Singularités irrégulières: Correspondance et documents 2856292410, 9782856292419

Table of contents :
Table des matieres
Preface
Introduction
POURQUOI UN GÉOMÈTRE ALGÉBRISTES'INTÉRESSE-T-IL AUXCONNEXIONS IRRÉGULIÈRES
QUELQUES SOUVENIRS
SINGULARITÉS IRRÉGULIÈRESDES ESTIMATIONS GEVREY AUX THÉORIESDE GALOIS, UN ITINÉRAIRE NATUREL
Correspondance
Deligne
Le 1er décembre 1976
Deligne
Le 16 décembre 1976
Deligne
Le 22 août 1977
Deligne
Reçue 19.4. 78
Malgrange
Strasbourg, 23 octobre 1978
Ramis Strasbourg, 5/4/79
Ramis
Paris, le 18 mai 1979
Malgrange
Grenoble, le 14 juin 79
Ramis
Strasbourg, 20/6/79
Deligne
20/12/83
Deligne
8 mai 1984
Deligne
jan 4 1986
Deligne
7/1/86
Deligne
25/2/86
Deligne
28/2/86
Malgrange
Grenoble, le 17 avril 1988
Malgrange
Grenoble, le 28 avril 1988
Ramis
le 15 novembre 1990
Malgrange
Grenoble, le 20 novembre 1990
Ramis
le 23 novembre 1990
Malgrange
Minneapolis, le 26/4/91
Deligne
Princeton, le 30 avril 1991
Malgrange
Chicago, May 6, 1991
Deligne
dec 2, 1991
Malgrange
Grenoble, le 28 mars 1996
Malgrange
Grenoble, May 21, 2002
Textes
SUR LA RÉDUCTION FORMELLE DES ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES À SINGULARITÉS IRRÉGULIÈRES
THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE
THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE
FILTRATION DE GEVREYSUR LE GROUPE DE PICARD-VESSIOTD'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE IRRÉGULIÈRE
CONSTRUCTION DE BASES PRIVILÉGIÉESET SEMI-CANONIQUES
Notes
NOTES SUR LA CORRESPONDANCEET LES TEXTES
RÉFÉRENCES POUR LES NOTES

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DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

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,

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SINGULARITES IRREGULIERES CORRESPONDANCE ET DOCUMENTS

Pierre Deligne Bernard Malgrange Jean-Pierre Ramis

Société Mathématique de France 2007

Documents Mathématiques série dirigée par Pierre COLMEZ

Secrétariat : Nathalie Christiaën Documents Mathématiques Société Mathématique de France Institut Henri Poincaré, 11, rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tél : (33) 01 44 27 67 99 • Fax : (33) 01 40 46 90 96 revues©smf. ens. fr

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ISSN 1629-4939 ISBN 978-2-85629-241-9 Directeur de la publication : Stéphane JAFFARD

TABLE DES MATIÈRES

Préface ................................................................. ix Introduction

P.

DELIGNE Pourquoi un géomètre algébriste s 'intéresse-t-il aux connexions irrégulières ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

B.

Quelques souvenirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

J .-P. RAMIS - Singularités irrégulières : des estimations Gevrey aux théories de Galois, un itinéraire naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

MALGRANGE -

Correspondance P. Deligne à N. Katz, 1er décembre 1976 ................................ 15 P. Deligne à B. Malgrange, 16 décembre 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 P. Deligne à B. Malgrange, 22 août 1977 ............ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 P. Deligne à B. Malgrange, 19 avril 1978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 23 octobre 1978 ............................ 27 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 5 avril 1979 ................................ 29 Ph. Robba à B. Malgrange, 18 mai 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 14 juin 1979 ............................... 33 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 20 juin 1979 ............................... 35 P. Deligne à B. Malgrange, 20 décembre 1983 ........................... 37 P. Deligne à B. Malgrange, 8 mai 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 P. Deligne à V.S. Varadarajan, 4 janvier 1986 ........................... 47

TABLE DES MATIÈRES

vi

P. Deligne à J .-P. Ramis, 7 janvier 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 P. Deligne à J.-P. Ramis, 25 février 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 P. Deligne à J.-P. Ramis, 28 février 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 17 avril 1988 ............................... 65 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 28 avril 1988 ............................... 69 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 15 novembre 1990 ......................... 71 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 20 novembre 1990 73 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 23 novembre 1990 77 B. Malgrange à P. Deligne, 26 avril 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 P. Deligne à B. Malgrange, 30 avril 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 B. Malgrange à Y. Sibuya, 6 mai 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 P. Deligne à A. Dimca, 2 décembre 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B. Malgrange à A. Fruchard & R. Schafke, 28 mars 1996 ................ 89 B. Malgrange à R. Garda L6pez, 21 mai 2002 ........................... 93

Textes

B. MALGRANGE - Sur la réduction formelle des équations différentielles à singularités irrégulières (mars 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Introduction .......................................................... 97 1. Le polygone de Newton d'une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 98 2. Décomposition suivant le polygone de Newton ..................... 99 3. Cas d'une seule pente : l'équation déterminante .................... 102 4. La forrfie réduite ................................................... 104 Références ............................................................ 106 P. DELIGNE - Théorie de Hodge irrégulière (version originelle, mars 1984) ................................................................... 109 P.

DELIGNE -

Théorie de Hodge irrégulière (août 2006) .............. 115

J.-P. RAMIS - Filtration de Gevrey sur le groupe de Picard- Vessiot d'une équation différentielle irrégulière (juin 1985) ........................... 129 1. Quelques remarques sur la k-sommabilité .......................... 130 . 2. Phénomène de Stokes à plusieurs niveaux de sommabilité .......... 135 3. Quelques généralités sur les corps différentiels ..................... 140 4. Calcul du groupe de Picard-Vessiot et de sa filtration de Gevrey ... 142 Références .................... ·~ ...................................... 151

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

TABLE DES MATIÈRES

vii

J .-P. RAMIS Construction de bases privilégiées et semi-canoniques (mars 1988) ............................................................ 155 Références ............................................................ 160

Notes Notes sur la correspondance et les textes ......................... 163 Références pour les Notes ........................................... 181

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

PRÉFACE

Les lettres qu'on trouvera dans ce recueil couvrent la période 1976-1991 (à deux exceptions près : 1996 et 2002). Le thème général est l'étude des singularités irrégulières des équations différentielles linéaires : irrégularité, développements asymptotiques, faisceau de Stokes, analogues Gevrey, problèmes de modules, multisommabilité, Galois et 7r1 sauvage, et (de façon moins centrale) cycles évanescents et Fourier. Il s'agit pour l'essentiel d'une correspondance entre Pierre Deligne, Bernard Malgrange et Jean-Pierre Ramis, mais certaines lettres ont d'autres destinataires ou expéditeurs. Quatre textes ont été adjoints à ces lettres. Tout comme elles, ils avaient connu à l'époque une diffusion-par voie de photocopies, mais n'avaient jamais été publiés. La plus grande partie des lettres et textes a été rassemblée par Bernard Malgrange au printemps 2005 et a été saisie par Mme Arlette Guttin-Lombard (Institut Fourier, Grenoble), Mme Marielle Randria-Riou et M. Florent Arnaud (SMF, Paris), que nous remercions; nous remercions aussi Mme Dottie Phares (IAS, Princeton) pour la saisie de certains textes. À des modifications orthographiques ou typographiques mineures près, ces documents ont été reproduits tels quels. Les commentaires et corrections éventuels des auteurs et de leurs correspondants sont rassemblés sous forme de notes en fin de volume, à l'exception du texte de Pierre Deligne sur la théorie de Hodge irrégulière, dont une nouvelle version accompagne la version originelle. Ces notes sont indiquées dans le corps du volume par des chiffres de renvois dans la marge. Mars 2007 D. Bertrand & C. Sabbah

X

PRÉFACE

L'initiative de ce volume est due à Daniel Bertrand. Les auteurs le remercient, ainsi que Claude Sabbah, pour leur participation à sa mise au point. Mai 2007 P. Deligne, B. Malgrange & J.-P. Ramis

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

INTRODUCTION

Documents Mathématiques 5, 2007, p. 1-2

POURQUOI UN GÉOMÈTRE ALGÉBRISTE S'INTÉRESSE-T-IL AUX CONNEXIONS IRRÉGULIÈRES? par Pierre Deligne

Vers 1970, je regardais les fibrés vectoriels à connexion à singularités irrégulières, comme «pathologiques ». Je n'en suis revenu qu'après avoir assimilé l'analogie entre le fibré à connexion (0, d+dx) sur la droite, de section horizontale exp(-x), et les faisceaux .€-adiques J.:(1};) déduits de revêtements d'ArtinSchreier, sur la droite en caractéristique p. La question naturelle devenait : qu'est ce que la théorie .€-adique suggère pour les V-modules holonomes à singularités non nécessairement régulières - ou certains d'entre eux. J'ai réfléchi aux phénomènes de caractéristique p suivants. (a) Un faisceau .€-adique fait souvent partie - au moins conjecturalement d'une famille « compatible » de faisceaux .€'-adiques, C' parcourant les nombres premier -=!=- p (ou les places finies premières à p d'un corps de nombres). (b) Pour f : X ~ S propre et S de dimension un, on dispose d'une théorie des cycles évanescents reliant la singularité de Ri f*F en s E S à des propriétés locales de F aux points de X au-dessus de s. (c) La cohomologie est munie d'une action de Frobenius ; les valeurs absolues complexes (resp. p-adiques) des valeurs propres sont liées à des filtrations par le poids (resp. de Hodge). (d) Le déterminant de Frobenius est contrôlé par les constantes locales d'équations fonctionnelles de fonctions L. Voici ce qui m'est suggéré par (a) (b) (c) (d). (a') Il devrait exister une notion de V-module holonome muni d'une structure de Betti. Si le V-module M sur X projectif est à singularités régulières, une telle structure est un faisceau pervers M (coefficients : Q), muni d'un isomorphisme, dans la catégorie dérivée, du complexe de de Rham de M avec

©Documents Mathématiques 5, SMF 2007

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POURQUOI UN GÉOMÈTRE ALGÉBRISTE ...

M ®Q CC. Une structure de Betti doit induire sur la cohomologie de de Rham une Q-structure. Si M est défini sur Q, cela fournit une autre Q-structure, et la comparaison des deux définit des périodes, telles

l

e-x' dx

=Vif.

Les déterminants de matrices de périodes devraient être analogues aux déterminants de Frobenius. La théorie des structures de Stokes fournit une notion de structure de Betti si dim(X) = 1. On voudrait une définition en toute dimension, et une stabilité par les six opérations (Rf*,Rfr,J*,RJ',0L,RHom). On est loin du compte. On aimerait aussi disposer d'une notion de V-modules holonomes munis de «compagnons» en presque toute caractéristique p, dépendant du choix d'un caractère 1jJ du groupe additif de lFp, à valeur dans une extension finie E>.. de Qc. Exemple: (0, d + dx) a pour compagnons les L,(7/J). Les seuls résultats précis dans ce sens sont dans [An86]. (b') En géométrie algébrique, la différence entre « complété de S en s » et « hensélisé de Sens» est souvent de goût plutôt que de fond. Si on veut transposer des énoncés .€-adiques au cas des V-modules sur une courbe complexe S, savoir s'il faut traduire« hensélisé, ou complété» en s comme «voisinage des» ou« complété formel de Sen s » est crucial. J'ai mis du temps à comprendre qu'une théorie des cycles évanescents parallèle à la théorie .€-adique ne peut donner d'information sur Rif* qu'au voisinage formel de s. (c') Voir le texte «Théorie de Hodge irrégulière». (d') Pour transposer telles quelles les démonstration de Laumon [La87] en un calcul de déterminant de périodes, il faudrait disposer d'une notion de structure de Betti au moins pour X de dimension 2, et d'une théorie des cycles évanescents pour V-modules munis d'une structure de Betti. Un manuscrit inachevé de Beilinson, Bloch, Esnault et moi-même s'efforce à le faire à moindres frais. Références [An86] G. ANDERSON - « Cyclotomy and an extension of the Taniyama group », Compositio Math. 57 (1986), p. 153-217, disponible sur www.numdam.org. [La87] G. LAUMON - «Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjectures de Weil», Publ. Math. Inst. Hautes Études Sei. 65 (1987), p. 131-210.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES

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Documents Mathématiques 5, 2007, p. 3-5

QUELQUES SOUVENIRS par

Bernard Malgrange

Un état de la théorie des points singuliers d'équations différentielles linéaires vers 1970 serait sans doute une bonne introduction à ce recueil. Je ne me sens pas capable de le faire, et je préfère dire quelques mots de la question suivante : comment ai-je commencé à m'intéresser à ce sujet? Avec une double formation de spécialiste d'équations aux dérivées partielles et de singularités d'applications différentiables, il était a posteriori naturel que je m'y intéresse; je note toutefois que, parmi les spécialistes de ces domaines, ma démarche était et est restée assez isolée. Sauf erreur, la première question qui me vint à l'esprit, par pure curiosité, était la suivante : soit

dk

p = Lak(x) d k k

X

un opérateur différentiel à coefficients dans l'espace 0 des germes en 0 E CC de fonctions holomorphes : alors PO est-il fermé dans 0 ? (question alors typique d'un spécialiste d'e.d.p.) Je vis facilement que la réponse était positive, mais encore que P était « à indice», i.e. que le noyau et le conoyau de {P : 0 ---* O} étaient de dimension finie; de plus l'indice (i.e. la différence des deux dimensions) est le même que celui de la partie principale, i.e. n - v(an), n l'ordre en d/dx de Pet v(an) l'ordre en 0 de an. Ceci résulte facilement du« théorème de perturbation» d' Atkinson-Schwartz, bien connu à l'époque car utilisé depuis longtemps par Atiyah-Singer dans leur théorème de l'indice des opérateurs elliptiques. Ayant obtenu ce résultat (en 1970, ou peut-être début 1971), il me parut invraisemblable qu'un résultat aussi frappant et de démonstration aussi élémentaire n'ait pas été connu depuis longtemps. Je cherchais donc dans la

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QUELQUES SOUVENIRS

littérature sur les équations différentielles ordinaires; jusque-là, à l'exemple de mes congénères spécialistes d'e.d.p., je l'ignorais totalement. Je trouvai seulement un cas particulier, le «théorème de Perron-Lettenmeyer », d'ailleurs de démonstration assez compliquée, qui disait ceci : le noyau de Pest de dimension ?: n - v(an) (si ce nombre est > 0; sinon, le théorème est vide). Il semble que les spécialistes d'e.d.o. n'avaient pas entendu parler d'indice, en particulier d' Atiyah-Singer; ou alors, ils n'avaient pas pensé à faire le rapprochement. Pour en terminer avec ce théorème d'indice, j'ai seulement deux choses à ajouter. D'une part, ce théorème a été obtenu indépendamment, et à peu près en même temps que moi, par Kashiwara et par Komatsu. D'autre part, un théorème analogue pour les séries formelles me permit de démontrer facilement ceci : la comparaison analytique/formel ne donne un bon résultat (i.e. un quasi-isomorphisme de complexes) que dans le cas des singularités régulières. Ceci fit l'objet d'une note [Ma71]. Dans la littérature sur les e.d.o. que je regardais alors, je retiens d'abord et surtout le livre de Wasow [Wa65], dans lequel j'ai appris principalement le théorème de Hukuhara-Turrittin : structure formelle des singularités irrégulières, et existence de transformations sectorielles prolongeant la réduction formelle à la forme normale. Le résultat de tout cela - théorèmes d'indice plus lecture de Wasow - se trouve dans [Ma72]. Entre temps, j'avais aussi lu le livre de Deligne [De70] sur les singularités régulières, où se trouve un théorème de comparaison analogue, en réalité dual : comparaison solutions holomorphes +------+ solutions à singularités essentielles. J'y appris aussi le « truc de Katz » qui simplifie radicalement le théorème de structure formelle des singularités irrégulières, et je m'en servis dans cet article. Levelt fit la même observation que moi, mais eut la bonne idée d'énoncer le théorème en termes de séries formelles; quant à moi, je l'énonçai en termes de solutions cxi sur IR, ce qui est trivialement plus fort mais masque le résultat formel (si bien que personne n'a vu que l'article contenait ce résultat). Cet article fut reproduit dans l 'Enseignement mathématique en 1974, avec toutefois une addition malencontreuse : j'affirme à la fin sans démonstration que ces théorèmes, que j'avais démontrés en C00 sur IR+, sont encore vrais pour des petits secteurs complexes, admettant un développement asymptotique en 0 ; et ceci, avec la même démonstration. Or cette dernière assertion est fausse : les théorèmes sont encore vrais, comme devaient le démontrer plus tard Ramis et Sibyua; mais leur démonstration est incomparablement plus difficile que ce que je prétendais. Je dois ajouter aussi, qu'à l'époque, je n'avais aucune espèce d'idée des raisons pour lesquelles Deligne et Katz s'intéressaient à ces questions.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

B. MALGRANGE

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Pour la suite, je mentionnerai avant tout mes réflexions sur la première lettre reçue de Deligne, celle du 16 décembre 1976. Ceci, conjointement avec la lecture des premiers travaux de Balser, Jurkat, Lutz, Sibuya et d'autres sur la théorie initiée par Birkhoff de la classification analytique des singularités irrégulière; ceci se fait au moyen de ce qu'on appelle aujourd'hui« coefficients de Stokes» (à mon avis, cette théorie est, en réalité, de Birkhoff, le travail de Stokes en étant un avant-goût). Ceci aboutit à l'article [Ma77], où je donne une interprétation cohomologique de cette théorie. Il me semble que ce travail a été un des points de départ de Ramis sur ces sujets, un autre étant les travaux des physiciens (notamment Epstein, Loeffel, Sokal, Wightman), qui avaient récemment remis la sommabilité de Borel à la mode. Mais de cela, Ramis pourra parler mieux que moi. Quant à la suite des événements, je laisse les lettres jointes en parler.

Références [Ma71] [Wa65] [Ma72]

[De70] [Ma77]

B. MALGRANGE - «Sur les points singuliers des équations différentielles», C. R. Acad. Sei. Paris Sér. A-B 273 (1971), no. 33, p. 1136-1137. W. WASOW - Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience Publ., 1965. B. MALGRANGE - «Sur les points singuliers des équations différentielles», Enseign. Math. 20 (1974), p. 147-176, et Séminaire Goulaouic-Schwartz, mars 1972. P. DELIGNE - Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math., vol. 163, Springer Verlag, 1970. B. MALGRANGE - «Remarques sur les équations différentielles à points singuliers irréguliers », in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe (R. Gérard & J.-P. Ramis, éds.), Lect. Notes in Math., vol. 712, Springer-Verlag, 1979, et Séminaire Goulaouic-Schwartz 1976-77, p. 77-86.

Compléments; sur les travaux de Balser et al. (je cite seulement les articles, publiés ou non à l'époque, dont j'avais connaissance en écrivant [Ma77], et qui y sont cités) [BJL79] W., BALSER, W. JURKAT & D.A. LUTZ - «Birkhoff invariants and Stokes multipliers for meromorphic linear equations », J. Math. Anal. Appl. 71 (1979), p. 48-94. [Si71] Y. SIBUYA- «Stokes phenomena »,Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1971), no. 5, p. 1075-1077.

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Documents Mathématiques 5, 2007, p. 7-11

SINGULARITÉS IRRÉGULIÈRES DES ESTIMATIONS GEVREY AUX THÉORIES DE GALOIS, UN ITINÉRAIRE NATUREL par

Jean-Pierre Ramis

J'ai commencé à m'intéresser sérieusement aux points singuliers irréguliers des équations différentielles linéaires et aux divergences des séries solutions, bien après Bernard Malgrange, au début de l'automne 1977. Mon premier contact avec le sujet doit toutefois remonter à l'époque de la fin de ma scolarité à l'École Normale Supérieure, quand l'équation d'Euler et sa solution divergente faisaient partie de ma collection d'exercices de «colles ». J'ai renoué avec cette équation grâce à Marc Chaperon en septembre 1974 durant le colloque Singularités à Cargèse 2 organisé par Frédéric Pham. En 1973 j'avais essentiellement terminé mon programme de recherche sur la dualité en géométrie analytique et souhaitais me rapprocher des thèmes strasbourgeois; ceux de Raymond Gérard et ceux du séminaire trajectorien autour de Georges Reeb. J'avais choisi, avec l'inconscience de la jeunesse, de travailler sur le 15e problème de Hilbert (à cette époque, on commençait à penser que l'article célèbre de Petrovski-Landis sur ce sujet était «troué ») et, influencé par une série de conjectures faites à l'époque par René Thom, j'avais décidé d'attaquer le sujet par l'étude locale systématique des singularités des formes différentielle w = a(x, y)dx + b(x, y)dy dans le plan complexe. J'ai raconté à Cargèse les assez maigres résultats d'un an de travail sur ce thème : on pourra mesurer en lisant [Ra76] le niveau de ma naïveté (mais les autres participants n'en savaient, je crois, guère plus que moi!); en tout cas, la réunion de Cargèse m'a donné l'occasion de (re)découvrir, en discutant avec Marc Chaperon, les divergences liées aux cas «résonnants». Incapable, à ce moment, d'aller plus loin, j'ai abandonné ce sujet en rentrant de Corse (et je croyais que c'était définitivement), pour m'orienter vers la théorie des V-modules et, plus précisément, la recherche d'une «bonne définition» des

©Documents Mathématiques 5, SMF 2007

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SINGULARITÉS IRRÉGULIÈRES

V-modules «à points singuliers réguliers»; un problème qui m'avait été signalé par Bernard Malgrange. Mon idée (partir du théorème de comparaison de Malgrange pour les EDO linéaires et l'utiliser comme définition dans le cas de plusieurs variables, moyennant l'outillage ad hoc de dualité et de catégories dérivées) a fort bien fonctionné, mais, ma définition (qui est finalement équivalente à celles proposées par d'autres au même moment : cf. [Ma04]) était bien abstraite et je me suis posé la question de mieux comprendre ce qui se passait (et en particulier d'essayer de trouver des algorithmes de régularité). Il était naturel, dans ces conditions, de s'intéresser à des «mesures de l'irrégularité» et pour cela de commencer par la dimension un; je croyais que, dans ce cas, tout était clair et bien compris, et que je pourrais, à partir de là, attaquer le cas de plusieurs -yariables. En fait, dans la suite de mon travail, je suis resté dans le cadre de la dimension un, après avoir découvert l'étendue et la difficulté des problèmes qui se posaient. Raymond Gérard m'avait signalé les invariants « algébriques» (d'EDO linéaires) qu'il avait introduits avec A.M. Levelt (cf. [G-L73]), leur origine était purement «formelle» : le remplacement de l'opérateur xd/ dx par les opérateurs xk+ld/dx, une idée d'un soir d'optimisme à Blancherupt, le village de Raymond, et ils n'en connaissaient pas la véritable signification. Par ailleurs, j'avais appris, de H. Komatsu, que, parmi les hyperfonctions d'une variable, les ultradistributions se caractérisent par une croissance exponentielle (d'un certain type) au voisinage de la droite réelle; il était alors « évident» que les invariants de Gérard-Levelt devaient être liés aux solutions ultradistributions à support ponctuel, ou dualement aux solutions séries formelles de type Gevrey (j'avais appris opportunément les estimations Gevrey, auprès de Goulaouic et Baouendi, durant mon séjour à Tunis, quelques années auparavant). En faisant les calculs d'indices d'un opérateur différentiel D dans divers espaces, correspondants à cette interpolation Gevrey entre les deux situations déjà traitées par B. Malgrange (analytique et formelle), j'ai ainsi vu se dessiner, sur ma feuille à petits carreaux, le polygone de Newton de D. Dans ce cadre il était tout à fait naturel de filtrer la théorie classique des développements asymptotiques (de Poincaré) et d'introduire des développements asymptotiques que j'ai appelés Gevrey (j'ignorais alors que je renouais ainsi avec une tentative de G. Watson au début du xxe siècle, tentative, qui n'avait guère soulevé d'enthousiasme, et avait été, de ce fait, abandonnée). L'interprétation faisceautique (sur l'éclaté réel 8 1 de l'origine du plan complexe) des développements asymptotiques due à Malgrange a beaucoup facilité, dès le début, le développement de mes idées.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

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Le hasard a sans doute joué un rôle dans l'étape suivante, un an plus tard environ. J'avais pris, après R. Gérard, la direction de la R.C.P. 25 du C.N.R.S. (une structure de contact entre mathématiques et physique théorique) et j 'organisais, dans ce cadre, deux réunions annuelles à Strasbourg; le tout dernier conférencier de l'une d'entre elles, à la fin de la rencontre, le samedi matin (je crois que c'était A.S. Wightman), nous avait parlé de la resommation de Borel et de son application aux séries divergentes (de type Gevrey... ) de la théorie quantique des champs. C'est comme cela, qu'après la conférence, j'ai appris, devant un demi et quelques bretzels, la resommation de Borel. Dans le cadre de ce que j'avais fait avant, il a été immédiatement clair pour moi qu'il valait mieux remplacer la définition originale de Borel (et ses k-variantes dues à Leroy et R. Nevanlinna) par une définition équivalente, mais plus« géométrique» et plus «naturelle», basée sur l'asymptotique Gevrey que je venais d'introduire. La théorie de la k-sommabilité était née. La nouvelle définition (qui n'utilise pas de formule intégrale) s'est immédiatement révélée beaucoup plus efficace dans les applications aux systèmes dynamiques. Mon premier résultat, dans cette direction, est assez instructif. É. Borel et plusieurs mathématiciens après lui avaient essayé, durant trois quarts de siècle, de montrer la sommabilité (pour un k convenable dépendant du problème) des solutions divergentes des équations différentielles linéaires analytiques. J. Horn, puis H.L. Turrittin y étaient parvenus, dans des cas «génériques» (quand le polygone de Newton a une seule pente strictement positive k), mais le cas « général » restait ouvert, [Wa65, chapter 11] (ils utilisaient une autre version de la sommabilité de Borel, dans le cadre des séries de factorielles). Avec ma nouvelle approche, par l'asymptotique Gevrey, ces résultats, dans le cas générique, devenaient presque évidents, il devenait clair, de plus, qu'ils ne s'étendent pas au cas général! Dans la nouvelle perspective, la k-sommabilité apparaît clairement comme un équilibre subtil entre des connaissances en phase et en amplitude (moins on en connaît sur l'amplitude et plus il faut en connaître sur la phase); ainsi les divers procédés de k-sommabilité sont « étrangers les uns aux autres » (ce que je devais formuler plus tard sous forme de« théorème taubérien », cf. [Ra85]). À partir de là, il y a un contre-exemple, « crevant les yeux», à la conjecture de k-sommabilité dans le cas général : la somme d'une série d'Euler et d'un « scaling d'ordre deux» de celle-ci n'est k-sommable pour aucun k. Ainsi, pour resommer les solutions des EDO analytiques, il devenait nécessaire de faire appel à un mélange de processus de k-sommabilité, pour diverses valeurs de k ; c'est en fait suffisant et il me restait à le prouver. J'ai d'abord obtenu une première version du résultat [Ra80] : la solution fondamentale formelle d'un

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SINGULARITÉS IRRÉGULIÈRES

système linéaire méromorphe s'écrit (avec une hypothèse simplificatrice sur le polygone de Newton) : F = HxLeQ(l/x) et la matrice H, dont les coefficients sont des séries de Laurent formelles (en général divergentes), peut être écrite comme produit de matrices Hi, dont les coefficients sont ki-sommables (ki prenant un nombre fini de valeurs rationnelles). Je devais ensuite améliorer ce résultat en montrant le caractère « galoisien » des sommes (on en trouvera la preuve détaillée dans ce volume: cf. [Ra85]), puis en le plaçant dans le cadre de diverses théories de «multisommabilité»; j'y reviens dans les Notes. Il est, je crois, intéressant de signaler qu'en exposant certains de ces résultats au colloque des Houches (j'avais aussi manifesté, dans ma conférence, ma conviction de l'omniprésence des séries Gevrey et sommables« dans la nature»), j'ai été, à ma grande surprise (car j'étais assez fier de tout ça!), fort fraîchement accueilli par le public (un four total comme l'on dit au théâtre), avec d'ailleurs plus d'indifférence que d'hostilité, à la notable exception de B. Malgrange, avec qui j'avais déjà beaucoup discuté de tout cela et qui m'avait aidé à le mettre au point. La rédaction de cette conférence aux Houches a aussi beaucoup intéressé Y. Sibuya, avec lequel je devais ensuite poursuivre une longue collaboration sur ces sujets.

À la fin de cette rédaction je m'interrogeais sur les bonnes propriétés algébriques éventuelles de mon procédé de sommation par mélange et, plutôt pessimiste à l'époque, je faisais allusion à des difficultés possibles. Ceci me conduit à l'épisode suivant. À l'occasion de la soutenance de thèse d'Anne Duval (1984), j'étais allé chercher Daniel Bertrand, qui participait au jury, en gare de Strasbourg et nous discutions dans mon bureau avant la thèse. Daniel venait de découvrir, dans un article de N. Katz, le théorème de densité dans le cas fuchsien (le groupe de monodromie est dense dans le groupe de Galois différentiel) et me présentait, au tableau noir, avec beaucoup d'enthousiasme, les rudiments de la théorie de Galois différentielle et, plus particulièrement, ce résultat. Il a terminé en me disant:« mais ça ne marche pas du tout dans le cas irrégulier», et je me souviens d'avoir répondu (sans réfléchir) : «mais si, cela marche très bien, il faut simplement rajouter les multiplicateurs de Stokes et les "scalings" évidents des exponentielles». Daniel m'a regardé, un peu étonné, et m'a dit : «démontre-le! » Les principales difficultés pour relever le défi ont sans doute été ma totale ignorance, à l'époque, de la théorie de Galois différentielle et, au delà, mes grandes lacunes en théorie de Galois classique, qui ne faisait pas partie de l'éducation de base des étudiants de ma génération.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

11

J'ai dû beaucoup apprendre par la suite, en particulier dans le cadre de ma correspondance avec P. Deligne et B. Malgrange, comme on le verra. Au delà des thèmes de la correspondance reproduite dans ce volume, l'histoire a continué, de mon côté, assez naturellement, avec l'étude des singularités des systèmes dynamiques non-linéaires holomorphes (un retour à mes tentatives initiales avortées, permis par les résultats sur la k-sommabilité, que j'ai amorcé en classifiant, avec Jean Martinet, les singularités planes résonnantes), puis celle des perturbations singulières et de la moyennisation des systèmes lents-rapides (en collaboration avec M. Canalis-Durand, R. Schafke et Y. Sibuya). Je m'intéresse actuellement à d'autres questions où les singularités irrégulières jouent toujours un rôle important, comme la théorie de Galois non linéaire (récemment développée par B. Malgrange, H. Umemura puis G. Casale), les obstructions galoisiennes à l'intégrabilité des systèmes dynamiques (en collaboration avec J. Morales) et enfin l'étude des équations aux q-différences (en collaboration avec J. Sauloy et Ch. Zhang), où l'influence des lettres de P. Deligne, que l'on pourra lire plus loin dans ce volume, reste notable.

Références [G-L73] R. GÉRARD & A.H.M. LEVELT - «Invariants mesurant l'irrégularité en un point singulier des systèmes d'équations différentielles linéaires», Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 23 (1973), no. 1, p. 157-195. [Ma04] B. MALGRANGE - «Les premiers travaux de Jean-Pierre Ramis», in Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes, vol. I (M. Loday-Richaud, éd.), Astérisque, vol. 296, Société Mathématique de France, Paris, 2004, p. 1-6. [Ra76] J .-P. RAMIS - «Étude des singularités des équations différentielles dans le champ complexe», in Rencontre de Cargèse sur les singularités et leurs applications (1915) (F. Pham, éd.), Prépublication Université de Nice, 1976, p. 114-125. [Ra80] ___ ,«Les séries k-sommables et leurs applications», in Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Lect. Notes in Physics, vol. 126, Springer, Berlin, New York, 1980, p. 178-199. [Ra85] ___ , «Filtration de Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot d'une équation différentielle irrégulière», 1985, ce volume. [Wa65] W. WASOW - Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience Publ., 1965.

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CORRESPONDANCE

P. DELIGNE

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Le 1er décembre 1976 Cher Katz, Je collectionne les analogies entre conducteur de Swan et irrégularité d'un système différentiel (au sens de Malgrange, Gérard, Levelt). Le plus bel exemple que je connaisse est donné par la thèse de Sperber où tous deux sont 1 à l'oo. En voici d'autres : (a) Soit [, un fibré vectoriel de rang 1 sur une courbe U = X - S/C (S = points« à l'infini»), muni d'une connexion \7. Si i(s) est l'irrégularité en s, alors ([,, \7) provient d'une ~-extension de la jacobienne généralisée correspondant au conducteur .2::: a(s) · s, avec a(s) = i(s) + 1, par CGm. Réciproquement, si [, en vient, i( s) = sup(O, a( s) - 1).

Démonstration. - On peut supposer[,= 0, \7 est alors une forme différentielle, w, et j'espère bien connu que J

I::: a(s)·s

(q = (formes différentielles de pôles ~ a (s) en s) * homologie

[à comparer au «même énoncé», en cohomologie R-adique, par les systèmes locaux R-adiques de rang 1 sur une courbe de caractéristique p -=f- R]. D (b) On a un comportement par spécialisation tout pareil à celui de Sw ; soit donc X/T, lisse de dimension relative 1, F c X, fini, plat sur T, qu'on suppose lisse de dimension 1 sur C, et (V, \7) sur X - F (\7 étant une connexion relative). Soit cp(t) = .I::xr---tt (irrégularité de (Vt, 'Vt) en x + dim V). Alors cp

est

semi-cont~nue

xEF

inférieurement.

On va calculer l'irrégularité par la méthode suivante (d'après Gérard et Levelt) : si on a une courbe C, coordonnée x, et (V, \7) sur C - {x = O}, on prend un prolongement localement libre V de V. Soit k ~ 0 et Vk,O

= x-kv,

Vk,n+l

= Vk,n + \7 8x Vk,n

Alors

:3 ko, V k ~ka, :3 no, V n ~no, i =dime 1\n+i/Vk,n· C'est facile à vérifier, à partir du résultat (Turrittin, Levelt) que formellement et après y1x (i.e. sur C(( ylx)), on a une décomposition V= EB(Va ® Wa) avec Va à connexion régulière unipotente et dim Wa = 1.

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1

2

3

1er DÉCEMBRE 1976

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Faisons cela avec paramètre : (a) on prolonge V en V localement libre sur X (possible parce que dim X = 2) et on le remplace par 1-k)) pour f équation de F et k grand, (b) on prend V n+ 1 = V n + \7 ax V n, pour x coordonnée (Vo = V), la somme est prise dans 1-N(n)Vo, N(n) grand. Il faut alors calculer asymptotiquement _!_dime (image de (Vn)t dans (f-N(n)Vo)t/(Vo)t) n (où t est @k(t)), de limite c.p(t). Ceci amène au lemme Lemme. - Soit V localement libre, f l'équation d'un multiple de F et V c WC V. Pour t ET, on regarde Wt = W@ k(t), Wt = Im(Wt ~ V)t) et

y

'lj;(t)

=

(y

dimc(Wt/Vt). Alors 'ljJ est semi-continue inférieurement.

Soit W** le bidual (localement libre) de W et Q = W** /W (à support ponctuel). On a 0 -----+Ker( t, Q) -----+ Wt -----+ W;* -----+ Qt -----+ 0

(= Tor 1 ) et Wt

=

Wt/torsion est Ker(W;* ~ Qt), d'où

'lj;(t)

=

dimc(W;* /Vt) - dim Qt

Reste à voir que W** /V est plat sur T. Appliquant la suite des Tor à 0 ~V~ W** ~ W** /V ~ 0 cela exprime simplement que Vt '---+ W;*. J'avoue ne rien savoir d'autre sur le comportement par spécialisation des invariants plus complets Va, Wa (ci-dessus) attachés à V. Bien à toi P. Deligne

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

11

Le 16 décembre 1976 Cher Malgrange, Je me suis remis à penser aux équations différentielles à points singuliers irréguliers : comment généraliser le théorème de Grothendieck à ce cas? Soit donc: - X courbe lisse, projective, connexe sur C. Par exemple P 1 , - V, V' fibré vectoriel à connexion sur X - S (S fini).

On a alors (1) cohomologie

IHI*(X - S,n*(V)). Je m'intéresse au H 1 , et au cas où

s #- 0: IHI 1

=

n 1 (V) (X - S) V'(V(X - S))

(2) homologie : soit V le dual du système local des sections horizontales de V. Une section de V sur Y c X - S est dite à décroissance rapide, près des ES, si, évaluée contre toute section locale (méromorphe en s) de V, elle fournit une fonction qui tend vers 0 en s. Le H1 que je veux définir l'est en terme des chaînes et homologies comme suit : - 1-chaîne : ~ avec dessus une section v de V ; la chaîne peut aboutir à un point de S si v y a, sur la chaîne, décroissance rapide. - 1-cycle: comme d'habitude en dehors de S. Rien en S n'est demandé. - homologie : de ~ avec dessus une section de V ; un point de S peut être en un point du bord, si v y a, sur la 2-chaîne, décroissance rapide en ce point.

a

Je ne sais pas quelle régularité je devrais demander aux chaînes. (3) accouplement : JO"· w donne un accouplement entre IHI 1 et H1. (4) question : est-ce une dualité parfaite? (5) Un exemple :

- X= P1, S = {O, oo}, V= 0, V'f = (!' - (P' + a/x)J)dx - P polynôme de degré d > 0, P' = dérivé; P = xd + · · · ;

a#- -n,

n entier> d - section horizontale : xa · ep; du dual : x-ae-P

.dx - IHI1 : tendu par xi-, 0 ( i < d X

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16 DÉCEMBRE 1976

- H1

:

x-ae-P sur un des chemins suivants :

I'= 0

.

et ses transformés par multiplication par (, (n = 1. Dans cette base, la matrice qui donne l'accouplement est

(1

x-ae-P xk dx)

e(27ri/n)j ·I'

X

O~j,k~d

Il faut montrer que le déterminant de cette matrice est toujours-/::- O. Prouvonsle. (A) P = xd. Ici, la matrice devient (changement de variable x i--+ ( x, (n = 1) e-27riaj . e-(27ri/n)jk

r x-ae-xd xk dx :

lr

X

il faut prouver que

1

x-ae-x

d

X

k dx -

I'

-/::-

O;

X

supposons d'abord que a ~ Z; on peut alors supposer a < 0, et non nul de -xd k-a dx -x (k-a)/d dx e x -=* e x -

00 1 0

et

fr =

multiple

100

X

0

X

J > 0 (une valeur de la fonction r). Pour a= 0, le même argument marche

r e xd x-· dx I · d r _ r dx) _ 2 · . sau f pour Jr c1, Jr - Jr+(r+·· · -_ :r,r: -_ 27ri· R eso ( e -xd x - 7ri .

(B) Cas général : On va utiliser le formalisme de GauB-Manin pour TID 1 x (espace des coefficients de P') et V, \7 : V= V, \7 de solution xaeP.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

----+

(espace de coefficients)

P. DELIGNE

19

On trouve que les ( fe(27ri/n)Jr x-ae-P xkd:)o~k /3 si le- I al > ltl-Nle- I ,61, V N, dans un petit secteur autour de B. ()

4

Je me propose de définir une« filtration», subordonnée à cet ordre, sur V. C'est un objet du type suivant : on écrit l'ordre sur I, en B Œ1,1, · · · , Œ1,r1

> Œ2,1, · · · , Œ2,r2 > ... >

Œk,1, · · · , Œk,rk ·

On se donne une filtration à k crans, et une décomposition directe, indexée par les Œi,., du i-ième quotient (1 ~ i ~ k). Quand B varie, on exige la compatibilité suivante : dans tout arc assez petit, V admet une décomposition en somme directe induisant les« filtrations» associées aux différents B dans cet arc. La filtration en un point la détermine donc aux points voisins. Soit Vo = EB La@ Va; on dispose d'un isomorphisme formel Vo ~V; on le regarde comme un élément horizontal de Hom(Vo, V)'\ et on lui applique le théorème fondamental. Près de e, on obtient une décomposition V = EB Va, définie par V = EB La @ Va. Pour v E Ve~, ef a · v est une section de V de développement asymptotique connu. De ce fait, Va est bien déterminé modulo

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

23

les V,a, a > {3, et la «filtration» associée à la décomposition d'aucun choix. On obtient ainsi un foncteur (2)

EB Va

(V, méromorphe en 0, avec \7, avec une décomposition (1))

ne dépend

-----+

(système local V sur S, avec une« filtration» indexée par l'ensemble B des (formes différentielles méromorphes/celles avec au plus un pôle simple)) Écrivons V = EB ,6 V, avec ,6 V = EBa~,6 La 0 Va, et soit ,6 V le système local défini par ,6 V. On a un isomorphisme

(3)

(noter que Gr a un sens!)

Ce foncteur est compatible aux produits tensoriels et passages aux duaux. Il est de plus pleinement fidèle. Par passage au 7-lom, on voit qu'il suffit de reconstituer les sections horizontales méromorphes ; on a en fait la description suivante de V à partir de V : (4) Regardons V comme un système local sur D. Pour qu'une section s de V® 0 sur D* soit V-méromorphe, il faut et il suffit que, dans chaque secteur assez petit, si on écrit s dans une base adaptée à la filtration : s = 2::: sa,i · Va,i, chaque sa,ie- fa ait une croissance modérée près de O. Question. - Quelle est l'image essentielle du foncteur? J'espère que c'est une équivalence de catégories !

Bien à toi P. Deligne

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P. DELIGNE

Reçue 19.4. 78 Cher Malgrange, Ramis m'ayant envoyé copie de la note de Sibuya, j'ai relu tes notes de l'été passé, pour m'apercevoir que tu y répondais à ma question (posée en réponse!!) d'avoir une équivalence de catégorie entre fibrés vectoriels à connexion (germe de - ) , méromorphe en 0, et systèmes locaux sur 8 1 avec filtrations du type bizarre que j'expliquais. Pour énoncer le cas que tu couvres, je dois un peu généraliser ma lettre du 22 août. Définition • I = le système local suivant 8 1 : sur un secteur : formes différentielles de la forme '2:.:~n aizi/N dz, modulo pôles au plus logarithmiques. • > : ordre partiel sur I, dépendant de () E 8 1 , selon le comportement asymptotique de ef w pour z ---+ 0 dans un secteur autour de () (i > j ::::} i > j

.

e

B'

pour ()' assez proche de (); si i et j sont >-incomparables, on ai > j ou j > i

e

B'

B'

selon que B', proche de B, est d'un côté ou l'autre de B) . • (I, >)-filtration sur un système local V sur 8 1 : système de sous-faisceaux Vi de V, indexés par I (prendre garde que I n'est qu'un système local, cela suffit) du type suivant : pour tout (), il existe une décomposition de V en somme directe V = EB Vi, telle que vi = Vi œEBi> j en tout e' proche de e.

v;

e'

On définit de façon évidente Gr V (famille indexée par Ide systèmes locaux). Le foncteur est : fibré à connexion (V, \7) ---+ (a) système local des solutions sur une petite circonférence 8 1 (mieux : on fait un éclatement réel de 0, 8 1 ~ des solutions)), (b) (I, >)-filtration :

C ~ CC*, et on prend i* j* (système local

VJ = {solutions v v / ef wi est à croissance modérée dans un secteur autour de B} J

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19 AVRIL 1978

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On a un dictionnaire (fibrés méromorphes à connexion)

-------+

(systèmes locaux !-filtrés)

1

formalisé

(systèmes locaux !-gradués)

(fibrés méromorphes formels)

où les équivalences de catégories horizontales sont compatibles aux opérations tensorielles. Dans tes notes, cela vient comme suit : A0 ( M) est le faisceau, sur 8 1 , des automorphismes de V induisant l'identité sur le gradué associé; son H 1 classifie donc les systèmes locaux !-filtrés de même gradué associé [=? localement isomorphe]. Le foncteur : morphisme formel

-----?

morphisme de Gr

est donné par la théorie des développements asymptotiques; il suffit de regarder 0 ~V (Hom(V, W) = Hom(Ô, 1tom(V, W)A)) et une solution formelle donne un élément de Gr 0 . Par ailleurs Théorème. - L'espace des modules de (V, \7), muni de dimension l'irrégularité de End (Vo)

V--.::'....+ Vo,

est lisse de

J'avoue m'être contenté de vérifier, heuristiquement, que la dimension de l'espace tangent était constante, et comme dite. Une façon de dire le point essentiel est : le foncteur Gr, à droite dans le diagramme précédent, est fidèle (c'est clair sur la colonne de gauche; une section holomorphe (horizontale) ne peut être plate). L'espace tangent est H 1 (S1,partie de filtration< 0 de End(V))

dimension= irrégularité car H 0 est nul (voir ma lettre du 22 août). En terme des cocycles, cette nullité du H 0 exprime que l'action par laquelle on divise donne, pour l'algèbre de Lie, une action libre. Pardon de n'avoir pas su mieux te lire, bien à toi P. Deligne

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

27

Strasbourg, 23 octobre 1978 Mon cher Malgrange, J'avais, avant les vacances, pensé au problème suivant : Si une équation analytique Do est formellement équivalente à D 1 , alors elle est s-Gevrey équivalente à Di, pour s ): so (s 0 étant le plus grand Si exceptionnel de l'équation associée à End(Vo); (V0 , \7 0 ) étant associé à Do). J'avais un peu essayé «à la main» en reprenant la méthode classique de dévissage, sans succès. Je viens de m'apercevoir qu'on s'en tire très bien en filtrant ton théorème de modules : on considère la classification « équivalence Gevrey d'ordre s, modulo équivalence analytique» on obtient des espaces de modules (apparemment lisses) Es/R (ou E(s)/R), avec des isomorphismes Es/R ~ H 1 (S; Ao,s(M)) (resp. (s)) et Ao,s(M) est facile à interpréter (cf. Deligne). On en déduit que H 1 ( S; Ao,s (M)) est localement constant en s sauf en un nombre fini de points de discontinuité (si exceptionnels de l'équation associée à End(Vo)), et que pour s): so : H 1 (S; Ao,s(M)) ~ H 1 (S; Ao(M)), ce qui règle la question. On utilise évidemment le Théorème fondamental des développements asymptotiques avec majorations Gevrey. Je suis en train de rédiger celui-ci et, tant qu'à faire, je vais en donner une version précisée : j'ai trouvé dans un vieux papier de Valiron qu'il savait établir pour une équation algébrique mon «Théorème 2 » dans le cas s < 1 (séries entières solutions); il a même un peu mieux : il montre que les séries entières solutions sont « à croissance régulière» (au sens de Borel); j'ai constaté qu'à condition d'améliorer les majorations Gevrey je savais montrer qu'il en est toujours ainsi (même dans le cas analytique) ; de plus des raisons tirées de la théorie asymptotique des équations aux différences me laissent espérer qu'à condition d'améliorer encore plus ces majorations on pourra obtenir des renseignements beaucoup plus précis sur le comportement asymptotique des solutions formelles. Seras-tu à Paris le vendredi 3 novembre? Il se peut que j'y fasse un saut. On pourrait éventuellement se voir après ton cours à l'école. Bien à toi J.-P. Ramis

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1

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3

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ck.- ~-v 0 et un représentant Œ < 8 < (3 (en coordonnées polaires

< r < ro,

f Z

dans un secteur = rei(}) tel que

1~=!1 ~ cn(n!)2 (2) « Condition à la Watson ». Il existe B > 0, et un représentant dans un secteur fixe tel que Jf(z) - I:~-l apzPJ ~ (Bzr · n! (ai les coefficients du développement asymptotique de f en 0). Pour (3) et (4), j'écris seulement les conditions en e = 0 (le cas général s'en déduit immédiatement par une rotation). (3) «Laplace local». La série cp(t) = I: (n':_nl)! tn-l converge (disons, R son rayon de convergence), et pour un (ou tout) r < R on a

f(z) - ao -

l

cp(t)e-tfz dt

E

Aô.

(4) «Sommation-approximative». Même condition qu'en (3) sur la série cp, et pour un (ou tout) r < R, on a IJ(z) -

L

anznl ~ e-K/lzl

(ou e-K'Re(l/z)).

n~rRe(l/z)

En fait, ces quatre conditions sont équivalentes. Ça se voit ainsi, par exemple (il y a beaucoup de variantes possibles) (a) Équivalence (1) {:} (2) Dans le sens ==?, Taylor avec reste intégral; dans l'autre, utiliser les inégalités de Cauchy dans un disque de rayon >..\z\, autour de z, À fixe. (b) (3) ==? (2) Pour simplifier, je suppose r = 1. On remarque que

la tP e-t/ 1

1

00

x

dt ( s réel) est décroissant en p et

tP e- t/ x dt est croissant.

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14 JUIN 1979

34

Il suffit d'établir que g(t) = sait sur On écrit

A6.

J01 i.p(t)e-t/z dt vérifie (2), compte tenu de ce qu'on

avec 'l/Jn = · · · On a une majoration de 'l/Jn uniforme en n, d'où la majoration 00 00 00 du deuxième terme. Puis on écrit le premier f0 - J1 , et on majore les f 1 en tenant compte de la remarque ci-dessus. (c) (2) =? (4) Évident. Choisir le n pour lequel (Bzrn! est le plus petit, et appliquer Stirling. (d) (4) =? (3) Soit encore g comme en (b); g vérifie (3), donc (2), donc (4) et donc f - ao - g est à décroissance en e-Klzl, donc E

A6.

Autre chose. j'ai vérifié qu'on a bien l'isomorphisme CC{t}2/CC{t} ~ 1 H (S, Aô) [il suffit de voir que la flèche H 1 (S, Aô) ----+ H 1 (S, A 2 ) est nulle; ça se fait explicitement à coup de formule de Cauchy, comme pour A au lieu de A 2 ]. Pour l'instant, je regarde l'analogue non linéaire (i.e. Birkhoff-Sibuya dans les classes de Gevrey). Si on a ça, ça donne une « analytisation des connexions à coefficients dans CC{ t }2 (ou CC{ t} en général), plus naturelle que mon truc par Laplace, modulo le« théorème fondamental des développements asymptotiques Gevrey» que tu sais démontrer, je crois (peux-tu me confirmer ce point ?) : on opère ainsi, avec les notations de mon papier à G .-S. : M la matrice de la connexion à coefficients dans CC{t}s[C 1 ], on représente M par Mi E A 8 (Ui), (Ui) recouvrement de S; par ton résultat, dans Ui n u1 on aura Mi = MAij' Aij E r(ui n Uj, GL 0 (n, À 8 ) ) ; et on écrit (si Sibuya-Birkhoff 2

marche) Aij = B1Bi\ Bi E r(Ui,GL(n,A 8 )), d'où Mti Mti se recollent pour définir le N rv M cherché ... (s)

Voilà tout pour aujourd'hui. Meilleures amitiés B. Malgrange

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

M:j donc les

J.-P. RAMIS

35

Strasbourg, 20/6/79 Mon cher Malgrange, Merci de tes lettres. J'avais constaté l'équivalence entre nos deux définitions de Gevrey en remarquant que 2) =? 4) (avec tes notations) d'une part et d'autre part que Borel-Ritt pour ta définition implique Borel-Ritt pour la mienne : des intégrales de type Cauchy-Heine permettant de définir une application :

et l'image vérifie Borel-Ritt-Gevrey (avec ma définition). Le Théorème fondamental des développements asymptotiques avec majorations Gevrey marche effectivement. Je l'avais écrit dans le cas où il est énoncé dans mon papier à Astérisque; malheureusement un certain nombre de papiers m'ont été volés un peu avant Noël et c'était avec ... Tu en as besoin dans la variante non linéaire qui marche aussi en faisant un peu attention (en utilisant un multiplicateur convenable eQ(l/x) l'équation non linéaire ne reste pas analytique mais devient Gevrey). Le plus simple est que j'essaie de t'écrire tout ça assez vite dans un retour (entre deux examens ... ).

1

As-tu un problème avec Sibuya-Birkhoff? J'avais regardé l'an dernier avec ta démonstration avec Grauert + ton papier avec Kozsul et n'avais pas vu a priori de problème avec le principe qu'à peu près tout ce qui marche en C00 marche en quasi-analytique (à la taille des résidus près). Si tu écris Sibuya-Birkhoff je pense que ça vaut le coup de le faire en contrôlant la taille des secteurs : avec ta méthode cela donnerait l' « analytisation » des connexions à coefficients k-resommables à laquelle j'avais fait allusion à la fin de mon laïus de la R. C .P. (pour le théorème fondamental je contrôle la taille des secteurs) et par suite le dévissage que je conjecturais. Je pense que Sibuya-Birkhoff-Gevrey donneraient également en reprenant ta méthode divers théorèmes de modules (et en particulier une stratification de ton espace de modules). Bien à toi J.-P. Ramis Notre volume avec Gérard, une Lecture Notes où est publié ton papier, est fini; on t'en a envoyé un exemplaire.

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2

P. DELIGNE

37

20/12/83 Cher Malgrange, J'ai repensé aux cycles évanescents irréguliers, pour comprendre que ce que j'avais essayé de mettre en forme à Luminy n'était pas raisonnable.

a. Philosophie. - Soit l: X -7 D (D le disque) et Mun V-module holonome sur X* =X - 1- 1 (0) (méromorphe le long de (J- 1 (0)). Le but d'une théorie des cycles évanescents et de construire un objet \li f sur Xo = 1- 1 (0), de nature locale, qui, pour l propre ait une intégrale sur Xo qui décrive Rl*M « près » de O. Un exemple: [A 1 = la droite = CC], - M = PiN@ « exp(xy) »; près de oo E P 1 - X = A1 x P 1

J!2.+ P 1

(i.e., on regarde Fourier de N près de oo E P 1 ) Prenons N régulier à l'oo. Laumon vient de brillamment utiliser, en cohomologie étale que, pour l'analogue de caractéristique p, \li f est à support l'ensemble fini de points où N a une singularité. Il n'y a par ailleurs pas de contribution de l'oo (de A 1 ). Ici, on veut donc un \li f à support (lieu singulier) x { oo}, de nature locale : le passage de N à Wf détruit toute information sur la monodromie globale de N. Ceci signifie que, par une théorie des cycles évanescents parallèle à la théorie de caractéristique p, on doit seulement espérer décrire à l'aide de \li f le complété de Rl*M en 0, non le germe analytique [qui, pour Fourier(N), contient les phénomènes de Stokes, qui traduisent la monodromie globale de N] ;

b. Objet. - Imitons la structure connue des modules à connexion sur 27r. Let Ç be a sheaf of groups on 8 1 . Assume that

H 0 (I, Q) = H 1 (I, Q) = 0 Th en H 0 (81, Q) = 0

and

H 1 (81, Ç) ~ H 0 (JO, a - 27r[, 9).

Proof - Let P be a Ç-torsor. By assumption, its pull back to I is trivial, and uniquely trivializable. To descend it from I to 8 1 amounts to give an isomorphism ( deck transformation)

Pl ]O,a-27r[ ------+ Pl ]27r,a[ rv

above x f---+ x + 27r, the isomorphism Pat x from it by iteration.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

f---+

Pat x

+ k · 27r

being deduced D

P. DELIGNE

P.P.S.:

51

From reading Ramis, I expect that H 1 (Stokes)

----7

H 1 (Stokes/Stokes(k))

is classification

----7 (

1 + 1/ k )-Gevrey classification.

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'5 4

:>(

,):;:,,_J,z.'

{"'} ( .......

~~·rt

( ~" s.

Démonstration On calcule c.p~\z), par Cauchy, mais on ajoute à l'intégrale des intégrales de Cauchy analogues - nulles - pour les 'P(3·

On obtient (a) une intégrale sur une circonférence, innocente (b) des intégrales sur des rayons

j (% - l

C'est en tout cas compatible à tes calculs d'indices. Remarque. - Le corollaire fournit une description en termes « combinatoires» de la ®-catégorie de CC[x]t[x- 1]-modules à connexion - donc en principe de groupes de Picard-Vessiot [qui sont les « groupes de Galois motiviques » de sous-®-catégories engendrées par un objet]. Pour s < t, il y a une façon unique d'obtenir un CC[x]t[x- 1 ]-module à connexion M à partir d'un CC[x] 8 [x- 1]module, si on exige que ce dernier ait même groupe de Picard-Vessiot.

Bien à toi. Bonne année ! P. Deligne

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5

P. DELIGNE

59

25/2/86 Cher Ramis, Merci de ta lettre. Quelques préliminaires avant de donner la description combinatoire de CC[z]t[z- 1]-modules à connexion que j'avais en tête. (a) Sur 81, on dispose du système local P des parties polaires des formes différentielles algébriques, modulo pôle d'ordre ::::;; 1. Il s'agit des L aaza dz / z, somme finie, a E Q, a < 0, « za » est pour «une détermination de za » et est responsable de la monodromie de P. (b) Pour chaque e E 8 1 , on dispose d'un ordre < sur Pe [je travaille avec

e q

e

Lie Ue,k:

"

"

Lie uJkl :

"

"

> q [la condition dépend de p, q mod Pk] e p = q (Pk), p > q e

p-=/:- q (Pk), p

Pour B' proche de e, ces groupes grossissent (ou restent les mêmes). On a Ue,k (M)) est au choix:

(Œ) Aut( cf> restreint à la @-catégorie rigide \M) engendrée par M). (f3) Le sous-groupe de GL(cf>(M)) tel que Vn Vm, si on pose T(X) = X®n@ (Xv)®m, on ait : - un sou~v~ctoriel A C T( cf>M) est G-stable si et seulement si il est de la forme c/>A, Ac TM.

- [T'(X)

=

x®n'@ (Xv)®m'] : V

AicA 2 cT(M) A~ cA~ cT' induit une équivalence : \M) ----+représentation de G. Si j'ai bien compris, Picard-Vessiot est un groupe algébrique sur le corps différentiel de base (ici CC[z]t [z-i]); c'est le pour cf> le foncteur fibre évident sur CC[z]t [z-i] : (M, \7) ----+ M. Il admet encore la description (a). En terme d'un CC-foncteur fibre c/>o, il admet la description suivante : (a) soit G attaché à c/>o et M. On a (r); (b) soit A(G) l'algèbre des fonctions polynomiales sur G. C'est, pour la représentation adjointe, une représentation de G limite inductive des représentations de dimension finie. Par (r), elle correspond à une limite inductive de modules à connexion sur le corps différentiel de base. C'est l'algèbre des fonctions polynomiales sur le groupe de Picard-Vessiot. Inspiré par tes papiers, voici comment on décrit G attaché à V dans 9t et au foncteur fibre en e E si. L'essentiel est qu'il y a un (des) procédé(s) naturels, compatibles au@, pour, en chaque 0 E si, obtenir une décomposition V = EBpEPe Vp dans Ce. Disons que k est utile s'il existe p, q dans P tels que Vp, Vq #- 0 et que (p - q)/~ soit de valuation -k. Si les ki sont les valeurs utiles de k, on choisit des intervalles emboîtés Ji contenant e, non limités par une ligne de Stokes, de longueur 7r /ki. Il s'agit d'intervalles dans le revêtement universel de si. Soit ti = 1+1/ki. La décomposition voulue est l'unique qui sur G~i (resp. ev~i) induise une graduation dans C(}' pour tout B' E h La condition

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4

25 FÉVRIER 1986

62

sur les ev~i signifie : «compatible à la P /Pk-graduation » (t = 1 + l/k). La compatibilité au ® vient de celle des foncteurs G:. On dispose maintenant d'une série de foncteurs fibres : prendre assez de points sur 8 1 , et pour chacun les foncteurs (a) fibre en () (b) fibre en () de

Gt

et des isomorphismes entre eux :

5

On prend le groupe engendré par (a) le tore agissant sur G-fibre B1, de groupe de caractères le Z-module engendré par les p E P qui apparaissent ( {p E P Vp -=f. 0}), (b) les automorphismes composés d'isomorphismes décrits ci-dessus. 1

J'imagine que, parce que G~i (V) est le passage à une autre classification Gevrey, tu dis tout cela analytiquement, mais l'analyse n'est pas nécessaire. Bien à toi,

P. Deligne

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

63

28/2/86 Cher Ramis, Malgrange m'a expliqué comment obtenir la description que je voulais du HbR(Gevrey). Voici les ingrédients. A Nils := faisceau sur 8 1 des fonctions holomorphes dans un secteur, avec développement asymptotique L aa,iZa log zi (a E ensemble fini+ N, i E [O, k]) Ai: :::.. ~ -t- é)e., :::: e-\..'e) e.. ~ .

?( 1..1·)

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1

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U.."'~~cc &Ar{,. c.J...o~)Lt~(;.J(J..'f>~~t;~·'Î>z..O..L,~

B. MALGRANGE

79

Minneapolis, le 26/4/91 Cher Deligne, Le résultat suivant est-il «bien connu», ou à défaut connu de toi; je crois me rappeler que tu m'avais posé une question en ce sens il y a quelques années. Théorème. - Soit f E CC[x1 , ... , xn], et soit K• le complexe de K oszul fabriqué _ a af _ - J a J sur CC[ x 1 , ... , Xn ] avec l es D i - axi + axi - e axi e . Alors on a un isomorphisme Hi(K•) ~ fii- 1 (F, CC), F la fibre générale de la projection f : ccn --+CC, fi la cohomologie réduite (= H en dimension #- 0, H /CC · 1 en dimension 0). La démonstration est presque immédiate. - La cohomologie de K• s'identifie à H*(A(:, DRef), en appelant ef le D-module évident. On ajoute alors un paramètre T et on considère le DAn+1-module eTf. On note i: pt--+ A 1 l'application T = 1 et on écrit p: An x AT--+ AT. Le complexe cherché est i*p*eTf (à des décalages près que j'ai la flemme d'écrire. On applique FT à p*eTf : on a FTp*eTf = p*FTeTf = p*ô(t - J) = f*OAn, fla projection A~--+ At. f*OAn est donc un complexe dont la cohomologie est à singularité régulière, et on doit calculer i* F- 1 f*OAn. Pour cela on s'appuie sur le résultat suivant (facile). Soit Mun DA1-module holonome à singularité régulière ; alors FM (ou F- 1 M) est régulier sauf à l'infini, et n'a pas de cycle évanescent en dehors de O. De plus la restriction à un point T #- 0 (par exemple T = 1) est isomorphe à l'espace des «cycles évanescents globaux» de Man, i.e. sections sur le revêtement universel de CC"'- {un disque contenant les singularités de M}, modulo sections globales. [C'est aussi les sections dans l'espace des fonctions holomorphes dans le complémentaire de la région hachurée, modulo celles qui se prolongent à l'espace entier; cf. la fin de mon laïus à Bourbaki, en 1988, sur Fourier.]

Cette description passe aux complexes à cohomologie holonome et régulière ; en traduisant et appliquant le théorème de comparaison algébrique ~ analytique pour les modules holonomes réguliers, on obtient le résultat cherché. D

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26 AVRIL 1991

Remarques diverses (1) On aurait aussi pu prendre les cycles proches à l'infini, modulo sections globales à la place des descriptions ci-dessus. (2) L'espace des «cycles évanescents globaux» se décompose suivant les cycles évanescents en chaque point singulier [Dans le dessin ci-dessus, la cohomologie à support dans la région hachurée se décompose en~ cohomologies à support des demi-droites issues des points singuliers.] En appliquant à la situation considérée ici, cela donne une représentation en terme de cycles évanescents, mais qui ne sera commode que si l'on sait bien analyser ceux qui proviennent des canulars à l'infini de la projection f. (3) Tout ceci s'étend sans problème à H*(An, DR(M@ef)), M à singularités régulières. Meilleures amitiés B. Malgrange P.S. Si tu as des commentaires, envoie-les s'il te plaît à Grenoble (Institut Fourier, BP 74, 38402 St Martin d'Hères), où je rentre d'ici une quinzaine après avoir un peu circulé aux États-Unis.

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81

P. DELIGNE

Princeton, le 30 avril 1991 Cher Malgrange, L'argument avec lequel je suis familier est que pour f : en --+ e et « ex » le V-module de complexe de de Rham «ex· n » : d(ex ·a) = ex· e-xd(exa), et tout V-module holonome régulier M sur en, on a

HnR(M ® f* «ex ») (1)

=

HnR(RJ*M ®«ex»)

=

Hcp(Rf*M):

~famille de supports

= Hfamille de supports Re f ?::- K

lél

~ s

( M)

Coincé dans une suite exacte longue entre . . n } explique pourquoi ( a ) cohomologie sur e, i.e. de e --+ · re'd m·t e co h omo1ogie (b) cohomologie du complément de K E ~ assez grand. } rv fibre générale C'est de Katz que j'ai appris (1), du moins dans le cadre analogue .€-adique, où il l'emploie pour obtenir des indépendances de p. Bien à toi P. Deligne

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B. MALGRANGE

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Chicago, May 6, 1991 Dear Professor Sibuya, Here are some remarks on the problem of formal decomposition for an irregular singularity with a parameter, that we discussed with Schafke. They are based on the following result. Theorem 1. - Let 0 = CC{ x, y}, the convergent power series at 0 E CC 2 ; let f E 0, g E 0, f and g without common factor; suppose we have a matrix S E GL(n, O[f- 1 , g- 1]) (i.e. S and s- 1 are meromorphic with pales on f = 0 and g = 0). Then, one has S = S'S", with S' E GL(n, O[f- 1]), S" E GL(n, O[g- 1 ]). Proof - Let E be the set of pairs (ep, 'ljJ) with ep E on[j- 1], 'ljJ E on[g- 1] and 'ljJ =Sep, and let p and q be the maps E --7 on[f- 1], E --7 on[g- 1] defined by p( ep, 'ljJ) = ep, q( ep, 'ljJ) = 'lj;. If k > 0 is such that Jks- 1 has no pole on f = 0, one has that fkep = JkS- 1'lj; has no pole at all; therefore pE c 1-kon, and E is finite over O. The same argument shows that p (resp. q) extends to an isomorphism p : E[f-1] ~ on[f-1] (resp. q: E[g-1] ~ on[g-1]). To prove the result, it suffi.ces therefore to prove that E is free over 0 [if this is the case, take a base; as E[f- 1 ] is free of rank n over o[j- 1], the base has n elements and the decomposition is obtained by writing p and q in this base]. To prove that E is free, by a well-known argument( 4), it suffi.ces to prove the following lemma where m = maximal ideal of O.

Lemma. -

One has Torf(O/m,E) =O.

This is equivalent to the following (by taking the. standard resolution of 0 / M): if xx1 + YX2 = 0, X1, X2 E E, then, one has X1 = yx, X2 = -xx. But this is obvious: if x1 = (ep1, 'l/;1), x2 = (ep2, 'l/;2), one has obviously epl = yep, ep2 = -xep, with ep E O[f- 1]; similarly epl = yep, 'l/;2 = -xi/;, 'ljJ E O[g- 1] and 'ljJ =Sep. D The application is as follows: Theorem 2. - Let xr+l ~~ = M(x, y)F (M matrix with coefficients in 0) be a differential equation. Suppose that M(O, y) is nilpotent for all y close to O. C4 )See any modern course on local algebra; for instance Serre "Algèbre locale, multiplicités", Springer Lect. Notes n° 11

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6 MAI 1991

Then a ramification x = tP and a meromorphic transformation F = S(t, y)G, S E GL(n, Ot,y[C 1 ]) can transform the equation into another one t 3 +1~~ = N(t, y)G, where N(O, y) is not nilpotent for y close to 0, y=/=- O. Sketch of proof - Use the usual argument with cyclic vector: take a vector, cyclic for y close to 0, y=/=- 0 and make the usual transformation: this gives the result but with poles ont= 0 and (may be) on some other curve g(t, y) = O; the theorem 1 eliminates the apparent singularities on g = 0, and one gets the result. D

The same argument would work for 0 replaced by Ô = formal completion along x = 0 [i.e. series 'Ean (y )xn, with an convergent in a fixed neighborhood of O]. This shows that the usual procedure: "separate the distinct eigenvalues of the most polar part, reduce to nilpotent case, then make shearing transformations and iterate" will work if we assume the following: during all the procedure, the multiplicities of the eigenvalues of the principal part (for instance M (0, y) in the first step) remain constant. This hypothesis can be stated more formally in the following way:

(*) For y close to zero, let e'Pi,y be the exponentials coming in the formal decomposition of the equationxr+l~~ = M(x,y)F; l.Pi,y arepolynomials in l/t, t = x 11P for some p (here, I count each l.Pi,y with its multiplicity; on the other hand, I make no a priori hypothesis on the dependence on y; I just list the l.Pi,y for each y). Then one has, for every r EN: #{(i,j) deg 1;x(l.Pi,y - l.Pj,y) = r / p} independent of y J

1i

[In other words, all the "higher irregularities" of the equation xr+l = SM MS are constant]. With the hypothesis (*), Theorem 2 plus the usual procedure prove the existence of the decomposition that one would have. Question. - Is ( *) implied by the constancy of the irregularity of xr+l â~ = [S, M]? Schafke could look at that question, using his semi-continuity results. Further remarks

(1) Theorem 1 is a special case of the following result [mentioned by Douady, Séminaire Bourbaki 366, 1969/70, in a slightly different form. I do not know other reference]: let B be a ball JxJ 2 + JyJ 2 < r in ('. 2 , B* = B - {O}, and i : B* ----+ B the injection. Let F be a locally free sheaf over B*; then if F extends to a coherent sheaf on B, it has a free extension; and, in particular, i*F is such a free extension.

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B. MALGRANGE

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(2) The same result is no longer true in ccn, n ): 3 (see a counterexample in the same reference). From this fact, one can deduce that Theorem 1 is no longer true in n ): 3 variables. I do not know if the "family decomposition" of differential equations under hypothesis (*) remains valid or not. (3) Theorem 1 is no longer true if we replace "meromorphic invertible with poles on f g = O" (resp. f = 0, resp. g = 0) by "holomorphie invertible on

f g -=f. O" (resp. f -=f. 0, resp.

g -=f. 0). Counterexample

S

=

exp

(;Y), f

=

x,

g = y (same reference).

On the other hand the "linearized version"(?) of Theorem 1 is also not true; for instance one cannot write xly = cp - 'lj;, cp E O[x- 1 ], 'lj; E O[y- 1] (integrate over lxl = IYI = E. Actually Theorem 1 is a very special result! With my best regards, and again my best thanks for your nice hospitality last month in Minneapolis. B. Malgrange P.S. If you like, you can use freely these notes; please, communicate them to Schafke with my regards.

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P. DELIGNE

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dec 2, 1991 Dear Dimca, Thank you for your preprint with M. Saito. I have the following intuitive picture for the results, which I expect results of Malgrange make precise. Let (ef) be the D-module generated by a section ef with dei = ef df. We have f: en---+ c, coordinate ton(['. and

H*(Cn, Dt) = IHiîm

(A, (e-t ® 10)).

Now, for K a complex regular holonomie (algebraic) V-modules, one should have

lHiî:m(A, (e-t ® K)) = JHI~(C, n*+n(K)) for the family of support Re t ~ a (a E IR.), the idea being that the differential forms with exponential decay for Re t ---+ oo can be integrated against chains which, to the right, are only locally finite. This cohomology with support is the same as relative cohomology, of K, on C, relative to the subset Re t > a, for a large enough or, what amounts to the same, relative to a fibre at a, Re(a) large. All the best, P. Deligne

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B. MALGRANGE

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Grenoble, le 28 mars 1996 Chers Collègues, Excusez-moi de mon retard à vous répondre; je voulais me donner le temps de réfléchir un peu à votre note; j'avais d'autres choses à faire, et le temps a passé... Sur le fond, la note me paraît tout à fait intéressante, surtout les théorèmes 4 et 5, et mérite d'être publiée. Sur la forme, j'ai quelques remarques :

1

(1) Le texte est très long, probablement un peu trop pour les Comptes Rendus. Il peut être facilement raccourci car 1) et 2) sont essentiellement des rappels, et pourraient être bien plus brefs. (2) Je ne comprends pas bien ce que vous faites dans la démonstration du théorème 4 (pourquoi voulez-vous abandonner l'hypothèse d'un «bon recouvrement » ? Cela donne un énoncé un peu confus ... ) (3) Je ne vois pas bien comment vous récupérez Lin (ou une forme affaiblie) dans la remarque p. 6. Que l'on puisse récupérer de tels résultats par Fourier est clair (j'en ai un exemple dans mon livre« Équations différentielles à coefficients polynomiaux», remarque IX.4.4, p. 161) ; mais je ne vois pas ce que vous faites en ce sens. (4) La référence à Ramis [5], p. 8 me paraît bizarre : il n'y a rien, que je sache, dans cet article sur ce type d'équations. Le fait que fj est Gevrey -1 est dû à Sibuya seul (à ma connaissance). Voici par ailleurs une présentation possible du théorème 4; il y en a sûrement beaucoup d'autres, tant la transformation de Fourier-Laplace a de déguisements plus ou moins équivalents. Vous pouvez utiliser cela ou non, et dans la mesure qui vous conviendra. Pour être clair, je vais d'ailleurs en dire bien plus que ce qui est strictement nécessaire pour notre· sujet. La présentation suit en gros mon livre, chap. VI et IX, mais dans un langage plus élémentaire; au langage près, il s'agit de choses plus ou moins bien connues. Vous pouvez aussi regarder le livre de Pham et al. «Approche de la résurgence». (i) Soit ~(a,/), r) le « secteur » a < arg x < /), lxl > r (on suppose a < J) 0 et à croissance sous-exponentielle à l'infini» +--+ «fonctions g( Ç), holomorphes dans ~ ( -/) - ~, -a+ ~, 0) et à croissance exponentielle, modulo fonctions entières de type exponentiel».

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28 MARS 1996

O

Dans le sens f ---+ g, on prend g(Ç) = J'Y f(x)e-xçdx, r comme dessiné (le changement d'origine change par une fonction entière de type exponentiel). Dans l'autre sens, voir loc. cit.

+ E < arg x < IJ(x)I ~ C:, 77 e7Jlxl.

N.B. «sous-exponentiel» veut dire : dans tout sous-secteur

Œ

(3- E, E > 0 et pour tout 77 > 0, on a, pour x ---+ oo : «exponentiel», idem avec «il existe un TJ > O... ». Ceci est tout ce dont j'ai besoin sur ce sujet; mais voici néanmoins quelques compléments : on a aussi une bijection : « fonctions entières f (x) à croissance sous-exponentielle» +--+ «fonctions g(Ç) holomorphes dans 1. Nous allons voir par un raisonnement analogue qu'on peut « isoler la pente Ào ».

Proposition (2.3.1)

(1) Il existe une décomposition P = QR telle que N(Q) soit l'intersection de N (P) avec l'ensemble {u ( u1} [et par conséquent N (R) soit l'union du second quadrant et de l'intersection avec {u ~ 0} de N (P) - (u1, v1)]. (2) et {3) Mêmes énoncés qu'en {2.2.1) Démonstration. - La démonstration est analogue à la précédente, mais il faut ici prendre le poids suivant : p(xjoi) = j - (Ào + l)i, l'ordonnée à l'origine de la droite de pente Ào passant par le point (i, j - i). À ce poids, on associe la valuation w(P) = inf des poids des monômes de P. Si Q = xjoi, R = xfok, les monômes du développement de QR ont leurs points représentatifs dans le plan (u, v) alignés sur une droite v = constante (Leibniz). On en déduit qu'on a

(2.3.2)

QR

= xjHai+k

+termes de poids strictement supérieur.

À partir de là, en ordonnant les monômes d'un élément de D dans l'ordre lexicographique (- poids, degré), on trouve ceci :

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

102

SUR LA RÉDUCTION FORMELLE (MARS 1979)

(i) pour Q,R ED, on a w(QR) = w(Q) +w(R) (on a évidemment«~»; pour démontrer l'égalité, considérer les termes maximaux de Q et de R). (ii) Si Q est isobare (ou, plus généralement, si le terme Qm de degré maximum de Q vérifie w(Qm) = w(Q)), dans l'identité de la division T = QS + R, degR < degQ, on a w(R) ~ w(T), w(S) ~ w(T) - w(Q) et l'une des deux inégalités est une égalité. Cette dernière propriété permet de démontrer (1) et (2) par des divisions successives d'une manière analogue à (2.2.1). Quant à la démonstration de (3), elle est identique à celle de (2.2.1). Remarque (2.3.2). - Une légère modification du procédé précédent permet aussi bien d'isoler a priori un facteur correspondant à l'une quelconque des pentes > 0 de N(P). (On aurait aussi bien pu commencer par la plus grande pente, au lieu de la plus petite). Corollaire (2.3.3). - Soient Ào < À1 < · · · < Àp-1 les pentes de N(P); il existe une décomposition P = Po · · · Pp-1 telle qu'on ait

(1) D/DP ~ œD/DPi (2) N (Pi) a une seule pente, égale à Ài. Plus généralement, si l'on se donne une permutation c de l'ensemble {O, ... ,p - l}, on pourra trouver une décomposition P = Pz0 • • • Pzp-i vérifiant les mêmes propriétés ; le polynôme P{ pourra dépendre de c, mais les modules D / DP{ seront isomorphes entre eux, lorsque i est fixé et qu'on fait varier c.

3. Cas d'une seule pente : l'équation déterminante 3.1. Soit À un rationnel > 0; on pose À = µ/v, (µ, v) = 1. À À, on associe le poids et la valuation de DK considérés en (2.3), ainsi que la filtration correspondante : Fa-D = { P E D 1 w(P) ~ Œ}, avec u E ~z. La formule (2.3.2) montre que le gradué associé à F est commutatif; par exemple, le gradué associé à FoD peut être décrit ainsi (par la substitution u ---+ x 1fv, T ---+ x(.Hl) 8) : c'est le sous-anneau kv[Œ, T] de k[Œ, T] formé des monômes ŒjTi qui vérifient v j + iµ, muni du poids j/v, (et du degré i). 1

3.2. Soit P E D tel que N(P) n'admette que À pour pente; quitte à multiplier P par un élément de K, on peut supposer que le terme de degré 0 de P est de valuation 0, donc que w(P) = O. Soit Po la partie isobare de poids 0 de P, et Po= gr( Po) le polynôme de kv[Œ, T] correspondant. Si p = deg P, on a

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

B. MALGRANGE

103

pv, p EN, et Po = :z::::g aiTvi, ai E k, ao =/= 0, donc on a Po(T) = Po(Tv). Le polynôme Po s'appelle« polynôme déterminant» de P. Cela étant, on a le

p =

résultat suivant. Proposition (3.2.1). - Supposons qu'on ait sur k une décomposition Po= QoRo, Qo et Ro étant étrangers et de degrés respectivement q et f; posons Qo(T) = Qo(Tv), Ro(T) = Ro(Tv). Alors:

(1) il existe une décomposition P = Q R, avec deg Q = q (q degR = r (r = rv), w(Q) ~ 0, et gr 0 (Q) = Qo, gr 0 (R) = Ro.

=

qv),

(2) et (3) Mêmes énoncés qu'en (2.2.1). Pour démontrer (1) et (2), on peut, en multipliant P par un élément inversible de k[x], se ramener au cas où le terme de degré maximum de Pest isobare de poids O. Alors les assertions (1) et (2) résultent de l'énoncé plus précis suivant : il existe Q et R uniques qui vérifient (1) et en outre la condition suivante : le terme de degré r de Rest isobare de poids O. Cette dernière assertion, et l'égalité P = QR entraînent que le terme q de Q est isobare de poids q; pour démontrer l'assertion, on détermine par récurrence les termes isobares de poids j /v, j EN; par passage au gradué associé, on est ramené à la variante suivante du théorème de Bezout. Lemme(3.2.2). - Soit SE kv[cr,T] isobare de poids j/v (j > 0), et de degré < p. Il existe U et V E kv[cr, T] uniques, isobares de poids j /v, et de degrés respectivement < r et < q, tels qu'on ait S = Qo U + Ro V.

Le nombre de coefficients distincts de S est égal au nombre des i E N qui vérifient« v 1 j+iµ, i < p »,c'est-à-dire à p; de même le nombre des coefficients de U est f et celui de V est q, et l'on a p = q + f. Par la règle de Cramer, il suffi~onc de vérifier l'unicité de U et V, ce qui résulte aussitôt de l'hypothèse que Qo, et Ro sont étrangers. Pour démontrer (3), on procède de manière analogue à (2.2.1); nous laissons les détails au lecteur. La proposition précédente ne sera en fait utile que dans le cas où >. est entier ; dans le cas général, son intérêt est de montrer jusqu'où l'on peut pousser la décomposition sans ramification et sans hypothèses sur k.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

104

SUR LA RÉDUCTION FORMELLE (MARS 1979)

4. La forme réduite 4.1. Dans tout le § 4, k sera supposé de caractéristique 0 et algébriquement clos. Soit Œ E k; on note Ea le DK-module à gauche Kea de rang 1 sur K défini par 8ea = Œea; pour que Ea et E13 soient isomorphes, il faut et il suffit qu'on ait a - (3 E ~Z + k[x] (classique). Rappelons d'autre part que si Met N sont deux DK-modules (à gauche), M ®K N est muni d'une structure de DK-module par

8(m ® n) =am® n

+ m ®an.

En particulier, si M = Ea, N = DK/DKP (P E DK), on aura Ea ® N = DK/DKPa, pa étant défini ainsi: si P = Eakak, pa = Eak(8-a)k; noter que P 1-+ pa est un automorphisme de D K. 4.2. Soient p E N, et L = k((t)) l'extension de K définie par ~P = x; on a un plongement DK - t DL défini par xBx = ~t8t qui identifie DK à un sous-anneau de DL; si M est un DK-module à gauche, cette formule munit ML = L ®KM d'une structure de DL-module à gauche. Ceci posé, on a le théorème suivant : Théorème (4.2.1). - Soit P E DK, P -=J. O. Il existe une extension finie L = k((t)) de K, des Œi E L (1 ~ i ~ q) et des Pi E DL, à singularité régulière tels qu'on ait

(1) P = Pf 1 · · · P:fq, (2) DL/DLP ~ @DL/DLPti. Démonstration. - Appelons rang (ou irrégularité) de Poincaré-Katz de Pla plus grande pente de N(P), et notons ce nombre r(P); nous allons établir le résultat par une double récurrence sur (degP,r(P)), ordonnés dans l'ordre lexicographique; la récurrence commence soit à deg P = 1, où le résultat est évident, soit à r(P) = 0 où il est aussi évident, puisque cela signifie que P est à singularité régulière. D'après les résultats du § 2, il suffit de traiter le cas où N(P) n'a qu'une seule pente; en reprenant les notations du § 3, et en appliquant (3.2.1), on peut encore supposer que Po est de la forme (T + a)R, a E k, a -=J. O. Deux cas peuvent alors se présenter : Cas 1 : La pente ).. de N(P) n'est pas entière. Posons alors ).. = µ/v, = 1 et prenons L = k((t)), tv = x; alors, le polynôme déterminant

(µ, v)

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

B. MALGRANGE

105

de P, considéré comme élément de DL est (Tv +a)e; il n'est donc plus puissance d'un polynôme irréductible et une nouvelle application de (3.2.1) permet de diminuer le degré de P. Cas 2 : La pente À est entière. - Alors, en posant a= a/x>..+1, on constate qu'on a N(Po:) c N(P), et que le côté inférieur de N(P), i.e. la droite v = Àu ne contient qu'un point de N(Pa) à savoir le point (,e, .\C) (avec ici C = deg P). Donc toutes les pentes de N(Po:) sont strictement inférieures à À; l'hypothèse de récurrence permet alors de conclure. (À noter qu'ici, il n'a pas été nécessaire de faire une ramification du type x---+ x 1f P, qui aurait remplacé r(P) par pr(P), et aurait empêché la récurrence sur le rang!). D 4.3. Soit M un DK-module fini sur K; on sait qu'il est monogène sur DK («lemme du vecteur cyclique», Deligne [l]). De cela et du théorème précédent, on déduit immédiatement le corollaire suivant (Wasow [8), Levelt [4]).

Corollaire (4.3.2). - Soit M un DK-module fini sur K. Il existe un L = k((x 11P)) des Œi E L et des DL-modules à singularité régulière Ni tels qu'on ait ML= œ(Eai 0 Ni)·

Nous renvoyons à Levelt [4] pour l'étude de l'unicité de cette décomposition; quant à la structure des modules à singularité régulière, elle est bien connue (Fuchs-Frobenius-Manin; voir Manin [6]). Rappelons très rapidement les principaux résultats. Si N est à singularité régulière, on peut en trouver une base ni, ... , np sur K telle qu'on ait 8nj = ~ 2:.:: Cijni, avec Cij E k. On appelle « exposants caractéristiques » de N les valeurs propres de (Cij), modulo Z; ils sont déterminés (avec leur multiplicité) par N. Si N = D / DP, on les calcule de la manière suivante; soit Po l'ensemble des termes de P isobares de poids minimum pour le poids p(xj oi) = j - i, et supposons par exemple Po de poids 0; soit Po = L.::~ aixi()i, ai E k, n = deg P; on associe alors à P son polynôme caractéristique Po = 2:.:: airi; les racines mod Z de Po sont, (avec leur multiplicité), les exposants caractéristiques de N. 4.4. Pour P E D K on sait que D / D P ne dépend pas à isomorphisme près, des termes de P qui s'annulent à cet ordre «assez grand». On se propose ici de préciser ce résultat. Soit P E D K ; la « valuation de Newton » w N est définie ainsi : pour a monôme de D, on pose WN(a) = sup {j j le point représentatif de x-ja appartient à N(P)}

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SUR LA RÉDUCTION FORMELLE (MARS 1979)

106

(si dega > degP, on pose wN(a) = -oo). Notons, comme au §2, (uo,vo) et (up, vp) les extrémités du polygone de Newton de P. En reprenant de façon plus précise les calculs des § 2, 3, 4 on trouve le résultat suivant (la vérification est assez fastidieuse, et nous l'omettrons) : dans le procédé conduisant à la décomposition (4.2.1.1), les ai modulo k[t] et les polynômes caractéristiques des Pi ne dépendent que de l'ensemble Ni (P) des monômes a de P qui vérifient w N (a) ~ Vp - vo (cf. dessin).

f

Vp+m

Vo

Ensuite, pour déterminer complètement DL/ DLP, il faut encore déterminer les DL/ DLPi; d'après la théorie de Fuchs, on a le résultat suivant : soit mi le plus grand entier > 0 tel qu'il existe deux racines À et µ du polynôme caractéristique de Pi vérifiant IÀ - µI = mi (s'il n'en existe pas, on prend mi = 0). Alors DL/ DLPi ne dépend que des monômes a de Pi qui vérifient WN(Pi) (a)

2

~mi.

Appliquant ce résultat, on peut établir ceci : soit m = supi mi ; alors la classe d'isomorphisme de DL/ D Lp (et donc celle de D K / D K P) ne dépend que de l'ensemble N2(P) des monômes de P qui vérifient wN(a) ~ m+vp-vo. Comme m se détermine à partir de Ni (P) on n'a pas une borne a priori, mais une borne «en deux temps».

Références [1] P. DELIGNE - Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math., vol. 163, Springer Verlag, 1970. [2] E.L. INCE - Ordinary differential equations, Dover, New York, 1956. [3] N. KATZ - « Nilpotent connections and the monodromy theorem », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sei. 39 (1970), p. 176-232.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

B. MALGRANGE

107

[4] A.H.M. LEVELT - «Jordan decomposition of a class of singular differential operators », Ark. Mat. 13 (1975), no. 1, p. 1-27. [5] B. MALGRANGE - «Sur les points singuliers des équations différentielles», Enseign. Math. 20 (1974), p. 147-176, Séminaire Goulaouic-Schwartz, mars 1972. [6] I. MANIN - « Moduli fuchsiani », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sei. 19 (1965), no. 1, p. 113-126. [7] J .-P. RAMIS - «Dévissage Gevrey», in Journées singulières de Dijon, Astérisque, vol. 59-60, Société Mathématique de France, 1978, p. 173-204. [8] W. WASOW - Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience Publ., 1965.

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Documents Mathématiques 5, 2007, p. 109-114

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (VERSION ORIGINELLE, MARS 1984)

1

par

Pierre Deligne

1. HB et HDR· -

Soient X une courbe sur CC et (V, \7) un fibré vectoriel à connexion (intégrable) sur X - 8. On peut considérer les espaces vectoriels de dimension fine

(j:

X-8~

X).

Même si V est à singularités irrégulières, ils ont une interprétation « topologique» : si X est l'éclaté réel de X en 8 (chaque s de 8 est remplacé par 8 1 ), (V, \7) donne lieu à un faisceau constructible sur X (sur U =X -8: le système local vV=ü; en s E 8 : dans J* V\7=0, garder les sections locales horizontales à croissance modérée dans un voisinage de e ---+ s (un secteur)). De là, deux types de k~structures : (a) si (V, \7 sur X) est défini sur k c CC, travaillant sur k, on obtient une k-forme de 1Hifm(V) : la k-forme de de Rham; (b) si le faisceau constructible V attaché à V est muni d'une k-forme on a la k-forme JHii(X, Vk) : la k-forme de Betti.

vk,

Comparant les deux, on a les «périodes». Exemples

(1) « ex » : sur JP 1 - { oo}, 0 muni de la connexion telle que la section 1 de 0 soit ex x une section horizontale. - Connexion : \7(! ·ex)= df ·ex+ dx · f ·ex, i.e. \7: f f---+ df + fdx. - V : JF1 est A 1 complété par un 8 1 à l'infini (« angle e ») ; V est 0 dans les directions «Rez ~ 0 », le faisceau constant CC ailleurs.

©

Documents Mathématiques 5, SMF 2007

110

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (VERSION ORIGINELLE, MARS 1984)

On a une Z-forme naturelle sur V : 0 à l'infini pour« Rez :S; 0 », Z ailleurs. On a une Z-forme naturelle sur V : f 1--+ df + f · dx a un sens sur Z. On aimerait dire (mais ceci obligerait à quitter la dimension 1) que, pour s la somme A 1 x A 1 --+ A 1 , on a, avec ces structures,

En tout cas, avec ces structures, translater « ex» revient à le tensoriser avec la fibre de « ex» en y :

(X 2

(2) « e-x » := (x DR: Hl

1--+

X + y)*« ex »

1--+

= «

ex » ® « ex »y.

-x 2 )*« ex».

f~r~es ~ifférentielles

e-x P~x)dx, d1fferent1elles exactes d(e-x Q(x)

sur Q:

DR

Betti : H1 sur Z :

2

(P, Q E Q[x]).

Jffi..

2

- Période: Jffi. e-x dx = ft, 2 - et Jffi. e-x P(x)dx E Q · ft si P E Q[x].

(3) « ex · xa » := « ex» ® « xa », où « xa » laquelle 1 = xa · horizontal.

0, avec la connexion pour

- Pour DR on a une Q( Œ )-structure, - pour B : pour Œ rationnel, Œ E kZ, une Q( o/1)-structure. - DR: e-x · xa · dx · P(x), 00 - B : J0 (en tout cas pour - Période : I'(Œ).

Œ

tf_ Z, avec le sens Pf J0

00

2

).

2

(4) (x 1--+ x 2 )* de «ex · x 112 » est « e-x »; (x 1--+ x 2 )* de « e-x » est somme de « ex · x 112 » et de « ex» ; puisque « ex» a une cohomologie triviale, on voit 2 que « e-x » et « ex · x 112 » ont même période.

2. Filtration de Hodge. Sur une courbe, soit (,C, \7) un fibré vectoriel à connexion, de rang 1, localement (au sens analytique) du type« ef(x) · xa», f ayant un pôle au point xo considéré. On veut définir une filtration de Hodge. Plus précisément, on veut localement définir un «complexe de de Rham» muni d'une« filtration de Hodge». (a) Rappel. Pour« xa», Œ E Q - Z, en 0 : on prend Œ tel que 0 < Œ < 1 et 0 · xa · horizontal

~0

· dx · xa · horizontal X

pl

po

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

(F 1

:

condition L 2 ).

P. DELIGNE

111

(b) Pour « eR(x) », R(x) = x-n ·holomorphe inversible, n > O. Près de 0 : 0 · eR(x)

·horizontal~ 0 · -5!!!!_ · eR(x) xn+l

·horizontal.

Ici, la filtration est indexée par les rationnels, avec pour sauts Tout = pO ~ pl/n ~ ... ~ p(n-1)/n ~ pl ~ O, avec p 1 = {O -----+ O · dx · eR(x) ·horizontal}, X

pi/n = {O -----+ O. dx . eR(x) · x-(n-i) ·horizontal}

pour 0 < i

~

n.

X

(c) La règle (2) fixe ce que l'on veut pour « eR(x) · xa », a E Q, si on insiste pour que, si a E

..Jtz,

(n, P) pour « eR(x) · xa » =invariants par z On obtient, pour 0 pO

~a
./z) dzz

=

27ri.

L

(,\~) 2 n.

(fonction de Bessel).

Pour À réel--+ -oo, cette fonction oscille de plus en plus rapidement, d'où de nombreux zéros. En un zéro, le sous-espace P 1 est rationnel, pour la structure HB (définie par fe 1 = 0). On n'a donc pas de structure de Hodge.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

114

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (VERSION ORIGINELLE, MARS 1984)

Déterminant de périodes. - Si on reprend la preuve de ce que, pour les sommes de Kloosterman, on a S = a + a', aa' = q : pour a- : z 1---+ - z, a-* (« ez+.V z ») en est le dual, on trouve une forme alternée à valeurs dans Z(-1) sur Hfm(« ez+.Vz»), d'où puisque

el· e2 =

[w] [77]

=

±1 ±1'

5. Transversalité. Il me semble qu'on n'a rien de plus, pour la dépendance de (HDRi F) en un paramètre t, que "\ltFi c pi-l, c'est-à-dire aucune information dans le cas présent.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

Documents Mathématiques 5, 2007, p. 115-128

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006) par

Pierre Deligne

1. L'analogie entre fibrés vectoriels à connexion intégrable à singularités

irrégulières sur une variété algébrique complexe X, et faisceaux .€-adiques à ramification sauvage sur une variété algébrique de caractéristique p, amène à se demander dans quelle mesure un tel fibré vectoriel à connexion intégrable (resp. sa cohomologie) peut faire partie d'un « système de réalisations » analogue à ce que fournit une famille de motifs paramétrée par X (resp. un motif). Un exemple de base est celui du fibré vectoriel à connexion «ex» sur A 1 = JP 1 - {O}. Par définition, ce fibré est 0, muni de la connexion V7 = d + dx pour laquelle la section 1 est,'sur (A 1 )an, le produit d'une section horizontale par ex. Si 'ljJ est un caractère additif non trivial de 1FP' il « correspond» au faisceau .€-adique localement constant de rang un L,( 'ljJ) sur A 1 /JFp, caractérisé par les propriétés d'être trivialisé en 0 et que, après extension du corps de base à 1F q, le Frobenius géométrique en x E A 1 (1Fq) = 1Fq agisse par multiplication par

1/J(TrJFq/lFp (X))·

Q;

Il n'y a guère de choix naturel pour 'ljJ: 1FP --+ et les L,( 'ljJ) pour p variable ne proviennent en tout cas pas d'un faisceau .€-adique sur A 1 / Spec.Z[l/.€]. L'exemple de «ex» mène donc à ne pas espérer qu'un fibré vectoriel à connexion intégrable à singularité irrégulière admette un faisceau .€-adique « compagnon » en caractéristique O. Par contre, on dispose parfois de réalisations de Betti et de de Rham naturelles. La situation n'est guère comprise que pour X une courbe, où elle se décrit comme suit.

©

Documents Mathématiques 5, SMF 2007

1

116

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006)

Soient X une courbe projective et lisse sur CC, 8 c X(CC) un ensemble fini de points et (V, \7) un fibré vectoriel à connexion sur U :=X - 8. On note j l'inclusion de U dans X. Même si la connexion est à singularités irrégulières en les points de 8, les espaces vectoriels de dimension finie

HhR(U, V)

:=

IHii(X,jSr(V))

ont une interprétation topologique. La voici. Soit X l'éclaté réel de X(CC) en 8 (chaque s E 8 est remplacé par le 8 1 des directions orientées en s), et soit V le système local vV'=O des sections horizontales de V sur U(CC). Le fibré à connexion (V, \7) donne lieu à un faisceau constructible V sur X, prolongeant V sur U : pour) l'inclusion de U dans X, V est le sous-faisceau du système local )*V, obtenu en ne gardant en e au-dessus de s E 8 que les sections locales horizontales à croissance modérée dans un voisinage de e (un secteur angulaire autour de B). On a un isomorphisme canonique entre H[m(X, V) et H*(X, V). De là, pour k C CC, deux méthodes pour obtenir sur H[m(X, V) une k-structure: (a) si (V, \7, X) est défini sur k, travaillant sur k, on obtient une k-forme de IHiîm (V) : la k-forme de de Rham ; (b) si le faisceau constructible V attaché à V est muni d'une k-forme vk, on a la k-forme IHI* (X' vk) : la k-forme de Betti. Comparant les deux, on a des «périodes ». Dans des cas intéressants, le système local V sur U est muni d'une k-forme compatible aux structures de Stokes; une telle «structure de Betti» fournit une k-forme de V, et sommes, produit tensoriels, duaux, images inverses, images directes par un morphisme fini étale de courbes U---+ U' de (V, \7) munis d'une structure de Betti héritent d'une telle structure. L'exemple de« ex». - Ici, X = JED1, X est A 1 complété par un 8 1 à l'infini et V est le système local constant CC. À 1 E CC correspond à la section horizontale h = e-x telle que la section 1 de 0 soit ex · h. La Z-forme Z · h de V est compatible à la structure de Stokes, et V;;z est le faisceau constant Z sur A 1 , prolongé par 0 dans les directions E 8 1 correspondant à R(z) : :; ; 0, et prolongé comme un faisceau constant dans les autres. Du point de vue« DR», on a aussi une Z-forme naturelle, car f f---7 df + f dx a un sens sur Z. On aimerait dire (mais ceci obligerait à quitter la dimension 1) que, pour s la somme A 1 x A 1 ---+ A 1 , on a, avec ces structures,

e

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

117

En tout cas, avec ces structures, translater « ex» revient à le tensoriser avec la fibre de « ex» en y :

2. Notation« ef(x) ga ». - Pour U lisse sur 0 de la filtration de n 1 M on déduit les sauts (3 > -1 de i la filtration de M : au voisinage de l'infini, ce sont (3 = 0 et (3 = _Q n n (0 ( i ( n - 1) avec, puisque n 1 est engendré par dx/x 2 ,

a;

a:i (

si (3 = 0

e-xnxah

(5.3)

p/3 M engendré par

n

.

{ e-x xa+i+lh

a

i

n

n

si (3 = - - - -.

Tous les sauts de la filtration de M se déduisent de ces sauts (3 > -1 par soustraction d'un entier p ~ 0, avec au voisinage de l'infini p/3-p = xp(n+l) p/3.

(5.4)

La règle (5.4) assure que, pour tout {, d envoie yr" dans n 1 ® p'Y- 1 , que l'inclusion de F 0 (n* M) dans n* M est un quasi-isomorphisme filtré, et que d envoie F 0 M sur Gr~(n 1 ® M). Définissons le sous-complexe n*(log)(« e-xn xa») de n*(M), au voisinage de l'infini, par

(5.5)

n°(1og) := F 0 M(-(oo)) = Ker(F 0 M----+ Gr~(n 1 (M))) n 1 (log) =

pO+E: (n

1

(M))

pour

E

assez petit.

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THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006)

122

En 0 (resp. oo), le sous-complexe O*(log)(« e-xnxa») de O*(M) est donné par

(5.6)

0.

en 0: en oo:

e-xn xah---+

0.

e-xn xa dx h

e-xn xa-1 h---+

0.

e-xn xa+n-1 dx h.

X

0.

X

Pour la filtration induite, la composante de degré 0 est purement de filtration 0, et isomorphe à 0 ( -1), de cohomologie nulle ; celle de degré 1 est de filtration > 0 et l'inclusion de O*(log)(« e-xn xa») dans O*(M) est un quasiisomorphisme filtré. Cas de M = j*« e-xn ». - Les sauts de la filtration, et la filtration elle-même, sont données par les mêmes formules, où on fait a = 1 et où on ne permet que 0 ~ i ~ n - 2. On a dans tous les cas

(5.7) l'isomorphisme étant induit par l'isomorphisme sur A 1 de « e-xn » avec 0. On définit O* (log) (« e-xn ») au voisinage de l'infini par , n°(log) = Ker(F 0 M

(5.8)

0 1 (log) =

pO+c (0

1

---+

(M))

Gr~(0 1 (M)))

pour

ê

assez petit;

i.e. comme étant

(5.9) ce sous-complexe de O*(M) a les même propriétés que précédemment. Ces complexes logarithmiques ont la vertu que, quand on passe aux images inverses par le revêtement fini x f---7 xk : TID 1 --+ TID 1 , le complexe logarithmique original se déduit, de l'image directe du complexe logarithmique sur le revêtement en prenant les invariants par le groupe de Galois Gal(TID 1 /TID 1 ) = µk, et que cet isomorphisme est compatible aux filtrations. Cette dernière compatibilité est fausse pour les V-modules filtrés. Pour usage ultérieur, réexprimons (5.3), (5.4), et les formules analogues pour « e-xn » en termes d'une coordonnée locale u centrée en oo et de a = 1 - a. Si u = (x- 1 , avec (n = -1, le V-module considéré est l'image directe de «eu-nua». En u = 0, pour /3 un saut de la filtration dans ]-1,0], et pour a=/=- 0, = 0

si

/3 /3

i

~

n - 1.

si

(5.10) pf3-p

a-i n

= --

= u-p(n+l) pf3.

Pour a= 0, les mêmes formules valent pour 1 DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

~

(1

~ i ~

n)

P. DELIGNE

123

6. Revenons aux notations du début de 4., et définissons la filtration de Hodge de M = j* ( « ef » ® W). On la connaît déjà en dehors des pôles de f. Si s E S est un pôle de f, et que le pôle est d'ordre n, u := 1-l/n est une coordonnée locale formelle centrée en s, W est, au voisinage formel de s, somme directe de fibrés à connexion « ua» (0 ~ a < 1) et « ef »®West somme directe de « eun ua ». Appliquant à ces facteurs directs les formules 5.10, on obtient la filtration voulue. De 5. 7, on déduit que (6.1) et des conclusions qui suivent 5.4 on déduit que l'inclusion P 0 (n*(j*« ef » ® W)) ~ n*(j*« ef » ® W) est un quasi-isomorphisme filtré. De même pour le sous-complexe « logarithmique » n(log) (« ef » ® W) défini comme étant (6.2)

6.3. Proposition. - Avec les hypothèses et notations ci-dessus, pour tout (3, 1HI*(Pf'.3n* M) s'injecte dans JHI*(n* M) = HJ)R(U, « ef » ® (W, V')). Démonstration. - Si f est une constante, l'énoncé se réduit à la théorie de Hodge mixte classique pour le système local unitaire w'V=o. Nous pouvons donc supposer et supposerons que fa un pôle. Il suffit de vérifier l'énoncé analogue pour le complexe K := n*(log)(« ef » ® W)

de (6.2), muni de la filtration induite par celle den* M. La composante K 0 est purement de filtration 0, sa composante K 1 est de filtration > 0, K 1 / P 1 K 1 est à support dans l'ensemble fini S, et pf'.3 K 1 = 0 -si (3 > 1. Invoquant les suites exactes longues de cohomologie, il suffit donc de vérifier que H 0 (X, K

0

) =

H 1 (X, P 1 K 1 ) = O.

D'après 6.1, on a P 1 K 1 = P 1 (n 1 ® j* W), et par la théorie de Hodge mixte pour W, Hl(pl Kl) = plJHiiR(j* W), nul puisque, S étant non vide, ce H 2 est nul. Dualement, on déduit de 5.6, 5.9 que n° (log) ( « ef » ® W)

c

n° (log) (W),

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006)

124

dont les sections globales sont les sections globales horizontales de W. Ceci ramène la nullité de H 0 (K 0 ) au cas où W est constant, puis au cas de « ef ». Pour « ef », si S' est le diviseur des pôles de f, on déduit de 5.9 que K 0 = 0(-S'), et la nullité de H 0 (K 0 ). D

7. Dualité. - S'il existes E S qui n'est pas un pôle de f et où la monodromie locale de (W, \7) a des invariants non triviaux, le formalisme de dualité pour H[m (« ef » 0 W) requiert l'introduction, à côté de H[m, d'un analogue «à support propres» H[m(X, J!« ef » 0 W), où le V-module J!« ef » 0 M a des sections à support dans S. Le formalisme de la filtration de Hodge peut être étendu à ce cas, et la dualité entre H[m(X,j*« ef » 0 W)

et

H[m(X,j,« e-f » 0 Wv)

(à valeurs dans C, placé en filtration 1 et degré cohomologique 2) est compatible aux filtrations : l'orthogonal de pf3 est pi-/3+c, pour tout E assez petit. S'il n'y a pas de tels invariants de monodromie locale, j* = J! et la dualité est simplement entre H[m(« ef » 0 W) et H[m(« e-f » 0 wv). Nous ne vérifierons cette compatibilité que dans le cas le plus simple : 7.1. Proposition. - Si S est l'ensemble des pôles de f, la dualité entre H[m ( « ef ») et H[m (« e-f ») est compatible aux filtrations de Hodge. Soit P le diviseur des pôles de f, sorte que P + S est celui des pôles de df. Quel que soit le diviseur D concentré en S, le sous-complexe

(7.2)D,J

O(D) d + df

ni(D + P + S)

de n*(j*« ef ») lui est quasi-isomorphe. Cela résulte de ce que pour s dans S,

d + df: O(D + s)/O(D)------+ ni(D + s + P + S)/ni(D + P + S) est simplement l'isomorphisme «multiplication par df ». Pour D = -S, (7.2) est le complexe «logarithmique» de (6.2). Quels que soient Di et D2, le produit est un accouplement de (7.l)D 1 ,f, et (7.2)D 2 ,-J à valeurs dans

Pour Di+ D2 assez négatif, il est donc à valeurs dans

(7.3)

HiR(« ef ») 0 HiR(« e-f »)

------+

nx-, et définit la dualité

Hfm(X)

=

C.

Soient Œ dans H 0 (u, ni 0 « ef ») et /3 dans H 0 (u, ni 0 « e-f »), de classes [a] et [/3] dans HiR(« ef») et HiR(« e-f»). Pour s ES, on note Œ8 , {38 les DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

125

images de Œ, f3 dans le complété en s, et as une solution formelle, en s, de 'Vas= Œs· Nous déduirons 7.1 de l'identité

(7.4)

[a] · [/3]

=

L Res(asf3s)

qui sera prouvée au signe près en 7.6. 7.5. Lemme. - Si 0 < 11,/2 < 1 et que 11+12 > 1, YYlHbR(« ef ») et F'Y2 HbR(« e-f »)sont orthogonaux pour l'accouplement (1.3). Si 11+12=1, cet accouplement met Gr'P HbR(« ef ») et Gr; HbR(-« ef ») en dualité.

Représentons des classes dans F'Y1 et F'Y2 par a dans F'Y1 (jS2 1(« ef »)) et f3 dans F'Y2 (j*D 1(« e-f »)).Si ns est l'ordre du pôle de f en s, Œs (resp. f3s, resp. as) est dans 0 1((1 + [ns(l - 11)])s) (resp. 0 1((1 + [sn(l - 12)])s), resp. O([-ns1)l]s), et asf3s est dans 0 1(Ns) avec N = 1 + ns + [-ns11] + [-ns12].

Si /1 + /2 > 1, [-Ss/1] + [-ns12] ~ [-ns/l - ns12] < :__ns, N ~ 0 et Res(asf3s) =O. Si /1 +12 = 1, Gr'P HbR(« ef »)est la somme sur les s tels que ns/l (et donc ns12) soit un entier des Gr'P(j*D 1(«ef»))s, et le même calcul donne N = 1 et que l'accouplement est somme d'accouplements parfaits. Pour vérifier 7.1, il reste à vérifier que (7.3) met aussi en dualité Gr~ HbR (« ef ») et Gr} HbR (« e-f ») (et donc, par symétrie, Gr} et Gr~). Ces !?roupes sont H 1(X, 0 ( - S)) et H 0 (X, n1 (S)), de même dimension car en dualité de Serre. Si on accepte que (7.3) est une dualité parfaite, cette information numérique suffit pour conclure. On peut plutôt vérifier directement que l'accouplement induit par (7.3) est la dualité de Serre. 1.6. Preuve de (7.4). - Recouvrons X par l'ouvert U1 := U et un ouvert affine U2 contenant S. Nous calculerons cohomologie ou hypercohomologie à l'aide de la résolution de Ôech correspondante. Plus précisément, on utilise les complexes de cochaînes de Ôech non dégénérées (annulées par les dégénérescences si) pour le recouvrement ordonné (Ui)iE{l, 2} avec 1 < 2. Pour un faisceau, c'est ~

av

C(F): F(U1) E9 F(U2) ~ F(U1 n U2) avec (av ch2 = c2 - c1 pour c = (c1, c2) en degré O. Pour un complexe de faisceaux K, on prend le complexe simple associé au complexe double Ô(K*), le degré Ôechiste étant le premier degré. Un produit K@ L---+ M induit alors

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

126

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006)

le produit C(K) 0 C(L) ---+ C(M) donné par

(7.7)

· -- "'""'±c· · d·'lp···in · (cd)·io ... in ~ io ... ip

où±= (-l)N, N étant le produit du K-degré de Ci 0 ... ip par le degré de Cech (n - p) de dip ... in· On se simplifiera la vie en remplaçant U2 par il U1 n U2 devenant il x;*, où x;-* := x; - { s} : remplacer U2 par un tel voisinage formel de S ne change par les :F(U1 n U2) / :F(U2) pour les faisceaux qui nous importent, et donne des complexes Cechistes quasi-isomorphes aux précédents. Pour jS2* (« ef »), le complexe des sections globales, le complexe Cechiste, et le complexe Cechiste du sous-complexe O(D)---+ D 1 (D+P+S) sont comme suit :

x;,

n 1(u) œE9 n 1(x;*) L d + df O(U)

î

E9 n 1(x;*)

î-( + d

df)

œE90(x;*) ~ œo(x;*)

î n 1(U) œE9 n 1(D + P + S)(x;)-----+ E9 n 1(x;*) d + df O(U) E9

î

E9 O(D)(X;)

î-( + d

df)

E9 O(x;*)

Partons de a dans f2 1 (U). Son image est (a, (a~)). Corrigeant cette image par le cobord de (0, (as)), on obtient l'élément ((a, (0)), (-as)) du complexe Cechiste du sous-complexe. Prenant D assez négatif, on peut multiplier par l'image de j3 et obtenir une classe dans C(D*). Dans (7.7), on a ici d 12 = 0, et le produit se réduit à c12d2, soit à

[a] . [/3] = classe de (-asf3s) dans E9 n1 (x;). À un signe dépendant des conventions près, c'est l'image de la classe Cechiste (-a 8 /3s) dans H 1 (D 1 ), de classe la somme des résidus. D

wv

Remarque. - Les mêmes arguments s'appliquent à« ef » ® W et « e-f » ® si W correspond à un système local unitaire sur X tout entier. Le cas où W est à monodromie locale finie en chaque s E S, et où la monodromie locale n'a pas d'invariants non triviaux en dehors des pôles de f, peut se ramener au

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

P. DELIGNE

127

précédent par passage à un revêtement galoisien ramifié de X qui détruit la ramification de W. 8. Lamentation. L'exemple de « ez+>..fz » sur P 1 montre qu'on ne doit pas espérer que les filtrations de Hodge que nous avons définies soient opposées à leur complexe conjuguée et définissent ainsi une graduation. Pour« ez+.X./z », on a Hfm = {P(z, 1/ z)ez+.X./zdz} / {d( Q(z, 1/ z)ez+.X./z)}.

Les sauts de la filtration de Hodge sont en 0 et 1, HbR admet la base w = ez+.X./zd:, T/ = ez+.X./zdz, et P 1 est engendré par w. Le dual Hf de H1 est engendré sur Z par des cycles e1 et e2, qui s'apparient ,a HlDR par el:

Πf--7

e2 : Œ

f--7

f

(circuit autour de 0)

Œ

!~

Œ

Si À est réel> 0, on peut prendre pour chemin d'intégration l'axe réel négatif. Quand À tourne autour de 0, il faut le déformer, et la monodromie est e 1 1--+

~ À

aboutissant à

=-1

homologue à

-·-()

Quand À varie, les HbR forment un fibré à conn~xion sur la droite des À (À =J=. 0, oo). Les sections e1, e2 du dual sont horizontales. Dérivant formellement w, rJ par rapport à À, et corrigeant par une différentielle exacte, on obtient \7 .x.w = ez+>..f z z- 2 dz ,. . ., TJ/ À

. ( aJouter

z+>../z) d ( ~)

\7.x.'f/ = w.

En particulier, P 1 n'est pas horizontal, ni même nulle part stationnaire. Ceci suffit à assurer que la droite P 1 est parfois égale à sa complexe conjuguée, au sens de la structure de Betti. Sinon, les C/ (w(e1), w(e2)) formeraient une

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3

128

THÉORIE DE HODGE IRRÉGULIÈRE (AOÛT 2006)

famille de courbes elliptiques paramétrées par 0 et Aw > 0 (l)Notons que la preuve de chacun de ses théorèmes utilise le Théorème de PhragmenLindelüf.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

131

tels que (J( x) = Ln?;:O anxn) :

Jx1-nlf(x) -

L:;:6 apxPI < cw(n!)s-l Aw

pour tous x E W, n EN*. Dans les conditions de la définition nous noterons f E Ç3 (V), Î = J(f). On a Î E C[x]s· Plus généralement nous dirons que f : V --+ C, holomorphe sur V, admet Î ER comme développement asymptotique Gevrey d'ordres, s'il existe m EN tel que xm Î E C[x] et xm f admette xm Î comme développement asymptotique de Gevrey d'ordres (ceci ne dépend clairement pas du choix de m). On notera alors f E Ç3 (V)[x- 1 ] et toujours Î = J(f). Notons D = K[d~]. Proposition 1.2. dans C.

Soit s > 1. Soit V un secteur ouvert de sommet l'origine

(i) Les applications Ç3 (V)

~ C[x]s

Çs(V)[x- 1 ] ~ Ks sont des homomorphismes de V-algèbres. (ii) Si l'ouverture de V est > 7r / k = ( s-1) 7r, ces applications sont injectives. Définition 1.3. - Soit ~ > O. Soit Î E C[x]. Soit Œ une direction issue de · l'origine. On dira que f est k-sommable dans la direction de a, s'il existe un secteur ouvert V de sommet l'origine, de bissectrice a, et f E Ç3 (V) tel que

1=

J(f).

Dans les conditions de la définition f est unique (au choix de V près). On dira que f est la somme de Î dans la direction a. On peut interpréter 1- 1 par une formule intégrale ou, quand k E Q+ (ce qui est le cas dans la plupart des applications) par des séries de factorielles généralisées RAMIS [20]. Définition 1.4. - Soient k > 0, s = 1 + l/k. Soit Î E C[x]. On dira que Î est k-sommable, s'il est k-sommable dans toutes les directions sauf au plus un nombre fini.

Dans les c~nditions de cette définition on notera Î E ~{ x} s et ~ (Î), support singulier de f, l'ensemble des directions dans lesquelles f n'est pas k-sommable. Plus généralement on notera K 8 = C{ x }s [x- 1] et on dira que Î E Ks est

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

4

FILTRATION DE GEVREY (JUIN

132

1985)

k-sommable. (Pour plus de détails sur la k-sommabilité on se reportera à RAMIS

(19].)

Théorème 1.5. -

Soit k > O. Soit a une direction issue de l'origine. Soient

li, ... , Îm E K des séries k-sommables dans la direction a. Soient fi, ... , fm leurs sommes dans cette direction définies sur un même secteur ouvert V convenable, de bissectrice a, et d'ouverture > n/k. Soit K(li, ... , Îm) le sous-corps de K engendré sur K par li, ... , Soit K(f1, ... , fm) le sous-corps de m(V) engendré sur K (identifié à un sous-corps de m(V)) par fi, ... , f m· Alors l'application

fm.

J ,-._ ,-._ K(J1, · · · ,Jrn)----+ K(J1, · · · ,Jm) est un isomorphisme de corps différentiels. En d'autres termes l'application 1- 1 de sommation dans la direction a est un isomorphisme de corps différentiels. Il en résulte par exemple que si li, ... , Îm vérifient une équation différentielle algébrique (linéaire ou non), à coefficients analytiques en x, fi, ... , f m vérifient la même équation. Ce type de propriété de la k-sommabilité est important et Borel insistait déjà sur ce point BOREL [6]. Nous en ferons plus loin un usage essentiel. Le Théorème 1.5 se déduit immédiatement de la Proposition 1.2, K(f1, ... ,fm) C 9s(V)[x- 1 ], K(li, ... ,fm) C Ks et J: K(f1, ... ,fm)--+ K (li, ... , Îm) est surjective et induite par J : Ç3 (V) [x- 1] --+ K8 qui est un homomorphisme injectif de V-algèbres. (Il y a lieu de restreindre éventuellement V, avec ouverture de V> 7r /k = (s - 1)7r.) La CC-algèbre CC[x]s croît avec s. Il me semble que certains ont tendance à penser qu'il en est de même pour la C-algèbre CC{ x }8 • C'est en fait très loin d'être le cas et les seules( 2) séries kl-sommables et k2-sommables avec kl #- k2 sont les séries évidentes : les séries convergentes. Les processus de k 1 et k2 sommabilité sont en certain sens, et modulo les séries convergentes, «premiers entre eux », pour kl #- k2. 5

Théorème 1.6. -

Soient 1 < s < s1. Alors :

(i) CC{x}s 1 n CC[x]s = CC{x} (ii) CC {X} s1 n CC {X }s = CC {X}. L'assertion (ii) résulte trivialement de (i). Montrons (i). Rappelons d'abord quelques points classiques sur les fonctions entières. C2 ) La situation est très différente pour la sommabilité dans une direction fixée.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

133

Dé.finition 1.7. - Soit cp une fonction entière. Soient p > 0, b > O. On dit que cp est à croissance exponentielle ( p et de type fini ( b (à p fixé), s'il existe c > 0 tel que lcp(t)I < C exp(bltjP), pour tout t E C. Dé.finition 1.8. - Soit cp une fonction entière. Soit a une direction issue de l'origine. Soient k > 0 et aa > O. Nous dirons que cp est à croissance exponentielle d'ordre ( k et de type fini ( aa (à k fixé) le long de a, s'il existe Ca > 0 tel que

Proposition 1.9. -

Soit cp = 2=n;;:::o bntn une fonction entière. Supposons que

2_ = lim inflog(l/lbn 1) > O. p'

n log n

n--++oo

Alors, pour tout p > p', cp est à croissance exponentielle d'ordre ( fini (arbitrairement petit). Démonstration. -

p et de type D

C'est un résultat classique.

Démonstration du Théorème 1. 6. vants.

Elle est basée sur les deux lemmes sui-

Lemme 1.10. - Soient k > 0 et p > O. Soit ~ = { Œ1, ... , Œm} un ensemble fini de directions issues de l'origine. Soit cp une fonction entière satisfaisant les cpnditions suivantes : '

(i) cp a une croissance exponentielle d'ordre ( cp et de type fini. (ii) Pour toute direction issue de l'origine Œ ti ~' cp a une croissance exponentielle d'ordre ( k et de type fini le long de Œ. Alors il existe b > 0 tel que cp soit une croissance exponentielle d'ordre ( k et de type fini b. Démonstration. - On peut évidemment supposer p > k. Soit cp une fonction entière satisfaisant les conditions (i) et (ii). Soit 8 1 le cercle des directions issues de l'origine. Soit Œ E 8 1 (a E ~ ou non). On choisit fl et tels que (notations évidentes) :

e

fl kki/(k - kl)· Alors la somme cp de la série 0 tels que

lbnl

< c"nn(l/k-l/k1) A"n.

. 1 . log(l/lbn 1) S01t - = limmf . On a p' n----t+oo n log n log(l/lbnl) 1 1 nlogn ): kl - k

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

-

log c" log A nlogn - logn ·

J.-P. RAMIS

D'où

135

k - ki -1 ): -1 - -1 = - , et p/ :( -kk1 -.

p' ki k ki k k - ki Le résultat s'en déduit en utilisant la Proposition 1.9.

D

Revenons maintenant à la démonstration du Théorème 1.6 (i). Soit C{x}s 1 nC[x]s, Î = 2=n~oanxn. On lui associe ~

.-..() r.p

t

=

an

f

E

n

~ r( 1 + n / ki) t ·

n~O

La série (j5 est convergente et sa somme est une fonction entière à croissance exponentielle d'ordre pet de type fini (p > kki/(k - ki)), d'après la condition Î E C[x]s et le lemme 1.11. Notons ~ = ~(Î), support singulier de E C{ x }s 1 • De Î E C{ x }s 1 on déduit que r.p est à croissance exponentielle d'ordre ki = 1/ (s1 - 1) et de type fini le long de toute direction a E 8 1 , a tj. ~ (par inversion de la transformation de Leroy; pour ki = 1, cf. BOREL [6]). On peut donc appliquer le Lemme 1.10. On en déduit que r.p est Leroy-sommable d'ordre ki dans toutes les directions (~ = ~(Î) = 0), et donc que est convergente, ce qui termine la démonstration. D

f

f

2. Phénomène de Stokes à plusieurs niveaux de sommabilité Nous rappelons ici un résultat de RAMIS [22] (Théorème 2.1, infra) qui va jouer un rôle central dans la suite. Soit ~ = d~ - A, avec A E End(n; k) (n E N*). Il est bien connu (BALDASSARI [2], MALGRANGE [14], ROBBA [26]) que ~ admet une solution fondamentale formelle de la forme

F(t)

=

Ê(t)tLeQ(l/t),

avec x = tq (q E N*), Ê E GL(n; C[x]), L E End(n; q, Q matrice diagonale de la forme q1 (

0

...

0) '

1 avec qi E -C[l/t]

t

(i

=

1, ... , n)

qn

Si q = 1, nous dirons que ~ est non ramifié. Nous supposerons dans la suite être toujours dans ce cas; il est facile de s'y ramener moyennant ramification et action du groupe de Galois de la ramification.

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

6

FILTRATION DE GEVREY (JUIN

136

1985)

Le phénomène de Stokes pour un opérateur différentiel méromorphe ~ a été étudié par divers auteurs : BIRKHOFF [5], BALSER-JURKAT-LUTZ [3], MALGRANGE [15], [16], SIBUYA [27], BABBITT-VARADARAJAN [1], DELIGNE [7] (cf. BERTRAND [4], MALGRANGE [16]). Soit ~o une forme normale formelle de ~' admettant pour solution fondamentale tLeQ(l/t). À ~ est associé un « invariant analytique » dans H 1 ( 51; A1::,. 0 ) ou H 1 ( 8 1 ; St1::,. 0 ) (cf. BABBITTVARADARAJAN [1]), où A1::,. 0 est le faisceau des « isotropies sectorielles » de ~o infiniment tangentes à l'identité, et St1::,. 0 le sous-faisceau correspondant au faisceau constant GL(n; C). Dans les cas «suffisamment génériques» on peut trouver un « cocycle canonique » représentant privilégié de l'élément de H 1 (51; A1::,. 0 ) ou H 1 (51; St1::,. 0 ) correspondant à ~ (si par exemple les valeurs propres du coefficients de la « partie la plus polaire » de A sont distinctes). Ceci peut être obtenu « abstraitement », par l'étude de la structure de H 1 (5 1 ; A1::,. 0 ) et des arguments faisceautiques (MALGRANGE [16], BALSERJURKAT-LUTZ [3]), ou en utilisant la k-sommabilité de Ê (TURRITTIN [28], WASOW [30]). (Pour une variante non linéaire de cette situation cf. MARTINETRAMIS

7

8

[17].)

Le cas général est plus délicat. Il apparaît plusieurs «niveaux» correspondant aux pentes > 0 (s'il y en a) du polygone de Newton N(End ~) de End~' ou tout au moins à certaines d'entre elles. Là aussi un « cocycle canonique » de H 1 (51; GL(n; C)); les éléments du cocycle sont les« matrices de Stokes», chacune étant munie d'un «indice de niveau». Les matrices de Stokes sont définies ci-dessous en utilisant un Théorème de sommabilité (Théorème 2.1, infra); comme me l'a signalé Malgrange on peut les définir sans aucune référence à la théorie de la k-sommabilité par récurrence sur les parties de N (End~) en utilisant une variante d'un argument de MALGRANGE [16] (5. p. 391); cf. aussi BALSER-JURKAT-LUTZ [3]. Toutefois notre interprétation en termes de sommabilité jouera un rôle fondamental dans les démonstrations qui vont suivre. Nous reviendrons sur ces questions dans une version ultérieure de cet article. Théorème 2.1. - Soit~= d~ -A, avec A E End(n; K) (n EN*) un opérateur différentiel méromorphe non ramifié. Soient (s'il y en a) kr < · · · < k1 = k(End ~) les pentes > 0 du polygone de Newton N(End ~) de End~. Soit F = ÊxLeQ une solution fondamentale de~' avec Ê E GL(n; C[x]).

(i) Il existe une décomposition Ê

«

= Ê1 .. · Êr, avec Êi

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

naturelle » E

GL(n; C{x }sJ, Si= 1 + l/ki

J.-P. RAMIS

137

{i.e. Êi est ki -sommable), pour i = 1, ... , r, unique, à une transformation près _.. . ._ _.. . ._ _.. . ._ 1 _.. . ._ _.. . ._ 1 _.. . ._ de la forme B~ = B1Pi, B~ = P 1- B2P2, ... , B~ = Pr~l Br, les P1, ... , Pr-1 étant analytiques (Pi E GL(n;C{x})). (ii) Soit ~(Êi) c 8 1 le support singulier de Êi {réunion des supports singulière de ses coefficients). Soient Œ1, ... , Œr E 81, avec Œi tf: ~(Bi) {i = 1, ... , r ). Soit V un germe de secteur ouvert de s;:_mmet l'origine, d'ouverture ~ 27r, contenant Œ1, ... , Œr. La somme Bi de Bi dans la direction Œi se prolonge analytiquement en Bi E GL(n; O(V)) {i = 1, ... , r) et le choix d'une détermination de log x sur V permet une somme « naturelle » F = u(F) = B1 · · · BrxLeQ de F su V. Cette somme est solution fondamentale de

~

sur V.

Remarque 2. 2

(i) En général B n'est k-sommable pour aucun k E lR (cf. RAMISSI!3UYA [24]), ou utiliser une remarque de RAMIS [20], VII et le Théorème 1.6

(ii)). (ii) Si Êi est convergente on peut prendre Êi = I. Il n'y aura pas de matrice de Stokes au niveau i. (iii) On peut démontrer que la transformée de Leroy inverse d'ordre ki (cf. RAMIS [20]) de Êi est résurgente (cf. ÉCALLE [8]) à croissance exponentielle d'ordre~ ki dans toutes les directions sauf au plus un nombre fini. Nous n'utiliserons pas ce résultat ici. No_;is noterons r' = r' (End ~) le nombre de pentes ki > 0 de N (End ~) telles que Bi soit divergente ; c'est le nombre des niveaux où « il se passe quelque chose». Soient des directions Œi tf: ~ (Êi) (i = 1, ... , r) et un germe de secteur ouvert V, avec Œ1, ... , Œr contenus dans V, comme ·dans le Théorème 2.1 (ii). La «somme naturelle» F = Œ(F) de F sur V définie dans ce dernier dépend du choix des Œi ( i = 1, ... , r) et de la détermination de log x. Si on change logx en logx+2i7r, Œdevient Œ1 et Œ'(F) = Œ(FM) où ME GL(n;C) est la matrice de « monodromie formelle». Si Œi varie sans croiser un rayon singulier de ~(Êi), la somme u(F) ne change pas. Si, pour i fixé, i E [1; r], les a~, i' # i, restent fixes, et si Œi croise un rayon singulier de Êi, Œ devient Œ1 et Œ'(F) = Œ(FS), où SE GL(n; q est une matrice de Stokes de niveau i. L'ensemble des matrices de Stokes de niveau i est évidemment défini modulo le choix d'une détermination de log x, c'est-à-dire modulo conjugaison par un élément de {Mm }mEZ. Pour un tel choix de détermination ces matrices sont

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FILTRATION DE GEVREY (JUIN

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1985)

en nombre fini (le nombre des éléments de ~(Êi)). Notons k(~) l'invariant de Katz de ~' k(End ~) celui de End~. On suppose~ sous forme« semi-normale» comme dans RAMIS-SIBUYA [24] (Theorem D) : ~

= -

d

- A

dx

'

1

A= (w Ü

10

·.

avec A de la forme

O) + ~R,

Wi

E~ 1 : ês(~) = G[Ks(~); K8 ], Gs(~) = G[Ks(~); Ks] Si Lo est un surcorps différentiel de L et si ~ = d~ - A, avec A E End( n; L), tout Lo-automorphisme de Lo(~) conserve L et L(~). On a donc une application naturelle G[L 0 (~); Lo] ~ G[L(~); L]. Cette application est clairement

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injective (g E G[L 0 (.6.); Lo] est déterminé de façon unique par ses restrictions à Lo et L(.6.)). Elle permet d'identifier G[Lo(.6.); Lo] à un sous-groupe de G[L(.6.); L], ce que nous ferons toujours dans la suite. En particulier, si .6. = d~ - A, avec A E End(n, K), Ô8 (.6.) s'identifie à un sous-groupe fermé de G(.6.); on a Ôs 2 (.6.) C Ôs 1 (.6.) pour 1 < s1 < s2. On obtient ainsi la filtration de Gevrey {Ô 8 (.6.)} 8 > 1 du groupe de PicardVessiot G(.6.). C'est une filtration d'un groupe algébrique par des sous-groupes algébriques. Elle ne peut donc prendre qu'un nombre fini de valeurs que nous allons calculer. On a Ô(.6.) C Ô 8 (.6.) C G(.6.) (s > 1). On montrera en particulier que pour s « assez grand » ê s ( .6.) = ê (.6.), et s > 1, « assez près de un », ê s ( .6.) = ê (.6.) . On montre facilement (par récurrence) le

Lemme 4.1. -

Soit Q =

(q

1

Ü

·..

O),

avec

Qi E

~CC[~]

(i

=

1, ... ,n).

Qn

Soit v le rang (sur Z) du sous-groupe additif de CC[~] engendré par q1, ... Qn· Le groupe G[K(eQ/; K] s'identifie à un sous-groupe du sous-groupe diagonal ( 0). Nous allons ensuite montrer une partie du Théorème 4.2 (et plus précisément de l'assertion (iv)) :

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145

Lemme 4.6. - Soit ~ = d~ - A, avec A E End( n; K), non ramifié. Soient k > k(End~) et s = 1+1/k. Alors Gs(~) = G(~). Démonstration. - On procède par récurrence sur r(End~). La récurrence démarre à r(End~) = 0 (i.e. k(End~) = 0), avec la Proposition 4.5 (G(~) c Gs(~) c G(~); s > 1). Suppose donc r(End~) ~ 1. Il existe Ê1 E GL(n;C{x}si), tel que ~ 1 = ~ Êi soit méromorphe et admette une décomposition en blocs (de premier niveau) ~], tels que k(End~j) :( k2 < kl = k(End~) et

r(End~}) < r(End~). Considérons K(~) n Ks. On a

K(~) n Ks c K(ÎJl)(~) n Ks c K(Ê 1 (~)) n Ksi = K(Ê 1 )(~) n Ksi n Ks. Mais K(Ê 1 )(~) = K(Ê 1 )(~ 1 ) et (par hypothèse de récurrence)

G(~ 1 ) = G[K(Ê1)(~ 1 );K(Ê1)] = Gsi(~ 1 )

(k1 > k2 ~ k(End~j)).

On déduit alors de la Proposition 3.6

K(Ê1)(~ 1 ) n Ksi= K(Ê1). D'où K(~) n Ks c K(Ê1) n Ks c Ksi n Ks = K et K(~) n Ks = K (cf. Théorème 1.6 (i); 0 < k1 < k). Par une nouvelle application de la Proposition 3.6 on obtient D 1

À partir du Lemme 4.6 et des Théorèmes 1.5 et 3.2 on obtient un résul-

tat de prolongement «naturel» des isomorphismes (les Théorèmes 1.5 et 3.2 fournissent l'existence d'un prolongement que l'on corrige éventuellement en utilisant le Lemme 4.6). Pour un germe de secteur ouvert V de sommet ouvert V de sommet à l'origine nous noterons K v le corps K considéré comme sous-corps de m(V).

Lemme4.7. - Soit~ 1 = d~-A 1 , avecA 1 E End(n1;K). Soientk > k(End~ 1 ) et s = 1+1/k. Soit V un germe de secteur ouvert de sommet l'origine. Soit R une matrice à coefficients dans Ks. Soit Œ E S1, Œ E S 1 , Œ t/:. ~(R) une direction fixée dans V. Soient K(~ 1 ) c Jè, 1(3 ) et Kv(~ 1 ) c m(V) deux extensions de Picard- Vessiot « de K » associées à ~ 1 . Alors :

(i) La somme (au sens de la k-sommabilité) dans la direction a fournit (en restreignant éventuellement V en ouverture un isomorphisme de corps C3 )Notation évidente.

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FILTRATION DE GEVREY (JUIN 1985)

différentiels

cr~: K(R)

---+

Kv(R)

(R étant la somme de R dans la direction de a). (ii) Soit cp : K(.6. 1) ~ Kv(.6. 1 ) un« K-isomorphisme » donné de corps différentiels. Alors il existe un « K -isomorphisme » unique de corps différentiels 1/Jv : K(R)(.6. 1) ~ Kv(R)(.6. 1) prolongeant

0 du polygone de Newton N(End ~). Pour s ;;?: s1 on désigne par i ( s) l'unique indice i E [1, ... , r] tel que s E [Si, Si+l [ (i E [1, ... , r - 1]) ou s E [sr, +oo[. Alors

Ks n K(~) c Ksi(s)' sis;;?: s1;

Ks n K(~), si 1 < s < s1.

Plus précisément, si s ;;?: s1, on a

Ks n K(~) c K(Ê1, ... ,Êi(s)) c (Ksu · .. ,Ksi(s)). Démonstration. -

Soit s;;?: s1. D'après le Théorème 4.2 on a

On conclut en appliquant la Proposition 3.6. Le cas 1 < s < s 1 se traite de façon analogue. D On déduit facilement de la proposition 4.11 (en appliquant une méthode analogue à celle utilisée dans RAMIS [21], Théorème 1.5.17) le Théorème 4.12. - Soit~= d~ -A, avec A E End(n; K). Soient kr < · · · < ki les pentes > 0 (s'il y en a) du polygone de Newton N (End ~) de End ~. Soit C5 )n n'est d'ailleurs utile de procéder ainsi que dans certains cas «non génériques».

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RAMIS

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[ E K n K(-6.). Alors Ç E K, ou il existe i E [1, ... , r] unique tel que [ E K8 . et qu'il n'existe pas des E]l, si[ tel que Ç E K8 • Dans ces conditions on a d~ plus : fEK(Ê1, ... ,Êi) C (Ks 1 , ••• ,KsJ·

Notons en particulier que si [ E Ks n K(-6.), avec s E [s1, s2[, alors [ E K 81 • Les résultats ci-dessus généralisent des résultats de RAMIS [19], [21], et, partiellement, un résultat de RAMIS-SIBUYA [24] (Theorem G). Si 1 < s < s 1 , Ks n K(-6.) =K. Ceci équivaut au Lemme 4.6, que nous avons établi en utilisant le Théorème 1.6. Comme nous l'a signalé D. Bertrand on pourrait essayer d'éviter l'utilisation de ce dernier en le remplaçant par un théorème de comparaison de RAMIS [21] : Théorème 1.5.14 (iv) (a) (ou une variante non linéaire RAMIS-SIBUYA [24]). Ce résultat de comparaison suffit en tout cas pour établir la forme plus faible suivante : Soit A~ la V-algèbre engendrée sur K par les coefficients de F, solution fondamentale de -6.. Alors, si 1 < s < s1, Ks n A~= K. Remerciements. - D. Bertrand m'a donné l'idée de ce travail en m'expliquant le cas régulier (Proposition 4.5 (ii)). Je tiens à le remercier ainsi que B. Malgrange pour leurs critiques d'un «premier jet », obscur et touffu, de cet article, qui m'ont beaucoup aidé. J'ai trouvé à l'IMPA de Rio de Janeiro les conditions idéales pour la mise au point définitive de cette rédaction. Les principaux résultats de cet article ont été annoncés dans RAMIS [23].

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18 19

FitTRATION DE GEVREY (JUIN 1985)

[8] J. ÉCALLE - Les fonctions résurgentes, vol. I, II, Publications Mathématiques d'Orsay, 1981. [9] M. HUKUHARA - «Sur les points singuliers des équations linéaires, II», J. Fac. Sei. Hokkaido Univ. 5 (1937), p. 123-166. [10] W.B. JURKAT - Meromorphe Differenzialgleichungen, Lect. Notes in Math., vol. 637, Springer, 1978. [11] J. KAPLANSKY - An introduction to differential algebra, Hermann, Paris, (19571976). [12] E.R. KOLCHIN - « Algebraic Matrix Groups and the Picard-Vessiot Theory of Homogeneous Linear Ordinary Differential Equations», Ann. of Math. 49 (1948), no. 1, p. 1-42. [13] - - - , Differential Algebra and Algebraic Croups, Academic Press, 1973. [14] B. MALGRANGE - «Sur la réduction formelle des équations différentielles à singularités irrégulières», préprint Grenoble, et ce volume. [15] - - - , « Remarques sur les équations différentielles à points singuliers irréguliers», in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe, Lect. Notes in Math., vol. 712, Springer, 1979, p. 77-86. [16] - - - , «La classification des connexions irrégulières à une variable», in Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique (L. Boutet de Monvel, A. Douady & J.-L. Verdier, éds.), Progress in Math., vol. 37, Birkhauser, Basel, Boston, 1983. [17] J. MARTINET & J .-P. RAMIS - «Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre», Publ. Math. Inst. Hautes Études Sei. 55 (1982), p. 63-164. [18] E. PICARD - « Analogies entre la théorie des équations différentielles linéaires et la théorie des équations algébriques», in Traité d'Analyse, vol. 3, chap. 17, Gauthier-Villars, Paris, 1936 (1898, 1908, 1928). [19] J .-P. RAMIS - «Dévissage Gevrey», in Journées singulières de Dijon, Astérisque, vol. 59-60, Société Mathématique de France, 1978, p. 173-204. [20] - - - , «Les séries k-sommables et leurs applications», in Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Lect. Notes in Physics, vol. · 126, Springer, Berlin, New York, 1980, p. 178-199. [21] - - - , Théorèmes d'indices Gevrey pour les équations différentielles ordinaires, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 296, American Mathematical Society, 1984. [22] ---,«Phénomène de Stokes et resommation », C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 4, p. 99-102. [23] - - - , « Phénomène de Stokes et filtration Gevrey sur le groupe de PicardVessiot », C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 5, p. 165-167. [24] J.-P. RAMIS & Y. SIBUYA - « Hukuhara domains and fondamental existence and uniqueness theorems for asymptotic solutions of Gevrey type», Asymptotic Analysis 2 (1989), p. 39-94, preprint Univ. of Minnesota 1984 [25] - - - , « Gevrey Expansions and Cohomological Methods in the Theory of Asymptotic Solutions», en préparation

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

J.-P. RAMIS

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[26] PH. ROBBA - «Lemmes de Hensel pour les opérateurs différentiels, application à la réduction formelle des équations différentielles», Enseign. Math. 26 (1980), no. 3-4, p. 279-311. [27] Y. SIBUYA - «Stokes Phenomena », Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, p. 1075-1077. [28] H.L. TURRITTIN - «Convergent solutions of ordinary linear homogeneous differential equations in the neighborhood of an irregular singular point», Acta Math. 93 (1955), p. 27-6_6. [29] E. VESSIOT - « Sur l'intégration des équations différentielles linéaires», Ann. Sei. École Norm. Sup. (3) 9 (1892), p. 192-280. [30] W. WASOW - Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations, Interscience Publishers, 1965. [31] C. WOOD - «The model Theory of Differential Fields revisited »,Israel J. Math. 25 (1976), p. 331-352.

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Documents Mathématiques 5, 2007, p. 155-160

CONSTRUCTION DE BASES PRIVILÉGIÉES ET SEMI-CANONIQUES (MARS 1988)

par Jean-Pierre Ramis

Dans toute cette partie, on suppose D E C{x}[d~] et ~ = d~ - A, avec End(n;C{x}[x- 1 ]). Étant donné un germe de secteur ouvert V, on dira que 'lj; holomorphe sur V (à valeurs dans (['. ou en) est asymptotiquement à croissance lente sur V s'il existe ai E (['. (i = 1, ... , m), 'l/;ij E A(V) (i = 1, ... , m; j = 1, ... , mi), tels que

A

E

'lj;

=

m

mi

i=l

j=l

Lxai L 'l/;ij(log x)J.

Qn note alors

;/; =

J ('lj;)

=

m

mi

i=l

j=l

L xai L ;j;ij (log x)j.

On a ;j;ij E C[x]. Si 'lj; est asymptotiquement à croissance lente sur V et q E ~q~], on notera, pour cp = 'lj;eq, rp = J (cp) = ;/;eq. Soit v E N*. Soit tv = x. Par abus de langage, on dira qu'une fonction de t asymptotiquement à croissance lente définit une fonction de x asymptotiquement à croissance lente. On emploiera des notations analogues. Ici, ;j;ij E C[xl/v], q E qx11;v]. L'opérateur ~ possède une solution fondamentale formelle

J;v

F(t)

= ÊtLeQ,

©Documents Mathématiques 5, SMF 2007

1

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BASES PRIVILÉGIÉES ET SEMI-CANONIQUES (MARS 1988)

avec x = tv (v EN*), Ê E GL(n; C[x]), LE End(n; q, Q diagonale : q1 (

0

..

0)

avec qi E

fC[f]

(i

=

1, ... ,n)

qn

Si on peut prendre v = 1, nous dirons que ~ est « non ramifié». Si qi "t:- 0, le terme de plus haut degré de qi s'écrit Aitµi = Àixµifv. Nous appellerons «secteurs de décroissance associé à q » les secteurs ouverts en t (resp. en x), d'ouverture 7f / µi (resp. 7rv / µi) sur lesquels Re(Àitµi) = Re(ÀiXµi/v) < O. Nous appellerons« ligne singulière» pour q toute bissectrice d'un secteur de décroissance (en t ou en x). Rappelons le« Théorème fondamental des développements asymptotiques» dans le cas linéaire (cf. WAsow [6]) : Théorème 1. - Soit~= d~ -A, avec A E End(n;C{x}[x- 1 ]). Soit k~ = k(~) l'invariant de Katz de~. Soit F = ÊtLeQ une solution fondamentale formelle de ~. Alors, pour tout germe de secteur ouvert V (en t), d'ouverture :( 7f / k~, il existe BE GL(n; A(V)), avec J(B) = Ê, tel que F = BtLeQ soit une solution fondamentale de ~ sur V. Définition 2

(i) Un cocycle élémentaire pour D (resp. ~) est la donnée de V, germe de secteur ouvert (en x), et de rp = 7/Jeq, où 7/J est asymptotiquement à croissance lente sur V et q E x 11;v C[xl/v], avec Drp = 0 (resp. ~rp = 0) et V contenu dans un secteur de décroissance associé à q. (ii) Un cocycle semi-canonique pour D (resp. ~) : idem avec rp = 7/Jeq, tel que V contienne une ligne singulière pour q. Notons qu'il est clair a priori que V contient au plus une ligne singulière pour q. Quitte à diminuer V on pourra toujours, pour un cocycle semicanonique, supposer que V admet pour bissectrice la ligne singulière. Définition 3

(i) Une base privilégiée de H 1 (S1; Ao,n) (resp. H 1 (S1; Ao,~)) est une base formée de l'image de cocycles élémentaires. (ii) Une base semi-canonique de H 1 (S1; Ao,n) (resp. H 1 (S1; Ao,~)) est une base formée de l'image de cocycles semi-canoniques. Nous emploierons la même terminologie pour H 1 (S1;:F), où :Fest un sousfaisceau de H 1 (S1; Ao,n) (resp. H 1 (8 1 ; Ao,~)).

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Proposition 4. - Le C-espace vectoriel H 1(S1; .Ao,n) (resp. H 1 (S1; Ao,&)) possède une base privilégiée.

Démonstration. - Il suffit de faire la démonstration pour H 1 ( Sl; .A0 ,à). On choisit un recouvrement ouvert fini U = {Ui}iEI de 8 1 tel que les intersections des ui trois à trois soient vides et que ui,i+l = ui n ui+l soit toujours d'ouverture< K/k(D..) (où k(D..) est l'invariant de Katz de :à). Il suffit alors d'appliquer le Théorème 1. D Malheureusement, pour le problème qui nous occupe (i.e. l'existence d'une base de solutions d'une équation linéaire algébrique aux différences ayant un « bon comportement asymptotique »), l'existence d'une base privilégiée de H 1 (S1; .Ao,D) fournit une information qui, bien qu'intéressante, reste trop grossière. Nous aurons besoin de l'existence d'une base « semi-canonique » de H 1 (S 1 ; .Ao,n), qui est beaucoup plus difficile à établir (sauf toutefois dans les cas assez génériques). La difficulté ainsi surmontée est réelle ; l'existence d'une base semi-canonique nous permettra, en utilisant une méthode du col (cf. A. DUVAL [1]) d'obtenir aisément les estimations asymptotiques cherchées. On constatera que l'utilisation directe d'une méthode du col à la façon de GALBRUN [3] (sans passer par la méthode cohomologique proposée dans cet article) est très délicate dans des cas très simples GALBRUN [3], A. DUVAL [2], et conduit à des difficultés inextricables dans le cas général.

2

Proposition S. - Le C-espace vectoriel H 1 (S1; .Ao,D) (resp. H 1 (Sl; .Ao,&)) \possède une base semi-canonique.

Commençons par un résultat préliminaire (qui suffit d'ailleurs à établir une forme plus forte de la Proposition 5 dans le cas « générique ») : Proposition 6. - Soit D.. = d~ - A, avec A E End(n;C{x}[x- 1]). Soit k'i = k(D..) l'invariant de Katz de D.., s'i = 1+1/k'i. Alors il existe une base privilégiée de H 1 (81; .AoA,&) provenant de cocycles élémentaires (V, c.p), où c.p = 'lj;eq, avec degx q = k'i et V d'ouverture 7r / k'i.

Démonstration. - Il est clair que la base de la Proposition 6 est semicanonique (V est nécessairement un secteur de décroissance associé à q). On se ramène au cas où D.. est non ramifié. Soit q E ~q~] l'un des qi (i = 1, ... , n), avec degqi = k'i (il y en a un). Soit J c {l, ... , n} l'ensemble des indices j tes que deg qj = k'i et que qj et q aient les mêmes secteurs de décroissance (« génériquement », J est réduit à un seul élément). Soit V un secteur de décroissance associé à q (il est

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BASES PRIVILÉGIÉES ET SEMI-CANONIQUES (MARS 1988)

d'ouverture 7r /kD. Notons épj = ,(/;j;:_qj les colonnes de F d'indice j E J. Le Théorème 1 permet de représenter F par une solution fondamentale F sur V avec J(F) = F. Lai-ème colonne de Fest notée C{Jj = 1l/;jeqj. On a J(c.pj) = épj. Les c.pj (j E J) forment un système libre dans r(V; AoA,.6.) (les épj forment un système libre). Considérons maintenant l'ensemble des (V, C{Jj) obtenu en faisant décrire à q l'ensemble des Qi (i = 1, ... , m) de degré k~; à q fixé, à V l'ensemble des secteurs de décroissance associés à q; à q et V fixés, à j l'ensemble J. Cet ensemble engendre (en un sens évident) en chaque point Œ E 8 1 la fibre (A0 ' s'l .6.)a de A 0 s'1' .6.· Plus précisément, on vérifie (en utilisant le Théorème 1) que les (V, c.pj) de l'ensemble tels que, à Œ E 8 1 fixé, Œ EV, forment un système libre dans AoA,.6. (les épj = J(c.pj) correspondants forment un système libre) dont le nombre d'éléments est dime A 0 s' .6., c'est-à-dire une base de A 0 s' .6.· ' 1> ' 1> La Proposition 6 s'en déduit. D l

'

Notons que, si le polygone de Newton N(~) de ~ n'a qu'une pente k~ = k(~), on a Ao,.6. = Ao,s~,.6. (les Qi, i = 1, ... , n, sont alors tous de degré kD et la Proposition 6 entraîne la Proposition 5. Dans le cas général, nous allons également déduire la Proposition 5 de la Proposition 6, mais la démonstration est plus délicate. Nous utiliserons de façon essentielle un résultat de RAMIS [5] : si ~ est non ramifié, Ê admet une décomposition« naturelle» Ê = Ê1 ···Br, avec Êi E GL(n; C{x }sJ (i = 1, ... , r), où Si = 1 + l/ki et kr < · · · < kl = k(End ~) sont les pentes > 0 (s'il y en a) du polygone de Newton N(End ~) de l'opérateur End~ = d~ - [A,•]. La transformation « Y = Ê 1 Y1 » transforme ~ en ~ 1 = d~ - A 1 , avec A 1 E End( n; C{ x }[x- 1 ]) et ~ 1 admet une décomposition en blocs ~} tels que k(End~}) < k(End~ 1 ) = k(End~). Si k(End~) = kl = k(~) = k~, la transformation« Y= Ê 1 Y1 »transforme ~ en ~ 1 admettant la décomposition en blocs ~}, avec k(End~})

< k(~)

1

= k(~ ) = k~.

On groupe en un seul bloc ~lfl les blocs ~} tels que k(~}) = k~. On groupe en un seul bloc ~ 11 les blocs ~} tels que k(~}) < k(~) = k(~ 1 ) = k~. On a toujours ~ lfl #- 0, mais on peut avoir ~ 11 = O. Dans ce cas, on a

Ao ' .6.

=

Ao ' s'1> .6. ·

On a k(~lfl) = k(~ 1 ) = k(~) et k(~ 11 ) < k(~ 1 ) = k(~). Plus précisément, le polygone de Newton N(~ 11 ) est obtenu en supprimant de N(~) = N(~ 1 ) le côté de pente k~.

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Lemme 7. -

159

Si k(End .6.) = k(-6.) = k~, on a un isomorphisme naturel A 0 ,6_1 ~ Ao .6./ Ao s' '

'

.6.·

' l'

Démonstration. - Si ô. 11 = (0), le résultat est déjà établi. Supposons ô. 11 =J. (0). On a A 0 ,6_111 = A 0 s' .6.1" et A 0 s' ,6_11 = (0), A 0 ,6_1 = A 0 ,6_11 œA 0 .6.1". ' ' l' ' l' ' ' ' Il y a donc un isomorphisme naturel A 0 N' ~ A 0 ,6_1 / A 0 s' '

'

,6_1.

' l'

Par ailleurs, la matrice Ê1 fournit un isomorphisme naturel Ào.6./Aos' '

.6.

' l'

~ Ao.6.1/Aos' ' ' l

,6.1

(Ê1

l

E

GL(n;C{x}s'1 [x- 1]).

Le lemme 7 est ainsi établi.

D

Notons Gr Ao,.6. le gradué associé à Ao,.6. pour la filtration Gevrey (Ao,s'.,,.6.)i'=O,. .. ,r' (s~, = 1 + l/k~,; k~, < · · · < k~ sont les pentes > 0, s'il y en a, de N(ô.) et Ao,s~,.6. = (0)). Si ô. 11 =J. (0), on peut répéter sur ô. 11 l'opération faite sur .6. ... On en déduit la 2

Proposition 8. - Soit .6. = d~ - A, avec A E End( n; C{ x }[x- 1 ]) non ramifié. Soient k~, < · · · < k~ = k(-6.) les pentes > 0 (s'il y en a) du polygone de Newton N(-6.) de .6.. Alors il existe une suite (ô_i'')i'=O,. ..,r'-l (.ô. 0' = .6.) d'opérateurs méromorphes non ramifiés tels que

(i) Le polygone de Newton N(.ô_i'') est obtenu en supprimant dans le polygone N(.ô.) les pentes ~ k~, (i' = 1, ... , r' - 1). En particulier, k(.ô.i'') = k~'+l (i' = 1, ... , r' - 1). (ii) Il existe Ê~, E GL(n;C{x}s1 1) et .ô_i'" tels que la transformation« Y= 0 , ) , .6. i'' admettant une décomposition en Ê:," Z » transforme .6. i' -li en ( .6.0i' "i ,6_21 . blocs .ô.}', avec k(Endô.}') = k(.ô.i''), k(.ô.}') < k(.ô_i'') et .ô_i'" admettant une décomposition en blocs .ô.}", avec k(End ô.}") = k(.ô_i' 1 ) et k(.ô.J") = k(.ô.i' 1 )

(i'

1, ... , r'). (iii) On a des isomorphismes naturels =

Ao.6.Ci'+1)1 '

~ A 0 .6.i'1/A08 11 '

' i

,6.i'' +1'

(i' = 0, ... ,r' -1).

(iv) On a un isomorphisme naturel r'-1

EB

i'=O

Ao s' ,6_i 11 ~Gr Ao,.6.· ' i'+1'

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007

160

BASES PRIVILÉGIÉES ET SEMI-CANONIQUES (MARS 1988)

La Proposition 5 résulte, par récurrence, de la Proposition 8 et de la Proposition 6.

Références [1] A. DUVAL-« Étude asymptotique d'une intégrale analogue à la fonction« Gamma modifiée»», in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe, II [4], p. 50-63. [2] ___ , « Solutions irrégulières d'équations aux différences polynomiales», in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe, II [4], p. 64101. [3] H. GALBRUN - «Sur certaines solutions exceptionnelles d'une équation linéaire aux différences finie», Bull. Soc. math. France 49 (1921), p. 206-241. [4] R. GÉRARD & J. - P. RAMIS (éds.) - Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe, II, Lect. Notes in Math., vol. 1015, Springer-Verlag, 1983. [5] J .-P. RAMIS - «Les séries k-sommables et leurs applications», in Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Lect. Notes in Physics, vol. 126, Springer, Berlin, New York, 1980, p. 178-199. [6] W. WASOW - Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations, Interscience Publishers, 1965.

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5

NOTES

NOTES SUR LA CORRESPONDANCE ET LES TEXTES

1er décembre 1976 (Deligne)

15.1

(P.D.) S. Sperber, « p-adic hypergeometric fonctions and their cohomology », Duke Math. J. 44, n° 3 (sept. 1977).

15.2

(P.D.) De même qu'une extension de J par Gm s'identifie à un Gm-torseur E sur J, muni d'un isomorphisme pri T+pr2 T ~ µ*T (pourµ la loi de groupe de J), vérifiant des identités exprimant associativité et commutativité, une ~-extension est un Gm-torseur à connexion intégrable muni d'une additivité analogue. Voir W. Messing, «The universal extension of an abelian variety by a vector group », in Symposia Math. vol. XI (1973), (2.4.5).

15.3

~P.D.) Pour autant que soit supposé connu le cas ou

S est vide : écrire ,C comme produit tensoriel de (,C 0 , Va) sur X et de (0, d + w) sur U. 22 août 1977 (Deligne)

21.1

(B.M.) Les notes en question sont le manuscrit de l'article [Ma77] : j'y réponds à la question posée par Deligne dans sa lettre précédente, toutefois en termes un peu différents des siens : cohomologiques et non homologiques. Le passage d'une version à l'autre n'a été explicité que récemment, par S. Bloch et H. Esnault; voir [B-E04]. D'autre part, je donne dans ce même article une version cohomologique de la classification des points singuliers (cf. mon «Introduction» à ce volume).

21.2

(P.D.) «plat» signifie ici« O(lzln) pour tout n ».

22.3

(P.D.) La lettre utilisait une décomposition plus fine, avec potent. C'était maladroit et corrigé plus loin.

/z!lf-

et Va uni-

164

22.4

NOTES SUR LA CORRESPONDANCE ET LES TEXTES

(P.D.) J'affirme ici que pour l'ordre

>, la relation e

«a =

/3 ou

a est incom-

parable à /3 » est une relation d'équivalence. C'est faux. Contre-exemple en = 0 : d(ix- 2 ) est incomparable à d(-x- 1 ) et à d(O) mais d(-x- 1 ) > d(O). Voici une façon de corriger le texte. Si (I,)) est un ensemble ordonné, on définit une filtration indexée par (I,)) d'un espace vectoriel V comme étant un système de sous-espaces pa (a E I) tel qu'il existe une décomposition de V en somme directe de sous-espaces V,6 (/3 E I) adaptée à F, c'est-à-dire pour laquelle pa = EB,e::::;a V,e. On définit le gradué associé par Grp = pa j 2=,e