ソリトンと物理学 / Solitons and Physics 9784781999289

Table of contents :
まえがき......Page 2
目次......Page 4
第1編 ソリトンの歴史......Page 8
1.1 運河のほとりで（1834）......Page 9
1.2 浅水波のKdV方程式（1895）......Page 11
1.3 Fermiらの再帰現象（1955）......Page 12
1.4 ソリトンの発見（1965）......Page 15
1.5 KdV方程式の解法の発見（1967）......Page 17
1.6 バーガーズ方程式......Page 19
2.1 ソリトン解......Page 22
2.2 ソリトンの固有値......Page 24
2.3 エネルギー伝達（1967）......Page 27
2.4 非線形破壊......Page 29
3.1 グループの始まり......Page 31
3.2 熱伝導の問題......Page 36
3.3 1次元格子の局在振動......Page 38
3.4 1次元双対系の定理......Page 43
3.5 非線形格子の双対ハミルトニアン......Page 47
第2編 ソリトンの数理......Page 50
4.1 可積分な非線形格子の発見......Page 51
4.2 格子ソリトンの衝突......Page 56
4.3 再帰現象......Page 61
4.4 指数型ポテンシャル......Page 63
4.5 ソリトンのエネルギーなど......Page 67
5.1 1960年代を超えて......Page 69
5.2 力学系のカオス......Page 71
5.3 エノン・ハイレス系......Page 74
5.4 可積分性のテスト......Page 76
5.5 指数格子の保存量......Page 80
5.6 多数のソリトンを含む解......Page 84
5.7 テータ関数......Page 87
付録 楕円関数......Page 91
これからソリトンを学ぶ人へ......Page 99
第3編 物理学とは何か......Page 100
第1章 物理と非物理（ギリシャ科学）......Page 101
第2章 自然（ニュートン力学）......Page 107
第3章 社会（科学がきらわれる理由）......Page 113
第4章 哲学（理論の美しさ）......Page 119
第5章 歴史（地球の年齢）......Page 125
第6章 技術（科学と技術）......Page 131
第7章 情報（熱力学の基礎）......Page 137
第8章 心（創造と意志）......Page 143
第9章 宗教（自然界の階層）......Page 149
第10章 教育（薄膜の物理）......Page 155
第11章 文化（何もない空間）......Page 161
第12章 人間（波と粒子）......Page 167
第13章 生命（生命とは何か）......Page 173
第14章 倫理（進化と退化）......Page 179
第15章 宇宙（相対性理論）......Page 185
第16章 時空（膨張宇宙）......Page 191
第17章 エピローグ......Page 198
索引......Page 204
奥付......Page 206

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SGC ライブラリ-49

ソリトンと物理学

戸田 盛和 著

サイエンス社

まえがき もう 40 年も前のことであるが，著者は非線形格子（やや不正確であるがソリトンといってもよい）の 研究に熱中し，それによって面白いように短期間につぎつぎと困難をのりこえて目標とした成果を挙げ ることができた．いわば精神的に高揚した状態にあったのである．それがどのようにしてもたらされた のか，それはわからないが，その頃のことを記しておくことも研究環境を考えたりするのに役立つかも しれないという気がする．

1960 年代の頃，著者たちは「振動子グループ」とか「格子グループ」とか略称された研究グループをつ くって理論物理学の研究活動をおこなっていた．その趣旨を一言でいえば「厳密で基礎的な理論を目標 とする」というようなことであろうか．不確かな近似計算を正し，すぐに役立つテーマや流行のテーマ を追うよりも研究者が自分で疑問とする深刻な問題を追求することなどともいえると思う．これを京都 大学の基礎物理学研究所で提案し，このグループを結集させたのは京都大学の寺本英教授であった．具 体的な研究課題の一つとして著者が考えたのは力学の時間的可逆性と熱的な平衡状態への近接が両立す ることを，厳密な扱いができる格子模型を用いて明白に証明するという問題であった．そこで結晶格子 の熱伝導を考えると，不純物や格子欠陥のほかに格子振動の非線形を考えなければならないことになる．

1 次元力学系を伝わる非線形の波としてはすでに 19 世紀に発見されている浅水波の孤立波（ソリト ン）があり，これを記述する偏微分方程式は非線形格子振動の方程式に似ている．このように対象を煮 つめた末に著者は厳密な解（周期解やソリトン解）をもつ非線形格子を発明した（1967） ．これは多自由 度の可積分力学系の新しい発見としても注目された． 以上が第 1 編の内容のあらましである． 第 2 編では著者が発明した非線形格子（戸田格子）の運動を数値的に積分したアメリカの J. フォード （Ford）の結果について述べる．これによって明らかにされたなめらかな軌跡は戸田格子の可積分性を 明白に証明するものだったので，これに触発された H. フラシュカ（Flaschka）などが戸田格子の解析 的な積分方法を発見するのに成功した（1974）．これが契機になってその後いろいろの積分方法が見出 され，戸田格子以外の可積分な非線形波動も発見されるにいたった． このように第 2 編はほとんどが外国でなされた仕事である． 第 3 編「物理学とは何か」 （ 『数理科学』2002 年 5 月号∼2004 年 5 月号から転載）では多くの物理学者 の見解や生活などについて述べている．物理といっても学者ごとにちがうものであることを受けとって ほしい．またどのような環境がどのような研究者を育てるのに適したものであろうかと考える読者もあ るだろう．そういうことを若い人には学んでほしいし，よりよい世の中をつくるのに寄与してほしい．

1967 年秋から 68 年春までの半年間，著者は日本学術振興会の援助を得て京都大学に滞在することが できたが，これも寺本さんの尽力によるものであった（彼は 1996 年 2 月に亡くなった）． 後に京大から九州大学の数理生物学教室へ移られた松田博嗣さんには研究のみならずいつも相談相手 になっていただいた．また京都工芸繊維大学の武野正三さんは研究グループに絶えず活力を与えてくれ

たし，さらに多くの研究室の方々にいろいろお世話になり，いろいろと教えていただいた．そして一緒 に学び楽しくすごした当時の若い大学院生諸君にも厚くお礼をいいたい．振動子グループからは相当多 くの研究者が巣立っていった．器用に巣立った人，いくらか不器用に巣立っていった人など，今でも彼 らのことをなつかしく思い出すことがしばしばである． 本書の出版ではサイエンス社の伊崎修通さんに御めんどうをかけた．期限をつけても中々それにした がわない著者に対していつも根気よく待ってくれたのは大変有難かった．

2006 年 5 月 戸田 盛和

ii まえがき

目

次 i

まえがき

第1編

ソリトンの歴史

1

第 1 章 ソリトンの発見

2

1.1

運河のほとりで（1834） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

浅水波の KdV 方程式（1895） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

KdV 方程式とその解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

孤立波解と周期解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Fermi らの再帰現象（1955） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

ソリトンの発見（1965） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

KdV 方程式の解法の発見（1967） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6

バーガーズ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

第 2 章 ソリトンの固有値

2.1

ソリトン解

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

ソリトン解

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

2 ソリトン解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.3

標準的な 2 ソリトン解

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

ソリトンの固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.1

KdV 波の固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2

ソリトン波の固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.3

2 ソリトンの固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.4

N ソリトン波の固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.5

固有値が等間隔の場合

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.6

固有値は保存量である

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

エネルギー伝達（1967） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

非線形破壊

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

第 3 章 格子振動グループの発足

3.1

24

グループの始まり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.1

浅水波の KdV 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1.2

波と粒子とソリトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1.3

ブラウン運動の模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

熱伝導の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3

1 次元格子の局在振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.1

一様な連続体の波動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

規則格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.3

2 原子規則格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3.4

局在振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3.5

無秩序格子の振動スペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1 次元双対系の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4.1

局在振動と双対系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4.2

最も簡単な双対系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.4.3

一般的な双対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

非線形格子の双対ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5.1

41

3.4

3.5

第2編

非線形の場合の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ソリトンの数理

43

第 4 章 非線形格子の理論

4.1

44

可積分な非線形格子の発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.1.1

周期解の発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.1.2

周期波とソリトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.2

格子ソリトンの衝突 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.3

再帰現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.4

指数型ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.4.1

格子振動の模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.4.2

非線形のはしご型回路

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.4.3

最隣接相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

ソリトンのエネルギーなど . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.5

第 5 章 非線形格子の積分

62

5.1

1960 年代を超えて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5.2

力学系のカオス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.2.1

可積分系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.2.2

アトラクタ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2.3

初期値敏感性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

エノン・ハイレス系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.3.1

ポアンカレ写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

可積分性のテスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.3 5.4

iv 目 次

5.4.1

3 次の非線形項がある場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4.2

相互作用が指数型の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.4.3

固定端の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.5

指数格子の保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.6

多数のソリトンを含む解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.6.1

KdV 方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.6.2

指数格子の多ソリトン解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.7.1

周期波とソリトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.7.2

リーマンのテータ関数

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.7.3

周期的指数格子の一般解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.7

テータ関数

付録 楕円関数

84

1

sn 関数，cn 関数，dn 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2

ヤコビの楕円関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3

積分公式

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4

加法定理

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

これからソリトンを学ぶ人へ

92

第3編

93

物理学とは何か

第1章

物理と非物理（ギリシャ科学）

94

第2章

自然（ニュートン力学）

100

第3章

社会（科学がきらわれる理由）

106

第4章

哲学（理論の美しさ）

112

第5章

歴史（地球の年齢）

118

第6章

技術（科学と技術）

124

第7章

情報（熱力学の基礎）

130

第8章

心（創造と意志）

136

第9章

宗教（自然界の階層）

142

第 10 章 教育（薄膜の物理）

148

第 11 章 文化（何もない空間）

154

第 12 章 人間（波と粒子）

160

第 13 章 生命（生命とは何か）

166

第 14 章 倫理（進化と退化）

172

第 15 章 宇宙（相対性理論）

178

第 16 章 時空（膨張宇宙）

184

第 17 章 エピローグ

191 v

索 引

197

コラム

KdV の 2 ソリトン解…11／クルスカル…12／ザブスキー…13／熱化遷移…23／大学院…26／ラグラ ンジュ…29／ルビン…30／フラシュカ…78／可積分力学系…81／デンマークで…82／M. カッツ…

83／プラス・マイナスは約束ごと…99／ビリアル定理…105／物質波…111／コモ湖の思い出…123 ／遠達作用と近接作用…129／磁気は電流によるもの…135／大学卒業の頃…141／プランク定数…

165／すべての法則は近似か…171／科学の危うさ…183／レイリー卿…190／

「数理科学」 （月刊）の連載「物理学とは何か」に掲載されたものを再編集し，これに書き 第 3 編は， 下ろしを加え，構成されています．再録したものについては，増補・訂正を加えてありますことをおこ とわりいたします． 初出一覧 〈＝は原題名〉

（

）は掲載年月号．

第 1 章 物理と非物理（ギリシャ科学） 〈＝プロローグ—物理と非物理〉（’02.05） 第 2 章 自然（ニュートン力学） 〈＝物理と自然〉

（’02.06）

第 3 章 社会（科学がきらわれる理由） 〈＝物理と社会〉

（’02.08）

〈＝物理と哲学〉 第 4 章 哲学（理論の美しさ）

（’02.09）

第 5 章 歴史（地球の年齢） 〈＝物理と歴史〉

（’02.11）

〈＝物理と技術〉 第 6 章 技術（科学と技術）

（’02.12）

第 7 章 情報（熱力学の基礎） 〈＝物理と情報〉

（’03.02）

第 8 章 心（創造と意志） 〈＝物理と心〉

（’03.03）

〈＝物理と宗教〉 第 9 章 宗教（自然界の階層）

（’03.05）

第 10 章 教育（薄膜の物理） 〈＝物理と教育〉

（’03.06）

第 11 章 文化（何もない空間） 〈＝物理と文化〉

（’03.08）

〈＝物理と人間〉 第 12 章 人間（波と粒子）

（’03.09）

第 13 章 生命（生命とは何か） 〈＝物理と生命〉

（’03.11）

第 14 章 倫理（進化と退化） 〈＝物理と倫理〉

（’03.12）

〈＝物理と宇宙〉 第 15 章 宇宙（相対性理論）

（’04.03）

第 16 章 時空（膨張宇宙）

（新 規）

第 17 章 エピローグ

（’04.05）

各編題字・装画＝著者 vi 目 次

第1編

第

1

章

ソリトンの発見

ふつうの波の理論では，波の重ね合わせの原理が出発点になる．簡単な重ね 合わせの原理に従わない波，すなわち非線形波動の研究が粒子性をもった波， ソリトンの発見につながった．100 年以上のソリトンの発見の歴史を振り返る．

1.1 運河のほとりで（1834） ソリトンの起源をたずねると，それが物理学からきたものではなく，もちろ ん数学からきたものでもなく，むしろ工学者のちょっとした発見から由来した ものであることがわかる．

19 世紀の初めスコットランドのエジンバラにラッセル（John Scott Russell, 1808–1882）という船舶工学者がいた．彼は 16 歳でグラスゴー大学を卒業し， その後エジンバラ大学で教えて非常な成功を収めたということである．運河会

図 1.1

葛飾北斎「富嶽三十六景・神奈川沖浪裏」．

図 1.2 運河のほとりのスコット・ラッセル（1834） （画・戸田盛和）．

η

H

h x

図 1.3

浅水波．h = 水の深さ，H = 波高，c = 孤立波の速度．

社のために水路の調査をして繰り返しその報告をすると共に船の抵抗を小さく する研究をしている．その頃はまだ鉄道がなく輸送は主に船に頼っていた時代 であった．

1834 年 8 月に彼は馬に乗って運河のほとりを散歩していたが，たまたま馬に 引かれて進んでいた船が急に止って，そのとき船の舳先に盛り上がっていた水 が船を離れて孤立した波になり，運河に沿って進んで行くのを目にした．その 動きに興味をもった彼が馬を急がせて付いて行くと，孤立した波は形を変えず に何百メートルも進み，運河の曲がったところでようやく認められなくなった （図 1.2）．彼はこの孤立波を研究するために実験水槽を作り，波の盛り上がり の高さと波の速さとの関係や波形などを記録した．この仕事は 150 年以上隔て た今でもしばしば引用される． この発見に対するイギリス学会の大御所たちの反応は様々であったらしい． エアリー関数などで有名な Airy 卿はこれを新しい発見とみなさず，孤立波はラ グランジュ（Lagrange）の線形波動理論に含まれている波と同じものとした． この理論によれば，波高の小さい浅水波は変形もしないで c0 =

√

gh （g は重

力加速度，h は水深）の速さで進む．これに対してラッセルは波高 H の孤立 波は c =

 g(h + H) の速さで進むという実験式を出していて，このほうが正

．流体力学のナビエ・ストークス方程式などで有名なストー しかった（図 1.3） クス（Stokes）卿やレイリー（Rayleigh）卿などはラッセルの発見を支持する 結果を導いている．

60 年ほど経ってオランダのコルテヴェーグとド・フリース（D.J. Korteweg と G. de Vries）はレイリー卿の方法を拡張して浅水波の運動を記述する非線 第 1 章 ソリトンの発見 3

形方程式を得た（1895） ．これをコルテヴェーグ–ド・フリース方程式（略して

KdV 方程式）と言う．彼らはこの方程式を用いてラッセルが発見した孤立波だ けでなく周期的な波も導いている．さらに彼らは孤立波や周期波からのずれが ある場合の波形の時間的変化を論じているが明確な結果を導き出すことはでき なかった．KdV 方程式は非線形なので，それを積分する方法も高速計算機もな かった頃のことなので無理もないことであった． なおスコットラッセルはスコット（Scott）として引用したことがあるが，し かし文献を見てもラッセルというのが本当である（H. ラウス・S. インス著『水 理学史』 （鹿島出版会，昭和 49 年）や Lamb: Hydrodynamics などによる）．

1.2 浅水波の KdV 方程式（1895） 1895 年にオランダの Korteweg とその学生であった de Vries は浅水波の時 間的変化まで記述する方程式を発表した．これが KdV 方程式である．

1.2.1 KdV 方程式とその解 波による水の高まりを η とすると KdV 方程式は

∂η 3 c0 ∂η c0 h 2 ∂ 3 η + η + =0 ∂t 2 h ∂ξ 6 ∂ξ 3 と書ける．ここで c0 はラグランジュが導いた波の速さ（h は水の高さ，g は重 力加速度）

c0 =

 gh

であり，ξ は速度 c0 で波の方向に進む座標

ξ = x − c0 t である（第 2 項は η に関して非線形である）．

1.2.2 孤立波解と周期解 上の KdV 方程式は孤立波解



η = Hsech

2

3H 4h3

  c0 H t ξ− 2h

をもつ．ここで H は孤立波の波高（図 1.3）を表し，c0 H/2h は座標系 ξ に 対する孤立波の速度である．静止した運河の水に対する孤立波の速度 c は

c = c0 + c 0 で与えられる． 4 第 1 編 ソリトンの歴史

 H  g(h + H) 2h

Korteweg らは孤立波だけでなく，KdV 方程式の周期波解も与えている．こ れは楕円関数 cn を用いて書かれているので，周期波解は cnoidal 波と呼ばれる ことがある．正弦波 sinusoidal 波にならった名である．周期波については後に 述べることにする（楕円関数については「付録」を参照のこと）．

1.3 Fermi らの再帰現象（1955） 今からみると，この 50 年間における非線形振動研究の発端はフェルミ（E.

Fermi），パスタ（J. Pasta），ウラム（S. Ulam）の 3 人（略して FPU）の計 算機実験であったと言える．この研究は第 2 次世界大戦中にアメリカのロスア ラモス（Los Alamos）研究所でなされ，1955 年にその研究報告として印刷さ れた．そのため当時の日本ではこの論文を見ることはできなかった．Fermi は

1953 年に亡くなり，1955 年になって Fermi の論文集が発行された．FPU の論 文が見られるようになったのはこれ以後であって，初め東京教育大学の図書室 に入荷された論文集からコピーされ，ようやく日本の研究者に広く知られるよ うになった．こうして，FPU の研究は日本へ到着するまでに 10 年以上かかっ たのである．戦後の混乱がまだ続いていた時代の話である．

Fermi（1901–1954）は有名な原子核物理学者であるが，若いときに統計力学 を研究し，エルゴード問題に関する論文も書いている．これは大雑把に言うと 「閉じた力学系はすべての状態を経過する（エルゴード性） 」という仮説である． 象徴的な図を借りると（図 1.4） ，正方形のビリアード台で 1 個の球が止まるこ となく直進反射を繰り返す（ワイル（Weyl）の撞球と言う）と，それは台上を くまなく一様に通過する（球を撞き出す方向が有理数だといつかは出発点へ戻 るが，無理数であれば一様に通過することになる．無理数は有理数に比べて圧 倒的に多いから方向を勝手に選べば，それは無理数になるので，圧倒的に一様 であると言ってよい）．

1950 年頃，当時発達してきた電子計算機が能力を発揮できるような問題を 試そうと考え，エルゴードの問題をとり上げた．彼は簡単な問題としてたくさ んの球をバネでつないだ 1 次元の格子をとり上げた．もしもバネの力が完全に

図 1.4 ワイルの撞球． 第 1 章 ソリトンの発見 5

（3 ）

（2 ）

（1 ）

図 1.5

固有振動．

バネの伸び縮みに比例する（このときバネは線形であると言う）ならば，格子 を伝わる波は固有振動の単なる重ね合わせとなる．両端を固定しておくと，固 有振動は図 1.5 のように表される．音になぞらえれば，(1) は最も低い固有振 動，(2) はその上の固有振動，(3) はその上の…というわけである．バネが完全 に線形であれば，初めに与えた固有振動はいつまでも保たれる．初めにいくつ もの固有振動を一緒に与えたときは，いつまでもそれらの固有振動がすべて保 たれる． もしもバネが完全に線形でなかったら，一つの固有振動からエネルギーが他 の固有振動に分け与えられることが起こるだろう．これがすべての固有振動の 間で起こるならば，結局はすべての固有振動が同じようにエネルギーをもつ状 態になり，格子の運動はエルゴード的になることが期待される．もっと一般的 には，どんな初期条件から出発しても，放置しておけばエネルギーはすべての 固有振動に均等に分配されることになる．このとき体系はいわゆる熱的平衡状 態にあって，各分子は細かい熱運動の状態になる．このようにマクロ的な運動 がミクロ的な運動へ変化することを熱化と言っている．これは非可逆な変化で ある． 粒子が完全に線形な粒子で結ばれた体系の運動は固有振動の重ね合わせであ るから，エルゴード的でない．実際の結晶を放置すれば一様の温度になるのは 分子間の力が非線形であるからである．

Fermi は電子計算機を使えば非線形格子のエルゴード性を示すことができる に違いないと考え数学者の Ulam と物理学者の Pasta と，1 次元非線形格子に ．その結果は 1955 年にロスアラモスの研究 対する計算機実験を行った（FPU） 所報告に発表されたが，その結果は Fermi らの予想に反するものであった．し かしこれは最近の非線形現象の研究の端緒となり，ソリトン発見への導火線と なったのである．

Fermi らは 16 個，あるいは 64 個の粒子をバネで結んだ 1 次元系を調べた． バネの力は線形項にいくつかのタイプの非線形項を加えたものである．彼らは 6 第 1 編 ソリトンの歴史

300

1

16

1 2

3

4 変位

200 4

0

−6 1,000 5 5 2 3 0

5

5

2

14,000

−12 −16

20

10

30

0

1,000 サイクルを単位とした時間 図 1.6

28,311 19,000 10,000 12,000

−4

4

100

0

22,000

8

3 エネルギー

12

各固有振動（1, 3, 5, 7．図 1.5 参照）の

図 1.7

2

4

6 8 10 12 各粒子の位置

14

16

1,000, 10,000, · · · , 22,000, 28,311 サ

エネルギーをサイクル（時間）に対して

イクルのときの各粒子の変位を波形で

プロットした図．

表した図．

非線形項のために熱化の現象が起こることを予期したのであるが，バネの非線 形性にも関わらず，初めに励起した状態が繰り返し再現されることが示された． これを FPU の再帰現象と言う． 計算結果の一例を図 1.6 に示す．横軸は時間（計算機のサイクル）であり， 約 30,000 サイクルまでが示されている．縦軸は各固有振動のエネルギーを示 す．そのスケールは計算機の尺度で初期条件として最低の固有振動に与えた全 エネルギーを 300 としている．最低の固有振動がもつエネルギーは 1 と書いた 曲線で示されているが，これは初めの約 6,000 サイクルの間に固有振動 2, 3, 4,

5 に分け与えられるが，しかし約 10,000 サイクルのときに大部のエネルギーが 固有振動 2 に集中している．ついで約 20,000 サイクルのとき固有振動 3 に集 中してから，約 30,000 サイクルのときに全エネルギーがほとんど 1 へ戻って いる．この再帰時間は約 30,000 サイクルである．非線形項を強くしたり非線 形項の形を変えたりしても，同様の再帰現象が起こることが示される． 上記の再帰時間が約 30,000 サイクルの場合に，格子の振動の振れ幅を図示 すると図 1.7 のようになる．この図で 1,000 サイクルと記したときは全エネル ギーが最低の固有振動に集中している．それが 14,000 サイクルでは第 2 の固 有振動が著しくなり，28,311 サイクルではエネルギーがほとんど全部最低の固 有振動へ戻っている．

FPU の再帰現象はその後多くの人によって確かめられた．厳密に言えばお そらく十分長い時間の間には初期状態への再帰が次第に不正確になってしまう のが一般であろうと思われる．しかし，いくらか不正確であるにせよ，1 次元 の非線形格子が再帰性をもつことは認めなければならないと思う．斎藤信彦， 第 1 章 ソリトンの発見 7

J. フォード．

左から斎藤信彦，著者，

W.M. ヴィッシャー（右）．

コモ湖にて（1976）．

フォード（J. Ford），後に示すヴィッシャー（W.M. Visscher）などはいろい ろの観点から再帰性を吟味した．それらの成果を調べた結果，私は次のような 信念に到達したのであった． 多くの場合 1 次元の非線形格子の運動は次第にストカスティックになってい くであろう．しかしこのことは完全な再帰現象を起こすような非線形相互作用 が存在すること，言い換えれば積分可能な 1 次元非線形格子の存在を妨げるも のではない（存在するに違いない），という信念である．

1.4 ソリトンの発見（1965） 非線形格子に対して連続体近似をとると KdV が導かれることは容易にわか る．例えば，非線形格子の周期波の山を中央に置いておき，周期波の波長を無 限に大きくしていった極限を適当に求めれば非線形格子の孤立波を導くことが できる．また非線形格子の周期波で格子間隔が波長に比べて非常に小さいとし て連続体近似をとれば KdV 方程式の周期波を導くことができることも容易に 示される． 非線形格子に比べて KdV 方程式のほうがはるかに計算が簡単であり，波動 の非線形効果も容易に理解できる場合が多い．

KdV 方程式にはさらに一つの利点がある．それは尺度の変換が自由なこと である．空間の尺度，時間の尺度，それらの符号を好きなように変えても解の 性質は変わらないということである． 例えば KdV 方程式で時間 t，長さ x，波の振幅 η（あるいは u）の尺度や符 号を変えて

∂u ∂u ∂ 3 u −u + =0 ∂t ∂x ∂x3 とすることもできる．各項の係数や符号を任意にとっても KdV 方程式の内容 8 第 1 編 ソリトンの歴史

3.0 ① ②

2.0

C

③

④ u

⑤

1.0 ⑥ ⑦ ⑧

0

−1.0

A

B 0

1.0

0.5

1.5

図 1.8 Zabusky–Kruskal による KdV 方程式の計算機実験．A（ （

）ある時間後，C（

2.0

）初期値，B

）ソリトンに分離したとき（t = 0.1tR ）．

（解など）は変わらない．しかし係数のとり方によっては孤立解の形が簡単に なり，理論の展開が便利になるという利点も生まれる．実際，以下で上の形の

KdV 方程式を用いることが多い． 前節で述べたように，Fermi，Pasta，Ulam（FPU）は非線形格子の振動を 電子計算機で調べ，いわゆる再帰現象を発見した．彼らは非線形性によってこ の体系はやがて熱平衡の状態になると期待したのであるが，体系はしばらくし て初期状態に戻ってしまうことを発見したのであった． ザブスキー（N. Zabusky）とクルスカル（M. Kruskal）は非線形格子を連 続体近似した KdV 方程式でも同様の再帰現象が起こるのではないかと考えて 数値計算を行い，これを確認した（1965）．この計算において，彼らは周期条 件を加えた KdV 系に滑らかな初期条件を与えて出発したのであるが，この初 期の波形はたちまち 8 個ぐらいの大小の孤立波の集まりになり，これらの孤立 波は互いにほとんど独立に進行することが発見された（図 1.8）．Zabusky と

Kruskal はこのような孤立波を「ソリトン」と命名した．2 個のソリトンが衝 突すると，一時合体するが，すぐにもとの波形をとり戻して進行する（この現 象については 4.3 節で再び述べる）．ソリトンは衝突しても壊れたり消滅した りしないのである．彼らが与えた初期条件はソリトンが多すぎて十分分離して いなかったらしいが，ソリトンのきわだった振舞いを示すには十分であったと 思われる．とにかくこれは計算機実験が新しい概念へ導いた素晴らしい発見の 一つであった（図 1.9 a, b）．

KdV 波の運動がソリトンの集りとして理解できるであろうという見通しが生 じた．線形の波動は重ね合わせの原理（フーリエの原理）によって解釈される のに対し，非線形波動の特長はソリトンを要素として理解できる． 第 1 章 ソリトンの発見 9

tR 1.0

tR 再帰時間

① ① ② ③ ④ ⑤

⑨

⑦⑧ ⑨ ⑥

5／6 4／5

⑨

⑧⑧ ⑥ ③

② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦⑧

3／4

① ⑦⑦

⑤

2／3

⑨ ⑨ ⑥⑥ ⑧ ④ ⑤ ③ ① ⑧ ⑥

①

③ ⑤⑦ ⑨

② ④ ⑥ ⑧ ①

⑧ ⑥

tR ／3

⑥ ⑨

⑨

⑦ ③ ⑥

tR ／4 tR ／5 tR ／6 0.1tR

0

⑧ ⑥④ ②

⑨

ソリトン の振幅

時 間 0.5tR

② ⑦

⑦

②

⑤

①

⑧

⑦

⑧

⑨

A

1／3 1／4

⑧

1／5 1／6

⑨

⑥ ③ ② ① ⑨ ⑧ ⑦

時 間 1／2 B

③ ②

⑤ ④

⑦⑥⑤ ④ ① ⑧

0 3.40

0.5 1.0 1.5 2.0 距離

t＝0

ソリトン①， ②… x0 の位置

図 1.9 (a) KdV 方程式における再帰現

図 1.9 (b) 簡略化したソリトンの経

象．0.5tR より下は Zabusky–

路図（ソリトンどうしの

Kruskal の計算結果．その上半

衝突による経路のずれを

分はこれを切り張りして時刻

省略した図）．

tR における再帰を分かりやす くしたもの．

1.5 KdV 方程式の解法の発見（1967） 1967 年にはガードナー（C.S. Gardner），グリーン（J.M. Greene），クルス カル（M.D. Kruskal）とミウラ（R. Miura） （合わせて（GGKM） ）は共著論文 で KdV 方程式を解く方法を発表した．これは逆散乱法と呼ばれるようになっ た方法である．当時 Kruskal などはプリンストン大学にいたので GGKM はプ リンストングループと言ってよいと思うが，この論文に先だってミウラ変換と 呼ばれる発見や，これに触発されて発見された「ソリトンの固有値」 （2.2 節参 照）などの研究の発表があったはずである．実際これらは GGKM より後にま とめて発表された．研究の発展速度が著しかったために，このような出版時刻 の逆転が起こったものと思う． 10 第 1 編 ソリトンの歴史

KdV の 2 ソリトン解 思い出話をひとつ． しかし海外からの情報が有意義な場合ももちろんあり得る．それは 2 つのソリ トンを含む解（2 ソリトン解）の場合に起こった． あるとき，数学者ラックス（P.D. Lax）の論文だったと記憶しているのだが，そ の中に 2 つの孤立波（ソリトン）を含む KdV 波として

u(x, t) = 12

3 + 4 cosh(2x − 8t) + cosh(4x − 64t) [cosh(3x − 36t) + 3 cosh(x − 28t)]2

という式が書いてあった．しかしこの解がどのようにして得られたかなどという説 明はなかった． その当時，2 つの孤立波（ソリトン）を含む非線形格子の解を発見したいと思っ ていた私は，このちょっと複雑な式に魅力を感じて，ここに解決の鍵を見出せるの ではないかと，長い間この式を眺めていたが，そのうちふと，これは何かある式を

x で微分したものではないかと感じるようになった．そこで次のような試し算をし てみる． この場合，時間 t はおそらく問題外だからこれを略して分母の log をとり，それ を微分してみると

sinh 3x + sinh x d log[cosh 3x + 3 cosh x] = 3 dx cosh 3x + 3 cosh x となり，もう一度微分してみると（長い計算の後に）

36 + 48 cosh 2x + 12 cosh 4x (cosh 3x + 3 cosh x)2 を得る．これは上式の u(x, 0) と同じである．時間 t を入れておいても

u(x, t) = 2

∂2 log[cosh(3x − 36t) + 3 cosh(x − 28t)] ∂x2

が成り立っていることが確かめられる． なお，この場合の解 u(x, t) では KdV 方程式を

∂u ∂u ∂3u =0 + 6u + ∂t ∂x ∂x3 としていることに注意しておこう．

1950 年代の Fermi・Pasta・Ulam（FPU）の研究報告は長い間見ることがで きなかったという話をしたが，これは 1955 年に Fermi の全集が発刊されてか ら手に入るようになり，その後さらに 10 年を経た 1965 年頃には Phys. Rev. やプレプリントがすぐに入手できるようになった．便利になったが，忙しくな りすぎたという感じもするようになってきた．湯川先生や朝永先生の有名な研 究はいずれも第 2 次世界大戦のために海外の論文が入手しにくくなった時期に なされたものであった．

第 1 章 ソリトンの発見 11

クルスカル 初めてクルスカル（Martin D. Kruskal）を訪ね たのはプリンストン大学のプラズマ研究所で，1970 年のことだったと記憶している．そのときは彼の 協力研究者 Greene たち何人かに紹介された．その 後 1979 年にもプリンストンへ行ったが，彼はその とき大学の数学・天文学教室へ移っていた．フラ シュカもアリゾナからやってきて，フランス人の ラマニと一緒に私の話を聞いていた．講演が終っ たとき，お年寄りらしい人が寄ってきて， 「有名な シュワルツシルトの息子です」と言うのでその人 の部屋で少し仕事上の話をしたが，非線形格子と 直接関係のある話はなかった（ 「有名なシュワルツ

クルスカル （プリンストンにて）．

シルト」というのは，アインシュタインの重力方程 式の厳密解を初めて与えた K. Schwarzschild である．彼がこれを導いたのは 1916 年で，そのとき彼は 43 歳であった）． この訪問のときだったと思うが，クルスカルの母上の誕生会に参加したことが ある．母上はミセス・オッペンハイマーと言って，[ あの有名な物理学者のオッペ ンハイマーの親戚であると聞いた．ミセス・オッペンハイマーは米国折り紙協会の 会長（当時）であった．誕生日を祝って 30 人ぐらいが集まり，にぎやかで楽しい パーティーであった． 講演会などで見掛けるクルスカル教授は T シャツなどの気取らない服装で，一 番前に近い席にいて，首のうしろに U 字型の枕をあて，座ったまま寝ているよう な格好をしていることが多かった．そしてそのままの格好で講演者に大きな声で質 問をする．そのため彼がどこに座っているか，すぐわかるというものである． 申し忘れたが，クルスカル教授は Kruskal 時空などで，一般相対性理論の分野で も有名である．

1.6 バーガーズ方程式 流体力学における粘性流体のナビエ・ストークス方程式の x 成分を書いてみ ると

∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w =μ ∂t ∂x ∂y ∂z



∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z

 −

1 ∂p ρ ∂x

(1.1)

である（μ は動粘性率）．流れを x 方向に限ると（p = 0 として）

∂u ∂u ∂2u +u =μ 2 ∂t ∂x ∂x

(1.2)

となる．これは u について最も簡単な非線形方程式であろう．バーガーズ（Burg-

ers）方程式と呼ばれる．1 次元粘性流体のモデルとして，また厳密解が与えら れるものとして有名である． 12 第 1 編 ソリトンの歴史

ザブスキー 宇宙の物質の大部分はプラズマであると言われ ていて，プラズマの研究が重要であるのは当然 である．名古屋大学にプラズマ研究所があって， その研究会によく参加したこともあった．プラ ズマ波の非線形効果に関する研究にもいくつか すぐれたものがあったのを覚えている． ザブスキー（Norman J. Zabusky）は早くか ら非線形波動の研究に携っていた．その意味で 彼はこの分野におけるパイオニアの一人である． ザブスキーはベル研究所でプラズマ波の理論に携 り，非線形波動の基礎へ入っていったのだろう．

ザブスキー（1983）．

彼はフェルミらが発見した非線形格子波の再帰 現象（FPU）は連続体の非線形波においても同じように起こるに違いないと予見し た．彼はまず非線形格子の運動方程式は連続体近似でいわゆるブシネ（Boussinesq） 方程式

∂2u ∂2u ∂2 2 ∂4u − − (u ) + =0 ∂t2 ∂x2 ∂x2 ∂x4 になることを知った．それからクルスカルとの共同研究に入り，ブシネ方程式が， さらに簡単にすると KdV 方程式になることを知った（のであろう）．こうして彼 らは FPU の再帰現象が KdV においても起こることを予想して KdV 方程式を数 値計算にかけて，その結果からソリトンを発見したのであった．

1968 年に京都で催された統計力学国際会議に出席したザブスキー，モントロー ル（Montroll），ヴィッシャー（Visscher）などはもちろん私の発明した非線形格 子を予めプレプリントなどで知っていた．ザブスキーはそれを exponential lattice （指数格子）と呼んだ．Toda lattice と呼んだのはフォード（J. Ford）である．

実際

u = −2μ

∂ log θ ∂x

(1.3)

（Cole–Hopf 変換）とおくとバーガーズ方程式 (1.2) は

∂θ ∂2θ =μ 2 ∂t ∂x

(1.4)

となる．これは 1 次元の熱伝導方程式であり，線形の方程式であって厳密解が 求められる．バーガーズ方程式は実は非線形ではないのである． このように一見非線形らしく見えても非線形とは限らないということもある． また，μ = 0 とするとバーガーズ方程式は

∂u ∂u +u =0 ∂t ∂x

(1.5) 第 1 章 ソリトンの発見 13

u

δu t

t＋δt

x δx

図 1.10 バーガーズ方程式．

となるが，これは f (x) を t = 0 における u の値として

u = f (x − ut)

(1.6)

によって満たされる．なぜならばこのとき

  ∂u ∂(x − ut)  ∂u = f = − t − u f , ∂t ∂t ∂t   ∂u ∂(x − ut)  ∂u = f = 1− t f . ∂x ∂x ∂x

これから



∂u ∂u +u ∂t ∂x



(1 + tf  ) = 0

(1.7)

(1.8)

を得る．したがって u = f (x − ut) は ∂u/∂t + u∂u/∂x = 0 を満足する． この式は書き直すと

δu =

∂u ∂u δt = − uδt ∂t ∂x

(1.9)

となり，曲線 u = u(x, t) が x 軸に平行に速度 u （時間 δt に δx = uδt）で 動くことを記している（図 1.10）．この図のように ∂u/∂x < 0 のところがあ ると，u(x, t) は時間が経つと多価関数になる．

KdV 方程式はバーガーズ方程式によく似た形をしているので Cole–Hopf 変 換のように線形化する方法はないかと吟味された．しかしそのような便利なも のは発見されていない．しかしこの吟味の中からソリトンが固有値をもつこと が発見され，KdV 方程式の積分方法（逆散乱法）も発見されたのであった．

14 第 1 編 ソリトンの歴史

第

2

章

ソリトンの固有値

2.1 ソリトン解 N 個のソリトンのみからなる解を N ソリトン解と言う．KdV 方程式を ∂u ∂u ∂ 3 u + 6u + =0 ∂t ∂x ∂x3

(1.10)

としたときの N ソリトン解は

u=2

∂2 log det BN ∂x2

(1.11)

と書ける．ここで BN は N 行 N 列の行列

BN =

 δij +

ci cj ηi +ηj e κi + κj



.

(1.12)

ただし

ηi = κi x − 4κ3i t であり det BN はその行列式である．また δii = 1, δij = 0(i = j) はクロネッ カーの δ 関数，κi (i = 1, 2, · · · , N ) は i 番目のソリトンの強さ（大きさ）を表 すパラメータ，ci はソリトンの位置に関係したパラメータである．

2.1.1 ソリトン解 u(x, t) = 2κ2 sech2 (κx − 4κ3 t + δ)

(c = eδ ).

ただし c = eδ と書いた．このソリトンは

B1 = cosh(κx − 4κ3 t + δ), あるいは

B1 = 1 + あるいは

c2 2(κx−4κ3 t) e , 2κ

B1 = 1 +

c2 −2(κx−4κ3 t) e 2κ

で表される（同じソリトン u(x, t) を与える）．

2.1.2 2 ソリトン解 KdV 方程式の解を u(x, t) = 2

∂2 log ϕ(x, t) ∂x2

(1.13)

ただし

ϕ(x, t) = 1 + A1 e2η1 + A2 e2η2 + A3 e2(η1 +η2 ) , η1 = κ1 x − 4κ31 t,

η2 = κ2 x − 4κ32 t

とおき， これが (1.10) を満足するような A1 , A2 , A3 と κ1 , κ2 の関係を求めると

 A3 =

κ2 − κ1 κ1 + κ2

2 A1 A2

となる．係数比 A3 /A1 A2 が定まり，A1 , A2 の任意性は残る．例えば

A1 =

c21 , 2κ1

A2 =

c22 2κ2

としてもよい．この場合は

A3 =

c21 c22 4κ1 κ2



κ2 − κ1 κ1 + κ2

2

となり

    ϕ(x, t) =   

1+

c21 2η1 e 2κ1

c2 c1 η2 +η1 e κ2 + κ1

c1 c2 η1 +η2 e κ1 + κ2 c2 1 + 2 e2η2 2κ2

     = det B2 .   

これは確かに (1.12) を与える．

2.1.3 標準的な 2 ソリトン解 上式から

det B2 = 1 +

c21 2η1 c2 c2 c 2 e + 2 e2η2 + 1 2 2κ1 2κ2 4κ1 κ2



κ2 − κ1 κ1 + κ2

2

e2(η1 +η2 )

であるが，ここで特に

κ1 = 1,

κ2 = 2,

c21 = 6,

c22 = 12,

η1 = x − 4t,

η2 = 2(x − 16t)

としてもよく

det B2 = 1 + 3e2η1 + 3e2η2 + e2(η1 +η2 ) となる． ここで (1.13) が先に述べた標準的 2 ソリトン解（p.11 のコラム） 16 第 1 編 ソリトンの歴史

(1.14)

3 + 4 cosh(2x − 8t) + cosh(4x − 64t) [cosh(3x − 36t) + 3 cosh(x − 28t)]2 ∂2 = 2 2 log[cosh(3x − 36t) + 3 cosh(x − 28t)] ∂x ∂2 = 2 2 log[cosh(η1 + η2 ) + 3 cosh(η2 − η1 )] ∂x

u(x, t) = 12

(1.15)

と同じ結果を与えることを示そう．双曲線関数の公式により

cosh(η1 + η2 ) + 3 cosh(η2 − η1 ) = cosh η1 cosh η2 + sinh η1 sinh η2 + 3[cosh η1 cosh η2 − sinh η1 sinh η2 ] = 4 cosh η1 cosh η2 − 2 sinh η1 sinh η2 1 = (eη1 + e−η1 )(eη2 + e−η2 ) − (eη1 − e−η1 )(eη2 − e−η2 ) 2 1 −η1 −η2 2η1 2η2 =e {(e + 1)(e + 1) − (e2η1 − 1)(e2η2 − 1)} 2 1 −η1 −η2 2η1 2η2 2(η1 +η2 ) [2{1 + e + e + e } = e 2 −{1 − e2η1 − e2η2 + e2(η1 +η2 ) }] 1 = e−η1 −η2 {1 + 3e2η1 + 3e2η2 + e2(η1 +η2 ) } (1.16) 2 ここで最後の式の因子 e−η1 −η2 /2 は (1.15) において何も寄与しないので無視 してよい．したがって (1.14) は (1.16) と同等に作用することが示された．

2.2 ソリトンの固有値 KdV 方程式を ∂u ∂u ∂ 3 u − 6u + =0 ∂t ∂x ∂x3

(1.17)

とする．ここで第 2 項の符号をマイナスにすることができるのは，係数と符号 を任意に変えても KdV 方程式の本質は変わらないという事実を利用している のだが，−6 としたのは u が次に述べる固有値問題が簡単に書けるように係数 を選んだのである．

2.2.1 KdV 波の固有値 ここで天下り式であるが，上の KdV 波 (1.17) に付随する固有値方程式（KdV 波の固有値方程式）として

  ∂2 − 2 + u ψ = λψ ∂x

(1.18)

を考える．境界条件は x → ±∞ で ψ(x) → 0 とする． 第 2 章 ソリトンの固有値 17

このとき次の定理が成り立つ．

u(x, t) が KdV 方程式 (1.17) にしたがって時間的空間的に変化するとき， t をパラメータとする方程式 (1.18) の固有値 λ はすべて一定に保たれる （λ は t によらない．これを KdV 波に付随する固有値（略して KdV 波の 固有値）と呼ぶことにしよう）． 方程式 (1.18) は量子力学のシュレーディンガー方程式と同形なのでシュレー ディンガー方程式と呼ばれる．ここで KdV 波 u(x, t) はポテンシャルに相当 する．

2.2.2 ソリトン波の固有値 ただ 1 個のソリトン

u(x, t) = −2κ2 sech2 (κx − 4κ3 t + δ) がある場合，その深さは −2κ2 であり，固有値 λ はその半分，すなわち

λ = −κ2 であることが示される（図 1.11）．なおこのとき固有関数は

ψ(x) = C sech[κ(x − x0 )] で与えられる．ただし C は任意の定数であり，x0 はソリトン u(x, t) の中心の

x 座標である．

λ＝−κ2

−2κ2

図 1.11

ソリトンの固有値 λ．

2.2.3 2 ソリトンの固有値 すでに述べたように 2 個のソリトンを含む KdV 波は例えば

u(x, t) = 12

3 + 4 cosh(2x − 8t) + cosh(4x − 64t) [cosh(3x − 36t) + 3 cosh(x − 28t)]2

で与えられる．その初期値（t = 0 の値）は

u(x, 0) = −6 sech2 x であって，これに対する固有値は 2 つあり，

λ1 = −1,

λ2 = −2

で与えられる（図 1.12） ．この場合，時間が経つにつれて波形は変形し，2 個の ソリトンの衝突を表すのである． 18 第 1 編 ソリトンの歴史

t ＜0

λ1＝−1

λ2＝−2

t ＝0

t ＞0

λ1

λ1

λ1

λ2

λ2

λ2

図 1.12 2 個のソリトンと固有値 λ1 , λ2 ．ソリトンは衝突のとき変形するがソリトン の固有値（λ1 , λ2 ）は不変（保存量）．

2.2.4 N ソリトン波の固有値 u(x, 0) = −N (N + 1)sech2 x (N は正の整数) であれば，その固有値は N 個あって

λ1 = −1,

λ2 = −22 ,

λ3 = −32 ,

λN = −N 2

··· ,

であることが示される． この場合も時間が経つにつれて波形は KdV 方程式にしたがって変形するが， 固有値は不変に保たれ，N 個のソリトンの運動を与えることになる．

2.2.5 固有値が等間隔の場合 初期の波形が

u(x, 0) = a2 x2

(1.19)

の場合の固有値は等間隔である．それはハミルトニアンが

H=

mω 2 2 p2 + x 2m 2

の単振子のエネルギー固有値が (n + 12 )ω であることを考えて，シュレーディ ンガー方程式を書くと

    2 d2 1 mω 2 2 x ψ = n+ ωψ − + 2m dx2 2 2

(1.20)

となる．ここで変換

√

ξ=

2m x, 

a=

ω 2

を行うと (1.20) は

  d2 2 2 − 2 + a ξ ψ = (2n + 1)aψ dξ となる．これと (1.19) に付随する固有値方程式 第 2 章 ソリトンの固有値 19

  ∂2 − 2 + a2 ψ = λψ ∂x とを比べれば (1.19) に対する固有値は

λ = (2n + 1)a であることがわかる．

2.2.6 固有値は保存量である u(x, t) が KdV 方程式にしたがって変化する KdV 波であるとき，固有値方 程式

  ∂2 − 2 + u(x, t) ψ = λψ ∂x

(1.21)

の固有値 λ は時間によらないことが示されることを示しておこう．すなわち

dλ =0 dt であることを示す． ［証明］ まず固有値方程式 (1.21) を書き直して

u=λ+

ψxx ψ

(1.22)

とする（ここで ψxx = ∂ 2 ψ/∂x2 と書いた） ．同様に λt = dλ/dt，ux = ∂u/∂x，

uxxx = ∂ 3 u/∂x3 などと書く．これらの微係数を計算してうまくまとめると λt ψ 2 + [ψQx − ψx Q]x = 0

(1.23)

を得る．ここで

Q = ψt + ψxxx − 3(u + λ)ψx と書いた．

(1.23) の第 2 項は x について完全微分になっているから x で積分すると体  系が周期条件か無限遠で u が消える条件の下で，λt ψ 2 dx = 0 となる．した がって dλ/dt = 0．すなわち固有値 λ は時間によらない． このように，KdV 方程式に付随するシュレーディンガー型の固有値方程式の 固有値は時間によらない．KdV の初期値 u(x, 0) が与えられれば固有値はすべ て与えられる．N 個のソリトンが存在するときは N 本の固有値があり，これ らのソリトンが近づき，衝突し，離れる過程において，N 本の固有値は変わら ずそれぞれ一定に保たれる．KdV 場の時間的発展は固有値保存の変形なので ある．

（証終）

2.3 エネルギー伝達（1967） 2 次元の結晶格子模型を用いて波の伝播を数値的に調べたのはヴィッシャー （W.M. Visscher, ロスアラモス研究所）であった．その結果は映画および解説 20 第 1 編 ソリトンの歴史

j＝1

2

固 定 端

10

i＝1

2

図 1.13

・

・

・

49

50

2 次元格子（j 方向には周期条件）．

として 1967 年の会議で報告されている（図 1.13）． 結晶格子の粒子間相互作用が非線形であると格子を伝わる波は互いに散乱し， そのためにエネルギーの流れは阻害されると考えられていた．しかし Visscher の計算機実験によると不純物が多数入った非線形格子のエネルギー伝達は同様 に不純物の入った線形格子よりもかえってよい場合が多く，非線形性はむしろ エネルギーの伝達をよくすることが明らかにされた．これは計算機実験が常識 あるいは直観と異なる新事実を示す典型的な例の一つであった． 現在の知識では，非線形のためにソリトンがエネルギーを伝え，ソリトンの進 行は不純物によってあまり阻害されないことが，非線形格子のエネルギーの流れ を高める役をしていると解釈される．実際 Visscher の計算結果を表す図 1.14 では小さな波よりも速く伝わるソリトンが明らかに現れていた．しかしこの計 算からソリトンの概念を考え出した人は一人もいなかったのである． 図 1.14 は Visscher の実験結果の一例である．(a) は線形格子，(b) は非線形 格子．右手前にパルスを与えたときの波の伝播（同じ時間） ．(b) で先頭を進む のはソリトンであろう． （共に重い不純物原子が 15%入った格子）． なお，ふつうの物質では，熱エネルギーの流れが温度勾配に比例するという

（a ）

（b ）

図 1.14 右下にパルスを与えてから，同時間経った後の 15%の重い不純物を含む格子 へのエネルギー伝達．(a) は線形格子，(b) は非線形格子．（Visscher らに よる）． 第 2 章 ソリトンの固有値 21

フーリエの法則が成り立つが，上に述べた簡単なモデルでは，フーリエの法則 は成り立たない．

2.4 非線形破壊 非線形波動が特有な破壊現象を起こす可能性があるのではないか，と考えて 数値計算をしてもらったことがある． 指数格子のすべてのバネが，引っぱったときにある臨界の力で切れてしまう， としておく．一般に，コンクリートの建物や橋などは引き伸ばされたときに切 断しやすいと考えられるから，これは破壊現象の一つのモデルになっているの ではないだろうか（図 1.15）． ここで考える構造は固定端と自由端をもっているとする．この系を伝播する ソリトンは圧縮波であるが，固定端では同振幅の圧縮波として反射される．自 由端では，伸長波として反射されるが，このとき入射波と反射波とが自由端の 近くで干渉すると大きな振幅になるためにバネの破壊が起こると思われる．す ると新たな自由端ができて，そこで反射した波がさらに破壊を起こす．こうし て同じような現象が繰り返されて，次々と破壊が起こるのではなかろうか． 臨界張力を fc = 0.92 とし，これより少し小さい張力 fi = 0.90 を全体に与 えておき，自由端をハサミで切った後の時間的変化をシミュレートした．その 結果の一例を図 1.16 に示す．時間の原点は自由端を切断した瞬間にしてある． 波は一度固定端まで行って往復したときに最初の切断が起こり，次いで自由端の 近くで数回の連続切断 A, B, · · · が生じている．これは予想通りのようである． しかし，破壊がいったんやんでからしばらくして第 2 回目の連続切断が起こ る．C, D, · · · というようなことが，だんだん頻繁に起こるようになり，格子は 細かく切れてしまう． だいたい予想した通りのようであるが，自由端でないところでも切断が生じ ているように見える．これは次のように考えられるかもしれない．Zabusky と

300 N M K

200

J I

G F

H E

D C

100

時 間 t

L

φ（r）

B

0

図 1.15

rc

切断のあるポテンシャル．

22 第 1 編 ソリトンの歴史

X A

r

図 1.16

0 f0

40 個の要素からなる非線形格子の破壊の例．

u t＝0

1 0

1

2

x

−1 u t＝tB

1 x

0 −1 u t＝3.6t

1 0

x

−1 −2

図 1.17 正弦波の初期条件からのソリトンの出現．

Kruskal のソリトンを発見した数値実験では，初期条件として滑らかな波 cosπx を与えたのが，次第に鋭いソリトンに変化している．このとき歪みは初期値の 約 2 倍に達する（図 1.17 下の図） ．このソリトンは圧縮波パルスであると思わ れるが，これが格子を細かく切断しているのかもしれない．そうであれば，こ れこそソリトンにふさわしい破壊現象である． 大きな建物や橋などでこのような非線形破壊が生じないことを念願する． もちろん上述の計算はいろいろな条件の下に詳しく吟味する必要がある．

熱化遷移 一様な固体の中の振動，あるいはプールの水の水面の波を考えよう（もっと簡単 に両端を固定した一様なひもの振動でもよい） ． 簡単な波は波動方程式 2 ∂2u 2∂ u = c ∂t2 ∂x2

で記述される．しかしこの振動はいつまでも続くわけではなく，次第に減衰する． そして（外へエネルギーが逃げないとすると）エネルギーは熱振動に変わる．熱は 熱伝導方程式

∂v ∂2v =D 2 ∂t ∂x で記述される．この物体の中の運動の様相をマクロ的に捉えると 波動方程式 → 熱伝導方程式 ということになる．この 2 つの方程式を一つにまとめて記述するミクロ的な立場 はつくれないであろうか．

第 2 章 ソリトンの固有値 23

第

3

章

格子振動グループの発足

1960 年代の初めの頃に戻ろう．その頃，結晶格子の振動をモデル化して，不 純物を含む体系の局在振動や非線形波動を厳密に扱うことによって数理物理学 に寄与しようとする研究グループが生まれ，10 年以上にわたって著しい成果を 挙げることができた．

3.1 グループの始まり 物理の理論では，自然を記述する理論式があり，これを解くという問題があ る．理論式は自然をモデル化したもので，そのためにある程度の省略，あるい は近似を含む．また理論式を解くときに近似が入ることが多いが，これらのた めの不確かさはできるだけ避けたいものである．

1950 年代には，少量の不純物を加えることによって半導体の性質を微妙に変 える研究が盛んであった．これを遂行するには，電子準位のギャップにできる 不純物準位に関する正確な理論が必要であった．この場合，ある近似解によれ ば不純物は電子帯の端をぼやけさせることになるが，電子計算機を用いた結果 によれば，不純物準位のスペクトルには鋭いピークをもつことが期待された． 半導体の電子状態の不純物による変化をモデル化した理論は，不純物を含む 結晶の格子振動の理論によく似ている．そして後者のほうがより簡単であるこ とが知られている． その頃，イギリスのディーン（P. Dean）たちは，当時盛んになり出した電 子計算機を用い，不純物の入った格子の固有振動のスペクトルを厳密に調べた． その結果によれば格子振動は軽い不純物によって生ずる鋭いスペクトルをもち， 振幅自身が軽い不純物のところで鋭い山をもつことが示された．このような局 在振動は，2 次元や 3 次元の格子よりも 1 次元の格子において著しく現れる． 一般に摂動計算に付随しがちな不確かさを避けて，厳密な取扱いを研究しよ うとする動きもあった．それは当時 1950 年代に電子計算機やそれによって得

寺本 英（1967）．

松田博嗣（1967）．

京都大学基礎物理学研究所（湯川記念館） ．

られる結果の映像化技術の発達に助けられたということもある．1950 年代の終 りには寺本英さん（京都大学）の呼びかけによって厳密解法を志す人たちのグ ループができた．初めこれは 10 人程度であったが，研究会を毎年，京都大学基 礎物理学研究所（湯川記念館）で開き，次第に大きなグループに発達した．研 究の具体的な対象として，初めは不純物の入った結晶格子が主になったので， このグループは「格子振動グループ」とか，少し後にソリトンの研究が目立つ ようになったので「ソリトングループ」とか呼ばれるようになった．また 1960 年代の半ばからは非線形波動の研究が盛んになったので， 「非線形グループ」な どとも呼ばれ，物理学会の研究会においてはそのような名前の分野として認知 されるようになった． 電子計算機はこの時代に大きな発展を遂げ，科学全体に世界的な改新をもた らしつつあった．歴史的に見れば，科学に観察と実験がとり入れられて以来の 大改革であったと言っていいだろう．電子計算機は計算速度を速めるばかりで なく，自然界にない状況を作り出し，現実にない純粋な物質を構成することも できる．その改新のはしりが Dean などによる不完全結晶の解析などだったの である．松田博嗣さんはこのショックを「before computer（B.C.）の時代か ら after Dean（A.D.）の時代へ科学は変わった」と表現した．もちろんこれは

B.C.（紀元前）と A.D.（紀元後）をもじった言葉である． 軽い不純物原子の周りで固有振動の振幅が局在し，スペクトルに独特な欠陥 が起こることが松田博嗣さんや堀淳一さんの素晴らしい理論によって明らかに された（その後，寺本英さんは生物系の生物物理学へと移り，松田博嗣さんは 京都大学から九州大学へ替わって集団遺伝学の研究へ移った）． 当時，基礎物理学研究所の研究会は京都を離れた遠方の大学などで催される ことが稀ではなかった．これは研究者どうしの連絡を密にし，グループの精神 を宣伝するためにも必要なことであり，実際有効なことであった．写真などの 記録によれば 1962 年 6 月の（このグループの 3 回目の）研究会は札幌（北海 第 3 章 格子振動グループの発足 25

旧東京教育大学高原生物学研究所（菅平） （画・戸田盛和）．

大学院

1965 年の研究会は京都であり，遠足には清瀧へ行っている．大学院生の間でそ のときだったか，それとも奈良へ遠足したときのことだったか， 「大学院」という 言葉についておかしな論争があったのを覚えている．それは「院」というのは何を 意味するのか，というようなことだった．院という言葉は広く使われている．平等 院，知恩院，法然院などはお寺だし，曼殊院，修学院もある．後白河院は院政だ． 寂光院，建礼門院，崇徳院，青蓮院などと大学院生はなかなか博識である，と思う と病院，養老院，少年院，衆議院，参議院，正倉院，人事院などというのもある． 院というのは人に関係があるが，人が出入りする建物を指す言葉でもあるが，その 間の関係は必ずしも明らかでない．そこが問題点であったが，どう決着したか覚え ていない．

道大学）で行われた．この年は結晶欠陥の国際会議が京都であって，我々のグ ループもこれに参加し，イギリスから来た Dean，アメリカからの Rubin など と親しく研究交流を行った．1963 年 10 月の研究会は松江の宍道湖に面した旅 館で行われた．松江は寺本英さんの郷里であり，旅館の主人は彼の友人であっ た．1964 年の研究会は菅平の高原生物学研究所で行われた．これは東京教育大 学の施設で私が世話人をつとめた．研究所の宿帳に（論語の言葉をもじって） 『高原令色少なし塵』と書き残したが今でもあの帳面は残っているだろうか．

1962 年北海道大学で行った研究会では，このグループの研究をまとめて出版 しようという動議がなされ，この年からだいたい 4 年ごとに研究会報告がまとめ られた．基礎物理学研究所発行の Supplement of the Progress of Theoretical

Physics 1962, 同 1966, 同 1970, 同 1976 がこれである． 26 第 1 編 ソリトンの歴史

また，この研究会では寺本さんがカリスマ性を発揮して，論文の中の記号を 統一しようと言い出したので，これらの研究報告ではだいたい決まった記号が 用いられている．例えば原子の質量は大文字の M ，M  などとし，バネ定数は 大文字の K ，K  などとする，といった具合である．

1962 年の報告は，時間に依存しない問題と時間に依存する問題，および赤外 吸収や固体表面などの実験に関する問題の 3 つに分類されている．これで研究 にある種の方向性をもたせようとする意図だったと解釈される．

3.1.1 浅水波の KdV 方程式 1966 年の 10 月から 1967 年の 3 月まで，学術振興会の援助により筆者は京 都大学に滞在した．これはかねてから寺本さんが努力して下さった成果であっ て，短い期間ではあったが，京都大学の理学部，基礎物理学研究所，数理解析 研究所，その他の方々と研究的な交流する機会をもつことができたのは大きな 幸であった． 京都大学の理学部や基礎物理学研究所と名古屋大学の理学部やプラズマ研究 所には多くの流体力学の大家がおられた．流体力学はナビエ・ストークスの基 礎方程式がそもそも非線形である．バーガーズ（Burgers）方程式という空間 が 1 次元の粘性流体という理論上の創造物は，粘性をゼロとおいたときとゼロ に近づけたときとでは全く違う振舞いをするとか，浅水波を表すコルテヴェー グ・ドフリース（Korteweg–de Vries, 略して KdV）方程式は孤立解と周期解 をもつことが 80 年以上前に知られていたなどということも，実はこのとき初 めて教わったのであった．

3.1.2 波と粒子とソリトン 物理学では昔から空間・時間と物質・運動が基礎的な要素である．そして運 動としては粒子の運動と波の運動とが要素的である．昔は X 線や陰極線が粒子 であるか，波動であるかという論争もあった．量子力学では，粒子であり波動 であるなどと 2 重性が問われたりする． 波は空間的に広がったもの，粒子は空間的に集中したものと言う． さらに波は重なり合い，互いに通過する性質があり，粒子は衝突して方向が 変わるものとも言う． ソリトンは両方の性質を備えているものである． 繰り返し述べたように，ソリトンは浅水波を記述する KdV 方程式の研究か ら始まった．1965 年に Zabusky と Kruskal により KdV 波の計算機実験の中 で発見されたのであったが，浅水波，界面波，大気中の界面波，津波なども，ソ リトンと関係があると言ってよいだろう．木星の大赤斑と呼ばれるものもそう である．エネルギーや運動の集中して安定化したもの，そのかたまり，前線な ども一般にソリトンと言えるだろう．ソリトンとして研究されているものを列 第 3 章 格子振動グループの発足 27

挙してみたことがある．次のようになった． 流体中の渦糸の運動 磁壁，転位の運動 音・熱のショック セル・オートマトンのソリトン 素粒子，インスタントン 結晶の転移 結晶の成長面 イオンプラズマ ポーラリトン（自己誘導透過） 超伝導体中の磁場の貫通 プラズマ中の電磁波の貫通 高分子ポリアセチレンの不対電子の運動 ダビドフ・ソリトン 神経の電気信号パルス 筋肉収縮のエネルギー伝達 動脈中の血液の流れ 光ソリトン 光通信 最近の天災では，地震波，津波，集中豪雨，竜巻などの被害に関係してソリ トンの研究が強く望まれるものが多い． ソリトンは周囲をひずませ，それが自身を集束安定化させることによって生 じる．ソリトンの効用と同時に被害を起こす負の偉力にも注目しなければなら ない．

3.1.3 ブラウン運動の模型 格子振動グループの人たちが同じ問題を少し違った方法で扱うことがあった のも当然である．そういうときは論争にならなくても競争のような雰囲気も生 じた．例えば完全格子の中に軽い不純物を入れたときに固有振動のスペクトル がどのように変化するか，局在振動がどのように変化するかという基本的な問 題があった．これはスペクトル密度がゼロになる特殊振動数（3.3.5 節参照）が あるという見事な発見につながった． 私も関係した問題の一つにブラウン運動に似た運動があった．それは非線形 に長い 1 次元の完全格子の中に 1 個の重い粒子を入れ，全体を一様な温度に保っ たときの重い粒子の運動の問題である．結論としては重い粒子の質量を十分大 きくすればその運動は完全なブラウン運動になるというのである．この問題は ノルウェーのヘンマー（P.C. Hemmer）が解いて博士論文に記している．つい 28 第 1 編 ソリトンの歴史

ラグランジュ ラグランジュ（Joseph Louis Lagrange, 1736–1813） は「解析力学」のラグランジュ方程式や変分法の完成で 名高い．フランス人であるがフリードリッヒ 2 世に頼ま れてベルリンで 20 年を過ごしている．フランスへ戻った が，革命が始まって危ない目にもあった．ナポレオンの ロシア遠征の間に亡くなった． オイラーよりも約 30 歳若かったが，オイラーの流体力 学と異なる観点の理論を作る努力をしてラグランジュの流 体力学の方程式に到達した．しかし実際の問題にはオイ ラーの理論のほうが使いやすいことを認めたと言う．こ うして流体力学の基礎方程式は樹立されたが，これを実際の条件に合わせて解くの はなかなか難しく，ラグランジュの言葉を借りれば—— 「 （流体力学の基礎方程式を）完全に解くことは，おそらく常に解析の能力を越え るものであろう．そして厳密な計算のできるのは極めて小さい（あるいは特別な） 運動の場合だけである」． 流体力学の方程式は（オイラーにしろラグランジュにしろ）見たところは簡単で あるが，これに含まれる内容は非常に広大である．この方程式は本質的に非線形で あるし，実は無限の粒子を含むものである．質点の力学が 3 体問題ですら一般には 解けないのであるから，無限の粒子を含む流体力学の基礎方程式が一般に解けない のは当然であるかもしれない．オイラーやラグランジュの流体力学の対象としてい る流体は人間が作り出した素晴らしい発明品であるという気もする．

でこれを知らないでアメリカのルビン（R.J. Rubin）が独立に解いているが， さらに武野正三さんが別の方法で解き，私もまた別の方法で解いている．一つ の問題を 4 人の人が少しずつ違った方法で解いたわけで，方法の吟味，比較が でき，たいへん面白かった． なお，Rubin は Hemmer の仕事を知らずに問題を解いた．これに気づいた のは Hemmer の先生だったウェルゲランド（H. Wergeland）で，Rubin にそ のことを注意し，ルビンはそれをすぐ理解したという話である．

3.2 熱伝導の問題 この方向性の中から，私は熱伝導（エネルギーの流れ）の問題を感じとった． より具体的に言えば，結晶格子の中の同位体，あるいは不純物による格子波の 散乱，および原子の相互作用の非線形性の影響とである． 結晶の原子が完全に等しい質量をもち，完全に規則的に配列している格子を 形成していて，原子間の相互作用が完全にハーモニック（調和的，線形格子）で あれば，結晶の振動はすべて独立な音波として振る舞い，エネルギーは全く抵 第 3 章 格子振動グループの発足 29

抗なしに伝達される．この状況では，エネルギーの流れが温度勾配に比例する というフーリエの定理は成立しない． しかし実際の結晶では原子間の相互作用の本質のために原子間相互作用は完 全に線形ではあり得ず，必ず非線形性が存在する．ここで線形というのは 2 つ の原子の位置を x1 ，x2 としたとき，相互作用がポテンシャル

K 2 (x2

− x1 )2 で

表される場合であり，非線形というのはポテンシャルがこれからはずれて，例 えば

K 2 (x2

− x1 )2 + α3 (x2 − x1 )3 で表される場合である（この場合，第 2 項

が非線形項である）． 昔パイエルス（Peierls）は，原子間相互作用の非線形項のため格子波が散乱さ れる影響をとり入れて熱伝導の理論をたてた．この場合，格子波のエネルギー はフォノン hν （h はプランク定数，ν は振動数）の粒子として取り扱われる． フォノン気体の状態は各振動数のフォノンの数（分布）によって表され，その 変化は非線形項によって生じるわけである．パイエルスの理論ではこの変化が

ルビン ルビン（Robert J. Rubin）はワシントン D.C. にある

National Bureau of Standards の研究者であるが，統計力 学や生物物理などの理論を長く続けていて，何度か来日し ている温厚な紳士である．奥さんはカーネギー研究所の研 究員で，最近大きな議論になっている暗黒物質（ダークマ ター）が宇宙の銀河に存在する証拠を発見した天文学者で ある（ 『宇宙を見つめる人たち』新潮文庫，1993） ．お世話 になった日本の天文学者も多いらしい．お二人は日本へ来 て，別々の学会に出席したり，一緒に西穂高へ登ったりし ている．寺本英さんとテニスをするためにラケットをもっ て来日したこともあった． あるときは一緒にキットピーク天文台へ行き，ワシント ンの家へ泊る旅行プランだったが，私がヘルペスにかかっ

ルビン（1979）．

たためお流れになってしまった．彼は日曜大工で私の泊る 部屋を改造したりしていて，たいへん残念なことだった．それで彼らが毎日のよう にジョギングをするという道を通って彼の友人の家まで歩いて行った．友人は立体 幾何を趣味としているのだそうで，何本かの木の棒とひもで変形する多面体を作る 方法を教えてくれた．それにしたがって作った多面体は今でも私の書斎の天井から ぶら下がっている． またあるときは，ある物理学者が書いた一冊の少し古い本を見たく思っているこ とを話したところ，ルビンさんはそれを見つけ出して送ってきてくれた． あれこれとお世話になったルビンさんであり，毎年クリスマスカードを交換して きた仲であった．そして「私も停年になりましたが，まだ役所の仕事も続けていま す」という手紙をもらってから数年たち，彼からの便りが途絶えてしまった．

30 第 1 編 ソリトンの歴史

不可逆な熱伝導を引き起こすと仮定している（いわゆるマスター方程式を仮定 していることになる）． しかし厳密な扱いでは不可逆現象の基礎を力学の基礎方程式から導くことが 期待されるわけである． なお，フォノンの振動数の変化は非線形項だけではなく，不純物の質量の違い によるフォノン波の散乱のためにも生じる．実際の固体はいくつかの同位体の 元素を含むので，ふつうの固体でも純粋であるわけではない．それぞれの同位 体は互いに不純物としてフォノン波を散乱したり分割したりする．ふつう熱伝 導率などと言うときはそのような影響も含んでいるし，元素の異なる不純物や いわゆる格子欠陥の影響も含んでいる．格子欠陥などの影響は短い波長のフォ ノン，したがって極低温において顕著に現れることになる． 熱伝導の基礎を考える上では，少なくとも

(i) 質量が違う不純物（同位体）を含む結晶格子， (ii) 原子間の相互作用が非線形な結晶格子 の 2 つの問題を厳密に扱わなければならないことになる．(i) の問題から，次に 述べる dual system（双対性）が発見された．さらにこれを用いて 1 次元非線 形格子が発見されている．しかし，熱伝導問題の解決はまだ遠くにあるといっ た感じである． 余談であるが，1962 年の夏に京都で開催された結晶欠陥の国際会議は，結晶 格子のティスロケーション（転移）やカラーセンターなどの応用物理的な研究 をしている人たちが企画したものであって，我々の格子振動グループとは全く 関係ないものであった．しかしこの会議に外国から応募してきた人たちの中に は我々のグループと密接に関係している研究者が 10 人程度もいることがわかっ た．そのときになってこの国際会議を準備している人たちから我々のところに 参加要請があり，我々もこれに応じて，格子振動グループのための部会が付加 されることになった．こうして結晶欠陥の国際会議に来日した R.J. Rubin, J.

Mahanty, P.G. Klemens などと研究交流の機会を得られたのであった．彼ら とのインフォーマルな議論は我々のグループに大きな刺激となり，同時に我々 の研究に大きな自信を与えることともなった．

3.3 1 次元格子の局在振動 1 次元格子に関する基本的なことを最初にいくつか述べることにする． まず初めに，一様な連続体では，無限に低い振動数波動（固有振動）から，無限 に高い振動数の波までが存在する．固有振動数を ωμ とすると (0 < ωμ < ∞)， これに対し，一様な 1 次元格子（不連続構造）では，固有振動数には上限 ωL がある (0 < ωμ < ωL )．波の速さは振動数によって違う．また ωL 以上の高振 動の波は伝わらない． 第 3 章 格子振動グループの発足 31

質量の違う 2 種類の原子（粒子）が 1 つおきに規則正しく並んだ 1 次元の規 則格子では，音響的振動領域 0 < ω < ωa と光学的振動領域（ωo < ω < ωL ） とがあり（ωa < ωo ），ωa と ωo の間には波の伝わらないスペクトルギャップ がある．多数の原子を含む規則格子では多数のギャップがあり得ることが示さ れる． 軽い原子を入れると局在振動が生じる．

3.3.1 一様な連続体の波動 参考のため，一様な連続体について述べておく．

1 次元の波動方程式は ∂2u ∂2u = c2 2 2 ∂t ∂x と書ける．波動を

u = Aei(kx−ωt) とおくと，λ を波動，ν を振動数として k = 2π/λ は波数，ω = 2πν は角振動 数で

ω = ±ck である（ω = 0∼ ± ∞）（図 1.18）． ω

k 0

図 1.18 連続体のスペクトル．

3.3.2 規則格子 質量 m の原子が力の定数 K のバネで結ばれた 1 次元格子を考えると （図 1.19），n 番目の原子の変位を un として，運動方程式は

m¨ un = −K(2un − un−1 − un+1 ) と書ける．解を

un = Aei(kn−ωt) とおく．周期的境界条件（原子の数を N とする） 32 第 1 編 ソリトンの歴史

ω ωL K

m k

un−1

un＋1

un

図 1.19

0

−π

図 1.20

一様な格子．

π

一様な格子のスペクトル．

uN +1 = u1 を採用すると，k と ω は下の kμ と ωμ に限られる：例えば N が偶数のと きは，

  N N N μ = − , − + 1, · · · , 0, · · · , −1 , 2 2 2   4K μπ ωL = . ωμ = ωL sin N m 2πμ kμ = N

(1.24)

これらが基準振動である． 相隣る原子間距離を a とすると，波の速さは

ωμ = cμ = kμ /a



k

4K sin 2μ a. m kμ

μ を固定して N → ∞ とすると，波長の長い波の速度 c として  K a c= m を得る． 連続体の場合と違って格子の場合は最大の振動数 ωL がある（図 1.20）．

3.3.3 2 原子規則格子 ． 奇数番目の原子の質量を m，偶数番目の原子の質量を M とする（図 1.21） 基準振動数 ω は ω ωL ωo ωa m

K

M

K

m

K 0

u2n−1

u2n

u2n＋1

図 1.21 2 原子規則格子．

図 1.22

π ― 2

k

2 原子規則格子のスペクトル．

第 3 章 格子振動グループの発足 33

⎧ ⎫

 2 ⎨1 2 ⎬ 1 1 1 4 sin k + ± + ω2 = K − . ⎩m M m M mM ⎭

(1.25)

（特に M = m のときは

ω2 =

2K 4K (1 − cos2 k) = sin2 k m m

となり，(1.24) と一致する）．

  1 (1.25) において複号の + をとった上の分岐 ωo ∼ ωL = 2K( m +

1 M)



が光学的振動である．また複号の − をとった下の分岐（0∼ωa ）が音響的振動で ある．添字 o は光学的分岐（optical branch） ，添字 a は音響的分岐（acoustic

branch）を意味する（図 1.22）． 3.3.4 局在振動 1 次元の完全結晶において原点の原子を質量 m0 の原子で置き換える（ただ （図 1.23）． し m0 < m とする） まず n = 0 の原子に対する運動方程式は

m¨ un = K(un+1 − 2un + un−1 ). ここで原子 n = 0 に外から角振動数 ω の振動を与えたときの n 番目の原子の 変位を

un = u0 bn eiωt とおくと b について 2 次方程式



ω2 b − 2− K/m 2



b+1=0

を得る．これから −1 < b < 0 の根として

2ω b=− 2 ωL

   2 2 ω − ω − ωL + 1,

ωL =



4K m

(1.26)

となって，これは相隣る原子が逆向きに変位し，n = 0 から遠ざかるにつれて 振幅が小さくなる局在振動を与える．

n < 0 についても同様な解を得るので，これらの解を n = 0 でつなぐ．外力 はなく，この振動が n = 0 の原子の質量 m0 が小さいために起こるとしてその 条件を求める．n = 0 の運動方程式は

m0 u ¨0 = K(u1 − 2u0 + u−1 ) である．これと u1 = u−1 = u0 b とから

−m0 ω 2 = 2K(b − 1) を得る．ここで b は (1.26) で与えられ ω の関数である． 34 第 1 編 ソリトンの歴史

(1.27)

ωD 局在振動 ωL

m0

準連続の固有振動 m

0

m

図 1.23 軽い原子 m0 を含む格子．

図 1.24 軽い不純物による局在振動．

(1.26) と (1.27) を連立させ ω = ωD について解き，整理すると   Q ωL m0 , ωD =  K ∗ ならば 1 個の局在振動 ωD があり ∗ ωD

= K∗ K0∗

∗ ωL  2−



K∗ K0∗



∗ ωL



=

4K ∗ m∗



で与えられる．したがって K ∗ ，m∗ を

K∗ K = , m∗ m

K∗ m0 , = K0∗ m

あるいは

mK ∗ = m∗ K = m0 K0∗ とすれば ∗ ωL = ωL

であり，2 つの系の局在振動数も等しい： ∗ ωD = ωD .

上述の (a) を S 系，(b) を S ∗ 系と呼ぼう．これらは固有振動数を全部（準連 続の部分と局在振動の固有振動）共有する．そこでこれらは双対（dual）であ るとか，双対系をなすとか言うことにした． 上の例は，無限に長い 1 次元系の中央に不純物がある双対系である．これと 反対に一番短い体系の双対性を考えてみよう．

3.4.2 最も簡単な双対系 (a) 図 1.26 のように左端を固定されたバネに質量 m をつけた体系で，バネ 定数を K とする．質量の変位を x，運動量を p = mx˙ と書くと，ハミルトニ アン H は

H=

K p2 + x2 2m 2

K

図 1.26

m

m＊

ω

ω＊

バネと質量．

K＊

図 1.27 質量とバネ． 第 3 章 格子振動グループの発足 37

であり，固有振動数は



ω=

K m

である．

(b) ここで質量 m∗ ，バネ定数 K ∗ をもつ体系（図 1.27）を考え，そのハミ ルトニアン H ∗ を

P2 K∗ 2 Q + ∗ 2m 2

H∗ =

とすると固有振動数は



∗

ω =

K∗ m∗

である．したがって

K K∗ = ∗ m m あるいは

Km∗ = K ∗ m であれば ω = ω ∗ であり，(a) と (b) とは双対系である．

1 次元系 (a) と (b) とが双対系である条件を一般的に考えよう． 3.4.3 一般的な双対性 (a) 質量 m1 , m2 , · · · , mN の N 個の粒子がバネによって結ばれた 1 次元体系 を考え，j −1 番目と j 番目の粒子の間のバネの力の定数を Kj とする（図 1.28） ． 簡単のため，左端 (j = 0) の粒子は固定されていて，右端 (j = N ) の粒子は 自由であるとする．j 粒子の変位を xj ，運動量を pj とすると運動量は

pj = mj x˙ j であり，ハミルトニアンは

H=

N  1 2  Kj (xj − xj−1 )2 pj + 2m 2 j j=1 j

である．

m1

m2

mj−1

mj

… K2

K3

Kj

図 1.28

38 第 1 編 ソリトンの歴史

mN …

一般的な格子．

KN

x3 x2 x1 r1

図 1.29

r2

r3

変位 xj と相対変位 rj ．

ここで j 粒子と j − 1 粒子の相対変位

rj = xj − xj−1 を一般座標として用いる（図 1.29）．rj と xj との関係は

r 1 = x1 ,

r2 = x2 − x1 ,

r3 = x3 − x2 ,

··· ,

rN = xN − xN −1 .

したがって

x1 = r1 , x2 = r1 +r2 , x3 = r1 +r2 +r3 , · · · , xN = r1 +r2 +· · ·+rN および

x˙ 1 = r˙1 , x˙ 2 = r˙1 +r˙2 , x˙ 3 = r˙1 +r˙2 +r˙3 , · · · , x˙ N = r˙1 +r˙2 +· · ·+r˙N となる． 力学の原理によれば，rj に正準共役な運動量を sj とすると

sj =

∂T ∂ r˙j

である．ここで T は全運動エネルギー

T =

m1 2 m2 mj r˙ + (r˙1 + r˙2 )2 + · · · + (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j )2 + · · · 2 1 2 2 mN (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙N )2 ···+ 2

を表す．したがって

sj = mj (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j ) + mj+1 (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j+1 ) + · · · , sj+1 = mj+1 (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j+1 ) + mj+2 (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j+2 ) + · · · あるいは

sj − sj+1 = mj (r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j ) = mj x˙ j ∴

sj − sj+1 = pj

という関係があることに気付く． これらの関係を用いるとハミルトニアンは 第 3 章 格子振動グループの発足 39

H=

N N   1 Kj 2 r (sj − sj+1 )2 + 2mj 2 j j=1 j=1

と書けることがわかる．少し書き直しておこう． ここで rj は一般座標，sj はこれに共役な正準運動量であるが，さらに a を 任意の定数として

rj =

Pj , a

sj = −aQj

とおけば，Qj と Pj は正準共役な座標と運動量の組になる．ハミルトニアン はこれらを用いて

H=

N  Kj /a2 j=1

2

Pj2 +

N  a2 (Qj − Qj+1 )2 2m j j=1

と書き直される．

(b) したがって (a) に対してハミルトニアン H∗ =

N N   Kj∗ 1 2 (Qj − Qj+1 )2 P + j ∗ 2m 2 j j=1 j=1

で表される体系 (b) があるとき，m∗j と Kj∗ とが

1 Kj = 2, m∗j a

Kj∗ =

a2 mj

によって体系 (a) と関係づけられるならば，(a) と (b) は同等（双対系）である． 双対系はもとの体系の質量とバネの役割をとりかえた体系であり，双対系の 間には次の関係がある．

(i)

∗ K1 m∗1 = K1∗ m1 = K2 m∗2 = · · · = KN m N = a2

もしもバネ定数 K1 を無限に弱くすれば（K1 → 0） ，上式により m∗1 は無限 に大きくなる（m∗1 → ∞）．これは (a) の右端の自由端は (b) の右端の固定端 に対応する． ∗ また mN → ∞ とすれば上式により KN → 0 となる．これは (a) の左端の

固定端は (b) の左端の自由端に対応する．このようにして次のことがわかる．

(ii) 固定端は双対系の自由端に対応し，自由端は双対系の固定端に対応する．

3.5 非線形格子の双対ハミルトニアン 一様な 1 次元格子で，粒子間の相互作用が非線形である場合にも双対系を考 えることができる．相互作用を φ(xj − xj−1 ) とすると，ハミルトニアンは 40 第 1 編 ソリトンの歴史

H=

 1  p2j + φ(xj − xj−1 ) 2m j j

(1.28)

となる．ここで線形の場合と同じように

x˙ 1 = r˙1 ,  x˙ 2 = r˙1 + r˙2 ,

··· ,

x˙ j = r˙1 + r˙2 + · · · + r˙j ,

···

と書き直し，rj に共役な運動量を sj = ∂T /∂ r˙j とすると

sj − sj+1 = mx˙ j = pj となるからハミルトニアンは

H=

 1  (sj − sj+1 )2 + φ(rj ) 2m j j

(1.29)

と書ける． また sj を t で積分したものを

 Sj =

t

sj dt

とすれば

Sj − Sj+1 = mxj

(1.30)

となる． ここで特に φ(rj ) =

K 2 2 rj

とおけば (1.29) は線形の場合のハミルトニアンと

なる．したがって線形の場合を含めてハミルトニアンは (1.29) で与えられるこ とがわかる．この式で rj は一般座標，sj はこれに共役な運動量である． また，すでに見てきたように例えば Qj = −sj を座標と考え，pj = rj をこ れに共役な運動量と考えることもできる．しかしどちらのとり方をしても正準 共役の運動方程式としては同じ結果になる．

3.5.1 非線形の場合の運動方程式 菅平の研究会の報告として双対系の定理について書いていたときに，非線形 の場合にも双対系の考え方が適用できることに気付き，これを報告の一節に加 えることにした．これを次に述べておこう． 正準運動方程式はハミルトニアン (1.29) を使って

∂H 1 = (2sj − sj−1 − sj+1 ), ∂sj m ∂H s˙ j = − = −φ (rj ) ∂rj r˙j =

(1.31) (1.32)

となる． ここで (1.31) を微分した r¨j の式に s˙ j を代入すれば 第 3 章 格子振動グループの発足 41

m¨ rj = −2φ (rj ) + φ (rj−1 ) + φ (rj+1 ) を得るが，線形の場合は φ(r) =

K 2  2 r ，φ (r)

(1.33) = Kr なので，上式は

m¨ rj = K(rj−1 − 2rj + rj+1 ) となる．これはよく知られた線形の波動方程式である． また s˙ j の式 (1.32) からは

s¨j = −φ (rj )r˙j , あるいは

s¨j = −

1  φ (rj )(2sj − sj−1 − sj+1 ) m

(1.34)

を得るが，線形の場合は φ (r) = K であるからこの式は再び線形の波動方程式

s¨j =

K (sj−1 − 2sj + sj+1 ) m

を与える． 非線形の場合は r¨j についての運動方程式 (1.33) も，s¨j についての方程式

(1.34) もこのままでは役に立ちそうに思えない． しかし s˙ j = −φ (rj ) (1.32) が逆に rj について解ける場合はこれを

rj = −

1 χ(s˙ j ) m

(1.35)

とおくと (1.35) は

d χ(s˙ j ) = sj−1 − 2sj + sj+1 dt

(1.36)

となる．ただしここで χ(s) ˙ は s˙ について 1 価関数であるとする．上式は j に ついて漸化式の形をしている（すなわち sj−1 (t)，sj (t) を与えれば sj+1 (t) が 決まる）ので理解しやすい方程式になっている．実際，後に示すように，この運 動方程式が積分可能な非線形格子を発見する道を開いてくれたのであった（第

2 編参照）． (1.36) は sj (t) について書かれた運動方程式で，rj (t) について書かれた運動 方程式 (1.33) に対して双対な方程式である．

42 第 1 編 ソリトンの歴史

第2編

第

4

章

非線形格子の理論

モデル化された非線形波動の理論的研究から，指数的相互作用をもつ格子モ デルが発明された．

4.1 可積分な非線形格子の発見 1 次元格子のモデルとして，隣接粒子間だけの相互作用が働いている一様な 体系を考える．粒子の質量はすべて等しく m であり，n 番目の粒子の変位を

xn とする（図 2.1 (a)）．n 番目の粒子と n − 1 番目の粒子の間の相互作用の ポテンシャルを φ(xn − xn−1 ) とすると力は φ (xn − xn−1 ) であるから，運動 方程式は

m¨ xn = −φ (xn − xn−1 ) + φ (xn+1 − xn )

(2.1)

と書けるが，相対変位

rn = xn − xn−1

(2.2)

を用いると xn （a）

（b）

L

C

（c）

図 2.1

格子模型．

m¨ rn = φ (rn−1 ) − 2φ (rn ) + φ (rn+1 )

(2.3)

となる．ここで

−φ (rn ) = s˙ n

(2.4)

とおいて sn を導入し，さらにこの式の逆関数を

rn = −

1 χ(s˙ n ) m

(2.5)

とおくと (2.3) は

d2 χ(s˙ n ) = s˙ n−1 − 2s˙ n + s˙ n+1 dt2 となる．この方程式を時間について積分すると運動方程式として

d χ(s˙ n ) = sn−1 + sn+1 − 2sn dt

(2.6)

が得られる．第 1 編 3.5.1 の (1.31) によれば sn は rn に正準共役な運動量で あることがわかる． 例えば正弦波 sn = A sin(ωt − kn) を仮定すると (2.6) は線形の波動方程式

s¨n = sn−1 + sn+1 − 2sn を与える． 問題は (2.3) が非線形の相互作用 φ (rn ) を与えるような波動を記述できるか ということである．その波動は正弦波以外の周期的な波とか，パルス的な波な どであろう．Ford などの計算機実験を参考にした立場では周期的な波が期待さ れた． 言いかえれば (2.6) を満足する正弦波以外の周期的な波を見出すことができ るか．それが非線形相互作用をもつ波動方程式であるような場合が発見できる かどうかという問題になる．この漠然とした問題に対する一つの方法は，周期 的な関数を仮定してみる試行錯誤であろう． 正弦波以外の非線形波の候補としてまず考えられるのはヤコビ（Jacobi）の楕 円関数である．そこで三角関数の拡張と考えられるヤコビの楕円関数 sn，cn，

dn を sn として調べてみたが sn−1 + sn+1 − 2sn が s˙ n の関数にならなかった のでこれらは (2.6) を満たさないことがわかった．

4.1.1 周期解の発見 1966 年の夏，小さな物理学辞典の一部を書く仕事をもって海岸へ避暑に出 かけたが，荷物の中にヤコビの楕円関数のテキストをもっていったのは正解で あった．雨の日などに楕円関数の自習ができたからである． そうしている中に，あるときふと思ったのは正弦波の 2 乗は正弦波の重ね合 わせになるが，ヤコビの楕円関数の 2 乗は違った関数になるから，これも候補 として調べなければならないということであった．その結果，楕円関数 sn の 2 第 4 章 非線形格子の理論 45

乗が満足する式（付録「楕円関数」，特に「4.2 種々の加法定理」を参照）

sn2 (u + v) − sn2 (u − v) = 2

d snu cnu dnu sn2 v dv 1 − k2 sn2 u sn2 v

(2.7)

を得て，これが (2.6) に似ていることを直観した．今眺めてみると，特によく 似ているとも思えないが，v は時間 t に相当するとすれば，少し似ているとこ ろがある．直観，あるいはひらめきが次のステップを用意してくれた． それは



u

ε(u) =

dn2 ξdξ =

0

 0

u

(1 − k2 sn2 ξ)dξ

(2.8)

とおくことであった．これから



u+v

ε(u + v) =



2

dn ξdξ, 0



2

ε (u) = dn u,



ε(u − v) =

u−v

dn2 ξdξ,

0

(2.9)

2

ε (u) = −2k snu cnu dnu.

したがって (2,7), (2.9) を用いて

d [ε(u + v) + ε(u − v) − 2ε(u)] = −k2 [sn2 (u + v) − sn2 (u − v)] dv   ε (u) d (2.10) = dv sn12 v − 1 + ε (u) を得る．両辺を v について積分すると

ε(u + v) + ε(u − v) − 2ε(u) =

1 sn2 v

ε (u) . − 1 + ε (u)

(2.11)

さらにツェータ関数（Zeta 関数，zn u とも書く）

Z(u) = ε(u) −

E u, K

Z  (u) = ε (u) −

E , K

Z  (u) = ε (u)

(2.12)

を導入すると (2.11) は書き直されて

 d log 1 + Z(u + v) + Z(u − v) − 2Z(u) = du

Z  (u) 1 sn2 v − 1 +

E K

(2.13)

となる．この式は (2.6) と極めてよく似ていることがわかるだろう．Z(u)，Z  (u) は共に周期 2K の周期関数である． そこで

sn =

2Kν Z(u) , b/m

 n K, u = 2 νt ± λ

ν=

2K λ

(2.14)

とおくと，ν は振動数，λ は粒子番号で測った波長を表すことになる． 波動の式 (2.6) と比べて

⎛ ⎞ 2 (b/m)/(2Kν) m log ⎝1 + χ(s) ˙ = s˙ ⎠ − mσ 1 E b − 1 + 2K K sn2 ( λ ) 46 第 2 編 ソリトンの数理

(2.15)

を得るが，χ(s) ˙ = −mr は s˙ = −φ (r) の逆関数を与えるものであるから，

(b/m)/(2Kν)2 1 = 1 E a −1+ K sn2 ( 2K λ )

(2.16)

は ν や λ に依存しない定数でなければならない．したがって (2.15) は

χ(s) ˙ =

  s˙ m log 1 + − mσ = −mr b a

(2.17)

となる．書き直すと

  s˙ 1 + σ. r = − log 1 + b a

(2.18)

ここで s˙ は (2.4) によって格子の粒子間相互作用のポテンシャル φ(r) と

s˙ = a(e−b(r−σ) − 1) = −φ (r)

(2.19)

で結ばれるから

φ(r) =

a −b(r−σ) + ar. e b

(2.20)

ふつうは簡略して σ = 0 とおき

φ(r) =

a −br e + ar b

(2.21)

と書く（図 2.2） ．この相互作用をもつ格子を指数格子（戸田格子）と言う．そ の運動方程式は (2.1), (2.21) により

m¨ xn = a[e−b(xn −xn−1 ) − e−b(xn+1 −xn ) ]

(2.22)

と書ける．また (2.8), (2.12), (2.19) により

s˙ = a(e−br − 1),

Z  (u) = dn2 u −

E K

(2.23)

なので，周期波は −brn

e

 !   E n (2Kν)2 2 dn 2K νt ± − −1= ab/m λ K

φ（r）

O （a） a, b ＞ 0 の場合

φ （r）

r

O

φ（r）

r

（b） a, b ＜ 0 の場合

図 2.2

(2.24)

O

r

（c） b が大きい場合

指数型ポテンシャル． 第 4 章 非線形格子の理論 47

E 2 dn（2Kx） −K ―

0.74

x O

0.5

1.0

f (x) = dn2 (2Kx) − E/K 周期波の形．

図 2.3

で与えられ（図 2.3），その分散関係は (2.16) により

 2Kν =

ab m

"

1 E −1+ sn2 (2K/λ) K

(2.25)

で与えられる． こうして周期解をもつ非線形格子が得られ，1966 年の 9 月にはその計算を物理 学会のジャーナルに投稿した．ほとんど全く新しい分野の仕事であったので，論 文最後に引用した参照論文は上に述べた Ford の論文と双対変換の論文と H.B.S.

Jeffery のテキスト『Mathematical Physics』 （Cambridge Univ. Press, 1956） および E.T. Whittaker, Watson のテキスト『Modern Analysis』 （Cambridge

Univ. Press, 1927）だけであった．周期解の図示もなかったが，次の論文（1967 年 5 月投稿）では周期解やパルス解などの例が示してある（図 2.3）．

4.1.2 周期波とソリトン すでに見たように，指数格子の周期波は楕円関数 dn を用いて −brn

e

 !   E n (2Kν)2 2 dn 2K νt − − −1= ab/m λ K

と書ける．ここで ν は振動数，λ は波長であり，分散式

 2Kν =

ab m

#

1 sn2 2K λ

E −1+ K

$−1/2

で関係づけられている． 楕円関数 dn と完全楕円積分 K および E は同じ母数 k を共有する． 母数 k が小さい（k  0）と周期波は正弦波に近いが，母数 k が大きいと周 期波はとがった山が等間隔に並んだ形になる． ここで原点の付近に着目しながら

k → 1, λ → ∞ ただし κ =

2K = 一定 λ

の極限をとると

E → 0, K 48 第 2 編 ソリトンの数理

snκ → tanh κ,

cnκ → sech κ

なので



2Kν →

ab snκ → m cnκ



ab sinh κ ≡ β m

であり，さらに

  n − νt → sech2 (κn − βt). dn2 2K λ したがって (2.24) は e−brn − 1 = β 2 sech2 (κn − βt) となる．これはソリトンの式である． 実は dn2 に対して下の公式がある：

  ∞  π 2  πK E π 2 = ［公式］ dn (2Kv) − sech (v − l) − . K 2K  K 2KK  2

l=−∞

2

これは dn u − E/K が等間隔（l = −∞, · · · , ∞）に並ぶ山の列 sech2 κ(v − l) からできていることを表す式である．

4.2 格子ソリトンの衝突 1968 年には京都大学で統計力学の国際会議が催されることになっていた．私 の非線形格子の研究は力学ではあるが統計力学の中に入れるのはおこがましい という気持ちがないではなかったが，FPU の仕事も非線形格子がエルゴード性 をもつか否かという問いに発しているという点では統計力学の基礎的問題と言 えるわけである．非線形格子のあるものが積分可能であるということになれば， それは非エルゴード的であるに違いないだろう．したがって非線形格子の力学 は統計力学の国際会議の重要なテーマと言ってもいいわけである．エルゴード 性が統計力学の基礎として必要であるという主張に賛成するわけではない．し かし積分可能な力学系の存在を示すことだけでも，極めて重要な課題であると 思う． さて，結果から言うと，この国際会議で私が話したのは 2 つの孤立波の衝 突を記述する非線形格子の解（2 個のソリトン）の発表と，これを踏まえて非 線形系の再帰現象（非線形格子における FPU の再帰現象と KdV 系における

Zabusky–Kruskal の再帰現象）を解釈する試論とであった．まず 2 個のソリト ンの運動を表す解の話から始めよう． 非線形格子の運動方程式を相対変位 rn = xn − xn−1 について書くと

m

d2 rn = a(2e−brn − e−brn−1 − e−brn+1 ) dt2

となる．ここで

a(e−brn − 1) =

(2.26)

d2 Sn dt2

とおくと Sn に対する運動方程式は 第 4 章 非線形格子の理論 49

  b 1 d2 = (Sn−1 − 2Sn + Sn+1 ) log 1 + S n 2 a dt m

(2.27)

と書ける．この方程式に対する周期波解（cnoidal 波）はすでに述べた通りで ある．

1 個の孤立波を表す解を e−brn − 1 =

m 2 β sech2 (κn ± βt) ab

(2.28)

と仮定すれば（図 2.4），これを運動方程式 (2.26) に代入して

 β=

ab sinh κ m

が決まる．この孤立波の速度は

β c= = κ



ab sinh κ m κ

で与えられる．κ が大きいほど波高は大きく速度は大きいが，波の幅は狭い．

2 個の孤立波が存在したとすると，これらは衝突したり，追い越したりする だろうが，そのとき孤立波は形が変わったり壊れたりするであろうか，という のが次の問題である．計算機によれば衝突してもソリトンは壊れないことが数 値的に確かめられている． ここで KdV の場合を思い出してみると波形はある式の 2 階微分で与えられ ていた．非線形格子の場合にもそうなのではないだろうか． 実際 1 個の孤立波の解 (2.28) は

e−brn − 1 =

m d2 Sn , ab dt2

Sn = log cosh(κn + βt)

(2.29)

とおいて，運動方程式 (2.27) に代入すれば β は

 β=

ab sinh κ m

と決まる．KdV の場合は (2.29) が x についての 2 階微分であるのに対して格

2 sech（αn）

1.0

αn 0

図 2.4

50 第 2 編 ソリトンの数理

2

1

2

3

4

sech (αn) ソリトンの形．

子の場合は t についての 2 階微分になっているが，これは KdV 方程式と格子 の方程式との対応関係によるものであろう（この違いについては今は考えない ことにする）． 以上は 1 個の孤立波解についてのことであったが，ここで KdV の「2 個のソ リトンを含む解が (1.15) のように (d2 /dx2 ) log(cosh · · · + cosh · · · ) の形で与 えられたことを踏まえ，格子の「2 個のソリトンを含む解」も

e−brn − 1 =

m d2 Sn ab dt2

とおいて Sn は (1.15) と似た形，すなわち

Sn = log[A cosh(κn − βt) + B cosh(μn − γt)] で与えられるであろうという推論に導かれた（ここで κ と μ とは相互作用を する 2 個のソリトンに固有のパラメータで，したがって任意であり，β と γ お よび A と B はこの Sn が格子の運動方程式を満足するように決められるもの で，これらは κ と μ との関数であるはずである）． 運動方程式はすでに述べたように

m

d2 rn = a(2e−brn − e−brn−1 − e−brn+1 ) dt2

であるが，これを Sn について書くと

  ab d2 log 1 + 2 Sn = (Sn−1 + Sn+1 − 2Sn ) dt m

である． 上の Sn をこの式の両辺に代入して少し長い計算を実行し，解を求めた．そ の結果，2 つの場合を見出した．その一つは

 ab ab μ κ κ μ sinh cosh , γ = 2 sinh cosh , (i) β = 2 m 2 2 m 2 2 B/A = cosh(κ/2)/ cosh(μ/2) 

であり，吟味してみるとこれは 2 つのソリトンが逆方向に進行する解（向心衝 突）である（図 2.5 (a)）．もう一つは

 ab ab κ μ μ κ sinh cosh , γ = 2 sinh cosh , (ii) β = 2 m 2 2 m 2 2 B/A = sinh(κ/2)/ sinh(μ/2) 

であり，これは 2 つのソリトンが同じ方向へ進行する解（追い越し衝突）であ る（図 2.5 (b)）．

2 個のソリトンが衝突すると，線形の重ね合わせと違った波形になり（非線形 の相互作用をした後） ，もとの波形を取り戻して 2 つのソリトンになって別れて いく．その様子を吟味し，数値的に調べてみたのが図 2.6 である．衝突の際の 第 4 章 非線形格子の理論 51

t

（2）

（2）

n

O （1）

t

（1）

O （1）

（2）

重心

（1）

Sn

n

重心 （2）

Sn t＜0

O

t＜0

O e−brn −1 （1）

e−brn −1 （1）

（2）

（2）

O

n

n

O Sn

Sn

t＞0

t＞0

n

O O e−brn −1

e−brn −1 （2）

（1） n

O

O

図 2.5 (a) 2 個のソリトンの衝突

図 2.5 (b) 2 個のソリトンの衝突

（向心衝突）．

（追い越し衝突）．

相互作用によって衝突前と衝突後とではソリトンの進行にずれが生じる．その ずれは，ソリトンが衝突中は速度を上げて相手の中を通過すると考えれば納得が いく．粒子は密着するほど強く反発し固くなるので速度が上がると解釈される． ［注意］ 1 個のソリトンは例えば

Sn = log cosh(κn + βt) = log = log

'1

%

& 1 % κn+βt e + e−(κn+βt) 2

eκn+βt 1 + e−2(κn+βt)

&(

2 % & 1 = log + (κn + βt) + log 1 + e−2(κn+βt) 2 と書き直せるが，波形はこの式の log を t で 2 回微分したもので与えられるから上式 最後の式の右辺第 1 項と第 2 項（あるいは上式の中の

1 κn+βt e ）は何の役もしていな 2

い．したがってこの因子を無視して

Sn = log{1 + e−2(κn+βt) } としても同じソリトンが与えられる．同様にして 2 個のソリトンは

Sn = log{1 + A1 e−2(κn−βt) + A2 e−2(μn−γt) + A3 e−2(κ+μ)n+2(β+γ)t } と仮定しても，結果としては同等な解が得られるのである．なおこの場合，2 ソリト ン解は

β2 =

52 第 2 編 ソリトンの数理

ab sinh2 κ, m

γ2 =

ab sinh2 μ, m

m sinh2 (κ − μ) − ab (β − γ)2 A3 = m 2 A1 A2 (β + γ) − sinh2 (κ + μ) ab

t

t 2

2

1

1 n（or x）

n（or x） 1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1 2

図 2.6 (a) 向心衝突．

図 2.6 (b) 追い越し衝突．

によって与えられる．βγ > 0 の場合は追い越し衝突であり，βγ < 0 の場合は向心衝 突であることが示される．これらの場合を分けて書くと上式の A3 /A1 A2 は下のよう に書き直せる．

(i) 追い越し衝突（βγ > 0 の場合）例えば



β=

ab sinh κ, m



γ=

ab sinh μ, m

A3 = A1 A2



sinh sinh

κ−μ 2 κ+μ 2

2 .

(ii) 向心衝突（βγ < 0 の場合）例えば



β=

ab sinh κ, m



γ=−

ab sinh μ, m

A3 = A1 A2



cosh κ−μ 2 cosh

κ+μ 2

2 .

さらに 3 個以上のソリトンを含む解も同様の形で与えられるが省略する． このように Sn の形を仮定して，運動方程式に代入し，2 個のソリトンが衝突して もとの波形に戻るプロセスが明らかにされたのであった．この計算は双曲線関数 cosh や sinh あるいは指数関数 eκn±βt の加法定理の繰り返しなので，初等的だがなかなか 面倒な計算である．非線形問題の計算では 2 階，3 階の微分操作が絡んでくるので必 然的に面倒なことが多い．しかし，ここで述べたような計算では，ほとんど迷うこと がなかった．やるべき計算を済ますと，ただちに次に進むべき道が自然に予想されて くる．そしてその予想通りに道が開けてくる．格子ソリトンを発見した頃の数年間は 確かにいい環境が周囲にあったと思われる．

1968 年に京都大学で催された統計力学の国際会議では格子ソリトンの研究が多く の出席者に認められた．出席者の一人だったアメリカのモントロール（Montroll）は 「積分できる非線形格子を発見したと思ったことがあったが，残念ながら間違えだっ た」と言っていた．Zabusky を初めとして多くの人が非線形格子の発見を喜んでくれ た．アメリカの研究者との共同研究などのため外国へ行くことも多くなった．

第 4 章 非線形格子の理論 53

4.3 再帰現象 先に 1.3 節で述べたように，Fermi ら（FPU）は非線形格子の再帰現象を発 見したが，これを連続体近似で吟味しようとした Zabusky はこの近似が KdV 方程式を与えることを発見し，この方程式を Kruskal と数値的に調べて KdV 系も再帰現象を示すことを確かめると同時にソリトンを発見（1.4 節参照）し たのであった（1965）．

KdV 系の運動は有限個のソリトンの集まりで近似できる．これらのソリト ンが有限長の周期場を異なる速さで回るとすると，各ソリトンが 1 周する時間 の最小公倍数ごとに初期状態に戻る．再帰現象はこのようにしてソリトンの運 動をもとに理解できるわけである．

Zabusky と Kruskal が再帰現象を発見した KdV 場は uτ + uuξ + δ 2 uξξξ = 0 (0 ≤ ξ ≤ 2) であり，0 ≤ ξ ≤ 2 の周期場である．これを粒子数が 2N の格子の運動と対比 させよう．そのため格子の粒子を 0 ≤ n ≤ 2N で番号づけし，n を連続な数と して扱う．対比は

x = nh (h = 1/N ) である．Zabusky らは初期状態として周期的な条件をおいたので，これを

ut=0 = au cos ξ

(au は定数)

とおき，これに対応する格子の初期条件を

yx,t=0 = ay sin πx (ay は定数) とする（ここで yx は x（連続とみる）に関する微分を表す）．対応関係は



ξ = x − c0 t u=

1 au ∂y , π ay ∂x



c0 = δ2 =

ab h , m

τ=

ay π εc0 t 2 au

(ε = 2αh = bh),

h 2 au 12πε ay

である．ここで b は非線形相互作用の定数であり，y は

y = e−brn − 1  brn によって格子粒子の変位 rn に対応する．

KdV 系に付随する固有値方程式はこのとき (l)

6δ 2 ψξξ − (U − λl )ψ (l) = 0 (U = −u) となる．ここで ψ (l) は l 番目の固有値 λl に対する固有関数である．量子力学 のシュレーディンガー方程式に対応させて考えれば，プランクの定数は

 = 12δ 2 に当たる．固有値 λl は時間によらず，初期条件から求めることができる（図 2.7） ． 初期条件は周期的であったが，これを図 2.7 のように放物線ポテンシャルで 54 第 2 編 ソリトンの数理

1.0

0

0.5

x

1.0 u0

λ3

2.0

λ5

λ5 λ4

1.5

λ4 0

⑧

λ3

⑦

λ2 λ1

λ1

λ0

⑥

λ0 −1.0

U＝−u −2.0

⑤ ④

③ ②

① −3.0 1, 2 , ···,  8の 図 2.7 初期条件 u0 = cos πx と固有値（λ0 , λ1 , · · · , λ5 ）ソリトン

分離．

近似すると

Ut=0  −ut=0 = −au +

au π 2 2 ξ 2

となるので，これに対する固有値は

  1 √ 2 λl = −au + l + 12δ au π 2 2

で与えられる．l = 1, 2, · · · によって与えられるソリトンの高さ 2λl は等差級 数をなすが，初期状態が周期的な特殊な条件だったので背景場のようなものが あって絶対値は決められない．そのため各ソリトンの速さ cl も確定できない が，これも等差級数をなし，その公差を Δc とすると上の λl の係数から



Δc = 4πδ

au 3

で与えられる． 速さの差が Δc の 2 個のソリトンが周期 L の円形のトラックを走ったとす るとし，τR 時間後に再会したとする．ソリトンの速さが c と c + Δc である とすると再帰時間 τR は

τR =

(ν + 1)L νL = . c c + Δc

したがって νΔc = c であり

τR 

L . Δc

再帰時間はこの程度になるであろう．L = 2 とおくと

τR 

1 2πδ



3 au

となる．

Zabusky–Kruskal は δ = 0.022, au = 1 とした数値実験で再帰時間 τR = 30.4/π を得た．これに対し，上の理論式は τR = 40/π を与える．大雑 第 4 章 非線形格子の理論 55

把ながらこれらの数値はほぼ一致していると言ってよいのではなかろうか．数 値実験のほうが小さい再帰時間を与えているのは，ソリトンが衝突するときは 互いに加速するためかもしれないが上の計算にはいろいろな近似が入っている ので詳しいことは言えない．

Fermi ら（FPU）の非線形格子についての数値計算にも上の議論を使うこと ができ，再帰時間を tR とすると（tL は線形化した波が 1 周する時間）

tR  0.6

N 3/2 tL α1/2

(tL = L/c0 )

が得られる．Zabusky が繰り返した数値計算から求めた係数は 0.6 の代りに

0.44 であったということである．いずれにしても再帰現象はソリトンの運動を 考えることによって理解できることが明らかになった．

4.4 指数型ポテンシャル 指数型相互作用のポテンシャルは

φ(r) =

a −b(r−r0 ) e + ar + 定数 b

(ab > 0)

と書ける（ここで a と b の積はプラスとする）．

φ(r) の極小を r = 0 にとれば r0 = 0 となる．簡単化して φ(r) =

a −br e + ar b

としよう．a, b > 0 のとき，φ(r) は図 2.2 (a) のような形になり，右方で引力 を表し，極小の近くで伸び縮みに比例するフックの法則の力を表し，左方では 指数的な強い反発力を示す．これは r のあまり大きくない所では一般の分子間 力に似た相互作用である．b → 0 とすると放物線的な領域（ハーモニック）が 広くなる．また b を大きくした極限では剛体球に似た性質になる（図 2.2 (c)） ．

a と b を共にマイナスにすると，強い引力と弱い反発力をもったポテンシャ ルになる（図 2.2 (b)）．r が小さいときは

φ(r) =

ab 2 ab2 3 r − r + ··· 2 6

となる．したがって微小な運動に対してはバネ定数が

κ = ab の線形のバネのように働く． また圧力 p が外から加わっているときは，ポテンシャル pr があると考えれ ばよく，見かけのポテンシャル

φ(r) =

a −br e + (a + p)r b

を相互作用とすることができる． 56 第 2 編 ソリトンの数理

4.4.1 格子振動の模型 バネでつながれた粒子の振動を想像するには，図 2.1 (a) のような力学的模型 を考えるのがふつうであろう．これはバネが縦方向に伸び縮みして，粒子が縦 方向に振動する縦波の模型であり，あまり大きくない振幅の縦波を想像する場 合に都合がいい模型（縦波模型）である． しかし，バネを縮ませる力が右から働いたとき粒子間の距離はマイナスになっ て，右にあった粒子が左の粒子の中にめり込んでしまう（エネルギーは有限な ので，そこまで考えなくてもよいのだが）． この不具合を除くには，バネをねじれバネにするのがいい．この場合，力学 的模型は図 2.1 (b) のように表せる．粒子の代わりに円板を，伸び縮みするバ ネの代わりにねじれバネを使うねじれ波の模型である．こうすれば粒子間の距 離がマイナスになる代わりに円板相互の回転角がマイナスになるが，それは許 容できるように思われる． 実際，指数格子を考え始めたとき，多くの人から縦振動模型を用いる不具合 についてただされたことがあったし，自分でも粒子間の距離がマイナスになっ たときの状態を具合が悪いと感じることが多かった．しかし，バネの力が線形 であっても隣の粒子にめり込むことは当然考えられるはずである．それを奇妙 に思わないのは線形の波はどうせ近似であるとし，大きな振動は初めから除去 しているからであろう．それに対し非線形の波の扱いでは大きな振動も考慮す ることにしているのでこのような問題が生じたのである． なお，力学的な波動模型を備えた学校もある．A.C. Scott は円板でなく，単 振り子をバネでつないだ模型を “非線形サインゴルドン方程式” のために考案 していた． 図 2.1 (c) はソリトンの減衰機構などを調べるのに便利な非線形 LC 電気回 路である．

4.4.2 非線形のはしご型回路 キャパシタンス C とインダクタンス L をつないだ図 2.1 (c) のようなはし ご型の回路では回路方程式

dQn = In−1 − In , dt

dΦn = Vn − Vn−1 dt

が成り立つ．ここで Qn はキャパシタンスの電荷，In は電流，Φn はインダク タンスのフラックス，Vn は電圧である． ［線形の格子］ キャパシタンス C ，インダクタンス L が共に定数であると

Qn = CVn ,

Φn = LIn .

したがって

第 4 章 非線形格子の理論 57

C

dVn = In−1 − In , dt

L

dIn = Vn − Vn−1 dt

となる．これから

CL

d2 Vn = Vn−1 − 2Vn + Vn+1 , dt2

CL

d2 In = In−1 − 2In + In+1 dt2

を得る．これは Vn ，In について線形格子の波動方程式である． ［非線形の格子］ キャパシタンスが電圧に依存し，インダクタンスが定数であ る場合，v0 を定数として

Qn = Cv0 log(1 + Vn /v0 ),

Φn = LIn

あるいは

Vn = v0 (eQn /Cv0 − 1) となるようなキャパシタンスを用いると

Cv0

d log(1 + Vn /v0 ) = In−1 − In , dt

L

dIn = Vn − Vn−1 dt

となり，これから

LCv0

d2 log(1 + Vn /v0 ) = Vn−1 − 2Vn + Vn+1 dt2

を得る．これは指数格子の運動方程式

  d2 b fn = (fn−1 − 2fn + fn+1 ) log 1 + dt2 a m

と同形である． このような LC 電気回路を用いて非線形格子を伝わる波を調べる研究が広く なされている． なお，力学的な模型と回路模型との対応関係は次のとおりである． 力学模型 バネの力 fn

回路模型

←→ 電圧 Vn

質量 m ←→ バネ定数 a ←→ 速度 v

インダクタンス L 特性電圧 v0

←→ 電流 In

4.4.3 最隣接相互作用 線維や生体を構成する高分子のほとんどは 1 次元上に分子が並んだような物 質，すなわち 1 次元物質である．最も簡単な 1 次元物質は 1 直線上に並んだ分 子がその直線上で運動する体系であろう．分子とすぐ隣の分子とフックの法則 に従うバネで連結されていればこれは 1 次元の固体の模型である．1940 年の 論文で永宮健夫さんはこのような体系の統計力学を扱っている． 58 第 2 編 ソリトンの数理

その頃の統計力学の重要な問題の一つは，1 次元物質に凝縮・蒸発という相変 化が起こり得るかということであった．この問題に対して高橋秀俊さんは，隣 の分子とだけが相互作用をする 1 次元の体系では相変化が起こらないことを次 のように証明した． 統計力学によれば，相隣る分子間の相互作用のポテンシャルを φ(r) とする とし，分子（粒子）の総数を N とすると体系の長さ L は

 ∞ −[φ(r)+pr]/kT re dr L = N 0 ∞ −[φ(r)+pr]/kT e dr 0

で与えられる．ここで T は絶対温度，k はボルツマン定数，p は圧力であり， 分子間の反発力は r < 0 で無限大になるとしている． この式によれば，分子間の長さ l は圧力 p の 1 価関数であり，相変化の場合 の等温線（図 2.8 参照）を与えることはできない．したがってどのような分子 間相互作用 φ(r) でも 1 次元物質は相変化（気体 ↔ 液体）を起こすことはない． なお 1 次元物質でも分子間引力が遠くにある分子まで及ぶときは相変化を起 こし得ることが，M. Kac–E. Uhlenbeck–P.C. Hemmer によって示されてい る（1963）． 指数格子の粒子間のポテンシャルには

φ(r) =

a −br e + ar + 定数 b

である．粒子 n に働く粒子 n − 1 からの力は

f (xn − xn−1 ) = −

∂ φ(xn − xn−1 ) = ae−b(xn −xn−1 ) − a ∂xn

であり，粒子 n に働く粒子 n + 1 からの力は

f (xn+1 − xn ) = −

∂ φ(xn+1 − xn ) = −ae−b(xn+1 −xn ) + a ∂xn

である．これから粒子 n に対する運動方程式は

m

d2 xn = f (xn − xn−1 ) + f (xn+1 − xn ), dt2

すなわち p 圧 力

O

V

図 2.8 相変化（気体 ↔ 液体）の等温線． 第 4 章 非線形格子の理論 59

m

d2 xn = a{e−b(xn −xn−1 ) − e−b(xn+1 −xn ) } dt2

(2.30)

である（このように力を通して考えるのはわかりにくいかもしれない）． この計算の途中で φ(r) の中にあった +ar という項は打ち消し合い，(2.30) ではこの項の効果はなくなっている．そのため初めから φ(r) = (a/b)e−br だ け，すなわち指数関数的な反発力だけにしておいたほうがわかりやすくてよかっ たようにも思われる． こうして相互作用として反発力だけを考えると，体系はこの反発力のために 膨張を続けることになってしまう．これを受けとめて格子が膨張を続けないよ うにするのがこの項なのである．この項による力は静的に外から加えている応 力にほかならない． 消えた項は運動方程式 (2.30) には現れないが，運動方程式の解の中からこの 条件に合うものを選ばなければならないわけである（3 粒子が輪をつくる体系 では，輪の全長が一定ということが条件になる）．

4.5 ソリトンのエネルギーなど 格子ソリトンの性質を総括しておこう． 粒子の相互作用を

φ(r) =

a −br e + ar b

(ab > 0)

(2.31)

とする． 粒子間の力：

fn = a(e−brn − 1) =

(rn = xn − xn−1 )   ab β= sinh k . m

m 2 β sech2 (kn − βt) b

(2.32)

粒子の変位（次頁［注意］参照） ：

xn =

1 1 + e2(kn−ωt) . log b 1 + e2[k(n+1)−ωt]

(2.33)

ソリトンによる格子の縮み：

−

∞ 

rn = −(x∞ − x−∞ ) =

n=−∞

2k . b

(2.34)

ソリトンの質量：

M = −(x∞ − x−∞ ) 速度：

ω c= h=h k 60 第 2 編 ソリトンの数理



2m m = k h bh

ab sinh k m k



(h = 粒子間距離). 

ω=

ab sinh k . m

(2.35)

(2.36)

運動量：

 dxn a = 2 m sinh k = M c. P = m dt b n=−∞ ∞ 

(2.37)

運動エネルギー：

 2 ∞  m dxn 2 dt n=−∞

K =

∞  a 2a sinh k cosh k − sinh2 k sech2 (kn − ωt) b b n=−∞   2a sinh k . = sinh k cosh k − b k

=

(2.38)

位置エネルギー： ∞    a −brn + arn e b n=−∞

U =

∞  2ak a sech2 (kn − ωt) + sinh2 k b b n=−∞   2 2a sinh k −k . = b k

=−

(2.39)

ソリトンの全エネルギー：

E =K +U =

2a (sinh k cosh k − k). b

(2.40)

［注意］ (2.33) から (2.32) を導き，(2.33) の正しさを確かめよう．

e−bxn = [1 + e2(k(n+1)−ωt) ]/[1 + e2(kn−ωt) ], e−bxn−1 = [1 + e2(kn−ωt) ]/[1 + e2(k(n−1)−ωt) ].

(2.41)

ここで rn = xn − xn−1 により

fn /a = e−brn − 1 =

 =

[1 + e2(k(n+1)−ωt) ][1 + e2(k(n−1)−ωt) ] −1 [1 + e2(kn−ωt) ]2

ek − e−k kn−ωt e + e−(kn−ωt)

!2

= sinh2 k sech2 (kn − ωt)

(2.42)

となり，これは (2.32) と一致している．したがって (2.33) は（付加定数を除いて）正 しい． なお (2.33) から（k > 0 として）

1 1 + e2kn 2k =− , lim log b n→∞ 1 + e2kn e2k b 1 e−2kn + 1 lim log −2kn 2k = 0. = b n→∞ e e +1

x∞ = x−∞

(2.43)

これにより (2.34) を得る．

第 4 章 非線形格子の理論 61

第

5

章

非線形格子の積分

5.1 1960 年代を超えて 1960 年代の終りの頃は，大学にとっても学界にとっても内外多事な時代で あった．1959 年から 1960 年に全国規模で展開された安保闘争（日米安全保障 条約改定に対する反対闘争）があり，ことに 1960 年 5 月から 7 月にかけては連 日数万人がデモ行進し，国会を包囲して学生の死者も出た．この闘争に対する 大学の対応などから学生がいくつかのセクトに分かれて争いを繰り返すように なった．大学の至る所にアジテーションのビラが張られ，アジ演説，投石，火 炎ビンなどの騒ぎも稀でなかった．今の学生には想像もつかないことであろう． 初めは米国との安全保障条約の改定反対が焦点であったが，物理学会関係で は軍事研究に対する反対だけでなく，米軍に関係のある資金が研究や国際会議に 流れることに対する反対にも広がり，いわゆる学園紛争に火がついたのであっ た．日本物理学会や応用物理学会関係の関係する国際会議でアメリカの学者が 米軍機に乗って来日することに対する反対なども問題になり，物理学会の委員 長が辞職する騒ぎまで起こったのは 1968 年のことであった． 京都から東京へ戻った私の所へ大阪大学の伊藤順吉さんから突然の電話があ り，辞任した前委員長に代って委員長になるので副委員長を引き受けてほしい と依頼された． 当時の日本物理学会は委員会が決定権をもち，委員長は委員会の意見をとり まとめるだけの権限しかもたなかった．そのため，例えば研究集会に反対する 集団が会場に押しかけて会を阻害しようとするなどの事態が起こっても学会は 急な対応ができない．それで最初の仕事は委員長制をやめて，会長が決定権を もつ学会にするために定款を改めることであった．学会が騒ぎを収拾できなけ れば，学会がとり潰されるおそれもあった．そのような状況だったので，それ からは学会を再出発させる仕事に数年間参加しなければならなかった． それに加えて数年前から筑波学園都市構想というのが出てきて，私のいた東

図 2.9

ノルウェートロントハイム理論物理学研究所（1974 年頃，画・戸田盛和）．

京教育大学を筑波へ移転させる話がもち上がってきた．初めは見合い程度の話 であるなどと言われていたが，移転に同調する黒い雲のようなものが大学を侵 し始めた．ことに理学部は思考停止のようになった．それに嫌気がさして 1970 年には大学附置の光学研究所へ移った．朝永先生が停年になった後の理論光学 という講座で 1975 年まで理学部兼任を務めた．非線形物理学の先駆者である アメリカの A.C. Scott（初対面）が光学研究所へ訪ねてきたのを覚えている．

1970 年代の初めであっただろう．その頃から海外との交流が忙しくなってきた． 1973 年に NORDITA の援助でノルウェーの Trondheim 大学理論物理学研 究所へ行き，1 年間滞在した．同研究所の H. Wergeland 教授（前出の P.C.

Hemmer の先生）の招聘であった．この研究所で Hemmer は定員外の特別教 授というようなポジションであった．その他には後に学長となり，数年前に来 日した Hiis Hange や雑用などをしてくれた Bakke という人，それに 2 人の女 性秘書（1 人は事務，もう 1 人はタイプをしてくれた E. Odde さん），それに ときどき顔を見せる数人の学生が全員であった． この恵まれた静かな環境で，私のほとんど唯一の仕事は非線形格子理論につ いて紀要（Studies on a Nonlinear Lattice Arkiv for Det Fysiske Seminari

Trondheim, No.2–1974）を書くことであった．この紀要は後に Physics Reports, Vol.18C No.1 (1975) として出版された．この際はイギリスの D. ter Haar にお世話になった． 紀要を書き上げてから少し講演や講義に出歩いた．ミラノの Scotti（Scott と 別の人）に呼ばれてマジョーレ湖の研究所で講演をし，マドリッドの Velarde の所で集中講義をした．マドリッドも学園紛争中で大学をとりまく山の上から 兵隊が監視していた．学生が集会をしようとすると下りてきて蹴散らすという ことであった．しかし街は平穏で，ドン・キホーテの銅像の周りはにぎやかで あった． 第 5 章 非線形格子の積分 63

5.2 力学系のカオス 5.2.1 可積分系 コペンハーゲンの隣町リングビー（Lyngby）で催された非線形力学の国際会 議に招かれたことがある（1992）．晩餐会のスピーチを頼まれて次のような話 をした． 『デンマークの科学史上で最初に挙げなければならないのはティコ・ブラー エ（Tycho Br´ ahe）である．彼の精密な惑星観測のデータを用いてケプラー（J.

Kepler）は有名な惑星運動の 3 法則（ケプラーの法則）を発見した．この法則 は太陽を回る軌道が位置と運動量の空間（位相空間）の中で滑らかな超曲面上 にあることを示すものである．言い換えれば，惑星の運動が積分可能な運動で あることをケプラーは発見したのである．これはトリビアルでない積分可能系 の最初の発見であった．』 次いで私は木星を回る衛星のみかけの運動から光の速さを初めて見出したレー マー（O.C. Roemer）や電流の磁気作を初めて発見したエルステッド（H.C.

Ørsted）および原子模型を発明したボーア（N. Bohr）の偉業に言及した．こ れらの人の仕事がすべて新しい科学分野を開くものであったのは驚くべきこと である． さて，太陽をめぐる 1 個の惑星（ケプラー問題）の運動方程式はもちろん非 線形であるが，エネルギー積分以外に角運動量積分（面積速度の法則）などが あるので積分可能系である． ニュートンはケプラーの法則を知っていて，これを導くために万有引力の法 則を仮定したのであった．これがニュートン力学を輝かしい成功の座へと導い たのであった．この場合にも，他の多くの場合と同様に，積分可能系であった ことが大きな説得力となり，また大きな満足感を与えたのであった．ふつうは ガリレイからニュートンへという科学の系譜が強調されるが，もしもティコ・ ブラーエとケプラーという先駆者がなかったら，また太陽系が高い近似におい て積分可能系でなかったら，ニュートンの成功はなかったに違いないし，少な くとも科学の確立は何十年か遅れたであろうと思われる． ニュートン以後，太陽系の観測は精密化し，惑星相互の万有引力をとり入れた 理論は精度の高い近似として発展した．しかし太陽と 2 個以上の惑星が相互作 用するときの天体力学（3 体問題）は積分不可能であるという困難にぶつかった． 太陽系は果たして安定であるかという懸賞金のかかった問題にチャレンジした ポアンカレ（J.H. Poincar´ e）は，この力学系の運動がとてつもなく複雑である ことを見出した． 「彼はカオスを見ていた」のである．このとき彼は解析的に解 けない力学系の振舞いを分類する方法も考え出した．位相空間（位置・運動量空 間）での運動のトポロジカルな様相を論じることはポアンカレ写像と呼ばれる． 64 第 2 編 ソリトンの数理

5.2.2 アトラクタ ［1 変数］ 変数 x の時間変化 x(t) を与える式として例えば

dx = f (x) dt

(2.44)

を考えよう．ある時刻 t における x の値 x(t) が与えられると次の瞬間 t + τ における値 x(t + τ ) が x(t + τ ) = x(t) + f (x)τ で与えられ，こうして x が 時間 t の関数として定まっていく． ［2 変数］ 例として真空管による発振の機構を表すファン・デル・ポール（B.

van der Pol）の方程式（非線形方程式） d2 x dx +x=0 − ε(1 − x2 ) 2 dt dt

(2.45)

を考えよう．この方程式は 2 変数 x と v を用いて

dx = v, dt

dv = ε(1 − x2 )v − x dt

(2.46)

と書ける．一般に 2 変数（x と v ）に対する方程式

dx = f (x, v), dt ε＝10 x˙ 15

dv = g(x, v) dt

(2.47)

は，ある瞬間 t における x と v の値を与えれば，次の瞬間 t + τ にお ける x と v の値を定めるから，次々に x と v の運動が決定される． したがってこのような体系（力学系）の運動は x と v を座標とする 平面（相平面）上の軌道によって表すのが便利である．

10

このような 2 変数力学系の解の例としてファン・デル・ポール 方程式の解を図 2.10 に示す．x の振幅が小さいときは上式の項 5 −10−10 0 ＋8 −20 0 −10 −20 ＋8

0∞

∞x

−ε(1 − x2 )dx/dt (ε > 0) は振動を増大させる『負抵抗』として働 き，発振が起こる．逆に振幅 x が大きくなると上の項は正になること が多くなるので正の抵抗として働くので，振動は押さえられて減衰す る．そのため，いずれの場合でも軌道はある周期運動（リミットサイ クル，極限軌道）に近づくことになる．

−5

さて，一般の 2 変数力学系 (2.47) に戻って，軌道が相平面の有限な

−10 ＋8＋8 −20 0 0

−10

−20

−10

−10

−15 −2−1 0 1 2

図 2.10 (a) ファン・デル・ポー

x ε＝10 3.0 2.0 1.0 0 −1.0 −2.0 −3.0 0 10

t 20

30

40

50

60

70

80

図 2.10 (b) ファン・デル・ポール方程式の波形（自励振動）．

ル方程式の極限軌

 

道（リミット・サ

 

イクル）の例．

  第 5 章 非線形格子の積分 65

範囲に限られている場合を考えよう．

(i) エネルギーが保存される場合は，軌道はエネルギー E(x, v) = 一定の 閉曲線，すなわち周期運動になる．

(ii) エネルギーの出入りが可能な場合には，ファン・デル・ポール方程式の ように軌道は極限軌道に漸近するか，線形の減衰振動のように安定な平 衡点へ近づく．軌道はこの 2 つのいずれかに引きつけられるので，これ をアトラクタと言う． 方程式 (2.47) による運動は一義的に決定されるから，相平面において軌道は 交わることがない．このため 2 変数の場合，アトラクタは安定な平衡点と極限 軌道の 2 つに限られる． 外力が加わっているときは，相平面に垂直に時間軸 t を加えて運動を表すと， 外力の影響が明らかになる場合がある．

2 変数力学系のアトラクタは上の 2 種類しかないが，3 変数の場合は次に述 べるようにストレンジ・アトラクタという奇妙なものもあり得る． ［3 変数］ 3 変数の力学系

dx = f (x, y, z), dt

dy = g(x, y, z), dt

dz = h(x, y, z) dt

(2.48)

を考える．f, g, h は時間 t を含まず，一義的な関数とする．これを決定論的力 学系と言う（前述の 1 変数 2 変数の力学系もこれに限定していたのであるが， 特に限定しなかった）． 運動方程式 (2.48) の運動の軌道は 3 次元位相空間 (x, y, z) 内の曲線になる が，3 次元曲線は図にしにくいし，無理して描いてもわかりにくい． しかし決定論的な力学系では軌道は交わらない．したがって交わりそうになっ ても，軌道は図 2.11 のように立体交差するに違いない（直観的にそう考えられ るだろう） ．特別な場合として，軌道が図 2.11 のように 2 つの平面の間をとき どき移行する場合が考えられる．軌道は太さが無限に細い線であるから，3 次 元的に複雑な極限軌道を描くことも可能である．このような複雑なアトラクタ

図 2.11

66 第 2 編 ソリトンの数理

ストレンジ・アトラクタを生じる軌道の概念図．

をストレンジ・アトラクタと呼ぶ．

Poincar´e はストレンジ・アトラクタを見ていたと思われる．比較的最近に， ストレンジ・アトラクタはカオスのタイプとして復活した．気象学者ローレン ツ（E. Lorenz）は気象現象を表すモデル方程式として 3 変数の非線形方程式 を調べた．そしてその方程式が図 2.11 に示したようなストレンジ・アトラクタ を生じることを発見したのである．

5.2.3 初期値敏感性 力学系がストレンジ・アトラクタをもつとき，運動は決定論的であるにも関 わらず，初期値を極くわずか変えただけで，以後の軌道は大きく異なったもの になり，その意味で予測不能である．これを初期値敏感性とか，決定論的カオ スと言っている．カオスが生じる連続力学系（変数 x, y, · · · が連続値をとり得 る力学系）はストレンジ・アトラクタをもち，少くとも 3 以上の変数をもつ． 多変数の力学系は一般に初期値敏感性をもつカオス系である．前に述べたケ プラー運動のように素直な積分可能系は世の中の例外的なものにすぎない．世 の中のほとんどすべての力学系はカオス系であり，積分不可能系であると言っ てよいだろう． 古典力学では運動方程式があり，それを解析的に解くのが問題を解くという ことであるが，初期値敏感性と決定論的カオスが普遍的であることを考えれば， 積分可能系は特別な理想世界であると言わなければならないことになる．

5.3 エノン・ハイレス系 5.3.1 ポアンカレ写像 変数の数が 3 以上になると軌道は多次元空間の曲線となり，図示することが できなくなる．この場合は変数空間を 2 次元平面で切って，断面を図示する方 法が考えられる．この断面図をポアンカレ写像（surface of section）と言う． 具体的な例を挙げよう． フランスのニースにある天文台のエノン（M. H´ enon）は軸対称の銀河が作 る重力場の中の一つの星の運動をポアンカレ写像で調べた．対称軸を z 座標と し，星に働く重力と遠心力のポテンシャルを展開して 3 次の項で打ち切り

1 1 U = Uc + a0 (r − r0 )2 + c0 z 2 + a1 (r − rc )z 2 − c1 (r − rc )3 + · · · 2 2 とする（銀河は z = 0 の面の上下で対称とする）． ここで適当な尺度変換 (z, r) → (q1 , q2 ) を行うと

1 1 r3 sin 3θ U (q1 , q2 ) = q12 q2 − q23 = r 2 + 3 2 3 とすることができる（ここで q1 = r cos θ, q2 = r sin θ とおいて，このポテン 第 5 章 非線形格子の積分 67

q2

q1

図 2.12 （a）

正 3 角形のポテンシャル． （b） p2

q1

P7

P6 P5

p2

q2

P1

P2

P3

q2 P4

P1 P2

P3

図 2.13 ポアンカレ写像の説明．

シャルが正 3 角形の皿の形をしたものであることを示しておいた（図 2.12））．

q1 と q2 に正準共役な運動量は p1 = q˙1 ，p2 = q˙2 であり，ハミルトニアンは H(q1 , q2 , p1 , p2 ) =

1 2 1 (p1 + p22 ) + q12 q2 − q23 2 3

となる．

q1 = 0，q2 = 1 において ∂U/∂q1 = ∂U/∂q2 = 0 であり，この点を含む正 3 角形の頂点が U の峠（鞍部点）であることが容易に示される．峠における U の値は Ec = 1/6 = 0.1666 · · · であり，エネルギー E が Ec よりも低ければ 運動はポテンシャルの谷の中で行われるが，Ec を越えると峠を越えて外へ出 てしまうことが可能である． この場合，変数は (q1 , q2 , p1 , p2 ) で，変数の数は 4 である．そこで q1 = 0 を 通り，q1 軸に垂直で q2 軸と p2 軸の 2 軸を含む平面を，軌道が p1 > 0 の向 きに切る点 (P1 , P2 , · · · ) をこの平面 (q2 , p2 ) 上にプロットする．これらの点

(P1 , P2 , · · · ) が滑らかな曲線の上に乗るときはこの曲線も図示する（図 2.13）． 数値計算の結果を図 2.14 に示す． この結果から次のようなことがわかる．

E = 1/12 = 0.08333 · · · のとき，(P1 , P2 , · · · ) は滑らかな曲線の上に乗る （図 2.14 (a)）．これは軌道がある超曲面の上にあることを意味し，この超曲面 68 第 2 編 ソリトンの数理

（a） p2 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

（b） p2

E ＝ 0.0833

0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

−0.4−0.3−0.2−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 q2

E ＝ 0.12500

−0.4−0.3−0.2−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 q2

（c） p2

0.5 E ＝ 0.16667 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.5−0.4−0.3−0.2−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 q2

図 2.14 エノン・ハイレス系のポアンカレ写像．

はエネルギーと異なり，少くとも近似的な運動の定数（運動の積分，エネルギー と異なる積分，第 3 積分と言う）である．

E = 1/8 = 0.12500 に上げると運動領域は滑らかな曲線で覆われた領域とそ ．この図でカオス的 うでない領域（カオス的な領域）に分かれる（図 2.14 (b)） な領域の多数の点は 1 つの初期条件から出発した軌道が平面 (q2 , p2 ) を切る点 である． さらにエネルギーを E = 1/6 = 0.166 · · · に上げるとほとんどすべての領域 がカオス的になる（図 2.14 (c)）． この体系（エノン・ハイレス系）ではエネルギーが低いときには近似的に積 分可能系であり，エネルギーが高くなるとカオス的になるのである． エネルギーの高さによって 1 つの体系が積分可能系からカオス系へ移る遷移 は詳しく検討する価値があると思われるが，研究は少ない．

5.4 可積分性のテスト 1970 年代の初めに非線形格子の理論は新たな展開を見せた．これはアメリカ のジョージア工科大学にいたフォード（J. Ford）の報告から始まった．これは 指数格子が可積分系であることを強力に支持する数値的なテストである．

Ford は 3 個の粒子からなる周期的な輪の形の体系を考え，各粒子の 1 次元 的な運動を調べた．その結果を先に述べておこう． 粒子間の相互作用のポテンシャルが 第 5 章 非線形格子の積分 69

図 2.15

φ(r) =

3 粒子周期格子．

1 2 α 3 r + r 2 3

(2.49)

の場合はエノン・ハイレス系と同等である．したがって体系はカオス的な運動 をする． 粒子間のポテンシャルが指数型，すなわち

φ(r) = e−r + r − 1 の場合は軌道は至る所滑らかである．したがって指数型ポテンシャルの場合は 積分可能系であると考えられる． 粒子間の相互作用が調和的，すなわち

φ(r) =

1 2 r 2

である場合はもちろん可積分系であるが，そのハミルトニアン H0 などを書い ておこう．粒子の座標を Q1 , Q2 , Q3 とし，運動量を P1 , P2 , P3 とすると，3 粒子周期系（図 2.15）のハミルトニアンは

H0 =

1 2 1 (P + P22 + P32 ) + {(Q1 − Q2 )2 + (Q2 − Q3 )2 + (Q3 − Q1 )2 } 2 1 2

となる．これは主軸変換

Qi =



Aij ζj ,

Pi =

j

ただし

⎛



Aij ηj

(2.50)

j

6−1/2

⎜ 1/2 Aij = ⎜ ⎝−(2/3) 6−1/2

2−1/2 0 −2−1/2

3−1/2

⎞

⎟ 3−1/2 ⎟ ⎠

3−1/2

によって

H0 =

1 2 3 (η1 + η22 + η32 ) + (ζ12 + ζ22 ) 2 2

となる．ζ3 は H0 に現れない．これは全運動量

P1 + P2 + P3 =

√

3η3

が保存される量（循環座標）であるからである．

5.4.1 3 次の非線形項がある場合 バネのポテンシャルが 70 第 2 編 ソリトンの数理

φ(r) =

1 2 α 3 r + r 2 3

と書けるとすると，ハミルトニアンは

H = H0 +

α {(Q1 − Q2 )3 + (Q2 − Q3 )3 + (Q3 − Q1 )3 } 3

となる．これに上の主軸変換を行うと (2.51) は

H=

& 3α 1% 2 η1 + η22 + η32 + 3(ζ12 + ζ22 ) + √ 2 2

(2.51)

  1 ζ12 ζ2 − ζ23 3

となる．

η3 は運動の定数であるからこれを除外すると運動方程式は ∂H ∂H = η1 , ζ˙2 = = η2 , ζ˙1 = ∂η1 ∂η2 √ ∂H η˙ 1 = − = −3ζ1 − 3 2αζ1 ζ2 , ∂ζ1 ∂H 3α η˙ 2 = − = −3ζ2 − √ (ζ12 − ζ22 ) ∂ζ2 2

(2.52)

となる．これはエノン・ハイレス系の運動方程式に似ているが，最後の式が少 し異なっている．そこで尺度変換

√ 2 q1 , ζ1 = α α √ η1 = p1 , 6

√

ζ2 =

2 q2 , α

1 t = √ τ, 3

(2.53)

α √ η2 = p2 6

を行えば，運動方程式 (2.52) は

dq1 dq2 = p1 , = p2 , dτ dτ dp1 dp2 = −q1 − 2q1 q2 , = −q2 − q12 + q22 dτ dτ

(2.54)

となる．これはエノン・ハイレス系の運動方程式と全く同じである． この体系は 4 個の変数 (q1 , q2 , p1 , p2 ) で記述され，エノン・ハイレス系と同 様に，エネルギーが少し大きくなるとカオス的な振舞いをする．したがって積 分不可能系である．

5.4.2 相互作用が指数型の場合 φ(r) = e−r + r − 1 としよう．ハミルトニアンは

H=

1 2 (P + P22 + P32 ) + e−(Q2 −Q1 ) + e−(Q3 −Q2 ) + e−(Q1 −Q3 ) − 3 2 1

と書ける．最後の項 −3 は運動がないとき，すなわち Pi = Qi = 0 (i = 1, 2, 3) のとき H = 0 になるようにつけ加えてある．変位が小さいとして展開し，r 3 第 5 章 非線形格子の積分 71

の項までとると

φ(r) = e−r + r − 1 

1 2 1 3 r − r 2 6

となり，3 次の非線形項までとった (2.49) の場合（α = −1/2）と比較できる． このことを念頭において 2 次の項の主軸変換 (2.50) と尺度変換 (2.53) を加 えるとハミルトニアンは

H=

√ √ 1 2 1 (p1 + p22 ) + [exp(2q2 + 2 3q1 ) + exp(2q2 − 2 3q1 ) 2 24 1 + exp(−4q2 )] − 8

となり，運動方程式は

dq1 = p1 , dτ

dq2 = p2 , dτ

√ √ dp1 1 = √ [− exp(2q2 + 2 3q1 ) + exp(2q2 − 2 3q1 )], (2.55) dτ 4 3 √ √ dp2 1 1 = exp(−4q2 ) − [exp(2q2 + 2 3q1 ) + exp(2q2 − 2 3q1 )] dτ 6 12 となる．これらの式で q1 ，q2 が小さいとして exp を展開すると (2.54) になる ことが容易に確かめられる．

(2.55) を数値的に解いた結果を図 2.16 に示す．これは軌道を q2 と p2 を含 む面で切ったポアンカレ写像である．この場合，エネルギー E = H をいくら 上げても軌道は常に滑らかな曲線の上に乗っている．これはこの体系が積分可 能系であることを明白に示している．

5.4.3 固定端の場合 指数型相互作用

φ(r) =

a −br e + ar b

をもつ非線形格子はソリトン解，周期解などの特解があり，これらの解はエネ ルギーがどれほど高くても安定である．このことからこの格子は完全な可積分 系であるかもしれないと思われる． 斎藤信彦さんはこの問題を両端固定の 2 粒子系（図 2.17）で数値的に検証し た（1970 頃）．

2 粒子の座標を x1 ，x2 とし，x1 軸を x˙ 1 軸に垂直な平面で切ったポアンカレ 写像の一例を図 2.18 に示す．この場合 a = b = 1 とし，粒子の質量は m = 1 としている．図 2.18 (a) で右上の部分は 2 粒子が同方向へ運動している状態 （進行波）であり，下の部分は 2 粒子が逆方向へ運動している状態（定在波）で ある．エネルギーを E = 4.559 から E = 1485.4 まで上げても軌道の様子は変 わらず（図 2.18 (b)） ，この体系が完全な可積分系であることは確実と思われる． 72 第 2 編 ソリトンの数理

p2

p2

q2

q2

図 2.16 (a) 3 粒子周期的指数格子 E = 1． 図 2.16 (b) 3 粒子周期的指数格子

E = 256．

 

図 2.17 ・2＞ 0） ・ x1 （x

両端固定の 2 粒子系． ・2＞ 0） ・ x1 （x

E ＝4.559

E ＝1485.4 進行波 （ソリトン）

1.0

0.5

1.0

x1

0 −5.0

5.0 x 1

−50 定在波

図 2.18 (a) 2 粒子指数格子の Poincar´ e 図 2.18 (b) 2 粒子指数格子の Poincar´e 写像 E = 4.559．

写像 E = 1485.4．

5.5 指数格子の保存量 指数格子が可積分系であることを強力に支持する J. Ford の数値的な論証は

enon）とアメリカのフラシュカ（Flaschka）を大きく刺 フランスのエノン（H´ 激し，彼らはこれを理論的に決定づける論文を発表した（1974）．

H´enon の論文は周期的で一様な指数格子は粒子数だけの運動の定数をもつと いうことを代数的に証明したものであった．Flaschka の論文もこの格子が粒子 の個数だけの運動の定数をもつことを示したものであるが，その証明は解析的 第 5 章 非線形格子の積分 73

で H´ enon のよりもわかりやすい．それで次には Flaschka の方法を説明する． 驚いたことに，Flaschka はこの論文と同時にこの格子の運動方程式を積分す る方法を明らかにした別の論文を同時に発表したのであった．この積分方法は 前に KdV 方程式の積分方法として開発された逆散乱法を不連続な格子系に適 用したものであった．これについても述べたいが，たいへん長くなるので他の 本（例えば戸田盛和『非線形格子力学』岩波書店，1976 年）を参照されたい．

Flaschka は指数格子の運動方程式を行列形式で扱った．そして N 個の粒子 からなる周期系指数格子は N 個の独立な運動の定数をもつことを証明した．こ こで運動の定数とは，全運動量，全エネルギーなどのように，体系の運動によ らず一定に保存される量（保存量）のことである．多数の保存量があるときは いくつかの保存量の関数はやはり保存量であるが，互いに関数関係にないよう な保存量どうしは独立であると言う．

1 個の粒子の状態はその位置と運動量（あるいは速度）を表す 2 つの変数で記述 され，N 個の粒子からなる体系の状態の自由度は 2N である．自由度 2N の力 学系が N 個の滑らかな保存量をもつとき，その体系は（リゥヴィル（Liouville） の意味で）積分できる（積分可能系である）と言う． 前節で述べたように，Ford は 3 粒子からなる周期的な指数格子は滑らかな保 存量をもつことを数値的に明らかにした（1970）．これに触発されて Flaschka は N 個の粒子からなる周期的な指数格子は N 個の独立な保存量をもち，した がって積分可能系であることを示した（1974）．このとき，彼は格子の運動方 程式を行列で表現した． わかりやすくするため，まず 3 粒子の場合から説明しよう．指数格子の運動 方程式はこの場合

dP1 dP2 = e−(Q1 −Q3 ) − e−(Q2 −Q1 ) , = e−(Q2 −Q1 ) − e−(Q3 −Q2 ) , dt dt dP3 dQ1 dQ2 dQ3 = e−(Q3 −Q2 ) − e−(Q1 −Q3 ) , P1 = , P2 = , P3 = dt dt dt dt と書ける．ここで

1 −(Q2 −Q1 )/2 1 e , a2 = e−(Q3 −Q2 )/2 , 2 2 1 1 1 b1 = P1 , b2 = P2 , b3 = P3 2 2 2 a1 =

a3 =

1 −(Q1 −Q3 )/2 e , 2

とすると (an , bn ) に対する運動方程式は

da1 da2 da3 = a1 (b1 − b2 ), = a2 (b2 − b3 ), = a3 (b3 − b1 ), dt dt dt db1 db2 db3 = 2(a23 − a21 ), = 2(a21 − a22 ), = 2(a22 − a23 ) dt dt dt (2.56) となるが，ここで行列 74 第 2 編 ソリトンの数理

⎛

b1

a3

⎞

⎛

⎜ B=⎜ ⎝ a1 −a3

⎜ L=⎜ ⎝a1

a1 b2

⎟ a2 ⎟ ⎠,

a3

a2

b3

0

−a1 0 a2

a3

⎞

⎟ −a2 ⎟ ⎠ 0

を導入すると運動方程式 (2.56) は

dL = BL − LB dt

(2.57)

となる．この形の式はラックス（P.D. Lax）形式と呼ばれる．L は Lij = Lji を満たす対称行列であり，B は Bij = −Bji を満たす反対称行列であり，実 数の行列（実行列）である．したがって行と列をとりかえたエルミート共役を

B † と書くと B † = −B である．そこで

dU (t) = BU (t), dt

U (0) = 1

(2.58)

を満足する行列 U (t) を考えると U (t) の逆行列は U (t)−1 = U † (t) であるこ とが示されるので

dU (t)−1 = −U (t)−1 B dt である．このとき

L = U (t)L(0)U (t)−1 が成り立つことが示される．ここで L(0) は t = 0 における L の値である． 実際 (2.58) により

dL dU (t)−1 dU (t) = L(0)U (t)−1 + U (t)L(0) = BL − LB dt dt dt したがって (2.57) が成立する． これらのことは粒子数が N = 3 でないときも成り立つ．以下では N 個の 粒子からなる周期的な指数格子を考えよう． ［N 個の保存量］

L は N 行 N 列の行列である．これに対し N 行のベクトル ⎛ ⎞ ϕ1 ⎜ ⎟ ⎜ ϕ2 ⎟ ⎜ ⎟ ϕ=⎜ . ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝ ⎠ ϕN が

第 5 章 非線形格子の積分 75

Lϕ = λϕ

(2.59)

を満たすとき λ を固有値（保存量），ϕ を固有ベクトル（固有関数）と言う． 行列表示をとれば (2.59) は

det(L − λI) = 0 と書ける．ここで I は N 行 N 列の単位行列 Iii = 1, Iij (i = j) = 0, det は 行列式を意味する． 指数格子の運動に対して L = U (t)L(0)U (t)−1 が成り立つので

det{U (t)(L(0) − λI)U (t)−1 } = 0, あるいは一般に det[U (t)AU (t)−1 ] = det A であるから，固有値 λ は時間 t に よらない方程式

det[L(0) − λI] = 0

(2.60)

によって与えられる．ここで L(0) は N 行 N 列の行列なので固有値は N 個存在 し，すべて時間によらない量である．したがってこれらの固有値を λ1 , λ2 , · · · ,

λN とすると (2.60) を展開して N −1 −2 λN + C2 λN + · · · + CN −1 λ1 + CN = 0, 1 + C1 λ 1 1 N −1 −2 λN + C2 λN + · · · + CN −1 λ2 + CN = 0, 2 + C1 λ 2 2 .. . N −1 −2 + C2 λN + · · · + CN −1 λN + CN = 0 λN N + C1 λ N N

となる．

C1 , C2 , · · · , CN は an , bn を通して時間の関数であるが，上の連立方程式を C1 , C2 , · · · , CN について解いたとすると，これらは λ1 , λ2 , · · · , λN の関数と して与えられる．そして λ1 , λ2 , · · · , λN は保存量であるから C1 , C2 , · · · , CN も保存量である． ［N = 3 の場合］ この場合は

  b −λ  1  det(L − λI) =  a1   a3

a1 b2 − λ a2

    a2   b3 − λ  a3

= −(λ − λ1 )(λ − λ2 )(λ − λ3 ) と書ける．根と係数の関係から

λ2 の係数：λ1 + λ2 + λ3 = b1 + b2 + b3 = −C1 , λ1 の係数：λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 = b1 b2 + b2 b3 + b3 b1 −a21 −a22 −a23 = C2 , λ0 の係数：λ1 λ2 λ3 = b1 b2 b3 − b1 a22 − b2 a23 − b3 a21 + 2a1 a2 a3 = −C3 76 第 2 編 ソリトンの数理

を得る．ここで全運動量は

P =

3 

Pn = 2

n=1

3 

bn

n=1

であるからすなわち λ2 の係数 C1 = 一定 は全運動量の保存と関係がある．す なわち

P = 2(λ1 + λ2 + λ3 ). また λ2 の係数の 2 乗から λ1 の係数の 2 倍を引けば全エネルギー H の半分に なる．すなわち

H =

3 3 3   1 2  −(Qn+1 −Qn ) Pn + e =2 (b2n + 2a2n ) 2 n=1 n=1 n=1

= 2(λ21 + λ22 + λ23 ) = 2(b21 + b22 + b23 ) + 4(a21 + a22 + a23 ). 故に λ1 の係数は全エネルギーの保存と関係がある．しかし λ0 の係数 λ1 λ2 λ3 はふつうの力学系にない保存量である．

5.6 多数のソリトンを含む解 KdV 方程式や指数格子の運動をソリトンの集まりとして表す方法は，逆散乱 法だけでなく，いくつか考えられている．ここでは行列式を用いて表現した解 を記すことにし，比較のため KdV 方程式の解と指数格子の解を並べておく． ソリトンの総数を g 個とし，ソリトン i (i = 1, 2, · · · , g) の固有値（ソリト ンの強さ）を κi ，時刻 t = 0 におけるソリトンの位置に関係したパラメータを

ci とする．κi と ci はいわゆる初期データとして与えられたものとする． 5.6.1 KdV 方程式の解 KdV 方程式 ∂u ∂u ∂ 3 u + 6u + =0 ∂t ∂x ∂x3 の解は

u(x, t) = 2

∂2 log det A ∂x2

で与えられる．ただしここで A は g 行 g 列の行列であり，その要素は

Aij = δij +

ci cj −(ηi +ηj ) e , κi + κj

ηi = κi x − 4κ3i t,

ηj = κj x − 4κ3j t

である．また δij は

δii = 1,

δij = 0 (i = j)

とする． 第 5 章 非線形格子の積分 77

g = 1 の場合は det A = A11 であり A11 = 1 +

3 c21 −2(κ1 x−4κ31 t) e = 1 + e−2(κ1 x−4κ1 t+δ1 ) . 2κ1

これから

u(x, t) = 2κ21 sech2 (κ1 x − 4κ31 t + δ1 ), ただし

c21 = e−2δ1 . 2κ1

フラシュカ フラシュカ（Flaschka）という名は珍し いもののように思ったので，どこの出か と聞いた．30 年も前のことなので詳しい ことは忘れてしまったが，何でもブルガ リアあたりの出身だという話だった．叔 母さんか伯母さんが宮中と関係があった らしい．子供のときアメリカへ渡り，英 語を熱心に勉強した．フォードさんの話 では平均のアメリカ人より立派な英語を 使えるそうである． 大学を出てからしばらくは，これといっ

左：フラシュカ，右：マクラフリン （1978）．

た仕事ができなかったそうである．1970 年代の初めに非線形格子の問題に触れることができたのは彼にとって大きな幸いで あったに違いない．指数格子のスペクトルの不変性，逆散乱法の 2 つの論文は実に 鮮やかに彼のデビューを印象づけた．この仕事が日本でなくアメリカでなされたと いうことはちょっと残念な気もする． フラシュカは日本へ来るにあたってカタカナを勉強してきて，看板などをしきり に読んでビールとビルは違うのですねとか，カタカナでもソリトンと書くのは難し いなどと言っていた． フラシュカはマクラフリン（D.W. McLaughlin）やフォードと一緒に何度か来 日して日本の研究者に大きな刺激を与えた．初めてフラシュカに会ったときは，と にかく若さを感じた．ゆきがかり上 Physica D の編集に時間をさかれるようになっ たのではないか，と気の毒な気がする． つき合った日本見物でフラシュカが一番気に入ったのは浅草の仲見世通りで，マ クラフリンの気に入ったのは秋葉原の電気店であったらしい． フラシュカのいるアリゾナのツーソン（Tucson）は乾燥した土地で，彼の家を 訪問したとき，玄関で握手したら静電気がパチンとはねて驚かされた．

78 第 2 編 ソリトンの数理

g = 2 の場合は    c2 c1 c2 −(η1 +η2 )   1 + 1 e−2η1  e   2κ1 κ1 + κ2   det A =  2 c2 −2η2   c1 c2 −(η1 +η2 ) e 1+ e   κ1 + κ2 2κ2 = 1 + A1 e−2η1 + A2 e−2η2 + A3 e−2(η1 +η2 ) . ここで

c2 A1 = 1 , 2κ1

c2 A2 = 2 , 2κ2

η1 = κ1 x − 4κ31 t,

 A3 =

κ2 − κ1 κ1 + κ2

2 A1 A2 ,

η2 = κ2 x − 4κ32 t

である．

5.6.2 指数格子の多ソリトン解 n 番目の粒子の変位を Qn とし，格子の運動方程式を d2 Qn = e−(Qn −Qn−1 ) − e−(Qn+1 −Qn ) dt2 とする．

e−(Qn −Qn−1 ) − 1 =

d2 Sn dt2

とおき，運動方程式は

  d2 Sn = Sn−1 − 2Sn + Sn+1 log 1 + dt2

となり，その解は

Sn = log det B(n) で与えられる．ただし，ここで B は g 行 g 列の行列式であり，その ij 要素は

(B(n))ij = δij +

ci cj (zi zj )n (βi +βj )t e , 1 − zi zj

ただし

zi = e−κi ,

βi = sinh κi

(i = 1, 2, · · · , g)

である．

g = 1 の場合は det B(n) = (B(n))11 であって (B(n))11 = 1 +

c21 z12n 2β1 t e = 1 + e−2(κ1 n−β1 t+δ1 ) , 1 − z12

e−(Qn −Qn−1 ) − 1 = β12 sech2 (κ1 n − β1 t + δ1 ), z1 = e−κ1 ,

β1 =

z1−1 − z1 = sinh κ1 , 2

c21 = e−2δ1 1 − z12

となる． 第 5 章 非線形格子の積分 79

g = 2 の場合は det B(n) = 1 + A1 e−2(κ1 n−β1 t) + A2 e−2(κ2 n−β2 t) + A3 e−2(κ1 +κ2 )n+2(β1 +β2 )t , A1 =

c21 , 1 − z12 

A2 =

c22 , 1 − z22

1 1 − A3 = 2 2 (1 − z1 )(1 − z2 ) (1 − z1 z2 )2 (z1 − z2 )2 = A1 A2 , (1 − z1 z2 )2 z1 = e−κ1 ,

z2 = e−κ2 ,



c21 c22

β1 = sinh κ1 ,

β2 = sinh κ2

となる．

5.7 テータ関数 5.7.1 周期波とソリトン ここで扱ってきたソリトンは 1 つの山 sech2 で特長づけられ，さらにこれは

1 + e2αv から d2 log(1 + e±2αv ) dv 2

α2 sech2 αv =

(2.61)

によって導かれる． 他方で周期波は cnoidal 波 dn2 (2Kv) − E/K によって特長づけられる．こ こで

dn2 (2Kv) −

d2 1 E = log ϑ0 (v) 2 K (2K) dv 2

(2.62)

と書くとき，ϑ0 (v) はどのような関数であるかを考えよう． すでによく知ったように cnoidal 波はソリトンを波長 λ の間隔で等間隔に並 べたような形をしている．実際，次のような関係が知られている．

  ∞  π 2  πK E π 2 dn (2Kv)− = sech (v − l) − , (2.63) K 2K  K 2KK  2

l=−∞

√ ただし K  = K(k  ), k = 1 − k2 である． そして (2.62) は

     πK K πK 2 exp v exp − v K K K    ! ! ∞ ∞  + + 2πK 2πK 1 + exp 1 + exp −  (v − l) (v + l) K K 

ϑ0 (v) = f

l=1

l=0

(2.64)

80 第 2 編 ソリトンの数理

可積分力学系 自然現象は教育的であると言われることがある．太陽を回る惑星の運動はケプ ラーの法則というわかりやすい形で提示された．惑星の運動が可積分だったので ニュートンは力学を構築することができたということもできる． 不動の太陽を回っている 1 個の惑星の運動（ケプラー運動）は 3 次元的であっ て自由度は 3 である．そして全エネルギーと角運動量ベクトルの方向が不変であ ること，合わせて 3 つの保存則があるので積分できる．単振り子なども同様に可積 分系である． 無重力状態の空間に投げられた剛体は重心の周りに自由回転する．また重心で支 えられた剛体も自由回転をする．このような場合の剛体の運動をオイラー（Euler） のコマと言う．これも可積分系である． 軸対称のふつうのコマ（ラグランジュのコマ）の運動も自由度 3 であり，3 つの 保存量をもつので可積分である． しかし重力が働いている非対称のコマ（あるいは 1 点を支えられた剛体）の自由 度は 3 である．したがって 3 つの積分（保存量）が求まれば運動は決定できるが，

2 つの積分はただちに求められる．これらはエネルギーの保存と支点を通る鉛直軸 の周りの角運動量の保存である．したがってもう 1 つの保存量（第 3 積分と言う） が見出されれば運動は解けることになる． コワレフスカヤ（Kowalevskaja）は剛体の主慣性モーメント A，B ，C などの パラメータの間にある特別な関係があれば解ける可能性があることを推論し，実際 にこれを証明した（1889）．この特別のコマをコワレフスカヤのコマと言う． 「固 定点をめぐる剛体の回転について」によって彼女はパリ科学アカデミーからボルダ ン（Bordin）賞を与えられた． コマではないが指数格子は自由度が 3 以上の可積分系である．発見当時には珍 しい体系であった．これを契機に多自由度で可積分な振動子系が発見されるように なった．その多くはソリトン解によって特長づけられるものである． コワレフスカヤのコマについては戸田盛和『物理学 30 講 3，波動と非線形問題

30 講』（朝倉書店，1995 年）参照．

として満される（f (K/K  ) は K/K  の関数ではあるが変数 v を含まない）．

ϑ(v) は楕円関数ではないが，楕円関数と密接な関係をもつ関数で，楕円テータ （theta）関数，あるいは単にテータ関数と呼ばれるものの表現の一つである． テータ関数は ϑ0 （ϑ4 とも書かれる），ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 の 4 種類があり，定義の方 法も数多く存在するが，詳しいことは省略する． なお v = u/2K = ( n λ − νt) なので k → 1, λ → ∞, 2K/λ = α = 有限 の 極限をとれば (2.62)∼(2.64) から (2.61) が導かれる．

5.7.2 リーマンのテータ関数 上に述べた ϑ0 (v) は 1+βe2αv の形の因子の積からなるが，これを広く拡張し てリーマンのテータ関数が定義されている．これは多変数 v = (v1 , v2 , · · · , vg ) 第 5 章 非線形格子の積分 81

デンマークで デンマークのリングビー（Lyngby）で研究会があったとき，デンマークの有名 な天文学者チコ・ブラーエなどの名を挙げてちょっと話をした．その次の日は遠足 があって，バスに乗ったところ研究会をとりしきっていた P.L. Christiansen 教授 の奥さんがバスガイドよろしく入口に立って見事に案内役を務められた．その話の 一つに， 「デンマークの農場で飼われているブタは毎日素晴らしい暮しをしていま す．その最後の瞬間がくるまでは」というのがあった．また EU（ヨーロッパ連合） が始まると，デンマークは農地が広すぎて EU のきまりに合わないので減らさなけ ればならないといった不合理なことも起こるという話もあった． 古い城の見学の間に Christiansen の奥さんが寄ってきて， 「昨夜はティコ・ブ ラーエとおっしゃったが，デンマークではチコ・ブラと言います」と言って，発音 を何回か訂正された．レーマー（Roemer）は難しくて，毎度聞いてもイレマとか ウレマとか聞こえた．初めのイとかウとか聞こえるのは R の前に口の中だけで発 音するらしい． 数人だけ呼ばれて Christiansen の家でお茶の時間があった．若い人に囲まれ， 日本字は難しいかと聞かれ，うっかりカタカナはやさしいと言ったのはいいけれ ど，日常生活にはひらがなも必要だし，難しい漢字も必要だ．やはり日本字は難し い，という話になってしまった．

の関数であって

ϑ(v) =

m1  m2 

mg =∞

···

m1 m2



⎛ exp ⎝2πi

mg =−∞

g 

vj mj + πi

j=1

g g   j

⎞ mj τjk mk ⎠

k

で定義される．ここで m = (m1 , m2 , · · · , mg ) は g 個の成分をもつパラメー タ，τjk (j = 1, 2, · · · , g; k = 1, 2, · · · , g) はマトリクスである．略して

ϑ(v) = ϑ(v | τ ) =



exp(2πiv · m + πim · τ · m)

m

と書く．リーマンのテータ関数は ϑ0 , ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 を含むものである．

ϑ(u + τ ) =

ig/2 exp(−πiuτ −1 u)ϑ(τ −1 u | −τ −1 ) |τ |1/2

が成り立つ．これを ϑ 関数の虚数変換と言う．

5.7.3 周期的指数格子の一般解 指数格子を解析的に厳密に扱うと一般に超楕円積分になる．その解法は，日 本で田中俊一，伊達悦朗両氏により（1976），アメリカではカッツ（M. Kac） とメールベック（P. van Moerbeke）によって独立に与えられた（1975）．田 中・伊達は関数論を用いて具体的な解を示している．その解はリーマンの ϑ 関 数を用いて 82 第 2 編 ソリトンの数理

M. カッツ M. カッツ（Kac）は経路積分に関するファイ ンマン・カッツの定理などで有名であるが，指数 関数に関係するものは何でも興味があると冗談ま じりに言っていた．指数格子に関して，彼はいく つかのことを教えてくれた．その一つは指数格子 のオーソドックスな解法であり，もう一つは私が

Kac–Moerbeke 系と呼んだ力学系（1975）である． 後者は

dRk = e−Rk+1 − e−Rk−1 dt で与えられる体系である．これは

R2k = Qk − Qk

カッツ（右，1976）．

R2k+1 = Qk+1 − Qk

とおくことによって 2 つの指数格子

d2 Qk = e−(Qk −Qk−1 ) − e−(Qk+1 −Qk ) , dt2     d2 Qk = e−(Qk −Qk−1 ) − e−(Qk+1 −Qk ) dt2 が導かれる．Kac と Moerbeke はこの系の逆散乱法による解法を与えている．Qk と Qk の間には図 2.19 のような関係がある．  Qk−1

Qk

 Qk＋1

…

… Qk

Qk＋1

図 2.19 Qk と Qk の関係．

ϑ(nc − c t + δ) , ϑ((n + 1)c − c t + δ) ϑ(nc − c t + δ) d Pn = Pn (0) + log dt ϑ((n + 1)c − c t + δ)

Qn = Qn (0) + Pn (0)t + log

と書かれる∗1）,∗2）．ここで c = (c1 , c2 , · · · , cg ), c = (c1 , c2 , · · · , cg ), δ =

(δ1 , δ2 , · · · , δg ) は初期条件で決まる定数ベクトル．Qn (0), Pn (0) はそれぞれ定 数である．

*1） E. Date and S. Tanaka: Prog. Theor. Phys. 55 (1976) 457; Prog. Theor. Phys. Suppl. 59 (1976) 107. *2） M. Kac. and P. Moerbeke, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 72 (1975) 1627, 2879.

第 5 章 非線形格子の積分 83

付録

楕円関数

ヤコビの楕円関数に不慣れの読者のために，簡単な解説と公式数を記すこと にする．すでに慣れている人は飛ばして読み，話の概要だけで十分な人は省い て見て下されば結構である．

1 sn 関数，cn 関数，dn 関数 ヤコビ（Jacobi）の楕円関数について基本的なことを記しておこう．この関 数は三角関数を拡張したものと考えることができるので，まず三角関数から始 めることにする．u の関数

x = sinu

(1)

を微分すると

 dx = cosu = 1 − x2 du

(2)

となる．したがって



x

u= 0

√

dx . 1 − x2

(3)

ここで u は x の関数，すなわち (1) の逆になっている．これを

u = sin−1 x

(4)

と書こう．sin−1 （アークサイン）は sin の逆関数を表す． 今 (3) を拡張して積分

 u= 0

x

dx  2 (1 − x )(1 − k2 x2 )

を考える（ここで k は 0 と 1 との間の定数である）．x と u の関係を

(5)

x = sn(u, k) = snu

(6)

と書こう．sn はヤコビのエスエヌ関数と呼ばれる楕円関数である．これは k （母数と言う）に依存するので sn(u, k) と書くが，これはわずらわしいので母 数 k をいちいち明記する必要がないときは単に snu と略記する．sn の逆関数 は sn−1 と書く．すなわち u = sn−1 x あるいは



x

0

dx  = sn−1 x 2 (1 − x )(1 − k2 x2 )

(7)

である．

(5) において右辺の被積分は x の 4 次式の平方根が分母にある．このように 4 次式，あるいは 3 次式の平方根の積分は特別な場合を除き一般に初等関数で 表すことができない．このような積分は楕円積分と呼ばれる． なお

x = sinϕ

(8)

を行えば (5) は



ϕ

dϕ  = F (k, ϕ) 1 − k2 sin2 ϕ

0

(9)

となる．これを第 1 種の楕円積分と言い，さらに



π/2

0

dϕ  = K(k) 1 − k2 sin2 ϕ

(10)

を第 1 種の完全楕円積分と言う． また



0

ϕ

 1 − k2 sin2 ϕ dϕ = E(k, ϕ)

を第 2 種の楕円積分



π/2

0

 1 − k2 sin2 ϕ dϕ = E(k)

を第 2 種の完全楕円積分と言う． ここで sin ϕ = x とおけば

 K(k) = 0

1

dx  , 2 (1 − x )(1 − k2 x2 )

 E(k) = 0

1



1 − k 2 x2 dx 1 − x2

となる． 図 1 では −K ≤ u ≤ K の範囲だけが示してあるが，snu はこれを

−∞ < u < ∞ の範囲に拡張して定義する．その周期は 4K(k) である．図 2 からわかるように実数 u に対し snu は −1 と 1 の間で振動する周期関数で， 周期は 4K(k) である． 1 sn 関数，cn 関数，dn 関数 85

y

u

π ― 2 −1

x ＝ snu

K（k）

1

0 1

−1

x

0

−K（k）

x

1

0

u K（k） −1

π −― 2

−K（k）

x dx y ＝∫ ――― 0 1−x2 ＝sin−1x

x dx u ＝∫ ―――――――― 0 （1−x2） （1−k2x2） ＝sn−1x

図1

sin 関数と sn 関数の関係．

sn u k2 ＝ 1

1 K（k） 0

tanh u

2K（k） π

−1

3K（k）

4K（k）

u

2π

k2 ＝ 0 sin u

k2 ＝ 0.5

sn u ＝sn（u, k）. sn（u, 0）＝ sin u, sn（u, 1）＝ tanh u.

図 2 sn 関数．

k → 0 の極限では (5) は (3) になるから，snu は sinu と一致することがわ かる．

k → 1 のときは双曲線関数を用いて x = tanhu

(11)

とおくと

dx 1 = = 1 − tanh2 u = 1 − x2 du cosh2 u

(12)

を得る．k → 1 のとき (5) は



u= 0

x

dx = tanh−1 x 1 − x2

となる．ゆえに k → 1 のとき snu は tanhu と一致する．

86 付録 楕円関数

(13)

cn u 1 sech u k2 ＝ 1 2K（k） 0

3K（k）

π

K（k） −1

4K（k） u 2π

k2 ＝ 0 cos u

k2 ＝ 0.5

cn u＝ cn（u, k）. cn（u, 0）＝ cos u, cn（u, 1）＝ sech u.

図 3 cn 関数． dn u k2 ＝ 0

1 k2 ＝ 1

k2 ＝ 0.5 sech u

2K（k）

0

π

K（k）

3K（k）

u 2π

−1 dn u ＝dn（u, k）. dn（u, 0）＝ 1, dn（u, 1）＝ sech u.

図4

dn 関数．

1.1 cn 関数  cosu = 1 − sin2 u にならって cn（シーエヌ）関数を cnu =

 1 − sn2 u

(14)

で定義し，領域を −∞ < u < ∞ へ広げる．cn も楕円関数である（図 3）．

k → 0 の極限では cnu → cosu となる． k → 1 の極限では cnu → sechu となる． 1.2 dn 関数 ヤコビの楕円関数としてさらに

dnu =



1 − k2 sn2 u

(15)

を定義し，領域を −∞ < u < ∞ へ広げる（図 4）．dn（ディーエヌ）関数の

√

周期は 2K(k) であり， 1 − k2 < dnu < 1． 1 sn 関数，cn 関数，dn 関数 87

k → 0 の極限では dnu → 1 となる． k → 1 の極限では dnu → cnu → sechu となる．

2 ヤコビの楕円関数の微分 基本になる式



x

u= 0

dx  2 (1 − x )(1 − k2 x2 )

(16)

から

du 1 = . 2 dx (1 − x )(1 − k2 x2 )

(17)

ここで

x = snu

(18)

なので

1 − x2 = cn2 u,

1 − k2 x2 = 1 − k2 sn2 u = dn2 u.

(19)

したがって

dx  = (1 − x2 )(1 − k2 x2 ) = cnu dnu. du

(20)

ゆえに

d snu = cnu dnu. du cn の微分については d d  −snu cnu = cnu dnu. 1 − sn2 u = √ du du 1 − sn2 u

(21)

(22)

すなわち

d cnu = −snu dnu. du dn の微分については d d  −k2 snu dnu = cnu dnu. 1 − k2 sn2 u = √ du du 1 − k2 sn2 u

(23)

(24)

ゆえに

d dnu = −k2 snu cnu. du

88 付録 楕円関数

(25)

3 積分公式 簡単な積分公式をまとめておく．ここで

√

a2 − x2 などのすべての関数は実

数の範囲にあるものとする．

x = snu とおいて u で微分すると   dx d = snu = cnu dnu = 1 − x2 1 − k2 x2 . du du したがって

dx  = du. 2 (1 − x )(1 − k2 x2 ) これから



x

dx  = sn−1 x (1 − x2 )(1 − k2 x2 )

0

を得るが，これはすでに記した等式 (7) である．さらに一般化して



x

0 ∞



x

  1 −1 x b  , , = sn a b a (b2 − x2 )(a2 − x2 )   dx a b 1  , = sn−1 a x a (x2 − b2 )(x2 − a2 ) dx

を得る．

x = cnu とおいて微分すると   dx = −snu dnu = − (1 − x2 ) 1 − k2 (1 − x2 ) du   = − (1 − x2 ) k2 + k2 x2 となる（ここで k =



−

x

1

√ 1 − k2 は補母数と呼ばれる）．したがって

dx  = u = cn−1 (x, k) 2 (1 − x )(k2 + k2 x2 )

を得る．ここで積分の下限は u = 0 のとき x = cn0 = 1 の条件で決めた．一 般化して

 

b

x x

b

  dx b x 1 −1  ,√ , cn = √ b a2 + b2 a2 + b2 (b2 − x2 )(a2 + x2 )   dx a b 1  ,√ . cn−1 = √ x a2 + b2 a2 + b2 (x2 − b2 )(a2 + x2 )

x = dnu とおいて u で微分すれば  dx d = dnu = −k2 snu cnu = − (1 − x2 )(x2 − k2 ) du du

(k2 = 1 − k2 ).

したがって

3 積分公式 89

 u=−

x

1

dx  2 (1 − x )(x2 − k2 )

を得る．これから

dn−1 x =



1 x

dx  . (1 − x2 )(x2 − k2 )

これから



a

x

dx 1  = dn−1 a (x2 − b2 )(a2 − x2 )



x , a

√

a2 − b2 a

.

4 加法定理 三角関数の加法定理として

sin(u + v) = sinu cosv + cosu sinv

(26)

がある．前に母数 k → 0 の極限で snu → sinu となり，k → 1 の極限で

snu → tanhu となることを注意した．そこでここでも tanh の加法定理に注意 しよう．これは非線形で

tanh(u + v) =

tanhu + tanhv . 1 + tanhu tanhv

(27)

これらの極限 k → 0 (26) と k → 1 (27) を考えると sn の加法定理が

sn(u + v) =

snu cnv dnv + snv cnu dnu 1 − k2 sn2 u sn2 v

(28)

であることが納得できる（この証明は略す）．しかしこの類推は cn(u + v) や

dn(u + v) には通用しないらしい．これらは次のような加法定理に従う． cnu cnv − snu snv dnu dnv , 1 − k2 sn2 u sn2 v dnu dnv − k2 snu snv cnu cnv . dn(u + v) = 1 − k2 sn2 u sn2 v

cn(u + v) =

(29) (30)

4.1 sn(n + K) などの値 snu や cnu の周期は 4K(k) であり，dnu の周期は 2K(k) である．K = K(k) と略記すると

sn0 = 0,

snK = 1,

sn2K = 0,

cnK = 0, cn2K = −1,  dn0 = 1, dnK = 1 − k2 .

cn0 = 1,

sn3K = −1, cn3K = 0,

sn(u + v) の加法定理において v = K とおくと 90 付録 楕円関数

(31)

sn(u + K) =

cnu dnu

(32)

を得る．同様にして

cn(u + K) = −k

snu , dnu

(33)

k dnu √ などが得られる（k = 1 − k2 ）． dn(u + K) =

(34)

4.2 種々の加法定理 上述の加法定理から，なお多くの加法定理が導かれる．その例を挙げておこ う．例えば

D = 1 − k2 sn2 u sn2 v として (28) から

2snu cnv dnv , D 2snv cnu dnu sn(u + v) − sn(u − v) = . D sn(u + v) + sn(u − v) =

これらを掛け合わせると

sn2 (u + v) − sn2 (u − v) =

4snu cnu dnu · snv cnv dnv . D2

他方で

d sn2 v 2snv cnv dnv sn2 v = − (−2k2 sn2 u snv cnv dnv). dv D D D2 1 % = 2 2snv cnv dnv(1 − k2 sn2 u sn2 v) D & + 2k2 (sn2 u sn3 v cnv dnv) 2 = 2 snv cnv dnv. D したがって

d sn (u + v) − sn (u − v) = 2 dv 2

2



1 snu cnu dnu sn2 v D

 .

4 加法定理 91

これからソリトンを学ぶ人へ

大学 1 年生のとき，物理数学演習とかという授業があった．午後の時間で先 生はついているのだけれど，ほとんど時間に制限のない勉強時間であった．教 室の外へ出ると近くに第 2 食堂という学内食堂があって，授業の途中でお茶を 飲んだり，軽食をとることもあった．そしてまた教室へ戻ってきて演習問題と 取り組んだりする．先生が一緒になって考え込んでしまうこともある．夕方に なって，学生も先生も飽きてしまったら，解答が得られないまま来週また続き をやりましょうということで散会してしまうこともあった． もちろん参考書を見たり，公式集を見たりするのは自由であるが，先に答を 教えてくれれば証明しやすいだろうと思ったり，参考書に似た問題や答がない かと探したりするのはよくない．人に頼らずに自分で解法を工夫しなさいと先 生にくぎを打たれた．高校までの授業とは違って，むしろ自分で疑問を発見し， 自分なりの解決方法を見出す習慣を身につけるようにしなさいというのである． 大学を卒業してからあとで気がついたのであるが，これは研究者が本を読ん だり，考えたり，実験したりして，そこから新しい疑問，問題点を発見し，さ らにみずから解決方法を工夫する努力と同じである．そういう努力をしても問 題が解けない場合が多いかもしれない．しかし努力した時間は必ずその人の実 力になるに違いない． 数学や物理の問題の解法が一つしかないと思うのは全く間違いである．たと えばピタゴラスの定理（3 平方の定理）の証明方法は 10 通り以上もある．量子 力学でもシュレーディンガーの量子力学だけでなくハイゼンベルクの量子力学 もあり，ディラックの，あるいはファインマンの量子力学がある．一つの解法 が見出せたら，さらに別の証明法を見出すこともできるだろう．それができた ら解決のプロセスを楽しむことができるようになるに違いない．もしもそれが 今までになかった新しい解法であったりしたら，それは努力した人の定理と呼 ばれるようになるだろう．そういうことはほんとにまれにしか起こらないだろ うが，全く起こらないというものでもない． ある先輩の先生から教えられたのであるが， 「計算はていねいに書いて，計算 まちがえをしたら消ゴムできれいに消して書きなおすのがよい」と言われた． ことに検算のときは計算を飛ばして早く結果を求めようとしたくなるが，それ ではかえって間違えてしまうことになる．ソリトンの式の計算はけっこう面倒 なことが多いので気をつけなければならない．

第3編

第1章 物理と非物理 （ギリシャ科学）

1. はじめに

まれるとするのが一般的なようだ．誤解かもしれ ないが，physical という言葉に ‘物理学の’ と ‘肉

今から 100 年ぐらい前までは，物理学という学

体の’ と両方の意味があるのは同じ語源から出て

問を具体的に説明するのにあまり困難はなかった．

いるからなのだろう．科学思想事典によると， 「自

ニュートン力学，音響学，弾性体の力学，流体力

然」という言葉はギリシャ語の physis に発し，そ

学，熱学，光学，電磁気学と言えば，物理学の全

れがラテン語では nature と訳されたのだと言う

分野がほとんどすべて尽くされたからである．20

（natural science は social science に対する言葉

世紀には相対性理論，量子力学が加わり，化学の 基礎も物理学の中に包括された． 大学などで教えている物理学をまとめると，だ いたい次のように言えるだろう． 『物理学の目標は，自然界の現象をできるだけ 広く捉えることができるような基本法則を求める ことである』

である）． 古代ギリシャにおいては，生命のある有機的自 然が「自然」の原型であった．伊藤俊太郎： 『現代 科学思想事典』 （講談社現代新書）から少し引用さ せていただこう． 『（古代）ギリシャの自然観においては「自然」 はなんら「人間」に対立するものではない．… 神

しかし，我々人類がこのような物理学，あるい

ですらそこでは「自然」を超越するのでなく，そ

はもっと広く言って，現在の自然観をもつように

れに内在的である．実際「万物は神々に満ちてい

なったのは極めて最近のことであって，ここまで

る」 （タレス）…それは近代におけるように，われ

くるまでに人類の自然観は何度も大きく変わって

われにまったく無縁で異質的なこの自然に「実験」

きている．多くの人が真理と思っている事柄でも，

という「拷問」をかけ，それを「支配」するので

いつかは変えられることがあるかもしれない．た

なく，われわれに親縁な同質者として，それを内

とえば 21 世紀には科学の主な興味が脳科学や人

から「直観」し「理解」することである．そして

工知能などの研究分野に移り，物理学や数理科学

そこに直観し把握さるべきものは外的現象として

の方法がそこへ集中されるようになることも考え

の自然の「法則」でなく，そのものの内的本質と

られる．そうなれば生物と無生物との境界に対す

しての「形相」であった．…』

る考え方も変わり，物理学とは何かという問いに 対する答えも大きく変わるだろう． 現在の物理学は無生物のほうへ大きく傾いてい るが， 「自然科学」というときは動植物の科学も含

後に，運動に対するアリストテレスの考え方や， ニュートンに対するゲーテの批判について述べる が，そのときに上の文章を思い出してもらいたい ので，少し長いが引用させてもらった．

2. プラトンのイデア

るというのであろうか．数学は理性によって認め られ，不変なものである．つまり数学はイデア界

現在の物理学で言うときの「自然」は古代ギリ

をのぞくのに一番よい道を与えてくれる．プラト

シャの人間的，有機的な自然と正反対で，無機的，

ンが数学や天文学などの諸科学を重視したのもそ

客観的，非人間的な立場から見た世界である．前

のためであろう．

者から後者への転換はプラトン（B.C. 427–347） に代表される．

ピタゴラス（B.C.582 頃–497）は弦楽器の出す 音が弦の長さと関係があり，弦の長さを 2 倍，3 倍

私がプラトンの名を知ったのは中学の 4 年生か

にした音が互いに調和することなどから自然界の

高校 1 年生の頃であった（いつだったかはっきり

調和を数の神秘性に結びつけたりして，神秘宗教

覚えていない） ．プラトンの著作の一部を（もちろ

教団の開祖にもなった．ニュートンの万有引力は

ん訳本で）読まされたのであるが，若い先生はソク

距離の 2 乗に反比例するが，これがちょうど 2 で

ラテスやプラトンについての話もしてくれた．プ

なくて 1.99…かもしれないと疑う人は少ない．整

ラトンが創設した学校アカデメイアは今の大学の

数に対する信仰ということはある．ピタゴラスの

起源であるという話やその入口には「幾何学を知

定理を発見したのがピタゴラスだという証拠はな

らざるものは入るべからず」と書いてあったこと

いらしい．しかし 32 + 42 = 52 というような関

などを教わった．プラトンの思想の中心をなすイ

係（ピタゴラス数）とか，これを直角三角形の辺

デアの話は特に面白く，放課後に先生の下宿まで

の長さと関係づけたピタゴラスの定理は多くの人

ついて行って聞いた三角形のイデアの話はわかり

を魅了した．アインシュタインも子供のときにこ

やすかった．

れを一人で証明し，このことは彼を大いに自信づ

幾何学（ユークリッド幾何）では紙の上に三角

けたらしい．彼がニュートンを超える偉人になっ

形を描いてその性質を調べたりする．そのとき鉛

たのはこの自信がもとだったかもしれない（教育

筆を細く削り，定規を使って描いても線には太さ

というものはむずかしいということか）．

があるし，線は完全に真っすぐでもない．いくら

プラトンにとって，数学はむしろ幾何学だった

注意して描いても，描いた三角形は不完全だ．し

のだろう．多面体の中で正 4 面体，正 6 面体，正

かし，完全な三角形というものを考えることはで

8 面体，正 12 面体，正 20 面体の 5 つ（図 3.1 参

きる．それが三角形のイデアだ．

照）はプラトンの正多面体（各面が合同な多角形）

コンパスで円を描いたときも同じだ．描いた円

と呼ばれる．後に惑星の運動を支配する法則（ケ

は太さもあり，完全な円ではないが，完全な円を

プラーの法則）を発見したケプラー（1571–1630）

考えることはできる．それが円のイデアだ．——

は，太陽から各惑星までの距離を正多面体と関係

先生の話はそんなことだったと覚えている．

づけて説明しようとして悪戦苦闘した．これは物

その後プラトンについて本当に勉強したことは

理学の方法が確立されなかった時代の逸話の一つ

ないが，いろいろの本の中でプラトンの名やイデ

である．ケプラーは無駄な努力の後にもっと正直

アという言葉に繰り返し出会い，それについてい

に数学を使ってケプラーの法則を発見したのであ

くらか考えた．我々が見たりさわったりしたもの，

るが，彼にとってプラトンの正多面体はそれほど

つまり感覚で捉えたものは不確かで移り変わりす

魅力のあるものであった．

るものである．絶えず変化する感覚世界のうしろ

太陽から惑星までの距離の 3 乗と太陽を一周す

には本当の世界，理想の世界がある．それがプラ

る時間の 2 乗との比は惑星によらず一定である．

トンのいうイデア界である．イデアを感覚によっ

これはケプラーの第 3 法則であるが，ここでも整

て捉えることはできないが，理性はこれを知るこ

数 3 とか 2 とかが出てくる．自然の法則は整数を

とができる．理性はイデア界に善美なものを求め

好むかのようである．現在の科学者でも整数が出 第1章

物理と非物理 95

正 4 面体

正 6 面体

正 8 面体

正 12 面体

正 20 面体

図 3.1 『折り紙の幾何学』 （伏見康治，伏見満枝，日本評論社）より．

てくる法則に出会えば安心する傾向がある．昔と

係りとなる．王子が王位についてアレキサンダー

違って，今では整数を神の啓示とは考えないが，そ

大王になるとその治下になったアテネにリュケイ

こに数学的な強い理由があると思うのは無理のな

オンという学校を創立した．多数の学生を集めた

い場合もある．

が，12 年後に大王が急死すると反マケドニア運動

3. 円は完全な形 太陽も月もまるい．天のものは完全で，まるい， という思想があった．月が満ち欠けするのは，そ れが天と地の間にあるので完全に天のものでない からである．昔の人はそう考えたらしい． 円運動を神聖で完全と考えたのはプラトンであっ たと言われている．しかしプラトンの弟子だった アリストテレス（B.C.384–322）も熱心にこれを 唱えた． アリストテレスはマケドニア（ユーゴ内戦で新聞

が起こったため故郷へ戻って間もなく死去した． さて，完全な運動は円運動であることを，アリ ストテレスにならって説明すると次のようになる． 有限な直線は完全ではない．それはその先まで 伸ばすことができるからである． 無限の直線も完全ではない．それはどこまで行 ってもきりがないので完結したものでないからで ある． 円周上の運動はどの点でも一様である．したがっ て全体として不動であるから，それ自体で完備で ある．

に国名がたびたび出た国）の生まれで，父はマケド

不動のものには反対の方向がない．反対，対立

ニア王の侍医だった．ギリシャのアテネに行き，プ

のあるものは完全ではなく，対立のないものは完

ラトンの学校アカデメイアでその指導の下で勉強

全であり善である．

した．その後マケドニア王に招かれて王子の教育 96 第 3 編 物理学とは何か

不動と運動とは古代ギリシャの哲学の大きな関

心事であった．不動は永遠であり基本であるのに

鉱物などのいわゆる無生物の上には植物があり，

対し，運動はすぎゆくもの，一時的な，仮の姿で

その上に動物があり，その上には人間がある．重

あった．

い物は軽い物よりも下にあるべき位置がある．重

こういう思想はどこか人をひきつけるところが ある．プラトンの思想はギリシャ時代以後も受け つがれ，近代科学の骨組みの中にひそかに流れて いるように思う．

い物が落ちるのはあるべき場所へ帰ろうとする自 然の運動である． そのために重い物は軽い物よりも速く落ちる， と言ったとしてアリストテレスの運動論が非難さ

良きにつけ悪しきにつけと言ってもよいだろう

れることもある．彼が本当にそのような運動論を

か，ギリシャ科学の中枢はプラトンにあり，西洋の

展開したのかどうか不明だが，ガリレイの時代に

科学はギリシャの科学を継承するものと言われて

なっても落下の速度やその変化を測るのはむずか

いる． 「科学とはギリシャ人のやり方にしたがって

しかっただろう．よく言われるようにガリレイが

世界について考えることだ」 （バーネット）とさえ

ピサの斜塔から重い物と軽い物を同時に落とした

言われている．科学を数学的方法と実験的方法と

という実験をしたというのは疑わしい．

から成ると考えるときプラトンは明らかに数学に 重点をおく見方にかたよっている．現代の科学は

5. 目的因

物理学に限らず，数学に力点をおいているし，こ

物事はいろいろの原因で起こるが，アリストテ

の傾向はもう少し進むだろう．しかしそれだけが

レスは，ある目標に向けて動かす原因を目的因と

科学の道であるとは言えないと思う．

呼んだ．彼の思想によれば，物事はその本性とし

4. アリストテレスの運動論 アリストテレスは極めてすぐれた哲学者である

て本来あるべき場所，あるべき姿がある．そこへ 向けて引っぱるのが目的因である．たとえば雨は 植物を育てるために降ると考えれば，その「ため」

と同時にダーウィンを驚嘆させたほどの動物学者

が目的因である．これに対し，雨が降るからカビ

でもあったと言われているが，物理学の方面では

が生えるというときの「から」は始動因と言う．目

ガリレイなどの仕事と比べていろいろと批判され

的は事象の完結を意味するから，アリストテレス

ている．しかしそれを除くと中世にかけてアリス

の哲学で目的因は大きな意味をもっている．

トテレスの体系は真理の総体であると考えられて いた． アリストテレスは師であったプラトンのイデア

今の自然科学ではできるだけ目的論を排し，こ とに物理学では徹底的に目的論的な考えを排斥し て，機械論的（分析的，還元論的）な立場をとる．

の説に反対であった．イデアはイデア界にある最

原因・結果とか因果律などというが，これらは必

高の現実で，理性によってこれを見ることができ

ずしも明白な概念ではない．たとえば 2 つの球が

る，とプラトンは考えたが，アリストテレスは反

衝突して進路を変えたとき，進路の変更が結果と

対に感覚で捉えられることが本当の現実だと考え

すればこれに先行する衝突が原因と考えられる．

た．超越的なイデアでなく，現実をよく見ること

しかしこれらの間には衝突による球の変形があり，

が重要だというわけである．別の言い方で言えば

変形のため生じた弾性的な復元力が進路変更の原

プラトンは手より頭で世界を見ようとし，アリス

因であるとも考えられる．その他の考え方もある

トテレスは手を使って世界を分類しようとした．

だろう．何が原因で何が結果ということは多分に

すでに注意したように，古代ギリシャにおいて

主観的である．我々は雑多な直観に原因・結果と

は自然は生命をもつものであった．アリストテレ

いう関係をはめ込んで納得するのである．

スの自然観はこの点でむしろプラトン以前の自然

しかし，因果性というのはそれだけのものでは

観に近いように思われる．自然界には秩序があり，

ないかもしれない． 「風が吹くと桶屋がもうかる」 第1章

物理と非物理 97

という話は極端であるとしても，過程の連鎖や同

し， 「物理学とは何か」というようなことに対し

時発生が起こる場合に，各過程の吟味が仮に不十

ては，よく知られた名著もすでに存在するからで

分であっても全体としてまとめておくときに因果

ある．

律が期待できるのではないだろうか．さらに無限

しかし「連載企画たたき台」というのを編集者

に多様の過程が起こる環境では目的論的な説明が

から見せていただいて，これなら何とか行けるの

適切に見える場合が多いかもしれない．物理学に

ではないかと，意欲のようなものが湧いてくる思

おける目的論的な法則の例としてエントロピー増

いがした．それから何度も全体のプランをあれこ

大の法則，すなわち「すべての変化は全系のエン

れと作ってみたが，その結果，結局はこの「たた

トロピーが増大する向きに起こる」がある．

き台」にだいたい沿うような形で連載を進めた．

生物界においては目的論的説明はほとんど不可

しかし，全体をまとめるにあたって各回の内容

欠なように見える．将来の物理学が生物界に進出

がわかるようにするため副題をつけることにした．

して行くとき，目的因を忌避するならば数多くの

そしてこれらのテーマをめぐって，物理学の在り

壁を越えなければならないだろう．

方や進むべき方向，科学の倫理問題や社会的役割

そもそも何のために雨が降るのか，などという

などについて，私自身の随感を展開したいと思う．

問いが出るのは人間という知的動物が存在するか

また理科離れの昨今の教育問題についてもふれる

らである．人間が存在しなければ自然界という概

かもしれない．

念はあり得ない．こう考えると，自然界は人間の

クローン問題やゲノム研究などに代表される科

存在をまって初めて成立するということになる．

学倫理の問題が，これから先の未来科学を語るう

これはいわゆる「人間原理」である．

えで非常に大切な話題であるのは当然であるが，ど

この原理を前提とすると，自然界は人間を育て

こまで踏み込めるだろうか．できれば読者の方々

るように作られてきたことになる．そのために自

にも教えていただきながら考えていきたいと思っ

然界は酸素を空気中に放出する植物を育てる．そ

ている．

して植物を育てるために雨が降る，ということに なる．これは目的因の連鎖である．

私が大学を卒業した 1940 年頃は，プランクが唱

ここに述べた論法は十分説得的でないかもしれ

えていた「物理学的自然観の統一」という言葉に

ないが，いろいろな考えがあり得る，ということ

象徴される勇ましい物理学の熱気がいくらか残っ

は言えるだろう．人間は自然界に支えられて生き

ていた．ディラックの名著『量子力学』が出版さ

ている，とも言う．科学者にとってもこれは決し

れてから 10 年ぐらいしかたっていなかったのだ

て無視できる考えではない．とにかく種々の考え

から勢いがあったのも当然であった．

を展開してみたい．

6. この連載の内容

ちなみにアインシュタインが一般相対性理論を 完成したのは 1915 年，シュレーディンガーの量子 力学が提出されたのは 1926 年であった．第 1 次

連載を始めるにあたって，まずこの連載全体の

世界大戦は 1915–1918 年，日本が満州事変をおこ

内容・構成を説明するべきだったかもしれない．

したのは 1930 年，ヒトラーが政権をとったのは

しかしこれは物理学の広い土俵の上でとるものと

1933 年，日華事変が 1935 年，そして第 2 次世界

考えているので，最初に西欧で物理学が成立する

大戦に日本が突入したのが 1941 年，終戦が 1945

以前の古代ギリシャの科学についての記述が少し

年であった．

長すぎたかもしれない． この連載の話を持ちかけられたとき，正直これ は困ったと思った．あまりにも課題が大きすぎる 98 第 3 編 物理学とは何か

したがって 20 世紀の前半は 2 回の物理学の大 改革と 2 回の世界大戦との中に明け暮れしたので あった．言いかえれば人間の最高の知的高揚と，

最低におろかな戦争によって特徴づけられた半世

ではレーダー，大型の爆撃機，V2（ミサイルの始

紀を我々はもったわけである．

まり） ，そして原子爆弾など多くの強力な科学兵器

現在の我々はかなり知的な時代にあるかもしれ ないが，同時に最もおろかなことを繰り返してい

が現れた．このまま進めば人類は科学兵器の重圧 の下で終局を迎えることになりかねない．

ると言えるだろう．そのため我々はプラス・マイ

この危機を脱出する唯一つの道は，人間だけが

ナス・ゼロで将来の定かでない不透明な時代にあ

発達させている知性にふたたび魂を入れることよ

るようである．第 1 次世界大戦では飛行機と戦車

りほかにないような気がする．

と潜水艦が科学兵器であったが，第 2 次世界大戦

プラス・マイナスは約束ごと 小学校で算数を教わるとき，たとえばあんぱんが

5 個あるとき，3 人の子供が 1 つずつ食べると 2 個 残る．したがって

5−3=2 である．これはあんぱんを食べるという経験と算術 とがうまく一致した場合で，大げさに言えば物理に 数学が一致した幸福な例の一つである． しかしこれを拡張して 3 引く 5 はいくつ残るかと

2×3=3×2=6 のような掛け算は碁石を並べ

• • • • = • • • =6個 • • • • • でわかりやすい．しかしプラスとマイナスの掛け算

(+2) × (−3) = −6, (−2) × (−3) = +6

いう問題にあてはめ，机上にあんぱんを並べておい て，5 人の子供が端から 1 つずつ食べていくと，あ

などになると，物理的な経験と結びつけて理解する

んぱんはすぐになくなって 0 になってしまう．これ

のは困難であろう．

を数式で書くと

3−5=0 になるだろうか．この場合の物理的な経験を数式

3 − 5 = −2 と関係づけるのはちょっとむずかしい．

このようなことを約束ごとであるとして抵抗なく 飲み込んで理解できる人は理科好きになる素質を多 分にもっていて，約束ごととして飲み込めない子供 は理科ぎらいになることが多いのかもしれない． ただ，プラスの静電気 +q1 とマイナスの静電気

−q2 の間に働く力の正負（プラス・マイナス）は

このとき物理的には 5 − 3 = 2 だが，3 − 5 には

(+q1 ) × (−q2 ) = −q1 q2 (マイナス，引力)

その経験が通用しないとあっさり認めこのときの答

(−q1 ) × (−q2 ) = +q1 q2 (プラス，反発力)

は −2 だと飲み込んでしまう子供と，いつまでも飲 み込めずに前の経験にこだわっている子供とがいる

などとなって，上式と似た関係がある．これはこれ

かもしれない．

でまた奇妙なことではないか．

掛け算になると

第1章

物理と非物理 99

第2章 自然 （ニュートン力学）

1. 力学的自然観

自然界に存在する動植物と無生物を対象とする自 然学と哲学（形而上学）および数学に大別された．

地球が誕生してから間もなく，日夜の周期があ

ギリシャに限らず古代における関心は主に生物に

り，春秋の変化があることが，地球の地勢や生物の

向けられていたから，自然はみずから成長し変化

進化に大きな影響を与え出したに違いない．人類

するものとして捉えられていた．この時代の思想

は季節の変化や星座の運行から自然界に存在する

を実感するのはむしろ困難であるが，生物の成長

周期性を確実に意識するようになると同時に，こ

はいくつかの異なる段階を経て変化するので，自

れを生活に利用するようになった．しかしまた人

然界においては周期現象はまれにしか起こらない

類は大雨や日照りなどによる予期できない災害に

と言えるだろう．この文脈から「あまり規則正し

も絶えず見舞われた．こうして人類は大自然の中

いのは不自然だ」などという言葉も理解できるよ

には確実な秩序があると同時に予期できない無秩

うに思う．

序があることを知らされたであろう．

このように，アリストテレス時代の自然学の関

科学技術によって自然を服従させるなどと言う

心は主に生物的な進化・成長にあったが，アリス

ことがあるが，虚心坦懐に考えれば自然はやはり

トテレスから約 100 年後にアルキメデスが出てい

偉大で，人知をはるかに超えた存在であることを認

る．彼はてこの釣り合い（てこの原理）と浮力の

めざるを得ない．この点は有史以来少しも変わっ

原理の発見によって知られる静力学の創始者であ

ていないと思うのである．

り，ニュートンなどによる微積分学の発見に先立

「自然」という言葉には，およそ 2 通りの意味

つ無限小幾何学の創始者でもある．彼は古代ギリ

がある．その一つは， 「自然林」とか「ふしぎ大自

シャ科学のほとんど最後に輝いた偉大な星であり，

然」というように， 「人工的でないもの，人の手の

その仕事は約 200 年をへだててパスカル，ガリレ

加わっていないもの」という意味である（ 「自然科

イ，ホイヘンス，そしてニュートンへとつらなっ

学」というときの「自然」は人文科学とか社会科

て近代物理学を誕生させたのであった．その意味

学に対する言葉で， 「自然界に存在する物体に対す

でアルキメデスは数理物理学史上に突出した特異

る科学」の意味である）．

点であったと言える．

別の使われ方は，たとえば「こう考えるのが自

17 世紀になるとコペルニクスの地動説とこれを

然だ」というように， 「当然な」 「あたりまえな」と

精密化したケプラーの業績（ケプラーの 3 法則の

いう意味である．この反対は「不自然な」という

発見）によって太陽系における惑星の運動の秩序

ことになる．アリストテレスの時代には，学問は

が明白なものとなった．またこれと平行してガリ

レイは自由落下と放物運動の考察を手がかりにし

れる時間のちがいについて注意を喚起しよう」 （著

て地上における物体の力学的運動を解明すること

者註：実際の『プリンキピア』の記述はたいへん

に成功した．とくに彼は慣性の法則の樹立と加速

長いので簡略化した）

度運動の解明によって動力学創立への道を開いた． ついでホイヘンスは運動量保存の法則や円運動を させる力（向心力，遠心力）などを明らかにし，こ れらの研究はニュートンによって完成されること になった．ニュートンは運動の 3 法則を明確にし， 微積分学（解析学）を力学にもち込み，さらに万有 引力の法則を発見し，これらを用いて惑星の運動 を導いたのである．ニュートンの力学的主著『自 然哲学の数学的原理』 （略して『プリンキピア』と 呼ばれる）はニュートン力学（古典力学）の完成 を飾る金字塔である． 古典力学の素晴らしい成功は，当時の科学の重 心をいわゆる力学的自然観へ移させることになっ た．これは次のような観点である．

測定される空間と時間は不正確さを伴うが，そ の奥に不正確さのない空間と時間が考えられる． これが絶対空間と絶対時間である．これらは前回 に述べたプラトンの意味の空間と時間のイデアと 思ってよい． そして空間の中を運動する粒子（物体）が前提 される．すべての粒子（物体）は（ニュートン力 学では）共通な（共有される）時間をもつ． 絶 対 空 間 は 3 次 元 で ，各 粒 子 の 位 置 は 座 標

(x, y, z) で指定される．粒子の特性は質量 m に よって与えられ，運動法則の公理系は微分方程式 の形で書くと

m

d2 x = fx , dt2

m

d2 y = fy , dt2

物体あるいは粒子の力学的運動が自然現象の基

m

d2 z = fz dt2 (3.1)

本であり，すべての自然現象はこれをもととし

によって与えられる．ここで (fx , fy , fz ) はその

て理解できる．

粒子に働く力と呼ばれる（あるいは与えられた力

ニュートン力学による自然観では，運動が行わ れる空間と時間と運動法則とが前提となる．ここ で前提とは理論の出発点となる公理系，すなわち それより先まで理論をさかのぼることを考えない 事柄である．

2. ニュートン力学の公理 ニュートンは『プリンキピア』の中で， 「私は仮 説をつくらない」と言っているが， 「何もないと

である）． 力を与え，粒子の座標と速度の初期値を与えた とすると，粒子の運動は未来（および過去）にわ たって決定される．これが力学の決定論的因果法 則である． これらのことは周知のことであるが，なおいく つかの点を注意しておこう．

(i) 運動法則は運動方程式 (3.1) と初期条件 という 2 本立てで与えられる．

ころから何物かを語ることはできない」というの

(ii) すべての粒子間の力の法則が与えられる

も本当であり，しかも彼は力学の前提となるもの

と，ある条件（ハミルトン系など）の下で

として空間とか時間などから始めなければならな

運動方程式と初期条件とから運動は未来お

かった．ニュートンは『プリンキピア』を書き出

よび過去に対して一義的（一意的）に定ま

すのにたいへん苦労しただろうと思う．結局彼は

る．運動方程式を時々刻々コンピュータを

このような言葉で書き始めた．

用いて数値的に積分することができる．

「空間と時間については，すでに知られているの で，わたくしはそれに何もつけ加えない．ただ絶 対空間と測定される空間および絶対時間と測定さ

(iii) 運動方程式と初期条件が与えられても， 運動方程式が解析的に（微積分などによっ て）解けるとは限らない．一般的に言うと 解析的に解ける（可積分系）のは極めて特 第 2 章 自然

101

粒子間の力の法則が本当に成り立っているかをく わしく吟味することは原理的に言ってたいへんむ ずかしいわけである． とにかく，一般的に運動はカオスであることを 認めれば，運動を運動方程式と初期条件の 2 本立 てで扱う方法には困難がある．これを解消するよ うな力学の新たな形式を編み出す仕事にとり組む 人があってもよさそうなものである． 初期条件を極度に鋭く規定することが物理的に 図 3.2

ロ ー レ ン ツ の カ オ ス（James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman）James Gleck: “Chaos” Penguin Books (1987) による．

不可能であることだけを考慮し，初期条件にある 程度のあいまいさを許すことにすると，運動の軌 道にもいくらかの不確かさが生じる．この不確か

殊な場合だけであって，3 粒子以上の体系 は可積分系でなくカオス的運動になる場合 のほうが圧倒的に多い． とくに万有引力で引き合う 2 粒子の運動 は可積分系でケプラーの法則が成り立つ（ケ プラー運動）が，万有引力で引き合う 3 粒 子の体系は特別な初期条件や特殊な条件の 場合を除き一般に積分可能でない（3 体問 題） ．単振動などふつうの教科書に書かれて いる可積分系は極めて特殊なものであるこ とを強調しておかなければならない．

(iv) カオスを起こす体系では初期条件の無限 に小さい違いが有限時間の間に大きな運動 の違いを引き起こす（初期条件敏感性） ．し たがって将来（あるいは過去）を正確に予 知することは不可能である．気象現象はこ のような場合であって，長い時間にわたる 予報は原理的に不可能である．地震の予報 などはもっとむずかしいに違いない． このように，力学的自然観による予知には限度

さは量子力学の不確定性と似たものになるだろう． 実際 E. Nelson という人の論文「ニュートン力学 から量子力学のシュレーディンガー方程式を導く こと」 （Phys. Rev. 150 (1966) p.1079）はこの問 題を扱ったものである．これによれば，ニュート ン力学の運動にブラウン運動を加味すると量子力 学のシュレーディンガー方程式と同形の方程式が 導かれる．しかしこれは，ここで問題にしている カオスとは関係のない話であるかもしれない．

3. ゲーテの自然学 ドイツの文豪ゲーテはニュートンと進化論のダー ウィンのほぼ中間の時代に生きた人である．彼は 自然学に興味をもち続け，動物学，鉱物学，植物 学，気象学，色彩学などにおいて独自の見解を述 べた．ことにニュートンの光学を強く批判したこ とで知られている． ニュートンが書いた大きな本と言えば， 『プリン キピア』についで『光学』がある． 『プリンキピア』 が数式で満たされているため一般の人に読まれな かったのに対し， 『光学』には数式はまったくなく，

があるし，この立場で決定論的な因果律があるよ

ニュートンの実験と考察とがくわしく述べられて

うに思うのは幻影にすぎないことになる．

いるため多くの人に読まれているそうである．実

実験的な立場で言えば，2 個の粒子の衝突実験 では運動法則をくわしく吟味し，粒子間の力を求

際『光学』は何度も改版を重ねその間に多くの考 察が書き加えられている面白い本である．

めたりすることができる．しかし 3 個の粒子の同

ゲーテが自然学について書いたものを直接読ん

時衝突は 3 体問題になり，粒子の運動はカオス的

だことはないが，科学史などの本でこれについて

になるから，そういう場合に運動の法則あるいは

述べたところは興味をもって読んできた（たとえ

102 第 3 編 物理学とは何か

ば河本英夫著『自然の解釈学——ゲーテ自然学再

的であったにも関わらず，実際にはその逆の効果

考』 （1984）海鳴社）．

がめだっていて，その結果，科学の発達は人類の

ゲーテ（1749–1832）の時代は科学が専門に分

幸福を招来せず，かえって人類を私欲と公害と無

化する以前であり，エネルギー保存の法則を唱え

意味な忙しさの中に破滅させるかもしれないとさ

た医師ロバート・マイヤーのようにアマチュア的

え危惧されている．この問題はまた別の機会にと

な自然愛好家による科学への寄与も決して少なく

り上げることにするが，いずれにしても現在の科

なかった時代であった．その頃に新しい科学を生

学にある種の閉塞感があるのは確かである．それ

み出そうとした多くの人の努力の大部分はその後

が科学自身の宿命であるのか，過去の選択に誤り

の科学の本流に流れ込むことなく埋もれてしまっ

があったのか，ということも反省しなければなら

たであろうし，ゲーテの自然学もそのように見ら

ない時点にきている．ニュートン流の近代科学と

れないでもない．

ゲーテ流の自然学の対比はこの点でいろいろなこ

ゲーテにおいては， 「科学の探求は現象が現れる

とを教えてくれるような気がする．

際に不可欠な諸条件を詳細に列挙することであり，

自然科学の発達の裏でいつの間にか脱落していっ

その際，法則は現象によって直観的に開示される」

たもの，拒絶されてしまったものがある．次々と

ものである．そして観察から考察へ，考察から理

脱落していったものがあると言ったほうがいいか

論へと導かれるのである．

もしれない．そのために自然科学の対象は次第に

ニュートンは小さな孔を通して光を暗い部屋へ

狭くもなっていると思われるのである．これは科

導きプリズムに当てることによって白色光を分析

学が発達するにつれてその対象が段々広くなって

した．このような実験をゲーテは「自然を拷問に

きていると考えるふつうの見解と矛盾するので，

かけ，自白させるものだ」と批判している． 「楽し

これについて少しつけ加えておこう．

く輝いて飛びはねているのが本当の光である」と

古代の自然学から科学が生まれてきたときに拒

ゲーテは言う． 「生きた自然の中では，全体と結び

絶されたものの中に「擬人法」や「目的論」があ

ついていないものは何も起こらない」とも言う．

る．よく言われるように近代科学，ことに物理学

さらにゲーテの言葉を引用させてもらえば「近代

では極度に擬人法を排斥するが，これは「自然の中

自然科学の最大の不幸は，いわば実験を人間から

にある人間」というみずみずしい立場を廃棄しよ

切り離し，人工的な器械が示すものの中にしか自

うとする態度であり，多くの人にとって物理学を

然を認めようとせず，それどころか自然のなし得

面白くないものにしている大きな要因である．し

ることを予めそのように制約した上で，それを立

かし物理学でも，たとえば「物体 A が B に作用す

証しようとしている点にある」．

ると B は A に反作用を及ぼす」などというときの

ゲーテの危惧をよそに現代科学の実験はより精

「作用」は人間どうしの社会的関係からきている言

密になり巨大化していく．高エネルギー物理学に

葉で擬人法的な用法であることをまぬがれないで

おいては要望される巨大な実験装置があまりにも

あろう．物理学以外の科学では，擬人法や目的論

高価なためアメリカのような大国でもこれに応じ

的な用法なしにはほとんど何も語れない．たとえ

られなくなってきた．そしてこれを機会にして素

ば「日の光を求めて木が高く育つ」とか「馬は速く

粒子物理学がそれほど巨大な研究費に値するもの

走るために長い足をもつ」などというが，このよ

であるかという反省も生じてきている．他方で微

うな目的論的な言い方が非科学的であるといって

細な技術はナノテクノロジーからさらに 1 個の原

いちいち排斥されることはないだろう．生物の成

子や電子を操作して人工原子を作るところまで発

長や変化は突然変異と自然淘汰が案外急速にはた

展してとどまるところを知らない．しかしすべて

らく（“はたらく” も擬人法か）ことによって説明

の科学技術がもとは生活を楽にし余暇をふやす目

されるのかもしれないが，これは目的論的な言い 第 2 章 自然

103

方がいけないとすることとは別問題であろう．擬

ユークリッド幾何学が空間を定義している）を出

人法的や目的論的な言葉（あるいは極端な立場だ

発させ，これが古典物理学の枠組みとなった．そ

が因果法則までも）を一概に排斥しようとすれば，

してこの枠組みはアインシュタインの相対性理論

多くの現象が科学的対象から脱落してしまうわけ

に使われている非ユークリッド幾何学によって定

である．

義し直されたが，それは言いかえればローレンツ

4. 自然理解のための時空 物理学とは何か，というのがこの連載のテーマ

変換や重力場の方程式で数学的に定義されるもの である． 光もわかりにくい．光はエネルギーを伝えるが，

であるが，考えれば考えるほど物理学とは不思議

物質がないところでは一定の速さで進むから，光

なものである．もちろん不思議なものは物理学だ

速以下の任意の速さをもち得るふつうの粒子とは

けではなく，数学も不思議だし，一番不思議なの

違う．また一般相対性理論によれば，光の経路は

は自分というものが存在することである．デカル

時空の測地線の集まりを形成するから，光は時空

トはそこまで考えつめて，結局， 「ここに考えてい

と密接な関係をもっている．光は物質と時空の間

る自分が存在するということは疑えない」 （cogito

の中間的な存在と言えるかもしれない．

ergo sum, 我思う故に我あり）という 1 点から出発

よく知られているように，ホイヘンスは光を波

してすべてのことを解明しようとした．しかしこ

と考えた．光の波を伝える仮想的な物質はエーテ

れは無理なことで，デカルトはいろいろの間違っ

ルと呼ばれるが，マイケルソン・モーリーの実験

た考えにとらわれたようである．

などによってもその存在を確かめることはできな

デカルトまでさかのぼらなくても，物理学はわ

い．ニュートンは『光学』の中でエーテルの可能

からないものから出発している．ふつうに物事を

な性質を考察し，万有引力の原因としても考えて

説明するときには，わかった事柄，あるいは誰で

いるが，その結果があまり奇妙なので結局エーテ

も納得することから始める．しかし物理学では，

ル仮設を棄て去ったようである．そのためニュー

空間，時間，物質，光という実は最も理解しにく

トンは光の粒子説を採用したとされている．光が

いことから出発しているのである．空間の概念一

粒子だとすると光の速さが一定なのはおかしいし，

つを欠いても物理学は出発できないが，何の知識

ニュートンはニュートン・リングと呼ばれる光の

もなしに初めから空間について語ることはできな

干渉現象などを発見していて，これは粒子説と大

い．時間や光についても同様である．空間論はア

きく矛盾する．おそらくニュートンは光のエーテ

リストテレス，デカルト，ニュートン，ことにカ

ル説にも粒子説にも加担しなかったし，光が何で

ントなどによって論じつくされているのかもしれ

あるかを知ることもできなかったのであろう．今

ないが，空間に対する関わり方によって様々な科

では光は電磁場の波（電磁波）であるとして了解

学哲学が存在しているときいている．いずれにし

されているが，これは空間を電磁場と言いかえた

ても空間と時間は自然認識を可能にする先験的な

にすぎないとも言える．電磁場とは何かと問えば，

枠であろう．しかしこれだけでは物理学の出発点

それはマクスウェルの方程式あるいは光の場で記

として不明確すぎるような気がする．むしろこれ

述されるものであると言うより仕方がないからで

らの基礎概念は自然を記述するために我々が一定

ある．

の観点に基づいて設定したもの，つまり数学にお

物理学にはそういう性質がある．空間とは何か

ける公理にあたる前提であると考えたらどうだろ

と問うても直接的な答えは帰ってこないし，時間

うか．先に述べたように，ニュートンは絶対空間

とは何かとか，光とは何かと問うても直接的な答

と絶対時間という概念をほとんど説明なしの前提

えは得られない．このような問いは物理学的に意

として『プリンキピア』 （この本に使われている

味がない．それは物理学が公理系であって，それ

104 第 3 編 物理学とは何か

より先へさかのぼることのできない公理（時空や

その時代の常識や物理学の発達状況によって異な

光の性質に関する公理）から出発している創造物

るが，原則としては物理学の対象をできるだけ簡

であると考えればわかりやすいのではなかろうか．

単で包括的な理論が構築されるように選ぶという

このような考えは決して新しいものでないかもし

ことである．物理学が現在どの方向へ進んでいる

れない．しかしこの連載の中ではいろいろな事柄

かということや，技術や理論の発達状況にも心を

との関連においてこれを吟味していきたいと思う．

配っていくことにしよう．

どんな公理を設定すればよいかという選択は，

ビリアル定理 大学を卒業して助手になった頃にはビリアル定理

理である．この式で右辺第 1 項は分子の運動エネル

というのにとりつかれた．これは統計力学の問題で

ギーであり，第 2 項は相互作用による内部ビリアル

ある．気体あるいは液体を考えてその自由エネルギー

である．ただし上式 (3) で横棒

を F ，温度を T ，内部エネルギーを E ，圧力を P ，

しているが，集団平均で置き換えることができ，エネ

体積を V とし，F を T と V の関数とすると，熱力

ルギー等分配の法則を用いれば (3) の右辺第 1 項は

学により

−d

  F T

= −Ed

  1 T

+

P dV T

(1)

は時間平均を表

m 2 3 (x˙ + y˙ i2 + z˙i2 ) = N kT 2 i 2 となる．

が成り立つ．他方でこの体系は N 個の同じ分子から

さてその頃の統計力学の教科書では（1）と（2）と

なり，分子の質量を m，分子 i と j の間の相互作用

が同じか同等であることを証明するのにいくらか長

を φ(rij ) とする．分子の運動は古典力学に従うとす

い議論を費すのであった．しかしこのうちで

ると，分布関数 Z は

Z(T, V ) =

 2πmkT 3N/2  h2

l

d

3N

−U/kT

xe

は辺の長さが l の立方体の箱の中にあるとすると

U=

n 

∂ (klogZ) = E ∂T

は当然な式であることがわかる．そして残る項

0

と書ける．x は分子の位置であり，簡単のため体系

V = l3 ,

−

−

P ∂ (klogZ) = ∂V T

はビリアル定理を使い，変数変換

φ(rij ).

i>j

上述の熱力学的な表式と下の統計力学的な表式と

xi = lξi ,

rij = lρij

等

1 d ∂ = 2 ∂V 3l dl

が同等であるためには e−F/kT = Z でなければなら

を使えば，これも容易に証明されるので，読者の演

ない．すなわち

習に任すことにしよう．

−d(klogZ)  ∂  ∂ = − (klogZ)dT + (klogZ)dV (2) ∂T ∂V とおくとき，(1) と (2) が同じでなければならない． 他方で分子の集まりは力学に従うことから圧力 P は

m ∂φ(rij ) 3 1 PV = (x˙ 2i + y˙ i2 + z˙i2 ) − rij 2 2 2 ∂rij i

i>j

(3)

このようなビリアル定理の使い方を発見したとき はいろいろな問題にこれを応用してみた．不完全気 体，金属，相対論的ガス，量子論的気体等々であった． 当時は戦争は次第にはげしくなって来た時代で，外 国語の使用もはばかられてきた．研究の発表もむず かしくなってきた．それでも入ってきた外国誌 Na-

ture に私のビリアル定理の論文に似た論文が載って いるのを見つけた永宮健夫さんがイギリスの研究者

Born–Green に手紙を出して下さった．「違う所で

を満たさなければならないことが証明される．これ

似た研究が出るのはしばしば起こることである」と

がクラウジウス（Clausius）のビリアル（Virial）定

いうような返事が来たということであった．

第 2 章 自然

105

第3章 社会 （科学がきらわれる理由）

1. 二つの文化 何年も前から理工系の学生の学力がひどく低下

しかし，これはとくに日本人の大人の欠点とい うわけでもないらしい．外国の人だってほとんど 同様かもしれないのである．C.P. スノーが書いた

していると言われている．今回はこれに関係した

有名な本『二つの文化と科学革命』 （みすず書房，

事柄について述べよう．

1967）がある．ここで「二つの文化」というのは

第 2 次世界大戦が終わった 1945 年の頃のこと

文系と理工系の文化のことで，これらの文化の間

である．爆撃にとことんまでやられた日本の都市

の大きなギャップが社会の正常な進歩を阻害して

の写真に， 『科学なき国の末路』とか書かれたも

いることをスノーは警告しているが，彼はこれを

のがアメリカのニュース映画に出ていたらしい．

イギリスの伝統的な教育の欠陥に由来していると

レーダーすらもたなかった日本があちらの科学力

考えている．この本の中でスノーは，理工系の人

に負けたというのは確かに言いすぎでなかった．

だってシェークスピアは読んでいるが，文系の人

そのためでもあろうが，戦争が終わってからの

は熱力学の第 2 法則も知らない，というような意

初めての国政選挙のときは， 「科学振興」を宣伝す

味のことを言っている．スノーは言いすぎている

る候補者が数多く見られた．しかしいつの世でも

ようであるが，イギリスでも文系と理工系の間の

科学は選挙の票にならない（これは学力低下と同

ギャップは大きいに違いない．そしておそらくイ

じ原因のことではないだろうか）らしく，次の選

ギリスや日本に限らず，大人の理科的常識が足り

挙には科学の宣伝などまったく見られないように

ない状況は世界中どこでも似たようなものではな

なってしまったのである．

いかと思う．もちろんイギリスと日本では，教養

小学校低学年ではほとんどすべての子供が科学

の内容に大きな差があった．イギリスの大学では，

的なことに興味をもっている．それが高学年に進

最近まで神学も重んじられていたようであるし，

むにつれて興味を失い，中学校では半分以上の子

カリキュラムにはギリシャ語やラテン語があって，

供がいわゆる理科嫌いになっていく．これらの数

シェークスピアなどの文学も教養の中心にあった

字は正確ではないにしても，だいたいは正しいだろ

のではなかろうか．そしてこれらはすべての日本

う．そして高校では物理は一番人気がないらしい．

の大学の一般的な課程には入っていない．しかし

テレビの番組「日本人の質問」 （NHK）などを

現代は科学と技術の急速な拡大が，多くの国の大

見るまでもなく，日本人の大人の理科的常識はだ

学に押し寄せているので，イギリスの社会も大き

いたい小学校低学年程度であるようだ．すなわち

く変わってきたに違いない．だが，新聞などで時

理科的常識がまったくないということである．

折見かける統計では，科学者と技術者のレベルが

絶えず向上しているにも関わらず，多くの若い人 が理科離れしていることは明らかなようである．

2. 社会的脳

理科離れについては多くのことが語られ，これ

このような反省に立つとき，ここにロビン・ダン

に対抗するための多くの提案もなされている．そ

バー著『科学がきらわれる理由』 （松浦俊輔訳，青

の中には重要な指摘もあるが，理科離れが子供だ

土社，1997）という本が面白い指摘をしているこ

けでなく大人にとっても広く認められるとするな

とに気づく．それは主に「社会的脳」という章に述

らば，個々の国情の違いを越えて，人類には理科嫌

べられている事柄である（この著者は心の進化論

いになるような要因があるに違いないと考えざる

を専門とするイギリスの心理学者だそうである）．

を得ない．これは人類の欠点の一つかもしれない

その要点を紹介させていただくことにしよう．

とさえ思う．霊長類が何百万年かの間に，進歩し，

『子供はいくらか科学者のように振舞い，世界

さらに人類が生まれてきた過程を調べれば，そこ

がどう動くかについて仮説を立ててそれを検証す

に何か理科嫌いになる原因が見つかるのではない

ることが認められる．親にいたずらをしたり，頼

か．あるいは，もっと極端なことを考えれば，理

んだことをしてくれたりする．そうして他の人と

科的でないことに関心が集中してきたので今ある

やりとりをすることに興味をもつ．しかし子供の

ような人類が育ったのかもしれないとも思われて

関心は主に動きのあるものに向いていて，無生物

くる．

への関心はずっと弱く，とくに無生物が自分の心

霊長類の進歩の方向にはいろいろな可能性があっ たであろう．その中で他の動物と違う方向が選択 され，その線に沿って人類ができてきた．それが

をもっていないことに気づいたとたんに関心がな くなってしまう』 霊長類（猿，チンパンジー，人類など）は他の動

いい方向だったとは必ずしも言えないに違いない．

物に比べてはるかに複雑な社会をもっている．他

テレビの番組を見たり，電車を待つ間に駅の売

の動物が互いに助けを求めたり助け合ったりする

店を覗いたりするたびに感心するのは，人間はな

ことは極めて少ない．まれに提携することはあっ

んとメロドラマ，サスペンス，探偵小説などが好

てもそれは一時的なものである．ところが猿の提

きなのだろうということである．その他のものと

携関係は将来の必要性を予測し数カ月前から設定

言えば，料理，スポーツ，音楽などであるが，最も

されることが多く，背中をかいてあげるとか，キ

普遍的な関心事は人間どうしの事柄であるらしい．

スするとか，ノミを取ってあげる，毛づくろいを

要するに，科学はスノーが言うように，文系の知

してあげるとかである．こうして仲直りしたりす

識人には理解されず，一般の民衆にも疎外される．

る行動は猿にだけに見られる．戦術的な嘘を用い

科学が盛んになり，人文系の学問が科学によって

ることもあると言う．猿は猿の社会の中で，敵対

圧倒される傾向が強まれば強まるほど，一般人と

する可能性が高い猿，助けてくれそうな味方の猿

科学の間のギャップは広がり，近代科学の勝利が

などに関する詳細な社会的知識をもっていてそれ

明らかになるほど，一般の人が科学に背を向ける

を活用するのである．

ようになってきた．それは一つには，白黒のはっ

猿（霊長類）が大きく，複雑な社会をもつこと

きりした科学の世界への反発であり，他方ではもっ

が，霊長類の脳が他の動物の脳よりもはるかに大

と情緒的な世界への憧れに由来しているのかもし

きいことを説明する．平均的な猿の社会は 2 つの

れない．いずれにしても，我々は，科学とつき合っ

重要な点で他の動物の社会と異なっている．一つ

て行く第 3 の方法を探らなければならないが，そ

は猿が派閥を作ることであり，もう一つは戦術と

れには科学の成り立ちを反省する必要もあるに違

して他者をだます「マキャベリズム的政治戦略」も

いない．

用いるということである． 『霊長類の社会集団の大きさ，複雑さは，脳の 第 3 章 社会

107

新皮質の相対的な大きさとの間に簡単な関係があ

れない．そして今では原始的社会的傾向と科学的

る…新皮質は霊長類の進化の途上で他の部分と全

合理的傾向が衝突して不安定な心の時代が招来さ

く不釣合いなほど大きくなった．新皮質は哺乳類

れたのかもしれないという気もする．

が基本的な爬虫類の脳に加えた新しい部分である が，ごくふつうの哺乳類では，脳の全体積の三分の 一ほどを占めるだけだが，霊長類では，それがだ

3. 産業革命 先に霊長類の社会が複雑になるにつれて，それ

んだん大きくなり，旧世界猿で脳の体積の 60%，

に適応できるように人類の脳が大きくなり発達し

チンパンジーで 70%，現代人で 80%になる．さ

たのであろうと述べてきた．そう考えると人間が

らに重要な点は，新皮質が能動的な思考の生じる

人間どうしの複雑な関係に心を奪われがちなのも

部分らしいという点だ』

当然だという気がする． 「こちらがこうすれば，あ

このようにしてでき上がった人類の脳は，人間

の人はああするだろう．だからこちらはこうした

の社会に適応することをめざして進化してきた．

らよいだろう」とか， 「あなたが理解していると私

しかし社会というものはもともと合理的なもので

が気がついているかしらとあなたは思っているの

はない．それに適応するということは，人間の脳

ではないかと私は思っている」というような思考

が合理的でないということになるのではなかろう

は人間以外の動物にはできないことである．そう

か．少なくともそれが合理的なことをめざして進

いうことに人間は気を回すのである． 「科学などを

化してきたものでないことは確かであろう．そこ

考える暇も興味もない」と言い，科学的な説明を

から二つ（あるいはもっとたくさん）の疑問が生

しても「だからどうだっていうのだ」とか「理屈

まれてくる．

ではそうかもしれないが実際は…」とかいうのが

その一つ．人間がマキャベリ的知能を進歩させ たとしても，その本当の目的はどこにあったのか

世間的である．そして科学に背を向け，文学ある いは宗教に向かったりする人が多い．

ということがある．それは「相互的利他的行為」の

確かに文学というものは，社会を理解する手段

ほうがダーウィン的に有利であるらしいというこ

になるだろう．わかりやすいのはシャーロック・

ととどこでつながるのだろうかということだが，

ホームズなどの探偵物である．ホームズの科学的

これは集団遺伝学の守備範囲かもしれない．

な謎解きは科学における研究や発見に似たところ

第 2 に，人間には，文学，宗教，科学などの心，

がある．そこでは小さいことをおろそかにしない

言いかえれば世界はどうしてこうなっているのか

注意力による発見，人間の習慣や性向に基づく行

と問う心がある．これらはすべて脳の発達に関係

動のパターン，すなわち行動の方程式のようなも

があるのか，これらのうちの一つか二つだけでも

のに対する理解などが問題解決の糸口になる．探

十分だったのではないか．

偵物に限らない．歴史物においても，恋愛物にお

第 3 に，なぜ人間の頭脳は相対性理論や量子力

いても，ある程度の必然性，法則性はある．人間

学を作り出し，理解できる段階まで発達してきた

の個性，アイデンティティはある程度の必然性，法

のか．少なくとも人類が社会を作り出し，霊長類

則性がなければ成立しないし，これが欠陥したで

の階段を登り出した頃は，これらの理論を理解す

たらめでは小説は成立しない．これが欠ければ歴

る能力は要求されなかったであろう．数学や物理

史あるいは恋愛の悲劇も深められない．

学の理論を理解する能力はどうして育ったのであ

もちろん人間の行動の法則性は自然界の法則と

ろうか．これはマキャベリ的知能仮説で説明でき

は違って不確かであり，そこが人間的，社会的な

ないのではないか．

わけである．しかし自然現象と言えども，たとえ

あるいはマキャベリ的社会に嫌気がさした人類

ば気象現象などは，複雑で予測しがたい点では社

が合理的なものを求める心へと傾斜したのかもし

会現象にひけをとらない．そこで人間社会の現象

108 第 3 編 物理学とは何か

をやや複雑な物理的現象になぞらえて理解しよう

ワットや熱量を含めたエネルギー保存の法則を

とすることもあるが，おそらく人間の行動は分析

提唱したロバート・マイヤーは素人の科学者であっ

的科学になじまないのではないだろうか．

たが，熱量と仕事との関係（熱の仕事当量）をく

しかし，科学というものは主に科学技術の発達

わしく調べエネルギー保存の法則の実験的証明を

を通して人間の行動，人間の社会に大きな影響を

与えたジュールは専門の学者であった．こうして

与えてきた．そしてこの影響は人間の心にまで及

1850 年頃には専門家としての科学者の地位が確

んできたようである．このことを少し考えよう．

立されたのである．科学は魔法でなく，まともな

昔習った漢文か中国の歴史で，妙に心に残って

研究対象であることが広く認められるようになる

いる言葉がある．それは大昔の理想の王であった

と同時に，力学に加えて熱力学，電磁気学などが

堯舜の時代をうたった漢文であって『日昇れば耕

順次に物理学の分野として確立された．さらに科

し，日暮るれば帰り，満腹になれば腹を叩き寝る．

学が成果を挙げるにつれて，科学は工業と結びつ

帝王なんぞ我にあらんや（帝王の堯舜など関係な

き，科学技術が国家の経済活動に大きな力を発揮

いや） 』 （少し違ったかもしれないが） ，そういう言

するようになって，科学自身が変貌を遂げたので

葉があった．理想的な帝王の時代の百姓が太平の

あるが，これらのことはまた別の回において考え

世をうたったものである．今でも，理想的な生活

ることにしたい．

とはこのようなものであろうと思う．私の知って

我々はニュートン以来の科学の発達を原稿用紙 1

いる科学者の何人かは， 「いくらか学問をして，あ

枚あまりで過ごしてしまったわけであるが，ニュー

とは田舎へでも引っこんで静かに暮らしたい」と

トン以来現在にいたる年月は約 300 年である．私

言っていたので，これは堯舜の時代の百姓と同じ

は年をとってきたせいか，80 年で年月を測ってみ

心境かなと思って，これを忘れないのである．

ることが多い．80 年というと 40 年の倍だから，

それはとにかく，昔の多くの人びとにとっては

約 2 世代にあたる．しかし 80 年は現在の平均寿

手仕事をして毎日を暮らし，村の外へ旅すること

命だからこれを 1 世代と考えるとニュートン以来

もなく一生を終えるのがふつうで，それが封建時代

の年月は約 4 世代という短い歳月である．4 世代

を通して続いたのかもしれない．しかし 18 世紀

ぐらいで人間はそうひどく変わるはずがない．こ

半ばから 19 世紀初めにかけてイギリスで始まっ

れを物理が経てきた年月と考え，ギリシャ以来の

た産業革命は人間の暮らしを大きく変えてしまっ

文化が経てきた 2000 年あまりの歳月と比べてみ

た．手工業に代わって大きな工場が作られ，多く

ればわかるように，文系の歴史は古く理工系の歴史

の人が集まって都市が発達した．織物と鉄工業が

は 1 桁も短いのである．文系は文化だが理工系は

主な工業であったが，そのため山の木がきられて

新参者と見られるのも無理がないような気もする．

イギリスは一時はげ山だらけになったらしい．ま た石炭が多く使われたので煙突掃除に貧しい家の 子供が駆り出され，そのためガン性の病気にかか る子供が多数いたということである． 鉱山では水をくみ出すためのポンプを動かす馬 が使われたが，同じ目的で使われた蒸気エンジン がワットによって大改造されたことはよく知られ

kikansya

ている通りである．これは人工による初めての動 力源となったが，その能力を表す単位に馬力（ホー スパワー）が使われるようになったのはこのよう な歴史によるものである．

図 3.3

スティーブンソンの機関車（1830 年）．

第 3 章 社会

109

その上，すでに述べたように人間の脳は人間的

いう打率の悪いものではないかと思う．それでも

文化と共に育ってきたもので，もともと理工系に

打率の低い打者が突然ホームランを打つことだっ

合うように発達しなかったために理科嫌いに作ら

てある．教育にはそういうことがあるから，教育

れてしまったとすれば，科学を嫌う人や，科学を

はやはり大切である．

信じない人が多いのも，これまた無理がないのか

小学校と中学校では算数と国語をみっちり勉強

もしれない．こう考えると理科教育の革新を唱え

さすのがよいと思う．これは物事をきちんと正確

るにしても，一朝一夕にはいかないことを覚悟し

に覚え，正確に表現する基本になるからである．

なければならないことがわかる．

この年齢の子供は非常に物覚えがよく，素直でも

4. 教育について 教育というものは元来打率が低いものである．

あるから，きちんとした習慣づけをするのに適し ている．そして算数と国語以外のことはあまり教 えないで健康に楽しく過ごすようにしてやりたい．

ピッチャー（教師）の投げた球に対してバッター

高校では日本文化と外国の文化について学ぶの

（生徒，学生）のバットがうまく合う確率は低いと

がよい．この時期は人生について考え，文化につ

覚悟しなければならない．文系の授業では球があ

いて学ぶのによい年ごろである．語学は読む学力

まいので打率が比較的高いのだが，理工系の場合，

をつけること，いくつかの語学についても学ぶの

球は打者に見えにくいらしいのである．

がよいと思う．しゃべることが好きな子供は自然

教師が打ちやすい球（興味が起こりそうな授業）

に自分でその方面の勉強をするだろうから特に外

を組んでもそれが打者である学生に伝わらない場

国語の会話を熱心に教える必要はないだろう．日

合，学生の興味を引かない場合が多いのが教育で

本文化について今の学校ではほとんど何も教えて

ある．教師と学生の気持がうまく合えばよいのだ

いないようであるが，たとえば漢字のくずし方（楷

が，これは学生の状態に大きく依存する．そして

書，草書）について知るきっかけをつけてやるこ

成功する確率は非常に低いのである．

とが必要だと思う．これは将来外国の人に日本の

学校の授業ではないが，たとえばアインシュタ

古典について語ることのできるような教養の素地

インの場合，あるとき風邪か何かで寝ているとき

になるだろう．伝統的なものの考え方などについ

にお父さんが磁石（コンパス）を彼に与えた．磁

ても同様なことが言えるのではないだろうか．外

石の針が南北を指そうとして動くのを見たアイン

国の歴史，文化についても高校でよく話し合うの

シュタインはこれに大きく興味を引かれ，これが

が望ましい．

彼の物理への関心に火をつけたと言われている．

高校の物理をどうするかは一つの大きな問題で

また彼の叔父さんがピタゴラスの定理を証明なし

あるが，大学受験の今の制度は本当に馬鹿らしく

に教えたところ，彼は自分で証明を試みて成功し，

大きな無駄なものである．これをやめにして大学

これが彼に大きな自信を与えたと言われている．

がそれぞれの入学制度を考えなければならないと

これらの場合，お父さんや叔父さんは期せずして

思うのだが，無駄な受験勉強をなくす大改革がで

アインシュタインに球を投げ，アインシュタイン

きれば，高校における専門課程的な物理・化学など

はこの球を見事に打ち返したのであった．教育は

にあまり重きをおかないようにしていいのではな

意図しなくてもできる場合があるということの良

いかと思う．今のカリキュラムでは小学校でも中

い例である．

学校でも物理的なものがあり，さらにその上に高

ちょっとしたきっかけが学生の脳にひらめきを

校のための物理があって，さらに大学で教養的な

与えることがある．またそれと逆に，いくら教え

物理がある．こんなに何度も繰り返されては好き

込もうとしても，学生の脳に何のひらめきも与え

なものでも嫌になってしまうとつくづく思う．せ

られないこともある．教育というものは元来そう

めて高校ではひと休みして，自発的に興味がわく

110 第 3 編 物理学とは何か

ような物理を楽しんでほしい．天文学などとドッ

ものである．

キングした学習もよいし，地学などと組んだ総合

こうして高校における生活が自己発見に役立つ

学習もよいかもしれない．高校は楽しみの多いと

ものとなれば大学も大きく変わるだろう．大学は

ころであってほしい．それは専門的学問へ入る前

社会へ入る前の幼稚園，あるいは猶予期間ではな

の本当に有意義な期間でなければならないと思う．

く，専門課程として自己を掘り下げていく仕事に

そこに若い希望の日々があることを知ってほしい

かかるべき時である．

物質波 熱を通さない壁で囲まれた空間の中の電磁波（光） のエネルギー・スペクトルを熱放射（熱輻射）と言

を形成する．これがボーアの量子条件のド・ブロイ 波による解釈である．

う．19 世紀終りに熱放射はくわしく測定され，プラ

しかしド・ブロイ波が軌道に沿って定常波を作る

ンクはこれをよく表す実験式を得た（1900）．この

というのはいかにも奇妙である．物質波は空間の中

実験式の解釈から，アインシュタインは光がエネル

の波と考えるのが自然である．そこでシュレーディ

ギー hν の粒子（光子）からなるという仮説を導い

ンガー（Schr¨ odinger）は水素原子の中の電子を 3 次

た（光量子説，1905） ．ここで h はプランク定数（作

元の物質と考えてその波動方程式を作った．初めの

用量子）と呼ばれる定数であり，ν は光の振動数で

波は電子が特殊相対性理論の力学に従うとして波動

ある．ホイヘンス以来波と考えられている光が粒と

方程式を作ったが，その波動が定常波となる解のエ

しての属性をもつということである．

ネルギーを計算してみたところ水素のスペクトルか

フランスのド・ブロイ（de Broglie）は，波と考え

ら考えられるエネルギーと一致しなかった．これは

られていた光が粒子ならば，粒子と考えられていた電

彼を落胆させたが，しばらくたって彼は方程式から

子は波としての属性をもつのではないかと考え，特殊

非相対論的な近似の波動方程式を使ってその定常解

相対性理論をとり入れて，電子の振動数を ν ，波長を

のエネルギーを計算してみたところ，水素のスペクト

λ とし，そのエネルギーを E ，運動量 p とすると h E = hν, p = λ という関係があると考えた（1924）．この説はデヴ

ルから求められた値と（ボーアの原子模型の値とも）

ィッソン，ガーマー，G.P. トムソン，菊池正士らに

た．これを量子力学のシュレーディンガー方程式と

よって結晶による電子波の回折実験で確かめられた （1927，1928）．粒子の波をド・ブロイ波（物質波） と言う． 他方でデンマークのボーア（N. Bohr，1885–1962）

一致することがわかった．シュレーディンガーはこ うして量子力学の基礎になる方程式を得たのであっ 言う．そしてこの方程式が表す波動を波動関数と言 う．電子の粒子性と波動性はその波動関数によって 記述されるのである． シュレーディンガーは電子の波動関数が直接に観

は陽子の周りを 1 個の電子が回っている原子模型を

測される波であると思った．しかし波動関数はたと

考えていたが，電子の運動量と陽子を 1 周する長さ

えば観測が電子の粒子性を検証しようとするか，波

との積がプランク定数の整数倍に等しいという条件 （ボーアの量子条件）を満たす軌道だけが許されると

動性を検証しようとするかによって波動関数は違う ものとなる．そのようなものを実在と言えるかどう

すると水素の光のスペクトルが説明されることを示

か問題であるが，電子の状態や行動をくわしく調べ

した（ボーアの水素模型，1913）．

る実験の新しい方法が絶えず開発されている．ある

この模型における電子の軌道にド・ブロイ波を重 ねてみると電子の軌道上で電子波は干渉して定常波

いは意外な方面から波動関数の意義が解明されるか もしれない．

第 3 章 社会

111

第4章 哲学 （理論の美しさ）

1. 実践的な哲学へ

学問のための学校の始まりとしてはプラトンに よって創設されたアカデメイアが名高い．これは

哲学（philosophy）は何かと言うとむずかしい

アテネの郊外につくられた．トロイ戦争の英雄ア

が，フィルは愛することソフィアは知のこと，した

カデモスの所有地であったことからつけられた名

がって哲学は知を愛する，すなわち愛知を意味す

前であると言われている．アカデメイアは約 900

ると言えばわかりやすい．哲学は学問というもの

年続き 6 世紀に廃された．ルネサンスの頃にイタ

についての学問であるとも言えるだろう．学問の

リアで多くのアカデミーがつくられ，ガリレイやそ

上の学問，最も高貴な学問という感じもある．具

の弟子の活躍がプラトン主義の復活の場となった．

体的に言うと，人生とは何か，存在とは何か，時

プラトンによれば哲学とは真の学問であり，プ

間とは何か，と考えることである．したがって物

ラトン主義とはプラトン自身の哲学思想を意味す

理学とは何かと考えることの全体も哲学であると

る．第 1 章（物理と非物理）で述べたイデア論，

言ってよいだろう．

理想主義，肉体に対する心の優位，哲学者が統治

哲学について特に学んだことはないが，何とな

する理想国家，数学の重視などがプラトン哲学の

く哲学というものにひかれて哲学のことを書いた

中心であるとされている．プラトンの学問はいわ

本をいくつか読んでみた．ある本には，哲学とは

ば手でなく頭による学問であり，これが近代科学

これこれであるといった定義はない．その人が考

と異なる古代科学の特徴であったが，プラトン主

えたことがその人の哲学であるというようなこと

義が近代科学に大きな影響をもっていることも確

も書いてあった．しかし哲学も学問と言われるか

かである．

らには，いいかげんな考えは哲学と言えないのだ

ロージャー・ベーコン（Roger Bacon, 1219 頃–

ろうが，哲学は合理的な考えであるとも言い切れ

1292 頃）は諸学問の成果の活用をめざし，数学を

ない．合理性ということ自体が哲学の対象の一つ

重視，光学の研究などを実践した．

であるかもしれない．哲学はかっちりとした範囲

実験の重要性をさらに強調したのはフランシス・

のあるものでなく，多分に主観的であるような気

ベーコン（Francis Bacon, 1561–1626）であった．

がする．しかし哲学論争などという言葉もあった

主著『学問の進歩』 （ノヴム・オルガスム）におい

ようである．論争するとすれば，哲学的な命題に

て彼は実験哲学を提唱した．それは次のように要

対しても正しいとか間違っているとか，白か黒か，

約される．

真か真でないかという決着点がある場合もあるだ ろう．

(1) 知覚される事象をできるだけ多く提示す

ること

(2) これらの事象を検討し，その間に法則を 見出すこと（帰納） である（村上陽一郎著： 『西欧近代科学』 （新曜社，

1981），p.222）． この実験重視の思想は自然界の秩序をあらかじ め想定して事象を解釈しようとする（演繹，理論） プラトン的な理論重視の思想と対立する．しかし これらは共に物理学にとって必要な考え方である ように思われる． ここで注意しなければならないのは，この 2 つ の立場が実際には互いに補い合って物理学を成立 させていることである．まったく理論がない状態 で実験を多数行ってもそこから重視すべき事実を 見出すことはできない．また，まったく経験（実 験）なしに理論（法則）を立てることはできない． たとえば，運動の慣性について考えよう．水平 な机の上に置いた物体に速度を与えれば，しばら くは机上をすべって進むが段々速度が遅くなって やがて静止してしまう．同じような実験を何十回， 何百回やっても得られる結果は同じである．これ から経験法則として「水平な机の上をすべる物体 はやがて静止する」が得られるかもしれない．し かしこの法則はそれ以上のことを予言することが できない． 「摩擦がなければ物体はどこまでもす べっていく」という理想化を考えることができな ければ理論は発展しない． ガリレイがやったかもしれない実験を考えよう． 一つの坂道を台車がすべり降りる．そして向う側 にある第 2 の坂道をすべり上がる．ここで第 2 の 坂道の傾斜がゆるやかだと台車は長い距離をすべ

るというように理論を進めれば，ニュートンの運 動法則に到達する．ここで加速度とか，質量，力と いった概念を考え出さなければならない．これら の概念を実験だけから帰納するのは不可能であり， 何かイデア風の直観が必要になるであろう．ガリ レイは変化する速度という概念を考え出した．そ してこれによってニュートンの運動法則に今一歩 というところまで進むことができたのだった．た だガリレイは落体の運動を離れて一般的な力とい う概念まで到達できなかったのである． そして最後にニュートンが，力を受けた物体の 加速度運動という抽象化に成功し，質量という概 念をもち込んで運動の法則をこの世界に送り出し た．それと同時に万有引力の法則まで編み出して 天体の運動まで理論の中に収めることに成功した のであった． 万有引力については，ニュートンはリンゴの落 下（この伝説の真偽は別として）と地球を回る月 の運動というたった 2 つの経験的事実だけからこ の法則を考え出すという大胆なことをやったので あった．これはニュートンの心の中に太陽を回る 惑星の運動を模型化したモデルがすでにあったか ら可能になったのに違いない．たった 2 つの経験 事実から太陽系が編み出されたわけである．そし てニュートン以後の 300 年の間，これほど偉大な 理論がほかになかったのはよく知られている通り である． 理論がなければ太陽系も見えてこない．ニュー トンの理論があって初めて太陽系が有機的なものと して見えてきたのであった．このことを詩人ポー プ（A. Pope）は

り上がる．しかし初めに台車がすべり出した高さ

自然とその法則は夜の闇のうちに

以上にすべり上がることはない．こういうことが

身をひそめていたり

実験でわかるかもしれない．ここで，第 2 の坂道

ニュートン出でよ！ と神のたまえば

の傾斜がまったくなくなった場合，台車はどこま

万物現われたり

でも進んでいくだろうかと問い，摩擦がないときに そうなるという理想化を考え出すのは理論である． さらに摩擦力があれば速度は次第に小さくなる とか，力を加えれば台車を加速させることができ

と歌った．昔の人の言葉に 心ここにあらざれば，見るとも見えず， 聞くとも聞こえず 第 4 章 哲学

113

というのがある．これも理論あってこその実験と

アマチュアにすぎなかったと言えるかもしれない．

解釈できるだろう．

また太陽を信仰する思想の影響もあったろうし，

なおニュートンの主著『プリンキピア』のくわしい

プトレマイオスが仮定した中心がはずれた円運動

書名は『Philosophiae Naturalis Principia Math-

やその複雑な重ね合わせ（周転円）がコペルニクス

ematica』である．邦訳では『自然哲学の数学的原

には不自然に思われたのであろう．彼は結局，太

理』と言う．

陽を中心として諸惑星が一様な円運動をしている

デカルトは近代哲学の祖と呼ばれるが，この頃 から実践的な哲学としての科学の進む方向が確立

という単純な観点をとらざるを得なかったと思わ れる．

されたのであった．それは具体的には自然を機械

コペルニクスの地動説の基本となるのは太陽を

的なものとみなす力学的自然観（デカルト）と実

共通の中心として諸惑星が完全な円運動を行って

験を重視する経験主義（F. ベーコン）の 2 本立て

いるという主張である．これは見事で美しい説と

と言えるが，それだけではないと思う．それにつ

言ってもいいのではなかろうか．コペルニクスは

いては次節以下で述べることにしたい．

自己の説の単純な美しさの中に真実が隠されてい

2. 理論の美しさ

ると感じていたのかもしれない．コペルニクスの 著書（主著『天球の回転』の前に書かれた『コメン

大学で量子力学を教わった先生が，あるとき「自

タリオルス』）の中で， 「太陽は玉座に位し，星々

然は教育的にできていますね」というようなこと

の一族を支配している」とか， 「太陽は宇宙の中心

をおっしゃった．これは量子力学が創られた頃の

に静止している」とか「不動の状態は，変化，不

歴史的経過についてのことだったと思うが，古典

安定の状態より高貴で神聖である」などと書かれ

力学が創られた経過についても言えることであろ

ていることからもわかるように，彼は自説の美し

う．コペルニクスからニュートンまでの古典力学

さに感動していたと思われる．

の創設の歴史については繰り返し述べられている

「美しさ」は，これからしばしば述べることにな

が，わかりやすい例を提供してくれるので触れな

ると思うが，物理学の理論の重要なポイントの一

いわけにいかない．

つである．理論の美しさとはどのようなものなの

コペルニクス以前にもいろいろの説があったが，

だろうか．これを知るには，理論の美しさを感じ

全体としては天動説が信じられていた．またこの 説が観測的事実と一致しないことも知られていた ということである．しかし観測事実がコペルニク

恒

スに地動説をとらせたのではないということも本 当らしい． プトレマイオスを含む天動説には完全無欠の運 動は円運動であり，したがって天体の運動は円運

星 天土 星 木火 星 星 金 球 星

地球

月

水 星

動でなければならないというギリシャ以来の信条 太陽

があった．そしてコペルニクスもこの信条から抜 け出すことができなかった．この点は極めて重要 である． コペルニクスには天動説と惑星の観測データの 不一致が気になったので，諸惑星の運動を忠実に 完全な円運動で表記しようと長い間努力した．彼 はもともと優れた観測家ではなかったし，一種の 114 第 3 編 物理学とは何か

図 3.4

コペルニクスの宇宙体系（村上陽一郎著： 『西欧近代科学』 （新曜社）から）．

る心をもっていなければならないから，ある種の

実用上はコペルニクスの地動説をとり，これに

素養が必要で，そのためには勉強も必要に違いな

周転円をつけ加えて補正すれば，プトレマイオス

い．ここまで書いてきて気になったのだが，最近

の方法よりもずっと周転円を減らし，簡便化した

は素養という言葉が使われないらしく，教養とい

計算でよい結果が得られるので歓迎されたという

う言葉が使われるらしい．似たような言葉である

ことである．

が，教養という言葉は大学などで使われすぎてし まって垢がついてしまった感じである．素養のほ

3. ケプラーの場合

うが「たしなみ．知らぬ間に身についたもの」と

デンマークの天文学者ティコ・ブラーエ（Tycho-

いった意味が強いような気がする．いずれにして

Brahe, 1546–1601）は優れた天体観測者であった

も，物理理論に美しさを感じるのは，生まれつき

（望遠鏡はまだ発明されていなかったので彼の観測

そういう傾向（DNA？）をもっているか，それこ

は肉眼で行われた）が，天動説と地動説を折衷し

そそのような素養をもった人なのかもしれない．

たような説を提唱した．つまり，地球は宇宙の中

しかしそこに文系と理系の人の違いがあるとは思

心であって月がその周りを回り，他の惑星は地球

えない．文系の人でもけっこう物理理論に興味を

の周りを回る太陽の周囲を回っているとしたので

もっている人を見かけるし，逆に理系の人でも文

ある．ティコは晩年にデンマーク王と不仲になっ

系の仕事に興味をもつ人もあるからである．物理

てプラーハに移り，ここでケプラー（J. Kepler,

にひかれるのはなぜか，美しさにひかれるのはな

1571–1630）を助手に採用した．ケプラーはティ

ぜか，というような問は，それぞれ哲学の問題で

コの死後，彼が残した火星の観測データを用いて

あろうが，人間はそういう風にできているからと

研究を進めて，惑星の運動を表すいわゆるケプラー

いうのが答えなのだろうか．

の 3 法則を発見したのであった．

公平さを期するために，次のことも注意してお

ケプラーは宇宙の調和を信じ，ことに幾何学的調

きたい．プトレマイオスの天動説は観測データに

和を信じる点で新プラトン主義者であった．しか

合うようにいくつもの周転円を重ね合わせたもの

し彼は抽象的な太陽中心説から始めないで， （ティ

で，これを用いて計算した惑星の運動は観測と相

コ・ブラーエに命じられて）火星などの軌道を調

当よく一致するそうである（筆者が調べてみたわ

べるという，はるかに実践的な仕事から始めた．

けではないが） ．これに対し，コペルニクスの説に

ケプラーは観測データをもとにしておびただしい

したがって各惑星が完全な円を画いて太陽を回っ

計算をしたに違いない．彼はまず，火星などの運

ているとしたときは，観測データとの一致はずっ

動を含む平面の中に太陽が位置することを確かめ

と悪いそうである．エレガントではないが正確な

たらしい（原著にあたっていないが，どこかでそ

プトレマイオスの天動説と，美しさはあるが不正

のように読んだ気がする） ．とにかく太陽がこのよ

確なコペルニクスの地動説ということになる．こ

うな位置にあることは太陽が惑星の軌道を定める

の 2 つを比べてどちらをとるかと問われれば，目

中心的存在であることを示していると確信される．

的に応じてということになるだろう．実際，コペ

これは惑星運動の第 0 法則と呼ぶにふさわしいと

ルニクスとその説を出版した人は，地動説がキリ

思う．

スト教会の教えに背いていると思われるのをおそ

地球に比べて火星の運行速度ははるかに小さい

れて，これは計算のためのもので，実際に地球が

から火星が近似的に太陽を巡る円運動をしている

動いているとは思っていません，というようなこ

と仮定し，火星と太陽の方向に対する地球の位置

とを述べている．ガリレイが地動説を支持したた

を観測から割り出すことにより，地球の軌道を求

めに法王から糾弾されたときに誓わされた言葉に

めることができる．そして，地球の軌道を基準に

似た逃げ口上である．

して次に火星の位置を次々と決定することができ 第 4 章 哲学

115

る．これを実行してみたことがある．実際やって

ケプラーの一生は，貧困，母親の魔女裁判など，

みると火星の軌道は真円でなく，明らかに少しひ

動乱の世相にさいなまれた．その末に大法則を発

ずんでいて楕円と思われるが，その離心率は極め

見したのである．この発見で彼は後世に高い名を

て小さいことがわかる（火星の軌道の離心率は理

残すことになった．彼が残した 3 法則は力学では

科年表によれば e = 0.0934 である）．小さいが

なく，運動学であったが，これはニュートン力学

明らかに存在する火星の軌道の離心率にケプラー

を誕生させるのに十分なものであったと言ってよ

はこだわって 10 年近い年月を費したと思われる．

いだろう．

軌道が真円であるという信念を棄てることはたい へんむずかしかった．ギリシャ以後のすべての人

4. アインシュタインとディラックの言葉

が信じていたこの信念の呪縛はそれほど強かった

自然法則はどのようにして発見されたか．そし

のである．長年の苦悩の末にケプラーは火星の軌

て理論の美しさはその発見にどのように関係して

道が楕円であると考えてなぜ不都合なのかと考え

いるか．ここではガリレイ，コペルニクス，そし

直し，データにしたがって素直に楕円であると決

てケプラーの場合について，いくつかの例を挙げ

定したのであった．いったん楕円軌道を容認して

て説明してきた．ガリレイの慣性の法則は，現在

みると周転円，離心円などの工夫は一切不要にな

では宇宙空間での運動という理想化された空間で

り，それまでとはまったく異なる天文学が生まれ

の体験も可能になったが，それまでには粗い近似

たのであった．

でしか実現できないような状態の設定を必要とし

この辺りのことは多くの著書に書かれているの

た．しかしいずれにしても慣性の法則は見事な理

で，これ以上の説明は省くことにしたい．とにか

想化を含む美しい法則であった．またコペルニク

く，さらに 10 年近くたって軌道の半径の 3 乗と

スの転回は太陽系を大づかみにするような美しい

公転周期の 2 乗の比がすべての惑星について同じ

理論であった．さらにケプラーの法則は惑星の運

値になるという第 3 法則が発見されたのは 1619

動を見事に捉える美しい法則であった．これらの

年であった．

例は，美しい理論という捉えにくい概念をいくら

ケプラーが若いときに考えた秩序ある宇宙の姿

かわかりやすくしてくれる例であったと思う．

は，プラトンの 5 つの正多面体とこれらに内接す

最近の例を少し考えよう．アインシュタインの

る球とが一つの中心の周りに積み重なった幾何学

特殊相対性理論は美しい理論である．これは光の

的構成のものであった．そして晩年に彼が到達し

速度が観測者や光源の速度に無関係にいつも一定

た秩序ある太陽系の姿は，(1) 惑星の軌道は太陽

なものとして観測されるという事実だけを手がか

を一方の焦点とする楕円である，(2) 太陽と惑星

りにして，観測者の速度と時間・空間の関係を明

を結ぶ直線が単位時間に掃過する面積は一定であ

らかにし，ニュートンの運動法則を改変し，物質

る，(3) 軌道半径の 3 乗と公転周期の 2 乗の比は

とエネルギーの関係を明らかにした．ローレンツ

すべての惑星について同じである，という数学的

変換はローレンツとポアンカレによっても提案さ

な 3 法則（ケプラーの法則）であった．これらの

れていたのであるが，アインシュタインは時間・

法則の形は，初めに彼が望んでいた幾何学的な秩

空間に対する考え方を光速度不変の原理に合わせ

序とは大きく離れたものである．彼はこのことに

て変えることによって疑う余地のないものにした

どのような感慨をもったであろうか．ことに第 3

のであった．アインシュタインが出てきて，すべ

法則は彼の期待したものと大きく違っていたかも

てが明らかになった，と言いたいところである．

しれないが，宇宙の調和に対する偏執的とも言え

一般相対性理論が，重力と加速度の同等性（等

るとり組み方に対して自然は不思議な対応をみせ

価原理）だけを手がかりにして，宇宙に対する考

たとも言えるだろう．

え方を一新したことも周知の通りである．これも

116 第 3 編 物理学とは何か

ほとんどアインシュタイン一人によって完成され

だと思います．もし観測結果に合わなくても，

た美しい理論であった．

あまり心配しないほうがいい．少し待って観

そのアインシュタインは自然の美についてどの ように考えていたであろうか．アインシュタイン の言葉： 学問の探求，そして一般に真理と美の追求 は，われわれが生涯子供のままでいることを 許してくれる分野である． 世界についての永遠の謎は世界が理解でき るということです．

測の間違いでないことを確かめたほうがいい． さらに「どのようにして理論の中に美をみつける のですか」という問に答えて—— それはね——それはあなたが感じとるので す．ちょうど絵や音楽のなかの美のように． それが何であるかということはできないかも しれません．けれど，何かがある——でも，も し何も感じられなかったら，あなたに感じる

以上は佐藤勝彦著『相対性理論』 （岩波書店，1996）

力がないことを認めるほかないでしょう．誰

による．

もそれをあなたに説明できる人はいません．

アインシュタインにとって自然は神とほとんど

もし誰かが音楽の美を感じないとしても，あ

同一であったらしい．彼は次のように言っている：

なたに何ができるでしょう？ あきらめるんで

神様は老獪である．しかし悪意があるので はない． これはアブラハム・パイス著『神は老獪にして（Sub-

tle is the Lord…）—アインシュタインの人と学問』 （産業図書，1987）にある言葉である． 理論の美しさについてディラック（相対論的量 子力学を始めた人）はもっとはっきり述べている． これについては確かなもとの出典を知っていない のであるが，引用させてもらうことにしたい： 公式は美しいことが第一だ．実験に合うか どうかは二の次だ． 自分の式を美しくしようという観点から努 力すれば ——健全な洞察力があればの話だが

——きっと進歩が得られるだろう． 私は〈美しい〉理論を創ることが最も大切

すね．私はアインシュタインの生誕百年のお 祭りのとき，アインシュタインも似たような 考え方をしていた，と知りました． これは H.F. ジャドソン著： 『科学と創造—科学者 はどう考えるか』 （培風館，1983）からの引用で ある． すべての理論は次にやってくる理論によって超 えられる運命にある．それでも我々は新たな理論 を，より美しい理論を創ろうと努力する．ディラッ クはすべての理論を近似的，暫定的なものと考え ていた．彼の言葉として次の言葉を引用しよう． 自然法則は近似である，しかし近似の使 い方と限度は全くとらえ難い（A. Szanton:

The Recollections of Eugene P. Wigner, Plenum, 1992）．

第 4 章 哲学

117

第5章 歴史 （地球の年齢）

1. 歴史的事件

能な事柄にも自信をもって科学理論を押し進めよ うとしている．これが成功するか否かという点は

物理学の勉強を始めるときには，力の釣り合い

議論の分かれるところであるが，このような自然

条件などを扱う静力学から入るのがふつうである

科学の変遷は自然科学自身が歴史の産物であるこ

が，物理学の多くの対象は時間的に経過する現象

とを反省させるものである．

である．そして歴史と違って自然科学で扱うのは

それはさておき，科学自身が「自然界の歴史」と

実験や観察によって繰り返し経験できる現象に限

大きく関わった有名な事件がいくつかあった．そ

られるとするのがふつうである．そしてこれは自

の一つは地球の年齢の問題である．

然科学が客観的であるための必要条件であるかの ように言われることさえある．

2. 地球の年齢

しかし考えてみると，物理学を専門としない人

19 世紀末になっても，地球の年齢を推定する物

も含めた大多数の人たちにとって科学的に最も興

理的な方法はまったく見つかっていなかった．そ

味深い関心事は「宇宙はどのようにして，いつ生

の頃の手掛りは地質調査による方法がほとんど唯

まれたのだろうか」というような，繰り返し再現

一のもので， 「地層が堆積していると思われるとこ

することはおろか，経験することもできない事柄

ろでは，下の地層は古く，上の地層は新しいに違い

が少なくない． 「生命はどのようにして生まれたの

ない」というようなことであったらしい．そして

だろうか」という問に答えることも物理的視野に

神が天地を創造してから高々数千年程度しか経っ

入ってきている現在では，いわゆる繰り返し経験

ていないと思われていたので，ヒマラヤの高い山

できない歴史的な事件も物理学の対象から締め出

地で貝の化石が発見されたりすると，それを説明

すことができないことがあると思わなければなら

することもできなかったという話である．

ない．物理学は宇宙や生命の始まりのような歴史

太陽や地球の年齢を物理の理論で初めて推定した

的事件を対象にすることができるまで成長してき

のはイギリスのウイリアム・トムソン（W. Thom-

たと言うこともできる．

son，後のケルビン卿（Lord Kelvin）1824–1907）

ギリシャ時代には自然に秩序があることを前提

であった．現在では太陽や地球内部のエネルギー

にして自然現象を理解しようとした．この立場を

源は主に原子核エネルギーであることが知られて

越えて近代自然科学が生まれた時代には，何より

いるが，これを知らなかったトムソンは，太陽熱

も事実を重んじる実証的立場がとられた．そして

の起源として重力によって太陽が収縮することに

自然科学の成功により今や我々は繰り返しの不可

よって位置エネルギーが熱に変わる現象を考え，

1854 年頃に太陽の年齢は 5 億年以下であると算

年齢を短く見積もったが，それは新しい熱源が発

定した．これは現在認められている太陽の年齢（約

見されなければの話である」と述べた．これを聞

50 億年）に比べて 1/10 程度である．

いたケルビン卿はラザフォードを見て微笑んだそ

またトムソンは，初め火の玉であった地球が冷 却して今の地球になったと考え，これに冷却の法

うである．ケルビン卿は放射能についても関心を もっていた．

則を適用し，現在の地球表面近くの温度勾配から，

ラザフォードは放射能の研究から物質の中に潜

地球の年齢が数千万年程度であろうと推定した．

む巨大なエネルギーは人類に大きな至福をもたら

地質学者や生物学者にとってこれは短かすぎる値

す可能性もあるが，人類を一瞬に破滅させる恐れ

であったが，トムソンがあまりにも高名な物理学

もあることを警告している．

者であったために，トムソンの説に合うように学

放射能の測定などによって地球の年齢（現在で

説を修正しようとする人もあったそうである．ト

は 46 億年と推定されている）や埋蔵物の時代を推

ムソンは当時のイギリスではニュートン以来の大

定する技術は 20 世紀後半に著しい進歩を遂げた．

物理学者と称せられていた．

これによって考古学的な研究も著しく進み，我々

19 世紀末から 20 世紀初めにかけては物理学に

が知っている「歴史」あるいは「時間」も過去へ

おける新しい発見が目白押しに現れた時期であっ

大きく広がった．それと同時に地球や宇宙の未来

た．電磁波の実験的証明（ヘルツ，1888） ，X 線の

に関する予測的な科学も確実性を増やしているわ

発見（レントゲン，1895） ，放射能の発見（ベクレ

けである．

ル，1896） ，電子の発見（J.J. トムソン，1897） ，量 子論（プランク，1900） ，原子崩壊説（ラザフォー

3. 宇宙の歴史

ド，1902） ，特殊相対性理論（アインシュタイン，

ニュートンは太陽系内の惑星の運動を説明する

1905），一般相対性理論（アインシュタイン，1915）

ため万有引力の法則を導入した．この万有引力に

と相つぐ新発見があった．この時期に物理学は古

よって太陽と惑星が互いに引き合っているにも関

典物理学から 20 世紀の物理学の世界へと脱皮し

わらず惑星が太陽へ落下してしまわないのは，惑

たわけで，古典物理学を最後まで信奉した大物理

星に働く遠心力のためであるということができる．

学者 W. トムソンはこの忙しい時代の変革を目に

それなら宇宙における万有引力はどうなのであろ

したのであった．

うか．宇宙にある物質が互いに引き合ってくっつ

1896 年にベクレル（Becquerel）がウラニウム

いてしまわないためには遠心力がなければならな

の放射能を発見して間もなく，ラジウムがいつで

いが，遠心力を起こすような銀河全体の回転運動

も周囲より暖かいことが見出され，ラザフォード

があるわけである．

（Rutherford）は放射能が出す熱量を詳しく測定し

また，万有引力は距離の 2 乗に反比例するが，

た．そして彼は，もしも地球の物質が重さで 22 兆

もしも宇宙の星が一様に散らばっているとすると，

分の 1 のラジウムを含んでいれば，熱伝導によっ

一つの星から距離 r にある他の星の数は r 2 に比

て地表から失われる熱量と同量の熱が発生するで

例するから，星はあらゆる方向から無限に大きな

あろうと推算し，放射能の出す熱のため地球の年

力で引かれている不安定な状況にあることになる

齢はケルビン卿（W. トムソン）が推定した値より

（これをゼーリーガーのパラドックスと言う．同じ

も相当長いであろうと述べた．ラザフォードがこ

ような理由で夜空も昼の空も無限に明るいことに

れについて講演したとき，彼は聴衆の中にケルビ

なるというのはオルバースのパラドックスとして

ン卿がいるのを発見し，見解を異にしている地球

有名である）．

の年齢について論じると面倒になりそうだと思っ

宇宙に関する上の 2 つの疑問は宇宙が膨張しつ

た．そこでラザフォードは「ケルビン卿は地球の

つあるというハッブル（H. Hubble）の発見（1929） 第 5 章 歴史

119

と宇宙が有限の過去に始まったという説（ビッグ

が，その間によくも数多くの種類の生物ができた

バン説）によって解消した．有限の過去以前には

ものだと感心する．しかもその多くはすでに滅亡

宇宙は存在していなかった．そしてある時期に突

してしまったということである．生物の進化と滅

然きわめて小さな宇宙が大爆発によって出現し，

亡の歴史は不明なことだらけである．恐竜の絶滅

その後は膨張を続けて現在に至っているというの

の原因については多くの説があるらしい．巨大な

がこの説である．この説によれば宇宙は有限の広

隕石が地球に衝突したために生じた気象などの変

さをもち，その中に含まれるエネルギーも有限で

動が原因とする説が有力とされているが，その他

あって，オルバースのパラドックスもゼーリーガー

の説もいくつか聞いたことがある．古生物は残さ

のパラドックスも起こらない．我々が望遠鏡など

れたものが化石など比較的少数に限られていて研

で観測する遠方の銀河からの光はある過去の時点

究に困難がつきまとうであろうが，最近は遺伝子

においてその銀河を出発した光であり，観測され

DNA の解読も進んでいるので進化の系統も解明

るものはその過去におけるその銀河の姿である．

が期待される．

この意味で天文学（宇宙物理学）は宇宙の考古学， あるいは歴史学となったのである．

我々の一番近くにあって，しかも探求が難しい ものに地球内部の物理学的研究がある．これは直

宇宙はビッグバンによって百数十億年前に創世

接触れにくい対象であるという点で宇宙の探究よ

され，現在ある物質の大きな部分もその後間もな

り困難であるとさえ思われる．地面を掘って直接

く作られた．星の内部における核融合によって鉄

調べられる範囲は高々数千メートルの深さまでに

などの重い元素が作られ，さらにいわゆる超新星

限られる．地球内部には電波なども通らないから，

の爆発によってもっと重い元素が作られたらしい．

内部の様子は地震波による偶発的で間接的な情報

こうして星の中で起こる原子核反応は比較的安定

によって推測するより仕方がない．しかし最近は

な元素である鉄のところで一つの段階を終える．

地球を貫通するニュートリノの研究が進み，また

生物の体内で必要な酸素を運ぶ役目をするヘモグ

宇宙を飛びまわっていると思われる重力波も観測

ロビンの中の重要な原子である鉄はこうして星の

されるようになれば地球内部の新しい観測技術が

中で創られたのであった．これがなかったら生物

開かれるものと期待される．

の創世もなかった（であろう）ことを思うと，宇

地球の表面近くの現象は我々の住んでいる環境

宙の歴史の不思議さに改めて深い感慨を覚える．

に関係するものとして強力な研究が望まれる．気 象現象の研究については航空機の発達，気象衛星

4. 地球の歴史

の進歩などによって 20 世紀後半に大きな進歩が

地球ができたのは約 46 億年前だったと言われ

あった．また電磁波を用いたハイテクによる空気

ている．太陽系の中の塵や岩石などが重力によっ

の流れや気象の細かく広範囲な測定技術の発達が

て引き合い衝突し合って発熱し，高温になって融

期待される．

けて地球が生じたのであろう．生物が存在したと

20 世紀全体としてみると地球科学の研究は相当

思われる痕跡は 30 億年以上前にさかのぼるらし

著しい発展があった．これを貫くテーマとして大

い．ほとんどすべての生物に必要な酸素がずっと

陸移動説からプレートテクトニクス理論への発展

後になって地表に現れ，約 10 億年前には大気中

がある．

の酸素が急増して，大気上層部にオゾン層が形成

大陸移動説を熱心に唱えたのはドイツの気象学

されると太陽からの強い紫外線が吸収されるよう

者，地球物理学者であったウェーゲナー（A.L. We-

になって陸上の生物が出現できるようになったの

gener，1880–1930）である．1906 年に彼は気象

9

であった．10 億年は 10 年であるから数字とし

学者であった兄と自由気球の長時間滞空世界新記

てみるとそれほど大きくはないようにも思われる

録（52 時間半）をつくっている．彼が大陸移動説

120 第 3 編 物理学とは何か

した．戦争が終わると彼はこれを書き直して 1920 年に第 2 版，1921 年には第 3 版，1929 年には 第 4 版を出版し，これがウェーゲナー自身によっ て書き直された最後の版になった．1924 年に彼 はオーストリアのグラーツ大学の教授になったが，

1930 年に隊長としてグリーンランドへ渡って，そ 図 3.5

ウェーゲナーによる始新世の大陸．比較 のため今日の大陸の輪郭や川が書き込ん である．ウェーゲナー著『大陸と海洋の起 源』上 p.52（岩波文庫，1981）．

こで遭難して亡くなった．1933 年にはヒトラーが ドイツの政権をとっている．ウェーゲナーが活躍 した時代はおよそ第 1 次世界大戦と第 2 次世界 大戦の間の約 20 年間であったわけである．彼の 主著『大陸と海洋の起源—大陸移動説』 （上，下）

を初めて思いついたのは 1910 年のことであった．

は岩波文庫で読むことができる．巻末には訳者に

世界地図を見て，大西洋の両岸の海岸線の凹凸が

よる丁寧な解説がある．

よく一致するのに気づいたのである．このとき彼

ウェーゲナーは本，論文，書評を含めて 170 篇

はこれを偶然のことと思ったらしいが，翌年の秋

の著述があると言う．その中の 100 篇以上は気象

に読んだ総合報告で，昔ブラジルとアフリカの間

学に関するもので，第 4 版まで発行された『大陸

に陸地のつながりがあったことを示す古生物上の

と海洋の起源』を除いては大陸移動説に関する論

証拠があるのを初めて知った．そこで彼は地質学

文は全部で約 10 篇あるにすぎないそうである．

と古生物学の研究を調べ，大昔にブラジルの東海

1950 年代になって岩石磁気の研究（古磁気学）

岸とアフリカの西海岸がつながっていたに違いな

が進み，地質時代の地球の極の位置や大陸移動な

いと確信するようになった．

どが詳しく論じられるようになった．地殻の下は

遠く離れた 2 つの大陸に同一種の化石が見出さ

マントルと呼ばれるが，マントル中には熱流動が

れ，また現在の生物の中にも同一の属や科に属す

存在する．地球表面は 10 個ほどの板（プレート）

るものがあることはウェーゲナー以前にも知られ

が組み合わさってできており，マントル流動につ

ていたが，これらの大陸の間にはかつて陸地のつ

れて相互に移動する．これによって地殻変動，地

ながり（陸橋）があったというのが当時の学説で

震，火山現象などが起こると考えられる．これを

あった．その時代には地球は冷却して縮み（地球

プレートテクトニクス理論と言う．1960 年以後に

収縮説），それにつれて大陸の一部が海中に沈ん

盛んになった理論である．ウェーゲナーの大陸移

で深海底になったと考えられていたが，ウェーゲ

動説は具体的には多くの誤りを含んでいたが，そ

ナーはアイソスタシーの原理に反するとしてこの

の復活として現在のプレートテクトニクス理論が

考えに反対した．

生まれたということができる．

大陸をつくる物質（これをウェーゲナーはシア

このような地球物理学の進歩には，将来の物理

ルと呼んだ）は主としてカコウ岩やヘンマ岩であっ

学の進むべき方向の一つを見ることができる．物

て，深海底をつくる物質（シマと呼んだ）よりも

理学だけに限らないが，今の科学は工業と結びつ

軽い．軽い大陸は重いシマの上に浮かんでいると

いて地球上に公害をはびこらして，地球をひどく

いうのがアイソスタシーの説である．

痛めつけてしまっている．これからはもっと地球

1912 年にウェーゲナーは彼が考えた大陸移動

を大切にしなければならないが，そのためには地

説を地質学協会で発表したが，第 1 次世界大戦

球科学の研究に熱心に取り組まなければならない

（1914–1918）に召集されたが負傷し，その休養中

と思う．

に『大陸と海洋の起源』を書いて 1915 年に出版 第 5 章 歴史

121

在は無限に短いから存在しない．したがって時間

5. 歴史と時間

は存在しないことになる．しかしこう考えるのは

漱石の『草枕』の初めの部分にシェレーの詩が 引用されている．これは

誤りであるに違いない． 人間的な時間はこれとも異なり，ある幅をもっ

しり

「前を見ては，後へを見ては， 物欲しと，あこがるるかなわれ．…」 で始まる．

たものであるらしい．日本人の日常の時間は日本 の歴史の流れの中にあり，ほんの一部かもしれな いが日本の未来にもつながる時間である（ベルグ

多くの生物の中にあって，今を考え，過去を思

ソンによれば人間は未来をつくる）．エジプトの

い，未来を恐れることができるのは人間だけであ

人はエジプトの，インカの人はインカの文化を背

る．そのため無いものを欲しがって争いを起こす

負ってきて，それはそれぞれの時間を背負ってい

のも人間だけで，そこから軍備競争や戦争が生じ

る．いわば世界はそれぞれの人がそれぞれの時間

る．その割りに過去から学ぼうとしないのも人間

をもつ「多時間世界」であり，文化の違いのため

である．

に他文化の人は理解しにくいということが絶えず

さて，歴史は過去のものである．現在に残され

起こるのも仕方がない．

たものから未来を予想しようとするのがふつうの

スペインの軍隊が南米のペルー辺りに侵攻する

科学ならば，宇宙や地球などの過去を推測しようと

以前にはスペイン人はスペインに，インカ人はイ

するのは，いわゆる逆問題の一種である．ニュー

ンカの地に住んでいて，その間に何の争いもなかっ

トン力学は時間的に可逆だから順問題と逆問題は

た．その当時はスペイン人はスペイン人の時間の

同等であり，無限にすぐれた知能（ラプラスのデ

中で，インカ人はインカ人の時間の中で，互いに関

モン（魔） ）は現在の情況から過去も未来もすべて

係なく過ごしていたのである．それが現在ではそ

知ることができる．しかし熱が高温から低温へ流

うはいかなくなってきている．今では異なる時間

れるような現象は自然に逆行しない非可逆現象で，

をもった人たちが別々の時間，別々の考え方をも

世界の至る所で非可逆現象が起こっている．

ちながら頻繁に接して生活しなければならない世

放置された物体の温度が一様になる現象を考え

の中である．もしかすると，天まで届けと建設に

てもわかるように，現在の状況から過去の様子を

とり組んだ多数の人の間で，言葉が通じなくなっ

推測しようとしてもそれには限度がある．未来の

たために塔が崩壊してしまったと言われているバ

ことはわからないが，過去のことならわかってい

ベルの塔の神話どおり，この世界も破滅するので

るというのは誤りであって，過去もさかのぼるに

はないかと心配になる．それほど，今の世界は危

つれてわからなくなるわけである．したがって現

うさに満ちているように感じられるのである．

在から遠ざかるにつれて，未来も過去もぼやけて

それというのも世界中が，違った文化，異なる

くるのが一般である．過去にこだわる争いごとの

時間，違った倫理観をもった人びとで満たされ，さ

場合などに対しては，これは救いともなる自然の

らに航空機などの高速交通機関と高速の情報交換

摂理であるかもしれない．すべてを記憶するコン

によって時間と空間が物理的に圧縮され，人口過

ピュータが支配する世の中でなく，適当に忘却さ

剰のためパンク寸前の社会になっている．それに

れていくアナログの世界のほうがシェレーの詩に

加えてグローバリゼーションという流行病におか

対する慰めになるであろう．

されているのは情ないことである．

考えてみると，時間というものは物理学的にも

半導体エレクトロニクスではずいぶん細かい技

哲学的にも不思議なものである．過去は過ぎ去っ

術が進んでナノ（10−9 ）テクノロジーなどと呼ば

たものであるから存在しない．未来はこれからく

れている．時間についてもナノセカンドを単位と

るものであるから存在しない．その間にあって現

する実験技術に感心させられる．しかし長い時間

122 第 3 編 物理学とは何か

を単位とする技術の進歩は遅すぎるような気がす

率のことなどを言ってはならないのだよ」とあると

る．これはたとえば森林や水産物を保護し育てる

き（確率論的な量子論がきらいだった）アインシュ

計画，長期にわたる都市計画，人口・福祉・教育な

タインが言ったという話である（『The Recollec-

どに関する種々の問題で，その方面の知識はあま

tions of Eugene P. Wigner as Told to Andrew

りないのであるが，いずれも 1 世代 30 年程度を

Szanton』（Plenum, 1992））．

大きく越えて，それこそ百年の計，あるいはもっ

しかし，意識をもった観察者のいない宇宙につ

と大きく国や世界の長期的な計画を立てるような

いて議論するのは意味がないという実証主義の立

科学的方法の発展が望まれる．こういう事柄は元

場では「宇宙はある時期に意識をもつ生物が生じ

来しかるべきところで科学的に研究しなければな

るようなものでなければならない」ということに

らないのであるが，人間はそこまで知的に成熟し

なる．言いかえれば「人間の存在を待って宇宙は

ていない段階にあるのであろう．人間の文化はそ

初めて成立することになる」と言えるだろう．こ

の成熟を見るまで長らえることができるであろう

のような考えを「人間原理」と言う．これは天文

か，というのも一つの歴史的関心事である．

学者プランドン・カーターによって最初に述べら

「人間のいのちは有限で，時間は無限大だ．だか ら私がここにいる確率はゼロである．それなのに

れたものである（ポール・ディヴィス『神と新し い物理学』 （岩波書店，1994））．

私が生きているのはなぜだろう．… だからね．確

コモ湖の思い出 イタリア北部，アルプス山脈の南麓にコモ湖とい

の数値計算をした物理学者のパスタも来た．日本か

う風光明媚な湖がある．1956 年頃に統計力学の会議

らは早稲田大学の斎藤信彦君が来ていて，一緒にコ

でそこへ行ったことがある．ミラノから電車に乗っ

モの町を散歩したりした．

たらその会議へ行く人でいっぱいであった．会議に

コモ湖はヴォルタの電池の発明で有名な Volta の

はオンサガー（Onsager） ，ウーレンベック（Uhlen-

住んでいたところで，会議の人たちと一緒にヴォル

beck），カークウッド（Kirkwood）など統計力学，液

タの邸を見にいった．湖に張り出したすてきな白亜

体理論などの大家が来ていた（その頃，私は統計力

の邸宅であった．会議の参加者の中にラム・シフト

学，液体理論を研究していた）．オンサガーは 1953

で有名なノーベル賞受賞者のラム（Lamb）がいて，

年に日本で開かれた国際会議（戦後初めて日本で開催

彼には記念にヴォルタの電池のコピーが送られた．

された）のときに知り合った仲だった．カークウッ

そのラムが当時研究していたのは分子の非線形振動

ドは液体論が専門で，表面張力の量子効果に関する

数の同位体効果を利用し，マイクロ波を使って分離

私の計算を知っていた．大きな体をした人で，湖水

するという研究であったと聞いた．

へ飛び込んで泳いでいた．ウーレンベックは細身の

この会議中にたまたまコモ湖のお祭りがあって夜

貴公子然とした人であった．オンサガーは私を見る

空にたくさんの花火が打ち上げられ，私たちは船に

たびに手まねきするなつっこい人だった．日本から

乗ってそれを見物した．説明によると，昔コモ湖の

は東大の小野周君が来ていて，会議が終った日に一

近くで戦争があり，ミラノの軍が勝ったことを市民

緒に船で湖の対岸へ渡ってみた．

に知らせる花火が上げられたのがこのお祭りの起源

1973 年頃に再びコモ湖へ行った．このときはソリ トン関係の会議で J. Ford, Kruskal などが集まった．

だったということだった．会議の主催者はこれに合 わせて学術会議の日どりを決めたのだろう．

非線形格子のパイオニア的研究 Fermi–Pasta–Ulam 第 5 章 歴史

123

第6章 技術 （科学と技術）

1. ギリシャ時代の技術

ていて，それが絶えず戦争を繰り返していたこと である．そのためにギリシャが衰えたところにア

科学の研究には種々の機械，器具が使われ，機

レキサンダー大王（紀元前 356–323）がマケドニ

械，器具の改良，発明には科学で得られた知識や

アから出てきて，ギリシャ世界を統一し拡大した

技術が使われる．こうして科学と技術は互いに関

が，大王が死ぬとその領土はいくつかの帝国に分

連しながら発展してきた．科学の理論，予言を確

かれ，エジプトに作られた都市のアレキサンドリ

かめるために高度の技術が要求される．こうして

アがしばらく商業と学術の中心になった．

理論と技術との間にはニワトリと卵の間のような

アレキサンドリア時代のヘロン（Heron，紀元前

関係がある．エジプトの大ピラミッドを建てると

100 年頃）はいろいろな機械の考案を記述したもの

きには，てこや坂道のような簡単な技術しか用い

を残している．その中には車の回転を機械じかけ

られなかったらしい．車輪のついた荷車がシリア

で数えて距離を測る装置や祭壇に火を供えると開

などに現れた紀元前 3000 年の頃には，帆のあるエ

く寺院の扉とか，蒸気を噴き出すことによって回

ジプトの舟が地中海を航行していたということで

る一種の反動タービンなどいろいろのものがある．

ある．製鉄の技術が広まったのは紀元前 1100 年

ヘロンのこのような装置は実用的な目的よりもむし

以後で，これによって農具などが発達し生活は著

ろ遊戯的なものであったらしい（ヘロンの名は 3 角

しく向上した．

形の辺の長さ a，b，c とその面積 S との間の関係を

こうして技術上の進歩はあったが，学問的な進 展はほとんどまったくなかった．たとえば紀元前

表すヘロンの公式 S =



s(s − a)(s − b)(s − c)

（ただし s = (a + b + c)/2）でも知られている）．

6 世紀頃のギリシャのアテネでは輸出用の陶器が

直角 3 角形に関するピタゴラスの定理（c2 =

成形，紋様描き，窯焼きをそれぞれ専門とする奴隷

a2 + b2 ）はピタゴラス（紀元前 570–497 頃）か，

によって作られていた．重労働にも奴隷を使うほ

その学派の誰か，あるいはエジプトの石工か測量

うが機械を設計して組み立てるよりも簡単で安上

士などによって経験的に発見されたものかもしれ

がりである．手の仕事もそれを監督する仕事も奴

ない．ユークリッドの幾何は多くの人の間で知ら

隷の役目だったので上の階級の市民から蔑視され

れた幾何学の集大成に違いないと思われる．幾何

た．そのため支配階級は技術に無関心であり，技

学（geometry）の geo はもともと土地のことであ

術をもった奴隷は技術の改良をする時間ももたな

り，metry は測ることを意味する．ギリシャの数

かった．この時期の技術の進歩をはばんだ第 2 の

学者の功績は素晴らしいが，技術的な経験から発

原因は，地中海世界が多数の小都市国家に分かれ

見された幾何学の知識はユークリッド幾何学の理

論に先んじていたに違いない．このように技術的

641 年であった．ローマ文明はその後に数世紀も

な知識が理論に先んじる場合と，理論的考察が技

栄えたが，ローマ人は理論的な科学にこれといっ

術的応用をひらく場合とがある．

た特別の関心をもたなかった．しかしローマは建

いわゆるギリシャ時代に，機械技術上の問題 を理論的に考察した人としてはアルキメデス （Archimedes，紀元前 287–212）が挙げられる． 彼はあらゆる時代を通じて最大の数学者の一人で

築や土木工事などにおいて驚嘆に価する技術的な 達成を示している．

2. 望遠鏡の発達

あり，ガリレイやニュートンと比べられる偉大な

理論的な考察が技術的な発明につながった例と

学者であったと言えるだろう．彼が発見したてこ

して，ニュートンによる反射望遠鏡の発明がある．

の原理や浮力の原理は有名であるが，彼の名を付

レンズの組合せで作られる望遠鏡は，1608 年に

けられている螺旋ポンプも発明したらしい．その

オランダの眼鏡職人リパーシェイによって偶然発

他にも純粋に数学的な仕事でも知られている．た

明された（複式顕微鏡は 1590 年にヤンセン父子

とえば微積分学の前身である求積法で放物線とそ

によって発明されている）．ガリレイはこれを改

の弦で作られた図形の面積を求めている．また π

良して月や太陽の表面，木星，土星などを観測し，

の計算，螺旋などの曲線，球や円柱などの研究も

月の山や太陽の黒点，木星の衛星などを発見した．

していて，その後の数学に大きな影響を与えてい

ケプラーも望遠鏡を改良している．これらはレン

る．試みに『数学辞典』（岩波書店）の索引を見

ズを組み合わせた屈折望遠鏡であって，その欠点

ればアルキメデスの名の付けられた項目が多いの

は色によって光の屈折率が違うために色収差がひ

に驚かされる．たとえばアルキメデスの螺旋とは

どく起こることである．色収差をおさえて倍率を

r = aθ で表されるスパイラル状の曲線で，これ

大きくするためには望遠鏡は細く長い形になって，

と θ = θ1 および θ = θ2 によって囲まれる面積は

視野が狭く暗いものになり，レンズを大きくすれ

a

2

(θ23

− θ13 )/6

(θ2 > θ1 ) であることをアルキメ

デスは発見している．

ば色収差は大きくなり，望遠鏡は重くて扱いにく いものになる．

アルキメデスは当時のギリシャの植民地であっ

ニュートンは光の色収差をプリズムやレンズを

たシラクサ（イタリア半島の先端にある島）の王

用いて研究し，屈折望遠鏡では色収差が除きにく

の庇護を受けていたが，ここがローマ軍に攻めら

いことを知り，反射鏡を用いた反射望遠鏡を作り

れたときには，防衛のためにいろいろ軍事的な機

上げた（1688 頃）．彼は自分でガラスを磨いて高

械を発明してローマ軍を悩ましたと言う．伝説に

精度の凹面鏡を作ったのである．その倍率は約 40

よれば彼はそれまでなかったような強力な投石機

倍であった．ニュートンはこの発明の功績によっ

やローマの軍艦をぶち壊す巨大なクレーンを発明

て王立協会の会員になることができた．

し，また鏡によって太陽の火を集めてローマ軍の

望遠鏡は航海用の機器として活用されて，天文

船を焼きはらったと言われている．しかし遂にシ

表，時計（クロノメーター）などの改良と共に航

ラクサは落城し，アルキメデスは無知なローマ兵

海術に大きな貢献をした．

のために殺された．そのときアルキメデスは地面

ドイツ生まれの天文学者ウィリアム・ハーシェ

に図面を描いて思索にふけっていたが，乱入した

ル（1738–1822）は天王星の発見（1781）でも有名

ローマ兵が図面を踏み消そうとしたので「図面を

であるが，当時としては大型の反射望遠鏡を作っ

消すな」と言い，切り殺されたと伝えられている．

て天文観測を行い，2500 の星雲，800 の 2 重星を

やがてギリシャはローマに併合（紀元前 146）さ

発見，宇宙の構造を研究した．その子ジョン・ハー

れ，アカデミアも紀元 529 年に閉ざされた．アレ

シェルはアフリカのケープタウンに口径 18 インチ

キサンドリアがアラビア人の手に落ちたのは紀元

の反射望遠鏡を作って南半球の空を探索した．こ 第 6 章 技術

125

の頃から次第に大型の望遠鏡の建設が競い合うよ

恵が求められる．そのように制限した場合に天文

うになってきたらしい．

学が萎縮してしまうか，あるいは制限されること

米国で世界最大の望遠鏡ができたのは 1887 年

によってさらに深い学問へと変身することができ

カリフォルニア大学に寄付で作られたリック天文

るだろうかという議論が必要であるような気がす

台の口径 90 センチの屈折望遠鏡である．1897 年

る．これは天文学に限らず，ビッグサイエンスに

にはシカゴ北方のヤーキス天文台の口径 1 メート

なる可能性のある分野，たとえば高エネルギー物

ルの屈折望遠鏡が完成した．屈折望遠鏡としては

理学，すなわち加速器の分野，あるいは宇宙のテ

現在でも世界で第 1 と第 2 の口径であると言う．

クノロジー，あるいは逆に小さな世界のナノテク

ヤーキス天文台を寄付したのはシカゴの市街電車

ノロジーなどのすべてについて言えることである．

事業者のヤーキスという人であった． ロサンゼルス郊外のウィルソン山に，カーネギー

3. パラドックス

財団の寄付によって口径 1.5 メートルの反射望遠

物理学にはいくつかの大きなパラドックスがあ

鏡が 1903 年に，ついで 1917 年には地元の事業家

る．その一つは宇宙と素粒子に関するものであっ

フッカーの寄付で口径 2.5 メートルの反射望遠鏡

て，物理学で考える最も巨大なもの，すなわち宇

が作られた．これらは米国の好景気と寄付行為に

宙の始まり（ビッグバン）を考えることが，最も

よる望遠鏡建設ブームの一時期を特徴づけるもの

微小なもの，すなわち素粒子の研究につながると

である．ロックフェラー財団の寄付によって出発

いうパラドックスである．現在の物理学によれば，

し，第 2 次世界大戦を越えてパロマ天文台の口径 5

ビッグバン宇宙は微小で莫大なエネルギー密度の

メートルの反射望遠鏡が作られた．さらにキット

輻射場として始まったらしいが，そこから物質が

ピーク国立天文台が米国科学財団（NSF）によっ

生じる過程においていわゆる 4 つの力が分かれ，

て設立され，口径 4 メートルの反射望遠鏡などの

膨張する宇宙にほとんど無数の銀河が生じたとい

多くの装置が活動している．また最近はハワイの

う．このような不思議なシナリオが将来もそのま

マウナケア山頂には口径 8.2 メートルの「すばる」

まで語りつがれるとは思っていない人も多いので

反射望遠鏡をはじめ各国の大型望遠鏡が建設され，

はないだろうか．物理学的にはそう考えられると

宇宙空間には「ハッブル」宇宙望遠鏡がある．

言っても， 「とても本当と思えない」という人や，

地球上に置かれる光学望遠鏡は大きさが自ずか ら制限されるが，星から来る電波や X 線を捕える

あるいは将来，まったく違う理論が出てくること を望んでいる人もいるのではなかろうか．

電波望遠鏡や X 線望遠鏡としては，今後に大型のも

また，これもよく言われるパラドックスである

のが作られる可能性があり，大気圏外に地球規模を

が，物理学は物の理を探求していくというが，物理

越えた電波望遠鏡が作られるかもしれない．これ

学が進むにつれて自然は理解しにくいものになっ

らは望遠鏡と言っても光学望遠鏡とは違った形の

ていく．電子は単純な粒子と思われていたのが，

ものになるのも当然である．将来はさらにニュー

粒であり同時に波であるとか，光も波であると同

トリノ望遠鏡とか，重力波望遠鏡なども設立され

時に粒であるとか，訳のわからないことが真実で

るかもしれないし，月などの衛星や他の惑星も含

あるかのように言われている，と言う人も多い．

む超大型の天文台ができるかもしれない．

なぜ科学者はこんな奇妙な考えにとりつかれてい

財力と資源が許せば，天文学はさらに大きく膨

るのだろう．なぜ科学は常識からどんどん離れて

らむ可能性があるわけであるが，他方で，天文学の

いってしまうのだろう．これはよく尋ねられる疑

ような「絵空事」にうつつをぬかしていてよいほ

問である．

ど人類は幸福なのか，というような疑問が問われ るであろう．天文学をもっと安上がりに止める知 126 第 3 編 物理学とは何か

自然はなぜか常識的でないものを秘めている． 自然は，やさしそうに，いざなうように見えるけれ

ども，うわべとは違って理解できないモンスター

+

的な裏面を隠しているのかもしれない．一見とっ つきやすそうに見えながら本当は理解しようとす るにつれてますます常識的には理解しにくくなる というのはパラドックス的である． 第三に，科学技術の進歩は生活を便利にするは

D –

C

図 3.6

A

B

E

電子が粒子であることを示した J.J. トム ソンの陰極線真空管の一つ．

ずであるのに，実際には世の中をよくするのに役 立っているとは思えない，というパラドックスが ある．たとえば高速鉄道，通信技術などの発達は

きの陰極線の曲がり方から電子の電荷 e と質量 m

時間的な余裕を生むどころか，ますます世の中を

の比 e/m を算定した．これらによって電子がマ

忙しく駆り立てている．戦争は科学的兵器などの

イナスの電荷をもつ粒子であることが明らかにさ

発達の結果，ますます苛烈，陰惨なものになってい

れたのである．彼はまた個々の電子の電荷によっ

る．産業から出る廃棄物や消滅しないプラスチッ

て水滴が凝結することを用いて電子の電荷を求め

クなどによる汚染はとどまることを知らない害を

た（電子の電荷は後にミリカンの有名な実験で詳

及ぼしている．科学にはこのように理想と現実が

しく測られた）．

食い違っているパラドックスがある． すでに注意したことであるが，科学の実験には，

ウランなどから出る放射線はベックレルによって

1896 年に発見されているが，1902 年にラザフォー

たとえば微小な電子などの粒子や物質の微細な構

ドは放射線が原子の崩壊によって出るものである

造などを調べるには，巨大な粒子加速装置などの

という原子崩壊説を唱え，さらに 1909 年には α

大がかりな実験装置が必要である．小さな物を調

線（アルファ粒子）がヘリウムの核であることを

べるためにビッグサイエンスが必要になるという

実証している．これから α 線はラザフォードの研

のも一つのパラドックスである．

究に重要な役割を演じることになる．1911 年にラ

4. ラザフォードの時代

ザフォードは α 粒子を原子に当ててその散乱の様 子から原子の中心に小さな正の電気をもった原子

さて，望遠鏡の発達は 20 世紀初めのビッグサ

核があることを明らかにして，原子の構造模型を

イエンスであったが，20 世紀後半のビッグサイエ

発表した．さらに 1919 年には α 粒子で衝撃する

ンスの一つは粒子加速器の発達であったであろう．

ことによって窒素の原子から陽子を叩き出すこと

これは電子，原子と放射線の研究，そして原子核

ができることを発見している（原子の破壊実験）．

の研究へと進んだ原子物理学から生まれた．

その装置は研究室の工場で作ったものであり，手

原子核を発見し，原子核物理学を指導したのはラ

でもてるような大きさのものであった．

ザフォード（Ernest Rutherford Lord of Nelson,

J.J. トムソンやラザフォードの伝記を読み，そ

1871–1937）である．彼はニュージーランドで生

の中にある実験装置の写真などを見ると，当時の

まれ 1895 年に初めてイギリスにやってきた．キャ

実験器具が極めて簡単なものであることがわかる．

ベンディッシュ研究所の所長 J.J. トムソン（Sir

すでに述べたように電子の発見で J.J. トムソンが

Joseph J. Thomson, 1856–1940）の下で研究す

用いた装置は小さなブラウン管のような真空管で

るためである．

あって，筆者が高校のときに実験した装置や 1960

1897 年に J.J. トムソンは陰極線が粒子である

年頃の日本の高校の物理の教科書にも掲載されて

ことを確かめた（電子の発見） ．これに用いた装置

いたものとほとんど同じであった．筆者が大学生

はテレビのブラウン管のような真空管で，その陰

の頃に大学の実験室で見た実験装置も同程度のも

極から出た陰極線の流れに電場や磁場をかけたと

のであった．1930 年頃に日本の大学や高校にあっ 第 6 章 技術

127

た実験装置は J.J. トムソンやラザフォードの時代

1921 年にロシア人のピーター・カピッツァがラ

（1910 頃）のキャベンディッシュ研究所の実験装

ザフォードの所へ来た（1934 年までラザフォー

置とそう違わなかったわけである．ラザフォード

ドの下に留まり，彼に大きな影響を与えた）．カ

の伝記などを見るとそういう感慨が浮かぶ．また

ピッツァは電気工学の技術者でもあってその技術

これから戦後の物理学への大きな発展，粒子加速

を物理学の研究に応用する必要があることをラザ

器のビッグサイエンスへの急激な進展に驚嘆する

フォードに痛感させたと言う．ラザフォードはカ

のである．ラザフォードは元気旺盛で活動的な人

ピッツァのために 1000 分の 1 秒程度であるが強

だったそうであるが，実験装置について言えば，今

い磁場を発生する装置を作らせた．カピッツァの

のビッグサイエンスに比べてラザフォードの時代

影響もあって，ラザフォードも大型の装置を必要

はまだまだ牧歌時代のようにも思われる．

とする時代の招来に気づいたらしい． 「科学の進歩

ラザフォードは科学の歴史における最高の人物 の一人であろう．彼は原子核科学の父とも呼ばれ る．彼は原子が安定であるどころか，本質的な変 化を起こす可能性をもつという考えを打ち出した．

は新しい技術の開発とその科学研究への応用に負 うところが大きい」と述べている（1927）． ラザフォードは自然の α 線を使って原子核物理 学を開いたが，コックロフトとウォルトンは（ラザ

「彼は本来の実験家であって，彼の頭のなかではっ

フォードの指導の下で）人工的に加速した粒子を

きりとしたイメージを抱くことのできない概念を

使って，まったく違った規模の実験を行った．こ

含んだ理論は，どんなものでもなかなか信じよう

れは原子核変換の新時代への出発であった．それ

としなかった」 （アンドレード著，三輪光雄訳『ラ

から 1 年経つか経たないうちにアメリカでは E.O.

ザフォード』，河出書房，1967）．

ローレンスらが初めてのサイクロトロンを動かし

「ラザフォードは 2000，3000 ドルにも満たない 貧弱な寄せ集めの機械を駆使して，原子・原子核 時代の基礎となったいろいろな実験事実をいかに 総合理解すべきかをわれわれに示した」 （上記『ラ ザフォード』）．

始めた．その後，原子核物理学はビッグサイエン スへの道を急速に歩み始めたのであった．

5. 科学の巨大化 ある統計によると，世界中の科学者の総数は 15

このアンドレードの『ラザフォード』にはラザ

年で 2 倍になるそうである．これは恐ろしい数字

フォードの言葉がいろいろ引用されていてたいへ

でもあるようであるが，身辺のことを考えてみる

ん面白く，また参考になる．少し孫引きさせてい

と，それほどおかしな数字でもないような気がす

ただこう．

る．もしもこれを本当とすると 2100/15  100 で

「われわれには金がない，だから考えなければな らない」

あるから，1 世紀（100 年）ごとに科学者の数は 約 100 倍になることになる．そしてたとえばラザ フォードが生まれた紀元 1870 年頃の科学者の数

「私は科学の研究はなるべく簡単な方法でやるべ

を 1 万人とすると，科学者の数は 1970 年に 100

きであると思います．ちょっと考えれば時間も

万人になり，2070 年には 1 億人に達することにな

金も節約できるのに立派な装置などを作るのは

る．そしてこのままで増え続ければ 22 世紀の科

無駄なことです」

学者の数は 100 億人を超えることになる．現在の

これは長岡半太郎先生の手紙「実験装置の簡素 なこととそれによって得た結果の素晴しさに感嘆 しました」に答えたラザフォードの返信である（訳 者のあとがきから）． 128 第 3 編 物理学とは何か

地球上の総人口は約 60 億であるから，このように 多くの科学者を養えるはずはない． 科学者の増加率は減少するのが当然である．も しかすると若い人の理科離れは「科学者少子化」の 前兆かもしれない．おそらく増加率の減少はこの

21 世紀に起こるだろう．もうすでに起こり始めて いるかもしれないが，他方で科学も技術も変わっ ていくと思う．

きい． 上に述べたのは主に物理に関係した機器であっ た．化学的，工学的な分野に関しても同様に多く

しかし考えてみれば，第 2 次世界大戦が終わっ

の発明や開発があったであろうし，最近では生物

てから 20 年ぐらいの間に日本人の生活環境は大き

や医学的な方面の開発，革新はむしろ物理的分野

く変化した．それは昭和 30 年代から 40 年代にか

よりもはるかに著しいと思われる．

けてのことである．テレビ，洗濯機，自動車，新幹

そしてこれらの開発にはすべて非常に多くの「科

線，航空機などが日常生活を大きく変え，その変

学者」あるいは「科学技術者」が携わっている．そ

化の勢いは今でも続いている，たとえば，住宅の

の数は年々増加していて，しかもいつでも不足し

多くはマンションになり，時計はクォーツになり，

ている．多くの研究室や医療の現場，あるいは工

デジタルになった．そろばんは電卓に置きかえら

場や建設，保全などの現場で働いている人たちの

れ，タイプライターはワープロに，そしてパソコ

努力はたいへんなものであると思う．その人たち

ンに変わった．鉱石ラジオはトランジスタのラジ

がもたなければならない科学的な知識も技術も責

オに，16 ミリの撮影機はビデオカメラになり，電

任も絶えず増大化していく．そして 15 年ごとに

話機は携帯電話に代わり，手紙は e メールになり，

数が倍増するという科学者が，この大きな技術者

フィルムを用いたカメラはデジタルカメラに変わ

集団のマジョリティを形成するわけである．ビッ

りつつある．その他に電気冷蔵庫，クーラー，エ

グサイエンスと呼ばれるものについても，この法

アコン，掃除機，電子レンジなどの導入，改良も

則が当てはまると思われるが，これについてはま

あった．身辺のものとして電池の改良の影響も大

た別の機会に述べることにしたい．

遠達作用と近接作用 ニュートンは万有引力が遠達作用であると考えた．

も言えるし，近接力であると見ることもできる．

これに対しアインシュタインの一般相対性理論によ

一つの自然現象を理解する見方は一つしかないと

れば万有引力は物質による時空のゆがみによるもの

考えるのはおかしい．たとえば数学でピタゴラスの

であり，これは時空を通して働く近接作用である．

定理（3 平方の定理）を証明する方法はいろいろあ

遠達作用と近接作用という 2 通りの考え方は共に物

る．物理でもそうで，物理現象を説明する方法はい

理学で広く用いられている．

くつもあるはずである．その上，現象を理解あるい

万有引力に限らず，静電気的なクーロン力もふつう

は説明する方法を自分で考えて独自の方法を考え出

は遠達力として考えられる．これに対し古典物理学

したとき，その人はその現象を本当に理解したこと

の弾性体論や流体力学では物質はきっちりとつまっ

になるということができる．理解するということは

ていて，力はその中を次々と伝わって行く近接作用

そういう厳しい創造である．たまたまそれが前人の

であると思われている．しかし弾性体も流体もすべ

知らないことであったときは，それは本当の創造や

て分子からできていて分子も原子も電子と原子核と

発明につながる．

からできている．そして電子と原子核はクーロン力

本書では電磁気学についてあまり触れなかったが，

によって結びついているが，クーロン力は遠達力で

電磁気学はアンペール，ファラデー，マクスウェル

ある．

などを経て完成された．最後にアインシュタインの

しかしファラデーが考えたようにクーロン力を電

特殊相対性理論によって時空の変換法則（ローレン

気力線で考えれば，電気力線を媒介として，近接力

ツ変換）が明らかにされ，電磁気学と力学が統一さ

であるということができる．

れたことも特筆すべき事柄であった．

結局，万有引力もクーロン力も，遠達力であると 第 6 章 技術

129

第7章 情報 （熱力学の基礎）

1. 情報量

た泥棒は 1 人だとする）．この人たちがみんな等 しい同じ度合いで疑わしいとする．ここで何人か

「情報」と言うと，何となく怪しい胡散臭いもの

の人にアリバイの情報が入り，疑わしい人の数が

を感じる人は，戦前と戦中にあった内閣情報局やア

P2 人に減ったとしよう．するとこのアリバイ情

メリカの CIA，諜報機関などを思い出すからかも

報の価値は P1 と P2 の比 P1 /P2 のある関数であ

しれない．もともと情報というのは必要な知識や

ると考えられるだろう．実際，情報量の定義によ

知らせのことである．テレビ番組で「気象情報」な

れば，このときのアリバイの情報量は

どと言うが，これは以前には天気予報と言っていた ものが「情報化時代」の影響で呼び方が変わったの

I = log2

P1 P2

(3.2)

だろう．天気予報と言ったほうが素直なように思

である（log2 は 2 を底とする対数．すなわち

われるが，予報と言ってはずれると具合が悪いから

P1 /P2 = 2I である）．情報量 I の単位はビッ

情報と言って責任をぼやかしているようでもある．

トと言う．このときのアリバイの情報量は I ビッ

最近は情報化時代ということをよく聞くが，情

トである．

報の数学的理論が始まったのは 1948 年で，アメリ

情報量を対数 log で定義するのは，情報の加法

カの電気工学者・数学者のシャノン（Shannon）が

などが意味をもつからである．たとえば上の譬え

その開拓者であった．情報理論は情報（informa-

話において，泥棒が入った日の不確かさが n1 日

tion），あるいは通信の量を定義し，情報の変換や

間であるとしよう．すると P1 の人のうちの誰か

伝送を数学的に扱うものである．この理論は通信

が，ある日に泥棒に入ったという不確かさは P1 n1

技術の急速な発展によりコンピュータなどの情報

となる．そしてアリバイと，宝石の存在を調べた

機械，情報処理，あるいは分子生物学などの新し

ときの情報から，疑わしい人の数は P2 人になり，

い科学に大きな影響を与えている．

泥棒に入った日が n2 日間にしぼられたとすると

情報は常に正しい知識をもたらすとは限らない が，ここでは情報を受けとることによってある事 柄の不確かさが減ると考えると，不確かさの減少 によって受けとった情報の量を定義できる．

不確かさは P2 n2 に減少する．この場合のアリバ イと宝石の存在の情報がもたらした情報量は

I = log2

P1 n1 P1 n1 = log2 + log2 (3.3) P2 n2 P2 n2

わかりやすい例として推理小説のような話を考

となる．アリバイと宝石の存在の有無は独立な

えよう．あるところに泥棒が入って宝石が盗まれ，

情報であって，それぞれの情報 log2 (P1 /P2 ) と

P1 人が犯人として疑われたという話にしよう（入っ

log2 (n1 /n2 ) を加えたものが全体の情報量となる．

これは情報量の定義として合理的なものである．

かさは V N に比例する．このように分子がすべて

なお，(3.2) は

log2

1 1 + I = log2 P1 P2

に比例するから，N 個の分子の位置に関する不確

(3.4)

と書ける．このように書いてみると，初めに我々が

log2 (1/P1 ) の理解度をもっていたところへ情報量 I の（アリバイ情報）を受けて理解度が log2 (1/P2 ) に増えたと解釈することができる．この解釈のほ

独立で体積 V のどこにあるかというアプリオリ （先験的）な確率が一様であるときの分子の配置の 不確かさ（可能性）は

P (V ) = V N

(3.5)

であり，その対数をとると

SV = k log P (V ) = N k log V

(3.6)

うがわかりやすいかもしれない． なお，情報量の定義で対数の底を 2 とするのは 計算機が 0 と 1 の 2 進法を用いるためである．不 確かさ P を 1/2 に減らす情報の情報量は 1 ビッ トである．言い換えると情報量 1 ビットを受けと るごとに不確かさ P は半分に減るわけである．た だしこれは理想的な場合で，一般には伝達の際の 誤りなどがあり得る．

となるが，これは気体のエントロピーと呼ばれる ものの体積に関係した部分である（k はボルツマ ン定数）． 古典力学に基づく統計力学では，分子の位置と 運動量とからなる抽象空間を考え，これを位相空 間と呼ぶ．そして分子間の相互作用がないとした ときの位相空間に対し，どこも等しいアプリオリ な確率を仮定する．

2. 情報とエントロピー 物質は原子や分子などの集まりであり，物質の 性質には原子や分子の振舞いに関する情報が含ま れている．これを扱うのが統計力学であって，マ クスウェル，ボルツマン，ギブスなどによって創 められた統計力学は実は情報理論の先駆者であっ た（統計力学は情報理論に先立って 19 世紀後半 から 20 世紀の初めにかけて創られた） ．統計力学

理想気体では分子間相互作用がないから，気体 の全エネルギーが E 以下であるような運動量空 間の体積（エネルギーの不確かさに相当する）は （m は分子の質量）

P (E) =



2mE 3N

3N/2 (3.7)

で与えられる．そして

W = P (V ) P (E)

(3.8)

は情報理論を原子や分子の集団に適用したもので，

はこの体系の不確かさ（ミクロ状態の数とも言う）

情報理論の典型である．

である．そしてその情報量に相当する

詳しいことは知らないが，集団に関するデータ の伝達，変換を抽象的，数学的に扱うのが情報理 論であるから，集団のデータを統計的に扱う学問 のすべては原則的に情報理論と関係をもつと言え

S = k log W  E 3 + 定数 = N k log V + log 2 N (3.9)

るだろう．こうして，情報理論を媒介にして物理

は理想気体のエントロピーである．なお，(3.5) に

科学的方法は，交通，物流，環境などの問題へ浸透

おいて分子の位置の範囲 V 1/3 を分子の 1 方向の

し，生物物理（バイオフィジクス） ，経済物理（エ

運動量の範囲力（p2 /2m = E/3）で置き換えた式

コノフィジクス）などの学問が育っている．

が (3.7) であると見ることができる．

情報量は統計力学（あるいは熱力学）における エントロピーと密接な関係がある． 一例として N 個の分子からなる理想気体を考

力学を援用し，体系が容器の壁に与える力（すな わち圧力） ，体系の全エネルギー（内部エネルギー と言う）および体系と外部の熱のやりとり（熱量）

えよう．その体積が V であるとき，一つの分子

と体系の絶対温度，エントロピーなどに対する表

がどの位置にあるかわからない不確かさは体積 V

現を求めることができる．これが統計力学である． 第 7 章 情報

131

3. ネゲントロピー

論と統計力学の先駆者であったボルツマンは，こ の営みをエントロピーとの戦いであると言い，量

情報量とエントロピーについて述べたところを

子力学の創始者の一人であるシュレーディンガー

まとめてみよう．情報量は (3.4) のように 2 つの

は，ネゲントロピーを食べて機能を保持する営み

状態 1 と 2 の間の相対的な量である．これを了

であると言ってこの営みを強調した．

解しておけば，情報量 I と不確かさ P との間の 関係は

I = log

1 P

4. マクスウェルのデモン 自然に放置された孤立系のエントロピーは，増

と書くことができる．他方で (3.6) あるいは (3.9)

えることはあっても減少することはない．これは

によれば，エントロピー S （これも相対的な量で

熱力学の第 2 法則から導かれるエントロピー増大

あるが）は位相空間の中の分子の配置の多様性に

の定理（エントロピーの法則）である．その一番

よる不確かさ P と関係式

S = log P

簡単な例は，小さな隙間の壁によって 2 つの部屋 に分けられた容器の中の気体であろう．はじめこ れら 2 つの部屋の中の気体の圧力，温度が違って

によって結ばれる（ここでは I と S との本質 的なところを考えているので，同じ単位で表す）．

log(1/P ) = − log P の関係があるから I = −S.

いても，これを放置しておけば圧力，温度は必ず 等しくなっていき，この際，気体全体のエントロ ピーは最大になる． さて 1871 年，マクスウェルは『熱の理論』の

したがって情報量 I はエントロピーの符号を変え

中で有名なパラドックスを提出した．これはあま

たものである．エントロピーの符号を変えたもの

りにも有名であるから，簡単な説明をするだけに

を負エントロピー（ネガティブ・エントロピー），

しておく．

あるいはネゲントロピーと言う．情報量はネゲン トロピーである．

非常に小さな生物が非常に俊敏な能力をもって いて各分子の動きを見分けることができ，それに

エントロピーは不確かさの尺度，あるいは無知

応じて 2 つの部屋の間の隙間につけてある扉を開

の尺度，あるいはまた無秩序の尺度（度合い）な

閉することができるとする．この生物は比較的速

どと呼ばれる．ネゲントロピーや情報量はその逆

い分子を右の部屋へ行かせ，比較的遅い分子を左

であり，秩序の度合いを表すものである．

の部屋へ行かせる．こうすれば，この生物は熱力

熱現象が非常に多くの分子からなる体系に関す

学の第 2 法則に反して，右の部屋の気体の温度を

るものであるのに対し，情報は文字，言葉，金額

上げ，左の部屋の温度を下げることができ，これ

などに使われることが多い．そしてふつうの場合

によってエントロピーが減少する．

は熱現象に関するエントロピーは情報に関するネ

この生物は W. トムソン（W. Thomson, 後の

ゲントロピーよりもはるかに大きい．そしてこれ

ケルビン卿）によって，マクスウェルのデモン（悪

らを加えても利点がないのがふつうである．

魔）というぴったりのあだ名を与えられた．

しかし，生物においてはこの両者が互いに密接な

このパラドックスは，シラードを初めとする多

関係をもつ．それは高度の秩序をもった組織と機

くの人によって議論された．このデモンが分子の

能が生物を特徴づけるものであるからである．生

運動についての情報を得るためにはデモンはたと

命をもたないものは自然に崩壊し，エントロピー

えば懐中電灯で分子を照らさなければならないが，

の大きい状態へ移っていくが，生命をもったもの

そのためにエントロピーを増大させてしまうこと

は絶えず秩序を保ち自然の崩壊に逆行し，これこ

になるのである．

そが生物の営みであると言うことができる．原子 132 第 3 編 物理学とは何か

デモンを使わなくても，2 つの部屋の間に図 3.7

Sadi Carnot, 1796–1832）と言い，父はナポレオ ン軍の将軍であり，大臣にもなった人であると言 う．S. カルノーはできたばかりのエコール・ポリ バネ

テクニックで教育を受け，卒業後は野砲学校に入っ たがパリに留って勉強を続けた．その間に熱機関 について知り，その研究に進んだ．彼の書いた論 文は『熱の動力についての考察』と題され 1824 年 に公表された．この論文で彼は熱素説に準拠して

図 3.7

バネつきの装置．

いるが，後に書かれ公表されなかったノートでは

のようなバネつきの扉をつけておけば，速い分子が

これを疑問視している．その後，カルノーの論文

ぶつかったときだけ扉が開き，右側の部屋へ分子を

を読んで感銘を受けたイギリスの W. トムソンは

通し，こうして速い分子が右の部屋に集まり，遅い

カルノーの論文が熱素説を採用したために生じた

分子は左の部屋へ分けられることになると思われ

矛盾を解消する方法を考え出した．これは 1850

るかもしれない．しかし，このようなバネつきの

年のことであったが，同じ年にドイツのクラウジ

扉のバネは衝突する分子からエネルギーをもらっ

ウス（Clausius）も同様な結論に達した．これは

て，気体と同じ温度で熱運動をするようになってし

いわゆる熱力学の第 2 法則と呼ばれる熱力学の基

まい，扉の開閉をなさなくなってしまうのである．

礎的な法則であって，クラウジウスと W. トムソ

5. カルノーの理想的熱機関 統計力学は 19 世紀終りに創られたのに対し，熱 力学のルーツは 19 世紀の初めにさかのぼる．熱

ンはこの法則の発見者として認められている． ここでは熱力学についての詳しい説明をしよう とは思わない．それよりもカルノーによる天才的 な考察について考えたい．

が仕事をするということはギリシャ時代から知ら

カルノーは熱機関に類似なものとして水車を考

れていたが，17 世紀後半にイギリスで産業革命が

え，その理想的な作業原理を考察している．水車

始まると鉱山から水を汲み出すのに熱の作用を利

では高い所から低い所へ水が移動する際に仕事を

用する一種のエンジンが作られるようになった．

する．これに対し熱機関では高温の蒸気が冷える

回転式の蒸気機関をジェームス・ワットが発明し

間に仕事をする．このとき，水，あるいは水蒸気

たのは 1780 年頃である．その頃，熱現象は熱素

が使われるが，これは熱を運ぶ手段として使われ

という流体によるものと考えられていたが，ジョ

るので，仕事をするのは熱そのものである．

セフ・ブラックは熱を量的に測る研究を始めてい

水車では水の移動に高低の差がなければならな

て，ワットも熱機関の効率を計算し，効率をよく

い．これと同様に，熱機関では温度差が必要であ

する種々の発明を行っている．しかしワットを初

ろう．しかし有限の温度差のところで熱が移動す

め，熱機関の製作は経験にたよることが主であっ

る際には熱伝導によって熱の流れは無駄に使われ

て，熱機関の効率に関する本質的な理論は考えら

てしまうから，理想的によい熱機関では温度差な

れていなかったし，熱とエネルギーの間の関係も

しで熱を移動させなければならない．

ほとんど知られていなかった．

これが実際に可能であることにカルノーは着目

熱機関はこのようにイギリスで発達したのであ

した．それは気体を適当な熱源に接触させておい

るが，熱機関の効率に関する理論，そして熱現象に

てピストンを引いて膨張させると，熱源から気体

関するもっとも基礎的な理論のはしりは，世に知

へ熱が移動し，ピストンを押して気体を圧縮すれ

られていなかった若いフランス人によって書かれ

ば気体から熱源へ熱が移動するというプロセスで

た論文として現れた．彼はサディ・カルノー（N.L.

ある（これらのプロセスはカルノーの時代にすで 第 7 章 情報

133

に知られていた）．さらに外から熱が入らないよ

した．アインシュタインは観測者の運動によって

うにして気体を膨張させれば気体の温度は下がる

異なる時空を考え出し，また曲がった時空というコ

し，逆に圧縮すれば温度は上がる．これらのプロ

ンセプトを考え出した．そしてカルノーは 2 つの

セスを組み合わせれば，温度の違う 2 つの熱源の

熱源の間で働く理想的な可逆熱機関というコンセプ

間で働く理想的な熱機関を作ることができること

トを考え出したのであった．ファラデーとマクス

をカルノーは発見したのである．この理想的熱機

ウェルは近接作用と電磁場という概念を創造した．

関（カルノー・エンジン）は可逆的に働き，その熱

学問にはいろいろの場面における研究者の関わ

効率は二つの熱源の温度だけで決まる（カルノー

り方がある．自然の中に研究の端緒を見つけ出し

の定理）．ここで熱効率というのは 1 サイクルの

て新しい概念や方法を開拓するのも一つである．

間に熱機関がする仕事を 1 サイクルごとに熱温の

この端緒を数学的に深めるのも，応用して広げる

熱源から熱機関がとり入れる熱量（仕事と同じ単

のもそれぞれの研究場面である．人によって得意

位）で割った値である．また可逆熱機関とは，外

とするところがあり，それによって違った貢献が

から仕事を加えることによって（同じ熱効率で）低

なされる．

温の熱源から高温の熱源へ熱を移すことができる

最近においては研究の情報はすばやく広がり，

ものである（冷房器，ヒート・エンジンの原理）．

意図すれば大量に入手できる世の中になった．日

カルノーの定理を証明するには熱力学の第 2 法

常生活がテレビなどによる情報の洪水にさらされ

則が必要である．クラウジウスによれば熱力学の

ている現在では研究生活と言えどもその影響から

第 2 法則は次のように述べることができる．

逃れることはできないであろう．これは研究の種

「何らかの他の変化を残さずに熱を低温から高温 へ移すことはできない」 何らかの他の変化を残さずにもとの状態に戻す

類や場面によって利点となることもあるに違いな いが，不利に働くこともあるだろう．多すぎる情 報や会合が研究の妨害になるのは明らかである． 上に述べたニュートン，アインシュタイン，カ

ことができない現象を不可逆現象と言う．熱現象

ルノーなどが科学の各分野を切り開いたときには，

には不可逆的なものがあることを述べたのが熱力

多くの情報がある状態ではなかったと思われる．

学の第 2 法則である．したがって，1 つの不可逆

これらの偉大な人たちはむしろ周りの人たちの考

変化の存在を述べればそれで第 2 法則を述べたこ

えとは断絶があるような心の世界においてそれぞ

とになるので，第 2 法則の述べ方はいろいろあり

れの考察をあたためたのであろう．湯川先生や朝

得るわけである．

永先生の時代には海外の学問が伝わってくるのも

6. 創造と情報

遅かったし，戦争の影響もあって情報がとぎれる こともあったが，それがかえって研究の集中を可

カルノーの天才は数式の少ない物理学の典型で

能にしたのではなかったろうか．情報が少ないと

ある．これを考えると，物理学の本質的なところは

いうことは，情報への飢えを誘い，それが研究心

数式の少ないところで生まれるのではないかという

を強める刺激にもなるようである．

気がしてならない．これはコンセプトの創造とも

情報をもたないことはその他の有利さをもつ．

言えるだろう．コンセプトが数学的な理論へと発

ある研究をするとき，それが流行している研究分

達するのは第 2 段階である．ガリレイは摩擦のな

野だと，それに関する他の人の論文をたくさん読

い運動というコンセプトや瞬間的な速度，変化する

まなければならない．情報過多だと自分の考えを

速度などというコンセプトを考え出した．ニュー

深める余裕がなくなってしまう．逆にその研究分

トンはその中の物体の運動などにわずらわされな

野が流行していないものであったり，他の人と大

い絶対的な空間と時間というコンセプトを考え出

きく違う観点であったりするときは，読むべき他

134 第 3 編 物理学とは何か

人の論文は少ないから自分の考えをあたためるこ

ん．しかし，小さな確率にせよ真理は別の方向に

とができる．

——時代ばなれした考え方をしたときに明瞭に

『物理法則はいかにして発見されたか』 （R.P. ファ

見出せるような方向にあるかもしれない．だれ

インマン著，江沢 洋訳，ダイヤモンド社，昭和

がそれを見つけるでしょうか．自分を犠牲にし

43 年）の終り近く（ノーベル賞受賞講演）で，ファ

て…風変りな普通でない観点から——その観点

インマンも次のようなことを述べている．

は彼が自分で考え出さねばならないのかもしれ

学生がみんな「流行の同じ考え方をするのでは… 思いつく仮説のバラエティが限られてしまう．真 理は流行の方向にある確率がおそらく大きいの でしょうから，それも結構といえるかもしれませ

ませんが——自習をした人だけであります．… さらに，新しい法則を捜し求める際には，つね に，いま考えているこのおもしろい可能性には おそらくだれも気づいちゃいないだろうという 心理的興奮を味わうことができるのです」．

磁気は電流によるもの 琥珀（こはく）を布でこするといわゆる静電気が

次に，1731 年のことであるが，アメリカの商人が

生じる．また磁鉄鉱は鉄を引きつける．このような

鉄製のナイフやフォークの荷物を大きな部屋の隅に

静電気や磁石の作用は古代ギリシャ以前の昔から知

おいたところ雷雨があって，この部屋に落雷したが，

られていた．この作用は離れた位置から働く点で万

驚いたことに溶けてしまったナイフやフォークが磁

有引力と似ているが，万有引力よりも大きい．静電

気を帯びていることが発見されたのである．

気に関する研究は長い間発達しなかったが，磁気は

この話をきいたデンマークのØrsted（エルステッ

南北の方向を指すことが航海に使われたりした．静

ド，1777–1851）は，電気と磁気について講演して

電気と磁石との間には何かの関係があると思ってい

いたときに落雷の際に磁化が起こる現象から暗示を

た人もあったが，それは 18 世紀になるまで全く不

受けて一つの実験を思いついた．彼は南北を指して

明であったが，静電気には 2 種類あることや，静電

いる磁針の上に針金を張り，これに電流を流してみ

気どうしの間に距離の 2 乗に反比例する力が働くこ

た．針金の向きを変えてみると，電流を磁針に平行

と（クーロンの法則）は相当広く知られていた．

して電流を流すと磁針が振れることが明らかになっ

電流の磁気作用の発見は非常に不思議な歴史をた

た．そして電流の向きを逆にすると針が逆に振れた．

どった．その一つはガルヴァニ（Galvani）による動

これは電流を流した針金が磁石としての性質をもつ

物電気，他の一つは落雷による磁気の発生であった．

ことを物語っている．

ガルヴァニはボロニア（イタリア）の解剖学者で

エルステッドの発見を聞いた Amp` ere（アンペー

あるが，あるとき彼の助手が小刀で蛙の脊髄に触れ

ル，1775–1836）は，同じ向きに電流が流れている

たとき蛙の脚がはげしく痙攣した．いろいろ調べた

2 つの電流は互いに引き合い，逆向きに電流が流れ

結果ガルヴァニが発見したのは蛙の筋肉と脊髄とか

ている 2 つの電流は互いに反発し合うことを見出し

らそれぞれ別の金属を出し，これらを接触したとき

た．電流の磁気作用の発見である．

に痙攣が起こるということであり，この電気作用は ガルヴァニの動物電気として知られるようになった． 異種の金属を触れさせると電気が流れることを明

アンペールは数学にもすぐれていた．彼は慎重な 実験の上に電流の間に働く力の法則を厳密な数理的 な形で述べた．

らかにして電池を発明したのはコモ湖畔に住んでい

電流は磁気的な作用をもつので，磁石の作用も電

た Volta（ヴォルタ，1745–1827）であった．この

流によるものと考えられる．実際アンペールは磁石

発明（1800）により持続的な電流が得られるように

の中に分子電流ともいうべき微小な円形電流が多数

なった意義は大きい．これ以後電気の研究は長足の

存在するものと考えた．現在では，物質の磁性は電

進歩を遂げるようになったからである．これが一つ

子などのスピンという分子電流や物質中の電流によ

（蛙の脚が電気文明を生んだ）．

ることが知られている．

第 7 章 情報

135

第8章 心 （創造と意志）

1. 疑問と納得 素粒子物理学の「標準理論」で有名なワインバー

相互作用があるのか．このようにして，なぜか，な ぜかと説明の矢をたどって行けば，物質の究極，す なわち素粒子の問題に行きつく．

グ（S. Weinberg）が書いた『究極理論への夢』 （小

ワインバーグに限らず，多くの人は常により基

尾信弥・加藤正昭訳，ダイヤモンド社，1994）の

本的な説明を求める心をもっているに違いない．

第 2 章で，彼はなぜ多くの科学者が素粒子の研究

人間は有史以来，このような「なぜか」を自然に問

にひかれるのかを説明しようとしている．

いかけ，自問自答し，話し合いしているうちに，あ

「科学の諸発見は，それぞれが独立の孤立した事 実ではない．ある科学的一般法則の説明は別の 一般法則により与えられ，後者はさらに別の一 般法則で説明される．この説明の矢をその源に 向かって逆にたどることで，われわれはいちじ るしい収束パターンを発見した．多分これは， 宇宙についてわれわれが学びとったもっとも深 いことである」

る種の説明の中に美しさを感じるようになったの であろう．こうして科学的な美を求める心が育っ た．それは芸術や文学などにおける美の感覚とは 違うが，何か共通点のある感覚であって，これに ついてはすでに触れている． 「なぜか」とか「説明」とか言ってきたが，何が なぜなのか，説明とは何なのか，などと考え出すと 我々は多くの場合，たいへん不確かな問をして，不 確かな納得，あるいは理解をしていることに気がつ

と彼は述べ，1 本のチョーク（白黒）から話を始め

く．同じ説明をしても，人によって納得の仕方は

る．チョークが白いのはなぜか——それはチョー

異なる．科学的な説明と言えども，単なる言い換え

クから反射される光が可視光に関してそれを照ら

にすぎないと思うこともある．納得というのは心

す光とほぼ同じ波長分布をもっているからである．

の動き，心の状態の問題である．そして，同じ話を

なぜある物質は特定の可視光を強く吸収し，他の

聞いても，あるいは同じことを読んでも，人によっ

物質はしないのか——それは原子のエネルギーと

て納得，理解の在り方はまちまちなのが普通であろ

光のエネルギーの関係である．なぜ原子や分子は

う．このような不確かな心によって我々の世界が

それぞれ決まったエネルギーをもつ状態になって

成り立っているということはたいへん不思議でも

いるのか——それは原子や分子の中に電子がある

ある．心の不思議さにひかれて，若いときには，心

からである．なぜ電子を支配する量子力学はある

理学者の島崎敏樹さんの本などを好んで読んだこ

特定の形をもっているのか——また，なぜ物質は

ともあった．そしてまた反対に最も確かな知識を

電子と原子核とから成り，光と素粒子などの間に

与えると思われる物理学にもひかれたのであった．

本を読んだり，人の話を聞いたりして，わかっ

方法である（チューリング（A.M. Turing）はコン

たと思っても，たいていのことは間もなく忘れて

ピュータの最も基本的なモデル（チューリング・マ

しまう．すべてのことを忘れないでいたら記憶装

シン）を提案したオックスフォード大学の数学者） ．

置である脳はパンクしてしまうから，適当に忘れ

犬や猫，あるいは猿などの動物が，どの程度の

るということは人間に備えられた（コンピュータ

知能をもっているか，というのも面白い問題であ

にはむずかしい）特技なのかもしれない．ことに

る．犬は猫よりも長い記憶をもつなどと昔からの

年を取ってから覚えたことは忘れやすいが，若い

言伝えはあるが，ペット類はかなり人間に近い感

ときに覚えたことは忘れにくい．掛け算の九九な

性をもっているように思われる．これらの動物が

どは苦労しても幼い頃に覚えなければならないわ

発する声や仕草などの分析から彼らの言語を読み

けである．幼い頃に覚えた習い事は外国語なども

とる科学が今世紀に発達するだろう（追記：この

体や舌が覚えるので年を取っても忘れないと言わ

原稿を書いている間に，犬の気持を言葉にする犬

れている．もちろん記憶も心も脳にだけ局在する

語翻訳機（バウリンガル）が売り出されたという

ものでなく，体の神経などもいくらか心の機能を

新聞記事が出た）．動物が心をもっていることも

分けもっているのではなかろうか．もしかすると

証明されるだろう．そしてこれと同じように心を

人類が文化をもつ以前の記憶が体のどこかに残さ

もったロボットやコンピュータも作られて人間や

れているかもしれない．

動物の仲間に加わるかもしれない．

デカルト以来，人間は機械のようなものである

そういう人工生命，あるいは人工動物はもちろ

という思想がある．現在では，人間は物質ででき

ん人間や動物に似た形をしているものも，してい

ていて，人間の機能はすべて科学的に解明される

ないものもあり得る．たとえば部屋の中を動きま

と思っている人が多いであろう．確かに人間の体

わって掃除をしてくれるとか，料理を作ってくれ

は精密な化学工場にも譬えられるし，人間の脳の機

るロボットなどはすでにある程度試作されている

能は精緻な計算機にも匹敵するが，これらの個々の

だろう．自動車の製造工場や危険な火事現場など

機能は科学的に説明できるものであるに違いない．

で働くロボットは今世紀に予想をはるかに超えて

そしていろいろの形のロボットや人工知能の能力

発達するに違いない．

が人間の機能を超える未来が近づいていると思わ

今でもパソコンの中のヴァーチュアル・リアリ

れる．人間と同様に喜んだり悲しんだりあるいは

ティ（仮想現実）の世界に遊ぶ人が多いらしいが，

恋愛をしたりするロボットができるだろうかなど

人間と仮想の世界が共存し，生物と人工生命とが

と言われる．人間がそのような感情をもったとき

交流する世界がやってくるのだろうか．また人工

に生じる変化，たとえば体温が上がるとか，落ちつ

心臓などの人工臓器が発達していくと，人工的な

かなくなるとかいうのと同じような変化を起こす

人間改造，人間と人造人間の中間のような生物の

が形は人間とまったく違うロボットも作られるよ

出現もあり得るだろう．

うになるだろう．すでに人間やペットに似た動作

昔，発明されて間もないプラスティックがもて

をする人形の類いが作られている．しかしそうい

はやされた頃，ある研究会で高名な先生が，金属と

うロボットは本当に喜んだり悲しんだりするだろ

半田づけできるようなプラスティックの発明が期

うか，それとも単にそのように見えるだけなのだ

待されるという講演をしたのを覚えているが，現

ろうか．こういう疑問に対するはっきりした答は

在では生物と機械との融合が，物質的にも医学的

ないように思われる．そういうロボット（あるい

にも進められているように思える．これは昔の作

はコンピュータ，機械）と会話して，それを人間と

家 H.G. ウェルズの SF の世界のようでもある．

会話したときの応答と比べて判断する方法が考え

金属とプラスティックを連結させるのには普通

られる．これはチューリング・テストと呼ばれる

は接着剤が使われるだろう．こういう技術を広げ 第8章 心

137

て植物の組織や生体の臓器と人工的なパイプや臓

究するために生物に物理的刺激を与えれば，それに

器とをつなぐ技術の発達が望まれるだろうと思わ

よって生物の状態が乱れて狂うので，詳しい測定は

れる．長く寝ている人の床擦れ（じくそう）や人

不可能であるというような議論もあったのである．

工肛門などで起こる問題はこういう技術の発達で

量子力学の創始者の一人であるシュレーディン

解決されることが多いのではなかろうか．

ガーは 1943 年に『生命とは何か』 （岡小天・鎮目

このようなことはいわばマッチング（適合）の

恭夫訳，岩波新書，1951）を発表した．その頃は

問題である．物理的な例を挙げれば，ある媒質と

生命現象を物理的に解明することにはむしろ否定

別の媒質との接点に入射した波の一部は境界面を

的な意見が多かったようである．しかし彼は生物

越えて進み，一部は反射される．2 つの媒質の密

現象に秩序性が生ずる鍵は遺伝子の安定した構造

度や弾性率が大きく異なれば波は強く反射されて

にあるとした．その後の生命科学は『生命とは何

第 2 の媒質へほとんど入って行かない．たとえば

か』の問題は横に置いて前進している．これが科

鐘を叩いても，鐘の振動は空気中へなかなか出て

学の在り方なのであろう．

行かない．容器の中に鐘を吊るし，真空ポンプで 容器中の空気を抜いていけば鐘の音は段々外へ聞

2. セレンディピティー

こえてこなくなる．この現象を「真空中では音は

人間の思考活動には合理的な面と不合理的な面

伝わらない」ということが多いが，簡単な真空ポ

とがあり，合理一辺倒でもなければ，不合理一辺倒

ンプで空気を引いても容器の中には真空とは言え

でもない．そこが脳とコンピュータが違う一面で

ないくらい空気が残っている．空気が希薄になる

もある．人間の脳は不合理なりにコンピュータと

につれて音が聞こえなくなってくるのは，むしろ

異なる合理性をもっているように思われるし，そ

鐘と空気との境界面で振動が反射されて外へ出て

の差異は意識世界と無意識世界の違いに似通うと

行かないからである，と言ったほうが正確だろう．

ころがある．

空気が希薄になれば， 「のれんに腕押し」で，音の エネルギーが空気中へ出て行かないのである．

あることを思い出そうとして，心を集中させると 思い出すことがある．これも不思議な脳の働きで

一つのコンピュータが覚えたことを別のコンピ

ある．しかし思い出そうとしていくら努めても思

ュータに伝えるには，電気的につないでメモリー

い出せないこともある．また，特に心を集中させた

を移せばよいだろう．しかしたとえば一人の人が

りしなくても，ふと何気なく思い出したり，思いが

新聞を読んで覚えたことを他の人に正確に伝えよ

けない発見をすることもある．これはセレンディピ

うとすれば第 2 の人にもそれを読んでもらうより

ティー（serendipity）と呼ばれている現象である．

仕方がない．多くの人の脳を電線でつないで，一

R.M. ロバーツというテキサス大学の有機化学

つのことをいっぺんに多数の人に伝えるというよ

の教授が書いた『セレンディピティー』 （安藤喬志

うなことはできない．ロボットの場合はいっぺん

訳，化学同人，1993）によれば，セレンディップと

に多くのロボットを洗脳することもできるが，人

はセイロン，つまり今のスリランカのことで， 「セ

間の集団ではそれは不可能である．人間どうしの

レンディップの 3 人の王子」というおとぎ話から

脳をマッチングよくつなぐ技術などは発達させて

来ているそうである．王子たちは冒険の途中で思

はならないものの一つであろう．

いがけずにいろいろのものを偶然うまい具合に発

量子力学の発達を受けて，これが生命の不思議 を解き明かすのではないかという期待がもたれた．

見するのだそうである． 偶然の発見，セレンディピティーの例を挙げれ

またある物理学者は量子力学の不確定性原理のア

ば，アルキメデスが風呂に入って浮力の原理を発

ナロジーから，生命現象は物理的に扱おうとして

見したこと，ニュートンがリンゴの落ちるのを見て

も，超えられない限度があると考えた．生物を研

万有引力を発見したことなどの事件はセレンディ

138 第 3 編 物理学とは何か

ピティーと言える．実験の誤りから大発見をした

周りに漂っているのだが，それが根を下ろすのは，

白川英樹さんと田中耕一さん（それぞれ 2000 年

十分待ち構えた心に限られる」 ．さらに「良いタイ

と 2002 年のノーベル化学賞受賞者）の仕事もそ

ミングで良いところに居合わせるという運もある

のきっかけはセレンディピティーと言えるだろう．

が，居合わせたことの意味を捉えるには不断の勉

上記の本の著者ロバーツも化学者である．化学と

強が必要である」ということであろう．

いう学問はバケルという字の通り思いがけないこ

何かが発見されそうでいた事柄が，急に空が晴

と，つまりセレンディピティーが起こりやすいの

れるように明らかになると，今までなぜこんなこ

かもしれない．

とに気付かなかったのだろうと不思議に思われる．

有名な話ではフランスの数学者ポアンカレが『科

そしてその発見された事柄が自分に発見されるの

学と方法』 （岩波文庫 p.58）で述べている話があ

を待っていたような気持におそわれる．発見とは

る．少し引用しよう．

そういうものだろうと納得した．

「どこかへ散歩に出かけるために乗合馬車に乗っ た．その踏段に足を触れたその瞬間，それまで かかる考えの起こる準備となるようなことを何 も考えていなかったのに，突如わたくしがフッ クス函数を定義するのに用いた変換は非ユーク リッド幾何学の変換とまったく同じである，と いう考えが浮かんだ．…わたくしは即座に確信 をもっていた．…」 ロバーツの本にはレーザーの原理を発見したタ ウンズの例が述べられている． 「レーザーは，ある美しい春の朝，ワシントン

DC の公園のベンチで生まれました．フランク リン公園でつつじに見とれながら考え事をして いたとき，分子から非常に純粋な形の電磁波を 取り出す実用的な方法についてのアイデアが浮 かんだのです」

漱石に『夢十夜』という小品がある．その第六 夜は彫刻師の運慶が仁王を刻んでいる話である． 鎌倉時代の運慶がどうしたわけか現在に居る．運 慶は堅い木をひと刻みに削って，厚い木屑が槌の 声に応じて飛んだと思ったら，小鼻のおっ開いた 怒り鼻の側面がたちまち浮き上がって来た． 「よく あゝ無造作にのみを使って思うような眉や鼻がで きるものだな」と感心したら若い男が「なに，あ れは眉や鼻をのみで作るんぢゃない．あの通りの 眉や鼻が木の中に埋っているのをのみと槌の力で 掘り出すだけだ．土の中から石を掘り出すような ものだから決してまちがうはずはない」と言う． そこで「自分」は家へ帰って薪にするつもりで積 んであった木をのみで割ってみたが，仁王は全然 出てこない．そして「自分」はついに「明治」の 木にはとうてい仁王は埋っていないものだと悟っ た——という話である． 「運慶」を発見者に譬えれ ば「自分」は発見できなかった人に譬えられるだ

以前にどこかで読んだか，聞いたかした記憶に

ろう．しかし，仁王はすべての木の中に潜んでい

よればガボール（D. Gabor）がホログラフィの原

るのではなく，仁王は運慶が彫り出すのを待って

理を思いついたのは，彼がテニスコートの横の芝

いたのであった——と解釈できるだろう．

生に座ってぼんやりテニスを眺めていたときだっ たと言う．

3. 時間の向き

思いがけないことに出会う人は多いだろう．し

ニュートンの天体力学を発展させたフランスの

かしそれが発明につながるのはその偶然に出会っ

ラプラス伯は，すべての星の位置と速度を正確に

た人の好奇心と洞察力の深さによるものである．

知ることができる超人がいたら，宇宙の未来をすべ

「発見とは誰もが見ていることを見て，誰もが考え

て予知することができるわけであると言った（この

なかったことを考えることである」という金言も

ような超人をラプラスのデモン（魔）と言う） ．力

ある．また「偉大な発見の種はいつでも私たちの

学の方程式は，相次ぐ瞬間の運動の連鎖を規定する 第8章 心

139

決定論の形をもっている．これを人間の脳の働き

すなわち物理学的な時間は可逆である．したがっ

に当てはめるとある瞬間の脳の状態によって次の

て現在の物理学では自由意志は存在し得ないこと

瞬間におけるその脳の状態が決定されることにな

になってしまう．自由意志を認めようとするなら

る．これを言い換えれば，人の心理も行動もすべ

ば，我々はどこかで物理学を変更しなければなら

てあらかじめ決定されていることになる．このよ

ないと思われる．

うな決定論に立てば，将来を選択することはできな

少し自由に考えてみよう．我々は感覚を通して

いことになるので，自由意志の存在は否定される．

自然の中で起こる事象を認識する．こうして知っ

自由意志の存在などはまぼろし（幻影）なのだろう

た事象は自然そのものでなく，我々の中に投影さ

か．それとも物理学の適用が誤りなのであろうか．

れたものであって，我々はこれらの事象をモデル化

自由意志があるとすると物理学をこの問題に適

して，太陽系とか，原子などと言い，こうして手に

用することが誤りだということになる．その一つ

触ることができないもの，あるいは目に見えないも

の考え方は，観測によってある瞬間の状態を完全

のも，そこにあるかのように考えることができる．

に知るなどということは元来不可能であるという

このモデルが合理的な思考を助けるように選ば

反論である．観測で知ることができないことから

れたときに科学が成立するのである（人間には合

出る可能性を論じるのは科学的でない．量子力学

理的な見方のほかに美的な見方，文学的な見方な

においては不確定性原理というのがあって，どこ

ど，いろいろな見方があって，合理的，科学的な

までも精密な観測というものはまったく不可能で

見方はその一つにすぎない） ．合理的な思考は数学

ある．いずれにしても正確に将来を予測すること

によって運ばれるときに最も確かなので，科学は

は物理学的に不可能である．

数学的に構成されるのが一つの理想である．

また，最近のカオスの研究によれば，古典力学の

しかし，数学は時間の経過をもたない．そして

運動方程式によって定まる運動は一般に極めて複雑

従来の物理学で用いられる時間は（熱力学の場合

であって，初期条件を無限小だけ変えると運動の様

を除いて）向きをもたないパラメータにすぎない

子はまったく変わってしまうことが絶えず起こり得

のである．この見解によれば，本来は時間の向き

る．その意味で運動はほとんど完全に予見不可能

は人間の中にあるもので，科学概念としては未熟

である．運動方程式は決定論的に見えるけれども，

なままで仮に導入されたものにすぎないと言える

初期条件の無限小の差異を区別することは事実上

かもしれない．

できないから，運動は実際には非決定論的である．

我々の宇宙は膨張しつつある．これは宇宙の歴

しかしながら，非決定論的であるとしても，そ

史的事実であり，宇宙の時間は向きをもっている．

れだけでは自由意志が存在し得るということには

そして地球上に生物が存在し，人間が存在するの

ならない．決定論は，裏返して言えば，過去と未

も歴史的事実である．したがって自然界には変化

来を区別しないことであるが，これに対し自由意

の向きがあり，自然界によって生かされている人

志は未来を選択することである．我々は過去を自

間の感じる時間の向きは宇宙の膨張による宇宙の

由意志によって選べないのであるから，自由意志

時間の向きでもある．

は過去と未来を区別し， 「時間の向き」を定めるも

もしも人間という知的な生物がいなかったら，

のである（すでに述べたように哲学者ベルグソン

科学も存在し得ない．我々の存在を待って宇宙も

は，時間は我々がつくるものであると言っている） ．

自然も初めて理解される段階に達した（これは「人

自由意志の問題は人間の「意識」の問題であろう．

間原理」と呼ばれるものに準じた考え方であると

これについては後に再び触れることにしたい．

言えるだろう） ．しかし人間は自然に含まれる小さ

ところが我々の物理学では，古典力学でも量子

な存在であり，科学はさらに人間の精神活動の一

力学でも，時間を逆転しても運動は変わらない．

部，合理的思考の成果の一つであるにすぎない．

140 第 3 編 物理学とは何か

本章では「心」に少しこだわりすぎたが．挿入 した図 3.8 は，一人の人が感覚の窓を通して見た 人間

自然

外界をモデル化して科学している様子をイメージ したものである．この図で最大の困難をもたらす

感覚

のは「意識」である．我々は自分を意識すること 科学

ができる．これは感覚を通す部分もあるが，感覚 を介さずに直接知っていることでもあるようであ る．この図で言えば，自己意識はこの図の部屋の 中にいる自分が作る環境がたとえば自分の体温に

図 3.8

科学と人間．

与える影響のようなものであろう．しかしこれは もちろん不完全な言い方である．

人間の現在の知的段階では，科学を統一して知

科学的説明は多くの場合，還元主義的なもので

的な統一的自然観を達成することなど，できそうも

ある．ここで還元主義というのは，分析的と言い

ないと思われる．感覚にもいろいろあり，目，耳，

換えてもよいもので，ある現象を粒子の運動とか

熱さの感覚などに従って，それぞれから科学の諸

波の運動などに分けて説明することを意味してい

分野が発達した．もしも人間がもっとすぐれた生

る．ところが自己意識というものはそれ自身で閉

物であったら，あるいは科学を統一して一つの自然

じているもので，それをさらに分けて分析すると

科学的世界像をつくることができたかもしれない．

いうことはできない．

大学卒業の頃 昔の大学の最高学年は 3 年生であった．私の在籍

学による研究の勉強へ移っていった．統計力学関係

した物理学科には 25 名くらいの学生がいたが，3 年

の本はほとんどなかったが，液体理論の論文を読ん

生のとき理論物理を専攻したのは 3 人ほどで，理論の

でいるうちに平衡状態の統計力学をマスターできた．

先生のほうが多かった．そこで私は 2 人の先生に就

そこで K 先生のところで勉強した量子力学と，O

くことになった．K 先生には友人と 2 人で量子力学

先生のところで勉強した統計力学とを使って固体水

の本を読んだ．Mott と Massay の『Atomic Colli-

素の同位体効果（H2 の固体と重水素 D2 ）を扱った論

sion』という本を学生 2 人で輪講したように覚えてい

文を仕上げた．これは私の最初の英文論文となった

る．この輪講の終りには固体の表面に気体分子が衝

（M. Toda, The Solid States of H2 and D2 , Proc.

突してエネルギーをやりとりする accommodation

Phys.–Math. Soc. Japan (1940) 503–507.）．水素

coefficient を計算してみたらと先生に言われて，少

分子は質量が小さいため，固体水素の水素分子の振

し調べてみたがなかなか複雑でむずかしそうだった

幅は大きく零点振動も非線形振動である．私の最初

ので，もっと簡単な問題を探すことにした．

の論文が非線形振動に関するものであったことには

もう 1 人の O 先生のところでは初めに X 線の散

何か運命的なものを感じる．偶然なことであるがほ

乱を扱った分厚い本（たしか Compton–Allison の

とんど同時に永宮健夫さんはヘリウムの分子の非線

本）を少し読んでから，当時始まった液体の構造の X

形振動を扱った論文を発表している．

線散乱による研究の論文を読み出し，液体の統計力 第8章 心

141

第9章 宗教 （自然界の階層）

1. スピノザの神

実体によるものとするデカルトの二元論（物心二 元論）はその後の哲学に大きな影響を与えた．

物理学でデカルト（Descartes, 1596–1650）に

デカルトの二元論では，動植物は心をもたない

ついて語ることは少ないが，考えてみると我々の

機械とされ，人間だけが精神と物質からなる二元

知識の中にはデカルトに負うものが非常に多い．

的なものとされるようであるが，意識や自由意志

おそらく彼の言葉で一番有名なのが「我思う．故

などの説明においても二元論が重大な困難をもつ

に我あり」と訳されている言葉（コギト・エルゴ・

ことは明らかである．これを避けるには精神と物

スム）であろう．これはラテン語で書かれた『方

質をある一元的なものの二つの属性とする一元二

法序説』 （理性を正しく導き，もろもろの学問にお

属性論か，あるいは世界が互いに独立な多くの根

いて真理を求めるための）の中に出ているが，訳

本原理から成り立っているとする多元論をとるか

しにくい言葉らしい．この訳だと「考えの浅い人

ということになるだろう．

は生きていないのも同然」などと誤解されかねな

デカルトの考えを徹底させて一元二属性論を唱

い．デカルトが言いたいことを意訳すれば， 「考え

えたのはスピノザ（Spinoza, 1632–1677）である

つつある私がここに存在することだけは疑えない」

と言われている．スピノザは，オランダのユダヤ

ということだろう．

教団に属していたが，無神論者として破門され，最

デカルトの時代には，中世のスコラ学者などに よる莫大な量の論考の蓄積があったが，その多く

後にはレンズを磨くことで生計をたてながら哲学 に没頭した．

は不確かな知識であると彼は考え，そのすべてを

デカルトは自然を成り立たせている実体は精神

疑うことから始めなければならないとした．その

と物質の 2 つであると考えて全自然を合理的に理

とき，そのように考えている自分というものが存

解しようとしたが，これに対しスピノザは精神も

在することだけは疑えないことに気づき，これを

物質も元をただせば神すなわち自然という一つの

デカルトは出発点（第一原理）としたのであった．

実体であるとした．神は精神や物質のほかにも無

こうして中世と決別した近世が生まれ，その近世

限に多くの属性をもつが，人間はこの 2 つの属性し

哲学の父がデカルトということになる．

か知ることができない．こういうのがスピノザの

デカルトは解析幾何学の創始者としても知られ

考えであった．この神はいわば汎神論の神である．

ている．彼はまた力学の法則を自然の基本法則と

昔，大学生であった頃， 『世界大思想全集』 （春

考え，自然は機械であるという機械論的自然観を

秋社）という茶色の表紙の全集があって，その中

樹立した．また宇宙の根本原理を精神と物質の二

のニュートンの巻とスピノザの巻とをもっていた．

ニュートンの巻は『プリンシピア』であって，こ

アインシュタインの言うスピノザの神はわから

れは読みやすかったが，スピノザの巻は読んでも

ないでもないが，正直なところ，神，仏，宗教，哲

よくわからなかったし，書名も確実には覚えてい

学，形而上学のはっきりした区別について納得で

ない．スピノザの主著は『エチカ』 （あるいは『幾

きるところまで深く考えたこともない．そしてこ

何学的方法に基づく倫理学』 ）というものだが，私

れは日本人の一般的な気持ちなのではないかと思

のもっていた訳書はそういう書名ではなかったよ

う．日本人は無宗教とは言えないだろう．むしろ

うな気がする．

多神教，アニミズム，あるいは古代からの原始的な

『神は老獪にして…アインシュタインの人と学

信仰に近い気持ちの人が多いと言ってよいだろう．

問』によれば，アインシュタインは若いときから

キリスト教などのように唯一の神を信仰するので

スピノザを読み，生涯にわたって哲学に興味を抱

は，ほかの神や仏に申し訳ないような気もする．

いた．この本によれば 1946 年頃にアインシュタ

伊勢神宮にお参りしたこともあるし，出雲大社に

インは次のように述べている（これは量子力学に

もお参りした．新年には明治神宮やそれぞれに家

対する彼の不信を述べたものらしい）．

の近くの神社や寺院へ年賀に訪れる人が多い．私

「スピノザはわれわれの時代より 300 年前に生き た人であるが，彼が対処しなければならなかっ た精神状況は，われわれ自身の状況と格別よく 似ている．その理由は，自然現象の因果的な関 係についての知識を集積する努力がまだそれほ ど成果があがっていなかったときに，彼は厳然 として，すべての現象の因果的発展に確信をもっ ていたからである」 また，ヨルダン著『アインシュタインの思想』 （林 憲二訳，東京図書）の最後の章には次のような記 述がある． 「第 1 次世界大戦が終わったあと，アインシュタ インが政治的な敵意の真只中に陥っていた頃，… その様子がアメリカにも届き，その地の枢機卿 はアインシュタインの無神論的教義を公に戒め た．ニューヨークのゴルトシュタイン師はアイ ンシュタインに一通の電報を打った． 『あなたは 神を信じるか？』．アインシュタインは返信して きた． 『私は，すべての存在との調和が証示され ているスピノザの神を信じるが，人類の運命と 行為に係わり合う神は信じない』 ．この回答のも つ古典的な簡潔さと明晰性は，いかに深刻にア インシュタインが真理の認識，自然法則を求め る精神的な努力を神を敬う一つの直観形式と感 じていたかを示すものである．…」

も近くの八幡神社へお参りに行ってお札をもらっ てきたりする．しかし，私は特に八幡太郎義家に 会いに行くわけではないし，武道の神に詣でるつ もりでもない．考えてみれば世のならわしに従っ ているにすぎないのか，あるいは我々すべてを生か してくれている世の中や自然界というものを改め て思う気持ちからなのだろうか．新年近くになっ てもう少し静かに考えてみたいところであるが， 師走の頃は何かと忙しいことに明け暮れするのが 残念である．

2. 階層（レベル）のちがい スピノザの思想では，すべての原因として永遠 で絶対的な神が唯一の実体であり，すべては厳密 な必然に従って生起する． この決定論によれば，人間の自由意志などはあ り得ないことになる．自由意志，自己意識，自我， 決心，悩みなどは互いに関連していると思われる が，これらはすべての人の抱く幻影にすぎないの であろうか（前回で自由意志と決定論の関係につ いて同じことを言った覚えがある）． たとえばある人が紅茶にするか，コーヒーにす るかを選択するとしよう．この場合，彼が自由意 志を行使したかどうかを科学的に証明することが できるだろうか．この証明をするには，選択前に おける宇宙内のすべてのもの（脳も含めて）の状 況をまったく同じにして選択を繰り返し，その結 第 9 章 宗教

143

果から何らかの結論を導き出さなければならない 神

が，これを導き出すには何らかの理論が必要であ るに違いない．しかし我々にはこの理論をもたな

宇 宙

いから，自由意志があるかないかを結論づけるこ とはできないことになる．

人 間

自己意識や感情，あるいは宗教心などの問題に はそれぞれの特徴があるにしても，心や感覚と物

動 植 物

理的な現象とが接する事柄については共通した面 が存在するように思われる．それはしばしば言わ れるように，精神や心の世界が物理的な世界と階

ウイルス

層を異にするということである．階層はレベルと か，範疇などとも呼ばれる．

原子・分子

物理学においてもいくつかの階層があり，我々 はいろいろな階層あるいはレベルで世界を論じて

素 粒 子

いる． たとえば一方の端に物理学の基本法則（クォー

図 3.9

自然界の階層構造．

クとか，統一的な力とか）がある．それから原子・ 分子の物理学がある．さらに熱・結晶・相転移な

あるが，科学的な努力は，階層の中の概念をその下

どのいわゆる熱力学と物質の世界があり，これよ

の階層の概念で説明しようとする．たとえば，原

り上（上下，高低で区切るのは便宜的であるが）に

子を電子，陽子，中性子といった素粒子レベルで

は流れや波の世界や気象学の世界があり，地球の

解明し，陽子，中性子をさらにその下のクォーク

科学，太陽系の科学，太陽と星の科学，銀河と宇

によって説明しようとする．この試みは純粋に物

宙の科学などがつらなっている．他方では高分子

理的な階層どうしの間では成功しやすいが，いつ

の科学，生物の科学，そして人間，社会，歴史，経

も成功するとは限らない．生物も原子・分子から

済，政治，あるいは善，悪，美，慈悲，愛，宗教

できているが，生物に特徴的な概念である生命・

などのレベルがある．精神や心もその一つのレベ

組織・心というような概念を原子・分子のレベル

ルである．

で説明することはできていない．生命・組織・心

大きな知的努力を傾けて，我々は，歴史を人の 心理に，人の心理を脳の働きに，脳を神経パルス

といった概念は原子・分子に「還元」できない「全 体論的」 （ホーリズム的）な概念である．

に，神経パルスを化学に，化学を物理学に，という

熱力学は基礎的な物理学の中で唯一つの全体論

ふうに重なった階層の間を結びつけて明らかにし

的な体系である．放置された物体はすべて散らば

ようとしている．知的解明が上記のような階層に

り，一様になっていくというエントロピー増大の

分かたれているのは，多分に人間の感覚器官や人

法則，すなわち熱力学の第 2 法則は，熱的現象と

間的尺度と関係があるように思われる．ニュート

いうより，物理系にも生物系にも成り立つ普遍的

ン力学は太陽系の観測から始まった．光学は眼の，

な法則である．そしてエントロピー，圧力，仕事，

音響学は音の感覚に基づいている．原子や分子は

温度といった概念は個々の分子レベルでは意味が

眼に見えないので原子・分子の科学は長い間疑わ

ない概念である．そして純粋に熱力学的な思考で

れた．いずれにしても我々はいくつもの階層をも

はこれらの概念を完全にマクロ的に定義して熱力

ちそれぞれの中で通用する言葉（概念）をもつ．

学を完結させることができる．そういう意味で熱

自然現象を目的論的に解釈しようとする思想も 144 第 3 編 物理学とは何か

力学は全体論的な体系である．

19 世紀末から 20 世紀初頭にかけて高名な物理 学者マッハ（Mach, 1838–1916） ，化学者オストワ ルト（Ostwald, 1853–1932）らが，実証主義の立

も言える）．階層構造は常に人智を超える複雑さ， 精妙さをもっているのである． ここで『ファインマン物理学 IV』 （戸田盛和訳，

場（存在することが実証されないものを理論にも

岩波書店）からファインマン（Feynman）の含蓄

ち込むのは邪道であるとする立場）からボルツマ

に富む言葉を引用したく思う． 「粘性のある流れ」

ンの原子説に強く反対した．この論争は特に有名

の章からの一節である．

であるが，自然科学の歴史には，ある時期に荒唐 無稽と思われていた事柄が後には広く万人に認め られるという場面が数多く存在する．地球が宇宙 の中心であるという天動説が太陽中心の地動説に よって置き換えられたように，昔の教会は将来の 科学によって覆される恐れのあるような命題で科 学と争うことが何度もあった．しかし教会だけで なく，物理学や化学においても，上記の原子論の 否定のような誤った考えが流行することも起こり 得る． 少し脱線したようであるが，我々は熱力学を例 にして階層（レベル）の話をしていた．ある階層 に属する概念をその下の階層の言葉で説明しよう とする試みは成功するとは限らない． たとえば温度という概念は熱力学において基本 的なものであるが，その下の階層において 1 個の 原子の温度という概念はない．強いて言えばこの 階層においては温度は多数の分子の統計集団を特 徴づけているパラメータの一つである． もっと深刻なのは時間の不可逆性であろう．熱 力学では放置された物体の温度は一様になってい き，これがひとりでにもとへ逆行することはない し，放置された体系のエントロピーは必ず増大す る．つまり熱力学の階層における変化は時間的に 不可逆である．これに対し，その下の階層，すなわ ち原子・分子の世界における運動は時間的に可逆 である．なお熱力学以上の階層に属する生物，歴 史などの世界がすべて時間的に不可逆であること も特筆に価する．一般的に言って上の階層は下の 階層よりも複雑であり，このことが不可逆性の原 因であると考えられる． このように，階層を上がるにつれて，それより下 の階層の要素に還元できない概念が現れる（こう いうことがなければ階層を区別する意味がないと

「…方程式を書いたからといって，流体の流れか ら魅力，あるいは不思議さ，あるいは驚異がな くなるものではない． 唯一つのパラメータ〔レイノルズ数〕をもつ簡 単な〔ナビエ・ストークス〕方程式がこのよう な多様さをもつとすれば，もっと複雑な方程式 ではどのくらい多様さが可能であるかわからな い．…いわれなく物理学をおそれる人達は生命 の方程式を書くことができないということが多 い．おそらく，これを書くことができる．実際， 量子力学の方程式

Hψ = −

 ∂ψ i ∂t

を書けば，おそらく，これは十分な近似でそう いう方程式になっているであろう．方程式の単 純さにかかわらず複雑なことが全く容易に，劇 的に起こってしまうのを見てきた．簡単な方程 式の含蓄さを知らずに，世界の複雑さを説明す るのには，単なる方程式ではなく，欠けること のない神が必要であると結論した人も多い． …このように簡単な原理から，無数の現象の変 化，すばらしさが生まれてくることを再び思い 出し，よろこび，驚きたいと思う．科学をテス トするのは予想する能力である．もしも地球を 訪問したことがなかったとすれば，雷雨，火山， 大洋の波，オーロラ，色彩に満ちた日没を予想 することができるであろうか．… …現在の我々はシュレーディンガー方程式が蛙 や作曲家や道徳を含んでいるか，あるいは含ん でいないかを見抜くことができない．これを越 える神のようなものを必要とするか，そうでな いのかということも断言できない．そこで，ど ちらでも強く主張し得るわけである」 第 9 章 宗教

145

人間が数学によって自然を理解するのはたいへ ん不思議なことである．数学の多くの分野は「物 理学」がそれを必要とするよりも前に純粋な「数 学者」によって創造されたものである． このようなことを考えると，物質界の法則と我々

によって人間は何度もほとんど亡ぼされているの である． このことは有史以来の人間の歴史と重ね合わせ て考えざるを得ない．20 世紀は相次ぐ世界大戦 の世紀でもあった．第 1 次世界大戦（1914–1918）

の数理的な活動の両方を結びつけている “あるも

では西欧文化の没落（シュペングラー）が語られ

の” があるのではないかという結論が避けがたい

た．またこれが西欧諸国の間の最後の大戦かもし

ようにも思えてくる．それを「神は数学をなさる」

れないという人もあったらしい．それにも関わら

というような表現で表す人もある．もう一つの考

ず 1939 年にドイツのポーランド侵攻から始まり，

え方は自然数を含めて数学も物理学の法則ととも

日本を巻き込んだ第 2 次世界大戦は 1945 年まで

に自然界にもともとあるものであるということか

続いた．さらに朝鮮戦争（1950–1953） ，ベトナム

もしれない．我々は自然界を十分理解できないと

戦争（1960–1975）があった．さらにイラン・イラ

同時に数式の意味を十分理解することもできない．

ク戦争（1980–1988），湾岸戦争（1990）があり，

3. 文化と野性

アフガニスタン，チェチェン，ユーゴなどの紛争 もあって，まさにこれは戦争の世紀であった．

昔，ジャンボ機などがまだなかった頃のことで

この間の戦争技術の進歩は素晴らしいものがあっ

あるが，貨客船に乗ってベルギーのアントワープ

た．しかもその多くが物理学的な技術の進歩であっ

から日本まで 40 日以上の船旅をして帰国したこと

たのはたいへん残念なことである．その中で最も

があった．今から考えるとたいへん時間的にぜい

著しいのは原子爆弾の発明（1945）であろう．原

たくな旅だった．船はスエズ運河を通り，シンガ

爆廃止が唱えられ続けているにも関わらず，現実

ポールとマニラに寄港し，ときどきはあわただし

にはじわじわと原爆は諸国へ拡散を続けている．

くピラミッド見物などをしたが，そのほかは海路

何とも恐ろしいことである．しかも 20 世紀後半

の日和にめぐまれてデッキ・チェアですごす時間

の戦争は原爆を使わない戦争技術の進歩の恐ろし

が多かった．このときに通読したのが旧約聖書の

さも如実に物語っている．地球の上には軍事衛星

訳本である．実はベルギー滞在中読む暇がなかっ

が偵察網を敷いているし，ミサイルはいつでも発

たのをこういう機会もあろうかと船にもち込んだ

射されるのを待っている．しかしこの恐ろしい状

のであった．

況は人間が作ってしまったものである．

旧約聖書は，創世記の天地創造から始まる． 「神

旧約聖書によれば，アダムがはじめて神のおき

が天地を創造した…」というように万物の創造が

てに背いて以来，人間はその罪（原罪）を負って

描かれる．神は神に似せてアダムを創り，イヴを

いると言う．原爆の発明は原罪を絶えず思い起こ

創る．しかしイヴは神に背いて禁断の実を食べた

させる手がかりとなるものであるとも言う．

ためにエデンの園を追われる．イヴの子供カイン

人間はもっと高貴なものになることを目ざして

は弟を殺し，エデンの東へ追放され，やがて人間の

いたのではなかったろうか．しかし人間は一途に

悪が地にはびこるが，ノアだけが正しい人であっ

高貴なものへと進まない．人間は原罪とも呼べる

た．そこで神は大雨を降らせてノアの箱舟に乗っ

ものを引き戻そうとする力を受けていて，これに

たノアたちだけを残しすべての人を亡ぼしてしま

よって我々の文化は絶えず転覆させられてきたの

う．その後も人は増え，増えては堕落して神に亡

かもしれない．人間は自分の能力と見通しによっ

ぼされることを性懲りもなく繰り返す．旧約聖書

て高貴な人間的なものの達成へ進むことができる

には限りなく悪事を重ねる人と，これをこっぴど

のだろうか．それとも動物的存在へと逆戻りして

く亡ぼす恐ろしい神のしわざが語られる．この神

しまうのだろうか．

146 第 3 編 物理学とは何か

「他のどの時代にもまして，我々の生きる現在こ

の科学の時代もそういう時期の一つであったに違

そ，この問題提出の緊急性を理解することが要

いないが，今その時代はすぎ去ろうとしているの

求される」

かもしれない，という予感もある．人間の発明す

私の誤読でなかったら，マンフォードは『人間— 過去・現在・未来』 （岩波新書）の中でこのように 述べている． 「なぜなら，こんにち，人間の人間らしさは，今 までの時代に出あったよりも，いっそう根本的 な野蛮状態へ逆転する可能性によっておびやか

ることは明らかに人間にとって進歩であると思わ れるものもいろいろあるが，その反面で人間の害 になることも多分に存在する．現在の物質文明は 物理学と化学の発展に負うところがたいへん大き い．しかしその発達があまり急であったので，著 しい弊害も生じてきた． 科学文明は若い文明である．若いということは

されているからである．たとえ文化はそれ自身，

自信とか，プライドとうぬぼれの錯綜する時期で

累積的傾向をもっているにしても，それを継承

もあり，夢想や理想が高揚する時期である．しか

する過程のなかでは，各世代は，新規まきなお

し夢想は儚く，理想は到達されにくく，遠くて達

しに始めるのである．両親の愛情，子供の尊敬，

成するのに時間のかかるものである．あまり急激

未来へのたしかな感覚，これらがなければ，人

な物質文明の進歩は問い直されなければならない．

間になろうとする努力そのものが，失敗に終わ

現在言われているグローバリズムは性急すぎる

るであろう．機械じかけへの過度のもたれかか

と思う．情報の流れ，流通，交通が多量になり急

りによって，われわれの世代は，人間の人間らし

速になっていくのは当然であるかもしれない．し

さを養い育てる秘訣を喪失しはじめている．と

かしその先はどうなるのだろう．食べ物について

いうのは共同社会の各メンバーが感受性を豊か

も，春夏秋冬，いつでもイチゴが食べられたりす

にし，やさしさを深め，想像力を伸ばし，道徳

る必要はないだろう．商業などについても，過当

的責任感を強くし，自己統治力をそなえ，人間

競争による企業倫理の喪失は迷惑至極である．人

の理想像を模倣し，人類の理想的実例に自分を

口が増え，世界中が狭くなって何がいいのだろう．

同化させるように素質づけられる諸条件に対し

グローバリズムにいいことがあるにしても性急に

て，あまりにわずかな関心しか払っていないか

これを招来することがいいとはとても思えない．

らである」

少なくともこれが明るい未来志向につながるとは

人間はギリシャ・ローマ時代やルネサンス時代 のような興隆期を何度ももった．ニュートン以来

思えない．現在の閉塞感の根本は物質文明に明る い未来志向が描けないところにある．

第 9 章 宗教

147

第 10 章 教育 （薄膜の物理） つのシャボン玉の平均曲率

1. シャボン玉の膜

1 2

(1/R1 + 1/R2 ) は一

定であり，これが極小表面積の曲面を与える条件 分子の形や集合状態による機能の研究は物理と

である．

化学の中間にあって，むしろ物理化学と呼ばれる

プラトーはシャボン玉の不思議な魅力を次のよ

ことが多い．今回はシャボン玉の物理化学から始

うに述べている（立花太郎著『シャボン玉』中央

めよう．ニュートンはシャボン玉の美しい色に魅

公論社，1975）．

せられ，その著『光学』に精細な研究記録を残して いる．彼は曲率が小さい，ほとんど平板状のガラ スを平らなガラスにのせたときに見られる光の干 渉模様（いわゆるニュートン・リング）の発見者で もあった．ニュートンは光の粒子説を唱えたとさ

「輝くばかりの色に飾られ，脆さに耐えて数学的 な曲面をかたちづくりつつ，いつまでも吊りさ がったままでいる，あのかるがるとした姿を眺 めることのおもしろさ」

れているが，これらの現象は光の波動説への手がか

イギリスの王立研究所で毎年の冬に行われるク

りを与えるものであった．波動説はオランダのホ

リスマス講演（最近日立製作所の外村彰氏が招か

イヘンス（1629–1695） ，イギリスのヤング（1773–

れて講演された）はファラデーの「ロウソクの化

1829），を経てフランスのフレネル（1788–1827）

学」 （1860–61）でも有名であるが，1889 年にボイ

によって確立された．

ズという人が行った講演「シャボン玉とシャボン

針金でつくった枠をシャボン液に浸して引き上

玉を形づくる力」は邦訳されていて，これにはシャ

げると枠にシャボン膜が張られる．1873 年にベル

ボン玉を使った多くの実験が示されている（ボイ

ギーの物理学者プラトー（J.A.F. Plateau）は「空

ズはキャベンディッシュと異なる方法で万有引力

間内の閉曲線で囲まれた曲面のうちで面積極小の

定数を求めたことでも知られている）．

ものを見出せ」という極小問題が石けん膜を使っ

シャボン玉に白色光をあてると虹色に輝いて見

て解かれることを示した．これは液体の表面積を

える．これはシャボン膜の表と裏で反射した光の

極小にしようとする表面張力が働くからである．

干渉による現象である．干渉が生じるためには膜

シャボン玉の中の圧力 P と外の圧力 P0 の差は



P − P0 = 4γ

1 1 + R1 R2



の厚さは可視光線の波長に比べてあまり厚くなく， 薄くもない程度でなければならない．可視光線の 波長は 1 ミリメートルの 1 万分の 4 程度，すなわ

で与えられる．ここで γ は表面張力であり，R1

ち λ = 4 × 10−4 mm = 400 nm 程度であり（nm

と R2 は曲面の主曲率半径である．したがって 1

はナノメートル，1 nm = 10−9 m） ，干渉色が見え

る膜の厚さは約 200 nm から約 1500 nm の範囲

水面が汚れていないかどうか，油が広がってい

である．膜の厚さを正確に測るには単色光を用い

るかどうか，ということを知るのにレイリーはショ

なければならない．光学理論によれば，明るさが

ウノウを使った．プラスチックの小舟のおもちゃ

極大になる最小の膜の厚さは波長の 1/4 である．

にショウノウをつけて水面を走らせる子供の遊び

たとえば波長が 368 nm の光の場合，92 nm 以下

があるが，ショウノウの結晶の一片をきれいな水

の厚さの膜は黒く見える．しかし黒いシャボン膜

の表面におくと，それは活発に水面を走り回る（こ

には明るさの違うものが何層も認められ，これか

れを西洋ではショウノウのダンスと呼んでいるら

らシャボン膜の最小の厚さは約 4 nm であること

しい） ．水の表面が手の油などで汚れているとショ

が推定される．シャボン膜はこの厚さを最小単位

ウノウのダンスは見られない．

とする層状の膜によって形成されているらしい．

石けん水溶液の表面でもショウノウのダンスは 見られなかった．この場合，水面を汚している油

2. 石けん水の表面の膜

に相当するのは，石けんの加水分解で生じた脂肪

レイリー卿（Lord Rayleigh, 1842–1919）は広 くいろいろのことに興味をもった多才な物理学者

酸であるが，レイリーの時代にはこれらの分子の 形，大きさなどはまだ知られていなかった．

であった．若い頃に書いた『Theory of Sound』も

レイリーはオレイン酸（不飽和脂肪酸の代表的

有名であるが，アルゴン発見（1894）ではノーベ

なもの）をきれいな水面に少量落としてその薄膜

ル物理学賞を受けていて，研究は物理学のほとん

をつくり，そこにショウノウを置いた．オレイン

どすべての分野に及んでいる．石けん水の表面の

酸の油膜の平均の厚さが 1 nm と思われるときは

膜のパイオニア的な研究もその一つであった．こ

ショウノウのダンスが見られたが，オレイン酸の

の研究は 1890 年に始まったが，その頃は原子や

量を増し厚さが増すにつれてショウノウの動きは

分子の存在がまだ確立されていなかった．19 世紀

にぶってきて，厚さが 2 nm になると，その動き

の中頃からマクスウェルらによって精密化された

はまったく停止することがわかった．

気体分子運動論では分子の存在が仮定されていた

ここで厚さ 1 nm の薄膜とか，2 nm の薄膜とか

し，気体の状態方程式の理想気体からのずれ（ファ

言ったが，それは油（オレイン酸）が水面の全体

ン・デル・ワールスの状態方程式）や気体の粘性

をおおったと仮定して算出した値である．そして

（マクスウェルの理論式）などを使えば分子の大き

上の結果は，油の量が 2 nm の薄膜で全水面をお

さや質量を推定することはできたが，分子の存在

おうに十分なときは，全水面が単分子層でおおわ

に対するより確実的な証拠が求められていた．薄

れてショウノウは動きがとれないのであり，油の

い石けん膜の存在自体が分子の実在と関係してい

量がこれよりも少ないときは，単分子層の薄膜は

るに違いないとレイリーは直感的に考えたのであ

とぎれとぎれであって，ショウノウはその隙間を

ろう．

通って動き回ることができる，と解釈される．

上に述べたような情況証拠から分子の大きさは −7

おそらく 1 nm （10

cm）程度と思われる．そし

てこれは決して近づき難い微小な大きさではない． 3

−3

実際，たとえば液状の油を 1 mm （= 10 2

したがってレイリーの実験は水面上に油の分子 が単分子膜をつくることを示唆した最初の研究だっ たのであった．

3

cm ） 4

ピペットで測り，これを 1 m ，すなわち 10 cm2

3. ポッケルス嬢の研究

の広さの水面に落としたとする．この油が水面全

上記のレイリーの論文は 1890 年に発表された

体に広がって油膜になったとすると，その厚さは

が，その翌年の 1 月にレイリーはドイツから一通

10−3 cm3 /104 cm2 = 10−7 cm = 1 nm になるわ

の手紙を受けとった．差出人は未知の女性でアグ

けで，これはまさに分子の直径の程度であろう．

ネス・ポッケルス嬢（Agnes Pockels）であって， 第 10 章 教育

149

その手紙には，水面上の薄膜についてレイリーも

「こうして約 10 年が経過したが，彼女にとって

気づかなかった巧妙な実験法と興味ある実験結果

幸いなことに，弟のフリッツが大学へ入って物理

が記されていた．

を専攻した．そこで弟の教科書を借りて，彼女

レイリーは折り返し返事を書いてその仕事を賞

も物理の基礎が勉強できた．1890 年のレイリー

讚するとともにこの手紙の主の職業などを尋ねた

の研究を知ったのは 2 人が購読していた科学の

が，それは意外にも女学校を出ただけの家庭の婦

抄録誌によるものであった」

人であった．

「レイリーの激励で力を得たポッケルスは，1891

レイリーはさっそく彼女の研究を科学雑誌『Na-

年から 1902 年までの約 10 年間，引き続いて水

ture』の編集長に紹介し，それは 1891 年 3 月号に

面上の薄膜の研究をし，数篇の論文を仕上げた

掲載された．

が，それ以後は家事や病弱な両親の看護のため

レイリーは，1 回ごとに水を新しくし，異なる 量の油を水面に落として油膜をつくるという，た いへん手間のかかる方法を用いていた．これに対 しポッケルスは水面上の膜を自由に制限する巧み な方法を考案したのであった．平たい水盤に水を いっぱい張って，これに短冊形の仕切板を橋渡し して水面を二分し，その片方に油膜をつくる．こ うすれば，この仕切板を左右に移動させることに よって油が広がった水面の面積を自由に変えるこ とができる．これによって油膜の状態を連続的に 制御できる．またポッケルスは膜を連続的に変え ながら同時に膜の表面張力の測定を行い，膜があ る程度以上に圧縮されると急に表面張力が減少す ることを示した．

1970 年頃になって彼女がレイリーにあてた手紙 や彼女自身の日記類などが発見され，その内容が 出版された．それによると，レイリーにあてた最

に時間をさかれ，実験をする暇を見つけること ができなくなった」 （立花太郎（前出）による） ． 晩年の彼女は若いときの仕事が認められて，名 誉博士の称号も送られ，幸福な日を送り，1935 年 に 73 歳で亡くなったそうである． 本章のテーマに合わせて，ポッケルス嬢の話を 記してきた．彼女は自分で発見した問題，すなわ ち油の膜で汚れた水面の性質という問題を独創的 な方法で追究してこの分野の発展に大きく寄与し た．油膜を仕切板や糸などで区切る方法は彼女の 発明後，多くの人によって用いられている．目の つけどころも，実験の進め方も，いかにも女性ら しいが，そのためにそれは家事の延長上を大きく 離れられなかったかもしれない． 人が科学的な仕事をする上で，次の 4 つのこと がいろいろ影響すると思われる．

初の手紙の中の実験はその手紙の 10 年前，すな

(a) 女性であるか，男性であるかということ

わち 1880 年から 1882 年にかけて行ったもので，

(b) 玄人（くろうと，専門家）であるか，素人

そのとき彼女は 20 歳になるかならぬかの年齢で あったらしい． 「当時の彼女は，病弱な両親と弟の世話をしなが ら毎日を家事に追われていたが，生れつきの理

（しろうと）であるかということ

(c) どのような教育を受けてきたかということ （学歴）

(d) 家庭的，文化的，社会的，時代的環境

科好きだったために，台所で洗い物をするさい

キュリー，マイトナー，M.G. メイヤーなどが

に，きれいな水の表面と，油で汚れた水の表面

数えられるが，有名な物理学者の数はあまり多く

にちがいがあることに気づいた．そして有り合

ない．

わせの道具を用いて，台所のすみで実験をはじ

歴史上の有名な女性の数学者も案外多くないよ

めたのである．専門の科学者でない彼女はその

うであるが，ジェルマンやコワレフスカヤや，ネー

結果を雑誌に発表することもなかった」

ターの定理（保存則）で有名な A.E. ネーターの名

150 第 3 編 物理学とは何か

が浮かぶ．ソフィ・ジェルマン（1776–1831）はパ

して分子の存在を決定的に示した実験によるもの

リの裕福な家庭に生まれ，独学で数学を勉強した．

であった．

ラグランジュやガウスに認められ， 「実験結果と対

石けん膜に関するペランの最初の研究は 1918 年

比させた弾性表面の振動の数学理論について」の

に発表されている．彼は小さな孔に石けん膜を張

論文でフランス国立学士院のグランプリを獲得し

り，その上から光を投射して反射光を顕微鏡で観

て一躍有名になったということである．曲面の平

察した．水が蒸発するにつれて膜は薄くなり，い

均曲率（H =

1 2 (1/R1

+ 1/R2 )，前出）はジェル

マンの曲率とも呼ばれている．

ろいろな色の領域がモザイク模様となって現れた． このモザイク模様は固定したものでなく，絶えず

コワレフスカヤ（1850–1891）はロシアの貴族

変化していた．このようなことから，石けん膜は

クルコフスキー将軍の娘であったが，地質学者コ

厚さが異なる多数の膜が積み重なったものである

ワレフスキーと偽装結婚してロシアを脱出してハ

ことが明らかになった．さらに，これ以上薄くな

イデルブルクへ，翌年はベルリンのワイエルシュ

りえない石けん膜の単位があって，それはペラン

トラスのところへ移った．ストックホルム大学の

の用いたオレイン酸ナトリウムシャボン膜の場合，

講師となり，大学で講義をする世界最初の女性と

約 5 nm であろうということになった．この膜は

なった．可積分な非対称こま（コワレフスカヤの

あまりにも薄いので，色がない（黒い）膜である．

こま）の発見でも有名である．

実はこのように薄いために黒く見える膜はニュー

ネーター（A.E. Noether, 1882–1935）は数学

トン以来，多くの人によって観察されていた．結

者 M. ネーターの長女で代数学で大きな業績をあ

局，ペランは石けん膜が層状構造をもち，それぞ

げた．ネーターの定理は力学の保存則に関するも

れの層は，すべて一番薄くて黒い膜が重なったも

のである．

のであろうと結論したのである．石けん膜は雲母

4. 界面の物理化学 しかし，科学をする人をとりまく環境や教育と の関わりはしばらくおき，シャボン玉や単分子膜 などの研究のその後の発展について解説を加えて おこう． すでに述べたようにシャボン膜に対してニュー

（うんも）や石墨のような層状構造をしているが， これらが固体の結晶であるのに対し，石けん膜は 液体であり，むしろ液晶に似ている（液晶はすで に 1888 年頃に発見されている）． ペランは 1910 年以来，パリ大学（ソルボンヌ） の物理化学の教授であったが，その間に 2 つの世 界大戦を経験した．1936 年にはフランス第 1 次

トン以来多くの人が興味をもち，プラトーやレイ

人民戦線内閣の科学研究庁長官として入閣したが，

リーなどの研究が散発的に行われたが，物理的な

1940 年に第 2 次世界大戦でフランスが敗北したと

詳しい観察を行い，石けん膜や薄膜の構造に関す

きニューヨークに逃れ，その地で没した．

る基本的な知見を引き出したのはフランスの著名

ラングミュア（Irving Langmuir, 1881–1957）

な物理学者ペランと，アメリカの GE（ゼネラル・

はアメリカのコロンビア大学鉱山学科を卒業して

エレクトリック社）のラングミュアであった．ラ

から，ゲッチンゲン大学のネルンストの下で学び，

ングミュアがこの研究でノーベル化学賞（1932）

帰国してからスティーヴンス工科大学を経て 1909

を受けたことは，この方面の研究が一つのクライ

年に GE（スケネクタディの研究所）に入社し，以

マックスを迎えたことを物語っている．

後 40 年の研究生活を送った．初めにタングステン

ペラン（Jean Baptiste Perrin, 1870–1942）も

電球の短寿命の原因を調べ，タングステン・フィ

ノーベル賞（物理学賞，1926）を受けているが，

ラメントが低圧下で酸素の単原子吸着層でおおわ

これは沈降平衡とブラウン運動の研究（1908）に

れることを明らかにした．このような研究から，

よってアボガドロ数（1 モルの分子数）を導き出

水面上の油の膜が固体面上の吸着層とよく似てい 第 10 章 教育

151

ることに気づいて，単分子層吸着の概念を提唱し， この見地から油が水面上で広がる機構を考察した．

汚れ 石けん膜

ふつうに言う石けんとは，1 分子中に含まれる炭 素数が 16 前後の長鎖脂肪酸のナトリウム塩であ

触媒

る．たとえば炭素数 18 のステアリン酸ナトリウ

a

ムの 1 分子は

図 3.10

b

c

洗剤が汚れを除去する過程（a → b → c）（◦—は個々の洗剤分子を示す）．

RCOONa = CH3 (CH2 )16 COONa （CH3 はメチル基，CH3 (CH2 )n は炭化水素基（略 記号 R），COOH はカルボキシル基と呼ばれる） である．石けん分子は水と加水分解反応

RCOONa + H2 O → RCOOH + NaOH を起こして脂肪酸 RCOOH を生成する．

存在を証明したことである． いわゆる界面活性剤では，分子の配向により，水 面に一定の原子団が並び，泡立ち，油の乳化，洗浄， 潤滑，ぬれ，微粒子の分散と分離などの現象を起 こす．このような単分子層の発見者としてラング ミュアは 1932 年にノーベル化学賞を受けた．固体

炭化水素基 R は水に不溶（疎水性）であり，そ

表面上に累積膜をつくるラングミュア・ブロジェッ

のため脂肪酸は全体として水に不溶であるが，カ

ト法（1934）も有名である．これはラングミュア

ルボキシル基 COOH は水と結合（親水性）する．

の協力の下にブロジェット（K.B. Blodgett）が案

そのため石けん分子は，カルボキシル基を下にし，

出したものである（ブロジェットも女性）．

炭化水素基を上にして水面上に並んで単分子膜を

最近，界面の現象は物理学や生物学における重

つくる，とラングミュアは考えた．レイリーも石

要な課題となっている．生物は 60∼70%が水であ

けんが水面上に単分子膜をつくると思ったが，石

り，それが細胞膜の微妙な働きによって形と機能

けん分子が球形であると仮定していたので，彼ら

を保っているのが生物である．葉緑素も半導体に

の推論には無理があったわけである．

似た細胞膜の作用によって太陽エネルギーを捕え

ラングミュアは石けん膜の中の分子の配列の有 様を明らかにするために，炭素数が異なるために 長さが異なると思われるいくつかの石けん分子に

ている．

5. 教育と社会環境

ついて実験を行って，一定量の石けん膜が単分子膜

今回は界面物理学を例にして，1 つの基礎的分野

で水面をおおうときの面積を測定した．この面積

がどのように確立されるのか，あまり数多くない

を分子の数で割れば分子 1 個あたりの占有面積が

研究者がそれをどのように押し進めたかを述べて

求められ，これを用いて分子の長さも求められる．

みた．彼らがこの研究を始めた頃は界面の分子層

また，ラングミュアは，石けん分子が水面に浮ん

に対する知識が少なく，その意味で彼らは素人に

だ状態で横から圧力を加えて圧縮していくと，最

近かった．彼らは当時まだ見ることのできなかっ

初に分子がばらばらに水面に浮んでいる状態，す

た単分子層という概念を樹立した．その研究過程

なわち 2 次元的な気体から，2 次元的な液体と思

に教えられることは少なくないと思う．

われる状態を通って，最後に最も圧縮された 2 次 元の固体状態になることを明らかにしている． ラングミュアの仕事の最も大きな功績は，X 線

最近は若い人たちの基礎的な学力が低下してい ることが繰り返し注意され，ことに理数系の学力 が低いと憂慮されている．

による構造解析のできる前に分子の形を推定し，

しかしまた他方で，2002 年のノーベル賞は物理

ゆるぎない基礎的実験によって単分子膜の中の分

学賞と化学賞の 2 つが日本の研究者に与えられ，

子の配列状態（配向）を明らかにし，単分子膜の

このダブル受賞は日本人の科学的才能の高さを示

152 第 3 編 物理学とは何か

すものとも言われている． ダブル受賞の研究の一つはニュートリノ物理学 を拓くものであり，他の一つは蛋白質分子の質量

も相当大きく蛇行するのである．義務教育の在り 方の問題も大学の民営化の問題も大きな危うさを もっていることを銘記しなければならない．

分析法の新しい開発である．これらは大きく離れ

義務教育的な事柄の多くは小中学校よりも家庭

た研究分野に属するものであり，共通する点はほ

が本筋となるのが本当であろう．そのためには家

かの人がまったく無理であろうと考えた研究を押

庭が落ちついた機能を果たせるような社会環境を

し進めたことだったと見る向きもあるが，直観的

とり戻すのが第一である．

に可能性を見出したのはやはりえらいことである．

現在の社会で日本人の多くは重いストレスに悩

前にもちょっと述べたが，ロボットならば電気

まされている．アンケートによると，その最大の

を通すだけで必要なことを覚えさせることができ，

原因は将来の見通しが立たないことであると言う．

ロボットを教育するのも簡単であろう．条件反射

今の生活が十分でなくとも，将来の見通しが明る

（パヴロフはこれでノーベル賞を受けた）を利用す

ければその国は楽しい．それに反して老後の生活

れば，思うままに人間を教育することができると

が保証されない国はますます落ち込んでいくわけ

考えた人もあった．しかし人間は条件反射だけで

である．政界，経済界の人に期待したいことはい

生きているものではない．ロボットに一律な教育

つも山積している．

をするように人間の教育も行うならば，それは人

先日，久しぶりに神田の本屋街を散策した．そ

間不用論に導きかねないと思うが，現在の世界の

のとき気がついたのであるが，昔の科学者，たとえ

危うさのもとをいろいろ考えてみると，人間社会

ばニュートン，ファラデー，エジソンなどといっ

が次第にかさかさになって無機化し，ロボット化

た科学者や技術者のことが書いてある伝記物がほ

している危険をはらんでいるような気がしてなら

とんど見られなかった．新刊書の洪水の影にかく

ない．

れてしまったのか，それとも伝記物はことに読者

宗教も義務教育も強い押しつけは，人間の自由 をうばい，自由な発想と発展を閉ざしてしまうが，

の興味を引かないのか．あるいはそのほかに何か の原因があるのだろうか．

そうかといって過度の放漫は人間を動物へ後戻り

指導要領に科学の歴史が欠けているために読ま

させる．社会教育の舵とりのむずかしさの根源は

ないのであったら，自分で調べる情熱をもてばい

深く，昔から続いてきている．人間活動の一代は

いわけである．本を読んだりするときに本のうわ

30 年から 50 年くらいであろうが，教育方針の変

つらを読んだだけでは理解したことにならない．

更などの影響が現れるにはもっと長い年月が必要

また本当に理解したときはその本にもないような

である．したがって教育の行政的な舵とりはいつ

新しい視野が開けなければならないと思う．

第 10 章 教育

153

第 11 章 文化 （何もない空間）

1. ルネサンスをはさんで 人間の現在の生活は科学・技術の上に乗ってい るが，昭和 30 年代よりも前の日本では，たとえ ば手押しポンプの井戸が至る所にあって，基本的

い．自然の創造物は互いに複雑に絡み合った運命 をそれぞれたどっている．科学も，それに将来を ゆだねている人類もそういう創造物の一つにすぎ ないような気がするのである． 科学，あるいは物理学の将来を占うにしても，

には江戸時代の生活が色濃く残っていたように思

いっそ科学のなかった時代を反省してみるのもい

われる．日本が近代化されたのは明治維新であっ

いだろうという気がする．そこで科学が育った西

たということが多いが，生活と科学の接点から見

欧の歴史を手短かに振り返ってみることにしよう．

ると，日本が本当に変わり出したのは昭和 30 年

ギリシャ時代のことは前に少し述べたことがあ

代，1955 年以後であったと思う．その頃を境にし

る．これに続くローマ時代の科学や哲学はギリシャ

て古いものは悪いもの，使い捨てこそ繁栄の象徴

の模倣の域を大きく出なかった．そして中世の終

といった思想が広く普及するようになった．それ

りに十字軍が東方のイスラム文化圏と接触してそ

は生活面だけでなく倫理的，道徳的な面において

の文化を吸収するという事件があった．イギリス

も顕著な変化であったが，一言で言えば物質主義

とフランスの間に百年戦争があって，ジャンヌ・ダ

の蔓延であった．人間はもともと楽を求め物質主

ルクの活躍があり，その後宗教改革があって，フラ

義に走る弱さがあり，そして目先のことに引かれ

ンスは新教と旧教とに分かれて争った．フランス

て何でもやってしまう傾向があるらしく，科学技

王のアンリ 4 世は初め新教についたが，後には旧

術がもたらす公害について熟慮するのは不得意で

教に改宗して 1589 年に即位し，1598 年には勅令

ある．人間の未来は科学技術によって救われるだ

で信仰の自由を認めるなどの変遷があった．この

ろうという楽観主義が依然としてあるし，原子力

間にギリシャ・ローマの古典の復興と個性の重視

発電の廃棄物の処理にしても，将来の科学で何と

を主眼とする革新運動が起こり，神を中心とする

か片付くだろうと思っている．これはまったく無

中世文化から，人間を中心とする近代文化への転

責任な楽観主義である．

換が行われた．これがルネサンス（文芸復興）で

ニュートンの時代からまだ 300 年しかたってい

ある．

ないのであるから，何と言っても科学は新しい知

この時代を生きた代表的な知的人としてモンテー

的産物である．これが将来どういう変貌をとげる

ニュ（Michel de Montaigne, 1533–1592）がいた．

か，人類を亡ぼすことになるか，それとも人類を

彼は科学がまだ存在しなかった時代の人であるが，

救うことになるかということはまったくわからな

自由な立場で自然と人間を見直した人文学者なの

で極めて興味深い．彼の主著『エセー』 （随想録）

イスラム文化との接触による刺激は西欧にルネサ

は彼が一生をかけて書き続けたもので全 3 巻， （岩

ンスを起こす原動力ともなった．続いてコロンブ

波文庫で全 6 冊）の大著である（原 二郎訳） ．こ

スらによる新大陸の発見がある．モンテーニュが

の中で彼はしつこく自己を追求しているが，その

生きた時代はほとんど織田信長の時代と重なる．

結果，自己を越えて人間一般の本質をとらえてい

モンテーニュはフランスのボルドー市に近いモ

るし，その話題は人事百般，あらゆるものに及ん

ンテーニュの城館で生まれた．地方の貴族である．

でいる．モンテーニュという人はとてつもなく偉

フランスがキリスト教の旧教と新教との間で揺れ 動いた時期にあって，彼はフランス王のアンリ 3

大な人であったと思う． しかしモンテーニュから約 100 年後に出たパス

世，アンリ 4 世に仕え，国王軍に加わっている．

カル（Blaise Pascal, 1620–1662）にとって，モ

モンテーニュは 1570 年に隠退し，読書三昧の

ンテーニュは許すべからざる無神論者と思われた

生活に入った． 『エセー』の初版は 1580 年に出版

らしい．パスカルの有名な『パンセ』はモンテー

されているが，その後，死ぬまでの間に絶えず書

ニュの『エセー』に対する反駁の書であるとも言

き改められ，改版されている．彼はラテン語で育

われている．パスカルは幾何学におけるパスカル

てられたので，初期の頃に書かれたものにはラテ

の定理（円に内接する任意の 6 角形の 3 組の対辺

ン語からの引用が圧倒的に多く，ストア主義に心

の交点は一直線上にある）や代数におけるパスカ

酔したらしい．ストア主義では精神を奮い起こし，

n

ルの 3 角形（自然数 n に対し (a + b) の展開係

肉体の感覚を抑えて死や苦痛などと戦うところに

数に関する定理） ，歯車式計算機の発明，そして流

真の自由と幸福があると考える．しかしモンテー

体の圧力に関するパスカルの法則などでも有名で

ニュはむしろできるだけ生活を楽しくしかも合理

ある．

的に全うしたく思う性格だったらしく，ストア主

2. モンテーニュ

義は性に合わないものだったのであろう．人間に ついて深く考え，自然について広く知るにつれて

ここではモンテーニュからパスカルに至る約 100

彼は人間の理性も感性もともに不確実であり，事

年の期間に注目しよう．これは 14 世紀にイタリ

物も本来不確かなものであると悟るに至って，懐

アで起こったルネサンスの影響がフランスに波及

疑主義へと傾くようになった．

してきたが，科学の芽吹きはまだ始まらなかった

『エセー』を書き進めるとともに，彼は人間につ

モンテーニュの時代と，ガリレイ以来の科学精神

いて深く考え，特に自分自身について多く語って

がフランスに到達してきたパスカルの時代とを比

いる．自己の中に人間の矛盾に満ち，誤りやすく，

べることにもなる．この期間を考察することによ

環境や習慣に左右されやすい人間の弱さを認めた．

り，将来起こるであろうところの科学の変革の方

そのため絶対的な真理を求めることはできないで

向が見えてくるかもしれないと思う．

あろうと彼は考えたが，また同時に

モンテーニュからパスカルに至る 100 年はイタ リアで始まったルネサンスがフランスに到達した 時期である．これを年表にまとめてみた（次頁参 照：フランスにおける出来事を中心にしたので，フ ランス人の名は 1 字だけ左へ寄せて書いてある） ． すでに述べたように，百年戦争はイギリスとフラ ンスの間の戦争で，中世はここで終ったとされてい る．エルサレムをはさんだイスラム教徒とキリス ト教徒が戦った十字軍は 13 世紀後半に終ったが，

「魂の偉大さは，昇ったり進んだりすることより も，自分を抑えることを知ることにある．そし てこの適正なものを偉大なものと見なし，秀で たものよりも平凡なものを愛することによって 自分の偉大さを示す．人間として立派にふさわ しく生きることほど美しく正しいことはないし， この人生をよく，自然に生きることほど難しい 学問はない．われわれの病弊のうちでもっとも 第 11 章 文化

155

年表［ルネサンスをはさんで］ 百年戦争 （1337–1453） 中世の終り ジャンヌ・ダルク 1412–1431 コロンブス 1446 頃–1516 アメリカ発見（1492） ダヴィンチ 1452–1519 コペルニクス 1473–1547 地動説 ミケランジェロ 1475–1564 ピサロ 1478?–1541 インカを亡ぼす（1532） ブリューゲル 1525–1569 モンテーニュ 1533–1592 『エセー』 織田信長 1534–1582 アンリ 4 世 1553–1610 ユグノー戦争 （1562–1598） カルヴァン派（新教）の戦い シェークスピア 1564–1616 ガリレイ 1564–1642 ケプラー 1571–1630 トリチェリ 1608–1647 トリチェリの真空 パスカル 1623–1662 『パンセ』，パスカルの原理 ルイ 14 世（大陽王） 1638–1715 ニュートン 1642–1727 『プリンキピア』 （1687） D. ベルヌーイ 1700–1782 ベルヌーイの定理 オイラー 1707–1783 流体力学の創設 ラグランジュ 1736–1819 フランス革命 （1789–1799）

野蛮なのは，われわれの生存を軽蔑することで

要素が緊密に組み合わされた建物みたいなもの

ある」 （『エセー』第 3 巻第 13 章）

で，その一つを動かせばかならず全体がぐらつ

と言っている．彼は懐疑主義を卒業して，自分の 自然な判断に自信をもった哲学をもつに至ったの である． 『エセー』の中には懐疑主義的な考えもし ばしば見られる．それは人間の判断の不確かさを 十分知りつくしていた彼の本心であろうし，ある いはその部分を書いたときの時期にもよるであろ う（ 『エセー』は長い期間にわたって書き改められ，

くからである．…まだいいとも悪いともわから ない，議論の余地のある誤謬を打ちこわすため に，あれほどはっきりとわかっている多くの弊 害を押し進めるのは，まずいやり方ではなかろ うか」 （第 1 巻第 23 章）

3. 自然法則とモンテーニュ

各章の順序もしばしば変えられているらしい） ．全

自然法則は神が司るもので，人間がとやかく言

体として見ると彼は改革を好まない点で保守的で

うべきものではないとモンテーニュは考えたよう

あった．

である．

彼はキリスト教が旧教と新教とに分かれて戦っ た時代に生きたが，次のように書いている．

「人間は事物を前にすると，きまってその真相 を求めるよりも理由を求めることに専心するよ

「どんなものであろうと既存の法律を変更する

うである．事物をほったらかして，原因を論じ

ことには，それを動かしたときに生じる弊害を

ることに没頭するようである．おかしな原因追

上廻るだけの明らかな利益があるかどうか，大

求者たちである．原因の認識は，事物を支配す

いに疑問である．国家というものはいろいろな

る者たちだけがすることである．…われわれの

156 第 3 編 物理学とは何か

理性はこの世界のほかに何百もの世界をでっち

水は別の水に追い越される．常に水は水の中を

上げ，それの原理と構造を見出すことができる．

流れてゆく．小川は常に同じでも，流れる水は

それには材料も土台も要らない．理性は突っ走

常に別の水である」 （第 3 巻第 13 章）

るままに放っておかれると，空虚の上にも，充 実の上にも，無からも，有からも，どんどん建 物を建てていく」 （第 3 巻第 11 章） この話は量子力学のエヴェレットの多世界論（並 行宇宙論）を思わせて面白い． 自然の法則は完全であるはずであるから，人間 はこれを信じていればよい．あれこれと拘泥する ことはないとモンテーニュは考えた．

これは若い頃のモンテーニュに大きな影響を与 えた友人ラ・ボエシの著作からの引用であるが，こ の文章は鎌倉時代に鴨長明（1155?–1216）が『方丈 記』の初めに書いた次の言葉に驚くほど似ている． 「ゆく河の流れは絶えずして，しかも，もとの水 にあらず．淀みに浮かぶうたかたは，かつ消え かつ結びて，久しくとどまりたるためしなし．世 の中にある，人とすみかと，またかくのごとし」

す

「神はいかなる術によってこの世を統べ給うの か．…舵を操る者の善意と能力は，われわれか ら操縦についての心配を完全に取り去ってくれ るはずである」 （第 3 巻第 13 章） 「われわれはわれわれの思想を一般的な問題で， すなわち宇宙の原因とか運行とかの，われわれ なしでも立派に進行する問題で邪魔している． そして人間一般ということよりももっと直接に われわれに関係のある自分自身のことを，ミッ シェル（注：モンテーニュ自身）のことを，な おざりにしている」 （第 3 巻第 9 章） 一般的に言って，若いときに科学の研究に積極 的に携っていた人も，年をとるにつれてこのよう なモンテーニュの考えに近づいていくのかもしれ

水の流れを眺めて，面白いと思い，また無常を 感じるのは，古今東西いずれの人も同じであろう．

4. 何もない空間 イタリアにおけるルネサンスの科学を代表する 人はもちろんガリレオ・ガリレイである．物理学 だけでなく数学も盛んになり，その影響はフラン スにも広がった．まもなくイギリスでニュートン も現れる発展の流れである． ニュートン力学ができる準備段階では，何もな い空虚な空間（真空）の概念を確立することが必 要であった．そしてこれに決定的な寄与をしたの がパスカルである． ギリシャ時代のアルキメデスの学問体系では，

ない．これは西洋でも東洋でも同じであろう．た

真空というものはなかった．別の言い方では「自

だ，人間の平均寿命が長くなるにつれて，あるい

然は真空を嫌う」と言われ，この考えはスコラ哲

は世の中が繁雑になるにつれて，自己を考える時

学によってガリレイの時代まで受け継がれてきた．

間も能力も少なくなっていくらしい．

スコラ哲学者たちは，物体は広がりであり，空間

『エセー』の中には，ときどき思いがけない字句

は実体のあるものと考えた．デカルトさえも，実

が見出されることがある．たとえば「点滴石をう

体のまったくない空間，すなわち真空というもの

がつ」というのは誰の言葉か知らなかったが，こ

は存在し得ないと言い，宇宙は眼に見えない渦に

れはローマの詩人で原子論を唱えたルクレチゥス

よって満たされていて，天体はこの渦によって運

によるものである（第 3 巻第 9 章）．また次のよ

ばれ，運動すると考えた．

うな引用がある． 「このように小川の流れは，水の絶えることがな く，次々に，列をなし，追いつ追われつ，永遠 に流れて行く．あの水はこの水に押され，この

ガリレイが書いた『新科学対話』には，ポンプ のついた井戸のことが書いてある．それは管の上 にピストンとポンプと弁とがあって，水はピスト ンが管の下にあるポンプ（押し上げポンプ）でな 第 11 章 文化

157

く，ポンプによって引き上げられる井戸であった． このポンプは井戸の水面がある一定の高さ以上で あるときには完全な働きをしたが，その高さ以下 のときは水を汲み上げることができなかった．職 人の話では，これは井戸の故障ではなくて，水位 が約 10 m 以下であるときは水を汲み上げること ができないということであった．ガリレイはこの

図 3.11

パスカルはいろいろな形の容器を使って 水の圧力を論じた．

現象を完全に説明できなかった． ガリレイの最晩年の弟子であったトリチェリは，

きた（1648）．

水の 14 倍の比重をもった水銀で実験してみたらど

実験はパスカルの故郷クレルモンの近くのピュ

うかと考えた．この実験はガリレイの死後の 1643

イ・ドゥ・ドーム山（海抜 1465 m）．山頂では水

年に実行された．これが有名なトリチェリの実験

銀柱の高さが麓よりも 7.6 cm 低かった．同様の

と呼ばれるものである．

実験をパスカルはパリの教会の塔（50 m）で行い，

この実験では，上端を閉じてある長さが約 1 m

水銀柱は塔の上のほうが 4.5 mm 低かった．

のガラス管に水銀をいっぱいに満たし，指で下の

地球の表面における大気の圧力は，地球をとりま

口をふさいでおいて，これを水銀を入れた器の中

く空気の重さによるものであることがこれによっ

へ倒立させ，指でふさいだ口を器の水銀の中に入

て証明された．このことを使い，地表における重

れておいて指を開ける．すると管の中の水銀は少

力の加速度と地球の表面積とから，地球をとりま

し下降し，ガラス管の上部に何も存在しない空所

く大気全体の重さを計算することもできるわけで

ができる．この空所がいわゆるトリチェリの真空

ある．実際パスカルはこのような計算にあって地

である．

球上の大気全体の重さを試算したと言う．

トリチェリはこの実験結果を次のように説明し

このような計算により，地球をとりまく大気層

た．空気には重さがあり，我々は空気の海の底に

の厚さは約 10 km であることがわかる（これはい

いるわけである．空気の重さのための圧力は水銀

わゆる大気圏の厚さである） ．したがって地表から

柱を約 76 cm 押し上げる強さをもっている．

10 km 以上の上空から外はほとんど空気もない真

パスカルは友人とともにトリチェリの実験を検

空の空間が宇宙の果てまで広がっていることにな

証し，さらに 20 m 以上もあるガラス管の装置を

る．10 km と言えば東京・横浜間にも及ばない距

作らせ，水やぶどう酒などを使って実験を繰り返

離である．このようなことから，極めて薄い大気

した．水銀を約 76 cm 押し上げる空気の圧力は，

の層で囲まれて真空の宇宙の中に浮かんでいる地

水銀の 1/14 の比重をもつ水では約 10 m の高さ

球の有様を思い描くことができる．

に押し上げ，その上部に真空ができることが確か められた．

こうしてガラス管を満たすたった数 cm のトリ チェリの真空から実際に真空という何もない空間

これでトリチェリの真空ができるわけが立証さ

が存在することが発見され，これがニュートン力

れ，その原因は空気の重さによる圧力であること

学の基礎の一つになった．すなわち，ニュートン

がほとんど明らかにされたわけであるが，パスカ

によれば，物体の運動は物体の運動と無関係に存

ルはさらに，空気の重さによる圧力であれば，山の

在する何もない空間（真空）の中の運動として理

上へ行くとこの圧力は小さくなるに違いないと考

解される．これは，現在ではわかりきったことの

えて，これを検証したのであった．もっとも，彼

ように思われている．

は身体が弱かったので，義兄のペリエに依頼して この実験を行い，期待通りの結果を得ることがで 158 第 3 編 物理学とは何か

しかし，何もない空間が存在すると考えるのは， やはり何か矛盾した言いまわしであるような気が

してならない．実際，このニュートン力学におけ

れを実物の広がりと比べることもできる．もしも

る空間の概念は一時的なごまかしであった．これ

部屋の立体図（設計図）を描くなら，これと作ら

はニュートンから 200 年以上たって 1905 年に

れていく部屋の実物との関係（写像）を確認する

アインシュタインが打ち出した特殊相対性理論と

ことができる．こうして我々は紙上に描かれたも

1916 年の一般相対性理論によって明らかにされ

のや頭の中で想像する空間と現実との対応関係を

た．何もないとされた空間は実は重力場という実

確かめることによって危うげのない空間認識が構

体であったのである．真空の嫌悪はさらに根深い

築される．

ものであるらしい．これはさらに将来の統一場の

実際には手や物差しなどの基準になるものの長

理論か何かで繰り返し問題になるであろうからで

さ，位置，方向を基準にして空間の広がりが確か

ある．少し大げさに言えば，パスカルによる真空

められ，放物体やその他の運動が空間の中で明ら

の実験によって真空の存在が明らかにされたのは，

かにされる．このように基準になるものを考える

最近のニュートリノの質量確認実験によって宇宙

ことができるから，その周りの空間が測られ，確

のありようが見直されるようになったのと同格な

定されるわけである．こう考えれば，空間という

物理学史上の大事件であったと言えるであろう．

もの，真空というものも，実は何もないものでは

しかしそこまでいかなくても，何もない空間の

ない．どこかに基準になる物体があってこその空

認識は次のようにもっと人間的に（発生学的に）

間であるということになる．

考え直すことができる．人間の空間認識の始まり

このように操作主義的に考えれば，パスカルの

は，人間が生まれて身の回りの空間の深さを手探

真空実験より前にガリレイなどが放物体の運動を

りで確かめることから始まると言ってよいであろ

空間の中で正しく扱ったり，ギリシャの建築家が

う．眼はこれと連動してさらに深い空間の存在を

パンテノンなどを空間の中で正しく建てられたわ

我々に知らせてくれる．さらに我々は部屋の中の

けも発生学的に理解できるのではなかろうか．

机などの家具を描いたり，心に想像したりしてそ

第 11 章 文化

159

第 12 章 人間 （波と粒子）

1. 古典的な客観性

粒子）とは微小な空間を占める球のような粒のこ とで，まったく直観的な概念である．

自然科学では観察と実験によって自然を正しく

他方で古典物理学において，ホイヘンス以来，光

認識できるとしていて，このような信条は，フラ

は波であると言われてきた．波とはバネの波，水

ンシス・ベーコン（1561–1626）に始まるとされ

の波，音の波のようにある程度の広がりと周期性

ている．デカルトより少し前のことである．彼の

をもった運動を指すもので，これもまったく直観

信条は，これによって自然を支配することのよう

的な概念である．

に解され， 「知は力なり」と要約されて有名である

粒子と波とは全然違うカテゴリの概念であるが，

が，さらに「知によって自然を征服せよ」などと

粒子の運動と波の運動の 2 つを並べて基本的な運

誤解されるかもしれない．むしろ学生の頃に何か

動と呼んだりするのが習わしである．物理学にお

で覚えた「格物致知」という言葉に近いのではな

いても日常的な，経験的に取得された概念を用い

いかと思う．この言葉は，個々の事物をきわめる

ることを余儀なくされることがある（粒子とか波

ことにより普遍的な理解に達することができると

とかいうのもその例の一つである） ．厳密に吟味し

いうふうに解釈される．

ないで導入した概念が再検討を要するものである

さて，自然を正しく認識するなどというが，も ともと自然はこれが正しいと教えてくれないから， これは人間の側の判断であり，この場合「正しい」

か否かはその必要が出てきたときに考えるのが物 理学のやり方であろう． とにかく電子の存在を示した J.J. トムソンの実

というのは「普遍性をもっている」ということに

験などにより，電子は粒子であり波ではないこと

ほかならないこと，言い換えれば， 「客観性をもつ」

が証明されたと思われた．また光の干渉実験など

ということであろうか．

は光が波であり粒子ではないとすることによりす

古典物理学はニュートン力学とマクスウェルの

べて説明されると思われた．そしてこの時点では，

電磁気学という 2 つの柱によって構成されている．

電子と光の性質が正しく認識されたと考えられた

ニュートン力学では自然現象に無関係に存在する

のであった．

絶対空間と絶対時間の枠の中で物体が運動法則に 従って運動すると考える．19 世紀末に電子が発見

2. 波と粒子の二重性

され，次いで 20 世紀の初めに原子核が発見され

しかし実は光も電子も上に述べたような古典的

て，これらや原子などが物体の究極的な粒子であ

な認識をはるかに超えた存在であった．まずプラ

ると考えられるようになった．ここで粒子（物質

ンクの熱輻射の法則（1900）とアインシュタイン

の光電効果の理論（1905）によれば，光は単なる

ることがわかる．個々の電子の進み方に再現性は

波ではなく，エネルギーと運動量とをもった粒子

ないのである．しかし，同じ実験を繰り返して，ス

（光子，フォトン）の流れと解さなければならない．

クリーン上に来る電子の分布を調べれば，その結

またド・ブロイが主張した（1923）ように，ふつ

果は電子が波であるとしたときにその波が作る干

うは粒子と考えられている電子（などの物質粒子）

渉縞の濃淡と一致することがわかる．光について

は波動性を合わせもつ（これはデヴィソンとガー

も似たような結果が得られる．

マーの実験（1927）により検証された．この種の

物理的実験や観察の目的の一つは，その結果か

実験では電子の流れを結晶に当てると結晶格子に

ら将来の運動や変化などを予測することである．

よって散乱されて干渉縞が観測される）．すなわ

古典物理学においては実験は必要なだけ十分詳し

ち，光子も電子も粒子であると同時に波でもある．

く行うことが可能であるとされている．そのため

この古典物理学では理解できない属性を波と粒子

には実験がその対象に予知不能な影響を与えない

の二重性と言う．

ということが必要である．しかし量子力学的な場

しかし，光や電子が波としての性質を現すのは， 光学的なスリット（間隙） ，結晶格子などを用いた 干渉実験のときであり，これらが粒子としての性

合にはこのような古典的な実験の条件が満たされ ないことが次のような例からもわかる． いま 1 個の電子の位置と速度（あるいは運動量）

質を現すのはテレビのブラウン管や質量分析器な

を予測する実験，すなわち現在における電子の位

どを用いた実験においてである．これらの場合，

置と速度を光学顕微鏡で観測し，その結果から電

どのような実験装置を選ぶかによって光子や電子

子の将来の位置と速度を予知する実験を行う場合

は異なる属性を現すのである．次のように言える

を考える．光は波であるから光を用いて得られる

かもしれない．光子や電子はもともと波でもなく

情報には波長程度のぼやけがあり，位置の測定に

粒子でもなく（それほど深い実在ではないという

は波長の長さ程度の不確かさが生じる．光学理論

人もある）実験の方法によって波のような属性，あ

によれば，位置の測定の不確かさ（Δx とする）は

るいは粒子のような属性を現すようなある存在で

λ/ sin ε である（ここで λ は光の波長，ε は顕微

ある．いずれにしてもその存在を波とか粒子とか

鏡のレンズの大きさ（図 3.12 参照）である）．

いう古典物理学的な言葉で表そうとするところに

次に，このような観測のためには，少なくとも

無理がある．そこでこのような二重性をもった存 在をウェーヴィクルなどという新語で表そうとし た人もあるが，そういう新語で定着したものはま だ存在しない． とにかく，電子も光も粒子であり波でもあると いう二重性をもつという事実は，運動の形式を粒 子か波かに分ける古典的な分類の枠組みが，量子 力学の世界では通用しないことを明らかにするも のであった． 量子力学の世界においては，電子や光はもう少 ε

し気ままに振る舞う．たとえば小さな孔やスリッ トに向けて十分弱い電子の流れを当て，その先に 電子

立てたスクリーンのどこに電子が来るかを調べる 実験をすると，一個一個の電子は真直ぐにスリッ トを通らず，スクリーンの上のあちこちに散らば

光

x

図 3.12 電子の測定（思考実験）． 第 12 章 人間

161

1 個の光子が電子で散乱されて顕微鏡のレンズを

はアインシュタインがボーアと有名な論争を行っ

通らなければならない．量子力学によれば，光子

た問題点であるが，これについてここで述べるこ

1 個のもつ運動量の大きさ p は波長に反比例し

とはとてもできない．

p = h/λ で与えられる（ここで h はプランク定数 と呼ばれる量子力学の基礎定数） ．光子がもつ運動

3. 観測と実在

量のためにこれを散乱する電子の運動量は Δp ∼ p

物理学においては感覚を通して知られる自然界

程度の変化を生じる（コンプトン散乱） ．この衝撃

の実在を研究対象とする．人間は自然に働きかけ

の大きさは正確にはわからない．なぜなら，散乱

て実在を確かめ，変化の法則を追求する．これは

された光子が顕微鏡のレンズのどこを通ったかわ

明白なことであるが，その「実在」とは何かと問

からず，散乱された電子が進む方向もよくわから

い直すと話はたいへん難しくなってくる．

ないからである．このために電子の運動量に生じ

昔の物理学における客観的存在の定義は，ほと

る電子の運動量の不確かさを Δp とすると，少な

んど自明であった．すなわち，同じ条件の下では

くともその程度は

誰が観察しても，誰が実験してもいつも同じ結果

p sin ε =

h sin ε λ

になるとき，その対象である物体や現象は実在す ると言える．この意味で幽霊などは実在しないこ

の大きさをもつ．したがって位置の不確かさ Δx

とになるだろう．虹（にじ）の足なども実在すると

と運動量の不確かさ Δp の間の関係として

言えないかもしれない．しかし普通の物体の存在

Δx · Δp  h が成り立つ．

はこの定義によって客観性を判定できるであろう． 上に述べた客観的実在の定義は，古典物理学の 世界ではほとんど自明であるが，量子力学ではたい

上式の関係を不確定性原理と言う．これは量子

へんあやしい．すでに述べたように，細いスリッ

力学的な対象である電子や光子などに測定を加え

トを通して電子 1 個を送り，その先に置いたスク

れば，その体系に必ず予測不可能な影響を与えて

リーンの上に当てる実験を行うと，実験の設定は

しまうことを述べている．もちろん厳密に言えば，

まったく同じであっても電子が当たるスクリーン

どのような体系においても，測定は必ず対象に影

上の位置は実験ごとに違ってしまう．このような

響を与える．ただ古典物理学的体系においてはそ

実験では，実験するたびにその結果が違ってしま

の影響を無視できる場合が多いということである．

うので，電子の古典的な実在性は疑わしいと言わ

もちろん物理学以外の分野，たとえば人間に関す

なければならない．電子 1 個や光子 1 個を走らせ

る生理的，あるいは社会的現象においてはこの影

てスリットを通すというミクロ的な実験はナノテ

響が無視できないことが多いに違いない．

クノロジーの発達によってまったく容易になって

なお，上に述べた不確定性原理の説明で，初め

いる．細いスリットを通して光子 1 個を送る実験

には電子と光の運動が詳しく追跡できるという前

では，光子はスクリーン上に 1 点として現れるの

提から出発しながら，最終的には，正確に追跡でき

で粒子として認められるが，そのスクリーン上の

ないという結論に達した．前提と結論が矛盾して

位置は実験のたびに違ってしまう．したがって光

しまったので，ここで述べたことは不確定性原理

子も古典的な粒子としての実在性が疑わしい．

の証明になっているわけではない．不確定性原理

すでに述べたことであるが，このような実験に

は他のことから導き出されないから「原理」なの

おいては，実験の仕方によって，電子や光子は粒子

であろう．しかし不確定性原理だけから量子力学

として現れたり，波として現れたりする．それは

を導くことはできない．量子力学にはもっと広域

単なる粒子でもなければ，単なる波でもない．こ

的な現象である非局所性があると思われる．これ

れを表す概念は古典物理学にはなかったので，電

162 第 3 編 物理学とは何か

子や光子は古典物理学にはない存在と考えなけれ

クス力学とも呼ばれる．次の年にシュレーディン

ばならない．これは量子力学特有の存在の在り方

ガーは電子などを表す波動を導入したド・ブロイ

であり，測定の仕方によって粒子としての属性を

の考えを継承した量子力学を発表（これは波動力

現したり，波としての属性を現すものであるもの

学と呼ばれる）．さらにシュレーディンガーは単

であると言ったほうがいいだろう．特定の測定を

振り子を扱ったとき，そのエネルギー準位がマト

行うまでは，それは存在するとも存在しないとも

リックス力学でも波動力学でも同じになることに

言うことができないとも考えられる．アインシュ

着目し，これらの量子力学が形式は異なるがまっ

タインは自然現象をこのように考える量子力学に

たく同等なものであることを証明した．行列力学

対して強い不満を表明し，次のように言ったと伝

は行列計算に不慣れな当時の物理学者たちに面倒

えられている．

がられたのに対し，波動力学は波の計算に慣れて

「神はサイコロ遊びをしない」 「ネズミが宇宙をちょっと見ただけで宇宙を がらりと変えてしまうということは，全く想 像できない」 「見ている間だけ月が存在している，などと 真面目に考えられるかね」 彼は量子論の確率論的な解釈に不満で，より決

いた数理物理学者たちに喜んで受け入れられたよ うである． シュレーディンガーは彼の方程式を用いて水素 原子の中の電子を扱って成功した．このとき，電 子はただの 1 個であるから，電子の状態を表す波 動関数 ψ（プサイ）は座標 x, y, z の関数である． 彼は波動関数 ψ を空間に実在する波と考えたいと 思った．

定論的な理論を求めた．また多くの人が実在は観

しかし 2 個の電子に対する波動関数は，一方の電

測者の創造であるという意見に賛成するのも気に

子の座標 x1 , y1 , z1 と他方の電子の座標 x2 , y2 , z2

入らなかった．

との関数であり，これは 6 次元空間の関数であっ

量子力学においては，電子や光子などの状態を

て，これを直ちに 3 次元空間の中に実在する波と

表すのに波動関数というものを使う．これは我々

考えるわけにはいかない．N 個の電子からなる系

がその状態に対してもっている知識を表すもので，

の波動関数は 3N 次元の空間のものである．

観測を行えば我々の知識の変化に応じて波動関数

したがって波動関数は実在する波とは考えにく

も変わる（これを観測による波動関数の収縮と言

いのであるが，そんなことにこだらわずにシュレー

う）．波動関数はその 2 乗が確率を表すので，確

ディンガー方程式を解けば，いろいろの物理量や

率振幅などと呼ぶ人もある．

現象を計算したり，説明したりすることができる．

波動関数を ψ で表そう．量子力学の基礎方程式 はいろいろの表現があるが，これを

i

∂ψ = Hψ ∂t

√ と書くことができる．ここで i = −1,  = h/2π ．また H はエネルギーを表し，ψ に時間 的変化を生じさせる演算子（作用素）である．上 式をシュレーディンガー型の方程式，あるいは単 にシュレーディンガー方程式と言う． ハイゼンベルクは，観測される物理量だけを扱 い，それらを行列（マトリックス）で表現する形式の 量子力学を 1925 年に発表した．これはマトリッ

シュレーディンガーは精力的に波動力学を活用し てみせたが，波動関数とはいうものはいったい何 であるかという疑問は，依然として不明のままで あった．そこである人はこの情況をからかった歌 を作った（エルヴィンというのはシュレーディン ガーの名前である） ： エルヴィンはえらくたくさんやって見せる プサイを使った計算を けれどもこいつがまだ見えぬ プサイはほんとは何なのか （エミリオ・セグレ著『X 線からクォークま 第 12 章 人間

163

で——20 世紀の物理学者たち』みすず書房 （1982）による）． 音は空気中の波動であり，光は電磁気的な波で ある．これらの古典的な波を記述する式は，空気 の圧力，空気が動く速度，あるいは電場の強さや 磁場の強さなどを表している．これらは測定しよ うと思えば測定でき，疑いもなく実在する物理量 である．これに対し量子力学における波動関数が そのような意味で実在する物理量とは考えられな いことはすでに述べた通りである．言い換えれば， 古典物理学ではどの方程式に現れる量もすべて実 在するもので，観測し得るものと考えられるが，こ れに対し量子力学における波動関数は実在するも のとは思えない．それは我々が直接理解すること はできない自然界の実在と我々との間のかけ橋と なる数学的な抽象物であるとしか言えないような 気もする．数学で表されたものに説明をつけると いう問題はかなり厄介なことなのである． 波動関数を理解する大きな手がかりを見出した のはハイゼンベルクの先生のボルンであった．そ の見解によれば波動関数 ψ(x, y, z)（一般に複素数 である）の絶対値の 2 乗 |ψ(x, y, z)|2 は，電子が 位置 (x, y, z) に見出される確率を表す．運動の基 礎的な問題に確率をもち込むことはたいへんな飛 躍であるが，スリットを通る電子や光子の振舞い などを理解する手がかりとなるので波動関数は確 率を与えるものとして認められるようになった． しかし，ψ の絶対値は確率振幅としての意味を もつとしても，ψ の位相（ψ = |ψ|eiϕ と書いた ときの ϕ）は何かという疑問もあるであろう．こ れはもちろん ψ 波の干渉効果を表すものである． 最近のナノ技術の発達により，波動関数の干渉効 果を詳しく測定できるようになってきた．波動関 数の実在性は次第に明らかにされてきたようであ る．さらに波動関数の広がりは量子力学の非局在 性を意味し，大きな問題を含んでいるものと思わ れている．

1930 年頃に水素原子が 2 個結合して分子を作 る化学結合の問題や，分子間力，金属結合などの 164 第 3 編 物理学とは何か

問題がすべて量子力学によって解決された．物理 学と化学との統合がなされ，物理学は物質の科学 としての面を強めたのであった．

4.『生命とは何か』 量子力学の基礎方程式であるシュレーディンガー 方程式は波動関数 ψ の変化に対しては決定論的な 方程式であるが，|ψ|2 が与えるのは確率であるか ら，実は量子力学は非決定論的な理論である．し かし，量子力学の建設に大きな貢献をした人たち の中でも，プランク，アインシュタイン，ド・ブ ロイ，シュレーディンガーなどは量子力学の確率 論的な解釈に強く反対した．この人たちは物理学 の基礎理論が決定論的でないことに対して強い違 和感を抱いたのであった． 量子力学的な現象に非決定性があるのは，不確 定性原理で明らかなように，観測がその対象に予 想できない影響を与える可能性があるからである． しかし，自然科学でも進化論などは決定論とは言 えないだろうし，化学反応なども決定論でなく，原 子の確率論的な衝突によって進行する．広く世の 中を見渡せば，完全に決定論的なことなどほとん どないことに気がつく． 少なくとも古典物理学の基礎的な現象は決定論 であると信じている人はいるかもしれない．少な くとも 2 個の粒子が衝突して散乱される実験は決 定論的であるとも言える．しかし 3 体問題として よく知られているように，3 個以上の粒子が作用 し合う運動はカオス的である．カオス的な現象で は，初期条件に無限小の違いがあれば，将来は予 測できない差違が生じてしまう．したがって，カ オス的現象は（圧倒的に）非決定論的である． さて，量子力学を作ったシュレーディンガーは 波動関数を実在の波と考えようとし，その後の量 子力学に不満をもつようになって，量子力学の問 題から次第に離れていった．彼は 1927 年にベル リン大学教授となったが，台頭してきたナチスを 嫌い（彼自身はユダヤ人ではなかったが） ，イギリ スのオクスフォードへ移った．さらに 1936 年に はオーストリアのグラーツ大学へ転じたが，ナチ

スに追放されて着のみ着のままでローマへ脱出し，

もたらしたワトソンとクリックも，この本を読む

1939 年にはアイルランドに設立された高等研究所

ことがなかったら生物学への道を歩まなかったで

の教授になった．1943 年の連続講演をもとにして

あろうと述べている．

『生命とは何か』という本を書いた．気管支炎と喘

量子力学の確率論的解釈に寄与し，指導的役割

息の発作に悩まされるようになって，1956 年には

を果たしたニールス・ボーアは不確定性原理をさ

ウィーンへ戻りウィーン大学教授になった．1961

らに広く捉えて，相補性という概念をたてたが，

年に亡くなり，彼が好んで夏を過ごしたチロルの

生命に対しても物理学的に理解できる面と，ほか

山村に葬られた．彼の生涯は当時の世界情勢を反

の考え方をしなければならない面とがあり，これ

映し，波瀾万丈であったとも言える． 『生命とは何

らが互いに補い合って生命の理解に達するだろう

か』の出版をめぐっても宗教的なトラブルがあっ

という考えをもっていた．これに対し，シュレー

て，出版元をとりかえなければならなかったとい

ディンガーは，むしろ生命を物理的あるいは機械

う話である．

論的なものとして理解しようとした．最近の分子

この本は，生命体は絶えず負のエントロピーを

生物学や遺伝子工学の著しい発達を考えるとこの

食べることによって組織の秩序を保つことができ

方面の科学に対する寄与ではシュレーディンガー

るという観点に立っている．彼はその機構にまで

のほうがボーアよりも先進的であったとも思える．

立ち入ることはできなかったが，物理学の観点か

しかし，波動関数を実在する波とする彼の考えに

ら生物学を考察する流れを巻き起こし，分子生物

固執した点だけを見ても，むしろ彼は最後の古典

学の発展に大きなインパクトを与えた．遺伝子，

物理学者であったという気もする．将来の生物科

DNA の構造を明らかにして分子生物学の隆盛を

学はどの方向へ進むのであろうか．

プランク定数 原子は正電気をもつ原子核と，その周りを回る負

あることにも，また電子がすべて区別できないこと

電気をもつ電子とからできている．これらは正と負

とも関係がある．これらのことは古典力学では考え

の電気であるから，そのままでは互いに引き合って

られない，量子力学に特有な事柄である．

くっついてしまうので，原子はほとんど大きさがな

量子論を創造したド・ブロイ，シュレーディンガー，

くなり，すべての物質も大きさがほとんどなくなっ

プランク，アインシュタインといった人たちは，こ

てしまう．

の奇妙な量子力学の原理を最終的に飲み込めなかっ

原子内の電子の運動に制限を加えて，原子核と電

た．これらの人たちは最も合理的で純粋な物理学を

子が静電力でくっついてしまわないようにしている

求めた人たちだったと言えるだろう．現在量子力学

のはプランク定数 h である．

を使って仕事をしている人たちは初めから，あるい

プランク定数 h の次元は (運動量) × (長さ) であ

はどこかで現在の量子力学には賛成できない点があ

り，電子（あるいは一般に粒子）の運動量の不確定

るのをがまんして，決まりどうりに計算すればよい

さ Δp と電子の位置の不確定さ Δx の積は h より

と思っている．

小さくなれない，すなわち

ΔpΔx > h

「量子力学がわかっているという人は，それを理 解していない人である」とか「あきらめの量子力学」 などと言っている人も多いらしい．

は不確定性原理である．不確定性原理は電子が波で 第 12 章 人間

165

第 13 章 生命 （生命とは何か）

1. 量子力学と原子・分子

て，そのために生物は無生物のできない働きをす ると考えていた．今でもそう思っている人がいる

前章や第 8 章において述べたように，量子力学

かもしれない．しかし現在では，生物の体の組織

を創設したシュレーディンガーは 1944 年に『生命

や営みにおいても物理的な法則が成立しているに

とは何か（What is Life） 』を出版した（岡小天・鎮

違いないと考えている人が圧倒的に多いであろう．

目恭夫訳，岩波新書，1951） ．もちろん彼は純然た

生物の体の構造や物理的化学的な働きが，人工的

る理論物理学者であって生物学の専門家ではない．

な創造物をはるかに越えた精密さをもったもので

そして彼がこれを書いた時代には，科学者は自分が

あるのは当然だが，いつかは科学的に解明される

専門としていない問題について書いたりしゃべっ

に違いないと思われている．

たりしないことが，ほとんど約束のように思われて

生物の営みに対する理解がこのように大きく変

いた．最近の科学者は専門外のことにも相当気楽

化してきたのは，もちろん科学の着実な進歩による

に発言したりするようになったが，これは学問が多

ものである．ことに量子力学の発展がこれを可能

方面へ向けて広がり，境界領域の研究が盛んになっ

にした．量子力学は古典物理学に比べてはるかに

たためでもあって，決して悪いことではない．と

物質の性質に深く関わっているという特徴がある．

にかくシュレーディンガーが物理学者の殻を破っ

逆に言えば古典物理学は量子力学に比べて形式的

て生物学の基本的な問題について発言したのは当

で，いくらか空疎でもある．古典物理学では野球

時としては画期的なことであった．今この本を再

のボールも電子も物体の運動としては同じように

び読んでみると，それほど驚くべきことが書いてあ

扱われるが，量子力学（もっとはっきり言えば素粒

るような気がしない．むしろ当然のことが書かれ

子物理学）ではこれらはまったく異なるカテゴリー

ているような気もする．ということは，その後の

の存在である．このような差異は古典物理学と量

分子生物学がシュレーディンガーの述べた方向に

子物理学の長所でもあり，短所でもあると言える

近い線をたどって発展してきたということである．

ように思う．この 2 つの物理学はそれぞれが興味

確かに 20 世紀以前には，物理学の対象と生物学

深い特色をもち，それぞれの活躍の場をもってい

の対象との間には生命のあるものとないものとい

る． おそらく哲学的には， 異なる 2 つの学問と言っ

う大きな違いがあり，そのためこれらの学問には

ていいのだろう．古典物理学は形式的で絵空事め

考え方にも進め方にも根本的な差があるのが当然

いているのに対し量子物理学は現世的で生々しい

と，多くの人が思っていた．相当多くの人は，生物

とも言えそうである．この対比はたいへん面白い

には生命力，あるいは魂というようなものがあっ

が，知っている範囲では立ち入った議論が少ないよ

うな気がする．いずれにしても，話が少し脱線気

を与えるに止まっていたためかもしれない．この

味になったので，もとのレールに戻ることにしよう．

理論を改良してよりよい値を得るには極めて煩雑

さて，シュレーディンガーが量子力学をつくっ

な近似計算をしなければならない．水素よりも複

たのは 1926 年である．そのとき彼は水素原子が

雑な原子に対してこれはほとんど（今では計算機

出す光のスペクトルを解明するのに成功したので，

の能力が上がっているので改善されたにしても）

その理論を発表したのであった．

不可能であった．したがって物理学と化学とが統

物質の科学という立場からすれば，次にくる問

一されたと言っても，それは「原理的には」とい

題は水素原子が 2 個集まって水素分子ができるこ

う但し書きが必要であったからかもしれない．水

とを解明しなければならないことになる．実際，

素原子はただ 1 個の電子をもつが，ほかの原子は

翌年の 1927 年にはハイトラーと F. ロンドンと

多数の電子をもつので波動関数はずっと複雑であ

がこの問題——水素原子の化学結合の仕組み——

る．このような原子や分子は多電子系であり，ス

を明らかにするのに成功した（F. ロンドンと書い

ピンまで考慮した電子状態のそれぞれに 1 個の電

たのはその弟に超伝導理論に対する寄与で知られ

子しか入り得ないという排他性原理（パウリの原

た H. ロンドンという人がいたからである）．

理）に従う．この制約のために多電子系の波動関

1 個の水素原子は 1 個の電子をもっている．2 個の水素原子が結合して 1 個の水素分子になるの は，2 個の電子が結合状態をつくることである．

数は電子の入れ替えに対して反対称性をもたなけ ればならないことになる． このようにして，原子や分子ばかりでなく，金属

ハイトラーとロンドンの理論では，それぞれの水

や半導体などのマクロ的な物質がすべて量子力学

素原子に属する電子の波動関数を組み合わせて，2

的に扱われるようになった．これは量子物理学の

個の電子に対する近似的な波動関数をつくり，結

大きな分野であって，物性論と呼ばれている．物

合によるエネルギーの変化（結合エネルギー）を

質に関する物理学は便宜上，素粒子論と物性論に

計算した（詳しいことは省略するが，電子はスピ

二分されることも多い．

ンをもち，波動関数は 2 個の電子のスピン状態に 関係するが，化学結合が起こるのは 2 電子のスピ ンが逆方向になった状態のときである）．

2. 無周期性結晶 さて，シュレーディンガーが『生命とは何か』の

物質は原子からなり，原子は化学結合によって

中で扱った主題は，遺伝の仕組み（その永続性と突

分子をつくる．このことは化学という学問の基礎

然変異）と生命を維持するという事実である．これ

である．量子力学の創設によって水素原子の理論

らの生命体に特有な事柄について彼は物理的，ある

と水素の化学結合の理論とが相次いでつくられた

いは分子的なレベルで考察を述べているのである．

わけである．さらにこれらの理論が拡張されて水

生命体の安定した永続性などから考えて，生物

素以外の原子の構造や一般の化学結合の仕組みも

がその特徴（形質）を伝える機能を支えているの

明らかにされた．こうして化学の基礎になる事柄

は，高い秩序をもち多数の原子からなる分子的な

は次々と量子力学によって解明されるに至った．

構造の物質（現在 DNA と呼ばれる）であるに違い

量子力学は物理と化学の境界を取り払ったとか，

ないとシュレーディンガーは考えた．彼はこれを

物理学と化学とは量子力学によって統一されたと

「無周期性結晶」と呼ぶにふさわしいと述べている．

か言われる大きな変革があったのである．

この考えは結晶の構造を決定するのに用いられ

この事実は，もっと大きく宣伝されてもよいよ

る X 線結晶解析によってその分子構造を決定しよ

うな気がする．いくらか不当に軽く見られている

うとする気運を生んだ．そしてついにワトソンと

原因の一つは，ハイトラーとロンドンの理論が近

クリックは X 線解析像から DNA の分子模型を

似的な理論で，結合エネルギーのやや粗い近似値

．ワトソンはアメリカ，クリッ 探し当てた（1953） 第 13 章 生命

167

クはイギリスの分子生物学者である．彼らはシュ

されて，突然変異が生じたりするのも量子力学的

レーディンガーの本を読んで感銘を受けて DNA

な現象であるということができる．シュレーディ

の研究を始めたと言われている．DNA の構造の

ンガーは『生命とは何か』の中で，ハイトラーと

発見は，現代の分子生物学の隆盛を導くきっかけ

ロンドンの名を繰り返し挙げ，この原子間結合力

になる大事件であった．

が遺伝子の永続性を説明するための依り所である

DNA の基本的な構造はすべて生物にまったく 共通である．これは地球上の生物がすべてに共通 なただ一つの祖先から出ているという想像へ駆り

ことを強調している．

3. 秩序から秩序へ

立てる．DNA は電子顕微鏡で見ることができ，非

「生命をもつものだけにある特徴は何であろう

常に長いひも状の形をしているが，2 本のひもはら

か？ 一塊の物質はどういうときに生きているとい

せん状に互いに巻きついた構造（2 重らせん）をし

われるのであろうか」とシュレーディンガーは言

ている（図 3.13）．そして 2 本のらせん状のひも

う． 「生きているときは，動くとか，食べるとか，

，グアニン（G） ，シトシン の間にはアデニン（A）

排泄するとか，つまり周囲と物質交換をしたりし

（ C） ，チミン（T）の 4 種類の塩基が A–T，G–C，

ていて，しかもそれは生命をもたない一塊の物質

あるいは T–A，C–G というペアを組んで結合し

が同じような条件のもとで運動を続けるだろうと

ている．このペアの組の並び方の順序によって遺

期待される期間よりもはるかに長い期間にわたっ

伝の情報が書き込まれている．これによってその

て動きつづけている．…これははなはだ不思議な

生物個体に必要な物質が次々に合成され，生物個体

謎なので，人間がものを考えるようになったばか

が形成されていく．それにしても生物の設計図が

りの遠い昔から，ある特殊な非物理的な力——と

たった 4 組の塩基をアルファベットとする DNA

いうよりはむしろ超自然的な力（たとえば生命力，

の文章で書かれているのは驚くべきことである．

エンテレキー）が生物体の中で働いていると主張

DNA の構造が可能なのは，塩基の原子間に選択

されてきたし，ある一派の人々の間では未だにそ

的な結合が働くからであって，この原子間力は量子

れが主張されている」．

力学によって理解できるものである．また DNA

生物が生きているのは，ものを食べたり，呼吸

の構造が放射線の照射などによって部分的に破壊

をしたり，植物の場合は同化作用をしたりするこ とによって，という答もある．この働きを物質代 謝（メタボリズム）と言う．しかし食べもの，飲 みもの，呼吸する空気などを交換するだけで生き ているとは思えない． シュレーディンガーは「生命体は生きるために

G グアニン C シトシン A アデニン T チミン

負のエントロピーを食べている」と言った．負のエ ントロピーという奇妙な言葉を使わずに言うなら， 「生物は体内で発生するエントロピーを，具合 よく外へ捨てることによって崩壊をまぬかれて いる」 ということになる． 言うまでもなく，無生物を放置しておけば物体 の目に見える運動はやがて停止し，運動のエネル

図 3.13 DNA の 2 重らせん構造（模式図）．

168 第 3 編 物理学とは何か

ギーは熱に変わる．熱は目に見えない分子や原子

の無秩序な運動であって，エントロピーは体系の

した．分子生物学は生物を原子物理学的に理解す

無秩序の度合いを表す物理量である．生物体が死

る方向へと進んできたのである．

ぬとその組織は崩壊しエントロピーが最大の状態

原子物理学的な方法で自然を理解する第一歩は，

へ向かう．生きている状態でも体内の化学変化や

対象をいくつかの基本的要素に分け，構成要素の

細胞の死などによって，体内では絶えず無秩序が

運動や変化の法則を基にして諸現象を統一的に理

発生し，エントロピーが増加する．そのため生物

解しようとする．この方法は要素還元主義，ある

は絶えず負のエントロピーを食べ，体内のエント

いは分析主義などと呼ばれている．分子生物学で

ロピーを低く保たれなければならない．

は生物の構成要素である分子や高分子などに注目

『生命とは何か』の訳者あとがきに記されている

し，その構造や性質を調べることにより，これと

ように，ぜんまい時計では，巻いたぜんまいが次第

生物の機能との関係を明らかにする．これが分子

にゆるんでいき，ぜんまいに貯えられたエネルギー

生物学の還元的な研究方法である．

が歯車や振子を動かして，機械の各部分間の摩擦

還元的方法が非常に有効であることは，それか

や空気の抵抗によって熱になって放散されていく．

ら導かれた成果からも証明されている．しかしそ

これに対し生物の場合には，呼吸とか同化作用な

れはむしろ自然科学は還元主義が成功する場合を

ど体内で様々な化学反応が起こり，物質とエネル

探し，その方向を選んで進んできたのかもしれな

ギーの交換が行われて，その際絶えず熱が発生す

い．言い換えれば，還元主義的に理解することが

る．生物体内の各部分で物質の交換が行われるか

自然科学の合理的な思考方法であると決めている

ら，生物は時計よりも内燃機関に似ている所がある．

傾向がある．

熱機関では少なくとも高温と低温の 2 つの熱源

すでに述べたように，古代ギリシャでは哲学と

がある．熱機関は高温の熱源から熱を取り入れて

科学との区別はなかったが，自然現象を普遍的な

低温の熱源へ熱を捨てて，これらの間で外へ仕事を

原理から統一的に理解しようとする考えがあった．

する開放系である．生物が住んでいる地表は，太

たとえばアリストテレス流の考えでは，石が落下

陽という著しい高熱源と宇宙空間という低熱源の

するのは石は重いので下のほうにそのあるべき場

間にあり，生物はこれらの間で熱機関に似た働き

所があるからである，ということになる．他方で

をしている．このような環境の開放系であるので，

ガリレイ流の自然科学では石がなぜ落下するかは

地表では無秩序から秩序を生じ，秩序から秩序へ

問題にしないで，石がいかに落下するか，という

と遺伝子の営みが行われるわけである．生物は極

ことを問題にする．石は一定の力で下方へ引かれ

めて効率のよい内燃機関であり，工作機械であり，

るので一定の加速度で落下する．また上方へ投げ

化学工場でもあるらしい．もちろん植物は負のエ

られた石がやがて落下運動をすることも統一的に

ントロピーを太陽の光から受け取り，水の蒸発など

理解されることになる．

によってエントロピーを宇宙空間へ放散している．

生物の営みの科学的研究には，生きている生物か

生物体内の微妙な組織や機構の解明は現代科学

らその営みに関係があると思われる組織を取り出

の最大のテーマであり，物理学的な研究方法によ

して調べる．その過程でその生物を殺してつくっ

る大きな発展が今後も続くことであろう．

た標本の研究で我慢しなければならない場合もあ

4. 秩序形成と崩壊の動的バランス

20 世紀後半の自然科学の著しい発展の一つは， 物質の化学が生物現象の理解に応用され始め，大 きな成果を挙げるようになってきたことである． 電子顕微鏡を初めとする技術発展がこれを可能に

るだろう．実際昔の電子顕微鏡で見られるのは生 物ではなく，いわばスルメの標本であったが，最 近は生きている状態で細胞などを研究する技術が 進んでいるに違いない． ウイルスには厳しい条件下に置かれると結晶化 して生物か無生物かわからない状態になるものも 第 13 章 生命

169

あるが，細菌から人間に至るすべての生物には，生 きている状態と死んでいる状態とのはっきりした

5. 人間の進化と退化

区別があるように思われる．しかしよく考えてみ

シュレーディンガーは DNA は強固で変化しに

るとこれはそれほど簡単に割り切れないことであ

くいと考えていたが，その構造は絶えず揺らいで

る．見方によっては木の葉は一枚でも生物の営み

いるというのが本当らしい．DNA は熱的な揺ら

を残している．もっと詳しく見れば，生きている

ぎや突然変異的な破壊によって壊されるが，修復

高等な動物や植物の細胞も与えられた環境の中に

酸素によって修理されるので安定に保たれる．し

あってこそ生きていけると言えるだろう．細胞の

かし修理が不完全であると破壊や突然変異を生じ，

中でいろいろな営みをしているミトコンドリアな

自然淘汰が起こったりする．この頃は人間が自然

どの小器官も生きているというわけである．

に対して強い影響力をもつようになってきたので，

生きている状態と死んでいる状態という 2 つの

生物の進化も滅亡も人間の行為によって大きく左

状態の違いを原子自身の状態に求めることはでき

右されることがあるに違いない．いろいろのこと

ない．すなわちこれは原子に還元できない性質で

が考えられるが，人類自身が社会的環境の変化の

あって，原子がたくさん集まってできた集合体が

影響を受けてある方向へ進化，あるいは退化する

示すある種のグローバルな性質の一つである．物

可能性もあるし，それが表面的な変化にとどまら

質を複雑さの上がる順に，原子，分子，結晶，…

ず元へ戻れない進化や退化になるかもしれない．

と並べた階層では生物は複雑さの高い階層に属す

K. ボールディング（Boulding）という近代経済

る．そして生きている状態と死んでしまった状態

学者が 1946 年に出版した『二十世紀の意味』 （岩

との差は，鉄が磁石になった状態（磁化された状

波新書，1967）の中で，彼は人類の歴史を文明前，

態）と磁化されていない状態との差に比べられる．

文明および文明後の 3 つの段階に区別している．

鉄は小さな磁石（小磁石）からなり，小磁石の向

文明前というのは古代エジプトなどが始まるより

きがそろった秩序状態が磁石であり，秩序のない

前の時期を指し，文明というのは，いわゆる文化

状態が磁石になっていないただの鉄である．この

が始まった時代から現代の文明に至る期間である．

意味で生物が生きている状態は極めて秩序の高い

そして文明後というのはこれからの社会を指して

状態であり，死んだ状態は壊れた状態である．

いると解釈される．そして文明から文明後への転

物理学において体系の全体論的な状態を表す量

換において，我々が賢明な努力によって首尾よく

には温度，エントロピーなどがある．すでに述べ

転換を実現させることができるか，それとも我々

たようにエントロピーは体系の無秩序の大きさを

の愚鈍と怠惰とによって人類を決定的な破滅へ導

表す量であって，体系を自然のままに放置すれば，

くことになるか，ということが 20 世紀の問題で

エントロピーは増加する一方である．生物は成長

あるとしている．

するにつれて自ら組織の秩序をつくる作用があり， これは秩序の自己形成と呼ばれる能力である． 生物の体の中では絶えず細胞などの死があり，

生物は長い進化の末に人類という特別なものを つくり上げてきた．この生物は，もしも欲すれば 人類を一瞬の下に消滅させることもできる危うさ

そのため絶えず組織の秩序が壊されるが，秩序の

をもっている．文明後の世界を存続させて，科学

自己形成能力によってこれを補修している．こう

の成果を楽しむことができるかは，結局のところ

して生物は崩壊を免かれ，生命を保ち，成長を続

いかに賢く努力して英知と科学を磨くことができ

けることができるのである．生物が死ねば自己形

るかによるのである．そのためには人類の未来に

成能力がなくなるため，生物はたちまち崩壊して

横たわっている 4 つの落し穴を避けなければなら

しまう．このように生命というものは秩序の形成

ないとボールディングは言っている．

と崩壊のバランスによって保たれているのである． 170 第 3 編 物理学とは何か

彼が挙げた 4 つの落し穴は略して書くと，戦争・

人口・技術・人間の本性であるが，そのほかにも落

ともあるだろう．よく言われるように，ローマ時

し穴，あるいは越えるのが難しい壁があるかもし

代はギリシャ時代に比べて，技術の上では停滞し，

れない．これらの困難を人類が避け得るという保

科学の上では後退していた．20 世紀前半の物理学

障があるわけではない．失敗すれば一切は終わり

をギリシャ時代に，20 世紀後半の物理学をローマ

になる危険がある．さらに危険なのは，多くの事

時代に対比させてみることも可能なようである．

故がそうであるようにいくつかの困難の競合（あ

技術はとめどもなく速まる性質があるのに対して，

るいは非線形効果）が起こり，破壊的な揺らぎが

科学的創造力の速度は遅く，倫理的発展はさらに

生じる場合であるように思われる．

遅い．このアンバランスは危険である．人類は自

こういう要因を抱えて，淘汰とか進化とか呼ば

然を制御することを学びつつあるように，自分た

れる現象は起こるのだろう．それは進化の方向だ

ちを制御することを学ばなければならない，とい

けでなく，退化を起こすこともあるに違いない．文

うのも本当であろう．

明が退化することも，科学的創造力の退化するこ

すべての法則は近似か 太陽系の中の惑星の運動を理解するために，ニュー

原子論が 19 世紀から 20 世紀へかけての実験および

トンは空虚な空間と時間の枠の中で運動法則と万有

理論物理学の発達を経てようやく確立されたもので

引力の法則に従って惑星が運動するというモデルを考

あり，このモデルの確立により現代物理学の時代が

えた．これは今でも私たちが拠り所にしている典型

招来されたのであった．私たちは宇宙や原子の世界

的な科学的モデルである．ファラデーとマクスウェ

を直接捉えることは不可能であるが，これをモデル

ルは，電場・磁場の作用を理解するために磁力線や

化して理解することができる．

電気力線が作用し合い動き合う電磁場というモデル

そしてモデルが合理的に作動することを確実にす

を考え出した．その後の物理学を場の概念なしに語

るために数学を使うから，モデルを通して理解する

ることはむずかしい．アインシュタインが一般相対

科学的世界はいわば私たちのもっている合理性に合

性理論で明らかにしたのは，物体は重力場に従い，重

わせて考えられた世界，言葉と数学で描かれた世界

力場は物体の運動に従うという時空の重力場モデル

である．それは自然そのものでなく，むしろ自然を

である．さらにアインシュタインは 4 次元球面の宇

土台にして人間がつくりあげたフィクションといっ

宙モデルを考え，これは現在の膨張宇宙モデルへと

たほうが的確かもしれない．しかし，そう考えると

発展した．

この科学的世界がしばしば現実の世界の予言に成功

この他にも理想気体，結晶格子，金属自由電子，半 導体，原子，素粒子など，物理学の至る所でモデル

することがあるという事実は考えてみるとたいへん 不思議なことである．

が発明され，広く使われている．モデルなしに物理

またその一方で，現実を記述するのに成功したと

現象をイメージし，理解することはおそらく不可能

思われることがあっても，間もなく自然はそれが近似

であろう．これらの物理的モデルは歯車の組み合わ

にすぎないことを我々に思い知らせる．そして我々

せのような機械的，視覚的なものから抽象的，数学

はさらによい近似を求めてさまようことになる．

的なものまで種々多様である．インスピレーション によって瞬間的に得られたものもあり，何年もの辛 苦の末，改良に改良を重ねた末にようやく確立され たモデルもある．ニュートン力学による太陽系のモ デルは，人間開闢以来の試行錯誤の末にようやく到 達した概念によって構築されたものであった．量子 力学を踏まえた原子モデルも，古代ギリシャ時代の

アインシュタインによれば 「すべての物理理論は一時的なものである」 であり，ディラックの言葉によれば 「自然の法則は近似であるが，近似の用法と限界は 理解しがたい」 である．

第 13 章 生命

171

第 14 章 倫理 （進化と退化）

1. 技術の発展

前の考え方と異なる思想や新しい生活の在り方が ヨーロッパに芽生えたのであった．前章で触れた

1 万年ぐらい前の人類は，主として野性の植物

ボールディングによれば，9 世紀の馬の軛（くび

や狩猟などに頼って生活していた．人類が他の動

き，荷車を馬につなぐ馬具）の発明は奴隷に勝る

物と異なる存在になったのは，自分で食べ物を作

労働力の供給を可能にし，舵の発明と造船・航海

るようになってから，すなわち農業や牧畜を始め

術の発達は後のアメリカ発見（1492）へ導くこと

てからであった．人びとは集落を作って共同作業

になった．

をするようになり，いくらか余分な食料を得るこ

15 世紀半ばにはドイツのマインツ市のグーテン

とができるようになると知力や腕力によって集団

ベルグが鋳造活字を用いた印刷術を発明した．こ

を統率する聖職者や権力者が現れる．彼らは自然

の印刷術は間もなくヨーロッパ中に広まり，宗教

の力や外敵の侵攻から集団を守ると同時に集団を

改革をうながした．これが人文主義運動（ルネサ

強迫して食料を取り上げる．こうして古代の都市

ンス）を引き起こし，神中心の中世文化から人間

が作られ，古代文明が生じたと思われる．古代の

中心の近代文化への転換となった．こうして 17

エジプト，ローマ，中国，インカなどの文明はいわ

世紀には科学が起こり，18 世紀には産業革命が起

ば強制的，あるいは搾取的な社会であった．たと

こり，19 世紀には科学が熱学，電磁気学などに組

えばヨーロッパで水車は 6 世紀に発明されたが，

織化され，20 世紀の研究・開発の時代へと急速に

これを使うには税金を支払わなければならなかっ

ピッチを上げて現代に至っている．あまり進歩が

たと言う．領土を拡げ，そこの住民を奴隷化した

速いので，多くの人にとって「物心ついた時期よ

搾取的な帝国主義国家が 20 世紀まで続いてきた

り後に起こった世の中の変化は，それ以前の数千

のは，むしろ驚くべきことに思える．

年に起こった変化よりもはるかに大きい」という

この数千年間に人類が成し遂げた技術的な発展 はむしろ散発的で，進歩があったと同時に退歩も あった．たとえば古代ギリシャやアラビアでは幾

ことが真実になってきている．

2. 道徳律

何学や代数学が発達したが，これに続くローマ帝

18 世紀から 20 世紀初めの頃までは，ヨーロッ

国の時代には科学の停滞があった．しかし中世を

パの文化が全世界の中心であったとも言えるだろ

通して小さな技術的発展があり，それが次第に蓄

う．この時期には世界は一応の安定さを保ち，ヨー

積されるようになった．そこへルターによる宗教

ロッパの文化は世界の文化であり，その道徳は世

改革，コペルニクスの地動説などが現れ，それ以

界の道徳でもあった．昔，よく言われたようにイ

ギリス上流社会の子供はある年代までは寛大に育

とのよい振舞いの基準，あるいは人として守るべ

てられるが，その時期以後はイギリス紳士（ある

き道のことである．

いは淑女）としてたいへん厳しく育てられる習慣

昔は道徳の基準，価値の指針などが今よりもは

があったと言う．このような育児法は欠点がある

るかに明白であった．少なくとも西欧，あるいは

にしても，規律をよく守り，社会のために尽くす

日本などのそれぞれの文化圏ごとにはっきりとし

国民を育て，その社会の安寧と発展を保つのに寄

た道徳律などがあった．それが文化というもので

与したことは疑いない．

あっただろう．しかし，今の世の中では多数の異

高校の頃だったと思うが，哲学者カント（1724–

なる民族が交流するようになり，そのために多く

1804）が正しい道徳律と星の規則正しい運行とを

の摩擦が生じている．それには慣習の違い，考え

称えた言葉を教わったことがある．今は，これを

方の違い，言語の違いなど様々な原因があるが，そ

調べてみると次のような言葉である（ゴルデル著

れに加えて意図的な政治の動きさえもある．コン

『ソフィーの世界』須田 朗監修／池田香代子訳，

ピュータの進歩などによって情報量は拡大し増大

NHK 出版，1995）；

を続けている．航空機の発達によって，物流や人物 交流も加速度的に拡大を続けている．新幹線網の

考える機会が多ければ多いほど，また考えるこ

発達やテレビの波及につれて，日本中の市町村や人

とが長ければ長いほど，ますますあらたに増大

びとの衣服などが急速に一様化されたことがあっ

してくる感嘆と崇敬とをもって心を満たすもの

た．今では世界中で画一化の現象が起こっている．

が二つある．それは『わたしの頭上の星空とわ

しかし他方で，人びとの生活習慣やものの考え

たしのうちにある道徳律だ．…』

方はそう急速に変わるものではない．幼いときや

これはドイツのケーニヒスベルクにあるカントの

若いときの記憶は長く消えないし，嗜好も考え方

墓に刻まれているそうである．

も一生を通して変わらないことが多い．学問上の

カントは物理学を学び，若いときにニュートン

物の考え方も案外変わりにくいものである．たと

力学の立場から宇宙創生のメカニズムを解明しよ

えば量子力学の門を開いたプランク，アインシュ

うとしていた（1755） ．これは「カント＝ラプラス

タイン，ド・ブロイ，シュレーディンガーらの全

星雲説」として有名である．

員が量子力学の確率論的な解釈を受け入れること ができなかったのは有名な話である．

カントは空の星の整然とした運行の美しさを， 地上で行われている道徳の美しさに引き比べたわ

「新しい学問上の真理は，その反対者たちが説得

けである．道徳律と言うと難しいが，いわば人び

A a

A

b

f f b

a

e B

e

D

d c c

d C

D

B g

g C

図 3.14 カントが散歩したケーニヒスベルクにあった 7 つの橋のすべてをちょうど 1 度ず つ渡って出発点に戻る道はあるかという問題（数学者オイラーの問題：1736 年）． これは右のグラフに移せば一筆書きが可能かという問題になる．

第 14 章 倫理

173

され宗旨替えをすることによって普及するよう

驚いたことがある．科学者が科学者としての道徳

になるのではなく，この反対者たちが漸次死に

を守らなければならないのはもちろんである．

絶え，次の世代がこの真理に親しみながら育つ というかたちで行き渡るのがつねである」 とプランクは言っている．世代間で摩擦が生じる のも無理のないことである．同じ所に住んでいて も，世代の違う人びとはいわば時間的に異なる世 界の生活，考え方をしたいと思うのである．そこ に価値観の違いの原因がある場合も多いであろう し，人権問題が起こる場合もあるらしい．人類は， 戦争・人口・環境・食料・経済・倫理などの多く の問題を抱えていて，その多くが科学・技術の発 展に解決の望みをつないでいる． 現代の文化的生活は全面的に科学技術に依存し ている．我々は科学技術がなかった時代へ後戻り することができない．発展途上国も文化的生活に 触れると直ちにこの流れに巻き込まれてしまうの で，地球上が遅かれ早かれグローバル化の道を進 むことになるだろう．しかしこれは大きな戦渦や 感染症の蔓延が人類を破滅させることがないとし ての話である．現在 60 億を越える人口がさらに 増大するのを防ぎ，縮小経済へ軟着陸する方法を 探さなければならないだろうが，これも科学技術に 頼らなければ不可能であろう．縮小経済はスロー ライフ，現在の農業と異なる食料生産技術など，今 まで人類が試みたことがない技術の開発が成功す るか否かにかかっている．この仕事にあたる科学 者集団が機能するかが問われることになるだろう． 科学の研究においては，客観的真理があらゆる 個人的な自意識に優先する．また科学者の倫理で は，自分の理論の誤りに気付かされたときには正 直に喜ばねばならない．科学の歴史には人間的な 烈しい論争の例も多いが，真理を目指す献身的な 努力こそ最高の価値であるとする価値観によって 科学者の集団は支えられ，発展する．しかし，近 頃は博士論文を偽造して金で売買する取引があっ たとか，ある邪悪な目的のために内容がないが表 向きは立派な論文の体裁をもったものを雑誌に投 稿して掲載された人がいたなどという話を聞いて 174 第 3 編 物理学とは何か

外国へ行ったとき，ヒポクラテスの誓い（Hip-

pokratic oath）について教わったことがある．ヒ ポクラテスは古代ギリシャの人で，医師の祖と称 されている．ヒポクラテスの誓いは医師の職業倫 理を述べた誓文で，古今を通じ医師のモラルの最 高の指針とされていて，科学者はすべからくこの 誓いに従わなければならないと聞かされた．

3. 知ることの罪 人間の科学に対する評価は何度か大きく変わっ てきている．初めに科学がなかった頃，人間は自 然と直に向かい合わなければならなかった．しか したとえば子供にとって火は怖いものだとしても， 大人になれば火をうまく扱うこともできる．それ と同じようにうまく火を扱うことがいくらかでき た人は扱うことができない人をおどしたりするこ とができたであろう．すると火を扱うことのでき る人は煙を作ったり，物を溶かしたりする怪しげ で気味の悪い悪魔と思われたかもしれない．そう いう人は知恵もあったから他の人を言いくるめた りしたので一般人の信仰と衝突し，宗教裁判にか けられたりした．そういうわけで知識が優れた人 たち，すなわち昔の錬金術師たちのすることなす ことは悪魔的なものと思われたりしたであろう． ところが科学でやることはそういうものでなく， 誰もがやろうと思えばやれるようなやり方で研究 を進めるものだということが次第にわかってきた． そしてニュートンの時代になると，科学者が発見 する自然法則は神の考えを表す調和のとれたもの であると思われるようになった． しかし，それから少したったラプラスの頃にな ると自然は科学的に探究されるものであるという 考えだけが残り，科学の探究とその応用技術だけ が重視されるようになった． そして科学は 2 つの方向へとめどもなく広がり 出した．2 つの方向のうち大きいほうで宇宙の探 究であり，他の方向は小さいほうで物質の構造の 探究，すなわち原子や素粒子の探究である．20 世

紀後半には生物の微細な成り立ちを調べること，い

にもっている必要がある．科学を単に知る喜びと

わゆる生命体という小宇宙の研究が盛んになった．

してはいけない状況であることを今の時代は我々

科学はある方向の研究が始まると，それをとこ

に突き付けている．

とんまで押し進めようとし，またそうして得られ

もちろん原爆だけが罪なのではない．科学の知

た知識を応用する道へどしどし進もうとする性質

識はすぐに応用の技術に結び付くものであり，技術

がある．応用は技術であって，人間の暮らしを楽

は常に何らかの害を我々に与える．自動車や航空

にしたり，楽しくしたりしてくれる．このため 19

機などは我々の生活をいたずらに忙しくし，騒音・

世紀から 20 世紀初めまでは科学はよいものだと思

大気汚染をまき散らして生活をむしばんでいる．

う人が多かった．しかし物質の探究を目指してい

資源を涸渇させて未来に貧困の種をまいている．

た科学は必然的に物質の奥の原子核にしまわれて

しかし，人類は科学なしにやっていくことはで

いた巨大なエネルギーまで引き出せるようになっ

きないし，後戻りして科学的知識を減らすことも

た．原子爆弾の発明である．

できない．我々は大きなジレンマに直面している

原子爆弾を作る研究を指導したのは，アメリカ の理論物理学者オッペンハイマーであった．彼は 原爆の実験が成功したとき，原子核エネルギーが あまりにも巨大であることに恐れおののき，次の ように述べた． 「物理学者たちは罪を知ってしまった．そして， それはもはやなくすことができない知識である」

ことを忘れてはいけないのである．

4. 欧州連合 世界にはたくさんの国があり，民族があって，そ れぞれが異なる文化や歴史，そして政治体制の下 で暮らしている．これは見方によっては，壮大な 実験場と見受けられないこともない．歴史はその 記録である．ただ物理の実験では現象を単純な要

旧約聖書にある神話では，最初に作られた人間

素に分けて検討できるのに対し，世界の実験では

のアダムとイヴが神に背いて知恵の実のリンゴを

多くの現象が絡み合っていて，物理のように還元的

食べてエデンの園から追い出されたことになって

要素に分解することはとてもできそうに思えない．

いる．またギリシャ神話では，プロメテウスとい

しかし人類にとって一番興味があるのは人間であ

う神が太陽の火を盗んで人間に与えた罪により，ひ

り，人類が成熟しようと思うならば，人類の歴史か

どい罰を受けたとされている．これらの神話で知

ら多くのものを学ばなければならないはずである．

恵の実や火はドイツ語のヴィッセンシャフト，す

ことにヨーロッパの文明社会が前世紀に経験し

なわち科学を意味する．人間は他の動物がもたな

た 2 度の大戦の影響は，現在でも生なましさを残

い科学をもつことによって生き延びることができ

している．ことに第 1 次世界大戦（1914–1918）は

た．しかし科学というものの中には，罰せられな

西欧文明に大きな危機感を与えた．ドイツの哲学

ければならない要素がある．しかもその科学の知

者シュペングラーは『西欧の没落』を著し，文化

識は一度得てしまうと決して消すことのできない

周期の観点から西欧文化はすでに没落の段階に達

ものである．このような知識に対する罪の意識を

していると主張した（この見地は第 2 次世界大戦

キリスト教では原罪と言うそうであって，オッペ

とその後のアメリカ支配の世界を考えるとある程

ンハイマーの言葉の中には，科学者は原罪を再び

度当たっていたようにも思う）．

犯したという感慨が込められていると思われる．

第 1 次世界大戦はオーストリア＝ハンガリー王

とにかく，科学というものは手放しで喜んでは

国を分解させ，その領土であったチェコスロバキ

いられない，恐ろしいものである．しかしその恐ろ

アを独立させた．その初代の大統領を 1918 年か

しいものを使わなければ人間というものは生きて

ら 17 年間務めたマサリックという人は 1920 年

いけない．そういうことを科学者はいつも心の中

に『新しい欧州』という本の中で，ドイツとソ連 第 14 章 倫理

175

の間にはさまれた中部ヨーロッパの小国どうしが

このような宣言の主張に反対して『ヨーロッパ

協力機関を作るべきであると唱えたが，周辺諸国

人へのよびかけ』という声明文を書き，アインシュ

はこれに耳を傾けようとしなかった．

タインに送って同意と協力を求めた人がいた．そ

さらに 1923 年になるとボヘミア貴族のリヒァ

れは当時ベルリン大学の生理学教室にいたニコラ

ルト・クーデンホーフ・カレルギー伯は『汎ヨー

イという人で，彼は亡命地のスウェーデンでこれ

ロッパ』を著し，第 1 次世界大戦で荒廃したヨー

を本にまとめて 1918 年に出版したということで

ロッパを再建するため，28 カ国が憎しみと敵対感

ある（この本は 2 巻で 500 ページもあると言う．

情を捨て，ヨーロッパ合衆国を作ろうと提案した．

その簡単な紹介は，朝永振一郎著作集 4， 『科学と

この運動は大きな反響をもって迎えられ，さらに

人間』，みすず書房，1992 にある．ここで記すの

1929 年には国際連盟の枠内でヨーロッパ連合を作

は，そのほんのダイジェストである） ．ニコライは

る計画が発表されたときは熱狂的な反響が巻き起

冒頭で次のように述べている：

こった．しかしこの頃からドイツにはナチスが台 頭し始め，クーデンホーフのパン・ヨーロッパ運動 は挫折してしまったのであった．しかし約 70 年 を隔てて今の欧州連合（EU）がようやく作られた のである（なおこの運動の先駆者であったリヒァ ルト・クーデンホーフ・カレルギーの母は日本人 で青山光子と言う．リヒァルトの父が駐日公使で あったときに見染められて結婚し，ウィーンへ渡っ たのである．以上のことはパン・ヨーロッパ運動 のことを含めて，塚本哲也著『エリザベート—ハプ ． スブルク家最後の皇女』 ，文芸春秋，1992 刊による）

5. 世界的なプロジェクト 第 1 次世界大戦の初めに，ドイツ軍が中立国で あったベルギーに侵入し，そこで多くの残虐行為 をした．そのため世界中の非難が集まったのであ るが，これに対して何人かのドイツの知識人が声 明『文化世界への宣言』を発表した．その中で次 のような文章があったと言う．

「数千年ものあいだ，人は戦争を憎んだ．思慮あ る人間は戦争の中に何かよいものがあるなどと決 して言ったことはない．だのに今日ほとんどす べての人が——少なくともこの戦争が始まった ころドイツ国内では例外なくすべての人が—— 好戦的な戦争讃美を述べ立てている」 「それはむしろ人間の戦争本能がいかに根深く 人間の心の奥にひそんでいたものか，というこ とを示すものである．…だから戦争本能をおさ えるためには，それに代わる他の平和的な本能 でそれをおきかえるように努めることが肝要で ある」 「そもそもすべての生物は無限に増大する傾向 をもっているから必然的に互いに衝突すること になる．生物に必要な食料であれエネルギーで あれ，その量には限りがあるから，うばい合い がおこるのは必然である．しかし人間は動物と ちがって自由にはたらく脳をもつおかげで，う ばい合いを他のやり方にかえることを考え出し

「ドイツの軍国主義を非難するけれども，これが

た．それは農耕によって食料の限界を，畜力利

なかったらドイツの文化は地球上から抹殺され

用によってエネルギーの限界をひろげることで

ていただろう．数世紀の間，他に例を見ないほ

ある．そして機械の使用はこれらの限度をさら

どの侵略になやまされてきた一つの国において，

にひろげ，土地をうばい合う代わりに，うめた

それをまもるためにその文化の中から軍国主義

てによって土地を広げた」

は生まれてきたのである．…ゲーテの，ベート

「こうして人間に対するたたかいを，自然に対す

ベンの，そしてカントの遺産をまもりつづけて

るたたかいにおきかえることによって人間は広

きた文化的民族が，それらをまもりとおすため

大な可能性をもつことができる．古い時代に必

に最後まで闘うことを信じて下さい」

要であったかもしれない戦争は，いまや無用で

176 第 3 編 物理学とは何か

あるばかりか有害なものとして斥けることがで

有機的な統一体に生まれ変わらせることが彼の願

きる」

いであり，ヨーロッパがその土地，住民，文化を

ニコライはこのように言って，かつて戦争が存 在のための戦いとして有用であったと考えられた 根拠の一つ一つが現在ではもはやまったく成り立 たないことを具体的に示している． たとえば，戦争が有用であるという根拠として， 戦争は民族を試金石にかけ優秀な民族を残し優秀 でない民族を除去するから有用であるという説が ある．しかし，近代戦争は兵士として最も強い肉 体をもつ健全な若者を必要とし，病者，犯罪者，そ の他戦争に耐えられない者を後に残す．したがっ て戦争のふるいは病弱者らだけを残すことになる． ニコライは植民地の獲得を条件付きで是認して いる．世界を人類の支配下におこうというのは人 類共同の目標であろう．それぞれの民族は自己を 拡大するために良心をもって植民を試みることが できるし，それを試みるべきである．なぜならヨー ロッパの土地はすでに占められていて，他の土地 へ行くことが必要だからである．しかし力を用い て異民族を征服しようとしてもそれはうまくいか ない．そうでなく，異民族の中の友人を得ること ができるような文化的な移住者を送り込むことが 必要である．武器がいかに小さな役しかしていな いかということが，他のいかなる場所よりも植民 地において示されるのは当然である． いずれにせよ，誇るべき文化をもっているヨー ロッパ人が互いに利己的な自己の利益のみを追求 して戦争を始めたことは彼にとって実に悲しむべ きことであり，憂うべきことであって，それが彼 の書いた『ヨーロッパ人へのよびかけ』の基調に あるわけである．すなわち，ヨーロッパを一つの

守り通そうとするならば，ヨーロッパは一体とな らねばならぬという危機感に裏付けられた彼の主 張である． ニコライが言うように，戦争をやめられないと いうのが本当に人間の「本能」であるかどうか知ら ない．また「自然に対する戦い」と言うのは少し 穏やかでない気がする．しかし，いずれにしても 必要なのは，人間の心を戦争から引き離して，戦 争でない方向へ人間を向かわせるような，人類共 通の目標である．そのような目標になりそうなも のが皆無ではないことを注意しておきたい．我々 は次のような例をもっている． 川の浄化やハエ・ネズミの駆除には地域の人が いっせいに協力するのがよいらしい．新聞やテレ ビの聞きかじりでは，天然痘は種痘の励行によっ て絶滅され，小児麻痺（ポリオ）もワクチン接種 により 2001 年に東アジアから駆逐されたそうで ある．またポリオの場合には内戦の続いていた地 域だったので，1 週間休戦を行って接種をしたこ とによりこれが成功したと言う．さらに最近では 新型肺炎（SARS）が急速に広がったが，患者ら の隔離，旅行者の徹底した追跡，渡航制限，情報 公開などを十分に行うことによってその蔓延を押 さえ込むことができた． これらは我々に希望を与えてくれる話である． 戦争を押さえ込むことはもっと難しいに違いない． しかしこれは地域的にではあるが，多くの人びと が共通のプロジェクトに喜んで参加し，戦争もや めて大きな目標を達成することができた，素晴ら しい例ではなかろうか．

第 14 章 倫理

177

第 15 章 宇宙 （相対性理論）

1. 大きな世界と小さな世界 科学は 2 つの方向へ進んでいく．大きいほうは

えない．もしもなお進むならば理論物理学は今後 も思いがけないような変革を重ねるに違いない． 大きなほうの進路は宇宙全体の理解を求める．

宇宙へ，小さいほうは素粒子の科学へと進む．人

多くの民族が大昔の宇宙に関する神話をもってい

間はその中間にある．もちろん人間尺度の科学も

るようである．その多くは神や人間を中心として

ある．科学を志す人の多くはこの 3 つの極のどれ

いる．その頃は人間の地位が神に次いで高かった

かに引かれて，学問の道へ進んだに違いない．

し，地球が宇宙の中心であった．しかしコペルニ

小さいほうから言うと原子 1 個の大きさは

クス的転回により地動説が現れ太陽中心の宇宙観

−10

m 程度であり，代表的な素粒子である陽

に移った．太陽・月・惑星を含む太陽系に比べて

子の大きさはさらに 10 万分の 1 くらい，すなわ

夜空に見える無数の星がはるか遠くにあることは

10

−15

ち 10

m 程度，電子もその程度である．原子は

昔から直観的に信じられていたらしい．しかしコ

電子顕微鏡を使えば写真やコンピュータの画面で

ペルニクスの時代になっても，太陽系のはるか彼

「見る」ことができる．不思議なことであるが，こ

方には恒星のちりばめられた天空が宇宙を覆って

のように小さな物体を見たり扱ったりするのには

いると思われていた．

大きくて高価な装置が必要である．陽子などのハ

無限に広がる宇宙を初めて考えたのはイタリア

ドロンと呼ばれる素粒子はクォークと称されてい

の哲学者ジョルダノ・ブルーノ（1548–1600）であ

る構成要素からできているが，この小さなものを

る．彼はコペルニクスの説に傾倒し，これを押し

研究するためには，それこそ一国の費用で賄いき

進めて，星座の星はそれぞれ太陽と同じであり，宇

れないほどの費用と大きさをもった装置を作って

宙は無限であると唱えた．ブルーノによれば宇宙

−15

10

m 程度の微小な世界を探らなければならな

には地球と同じような惑星が無限にあり，それぞ

い．このように小さなものは果たして物と言える

れに人間と同じような生物がいることになる．し

であろうか．現存の量子力学の先端的な知識によ

かしこの説は人間が神の特別な寵愛を受けている

ると，大きさにはおそらく最小の限度があり，そ

とするキリスト教の教えに反し人間の地位をおと

−35

れは 10

m の程度（プランクの長さと言う）で

あると言う．これは陽子などの世界のはるか先で

しめる異端の説であるとされて，ブルーノはロー マで火刑に処せられた．

10−15 /10−35 = 1020 分の 1，すなわち 20 桁も小

レンズを組み合わせた望遠鏡がオランダで偶然

さい．これからの科学がこのように深いミクロの

発明され，これを聞いたガリレイはただちに望遠

世界の奥底へ行き着くことができるとはとても思

鏡を自作した．彼はそれを用いて月を観察し，太

陽の黒点を調べ，木星や土星を観察し，木星の 4 大衛星を発見した（1609 頃）．太陽を回る惑星の 運動に関するケプラーの 3 法則が見出されたのも この頃である．さらに 1680 年にはニュートンに よって万有引力の法則が発見され，これによって 惑星の運動がほぼ完全に説明されるようになった． 精密な数理科学としての天文学が確立されたのは これ以後である． ガリレイは自作の望遠鏡を使って，天の川が無 数の恒星の集まりであることを知ったが，それ以 後も望遠鏡の発達につれて我々の銀河系や，種々 の形をした恒星の集まり（星雲）が詳しく調べら

図 3.15

れるようになった． アンドロメダ星雲と呼ばれる星の集まりが，銀

戸田盛和著，物理読本 3『時間，空間，そ して宇宙—相対性理論の世界』 （岩波書 店，1998）．

河系（我々の天の川銀河）の外にある別の銀河であ ることを突き止めたのはロサンゼルス郊外のウィ

しまう．

ルソン山の反射望遠鏡を用いたハッブル（1889–

これは光のドップラー効果による現象であると

1953）であった．ハッブルは多数の銀河を調べて

言ってもよい．大きなスピードで遠ざかる汽車の

渦巻き型，楕円型などに分類し，さらに遠くの銀

汽笛が低く聞こえるように，遠ざかっていく星の

河ほど大きな速度で我々から遠ざかっていること

出す光の波長は長くなり，星のスピードが光速度

を発見した．その速さは，その星までの距離に比

に近くなると，波長は無限に長くなって（赤方偏

例し，宇宙が一様に広がりつつあることを示して

移）光はエネルギーを運ばなくなってしまう．そ

いる．これをハッブルの法則（1929）と言う．

のため遠くにある星ほど暗く見え，ある距離から

宇宙は昔の人が考えたよりもはるかに大きく，

先の星はまったく見えない．これが観測できる宇

その中にはほとんど無限に多くの銀河がある．銀

宙の果てであって，宇宙の地平線と呼ばれている．

河は多数集まって銀河団をつくっている．また泡

言いかえれば望遠鏡で観測できるのは宇宙の地

の膜のような集まり方をして，その間に銀河がほ

平線までの距離であり，これはハッブルの法則か

とんどないボイド（空洞）をつくっている．また

ら計算できる．こうして知られた宇宙の大きさは

ブラックホールがあったり，ダークマターと称せ

約 200 億光年である（光や電波で観測されている

られるものが広がったりしていて，宇宙はたいへ

宇宙の大きさは 130 億光年程度であると言う）．

ん複雑でもある．しかし 1 億光年（1 光年は光が

なお 200 億光年というのは光の速さで進んで 200

1 年かかって進む距離）以上の大きなスケールで

億年かかる距離であり，これは約 1027 m である．

見れば宇宙は至る所一様であると見なしていいら

先に述べたように陽子の大きさは 10−15 m で

しく，これを宇宙原理と言う．すなわち我々がい

ある．人間の大きさは陽子と宇宙の中間にあるが，

る宇宙の場所が特別な場所でなく，宇宙のどこも

どちらかと言うと（プランクの長さを考えなけれ

同等であるという仮定である．

ば）陽子に近い．宇宙はそれほど広大なのである．

宇宙は一様で，どこも同じように膨張を続けて いて，遠方ほど速いスピードで我々から遠ざかっ

2. ビッグバン宇宙

ている．その速度が光の速度に限りなく近くなる

太陽スペクトルの中に 700 本の暗線が発見され

と，その星からくる光は我々まで届かなくなって

たのは 1814 年であるが，暗線は物質による光の 第 15 章 宇宙

179

吸収を示すものである．こうした分光学が天文学

協力者アルファとベーテの説（彼らのイニシャル

に応用されるようになったのは 19 世紀半ばから

をとって αβγ 理論と言う）であった．

であって，分光学の応用によって天体に対する物 理化学的な理解が急速に進むようになった．

この理論の副産物として，超高温度から始まっ て現在まで冷却した現在の宇宙は約 7 度 K（絶対

他方でアインシュタインは 1915 年に一般相対

温度）の熱放射で満たされているに違いないとガ

性理論を完成し，これをただちに宇宙論に応用し

モフは予言した．ガモフによって唱えられた宇宙

た．彼は膨張も収縮もしない静的宇宙を望ましい

創造の理論はその後詳しく吟味され修正されてき

宇宙の姿として追求したが，これに対しフリード

ているが，大筋において認められ，ビッグバン宇

マンは一般相対性理論に基づく宇宙モデルは静的

宙と呼ばれている．宇宙の残留放射（熱放射）は

ではあり得ないことを明らかにした（1922） ．その

1965 年にマイクロ波の観測により偶然確かめられ

頃，ハッブルの法則はまだ発表されていなかった

た．ただしその温度は 7 度 K でなく約 2.7 度 K

が，遠い星が遠ざかっているという観測の情報は

である（これを 3 度 K 宇宙背景放射と言う）．

アメリカからヨーロッパへ広がっていた．これら

ビッグバンの宇宙説はハッブルの法則と 3 度 K

のことを根拠にして，1927 年にベルギーのルメー

宇宙背景放射との 2 つの観測によって支えられて

トルは，膨張宇宙の説を初めて展開した．その論

いるわけである．宇宙における元素の製造過程は

文の中で，彼は宇宙の卵のような超原子が放射性

ガモフらが考えたようには簡単ではないらしい．

の崩壊を繰り返しながら膨張して今の宇宙になっ

しかしこれについて述べることは省略する．

たとしている． その後 1933 年にドイツからベルギーへ逃れた

3. 宇宙論と科学

アインシュタインを公私にわたって助けたのはル

上に述べたように，ビッグバン宇宙論を支えて

メートルであったと言う（小尾信彌： 『ビッグバンっ

いるのは，ハッブルの法則や 3 度 K 宇宙背景放

て何だろう』ダイヤモンド社，1987，p.121） ．ル

射などの観測事実である．研究室における実験に

メートルを通してアインシュタインは，ベルギー女

よって得られる物質の性質に関する知識や，立ち

王と政府の手厚い保護を受けたということである．

入った理論の成果，それに相対性理論などのすべ

ソ連のレニングラード大学の学生であったガモ

てを総動員して宇宙の研究がなされている．そう

フ（George Gamow, 1904–1964）はフリードマ

いう点では宇宙の研究もふつうの物理の研究とそ

ン教授の講演を聞き，膨張宇宙論に熱中するよう

う違わない．

になった．宇宙がビッグバンに始まったとして元

しかし，ふつうの物理においては，研究室や地

素の起源を論じ，宇宙の黒体放射を初めて予言し

球などの自然の中の一部を占める物質の性質や現

たのはガモフである．1934 年にガモフはアメリカ

象が研究の対象であり，それは必要に応じて繰り

に移り，ワシントン大学教授となり，後にコロラ

返し調べることのできる事柄である．これに対し，

ド大学へ移った．

宇宙論においては，この世の中に一つしかない宇

ガモフは原始の宇宙は中性子の集まりであった

宙が研究の対象であり，またその過去は二度と繰

と考えた．中性子は電子を放出して陽子になる．

り返されない．宇宙そのものを実験にかけること

さらにこれが中性子を捕えて重水素になり，さら

もできないし，宇宙の未来に対する予測もほとん

に三重水素になるが，これは不安定なので電子を

ど確かめられない．

放出してヘリウムに変わる，というふうに物質の 進化が進行し，原子核の安定さ，中性子を捕えや すいとか捕えにくいという性質などによって元素 の存在割合が説明できるというのがガモフとその 180 第 3 編 物理学とは何か

宇宙論はふつうの物理学とどこかが大きく違う のである． 宇宙論は考古学などに譬えられることがある． たとえば地球上の過去の事柄は二度と繰り返され

ないので，宇宙の過去を調べることは地層の歴史

つきつけてするりと身をかわしてしまうのである．

を調べるのに似ているところがある．宇宙論が宇

人間は十分選び抜いた言葉を使って自然を表現

宙と物質の進化を考究するのに対し，考古学は人

し，できるだけ広く成り立つ自然法則を発明して

類の進化を研究し，進化論は生物の進化を研究す

自然を記述しようとする．しかしそれが自然に的

る．これらの学問においては歴史的な発展がテー

中することはない．これは自然を記述するのに使

マになるという共通点があり，これは時間という

う我々の言葉の不完全さによるのかとも考えられ

不思議な概念を共有する．

る．言葉を使わなければ何も表現できないが，百

自然科学は自然界の客観的な真理を追究するな

万言を費して自然を表現しようとするのは意味の

どと言う．ここで客観的と言うのは，普遍的なこ

ないことである．我々は自然を簡潔に表現する法

と，言いかえれば，同じ条件の下では誰がいつ試

則があるのに違いないと信じているのである．ふ

みても同じ結果になるということである．しかし，

つうの言葉を使ってもこれが達せられなければ，ガ

そうだとすると宇宙論は科学の定義の中におさま

リレイが言ったように数学の言葉を使ったらいい

らないことになってしまう．宇宙の進化をまった

ではないか，とも考えられる． 「自然は数学の言葉

く同じ条件の下で繰り返すことはできないからで

によって書かれている」と彼は言っている．実際，

ある．たとえばビッグバン宇宙を再現させること

少なくとも物理学においては数学を十分に使って

はできないし，地球誕生の頃の太陽系を再現させ

自然を記述しようと努力している．

ることもできない．核融合の実験や素粒子の理論

たとえば，波であると同時に粒子であるという

などを進めて宇宙の始まりのシナリオを想像する

光の二重性はふつうの言葉では表現できないが，

のはたいへん興味深いに違いないが，それを確実

数学的表現である波動関数を使えばいいではない

に検証することができるとは思えない．そのよう

か．相対性理論で考える 4 次元，あるいはそれ以

なシナリオは，その時点の知識を組み合わせた優

上の次元の時空はふつうの言葉で表せないとして

秀な作文であっても，絶えず書き直されなければな

も数学の言葉では明確に表せる．しかしそのよう

らない運命にある．このような試みによって真実

にして数学的理論を構築しても，自然を完全に捉

に近づけるという保証はまったくないわけである．

えることはできない．しばらくすると理論を越え

「理論は書き直されるためにつくられる」という ような言葉がある．実験室ですぐに確かめられる 事柄はもちろんたくさんあるが，その大部分はい

る新しい現象が見出されるのである．

4. 空間と時間

わば大したことではなく，本当に重要な理論や仮

宇宙論は宇宙全体を外から見るような扱いをす

説はかえって大きく書き直されることが多いよう

る．これも物理学のほかの分野にはないことであ

な気がする．たとえば，ニュートンによって述べ

ろう．ふつうの物理学に限らず，ふつうの科学に

られた万有引力の法則は，アインシュタインの重

おいては，物を要素に分けて，要素と要素の間の

力場の理論によって書きかえられた．マクスウェ

関係として自然現象を捉えようとする．いわゆる

ルは光を電磁波であるとしたが，量子論の光量子

要素還元法である．たとえば物質科学においては

説によって修正された．このような例はその他に

物質を原子や分子から構成されていると見て，原

も数多く存在する．

子や分子の関係からその物質の性質を理解しよう

これから得られる教訓は，言い古された言葉で あるが， 「自然は人知を大きく越えた存在である」

とする． ニュートン力学においては，まず絶対空間と絶

ということであろう．科学的研究を積み重ねた末

対時間があるとする（ニュートン力学を信奉した

に人間がこれはこうであろうと結論めいた理論を

哲学者カントによれば空間と時間は人間の認識の

出すと，しばらくして自然はその反証となる事実を

基礎をなす先験的形式である） ．絶対空間はその中 第 15 章 宇宙

181

にある物質と関係なく存在し，絶対時間も絶対空 間の中で起こる現象と関係なく一様に流れる．こ の考えは抜き差しならぬほど強固に我々の心の中 に定着している． しかし，特殊相対性理論によれば，空間と時間 は完全に切り離されるものでなく，合わせて 4 次 元の連続的な時空を形成する： 一つの慣性系の空間座標と時間座標を別の慣性 系の空間座標と時間座標で表そうとすれば，空間 座標と時間座標が入り混じったものになる（ロー レンツ変換）． アインシュタインの学生時代の教授の一人であっ たミンコフスキーは 1908 年の講演で次のように 述べている： 「これからは空間そのものとか時間そのものと

(3) 「エーテルでも物体でも普通に運動と呼んで いる現象の本態は空間の曲率の変化である」．

(4) 「この物理世界に起こるのは，この曲率の変 化だけである」． クリフォードはまた，重力は空間の曲率による のではないかと考えたが，当時の測定では確かめ られなかった．実際この卓見が実を結ぶにはアイ ンシュタインの仕事を待たねばならなかったので ある（このようなクリフォードの言葉をアインシュ タインは知らなかっただろう）． 物理学者のホイーラーによれば「物質は時空の 命にしたがって動き，時空は物質の命にしたがっ て曲がる」． 特殊相対性理論の時空に物質をつけ加えて一般 相対性理論の時空に移り，重力場の理論になる．

いう考えは単なる影の中に消え失せざるをえず，

重力場の曲率は物質によって定まるが，物質も重

その二つのある種の結合だけが独立した真実性

力場もエネルギーをもつので，重力場の方程式は

を持ち続けることになるでしょう」．

非線形で一般解も与えられないものとなる．

しかし特殊相対性理論における時空は，空間と 時間を測る操作を追えば（操作主義的に）変換の 意義を「物理的」に理解することができる．これ に比べると一般相対性理論における空間や時間の 「物理的」な意味はたいへんわかりにくいもので ある．この理論では 4 次元時空はリーマン幾何学 （非ユークリッド幾何学）において定義される空間 である．リーマン（1826–1866）はガウスの弟子 で純粋な数学者であるが，実在する時空がどのよ うな幾何学（ユークリッド幾何学か非ユークリッ ド幾何学）のあてはまる時空であるかは，そこで起 こる物理現象によって決まるものであると考えた． この考えは数学者クリフォード（1854–1879）に よってある程度進められた．彼は次のように書い ている（モーリス・クライン著『何のための数学 か』紀伊国屋書店，1987）．

(1) 「空間の小部分は大体平坦な地面にある小さ な丘のようなものである」．

一般相対性理論の方程式に現れる時間は「物理 的」に理解しにくいものである．すでに述べたよ うに特殊相対性理論における時間は慣性系という 枠にはめられた時間であり，双子のパラドックス などが生じるとしても， 「物理的」 （操作主義的）な 方法によって理解するのが比較的容易である． 一般相対性理論でも，時間パラメータ（座標時）

t は「物理的」な観測の在り方から意味づけをし なければならないが，時空の曲がり方が絡むので， 時空が平らな特殊相対性理論の場合よりも，数段 理解しにくくなる．宇宙の中の各時点の間の関係 とか，ブラックホールの中の時間などの理解の難 しさが，一般相対性理論の意味をわかりにくくし ている． 相対性理論では空間と時間とが対になっている が，それにも関わらず空間と時間はやはり相当違 うものであるという感じを否めない．この点は十 分考えられていないような気がする． そこで空間から始めよう．そもそも「何もない

(2) 「空間の歪曲というこの性質は場所によって

空間が存在する」などという言葉は矛盾している

異なり，波のように連続的に変動する」．

のではないだろうか．昔の哲学者は物質を広がり

182 第 3 編 物理学とは何か

をもつものと定義したようであるが， 「自然は真空

に万有引力の法則を導出している．伝記によれば

をきらう」ということもあって，デカルトも「空

それ以前に「惑星に楕円軌道を描かせる力はどの

間には希薄な物体がある」と考えたらしい．

ようなものか」とハリーに聞かれて， 「それは太陽

ニュートンはこのようなことで論争するのがい

からの距離の逆 2 乗に比例する力である」と言っ

やであったに違いない．彼は『プリンキピア』に

てしまったあとでそれをはっきり証明する計算を

おいて絶対空間というものをするりと導入するこ

完成させたようである．

とによって論争を避けた．絶対空間は運動法則に

したがってニュートンにおいては，物体が自由

従って物体が運動する幾何学的な場所であり，ユー

に運動する空間（慣性の法則としてガリレイから

クリッド幾何学が成り立つ場所である．この中で

受け継いだ）という考えと，遠く離れて距離の 2 乗

物体が時間につれて位置を変える法則が力学の法

に反比例する万有引力という考えとが，まったく

則である．

自然に脳裏に浮かんだのであろう．そしてそれと

次に，ニュートンは万有引力の法則をもち込ん だ．これはまた，考えてみればたいへん不思議な ものである．

は別に何もない空間を隔てて働く万有引力という 仮説の不思議さに悩まされ続けていたに違いない． 一般相対性理論によれば，空間は重力の場であっ

遠くにある太陽が空間を隔てて（紐で引っぱる

て何もない空間ではない．それにしてもニュート

わけでもないのに）地球を引っぱる．こんな荒唐

ンを悩ましたと思われる疑問はやはり消えはしな

無稽なことはまともな人の考えることではない，

い．今や空間は重力場であり，電磁場であり，素

とも思われる．実際，ニュートン自身も，こんな

粒子の場である．そのようにたくさんのものが空

馬鹿げたことは考えられない，と手紙の中で書い

間のもつべき属性であると言うのはまともな考え

ているそうである．

方であろうか．

しかし『プリンキピア』の中で彼は全然迷わず

科学の危うさ なって鼻柱を折る人である．…

寺田寅彦の随筆に …鶯が北窓から飛び込んで南側の庭へ抜けるつも

という話があった．この文章の 2 段目から下で， 「鳥」

のうしんとう

りでガラス障子にくちばしを突き当てて脳 震 盪を

とあるのを「人間」， 「ガラス」とか「ガラス戸」と

起こして即死した…鳥の先祖の時代にはガラスと

かあるのを「科学」でそれぞれ置き換えてみたらど

いうものはこの世界になかった．ガラス戸という

うだろう．そうするとこの文章は科学を誤って用い

ものができてから今日までの年月は鳥に「ガラス

たために滅亡するかもしれない人間の姿を警告して

教育」を施すにはあまりに短かかった．人間の行

いるような話になる．このような文章の改 竄をして

路にもやはりこの「ガラス」のようなものがある．

はいけないに違いない．

かいざん

失敗する人はみんな眼の前の「ガラス」を見そこ 第 15 章 宇宙

183

第 16 章 時空 （膨張宇宙）

1. 最も根本的なもの 自然界に対する純真な驚きの感情から自然科学 への道を歩き始めた多くの人がいた．たとえばイ ギリスのファラデーは電気と磁気の不思議な現象 を解き明かそうとして一生をその研究にささげた．

2 章でも同じことを書いた）．結局，彼は「時間」 の公理から始めた．彼は言う． 絶対的な時間は，その本性からして，それ以外 の何ものとも関係なく，一定の速さで流れる． 多くの人は，これを当然のこと，調査もいらな

彼はこの研究から電磁気的な場という考えに到達

いモデルであると考えた．ニュートンは，光があ

し，これはマクスウェルによって引き継がれ，電

る有限の速さで空間を飛んでくるというレーマー

磁気学として完成された．ニュートンは万有引力

の推論を認めたが，その速さを直接測定する手段

理論を樹てたが，それ以来約 200 年たってファラ

をもたなかった．地上で光速度が初めて測定され

デーとマクスウェルによって自然界の新しい力が

たのは後のことである（フィゾー，1849）．

発見されたのであった．この発見は電磁場によっ

しかしそれに先立ってホイヘンスは光が一種の

て満たされた空間という新しい概念の確立を意味

波であると考え（1678） ，光を伝える仮想的な媒質

するものでもあったのである．

をエーテルと名づけた．これは宇宙を広く満たし

自然界の成り立ちの基礎を力と運動，あるいは

ていると考えられたが，宇宙の中を惑星などが抵

空間と時間の中の粒子や波の運動として捉えるの

抗を受けることもなく運動していること，光の速

が物理学であるとすれば，最も根本的な不思議さ

さが非常に大きいこと，光は偏りがある（横波で

は（我々人間の存在を別にすれば）空間と時間の

ある）ことなどから，エーテルを物質とすると，そ

存在ではなかろうか．これこそ物理学の中で最も

れは非常に希薄で，固いまったくあり得ない奇妙

純粋な疑問であると思われる．そこで「物理学と

な物質であるということになる．しかしほかに考

は何か」という設問に対する考察の終盤として，

えようもなかったので 20 世紀初めにアインシュ

今までの話と重複するところもあるが，物理学で

タインの特殊相対性理論が出るまでは，エーテル

最も純粋に基礎的である時空の問題を再考してみ

説が容認されていた（エーテルはまったく奇妙だ

たい．

が仮に認められていたという点で後に述べるダー

2. 古典的な時間 ニュートンは主著『プリンキピア』を書き始め るにあたって，ずいぶん苦労しただろうと思う（第

クマターと似たところがある）．

3. 地球の年齢

19 世紀のイギリスの偉大な物理学者ウィリア

ム・トムソン（後のケルビン卿）は熱力学の創始者

た．光を伝える物質としてのエーテルが本当にあ

の一人としても有名であるが，地球の年齢を物理

るならば光の速度の差は検出できるはずであった

学的に推定しようとした（第 5 章参照）．彼は当

が，彼らは何も見つけることができなかった．ど

時の地質学者たちの推定方法に満足しなかったの

ういう向きで実験を行っても，光の速度はまった

である．ケルビンは地球の内部は地表よりも温度

く同じ c = 30 × 104 km/秒であったのである．こ

が高いという事実に着目した．地球が大昔にずっ

れはニュートン力学の速度合成則が（少なくとも

と高い温度で，一様な温度であったとして，それ

光速度を含む場合には）成り立たないことを意味

が次第に冷却して現在に到ったと仮定すると，初

する．

めの温度と，岩石の熱伝導率とから，地球の年齢

このような不整合の原因を明らかにするために，

を計算できる．こうしてケルビンは地球の年齢が

先に述べた考え，すなわち光に向かって進めば光

数千万年程度であるという結論を算出した．これ

の速度は c + v になり，光と逆に進めば c − v にな

はしかし地質学的な推定に比べてあまりにも短か

るはずであるという論理を考え直してみると，こ

すぎたので反論も生じたが，ケルビンの権威と論

れは光と観測者の両者に共通な時間を仮定した上

証の強さに押されてしまったと言う．この論争は

での結論であることが判明する．

地球内部にある放射性物質が出す熱の発見によっ

アインシュタインは静止した時計とこれに対し

て結着がつき，今では地球の年齢は約 46 億年であ

て運動している時計の刻む時間は一般に一致しな

るとされている．

いと考えた．これら 2 つの時計の時間を比較する

4. 光の伝達

のに光の信号を用いればよい．この考えから互い に運動する座標系の関係を導いたのがローレンツ

光の媒質エーテルが空間を満たしているとする

変換である．2 つの座標系の相対速度が小さけれ

と，光はエーテルに対して一定の速さ c = 30 ×

ばローレンツ変換はガリレイ変換に一致し，時間

4

10 km/秒で進む．しかし地球上の観測者は太陽

は共通になり，ニュートンの速度合成則が成り立

の周りを公転速度 v = 30 km/秒で走っている．

つが，相対速度が光速度に対して無視できない場

簡単のために，エーテルは太陽系に対して静止 しているとしよう．遠くの星からくる光に向かっ

合はローレンツ変換から導かれるアインシュタイ ンの速度合成則が成立する．

て観測者が動いているときは，1 秒間に光は c km

この速度合成則によれば静止した慣性系 S0 に

だけ観測者に進み観測者は光に向かって v km 進

対して速度 u で x 方向に進む慣性系を S とする

むから，観測者と光の間の距離は c + v km だけ

と，S に対して x 方向に速度 v で進む物体の S0

縮まる．したがってこのとき光の速さ（相対速度）

に対する速度 V は

は c + v km/秒である．同様に遠くからくる光か らあとずさりする向きに観測者が進んでいるとき は，c km 縮まると同時に v km だけ伸びるので， 光の速さ（相対速度）は c − v km/秒である．これ がニュートン力学で期待される速度の合成則（ガ リレイ変換）である． マイケルソンとモーリーの有名な実験の方法は 上に述べた設定と少し異なるが，ガリレイ変換に よる限り観測者の運動によって光の速度が違って 見えるはずであるという期待は同じであった． しかし実験の結果はこの期待を裏切るものであっ

V =

u+v 1 + uv c2

で与えられる．これがアインシュタインの速度合 成則である．ここで c は光速度を表す． 特に u が光速度に等しい場合を考えると u = c とおき

V =

c+v c+v =c = 1 + vc (c + v)/c

となる．v が光速度に等しい場合も同様である． すなわち光速度 c に任意の速度 v を加えても（引 第 16 章 時空

185

いても）その結果は光速度 c に等しい．つまり光

することは科学の限界を超えることである」と宣

に向かって進んでも，逆向きに進んでも光の速度

言しているのである．

は同じに見えるということになる．これでマイケ

力学の前提として時空，重力と共に不可欠なの

ルソン・モーリーの実験の結果は矛盾なく理解さ

は物質（質量）である．ニュートンは万有引力に

れる．

関連して「重力質量」を導入し，加速と力に関連し

5. 我仮説をつくらず

て「慣性質量」を導入している．そしてニュート ンはいろいろの物質のおもりやひもの長さの振り

太陽を回る惑星の運動はケプラーが発見した 3

子で実験した結果から，慣性質量と重力質量が等

つの法則に従う．この法則は極めて見事なので誰

しいことを確かめた．こうして彼は両者が同じで

でもその “わけ” を知りたがった．ニュートンが

あることを『プリンキピア』の中にとり入れたが，

それは太陽が惑星を距離の 2 乗に反比例する力で

なぜこれらが等しいのかという疑問には踏み込ん

引いているからだと答えるとエドモンド・ハリー

でいない．ここでも彼は仮説を作らないという態

はその証明を求めた．これがニュートンに著書『プ

度を保持している．この問題はアインシュタイン

リンキピア』を書かせる動機になったのだが，そ

によって一般相対性理論として解決された．この

の執筆には相当長い時間が必要であった．おそら

理論では重力は遠隔作用でなく近接作用として理

く，ニュートンは絶対時間とか，万有引力の法則

解されるようになった．

などをわかりやすく説明するのにたいへん苦労し たであろうと思わせる． 絶対時間についてはすでに述べた．万有引力の 法則はよく知られているように 「太陽は惑星を距離の 2 乗に反比例する力で引く」

一般相対性理論によれば，物質やエネルギーは 時間・空間をゆがませる．そして曲げられた時空 によって物質やエネルギーが運動させられる． 大きな質量の物体が振動すれば，その影響は時 空の中を波となって伝わるであろう．これは重力 波と呼ばれる．重力波はまだ直接観測されていな

という法則である．しかしこの法則は，考えれば

いが，2 つの星が互いの重力で引き合って回転し

考えるほど不思議な内容をもっている．それは

ている 2 重星がある．この 2 重星の軌道が次第に

(1) 太陽はどうして各瞬間に惑星までの距離や 方向を知ることができるのか．

(2) 惑星と太陽の間に引力が働くのはなぜか． (3) その力は瞬間的に働くのは不合理（特殊相 対性理論によれば物理的な影響（作用）の伝 達の速さは光速度を超えない）． などの疑問である．

つぶれていくのが観測されていて，これは重力波 の放出によってエネルギーが失われるためである ことが明らかにされている． 一般相対性理論は 1915 年頃に完成されたが，し ばらくの間は実験によって確かめられる成果を挙 げられないものと思われていた．大学生だった頃， 大学の講義に特殊相対性理論はあったが，一般相 対性理論の講義はなかった．一般相対性理論の勉

これに対してニュートンは一切コメントをしな

強を勧める先生もなかった．しかし第 2 次世界大

いで「私は仮説を作らない（Hypotheses on fingo） 」

戦が終わった 1950 年代頃から電子技術の進歩に

と言うだけである．ニュートンは著書『光学』の

伴い，相対性理論が検証できるような実験が盛ん

中でエーテルや万有引力などについて推察や疑問

に開発される時代になってきた．

を述べているが， 『プリンキピア』の中では「時間 や重力などについては，それによって惑星の運動

6. 膨張宇宙

法則，月の運動，リンゴの落下など多くの現象が

アインシュタインは 1915 年に一般相対性理論

きれいに説明できれば十分であり，それ以上詮索

を完成してから間もなく，この理論を宇宙全体の

186 第 3 編 物理学とは何か

モデルに適用する試み（宇宙論）を開始した．彼

1910 年代以後，宇宙論には思いがけない劇的な発

は有限で一様で球形で，時間的に膨張も収縮もし

展がいくつかあって，現代の宇宙論が始まった．

ない静的な宇宙のモデルが可能であろうと思った．

納得のいく宇宙論へ進んでいると思っているが，

その宇宙を表す理論的な方程式は曲がった時空の

どこかで誤りがあるかもしれない．

重力が物質とエネルギーによる圧力と釣り合って

1912 年にケフェウス型と呼ばれる変光星が発見

静止しているというようなことを表すもの（重力

された．これは星の明るさが周期的に変化する星

方程式）であった．アインシュタインは静的な宇

であって，ある一定の距離離れたところから見た

宙が美的で望ましいと考えたのである．そして重

明るさ（光度，絶対等級）と周期の間に決まった関

力方程式は一般相対性理論としての要請を満たし

係があることがわかってきた．これは恒星内部に

ながら最も簡潔で余計なものを含まない方程式で

変光の原因をもつ物理的変光星である．この変光

あった．しかしその方程式を用いたのでは，どう

星を含む星団や銀河の距離測定に利用されて，銀

しても望ましい静的宇宙を得ることができなかっ

河系の構造や宇宙論の確立にたいへん役立った．

た．そこでアインシュタインは宇宙を静的なもの

1920 年代の初めにアメリカのエドウィン・ハッ

にする目的だけのために重力方程式に余分な定数

ブルはアンドロメダ星雲にあるケフェウス型変光

をつけ加えた．

星を発見し，これが 100 万光年以上（約 250 万光

その頃は星や星雲が宇宙の中でどのくらい遠く

年）の距離にあることを結論した．我々の太陽系

に，どのように分布し，あるいはどのように運動し

がある天の川銀河の直径は約 10 万光年であるか

ているかほとんどまったく知識がなかった．ニュー

ら，アンドロメダ銀河などはその外にあることが，

トンの『光学』に書いてあるが，ニュートンの頃に

これによって明らかになったのであった．

は 3 角測量の方法で太陽までの距離が知られてい

1929 年になると，ハッブルは宇宙が膨張拡大し

たが，その頃は太陽系の広さが認識の限度だったわ

つつあることを発見した．これは 20 世紀最大の

けである．18 世紀の末にイギリスの天文学者ハー

天文学的大発見であったと言われている．これは

シェルは望遠鏡による観測から天空の星は無秩序

星の光の波長が原子の本来のスペクトルに比べて

に散らばっているのでなく，あちこちに集まって

長いほうへずれていることの発見（赤方偏移）に

雲のように見えることに気がつき，それを星雲と

よるものである．これは光のドップラー効果を示

か島宇宙とか呼んだ．しかしたとえばアンドロメ

すものと考えられ，宇宙の銀河は互いに距離に比

ダ星雲と呼んだ星雲が我々の島宇宙の中にあるの

例する速度で後退しつつあることを意味する．

か，外にあるのかといったこともわからなかった．

ギリシャ以来 3000 年にわたって，宇宙が膨張

3 角測量で測れないような遠く手の届かないとこ

しつつあると考えられたことはなかった．宇宙は

ろの距離を推定するにはどのような手段があるの

およそ不動のものと思われていたのである．した

だろうか．それには何らかの観測から得られる経

がって宇宙膨張説はまったく新しい観念であった

験法則を遠くへ延長して用いるか，あるいはもっ

と言ってよいだろう．それにも関わらず，この説

ともらしく思われる理論を適用することだろう．

はたいへん早く受け入れられたのである．ハッブ

しかしいずれにしても，このような方法が正しい

ルによる銀河後退の発見はその少し前にロサンゼ

結果を与えてくれるという保障はないわけである．

ルス郊外に作られた直径 2.5 m の巨大な反射望遠

これは宇宙論においていつでも忘れてはならない

鏡の建設によるものであるが，同時にそれは少し

ことである．我々は次第に正しい宇宙論に近づい

前に完成された一般相対性理論の偉力によるもの

ていけるだろう．しかしどこかでとんでもない間

でもあったと考えられる．

違い，勘違いをしているかもしれない．絶対時間

すでに述べたように宇宙論にとりかかったアイ

はなかったし，光のエーテルもなかったのである．

ンシュタインは静的な宇宙を導き出そうとしたが， 第 16 章 時空

187

彼の重力方程式では絶えず膨張する宇宙しか得ら

られるようになったのはそれほど最近のことでは

れなかったので，膨張を止めるために不定の定数

ないらしい．1920 年代にオランダの天文学者のヤ

（宇宙項）を導入した．

ン・オールトという人が銀河の中の星の分布をく

宇宙が膨張しているというハッブルの発見が出

わしく調べた．我々の銀河は円板状で太陽は中心

ると多くの理論物理学者はただちにそれを認め，

から 3 分の 2 ぐらい行ったところにある．銀河の

一般相対性理論は膨張宇宙を予測していたのだと

平面から離れる動きをする星は銀河円板の重力に

さえ考えた．そしてアインシュタインは宇宙項を

よって引き戻される．オールトは恒星の速さを求

導入したことを「わが生涯の第一の誤り」であっ

め，それを引き戻すのに必要な質量を計算した．ま

たと嘆かなければならなかったと言われている．

た他方で恒星の目録により銀河の中の質量を直接

しかし最近は観測と理論との間のある不一致から，

求めた．ところが驚いたことに，これら 2 つの値

また宇宙項を導入したほうがいいのではないかと

は一致せず，初めの値はあとの値の約 2 倍になっ

いう声もあがっているらしい．アインシュタイン

た．銀河円板の重力は直接見える質量の 2 倍ある

に限らず不一致が見出されるごとに理論を修正す

ことになったのである．

るのは面白くないと思う人が多いだろう．

このような分析は何度も繰り返されたが，基本

宇宙は膨張するが不変であるという，定常宇宙論

的な結論は同じだった．見える質量よりも見えな

もある． 「暗黒星雲」という SF を書いたフレッド・

い質量のほうが何倍もあることが明らかになった

ホイルの説はその一つらしい．それによると宇宙

のである．

が膨張した隙間には新しく物質が誕生してギャッ

ワシントンにあるカーネギー研究所のヴェラ・

プを埋めるので宇宙は不変に保たれるという連続

ルビン（第 1 編 30 頁のコラム「ルビン」を参

創造説である．これは物理的な科学になり得るの

照）は銀河中心の周りを星が回る速さをくわしく

かわからないが，魅力的なところがあるような気

調べ，恒星に働く重力を計算した．その結果明ら

がする．

かになったことは，宇宙には銀河の中にも外にも

宇宙膨張説は 1965 年の宇宙黒体放射（残留放

眼に見えない物質が大量に存在し，その量は眼に

射）の発見によって強い支持を得た．ガモフたち

見える物質の何倍から何十倍にも達するというこ

が昔に考えた宇宙誕生のシナリオ，ビッグバン説

とである．天文学者の多くはこの不思議な結果を

がよみがえり，素粒子，元素，銀河の生成機構が

長い間疑いの眼で見ていたかもしれないが，1970

論じられるようになった．宇宙は本当に総括的に

年代にはダークマターは宇宙論の主要なテーマの

論じられるようになったとも思われてきたが，他

一つとして認められるようになってきたらしい．

方で大きなほころびのようなものが見えてきた． ダークマターの謎はその一つである．

7. ダークマター 宇宙の中には観測されていない莫大な量の物質

ダークマターは光学的にはまったく見えず，電 磁気的な作用を受けないらしい．現在になっても その正体は不明である．それは昔のエーテルを思 わせる不思議な存在であるということもできる． あるいは電磁波にほとんどまったく感じない素粒

が存在するらしい．それは光や電磁波といった電

子なのか，あるいはふつうの物質（あるいは時空）

磁気的な相互作用をもたないと思われる物質であ

がなくなった後の穴のような存在なのだろうか．

るためダークマター（暗黒物質，dark matter）と

そうであるとすれば，それは今までの物理学にお

呼ばれている（暗黒星雲とはまったく違う） ．その

ける時空の概念を超える枠組みであるかもしれな

量は宇宙にあるふつうの物質の何倍か何十倍もあ

いし，その解明には第 2，第 3 のファラデーやアイ

ると推定されている．

ンシュタインの天才を必要とするのかもしれない．

知られていない物質が宇宙にあるらしいと考え 188 第 3 編 物理学とは何か

空洞輻射の全エネルギー密度 u が得られる．これ

8. 熱力学

は絶対温度 T の 4 乗に比例し

「自然界の最も不思議なことは，それが理解で きるということである」 ．アインシュタインはその ように言っている．その不思議さの最も深い疑問



0

物理学者として，ファラデーやアインシュタイン を挙げると思う．アインシュタインは世俗なこと にもいろいろ悩まされたが，ファラデーは一生ほ とんど一人で実験に打ち込んで，最後にはヴィク トリア女王から送られた家で静かに一生を終えた． ファラデーがとり組んだ電磁気学はそのまま時 空のありようを究める学問である．これほど純粋 な学問はないと言えよう．時空とは何か，それは

a=

ときに時空の本質もわかると言えるのではないだ ろうか． 空洞輻射（放射）という言葉がある．ドイツ語 で空洞（Hohlraum）というのは何もない空間のこ とである．空洞輻射の問題ほど純粋な問題はない． これととり組んだプランク（Max Planck）ほど

(3.10 )

8π 5 k4 15c3 h3

(3.10 )

となる．これはシュテファン・ボルツマンと呼ば れる法則であるが，これはプランクに先立ち，シュ テファン（Stefan）が実験的に見出し，ボルツマ ンが 1884 年に理論的に説明している． ボルツマンの証明は次のようなものである． （マ クスウェルの電磁気学によれば， ）電磁波は圧力を 及ぼし，等方的な電磁波の圧力 p は放射のエネル ギー密度 u の 1/3 に等しい．すなわち

電磁気学によって記述されるものにほかならない． 電磁気学と時空との関係がさらに深く理解された

uν dν = aT 4

で与えられ，ここで比例定数 a は

は時空がなぜあるのかということではなかろうか． 最も不思議なことに対して最も純粋にとり組んだ

∞

u=

p=

1 u(T ) 3

(3.11)

が成り立つ，ここで放射の特長として，エネルギー 密度は温度だけで決まり，空洞の体積 V によら ないことを明らかにするため u(T ) と書いてある． 体積 V の空洞のエネルギー U は

U = u(T )V

純粋なものを志向した学者はなかったかもしれな い．実際，ファラデーとマクスウェルを継承して 電磁気学の問題にとり組んだのであった．その結

で与えられる．ここでよく知られた熱力学の関係式



T

果として発見された光の量子（光子，photon）を 彼は十分理解しなかった．さらにプランクの仕事 は量子論の発見に至って花咲いたのであった．物 理学とは何と不思議な発展をするものだろう． プランクは空洞輻射の研究からいわゆるプラン クの放射法則を導いた（1900）．よく知られてい るように，この法則によれば絶対温度 T の空洞の

∂p ∂T





=

∂U ∂V



+p

(3.12)

T

に上の 2 式を代入すると

T

du = 4u dT

となり，これを積分して

u = aT 4

(3.12 )

振動数が ν と ν + dν の間のエネルギー密度（単

を得る．これはすでに述べたシュテファン・ボル

位体積内のエネルギー）を uν dν とすると

ツマンの法則を表している．

3

uν dν =

dν 8πhν 2 hν/kT c e −1

(3.10)

で与えられる．ここで h はプランク定数，k はボ ルツマン定数である． 上式を振動数 ν の全領域にわたって積分すれば

さて，(3.10) と (3.10 ) は量子力学の出発点に なった式であり，完全に量子力学的である． これに対し，(3.11) はマクスウェルの電磁気学 の式，(3.12) は熱力学の一般式であって共にマク ロ的で古典的な式であるが，これらは量子力学に 第 16 章 時空

189

おいても成り立つ式であり，(3.12 ) も両方の立場 

で成立する．しかし (3.10 ) は量子力学における 

ら（熱力学を用いて）量子力学的なシュテファン・ ボルツマンの法則が得られるということは面白い．

式であるのに対し，(3.12 ) は同じ形をしているが

プランクもアインシュタインも熱力学を深く信奉

古典的とも見なせるし量子力学的とも見なせる式

していた．ほかの物理学が成り立たなくなっても

であると言えるだろう．

熱力学は残るとさえ考えていたらしい．



しかし，(3.10 ) ではプランク定数 h が右辺の 分母にあって，形式的な古典的極限 h → 0 をとれ 

もしかするとダークマターも熱放射のように， 熱力学的な考察によってその不思議さの一端が解

ば，a → ∞ になってしまうので，(3.12 ) でそう

明されることがあるかもしれないなどと夢想して

いう極限をとることは許されない．

みる．

いずれにしても，マクロ的古典的な光の圧力か レイリー卿 イ ギ リ ス の 著 名 な 物 理 学 者 レ イ リ ー 卿（Lord

Rayleigh,

1842–1919）の 相 続 前 の 名 は John

を承諾した．ここでレイリーは電気の単位の測定を 決定的にやり直したという．

William Strutt である．彼は 3 歳になるまで物

1884 年にレイリーはキャベンディッシュ研究所を

が言えなかった（この点 3 歳になっても言葉がおそ

やめた．在籍 5 年間に出した論文の数は 60 余りだっ

かったアインシュタインに似ている） ．祖父がこの子

た．「あの調子で永くはとても続けられなかった」と

を初めて見たとき「これは余程利口か，それとも大

述べている．

馬鹿だ」と言ったという．ひどくはにかみやで，初

郷里へ引き上げてから，建物を改造して実験室や

めて大学で講演をしたときは小声でよく聞きとれな

寝室と地下の工場を作った．「部屋の照明は私設ガ

いくらいであったが，晩年にはかなり上手になった．

スタンクのガスで間に合わせた．倹約と保守的な気

学友バルフォーア（後の首相）の 2 人の姉妹エリー

分と面倒がりとのために電燈設備をしないでしまっ

ノアとイヴリンとに紹介され，1871 年にイヴリン

た」という．雑誌類は人に貸さなかった．古い包紙

と結婚した．翌年ひどい熱病にかかって関節と肺を

などは棄てずにとっておいて使った．家の修理など

おかされたが幸い治癒したが，以後何度も病気にか

を執事がすすめてもなかなか受け入れなかった，な

かっている．病後の冬の寒さを避けてエジプト旅行

どと書かれている．ちょっと変わったところのある

に出かけ，その余暇に名著『音響学』 （『Theory of

人だったに違いない．

Sound』）を書き始めている．数カ月の旅から帰った

空気中にアルゴンという気体があることを発見し

翌月に父のレイリー卿が亡くなり，彼は父の遺産で

た有名な研究はこの実験室でなされ，1904 年のノー

ある荘園を管理しなければならなくなった．また上

ベル物理学賞が与えられた（レイリー卿：気体の密

院で衛生問題について演説をさせられるなどの雑用

度に関する研究とアルゴンの発見）．

も重なったが政界には興味がなかった．

以上は寺田寅彦さんの随筆「レイリー卿」からの

幸い弟の Edward Strutt が大学を卒業し農事に身

抄録であり，この随筆はレイリー卿（John William

を入れるようになって，1876 年には家の管理にわず

Strutt）の息子 Robert John Strutt からの抄録で

らわされないようになった．この間にも彼は水力学，

ある．最後にもう少し引用させていただきたい．

音響学，回折格子，光学などの実験および理論的研 究を手広く行っている．

「彼は自分でもしばしば言明したように全く自分の 楽しみのために学問をし，研究をした．興味の向く

1879 年にマクスウェルが死んだのでキャベンディ

ままにむつかしい数学的理論もやれば，甲虫の色を

ッシュ研究所（ケンブリッジ）の後任問題が起こっ

調べたり，コーヒー茶碗をガラス板の上に滑らせた

た．その頃，不景気のためにレイリー家の財政はか

りした．彼にはいわゆる専門はなかった．しかし何

なり困難な状況にあった．そんなこともあって 1879

でも，手をつければ端的に問題の要点に肉迫した．」

年 12 月にレイリーはこの研究所の椅子に就くこと

190 第 3 編 物理学とは何か

第 17 章 エピローグ

1. 20 世紀初頭の大改革

もできないのは当然であるから，上の文章でもは じめに用いる言葉である「自然」とか「観察」な

物理学に限らず科学というものは，その前の時

どは定義されないままで使われる．これらの言葉

代の成果を踏まえてその上に積み重ねられてきた

は定義なしで常識にまかせ，漠然としたままにし

ものである．物理学もあるときには前の時代の考

ておくことになるが，この方法は無定義のものの

え方にそってさらに知識を増やす努力をし，また

公理群から出発して意味のある体系を構築する数

行きづまったときや新たに興味ある現象に出会っ

学の方法に似ているわけである．

たりしたときには，前の時代の考え方を棄てて新

たとえば古典物理学においては， 「自然界」は「人

しい考察の上へ飛躍してきた．そのため物理学と

間以外の自然」を意味し， 「主として無生物」では

いう学問は，現代に至るまでに何度も変化し改革

なく「無生物だけ」を対象とする．このようなせ

を重ねてきている．それぞれの時代にそれぞれの

まい土俵における物理学が古典物理学であるとい

時代の物理学があったわけで，これが永劫に変わ

うことができる．

らない物理学の不変のテーマであるとか主義であ

これに対し，現在の物理学は人間の体や脳の中

るとかいうようなものはない．これからも，人間

で生起する現象までも扱うようになってきた．し

の知的好奇心がしぼまない限り物理学は何度でも

たがって物理学に対する上の定義を保存しようと

変わっていくであろう．

すれば，我々は「自然界」を「人間を含む」とし，

それはともかくとして，一応の物理学の定義を

「ただし主として無生物」というただし書きも削除

求めると，朝永振一郎先生の『物理学とは何だろ

しなければならない（ 「生物物理学」なども現在最

うか』 （岩波新書）には次のように述べられている．

も活発な物理学の分野である）．

「 （物理学は）われわれをとりかこむ自然界に生起 するもろもろの現象——ただし主として無生物 にかんするもの——の奥に存在する法則を，観 察事実に拠りどころを求めつつ追求すること」

また，たとえば「観察事実」も古典物理学では， 肉眼で見ることができるもの，手で触れたりして 感覚で確かめることができる事柄を対象とし，顕 微鏡や望遠鏡などはむしろ肉眼や虫眼鏡を補助す る程度のものと考えられがちである．電場，磁場

ここで朝永先生も注意しておられるところであ

なども我々が直接に五感で確かめることができる

るが，何か（たとえば物理学とは何かということ）

もの，あるいはその延長線上にあるものとして捕

について語り始めるときは，言葉を使わなければ

えられる古典物理学的な物理量である．

ならない．言葉がなければ何事について語ること

測定によって知られる自然現象は，測定機器や

技術の進歩によって高められ広められる．しかし

のはさすがにケルビンであったと言うこともでき

19 世紀頃には，測定技術を向上させても物理現象

るようである．ケルビンの頑固にニュートン力学

の本質は変わらないと考える人が多かったのだろ

にこだわる精神が，かえって彼にこのような予感

う（新しい理論や実験によって量子効果などが発

をもたらせたのかもしれない．

見され，旧来の物理概念が通用しなくなるとは夢 にも思わなかったのである）．19 世紀末には，も はや物理学に本質的な進歩はなく，あとは精度を 上げたり，応用を広げたりする仕事が残されてい るにすぎなくなったというのが大多数の物理学者 の見解であった． ニュートン力学とマクスウェルの電磁気学は， それぞれ莫大な数の実験によって確かめられたし，

光に関する物理学を例にして物理学の変遷をた どってみることにする．

2. 光の波動説 「はじめに光ありき」と言うが，物理学において 最も古く，しかも今まで続いている問題は「光っ て何だろう」ということであり，これは物理学に おける最大の問の一つである．

光学現象も電磁気学の中に包みこまれていること

17 世紀にホイヘンスが光の波動説を唱えたのに

が示された．そして全宇宙は力学と電磁気学とい

対し，ニュートンは粒子説を唱えたとされている．

う 2 つの大黒柱の上に構成されているのは間違い

ニュートンは熱心に光の実験を行い，プリズムや

ないと思われていた．

レンズによって白色光がいわゆる 7 色の光に分か

しかしこのような極端な見方はいずれ破綻する

れる分散現象などを研究し，望遠鏡の像に色がつ

ものらしい．すべての現象がニュートン力学によっ

くことを避ける反射望遠鏡を発明して有名になっ

て説明できると考えていた W. トムソン（ケルビ

た．光に関する実験を重ね 1704 年には『光学』を

ン卿）には，当時の物理学でまだ説明のできなかっ

著している．これは岩波文庫に訳されているが，

た基本的な事柄がただ 2 つあるだけと考えられた．

ニュートンの考え方がいろいろ述べられていてた

彼は 1900 年 4 月に「熱と光の力学的理論の頭上

いへん面白い本である．彼はほとんど平らなガラ

にある 19 世紀の雲」と題する講演の中で，解決さ

スを重ねたときに見られるニュートン・リングと

れていない 2 つの問題として，地球に対するエー

呼ばれる縞模様も発見している．これは光の波の

テルの運動が観測されていないというマイケルソ

干渉によってできるのであるが，ニュートンはこ

ン・モーリーの実験に関する問題と，熱輻射と物質

れを光の粒子の振動現象によるものと考えた．

の比熱の理論が実験に合わないという問題を挙げ，

木星の衛星が木星の後ろに隠れる食が時間的に

しかしこれらも間もなく古典物理学によって解決

進んだり遅れたりする現象から光の速さを推定し

されるだろうという楽観的な見解を述べている．

たのはニュートンの時代のレーマー（1676）であっ

しかし，ケルビン卿の予想に反して，この 2 つ

た． 『光学』には太陽までの距離の測定と並んで，

の雲の中の第 1 の問題からは，アインシュタイン

光が太陽から地球へ届くまで約 8 分かかることな

の特殊相対性理論（1905）が現れ，これはニュー

どが述べられている．

トン力学における時間と空間の概念を書きかえる

光の「波動説」は 19 世紀初めになってイギリス

大変革であったし，第 2 の問題からはプランクの

のヤングなどによって復活した．複屈折の現象か

熱輻射の式（1900）が現れ，これは量子論誕生の

らヤングは光が横波であることを論じ，フレネル

きっかけになった．

は光の波の詳しい理論を作り上げた．水中におけ

したがって，ケルビン卿は深いところまで見通

る光速度が空気中よりも小さいことがフーコーに

すことができなかったと言えるが，相対論と量子

よって確かめられたのは 1850 年のことであった．

論というニュートン以来の科学を根底から改革す

光は何もないと思われる空間を高速度で伝わっ

る 20 世紀の新しい科学の匂いをかぎ分けていた

てくる．しかし上に述べたように 19 世紀の終り

192 第 3 編 物理学とは何か

近くになっても光の波が本当は何の波であるのか

ここでの仕事に必要な講義の才能には恵まれてい

ということを知る手掛りはまったくなかった．た

なかったらしい．ヤングの著書『自然哲学および

だ，それは波であるというからには光の波を伝える

機械技術講義集（自然哲学論集） 』 （2 巻，1807）を

「もの」があるに違いないと考えて，それを「エー

見ると，生理光学，虹の理論，流体力学，毛管現

テル」と呼んだ．フレネルの波動論の論文では，物

象など，非常に広範囲にわたっていて，たいへん

質が動くときの物質内のエーテルがどの程度随伴

面白いものがある．

するかなどという立ち入った考察もされている．

ヤングとフレネルは親しく連絡をとる仲であっ

光の媒質として宇宙に広がったエーテルがある

たらしい．フレネルは王立協会から外国人会員に

とするとエーテルはたいへん奇妙な性質を持たね

選定され，フランスのアカデミーはヤングを外国

ばならないと結論される．第一に，惑星の運動が

人会員に選んでこれに報いた．

エーテルの抵抗を受けているという証拠はないか ら，抵抗が生じないほどエーテルは十分希薄で軽

3. 光の電磁波説

くなければならない．またエーテルが気体である

さて，フレネルは 1827 年に結核のために亡く

とすると，その中を伝わる波の速さはだいたい圧

なったが，その頃の物理学界では新たに電気現象

力と密度の比の平方根に等しいことになるが，光

が興味の中心になってきた．静電気や磁石の作用

は高速度で伝わるのでエーテルの圧力も密度もゼ

に関する初等的な研究は昔からずっと続いてきた

ロの極限に近いとしなければならない．しかしこ

が，1800 年にヴォルタ（A. Volta, 1745–1827）が

のように仮定すると光の波はエネルギーをまった

電池を発明し，これによって定常的な電流が得ら

く運べないことになってしまう．さらに最も納得

れるようになってから，電流の作用に関する研究

できないのは，ヤング（T. Young，1773–1829）

が相次いで発表されるようになった．

やフレネル（A.J. Fresnel, 1788–1827）の言うよ

ヴォルタはイタリアのコモ湖畔の裕福な聖職の

うに光が横波であるとすると，横方向の変形に対

家で生まれた．科学への愛好心は自発的に育った

する弾性，すなわち剛性，言いかえれば固体の性質

らしい．友人の家にあった装置を用いて電気に関

をもたなければならないということになる．フレ

する実験を始め，16 歳のときには何人もの電気学

ネルが光の横波説を出した当時，大きな反論がま

者に手紙を書くようになった．静電気を作ってた

き上ったのは想像できる．フレネルの友人であり，

め込む電気盆という装置や電位計を考案し，コモ

また熱心に波動説を支持していたアラゴーでさえ，

の学校の物理の教授を経てパヴィア大学の物理学

フレネルがその考えを打ち出した論文に承認の印

教授になった．

のサインをするのを断った．その理由はエーテル

電気的な現象で蛙の足が動いたというガルヴァ

が剛性をもつなどということはあらゆる観測事実

ニの 1791 年の論文を追試している最中に，ヴォ

に抵触するではないか，ということであった．

ルタはたとえば銅と亜鉛のような 2 種類の金属

光の干渉実験を行うことによって光の波長を測 定し，光が波動であることを決定的に明らかにし たのはヤングである（これは中学の教科書にも載っ ている有名なダブルスリットの実験で，レーザーを 用いれば簡単に検証できる）．彼は万能の天才で， 医師であり眼の生理学や色覚についての仕事やエ ジプト学などでも広く知られている．ロンドンに できたばかりの王立研究所（後にファラデーが終 生暮らした所）の自然哲学の教授を 3 年間務めた．

図 3.16

アレクサンドロ・ヴォルタ． 第 17 章 エピローグ 193

を接触させると電位差が生じるのではないかとい うヒントを得，これを見事な静電的測定によって 立証した．この問題をさらに深く研究した末に彼 はヴォルタの電堆と呼ばれる電池を発明したので ある． ヴォルタの生涯における最大の発見（電池の発 明）は 55 歳という比較的高齢な時期になって現 れた（これは我々を元気づけることである） ．この

図 3.17

ジェイムス・クラーク・マクスウェル．

発明は直ちに全物理学者からの喝采を浴びた．彼 は 1801 年にはパリへ行き，ナポレオンも臨席す

「遠隔作用」として表す理論である．この研究によ

る中で実験を披露した．しかし彼は政治に対する

りアンペールをマクスウェルは「電気学のニュー

関心はまったくなく，激動の時代を無傷で通り抜

トン」と呼んでいる．アンペールは実験物理学者

け，隠退気味の生活を送って 82 歳で亡くなった．

としても数学者としてもすぐれていた．

コモ湖畔で国際会議があったとき，会議のメン

ファラデーが電磁誘導（磁場の変化が電場を生

バーとヴォルタが住んでいた家を見に行く機会が

じる現象）を発見したのは 1831 年で，ファラデー

あった．その家は素晴らしい湖の景色に面して建

は空間に広がり時間的に変化する磁気力線と電気

つ大きな白堊の邸宅であった．コモにはヴォルタ

力線の「近接作用」によって電磁現象を統一的に説

広場という場所もある．

明する「電磁場」の理論を考えた． 「場の理論」の始

さて，電池の発明によって強く持続的な電流が

まりである．電磁気学はマクスウェル（Maxwell,

得られるようになってから電気の研究は新たな発

1831–1879）によって数学的な理論としてまとめ

展をするようになった．水に電気を通すと水が酸

あげられたが，ここではその話は省略する．

素と水素に分解することが直ちに発見され，いろ

ニュートンの万有引力の法則やアンペールの電

いろな塩を電気分解すると新しい元素が発見され

気的な力によって代表される遠隔作用と，ファラ

るなど，電流のもたらす驚くべき効果が次々と発

デー・マクスウェルの電磁場によって代表される

見されたので物理学者や化学者は忙しく働いた．

近接作用との 2 つの考え方がある．この 2 つは

1820 年にはデンマークのエルステッド（Ørsted）

数学的には異なっても，物理的には結局同じなの

が電流の作用に関する大発見をした．電流の磁気

ではないかと思われている．今では場の理論のほ

作用の発見である．学生に見せる実験で彼が針金

うが有力なようにも見えるが，原子などの量子力

に電流を流したとき，近くにおいてあった磁針が揺

学ではクーロン力などを遠隔作用として認めてい

れたのに気がついた．彼は実験を繰り返し，電流

るわけである．

が磁石に力を及ぼすことを確かめたのであるが，こ れは電磁気学研究の端緒を開く大発見だったので ある．電気の現象と磁気の現象が深く関係しあっ たものであるのが明らかにされたのであった． エルステッドの発見が主として定性的なもので あったのに対し，これを聞いたフランスのアンペー ル（Amp´ ere）は詳しい実験を繰り返し，電流の磁 気作用に関する完璧で定量的な数学的理論をつく り上げた．この理論は電流の磁石に対する作用や 電流どうしの間に働く力を電流の微小部分による 194 第 3 編 物理学とは何か

セグレの『古典物理学を創った人々』 （前出）に も次のように書かれている． 「…巨視的な力学でいう近接作用とは，実は，典 型的な遠隔作用にあたるクーロン力が複雑な現 われ方をしたものにほかならない．これに対し て力を伝える媒質を持ち込もうとした人たちは， 結局エーテルの存在やその力学的な性質をうん ぬんする羽目に陥ったのであるが，本当はこれ こそ受け入れ難いものなのである」

「しかしそれはともかくとして，この電気力を

これは 16 歳のときにアインシュタインがもっ

伝える媒質に本質的な役割を担わせたことが，

た疑問であったと言う．これは当時，誰も答える

電磁気学に大変革をもたらし，その飛躍的な進

ことのできない疑問であった．大学生だった頃，

歩を促したのは間違いない．その大部分はファ

彼はエーテルに対する地球の運動を確かめる実験

ラデーとマクスウェルの功績によるもので，こ

をしようと考えたそうであるが，これは教授の賛

の 2 人のおかげで電磁気学は古典論としての頂

成を得ることができずに断念した．

点に到達したのである」 ファラデーは電気力線や磁力線が振動して波（電 磁波）として伝播することを想像したらしい．彼 はこれを発表せずに封印し，何十年か後までしまっ ておくようにしたという話である．おそらく数理 的にも実験的にも不確かな想像を発表するのは気 がひけたのであろう． 電磁波はマクスウェルによって予言され（光の 速さも予言された），1886 年にはヘルツによって 電磁波の実験が初めて成功した．

4. 光と時空 こうして光は電磁波であることが確立され，同 時に空間（あるいは真空）は電磁波を伝える媒質 という属性を与えられることになった．しかし電 磁波が伝わるのであるからその媒質であるエーテ ルというものがあるに違いないと考える人が依然 として多かったらしい．しかしエーテルの存在が 本当であるとすると，マクスウェルが算出した光 の速さはエーテルに対する速さであることになる から，いろいろな方向に光を走らせることにより， エーテルが地球に対して静止しているか，それと も太陽系に対して静止しているかなどということ を光学的測定で決定することができるはずである． 光速度は地球の公転速度に比べて 4 桁も大きい が，このような光学的測定は十分可能であるはず であった．しかしマイケルソンとモーリーが行っ た詳しい実験によれば，光はあらゆる方向に同じ速 度で伝わることが検証された．エーテルが静止あ るいは流れている証拠はつかめなかったのである．

ある朝，ベッドから起き上ったときに彼の頭に ひらめいたのは， 「エーテルというものは存在しな い．そして時間についての常識を棄てれば，光の 伝播に関する矛盾は解消する」というようなこと だった．簡単に言えば次のようになる． エーテルというものは存在しない．空間に方向 性はないから，どのような速度の慣性系において も光はあらゆる方向に一定の速さで伝わるとしな ければならない（これは空間・時間を定義する基 本原理（光速度不変の原理）である） ．この原理を 用いれば，光の信号を交換することにより同一の 慣性系の上においたすべての時計の時間を合わす こと（同時性）ができる．また同様に光の信号を 交換することにより，違う運動をする 2 つの慣性 系の上においた時計を比べることができるが，こ のときは時計の置かれた位置によって，時計が示 す時刻には差が生じる．したがって違う運動をす る慣性系の間では時間の同時性は成り立たない． 特殊相対性理論（1905）において，光速度不変 の原理を表す時空の変換公式は運動学的なもので あるが，これと運動量などの保存則から，運動量， 質量，質量とエネルギーの関係（E = mc2 ） ，相対 論的運動方程式などの動力学的な法則が導かれる． 特殊相対性理論における時空はローレンツ変換 という 1 次変換式で数学的に定義され，この式が 含む定数は光速度という物理的な意味をもつ．光 は特殊相対性理論を貫くテーマであるが，この理 論は光や電磁場や時空が本当は何であるかという ような問には何も答えてくれない． さらに 1900 年に発表されたプランクの熱放射 の式が発表され，これを解釈するには，光が粒子

「光線のビームを光速度で追いかけたら光線は静

としての性質をもつことを容認しなければならな

止した波として見えるだろうか，そんなことは

くなった．これが量子論の初めで，光は波であり

ないのではないか」

粒子であるという 2 重性をもつことになった．そ 第 17 章 エピローグ 195

の後の物理学の発達においても意外な発見は次々 と生じてきた． 物理学は意外性の旅である．自然はどこまでも この旅につき合ってくれるらしい．

5. 物理学的モデル 最後に，理論物理学について私が考えているこ とを少し述べておきたい． ニュートンは空虚な空間と時間の枠の中で運動

ことによって，現代物理学の時代が招来された． このような科学の歴史に照らし合わせてみても， 物理現象の明確なモデルを想像し構築することが物 理学にとって最も重要であると思わざるを得ない． 人間の知力には素晴らしいものがある．しかし 人間の考える能力にも限界があるに違いない．利 口でも犬には犬の，イルカにはイルカの能力に限 度があるように，人間にも科学的に自然を理解す る能力に限度があるはずである．

法則と万有引力の法則に従いながら惑星が運動す

人間的尺度ということもある．ニュートン力学

るとした．ファラデーは，磁力線や電気力線が活

は日常的尺度に似合うパラダイムである．宇宙ス

躍する電磁場というモデルを考え出し，その後の

ケールのことには一般相対性理論が似合い，原子

物理学は場という概念にとらわれるようになった．

論的スケールには量子力学が似合う．昆虫は複眼

アインシュタインが一般相対性理論で明らかにし

を備えているし，人間の感覚器官としては目や耳

たのは，物体の運動は重力場に従い，重力場は物

などがある．知的な能力においても多面的にいく

体の運動に従うという時空の重力場モデルであっ

つもの方法があり，死角もあって，いくつもの階層

た．さらに彼は一様な 4 次元球面の宇宙モデルを

があるのだと思う．それらの階層の間には越えが

考え，これは現在の膨張宇宙モデルへと発展した．

たいギャップがあるとしても不思議はないだろう．

その他にも，たとえば理想気体，結晶格子，金 属自由電子，半導体，原子，素粒子など物理学の 至る所でモデルが発明され，広く使われている． これらの物理学的モデルは歯車のように視覚的な ものから抽象的，数学的なものまで種々様々であ る．インスピレーションによって瞬時に得られた ものもあり，改良を重ねた末にようやく確立した ものもあるが，ニュートン力学のモデルは開闢以 来の試行錯誤の末にようやく到達した概念によっ て構成されたものであった．原子モデルも古代ギ リシャ時代の原子論が 19 世紀の実験科学の発達 を経てようやく確立されたが，このモデルを得た

196 第 3 編 物理学とは何か

物理学は（数学も）人間の構成したものであっ て，自然の複雑さと人間の理解との間には比べも のにならないほどの大きな差があると思う．人知 には無限大の可能性があるとしても，自然には無 限大の無限大乗の複雑さがあるであろう．自然が 理解可能であるという証拠はない．結局のところ 物理学の世界で人間が理解できることは，人間が 作り上げたモデルの動作にとどまるのではなかろ うか．しかしそうだとしても，それは依然として 興味津津の世界である．

索 ア

引 向心衝突 51 固有振動 6

アトラクタ 66

固有値方程式 17

位相空間 64

固有値保存の変形 20

ヴィッシャー 8, 13, 20

コルテヴェーグ 3

Velarde 63

コルテヴェーグ–ド・フリース方程式 4

ウェルゲランド 29

コワレフスカヤのコマ 81

ウラム 5 エアリー 3

サ

エネルギー伝達 20

3 粒子周期格子 70

エノン 67, 73

3 粒子周期的指数格子 73

エノン・ハイレス系 67, 71

再帰現象 5, 49, 54

エルゴード性 5, 49

斎藤信彦 7, 72

追い越し衝突 51

ザブスキー 9, 13

オイラーのコマ 81

指数型ポテンシャル 56

カ

指数格子 47, 81 シュレーディンガー方程式 18

ガードナー 10

初期値敏感性 67

カオス 67

Scott 57

可積分系 64

Scotti 63

可積分性のテスト 69

ストークス卿 3

可積分力学系 81

ストレンジ・アトラクタ 67

カッツ 82, 83

正準共役 40

基礎物理学研究所 25

積分可能系 74

逆散乱法 10

線形波動理論 3

京都大学基礎物理学研究所 25

双対系 36

極限軌道 65

ソリトン 9

局在振動 36

ソリトン解 15

Christiansen 82

ソリトンの固有値 17

グリーン 10 クルスカル 9, 12

タ

KdV 波の固有値 17

第 3 積分

KdV 方程式 4

楕円関数 5

結晶欠陥 31

楕円積分 85

決定論的カオス 67

楕円テータ関数 81

81

Cole–Hopf 変換 13

高橋秀俊 59

格子振動グループ 25

武野正三 29

格子振動の模型 57

伊達悦朗 82

格子ソリトンの衝突 49

田中俊一 82

ter Haar 63

ブラウン運動 28

ディーン 24

フラシュカ 73, 78

テータ関数 81

ヘンマー 28

寺本 英

25

Poincar´e 64

特殊振動数 36

ポアンカレ写像 64, 67

戸田格子 47

母数 85

ド・フリース 3

補母数 89

ナ 永宮健夫 58

堀

淳一 25

マ

ナビエ・ストークス方程式 12

マクラフリン 78

2 個のソリトンを含む解 51

マスター方程式 31

2 粒子指数格子 73

松田博嗣 25, 36

熱化 6

Miura 10

熱的平衡状態 6

メールベック 82

熱伝導の理論 30

モントロール 13, 53

粘性流体 12

ハ バーガーズ方程式 12 パイエルス 30 はしご型回路 57

ヤ ヤコビの楕円関数 45, 84 湯川記念館 25

ラ

パスタ 5

ラグランジュ 3, 29

非線形現象 6

ラグランジュのコマ 81

非線形破壊 22

ラックス形式 75

標準的な 2 ソリトン解 16

ラッセル 2

ファン・デル・ポールの方程式 65

リーマンのテータ関数 81

フェルミ 5

リミットサイクル 65

FPU 5

ルビン 29, 30

FPU の再帰現象 7

レイリー卿 3

フォード 8, 13, 69

ローレンツ 67

不可逆現象 31 ブシネ方程式 13 負抵抗 65

198 索 引

ワ ワイルの撞球 5

著者略歴

戸田 盛和 1917 年 東京に生まれる． 1940 年 東京大学理学部物理学科卒業． 東京教育大学教授，千葉大学教授，横浜国立大学教授，放送大学教授を歴任． 東京教育大学名誉教授，ノルウェー王立科学アカデミー会員．理学博士． 藤原賞．日本学士院賞受賞． 2010 年 逝去． 専攻，理論物理学． 液体の理論や「戸田格子」と呼ばれる非線形理論で世界的に著名な理論物理学 者．学問のみならず教育にも深い関心を持ち続け，金米糖を研究したことでも 有名であるが，おもちゃが大好きなので「おもちゃ博士」の異名を持つ． 主要著書：『おもちゃと金米糖─戸田盛和エッセイ集Ⅰ』『物理学 30 講』（朝倉書店）， 『力学』『熱・統計力学』『ベクトル解析』『統計物理学』（共著） 『非線形格子力学』 （以上，岩波書店），『おもちゃの科学』（日本評論社），『液体理論』（河出書房）ほか． 主要訳書：『ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性』（岩波書店）， 『ハテ・なぜだろうの物理学』（培風館）ほか．

臨時別冊・数理科学 SGC

49

『ソリトンと物理学』 著 者 戸田 盛和

2006 年 7 月 25 日 初版発行 ISBN 978─4─7819─9928─9 数 理 科 学

編 集

発行人 森 平 敏 孝

部

T E L（ . 03）5474─8816 FAX（ . 03） 5474─8817

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