Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen I-VII 0384326196

Table of contents :
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen I (Geometrie-1)
Vorwort der Herausgeber
Inhaltsverzeichnis zum ersten Bande
I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Erschienen im März 1869 in Christiania als Quartheft, 22X26 cm. Abgedruckt unter dem Titel: ,,Über eine Darstellung des Imaginären in der Geometrie", Crelles Journal Bd. 70 (1869)
II. Mathematiske meddelelser til Videnskabsselskabet i Christiania, fraaaret 1869, Nr. 1. und 2. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse 1899, Nr. 9
III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869
IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Fortsetzung. Christ. Forh. 1869
IVa. Selbstanzeige von III und IV. Bulletin, II. Serie, Bd. I, 1877
V. Über die Reziprozitätsverhältnisse des Reyeschen Komplexes. Gött. Nachr. Februar 1870
VI. F. Klein und S. Lie, Sur une certaine famille de courbes et de surfaces. Zwei Noten, C. R. Bd. 70 (1870)
VII. Mathematisk meddelelse til Videnskabsselskabet i Christiania, fra aaret 1870. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse 1899, Nr. 9
VIII. Sur une transformation géométrique. C. R. Bd. 71 (1870)
IX. Om en Classe geometriske Transformationer. Christ. Forh. 1870
X. F. Klein und S. Lie, Über die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche vierten Grades mit sechzehn Knotenpunkten. Berl. Monatsber., Dezember 1870
XI. Over en Classe geometriske Transformationer. Dissertation. Christ. Forh. 1871
XII. Über eine Klasse geometrischer Transformationen. Fortsetzung. Christ. Forh. 1871
XIIa. Selbstanzeigen von XI und XII. Bulletin, I. Serie, Bd. III, 1872. F. d. M. 1871
XIII. Über diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungstheorie des gewöhnlichen Raumes entspricht. Gött. Nachr. Mai 1871
XIV. F. Klein und S. Lie, Über diejenigen ebenen Kurven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen. Math. Ann. Bd. IV (1871)
XV. Mathematisk Meddelelse til Videnskabsselskabet i Christiania, fra aaret 1871. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse 1899, Nr. 9
XVI. Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen. Gött. Nachr. Nov. 1871
XVII. Synthetischanalytische Untersuchungen über Minimalflächen. I. Über reelle algebraische Minimalflächen. Archiv for Math. og Naturvid. Bd. II (1877)
XVIII. Berigtigelse. Christ. Forh. 1877, Oversigt
XVIIIa. Selbstanzeigen von XVII und XVIII. F. d. M. 1877
XIX. Mathematiske Sätninger. Christ. Forh. 1878, Oversigt
XX. Petite contribution à la théorie de la surface Steinérienne. Arch. Bd. III, 1878
XXa. Selbstanzeigen von XX. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin, II. Serie, Bd. III, 1879
XXI. Sätze über Minimalflächen. Arch. Bd. III, 1878
XXIa. Selbstanzeige von XXI. F. d. M. 1878
XXII. Sätze über Minimalflächen. II. Bestimmung aller algebraischen Minimalflächen, die sich in einen algebraischen Kegel einschreiben lassen. Arch. Bd. III, 1878
XXIIa. Selbstanzeige von XXII. F. d. M. 1878
XXIII. Sätze über Minimalflächen. III. Über die in eine algebraische Developpable eingeschriebenen algebraischen Minimalflächen. Arch. Bd. III, 1878
XXIIIa. Selbstanzeige von XXIII. F. d. M. 1878
XXIV. Klassifikation der Flächen nach der Transformationsgruppe ihrer geodätischen Kurven. Universitätsprogramm für das erste Semester 1879. Kristiania: Gedruckt bei Grøndal og Søn. 1879. Großquartformat, 23 X 29 cm
XXIVa. Selbstanzeigen von XXIV. Bulletin, II. Serie, Bd. III, 1879. Repert. Bd. II, 1879. F. d. M. 1879
XXV. Weitere Untersuchungen über Minimalflächen. Arch. Bd. IV, 1880
XXVa. Selbstanzeigen von XXV. Bulletin, II. Serie, Bd. V, 1881. F. d. M. 1879
XXVI. Zur Theorie der geodätischen Kurven der Minimalflächen. Arch. Bd. VI, 1882
XXVIa. Selbstanzeige von XXVI. F. d. M. 1881
XXVII. Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacher Weise durch Translationsbewegung einer Kurve erzeugt werden. Arch. Bd. VII, 1882
XXVIIa. Selbstanzeige von XXVII. F. d. M. 1882
XVIII. Bestimmung des Bogenelements aller Flächen, deren geodätische Kreise eine infinitesimale Berührungstransformation gestatten. Arch. Bd. IX, 1884
XXVIIIa. Selbstanzeige von XXVIII. F. d. M. 1884
XXIX. Über die allgemeinste geodätische Abbildung der geodätischen Kreise einer Fläche. Arch. Bd. IX, 1884
XXIXa. Selbstanzeige von XXIX. F. d. M. 1884
XXX. Sätninger. Christ. Forh. 1887, Oversigt
Anmerkungen zum Band 1
Die Abweichungen dieser Ausgabe von den ersten Drucken
1
3
4
5, 6, 8, 9
10, 11, 12
12a, 13
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15, 16
17
18a, 20, 21
22
23
24
24a, 25
26
27
27a, 28
29
Zu Abhandlung I, S. 1-11
Zu Abhandlung II, S. 12, 13
Zu Abhandlung III, S. 14-32
Zu Abhandlung IV, S. 33-66
Zu Abhandlung V, S. 68-77
Zu Abhandlung VI, S. 78-85
Zu Abhandlung VII, S. 86f
Zu Abhandlung VIII, S. 88-92
Zu Abhandlung IX, S. 93-96
Zu Abhandlung X, S. 97-104
Zu Abhandlung XI, S. 105-152 und XII, S. 153-210
Zu Abhandlung XIII, S. 215-228
Zu Abhandlung XIV, S. 229-266
Zu Abhandlung XV. S. 267-270
Zu Abhandlung XVI, S. 271-285
Zu Abhandlung XVII, S. 286-318
Zu Abhandlung XVIII, S. 319f
Zu Abhandlung XIX, S. 322
Zu Abhandlung XX, S. 323-329
Zu Abhandlung XXI, S. 331-338
Zu Abhandlung XXII, S. 340-348
Zu Abhandlung XXIII, S. 349-357
Zu Abhandlung XXIV, S. 358-408
Zu Abhandlung XXV, S. 414-438
Zu XXVa, S. 438f
Zu Abhandlung XXVI, S. 440-449
Zu XXVIa, S. 449
Zu Abhandlung XXVII, S. 450-466
Zu XXVIIa
Zu Abhandlung XXVIII, S. 468-485
Zu Abhandlung XXIX, S. 487-492
Zu Abhandlung XXX, S. 493
Verzeichnis der Schriftstücke und Briefe, aus denen Stellen abgedruckt sind, oder auf die Bezug genommen wird
Sachregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen II (Geometrie-2)
Geometrische Abhandlungen 2-1
Vorwort der Herausgeber
Inhaltsverzeichnis zum ersten Teile des zweiten Bandes
I. Über Komplexe, insbesondere Linien- und Kugelkomplexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen. Math. Ann. V, 1872
II. Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. I. Projektivische Untersuchungen über algebraische Minimalflächen. Math. Ann. XlV, 1879
IIa. Selbstanzeigen von II. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin II. Ser. Bd. III, 1879
III. Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. II. Metrische Untersuchungen über algebraische Minimalflächen. Math. Ann. XV, 1879
IIIa. Selbstanzeigen von III. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin II. Ser. Bd. III, 1879
IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Math. Ann. Bd. XX, 1882
V. Bemerkungen zu v. Helmholtzs Arbeit: Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. Leipz. Ber. 1886
VI. Über die Grundlagen der Geometrie. I. Abhandlung. Leipz. Ber. 1890
VII. Über die Grundla.gen der Geometrie. II. Abhandlung Leipz. Ber 1890
VIII. Bemerkungen zu neueren Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie. Leipz. Ber. 1892
IX. Sur les fondements de la Géométrie. C. R. Bd. 114, 1892
Geometrische Abhandlungen 2-2
SOPHUS LIE -- Nach einem Ölgemälde von Erik Werenskiold
Vorwort der Herausgeber
Inhaltsverzeichnis zum zweiten Teile des zweiten Bandes
X. Sur une interprétation nouvelle du théorème d'Abel C. R. Bd. 114, 1892
XI. Untersuchungen über Translationsflächen. Abhandlung I. Leipz. Ber. 1892
XII. Untersuchungen über Translationsflächen. Abhandlung II. Leipz. Ber. 1892
XIII. Die Theorie der Translationsflächen und das Abelsche Theorem. Leipz. Ber. 1896
XIV. Das Abelsche Theorem und die Translationsmannigfaltigkeiten. Leipz. Ber. 1897
XV. Liniengeometrie und Berührungstransformationen. Leipz. Ber. 1897
XVI. Fortale til nytrykk av en avhandling av Caspar Wessel. Arch. for Math. og Phys. 1896
XVII. Drei Kapitel aus dem unvollendeten zweiten Bande der Geometrie der Berührungstransformationen. Math. Ann. Bd. LIX, 1904
Kap. I. Die Berührungstransformationen des Raumes und ihre Bestimmung
Kap. II. Einführung in die Transformationstheorie der partiellen Differentialgleichungen
Kap. III. Die Berührungstransformationen des Raumes, die durch zwei Gleichungen zwischen x, y, z, x_1, y_1, z_1 definiert werden
Anmerkungen zum Band 2
Die Abweichungen dieser Ausgabe von den ersten Drucken
1
2
2a, 3
3a, 4
5, 6
7
8, 9, 10, 11
12
13
14
15
17
Zu Abhandlung I, S. 1-121
Zu Abhandlung II, S. 122-215
Zu Abhandlung III, S. 219-265
Zu Abhandlung IV, S. 267-373
Zu Abhandlung V, S. 374-379
Zu Abhandlung VI, S. 380-413
Zu Abhandlung VII, S. 414-468
Zu Abhandlung VIII, S. 469-476
Zu Abhandlung IX, S. 477-479
Zu Abhandlung X, S. 481-483
Zu Abhandlung XI, S. 484-506
Zu Abhandlung XII, S. 507-525
Zu Abhandlung XIII, S. 526-579
Zu Abhandlung XIV, S. 580-639
Zu Abhandlung XV, S. 640-688
Zu Abhandlung XVI, S. 689, 690
Zu Abhandlung XVII, 691-812
Verzeichnis der Briefe und Schriftstücke, auf die Bezug genommen wird
Sachregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Zu Band I
Zu Band II
Zu Band III
Zu Band IV
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen III (Differentialgleichungen-1)
Vorwort des Herausgebers
Inhaltsverzeichnis zum dritten Bande
I. Kurzes Résumé mehrerer neuer Theorien. Christ. Forh. 1872
Ia. Selbstanzeige von I. F. d. M. 1872
II. Neue Integrationsmethode partieller Gleichungen erster Ordnung zwischen n Variabeln. Christ. Forh. 1872
IIa. Selbstanzeige von II. F. d. M. 1872
III. Über eine neue Integrationsmethode partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Gött. Nachr. 1872
IV. Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere über eine Klassifikation derselben. Gött. Nachr. 1872
V. Zur Theorie der Differentialprobleme. Christ. Forh. 1872
Va. Selbstanzeige von V. F. d. M. 1872
VI. Zur Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Christ. Forh. 1872
VIa. Selbstanzeige von VI. F. d. M. 1872
VII. Über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Christ. Forh.1873
VIII. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, in denen die unbekannte Funktion explizite vorkommt. Christ. Forh. 1873
IX. Zur analytischen Theorie d. Berührungstransformationen. Christ. Forh. 1873
X. Über eine Verbesserung der Jacobi-Mayerschen Integrationsmethode. Christ. Forh. 1873
XI. Neue Integrationsmethode eines 2n-gliedrigen Pfaffschen Problems. Christ. Forh. 1873
XIa. Selbstanzeige von XI. Bulletin, II. Ser., Bd. I, 1877
XII. Allgemeine Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Christ. Forh. 1874
XIIa. Selbstanzeige von XII. F. d. M. 1874
XIII. Zur Theorie des Integrabilitätsfaktors. Christ. Forh. 1874
XIIIa. Selbstanzeige von XIII. F. d. M. 1874
XIV. Verallgemeinerung und neue Verwertung der Jacobischen Multiplikatortheorie. Christ. Forh. 1874
XIVa. Selbstanzeige von XIV. F. d. M. 1874
XV. Allgemeine Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. II. Christ. Forh. 1875
XVI. Diskussion aller Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Christ. Forh. 1875
XVIa. Selbstanzeige von XVI. F. d. M. 1875
XVII. Note. Vervollständigung der Theorie der Berührungstransformationen. Arch. I, 1876
XVIII. Résumé einer neuen Integrationstheorie. Arch. I, 1876
XVIIIa. Selbstanzeigen von XVIII. Bulletin, II. Ser., Bd. I, 1877. F. d. M. 1876
XIX. Neue Integrationsmethode der Monge-Ampèreschen Gleichung. Arch. II, 1877
XIXa. Selbstanzeigen von XIX. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin, II. Ser., Bd. III, 1879. F. d. M. 1877
XX. Die Störungstheorie und die Berührungstransformationen. Arch. II, 1877
XXa. Selbstanzeigen von XX. Repert. Bd. II, 1879. Bull., II. Ser., Bd. III, 1879. F. d. M. 1877
XXI. Theorie des Pfaffschen Problems. Erste Abhandlung. .Arch. II, 1877
XXIa. Selbstanzeigen von XXI. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin, II. Ser., Bd. III, 1879. F. d. M. 1877
XXII. Geometriske Meddelelser. Christ. Forh. 1879
XXIII. Bestimmung aller in eine algebraische Developpable eingeschriebenen algebraischen Integralflächen der Differentialgleichung s=0. Arch. IV, 1879
XXIIIa. Selbstanzeigen von XXlll. F. d. M. 1879. Bulletin, II. Ser., Bd. V, 1881
XXIV. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung. I. Bestimmung ihrer Haupttangentenkurven und Krümmungslinien. Arch. IV, 1879
XXV. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung. II. Das sphärische Bild der Haupttangenten- und Krümmungskurven. Arch. IV, 1879
XXVa. Selbstanzeigen von XXIV und XXV. F. d. M. 1879. Bulletin, II. Ser., Bd. V, 1881
XXVI. Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind. Arch. IV, 1880
XXVIa. Selbstanzeige von XXVI. F. d. M. 1879
XXVII. Résumé af en Integrationstheori. Christ. Forh. 1880, Nr. 1
XXVIIa. Selbstanzeige von XXVII. F. d. M. 1880. Bull., II. Ser., Bd. V, 1881
XXVIII. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung. III. Arch. V, 1880
XXVIIIa. Selbstanzeigen von XXVIII. Bulletin, II. Ser., Bd. V, 1881. F. d. M. 1880
XXIX. Geometriske Meddelelser. Christ. Forh. 1880
XXX. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung. IV. Bestimmung aller Flächen konstanter Krümmung durch successive Quadraturen. Arch. V, 1880
XXXa. Selbstanzeigen von XXX. Bulletin, II. Ser., Bd. V, 1881. F. d. M. 1880
XXXI. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümmung. V. Arch. V, 1881
XXXIa. Selbstanzeigen von XXXI. Bulletin, II. Ser., Bd. V, 1881. F. d. M. 1880
XXXII. Mathematiske Sätninger. Christ. Forh. 1881
XXXIII. Diskussion der Differentialgleichung \dfrac{d^2 z}{dxdy}=F(z). Arch. VI, 1881
XXXIIIa. Selbstanzeige von XXXIII. F. d. M. 1881
XXXIV. Transformationstheorie der partiellen Differentialgleichung s^2 - rt = \dfrac{(1+p^2+q^2)^2}{a^2}. Arch. VI, 1881
XXXIVa. Selbstanzeige von XXXIV. F. d. M. 1881
XXXV. Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen. Arch. VI, 1881
XXXVa. Selbstanzeige von XXXV. F. d. M. 1881
XXXVI. Om algebraiske Differentialligninger, der tilstede infinitesimale Transformationer. Christ. Forh. 1881, Nr. 15
XXXVIa. Selbstanzeige von XXXVI. F. d. M. 1881
XXXVII. Bestimmung aller Raumkurven, deren Krümmungsradius, Torsionsradius und Bogenlänge durch eine beliebige Relation verknüpft sind. Christ. Forh. 1882, Nr. 10
XXXVIIa. Selbstanzeige von XXXVII. F. d. M. 1882
XXXVIII. Untersuchungen über Differentialgleichungen. I. Christ. Forh. 1882, Nr. 21
XXXVIIIa. Selbstanzeige von XXXVIII. F. d. M. 1882
XXXIX. Meddelelse. Christ. Forh. 1882
XL. Untersuchungen über Differentialgleichungen. II. Christ. Forh. 1882, Nr. 22
XLa. Selbstanzeige von XL. F. d. M. 1882
XLI. Untersuchungen über Differentialgleichungen. IV. Christ. Forh. 1883, Nr. 18
XLII. Sätninger. Christ. Forh. 1883
Die Abweichungen dieser Ausgabe von den ersten Drucken
1, 2, 4, 5, 7
8
9, 10, 11
12, 13
14, 15
16
17
18, 18a, 19
20
20a, 21
21a, 23
24, 25, 25a, 26
26a, 27, 28
30
30a, 31, 33
33a, 34, 35
35a, 36, 36a, 37, 37a, 38
38a, 39, 40, 40a, 41
Anmerkungen
Zu Abhandlung I, S. 1-4
Die Liesche Auffassung des Integrationsproblems
Infinitesimale Transformationen und invariante Mannigfaltigkeiten
Die charakteristischen Streifen und die Erzeugung der Integralmannigfaltigkeiten
Die Abbildung der char. Streifen auf die Elemente eines Raumes
Die Abbildung der El. des R_{n+1} auf die Punkte eines R_{2n+1}. Neue Auffassung der Involutionsbeziehung
Zwei Gleichungen mit gemeinsamen Integral-M_n
Zweigliedrige Involutionssysteme
Die charakt. M_2 eines zweigliedrigen Involutionssystems
Die ν-gliedrigen Involutionssysteme
Die infinitesimalen Berührungstransformationen
Konstruktion von Integralen mit Hilfe bekannter inf. B. T.
Eine Verallgemeinerung des Poisson-Jacobischen Theorems
Die Theorie der intermediären Integrale
Zu Abhandlung II, S. 5-11
Zu Abhandlung III, S.12-15
Zu Abhandlung IV, S. 16-26
Beweis des Mayerschen Theorems
Zu Abhandlung V. S. 27-28
Zu Abhandlung VI, S. 29-31
Zu Abhandlung VII, S. 32-63
Die Gleichungen zwischen x_1, ••• , x_n, p_1, ••• , p_n allein. Neue Auffassung der Involutionsbeziehung
Die durch eine Funktionengruppe bestimmten Scharen von Mannigfaltigkeiten
Zu Abhandlung VIII, S. 64-95
Zu Abhandlung IX, S. 96-119
Zu Abhandlung X, S. 120-125
Zu Abhandlung XI, S. 126-148
Pfaffsches Problem und infinitesimale Transformationen
Gleichungen P_{2n}-0, die nicht auf weniger als 2n-1 Veränderliche zurückführbar sind
Lies Zurückführung von P_{2n}, auf P_{2n-1}
Zu Abhandlung XII, S. 149-175
Zu Abhandlung XIII, S. 176-187
Zu Abhandlung XIV, S. 188-206
Zu Abhandlung XV, S. 207-220
Zu Abhandlung XVI, S. 221-251
Zu Abhandlung XVII, S. 252-259
Zu Abhandlung XVIII, S. 260-284
II
Zu Abhandlung XIX, S. 287-294
Zu Abhandlung XX, S. 295-319
Zu Abhandlung XXI, S. 320-354
Zu Abhandlung XXII, S. 355, 356
Zu Abhandlung XXIII, S. 357-366
Zu Abhandlung XXIV, S. 367-374
Zu Abhandlung XXV, S. 375-386
Zu Abhandlung XXVI, S. 387-393
Zn Abhandlung XXVII, S. 394-397
Zu Abhandlung XXVIII, S. 398-418
Zu Abhandlung XXIX, S. 419f
Zu Abhandlung XXX, S. 421-446
Zu Abhandlung XXXI, S. 447-465
Zu Abhandlung XXXII, S. 467f
Zu Abhandlung XXXIII, S. 469-479
Zu Abhandlung XXXIV, S. 480-491
Zu Abhandlung XXXV, S. 492-524
Zu Abhandlung XXXVI, S. 525-530
Zu Abhandlung XXXVII, S. 531-536
Zu Abhandlung XXXVIII, S. 537-547
Zu Abhandlung XXXIX, S. 548-550
Zu Abhandlung XL, S. 551-555
Zu Abhandlung XLI, S. 556-560
Zu Abhandlung LXII, S. 561f
Verzeichnis der Briefe
Sachregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze 1
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen IV (Differentialgleichungen-2)
Vorwort des Herausgebers
Inhaltsverzeichnis zum vierten Bande
I. Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Math. Ann. Bd. VIII, 1874, 75
I. Theorie der Berührungstransformationen
II. Theorie der Gruppen
III. Theorie der homogenen Gruppen
II. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann. Bd. IX, 1875, 76
I
II
Note 1
Note 2
Note 3
IIa. Selbstanzeigen von II. F. d. M. 1875. Repert. Bd. I, 1877
III. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Zweite Abhandlung. Math. Ann. Bd. XI, 1877
I
II
III
Note 1
Note 2
Note 3
Note 4
IIIa. Selbstanzeige von III. Repert. Bd. II, 1879
IV. Zur Theorie der Berührungstransformationen. Leipz. Abh. Bd. XIV, 1888
V. Die linearen homogenen gewöhnlichen Differentialgleichungen. Leipz. Ber. 1891
VI. Über Differentialgleichungen, die Fundamentalintegrale besitzen. Leipz. Ber. 1893
VII. Sur les équations différentielles ordinaires, qui possèdent des systèmes fondamentaux d'intégrales. C. R. Bd. 116, 1893
VIII. Begleitwort zu der deutschen Übersetzung von E. Goursat: Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Leipzig 1893
IX. Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Leipz. Ber. 1895
I
II
III
IV
X. Zur Geometrie einer Mongeschen Gleichung. Leipz. Ber. 1898
XI. Über Berührungstransformationen und Differentialgleichungen. Leipz. Ber. 1898
I
II
III
Anmerkungen
Die Abweichungen dieser Ausgabe vonden ersten Drucken
1
2
2a, 3
3a, 4
5, 6, 7, 8, 9
10, 11
Zn Abhandlung I, 8. 1-96
Zu Abhandlung II, S. 97 bis 151
Zu den Selbstanzeigen von Abhandlung II, S. 151-162
Zu Abhandlung III, S. 163-262
Zn Abhandlung IIIa, S. 262-264
Zu Abhandlung IV, S. 265-290
Zu Abhandlung V, S. 291-306
Zu Abhandlung VI, S. 307-313
Zu Abhandlung VII, S. 314-316
Zu Abhandlung VIII, S. 317-319
Zu Abhandlung IX, S. 320-384
Zu Abhandlung X, S. 385f
Zu Abhandlung XI, S. 387-448
Verzeichnis der Briefe, aus denen Stellen abgedruckt sindoder auf die Bezug genommen wird
Sachregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen V (Transformationsgruppen-1)
Vorwort des Herausgebers
Inhaltsverzeichnis zum fünften Bande
I. Über Gruppen von Transformationen. Gött. Nachr. 1874
II. Theorie der Transformationsgruppen. Erste Abhandlung. Arch. I, 1876
III. Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II. Arch. I, 1876
IIIa. Selbstanzeigen von II und III. Bulletin, II. Ser., Bd. I, 1877. F. d. M. 1876. Repert. Bd. II, 1879
IV. Theorie der Transformationsgruppen. III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeit. Arch. III, 1878
IVa. Selbstanzeigen von IV. Repert. Bd. II, 1879. F. d. M. 1878
V. Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung IV. Arch. III, 1878
Va. Selbstanzeigen von IV und V. Bulletin, II. Ser., Bd. III, 1879
VI. Theorie der Transformationsgruppen. V. Arch. lV, 1879
VIa. Selbstanzeigen von VI. Bulletin, II. Serie, Bd. V, 1881. F. d. M. 1879
VII. Über Flächen, die infinitesimale und lineare Transformationen gestatten. Arch. VII, 1882
VIIa. Selbstanzeige von VII. F. d. M. 1882
VIII. Meddelelse. Christ. Forh. 1882
IX. Über gewöhnliche Differentialgleichungen, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. Arch. VII, 1882
IXa. Selbstanzeige von IX. F. d. M. 1882
X. Klassifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. I. Arch. VIII, 1883. Math. Ann. Bd. XXXII, 1888
XI. Klassifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. (Abhandlung II.) Arch. VIII, 1883. Math. Ann. Bd. XXXII, 1888
XII. Untersuchungen über Differentialgleichungen. III. Christ. Forh. 1883
XIIa. Selbstanzeige von XII. F. d. M. 1883
XIII. Über unendliche kontinuierliche Gruppen. Christ. Forh. 1883, Nr. 12.
XIIIa. Selbstanzeige von XIII. F. d. M. 1883
XIV. Klassifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. III. Arch. VIII, 1883
XIVa. Selbstanzeige von X, XI und XIV. F. d. M. 1883
XV. Mathematiske Meddelelser. I. Christ. Forh. 1884, Nr. 8
XVI. Klassifikatfon und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. IV. Arch. IX, 1884
XVIa. Selbstanzeige von XVI. F. d. M. 1884
XVII. Zur Theorie der Transformationsgruppen. Arch. IX, 1884
XVIIa. Selbstanzeige von XVII. F. d. M. 1884
XVIII. Mathematiske Meddelelser. II. Christ. Forh. 1884, Nr. 9
XIX. Untersuchungen über Transiormationsgruppen. I. Arch. X, 1884-85
XIXa. Selbstanzeige von XIX. F. d. M. 1884
XX. Meddelelse. Christ. Forh. 1884, Oversigt
XX*. Mathematiske Meddelelser. lII. Christ. Forh. 1884, Nr. 15
XXa. Selbstanzeige von XV, XVIII, XX*. F. d. M. 1884
XXI. Über gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. Christ. Forh. 1885, Nr. 21
XXIa. Selbstanzeige von XXI. F. d. M. 1885
XXII. Untersuchungen über Transformationsgruppen. II. Arch. X, 1886
XXIIa. Selbstanzeige von XXII. F. d. M. 1885
XXIII. Zur Theorie der Transformationsgruppen. Christ. Forh. 1888, Nr. 13
XXIV. Ein Fundamentalsatz in der Theorie der unendlichen Gruppen. Christ. Forh. 1889, Nr. 7
Die Abweichungen dieser Ausgabe von den ersten Drucken
1, 2
3
4
5
6
7, 8, 9
10
11
12, 13
13a, 14
15, 16
17, 18, 19
20, 21, 22
22a, 23, 24
Lie über die Anfänge seiner Theorie der Transformationsgruppen -- Aus Briefen an Adolph Mayer
Anmerkungen
Zu Abhandlung I. S. 1-8
Zu Abhandlung II, S. 9-41
Zu Abhandlung III, S. 42-77
Zu Abhandlung IV. S. 78-135
Zu Abhandlung V, S. 136-198
Zu Abhandlung VI, S. 199-223
Zu Abhandlung VII, S. 224-235
Zu Abha.ndlung VIII, S. 236 f
Zu Abhandlung IX, S. 238 f
Zu Abhandlung X, S. 240-281
Zu Abhandlung XI, S. 282-310
Zu Abhandlung XII, S. 311-313
Zu Abhandlung XIII, S. 314-361
Zu Abhandlung XIV, S. 362-427
Zu Abhandlung XV, S. 428-431
Zu Abhandlung XVI, S. 432-446
Zu Abhandlung XVII, S. 447 f
Zu Abhandlung XVIII, S. 449-452
Zu Abhandlung XIX, S. 453-498
Zu Abhandlung XX*, S. 499-502
Zu Abhandlung XXI, S. 503-506
Zu Abhandlung XXII, S. 507-552
Zu Abhandlung XXIII, S. 553-557
Zu Abhandlung XXIV, S. 558-560
Verzeichnis der aus Briefen und aus dem. handschriftlichen Nachlasse abgedruckten Stücke. Lie an A. Mayer.
Sachregister
Gruppenregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen VI (Transformationsgruppen-2)
Vorwort des Herausgebers
Inhaltsverzeichnis zum sechsten Bande
I. Theorie der Transforma.tionsgruppen. J. Math. Ann. XVI, 1880
I
II
II. Über Differentialinvarianten. Math. Ann. XXIV, 1884
III. Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine kontinuierliche, endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. XXV, 1885
IV. Die Begriffe Gruppe und Invariante. Leipz. Ber., 1887. American Journal, Bd. VI, 1889
V. Beiträge zur allgemeinen Transformationstheorie. Leipz. Ber., 1888
VI. Die infinitesimalen Berührungstransformationen der Mechanik. Leipz. Ber., 1889
VII. Reduktion einer Transformationsgruppe auf ihre kanonische Form. Leipz. Ber., 1889
VIII. Über irreduzible Berührungstransformationsgruppen. Leipz. Her., 1889
IX. Neuer Beweis des zweiten Fundamentalsatzes in der Theorie der Transformationsgruppen. Leipz. Ber., 1890
X. Bestimmung aller r-gliedrigen transitiven 'l'ransformationsgruppen durch ausführbare Operationen. Leipz. Ber., 1890
XI. Die Grundlagen für die Theorie der unendlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. I. Abhandlung. Leipz. Ber., 1891
XII. Die Grundlagen für die Theorie der unendlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. II. Abhandlung. Leipz. Ber., 1891
XIII. Sur une application de la théorie des groupes continus à la théorie des fonctions. C. R. Bd. 114, 1892
XIV. Über einige neuere gruppentheoretische Untersuchungen. Leipz. Ber., 1892
XV. Über die Gruppe der Bewegungen und ihre Differentialinvarianten. Leipz. Ber., 1893
XVI. Bemerkungen zu Ostwalds Prinzip des ausgezeichneten Falles. Leipz. Ber., 1894
XVII. Zur Theorie der Transformationsgruppen. Leipz. Ber., 1894
XVIII. Untersuchungen über unendliche kontinuierliche Gruppen. Leipz. Abh. Bd. XXI, 1895
I
II
III
IV
XIX. Bestimmung aller Flächen, die eine kontinuierliche Schar von projektiven Transformationen gestatten. Leipz. Ber., 1895
XX. Verwertung des Gruppenbegriffes für Differentialgleichungen. I. Leipz. Ber., 1895
XXI. Influence de Galois sur le développement des Mathématiques. Le Centenaire de l'École normale, Paris 1895
XXII. Lie über seine, aus dem Jahre 1874 herrührende Integrationstheorie. Leipz. Ber., 1895
XXIII. Beiträge zur allgemeinen Transformationstheorie. Leipz. Ber., 1895
XXIV. Die infinitesimalen. Berührungstransformationen der Optik. Leipz. Ber., 1896
XXV. Zur allgemeinen Transformationstheorie. Leipz. Ber., 1896
XXVI. Zur Invariantep.theorie der Gruppe der Bewegungen. Leipz. Ber., 1896
XXVII. Die Theorie der Integralinvarianten ist ein Korollar der Theorie der Differentialinvarianten. Leipz. Ber., 1897
I
II
III
IV
V
VI
XXVIII. Über Integralinvarianten und ihre Verwertung für die Theorie der Differentialgleichungen. Leipz. Ber., 1897
I
II
III
IV
XXIX. Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse. No. 1. Christiania 1902
XXX. Bemerkungen bei der Vorlegung von Arbeiten von G. Scheffers, L. Maurer, E. Study. Leipz. Ber. 1889, 1894, 1896
Anmerkungen
Die Abweichungen dieser Ausgabe von denersten Drucken
1
2
3
4, 5, 6, 7, 8
9, 10
11, 12, 13, 14, 15
16, 17, 18
19
20
23, 24, 25
26, 27, 28
29
Zu Abhandlung I, S. 1-94
Zur Vorgeschichte der Abhandlungen II und III, S. 95-138 und S. 139-223
Zu Abhandlung II, S. 95-138
Zu Abhandlung III, S. 139-223
Zu Abhandlung IV, S. 224-229
Zu Abhandlung V, S. 230-236
Zu Abhandlung VI, S. 237-247
Zu Abhandlung VII, S. 248-259
Zu Abhandlung VIII, S. 260-266
Zu Abhandlung IX, S. 267-287
Zu Abhandlung X, S. 288-299
Zu Abhandlung XI, S. 301-330
Zu Abhandlung XII, S. 331-364
Zu Abhandlung XIII, S. 365-367
Zu Abhandlung XIV, S. 368-375
Zu Abhandlung XV, S. 376-383
Zu Abhandlung XVI, S. 384 f
Zu Abhandlung XVII, S. 386-395
Zu Abhandlung XVIII, S. 396-493
Zu Abhandlung XIX, S. 494-538
Zu Abhandlung XX, S. 539-591
Zu Abhandlung XXI, S. 592-601
Zn Abhandlung XXII, S. 601
Zn Abhandlung XXIII, S. 602-614
Zu Abhandlung XXIV, S. 615-617
Zu Abhandlung XXV, S. 618-638
Zu Abhandlung XXVI, S. 639-648
Zu Abhandlung XXVII, S. 649-663
Zu Abhandlung XXVIII, S. 664-701
Zu Abhandlung XXIX, S. 702-749
Zu Nr. XXX, S. 750-752
Verzeichnis der aus Briefen abgedruckten Stücke
Sachregister
Namenregister
Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze
Sophus Lie Gesammelte Abhandlungen VII (Fünfunddreissig Abhandlungen aus dem Nachlass)
Vorwort
Forord
Inhaltsverzeichnis
I. Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen II
II. Über partielle Differentialgleichungen zwischen vier Variabeln
III. Über partielle Gleichungen erster Ordnung mit bekannten infinitesimalen Transformationen
IIIa. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit bekannten infinitesimalen Berührungstransformationen
IV. Über partielle Gleichungen erster Ordnung
IVa. Über partielle Gleichungen erster Ordnung zwischen n Variabeln
V. Über Differentialgleichungen, welche bekannte infinitesimale Transformationen gestatten
VI. Partielle Differentialgleichungen und Pfaffsches Problem
VII. Zur Invariantentheorie der Berührungstransformationen
VIII. Über das Pfaffsche Problem
IX. Partielle Differentialgleichungen und Berührungstransformationen
X. Neue Integrationsmethode eines beliebigen Pfaffschen Problems
XI. Semilineare und quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung und Pfaffsche Systeme
XII. Verallgemeinerung der Cauchyschen Integrationstheorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
XIII. Geschichtliche Bemerkungen zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
XIIIa. Zur Geschichte der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
XIV. Über simultane Systeme, die in den unbekannten Funktionen linear und homogen sind
XV. Schar von ∞^3 oder ∞^4 Kurven des Raumes, die eine Gruppe von Punkttransformationen gestattet
XVI. Die Transformationsgruppen einer Gleichung: s - F(x, y, z) = 0
XVII. Die Transformationsgruppen einer Gleichung s - F(x, y, z, p, q) = 0
XVIII. Über partielle Differentialgleichungen von der Form: s = F(x, y, z, q)
XIX. Über partielle Differentialgleichungen
XX. Sur les groupes continus infinis et les équations différentielles
XXI. Zur Invariantentheorie der unendlichen Gruppen
XXII. Gruppentheorie, angewandt auf Geometrie
XXIII. Über einen Linienkomplex im R_4
XXIV. Bestimmung der Haupttangentenkurven einer Flächenfamilie
XXV. Zur Flächentheorie
XXVI. Ausdehnung des Meusnierschen Theorems
XXVII. Neue geometrische Deutung und Verwertung des Abelschen Theorems
XXVIII. Funktionalgleichungen, welche die Abelschen Integrale erster Gattung definieren
XXVIIIa. Einzelne Aufzeichnungen über Funktionalgleichungen, welche die Abelschen Intgrale erster Gattung definieren
XXIX. Translations-M_3 zweiter Art im R_4
XXIXa. Einzelne Aufzeichnungen zu den Translations-M_3 zweiter Art im R_4
XXX. Über die Plückersche Liniengeometrie
XXXI. Über den Einfluß der Geometrie auf die Entwicklung der Mathematik

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Library of Congress Catalog Card Number: 72-12819 ISBN 0-384-32619-6 Reprinted with the permission of B. G. Teubner, Stuttgart First reprinting 1973, all rights reserved Johnson Reprint Corporation, 111 Fifth Avenue, New York, New York 10003 Printed in Germany

SOPI-IUS LIE

SOPI-IUS LIE

SAMLEDE AVHANDLINGER VED BEVILGNING FRA STATENS FORSKNINGSFOND AV 1919 OG MED UNDERST0TTELSE AV VIDENSKAPSAKADEMIET I OSLO OG VIDENSKAPERNES AKADEMI I LEIPZIG UTGIT AV

NORSK MATEMATISK FORENING VED

FRIEDRICH ENGEL

POUL HEEGAARD

PROFESSOR VED UNIVERSITETET

PROFESSOR VED UNIVERSITETET

I GIESSEN

I OSLO

F0RSTE BIND MED ET BILLEDE

OSLO H. ASCHEHOUG & CO. 1934

LEIPZIG B. G. TEUBNER 1934

SOPHUS LIE

GESAMMELTE ABHANDLUNGEN AUJf GRUND EINER BEWILLIGUNG AUS DEM NORWEGISCHEN FORSCHUNGSFONDS VON 1919 MIT UNTERSTÜTZUNG DER VIDENSKAPSAKADEMI ZU OSLO. UND DER AKADEMIE DER WISSENSCHAifTEN ZU LEIPZIG HERAUSGEGEBEN VON DEM

NORWEGISCHEN MATHEMATISCHEN VEREIN DURCH

FRIEDRICH ENGEL

POUL HEEGAARD

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT GIESSEN

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT OSLO

ERSTER BAND MIT EINEM BILDNISSE

LEIPZIG B.G.TEUBNER 1934

OSLO H. AS CHEHOUG & CO. 1934

GEOMETRISCHE ABHANDLUNGEN ERSTE ABTEILUNG HERAUSGEGEBEN VON

FRIEDRICH ENGEL

uNn

POUL HEEGAARD

GEOMErrRISKE AVHANDLINGER F0RSTE AVDELING UTGITT AV

FRIEDRICH ENGEL

oG

POUL HEEGAARD

PRINTED IN GERMANY

Vorwort der Herausgeber. Endlich ·kann auch der erste Band dieser Ausgabe erscheinen. Das ihm beigegebene Bild beruht auf einer Photographie, die 1882 aufgenommen ist. Von den in Band I enthaltenen 80 Abhandlungen sind die ersten 16 früher geschrieben und, mit Ausnahme von II, VII und XV, auch früher veröffentlicht als alle in den Bänden III-VI vereinigten. Man findet darin insbesondere Lies erste Darstellungen der geometrischen Entdeckungen, die seinen Namen sogleich in der ganzen mathematischen Welt bekannt gemacht haben. Der eine von uns, Engel, hat seinerzeit die Ausgabe mit den Abhandlungen über Di{ferentialgleichungen begonnen und dann die über kontinuierliche Transformationsgruppen folgen lassen, während er die wesentlich geometrischen bis zuletzt aufsparte. Er hat dieses Verfahren deshalb gewählt, weil gerade die geometrischen Abhandlungen an den Leser zum Teil ganz ungewöhnliche Anforderungen stellen, während ihm die für Band III bis VI bestimmten wesentlich leichter zugänglich erschienen und auch viel genauer bekannt waren. Er hoffte, man werde besser und tiefer in das Verständnis der geometrischen Abhandlungen eindringen können, wenn vorher die über Differentialgleichungen und Transformationsgruppen vollstandig durchgearbeitet wären. Das hat sich in der Tat bestätigt. Wenn wir auch nicht den Anspruch erheben können, alle Schwierigkeiten überwunden zu haben, welche besonders die Abhandlungen I bis XVI des vorliegenden Bandes dem Leser bieten, so würde es uns doch zweifellos an einer sehr großen Zahl von Stellen nicht ge . . lungen sein, zu erraten, was Lie gemeint und wie er einzelne seiner Behauptungen begründet hat, hätten wir nicht für die geometrischen Arbeiten alle die Hilfsmittel heranziehen können, welche die genaue Kenntnis der Arbeiten über Differentialgleichungen und Transformationsgruppen gewährt. Da sich Engel keineswegs für einen Geometer ausgeben kann - er würde auch von Lie selbst nie als ein solcher anerkannt worden sein-, so bot der andere von uns, Heegaard, gerade für die Herausgabe der geometrischen Abhandlungen die dringend notwendige Ergänzung. Leider ist dieser durch seine Lehrtätigkeit und durch andere, immer neu auftauchende Verpflichtungen so in Anspruch genommen gewesen, daß von Abhandlung XI an die Ausarbeitung der Anmerkungen von Engel allein besorgt werden mußte.1) Die Abhandlungen I, III und IV sind die ersten Arbeiten, die Lie veröffentlicht hat. Abhandlung II dagegen ist erst nach seinem Tode, 1899, von 1) Es drängt mich, hier eine persönliche Bemerkung hinzuzufügen. Enge 1 ist sicher im Augenblicke· der beste Kenner von L i·e s gesamtem Schaffen und insbesondere von dem Inhalte der bisher erschienenen Bände III bis VI. Seine Anmerkungen zu den geometrischen Abhandlungen tragen durch die große Zahl der Verweisungen nicht wenig dazu bei, a 11 e Abhandlungen zu einer organisch Po u 1 He e g a a r d. zusammenhängenden Einheit zu verknüpfen.

VIII

Vorwort der Herausgeber

Sylow herausgegeben worden und hat heutzutage nur noch geschichtlichen Wert, da ihr Inhalt in III ausführlich dargestellt wird. Aber auf die anderen drei müssen wir etwas näher eingehen, denn sie sind zur Zeit wohl vollständig unbekannt und haben sicher auch in den Jahren nach ihrem Erscheinen nur wenig Leser gefunden. Man kann sogar zweifeln, ob damals auch nur ein Mathematiker sich die Mühe gemacht hat, sie wirklich durchzua,rbeiten. Namentlich wird das von der selbst heute noch recht schwer lesbaren Abhandlung IV gelten. Die Aufgabe, mit der sich Lies Erstlingsarbeiten beschäftigen, nämlich die Veranschaulichung der komplexen Gebilde der ebenen Geometrie, ist merkwürdigerweise schon zehn Jahre früher von einem anderen Norweger behandelt worden. Aus der Feder von C. A. Bjerknes liegt die folgende Schrift vor: ,,Über die geometrische Repräsentation der Gleichungen zwischen zwei veränderlichen reellen oder komplexen Größen". Universitätsprogramm für das zweite Halbjahr 1859. Christiania. Gedruckt bei Brögger & Christie. 1859. 63 s. 4°. Nun hat Lie als Student Vorlesungen bei Bjerknes gehört, und es ist kaum denkbar, daß er dessen Schrift nicht gesehen haben sollte. Die Kleinheit der Verhältnisse an der Universität Christiania, wo in den sechziger Jahren Studenten und Dozenten alle einander kannten, scheint das auszuschließen. Trotzdem können wir nicht glauben, daß Lie durch dieses Programm zu seinen eigenen Untersuchungen angeregt worden ist. Wir sind vielmehr überzeugt, daß die Beschäftigung mit Plückers Schriften den Anstoß dazu gegeben hat. Plückers Gedanke, den Raum von vier Dimensionen durch die Schar aller Geraden des gewöhnlichen Raumes zu veranschaulichen, legt es ja sehr nahe, die 004 komplexen Geraden der Ebene durch die reellen Geraden des Raumes abzubilden. Wir möchten glauben, daß hier die wahre Quelle der Lieschen Repräsentation zu suchen ist. Aus dem Bjerknesschen Programme hat er augens'cheinlich gar nichts entnommen. Da er es nicht nennt, darf man schließen, daß er sich bewußt war, ganz selbständig zu seiner Fragestellung gekommen zu sein; Daß er, wie Bjerknes, den Amdruck ,,Repräsentation" benutzt, ist das einzige, was an seinen Vorgänger erinnert. Es ist das vielleicht kein Zufall, läßt aber keine weiteren Schlüsse zu. Lie bildet den I-Punkt: X= x iy, Z = z ip in dem Raume i, ~, 3 ab, und zwar durch den Punkt:!= x, ~ = y, 5,= z, der mit dem Gewichte p versehen ist. Dabei stellt sich heraus, daß jede nicht zur X-Achse parallele I-Gerade durch ihre Nullgerade, nämlich durch den Ort der Bilder ihrer Nullpunkte, der Punkte vom Gewichte Null, vollständig bestimmt ist, und zwar ist diese Nullgerade nicht parallel zur Ebene 5 = 0. Umgekehrt repräsentiert jede nicht zur Ebene 5 = 0 parallele Gerade eine nicht zur X-Achse parallele I-Gerade. Andererseits wird jede zur X-Achse parallele I-Gerade Z = Const. durch eine zur Ebene 5 = 0 parallele Ebene repräsentiert, deren Punkte alle gleiches Gewicht haben. Die Bilder der durch einen 1-Pu:nkt gehenden J-Geraden, die nicht zur X-::Achse parallel sind, bilden nun eine Kongruenz ersten Grades, deren besondere. Beschaffenheit durch die Eigenschaft gekennzeichnet wird, daß sie zu Leitlinien zwei konjugiert imaginäre Gerade durch die Kreispunkte der Ebene 5 = 0 hat. Diese.Kongruenz kann: sogar geradezu als Repräsentant des I-Punktes betrachtet werden. Dadurch wird der Gewichtsbegriff für viele Betrachtungen ganz entbehrlich, und die Abbildung der 1-Pm.rkte und der 1-Ge-

+

+

Vorwort der Herausgeber

IX

raden der Z, X-Ebene auf den Raum !, ~' ~ erhält eine rein geometrische Fassung. Was Lie mit dieser seiner Abbildung gemacht hat, davon muß man sich selber überzeugen, indem man die drei Abhandlungen durcharbeitet. Wir haben uns in den Anmerkungen bemüht, das dem Leser möglichst zu erleichtern; zum Teil durch solche geometrische Betrachtungen, wie sie Lie selbst angestellt haben mag, meistens aber durch analytische Entwickelungen, die gestatten, Lies Betrachtungen in Formeln zu kleiden und seine Sätze zu beweisen. Er selbst deutet ja die Begründung oft nur äußerst kurz an oder überläßt sie dem Leser ganz. Wer sich in diese Lieschen Abhandlungen ei:n,arbeitet, der wird auf Schritt und Tritt erkennen, wie sehr Lie die damalige Geometrie der Ebene und des Raumes beherrscht, namentlich aber wird er nicht umhin können, die Schärfe und Tiefe des Blickes zu bewundern, mit dem Lie überall die Zusammenhänge und Beziehungen durchschaut, die bestehen, an ß.enen aber die meisten vorübergehen würden, ohne sie zu bemerken. Das Ganze ist eine Erstlingsleistung, die in der Beherrschung des Stoffes überall den Meister verrät, nur erstreckt sich diese Meisterschaft nicht auf die Darstellung, die nach der gewöhnlichen Art der Anfänger dem Leser viel zu viel zutraut und zumutet. Sieht man aber von diesen Mängeln ab, so kann man mit Fug und Recht die Worte anwenden, mit denen in Rune bergs Fänrik Stal ein junger Held gefeiert wird, der im Alter von noch nicht 16 Jahren gefallene Graf von Schwerin: ,,Ett mästerstycke jag kalla ma slik lärospan. Vins sadan ära med första sprang, hvad l1inner han ei, om hans tid blir lang?" Zu deutsch:

,,Ein Meisterstück ich doch nennen muß, solch Lehrlingstat. Bringt so viel Ehre sein erster Gang, was leistet er nicht, wenn sein Tag wird lang?" Welch ein Glück, daß Lie nachher noch 30 Jahre des Schaffens vergönnt gewesen sind! Was den Inhalt der Abhandlungen I, III, IV angeht, so wollen wir hier nur das eine hervorheben: Die Transformationen, die später Lies eigenstes Arbeitsgebiet werden sollten, spielen auch schon in diesen Erstlingsarbeiten eine hervorragende Rolle. Er behandelt die projektiven Transformationen der Z, X-Ebene von zwei verschiedenen Gesichtspunkten aus. Einerseits liefert jede solche Transformation eine Korrespondenz zwischen zwei Räumen, bei welcher den Nullpunkten eines gewissen Hyperboloides mit horizontalen Kreisschnitten die Nullpunkte eines anderen Hyperboloides derselben Art entsprechen, während gleichzeitig die Geraden beider Räume auf einander abgebildet werden (Ahh. I, S.10; III, S. 24; IV, S. 34f.). Andererseits werden allen Nullpunkten des. einen Raumes gewisse mit Gewichten behaftete Punkte des anderen zugeordnet. Wird von diesen Gewichten abgesehen, so erhält man eine Beziehung, die jedem reellen Punkte des einen Raumes einen reellen Punkt

X

Vorwort der Herausgeber

des anderen zuordnet, der außerhalb eines gewissen Kegels zweiten Grades liegt. Jedem solchen Punkte wiederum entsprechen im allgemeinen zwei verschiedene Punkte des ersten Raumes, wodurch in diesem eine merkwürdige involutorische Transformation bestimmt ist (Abh. IV, S. 53-66). Beide Gesichtspunkte führen zu einer Fülle der verschiedenartigsten Abbildungen. Von den dualistischen Transformationen der Z, X-Ebene werden nur die Polarsysteme näher untersucht, die zu einem allgemeinen I-Kegelschnitte gehören (Abh. IV, S. 46-58). Den I-Punkten Z, X vom Gewichte Null werden hier I-Gerade zugeordnet, deren Bilder im Raume !, tJ, 3 die Geraden eines tetraedralen Komplexes sind. Man erhält daher im Raume!, tJ, 3 eine Abbildung der Punkte auf die Geraden eines solchen Komplexes. Aus der Beziehung zwischen Pol und Polare folgt, daß den Punkten jeder Komplexgeraden Komplexgerade entsprechen, die durch einen Punkt gehen. Man hat somit eine involutorische Zuordnung zwischen den Punkten und den Geraden eines tetraedralen Komplexes. Lie wurde also hier ganz von selbst auf eine Transformation des Raumes geführt, bei der den Punkten gerade Linien entsprechen, andererseits aber gewissen geraden Linien die Punkte. Er hat damals auch schon die dualistischen Transformationen der Z, XEbene untersucht, die niob.t involutorisch sind. Im Raume ~' t), 3 ergab sich eine. Zuordnung, bei der den Punkten die Geraden eines Komplexes vom zweiten Grade entsprechen, der aus den Treffgeraden eines Kegelschnitts besteht. Gleichzeitig trat ein linearer Linienkomplex auf, dessen Gerade die Eigenschaft haben, daß den Punkten einer· jeden solche Gerade des Komplexes zweiten Grades entsprechen, die durch einen Punkt gehen. Die hierdurch bestimmte Transformation des Raumes sollte in der nicht erschienenen Fortsetzung der Abhandlung IV betrachtet werden~ Lie gibt selbet an, er habe im Februar 1869 die Transformation entdeckt, welche die Kugeln in die geraden Linien überführt. Das kann sich nur auf die hier besprochene bezieheni vorausgesetzt, daß man den erwähnten Kegelschnitt durch projektive Transformation in den Kugelkreis übergeführt hat (vgl. S. 660, Z. 11-18, S. 663f.). Die beiden Transformationen des Raumes, zu denen Lie durch seine Repräsentation der Imaginären geführt worden war, gehören zu der allgemeinen Klasse der Berührungstransformationen, die spätßr, als den Punkttransformationen neben- oder vielmehr übergeordnet, gerade durch ihn ein so mächtiges Hilfsmittel der Geometrie und der Analysis werden sollten. Bis dahin verwendete man von Transformationen dieser Art nur die Po n c e 1et- Ger gonnesche Dualität, die Plücker bereits verallgemeinert hatte (Abh. XI, S.106--:-108), ferner als rein analytische Verfahren zur Transformation von partiellen Differentialgleichungen die sogenannten Transformationen von Legendre und von Ampere (Abh. XI, S. 121, 188, 606f.), die freilich sogar für einen Raum von beliebig vielen Dimensionen schon von Euler in seinem Calculus integralis verwendet worden waren (Bd. III d. Ausg., Abh. XII, S. 159, 671, 622). Noch allgemeinere analytische Umformungen partieller Differentialgleichungen erster Ordnung hatte außerdem J a.co bi betrachtet, doch sind diese wohl erst wesentlich später zu Lies Kenntnis gekommen. Dasselbe gilt von dem Versuche, den P. du Bois-Reymond '1864 gemacht hatte, die Theorie der Berührungstransformationen des gewöhnlichen Raumes allgemein zu entwickeln.

Vorwort der Herausgeber

XI

Jedenfalls war es von der größten Bedeutung, daß Lie, als er im Winter 1869-70 nach Berlin kam und dort mit F. Klein zusammentraf, bereits grundsätzlich mit solchen Transformationen arbeitete und sie ganz frei handhabte. Dem Zusammensein mit Klein ist dann die von diesem ausgearbeitete Abhandlung V zu verdanken, in der tatsächlich eine große Menge von Berührungstransformationen betrachtet werden, die zu dem tetraedralen Komplexe in Beziehung stehen (vgl. S. 639-645), solche Berührungstransformationen nämlich, bei denen die dreigliedrige projektive Gruppe des Fundamentaltetraeders invariant bleibt. In Abh_andlung V werden nur solche Kurven und Flächen betrachtet, die bei der projektiven Gruppe des Fundamentaltetraeders je 003 verschiedene Lagen annehmen. F. Klein war es, der darauf aufmerksam machte, daß die Kurven, die eine eingliedrige Untergruppe der Gruppe gestatten, und die Flächen, die eine zweigliedrige gestatten, die W-Kurven und W-Flächen, besonders untersucht werden müssen. So entstanden in Paris die beiden gemeinsamen Noten VI, in denen aber wiederum die Berührungstransformationen eine große Bolle spielen. Dabei wird eine formelle Vereinfachung benutzt, es wird nämlich die projektive Gruppe des Tetraeders durch die logarithmische Transformation in die Gruppe der Translationen übergeführt, und nun tatsächlich die unendliche Gruppe aller Berührungstransformationen betrachtet, bei denen die Gruppe der Translationen invariant bleibt. Zu bemerken ist ferner, daß hier bereits Lies neue Auffassung der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung im Hintergrunde steht, daß er mit den Begriffen Flächenelement, vereinigte Lage, Verein von Flächenelementen arbeitet und die Verallgemeinerung der Enveloppentheorie anwendet, die sich bei Einführung des Veteinsbegriffs von selber darbietet (S. 648--fi59). Die den Noten VI zugrundeliegenden Gedanken sind später in der gemeineamen Abhandlung XIV näher entwickelt worden, allerdings nur für die Ebene. Der Plan, für den Raum Entsprechendes zu machen, ist unausgeführt geblieben. In Paris bemerkte Lie Anfang Juli 1870, daß seine Transformation, bei der die Kugeln in die geraden Linien übergehen, zugleich die merkwürdige Eigenschaft hat, Krümmungslinien in Haupttangentenkurven überzuführen. Erst hiermit trat die ganz ungewöhnliche Wichtigkeit der Transformation an den Tag. Gerade diese Entdeckung sollte für ihn die Quelle einer ganzen weitausgreifenden Theorie werden. Zunächst gelang es ihm sofort, aus den bekannten Krümmungslinien der Zyklide die Haupttangentenkurven der K ummerschen Fläche vierter Ordnung und Klasse abzuleiten. Dadurch wurde wiederum Klein angeregt, die Bestimmung dieser Haupttangentenkurven unmittelbar durchzuführen, ohne sich auf Lies Geradenkugeltransformation stützen zu müssen. Alles das haben Klein und Lie später in der gemeinsamen Abhandlung X dargestellt, die Kummer der Berliner Akademie vorgelegt hat. Lie andererseits machte sclion am 5. Juli 1870 der Videnskabsselskab in Ohristiania eine Mitteilung, die Abhandlung VII, die freilich bis zum Jahre 1899 in dem Archive der Gesellschaft verborgen geblieben ist. Diese enthält zugleich die ersten Andeutungen über seine neue Auffassung der Minimalflächen, über die Berührungstransformationen, bei denen Minimalflächen in Minimalflächen

XII

Vorwort der Herausgeber

übergehen und über den durch die logarithmische Transformation vermittelten Zusammenhang zwischen den Minimalflächen und gewissen, zum Teil schon in Abh. V betrachteten Flächen (S. 660-662). Den Versuch, den Li e bald nachher machte, zu Fuß nach Italien zu wandern, mußte er mit einem Monate Gefängnis in Fontainebleau büßen, hatte aber da, wie er 1877 an A. Mayer schreibt, die schönste Ruhe zur Entwickelung seiner Entdeckung, die ihm ohne Vergleichung das größte Vergnügen verschafft hat (Bd. III d. Ausg., S. 691). Vielleicht ist die vom 24. Oktober 1870 datierte Abhandlung IX in Fontainebleau niedergeschrieben, denn sie deutet schon eine ganze Reihe der neuen Theorien an, die Lie in Abhandlung XI und XII ausführlicher dargestellt hat. Dagegen bringt er in Abhandlung VIII, die von. Chasles am 81. Oktober 1870 der Pariser Akademie vorgelegt worden ist, eigentlich nur solche Dinge, die sich ihm sofort darboten, nachdem er den Zusammenhang zwischen den Krümmungslinien und den Haupttangentenkurven durchschaut hatte. Es wäre ein verge'bliches Beginnen, wollten wir versuchen, hier auch nur einige der neuen Gedanken und Theorien zu besprechen, mit denen der Leser in Abhandlung XI und XII geradezu überschüttet wird. Man kommt aus dem Staunen nicht heraus, wenn man sieht, was Lie alles aus dem einen Grundgedanken hervorgezaubert hat. Diese Abhandlungen verdienen das gründlichste Studium, erfordern es aber auch, will man sie wirklich verstehen. Wir hoffen, daß die Anmerkungen die wesentlichsten Schwierigkeiten, die dem Verständnisse entgegenstehen, aus dem Wege räumen, und begnügen uns mit den folgenden Bemerkungen. Abhandlung XI, Lies Dissertation, war in norwegischer Sprache geschrieben und erscheint hier zum ersten Male_ in deutscher Übersetzung, noch erweitert durch die Erläuterungen, die Lie in einen durchschossenen Abdruck eingetragen hat. Die Arbeit würde wohl gänzlich unbeachtet geblieben sein, wäre nicht sie und ihre Fortsetzung, Abhandlung XII, von Lie in umgearbeiteter Fassung in Band V der Mathematischen Annalen veröffentlicht worden; Diese große Abhandlung: ,,Über Komplexe" ist 1872 erschienen und wird Band II der Ausgabe eröffnen. Dann noch ein Wort über die analytischen Hilfsmittel, deren sich Lie in den beiden Abhandlungen bedient. Diese sind äußerst elementar, ja man kann sie mit Study geradezu als primitiv bezeichnen, selbst von dem Standpunkte aus, auf dem sich die analytische Geometrie 1871 befand. Study h~t es Lie zum Vorwurfe gemacht, daß sich dieser auch in seiner 1896 erschienenen, von Scheffers bearbeiteten ,,Geometrie der Berührungstransformationen" mit denselben primitiven Hilfsmitteln begnügt hat wie 1871. Auf diesen Vorwurf ist zu erwidern, daß Lie ja gar nicht die Absicht hatte, die Singularitäten seiner Geradenkugeltransformation im einzelnen zu studieren, daß er vielmehr diese Transformation auf gewisse partielle Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung anwenden wollte. Für das Studium der singulären Erscheinungen, die dabei auftreten, reichen aber seine primitiven Hilfsmittel vollkommen aus. Nur das erscheint nicht recht begreiflich, daß Lie es noch 1896 verschmäht hat, sich den Laguerreschen Begriff der orientierten Kugel zunutze zu machen, obwohl er im Grunde selber schon 1871 in Abhandlung XIII (S. 221, 738, Z. 9 f.) mit diesem Begriffe operiert hat.

Vorwort der Herausgeber

XIII

Für die Zwecke, die Lie verfolgt, lassen die nichthomogenen Kugelkoordinaten X, Y, Z, H nichts zu wünschen übrig, wenn man nur die Kugeln orientiert, das heißt, wenn man einen Vorzeichenwechsel von H als den Übergang zu einer anderen, zu der entgegengesetzt orientierten Kugel betrachtet. Wie außerordentlich bequem ist es, diese Größen auf Grund der Geradenkugeltransformation nach Belieben auch als nichthomogene Linienkoordinaten betrachten zu können (Abh. XI, S. 189). Man muß nur immer im Gedächtnisse behalten, daß die benutzten Kugelkoordinaten bloß bis auf eine beliebige konforme Transformation bestimmt sind, und die Linienkoordinaten bloß bis auf eine beliebige projektive Transformation des linearen Linienkomplexes H= O. Schließlich kann man ja auch mit der größten Leichtigkeit zu homogenen Kugel- und Linienkoordinaten übergehen, wenn man das wünscht (vgl. S. 687). Es würde aber eine ganz unnötige Erschwerung der Ausdrucksweise bedeuten, wenn man sich den Zwang auferlegte, immer nur homogene Koordinaten zu benutzen. Es dürfte sowieso schon den meisten Lesern nicht ganz leicht fallen, sich damit vertraut zu machen, daß jede Gleichung: F(X, Y,Z, H)= 0 je nach Bedarf entweder aufgefaßt werden kann als eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung D11 , deren Charakteristiken Haupttangentenkurven auf den Integralflächen sind (Abh. XII, S. 155-157) oder als eine Differentialgleichung D12 , deren Charakteristiken Krümmungslinien sind (S.157-:-160). Wenn man bedenkt, daß diese Differentialgleichungen in den gewöhnlichen Elementkoordinaten x, y, z, p, q nur mit Hilfe von Eliminationen aufgestellt werden können, die meistens überhaupt nicht durchführbar sind (vgl. S. 170), so erkennt man den ungeheuren Vorteil, den die Liesche Darstellung mit sich bringt. Wir begnügen uns mit diesem einen Beispiele, um dem Leser wenigstens eine Probe von der Tragweite der in Abhandlung XI und XII entwickelten Gedanken zu geben, und setzen unseren Überblick über den Inhalt von Band I fort. Abhandlung XIII und XVI beschäftigen sich mit der Theorie der Orthogonalsysteme, einer Frage, auf welche Lie leider niemals wieder zurückgekommen ist. Dabei werden die Ergebnisse von XVI zum Teil schon in Abhandlung XV angedeutet, die erst nach J:_iies Tode, 1899, im Drucke erschienen ist. Die knappe Fassung aller dieser Abhandlungen machte besonders eingehende Erläuterungen nötig, doch wagen wir nicht zu behaupten, dr,ß wir alle schwierigen Punkte vollständig befriedigend aufgeklärt haben. Erwähnt muß noch werden, daß Abhandlung XV gewisse Entwickelungen von Abhandlung XII auf Räume von beliebig vielen Dimensionen ausdehnt. Wir hoffen, daß es uns da im wesentlichen gelungen ist, wirklich zu erraten, was Lie gemeint hat. Daß zwischen Abhandlung XVI und XVII ein Zeitraum von sechs Jahren. liegt, erklärt sich daraus, daß sich Lie nach 1871 von der Geometrie abwandte. Er widmete sich zunächst den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, die ja schon in Abhandlung XI und XII eine große Rolle gespielt hatten, und dann nahmen ihn die kontinuierlichen Transformationsgruppen vollständig in Anspruch. Schließlich aber, ermüdet durch die unendlichen Rechnungen, deren Ergebnisse nirgends Verständnis .fanden, suchte er eine Art Erholung in der Geometrie (S. 779 und 802). Er beschäftigte sich mit den Minimalflächen,

XIV

Vorwort der Herausgeber

die er schon seit 1870 als Translationsflächen aufzufassen gewohnt war.1 ) Die neue Betrachtungsweise lieferte ihm die Beantwortung von Fragen, die bisher niemand mit Erfolg in Angriff genommen hatte, nämlich die Bestimmung aller algebraischen Minimalflächen, deren Ordnung und Klasse vorgeschriebene Grenzen nicht überschreiten. Nur beging er in seiner ersten Abhandlung über den Gegenstand, es ist das Nr. XVII, ein Versehen. Er glaubte nämlich beweisen zu können, daß auf einer reellen algebraischen Minimalfläche die beiden Scharen von Minimalkurven niemals eine irreduzible Schar bilden, daß also die Fläche keine Doppelfläche sein könne. Er schloß daraus, daß die Klasse einer reellen algebraischen Minimalfläche mindestens gleich 6 sein müsse. Als er im September 1877 auf der Münchener Naturforscherversammlung über seine Ergebnisse berichtete, erfuhr er, daß das Vorhandensein einer reellen Minimalfläche fünfter Klasse als sicher betrachtet werde, eine Behauptung, die allem Anscheine nach auf mündliche Mitteilungen von W eiers traß zurückging. Lie erkannte nun auf den ersten Blick, wo der von ihm begangene Fehlschluß lag, und sandte sofort eine Berichtigung, Abhandlung XVIII, an dieVidenskabsselskab in Christiania. Unmittelbar darauf erhielt er von dem Züricher Privatdozenten L. Henne berg einen Brief und zwei Abhandlungen (S. 786-788), aus dener1 er ersah, daß dieser eine reelle Minimalfläche fünfter Klasse wirklich aufgestellt und auch deren Gleichung veröffentlicht hatte. Er lernte zugleich einen merkwürdigen, von Henne berg entdeckten Satz kennen, der aussagt, daß jeder Zylinder, in den eine -algebraische Minimalfläche eingeschrieben ist, zum senkrechten Querschnitte die Evolute einer algebraischen ebenen Kurve hat. Dieser Henne bergsche Satz wurde für Lie insofern von Bedeutung, als er ihm die Anregung zu weiteren Untersuchungen gab (S. 793f., 802). In den Abhandlungen XIX, XXI-XXIII, die hierdurch vera.nlaßt sind, wird gezeigt, daß in jeden algebraischen Kegel unbegrenzt viele algebraische Minimalflächen eingeschrieben werden können und daß dasselbe auch für gewisse algebraische abwickelbare Flächen gilt. Dagegen gelang es nicht, ein Kennzeichen anzugeben, aus- dem sich ersehen läßt, ob sich in eine vorgelegte algebraische abwickelbare Fläche eine algebraische Minimalfläche einschreiben läßt. Nur soviel ergab sich, daß das Vorhandensein e_iner eingeschriebenen algebraischen · Minimalfläche unbegrenzt viele eingeschriebene Flächen dieser Art nach sich zieht, die a.Ile angegeben werden könnE:D. In Abhandlung XX findet man einen Satz über die S teinersche Fläche; den Lie schon 1869 entdeckt hatte. Es ist sehr bemerkenswert, daß er ihn bei der Steinerschen Fläche erkannt hat, wo der Satz ziemlich verborgen liegt, während er sich bei ihrer natürlichen Verallgemeinerung, der Veronesesehen Fläche im Raume von fünf Dimensionen, viel unmittelbarer darbietet (S. 792). Abhandlung XXIV hätte ebensogut in Band V untergebracht werden können, wäre nicht dieser Band sowieso schon sehr umfangreich ausgefallen. Es handelt sich darin um die Flächen, deren geodätische Kurven eine infinitesimale Punkttransformation gestatten, und zwar ergeben sich drei natürliche Klassen, d.erenjede unbegrenzt viele Flächenumfaßt. Die zweite dieser Klassen 1) Vgl. Abb. VII, S. 86, Nr. 5 und Bd. III d. Ausg., Abb. I (1872), S. 3.

Vorwort der Herausgeber

XV

wird wohl dauernd mit Lies Namen verknüpft bleiben. Während er die erste und die zweite Klasse erschöpfend behandelt hat, ist ihm das bei der dritten, deren Flächen sämtlich ein Bogenelement von der Lfouvilleschen Form haben, nicht gelungen. Dagegen werden alle Flächen bestimmt, die zwei unter den drei Klassen oder gar allen drei gleichzeitig angehören. Nunmehr folgen noch zwei Abhandlungen über Minimalflächen. In XXV werden alle Minimalflächen bestimmt, die gleichzeitig in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte Minimalflächen sind, sowie alle Minimalflächen, die durch Translation einer ebenen oder einer gewundenen Kurve mit Bogenlänge erzeugt werden. In XXVI handelt es sich um die Minima.lflächen, dEiren Bogenelement die Liou villesche Form erhalten kann. Schon 1872 hatte Lie den Satz ausgesprochen, daß jede Fläche, die durch Translation einer Kurve entsteht, noch eine zweite Er7,eugung dieser Art gestattet (Bd. III d. Ausg., Abh. I, S. 3). In Abhandlung XXVII beschäftigt er sich mit diesen Flächen, die er später nach dem Vorschlage von ,a. V o ß als Translationsflächen bezeichnet hat, und zwar erledigt er die Aufgabe, alle Translationsflächen zu bestimmen, die zwei verschiedene Translationserzeugungen gestatten, von denen keine durch die andere bedingt ist. Die Lösung' dieser Aufgabe, die durch Abhandlung XXV schon vorbereitet ist, gelingt ihm durch ziemlich schwierige Rechnungen und Betrachtungen. Das Ergebnis ist schließlich unerwartet einfach und kommt darauf hinaus, daß die gesuchten Flächen geliefert werden durch das Abelsche Theorem in bezug auf eine beliebige, irreduzible oder zerfallende ebene Kurve vierter Ordnung. Nur spricht Lie merkwürdigerweise sein Ergebnis noch nicht in dieser Weise aus (S. 831). Abhandlung XXVIII und XXIX beschäftigen sich mit den geodätischen Kreisen der Flächen, das heißt, mit den Kurven konstanter geodätischer Krümmung. Es werden alle Flächen bestimmt, deren geodätische Kreise eine infinitesimale Berührungstransformation gestatten. Insbesondere stellt sich heraus, daß die Flächen konstanter Krümmung, ähnlich wie bei den geodätischen Kurven, dadurch ausgezeichnet sind, daß ihre geodätischen Kreise eine Gruppe von Berührungstransformationen gestatten, deren Parameterzahl besonders groß ist, nämlich gleich 10. Außerdem werden alle Flächen bestimmt, die auf andere Flächen derart abgebildet werden können, daß den geodätischen Kreisen wieder geodätische Kreise entsprechen. Über die Sätze von Abhandlung XXX vergleiche man die Erläuterungen auf S. 843f. Zur Aufhellung der Vorgeschichte einzelner der hier abgedruckten Abhandlungen konnten wir Schriftstücke aus den Archiven der Universität und der Akademie zu Oslo heranziehen. Außerdem bringen wir, wie in den früheren Bänden, zahlreiche Briefstellen zum Abdruck. Leider sind ja die Brief& von Lie an F. Klein aus der Zeit vor 1878 vernichtet, was besonders im Hinblick auf die Abhandlungen X bis XVI ein unersetzbarer- Verlust ist. Dafür hat die genaue Durchsicht der von Lie sorgfältig aufbewahrten Briefe Kleins aus jener Zeit gar manches ergeben, was von Wichtigkeit ist, mehr, als von vornherein zu erwarten war. Die Zahl und namentlich der Umfang der Anmerkungen ist in dem vorliegenden Bande wesentlich größer als in jedem der früheren. Das Verfahren, Lie durch Lie zu erklären, ist im ausgedehntesten Maße angewendet worden.

XVI

Vorwort der Herausgeber

Daß die Verweisungen auf Abhandlungen in anderen Bänden diesmal viel zahlreicher sind als sonst, ist ja an sich schon eine Folge des Umstandes, daß sich die Ausgabe ihrem Abschluße nähert, daß man also leichter und sicherer feststellen kann, wo Lie an anderen Stellen etwas zur Sache gehöriges gesagt hat. Doch ist der größere Umfang der Anmerkungen wesentlich darauf zurückzuführen, daß die hier gesammelten Abhandlungen, zum Teil. wenigstens, wirklich viel schwerer lesbar sind als die in den früheren Bänden, und daß einzelne darunter überhaupt nur Andeutungen enthalten, die einem nicht vorbereiteten Leser oft geradezu unlösbare Rätsel aufgeben. Die nicht geringe, auf die Anmerkungen verwandte Mühe wird reichlich belohnt sein, wenn der Leser findet, daß ihm das Eindringenin Lies Entwickelungen wirklich erleichtert ist, und wenn sich immer mehr Mathematiker ernstlich in die vorliegenden Abhandlungen vertiefen und möglichst viele davon von Anfang bis zu Ende genau durcharbeiten. Besonderen Dank schulden wir Professor E. A. Weiß in Bonn, der zwei Korrekturen des ganzen Bandes mitgelesen und nicht wenige Druckfehler und Versehen entdeckt hat, die sonst vielleicht unbemerkt geblieben wären. Auch für die Anmerkungen selbst hat er Beiträge geliefert. Große AnsprüchB haben wir auch diesmal wieder an die Geduld und die Leistungsfähigkeit der Teu bnerschen Buchdruckerei stellen müssen. Gießen und Oslo, im März 1984.

Friedrich Engel und Poul Heegaard.

Inhaltsverzeichnis zum ersten Bande. Seite

Vorwort der Herausgeber

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Erschienen im März 1869 in Christiania als Quartheft, 22 X 26 cm. Abgedruckt unter dem Titel: ,,über eine Darstellung des Imaginären in der Geometrie", Crelles Journal Bd. 70 (1869) . . . . . . . . . . . . . • . . • .

1

II. Mathematiske meddelelser til Videnskabsselskabet i Christiania, fra aaret 1869, Nr. 1. und 2. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.naturv. Klasse 1899, Nr. 9 . . . . . . . . . . • . . . . . . • •

12

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

14

IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Fortsetzung. Christ. Forh. 1869. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

IVa. Selbstanzeige von III und IV. Bulletin, II. Serie, Bd. I, 1877 . . .

67

V. Über die Reziprozitätsverhältnisse des Reyeschen Komplexes. Gött. Nachr. Februar 1870 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . •

68

VI. F. Klein und S. Lie, Sur une certaine famille de courbes et de surfaces. Zwei Noten, C. R. Bd. 70 (1870) . . . . . . . . . . . . . . • •

78

VII. Mathematiskmeddelelse til Videnskabsselskabet i Christiania, fra aaret 1870. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse 1899, Nr. 9 . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .

86

VIII. Sur une transformation geometrique. C. R. Bd. 71 (1870) . • .

88

IX. Om en Classe geometriske Transformationer. Christ. Forh. 1870 • •

98

X. F. Klein und S. Lie, Über die Haupttangentenkurven der Kummersehen Fläche vierten Grades mit sechzehn Knotenpunkten. Berl. Monatsber., Dezember 1870 . • • . • • . . . • . • . . . • . .

97

XI. Over en Classe geometriske Transformationer. Dissertation. Christ. Forh. 1871 . . • . . . . • . • . . . . . • . . . . . • • • • • 105 XII. Über eine Klasse geometrischer Transformationen. Fortsetzung. Christ. Forh. 1871 . . . . . . . . . . . 158 XIIa. Selbstanzeigen von XI und XII. Bulletin, I. Serie, Bd. III, 1872. F. d. M. 1871 . . . . . . • . . . • . . . . . • . . . . . • . • 211 XIII. Über diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungstheorie des gewöhnlichen Raumes entspricht. Gött. Nachr. Mai 1871 . . . . • . . . • . • • • . . • • • 215 Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I b

XVIII

Inhaltsverzeichnis zum ersten Bande Seite

XIV. F. Klein und S. Lie, Über diejenigen ebenen Ku:!'.'ven, welche durch ein g(,schlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen. Math. Ann. Bd. IV (1871) • . . • . . • . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . • 229 XV. Mathematisk Meddelelse til Videnskabsselskabet i Christiania, fra aaret 1871. Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturv. Klasse 1899, Nr. 9 . . . . . . . • . . . . . . . i • • • • • • • • • • • • 267 XVI. Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen. Gött. Nachr. Nov.1871 271 XVII. Synthetischanalytische Untersuchungen über Minimalflächen. I. Über reelle algebraische Minimalflächen. Archiv for Math. og Naturvid. 286 Bd. II (1877) • . . . . . . . . . . . . . XVIII. Berigtigelse. Christ. Forh. 1877, Oversigt

. . 819

XVIIIa. Selbstanzeigen von XVII und XVIII. F. d. M. 1877 . XIX. Mathematiske Sätninger. Christ. Forh. 1878, Oversigt.

820 822

XX. Petite contribution ala theorie de la surface Steinerienne. Arch. Bd. III, 1878 . . . . . . . . . . . . . . ·, . . . . . . . . . . . 828 XXa. Selbstanzeigen von XX. Repert. Bd. II, 1879. Bulletin, II. Serie, 829 Bd. III, 1879·. . . . . . . . . . . . . . . . XXI. Sätze über Minimalflächen. Arch. Bd. III, 1878.

. 881

XXIa. Selbstanzeige von XXI. F. d. M. 1878 . . . . .

888

XXII. Sätze über Minimalflächen. II. Bestimmung aller algebraischen Minimalflächen, die sich in einen algebraischen Kegel einschreiben lassen. Arch. Bd. III, 1878 . . . . . . . . . 840 XXIIa. Selbstanzeige von XXII. F. d. M. 1878

. . . . . . . . . . ; . . 848

XXIII. Sätze über Minimalflächen. III. Über die in eine algebraische Developpable eingeschriebenen algebraischen Minimalflächen. Arch. Bd. III, 1878. . . . . . . . . . . . . . . . . 849 XXIIIa. Selbstanzeige von XXIII. F. d. M. 1878 • . . . . . . . . . ; . . 357 XXIV. Klassifikation der Flächen nach der Transformationsgruppe ihrer geodätischen Kurven. Universitätsprogramm für das erste Semester 1879. Kristiania: Gedruckt bei Gr0ndal og füm. 1879. Großquartformat, 28 X 29 cm. . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . 358 XXIVa. Selbstanzeigen von XXIV. Bulletin, II. Serie, Bd. III, 1879. Repert. Bd. II, 1879. F. d. M. 1879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 XXV. Weitere Untersuchungen über Minimalflächen. Arch. Bd. IV, 1880 414 XXVa. Selbstanzeigen von XXV. Bulletin, II. Serie, Bd. V, 1881. F. d. M. 1879. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 XXVI. Zur Theorie der geodätischen Kurven der Minimalflächen. Arch. Bd. VI, 1882 . . . . . . . . . . . . . 440 XXVIa. Selbstanzeige von XXVI. F. d. M. 1881 . . . . . . . . . .

449

XIX

Inhaltsverzeichnis zum ersten Bande

Seite

XXVII. Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacher W eise durch Translationsbewegung einer Kurve erzeugt werden. Arch. Bd. VII, 1882 450 XXVIIa. Selbstanzeige von XXVII. F. d. M. 1882 • • • • • • • • • • • • 466 XXVIII. Bestimmung des Bogenelements· aller Flächen, deren geodätische Kreise eine infinitesimale Berührungstransformation gestatten. Arch. Bd. IX, 1884 • . • • • • . • • • . . . 468 XXVIIIa. Selbstanzeige von XXVIII. F. d. M. 1884 • • . • • • • • • . • . 486 XXIX. Über die allgemeinste geodätische Abbildung der geodätischen Kreise einer Fläche. Arch. Bd. IX, 1884 . • . . 487 XXIXa. Selbstanzeige von XXIX. F. d. M. 1884 XXX. Sätninger. Christ. Forh. 1887, Oversigt.

....... .....

. 492 . 498

Anmerkungen. . 497

Die Abweichungen dieser Ausgabe von den ersten Drucken . Zu

Seite Zu

I II III IV V VI VII VIII IX X XI

XII. 535 559 XIII. 560 XIV . . 574 XV. 636 XVI. 648 XVII. 660 XVIII. 663 XIX. XX. 665 665 XXI. 674 XXII.

Seite Zu

Seite

XXIII. 696 XXIV. 734 XXV. 743 XXVa . . 747 . 758 XXVI . . 779 XXVIa. 786 XXVII. 789 XXVIIa. 790 XXVIII . . 793 XXIX. . 803 XXX.

. 807 811 819 828 828 . 830 831 840 . 840 . 842 . 843

Verzeichnis der Schriftstücke und Briefe, aus denen Stellen abgedruckt sind, oder auf die Bezug genommen wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 I. Schriftstücke von Lies Hand. An das Akademische Kollegium. Randbemerkungen drucken.

in

Sonderab-

II. Aus den Akten der Videnskabsselskab zu Kristiania.

III. Aus den Akten des Akademischen Kollegiums u. der math.naturw. Fakultät zu Kristiania. IV. Briefe von Lie. V. Briefe an Lie. VI. Andere Briefe.

Sachregister . . .

. 846

Namenregister Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze. .

858 ~

.

861 b*

REPR1SENT!TION

DER IMAGINÄREN DER PLANGEOMETRIE. (JEDER PLANGEOMETRISCHER SATZ IST EIN BESONDERER FALL EINES STEREO!lfETRii1CHEN DOPPELSATZES IN DER GEOMETRIE DER LINIEN-CONGRUENCEN),

VON

S. L IE, Cand. real.

CHRISTIANIA. GEDRUCKT BEI BR0GGER &: CHRIST!E.

1869.

I. Repräsentation de~ Imaginären der Plangeometrie. Jeder plangeometrische Satz ist ein besonderer Fall eines stereometrischen Doppelsatzes in der Geometrie der Linienkongruenzen. Von S. Lie, cand. real. Erschienen im März 1869 als besonderes Heft von 8 S. 4°, dann unter dem Titel: ,,Über eine Darstellung des Imaginären in der Geom~trie". Von Herrn S. Lie in Christiania, im Crelleschen Journal Bd. 70, Heft 4, S. 846-858 (Berlin 1869). Dieser zweite Druck ist hier wiedergegeben; von dem ersten unterscheidet er sich nur durch sprachliche Verbesserungen und durch einzelne kleinere Zusätze.

Kapitel 1. § 1. Der Imaginärpunkt.

[8,346

Es seien Z und X komplexe Variable: z = z + pi, X =

X

+ yi.

Ich betrachte x, y, z als die Raumkoordinaten eines Punktes, p als das Gewicht desselben. Der Imaginärpunkt (Z, X) hat folglich eine gewisse Lage im Raume und ein gewisses Gewicht. Wenn p = 0 ist, nenne ich den Punkt einen Nullpunkt. Die Cartesische Plangeometrie betrachtet nur den Fall, wo sowohl p als y gleich Null ist. Anmerkung 1. Die geometrische Bedeutung von p wird in den folgenden Paragraphen dargetan werden. Anmerkung 2. Wir supponieren das Koordinatensystem orthogonal, die x, y-Ebene horizontal, die positive x-Achse gegen Süden gerichtet; die Wörter Höhe und Azimut _verstehen sich damit von selbst. Ich rede von einer positiven Rotation um eine vertikale Achse. § 2. Die Imaginärkurve.

Es sei F(Z, X)= 0 eine Relation zwischen Z und X mit komplexen Koeffizienten. Jedes System (Z, X), welches der Gleichung genügt, definiert einen Imaginärpunkt. Das Ensemble derselben konstituiert die Imaginärkurve. Ihre sinnliche Repräsentation ist eine gestreifte Fläche. Die Streifen sind von Punkten desselben Gewichtes konstituiert. Die 1*

4

I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. 1869; Crelle 70

Nullpunkte der Imaginärkurve bilden eine kontinuierliche Linie, den Nullstreifen. Die gemeinschaftlichen Imaginärpunkte zweier Imaginärkurven werden von denjenigen Systemen (Z, X) bestimmt, welche den Gleichungen beider genügen. Sie sind auf dem Durchschnitte der repräsentierenden Flächen gelegen. §

3. Die Imaginärgerade.

[347

Die Imaginärgerade ist durch eine lineare Relation definiert:

BZ = X - A

B = b1

+ b i, 2

A = a1

+ a 2 i.

Die komplexe Gleichung löst sich in zwei reelle aufl): b2 z + b1 p = y - a2 •

b1 z - b2 p = x - a1 ,

Durch Elimination ergibt sich das äquivalente System:

+ b:) z = b1 (x (b: + b;)p = b (y (b~

1

a 1)

+ b2 (y -

a2),

a 2) -b 2 (x- a 1),

I

U = 0, V= 0.

U= OdefiniertdieLageder1-Punkt~2) derl-Gera- [4 den. SiesindineinerEbene. Wennpvariiert, definiert V= 0 parallele Vertikalebenen, welche die horizontale Spur von U orthogonal schneiden (Fig~ 1). Die Streifen von U sind folglich parallele Gerade (die Linien der größten Neigung der.Ebene U). Wenn h die gemeinschaftliche Höhe 3) der Streifen und d die Entfernung eines J-Punktes von der Nulllinie ist, ergibt sich: p

Fig. l..

= d. tg h. I

p ist positiv für einen Punkt, wenn die aufsteigende Richtung der NnUlinie, .horizontal projiziert, um die Vertikale des Punktes eine positive Rotation bestimmt. 1) Für p

=

0 ergeben sich die Gleichungen der Nullgeraden: b1 z

=

x - ai,

b2 z

=

y-

a2 •

b1 , b2 , a 1 , a2 sind folglich Strahlenkoordinaten der Nullgeraden (Pl ücker: Neue Geometrie des Raumes, 1868, S. 1). 2) Ich schreibe der Kürze wegen J-Punkt, J-Gerade für Imaginärpunkt, Imaginärgerade. 3) Das heißt, der Neigungswinkel gegen die Horizontalebene.

Kap.1; § 2-4. Die I-Geraden durch einen I-Punkt

5

Man bemerke die Eigenschaften der speziellen Formen: X = Const., Z = Const. Z = 0 definiert, was ich die J-Grundlinie nenne.

Die J-Gerade: B Z = X ~, A schneidet die J-Grundlinie m dem Punkte Z = 0, X = A. A ist folglich. die komplexe Größe, die durch die Gerade in der x, y-Ebene vom Koordi:riatenanfang bis zum Durchschnitt mit der Null1:inie repräsentiert wird. Wenn man in der Gleichung BZ = X - A, Z = 1 (z = 1, p = 0)

setzt, so findet sich:

[348

B =X-A. B bezeichnet demnach in Größe und Richtung die horizontale Projektion einer Strecke des Nullstreifens, die von den horizontalen Ebenen z = 0, z = 1 begrenzt wird. A und B definieren somit unmittelbar die Nullgerade. Sie sind die Koordinaten der J-Geraden. Terminologie. Die Wörter Punkt, Linie, Ebene, ... benutze ich in gewöhnlicher Bedeutung. J-Gerade, 1-Kurve bezeichnen gestreifte Flächen. Es seien P, P 1 , P 2 , Pa, ... I-Punkte. Ich rede von den J-Geraden P P 1 , P P 2 , P Pa, ... , die ich der Kürze wegen L1 , L 2 , La, . ~. nenne. Ihre Nullgeraden sind Z1 , Z2 , Za, ••• ; ihre Koordinaten (A 1 , B 1), (A 2 , B 2), (Aa, 133), • • • In Analogie damit nenne ich die Koordinaten der J-Punkte P, P 1 , P 2 , ••• (Z, X), (Z1 , X 1), (Z2 , X 2), ••• Der ausgezeichnete Streifen ist in Fig. 1 und 2 die Nullgerade. §

4. Die I-Geraden, die durch einen gegebenen I-Punkt gehen.

Wenn wir in der Gleichung: BZ = X -A die Größen Z und X als konstant, B und A als variabel betrachten, so definiert die Gleichung . die J-Geraden, die durch den J-Punkt (X, Z) gehen. Ich denke mir um den Punkt (x, y, z) eine [durch den Punkt gehende] Ebene rotierend; jeder Lage derselben entspricht eine bestimmte Strei~ fung, eine bestimmte Nullgerade (Fig. 2). Die Nullgeraden konstituieren eine Linienkongruenz von besonderer Art, definiert durch die Gleichung: [5 p

= d. tgh;

(x, y, z) ist das Zentrum, die vertikale Gerade durch (x, y, z) die Achse der Kongruenz.

6

I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. 1869; Crelle 70

Der wesentliche Charakter dieser Kongruenz ist, daß die Geraden derselben in horizontalen Ebenen ähnliche Figuren bestimmen. Wenn man in der x, y-Ebene Punkte wählt, die auf einem Kreise liegen, konstituieren die entsprechenden Geraden einer solchen Kongruenz ein einfaches Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. 1 ) Umgekehrt: Die Genera- [349 trizen des einen Systems ·eines solchen Hyperboloids können immer als Nullgerade von 1- Geraden durch denselben J-Punkt betrachtet werden. Die beiden Systeme von Generatrizen entsprechen verschiedenen J-Punkten. Unter der Kongruenz P verstehe ich die Kongruenz der Nullgeraden aller derjenigen J-Geraden, Fig. 2. die durch den J-Punkt P gehen. Die J-Gerade P P 1 ist die J. Gerade, die sowohl durch P als durch P 1 geht. Die Nullgerade der J-Geraden P P 1 ist die gemeinschaftliche Gerade der zwei Kongruenzen P und P 1 • §

5. Die J-Kurve von n-tem Grade.

Es sei Fn(Z, X) = 0 eine Relation von n-tem Grade zwischen Z und X. Die Gleichung löst sich in zwei reelle auf:

F,,.(z, p, x, y) = O; F: (z, p, x, y) = 0. Durch Elimination ergibt sich:

fn• (z,

x, y) = U = 0;

f:. (p,

X,

y) = V = 0.

U = 0 definiert eine algebraische Fläche vom Grade n 2 • Diese ist der geometrische Ort von den J-Punkten der J-Kurve.· V= 0 definiert eine Ramilie vertikaler Zylinder, die U orthogonal schneiden. Die Streifen sind folglich die Linien der größten Neigung der Fläche U. 1) Die Direktrizen unserer Linienkongruenz sind nach den unendlich entfernten imaginären Kreispunkten gerichtet. p Y-1 ist die Konstante derselben. (S. S. 110 des oben genannten Werkes.)

Kap. 1; § 4-8. J-Gerade. J-Kurve. Entfernung. Allgemeines

7

J-Tangente. Die gestreifte Ebene der J-Tangente "berührt die Fläche U. Im Berührungspunkt sind Gewicht und Streifenrichtung dieselben. §

6. Komplexe geometrische Größen.

Y(Z1 - Z2)a + (X1 - Xa)a nenne ich wie gewöhnlich die Entfernung der zwei J-Punkte P 1 und Pa. Die Gleichung: P1Pa = PsP4 löst sich in zwei reelle auf. Es müssen folglich zwei geometrische Bedingungen erfüllt sein. Nur in besonderen Fällen ist die eine derselben [6 die Gleichheit der entsprechenden Längen im gewöhnlichen Sinne. (B 1 - Ba): (1 + B 1Ba) nenne ich wie. gewöhnlich tg(L1 , L 2). Die Gleichung tg (L1, La) = 0 gibt B 1 = Ba; folglich sind die entsprechenden Nullgeraden·parallel (l1 l2). Die Gleichung tg (L1, La) [350 = oo gibt 1 + B 1 Ba = 0, d. h., die zwei Nullgeraden haben supplementäre Azimute, komplementäre Höhen. Ebenso werden die anderen Größenbegriffe generalisiert. Auch die Überführung anderer. Begriffe aus der Eb~ne auf den Raum wird aus unserer Theorie resultieren.

*

§ 7. Allgemeine Betrachtung.

Ein geometrischer Satz kann gewöhnlich algebraisch aufgefaßt werden, das heißt, er drückt aus, daß die Gleichheit gewisser Größen die Konsequenz gegebener Gleichheiten sei. Die Sätze der ebenen Geometrie, die nicht durch die Algebra hergeleitet werden kö;nnen, sind in unserer Theorie leicht zu verifizieren. Weil die Algebra das Imaginäre umfaßt, ist einleuchtend, daß jeder plangeometrische Satz, den man algebraisch aussprechen kann, von unseren Imaginärdingen gilt. Man kann ·daher allgemein sagen: Jeder plangeometrische Satz ist ein besonderer Fall eines stereometrischen Doppelsatze,s in der Geometrie der Linienkongruenzen. § 8.

Anharmonisohe Funktion.

Die anharmonische Funktion von vier J-Geraden (L1, L 2 , L3 , L,), die durch einen J-Punkt P gehen, ist: A 1 -A 8 • A1 -A 8 ·A.1-A,. A.2-A:.

8

I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. 1869; Crelle 70

Man hat ein Viereck in der Grundebene zu betrachten. Der Modul dieser Funktion ist das Verhältnis der Produkte der entgegengesetzten Seiten. Die Amplitude ist die Summe zweier entgegengesetzter Winkel. Die Bedingung der Realität ist, daß die vier Punkte A 1 , A 2 , A.a, A 4 auf einem Kreise liegen. Ein besonderer Fall ist, daß die vier Punkte auf einer Geraden liegen. Wenn Z1 , Z2 , l3 , l4 in derselben Ebene gelegen sind, gilt die Gleichung:

(L1 L 2 La L4) = (Z1 l2 la Z4). Im· entgegengesetzten Falle hat (l1 Z2 Za Z4) keine Bedeutung. Die anharmonische Funktion von vier Punkten (P1 , P 2 , P 3., P 4) [351 derselben J-Geraden ist: X 1 - X3

X 2 - X3

X.1 -X~: X 2 -X,.

Man hat folglich ein Viereck in der Grundebene zu betrachten. L 1 , L 2 , L3 , L 4 seien durch die J-Gerade L, deren Nullgerade icn mit l bezeichne, geschnitten. Ich nehme an, daß Z die Nullgeraden Z1 , Z.2 , t3 , Z4 in den vier Punkten .Ä.1 , .Ä. 2 , .Ä.3 , .Ä.4 schneide. Dann gilt die Gleichung:

Kapitel 2. §

[7

9. Der Kreisradius trifft die Tangente orthogonaL

Wir betrachten nur die Nulllinie des J-Kreises:

Z2

+X

2

= A1

+ A i; 2

wir erhalten den stereometrischen Satz: Der Radiusvektor vom Koordinatenanfange nach einem beliebigen Punkte der Raumkurve:

z2

+ a:2 -

y2 = A1, 2 x Y = A2

und die Tangente in demselben Punkte haben supplementäre Azimute, komplementäre Höhen. § 10. Anharmonisohe Sätze.

a) Vier Gerade L 1 , L 2 , La, L 4 (Fig. 8), die durch denselben Punkt P gehen, bestimmen auf einer beliebigen Geraden ein konstantes anharmonisches Verhältnis.

Kap. 1, 2; § 8--11. Anharm. Funktion. J-Kreis. J-Kegelschnitt '

9

b) Es seien Z1 , Z2 , la, l4 (Fig. 4) vier Generatrizen des einen Systems eines einfachen Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte. Die entsprechenden J-Geraden L1 , L 2 , La, L 4 gehen durch einen J-Punkt P. Es sei l eine variable Generatrix des anderen Systems, L die entsprechende 1- .. Gerade. l schneid.et Z1 , Z2 , Za, l4 in den Punkten .Ä.1, .Ä.2, Äa, .Ä.4.

Wie wir wissen, ist:

L (L1 L 2 LaL4) =

=

l.,

(.Ä.1 .Ä.2 Äa .Ä.4).

Die linke Seite ist konstant nach 'J dem EuklidFig. 3. Fig. 4. ischen Satze, folglich auch die rechte. Dies ist der bekannte Satz von den vier Generatrizen einer Linienfläche zweiten Grades. §

11. Imaginärer Kegelschnitt. Imaginärer Kreis mit reellem Radius.

[352

a) Es seien P 1 , P 2 , Pa, P 4 (Fig. 5) vier feste Punkte, P ein variabler Punkt eines Kegelschnitts. Man hat die Gleichung: P (P1 P 2 PaP4)

= Const.

b) Es seien P, P 1 , P 2 , P 8 , P 4 1-Punkte eines J-Kegelschnitts (Fig. 6). Das Viereck A 1 A 2 A 8 A 4 ist zwei Bedingungen unterworfen. c) Wir betrachten etwas näher den J-Kreis:

v+x2 =M~, wo M 1 reell ist. Die Gleichungen des Nullstreifens sind:

z2

+ x2 _ xy

y2 = M~,

= 0,

Fig. 5,

Fig, 6.

10

I. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. 1869; Grelle 70

[8

Die Nulllinie hat zwei ebene Zweige 1) (Fig. 7): z2

+ x2 = M~, y

= 0,

·1

z2 - y2 = M~', x

= 0.

Wir nehmen die vier festen Punkte auf dem einen ebenen Zweige. Weil wir auch P auf demselben ebenen Zweige wählen können, muß die konstante anharmonische Funktion P (P1 P 2 P 3 P 4) reell sein. Folglich sind A 1 , A 2 , A3 , A 4 auf einem Kreise, Z1 , Z2 , Z3 , Z4 sind Generatrizen eines einfachen Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte. Wenn P 4 die Nulllinie durchläuft, beschreibt A 4 zwei Kreise, Z4 zwei Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten. Einfache Konsequenz: Jeder Punkt der Raumkurve: Fig, 7. z2 + x2 - y2 = M~, xy = 0 projiziert dieselbe auf die x, y-E bene in einen Kreis und eine Gerade. § 12. Homographie. Es sei eine Homographie durch die Gleichungen:

X'= AX+Bz+o. Z' = GX+Hz+K DX+Ez+F' DX+Ez+F hergestellt. 2) Wir fordern, daß die Nullpunkte einander entsprechen; [353 dann muß P' auf einer Fläche U', P auf U sein (U und U' sind Linienflächen zweiten Grades). Punkten einer U-Generatrix entsprechen wie in der gewöhnlichen räumlichen Homographie Punkte einer U'-Generatrix. 3) Dagegen: Einer ebenen U'-Kurve (Fig. 8) entspricht gewöhnlich eine U-Kurve dritter Ordnung (Fig. 9). 1) Siehe Hamilton, Lectures on Quaternions, S. 685, wo sich derselbe so ausdrückt: of which the cont:dderation has presented itse]f to some former writers, in connexion with modes of interpreting certain results respecting the ordiri.ary V 1. In seiner Geometrie superieure betrachtet Chasles den I-Kreis Z2 X• R 11 , dessen Nullstreifen in der vorliegenden Theorie durch die Gleichungen i 11 y• = - R 2, ro = 0 definiert wird. Den Scheitel dieser Hyperbel betrp,chtet Chasles als Repräsentanten des I-Kreises. 2) Siehe Chasles, Geometrie superieure, Chap. XXV, S. 862. 8) Nicht richtig. Vgl. Abh. III, § 12, S. 24 und die Anm. dazu. Anm. d. H.

=-

+

Kap. 2; § 11, 12. I-Kreis. Homographie

11

P (P 1 P 2 P 3 P 4 ) .= P' (P~ I:>; P~ P~) = einer reellen Konstanten. Folglich liegen A1 , A2 , A3 , A 4 auf demselben Kreise. Jeder Punkt der Raumkurve projiziert dieselbe auf die Grundebene in einen Kreis.

Es sei eine gewöhnliche Involution oder Homographie zwischen den Punkten der ebenen. U' -Kurve hergestellt. Hierbei gelangt man zu einer interessanten Involution oder Homographie auf der Raumkurve 1 ). Man hätte unmittelbar eine Homographie zwischen den J-Punkten eines J-Kegelschnitts herstellen können. Gewöhnlich würde man hierdurch nicht zu einer Homographie zwischen Nullpunkten gelangen. Fig. 8. Fig. 9. Es sei eine Involution auf der Raumkurve [dritter Ordnung] hergestellt; m und m' seien korrespondierende Punkte. Dann liegt die Gerade mm' auf einem Hyperboloide mit horizontalem Kreisschnitte. Ich hoffe, bald einige verwandte Ideen darstellen zu können. Christiania, Februar 1869. Sophus Lie, Oand. real. 1) Siehe Chasles,. Sections coniques, Chap. VIII, S. 147.

II. Mathematiske meddelelser til Videnskabsselskabet i Christiania fra aaret 1869. Mathematische Mitteilungen an die Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n z u Chr i s t i an ia aus d e m J ~ h r e 1869. (Aus dem Norwegischen übersetzt.) Zuerst norwegisch und in deutscher Übersetzung herausgegeben von L. Sylow in: Videnskabsse]skabets Skrifter. I. Math.-naturv. Klasse 1899. Nr. 9, S. 4-6. Christiania 1899.

1. Ich erlaube mir hiermit, der Gesellschaft der Wissenschaften die [4 beiliegende wissenschaftliche Arbeit1) zu überreichen. Meines Erachtens beweise ich darin, daß - und wie - jeder Satz der ebenen Geometrie vermöge des Imaginären aufgefaßt werden kann als ein besonderer Fall eines stereometrischen Doppelsatzes. Diese Idee ist anscheinend von Wallis ausgesprochen worden; man weiß, daß sich in unserem Jahrhundert Mathematiker wie Argand, Poncelet, Graßmann, Hamilton und so weiter damit beschäftigt haben, ohne das Ziel zu erreichen. Der Grund dafür ist vermutlich darin zu suchen, daß der Begriff ,,Linienkongruenz", der in meiner Arbeit fundamental ist, erst vor kurzem in die Wissenschaft eingeführt worden ist. Christiania, März 1869. Ehrerbietigst M. Sophus Lie, Cand. real.

2.

[5

An die Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania ! Ich erlaube mir hiermit, der Gesellschaft der Wissenschaften eine gedrängte Darstellung einiger wissenschaftlicher Ideen zu überreichen, die nahe verwandt sind mit q.en Fundamentalideen in der Arbeit, die ich der Gesellschaft vor einiger Zeit übersandt habe. 1) Es war das die hier unter III. abgedruckte Abhandlung. Anm. d. H.

Verschiedene Repräsentationen der Imaginären der Ebene

13

Es ist mein Wunsch, mir auf diese Weise womöglich meine Priorität in bezug auf Gedanken zu sichern, die nach meiner Meinung fruchtbar sind, und die für neu anzusehen ich Grund habe. Christiania, 2. April 1869. Ehrerbietigst M. Sophus Lie, Cand. ~eal. 1. Man kann für das foiaginäre der ebenen Geometrie eine Repräsentation geben, indem man die imaginäre Gerade der Ebene als eine Gerade des Raumes darstellt. Man kann diese Repräsentation so auffassen, daß sie von der früher von mir gegebenen nur in formeller Hinsicht verschieden ist.

2. Man kann die imaginäre Gerade der Ebene durch eine Ebene von bestimmter Lage im Raume und mit einem gewissen Gewichte darstellen. 3. Man kann den imaginären Punkt der Ebene durch eine Gerade des Raumes darstellen. Die beiden letzten Repräsentationen können so aufgefaßt werden, daß sie nur in formeller Hinsicht verschieden sind. Die beiden oben angegebenen, wesentlich verschiedenen Methoden der Repräsentation sind verwandt durch die Lehre von der räumlichen Reziprozität. Alle vier Methoden der Repräsentation umfassen entweder die ge;. wöhnliche Repräsentation, wenn die Dinge reell sind, oder sie können doch als diese umfassend auf gefaßt werden. Man kann diese ganze Theorie. von einem höheren Standpunkte aus betrachten, indem man ((-1))½ als einen Schlüssel auffaßt. Ich habe eine parallele '11heorie entwickelt, die de:p. Schlüssel 'V . benutzt: 1 'V= ((1))2, y2 = 1. Die hierauf begründete Theorie kann als eine rein geometrische, doppeltperspektivische Methode aufgefaßt werden. Christiania, 2. April 1869. M. So ph us Li e, Cand. real. Erhalten und im Archive der G;esellschaft der Wissenschaften niedergelegt am 2. April 1869. F. Stang, Präses. M. J. Monrad, Sekretär.

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie.

[16

(Jeder plangeometrische Satz ist ein besonderer Fall eines stereometrischen Doppelsatzes in der Geometrie der Linienkongruenzen.) Von Marius Sophus ·Lie. Forhandlinger i Videnskabs-Selskabet i Christiania, Aar 1869, S. 16-38 (Christiania 1870).

Kapitel I. Vor bemerk u n gen: Wir betrachten (Fig. 1 a) ein orthogonales Koordinatensystem, dessen x, y-Ebene horizontal, dessen x-Achse nach z Süden gerichtet ist. 0 ist der Koordinatenanfang. Wir reden von der Höhe und dem Azimut einer beliebigen Raumgeraden; von einer positiven Rotation um eine vertikale Achse.

o------a:.

§l

Der Ima.ginärpunkt der z, x-Ebene.

1. Wenn die Koordinaten Z und X des Punkts der z, x-Ebene imaginär sind: Y

Fig. la.

z = z + pi,

X

=

X

+ yi,

lasse ich definitionsmäßig diesen Imaginärpunkt durch den Raumpunkt (x, y, z) vom Gewichte p repräsentiert werden. Wenn p = 0 ist, nenne ich den Imaginärpunkt einen Nullpunkt. Die Cartesische Plangeometrie betrachtet nur den Fall, wo sowohl p als y gleich Null ist. Anmerkung. Die geometrische Bedeutung von p wird in den [17 folgenden .Paragraphen dargetan werden; p ist der Parameter eines Geradensystems. § 2. Die Imaginärkurve.

2. Es seiF(Z, X) = 0 eine Relation zwischen Z und X mit komplexen Koeffizienten. Jedes System (Z, X), welches der Gleichung genügt, definiert einen Imaginärpunkt (einen Gewichtpunkt im Raume). ;Das Ensemble derselben konstituiert die Imaginärkurve. Ihre sinnliche

Kap. I; § 1-3; Nr. 1-3. J-Punkt. J-Kurve. J-Gerade

15

Repräsentation ist eine gestreifte Fläche. (Fig. 1 b). Die Streifen sind von Punkten desselben Gewichtes konstituiert. Die Nullpunkte der Imaginär- · kgrve bilden eine kontinuierliche Linie, den Nullstreifen (den ausgezeichneten Streifen in einigen Figuren); man betrachtet gewöhnlich den Teil des Nullstreifens, der in der z, x-Ebene gelßgen ist. Wenn die Koeffizienten der. Gleichung F(Z, X) = 0 reell sind, hat der Nullstreifen gewöhnlich einen Zweig in der z, x-Ebene, einen (oder mehrere) außer derselben. Fig. 1 c stellt den Nullstreifen des Imaginärkreises: Z 2 + X 2 = r 2, dar. Die gemeinschaftlichenimaFig. lc. ginärpunkte zweier Imaginärkurven sind von denjenigen Systemen (Z, ~) bestimmt, welche den Qleichungen beider genügen. Sie sind auf dem Durchschnitte der reprä.sentierenden Flächen gelegen. § 3. Die Imaginärgerade.

3. Die Imaginärgerade ist durch eine lineare Relation definiert:

BZ = X -A B= b1 J

+ b i, 2

A =

a1

+ a i. 2

Die komplexe Gleichung löst sich in· zwei reelle auf: b1 z -b 2 p = x ..;._a1 ,

b2 z

+ b1 p = y -a2•

Durch Elimination ergibt sich das äquivalente System: (b~

+ b:) z =

b1 (x - a 1)

+b

(b~

+ b:) p =

b1 (y -- a 2)

-

2

(y -- a 2),

b2· (x - a 1 ),

U

= 0,

V = 0.

Die Ebene U= 0 ist der Ort (Fig. 2) der 1-Punkte 1) der I-Geraden. Wenn p variiert, definiert V= 0 parallele Vertikalebenen, welche die horizontale Trace von U orthogonal schneiden. Die Streifen von U sind [18 folglich die Geraden der größten Neigung dieser Ebene. 1) Ich schreibe der Kürze wegen J-Punkt, J-Gerade, ••• für Imaginärpunkt, Imaginärgerade, ...

16 III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869 4. Wenn h der gemeinschaftliche Neigungswinkel der Streifen (ihre Höhe) und d die Distanz eines J-Punktes von der Nullgeraden ist, ergibt ·sich aus V= 0:

Das Gewicht p eines J-Punktes ist positiv, wenn die aufsteigende Richtung der Nullgeraden, horizontal projiziert, um die Vertikale des Punkts eine positive Rotation bestimmt. Man bemerke die Eigenschaften der l:lpeziellen Formen: X = Const., Z = Const. Alle J-Punkte der J- Geraden: Z = c = einer reellen Konstanten sind Nullpunkte, deren Ort die horizontale Ebene: z = c ist. Z = 0 definiert, was ich die J-Grundlinie nenne. Die J-Gerade: B Z = X - A schneidet die J-Grundlinie in dem Punkte: Z = 0, X= A. Folglich ist A die komplexe Größe, die durch die Gerade OA in der x, y- Ebene vom Koordina tenanfange na.ch der Nullgeraden hin repräsentiert wird. Fig. 2. Wenn man in der Gleichung: B Z = X -A, Z = 1 (z = 1, p = 0) setzt, sp findet -sich:

B =X-A.

[19

B bezeichnet folglich nach Größe und Richtung die horizontale Projektion einer Strecke der Nullgeraden, die von den horizontalen Ebenen z = 0 und z = 1 begrenzt wird. A und B definieren folglich unmittelbar die Nullgerade. Sie sind die Koordinaten der J-Geraden. 5. Terminologie. Die Wörter Punkt, Linie, Ebe:rl'e, ... benutze ich in gewöhnlichAr Bedeutung. J-Gerade, J-Kurve bezeichnen gestreifte FlächAn. Es seien P, P 1 , P 2 , Pa, ... J-Punkte. Ich rede von denJ-Geraden P P 1 , P P 2 , P Pa, ... , die ich der Kürze wegen Lv L 2 , L 3 , ••• nenne. Ihre Nullgeraden sind Z1 , l2 , Za, ... ; ihre Koordinaten (A 1 , B 1), (A 2 , B 2), (Aa, Ba), ... In Analogie damit nenne ich die Koordinaten der J-Punkte P, P 1 , P 2 , ••• (Z, X), (Z1 , X 1), (Z2 , X 2), •••

Kap. I; § 3, 4; Nr. 4-7. Die I-Geraden durch einen J-Punkt

§

17

4. Die I-Geraden, die durch einen gegebenen J-Punkt gehen.

Wenn wir in der Gleichung: B Z = X - A die Größen Z und X als konstant, B und A als variabel betrachten, so definiert diese Gleichung die J-Geraden, die durch den J-Punkt Z, X gehen (Fig. 3). 6. Ich denke mir um den Punkt (x, y, z) eine Ebene rotierend; [20 jeder Lage derselben entspricht eine bestimmte Streifung, eine bestimmte Nullgerade. Die Nullgeraden konstituieren eine Linienkongruenz von besonderer Art, definiert durch die Gleichung: d. tg h

= p = Oonst.

x, y, z ist das Zentrum, die vertikale Gerade durch (x, y, z) ist die Achse der Kongruenz. Die imaginären Direktrizen sind nach den unendlich entfernten, imaginären Kreispunkten der x, yE bene gerichtet (P I ü c k er: Neue Geometrie des Raumes). De.r wesentliche OhaFig. 3. rakter dieser Kongruenz ist, daß die Geraden derselben in horizontalen Ebenen ähnliche Figuren bestimmen. Briot et Bouquet: Fonctions doublement periodiques., pagina 9. A ist die komplexe Koordinate eines Punkts der Ebene z = 0 und A + mB ist die komplexe Koordinate eines Punkts der Ebene z = m. A + mB ist eine lineare und monogene Funktion von A. Wenn man in der x, y-Ebene die Punkte eines Kreises wählt, konstituieren die entsprechenden Geraden einer solchen Kongruenz ein einfaches Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. Umgekehrt: Die Generatrizen des einen Systems eines solchen Hyperboloids können immer als Nullgerade von J-Geraden durch denselben J-Punkt betrachtet werden. Die zwei Generatrizensysteme entsprechen verschiedenen J-Punkten. 7. Unter der Kongruenz P verstehe ich die Kongruenz der Nullgeraden von denjenigen I-Geraden, die durch den J-Punkt P gehen. Die Kongruenz eines Nullpunkts wird von den Raumgeraden durch den Ort des Punkts gebildet. S o p h u s Li e, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I

2

18

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

Die I-Gerade P P 1 ist die I-Gerade, die sowohl durch P als durch P 1 geht. Die Nullgerade von der 1- Geraden P P 1 ist die gemeinschaftliche Gerade der zwei Kongruenzen P und P 1 • Wenn diese zwei I-Punkte Nullpunkte sind, geht diese gemeinschaftliche Gerade durch die Örter der I-Punkte. Es wird später vielleicht noch deutlicher werden, daß der I-Punkt in unserer Theorie Repräsentant einer Linienkongruenz ist. § 5. Die J-Kurve von n-tem Grade.

[21

8. Es sei Fn (Z, X) = 0 eine Relation von n-tem Grade zwischen Z und X. Die Gleichung löst sich in zwei reelle auf:

F n (z, p, x, y) = 0; F~ (z, p, x, y) = 0. Durch Elimination ergibt sich: ,(z, x, y) =U= O;

/ 11

f~•(P, x, y) =V= 0.

-U = 0 definiert eine algebraische Fläche vom Grade. n 2 • Diese ist der geometrische Ort von den I-Punkten der 1-Kurve. V = 0 definiert eine Familie vertikaler Zylinder, die U orthogonal schneiden. Die Streifen von U sind folglich die Linien der größten Neigung dieser Fläche. (Cfr. Briot et Bouquet: Fonct. doubl. per., pag. e).

Eine beliebige I-Gerade schneidet eine 1-Kurve von n-tem Grade in n Punkten. Wenn man diesen Satz auf die I-Gerade: Z = c1 + c2 i anwendet, folgt: Eine beliebige horizontale Ebene schneidet im allgemeinen einen beliebigen Streifen einer 1-Kurve von n-tem Grade in n Punkten. 1 ) I-Tangente. Die gestreifte Ebene der I-Tangente. berührt die Fläche U. Im Berührungspunkte sind Gewicht und Streifenrichtung dieselben. Die Nullgeraden der I-Tangenten bilden eine Linienkongruenz, deren Brennflächen zwei nach den unendlich entfernten, imaginären Kreispunkten der x, y-Ebene gerichtete Zylinder sind. Der reelle Durchschnitt derselben ist der Nullstreifen der 1-Kurve. 9. Wir betrachten die Frage, die allgemeinste Bewegung einer gestreiften Fläche im Raume zu bestimmen, für welche sie ihren Charakter als Repräsentant einer 1-Kurve behält. Die geometrische Figur sowohl als die Streifen und ihre Werte sollen unverändert bleiben. 1) Diese n Punkte sind reell. Die Raumgeometrie, welche wir jetzt studieren, hat keine Imaginären.

Kap. I; § 4, 5; Nr. 7-11. Die I-Kurve n-ten Grades

19

Es ist einleuchtend, daß eine beliebige Translationsbewegung erlaubt ist. Es seien nämlich F(Z, X) und F (Z', X'), dieselben Funktionen von Z, X und Z', X':

Z' =Z -z0 , X' =X -x0 -y0 i, dann definiert F(Z', X') = 0 die Fläche F (Z, X) = 0 translatorisch um die Strecke vom Koordinatenanfange nach dem Punkte (x0 , y0 , z0 ). [22 verschoben.

10. Soll man andere Bewegungen ausführen können, dann müssen es Rotationen um vertikale Achsen sein; in anderen Fällen bleiben gewöhnlich die Streifen nicht mehr Linien der größten Neigung. Wir wissen, daß eine solche· Rotation, wenn es der gestreiften Ebene einer J-Geraden gilt, erlaubt ist; in diesem Falle bleiben die Streifen auch Linien der größten Neigung für eine Rotation um eine horizontale Achse, die parallel der horizontalen Trace der gestreiften Ebene ist. Die Formel: p

= d.tgh

zeigt indessen, daß eine solche Rotation den Charakter der gestreiften Ebene .zerstört.

11. Es ist leicht zu erkennen, daß man im allgemeinen eine Rotation um eine beliebige vertikale Achse ausführen kann. Es seien nämlich:

(woF0 , ••• ,Fn,Fo, ... , FnFunktionenvonZsind) die Gleichungen zweier 1-Kurven. Ich setze voraus:

dann entsprechen auf den zwei gestreiften Flächen demselben Werte von Z die zwei Werte X und X iP. Die zwei Flächen lassen sich folglich (auch mit Rücksicht auf das Gewicht) durch eine Rotation um die z-Achse zur Kongruenz bringen. Eine Rotation um eine beliebige vertikale Achse läßt sich in eine Rotation um die z-Achse und eine horizontale Translation dekomponieren. Wenn man die Gewichte aller Punkte einer gestreiften Fläche um dieselbe Größe vermehrt, behält sie ihren Charakter. Diese Operation ist analog mit einer Verschiebung einer Figur in der z, xE b ene parallel der z-Achse. 2*

20

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

§ 6. Komplexe geometrische Größen.

12. Y(Z1 -Z 2) 2 + (X1 - X 2) 2 nenne ich wie gewöhnlich die Distanz der zwei J-Punkte P 1 una P 2• Die-Gleichung:

P1P2 = P3 P4 löst sich in zwei reelle auf. Es müssen folglich zwei geometrische Be- [28 dingungen stattfinden. Nur in besonderen Fällen ist die eine derselben die Gleichheit der entsprechenden Längen in gewöhnlicher Bedeutung. 13. (B1 - B 2) : (1 + B1 B 2) nenne ich wie gewöhnlich tg (L1 , L2). Die Gleichung: tg (L1 , L 2) = 0 gibt B 1 = B 2 , d. h.: die Nullgeraden Z1 , Z2 (und folglich auch die entsprechenden gestreiften Ebenen) sind parallel. tg (Li, L 2) = oo gibt 1 + B 1 B 2 = 0, d. h.: Die zwei Nullgeraden (l1 und Z2) haben supplementäre Azimute, komplementäre Höhen. Ebenso werden die anderen Größenbegriffe generalisiert. Auch Überführung anderer Begriffe von der Ebene zum Raume wird aus unserer Theorie resultieren. § 7. Metaphysische Betrachtungen.

14. Ein geometrischer Satz kann gewöhnlich algebraisch aufgefaßt werden, d. h. als ausdrückend, daß die Gleichheit gewisser Größen die Konsequenz gegebener Gleichheiten ist. Die Sätze der ebenen Geometrie, die nicht durch die Algebra hergeleitet werden können, sind in unserer Theorie leicht zu verifizieren. W eil die Algebra die Imaginären umfaßt, ist einleuchtend, daß jeder plangeometrische Satz (den man algebraisch aussprechen kann) von unseren Imaginärdingen gilt. Jeder plangeometrische Satz ist ein besonderer Fall eines stereometrischen Doppelsatzes in der Geometrie der Linienkongruenzen. § 8. Anharmonisohe Funktionen.

lö. Die a n h a r m o n i s c h e F u n k t i o n von vier 1- Geraden (L1 , L 2 , L 3 , L 4), die durch einen J-Punkt gehen, ist: A 1 -A 3 • A 2 -A 3 A 1 -A,. A 2 -A~.

Man hat ein Viereck (Fig. 4a) in der Grundebene zu betrachten. Der Modul dieser Funktion ist das Verhältnis der Produkte der entgegen- [24 gesetzten Seiten; die Amplitude ist die Summe zweier entgegengesetzter Winkel.

Kap. I, II; § 6-9; Nr. 12-17. Allgemeines .. .Ariharmonische Funktionen

21

Die Bedingung der Realität ist, daß die vier Punkte konzirkular sind. Ein besonderer Fall ist, daß die vier Punkte auf einer Geraden sind. Wenn l1 , l 2 , Z3 , l4 in derselben Ebene (Fig. P 4 b) sind (dann ist P ein Nullpunkt), so gilt die Gleichung:

(L1 L 2 L3 L 4) = A.1

In anderen· Fällen hat (l1 l2 l3 Z4) keine BedeuFig. 4a. Fig. 4b. tung. DieanharmonischeFunktion von vier J-Punkten (Pi,P 2 ,P3 ,P4) derselben J-Geraden ist: X 1 - X8

X 2 - X8

X 1 -X,: X 2 -X,.

Man hat folglich ein Viereck in der Grundebene zu betrachten. 16. L 1 , L 2 , L 3 , L 4 (Fig. 5b) seien durch die J-Gerade L, deren Nullgerade ich mit l bezeichne, geschnitten. Ich nehme an, daß l die Nullgeraden Z1 , l2 , Z3 , Z4 in den vier Punkten Ä.1 , Ä. 2 , Ä.3 , Ä. 4 schneidet. Dann gilt die Gleichung:

Wenn L 1 , L 2 , L 3 , L 4 durch einen I-Punkt gehen, können wir kürzer [25 schreiben:

Kapitel II. §

9. Orthogonalitätssätze.

17. Der Kreisradius trifft die Tangente orthogonal. Wir betrachten den Nullstreifen des J-Kreises: Z2 + X 2 = a 1 + a 2 i; wir erhalten den stereometrischen Satz: Der Radiusvektor vom Koordinatenanfange nach einem beliebigen Punkte der Raumkurve: z2

+x

2

-

y2

=

a1 ,

2 x y = a2

und die Tangente in demselben Punkte haben supplementäre Azimute, komplementäre Höhen.

22

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

18. Konfokale Ellipsen und Hyperbeln schneiden einand-er orthogonal. Es sei definiert ein System konfokaler I-Ellipsen und I-Hyperbeln durch die Gleichungen:

A.2Z2

+ o2x2 = A.202, I u = o,

A~Z2 -O~X 2 2

0 -A

2

= A~O~,

= 0~ + A! =

I

V= 0. Const.

= z. Die komplexe Gleichung U = 0 gibt zwei reelle: = 0. Diese Gleichungen definieren ein System von RaumEbenso gibt V= 0 das System: v1 = 0, v2 = 0. Durch jeden

Wir setzen Z

u 1 = 0, u 2

kurven. Punkt des Raumes geht eine Kurve von jedem Systeme. Die entsprechenden Tangenten haben supplementäre Azimute, komplementäre Höhen. Durch eine ähnliche algebraische Operation kann man zwei b~liebige Systeme orthogonaler Kurven in der z,x-Ebene als zwei räumlichen Kurvensystemen, die einander orthogonal schneiden, zugehörig betrachten; die Tangenten im Durchschnittspunkte haben supplementäre Azimute. Anharmonische Sätze. § 10. Vier I-Gerade durch einen Punkt.

19. a) Vier Gerade der z, x-Ebene L 1 , L 2 , L 3 , L 4_ (Fig. 5a), die durch denselben Punkt P gehen, bestimmen auf einer beliebigen Geraden ein konstantes anharmonisches Verhältnis. b) Es seien l1 , l 2 , l 3 , l 4 (26 (Fig. 5b) vier Genera trizen des einen Systems eines einfachen Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte t,,. Die entsprechenden I-Geraden gehen durch einen IPunkt P. Es sei .., l eine variable Fig.5b. Fig. 5a.

Kap. II; § 9"'-11; Nr. 18-22. Die S-Kurve auf einem I-Kegelschnitte

23

Generatrix des anderen Systems, L die entsprechende J-Gerade; l schnei' det l1 , Z2 , l3 , Z4 in den Punkten Ä1 , Ä2 , Ä3 , Ä4 • Wir wissen:

L (L 1 L 2 L 3 L 4 ) =

(Ä 1 Ä2 ).3 Ä4).

Die linke Seite ist konstant nach dem Euklidischen Satze, folglich auch die rechte. Dies ist ein bekannter Satz von vier Generatrizen desselben Systems einer Linienfläche zweiten Grades. § 11. I-Punkte auf einem I-Kegelschnitte.

20. a) Es seien P 1 , P 2 , P 3 , P 4 vier feste Punkte, P ein variabler Punkt eines Kegelschnitts (Fig. 6a). Man hat die Gleichung:

P (P1 P 2 P 3 P 4) = Const.

b) Es seien P, P11 P 2 , P 3 , P 4 J-Punkte eines J-Kegelschnitts. Das Viereck A. 1 , A. 2 , A3 , A 4 (Fig. 6b) ist zwei Bedingungen unterworfen. Dies ist ein Satz von den vier gemeinschaftlichen Geraden der variablen Kongruenz P mit den vier festen Kongruenzen P 1 , P 2 , P 3 , P 4• 21. WirsetzenP1 , P 2 , P 3 festvoraus; P 4 sei der Bedingung unterworfen daß die anharmonische Funktion (P1 P 2 P 3 P 4) reell ist. P 4 defi- [27 niert eine räumliche Kurve S auf der gestreiften Fläche der l'ig. 6b. J-Kurve. Es ist ein• leuchtend, daß die anharmonische Funktion von vier beliebigen J-Punkten auf S reell ist. Folglich: eine beliebige Kongruenz P der J-Kurve bestimmt mit den Kongruenzen Pm der Kurve S ein einfaches Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, d. h., die Nullgerade der J-Geraden P Pm beschreibt, wenn P fest ist, Pm die Kurve S durchläuft, ein solches Hyperboloid. 22. Jede Gerade des Raumes gehört zwei Kongruenzen eines J-Kegelschnitts an; allgemein: jede Gerade des Raumes gehört n Kongruenzen einer J-Kurve von n-tem Grade an; eine Gerade der z,x-Ebene schneidet nämlich eine Kurve von n-tem Grade in n Punkten.

24 III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869 23. c) Wir betrachten den J-Kreis: Z 2 + X 2 = r 2 , wo r reell ist, etwas näher (Fig. 6c). Die Gleichungen des Nullstreifens sind:

z2

+ x2 -

y2

= r2,

xy = 0.

Der Nullstreifen hat zwei ebene Zweige:

z2

+ x2 = y

I

r2,

z2 - y2 = r2,

= 0.

x

= 0.

(Hamilton: Lectures on Quaternions, pag. 685.) Wir nehmen die vier festen J-Punkte auf dem einen ebenen Zweige. Weil wir auch P auf demselben Zweige wählen können, muß die kon- [28 stante anharmonische Funktion P (P1 P 2 P 3 P 4) reell sein. Folglich sind im ailgemeinen A 1 , A 2 , A 3 , A 4 auf einem Kreise, l1 , Z2 , l3 , l 4 sind Generatrizen eines einfachen Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte. Wenn P 4 den ganzen Nullstreifen durchläuft, beschreibt A 4 zwei Kreise, l 4 zwei Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten. Einfache Konsequenz: Jeder Punkt der Raumkurve: Fig; 6c.

z2

+ x2 -

y2 = r2'

xY = 0

projiziert dieselbe in der x,y-Ebene in einen Kreis und eine Gerade. § 12. Homographisohe Figuren.

(Chasles: Geom. sup. Chap. XXV, pag. 362.) 24. Es sei etabliert anharmonische Korrespondenz zwischen den J-Punkten P und P' durch die Gleichungen:

X'= AX+Bz+c.

DX+Ez+F'

Z' = GX+Hz+K.

DX+Ez+F

Wir fordern, daß P und P' Nullpunkte sind; dann müssen sie auf zwei Hyperboloiden U und U' mit horizontalen Kreisschnitten gelegen sein (Fig. 7). Wenn der Nullpunkt P sich auf einer J-Geraden bewegt, muß P' dasselbe tun. Man bemerke, daß nicht allein die Nullpunkte- einer beliebigen Generatrix, sondern auch diejenigen eines beliebigen horizontalen Kreisschnitts auf einer J-Geraden gelegen sind. Den Punkten eines horizontalen Kreisschnitts von U entsprechen Punkte einer [29 U'-Generatrix. (Cfr. Lucas: Courbes -planes, pag. 190.) ,,A une droite de la premiere figure correspond une circonference passant par J'."

Kap. II; § 11, 12; Nr. 23-27. J-Kreis. Homographische Figuren

25

Einer ebenen U'-Kurve entspricht gewöhnlich eine UKurve dritter Ordnung. P (P1 P 2 P s P 4) = P' (P~ P~ P~ P~) = einer reellen Konstanten. Folglich sind A 1 , A 2 , A 3 , A 4 konzirkular. Jeder Punkt der Raumkurve projiziert dieselbe in der x, y-Ebene in einen Kreis.

25. Es sei eine gewöhnliche Involution oder Homographie zwischen den Punkten der ebenen U'-Kurve etabliert. (Chasles: Les coniques, Chap. VIII,pag.147).Hieru' bei erlangt man eine Involution oder Homographie auf der Raumkurve. Man könnte unmittelbar Homogra phie zwischen den I-Punkten eines JKegelschnitts etabliert haben. Gewöhnlich würde man hierbei keine Homographie zwischen N'ull Fig. 7. punkten erlangen. Es seien in einer Involution auf der Raumkurve m und m' korrespondierende Punkte; die Gerade mm' ist auf einem Hyperboloide mit horizontalem Kreisschnitte, die entsprechende J-Gerade geht durch einen festen J-Punkt. 26. Aus der Existenz von J-Kegelschnitten, deren Nullstreifen die Eigenschaft besitzt, daß jeder Punkt desselben ·die Raumkurve in der x, y-Ebene in einen Kreis projiziert, könnte man die Möglichkeit einer Involution zwischen Nullpunkten auf dem J-Kegelschnitte herleiten. Es sei P ein beliebiger J-Punkt dieses J-Kegelschnitts. Die Geraden der Kongruenz P, welche den Nullstreifen schneiden, bilden ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. Es ist einleuchtend, daß eine solche Gerade den Nullstreifen nur in einem Punkte schneidet; die entsprechende I-Gerade schneidet nämlich den J-Kegelschnitt auch in P. Die Generatrizen des zweiten Systems des Hyperboloids schneiden dann den Nullstreifen in zwei Punkten. (Salmon: Geometrie des Raumes, II. Teil, deutsch von Fiedler, S. 91). Diese Generatrizen entsprechen einem (30 J-Punkte Q. Es ist aber bekannt, daß Gerade durch denselben Punkt auf einem Kegelschnitte eine Involution bestimmen. 27. Man betrachte einen beliebigen J-Kegelschnitt, dessen Nullstreifen von zwei ebenen Kegelschnitten in konjugierten Ebenen gebildet ist. Es

26

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

sei Q ein beliebiger Punkt der. Durchschnittsgeraden dieser zwei Ebenen. Eine variable J-Gerade durch den Nullpunkt Q bestimmt auf dem J-Kegelschnitte eine Involution von der Art, daß ei~em Nullpunkte immer ein Nullpunkt entspricht.

Kapitel III. § 13. Anderer Ausgangspunkt. 28. Wir betrachten ein orthogonales Koordinatensystem (Fig. 8), wie früher gerichtet. Es sei O der Koordinatenanfang, A ein variabler Punkt in der x,y-Ebene. Unter A verstehe.ich auch die Gerade OA, aufgefaßt als komplexe Größe. Die z-Achse schneidet die Ebene z = 1 in 0'. 0 ist ein variabler Punkt in dieser Ebene. Unter O verstehe ich auch die Gerade 0'0, aufgefaßt als komplexe Größe. Wenn die Punkte A und 0 I I / I I / in der z, x-Ebene gelegen sind, wer0)------1-- -/~-- - ------ -/ I // I I / den die Größen A und O reell sein. I A~" Die räumliche Gerade AC beFig. 8. trachte ich als Repräsentant des Größensystems (A, 0). Eine Gleichung F (A, 0) = 0 definiert dann eine [31 Linienkongruenz. Ich nehme an, daß die Gleichung die folgende Form hat: F (A, 0 -A) = 0, wo ich O -A = B setze. Um sich die Bedeutung dieser Variabelnvertauschung zu versinnlichen, denke man sich in der festen Ebene z = 1 eine translatorisch bewegliche auf jener gleitende Ebene. Ein Punkt A' dieser letzten ist auf der Vertikalen des variablen Punkts A; B ist dann die komplexe Größe A'O. Wenn man von dem Punkte B spricht, versteht man darunter den Punkt 0, betrachtet als der beweglichen Ebene angehörig. b

a

29. Wir betrachten die lineare Relation:

BG =K -A, G

Fig. 9.

= g1

+ g i, 2

K

= k1

+ k i. 2

Wir nehmen G, K und die eine Variable reell, dann ist auch die andere reell. Die variable Gerade AB(AO) ist in der z,x-Ebene ge-

Kap. II, III; § 12-14; Nr. 27-31. Anderer Ausgangspunkt

27

legen und geht durch den Punkt: z= g1 , X= k1 derselben. (Chasles: Geom. sup., Chap. XXII, pag. 828.) W.enn bloß G reell ist, dann geht die räumliche Gerade AB durch den festen Raumpunkt (Fig. 9a): z

= g1,

X

= k1, Y = k2.

Wenn endlich auch G komplex ist, dann bilden die Raumgeraden (32 AB (Fig. 9 b) eine Linienkongruenz;· das Zentrum ist der Punkt: z

= Y1, X= k1, Y= k2,

die Konstante ist g2 i. Die imaginären horizontalen Direktrizen derselben sind nach den unendlich entfernten, imaginären Kreispunkten der x, yE bene gerichtet. G und K entsprechen augenscheinlich Z und X des Para.,. graphen 4.

§ 14. Repräsentation der J~Geraden durch eine räumliche Gerade. 30. Es sei l eine Gerade der z,x-Ebene. Die entsprechenden, nun reellen, Werte von A und B betrachte· ich als Linienkoordinateµ von l. Diel-Geradederz,x-Ebene, deren Koordinaten A und B folglich imaginär sind, lasse ich defini tio nsmäßig durch eine räumliche Gerade auf die dargestellte Weise repräsentiert werden. Es ist zu bemerken, daß die reellen Elemente a 1 , a 2 , b1 , b2 der imaginären Koordinaten eben die Größensind, welchePlücker als Strahlenkoordinaten der räumlichen Geraden betrachtet./ (Plücker: Neue Geometrie des Raumes, 1868.) Fig. 10. 31. In der Tangentialgeometrie ist der Begriff Punkt gewissermaßen unwesentlich; man könnte ihn durch den Begriff lineares Geradensystem ersetzen. Der Punkt tritt repräsentativ für dieses System auf. Man könnte von der gemeinschaftlichen Geraden P 1 P 2 zweier solcher Geradensysteme (Fig. 10) statt [33 von der Verbindungsgeraden der entsprechenden Punkte sprechen, von dem linearen Geradensysteme zweier Geraden FG und LM statt von ihrem Durchschnittspunkte, von den Koordinaten eines Geradensystems, darunter verste,hend die Konstanten der Gleichung desselben, von der Distanz zweier solcher Systeme, im Sinne einer gewissen Funktion der Koordinaten.

28 III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869 Wenn man auf diese Weise die ebene Tangentialgeometrie dargestellt hätte, würde die oben gegebene Repräsentation der J-Geraden ohne weiteres zu einer Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie führen, die indessen nicht wesentlich von der früheren verschieden ist.

32. Die jetzige ·räumliche Gerade ist die Nullgerade der gestreiften Ebene. Das Zentrum des linearen Geradensystems ist der Ort des J-Punkts. Das Gewicht desselben, mit i multipliziert, ist die Konstante der Kongruenz. Wir sprechen in der letzten Repräsentation nicht von Kurven, sondern von Geradensystemen. F n (A, B) = 0 definiert ein solches, dessen Brennflächen zwei imaginäre Zylinder sind (§ 5). Durch jeden Punkt des Raumes gehen n Gerade dieser Kongruenz. Die Tangenten des reellen Durchschnitts gehören dem Geradensysteme an. Man betrachtet gewöhnlich denjenigen Teil dieser Durchschnittskurve, der in der i, x-Ebene gelegen ist. (Chasles: Geometrie superieure, Chap. XXIV). Zwei unendlich nahe Gerade dieses Geradensystems bestimmen, in gewöhnlicher infinitesimaler Bedeutung, ein lineares Geradensystem, dessen Koordinaten ich Z und X nenne. Ich setze die alte Gleichungsform: BZ = X -A voraus. Alle solchen Wertsysteme (Z, X) bestimmen sich durch eine Gleichung:

In der ersten Repräsentation ist dies die Gleichung der gestreiften Fläche.

33. Weil die zwei Repräsentationen W!3Sentlich identisch sind, kann man eine Terminologie anwenden, die von beiden etwas leiht. Unter der ,,J-Geraden L" verstehe ich zum Beispiel entweder die gestreifte Ebene oder die Raumgerade. Der Zusammenhang zeigt in jedem Falle [34 die Bedeutung. §

15. Der Brianohonsohe Satz.

34. Es seien P 1 und P 2 zwei Punkte in der z,x-Ebene (Fig. 11 a). Durch jeden gehen drei Gerade. Wir betrachten diese als Tangenten eines Kegelschnitts, der von den zwei Punkten konstituiert ist. Wir können diese sechs Geraden auf mehrere Weisen zu Sechsecken vereinigen, auf welche der Brianchonsche Satz angewendet werden kann.

Kap. III;. § 14-16; 'Nr. 81-87. Satz von Brianchon. Geradensysteme

29

36. Drei Generatrizen des einen Systems (l1 , l2 , l3) (Fig. 11 b) eines einfachen Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte entsprechen einem J-Punkte P 1 ; drei des a b anderen Systems (l~, l~, l~) ~ entsprechen P 2 • Wenn man den Brianchonschen Satz auf die hierbei gebildeten JSechsecke anwendet, erhält · man eine Generalisation des Plückerschen Satzes von Sechsecken, die Linienflächen zweiten Grades aufgeschrieben sind. Wenn die Ecken Fig.11. des betrachteten Sechsecks Nullpunkte sind (PI ücker betrachtet diesen Fall), könnte man durch Transformatiorisbetrachtungen beweisen, daß der J-Punkt, durch welchen die J-Diagonalen gehen, ein Nullpunkt ist. §

16. Geradensysteme im Raume.

36. L 1 = 0, L 2 = 0, L 3 = 0, ... sind Gleichungen von J-Geraden, die nicht durch denselben J-Punkt gehen. Die Gleichung einer beliebigen [85 1- Geraden schreibt sich:

wo µ und v komplexe Konstanten sind. Die reellen Elemente von µ und v könnte man als Linienkoordinaten der Geraden L betrachten. 37. Wenn runde reelle Variable sind, definiert die Gleichung:

die Geraden einer Linienkongruenz, deren Direktrizen horizontal sind; wenn r und e Funktionen einer dritten reellen Variabeln sind, ist die Gerade L = 0 Generatrix einer Linienfläche. Die Gleichung einer beliebigen J-Geraden durch den J-Punkt (L1 , L 2) schreibt sich:

Wenn µ als reelle Größe variiert, beschreibt L eine Linienfläche zweiten Grades, deren horizontaler Schnitt geradlinig ist.

30 III. Repräsentation der hnaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

Endlich könnte man die Gleichungsform betrachten:

L= L 1

+ r 1L 2 + r 2L 3 + r3L 4 + r4L 5 =

0.

Die reellen Größen ri, r 2 , r 3 , r 4 könnte man als Linienkoordinaten auffassen. §

17. Korrelative Figuren.

38. Wir denken uns anharmonische Korrespondenz zwischen J-Punkt und J-Gerade zustandegebracht. Wenn wir p = 0 fordern, erhalten wir Korrespondenz zwischen den Nullpunkten des Raumes und den Geraden eines Linienkomplexes. Wenn ai, a 2 , bi, b2 einer linearen Relation unterworfen sind, muß der Punkt x, y, z auf einer Linienfläche zweiten Grades mit horizontalem Kreisschnitte sein. Wenn noch eine solche Relation hinzukommt, erhalten wir anharmonische Korrespondenz zwischen den Punkten einer Raumkurve dritter Ordnung und den Generatrizen einer Linienfläche vierten Grades, deren horizontaler Schnitt vom zweiten Grade ist. Endlich könnte J-Geraden etablieren.

man anharmonische Korrespondenz zwischen

Kapitel IV.

[86

Repräsentation der J-Geraden durch eine Gewichtebene. §

18. Neue Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie.

39. Ich stelle im folgenden in kurzen Zügen eine Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie dar, die von der oben gegebenen wes e n t lieh verschieden ist, wiewohl sie mit ihr durch die Lehre von der räumlichen Reziprozität nahe verwandt ist. M Es sei l (M, N) eine Gerade der z, x-Ebene (Fig. 12a). Ich betrachte sie als die Trace einer Ebene E, die mit der y-Achse parallel ist, die folglich die z, xEbene orthogonal schneidet. Einen Satz über Ge0 .N rade in der z, x-Ebene könnte man folglich als Satz über Ebenen betrachten.

40. Ich betrachte die Ebene E als die Gerade Fig.12a. der z, x-Ebene. Es seien T und V die inversen Segmente, welche l oder E auf der x-Achse und der z-Achse abschneidet:

T=

1 ON'

1 V=oM·

Kap. III, IV; § 16-19; Nr. 87~2. Neue Repräsentation

31

Ich betrachte T und V als Koordinaten der Geraden der z, x-Ebene. Wenn sie imaginär sind : T = t + ui; V = v + wi, lasse ich definitionsmäßig die I-Gerade (T, V) durch die Ebene (t, u, v) vom Gewichte w repräsentiert werden. t, u, v sind die inversen Segmente, welche die Ebene auf der x-Achse, der y-Achse, der z-Achse [87 bildet. Ich rede von Nullebenen. Man betra;chtet gewöhnlich Nullebenen, welche die y-Achse in unendlicher Ferne schneiden: u = 0. § 19.

1-Geradensysteme. J-Kurven.

41. F(T, V) = 0 definiert ein Ensemble von Gewichtebenen, die eine gestreifte Fläche U umhüllen. Die Ebenen desselben Gewichtes bilden Abwicklungsflächen, welche U in deren Streifen berühren. Lineares I-Geradensystem, I-Pnnkt. OV =T-D definiert, wenn O und D Konstanten sind, -ein lineares I-Geradensystem. Die Gewichtebenen desselben gehen durch einen Raumpunkt P (Fig. 12b). Die Ebenen desselben Gewichtes gehen P durch eine Gerade (Achse). Die von P divergierenden Achsen bilden eine Ebene, PO M, die durch den Koordinatenanfang geht. Die reellen Elemente von 0 = c1 + c2 i und D= d1 + d 2 i sind in Plückerscher Bedeutung Achsenkoordinaten der Nullachse P M. Der Punkt P einer gegebenen Nullachse kann durch folgende Konstruktion bestimmt werden. Man Fig. 12b. zieht von O in der x, y-Ebene eine Gerade OM nach der Nullachse; perpendikulär auf OM zieht man, auch in der x, y-Ebene, die Gerade ON. Die Vertikalebene durch ON schneidet die Nullachse im Punkte P. Die Nullachse ist ein vollständiger Repräsentant des Gewichtebenensystems; dies ist dagegen nicht der Fall mit dem Punkte P. 42. Einer gegebenen I-Geraden T, V entspricht ein Ensemble von linearen Geradensystemen 0, D, welche dieselbe enthalten; man könnte sagen: der I-Geraden T, V entspricht eine Kongruenz von Nullachsen. F (T, V) = 0 definiert ein Ensemble von Gewichtebenen, welche eine Fläche U umhüllen. Zwei unendlich nahe Gewichtebenen bestimmen ein lineares Gewichtebenensystem. Der Punkt P desselben ist auf U. Die fundamentale Rolle der unendlich entfernten, imaginären Kreispunkte in der früheren Theorie kommt nun den Geraden vom Koordinatenanfange nach diesen Punkten zu.

32

III. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Christ. Forh. 1869

Die anharmonische Funktion von vier I-Geraden desselben (38 linearen I-Geradensystems ist: T 1 - Ta. T 2 - Ta T 1 -T,. T 2 -T,

Wenn die vier Tracen T 1 , T 2 , T 3 , T 4 in der x, y- Ebene einen Kegelschnitt berühren, der einen Brennpunkt im Koordinatenanfange hat, so ist diese Funktion reell und gleich der anharmonischen Funktion, welche die vier Tangenten auf einer beliebigen fünften Tangente bestimmen. Die anharmonische Funktion von vier Gewichtebenen desselben Gewichtes ist reell und gleich der anharmonischen Funktion der vier Ebenen. § 20.

Anwendungen der Theorie.

43. a) Es seien A 1 , A 2 , A 3 , A 4 vier feste Punkte auf einer Geraden, A ein variabler Punkt, alle in der z,x-Ebene. Wir wissen:

b) Es seien Ai, A 2 , A3 , A 4 vier feste Generatrizen einer Linienfläche zweiten Grades (besonderer Art); wir können sie als Nullachsen, deren 1-Geradensysteme eine gemeinschaftliche I-Gerade enthalten, betrachten. Es sei A eine beliebige Generatrize des anderen Systems, als Nullachse aufgefaßt. Wir erhalten den Satz von der konstanten anharmonischen Funktion von vier Tangentialebenen einer Linienfläche zweiten Grades, die durch vier feste Generatrizen des einen Systems und eine variable des zweiten gehen. Der Pascalsche Satz gibt, wenn der Kegelschnitt von zwei Geraden gebildet ist, eine Generalisation des PI ückerschen Satzes von sechsflächigen Körpern, die einer Linienfläche zweiten Grades ein- und aufgeschrieben sind. Man könnte endlich, indem man den Punkt der z, x-Ebene als die Trace einer mit der y-Achse parallelen Geraden auffaßt, definitionsmäßig den J-Punkt (0 D) durch eine räumliche Achse repräsentieren. Dieses führt auf die eben gegebene Repräsentation zurück.

IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie. Fortsetzung.

[101

Von Marius Sophus Lie. Christ. Forh., Aar 1869, S. 107-146. Christiania 1870.

Vorbemerkungen. 44. Diese Abhandlung schließt sich als Fortsetzung an eine frühere, die in den Verhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania gedruckt ist [hier Abb. III, S. 14-32]. Eine noch ältere, die im ,,Journal für reine und angewandte Mathematik" (CrelleBorchard t) Bd. 70 aufgenommen ist [hier Abb. I, S. 3-11], wird genügen, um in diese einzuführen. 45. In Kapitel V wird aus der Liniengeometrie der Ebene eine Geometrie der Chorden einer Raumkurve ~ritter Ordnung hergeleitet. In Kapitel VI wende ich meine Repräsentation auf die Theorie der Kegelschnitte an. In Kapitel VII wird ein eigentümlicher, einfacher Linienkomplex1) zweiteu- Grades, dessen Gerade anharmonisch den Punkten. des Raumes entsprechen, betrachtet. Ich leite hierdurch anharmonische Korrespondenz zwischen den Geraden einer Kongruenz zweiter Ordnung und Klasse, und den Punkten eines Hyperboloids her und zeige, daß die Geraden unserer Kongruenz auf zehn Weisen in ein System von Linienflächen zweiten Grades zusammengefaßt werden können. Wenn die Geraden der Kongruenz eine feste Gerade (Doppelgerade der Komplexfläche; cfr. P I ü c k er: Neue Geometrie des Raumes, 1868) schneiden, so wird ein System von Kegeln, eines von Kegelschnitten gebildet. In Kapitel VIII werden endlich mehrere stereometrische Transformationen untersucht. Die Ebene wird zum Beispiel in eine Linienfläche dritter Ordnung transformiert. Flächen zweiten Grades gehen in Flächen [108 vom sechsten Grade über, welche 1. in Linienflächen vierter Ordnung 1) Die singulären Punkte desselben bilden ein .Tetraeder; die singulären Ebenen gehen durch die Ecken dieses Tetraeders. So p h u s Li e, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I

8

34

IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh .. 1869

oder 2. in K ummersche Flächen vierter Ordnung, aus welchen fünf Systeme zweifacher Berührungsebenen Kegelschnittpaare ausschneiden, oder in Flächen dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte, usw. degenerieren können.

Kapitel V. § 21. Anharmonische Korrespondenz zwischen J-Punkten. 46. Wenn anharmonische Korrespondenz zwischen zwei J-Punkten P und P' (§ 12) zustandegebracht ist, so entsprechen, wie wir wissen, den Nullpunkten eines gewissen Hyperboloids U die Nullpunkte eines anderen Hyperboloids U'. Dem Durchschnittskegelschnitte 0 2 1) des Hyperboloids U mit einer Ebene E entspricht eine Raumkurve 0~1 ). Bewegt 'sich die Nullgerade einer variablen J-Geraden L in der Ebene E, so trifft sie den Kegelschnitt 0 2 in zwei Nullpunkten, denen zwei auf der Raumkurve 0~ gelegene Nullpunkte entsprechen. Die J-Gerade L geht mithin in eine J-Gerade L' über, deren Nullgerade eine Chorde der Raumkurve 0~ ist. Es ist zu bemerken, daß im allgemeinen die Nullpunkte der zwei I-Geraden L und L' einander nicht entsprechen. Wenn wir uns nun die J-Gerade durch eine Gerade, nicht durch eine gestreifte Ebene dargestellt denken, so können wir den folgenden Satz aussprechen: Wenn (a1 , a2 , b1 , b2) und (a~, a~, b~, b~) Strahlenkoordinaten zweier Raumgeraden L und L' (§ 14) sind, und folgende anharmonische Relationen stattfinden: A,_MA+NB+P -RA+sB+T'

B'-9A+UB+V - RA+SB+T'

wo: A = a 1 + a2 i, B= b1 + b2 i, ... und ebenso die anderen Größen komplex sind, so entsprechen den Geraden L einer Ebene E die Chorden einer Raumkurve dritter Ordnung. Die Geradengeometrie der Ebene gibt auf diese Weise [109 eine Geometrie der Chorden einer Raumkurve dritter Ordnung. 47. Einern Kegelschnitte der Ebene E, als Geradengebilde (Kurve zweiter Klasse) aufgefaßt, entspricht eine Linienfläche, deren Erzeugende Chorden der Raumkurve 0~ SÜJd. Durch jeden Punkt dieser Kurve gehen 1) Wir schreiben der Kürze wegen 1. Raumkurve On statt ,,Raumkurve n-ter Ordnung"; ·2. Raumkurve C~ statt ,,Raumkurve 0 3 , welche die beiden unendlich entfernten, imaginären Kreispunkte der x, y-Ebene enthält". Diese Punkte nennen wir ,,die Kreispunkte ± u".

Kap. V; § 21, 22; Nr. 45-49. Anharm. Korresp. zwischen I-Punkten

35

offenbar zwei Erz~ugende; sie ist mithin eine Doppelkurve der Linienfläche. Zwei Kegelschnitte der Ebene E haben vier gemeinschaftliche Tangenten, also haben die entsprechenden Linienflächen vier gemeinschaftliche Erzeugende; überdies schneiden sie einander in der Doppel.kurve. Sonst aber haben sie keinen gemeinschaftlichen Punkt, durch jeden Punkt des Raumes geht nämlich nur eine Chorde der Kurve 0~. Somit kann die Durchschnittskurve außer der Doppelkurve nur von jenen vier Erzeugenden gebildet werden und muß also mit einer von 22) Ordnung gleichwertig sein. Somit sind die sechzehnter (8. 22 Linienflächen von vierter Ordnung.

+

48. Ebenso beweisen wir, daß einer Kurve n-ter Klasse der Ebene E eine Linienfläche 2 n-ter Ordnung entspricht, welche die Kurve 0~ als n-fache Linie enthält. Schon von früher her wissen wir, daß Geraden der Ebene E, die durch einen Punkt gehen, die Erzeugenden eines Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte entsprechen. Wenn das Auge in einem beliebigen Punkte 0 1 ) der n-fachen Linie 0~ gelegen ist, so wird das perspektive Bild der Linienfläche 2n-ter Ordnung eine Kurve n--ter Klasse. Eine beliebige, durch den Punkt 0 gehende Gerade schneidet nämlich die Fläche außerdem in n Punkten; also gehen durch ihren Durchschnittspunkt mit der Bildebene n Projektionen von Erzeugenden der Fläche. Endlich bemerken wir, daß Linienflächen, hervorgegangen durch Transformation von Kurven der Ebene E, die gewisse Bedingungen befriedigen, sich durch die angegebene Zentralperspektive in Kurven verwandeln, die denselben Bedingungen unterworfen sind. §

22. Reelle anharmonisohe Funktionen,

49. Die anharmonische Funktion von vier beliebigen Tangenten eines [reellen] Kegelschnitts der Ebene E, als J-Tangenten eines J-Kegel- [110 schnitts aufgefaßt, ist offenbar reell; es ist somit einleuchtend, daß die anharmonische Funktion von vier beliebigen Erzeugenden der dem Kegelschnitte entsprechenden Linienfläche vierter - Ordnung ebenso reell ist. Wir benutzen die Ausdrucksweise: ,,Reellensemble von J-Tangenten eines J-Kegelschnitts" im Sinne eines Systems von J-Tangenten, das die Eigenschaft besitzt, daß die anharmonische Funktion von vier beliebigen J-Tangenten desselben reell ist. 1) Zum Beispiel in einem von den zwei Kreispunkten±"·

8*

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

Drei beliebige I-Tangenten eines I-Kegelschnitts bestimmen immer ein Reellensemble. Man kann nämlich a,nharmonische Korrespondenz zwischen den I-Tangenten des gegebenen J-Kegelschnitts und denjenigen eines anderen, dessen Nullstreifen eben ist, zustandebringen. Wir ordnen den drei gegebenen J-Tangenten drei Tangenten des ebenen Nullstreifens zu. Dann besitzt offenbar das System von I-Tangenten unseres gegebenen J-Kegelschnitts, das den Tangenten des ebenen Nullstreifens entspricht, die verlangte Eigenschaft. 50. Wir haben schon bewiesen, daß im allgemeinen das Reellensemble von J-Tangenten eines I-Kegelschnitts eine Linienfläche vierten Grades bildet, deren Doppelkurve eine Raumkurve C~ ist. Wir werden einzelne einfachere Formen untersuchen. Wenn die Ebene E das Hyperboloid in zwei Generatrizen g und y schneidet, so besteht die Doppelkurve C~ aus einer Geraden g' und einem horizontalen Kreise y'. Wenn die Gerade g den gegebenen Kegelschnitt der Ebene E berührt, so ist die Gerade g' sowohl eine Erzeugende als eine einzelne Leitlinie der Linienfläche; durch jeden Punkt des Kreises y' gehen zwei Erzeugende derselben. Wenn dagegen die Gerade y den gegebenen Kegelschnitt berührt, so ist die entsprechende Linienfläche von dritter Ordnung; die Gerade g' ist ihre Doppelgerade. Wenn beide Gerade g und y den gegebenen Kegelschnitt berühren, so erhalten wir die l!'orm der Linienfläche dritten Grades, welche Cay ley angegeben hat. Wir haben schon früher (§ 17) angedeutet, daß die Doppelkurve C~ unserer Linienfläche vierten Grades in zwei horizontale Gerade zerfallen kann. 51. Endlich bemerken wir, daß die Erzeug.enden von [111 beiden Systemen einer beliebigen Linienfläche zweiten Grades in unserer Repräsentation I-Tangenten eines J-Kegelschnitts darstellen. Jedes Generatrizensystem bildet ein Reellensemble. Es seien nämlich g1 , g2 , g3 , ••• , g Erzeugende des einen, y 1 , y 2 , y 3 , ••• , y Erzeugende des anderen Systems. Die Gleichung:

?'(Y1, g2, g3, g4) = ?'1 (g1, Y2, g3, g4) zeigt dann, daß alle Erzeugenden y J-Tangenten desjenigen I-Kegelschnitts sind, der durch die fünf J-Geraden g1 , g2 , g3 , g4 , y, 1 bestimmt ist. Ebenso sind alle Erzeugenden g I-Tangenten des I-Kegelschnitts, der durch die fünf J-Geraden y 1 , y 2 , y 3 , y 4 und g1 bestimmt ist. Hierdurch ist der erste Teil unseres Satzes bewiesen. Der zweite Teil folgt daraus, daß in obenstehender Gleichung die rechte Seite reell ist.

Kap. V, VI; § 22, 23; Nr. 49-54. Reellensemble von J-Tang. Nullstreifen

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Kapitel VI. §

23. I-Kegelschnitte und ihre Nullstreifen.

52. Wir werden in diesem Kapitel unsere Repräsentation auf die Theorie der Kegelschnitte anwenden. Wir wissen,. daß der I-Kegelschnitt, als I-Punktensemble aufgefaßt, durch eine gestreifte .Fläche dargestellt wird; auf derselben haben wir: (Nr. 21), was wir eine S-Kurve genannt haben, betrachtet; diese ist ausgezeichnet dadurch, daß die anharmonische Funktion von vier beliebigen I-:Punkten derselben reell ist. Wenn das Gewicht aller I-Punkte derselben Null (oder allgemeiner p) ist, kann diese S-Kurve ein Kegelschnitt oder eine Raumkurve 0~ sein. Es ist leicht zu erkennen, daß dies die allgemeinste Form ist. Die Forderung: P (P 1 , P 2 , P 3 , P 4) = einer reellen Konstanten, wo P, P 1 , P 2 , P 3 , P 4 beliebige Nullpunkte der S-Kurve sind, enthält nämlich die Forderung, daß ein beliebiger Punkt der S-Kurve dieselbe in der x, y-Ebene als einen Kreis projiziert. Die einzige Raumkurve dieser Eigenschaft ist die eben betrachtete. 53. Im Allgemeinen ist der Nullstreifen eines I-Kegelschnitts eine Raumkurve 0 4 , die somit keine S-Kurve ist. Wenn er eine Raumkurve 0~ ist, so hat die Gleichung des I-Kegelschnitts die folgende Form: (1)

Z2

+ AZX + BZ +ex+ D= 0.

[112

Einern gegebenen Werte von Z (d. h. von z und p) entspricht offenbar nu:c ein Wert von X (d. h. von x und y), ein beliebiger p-Streifen wird daher von einer beliebigen Horizontalebene nur in einem Punkte geschnitten; alle p-Streifen sind folglich in diesem Falle Raumkurven 0~. Wenn in der Gleichung (1) X unbegrenzt wächst, so wird Z : X entweder Null oder - A. Unser I-Kegelschnitt enthält also den, in horizontaler Richtung, unendlich entfernten I-Punkt. Folglich haben alle I-Kegelschnitte,- deren N uUstreifen eine Raumkurve C~ ist, einen gemeinschaftlichen I-Punkt.

li4. Wenn der Nullstreifen einen oder zwei Kegelschnitte enthält, so ist jeder derselben eine S-Kurve. Jeder I-Punkt eines solchen J-Kegelschnitts projiziert, wie wir wissen, diese Kegelschnitte als Kreise in der x, y-Ebene, d.h. die Geraden des J-Punkts, aufgefaßt als Kongruenz, welche diese Kegelschnitte schneiden, bilden zwei Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten. Umgekehrt: Jeder J-Punkt, der einen Kegel-

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schnitt k in der x, y-E bene als Kreis projiziert, gehört dem J-Kegelschnitte k an (d.h. dem J-Kegelschnitte, der den Kegelschnitt k al-s Nullstreifen enthält). Dieses folgt daraus, daß, wenn die anharmonische Funktion von vier 1- Geraden eines 1- Punkts reell ist, sie derjenigen gleich ist, welche diese vier Gerade, als Erzeugende eines Hyperboloids aufgefaßt, auf einem beliebigen Kegelschnitte desselben bestimmen.

55. Eine einfache Konsequenz des letzten Satzes -ist die folgende. Alle Kegelschnitte, die auf einem Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte gelegen sind, enthalten, als J-Kegelschni tte a ufgefaßt, zwei gemeinschaftliche J-Punkte, die nämlich, welche durch die beiden Generatrizensysteme bestimmt sind. Cfr. Chasles: Les coniques, pag. 362. Corollaire I. ,,Lorsque l'oeil est situe sur la surface (du second ordre), les perspectives de toutes les sections planes sont des coniques qui passent par deux points fixes." In unserer Theorie sind die beiden Kreispunkte ± x, welche auf dem Hyperboloide mit horizontalem Kreisschnitte gelegen sind, Perspektivitä tszen tra. Wenn sich eine Ebene um eine feste Achse dreht, so bestimmt sie durch ihren Schnitt mit einem Hyperboloid von horizontalem Kreisschnitte J-Kegelschnitte, die vier feste [118 J-Punkte enthalten. Zwei haben wir nämlich eben erkannt; die beiden anderen sind die Nullpunkte, in welchen die Achse das Hyperboloid schneidet. Der Satz gilt noch, wenn die Achse das Hyperboloid nicht trifft.

56. Wenn der Nullstreifen eine Raumkurve 0~ ist, so treten zwei Systeme von J-Punkten auf, welche denselben in der x,y-Ebene als Kreis projizieren. Es sei nämlich gegeben ein beliebiges Hyperboloid, das die Raumkurve 0~ enthält; es seien P 1 und P 2 die beiden J-Punkte, welche durch die beiden Generatrizensysteme bestimmt sind. Wenn die Generatrizen der Kongruenz P 2 die Kurve 0~ zweifach schneiden, so werden die Generatrizen der Kongruenz P 1 dieselbe einfach schneiden. Alle J-Punkte P 1 gehören dem 1-Kegelschni"tte 0~ an. Um dieses zu beweisen, betrachten wir die Nullpunkthyperboloide U und U' des Paragraphen 12. Einern Kegelschnitte 0 2 auf 7J entspricht auf U' eine Raumkurve 0~. Es sei H' ein beliebiges Hyperboloid, das die einKurve 0~ enthält, G' das Generatrizensystem desselben, welches fach schneidet. Dem J-Punkte G' entspricht ein J-Punkt G, der den Kegel-

o;

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Kap. VI; § 23, 24; Nr. 54--58. J-Kegelschnitte

schnitt 0 2 in der x, y-Ebene als Kreis projiziert und somit dem J-Kegelschnitte 0 2 angehört. Infolgedessen gehört auch der J-Punkt G' dem J-Kegelschnitte C~ an. Raumkurven C~ eines Hyperboloids, welche von demselben Generatrizensysteme G einfach geschnitten werden, bestimmen J-Kegelschnitte, welche zwei feste J-Punkte enthalten. Der J-Punkt G ist der eine, der in horizontaler Richtung unendlich entfernte ist der andere. Wenn diese Kurven 0~ durch zwei ·feste Punkte gehen, so enthalten die entsprechenden J-Kegelschnitte vier feste J-Punkte. § 24. J-Kegelschnitte, als Ensemble von J-Tangent~n aufgefaßt.

57. Die J-Tangenten eines J-Kegelschnitts bilden eine Kongruenz, deren Brennflächen zwei nach den Kreispunkten ± x gerichtete Zylinder sind. Der Durchschnitt derselben ist der Nullstreifen des J-Kegelschnitts. Man schließt hieraus, daß, wenn das Auge beliebig auf dem Nullstrei- [114 fen gelegen ist, die Horizontalperspektive einer beliebigen Linienfläche, die vonl-Tangenten gepildet ist, eine Kurve wird, welche die beiden Kreispunkte ± x enthält. Wenn diese Kurve ein Kegelschnitt ist, so muß sie ein Kreis sein. Wir wissen, daß im allgemeinen das Reellensemble von J-Tangenten eine Linienfläche vierten Grades bildet. Die Doppelkurve derselben schneidet im allgemeinen den Nullstreifen des dargestellten J-Kegelschnitts in vier Punkten. Wenn das Auge in einem von diesen vier Punkten gelegen ist, so wird die Horizontalperspektive der Linienfläche ein Kreis.

-

58. Die Beschaffenheit des Nullstreifens ist eng mit derjenigen der horizontalen J-Tangenten verknüpft. Wenn diese zwei horizontale Nullebenen sind, so wird der Nullstreifen von zwei Kegelschnitten gebildet. Eine variable J-Tangente bestimmt nämlich in diesen horizontalen Ebenen zwei komplexe Segmente 0'0 und OA (Fig. la) oder kürzer C und A. Wir setzen voraus, daß O und 0' die Berührungspunkte sind, daß ferner, wenn die Größen A 0 ,_ __,___ und O reell sind, die Geraden OA und O'C paraliel sind. Dann ist die J-Tangentengleichung des J-Kegelschnitts von der folgenden Form: A .C

= Const.,

wo wir noch die Konstante reell voraussetzen können. Wenn A und infolge hiervon C reell

Fig. la.

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variiert, so umhüllt die J-Tangente (A, C) einen Kegelschnitt; wenn A mit der Amplitude cp, C infolgedessen mit der Amplitude - cp variiert, so beschreibt die J-Tangente (A, C) eine Linienfläche zweiten Grades, [115 die von den beiden Horizontalebenen berührt wird. Wenn cp = 90 ist, so umhüllt die J-Tangente wieder einen Kegelschnitt. Wir haben somit bewiesen, daß die J-Tangenten im betrachteten Falle in ein System von Linienflächen zweiten Grades zusammengefaßt werden können. Es ist zu bemerken, daß die Gerade 00' ein gemeinschaftlicher Diameter der Linienflächen sowohl als der Kegelschnitte ist. Der Halbierungspunkt dieser Geraden ist das gemeinschaftliche Zentrum. 59. Wenn die beiden horizontalen 1Fig. lb. Tangenten dieselbe Lage, aber entgegengesetztes Gewicht haben, so wird der Nullstreifen von einem Kegelschnitte gebildet, der keine (reelle) horizontale Tangente hat. Wir betrachten ein wenig den einfachen Fall, daß die beiden Berührungspunkte dieselbe Lage haben. Die Segmente A (Fig. 1 b) und C beziehen sich dann auf denselben Punkt. Wir bringen die Tangentengleichung auf die Form: A. C= r 2, wo r reell ist. Wenn der Punkt A den horizontalen Kreis mit dem Radius r und dem Zentrum im Berührungspunkte beschreibt, so macht der Punkt C dasselbe. Die J-Tangente (A, C), d. h. die gemeinschaftliche Gerade der beiden Kongruenzen A und C, umhüllt einen Kegelschnitt; den.Nullstreifen. Wenn A und infolgedessen auch C einen konzentrischen Kreis durchläuft, so wird die J-Tangente (A, C) eine Linienfläche zweiten Grades beschreiben. Wir können somit den folgenden Satz aussprechen: Wenn der Nullstreifen eines J-Kegelschnitts von einem oder zwei Kegelschnitten gebildet wird, _so sind die: J-Tangenten, welche eine beliebige· J-Tangente schneiden, _Erzeugende des einen Systems einer Linienfläche zweiten Grades. 60. Wir werden endlich ohne Beweis einen allgemeinen Sat:z über J-Kegelschnitte, deren Nullstreifen v-on einem oder zwei Kegelschnitten gebildet wird, aussprechen: Es sei U eine beliebige Linienfläche zweiten Grades, gebildet von J-Tangenten eines 1-Kegelschni tts K; es sei P

Kap. VI; § 24, 25; Nr. 58-62. I-Kegelschnitte

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ein beliebiger J-Punkt desselben J-Kegelschnitts. Die Ge~ [116 raden der Kongruenz P, welche die Fläche U berühren, bilden zwei Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten. Wir wissen, daß dem J-Kegelschnitte K Unendlich viele Flächen U entsprechen und zweifach unendlich viele J-Punkte P. Es ist weiter- eine einfache Konsequenz aus einem späteren Satze, daß die Durchschnittskegelschnitte des Flächensystems U mit einer beliebigen Ebene E, als J-Kegelschnitte aufgefaßt, den J-Kegelschnitt K zweifach berühren. Als Kegelschnitte der Ebene E aufgefaßt, berühren sie dagegen zwei Kegelschnitte dieser Ebene (die Durchschnittskegelschnitte) derselben mit den Brennflächen der Kongruenz, welche die J-Tangenten des J-Kegelschnitts K bilden. §

25. Pol und Polare.

61. Es sei gegeben der Nullstreifen eines beliebigen J-Kegelschnitts und ein Nullpunkt P. Durch P gehen im allgemeinen zwei Chorden des Nullstreifens; auf jeder von diesen nimmt man den harmonischen Punkt von P in bezug auf die beiden Schnittpunkte der Chorde mit dem Nullstreifen. Es seien m1 und m 2 diese beiden harmonischen Punkte. Die Gerade m1 m2 ist offenbar in unserer Repräsentation d10 Polare des Nullpunkts P. Man kann noch einen Punkt dieser Polaren dadurch bestimmen, daß man in der Horizontalebene durch P, auf dem Kreise durch P und [durch] die beiden Schnittpunkte des Nullstreifens mit der Horizontalebene, den harmonischen Punkt von P in bezug auf diese beiden Schnittpunkte nimmt.

Wenn der Nullstreifen eine Raumkurve 0~ ist, so geht durch P nur eine Chorde dieser Kurve; auf derselben bestimmt man, wie früher, einen Punkt m1 der Polaren. Die HorizontalP,bene durch P schneidet den Nullstreifen in nur einem Punkte a. Auf der Geraden Pa nimmt man einen solchen Punkt b, daß Pa= ab; dann ist die Herade die Polare.

mu

62. Wenn der Nullstreifen von zwei Kegelschnitten gebildet wird, so gilt noch die erste Konstruktion; dieses ist dagegen nicht der Fall, wenn der Nullstreifen von nur einem Kegelschnitte _gebildet wird. In beiden Fällen kann man die folgenden Konstruktionen anwenden. 1. Es sei kein ebener Kegelschnitt. Die Horizontalebene durch .P [117 schneidet denselben in den Punkten a und b. Auf dem Kreise Pab nimmt man den harmonischen Punkt d von P in bezug auf a und b. Es sei in gewöhnlicher Bedeutung der Punkt f der Pol der Geraden ab in bezug auf

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den Kegelschnitt k; dann ist die Gerade fd in unserer Repräsentation die .Polare des Nullpunkts P. 2. Man bestimmt denjenigen Diameter D des Kegelschnitts k, der dem horizontalen konjugiert ist. Der Horizontalkreis durch den Punkt P, dessen Zentrum auf dem Diameter D liegt, schneidet die Ebene des Kegelschnitts k in dem Punkte P'. Man bestimmt die Polare dieses Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt k. Sie schneidet den Diameter D im Punktefund die Horizontalebene durch P im Punkte .l. Auf dem Horizontalkreis durch l, dessen Zentrum auf dem Diameter D liegt, nimmt man einen solchen Punkt h, daß die beiden Bogen P P' und lh von derselben Gradzahl und derselben Richtung sind; dann ist die Gerade fh die Polare des Nullpunkts P in bezug auf den I-Kegelschnitt k. Man sieht, daß die Polare eines beliebigen Nullpunkts in bezug auf einen I-Kegelschnitt, dessen Nullstreifen von einem oder zwei Kegelschnitten gebildet ist, immer den Diameter D schneidet.· Wenn eine Figur in einer Ebene durch D gelegen ist, so ist dasselbe der Fall mit der reziproken Polaren. 63. Wenn wir den Satz von den Verbindungsgeraden entsprechender Ecken von zwei konjugierten Dreiecken auf den Fall anwenden, daß der Nullstreifen einen vertikalen Kreis enthält, so erhalten wir den folgenden Satz: Es sei gegeben ein Kreis, ein Diameter und zwei konjugierte Dreiecke. Es ist bekannt, daß die drei Verbindungsgeraden von entsprechenden Ecken durch einen Punkt gehen. Wenn man die Dreiecke unveränderlich mit dem Diameter D vereinigt und darauf die Ebenen derselben denselben Winkel um den Diameter D dreht, aber in entgegengesetzter Richtung, so sind die Verbindungsgeraden von entsprechenden Ecken Erzeu- [118 gende eines Hyperboloids, dessen einer Kreisschnitt 1 ) perpendikulär auf D ist.

64. Wenn ein I-Kegelschnitt durch eine Linienfläche zweiten Grades dargestellt ist, so folgt aus dem, was wir früher gesagt haben, daß die Polaren aller Nullpunkte des Raumes den der Horizontal~ ebene konjugierten Diameter D der Linienfläche schneiden. Umgekehrt ist der Pol einer beliebigen J-Geraden L, welche diesen Diameter D schneidet, ein Nullpunkt. Um diesen Pol zu konstruieren, wenden wir den folgenden Satz an (Chasles: sect. coniq ues, Nr. 100, p. 79): 1) Dieser Kreisschnitt wird von einer geraden Linie gebildet.

Kap. VI; § 25, 26; Nr. 62-66. I-Kegelschnitte

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Si de chaqu'.e point d'une droite L on mene deux tangentes a une conique et la droite A conjuguee harmonique de L par rapport aux deux tangentes, toutes les droites A passent par un meme point ... Ce point est le pole de la droiteL. Die Gerade L schneidet die Linienfläche in zwei Punkten P 1 und P 2 ; es seien g1 und y 1 die beiden Erzeugenden (J-Tangenten des J-Kegelschnitts), welche durch den Punkt P 1 gehen. Auf dem Kegel mit horizontalem Kreisschnitte, der von den drei Geraden L, g1 und y 1 bestimmt wird, suchen wir die harmonische Gerade A 1 von L in bezug auf g1 und y 1 • In dem Punkte P 2 bestimmen wir durch die entsprechende Konstruktion die Gerade A 2 • Vorausgesetzt, daß L den Diameter D schneidet, werden diese Geraden A 1 und A 2 einander schneiden. Der dadurch bestimmte Nullpunkt ist der Pol der J-Geraden L in bezug auf den durch die Linienfläche dargestellten J-Kegelschnitt. 65. Wenn die gegebene J-Gerade eine horizontale Nullebene ist, so wählt man auf der Durchschnittskurve (d) der Linienfläche mit derselben einen beliebigen Punkt. Die Tangentenebene in demselben schneidet die Fläche in zwei Generatrizen g und y, die Nullebene in der Geraden L. Man nimmt die harmonische Gerade A von L in bezug auf g und y. Alle J-Geraden A gehen durch einen Nullpunkt, den gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt nämlich aller Tangentenebenen, welche die Fläche in der horizontalen Durchschnittskurve d berühren. Den Pol einer horizontalen Nullebene (E) in bezug auf einen J-Kegelschnitt, der durch eine Linienfläche U zwei- [119 ten Grades dargestellt wird, bestimmen wir dadurch, daß wir den Pol der Ebene E relativ zu der Fläche U in gewöhnlicher stereometrischer Bedeutung konstruieren. Die Polare eines beliebigen Nullpunkts P in bezug auf einen J-Kegelschnitt, der durch eine Linienfläche zweiten· Grades dargestellt wird, bestimmt man dadurch, daß man durch P Gerade zieht, welche den der Horizontalebene konjugierten Diameter der Linienfläche schneiden. Die Pole dieser J-Geraden können wir konstruieren; sie bilden die verlangte Polare. §

26. Kegelschnitte, die vier Bedingungen unterworfen sind.

66. Chasles: sections coniques, pag. 203. Quand plusieurs coniques ont q uatre points communs, les polaires d'un autre point quelconque, relatives a ces courbes, passent par un meme point.

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pag. 209. Quand q uatre coniq ues passent toutes par q uatre points, les polaires d'un point P ont un rapport anharmonique constant, quel que soit le point P. 1. Wir wenden diesen Satz erstens auf den Fall an, daß drei von den vier festen Punkten Nullpunkte sind, der vierte der in horizontaler Richtung unendlich entfernte. Der Nullstreifen ist dann eine Raumkurve 0~. Wir haben früher die Konstruktion der Polaren eines Nullpunkts in bezug auf einen solchen J-Kegelschnitt gegeben. Wenn eine Raumkurve 0~ drei feste Punkte hat, so gehört die Polare eines beliebigen Nullpunkts relativ zu dem J-Kegelschnitte 0~ einer Kongruenz (einem J-Punkte) an. Vier beliebige Polaren und die Tangenten der entsprechenden Kurven 0~ in einem von den drei festen Punkten bestimmen in einer beliebigen Horizontalebene anharmonisch äquivalente 1 ) Vierecke. Wenn man einen Kegel mit dem Scheitel in einem von diesen drei festen Punkten und mit horizontalem Kreisschnitt~ konstruiert und die Kurve 0~ noch der Bedingung unterwirft, diesen Kegel zu berühren, so beschreibt die Polare des festen Nullpunkts [120 ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. 2. Es sei gegeben ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte und eine Ebene, welche sich um eine feste Achse dreht. Der ·Durchschnittskegelschnitt (k), aufgefaßt als J-Kegelschnitt, geht durch vier feste J-Punkte. Die Polare eines beliebigen Nullpunkts beschreibt ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. Die Tangenten des variablen Kegelschnitts k in dem einen Durchschnittspunkte der Achse mit dem Hyperboloide bilden nämlich eine Ebene. Somit ist die anharmonische Funktion von vier beliebigen dieser Geraden, als J-Tangenten aufgefaßt, · reell. 67. Chasles: sect. coniques, pag. 208. Quand plusieurs coniques sont circonscrites a un quadrilatere, les diametres de ces courbes, conjugues a une meme droite, passent tous par un meme point. Der Diameter D des Kegelschnitts k des letzten Satzes, der dem horizontalen konjugiert ist, beschreibt ein Hyperboloid (H) mit horizontalem Kreisschnitte. Chasles: sect. coniques, pag. 208. Quand plusi~urs coniques sont. circonscrites a un q uadrilatere, le lieu des pol es d'une droite L relatifs a toutes les coniques est ·une conique. Es sei L eine beliebige Generatrix des Hyperboloids H des letzten 1) Cfr. § 8. Das Verhältnis der Produkte der entgegengesetzten Seiten ist dasselbe, ebenso die Summe zweier entgegengesetzter Winkel.

Kap. VI; § 26; Nr. 66-69. J-Kegelschnitte

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Satzes, welche alle Diameter D schneidet. Der Pol der J-Geraden-L in bezug auf einen beliebigen Kegelschnitt k ist dann ein Nullpunkt. Dieser Pol beschreibt im allgemeinen eine Raumkurve C~. Chasles: sections coniques, pag. 205. Toutes les coniques, qui passent par quatre points, ont leurs centres sur une coniq ue. Das Zentrum des Kegelschnitts k beschreibt einen Kegelschnitt. 1) 68. Wir betrachten eine Raumkurve C~, die auf einem Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte liegt und durch zwei feste Punkte geht. Ich setze voraus, daß die Geraden des Generatrizensystems G die Kurve C~ zweifach schneiden. Dann gehen die J-Kegelschnitte C~ durch vier feste [121 J-Punkte. Man konstruiert die Polare des J-Punkts G in bezug auf einen solchen J-Kegelschnitt C~ dadurch, daß man die beiden Punkte der Kurve C~ bestimmt, in welchen sie von Generatrizen des Systems G berührt wird. Die Verbindungsgerade dieser beiden Berührungspunkte ist die Polare. Sie beschreibt, wenn die Kurve C~ variiert, ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. 69. Chasles: sect. coniques, pag. 208. Quand plusieurs coniques sont inscrites dans le meme quadrilatere, les pöles d'une droite quelconque sont situes en ligne droite. Linienflächen U, zweiten Grades, die ein räumliches Viereck enthalten, stellen in unserer Repräsentation J-Kegelschnitte dar, die vier feste J-Gerade berühren. Der Pol einer (Horizontal-)Ebene in bezug auf eine [derartigeJLinienfläche U ist auf einer Geraden gelegen. Toutes les coniques inscrites dans un quadrilatere ont leurs centres sur une meme droite. Das Zentrum unserer variablen Linienfläche beschreibt eine Gerade. Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un quadriIatere, une conique est l'enveloppe de toutes les polaires d'un point fixe relatives aux coniques proposees. Die Polare eines festen Nullpunkts in bezug auf den J-Kegelschnitt U beschreibt eine Linienfläche vierten Grades, deren Doppelkurve eine Raumkurve C~ ist. Ein Reellensemble von J-Tangenten eines J-Kegelschnitts bildet nämlich eine solche Linienfläche. In dem folgenden Kapitel dieser Abhandlung werden wir andere Darstellungsweisen von J-Kegelschnitten, die vier feste J-Gerade be_rühren, angeben. 1) Oder eine Raumkurve C~; das erste ist immer der Fa11.

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70. Sect. coniq ues, pag. 334. Quand deux divisions homographiques sont formees sur une conique, les tangentes aux points homologues se coupent sur une autre conique qui a un double contact avec la premiere. Es sei eine Linienfläche zweiten Grades U von einer Ebene in einem Kegelschnitte K geschnitten. Die zwei J-Kegelschnitte U und K (122 haben eine zweifache Berührung. Es seien nämlich P 1 , P 2 , P 3 , P 4 vier beliebige Punkte des Kegelschnitts K; g1 , g2 , g3 , g4 Generatrizen des einen Systems, und y 1 , y 2 , y 3 , y 4 Generatrizen des anderen Systems, welche paarweise durch die vier Punkte gehen. Die beiden anharmonischen Funktionen (g1 , g2 , g3 , g4) und (y 1 , y 2 , y3 , y 4) sind gleich groß, man möge diese Geraden als Generatrizen oder als J-Tangenten auffassen. Dadurch ist unser Satz bewiesen. 71. Wenn sich eine Ebene um eine feste Achse dreht, so bestimmt sie durch ihren Schnitt mit einer Linienfläche U zweiten Grades J-Kegelschnitte, welche zwei feste J-Punkte enthalten und den J-Kegelschnitt U zweifach berühren. Wenn sich zwei Linienflächen zweiten Grades U 1 und U 2 in zwei Kegelschnitten K 1 und K 2 schneiden, so enthält eine beliebige Fläche des Büschels: U 1 + a U 2 dieselben Kegelschnitte K 1 und K 2 • Der variable J-Kegelschnitt U 1 + aU 2 hat dann eine zweifache Berührung mit jedem der beiden festen J-Kegelschnitte K 1 und K 2 • 72. Es sei endlich H ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte. Die J-Punkte, welche durch die beiden Generatrizensysteme desselben dargestellt werden, nenne ich P und Q. Wenn E eine beliebige Ebene bezeichnet, so ist bekannt, daß die Flächen zweiten Grades (H + kE 2) das Hyperboloid H in einem Kegelschnitte 0 2 berühren, der in der Ebene E liegt. Die beiden J-Kegelschnitte (H + kE 2) und 0 2 berühren einander in den J-Punkten P und Q. Die gemeinschaftliche J-Gerade dieser J-Punkte, die Berü,hrungschorde, ist derjenige Diameter des Hyperboloids H, der allen horizontalen konjugiert ist.

Kapitel VII. § 27. Ein Komplex zweiten Grades. 73. Es sei die Raumkurve 0 4 der Nullstreifen eines beliebigen J-Kegelschnitts. Jedem I-Punkte entspricht als Polare eine J-Gerade; umgekehrt entspricht jeder J-Geraden ein J-Punkt als Pol. Die Polaren aller [128 Nullpunkte des Raumes bilden einen Linienkomplex zweit e n G r a d es (cfr. § 17). (A.)

Kap. VI, VII; § 26, 27; Nr. 70-75. Ein Komplex zweiten Grades

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Die Nullpunkte einer horizontalen Ebene bilden eine vollständige J-Gerade; somit entsprechen ihnen die Geraden einer Kongruenz P (d. h. die J-Geraden eines J-Punkts P). Alle horizontalen Nullebenen enthalten, als J- Gerade aufgefaßt, einen gemeinschaftlichen J-Punkt, den in horizontaler Richtung unendlich entfernten; somit gehört der J-Runkt P einer J-Geraden L an, der Polaren des eqen betrachteten, unendlich entfernten J-Punkts. Die anharmonische Funktion ,von vier horizontalen Nullebenen, als J-Geraden aufgefaßt, ist reell; daraus schließen wir, daß der J-Punkt P eine S-Kurve auf der J-Geraden L beschreibt. (B.) 74. Die S-Kurve auf einer J-Geraden enthält offenbar entweder zwei oder keine Nullpunkte; ein Kegelschnitt schneidet ja eine Gerade der- ß selben Ebene in zwei reellen oder zwei imaginären Punkten. Wir setzen den ersten Fall voraus und nennen diese zwei Nullpunkte Q1 und Q2 • b Alle Geraden des Raumes, durch jeden von diesen beiden Nullpunkten gehören somit unserem flz Fig. 2. Komplexe an; also auch die horizontalen Nullebenen durch diese Punkte. Die Pole dieser Nullebenen in bezug auf den J-Kegelschnitt 0 4 sind somit Nullpunkte (cfr. Definition (A.) unseres Komplexes); wir wissen aber, daß der Pol einer beliebigen horizontalen Nullebene derjenigen S-Kurve angehört, welche der J-Punkt P beschreibt. Wir können folglich schließen: Die Polare des Nullpunkts Q1 ist die horizontale Nullebene durch den Punkt Q2 ; ebenso: die Polare des Nullpunkts Q2 ist die horizontale Nullebene durch den Punkt Qi(Fig. 2). Allen Nullpunkten der Horizontalebene durch Q1 entsprechen somit (als Polaren) Gerade durch den Punkt Q2 ; ebenso ... 75. Den Nullpunkten einer beliebigen Raumgeraden ab entsprechen J-Gerade eines J-Punkts. Die anharmonische Funktion von vier Nullpunkten einer J-Geraden ist reell; also sind die entsprechenden Geraden des Komplexes Erzeugende eines Hyperboloids mit horizontalem Kreisschnitte. Die Gerade ab schneidet die horizontalen Nullebenen durch Q1 und Q2 in zwei Punkten a und b. Dem Punkte a entspricht (als Polare) eine Gerade durch Q2 ; ebenso ... Wir können somit den folgenden [124 Satz aussprechen: Den Nullpunkten einer beliebigen Raumgeraden entsprechen (als Polaren) die Erzeugenden des einen Systems

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eines Hyperboloids H, .das die Punkte Q1 , Q2 und die Kreispunkte± x enthält. Wir sprechen im folgenden von den ,,Komplexerzeugenden" des Hyperboloids H; die Erzeugenden des zweiten Systems gehören nicht dem Komplexe an. · ·

76. Es seien gegeben zwei beliebige Gerade (g1 und g2) des Komplexes; es seien P 1 und P 2 die entsprechenden Nullpunkte. Die Nullpunkte der Geraden P 1 P 2 bestimmen ein solches Hyperboloid H. Wir erhalten somit die folgende Definition unseres Komplexes: Es sei gegeben ein T et r a e der T, dessen Ecken Q1 , Q2 und die beiden Kreispunkte ± x sind, nebst einer beliebigen Geraden g des Komplexes. Eine variable Linienfläche zweiten Grades sei dem Tetraeder T umgeschrieben und enthalte die Gerade g. Die Generatrizen des Systems, dem g angehört, bestimmen unseren Linienkomplex. (C.) Diese Definition bezieht sich symmetrisch auf die vier Tetraederecken. Dieses würde auch mit der erst gegebenen Definition (A.) der Fall sein, wenn wir bewiesen hätten, daß die beiden Punkte Q1 und Q2 ebenso wie die Kreispunkte ± x stereometrische Pole des Nullstreifens 0 4 sind. 77. Den Nullpunkten -einer beliebigen Geraden (g) des Komplexes entsprechen die Erzeugenden eines dem Tetraeder T umgeschriebenen Kegels, dessen Scheitel der Pol der Geraden g ist. Wenn der Scheitel des Komplexkegels beliebig in der Horizontalebene durch Q1 (oder Q2) gelegen ist, so zerfällt dieser Kegel in diese Horizontalebene und eine Ebene, die durch den Punkt Q2 (Q 1) geht. Wir wenden hier den Satz an: Wenn ein Kegel mit horizontalem Kreisschnitte eine horizontale Erzeugende enthält, so muß dieser Kreisschnitt geradlinig sein. Hieraus schließen wir den folgenden Satz : Alle Geraden des Komplexes, welche eine beliebige [125 Horizontalgerade durch den PunktQ 1 schneiden, werden auch eine [gewisse] Horizon talgerade durch den Punkt Q2 treffen. 78. Wir setzen voraus, daß die Gerade ab dem Komplexe angehört; wir beweisen, daß alle Geraden der Kongruenz, deren Direktrizen Q1 a und Q2 b sind, dem Komplexe angehören (Fig. 2). Die Geraden des Komplexes, die durch den Punkt a gehen, sind entweder horizontal, oder liegen in einer Ebene, welche den Punkt Q2 und die Gerade ab enthält. Die Gerade ac, wo der Punkt c irgendwo auf der Geraden Q2 b liegt, gehört somit dem Komplexe an. Ebenso sehen wir,

Kap. VII; § 27, 28; Nr. 75-80. Definitio!len des Komplexes

49

daß die Geraden des Komplexes, welche durch den Punkt c gehen, entweder horizontal, oder in einer Ebene, welche den Punkt Q1 und die Gerade ca enthält, gelegen sind. Wir sehen somit, daß alle Geraden, welche die beiden Geraden Q1 a und Q2 b schneiden, dem Komplexe angehören. Die Direktrizen Q1 a und Q2 b bilden immer denselben Winkel. Wir erhalten mithin die folgende Definition desjenigen Komplexes, welcher aus dem betrachteten durch kollineare Transformation hervorgeht: Eine jede von zwei Geraden D 1 und D2 liegt in einer festen Ebene und geht durch einen festen Punkt; sie sind anharmonisch mit einander verknüpft. Die variable Kongruenz, deren Direktrizen die Geraden D 1 und D 2 sind, beschreibt unseren Komplex zweiten Grades. (D.) Diese Definition ist reziprok; sie ist wesentlich mit der Definition (B.) identisch. Jeder Eigenschaft unseres KomplexEJs entspricht die reziproke. Beispiel: Eine variable Linienfläche zweiten Grades ist in das Tetraeder T eingeschrieben und enthält eine feste Gerade (g). Die Erzeugenden des Systems, dem g angehört, bestimmen unseren Linienkomplex. §

28. Anharmonische Korrespondenz zwischen den Punkten eines Hyperboloids und den Geraden einer Kongruenz.

79. Wenn der Scheitel des Komplexkegels eine Gerade L durchläuft, so wird eine Plückersche Komplexfläche 1 ) umhüllt (Fig. 3). Den Nullpunkten x der Geraden L entsprechen, als Polaren, Erzeugende g eines dem Tetraeder T umgeschriebenen Hyperboloids. Den Komplexgeraden durch den Punkt x entsprechen, als Pole, die [126 Nullpunkte der entsprechenden Erzeugenden g. Wir haben somit anharmoni sehe Korrespondenz zwischendenNullpunkten eines HyperboFig. 3. loids und den Geraden einer wohlbekannten Plückerschen Kongruenz hergestellt. Dieses ist wahrscheinlich der einfachste Weg zu der Geometrie dieser Kongruenz. 80. Einen Kegelschnitt k des Hyperboloids H betrachten wir als den Nullstreifen eines J-Kegelschnitts. Die reziproke Polare in bezug auf den 1) Sie wird durch kollineare Transformation die allgemeinste. Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

J-KegelscJ:mitt 0 4 wird durch eine Linienfläche vierten Grades dargestellt. Die Doppelkurve derselben ist eine Raumkurve 0~, welche die vier Tetraederecken enthält. Wenn der Kegelschnitt k die Tetraederecke Q1 enthält, so ist die horizontale Nullebene durch den Punkt Q2 eine J-Tangente der reziproken Polaren, welche durch eine Linienfläche dritter Ordnung dargestellt wird. Die Doppelgerade der Komplexfläche ist die einfache Direktrix derselben; die zweifache Direktrix geht durch den Punkt Q1 • 81. Aus der Chaslesschen Geometrie der Fläche zweiten Grades leiten wir eine Geometrie unserer Kongruenz her. Zwei Gerade der Kongruenz bestimmen im allgemeinen eine solche Linienfläche dritten Grades; die Erzeugenden derselben gehören der Kongruenz an. Umgekehrt: Zwei solche Linienflächen haben im allgemeinen eine gemeinschaftliche Erzeugende. Wenn das Auge in dem Punkte Q1 gelegen ist, so werden die perspektiven Bilder der Erzeugenden einer solchen Fläche Gerade, die durch einen Punkt gehen. Wir bemerken ferner, daß in einer Ebene, welche den Punkt Q1 enthält, nur eine Gerade der Kongruenz liegt, welche nicht durch den (127 Punkt Q1 geht.

82. Eine variable Ebene, die durch die Tetraederkante Q1 Q2 geht, bestimmt auf dem Hyperboloide H J-Kegelschnitte k, welche vier feste J-Punkte enthalten. Die Polaren der Nullpunkte Q1 und Q2 sind die horizontalen Nullebenen durch Q2 und Q1 • Die reziproke Polare des I-Kegelschnitts k wird somit durch eine Linienfläche S 2 zweiten Grades dargestellt; sie wird von diesen beiden horizontalen Nullebenen berührt. Der Kegelschnitt k schneidet die Horizontalebene, welche durch den Punkt Q1 geht, in diesem Punkte und überdies in einem Punkte, dem eine durch Q2 gehende Gerade entspricht. Die Flächen S2 gehen somit durch die beiden Punkte Q1 und Q2 und werden von den Horizontale benen durch diese Punkte berührt. Sie stellen in unserer Repräsentation J-Kegelschnitte dar, welche vier gegebene J-Gerade berühren, d. h. wenn das Auge in der Tetraederecke + u oder - u gelegen ist, so werden die perspektiven Bilder der Flächen S2 Kegelschnitte, welche vier feste Gerade berühren. Jeder von den sechs Tetraederkanten entspricht ein System Flächen S2 • 83. Auf dem Hyperboloid H liegen zwei Systeme von Raumkurven 0~, welche die vier Tetraederecken Qi, Q2 , ± u enthalten. Wir betrachten· zuerst die Kurven C~, welche von den Komple_xerzeugenden (g) des Hyperboloids H einfach geschnitten werden. Der

Kap. VII; .§ 28; Nr. 80-:-84. Eine Kongruenz und ein Hyperboloid

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durch diese Erzeugenden dargestellte I-Punkt gehört dem I-Kegelschnitte C~ an; mithin ist die J-Gerade L eine J-Tangente der reziproken Polaren, welche durch eine Linienfläche T 2 dargestellt wird. Die I-Kegelschni tt e T 2 haben vier feste I-Tangenten, die zwei horizontalen Nullebenen durch Q1 und Q2 , die I-Geraden L und Q1 Q2 • Die Flächen T 2 sind in das Tetraeder eingeschrieben. Die reziproke Polare einer Raumkurve 0~, welche von den Komplexerzeugenden (g) des Hyperboloids zweifach geschnitten wird und die vier Tetraederecken enthält, wird durch ein Geradensystem (t) dargestellt, welches die beiden horizontalen Nullebenen und nicht die Doppel- [128 gerade L enthält. Die Geraden (t) bilden somit eine Linienfläche zweiten Grades oder umhüllen einen Kegelschnitt. Das letzte ist der Fall. Alle Geraden (t) schneiden nämlich die Gerade L, welche keine J-Tangente des I-Kegelschnitts (t) ist. Wir finden somit wieder den wohlbekannten Satz: Ebenen durch die Doppelgerade L bestimmen auf der Komplexfläche Kegelschnitte, umhüllt von den Geraden der Kongruenz. Die entsprechenden I-Kegelschnitte berühren in unserer Repräsentation vier feste I-Tangenten .. 84. Durch unsere an.harmonische Korrespondenz zwischen den Punkten eines Hyperboloids und den Geraden einer Kongruenz, welche eine Plückersche Komplexfläche vierter Ordnung und Klasse umhüllen, haben wir die folgenden Resultate erhalten: 1. Dem eir;i.en Systeme von Erzeugenden des Hyperboloids ent.3pricht ein System von Komplexkegeln, deren Scheitel auf der Doppelgeraden L gelegen sind. 2. Dem andern Systeme von Erzeugenden entspricht ein System von Linienflächen zweiten Grades, die dem Tetraeder umgeschrie bensind. 3. Eine Ebene, die sich um eine beliebige Tetraederkante (K) dreht, bestimmt auf dem Hyperboloide ein Kegelschnittsystem: dem ein System von Linienflächen zweiten Grades entspricht. Diese Flächen enthalten die Ecken der Kante (K) und berühren die Ebenen des Tetraeders, welche dieselbe (die Kante) nicht enthalten. 4. Den Raumkurven 0~ des Hyperboloids, welche die vier Tetraederecken enthalten und die Komplexerzeugenden des Hyperboloids einfach schneiden, entsprechen Linienflächen zweiten Grades, die dem Tetraeder eingeschrieben sind. 5. Den Raumkurven 0~, welche die vier Tetraederecken enthalten und die Komplexerzeugenden zweifach schneiden, entsprechen Kegelschnitte, deren Ebenen die Dofpelgerade L enthalten. 4*

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

85. Wir bemerken endlich, daß Flächen eines beliebigen von den drei Systemen 2, 3, 4 vier Doppelpunkte der Kompiexfläche [129 enthalten und vier Doppelebenen derselben berühren. Die Theorie, welche wir in Kapitel VI dargestellt haben, gibt Sätze über diese Systeme von Linienflächen, Komplexkegeln und -kegelschnitten, darunter den wohlbekannten Plückerschen über die Polare der Komplexfläche. 86. Den Nullpunkten eines dem Tetraeder T umgeschriebenen Hyperboloids entsprechen immer die Geraden einer Kongruenz zweiter Ordnung und Klasse. Wir haben hier nur denjenigen Fall betrachtet, daß die Erzeugenden des einen Systems des Hyperboloids Gerade des Komplexes sind. In diesem Falle schneiden alle Geraden der Kongruenz eine feste Direktrix (L). §

29. Geometrie des Komplexes.

87. Den Nullpunkten einer beliebigen Ebene entsprechen die Chorden einer ~aumkurve 0~. Wir können nämlich (Kapitel V) anharmonische Korrespondenz zwischen den Geraden einer Ebene und den Chorden einer Raumkurve 0~ zustandebringen; ebenso können offenbar die Geraden einer Ebene den Nullpunkten einer anderen Ebene anharmonisch entsprechen. Drei beliebige Gerade des Komplexes bestimmen eine Raumkurve C~, welche die vier Tetraederecken enthält und die drei Geraden zweifach schneidet. Alle Chorden dieser Kurve gehören dem Komplexe an. Die drei Pole der gegebenen Geraden bestimmen nämlich eine Ebene. Zwei solche Kurven C~ bestimmen ein dem Tetraeder T umgeschriebenes Hyperboloid. Zwei Ebenen schneiden einander nämlich in einer Geraden. Zwei Gerade des Komplexes bestimmen ein dem Tetraeder T umgeschriebenes Hyperboloid; zwei Punkte des Raumes bestimmen [nämlichJ eine Gerade. 88. In der Geometrie unseres Komplexes, welche aus der deskriptiven Geometrie des Raumes hergeleitet wird, entsprechen einander: ,,Gerade des Komplexes" und ,,Punkte des Raumes". [130 ,,Erzeugende eines Hyperboloids'' und ,,Punkte einer Geraden''. ,,Chorden einer Raumkurve und ,,Punkte einer Ebene".

et

Der Raum kann durch eine Ebene, die sich um eine beliebige Gerade dreht, beschrieben werden. Wir erhalten somit die folgende Definition unseres Komplexes zweiten Grades:

Kap. VII, VIII; § 28-80; Nr. 85-90. Geometrie des Komplexes

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Einer beliebigen Geraden des Raumes entspricht ein dem Tetraeder T umgeschriebenes Hyperboloid. Eine variable Raumkurve C~ enthält die vier Tetraederecken und ist auf dem Hyperboloide gelegen. Die Chorden derselben beschreiben den Komplex. Es ist zu bemerken, daß man vierfach unendlich viele Hyperboloide wählen kann und doch denselben Komplex erhält. 89. Wir wissen, daß wir auch anharmonische Korrespondenz zwischen den Geraden unseres Komplexes und den Ebenen des Raumes zustandebringen können. Den Ebenen eines Punktes des Raumes ent~prechen die Durchschnittsgeraden von Oskulationsebenen einer Raumkurve dritter Ordnung. Wir erhalten endlich auf diese Weise eine eigentümliche anharmonische Korrespondenz zwischen den Punkten und den Ebenen des Raumes. Kapitel VIII. §

30. Anharmonische Korrespondenz zwischen J-Punkten V und W, wo V das Gewicht Null hat.

90. Es seien V und W zwei I-Punkte. Die Koordinaten des I-Punkts V sind x'IJ = Xv + Yvi und z'IJ = Zv + Pvi; die Koordinaten des I-Punkts W sindXw = Xw + YwiundZw = Zw + Pwi. Wir denken uns(§ 12) anharmonische Korrespondenz zwischen diesen beiden I-Punkten festgestellt durch die Gleichungen: z _AXw+Bzw+C X 11 _GXw+Hzw+K. v - DXw+Ezw+F' DXw+Ezw+F

Wir fordern noch Pv = 0; mithin ist V ein Nullpunkt. Das Gewicht des I-Punkts W bestimmt sich dann im allgemeinen durch eine Gleichung zweiten Grades: F2 (Pw, Zw, Xw, Yw) = 0. Jedem Punkte des Raumes entsprechen mithin zwei Werte von Pw· [181 Innerhalb eines gewissen Kegels Fw sind diese Werte imaginär. Jeder Punkt des Raumes außerhalb desselben ist der Ort zweier I-Punkte W; jeder Punkt des ganzen Raumes ist der Ort eines I-Punkts V. Der Kürze wegen nennen wir den Raum Rv, wenn wir ihn als den Ort von I-Punkten V betrachten; analog sprechen wir von dem Doppelraume Rw. Einern gegebenen Orte des Raumes Rv entspricht ein Ort des Doppelraumes Rw. Dagegen: Einern gegebenen Orte des Doppelraumes Rw entsprechen zwei Örter des Raumes Rv.

54 IV. Repräsentation der Imaginärnn der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869 91. Wir werden irn folgenden drei Transformationen von geometrischen Figuren anwenden, welche auf die obenstehenden Betrachtungen gegründet sind. 1. Man kann eine gegebene räumliche Figur als den Ort von J-Punkten V betrachten. Jedem Punkte V entspricht ein Punkt W. Der gegebenen Figur des Raumes Rv entspi·icht eine Figur des Doppelraumes Rw. (V, W.) 2. Man kann eine gegebene Figur als den Ort von J-Punkten W betrachten. Jedem Punkte W entspricht ein Punktepaar (V1 , V2). Der gegebenen Figur des Doppelraumes Rw entspricht eine Figur des Raumes Rv. ("W, V.) 3. Einern gegebenem Punkte des Doppelraumes Rw entsprechen, wie wir wissen, zwei Punkte des Raumes Rv (V1 und V2). Dadurch ist eine involutorische Korrespondenz zwischen den Punkten des Raumes Rv bestimmt. Einer Figur von Punkten V 1 entspricht eine Figur von Punkten V 2 • (Vi, V2.) 92. Wir denken un,s den Raum Rv von hori.zontalen Ebenen Ev durchschnitten. Jede Ebene Ev (Fig. 4) ist eine vollständige J-Gerade, die sich in eine J-Gerade Ew transformiert. Mithin: einer ebenen und horizontalen Rv Rnr Figur des Raumes Rv entspricht eine ebene Figur des Doppelraumes Rw. Die 1- Geraden E v gehen durch einen J-Punkt Av, den in horizontaler Richtung unendlich entfernten. Folglich gehen die Ebenen Ew durch einen Punkt Aw. Irn allgemeinen gehen durch jeden Punkt des Doppelraumes Rw zwei Ebenen Ew; sie umI hüllen somit einen Kegel zweiten Grades F w, dessen Scheitel [132 Fig. 4. in dern Punkte Aw gelegen ist. Alle J-Punkte W sind offenbar außerhalb dieses Kegels gelegen. In einem besonderen Falle, den wir später betrachten, haben alle Ebenen Ew eine gemeinschaftliche Achse. Von den Ebenen Ev ist eine unendlich entfernt; sie transformiert sich wie die anderen in eine vollständige J-Gerade. Irn Doppelraume Rw sind es mithin die Punkte einer Ebene, welche den unendlich· entfernten des Raumes Rv entsprechen.

Kap. VIII; § 80; Nr. 91-95.,Die Beziehung zwischen R,,; und _Rw

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93. Wir denken uns den Doppelraum Rw von vertikalen Geraden durchschnitten. Die J-Punkte einer solchen gehören einer J-Geraden an von der Gleichungsform: X= C; die entsprechenden J-Punkte des Raumes Rv liegen somit auch auf einer J-Geraden. Der Raum Rv enthält nur Nullpunkte. Mithin: Eine vertikale Gerade Äw des Doppelraumes Rw transformiert sich in eine Gerade Ät1· Die J-Geraden Äw gehen durch einen J-Punkt Bw, den in vertikaler Richtung unendlich entfernten; folglich gehören die Ge.raden Av einer Kongruenz (J-Punkt) Bv an. Die J-Punkte V, denen unendlich entfernte des Doppelraumes Rw entsprechen, sind auf einer J-Geraden L, mithin auf der Nullgeraden l derselben gelegen. Diese Unendlichkeitsgerade l gehört der Kongruenz Bv an. Der J-Punkt Bw ist nämlich unendlich entfernt; folglich ist der entsprechende J-Punkt Bv [188 auf der J-Geraden L gelegen; die Nullgerade l dieser J-Geraden gehört aber (§ 4) allen J-Punkten (Kongruenzen) derselben an. 94. Eine Gerade des Raumes Rv transformiert sich im allgemeinen in einen Kegelschnitt des Doppelraumes Rw, dessen horizontale Projektion ein Kreis ist. Die anharmonische Funktion von vier beliebigen J-Punkten einer J-Geraden bleibt nämlich un• verändert durch unsere homographische Transformation (§ 8). Gerade des Raumes Rv, welche die Unendlichkeitsgerade l schneiden, gehen in Gerade über. Stereometrisch reellen Geraden des Raumes Rv, die weder die Unendlichkeitsgerade l schneiden noch der Kongruenz Bv angehören, entsprechen keine Geraden des Raumes Rw. Gerade des Raumes Rv, die sich in einem Punkte von l schneiden, transformieren sich in Gerade, die eine unendlich entfernte geradlinige Direktrix schneiden. Den gegebenen Geraden, aufgefaßt als J-Geraden, entsprechen nämlich im Raume Rw parallele J-Gerade, deren gestreifte Ebenen (nach § 6) auch parallel sind. 95. Eine Ebene Q\, welche die Gerade l enthält, transformiert sich in eine Ebene @w. Zwischen zwei beliebigen Punkten der gegebenen Ebene kann man nämlic~ eine Gerade ziehen; derselben entspricht, wie wir wissen, eine Gerade; mithin können wir zwischen zwei beliebigen Punkten der transformierten Figur eine Gerade ziehen, die derselben angehört. Somit ist sie eine Ebene. Zwischen den Punkten einer Ebene @v und denjenigen der entsprechenden Ebene des DoppelraumesRw findet gewöhnliche kollineare Verwandtschaft statt.

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeoril. Forts. Christ. Forh. 1869

Eirie stereometrisch reelle Ebene des Raumes Rv, die weder horizontal ist, noch die Gerade Z enthält, geht nicht in eine Ebene des Doppelraumes Rw über. Einer horizontalen Ebene E'I) entspricht eine, die Gerade l enthaltende Ebene@'!). Diese beiden Ebenen des Raumes Rv gehen in Ebenen derselben Lage des Doppelraumes Rw über. Durch Betrachtung der Transformationsgleichungen sieht man nämlich, daß eine Ebene des Doppelraumes Rw sich im allgemeinen in ein [134 Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, welches die Gerade l enthält, transformiert. Dieses Hyperboloid kann in zwei Ebenen zerfallen, von welchen die eine horizontal ist, die andere die Gerade Z enthält. 96. Die Geraden der Kongruenz Bv bestimmen durch ihren Durchschnitt mit zwei solchen zusammengehörenden Ebeneri E'I) und @v involutorisch entsprechende Punkte V 1 und V 2 • Die Durchschnittsgerade d zweier zusammengehörender Ebenen Ev und @'I) ist der Ort von Doppelpunkten der räumlichen Involution (V1, Vi). Diese Geraden d bestimmen eine Linienfläche zweiten Grades F 'I). Auf jeder Geraden der Kongruenz B'I) bestimmt diese Fläche die beiden Doppelpunkte in der Involution ( V1, V2) auf der Geraden. Man leitet hieraus die folgende geometrische Definition unserer dritten Transformation her: Durch den gegebenen Punkt V1 zieht man die entsprechende Gerade der Kongruenz B'I). Man bestimmt den konjugierten Punkt des Punktes V1 in bezug auf die beiden Schnittpunkte der Kongruenzgeraden mit der Fläche Fv. Dieser konjugierte Punkt ist der Punkt V 2 • Der Deutlichkeit wegen werden wir ein Gebilde von Punkten V1 und das entsprechende von Punkten V 2 komplementäre Figuren nennen. 97. Es sei gegeben ein horizontaler Kreis, der die Gerade l schneidet; wir wenden auf ihn die involutorische Transformation ( V 1 , V2) an. Die Komplementärkurve des Kreises ist eine Gerade, welche die Gerade l. trifft. Umgekehrt: die Komplementärkurve einer Geraden, welche die Gerade l schneidet, ist ein horizontaler Kreis, der auch die Gerade l trifft. Dieses schließen wir daraus, daß das Komplementärgebilde einer Horizontalebene E'I) eine Ebene @v durch die Gerade l ist, daß ferner zwei entsprechende Punkte V1 und V 2 immer auf einer Geraden der Kongruenz Bv gelegen sind .. 98. Das Kon:iplemen tärge bilde eines Hyperboloids H mit horizontalem Kreisschnitte, welches die Gerade Z enthält, ist ein Hyperboloid mit denselben Eigenschaften. Auf dem

Kap. VIII; § 80, 81; Nr. 95-101. Die Transformation ( V1 , V 2)

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gegebenen Hyperboloide kann man nämlich unendlich viele Gerade ziehen, welche die Gerade Z schneiden; folglich liegen auf der Komplementärfigur unendlich viele horizontale Kreise, welche die Gerade Z treffen. [135 Auf dem gegebenen Hyperboloid sind unendlich viele horizontale Kreise gelegen, welche die Gerade Z schneiden; somit liegen auf der Kompiementärfigur unendlich viele Gerade, welche die Gerade Z treffen. Hieraus folgt unser Satz. 99. Einer Raumkurve C~, wetche die Gerade Z zweifach schneidet, entspricht als Komplementärgebilde eine Kurve mit derselben Eigenschaft. Dieses folgt daraus, daß wir durch die gegebene Raumkurve C~ unendlich viele Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten, welche die Gerade l enthalten, legen können. Durch dieselben Betrachtungen schließt man, daß eine Gerade, welche die Gerade l nicht schneidet, im allgemeinen in eine Raumkurve C~ übergeht, die Z in zwei festen Punkten schneidet. Endlich bemerken wir, daß einer Geraden des Doppelraumes Rw im allgemeinen im Raume Rv eine Raumkurve C~ entspricht, welche die Gerade Z zweifach schneidet. Dieses folgt daraus, daß einer Ebene des Doppelraumes Rw im allgemeinen ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte entspricht, welches die Gerade z,enthält. 100. Die Linienfläche F v ist der Ort der Doppelpunkte der räumlichen Involution (V1, V2); ihr entspricht im Doppelraume Rw ein Kegel Fw, dessen Scheitel in dem Punkte Aw gelegen ist. Die horizontalen Erzeugenden der Fläche F v schneiden nämlich die Gerade Zund gehen durch den in horizontaler Richtung unendlich entfernten J-Punkt Av; mithin entsprechen ihnen im Doppelraume. Rw Gerade, die durch den Punkt Aw gehen. Die Fläche Fv schneidet eine beliebige Kongruenzgerade Av in ihren Doppelpunkten; also schneidet der Kegel Pw die entsprechende Vertikalgerade Aw in den zwei Punkten, denen gleich große· Werte von Pw entsprechen; mithin sind diese Schnittpunkte Grenzpunkte zwischen den reellen und den imaginären Werten von Pw. Also ist der Kegel F w der früher betrachtete Grenz kegel zwischen reellen und imaginären Werten von Pw; er wird, wie wir wissen, von den Ebenen Ew (oder @w) umhüllt. §

31. Die Transformation (V, W).

[186

101. Durch Betnachtung der Transformationsgleichungen sieht man leicht, daß im allgemeinen der Grad einer gegebenen Fläche durch die Transformation ( V, W) verdreifacht wird. Eine bessere Kenntnis der Reduktionsbedingungen erhält man durch folgende Betrachtungen.

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

Es sei Uv eine gegebene Fläche; U w die entsprechende des Doppelraumes Rw. Wir durchschneiden diese Fläche U w mit einer beliebigen Geraden g, der im Raume Rv eine Kurve C~ entspricht, welche die Gerade l zweifach schneidet. Die Gerade g trifft die Fläche U w in so vielen Punkten, wie die Kurve 0~ die Fläche U v schneidet, d. h. im allgemeinen in dreimal so vielen, als der Grad der Fläche Uv beträgt. Eine Reduktion um zwei Einheiten tritt ein, sowohl, wenn die gegebene Fläche die Gerade l, als wenn sie die zwei Kreispunkte ± x enthält. Im ersten Falle zerfällt nämlich die Fläche U w in die unendlich entfernte Ebene, zweifach genommen, und in eine Fläche niederen Grades; im letzten sind zwei Schnittpunkte zwischen der Kurve C~ und der Fläche U v konstant und (stereometrisch) imaginär. 102. Doppelkurven auf der Fläche Uw. Gewöhnlich hat ein Punkt der gegebenen Fläche U v nicht seinen Komplementärpunkt auf derselben. Im allgemeinen aber enthält diese Fläche Uv eine Kurve Cv, deren Punkte paarweise komplementär sind. Dieser Kurve C v entspricht eine Doppelkurve der Fläche U w· Eine Doppelkurve der gegebenen Fläche U v geht in eine Doppelkurve der transformierten Fläche Uw über. 1 ) 103. Es sei gegeben im Raume Rv eine Raumkurve On von n-ter Ordnung; ihr entspricht im allgemeinen im Raume Rw eine Kurve von 2n-ter Ordnung. Die gegebene Kurve schneidet nämlich eine beliebige Horizontale,bene Ev in n Punkten, ebenso einQ, beliebige, die Gerade l enthaltende Ebene @v; Mithin hat die transformierte Kurve in einer beliebigen Ebene Ew 2 n Punkte. 104. Es sei gegeben im Raume Rv eine Fläche U v, welche die Fläche [137 F v in einer Kurve Cv schneidet. Die entsprechende Kurve Cw gehört somit sowohl dem Kegel F w als der Fläche Uw an. Diese Fläche U w ist ganz außerhalb des Kegels F w gelegen; mithin ist die Kurve Ow eine Berührungskurve zwischen diesen beiden Flächen. Wenn die horizontalen Erzeugenden der Fläche F v die gegebene Fläche U v in n Punkten schneiden, so enthält jede Erzeugende des Kegels F w n Punkte dieser Berührungskurve. Wenn also die Fläche U v von n-tem Grade ist, so berühren die Ebenen Ew die. Fläche U w in n Punkten. Wenn endlich die Gerade l auf der gegebenen Fläche U v liegt, so enthält jede Erzeugende des Kegels F w nur n - 1 Punkte der Berührungskurve. 1) Wenn die gegebene Fläche Uv von n-tem Grade ist, so sind die vertikalen Geraden durch die Kreispunkte im allgemeinen n-fache Linien der Fläche U w·

±"

Kap. VIII; § 31; Nr. 101-106. Die Transformation ( V, Jf)

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Anwendungen der Transformation ( V, W). 105. I. Es sei gegeben im Raume Rv eine Ebene Uv von all~ gemeiner Lage; sie transformiert sich in eine Linienfläche dritter Ordnung. Die einfache Direktrix derselben ist unendlich entfernt; die zweifache ist vertikal. Die Geraden der gegebenen Ebene Uv, welche durch den Durchschnittspunkt x dieser Ebene mit der. Unendlichkeitsgeraden l gehen, transformieren sich in Gerade, die eine unendlich entfernte Gerade schneiden. Die Ebene Uv enthält eine Gerade Av der Kongruenz Bv. Die Kurve Ov besteht offenbar nur aus dieser Geraden ilv, welcher eine vertikale Gerade ilw, die Doppelgerade der transformierten Fläche, '-----r----~ entspricht (Fig. 5a). Es seien V1 und V2 Komplementär- [188 punkte der Kongruenzgeraden ilv. Den Geraden Fig. 5a. x V 1 und x V 2 entsprechen somit zwei Generatrizen, welche durch denselben Punkt der Doppelgeraden ilw gehen. Den Geraden g der Ebene U,,, entsprechen im allgemeinen auf der Linienfläche Uw Kegelschnitte gw, deren horizontale Projektionen Kreise sind, die einen festen Punkt enthalten. Dieser feste Punkt ist der Durchschnittspunkt der vertikalen Doppelgeraden ilw mit der horizontalen Bildebene. 106. Durch unsere Transformation wird die deskriptive Geometrie der Ebene auf die Linienfläche dritten Grades ü hertragen. Es ist einleuchtend, daß diese Geometrie der Linienfläche dritten Grades in demselben Verhältnisse zu derjenigen der Ebene steht, welche die Kreise durch einen festen Punkt als Gerade benutzt, wie die Chaslessche Geometrie der Fläche zweiten Grades zu der allgemeinen Geometrie der Ebene. Einern Kegelschnitte kv der Ebene Uv entspricht im allgemeinen auf der Fläche U w eine geschlossene Raumkurve kw vierter Ordnung. Wenn der gegebene Kegelschnitt den Punkt x enthält, so geht er in eine Raumkurve dritter Ordnung mit einem unendlich entfernten Punkte über. Eine beliebige Gerade der Ebene Uv trifft nämlich den Kegelschnitt k,,, in zwei Punkten. Mithin schneiden sowohl die Erzeugenden als die Kegelschnitte gw die Raumkurve kw in zwei Punkten. Die Ebene eines Kegelschnitts gw, welche überdies die Fläche U w in einer Erzeugenden schp_eidet,

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IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

enthält somit vier Punkte der Raumkurve kw. Wenn der gegebene Kegeischnitt k,,, den Punkt x enthält, so trifft die Raumkurve die Erzeugenden in nur einem Punkte. Wenn wir endlich bemerken, daß der Punkt x der einzige der Ebene U v ist, dem ein unendlich entfernter entspricht, so ist unser Satz bewiesen. 107. Durch ähnliche Betrachtungen sieht man ein, daß eine Kurve n-ter Ordnung U v der Ebene im allgemeinen in eine geschlossene Raumkurve von 2n-ter Ordnung übergeht; wenn die gegebene Kurve den Punkt x enthält, so ist die entsprechende Kurve von der Ordnung 2n - 1 ; sie enthält einen unendlich entfernten Punkt. Mithin kann man auf [189 der Linienfläche dritten Grades Raumkurven von jeder Ordnung ziehen. Wir denken uns eine Raumkurve auf der Fläche U w gegeben und suchen die entsprechende der Ebene. Eine Fläche V von m-ter Ordnung schneidet die Fläche U w in einer Kurve 3m-ter. Ordnung. Die entsprechende Fläche des Raumes Rv ist von 2m-ter Ordnung. Der Raumkurve 3m-ter Ord·nung entspricht somit in der Ebene eine Kurve 2m-ter Ordnung. 108. Wir haben früher (Nr. 21) auf der gestreiften Fläche eines J-Kegelschnitts das betrachtet, was wir eine S-Kurve genannt haben. Die anharmonische Funktion von vier beliebigen J-Punkten einer solchen S-Kurve ist reell. Es ist· bekannt, daß man anharmonische Korrespondenz zwischen den J-Punkten zweier J-Kegelschnitte feststellen kann. Wenn man drei beliebigen J-Punkten eines J-Kegelschnitts K drei Punkte eines ebenen Kegelschnitts k zuordnet, so ist dadurch eine solche anharmonische Korrespondenz zwischen den J-Punkten der J-Kegelschnitte K und k bestimmt. Den Nullpunkten des Kegelschnitts k entspricht eine S-Kurve auf der gestreiften Fläche des J-Kegelschnitts K. Hierdurch haben wir bewiesen, erstens, daß drei J-Punkte eines J-Kegelschnitts, wie wir schon wissen, eine S-Kurve bestimmen, zweitens, daß wir immer eine solche S-Kurve als aus einem Kegelschnitte k durch die Transformation (V, W) hervorgebracht betrachten können. Mithin ist auch bewiesen, daß die S-Kurve eines J-Kegelschnitts im allgemeinen eine Raumkurve vierter Ordnung ist; sie ist eine Kurve dritter Ordnung, wenn sie einen reellen unendlich entfernten Punkt enthält. Wenn sie endlich zwei reelle unendlich entfernte Punkte enthält, so ist sie ein Kegelschnitt. 109. II, a. Es sei gegeben im Raume Rv eine Linienfläche U v zweiten Grades, welche von der Unendlichkeitsgeraden Z in zwei stereometrisch

Kap. VIII; § 81; Nr. 106~110. Die Transformation (V, W)

61

reellen Punkten getroffen wird. Die entsprechende Fläche U w ist im allgemeinen vom sechsten Grade. Den Erzeugenden gv der Fläche Uv entsprechen Kegelschnitte gw, deren horizontale Projektionen Kreise sind. Mithin gehören die zwei vertikalen Geraden durch die Kreispunkte ± u der Fläche U w an, als Doppelgerade. Ebenen @v durch die Unendlich- (140 keitsgerade l schneiden die Fläche U v in Kegelschnitten, denen Kegelschnitte entsprechen, gelegen in den Tangentenebenen Ew des Kegels F w, welche die Fläche Uw zweifach berühren. Auch die Ebenen der zwei Kegelschnittsysteme gw sind zweifache Berührungsebenen der Fläche U w· Die vier Erzeugenden der gegebenen Fläche U v, welche die Gerade l treff~n, gehen in Gerade über. Einern Kegelschnitte der Fläche U v entspricht im allgemeinen eine Raumkurve vierter Ordnung; wenn der gegebene Kegelschnitt die Gerade Z einfach schneidet, so ist die entsprechende Raumkurve von dritter Ordnung. Durch drei Punkte der Fläche U w kann man somit wenigstens eine Raumkurve vierter Ordnung, durch zwei Punkte zwei Kurven dritter Ordnung legen. Aus der Chaslesschen Geometrie der Fläche zweiten Grades kann man also eine Geometrie dieser Fläche herleiten, welche Raumkurven dritter Ordnung oder Raumkurven vierter Ordnung, welche einen festen Punkt enthalten, als Gerade benutzt. 110. II, b. Es sei die Unendlichkeitsgerade Z eine Erzeugende der gegebenen Fläche zweiten Grades Uv (Fig. 5b). Die Erzeugenden gv des Systems, dem l angehört, gehen in Kegelschnitte gw über; dagegen ist es einleuchtend, daß die Erzeugenden Yv des anderen Systems sich in Gerade y w transformieren. Die Fläche Uw ist somit eine Linienfläche vierten Grades. Die Komplementärkurve einer Erzeugenden Yv ist ein horizontaler Kreis, der die Geraden l und y v in je einem Punkte und die Fläche U v noch in zwei Punkten schneidet. Eine Erzeugende y v enthält somit zwei Punkte, deren Komplementärpunkte auf der Fläche U v liegen. Die Doppelkurve der Fläche U w triff~ jede Erzeugende derselben in zwei Punkten. Jede Erzeugende wird von zwei anderen geschnitten. Die Komplementärkurve einer Erzeugenden gv ist eine Raumkurve 0~, welche die Geraden l und gv zweifach schneidet und die Fläche U v noch in zwei Punkten trifft. Die Doppelkurve der Fläche U w trifft somit jeden Kegelschnitt Yw in zwei Punkten.

62

IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

111. Der Ebene eines Kegelschnitts 9w entspricht im Raume Rv ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, welches die beiden Ge- [141 raden l und 9v enthält und somit die Fläche Uv in einem räumlichen Viereck (l, r!, gv, y;) schneidet. Diese zwei Flächen berühren einander in den vier Ecken, von welchen indessen zwei auf der Unendlichkeitsgeraden liegen. Wir schließen hieraus, daß die Ebene eines Kegelschnitts gw die Fläche U w in dem Kegelschnitte gw und zwei Erzeugenden y~ und r! schneidet urnl dieselbe in zwei Punkten berührt. Ebenso erkennen wir in dieser Ebene drei Doppelpunkte. Die Doppelkurve der Fläche Uw ist somit von dritter Ordnung. Jeder Kegelschnitt der Fläche U v trifft die Gerade l und geht somit in eine Raumkurve dritter Ordnung über. Unsere allgemeine Theorie der Transformation (V, W) zeigt endlich, daß die Ebenen Ew die Fläche Uw einfach berühren. 112. II, c. Wir setzen nun voraus, daß die gegebene Fläche Uv ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte ist. Die entsprechende Fläche Uw ist auch jetzt von vierter Ordnung. Die horizontalen Kreise der Fläche Uv geben Kegelschnitte, in den Ebenen Ew gelegen; dasselbe ist der Fall mit den Kegelschnitten, deren Ebenen die Gerade l enthalten. Die Tangentenebenen des Kegels F w sind, wie im allgemeinen Falle, zweifache Berührungsebenen, welche die Fläche vierten Grades U w in Kegelschnittpaaren schneiden. Die Erzeugenden gf} des einen Systems fassen wir als Nullgerade von I-Geraden eines I-Punkts auf. Die Ebmen der entsprechenden Kegelschnitte 9w umhüllen einen Kegel zweiten Grades. 1 ) Der Ebene eines solchen Kegelschnitts gw entspricht im Raume Rv ein Hyperboloid, welches die Fläche Uv in der Geraden 9v und in einer Raumkurve 0~ schneidet und dieselbe in zwei Punkten berührt. Die zwei Systeme von Erzeugenden der Fläche Uv geben somit zwei Systeme von zweifachen Berührungsebenen, welche je einen Kegel zweiten. Grades umhüllen und die Fläche Uw in Kegelschnittpaaren schneiden. Eine Erzeugende 9v enthält zwei Punkte, deren Komplementärpunkte auf der [142 Fläche U v liegen; dasselbe gilt von der früher betrachteten, entsprechenden Raumkurve 0~; wir erkennen somit auf der Fläche Uw eine Doppelkurve zweiten Grades.

113. Wir nennen die beiden Punkte, in welchen die Unendlichkeits1) Wir wenden hier den folgenden Satz an: Die gestreiften Ebenen von I-Geraden, deren Nullgerade ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte bilden, umhüllen einen Kegel zweiten Grades.

Kap. VIII; § 31, 32; Nr. 111-115. Die Transformation (V, W)

63

gerade Zdie Fläche U v schneidet, Q1 und Q2 • Das Hyperboloid U v ist dann dem T.etraeder (Q 1 , Q2 , ± u) umgeschrieben. Ebenen, die durch eine beliebige von den sechs Kanten dieses Tetraeders gehen, bestimmen auf dem Hyperboloide U v Kegelschnittsysteme, denen Kegelschnittsysteme der Fläche U w entsprechen. Den beiden Systemen von Erzeugenden und Raumkurven C~, die durch die vier Tetraederecken gehen, entsprechen auch Kegelschnittsysteme der Fläche U w· Wir haben somit auf dieser Fläche zehn Kegelschnittsysteme, in ·fünf Ebenensystemen gelegen, erkannt.

114. Den vier Tetraederecken des Hyperboloids U v entsprechen auf der Fläche Uw vier unendlich entfernte Gerade, die somit ein ebenes Viereck bilden. Die vier Tetraederflächen schneiden das Hyperboloid Uv in vier Kegelschnitten, denen vier Gerade der Fläche U w entsprechen. Endlich entsprechen den acht Erzeugenden des Hyperboloids, welche durch eine Tetraederecke gehen, acht neue Gerade der Fläche U w· Wir haben somit auf dieser Fläche sechzehn Gerade erkannt. Die Konfiguration dieser Geraden ist leicht zu erkennen durch unsere Abbildung der Kummerschen Fläche auf einem Hyperboloide. Unsere Theorie macht es sehr leicht, diese Betrachtungen weiter zu verfolgen. §

32. Der J-Punkt B,,, ist ein Nullpunkt.

llo. Wenn dem in vertikaler Richtung unendlich entfernten J-Punkte des Raumes Rw ein Nullpunkt Bv entspricht, so fällt die T-ransformation ( Vi, Vi) weg; die zwei anderen sind vom allgemeinen Falle -wesentlich verschieden. Jetzt ist in der Gleichung:

z _ rZ1

0

+Axw+ B

v - Zw+OXw+D

die Konstanter reell. Wenn nämlich in derselben Zw unbegrenzt wächst, Xw dagegen endlich bleibt, so ist der Grenzwert von Z 11 gleich r. Soll somit dem in vertikaler Richtung unendlich entfernten J-Punkte des [143 Raumes Rw ein Nullpunkt entsprechen, so muß die Größe r reell sein. Die Bedingung p,,, = 0 gibt folgende Gleichungen:

wo Z1 , l2, Ji.1 und Ji.2 lineare Funktionen bezeichnen. Die erste Gleichung zeigt, daß einer horizontalen Ebene E 11 des Raumes R 11 , d. h. einem konstanten Werte von Zv, wie wir schon wissen, eine Ebene Ew entspricht, daß weiter diese Ebenen Ew des Raumes Rw eine feste Achse enthalten, nämlich

64 IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869 die Durchschnittsgerade s ~er beiden Ebenen (l1 = 0) und (l2 = 0). Wenn die Ebene Ew vertikal wird, so zieht sich die entsprechende J-Gerade zu einer vertikalen Geraden c5 zusammen. Jeder Punkt derselben ist der Ort von unendlich vielen J-Punkten verschiedener Gewichte (Fig. 6). 116. Aus der Gleichung Z1

:

Z2 = A1

:

A2 leitet man die folgende her:

F2(Zw, Xw, Yw)

Pw --- = L(zw, Xw, Yw)--· Der Nenner ist eine lineare Funktion, der Zähler ist eine ganze Funktion zweiten Grades. Jedem Punkte des Raumes Rw entspricht somit im allgemeinen nur ein, vollständig bestimmtes Gewicht. Auf der Durchschnittskurve 8 zwischen der Ebene (L= 0) und der Fläche zweite~ Aw Grades (F2 = 0) ist dagegen das Gewicht Pw unbeFig. 6. stimmt und kann, wie wir später sehen, alle möglichen Werte annehmen. (144 Diese Durchschnittskurve besteht aus der Achse e der Ebenen Ew und aus der vertikalen Geraden c5 (Fig. 6).

V

117. Alle Geraden des Raumes Rw, welche den Nullpunkt B,0 enthalten, gehen in vertikale Gerade des Raumes Rw über. Dies ist auch der Fall mit der horizontalen Nullebene D durch diesen Punkt, welche somit in die vertikale Gerade CJ übergeht. Den Ebenen @v des Raumes Rv, die durch die Gerade Z gehen, entsprechen Ebenen @w des Raumes Rw, welche die vertikale Gerade CJ enthalten. Die Gerade e des Raumes Rw entspricht einer solchen Ebene, welche wir @~ nennen. 118. Eine beliebige Gerade des Raumes Rv schneidet im allgemeinen die zwei Ebenen D und @~. Mithin trifft 1) der entsprechende Kegelschnitt die zwei Geraden c5 und s. Allgemeiner: Eine Kurve n-ter Ordnung des Raumes Rv geht in eine Kurve 2n-ter Ordnung über, welche jede von den Geraden c5 und s (ebenso die vertikalen Geraden 'durch die Kreispunkte ± x) in n Punkten schneidet.

119. Einer beliebigen Ebene des Raumes Rw entspricht im allgemeinen em Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, welches die Gerade l l) Im allgemeinen Falle sind solche Kegelschnitte des Raumefl Rw der Bedingung unterworfen, den Kegel F w zweifach zu berühren.

Kap. VIII; § 32; Nr. 115-122. Spezialfall der Transformation ( V, W)

65

enthält. Eine vertikale Ebene des Raumes Rw, Ensemble von vertikalen Geraden, geht in einen Kegel, dessen Scheitel der Punkt Bv ist, über. Durch eine beliebige Gerade des Raumes Rw kann man eine vertikale Ebene legen; hieraus schließen wir, daß einer Geraden des Raumes Rw eine Raumkurve C~ entspricht, welche den Punkt Bv enthält und überdies die Gerade l in einem Punkte trifft~ Wenn also eine gegebene Fläche des Raumes R,,, diesen Punkt Bv enthält, so tritt im Grade der transformierten Fläche eine Reduktion um eine Einheit ein. 120. Endlich ist zu bemerken, daß die Punkte der Horizontalebene D, denen J-Punkte W derselben Lage auf der vertikalen Geraden ~ entsprechen, einen Kreis bilden. Solche Kreise berühren einander im Punkte Bv. Die Punkte der Ebene@~, denen J-Punkte W derselben Lage auf der Geraden s entsprechen, bilden eine, den Punkt Bv enthaltend~ Gerade.

121. L Eine Ebene des Raumes Rv geht im allgemeinen [145 in eine Linienfläche dritten Grades über. Die Gerade ~ ist die Doppelgerade derselben; die einzelne Leitlinie ist unendlich entfernt. Im allgemeinen Falle ging diejenige Gerade der Kongruenz Bv, welche in der gegebenen Ebene gelegen war, in die Doppelgerade über. Jetzt besteht die Kongruenz Bv aus den Geraden durch diesen Punkt und aus der Horizontalebene durch denselben. Es ist die Durchschnittsgerade dieser letzten Ebene mit der gegebenen Ebene, welche sich in die Doppelgerade ~ transformiert.

1

122. II. Es seien gegeben im Raume Rv ein Hyperboloid mit horizontalem Kreisschnitte, welches den Punkt Bv, nicht aber die Gerade l enthält. Der Grad der entsprechenden Fläche des Raumes Rw ist = 2. 3 - 2 -1 = 3. Der in vertikaler Richtung unendlich entfernte Punkt Bw ist ein Doppelpunkt dieser Fläche dritten Grades. Die vier Erzeugenden des Hyperboloids, welche die Gerade l treffen, gehen in vier Gerade über. Die zwei horizontalen Kreise des Hyperboloids, welche die Gerade l schneiden, geben auch zwei Gerade unserer Fläche dritten Grades, welche schließlich die Gerade s und· die beiden vertikalen Geraden durch die Kreispunkte ± u und noch eine unendlich entfernte Gerade enthält. Die Erzeugenden jedes Systems des Hyperboloids geben Kegelschnitte, welche eine feste Achse enthalten. Somit erkennen wir noch zwei reelle Gerade auf unserer Fläche dritten Grades. Die Kegelschnitte des Hyperboloids, welche den Punkt Bv enthalten, gehen in Raumkurven dritten Grades über, welche den Doppelpunkt der Fläche enthalten. Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I

5

66

IV. Repräsentation der Imaginären der Plangeom. Forts. Christ. Forh. 1869

123. III. Es sei gegeben im Raume Rv eine Linienfläche U v dritten Grades, welche einen horizontalen Kreis enthält. Wenn die Gerade l die einzelne Leitlinie derselben ist, so ist die entsprechende Fläche U w eine Linienfläche fünften Grades (9 - 2 - 2 = 5). Die Doppelgerade der Fläche Uv wird ein Doppelkegelschnitt. Die Ebene~~ schneidet die Fläche Uv in zwei Erzeugenden, somit ist die Gerades eine Doppelgerade der Fläche U w· Die Kreise der Horizontalebene D, deren Punkten I-Punkte W von derselben Lage auf der Geraden 1 und '1> 2 übergeführt werden, die einander längs der reziproken Kurve von k berühren; k wird nämlich von Komplexkurven c umhüllt. Die charakteristischen Kurven der beiden partiellen Differentialgleichungen, die nach § 8 durch die Kurvenkomplexe c und O bestimmt werden, sind reziproke Kurven in bezug auf das Gleichungssystem (9).

lo. Der eben angegebene Satz liefert folgende allgemeine Methode zur Transformation von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Man bestimme nach der gewöhnlichen Methode die Gleichung: f(x, y, z, dx, dy, dz) = 0,

die von den Charakteristiken der gegebenen Gleichung ·befriedigt wird, und wähle eine beliebige Relation von der Form:

1JJ(X, y, z, dx, dy, dz, X) = 0,

[83

wobei X eine Konstante bezeichnet. Das simultane System:

f=O,

1JJ=O

sei integriert in der Form: F 1 (x, y, z, X, Y, Z) = 0, F 2 (x,y, z, X, Y, Z) = 0, wobei Y nnd Z die durch die Integration eingeführten Konstanten sind. Durch Differentiation und Elimination erhält man eine Relation von der Form: F 3 (X, Y,Z,dX,dY,dZ) =0,

124

XI. Over en Classe geometriske Transformationer. Christ. Forh.1871

die wir als Gleichung für die charakteristischen Kurven einer gewissen partiellen Differentialgleichung: F4 ( X, Y,

dZ z, dX'

dZ) dY

=0

auffassen. Unsere früheren Entwickelungen zeigen, daß F 4 = 0, was aus

F 3 == 0 nach den gewöhnlichen Regeln abgeleitet wird, und die gegebene partielle Differentialgleichung in einem solchen gegenseitigen Abhängigkeitsverhältnisse stehen, daß, wenn die eine integriert werden kann, sich auch die andere behandeln läßt. Erl. Der Übergang von einer partiellen Differentialgleichung:

F,(X, Y, Z, P, Q) = 0 zur Gleichung für die charakteristischen Kurven: F 3 (X, Y,Z,dX,dY,dZ)= 0 geht so vor sich :

der umgekehrte Übergang so: dF3 . dF 3 dFs Q d(dX): d(dY) : d(dZ) =P: : -· 1 ' Hieraus ersieht man, daß, wenn die,eine Gleichung vom n-ten Grade ist, die andre vom Grade n(n -1) ist. Natürlich kann eine Reduktion eintreten.

Man kann hieraus allgemeine Schlüsse ziehen in bezug auf die Reduktion des Grades von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, die durch einen Komplex von Kurven definiert werden, dessen Ordnung gegeben ist. So kann zum Beispiel jede partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die durch einen Linienkomplex definiert wird (§ 3), in eine partielle Differentialgleichung vom zweiten Grade transformiert werden. 1) Ebenso kann jede partielle Differentialgleichung, die durch einen Kegelschnittkomplex definiert wird, in eine Differentialgleichung vom dreißigsten Grade transformiert werden. 2) 1) Di~se Reduktion beruht darauf, daß jede Linie einer Linienkongruenz das Brennsystem in zwei Punkten berührt (§ 4, Nr. 12). 2) Die Zahl 80 kommt heraus als Produkt von 6 und 6 - 1; 6 ist die Anzahl der Punkte, in denen das Brennsystem einer Kegelschnittkongruenz von jedem Kegelschnitte berührt wird.

Abschn. I; § 5, 6; Nr. 15, 16. Transformationen, die Berührung erhalten

125

§ 6. Über die allgemeinste Transformation, die Flächen, welche einander

berühren, in ebensolche Flächen überführt. 16. Beim Studium partieller Differentialgleichungen spielen Transformationen, die sich in der Form: X

= F 1 (x, y, z, p, q), Y = F 2 (x, y, z, p, q), Z = l!\(x, y, z, p, q)

ausdrücken lassen, eine wichtige Rolle. Unter p und q werden, wie gewöhnlich, die partiellen Derivierten: dz: dx, dz: dy verstanden; ebenso [84 sollen P und Q dZ : dX und dZ : d Y bezeichnen. Wir wollen im folgenden den Fall 1) betrachten, daß die Funktionen F 1 , F 2 und F 3 auf eine solche Weise gewählt sind, daß auch P und Q nur von x, y, z, p, q abhängen:

P =F4 (x, y, z, p, q), Q =F5 (x, y, z, p, q). Wenn wir voraussetzen, daß sich aus den obenstehenden fünf Gleichungen keine Relation zwischen X, Y, Z, P, Q ableiten läßt, kann auch umgekehrt jede einzelne der Größen x, y, z, p, q als Funktion,von X, Y, Z, P, Q ausgedrückt werden. Faßt man x, y, z und X, Y, Z als Punktkoordinaten in rund Rauf, so kann man sagen, daß durch eine ~I.1ransformation dieser Art ein Entsprechen zwischen den Flächenelementen der beiden Räume definiert wird und, wohl zu merken, das allgemeinste. Wir werden beweisen, daß diese Transformationen in zwei distinkte, einander nebengeordnete Klassen zerfallen, von denen die eine 1 ) der Plückerschen Reziprozität ent~pricht, während die andere der von mir aufgestellten Reziprozität entspricht. Bei der Elimination von p, q; P und Q zwischen den fünf Gleichungen: können nämlich zwei wesentlich verschiedene Fälle eintreten. Entweder · erhält man nur eine Gleichung zwischen x, y, z, X, Y, Z, oder auch es bestehen zwei Relationen zwischen diesen ·Größen. (Das Bestehen von drei unter einander unabhängigen Gleichungen zwischen den Punktkoordinaten der beiden Räume setzt voraus, daß die betreffende Transformation eine Punkttransformation ist.) 1) Vgl. Du Bois-Reymond, Partielle Differentialgleichungen, § 75-81.

126

XI. Over en Classe geometriske Transformationer. Christ. Forh.1871

Aber es ist bekannt, daß die Gleichung:

F(x,y,z,X, Y,Z) =0 stets ein reziprokes Entsprechen zwischen den Flächenelementen der beiden Räume definiert; und ebenso habe ich im vorhergehenden bewiesen, daß das Gleichungssystem:

F1(X, Y, z, X, Y, Z) = 0, F2(X, Y, z, X, Y, Z) = 0 immer eine Transformation bestimmt, die Flächen, welche einander berühren, in ebensolche Flächen überführt. Hiermit ist meine Behauptung· bewiesen. Erl. Ich betrachte die Gleichungen:

X= F1(X, y, z, p, q),

Y= F 2 (x, y, z, p, q), Z

=F

3

(x, y, z, p, q)

und eine Fläche f in r. Jedem Elemente von f ordnen die Gleichungen in Reinen Punkt zu. Also wird f eine Fläche zugeordnet. Ich betrachte eine Unendlichkeit von f, die ein gemeinsames Flächenelemente haben. Im allgemeinen werden die entsprechenden F kein gemeinsames Element haben. Dieses fordre ich, indem ich [voraussetze, daß auch P und Q nur von x, y, z, p, q abhängen. Das gemeinsame Flächenelement der F sei E.J Es ist immer denkbar, daß für gewisse Figuren von f die entsprechende F eine Kurve wird; diese Kurve muß alsdann - wie man durch Kontinuität einsieht E berühren. Man betrachte jetit in r 008 f:

i(x, y, z, ex, ß, y)

=

0

und die entsprechenden Figuren in R, von denen ich vorläufig annehme, da13 sie Flächen sind: F(x, y, z, c:x, ß, y) = 0. :M:an betrachte eine willkürliche neue Fläche

wird von den entsprechenden 00 2 Kurven berührt. Hierin

hat man eine neue allgemeine Definition für unsre Klasse von Transformationen. Man wähle jetzt insbesondere zu Flächen f alle Punktkugeln des Raumes r. Die Figuren F sind darin der geometrische Ort für die Punkte in R, die Flächenelementen von r entsprechen, welche durch einen Punkt gehen. Aber diesen geometrischen Ort findet man, indem man p, q zwischen: X= Fi, Y= F 2 , Z = B\ eli-

Abschn. I, II; § 6, 7; Nr. 16, 17. Transformationen, die Berührung erhalten 127 miniert, wobei man entweder eine oder zwei Gleichungen zwischen x, y, z, X, Y, Z findet. Hierdurch sind wir also zu dem Ergebnisse geführt, daß unsre Art von Transformationen in zwei distinkte KlasE!en zerfällt; die eine entspricht der PI ückerschen, die andre der von mir aufgestellten Reziprozität.

Bei dieser Gelegenheit werde ich darauf aufmerksam machen, daß diese Transformationen die merkwürdige Eigenschaft besitzen, jede [85 beliebige Differentialgleichung von der ]?orm:

A (rt - s2)

+ Br + Gs + Dt + E =

0,

in der A, B, C, D, E nur von x, y, z, p, q abhängen, in eine Gleichung von derselben Form überzuführen. Sofern die gegebene Gleichung ein allgemeines erstes Integral zuläßt, ist das selbstverständlich auch mit der neuen Gleichung der Fall. (Vgl. Booles Abhandlung in Crelles Journal, Bd. 61.)

Abschnitt II. Die Plückersche Liniengeometrie kann in eine Kugelgeometrie transformiert werden. § 7.

Die beiden Kurvenkomplexe sind Linienkomplexe.

17. Setzen wir voraus, daß die Gleichungen, welche die beiden Räume auf einander abbilden., in Bezug auf jedes System von Veränderlichen linear sind:

+ b1 y + C1Z + d1 ) + Y(a 2 _~ + b2 y + c2 z + d2 ).+ + Z(aax + b3 y + c3 z + d3J + (a 4x +. b4y + c4z + d4), . 0 = X(a 1 x + ß1 y + y 1 z + (X, Y, Z, H,

.1, µ) = 0,

bestimmen einen Enveloppenkomplex A, dessen Gleichung man findet,. indem man zwischen: d' + X',

'YJ

= ".

Es steht somit nur zurück, die vier Funktionen "

-

(22')

= A. (y)'

-4('

'1>''

+ Y')

= f (X) '

woraus durch Addition: 6Y" - 6X" = J,,(y) und: (22")

6 Y"= J.(y)

+ A,

+ f(x)

6X"= A-f(x)

(.A

= Const.),

w.omit die Größen J,, (y) und f (x) bestimmt sind. Hierdurch reduzieren sich die beiden Gleichungen (22') auf die einzige Gleichung: 0 = A + 4("')

+ Y' ("') : m" a-l = -

R M [lX(X-1 +1- (1 - ro)a-l

+ 2

+ lX-1 (1 -

:l-a]

-

w)a-1 '

4

(- Y"cp" - Y'cp"'): m"u-1 = -

4

(Y" +tu"= 0

703

Satz über Mon g e - Ampere sehe Gleichungen

zusammen mit u = 0 die Gleichung [42] nach sich. Aber die Gleichungen [44] stellen ein ebenes Büschel von Geraden dar, das dem linearen Komplexe [48] ange~ hört, und dessen Träger der Punkt: ' [45)

da;: dy: dp: dq

=

u!P: u«: - (ua:

+ puz): -

(u 11

+ quz)

ist. Dabei sind [45] die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen der Gleichung u = 0. Da.ß [ 44] zusammen mit u = 0 die Gleichung [ 42] nach sich zieht, kommt daher offenbar darauf hinaus, daß für jedes Element a;, y, z, p, q, das u = 0 befriedigt, das durch [44] bestimmte Büschel von Geraden der durch [42] bestimmten Kongruenz angehört. Daraus aber folgt, daß der Punkt [ 45] auf einer der beiden Leitlinien dieser Kongruenz liegt. Mit andern W orten: Die charakteristischen Streifen' von u = 0 befriedigen das eine der beiden Systeme von Differentialgleichungen, welche di.e Mongeschen Charakteristiken der Gleichung [42] definieren. Der Satz gilt ganz allgemein, auch dann, wenn das partikuläre Integral u = 0 von p und q frei ist. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man statt der nichthomogenen Linienkoordinaten r, s, t, rt- s2 homogene einführt (vgl. Engel, Leipz. Ber. 1898, S. 469f.). S. 174, Z. 4-7. Für die Ebene: z = exa; ßy y wird p = ex, q = ß, also erhält man auf der Ebene die gewöhnliche Differentialgleichung 1. 0.:

+ +

dy d x = N (x, y, ex x

[46]

+ ß y +r, _ex, ß)..

Diese bestimmt die Schar der Kurven c. S. 174, Z. 19-22. Wir denken uns 001 Linienkomplexe durch eine Gleichung: w(y', z', y - xy',.z- xz', k)

=

0

definiert (vgl. S. 156). Die Geraden des Komplexes k, die in der Ebene: z ßy y liegen, werden durch die Differentialgleichung:

+

+

w(y', ex+ ßy', y - xy', y

= exx +

+ ß(y- xy'), k) = !J(x, y, y', ex, ß, y, k)= 0

bestimmt, und die von ihnen umhüllte Kurve ergibt sich, wenn man y' aus den beiden Gleichungen: !J=O, !J 11 ,=0 eliminiert. Eliminiert man k, so erhält man·eine Differentialgleichm;ig: y'

=

,fJ, (x,

Y, ex,

ß, Y)

+ +

für die Komplexkurven, die in der Ebene: z = exx ßy y durch die 001 Linienkomplexe bestimmt werden, und man hat nur noch die Funktion N aus der Gleichung: · Y, ex, ß) = ,f), (x, Y, tX, ß, Y) N (X, Y, ex X ß.y 001

+ +

n;

zu bestimmen. Diese Funktion N liefert dann eine 1, von der 00 1 . erste Integrale bekannt sind, nämlich die 00 1 D 11 , die den 00 1 Linienkomplexen ro = 0 entsprechen. S. 174; Z. 28-82. Da es in E' nur eine diskrete Zahl solcher Kurven c' gibt, die g berühren, so ist klar, daß die Tangenten der ursprünglich ausgewählten Kurve nicht einer kontinuierlichen Sch~r solcher Linien~omplexe angehören können, in denen die Schar der Tangenten aller Kurven c steckt. Noch deutlicher wird die Sache, wenn man sich von vornherein auf eine gewisse Umgebung eines Punktes P der zuerst ausgewählten Kurve beschränkt. Ist P' ein Punkt der Kurve, der in dieser Umgebung liegt, und zieht man durch P' die Tangente an die Kurve, so muß jede Ebene durch diese Tangente eine Kurve c' enthalten, welche die Tangente in einem jener Umgebung angehörigen Punkte berührt, und dem gesuchten Komplexe müssen alle Tangenten dieser Kurve c' angehören; Die 00 2 Tangentialebenen der urS oph us Liei Gesammelte Abhandlungen. Bd. I 45

Anmerkungen zu Abhandlung XII, S. 175-177

704.

sprünglichen Kurve liefern auf diese Weise 00 3 gerade Linien und also einen vollständigen Komplex, vorausgesetzt, daß unsere Forderung für jede Tangentialebene erfüllt ist, deren Berührungspunkt jener Umgebung von P angehört. S. 175, Z. 7-1 v. u. In der auf S. 678 angeführten Abhandlung sagt Boole dies allerdings nicht ausdrücklich, aber er verfährt auf S. 327 tatsächlich so, als ob es nur ein allgemeines Integral gäbe. Dagegen hatte damals Augustus de Morgan schon 1856 vollkommen richtig angegeben, wie sich alles verhält, wenn beide Scharen von Charakter~stiken zusammenfallen. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 788f. S. 175, Z. 7-11. Dabei sirid p und q selbstverständlich als Konstanten zu be.;. trachten. S. 175, Z. 16f. Dieses Integral wird von den auf Z. 3f. erwähnten Linienflächen gebildet, S. 176, ~; 1-7. Es ist wohl anzunehmen, daß Lie zu diesem Ergebnisse durch ähnliche Betrachtungen wie in Nr. 47, S. 172f. gelangt ist. Die Worte ,,Wir schließen hieraus" auf Z. 8 könnten allerdings auf die Vermutung bringen, daß Lie einen anderen, einfacheren Weg benutzt habe. Da aber nicht einzusehen ist, welcher Weg das gewesen sein könnte, möchte man eher glauben, daß hier eine Nachlässigkeit im Ausdrucke vorliegt. Es müßte heißen: ,,Hierin liegt," denn die Gleichung auf Z. 10 hatte Lie sicher zuerst gefunden und diese dann in der auf Z. 5~7 angegebenen W eise gedeutet. Aus der Differentialgleichung der Krümmungslinien ergibt sich genau so wie auf S. 172 die Differentialgleichung: [47]

½{(1 + p 2) t -

{ (1 + p 2) s - p qr} Fr +

+ {P qt -

{

(1

+

(1 + q2) r} F 8 q2)

+

s} Ft = 0,

die mit 4FrFt-F;= 0 zu verbinden ist. Nun hat [47] die beiden Lösungen:

A = rt _,.. s2, µ = (1

+q

2

)

r - 2pqs

+ (1 + p )t, 2

die, in die zweite Gleichung eingeführt, ergeben:

AF1

[48] oder:

+ (1 + p + q )F! + µFJ..Fµ = 0, 2

2

Die entsprechende gewöhnliche DifferentialgleiGhung: dµ 1 +P2+q2

dA ½µ-J/¼µ2-(1+p2+q2)A

läßt sich schreiben:

½µ d µ -

(1

+p +q 2

2

und gibt integriert: Ji¼µ2-< 1 :r:nithin:

(1

)

d A=

Y¾ µ

2

-

(

1

+p + q 2

2

)

A• d µ

+ P2+ q2)Ä= ½µ +o,

+ p + q )i+ µC+ 0 = 0, 2

2

2

was in die Gleichung S. 176, Z. 10 übergeht, wenn man setzt: (1

+ p2R+ q2)7I .

+ +

3

Zu bemerken ist noch, daß µ 2 - 4 (1 p2 q2 ) Ä. = 0 ein singuläres Integral der homogenen partiellen Differentialgleichung 1. 0. [48] ist.

Part. Differentialgleichungen 2. 0. mit Krümmungslinien als Charakteristiken

705

Dieses singuläre Integral bestimmt die Flächen, auf denen die beiden Hauptkrümmungshalbmesser einander gleich sind, also die Mongeschen Flächen mit nur einer Schar von Krümmungslinien. Lie erwähnt es Ann. V, S. 214 (Nr. 59 Anm.) und fügt hinzu, daß es dem hier auf S. 173, Anm. erwähnten singulären Integrale entspricht, daß es also aus diesem durch die Geradenkugeltransformation hervorgeht. Es ist klar, daß die Gleichung S. 176, Z. 10 ebenso aus der Gleichung S. 173, z. 12 hervorgeht. Es würde Lie ganz ähnlich sehen, wenn er sich die eben durchgeführte Rechnung erspart und die Form der Gleichung S. 176, Z. 10 erraten hätte. Da diese aus der Gleichung: r 2Ns :t'l 2 t = 0 durch seine Berührungstransformation entsteht, wµßte er nach S.127 von vornherein, daß sie die dort angegebene Form haben mußte, und es lag nahe zu vermuten, daß sie eben die Gleichung für den Hauptkrümmungshalbmesser war. Nachträglich konnte er sich dann leicht davon überzeugen, daß die Gleichungen [47] und 4FrFt-F! = 0 erfüllt sind. S. 176-180, § 19, Nr. 51~53 entsprechen Ann. V, S. 214-219, § 20, Nr. 60 bis 63. Dabei ist Nr. 60, S. 214 neu hinzugefügt.S. 176, Z. 5-2 v. u. Man hat nur zu setzen:

+

+

F= (1

+ P f + Pqf

(1

2

2

)

+ q2)f + P q

•

Bildet man für (2) den Ausdruck 4 R T - S2 (vgl. S. 172), so erhält man: {1

+ p2 + 2 pqf + (1 + q2)f2} 2.

Bei der Differentialgleichung (2) fallen daher die beiden Scharen von Charakteristiken nur dann zusammen, wenn f die Gleichung:

+ +

+ +

1 p2 2 pqf (1 q2).f2 = 0 befriedigt. Die Charakteristiken werden dann von den heiden Scharen von Minimalkurven gebildet, eine Möglichkeit, die wir hier ausschließen; S. 177, Z. 2-4. Andrerseits erhält man für die Charakteristiken von (2) die folgende Gleichung: q2) f P q} d y2 (1 q2) 12 - (1 p2) } d x d Y - { (1 pqf2 (1 p2) f} da:2 = 0, oder: (dy - f da:) { [(1 q2 ) f pq] dy [1 p2 pqf] dx} = 0. [50]

+

+

+{ +

+

+

+ + +{ + + + + +

Hier bestimmt der zweite Faktor gleich Null gesetzt: (1

+ p + pqf) da:+ { (1 + q f + pq} dy = 0 2

2

)

die auf der Fortschreitungsrichtung d y = f d x des Flächenelementes a:, y, z, p, q senkrechte Richtung dieses Flächenelementes. Da nun die Fortschreitungsrichtung dy = f dx nach S. 177, Z. 2-4 eine Hauptkrümmungsrichtung ist, so sind in der Tat beide Scharen von Charakteristiken auf jeder Int.egralfläche Krümmungslinien. Die Funktion f in (2) ist demnach die Wurzel einer quadratischen Gleichung:

+

+

w(x, y, z, p, q) f 2 2v(a:, y, z, p, q) f u(x, y, z, p, q) = 0, die zwei auf einander senkrechte Richtungen: d x : d y bestimmt. Diese Richtungen sind von den beiden Minimalrichtungen verschieden, da f nach z. 25 die Gleichung [50] nicht erfüllen darf. Als auf einander senkrecht liegen sie zu den Minimalrichtungen harmonisch, woraus folgt, daß u, v, w durch die Gleichung: (1

+q

2

)

u - 2 p qv

f

verknüpft sind. Die Gleichung für (51]

pqw f 2

+ (1 + p

)

) W

=

0

hat daher die Form:

+ {(1 + q u + (1 + p 2

2

2

)

w} f

+ pqu = O, 45*

706

Anmerkungen zu Abhandlung XII, S. 177-181

wo u : w willkürlich ist. Wir haben somit: 1/- + wF == 0. Andrerseits besteht zwischen den Koeffizienten U, V, W der Gleichung (2) die Beziehung: (1 p 2 ) U --,- p q V+ (1 q2 ) W = 0,

+

+

so daß wir (2) auch so schreiben 'können:

(2') Eliminieren wirf aus [51] und (2'), so erhalten wir die Bedingung: (1

+ p + q )'(Uu- Ww) 2

2

2

=0,

wir kommen also zu der Differentialg]eichung:

{ p q t - (1 + q2) s }'!" - { (1 + p 2 ) s - p q r} w· = 0,

[52]

das heißt, zu der von du Bois-Reymond angegebenen Form. Die beiden Scharen von charakteristischen Streifen von [52] werden durch die· Gleichung: [53]

- pqw dy 2

'+ {(1 + q

2

)

u

+ (1 + p

2

)

w} dx dy

+ pqu dx

2

=

0

bestimmt, die jedem Flächenelemente x, y, z, p, q zwei auf einander senkrechte Fortschreitungsrichtungen zuordnet. Ordnet man umgekehrt jedem Flächenelemente zwei solche Fortschreitungsrichtungen zu, was durch Aufstellung einer Gleichung von der Form [53] geschieht, so ist [52] eine partielle Differentialgleichung 2. 0. 1 auf deren Integralflächen die beiden Scharen von Charakteristiken durch [53] definiert werden, und diese Scharen sind beide Krümmungslinien (S.177, Z. 5-9). S. 177, Z. 10-18. Nach S. 705, Z. 25 sind die Kurven s und -I angehören kann, so kann man M P- 2 durch sphärische Abbildung auf eine der ID1p_ 2 übertragen, die nichtkreisförmigen Hauptkonfigurationen der Mn_ 2 besorgen dann die Übertragung auf alle andern ID1'P_ 2 , und man erhält auf der Mn_ 2 n - 2 Scharen von Hauptkonfigurationen, die die bekannte Gruppierung haben. Die Mn-'J ist hier das, was Lie nachher (Z. 12-7 v. u.) mit Mn-t bezeichnet und die M,,_ 2 ist die Mr-i • S. 279, Nr. 14, 15. Vgl. Abb_. XV, S. 267, Nr, I. S. 279, Z. 3-5. Um uns auf das Frühere beziehen zu können, gehen wir nicht wie in Nr. 13 vom Rn aus, sondern betrachten ein Orthogonalsystem des Rn+t> Als erste Operation der zweiten Reihe würde dann in Lies Sinne eine solche zu betrachten sein, bei der die Mn_ 1 des Rn blos 001 kreisförmige ID1p_ 1 enthält. Es muß also n - p = 1 und somit p = n ;_ 1 sein. Die Mn- 1 des Rn wird also nach der früheren Bezeichnung (S. 275) durch (1, ... , n -,- 1, n 1) dargestellt. Die zweite Operation der zweiten Reihe würde an eine Mn_ 1 : (1, ... , n - 2, n 1} geknüpft sein, und so fort. S. 279, Z. 7-10. Vgl. S. 276, Z. 4-1 v. u. Hat man im Rn+i ein Orthogonal1) eine Mn-t des Rn, die 001 kreisförmige system, so ist (1, 2, ... , n - 1, n ID1n_ 2 enthält, jede gelegen in einem Rn_ 1 , während die oon- 2 nichtkreisförm:igen Hauptkonfigurationen die Trajektorien dieser ID1n_ 2 sind. Stellt man das sphärische Bild dieser Mn_ 1 her und projiziert es stereographisch auf den Rn_1 , wendet man also die Darbouxsche Operation an, so erhält man im Rn_ 1 oo 1 Kugeln mit ihren senkrechten Trajektorien. S. 279, Z. 15. Lie denkt vermutlich an die Schar von oon-p kreisförmigen ID1'P_ 1 im Rn, die auf der Mn-t (1, ... , p, n 1) liegt. Auch bei dieser werden alle ID1'P_ 1 der Schar durch dien - p Scharen von je oon- 2 nichtkreisförmigen Hauptkonfigurationen konform auf einander bezogen. Jede ID1'P_ 1 .gehört ja n - p verschiedenen Scharen von je 001 Wlp-t an, und jede dieser Scharen hat ooP- 1 Krümmungslinien einer der n - p Scharen zu senkrechten Trajektorien; S. 279, Z. 10-3 v. u. Vgl. S. 280, Nr. 17, wo sich Lie deutlicher ausdrückt. Legt man durch die auf Z. 4., 3 angegebene Kurve s0 die hindurchgehenden senkrech~ ten Trajektorien, so erhält man ~ine Fläche F, welche die Kugel S 0 längs s0 senkrecht schneidet. Benutzt man nun S 0 zur Herstellung des sphärischen Bildes von F, so erhält man als sphärisches Bild der auf F liegenden Kurve s0 eben deren reziproke Polare a. Die konforme Transformation, die zu der ersten invers ist, führt dann das sphäris.che Bild der Krümmungslinien von F in ein Orthogonalsystem der Ebene über, das.die Kurve k enthält. S. 280, Z. ·1, 2. Vgl. S. 274, Z. 9-7 v. u., S. 275, Z. 1, 2 und die Anm. S. 759. S. 280, Z. 4: ,,ganz wie früher", d. h., wenn man die orthogonalen Trajektorien der Kugelschar hinzunimmt (Z. 9f.).

+

+

+

+

765

Operationen zur Ableitung von Orthogonalsystemen

S. 280, Z. 11. Dabei muß allerdings vorausgesetzt werden, daß k zwei verschiedene Scharen von Krümmungslinien enthält. S. 280, Z.13-15. Die Kongruenz G ist eine M 2 auf der Kugel S0 des R 4 • Die ,,der früheren nachgebildete Operation" ist selbstverständlich der Übergang von dieser M 2 zu ihrer reziproken Polaren auf der Kugel S0 • S~ 280, Z.15f. Der Komplex Fist dieM3 des R 4 , die man erhält, wenn man durch die Punkte von a die hindurchgehenden Trajektorien der Kugelschar legt. Auf dieser M 3 schneiden die Kugeln S 0 , S1 , • • • eine Flächenschar aus, zwei andre werden bestimmt durch die Trajektorien, welche durch die Krümmungslinien von a gehen. So erhält man auf M 3 ein Orthogonalsystem, auf das die Darbouxsche Operation anwendbar ist. S. 280, Z. 20-1 v. u. Vgl. Abh. XI, S. 146-151. s. 280, z. 16-18 v. u. Vgl. s. 278, z. 8, 7 v. U. S. 281, Z. 4. Hier hätte Mn _ 3 gesetzt werden müssen, um kenntlich zu machen, daß man es nicht mit der Mn _ 3 auf Z. 2 zu tun hat. S. 281, Z. 13. Hier und im folgenden ist immer eine Schar von 001 Kugeln ge1 willmeint. Genau genommen hängt eine solche Schar des Rn+l bloß von n kürlichen Funktionen ab. S. 281, Nr. 20a. Es ergibt sich das aus dem in Nr. 19 Gesagten, wenn man dort n durch n 2 ersetzt. S. 281, Nr. 20b. Unter Trajektorien schlechthin sind hier immer die senkrechten Trajektorien zu· verstehen. Man habe im Rn eine Schar von 001 Kugeln:

+

+

1 ... n

(1)

.:E(fft-Yf1)2 ft

+ Y!+i = 0,

wo y1 , ••• , Yn+l Funktionen eines Parameters u sind, so daß man also von der Kugel u sprechen kann. Dann bilden alle Kugeln, welche die Kugel u senkrecht schneiden, einen linearen Kugelkomplex. Stellt man die Kugeln des Rn durch die Punkte t)1 , ••• , tJn+l des Rn+ 1 dar (vgl. S. 274f.), so entspricht diesem linearen Kugelkomplexe die Kugel: 1... n

.;B(tJ,u -yµ) 2 + tJ!+i + Y!+i = 0

(2)

,u

des Rn +1 • Man hat somit im Rn +1 ebenfalls eine Schar von 001 Kugeln: 1. .. n+l

.:E(tJv - Zv)2 + z~+2 = 0,

(8)

V

nur ist diese insofern von besonderer Beschaffenheit, als sie dem linearen Kugelkomplexe: Zn+l = 0 angehört; der aus allen Kugeln besteht, welche die Ebene· tJn +i = 0 senkrecht schneiden. Ist die Schar (1) selbst in p linearen Kugelkomplexen enthalten, ist also identisch: ;L ... n+l

(4)

1... n+l

;Ea1cv Y.,+ ak, n+2 ~,Y;+ ak, n+a = 0

(k= 1, .. ,,1J),

V

wo die Matrix der Konstanten ak-e den Rang p hat;so gehört die Kugelschar (2) außer dem Kpmplexe Zn + 1 = 0 noch p leicht angebbaren linearen Kugelkorn· plexen an.

766

Anmerkungen zu Abhandlung XVI, S. 281.

Es sei jetzt umgekehrt im Rn+i eine Schar (3) von 001 Kugeln gegeben, die p 1 linear unabhängigen linearen· Kugelkomplexen und also einem ganzen Bündel von ooP solchen Komplexen angehört. Es sei mithin identisch:

+

1. .. n+2

1. .. n+2

(k = 1, , .. , 'I)+ 1), + bk,nH = 0 wo die Matrix der Konstanten bk-e den Rang p + 1 hat. In dem besonderen Falle

(5)

~bknzn+ bk, n+s ~zi n

n

p = O wollen wir ausdrücklich voraussetzen, daß der eine auftretende Komplex aus allen Kugeln besteht, die eine feste Kugel senkrecht schneiden, daß also b1 , n +2== O ist (vgl. s~ 760). Im Falle p > 0 können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, daß einer unsrer p 1 linearen Kugelkomplexe, etwa der erste, diese besondere Beschaffenheit besitzt. Wir können demnach unter allen Umständen annehmen, daß b1 ,n+a verschwindet. Wenden wir nun eine geeignete orthogonale Transformation des Rn+i an, das heißt, führen wir eine Ähnlichkeitstransformation aus, nötigenfalls in Verbindung mit ~iner Transformation durch reziproke Radien, so können wir die Kugel, die von allen Kugeln des ersten der linearen Komplexe (5) senkrecht geschnitten wird, in die Ebene '9n+i = 0 überführen. Dadurch erreichen wir, daß die erste der Gleichungen (5) die Form: Zn+i = 0 annimmt, und daß die Gleichung unsrer Kugelschar (3) die Gestalt:

+

1 ... n

~('L)µ-Zµ)2

{6)

µ

+ 'LJ!+i +Z~+ll = Ü

erhält. Jeder Kugel u dieser Schar entspricht dann im Rn ein linearer Kugelkomplex, der aus allen Kugeln besteht, welche die Kugel: 1 •.. n

(7)

~ ( ;1i µ

-z,1)2

+ z!+2 = 0

senkrecht schneiden. Damit haben wir im Rn eine Schar von 001 Kugeln (7) gefunden, von der ausgehend wir durch das auf die Kugelschar (1) angewandte Verfahren zu der Kugelschar (6) zurückgelangen können, aus der wieder (3) durch eine orthogonale Transformation des Rn +i hervorgeht. Es bleibt noch zu untersuchen, ob die Bestimmung der senkrechten Trajektorien der Kugelschar (1) im Rn und die entsprechende Aufgabe für die Kugelschar (2) im Rn+i wirklich ä,quivalente Probleme sind. Um die senkrechten Trajektorien der Kugelschar (1) zu finder, muß man das simultane System:

{8)

d !11

!1i - Yµ

du =--y-2n+l

1 ... n

, , \ ~(!-e-Y-e)Y-e-Yn+1Yn+1j

(µ=1, ••• , n)

1 ,,;

.integrieren, wo die Striche Ableitungen nach u andeuten. Dabei ist eine Integralgleichung von (8), nämlich (1), von vornherein bekannt; man muß daher die Anfangswerte !1, der !µ für u = u 0 so wählen, daß (1) für u = u 0 erfüllt ist. Ebenso werden die senkrechten Trajektorien der Kugelschar (2) durch das simultane System: h ""µ

du= -

(9)

lddtJ!l-+t=_·'LJn+t du

bestimmt.

11 ..

,n · 'L)u-Y1i , , ) Y!+1 . ;('9-i - Y.-e) Y-e - Yn+i Yn+i

Y!+i

{1.~n

'

'

~ ('9t - Y-e) Y-e - Yn+i Yn+i

l

(fl =l, . ... n),

Zwei äquivalente Probleme für Kugelseharen des Rn und Rn+i

767

Hat man nun das simultane System (8) allgemein integriert, so erfordert offenbar die Integration von (9) nur noch eine Quadratur, was als eine ausführbare Operation zu betrachten ist. Umgekehrt zieht die Integration von (9) augenscheinlich die vori (8) nach sich. Hat man andrerseits die senkrechten Trajektorien der Kugelschar (2) im Rn+l bestimmt, hat man also (9) integriert mit den Anfangsbedingungen: ~1 = ! ~, ... , ~~ = ii, ~n+l = !~+ 1 für u = u 0 , die so gewählt sind, daß (2) für u = u 0 erfüllt ist, so kennt man damit zugleich die Trajektorien der Kugelschar (1) im Rn; denn man braucht j'a bloß !~ + 1 = 0 zu wählen. Dagegen ist allerdings nicht einzusehen, wie die Bestimmung der Trajektorien der Kugelschar (1) des Rn ausreichen soll, um alle Trajektorien der Schar (2) im Rn+ 1 angefien zu können. Das soll nä:(Il].ich, wie Lie S. 281, Z. 21-24 behauptet, wenigstens für n = 2 gelten. Wir werden in der Anmerkung zu Nr. 20 c sehen, wie das zu verstehen ist. Soviel aber ist sicher, daß Nr. 20 b an einigen Stellen bestimmter hätte gefaßt werden sollen. Auf Z. 20, 19 v. u. sollte stehen: ,,diese Kugeln gerade p und nicht mehr linear unabhängigen linearen Kugelkomplexen angehören,· so findet man". Auf Z. 18 v. u.: ,,die eine Kugel senkrecht schneiden und außerdem noch p Kugelq. unter konstanten Winkeln schneiden". Auf Z. 15 v. u.: ,,die eine bestimmte Kugel senkrecht schneiden". S. 281, Nr. 20 c. Jetzt denken wir uns im Rn+l eine Schar von 001 Kugeln gegeben: 1. .. n+1

~(~" - Yv) 2

(10)

+ Y!+2 = 0,

l'

wo y 1 , ••• , Yn+ 2 Funktionen eines Parameters u sind. Fassen wir die Punkte des Rn+l als Bilder der Kugeln des Rn auf, so entspricht der Kugel u der Schar (10) ein linearer Kugelkomplex des Rn. Dieser besteht nach S. 759 aus allen Kugeln des Rn, welche die Kugel: 1 ... n

~(!1t -y,1) 2

(11)

µ

+ Y!+i + Y!+2 = 0

unter dem konstanten Winkel " schneiden, der aus:

+

t

(12) cos" = Yn+i : (Y!+i Y-!+z)2 zu entnehmen ist. Andrerseits werden die senkrechten Trajektorien der Kugelschar (10) durch ein simultanes System bestimmt, dessen Gestalt aus (8) zu ersehen ist. Wir denken uns dieses mit den Anfangsbedingungen~"= ~i für u = u 0 integriert; müssen aber dabei die Anfangswerte ~i so wählen, daß die Gleichung (10) für u = u 0• erfüllt ist. Ergibt sich auf diese W eise: (18) ~" = IDJI (u, ~~, ... , ~~+1) (J/= 1, .•. , n+ 1), so liegt der Punkt u der Trajektorie (18) stets auf der Kugel u der Schar (10); im Rn entspricht ihm daher eine Kugel: 1, .. n

,2\iµ-IDp)2 + ID!+1 == o,

(14)

,u

deren Gleichung wegen (10) auch in der Form: 1 ... n

(14')

1 .. . n

,2"'!~ - 2 ~IDµ (!11 -yµ) + 2 IDn+i Yn+i µ

µ

1. . . n+2

~Yi = 0 k

geschrieben werden kann. Di~e Kugel gehört dem linearen Kugelkomplexe an, der der Kugel u der Schar (10) erhspricht; sie schneidet daher die Kugel u der Sq_har Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd.I

49

768

Anmerkungen zu Abhandlung XVI, S. 281

(11) unter dem Winkel ,e, der durch (12) bestimmt ist. Der ganzen Trajektorie (13) entspricht somit im Rn eine Schar von 001 Kugeln (14) oder (14'), und jede Kugel u dieser Schar steht zu der Kugel u der Schar (11) in der eben beschriebenen Beziehung. Die 001 Kugeln (14), die unsrer Trajektorie entsprechen, umhüllen nun eine Mn_ 1 des Rn. Da (18) das erwähnte simultane System erfüllt, besteht diese Mn-- 1 aus den oc1 kreisförmigen W1n_ 2 , die wir erhalten, wenn wir zu (14) die Gleichung: 1 ... n

(15)

~(!1-t - IDµ) {IDµ - Yµ) ,u

__:"IDn+t (IDn+i -

Yn+i)

=0

hinzufügen und dabei u als Parameter auffassen. Diese Gleichung kann aber, weil (13) auch (10) befriedigt, die Gestalt: 1 ... n

(15')

1 ... n

~ID,., (!µ-yµ)-IDn+t

Yn+l -

µ

1. .. n+2

~y,., !µ + ~yz = µ

0

k

bekommen und ist somit eine Folge von (11) und (14'). Das heißt, die imn_ 2 (14), (15) oder (11), (14') ist nichts andres, als der Schnitt zwischen der Kugel u der Schar (14) und der Kugel u der Schar (11). Andrerseits folgt aus (14) und (15), daß auf der. umhüllenden Mn-t die Gi:ößen d ! 1 , ••• , d !n durch die Gleichung: E (!µ - ID µ) d !µ = 0 verknüpft sind. Ist daher fa, ... , !n ein Punkt der Mn_ 1 , der auf der W1n_ 2 (14), (15) liegt, so fällt die zugehörige (n -1)-fach ausgedehnte Tangentialebene der Mn_ 1 mit der Tangentialebene der Kugel u der Schar (14) zusammen. Da ab~r diese Kugel die Kugel u der Schar (11) gerade in der 2 schneidet und zwar unter dem durch (12) bestimmten Winkel ,e, so schneidet die Mn-l jede Kugel u der Schar (11) in der il.Rn_ 2 (14), (15) oder (11), (14) und zwar ebenfalls unter dem Winkel ,e, Den oon senkrechten Trajektorien der Kugelschar (10) entsprechen demnach im Rn solche Mn- 1 , die jede Kugel u der Schar (11) unter einem konstanten, nämlich unter dem nur von u abhängigen Winkel ,e schneiden. 1 ) Verstehen wir daher unter .\) 1 , ••• , .\'n die Richtungskoeffizienten der Tangentialebene einer solchen Mn-t, so gilt die Gleichung:

mn_

1 . .. n

~(!µ -y,.,) .\)µ

(16) ·

t

i (Y!+1

Yn+t t

1

+ Y!+2F (~.µ1i)~

(Y!+1

+ Y!+2)~

Die Mn-l sind daher Integralmannigfaltigkeiten der homogenen partiellen Differentialgleichung 1. 0., die aus (11) und (16) durch Wegschaffung von u hervorgeht. Man k~nn sich davon auch unmittelbar überzeugen. Wie wir früher gesehen haben, werden .nämlich auf der Mn-l die .\',u proportional den !1-, - ID,u, also ergibt sich aus (16): 1 ... n

~(!µ - Yµ)(!µ - IDµ) µ

+ Yn+l IDn+i = 0,

was bei Berücksichtigung von (14) die Gleichung (15) nach sich zieht. Wir denken uns jetzt umgekehrt im Rn eine Schar von 001 Kugeln gegeben: 1 . .. n

(17)

~(!1-, - zµ) 2 ft

+ z!+i = 0,

1) Lie drückt das auf S. 281, Z. 13, 12 v. u. gar zu kurz aus. Es hätte wenigstens gesagt werden sollen: ,,die jede Kugel einer Schar unter konstantem Winkel schneiden".

Zwei äquivalente Probleme für Kugelseharen des Rn und Rn+i

769

wo z1, •.. , Zn +1 Funktionen des Parameters u sind. Wir fragen nach allen Mn_ 1, die jede Kugel u dieser Schar unter einem Winkel x schneiden, der eine gegebene Funktion von u ist: cos " = "' ersetzt wird. Die folgenden Formeln ändern dabei ihre Gestalt, eine wirkliche Vereinfachung wird aber nicht dadurch erzielt, vielmehr wird die Rechnung mühsamer, da s und , was nicht mit den allgemein üblichen Festsetzungen übereinstimmt. Es ist das aber wohl nur ein Schreibfehler, denn der Wert ·von dg>, den Lie nachher angibt, ist=(}. dµ-µ d}.):Z. S. 355, Z. 9 v. u. Iµi ersten Drucke steht bei dem zweiten Gliede± statt - . Das kommt aber wohl daher, daß Lie die Differentialgleichungen der beiden Scharen von Minimalkurven in einer Formel zusammenfassen wollte, was unmöglich ist. Für die zweite Schar müßte nämlich dieses Glied so lauten:

+

2i(s-a)"'da

-v:;

was nachher, auf S. 356, Z. 1-4 ausdrücklich gesagt ist. Zu beachten ist dabei~ daß dg> bei der Vertauschung von s mit 2=-2pqV +q2 W, { '1> = p2 V-2pqW, '1>,=p2W 8 und die zu berechnende Determinante ist:

(20]

q2V 0 1+q2 0

0

-2pqV +q2W q2V -2pq 1+q2 0

p 2V-2pqW -2pqV+q2W 1+p• -2pq 1+q2

p•w p2V-2pqW 0 1+p2 -2pq

0 p2W 0 0 1+p2

Wir ziehen von der·ersten Zeile ab die mit V multiplizierte dritte und die mit W m1:1ltiplizierte vierte, ebenso von der zweiten Zeile die mit V multiplizierte vierte und die mit W multiplizierte fünfte. Die beiden ersten Zeilen werden dann:

-V

-W ---V

O

-V -W

-W -V

und die ganze Determinante gibt entwickelt:

V2 { (345) + (235)-(145)

0

-W

+(125)} +

+ W (145) + (134) - (125) + (123)} + + VW {- (245)- (234)- (124) } , 2

{

wo die Ziffern angeben, w~lche Spalten aus den drei letzten Zeilen auszuwählen sind. So ergibt sich die erste Gleichung auf S. 432 in der Form: [21]

(p 2

Hieraus folgt: (1

+L1 q = (1 + p )V2 + 2) 2

2

2pqVW

+ (1 + q )W = U. 2

2

+ q2) U= {(1 + q2)W + pqV} 2+ (1 + p2 + q2) V2.

Nun aber ist:

B=r+t+pV +qW,

(1 +q2)W +pqV=qB-ps-qt,

also: (1 + q2) U= q2 B 2 -2(pqs+ q2 t)B

+ (ps+ qt)

2

+ (1

+ p2+

woraus sich die Liesche Gleichung (21) ohne Schwierigkeit ergibt.

q2 )V2 ,

826

Anmerkungen zu Abhandlung XXV, S. 432-438

S. 432, Z. 11-9 v. u. Daß wir das gefunden haben, kann man wirklich nicht sagen; wir können es nur aus dem damals Gesagten herauslesen. In der Tat bestimmen ja die Gleichungen: dx = 0 und: dy-dz = 0 zwei einander zugeordnete Scharen von parallelen Ebenen, und auf diese Gleichungen kann man jede beliebige lineare homogene Transformation in dx, dy, dz ausführen. S. 432, Z. 9-4 v. u. Man kann auch so schließen: Jedes Kegelschnittbüschel der unendlich fernen Ebene, das den Kugelkreis enthält und vier verschiedene Grundpunkte hat, bestimmt nach S. 419 oa4 Minimalflächen. Die Ebenen z = const. schneiden auf dem Kugelkreise zwei der vier Grundpunkte aus, also. bleiben noch zwei willkürlich, so daß man gerade 002 verschiedene Büschel bekommt. S. 434, Z. 14-17. Hier macht Lie bereits von der Tatsache Gebrauch, daß ,; , 'YJ und ; 1 , rJ1 Funktionen von p, q sind, was er erst in Nr. 39 beweist. S. 434, Z. 10-8 v. u. Bewiesen ist das allerdings in § 3 nur für den Fall, daß A keinen der beiden Werte± i besitzt. Für den Schluß, daß f(;) und f1 ( ;1 ) nicht beide arbiträr sind, hat jedoch dieser Umstand offenbar keine Bedeutung. S. 434, Z. 6-4 v. u. Zwei in r, s, t lineare homogene Gleichungen, deren Koeffizienten Funktionen von p, q sind, haben entweder gar keine Lösung gemein oder 00 4 • Nur wenn sie die Gleichung: rt s 2 = 0 nach sich ziehen, wenn also alle etwaigen Integralflächen abwickelbar sind, gilt das nicht; dann können sie sogar 0000 gemeinsame Lösungen besitzen (d. Ausg. Bd. IV, Abh. IX (1895), S. 340). Da die Gleichungen von x, y, z frei sind, erhält man aus einer etwaigen Integralfläche sofort 00 4 durch Ausführung aller Translationen und der Ähnlichkeitstransformationen, die den Koordinatenanfang zum Mittelpunkte haben. S. 434, Z. 3 v. u.-S. 435, Z. 4. In Wahrheit sind 'Y/ und rJ1 unbekannte Funktionen von ,; und ; 1 , und es handelt sich darum, die Bedingungen abzuleiten, denen diese Funktionen genügen. Dabei hat man fortwährend im Auge zu behalten, daß p und q bekannte Funktionen von ,; , 'Y/, ; 1 , 'Y}1 sind, während andrerseits ,; , 'Y/, ; 1 , rJ 1 als Funktionen von p und q aufgefaßt werden können. S. 436, Z. 6f. F und (J) sind infolgedessen auch bekannte Funktionen von ;~ 'YJ, ; 1 , rJ1 • Ebenso kann man in (25) die Größen p, q, r, s durch ,; , 'YJ, ; 1 , 'Y/i und t ausdrücken. S. 436, Z. 1 v. u. Es ist selbstverständlich:

und so weiter. S. 437, Z. 2f. Das F hier darf man nicht mit dem früheren, S. 436, Z. 5 verwechseln. Ferner erinnere man sich der Anm. zu S. 436, Z. 6f. S. 437, Z. 4-1 v. u. Wenn die Gleichungen:

dy =t(dx) dz dz '

dY dz =

fi

x)

·(d dz

beide denselben Kegel zweiten Grades (1), S. 415 darstellen, so bestimmt die Gleichung (23) alle Flächen, deren Haupttangenten konjugiert sind in bezug auf den Kegelschnitt, den dieser Kegel auf der unendlich fernen Ebene ausschneidet. Die Gleichungen (23) und (24) bestimmen also alle Flächen, deren Haupttangenten konjugiert sind in bezug auf jeden Kegelschnitt des Büschels, dem der Kugelkreis und der genannte Kegelschnitt angehören. In§ 1 ist aber gezeigt, daß jedes solche Büschel von Kegelschnitten 00 4 Flächen bestimmt, deren Haupttangenten in der beschriebenen Beziehung zu dem Büschel stehen. Die Gleichungen (23) und (24) haben daher stets 00 4 Integralflächen gemein, wenn die im Anfange gemachte Voraussetzung zutrifft. Die Bedingung (28) ist daher in diesem Falle identisch erfüllt.

Minimalflächen erzeugt durch Translation von Kurven

827

S. 437, Z. 1 v. u.-S. 438, Z. 1. Wie das bewiesen werden kann, deutet Lie in Abh. XXVII, S. 461, Anm. für einen allgemeineren Fall an. Indem man bei konstanten ,;1 , rJ1 , dn1 : d,;1 , d2 n1 : d,;~ nach ,; differentiiert und in entsprechender Weise nach ,;1 , erhält man zwei Gleichungen, die d3 rJ: d,; 3 und d3 rJ1 : d,;: bestimmen. Nun faßt man das System aller drei Gleichungen auf als ein System von partiellen Differentialgleichungen, das 'Y/ und rJ 1 als Funktionen von ,; und ,;1 bestimmt und das die Gleichungen:

und die daraus durch Differentiation hervorgehenden umfaßt. Für ,; = ,;0 , ,;1 = ,;~ bleiben nur rJ, rJi, drJ: d,;, d17 1 : d,;1 , d 2 rJ: d,; 2 willkürlich wählbar, also enthält die allgemeinste Lösung des Systems fünf willkürliche Konstanten, das heißt gerade soviel wie der allgemeine Kegelschnitt. Weil nun jeder Kegelschnitt eine Lösung des Systems liefert, ist hiermit die allgemeinste Lösung des Systems gefunden, da -singuläre Lösungen nicht auftreten können. Aus Abh. XXVII a. a. 0. können wir noch entnehmen, daß die Gleichung (28) die Form besitzt: 1 d2 n 1 a2 n1 3 d ,;2 -d'Y/1) 8 d ;f = o,

dt]) (p+qd,;

+-(p+qcR;

wo p und q aus S. 434, Z. 2 v. u. zu berechnen sind. S. 438, Z. 7f. Die gewundene Kurve soll selbstverständlich keine Minimalkurve sein. Zu der Fläche gehört ein Büschel von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades, in dem die Gleichung: E dx 2 = 0 enthalten ist. Jede dieser Mongescp.en Gleichungen bestimmt auf der Fläche zwei Kurvenseharen von solcher Beschaffenheit, daß die Fläche erzeugt wird, wenn man eine Kurve der einen Schar durch Translation längs einer Kurve der andern Schar fortführt. S. 438, Z. 11-14. Vgl. S. 425-427. Daß die Fläche hierdurch charakterisiert ist, beruht auf folgendem: Jedem Punkte P des sphärischen Bildes entspricht ein Flächenelement E der Fläche, dessen Ebenenrichtung parallel ist der Ebene des größten Kreises, der die Polare von P ist. Es sei Q der Punkt dieses Flächenelementes, und das sphärische Bild der Fläche liege auf der Kugel vom Halbmesser 1 uni Q als Mittelpunkt. Den beiden durch Q gehenden Haupttangentenrichtungen des Elementes E entsprechen dann in der sphärischen Abbildung die Tangentialrichtungen der beiden durch P gehenden sphärischen Kegelschnitte. Diese Tangentialrichtungen sind die Doppelelemente der Involution, die man erhält, wenn man durch P an jeden der konfokalen Kegelschnitte den berührenden größten Kreis legt und jedesmal in P die Tangentialrichtungen dieser Kreise nimmt. Bei der sphärischen Abbildung geht diese Involution über in eine Involution von Linienelementen des Flächenelementes E, welche dessen Haupttangentenrichtungen zu Doppelelementen hat. Da nun die sphärischen konfokalen Kegelschnitte zu reziproken Polaren sphärische Kegelschnitte haben, die ein Büschel bilden, so wird die in E auftretende Involution von Linienelementen von den Kegeln zweiten Grades ausgeschnitten, die Q zur Spitze haben und durch die Kegelschnitte des Büschels gehen. In jedem Punkte Q der Fläche sind demnach die Haupttangenten konjugiert zu allen Kegelschnitten des Büschels, das von dem eben erwähnt;n Büschel von Kegeln auf der unendlich fernen Ebene ausgeschnitten wird. P. Stäckel hat in der Abhandlung: ,,Bestimmung aller Kurven, durch deren Translation Minimalflächen entstehen", Gött. Nacht. 1905, S. 343-357, die von Lie gelöste Aufgabe auf anderem Wege behandelt und glaubte beweisen zu können, daß die Scherkschen Minimalflächen nicht die einzigen sind, die der gestellten Forderung genügen. Er fand nämlich Flächen, deren Gleichungen zwei Parameter

828 AnmerkungenzuAbhandlungXXV, S.438; XXVa, S.438 u. XXVI, S.440-449 enthalten, und glaubte, diese seien beide wesentlich. G. Scheffers hat dann in einer Arbeit mit derselben Überschrift, a. a. 0. S. 472-477, gezeigt, daß der eine der beiden Parameter beseitigt werden kann, wenn man die unabhängigen Veränderlichen u, v, die Stäckel bei der Darstellung der Flächen benutzt hat, geeignet wählt. Die Richtigkeit des gefundenen Satzes wird daher durch Stäckels Untersuchung nur von neuem bestätigt. S. 438, Z. 3-1 v. u. Vgl. Abh. VII (1870), S. 87, Nr. 6, ferner Abh. XXII (1878), S. 346f., ferner Ann. XV (1879), S. 496f. (d. Ausg. Bd. II, Abh. III, § 10, Nr. 26). Endlich Bd. III d. Ausg., Abh. I (1872) S. 3, Nr. 5. Im Frühjahre 1880 schreibt Lie an F. Klein: ,,Ich kenne nun nicht allein alle Berührungstransformationen, die die Differentialgleichung der Minimalflächen invariant lassen, sondern sowohl alle algebraischen, wie alle eindeutigen derartigen Transformationen. Dies letzte beruht auf meiner Bestimmung aller Minimalflächen, deren Klasse eine Primzahl ist."

Zu XXVa, S. 488f. S. 438, Z. 23-26. Vgl. Bd. VI d. Ausg. Abh. XXVI (1896), S. 645.

Zu Abhandlung XXVI, S. 440-449. Die Arbeit ist, ohne wesentliche Änderungen, wieder abgedruckt als Note 5 zu der Abh. in Bd. XX der Math. Ann. (1882), S. 447-454 (d. Ausg. Bd. II, Abh. IV, Schluß). S. 440, Gl. (2). Besser wäre es, für 1 + X Y zu setzen X +Y. S. 442, GI. (9) und (10). Die zweite geht aus der ersten hervor, wenn man X durch - 1 : Y ersetzt. Das macht sich auch nachher auf Z. 11 f. bemerklich. S. 443, Z. 6.:_8, Wir setzen:

W= bo

+ (2b1 + ao)X + (b2 -2ai) X

dann ist nach (7):

2

U2 X 3 ,

-

X'

2X1 -1 X'=W-X" , was die Umgestaltung von Gleichung (13') etwas erleichtert. S. 444, Z. 2, 1 V; u. Das Bogenelement wird: e2 Ca:± 11) {1 + A Be" Ca:± 11)} 2 dxdy,

+

hat also die charakteristische Form: (x - y) zu behandeln. An die Stelle der Gleichung S. 440, Z. 4 v. u. tritt daher die einfachere: dQ dx

+ d{J =0 dy

·

S. 449, Z. 1-12. Die Arbeit hat den Titel: Etudes des elassoides ou surfaces a courbure moyenne nulle par Albert Ribaucour. Couronne par l'Academie dans la seance publique du 16 decembre 1880. Erschienen Brüssel 1882. Die im Jahre 1880 von der Akademie gestellte Preisaufgabe lautete: ,,Trouver et discuter les equations de quelques surfaces algebriques a courbure moyenne nulle." Auf S. VI der Vorrede, die geschichtlichen .Inhalts ist, findet man folgende Bemerkungen: ,,Depuis que l'Acade.mie royale de Belgique a pose ce probleme qui fait l'objet de notre etude, un geometre du plus grand merite a successivement publie uri grand nombre de beaux resultats sur les surfaces minimas: M. Sophus Lie a donne la veritable solution du probleme de Monge; il a montre que les surfaces a courbure moyenne nulle sont de deux fa je n - 1, n - 2, ... , 1, also im ganzen: 2n

+ 1 + 2 + · · · + n -1 =

½n(n

+ 3).

Die allgemeinste Lösung der zu befriedigenden Gleichungen enthält daher jedenfalls nicht mehr willkürliche Konstanten als die allgemeine ebene Kurve n-ter Ordnung. Da nun die Gleichung (11) für jede Kurve vierter Ordnung erfüllt ist, wird sie durch die allgemeine Kurve vierter Ordnung in allgemeinster Weise befriedigt. S. 462, Z. 20. Daß wirklich nur Quadraturen erforderlich sind, sieht man in der auf S. 820 auseinandergesetzten Weise ein. S. 462, Z. 5 -3 v. u. In jedem Punkte der Fläche liegen ja die Tangenten. der beiden hindurchgehenden Kurven ci und ki harmonisch zu den Haupttangenten der Fläche. S. 463, Z. 9-12. In jedem Punkte der Fläche schneidet die Ebene des zugehörigen Flächenelementes den einen Kegel in zwei Geraden, den Tangenten an die hindurchgehenden Kurven ci und c1. Die Tangenten an die Kurven ki und k1 liegen auf dem zweiten Kegel und jede von ihnen ist eindeutig bestimmt. S. 464, Z. 5f. Die Kurve vierter Ordnung in der unendlich fernen Ebene zerfällt also. in vier durch einen Punkt gehende Gerade. Zerfiele sie nämlich in vier Gerade, die nicht diese Eigenschaft hätten, so würden sich diese Geraden in eindeutig bestimmter Weise in zwei Geradenpaare zerlegen und ein Kegelschnittbüschel liefern, das nicht aus lauter ausgearteten Kegelschnitten bestände. Dann aber gehörte die Fläche zu den bereits unter 5. betrachteten. S. 464, Z. 9, 8 v. u. D. Ausg. Bd. III, Abh. I, S. 3, Nr. 6. Jetzt wird erst klar, was Lie damit meinte, daß man ,,statt Kegelschnitte beliebige ebene Kurven setzen" könne. Unter einer Minimalfläche in bezug auf eine beliebige ebene Kurve verstand

Umkehrung des Re i ß sehen Satzes. -

Die Translationsfl.ächen

839

er eine Translationsfläche, bei der die Tangenten der beiden erzeugenden Kurvenscharen auf der unendlich fernen Ebene eine beliebige vorgegebene Kurve ausschneiden, also die Flächen, die er in Abh. XVII (1877), S. 288-290 betrachtet. Flächen, die in bezug auf oa1 Kurven Minimalflächen sind, sind Translationsflächen mit unendlich vielen Erzeugungen. S. 464, Z. 14-16. Siehe a. a. 0. S. 3, Nr. 6. S. 465, Z. 1-,-0. Vgl. Abh. XXV, S. 425f. S. 465, Z. 2 v. u. Das heißt in 0000 Weisen, nicht bloß in 001 . S. 465, Z. 13, 12 v. ~., Vgl. Abh. XXV, S. 427, Nr. 22 und die Anm. dazu,

s. 823f.

S. 465f., Nr. 22. Vgl. Leipz. Ber. 1897, S. 181-248 (d. Ausg. Bd. II, Abh. XIV). Insbesondere zu S. 466, Z. 4-8 siehe a. a. 0. S. 182-186 (Kapitel I). Schließlich wollen wir noch einmal auf die schon in Bd. IV d. Ausg., S. 621ff. behandelte Frage zurückkommen, durch welche Differentialgleichungen die allgemeinste Translationsfläche definiert wird. Wir folgen jetzt dem Wege, den ScheHers zur Beantwortung dieser Frage vorgeschlagen hat (s. die auf S. 832 erwähnten Bemerkungen). Dieser Weg erweist sich nämlich nach einigen Änderungen als besonders bequem. Wir haben auf S. 832 gesehen und können das auch aus Bd. IV, S. 621 entnehmen, daß jede vorgelegte Translationsfläche, bei der keine der erzeugenden Kurvenseharen in parallelen Ebenen liegt, eine Gleichung von der Form: [22]

r

+ (u + v) s + uv t = 0

befriedigt, wo u und v bestimmte Funktionen von p, q sind, die den Bedingungen: [ 23] genügen. Umgekehrt ist jede Fläche, die eine Gleichung [22] mit den Bedingungen [23] befriedigt, eine Translatiorisfläche. Es handelt sich also darum, aus [22] und [23] die beiden Funktionen u, v von p, q zu eliminieren. Diese Aufgabe wird wesentlich erleichtert, wenn wir nach dem Vorbilde von Legendre (d. Ausg. Bd. III, S. 748) die Gleichung [22] durch eine dualistische Transformation in eine lineare Differentialgleichung verwandeln. Wir haben dann eine Gleichung: [24] t - (u v) s uv r = 0,

+

+

wo u, v Funktionen von x, y sind, die den Bedingungen: [25] unterworfen sind. Durch Differentiation von [24] ergeben sich die zwei nach u 00 , v 00 auflösbaren Gleichungen: [26]

z001111 -(u+ v)zuy {z 111111 -(u v)zcc'll?J

+

+ uvzaJu= (uaJ+ vaJ) s-(uvaJ+ vu00 )r, + uvzu 11 = (uua: + vv 00 )s-uv(u00 + Va:)r.

Differentiieren wir [26], so erhalten wir drei Gleichungen, in denen außer u, v, u cc, v a: noch uccx• va:x vorkommen. Dabei ist es offenbar unmöglich, eine von u, v freie Differentialgleichung vierter Ordnung abzuleiten. Differentiieren wir noch einmal, so erhalten wir vier neue Gleichungen, während nur die Größen u 00 u, Vux hinzukommen. Damit ist bewiesen, daß die allgemeinste Translationsfläche von der betrachteten Art keine Differentialgleichung vierter oder niedrigerer Ordnung befriedigt, dagegen jedenfalls zwei Differentialgleichungen fünfter Ordnung.

840 Anmerkungen zu Abhandlung XXVIIa, S. 466 u. XXVIII, 468-482

Zu XXVIIa. S. 466, Z. 13f. Hier wäre auch Abh. XVII (1877), S. 286ff. zu nennen. S. 466, Z. 19-21. A. Voß, Über ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflächen. Den Ausdruck ,,Translationsflächen" benutzt er auf S. 2 in einer Anmerkung.

Zu Abhandlung XXVIII, S. 468-485. Die Abhandlung ist in umgearbeiteter Fassung aufgenommen in das Werk von Lie-Scheffers, Geom. d. B. T. (1896). Siehe da S. 133-165. S. 468, Z. 8f. Gemeint ist eine Punkttransformation auf der Fläche, nicht etwa eine des ganzen Raumes. S. 468, Z.14-19, S. 469, Z.1-2. Die Gleichung !J (x, y, !,~) = 0 bestimmt nämlich eine Berührungstransformation, bei der jede Kurve !J (x, y, a, b) = O übergeht in den Punkt: ! = a, ~ = b (vgl. Abh. XI, S. 121f. ). Hinter dieser führt man die Punkttransformation: ! = F (61 , ~ 1 ), ~ = f Ü1 , ~ 1 ) aus und hinter dieser die durch !J(x1 , y1 , 61 ,~ 1 ) = 0 bestimmte Berührungstransformation, die den Punkt: 61 = ~, ~1 = b1 in die Kurve !J (x1 , y1 , a 1 , b1 ) = 0 überführt. S. 469, Z. 2f. Man kann ja eine beliebige Gaußische Parameterdarstellung der Fläche zugrundelegen, was darauf hinauskommt, daß man in !J= 0 auf die Veränderlichen x, y eine beliebige Punkttransformation ausführt. S, 469, Z. 12, 11 v. u. Siehe Abh. XXIV (1879), S. 384. S. 470, Z. 5-7. Früher hatte Lie gelegentlich auch diese Gaußischen geodätischen Kreise betrachtet. Vgl. z. B. Abh. XXI (1878), S. 336, Z. 9f. S.470, Z.5v.u. Ich verdankeE.Cartan die Bemerkung, daß die Laguerresche Formel, auf die Lie anspielt, diejenige ist, die aussagt, daß der Winkel zweier Strahlen eines Büschels gleich ist dem durch 2i geteilten Logarithmus des Doppelverhältnisses, das die beiden Strahlen mit den beiden Minimalgeraden des Büschels bilden. Hat nun das Bogenelement der Fläche die Form: z d x d y, so sind d x = 0 und d y = 0 die Minimalrichtungen und das Doppelverhältnis zweier Richtungen dx: dy und ox: oy mit diesen wird: dy ox: dx oy. In unserem Falle ist dann: dy: dx = y' dy' und oy: ox = y' d1 y' zu setzen. S. 472, Z. 2-4. Es ist ja:

+

+

S. 472, Z. 8-4 v. u. Vgl. Bd. V d. Ausg., Abh. VI (1879), S. 207, wo übrigens, wie Lie das später fast immer gemacht hat, W durch - W ersetzt ist. S. 477, Z. 7-4 v. u. Man findet aus Z.10-12 sofort:

!:.._!!___O

dyZ-'

d T

0

dxz=.

S. 477, Z. 2 v. u. Natürlich soll x1 eine Funktion von x allein sein, usw. S. 478, Z. 8-5. Es wird:

dZ 1 dZ ,½ ,-½+z( ,-½)' ,-½ dx;=dxx Y · ~ Y ' d Z 1 =d Z ,¾ ,-½+dZ{( ,½)'+,(,-½)'J ,-½+.z(· ,-})'' ,-½ 2 d 2a, Y d a, X X Y a; Y , d X1 X X 2

2

wo rechts das mittlere Glied verschwindet.

Die geodätischen Kurven gestatten eine inf. Berührungstransformation

841

S. 478, Z. 6-2 v. u. Vgl. Bd. V d. Ausg., Abh. V (1878), S. 197. S. 479, Z. 4f. Vgl. Abh. XXIV, S. 367. S. 479, Z. 11 v. u. Den Fall, daß eine der Größen ~, rJ verschwindet, hat Lie nachher ganz außer acht gelassen. In einem Abdrucke der Abhandlung ist aber am Rande bemerkt : ,,Ist ~ = 0, rJ = 1, so:

Z 1111 =X1 Z,

Zwre=XZ,

. XZ 1111 = X 1 Zu+ 2X~Z00 + X~Z.


2 ist. Alsdann erhalten wir jedenfalls die sechs folgenden Relationen zwischen L, M, R, Sund a:

~(L2- M 2) - a+ 3 R(L +M)= 0 «+1 cx-1 ' cx~1(L2+M2)-cx 11R(L-M)=O, ~ (L2 «+1

M 2)

-

3 -cx R(L +M)= 0 cx-1 '

2

~(L2- M 2) - a-a s(L + (-l)a- 1 a+1 cx-1 2

2 2 - s(L- (-l)a- 1 ~ ex+ 1 (L + M) - -«-1

1

2

~(L2- M 2) cx+1

-

a+ 3 s(L + (-l)a- 1 cx-1

M)= 0 ' M)= O, M)= 0.

Abschn. II. § 8. Nr. 30. Flächen, die der 1. und 3. Klasse angehören

329

Hier kombinieren wir die erste Gleichung mit der dritten, und andererseits die vierte mit der sechsten, und erhalten hierdurch die beiden Relationen: . 2 3

~oci/) R(L +M)= O, ~i:) s(L + (- l)a3

die sich, da die Annahme a

+1=

1

M)= O,

0 den ausgeschlossenen Fall:

2: (a-1) = -1 geben würde, auf die Gleichungen:

R(L +M)= 0, s(L + (- l)a.:_ 1 M)= O reduzieren. Wäre R = O, so gäben die beiden ersten unter den sechs obenstehenden Relationen die Gleichungen:

a(L 2 -

M 2 ) = O, a(L 2 + M 2) = O,

sodaß sowohl L wie M verschwinden müßte, was indes absurd wäre. Ein analoges Raisonnement zeigt, daß auch S nicht verschwinden darf. Also wird: 2

L+M=O, L+(-1)a- 1 M=0

[414

und: 2

(- l)a-1 = 1, sodaß 2 : ( a - 1) eine gerade Zahl sein muß,. und dabei unter den gemachten Voraussetzungen jedenfalls größer als 3. Infolgedessen können wir zu den sechs obenstehenden Relationen sicher noch weitere, insbesondere die nachstehende, fügen: 4oc(ö-a)

(L2+ M2)-

a+l

(2-a) (3-a)

R(L- M)= 0.

a-1

In diese substituieren wir den Wert M = - L und zugleich den aus der zweiten unter den sechs obenstehenden Relationen hervorgehenden Wert:

R=

2a(a-1) a+l

L

und erhalten hierdurch die Gleichung:

a 2 - 3a = 4, deren Wurzeln - 1 und 4 der Größe 2: (a - 1) die ausgeschlossenen Werte - 1 und f geben würden. Die Annahme, daß 2: (« - 1) eine ganze positive Zahl, und dabei größer als 2 ist, gibt somit nichts.

330

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

Ich will sodann annehmen, daß 2: (a - 1) = 2 und also a = 2 ist. Dann erhalten wir die Relationen:

f(L2--M 2)-5R(L +M)= O,

f ·4(L + M )-8R(L -M)= O, 2

2

16 (L2 - M 2) - 3(R + S)(L +M)= 0,

f·4(L 2 + kl 2) - 8S(L- M)= O, f(L 2 - M 2) - 5S(L +M)= O, aus denen:

(R-S)(L+M)=O,

(R-S)(L-M)=O

hervorgeht, sodaß wir R = S setzen können. Also wird:

f(L 2 - M 2) - 5R(L +M)= 0, 16(L2 - M 2) - 6R(L +M)= O, und: L 2 - M 2 = O, R(L

+ M)'= 0.

Wäre nun R = 0 = S, so ergäben sich wie früher die absurden [416 Werte L = M = 0. Also ist L + M = 0, sodaß unser Bogenelement die Form:

ew' = L(x" + y")2- L(x" -y") 2 = 4Lx"y"

annimmt. Dieser Fall führt somit nur auf developpable Flächen. Ich will endlich annehmen, daß 2 : (a - 1) = 1 ist. Dann werden L, M, Rund S bestimmt durch die Gleichungen: L2 -

M 2 - R(L +M)= O,

6(L 2 + M 2) - 2R(L-M)- 2S(L +M)= 0, L2 -

M 2 - S(L-M) = O,

welche uns, da die Annahme L ± M= 0 nur developpable Flächen liefert und somit ausgeschlossen werden kann, die folgenden Werte gibt:

M= iL, R = L(l - i), S = L(1

+ i).

Durch Weglassung von unwesentlichen konstanten Faktoren können wir hiernach: ew' = x" - 'iy",

;'= 3x" 2 + 2 ix"y" + y" 2 , 'YJ' = ix" 2 + 2x"y" + 3iy" 2

Abschn. II. § 8. Nr. 80. Flächen, die der 1. und 8. Klasse angehören

331

setzen. Die betreffenden Flächen gehören, wie man sieht, zu denjenigen, deren geodätische Kurven zwei konforme infinitesimale Transformationen, nämlich:

df

dx" -

. df i

dy"'

"df X

dx"

"df

+Y

dy"

gestatten. Die geodätischen Kurven der Flächen ew = x - iy gestatten somit drei infinitesimale Transformationen, nämlich:

df

. df

Bi{= d x Bsf = (3x2 + 2ixy

i

d Y,

B2f =

df

X

dx

+ Y ddfY,

+ y2) : ~ + (ix2 + 2xy + 3iy2) : ; .

Diese sind, wie man sieht, verbunden durch die Relationen:

Ich will nun annehmen, daß in den Gleichungen (52) die Größe a = 1 ist; dann sind die neuen unabhängigen Variabeln x', y' bestimmt durch die Gleichungen:

dx' = Kdx, dy' = Ldy, die durch Integration:

Kx = x' + ß = x", Ly == y' + r = y" geben. Also wird: dx dy _ erel(x-y) _ e - e d :x;' d y' KL w'_

e

w

x":K

·

l

(X" y") K-L

KL

'

[ 416

1;1nd dabei ist die unbekannte Funktion l bestimmt durch die partielle Differentialgleichung:

_!!:_ ( x": K. . .1v1) _ ~ (n:,;": K .11,1) = Q, dx"2 e dy"2 II;>

oder durch die äquivalente gewöhnliche Differentialgleichung:

( L2 - K 2)

,l"

+ 2 L l' + L l = 2

2

0,

deren allgemeines Integral, da wir von der, nur developpable Flächen liefernden Hypothese L2 - K 2 = 0 absehen können, die Form:

A.e

L ( x" L+K K

11" ) L

+ Be

L ( x" L-K K

y" ) L

332

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

besitzt. Infolgedessen können wir: x" + y" _ ew' = A..e L + K + Be

x" -

y"

L- K

===

d2 U

dx'' dy"

setzen. Durch Integration erhalten die Größen: t'

~

die Werte:

;' = A..(L + K)e

=

dU dx"'

x" + y"

L+x

I

'Y}

=

+ B(L -

dU dy" x" -y"

K)e- L-x + X',

x" + y"

r/= A(L + K)eL+x und, da

f

-

:-:_' -y"

- B(L- K)e

L-K

+

Y',

und r;' andererseits (51) die Form: x"

;' =

dx' ~ dx

ll y' 'YJ, = r; d Y

=

tie f(x

(x" y'') L ' y") Y) = e-L

+ (z + b)4 w = O, welche zeigt, daß die Größe ro< 4 > sicher ver.schwindet, und daß ro"' nur, wenn 2 m 2 + 7 m + 6 verschwindet, von Null verschieden sein kann. In dieser Weise erkennen wir, daß X (x) und Y(y) immer zwei Differentialgleichungen von der Form:

X' 2 = a + bX + cX 2 + dX 3, Y' 2 = a +ßY + rY 2 + ö'Y3 mit konstanten Koeffizienten erfüllen. Setzen wir diese Werte in die Bedingungsgleichung (54*) ein, so erkennen wir, daß m gleich - 2, 0 oder 1 sein muß. Die beiden erstgenannten Hypothesen liefern nur Flächen konstanter Krümmung. Die Annahme m = 1 liefert die w i c h t i g e F 1ä c h e n fa m il i e ew = x + y, die wir indes schon früher gefunden und diskutiert haben. Hiermit kennen wir das 'Bogenelement einer jeden Fläche der dritten Klasse, die gleichzeitig entweder der ersten oder der zweiten Klasse angehört. Dagegen ist es mir nicht gelungen, alle Flächen zu bestimmen, die in mehrfacher W eise der dritten Klasse angehören. Ich weiß nur, daß Flächen mit dem Bogenelemente: W

e

=

(x

+A y)2 + (x -B y)2

in z w e i fa c her W eise dieser Klasse angehören (Note 1). Ob es Flächen gibt, die in dreifacher W eise der dritten Klasse angehören, ist mir nicht gelungen, definitiv zu entscheiden; ich betrachte es indes als außerordentlich wahrscheinlich, daß dies bei den Flächen: ew = ( u 4

1

+ M u 2+ K

1

-

v4

+ M v2+ K

du

) (

u4

2

2

+ M u 2+ K -

dv

v4

+ M v2+ K

)

'

die ich in der nachfolgenden Note 1 betrachte, der Fall ist. [419 In der dritten Note zeige ich, daß Flächen, deren Krümmung nicht konstant ist, nie mehr als drei infinitesimale Transformationen ihrer geodätischen Kurven gestatten können.

Abschn. II. § 8. Nr. 31. Flächen der 3. Klasse. -

Note 1. Nr. 32 .

335

Note 1. Über die allgemeinste geodätische Abbildung einer reellen

oder imaginären Fläche. In einer schönen Abhandlung der Annali di Matematica, Serie II, t. 3, beschäftigt sich D in i, wie schon bemerkt, mit der allgemeinsten Bestimmung zweier Flächen, die sich derart auf einander abbilden lassen, daß zu einem gegebenen Punkte der einen Fläche ein Punkt oder einige Punkte der andern Fläche zugeordnet sind, und dabei den geodätischen Kurven der ersten Fläche ebensolche Kurven der zweiten Fläche entsprechen. Zwei solche Flächen, sagt D in i, sind g e o d ä t i s c h auf ein ander abgebildet. Verlangt man mit D in i sowohl, daß die betreffenden Flächen reell sind, wie daß sich die Abbildung durch reelle Gleichungen zwischen den Cartesischen Punktkoordinaten der beiden Flächen ausdrücken lassen soll, so geben Dini s Entwickelungen die allgemeinste Erledigung des gestellten Problems. Läßt man dagegen alle Beschränkungen hinsichtlich der Realität fallen, so erhält. man, wie ich in dieser Note zeigen werde, noch weitere Resultate. 32. D ini nimmt seinen Ausgangspunkt in dem folgenden von Ti s so t herrührenden Satze: Sind zwei reelle Flächen durch eine ganz beliebige reelle Punkttransformation auf einander abgebildet, so gibt es immer auf der einen Fläche ein Orthogonalsystem von Kurven, deren entsprechende Kurven auf der andern Fläche ebenfalls ein Orthogonalsystem bilden. Um einen naturgemäßen Ausgangspunkt für die Erledigung unserer allgemeineren Fragestellung zu gewinnen, werden wir zunächst die Beschränkungen suchen, unter denen sich Ti s so t s Satz auf imaginäre Flächen ausdehnen läßt. Wir wollen annehmen, daß zwei Strahlenbüschel (t) und (-r) projektiv auf einander bezogen sind, und daß dabei t und -r: entsprechende Gerade sind. Wir setzen ausdrücklich voraus, daß die Ebenen dieser Strahlenbüschel den Kugelkreis nicht berühren, daß vielmehr jede ihn in verschiedenen Punkten schneidet. Seien m 1 und m2 die beiden getrennten Geraden des ersten Büschels, die den Kugelkreis sclineiden, und seien m1' und m2' diejenigen Geraden desselben Büschels, deren entsprechende Gerade µ,i', µ, 2' im zweiten Büschel den Kugelkreis schneiden. Setze ich nun zuerst voraus, daß weder m1 noch m2 mit m1 ' oder m2' zusammenfällt, so gibt es immer im ,ersten Büschel ein u n d n u r ein Ger ad e n p a a r t1 u n d t2 , das sowohl hinsichtich m1 m2., wie hinsichtlich m/rn 2' [420

336

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

harmonische Lage besitzt. Daß aber t1 und t2 hinsichtlich m1 m 2 harmonisch liegen, heißt eben, daß t1 und t2 senkrecht auf einander stehen. Und daß t 1 und t2 hinsichtlich mi' m 2 ' harmonisch liegen, besagt ebenfalls, daß die beiden ti und t 2 zugeordneten Geraden -r1 und -r2 senkrecht auf einander stehen. Wenn daher zwei Strahlenbüschel projektiv auf einander bezogen sind, und dabei diejenigen Geraden des einen Büschels, die den Kugelkreis schneiden, solchen Geraden des zweiten Büschels zugeordnet sind, welche den Kugelk reis nicht s c h neiden, s o gib t e s in j e dem B ü s c h e 1 ein und nur ein Paar getrennter und senkrechter Geraden, deren entsprechende Gerade ebenfalls senkrecht auf einander stehen. Wir wollen ferner, indem wir die oben eingeführten Bezeichnungen m1 , m2, m1 ', m2', µ,1', µ, 2' festhalten, annehmen, daß m1 mit m1' zusammenfällt, während m2 und ~' verschiedene Gerade sind. Sollen jetzt zwei Gerade t 1 und t2 sowohl hinsichtlich m1 m2 , wie hinsichtlich m1 ' m2' harmonisch liegen, so müssen t1 und t2 mit einander und gleichzeitig mit m1 zusammenfallen. Sind daher zwei Strahlenbüschel projektiv auf einander bezogen, und ist dabei die eine und nur die eine Gerade des ~rsten Büschels, die den Kugelkreis schneidet, einer Geraden des zweiten Büschels zugeordnet, die ebenfalls den Kugelkreis schneidet, so gibt es im ersten Büschel keine zwei getrennten und senkrechten Geraden, deren entsprechende Gerade im zweiten Büschel senkrecht auf einander stehen. Fällt endlich m1 mit mi' und gleichzeitig m 2 mit m2 ' zusammen, so liefert j e des Paar senkrechter Geraden im ersten Büschel zwei orthogonale Gerade. im zweiten Büschel.

33. Die vorangehenden Entwickelungen zeigen fast unmittelbar, unter welchen Beschränkungen sich Ti s so t s Satz auf die allgemeinste analytische Abbildung zweier reeller oder imaginärer l 1lächen ausdehnen läßt. Zieht man nämlich alle Tangenten in einem willkürlichen Punkte der einen Fläche, und ebenso alle Tangenten in dem zugeordneten Punkte der andern Fläche, so erhält man zwei Strahlenbüschel, deren Gerade durch die Abbildung notwendig projektiv auf einander bezogen sind. Es sind hierbei drei wesentlich verschiedene Fälle denkbar, jenach. . dem die auf unseren Flächen gelegenen Kurven, deren Bogenlänge gleich

Note 1. Nr. 32, 33. Vervollständigung des Ti s so t sehen Satzes

337

Null ist (die sogenannten Minimalkurven) bei der Transformation in ebensolche Kurven übergeführt werden oder nicht. Jede Fläche enthält zwei Scharen Minimalkurven. Gehen bei der Transformation beide Scharen Minimalkurven der einen Fläche in Kurven der andern Fläche über, deren Bogenlänge von Null verschieden ist, so gibt es nach dem Vorangehenden in jedem Pun.kte der ersten Fläche zwei und nur izwei verschiedene und [auf einanderJ senkrechte Fortschreitungsrichtungen, denen auf der [421 zweiten Fläche ebenfalls senkrechte Fortschreitungsrichtungen zugeordnet sind. Wenn daher zwei Flächen in solcherWeiseaufeinander abgebildet sind, daß den beiden Scharen Minimalkurven der einen Fläche auf der anderen Fläche Kurven zugeordnet sind, deren Bogenlänge von Null verschieden ist, so gibt es auf der ersten Fläche immer zwei (und nie mehr) Scharen von Kurven, die einander orthogonal schneiden, und deren zugeordnete Kurvene b enfall sein Orthogonal system bilden. Setzen wir sodann voraus, daß bei der gegenseitigen Abbildung zweier Flächen die eine und nur die eine Schar Minimalkurven der einen Fläche ebensolchen Kurven der andern Fläche zugeordnet ist, so gibt es nach dem Vorangehenden in einem willkürlichen Punkte der einen Fläche keine zwei distinkten orthogonalen Fortschreitungsrichtungen, denen auf der andern Fläche orthogonale Fortschreitungsrichtungen zugeordnet sind. Geht daher die eine und nur die eine Schar von Minimalkurven bei der AbbUdung in ebensolche Kurven über, so gibt es auf keiner der beiden Flächen ein Paar von Kurven scharen, deren einzelne Kurven einander orthogonal schneiden, während die zugeordneten Kurven ebenfalls ein O r t h o g o n a 1 s y s t e m bilden.

In diesem Falle bleibt also Ti s so t s Satz 1) nicht mehr gültig. Dieser Ausnahmefall kann offenbar auch eintreten, wenn die beiden Flächen reell sind, vorausgesetzt, daß die Abbildung durch imaginäre Relationen zwischen den Cartesischen Punktkoordinaten der betreffenden Flächen vermittelt wird. Sind endlich zwei Flächen in solcher Weise auf einander abgebildet, daß beiden Scharen Minimalkurven der einen Fläche ebensolche Kurven der andern Fläche entsprechen, so ist die betreffende Abbildung bekannt1) Ich kann nicht bezweifeln, daß die im Texte angegebene Beschränkung in T i s s o t s Abhandlung, die ich nicht kenne, berücksichtigt worden ist. Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. Il,1 22

338

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

lieh konform, und daher liefert j e d es Orthogonalsystem der einen Fläche ein ebensolches Kurvensystem auf der andern Fläche.

34. Nach diesen Vorbereitungen können wir unser Problem angreifen. Ich will zunächst annehmen, daß zwei Flächen in solcher W eise geodätisch auf einander abgebildet sind, daß es möglich ist, auf der einen Fläche zwei Scharen orthogonaler Kurven anzugeben, deren Bildkurven auf der andern Fläche ebenfalls ein Orthogonalsystem bilden. In diesem Falle führt die von Dini (Annali di mat. Ser. II, t. III, S. 276-279) entwickelte Methode zum Ziele. Reproduziert man seine Entwickelungen und Rechnungen (S. 276-279 seiner Abhandlung), indem man nur diejenigen Betrachtungen wegläßt, in denen Beschränkungen hinsichtlich der [422 Realität implizite enthalten sind, so erhält man den folgenden Satz: Satz 20. Sind zwei Flächen ge o dätis eh auf einander abgebildet, und gibt es dabei auf der einen Fläche ein und nur ein System orthogonaler Kurven, deren entsprechende Kurven ebenfalls ein Orthogonalsystem bilden, so ist es immer möglich, das Bogenelement der einen Fläche auf die Form: ds 2 = { D(u)- V(v)} (U1 (ii)du 2 + V1 (v)dv 2) 1 ) und gleichzeitig das Bogenelement der andern Fläche auf die Form: 1 1 ) ( U1 d 2+ V1 d 2) ( aV

+b -

a U+ b

a(aU

+ b)

U

a(aV

+ b)

V

zu briRgen. Dabei sind U(u), U1 (u), V(v), V1 (v) arbiträre Funktionen ihrer Argumente, während a und b beliebige Konstanten b e z eich n e n. Wünscht man, alle Flächen zu finden, auf denen sich efae vorgelegte Fläche vermöge dieses Satzes geodätisch abbilden läßt, so muß man zunächst das Bogenelement der gegebenen Fläche in a 11 gemeinster Weise auf die Form: (U(u) - V(v)) (U1 (u) du 2

+ V1 (v) dv 2)

bringen; sodann gibt D in i s Satz die Form des Bogenelementes der gesuchten Flächen. Ich führe später die Anwendung dieser Theorie auf ein interessantes Beispiel vollständig durch. 1) Man kann im Texte ohne wesentliche Beschränkung U1 = 1, V1 = 1 setzen. Die betreffenden Flächen lassen sich übrigens auch dadurch charakterisieren, daß ihr Bogenelement die Form:

erhalten kann.

ds 2 = [-ip(x

+ y) + 2-P'(x -y)J dx dy

Note 1. Nr. 33-35. Das allgemeine Problem der geodät. Abbildung

339

35. Ich suche jetzt die allgemeinste geodätische .Abbildung einer vorgelegten Fläche, bei der ihre Minimalkurven der einen Schar in Minimalkurven der neuen Fläche übergehen, während sich die Minimalkurven der zweiten Schar in geodätische Kurven umwandeln, deren Bogenlänge von Null verschieden ist. Ist das Bogenelement der gegebenen Fläche auf die Form: d s2 = 2 F (x, y) d x d y

(55)

gebracht, und ordne ich dabei jedem Punkte der neuen Fläche diejenigen Koordinatenwerte x, y zu, welche dem entsprechenden Punkte der vorgelegten Fläche zukommen, sodaß die .Abbildung durch die Gleichungen: X= x,

Y= Y

vermittelt wird, so kann ich annehmen, daß das Bogenelement der neuen Fläche die Form: (56) ds? = Edx2 + 2Fdxdy besitzt. Die eine Schar von Minimalkurven wird auf jeder Fläche be- [423 stimmt durch die Gleichung dx = 0; die zweite Schar Minimalkurven wird für die erste Fläche durch dy = O, dagegen für die ·zweite Fläche durch die Differentialgleichung E dx + 2 F dy = 0 bestimmt. Da die geodätischen Kurven beider Flächen durch die s e 1b e Relation zwischen x und y bestimmt werden sollen, so müssen die Differentialgleichungen der geodätischen Kurven unserer beiden Flächen identisch sein. Die Differentialgleichung der geodätischen Kurvsn der Fläche (56) hat nach Gau ß die Form: dEd 2 dx X

+ 2 dFd d = dx X Y

Fdy 2 d 8 • dEdx+ ds '

woraus durch Entwickelung die Gleichung:

2F2 Y"+ 2FdF '2 dy Y

+ (3FdE dy

2FdF) dx Y

'+

+ (EdF}_ _ dy

2EdF + F dx

dE) = Ö

dx

hervorgeht. Dementsprechend bestimmt die Differentialgleichung:

2 F 2 Y "+ 2 F dy dF ' 2 - 2 F dF '= 0 Y dx'Y die geodätischen Kurven der Fläche (55). Und da unsere beiden Differentialgleichungen identisch sein sollen, so findet das vorliegende Problem 22*

340

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

· seinen analytischen Ausdruck in den Relationen:

(57)

dlogF dy

==

{

E dE _ 2 E dF + FdE = O

dlogF dy '

_!_ F

dx

dy

(g dE _ dy

2 dF) dx

=_

dx

'

~ dF F dx'

die wir jetzt integrieren werden. Die erste Gleichung zeigt, daß F die Form:

F= l:!1. X(x) besitzt. Hierdurch nimmt die letzte Gleichung (57) die Form an:

3

dE_ dy

= 2F dX. dx

Um die Formeln zu vereinfachen, führen wir die Größe X (x) als neues x ein. Dann wird:

F=xF, und die zweite Gleichung (57) liefert die partielle Differentialgleichung: dE

- 2E dy

3

dE dE

+ 2x dx 'dy -

d2 E

3xE dxdy]

= 0,

die durch die Substitution: [424

die einfachere Form:

~ - dE dE =Ü 2E dxdy dx dy annimmt. Also ist:

wo X 1 eine arbiträre Funktion von x, Y1 eine arbiträre Funktion von y bezeichnet. Durch Substitution kommt: 4

E= x- 3 (X1

+

4

F= 3x- 3 (X1

Y1)2, 1

F= 3x- 3 (X1

+

Y1) Y 1',

+ Y1) Y1',

wo Y1' wie gewöhnlich die derivierte Funktion von Y1 (y) hinsichtlich y bezeichnet.

Note 1. Nr. 35. Das allgemeine Problem der geodät. Abbildung

341

Die Bogenelemente unserer beiden zusammengehörigen Flächen besitzen somit die Formen: 4

ds1 2 = x - 3 (X1

+ Y1)

1

2

dx 2 + 6x- 3 (X1 + Y1) Y1' dx dy, 4

ds2

6x - 3 (X1

=

+

Y1) Y1' dx dy. 1

Durch Einführung von Y1 als neuem y und von - x - 3 als neuem x und durch Weglassung eines unwesentlichen konstanten Faktors erhalten wir daher die allgemeine Erledigung des vorliegenden Problems in folgendem Satze:

Satz 21. Sollen sich zwei Flächen in solcher Weise geodätisch auf einander abbilden lassen, daß die eine und nur die eine Schar von Minimalkurven der einen Fläche einer Minimalkurvenschar auf der andern Fläche entspricht, so kann das Bogenelement der einen Fläche die Form: ds2

= (y + X(x))dxdy

und gleichzeitig das Bogenelement der andern Fläche die Form: erhalten. Man sieht, daß die hiermit gefundene allgemeine Flächenkategorie meine sogenannte zweite Flächenklasse als speziellen Fall umfaßt. Kann das Bogenelement einer r e e 11 e n Fläche die Form: ds 2

= (y + X)dxdy

erhalten, so muß dasselbe auch die Form:

ds 2

= (x' + 1/J(y')) dx' dy'

[425

annehmen können. Setzt man daher:

Y= Y(y'), so werden die betreffenden Flächen bestimmt durch die Bedingungsgleichung:

(Y+ X) Y' X1 = x' + 1/J(y'), die durch Differentiation nach x' die äquivalente Relation:

YY'X1 '+ Y'(XXi)'= 1

342

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

liefert. Gibt man hier der Größe x' sukzessiv verschiedene konstante Werte, so darf man nur eine Relation von der Form:

aYY'+ bY' = 1 erhalten, weil Y nicht konstant sein kann. Daher findet man zur Bestimmung der drei unbekannten Funktionen Y, X, X 1 die einfachen Gleichungen:

X/=a,

(XXi)'= b, aYY'+ bY'= .1,

die durch Integration:

X 1 =ax'+c,

XX1 =bx'+d,

aY2+2bY=2y'+k

geben, wobei a, b, c, d und k arbiträre Konstanten sind. Hier treten zwei wesentlich verschiedene Fälle auf, jenachdem a gleich Null oder von Null verschieden ist. In dieser W eise erhalten wir den Satz:

Satz 22. S o 11 das B o gen e 1e m e n t : ds 2 = (y

+ X(x)) dx dy

durch Ein führ u n g neuer V a r i ab e 1n x', y', b e s tim m t durch y = Y(y'), x = F(x'), die Form:

ds 2 = (x' + 'IJ)(y')) dx' dy' erhalten können, so sind zwei wesentlich verschiedene Fälle möglich; es kann nämlich t/J entweder gleich by' oder gleich b: Y? gesetzt werden. Die beiden soeben gefundenen Flächenfamilien haben schon in den vorangehenden Untersuchungen eine wichtige Rolle gespielt. Wir wissen, daß jedes unter den betreffenden Bogenelementen auf die Form:

t/J(x + y)

+ "P'(x-y)

gebracht werden kann. Und also können wir durch Verknüpfung der vorangehenden Entwickelungen den folgenden Satz aussprechen:

Satz 22*. Ge s t a tt et eine reelle F 1ä c h e eine g e o d ä t i s c h e Abbildung auf Flächen, auf welche sie nicht abwickelbar ist, so kann ihr Bogenelement sicher die Form: d s2

= (t/J (x + y)

+ W (x -

y)) d x d y

[426

erhalten; dabei wird die betreffende Abbildung im allgemeinen durch Dinis Formel geliefert. Wenn j edo eh das betreffende Bogenelement die Form:

ds 2 = {(x

+ y)

2

-

(

x - y) 2 + 1 } dx dy,

Note 1. Nr. 35, 36. Geodätische Abbildungen

343

oder auch die Form:

ds 2 = {a(x

+ y) + b(x-y)} dxdy

erhalten kann, so gestattet die betreffende Fläche nicht b 1o ß s o 1 c h e g e o d ä t i s c h e A b b il dun gen, d i e du r c h Dinis F o r m.e 1 g e li e f er t wer d e n, s o n der n n o c h weit er e g e o d ä t i s c h e Ab b il dun g e n, die s ich i n de s nie durch reelle Re 1 a t i o n e n zwischen den betreffenden Punktkoordinaten ausdrücken lassen. 36. Zur Illustration der vorangehenden Theorien werden wir die allgemeinste geodätische Abbildung der wichtigen Flächenfamilie:

ds 2 = (y' + x') dx' dy' bestimmen. Wir setzen y' = Y(y), x' = X(x) und verlangen, daß die Relation:

(Y+ X) Y'X' = 1/J(x + y) + 'P'(x-y) in allgemeinster W eise befriedigt werden soll. Dies gibt die Bedingungsgleichung: YY'X"' + Y'(XX')"- (YY')"X' - Y'"XX' = O, oder die ·äquivalente: (58)

(XX')" -y,-

X"' + y, Y-

(YY')" ~-

Y"'

Y' X = 0,

und durch zweimalige Differentiation hinsichtlich X: _!:_((XX')") dX 2

X'

= + ~(X"'·) dX X' Y 2

O·

Da Y keine Konstante und noch weniger eine Funktion von x sein darf, so wird: ~((XX')")= 2 2 dX

~(E~)= X' O,

O, dX

X'

und: (XX')" -X,-= ao

(59)

{

+ boX,

X"'

y,=a1 +b1X,

wo a0 , a1 , b0 , b1 konstant sind. Durch Einsetzung dieser Werte in (58) erhält man die analogen Gleichungen: (YY')" _

+ a1Y -_ Y"' y, =b0 + b1 Y,

~-,- - ao (60)

{

YY"'

+Y'3 Y'Y" '

[427

344

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

die zusammen mit (59) die unbekannten Funktionen X und Y vollständig bestimmen. Durch Elimination von Y'" kommt:

und durch Differentiation hinsichtlich y:

und endlich durch Vergleichung mit (60): a1

= 4b0 ,

b1

=

0.

Durch analoge Behandlung der Gleichungen (59) ergibt sich, daß

b0

=

4a1 ,

b1

=

0

wird, was wieder heißt, daß:

b0 = a1 = b1 = 0 ist. Also wird:

3X" = a0

3 Y"= a0 , und:

Y=

(61)

-¼a0 y2 + ßy + Y,

X=

¼a0 x2 + ox + E,

wo ein wesentlicher Unterschied eintritt, jenachdem a0 gleich Null oder von Null verschieden ist. Ist a0 von Null verschieden, so können wir ohne wesentliche Beschränkung a0 = 6, ß= o= 0 setzen, sodaß unser Bogenelement die Form:

ds 2 = 4(y2 + x 2

+ r + E)xydxdy,

oder durch W egwerfung eines unwesentlichen Faktors die äquivalente Gestalt:

ds 2

= {(x + y)4 + M (x + y)2 -

(

x - y)4

-

M( x - y)2 } dx dy

annimmt. Setzen wir hier:

x+y_;.u, so wird:

ds 2 = ¼(u4

+ M·u 2 -

x-y=v, v4

-

Mv 2 )(du2 -

dv 2),

und also lehrt D in i s Satz (20), daß sich unsere Flächen geodätisch abbilden lassen auf jeder Fl~che, deren Bogenelement die Form: 2

_ 1 }{ du _ _ dv2 } (62) ds2-{-4 ___ 1 2 - u +Mu +K v4 +Mv2+K u 4 +Mu2+K v'+Mv 2 +K

Note 1. Nr. 36. Geodät. Abbildungen von ds 2 = (x

+ y) dx dy

345

besitzt. Wir bemerken beiläufig, daß sich dieses neue Bogenelement [428 durch Einführung der elliptischen Funktionen wesentlich vereinfachen läßt.1 ) Der einfachste Fall ist, daß die Größe u4 + M u2 + J( ein vollständiges Quadrat: u4 + Mu2 + J( = (u2 + a2)2 ist. Setzen wfr in diesem Falle:

so können wir, wenn a von Null verschieden ist, ohne Beschränkung: U

arc tg -- = au1 , a

V

arc tg- = av1 a

annehmen; und folglich wird: (cos4 au1 - cos4 av1)(dui2- dvi2), oder: oder endlich:

sin x1 sin y1 (1 + cos x1 cos y1) dx1 dy1

das entsprechende Bogenelement. Dasselbe erhält bei der Substitution cos x1 = x", cos y1 = y'' die Form:

(1 + x" y") dx" dy", die wir früher so oft angetroffen haben. Flächen mit dem Bogenelemente ds 2 = (x+y) dxdy lassen sich daher geodätisch abbilden auf einer jeden Fläche, deren Bogenelement die Fo1·m ds 2 = (xy + 1)dxdy besitzt. Jetzt müssen wir annehmen, daß in der Formel (61) die Größe a0 verschwindet. Das vorgelegte Bogenelement ds 2 = (y' + x') dx' dy' erhält unter dieser Voraussetzung die Form:

[a(x

+ y)- b(x -y) + c]dxdy,

1) Es ist selbstverständlich, daß die durch die Formel (62) definierten Flächen drei unabhängige infinitesimale Transformationen ihrer geodätischen Kurven gestatten, und ich ver m u t e , daß diese sämtlichen Transformationen für allgemeine Werte der Konstanten M und K meiner dritten Klasse angehören. Ist diese Vermutung richtig, so definiert die zitierte Formel eine neue sehr bemerkenswerte Flächenfamilie.

346

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

oder, da die Größe c ohne Beschränkung gleich Null gesetzt werden kann, die einfachere Form: [a(x + y)- b(x - y)] dx dy, die wir auch folgenderrnaßen schreiben können: (au - bv) (du2

dv 2).

-

Die betreffenden Flächen lassen sich nach D in i s Satze geodätisch abbilden auf jede Fläche, deren Bogenelement die Form: ( au

1

1

+s -

bv

) (

+s

2

2

du au+

L429

dv 8 -

bv

+8

)

besitzt. Setzen wir hier:

so erkennen wir, daß unser neues Bogenelement auch die Gestalt: 1 a2

1

)

b2 ~ { - - - - - dxd (x+y)2 (x-y)2f Y

erhalten kann. Die Flächen mit dem B ogenele rn ente: ds 2 = (y' + x') dx' dy' lassen sich daher geodätisch abbilden auf alle Flächen, deren Bogenelement die Form erhalten kann: ds

2

= {(x: y) 2 + (x !!_ y) 2 } dx dy,

wo A. und B Konstanten sind.

37. Hiermit kennen wir die allgemeinste geodätische Abbildung einer Fläche mit dem Bogenelemente ds2 = (y + x) dx dy, die sich aus Dinis Untersuchungen herleiten läßt. Es bleiben noch diejenigen weiteren Abbildungen zu untersuchen, die durch meinen Satz 21 geleistet werden. Wir müssen zuerst das Bogenelement ds 2 = (y' + x') dx' dy' in allgemeinster Weise durch die Substitution y' = Y(y), x' = X(x) auf die Form ds2 = (y + X 1) dx dy bringen. Unsere Forderung wird durch die Bedingungsgleichung: (Y+ X) Y'X' = y + X1 (x) oder durch die äquivalente Gleichung:

(YY')'X' + Y"XX' = 1

Note 1. Nr. 36, 37. Geodät. Abbildungen von ds 2 = (x

+ y) dxdy

34 7

ausgedrückt. Geben wir hier der Größe y sukzessiv verschiedene konstante Werte, so dürfen wir, wie vorhin, nur eine Relation von der Form:

aX'+ bXX'= 1 erhalten. .Also wird:

(YY')' = a,

Y"= b,

sodaß Y die Form cy + d besitzt, während b gleich Null, X'= 1 : a wird. Wir müssen daher den Satz 21 auf das Bogenelement:

ds 2

= (y + Ax + B) d x dy =

(y

+ X) d x d y

anwenden, und erhalten hierdurch das neue Bogenelement:

ds? = ½x- 4 (y

+ Ax + B)

2

dx2 - x- 3 (y

+ Ax + B) dx dy.

Um dasselbe auf die Form 2Fdx' dy' zu bringen, bemerken wir, daß die Differentialgleichung:

[430

y+Ax+B-2x!~=0 das Integral: Y

-.;--

B

-=-Arx+-=-=11

-Vx

-Vx

besitzt, und daß infolgedessen:

wird. Flächen mit dem Bogenelemente: ds 2 = (x + y) dx dy lassen sich daher auch in solcher Weise auf eine ·Fläc·he mit dem B o gen e 1e m e n t e: ds' 2 = (x' y' + 1) d x' d y' [g e o d ä t i s c h J ab b i 1d e n, daß die Minimalkurven der einen Schar der vorgelegten Fläche in Minimalkurven der neuen Fläche übergehen. Hiermit ist die allgemeinste geodätische .Abbildung einer Fläche mit dem Bogenelemente ds 2 = (y+ x) dx dy bestimmt. Gleichzeitig finden wir unter anderm die allgemeinste geodätische .Abbildung aller Flächen, deren Bogenelement entweder die Form ds 2 = (xy + 1) dx dy, oder die Form:

besitzt.

348

IV. Untersuchungen über geodätische Kurven. Ann. XX, 1882

38. Wenn man eine vorgelegte Fläche der dritten Klasse:

durch D in i s Transformation in eine neue Fläche überführt, so kann man immer aus den bekannten infinitesimalen Transformationen der geodätischen Kurven der ersten Fläche die entsprechenden infinitesimalen Transformationen der neuen Fläche herleiten. W endet man diese Bemerkung auf die Fläche ew = x + my mit ihren drei bekannten infinitesimalen Transformationen an, so findet man unter anderm, daß die Fläche:

=

eW

l(tn

+ 1) 1(X + y) 2

1

(m-1) 2 (x-y)2

2

die drei infinitesimalen Transformationen: 2

Bif=

2(m ~/~y~4my : ~ - 4mx:2 2~m;2+1)y :;,

B2 f =

x 3 y(2mx xz -

Bsf =

+ (1 + m )_y)

df X dx

2

y2

+

xy 3 (2my (m 2 xz - yz

df dx -

+ 1) x)

df dy ,

df

+ Y dy

besitzt. .A.uf dieser Fläche gibt es somit zwei unabhängige infinitesi- [431 male Transformationen der dritten Klasse, nämlich:

Bd=

df ~1dx

df

+ 'YJ1 dy'

Bilden wir nun den Ausdruck a1 Bif + a 2 Bd und lassen dabei a 1 und a 2 willkürliche Konstanten bezeichnen, so können wir unser Bogenelement nach den Regeln des vierten Paragraphen in unendlich vielen Weisen y) - ,P''(x - y) bringen. Wir werden diese auf die Form e"' = cp"(x recht interessante Rechnung andeuten. Durch Ausführung erhalten wir die beiden Relationen:

+

+

= b + cx4

+

= b + C"A

d(a1~1 a2~2) e-w dy d(a1111 a2112) e-w dx

'

9,

in denen b und c gewisse Konstanten bezeichnen. Setzen wir sodann: d ,, _ X

-

dx

Jlb+cx 4 '

d "=

Y

dy

Vb+cy''

Note 1, 2. Nr. 38, 39. Geodätische Abbildungen

349

so muß unser Bogenelement in de.n neuen Variabeln x", y" immer die Form + y") + "P'(x" - y") erhalten. Ich überlasse dem Leser, die hierzu erforderlichen Rechnungen mit Hilfe der elliptischen Funktionen wirklich durchzuführen. Hier bemerke ich noch ausdrücklich, daß in § 7 das Bogenelement aller Flächen bestimmt wurde, welche sowohl vermöge des Satzes 20, wie vermöge des Satzes21.geodätisch abgebildet werden können. In§ 6 bestimmte ich alle Flächen, deren Bogenelement die Form: ds 2 = ea"' 2, so könne1i wir ohne weiteres aki gleich Null setzen, weil dann der Zahl k gegenüber keine andere Zahl i ausgezeichnet ist. Ist andererseits n = 2, so haben wir nur die fünf infinitesimalen Transformationen: P1

+ «1282,

P2

+ «21Si,

X1P1 -

X2JJ2,

X1P2,

durch Kombination der beiden ersten kommt: S daraus, daß die Transformation die durch den Koordinatenanfang gehenden Geraden alle in Ruhe läßt; man kann es übrigens leicht durch Rechnung bestätigen.

Nr. 44-48. Die allgemeine lineare Gruppe

411 4:6. In den jetzt eingeführten neuen Veränderlichen bleibt die Form der übrigen infinitesimalen Transformationen im wesentlichen ungeändert. Die infinitesimalen Transformationen unserer Gruppe haben somit jetzt die Form: § 8.

1. .. n

Xi Pi -

XkPk

+~ (X,iki Si'

(319

j

1. .. n

xipk

+ ~ ßik;s1, j

X1P1

+ ••• + XnPn=

U.

Kombiniert man aber U mit den übrigen infinitesimalen Transformationen erster Ordnung, und beachtet man, daß infinitesimale Transformationen zweiter Ordnung nicht vorkommen dürfen, so übersieht man ohne weiteres, daß: ist.

4: 7. Es bleibt noch übrig, die infinitesimalen Transformationen nullter Ordnung zu bestimmen. Ist: 1 ... n

Pk

1 ... n

+~(tkijXiJJr+ .25/:Jkisi ij i

eine solche, so kann man zunächst ohne Beschränkung alle Null setzen. Nun aber ist:

akii

gleich

und also müssen auch alle ßk 1 gleich Null sein. Hiermit haben unsere infinitesimalen Transformationen die Form:

erhalten, und es ist daher unser Satz bewiesen.

4:8. Satz 15. Ist eine projektive Gruppe mit der Gruppe aller Ähnlichkeitstransformationen ähnlich, so ist sie mit d i e s er inner h a 1b de r a 11 g e m e.i n e n p r o j e kt i v e n Grupp e g 1e i c h b e r e c h t i g t. Ist eine projektive Gruppe mit der Gruppe aller Ähnlichkeitstransformationen ähnlich, so erhält sie, wenn wir wiederum die Bezeichnung: 1 ... n

X1~XiPi= i

S;

412

VI. Über die Grundlagen der Geometrie. I. Abh. Leipz. Ber. 1890

benutzen:

f320

n+½n(n--1)+1 infinitesimale Transformationen, welche die Form: 1. .. n

Pk+ ~ak,S1, j

1 ... n

XiPk - XkPi +~ ßikj s,' j

1 ... n

X1P1

+ •'' +

XnPn

+ ~ ck sk = U k

besitzen. Dabei können wir, wie wir schon früher gesehen haben, ohne Beschränkung annehmen, daß alle ck = 0 sind. Sodann ergibt sich durch Kombination:

(x,p, - x.p, +'-:flß,.1 S,, ~ x,p.) ~ - '.:jt /J,., 8

f

1 ... n (

Pk+

akjS;,

)

1,

1 ... n

~xkpk = Pk--/ak 1S 1,

sodaß alle ak 1 und alle ßiki gleich Null sind. Unser Satz ist hiermit erwiesen.

4:9. Satz 16. Die kontinuierliche projektive Gruppe einer Fläche zweiten Grades mit ni eh t id en ti s eh v ers eh windend er Determinante ist in kein er grö ß er en kontinuierlichen Untergruppe der allgemeinen projektiven Gruppe enthalten. Wir zeigen, daß, wenn dieser Satz für den Rn_ 1 gilt, er auch-für den n-fach ausgedehnten Raum Rn gültig ist. Gesetzt, daß unser Satz für den Rn-i erwiesen ist. Wir betrachten im Rn die Gruppe G einer F 2 , und setzen voraus, daß dieselbe in einer größeren Untergruppe I' der allgemeinen projektiven Gruppe enthalten ist. Halten wir nun einen Punkt von allgemeiner Lage fest, so werden die Transformationen der Gruppe G, welche diesen Punkt in Ruhe lassen, den Raum der hindurchgehenden oon- 1 Richtungen durch eine projektive Gruppe g transformieren. Ebenso transformiert die Gruppe I' die be- [321 sprochenen Richtungen durch eine projektive Gruppe y. Dabei ist klar, daß die Gruppe g entweder in der Gruppe r enthalten oder mit dieser identisch ist.

§ 8. Nr. 48, 49. Die kontinuierliche proj. Gruppe einer F 2

413

Wäre g als Untergruppe in r enthalten, so wäre y nach unserer Voraussetzung die allgemeine projektive Gruppe des (n-1 )-fach ausgedehnten Raumes der besprochenen Richtungen; und dann wäre nach einem bekannten Satze von mir die· Gruppe I' entweder die allgemeine projektive Gruppe, oder sie wäre mit der allgemeinen linearen oder der speziellen linearen Gruppe des n-fach ausgedehnten Raumes Xi, ••• , Xn ähnlich, und das sogar durch eine projektive Transformation. Nun aber läßt die allgemeine Gruppe G einer Fläche zweiten . Grades keine Ebene invariant; daher ist sie weder· in der speziellen noch in der allgemeinen linearen Gruppe enthalten. Die Annahme, daß g als Untergruppe in y enthalten ist, führt also dazu, daß I' die allgemeine projektive Gruppe des Raumes Xi, ••• , Xn ist. Betrachten wir jetzt die Annahme, daß g und r identisch sind. Alsdann ist die Gruppe I' ähnlich entweder mit der Gruppe aller Ähnlichkeitstransformationen, oder mit der Gruppe der reziproken· Radien. Das letzte ist ausgeschlossen durch den Satz 12, S. 313 [hier S. 406]. Es bleibt also nur die Frage übrig, ob I' mit der Gruppe aller Ähn'lichkeitstransformationen ähnlich sein kann. Daß dies unmöglich ist, folgt leicht daraus, daß jede mit der Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen ähnliche projektive Gruppe mit ihr innerhalb der allgemeinen projektiven Gruppe gleichberechtigt ist. In der Tat, die Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen, sowie jede mit ihr innerhalb der allgemeinen projektiven Gruppe gleichberechtigte Gruppe läßt eine ebene Mannigfaltigkeit: Ci Xi

+ •••+ CnXn + C =

Ü

invariant; die Gruppe einer Fläche zweiten Grades dagegen läßt keine solche ebene Mannigfaltigkeit invariant; · die letztere Gruppe kann daher in keiner Gruppe enthalten sein, welche eine ebene Mannigfaltigkeit invariant läßt.

Vll. Über die Grundlagen der Geometrie. II. Abhandlung. Laoö Leipz. Ber. 1890; Heft III, abgeliefert 26. 2. 1891, S. 865-418. Vorgelegt in der Sitzung vom 20. 10. 1890.

1. Nach dem Vorgange von Riemann und Herrn v. Helmhol tz habe ich versucht, die Axiome, welche der Geometrie zu Grunde liegen, auf ein Minimum zurückzuführen. Ich habe mich dabei auf die Seiten dieses allgemeinen Problems beschränkt, welche, wie mir scheint, bisher nur unvollkommen behandelt worden sind. Eine kurze Zusammenfassung meiner wichtigsten Resultate gab ich schon im Jahre 1886 in diesen Berichten in der Note: Bemerkungen zu v.HelmholtzsArbeit: Über die Tat s ach e n, die der Ge o m et r i e zu Grund e liegen. [Hier Abh. V.] In einer Abhandlung, die vor kurzem in diesen Berichten erschienen ist, entwickelte ich sodann eine ausführliche Begründung einiger neuer Resultate, die sich durch besondere Einfachheit und Schönheit auszeichnen. In der nachstehenden Arbeit gebe ich nunmehr eine vollständige Darstellung meiner übrigen Untersuchungen auf diesem Gebiete. Ich glaube durch dieselben die älteren Untersuchungen von Herrn v. He 1m h o 1t z und von, Riemann ·Wesentlich vervollständigt und verbessert zu .haben. Zu bemerken ist hierbei, daß ich mich in der vorliegenden Arbeit, im ·Gegensatze zu der vorigen, auf den dreifach ausgedehnten Raum beschränke. Ich bezweifle nicht, daß sich die hier abgeleiteten Resultate auf n-dimensionale Räume übertragen lassen. Es ist mir aber nicht gelungen, die Übertragung durchzuführen. Diese verlangt, wie es scheint, wesentlich andere Methoden, als von mir im folgenden benutzt worden sind. 2. In neuerer Zeit hat sich Herr Po in ca r e mit ähnlichen Unter- [ 356 suchung.en beschäftigt, leider ohne die einschlagende Literatur vollkommen zu kennen. Es ist mir aber eine Befriedigung gewesen, daß auch dieser große Mathematiker in seiner interessanten Note meine Theorie der Transformationsgruppen zum Ausgangspunkte genommen hat. Unter diesen Umständen ist zu hoffen, daß die Bedeutung der Gruppentheorie für die

Nr. 1, 2, Vorbemerkungen

41~

Grundlagen der Geometrie in künftigen Untersuchungen gebührend berücksichtigt werden wird. Herr P o in ca r e hat in anderen Arbeiten die Bedeutung der Gruppentheorie für die Theorie der komplexen Zahlen klargestellt. Diese seine Bemerkung hat in neuerer Zeit die Herren .Schur, St u d y und Sc h e ff er s zu einer Reihe von interessanten Untersuchungen über komplexe Zahlen vom gruppentheoretischen Standpunkte aus veranlaßt. In dieser Richtung ist offenbar noch viel zu tun. Andere Verfasser, insbesondere die Herren Pi ca r d, St u d y und Enge 1 haben in neuerer Zeit, wesentlich im Anschluß an meine Arbeiten, die Gruppentheorie auf die Theorie der Differentialgleichungen angewendet und mit der Invariantentheorie in Verbindung gebracht. Endlich haben die Herren Enge 1, K i 11 in g 1 ) und Schur sowie einige unter meinen jüngeren Schülern mit großem Erfolge in der abstrakten Theorie der Transformationsgruppen gearbeitet. Unter diesen Umständen darf ich hoffen, daß die Entwickelung dieser wichtigen Theorie, die ich als meine wesentlichste Lebensaufgabe betrachtet habe, auch zukünftig rasch vorwärts schreiten wird. Insbesondere wünsche ich, daß die B e de u tun g die s er Theo r i e für d i e Di ff e rentialgleichungen durch neue Untersuchungen klarer gestellt werde. Es dürfte für jüngere :Mathematiker eine dankbare Aufgabe sein, alle von mir skizzierten Integrationstheorien im einzelnen auszuführen und deren Zusammenhang mit anderen Untersuchungen auf diesem Gebiete klarzustellen. Ich denke hier in erster Linie an Ha 1p h e n s bekannte [35? Untersuchungen über Di:fferentialinvarianten. Ich denke ferner an neuere Untersuchungen von jüngeren französischen Mathematikern, die tatsächlich mit meinen allgemeinen Theorien im genauesten Zusammenhange stehen. Auch bei der Behandlung von rein geometrischen Problemen gewährt die Gruppentheorie oft mächtige Unterstützung. Schließlich glaube ich, daß auch die Mechanik dadurch gewinnen wird, wenn sie die Prinzipien der Gruppentheorie verwertet. Ich habe geglaubt, da.ß es nützlich sein könnte, wenn ich einmal auf die Aufgaben hinwiese, deren Erledigung mir zur Förderung der Theorie der Transformationsgruppen zunächst wünschenswert erscheint. Ich hoffe, bald dieser Gesellschaft eine Reihe Untersuchungen über u n e n d 1ich e Gruppen vorlegen zu können. Die Theorie, der ·unendlichen 1) Die Untersuchungen des Herrn Professor Killing über die Zusammens e t zu n g der Grupp e n gehen wesentlich weiter als meine älteren Arbeiten auf diesem Gebiete. Verbunden mit meinen älteren Integrationstheorien geben sie Resultate von de:r höchsten Bedeutung für die Integralrechnung.

416

VII. Über die Grundlagen der Geometrie. II. Abh. Leipz. Ber. 1890

Gruppen, die bis jetzt von mir nur unvollkommen skizziert worden ist, eröffnet den Mathematikern ein noch größeres und noch dankbareres Gebiet der Forschung, als die Theorie der endlichen Gruppen. 3. Ich habe es für richtig erachtet, der nachstehenden Arbeit eine möglichst elementare Form zu geben; aus der allgemeinen Theorie der Transformationsgruppen habe ich daher verhältnismäßig wenig und jedenfalls nur ganz einfache Sätze entlehnt. §

1. Vorbereitende Entwickelungen.

4:. Es sei: x1 = f(x, y, z, a 1 , a2 , •• •) , Y1 = (x1, X2) =

Ü

erhalten. Derartige M 3 können immer in unendlich vielen W eisen als Translations-M3 aufgefaßt werden, wie früher gezeigt wurde.

4:5. Endlich wollen wir annehmen, daß die beiden Polartrieder verschiedene Kanten und Ebenen haben, daß aber eine Kante des einen Trieders in eine Ebene des andern Polartrieders hineinfällt. Ist zum Beispiel die Kante: dt1 = 0, dt2 = 0 in der Ebene: dr: 1 = 0 gelegen, so enthält jede Mannigfaltigkeit: r:1 = Const. nicht allein 001 Kurven ,c 2 und 001 Kurven x3 , sondern zugleich 001 Kurv1m c3 ; das heißt aber, daß jede zweidimensionale Mannigfaltigkeit 1:1 = Const. in drei verschiedenen Weisen durch Translationsbewegung einer Kurve er- [217 zeugt werden kann. Nach den Entwickelungen des ersten Kapitels sind daher zwei Fälle möglich. Es ist denkbar, daß jede zweidimensionale Mannigfaltigkeit: 1:1 = Const. in einer dreidimensionalen Ebene enthalten ist, und überdies in vier verschiedenen Weisen durch Translation einer Kurve erzeugt werden kann; diese Hypothese gibt uns offenbar nur solche M 3 , die wir schon früher gefunden haben. Die andere Möglichkeit, die wir berücksichtigen müssen, besteht darin, daß jede Mannigfaltigkeit: -r:1 = Const. einfach unendlich viele parallele 39*

612 XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897 Gerade enthält. Die M 3 wird also dadurch erzeugt, daß eine z y 1in d r i s c h e, zweidimensionale Mannigfaltigkeit des Rauni es z, x1 , x2 , x3 in Translationsbewegung geführt wird. Eine in dieser Weise erzeugte Translations-M3 ist offenbar selbst zylindrisch und kann daher in unendlich vielen Weisen als Translations-M3 aufgefaßt werden. Alle derartigen M 3 sind aber schon früher (Theorem IV) bestimmt.

4:6. Wir wollen nun unsere ,bisherigen Resultate zusammenfassen. Um das in übersichtlicher Weise machen zu können, erscheint es zweckmäßig, zunächst die verschiedenen Hypothesen, die wir nach und nach betrachtet und erledigt h~ben, analytisch zu formulieren. Eine Kante des ersten Polartrieders fällt mit einer Kante des zweiten Polartrieders zusammen, wenn zwei unter den Größen -r, etwa -i-1 und -r 2 , nur von zwei Größen t, etwa t1 und t2 , abhängen. Bestehen zum Beispiel Gleichungen von der Form: 't'1 = @1(ti, f2),

T2

= @2(t1, t2),

so ist jede Kurve f1 = a, f2 = b identisch mit der Kurve: -c1 = @1 (a, b), = @2 (a, b), das heißt, jede Kurve c3 ist gleichzeitig eine Kurve x3. Ist andererseits eine Ebene des ersten Polartrieders, etwa die Ebene d t1 = 0, mit einer Ebene des zweiten Polartrieders, etwa der Ebene d i-1 = 0, identisch, so ist -r1 eine Funktion von t1 allein. Fällt endlich die Kante dt1 = 0, dt2 = 0 des ersten Trieders in die Ebene d-c 1 = 0 des zweiten Trieders hinein, so hängt -r1 , wie w-ir früher sahen, nur von t1 und t2 ab. Alle unsere speziellen Voraussetzungen kommen somit darauf hinaus, daß jedenfalls eines unter den drei -r nur von zwei t, oder gar von einem einzigen t abhängt. Und umgekehrt ist leicht zu sehen, daß wir jedes mal, wenn ein 't' nur von einem t, oder nur von zwei t abhängt, auf [218 einen Fall geführt werden, den wir schon erledigt haben. Ist nämlich zum Beispiel: -r 2

'C1

=

@(f1,

t2),

so fällt die Kante d t1 = 0, d t 2 = 0 des einen Polartrieders in die Ebene d -i-1 = 0 des anderen Polartrieders hinein, und dieser Schluß bleibt auch dann gültig, wenn @ nur eine Größe tk enthält.

4 7. Wir können daher unsere Ergebnisse in der folgenden übersichtlichen W eise zusammenfassen: Theorem V. Erhalten die Gleichungen: Xk

z

= ..A.kl (t1) + ..A.k2 (t2) + ..A.ks (ta)

=

01 (t1)

+

02 (t2)

+

Os (ts)

(k=l, 2, 3',

Kap. IV, y. Nr. 45-48. Die möglichen TranslatioIJ,s-M3

613

einer Translations· Ms durch Einführung neuer Parameter: == '\f-'i (ti, t2, ts) wiederum die charakteristische Form : 't'i

(i=l, 2,-3)

(k=l,2,8, == Au (T1) + Ak2 (T2) + Aks (-rs) Z == I't(T1) + n (T2) + I's (-rs), so sind drei wesentlich verschiedene Fälle möglich. Der erste Fall, der dadurch charakterisiert wird, daß jedes 't'i nur von einem t abhängt, ist, wie früher hervorgehoben, insofern trivial, als die Funktionen Äki (ti) und Cj (tj) in diesem Falle gar keiner Besch1·änkung unterworfen sind. Der zweite Fall wird dadurch charakterisiert, daß die neun Ableitungen o-ri: otk nicht sämtlich von Null verschieden sind. Sehen wir von den früher bestimmten zylindrischen Ms ab, die jedesmal in unendlich vielen Weisen als Translations-Ms aufgefaßt werden können, so erhalten wir alle hierher gehörigen Translations· M 3 in der folgenden W eise: Wir nehmen im dreifachen Raume x 1, x2, xs, z == 0 eine Fläche, die in mehrfacher W eise als Translationsfläche aufgefaßt werden kann, und erteilen sodann dieser Fläche, die wir als eine Mannigfaltigkeit des vierfachen Raumes z, x 1 , x2, Xs auffassen, einfach unendlich viele Lagen im vierfachen Raume, die unter einander [219 kongruent und gleichgestellt sind. Diese 00 1 zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten erzeugen die allgemeinste Translations· Ms, die unsere Forderungen erfüllt. Der dritte und interessanteste Fall, der allerdings ungleich weniger Ms liefert, wird dadurch charakterisiert, daß die neun Ableitungen oTi: otk sämtlich von Null verschieden sind. Die hierher gehörigen Ms werden, wie wir später zeigen, sämtlich durch eine passende Deutung des Ab e l sehen Theorems gefunden.

Xk

Kapitel V.

Analytische Formulierung des reduzierten Problems. 4:8. In den vorhergehenden Kapiteln fanden wir gewisse Translations-M 3 , die in m ehre r e n W eisen durch Gleichungen von der kanonischen Form: (k= 1, 2, 3>,, xk = Akl Ct1) + Ak2(t2) + Aka(ta)

(1)

{

Z

= C1(t1) + 02(l2) + Ca(ta)

614

XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897

definiert werden können; in jedem einzelnen Falle war es also möglich, statt der ursprünglichen Parameter ti, t2 , t8 solche neue Parameter: 'Ci

= 'Pi (t1 , t 2 ,

i3)

(i = 1, 2, 3)

einzuführen, daß die neue Darstellung der betreffenden M 3 : Xk

(2)

{

z

+ Ak2(-r2) + Aka(rs) = I'1 (-c1) + I'2 (-i-2) + I's (-es) = Ak1(-c1)

(k = 1, 2, 3).

wiederum die kanonische Form besaß. Charakteristisch für diese von uns schon gefundenen Translations-M3 , deren Gleichungen in mehreren W eisen die betreffende kanonische Form erhalten können, war es, daß sich jedesmal unter den drei Gleichungen -ci = 'Pi (t1 , f 2 , t3) mindestens eine vorfand, die nicht alle drei Parameter t1 , f 2 und t3 enthielt. W ollen wir daher das in dieser Abhandlung gestellte allgemeine Problem vollständig erledigen, und wünschen wir ins besondere, die noch fehlenden Lösungen direkt und für sich zu finden, so müssen wir [:!20 von vornherein festsetzen, daß jede Gleichung: -ci = 'Pi(t1 , t2 , t3) alle drei Parameter t1 , t2 und t3 enthalten soll. Von jetzt ab wollen wir daher an dieser Annahme festhalten, die sich nach unseren früheren Auseinandersetzungen damit deckt, daß die beiden Polartrieder des Haupttangentenkegels, die durch die beiden Gleichungssysteme: d t1 = 0' d t2 = 0' d f3 = 0 und: d-c1 = o, d-c2 = o, d-c3 = 0 definiert werden, eine allgemeine gegenseitige Lage haben sollen.

4:9. Setzen wir nun wie früher:

oxk oz u=at.=~ki i

(k = 1, 2, 3; i = 1, 2, 3)

i

und definieren wir dementsprechend durch die beiden Gleichungen: (i

= 1, 2,

3)

die gemeinsame unendlich ferne Kurve Ki der Developpabeln aller Kurven ci, so befriedigt die gesuchte M 3 , wie wir früher sahen, die drei linearen partiellen Differentialgleichungen:

;li;ur11 + ;2i;2kr22 (3)

{

+

~si;skrss

+ (;li~2k + ;2i;u)r12 +

+ (;li;sk + ;si;u)r13 + (;2i;sk + ;si;2k)r2s = (i,k=l, 2, 3; i=!=k),

0

Kap. V. Nr. 48-50. Part. Diffgl. 2. 0. für die Translations-M3

615

in denen die ; durch diejenigen Funktionen von Pi, p 2 , p 3 zu ersetzen sind, die durch Auflösung der Gleichungen:

1 - P1 ;1 i - P2 ;2 i - Pa ;at = 0, ~2i -

W2i (;li)

=

;3i - ro3i (;li)

Ü,

=

Ü

gefunden werden. Setzen wir andererseits:

oxk oz

~ : a:;_ = ;k,i+3 i

(ic, i = 1, 2, 3)

i

und betrachten dementsprechend das Gleichungssystem: (i= 1, 2, 3)

als analytische Definition der unendlich fernen Kurve Ki, die auf allen Developpabeln der Kurven xi gelegen ist, so erhalten wir zur Bestimmung der gesuchten M 3 drei neue lineare partielle Differentialgleichungen, [221 wenn wir in die Gleichungen: ;1a;1(1r11

( 4)

{

+ ;2a;2/.i'r22 + ;3a~3ßr33 + (;1a;2/.i' + ~2a;111)ru + + (;1a~3ß + ;3a;111)r13 + (g2a;3;'1 + ;3a;2ß)r23 = Ü (a, (i

= 4, 5, 6; a=t=ß)

für die ; diejenigen Funktionen von p 1 , p 2 , p 3 eintragen, die sich durch Auflösung der Gleichungen:

1 - P1;11 --p2;2; - Pa;3j = 0, ;21 -

ro2j (;u)

= 0, ;3; - ro3;(;11)

=== 0

(i= 4, 5, 6)

ergeben.

50. Wir sehen also, daß die gesuchten M 3 sechs partielle Differentialgleichungen befriedigen, die wir allerdings erst dann aufstellen können, wenn -wir die sechs unendlich fernen Kurven:

K 1 , K 2 , K 3 , K1 , K2 , K3 schon kennen. Diese sechs Differentialgleichungen sind 1in e a r und h o m o gen in den sechs Ableitungen zweiter Ordnung:

Sehen wir daher von den ebenen M 3 ab, für welche alle rik verschwinden, so dürfen wir behaupten, daß die Determinante, die von den Koeffizienten der rik gebildet wird, gleich Null sein muß.

616 XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897 Die hiermit gefundene Bed,ingungsgleichung:

;i1 ;12 ;21 ;22 ~31 ;32 •

;11;13 0 = ;12;13

==D(;),

;15;16 ;25;26 ~35;36 • die zwischen den achzehn Größen ;i v stattfindet, kann leicht gedeutet werden, und das sogar in zwei W eisen, die allerdings nur forma 1 verschieden sind. [222 ö 1. Deuten wir die Größen:

;li, ;2i, ;3i

(i=l,2,3)

als Bestimmungsstücke der Tangente, die wir in einem Punkte unsrer M3 an die hindurchgehende Kurve ci gezogen haben, und betrachten wir dementsprechend die Größen: (j=l, 2, 3)

als Bestimmungsstücke der Tangente in demselben Punkte an die hindurchgehende Kurve ",, so besagt die gefundene Gleichung: D(;) = O, daß unsere s e c h s Tangenten der Kurven ci und ,e1 auf einem Kegel zweiten Grades liegen. Und nach einem bekannten Satze der projektiven Geometrie folgt dies in der Tat unmittelbar daraus, daß sich diese· sechs Tangenten als die Kanten zweier Po lartrieder des Haupttangentenkegels auffassen lassen.

ö2. Deuten wir andererseits die Größen ;H, ; 2i, ; 3i als Koordinaten des unendlich fernen Punktes auf der oben besprochenen Tangente unserer Kurve ci, und betrachten wir dementsprechend die Größen ; 1 , ;+ 3 , ; 2 , 1 + 3 , · ; 3 , ; + 3 als Koordinaten des unendlich fernen Punktes auf der Tangente der Kurve ",, so besagt die Gleichung: D(;)= O, daß die sechs Tangenten, die wir in einem Punkte unserer M 3 an die hindurchgehenden Kurven c1 , c2 , c3 , ,c1 , ,c2 und ,e 3 gezogen haben, die unendlich ferne ebene Mannigfaltigkeit U3 in sechs Punkten treffen, die auf einem Kegelschnitte gelegen sind. Beachten wir dabei, daß diese sechs Punkte auf je einer unter den sechs unendlich fernen Kurven K 1 , K 2 , K 3 , K1 , K2 und K3 liegen, und daß sie andererseits in einer dreidimensionalen Tangentialebene unserer M 3 enthalten sind, so sehen wir, daß jede dreidimensionale Tangentialebene unserer M 3 die sechs unendlich fernen Kurven Ki und K, in sechs Punkten schneidet, die auf einem Kegelschnitte liegen. Und da dnrch jede zweidimensionale Ebene der unendlich fernen Mannigfaltig-

Kap. V. Nr. 50-54. oo, Kegelschnitte im Unendlichen

617

keit U3 eine dreidimensionale Tangentialebene an unsere (nicht developpable) M 3 gelegt werden kann, zeigt das Verschwinden der Determinante D(~), daß die sechs Kurven Ki und K1 des dreifachen ebenen Raumes U3 jede Ebene dieses Raumes in sechs Punkten treffen, die auf einem Kegelschnitte liegen.

53. Die hiermit gefundene Deutung der Gleichung: D(;)= 0 soll uns zunächst zu einem schönen geometri sehen Satze führen. Wir wollen annehmen, daß im gewöhnlichen dreifachen Raume [ 223 x, y, z sechs Kurven 0 1 , 0 2 , ... , 0 6 vorliegen, die jede Ebene dieses Raumes in sechs Punkten treffen, die auf einem Kegelschnitte liegen. Wir behaupten und werden beweisen, daß dann unsere sechs Kurven 01 , 0 2 , . . . , 0 6 auf einer Fläche zweiten Grades gelegen sind. Bezeichnen wir die Koordinaten eines laufenden Punktes der Kurve 01 mit x 1 , y1 , z1 , und überhaupt die Koordinaten eines laufenden Punktes der Kurve Ci mit xi, Yi, zi, so sind die achzehn Größen: (i = 1, 2, .•. , 6)

durch vier Gleichungen verbunden, unter denen drei die Form: X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

X3

Y3

Z3

Ü=

1 1 1

== Llk

(k=4, 5, 6)

xk Yk zk 1

besitzen und nur aussagen, daß die sechs Punkte in einer Ebene enthalten sind, während die vierte Gleichung etwa auf die Form: X1

Ü=

2

Y1

2

X22

Y22

xl

y/·

Z1

2

X1Y1

X1 Z1

Y1Z1

== D(x) Z6

2

x6 YG

a16 z6

Y6 z6

gebracht werden kann. Diese letzte Gleichung be.sagt, daß unsere sechs Punkte auf einem Kegel zweiten Grades liegen und daß sie somit auf der Schnittkurve dieses Kegels mit einer Ebene, das heißt, auf einem Kegelschnitte gelegen sind.

54. Aus den vier hiermit gefundenen Gleichungen leiten wir jetzt durch Differentiation neue Relationen ab, in die neben den achzehn Größen xi, Yi, zi noch die Ableitungen: eingehen.

618 XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897 Denken wir uns, daß die sechs Kurven C1 , ... , C6 schon vorliegen, daß also Yi und zi gegebene Funktionen von x 1 sind, so erkennen wir leicht, daß wir x 1 , x 2 und x3 als unabhängige Veränderliche und alle [224 übrigen Größen als Funktionen dieser unabhängigen Veränderlichen betrachten können. Wenn wir nämlich x1 einen bestimmten Wert erteilen, so werden auch y1 und z1 und gleichzeitig ein gewisser Punkt der Kurve K 1 be.stimmt. Erteilen wir daher sowohl x1 , wie x 2 und x 3 bestimmte Werte, so greifen wir faktisch auf jeder unter den drei Kurven 0 1 , C2 und C3 einen Punkt heraus. Legen wir aber durch die drei hiermit gefundenen Punkte eine Ebene, so schneidet diese jede unter den drei übrigen Kurven: C4 , C5 und 0 6 in einem bestimmten Punkte, dessen Koordinaten somit als Funktionen von x1 , x2 , x3 aufgefaßt werden können.

55. Differentiieren wir zunächst die Gleichung: X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

1 1

X3

Ya

Z3

1

;'.f4

Y4

Z4

1

Ü=

=d4

nach x 1 und betrachten dabei x1 , x 2 , x3 als unabhängige Veränderliche, so bestimmt die hervorgehende Gleichung:

O=a,::1 4+aL14 '+aL14z'+{a,:;1 4+aL14 4'+~!~z'}ax4 ax1 ayl Yi az1 l . ax4 ay4 Y az4 4 aa:i die partielle Ableitung der Größe x 4 nach x1 als Funktion der Größen: (i=l,2, ... , 6).

In entsprechender W eise gelingt es uns, alle neun Ableitungen der Größen :.r 4 , x 5 und x 6 nach x1 , x 2 und x 3 zu bestimmen.

Differentiieren wir sodann die Gleichung D(x) = 0 sukzessive nach x1 , x 2 und x 3 , so erhalten wir drei Gleichungen von der :Form:

an + a'Yi an , + .an , 4~ 6(an an , an ') ax; ~zi +..,,;;;;. 8, + aY1 + a.Z1 8, =

8, Xi

'Yi

Zz

j

x,

y3

Z3

X 1.

0

.

(i=l,2,3),

die,. mit den neun vorhergehenden Gleichungen verbunden, drei Relationen liefern, die zwischen den achzehn Größen xi, Yi, zi und den zwölf Größen y/, z/ stattfinden. 56. Es ist nicht schwer, sich den begrifflichen Sinn dieser drei [225 Gleichungen klar zu machen. Wählen wir im Raume x, y, z eine beliebige Ebene und in dieser Ebene sechs Punkte: xi, Yi, zi, die auf einem Kegelschnitte liegen, und

Kap. V. Nr. 54-57. Relationen zwischen den zwölf

y/, z/

619

ziehen wir überdies in jedem unter den drei Punkten: x4 , y4 , z4 ; x5 , y5 , z5 ; x6 , y6 , z6 eine Gerade mit den Richtungskoeffizienten:

1,y/, z/

(i

= 4, 5, 6),

so gibt es nach den Theorien der projektiven Geometrie einfach unendlich viele flächen zweiten Grades, die unseren Kegelschnitt enthalten und überdies jene ~rei Geraden, jede in deren Schnittpunkte mit dem Kegelschnitte, berühren. Diese 00 1 Flächen zweiten Grades enthalten einen gemeinsamen Kegelschnitt und berühren einander in drei verschiedenen Punkten dieser Kurve. Dann aber können wir schließen, daß diese Flächen ein Büschel bilden, daß sie einander längs des gemeinsamen Kegelschnittes berühren und daß sie daher [auch] in jedem unter den drei Punkten: Xj,

Yi,

(j =1, 2, 3)

Z1

dieselbe Tangentialebene haben. Es erfüllen also die Größen: y/und z/ für jedes j eine lineare Relation:

(f=l, 2, 3)

(4')

(1 = 1, 2, 3),

deren Koeffizienten J. 1 , µ,1 und v1 nur von den xi, Yi, zi und den sechs Ableitungen y4 ', z4', y5 ', z5 ', y6', z6 ' abhängen. Die zwölf Ableitungen erster Ordnung y/, z/ sind daher wirklich durch drei unabhängige Gleichungen gebunden. 5 7. Wir wollen nun weiter gehen und Relationen zwischen den zwölf Differentialquotienten zweiter Ordnung y/', z/' ableiten. vVenn wir, -wie oben, die Größen x1 , x2 und x3 als unabhängige Veränderliche betrachten und unter dieser Voraussetzung die vier Gleichungen:

bilden und sodann zwischen diesen die drei Ableitungen:

ox

4

0 Xi '

OX 5 0 Xi '

OX6 0 Xi

[226

eliminieren, so erhalten wir, wie wir sahen, eine Relation zwischen den achzehn Größen xi, Yi, zi und den acht Ableitungen y1 ', zi', y4', z4', Ys Zs', Ys', Zo': 1

,

W1(X1, Y1, Z1, •.. , Xs, Ys, Zs, Y1

1

1

,

1

1

Z1 , y4', Z4 , Ys', Zs', Ys , Zs')

= 0.

Wir fügen hinzu, obgleich das für die folgenden Betrachtungen unwesentlich ist, daß unsere analytischen wie geometrischen Überlegungen

620 XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897 überdies gezeigt haben, daß die Gleichung: W1 = 0 in den beiden Größen: y/, z/) linear ist.

y1 ', z1 ' (und dementsprechend in zwei beliebigen Größen

58. Um nun Relationen zwischen den Differentialquotienten zweiter Ordnung y 11, z11 zu finden, könnten wir die Gleichung W1 = O, sowie die beiden analogen Gleichungen W 2 = 0 und W 3 = 0 sukzessive nach x1 , x2 und x3 , die fortwährend als unabhängige Veränderliche betrachtet werden, differentiieren. Gingen wir aber in dieser Weise vor, so könnten wir nicht unmittelbar übersehen, wie viele unabhängige Relationen zwischen den y 11, z11 wirklich vorhanden sind. Wir finden es daher zweckmäßig, neue unabhängige Veränderliche einzuführen, und zwar wollen wir bis auf weiteres die drei Größen x1 , x4 und x5 als solche auffassen, was offenbar gestattet ist. [Die Relationen zwischen den y', z', y 11, z11 sind nämlich unabhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen x.] Differentiieren wir bei Zugrundelegung dieser .Auffassung die Gleichung W1 = 0 nach x1 , so erhalten wir eine Relation von der Form:

(5)

0W1 OX1

1

2 6 + --Y1 0W1 '+ --z 0W1 '+ , .{; 0W1 ;;;;,; (0W1 - - + 0W1 - - y k'+ · - Z k')oxk ·--- +

OY1

1

OZ1

+ o~yW 1'

1

Yi

11

k oxk oyk OZ7c OX1 + ooWi Z ,, + (o Wi 'l + 0W1 Z oXe = zi' 1 oy Ye ozo' 6 oXi 11

11)

6'

O

'

und aus dieser schaffen wir die Ableitungen:

(6)

(k= 2, 3, 6)

weg, indem wir die drei Gleichungen: Z1

X4

Y1 Y4

X5

Ys

Z5

X1

Z4

1 1 1

=Ü.

(i= 2, 3, 6)

xi Yi zi 1 nachx1 differentiieren, und die hervorgehenden Werte der Ableitungen(6) [227 in die Gleichung (5) eintragen. Es ergibt sich hierbei, daß die vier Differentialquotienten zweiter Ordnung y1 ", z1 ", ys", z/ durch eine lineare Relation: l1Y1

11

+ /L1Zi" + loYo" + µ,6zs" + ö =

0

gebunden sind, deren Koeffizienten nur von den xi, yi, zi, y/, z/ abhängen. In entsprechender W eise erkennen wir, daß die zwölf Differentialquotienten zweiter Ordnung y/', z;" durch fünf lineare Gleichungen:

(7) gebunden sind, deren Koeffizienten nur von den xi, 1/i, zi,

(k

= 1, 2, ••• , 5)

y/, z/ abhängen.

621

Kap. V. Nr. 5'1-59. Relationen zwischen den y/', z/

59. Hiermit sind fünf lineare und unabhängige Relationen zwischen den zwölf Differentialquotienten zweiter Ordnung y/', z/' gefunden; wir können nachweisen, daß hiermit alle derartigen Relationen abgeleitet sind. Nehmen wir nämlich im Raume x, y, z irgend eine Fläche zweiten Grades und greifen wir unter allen auf ihr gelegenen Kurven sechs beliebige heraus; so leuchtet unmittelbar ein, daß diese sechs Kurven jede Ebene des Raumes in sechs Punkten treffen, die auf einem Kegelschnitte liegen. Wählen wir andererseits sechs beliebige Punkte xi, Yi, Zi, die auf irgend einem Kegelschnitte gelegen sind, erteilen wir ferner den sechs Größen: y4 ', z4', y5 ', z5 ', y6', z6 ', sowie den beiden Größen: y/, z/ beliebige Zahlenwerte, so gibt es immer eine ganz b e s t i m m t e F 1ä c h e z w e i ten Grades, die unseren Kegelschnitt enthält, die ferner in jedem unter den drei Punkten x4 ,y4 ,z4 ; x 5 ,y5 ,z5 ; x6 ,y6 ,z6 diejenige hindurchge'1.ende Gerade berührt, deren Richtungskosinus mit den drei entsprechenden Zahlen: 1,

y/, z/

(j

=

4, 5, 6)

proportional sind, die endlich im Punkte x 6 , y6 , z6 denjenigen Kreis oskuliert, der durch die vier Zahlen: y6 ', z6 ', y/, z6 " bestimmt wird. Liegen daher im Raume x, y, z sechs Kurven 0 1 , 0 2 , ••. , 0 6 vor, [228 die jede Ebene in sechs Punkten eines Kegelschnittes schneiden, so gibt es immer eine und nur eine :Fläche zweiten Grades, die erstens die sechs Schnittpunkte der Kurven 0 1 , ••. , 0 6 mit einer bestimmten Ebene enthält, die ferner 0 6 oskuliert und überdies 0 4 und 0 5 berührt; wir behaupten, daß diese Fläche zweiten Grades alle sechs Kurven Ci o s k u 1i er t. Daß die von uns konstruierte Fläche zweiten Grades alle Kurven Ci berührt, ist eine direkte Folge der drei früher abgeleiteten Gleichungen:

(4')

Ä; y/

+ µ/ z/ + V; =

(j

Ü

= 1, 2, 3),

deren Koeffizienten l;, µ,1 , v; nur von den Größen xi, Yi, zi; y4', z4 '; y 5', z5'; y6', : 6' abhängen. Setzen wir zum Beispiel j = 1, so gibt es 00 1 Wertsysteme y1 ', z1 ', die unsere letzte Gleichung erfüllen, und jedes derartige Wertsystem bestimmt eine durch den Punkt Xi, y1 , z1 gehende Gerade, d.ie unsere Fläche zweiten Grades berührt. Eine ganz analoge Überlegung zeigt, daU die früher (S. 227 [hier S. 620]) abgeleitete Gleichung:

(7)

(k

= 1, 2, .•• , 5)

nach sich zieht, daß unsere Fläche zweiten Grades eben, weil sie 0 6 oskuliert, zugleich jede Kurve Ck oskulieren muß.

622 XIV. Das Abelsche Theorem u. die Translationsmann. Leipz. Ber. 1897

60. Nun können wir leicht weiter gehen. Fassen wir zum Beispiel in der Gleichung: (x, y, z, dx, dy, dz) = O, die in den Differentialen dx, dy, dz homogen ist, bestimmt für meine Auffassung 004 Linienelemente des Raumes, und zwar ordnet sie jedem Raumpunkte x, y, z einfach unendlich viele Linienelemente zu, die einen ,,Elementarkegel" bilden. Ist '1> line~r in dx, dy, dz: Nr. 1, 2. § 1. Nr. 3, 4. Mongesche Gleichungen

et>= Adx + Bdy + Odz, so nennt man '1> = 0 eine P fa ff sehe Gleichung, und dann bilden alle dem Punkte x, y, z zugeordneten Linienelemente ein ebenes Strahlenbüschel ( oder mehrere ebene Strahlenbüschel); in diesem Falle sind also die Elementarkegel lauter Ebenen. Ist et> dagegen vom zweiten Grade, und besitzt somit die Mongesche Gleichung W = 0 die Form: 0 = Adx2 + Bdy2 + Odz 2 + 2Ddydz+ 2Edzdx+ 2Fdxdy, so sind die Elementarkegel im allgemeinen Kegel zweiten Grades. Verschwindet aber für einen Punkt x, y, z die Determinante:

A

F

E

[689

F B D, E D 0 so zerfällt der diesem Punkte zugeordnete Elementarkegel zweiten Grades in Ebenen. Verschwindet die obenstehende Determinante identisch, das heißt, für jedes Wertsystem x, y, z, so zerfallen a 11 e Elementarkegel in Ebenen. In diesem letzten Falle reduziert sich die vorgelegte Mongesche Gleichung auf eine Pfaffsche Gleichung: Ldx

+ Mdy + Ndz = O,

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. II, 2

41

642 XV. Liniengeometrie und Berührungstransformationen. Leipz. Ber. 1897 deren Koeffizienten L, M, N allerdings im allgemeinen keine eindeutigen Funktionen von x, y, z sein werden.

5. Im folgenden setzen wir zunächst voraus, daß W eine a 1geb r a ische Funktion der Größen x, y, z, d.x, dy, dz darstellt, und können dementsprechend annehmen, daß die linke Seite der Mongeschen Gleichung: = 0 vor, und zerlegt sich dementsprechend '1.> in Faktoren: W1 , W2 , . . . , die selbst als ganze Funktionen der unabhängigen Veränderlichen auftreten, so zerfällt die Schar aller 004 Linienelemente, die 'P = 0 befriedigen, in mehrere getrennte Scharen, unter denen eine durch die Gleichung: '1.>1 = 0 definiert wird, eine andere durch '1>2 = 0, und so weiter. Liegt eine solche reduzible, algebraische Gleichung: '1.>(x, y, z, dx, dy, dz) = 0 vor, so leuchtet unmittelbar ein, daß diese Gleichung auch dann reduzibel bleibt, wenn die Größen x, y, z als konstante, die Differentiale dx, dy, dz dagegen als veränderliche Größen betrachtet werden. Die durch einen Punkt x, y, z von allgemeiner Lage gehenden Linienelemente einer reduzibeln algebraischen Mon gesehen Gleichung: (P = 0 bilden daher immer einen zerfallenden algebraischen Kegel.

6. Es ist aber wohl zu beachten, daß man aus dem Umstande, [690 daß die Elementarkegel von allgemeiner Lage einer algebraischen Mon g e sehen Gleichung zerfallen, keineswegs schließen darf, daß diese Gleichung selbst reduzibel ist. Es ist eben sehr gut möglich, daß eine irreduzible Gleichung: 1 , W2 , •.. zerfällt, daß dann eine jede unter den [692 Gleichungen: (x, y, z, dx, dy, dz) = 0

1

eines algebraischen Linienkomplexes reduzibel, so zerfällt der Komplex selbst in mehrere algebraische Linienkomplexe.1) 1) Die Entwickelungen des Textes können nach vielen Richtungen verallgemeinert werden. So bleibt zum Beispiel der Satz 2 des Textes noch gültig, wenn wir Mongesche Gleichungen in n Veränderlichen: 4>(x1 , •.• , Xn, dx 1 ,., • • , dxn) = 0 betrachten, die 00 2 n - 3 algebraische Integralkurven besitzen, die keine andere M ongesche Gleichung als cP = 0 befr1edigen.

§ 1. Nr. 7-11. Algebraische Linienkomplexe

645

9. Beachten wir andererseits, daß ein algebraischer Linienkomplex, dessen Gleichung in den P l ü c k er sehen Linienkoordinaten r, s, Q, o die · Form:

a(r,s,Q,ö) = 0 besitzt, dann ~~d nur dann in mehrere Komplexe zerfällt, wenn die Gleichung: ai = 0 reduzibel ist, so erhalten wir den

Satz 3. D i e Plücker s c h e G 1eich u n g:

a (r, s, Q, o) =

0

eines algebraischen Linienkomplexes ist dann und nur dann reduzibel, wenn die Monge sehe G 1 eich ung:

'1>(x, y, z, dx, dy, dz) = 0 d e s K o m p 1 e x e s r e d u z i b e 1 i s t. 1 )

10. Eine dualistische Transformation des Raumes verwandelt [ 693 Punkt in Ebene, Ebene in Punkt, Gerade in Gerade und Linienkomplex in Linienkomplex. Diejenigen Geraden eines Komplexes, die durch einen Punkt gehen, werden dabei in solche Gerade des transformierten Linienkomplexes übergeführt, die in einer Ebene liegen. Wir drücken diese· Tatsache kürzer aus, indem wir sagen, daß eine dualistische Transformation des Raumes die Komplexkegel eines Linienkomplexes in die ebenen Geraden s y s t e m e 2) des transformierten Komplexes überführt. Indem wir diese Betrachtungen mit den vorhergehenden Entwickelungen und insbesondere mit dem Satze 1 verbinden, erhalten wir den Satz 4. Z er f a 11 e n d i e e b e 11 e n Geraden s y s t e m e eine s i r reduzibeln algebraischen Linienkomplexes: a(r,s, Q,o) = 0 in mehrere irreduzible Geradensysteme G1 , G2 , ••• , so haben alle Systeme G1 , G2 , ••• dieselbe Klasse. 11. Es ist nicht schwer, irreduzible algebraische Linienkomplexe anzugeben, deren Komplexkegel oder ebene Geradensysteme in mehrere Teile 1) Der Satz 3 des Textes darf nicht mit dem liniengeometrischen Satze verwechselt werden, den Klein im Jahre 1871 in ·den Göttinger Nachrichten veröffentlichte. Der schöne Satz von Klein besagt, daß jeder algebraische Linienkomplex durch eine einzige homogene Gleichung in den sechs Graßmann-Cayleyschen Linienkoordinaten dargestellt werden kann. 2) Wenn wir im Texte nicht von den ,,ebenen Komplexkurven" sondern von den ,,ebenen Geradensystemen" eines Linienkomplexes reden, so liegt das selbstverständlich daran, daß die in einer Ebene gelegenen Geraden eines . Linienkomplexes unter Umständen keine Kurve umhüllen, sondern ein oder mehrere Strahlenbüschel bilden.

646 XV. Liniengeometrie und Berührungstransformationen. Leipz. Ber. 1897 zerfallen. Die Tangenten einer irreduzibeln developpabeln Fläche bilden .ja einen irreduzibeln algebraischen Linienkomplex, dessen Kegel in m Ebenen zerfallen, dabei vorausgesetzt, daß m die Klasse der betreffenden developpabeln Fläche bezeichnet. Es bilden andererseits die Treffgeraden einer irreduzibeln algebraischen Raumkurve einen irreduzibeln Linienkomplex, dessen ebene Geradensysteme in Strahlenbüschel zerfallen, deren Anzahl gleich ist der Ordnung der betreffenden algebraischen Kurve.

12. Jetzt stellen wir das Problem: Alle irreduzibeln algebraischen Linienkomplexe:

S2i(r, s,

(!,

o) =

O

zu finden, deren Komplexkegel von allgemeiner Lage in mehrere Kegel zerfallen. Nach den vorhergehenden Entwickelungen kann dieses Problem auch die folgende Gestalt erhalten: Es sollen alle algebraischen und homogenen Gleichungen von der Form:

H(dx, dy, dz, ydz-zdy, zdx-xdz, xdy-ydx) = 0

[694

gefunden werden, die zwar in den Veränderlichen: x, y, z, dx, dy, dz irreduzibel sind, aber reduzibel werden, sobald d i e G r ~ ß e n x, y, z a 11 g e m ein e k o n s t an t e Wert e er h a 1t e n. Berücksichtigen wir die früheren Bemerkungen über dualistische Transformationen eines algebraischen Linienkomplexes, so sehen wir, daß unser Problem mit dem folgenden Probleme, wenn auch nicht identisch, doch jedenfalls äquivalent ist: Alle irreduzibeln algebraischen Linienkomplexe: Q

(r, s,

(!,

o) = 0

zu finden, deren ebene Geradensysteme von allgemeiner L a g e in m ehre r e S y s t e m e z er fa 11 e n. Durch Betrachtungen, die ich jetzt auseinandersetzen werde, bin ich zu dem wichtigen, wenn auch nicht grade unerwarteten Resultate gekommen, daß jeder irreduzible algebraische Linienkomplex, dessen Komplexkegel von allgemeiner Lage zerfallen, aus den Tangenten einer developpabeln Fläche besteht, daß ferner jeder irreduzible algebraische Linienkomplex, dessen ebene Geradensysteme von allgemeiner Lage zerfallen, nur die Treffgeraden einer Raumkurve umfaßt.

13. Wir versuchen zunächst, alle irreduzibeln algebraischen Linienkomplexe zu bestimmen, deren Komplexkegel von allgemeiner Lage in lauter E b e n e n zerfallen.

§ 1.

Nr. 1_1-13. Bie Komplexkegel zerfallen

647

Besitzt ein Linienkomplex m-ten Grades diese Eigenschaft, so zerfällt jeder Komplexkegel in m Ebenen, die durch die Gleichung:

uX

+ vY + wZ + 1 =

0

mit den laufenden Koordinaten X, Y, Z dargestellt sein mögen. Sind

x, y, z die Scheitelkoordinaten des betreffenden Komplexkegels, so drücken sich die Bestimmungsstücke it, v, W der dem Punkte x, Y, z zugeordneten Ebenen als algebraische und m-deutige Funktionen von x, y, z aus: (1) u = U(x,;y, z), v = V(x, y, z), w = W(x, y, z). Hier sind nun von vornherein drei Fälle denkbar, jenachdem die Größen u, v, w durch keine Gleichung, oder durch eine Gleichung, oder sogar durch zwei Gleichungen verbunden sind, die x, y, z nicht enthalten. Es ist aber leicht zu sehen, daß die Annahme, daß u, v, w eine [695 und nur eine Gleichung erfüllen, die von x, y, z frei ist, auf Widerspruch führt und also unmöglich ist. Wären nämlich u, v, w durch eine einzige Gleichung: w = .ft ( u, v) gebunden, so enthielte eine jede unter den 002 Ebenen: (2) uX + vY + it(u,v)Z + 1 = 0 einfach unendlich viele Strahlenbüschel des Komplexes, und es wäre dem~~ entsprechend jede Gerade einer solchen Ebene eine Komplexlinie. Und da 'dµrch jeden Punkt des Raumes einfach unendlich viele Ebenen gehen, die deftfohar (2) angehören, so müßte jede Gerade des Raumes eine Komplexlinie sein. Die Annahme, daß u, .v, w durch eine einzige Gleichung verbunden sind, führt also wirklich auf Widerspruch. Dagegen :ist eß sehr wohl denkbar, daß die Ebenenkoordinaten u, v, w zwei und nur zwei Relationen erfüllen, die von x, y, z frei sind. Alsdann verteilen sich alle 003 Komplexlinien auf 001 Scharen, deren jede alle ·Geraden einer Ebene umfaßt, und der Komplex besteht dementsprechend aus allen Tangenten einer algebraischen developpabeln Fläche. Wie wir wiederholt bemerkt haben, zerfallen die Komplexkegel in diesem Falle wirklich in ebene StrahlenbüscheL Und der betreffende Linienkomplex ist offenbar irreduzibel, wenn die besprochene developpable Fläche selbst irreduzibel ist. Es bleibt jetzt nur noch die Annahme übrig, daß sich aus den Gleichungen (1) keine von x, y, z freie Relation zwischen u', v, w herleiten läßt. .Alsdann enthält jede Ebene des Raumes (mindestens) ein Strahlenbüschel, dessen Gerade dem vorliegenden Linienkomplexe angehören. Und da unser Komplex irreduzibel sein soll, so müssen (Satz 4) alle ebenen

648 XV. Liniengeometrie und Berührungstransformationen. Leipz. Ber. 1897 Geradensysteme des Komplexes in lauter Strahlenbüschel zerfallen. Durch relativ einfache Betrachtungen ist es uns hiermit gelungen, den folgenden Satz zu beweisen:

Satz 5. Zerfallen die K o m p 1exk eg el von allgemeiner Lage eines irreduzibeln algebraischen Linienkomplexes in lauter Ebenen, so zerfallen [entweder] auch'die ebenen Geradensysteme des Komplexes in lauter Strahlenbüschel, oder der Komplex besteht aus allen Tangenten einer [irred u z i b e 1n] de v e 1o p p ab e 1n F 1ä c h e.

14-. Zerfällt der einem Punkte x, y, z von allgemeiner Lage zugeordnete Komplexkegel in m Ebenen, so schneiden diese Ebenen einander [696 (höchstens) nach }m (m -1) Geraden. Unter den Linienelementen, welche die Mon g e sehe Gleichung: (P = 0 unseres Komplexes befriedigen, gibt es daher in jedem Punkte von allgemeiner Lage höchstens ½m (m -1 ), welche gleichzeitig zwei verschiedenen Strahlenbüscheln des Komplexes angehören. Diese Linienelemente, die gewissermaßen als Doppelelemente der Mon gesehen Gleichung unseres Komplexes auftreten, befriedigen eine zu (P = 0 hinzutretende Differentialgleichung: M(x, y, z, dx, dy, dz) = O, die immer aufgestellt werden kann. Und da das simultane System:

w=O,

M=O

nur zweifach unendlich viele Integralkurven besitzt, so enthält unser Linienkomplex jedenfalls nicht mehr als 00 2 Gerade, welche die Differentialgleichung: M= 0 erfüllen.

15. Nehmen wir andererseits eine Ebene E 0 von allgemeiner Lage, so bilden die Komplexlinien dieser Ebene m Strahlenbüschel, deren Scheitel (höchstens) -} m (m -1) verschiedene Verbindungslinien besitzen. Unter den Komplexlinien dieser Ebene können wir somit immer eine herausgreifen, welche nur einem Strahlenbüschel der Ebene angehört und welche überdies die Differentialgleichung: M= 0 nicht befriedigt. Ist g0 eine Komplexlinie, welche diese beiden Forderun'gen erfüllt, so wollen wir alle Strahlenbüschel des Komplexes konstruieren, die g0 enthalten. Wir behaupten, daß diese 00 1 Strahlenbüschel ein Strahlensystem erster Ordnung erzeugen; dies folgt unmittelbar daraus, daß in E 0 und also auch in jeder anderen durch g0 gehenden Ebene von allgemeiner Lage nur ein Strahlenbüschel des Komplexes gelegen ist, das g0 enthält. Wir können hinzufügen, obgleich dies für unsere Entwickelungen unwesentlich ist, daß unsere Betrachtungen und Konstruktionen einen dualistischen

§ 1.

Nr. 13-17. Die Komplexkegel zerfallen

649

Charakter haben, und daß daher unser Strahlensystem nicht allein von erster Ordnung, sondern zugleich von erster Klasse ist. Es ist leicht, zu beweisen, daß nicht alle Geraden des konstruierten Strahlensystems die Differentialgleichung: M= 0 befriedigen können. Aus dem Umstande, daß g0 diese Gleichung nicht erfüllt, folgt ja unmittel- [ 697 bar, daß [ auchJ die zu g0 benachbarten Geraden des Strahlensystems M = 0 nicht befriedjgen.

16. Durch jeden Punkt p von allgemeiner Lage geht eine einzige Gerade unseres Strahlensystems, und diese Gerade gehört nur eine rn Strahlenbüschel des Komplexes an, dessen Scheitel in p gelegen ist. Also ist es uns gelungen, jedem Punkte des Raumes ein einziges Büschel von Linienelementen der Gleichung