(F¯ )). On −1 peut donc fixer x˙ ∈ Ssc (AF¯ ) de sorte que (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ ) ∈ (1 − θ)(S(F¯ )) et ˙ que, en posant δ(σ) = xσ( ˙ x) ˙ −1 π ¯,sc (β(σ))κ(σ)γ(σ), on ait (4) pour tout σ ∈ ΓF , δ(σ) ∈ Ssc (F¯ ). On peut écrire (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ −1 ) = (1 − θ)(z  π(x˙  )), avec z  ∈ Z(G; F¯ ) et ¯ x˙ ∈ Ssc (F ). On peut remplacer x˙ par x˙ x˙  . Cela ne perturbe pas la relation (4). 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

891

Mais la relation précédente devient (1 − θ)(b˙ aπ( ˙ x) ˙ −1 ) = (1 − θ)(z  ),

avec z  ∈ Z(G; F¯ ).

˙ prend ses valeurs dans S θ . ¯,sc (β) Parce que β˙ prend ses valeurs dans S¯sc , π sc ˙ De plus, les couples (γ, (1 − θ)(a)) ˙ et (κ, (1 − θ)(b)) sont des cocycles. Cela permet de calculer (5) (1 − θ) ◦ π(δ(σ)) = (1 − θ)(σ(z  )(z  )−1 ) pour tout σ ∈ ΓF . θ ¯ (F )Z(GSC ; F¯ ). A fortiori (1−θ)◦π(δ(σ)) ∈ Z(G; F¯ ). Cela entraîne δ(σ) ∈ Ssc Rappellons que l’on note I,sc l’image réciproque dans GSC de l’image de I dans θ ¯ (F )Z(GSC ; F¯ ) est le produit de Z(I,sc ; F¯ ) et de π ¯,sc (S¯sc (F¯ )). GAD . Le groupe Ssc 1 ˙ ¯ Seule compte pour nous l’image de β dans H (AF /F ; Ssc ). On peut modifier β˙ par une cochaîne à valeurs dans S¯sc (F¯ ). Par une telle modification, on peut donc supposer (6) δ(σ) ∈ Z(I,sc ; F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . ˙ Transportons par adu−1 ¯ la cochaîne β en une cochaîne β à valeurs dans  r ¯ S,sc (AF¯ ). Transportons de même x˙ en un élément x ∈ S,sc (AF¯ ). Puisque l’isomorphisme adu−1 ¯ est équivariant pour les actions galoisiennes et est l’identité  r sur Z(I,sc ), nos relations se conservent. C’est-à-dire que l’on a ¯,sc (β(σ))κ(σ)γ(σ) pour tout σ ∈ ΓF ; (7) δ(σ) = xσ(x)−1 π (8) (1 − θ)(baπ(x)−1 ) = (1 − θ)(z  ). ¯,sc (∂β). D’après (6), ∂δ prend ses valeurs dans Z(I,sc ; F¯ ). Mais ∂δ = π ¯ ,SC ; F¯ ). Alors β se pousse en un cocycle à Donc ∂β prend ses valeurs dans Z(G ¯ ,SC (AF¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ ). Parce que G ¯ ,SC est simplement connexe, valeurs dans G le théorème 2.2 de [46] dit que l’application ¯ ,SC (F¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ )) → H 1 (ΓF ; G ¯ ,SC (AF¯ )/Z(G ¯ ,SC ; F¯ )) H 1 (ΓF ; G ¯ ,SC (AF¯ ) tel que, en posant α est surjective. On peut donc fixer m ¯ ∈ G ¯ (σ) = −1 ¯ ,SC (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . Posons m = π σ(m) ¯ −1 , on ait α(σ) ¯ ∈G ¯,sc (m) ¯ mβ(σ) ¯ et α(σ) = π ¯,sc (¯ α(σ)). En utilisant (7), on obtient α(σ) = mδ(σ)−1 xσ(x)−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)−1 . Mais δ(σ) ∈ Z(I,sc ) commute à m et à α(σ). D’où (9)

α(σ)δ(σ) = mxσ(x)−1 κ(σ)γ(σ)σ(m)−1 .

La cochaîne αδ prend ses valeurs dans GSC (F¯ ). C’est un cocycle car le terme de droite ci-dessus en est un. Montrons que (10) ce cocycle est localement trivial. On peut fixer une extension finie E de F telle que tous nos éléments et toutes nos cochaînes prennent leurs valeurs dans AE . Soit v ∈ Val(F ). Comme

892

Chapitre VII. Descente globale

d’habitude, on note v¯ le prolongement fixé de v à F¯ et w sa restriction à E. Les termes x et m ont des composantes locales xw et mw . Pour simplifier, on les note xv et mv . Ces notations seront utilisées dans la suite de la preuve. Pour σ ∈ ΓFv , on a γv (σ) = gsc,v σ(gsc,v )−1 et κv (σ) = ksc,v σ(ksc,v )−1 , ces deux éléments appartenant à Z(GSC ) et valant 1 si v ∈ V  . On en déduit que la composante dans Ew de α(σ)δ(σ) est égale à mv xv ksc,v gsc,v σ(mv xv ksc,v gsc,v )−1 . Ce cocycle est un cobord, d’où l’assertion (10). Parce que GSC est simplement connexe, l’application H 1 (F ; GSC ) → H 1 (AF ; GSC ) est injective ([51] théorème 1.6.9). Il en résulte que l’image de αδ dans H 1 (F ; GSC ) est triviale. On peut donc fixer Ysc ∈ GSC tel que α(σ)δ(σ) = Ysc σ(Ysc )−1 pour tout σ ∈ ΓF . Le calcul de locale trivialité que l’on vient de faire implique que, pour toute place v, il existe hsc,v ∈ GSC (Fv ) tel que (11)

Ysc = mv xv ksc,v gsc,v hsc,v .

Posons Y = z  π(Ysc ). Montrons que (12) Y appartient à Y [dV ]. Pour σ ∈ ΓF , on a Y σ(Y )−1 = π(α(σ)δ(σ))z  σ(z  )−1 . On a π(α(σ)) ∈ ¯ ¯ G (F ) ⊂ I (F¯ ). On a δ(σ) ∈ Z(I,sc ; F¯ ) donc π(δ(σ)) ∈ Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ ) et aussi π(δ(σ))z  σ(z  )−1 ∈ Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ ). La relation (5) entraîne que cet élément est invariant par θ. Donc il appartient à Z(I ; F¯ )Z(G; F¯ )θ qui est inclus dans Z(I ; F¯ ). Donc Y σ(Y )−1 ∈ I (F¯ ). Cela prouve que Y ∈ Y . Soit v ∈ Val(F ). La relation (8) entraîne qu’il existe ξv ∈ S,v (F¯v )θ tel que (13) z  = ξv π(xv )−1 bv av . Utilisons (11). Puisque z  est central, on a Y = π(Ysc )z  = π(mv xv )z  π(ksc,v gsc,v hsc,v ) = π(mv )ξv bv av π(ksc,v gsc,v hsc,v ). Par construction, on a av ∈ Z(G; F¯v ) si v ∈ V  et ksc,v = 1 si v ∈ V  . En tout cas, av et ksc,v commutent. L’égalité précédente se récrit (14)

Y = π(mv )ξv bv π(ksc,v )av π(gsc,v )π(hsc,v ) = π(mv )ξv kv gv π(hsc,v ).

Cette égalité décompose Y en le produit d’un élément de I (F¯v ), à savoir π(mv )ξv , d’un élément kv qui est égal à 1 si v ∈ V et qui appartient à K v si v ∈ V , et d’un élément de G(Fv ), à savoir gv π(hsc,v ). C’est exactement la condition pour que Y appartienne à Y [dV ]. Cela prouve (12). Fixons j ∈ I(F¯ ) et g  ∈ G(F ) tels que l’élément y = jY g  appartienne à notre ensemble de représentants Y˙  [dV ]. Pour σ ∈ ΓF , posons u(σ) = yσ(y)−1 . Alors u est un cocycle de ΓF dans Z(I ) qui appartient à U (lemme 7.5). Pour achever la preuve du lemme, il suffit de prouver que l’image de (q1 , q2 , q3 ) dans Q∞ est égale

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

893

à q∞ (u). Reprenons la construction de q∞ (u) de 7.6. On dispose déjà de l’élément y ∈ G(F¯ ) tel que u(σ) = yσ(y)−1 pour tout σ ∈ ΓF . On doit fixer pour toute place v des éléments iv ∈ I(F¯v ) et kv avec kv = 1 si v ∈ V et kv ∈ K ,v si v ∈ V , de sorte que u(σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . L’égalité (14) montre que l’on peut choisir iv = jπ(mv )ξv et kv = kv . Ces éléments vérifient la relation 7.6(1)  pour presque tout v. C’est clair pour kv puisque kv ∈ S,v (onr v ) pour v ∈ V . −1 Grâce à (13), on a iv = jz  π(mv xv )b−1 a . Les termes b et a appartiennent à v v v v Kvnr pour v ∈ V  . Les termes j et z  sont définis sur F¯ , donc appartiennent à Kvnr pour presque tout v. Les termes mv et xv sont les composantes en w de termes adéliques donc vérifient la même condition. On peut donc utiliser ces termes iv et kv dans la construction de 7.6. L’élément u3 construit dans ce paragraphe est trivialement égal à q3 . Avant de calculer u1 , on a besoin d’un résultat préliminaire. On fixe une ¯ ,SC (F¯ ) et ζj ∈ Z(I ; F¯ ). Introduisons le décomposition j = π ¯ (jsc )ζj avec jsc ∈ G ¯ ¯ −1 σ(jsc m). ¯ cocycle ψ : ΓF → G,SC (AF¯ ) défini par ψ(σ) = (jsc m) Montrons que ¯ ,SC ; F¯ ) pour tout (15) ψ prend ses valeurs dans S¯,sc (AF¯ ) ; on a ψ(σ)β(σ) ∈ Z(G σ ∈ ΓF . On a vu dans la preuve de (12) que Y σ(Y )−1 ∈ π(α(σ))Z(I ; F¯ ). On a aussi jY σ(jY )−1 = yσ(y)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) par définition de y. Il en résulte que ¯ ,SC ; F¯ ). En remplajπ(α(σ))σ(j)−1 ∈ Z(I ; F¯ ) puis que jsc α ¯ (σ)σ(jsc )−1 ∈ Z(G −1 σ(m) ¯ −1 et par inversion, on obtient çant α ¯ (σ) par sa valeur mβ(σ) ¯ ¯ ,SC ; F¯ ). ¯ ¯ −1 ∈ Z(G σ(jsc m)β(σ)(j sc m) On peut aussi bien conjuguer cette relation par (jsc m) ¯ −1 et on obtient la seconde assertion de (15). La première en résulte immédiatement. L’élément u1 est l’image dans Q1 d’un cocycle adélique. Calculons sa com¯ ,AD . Elle appartient à posante en une place v. On note iv,ad l’image de iv dans G ¯ G,AD (Fv ). Alors u1,v est l’image de iv,ad par l’application ¯ ,AD (Fv ) → H 1 (ΓFv ; Z(G ¯ ,SC )) → H 1 (Fv ; S¯sc ). G On fixe une décomposition ξv = π ¯ (ξsc,v )ζv avec ξsc,v ∈ S¯,sc,v (F¯v ) et ζv ∈ Z(I ; F¯v ). On a alors l’égalité iv = π ¯ (jsc m ¯ w ξsc,v )ζj ζv . Pour σ ∈ Γv¯ , on a u1,v (σ) = jsc m ¯ w ξsc,v σ(jsc m ¯ w ξsc,v )−1 . ¯ ,SC ; F¯v ) On peut aussi bien conjuguer le terme ciCe terme appartient à Z(G −1 dessus par σ(ξsc,v )m ¯ −1 j w sc et on obtient u1,v (σ) = ξsc,v σ(jsc m ¯ w )−1 jsc m ¯ w σ(ξsc,v )−1 , autrement dit

u1,v (σ) = ξsc,v ψv (σ)−1 σ(ξsc,v )−1 .

894

Chapitre VII. Descente globale

Tous les termes appartiennent à S,sc,v (F¯v ) et leur produit appartient à ¯ ,SC ; F¯v ). On peut aussi bien conjuguer chaque terme par r¯−1 u . D’où Z(G  u1,v (σ) = ξ˙sc,v ψ˙ v (σ)−1 σ(ξ˙sc,v )−1 , où ξ˙sc,v et ψ˙ v (σ) sont les images de ξsc,v et ψv (σ) dans S¯sc (F¯v ). Cela montre que les cocycles u1,v et ψ˙ v−1 sont cohomologues. Il en résulte que l’image de u1 dans Q1 est la même que celle du cocycle ψ˙ −1 . En conjuguant la propriété (14) par r¯−1 u , ¯ ,SC ; F¯ ). Leurs on voit que ψ˙ −1 et β˙ diffèrent par une cochaîne à valeurs dans Z(G 1 ¯ images dans Q1 = H (AF /F ; Ssc ) sont donc égales. Puisque l’image de β˙ est q1 , cela démontre que u1 = q1 . Pour calculer u2 , on doit fixer une décomposition y = π(ysc )z avec ysc ∈ GSC (F¯ ) et z ∈ Z(G; F¯ ). Pour tout v, on fixe une décomposition iv kv = π(xsc,v )zv avec xsc,v ∈ GSC (F¯v ) et zv ∈ Z(G; F¯v ). Alors u2 est l’image du cocycle adélique à valeurs dans le complexe Ssc → S dont la composante en v est la suivante. −1 et le second est zzv−1 . NoLe premier terme est σ → σ(xsc,v )x−1 sc,v ysc σ(ysc ) tons que le premier terme est à valeurs centrales, il est égal à son conjugué σ → −1    x−1 sc,v ysc σ(xsc,v ysc ). Or y = jY g = jπ(mv )ξv kv gv π(hsc,v )g = iv kv gv π(hsc,v )g . Il  −1 −1 en résulte que gv π(hsc,v )g = π(xsc,v ysc )zzv . Donc le terme u2 apparaît comme l’image naturelle dans Q2 de l’élément gπ(hsc )g  ∈ G(AF ). L’élément π(hsc ) s’en0 0 voie sur 1 dans Hab (AF ; G). L’élément g  s’envoie sur un élément de Hab (F ; G), qui devient trivial dans Q2 . Donc u2 est l’image naturelle de g, c’est-à-dire q2 . Cela achève la démonstration. 

VII.7.8 Un caractère de Q∞ Dans ce paragraphe, on suppose (1) ω et ωH coïncident sur I (AF ). ˆ¯ ΓF est aussi un ¯ l’élément s¯ ∈ Z(H) Puisque S¯sc  SH¯ est un sous-tore de H, ¯ΓF . On a un produit sur élément de Sˆ ad ΓF . H 1 (AF /F ; S¯sc ) × Sˆ¯ad

Donc s¯ définit un caractère du premier groupe, lequel n’est autre que Q1 . On le note ˆ ˆ en un cocycle encore ker1 (WF ; Z(G)) ω1 . Relevons l’élément a ∈ H 1 (WF ; Z(G))/ ˆ noté a à valeurs dans Z(G). Il se pousse en un élément de H 1,0 (WF ; Sˆ → Sˆad ), qui, par les dualités usuelles, définit un caractère de H 1,0 (AF /F ; Ssc → S). Via le plongement de Q2 dans ce groupe, on récupère un caractère ω2 de Q2 . On vérifie que le composé de ω2 avec l’application naturelle G(AF ) → Q2 n’est autre que ω. Puisque qu’on a déjà dit que cette application etait surjective, cela fournit une autre définition de ω2 . On note ω3 le caractère trivial de Q3 . Notons ω× le caractère de Q× dont la composante sur Qj est ωj pour tout j = 1, 2, 3.

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

895

Montrons que (2) pour 1 ≤ j < j  ≤ 3, ω× est trivial sur l’image de qj,j  . Preuve. Pour j = 2 et j  = 3, cela résulte de la non-ramification de ω hors de V , qui implique que ω est trivial sur Kv pour v ∈ V . Pour j = 1, cela va résulter de la propriété 0 ¯ ,AD ) → Q1 est le ca(AF ; G (3) le composé de ω1 et de l’homomorphisme Hab ractère ωH , que l’on prouvera ci-dessous. L’homomorphisme Q1,2 → Q1 se factorisant par 0 ¯ ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1 un homomorphisme naturel Q1,2 → Hab (AF ; G  et j = 2 résulte, grâce à (3), de l’hypothèse que ω coïncide sur I (AF ) avec le caractère de ce groupe déduit de ωH . L’homomorphisme Q1,3 → Q1 se factorisant 0 ¯ ,AD ), l’assertion (2) pour j = 1 par un homomorphisme naturel Q1,3 → Hab (AF ; G  et j = 3 résulte, grâce à (3), de la non-ramification de ωH hors de V qui implique que ωH est trivial sur K,ad,v pour v ∈ V . Cela prouve (2).  Preuve de (3). On reprend la construction de ωH donnée en [I] 2.7. Elle se simplifie puisqu’il n’y a pas ici de torsion. On fixe un relèvement s¯sc ∈ Tˆ¯sc de s¯ ∈ Tˆ¯ad . ˆ¯ soit ˆ tel que l’action galoisienne sur H Pour tout w ∈ WF , on fixe (¯ g (w), w) ∈ H ˆ¯ ¯(w). On définit w → wH¯ = adg¯w ◦wG¯ . On fixe un relèvement g¯sc (w) ∈ G SC de g ˆ¯ ) −1 −1 ssc ) g¯sc (w) . Il est à valeurs dans Z(G le cocycle asc (w) = s¯sc g¯sc (w)wG¯ (¯ SC ¯ et ωH¯ est le caractère de GAD (AF ) associé à ce cocycle. Remarquons que l’on a ssc )−1 . On peut identifier Sˆ¯sc au tore Tˆ¯sc muni d’une action aussi asc (w) = s¯sc wH¯ (¯ galoisienne σ → σS . Celle-ci est de la forme σS = ωS,H¯ (σ) ◦ σH¯ , où ωS,H¯ est ¯ un cocycle à valeurs dans W H . Un élément ωS,H¯ (σ) se représente comme l’action ˆ¯ . Il en résulte que adjointe d’un élément du centralisateur de s¯sc dans G SC ssc ) = ωS,H¯ (w)(wH¯ (¯ ssc )) = ωS,H¯ (w)(asc (w)−1 s¯sc ) = asc (w)−1 s¯sc . wS (¯ Donc asc (w) = s¯sc wS (¯ ssc )−1 . Ce cocycle est l’image naturelle de l’élément de ¯sc → Sˆ ¯ad ) dont la première composante est asc et la seconde est triviale. H 1,0 (WF ; Sˆ Mais ce cocycle est cohomologue à celui dont la première composante est triviale et la seconde est s¯. Celui-ci définit le caractère ω1 de Q1 . L’assertion (3) résulte de cela par dualité.  Grâce à (2), le caractère ω× de Q× se quotiente en un caractère noté ω∞ de Q∞ . Lemme. Si ω∞ n’est pas trivial sur l’image de l’homomorphisme q∞ , alors ϕ[V ¯  , dV ] = 0. Preuve. La fonction ϕ[V ¯  , dV ] est définie par la formule 7.1(3). Conformément aux bijections de 7.3, on la récrit en remplaçant l’ensemble de sommation D˙ F [dV ] et ses éléments d par Y˙  [dV ] et ses éléments y. L’hypothèse (1) posée ci-dessus

896

Chapitre VII. Descente globale

permet de simplifier la formule 7.1(3). La preuve du lemme 7.4 montre en effet que, sous cette hypothèse (1), on a l’égalité ω(uh[y])f¯[y, u] = ω(h[y])f¯[y, 1] pour tout y ∈ Y˙  [dV ] et tout u ∈ U[V  , y]. Posons simplement f¯[y] = f¯[y, 1]. On a donc  ω(h[y])f¯[y]. (4) ϕ[V ¯  , dV ] = y∈Y˙  [dV ]

Soit y ∈ Y˙  [dV ], notons uy : ΓF → Z(I ; F¯ ) le cocycle défini par uy (σ) = yσ(y)−1 . On note encore uy son image dans H 1 (F ; I ). C’est un élément de U (lemme 7.5). On va prouver (5)

ω(h[y])f¯[y] = ω∞ ◦ q∞ (uy )−1 ω(h )f¯ ,

où on rappelle que h = h[1] et f¯ = f¯[1]. En admettant ce résultat, et en utilisant le lemme 7.5, la formule (4) se récrit  ω∞ ◦ q∞ (u)−1 . ϕ[V ¯  , dV ] = ω(h )f¯ u∈U



Le lemme en résulte.

¯ V) Il s’agit donc de prouver (5). On considère y comme ci-dessus. Soit x ∈ H(F un élément en position générale et proche de 1. Par définition,  ¯ ΔV [y](x, x)I Gη[y],SC (x, f [y]sc ). S H (x, f¯[y]) = x

Ici, x parcourt, modulo conjugaison par Gη[y],SC (FV ), l’ensemble des éléments de ce groupe qui correspondent à x. Le facteur ΔV [y] est le facteur de transfert canonique associé aux choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux Ksc,v [y] de Gη[y],SC (Fv ) pour v ∈ V . On rappelle que Ksc,v [y] est l’image réciproque de Kv [y] = adhv [y] (Kv ) ∩ Gη[y] (Fv ). Enfin, on a rappelé dans la preuve du lemme 7.4 la construction de la fonction f [y]sc . D’après 7.3(1), ady est un isomorphisme ¯  = Gη . Il se relève en un tel isomorphisme de défini sur F de Gη[y] sur G ¯ ,SC que l’on note encore ady . Cet isomorphisme envoie l’ensemble Gη[y],SC sur G des éléments de Gη[y],SC (FV ) qui correspondent à x sur l’ensemble des éléments ¯ ,SC (FV ) qui correspondent à x. Notons X (x) ce dernier ensemble. Introde G ¯ V)×G ¯ ,SC (FV ) associé aux sousduisons le facteur de transfert ΔV [y] sur H(F ¯ ,SC (Fv ) pour v ∈ V . On a groupes compacts hyperspéciaux ady (Ksc,v [y]) de G ¯ V )×G ¯ ,SC (FV ). Par ΔV [y](x , x ) = ΔV [y](x , ady−1 (x )) pour tout (x , x ) ∈ H(F simple transport de structure, on obtient  ¯ ¯ (6) S H (x, f¯[y]) = ΔV [y](x, x)I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ). x∈X (x)

Pour toute place v, on fixe des éléments iv et kv associés à uy comme en 7.6. En particulier, on a uy (σ) = iv kv σ(iv kv )−1 pour tout σ ∈ ΓFv . Cela implique qu’il

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

897

existe un unique gv ∈ G(Fv ) tel que y = iv kv gv . Pour v ∈ V , les éléments hv [y] et ˜ v et adh [y]−1 (η[y]) ∈ K ˜v. (η ) ∈ K h,v = hv [1] de G(Fv ) ont été fixés tels que adh−1 v ,v On a ˜ v ⇐⇒ adh [y]−1 y−1 (η ) ∈ K ˜v adhv [y]−1 (η[y]) ∈ K v ˜ ⇐⇒ ad −1 −1 −1 −1 (η ) ∈ Kv . hv [y]

gv kv iv

Puisque adi−1 (η ) = η , ces relations sont encore équivalentes à v ˜v. adhv [y]−1 gv−1 kv−1 (η ) ∈ K Posons gv = adkv (gv hv [y]). On sait que gv ∈ G(Fv ). La relation précédente équi˜ v , ou encore adg −1 (η ) ∈ K ˜ v puisque adkv conserve cet vaut à adkv−1 g −1 (η ) ∈ K v v ensemble. On a encore l’équivalence ˜ v ⇐⇒ adg −1 h (ad −1 (η )) ∈ K ˜v. adgv −1 (η ) ∈ K ,v h,v v Ainsi qu’on l’a déjà fait plusieurs fois, on peut appliquer à adh−1 (η ) le lemme ,v −1  5.6(ii) de [79]. Il implique h,v gv ∈ Gad −1 (η ) (Fv )Kv . On peut donc fixer mv ∈ h,v ¯  (Fv ) et k  ∈ Kv de sorte que h−1 g  = ad −1 (mv )k  . G v

,v v

h,v

v

Cela équivaut à kv gv hv [y] = mv h,v kv kv . Le groupe ady (Ksc,v [y]) est l’image ¯  (Fv ). On a ¯ ,SC (Fv ) de adyh [y] (Kv ) ∩ G réciproque dans G v adyhv [y] (Kv ) = adiv kv gv hv [y] (Kv ) = adiv mv h,v kv kv (Kv ) = adiv mv h,v (Kv ), ¯  (Fv ) et K,sc,v son puisque adkv kv conserve Kv . Notons K,v = adh,v (Kv ) ∩ G ¯ ,SC (Fv ). On obtient l’égalité adyh [y] (Kv ) ∩ G ¯  (Fv ) = image réciproque dans G v ¯  se relève en un automorphisme de adiv mv (K,v ). L’automorphisme adiv mv de G ¯ ,SC noté de la même façon. D’où l’égalité G (7)

ady (Ksc,v [y]) = adiv mv (K,sc,v ).

¯ V)× On note Δ,V = ΔV [1]. Rappelons que c’est le facteur de transfert sur H(F ¯ G,SC (FV ) associé aux choix de compacts K,sc,v pour v ∈ V . A l’aide de la formule (7), le même calcul que dans la preuve du lemme 7.4 conduit à l’égalité  ωH¯ (iv,ad mv,ad )−1 , ΔV [y] = Δ,V v∈V

¯ F,AD (Fv ). Soit v ∈ V . D’après où iv,ad et mv,ad sont les images de iv et mv dans G l’hypothèse (1), on a ωH¯ (mv,ad ) = ω(mv ). Par définition, on a mv = adkv (gv hv [y])(kv )−1 h−1 ,v . Le caractère ω est non ramifié en v, donc trivial sur Kv . On a déjà remarqué qu’il était invariant par conjugaison par un élément de G (Fv ). Il en résulte que

898

Chapitre VII. Descente globale

ω(mv ) = ω(gv hv [y]h−1 ,v ). On rappelle que h[y] = (hv [y])v∈V et que de même h = (h,v )v∈V . La formule plus haut se récrit ΔV [y] = ω(h )ω(h[y])−1 Δ,V



ωH¯ (iv,ad )−1 ω(gv )−1 .

v∈V

La formule (6) se récrit S (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ¯ H



(8)



−1

ωH¯ (iv,ad )

−1



ω(gv )

v∈V ¯

Δ,V (x, x)I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ).

x∈X (x)

La fonction f [y]sc ◦ady−1 est l’image par ιG¯ ,SC ,G¯  de f [y]◦ady−1 . Pour un élément ¯  (FV ) en position générale et proche de 1, on a x∈G ¯

I G (x, ω, f [y] ◦ ady−1 ) = I Gη[y] (ady−1 (x), ω, f [y]) ˜

= I G (ady−1 (x)η[y], ω, f ) ˜

= I G (ady−1 (xη ), ω, f ). ˜ V ). On rappelle que kv = 1 pour Le terme ady−1 (xη ) est un élément de G(F v ∈ V . On a donc précisément ady−1 (xη ) = adg−1 i−1 (xη ) où, par exemple, V V gV = (gv )v∈V . On a I G (adg−1 i−1 (xη ), ω, f ) = ω(gV )−1 I G (adi−1 (xη ), ω, f ) ˜

˜

V

V

V

= ω(gV )−1 I G (adi−1 (x)η , ω, f ) ˜

V

= ω(gV−1 )I G (adi−1 (x), ω, f ), ¯

V

˜ ¯ où on rappelle que f = descG η (f ). L’automorphisme adiV de G est défini sur FV ¯  (FV ), lequel est égal à ω. Il en résulte que et conserve le caractère ωH¯ de G ¯

¯

I G (adi−1 (x), ω, f ) = I G (x, ω, f ◦ adi−1 ). V

V

En rassemblant ces calculs, on obtient l’égalité f [y] ◦ ady−1 = ω(gV−1 )f ◦ adi−1 . V

D’où aussi f [y]sc ◦ ady−1 = ω(gV−1 )f,sc ◦ adi−1 où iV,ad est l’image de iV dans V,ad ¯ ,AD (FV ). Pour x ∈ X (x), on a G I G,SC (x, f [y]sc ◦ ady−1 ) = ω(gV−1 )I G,SC (x, f,sc ◦ adi−1 ) ¯

¯

V,ad

= ω(gV−1 )I G,SC (adi−1 (x), f,sc ). ¯

V,ad

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

899

L’automorphisme adiV,ad conserve X (x). Par changement de variables, l’égalité (8) se récrit S H (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1   ¯ Δ,V (x, adiV,ad (x))I G,SC (x, f,sc ) ωH¯ (iv,ad )−1 , ¯

v∈V

x∈X (x)

où g = (gv )v∈Val(F ) . Mais on a l’égalité Δ,V (x, adiV,ad (x)) = ωH¯ (i−1 V,ad )Δ,V (x, x), cf. [I] 2.7. D’où  ¯ ¯ S H (x, f¯[y]) = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1 ωH¯ (iad )−1 Δ,V (x, x)I G,SC (x, f,sc ), x∈X (x) ¯ où i = (iv )v∈Val(F ) . La somme du membre de droite n’est autre que S H (x, f¯ ). D’où l’égalité f¯[y] = ω(h )ω(h[y])−1 ω(g)−1 ωH¯ (iad )−1 f¯ .

En reprenant les définitions, on voit que ω(g)ωH¯ (iad ) = ω∞ ◦ q∞ (uy ). L’égalité (5) s’en déduit, ce qui achève la démonstration. 

VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 On suppose DF [dV ] non vide car sinon la proposition 7.1 est triviale, ainsi qu’on l’a dit en 7.3. On utilise les constructions de 7.3. On suppose que l’ensemble de ¯  , dV ] = 0. D’après places V  satisfait les conditions 7.1(2) et 7.4(2). Supposons ϕ[V le lemme 7.4, ω et ωH¯ coïncident sur I (AF ), c’est-à-dire que l’hypothèse (1) de 7.8 est vérifiée. Le lemme de ce paragraphe implique que ω∞ est trivial sur l’image de q∞ . Puisque cette image est le noyau de q0 , cf. lemme 7.7, ω∞ se quotiente en un caractère de l’image de q0 . Cette image est le groupe Q0 de 6.6. C’est un sousgroupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q, cf. lemme 6.6. On vérifie aisément que le caractère ainsi défini de Q0 est continu. Il se prolonge donc en un caractère ωQ de Q. D’après 6.5(1), ce caractère s’identifie à un élément p ∈ P . Par construction, on a – le composé de ωQ et de l’homomorphisme q1 : Q1 → Q est le caractère de ΓF ; Q1 associé à l’élément s¯ ∈ Sˆ¯ad q2

– le composé de ωQ et de l’homomorphisme Gab (AF ) → Q2 → Q est le caractère ω ; – le composé de ωQ et de l’homomorphisme q3 : Q3 → Q est trivial. Les mêmes calculs qu’en 6.5 montrent que ces propriétés sont respectivement équivalentes à – p1 (p) = s¯ ; – p2 (p) = a ; – pour tout v ∈ V , resIv (p) appartient à l’image de ϕv .

900

Chapitre VII. Descente globale

Autrement dit, p ∈ P (H). Donc cet ensemble n’est pas vide. Alors J (H) ne l’est pas non plus d’après la proposition 6.4. Cela prouve la proposition 7.1. 

VII.7.10 Calcul d’une constante On a fixé une fois pour toutes une mesure sur AG˜ . En 5.8, on a défini le réseau AG,Z = Hom(X ∗ (G)ΓF ,θ , Z) ⊂ AG˜ et on a noté covol(AG,Z ˜ ˜ ) le volume du quo. La donnée X est elliptique, cf. 5.1(2). Pour tout d ∈ DF [dV ], tient AG˜ /AG,Z ˜ l’élément η[d] est donc elliptique (cf. fin de 1.2). Il en résulte que AGη[d] = AG˜ . On définit dans cet espace le réseau AGη[d] ,Z = Hom(X ∗ (Gη[d] )ΓF , Z) et on note covol(AGη[d] ,Z ) le volume du quotient AG˜ /AGη[d] ,Z . Proposition. Supposons DF [dV ] non vide. Alors, pour tout d ∈ DF [dV ], on a l’égalité ˜ −1 τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 |P 0 ||D˙ F [dV ]|−1 = C(G) [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )] covol(AGη[d] ,Z )−1 . ˜ La preuve occupe les paragraphes On renvoie à 5.8 pour la définition de C(G). 7.11 à 7.15.

VII.7.11 Calcul de |P 0 | Labesse définit des groupes de cohomologie abélienne de I \G, cf. [52] 3.3. Considérons comme en 7.3 un sous-tore maximal T¯ de I défini sur F , notons T son ¯ ,SC commutant dans G et introduisons les images réciproques T¯,sc de T¯ dans G et T,sc de T dans GSC . On a un complexe de tores T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T . ¯ ,SC → G, π ¯ ,SC → GSC et π : GSC → G les homomor¯,sc : G En notant π ¯ : G phismes naturels, les flèches sont π,sc (x)) x → (¯ π (x), −¯ pour la première et (y, z) → ((1 − θ)(y), y + π(z)) pour la seconde. On pose 0 (F ; I \G) = H 2,1,0 (F ; T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T ). Hab 0 0 0 On définit de même Hab (AF ; I \G), Hab (AF /F ; I \G) et Hab (Fv ; I \G) pour v ∈ Val(F ). Pour v ∈ V , on peut choisir T non ramifié en v et on pose 0 Hab (ov ; I \G) = H 2,1,0 (ov ; T¯,sc → T × T,sc → (1 − θ)(T ) × T ).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

901

 0 0 On pose aussi Hab (oV ; I \G) = v∈V Hab (ov ; I \G). Des notations analogues seront utilisées dans la suite. Ces définitions ne dépendent pas du choix de T¯ , à isomorphismes canoniques près. Les isomorphismes T × T,sc (y, z) et

→ T × T,sc → (y + π(z), −z)

(1 − θ)(T ) × T (y  , z  )

→ T × (1 − θ)(T ) → (z  , y  − (1 − θ)(z  ))

fournissent un isomorphisme entre le complexe (1) et la somme des deux complexes π ¯ ,sc 1−θ T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )

(2) id

et T → T . Puisque le deuxième complexe est cohomologiquement trivial, la cohomologie de I \G peut se définir à l’aide du complexe (2). Comme en 6.2, on voit que l’on peut remplacer le complexe (2) par π ¯ ,sc 1−θ S¯sc → Ssc → (1 − θ)(S).

(3)

En effet, les deux complexes sont quasi-isomorphes au complexe π ¯ ,sc

1−θ

¯ ,SC ) → Z(I,sc ) → (1 − θ)(Z(G)). Z(G On a une suite exacte 0 0 1 1 (F ; G) → Hab (F ; I \G) → Hab (F ; I ) → Hab (F ; G). Hab

Labesse définit E(I , G; F ) comme le conoyau de la première flèche, ou encore le noyau de la troisième. Cf. [52] 3.3. On définit de même E(I , G; AF ), E(I , G; Fv ) pour v ∈ Val(F ) et E(I , G; ov ) pour v ∈ V . Attention. Labesse définit par contre E(I , G; AF /F ) comme le conoyau de l’homomorphisme composé 0 0 0 Hab (AF ; G) → Hab (AF /F, G) → Hab (AF /F ; I \G).

On a un diagramme commutatif 0 (oV ; G) Hab ↓ 0 (AF ; G) Hab ↓ 0 (AF ; G) Hab



0 Hab (oV ; I \G) → ↓ 0 → Hab (AF ; I \G) → ↓ 0 → Hab (AF /F ; I \G) →

E(I , G; oV ) → ↓ E(I , G; AF ) → ↓ E(I , G; AF /F ) →

dont les suites horizontales sont exactes. Notons eV : E(I , G; oV ) → E(I , G; AF /F ) le composé des deux dernières flèches verticales.

1 1 1

902

Chapitre VII. Descente globale

Lemme. On a l’égalité |P 0 | = |E(I , G; AF /F )/ Im(eV )|. Preuve. Comme on l’a dit ci-dessus, on peut utiliser le complexe (3) pour calculer la cohomologie abélienne de I \G. Il s’en déduit une suite exacte de cohomologie 1−θ

H 1 (AF /F ; S¯sc ) → H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) ι

0 → Hab (AF /F ; I \G) → H 2 (AF /F ; S¯sc ).

¯ et que H est une On se rappelle que S¯sc  S¯H¯ est un sous-tore elliptique de H ¯ ¯ donnée endoscopique elliptique de G,SC . Il en résulte que Ssc est elliptique, donc H 2 (AF /F ; S¯sc ) = 0 d’après les isomorphismes de Tate–Nakayama ([45] 3.4.2.1). Avec les notations des paragraphes précédents, la suite exacte ci-dessus se récrit q1

ι

0 (AF /F ; I \G) → 0 . Q1 → Q → Hab

On voit facilement que l’homomorphisme naturel 0 0 (AF ; G) → Hab (AF /F ; I \G) Hab

(4)

est le composé de l’homomorphisme naturel du groupe de départ dans Q2 et de ι ◦ q2 . Notons Q le quotient de Q par le sous-groupe engendré par q1 (Q1 ) et q2 (Q2 ). On obtient que ι se quotiente en un isomorphisme entre Q et le conoyau de (4), c’est-à-dire E(I , G; AF /F ). Montrons que (5) cet isomorphisme envoie l’image dans Q de q3 (Q3 ) sur Im(eV ). Du diagramme

S¯sc

π ¯ ,sc



Ssc 



Ssc

1−θ



S/Z(G)θ ↓1−θ (1 − θ)(S)

de complexes de tores se déduit un homomorphisme 0 0 Hab (AF ; G ) → Hab (AF ; I \G).

Il se restreint en un homomorphisme (6)

0 0 (oV ; G ) → Hab (oV ; I \G). Hab

On obtient un diagramme 0 (oV ; G ) Hab ↓ 0 (AF ; G ) Hab ↓ 1−θ

H 1,0 (AF ; Ssc → (1 − θ)(S)) ↓ 1−θ

H 1,0 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) ↓ Q

→ → →

0 Hab (oV ; I \G) ↓ 0 Hab (AF ; I \G) ↓ 0 Hab (AF ; I \G) ↓

0 → Hab (AF /F ; I \G) ↓ ι → E(I , G; AF /F ) .

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

903

Il est clair que ce diagramme est commutatif. Par définition, l’image de q3 (Q3 ) dans Q est l’image de la suite verticale de gauche tandis que Im(eV ) est l’image de celle de droite. Pour prouver (5), il suffit donc de prouver que l’homomorphisme (6) est surjectif. On peut aussi bien fixer v ∈ V et démontrer que l’analogue local de (6) est surjectif. Comme on l’a dit, on peut remplacer le tore S et ses divers avatars Ssc etc. . . par un tore T et ses avatars T,sc etc. . . comme au début du paragraphe et on peut supposer que ce tore est non ramifié en v. L’analogue local de (6) se factorise en 0 (ov ; G ) = H 1,0 (ov ; T,sc → T /Z(G)0 ) Hab 1−θ

(7)

→ H 1,0 (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )) 1−θ → H 1,0 (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )) 0 = Hab (ov ; I \G).

La deuxième flèche est surjective car son conoyau s’envoie injectivement dans H 2 (ov ; T¯,sc ) qui est nul ([48] lemme C.1.A). L’homomorphisme entre complexes de tores donnant naissance à la première flèche se complète en une suite exacte de complexes de tores 1 ↓ 1 → Tθ /Z(G)θ ↓ ↓ T,sc → T /Z(G)0 ↓ ↓1−θ T,sc ↓ 1

1−θ



(1 − θ)(T )) ↓ 1.

Le conoyau de la première flèche de (7) s’envoie donc injectivement dans H 1 (ov ; Tθ /Z(G)θ ) qui est nul car Tθ /Z(G)θ est connexe ([48] lemme C.1.A). Cette flèche est donc surjective. La surjectivité des deux flèches de (7) entraîne l’assertion cherchée. Cela prouve (5). Cette assertion prouve que le nombre d’éléments de E(I , G; AF /F )/ Im(eV ) est égal à celui du quotient de Q par le sous-groupe engendré par les qj (Qj ) pour j = 1, 2, 3. Ce sous-groupe n’est autre que Q0 . Mais le lemme 6.6 dit que P 0 et Q/Q0 sont des groupes (finis) duaux. D’où l’égalité |P 0 | = |Q/Q0 |. Le lemme en résulte.



VII.7.12 Un premier calcul de |P 0 ||U|−1 On définit usuellement le nombre de Tamagawa τ (G) de G, qui est calculé par la formule rappelée en 3.2. Labesse étend la définition aux groupes quasi-connexes

904

Chapitre VII. Descente globale

([52] 1.2). On dispose donc du nombre de Tamagawa τ (I ) de I . Labesse définit aussi le groupe D(I , G) comme le conoyau de l’homomorphisme 1 1 (AF /F ; I ) → Hab (AF /F ; G). Hab

C’est un groupe fini dont on note d(I , G) le nombre d’éléments. Lemme. On a l’égalité ¯  )(FV )|. |P 0 ||U|−1 = τ (I )τ (G)−1 d(I , G)|(I /G 1 Preuve. Soit v ∈ Val(F ). On peut calculer le groupe Hab (Fv ; I ) à l’aide du complexe 1−θ S¯sc → S → (1 − θ)(S).

Celui-ci est équivalent au complexe S¯sc → S θ Ici, le groupe S θ n’est plus un tore mais c’est un groupe diagonalisable. En utilisant ce complexe, on a un homomorphisme naturel 1 1 (Fv ; I ) → Hab (Fv ; S θ /S θ,0 ). Hab

Ces deux groupes sont finis. Labesse les munit en [52] 2.3 de mesures. On s’aperçoit en utilisant sa définition que la mesure d’un point est la même dans chacun des groupes (deuxième suite exacte de la page 417 de loc.cit.). Dans le deuxième groupe, la mesure d’un point est |(S θ /S θ,0)(Fv )|−1 . L’homomorphisme naturel ¯  est un isomorphisme. La mesure d’un point dans H 1 (Fv ; I ) est S θ /S θ,0 → I /G ab ¯ donc |(I /G )(Fv )|−1 . 1 Par définition, E(I , G; Fv ) est un sous-groupe de Hab (Fv ; I ). On le munit de la mesure induite. La mesure d’un point est donc la même que précédemment. Supposons v ∈ V . L’homomorphisme E(I , G; ov ) → E(I , G; Fv ) est in1 jectif. En effet, les deux groupes se plongent respectivement dans Hab (ov ; I ) et 1 1 1 (Fv ; I ) et l’homomorphisme Hab (ov ; I ) → Hab (Fv ; I ) est injectif. Identifions Hab E(I , G; ov ) à un sous-groupe de E(I , G; Fv ). Montrons que (1)

mes(E(I , G; ov )) = 1.

D’après la définition de la mesure, cela équivaut à (2)

¯  )(Fv )|. |E(I , G; ov )| = |(I /G On utilise ici la définition de E(I , G; ov ) comme conoyau de 0 0 Hab (ov ; G) → Hab (ov ; I \G).

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

905

On fixe un tore T¯ comme en 7.11, non ramifié en v. L’homomorphisme ci-dessus devient 1−θ

1,0 2,1,0 (ov ; T,sc → T ) → Hab (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )). Hab

On a une suite de cohomologie 1−θ 1,0 1 (ov ; T¯,sc ) → Hab (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )) Hab 1−θ

2,1,0 2 (ov ; T¯,sc → T,sc → (1 − θ)(T )) → Hab (ov ; T¯,sc ). → Hab

Les deux groupes extrêmes sont nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme et E(I , G; ov ) devient le conoyau de l’homomorphisme 1−θ

1,0 1,0 Hab (ov ; T,sc → T ) → Hab (ov ; T,sc → (1 − θ)(T )).

Ces deux groupes se calculent comme respectivement T (ov )/π(T,sc (ov )) et ((1 − θ)(T ))(ov )/(1−θ)◦π(T,sc (ov )), cf. [48] lemme C.1.A. Donc E(I , G; ov ) s’identifie au conoyau de 1−θ T (ov ) → ((1 − θ)(T ))(ov ). De la suite exacte nr nr 1 → Tθ (onr v ) → T (ov ) → ((1 − θ)(T ))(ov ) → 1 θ nr 1 (où Tθ (onr v ) = T ∩ T (ov )) et de la nullité des H pour les groupes connexes 1 nr résulte que le conoyau ci-dessus s’identifie à H (Γv ; Tθ (onr v )). On note ce groupe H 1 (ov ; Tθ ). On a une suite exacte

H 1 (ov ; Tθ,0) → H 1 (ov ; Tθ ) → H 1 (ov ; Tθ /Tθ,0) → H 2 (ov ; Tθ,0 ), avec une définition évidente du troisième groupe. Les deux groupes extrêmes sont θ,0 nr nuls. Donc la flèche centrale est un isomorphisme. Le groupe Tθ (onr v )/T (ov ) est fini. Le lemme 5.5 de [79] implique qu’il est isomorphe à Tθ (F¯v )/Tθ,0 (F¯v ), lequel est ¯  (F¯v ). Il résulte de ces deux faits que les groupes suivants ont isomorphe à I (F¯v )/G même nombre d’éléments : H 1 (ov ; Tθ /Tθ,0), H 0 (ov ; Tθ /Tθ,0), H 0 (Fv ; Tθ /Tθ,0), ¯  ). En rassemblant ces égalités, on obtient (2), d’où (1). H 0 (Fv ; I /G On a une suite exacte (3)

1 → Bab (I , G) → E(I , G; F ) → E(I , G; AF ) → E(I , G; AF /F )

(première suite de la page 427 de [52]). On n’aura pas besoin de connaître le groupe Bab (I , G), disons seulement qu’il est fini. Le conoyau de la dernière flèche est fini. Les deux derniers groupes sont munis de topologies. La dernière flèche envoie E(I , G; AF ) sur un sous-groupe ouvert de E(I , G; AF /F ) et ce dernier groupe est compact. Le produit sur v ∈ Val(F ) des mesures locales définies cidessus donne une mesure sur E(I , G; AF ). On munit les deux premiers groupes

906

Chapitre VII. Descente globale

de la suite (1) de la mesure de comptage et le dernier de la mesure compatible avec cette suite et les mesures définies sur les autres groupes. En utilisant cette mesure, on peut récrire le lemme 7.11 sous la forme (4)

|P 0 | = mes(E(I , G; AF /F ))/ mes(Im(eV )).

Rappelons que eV est le composé de la suite E(I , G; oV ) → E(I , G; AF ) → E(I , G; AF /F ) On a vu ci-dessus que la première flèche était injective. On s’en sert pour identifier E(I , G; oV ) à un sous-groupe de E(I , G; AF ). Notons Uab l’image réciproque de E(I , G; oV ) dans E(I , G; F ) par l’homomorphisme de la suite (3). Il résulte des définitions des mesures que (5)

mes(Im(eV )) = mes(E(I , G; oV ))|Uab |−1 |Bab (I , G)|.

Vu comme sous-groupe de E(I , G; AF ), E(I , G; oV ) est le produit sur toutes les places v ∈ Val(F ) du sous-groupe {0} si v ∈ V , du sous-groupe E(I , G; ov ) de E(I , G; Fv ) si v ∈ V . Sa mesure est le produit des mesures de ces sous-groupes. ¯  )(Fv )|−1 , (1) entraîne Puisque la mesure d’un point dans E(I , G; Fv ) est |(I /G  ¯  )(Fv )|−1 ). |(I /G (6) mes(E(I , G; oV )) = ( v∈V

Notons ker1 (F ; G) le noyau de l’application H 1 (F ; G) → H 1 (AF ; G). On définit de même ker1 (F ; I ). On a une application naturelle ker1 (F ; I ) → ker1 (F ; G). On note B(I , G) son noyau (c’est-à-dire, puisqu’il ne s’agit pas de groupes, l’ensemble des éléments de ker1 (F ; I ) qui deviennent triviaux dans H 1 (F ; G)). Rappelons que U est un sous-ensemble de H 1 (F ; I ) et que Uab est un sous-ensemble de 1 E(I , G; F ), lequel est un sous-ensemble de Hab (F ; I ). Montrons que 1 (F ; I ) se restreint en une application (7) l’application naturelle H 1 (F ; I ) → Hab surjective U → Uab dont toutes les fibres ont même nombre d’éléments ;

(8) l’image réciproque de Bab (I , G) par cette application est B(I , G). 1 Par définition, Uab est l’ensemble des uab ∈ Hab (F ; I ) tels que 1 (F ; G) est nulle ; (9) l’image de uab dans Hab 1 1 (AVF ; I ) appartient à Hab (oV ; I ) ; (10) l’image de uab dans Hab 1 (11) l’image de uab dans Hab (FV ; I ) est nulle.

On se rappelle l’application 1 1 1 (A ;I ) H (AF ; I ) (F ; I ) ×Hab H 1 (F ; I ) → Hab F  1 (Fv ; I ) est bijective ([51] de 7.5(1). Pour v ∈ V , l’application H 1 (Fv ; I ) → Hab proposition 1.6.7). L’application ci-dessus s’identifie donc à

(12)

1 1 1 (F ;I ) H (FV ; I ). (F ; I ) ×Hab H 1 (F ; I ) → Hab V 

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

907

Notons 1 l’élément trivial de H 1 (FV ; I ). La condition (11) équivaut à ce que (uab , 1) appartienne au produit fibré ci-dessus. En particulier, Uab × {1} est un sous-ensemble de ce produit fibré. Notons u → (uab , u) l’application (12). Un élément u ∈ H 1 (F ; I ) appartient à U si et seulement s’il vérifie les conditions (2), (3) et (4) de 7.5. La condition (3) équivaut à l’égalité u = 1. Les conditions (2) et (4) équivalent aux conditions (9) et (10) ci-dessus. Jointes au fait que (uab , u) appartient au produit fibré de droite de la relation (12), cela équivaut comme on vient de le dire à la relation uab ∈ Uab . Ainsi U est exactement l’image réciproque de Uab × 1 par l’application (12). Puisque cette application est surjective ([51] théorème 1.6.10), cela démontre les premières assertions de (7). Cela démontre aussi que les fibres de l’application U → Uab sont des fibres de l’application (12). Notons K(I ) le noyau de cette application. Soit u ∈ H 1 (F ; I ). On voit que la fibre de (12) au-dessus de l’image de u est isomorphe à K(I,u ), où I,u est la forme intérieure de I associée au cocycle uad . Il n’est pas difficile de prouver en général que K(I,u ) a même nombre d’éléments que K(I ). Dans notre cas, on s’intéresse aux éléments u ∈ U et l’assertion est triviale puisque, d’après 7.3(1) et le lemme 7.5, on a I,u  I pour tout u ∈ U. Cela achève de prouver (7). D’après (3), Bab (I , G) est l’ensemble des éléments de Uab d’image nulle 1 dans Hab (AF ; I ). Donc son image réciproque dans U est U ∩ ker1 (F ; I ). On a vu en 7.5(12) que l’image dans H 1 (F ; G) d’un élément de U était nulle. Donc U ∩ ker1 (F ; I ) ⊂ B(I , G). Inversement, un élément de B(I , G) est d’image nulle 1 dans H 1 (AF ; I ), a fortiori d’image nulle dans Hab (AF ; I ). Il vérifie donc les conditions (3) et (4) de 7.5. Il est aussi d’image nulle dans H 1 (F ; G). Il vérifie donc aussi la condition (2) de 7.5, d’après 7.5(12). Donc il appartient à U. Il appartient aussi à ker1 (F ; I ), donc B(I , G) ⊂ U ∩ ker1 (F ; I ). Finalement, ces deux ensembles sont égaux, ce qui achève la preuve de (8). On déduit de (7) et (8) l’égalité (13)

|Uab |−1 |Bab (I , G)| = |U|−1 |B(I , G)|.

D’après la proposition 3.7 de [52], on a (14)

mes(E(I , G; AF /F )) = τ (I )|B(I , G)|d(I , G)τ (G)−1 .

En mettant bout-à-bout les égalités (4), (5), (6), (13) et (14), on obtient le lemme. 

VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa Pour tout groupe algébrique H défini sur F , on note X ∗ (H) le groupe de caractères algébriques de H. On a un homomorphisme naturel de restriction X ∗ (I ) → ¯  ) dont les noyau et conoyau sont finis. On a donc aussi un homomorphisme X ∗ (G (1)

¯  )ΓF X ∗ (I )ΓF → X ∗ (G

908

Chapitre VII. Descente globale

qui a les mêmes propriétés. Notons x(I ) le quotient du nombre d’éléments de son noyau par le nombre d’éléments de son conoyau. Lemme. On a l’égalité ¯  )x(I )[I (F ) : G ¯  (F )]−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )]|(I /G ¯  )(FV )|−1 . τ (I ) = τ (G ¯  (AF ). Preuve. On a rappelé en 4.1 la définition de la mesure de Tamagawa sur G −1 Elle est de la forme dx = G¯  ⊗v∈Val(F ) dxv , où G¯  est le terme principal du développement en s = 1 d’une certaine fonction L et où, pour toute place v, ¯  (Fv ). Une définition analogue vaut pour le dxv est une certaine mesure sur G groupe quasi-connexe I . La mesure de Tamagawa sur I (AF ) est de la forme di = −1 I ⊗v∈Val(F ) div , avec des notations évidentes. En inspectant la définition de [52] 1.2, on s’aperçoit que – on a I = G¯  ; ¯  (Fv ) de I (Fv ) est – pour tout v ∈ Val(F ), la restriction de div à l’ouvert G ¯  )(Fv )|−1 dxv . égale à |(I /G Pour définir les nombres de Tamagawa, on a aussi besoin de mesures sur ¯  )ΓF , R), ou enle groupe AG¯  . Ce groupe s’identifie naturellement à Hom(X ∗ (G ∗ ΓF ¯  )ΓF , Z) core à Hom(X (I ) , R). On définit les réseaux AG¯  ,Z = Hom(X ∗ (G ∗ ΓF et AI ,Z = Hom(X (I ) , Z). On note daG¯  la mesure de Haar sur AG¯  telle que AG¯  ,Z soit de covolume 1. Selon [52] 1.2, on note daI la mesure de Haar ¯  )ΓF |−1 . Alors τ (G ¯  ) est la sur AG¯  telle que AI ,Z soit de covolume |X ∗ (I /G ¯  (F )\G ¯  (AF )/AG¯ , G ¯  (AF ) et AG¯ étant munis des mesures dx et mesure de G   daG¯  . Et τ (I ) est la mesure de I (F )\I (AF )/AG¯  , I (AF ) et AG¯  étant munis des mesures di et daI . Le réseau AG¯  ,Z est contenu dans AI ,Z et l’indice de ce sous-groupe est égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme ¯  )ΓF est le noyau cet homomorphisme. Il en résulte que (1). Le groupe X ∗ (I /G −1 daI = x(I ) daG¯  . On peut donc utiliser l’unique mesure daG¯  sur AG¯  et définir τ (I ) comme le produit de x(I ) et de la mesure de I (F )\I (AF )/AG¯  , I (AF ) et AG¯  étant munis des mesures di et daG¯  . ¯  (Fv ). Pour v ∈ V , on a défini le groupe hyperspécial K,v = adh,v (Kv ) ∩ G Posons KI ,v = adh,v (Kv ) ∩ I (Fv ). Montrons que ¯  )(Fv ) est surjective ; les (2) pour toute place v ∈ V , l’application KI ,v → (I /G ¯ ¯ groupes (I /G )(Fv ), KI ,v /K,v et I (Fv )/G (Fv ) sont isomorphes. ¯  dont est issu le sousOn peut fixer une paire de Borel définie sur Fv de G groupe hyperspécial K,v . On note son tore T¯0 . Notons T0 son commutant dans ¯   T θ /T θ,0. On a déjà dit que, pour un tel tore, on a G. On a alors I /G 0 0 θ,0 nr θ,0 1 T0θ (F¯v )/T0θ,0(F¯v ) = T0θ (onr )/T v 0 (ov ). Parce que H (ov ; T0 ) = 0, l’homomorphisme ¯  )(Fv ) T0θ (ov ) → H 0 (ov ; T0θ /T0θ,0) = (T0θ /T0θ,0)(Fv ) = (I /G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

909

est surjectif. Par ailleurs, le lemme 5.5 de [79] entraîne que T0θ (onr v ) est engendré θ par T0θ,0 (onr ) et par les éléments de Z(G) d’ordre fini premier à la caractéristique v nr résiduelle p. Ces deux groupes étant contenus dans Kvnr , on a T0θ (onr v ) ⊂ Kv , donc T0θ (ov ) ⊂ KI ,v . La première assertion de (2) en résulte. La seconde en est une conséquence immédiate. Fixons un ensemble fini V  de places de F , contenant V et tel que l’on ait l’égalité ¯  (F )(G ¯  (FV  ) × K V  ), ¯  (AF ) = G G   V  où K = v∈V  K,v . Il résulte de (2) que l’on a ¯  (AVF  )KIV  = G ¯  (AF )(I (FV  ) × KIV  ). I (AF ) = I (FV  ) × G   L’égalité précédente entraîne 

¯  (F )(I (FV  ) × KIV ), I (AF ) = G 

(3) a fortiori



I (AF ) = I (F )(I (FV  ) × KIV ). 

¯  (FV  ) de G ¯  (F )∩(G ¯  (FV  )× K V ). Définissons Notons ΞG¯  la projection dans G  de même ΞI . Alors on a les égalités ¯  (FV  )/AG¯ ), ¯  ) = mes(KV  ) mes(ΞG¯ \G τ (G  

(4)



τ (I ) = x(I ) mes(KIV ) mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ).

(5)

¯  (Fv ) en la mesure dxv multipliée Pour tout v ∈ V  , la mesure div se restreint à G −1 ¯ par |(I /G )(Fv )| . La relation (2) entraîne que mes(KI ,v ) = mes(K,v ). Donc   (6) mes(KV ) = mes(KIV ). ¯  (FV  )\I (FV  ). Alors Fixons un ensemble de représentants U du quotient G ¯  (FV  )u/AG¯ ΞG¯  \I (FV  )/AG¯  est réunion disjointe des sous-ensembles ΞG¯  \G  pour u ∈ U. La comparaison des mesures locales montre que chacun de ces sousensembles a pour mesure ¯  )(FV  )|−1 mes(ΞG¯ \G ¯  (FV  )/AG¯ ). |(I /G   ¯  (FV  )], on obtient Puisque |U| = [I (FV  ) : G mes(ΞG¯  \I (FV  )/AG¯  ) ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] mes(ΞG¯ \G ¯  (FV  )/AG¯ ), = |(I /G   ou encore mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ) ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] = [ΞI : ΞG¯  ]−1 |(I /G ¯ mes(ΞG¯ \G (FV  )/AG¯ ). 



910

Chapitre VII. Descente globale

La relation (2) entraîne que ¯  )(FV  )|−1 [I (FV  ) : G ¯  (FV  )] = |(I /G ¯  )(FV )|−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )]. |(I /G ¯  (F )ΞI . Donc l’application naturelle D’autre part, (3) entraîne que I (F ) = G ¯  (F ) est bijective. La relation ci-dessus se récrit ΞI /ΞG¯  → I (F )/G (7)

mes(ΞI \I (FV  )/AG¯  ) ¯  (F )]−1 |(I /G ¯  )(FV )|−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )] = [I (F ) : G ¯  (FV  )/AG¯ ). mes(ΞG¯  \G  

Le lemme résulte de (4), (5), (6) et (7).

VII.7.14 Calcul de d(I , G) En appliquant la définition de 7.10 à l’élément η , on définit le covolume covol(AG¯  ,Z ). ˜ D’autre part, on a défini en 5.8 une constante notée C(G). Lemme. On a l’égalité ˜ −1 covol(AG¯ ,Z )−1 . d(I , G) = x(I )−1 τ (G)C(G)  Preuve. Par définition, D(I , G) est le conoyau de l’homomorphisme 1 1 Hab (AF /F ; I ) → Hab (AF /F ; G),

c’est-à-dire de l’homomorphisme 1−θ

H 2,1,0 (AF /F ; S¯sc → S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S). On a une suite exacte 1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → 1−θ

H 2,1,0 (AF /F ; S¯sc → S → (1 − θ)(S)) → H 2 (AF /F ; S¯sc ). Comme on l’a dit en 7.11, le dernier groupe est nul car S¯sc est un tore elliptique. Donc D(I , G) est aussi le conoyau de l’homomorphisme composé (1)

1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S).

Dans la catégorie des complexes de tores, le triangle Ssc 



Ssc ↓π

1−θ



(1 − θ)(S) 

S

1−θ

(1 − θ)(S)



S ↓1−θ

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

911

est distingué. Il donne naissance à une suite exacte 1−θ

H 1,0 (AF /F ; S → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → S) 1−θ

1−θ

→ H 2,1 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)) → H 2,1 (AF /F ; Ssc → (1 − θ)(S)). En inspectant les définitions, on voit que le premier homomorphisme ci-dessus est égal à celui de (1). Donc D(I , G) est aussi le noyau du dernier homomorphisme cidessus. Le lemme C.2.A de [48] entraîne par dualité que ce noyau a même nombre d’éléments que le conoyau de l’homomorphisme dual (2)

H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) → H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )).

La flèche X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S) envoie un caractère x∗ de (1 − θ)(S) sur le caractère x∗ ◦ (1 − θ) de S. La flèche X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc ) envoie un caractère x∗ de (1 − θ)(S) sur le caractère x∗ ◦ (1 − θ) ◦ π de Ssc . Montrons que (3) le groupe H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )) est isomorphe à ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆθ,0 π0 ((Z(G)/Z( G) ) ). ˆ ˆ Sˆθ,0 On a X ∗ ((1 − θ)(S)) = X∗ (S/ ) et X ∗ (Ssc ) = X∗ (Sˆad ). Pour simplifier, notons ces groupes X1 et X2 . Notons ϕ : X1 → X2 l’homomorphisme défini cidessus ainsi que les homomorphismes qui s’en déduisent fonctoriellement. On a la suite exacte de complexes de ΓF -modules

1 1 ↓ ↓ ϕ X1 → X2 ↓ ↓ ϕ X1 ⊗ Z Q → X2 ⊗ Z Q ↓ ↓ ϕ X1 ⊗Z Q/Z → X2 ⊗Z Q/Z ↓ ↓ 1 1. D’où une suite exacte H 0,. (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) (4)

→ H 0,. (ΓF ; X1 ⊗Z Q/Z → X2 ⊗Z Q/Z) → H 1,0 (ΓF ; X1 → X2 ) → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q).

On a noté H 0,. le groupe noté simplement H 0 par Kottwitz et Shelstad. On a aussi une suite exacte H 0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q) → H 0 (ΓF ; X2 ⊗Z Q) → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) → H 1 (ΓF ; X1 ⊗Z Q).

912

Chapitre VII. Descente globale

Le dernier groupe est limite inductive de groupes H 1 (Gal(E/F ); X1 ⊗Z Q) sur les extensions galoisiennes finies E de F telles que ΓE agisse trivialement sur X1 . Or ces groupes sont nuls puisque Gal(E/F ) est fini et X1 ⊗Z Q est divisible. La suite ci-dessus se récrit (5)

X1ΓF ⊗Z Q → X2ΓF ⊗Z Q → H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) → 0.

Il résulte des définitions que ˆ

X2 ⊗Z Q = ϕ(X1 ⊗Z Q) ⊕ X2θ ⊗Z Q. D’où (6)

ˆ

X2ΓF ⊗Z Q = ϕ(X1ΓF ⊗Z Q) ⊕ X2ΓF ,θ ⊗Z Q.

¯ ΓF = Le tore S¯sc est elliptique donc X∗ (S¯sc )ΓF = 0. Il en résulte que X∗ (S) 0 Γ ¯  ) ) F . On a déjà remarqué que η était elliptique dans G(F ˜ ). Le groupe X∗ (Z(G ¯ = X∗ (S)θ . On obtient l’égaci-dessus est donc X∗ (Z(G)θ,0 )ΓF . D’autre part X∗ (S) lité X∗ (S)ΓF ,θ = X∗ (Z(G)θ,0 )ΓF . Cela entraîne X∗ (Ssc )ΓF ,θ = 0, ce qui équivaut à ˆ X2ΓF ,θ = 0. Il résulte alors de (6) que la première application de (5) est surjective. En conséquence, H 1,0 (ΓF ; X1 ⊗Z Q → X2 ⊗Z Q) = 0. Il résulte des définitions que les deux premiers groupes de la suite (4) sont respectivement les noyaux des homomorphismes X1ΓF ⊗Z Q → X2ΓF ⊗Z Q et (X1 ⊗Z Q/Z)ΓF → (X2 ⊗Z Q/Z)ΓF . On peut identifier Q/Z au groupe des racines de l’unité dans C× . Alors l’applicaˆ ˆ Sˆθ,0 tion x∗ ⊗ ζ → x∗ (ζ) identifie X1 ⊗Z Q/Z au sous-groupe de torsion (S/ )tors ⊂ ˆ ˆ Γ θ,0 θ,0 F ΓF ˆ ˆ ˆ ˆ S/S . Le sous-groupe (X1 ⊗Z Q/Z) s’identifie à (S/S )tors . Notons K le noyau de l’homomorphisme ˆ ˆ Sˆθ,0 S/ → Sˆad . ΓF Alors le deuxième groupe de la suite (4) s’identifie à Ktors . On voit que l’image du premier groupe est (K ΓF ,0 )tors . A ce point, on déduit de (4) une suite exacte ΓF → H 1,0 (ΓF ; X1 → X2 ) → 0 (K ΓF ,0 )tors → Ktors

On vérifie facilement que l’homomorphisme naturel ΓF → π0 (K ΓF ) (K ΓF ,0 )tors \Ktors

est bijectif. D’autre part, le noyau de l’application t → (1 − θ)(tad ) de Sˆ dans ˆ ˆ ˆ Sˆθ,0 ˆ ˆ ∩ Sˆθ,0 Sˆad est Z(G) . Il en résulte que K  Z(G)/Z( G) . Le tore Sˆ est égal à

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

913

ˆ cette action coïncide Tˆ muni de l’action galoisienne σ → ωS (σ) ◦ σG∗ . Sur Z(G), ˆ ˆ θ,0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ avec σ → σG∗ . Donc Z(G)/Z(G) ∩ S = Z(G)/Z(G) ∩ T θ,0 (en tant que groupes munis d’actions galoisiennes). On en déduit ˆ ΓF ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0  π0 (K ΓF )  π0 ((Z(G)/Z( G) ) ) (K ΓF ,0 )tors \Ktors

puis (3). L’application (2) s’insère dans un diagramme de suites exactes de cohomologie H 0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) ↓ H 0 (ΓF ; X ∗ (S)) ↓ H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) ↓ H 1 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)))

H 0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) ↓ → H 0 (ΓF ; X ∗ (Ssc )) ↓ → H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (Ssc )) ↓ = H 1 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S))) . =

Il en résulte formellement que le noyau de (2) est l’image dans H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) du noyau de H 0 (ΓF ; X ∗ (S)) → H 0 (ΓF ; X ∗ (Ssc )). Mais le noyau de X ∗ (S) → X ∗ (Ssc ) n’est autre que X ∗ (G). Donc le noyau de (2) est l’image naturelle dans H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) de X ∗ (G)ΓF . D’autre part, on a la suite exacte 1−θ

1 → S θ → S → (1 − θ)(S) → 1 . Le groupe S θ n’est pas connexe mais est diagonalisable. Il en résulte une suite exacte 0 → X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S) → X ∗ (S θ ) → 0 puis l’égalité H 1,0 (ΓF ; X ∗ ((1 − θ)(S)) → X ∗ (S)) = X ∗ (S θ )ΓF . L’homomorphisme de X ∗ (G)ΓF dans ce groupe n’est autre que l’application de restriction. En notant Im(X ∗ (G)ΓF ) son image, on obtient que l’image de l’application (2) est isomorphe à X ∗ (S θ )ΓF / Im(X ∗ (G)ΓF ). On a dit que d(I , G) était égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme (2). Grâce à (3) et au résultat précédent, on obtient ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 G) ) )|[X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF )]−1 . d(I , G) = |π0 ((Z(G)/Z(

914

Chapitre VII. Descente globale

Notons Im(X ∗ (G)ΓF ,θ ) l’image dans X ∗ (S θ )ΓF du sous-groupe X ∗ (G)ΓF ,θ ⊂ X ∗ (G)ΓF . Kottwitz et Shelstad ont calculé ˆ ˆ ΓF ,0 )|−1 , [Im(X ∗ (G)ΓF ) : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] = | det((1 − θ)|AG /AG˜ )||π0 (Tˆθ,0 ∩ Z(G)

cf. [48] calcul de l’expression 6.4.14. L’expression ci-dessus se transforme en ˆ ΓF ˆ ˆ ∩ Tˆ θ,0 d(I , G) = |π0 ((Z(G)/Z( G) ) )|| det((1 − θ)|AG /AG˜ )| ˆ ˆ ΓF ,0 )|−1 [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 . |π0 (Tˆ θ,0 ∩ Z(G)

˜ donnée en 5.8, on peut récrire En se rappelant la définition de C(G) ˜ −1 τ (G) covol(A ˜ )−1 [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 . d(I , G) = C(G) G,Z Pour obtenir le lemme, il reste à prouver l’égalité (7)

x(I ) covol(AG¯  ,Z ) = [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] covol(AG,Z ˜ ).

¯ ,SC par le sous-groupe Le groupe I est isomorphe au quotient de Z(I ) × G ¯ ,SC ). Il en résulte que X ∗ (I ) est le groupe formé des (¯ π (z)−1 , z) pour z ∈ Z(G ¯ ,SC )). L’homomorphisme naturel de ce des caractères du groupe Z(I )/¯ π (Z(G groupe dans S θ /¯ π (S¯sc ) est un isomorphisme. Donc X ∗ (I ) = X ∗ (S θ /¯ π (S¯sc )). On obtient une suite exacte 0 → X ∗ (I ) → X ∗ (S θ ) → X ∗ (S¯sc ). D’où aussi une suite exacte 0 → X ∗ (I )ΓF → X ∗ (S θ )ΓF → X ∗ (S¯sc )ΓF . Mais S¯sc est un tore elliptique donc le dernier groupe est nul. Finalement X ∗ (I )ΓF = X ∗ (S θ )ΓF .

(8)

On a un diagramme commutatif d’homomorphismes naturels (9) 0

¯  )ΓF → X ∗ (I /G

→ X ∗ (I )ΓF

X ∗ (G)ΓF ,θ  ↓φ ¯  )ΓF . → X ∗ (G

La suite horizontale est exacte. La flèche verticale φ s’inscrit dans un diagramme commutatif X ∗ (G)ΓF ,θ → X ∗ (Z(G)0 )ΓF ,θ ↓φ ↓ ¯  )ΓF → X ∗ (Z(G ¯  )0 )ΓF . X ∗ (G

VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide

915

Les flèches horizontales sont injectives. La flèche de droite est injective : cela résulte de l’ellipticité de η . Donc la flèche de gauche est aussi injective. En revenant au diagramme (9), on en déduit un diagramme commutatif à flèches injectives X ∗ (G)ΓF ,θ φ1  ∗

ΓF

X (I )



φ φ2

¯ ) /X (I /G



ΓF

¯  )ΓF . X ∗ (G

Par définition, on a ¯  )ΓF || coker(φ2 )|−1 . x(I ) = |X ∗ (I /G L’injectivité de φ1 et la relation (8) entraînent que ¯  )ΓF || coker(φ1 )|. [X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )] = |X ∗ (I /G Il en résulte que x(I )[X ∗ (S θ )ΓF : Im(X ∗ (G)ΓF ,θ )]−1 = | coker(φ2 )|−1 | coker(φ1 )|−1 = | coker(φ)|−1 . D’après les définitions, on a aussi −1 . | coker(φ)| = |AG,Z ¯  ,Z | = covol(AG ¯  ,Z ) covol(AG,Z ˜ /AG ˜ )

L’égalité (7) résulte des deux égalités ci-dessus. Cela achève la démonstration.



VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 Les lemmes 7.12, 7.13 et 7.14 conduisent à l’égalité ˜ (G ¯  )[I (F ) : G ¯  (F )]−1 [I (FV ) : G ¯  (FV )] covol(AG¯ )−1 . |P 0 ||U|−1 = C(G)τ  On a aussi |U| = |D˙ F [dV ]| d’après le lemme 7.5. Enfin, l’assertion 7.3(1) entraîne que pour tout d ∈ DF [dV ], il y a des isomorphismes compatibles et définis sur ¯  sur Gη[d] . On peut donc remplacer dans le deuxième F de I sur Iη[d] et de G ¯  par Iη[d] et Gη[d] . La proposition membre de l’égalité ci-dessus les termes I et G 7.10 en résulte.

VII.7.16 Calcul final On lève l’hypothèse DF [dV ] = ∅ posée en 7.3. Considérons l’expression  δj [dV ] (1) f¯[dV ] j∈J (H)

qui apparaît dans la formule 5.9(2).

916

Chapitre VII. Descente globale

Corollaire. Pourvu que l’ensemble de places V  soit assez grand, l’expression (1) est égale à  ˜ −1 τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )] C(G) ˙ F [dV ] d∈D



covol(AGη[d] )−1 |U[V  , d]|−1

ω(uh[d])f¯[d, u].

u∈U [V  ,d]

Cela résulte du corollaire 7.2 et de la proposition 7.10.

VII.8 Preuve du théorème 3.3 VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 Utilisons le corollaire 7.16 pour transformer la formule 5.9(2). Il y a deux simpli˜ apparaît deux fois et ses deux occurences se comfications. La constante C(G) pensent. Le terme c[dV ] défini en 5.9 est égal à [Iη[d] (FV ) : Gη[d] (FV )]−1 pour tout d ∈ D˙ F [dV ] et ce terme compense l’un de ceux intervenant dans le corollaire 7.16. D’autre part, il intervient dans ce corollaire un ensemble fini de places V  qui doit être assez grand. Cette notion dépend a priori des éléments fixés dans la section 7, à savoir dV et H. Mais ces données dV et H parcourent des ensembles finis. On peut donc fixer un ensemble V  assez grand pour que le corollaire 7.16 soit valable pour tous dV et H. On obtient alors ˜ ˜ ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 τ (H)   τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 covol(AGη[d] ,Z )−1 ˙ rel d∈D ˙ F [dV ] d V ∈D V

|U[V  , d]|−1



¯

¯

¯ ω(uh[d])S H (SAH unip (V ), f [d, u]).

u∈U [V  ,d]

Notons DFV −nr l’ensemble des d ∈ DF tels que la projection de d dans DAVF appartienne à DAnrV . L’ensemble DF [dV ] a été défini en 6.9. Dans ce paragraphe, F on supposait dV relevante mais c’était inutile pour cette définition. On peut alors définir D˙ F [dV ] comme en 7.1 sans cette hypothèse de relevance. Notons D˙ FV −nr la réunion des D˙ F [dV ] pour dV ∈ D˙ V . C’est un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DFV −nr /G(F ). La même preuve qu’en 7.1(1) montre que c’est un ensemble fini. Grâce à 5.5(4), la double somme ci-dessus en dV ∈ D˙ Vrel et d ∈ D˙ F [dV ] se simplifie en une somme

VII.8. Preuve du théorème 3.3

917

sur les d ∈ D˙ FV −nr tels que H soit relevante pour Gη[d],SC . D’où ˜ ˜ ¯ −1 |W H¯ | I G (AG,E (V, H, ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1 τ (H)  τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 covol(AGη[d] ,Z )−1 ˙ V −nr , d∈D F H relevante pour Gη[d],SC

|U[V  , d]−1



¯ ¯ ¯ ω(uh[d])S H (SAH unip (V ), f [d, u]).

u∈U [V  ,d]

On peut maintenant lever la première hypothèse faite sur H, à savoir que DVrel est non vide. Si elle n’est pas vérifiée, le membre de droite est nul car la somme en d est vide. Le membre de gauche est nul lui-aussi d’après le corollaire 5.6. L’égalité est donc encore vérifiée. Rappelons que la fonction f¯[d, u] qui intervient ici est le ¯ V ) d’une fonction f [d]sc sur Gη[d],SC (FV ), le facteur de transfert transfert à H(F étant déterminé par u. Il convient d’introduire la donnée H dans la notation et de noter plutôt cette fonction f¯H [d, u]. Utilisons maintenant l’égalité 5.3(1). On obtient ˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = |W G (μ)|−1 | FixG (μ, ωG¯ )|−1  τ (Gη[d] )[Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 ˜

(1)

˙ V −nr d∈D F

covol(AGη[d] ,Z )−1 |U[V  , d]|−1

 u∈U [V

ω(uh[d])X[d, u],

 ,d]

où 

X[d, u] = H∈ETˆ¯

ad ,•

¯ ¯H ¯ −1 |W H¯ |S H¯ (SAH τ (H) unip (V ), f [d, u]).

¯ SC ,V ), (G

H relevante pour Gη[d],SC

VII.8.2 Elimination de la somme en H Fixons d ∈ D˙ FV −nr et u ∈ U[V  , d]. Notons ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) l’ensemble de somad mation qui intervient dans la définition de X[d, u], c’est-à-dire l’ensemble des ¯ SC , V ) qui sont relevantes pour Gη[d],SC . Fixons comme toujours H ∈ ETˆ¯ ,• (G ad un ensemble E(Gη[d],SC , V ) de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques de Gη[d],SC qui sont elliptiques, non ramifiées hors de V et relevantes. Il y a une application naturelle ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) → E(Gη[d],SC , V ) qui, à ad H dans l’ensemble de départ, associe le représentant de sa classe d’équivalence. Cette application est surjective : toute donnée endoscopique de Gη[d],SC est équi¯ H, ¯ s¯) telle que s¯ appartienne à Tˆ¯ad . Les nombres d’élévalente à une donnée (H, ments des fibres de cette application se calculent comme en 5.1. On obtient que

918

Chapitre VII. Descente globale

la fibre contenant un élément H ∈ ETˆ¯ (Gη[d],SC , V ) a pour nombre d’éléments |W G ||W H |−1 | Out(H)|−1 . On obtient ¯

¯



¯

X[d, u] = |W G |

ad

¯H ¯ −1 | Out(H)|−1 S H (SAH τ (H) unip (V ), f [d, u]). ¯

¯

H∈E(Gη[d],SC ,V )

En utilisant la définition [VI] 5.1, on voit que ¯ −1 | Out(H)|−1 = τ (Gη[d],SC )−1 i(Gη[d],SC , H). ¯ τ (H) Ici τ (Gη[d],SC ) = 1 puisque Gη[d],SC est simplement connexe ([52] théorème 1.2). D’autre part, ¯ ¯ ¯ Gη[d],SC ¯H S H (SAH (transfertu (SAH unip (V ), f [d, u]) = I unip (V )), f [d]sc ),

où transfertu désigne le transfert relatif au facteur de transfert ΔV [d, u] défini en 7.1. On obtient ¯ X[d, u] = |W G |I Gη[d],SC (B[d, u], f [d]sc ), où



B[d, u] =

¯

¯ transfertu (SAH i(Gη[d],SC , H) unip (V )).

H∈E(Gη[d],SC ,V )

En se reportant à la définition de 1.10, on voit que B[d, u] n’est autre que la Gη[d],SC ,E (V ). Plus exactement, on se rappelle que cette distribudistribution Aunip tion dépend d’un choix de sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes Gη[d],SC (Fv ) pour v ∈ V . Puisqu’on utilise le facteur de transfert ΔV [d, u], ces groupes sont les Ksc,v [d, u] définis en 7.1. Notons Kv [d] le sous-groupe compact hyperspécial de Gη[d] (Fv ) défini par Kv [d] = adhv [d] (Kv ) ∩ Gη[d] (Fv ). Avec la notation de 4.3, on a v∈V Ksc,v [d, u] = u K[d]Vsc . On a donc précisément B[d, u] = G

,E

η[d],SC Aunip (V, u K[d]Vsc ). On est ici dans une situation sans torsion et on peut ap-

G

η[d],SC (V, u K[d]Vsc ) et pliquer le théorème d’Arthur 3.1. Donc B[d, u] = Aunip

G

¯

η[d],SC (V, u K[d]Vsc ), f [d]sc ). X[d, u] = |W G |I Gη[d],SC (Aunip

VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes Fixons d ∈ D˙ FV −nr . Grâce à la dernière formule ci-dessus, on a |U[V  , d]|−1



ω(uh[d])X[d, u]

u∈U [V  ,d] ¯

G

η[d],SC = |W G |ω(h[d])I Gη[d],SC (Aunip;G  (V ), f [d]sc ), η[d] ,ω,V

VII.8. Preuve du théorème 3.3

919

G

η[d],SC où Aunip;G  (V ) est défini en 4.3. Puisque f [d]sc = ιGη[d],SC ,Gη[d] (f [d]), on a η[d] ,ω,V

G

η[d],SC I Gη[d],SC (Aunip;G  (V ), f [d]sc ) η[d] ,ω,V

G

η[d],SC = I Gη[d] (ι∗Gη[d],SC ,Gη[d] (Aunip;G  (V )), f [d]). η[d] ,ω,V

On applique la proposition 4.3. L’ensemble de places V  doit être assez grand, cette notion dépendant de d. Puisqu’on a déjà dit que l’ensemble D˙ FV −nr était fini, on peut supposer que l’ensemble V  fixé en 8.1 satisfait cette condition pour tout d. La proposition 4.3 nous dit que η[d],SC η[d]   −1 Aunip (V, ω, K[d]V ). ι∗Gη[d],SC ,Gη[d] (Aunip;G  (V )) = τ (Gη[d],SC )τ (Gη[d] ) η[d] ,ω,V

G

G

Puisque Gη[d],SC est simplement connexe, on a AGη[d],SC = {0} et τ (Gη[d],SC ) = 1 ([52] théorème 1.2). Donc aussi τ  (Gη[d],SC ) = 1. On a aussi par définition τ  (Gη[d] ) = τ (Gη[d] ) covol(AGη[d] ,Z )−1 . D’où 

|U[V  , d]|−1

ω(uh[d])X[d, u]

u∈U [V  ,d] G

η[d] = |W G |ω(h[d])τ (Gη[d] )−1 covol(AGη[d] ,Z )I Gη[d] (Aunip (V, ω, K[d]V ), f [d]).

¯

Reportons cette valeur dans la formule 8.1(1). Comme on l’a dit en 1.1, le groupe ¯ W G (μ) s’identifie à W G . On obtient ˜

(1)



˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = | FixG (μ, ωG¯ )|−1 G

η[d] [Iη[d] (F ) : Gη[d] (F )]−1 ω(h[d])I Gη[d] (Aunip (V, ω, K[d]V ), f [d]).

˙ V −nr d∈D F

VII.8.4 Fin de la preuve Rappelons qu’il nous suffit de prouver la proposition 5.1, c’est-à-dire l’égalité (1)

˜

˜

˜

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = I G (AG (V, X , ω), f ). ˜

Supposons que X n’appartienne pas à l’image de l’application χG , c’est-à-dire ˜ ss (F ). Alors l’enne corresponde à aucune classe de conjugaison stable dans G semble DF est vide, a fortiori D˙ FV −nr aussi et la formule 8.3(1) montre que ˜ ˜ I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) = 0. ˜ ˜ D’après la définition 1.9, on a aussi I G (AG (V, X , ω), f ) = 0. L’égalité (1) ci-dessus en résulte.

920

Chapitre VII. Descente globale ˜

Nous supposons maintenant que X est l’image par χG d’une classe de conju˜ ). Cette classe est unique d’après la proposition 1.2 et c’est gaison stable O ⊂ G(F la classe de conjugaison stable de η[d] pour tout d ∈ DF . Notons Cl(O) l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) contenues dans O. Il y a une application naturelle DF → Cl(O) qui, à d ∈ DF , associe la classe de conjugaison de η[d]. Elle est surjective et se quotiente en une application de Iη (F¯ )\DF /G(F ) dans Cl(O). Etendons l’ensemble D˙ FV −nr en un ensemble de représentants D˙ F de l’ensemble de doubles classes Iη (F¯ )\DF /G(F ). L’application ci-dessus devient une application cl : D˙ F → Cl(O). Soit d ∈ D˙ F , posons C = cl(d). Utilisons la définition [VI] 2.3 ainsi que les hypothèses (1), (2) et (4) posées en 5.1. Considérons la propriété (2) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(Fv ) engendrée par C ˜v. coupe K Elle équivaut à ce que, pour tout v ∈ V , l’image de d dans Dv appartienne à ˜ cf. 5.5. Ou encore à d ∈ D˙ FV −nr . Si (2) n’est pas vérifiée, on a AG (V, C, ω) = 0. Si (2) est vérifiée, la définition [VI] 2.3(7) conduit à l’égalité Dvnr ,

˜

˜

I G (AG (V, C, ω), f ) G

η[d] (V, ω, K[d]V ), f [d]). = [ZG (η[d]; F ) : Gη[d] (F )]−1 ω(h[d])I Gη[d] (Aunip

Il résulte alors de 8.3(1) que ˜

(3)

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f )  ˜ ˜ = | FixG (μ, ωG¯ )|−1 [ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]I G (AG (V, cl(d), ω), f ). ˙F d∈D

L’ensemble de sommation peut maintenant être infini mais seuls un nombre fini de termes sont non nuls. On va prouver (4) pour tout d ∈ D˙ F , la fibre de l’application cl au-dessus de cl(d) a pour nombre d’éléments | FixG (μ, ωG¯ )|[ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]−1 . L’élément d ∈ D˙ F est fixé. On rappelle que l’on note Yη[d] l’ensemble des y ∈ G(F¯ ) tels que yσ(y)−1 ∈ Iη[d] (F¯ ) pour tout σ ∈ ΓF . L’application y → (y −1 η[d]y, r[d]y) est une bijection de Yη[d] sur DF (la preuve est analogue à celle de 5.4(4)). L’inverse de cette bijection identifie D˙ F à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes Iη[d] (F¯ )\Yη[d] /G(F ). L’élément y −1 η[d]y est conjugué à η[d] par un élément de G(F ) si et seulement si y ∈ ZG (η[d]; F¯ )G(F ). Ou encore, puisque y est supposé appartenir à Yη[d] , si et

VII.8. Preuve du théorème 3.3

921

seulement si y ∈ (ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] )G(F ). Donc la fibre de cl au-dessus de cl(d) est en bijection avec l’ensemble de doubles classes (5)

Iη[d] (F¯ )\(ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] )G(F )/G(F ).

Posons Ξ[d] = Iη[d] (F¯ )\ZG (η[d]; F¯ ). C’est un groupe fini qui est muni d’une action naturelle de ΓF . Il résulte des définitions que Ξ[d]ΓF = Iη[d] (F¯ )\(ZG (η[d]; F¯ ) ∩ Yη[d] ). Ce groupe contient le sous-groupe ΞF [d] = Iη[d] (F )\ZG (η[d]; F ). On voit que l’application naturelle de Ξ[d]ΓF dans l’ensemble (5) se quotiente en une bijection de Ξ[d]ΓF /ΞF [d] sur cet ensemble. On en déduit que le nombre d’éléments de la fibre de cl au-dessus de cl(d) est égal à (6)

|Ξ[d]ΓF |[ZG (η[d]; F ) : Iη[d] (F )]−1 .

On va identifier l’ensemble Ξ[d] et son action galoisienne. Munissons le groupe ∗ W θ de l’action galoisienne σ → σG¯ définie par σG¯ (w) = ωG¯ (σ)σG∗ (w)ωG¯ (σ)−1 . Le ∗ ˜ cf. 1.1. Notons groupe W θ agit naturellement sur (T ∗ /(1 − θ∗ )(T ∗ )) ×Z(G) Z(G), ∗ G Fix (μ) le groupe des w ∈ W θ tels que wμ = μ et w(Σ+ (μ)) = Σ+ (μ), cf. 1.1 pour les notations. Pour tout σ ∈ ΓF , ωG¯ (σ) ◦ σG∗ fixe μ et conserve Σ+ (μ). On ∗ en déduit que l’action galoisienne σ → σG¯ sur W θ conserve FixG (μ). D’après la G définition de 5.1, Fix (μ, ωG¯ ) n’est autre que l’ensemble de points fixes par cette action dans FixG (μ). On va montrer (7) il existe un isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ) qui entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σG¯ sur FixG (μ). En admettant cela, on a |Ξ[d]ΓF | = | FixG (μ, ωG¯ )| et (4) résulte alors de la formule (6). Prouvons (7). Posons Ξ = Iη \ZG (η) = Iη (F¯ )\ZG (η; F¯ ). Soit ξ ∈ Ξ et relevons ξ en un élément x ∈ ZG (η). Quitte à multiplier x à gauche par un élément de Iη , on peut supposer que adx conserve ∗ ¯ = B ∗ ∩ G. ¯ Il en résulte que adx conserve T ∗ donc x s’envoie sur un T ∗,θ ,0 et B élément w ∈ W . Cet élément est invariant par θ∗ . L’élément x est uniquement ∗ déterminé modulo multiplication à gauche par un élément de T ∗,θ . Donc w est bien déterminé. Le fait que x appartient à ZG (η) entraîne que w fixe μ. Parce que ¯ = B ∗ ∩ G, ¯ w conserve Σ+ (μ). Autrement dit, w ∈ FixG (μ). Cela adx conserve B définit une application ξ → w de Ξ dans FixG (μ). Il est immédiat que c’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est l’ensemble des ξ ∈ Ξ qui se relèvent en ∗ un élément x ∈ T ∗ ∩ ZG (η). Mais ce groupe est égal à T ∗,θ qui est contenu dans Iη . Donc le noyau est réduit à l’élément neutre. Montrons que l’application ξ → w

922

Chapitre VII. Descente globale

˜ E ∗ ). On est surjective. Soit w ∈ FixG (μ). Ecrivons η = νe avec ν ∈ T ∗ et e ∈ Z(G; ∗ relève w en un élément x ∈ Ge qui normalise T . Parce que w fixe μ, il existe t ∈ T ∗ tel que adx (ν) = (1 − θ∗ )(t)ν. Ou encore, puisque adx fixe e, adx (η) = (1 − θ∗ )(t)η. L’élément t−1 x relève encore w et appartient à ZG (η). En notant ξ l’image de t−1 x dans Ξ, on voit que ξ s’envoie sur w par l’application précédente. Cela prouve que l’application ξ → w est un isomorphisme de Ξ sur FixG (μ). Posons r = r[d]. Alors adr est un isomorphisme de Ξ[d] sur Ξ. Par composition, on obtient un isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ). Pour étudier les actions galoisiennes, on doit se rappeler que, par définition de DF , ωG¯ coïncide avec le cocycle ωη[d] calculé comme en 1.2 à l’aide de la paire de Borel (adr−1 (B ∗ ), adr−1 (T ∗ )). En reprenant les définitions de 1.2, on voit que cela se traduit par la propriété suivante : ¯ tel que g¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 normalise (8) pour tout σ ∈ ΓF , il existe g¯(σ) ∈ G ∗ T et s’envoie sur l’élément ωG¯ (σ) ∈ W . Soient σ ∈ ΓF et ξ[d] ∈ Ξ[d]. L’élément ξ[d] s’envoie par adr sur un élément ξ ∈ Ξ, que l’on relève comme ci-dessus en un élément x ∈ ZG (η), qui s’envoie sur un élément w ∈ FixG (μ). L’élément σ(ξ[d]) s’envoie par adr sur un élément ξ  ∈ Ξ, que l’on relève en un élément x ∈ ZG (η), qui s’envoie sur un élément w ∈ FixG (μ). Relevons ξ[d] en l’élément adr−1 (x). Alors ξ  est l’image dans Ξ ¯ conserve de l’élément adr ◦σ ◦ adr−1 (x) = adrσ(r)−1 ◦σ(x). La conjugaison par G  ZG (η) et se quotiente en l’identité de Ξ. Donc ξ est aussi l’image dans Ξ de l’élément x = adg¯(σ)rσ(r)−1 ◦σ(x). On a x = adg¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 ◦ aduE ∗ (σ) ◦σ(x).

(9)

L’élément x normalise T ∗ . Les automorphismes adg¯(σ)rσ(r)−1 uE ∗ (σ)−1 et aduE ∗ (σ) ◦σ aussi. Il en résulte que x normalise T ∗ . Puisque x et x relèvent tous deux ξ  , x se déduit de x par multiplication à gauche par un élément du normalisateur de T ∗ dans Iη . L’image w de x dans W se déduit de l’image w de x par multiplication à gauche par un élément de W (μ). D’après (8) et (9), on a w = ωG¯ (σ) ◦ σG∗ (w) = σG¯ (w). Cela implique que w ∈ FixG (μ). Puisque w et w sont deux éléments de cet ensemble qui se déduisent l’un de l’autre par multiplication à gauche par un élément de W (μ), ils sont égaux (parce que les éléments de FixG (μ) conservent Σ+ (μ)). On obtient w = w = σG¯ (w). Mais cela prouve que l’isomorphisme de Ξ[d] sur FixG (μ) entrelace l’action galoisienne naturelle sur Ξ[d] avec l’action σ → σG¯ sur FixG (μ). Cela achève la preuve de (7) et de (4). En utilisant (4), l’égalité (3) se récrit ˜

˜

I G (AG,E (V, μ, ωG¯ , ω), f ) =



˜

˜

I G (AG (V, C, ω), f ).

C∈Cl(O)

D’après la définition de 1.9, le membre de droite ci-dessus est égal à celui de l’égalité (1). Cela prouve cette égalité et cela achève la preuve du théorème 3.3.

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

923

VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème On rappelle brièvement l’énoncé du théorème [VI] 5.6, en renvoyant à cette référence pour plus de détails. On considère un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ) défini sur F . Pour i = 1, 2, on fixe une paire de Borel (Bi , Ti ) de Gi définie sur F . On note Σi l’ensemble des racines de Ti dans gi . Le terme j∗ est un isomorphisme de X∗ (T1 ) ⊗Z Q sur X∗ (T2 ) ⊗Z Q. Il y a une bijection τ : Σ2 → Σ1 et une fonction b : Σ2 → Q>0 de sorte que, pour tout α2 ∈ Σ2 , on ait l’égalité j∗ (ˇ α1 ) = b(α2 )ˇ α2 , où α1 = τ (α2 ) et α ˇ i est la coracine associée à αi . Pour toute place v de F , on a un isomorphisme (1)

st ∗ st ∗ Dg´ eom (g1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))  Dg´ eom (g2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))

qui se restreint en un isomorphisme analogue pour les distributions à support nilpotent. Par l’exponentielle, il s’en déduit un isomorphisme (2)

st st Dunip (G1 (Fv )) ⊗ Mes(G1 (Fv ))∗  Dunip (G2 (Fv )) ⊗ Mes(G2 (Fv ))∗ .

On fixe un ensemble fini de places V de sorte que – V contient les places archimédiennes de F ; – G1 et G2 sont non ramifiés hors de V ; – pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de Fv et ev = [Fv : Qp ] ; alors p > ev N (Gi ) + 1 pour i = 1, 2, où N (Gi ) est l’entier défini en [79] 4.3 ; – les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V . G2 1 Théorème. Sous ces hypothèses, les distributions SAG unip (V ) et SAunip (V ) se correspondent par le produit tensoriel sur les v ∈ V des isomorphismes (2) ci-dessus.

Pour simplifier, on note encore j∗ toute application déduite de l’application j∗ primitive. Par exemple, on note j∗ les isomorphismes (1) et (2). Pour i = 1, 2, on pose Mi,0 = Ti . On a un isomorphisme j∗ : AM1,0  AM2,0 . On fixe des mesures sur ces espaces qui se correspondent par cet isomorphisme. On se débarrasse des espaces de mesures comme dans les paragraphes précédents. C’est-à-dire que, en une place v ∈ V , on utilise les mesures canoniques. Pour i = 1, 2, on munit Gi (A) de la mesure de Tamagawa, cf. 4.1. De ces choix se déduit une mesure sur Gi (FV ). Pour des Levi M1 ∈ L(M1,0 ) et M2 ∈ L(M2,0 ) qui se correspondent, on fait des choix analogues.

VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe une place v ∈ V et on considère que le corps de base est Fv . Pour i = 1, 2, soit Mi ∈ L(Mi,0 ). On a défini en [II] 4.2 une st fonction sur Dg´ eom (Mi (Fv )). Dans la situation générale de cette référence, elle était

924

Chapitre VII. Descente globale ˜

Gi ˜ notée sM ˜ i (., Ki ). Elle ne dépendait que de la classe de conjugaison par Gi,AD (Fv ) ˜ i . Ici, la situation n’est pas tordue, on prend K ˜ i = Ki du sous-espace hyperspécial K et la classe de conjugaison par Gi,AD (Fv ) de ce groupe est uniquement déterminée. i On peut donc noter simplement sG Mi notre fonction. Supposons que M1 et M2 se correspondent. On a défini en [III] 6.4 une 1 ,G2 × constante cG M1 ,M2 ∈ C . st Proposition. Soit δ 1 ∈ Dg´ eom (M1 (Fv )). Supposons que son support est assez voisin de l’origine. Alors on a l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 (δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 (j∗ (δ 1 )). i Preuve. Pour i = 1, 2, il y a une analogue sgmii de la fonction sG Mi , définie sur st st Dg´eom (mi (Fv )). Pour d1 ∈ Dg´eom (m1 (Fv )) à support régulier dans g1 (Fv ), on a l’égalité g2 1 ,G2 sgm11 (d1 ) = cG M1 ,M2 sm2 (j∗ (d1 )).

Cette égalité est la conjecture 3.7 de [80]. Une preuve est annoncée par Chaudouard et Laumon ([31]). st Pour di ∈ Dg´ eom (mi (Fv )) à support assez voisin de l’origine, on peut définir st exp(di ) ∈ Dg´ eom (Gi (Fv )). gi i Il résulte des définitions que l’on a l’égalité sG Mi (exp(di )) = smi (di ). Pour δ 1 ∈ st Dg´ eom (M1 (Fv )) à support régulier dans G1 (Fv ) et assez voisin de l’origine, il existe st d1 ∈ Dg´ eom (m1 (Fv )) à support régulier dans g1 (Fv ) et assez voisin de l’origine de sorte que δ 1 = exp(d1 ). Les considérations ci-dessus entraînent l’égalité de l’énoncé pour un tel δ 1 . Il reste à lever l’hypothèse que le support de δ 1 est régulier dans G1 (Fv ). Cela se fait en deux temps comme dans la section 4 de [II]. Considérons d’abord une classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ M1 (Fv ) qui est G1 -équisingulière st et assez proche de l’origine. Soit δ 1 ∈ Dg´ eom (O), c’est-à-dire que son support est formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O. D’après le lemme [II] st 2.2, on peut fixer δ 1 ∈ Dg´ eom (M1 (Fv )), à support régulier dans G1 (Fv ) aussi voisin M1  qu’on le veut de O, de sorte que δ 1 = gM (δ 1 ). D’après la proposition [III] 6.6, on 1 M2  a l’égalité j∗ (δ 1 ) = gM2 ◦ j∗ (δ 1 ). D’après la relation [II] 4.5(2), on a les égalités   G1 M1 G1 1 sG M1 (δ 1 ) = sM1 (gM1 (δ 1 )) = sM1 (δ 1 ),  G2 M2  G2 2 sG M2 (j∗ (δ 1 )) = sM2 (gM2 ◦ j∗ (δ 1 )) = sM2 (j∗ (δ 1 )).

L’égalité de l’énoncé déjà prouvée pour δ 1 entraîne alors l’égalité analogue pour δ 1 . Soit maintenant δ 1 soumis à la seule restriction que son support est assez voisin de l’origine. Posons δ 2 = j∗ (δ 1 ). Pour i = 1, 2, on introduit une variable

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

925

ai ∈ AMi (Fv ) en position générale et proche de 1. D’après [II] 4.7, le germe en 1 Gi i de la fonction ai → sG Mi (ai δ i ) est équivalent à un élément de l’espace UMi dont i le terme constant est égal à sG Mi (δ i ) (cf. [II] 4.6 pour les définitions). Considérons l’application qui, à une fonction ϕ de a2 , associe la fonction a1 → ϕ(j∗ (a1 )). Les considérations de [III] 6.4 et l’hypothèse v ∈ V entraînent que cette application G2 G1 G2 sur UM et sa restriction à UM commute respecte l’équivalence. Elle envoie UM 2 1 2 à l’application «terme constant». Il en résulte que le germe en 1 de la fonction G1 2 a1 → sG M2 (j∗ (a1 )δ 2 ) est équivalent à un élément de l’espace UM1 dont le terme G2 constant est égal à sM2 (δ 2 ). Puisque a1 δ 1 est à support G1 -équisingulier, on a démontré l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 (a1 δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 (j∗ (a1 )δ 2 ). G1 Le germe de cette fonction en 1 est équivalent à un élément de UM et on a deux 1 G1 façons de calculer son terme constant : la première donne sM1 (δ 1 ) ; la seconde G2 1 ,G2 donne cG M1 ,M2 sM2 (δ 2 ). D’où l’égalité de ces deux termes, ce qui achève la démonstration. 

VII.9.3 Extension aux Levi Pour i = 1, 2, soient Mi et Li deux Levi de Gi tels que Mi,0 ⊂ Mi ⊂ Li . Les définitions de [II] 4.2 se simplifient comme dans le paragraphe précédent : on a st i une fonction sL eom (Mi (Fv )). On suppose que M1 et M2 , resp. L1 et L2 , Mi sur Dg´ se correspondent. On note comme toujours Li,SC le revêtement simplement connexe de Li et on note Mi,sc , resp. Ti,sc , l’image réciproque de Mi , resp. Ti , dans Li,SC . De j∗ se déduit un isomorphisme j∗,sc : X∗ (T1,sc ) ⊗Z Q → X∗ (T2,sc ) ⊗Z Q. Le triplet (L1,SC , L2,SC , j∗,sc ) est encore endoscopique non standard. On a défini en [III] 3.5 un homomorphisme surjectif st st (Mi,sc (Fv )) → Dunip (Mi (Fv )). ι∗Mi,sc ,Mi : Dunip

Lemme. st (i) Pour i = 1, 2 et pour δ i,sc ∈ Dunip (Mi,sc (Fv )), on a l’égalité i,SC ∗ i sL Mi (ιMi,sc ,Mi (δ i,sc )) = sMi,sc (δ i,sc ).

L

st (ii) Pour δ 1 ∈ Dunip (M1 (Fv )), on a l’égalité L

,L

1,SC 2,SC L2 1 sL M1 (δ 1 ) = cM1,sc ,M2,sc sM2 (j∗ (δ 1 )).

Preuve de (i). Le temps de cette preuve, l’indice i = 1, 2 est fixé et on le supLSC prime pour simplifier. Rappelons que les fonctions sL M et sMsc sont déduites de L L L fonctions primitives rM (., K L ) et rMSC (., Ksc ) qui calculent les intégrales orbisc tales pondérées non-invariantes des fonctions caractéristiques des compacts K L

926

Chapitre VII. Descente globale

L et Ksc . Fixons un ensemble de représentants U de l’ensemble de doubles classes Z(M )0 (Fv )\M (Fv )/π(Msc (Fv )).

Soit γ sc ∈ Dunip (Msc (Fv )). Posons γ sc = |U|−1 u∈U adu (γ sc ). Il résulte du lemme [III] 3.3 que l’on a l’égalité LSC L L (ι∗Msc ,M (γ sc ), K L ) = rM (γ sc , Ksc ). rM sc



Remarque. Dans le lemme cité apparaissaient des espaces de mesures que l’on a ici fait disparaître. En utilisant la preuve du lemme 4.2 du présent chapitre, on montre que cette disparition est légitime compte tenu de nos choix de mesures canoniques. Une distribution stable est invariante par l’action du groupe adjoint. Pour st (Msc (Fv )), on a donc δ sc = δ sc et l’égalité se simplifie en δ sc ∈ Dunip LSC L L (ι∗Msc ,M (δ sc ), K L ) = rM (δ sc , Ksc ). rM sc LSC Cette égalité se propage alors aux fonctions sL M et sMsc par la même preuve qu’en [III] 3.6. Cela prouve le (i) de l’énoncé.

Preuve de (ii). Le triplet (L1,SC , L2,SC , j∗,sc ) étant endoscopique non standard, la proposition 8.2 fournit l’égalité L

L

,L

L

2,SC sM1,SC (δ 1,sc ) = cM1,SC sM2,SC (j∗,sc (δ 1,sc )) 1,sc 1,sc ,M2,sc 2,sc

st pour tout δ 1,sc ∈ Dunip (M1,sc (Fv )). En utilisant (i), on obtient 1,SC 2,SC L2 ∗ ∗ 1 sL M1 (ιM1,sc ,M1 (δ 1,sc )) = cM1,sc ,M2,sc sM2 (ιM2,sc ,M2 ◦ j∗,sc (δ 1,sc )).

L

,L

Evidemment, ι∗M2,sc ,M2 ◦ j∗,sc = j∗ ◦ ι∗M1,sc ,M1 . st (M1 (Fv )) peut s’écrire sous la forme δ 1 = Puisque tout élément δ 1 ∈ Dunip ∗  ιM1,sc ,M1 (δ 1,sc ), on en déduit le (ii) de l’énoncé.

VII.9.4 Globalisation On revient à notre corps de base F . Soit U un ensemble fini de places de F disjoint de V et non vide. Pour i = 1, 2, soit Mi ∈ L(Mi,0 ). Comme en 9.2, les constructions du paragraphe 2.2 se simplifient dans notre situation et donnent naissance st i à une fonction que l’on note sG eom (Mi (FU )). Supposons que M1 et Mi ,U sur Dg´ 1 ,G2 M2 se correspondent. On définit une constante cG M1 ,M2 de la même façon qu’en [III] 6.4, en y remplaçant le corps de base local de cette référence par notre corps F . Rappelons la définition. Soit n ≥ 1 un entier tel que nj∗ envoie X∗ (T1 ) dans X∗ (T2 ). L’homomorphisme dual de nj∗ envoie X ∗ (T2 ) dans X ∗ (T1 ). Il s’identifie à un homomorphisme de X∗ (Tˆ2 ) dans X∗ (Tˆ1 ), qui définit un homomorphisme de Tˆ2 dans Tˆ1 . Celui-ci se restreint en un homomorphisme ˆ 2 )ΓF → Z(M ˆ 1 )ΓF ˆjn : Z(M

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

927

qui est surjectif et de noyau fini. On pose −aM2 1 ,G2 cG | ker(ˆjn )|, M1 ,M2 = n

où aM2 = dim(AM2 ) = dim(AM1 ). Cela ne dépend pas du choix de n. st Proposition. Soit δ 1 ∈ Dunip (M1 (FU )). On a l’égalité G1 ,G2 G2 1 sG M1 ,U (δ 1 ) = cM1 ,M2 sM2 ,U (j∗ (δ 1 )).

Preuve. On peut supposer δ 1 = ⊗v∈U δ 1,v . On a écrit en 2.2 la formule de décomposition   Lv U 1 1 eG sM11,v (δ 1,v ), (1) sG M1 ,U (δ 1 ) = M1,U (M1 , L1 ) LU 1 ∈L(M1,U )

v∈U

v Pour tout LU 1 ∈ L(M1,U ) et tout v ∈ U , notons L2 l’élément de L(M2,v ) qui v correspond à L1 . Le lemme 9.3(ii) entraîne l’égalité Lv

Lv

,Lv

Lv

2,SC sM11,v (δ 1,v ) = cM1,SC s 2 (j∗ (δ 1,v )). 1,v,sc ,M2,v,sc M2,v

v Posons LU 2 = (L2 )v∈U . Cette famille est un élément de L(M2,U ). On prouvera ci-dessous l’égalité  Lv ,Lv G2 2,SC U U 1 ,G2 1 (2) eG cM1,SC = cG M1,U (M1 , L1 ) M1 ,M2 eM2,U (M2 , L2 ). 1,v,sc ,M2,v,sc v∈U

Admettons-la. La formule (1) se transforme en  Lv  G1 ,G2 U 1 2 sG eG sM22,v (j∗ (δ 1,v )). M1 ,U (δ 1 ) = cM1 ,M2 M2,U (M2 , L2 ) LU 1 ∈L(M1,U )

v∈U

 LU L’application LU 1 → 2 est une bijection de L(M1,U ) sur L(M2,U ). On peut remU placer la somme en LU 1 ci-dessus par une somme en L2 ∈ L(M2,U ). Grâce à la formule similaire à (1), le membre de droite ci-dessus est égal à G2 1 ,G2 cG M1 ,M2 sM2 ,U (j∗ (δ 1 )),

ce qui démontre l’égalité de l’énoncé. Il reste à prouver (2). D’après la définition de [VI] 4.2, on a pour i = 1, 2 l’égalité Gi Gi U U U −1 i . eG Mi,U (Mi , Li ) = dMi,U (Mi , Li )kMi,U (Mi , Li ) Gi U i Le terme dG Mi,U (Mi , Li ) est le rapport entre deux mesures sur l’espace AMi,U , cf. [VI] 1.4. Il résulte de nos définitions que les espaces et mesures ne dépendent pas de l’indice i. Donc G2 U U 1 dG M1,U (M1 , L1 ) = dM2,U (M2 , L2 ).

928

Chapitre VII. Descente globale

Il suffit donc de prouver l’égalité G2 (M2 , LU kM 2) 2,U

(3)



Lv

,Lv

2,SC G1 U 1 ,G2 cM1,SC = cG M1 ,M2 kM1,U (M1 , L1 ). 1,v,sc ,M2,v,sc

v∈U

Fixons un entier n comme au début du paragraphe. L’application ˆjn a des avatars locaux ˆjn,v . Considérons le diagramme ˆ jn

ˆ 2 )ΓF Z(M ↓

 v∈V

ˆ 1 )ΓF Z(M ↓

→ 

Z(Mˆ2,v )ΓFv /Z(Lˆv2 )ΓFv

ˆ jn,v



v∈U

 v∈V

Z(Mˆ1,v )ΓFv /Z(Lˆv1 )ΓFv

Les flèches verticales sont les homomorphismes naturels. Le diagramme est commutatif. Tous les homomorphismes sont surjectifs, de noyaux finis. Il résulte des définitions que G2 (M2 , LU – kM 2 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de 2,U gauche ; G1 (M1 , LU – kM 1 ) est le nombre d’éléments du noyau de la flèche verticale de 1,U droite ; 1 ,G2 – cG M1 ,M2 est le nombre d’éléments du noyau de la flèche horizontale du haut, multiplié par n−aM2 ;  Lv ,Lv 2,SC – v∈U cM1,SC est le nombre d’éléments de la flèche horizontale de 1,v,sc ,M2,v,sc  −a +a v droite, multiplié par v∈U n M2,v L2 .

En utilisant le chemin sud-ouest du diagramme, on voit que le membre de gauche est le nombre d’éléments du noyau de la flèche composée, multiplié  de (3) −a +a v par v∈U n M2,v L2 . En utilisant le chemin nord-est, on voit que le membre de droite de (3) est le nombre d’éléments du même noyau, multiplié par n−aM2 . Parce que LU 2 appartient à L(M2,U ), on vérifie l’égalité aM2 =



aM2,v − aLv2 .

v∈U

L’égalité (3) en résulte, ce qui achève la démonstration.

VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 Soient M1 ∈ L(M1,0 ) et M2 ∈ L(M2,0 ) deux Levi qui se correspondent. Proposition. Supposons M1 = G1 . Alors on a l’égalité M1 M2 1 ,G2 cG M1 ,M2 j∗ (SAunip (V )) = SAunip (V ).



VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

929

Preuve. Comme en 9.3, de j∗ se déduit un isomorphisme j∗,sc tel que le triplet (M1,SC , M2,SC , j∗,sc ) soit endoscopique non standard. Puisqu’on suppose M1 = G1 , nos hypothèses de récurrence habituelles nous permettent d’appliquer le théorème 9.1 à ce triplet. Donc M

M

1,SC 2,SC (V )) = SAunip (V ). j∗,sc (SAunip

Pour i = 1, 2, on a l’égalité i,SC  −1 ∗ i ιMi,SC ,Mi (SAunip (V )) τ  (Mi )−1 SAM unip (V ) = τ (Mi,SC )

M

d’après la proposition 4.6. Puisque ι∗M2,SC ,M2 ◦ j∗,sc = j∗ ◦ ι∗M1,SC ,M1 , on obtient l’égalité τ  (M2 )τ  (M1,SC ) M2 1 j∗ (SAM unip (V )) = SAunip (V ). τ  (M1 )τ  (M2,SC ) Il suffit de prouver l’égalité (1)

τ  (M2 )τ  (M1,SC ) 1 ,G2 = cG M1 ,M2 . τ  (M1 )τ  (M2,SC )

Pour i = 1, 2, Mi,SC est simplement connexe. On a déjà dit plusieurs fois que cela impliquait τ  (Mi,SC ) = 1. Par définition (cf. 4.1), on a τ  (Mi ) = τ (Mi ) covol(AMi ,Z )−1 ˆ i )ΓF )|| ker1 (F ; Z(M ˆ i ))|−1 covol(AMi ,Z )−1 . = |π0 (Z(M ˆ i est un Levi du groupe G ˆ i qui est adjoint. Il en résulte que Z(M ˆ i )ΓF Le groupe M 1 1 ˆ ˆ est connexe. D’autre part, on a ker (F ; Z(Mi ))  ker (F ; Z(Gi )) d’après le lemme ˆ i ) = {1} parce que Gi est simplement connexe. D’où τ  (Mi ) = [VI] 6.1. Or Z(G −1 covol(AMi ,Z ) . Le membre de gauche de (1) est égal à covol(AM1 ,Z ) covol(AM2 ,Z )−1 . Rappelons que l’on a un isomorphisme j∗ = AM1  AM2 compatible aux mesures sur ces espaces. Donc covol(AM1 ,Z ) = vol(AM1 /AM1 ,Z ) = vol(AM2 /j∗ (AM1 ,Z )). On note covol(j∗ (AM1 ,Z )) ce dernier volume. Les réseaux j∗ (AM1 ,Z ) et AM2 ,Z sont commensurables. Choisissons un entier n ≥ 1 tel que nj∗ (AM1 ,Z ) ⊂ AM2 ,Z . Alors covol(j∗ (AM1 ,Z )) = n−aM2 covol(nj∗ (AM1 ,Z )) = n−aM2 [AM2 ,Z : nj∗ (AM1 ,Z )] covol(AM2 ,Z ). On en déduit que le membre de gauche de (1) est égal à (2)

n−aM2 [AM2 ,Z : nj∗ (AM1 ,Z )].

930

Chapitre VII. Descente globale

Modifions l’hypothèse sur n en supposant que nj∗ (X∗ (T1 )) ⊂ X∗ (T2 ). On a ˆ 2 )ΓF → Z(M ˆ 1 )ΓF , comme on l’a dit en 9.4, alors un homomorphisme ˆjn : Z(M Γ ˆ 2 )) F → X∗ (Z(M ˆ 1 ))ΓF . Le nombre et aussi un homomorphisme ˆj∗,n : X∗ (Z(M d’éléments du noyau de ˆjn est égal à celui du conoyau de ˆj∗,n . La définition de 9.4 conduit donc à l’égalité −aM2 1 ,G2 | coker(ˆj∗,n )|. cG M1 ,M2 = n

ˆ i )) et X ∗ (Mi ) sont isomorphes. L’homomorPour i = 1, 2, les groupes X∗ (Z(M ˆ phisme j∗,n s’identifie à un homomorphisme X ∗ (M2 )ΓF → X ∗ (M1 )ΓF dont on déduit par dualité un homomorphisme AM1 ,Z → AM2 ,Z . On voit que ce dernier n’est autre que nj∗ . Il en résulte d’une part que n satisfait aussi l’hypothèse posée avant l’égalité (2), d’autre part que le conoyau de ˆj∗,n a même nombre d’éléments 1 ,G2 que celui du conoyau de l’homomorphisme nj∗ : AM1 ,Z → AM2 ,Z . Donc cG M1 ,M2 est lui-aussi égal au terme (2), ce qui prouve (1) et la proposition. 

VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places Lemme. Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V tel que le théorème 9.1 soit vérifié pour cet ensemble S. Alors il l’est pour l’ensemble V . Preuve. On peut supposer S = V . On pose U = S − V . Soit M1 ∈ L(M1,0 ). Comme en 2.3(3), on peut écrire 1 SAM unip (S) =

(1)



M1 1 Sk,U ⊗ SAM ,V ,

=1,...,nM1 M1 st st 1 avec des Sk,U ∈ Dunip (M1 (FU )) et des SAM ,V ∈ Dunip (M1 (FV )). En adaptant les notations, la proposition 2.3(ii) implique

(2)

SAG1 (V ) =



|W M1 ||W G1 |−1

M1 ∈L(M1,0 )



M1 M1 G1 1 sG . M1 ,U (Sk,U )(SA,V )

=1,...,nM1

Pour tout M1 ∈ L(M1,0 ), notons M2 ∈ L(M2,0 ) le Levi correspondant. Si M1 = G1 , la proposition 9.5 appliquée à l’ensemble S dit que M1 M2 1 ,G2 cG M1 ,M2 j∗ (SAunip (S)) = SAunip (S). 1 ,G2 Si M1 = G1 , la constante cG G1 ,G2 vaut 1 et l’égalité ci-dessus reste valable d’après l’hypothèse de l’énoncé. On déduit alors de (1) l’égalité

2 SAM unip (S) =

 =1,...,nM1

M2 2 Sk,U ⊗ SAM ,V ,

VII.9. Preuve du théorème [VI] 5.6

931

M2 M1 M2 M1 1 ,G2 où Sk,U = cG M1 ,M2 j∗ (Sk,U ) et SA,V = j∗ (SA,V ). De ces égalités et de la proposition 9.4 se déduisent les deux égalités M2 G1 M1 2 G2 1 G1 1 = j∗ ((SAM ), sG (SAM ,V ) ,V ) M2 ,U (Sk,U ) = sM1 ,U (Sk,U ).

Le terme SAG2 (V ) est calculé par une égalité similaire à (2). En utilisant les égalités ci-dessus, on voit que le terme de droite de cette égalité est égal à l’image  par j∗ de celui de (2). D’où l’égalité SAG2 (V ) = j∗ (SAG1 (V )).

VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 En [III] 6.2, on a attaché à notre triplet endoscopique non standard un triplet ˜ ω). En fait ω = 1 et on le supprime des notations. On considère particulier (G, G, ˜ )), cf. 3.3. Le lemme 9.6 ce triplet et on fixe un élément X ∈ Stabexcep (G(F nous autorise à agrandir l’ensemble de places V . On peut donc supposer que ˜ On reprend maintenant la démonstration des sections 5 à V contient S(X , K). ˜ 8 qui calcule la distribution AG,E (V, X ). On a une première simplification car l’ensemble Fib(X ) de 5.1 est réduit à un élément. En effet, comme on l’a dit en ˜ ΓF . Notons μ son image naturelle dans 3.3, X correspond à un élément de Z(G) ∗ ∗ ∗ ˜ L’unique élément de Fib(X ) est (μ, 1). L’assertion du (T /(1 − θ )(T )) × Z(G). théorème 3.3 est donc équivalente à celle de la proposition 5.1. Comme on l’a noté ¯ associé à (μ, 1) comme en 1.1 est isomorphe au groupe en [III] 7.7, le groupe G G1 de notre triplet endoscopique non standard. En particulier, il est simplement connexe. La démonstration des sections 5 à 8 vaut jusqu’au point où on avait utilisé le théorème [VI] 5.6, c’est-à-dire jusqu’en 5.9. Au début de ce paragraphe, on a ¯ SC , V ) et un triplet (G , μ , ωG¯  ) ∈ J (H). Il s’en déduit une donnée H ∈ ETˆad ,• (G  ¯ ¯ SC , G un triplet endoscopique non standard (H ,SC , j∗ ). Si N (HSC , G,SC , j∗ ) < dim(GSC ), nos hypothèses de récurrence nous permettent d’appliquer le théorème [VI] 5.6 à ce triplet et on a encore l’égalité 5.9(1), c’est-à-dire (1)

˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G, ¯ SC ¯ ¯ H H ˜ |S HSC (SAunip (V ), f¯sc ). = C(G)|W

¯ SC , G Le lemme [III] 6.2 entraîne que l’on a en tout cas N (H ,SC , j∗ ) ≤ dim(GSC ). Reste le cas où cette inégalité est une égalité. Dans ce cas, le lemme cité entraîne que la donnée G = (G , G  , s˜) est équivalente à la donnée maximale ˜ Puisque G appartient à l’ensemble E ˆ (G, ˜ V ) défini en 5.1, on voit facide (G, G). T ˆ θˆ  WF . lement qu’il n’y a qu’une telle donnée : on peut supposer s˜ = θˆ et G  = G ˜) La donnée (μ , ωG¯  ) est elle-aussi unique : μ est l’image naturelle de μ dans Z(G ¯ et ωG¯  = 1. Ces unicités impliquent celle de H : c’est la donnée maximale de G, L¯ ¯ c’est-à-dire H = (G, G, 1). Supposons ces conditions vérifiées. Alors le triplet ¯ ¯ SC , G (H ,SC , j∗ ) est égal à notre triplet de départ (G1 , G2 , j∗ ). Notons f1 = fsc et

932

Chapitre VII. Descente globale

f2 = f,sc avec les notations de 5.8 et 5.9. On a f1 ∈ SI(G1 (FV )), f2 ∈ SI(G2 (FV )) et les fonctions f1 ◦ exp et f2 ◦ exp définies au voisinage de 0 dans les algèbres de Lie se correspondent par endoscopie non standard. On ne connaît pas l’égalité (1) mais on peut en tout cas écrire ˜ G ˜  , μ , ωG¯  )S G (SAG (V, X  ), f G ) i(G,

¯ SC ¯ ¯ H H ˜ | S HSC (SAunip (V ), f¯sc ) + X(f ) , = C(G)|W où (2)

G1 2 1 X(f ) = S G2 (SAG (SAG unip (V ), f2 ) − S unip (V ), f1 ).

¯ le calcul de 5.9 est Pour toutes les données H sauf la donnée maximale de G, donc valable. Pour la donnée maximale, la formule 5.9(2) doit être corrigée : on ajoute au membre de droite le terme X(f ) multiplié par une constante. Il est facile ˜ Le calcul se poursuit et on obtient finalement non de calculer celle-ci : c’est C(G). pas l’égalité 8.4(1), mais l’égalité ˜

˜

˜

˜

˜ ). I G (AG,E (V, μ, ωG¯ ), f ) = I G (AG (V, X ), f ) + C(G)X(f ˜

˜

Comme on l’a dit ci-dessus, le membre de gauche est égal à I G (AG,E (V, X ), f ). ˜ D’après nos hypothèses de récurrence, le théorème [VI] 5.4 est connu pour (G, G). Comme on l’a vu en 3.6, l’égalité du théorème 3.3 est donc vérifiée. Cela entraîne l’égalité ˜ ˜ ˜ ˜ I G (AG,E (V, μ, ωG¯ ), f ) = I G (AG (V, X ), f ). Il en résulte que X(f ) = 0. Le même raisonnement qu’en [III] 7.7 montre que, pour tout ϕ ∈ SI(G1 (FV )), il existe f tel que f1 coïncide avec ϕ au voisinage de l’unité. 1 L’égalité X(f ) = 0 pour tout f entraîne donc l’égalité voulue j∗ (SAG unip (V )) = 2 SAG  unip (V ). Cela prouve le théorème 9.1.

Chapitre VIII

L’application M˜ sur un corps de base local non-archimédien Introduction Dans les chapitres précédents, nous avons énoncé les théorèmes qui conduisent à la stabilisation de la partie géométrique de la formule des traces tordue. Le théorème clé est local. Rappelons-le très sommairement. Le corps de base F est local de caractéristique nulle. On considère un groupe réductif connexe G défini ˆ ˜ sous G et une classe de cocycle a ∈ H 1 (WF ; Z(G)), sur F , un espace tordu G ˜ auquel est associé un caractère ω de G(F ), supposé unitaire. Soit M un espace ˜ Pour un élément γ ∈ M ˜ (F ) qui est fortement régulier dans G(F ˜ ) de Levi de G. ∞ ˜ et pour une fonction f ∈ Cc (G(F )), on définit l’intégrale orbitale pondérée ω˜ G équivariante IM ˜ (γ, ω, f ) (la définition exacte nécessite d’introduire des mesures dont nous ne tenons pas compte dans cette introduction). Dans le chapitre [II], ˜ G,E nous avons défini un avatar endoscopique de ce terme, que l’on note IM ˜ (γ, ω, f ). Le théorème principal affirme que, pour tous γ et f comme ci-dessus, on a l’égalité ˜

˜

G,E G IM ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, ω, f ) = IM

Nous supposons ici que F est non-archimédien. Sous cette hypothèse, nous effectuons le premier pas dans la démonstration du théorème. Il consiste à prouver ˜ )), il existe une fonction  ˜ (f ) sur M ˜ (F ) vérifiant la que pour f ∈ Cc∞ (G(F M ˜ condition suivante. Pour tout élément γ ∈ M (F ) qui est fortement régulier dans ˜ ), la différence entre les deux termes dont nous voulons prouver l’égalité est G(F égale à l’intégrale orbitale de M˜ (f ) au point γ. Cette dernière est une intégrale ˜ (F ), non pondérée, mais tenant évidemment compte du caractère orbitale sur M ω. Autrement dit (1)

˜

˜

˜

G,E G I M (γ, ω, M˜ (f )) = IM ˜ (γ, ω, f ). ˜ (γ, ω, f ) − IM

© Springer International Publishing Switzerland 2016 C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue, Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_3

933

934

Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

La suite de la démonstration (cf. [X] 7.7) consistera à appliquer la formule des ˜ à cette fonction  ˜ (f ) et à en déduire que celle-ci est nulle. Cela traces dans M M démontrera le théorème principal. Au point où nous en sommes, nous pouvons seulement prouver l’existence d’une telle fonction M˜ (f ). Nous ne pouvons même pas prouver que l’on peut la choisir localement constante et à support compact. Nous prouvons toutefois qu’on peut lui imposer les deux conditions – il existe un sous-groupe ouvert compact de M (F ) tel que M˜ (f ) soit biinvariante par ce sous-groupe ; ˜˜ :M ˜ (F ) → – la restriction de M˜ (f ) à toute fibre de l’application usuelle H M ˜ AM˜ (cf. 1.1) est à support compact. ˜

Ces conditions suffisent pour définir les intégrales orbitales I M (γ, ω, M˜ (f )). En fait, nous démontrons plus que la seconde propriété ci-dessus : la fonction M˜ (f ) est de Schwartz. Nous définissons en 1.7 ce que nous entendons par là (on trouve dans la littérature d’autres définitions des fonctions de Schwartz, qui ne coïncident sans doute pas avec la nôtre). ˜ a), on Il y a une restriction à notre résultat. Pour certains triplets (G, G, impose que les intégrales orbitales ordinaires de f (ω-équivariantes) sont nulles en tout point de la réunion d’un certain ensemble fini de classes de conjugaison (cf. 4.4 pour un énoncé précis). Notre résultat est l’exact analogue dans le cas tordu de la proposition 3.1 de [20], dont nous reprenons la preuve. En utilisant les résultats sur les germes de Shalika prouvés en [II] et [III], il est assez bref de démontrer que, pour tout élément ˜ (F ), il existe une fonction  ˜ (f ) lisse et à support compact de semi-simple η ∈ M M sorte que (1) soit vérifié pour γ au voisinage de η. On a envie ensuite de recoller les fonctions ainsi construites en utilisant une partition de l’unité. Mais on ne peut contrôler ni l’uniforme lissité de la fonction ainsi construite, ni sa croissance à l’infini. On a besoin d’une deuxième construction qui, elle, nous fournit une fonction M˜ (f ) qui a les bonnes propriétés de lissité et de croissance et qui vérifie l’égalité (1), cette fois pour γ hors d’un certain compact. On arrive à bon port en utilisant à la fois les deux constructions. Cette deuxième construction utilise des variantes ˜ G des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes, que l’on note c IM ˜ (γ, ω, f ) en suivant comme toujours Arthur. La magnifique propriété de ces termes est que, pour f fixée, ils sont à support compact en γ, modulo conjugaison. On doit d’abord définir et étudier ces termes, ainsi que certaines applications nécessaires à leur définition. C’est l’objet de la section 1. On doit ensuite les stabiliser (section 2) et en définir des avatars endoscopiques (section 3). La définition de l’application M˜ et la preuve de ses propriétés est donnée dans la dernière section.

VIII.1. L’application c θM˜

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VIII.1 L’application c θM˜ VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non archimédien et de carac˜ a) défini sur F . On suppose que le téristique nulle. On considère un triplet (G, G, caractère ω associé à a est unitaire. ˜ un espace de Levi de G. ˜ On note Σ(A ˜ ) l’ensemble des racines de Soit M M AM˜ dans G. Un élément α ∈ Σ(AM˜ ) peut être considéré comme un élément de ˇ ∈ AM˜ . Sa définition précise est un peu A∗M˜ . Il lui est associé une coracine α arbitraire, l’ensemble Σ(AM˜ ) n’étant pas en général un système de racines au sens de Bourbaki. Toutefois, la demi-droite portée par α ˇ est définie sans ambiguïté et ˜) c’est la seule chose qui nous importera. Tout sous-espace parabolique P˜ ∈ P(M P˜ détermine un sous-ensemble positif dans Σ(AM˜ ) que l’on note Σ (AM˜ ). On en déduit des chambres positives ˜

A+ = {X ∈ AM˜ ; α, X > 0 ∀α ∈ ΣP (AM˜ )}, P˜ A∗,+ = {μ ∈ A∗M˜ ; μ, α ˇ > 0 ∀α ∈ ΣP (AM˜ )}. P˜ ˜

˜ ), les ensembles A+ décrivent les composantes connexes de Quand P˜ décrit P(M P˜ AM˜ privé des hyperplans annulés par les racines α ∈ Σ(AM˜ ). Dans notre situation tordue, il y a un espace affine A˜M˜ sur AM˜ . Rappelons sa définition. On note M (F )1 le noyau de l’application HM˜ : M (F ) → AM˜ et ˜ (F ). Le groupe A ˜ agit AM˜ ,F son image. Notons A˜M˜ ,F le quotient M (F )1 \M M ,F par translations sur ce quotient et celui-ci est un espace principal homogène sous ˜˜ : M ˜ (F ) → A˜ ˜ cette action. On pose A˜M˜ = A˜M,F ×AM,F AM˜ . On note H ˜ ˜ M M l’application naturelle. ˜ ), on fixe une fonction ω ˜ : A˜ ˜ → [0, 1], soumise aux Pour tout P˜ ∈ P(M P M conditions suivantes : ; (1) il existe XP˜ ∈ A˜M˜ tel que le support de ωP˜ soit contenu dans XP˜ + A+ P˜

˜˜. (2) ˜ ωP˜ (X) = 1 pour tout X ∈ AM P˜ ∈P(M) De telles fonctions existent. Remarquons que ces deux conditions impliquent (3) il existe Y ˜ ∈ A˜ ˜ tel que ω ˜ vaille 1 sur Y ˜ + A+ . P

M

P

P



˜ . On leur impose la Les fonctions ωP˜ sont fixées pour tout espace de Levi M ˜ condition (4) suivante. Soit x ∈ G(F ). L’automorphisme adx induit un isomorphisme A˜M˜ → A˜adx (M) ˜ . Alors ˜ ) et tout X ∈ A˜ ˜ , ω (4) pour tout P˜ ∈ P(M M adx (P˜ ) (adx (X)) = ωP˜ (X). C’est possible. ˜ )/M (F ). ˜ , posons W (M ˜ ) = NormG(F ) (M En effet, pour tout espace de Levi M + ˜ Ce groupe agit sur P(M ), sur AM˜ en permutant les chambres AP˜ et sur A˜M˜ ,F .

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Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

Fixons un ensemble L de représentants des classes de conjugaison par G(F ) d’es˜ ), on peut remplacer la fonction ω ˜ par ˜ ∈ L et P˜ ∈ P(M paces de Levi. Pour M P la fonction  ˜ )|−1 ωwP˜ (wX). X → |W (M ˜) w∈W (M

Les nouvelles fonctions vérifient encore (1) et (2) et de plus ωwP˜ (wX) = ωP˜ (X) ˜ l’unique ˜ ). Pour M ˜  quelconque, soit M pour tout P˜ , tout X et tout w ∈ W (M  ˜ ˜) = M ˜ . élément de L qui est conjugué à M et fixons x ∈ G(F ) tel que adx (M     ˜ ˜ Pour P ∈ P(M ), on définit ωP˜  par ωP˜  (X ) = ωad−1 (P˜  ) (adx−1 (X )). Cela ne x dépend pas du choix de x et le système de fonctions obtenu vérifie (4). ˜ On suppose des fonctions Enfin, on peut faire varier le groupe ambiant G. ˜ ˜ et M ˜ un espace de ωP˜ fixées comme ci-dessus. Soient L un espace de Levi de G ˜ Levi de L. Il y a une application naturelle ˜ ˜ ˜ ˜ ) → P L (M ) P G (M ˜ P˜ → P˜ ∩ L. ˜ ˜ Pour P˜  ∈ P L (M ), on pose

(5)

ωP˜  =



ωP˜ ,



˜ ) tels que P˜ ∩ L ˜ = P˜  . Ces fonctions vérifient où l’on somme sur les P˜ ∈ P(M encore les conditions (1), (2) et (4). Des fonctions ωP˜ vérifiant les conditions ci-dessus sont désormais fixées pour tout le chapitre.

VIII.1.2 Fonctions rationnelles ˜ un espace de Levi de G. ˜ On note A∨ le sous-groupe des λ ∈ A∗ tels que Soit M ˜ ,F ˜ M M . C’est un groupe λ, X ∈ 2πZ pour tout X ∈ AM˜ ,F . On pose A∗M˜ ,F = A∗M˜ /A∨ ˜ M,F ∗ compact que l’on munit de la mesure de masse totale 1. Le quotient AM˜ ,C /iA∨ ˜ M,F s’identifie à un tore complexe, ce qui permet de parler de fonctions polynomiales ou rationnelles sur ce quotient. Considérons une telle fonction rationnelle ϕ. Supposons qu’il existe une famille finie (ˇ αi , ci )i=1,...,n vérifiant les conditions suivantes : ˇ i est une coracine – pour tout i = 1, . . . , n, ci est un nombre complexe et α associée à une racine αi ∈ Σ(AM˜ ), normalisée de sorte que α ˇ i ∈ AM˜ ,F ; 

λ,α ˇi – la fonction λ → ϕ(λ) i=1,...,n (e − ci ) est polynomiale. A cette condition, nous dirons que ϕ n’a qu’un nombre fini d’hyperplans ˇ = c, pour α ∈ Σ(AM˜ ). polaires d’équations de la forme e λ,α

VIII.1. L’application c θM˜

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Remarque. La condition α ˇi ∈ AM˜ ,F est nécessaire pour que la fonction λ → e λ,αˇ i soit invariante par iA∨ ˜ ,F . Évidemment, cette fonction dépend de la normalisation M choisie. On note A˜∗M˜ l’espace des formes linéaires affines sur l’espace réel A˜M˜ . On a donc une suite exacte 0 → R → A˜∗M˜ → A∗M˜ → 0. On ajoute un indice C pour désigner les complexifiés. On a une suite exacte analogue 0 → C → A˜∗M˜ ,C → A∗M˜ ,C → 0.

(1)

  ˜ ˜ X ∈ 2πZ pour tout ˜∗ tels que λ, On note A˜∨ ˜ ,F le sous-groupe des λ ∈ AM ˜ M X ∈ A˜M˜ ,F . On a une suite exacte ∨ 0 → 2πZ → A˜∨ ˜ ,F → AM ˜ ,F → 0. M ∗ ˜ un élément de A˜∗ On note usuellement λ ˜ ,C et λ sa projection dans AM ˜ ,C . ConsiM ∗ ∨ ˜ ˜ ˜ → C. Pour X ∈ AM,F dérons une fonction ϕ : AM˜ ,C /iAM,F ˜ , considérons les ˜ conditions ˜  ˜ −λ,X (2) le produit ϕ(λ)e ne dépend que de la projection λ.

. On note Ce produit ne dépend alors que de la projection de λ dans A∗M˜ ,C /iA∨ ˜ M,F ˜ ˜ −λ,X  la fonction obtenue sur cet ensemble. λ → ϕ(λ)e ˜ −λ,X  est polynomiale ; (3) Sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e ˜  ˜ −λ,X est rationnelle ; (4) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e ˜

˜  ˜ −λ,X (5) sous la condition (2), la fonction λ → ϕ(λ)e est rationnelle et n’a qu’un ˇ = c, pour nombre fini d’hyperplans polaires d’équations de la forme e λ,α α ∈ Σ(AM˜ ) ˜  ˜ −λ,X Pour un autre point X  ∈ A˜M˜ ,F , la fonction ϕ(λ)e est le produit de ˜  −λ,X λ,X−X    ˜ ϕ(λ)e et du polynôme e . Il en résulte que les conditions (2), (3), (4) et (5) ne dépendent pas du choix de X. Plus précisément, sous la condition (5), les hyperplans polaires ne dépendent pas de ce choix. Si ϕ vérifie (2) et (3), resp. et , (4), resp. et (5), nous dirons simplement que ϕ est polynomiale sur A˜∗M˜ ,C /iA˜∨ ˜ M,F resp. est rationnelle, resp. est rationnelle et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans ˇ = c, pour α ∈ Σ(AM˜ ). polaires d’équations de la forme e λ,α Une variante de la propriété (2) vaut aussi pour des fonctions ϕ définies sur . le sous-ensemble iA˜∗M˜ /iA˜∨ ˜ M,F On peut scinder la suite exacte (1) en fixant un point X0 ∈ A˜M˜ ,F et en ˜ tel que λ(X ˜ 0 ) = 0. Une telle en l’unique relèvement λ relevant tout λ ∈ A∗ ˜ M,C

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Chapitre VIII. L’application M˜ , cas non-archimédien

˜∨ . Fixons une telle section. Sous la condition (2), section envoie A∨ ˜ ,F dans AM ˜ ,F M ˜  −λ,X ˜ on a l’égalité ϕ(λ)e = ϕ(λ)e− λ,X .

VIII.1.3 L’application c φM ˜ ˜ 0 et un sous-groupe compact spécial K de Fixons un espace de Levi minimal M ˜ ∈ L(M ˜ 0 ). G(F ) en bonne position relativement à M0 . Soit M ˜ ∈ A˜∗ /iA˜∨ , on sait ˜ (F ) et pour λ Pour une ω-représentation π ˜ de M ˜ ,C ˜ M M,F ˜H ˜ ˜ (x) λ,  ˜ (F ). M ˜λ˜ (x) = e définir la représentation π ˜λ˜ : on a π π ˜ (x) pour tout x ∈ M ∞ ˜ ˜ πλ˜ (f )) est polynomiale Pour f ∈ Cc (M (F )) ⊗ Mes(M (F )), la fonction λ → trace(˜ sur A˜∗ /iA˜∨ . ˜ ,C M

˜ M,F

˜ (F ), ω) engendré par les caractères On a défini en [81] 2.9 l’espace Dtemp (M ˜ de ω-représentations tempérées de M (F ). Remarque. On considère ici les caractères comme des distributions, c’est-à-dire ˜ (F )). Ils dépendent donc des mesures. Vus comme des formes linéaires sur Cc∞ (M ˜ (F ), ω) ⊗ fonctions localement intégrables, les caractères vivent dans Dtemp (M ˜ ˜ (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))∗ asMes(M (F ))∗ . On note I M (˜ π , .) l’élément de Dtemp (M socié à une ω-représentatio