Segnali e sistemi. Fondamenti di analisi ed elaborazione dei segnali analogici e digitali 8820763265, 9788820763268

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Giacinto Gelli e Francesco Verde

Segnali e sistemi per i corsi di laurea triennale di Teoria dei Segnali

NAPOLI 2008

c 2007–2008 Giacinto Gelli ([email protected]) & Francesco Verde ([email protected])

Gli autori consentono la riproduzione anche parziale del testo agli studenti del corso. Non è consentito modificare il testo, diffonderlo, pubblicarlo anche con mezzi telematici senza il consenso scritto degli autori. Prima versione: marzo 2007. Seconda versione: marzo 2008.

Principali notazioni A, B,C 0/ a∈A a 6∈ A A⊆B A⊂B A ∪ B, A + B A ∩ B, AB A−B A×B △

= N N0 = N ∪ {0} Z R R+ =]0, ∞[ R− =] − ∞, 0[ R = R ∪ {−∞, ∞} [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[ ] − ∞, b[ ] − ∞, b] ]a, ∞[ [a, ∞[ (a, b) x, y, z A, B, C det(A) A−1 AT repT0 [xg (t)] repN0 [xg (n)] sinc(x) DM (x) u(x) sgn(x) δ (x) δ (n) rect(x) RM (n) Λ(x) ∗

insiemi insieme vuoto x appartiene ad A x non appartiene ad A A è un sottoinsieme di B A è un sottoinsieme proprio di B unione di A e B intersezione di A e B differenza tra A e B prodotto cartesiano di A e B uguale per definizione insieme dei numeri naturali {1, 2, . . . , } insieme dei numeri naturali, zero incluso {0, 1, 2, . . .} insieme dei numeri interi relativi {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali positivi (zero escluso) insieme dei numeri reali negativi (zero escluso) insieme ampliato dei numeri reali intervallo a ≤ x ≤ b intervallo a ≤ x < b intervallo a < x ≤ b intervallo a < x < b intervallo x < b intervallo x ≤ b intervallo x > a intervallo x ≥ a indica indifferentemente un qualunque intervallo di estremi a e b vettori matrici determinante della matrice A inversa della matrice A trasposta della matrice A replicazione di xg (t) con passo T0 [cfr. eq. (2.18)] replicazione di xg (n) con passo N0 [cfr. eq. (2.19)] funzione sinc [cfr. eq. (5.14)] funzione di Dirichlet [cfr. eq. (5.31)] funzione gradino funzione signum funzione delta di Dirac funzione delta discreta funzione rettangolo funzione rettangolo discreto funzione triangolo convoluzione tra due segnali

Indice

1 Segnali e sistemi: introduzione 1.1 Definizione di segnale . . . . . . . . . . . . . 1.2 Definizione di sistema . . . . . . . . . . . . . 1.3 Segnali deterministici ed aleatori . . . . . . . 1.4 Classificazione elementare dei segnali . . . . 1.4.1 Proprietà della variabile indipendente 1.4.2 Proprietà della variabile dipendente . 1.4.3 Segnali analogici e digitali . . . . . . 1.5 Classificazione elementare dei sistemi . . . . 1.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 7 9 9 14 17 18 23

2 Proprietà dei segnali 2.1 Operazioni elementari sui segnali . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Trasformazioni della variabile dipendente . . . . . . 2.1.2 Trasformazioni della variabile indipendente . . . . . 2.1.3 Combinazione di operazioni elementari . . . . . . . 2.1.4 Derivazione, integrazione, differenza prima e somma 2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali . . . . . . . . . . . . 2.3 Estensione e durata temporale di un segnale . . . . . . . . . 2.3.1 Segnali di durata rigorosamente limitata . . . . . . . 2.3.2 Segnali di durata praticamente limitata . . . . . . . . 2.3.3 Segnali di durata non limitata e segnali periodici . . 2.4 Area e media temporale di un segnale . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Componente continua e alternata di un segnale . . . 2.5 Energia di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Segnali di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Energia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Potenza e valore efficace di un segnale . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Segnali di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Relazioni tra segnali di energia e di potenza . . . . . 2.6.3 Potenza mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia . . . . . . . . . . 2.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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25 25 26 27 34 37 45 45 46 49 54 63 70 71 73 73 75 76 78 78 80 83

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3 Proprietà dei sistemi 3.1 Relazione ingresso-uscita . . 3.2 Interconnessione di sistemi . 3.3 Proprietà dei sistemi . . . . 3.3.1 Non dispersività . . 3.3.2 Causalità . . . . . . 3.3.3 Invertibilità . . . . . 3.3.4 Invarianza temporale 3.3.5 Stabilità . . . . . . . 3.3.6 Linearità . . . . . . 3.4 Esercizi proposti . . . . . .

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4 Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva . . . . . . . . . . 4.3 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Proprietà della convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Proprietà della risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Non dispersività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Causalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Esempi di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Sistemi descritti da equazioni differenziali . . . . . . . . . . . 4.6.2 Sistemi descritti da equazioni alle differenze (sistemi ARMA) 4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Risposta ad un fasore di un sistema TC LTI . . . . . . . . . . 4.7.2 Risposta ad un fasore di un sistema TD LTI . . . . . . . . . . 4.7.3 Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale . . . . . . . 4.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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91 91 94 97 97 100 103 104 109 111 118

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127 127 128 134 138 148 157 157 160 164 165 168 168 174 182 182 186 190 193

5 Serie di Fourier 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Serie di Fourier per segnali TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Condizioni matematiche per la convergenza della serie di Fourier . . . . 5.2.2 Ricostruzione di un segnale periodico con un numero finito di armoniche 5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Simmetria hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Uguaglianza di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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207 207 208 216 220 225 229 229 230 233 237 239 246

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6 Trasformata di Fourier 6.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Trasformata di Fourier per segnali TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Proprietà elementari della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . 6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI . . . . . . . . . . . 6.2.1 Proprietà di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Segnali TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Segnali TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Segnali TD transitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Segnali a banda rigorosamente limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Segnali a banda praticamente limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Segnali a banda non limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Trasformazioni della variabile dipendente . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Trasformazioni della variabile indipendente . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Derivazione e differenza prima, integrazione e somma . . . . . . . . . 6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TC . . . . . . . . . . . 6.6.2 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TD . . . . . . . . . . . 6.6.3 Estensione spettrale e banda di un segnale periodico . . . . . . . . . . 6.6.4 Relazioni tra serie e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza . . . 6.7.1 Separazione di segnali mediante filtraggio . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Banda passante e banda di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Studio dell’interconnessione di sistemi LTI nel dominio della frequenza 6.7.4 Proprietà della risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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255 255 258 260 263 267 270 272 272 285 285 295 298 300 311 312 312 321 336 345 345 347 351 352 357 357 361 365 369 382

7 Campionamento e conversione A/D e D/A 7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Campionamento ed interpolazione ideale . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Interpolazione ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica . . . . . . . . . . . 7.3.1 Campionamento di segnali a banda praticamente limitata 7.3.2 Interpolazione non ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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395 395 398 400 405 407 409 409 415 418 427

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A Richiami sui numeri complessi 433 A.1 Definizione di numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 A.2 Forma algebrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . 437

iv

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A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 A.5 Funzioni complesse di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 B Richiami di analisi matematica B.1 Successioni e serie numeriche . . . . . . . . . B.1.1 Definizione di limite di una successione B.1.2 Serie monolatere . . . . . . . . . . . . B.1.3 Serie bilatere . . . . . . . . . . . . . . B.1.4 Successioni sommabili . . . . . . . . . B.2 Funzioni complesse di una variabile reale . . . B.2.1 Continuità e derivabilità . . . . . . . . B.2.2 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . B.2.3 Sommabilità . . . . . . . . . . . . . .

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445 445 445 447 448 450 451 451 453 456

459 C Proprietà matematiche della convoluzione C.1 Integrale di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 C.2 Somma di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 463 D Invertibilità di un sistema D.1 Invertibilità di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 D.2 Invertibilità di un sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 E Proprietà della serie di Fourier E.1 Serie di Fourier a TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.1.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.2 Serie di Fourier a TD (DFS) . . . . . . . . . . . . . . E.2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier

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471 471 471 471 473 473 473 474

F Proprietà della trasformata di Fourier F.1 Trasformata di Fourier a TC . . . F.1.1 Definizioni . . . . . . . . F.1.2 Proprietà . . . . . . . . . F.1.3 Trasformate notevoli . . . F.2 Trasformata di Fourier a TD . . . F.2.1 Definizioni . . . . . . . . F.2.2 Proprietà . . . . . . . . . F.2.3 Trasformate notevoli . . .

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Bibliografia

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487

Capitolo 1

Segnali e sistemi: introduzione

I

concetti di segnale e di sistema sono diffusamente impiegati in molti campi della conoscenza umana con significati specifici che, in alcuni casi, possono essere radicalmente diversi. Ad esempio, in astronomia, le radiazioni emesse dai corpi celesti sono segnali desiderati che portano informazione circa la struttura dell’universo mentre, nel campo delle telecomunicazioni spaziali, essi rappresentano segnali indesiderati che disturbano le comunicazioni tra la terra e le navicelle spaziali. Allo stesso modo, per un ingegnere delle telecomunicazioni, un sistema può essere una rete telefonica o un ponte radio, per un economista un sistema è invece un insieme di individui che producono e si scambiano beni. Una definizione univoca e non ambigua di segnale e sistema può essere data solo ricorrendo a opportuni modelli matematici, poichè il linguaggio della matematica è unico e preciso. In questo capitolo saranno introdotti i concetti di base necessari per lo studio dei segnali e dei sistemi, partendo dai loro modelli matematici, e proseguendo con alcune definizioni e classificazioni elementari.

1.1 Definizione di segnale La definizione di segnale che segue, sebbene astratta, è del tutto generale: essa risulterà certamente più chiara e concreta dopo aver studiato gli esempi forniti nel seguito. Definizione 1.1 (segnale) Un segnale è un modello matematico che descrive la variazione di una o più grandezze (fisiche) in funzione di altre grandezze (fisiche). Esempi di segnali ricorrono in numerosi campi delle scienze matematiche, fisiche e dell’ingegneria. ◮ Esempio 1.1 (moto circolare uniforme) Si consideri un corpo (raffigurato in nero in fig. 1.1) che si muove di moto circolare uniforme, lungo una circonferenza di raggio A. La velocità di rotazione del corpo si può misurare in termini di velocità angolare ω0 , espressa in rad/s (rappresenta l’angolo in radianti percorso nel tempo di 1 s) o equivalentemente in termini di frequenza di rotazione f0 = ω2π0 , espressa in Hertz (Hz) (rappresenta il numero di giri effettuati nel tempo di 1 s). La posizione del corpo all’istante t è individuata da una coppia di coordinate cartesiane (x, y). Concentriamo l’attenzione in particolare sulla posizione lungo l’asse x: poiché

2

Segnali e sistemi: introduzione

y

x(t) ω0

θ(t)

A

A cos (ϕ 0 )

A x(t)

x

t

-A Fig. 1.1. Un corpo (in nero) si muove lungo una circonferenza con velocità angolare ω0 costante. La sua proiezione sull’asse x al variare del tempo t è il segnale sinusoidale x(t) di fig. 1.2.

Fig. 1.2. Il segnale sinusoidale degli es. 1.1 e 1.2 è una funzione del tempo x(t).

l’angolo (misurato rispetto all’asse x) percorso nel tempo t è pari a θ (t) = ω0t + ϕ0 , dove ϕ0 è la posizione angolare del corpo all’istante t = 0, la coordinata x all’istante t è data da: x(t) = A cos[θ (t)] = A cos(ω0t + ϕ0 ) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) . Il segnale x(t) prende il nome di segnale sinusoidale1 di ampiezza A, pulsazione ω0 o frequenza f0 , e fase ◭ iniziale ϕ0 , ed è raffigurato in fig. 1.2. Si noti che per t = 0 il segnale vale x(0) = A cos(ϕ0 ). ◮ Esempio 1.2 (tensione alternata) La tensione alternata della rete di distribuzione dell’energia elettrica può essere descritta anch’essa da un segnale sinusoidale di ampiezza A, frequenza f0 , e fase iniziale ϕ0 : x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) . L’espressione analitica del segnale e la sua rappresentazione grafica sono le stesse del segnale dell’es. 1.1, anche se il significato fisico ed i valori dei parametri A, f0 e ϕ0 sono diversi. ◭ ◮ Esempio 1.3 (successione) In matematica, nello studio delle equazioni per le quali non è possibile determinare analiticamente la soluzione, è possibile applicare metodi per determinare soluzioni approssimate. Un esempio classico è il metodo di Newton o della tangente, che consente di risolvere approssimativamente equazioni del tipo f (x) = 0. Supponiamo che f sia dotata di derivata prima continua e, inoltre, che sia crescente, convessa e tale che f (a) < 0 ed f (b) > 0. Posto x(0) = b, il metodo di Newton (fig. 1.3) consiste inizialmente nel tracciare la tangente alla curva f (x) nel suo punto di coordinate (b, f (b)) e nel ricavare il punto di intersezione x(1) di tale tangente con l’asse delle ascisse. Il secondo passo del metodo consiste nel ripetere il procedimento precedente a partire questa volta da x(1): si traccia la tangente alla curva f (x) nel suo punto di coordinate (x(1), f [x(1)]) e si ricava il punto di intersezione x(2) della retta ottenuta con l’asse delle ascisse. Ripetendo tale procedimento, si ottiene una relazione ricorsiva in cui l’n-esimo elemento è dato da x(n) = x(n − 1) −

f [x(n − 1)] , f ′ [x(n − 1)]

con n = 1, 2, 3, . . . ,

seguito indicheremo indistintamente come “sinusoidale” un segnale del tipo x(t) = A cos(ω0 t + ϕ0 ) oppure x(t) = A sin(ω0 t + ϕ0 ). 1 Nel

1.1 Definizione di segnale

3

y

Studente Carlo Rossi Ugo Bianchi Maria Turchini Franca Neri .... ....

f(x)

a

b

x x(0)

Voto 22 30 25 30 .... ....

Fig. 1.4. Il segnale in forma tabellare dell’es. 1.4.

x(1) x(2)

Fig. 1.3. Il metodo di Newton dell’es. 1.3. dove f ′ (x) denota la derivata prima di f (x). Tale relazione definisce una successione numerica, ovvero un segnale definito nell’insieme N0 dei numeri naturali. Al crescere di n, i valori assunti dal segnale tendono all’unica soluzione dell’equazione f (x) = 0. ◭ ◮ Esempio 1.4 (tabella) In alcuni casi, un segnale può essere definito mediante una tabella. Ad esempio, consideriamo i risultati dell’esame di Teoria dei Segnali riportati in fig. 1.4. Tale tabella definisce un segnale che ad ogni studente associa il voto del corrispondente compito scritto; in questo caso, l’insieme di definizione del segnale è rappresentato dagli studenti che hanno partecipato alla prova scritta (e che hanno consegnato il compito). ◭

Gli es. 1.1, 1.2 e 1.3 mostrano che un segnale può essere descritto matematicamente da una funzione che istituisce una relazione tra una variabile indipendente (il tempo t negli es. 1.1 e 1.2, l’indice n nell’es. 1.3, lo studente nell’es. 1.4) ed una variabile dipendente x (una lunghezza nell’es. 1.1, una tensione nell’es. 1.2, un’approssimazione della soluzione dell’equazione f (x) = 0 nell’es. 1.3, un voto nell’es. 1.4). Utilizzando la simbologia comunemente impiegata nei corsi di analisi matematica, un segnale di questo tipo può essere indicato come segue: x : T → X,

(1.1)

dove l’insieme T, che prende il nome di insieme di definizione o dominio di x, racchiude l’insieme dei valori ammissibili della variabile indipendente t oppure n, mentre l’insieme X, che prende il nome di immagine di T mediante x o anche codominio di x, racchiude i valori assunti dalla variabile dipendente x. Si osservi che, per gli es. 1.1 e 1.2, il dominio T di x coincide con l’insieme dei numeri reali, cioè T = R; nel caso dell’es. 1.3, il dominio del segnale risulta essere T = N0 = {0, 1, 2, . . .} ⊂ Z e quindi la variabile indipendente n può assumere solo valori interi non negativi; infine, nel caso dell’es. 1.4, il dominio del segnale T = {Carlo Rossi, Ugo Bianchi, Maria Turchini, Franca Neri . . .} è costituito dai nomi degli studenti. Va osservato che la natura fisica delle variabili indipendenti in gioco può essere profondamente diversa; ad esempio per molti segnali la variabile indipendente è proprio il tempo, ma esistono casi significativi di segnali – le immagini, ad esempio – in cui la variabile indipendente è di tipo spaziale (vedi es. 1.10 e 1.14 più avanti). Inoltre, come accade nell’es. 1.3, le variabili indipendenti di un segnale possono non avere un significato fisico o, come nell’es. 1.4, possono rappresentare dati

R1 R2

segnale di uscita

Segnali e sistemi: introduzione

segnale di ingresso

4

segnale di ingresso

sistema

segnale di uscita

Fig. 1.6. Rappresentazione di un sistema mediante schema a blocchi.

Fig. 1.5. Schema elettrico di un partitore resistivo.

di natura più generale (gli studenti). Di norma, comunque, a prescindere dal loro effettivo significato fisico, ci riferiremo alla variabile indipendente t oppure n come al “tempo”, e alla variabile dipendente x come all’“ampiezza” del segnale. Per cui i segnali che considereremo saranno descritti quasi sempre attraverso funzioni del tempo. Tali funzioni potranno essere descritte mediante un’espressione matematica, un grafico o una tabella. Gli es. 1.1 e 1.2 mostrano inoltre che uno stesso segnale – nel caso specifico sinusoidale – può comparire nella descrizione di fenomeni fisici completamente diversi. Concludiamo osservando che, con riferimento ad un segnale funzione del tempo, la notazione x(t) è ambigua: essa può significare il valore assunto dal segnale per un particolare valore di t (cioè l’immagine mediante x di t), oppure può rappresentare la legge di corrispondenza (1.1) (cioè il segnale nel suo complesso per ogni t ∈ T). In molti casi la distinzione è ininfluente oppure si ricava dal contesto; quando tuttavia vorremo enfatizzare la seconda interpretazione, scriveremo {x(t)}t∈T. Considerazioni analoghe valgono ovviamente anche per le notazioni x(n) e {x(n)}n∈T.

1.2 Definizione di sistema Anche per i sistemi forniamo una definizione abbastanza generale ed astratta, rimandando il lettore agli esempi che ne chiariscono meglio il significato. Definizione 1.2 (sistema) Un sistema è un modello matematico che descrive la relazione tra due o più segnali, dei quali alcuni sono identificati come segnali di ingresso (o cause), e gli altri come segnali di uscita (o effetti).

◮ Esempio 1.5 (circuito elettrico) Un circuito elettrico è un primo esempio di sistema in cui alla variazione di tensioni e correnti in certi punti del circuito (individuati come ingressi) corrisponde la variazione di tensioni e correnti in altri punti del circuito (individuati come uscite). Un semplice esempio di sistema con un solo ingresso ed una sola uscita è il partitore resistivo di fig. 1.5, in cui il segnale di ingresso è la tensione ai capi ◭ della serie dei resistori R1 ed R2 , mentre l’uscita è la tensione ai capi del resistore R2 .

Uno schema astratto particolarmente conveniente per rappresentare graficamente un sistema ad un ingresso e ad una uscita, quale il partitore resistivo dell’es. 1.5, è lo schema a blocchi di fig. 1.6. ◮ Esempio 1.6 (sistema di comunicazione) Un secondo esempio è quello di un sistema di comunicazione, riportato schematicamente in fig. 1.7, capace di trasportare un messaggio dalla sorgente alla destinazione. Esso è composto da tre elementi fondamentali: un trasmettitore, che associa ad ogni messaggio da trasmettere

1.2 Definizione di sistema

messaggio sorgente

5

trasmettitore

canale

ricevitore

messaggio destinazione

Fig. 1.7. Schema semplificato di un sistema di comunicazione. (“messaggio sorgente”) un segnale opportuno (generalmente elettrico o ottico); un canale, che è il mezzo fisico (ad esempio, un cavo telefonico) lungo il quale viaggia il segnale d’informazione; ed, infine, un ricevitore, che ha il compito di estrarre dal segnale ricevuto il messaggio trasmesso e recapitarlo alla destinazione (“messaggio destinazione”). ◭

Gli esempi precedenti mettono in luce alcuni aspetti importanti. Innanzitutto, il concetto di sistema è inscindibilmente legato a quello di segnale: senza alcun segnale in ingresso, un sistema è una mera collezione di componenti elettrici, meccanici, o biochimici; infatti, sono i segnali di ingresso che “forzano” il sistema a “reagire” e, quindi, a “produrre” dei segnali di uscita. Un sistema può essere particolarmente complesso e può essere composto da più entità fisiche distinte, che interagiscono tra di loro; in questo caso, ogni singola entità può essere riguardata come un sottosistema che concorre a definire l’intero sistema. Ad esempio, il sistema di comunicazione in fig. 1.7 può essere suddiviso in tre sottosistemi distinti: il trasmettitore, il canale ed il ricevitore. La decomposizione di un sistema in sottosistemi è particolarmente utile quando occorre studiare sistemi complessi, per i quali l’analisi diretta dell’intero sistema risulta essere troppo complicata. Dato un sistema e assegnati i segnali di ingresso, uno dei problemi fondamentali che si incontra nell’analisi dei sistemi è quello di ricavare analiticamente i corrispondenti segnali di uscita. La possibilità di caratterizzare analiticamente il comportamento di un sistema è importante perchè, in alcuni casi, è più semplice ed economicamente vantaggioso determinare i segnali di uscita analiticamente piuttosto che sperimentalmente. Inoltre, il calcolo analitico della risposta di un sistema è spesso l’unica strada disponibile; si pensi, ad esempio, allo studio di fattibilità di un sistema che è in fase di progetto e che, pertanto, non è stato ancora realizzato fisicamente; oppure, allo studio di un sistema in condizioni operative particolari che sono pericolose da riprodurre in pratica. Da quanto detto si evince che è necessario introdurre una descrizione matematica dei sistemi. A tal fine, soffermiamo l’attenzione su un sistema che ha un solo segnale di ingresso e un solo segnale di uscita (come il partitore resistivo), e indichiamo con I l’insieme dei possibili segnali di ingresso e con U l’insieme dei possibili segnali di uscita. Un sistema può essere descritto matematicamente da un operatore o una trasformazione S, che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingresso I e l’insieme dei segnali di uscita U, simbolicamente: S : I → U.

(1.2)

S

U

I y x insieme dei segnali di uscita insieme dei segnali di ingresso

Fig. 1.8. L’operatore S associa ad ogni segnale x di I un segnale y di U.

6

Segnali e sistemi: introduzione

In fig. 1.8 è riportata una rappresentazione schematica della legge di corrispondenza (1.2). Si osservi che i due insiemi I e U implicitamente definiscono anche il dominio e il codominio dei segnali di ingresso ed uscita del sistema, rispettivamente. ◮ Esempio 1.7 (integratore) Un integratore è un sistema che realizza la seguente trasformazione: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

dove x(t) denota il segnale di ingresso e y(t) quello di uscita. In tal caso, l’insieme I dei segnali di ingresso è rappresentato da tutte le funzioni x(u) che risultano integrabili in ogni intervallo ]−∞,t], con t ∈ R, e l’operatore S associa ad ogni segnale {x(u)}u∈R appartenente ad I il segnale y(t), ottenuto integrando x(u) sull’intervallo ] − ∞,t], per ogni t ∈ R. ◭ ◮ Esempio 1.8 (accumulatore) Un accumulatore è un sistema che realizza la seguente trasformazione: n

y(n) =

∑

x(k) ,

k=−∞

dove la successione x(n) denota il segnale di ingresso e la successione y(n) quello di uscita. In tal caso, l’insieme I dei segnali di ingresso è rappresentato da tutte le successioni x(k) la cui serie tra k = −∞ ed k = n, con n ∈ Z, risulta essere convergente, e l’operatore S realizza semplicemente la somma corrente y(n) dei valori del segnale ◭ di ingresso {x(k)}k∈Z a partire da k = −∞ fino all’istante k = n, per ogni n ∈ Z.

Si osservi che, sebbene le corrispondenze (1.1) e (1.2) che definiscono segnali e sistemi, rispettivamente, possano sembrare simili a prima vista, esse sono tuttavia completamente differenti dal punto di vista concettuale: infatti, la (1.1), che definisce un segnale, è una legge di corrispondenza tra insiemi “numerici”, i cui elementi sono numeri reali o interi relativi; d’altra parte, la (1.2) sta ad indicare una corrispondenza tra insiemi i cui elementi sono segnali (ovvero funzioni). Una seconda osservazione importante è che, com’è anche evidente dagli es. 1.7 e 1.8, il valore del segnale di uscita in un dato istante di tempo può dipendere dal valore assunto dal segnale di ingresso in più istanti o, più in generale, su tutto il proprio dominio di definizione T. Sulla base di tale osservazione, risulta essere particolarmente fuorviante l’impiego della notazione y(t) = S[x(t)] oppure y(n) = S[x(n)] per descrivere sinteticamente la trasformazione (1.2). Infatti, la scrittura y(t) = S[x(t)] (e lo stesso si può dire di y(n) = S[x(n)]) può evocare erroneamente alla mente del lettore il concetto di funzione composta, secondo il quale il valore y(t) del segnale di uscita all’istante t dipende solo dal valore x(t) assunto dal segnale di ingresso nello stesso istante t. Per evidenziare invece il fatto che nella trasformazione (1.2), il segnale di uscita in un dato istante può dipendere dall’intero segnale di ingresso, si useranno le notazioni y(t) = S[{x(u)}u∈T;t] y(n) = S[{x(k)}k∈T; n]

(1.3)

per descrivere sinteticamente la trasformazione (1.2). Nel seguito introdurremo le principali metodologie di analisi e di sintesi per i segnali ed i sistemi, con particolare riguardo a quelle che sono applicabili in generale, indipendentemente dai fenomeni fisici coinvolti. Per questo motivo nella definizione stessa di segnale e di sistema abbiamo posto l’enfasi sul concetto di modello matematico, piuttosto che sulla realtà fisica cui il modello si riferisce. In molti casi, tuttavia, facendo leva sulle conoscenze generalmente possedute dagli allievi ingegneri nell’area dell’informazione, forniremo esempi di segnali e sistemi presi principalmente dall’elettrotecnica e dall’elettronica. A questo punto è necessario fare una considerazione che è bene che il lettore tenga

7

1

1

0.5

0.5

x(t)

x(t)

1.3 Segnali deterministici ed aleatori

0

−0.5

0

−0.5

−1

−1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

t

(a)

0.6

0.8

1

t

(b)

Fig. 1.9. Esempio di segnale aleatorio: (a) il segnale vocale x(t) corrispondente alla parola “pace” pronunciata da un adulto; (b) il segnale vocale x(t) corrispondente alla parola “pace” pronunciata da un bambino.

ben presente nel seguito. Va osservato come principio generale che un modello è solo una rappresentazione, quasi sempre estremamente semplificata, della realtà che intende descrivere. In primo luogo, infatti, il modello matematico è quasi sempre frutto di approssimazioni; ad esempio, la tensione alternata della rete di distribuzione dell’energia elettrica (cfr. es. 1.2) non è mai esattamente sinusoidale, per la presenza di disturbi, non linearità, accoppiamenti parassiti, ecc. In secondo luogo, la scelta del modello matematico è sempre un compromesso tra accuratezza della descrizione del fenomeno fisico di interesse e semplicità matematica. In conclusione, per evitare possibili fraintendimenti derivanti dalla confusione tra modello e realtà, il lettore è invitato a tenere bene a mente il celebre aforisma di Arthur Bloch:2 “Confondere il modello con la realtà è come andare al ristorante e mangiare il menù”.

1.3 Segnali deterministici ed aleatori I segnali considerati negli es. 1.1, 1.2 e 1.3 ammettono una descrizione matematica esatta attraverso una funzione del tempo. Va detto però che l’identificazione tra il concetto di segnale e quello di funzione è appropriata solo se restringiamo l’attenzione al caso dei segnali perfettamente noti o deterministici. Definizione 1.3 (segnale deterministico) Un segnale si dice deterministico (o determinato) se è perfettamente descritto da una funzione (espressa analiticamente, in forma tabellare, o in forma grafica). La classe dei segnali deterministici è ampia, ma non esaurisce tutti i possibili segnali: esiste infatti la classe importante dei segnali non deterministici, che non possono cioè essere descritti esattamente, in quanto contengono un certo grado di imprevedibilità o di incertezza. Tali segnali scaturiscono da fenomeni fisici che, per la loro complessità, o per la conoscenza imperfetta dei meccanismi che li governano, non ammettono una descrizione matematica esatta. ◮ Esempio 1.9 (segnale vocale) La voce può essere descritta da un segnale x(t) (segnale vocale), che esprime la pressione acustica in funzione del tempo. In fig. 1.9 (a) si riporta ad esempio il segnale vocale corrispondente alla parola “pace” pronunciata da un adulto. Il segnale vocale assume una forma profondamente diversa, non 2 Arthur

Bloch è l’autore di una fortunata serie di libri umoristici sulle “leggi di Murphy”.

8

Segnali e sistemi: introduzione

soltanto – come è ovvio – al variare della parola o del suono pronunciato, ma anche al variare del sesso, dell’età, e dello stato d’animo del parlatore. Ad esempio in fig. 1.9 (b) si riporta il segnale vocale corrispondente alla stessa parola “pace”, pronunciata stavolta da un bambino. ◭

Un segnale come quello dell’es. 1.9 si dice aleatorio (dal vocabolo latino alea=dado, che per estensione sta anche a significare “rischio, incertezza”). Definizione 1.4 (segnale aleatorio) Un segnale si dice aleatorio (o casuale) se nella sua definizione è contenuto un certo grado di incertezza. Un segnale aleatorio, non essendo perfettamente noto a priori, non può essere descritto da una semplice funzione. In effetti, l’es. 1.9 relativo al segnale vocale suggerisce intuitivamente, con un piccolo sforzo di generalizzazione, che un segnale aleatorio possa essere rappresentato non da una sola funzione, ma da una collezione di funzioni (una per ogni possibile parlatore, con riferimento al segnale vocale). Per ottenere una valida ed utile descrizione matematica a partire da questo concetto intuitivo, tuttavia, sono necessari strumenti più sofisticati, quali la teoria della probabilità [15]. Bisogna notare che, proprio a causa della loro imprevedibilità, i segnali aleatori rivestono un grande interesse nell’ingegneria dell’informazione, in quanto, a differenza dei segnali deterministici, essi sono adatti a trasportare informazione. Basti pensare infatti che, per sua natura, il concetto di informazione è intrinsecamente legato a quello di imprevedibilità [15, cap. 10]. Ad esempio, l’affermazione “stanotte farà buio” non trasporta nessuna informazione, semplicemente perché è una affermazione certa, perfettamente prevedibile. Viceversa, una affermazione poco probabile, quale “domani il pianeta Terra sarà invaso dai Marziani” convoglia una grande quantità di informazione, perché poco probabile, e quindi non prevedibile. Per questo motivo, un segnale deterministico, che è noto a priori e quindi perfettamente prevedibile, non è adatto a trasportare informazione. Nonostante abbiamo sottolineato l’importanza dei segnali aleatori, nel seguito si affronterà esclusivamente lo studio dei segnali deterministici. Tale scelta ha una chiara motivazione didattica, in quanto operare con segnali deterministici consente di introdurre ad un livello relativamente semplice le principali tecniche di analisi ed elaborazione dei segnali, rimandando a corsi successivi l’applicazione di tali metodologie anche al caso di segnali aleatori. Va osservato peraltro che, una volta osservato o memorizzato, un segnale aleatorio perde la sua caratteristica di imprevedibilità e diventa in effetti deterministico: pertanto esso può essere elaborato con le tecniche caratteristiche dei segnali deterministici.

1.4 Classificazione elementare dei segnali

Fig. 1.10. Esempio di segnale multidimensionale: un’immagine in bianco e nero z(x, y).

1.4 Classificazione elementare dei segnali I segnali possono essere suddivisi in classi sulla base di diverse proprietà. In particolare, avendo osservato che i segnali deterministici possono essere descritti, in senso matematico, mediante funzioni, in questo paragrafo introdurremo una prima classificazione dei segnali sulla base delle proprietà della variabile indipendente e della variabile dipendente della funzione che modella il segnale. La combinazione opportuna delle proprietà della variabile dipendente ed indipendente consentirà infine di introdurre la fondamentale distinzione tra segnali analogici e segnali numerici o digitali. 1.4.1 Proprietà della variabile indipendente

Definizione 1.5 (segnale monodimensionale/multidimensionale) (a) Un segnale si dice monodimensionale se è descritto da una funzione di una variabile indipendente. (b) Un segnale si dice multidimensionale se è descritto da una funzione di due o più variabili indipendenti. I segnali sinusoidali degli es. 1.1 e 1.2 e la successione dell’es. 1.3 sono segnali monodimensionali, in quanto sono descritti da una funzione [x(t) o x(n)] di una sola variabile indipendente. Tipici esempi di segnali multidimensionali sono le immagini (fisse o in movimento). ◮ Esempio 1.10 (immagine in bianco e nero) Un’immagine fissa in bianco e nero, o monocromatica, quale quella di fig. 1.10, può essere descritta da un segnale multidimensionale z(x, y), che descrive le variazioni di luminosità (o luminanza) in funzione della posizione spaziale (x, y) del punto (detto anche pixel) dell’immagine. Se l’immagine è in movimento (filmato in bianco e nero), è necessario considerare anche una terza variabile temporale, per cui il segnale diventa una funzione z(x, y,t) di tre variabili. ◭

Sebbene l’elaborazione di immagini (image processing) sia estremamente importante dal punto di vista applicativo, per gli stessi motivi di semplicità didattica già esposti per i segnali aleatori, nel seguito ci occuperemo di segnali monodimensionali, ed inoltre la variabile indipendente t oppure n sarà quasi sempre interpretata come “tempo”. Questo si rifletterà in parte nella terminologia utilizzata, come evidenziato in particolare dalla classificazione che segue.

9

Segnali e sistemi: introduzione

3

3

2

2

1

1 x(n)

x(t)

10

0

0

−1

−1

−2

−2

−3 −5

0 t

5

Fig. 1.11. Rappresentazione grafica di un segnale a TC. Tale rappresentazione si può ottenere in Matlab utilizzando il comando plot.

−3 −5

0 n

5

Fig. 1.12. Rappresentazione grafica di un segnale a TD. Tale rappresentazione si può ottenere in Matlab utilizzando il comando stem.

Definizione 1.6 (segnale a tempo continuo/discreto) (a) Un segnale si dice a tempo continuo (TC), o “forma d’onda”, se la variabile indipendente (tempo) varia in un insieme continuo. (b) Un segnale si dice a tempo discreto (TD), o “sequenza”, se la variabile indipendente (tempo) varia in un insieme discreto. Ad esempio, la sinusoide x(t) = A cos(ω0t + ϕ0 ) degli es. 1.1 e 1.2 è definita per ogni t ∈ R, e quindi è un segnale a TC. Da un punto di vista matematico, un segnale a TC è rappresentabile mediante la legge di corrispondenza (1.1), in cui il dominio T della funzione è un insieme continuo. Un segnale a TC viene denotato preferibilmente con x(t) o x(τ ), cioè utilizzando come variabile indipendente un simbolo che evoca il tempo, e la sua rappresentazione grafica è quella raffigurata in fig. 1.11. La legge di corrispondenza (1.1) modella matematicamente anche un segnale a TD, in questo caso il dominio T della funzione è un insieme discreto. La successione dell’es. 1.3 è definita per ogni n ∈ N0 , e quindi è un segnale a TD. Allo stesso modo, anche la tabella dell’es. 1.4 va considerato un segnale a TD, in quanto il suo dominio è costituito da un numero finito di possibili elementi (le generalità degli studenti). Un segnale a TD sarà denotato preferibilmente con x(n), x(m) o x(k), utilizzando cioè la convenzione di alcuni linguaggi di programmazione (es. Fortran) secondo la quale le variabili i, j, k, ℓ, m, n indicano quantità intere. La rappresentazione grafica di un segnale a TD è quella riportata in fig. 1.12. Si osservi che, sebbene un segnale a TD sia rappresentato utilizzando come ascissa un retta, cioè un insieme continuo, esso è definito solo nei punti interi della retta, cioè quelli appartenenti all’insieme Z; in altre parole, nei punti dell’asse delle ascisse appartenenti all’insieme R − Z, un segnale a TD è semplicemente non definito. Come già evidenziato nell’es. 1.3, notiamo che dal punto di vista matematico un segnale a TD x(n) è assimilabile ad una successione, e pertanto per il suo studio si possono applicare tutti i risultati matematici disponibili per le successioni. 2 Un

insieme discreto è un insieme costituito da un numero finito di elementi oppure costituito da un numero infinito numerabile di elementi (cioè i suoi elementi sono ordinabili in successione). In altre parole, un insieme è discreto se può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; ad esempio, sono discreti l’insieme dei numeri interi relativi Z e quello dei numeri razionali Q. D’altra parte, un insieme continuo è un insieme infinito non numerabile, ad esempio, sono continui l’insieme [0, 1[ e l’insieme dei numeri reali R.

1.4 Classificazione elementare dei segnali

11

60 50 40

x(n)

30 20 10 0 3 gennaio 1995

−10 0

10

3 gennaio 1996

20

30

40

50

n

Fig. 1.13. Esempio di serie temporale (segnale a TD): il prezzo in dollari di un’azione IBM alla borsa di New York preso con cadenza settimanale nel corso di un anno. ◮ Esempio 1.11 (serie temporale) Si consideri il segnale x(n) disegnato in fig. 1.13, che rappresenta il prezzo (in dollari) di un’azione IBM (valore di chiusura) alla borsa di New York presa con cadenza settimanale dal 3 gennaio 1995 al 3 gennaio 1996. Tale segnale è intrinsecamente discreto, in quanto presenta valori solo in corrispondenza dell’insieme discreto delle settimane dell’anno. Un segnale a TD di questo tipo viene denominato serie temporale o serie storica. Altri esempi di serie storiche sono l’inflazione mensile calcolata dall’ISTAT, la produzione di un certo bene nei diversi mesi dell’anno, ecc. Le serie storiche sono molto utilizzate nella statistica, nell’economia e nella finanza. ◭

Una serie temporale è un segnale “intrinsecamente” a TD, in quanto descrive un fenomeno in cui la variabile indipendente è discreta (ad esempio rappresenta un giorno, un mese, o un anno). I segnali del mondo fisico, tuttavia, ed in particolare quelli caratteristici dell’elettrotecnica e nell’elettronica, sono quasi sempre a TC: è importante allora considerare la classe dei segnali a TD che si ottengono dai segnali a TC mediante l’operazione di campionamento. ◮ Esempio 1.12 (campionamento) Dato un segnale a TC x(t), e definito un passo di campionamento Tc ed una frequenza di campionamento fc = 1/Tc , si definisce campionamento (in inglese, sampling) o conversione t/n del segnale x(t) il segnale x(n) ottenuto da x(t) mediante la relazione seguente: x(n) = x(nTc ) . In pratica, il segnale x(n) è composto dai campioni, prelevati con passo Tc , del segnale x(t). Ad esempio, dal campionamento della sinusoide a TC x(t) = A cos(ω0t), raffigurata in fig. 1.14(a), si ottiene la sinusoide a TD ◭ x(n) = A cos(ω0 nTc ), rappresentata in fig. 1.14(b) per ω0 Tc = π /4.

L’operazione inversa del campionamento prende il nome di interpolazione o ricostruzione, e consente di passare da un segnale a TD ad un segnale a TC. ◮ Esempio 1.13 (interpolazione lineare) Il più semplice esempio di interpolazione è l’interpolazione lineare, ottenuta congiungendo con segmenti di retta le ampiezze dei campioni del segnale a TD, supposte equispaziate di Tc (passo di interpolazione). Posto x(n) = x(nTc ) e x(n + 1) = x[(n + 1)Tc ], l’espressione del segnale a TC x(t) ottenuto per interpolazione lineare nell’intervallo [nTc , (n + 1)Tc ] è:   x(n + 1) − x(n) (t − nTc ) , t ∈ [nTc , (n + 1)Tc ] . x(t) = x(n) + Tc In fig. 1.15(b) è rappresentato il segnale a TC ottenuto interpolando linearmente i campioni x(n) del segnale sinusoidale dell’es. 1.12. Si noti che l’interpolazione lineare non consente, anche visivamente, la perfetta

12

Segnali e sistemi: introduzione

x(nTc )

x(t)

x(n)

A

A

3 4 5 Tc

-2 -1

t

-A

1 2

n

-A

(a)

(b)

Fig. 1.14. Campionamento di un segnale: (a) il segnale sinusoidale a TC x(t) dell’es. 1.12 ed i suoi campioni x(nTc ), uniformemente spaziati di Tc (passo di campionamento); (b) il segnale a TD x(n) ottenuto campionando il segnale x(t) per ω0 T = π /4 (si noti la spaziatura unitaria tra i campioni del segnale a TD).

x(n)

x(nTc )

x(t)

A

A

3 4 5 -2 -1

1 2

-A

(a)

Tc

n

t

-A

(b)

Fig. 1.15. Interpolazione di un segnale: (a) il segnale a TD x(n) dell’es. 1.12; (b) il segnale a TC x(t) dell’es. 1.13 ottenuto interpolando linearmente i campioni x(nTc ).

1.4 Classificazione elementare dei segnali

segnale a TC

campion .

segnale a TD

13

segnale a TD

interp.

segnale a TC

Tc

Tc

Fig. 1.16. Schema a blocchi di un campionatore (si noti il passo di campionamento Tc indicato in basso).

Fig. 1.17. Schema a blocchi di un interpolatore (si noti il passo di interpolazione Tc indicato in basso).

ricostruzione del segnale analogico originario; in particolare, il segnale interpolato x(t) presenta, a differenza della sinusoide originale, un andamento “a spezzata”. ◭

L’interpolazione lineare non è l’unico tipo di interpolazione possibile: in particolare, l’esempio precedente mostra che se si vuole ottenere un andamento più “dolce” del segnale interpolato è necessario ricorrere a tecniche di interpolazione più sofisticate. In ogni caso, la teoria del campionamento e dell’interpolazione, ed in particolare la fondamentale questione se un segnale a TC, dopo essere stato campionato, possa essere ricostruito perfettamente a partire dai suoi campioni (teorema del campionamento), sarà studiata approfonditamente nel cap. 7. Notiamo infine che campionamento e interpolazione possono essere interpretati come sistemi, denominati rispettivamente campionatore ed interpolatore, e rappresentati graficamente in fig. 1.16 e fig. 1.17.

14

Segnali e sistemi: introduzione

Red

z R(x,y)

Green

z G(x,y)

Blue

z B(x,y)

Fig. 1.18. Esempio di segnale vettoriale: un’immagine a colori si può decomporre nelle componenti RGB, e quindi nei segnali zR (x, y), zG (x, y), zB (x, y).

1.4.2 Proprietà della variabile dipendente

Definizione 1.7 (segnale scalare/vettoriale) (a) Un segnale si dice scalare se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è uno scalare. (b) Un segnale si dice vettoriale se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è un vettore, ovvero un “array” di scalari. Negli esempi visti in precedenza, i segnali sono tutti scalari. Un esempio di segnale vettoriale è l’immagine a colori, discusso nell’esempio seguente. ◮ Esempio 1.14 (immagine a colori) Una immagine fissa a colori (fig. 1.18) può essere decomposta dalle sue tre componenti fondamentali, rosso (R), verde (G) e blu (B), e quindi può essere descritta da tre segnali monocromatici associati a ciascuna componente, siano essi zR (x, y), zG (x, y), zB (x, y). In questo caso il segnale è complessivamente una funzione vettoriale di due variabili: z(x, y) = [zR (x, y), zG (x, y), zB (x, y)] . Combinando opportunamente questi tre segnali è possibile riprodurre l’immagine a colori originaria. Se l’immagine a colori è in movimento (filmato a colori), alle due variabili indipendenti spaziali bisogna aggiungere una variabile temporale, per cui il segnale sarà descritto da una funzione vettoriale z(x, y,t) di tre variabili. ◭

1.4 Classificazione elementare dei segnali

15

x(t) 5

...

... t

-5

Fig. 1.19. Esempio di segnale ad ampiezza discreta: il segnale logico dell’es. 1.15.

Definizione 1.8 (segnale ad ampiezza continua/discreta) (a) Un segnale si dice ad ampiezza continua (AC) se la variabile dipendente (ampiezza) varia in un insieme continuo. (b) Un segnale si dice ad ampiezza discreta (AD) se la variabile dipendente (ampiezza) varia in un insieme discreto. Sulla base del modello matematico (1.1), utilizzato per descrivere un segnale, il codominio X della funzione è un insieme continuo per un segnale ad ampiezza continua, mentre X è un insieme discreto per un segnale ad ampiezza discreta. I segnali visti negli esempi precedenti sono tutti ad ampiezza continua: ad esempio, la sinusoide degli es. 1.1 e 1.2 assume con continuità tutti i valori dell’intervallo [−A, A] ≡ X. Un esempio di segnale ad ampiezza discreta è il segnale logico. ◮ Esempio 1.15 (segnale logico) La codifica degli stati logici “0” (falso) ed “1” (vero) avviene in un circuito digitale associando ad essi due livelli di tensione (in Volt), ad esempio 5V per rappresentare lo stato “0” e −5V per rappresentare lo stato ”1”. Il segnale risultante x(t) (fig. 1.19) descrive la variazione dello stato logico nel tempo. Si tratta di un segnale a tempo continuo ma ad ampiezza discreta, visto che il suo codominio X = {−5, 5} è costituito solo da due valori. ◭

Un segnale ad ampiezza discreta si può ottenere da un segnale ad ampiezza continua mediante una opportuna trasformazione delle ampiezze, detta quantizzazione. In pratica tale operazione consiste nell’effettuare una discretizzazione delle ampiezze continue del segnale, rimpiazzandole con un numero finito di possibili valori. Il vantaggio che si consegue con la quantizzazione è che, se il numero delle ampiezze è finito, esse possono essere rappresentate mediante cifre binarie “0” ed ”1” (bit). ◮ Esempio 1.16 (quantizzazione) Si consideri il segnale sinusoidale a TD x(n) = A cos(ω0 nT ) dell’es. 1.12, raffigurato in fig. 1.20(a). Esso può essere trasformato in un segnale ad ampiezza discreta con due soli livelli ±A mediante l’operazione di quantizzazione “ad un bit”: ( +A , se x(n) ≥ 0 ; y(n) = −A , altrimenti . Il segnale risultante è mostrato in fig. 1.20 (b). La quantizzazione si dice “ad un bit” in quanto l’ampiezza

16

Segnali e sistemi: introduzione

y(n) A

x(n) A

3 4 5

3 4 5 -2 -1

1 2

n

-2 -1

1 2

n

-A

-A

(a)

(b)

Fig. 1.20. Quantizzazione di un segnale: (a) il segnale a TD x(n) dell’es. 1.12; (b) il segnale ad ampiezza discreta y(n) dell’es. 1.16 ottenuto quantizzando con due livelli A e −A il segnale x(n).

segnale ad ampiezza continua

quantizz .

segnale ad ampiezza discreta

Fig. 1.21. Schema a blocchi di un quantizzatore. assume due soli valori, e quindi può essere rappresentata con un solo bit, ad esempio “1” per l’ampiezza A e “0” per l’ampiezza −A. ◭

Anche l’operazione di quantizzazione si può interpretare come un sistema, denominato quantizzatore, e raffigurato in fig. 1.21. Così come il campionamento, anche la teoria della quantizzazione sarà approfondita nel cap. 7.

discreta

17

segnali a TC/AD

segnali digitali (TD/AD)

continua

ampiezza

1.4 Classificazione elementare dei segnali

segnali analogici (TC /AC)

segnali a TD/AC

continuo

discreto tempo

Fig. 1.22. Le quattro categorie di segnali che si ottengono combinando le classificazioni nel tempo ed in ampiezza. Tra esse, le categorie dei segnali analogici e digitali sono le uniche di interesse applicativo.

1.4.3 Segnali analogici e digitali

Dal punto di vista applicativo, le classificazioni più importanti tra quelle viste in precedenza sono quella tra segnali a tempo continuo o discreto, e tra segnali ad ampiezza continua o discreta. Poiché tali classificazioni riguardano una il tempo e l’altra l’ampiezza del segnale, esse sono indipendenti, e dalla loro combinazione scaturiscono quattro possibili categorie di segnali (fig. 1.22). Di queste, tuttavia, solo le due che seguono hanno un’importanza rilevante nelle applicazioni, tanto da meritare una denominazione particolare: Definizione 1.9 (segnale analogico/digitale) (a) Un segnale si dice analogico se è a tempo continuo e ad ampiezza continua. (b) Un segnale si dice digitale o numerico se è a tempo discreto e ad ampiezza discreta (con un numero finito di ampiezze). I segnali del mondo fisico sono analogici, in quanto i fenomeni fisici evolvono con continuità sia nel tempo che in ampiezza, e per il loro studio matematico, affrontato già a partire dal XVIII secolo, esistono metodologie ben consolidate. Viceversa, l’interesse per i segnali digitali è più recente, ma essi rivestono un ruolo predominante nello scenario tecnologico attuale, in quanto possono essere rappresentati mediante stringhe di bit ed immagazzinati ed elaborati mediante dispositivi digitali (elaborazione digitale dei segnali o digital signal processing, DSP), con vantaggi rilevanti in termini di costi e flessibilità (si veda l’es. 1.18 e la successiva discussione).

18

Segnali e sistemi: introduzione

uscita

ingresso 1

x(t)

sistema a TC

y(t)

ingresso 2 (a)

(a) uscita

ingresso 1

x(n) ingresso 2

sistema a TD

y(n)

(b)

(b) Fig. 1.23. Esempi di sistemi MISO; (a) sommatore a due ingressi; (b) moltiplicatore a due ingressi.

Fig. 1.24. Rappresentazione di un sistema SISO mediante schema a blocchi: (a) sistema a TC; (b) sistema a TD.

1.5 Classificazione elementare dei sistemi Come i segnali, anche i sistemi possono essere classificati sulla base delle loro proprietà elementari, quali il numero degli ingressi e delle uscite, e la natura temporale (a tempo continuo o a tempo discreto) degli ingressi e delle uscite. Definizione 1.10 (sistema SISO/MISO/SIMO/MIMO) (a) Un sistema con un ingresso ed una uscita si dice single-input single-output (SISO). (b) Un sistema con più ingressi ed una uscita si dice multiple-input single-output (MISO). (c) Un sistema con un ingresso e più uscite si dice single-input multiple-output (SIMO). (d) Un sistema con più ingressi e più uscite si dice multiple-input multiple-output (MIMO). I sistemi visti in precedenza, quali ad esempio il partitore resistivo, il campionatore, l’interpolatore, ed il quantizzatore, sono tutti di tipo SISO. Semplici esempi di sistemi MISO sono il sommatore ed il moltiplicatore, raffigurati schematicamente in fig. 1.23. Nel seguito, a parte il caso dei sommatori e dei moltiplicatori, faremo esclusivamente riferimento a sistemi SISO: per questo motivo, quando parleremo di sistema, supporremo implicitamente che esso sia di tipo SISO. Definizione 1.11 (sistema a tempo continuo/discreto/misto) (a) Un sistema si dice a tempo continuo (TC) se l’ingresso e l’uscita sono entrambi segnali a tempo continuo. (b) Un sistema si dice a tempo discreto (TD) se l’ingresso e l’uscita sono entrambi segnali a tempo discreto. (c) Un sistema si dice misto (o ibrido) se l’ingresso e l’uscita sono uno a tempo continuo e l’altro a tempo discreto, o viceversa.

1.5 Classificazione elementare dei sistemi

segnale analogico

segnale analogico

19

A/D

segnale digitale

segnale campionato campion .

quantizz .

(a)

segnale digitale

(b)

Tc Fig. 1.25. Conversione A/D: (a) schema a blocchi di un convertitore A/D; (b) rappresentazione schematica della conversione A/D come un campionamento seguito da una quantizzazione.

Sulla base del modello (1.2) utilizzato per descrivere matematicamente un sistema, nel caso di sistemi a TC, entrambi gli insiemi I e U dei segnali di ingresso e di uscita racchiudono solo segnali a TC, mentre I e U sono costituiti solo da segnali a TD nel caso di sistemi a TD ed, infine, nel caso di sistemi misti, l’insieme I racchiude solo segnali a TC, mentre U contiene solo segnali a TD, o viceversa. Praticamente tutti i sistemi del mondo fisico evolvono con continuità nel tempo, e quindi sono sistemi a TC: ad esempio una rete elettrica, come il partitore dell’es. 1.5, è un sistema a TC. In accordo con la simbologia introdotta in fig. 1.6, un generico sistema a TC può essere rappresentato con lo schema a blocchi in fig. 1.24(a). I sistemi a TD non esistono generalmente “in natura”, ma sono di grande interesse in quanto descrivono numerosi fenomeni delle scienze naturali ed umane (ad esempio, in campo economico o sociale); essi sono inoltre di grande interesse ingegneristico, in quanto consentono di “simulare” mediante un calcolatore digitale il comportamento di un sistema fisico. Un generico sistema a TD si rappresenta con lo schema a blocchi in fig. 1.24(b). Notiamo infine che talvolta i sistemi a TC sono anche denominati sistemi analogici, ed i sistemi a TD sono denominati, in maniera lievemente imprecisa, sistemi digitali.3 Infine, i sistemi misti (TC/TD o TD/TC) sono molto utili quando bisogna passare dal mondo “fisico” dei segnali a TC al mondo “virtuale” dei segnali a TD, e viceversa. Esempi significativi di sistemi di questo tipo sono il campionatore (es. 1.12), che presenta ingresso a TC e uscita a TD, e l’interpolatore (es. 1.13), che presenta ingresso a TD e uscita a TC. Il seguente esempio introduce due ulteriori esempi di sistemi misti. ◮ Esempio 1.17 (conversione A/D e D/A) Un segnale analogico può essere convertito in un segnale digitale mediante una conversione A/D, effettuata da un sistema denominato convertitore A/D (fig. 1.25). Per effettuare tale conversione è necessario discretizzare sia i tempi che le ampiezze del segnale, e quindi bisogna effettuare sia un campionamento (cfr. es. 1.12), sia una quantizzazione (cfr. es. 1.16). Lo schema del convertitore A/D riportato in fig. 1.25 è puramente di principio; in un convertitore A/D reale (denominato anche analog-todigital converter, ADC), le operazioni di campionamento e quantizzazione non sono necessariamente effettuate nell’ordine visto, e spesso non sono nemmeno chiaramente separabili. Inoltre, in un ADC sarà presente in uscita anche un codificatore binario per trasformare le ampiezze del segnale quantizzato in stringhe di bit. La conversione inversa (da segnale digitale ad analogico) prende il nome di conversione D/A ed è effettuata da un convertitore D/A (fig. 1.26): essa consiste fondamentalmente in una operazione di interpolazione 3 Più

precisamente, i sistemi digitali sono particolari sistemi a TD implementati con un’aritmetica a precisione finita.

20

Segnali e sistemi: introduzione

segnale digitale

D/A

segnale analogico

(a)

segnale digitale

interp.

segnale analogico

(b)

Tc Fig. 1.26. Conversione D/A: (a) schema a blocchi di un convertitore D/A; (b) rappresentazione schematica della conversione D/A in termini di interpolazione.

(cfr. es. 1.13), in quanto gli effetti della quantizzazione sono irreversibili, e quindi non può esistere una operazione inversa di “dequantizzazione”. Un convertitore D/A reale (denominato anche digital-to-analog converter, DAC), accetta in ingresso stringhe di bit, che sono trasformate in valori di ampiezza da un decodificatore binario, prima di effettuare l’interpolazione. ◭

Un’applicazione particolarmente interessante dei sistemi misti, ed in particolare dei convertitori A/D e D/A, è lo schema classico dell’elaborazione digitale dei segnali o digital signal processing (DSP) riportato in fig. 1.27, e finalizzato ad elaborare un segnale analogico in maniera digitale. In tale schema, un segnale analogico x(t) viene prima convertito, mediante un convertitore A/D, in un segnale digitale x(n); successivamente, il segnale x(n) viene elaborato mediante un sistema digitale, ed il segnale risultante y(n) viene nuovamente trasformato in un segnale analogico dal convertitore D/A. Si noti che il sistema complessivo (tratteggiato in fig. 1.27) è un sistema analogico; per questo motivo, lo schema di fig. 1.27 può essere interpretato anche come uno schema di simulazione di un sistema analogico mediante un sistema digitale. Rispetto ad una elaborazione analogica del segnale x(t), lo schema digitale in fig. 1.27 offre alcuni vantaggi importanti, quali maggiore flessibilità, minore ingombro, minore consumo di potenza e, non ultimo, minor costo dell’hardware. Per questo motivo, schemi DSP del tipo precedentemente visto trovano applicazioni in quasi tutti i moderni settori della tecnologia, dalle telecomunicazioni all’informatica, alla biomedica, all’automazione, alle costruzioni aerospaziali, ai trasporti, e numerosi altri.

x(t)

A/D

x(n)

sistema digitale

y(n)

D/A

sistema analogico Fig. 1.27. Schema classico per l’elaborazione digitale dei segnali.

y(t)

1.5 Classificazione elementare dei sistemi

21

registrazione masterizzatore analogico microfono

disco in vinile

amplificatori

trasduttore ("puntina ") altoparlante riproduzione

Fig. 1.28. Schema analogico per la registrazione/riproduzione audio. L’informazione è memorizzata sul disco in vinile in forma analogica (come profondità del solco).

La sintesi e l’analisi dei convertitori A/D e D/A saranno approfondite nel cap. 7. Tuttavia l’esempio che segue mostra come tali sistemi giochino un ruolo fondamentale in una familiare applicazione dell’elettronica di consumo. ◮ Esempio 1.18 (schemi analogici e digitali per la registrazione/riproduzione audio) In fig. 1.28 si riporta lo schema di principio che descrive la registrazione di un brano musicale su un disco in vinile e la sua successiva riproduzione, entrambe effettuate in maniera analogica. Il brano da registrare viene captato da un microfono, che si comporta da trasduttore, ovvero converte la pressione acustica del suono in un segnale elettrico. Tale segnale elettrico, di debole intensità, viene amplificato e inviato ad un masterizzatore (analogico). Il masterizzatore si comporta da attuatore, trasforma cioè il segnale elettrico in un segnale che comanda l’incisione dei solchi su un supporto (master), tipicamente in materiale metallico pregiato. Il profilo dei solchi del disco riproduce il più fedelmente possibile l’ampiezza del segnale audio all’ingresso del masterizzatore. Una volta inciso il master, da esso si possono ricavare dei master secondari, e da questi ultimi le copie in materiale plastico (vinile), che vengono vendute all’utente finale. Da ciascuna copia, l’utente può riascoltare il brano inciso utilizzando un giradischi, nel quale un trasduttore – la cosiddetta “puntina” – muovendosi lungo i solchi converte il movimento verticale in una debole tensione elettrica, che dopo essere stata amplificata può essere applicata ai diffusori acustici (le casse) e finalmente ascoltata. Lo schema di registrazione/riproduzione analogica precedentemente visto è stato tuttavia sostituito al giorno d’oggi dallo schema digitale riportato in fig. 1.29. In esso, la differenza significativa è che il segnale captato dal microfono, dopo l’amplificatore, viene sottoposto ad una conversione A/D, codificato in bit, ed inviato ad un masterizzatore (digitale), il quale memorizza su un supporto ottico (il compact disc) le stringhe di bit che rappresentano il segnale dopo il campionamento e la quantizzazione, bruciando con un laser in misura maggiore o minore le zone del disco. Successivamente, l’informazione binaria può essere letta dal compact disc utilizzando un trasduttore ottico (ancora un laser): le stringhe di bit vengono decodificate, ed inviate ad un convertitore D/A. Successivamente il segnale viene amplificato e riprodotto mediante i diffusori acustici (le casse). ◭

L’es. 1.18 può servire per evidenziare più chiaramente alcuni dei numerosi vantaggi che lo schema digitale presenta rispetto a quello analogico.

22

Segnali e sistemi: introduzione

registrazione

A/D

masterizzatore digitale

microfono

compact disc

amplificatori

D/A

trasduttore (laser )

altoparlante riproduzione

Fig. 1.29. Schema digitale per la registrazione/riproduzione audio. L’informazione è memorizzata sul compact disc in forma digitale (come stringhe di bit).

Il vantaggio principale è che l’informazione, una volta memorizzata in maniera digitale, può essere riprodotta infinite volte e senza quasi alcuna degradazione. Infatti, se il supporto analogico (il disco in vinile) è sottoposto a deterioramento, polvere, graffi, deformazioni, ecc., queste si traducono comunque in una degradazione acusticamente percepibile della qualità del segnale audio (fruscio, “click”, ecc.); di contro, piccole degradazioni del supporto digitale (il compact disc), tali da non comportare scambi in lettura tra “0” ed “1” (o viceversa), non determinano alcuna degradazione della qualità del segnale audio. Esiste evidentemente la possibilità che, a causa di degradazioni più significative del supporto digitale, uno o più bit possano essere letti erroneamente, ma a tale evenienza si può porre rimedio mediante tecniche sofisticate per la rivelazione e correzione di errori (codifica di canale): questo è un altro vantaggio dello schema digitale su quello analogico, in quanto in quest’ultimo caso non sono concepibili tecniche semplici per la protezione dagli errori. Un altro vantaggio della conversione digitale è che differenti sorgenti di informazione, una volta convertite in stringhe di bit, possono essere facilmente memorizzate in maniera integrata su uno stesso supporto; si pensi ad esempio al supporto DVD (digital versatile disc) in cui si integrano con facilità informazioni “multimediali” quali video, audio, e dati di varia natura. Infine l’informazione digitale, essendo stata convertita in bit, può più facilmente essere elaborata, memorizzata, compressa, protetta, anche con un semplice personal computer (PC). Di contro, l’elaborazione dell’informazione analogica comporta l’uso di sofisticate apparecchiature professionali, costose da progettare e da realizzare. Non a caso, con l’avvento delle tecniche digitali, è diventato possibile per chiunque disporre di uno studio di registrazione audio semiprofessionale o di una stazione per l’editing video basati su un PC sufficientemente potente, a costi sempre più bassi, dell’ordine di qualche migliaio di euro.

24

Segnali e sistemi: introduzione

Capitolo 2

Proprietà dei segnali

I

n questo capitolo, che costituisce la naturale prosecuzione del precedente, viene ulteriormente approfondito lo studio dei segnali. In particolare, dopo aver introdotto le operazioni elementari che si possono effettuare sui segnali, viene definito e discusso il concetto di estensione temporale e di durata di un segnale. Successivamente si introducono le definizioni di area e media temporale di un segnale, che consentono di calcolare la componente continua ed alternata di un segnale arbitrario. Infine, sono definiti e discussi i fondamentali concetti di energia e potenza, sulla base dei quali è possibile classificare ulteriormente i segnali in segnali di energia e segnali di potenza. Nel corso del capitolo saranno introdotti numerosi segnali cosiddetti elementari, che possono considerarsi alla stregua di “mattoni”, assemblando i quali è possibile ottenere quasi tutti i segnali di interesse pratico.

2.1 Operazioni elementari sui segnali Poiché i segnali deterministici a TC sono descritti mediante funzioni di variabili reali, tutti i concetti e le operazioni introdotti nei corsi di analisi matematica per le funzioni valgono anche per i segnali TC; in particolare, con riferimento a un segnale TC, è possibile introdurre i concetti di limite e continuità, e le operazioni di derivazione e integrazione. Allo stesso modo, poiché i segnali deterministici a TD sono descritti mediante successioni, tutti i concetti e le operazioni definiti per le successioni sono validi anche per i segnali a TD; in particolare, per un segnale TD, è possibile definire le nozioni di limite e serie. Alcune definizioni e operazioni fondamentali sulle funzioni e sulle successioni sono brevemente richiamati nell’app. B. Tuttavia, esistono alcune operazioni elementari sulle funzioni che giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei segnali e dei sistemi e, pertanto, meritano una particolare attenzione. Tali operazioni si possono schematicamente classificare come: • trasformazioni della variabile dipendente (l’ampiezza); • trasformazioni della variabile indipendente (il tempo). Anticipiamo che mentre le prime sono più semplici da interpretare, le seconde sono più complesse e soggette talvolta ad errori di interpretazione. In aggiunta a tali operazioni elementari, vi sono altre operazioni meno elementari che sono di stretto interesse dal punto di vista della teoria dei segnali

26

Proprietà dei segnali

x1 (·)

y(·)

x2 (·)

(a) x1 (·)

y(·)

x2 (·)

(b) Fig. 2.1. Operazioni sui segnali: (a) somma di due segnali; (b) moltiplicazione di due segnali.

e dei sistemi, quali, ad esempio, le operazioni di derivazione ed integrazione per segnali TC. La rivisitazione di tali proprietà consentirà di ottenere alcune importanti generalizzazioni, che porteranno in particolare a definire un particolare segnale TC dalle “strane” proprietà, detto impulso di Dirac. Inoltre, nel caso TD, in stretta analogia alle operazioni di derivazione ed integrazione per il caso TC, saranno definite due operazioni corrispondenti, denominate differenza prima e somma corrente. 2.1.1 Trasformazioni della variabile dipendente

Tra le trasformazioni elementari della variabile dipendente, considereremo in particolare la somma di due segnali, il prodotto di due segnali, la moltiplicazione di un segnale per una costante. Somma

La somma di due segnali1 y(·) = x1 (·) + x2 (·) si effettua sommando punto a punto le ordinate delle funzioni corrispondenti. La somma di due segnali si può interpretare come un sistema MISO (a due ingressi ed una uscita) (cfr. § 1.5) denominato sommatore e rappresentato schematicamente in fig. 2.1(a). La somma si può estendere facilmente a più di due segnali, così come si può generalizzare lo schema del sommatore anche al caso in cui alcuni segnali siano sottratti anziché sommati (in questo caso si aggiunge un segno “–” in prossimità del corrispondente ingresso del sommatore). Prodotto

In maniera simile alla somma, si definisce il prodotto di due segnali y(·) = x1 (·) x2 (·) . 1 Qui

e nel seguito, useremo la notazione del tipo x(·) per denotare indifferentemente un segnale TC x(t) o TD x(n).

2.1 Operazioni elementari sui segnali

x(·)

27

a

y(·)

Fig. 2.2. Schema a blocchi di un amplificatore/attenuatore.

Il prodotto di due segnali si può interpretare anch’esso come un sistema MISO (a due ingressi ed una uscita) denominato moltiplicatore e rappresentato in fig. 2.1(b). Anche la definizione di prodotto e lo schema del moltiplicatore può essere generalizzato in modo ovvio al caso di più di due ingressi. Moltiplicazione per una costante

La moltiplicazione di un segnale per una costante y(·) = a x(·) , con a > 0, corrisponde a moltiplicare tutti i valori di ampiezza del segnale per il fattore a. Tale operazione può essere interpretata come l’effetto di un sistema SISO denominato amplificatore (se a > 1) o attenuatore (se a < 1), raffigurato in fig. 2.2. Genericamente, il fattore a viene denominato guadagno dell’amplificatore/attenuatore. Se a = −1, l’operazione y(·) = −x(·) corrisponde ad un cambio di segno delle ampiezze del segnale, e viene denominata inversione (da non confondere con la riflessione temporale che è discussa dopo). Più in generale, se a < 0, l’operazione y(·) = a x(·) si può riguardare come un’inversione seguita da un’amplificazione (o attenuazione) con guadagno |a|; lo schema di fig. 2.2 può essere utilizzato anche in questo caso. 2.1.2 Trasformazioni della variabile indipendente

Tra le trasformazioni elementari della variabile indipendente considereremo la traslazione temporale, la riflessione temporale, ed il cambiamento di scala temporale; per quest’ultima operazione, in particolare, considereremo alcune caratteristiche peculiari del caso TD, attraverso l’introduzione delle operazioni di decimazione ed espansione. Traslazione temporale (ritardo/anticipo)

La traslazione temporale di un segnale TC si definisce come y(t) = x(t − t0 ) , dove per t0 > 0 si ha una traslazione verso destra del segnale, o ritardo, mentre per t0 < 0 si ha una traslazione verso sinistra, o anticipo, come rappresentato in fig. 2.3. Si noti che una traslazione temporale non modifica la forma del segnale, ma comporta solo una variazione del riferimento temporale. Una definizione analoga di traslazione temporale si può dare per un segnale TD: y(n) = x(n − n0 ) , dove però, a differenza del caso TC, il parametro della traslazione n0 assume necessariamente valori interi, cioè n0 ∈ Z: in altri termini, un segnale TD può essere traslato solo di quantità intere.

28

Proprietà dei segnali

x(t)

(a)

t2

t1

t

y(t) = x(t-t0) t0 > 0

(b)

t2+t0 t

t1+t0 y(t) = x(t-t0) t0 < 0 (c)

t1+t0

t2+t0

t

Fig. 2.3. Traslazione temporale di un segnale TC: (a) segnale originario; (b) segnale ritardato (t0 > 0); (c) segnale anticipato (t0 < 0). Riflessione temporale

La riflessione temporale di un segnale consiste nel ribaltamento della scala dei tempi, secondo le seguenti relazioni, valide rispettivamente per il caso TC e TD: y(t) = x(−t) ; y(n) = x(−n) . Un esempio di riflessione per un segnale TC è riportato in fig. 2.4; in pratica il grafico del segnale subisce una rotazione intorno all’asse delle ordinate (si noti che il valore in t = 0 oppure n = 0 resta immutato per effetto della riflessione). Dal punto di vista fisico, se ad esempio il segnale x(t) rappresenta l’audio di un brano musicale, la riflessione corrisponde a riprodurre il brano al contrario. Un segnale TC invariante alla riflessione, x(−t) = x(t), si dice pari; invece, un segnale TC invariante rispetto alla cascata di una riflessione e inversione, x(t) = −x(−t), si dice dispari. Analogamente, un segnale TD si dice pari se x(−n) = x(n), dispari se x(n) = −x(−n). Ad esempio, in fig. 2.5 (a)

2.1 Operazioni elementari sui segnali

29

x(t)

(a)

t2

t1

t

y(t) = x(-t)

(b)

- t1

- t2

t

Fig. 2.4. Riflessione temporale di un segnale TC: (a) segnale originario; (b) segnale riflesso.

e (b) sono raffigurati due esempi di segnali pari, mentre in fig. 2.5 (c) e (d) sono raffigurati due esempi di segnali dispari. Si noti che un segnale pari o dispari è completamente descritto dal suo andamento per valori positivi (oppure negativi) della variabile indipendente. A partire dalla definizione di segnale pari e dispari, si possono facilmente dimostrare (la dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio) le seguenti semplici proprietà: Proprietà 2.1 (proprietà elementari dei segnali pari e dispari) (a) Se x(·) è dispari ed è definito il suo valore nell’origine, risulta necessariamente x(0) = 0. (b) La somma di due segnali pari [dispari] è un segnale pari [dispari]. (c) Il prodotto di due segnali pari è un segnale pari, mentre il prodotto di due segnali dispari è un segnale pari. (d) Il prodotto di un segnale pari e di un segnale dispari è un segnale dispari. (e) Ogni segnale x(·) (nè pari nè dispari) può essere decomposto come x(·) = Pa[x(·)] + Di[x(·)], dove Pa[x(·)] =

x(·) + x(−(·)) 2

e

Di[x(·)] =

x(·) − x(−(·)) . 2

sono rispettivamente la componente pari (o parte pari) e la componente dispari (o parte dispari) del segnale x(·). Un esempio di decomposizione di un segnale TC in parte pari e dispari è riportato in fig. 2.6.

30

Proprietà dei segnali

x(t)

x(n)

(a)

(b)

-3 -2 -1

t

1

0

2

3

n

x(n)

x(t)

(d)

(c)

1 -3 -2 -1

t

2

0

3

n

Fig. 2.5. Invarianza alle riflessioni/inversioni: (a) segnale pari a TC; (b) segnale pari a TD; (c) segnale dispari a TC; (b) segnale dispari a TD. x(t) 2

1

-1

t

Pa[x(t)]

Di[x(t)]

1 1 -1 -1

1

1

t -1 -1

Fig. 2.6. Esempio di decomposizione di un segnale TC in parte pari e dispari.

t

2.1 Operazioni elementari sui segnali

31

x(t)

(a)

t2

t1

t

y(t) = x(at) a>1

(b)

t1/a

t2/a

t

y(t) = x(at) a 1); (b) segnale espanso (0 < a < 1). Cambiamento di scala temporale

L’operazione di cambiamento di scala temporale presenta sostanziali differenze tra il caso TC e quello TD, per cui tratteremo separatamente questi due casi. Nel caso TC, il cambiamento di scala temporale è definito come y(t) = x(at) , dove a ∈ R+ : per a > 1, in particolare, si ha una compressione dei tempi [fig. 2.7(a)], mentre per 0 < a < 1 si ha una espansione dei tempi [fig. 2.7(b)]; il caso a = 1 lascia ovviamente il segnale inalterato. Si noti che sia nel caso della compressione che dell’espansione, il valore del segnale per t = 0 rimane inalterato. Nel caso a < 0, l’operazione y(t) = x(at) non è elementare, in quanto si può riguardare come la cascata di una riflessione e di un cambiamento di scala di |a| > 0. Dal punto di vista fisico, se il segnale x(t) è l’audio di un brano musicale, la compressione corrisponde a riprodurre il segnale in un tempo più piccolo, e quindi a velocità maggiore (ad esempio, si ha una compressione se si riproduce un disco in vinile a 33 giri alla velocità di un 45 giri), mentre con

32

Proprietà dei segnali

x(n)

(a)

-9

-7 -8

-2 -6 -5 -4 -3

1 -1

4

0

2

3

7 5 6

9 8

n

y(n) = x(3n) x(0) x(-3) x(-6)

x(6)

x(3)

(b)

3

-3 -2 -1

0

1

2

n

x(-9) x(9) Fig. 2.8. Decimazione di un segnale TD: (a) segnale originario; (b) segnale decimato con M = 3.

l’espansione si ottiene esattamente l’effetto opposto. Notiamo che per segnali a TC il cambiamento di scala dei tempi è una operazione perfettamente reversibile, ed in particolare un cambiamento di scala con fattore a è perfettamente compensato da un cambiamento di scala con fattore 1/a. Per segnali a TD, l’espressione y(n) = x(an) ha senso per a > 1 solo se a è intero, ovvero se a = M ∈ N, per cui si scrive: y(n) = x(nM) . In questo caso è possibile ancora parlare di compressione, ma nel caso TD si utilizza il termine più specifico di decimazione;2 infatti, se se sceglie M = 10, il segnale y(n) si ottiene dal segnale x(n) prendendo un campione ogni 10. Un esempio di decimazione con M = 3 è rappresentato graficamente in fig. 2.8; si noti l’effetto di compressione (minore durata) del segnale risultante, derivante dalla perdita di due campioni ogni tre del segnale originario. È proprio tale perdita dei campioni caratteristica della decimazione che segna la maggiore differenza tra il caso TD ed il caso TC; infatti, a differenza 2 L’uso

del termine “decimazione” rievoca la terribile tecnica adoperata dall’esercito nazista durante la seconda guerra mondiale per selezionare i prigionieri da sottoporre a fucilazione per rappresaglia, come accadde ad esempio in occasione del massacro delle Fosse Ardeatine.

2.1 Operazioni elementari sui segnali

33

x(n)

(a)

3

-3 -2 -1

0

1

2

n

y(n)=x[n/3] x(0) x(-2)

x(2) (b)

x(-1)

x(1)

-9

9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3 4 5

6 7

8

n

x(-3) x(3) Fig. 2.9. Espansione di un segnale TD: (a) segnale originario; (b) segnale espanso con L = 3.

della compressione di un segnale TC, la decimazione è una operazione non reversibile, perché alcuni campioni del segnale TD (in generale, M − 1 campioni ogni M) sono eliminati completamente. Passiamo ora ad esaminare l’operazione di espansione nel caso TD. Analogamente a quanto visto per la decimazione, l’espressione y(n) = x(an) non ha senso per qualunque a < 1, in quanto an non è un numero intero. Se anche, per analogia con il caso a = M, si assume a = 1/L, con L ∈ N, l’espressione y(n) = x(n/L) ha senso solo se n è multiplo di L. Le precedenti considerazioni inducono allora a definire l’operazione di espansione nel caso TD nel modo seguente (si noti l’uso “formale” delle parentesi quadre): hni △ = y(n) = x L

( n x , se n è multiplo di L ; L 0, altrimenti .

(2.1)

Un esempio di espansione per L = 3 è fornito in fig. 2.9; da tale esempio si capisce perché l’espansione viene denominata anche interpolazione con zeri, in quanto essa espande il segnale x(n) inserendo L−1 campioni nulli (zeri) tra due campioni consecutivi. A differenza della decimazione, l’espansione a TD è una operazione perfettamente reversibile, in quanto il segnale originario può essere ottenuto semplicemente eliminando gli zeri inseriti, ovvero facendo seguire all’espansione con fattore L una decimazione con uguale fattore M = L.

34

Proprietà dei segnali

2.1.3 Combinazione di operazioni elementari

Spesso un segnale è sottoposto in sequenza a più operazioni elementari del tipo precedentemente visto. Dal punto di vista matematico, una combinazione di operazioni elementari definisce una funzione composta, per cui non dovrebbe essere difficile individuare il segnale risultante; va detto però che spesso, specialmente quando sono coinvolte trasformazioni della variabile indipendente (tempo), è facile commettere errori. Per evitare ciò, il principio fondamentale da tener presente è che le trasformazioni che agiscono sull’asse dei tempi (ritardo, riflessione, cambiamento di scala) possono essere interpretate come semplici sostituzioni formali. Ad esempio, ritardare un segnale x(t) di 3 significa effettuare la seguente sostituzione: ogni volta che nell’espressione di x(t) compare t, sostituire ad esso t − 3 (sinteticamente, questa sostituzione si denota con t − 3 → t). Allo stesso modo, espandere un segnale x(t) di un fattore 2 significa effettuare la sostituzione t/2 → t. Tenendo bene a mente questo principio, si giungerà al risultato corretto, come illustrato dall’esempio che segue. ◮ Esempio 2.1 (combinazione di operazioni elementari, caso TC) Un segnale TC x(t) viene sottoposto nell’ordine alle seguenti operazioni: (1) riflessione; (2) ritardo di 3; (3) compressione di 2. Per individuare il segnale y(t) risultante, è conveniente seguire il seguente procedimento. Prima scriviamo le relazioni che descrivono le varie operazioni individualmente, introducendo dei segnali intermedi u(t), v(t), etc. Nel nostro caso, le tre operazioni sono descritte da: riflessione: u(t) = x(−t) ; ritardo di 3: v(t) = u(t − 3) ; compressione di 2: y(t) = v(2t) . Successivamente, effettuiamo sostituzioni simboliche a ritroso partendo dall’ultima espressione scritta: y(t) = v(2t) = u(2t − 3) = x[−(2t − 3)] = x(3 − 2t) , che è il risultato cercato. Si noti che quando effettuiamo sostituzioni a catena, operiamo sempre con sostituzioni formali in tutti i passaggi: ad esempio per calcolare v(2t) abbiamo effettuato la sostituzione 2t → t, mentre per calcolare u(2t − 3) abbiamo effettuato la sostituzione 2t − 3 → t. Procedendo in questo modo si giunge sempre al risultato corretto. ◭

È importante notare che, in generale, il risultato ottenuto dalla combinazione di più operazioni dipende anche dall’ordine con cui sono compiute tali operazioni. ◮ Esempio 2.2 (effetto dell’ordine nella combinazione di operazioni elementari, caso TC) Si riprenda per un momento l’es. 2.1 scambiando l’ordine delle operazioni, in particolare effettuiamo le stesse operazioni ma nel seguente ordine: (1) ritardo di 3; (2) riflessione; (3) compressione di 2. Utilizzando lo stesso procedimento dell’es. 2.1, descriviamo le tre operazioni individualmente e nell’ordine assegnato: ritardo di 3: u(t) = x(t − 3) ; riflessione: v(t) = u(−t) ; compressione di 2: y(t) = v(2t) .

2.1 Operazioni elementari sui segnali

35

Successivamente operiamo le sostituzioni ricorsivamente partendo dall’ultima espressione: y(t) = v(2t) = u(−2t) = x(−2t − 3) , ottenendo un segnale differente da quello dell’es. 2.1.

◭

Un altro problema che si pone in pratica è il seguente: dato un segnale ottenuto per combinazione di operazioni elementari, individuare quali siano le operazioni elementari ed in che ordine vadano effettuate. È importante infatti notare che uno stesso segnale si può ottenere con diverse combinazioni di operazioni elementari. L’esempio che segue chiarisce meglio quest’aspetto. ◮ Esempio 2.3 (individuazione delle operazioni elementari, caso TC) Si consideri il segnale   4−t y(t) = x . 5 Esso si può pensare ottenuto a partire da x(t) mediante le seguenti tre operazioni, nell’ordine elencato: t  espansione di un fattore 5: z(t) = x , 5 anticipo di 4: u(t) = z(t + 4) , riflessione: y(t) = u(−t) . Infatti si ha, sostituendo ricorsivamente a partire dall’ultima,     4−t −t + 4 =x . y(t) = u(−t) = z(−t + 4) = x 5 5 Si può verificare che il risultato dipende dall’ordine in cui si eseguono le operazioni. Ad esempio se si effettua prima la riflessione, poi l’anticipo, ed infine l’espansione, si ha: t   t  t  =v +4 = x − −4 y(t) = u 5 5 5 e quindi un risultato differente da quello precedente. D’altra parte, lo stesso segnale di partenza si può pensare ottenuto mediante una diversa combinazione di operazioni:   4 4 anticipo di : z(t) = x t + , 5 5 riflessione: u(t) = z(−t) , t  . espansione di un fattore 5: y(t) = u 5 Infatti si ha sostituendo a ritroso:       t  −t −t 4 4−t + =z y(t) = u =x =x 5 5 5 5 5

e quindi lo stesso segnale. Ovviamente, poiché portano allo stesso risultato, entrambe le sequenze di operazioni sono “corrette”; va osservato peraltro che in genere la prima è da preferire, in quanto più “semplice”. ◭

Nel caso di segnali a TD, la tecnica da seguire per combinare operazioni elementari è la stessa vista per il caso TC. Qualche approfondimento merita il solo caso in cui è presente l’espansione a TD definita dalla (2.1), in quanto quest’ultima non si può interpretare semplicemente come la sostituzione formale di n/L → n: se n/L non è intero, infatti, non ha senso calcolare il valore del segnale in n/L, per cui nella definizione (2.1) si assume convenzionalmente che tale valore sia nullo. Per ottenere il risultato corretto per via analitica, è conveniente, quando si incontra l’operazione di espansione, studiare separatamente i casi in cui il risultato di tale operazione è nullo oppure no. Gli esempi che seguono mostrano come procedere in due situazioni tipiche.

36

Proprietà dei segnali

◮ Esempio 2.4 (combinazione di operazioni elementari, caso TD) Un segnale TD x(n) viene sottoposto nell’ordine alle seguenti operazioni: (1) riflessione; (2) anticipo di 5; (3) espansione di 2. Procediamo come come nel caso TC descrivendo matematicamente le operazioni prese individualmente: riflessione: u(n) = x(−n) ; anticipo di 5: v(n) = u(n + 5) ; hni espansione di 2: y(n) = v . 2

Partendo dall’ultima espressione, e ricordando la definizione di espansione, si ha ( n v , se n è multiplo di 2 ; 2 y(n) = 0, altrimenti . Sviluppiamo ulteriormente solo il primo caso, sostituendo ricorsivamente le espressioni di v(·) e u(·): n n   n  y(n) = v +5 = x − −5 . =u 2 2 2 In definitiva, il segnale y(n) si può esprimere esplicitamente come:  (  n x − − 5 , se n è pari ; 2 y(n) = 0, altrimenti .

◭ ◮ Esempio 2.5 (combinazione di operazioni elementari, caso TD) Un segnale TD x(n) viene sottoposto nell’ordine alle seguenti operazioni: (1) decimazione per 3; (2) espansione di 6; (3) anticipo di 5. Procediamo come come nel caso TC descrivendo matematicamente le operazioni prese individualmente: decimazione per 3: u(n) = x(3n) ; hni ; espansione di 6: v(n) = u 6 anticipo di 5: y(n) = v(n + 5) . Successivamente sostituiamo ricorsivamente partendo dall’ultima espressione:   n+5 y(n) = v(n + 5) = u 6 Ricordando la definizione di espansione, si ha    u n + 5 , se n + 5 è multiplo di 6 ; 6 y(n) =  0, altrimenti .

2.1 Operazioni elementari sui segnali

37

1

x(t) = u(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −2

0

2

4 t

6

8

10

Fig. 2.10. Gradino a TC. Sviluppiamo ulteriormente solo il primo caso, sostituendo l’espressione di u(·):       n+5 n+5 n+5 u =x 3 =x . 6 6 2 In definitiva, si ha    x n + 5 , se n + 5 è multiplo di 6 ; 2 y(n) =  0, altrimenti .

◭

2.1.4 Derivazione, integrazione, differenza prima e somma

Poiché un segnale TC x(t) è essenzialmente una funzione a valori reali di una variabile reale, per esso si applicano in modo naturale i concetti di derivabilità e integrabilità tipicamente trattati nei corsi di analisi matematica (cfr. § B.2). In particolare, se il segnale x(t) è derivabile nel punto t0 ∈ T, allora la sua derivata è definita mediante il limite del rapporto incrementale:   x(t) − x(t0 ) d △ = lim (2.2) x(t) t→t0 dt t − t0 t=t0 che esiste ed è finito. Se il segnale x(t) è derivabile in t0 , si dimostra che x(t) è anche continuo in t0 . Pertanto, la continuità del segnale x(t) in t0 è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè il limite del rapporto incrementale (2.2) esista e sia finito. Tuttavia, nell’ambito della teoria dei segnali si incontrano molto frequentemente segnali che non sono continui in tutti i punti del loro insieme di definizione T. In particolare, un problema che ricorre spesso è il calcolo della derivata di un segnale x(t) che presenta un numero finito o, al più, infinito numerabile di punti di discontinuità di prima specie. L’esempio più semplice di funzione di tale tipo è rappresentato dal gradino a TC. Il gradino a TC è definito come: ( △ 1 , se t ≥ 0 ; u(t) = 0 , altrimenti ; ed è rappresentato graficamente in fig. 2.10. Il gradino presenta una discontinuità di prima specie per t = 0, per cui il valore in tale punto può essere definito piuttosto arbitrariamente come il limite da

38

Proprietà dei segnali

1/(2 ε)

ε

ε

x(t) = δ (t)

x(t) = u (t)

1

−ε

+ε

−ε t

t

(a)

+ε

(b)

Fig. 2.11. Definizione dell’impulso a TC: (a) approssimazione uε (t) di un gradino; (b) la derivata δε (t) di uε (t). Al diminuire di ε la funzione δε (t) diventa sempre più stretta ed alta, conservando area unitaria.

destra (che vale 1), da sinistra (che vale 0), e talvolta come la semisomma dei due limiti (che vale 1/2): qui abbiamo scelto la prima convenzione. La derivata di u(t), calcolata applicando la regola di derivazione ordinaria, vale zero in tutti i punti, tranne che nel punto t = 0, in cui il limite del rapporto incrementale (2.2) non è definito. Questo risultato, sebbene matematicamente corretto, non è intuitivamente accettabile, se facciamo riferimento all’interpretazione “fisica” della derivata come “rapidità di variazione” di una funzione. Infatti, il gradino presenta effettivamente una rapidità di variazione nulla (e quindi una derivata nulla) per ogni t 6= 0, ma per t = 0 presenta una rapidità di variazione infinita, in quanto passa istantaneamente (in un tempo nullo) dal valore 0 al valore 1. Per tener conto di questo comportamento e, quindi, poter definire la derivata del gradino anche per t = 0, bisogna ricorrere al concetto di derivata generalizzata, non previsto dall’analisi matematica elementare, la cui trattazione rigorosa richiede la conoscenza dei fondamenti di una branca della matematica nota come teoria delle distribuzioni. Per mantenere la trattazione ad un livello sufficientemente elementare, tuttavia, cercheremo di calcolare la derivata di u(t) euristicamente, rimandando il lettore desideroso di maggiore rigore matematico ai corsi avanzati di analisi matematica. Allo scopo di calcolare la derivata generalizzata del gradino, posto ε ∈ R+ , definiamo la seguente funzione uε (t):   per t < −ε ; 0 ,
△ t 1 uε (t) = 2 1 + ε , per |t| ≤ ε ;   1, per t > ε ; raffigurata in fig. 2.11(a). Tale funzione rappresenta evidentemente un’approssimazione del gradino u(t), ma a differenza di quest’ultimo è una funzione continua anche per t = 0. L’approssimazione è tanto migliore quanto più ε è piccolo; in effetti, al limite per ε → 0, si ha: lim uε (t) = u(t) .

ε →0

La funzione uε (t), essendo continua, non presenta i problemi del gradino per quanto riguarda il calcolo della derivata. Infatti la funzione uε (t) è derivabile nell’intorno di t = 0, e la sua derivata vale: ( 0 , per |t| > ε ; d δε (t) = uε (t) = 1 dt 2ε , per |t| < ε ;

2.1 Operazioni elementari sui segnali

39

ed è raffigurata in fig. 2.11(b): si tratta di un rettangolo di area unitaria avente base 2 ε ed altezza 1/(2 ε ). Poiché al tendere di ε a zero la funzione uε (t) tende al gradino u(t), risulta naturale definire la derivata di u(t) come segue: d △ u(t) = lim δε (t) . ε →0 dt

(2.3)

La questione fondamentale è ora capire a cosa tende la funzione δε (t) quando ε tende a zero. Al diminuire di ε , la funzione δε (t) diviene sempre più “stretta” e più “alta” nell’origine, conservando tuttavia area unitaria. Al limite per ε → 0, si ottiene che δε (t) tende ad una funzione di area unitaria che è ovunque nulla, eccetto che nell’origine dove assume valore infinito: non esiste alcuna funzione nel senso ordinario dell’analisi matematica che può soddisfare queste condizioni. Quindi, per ε → 0, la funzione ordinaria δε (t) non converge ad una funzione ordinaria. Ciò suggerisce che la convergenza del limite al secondo membro della (2.3) deve essere intesa diversamente da come si è solito fare per le funzioni ordinarie. A tale scopo, se è vero che, al limite per ε che tende a zero, δε (t) non ha alcun significato come funzione ordinaria, essa ha invece un significato ben preciso se la si moltiplica per un’arbitrario segnale x(t) continuo nell’origine e si integra il risultato su tutto l’asse reale: Z +∞ −∞

δε (t) x(t)dt =

1 2ε

Z ε

−ε

x(t)dt .

(2.4)

Dal punto di vista matematico, la (2.4) definisce un funzionale che si “appoggia” alla funzione δε (t), cioè, un operatore che associa alla funzione x(t) un numero reale, che è dato dal rapporto tra l’area sottesa da ϕ (t) nell’intervallo (−ε , ε ) e la misura di tale intervallo. Invocando il teorema della media, possiamo affermare che esiste un punto tε ∈ [−ε , ε ] tale per cui Z +∞ −∞

δε (t) x(t)dt =

1 x(tε ) [ε − (−ε )] = x(tε ) , 2ε

da cui passando al limite e ricordando che x(t) è continua nell’origine, si ottiene: lim

Z +∞

ε →0 −∞

δε (t) x(t)dt = lim x(tε ) = x(0) . ε →0

(2.5)

In altre parole, al limite per ε che tende a zero, il funzionale (2.4) semplicemente “campiona” il segnale x(t) nell’istante di tempo t = 0. Questo risultato suggerisce di definire il limite al secondo membro della (2.3) mediante una funzione, che indichiamo con

δ (t) = lim δε (t) , ε →0

(2.6)

la quale è definita dalla relazione integrale Z +∞ −∞

δ (t) x(t)dt = x(0) ,

(2.7)

dove x(t) è un arbitrario segnale continuo nell’origine. Tale funzione è una funzione generalizzata e fu introdotta dal fisico P. Dirac nei suoi studi sulla meccanica quantistica, motivo per cui è comunemente nota come impulso o delta di Dirac. Come indicato dal loro stesso nome, tali funzioni costituiscono una generalizzazione del concetto di funzione: un funzione generalizzata è sempre definita mediante un integrale e non ha senso quindi pensare al valore assunto da essa per un dato valore dell’argomento. Infatti, a differenza del concetto di convergenza di funzioni ordinarie, la convergenza della famiglia di funzioni δε (t) alla funzione

40

Proprietà dei segnali

δ (t) non deve essere intesa puntualmente, ma, in virtù delle (2.5) e (2.7), deve essere intesa in senso generalizzato come: lim

Z +∞

ε →0 −∞

δε (t) x(t)dt =

Z +∞ −∞

δ (t) x(t)dt ,

(2.8)

ovvero, la convergenza è mediata attraverso una operazione di integrazione al di fuori della quale la funzione δ (t) non ha senso. Ci sono due considerazioni interessanti che si possono fare con riferimento alle relazioni (2.5) e (2.8). La prima, di carattere prettamente matematico, riguarda il fatto che, implicitamente, la (2.8) rende lecito per definizione il passaggio al limite sotto il segno di integrale; secondo l’analisi matematica convenzionale, questa operazione per l’integrale di Riemann è consentita solo se la famiglia di funzioni δε (t) converge uniformemente (il che non avviene nel nostro caso). La seconda, di carattere esclusivamente applicativo, consiste nell’osservare che, poiché nell’ambito della teoria dei segnali ciò che importa non è tanto la definizione dell’impulso di Dirac bensì il suo impiego nelle applicazioni, nel seguito useremo frequentemente la delta di Dirac al di fuori dell’operazioni di integrazione che la definisce; ad esempio, a valle delle considerazioni fatte finora, possiamo concludere che la derivata generalizzata del gradino è data dall’impulso di Dirac e, anzichè scrivere formalmente  Z +∞  Z +∞ d δ (t) x(t)dt , u(t) x(t)dt = dt −∞ −∞ scriveremo più semplicemente d u(t) = δ (t) . (2.9) dt In altre parole, per semplicità d’impiego nelle applicazioni, useremo per δ (t) la stessa notazione che tipicamente si usa per le funzioni ordinarie, convenendo tacitamente che le uguaglianze dove compare la delta di Dirac vanno intese in senso generalizzato. A partire dalla definizione (2.7) dell’impulso di Dirac si possono ricavare le seguenti proprietà elementari, la cui verifica è lasciata al lettore per esercizio: Proprietà 2.2 (proprietà elementari dell’impulso di Dirac) (a) Area unitaria:

Z +∞ −∞

(b) Campionamento:

δ (t) dt = 1.

Z +∞ −∞

δ (t − t0 ) x(t) dt = x(t0 ), ∀t0 ∈ R, ∀x(t) continua in t0 .

(c) Prodotto: x(t) δ (t − t0 ) = x(t0 ) δ (t − t0 ), ∀t0 ∈ R, ∀x(t) continua in t0 .

(d) Parità: δ (−t) = δ (t).

1 (e) Cambiamento di scala: δ (at) = δ (t), ∀a ∈ R − {0}. |a|   n  Z +∞  n d n d δ (t) x(t) dt = (−1) , ∀n ∈ N, ∀x(t) derivabile fino x(t) (f) Derivazione: dt n dt n −∞ t=0 all’ordine n con derivata n-esima continua in t = 0. (g) Integrazione: u(t) =

Z t

(h) Integrazione definita:

−∞

Z b a

continuo in t = 0.

δ (u) du. ( x(0) , se a < 0 < b ; δ (t) x(t) dt = ∀a < b ∈ R, ∀x(t) 0, se a > 0 oppure b < 0 ;

2.1 Operazioni elementari sui segnali

41

Dalla proprietà (a) si ricava che l’impulso di Dirac ha area unitaria, come la famiglia di funzioni δε (t). Le proprietà (b) e (c) esprimono, con un diverso formalismo matematico, la medesima proprietà dell’impulso di Dirac, ovvero quella di estrarre (nel gergo della teoria dei segnali, “campionare”) il valore del segnale nel punto t0 in cui l’impulso è centrato. La proprietà (d) evidenzia che la delta di Dirac è un segnale pari, mentre la proprietà (e) mostra che, anche per l’impulso a TC, un cambiamento di scala comporta un cambiamento di area. L’operazione di derivazione è definita anche per le funzioni generalizzate e, a tal proposito, la proprietà (f) chiarisce come tale operazione vada correttamente interpretata per l’impulso di Dirac. La proprietà (g) definisce invece la relazione inversa della (2.9), mostrando che il gradino è il risultato dell’integrazione dell’impulso di Dirac. A tale proposito, sia ben chiaro che l’integrale che compare nella proprietà (g) è valido nel senso delle distribuzioni e non in senso ordinario (secondo Riemann); infatti, non esiste nessuna funzione ordinaria che possa restituire un gradino mediante integrazione (nell’analisi convenzionale, le funzioni definite mediante integrali sono continue). Un commento a parte merita infine la proprietà (h). Innanzitutto, si osservi che se uno degli estremi di integrazioni (a oppure b) è zero, allora l’integrale tra a e b dell’impulso di Dirac non è definito. Tuttavia, l’integrale sull’intervallo (0− , b) è definito e si calcola con la seguente procedura al limite: Z b

0−

δ (t) x(t)dt = lim

Z b

ε → 0 −ε ε >0

δ (t) x(t)dt = x(0) .

Analogo risultato sussiste per l’integrazione sull’intervallo (a, 0+ ). A partire dalla proprietà (h), ponendo x(t) = 1, ∀t ∈ R, e b = −a = ε , si ottiene: Z ε

−ε

δ (t)dt = 1 ,

con ε ∈ R+ piccolo a piacere ,

che suggerisce l’interpretazione intuitiva (matematicamente non corretta) che δ (t) sia nulla ovunque tranne che nell’origine. In virtù di questa interpretazione e della proprietà (a), l’impulso di Dirac δ (t) si può rappresentare graficamente come in fig. 2.12. Si noti che l’area unitaria dell’impulso viene rappresentata convenzionalmente assimilandola ad un’ampiezza, ovvero tracciando una freccia di altezza pari ad uno. Mediante cambiamento di scala delle ampiezze e traslazione temporale, è possibile definire un impulso di Dirac centrato in t0 ∈ R e di area A: x(t) = A δ (t − t0 ) , raffigurato in fig. 2.13. Concludiamo questa breve trattazione dell’impulso di Dirac, osservando che la (2.9) consente di ricavare la regola di derivazione per un segnale TC che presenta un numero finito o, al più, infinito numerabile di punti di discontinuità di prima specie: se il segnale x(t) presenta N (con N che può essere eventualmente infinito) discontinuità di prima specie negli istanti di tempo t1 ,t2 , . . . ,tN , la sua derivata generalizzata presenterà un impulso di Dirac nel punto tn , per n ∈ {1, 2, . . . , N}, avente △

area pari al valore del “salto” di discontinuità s(tn ) = x(tn+ ) − x(tn− ) nel punto in questione. Più precisamente, detta h(t) la derivata ordinaria della parte continua di x(t), ∀t ∈ T − {t1 ,t2 , . . . ,tN }, si ottiene la seguente espressione: N d x(t) = h(t) + ∑ s(tn ) δ (t − tn ) . dt n=1

(2.10)

Il fatto che x(t) sia continuo per t ∈ T − {t1 ,t2 , . . . ,tN } non implica che esso sia derivabile in tutti i punti dell’insieme T − {t1 ,t2 , . . . ,tN }. Questo significa che la funzione h(t) può non essere definita in qualche punto. Se tali punti sono isolati (rappresentano cioè un insieme di misura nulla), questo

42

Proprietà dei segnali

1

A

x(t) = A δ(t−t0)

x(t) = δ(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5

0 t

t0

5

t

Fig. 2.13. Impulso a TC x(t) = A δ (t −t0 ). L’impulso è centrato in t0 ed ha area A.

Fig. 2.12. Impulso a TC (delta di Dirac).

x(t)

x'(t)

2

(a)

-1

1

(b)

1

t

1

-1

t

-2

Fig. 2.14. Calcolo della derivata di un segnale TC discontinuo (es. 2.6): (a) il segnale x(t); (b) la sua derivata generalizzata.

mancanza di informazione è spesso inessenziale: dal punto di vista dell’analisi dei segnali, la caratterizzazione completa di un segnale è in molti casi superflua e, come vedremo più avanti in questo capitolo, è sufficiente una caratterizzazione sintetica, in cui il valore del segnale in un punto isolato non è rilevante; da un punto di vista dell’analisi dei sistemi, come vedremo nei prossimi capitoli, il segnale di uscita da un sistema dipende dal segnale di ingresso mediante una relazione integrale, il cui calcolo non dipende dai valori assunti dal segnale di ingresso in insiemi di misura nulla. ◮ Esempio 2.6 (derivata generalizzata di un segnale TC) Si voglia calcolare la derivata generalizzata del segnale TC riportato in fig. 2.14(a). Tale funzione presenta una sola discontinuità di prima specie nel punto △

t1 = 1 (N = 1), il cui salto è s(t1 ) = x(t1+ ) − x(t1− ) = −2. Applicando la regola (2.10), si ottiene immediatamente che: d x(t) = [u(t + 1) − u(t − 1)] − 2 δ (t − 1) , dt raffigurata in fig. 2.14(b).

◭

Per un segnale TD x(n), il cui insieme di definizione è un insieme discreto, non è possibile considerare le operazioni di derivazione ed integrazione. Tuttavia, è possibile definire alcune operazioni

2.1 Operazioni elementari sui segnali

43

1

x(n) = u(n)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −2

0

2

4 n

6

8

10

Fig. 2.15. Gradino a TD.

che hanno una certa analogia con quelle di derivazione ed integrazione per segnali a TC. Si definisce differenza prima del segnale x(n) la seguente operazione: △

∇1 [x(n)] = x(n) − x(n − 1) , che può essere vista come la “controparte” a TD della operazione di derivazione a TC. Il calcolo della differenza prima di un segnale TD non crea gli stessi problemi che invece pone il calcolo della derivata di un segnale TC. Per capire ciò, seguendo parallelamente la trattazione fatta per i segnali TC, consideriamo il calcolo della differenza prima del gradino a TD. La definizione del gradino a TD è analoga a quella del gradino a TC: ( △ 1 , se n ≥ 0 ; u(n) = 0 , altrimenti ; e la sua rappresentazione grafica è riportata in fig. 2.15. Si noti che, a differenza del gradino a TC, nella definizione del gradino a TD non vi è ambiguità nel valore assunto dal segnale nell’origine, in quanto il concetto di continuità non si applica ad una sequenza. Notiamo, inoltre, che il gradino a TD si può ottenere da quello a TC mediante campionamento con passo unitario. In questo caso, senza dover ricorrere a nessun strumento matematico avanzato, è immediato stabilire che ( 1 , se n = 0 ; △ δ (n) = ∇1 [u(n)] = (2.11) 0 , altrimenti ; Volendo stabilire un parallelo tra il caso TC e quello TD, si può affermare che la (2.11) è la controparte a TD della relazione (2.9). Il segnale δ (n) prende il nome di impulso a TD o impulso discreto (anche detto delta di Kronecker), ed è rappresentato graficamente in fig. 2.16. Notiamo che l’impulso elementare δ (n) è centrato nell’origine e ha ampiezza unitaria. Mediante cambiamento di scala delle ampiezze e traslazione temporale, è possibile definire un impulso discreto centrato in n0 ∈ Z e di ampiezza A ∈ R arbitraria: x(n) = A δ (n − n0 ) , raffigurato graficamente in fig. 2.17. Analogamente all’impulso di Dirac, l’impulso a TD gode delle seguenti proprietà elementari, la cui semplice verifica è lasciata al lettore per esercizio:

44

Proprietà dei segnali

1

A x(n) = A δ(n−n0)

x(n) = δ(n)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5

0 n

n0

5

n

Fig. 2.16. Impulso unitario a TD.

Fig. 2.17. Impulso a TD x(n) = A δ (n − n0 ). L’impulso è centrato in n0 ed ha ampiezza A.

Proprietà 2.3 (proprietà elementari dell’impulso discreto) +∞

(a) Area unitaria:

∑

δ (n) = 1.

n=−∞ +∞

∑

(b) Campionamento:

n=−∞

x(n) δ (n − n0 ) = x(n0 ), ∀n0 ∈ Z.

(c) Prodotto: x(n) δ (n − n0 ) = x(n0 ) δ (n − n0 ), ∀n0 ∈ Z.

(d) Parità: δ (−n) = δ (n).

(e) Decimazione ed espansione:

δ (nM) = δ (n) , hni = δ (n) , δ L n

(f) Somma: u(n) =

∑

∀M ∈ N ; ∀L ∈ N .

δ (m).

m=−∞

Osservazioni analoghe a quelle effettuate per l’impulso di Dirac si possono fare per le proprietà (a), (b), (c) e (d), che esprimono le proprietà di area unitaria, campionamento e parità dell’impulso discreto. La proprietà (e) evidenzia che l’impulso a TD è invariante rispetto alle operazioni di decimazione ed espansione. Infine, la proprietà (f) stabilisce che il gradino a TD è la somma corrente dell’impulso discreto e rappresenta la controparte a TD della proprietà (g) dell’impulso di Dirac. Si noti che la somma corrente gioca nel caso TD lo stesso ruolo che gioca l’integrale tra −∞ e t per i segnali TC.

2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali

45

2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali Nel capitolo precedente abbiamo visto che un segnale (deterministico) è completamente descritto da una funzione, cioè da una legge che ad ogni elemento del dominio T fa corrispondere uno ed un solo elemento del codominio X. In alcuni casi pratici, tuttavia, la descrizione completa di un segnale mediante una funzione è eccessivamente dettagliata, ed è invece di interesse conoscere solo alcuni parametri numerici del segnale, che forniscono una descrizione o caratterizzazione sintetica (rispetto all’assegnazione della corrispondenza tra T e X) del segnale. In altri casi, i segnali possono essere frutto di dati sperimentali e, pertanto, da un lato possono non essere noti in tutti gli istanti di tempo, dall’altro la loro conoscenza può essere soggetta ad un certo margine di incertezza; quindi, piuttosto che descrivere puntualmente un segnale, è più ragionevole descrivere il segnale mediante quantità medie, come, ad esempio, il valore di un integrale, che risentono meno o non risentono affatto di cambiamenti poco significativi del segnale. I principali parametri numerici che concorrono a caratterizzare sinteticamente un segnale sono i seguenti: • durata temporale;

• area e media temporale; • energia e potenza.

La durata è una misura dell’estensione temporale del segnale, cioè dell’intervallo di tempo all’interno del quale il segnale assume valori non trascurabili, mentre l’operazione di media temporale è utilizzata per definire la componente continua ed alternata di un segnale. I concetti di energia e potenza sono alla base della caratterizzazione energetica dei segnali, e consentono di introdurre la relativa classificazione in segnali di energia e di potenza. Come esempio particolarmente significativo di segnali di potenza, verranno presentati i segnali periodici e le loro proprietà, e tra essi si esamineranno in particolare i fasori e le sinusoidi, evidenziando alcune differenze significative tra il caso TC ed il caso TD.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale La durata di un segnale è un concetto intuitivo, legato evidentemente alla misura dell’estensione temporale del segnale. Una definizione generale può essere la seguente: Definizione 2.1 (estensione e durata temporale di un segnale) (a) L’estensione temporale Dx ⊆ T di un segnale x(t) a TC è l’intervallo di tempo in cui |x(t)| assume valori non trascurabili. La durata di x(t) è la misura ∆x ≥ 0 dell’insieme Dx .

(b) L’estensione temporale Dx ⊆ T di un segnale x(n) a TD è l’intervallo di tempo in cui |x(n)| assume valori non trascurabili. La durata di x(n) è la misura ∆x ∈ N dell’insieme Dx . Per quanto concerne la definizione di misura di un insieme, è bene mettere in evidenza che esiste una differenza notevole tra il caso TC e quello TD. Infatti, nel caso TC, la misura dell’insieme Dx è quella secondo Peano-Jordan o, più in generale, secondo Lebesgue. Ad esempio, la misura dell’intervallo [t1 ,t2 ] coincide con la sua lunghezza |t2 − t1 |. Nel caso TD, invece, poiché l’insieme Dx è discreto, è possibile utilizzare la stessa definizione di misura secondo Peano-Jordan o Lebesgue, secondo le quali un insieme composto da punti isolati ha sempre misura nulla, cioè, risulterebbe ∆x = 0 per ogni

46

Proprietà dei segnali

x(t)

t1

durata

t2

t

Fig. 2.18. Segnale di durata rigorosamente limitata.

segnale x(n). Nel caso TD, la definizione di misura da adottare per Dx è molto più semplice ed è uguale al numero di punti isolati che costituiscono Dx (in sostanza coincide con la cardinalità di Dx ). Un secondo aspetto importante riguarda un certo grado di arbitrarietà presente nella definizione precedente, legato all’interpretazione di quali valori del segnale siano trascurabili, e quali no. In altre parole, non esiste una definizione universalmente accettata di estensione temporale di un segnale. Tuttavia, con riferimento a taluni casi particolari di segnali, esistono alcune definizioni di estensione temporale di un segnale che sono di comune impiego. Una prima classificazione dei segnali sulla base della durata può essere quella tra segnali di durata rigorosamente e praticamente limitata, e segnali di durata non limitata. Nel seguito, approfondiremo questa classificazione, considerando sia segnali TC che TD. 2.3.1 Segnali di durata rigorosamente limitata

Un segnale TC x(t) si dice di durata rigorosamente limitata se esistono due numeri reali finiti t1 e t2 , con t2 > t1 , tali che il segnale si annulla identicamente al di fuori dell’intervallo di tempo (t1 ,t2 ), cioè, x(t) = 0 per ogni t 6∈ (t1 ,t2 ). Un primo esempio di segnale TC a durata rigorosamente limitata è quello riportato in fig. 2.18. In tal caso, con riferimento alla definizione generale di estensione, si considerano trascurabili solo i valori nulli del segnale. Conseguentemente, l’estensione del segnale è definita come Dx = (t1 ,t2 ) e la sua durata è data da ∆x = t2 − t1 . Analogamente, un segnale TD x(n) si dice di durata rigorosamente limitata se esistono due numeri interi finiti n1 e n2 , con n2 > n1 , tali che il segnale si annulla identicamente al di fuori dell’intervallo di tempo {n1 , n1 + 1, . . . , n2 }, cioè, x(n) = 0 per ogni n 6∈ {n1 , n1 + 1, . . . , n2 }. In questo caso, l’estensione del segnale è definita come Dx = {n1 , n1 + 1, . . . , n2 } e la sua durata è data da ∆x = n2 − n1 + 1. Talvolta un segnale a durata rigorosamente limitata è anche denominato finestra. Alcuni esempi elementari di finestre sono presentati di seguito.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

47

1

A

0

x(t) = A rect[(t−t )/T]

x(t) = rect(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0

t −T/2

−2

−1

0 t

1

Fig. 2.19. Finestra rettangolare a TC.

t

0

2

0

t +T/2 0

t

Fig. 2.20. Finestra rettangolare a TC dell’es. 2.7. Tale finestra è ottenuta dalla finestra elementare mediante moltiplicazione per A, cambiamento di scala con a = 1/T e traslazione temporale di t0 .

Finestra rettangolare e triangolare

La finestra rettangolare a TC è definita3 come ( △ 1 , se |t| ≤ 0.5 ; rect(t) = 0 , altrimenti ; ed è rappresentata graficamente in fig. 2.19. Si tratta di un segnale pari (centrato nell’origine), di durata ∆x = 1 ed ampiezza unitaria (finestra elementare o “prototipo”). A partire dalla finestra prototipo, mediante moltiplicazione per una costante, traslazione temporale e cambiamento di scala, è possibile ottenere una finestra di ampiezza e durata arbitraria ed arbitrariamente posizionata sull’asse dei tempi. Notiamo infine che la finestra rettangolare si può esprimere come differenza di due gradini traslati temporalmente, in quanto si ha rect(t) = u(t + 1/2) − u(t − 1/2). ◮ Esempio 2.7 (finestra rettangolare arbitraria) La finestra   t − t0 x(t) = A rect T

è ottenuta dalla finestra prototipo mediante moltiplicazione per A, cambiamento di scala con a = 1/T e traslazione temporale di t0 . Utilizzando la definizione, si vede che   ( A, se t ∈ [t0 − T /2,t0 + T /2] ; t − t0 x(t) = A rect = T 0, altrimenti ; il cui andamento è raffigurato in fig. 2.20: la finestra è centrata in t = t0 e ha durata ∆x = T .

La finestra rettangolare a TD è definita da: ( △ 1 , se 0 ≤ n ≤ N − 1 ; RN (n) = 0 , altrimenti ; 3 In

numerosi testi, la finestra rettangolare è denotata con il simbolo Π(t).

◭

Proprietà dei segnali

1

1

0.8

0.8 x(t) = Λ(t)

x(n) = R5(n)

48

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−2

0

2

4 n

6

8

10

Fig. 2.21. Finestra rettangolare a TD per N = 5.

−2

−1

0 t

1

2

Fig. 2.22. Finestra triangolare a TC.

ed è rappresentata graficamente in fig. 2.21. La finestra ha estensione temporale Dx = {0, 1, . . . , N −1} e durata ∆x = N, ed è asimmetrica rispetto all’origine, a differenza della sua versione a TC. Una finestra simmetrica (pari) si può ottenere da RN (n) solo per N dispari, considerando la versione anticipata RN (n + n0 ) con n0 = (N − 1)/2. Come nel caso TC, anche nel caso TD la finestra rettangolare si può esprimere come differenza di due gradini traslati temporalmente, infatti si ha RN (n) = u(n)−u(n−N). Infine, si noti che, ponendo N = 1, la finestra rettangolare a TD degenera nell’impulso discreto, cioè, R1 (n) = δ (n). La finestra triangolare a TC è definita da: ( △ 1 − |t| , se |t| < 1 ; Λ(t) = 0, altrimenti ; ed è rappresentata graficamente in fig. 2.22. Si tratta di un segnale pari (centrato nell’origine), di ampiezza unitaria e durata ∆x = 2. Notiamo in particolare che la durata della finestra triangolare prototipo è doppia rispetto a quella della finestra rettangolare prototipo. Così come visto per la finestra rettangolare nell’es. 2.7, a partire dalla finestra triangolare prototipo, mediante operazioni elementari (moltiplicazione per una costante, traslazione temporale, e cambiamento di scala) è possibile ottenere una finestra triangolare di ampiezza e durata arbitraria ed arbitrariamente posizionata sull’asse dei tempi. È possibile definire la finestra triangolare (si veda la fig. 2.23) anche nel caso TD, ed essa è nota come finestra di Bartlett:  |n − N|  , se 0 ≤ n ≤ 2N − 1 ; 1− B2N (n) = N 0 , altrimenti .

La finestra di Bartlett ha durata ∆x = 2N − 1 (il valore del segnale per n = 0 è nullo) e, così come la finestra rettangolare a TD, è asimmetrica rispetto all’origine. Tuttavia, si noti che il numero di campioni non nulli è sempre un numero dispari e il massimo del segnale si raggiunge per n = N; pertanto, come riportato in fig. 2.24, per ottenere una finestra triangolare a TD con simmetria pari è sufficiente traslare la finestra di Bartlett di N campioni verso sinistra, ovvero considerare B2N (n + N).

49

1

1

0.8

0.8 x(n) = B8(n+4)

x(n) = B8(n)

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−2

0

2

4 n

6

8

10

Fig. 2.23. Finestra triangolare a TD per N = 4.

−6

−4

−2

0 n

2

4

6

Fig. 2.24. Finestra triangolare a TD per N = 4 con simmetria pari.

x(t)

soglia

...

... t1

durata

t2

t

Fig. 2.25. Segnale di durata praticamente limitata.

2.3.2 Segnali di durata praticamente limitata

Esistono casi di segnali aventi ancora durata limitata, ma per i quali l’interpretazione e la misura della durata non è altrettanto univoca di quella per i segnali che si annullano identicamente al di fuori di un intervallo. In particolare, si consideri un segnale TC come quello riportato in fig. 2.25, il quale decade asintoticamente a zero per t → ±∞, senza mai annullarsi. È chiaro intuitivamente che tale segnale debba essere considerato a durata limitata, in quanto i suoi valori risultano trascurabili al di fuori di un certo intervallo di tempo; per esso, tuttavia, l’estensione Dx si può definire solo se si introduce un valore di soglia per le ampiezze, e si considerano trascurabili le ampiezze del segnale inferiori alla soglia fissata. Fissare una soglia (vedi fig. 2.25) consente anche in questo caso di individuare come estensione del segnale un intervallo Dx = (t1 ,t2 ) di valori significativi del segnale, con t2 > t1 , e la misura ∆x = t2 − t1 di tale intervallo è per definizione la durata del segnale. Un segnale TC di questo tipo di dice segnale di durata praticamente limitata. Un discorso analogo sussiste anche per i segnali a TD. Si noti che, se si fissa una soglia diversa, si perviene ad un diverso valore di durata del segnale; questo introduce, a differenza del caso di segnali a durata rigorosamente limitata, un certo elemento di arbitrarietà nella misura della durata, legato proprio all’arbitrarietà nella scelta del valore della soglia.

Proprietà dei segnali

14

12

12

10

10 at

14

8

x(t)=A e

x(t)=A eat

50

6 4

8 6 4

A

2

A

2

0

0

−2 −10

−5

0 t

(a)

5

10

−2 −10

−5

0 t

5

10

(b)

Fig. 2.26. Esponenziale a TC con A = 1 e per due valori di a: (a) a > 0 (valore effettivo a = 0.25); (a) a < 0 (valore effettivo a = −0.25).

Tale scelta può variare a seconda della natura del segnale, delle applicazioni, e degli scopi per i quali il segnale stesso viene studiato o elaborato. Osserviamo inoltre che i segnali di durata limitata – sia quelli a durata rigorosamente limitata, che quelli a durata praticamente limitata – sono anche detti segnali transitori, in quanto assumono valori significativi solo in corrispondenza di un intervallo di tempo Dx limitato. Infine, notiamo che tra le operazioni elementari introdotte nel § 2.1, solo il cambiamento di scala dei tempi è in grado di alterare la durata di un segnale. In particolare, con riferimento al caso TC per semplicità, una compressione con fattore a > 1 riduce la durata del segnale da ∆x a ∆x /a < ∆x , mentre un’espansione con fattore 0 < a < 1 aumenta la durata del segnale da ∆x a ∆x /a > ∆x . Un tipico esempio di segnali di durata praticamente limitata è rappresentato dai segnali esponenziali reali monolateri, che sono descritti di seguito. Segnale esponenziale reale

Per definire il segnale esponenziale monolatero a TC, partiamo dalla definizione del segnale esponenziale bilatero a TC: x(t) = A eat , dove a ∈ R è un fattore di scala dei tempi, mentre A > 0 rappresenta un fattore di ampiezza (si noti che x(0) = A, ∀a ∈ R). L’esponenziale a TC è una funzione monotona di t, ed in particolare per a > 0 l’esponenziale risulta crescente, come in fig. 2.26(a), mentre per a < 0 l’esponenziale risulta decrescente, come in fig. 2.26(b). Inoltre al crescere di |a| l’esponenziale cresce o decresce più rapidamente, come mostra il calcolo della derivata di x(t). Il caso a = 0 è degenere, in quanto per tale valore di a l’esponenziale si riduce ad una funzione costante x(t) = A. Poiché, in dipendenza dal valore di a 6= 0, l’esponenziale bilatero è infinitesimo solo per t → +∞ o solo per t → −∞, esso non rientra nella famiglia dei segnali di durata praticamente limitata. Moltiplicando il segnale esponenziale per un gradino u(t) si ottiene l’esponenziale monolatero: x(t) = A eat u(t) , che risulta diverso da zero, per effetto del gradino, solo per t ≥ 0; si noti peraltro che il comportamento per t ≥ 0, al variare di a, è lo stesso dell’esponenziale x(t) = A eat . In particolare, nel caso a < 0,

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

51

x(t)=A e

−t/T

u(t)

A

T t

Fig. 2.27. Esponenziale monolatero a TC ed interpretazione geometrica della costante di tempo T.

essendo infinitesimo per t → ±∞, l’esponenziale monolatero è un segnale di durata praticamente limitata4 , la cui estensione è Dx = (0, ∆x ), con ∆x > 0 (durata) dipendente dalla scelta della soglia. In tal caso, se si pone per definizione a = −1/T con T > 0, l’esponenziale monolatero si riscrive come segue: x(t) = A e−t/T u(t) , dove il parametro T prende il nome di costante di tempo, e rappresenta il valore di t in corrispondenza del quale x(t) = A e−1 ≈ 0.368 A. La costante di tempo ammette anche una interessante interpretazione geometrica, legata alla pendenza della funzione esponenziale nell’origine, ed indirettamente alla sua durata. Infatti la derivata (calcolata da destra) della funzione x(t) dell’origine vale x′ (0+ ) = −A T , per
t cui la retta tangente alla curva nell’origine ha equazione x = A 1 − T (fig. 2.27): tale retta interseca l’asse delle ascisse proprio in corrispondenza di t = T . È chiaro allora che, al crescere di T , la pendenza diminuisce, l’esponenziale tende ad “allargarsi” (espandersi) sull’asse dei tempi, e quindi aumenta la misura dell’intervallo di tempo in cui x(t) assume valori non trascurabili. Viceversa, al diminuire di T , la pendenza aumenta, si ha un restringimento (compressione) dell’esponenziale sull’asse dei tempi, e quindi diminuisce la misura dell’intervallo di tempo in cui x(t) assume valori non trascurabili. Si capisce allora che la costante di tempo T governa proprio l’estensione Dx e, dunque, la durata ∆x , dell’esponenziale monolatero. Per calcolare la durata analiticamente, scegliamo come valore di soglia α A, con 0 < α < 1. Così facendo, risolvendo l’equazione x(∆x ) = α A, la durata del segnale risulta   1 ∆x = T ln α e, com’era intuibile, cresce con legge direttamente proporzionale a T . A titolo esemplificativo, se si sceglie α = 0.05, cioè, si ritengono trascurabili tutti i valori del segnale che risultano essere più piccoli del 5% del valore massimo A, si ottiene che ∆x ≈ 3 T . In altre parole, sebbene il segnale non si annulli mai al finito, esso assume valori praticamente trascurabili dopo solo 3 costanti di tempo. Passiamo ora ad introdurre l’esponenziale bilatero a TD, che è definito dalla relazione x(n) = A an , 4 Lo

stesso discorso può essere fatto anche per l’esponenziale monolatero x(t) = A eat u(−t), con a > 0.

52

Proprietà dei segnali

dove a ∈ R − {0} è un fattore di scala dei tempi, mentre A > 0 rappresenta un fattore di ampiezza (si noti che x(0) = A, ∀a ∈ R − {0}). L’andamento dell’esponenziale a TD al variare di a è più articolato rispetto a quello dell’esponenziale a TC. In particolare, per |a| > 1 l’esponenziale è crescente in modulo, mentre per 0 < |a| < 1 l’esponenziale è decrescente in modulo. Inoltre, per a > 0 l’esponenziale assume sempre valori positivi, mentre per a < 0 assume valori di segno alterno (positivi per n pari, negativi per n dispari). Infine, per |a| = 1, l’esponenziale è costante in modulo: in particolare, se a = 1, l’esponenziale si riduce al segnale costante x(n) = A, mentre, se a = −1, si ha x(n) = A (−1)n , che assume alternativamente i valori ±A. I sei possibili andamenti dell’esponenziale a TD sono rappresentati graficamente in fig. 2.28. Similmente all’esponenziale bilatero a TC, l’esponenziale bilatero a TD non ricade nella classe dei segnali di durata praticamente limitata. Per ottenere un segnale esponenziale di durata praticamente limitata, bisogna introdurre l’esponenziale monolatero: x(n) = A an u(n) , che presenta lo stesso comportamento di x(n) = A an per n ≥ 0, mentre è identicamente nullo per n < 0, a causa della presenza del gradino. Per 0 < |a| < 1, in particolare, l’esponenziale monolatero tende a zero per n → ∞, per cui è un esempio di segnale TD di durata praticamente limitata5 , la cui estensione è Dx = {0, 1, . . . , ∆x − 1}, con ∆x > 0 (durata) dipendente dalla scelta della soglia. La durata del segnale, in tal caso, è funzione di |a|: per valori di |a| prossimi ad 1, l’esponenziale decresce più lentamente, mentre per valori di |a| prossimi a zero, l’esponenziale decresce più rapidamente. Più precisamente, scegliendo come valore di soglia α A, con 0 < α < 1, e risolvendo l’equazione |x(∆x )| = α A, si ottiene che la durata del segnale è data da
ln α1 ln(α ) . ∆x =   = 1 ln(|a|) ln |a|

Come preannunciato, fissato 0 < α < 1, la durata del segnale tende ad essere infinitamente grande, per |a| → 1; viceversa, per |a| → 0, la durata del segnale tende a zero.

5 Lo

stesso discorso può essere fatto anche per l’esponenziale monolatero x(n) = A an u(−n), con |a| > 1.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

53

8

8

7

6

6

4

5

2 x(n)

x(n)

4 3

0 −2

2 1

−4

0

−6

−1 −10

−5

0 n

5

−8 −10

10

−5

(a) 8

7

6

6

4

5

10

5

10

5

10

2 x(n)

4

x(n)

5

(b)

8

3

0 −2

2 1

−4

0

−6

−1 −10

0 n

−5

0 n

5

−8 −10

10

−5

(c)

0 n

(d) 1

1 0.8

0.5

x(n)

x(n)

0.6

0

0.4 −0.5

0.2 −1

0 −10

−5

0 n

(e)

5

10

−10

−5

0 n

(f)

Fig. 2.28. Esponenziale a TD con A = 1 e per vari valori di a: (a) a > 1 (valore effettivo a = 1.1); (b) a < −1 (valore effettivo a = −1.1); (c) 0 < a < 1 (valore effettivo a = 0.833); (d) −1 < a < 0 (valore effettivo a = −0.833); (e) a = 1; (f) a = −1.

54

Proprietà dei segnali

x(t)

...

...

t

Fig. 2.29. Segnale di durata non limitata.

2.3.3 Segnali di durata non limitata e segnali periodici

Esistono segnali che non decadono a zero, come ad esempio il segnale raffigurato in fig. 2.29. Per segnali di questo tipo, è evidente che non esiste nessun criterio obiettivo per considerare trascurabili alcuni valori del segnale rispetto ad altri, e per questo motivo si assume che il segnale abbia durata non limitata o illimitata, ovvero ∆x = +∞. Una definizione pratica, allora, di segnale di durata non limitata è quella di un segnale che presenta valori non trascurabili durante tutto l’intervallo di tempo in cui viene osservato o elaborato. I segnali di durata illimitata sono anche detti segnali persistenti. Va detto che il concetto di segnale di durata non limitata costituisce una astrazione matematica: i segnali che si incontrano in pratica, infatti, sono sempre di durata limitata, in quanto osservati o elaborati su un intervallo di tempo finito (anche se eventualmente molto lungo). In molti casi, tuttavia, risulta più semplice e conveniente utilizzare modelli matematici secondo i quali tali segnali hanno durata non limitata. Una famiglia importante di segnali di durata illimitata è quella dei segnali periodici. I segnali periodici sono molto frequenti nella fisica e nelle scienze naturali, in quanto descrivono fenomeni in cui una stessa proprietà si presenta esattamente dopo un certo intervallo di tempo, detto periodo. Ad esempio, il pianeta Terra ruota su sé stesso con un periodo circa pari a 24 ore, ed intorno al Sole con un periodo pari circa a 365 giorni. Tale ripetibilità di un fenomeno si esprime in maniera matematicamente rigorosa come segue: Definizione 2.2 (segnale periodico) (a) Un segnale TC x(t) si dice periodico se esiste un valore reale T0 > 0 tale che x(t) = x(t + T0 ),

∀t ∈ R .

(2.12)

Il più piccolo valore di T0 che verifica la (2.12) è detto periodo (fondamentale) del segnale. (b) Un segnale TD x(n) si dice periodico se esiste un valore intero N0 ≥ 1 tale che x(n) = x(n + N0 ),

∀n ∈ Z .

(2.13)

Il più piccolo valore di N0 che verifica la (2.13) è detto periodo (fondamentale) del segnale. Se non esiste alcun valore di T0 e N0 che soddisfa le relazioni (2.12) e (2.13), rispettivamente, i segnali x(t) e x(n) si dicono aperiodici. È bene enfatizzare il fatto che, mentre nel caso TC il periodo T0 è in generale un numero reale, nel caso TD il periodo N0 è necessariamente un numero intero. Inoltre

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

55

Im

Im

A/2

ω0 >0

ω0 >0

x(t)

ω0t + ϕ 0 x(t)

ω0t + ϕ 0

Re

A

-(ω0t + ϕ 0 )

Re -ω0 0 è l’ampiezza, ϕ0 è la fase iniziale, misurata in radianti (rad), ω0 è la pulsazione, misurata in radianti al secondo (rad/s), f0 = 2ωπ0 è la frequenza, misurata in cicli/s o Hertz (Hz). Il fasore è un segnale che assume valori complessi, e pertanto non può essere rappresentato in funzione del tempo su un convenzionale diagramma cartesiano (t, x). Una conveniente interpretazione grafica (fig. 2.30) è invece quella nel piano complesso, secondo la quale il fasore è rappresentato come un vettore ruotante,7 avente modulo A, che si muove con velocità angolare |ω0 |, in senso antiorario 6 Alcune 7 Si

fisica.

definizioni e proprietà dei numeri complessi e delle funzioni a valori complessi sono richiamati in app. A. noti l’analogia tra la rappresentazione grafica del fasore sul piano complesso ed il moto circolare uniforme della

56

Proprietà dei segnali

se ω0 > 0, ed in senso orario se ω0 < 0. Questa rappresentazione consente di dare un significato al concetto di pulsazione o frequenza negativa, che altrimenti non avrebbe una chiara interpretazione fisica: in particolare, il segno della pulsazione o della frequenza è legato al verso di rotazione (orario/antiorario) del fasore. Di contro, il valore assoluto della pulsazione o della frequenza misura la velocità di rotazione del vettore ruotante, ovvero la rapidità di variazione del fasore: a valori di |ω0 | maggiori corrispondono fasori che variano più rapidamente, mentre a valori di |ω0 | minori corrispondono fasori che variano più lentamente; il caso ω0 = 0 rappresenta il fasore più lentamente variabile, in quanto per questo valore di ω0 il fasore degenera nel segnale costante x(t) = A e jϕ0 . Dall’interpretazione come vettore ruotante, si vede che un fasore occupa nuovamente la stessa posizione nel piano complesso dopo aver percorso un giro completo, il che accade dopo un tempo pari a T0 =

2π 1 , = |ω0 | | f0 |

(2.15)

pertanto, il fasore è un segnale periodico di periodo T0 . Una dimostrazione più rigorosa della periodicità del fasore a TC si può ottenere utilizzando la (2.12): infatti, imponendo che valga la (2.12), ovvero che x(t) = x(t + T0 ), si ha: A e j[2π f0 (t+T0 )+ϕ0 ] = A e j(2π f0t+ϕ0 )

=⇒

e j2π f0 T0 = 1 ,

e quest’ultima relazione risulta verificata se e solo se 2π f0 T0 = 2kπ , con k ∈ Z, da cui il più piccolo valore positivo per T0 si ottiene ponendo k = 1 (se f0 > 0) o k = −1 (se f0 < 0), e quindi si ha la (2.15), come preannunciato. Si noti, infine, che il fasore non è un segnale “fisico”, nel senso che esso non è direttamente riconducibile a nessuna grandezza fisica. Così come l’impulso di Dirac a TC, il fasore è una pura astrazione matematica che, come sarà chiaro nel seguito, risulta particolarmente utile per la sintesi e l’analisi dei segnali e sistemi che si incontrano nella realtà fisica. In ogni caso, notiamo che il fasore a TC rientra a pieno titolo nel modello matematico di segnale (1.1), in cui il dominio T coincide con R e il codominio X è un sottoinsieme del campo dei numeri complessi C. Sinusoide a TC

Un segnale sinusoidale8 a TC si può scrivere come: x(t) = A cos(ω0t + ϕ0 ) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) ,

(2.16)

dove i parametri A, ω0 , f0 e ϕ0 hanno la stessa interpretazione dei corrispondenti parametri per il fasore a TC. In effetti, utilizzando le formule di Eulero (cfr. § A.4), un segnale sinusoidale si può esprimere come: A cos(ω0t + ϕ0 ) =

1 j(ω0t+ϕ0 ) 1 − j(ω0t+ϕ0 ) + Ae = Re[A e j(ω0t+ϕ0 ) ] Ae 2 2

ovvero come la somma di due fasori di uguale ampiezza A/2, ruotanti in senso opposto con uguale velocità angolare |ω0 | (fig. 2.31). Anche la sinusoide, come il fasore, è un segnale periodico di periodo T0 = |2ωπ0 | = | f10 | : la dimostrazione rigorosa si basa sull’applicazione della (2.13) e ricalca quella già vista per il fasore. 8 Ricordiamo

che con il termine “segnale sinusoidale” intendiamo indifferentemente un segnale espresso in termini della funzione seno o (preferibilmente) della funzione coseno.

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

57

Fasore a TD

I fasori e le sinusoidi a TD presentano molte affinità, ma anche alcune differenze significative rispetto al caso TC. Un fasore a TD si scrive come: x(n) = A e j(θ0 n+ϕ0 ) = A e j(2πν0 n+ϕ0 ) = A[cos(2πν0 n + ϕ0 ) + j sin(2πν0 n + ϕ0 )] ,

(2.17)

dove A > 0 è l’ampiezza, ϕ0 è la fase iniziale (rad), θ0 è la pulsazione (rad), ν0 = 2θπ0 è la frequenza (cicli). Notiamo anzitutto le differenti dimensioni fisiche per la pulsazione e la frequenza rispetto al caso TC, derivanti dal fatto che mentre nel caso TC il tempo t si misura in secondi (s), nel caso TD il tempo n va considerato adimensionale. Come il fasore a TC, anche il fasore a TD soddisfa la definizione di segnale (1.1), in cui il dominio T coincide con Z e il codominio X è un sottoinsieme del campo dei numeri complessi C. L’interpretazione di un fasore a TD come vettore ruotante nel piano complesso è simile a quella di un fasore a TC (fig. 2.30): la differenza sostanziale, però, è che poiché il tempo n varia in maniera discreta, il fasore si muove “a scatti” nel piano complesso, ruotando in senso antiorario se θ0 > 0 e orario se θ0 < 0, e con una differenza angolare tra due posizioni consecutivamente occupate pari a |θ0 |. Sulla base di questa interpretazione, se il fasore si sposta di θ0 oppure di θ0 + 2kπ , la posizione finale è la stessa. Questa è una delle fondamentali differenze rispetto ai fasori a TC, ed è nota come proprietà di periodicità in frequenza dei fasori a TD: Proprietà 2.4 (periodicità in frequenza dei fasori a TD) Due fasori x1 (n) ed x2 (n) aventi pulsazioni θ1 e θ2 tali che θ2 − θ1 = 2kπ (k ∈ Z) sono coincidenti. Equivalentemente, due fasori x1 (n) ed x2 (n) aventi frequenze ν1 e ν2 tali che ν2 − ν1 = k (k ∈ Z) sono coincidenti. Prova. Si ha: x2 (n) = A e j(θ2 n+ϕ0 ) = A e j[(θ1 +2π k)n+ϕ0 ] = A e j(θ1 n+ϕ0 ) e| j2{zπ kn} = x1 (n) , =1

∀n, k ∈ Z .

Ovviamente, poiché θ1 = 2πν1 e similmente θ2 = 2πν2 , la condizione θ2 − θ1 = 2kπ equivale, in termini di  frequenze, a ν2 − ν1 = k.

La conseguenza più importante della proprietà di periodicità in frequenza è che un qualunque fasore a TD può essere ottenuto considerando soltanto valori di pulsazione in un intervallo di ampiezza 2π , come θ0 ∈ [0, 2π [ oppure θ0 ∈ [−π , π [, o equivalentemente valori di frequenza in un intervallo di ampiezza unitaria, come ν0 ∈ [0, 1[ oppure ν0 ∈ [−1/2, 1/2[. Inoltre la rapidità di variazione del fasore non aumenta in maniera monotona con la frequenza ν0 (o equivalentemente, con la pulsazione θ0 ), così come accade nel caso TC; in particolare, passando da ν0 = 0 a ν0 = 1, la rapidità di variazione del fasore prima aumenta (fino a ν0 = 1/2), poi diminuisce (fino a ν0 = 1). Ne segue che i fasori con la massima rapidità di variazione sono quelli a frequenza ν0 = 1/2 + k, k ∈ Z, mentre quelli con la minima rapidità di variazione (costanti) sono quelli a frequenza ν0 = k, k ∈ Z. Un’altra differenza significativa rispetto al caso TC è che il fasore TD non è sempre un segnale periodico nel tempo. Infatti, applicando la definizione di periodicità (2.13) per un segnale TD, si ha: A e j[θ0 (n+N0 )+ϕ0 ] = A e jθ0 n+ϕ0 ) , da cui si ottiene dopo alcune semplificazioni: e jθ0 N0 = 1 ,

58

Proprietà dei segnali

che risulta verificata se e solo se θ0 N0 = 2kπ , k ∈ Z, da cui si ricava che

ν0 =

θ0 k = , 2π N0

k ∈ Z,

e quindi ν0 dev’essere necessariamente un numero razionale (rapporto di due numeri interi). Si ricava allora la seguente proprietà di periodicità nel tempo dei fasori a TD: Proprietà 2.5 (periodicità nel tempo dei fasori a TD) Un fasore a TD x(n) = A e j(2πν0 n+ϕ0 ) risulta periodico nel tempo se e solo se la sua frequenza ν0 è un numero razionale. In tal caso, il suo periodo è il più piccolo valore intero N0 ≥ 1 che soddisfa la relazione 2πν0 N0 = 2kπ , k ∈ Z. La proprietà precedente, oltre ad evidenziare il fatto che un fasore a TD non è sempre periodico, mostra anche che, nel caso in cui è periodico, il periodo non coincide in generale con l’inverso della frequenza. In pratica, il periodo di un fasore a TD si può determinare con i seguenti passi: Proprietà 2.6 (periodo di un fasore a TD) Sia x(n) = A e j(2πν0 n+ϕ0 ) un fasore a TD con frequenza ν0 razionale (non intera). Il periodo N0 del fasore si determina come segue: (1) si rappresenta il numero razionale ν0 = k/N0 , con k ∈ Z − {0} ed N0 > 1 primi tra loro (si riduce preliminarmente la frazione ai minimi termini); (2) il periodo N0 coincide con il denominatore della frazione; (3) il valore assoluto |k| del numeratore rappresenta il numero di giri che effettua il fasore prima di riportarsi nella posizione iniziale; il segno di k è legato al verso di rotazione del fasore (orario se k < 0, antiorario se k > 0). ◮ Esempio 2.8 (periodicità nel tempo di un fasore a TD) Se ν0 = 1/3, il periodo è N0 = 3 ed il fasore compie k = 1 giri completi in senso orario prima di riportarsi nelle posizione iniziale. Se ν0 = 2/3, il periodo è ancora N0 = 3, ma il fasore compie k = 2 giri completi in senso orario prima di riportarsi nella posizione iniziale. Questi due esempi mostrano che, contrariamente a quanto avviene con i segnali periodici a TC, un aumento della frequenza (da ν0 = 1/3 a ν0 = 2/3) non implica una riduzione del periodo, che può rimanere lo stesso (come nei due esempi precedenti) o, addirittura, può aumentare. Infatti, se si aumenta la frequenza di un segnale periodico facendola passare da ν0 = 1/3 a ν0 = 3/4, il periodo aumenta passando da N0 = 3 a N0 = 4. Questi semplici esempi confermano il fatto che la rapidità di variazione di un fasore non aumenta in maniera monotona con la frequenza. Infine, se ν0 = √12 (un numero irrazionale), allora il fasore non è periodico nel tempo. ◭ Sinusoide a TD

Il segnale sinusoidale a TD si può scrivere come x(n) = A cos(θ0 n + ϕ0 ) = cos(2πν0 n + ϕ0 ) , e si può interpretare, similmente al caso TC, come la somma di due fasori ruotanti in senso opposto: 1 j(θ0 n+ϕ0 ) 1 − j(θ0 n+ϕ0 ) + Ae . Ae 2 2 Per la sinusoide a TD valgono le stesse proprietà di periodicità esposte per il fasore a TD. In particolare: A cos(θ0 n + ϕ0 ) =

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

59

(a) periodicità in frequenza: due sinusoidi con pulsazioni θ2 − θ1 = 2kπ (k ∈ Z) sono coincidenti;

(b) periodicità nel tempo: una sinusoide è periodica se e solo se la sua frequenza è un numero razionale ν0 = k/N0 (k ∈ Z e N0 > 1); il periodo si determina come il denominatore della frazione che rappresenta ν0 ridotta ai minimi termini. Replicazione

Un modo del tutto generale per costruire un segnale TC x(t) periodico con periodo T0 è quello di partire da un segnale xg (t), detto generatore, diverso da zero nell’intervallo [−T0 /2, T0 /2], e di effettuarne la replicazione con periodo T0 : △

x(t) = repT0 [xg (t)] =

+∞

∑

k=−∞

xg (t − kT0 ) .

(2.18)

In pratica la replicazione consiste nel sommare infinite versioni (cosiddette “repliche”) del segnale generatore xg (t), traslate di ±T0 , ±2T0 , etc. Applicando graficamente questa procedura si verifica facilmente che il segnale risultante è periodico di periodo T0 ; d’altra parte, per una dimostrazione più formale, basta provare che per il segnale x(t) definito come nella (2.18) risulta necessariamente x(t) = x(t + T0 ), ∀t ∈ R. Si ha, infatti, +∞

+∞

x(t + T0 ) =

∑

k=−∞

xg (t + T0 − kT0 ) =

∑

k=−∞

xg [t − (k − 1)T0 ] .

Effettuando il cambiamento di variabile k − 1 = ℓ nella sommatoria, si ha: +∞

+∞

∑

k=−∞

xg [t − (k − 1)T0 ] =

∑

ℓ=−∞

xg (t − ℓT0 ) = x(t) ,

per cui x(t + T0 ) = x(t), ∀t ∈ R, come si voleva dimostrare. ◮ Esempio 2.9 (onda rettangolare a TC) Consideriamo come segnale generatore una finestra rettangolare di ampiezza A e durata T : t  . xg (t) = A rect T Replicando xg (t) con passo T0 ≥ T (in caso contrario le repliche si sovrapporrebbero) si ottiene l’onda rettan△ T T0

golare di periodo T0 , ampiezza A, e duty-cycle o ciclo di servizio δc =

≤ 1, la cui espressione è:

  h  t i +∞ t − kT0 = ∑ A rect x(t) = repT0 A rect , T T k=−∞ e la cui rappresentazione grafica per A = 1 e δc = 0.5 è quella di fig. 2.32. Il duty-cycle δc , talvolta espresso in percentuale, rappresenta la misura del rapporto tra il tempo in cui l’onda rettangolare assume il valore A, ed il periodo dell’onda stessa. Ad esempio, in fig. 2.33 è mostrata un’onda rettangolare con A = 1 e δc = 0.8 (duty-cycle dell’80%). Come caso limite, notiamo che un’onda rettangolare con δc = 1 (100%) degenera nel segnale costante x(t) = A. ◭

Dato un segnale generatore xg (t) e fissato un periodo T0 , è possibile costruire un unico segnale periodico x(t) secondo la (2.18). Viceversa, un qualunque segnale periodico x(t) può sempre essere espresso come replicazione di un opportuno generatore xg (t). Infatti come generatore è possibile scegliere la

60

Proprietà dei segnali

0.8

0.8

0.6

0.6 x(t)

1

x(t)

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−2

−1

0 t/T

1

2

0

−2

−1

0 t/T

1

2

0

Fig. 2.32. Onda rettangolare a TC con A = 1 e δc = 0.5 (duty-cycle del 50%).

Fig. 2.33. Onda rettangolare a TC con A = 1 e δc = 0.8 (duty-cycle dell’80%).

restrizione del segnale periodico ad un periodo, ad esempio [−T0 /2, T0 /2], che si ottiene “finestrando” (ossia moltiplicando per una finestra rettangolare) il segnale:   ( x(t), t ∈ [−T0 /2, T0 /2] ; t = xg (t) = x(t) rect T0 0, altrimenti. Bisogna tuttavia notare che, per determinare il generatore, è possibile scegliere come intervallo di finestratura un qualunque intervallo di periodicità del segnale, ad esempio [t0 − T0 /2,t0 + T0 /2], con t0 ∈ R. In altri termini, la relazione tra segnale periodico e generatore non è biunivoca. Un caso meno banale che evidenzia la possibilità di scegliere almeno due diversi generatori di uno stesso segnale periodico è la replicazione con sovrapposizione tra le repliche, descritta dall’esempio che segue. ◮ Esempio 2.10 (onda triangolare a TC con sovrapposizione) A partire dal segnale generatore xg (t) = Λ(t) avente durata pari a 2 (Fig. 2.34), costruiamo il segnale periodico x(t) effettuando la replicazione di xg (t) con periodo T0 = 32 < 2:   +∞ 3 x(t) = rep 3 [xg (t)] = ∑ Λ t − k . 2 2 k=−∞ Poiché il periodo di replicazione è inferiore alla durata del generatore, le repliche del segnale si sovrappongono, ed il segnale risultante (fig. 2.35) non si ottiene semplicemente affiancando le finestre triangolari, ma bisogna tener conto della sovrapposizione tra le repliche, sommando queste ultime negli intervalli di sovrapposizione. In questo caso, finestrando il segnale periodico nell’intervallo [−1, 1], si ottiene il generatore raffigurato in fig. 2.36, che ovviamente è differente da quello originariamente considerato per costruire l’onda triangolare. ◭

La definizione di replicazione si può estendere al caso TD con cambiamenti banali di notazione. In particolare, dato un segnale generatore xg (n) diverso da zero nell’intervallo {0, 1, . . . , N0 − 1}, la replicazione di xg (n) è definita come: +∞

x(n) = repN0 [xg (n)] =

∑

k=−∞

xg (n − kN0 ) .

(2.19)

Tale espressione restituisce un segnale periodico x(n) di periodo N0 , cioè risulta x(n) = x(n + N0 ), ∀n ∈ Z (la prova è banale ed è simile a quella già vista per il caso TC).

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−2

−1

0 t

1

2

Fig. 2.34. Segnale generatore dell’onda triangolare a TC dell’es. 2.10.

−2

−1

0 t

1

2

Fig. 2.35. Onda triangolare a TC dell’es. 2.10 (sono raffigurate a tratteggio le repliche che sommate tra loro danno luogo al segnale a tratto continuo).

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6 x(n)

xg(t)

61

x(t)

xg(t)

2.3 Estensione e durata temporale di un segnale

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−2

−1

0 t

1

2

Fig. 2.36. Un differente generatore dell’onda triangolare a TC dell’es. 2.10, ottenuto finestrando il segnale periodico nell’intervallo (−0.75, 0.75).

−10

−5

0 n

5

10

Fig. 2.37. Onda rettangolare a TD con M = 3 ed N0 = 5.

◮ Esempio 2.11 (onda rettangolare a TD) Consideriamo come segnale generatore una finestra rettangolare di ampiezza unitaria e durata M: xg (n) = RM (n) . Replicando tale generatore con periodo N0 ≥ M (altrimenti le repliche si sovrapporrebbero) si ha: +∞

x(n) = repN0 [RM (n)] =

∑

k=−∞

RM (n − kN0 ) ,

il cui andamento è rappresentato in Fig. 2.37 per M = 3 e N0 = 5.

◭

Viceversa, un qualunque segnale periodico x(n) di periodo N0 può sempre essere ottenuto come replicazione di un opportuno generatore xg (n). Infatti come generatore è sempre possibile scegliere la restrizione del segnale periodico al periodo, che si ottiene finestrando il segnale con una finestra

62

Proprietà dei segnali

rettangolare a TD: ( x(n), n ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1} ; xg (n) = x(n) RN0 (n) = 0, altrimenti . Vale anche nel caso TD la stessa osservazione, già fatta nel caso TC, riguardo la non biunivocità della relazione tra segnali periodici e generatori; in altri termini, un generatore determina univocamente un segnale periodico, mentre un segnale periodico può essere ottenuto da diversi generatori.

2.4 Area e media temporale di un segnale

;;; ;;; x(t)

63

Z

-Z

+Z

t

2Z

Fig. 2.38. Interpretazione della media temporale di un segnale TC nell’intervallo [−Z, Z]. L’area del rettangolo (tratteggiata) di altezza hx(t)iZ e base 2Z è uguale all’area sottesa dal segnale.

2.4 Area e media temporale di un segnale Altri due parametri che concorrono a caratterizzare sinteticamente un segnale sono l’area e la media temporale. Dato un segnale TD x(n) e fissato un intero K ≥ 0, si definisce area del segnale nell’intervallo {−K, −K + 1, . . . , K − 1, K} la somma dei valori assunti dal segnale in tale intervallo: K

△

∑

Ax (K) =

x(n) ,

(2.20)

n=−K

mentre si definisce media temporale del segnale nell’intervallo {−K, −K + 1, . . . , K − 1, K} la media aritmetica dei valori assunti dal segnale in tale intervallo: △

hx(n)iK =

K 1 ∑ x(n) . 2K + 1 n=−K

(2.21)

Si noti che, in dipendenza della natura del codominio X del segnale, l’area e la media temporale di x(n) sono numeri reali o complessi. Le definizioni di area e media temporale date nel caso TD si estendono al caso di segnali a TC x(t) sostituendo alla sommatoria l’integrale. Considerato Z > 0, si definisce infatti area del segnale nell’intervallo (−Z, Z), il numero, reale o complesso, calcolato effettuando l’integrale del segnale su tale intervallo: △

Ax (Z) =

Z +Z −Z

x(t) dt ,

(2.22)

mentre si definisce media temporale del segnale nell’intervallo (−Z, Z), il numero, reale o complesso, calcolato effettuando la media integrale dei valori del segnale: 1 hx(t)iZ = 2Z △

Z Z

−Z

x(t) dt .

(2.23)

64

Proprietà dei segnali

L’interpretazione di media, sia nel caso TC che nel caso TD, si ottiene notando che le (2.21) e (2.23) si possono riscrivere come Ax (K) , 2K + 1 Ax (Z) hx(t)iZ = , 2Z

hx(n)iK =

e quindi, la media si può interpretare come l’altezza del rettangolo avente base pari all’intervallo temporale di riferimento e con la stessa area del segnale. Tale interpretazione è raffigurata graficamente per il caso TC in fig. 2.38. Si suole anche dire che la media temporale rappresenta il valor medio del segnale nell’intervallo temporale di riferimento. I valori dell’area e della media temporale calcolati sulla base delle (2.20) e (2.21) oppure (2.22) e (2.23), salvo che in casi particolari, dipendono dalla scelta di Z oppure di K, ovvero riguardano solo una porzione del segnale. Per ottenere invece valori di area e media temporale rappresentativi dell’intero segnale, è sufficiente far tendere Z oppure K all’infinito. Si perviene così alle fondamentali definizioni di area e media temporale di un segnale (sull’intero asse dei tempi): Definizione 2.3 (area e media temporale) (a) L’area di un segnale è:

△

Ax =

 Z   lim Z→+∞

Z

x(t) dt, (segnali TC)

−Z K

   lim

K→+∞

∑

(2.24) x(n),

(segnali TD)

n=−K

(b) La media temporale di un segnale è:  Z 1 Z   lim x(t) dt, (segnali TC)  Z→+∞ 2Z −Z △ hx(·)i = K 1   x(n), (segnali TD)  lim ∑ K→+∞ 2K + 1 n=−K

(2.25)

L’integrale che definisce l’area di un segnale TC può non esistere, il che significa che esistono segnali per i quali la definizione di area (2.24) perde di significato. Ciò accade, per esempio, nel caso dei segnali periodici, per i quali l’integrale nella (2.24) non esiste in senso ordinario. A tal proposito, si noti che, in base alla (2.24), l’area di un segnale TC è definita mediante il valor principale di Cauchy dell’integrale di x(t) esteso a tutto l’asse reale (cfr. § B.2.2), il cui valore è in generale diverso dal corrispondente integrale improprio: Z +∞ −∞

x(t) dt =

lim

Z Z2

Z1 ,Z2 →+∞ −Z1

x(t) dt ,

(2.26)

in cui, a differenza del valor principale di Cauchy dove Z1 = Z2 = Z, gli estremi di integrazione tendono all’infinito indipendentemente l’uno dall’altro. Se il limite nella (2.26) esiste, allora anche il valor principale di Cauchy dell’integrale di x(t) esteso all’intero asse reale esiste e i due integrali forniscono lo stesso risultato, cioè Z +∞ −∞

x(t) dt = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) dt .

(2.27)

2.4 Area e media temporale di un segnale

65

Tuttavia, il viceversa non è vero: il valor principale di Cauchy dell’integrale di x(t) su R può esistere anche quando il corrispondente integrale improprio non esiste. Ad esempio, se consideriamo il segnale x(t) = t, con t ∈ R, l’integrale (2.26) non esiste, mentre il valor principale di Cauchy dell’integrale di x(t) esteso a tutto l’asse reale risulta esistere ed essere nullo, cioè, il segnale ha area nulla. Più in generale, tutti i segnali dispari risultano avere area nulla. Un discorso analogo sussiste anche per i segnali a TD con riferimento alla sommatoria: l’area del segnale x(n) è definita mediante la somma simmetrica della serie bilatera di x(n) (cfr. § B.1.3), che può esistere anche quando la serie bilatera di x(n) non converge. Quando invece la serie di x(n) converge, essa è anche simmetricamente convergente e la sua sua somma coincide con quella simmetrica, cioè +∞

∑

K

x(n) = lim

K→+∞

n=−∞

∑

x(n) .

n=−K

Per quanto concerne l’interpretazione di hx(·)i, poiché la media temporale definita nella (2.25) si ottiene come caso limite dalle definizioni (2.21) o (2.23), l’interpretazione della (2.25) si potrebbe ricavare come caso limite di quella già data con riferimento alla media su un intervallo temporale di durata limitata, e quindi come valor medio del segnale (con riferimento all’intero asse dei tempi). Tuttavia, dato che l’area di un segnale può essere infinita, bisogna fare attenzione a generalizzare l’interpretazione di media come l’altezza di un rettangolo avente la stessa area del segnale. Essa vale infatti se la media è calcolata su un intervallo temporale finito, e quindi per ogni fissato valore di Z o di K: in questo caso, se il segnale x(·) assume valori finiti, la sua area è necessariamente finita. Poiché la definizione di area e valor medio sono intimamente legate, il fatto che Ax sia finito o infinito ha delle immediate implicazioni sul valor medio del segnale. Infatti, soffermando l’attenzione al caso TC, se il segnale x(t) ha area finita, cioè, |Ax | < +∞, risulta che: △

hx(t)i = lim

Z→+∞

Z 1 Z

2Z

−Z

lim

x(t) dt =

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) dt =

lim 2Z

Z→+∞

Ax = 0, +∞

(2.28)

ossia, se il segnale ha area finita, la sua media temporale è nulla. Questo accade per i segnali aventi durata rigorosamente limitata (come le finestre), ma si verifica anche per molti segnali aventi durata praticamente limitata. Con ragionamenti analoghi è possibile provare la stessa proprietà anche nel caso TD. Come conseguenza di questo risultato, si deduce che affinché la media temporale di x(·) assuma un valore diverso da zero, l’area del segnale deve necessariamente essere infinita. Un’altra proprietà interessante dei segnali aventi area finita è legata al cambiamento di scala temporale. Con riferimento al caso TC per semplicità, a partire dal segnale x(t) avente area finita Ax , mediante cambio di variabile, è immediato calcolare l’area del segnale y(t) = x(at), con a ∈ R − {0}, ottenendo: Ay = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

y(t) dt = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

1 Z→+∞ |a|

x(at) dt = lim

Z Z

−Z

x(τ ) dτ =

Ax , |a|

da cui si ricava che una compressione (|a| > 1) riduce l’area del segnale, mentre una espansione (0 < |a| < 1) aumenta l’area del segnale. Come caso particolare, ponendo a = −1, si ottiene che l’area di un segnale è invariante rispetto alle riflessioni temporali, nel senso che se y(t) = x(−t), si ha Ay = Ax . Allo stesso modo, è facile verificare che anche l’operazione di traslazione temporale non altera l’area di un segnale. ◮ Esempio 2.12 (area e media temporale della finestra rettangolare) Calcoliamo area e media temporale di una finestra rettangolare a TC x(t) = A rect(t/T ). Si tratta di un segnale di durata rigorosamente limitata, per cui la sua area è finita: Ax = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) dt = lim A Z→+∞

Z T /2

−T /2

dt = lim AT = AT . Z→+∞

66

Proprietà dei segnali

Conseguentemente, la sua media temporale è nulla: 1 Z→+∞ 2Z

hx(t)i = lim

Z Z

−Z

x(t) dt = 0 .

Con calcoli analoghi, si verifica che anche la media temporale della finestra a TD x(n) = RN (n) è nulla, in quanto ha area finita pari a N. ◭ ◮ Esempio 2.13 (area e media temporale dell’esponenziale monolatero decrescente) Calcoliamo area e media temporale del segnale esponenziale a TC x(t) = A e−t/T u(t), con T > 0. Pur trattandosi di un segnale di durata praticamente limitata, l’esponenziale monolatero decrescente ha area finita come la finestra rettangolare: Ax = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) dt = lim A Z→+∞

Z Z 0

e−t/T dt = lim AT (1 − e−Z/T ) = AT . Z→+∞

L’area dell’esponenziale monolatero decrescente dipende linearmente dalla costante di tempo T : questo risultato è perfettamente in accordo con l’interpretazione geometrica di T data in fig. 2.27. Conseguentemente, la media temporale di x(t) è nulla: 1 Z→+∞ 2Z

hx(t)i = lim

Z Z

−Z

x(t) dt = 0 .

Analogamente, anche la media temporale dell’esponenziale a TD x(n) = A an u(n), con 0 < |a| < 1, è nulla, in quanto la sua area è finita ed è data da: K

Ax = lim

∑

K→+∞ n=−K

K

x(n) = lim A ∑ an = lim A K→+∞

n=0

K→+∞

A 1 − aK+1 = . 1−a 1−a ◭

Per avere esempi significativi di segnali aventi media temporale diversa da zero, dobbiamo considerare allora segnali aventi area infinita e quindi durata illimitata. ◮ Esempio 2.14 (media temporale del segnale costante) È semplice calcolare la media temporale di un segnale costante x(·) = a. Nel caso TC si ha: 1 Z→+∞ 2Z

hx(t)i = lim

Z Z

−Z

1 Z→+∞ 2Z

a dt = a lim

Z Z

−Z

dt = a lim

Z→+∞

1 2Z = a . 2Z

Calcoli analoghi si possono effettuare anche nel caso TD, e quindi per un segnale costante x(·) = a si ha hx(·)i = a; in altri termini, la media temporale di una costante coincide con la costante stessa. ◭ ◮ Esempio 2.15 (media temporale del gradino) Calcoliamo la media temporale di un gradino a TD. Si ha: K K 1 1 1 K +1 = . u(n) = lim 1 = lim ∑ ∑ K→+∞ 2K + 1 n=−K K→+∞ 2K + 1 K→+∞ 2K + 1 2 n=0

hu(n)i = lim

Calcoli analoghi si possono effettuare anche nel caso TC, e quindi si ha in generale hu(·)i = 12 .

◭

La media temporale può essere nulla anche se il segnale ha durata infinita, ma presenta particolari proprietà di simmetria, come evidenziato nel seguente esempio. ◮ Esempio 2.16 (media temporale del signum) Calcoliamo la media temporale del segnale TC x(t) = sgn(t), definito come ( t ≥ 0; △ 1, sgn(t) = −1, t < 0 ;

67

1

1

0.5

0.5 x(n) = sgn(n)

x(t) = sgn(t)

2.4 Area e media temporale di un segnale

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1 −5

0 t

−5

5

0 n

5

Fig. 2.40. Segnale signum a TD.

Fig. 2.39. Segnale signum a TC.

e rappresentato graficamente in Fig. 2.39. Si ha:

1 Z→∞ 2Z

hx(t)i = lim

Z Z

−Z





Z 0 Z Z  1   (−1) dt + 1 dt   = 0. Z→∞ 2Z  −Z | {z } | 0 {z }

sgn(t) dt = lim

=−Z

=Z

Questo risultato discende dal fatto che il signum a TC, essendo una funzione dispari9 , ha area nulla (nel senso del valor principale di Cauchy). Lo stesso risultato si ottiene per il segnale TD x(n) = sgn(n), definito analogamente a sgn(t), come ( 1, n ≥ 0; sgn(n) = −1, n < 0 ; △

e raffigurato graficamente in fig. 2.40. In questo caso, il risultato hx(n)i = 0 discende dal fatto che il signum a TD è un segnale avente area finita pari ad 1 [somma simmetrica della serie bilatera di x(n)]. ◭

Più in generale, osserviamo nuovamente che se un segnale ha simmetria dispari, allora la sua area è nulla e, conseguentemente, anche la sua media temporale è nulla. Per completare la trattazione, presentiamo le seguenti proprietà della media temporale, utili nelle applicazioni:

9 Notiamo

che a rigore la funzione sgn(t) non è dispari, in quanto il suo valore nell’origine non è nullo; tuttavia essa soddisfa la proprietà sgn(−t) = −sgn(t), ∀t 6= 0, e d’altra parte il valore della funzione in un singolo punto non modifica il risultato del calcolo dell’area e della media temporale.

68

Proprietà dei segnali

Proprietà 2.7 (proprietà della media temporale) (a) Linearità: hα1 x1 (·) + α2 x2 (·)i = α1 hx1 (·)i + α2 hx2 (·)i ,

∀α1 , α2 ∈ C .

(b) Invarianza temporale: hx(t − t0 )i = hx(t)i ,

hx(n − n0 )i = hx(n)i ,

∀t0 ∈ R ;

∀n0 ∈ Z .

(c) Media temporale di un segnale periodico: Sia x(·) un segnale periodico, avente periodo T0 nel caso TC, o periodo N0 nel caso TD, assolutamente integrabile/sommabile su un periodo. La media temporale di x(·) può essere calcolata su un solo periodo:  Z T0 1   x(t) dt , (segnali TC) T 0 0 hx(·)i = 1 N0 −1    ∑ x(n) , (segnali TD) N0 n=0

Prova. La dimostrazione delle proprietà (a) e (b) è immediata ed è lasciata al lettore come esercizio. Nel seguito, proviamo la proprietà (c) per il caso a TC (la dimostrazione per il caso TD si effettua in modo simile). In base alla definizione di media temporale, dobbiamo calcolare 1 hx(t)i = lim Z→+∞ 2Z △

Z Z

−Z

x(t) dt .

Osserviamo che è possibile esprimere Z = nZ T0 + εZ , dove nZ ∈ N indica il numero intero di periodi T0 contenuti △

in (0, Z), mentre εZ = Z − nZ T0 ∈ [0, T0 [ è la frazione di periodo rimanente. Si ha allora: 1 2Z

Z Z

−Z

x(t) dt =

1 2Z |

1 nZ −1 (k+1)T0 1 x(t) dt + x(t) dt + ∑ 2Z 2Z −Z 0 {z } | k=−nZ kT {z } | Z

Z −nZ T0 (a)

Z Z

nZ T0

(b)

{z

(c)

x(t) dt . }

I termini (a) e (c) tendono a zero per Z → +∞. Infatti, consideriamo il termine (c) ed effettuiamo il cambio di variabile u = t − nZ T0 , ottenendo: ZZ Z Z−n T Z Z T0 1 1 Z 0 1 εZ 1 = ≤ x(t) dt x(u + n T ) du |x(u)| du ≤ |x(u)| du , Z 0 2Z n T 2Z 0 2Z 0 | {z } 2Z 0 Z 0 | {z } = x(u) per la periodicità non dipende da Z ed è finito

da cui segue la convergenza a zero per Z → +∞, se il segnale x(t) è assolutamente sommabile in (0, T0 ). Mediante un analogo ragionamento si prova che anche il termine (a) tende a zero al divergere di Z. Per il termine (b), invece, effettuando il cambiamento di variabile u = t − kT0 , si trova: 1 nZ −1 ∑ 2Z k=−n Z

Z (k+1)T0

x(t) dt =

kT0

=

1 nZ −1 ∑ 2Z k=−n Z

Z T0

nZ −1

Z T0

1 ∑ 2Z k=−n Z

0

0

x(u + kT0 ) | {z }

du

= x(u) per la periodicità

x(u) du =

2 nz 2nZ T0 + 2εZ

Z T0 0

x(t) dt ,

2.4 Area e media temporale di un segnale

69

per cui facendo divergere Z o equivalentemente nZ , si ha in definitiva: 2nz nZ →+∞ 2nz T0 + 2εz

hx(t)i = lim

Z T0

x(t) dt =

0

1 T0

Z T0

x(t) dt .

0



La proprietà 2.7(c) consente di semplificare il calcolo della media temporale di un segnale periodico, evitando il passaggio al limite presente nella definizione generale (2.25). Tale proprietà può essere espressa in forma più generale, osservando che per un segnale periodico a TC risulta: Z T0

x(t) dt =

0

Z t0 +T0

x(t) dt ,

t0

∀t0 ∈ R ,

ovvero il risultato dell’integrale su un periodo T0 non dipende dagli estremi di integrazione; questo consente di utilizzare la notazione simbolica Z

Z t0 +T0

△

x(t) dt =

x(t) dt ,

t0

T0

∀t0 ∈ R ,

per indicare l’integrale effettuato su un intervallo arbitrario di durata T0 , pari ad un periodo del segnale. Allo stesso modo, per un segnale TD, denoteremo con △

∑ x(n) =

n0 +N0 −1

N0

∑

x(n) ,

∀n0 ∈ Z ,

n=n0

la sommatoria fatta su N0 campioni consecutivi arbitrari, ovvero su un periodo del segnale. Con la notazione precedente, la media temporale di un segnale periodico si può esprimere come:  Z 1   x(t) dt , (segnali a TC)  T0 T0 hx(·)i = 1 (2.29)  x(n) , (segnali a TD)  ∑ N 0 N0

◮ Esempio 2.17 (media temporale del signum) Come applicazione della proprietà di linearità, ricalcoliamo la media temporale del segnale x(t) = sgn(t), notando che tale segnale può essere espresso semplicemente in funzione del gradino come sgn(t) = 2 u(t) − 1. Si ha allora: hx(t)i = h2 u(t) − 1i = 2 hu(t)i − h1i = 0 , | {z } |{z} = 21

=1

dove abbiamo applicato i risultati degli es. 2.14 e 2.15, riottenendo il risultato dell’es. 2.16.

◭

◮ Esempio 2.18 (media temporale di un fasore) Calcoliamo dapprima la media temporale del fasore a TC x(t) = A e j(ω0 t+ϕ0 ) . Per ω0 = 0, il fasore degenera nel segnale costante x(t) = A e jϕ0 , per cui: 

hx(t)i = A e jϕ0 = A e jϕ0 .

Per ω0 6= 0, il fasore x(t) è periodico di periodo T0 = periodo, ad esempio in (0, T0 ), utilizzando la (2.29): 1 hx(t)i = T0

Z

T0

Ae

j(ω0 t+ϕ0 )

A e j ϕ0 dt = T0

Z T0 0

e

j ω0 t

2π | ω0 | ,

per cui la media temporale si può calcolare su un

 t=T0   A e j ϕ0 e j ω0 t A e jϕ0 e j2π − 1 = 0. dt = = T0 jω0 t=0 T0 jω0

70

Proprietà dei segnali

Nonostante il fasore a TD x(n) = A e j(θ0 n+ϕ0 ) non sia necessariamente un segnale periodico (lo è solo se la sua frequenza ν0 è un numero razionale), esso gode di proprietà analoghe a quelle del fasore a TC per quanto riguarda la media temporale. Infatti, si può dimostrare (la verifica è lasciata come esercizio) che ( 0, se θ0 6= 2π k, k ∈ Z ; hx(n)i = j ϕ 0 A e , altrimenti ; ◭ ◮ Esempio 2.19 (media temporale di una sinusoide) Calcoliamo la media temporale della sinusoide a TC x(t) = A cos(ω0t + ϕ0 ). Nel caso ω0 = 0 la sinusoide si riduce ad un segnale costante x(t) = A cos(ϕ0 ), pertanto hx(t)i = hA cos(ϕ0 )i = A cos(ϕ0 ) . Nel caso in cui ω0 6= 0, poiché la sinusoide x(t) si esprime come somma di due fasori, possiamo applicare la proprietà 2.7(a) (linearità della media temporale): E 1 D E 1

 1

 1 D hx(t)i = A e j(ω0 t+ϕ0 ) + A e− j(ω0 t+ϕ0 ) = A e jϕ0 e jω0 t + A e− jϕ0 e− jω0 t = 0 , 2 2 2 | {z } 2 | {z } =0

=0

dove abbiamo sfruttato il risultato (cfr. es. 2.18) che un fasore con ω0 6= 0 ha media temporale nulla. Analogamente, per la sinusoide a TD x(n) = A cos(θ0 n + ϕ0 ), si può verificare (la dimostrazione è lasciata come esercizio) che: ( 0, se θ0 6= 2π k, k ∈ Z ; hx(n)i = A cos (ϕ0 ) , altrimenti ; ◭

2.4.1 Componente continua e alternata di un segnale

Utilizzando una terminologia mutuata dall’elettrotecnica, la media temporale di un segnale si può interpretare come la componente continua del segnale; a partire dalla componente continua, si può definire per differenza anche la componente alternata. Definizione 2.4 (componente continua/alternata) La componente continua (DC) di un segnale x(·) coincide con la sua media temporale: △

xdc = hx(·)i .

(2.30)

La componente alternata (AC) di un segnale x(·) si ottiene sottraendo al segnale la sua componente continua: △

xac (·) = x(·) − xdc .

(2.31)

Mentre la componente continua rappresenta il valor medio del segnale, e quindi, in un certo senso, la parte “costante” del segnale, la componente alternata, essendo ottenuta depurando il segnale della componente continua, ne rappresenta la parte effettivamente “variabile”. Dalla sua definizione, è chiaro che la componente alternata di un segnale ha media temporale (e quindi componente continua) nulla. Infatti, applicando la proprietà di linearità della media temporale, si ha: hxac (·)i = hx(·) − xdc i = hx(·)i − hxdc i = xdc − xdc = 0 .

2.5 Energia di un segnale

71

Dalla definizione stessa di componente alternata, è chiaro inoltre che un qualunque segnale si può scrivere sempre come la somma della sua componente continua e della sua componente alternata: x(·) = xdc + xac (·) .

(2.32)

In particolare, un segnale x(·) che presenta xdc = 0 e che, quindi, coincide con la sua componente alternata, viene detto segnale puramente alternativo. Dagli es. 2.18 e 2.19, segue che il fasore e la sinusoide a TC, con ω0 6= 0, sono segnali TC puramente alternativi; analogamente, il fasore e la sinusoide a TD, con θ0 6= 2π k, k ∈ Z, sono segnali TD puramente alternativi. ◮ Esempio 2.20 (componente continua ed alternata del gradino) Abbiamo già calcolato (es. 2.15) la media temporale del gradino, per cui la componente continua vale xdc = 12 , mentre la componente alternata vale: xac (t) = x(t) − xdc = u(t) −

1 1 = sgn(t) . 2 2

Pertanto la decomposizione (2.32) per un gradino assume la forma: u(t) = xdc + xac (t) =

1 1 + sgn(t) . 2 2

Dalla relazione precedente si può ricavare, per verifica, anche la relazione sgn(t) = 2 u(t) − 1 che abbiamo già utilizzato in precedenza. Risultati analoghi valgono anche per il caso del gradino a TD. ◭

2.5 Energia di un segnale Un parametro importante che caratterizza sinteticamente un’ampia famiglia di segnali è l’energia; il concetto di energia è fondamentale nella fisica, e ricorre in numerose applicazioni. Consideriamo, ad esempio, un resistore R attraversato dalla corrente x(t): per effetto termico, il resistore dissipa nell’intervallo di tempo (−Z, Z) un’energia pari a Ex (Z) =

Z Z

−Z

R x2 (t) dt ,

che viene misurata in Joule (J). Se si considerano altri esempi in altri campi della fisica, si può verificare che in generale l’energia è proporzionale all’integrale del quadrato del segnale. Per ottenere una definizione indipendente dalla particolare applicazione fisica, conviene ignorare le eventuali costanti di proporzionalità (come la resistenza R nell’esempio precedente) e definire l’energia di un arbitrario segnale TC o TD (sull’intero asse dei tempi) nel modo seguente: Definizione 2.5 (energia) L’energia di un segnale è:

△

Ex =

 Z   lim Z→+∞

Z

−Z K

   lim

K→+∞

∑

|x(t)|2 dt, (segnali TC)

n=−K

|x(n)|2 ,

(2.33)

(segnali TD)

Si noti la presenza del modulo nella definizione (2.33), che rende tale definizione di energia applicabile anche a segnali complessi; se il segnale è reale, il modulo può evidentemente essere omesso, in quanto per un segnale reale |x(·)|2 = x2 (·). Avendo ignorato eventuali costanti di proporzionalità, notiamo

72

Proprietà dei segnali

che le dimensioni fisiche di Ex calcolata mediante la (2.33) non sono necessariamente quelle di una energia. Ad esempio, il quadrato di una corrente non è dimensionalmente una energia, ma richiede una moltiplicazione per una resistenza. Tali costanti di proporzionalità non saranno considerate nel seguito, ma evidentemente vanno portate in conto se si intende calcolare l’energia in Joule mediante la (2.33) in specifiche applicazioni. Essendo legata al quadrato del segnale, l’energia è una quantità non negativa (Ex ≥ 0). Dal confronto tra le (2.24) e (2.33), è interessante osservare che l’energia del segnale x(·) può essere interpretata come l’area del segnale |x(·)|2 . Questo osservazione ci consente di estendere all’energia alcune proprietà dell’area di un segnale. In particolare, se il segnale x(·) presenta durata rigorosamente limitata (è il caso delle finestre), allora anche |x(·)|2 sarà di durata rigorosamente limitata e, conseguentemente, la sua energia (ovvero l’area di |x(·)|2 ) sarà finita. Tuttavia, l’energia può esistere finita anche se il segnale x(·) ha durata non rigorosamente limitata, purché |x(·)|2 decada a zero per |t| → +∞ o per |n| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da garantire la convergenza dell’integrale o della serie che compaiono nella definizione (2.33) (cfr. § B.2.3 e B.1.4). ◮ Esempio 2.21 (energia della finestra rettangolare) Il calcolo dell’energia per una finestra rettangolare a TC x(t) = A rect(t/T ) è semplice, avendosi: Ex = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

|x(t)|2 dt = A2

Z T /2

−T /2

dt = A2 T .

Calcoli altrettanto semplici si possono effettuare per una finestra rettangolare a TD x(n) = RN (n). Si ha infatti: K

Ex = lim

∑

K→+∞ n=−K

|x(n)|2 =

N−1

∑ 1=N.

n=0

◭ ◮ Esempio 2.22 (energia dell’esponenziale monolatero a TC) Calcoliamo l’energia per l’esponenziale monolatero a TC x(t) = A e−t/T u(t), con T > 0. Si ha: Ex = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

2

2

|x(t)| dt = A

Z ∞ 0

−2t/T

e

2

dt = A

"

e−2t/T −2/T

#t=∞ t=0

=

A2 T . 2

Notiamo che l’energia è finita poiché x(t) è una funzione che tende a zero per t → +∞ con legge esponenziale (quindi molto rapidamente). Se avessimo viceversa considerato T < 0, avremmo avuto un esponenziale ◭ monolatero crescente, che quindi avrebbe presentato Ex = +∞. ◮ Esempio 2.23 (energia dell’esponenziale monolatero a TD) Calcoliamo l’energia per l’esponenziale monolatero a TD x(n) = A an u(n). Si ha: K

Ex = lim

∑

K→+∞ n=−K

|x(n)|2 = A2

∞

∑ a2n .

n=0

Si ottiene allora una serie geometrica di ragione a2 , che converge se e solo se |a|2 < 1, ovvero se e solo se |a| < 1. In questo caso, allora, l’energia vale: Ex = A2

1 , 1 − a2

|a| < 1 .

Notiamo che la condizione |a| < 1 equivale a dire che l’esponenziale tende a zero per n → +∞ , mentre per |a| ≥ 1 l’energia non esiste finita, in quanto l’esponenziale non tende a zero. ◭

2.5 Energia di un segnale

73

2.5.1 Segnali di energia

I segnali aventi energia finita (come quelli degli es. 2.21, 2.22, e 2.23) prendono il nome di segnali di energia. Più in generale, sussiste la seguente definizione: Definizione 2.6 (segnale di energia) Si dice segnale di energia un segnale x(·) avente energia finita e diversa da zero (0 < Ex < +∞).

In pratica, la classe dei segnali di energia si può identificare con la classe dei segnali di durata limitata o transitori (cfr. § 2.3), che comprende sia i segnali di durata rigorosamente limitata (come ad esempio la finestra rettangolare dell’es. 2.21), sia i segnali di durata praticamente limitata (ad esempio i segnali esponenziali monolateri decrescenti degli es. 2.22 e 2.23). Viceversa, i segnali di durata non limitata o persistenti non sono di energia, in quanto tipicamente presentano Ex = +∞: vedremo che tali segnali appartengono in genere alla classe dei segnali di potenza (vedi § 2.6). In conclusione, osserviamo che, dal punto di vista matematico, non esiste alcuna relazione di inclusione tra l’insieme dei segnali di energia e l’insieme dei segnali aventi area finita (cfr. § B.2.3 e B.1.4): un segnale può essere di energia, ma non avere area finita; un segnale può avere area finita, ma non essere di energia. Poiché i segnali aventi area finita hanno componente continua nulla, consegue che, in generale, un segnale di energia può anche avere componente continua non nulla. Tuttavia, in molti casi di interesse pratico i segnali di energia hanno anche area finita (vedi ad esempio gli esponenziali monolateri); la conseguenza pratica è che tipicamente essi hanno componente continua nulla. 2.5.2 Energia mutua

Osserviamo preliminarmente che il prodotto di un segnale di energia per una costante è ancora un segnale di energia, e la somma di due segnali di energia è ancora un segnale di energia. Questa circostanza si esprime matematicamente dicendo che l’insieme dei segnali di energia è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per una costante (cfr. § B.2.3 e B.1.4). Nel caso del prodotto per una costante α ∈ C, posto y(·) = α x(·), è semplice provare che si ha Ey = |α |2 Ex ; più articolato è il calcolo dell’energia Ex+y della somma di due segnali. Sviluppiamo esplicitamente i calcoli nel caso TC, partendo dalla definizione: Ex+y = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

|x(t) + y(t)|2 dt .

(2.34)

Sviluppando il modulo al quadrato all’interno dell’integrale, si ha: |x(t) + y(t)|2 = [x(t) + y(t)][x(t) + y(t)]∗ = x(t) x∗ (t) + y(t) y∗ (t) + x(t) y∗ (t) + y(t) x∗ (t) = |x(t)|2 + |y(t)|2 + 2 Re[x(t) y∗ (t)] ,

dalla quale, sostituendo nella (2.34), si ha: Ex+y = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

2

|x(t)| dt + lim

Z Z

Z→+∞ −Z

2

|y(t)| dt + 2 Re



lim

Z Z

Z→+∞ −Z

∗



x(t) y (t) dt .

(2.35)

Se si pone △

Exy = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) y∗ (t) dt ,

(2.36)

74

Proprietà dei segnali

si ha in definitiva: Ex+y = Ex + Ey + 2 Re(Exy ) .

(2.37)

La relazione (2.37) mostra che nel calcolo dell’energia Ex+y della somma di due segnali compare, oltre alle energie Ex e Ey dei singoli segnali, il termine Exy che evidentemente porta in gioco relazioni energetiche mutue o reciproche tra i due segnali. Estendendo i precedenti concetti, con ovvie modifiche, al caso TD, possiamo dare la seguente definizione di energia mutua tra due segnali: Definizione 2.7 (energia mutua) L’energia mutua tra due segnali x(·) e y(·) è:

△

Exy =

 Z   lim Z→+∞

Z

−Z K

   lim

K→+∞

x(t) y∗ (t) dt, (segnali TC)

∑ x(n) y (n), ∗

(2.38) (segnali TD)

−K

A differenza dell’energia, che è una quantità reale e non negativa, l’energia mutua è in generale una quantità complessa; notiamo peraltro che per x(·) ≡ y(·) l’energia mutua si riduce all’energia del ∗ : nel caso di segnale. Inoltre, poiché il secondo segnale nella (2.38) è coniugato, si ha Eyx = Exy segnali reali, però, l’energia mutua è anch’essa reale (anche se può avere segno qualsiasi), e risulta simmetrica, in quanto Eyx = Exy . In tal caso, la relazione (2.37) (valida per segnali a TC e a TD) si semplifica nella: Ex+y = Ex + Ey + 2 Exy ,

(2.39)

simile concettualmente alla formula per il calcolo del quadrato di un binomio. Poiché il termine contenente l’energia mutua nella (2.37) o nella (2.39) può assumere segno qualsiasi, tali relazioni mostrano che l’energia della somma di due segnali può risultare in generale maggiore, minore o uguale rispetto alla somma delle energie. Particolarmente interessante è la condizione in cui Exy = 0, che garantisce l’additività delle energie:10 Ex+y = Ex + Ey .

(2.40)

La precedente osservazione porta ad introdurre il concetto di ortogonalità11 tra due segnali di energia: Definizione 2.8 (ortogonalità tra segnali di energia) Due segnali di energia x(·) e y(·) si dicono ortogonali se Exy = 0. Per segnali di energia ortogonali vale l’additività delle energie (2.40). Nei due esempi seguenti, sono mostrati alcuni casi tipici (certamente non esaustivi) di segnali ortogonali. ◮ Esempio 2.24 (segnali di energia ortogonali nel tempo) Si considerino due segnali che non si sovrappongono nel tempo, come ad esempio x(t) = rect(t) e y(t) = rect(t − 1) (fig. 2.41). In tal caso si ha x(t) y∗ (t) ≡ 0, RZ e quindi a maggior ragione Exy = limZ→+∞ −Z x(t) y∗ (t) dt = 0. Segnali (TC o TD) che non si sovrappongono nel tempo sono detti ortogonali nel tempo. ◭ 10 Se i segnali sono complessi, per l’additività delle energie è necessario e sufficiente che sia Re[E ] = 0; in questo caso xy la condizione Exy = 0 è sufficiente ma non necessaria, mentre diventa necessaria e sufficiente se i segnali sono reali. 11 Si usa il termine “ortogonalità” in quanto, in base a concetti matematici più avanzati, l’energia mutua può anche essere interpretata come “prodotto scalare” tra i segnali x(t) ed y(t) (riguardati come vettori).

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale

75

1 x(t)

x(t)

1 0.5 0 −1

−0.5

0

0.5 t

1

1.5

0 −1.5

2

y(t)

y(t)

−1

−0.5

0 t

0.5

1

1.5

−1

−0.5

0 t

0.5

1

1.5

0.5

1 0.5 0 −1

0.5

−0.5

0

0.5 t

1

1.5

2

Fig. 2.41. I segnali x(t) = rect(t) e y(t) = rect(t − 1) sono ortogonali nel tempo (es. 2.24).

0 −0.5 −1.5

Fig. 2.42. I segnali x(t) = rect(t) e y(t) = t rect(t) sono ortogonali per simmetria (es. 2.25).

◮ Esempio 2.25 (segnali di energia ortogonali per simmetria) Si considerino due segnali di energia anche sovrapposti nel tempo, ma tali che uno dei due, ad esempio x(t), abbia simmetria pari, mentre l’altro ha simmetria dispari. Poiché il prodotto di una funzione pari e di una dispari è una funzione dispari, risulta anche in questo caso Exy = 0, nonostante x(t) y∗ (t) 6≡ 0. Per un esempio concreto, basta considerare i segnali x(t) = rect(t) e y(t) = t rect(t) (fig. 2.42). Si ha: Exy = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

rect(t)t rect(t)dt =

Z 1/2

−1/2

t dt = 0 . ◭

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale Come l’energia, anche la potenza è un parametro sintetico caratterizzante alcuni segnali, che è utilizzato in numerosi e diversi ambiti della fisica. Consideriamo ancora l’esempio del resistore R attraversato dalla corrente x(t): la potenza mediamente dissipata nell’intervallo di tempo (−Z, Z) è Px (Z) =

1 2Z

Z Z

−Z

R x2 (t) dt ,

ovvero si ottiene dividendo l’energia dissipata nell’intervallo (−Z, Z) per la lunghezza 2Z di tale intervallo di tempo. La potenza è una quantità misurata in J/s o Watt (W). Per ottenere una definizione generale della potenza mediamente dissipata su tutto l’intervallo temporale del segnale, conviene trascurare eventuali costanti di proporzionalità (come la resistenza R) e far tendere Z all’infinito, ottenendo così: △

1 Z→+∞ 2Z

Px = lim

Z Z

−Z

|x(t)|2 dt .

(2.41)

Notiamo che la potenza Px coincide con la media temporale del segnale |x(t)|2 ed essendo legata, come l’energia, al modulo al quadrato del segnale, è una quantità non negativa (Px ≥ 0). Pertanto, generalizzando l’interpretazione come media temporale al caso TD, si perviene alla seguente definizione di potenza:

76

Proprietà dei segnali

Definizione 2.9 (potenza) La potenza di un segnale è:

△

 Px = |x(·)|2 =

 Z 1   lim Z→+∞ 2Z

Z

−Z

|x(t)|2 dt,

(segnali TC)

K 1 |x(n)|2 , (segnali TD) ∑ K→+∞ 2K + 1 n=−K

(2.42)

   lim

Si noti che il modulo nella definizione (2.42) può essere omesso se il segnale è reale. Avendo trascurato eventuali costanti di proporzionalità, le dimensioni fisiche della potenza definita in base alla (2.42) non sono necessariamente quelle corrette (ovvero W). Il vantaggio è, come per l’energia, di ottenere una quantità che dipende esclusivamente dal segnale. ◮ Esempio 2.26 (potenza di un segnale costante) La potenza di un segnale costante x(·) = a è:  

Px = |x(·)|2 = |a|2 = |a|2 . Se il segnale è reale (a ∈ R), allora Px = a2 .

◭

◮ Esempio 2.27 (potenza del gradino) Il calcolo della potenza di un gradino u(·) è semplice: basta osservare che, poiché il gradino assume solo i due valori reali 0 ed 1, si ha: 

 1 Px = |u(·)|2 = u2 (·) = hu(·)i = xdc = 2

dove abbiamo utilizzato il risultato dell’es. 2.15 sulla componente continua di un gradino.

◭

A partire dalla potenza si definisce il valore efficace di un segnale (detto anche valore root mean square o RMS), molto utilizzato nell’elettrotecnica: Definizione 2.10 (valore efficace) Il valore efficace di un segnale x(·) è: q p xrms = Px = h|x(·)|2 i . △

Sulla base del risultato dell’es. 2.26, il valore efficace di un segnale x(·) si può interpretare come il valore che deve assumere un segnale costante per avere la stessa potenza del segnale dato. 2.6.1 Segnali di potenza

Sulla base della definizione di potenza, è possibile individuare la classe dei segnali che hanno potenza finita; tali segnali prendono il nome di segnali di potenza: Definizione 2.11 (segnale di potenza) Si dice segnale di potenza un segnale x(·) avente potenza finita e diversa da zero (0 < Px < +∞). La classe dei segnali di potenza è costituita dai segnali di durata non limitata o persistenti: tali segnali comprendono i segnali aperiodici persistenti (es. gradino, signum) e i segnali periodici (es. fasore,

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale

77

sinusoide). Per soddisfare la definizione (2.12) oppure (2.13), un segnale periodico deve necessariamente avere durata illimitata; questo comporta che la sua energia è necessariamente infinita. Infatti, fatta eccezione per casi di scarso interesse pratico, un segnale periodico è necessariamente un segnale di potenza. Ricordando che la potenza di un segnale x(·) non è altro che il valor medio di |x(·)|2 e invocando la proprietà 2.7(c) della media temporale, segue che la potenza di un segnale periodico si può calcolare12 come:  Z 1   |x(t)|2 dt , (segnali a TC) 

 T T 0 Px = |x(·)|2 = 1 0 (2.43) 2  (segnali a TD)   N ∑ |x(n)| , 0 N0

da cui si vede che la potenza esiste necessariamente finita e diversa da zero, salvo per casi particolari di scarso interesse pratico13 .

◮ Esempio 2.28 (potenza di un fasore) Calcoliamo la media temporale del fasore a TC x(t) = A e j(ω0 t+ϕ0 ) . Per ω0 = 0, il fasore degenera nel segnale costante x(t) = A e jϕ0 , per cui:  

Px = |x(t)|2 = A2 = A2 .

Per ω0 6= 0, il fasore x(t) è periodico di periodo T0 = |ω2π | , per cui la potenza si può calcolare applicando la 0 (2.43). In tal modo, si ha: Z 

1 Px = |x(t)|2 = A2 dt = A2 , T0 T0 √ da cui si ottiene per il valore efficace xrms = Px = A (si noti che i risultati per la potenza ed il valore efficace valgono anche per ω0 = 0). Nonostante il fasore a TD x(n) = A e j(θ0 n+ϕ0 ) non sia necessariamente un segnale periodico (lo è solo se la sua frequenza ν0 è un numero razionale), esso gode di proprietà analoghe a quelle del fasore a TC per quanto riguarda la potenza. Infatti, si può dimostrare (la verifica è lasciata come esercizio) che 

in ogni caso Px = |x(n)|2 = A2 . ◭

◮ Esempio 2.29 (potenza di una sinusoide) Calcoliamo prima la potenza della sinusoide a TC x(t) = A cos(ω0t + ϕ0 ). Nel caso ω0 = 0 la sinusoide si riduce ad un segnale costante x(t) = A cos(ϕ0 ), pertanto: 

 Px = |x(t)|2 = A2 cos2 (ϕ0 ) = A2 cos2 (ϕ0 ) .

Nel caso in cui ω0 6= 0, applicando la formula trigonometrica di bisezione ed ancora la proprietà di linearità della media temporale, si ha:   2 2 



 A A  A2 h1i + hcos(2ω0t + 2ϕ0 )i = h1 + cos(2ω0t + 2ϕ0 )i = Px = |x(t)|2 = A2 cos2 (ω0t + ϕ0 ) = , {z } 2 2 |{z} | 2 =1

=0

dove si è sfruttato il risultato (si veda l’es. 2.19) che una sinusoide con √ pulsazione diversa da zero ha componente continua nulla. Il valore efficace della sinusoide è allora xrms = Px = √A2 , risultato frequentemente utilizzato nell’elettrotecnica. Analogamente, per la sinusoide a TD x(n) = A cos(θ0 n + ϕ0 ), si può verificare (la dimostrazione è lasciata come esercizio) che: ( 2 A 

, se θ0 6= π k, k ∈ Z ; 2 Px = |x(n)| = 22 A cos2 (ϕ0 ) , altrimenti . ◭

12 Notiamo che se x(·) è periodico di periodo T [N ], allora anche |x(·)|2 ammette lo stesso periodo, anche se il periodo 0 0 fondamentale può essere un sottomultiplo di T0 [N0 ]. 13 Ad esempio, la potenza potrebbe divergere solo nel caso di un segnale TC periodico x(t) che non sia a quadrato sommabile sull’intervallo T0 (un segnale del genere dovrebbe necessariamente essere non limitato su un periodo, per cui è di scarso interesse pratico).

78

Proprietà dei segnali

2.6.2 Relazioni tra segnali di energia e di potenza

È interessante analizzare più in dettaglio le relazioni esistenti tra segnali di energia e segnali di potenza. A tal proposito, sussiste il seguente risultato: Teorema 2.1 (relazioni tra segnali di energia e di potenza) (a) se x(·) è un segnale di potenza, allora esso ha energia infinita (Ex = +∞); (b) se x(·) è un segnale di energia, allora esso ha potenza nulla (Px = 0). Prova. Per provare la (a), basta scrivere (ad esempio nel caso TC): △ Px = |x(t)| = lim

2

Z→+∞

Z 1 Z

2Z

lim

2

−Z

|x(t)| dt =

Z Z

Z→+∞ −Z

|x(t)|2 dt

lim 2Z

.

(2.44)

Z→+∞

È chiaro allora che, se la potenza (2.44) esiste finita, si avrà: △

Ex = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

|x(t)|2 dt = Px lim 2Z = +∞ . Z→+∞

Con ragionamenti analoghi è possibile provare la stessa proprietà anche nel caso TD. Viceversa, se l’energia è finita, dalla (2.44) si ricava: lim

Px =

Z Z

Z→+∞ −Z

|x(t)|2 dt

lim 2Z

Z→+∞

=

Ex = 0, lim 2Z

(2.45)

Z→+∞

il che prova la (b) (un analogo ragionamento è possibile per il caso TD).



La proprietà (a) prova che un segnale di potenza ha necessariamente Ex = +∞, e quindi non può essere di energia. Viceversa, la (b) prova che un segnale di energia ha necessariamente Px = 0, e quindi non può essere di potenza. Pertanto, gli insiemi dei segnali di energia e dei segnali di potenza non hanno elementi in comune, e quindi sono disgiunti. Tuttavia, i due insiemi non costituiscono una partizione di tutti i possibili segnali, in quanto esistono casi di segnali che non sono nè di energia, nè di potenza. Un primo esempio banale è il segnale identicamente nullo x(·) = 0, che ha Ex = Px = 0 e quindi non appartiene a rigore nè ai segnali di energia, nè a quelli di potenza. Esistono casi meno banali di segnali, aventi durata non limitata, che non sono segnali di potenza, in quanto hanno Px = +∞ (e ovviamente non sono neppure segnali di energia, in quanto hanno Ex = +∞). Ad esempio il segnale rampa a TC x(t) = t u(t), raffigurato in fig. 2.43, presenta Ex = Px = +∞, e quindi non si può considerare nè un segnale di potenza, nè di energia. 2.6.3 Potenza mutua

Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati per i segnali di energia, si può verificare che anche l’insieme dei segnali di potenza è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per una costante. In altri termini, il prodotto di un segnale di potenza per una costante α ∈ C è ancora un segnale di potenza, e la somma di due segnali di potenza è ancora un segnale di potenza. Anche in questo caso, posto y(·) = α x(·), si prova facilmente che Py = |α |2 Px ; per quanto riguarda la somma di due segnali, invece, seguendo passaggi simili a quelli effettuati per l’energia, e sfruttando la proprietà di linearità della media temporale, si mostra facilmente che Px+y = Px + Py + 2 Re(Pxy ) , dove Pxy è la potenza mutua tra i segnali x(·) ed y(·), definita come segue:

(2.46)

2.6 Potenza e valore efficace di un segnale

79

2

x(t) = t u(t)

1.5

1

0.5

0 −2

−1

0 t

1

2

Fig. 2.43. Segnale rampa a TC.

Definizione 2.12 (potenza mutua) La potenza mutua tra due segnali x(·) e y(·) è:

△

∗

Pxy = hx(·) y (·)i =

 Z 1   lim Z→+∞ 2Z

Z

−Z

x(t) y∗ (t) dt,

(segnali TC)

K 1 x(n) y∗ (n), (segnali TD) ∑ K→+∞ 2K + 1 n=−K

(2.47)

   lim

∗ , ed Notiamo che, per la presenza dell’operazione di coniugazione sul secondo segnale, si ha Pyx = Pxy in generale la potenza mutua è complessa; se invece i segnali sono reali la potenza mutua è simmetrica (Pyx = Pxy ) e reale (ma di segno qualsiasi), per cui la (2.46) si scrive

Px+y = Px + Py + 2 Pxy .

(2.48)

Le relazioni (2.46) e (2.48) e evidenziano che, come per le energia, anche per la potenze non vale l’additività, a meno che Pxy = 0. Questa osservazione porta alla definizione di ortogonalità anche per i segnali di potenza: Definizione 2.13 (ortogonalità per segnali di potenza) Due segnali di potenza x(·) e y(·) si dicono ortogonali se Pxy = 0. Per segnali di potenza ortogonali, in particolare, vale la proprietà di additività delle potenze: Px+y = Px + Py .

(2.49)

Gli esempi che seguono presentano alcuni casi significativi (anche qui non esaustivi) di segnali di potenza ortogonali. ◮ Esempio 2.30 (ortogonalità tra seno e coseno) Un esempio di due segnali di potenza a TC ortogonali si ottiene scegliendo x(t) = cos(ω0t) e y(t) = sin(ω0t), con ω0 6= 0. Si ha infatti, adoperando le proprietà della media temporale e note formula trigonometriche:   1 1 sin(2ω0t) = hsin(2ω0t)i = 0 , Pxy = hcos(ω0t) sin(ω0t)i = 2 2

80

Proprietà dei segnali

Parametro Estensione temporale

Notazione Dx

Durata temporale

∆x

Area

Ax

Definizione intervallo di tempo in cui |x(·)| assume valori non trascurabili misura dell’estensione temporale Dx lim

Z→+∞ −Z K

lim

K→+∞

Media temporale

xdc = hx(·)i

(componente continua) Energia Potenza

Ex Px

Z Z

x(t) dt

∑

x(n)

(segnali TC) (segnali TD)

n=−K

Z

1 Z x(t) dt (segnali TC) lim Z→+∞ 2Z −Z K 1 x(n) (segnali TD) lim ∑ K→+∞ 2K + 1 n=−K area del modulo al quadrato |x(·)|2 del segnale media temporale del modulo al quadrato |x(·)|2 del segnale

Tab. 2.1. Riepilogo dei parametri che caratterizzano sinteticamente un segnale x(·). dove abbiamo sfruttato il fatto che un segnale sinusoidale ha media nulla. Notiamo che l’ortogonalità si perde se si introduce uno sfasamento tra i due segnali, a meno che lo sfasamento non assuma valori particolari (vedi esercizio 2.30). ◭ ◮ Esempio 2.31 (ortogonalità tra componente continua ed alternata) È facile provare che la componente continua ed alternata di un segnale di potenza sono tra loro ortogonali. Posto infatti x(·) = xdc + xac (·), si ha: ∗ ∗ Pxdc xac = hxdc xac (·)i = xdc hxac (·)i = xdc hxac (·)i∗ = 0 ,

in quanto l’operazione di coniugazione si scambia con la media temporale, e hxac (·)i = 0 per definizione. Si ha allora: Px = Pdc + Pac , ovvero la potenza di un segnale si può esprimere come la somma della potenza in continua e della potenza in alternata. ◭

In conclusione, nella tab. 2.1 sono riepilogati i parametri introdotti finora che caratterizzano sinteticamente un segnale, evidenziando i legami esistenti tra alcuni di essi.

2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia Potenze ed energie possono variare anche di numerosi ordini di grandezza; inoltre nelle applicazioni esse andrebbero misurate nelle opportune unità di misura, vale a dire, Watt (W) per le potenze, Joule (J) per le energie. Con riferimento in particolare alla potenza, per risolvere i due problemi precedenti e per semplificare alcuni calcoli, nell’ingegneria si utilizza spesso una misura logaritmica ed adimensionale della potenza Px , detta misura in deciBel (dB):14   Px △ [Px ]dB = 10 log10 , (2.50) P0 14 Il

termine “deciBel” significa letteralmente la decima parte di un “Bel”, che è una unità di misura originariamente introdotto da tecnici che lavoravano ai laboratori della Bell Telephone. Il deciBel è utilizzato anche in acustica come unità di misura dell’intensità di un suono.

2.7 Misura in dB della potenza e dell’energia

81

Px /P0 0.001 0.01 0.1 0.5 1 2 10 100 1000

[Px ]dB −30 dB −20 dB −10 dB −3 dB 0 dB 3 dB 10 dB 20 dB 30 dB

Tab. 2.2. Valori comuni di potenza espressi in dB.

dove P0 è una potenza di riferimento, opportunamente scelta a seconda delle applicazioni. Le scelte più comuni per la potenza di riferimento sono P0 = 1W, ed in tal caso si parla di potenze espresse in dBW, e si scrive più specificamente [Px ]dBW ; se invece P0 = 1mW, si parla di potenze espressa in dBm, e si scrive [Px ]dBm ; quest’ultima scelta è molto utilizzata ad esempio nelle applicazioni che riguardano la telefonia ed i sistemi di telecomunicazione. Nella tab. 2.2 sono riportati alcuni dei valori più comuni di potenze espresse in dB. Ovviamente, dato il valore di potenza [Px ]dB in dB , il valore Px in unità naturali si ottiene facilmente invertendo la relazione (2.50): Px = P0 · 10

[P x ]dB 10

.

√ Una misura analoga in dB si può introdurre anche per il valore efficace xrms = Px ; tuttavia, per avere lo stesso valore in dB, tenendo conto della relazione quadratica esistente tra valore efficace e potenza, conviene introdurre un fattore numerico pari a 20, invece di 10, nella definizione (2.50); si perviene pertanto alla seguente definizione per la misura in dB del valore efficace xrms :   xrms △ [xrms ]dB = 20 log10 , x0 √ dove x0 = P0 è il valore efficace corrispondente alla potenza di riferimento P0 . Con questa scelta i valori in dB relativi alla potenza ed al valore efficace coincidono, in quanto, applicando le proprietà dei logaritmi, si ha: [Px ]dB = 10 log10



Px P0



= 10 log10



2 xrms x02



= 20 log10



xrms x0



= [xrms ]dB .

◮ Esempio 2.32 (potenze espresse di dBW e dBm) Si consideri la potenza Px = 100 W; scegliendo P0 = 1 W, si ha:   100 [Px ]dBW = 10 log10 = 20 dBW , 1 mentre se si sceglie P0 = 1 mW, si ha:   100 [Px ]dBm = 10 log10 = 50 dBm . 10−3

82

Proprietà dei segnali

mezzo PT

trasmissivo

γc

P R =γc P T

Fig. 2.44. Schema di principio di un collegamento punto-punto in un sistema di telecomunicazioni (problema del link budget). Notiamo che la relazione esistente tra dBW e dBm è la seguente: [Px ]dBm = [Px ]dBW + 30 dB . Infatti, le potenze di riferimento nei due casi differiscono di un fattore 1000, corrispondente a 30 dB (tab. 2.2) in unità logaritmiche. ◭ ◮ Esempio 2.33 (attenuazione in dB e link budget) Un altro esempio dell’utilità di una misura logaritmica per la potenza è quello in cui si vogliono mettere in relazione la potenza trasmessa e quella ricevuta su un collegamento punto-punto di un sistema di telecomunicazioni (tale problema prende il nome di link budget). Si consideri lo schema di fig. 2.44, in cui un segnale viene trasmesso su un mezzo trasmissivo che introduce una attenuazione della potenza pari ad γc , con 0 < γc < 1 (il valore di γc dipende dalla natura del mezzo e dalla distanza coperta dal collegamento). Detta PT la potenza trasmessa, la potenza ricevuta sarà pari a PR = γc PT ; misurando invece la potenza ricevuta in dB, si ha:       PR PT γc PT [PR ]dB = 10 log10 = 10 log10 = 10 log10 [γc ] + 10 log10 , P0 P0 P0 ovvero, ponendo: △

[γc ]dB = 10 log10 [γc ]

(2.51)

si può scrivere, assumendo ad esempio P0 = 1mW, [PR ]dBm = [γc ]dB + [PT ]dBm . Il vantaggio è che la relazione moltiplicativa tra potenza trasmessa e ricevuta si è trasformata, per le proprietà dei logaritmi, in una relazione additiva. La (2.51) definisce l’attenuazione in dB o path loss caratteristica del collegamento. Notiamo che poiché 0 < γc < 1, allora [γc ]dB < 0, per cui, come è ovvio che sia, risulta ◭ [PR ]dBm < [PT ]dBm .

2.8 Esercizi proposti

83

2.8 Esercizi proposti Esercizio 2.1 Si consideri il segnale TC x(t) = rect(t). Individuare quale operazione elementare è effettuata su x(t) per ottenere il segnale y(t) e rappresentare il grafico del segnale y(t): (a) y(t) = x(t − 5); (b) y(t) = x(t + 5); (c) y(t) = x(−t); (d) y(t) = x(2t); t  . (e) y(t) = x 3 Esercizio 2.2 Dati i segnali TD ( |n| , n ∈ {0, ±1, ±2, ±3} x(n) = 0, altrimenti y(n) = R4 (n − 1) − R4 (−n − 1) , dopo aver rappresentato il grafico di x(n) ed y(n), rappresentare accuratamente il grafico del segnale z(n) nei seguenti casi: (a) z(n) = x(2n); (b) z(n) = x(3n − 1); (c) z(n) = y(1 − n); hni (d) z(n) = x ; 2 (e) z(n) = y(2 − 2n); (f) z(n) = x(n − 2) + y(n + 2); (g) z(n) = x(2n) + y(n − 4); (h) z(n) = x(n + 2) y(n − 2); (i) z(n) = x(3 − n) y(n); (j) z(n) = x(−n) y(−n); (k) z(n) = x(n) y(−2 − n); (l) z(n) = x(n + 2) y(6 − n). Esercizio 2.3 Si consideri il segnale TC x(t) = Λ(t). Determinare l’espressione analitica del segnale y(t) ottenuto effettuando le seguenti operazioni su x(t) (nell’ordine specificato) e rappresentare il grafico del segnale y(t): (a) riflessione seguita da un ritardo di 5; (b) ritardo di 5 seguito da una riflessione; (c) cambiamento di scala con a = 5 seguito da un anticipo di 5; (d) anticipo di 5 seguito da un cambiamento di scala con a = 5. Esercizio 2.4 Si consideri il segnale TC y(t) = x(2t − 1). Individuare quali delle seguenti combinazioni di operazioni elementari consente di ottenere y(t) a partire da x(t) (sono possibili più risposte corrette):

84

Proprietà dei segnali

(a) ritardo di 1 seguito da cambiamento di scala con a = 2; (b) cambiamento di scala con a = 2 seguito da ritardo di 1; (c) ritardo di 1/2 seguito da cambiamento di scala con a = 2; (d) cambiamento di scala con a = 2 seguito da ritardo di 1/2. Esercizio 2.5 Si consideri il segnale TC x(t) = Λ(t). Individuare le operazioni effettuate (specificandone l’ordine) per ottenere il segnale y(t) e rappresentare il grafico del segnale y(t): (a) y(t) = x(−t + 1); (b) y(t) = x(−t − 1); (c) y(t) = x(2t − 1); (d) y(t) = x[2(t − 1)];  t −1 ; (e) y(t) = x 3   t −1 (f) y(t) = x . 3 Esercizio 2.6 Rappresentare graficamente il segnale TC ( 1, 2 ≤ t ≤ 4 y(t) = 0 , altrimenti e trovarne una espressione analitica in funzione del segnale x(t) = rect(t). Determinare, inoltre, l’estensione temporale e la durata del segnale. Esercizio 2.7 Rappresentare graficamente il segnale TC   3(t − 2) , 2 ≤ t ≤ 5 y(t) = 3(8 − t) , 5 ≤ t ≤ 8   0, altrimenti

e trovarne una espressione analitica in funzione del segnale x(t) = Λ(t). Determinare, inoltre, l’estensione temporale e la durata del segnale. Esercizio 2.8 Rappresentare graficamente i seguenti segnali TC e determinare la loro estensione temporale e durata (per i segnali aventi durata praticamente limitata, si scelga una soglia α pari al 10% del valore massimo assunto dal segnale): (a) x(t) = rect(t) − rect(t − 1);

(b) x(t) = e at u(−t), con a > 0; (c) x(t) = e−|t|/T , con T > 0; 2

(d) x(t) = e−t ; 1 ; (e) x(t) = √ 1 + t2 (f) x(t) = u(t) − rect(t − 2). Esercizio 2.9 Rappresentare graficamente i seguenti segnali TD e determinare la loro estensione temporale e durata (per i segnali aventi durata praticamente limitata, si scelga una soglia α pari al 10% del valore massimo assunto dal segnale):

2.8 Esercizi proposti

85

(a) x(n) = δ (n) − 2 δ (n − 1) + 3 δ (n − 2) − δ (n − 4);

(b) x(n) = an u(−n), con |a| > 1; (c) x(n) = a|n| , con 0 < |a| < 1;

(d) x(n) = (−1)n u(n).

Esercizio 2.10 Stabilire quali dei seguenti segnali TD sono periodici e, in caso affermativo, determinarne il periodo fondamentale N0 : (a) x(n) = (−1)n ; 2

(b) x(n) = (−1)n ; (c) x(n) = cos(2n); (d) x(n) = cos(2π n); (e) x(n) = e j

8π n 15

;

(f) x(n) = e j

7π n 15

;

(g) x(n) = e

πn j√ 2

(h) x(n) = n e

;

jπ n

;

jn

(i) x(n) = e . △

Esercizio 2.11 Rappresentare il grafico della differenza prima y(n) = ∇1 [x(n)] = x(n) − x(n − 1) del segnale TD x(n) e calcolarne area e valor medio nei seguenti casi:  1, n ∈ {0, 1, 4, 5} (a) x(n) = 0, altrimenti (b) x(n) = u(n) + u(n − 1). Esercizio 2.12 Rappresentare il grafico di x(t) e calcolarne area e valor medio nei seguenti casi: (a) x(t) = u(t); (b) x(t) = sgn(t); (c) x(t) = u(t − 5); (d) x(t) = sgn(−t); (e) x(t) = 2 u(t); (f) x(t) = 2 sgn(t) + 1; (g) x(t) = 2 rect(t); (h) x(t) = e−t u(t). [Suggerimento: per il calcolo del valor medio, utilizzare le proprietà della media temporale] Esercizio 2.13 Stabilire quali dei seguenti segnali TD sono periodici e, in caso affermativo, determinarne il periodo fondamentale N0 ; calcolarne inoltre area e valor medio: +∞

(a) x(n) =

∑

(−1)k δ (n − 2k);

k=−∞ +∞

(b) x(n) =

∑

k=−∞

  δ (n − 3k) − δ (n − k2 ) ;

86

Proprietà dei segnali

(c) x(n) = cos

 πn 

(d) x(n) = 2 cos

5 

sin

 πn 

3π n π + 8 3

3 

;

+ 4 sin

 πn  2

.

Esercizio 2.14 Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali TC e stabilire se sono segnali di energia o di potenza: (a) x(t) = u(t); (b) x(t) = sgn(t); (c) x(t) = cos(2π 100t) u(t); (d) x(t) = e−2t u(t); (e) x(t) = et u(−t); (f) x(t) = e−|t| ; 2

(g) x(t) = e−t ; (h) x(t) = e−t

2 /2

u(t);

1 . (i) x(t) = √ 1 + t2 [Suggerimento: per il calcolo dell’area e dell’energia dei segnali ai punti (g) ed (h), utilizzare l’integrale R +∞ −x2 √ notevole −∞ e dx = π .]

Esercizio 2.15 Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali TD e stabilire se sono segnali di energia o di potenza: (a) x(n) = u(n); (b) x(n) = u(n) − u(−n − 1); (c) x(n) = cos(π n) R5 (n);

(d) x(n) = 5 cos(0.2π n);  n 1 (e) x(n) = u(n); 2

(f) x(n) = (2)n R4 (n − 2); +∞

(g) x(n) =

∑

(−1)k δ (n − 2k).

k=−∞

Esercizio 2.16 Rappresentare il grafico del segnale TC    2π t x(t) = sgn a cos (a ∈ R, T0 ∈ R+ ) T0 discutendo separatamente i casi in cui a > 0 e a < 0, e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.17 Rappresentare il grafico del segnale TC   0≤t ≤1 t , x(t) = 2 − t , 1 ≤ t ≤ 2   0, altrimenti

e calcolarne valor medio, energia e potenza.

2.8 Esercizi proposti

87

Esercizio 2.18 Rappresentare il grafico del segnale TD x(n) = e−n/N u(n) con

N>0

e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.19 Rappresentare il grafico del segnale TC ( 5 cos(π t) , −a ≤ t ≤ a x(t) = 0, altrimenti nel caso in cui a = 1 e a = 0.5, e calcolarne valor medio, energia e potenza in entrambi i casi. Esercizio 2.20 Rappresentare il grafico del segnale TC x(t) =

(

1 2

π π ≤t ≤ ω ω altrimenti

[cos(ω t) + 1] , −

0,

dove ω è una costante reale positiva, e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.21 Rappresentare il grafico del segnale TD ( sin(0.5π n) , n ∈ {−4, −3, . . . , 4} x(n) = 0, altrimenti e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.22 Rappresentare il grafico del segnale TC  5−t , 4 ≤ t ≤ 5    1 , −4 ≤ t ≤ 4 x(t) =  5 + t , −5 ≤ t ≤ −4    0, altrimenti

e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.23 Dato il segnale TC x(t) = rect(t), si consideri il segnale y(t) = (a) Calcolare y(t) e rappresentarlo graficamente;

Rt

−∞ x(τ ) d τ .

(b) Calcolare la componente continua di y(t); (c) Stabilire se y(t) è un segnale di energia o di potenza e calcolarne l’energia o la potenza rispettivamente. Esercizio 2.24 Si consideri il segnale TC periodico +∞

x(t) =

∑

k=−∞

xg (t − kT0 )

dove xg (t) = 2 A Λ



2t T0



(A, T0 ∈ R+ )

Rappresentare il grafico del segnale x(t) e calcolarne valor medio, energia e potenza.

88

Proprietà dei segnali

Esercizio 2.25 Si consideri il segnale periodico +∞

x(n) =

∑

k=−∞

xg (n − 6 k)

dove  2,    1, xg (n) = 2,    0,

n = −1 n=0 n=1 altrove

Rappresentare il grafico del segnale x(n) e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.26 Rappresentare il grafico del segnale TD +∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(n − 10k)

dove x[n] = R3 (n + 1) + R2 (n − 4), e calcolarne valor medio, energia e potenza. Esercizio 2.27 Stabilire se i seguenti segnali TC sono periodici ed in caso affermativo determinarne il periodo; calcolarne inoltre il valor medio e la potenza: (a) x(t) = 2 cos2 (2π t); (b) x(t) = cos(2π t) u(t); (c) x(t) =

Z t

cos(2πτ ) d τ ;

0

(d) x(t) = cos(π t) + cos

πt 2


;

(e) x(t) = 2 cos(2π t) + 3 sin(2π t);
(f) x(t) = cos(2π t) + 12 cos 2π t − π4 ;

(g) x(t) = cos(2π t) sin(4π t).

Esercizio 2.28 Calcolare valor medio, energia e potenza dei seguenti segnali TC x1 (t) = A1 e j2π f1 t ,

x2 (t) = A2 e j2π f2 t

con A1 , A2 ∈ R+ . Inoltre, si calcolino valor medio, energia e potenza del segnale x(t) = x1 (t) + x2 (t) discutendo separatamente i casi in cui f1 = f2 e f1 6= f2 . Esercizio 2.29 Calcolare valor medio, energia e potenza dei seguenti segnali TD x1 (n) = A1 e j(2πν1 n+ψ1 ) ,

x2 (n) = A2 e j(2πν2 n+ψ2 )

con A1 , A2 ∈ R+ . Inoltre, si calcolino valor medio, energia e potenza del segnale x(n) = x1 (n) + x2 (n) . Per quali valori di ν1 − ν2 i due segnali sono ortogonali?

Esercizio 2.30 Stabilire per quali valori di θ i segnali TC x(t) = cos(2π f0 t) e y(t) = cos(2π f0 t + θ ) sono ortogonali.

2.8 Esercizi proposti

89

Esercizio 2.31 Rappresentare il grafico dei seguenti segnali TC t  x1 (t) = A1 [Λ(t − 1) − Λ(t + 1)] , x2 (t) = A2 rect 2

con A1 , A2 ∈ R+ , e calcolare valor medio, energia e potenza dei segnali y(t) = 5 x1 (t) + 3 x2 (t) ,

z(t) = 5 x1 (t) + 3 x2 (t − 1)

I segnali x1 (t) e x2 (t) sono ortogonali? Cosa si può dire invece per i segnali x1 (t) e x2 (t − 1)? Esercizio 2.32 Si considerino i seguenti segnali TC x1 (t) = e−t

2 /2

x2 (t) = et/2 u(at)

u(t) ,

Determinare l’insieme A ⊆ R dei valori di a in corrispondenza dei quali il segnale x2 (t) è un segnale di energia. Successivamente, per a ∈ A, si calcoli l’energia del segnale x(t) = x1 (t) + 2 x2 (t) . Esercizio 2.33 Si considerino i seguenti segnali TD x1 (n) = e−n u(n) ,

x2 (n) = R5 (n + n0 )

Determinare l’insieme Ω ⊆ Z dei valori di n0 in corrispondenza dei quali i due segnali x1 (n) e x2 (n) sono ortogonali. Successivamente, per n0 ∈ Ω, si calcoli l’energia del segnale x(n) = x1 (n) + 2 x2 (n) . Esercizio 2.34 Rappresentare il grafico dei seguenti segnali TC +∞

x(t) =

∑

n=−∞

+∞

xg (t − 4nT0 ) ,

y(t) =

∑

n=−∞

yg (t − 4nT0 )

dove t T0



t yg (t) = Λ T0



xg (t) = Λ

 

t − 2T0 2T0



t − 2T0 + rect 2T0



− rect

 

con T0 ∈ R+ , e calcolare valor medio, energia e potenza del segnale z(t) = x(t) + y(t − 2T0 ) .

90

Proprietà dei segnali

Capitolo 3

Proprietà dei sistemi

U

n sistema è un modello matematico di un’entità fisica (un dispositivo elettromeccanico, una reazione chimico-fisica, un circuito elettrico, un processo di trasferimento di informazione) che trasforma segnali di ingresso (o cause) in segnali di uscita (o effetti). Da un punto di vista matematico, abbiamo visto nel § 1.2 che un sistema è fondamentalmente descritto da un operatore o una trasformazione S, che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingresso I e l’insieme dei segnali di uscita U. La definizione di un modello matematico esplicito per un sistema è il primo passo per poter affrontare un qualsiasi problema di sintesi ed analisi dei sistemi. Il secondo passo, che è l’oggetto principale di questo capitolo, consiste, a partire da un modello matematico del sistema, nel definire e studiare alcune proprietà dei sistemi. Sebbene incompleta, la descrizione di un sistema sulla base delle sue proprietà è particolarmente importante in pratica per tre motivi. Innanzitutto, sulla base delle proprietà individuate è possibile suddividere i sistemi in classi omogenee. Inoltre, a partire dalle particolari proprietà di un sistema, il progettista è in grado di capire e sviluppare i metodi di analisi e sintesi più appropriati, in quanto sistemi con proprietà diverse richiedono generalmente metodologie differenti. Infine, le proprietà di un sistema consentono di capire più rapidamente quale sistema sia il modello matematico più adatto a descrivere un determinato fenomeno fisico. Facendo riferimento alla classificazione elementare introdotta nel § 1.5, considereremo nel seguito esclusivamente sistemi con un ingresso ed un’uscita (sistemi SISO), e tratteremo sia sistemi TC (ingresso e uscita entrambi TC), sia sistemi TD (con ingresso e uscita entrambi TD). Il caso di sistemi “ibridi” (con ingresso TC e uscita TD o viceversa) non è trattato specificamente in questo capitolo: alcuni esempi di sistemi di questo tipo (campionatori, interpolatori, convertitori A/D e D/A) sono discussi più in dettaglio nel cap. 7. Inoltre, per evidenziare le forti analogie esistenti tra il caso TC e TD, e poiché il modello matematico che introdurremo presenta differenze trascurabili nei due casi, la trattazione procederà in maniera il più possibile unificata.

3.1 Relazione ingresso-uscita Particolarizzando la definizione di sistema data nel § 1.2 al caso di sistemi con un ingresso ed un’uscita, diremo che un sistema SISO è un modello matematico che descrive la relazione tra un segnale

92

Proprietà dei sistemi

n

t

∫

x(t)

−∞

(a)

y(t)

x(n)

∑

y(n)

k=- ∞

(b)

Fig. 3.1. (a) Integratore TC. (b) Integratore TD o accumulatore.

di ingresso ed un segnale di uscita. Tale modello matematico è descritto da una trasformazione S : I → U,

(3.1)

che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingresso I e l’insieme dei segnali di uscita U. Si osservi che gli insiemi I e U sono parte integrante della definizione di sistema: fissata la legge di corrispondenza, insiemi di segnali diversi definiscono sistemi diversi, che presentano proprietà diverse. Il modello matematico (3.1) può essere espresso in maniera sintetica, attraverso la relazione ingresso uscita (i-u), che nel caso di un sistema TC si definisce come segue: Definizione 3.1 (relazione i-u di un sistema TC) Un sistema TC (SISO) con ingresso x(t) ∈ I ed uscita y(t) ∈ U è descritto matematicamente dalla sua relazione ingresso-uscita (i-u): y(t) = S [{x(u)}u∈R ;t] .

(3.2)

Nella (3.2), come già osservato nel § 1.2, la notazione y(t) = S [{x(u)}u∈R ;t] sottolinea esplicitamente che l’uscita y(t) all’istante di tempo t dipende in generale dall’intero segnale di ingresso {x(u)}u∈R , e non semplicemente dal valore del segnale nello stesso istante t.1 Inoltre abbiamo utilizzato un’ulteriore variabile temporale t (separata dal punto e virgola) per specificare che la forma matematica della legge di corrispondenza tra ingresso ed uscita dipende in generale dal tempo t. ◮ Esempio 3.1 (integratore TC) L’integratore TC è descritto dalla seguente relazione i-u: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

ed è rappresentato schematicamente in fig. 3.1(a). L’uscita del sistema all’istante t è calcolata effettuando l’integrale del segnale di ingresso da −∞ fino all’istante considerato. Pertanto, l’uscita all’istante t dipende da ◭ tutti i valori dell’ingresso x(u) per u ≤ t, valori che possiamo denotare sinteticamente con {x(u)}u≤t .

In maniera analoga, un sistema SISO TD può essere descritto matematicamente da una relazione i-u simile alla (3.2): Definizione 3.2 (relazione i-u di un sistema TD) Un sistema TD (SISO) con ingresso x(n) ∈ I ed uscita y(n) ∈ U è descritto matematicamente dalla sua relazione ingresso-uscita (i-u): y(n) = S [{x(k)}k∈Z ; n] . 1 Per

(3.3)

semplicità di notazione, abbiamo supposto che l’insieme di definizione del segnale TC di ingresso sia T ≡ R.

3.1 Relazione ingresso-uscita

z -1

x(n)

93

y(n)

x(n)

y(n)

z

y(n)

(a)

(a)

x(n)

↓M

(b) Fig. 3.2. Sistemi TD elementari. (a) Ritardo elementare: y(n) = x(n − 1). (b) Anticipo elementare: y(n) = x(n + 1).

x(n)

↑L

y(n)

(b) Fig. 3.3. Sistemi TD elementari. (a) Decimatore per  y(n) = x(nM). (b) Espansore per L: y(n) =  M: x Ln .

Il senso della notazione utilizzata nella (3.3) è lo stesso adottato per il caso TC: in particolare, l’uscita del sistema all’istante n dipende in generale dall’intero segnale di ingresso {x(k)}k∈Z , con una legge che può variare con n.2 ◮ Esempio 3.2 (integratore TD o accumulatore) La versione TD dell’integratore TC è l’accumulatore o somma corrente, descritto dalla seguente relazione i-u: n

y(n) =

∑

x(k) ,

(3.4)

k=−∞

e rappresentato schematicamente in fig. 3.1(b). Tale sistema calcola l’uscita all’istante n effettuando la somma di tutti i valori del segnale di ingresso fino all’istante n incluso. Anche in questo caso, l’uscita y(n) dipende dai valori dell’ingresso x(k) per k ≤ n, valori che denotiamo sinteticamente con {x(k)}k≤n . ◭ ◮ Esempio 3.3 (ritardo unitario, anticipo unitario, decimatore ed espansore) Molte delle operazioni elementari sui segnali introdotte nel cap. 2 (cfr. § 2.1) possono essere interpretate come sistemi. Nel caso TD, particolarmente importanti sono l’operazione di ritardo o anticipo di un campione, date rispettivamente da y(n) = x(n − 1) ,

y(n) = x(n + 1) ,

di decimazione: y(n) = x(nM) , e di espansione: ( n , se n è multiplo di L ; x L y(n) = x = L 0, altrimenti . hni

Gli schemi a blocchi dei sistemi corrispondenti, denominati ritardo unitario, anticipo unitario, decimatore ed espansore, sono riportati in fig. 3.2 e fig. 3.3.3 ◭ 2 Per

semplicità di notazione, abbiamo supposto che l’insieme di definizione del segnale TD di ingresso sia T ≡ Z. notazioni z−1 e z utilizzate negli schemi per il ritardo e per l’anticipo fanno riferimento ad uno strumento matematico (la Z-trasformata) che non approfondiremo in questo testo; per questo motivo, il lettore è invitato a considerarle semplicemente delle notazioni simbolica (per ulteriori approfondimenti, si veda [14]). 3 Le

94

Proprietà dei sistemi

R1

R2 R3

x(t)

R4

y(t)

Fig. 3.4. Circuito elettrico con resistori connessi in serie ed in parallelo. In particolare, R1 ed R2 sono connessi in serie, mentre R3 ed R4 sono connessi in parallelo. Inoltre, la serie di R1 ed R2 è connessa in serie al parallelo tra R3 ed R4 .

A volte, invece delle notazioni complete (3.2) e (3.3) per le relazioni i-u dei sistemi, si utilizzano le notazioni semplificate y(t) = S[x(t)],

y(n) = S[x(n)]

(3.5)

oppure le notazioni simboliche: x(t) −→ y(t),

x(n) −→ y(n) .

(3.6)

Abbiamo già osservato che la notazione (3.5) è fuorviante, in quanto può essere interpretata nel senso che il valore del segnale di uscita al’istante t oppure n dipende solo dal valore del segnale di ingresso nello stesso istante.4 Tuttavia, avendo avvertito il lettore, utilizzeremo talvolta le (3.5) e (3.6) in luogo delle notazioni rigorose (3.2) e (3.3) per snellire alcune derivazioni. Per concludere, notiamo che la relazione i-u non è l’unica descrizione possibile di un sistema, e sicuramente non è la più generale. In particolare, essa è una rappresentazione esterna, in cui compaiono solo i segnali in ingresso ed in uscita al sistema; il sistema stesso è visto come una “scatola nera” (black box), di cui non conosciamo il contenuto. Un’altra rappresentazione spesso adoperata nella teoria dei sistemi e del controllo, è la rappresentazione ingresso-stato-uscita (i-s-u), in cui entrano in gioco, oltre ai segnali di ingresso e di uscita, anche altri segnali (variabili di stato) che rappresentano lo stato interno del sistema.5 In ogni caso, nel seguito faremo uso esclusivamente della relazione i-u, che sebbene sia meno generale, è perfettamente adeguata per i nostri obiettivi.

3.2 Interconnessione di sistemi Sistemi semplici possono essere connessi tra loro (interconnessi) in varie configurazioni per ottenere sistemi più complessi. Questo approccio è estremamente conveniente se si desidera realizzare o sintetizzare un sistema complesso a partire da componenti semplici (ad esempio, un PC può essere realizzato assemblando componenti più semplici, quali scheda madre, scheda video, scheda audio, 4 Questa

interpretazione vale solo per una classe particolare di sistemi, i sistemi cosiddetti non dispersivi (cfr. § 3.3.1). “stato” di un sistema in un certo istante di tempo si intende l’insieme di informazioni necessarie e sufficienti a descrivere l’evoluzione del sistema fino a quell’istante. 5 Per

3.2 Interconnessione di sistemi

95

z(.) S2

S1

x(.)

y(.)

Fig. 3.5. Connessione in serie o in cascata dei sistemi S1 ed S2 .

S1

y 1(.)

y(.)

x(.)

S2

y 2(.)

Fig. 3.6. Connessione in parallelo dei sistemi S1 e S2 . Il sommatore all’uscita effettua la somma o la differenza dei segnali y1 (·) e y2 (·).

hard-disk, lettore CD, lettore DVD, lettore floppy-disk, monitor, tastiera, mouse, etc.). Viceversa, il comportamento di un sistema complesso può essere studiato o analizzato più facilmente se si riesce a decomporlo in sistemi più semplici e ad individuare le connessioni tra questi ultimi. Questo approccio è frequentemente utilizzato nello studio dei circuiti elettrici, come ad esempio quello riportato in fig. 3.4. Per semplificare lo studio delle interconnessioni tra sistemi, possiamo considerare le connessioni elementari tra due soli sistemi S1 : I1 → U1

e S2 : I2 → U2 .

Le connessioni più frequentemente considerate sono tre: connessione in serie, connessione in parallelo, e connessione in retroazione; avendo a disposizione più di due sistemi, e collegandoli tra loro secondo tali schemi, è possibile ottenere sistemi anche molto complessi. Definizione 3.3 (connessione di sistemi in serie) Due sistemi S1 e S2 si dicono connessi in serie o in cascata (fig. 3.5) se l’uscita del primo sistema S1 è collegata all’ingresso del secondo sistema S2 . Ad esempio, nel circuito di fig. 3.4, i resistori R1 ed R2 sono collegati in serie. Si noti che, affinchè il sistema serie sia correttamente definito, occorre che l’insieme U1 dei segnali di uscita del primo sistema sia racchiuso nell’insieme dei segnali di ingresso I2 del secondo sistema, cioè U1 ⊆ I2 . Definizione 3.4 (connessione di sistemi in parallelo) Due sistemi S1 e S2 si dicono connessi in parallelo (fig. 3.6) se lo stesso ingresso è applicato ai due sistemi S1 e S2 , e l’uscita si ottiene sommando algebricamente le uscite dei due sistemi.

96

Proprietà dei sistemi

S1

x(.)

y(.)

y 2(.)

S2

Fig. 3.7. Connessione in retroazione dei sistemi S1 e S2 . Il sommatore all’ingresso del sistema S1 effettua la somma o la differenza dei segnali x(·) e y2 (·).

Ad esempio, nel circuito di fig. 3.4, i resistori R3 ed R4 sono collegati in parallelo. Definizione 3.5 (connessione di sistemi in retroazione) Due sistemi S1 e S2 si dicono connessi in retroazione o con feedback (fig. 3.7) se l’uscita del sistema S1 , dopo essere stata elaborata dal sistema S2 , viene sommata algebricamente all’ingresso del sistema S1 . Quest’ultimo schema è più complicato da interpretare ed analizzare, in quanto il segnale di uscita viene riportato “all’indietro” (feedback), e viene aggiunto al segnale di ingresso, modificando a sua volta il segnale di uscita. Esso consente tuttavia di ottenere sistemi con comportamenti assai più complessi ed interessanti rispetto alle connessioni in serie ed in parallelo, in cui il segnale viaggia esclusivamente “in avanti” (feedforward). In particolare, mediante tale schema il sistema S2 , sulla base dell’osservazione dell’uscita del sistema S1 , può modificare l’ingresso al sistema S1 in modo da forzare un determinato andamento dell’uscita del sistema S1 . Si parla di retroazione negativa se il segnale y2 (·) riportato all’ingresso tende a contrastare le variazioni del segnale x(·), in caso contrario si parla di retroazione positiva. Lo schema con retroazione negativa è molto utilizzato nei sistemi di controllo, dove prende il nome di controllo a ciclo chiuso, e si dice che il sistema S2 funge da “controllore” del sistema S1 . Nell’elettronica analogica, invece, si utilizzano sia schemi con retroazione negativa (ad esempio, per la stabilizzazione degli amplificatori), sia schemi con retroazione positiva (ad esempio per il progetto di oscillatori). Infine, si noti che, similmente al collegamento serie, anche per lo schema con retroazione occorre che U1 ⊆ I2 e, in aggiunta, è richiesto che se x(·) ∈ I1 e y2 (·) ∈ U2 allora la loro somma/differenza x(·) ± y2 (·) è un segnale appartenente all’insieme I1 . ◮ Esempio 3.4 (accumulatore come sistema in retroazione) L’accumulatore dell’es. 3.2 ammette anche una descrizione di tipo ricorsivo, che porta alla sua interpretazione come sistema in retroazione. Infatti, estraendo il termine x(n) dalla sommatoria su k presente nella (3.4), si ha: n

y(n) =

∑

k=−∞

da cui

n−1

∑

x(k) =

x(k) + x(n) ,

k=−∞

|

{z

=y(n−1)

y(n) = y(n − 1) + x(n) .

}

3.3 Proprietà dei sistemi

x(n)

97

y(n) +

+

z-1

y(n-1) Fig. 3.8. Realizzazione di un accumulatore mediante connessione in retroazione di due sistemi: il sistema S1 è il sistema identico, mentre il sistema S2 è un ritardo elementare.

Notiamo che la precedente relazione non è una relazione i-u, in quanto l’uscita y(n) non è espressa direttamente in funzione dell’ingresso, ma in funzione dell’uscita y(n − 1) all’istante precedente. Essa consente tuttavia di fornire l’interpretazione dell’accumulatore riportata nello schema di fig. 3.8, dove il sistema S2 nel ramo in retroazione è un semplice ritardo unitario, mentre il sistema S1 nel ramo diretto è il sistema identico. Si noti che si tratta di una retroazione positiva, infatti l’uscita, essendo riportata in ingresso con il segno positivo, tende ad amplificare le variazioni del segnale di ingresso, e non ad attenuarle. ◭

3.3 Proprietà dei sistemi Sulla base della definizione di relazione i-u, data dalla (3.2) nel caso TC e dalla (3.3) nel caso TD, è possibile introdurre e discutere alcune proprietà fondamentali dei sistemi, prescindendo completamente dalla loro natura fisica, ma analizzando esclusivamente la forma matematica della relazione i-u. Tali proprietà, discusse di seguito, sono la non dispersività, la causalità, l’invertibilità, l’invarianza temporale, la stabilità, la linearità.

3.3.1 Non dispersività

Riprendiamo la relazione i-u (3.2) di un sistema TC: y(t) = S [{x(u)}u∈R ;t] . Abbiamo già precisato che la notazione {x(u)}u∈R evidenzia che l’uscita all’istante t dipende in generale dall’intero segnale di ingresso. Esistono tuttavia sistemi per i quali l’uscita all’istante t è funzione solo dell’ingresso nello stesso istante t, e quindi la relazione i-u si può particolarizzare come segue: y(t) = S [x(t);t] . Estendendo i concetti precedenti in maniera ovvia al caso TD, possiamo dare la seguente definizione di sistema non dispersivo:

98

Proprietà dei sistemi

R1

x(t) R2

x(t)

α

y(t)

y(t)

(a)

x(n)

α

y(n)

Fig. 3.9. Schema elettrico di un partitore resistivo.

(b) Fig. 3.10. Schema a blocchi di un amplificatore. (a) Caso TC. (b) Caso TD.

Definizione 3.6 (sistema non dispersivo) (a) Un sistema TC si dice non dispersivo se la sua relazione i-u (3.2) assume la forma y(t) = S [x(t);t] .

(3.7)

(b) Un sistema TD si dice non dispersivo se la sua relazione i-u (3.3) assume la forma y(n) = S [x(n); n] .

(3.8)

In sintesi, in un sistema non dispersivo, l’uscita all’istante t oppure n dipende solo dal valore assunto dal segnale di ingresso nello stesso istante (con una legge che può variare, eventualmente, con t oppure con n). Sottolineamo che, di norma, i sistemi sono dispersivi, in quanto la forma più generale della relazione i-u è la (3.2) oppure la (3.3), e quindi i sistemi non dispersivi rappresentano un caso particolare. Inoltre, come sinonimo di sistema non dispersivo, si parla anche di sistema istantaneo o senza memoria. ◮ Esempio 3.5 (non dispersività del partitore resistivo) Si consideri il partitore resistivo, il cui schema elettrico è riportato in fig. 3.9, dove x(t) è la tensione d’ingresso e y(t) è la tensione di uscita. Applicando la legge del partitore, si ottiene la semplice relazione i-u: y(t) =

R2 x(t) , R1 + R2

nella quale y(t) dipende solo da x(t), ovvero la tensione di uscita dipende dalla tensione di ingresso nello stesso istante. Pertanto il partitore resistivo è un sistema non dispersivo. ◭ ◮ Esempio 3.6 (amplificatore/attenuatore TC) Un partitore resistivo ha una relazione i-u del tipo y(t) = α x(t) ,

△

con α =

R2 < 1. R1 + R2

(3.9)

3.3 Proprietà dei sistemi

99

Più in generale, un sistema TC descritto da una relazione i-u del tipo (3.9), con 0 < α < 1, prende il nome di attenuatore. Se, viceversa, α > 1, il sistema funziona da amplificatore.6 Il parametro α prende il nome di guadagno dell’amplificatore/attenuatore. Un amplificatore/attenuatore TC si rappresenta come in fig. 3.10(a). ◭ ◮ Esempio 3.7 (amplificatore/attenuatore TD) I concetti dell’es. 3.6 si possono estendere al caso TD, definendo attenuatore/amplificatore a TD (con guadagno α ∈ R) un sistema avente la seguente relazione i-u non dispersiva: y(n) = α x(n) . Un amplificatore/attenuatore a TD si rappresenta come in fig. 3.10(b).

◭

Un sistema che non soddisfa la prop. 3.6 si dice evidentemente dispersivo, o anche dinamico, o ancora con memoria: ad esempio, l’integratore dell’es. 3.1 e l’accumulatore dell’es. 3.2 sono sistemi dispersivi. Si parla di “memoria” del sistema, nel senso chiarito meglio dai due esempi seguenti. ◮ Esempio 3.8 (integratore con memoria finita) Si consideri il sistema avente relazione i-u: y(t) =

Z t

x(u) du ,

t−T

con T > 0. Si tratta evidentemente di un sistema dispersivo, in quanto l’uscita all’istante t dipende dai valori dell’ingresso x(u) per t − T ≤ u ≤ t. L’uscita all’istante t, tuttavia, non dipende dall’intero segnale d’ingresso, in quanto i valori di x(u) con u < t − T oppure u > t non contribuiscono all’integrale. Per questo motivo, il sistema prende il nome di integratore con memoria finita, dove per memoria del sistema si intende la durata temporale della porzione di x(t) in ingresso che contribuisce all’uscita y(t) in un dato istante di tempo t: in questo caso, la memoria del sistema è proprio pari a T per ogni t. Il termine “memoria” per T viene utilizzato proprio perché, dopo un tempo T , il sistema “dimentica” l’ingresso. ◭ ◮ Esempio 3.9 (sistema MA) Si consideri il sistema TD descritto dalla seguente relazione i-u: M

y(n) =

∑ bk x(n − k) .

k=0

Tale sistema viene denominato filtro a media mobile o moving average (MA): il nome deriva dal fatto che il sistema calcola l’uscita y(n) effettuando la combinazione lineare, con pesi b0 , b1 , . . . , bM , degli M + 1 campioni x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M) del segnale di ingresso. Nel caso in cui i pesi siano tutti uguali a 1/(M + 1), la relazione i-u diventa y(n) =

M 1 x(n − k) , ∑ M + 1 k=0

e quindi l’uscita y(n) è calcolata in ogni istante n come la media aritmetica dei campioni dell’ingresso negli istanti n, n − 1, . . . , n − M; si parla di media mobile in quanto al variare di n cambiano i campioni del segnale di ingresso interessati dall’operazione di media. Poiché l’uscita all’istante n dipende, oltre che da x(n), anche da M campioni precedenti dell’ingresso, tale sistema ha memoria finita e pari ad M. ◭

In definitiva, la memoria di un sistema può essere definita come la durata temporale del segmento del segnale di ingresso che contribuisce, oltre al campione attuale,7 all’uscita in un determinato istante di tempo. In linea di principio tale memoria potrebbe variare col tempo, anche se negli es. 3.8 e 3.9 ciò non accade. Inoltre, non sempre la memoria di un sistema è finita; ad esempio l’integratore dell’es. 3.1 e l’accumulatore dell’es. 3.2 sono entrambi sistemi con memoria infinita.8 caso α < 0 si può vedere come la cascata di un invertitore, z(t) = −x(t), e di un amplificatore/attenuatore y(t) = |α |z(t). 7 Escludere il campione attuale nella determinazione della memoria di un sistema è significativo solo nel caso TD. 8 In stretta analogia con la classificazione dei segnali effettuata sulla base della durata nel § 2.3, i sistemi con memoria si possono ulteriormente classificare in sistemi a memoria rigorosamente finita, sistemi a memoria praticamente finita, e sistemi a memoria infinita. 6 Il

100

Proprietà dei sistemi

3.3.2 Causalità

Partiamo ancora dalla relazione i-u (3.2) valida per un sistema TC: y(t) = S [{x(u)}u∈R ;t] . Per un fissato t, possiamo suddividere il segnale {x(u)}u∈R in tre contributi: {x(u)}ut rappresenta l’ingresso futuro: in generale, quindi, l’uscita y(t) all’istante t dipende dall’ingresso passato, presente e futuro. Interpretando l’ingresso come causa e l’uscita come effetto, la dipendenza dell’uscita da valori futuri dell’ingresso viola il principio di causalità, secondo il quale l’effetto non può precedere la causa. Si giunge allora alla fondamentale definizione di sistema causale, ovvero di un sistema per il quale la (3.2) assume la forma y(t) = S[{x(u)}u≤t ;t] , dove con {x(u)}u≤t si intendono i valori dell’ingresso x(u) per u ≤ t, ovvero i valori passati ed il valore presente dell’ingresso. In altri termini, in un sistema causale l’uscita all’istante t dipende dagli ingressi passati e dall’ingresso presente, ma non dipende dagli ingressi futuri. Con ovvie modifiche, il concetto di sistema causale si estende al caso TD, giungendo alla seguente definizione: Definizione 3.7 (sistema causale) (a) Un sistema TC si dice causale se la sua relazione i-u (3.2) assume la forma y(t) = S [{x(u)}u≤t ;t] .

(3.10)

(b) Un sistema TD si dice causale se la sua relazione i-u (3.3) assume la forma y(n) = S [{x(k)}k≤n ; n] .

(3.11)

◮ Esempio 3.10 (integratore causale e non causale) L’integratore dell’es. 3.1, descritto dalla relazione i-u y(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

è chiaramente un sistema causale, in quanto l’uscita all’istante t dipende dall’ingresso x(u) per u ≤ t. Allo stesso modo, l’integratore dell’es. 3.8, descritto dalla relazione i-u y(t) =

Z t

x(u) du ,

t−T

è un sistema causale, a patto che T > 0. Modificando gli estremi di integrazione, ovvero considerando un integratore descritto dalla relazione i-u y(t) =

Z t+T

x(u) du ,

t

con T > 0, otteniamo un sistema non causale, in quanto l’uscita all’istante t dipende da x(u) per t ≤ u ≤ t + T , e quindi da valori futuri dell’ingresso. ◭

3.3 Proprietà dei sistemi

101

◮ Esempio 3.11 (sistema MA causale e non causale) Il sistema MA dell’es. 3.9, descritto dalla relazione i-u M

y(n) =

∑ bk x(n − k) ,

k=0

è chiaramente un sistema causale, in quanto l’uscita all’istante n dipende dai valori dell’ingresso x(n − k), con k ≥ 0, che rappresentano il presente (k = 0) ed il passato (k > 0). Se però modifichiamo leggermente la relazione i-u, considerando un sistema MA descritto dalla M

y(n) =

∑ bk x(n + k) ,

k=0

in tale sistema l’uscita all’istante n dipende dai valori dell’ingresso x(n + k), con k ≥ 0, che rappresentano il presente (k = 0) ed il futuro (k > 0), per cui tale sistema MA è non causale. ◭

Un sistema causale è fondamentalmente un sistema la cui uscita in un dato istante non dipende dai valori futuri del segnale di ingresso. Ciò può essere espresso mediante la seguente proprietà:9 Proprietà 3.1 (proprietà di un sistema causale) (a) Siano y1 (t) e y2 (t) le uscite di un sistema TC in risposta ai segnali x1 (t) e x2 (t), rispettivamente. Il sistema è causale se e solo se, per ogni t0 ∈ R e per ogni x1 (t), x2 (t) ∈ I tali che x1 (t) = x2 (t), ∀t ≤ t0 , risulta che y1 (t) = y2 (t), ∀t ≤ t0 .

(b) Siano y1 (n) e y2 (n) le uscite di un sistema TD in risposta ai segnali x1 (n) e x2 (n), rispettivamente. Il sistema è causale se e solo se, per ogni n0 ∈ Z e per ogni x1 (n), x2 (n) ∈ I tali che x1 (n) = x2 (n), ∀n ≤ n0 , risulta che y1 (n) = y2 (n), ∀n ≤ n0 . È bene osservare che la causalità (così come tutte le proprietà dei sistemi) è una proprietà dei sistemi e non dei segnali. Pertanto, con riferimento al caso TC, per dimostrare che un dato sistema è causale a partire dalla prop. 3.1, occorre verificare che tale proprietà sia soddisfatta per ogni coppia di segnali x1 (t), x2 (t) ∈ I tali che x1 (t) = x2 (t), ∀t ≤ t0 , con t0 ∈ R arbitrariamente scelto. La verifica della prop. 3.1 solo per alcuni segnali di ingresso appartenenti a I e/o solo per alcuni valori di t0 non è sufficiente per affermare che il sistema è causale. Viceversa, per dimostrare che un dato sistema è non causale e, quindi, non verifica la prop. 3.1, è sufficiente fornire uno ed un solo esempio di segnali di ingresso x1 (t) = x2 (t), ∀t ≤ t0 , per un dato valore t0 ∈ R, in corrispondenza dei quali y1 (t) 6= y2 (t), per uno o più valori di t ≤ t0 . Le stesse considerazioni valgono con ovvie modifiche anche per i sistemi TD. Gli esempi che seguono servono a chiarire ulteriormente questo aspetto. ◮ Esempio 3.12 (integratore non causale) Riconsideriamo l’integratore descritto dalla relazione i-u y(t) =

Z t+T

x(u) du ,

t

con T > 0 e, utilizzando la prop. 3.1(a), verifichiamo che si tratta di un sistema non causale. A tal fine è sufficiente individuare due ingressi x1 (t) ed x2 (t) che non soddisfano la prop. 3.1(a). Scegliamo x1 (t) = 0, ∀t ∈ R, la cui corrispondente uscita è y1 (t) = 0, ∀t ∈ R, ed x2 (t) = u(t), la cui corrispondente uscita è   se t < −T ; Z t+T 0 , y2 (t) = x(u) du = t + T , se −T ≤ t < 0 ;  t  T, se t ≥ 0 . 9 In

alcuni testi, la prop. 3.1 è data direttamente come definizione di sistema causale.

102

Proprietà dei sistemi

x(n)

∇1

y(n)

Fig. 3.11. Differenza prima. Sebbene x1 (t) = x2 (t) = 0, per ogni t ≤ 0, per le corrispondenti uscite si ha invece che y1 (t) 6= y2 (t), per alcuni valori di t ≤ 0; infatti, mentre y2 (t) = 0, per ogni t < 0, y2 (t) 6= 0, per t ∈] − T, 0[. Quindi la prop. 3.1(a) è violata da questa particolare scelta dei segnali di ingresso ed il sistema non può essere causale. ◭ ◮ Esempio 3.13 (differenza prima causale e non causale) Similmente all’operazione di derivazione per segnali a TC, anche l’operazione di differenza prima per segnali a TD (cfr. § 2.1.4) ammette una interpretazione sistemistica. Il sistema che opera la differenza prima causale è definito dal legame i-u: y(n) = ∇1 [x(n)] = x(n) − x(n − 1) ed è rappresentato schematicamente in fig. 3.11. Può essere visto come un sistema MA causale (cfr. es. 3.9, con M = 1, b0 = 1 e b1 = −1). Si tratta evidentemente di un sistema causale in quanto l’uscita all’istante n dipende solo dal valore presente x(n) del segnale di ingresso e da quello passato x(n − 1). È possibile definire anche un sistema che opera la differenza prima non causale nel seguente modo: y(n) = x(n + 1) − x(n) , che può essere visto come la cascata di un anticipo unitario e del sistema che opera la differenza prima causale. Equivalentemente, esso può anche essere visto come un sistema MA non causale (cfr. es. 3.9, con M = 1, b0 = −1 e b1 = 1). Si tratta chiaramente di un sistema non causale in quanto l’uscita all’istante n dipende dal valore futuro x(n + 1) del segnale di ingresso. Per provare ciò formalmente, usiamo la prop. 3.1(b) e scegliamo x1 (n) = 0, ∀n ∈ Z, la cui corrispondente uscita è y1 (n) = 0, ∀n ∈ Z, ed x2 (n) = δ (n − 1), la cui corrispondente uscita è y2 (n) = δ (n) − δ (n − 1). Sebbene x1 (n) = x2 (n) = 0, per ogni n ≤ 0, per le corrispondenti uscite si ha invece che y1 (n) 6= y2 (n), per alcuni valori di n ≤ 0; infatti, y1 (0) = 0 e y2 (0) = 1. Quindi la prop. 3.1(b) è violata da questa particolare scelta dei segnali di ingresso ed il sistema non può essere causale. ◭

Si è visto che un sistema in cui l’uscita non soddisfa la (3.10) oppure la (3.11) si dice non causale. Un caso particolare di sistema non causale è quello in cui l’uscita dipende solo dal futuro, ossia: y(t) = S[{x(u)}u>t ;t] , y(n) = S[{x(k)}k>n ; n] . Un sistema siffatto si dice anticausale. Ad esempio, l’anticipo unitario y(n) = x(n + 1) è un sistema anticausale. Osserviamo in conclusione che non esistono (o almeno, non sono stati ancora scoperti...) sistemi fisici capaci di prevedere il futuro (ad esempio, la macchina del tempo che consente di viaggiare nel futuro è un esempio “fantascientifico” di sistema non causale), e quindi i sistemi del mondo fisico sono tutti causali. Questa osservazione si applica, in particolare, ai sistemi fisici che elaborano i segnali “in tempo reale”, cioè senza introdurre ritardi significativi tra il segnale d’ingresso ed il segnale di uscita. Tuttavia, in molti casi, anziché elaborare un segnale in tempo reale, è possibile memorizzarlo (su un supporto magnetico o ottico, ad esempio) ed elaborarlo “in tempo differito”: si pensi, ad esempio, all’elaborazione di un segnale che è stato prima acquisito e memorizzato sull’hard-disk di un personal computer. In quest’ultimo caso, è possibile assumere che il sistema di elaborazione conosca l’intero segnale di ingresso, ed è quindi utile considerare anche il caso di sistemi non causali. Un altro esempio

3.3 Proprietà dei sistemi

103

in cui ha senso considerare sistemi non causali è quello in cui la variabile indipendente del segnale non rappresenta effettivamente un tempo (ad esempio, nell’elaborazione di immagini, la variabile indipendente è di tipo spaziale). Si noti che, quando si progetta un sistema, la causalità rappresenta un vincolo a cui il sistema deve obbedire; pertanto, rimuovere il vincolo di causalità – compatibilmente con i requisiti applicativi – consente di progettare sistemi non causali aventi migliori prestazioni, anche se non operanti in tempo reale. 3.3.3 Invertibilità

In molti casi pratici, nota l’uscita y(·) di un sistema, siamo interessati a risalire all’ingresso x(·) che l’ha generata. Sfortunatamente questo non è sempre possibile, basti pensare ad esempio al sistema TC y(t) = x2 (t): è chiaro che, osservato y(t), non potremo risalirepunivocamente a x(t), a causa dell’ambiguità sul segno nella determinazione della radice x(t) = ± y(t). Si intuisce allora come una condizione necessaria per risalire univocamente dall’uscita all’ingresso è quella che, comunque si prendano due ingressi distinti x1 (·) e x2 (·) appartenenti all’insieme I, le corrispondenti uscite y1 (·) e y1 (·) siano distinte, cioè: x1 (·) 6= x2 (·)

=⇒

y1 (·) 6= y2 (·) ,

(3.12)

ossia, ingressi distinti devono generare uscite distinte. Più precisamente, sussiste la seguente definizione di sistema invertibile:10 Definizione 3.8 (sistema invertibile) Un sistema S : I → U si dice invertibile se, comunque si fissi un segnale di uscita y(·) ∈ U, esiste un unico segnale di ingresso x(·) ∈ I tale che S [x(·)] = y(·). Se il sistema è invertibile, allora dall’osservazione dell’uscita del sistema è possibile determinare (almeno in linea di principio) univocamente l’ingresso. In altri termini, è possibile costruire un sistema S−1 : U → I ,

detto sistema inverso, tale che la cascata di S e S−1 (nell’ordine) realizza la trasformazione identica riportata in fig. 3.12, matematicamente ciò significa che: S−1 {S[x(·)]} = x(·) ,

per ogni segnale di ingresso x(·) ∈ I .

Si può verificare che, se S−1 è il sistema inverso di S, allora anche il sistema S−1 è invertibile e risulta che S{S−1 [y(·)]} = y(·), per ogni segnale y(·) ∈ U; in altre parole, il sistema S è il sistema inverso di S−1 . Da un punto di vista sistemistico, questo significa che, se il sistema S è invertibile, l’ordine dei due sistemi nella cascata in fig. 3.12 è inessenziale: sia la cascata S − S−1 che quella S−1 − S realizzano il sistema identico. ◮ Esempio 3.14 (invertibilità dell’amplificatore) Consideriamo l’amplificatore di guadagno α > 1, descritto dalla relazione i-u: y(·) = α x(·) . In questo caso, non vi è alcuna restrizione sui segnali di ingresso e uscita. L’amplificatore è un sistema invertibile, ed il sistema inverso si ottiene facilmente invertendo la precedente relazione: x(·) =

1 y(·) , α

e quindi il sistema inverso è un attenuatore, avente guadagno 1/α < 1 reciproco di quello dell’amplificatore. ◭ 10 Nel

seguito di questa sezione, faremo uso della notazione semplificata (3.5) per esprimere i legami i-u dei sistemi.

104

Proprietà dei sistemi

y(.) x(.)

S

S -1

x(.)

Fig. 3.12. Il sistema S−1 è il sistema inverso di S se e solo se la cascata dei due sistemi coincide con il sistema identico. ◮ Esempio 3.15 (non invertibilità del raddrizzatore) Studiamo l’invertibilità del sistema non lineare (“raddrizzatore”) descritto dalla relazione i-u: y(·) = |x(·)| . In questo caso, non vi è alcuna restrizione sui segnali di ingresso, mentre U è costituito da tutti i segnali non negativi a valori reali. È facile provare che il sistema raddrizzatore non è invertibile, a tale scopo possiamo far riferimento alla condizione necessaria (3.12). Basta infatti osservare che due ingressi distinti x1 (·) e x2 (·) aventi segno opposto [tali cioè che x2 (·) = −x1 (·)] generano gli stessi segnali di uscita y1 (·) ≡ y2 (·) = |x1 (·)| ≡ |x2 (·)|. Pertanto, poiché la (3.12) è violata, il raddrizzatore non è dotato di sistema inverso, e quindi i suoi effetti sono irreversibili. ◭

Va notato in conclusione che, salvo per casi particolari, lo studio dell’invertibilità di un sistema, nonché la determinazione del sistema inverso, è in generale un problema abbastanza complesso. 3.3.4 Invarianza temporale

Consideriamo ancora una volta la relazione i-u di un sistema TC, nella sua forma più generale: y(t) = S [{x(u)}u∈R ;t] . La dipendenza da t nella relazione precedente evidenzia che il comportamento del sistema può variare nel tempo. Se tale dipendenza dal tempo non c’è, ovvero se è possibile scrivere: y(t) = S [{x(u)}u∈R ] , allora il sistema si dice invariante temporalmente [si usano anche le denominazioni di sistema tempoinvariante (TI) o stazionario]. Estendendo tale concetto in modo ovvio al caso TD, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione 3.9 (sistema invariante temporalmente) (a) Un sistema TC si dice invariante temporalmente (TI) se la sua relazione i-u (3.2) assume la forma y(t) = S [{x(u)}u∈R ] .

(3.13)

(b) Un sistema TD si dice invariante temporalmente (TI) se la sua relazione i-u (3.3) assume la forma y(n) = S [{x(k)}k∈Z ] .

(3.14)

3.3 Proprietà dei sistemi

105

x(t)

y(t)

t1

t

t2

x (t)

t1

t2

t2 + T s

t

y (t)

t0

t0

t1

t1 + t0

t2

t2 + t0

t

t1

t1 + t0

t2

t2 + Ts t2 +Ts + t0

t

Fig. 3.13. Il comportamento di un sistema TC invariante temporalmente non dipende dall’istante di applicazione dell’ingresso: se xt0 (t) = x(t − t0 ), allora yt0 (t) = y(t − t0 ).

Viceversa, un sistema che non soddisfa la (3.13) o la (3.14) si dice tempo-variante (TV) o non stazionario. Una possibile interpretazione fisica della proprietà di invarianza temporale è quella che le proprietà del sistema non cambiano nel tempo, ovvero il sistema non “invecchia” e – caso limite – non “si rompe”. Una conseguenza dell’invarianza temporale è che il comportamento del sistema non dipende dall’istante in cui viene applicato l’ingresso, e quindi l’origine dei tempi può essere fissata arbitrariamente. Questa proprietà dei sistemi invarianti temporalmente è chiarita in fig. 3.13, con riferimento ad un sistema TC. Specificatamente, in questo esempio, il segnale x(t) è applicato in ingresso al sistema all’istante t1 , producendo in uscita il segnale y(t) a partire dall’istante di tempo t1 , la cui durata è maggiore di quella del segnale di ingresso (Ts > 0 è un parametro caratteristico del sistema). Si supponga ora di applicare in ingresso al sistema lo stesso segnale in un istante di tempo successivo t1 +t0 (con t0 > 0 arbitrario), cioè, a partire dal segnale x(t), si consideri ora il segnale xt0 (t) = x(t −t0 ), ottenuto da x(t) introducendo il ritardo temporale t0 . Se il sistema è TI, il suo comportamento non cambia nel tempo, pertanto la risposta yt0 (t) del sistema al segnale xt0 (t) è la stessa di quella corrispondente al segnale x(t), nel senso che il segnale di uscita yt0 (t) avrà lo stesso andamento temporale del segnale y(t) (la forma del segnale di uscita non cambia), l’unica differenza consiste nel fatto che yt0 (t) evolve a partire dall’istante di tempo t1 +t0 ; in altre parole, il segnale yt0 (t) differisce da y(t) solo per una traslazione temporale di t0 , ovvero yt0 (t) = y(t −t0 ) (questa interpretazione dell’invarianza temporale è ulteriormente approfondita dalla prop. 3.2). Se invece il sistema è TV, l’andamento dei segnali y(t) e yt0 (t) è in generale differente e la loro forma può essere anche profondamente diversa. ◮ Esempio 3.16 (amplificatore a guadagno costante e variabile) Il partitore resistivo, avente relazione i-u y(t) =

R2 x(t) , R1 + R2

2 non dipende dal tempo. Se tuttavia si tiene conto degli effetti è un sistema TI, in quanto il rapporto R1R+R 2 termici, allora i valori delle resistenze R1 ed R2 possono variare nel tempo per effetto dei cambiamenti di temperatura. In questo caso la relazione i-u va modificata come segue:

y(t) =

R2 (t) x(t) , R1 (t) + R2 (t)

(3.15)

106

Proprietà dei sistemi

ed è quella di un sistema TV. Notiamo che un partitore del tipo (3.15) è un esempio di sistema avente relazione i-u y(t) = α (t) x(t) .

(3.16)

Un sistema del tipo (3.16) è denominato amplificatore a guadagno variabile. Si noti che un sistema siffatto si comporta da amplificatore in corrispondenza dei valori di t per i quali |α (t)| > 1, e da attenuatore per i valori di t per i quali |α (t)| < 1. Una definizione analoga di amplificatore a guadagno variabile vale anche per il caso ◭ TD, e si scrive y(n) = α (n) x(n).

Poiché spesso non si conosce con sufficiente dettaglio la struttura del sistema, è utile fornire una caratterizzazione della proprietà di invarianza temporale che, differentemente dalla def. 3.9 in cui compare il funzionale S, coinvolga esclusivamente operazioni sui segnali di ingresso e di uscita (in linea con l’interpretazione data in fig. 3.13). Con riferimento al caso TC, ad esempio, si può dimostrare che una formulazione equivalente della proprietà di invarianza temporale è la seguente: se all’ingresso x(t) corrisponde l’uscita y(t), all’ingresso traslato x(t −t0 ) corrisponde l’uscita traslata y(t −t0 ), per ogni t0 ∈ R e per ogni segnale x(t) ∈ I ed y(t) ∈ U. Si faccia attenzione che, a stretto rigore, la proprietà precedente non deve valere solo “per ogni t0 ∈ R” ma, più precisamente, essa deve essere soddisfatta “per ogni t0 ∈ R tale che se x(t) ∈ I e y(t) ∈ U allora anche x(t − t0 ) ∈ I e y(t − t0 ) ∈ U”. Poiché tale distinzione ha un valenza esclusivamente matematica ed è inessenziale per molti sistemi di interesse pratico, nel seguito imporremo per semplicità che la proprietà di invarianza temporale debba valere per ogni t0 ∈ R. La stessa caratterizzazione vale anche nel caso TD, per cui si ha la seguente proprietà: Proprietà 3.2 (caratterizzazione i-u dell’invarianza temporale) (a) Un sistema TC con ingresso x(t) ed uscita y(t) è invariante temporalmente se e solo se x(t − t0 ) −→ y(t − t0 ) ,

(3.17)

per ogni t0 ∈ R, e per ogni coppia di segnali di ingresso x(t) ∈ I e di uscita y(t) ∈ U.

(b) Un sistema TD con ingresso x(n) ed uscita y(n) è invariante temporalmente se e solo se x(n − n0 ) −→ y(n − n0 ) ,

(3.18)

per ogni n0 ∈ Z, e per ogni coppia di segnali di ingresso x(n) ∈ I e di uscita y(n) ∈ U. La prop. 3.2 ha un’interessante interpretazione in termini sistemistici, che è illustrata in fig. 3.14 con riferimento ad un sistema TD. La risposta yn0 (n) del sistema S al segnale traslato x(n − n0 ) può essere riguardata come la risposta della cascata riportata in fig. 3.14(a) al segnale di ingresso x(n): il primo sistema è così definito: △

Sz−n0 : x(n) → xn0 (n) = x(n − n0 ) , ed effettua semplicemente il ritardo/anticipo del segnale x(n) di n0 campioni, il segnale ottenuto xn0 (n) è poi posto in ingresso al sistema S in esame, ottenendo il segnale yn0 (n) in uscita dalla cascata. Viceversa, il segnale traslato y(n − n0 ) può essere visto come la risposta della cascata riportata in fig. 3.14(b) al segnale di ingresso x(n), in cui, rispetto allo schema di fig. 3.14(a), l’ordine tra i due sistemi è scambiato. In base alla prop. 3.2(b), il sistema S è TI se e solo se yn0 (n) = y(n − n0 ), ovvero se e solo se le due configurazioni in cascata riportate in fig. 3.14 sono equivalenti, nel senso che

3.3 Proprietà dei sistemi

107

z - n0

x(n)

x n (n)=x(n-n0) 0

S

y n (n) 0

(a)

y(n) x(n)

S

-n z 0

y(n-n0)

(b) Fig. 3.14. Se il sistema TD S è TI, i due schemi in figura sono equivalenti.

forniscono la stessa uscita in risposta allo stesso segnale; quindi, se si deve calcolare la risposta del sistema S al segnale di ingresso x(n − n0 ), si può calcolare prima la risposta del sistema al segnale x(n) e poi far passare il segnale ottenuto attraverso il sistema Sz−n0 . In altre parole, se il sistema è TI, le trasformazioni S e Sz−n0 commutano,11 cioè: S{Sz−n0 [x(n)]} = Sz−n0 {S[x(n)]} ,

per ogni segnale di ingresso x(n) ∈ I ,

e la loro posizione nella cascata è ininfluente; ovviamente tale risultato non sussiste se il sistema è TV. In pratica, per dimostrare che un dato sistema è invariante temporalmente oppure no, è conveniente in generale utilizzare la prop. 3.2 piuttosto che la def. 3.9, come mostrato dagli esempi che seguono. ◮ Esempio 3.17 (tempo-varianza dell’amplificatore con guadagno variabile) Applicando la prop. 3.2 dell’invarianza temporale, verifichiamo che in generale il sistema y(t) = α (t) x(t), introdotto nell’es. 3.16, è TV. Per non sbagliare, conviene procedere per sostituzioni formali. All’ingresso x(t) corrisponde l’uscita y(t) = α (t) x(t); denotando con △

xt0 (t) = x(t − t0 ) l’ingresso traslato di t0 , si ha che l’uscita yt0 (t) corrispondente a xt0 (t) è yt0 (t) = α (t) xt0 (t) = α (t) x(t − t0 ) . D’altra parte, traslando l’uscita y(t) si ha: y(t − t0 ) = α (t − t0 ) x(t − t0 ) . È chiaro che yt0 (t) 6= y(t − t0 ), in quanto si ha: yt0 (t) = α (t) x(t − t0 ) 6= α (t − t0 ) x(t − t0 ) = y(t − t0 ) , per cui, evidentemente, l’amplificatore a guadagno variabile è un sistema TV. In effetti, nella relazione precedente può valere l’uguaglianza per ogni ingresso x(t) se e solo se α (t − t0 ) = α (t) per ogni t0 ∈ R, ovvero se α (t) = α (costante). Quindi l’amplificatore risulta TI se e solo se il guadagno è costante, ovvero se la sua relazione i-u è y(t) = α x(t). Analogamente, si dimostra che l’amplificatore a guadagno variabile a TD, per il ◭ quale si ha y(n) = α (n) x(n), è un sistema TV in generale (è TI se e solo se α (n) = α ). 11 Per

semplicità, facciamo uso ancora una volta della notazione semplificata (3.5) per esprimere i legami i-u dei sistemi.

108

Proprietà dei sistemi

◮ Esempio 3.18 (invarianza temporale dell’integratore) Proviamo invece che l’integratore dell’es. 3.1 è un sistema TI. Poiché all’ingresso x(t) corrisponde l’uscita y(t) =

Z t

−∞

x(u) du , △

all’ingresso xt0 (t) = x(t − t0 ) corrisponde l’uscita yt0 (t) =

Z t

−∞

xt0 (u) du =

Z t

−∞

x(u − t0 ) du .

Effettuando il cambio di variabile v = u − t0 , si ha: yt0 (t) =

Z t−t0 −∞

x(v) dv = y(t − t0 ) ,

per cui resta provato che l’integratore è un sistema TI. Allo stesso modo, si può provare che l’integratore con memoria dell’es. 3.8, e l’integratore non causale dell’es. 3.10, sono anch’essi sistemi TI. Si dimostra analogamente che anche l’accumulatore o integratore a TD dell’es. 3.2 è un sistema TI. ◭ ◮ Esempio 3.19 (invarianza temporale del sistema MA) È facile provare che il sistema MA dell’es. 3.9 è TI. Infatti, poiché all’ingresso x(n) corrisponde l’uscita M

y(n) =

∑ bk x(n − k) ,

k=0

△

all’ingresso xn0 (n) = x(n − n0 ) corrisponderà l’uscita: yn0 (n) =

M

M

k=0

k=0

∑ bk xn0 (n − k) = ∑ bk x(n − n0 − k) = y(n − n0 ) ,

per cui il sistema è effettivamente TI. Nella dimostrazione precedente gioca un ruolo fondamentale il fatto che ◭ i coefficienti bk non variano con n; se tale proprietà non fosse verificata, il sistema risulterebbe TV. ◮ Esempio 3.20 (tempo-varianza della riflessione) Consideriamo il sistema TD che effettua la riflessione temporale di un segnale (si tratta di una delle operazioni elementari introdotte nel § 2.1): y(n) = x(−n) . △

Applicando al sistema l’ingresso traslato xn0 (n) = x(n − n0 ), si ottiene l’uscita yn0 (n) = xn0 (−n) = x(−n − n0 ) = y(n + n0 ) 6= y(n − n0 ) , e pertanto il sistema risulta essere TV. Alla stessa conclusione si arriva anche se si considera la riflessione y(t) = x(−t) di un segnale TC. ◭

In conclusione, si osservi che l’invarianza temporale è una pura astrazione matematica: nessun sistema del mondo fisico è tempo-invariante in senso stretto. Tuttavia, tale astrazione è utile per descrivere molti sistemi di interesse il cui comportamento nel tempo è approssimativamente costante su un periodo di tempo sufficientemente lungo (rispetto all’intervallo di tempo in cui ci interessa studiare il sistema). Ad esempio, un amplificatore audio non è un sistema TI in senso stretto, in quanto il suo comportamento cambia drasticamente quando lo si accende o lo si spegne, e cambia meno drasticamente quando si alza o si abbassa il volume. Tuttavia, per l’intervallo di durata di un compact disc, se il volume è tenuto fisso, il sistema può ritenersi ragionevolmente TI.

3.3 Proprietà dei sistemi

109

3.3.5 Stabilità

Un sistema si dice stabile in senso BIBO (bounded-input bounded-output) se l’uscita corrispondente ad un qualunque ingresso di ampiezza limitata è a sua volta di ampiezza limitata.12 Matematicamente, questa proprietà si può formulare per il caso TC e TD come segue: Definizione 3.10 (sistema stabile in senso BIBO) (a) Un sistema TC con ingresso x(t) ed uscita y(t) si dice stabile in senso BIBO se |x(t)| ≤ Kx

per ogni t ∈ R

=⇒

|y(t)| ≤ Ky

per ogni t ∈ R ,

(3.19)

per ogni x(t) ∈ I limitato, con Kx , Ky ∈ R+ .

(b) Un sistema TD con ingresso x(n) ed uscita y(n) si dice stabile in senso BIBO se |x(n)| ≤ Kx

per ogni n ∈ Z

=⇒

|y(n)| ≤ Ky

per ogni n ∈ Z ,

(3.20)

per ogni x(n) ∈ I limitato, con Kx , Ky ∈ R+ . In pratica, per provare che un sistema è stabile, bisogna supporre che l’ingresso sia arbitrario ma limitato, cioè che valga la condizione |x(·)| ≤ Kx , per ogni valore di tempo, e trovare un’opportuna maggiorazione per l’uscita, ovvero trovare un valore Ky ∈ R+ tale che |y(·)| ≤ Ky , per ogni valore di tempo. ◮ Esempio 3.21 (stabilità dell’amplificatore a guadagno costante) Proviamo che l’amplificatore a TC y(t) = α x(t) è stabile. Infatti, se |x(t)| ≤ Kx per ogni t ∈ R (ingresso limitato), è possibile scrivere la seguente catena di uguaglianze e disuguaglianze: △

|y(t)| = |α | |x(t)| ≤ |α | Kx = Ky ,

∀t ∈ R ,

da cui si ricava che anche y(t) è limitato. Con analoghi passaggi è possibile provare che anche l’amplificatore ◭ a TD y(n) = α x(n) è un sistema stabile. ◮ Esempio 3.22 (stabilità dell’amplificatore a guadagno variabile) Consideriamo l’amplificatore a guadagno variabile a TC y(t) = α (t) x(t). Se |x(t)| ≤ Kx per ogni t ∈ R (ingresso limitato), e se anche |α (t)| ≤ Kα per ogni t ∈ R (guadagno limitato) è possibile scrivere: △

|y(t)| = |α (t)| |x(t)| ≤ Kα Kx = Ky ,

∀t ∈ R ,

per cui anche y(t) è limitato. Notiamo che il sistema è stabile solo se facciamo l’ipotesi aggiuntiva (fisicamente ragionevole) che il guadagno α (t) sia limitato. Con analoghi passaggi, e supponendo anche in questo caso che il guadagno sia limitato, ovvero che |α (n)| ≤ Kα per ogni n ∈ Z, è possibile provare che anche l’amplificatore a guadagno variabile a TD y(n) = α (n) x(n) è un sistema stabile. ◭ ◮ Esempio 3.23 (sistema MA) Proviamo che il sistema MA dell’es. 3.9, descritto dalla relazione i-u M

y(n) =

∑ bk x(n − k) ,

k=0 12 La

stabilità BIBO è anche detta stabilità esterna in quanto coinvolge solo le grandezze esterne al sistema (ingresso ed uscita) e non le grandezze interne al sistema (stato): questa definizione di stabilità è quindi in perfetto accordo con la scelta di descrivere i sistemi mediante la rappresentazione i-u, e non attraverso la rappresentazione i-s-u. Per la rappresentazione i-s-u, invece, si possono dare definizioni diverse di stabilità, che coinvolgono anche la limitatezza delle variabili di stato. Nel seguito, quando parleremo di stabilità intenderemo sempre la stabilità BIBO.

110

Proprietà dei sistemi

(a)

(b)

(c) Fig. 3.15. Un esempio di sistema instabile: il Tacoma Narrows Bridge. (a) Il Tacoma Narrows Bridge in oscillazione per le forti raffiche di vento poco prima della rottura. (b) Le oscillazioni viste da una estremità del ponte. Il dislivello tra i due lati del ponte dovuto alla torsione raggiunge l’altezza di 8.5 metri. (c) Alle 11:00 circa del 7 novembre 1940 il ponte crolla. è stabile. Infatti, se |x(n)| ≤ Kx per ogni n ∈ Z, è possibile scrivere: M M M △ |y(n)| = ∑ bk x(n − k) ≤ ∑ |bk | |x(n − k)| ≤ Kx ∑ |bk | = Ky , ∀n ∈ Z , k=0 k=0 k=0

per cui anche y(n) è limitato. Notiamo che un sistema MA è sempre stabile, qualunque sia l’ordine M e per qualsiasi valore dei coefficienti bk ; la sua stabilità dipende dal fatto che è descritto da una relazione i-u consistente nella somma finita di valori ritardati dell’ingresso (moltiplicati per dei coefficienti costanti). ◭

Come si vede, per provare che un sistema è stabile, bisogna provare che l’uscita y(·) è limitata in ogni istante di tempo e per un qualunque ingresso limitato, quindi bisogna procedere tentando di trovare un maggiorante Ky per l’uscita, con la sola ipotesi che |x(·)| ≤ Kx , in ogni istante di tempo. Viceversa, per provare che un sistema è instabile, è sufficiente trovare almeno un segnale limitato in corrispondenza del quale l’uscita non è limitata, assume cioè valore infinito in almeno un istante di tempo. Un segnale che si presta bene per dimostrare che un sistema è instabile è il gradino x(·) = u(·), che è un segnale limitato in quanto assume solo i valori 0 ed 1. ◮ Esempio 3.24 (instabilità dell’integratore con memoria infinita e dell’accumulatore) L’integratore a TC con memoria infinita dell’es. 3.1, descritto dalla relazione i-u y(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

3.3 Proprietà dei sistemi

111

non è un sistema stabile. Infatti, se si suppone che |x(t)| ≤ Kx per ogni t ∈ R (ingresso limitato) e si prova a trovare una maggiorazione per l’uscita, si ha: Z t Zt Z t |y(t)| = x(u) du ≤ |x(u)| du ≤ Kx du , −∞

−∞

−∞

R

t ma non è possibile trovare un’ulteriore maggiorazione per l’uscita, in quanto l’integrale −∞ du non è limitato. Tale difficoltà lascia intuire che il sistema è instabile; per provarlo, poniamo in ingresso x(t) = u(t) (ingresso limitato), e calcoliamo l’uscita:  Z t 0 , t < 0; u(u) du = Z t y(t) =  du = t , t ≥ 0 ; −∞ 0

ovvero l’uscita si può scrivere nella forma y(t) = t u(t), che rappresenta una rampa a TC (fig. 2.43), ed è un segnale non limitato in ampiezza. Avendo trovato anche un solo ingresso limitato in corrispondenza del quale l’uscita non è limitata, abbiamo provato che il sistema è instabile. In maniera simile, si prova che la versione a TD dell’integratore con memoria infinita, cioè l’accumulatore dell’es. 3.2, avente relazione i-u n

y(n) =

∑

x(k) ,

k=−∞

è instabile. Infatti, se si pone in ingresso x(n) = u(n), si ottiene in uscita il segnale   n < 0; 0 , n n y(n) = ∑ u(k) =  ∑ 1 = n+1, n ≥ 0; k=−∞ k=0

ovvero un segnale esprimibile come y(n) = (n + 1) u(n) (rampa a TD), che è non limitato.

◭

La stabilità è una proprietà fondamentale nel progetto dei sistemi, in quanto assicura che, applicando al sistema segnali di ingresso limitati, l’uscita non assumerà mai valori arbitrariamente grandi. Viceversa, in un sistema fisico instabile, l’uscita può assumere, per determinati segnali di ingresso, valori arbitrariamente grandi, il che può portare al malfunzionamento del sistema o addirittura alla sua rottura. Un esempio fisico particolarmente impressionante di sistema instabile è quello del Tacoma Narrows Bridge (costruito presso Washington D.C., USA) che crollò nel 1940, pochi mesi dopo essere stato aperto al traffico, a causa delle raffiche di vento che indussero oscillazioni tali da provocare la rottura dei cavi metallici e il conseguente crollo del ponte (fig. 3.15). Proprio per evitare l’innesco di pericolose oscillazioni, che possono portare alla rottura, ai soldati che attraversano i ponti a passo di marcia si comanda abitualmente di “rompere il passo”. 3.3.6 Linearità

La proprietà di linearità è estremamente importante, in quanto porta a notevoli semplificazioni nell’analisi e nella sintesi dei sistemi. Nel seguito supporremo che, più in generale, i segnali in gioco siano a valori complessi e il loro codominio coincida con il campo dei numeri complessi, cioè, X ≡ C, mentre il dominio T sarà uguale a R oppure Z nel caso TC oppure TD, rispettivamente. Questa scelta ci consente di trattare anche segnali, quali ad esempio il fasore, che, pur non essendo direttamente riconducibili ad alcuna grandezza fisica, rappresentano una comoda astrazione matematica per la descrizione di alcuni fenomeni naturali. D’altra parte, i segnali a valori reali sono un sottoinsieme dei segnali a valori complessi. La proprietà di linearità può essere vista come composta da due proprietà più semplici: la proprietà di omogeneità e di additività, secondo la definizione seguente:

112

Proprietà dei sistemi

x(.)

α

y a(.)

S (a)

x(.)

α

S

y b(.)

(b) Fig. 3.16. Se il sistema S verifica la proprietà di omogeneità, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti.

Definizione 3.11 (sistema lineare) Un sistema si dice lineare se soddisfa le seguenti due proprietà: (a) Omogeneità: per ogni coppia di segnali di ingresso x(·) ∈ I ed uscita y(·) ∈ U, si ha:

α x(·) −→ α y(·) ,

∀α ∈ C .

(b) Additività: per ogni coppia di segnali di ingresso x1 (·) ∈ I ed uscita y1 (·) ∈ U, e per ogni coppia di segnali di ingresso x2 (·) ∈ I ed uscita y2 (·) ∈ U, si ha: x1 (·) + x2 (·) −→ y1 (·) + y2 (·) . Da un punto di vista matematico, la proprietà di omogeneità impone implicitamente che, se x(·) ∈ I, allora anche α x(·) ∈ I, ovvero l’insieme dei segnali di ingresso deve essere chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante. Allo stesso modo, la proprietà di additività impone implicitamente che, se x1 (·) ∈ I e x2 (·) ∈ I, allora anche x1 (·) + x2 (·) ∈ I, ovvero l’insieme dei segnali di ingresso deve essere chiuso rispetto all’operazione di somma. Pertanto, affinchè il sistema S possa essere lineare, occorre che l’insieme dei segnali di ingresso I sia uno spazio lineare, ossia uno spazio funzionale chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante e somma. Stessa proprietà deve valere anche per l’insieme dei segnali di uscita U. Da un punto di vista sistemistico, la proprietà di omogeneità può essere interpretata come in fig. 3.16. Precisamente, se il sistema S verifica la proprietà di omogeneità, allora la configurazione serie in fig. 3.16(a) è equivalente alla configurazione serie in fig. 3.16(b), nel senso che ya (·) ≡ yb (·); quindi, se si deve calcolare la risposta del sistema S al segnale di ingresso α x(·), si può equivalentemente calcolare prima la risposta del sistema S al segnale di ingresso x(·) e poi far passare il segnale ottenuto attraverso un amplificatore di guadagno α . In altre parole, se il sistema è omogeneo, esso commuta con il sistema amplificatore e la sua posizione nella cascata è inessenziale. Anche la proprietà di additività ammette una interessante interpretazione in termini di sistemi. Infatti, con riferimento alla fig. 3.17, se il sistema S verifica la proprietà di additività, allora la cascata del sommatore e del sistema S in fig. 3.17(a) è equivalente al sistema raffigurato in fig. 3.16(b) (si faccia attenzione: non è una configurazione parallelo), nel senso che ya (·) ≡ yb (·); quindi, se si deve calcolare la risposta del

3.3 Proprietà dei sistemi

113

x1(.)

x2(.)

x1(.)

y a(.)

S

(a)

S

y b(.)

x2(.)

S

(b) Fig. 3.17. Se il sistema S verifica la proprietà di additività, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti.

sistema S al segnale di ingresso x1 (·) + x2 (·) si può calcolare prima la risposta del sistema S ai segnali di ingresso x1 (·) e x2 (·) separatamente, e poi sommare i segnali di uscita ottenuti. Le due proprietà precedenti, che caratterizzano la linearità di un sistema, si possono riassumere nel cosiddetto principio di sovrapposizione: Proprietà 3.3 (principio di sovrapposizione) Un sistema è lineare se, per ogni coppia di segnali di ingresso x1 (·) ∈ I ed uscita y1 (·) ∈ U, e per ogni coppia di segnali di ingresso x2 (·) ∈ I ed uscita y2 (·) ∈ U, si ha:

α1 x1 (·) + α2 x2 (·) −→ α1 y1 (·) + α2 y2 (·) ,

∀α1 , α2 ∈ C .

(3.21)

Notiamo che il principio di sovrapposizione si può esprimere, adoperando la notazione semplificata (3.5) per il sistema S, anche nella forma: S[α1 x1 (·) + α2 x2 (·)] = α1 S[x1 (·)] + α2 S[x2 (·)] ,

∀α1 , α2 ∈ C ,

(3.22)

che ammette l’interpretazione sistemistica riportata in fig. 3.18: se il sistema S è lineare, allora i due sistemi riportati in fig. 3.18(a) e fig. 3.18(b) sono equivalenti, cioè, ya (·) ≡ yb (·); pertanto, se si deve

114

Proprietà dei sistemi

α1

x1(.)

S

y a(.)

α2

x2(.)

(a)

x1(.)

α1

S

y b(.)

x2(.)

α2

S

(b) Fig. 3.18. Se il sistema S è lineare, le configurazioni (a) e (b) sono equivalenti (principio di sovrapposizione).

calcolare la risposta del sistema S al segnale di ingresso α1 x1 (·) + α2 x2 (·), si può calcolare prima la risposta del sistema S ai segnali di ingresso x1 (·) e x2 (·) separatamente, e poi combinare linearmente, utilizzando i coefficienti α1 e α2 , i segnali di uscita ottenuti. Il principio di sovrapposizione si può estendere anche a più di due ingressi e con qualche cautela matematica anche ad una infinità numerabile di ingressi: se all’ingresso xk (·) ∈ I corrisponde l’uscita yk (·) ∈ U, si ha:

∑ αk xk (·) k

−→

∑ αk yk (·) , k

∀α1 , α2 , . . . , αk , . . . ∈ C .

(3.23)

È bene evidenziare che se il numero di segnali che si sovrappone è finito la (3.23) discende semplicemente dalla (3.22); se, invece, il numero di segnali xk (·) è infinito, la (3.22) da sola non basta per assicurare la (3.23): in questo caso, occorre imporre alcune condizioni matematiche aggiuntive. Onde evitare di dilungarci in discussioni di carattere prettamente matematico che non hanno rilevanza in molti casi di interesse pratico, nel seguito assumeremo la (3.23) come definizione di principio di sovrapposizione, che ovviamente racchiude la (3.22) come caso particolare. Ciò conduce alla seguente definizione più generale di sistema lineare: un sistema è lineare se, comunque si consideri una successione numerabile di segnali di ingresso xk (·) ∈ I, con k ∈ Z, l’uscita corrispondente ad una arbitraria combinazione lineare di {xk (·)}k∈Z è costituita dalla combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle uscite yk (·) ∈ U corrispondenti agli ingressi presi separatamente. La proprietà di linearità comporta notevoli semplificazioni nell’analisi e nella sintesi dei sistemi, ed il principio di sovrapposizione è molto utilizzato ad esempio nello studio dei circuiti elettrici. A tale proposito, si noti che, come l’invarianza temporale, anche la linearità è una idealizzazione

3.3 Proprietà dei sistemi

115

matematica: nessun sistema nella realtà fisica è lineare in senso stretto. Infatti, in pratica, un sistema è progettato per poter funzionare con una certa famiglia di segnali di ingresso, e la moltiplicazione del segnale di ingresso per una costante di ampiezza arbitraria non si traduce semplicemente nella moltiplicazione dell’uscita per la stessa costante. Ad esempio, se si considera un amplificatore audio e lo si forza in ingresso con un segnale di tensione la cui ampiezza è maggiore di quella per cui il sistema è stato progettato, si ottiene in uscita un suono poco gradevole che nulla ha a che fare con il segnale di ingresso che si vuole amplificare. In pratica, quando si parla di sistema lineare, si intende un sistema che soddisfa il principio di sovrapposizione, quando l’ampiezza dei segnali di ingresso non eccede (in valore assoluto) una determinata soglia, variabile da sistema a sistema; se l’ampiezza del segnale di ingresso eccede tale soglia, il sistema non può più considerarsi lineare.13 ◮ Esempio 3.25 (linearità dell’amplificatore a guadagno variabile) L’amplificatore a guadagno variabile a TC y(t) = α (t) x(t) è un sistema lineare, in quanto soddisfa al principio di sovrapposizione. Adoperando la formulazione (3.22), infatti, si ha, con semplici calcoli algebrici: S[α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = α (t)[α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = α1 [α (t) x1 (t)] + α2 [α (t) x2 (t)] = α1 S[x1 (t)] + α2 S[x2 (t)] .

(3.24)

Con analogo ragionamento si può provare che anche l’amplificatore a TD y(n) = α (n) x(n) è un sistema lineare. Sia nel caso TC che TD, notiamo che la linearità dell’amplificatore vale anche nel caso particolare in cui il ◭ guadagno α (·) = α è costante (amplificatore a guadagno costante).

Una conseguenza importante della proprietà di linearità, e più precisamente dell’omogeneità, è che se un sistema omogeneo è sollecitato con un ingresso nullo (ovvero è “a riposo”), l’uscita corrispondente è necessariamente nulla. Proprietà 3.4 (comportamento a riposo di un sistema omogeneo) In un sistema omogeneo, l’uscita corrispondente all’ingresso nullo è necessariamente nulla. Prova. Sia x0 (·) ≡ 0 l’ingresso nullo, e sia y0 (·) l’uscita corrispondente a tale ingresso. Poiché x0 (·) −→ y0 (·), si ha, per l’omogeneità,

α x0 (·) −→ α y0 (·) ,

∀α ∈ C ,

ma poiché x0 (·) = α x0 (·) ≡ 0 ∀α ∈ C, allora deve aversi necessariamente y0 (·) = α y0 (·), ∀α ∈ C, e quest’ultima  uguaglianza può essere verificata se e solo se y0 (·) ≡ 0. ◮ Esempio 3.26 (sistema non omogeneo) Il sistema avente relazione i-u y(t) = b1 x(t) + b0 , con b0 6= 0, non è omogeneo (e quindi non è lineare) per la presenza del termine b0 . Infatti ponendo x(t) ≡ 0, ◭ si trova y0 (t) = b0 6= 0, e pertanto l’uscita corrispondente all’ingresso nullo non è nulla.

Sebbene sia non lineare secondo la definizione data, il sistema dell’es. 3.26 appartiene ad una classe di sistemi in cui l’uscita y(t) si può vedere (fig. 3.19) come la somma dell’uscita di un sistema lineare yL (t) e di un termine y0 (t) non dipendente dall’ingresso, che rappresenta l’uscita corrispondente all’ingresso nullo. Nell’es. 3.26, in particolare, si ha yL (t) = b1 x(t) e y0 (t) = b0 . Tali sistemi sono una generalizzazione dei sistemi lineari, e si dicono lineari per le differenze, in quanto, dati due ingressi 13 Tipicamente,

quasi tutti i sistemi tendono a comportarsi in maniera lineare se l’ampiezza del segnale di ingresso è sufficientemente piccola; in elettronica, questa osservazione è alla base dei cosiddetti “modelli lineari approssimati per piccoli segnali”.

116

Proprietà dei sistemi

x(.)

sistema lineare

y L(.) y(.)

x(.)

g(x)

y(.)

y 0(.)

Fig. 3.19. Un sistema lineare per le differenze si può vedere come composto da un sistema lineare e da un segnale indipendente dall’ingresso.

Fig. 3.20. Schema a blocchi di un sistema non lineare (non linearità) senza memoria.

arbitrari x1 (·) e x2 (·), la differenza y2 (·) − y1 (·) tra le due uscite è una funzione lineare della differenza x2 (·) − x1 (·) tra i due ingressi. Esempi di sistemi lineari per le differenze compaiono nell’analisi di sistemi descritti da equazioni differenziali (nel caso TC, cfr. § 4.6.1) o alle differenze (nel caso TD, cfr. § 4.6.2) lineari e a coefficienti costanti. Un caso più caratteristico di sistema non lineare, che non risulta neppure lineare per le differenze, è descritto nell’esempio seguente. ◮ Esempio 3.27 (sistema quadratico) Il sistema descritto dalla relazione i-u y(t) = x2 (t) è non lineare, e prende il nome di sistema quadratico o non-linearità quadratica. Infatti, si verifica facilmente che il sistema non soddisfa né la proprietà di omogeneità, né quella di additività. Per l’omogeneità, si ha: S[α x(t)] = α 2 x2 (t) = α 2 S[x(t)] 6= α S[x(t)] , e quindi non è omogeneo; inoltre S[x1 (t) + x2 (t)] = [x1 (t) + x2 (t)]2 = x12 (t) + x22 (t) + 2 x1 (t) x2 (t) 6= x12 (t) + x22 (t) = S[x1 (t)] + S[x2 (t)] , e quindi non è additivo.

◭

Il sistema quadratico dell’es. 3.27 è anche TI e non dispersivo o senza memoria (cfr. § 3.3.1), in quanto l’uscita y(t) è funzione dell’ingresso x(t) nello stesso istante. Esso appartiene pertanto ad una classe più generale di sistemi, detti anche non-linearità senza memoria: Definizione 3.12 (non linearità senza memoria) Sia g(·) una funzione non lineare, un sistema TI senza memoria, descritto dalla relazione iu y(t) = g[x(t)] (nel caso TC) oppure da y(n) = g[x(n)] (nel caso TD) prende il nome di non linearità senza memoria. Tali sistemi possono essere descritti semplicemente assegnando la funzione y = g(x), che prende il nome di caratteristica i-u, e sono rappresentati graficamente come in fig. 3.20. Altri esempi di non linearità senza memoria sono i sistemi descritti dalle relazioni i-u y(t) = |x(t)| (“raddrizzatore”, cfr. es. 3.15), y(t) = sgn[x(t)] (“hard limiter”), e y(t) = x3 (t) (sistema cubico). Un esempio “fisico” tratto dall’elettronica è il diodo. ◮ Esempio 3.28 (caratteristica i-u di un diodo) Il diodo è un componente elettronico rappresentato schematicamente in fig. 3.21, che può essere descritto con buona approssimazione da una relazione i-u non lineare senza memoria. Infatti, se si indica (fig. 3.21) con x(t) la tensione ai capi del diodo e con y(t) la corrente

3.3 Proprietà dei sistemi

117

y(t)

x(t)

y=g(x)

tg(θ)=R

x

Fig. 3.21. Schema elettrico di un diodo, modellato come un sistema non lineare senza memoria, avente come ingresso la tensione x(t) e come uscita la corrente y(t).

Fig. 3.22. Caratteristica ingresso-uscita di un diodo. Il parametro R rappresenta la resistenza del diodo in conduzione.

che scorre nel diodo, si può porre, con buona14 approssimazione, y(t) = g[x(t)], dove la caratteristica i-u g(x) (fig. 3.22) è ( x , x ≥ 0; g(x) = R 0 , altrimenti; dove R è la resistenza del diodo in conduzione, che assume in genere valori molto piccoli (dell’ordine di pochi decimi di ohm). Notiamo che la funzione g(x) di fig. 3.22 è lineare a tratti; in ogni caso, poiché essa non è lineare per tutti i valori di x, il sistema non può essere considerato lineare. ◭

Altri esempi di sistemi elettronici descritti approssimativamente15 da modelli non lineari senza memoria sono i transistori bipolari (bipolar junction transistor, BJT) ed i transistori ad effetto di campo (field-effect transistor, FET).

14 Un modello più accurato mostra che la relazione tra tensione e corrente in un diodo in conduzione segue una legge di tipo esponenziale. 15 Bisogna notare che per i componenti elettronici menzionati (diodi e transistori) il modello di sistema senza memoria è accurato solo se si trascurano gli effetti capacitivi, il che è ragionevole per segnali costanti o lentamente variabili.

118

Proprietà dei sistemi

3.4 Esercizi proposti Esercizio 3.1 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi:

S1

x(n)

S2

S3

y(n)

dove i legami i-u dei tre sistemi sono i seguenti: hni ; S1 : y(n) = x 2 1 1 S2 : y(n) = x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) ; 2 4 S3 : y(n) = x(2n) . Determinare il legame i-u del sistema (complessivo) riportato in figura. Risultato: y(n) = x(n) + 14 x(n − 1). Esercizio 3.2 Si consideri l’interconnessione di sistemi riportata in fig. 3.23, dove i legami i-u dei quattro sistemi sono i seguenti: S1

y(t)

S2

x(t)

S3

S4

Fig. 3.23. Sistema dell’esercizio 3.2. S1 : S2 : S3 : S4 :

y(t) = 2 x(t) + 1 ; y(t) = sgn[x(t)]; y(t) = ex(t) ; y(t) = 2 ln(|x(t)|).

Determinare il legame i-u del sistema (complessivo) riportato in fig. 3.23. Risultato: y(t) = 2 u[x(t)]. Esercizio 3.3 Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u:   +∞ N −1 y(n) = ∑ x(k) RN n − k + , con N ≥ 1 numero intero dispari . 2 k=−∞ Calcolare la memoria del sistema. Risultato: La memoria è pari a N − 1.

3.4 Esercizi proposti

119

S1 y(t)

x(t)

S2

Esercizio 3.4 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi: dove i legami i-u dei due sistemi sono i seguenti: S1 : y(t) =

Z t

S2 : y(t) =

Z t+T2

t−T1

t−T2

x(τ ) dτ , con T1 > 0; x(τ ) dτ , con T2 > 0.

Calcolare la memoria del sistema (complessivo) riportato in figura. Risultato: Se T1 ≥ T2 , la memoria è pari a T1 ; se T1 < T2 , la memoria è pari a 2 T2 − T1 . Esercizio 3.5 Un sistema S con ingresso x(t) ed uscita y(t) presenta le seguenti coppie i-u: x(t) = u(t + 3) −→ y(t) = e−5t u(t) ,

x(t) = rect(t − 1) −→ y(t) = e−3t .

Stabilire se il sistema può essere causale [Suggerimento: disegnare i due segnali ed applicare la prop. 3.1 del libro di testo.] Risultato: Il sistema è non causale. Esercizio 3.6 Un sistema S con ingresso x(n) ed uscita y(n) presenta le seguenti coppie i-u: x(n) = u(n + 2) −→ y(n) = 2−n u(n + 1) , x(n) = R3 (n) −→ y(n) = 3n u(n) .

Stabilire se il sistema può essere causale [Suggerimento: disegnare i due segnali ed applicare la prop. 3.1 del libro di testo.] Risultato: Il sistema può essere causale (non è detto che lo sia). Esercizio 3.7 Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u: y(n) = x(n) x(n − 2) . (a) Calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = A δ (n), con A ∈ R. (b) Il sistema è invertibile? Giustificare la risposta. Risultato: (a) y(n) ≡ 0; (b) non invertibile: in virtù del risultato del punto (a), l’uscita corrispondente al segnale x(n) = A δ (n) è sempre nulla, indipendentemente dalla costante A.

120

Proprietà dei sistemi

Esercizio 3.8 Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u: S : x(t) ∈ I −→ ex(t) ∈ U . (a) Caratterizzare gli insiemi di ingresso ed uscita. (b) Stabilire se tale sistema è invertibile. In caso affermativo, determinare il sistema inverso. Risultato: (a) nessuna restrizione su I, l’insieme U è costituito da tutti i segnali positivi; (b) S è invertibile e il suo sistema inverso è caratterizzato dal seguente legame i-u: x(t) ∈ U −→ y(t) = ln[x(t)] ∈ I. Esercizio 3.9 Il sistema S in fig. 3.24 è lineare. Nella stessa figura sono riportate le uscite del sistema y1 (n), y2 (n) e y3 (n) corrispondenti ai segnali di ingresso x1 (n), x2 (n) e x3 (n), rispettivamente. y1(n) 3

x1(n)

3 1

1 -1

1

-1

S

0 -2

0 1

n

2

3

n

-1

-2 y2(n)

x2(n) 1

1

-1

3

1

-1 S 0

2

0

n -1

n -1

-2 -3 y3(n) x3(n)

2

2

1

1

1

1 S 0 1

n

-2

-1

0

2

n

-3

Fig. 3.24. Segnali dell’esercizio 3.9. (a) Calcolare l’uscita ya (n) del sistema corrispondente al segnale di ingresso xa (n) = δ (n). (b) Calcolare l’uscita yb (n) del sistema corrispondente al segnale di ingresso xb (n) = δ (n − 1). (c) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a) e (b), stabilire se il sistema può essere tempo-invariante. Risultato: (a) ya (n) = 2 δ (n + 2) + δ (n + 1) − 2 δ (n) + 3 δ (n − 1) + 2 δ (n − 2) + δ (n − 3); (b) yb (n) = −δ (n) − 3 δ (n − 1) − δ (n − 3); (c) non può essere tempo-invariante, è necessariamente tempo-variante. Esercizio 3.10 Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u:   Z t x(τ ) dτ . y(t) = cos 2π fct + 2π −∞

3.4 Esercizi proposti

121

(a) Calcolare l’uscita ya (t) corrispondente al segnale di ingresso xa (t) = δ (t). (b) Calcolare l’uscita yb (t) corrispondente al segnale di ingresso xb (t) = δ (t − t0 ), con t0 ∈ R. (c) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a) e (b), dire se il sistema può essere tempo-invariante. Risultato: (a) ya (t) = cos(2π fct); (b) yb (t) = ya (t) = cos(2π fct); (c) non può essere tempo-invariante, è necessariamente tempo-variante.

x(n)

y(n)

(-1) n

Fig. 3.25. Sistema dell’esercizio 3.11. Esercizio 3.11 Si consideri il sistema riportato in fig. 3.25. (a) Determinare il legame i-u del sistema. (b) Dire se il sistema è stabile. Risultato: (a) y(n) = x(n) + (−1)n x(n) = [1 + (−1)n ] x(n), dove 1 + (−1)n = 0 se n è dispari e 1 + (−1)n = 2 se n è pari; (b) stabile. Esercizio 3.12 Un sistema S lineare con ingresso x(t) ed uscita y(t) presenta le seguenti coppie i-u: x(t) = e j2t −→ y(t) = e j3t ,

x(t) = e− j2t −→ y(t) = e− j3t . (a) Calcolare l’uscita ya (t) corrispondente al segnale di ingresso xa (t) = cos(2t). (b) Calcolare l’uscita yb (t) corrispondente al segnale di ingresso xb (t) = cos(2t − 1). (c) Stabilire se il sistema può essere tempo-invariante. Risultato: (a) ya (t) = cos(3t); (b) yb (t) = cos(3t − 1). (c) il sistema non può essere tempo-invariante, è necessariamente tempo-variante. Esercizio 3.13 Il sistema S in fig. 3.26 è tempo-invariante. Nella stessa figura sono riportate le uscite del sistema y1 (n), y2 (n) e y3 (n) corrispondenti ai segnali di ingresso x1 (n), x2 (n) e x3 (n), rispettivamente. (a) Stabilire se il sistema può essere lineare. (b) Calcolare l’uscita y(n) del sistema corrispondente al segnale di ingresso x(n) = δ (n). Risultato: (a) non può essere lineare, è necessariamente non lineare; (b) y(n) = 3 δ (n + 6) + 2 δ (n + 5). Esercizio 3.14 Si considerino i due sistemi caratterizzati dai seguenti legami i-u:

122

Proprietà dei sistemi

y1(n) 3

x1(n) 2 2

1 S 0 1

0 1 2

n

n

y2(n)

4

x2(n) 2 2 S 0 1

0 1 2

n

3

n

y3(n) x3(n)

3 2 1 0 1 2

S 3 4

n

-2 -1

0 1

n

Fig. 3.26. Segnali dell’esercizio 3.13. S1 : y(n) = x(−n) ; S2 : y(n) = x(n + 2). Inoltre, sia S1,2 il sistema ottenuto dalla cascata S1 -S2 (nell’ordine), mentre S2,1 rappresenta il sistema ottenuto dalla cascata S2 -S1 (nell’ordine). Stabilire, motivando la risposta e fornendo almeno un esempio a suo supporto, se la seguente affermazione è vera oppure falsa: “se x1 (n) = x2 (n), le uscite dei due sistemi S1,2 e S2,1 sono necessariamente uguali”. Risultato: I due sistemi sono diversi: il legame i-u del sistema S1,2 è y(n) = x(−n − 2); il legame i-u del sistema S2,1 è y(n) = x(−n + 2). Esempio: quando x1 [n] = x2 [n] = δ [n], l’uscita del sistema S1,2 è y(n) = δ (n + 2), mentre l’uscita del sistema S2,1 è y(n) = δ (n − 2). Esercizio 3.15 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TC sotto riportati sulla base delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità): (a) y(t) = 2 exp[x(t)]; (b) y(t) = x(t − 2) − x(1 − t); (c) y(t) = x(t) cos(2π t);

(d) y(t) = [x(t) + x(t − T )] u(t); (e) y(t) = [x(t) − x(t − T )] u[x(t)], con T ∈ R − {0}. Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante e stabile; (b) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante e stabile; (c) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (d) lineare, dispersivo se T 6= 0, causale se T ≥ 0 e non causale se T < 0, tempo-variante e stabile. (e) non lineare, dispersivo, causale se T > 0 e non causale se T < 0, tempo-invariante e stabile.

3.4 Esercizi proposti

123

Esercizio 3.16 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TD sotto riportati sulla base delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità): (a) y(n) = a x(n) + b, con a, b ∈ R − {0}; (b) y(n) = x(−n); (c) y(n) = ex(n) ;  n   ∑ x(k) , per n ≥ m0 , con m0 ∈ Z ; (d) y(n) = k=m0  0 , altrimenti ; n+m0

∑

(e) y(n) =

k=n−m0

x(k), con m0 ∈ N.

Risultato: (a) non lineare (lineare per le differenze), non dispersivo, causale, tempo-invariante e stabile; (b) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante e stabile; (c) non lineare, non dispersivo, causale, tempoinvariante e stabile; (d) lineare, dispersivo, causale, tempo-variante e instabile. (e) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante e stabile. Esercizio 3.17 Classificare in base alle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità) i sistemi TC individuati dalle seguenti relazioni i-u: (a) y(t) =

Z +∞ 0

(b) y(t) =

Z T 0

h(τ ) x(t − τ ) dτ ;

h(τ ) x2 (t − τ ) dτ ;

  1 , se x(t) 6= 0 ; (c) y(t) = x(t)  0, altrimenti ;

(d) y(t) =

1 2T

Z T

−T

x(t − τ )dτ , con T ∈ R − {0}.

Risultato: (a) lineare, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile se h(τ ) è sommabile; (b) non lineare, dispersivo, causale se T ≥ 0, non causale se T < 0, tempo-invariante, stabile se h(τ ) è sommabile; (c) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante, instabile; (d) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante e stabile. Esercizio 3.18 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi TD sotto riportati sulla base delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità): (a) y(n) = x(n) + u(n + 1); (b) y(n) = cos(π n) x(n); (c) y(n) = x(n2 ); +∞

(d) y(n) = x(n)

∑ δ (n − k);

k=0

(e) y(n) = an u(n) x(n), con a ∈ R − {0}.

124

Proprietà dei sistemi

Risultato: (a) non lineare (lineare per le differenze), non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (b) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile; (c) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante e stabile; (d) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante e stabile. (e) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile per |a| ≤ 1 ed instabile per |a| > 1. Esercizio 3.19 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità), i sistemi TC caratterizzati dalle seguenti relazioni i-u: ( ln(|x(t)|) , se x(t) 6= 0 ; (a) y(t) = 0, altrimenti ; (b) y(t) = x(t) + x(−t); (c) y(t) = x(t) sgn(t); (d) y(t) = sgn[x(t)]. Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante, instabile; (b) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile; (c) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (d) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile. Esercizio 3.20 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità, i sistemi TC caratterizzati dalle seguenti relazioni i-u: ( t ln(|x(t)|) , se x(t) 6= 0 ; (a) y(t) = 0, altrimenti ; (b) y(t) = a(t) x(−t), con a(t) segnale reale limitato; (c) y(t) = x(−t) + 5; (d) y(t) = sgn[x(−t)]. Risultato: (a) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, instabile; (b) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile; (c) non lineare (lineare per le differenze), dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile; (d) non lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile. Esercizio 3.21 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sotto riportati sulla base delle loro proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità):   x(n) , se n 6= 0 ; (a) y(n) = n 0 , altrimenti ;

(b) y(n) = x(2 n) + x(10 − n); n+2

(c) y(n) =

∑

x2 (k);

k=n−2 +∞

(d) y(n) =

∑

k=−∞

sgn(k) x(n − k).

Risultato: (a) lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (b) lineare, dispersivo, non causale, tempo-variante, stabile; (c) non lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante, stabile; (d) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante, instabile.

3.4 Esercizi proposti

125

Esercizio 3.22 Classificare, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità, i sistemi caratterizzati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita: (a) y(n) =

1 M1 + M2 + 1

M2

∑

k=−M1

x(n − k), con M1 , M2 ∈ N.

(b) y(n) = max{x(n), x(n − 1)}. ( π n tan[x(n)] , se x(n) 6= + k π , con k ∈ Z ; 2 (c) y(n) = 0, altrimenti ; Risultato: (a) lineare, dispersivo, non causale, tempo-invariante, stabile; (b) non lineare, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile; (c) non lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, instabile.

126

Proprietà dei sistemi

Capitolo 4

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

In questo capitolo approfondiremo lo studio dei sistemi lineari tempo-invarianti (LTI), ovvero dei sistemi che possiedono sia la proprietà di linearità, sia quella di invarianza temporale. In particolare, mostreremo che tali sistemi ammettono una relazione i-u semplice e generale, che può essere espressa mediante una particolare operazione matematica, denominata convoluzione, tra il segnale di ingresso e una funzione che descrive completamente il sistema nel dominio del tempo, la sua risposta impulsiva. Introdurremo poi una classe importante di sistemi LTI, che si incontrano frequentemente nelle applicazioni, ovvero i sistemi LTI descritti nel caso TC da equazioni differenziali, e nel caso TD da equazioni alle differenze. Infine, calcolando la risposta di un sistema LTI ad un fasore applicato al suo ingresso, introdurremo il fondamentale concetto di risposta in frequenza di un sistema LTI, che rappresenta la base per lo studio dei sistemi nel dominio della frequenza e che sarà approfondito nei capitoli seguenti.

4.1 Introduzione Le proprietà di invarianza temporale e linearità viste nel cap. 3 non devono necessariamente essere possedute contemporaneamente da un dato sistema. Ad esempio, l’amplificatore con guadagno variabile y(t) = α (t) x(t) (cfr. es. 3.16) è un sistema lineare ma tempo-variante (sistema LTV), mentre il sistema quadratico y(t) = x2 (t) (cfr. es. 3.27) è un sistema non lineare ma tempo-invariante. Tuttavia, numerosi sistemi, di grande interesse per le applicazioni, possiedono sia la proprietà di linearità, sia quella di invarianza temporale. Tali sistemi sono denominati sistemi lineari tempo-invarianti (LTI), e per essi esistono tecniche di analisi e di sintesi semplici, potenti e generali. In questo capitolo, ed in gran parte del seguito della trattazione, il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi. La proprietà fondamentale che semplifica lo studio dei sistemi LTI (più in generale, dei sistemi lineari) è il principio di sovrapposizione (prop. 3.3). A tale proposito, consideriamo il sistema lineare descritto dalla trasformazione S : I → U, il cui legame i-u, per semplicità di notazione, sarà descritto nel seguito mediante la notazione semplificata y(·) = S[x(·)]. In particolare, supponiamo che un generico ingresso TC o TD x(·) ∈ I possa essere espresso come sovrapposizione di segnali semplici o

128

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

“elementari” xk (·) ∈ I come segue: x(·) = ∑ αk xk (·) ,

(4.1)

k

dove i coefficienti αk sono in generale dei numeri complessi, in quanto come vedremo i segnali elementari possono assumere valori complessi. Il numero dei segnali elementari necessari per descrivere esattamente il segnale x(·) nella (4.1) può essere finito oppure infinito numerabile. Applicando il principio di sovrapposizione (3.23), si ha: # " y(·) = S[x(·)] = S

∑ αk xk (·) k

= ∑ αk S [xk (·)] = ∑ αk yk (·) , k

(4.2)

k

△

dove yk (·) = S[xk (·)], ovvero yk (·) è l’uscita corrispondente all’ingresso elementare xk (·). La (4.2) mostra che l’uscita y(·) si può esprimere come sovrapposizione, con gli stessi coefficienti αk , dei segnali yk (·), ciascuno dei quali rappresenta la risposta del sistema all’ingresso xk (·). Questa proprietà consente, in linea di principio, di semplificare notevolmente lo studio dei sistemi lineari, in quanto è sufficiente calcolare la risposta del sistema agli ingressi elementari xk (·). Affinché tale tecnica sia applicabile in pratica, tuttavia, i segnali elementari xk (·) da utilizzare nella (4.1) devono essere scelti in modo opportuno; in particolare, essi devono soddisfare tre proprietà fondamentali: (1) devono essere in grado di rappresentare un’ampia classe di segnali x(·); idealmente, devono essere in grado di rappresentare tutti i segnali di interesse pratico; (2) per un dato segnale di interesse x(·), deve essere semplice calcolare i coefficienti αk della sua rappresentazione (4.1); (3) deve essere semplice calcolare la risposta yk (·) del sistema a ciascuno dei segnali xk (·). Tenendo conto delle proprietà precedenti, le scelte più comuni per i segnali elementari xk (·) sono due: • i segnali xk (·) sono impulsi: la descrizione risultante del sistema prende il nome di rappresentazione nel dominio del tempo, e la funzione che caratterizza il sistema LTI nel dominio del tempo prende il nome di risposta impulsiva; • i segnali xk (·) sono fasori: la descrizione risultante del sistema prende il nome di rappresentazione nel dominio della frequenza, e la funzione che caratterizza il sistema LTI nel dominio della frequenza prende il nome di risposta in frequenza o risposta armonica. Nel seguito di questo capitolo studieremo approfonditamente la rappresentazione dei sistemi LTI nel dominio del tempo, e introdurremo anche i primi elementi della loro rappresentazione nel dominio della frequenza;uno studio più approfondito della rappresentazione nel dominio della frequenza sarà effettuato nei prossimi capitoli.

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva Un concetto fondamentale nella caratterizzazione dei sistemi LTI nel dominio del tempo è quello di risposta impulsiva:1 esso nasce dalla possibilità di rappresentare un arbitrario segnale x(·) come sovrapposizione di impulsi traslati nel tempo. Per approfondire tale rappresentazione, è conveniente 1 Il

concetto di risposta impulsiva, e quello di risposta in frequenza ad esso strettamente legato, possono essere dati anche con riferimento a sistemi che siano solo lineari (ma tempo-varianti); in tal caso, però, tali funzioni dipendono da due variabili.

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva

129

considerare prima il caso TD. Scegliendo come segnali elementari xk (n) nella (4.1) l’insieme numerabile degli impulsi discreti traslati nel tempo, ovvero xk (n) = δ (n − k), con k ∈ Z, la rappresentazione (4.1) si scrive: +∞

x(n) =

∑

+∞

αk xk (n) =

∑

k=−∞

k=−∞

αk δ (n − k) .

(4.3)

Determinare i coefficienti αk della rappresentazione è semplice, se si osserva che gli impulsi δ (n − k) nella (4.3) non si sovrappongono nel tempo, e quindi l’ampiezza di ciascuno di essi deve coincidere necessariamente con il campione x(k) della sequenza: in altri termini, si ha semplicemente αk = x(k). Pertanto la rappresentazione di un arbitrario segnale TD x(n) come sovrapposizione di impulsi è: +∞

x(n) =

∑

k=−∞

x(k) δ (n − k) ,

(4.4)

che si può interpretare equivalentemente dicendo che x(k) δ (n−k) rappresenta il campione del segnale x(n) all’istante n = k. Notiamo peraltro che la (4.4) si può giustificare in maniera più formale anche applicando le prop. 2.3 dell’impulso discreto, ed in particolare la proprietà di campionamento (la banale verifica è lasciata al lettore). Supponiamo allora che un segnale x(n), rappresentato mediante la (4.4), sia posto in ingresso ad un sistema TD LTI, e calcoliamo l’uscita sfruttando il principio di sovrapposizione, nonché l’invarianza temporale del sistema. Possiamo scrivere simbolicamente: # " +∞

y(n) = S[x(n)] = S

∑

k=−∞

x(k) δ (n − k) =

+∞

∑

k=−∞

x(k) S[δ (n − k)] ,

(4.5)

dove abbiamo applicato il principio di sovrapposizione, esteso al caso di una infinità (numerabile) di segnali, ed abbiamo sfruttato il fatto che le quantità x(k), non essendo dipendenti dal tempo n, vanno riguardate come delle costanti (corrispondono in effetti alle costanti αk ). Definiamo allora il segnale △

h(n) = S[δ (n)], che rappresenta la risposta del sistema LTI all’impulso δ (n) applicato al suo ingresso: per la proprietà di invarianza temporale (si veda in particolare la caratterizzazione i-u dell’invarianza temporale espressa dalla prop. 3.2) risulta conseguentemente che: S[δ (n − k)] = h(n − k) ,

∀k ∈ Z ,

(4.6)

cioè traslando l’impulso in ingresso di k campioni, il segnale di uscita h(n) trasla anch’esso di k campioni. Pertanto, sostituendo la (4.6) nella (4.5), la relazione i-u del sistema LTI assume la forma +∞

+∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) h(n − k) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) ,

(4.7)

dove la seconda espressione si può ottenere dalla prima con il semplice cambiamento di variabile n − k = k′ e ponendo poi nuovamente k in luogo di k′ . Ribadiamo che per ricavare la (4.7) abbiamo utilizzato sia la proprietà di linearità [nella (4.5)], sia la proprietà di invarianza temporale [nella (4.6)]. La funzione h(n) che compare nella (4.7) prende il nome di risposta all’impulso o di risposta impulsiva del sistema LTI: essa rappresenta, come già detto, l’uscita del sistema quando viene applicato l’impulso δ (n) in ingresso. Si noti che, utilizzando la conoscenza della sola risposta impulsiva del sistema, la (4.7) consente di calcolare l’uscita di un sistema LTI in corrispondenza di un qualsiasi ingresso x(n). In questo senso, si dice che la risposta impulsiva è una risposta canonica, poiché essa caratterizza (cioè descrive) completamente il sistema LTI. L’operazione matematica effettuata tra x(n) ed h(n) nella (4.7) prende il nome di convoluzione a TD, e sarà studiata più approfonditamente nel § 4.3.

130

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

h(n)

h(n) b1

bM 1/6

b2

bM-1

b0 b3 .... 0

1

2

M -1 M

3

(a)

n

0

1

2

3

4

5

n

(b)

Fig. 4.1. (a) Risposta impulsiva di un generico sistema MA. (b) Risposta impulsiva del sistema MA con M = 5 e con pesi bk = 16 , ∀k ∈ {0, 1, . . . , 5}. ◮ Esempio 4.1 (risposta impulsiva di un sistema MA) Si consideri il sistema MA già introdotto nell’es. 3.9, descritto dalla relazione i-u M

y(n) =

∑ bk x(n − k) .

(4.8)

k=0

Seguendo i procedimenti delineati negli esempi del capitolo precedente, è semplice provare che tale sistema è sia lineare che tempo-invariante, e pertanto esso rappresenta un esempio di sistema LTI: per questo motivo, deve essere possibile esprimere la sua relazione i-u come una convoluzione (4.7). Infatti, dal confronto tra la (4.8) e la (4.7), si ha una perfetta corrispondenza se si definisce la risposta impulsiva del sistema come segue: ( bk , k ∈ {0, 1, . . . , M} ; h(k) = (4.9) 0 , altrimenti , rappresentata graficamente in fig. 4.1(a) nel caso generale, e particolarizzata in fig. 4.1(b) al caso M = 5 e 1 = 16 , ∀k ∈ {0, 1, . . . , 5}. D’altra parte, osserviamo che utilizzando la definizione di risposta impulsiva bk = M+1 come h(n) = S[δ (n)], si ha, ponendo x(n) = δ (n) nella (4.8): M

h(n) =

∑ bk δ (n − k) ,

(4.10)

k=0

espressione che fornisce gli stessi valori della (4.9). È interessante notare che la risposta impulsiva del sistema MA è di durata finita, pari ad M + 1 campioni. ◭

Prima di passare al caso TC, è utile mettere in luce una particolare interpretazione della (4.7). In sostanza, la (4.7) mostra che, per un dato k ∈ Z, il campione x(k) δ (n − k) del segnale di ingresso all’istante n = k è “trasformato” dal sistema nel segnale x(k) h(n − k), con n ∈ Z; il segnale di uscita y(n) si ottiene sommando i singoli segnali x(k) h(n − k), per ogni k ∈ Z. Questa interpretazione è chiarita in fig. 4.2, dove è calcolata graficamente la risposta del sistema MA dell’es. 4.1, avente la risposta impulsiva di fig. 4.1(b), al segnale di ingresso x(n) = 13 R3 (n). In questo caso il segnale di ingresso è rappresentato dai suoi tre campioni x(0) δ (n), x(1) δ (n − 1) e x(2) δ (n − 2) a cui il sistema fa corrispondere in uscita i tre segnali x(0) h(n), x(1) h(n − 1) e x(2) h(n − 2); il segnale di uscita si ottiene sommando tali segnali, cioè y(n) = x(0) h(n) + x(1) h(n − 1) + x(2) h(n − 2). Per estendere al caso TC il ragionamento sulla relazione i-u visto in precedenza, partiamo dalla rappresentazione di un segnale a TC come sovrapposizione di impulsi di Dirac: x(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) δ (t − τ ) dτ .

(4.11)

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva

131

h(n)

x(n)

1/3 1/6

0

1

2

3

4

5

0

n

x(0) δ(n)

1

2

3

4

5

6 7 8

n

2

3

4

5

6 7 8

n

3

4

5

6 7 8

n

3

4

5

6 7 8

n

x(0) h(n)

1/18 0

1

2

3

4

5

0

n

x(1) δ(n-1)

1

x(1) h(n-1)

1/18 0

1

2

3

4

5

0

n

x(2) δ(n-2)

1

2

x(2) h(n-2)

1/18 0

1

2

3

4

5

0

n

1

2

y(n) = x(0) h( n) + x(1) h( n-1) + x(2) h( n-2)

1/6 1/9 1/18 0

1

2

3

4

5

6 7 8

n

Fig. 4.2. Calcolo dell’uscita y(n) di un sistema LTI come sovrapposizione delle risposte del sistema ai singoli campioni del segnale di ingresso x(n).

132

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Tale rappresentazione si può vedere come l’estensione della (4.4) al caso TC, dove la delta di Dirac sostituisce quella discreta, e l’integrale prende il posto della sommatoria. In pratica mediante la (4.11) il segnale x(t) è rappresentato come sovrapposizione nel continuo (cioè, un integrale) di segnali elementari x(τ ) δ (t − τ ) dτ , ovvero mediante degli impulsi di Dirac di area infinitesima x(τ ) dτ , centrati in tutti i possibili istanti di tempo τ ∈ R. A differenza del caso TD, tuttavia, non è possibile dare una giustificazione immediata della (4.11), ma la sua validità si può provare formalmente utilizzando la proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac (cfr. prop. 2.2). Tuttavia, data l’analogia formale tra la (4.11) e la (4.4), seguendo passaggi matematici simili a quelli già visti per il caso TD, è possibile provare che l’uscita y(t) del sistema LTI può essere espressa come: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ ,

(4.12)

dove la seconda uguaglianza si ottiene dalla prima ricorrendo al cambio di variabile t − τ = τ ′ e △

utilizzando poi nuovamente τ al posto di τ ′ . Il segnale h(t) = S[δ (t)] prende il nome di risposta impulsiva del sistema LTI, e rappresenta, come già visto nel caso TD, l’uscita del sistema quando viene applicato un impulso δ (t) all’ingresso. L’operazione matematica tra x(t) ed h(t) che compare nella (4.7) è simile a quella vista nel caso TD, e prende il nome di convoluzione a TC; la sua interpretazione e le sue proprietà saranno approfondite nel § 4.3. Una giustificazione immediata ed intuitiva della (4.12) si può fornire utilizzando l’interpretazione della convoluzione per il caso TD data in precedenza (si veda anche la fig. 4.2). Precisamente, facendo un ragionamento concettualmente simile a quello fatto per il caso TD, possiamo pensare che x(τ ) δ (t − τ ) dτ rappresenti la componente del segnale di ingresso x(t) nell’istante di tempo t = τ ; se il sistema è LTI, tale componente è “trasformata” dal sistema nel segnale x(τ ) h(t − τ ) dτ , con t ∈ R; il segnale di uscita y(t) si ottiene sovrapponendo nel continuo (cioè, integrando) i segnali x(τ ) h(t − τ ) dτ , per ogni τ ∈ R. Notiamo inoltre che, formalmente, la (4.12) si basa su una definizione più generale di linearità di un sistema. Precisamente, supponiamo che un generico segnale x(t) si possa esprimere come sovrapposizione di una infinità continua di segnali elementari x(t; τ ), con τ ∈ R, ossia: x(t) =

Z +∞ −∞

α (τ ) x(t; τ )dτ ,

(4.13)

dove α (τ ) dτ rappresentano i coefficienti (infinitesimi) della sovrapposizione. Tale rappresentazione si può vedere come l’estensione della (4.1), in cui i segnali elementari sono una infinità numerabile (la variabile k che parametrizza i segnali è discreta), al caso di una infinità continua di segnali elementari (la variabile τ che parametrizza i segnali è continua). La (4.13) racchiude come caso particolare la proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac: infatti, dal confronto con la (4.11), segue che α (τ ) = x(τ ) e x(t; τ ) = δ (t − τ ). La derivazione della (4.12) richiede la validità della seguente uguaglianza: y(t) = S[x(t)] =

Z +∞ −∞

α (τ ) S[x(t; τ )]dτ ,

(4.14)

secondo cui la risposta y(t) del sistema al segnale di ingresso x(t) si può ottenere sovrapponendo nel continuo, con gli stessi coefficienti α (τ ) dτ , le risposte S[x(t; τ )] del sistema ai segnali elementari x(t; τ ), per τ ∈ R. Così come il principio di sovrapposizione (3.23) per una infinità numerabile di segnali, anche la (4.14) non discende direttamente dalla prop. 3.3 e richiede delle condizioni matematiche aggiuntive per la sua validità. Nel seguito, senza perderci in complicate discussioni matematiche, assumeremo direttamente la (4.14) come definizione di principio di sovrapposizione per una infinità continua di segnali.

4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva

133

◮ Esempio 4.2 (risposta impulsiva di un integratore con memoria finita) Si consideri l’integratore con memoria finita (cfr. es. 4.2), avente relazione i-u: y(t) =

Z t

x(u) du ,

(4.15)

t−T

con T > 0. Si può facilmente verificare che tale sistema è sia lineare, sia invariante temporalmente, per cui è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.15) si può scrivere come una convoluzione: infatti, notiamo preliminarmente che, con il cambio di variabile τ = t − u → u = t − τ , la (4.15) si può scrivere come: y(t) =

Z T 0

x(t − τ ) dτ .

Successivamente, possiamo far comparire l’integrale tra −∞ e +∞ tipico della convoluzione a patto di moltiplicare la funzione integranda per una finestra rettangolare che assume il valore 1 nell’intervallo (0, T ), e cioè:   Z +∞ τ − 0.5T y(t) = rect x(t − τ ) dτ , T −∞ da cui, per confronto con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è: 

t − 0.5T h(t) = rect T



.

Come nell’es. 4.1, anche tale risposta impulsiva è di durata finita, pari a T e coincidente con la memoria del sistema. ◭

Negli es. 4.1 e 4.2, abbiamo implicitamente mostrato una strada alternativa per dimostrare che un determinato sistema è LTI: se infatti siamo in grado di provare che la relazione i-u del sistema si può esprimere nella forma (4.7) oppure (4.12), allora il sistema è necessariamente LTI, ed inoltre è automaticamente determinata la sua risposta impulsiva h(·). In altri termini, in maniera più formale, si può provare che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia LTI è che la sua relazione i-u sia una convoluzione: Proprietà 4.1 (relazione i-u e risposta impulsiva di un sistema LTI) (a) Dato un sistema TC S con ingresso x(t) ed uscita y(t), esso è un sistema LTI se e solo se è descritto da una relazione i-u di convoluzione: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ ,

(4.16)

dove h(t) = S[δ (t)] è la risposta impulsiva del sistema. (b) Dato un sistema TD S con ingresso x(n) ed uscita y(n), esso è un sistema LTI se e solo se è descritto da una relazione i-u di convoluzione: +∞

+∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) h(n − k) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) ,

dove h(n) = S[δ (n)] è la risposta impulsiva del sistema.

(4.17)

134

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

4.3 Convoluzione Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la relazione i-u di un sistema LTI può sempre essere espressa in termini di convoluzione, descritta dalla (4.7) nel caso TD, oppure dalla (4.12) nel caso TC. La difficoltà maggiore è che, fatta eccezione per casi particolari, la convoluzione tra due segnali è un’operazione più complessa da interpretare (e da calcolare) rispetto alle operazioni elementari viste ad esempio nel § 2.1. Cerchiamo allora di interpretare il meccanismo che sta alla base della convoluzione, partendo dal caso TD per semplicità. Nel caso TD, la convoluzione si scrive esplicitamente come: +∞

+∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) h(n − k) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) .

(4.18)

Le due espressioni riportate nella (4.18) sono del tutto equivalenti, e quindi l’ordine dei segnali è ininfluente nel calcolo della convoluzione (proprietà commutativa della convoluzione, vedi anche il § 4.3.1 seguente). Prendendo come riferimento la seconda delle (4.18), le operazioni da effettuare sui segnali x(n) e h(n) per calcolare la convoluzione sono schematicamente indicate di seguito: Algoritmo per il calcolo della convoluzione a TD: (1) Rappresentare h(k) e x(k) in funzione di k ∈ Z.

(2) Effettuare prima la riflessione del segnale x(k), costruendo il segnale z(k) = x(−k) e, successivamente, effettuare la traslazione del segnale z(k) verso destra se n > 0, e verso sinistra se n < 0, ottenendo così il segnale wn (k) = z(k − n) = x[−(k − n)] = x(n − k).

(3) Per ogni fissato valore di n ∈ Z, il valore della convoluzione y(n) all’istante n si ottiene moltiplicando i campioni corrispondenti dei due segnali h(k) e wn (k) per tutti i valori di k ∈ Z, e sommando i risultati dei prodotti ottenuti.

Ovviamente, per la proprietà commutativa della convoluzione, è possibile scambiare nei passi (1)–(3) i ruoli di h(k) e x(k) senza modificare il risultato finale. Per capire meglio il meccanismo precedentemente descritto, consideriamo il seguente esempio. ◮ Esempio 4.3 (calcolo della convoluzione a TD) Consideriamo un sistema TD avente risposta impulsiva h(n) = an u(n) , con a 6= 0, e calcoliamo la sua uscita quando esso è sollecitato in ingresso da un gradino x(n) = u(n). Seguendo la procedura delineata precedentemente, rappresentiamo h(k) in funzione di k [fig. 4.3(a)], insieme con x(k) [fig. 4.3(b)] ed il segnale riflesso z(k) = x(−k) [fig. 4.3(c)]. Se non effettuiamo nessuna traslazione su z(k), possiamo ottenere direttamente il risultato della convoluzione per n = 0, effettuando i prodotti dei campioni corrispondenti di h(k) e z(k) e sommando i risultati; in particolare, si vede che solo i campioni di x(k) e z(k) per k = 0 danno contributo in questo caso, ed il risultato vale: +∞

y(0) =

∑

h(k) z(k) = h(0) z(0) = 1 .

k=−∞

Per calcolare gli altri valori della convoluzione, dobbiamo costruire il segnale wn (k) = z(k − n), che si ottiene da z(k) mediante traslazione di n campioni. In particolare, si vede che per n < 0 [traslazione verso sinistra, si veda la fig. 4.3(d)], il segnale wn (k) non si sovrappone con h(k), per cui il risultato della convoluzione è nullo. Viceversa, se n > 0 [traslazione verso destra, si veda la fig. 4.3(e)], si nota che si ha sovrapposizione tra h(k) e

4.3 Convoluzione

135

wn (k) su un numero finito di campioni, più precisamente, tale numero di campioni è pari ad n+1. In particolare, è semplice considerare i casi per n = 1, 2, 3 e poi generalizzare il risultato ottenuto al caso di n qualsiasi. Si ha: +∞

y(1) =

∑

h(k) w1 (k) = 1 + a ;

∑

h(k) w2 (k) = 1 + a + a2 ;

∑

h(k) w3 (k) = 1 + a + a2 + a3 .

k=−∞ +∞

y(2) =

k=−∞ +∞

y(3) =

k=−∞

Per un generico valore n > 0, h(k) e wn (k) si sovrappongono per k ∈ {0, 1, . . . , n}, per cui: +∞

y(n) =

∑

h(k) wn (k) = 1 + a + a2 + a3 + . . . + an =

k=−∞

n

∑ ak =

k=0

1 − an+1 , 1−a

dove per ottenere l’ultima espressione si è utilizzata la formula seguente, valida per ogni a ∈ C e per N2 ≥ N1 : N2

∑

ak =

k=N1

aN1 − aN2 +1 . 1−a

In definitiva, il calcolo della convoluzione tra h(n) = an u(n) e x(n) = u(n) restituisce il seguente segnale:  0 , se n < 0 ; y(n) = 1 − an+1  , altrimenti . 1−a

Esso può essere espresso evidentemente come   1 − an+1 y(n) = u(n) , 1−a

ed è rappresentato graficamente in fig. 4.3(f) nel caso in cui 0 < a < 1. Si noti che, se |a| < 1, per n → +∞ si ha: +∞

lim y(n) =

n→+∞

1

∑ ak = 1 − a ,

k=0

dove si è utilizzato il noto risultato sulla convergenza della serie geometrica.

◭

L’esempio precedente evidenzia che l’interpretazione grafica è fondamentale per individuare correttamente gli estremi effettivi della sommatoria su k ∈ Z che compare nella (4.7). In particolare, l’esempio mostra chiaramente che, sebbene la somma in (4.7) vada effettuata in principio su infiniti valori di k, in pratica essa può ridursi ad una somma finita di valori per ogni n. Ovviamente esistono casi in cui il numero di termini della somma è infinito, per alcuni valori di n, oppure anche per tutti i valori di n; in tal caso il calcolo della convoluzione richiede la determinazione della somma di una serie, che in generale potrebbe non convergere. Le condizioni per l’esistenza e la convergenza della convoluzione tra due segnali TD sono discusse in app. C. Nel caso TC la convoluzione è definita mediante uno dei due integrali: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ .

(4.19)

Anche in questo caso, per effettuare correttamente il calcolo della convoluzione, un comodo aiuto è fornito dalla rappresentazione grafica dei segnali coinvolti. Facendo riferimento per convenienza alla seconda delle (4.19), la sequenza di operazioni che bisogna effettuare sui segnali è analoga a quella per il caso TD, vale a dire:

136

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

1

0.8

0.8

0.6

0.6 x(k)

h(k)

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−10

−5

0 k

5

10

−10

−5

1

1

0.8

0.8

0.6 0.4

0.4 0.2

0

0

−5

0 k

5

−10

10

−5

10

5 y(n) = h(n) ∗ x(n)

0.8

5

5

6

1

w (k)=x(5−k)

0 k

(d)

(c)

0.6 0.4 0.2

4 3 2 1

0 −10

10

0.6

0.2

−10

5

(b)

w−5(k)=x(−5−k)

z(k)=x(−k)

(a)

0 k

0 −5

0 k

(e)

5

10

−10

−5

0 n

5

10

(f)

Fig. 4.3. Calcolo della convoluzione tra h(n) = an u(n) (a = 0.8333) e x(n) = u(n) (es. 4.4): (a) rappresentazione di h(k); (b) rappresentazione di x(k); (c) riflessione del segnale x(k); (d) traslazione verso sinistra di z(k) (n = −5); (e) traslazione verso destra di z(k) (n = 5); (f) risultato della convoluzione.

4.3 Convoluzione

137

Algoritmo per il calcolo della convoluzione a TC: (1) Rappresentare h(τ ) e x(τ ) in funzione di τ ∈ R.

(2) Effettuare prima la riflessione del segnale x(τ ), costruendo il segnale z(τ ) = x(−τ ) e, successivamente, effettuare la traslazione del segnale z(τ ) verso destra se t > 0, e verso sinistra se t < 0, ottenendo così il segnale wt (τ ) = z(τ − t) = x[−(τ − t)] = x(t − τ ).

(3) Per ogni fissato valore di t ∈ R, il valore della convoluzione y(t) all’istante t si ottiene moltiplicando tra loro i segnali h(τ ) e wt (τ ) per tutti i valori di τ ∈ R, ed effettuando l’integrale del prodotto.

L’esempio che segue chiarisce meglio i passi da seguire per il calcolo della convoluzione a TC. ◮ Esempio 4.4 (calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari a TC) Consideriamo il segnale:   t − 0.5T1 x(t) = rect , T1 di durata ∆x = T1 , posto in ingresso al sistema LTI (cfr. es. 4.2) avente risposta impulsiva   t − 0.5T2 h(t) = rect , T2 di durata ∆h = T2 . Facciamo per comodità riferimento alla seconda delle (4.19), ed assumiamo T2 > T1 . Per prima cosa, rappresentiamo x(τ ) [fig. 4.4(a)] e h(τ ) [fig. 4.4(b)] in funzione di τ ∈ R; successivamente, effettuiamo la riflessione del segnale x(τ ) in modo da ottenere il segnale z(τ ) = x(−τ ) [fig. 4.4(c)]. Osserviamo poi che il prodotto tra h(τ ) e z(τ ) ha area nulla, in quanto le due finestre rettangolari si sovrappongono solo su un punto, per cui y(0) =

Z +∞ −∞

h(τ ) z(τ ) dτ = 0 .

Traslando il segnale z(τ ) verso sinistra [fig. 4.4(d)], ovvero costruendo il segnale wt (τ ) = z(τ − t) = x(t − τ ) per t < 0, le finestre non si sovrappongono affatto, per cui risulta y(t) ≡ 0 per t ≤ 0. Considerando invece valori positivi di t, notiamo che per t > 0 le due finestre h(τ ) e wt (τ ) iniziano a sovrapporsi [fig. 4.4(e)]: in particolare, per 0 < t < T1 le due finestre h(τ ) e wt (τ ) si sovrappongono sull’intervallo (0,t), per cui si ha: y(t) =

Z t

dτ = t ,

0

0 < t < T1 .

Per T1 ≤ t < T2 , invece, le due finestre h(τ ) e wt (τ ) si sovrappongono sull’intervallo (t − T1 ,t), per cui si ha: y(t) =

Z t

t−T1

dτ = T1 ,

T1 ≤ t < T2 .

Per T2 ≤ t < T2 + T1 , le due finestre h(τ ) e wt (τ ) si sovrappongono sull’intervallo (t − T1 , T2 ), per cui si ha: y(t) =

Z T2

t−T1

dτ = T2 + T1 − t,

T2 ≤ t < T2 + T1 .

Infine, per t ≥ T2 + T1 , le due finestre h(τ ) e wt (τ ) non si sovrappongono affatto, per cui si ha nuovamente y(t) ≡ 0. Riassumendo, l’espressione del segnale y(t) è la seguente:  0, t ≤ 0 oppure t ≥ T2 + T1 ;    t, per 0 < t < T1 ; y(t) = (4.20)  T , per T1 ≤ t < T2 ; 1    T2 + T1 − t, per T2 ≤ t < T2 + T1 .

138

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Il segnale y(t) è una finestra trapezoidale di durata rigorosamente limitata ∆y = T1 + T2 = ∆x + ∆h , ed è rappresentato graficamente in fig. 4.4(f). Si noti che se T1 > T2 si può procedere allo stesso modo, scambiando il ruolo dei due segnali, data la proprietà commutativa della convoluzione: l’espressione del segnale y(t) per T1 > T2 si può ottenere allora scambiando T1 con T2 nella (4.20). Nel caso particolare T1 = T2 = T , notiamo che l’intervallo di tempo (T1 , T2 ) in cui il segnale y(t) è costante si riduce ad un punto, per cui si ottiene una finestra triangolare (traslata) di durata ∆y = 2T :   t < 0 oppure t ≥ 2T ; 0, y(t) = t, per 0 < t < T ;   2T − t, per T ≤ t < 2T ; tale finestra si può esprimere in funzione della finestra triangolare elementare come   t −T y(t) = T Λ , T

ed è rappresentata in fig. 4.5.

◭

Quest’ultimo esempio mostra una proprietà generale della convoluzione tra segnali TC aventi durata rigorosamente limitata; in particolare, se uno dei segnali ha durata ∆1 e l’altro ha durata ∆2 , la convoluzione dei due sarà di durata pari (al più) a ∆1 + ∆2 . Tale proprietà può essere estesa con qualche modifica anche al caso di segnali TD, e prende il nome di proprietà di durata della convoluzione (cfr. § 4.3.1). In conclusione, notiamo che, similmente alla somma di convoluzione, l’integrale di convoluzione può non esistere finito. Le condizioni per l’esistenza e la convergenza della convoluzione tra due segnali TC sono discusse in app. C. 4.3.1 Proprietà della convoluzione

La principale differenza tra la convoluzione a TD (4.7) e quella a TC (4.12) è che la prima è definita mediante una sommatoria, mentre la seconda è definita mediante un integrale; tuttavia gli esempi del paragrafo precedente mostrano che le operazioni da effettuare sui segnali (riflessione, traslazione, prodotto, calcolo dell’area) sono molto simili nei due casi. Per questo motivo, nello studio delle proprietà della convoluzione, è conveniente (per quanto possibile) seguire una trattazione unificata per i casi TD e TC. A tale scopo, si introduce il simbolo ∗ per denotare indifferentemente la convoluzione nel caso TC e TD; pertanto, nel seguito, la convoluzione tra i segnali x(·) ed h(·) sarà indicata come y(·) = x(·) ∗ h(·) . Il simbolo utilizzato ricorda il prodotto: tale scelta non è casuale, in quanto si può verificare che la convoluzione possiede, oltre a proprietà specifiche, tutte le proprietà algebriche del prodotto convenzionale, come discusso di seguito. Per questo motivo, la convoluzione viene chiamata anche prodotto di convoluzione. Proprietà commutativa

Abbiamo già osservato che la convoluzione tra due segnali gode della proprietà commutativa: x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·) . Come mostrato in fig. 4.6, l’interpretazione di questa proprietà con riferimento ai sistemi LTI è che nel calcolo dell’uscita di un sistema si può scambiare il segnale di ingresso con la risposta impulsiva, cioè i due schemi in fig. 4.6 sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). In altri termini, un sistema LTI con risposta impulsiva h(·) sollecitato dall’ingresso x(·) presenta la stessa uscita di un sistema LTI con risposta impulsiva x(·) sollecitato dall’ingresso h(·). Ovviamente questo scambio, se è possibile dal punto di vista matematico, non ha nessun senso dal punto di vista sistemistico.

4.3 Convoluzione

139

1

x(τ)

h(τ)

1

T

0

T

0

1

τ

(a)

(b)

t

z(τ)=x(−τ)

w (τ)=x(t−τ)

τ

2

−T

t−T1

0

1

t

0

τ

τ

(c)

(d)

T

wt(τ)=x(t−τ)

y(t) = h(t) ∗ x(t)

1

0

t−T1

0

t

T

1

τ

t

(e)

(f)

T

2

T +T 1

2

Fig. 4.4. Calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari TC x(t) e h(t) di durata T1 e T2 (es. 4.4): (a) rappresentazione di x(τ ); (b) rappresentazione di h(τ ); (c) riflessione del segnale x(τ ); (d) traslazione verso sinistra di z(τ ) (t < 0); (e) traslazione verso destra di z(τ ) (t > 0); (f) risultato y(t) della convoluzione.

140

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

T y(t) = h(t) ∗ x(t)

x(.)

h(.)

y a(.)

(a)

h(.) 0

T

x(.)

y b(.)

2T

(b)

t

Fig. 4.5. Risultato della convoluzione tra due finestre rettangolari TC di uguale durata T . Il
segnale y(t) si può esprimere come y(t) = T Λ t−T T .

Fig. 4.6. In virtù della proprietà commutativa della convoluzione, i due sistemi LTI in figura sono equivalenti.

Proprietà associativa

Con semplici passaggi si dimostra che la convoluzione gode anche della proprietà associativa: x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·) . Va osservato che la proprietà associativa vale nell’ipotesi che abbiano senso tutte le convoluzioni in gioco. In tale ipotesi, la proprietà associativa ci consente di evidenziare alcune interessanti proprietà dei sistemi LTI. A tal fine, osserviamo innanzitutto che, come mostrato in fig. 4.7(a), l’espressione ya (·) = x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] si può interpretare come l’uscita di un unico sistema LTI avente risposta impulsiva h1 (·) ∗ h2 (·). Inoltre, come evidenziato in fig. 4.7(b), notiamo che calcolare l’espressione yb (·) = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·) seguendo l’ordine indicato dalle parentesi equivale a calcolare prima l’uscita del sistema avente risposta impulsiva h1 (·), e successivamente considerare il risultato ottenuto come l’ingresso del sistema avente risposta impulsiva h2 (·) per calcolare yb (·): in altri termini, yb (·) si può interpretare come l’uscita della serie o cascata dei due sistemi aventi risposte impulsive h1 (·) e h2 (·). In base a queste due interpretazioni, la proprietà associativa della convoluzione consente di affermare che la serie di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta impulsiva hser (·) = h1 (·) ∗ h2 (·), cioè i due schemi in fig. 4.7(a) e fig. 4.7(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). Per la proprietà commutativa, notiamo anche che hser (·) = h1 (·) ∗ h2 (·) = h2 (·) ∗ h1 (·), per cui il sistema LTI in fig. 4.7(a) è equivalente al sistema LTI riportato in fig. 4.7(c), cioè ya (·) ≡ yc (·). A sua volta, per la proprietà associativa, il sistema LTI in fig. 4.7(c) è equivalente allo schema serie riportato in fig. 4.7(d), ossia yc (·) ≡ yd (·). Conseguentemente, i due schemi riportati in fig. 4.7(b) e fig. 4.7(d) sono equivalenti, nel senso che yb (·) ≡ yd (·). In altre parole, il comportamento della serie di due sistemi LTI è indipendente dall’ordine di connessione: questa è una caratteristica molto importante dei sistemi LTI, in generale non posseduta da altre categorie di sistemi (tale proprietà si può generalizzare alla serie di più di due sistemi LTI). Proprietà distributiva

È semplice provare che la convoluzione gode della proprietà distributiva rispetto alla somma: x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] = x(·) ∗ h1 (·) + x(·) ∗ h2 (·) .

4.3 Convoluzione

141

y a(.)

h1(.)∗h2(.)

x(.)

(a)

x(.)

h1(.)

h1(.)

h2(.)

h2(.)

y b(.)

y c (.)

h2(.)∗h1(.)

h2(.)

y 2(.)

(a)

(c)

x(.)

y a(.)

x(.)

(b)

x(.)

y 1(.)

x(.)

h1(.)+h 2(.)

y b(.)

(b)

h1(.)

y d(.)

Fig. 4.8. In virtù della proprietà distributiva della convoluzione, i due schemi in figura sono equivalenti.

(d)

Fig. 4.7. In virtù della proprietà commutativa e associativa della convoluzione, i quattro schemi in figura sono equivalenti.

Anche qui per la validità della relazione devono avere senso tutte le convoluzioni in gioco. Similmente alla proprietà associativa, anche la proprietà distributiva consente di evidenziare una interessante proprietà dei sistemi LTI. A tale scopo, come mostrato in fig. 4.8(a), notiamo che l’espressione ya (·) = x(·)∗h1 (·)+x(·)∗h2 (·) rappresenta l’uscita del parallelo dei due sistemi aventi risposte impulsive h1 (·) e h2 (·). D’altra parte, come mostrato in fig. 4.8(b), l’espressione yb (·) = x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] si può interpretare come l’uscita di un unico sistema LTI avente risposta impulsiva h1 (·) + h2 (·). In base a queste due interpretazioni, la proprietà distributiva della convoluzione consente di affermare che il parallelo2 di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta impulsiva hpar (·) = h1 (·) + h2 (·), cioè i due schemi in fig. 4.8(a) e fig. 4.8(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). Proprietà di esistenza dell’unità

Si può facilmente provare, utilizzando la definizione di convoluzione e la proprietà di campionamento della δ (·), valida formalmente sia nel caso TC sia in quello TD, che effettuare la convoluzione di un segnale x(·) con δ (·) non ha nessun effetto sul segnale: in altri termini, vale la relazione: x(·) = δ (·) ∗ x(·) = x(·) ∗ δ (·) ,

(4.21)

2 Con riferimento alle interconnessioni elementari tra sistemi introdotte nel capitolo precedente, resta non esplorata per il

momento la connessione in retroazione tra sistemi LTI; in effetti, tale connessione non può essere studiata elementarmente nel dominio del tempo, mentre vedremo che lo studio è assai più agevole ragionando nel dominio della frequenza.

142

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

δ(.)

x(.)

x(.)

x(n)

z - n2

x(n-n2)

h(n-n1)

y a(n)

(a)

y(n)

Fig. 4.9. In un sistema identico, il segnale di uscita coincide con il segnale di ingresso: si tratta di un sistema LTI avente risposta impulsiva h(·) = δ (·).

x(n)

h(n)

-(n1+n2) z

y b(n)

(b)

Fig. 4.10. In virtù della proprietà di invarianza temporale (4.25) della convoluzione, i due schemi in figura sono equivalenti.

dove l’uguaglianza tra le due espressioni deriva ovviamente dalla proprietà commutativa della convoluzione. Dal punto di vista matematico, abbiamo già osservato che la convoluzione possiede proprietà formali analoghe a quelle del prodotto algebrico: per questo motivo, la (4.21) ammette l’interpretazione secondo la quale la δ (·) è l’elemento unitario per la convoluzione, ovvero gioca un ruolo analogo a quello dell’unità nel prodotto (moltiplicare un numero per 1 non altera il numero stesso).3 Dal punto di vista dell’interpretazione sistemistica, notiamo che la (4.21) rappresenta la relazione i-u di un sistema LTI per il quale l’uscita è sempre coincidente con l’ingresso. Tale sistema prende il nome di sistema identico, e per la (4.21) è caratterizzato dalla risposta impulsiva h(·) = δ (·) (fig. 4.9). Proprietà di invarianza temporale

Ricordiamo la formulazione i-u della proprietà di invarianza temporale (prop. 3.2), secondo la quale, per sistemi a TC e a TD, per ogni x(·) ∈ I e y(·) ∈ U, si ha, rispettivamente, x(t − t0 ) −→ y(t − t0 ) ,

x(n − n0 ) −→ y(n − n0 ) ,

∀t0 ∈ R ,

∀n0 ∈ Z .

Nel caso di un sistema LTI, esprimendo la relazione i-u del sistema mediante una convoluzione, le relazioni precedenti si scrivono esplicitamente come x(t − t0 ) ∗ h(t) = y(t − t0 ) ,

x(n − n0 ) ∗ h(n) = y(n − n0 ) ,

∀t0 ∈ R ,

∀n0 ∈ Z ,

(4.22) (4.23)

che vanno sotto il nome di proprietà di invarianza temporale della convoluzione. Le (4.22) e (4.23) dovrebbero indurre il lettore a prestare molta attenzione al significato formale della notazione sintetica y(·) = x(·) ∗ h(·); infatti, se per calcolare y(t − t0 ), ad esempio, si procedesse con una semplice sostituzione formale t − t0 → t nell’espressione y(t) = x(t) ∗ h(t), si giungerebbe, invece che alla (4.22), al risultato scorretto y(t − t0 ) = x(t − t0 ) ∗ h(t − t0 ). Per giustificare invece la correttezza della (4.22) [un discorso analogo vale per la (4.23)] è sufficiente partire dalla definizione di convoluzione a TC: y(t) = 3 Si

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ ,

noti inoltre che, esplicitando la convoluzione (4.21), è possibile riottenere la (4.4) nel caso TD e la (4.11) nel caso TC, rispettivamente.

4.3 Convoluzione

143

ed effettuare in quest’ultima la sostituzione formale t − t0 → t, scrivendo y(t − t0 ) =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − t0 − τ ) dτ = h(t) ∗ x(t − t0 ) .

Notiamo che per la proprietà commutativa della convoluzione, si può anche scrivere: h(t − t0 ) ∗ x(t) = y(t − t0 ) ,

h(n − n0 ) ∗ x(n) = y(n − n0 ) ,

∀t0 ∈ R ,

(4.24)

∀n0 ∈ Z ,

(4.25)

secondo le quali una traslazione di t0 o n0 del segnale di uscita si può ottenere equivalentemente traslando della stessa quantità il segnale di ingresso oppure la risposta impulsiva. Le (4.22)–(4.25) possono essere applicate anche contemporaneamente, con ritardi diversi, ed in questo caso evidentemente gli effetti delle traslazioni temporali si sommano: h(t − t1 ) ∗ x(t − t2 ) = y[t − (t1 + t2 )] ,

h(n − n1 ) ∗ x(n − n2 ) = y[n − (n1 + n2 )] ,

∀t1 ,t2 ∈ R ,

∀n1 , n2 ∈ Z .

(4.26) (4.27)

Notiamo che le (4.26) e (4.27) rappresentano una forma più generale della proprietà di invarianza temporale, in quanto includono come casi particolari le (4.22)–(4.25). Tali relazioni hanno una chiara interpretazione sistemistica che è riportata in fig. 4.10 con riferimento al caso TD: l’uscita del sistema LTI avente risposta impulsiva h(n − n1 ), quando al suo ingresso è posto il segnale x(n − n2 ), si può ottenere, equivalentemente, applicando prima il segnale x(n) in ingresso al sistema LTI avente risposta impulsiva h(n) e, poi, traslando nel tempo il segnale ottenuto di n1 + n2 . In altre parole, i due schemi in fig. 4.10(a) e fig. 4.10(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·).

◮ Esempio 4.5 (convoluzione tra due finestre rettangolari a TC, caso simmetrico) Nell’es. 4.4 abbiamo ricavato (nel caso T1 = T2 = T ) la seguente relazione notevole, che lega finestre rettangolari e triangolari mediante la convoluzione:       t − 0.5T t − 0.5T t −T rect ∗ rect = TΛ . T T T Se si vuole ricavare la convoluzione tra due finestre rettangolari elementari (di durata unitaria) centrate nell’origine, basta prima particolarizzare la relazione precedente al caso T = 1: rect(t − 0.5) ∗ rect(t − 0.5) = Λ(t − 1) ,

e successivamente applicare la proprietà di invarianza temporale nella forma generalizzata (4.26). Posto h(t) = x(t) = rect(t − 0.5) si avrà evidentemente che rect(t) = h(t + 0.5) = x(t + 0.5), per cui per ottenere il risultato corretto della convoluzione rect(t) ∗ rect(t) basterà applicare un anticipo di 0.5 + 0.5 = 1 a Λ(t − 1), il che ovviamente restituisce Λ(t). Si ha allora, in definitiva, la seguente relazione notevole: rect(t) ∗ rect(t) = Λ(t) ,

(4.28) ◭

che troverà applicazione nel seguito. Proprietà di convoluzione con l’impulso

Applicando le proprietà (4.22)–(4.25) alla (4.21), possiamo ottenere una interessante generalizzazione della proprietà di esistenza dell’unità: x(t − t0 ) = x(t) ∗ δ (t − t0 ) = δ (t − t0 ) ∗ x(t) ,

∀t0 ∈ R ,

x(n − n0 ) = x(n) ∗ δ (n − n0 ) = δ (n − n0 ) ∗ x(n) ,

∀n0 ∈ Z .

(4.29) (4.30)

144

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Queste relazioni mostrano che la convoluzione di un segnale con un impulso centrato in t0 oppure n0 equivale ad una traslazione temporale della stessa quantità del segnale. Questo risultato conferma che, nel caso TC, il sistema y(t) = x(t − t0 ), che effettua la traslazione temporale di un segnale, è un sistema LTI avente risposta impulsiva h(t) = δ (t − t0 ); una interpretazione equivalente vale nel caso TD, dove la risposta impulsiva di un sistema che effettua la traslazione temporale è h(n) = δ (n − n0 ). Proprietà di durata della convoluzione

Con riferimento alle due finestre rettangolari, dall’es. 4.4 si ricava che la convoluzione di due segnali TC di durata rigorosamente limitata è ancora un segnale di durata rigorosamente limitata. Questo risultato è valido in generale. Infatti, supponiamo che il segnale x(t) abbia estensione temporale limitata Dx = (t1 ,t2 ), con t2 > t1 ; la misura dell’intervallo Dx definisce la durata del segnale x(t), che in questo caso è data da ∆x = t2 − t1 . Similmente, supponiamo che anche la risposta impulsiva del sistema abbia estensione temporale limitata Dh = (t3 ,t4 ), con t4 > t3 ; la misura dell’intervallo Dh definisce la durata della risposta impulsiva h(t), che in questo caso è data da ∆h = t4 − t3 . Con riferimento all’algoritmo di calcolo della convoluzione a TC, a seguito della riflessione, l’estensione temporale del segnale z(τ ) = x(−τ ) sarà data dall’intervallo Dz = (−t2 , −t1 ) e, come conseguenza della traslazione temporale di t, l’estensione temporale del segnale wt (τ ) = z(τ − t) sarà Dwt = (t − t2 ,t − t1 ). Questo significa che il prodotto h(τ ) wt (τ ) sarà identicamente nullo per ogni τ ∈ R non appartenente all’intersezione Dh ∩ Dwt dei due intervalli Dh ed Dwt . Pertanto, l’integrale di convoluzione tra x(t) e h(t) si riduce al seguente integrale: y(t) =

Z

Dh ∩Dwt

h(τ ) wt (τ )dτ ,

in cui la variabile di integrazione τ varia nell’intervallo Dh ∩ Dwt . A questo punto il risultato di tale integrale è nullo per tutti i valori di t ∈ R per i quali l’intersezione tra i due intervalli Dh ed Dwt è vuota, cioè Dh ∩ Dwt = ∅. Ricordando che Dh = (t3 ,t4 ) e Dwt = (t −t2 ,t −t1 ), ciò accade sicuramente in due casi: quando t − t1 < t3 , ovvero t < t1 + t3 , oppure quando t − t2 > t4 , ovvero t > t2 + t4 . In definitiva, risulta che y(t) ≡ 0,

∀t 6∈ (t1 + t3 ,t2 + t4 ) ,

(4.31)

per cui Dy ⊆ (t1 + t3 ,t2 + t4 ), e quindi y(t) ha durata rigorosamente limitata. Inoltre, la sua durata è pari alla misura di Dy , per la quale vale la disuguaglianza ∆y ≤ (t2 + t4 ) − (t1 + t3 ) = (t2 − t1 ) + (t4 − t3 ) = ∆x + ∆h . In altre parole, se i due segnali x(t) e h(t) hanno estensioni temporali limitate, ovvero durate finite ∆x ∈ R+ e ∆h ∈ R+ , rispettivamente, allora la loro convoluzione y(t) è ancora un segnale avente estensione limitata, la cui durata ∆y è al più4 pari alla somma delle durate dei due segnali sottoposti alla convoluzione, cioè ∆y ≤ ∆x +∆h . È interessante osservare dalla (4.31) che, se il segnale di ingresso x(t) e la risposta impulsiva del sistema h(t) si annullano identicamente per t < 0, ossia, t1 = t3 = 0, allora anche il segnale di uscita è identicamente nullo per t < 0. Si osservi inoltre che la (4.31) è valida anche quando il segnale di ingresso (o la risposta impulsiva) ha estensione non limitata. Ad esempio, se l’estensione del segnale di ingresso è non limitata superiormente, cioè, t2 = +∞, dalla (4.31) segue che l’estensione del segnale di uscita risulterà anch’essa non limitata superiormente. 4 Il

segnale y(t) potrebbe annullarsi identicamente anche in un sottoinsieme dell’intervallo (t1 + t3 ,t2 + t4 ) (si noti che questo non è il caso dell’es. 4.4); per cui, possiamo dire in generale che ∆x + ∆h è la massima durata del segnale y(t).

4.3 Convoluzione

145

Si può dimostrare che una proprietà analoga vale per il caso TD: se i due segnali x(n) e h(n) hanno estensioni temporali limitate, ovvero durate finite ∆x ∈ N e ∆h ∈ N, rispettivamente, allora la loro convoluzione y(n) è ancora un segnale avente estensione limitata, la cui durata ∆y è al più pari a ∆x + ∆h − 1, cioè ∆y ≤ ∆x + ∆h − 1 (si noti la piccola differenza tra il caso TC ed il caso TD, legata alla sottrazione di 1). Questa proprietà è meglio evidenziata dal seguente esempio. ◮ Esempio 4.6 (calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari a TD) Consideriamo il segnale x(n) = RN1 (n) , di durata ∆x = N1 , in ingresso al sistema di risposta impulsiva h(n) = RN2 (n) , avente durata ∆h = N2 , ed assumiamo che N2 ≥ N1 . Per prima cosa, rappresentiamo x(k) [fig. 4.11(a)] e h(k) [fig. 4.11(b)] in funzione di k ∈ Z; successivamente, effettuiamo la riflessione del segnale x(k) in modo da ottenere il segnale z(k) = x(−k) [fig. 4.11(c)]. Se non effettuiamo nessuna traslazione su z(k), possiamo ottenere direttamente il risultato della convoluzione per n = 0, effettuando i prodotti dei campioni corrispondenti di h(k) e z(k) e sommando i risultati; in particolare, si vede che solo i campioni per k = 0 danno contributo in questo caso, ed il risultato vale: +∞

y(0) =

∑

h(k) z(k) = h(0) z(0) = 1 .

k=−∞

Per calcolare gli altri valori della convoluzione, dobbiamo costruire il segnale wn (k) = z(k − n), che si ottiene da z(k) mediante traslazione di n campioni. In particolare, si vede che per n < 0 [traslazione verso sinistra, si veda la fig. 4.11(d)], il segnale wn (k) non si sovrappone con h(k), per cui il risultato della convoluzione è nullo. Viceversa, per taluni valori di n > 0 [traslazione verso destra, si veda la fig. 4.11(e)], si nota che si ha sovrapposizione tra h(k) e wn (k) su un numero finito di campioni. In particolare, per 0 ≤ n < N1 − 1 le due finestre h(k) e wn (k) si sovrappongono per k ∈ {0, 1, . . . , n}, per cui si ha: n

y(n) =

∑ 1 = n+1,

k=0

0 ≤ n < N1 − 1 .

Per N1 − 1 ≤ n < N2 − 1, invece, le due finestre h(k) e wn (k) si sovrappongono per k ∈ {n − N1 + 1, n − N1 + 2, . . . , n} , per cui si ha: n

y(n) =

∑

1 = N1 ,

k=n−N1 +1

N1 − 1 ≤ n < N2 − 1 .

Per N2 − 1 ≤ n ≤ N2 + N1 − 2, le due finestre h(k) e wn (k) si sovrappongono per k ∈ {n − N1 + 1, n − N1 + 2, . . . , N2 − 1} per cui si ha: y(n) =

N2 −1

∑

k=n−N1 +1

1 = N2 + N1 − n − 1,

N2 − 1 ≤ n ≤ N2 + N1 − 2 .

Infine, per n > N2 + N1 − 2, le due finestre h(k) e wn (k) non si sovrappongono, per cui si ha y(n) ≡ 0. Riassumendo, l’espressione del segnale y(n) è la seguente:  0,    n + 1, y(n) =  N1 ,    N2 + N1 − n − 1,

n < 0 oppure n > N2 + N1 − 2 ; per 0 ≤ n < N1 − 1 ; per N1 − 1 ≤ n < N2 − 1 ; per N2 − 1 ≤ n ≤ N2 + N1 − 2 .

(4.32)

146

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Il segnale y(n) è una finestra trapezoidale di durata ∆y = N1 + N2 − 1 = ∆x + ∆h − 1, ed è rappresentato graficamente in fig. 4.11(f). Nel caso particolare N1 = N2 = N, notiamo che l’intervallo di valori in cui il segnale y(n) è costante si riduce ad un punto, per cui si ottiene una finestra triangolare [fig. 4.12]:   n < 0 oppure n > 2N − 2 ; 0, y(n) = n + 1, per 0 ≤ n < N − 1 ;   2N − n − 1, per N − 1 ≤ n ≤ 2N − 2 ;

la cui durata è pari ad ∆y = 2N − 1. Tale finestra si può esprimere in funzione della finestra triangolare elementare a TD o finestra di Bartlett (la verifica è lasciata al lettore) introducendo un anticipo di un campione: y(n) = NB2N (n + 1) . Si ha allora la seguente relazione notevole tra finestre elementari a TD (rettangolari e triangolari), controparte a TD della (4.28): RN (n) ∗ RN (n) = NB2N (n + 1) . Anche questa relazione, come la (4.28), troverà applicazione nel seguito.

(4.33) ◭

4.3 Convoluzione

147

1

0.8

0.8

0.6

0.6

x(k)

h(k)

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−10

−5

0 k

5

10

−10

−5

1

1

0.8

0.8

0.6 0.4

0

0

0 k

5

−10

10

−5

1

10

4

y(n) = h(n) ∗ x(n)

0.8

2

0 k

(d)

(c)

w (k)=x(2−k)

5

0.4 0.2

−5

10

0.6

0.2

−10

5

(b)

w−2(k)=x(−2−k)

z(k)=x(−k)

(a)

0 k

0.6 0.4

3

2

1

0.2 0

0 −10

−5

0 k

(e)

5

10

−10

−5

0 n

5

10

(f)

Fig. 4.11. Calcolo della convoluzione tra due finestre rettangolari TD di durata N1 = 4 ed N2 = 6 (es. 4.6): (a) rappresentazione di h(k); (b) rappresentazione di x(k); (c) riflessione del segnale x(k); (d) traslazione verso sinistra di z(k) (n = −2); (e) traslazione verso destra di z(k) (n = 2); (f) risultato della convoluzione.

148

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Riepilogo delle proprietà della convoluzione

Per comodità del lettore, le proprietà della convoluzione precedentemente introdotte e discusse sono sinteticamente riassunte di seguito: Proprietà 4.2 (proprietà della convoluzione) (a) Proprietà commutativa: x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·) . (b) Proprietà associativa: x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·) . (c) Proprietà distributiva: x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] = x(·) ∗ h1 (·) + x(·) ∗ h2 (·) . (d) Proprietà di esistenza dell’unità: x(·) = x(·) ∗ δ (·) = δ (·) ∗ x(·) . (e) Proprietà di invarianza temporale: ( h(t − t1 ) ∗ x(t − t2 ) = y[t − (t1 + t2 )] , ∀t1 ∈ R, ∀t2 ∈ R ; h(·) ∗ x(·) = y(·) =⇒ h(n − n1 ) ∗ x(n − n2 ) = y[n − (n1 + n2 )] , ∀n1 ∈ Z, ∀n2 ∈ Z . (f) Proprietà di convoluzione con l’impulso: x(t − t0 ) = x(t) ∗ δ (t − t0 ) = δ (t − t0 ) ∗ x(t) ,

∀t0 ∈ R ;

x(n − n0 ) = x(n) ∗ δ (n − n0 ) = δ (n − n0 ) ∗ x(n) ,

∀n0 ∈ Z .

(g) Proprietà di durata della convoluzione: Siano x(t) e h(t) di durata rigorosamente limitata, con durate ∆x , ∆h ∈ R+ =⇒ y(t) = x(t) ∗ h(t) è di durata rigorosamente limitata, con durata ∆y ≤ ∆x + ∆h . Siano x(n) e h(n) di durata rigorosamente limitata, con durate ∆x , ∆h ∈ N =⇒ y(n) = x(n) ∗ h(n) è di durata rigorosamente limitata, con durata ∆y ≤ ∆x + ∆h − 1.

4.4 Risposta al gradino L’impulso di Dirac è un segnale ideale, non realizzabile in pratica, per cui è impossibile determinare sperimentalmente la risposta impulsiva di un sistema TC, come suggerito dalla definizione, applicando un impulso al suo ingresso. D’altra parte, anche il gradino è un segnale ideale, in quanto presenta una discontinuità brusca; tuttavia in laboratorio è più semplice da approssimare mediante un segnale

4.4 Risposta al gradino

149

y(n) = h(n) ∗ x(n)

4

3

2

1

0 −10

−5

0 n

5

10

Fig. 4.12. Risultato della convoluzione tra due finestre rettangolari TD di durata N = 4. Il segnale y(n) si può esprimere come y(n) = 4B8 (n + 1).

con un tempo di salita molto stretto, come ad esempio il segnale uε (t) di fig. 2.11(a). Questa considerazione spinge ad introdurre la risposta al gradino o risposta indiciale di un sistema LTI (TC oppure TD), definita come l’uscita s(·) del sistema LTI corrispondente ad un gradino u(·) in ingresso. Nel caso TD, in particolare, sfruttando la relazione i-u (4.7) di un sistema TD LTI, la risposta al gradino si può scrivere esplicitamente come: +∞

s(n) = h(n) ∗ u(n) =

∑

k=−∞

n

h(k) u(n − k) =

∑

h(k) ,

(4.34)

k=−∞

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n − k) ≡ 0 per n − k < 0 e quindi per n < k. Un’interpretazione alternativa della precedente relazione si basa sulla proprietà commutativa della convoluzione, secondo la quale s(n) si può interpretare come l’uscita di un sistema accumulatore (cfr. es. 3.2) avente risposta impulsiva u(n) sollecitato in ingresso da h(n). In altri termini, per ottenere la risposta al gradino a partire dalla risposta impulsiva, è sufficiente far passare quest’ultima in un sistema accumulatore. Notando che la (4.34) si può anche scrivere in forma ricorsiva come s(n) = s(n − 1) + h(n) , allora si ha: △

h(n) = s(n) − s(n − 1) = ∇1 [s(n)] ,

(4.35)

e quindi la risposta impulsiva si può ottenere effettuando la differenza prima della risposta al gradino. In definitiva, le relazioni (4.34) e (4.35) mostrano che risposta impulsiva e risposta al gradino sono legate da una relazione biunivoca: per questo motivo, non solo la risposta impulsiva, ma anche la risposta al gradino caratterizza completamente un sistema LTI, ovvero è anch’essa una risposta canonica. In particolare, la risposta al gradino consente di calcolare immediatamente la risposta rN (n) del sistema ad una finestra rettangolare di durata N. Infatti, basta ricordare che una finestra rettangolare si può esprimere mediante differenza di due gradini: RN (n) = u(n) − u(n − N) ,

150

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

da cui sfruttando le proprietà di linearità e di invarianza temporale del sistema, si ottiene: △

rN (n) = S[RN (n)] = s(n) − s(n − N) , ossia la risposta di un sistema LTI alla finestra rettangolare RN (n) si ottiene semplicemente calcolando la differenza tra la risposta al gradino e la sua versione ritardata nel tempo di N. Nel caso TC valgono considerazioni analoghe. Infatti la risposta al gradino s(t), utilizzando la (4.12), si può scrivere esplicitamente come s(t) = h(t) ∗ u(t) =

Z +∞ −∞

h(τ ) u(t − τ ) dτ =

Z t

−∞

h(τ ) dτ ,

(4.36)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t − τ ) ≡ 0 per t − τ < 0 e quindi per t < τ . Dalla (4.36), derivando ambo i membri ed applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, si ottiene h(t) =

d s(t) dt

(4.37)

Le (4.36) ed (4.37) legano biunivocamente risposta al gradino e risposta impulsiva nel caso TC, e mostrano che anche nel caso TC la risposta al gradino è una risposta canonica, in quanto caratterizza completamente il sistema. In particolare, mediante la risposta al gradino è semplice calcolare la risposta rT (t) alla finestra rettangolare centrata nell’origine di durata T , in quanto quest’ultima si può esprimere come t  rect = u(t + T /2) − u(t − T /2) . T Pertanto, adoperando le proprietà di linearità e di invarianza temporale del sistema, si ha h  t i △ = s(t + T /2) − s(t − T /2) . rT (t) = S rect T

Nel caso TC, la risposta alla finestra rettangolare consente di ricavare approssimativamente per via sperimentale la risposta impulsiva di un sistema LTI. Infatti, come già detto in precedenza, il calcolo sperimentale della risposta impulsiva richiede la realizzazione in laboratorio di un impulso di Dirac da applicare in ingresso al sistema: l’impulso di Dirac è un segnale non riproducibile esattamente in pratica, trattandosi di una pura astrazione matematica (cfr. § 2.1.4). Tuttavia, abbiamo visto [si veda la (2.6) in particolare] che l’impulso di Dirac si può ottenere come il limite (nel senso delle distribuzioni) per ε → 0 della successione di segnali (ordinari) δε (t), raffigurati in fig. 2.11(b), aventi area unitaria. Ciò suggerisce che una buona approssimazione della risposta impulsiva di un sistema TC LTI si può ottenere osservando la sua uscita hε (t) quando in ingresso è posto il segnale  t  1 δε (t) = rect , 2ε 2ε con ε sufficientemente piccolo. Per la linearità del sistema, tale uscita è data da: △

hε (t) = S[δε (t)] =

1 1 r2ε (t) = [s(t + ε ) − s(t − ε )] . 2ε 2ε

(4.38)

Se ε è sufficientemente piccolo5 il segnale hε (t) rappresenta una buona approssimazione della risposta impulsiva del sistema, cioè hε (t) ≈ h(t) (notiamo che per ε → 0 il secondo membro della (4.38) tende 5 Non esiste una regola generale per stabilire quanto ε

debba essere piccolo affinchè hε (t) sia una buona approssimazione di h(t); un valore appropriato di ε dipende dalla struttura interna del sistema e, dunque, varia da sistema a sistema.

4.4 Risposta al gradino

151

alla derivata della risposta al gradino, che per la (4.37) è esattamente la risposta impulsiva, per cui l’approssimazione vista corrisponde a confondere la derivata con il rapporto incrementale). I legami tra risposta impulsiva e risposta al gradino nel caso TC e TD sono schematicamente riassunti di seguito: Proprietà 4.3 (legami tra risposta al gradino e risposta impulsiva) (a) Nel caso TC, la risposta al gradino s(t) e la risposta impulsiva h(t) di un sistema LTI sono legate dalla relazione biunivoca: s(t) =

Z t

−∞

h(τ ) dτ

←→

h(t) =

d s(t) . dt

(b) Nel caso TD, la risposta al gradino s(n) e la risposta impulsiva h(n) di un sistema LTI sono legate dalla relazione biunivoca: n

s(n) =

∑

h(k)

←→

h(n) = ∇1 [s(n)] = s(n) − s(n − 1) .

k=−∞

Di seguito sono riportati alcuni esempi di calcolo della risposta impulsiva e della risposta al gradino sia nel caso di sistemi TC che nel caso di sistemi TD. ◮ Esempio 4.7 (risposta impulsiva e risposta al gradino di un integratore) Si consideri l’integratore avente memoria infinita (cfr. es. 3.1), descritto dalla relazione i-u: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du .

(4.39)

Abbiamo già mostrato che tale sistema è TI (cfr. es. 3.18) e si può facilmente verificare che tale sistema è anche lineare, per cui l’integratore (4.39) è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.39) si può scrivere come una convoluzione: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du =

Z +∞ −∞

x(τ ) u(t − τ ) dτ ,

(4.40)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t − τ ) ≡ 0 per t − τ < 0 e quindi per τ > t. Confrontando la (4.40) con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è: h(t) = u(t) , ossia la risposta impulsiva del sistema integratore è proprio il gradino unitario [fig. 4.13(a)]. Conseguentemente, in virtù della (4.36), la risposta al gradino del sistema integratore è data dal seguente integrale: s(t) =

Z t

−∞

u(τ ) dτ ,

il cui valore è (cfr. es. 3.24): s(t) = t u(t) , si tratta cioè di una rampa, identicamente nulla per t < 0, che cresce linearmente per t > 0 [fig. 4.13(b)]. Utilizzando la (4.38), in fig. 4.13(c) è riportata la risposta hε (t) del sistema alla finestra rettangolare δε (t). Si può notare che, per ε → 0, il segnale hε (t) tende proprio alla risposta impulsiva del sistema. In pratica, possiamo dire che, se ε ≪ 1, il segnale in fig. 4.13(c) rappresenta una buona approssimazione della risposta impulsiva del sistema. ◭

152

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

3

1

h(t)

s(t)

2

1

0 −1

t

0

1 t

(a)

2

3

(b)

ε

h (t)

1

0 ε

−ε −1

0

1 t

2

3

(c) Fig. 4.13. Integratore con memoria infinita (es. 4.7): (a)
risposta impulsiva; (b) risposta al gradino; (c) la risposta hε (t) alla finestra rettangolare δε (t) = 21ε rect 2tε è una buona approssimazione della risposta impulsiva per ε ≪ 1. ◮ Esempio 4.8 (risposta impulsiva e risposta dell’integratore TD o accumulatore) Si consideri l’integratore TD o accumulatore (cfr. es. 3.2), avente relazione i-u: n

y(n) =

∑

x(k) .

(4.41)

k=−∞

Si può facilmente verificare che l’integratore TD è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.41) si può scrivere come una convoluzione: +∞

n

y(n) =

∑

x(k) =

k=−∞

∑

k=−∞

x(k) u(n − k) ,

(4.42)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n − k) ≡ 0 per n − k < 0 ovvero per k > n. Confrontando la (4.42) con la (4.7), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è: h(n) = u(n) ,

4.4 Risposta al gradino

153

10 1

8

0.8

s(n)

h(n)

6 0.6

4

0.4

2

0.2

0

0 −4

−2

0

2

4

6

8

n

(a)

−4

−2

0

2

4

6

8

n

(b)

Fig. 4.14. Integratore a TD o accumulatore (es. 4.8): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino. ossia la risposta impulsiva del sistema integratore TD è proprio il gradino unitario [fig. 4.14(a)]. Conseguentemente, in virtù della (4.34). la risposta al gradino del sistema integratore TD è data da: ( n 0, se n < 0 ; s(n) = ∑ u(k) = n + 1 , se n ≥ 0 ; k=−∞ che possiamo scrivere in maniera più compatta come segue: s(n) = (n + 1) u(n) , si tratta cioè di una rampa a TD [fig. 4.14(b)].

◭

◮ Esempio 4.9 (risposta al gradino di un integratore con memoria finita) Si consideri l’integratore con memoria finita (cfr. es. 4.2), avente relazione i-u: y(t) =

Z t

x(u) du ,

(4.43)

t−T

la cui risposta impulsiva è una finestra rettangolare di durata T centrata in t = T /2, ossia:   t − 0.5T h(t) = rect , T che è riportata in fig. 4.15(a). In virtù della (4.36), la risposta al gradino di tale sistema è il risultato del seguente integrale:   Z t τ − 0.5T s(t) = dτ , rect T −∞ in cui l’estremo superiore di integrazione t varia in R. Risolvendo l’integrale si ottiene:  0, se t < 0 ;   Z t     dτ = t , se 0 ≤ t < T ;  0 s(t) = Z T      dτ = T , se t ≥ T .   0

154

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

T

s(t)

h(t)

1

T

T

t

t

(a)

(b)

ε

h (t)

1

−ε

ε

T−ε

T+ε t

(c) Fig. 4.15. Integratore con memoria finita (es. 4.9):
(a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino; (c) la risposta hε (t) alla finestra rettangolare δε (t) = 21ε rect 2tε è una buona approssimazione della risposta impulsiva per ε ≪ T. che possiamo esprimere in maniera più compatta nel seguente modo: s(t) = t rect



t − 0.5T T



+ T u(t − T ) ,

si tratta di una funzione identicamente nulla per t < 0, che cresce linearmente nell’intervallo (0, T ) fino a raggiungere per t = T il valore T che mantiene costantemente fino all’infinito [fig. 4.15(b)]. Utilizzando la (4.38), in fig. 4.15(c) è riportata la risposta hε (t) del sistema alla finestra rettangolare δε (t) di durata 2ε < T . Si può notare che, per ε → 0, il segnale hε (t) tende ancora alla risposta impulsiva h(t) del sistema. In pratica, possiamo dire che, se ε ≪ T , il segnale in fig. 4.13(c) rappresenta una buona approssimazione della risposta impulsiva del sistema. In altre parole, se la durata della finestra rettangolare di ingresso è molto piccola rispetto alla memoria T del sistema, il sistema si comporta approssimativamente come se vi fosse un impulso di Dirac in ingresso. ◭ ◮ Esempio 4.10 (risposta al gradino di un sistema MA) Si consideri il sistema MA già studiato nell’es. 4.1,

4.4 Risposta al gradino

155

0.3

1 0.2

0.8 s(n)

h(n)

1/6 0.1

0.6 0.4

0

0.2 0

−0.1 −2

0

2

4 n

6

8

10

−2

0

2

(a)

4 n

6

8

10

(b)

Fig. 4.16. Sistema MA con M = 5 e bk = 16 , ∀k ∈ {0, 1, . . . , 5}: (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino. descritto dalla relazione i-u M

y(n) =

∑ bk x(n − k) ,

(4.44)

k=0

la cui risposta impulsiva ha la seguente espressione: M

h(n) =

∑ bk δ (n − k) ,

(4.45)

k=0

rappresentata in fig. 4.1(a) nel caso generale, ed in fig. 4.1(b) nel caso in cui M = 5 e i pesi bk sono tutti uguali 1 . In virtù della (4.34), la risposta al gradino di tale sistema è il risultato della seguente sommatoria: a M+1 n

s(n) =

M

∑ ∑ bm δ (k − m) ,

k=−∞ m=0

in cui l’estremo superiore della sommatoria n varia in Z. La somma di tale serie si ottiene distinguendo i seguenti casi:   0, se n < 0 ;   n     ∑ bk , se 0 ≤ n < M ;   s(n) =

k=0

  M     ∑ bk , se n ≥ M .   k=0

Nel caso in cui i pesi bk siano tutti uguali a   0, se n < 0 ;   n+1 s(n) = , se 0 ≤ n < M ; M +1   1, se n ≥ M .

1 M+1 ,

la risposta al gradino diventa:

che possiamo esprimere in maniera più compatta nel seguente modo: s(n) =

n+1 RM (n) + u(n − M) , M+1

156

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

e che è rappresentata graficamente nel caso M = 5, insieme alla risposta impulsiva, in fig. 4.16.

◭

Nel seguito faremo quasi sempre riferimento alla risposta impulsiva; dato il legame biunivoco con la risposta al gradino, il lettore non dovrebbe incontrare difficoltà ad estendere alla risposta al gradino molti dei risultati ottenuti per la risposta impulsiva.

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

157

4.5 Proprietà della risposta impulsiva Poiché la risposta impulsiva è una risposta canonica, cioè caratterizza completamente un sistema LTI, è possibile legare le proprietà del sistema (non dispersività, causalità, stabilità, invertibilità) alle proprietà matematiche della risposta impulsiva: questo aspetto è approfondito nei paragrafi seguenti. 4.5.1 Non dispersività

Ricordiamo che un generico sistema si dice non dispersivo (cfr. § 3.3.1) se l’uscita all’istante t oppure n dipende solo dall’ingresso nello stesso istante. Consideriamo un sistema TD LTI, descritto dalla convoluzione a TD espressa dalla seconda delle (4.7): +∞

∑

y(n) =

k=−∞

h(k) x(n − k) .

Affinché y(n) dipenda solo da x(n), occorre che i termini x(n − k) per k 6= 0 non diano contributo alla somma su k. Una condizione necessaria e sufficiente affinché ciò accada, per ogni segnale di ingresso {x(k)}k∈Z , è che risulti h(k) = 0, ∀k 6= 0; in questo caso, infatti, si ha: y(n) = h(0) x(n) . △

Notiamo che, ponendo α = h(0), la relazione precedente si può riscrivere come y(n) = α x(n) ,

(4.46)

e quindi si può interpretare come la relazione i-u di un amplificatore/attenuatore ideale: pertanto, un sistema TD LTI non dispersivo è necessariamente un amplificatore/attenuatore ideale. Ponendo x(n) = δ (n) nella (4.46), si ricava che la risposta impulsiva di tale sistema vale h(n) = α δ (n) .

(4.47)

Pertanto, possiamo concludere che un sistema TD LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma (4.47). Passiamo ora a considerare i sistemi TC LTI, il cui legame i-u è descritto dalla convoluzione a TC espressa dalla prima delle (4.12): y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ .

(4.48)

Per ricavare la proprietà cui deve soddisfare la risposta impulsiva affinchè il sistema sia non dispersivo, seguiamo una strada diversa da quella seguita nel caso TD. Il sistema è non dispersivo se e solo se, per ogni segnale di ingresso, l’uscita all’istante t dipende solo dal valore {x(τ )}τ =t del segnale di ingresso nello stesso istante; equivalentemente, questo vuol dire che la risposta del sistema non cambia se, nella (4.48), al posto di {x(τ )}τ ∈R , poniamo un segnale {x1 (τ )}τ ∈R che dipende solo dal valore “attuale” {x(τ )}τ =t . Per costruire un segnale siffatto, possiamo ricorrere alla proprietà del prodotto dell’impulso di Dirac [cfr. prop. 2.2(c)], ponendo x1 (τ ) = x(τ ) δ (t − τ ) = x(t) δ (t − τ ) . Sostituendo nella (4.48), si ha che l’uscita corrispondente a x1 (τ ) vale y1 (t) =

Z +∞ −∞

x1 (τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞ −∞

x(τ ) δ (t − τ ) h(t − τ ) dτ .

(4.49)

158

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Per quanto precedentemente detto, il sistema è non dispersivo se e solo se y(t) = y1 (t), per ogni segnale di ingresso e per ogni t ∈ R; dal confronto tra la (4.48) e (4.49), ciò accade se e solo se h(t) = h(t) δ (t) = h(0) δ (t) , dove ancora una volta nell’ultimo passaggio si è sfruttata la proprietà del prodotto dell’impulso di △

Dirac. Se poniamo α = h(0), otteniamo che un sistema TC LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva è l’analogo a TC della (4.47), ovvero se h(t) = α δ (t) . Sostituendo nella (4.48) la risposta impulsiva precedente, si ha: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ = α

Z +∞ −∞

x(τ )δ (t − τ ) dτ = α x(t) ,

dove nell’ultimo passaggio si è applicata la proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac. Quindi, un sistema TC LTI non dispersivo ha necessariamente una relazione i-u del tipo: y(t) = α x(t) , ovvero anche in questo caso coincide con un amplificatore/attenuatore ideale. In definitiva, la caratterizzazione di un sistema LTI non dispersivo in termini di risposta impulsiva è riassunta dalla seguente proprietà (valida per il caso TC e TD): Proprietà 4.4 (risposta impulsiva di un sistema LTI non dispersivo) (a) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma h(·) = α δ (·). (b) Equivalentemente, un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua relazione i-u è y(·) = α x(·), ovvero se e solo se è un amplificatore/attenuatore ideale. I sistemi non dispersivi sono denominati anche sistemi senza memoria, dove la memoria di un sistema è stata definita (cfr. § 3.3.1) come la durata temporale del segmento del segnale di ingresso che contribuisce, oltre al campione attuale, all’uscita in un determinato istante di tempo. Se allora osserviamo la relazione i-u di un sistema LTI [cfr. (4.7) oppure (4.12)], possiamo notare che tale durata è determinata dalla estensione temporale Dh della risposta impulsiva; pertanto, la memoria di un sistema coincide con la durata temporale ∆h della risposta impulsiva h(·) (escluso il campione per n = 0 nel caso TD). In stretta analogia con la classificazione dei segnali effettuata sulla base della durata nel § 2.3, i sistemi LTI con memoria si possono ulteriormente classificare come segue: • sistemi LTI aventi memoria rigorosamente finita: la risposta impulsiva h(·) ha durata rigorosamente limitata; • sistemi LTI aventi memoria praticamente finita: la risposta impulsiva h(·) decade asintoticamente a zero per t, n → ±∞, senza mai annullarsi; l’estensione temporale Dh e, quindi, la durata ∆h , si definisce introducendo una soglia opportuna e considerando trascurabili le ampiezze della risposta impulsiva inferiori alla soglia fissata; • sistemi LTI aventi memoria infinita: la risposta impulsiva h(·) non decade a zero, per cui presenta valori non trascurabili su un intervallo temporale non limitato.

159

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6 s(t)

T h(t)

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−2

−1

0

1

2

t/T

t/T

(a)

(b)

3

4

5

Fig. 4.17. Sistema TC IIR con memoria praticamente finita (es. 4.11): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino.

Un sistema LTI con memoria rigorosamente finita prende anche il nome di sistema finite impulse response (FIR). Esempi di sistemi FIR sono l’integratore con memoria finita (cfr. es. 4.9) e il sistema MA (cfr. es. 4.10). Un sistema LTI con memoria non rigorosamente finita (praticamente finita o infinita) è spesso detto anche sistema infinite impulse response (IIR). L’integratore (cfr. es. 4.7) e l’accumulatore (cfr. es. 4.8), aventi come risposta impulsiva il gradino unitario, sono sistemi IIR con memoria infinita. Nell’esempio che segue è trattato il caso di un sistema IIR con memoria praticamente finita. ◮ Esempio 4.11 (sistema IIR con memoria praticamente finita) Si consideri il sistema TC descritto dal seguente legame i-u: y(t) =

Z +∞ 1 −τ /T e x(t − τ ) dτ , 0

T

(4.50)

dove T > 0. Sfruttando il fatto che u(τ ) = 0 per τ < 0, la relazione di sopra si può esprimere equivalentemente come segue: y(t) =

Z +∞ 1 −τ /T e u(τ ) x(t − τ ) dτ . −∞

T

(4.51)

Confrontando la (4.51) con la seconda delle (4.12), si ricava che il legame i-u del sistema è espresso mediante l’integrale di convoluzione tra il segnale di ingresso x(t) e la funzione del tempo h(t) =

1 −t/T e u(t) . T

(4.52)

Pertanto, il sistema in esame è un sistema LTI con risposta impulsiva data dalla (4.52), che è rappresentata in fig. 4.17(a). In virtù della (4.36), la risposta al gradino di tale sistema si ottiene come:  se t < 0 ;  Z t 0Z , 1 −τ /T t 1 −τ /T −t/T u(τ ) dτ = s(t) = e e dτ = 1 − e , se t ≥ 0 ,  −∞ T  0 T

che possiamo esprimere in maniera più compatta come: s(t) = (1 − e−t/T ) u(t) ,

160

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

e che è rappresentata in fig. 4.17(b). Poichè la risposta impulsiva del sistema è un esponenziale monolatero decrescente, con costante di tempo T > 0, ovvero è un segnale di durata praticamente limitata, il sistema LTI ha memoria praticamente finita. Per calcolare la memoria analiticamente, scegliamo come valore di soglia α h(0+ ) = α /T , con 0 < α < 1. Così facendo, risolvendo l’equazione h(∆h ) = α /T (cfr. § 2.3.2), la durata della risposta impulsiva risulta   1 ∆h = T ln , α da cui si ricava che la memoria del sistema cresce con legge direttamente proporzionale a T . Con ragionamenti analoghi si può verificare che il sistema TD LTI avente risposta impulsiva: h(n) = an u(n) ,

con 0 < |a| < 1 ,

è un sistema dispersivo IIR con memoria praticamente finita data da: ∆h =

ln(α ) , ln(|a|)

memoria che tende a diventare infinitamente grande, per |a| → 1, mentre tende a zero per |a| → 0.

◭

In conclusione, ricordando la proprietà di durata della convoluzione (cfr. § 4.3.1), notiamo che applicando al sistema un ingresso di durata finita, esso sarà “allungato”, per effetto della convoluzione, proprio di una quantità pari alla memoria del sistema. Infatti, se per semplicità facciamo riferimento ai sistemi TC, in virtù della (4.31), la durata ∆y del segnale di uscita dal sistema è al più pari alla somma della durata ∆x del segnale di ingresso e della durata ∆h della risposta impulsiva. Lo stesso si può dire anche per i sistemi TD. In altri termini, applicando un ingresso di durata finita e misurando la durata dell’uscita è possibile ricavare per differenza la durata della risposta impulsiva, e quindi misurare la memoria del sistema LTI. 4.5.2 Causalità

Ricordiamo che un generico sistema è causale se l’uscita all’istante t oppure n dipende dal valore dell’ingresso nello stesso istante e in istanti precedenti, ma non dipende dai valori dell’ingresso negli istanti successivi. Consideriamo allora la relazione i-u di un sistema TD LTI: +∞

y(n) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) .

La somma su k porta in conto valori futuri dell’ingresso per k < 0, in quanto per tali valori di k risulta n − k > n. Affinché allora l’uscita non dipenda dai valori futuri, per ogni segnale di ingresso, deve accadere che h(k) = 0 ,

∀k < 0 .

(4.53)

Pertanto un sistema TD LTI risulta causale se e solo se è verificata la condizione (4.53). In questo caso la relazione i-u assume la forma: +∞

y(n) =

∑ h(k) x(n − k) =

k=0

n

∑

k=−∞

x(k) h(n − k) .

Passiamo ora a considerare i sistemi TC LTI, il cui legame i-u è descritto dalla convoluzione: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ .

(4.54)

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

161

h(t)

1

T t

Fig. 4.18. Risposta impulsiva dell’integratore non causale (es. 4.12).

Ragionando in modo analogo a quanto fatto nel caso TD, si può verificare che un sistema TC è causale se e solo se h(t) = 0 ,

∀t < 0 .

In questo caso, la relazione i-u (4.54) assume la forma: y(t) =

Z +∞ 0

h(τ ) x(t − τ ) dτ =

Z t

−∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ .

In sintesi, la caratterizzazione di un sistema LTI causale in termini della sua risposta impulsiva è descritta dalla seguente proprietà: Proprietà 4.5 (risposta impulsiva di un sistema LTI causale) Un sistema LTI è causale se e solo se h(n) = 0, h(t) = 0,

∀n < 0 (sistema TD) ∀t < 0 (sistema TC)

Se la risposta impulsiva del sistema LTI non è identicamente nulla per t < 0 (caso TC) oppure per n < 0 (caso TD), il sistema è non causale. Abbiamo visto nel capitolo precedente (cfr. § 3.3.2) che un caso particolare di sistema non causale è il sistema anticausale, per il quale l’uscita dipende solo dai valori futuri del segnale di ingresso. Ripercorrendo gli stessi ragionamenti fatti per un sistema causale, si può mostrare che un sistema LTI è anticausale se e solo se la sua risposta impulsiva soddisfa la seguente condizione: h(n) = 0, h(t) = 0,

∀n ≥ 0 (sistema TD) ∀t ≥ 0 (sistema TC)

Tutti i sistemi LTI precedentemente presentati negli esempi di questo capitolo sono causali. Di seguito sono riportati alcuni esempi di sistemi non causali.

162

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

◮ Esempio 4.12 (integratore non causale) Si consideri l’integratore con memoria finita (cfr. es. 3.10 e 3.12), avente relazione i-u: y(t) =

Z t+T

x(u) du ,

(4.55)

t

con T > 0, Si può facilmente verificare che tale sistema è sia lineare, sia invariante temporalmente, per cui è un sistema LTI. In maniera equivalente, si può mostrare che la (4.55) si può scrivere come una convoluzione. Infatti, con il cambio di variabile τ = t − u → u = t − τ , la (4.55) si può scrivere come: y(t) =

Z 0

−T

x(t − τ ) dτ .

A questo punto, moltiplicando la funzione integranda per una finestra rettangolare che assume il valore 1 nell’intervallo (−T, 0), possiamo estendere l’integrale tra −∞ e +∞ ottenendo:   Z +∞ τ + 0.5T y(t) = rect x(t − τ ) dτ , T −∞ da cui, per confronto con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è:   t + 0.5T h(t) = rect , T che è rappresentata in fig. 4.18: si tratta di un segnale che assume valori non nulli per t < 0 e, conseguentemente, il sistema non è causale. ◭ ◮ Esempio 4.13 (sistema MA non causale) Si consideri il sistema MA già introdotto nell’es. 3.11, descritto dalla relazione i-u M

y(n) =

∑ bk x(n + k) .

k=0

Si tratta di un sistema sia lineare che tempo-invariante, e pertanto esso rappresenta un esempio di sistema LTI. Per questo motivo, deve essere possibile esprimere la sua relazione i-u come una convoluzione (4.7). Infatti, effettuando il cambiamento di variabile h = −k si ha 0

y(n) =

∑

h=−M

0

b−h x(n − h) =

∑

k=−M

b−k x(n − k) ,

(4.56)

da cui, per confronto diretto con la (4.7), si ha una perfetta corrispondenza se si definisce la risposta impulsiva del sistema come segue: ( b−k , k ∈ {−M, −M + 1, . . . , 0} ; h(k) = (4.57) 0, altrimenti , rappresentata graficamente in fig. 4.19(a) nel caso generale. e particolarizzata in fig. 4.19(b) al caso M = 5 e 1 = 16 , ∀k ∈ {0, 1, . . . , 5}. D’altra parte, osserviamo che utilizzando la definizione di risposta impulsiva bk = M+1 come h(n) = S[δ (n)], si ha, ponendo x(n) = δ (n) nella (4.56): 0

h(n) =

∑

h=−M

b−h δ (n − h) ,

(4.58)

espressione che è perfettamente equivalente alla (4.57). Si tratta di una risposta impulsiva che assume valori non nulli per n < 0, pertanto tale sistema è non causale. ◭

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

163

h(n) bM-1

h(n)

b0 1/6

b3

b1

bM b2 .... -M -M +1

-3 -2 -1 0

(a)

n

-5 -4 -3 -2 -1 0

n

(b)

Fig. 4.19. (a) Risposta impulsiva di un generico sistema MA non causale. (b) Risposta impulsiva del sistema MA non causale con M = 5 e con pesi bk = 16 , ∀k ∈ {0, 1, . . . , 5} (es. 4.13). ◮ Esempio 4.14 (anticipo unitario) Consideriamo il sistema TD descritto dalla relazione i-u: y(n) = x(n + 1) , che realizza un anticipo unitario del segnale di ingresso. Si tratta chiaramente di un sistema LTI, la cui risposta impulsiva si ottiene ponendo in ingresso il segnale x(n) = δ (n): h(n) = δ (n + 1) , si tratta di un impulso TD di ampiezza unitaria centrato in n = −1. Il sistema è pertanto non causale; in particolare, poiché h(n) è identicamente nulla per n ≥ 0, l’anticipo unitario TD è un sistema anticausale. Allo stesso modo il sistema TC che effettua un anticipo temporale, descritto dalla relazione i-u y(t) = x(t + T ) con T > 0, è un sistema LTI anticausale. ◭

I sistemi causali godono di una proprietà importante. Per evidenziare tale proprietà, consideriamo il caso dei sistemi TC. Se il sistema è causale, allora la risposta impulsiva del sistema avrà estensione temporale Dh = (0, ∆h ), con ∆h ∈ R+ . Supponiamo ora che anche il segnale di ingresso sia identicamente nullo per t < 0, cioè, abbia estensione temporale Dx = (0, ∆x ), con ∆x ∈ R+ . Un segnale identicamente nullo per t < 0 è anche detto6 causale. In tal caso, seguendo gli stessi ragionamenti che hanno portato alla (4.31), si ottiene che: y(t) = 0,

∀t 6∈ (0, ∆x + ∆h ) ,

ossia anche il segnale di uscita risulta essere identicamente nullo per t < 0. Tale risultato, che sussiste con ovvie modifiche anche nel caso TD, è riassunto dalla seguente proprietà: Proprietà 4.6 (risposta di un sistema LTI causale ad un segnale causale) (a) Se il segnale in ingresso ad un sistema TC LTI causale è identicamente nullo per t < 0, allora la corrispondente uscita è anch’essa identicamente nulla per t < 0. (b) Se il segnale in ingresso ad un sistema TD LTI causale è identicamente nullo per n < 0, allora la corrispondente uscita è anch’essa identicamente nulla per n < 0. 6 Questa

terminologia discende dal fatto che la risposta impulsiva è essa stessa un segnale – è il segnale di uscita di un sistema LTI quando in ingresso è applicato un impulso – per cui dire che il sistema è casuale equivale a dire che la sua risposta impulsiva è causale.

164

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

y(.) x(.)

h(.)

hinv(.)

x(.)

Fig. 4.20. Il sistema LTI hinv (·) è il sistema inverso di h(·) se e solo se la cascata dei due sistemi coincide con il sistema identico.

In verità, la prop. 4.6 si poteva già dedurre dalle prop. 3.1 e 3.4, sfruttando in aggiunta la proprietà di linearità. Soffermiamo l’attenzione sui sistemi TC. Ricordiamo che, in base alla prop. 3.1, dette y1 (t) e y2 (t) le uscite di un sistema TC in risposta ai segnali x1 (t) e x2 (t), rispettivamente, un sistema è causale se e solo se, per ogni t0 ∈ R e per ogni x1 (t), x2 (t) ∈ I tali che x1 (t) = x2 (t), ∀t ≤ t0 , risulta che y1 (t) = y2 (t), ∀t ≤ t0 . Dato un ingresso x1 (t) = 0, ∀t < 0, supponiamo di scegliere un secondo ingresso x2 (t) = 0, ∀t ∈ R, ed applichiamo la proprietà vista per t0 = −ε < 0, con ε ∈ R+ piccolo a piacere. Poiché risulta x1 (t) = x2 (t) = 0, ∀t ≤ −ε , allora risulterà per la prop. 3.1 y1 (t) = y2 (t), ∀t ≤ −ε . Ma se il sistema è lineare, in virtù della prop. 3.4, l’uscita corrispondente al segnale nullo x2 (t) è necessariamente nulla, cioè y2 (t) = 0, ∀t ∈ R. Pertanto, si ha che y1 (t) = 0, ∀t ≤ −ε , cioè, così come il segnale di ingresso, anche il segnale di uscita è identicamente nullo per t < 0. Le considerazioni che seguono si estendono senza alcuna difficoltà anche ai sistemi TD.7 È interessante osservare che nel derivare questo risultato abbiamo sfruttato solo la linearità (più precisamente, l’omogeneità) e la causalità del sistema: questo dimostra che la prop. 4.6 vale più in generale per sistemi lineari causali (non necessariamente TI). 4.5.3 Invertibilità

Ricordiamo che se un dato sistema è invertibile, il sistema inverso è quel sistema che posto in cascata al sistema dato realizza il sistema identico. In app. D è mostrato che se un sistema LTI è invertibile, allora il corrispondente sistema inverso è anch’esso LTI. In base a tale risultato, se indichiamo con h(·) la risposta impulsiva del sistema LTI invertibile e con hinv (·) la risposta impulsiva del sistema inverso, come mostrato in fig. 4.20, la cascata (nell’ordine) del sistema con risposta impulsiva h(·) e del sistema con risposta impulsiva hinv (·) deve realizzare il sistema identico. Poiché la risposta impulsiva del sistema identico è δ (·), e tenendo presente che alla cascata di due sistemi LTI corrisponde la convoluzione delle rispettive risposte impulsive, si ottiene la seguente condizione: h(·) ∗ hinv (·) = δ (·) .

(4.59)

Poiché la convoluzione è commutativa, possiamo scrivere anche: hinv (·) ∗ h(·) = δ (·) ,

(4.60)

per cui se hinv (·) è l’inverso di h(·), allora h(·) è l’inverso di hinv (·). Per cui ritroviamo il risultato, valido più in generale per l’inverso di un generico sistema (non necessariamente LTI, cfr. §3.3.3), secondo cui il sistema diretto commuta con il sistema inverso nella cascata di fig. 4.20 (notiamo che per i sistemi LTI vale una proprietà più generale, secondo la quale qualunque sistema LTI commuta con qualunque altro sistema LTI nella cascata). La seguente proprietà riassume le considerazioni fatte precedentemente: 7 Nel caso TD, l’applicazione della prop. 3.1 è più immediata:

infatti, a differenza del caso TC in cui si è dovuto introdurre un ε arbitrariamente piccolo per la scelta di t0 , in questo caso, le stesse considerazioni si possono fare scegliendo n0 = −1.

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

165

Proprietà 4.7 (risposta impulsiva del sistema inverso di un sistema LTI) Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta impulsiva h(·), il suo sistema inverso è anch’esso LTI e, detta hinv (·) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le due risposte impulsive: h(·) ∗ hinv (·) = hinv (·) ∗ h(·) = δ (·) . Lo studio dell’invertibilità di un sistema non è sempre agevole e richiede qualche cautela dal punto di vista matematico. Alcuni approfondimenti ed esempi sono riportati in app. D, a cui si rimanda direttamente il lettore. In molti casi pratici, un problema di interesse è determinare il sistema inverso di un dato sistema. Ad esempio, nelle telecomunicazioni, il segnale x(·) viene modificato o distorto dal supporto fisico su cui si propaga (il cosiddetto canale) e giunge alla destinazione con modifiche tali da rendere difficoltoso il recupero dell’informazione ad esso associata. In alcuni casi, il canale può essere ben modellato mediante un sistema LTI con risposta impulsiva h(·). Se fossimo grado di individuare il sistema inverso potremmo alla destinazione utilizzare il sistema hinv (·) per compensare perfettamente la distorsione introdotta dal sistema h(·). Questa compensazione prende il nome di equalizzazione. Purtroppo determinare hinv (·) dalla (4.59) o (4.60) è un problema matematicamente complicato, che va sotto il nome di deconvoluzione (di fatto, significa determinare uno dei fattori della convoluzione, noto l’altro fattore ed il risultato finale). Vedremo che una soluzione semplice si potrà ottenere operando nel dominio della frequenza. 4.5.4 Stabilità

Ricordiamo che un sistema si dice stabile (in senso BIBO, cfr. §3.3.5) se l’uscita corrispondente ad un qualunque ingresso limitato in ampiezza è a sua volta limitata in ampiezza. Per individuare quale sia la proprietà della risposta impulsiva che caratterizza la stabilità, consideriamo un sistema TD LTI, descritto dalla (4.7): +∞

y(n) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) .

Supponiamo allora che l’ingresso sia limitato, ovvero |x(n)| < Kx , ∀n ∈ Z, e proviamo a trovare una maggiorazione simile per l’uscita y(n). Si ha, con passaggi banali, che: +∞ +∞ +∞ |y(n)| = ∑ h(k) x(n − k) ≤ ∑ |h(k)||x(n − k)| ≤ Kx ∑ |h(k)| . k=−∞ k=−∞ k=−∞ Pertanto, se h(k) è una successione sommabile, ovvero se +∞

∑

k=−∞

|h(k)| ≤ Kh ,

(4.61) △

allora si ha |y(n)| ≤ Kx Kh = Ky e quindi l’uscita y(n) è limitata. Abbiamo cioè provato che la sommabilità (4.61) della risposta impulsiva è condizione sufficiente per la stabilità di un sistema LTI. Possiamo però provare che la sommabilità della risposta impulsiva è anche condizione necessaria per la stabilità: in altri termini, se un sistema è stabile, allora la risposta impulsiva dev’essere sommabile.

166

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Per provarlo, procediamo per assurdo, supponendo che un sistema stabile abbia una risposta impulsiva non sommabile. Definiamo allora un opportuno segnale di ingresso:   |h(−n)| , se h(−n) 6= 0 ; x(n) = h(−n)  0, altrimenti .

Tale segnale assume solo i valori 0, 1, −1, e quindi è sicuramente limitato. L’uscita corrispondente a tale segnale limitato è: +∞

y(n) =

∑

k=−∞

h(k)x(n − k) = ∑ h(k) k

|h(k − n)| , h(k − n)

dove la seconda sommatoria va effettuata, per ciascun n ∈ Z, su tutti i valori della variabile k per i quali h(k − n) 6= 0. Calcoliamo in particolare l’uscita per n = 0: y(0) = ∑ h(k) k

+∞ |h(k)| = ∑ |h(k)| = ∑ |h(k)| , h(k) k=−∞ k

dove abbiamo incluso nella somma, senza alterarla, anche i valori di k per i quali h(k) = 0. Poiché abbiamo supposto per assurdo che la risposta impulsiva non sia sommabile, risulta che l’uscita all’istante n = 0 non è limitata, il che contraddice l’ipotesi che il sistema sia stabile. Pertanto, la risposta impulsiva deve essere necessariamente sommabile. In definitiva, per un sistema TD vale l’equivalenza seguente: +∞

sistema TD stabile

⇐⇒

∑

k=−∞

|h(k)| ≤ Kh ,

ovvero h(n) sommabile .

Per un sistema LTI a TC è possibile ragionare in maniera analoga, sostituendo alla sommabilità della successione h(n) quella della funzione h(t): Z +∞ −∞

|h(τ )| dτ ≤ Kh .

(4.62)

In definitiva, la sommabilità della risposta impulsiva è condizione necessaria e sufficiente per la stabilità di un sistema LTI, come riassunto dalla seguente proprietà: Proprietà 4.8 (risposta impulsiva di un sistema LTI stabile) Un sistema LTI è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile, ovvero se e solo se +∞

∑

Z

|h(k)| ≤ Kh

(sistema TD) ,

|h(τ )| dτ ≤ Kh

(sistema TC) .

k=−∞ +∞

−∞

Nel caso dei sistemi FIR, che presentano memoria rigorosamente finita, la risposta impulsiva h(·) ha durata rigorosamente limitata, pertanto essa risulterà sicuramente sommabile (supposto che assuma valori finiti). Possiamo quindi dire che tutti i sistemi LTI con memoria rigorosamente finita (FIR) sono stabili. Ad esempio, l’integratore con memoria finita (§ es. 4.9) e il sistema MA (§ es. 4.10),

4.5 Proprietà della risposta impulsiva

167

essendo sistemi FIR, sono stabili. Un sistema LTI instabile deve necessariamente avere memoria non rigorosamente finita (IIR). Più precisamente, i sistemi IIR aventi memoria infinita sono sicuramente instabili, in quanto la loro risposta impulsiva h(·) non è infinitesima all’infinito e quindi non può essere sommabile. Ad esempio, l’integratore (§ es. 4.7) e l’accumulatore (§ es. 4.8), aventi come risposta impulsiva il gradino unitario, sono esempi di sistemi IIR con memoria infinita e, pertanto, instabili. D’altra parte, se il sistema IIR ha memoria praticamente finita, la sua risposta impulsiva può essere ancora sommabile purché |h(·)| decada a zero per |t| → +∞ o per |n| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da garantire la convergenza dell’integrale o della serie che compaiono nella (4.61) e (4.62) (cfr. § B.1.4 e B.2.3). Un esempio di sistema LTI stabile con memoria praticamente finita è il seguente. ◮ Esempio 4.15 (stabilità di un sistema IIR con memoria praticamente finita) Riconsideriamo nuovamente il sistema IIR dell’es. 4.11, la cui risposta impulsiva [fig. 4.17(a)] è data da: 1 −τ /T u(τ ) . e T Si tratta di un sistema con memoria praticamente finita. Verifichiamo che tale sistema è stabile. A tal fine osserviamo che: Z +∞ Z +∞ Z 1 −τ /T 1 +∞ −τ /T e |h(τ )| dτ = u(τ ) dτ = e dτ = 1 , T 0 −∞ −∞ T h(τ ) =

pertanto la risposta impulsiva del sistema è sommabile e, conseguentemente, il sistema è stabile. Analogamente, il sistema TD IIR avente risposta impulsiva: h(n) = an u(n) ,

con 0 < |a| < 1 ,

è stabile pur non avendo memoria rigorosamente finita (ma memoria praticamente finita). Infatti, poichè risulta: +∞

∑

k=−∞

+∞

|h(k)| =

1

∑ |a|n = 1 − |a| ,

k=0

◭

la risposta impulsiva è sommabile.

In conclusione, notiamo che per taluni sistemi TC la risposta impulsiva h(t) può non essere una funzione ordinaria, nel senso che può contenere degli impulsi di Dirac. Ad esempio, il sistema che effettua la traslazione temporale del segnale di ingresso, caratterizzato dal legame i-u: y(t) = x(t − t0 ) ,

con t0 ∈ R ,

(4.63)

ha una risposta impulsiva contenente un impulso di area unitaria centrato in t0 , ossia h(t) = δ (t − t0 ). Poiché il concetto di sommabilità di una distribuzione non è definito, si pone pertanto il problema di come studiare la stabilità di un sistema LTI qualora la sua risposta impulsiva sia una funzione generalizzata. In verità, dal punto di vista pratico, questo problema può essere tranquillamente aggirato. Ad esempio, nel caso del sistema (4.63), è assolutamente inutile studiare la stabilità a partire dalla risposta impulsiva, in quanto, in questo caso, la stabilità può essere studiata direttamente dal legame i-u senza alcun problema di carattere matematico: infatti, se il segnale di ingresso è limitato, l’uscita del sistema (4.63) è sicuramente limitata. Pertanto, possiamo concludere che il sistema TC (4.63), che anticipa/ritarda il segnale di ingresso, è un sistema stabile, per ogni t0 ∈ R. Più in generale, se la risposta impulsiva h(t) è una funzione generalizzata, è (quasi) sempre possibile decomporla nella somma di una funzione ordinaria hord (t), che non contiene impulsi, e di una funzione himp (t) puramente impulsiva, che contiene solo impulsi, cioè: N

h(t) = hord (t) + ∑ αn δ (t − tn ) = hord (t) + himp (t) , n=1

|

{z

himp (t)

}

(4.64)

168

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

hord (t)

x(t)

α1

t1

. . .

. . .

αN

tN

y(t)

Fig. 4.21. Decomposizione in parallelo di un sistema avente risposta impulsiva generalizzata.

dove N ∈ N. In questo caso, come mostrato in fig. 4.21, il sistema avente risposta impulsiva h(t) può essere decomposto nel parallelo del sistema avente risposta impulsiva hord (t) e del sistema avente risposta impulsiva himp (t), e quest’ultimo a sua volta può essere visto come il parallelo di N sistemi, ciascuno dei quali composto da un attenuatore/amplificatore connesso in serie con un sistema che effettua la traslazione temporale. Osservando che il parallelo di più sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI la cui risposta impulsiva è data dalla somma delle risposte impulsive dei sistemi coinvolti nel parallelo, in virtù della prop. 4.8, possiamo affermare che, se i sistemi componenti il parallelo sono singolarmente stabili, allora il sistema complessivo è sicuramente stabile. Poichè la moltiplicazione per una costante e la traslazione temporale sono operazioni stabili, nel senso che conservano la limitatezza (in ampiezza) del segnale su cui operano, il sistema in fig. 4.21 è stabile se e solo se la risposta impulsiva hord (t) è sommabile. In altre parole, quando occorre studiare la sommabilità di una funzione generalizzata del tipo (4.64) è sufficiente limitarsi a studiare la sommabilità della sola parte ordinaria hord (t).

4.6 Esempi di sistemi LTI In questa sezione introduciamo due classi particolarmente importanti di sistemi LTI, descritti da equazioni differenziali lineari (nel caso TC) oppure da equazioni alla differenze (nel caso TD). Tali sistemi presentano numerose analogie, tuttavia per una presentazione efficace è opportuno studiarli separatamente. 4.6.1 Sistemi descritti da equazioni differenziali

Numerosi sistemi TC, in svariati campi delle scienze fisiche e dell’ingegneria, sono descritti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, del tipo N

∑ ak

k=0

M dm dk b y(t) = m ∑ dt m x(t) , dt k m=0

(4.65)

4.6 Esempi di sistemi LTI

169

dove x(t) rappresenta l’ingresso e y(t) l’uscita del sistema, a0 , a1 , . . . , aN e b0 , b1 , . . . , bM sono i coefficienti (in genere reali) dell’equazione, e N ≥ 0 è l’ordine dell’equazione, coincidente con il massimo ordine di derivazione rispetto al segnale di uscita y(t) (si suppone che aN 6= 0). La (4.65) è detta lineare perché al primo membro compare una combinazione lineare del segnale y(t) e delle sue N derivate e al secondo membro compare una combinazione lineare del segnale x(t) e delle sue M derivate; la (4.65) si dice a coefficienti costanti perché i coefficienti moltiplicativi a0 , a1 , . . . , aN e b0 , b1 , . . . , bM sono costanti e quindi indipendenti dal tempo t. Per sgombrare subito il campo da qualsiasi tipo di equivoco, occorre preliminarmente osservare che il fatto che la (4.65) sia lineare e i coefficienti che in essa compaiono siano tempo-invarianti non implica che il sistema da essa descritto sia in generale lineare e tempo-invariante; vedremo che ciò è vero solo in alcuni casi particolari. Una seconda osservazione importante riguarda il fatto che la (4.65) coinvolge, oltre all’uscita y(t) anche le prime N derivate di y(t): pertanto, essa non rappresenta un legame i-u come espresso dalla def. 3.1. Ciò è vero solo nel caso particolare in cui N = 0; in tal caso, infatti, la (4.65) si può scrivere direttamente come segue: y(t) =

1 a0

M

dm

∑ bm dt m x(t) ,

m=0

che rappresenta una relazione i-u tra y(t) ed x(t), nel senso specificato dalla def. 3.1. Nel caso più generale in cui N 6= 0, la (4.65) descrive in maniera solo implicita il comportamento del sistema. In questo caso, determinare la relazione i-u del sistema equivale a risolvere, per ogni fissato ingresso x(t), l’equazione differenziale (4.65) rispetto al segnale di uscita y(t). È noto8 che tale problema non è completamente definito, in quanto, supposto che, a partire da un istante prefissato tin ∈ R, sia applicato in ingresso al sistema un dato segnale x(t), per trovare la corrispondente uscita y(t) per t ≥ tin , è sufficiente conoscere il valore del segnale di uscita e delle sue prime N − 1 derivate in tin ; in altre parole, è necessario conoscere lo stato iniziale del sistema. Ponendo per semplicità tin = 0, lo stato iniziale del sistema è pertanto descritto dalle N condizioni iniziali: y(0) = y0 ,

d dN−1 y(t) = y1 , . . . , N−1 y(t) = yN−1 , dt dt t=0 t=0

(4.66)

dove y0 , y1 , . . . , yN−1 sono valori (in genere reali) assegnati. I valori assegnati y0 , y1 , . . . , yN−1 dipendono dalla evoluzione passata del sistema e, dal punto di vista fisico, portano in conto la presenza eventuale di energia immagazzinata nel sistema fisico. Assegnato l’ingresso x(t) per t ≥ 0, la soluzione generale della (4.65), che tiene conto di tutte le possibili condizioni iniziali, è data dalla somma di una soluzione particolare y p (t) della (4.65), per la quale si ha: N

dk

M

dm

∑ ak dt k y p (t) = ∑ bm dt m x(t) ,

(4.67)

m=0

k=0

e della soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea associata alla (4.65), cioè dell’equazione N

dk

∑ ak dt k y(t) = 0 ,

(4.68)

k=0

ottenuta ponendo x(t) ≡ 0 nella (4.65). La soluzione generale y0 (t) della (4.68) è detta soluzione omogenea della (4.65). Come verifica di quanto sopra affermato, osserviamo che, se y0 (t) è soluzione 8 Nel

seguito si richiameranno alcuni risultati riguardanti la soluzione di equazioni differenziali senza fornire dimostrazioni, per le quali si rimanda il lettore direttamente ai testi di analisi matematica.

170

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

della (4.68), allora N

dk

∑ ak dt k y0 (t) = 0 ,

(4.69)

k=0

da cui sommando membro a membro la (4.67) e (4.69), è immediato constatare che y(t) = y0 (t) + y p (t)

(4.70)

è una soluzione della (4.65). D’altra parte, si può provare che la (4.70) fornisce tutte le soluzioni dell’equazione differenziale (4.65). In linea di principio, il calcolo della soluzione generale y0 (t) dell’equazione omogenea (4.68) non offre particolari difficoltà. Considerazioni di carattere fisico inducono nelle applicazioni pratiche a trovare soluzioni del tipo eλ t , con λ ∈ C, cioè del tipo esponenziale complesso. Se si pone allora y(t) = eλ t nella (4.68), si ottiene: ! N

N

k=0

k=0

∑ ak λ k eλ t = ∑ ak λ k |

{z

q(λ )

eλ t = q(λ ) eλ t = 0

⇐⇒

q(λ ) = 0 ,

}

dove l’equivalenza sussiste grazie al fatto che l’esponenziale complesso non si annulla mai, e quindi deve annullarsi q(λ ). Pertanto, l’esponenziale eλ t è soluzione della (4.68) se e solo se il parametro λ ∈ C è una radice del polinomio q(λ ), ossia: q(λ ) = a0 + a1 λ + · · · + aN λ N = 0 .

(4.71)

Il polinomio q(λ ) è detto polinomio caratteristico dell’equazione omogenea (4.68). Le radici del polinomio caratteristico possono essere reali, immaginarie oppure complesse.9 Se supponiamo in prima istanza che le N radici del polinomio q(λ ) siano distinte, siano esse λ1 , λ2 , . . . , λN , allora gli esponenziali complessi eλ1t , eλ2t , . . . , eλN t sono singolarmente soluzioni della (4.68). Più in generale, poiché una arbitraria combinazione lineare di soluzioni della (4.68) è ancora una soluzione della stessa equazione, la soluzione generale della (4.68) è data da: y0 (t) = c1 eλ1t + c2 eλ2t + · · · + cN eλN t ,

(4.72)

dove c1 , c2 , . . . , cN sono costanti arbitrarie. Si noti che l’arbitrarietà di queste costanti rende la soluzione omogenea della (4.65) non univocamente determinata. Le complicazioni introdotte dalla presenza di eventuali radici multiple del polinomio caratteristico q(λ ) sono minime e possono essere portate in conto come segue. Supposto che λi sia una radice con molteplicità Ni del polinomio caratteristico q(λ ), allora si prova facilmente che t h eλit , per h ∈ {0, 1, . . . , Ni − 1}, è soluzione della (4.68). Quindi, combinando linearmente tutte le N possibili soluzioni, si ottiene: R Ni −1

y0 (t) = ∑

∑ ci,h t h eλ t , i

(4.73)

i=1 h=0

dove λ1 , λ2 , . . . , λR sono le R radici distinte del polinomio caratteristico q(λ ) aventi molteplicità N1 , N2 , . . . , NR , rispettivamente, con N1 + N2 + · · · + NR = N [nel caso in cui R = N, la (4.73) degenera 9 Nel caso in cui i coefficienti del polinomio a , a , . . . , a N 0 1

siano reali, le radici di q(λ ) sono o reali o complesse coniugate.

4.6 Esempi di sistemi LTI

171

nella (4.72)]. Anche in questo caso, la soluzione omogenea y0 (t) non è univocamente specificata in quanto dipende dalle N costanti arbitrarie ci,h . A differenza della soluzione y0 (t), la soluzione particolare y p (t) dipende dal tipo di ingresso assegnato, e per essa non è possibile dare un’espressione generale, né una tecnica generale di soluzione. Notiamo che, senza portare in conto le condizioni iniziali, per la presenza delle costanti ci,h nella soluzione omogenea, la soluzione generale y(t) = y0 (t) + y p (t) non consente di determinare univocamente l’uscita del sistema. In altri termini, l’equazione differenziale (4.65) non definisce univocamente un sistema, in quanto l’uscita è definita a meno di N costanti arbitrarie. Riassumendo quanto detto finora, possiamo dire che la soluzione generale della equazione differenziale (4.65) si può ottenere seguendo i seguenti passi: 1. Si determina la soluzione omogenea y0 (t) data dalla (4.73), calcolando le radici del polinomio caratteristico q(λ ) (tale soluzione dipende dalle N costanti arbitrarie ci,h ). 2. Assegnato l’ingresso x(t), si determina una soluzione particolare y p (t) della (4.65); se l’ingresso è applicato all’istante tin = 0, allora la soluzione particolare ottenuta è valida solo per t > 0. 3. Si determinano gli N coefficienti ci,h della soluzione omogenea y0 (t) in modo che la soluzione generale della (4.65), data da y(t) = y0 (t) + y p (t) per t > 0, soddisfi le condizioni iniziali (4.66) assegnate. In molti casi è conveniente esprimere la soluzione generale della (4.65) come somma di due componenti: la prima dipendente solo dalle condizioni iniziali (4.66) e la seconda dipendente solo dal segnale di ingresso x(t). La componente dipendente solo dalle condizioni iniziale si può ottenere a partire dalla soluzione omogenea (4.73), imponendo che y0 (t) soddisfi da sola le condizioni iniziali assegnate, cioè y0 (0) = y0 ,

dN−1 d y0 (t) = y1 , . . . , N−1 y0 (t) = yN−1 . t=0 t=0 dt dt

(4.74)

Così facendo si ottiene una particolare soluzione omogenea ylib (t) che prende il nome di evoluzione libera del sistema, in quanto dipende solo dalle condizioni iniziali ed è completamente indipendente dal segnale di ingresso x(t). La (4.74) determina un sistema di N equazioni lineari nelle N incognite ci,h , con i ∈ {1, 2, . . . , R} e h ∈ {0, 1, . . . , Ni − 1}. Risolvendo tale sistema si trova che le costanti ci,h sono combinazioni lineari dei valori y0 , y1 , . . . , yN−1 assunti da y0 (t) e dalle sue prime N − 1 derivate per t = 0. Conseguentemente, l’evoluzione libera ylib (t) del sistema è essa stessa una funzione lineare di y0 , y1 , . . . , yN−1 ; questo vuol dire che se si impone che il sistema sia inizialmente in quiete, cioè y0 = y1 = · · · = yN−1 = 0, l’evoluzione libera del sistema è nulla, ossia, ylib (t) = 0, ∀t ∈ R. Questo è un risultato del tutto intuibile in quanto, se all’istante tin = 0 il sistema non possiede alcuna energia immagazzinata al suo interno, l’uscita per t ≥ 0 non può che essere nulla in assenza di alcuna sollecitazione esterna (segnale di ingresso). D’altra parte, la componente dipendente solo dal segnale di ingresso assegnato si può ottenere cercando una soluzione particolare y p (t) della (4.65) che soddisfi le condizioni: dN−1 d (4.75) y p (0) = y p (t) = · · · = N−1 y p (t) = 0 . dt dt t=0 t=0

La soluzione particolare yfor (t) della (4.65) che si ottiene in questo modo prende il nome di risposta forzata del sistema, in quanto tiene conto del solo segnale di ingresso x(t), assumendo che siano nulle le condizioni iniziali. Si può mostrare che la risposta forzata del sistema gode di due proprietà importanti. Innanzitutto, (1) (2) la risposta forzata è funzione lineare del segnale di ingresso: se yfor (t) e yfor (t) sono le risposte forzate

172

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

x(t)

y(t)

R d dt

C

x(t)

y(t)

Fig. 4.22. Schema elettrico del sistema RC (es. 4.16).

-1/RC

d y(t) dt

Fig. 4.23. Schema a blocchi del sistema RC (es. 4.16). (1)

(2)

del sistema agli ingressi x1 (t) e x2 (t), rispettivamente, allora α1 yfor (t) + α2 yfor (t) è la risposta forzata del sistema al segnale di ingresso α1 x1 (t) + α2 x2 (t), ∀α1 , α2 ∈ C. In particolare, ciò significa che se x(t) ≡ 0, allora yfor (t) ≡ 0. Inoltre, la relazione che lega yfor (t) al segnale di ingresso è tempoinvariante: se yfor (t) è la risposta forzata del sistema al segnale di ingresso x(t), allora yfor (t − t0 ) è la risposta forzata del sistema al segnale di ingresso x(t − t0 ), ∀t0 ∈ R. In definitiva, la risposta del sistema può essere espressa anche come la somma dell’evoluzione libera e della risposta forzata: y(t) = ylib (t) + yfor (t) .

(4.76)

La prima osservazione interessante suggerita dalla (4.76) è che in generale il sistema descritto dalle (4.65) e (4.66) non è lineare. Il carattere non lineare del sistema è esclusivamente dovuto alla presenza dell’evoluzione libera ylib (t), indipendente dal segnale di ingresso, per effetto della quale l’uscita y(t) è non nulla anche quando l’ingresso è identicamente nullo; ciò viola la prop. 3.4 dal momento che, se si impone x(t) ≡ 0, segue dalla (4.76) che y(t) = ylib (t) 6= 0. Tuttavia, è interessante osservare che il sistema definito dalla (4.76) è lineare per le differenze, cioè, può essere rappresentato mediante lo schema a blocchi in fig. 3.19 [dove y0 (·) corrisponde in questo caso all’evoluzione libera ylib (·)], in quanto la differenza delle risposte ad una arbitraria coppia di ingressi è funzione lineare della differenza dei corrispondenti ingressi. La seconda osservazione legata alla (4.76) è che in generale il sistema descritto dalle (4.65) e (4.66) non è tempo-invariante. La tempo-varianza del sistema è ancora una volta dovuta alla presenza dell’evoluzione libera ylib (t), indipendente dal segnale di ingresso, per effetto della quale ad una traslazione del segnale di ingresso non corrisponde la medesima traslazione del segnale di uscita. Possiamo quindi dire che, affinchè il sistema descritto dalle (4.65) e (4.66) sia LTI, occorre che la sua evoluzione libera sia nulla, il che si ottiene imponendo che il sistema sia inizialmente in quiete, assegnando cioè y0 = y1 = · · · = yN−1 = 0. Nell’esempio che segue si considererà un caso semplice per chiarire ulteriormente gli aspetti precedentemente discussi. ◮ Esempio 4.16 (sistema RC) Un esempio particolarmente semplice nell’ambito dei circuiti elettrici è il sistema RC raffigurato in fig. 4.22, nel quale l’ingresso x(t) è la tensione ai capi della serie RC, mentre l’uscita y(t) è la tensione ai capi della capacità. Applicando il secondo principio di Kirchoff (equilibrio tra le tensioni) e le relazioni tra tensione e corrente ai capi di resistenza e capacità, si ottiene l’equazione differenziale che descrive il comportamento del circuito: RC

d y(t) + y(t) = x(t) . dt

(4.77)

Il comportamento di questo sistema è pertanto descritto da una equazione differenziale del primo ordine (N = 1). Notiamo che tale equazione può essere rappresentata dallo schema a blocchi in retroazione di fig. 4.23. La

4.6 Esempi di sistemi LTI

173

soluzione generale y(t) della (4.77) si può scrivere come: y(t) = y0 (t) + y p (t) , dove y0 (t) è una qualunque soluzione dell’equazione omogenea associata alla (4.77), cioè dell’equazione che si ottiene ponendo in ingresso x(t) ≡ 0: y(t) + RC

d y(t) = 0 , dt

(4.78)

mentre y p (t) è una soluzione particolare dell’equazione completa (4.77). Determiniamo prima la soluzione dell’equazione omogenea: dobbiamo cercare le radici del polinomio caratteristico q(λ ), risolvendo l’equazione (4.71), che nel nostro caso si riduce alla: q(λ ) = 1 + RC λ = 0 , da cui si ricava l’unica radice λ1 = −1/(RC). In questo caso (R = N = 1), la (4.73) degenera nella (4.72) ed è composta da un solo termine: y0 (t) = c1 e−t/RC ,

c1 ∈ R .

(4.79)

Notiamo che, per la presenza della costante moltiplicativa c1 arbitraria, la (4.79) non consente di determinare univocamente l’uscita del sistema. Per determinare l’evoluzione libera del sistema dobbiamo imporre che la soluzione omogenea y0 (t) trovata soddisfi le condizioni iniziali (4.66); nel nostro caso (equazione del primo ordine), dobbiamo imporre la sola condizione y0 (0) = y0 . Dalla (4.79) otteniamo allora che y0 (0) = c1 = y0 , per cui l’evoluzione libera del sistema RC è descritta dal seguente segnale: ylib (t) = y0 e−t/RC . Si noti che l’evoluzione libera dipende linearmente dal valore iniziale y0 . La soluzione particolare y p (t) dipende dal tipo di ingresso, e deve soddisfare l’equazione differenziale completa (4.77). Risolvendo tale equazione differenziale con la condizione iniziale y p (0) = 0, otteniamo la risposta forzata del sistema. Supponiamo ad esempio che l’ingresso sia un gradino x(t) = u(t). In questo caso, l’equazione differenziale completa assume la forma y p (t) + RC

d y p (t) = u(t) dt

⇐⇒

d 1 1 y p (t) + y p (t) = u(t) . dt RC RC

Se si moltiplicano ambo i membri dell’equazione di destra per l’esponenziale et/RC e si osserva che   i d 1 dh et/RC y p (t) + y p (t) = y p (t)et/RC , dt RC dt si ottiene:  0 , i se t < 0 ; dh 1 et/RC u(t) = y p (t)et/RC = 1 t/RC  dt RC e , se t ≥ 0 ; RC

da cui, per integrazione indefinita,   se t < 0 ; c2 , Z 1 t/RC t/RC y p (t)et/RC = e dt + c3 = e + c3 , se t ≥ 0 .   RC

174

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Imponendo che y p (0) = 0, segue che c3 = −1; inoltre, trattandosi di una equazione differenziale del primo ordine, la discontinuità di prima specie del segnale x(t) all’istante t = 0 implica una discontinuità della stessa specie all’istante t = 0 nella derivata prima di y p (t), ma non comporta discontinuità in t = 0 del segnale y p (t), per cui risulta che c2 = 0.10 Pertanto, la risposta forzata del sistema assume la forma: yfor (t) = (1 − e−t/RC ) u(t) . Si osservi che yfor (t) è funzione lineare del segnale di ingresso x(t) = u(t). Inoltre, si può verificare (la verifica è lasciata al lettore) che la soluzione yt0 (t) dell’equazione differenziale (4.77), ottenuta ponendo x(t) = u(t − t0 ), con t0 ∈ R − {0} e con la condizione iniziale yt0 (t0 ) = 0, è pari a yt0 (t) = yfor (t −t0 ); in altri termini il legame tra yfor (t) e x(t) = u(t) è tempo-invariante. La soluzione completa y(t) dell’equazione differenziale corrispondente all’ingresso x(t) = u(t) si scrive: y(t) = ylib (t) + yfor (t) = y0 e−t/RC + (1 − e−t/RC ) u(t) .

(4.80)

Osserviamo che, per la presenza dell’evoluzione libera, il sistema risultante non è omogeneo (e quindi non è lineare). Inoltre la presenza di y0 (t) indipendente dall’ingresso rende il sistema non invariante temporalmente. Se allora siamo interessati ad un sistema LTI bisogna fissare come condizione iniziale quella di sistema inizialmente in quiete, ponendo y0 = 0, e la (4.80) si riduce a y(t) = yfor (t) = (1 − e−t/RC ) u(t) . Notiamo a questo punto che, essendo il sistema LTI nelle ipotesi fatte, y(t) = yfor (t) ne rappresenta la sua risposta al gradino, ovvero s(t) = (1 − e−t/RC ) u(t) . Tenendo presente la relazione (4.37) esistente tra risposta al gradino e risposta impulsiva, ricaviamo che la risposta impulsiva del sistema RC è: h(t) =

1 −t/RC d s(t) = e u(t) , dt RC

che, ponendo T = RC, corrisponde alla risposta impulsiva (4.50) assegnata nell’es. 4.11. La risposta impulsiva e la risposta al gradino del sistema RC sono raffigurate in fig. 4.24. Oltre ad essere chiaramente dispersivo, il sistema LTI ottenuto è causale [h(t) = 0, ∀t < 0] e stabile [h(t) è sommabile]. ◭

Nel cap. 6 vedremo come sia possibile ottenere la caratterizzazione di un generico sistema descritto dalla (4.65) in maniera più semplice di quanto visto finora. Nel paragrafo successivo introduciamo invece una classe di sistemi a TD con proprietà molto simili a quelli a TC descritti da equazioni differenziali del tipo (4.65). 4.6.2 Sistemi descritti da equazioni alle differenze (sistemi ARMA)

Nel caso TD, una relazione analoga alla (4.65) è la seguente: N

∑ ak y(n − k) =

k=0

M

∑ bm x(n − m) ,

(4.81)

m=0

nota come equazione alla differenze a coefficienti costanti di ordine N, con N ≥ 0 e aN 6= 0. Per tale equazione alle differenze si applicano tutte le considerazioni iniziali fatte per l’equazione differenziale 10 Più in generale, per un’equazione differenziale di ordine N, si dimostra che una discontinuità di prima specie del segnale

x(t) nel punto t0 implica una discontinuità di prima specie nel punto t0 della derivata N-esima del segnale y p (t), ma non comporta discontinuità nel medesimo punto di y p (t) e di tutte le sue derivate successive fino a quella di ordine N − 1.

175

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6 s(t)

RC h(t)

4.6 Esempi di sistemi LTI

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−2

−1

0

1

2

t/RC

t/RC

(a)

(b)

3

4

5

Fig. 4.24. Sistema RC (es. 4.16): (a) risposta impulsiva; (b) risposta al gradino.

(4.65). In particolare, i sistemi definiti implicitamente dalla (4.81), sotto opportune ipotesi, sono sistemi LTI, e sono denominati sistemi auto-regressivi a media mobile (ARMA). Solo nel caso N = 0, la (4.81) rappresenta una relazione i-u semplice da studiare, in quanto è possibile ricavare direttamente y(n) in funzione di x(n): y(n) =

1 M ∑ bm x(n − m) . a0 m=0

(4.82)

Dal confronto con l’es. 3.9, notiamo che la (4.82) definisce in effetti un sistema a media mobile (MA) (e quindi LTI e FIR), avente la seguente risposta impulsiva:   bn , n ∈ {0, 1, . . . , M} ; h(n) = a0  0, altrimenti .

Per N ≥ 1, analogamente al caso TC, la (4.81) descrive solo implicitamente un sistema; assegnato il segnale di ingresso x(n), per determinarne la relazione i-u, è necessario risolvere rispetto a y(n) l’equazione alle differenze. A tale proposito, va detto che la teoria e la pratica delle equazioni alle differenze, sebbene in principio siano più semplici rispetto alle equazioni differenziali, sono generalmente meno note ai lettori, ma presentano interessanti analogie con le corrispondenti nozioni valide per le equazioni differenziali. In particolare, supposto che, a partire da un istante prefissato nin ∈ Z, sia applicato in ingresso al sistema un dato segnale x(n), per trovare la corrispondente uscita y(n) per n ≥ nin , è sufficiente conoscere i valori del segnale di uscita negli N istanti di tempo precedenti nin ; questi valori racchiudono tutte le informazioni circa il passato del sistema necessarie per determinare il suo comportamento per n ≥ nin . Ponendo per semplicità nin = 0, lo stato iniziale del sistema è pertanto descritto dalle N condizioni iniziali: y(−1) = y1 , y(−2) = y2 , . . . , y(−N) = yN ,

(4.83)

dove y1 , y2 , . . . , yN sono valori (in genere reali) assegnati. Assegnato l’ingresso x(n) per n ≥ nin , si può provare che la soluzione generale di una equazione del tipo (4.81) si può esprimere, analogamente alle soluzioni di una equazione differenziale (4.65), come: y(n) = y0 (n) + y p (n) ,

176

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

dove y0 (n) è la soluzione omogenea, ovvero la soluzione generale dell’equazione omogenea associata alla (4.81): N

∑ ak y(n − k) = 0 ,

(4.84)

k=0

mentre y p (n) è una soluzione particolare dell’equazione “completa” (4.81), per la quale si ha: N

∑ ak y p (n − k) =

k=0

M

∑ bm x(n − m) .

(4.85)

m=0

Il calcolo della soluzione generale y0 (n) dell’equazione omogenea (4.84) si effettua ragionando similmente al caso TC. Se ci si limita a trovare soluzioni del tipo zn , con z ∈ C e si pone y(n) = zn nella (4.84), si ottiene: ! N

∑ ak z−k

zn = q(z) zn = 0

k=0

|

{z

⇐⇒

q(z) = 0 .

}

q(z)

Pertanto, l’esponenziale zn è soluzione della (4.84) se e solo se il parametro z è una radice del polinomio caratteristico q(z), ossia: q(z) = a0 + a1 z−1 + · · · + aN z−N = 0 ,

(4.86)

le cui radici possono essere reali, immaginarie oppure complesse.11 Se le N radici del polinomio q(z) sono distinte, siano esse z1 , z2 , . . . , zN , la soluzione generale della (4.84) è data da: y0 (n) = c1 zn1 + c2 zn2 + · · · + cN znN ,

(4.87)

dove c1 , c2 , . . . , cN sono costanti arbitrarie. Se invece il polinomio q(z) presenta R radici distinte z1 , z2 , . . . , zR aventi molteplicità N1 , N2 , . . . , NR , rispettivamente, con N1 + N2 + · · · + NR = N, la soluzione generale della (4.84) assume la forma: R Ni −1

y0 (n) = ∑

∑ ci,h nh zni .

(4.88)

i=1 h=0

Quindi, come nel caso TC, la soluzione omogenea y0 (n) non è univocamente specificata in quanto dipende dagli N coefficienti arbitrari ci,h . L’evoluzione libera del sistema ylib (n) corrisponde alla particolare soluzione omogenea (4.88) che soddisfa le condizioni iniziali (4.83), ossia y0 (−1) = y1 , y0 (−2) = y2 , . . . , yN (−N) = yN ,

(4.89)

dipendente solo dalle condizioni iniziali e completamente indipendente dal segnale di ingresso x(n). Risolvendo il sistema lineare (4.89) si trova che le costanti ci,h sono combinazioni lineari dei valori y0 , y1 , . . . , yN−1 assunti da y0 (n) per n ∈ {−N, −N + 1, . . . , −1}. Conseguentemente, l’evoluzione libera ylib (n) del sistema è essa stessa una funzione lineare di y1 , y2 , . . . , yN ; questo vuol dire che se si impone che il sistema sia inizialmente in quiete, cioè y1 = y2 = · · · = yN = 0, l’evoluzione libera 11 Nel caso in cui i coefficienti del polinomio a , a , . . . , a N 0 1

siano reali, le radici di q(z) sono o reali o complesse coniugate.

4.6 Esempi di sistemi LTI

177

del sistema è nulla, ossia, ylib (n) = 0, ∀n ∈ Z. D’altra parte, la risposta forzata del sistema yfor (n) si può ottenere cercando una soluzione particolare y p (n) della (4.81) che soddisfa le condizioni: y p (−1) = y p (−2) = · · · = y p (−N) = 0 ; essa tiene conto del solo segnale di ingresso x(n) assumendo che siano nulle le condizioni iniziali. Similmente al caso TC, il legame tra la risposta forzata yfor (n) e il segnale di ingresso x(n) è lineare e tempo-invariante, e quindi anche in questo caso se x(n) ≡ 0 si ha yfor (n) ≡ 0. In conclusione, la risposta del sistema può essere scritta come la somma dell’evoluzione libera e della risposta forzata: y(n) = ylib (n) + yfor (n) .

(4.90)

A causa della presenza dell’evoluzione libera, il sistema descritto dalle (4.81) e (4.83) è in generale lineare per le differenze e tempo-variante. Tale sistema diventa LTI se si impone che il sistema sia inizialmente in quiete, assegnando y1 = y2 = · · · = yN = 0. I sistemi LTI caratterizzati dalle equazioni alle differenze del tipo (4.81), con condizioni iniziali nulle, sono detti sistemi ARMA e sono quelli a cui faremo riferimento nel seguito. A differenza del caso TC, l’equazione alle differenze (4.81) può essere risolta seguendo un metodo alternativo a quello delineato sopra. Tale metodo si basa sull’osservazione che la (4.81) si può riscrivere lasciando solo y(n) al primo membro: y(n) = −

1 M 1 N a y(n − k) + ∑ k ∑ bm x(n − m) . a0 k=1 a0 m=0

(4.91)

Tale relazione evidenzia che l’uscita y(n) all’istante n può essere calcolata a partire dal valore corrente del segnale di ingresso x(n), dai valori y(n − 1), y(n − 2), . . . , y(n − N) assunti dal segnale di uscita nei precedenti N istanti di tempo e dai valori x(n − 1), x(n − 2), . . . , x(n − M) assunti dal segnale di ingresso nei precedenti M istanti di tempo. Pertanto, se il segnale di ingresso è applicato al sistema a partire dall’istante nin = 0, il valore y(0) del segnale di uscita all’istante n = 0 si può calcolare utilizzando la (4.91), a partire dalla conoscenza del valore corrente del segnale di ingresso x(0) e degli N valori precedenti dell’uscita y(−1), y(−2), . . . , y(−N) (ovvero le condizioni iniziali assegnate). Successivamente, il valore y(1) del segnale di uscita all’istante n = 1 si può calcolare utilizzando la (4.91), a partire dalla conoscenza del valore corrente del segnale di ingresso x(1), di quello passato x(0) e degli N valori precedenti dell’uscita y(0), y(1), . . . , y(−N + 1). Iterando questa procedura è possibile calcolare ricorsivamente il segnale di uscita y(n) per n ≥ 0, a partire dalla conoscenza del segnale di ingresso e delle condizioni iniziali assegnate. Tale procedura, che è applicabile solo a TD, prende il nome di metodo ricorsivo per il calcolo dell’uscita di un sistema il cui funzionamento è determinato dalla equazione alle differenze (4.81) e dalle condizioni iniziali (4.83). Nell’esempio che segue, il metodo ricorsivo è applicato allo studio di una semplice equazione alle differenze del primo ordine. ◮ Esempio 4.17 (sistema AR del primo ordine) Consideriamo la seguente equazione alle differenze di ordine N = 1: a0 y(n) + a1 y(n − 1) = b1 x(n) . △

△

Dividendo primo e secondo membro per a0 6= 0, e ponendo a = −a1 /a0 e b = b1 /a0 , possiamo riscriverla nella forma seguente, più semplice, y(n) − a y(n − 1) = b x(n) , che possiamo esprimere equivalentemente come segue: y(n) = a y(n − 1) + b x(n) ,

(4.92)

178

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

da cui si ricava che l’uscita y(n) all’istante n può essere calcolata a partire dal valore corrente del segnale di ingresso x(n) e dal valore precedente y(n − 1) del segnale di uscita. Questa interpretazione porta allo schema a blocchi riportato in fig. 4.25, la cui somiglianza con lo schema di fig. 4.23 sottolinea che l’equazione (4.92) si può interpretare come la controparte a TD dell’equazione differenziale del sistema RC (cfr. es. 4.16). Imponiamo che il sistema sia LTI, assumendo che il sistema sia inizialmente in quiete, ovvero y(−1) = 0. In tale ipotesi, cerchiamo di determinarne la risposta impulsiva ponendo x(n) = δ (n), in tal caso la corrispondente uscita del sistema è per definizione proprio la risposta impulsiva, ossia y(n) = h(n). A differenza del caso TC, possiamo trovare la soluzione h(n) in maniera ricorsiva, scrivendo: h(n) = a h(n − 1) + b δ (n) . Così facendo, troviamo iterando in avanti: h(0) = a h(−1) + b δ (0) = b , h(1) = a h(0) + b δ (1) = ab , h(2) = a h(1) + b δ (2) = a(ab) = a2 b , ed in generale, per n ≥ 0, h(n) = an b . Analogamente, iterando all’indietro si ha: 1 h(−2) = [h(−1) − b δ (−2)] = 0 , a 1 h(−3) = [h(−2) − b δ (−3)] = 0 , a ed in generale, per n < 0, h(n) = 0 . In definitiva, h(n) può essere sinteticamente espressa come h(n) = b an u(n) . che è rappresentata graficamente in fig. 4.26 per a = 0.8333 e b = 1. Dalle proprietà della risposta impulsiva, si vede che il sistema è dispersivo, causale, e stabile per 0 < |a| < 1. È interessante osservare che, ponendo b = 1, la risposta impulsiva di tale sistema coincide con quella assegnata nell’es. 4.11. Pertanto, il sistema in esame è un sistema IIR avente memoria praticamente finita, supposto 0 < |a| < 1. La natura IIR di questo sistema dipende dalla presenza nel sistema di un anello ricorsivo (fig. 4.25), il che giustifica anche il termine auto-regressivo (AR) utilizzato per tali sistemi. ◭

Purtroppo il calcolo della risposta impulsiva di un sistema ARMA arbitrario utilizzando il metodo ricorsivo non è sempre agevole come nell’es. 4.17; nel cap. 6 vedremo che esistono tecniche alternative per studiare tali sistemi nel dominio della frequenza. Va detto che, in generale, per N ≥ 1, i sistemi ARMA presentano risposte impulsive di durata infinita, e sono pertanto sistemi IIR. A conclusione di questo paragrafo, data la notevole importanza dei sistema ARMA nelle applicazioni, ed in particolare nell’elaborazione digitale dei segnali,12 è utile fare qualche considerazione sulla loro implementazione. A tale proposito, osserviamo che la forma ricorsiva (4.91) dell’equazione alle differenze (4.81), oltre a fornire un metodo alternativo di risoluzione dell’equazione, suggerisce anche un modo per realizzare il sistema. Per semplicità, con un leggero abuso di notazione, denotiamo 12 Ad

esempio, in Matlab, il comando filter implementa proprio la relazione i-u di un sistema ARMA.

4.6 Esempi di sistemi LTI

x(n)

179

b

1

y(n)

0.8

a

y(n-1)

h(n)

z -1

0.6 0.4 0.2

Fig. 4.25. Schema a blocchi del sistema descritto dall’equazione alle differenze y(n) = a y(n − 1) + b x(n) (es. 4.17).

0 0

5

10

15

20

n

Fig. 4.26. Risposta impulsiva del sistema LTI (es. 4.17) descritto dall’equazione alle differenze y(n) − a y(n − 1) = b x(n) (a = 0.8333 e b = 1).

con ak i rapporti −ak /a0 , per k ∈ {1, 2, . . . , N}, e con bm i rapporti bm /a0 , per m ∈ {0, 1, . . . , M}; così facendo la (4.91) si riscrive come segue: y(n) =

N

N

k=1

m=0

∑ ak y(n − k) + ∑ bm x(n − m) ,

(4.93)

in cui abbiamo inoltre assunto senza perdita di generalità che13 N = M. Questa relazione mette in luce che un sistema ARMA può essere realizzato mediante opportuna interconnessione di tre componenti elementari: amplificatore/attenuatore ideale, ritardo elementare e sommatore. Precisamente, lo schema a blocchi corrispondente alla (4.93) è riportato in fig. 4.27. Tale schema evidenzia che un sistema ARMA può essere decomposto nella serie di due sistemi LTI. Il primo sistema (quello di sinistra) effettua una semplice elaborazione (consistente in ritardi e moltiplicazioni per costanti) del segnale di ingresso x(n) producendo in uscita il segnale: N

z(n) =

∑ bm x(n − m) .

(4.94)

m=0

Tale sistema è in effetti un sistema MA di ordine N ed è pertanto un sistema FIR. Il secondo sistema (quello di destra) ha come ingresso il segnale z(n) e produce in uscita il segnale y(n) secondo la seguente relazione ricorsiva: N

y(n) =

∑ ak y(n − k) + z(n) ,

(4.95)

k=1

in cui l’uscita all’istante n si ricava in funzione del valore attuale del segnale di ingresso z(n) e dei valori del segnale di uscita negli N istanti precedenti. Questa ricorsione, che giustifica anche il termine auto-regressivo (AR) utilizzato per tali sistemi, si traduce dal punto di vista grafico nella “reazione del segnale di uscita” che, opportunamente ritardato e scalato, è riportato indietro verso il segnale di ingresso z(n). Per effetto della ricorsione, i sistemi AR presentano risposte impulsive di durata infinita, 13 A

partire da un sistema ARMA con N = M, è possibile ottenere un sistema con N > M, ponendo a zero i coefficienti bm , per m ∈ {M + 1, M + 2, . . . , N}; analogamente, è possibile ottenere un sistema con N < M, ponendo a zero i coefficienti bk , per k ∈ {N + 1, N + 2, . . . , M}.

180

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

z(n) x(n)

y(n)

b0 z -1

z -1 a1

b1

x(n-1) z -1

z -1 a2

b2

x(n-2) . . .

y(n-2) . . .

. . .

. . .

z -1 x(n-N)

y(n-1)

z -1 bN

parte MA

aN

y(n-N)

parte AR

Fig. 4.27. Realizzazione in forma diretta I di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si può vedere come la cascata della parte MA e della parte AR.

e sono pertanto sistemi IIR. Possiamo quindi dire che la (4.94) rappresenta la parte MA (o FIR) del sistema, mentre la (4.95) rappresenta la parte AR (o IIR) del sistema. La realizzazione di fig. 4.27 è comunemente denominata forma diretta I del sistema ARMA. Osserviamo che per tale realizzazione sono richiesti due banchi costituiti da N ritardi elementari,14 per un totale di 2 N ritardi elementari, nonchè amplificatori e sommatori. Lo schema di fig. 4.27 può essere riorganizzato allo scopo di ridurre il numero di ritardi elementari richiesti, senza alterare la natura del sistema. Un modo per fare ciò consiste nello scambiare l’ordine della parte MA e AR nella cascata; ciò non altera il legame i-u del sistema, in quanto sia la parte MA che quella AR sono sistemi LTI, ed abbiamo visto che per i sistemi LTI l’ordine di connessione in serie è inessenziale. Così facendo si giunge alla struttura modificata rappresentata in fig. 4.28, che è generalmente denominata forma diretta II del sistema ARMA.15 Si nota che in questa nuova configurazione i due banchi di N ritardi hanno in ingresso il medesimo segnale u(n) e, pertanto, essi possono essere sostituiti da un unico banco costituito solo da N elementi di ritardo. In tal modo, si ottiene la struttura cosiddetta canonica riportata in fig. 4.29, che minimizza il numero di ritardi necessari (e quindi l’ingombro di memoria) per l’implementazione del sistema ARMA.

14 Un

banco di N ritardi è equivalente ad un registro a scorrimento di lunghezza N.

15 Il comando filter di Matlab, precedentemente menzionato, calcola l’uscita di un sistema ARMA utilizzando proprio

la forma diretta II.

4.6 Esempi di sistemi LTI

181

u(n)

x(n) z -1 a1

b0 z -1 b1

u(n-1) z -1

a2

y(n)

z -1 b2

u(n-2) . . .

. . .

. . .

. . . z -1 aN

z -1 bN

u(n-N)

parte AR

parte MA

Fig. 4.28. Realizzazione in forma diretta II di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si ottiene facilmente da quello di fig. 4.27 scambiando l’ordine della parte MA e della parte AR.

u(n)

x(n)

b0

y(n)

z -1 a1

b1 z -1

a2

b2 . . .

. . .

. . . z -1 aN

bN u(n-N)

Fig. 4.29. Realizzazione in forma canonica di un sistema ARMA (N = M). Lo schema si ottiene facilmente da quello di fig. 4.28 notando che i due banchi di ritardi paralleli possono essere sostituiti da un unico banco.

182

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI Abbiamo visto in questo capitolo che rappresentando un arbitrario segnale di ingresso x(·) come sovrapposizione (discreta o continua) di impulsi δ (·), è possibile caratterizzare in generale il comportamento di un sistema LTI attraverso la sua risposta impulsiva h(·), e scrivere la relazione i-u in termini di convoluzione discreta (4.7) oppure continua (4.12). Vedremo nei prossimi capitoli che un’ampia famiglia di segnali di interesse pratico possono essere rappresentati, oltre che come sovrapposizione di impulsi, anche come sovrapposizione di fasori (esponenziali complessi) a diverse frequenze o, se reali, di sinusoidi (rappresentazioni di Fourier). Per la proprietà di sovrapposizione degli effetti caratteristica dei sistemi lineari, e dei sistemi LTI in particolare, e tenendo anche conto del fatto che le sinusoidi stesse si possono esprimere come sovrapposizione di una coppia di fasori (formule di Eulero), è allora sufficiente analizzare il comportamento di un sistema LTI quando esso in ingresso viene sollecitato da un singolo fasore avente frequenza arbitraria. La caratterizzazione risultante del sistema prende il nome di relazione i-u nel dominio della frequenza, e la funzione che descrive il sistema in tale rappresentazione è la risposta in frequenza del sistema LTI. Nei paragrafi seguenti, per comodità di presentazione, studieremo tale rappresentazione separatamente nel caso TC e nel caso TD. 4.7.1 Risposta ad un fasore di un sistema TC LTI

Un sistema TC LTI è descritto dalla relazione i-u (4.12), che riportiamo di seguito per comodità: y(t) =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ .

Supponiamo che il segnale di ingresso sia un fasore a frequenza f , avente ampiezza unitaria e fase iniziale nulla, ovvero poniamo x(t) = e j2π f t . Sostituendo nella relazione i-u del sistema, si ottiene: y(t) =

Z +∞ −∞

h(τ ) e

j2π f (t−τ )

dτ =

Z

+∞

−∞

− j2π f τ

h(τ ) e



dτ e j2π f t .

Assumendo che la quantità tra parentesi tonde esista finita, e ponendo: △

H( f ) =

Z +∞ −∞

h(τ ) e− j2π f τ dτ ,

(4.96)

si ha: y(t) = H( f ) e j2π f t . Questa relazione mostra che l’uscita y(t) corrispondente al fasore x(t) = e j2π f t è a sua volta un fasore avente la stessa frequenza f dell’ingresso, moltiplicato per H( f ). Questa importante proprietà dei sistemi TC LTI si può riassumere sinteticamente come segue: Proprietà 4.9 (risposta ad un fasore di un sistema TC LTI) Si consideri un fasore a frequenza f ∈ R, in ingresso ad un sistema TC LTI con risposta impulsiva h(t), per il quale la H( f ) definita dalla (4.96) esiste finita. Vale la seguente relazione i-u: x(t) = e j2π f t −→ y(t) = H( f ) e j2π f t

(4.97)

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

x(t)

H(f)

y(t) = H( f) e j2πft

Fig. 4.30. Rappresentazione schematica della risposta ad un fasore di un sistema TC LTI.

183

x(n)

H(ν)

y(n) = H( ν) e j2πνn

Fig. 4.31. Rappresentazione schematica della risposta ad un fasore di un sistema TD LTI.

La prop. 4.9 può anche essere rappresentata dallo schema a blocchi di fig. 4.30. Si noti che tale proprietà vale anche per f = 0, ed in tal caso il fasore di ingresso degenera nel segnale costante x(t) = 1, cui corrisponde in uscita ancora un segnale costante y(t) = H(0). La quantità H(0) prende il nome di guadagno in continua del sistema LTI. Dalla sua definizione (4.96), osserviamo che H( f ), per ogni fissato valore di f , è in generale una grandezza complessa, che si può scrivere in termini di ampiezza e fase come segue: H( f ) = |H( f )| e j∡H( f ) . Sostituendo tale espressione nella (4.97), si ha: y(t) = |H( f )| e j∡H( f ) e j2π f t = |H( f )| e j[2π f t+∡H( f )] .

(4.98)

La (4.98) mostra in maniera più esplicita l’effetto del sistema sul fasore in ingresso, in particolare l’ampiezza del fasore viene modificata da |H( f )|, mentre la fase del fasore viene modificata da ∡H( f ). Notiamo che la frequenza del fasore resta invariata nel passaggio attraverso il sistema LTI.16 Riguardando H( f ) come una funzione complessa della frequenza f ∈ R, essa prende il nome di risposta in frequenza o risposta armonica del sistema LTI; inoltre il suo modulo |H( f )|, che modifica l’ampiezza del fasore di ingresso, prende il nome di risposta in ampiezza, mentre la sua fase ∡H( f ), che modifica la fase del fasore di ingresso, prende il nome di risposta in fase. Vedremo nel cap. 6 che la relazione (4.96), che definisce H( f ) in funzione di h(τ ), si può interpretare come la trasformata di Fourier del segnale h(τ ). Sotto opportune ipotesi, generalmente soddisfatte dai segnali di interesse pratico, tale relazione di trasformata di Fourier è invertibile, e la sua inversa, detta antitrasformata di Fourier, consente di calcolare la risposta impulsiva h(τ ) a partire dalla risposta armonica H( f ). È interessante osservare che la risposta in frequenza è sicuramente limitata se la risposta impulsiva è sommabile, ovvero se il sistema è stabile. La prova di questo risultato si ottiene osservando che: Z +∞ Z +∞ Z +∞ − j2π f τ − j2π f τ |h(τ )| |e |h(τ )|dτ , dτ ≤ | dτ = |H( f )| = h(τ ) e | {z } −∞ −∞ −∞

∀f ∈ R,

=1

da cui segue che, se h(τ ) è sommabile, allora l’integrale all’ultimo membro dell’equazione precedente esiste finito e, conseguentemente, |H( f )| < +∞, ∀ f ∈ R. Quindi, la prop. 4.9 si applica sicuramente a tutti i sistemi stabili. 16 Il fatto che ad un fasore in ingresso corrisponda un fasore in uscita alla stessa frequenza, evidenzia che i fasori sono segnali particolari per i sistemi LTI, in quanto restano sostanzialmente inalterati nel passaggio attraverso il sistema stesso. Tale proprietà si esprime, per analogia con la corrispondente proprietà dell’algebra lineare, dicendo che i fasori sono le autofunzioni dei sistemi LTI. Infatti, poiché nell’algebra lineare una trasformazione lineare è descritta da una matrice A, ovvero si ha y = A x, la relazione A e = λ e che definisce gli autovettori e gli autovalori si può interpretare come il fatto che il vettore e viene trasformato da A nel vettore λ e, proporzionale a e. Per completare l’analogia, si noti allora che la funzione H( f ) gioca il ruolo del coefficiente di proporzionalità λ , cioè dell’autovalore. Questa analogia può essere resa rigorosa utilizzando concetti matematici più avanzati, in particolare concetti di analisi funzionale.

184

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Supposto H( f ) finita, la prop. 4.9 consente anche di fornire una definizione della risposta in frequenza alternativa alla (4.96), ovvero △ y(t) H( f ) = , (4.99) x(t) x(t)=e j2π f t

secondo la quale H( f ) si esprime come il rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando l’ingresso è un fasore a frequenza f , avente ampiezza unitaria e fase iniziale nulla. Questa definizione è di grande utilità per ricavare direttamente la risposta armonica dei sistemi TC LTI descritti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (cfr. § 4.6.1), come dimostrato dall’esempio seguente.

◮ Esempio 4.18 (risposta in frequenza di un sistema RC) Consideriamo il sistema RC dell’es. 4.16, raffigurato in fig. 4.22. Applicando i principi di Kirchoff e le relazioni tensione-corrente per i componenti R e C, si perviene alla seguente equazione differenziale, che descrive il comportamento del sistema: RC

dy(t) + y(t) = x(t) . dt

(4.100)

Abbiamo visto nell’es. 4.16 (si veda anche il § 4.6.1) che, nell’ipotesi in cui il sistema sia inizialmente in quiete [y(0) = 0] tale equazione differenziale definisce univocamente un sistema LTI causale e stabile, avente 1 −t/RC risposta impulsiva h(t) = RC e u(t). Sfruttando la conoscenza di h(t), è possibile allora calcolare la risposta in frequenza H( f ) mediante la (4.96): questo approccio equivale ad effettuare la trasformata di Fourier di h(t), e sarà ulteriormente approfondito nel cap. 6. È più semplice invece – e non richiede la conoscenza di h(t) – calcolare la risposta in frequenza del sistema utilizzando la (4.99), ossia ponendo x(t) = e j2π f t e y(t) = H( f ) e j2π f t , e sostituendo tali espressioni nell’equazione differenziale (4.100) che descrive il sistema. Notando infatti che  dy(t) d = H( f ) e j2π f t = j2π f H( f ) e j2π f t , dt dt

sostituendo nella (4.100) si ha:

RC j2π f H( f ) e j2π f t + H( f ) e j2π f t = e j2π f t , da cui mettendo in evidenza e j2π f t si ottiene: (RC j2π f + 1) H( f ) e j2π f t = e j2π f t . Affinché l’uguaglianza precedente possa valere per ogni t ∈ R, deve risultare necessariamente: (RC j2π f + 1) H( f ) = 1 , da cui si ottiene infine la risposta in frequenza di un sistema RC: H( f ) =

1 . 1 + j2π f RC

La precedente relazione mostra effettivamente che H( f ) è una funzione complessa di f , della quale è facile ricavare modulo e fase, che definiscono rispettivamente la risposta in ampiezza e la risposta in fase del sistema RC: |H( f )| = p

1 1 + (2π f RC)2

∡H( f ) = − arctan(2π f RC)

(risposta in ampiezza) (risposta in fase)

che sono rappresentate graficamente in fig. 4.32 in funzione di 2π f RC. Particolarmente interessante è notare che la risposta in ampiezza è uguale ad 1 solo per f = 0, mentre assume valori minori di 1 per f 6= 0 e decrescenti

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

185

|H(f)|

1 0.5 0 −10

−5

0 2πfRC

5

10

−5

0 2πfRC

5

10

∠ H(f)

1 0 −1 −10

Fig. 4.32. Risposta in frequenza di un sistema RC (es. 4.18): risposta in ampiezza (in alto); risposta in fase (in basso). al crescere di | f |. In virtù di questo comportamento, solo il fasore a frequenza f = 0 (coincidente con il segnale costante x(t) = 1) non viene attenuato in ampiezza passando attraverso il sistema, mentre i fasori a frequenza f 6= 0 subiscono attenuazioni di ampiezza, crescenti al crescere di | f |. Un sistema di questo tipo, che introduce un’attenuazione di ampiezza crescente con la frequenza, viene chiamato filtro passabasso. Come osservazione conclusiva, notiamo che, a prima vista, si potrebbe pensare che nella strada seguita per determinare H( f ) si sia sfruttata solo l’equazione differenziale (4.100) e non la condizione iniziale y(0) = 0; il che potrebbe far pensare che il risultato ottenuto è valido anche se il sistema non è inizialmente in quiete. Tale conclusione non è corretta. Infatti, nell’imporre che l’uscita corrispondente al segnale x(t) = e j2π f t avesse l’espressione y(t) = H( f ) e j2π f t , si è implicitamente imposto che il sistema sia LTI, il che è vero se e solo se y(0) = 0. Quindi, supposto H( f ) finita, cercare la soluzione y(t) = H( f ) e j2π f t dell’equazione differenziale assegnata è equivalente ad imporre la condizione iniziale y(0) = 0. ◭

La prop. 4.9 e l’es. 4.18 mostrano che un sistema LTI tratta i fasori presenti al suo ingresso diversamente a seconda della loro frequenza, modificandone sia l’ampiezza che la fase con una legge dipendente da f : tale comportamento, che assume una importanza rilevante nello studio dei sistemi LTI, va sotto il nome di proprietà di selettività in frequenza dei sistemi LTI, e sarà ulteriormente approfondito nei prossimi capitoli. In particolare, è importante osservare che la risposta in frequenza di un sistema può anche annullarsi ad una data frequenza f0 , cioè H( f0 ) = 0; questo significa che se si mette in ingresso a tale sistema un fasore avente frequenza f0 , la corrispondente uscita è nulla. Pertanto, dato un sistema LTI, se l’ingresso è nullo, la corrispondente uscita è necessariamente nulla (cfr. prop. 3.4); tuttavia, l’uscita di un sistema LTI può essere nulla anche quando in ingresso al sistema è posto un segnale non nullo. In altri termini, il sistema può “sopprimere” completamente il segnale di ingresso. L’es. 4.18 conferma che la funzione H( f ) data dalla (4.96) o dalla (4.99) è in generale una funzione complessa. Se il sistema LTI è reale, ovvero la sua risposta impulsiva h(t) è una funzione reale, è possibile provare che tale funzione complessa gode di una particolare proprietà di simmetria. Infatti, coniugando la (4.96), si ottiene: H ∗( f ) =

Z +∞ −∞

h∗ (τ ) e j2π f τ dτ =

Z +∞ −∞

h(τ ) e− j2π (− f )τ dτ = H(− f ) ,

dove si è sfruttato il fatto che, se h(τ ) è reale, risulta h∗ (τ ) = h(τ ). In definitiva, per un sistema reale, si ha: H ∗ ( f ) = H(− f ) .

(4.101)

186

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Tale proprietà di simmetria della risposta in frequenza H( f ) prende il nome di simmetria hermitiana, ed è conseguenza del fatto che h(t) è una funzione reale. Utilizzando la formula di antitrasformazione di Fourier (cfr. cap. 6) si può anche provare che, se vale la (4.101), allora la h(t) è necessariamente reale. In termini matematici, quindi, la simmetria hermitiana della H( f ) è una condizione necessaria e sufficiente affinché la risposta impulsiva h(t) sia reale (e quindi affinché il sistema sia reale). Notiamo che, ponendo f = 0 nella (4.101), si ottiene H ∗ (0) = H(0), e quindi si ricava che H(0) è necessariamente reale, ovvero il guadagno in continua di un sistema reale è reale. Nel caso particolare in cui H( f ) assume solo valori reali, la simmetria hermitiana (4.101) si riduce alla convenzionale proprietà di simmetria pari. Più in generale, è possibile interpretare la simmetria hermitiana di H( f ) come simmetria pari/dispari della risposta in ampiezza ed in fase. Infatti se si esprime H( f ) in termini di modulo e fase: H( f ) = |H( f )| e j∡H( f ) , dalla (4.101) si ha: |H( f )| e− j∡H( f ) = |H(− f )| e j∡H(− f ) , da cui, uguagliando modulo e fase del primo e del secondo membro, si ha necessariamente: |H( f )| = |H(− f )| ,

(4.102)

∡H( f ) = −∡H(− f ) .

(4.103)

La (4.102) mostra in particolare che la risposta in ampiezza di un sistema reale è una funzione pari di f , mentre la (4.102) mostra che la risposta in fase di un sistema reale è una funzione dispari di f (a meno di multipli di 2π ). ◮ Esempio 4.19 (simmetria hermitiana della risposta in frequenza di un sistema RC) La risposta impul1 −t/RC e u(t), per cui esso è un sistema reale, e quindi la siva di un sistema RC è la funzione reale h(t) = RC sua risposta in frequenza H( f ) presenta la proprietà di simmetria hermitiana. Tale proprietà si può provare analiticamente, notando che H ∗( f ) =

1 1 = = H(− f ) , 1 − j2π f RC 1 + j2π (− f )RC

oppure anche graficamente, notando (fig. 4.32) che la risposta in ampiezza è una funzione pari, e la risposta in fase è una funzione dispari. ◭

4.7.2 Risposta ad un fasore di un sistema TD LTI

Le considerazioni sviluppate nel precedente paragrafo nel caso TC si possono ripetere per il caso TD, con poche modifiche. Partiamo dalla relazione i-u (4.7) per un sistema TD LTI, che riportiamo di seguito per comodità: +∞

y(n) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) .

Supponiamo che l’ingresso x(n) sia un fasore a frequenza ν ∈ R, avente ampiezza unitaria e fase iniziale nulla, ovvero poniamo x(n) = e j2πν n . Sostituendo l’espressione di x(n) nella relazione i-u del sistema, si ottiene: ! +∞

y(n) =

∑

k=−∞

h(k) e j2πν (n−k) =

+∞

∑

k=−∞

h(k) e− j2πν k e j2πν n

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

187

Nell’ipotesi che la serie bilatera tra parentesi tonde converga, poniamo: △

H(ν ) =

+∞

∑

h(k) e− j2πν k ,

(4.104)

k=−∞

per cui si può scrivere: y(n) = H(ν ) e j2πν n , e quindi l’uscita y(n) corrispondente al fasore x(n) = e j2πν n è un fasore avente la stessa frequenza ν dell’ingresso, moltiplicato per la quantità H(ν ). Tale importante proprietà è riassunta schematicamente di seguito: Proprietà 4.10 (risposta ad un fasore di un sistema TD LTI) Si consideri un fasore a frequenza ν ∈ R, in ingresso ad un sistema TD LTI con risposta impulsiva h(n), per il quale la H(ν ) definita dalla (4.104) esiste finita. Vale la seguente relazione i-u: x(n) = e j2πν n −→ y(n) = H(ν ) e j2πν n

(4.105)

La prop. 4.10, analogamente al caso TC, può essere rappresentata schematicamente come in fig. 4.31. Tale proprietà vale anche per ν = 0, ed in tal caso il fasore di ingresso degenera nel segnale costante x(n) = 1, cui corrisponde in uscita ancora un segnale costante y(n) = H(0). La quantità H(0) prende anche in questo caso il nome di guadagno in continua del sistema LTI. Riguardata come funzione complessa della variabile ν ∈ R, la funzione H(ν ) prende il nome di risposta in frequenza o risposta armonica del sistema TD LTI. Il modulo e la fase di H(ν ), come nel caso TC, prendono il nome di risposta in ampiezza e in fase, rispettivamente, in quanto agiscono sull’ampiezza e sulla fase del fasore di ingresso. Anche in questo caso la relazione matematica (4.104) che definisce H(ν ) in funzione di h(k) è una trasformata di Fourier, e sotto opportune ipotesi mostreremo che tale relazione è invertibile, per cui è possibile ricavare h(k) a partire da H(ν ) mediante una antitrasformata di Fourier. Notiamo che, come nel caso TC, la risposta in frequenza esiste finita per ogni ν ∈ R se il sistema è stabile, ovvero h(k) è sommabile. Quest’ultimo risultato discende dal fatto che +∞ +∞ +∞ |H(ν )| = ∑ h(k) e− j2πν k ≤ ∑ |h(k)| |e− j2πν k | = ∑ |h(k)| , ∀ν ∈ R , | {z } k=−∞ k=−∞ k=−∞ k=1

da cui segue che, se h(k) è sommabile, allora la serie all’ultimo membro dell’equazione di cui sopra è convergente e, conseguentemente, |H(ν )| < +∞, ∀ν ∈ R. Quindi, la prop. 4.10 si applica sicuramente a tutti i sistemi stabili. Una differenza importante tra la risposta in frequenza nel caso TC e quella nel caso TD è legata alla proprietà di periodicità in frequenza dei fasori TD (cfr. § 2.3.3). Infatti, poiché nel caso TD due fasori aventi frequenze ν e ν + 1 coincidono, ci aspettiamo che il sistema LTI li tratti allo stesso modo, e quindi che la risposta in frequenza assuma gli stessi valori in corrispondenza di tali frequenze, ovvero H(ν ) = H(ν + 1) ,

∀ν ∈ R .

Questa relazione si può provare facilmente (vedi dopo), ed esprime il fatto che la funzione H(ν ) è periodica in frequenza di periodo 1. Vale pertanto la seguente proprietà:

188

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Proprietà 4.11 (periodicità della risposta in frequenza di un sistema TD LTI) La risposta in frequenza H(ν ) di un sistema LTI a TD, definita dalla (4.104), è periodica di periodo unitario, ossia: H(ν ) = H(ν + 1) ,

∀ν ∈ R .

Prova. La prova è banale, e discende direttamente dalla definizione (4.104) e dalla periodicità in frequenza dei fasori TD. Calcolando direttamente H(ν + 1), si ha: H(ν + 1) =

+∞

∑

h(k) e− j2π (ν +1)k =

k=−∞

+∞

∑

k=−∞

come si voleva dimostrare.

j2π k h(k) e− j2πν k e|−{z }= =1

+∞

∑

h(k) e− j2πν k = H(ν ) ,

k=−∞



Anche nel caso TD, supposto H(ν ) finita, la prop. 4.10 consente di fornire una definizione della risposta in frequenza alternativa alla (4.104), e precisamente: △ y(n) (4.106) H(ν ) = x(n) x(n)=e j2πν n

ovvero come rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando l’ingresso è un fasore a frequenza ν , avente ampiezza unitaria e fase iniziale nulla. Questa definizione è di grande utilità per ricavare direttamente la risposta armonica di un sistema LTI descritto da una equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti (cfr § 4.6.2), come dimostrato dall’esempio seguente. ◮ Esempio 4.20 (risposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine) Consideriamo il sistema AR dell’es. 4.17, descritto dalla seguente equazione alle differenze: y(n) = a y(n − 1) + b x(n) .

(4.107)

Abbiamo visto nell’es. 4.17 che, nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle, ossia y(−1) = 0, tale equazione alle differenze definisce univocamente un sistema LTI causale, avente risposta impulsiva h(n) = b an u(n), che risulta stabile se |a| < 1. Invece di sostituire l’espressione di h(n) nella (4.104), utilizziamo la (4.99), ossia sostituiamo x(n) = e j2πν n e y(n) = H(ν ) e j2πν n nella (4.107). Si ha: H(ν ) e j2πν n = a H(ν ) e j2πν (n−1) + b e j2πν n , da cui raggruppando i termini si ottiene:
H(ν ) 1 − a e− j2πν e j2πν n = b e j2πν n .

Affinché l’uguaglianza precedente sia verificata per ogni n ∈ Z, deve risultare:
H(ν ) 1 − a e− j2πν = b ,

da cui si ottiene infine la risposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine: H(ν ) =

b . 1 − a e− j2πν

Bisogna osservare che il procedimento seguito è corretto solo nell’ipotesi che la funzione H(ν ) definita dalla (4.104) esiste finita; abbiamo visto che una condizione sufficiente affinché ciò accada è che h(n) sia sommabile

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

189

2 |H(ν)|

|H(ν)|

2 1 0 −2

−1

0 ν

1

0 −2

2

−1

0 ν

1

2

−1

0 ν

1

2

1 ∠ H(ν)

∠ H(ν)

1 0 −1 −2

1

0 −1

−1

0 ν

1

2

Fig. 4.33. Risposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine (es. 4.20) per a = 0.5: risposta in ampiezza (in alto); risposta in fase (in basso). Si noti che le risposte sono periodiche di periodo 1.

−2

Fig. 4.34. Risposta in frequenza di un sistema AR del primo ordine (es. 4.20) per a = −0.5: risposta in ampiezza (in alto); risposta in fase (in basso). Si noti che le risposte sono periodiche di periodo 1.

(sistema stabile), il che accade se e solo se |a| < 1. La risposta in ampiezza e la risposta in fase del sistema AR si ottengono applicando semplici risultati di algebra dei numeri complessi, e si possono esprimere come |H(ν )| = q

|b|

[1 − a cos(2πν )]2 + a2 sin2 (2πν )   a sin(2πν ) , ∡H(ν ) = ∡b − arctan 1 − a cos(2πν )

=p

|b|

1 + a2 − 2 a

cos(2πν )

,

che sono rappresentate graficamente in fig. 4.33 per a = 0.5 e b = 1, ed in fig. 4.34 per a = −0.5 e b = 1. Abbiamo rappresentato modulo e fase nell’intervallo ν ∈ (−2, 2), per evidenziare la periodicità di H(ν ) con periodo unitario; in pratica tenendo conto di questa osservazione sarebbe stato sufficiente rappresentare modulo e fase in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria, come ν ∈ (0, 1) oppure ν ∈ (−1/2, 1/2). Una differenza importante che emerge dal confronto tra gli spettri di ampiezza per a = 0.5 e a = −0.5 è il fatto che nel primo caso si ha un massimo per ν = 0 (e, per la periodicità, per tutti i punti ν = k, k ∈ Z), mentre nel secondo caso si ha un massimo per ν = 12 (e, per la periodicità, per tutti i punti ν = 12 + k, k ∈ Z). Ricordando (cfr. § 2.3.3) che nel caso TD le frequenze ν = 12 + k, k ∈ Z, rappresentano quelle dei fasori più rapidamente variabili (e quindi vanno considerate come le alte frequenze nel caso TD), possiamo concludere che per a = −0.5 (ma più in generale, per −1 < a < 0) il sistema LTI si comporta come un filtro passaalto, mentre per a = 0.5 (più in generale, per 0 < a < 1) il sistema si comporta come un filtro passabasso. ◭

La proprietà 4.10 e l’es. 4.20 mostrano che un sistema LTI, anche nel caso TD, tratta selettivamente i fasori in ingresso a secondo della frequenza ν (selettività in frequenza dei sistemi LTI). In particolare, se la risposta in frequenza si annulla alla frequenza ν , un fasore a frequenza ν è completamente soppresso dal sistema, nel senso che la corrispondente uscita è nulla. Anche nel caso TD, inoltre, se h(n) è una funzione reale (sistema reale), la H(ν ) gode della proprietà di simmetria hermitiana: H ∗ (ν ) = H(−ν ) ,

(4.108)

che si può esprimere equivalentemente, come nel caso TC, dicendo che il modulo è una funzione pari di ν , e la fase una funzione dispari di ν (a meno di multipli di 2π ). Ad esempio, si può verificare analiticamente che la risposta in frequenza H(ν ) dell’es. 4.20 soddisfa la (4.108), e d’altra parte

190

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

dalle fig. 4.33 e 4.34 appare chiaro che lo spettro di ampiezza ha simmetria pari, e quello di fase ha simmetria dispari. Concludiamo sottolineando che le relazioni i-u per i fasori viste in questa sezione (prop. 4.9 per il caso TC e 4.10 per il caso TD) sono di grande importanza teorica per il seguito della trattazione, e saranno frequentemente utilizzate nei capitoli seguenti. 4.7.3 Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale

Data la relazione lineare esistente tra fasori e sinusoidi (formule di Eulero), è semplice ricavare le relazioni i-u per le sinusoidi in ingresso a sistemi LTI applicando il principio di sovrapposizione. Si consideri, ad esempio, il segnale sinusoidale TC a frequenza f0 ∈ R: x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) . Applicando la formula di Eulero, esso può essere espresso come sovrapposizione di due fasori: x(t) =

A j(2π f0t+ϕ0 ) A − j(2π f0t+ϕ0 ) A jϕ0 j2π f0t A − jϕ0 − j2π f0t e + e = e e + e . e 2 2 2 2

Notando che le quantità A2 e jϕ0 e A2 e− jϕ0 sono delle semplici costanti moltiplicative complesse (non dipendenti cioè dal tempo t), è possibile applicare il principio di sovrapposizione (3.23) e successivamente la (4.97), ottenendo: y(t) =

A A jϕ0 e H( f0 ) e j2π f0t + e− jϕ0 H(− f0 ) e− j2π f0t . 2 2

In generale, la precedente relazione non fornisce un segnale y(t) reale. Se però il sistema LTI è reale, la H( f ) gode della proprietà di simmetria hermitiana (4.101), per cui la relazione precedente si semplifica notevolmente, evidenziando che il segnale y(t) è reale.17 Infatti, poiché H ∗ ( f0 ) = H(− f0 ), i due addendi della precedente relazione sono uno il coniugato dell’altro, per cui si ha:   A j(2π f0 t+ϕ0 ) H( f0 ) e = A |H( f0 )| cos[2π f0t + ϕ0 + ∡H( f0 )] . y(t) = 2 Re 2 La relazione trovata mostra che l’uscita y(t) corrispondente ad una sinusoide a frequenza f0 è ancora una sinusoide alla stessa frequenza, con ampiezza modificata da |H( f0 )| e fase modificata da ∡H( f0 ). Un ragionamento analogo si può effettuare per la funzione seno, e quindi sinteticamente è possibile enunciare la proprietà seguente: Proprietà 4.12 (risposta ad una sinusoide di un sistema TC LTI) Si consideri una sinusoide (coseno o seno) a frequenza f0 ∈ R, in ingresso ad un sistema TC LTI con risposta impulsiva reale h(t), per il quale H( f ) definita dalla (4.96) esiste finita per f = f0 . Valgono le seguenti relazioni i-u: x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) −→ y(t) = A |H( f0 )| cos[2π f0t + ϕ0 + ∡H( f0 )] ; x(t) = A sin(2π f0t + ϕ0 ) −→ y(t) = A |H( f0 )| sin[2π f0t + ϕ0 + ∡H( f0 )] .

17 D’altra

(4.109) (4.110)

parte, un sistema reale sollecitato da un segnale di ingresso reale deve necessariamente restituire in uscita un segnale reale.

4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI

191

in1

generatore sinusoidale x(t)

circuito elettrico

y(t)

in2

f 0 (variabile ) oscilloscopio a doppia traccia

Fig. 4.35. Schema di principio per la misura della risposta in frequenza di un circuito elettronico (es. 4.21).

Si può immediatamente osservare che, se H( f0 ) = 0, allora l’uscita corrispondente ad un segnale di ingresso sinusoidale/cosinusoidale a frequenza f0 è identicamente nulla. Notiamo in effetti che la (4.110) si può ottenere come caso particolare della (4.109) introducendo un opportuno sfasamento di π /2. Inoltre, la prop. 4.12 vale con ovvi cambi di notazione anche per il caso tempo-discreto, ed è riportata di seguito per completezza, lasciando al lettore gli ovvi passaggi per la sua dimostrazione: Proprietà 4.13 (risposta ad una sinusoide di un sistema TD LTI) Si consideri una sinusoide (coseno o seno) a frequenza ν0 ∈ R, in ingresso ad un sistema TD LTI con risposta impulsiva reale h(n), per il quale H(ν ) definita dalla (4.104) esiste finita per ν = ν0 . Valgono le seguenti relazioni i-u: x(n) = A cos(2πν0 n + ϕ0 ) −→ y(n) = A |H(ν0 )| cos[2πν0t + ϕ0 + ∡H(ν0 )] ; x(n) = A sin(2πν0t + ϕ0 ) −→ y(n) = A |H(ν0 )| sin[2πν0t + ϕ0 + ∡H(ν0 )] .

(4.111) (4.112)

Analogamente al caso TC, se H(ν0 ) = 0, allora l’uscita corrispondente ad un segnale di ingresso sinusoidale/cosinusoidale a frequenza ν0 è identicamente nulla. ◮ Esempio 4.21 (misura sperimentale della risposta in frequenza di un circuito elettrico) La prop. 4.12 è alla base di una semplice tecnica sperimentale utilizzata per la determinazione della risposta in frequenza di un circuito elettrico. Si consideri lo schema di misura di fig. 4.35, nel quale si collega un generatore sinusoidale (con frequenza f0 variabile) all’ingresso del circuito elettrico da analizzare; un oscilloscopio a doppia traccia, capace cioè di rappresentare due segnali su uno stesso visore, viene collegato all’ingresso e all’uscita del circuito, in modo che da rappresentare i segnali x(t) e y(t) sovrapposti (fig. 4.35). Posto x(t) = Ax cos(2π f0t + ϕx ) e y(t) = Ay cos(2π f0t + ϕy ), notiamo che per la proprietà 4.12 si ha Ay = |H( f0 )|Ax e ϕy = ϕx + ∡H( f0 ). Pertanto confrontando le ampiezze dei segnali si può calcolare il valore di |H( f0 )| come |H( f0 )| =

Ay , Ax

mentre calcolando la differenza temporale ∆t = ty − tx esistente tra le due sinusoidi (ad esempio, considerando due attraversamenti dell’origine con pendenza positiva), è semplice risalire allo sfasamento ∡H( f0 ) = ϕy − ϕx introdotto dal sistema risolvendo una semplice proporzione:

ϕy − ϕx ty − tx ∆t = = 2π T0 T0

=⇒

∡H( f0 ) = ϕy − ϕx = 2π

∆t = 2π ∆t f0 . T0

In definitiva, sollecitando il circuito con una sinusoide a frequenza f0 possiamo ricavare la risposta in ampiezza ed in fase del sistema alla frequenza f0 . Variando la frequenza f0 del generatore (a scatti oppure in maniera

192

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

continua), è possibile ripetere la procedura vista in corrispondenza di più valori di frequenza, in modo da ottenere un campionamento sufficientemente fitto della funzione H( f ), e ricavare la H( f ) mediante interpolazione numerica o grafica. La tecnica vista si può estendere anche a sistemi di natura diversa da quella elettrica (ad esempio, a sistemi meccanici), a patto di disporre di opportuni trasduttori ed attuatori. ◭

4.8 Esercizi proposti

193

4.8 Esercizi proposti Esercizio 4.1 Determinare e diagrammare la risposta impulsiva dei seguenti sistemi LTI. Successivamente, dall’esame della risposta impulsiva, stabilire se il sistema è non dispersivo, causale, stabile. (a) y(t) =

Z t

−∞

x(τ ) dτ .

(b) y(t) = 3 x(t) + 5 x(t − 2).   Z +∞ τ − 0.5T (c) y(t) = x(t − τ ) dτ rect T −∞ (d) y(t) =

Z T

x(t − τ ) dτ

0

(e) y(t) = (f) y(t) =

Z t

x(τ ) dτ

t−T Z t+T

1 π

x(τ ) dτ

Z +∞ x(τ )

t −τ

−∞

(T ∈ R+ ). (T ∈ R+ ). (T ∈ R+ ).

t

(g) y(t) =

(T ∈ R+ ).

dτ

(trasformata di Hilbert).

[Suggerimento: per determinare h(t) applicare x(t) = δ (t) e semplificare utilizzando le proprietà dell’impulso; in alternativa cercare di esprimere direttamente la relazione tra y(t) ed x(t) come una convoluzione.] Risultato: (a) h(t) = u(t), dispersivo, causale, instabile; (b) h(t) = 3 δ (t) + 5 δ (t − 2), dispersivo, causale,

, dispersivo, causale, stabile; (d) come (c); (e) come (c); (f) h(t) = rect t+0.5T , stabile; (c) h(t) = rect t−0.5T T T dispersivo, non causale, stabile; (g) h(t) = 1/(π t), dispersivo, non causale, instabile. Esercizio 4.2 Determinare e diagrammare la risposta impulsiva dei seguenti sistemi LTI. Successivamente, dall’esame della risposta impulsiva, stabilire se il sistema è non dispersivo, causale, stabile. (a) y(n) = x(n) + 2 x(n − 1) − 3x(n − 2). n

(b) y(n) =

∑

x(k).

k=−∞ M2

(c) y(n) =

∑

k=−M1

(d) y(n) =

∑

|k|≤3

(−1)k x(n − k) (M1 , M2 ∈ N).

x(n − k).

+∞

(e) y(n) =

∑ x(n − k).

k=0 +∞

(f) y(n) =

1 x(n − k). |k| k = −∞

∑

k 6= 0 +∞

(g) y(n) =

∑

k=−∞



 1 x(n − k). 1 + |k|

[Suggerimento: vedi esercizio precedente.] Risultato: (a) h(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) − 3δ (n − 2), dispersivo, causale, stabile; (b) h(n) = u(n), dispersivo, M2

causale, instabile; (c) h(n) =

∑

k=−M1

(−1)k δ (n − k), dispersivo, non causale, stabile; (d) h(n) =

∑

|k|≤3

δ (n − k),

194

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

dispersivo, non causale, stabile; (e) come (b); (f) h(n) = h(n) =

1 , dispersivo, non causale, instabile. 1 + |n|

( 0, 1 |n|

n=0 , n 6= 0

, dispersivo, non causale, instabile; (g)

Esercizio 4.3 Utilizzando le proprietà degli impulsi e quelle della convoluzione, semplificare il più possibile le seguenti espressioni: (a) δ (t) ∗ δ (t).

(b) δ (t − 5) ∗ x(t + 5).

(c) δ (n) ∗ δ (n − 2). " # +∞

∑

(d)

k=−∞

(e)

"

+∞

∑

k=−∞

δ (t − kT0 ) ∗ x(t). #

δ (n − kN0 ) ∗ x(n).

(f) δ (2t) ∗ x(t).

(g) δ (2n) ∗ x(n). Risultato: (a) δ (t); (b) x(t); (c) δ (n − 2); (d)

+∞

∑

k=−∞

+∞

x(t − kT0 ) = repT0 [x(t)]; (e)

∑

k=−∞

x(n − kN0 ) = repN0 [x(n)];

(f) 12 x(t); (g) x(n). Esercizio 4.4 Siano x(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) − δ (n − 3) e h(n) = 2δ (n + 1) + 2δ (n − 1). Adoperando le proprietà della convoluzione, calcolare e diagrammare le seguenti convoluzioni: (a) (b) (c) (d)

y1 (n) = x(n) ∗ h(n). y2 (n) = x(n + 2) ∗ h(n). y3 (n) = x(n) ∗ h(n + 2). y4 (n) = x(n − 2) ∗ h(n + 2).

Risultato: (a) y1 (n) = 2δ (n + 1) + 4δ (n) + 2δ (n − 1) + 2δ (n − 2) − 2δ (n − 4); (b) y2 (n) = y1 (n + 2); (c) y3 (n) = y2 (n); (d) y4 (n) = y1 (n). Esercizio 4.5 Il segnale di ingresso x(n) e la risposta impulsiva h(n) di un sistema LTI sono dati da:  n−2 1 u(n − 2) e x(n) = 2

h(n) = u(n + 2) .

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(n). [Suggerimento: applicare la proprietà di invarianza temporale della convoluzione.] h
n+1 i Risultato: y(n) = 2 1 − 12 u(n).

Esercizio 4.6 Un sistema LTI avente risposta impulsiva h(t) = eat u(t) con a ∈ R − {0} è sollecitato dall’ingresso x(t) = ebt u(t) con b ∈ R − {0}. Calcolare l’uscita y(t) del sistema.
1 Risultato: y(t) = t eat u(t) per a = b; y(t) = a−b eat − ebt u(t) per a 6= b.

4.8 Esercizi proposti

195

Esercizio 4.7 Un sistema LTI avente risposta impulsiva h(n) = an u(n) con a ∈ R − {0} è sollecitato dall’ingresso x(n) = bn u(n) con b ∈ R − {0}. Calcolare l’uscita y(n) del sistema.
1 Risultato: y(n) = (n + 1) bn u(n) per a = b; y(n) = a−b an+1 − bn+1 u(n) per a 6= b. Esercizio 4.8 Il segnale di ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) di un sistema LTI sono dati da:   t − T /2 −t/T (a) x(t) = e u(t) ed h(t) = rect , con T ∈ R+ . T

(b) x(t) = 2 u(t − 1) + 2 u(t − 3) ed h(t) = u(t + 1) − 2 u(t − 1) + u(t − 3). Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(t).   per t < 0 , 0 , −t/T Risultato: (a) y(t) = T (1 − e ), per 0 ≤ t ≤ T ,   −t/T (e − 1) , per t > T . Te   0, per t < 0 ,      per 0 ≤ t < 2 , 2t , (b) y(t) = 4 , per 2 ≤ t < 4 ,    12 − 2t , per 4 ≤ t < 6 ,    0 , per t ≥ 6 . Esercizio 4.9 Il segnale di ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) di un sistema LTI sono dati da: (a) x(t) = e−|t| ed h(t) = e−2 (t+1) u(t + 1). (b) x(t) = 2(1 − t) [u(t) − u(t − 1)] ed h(t) = u(t) − u(t − 2). Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(t).   13 e(t+1) , per t ≤ −1 , Risultato: (a) y(t) =  −(t+1) 2 −2 (t+1) e −3e , per t > −1 .   0, per t ≤ 0 ,    2  2t − t , per 0 < t ≤ 1 ,  (b) y(t) = 1 , per 1 < t ≤ 2 ,   2  9 − 6t + t , per 2 < t < 3 ,    0 , per t ≥ 3 .

Esercizio 4.10 Il segnale di ingresso x(n) e la risposta impulsiva h(n) di un sistema LTI sono dati da: (a) x(n) = u(n) ed h(n) = an u(−n − 1), con a > 1.

(b) x(n) = e j 2πν0 n R10 (n) ed h(n) = bn u(n), con |b| < 1. (c) x(n) = bn e j 2πν0 n u(n) ed h(n) = R5 (n), con |b| < 1.

Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(n).  n a  , per n ≤ −1 ,  1−1/a Risultato: (a) y(n) =   1/a , per n > −1 . 1−1/a

196

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

 per n < 0 ,  0 ,   e j2πν0 (n+1)  1−  n bn+1 b , per 0 ≤ n < 9 , j2πν (b) y(n) = 1− e b 0  j2πν 10   1− e 100   b bn , per n ≥ 9 . e j2πν0 1−

(c) y(n) =

  0 ,

b

1−an+1 1−a ,   n 1−(1/a)5 a 1−(1/a)

per n < 0 , per 0 ≤ n < 4 ,

△

dove a = b e j2πν0 .

, per n ≥ 4 .

Esercizio 4.11 Senza calcolare la convoluzione, utilizzando il risultato ottenuto al punto (a) dell’esercizio precedente e sfruttando la proprietà di linearità e invarianza temporale, determinare l’uscita del sistema LTI quando la risposta impulsiva h(n) e il segnale di ingresso x(n) sono dati da: (a) x(n) = u(n − 4) ed h(n) = 2n u(−n − 1). (b) x(n) = R10 (n) ed h(n) = 2n u(−n − 1).

Risultato: (a) y(n) =

 2(n−3) , per n ≤ 3 ,

 1, per n > 3 .  (n+1) − 2(n−9) , per n ≤ −1 ,  2     (b) y(n) = 1 − 2(n−9) , per −1 < n ≤ 9 ,     0 , per n > 9 . Esercizio 4.12 Questo esercizio introduce ulteriori proprietà della convoluzione. Mostrare che le seguenti proprietà sono vere: d d x(t) è y(t). dt dt (b) Detta y(n) la risposta di un sistema LTI all’ingresso x(n), la risposta all’ingresso ∇1 [x(n)] è ∇1 [y(n)]. (a) Detta y(t) la risposta di un sistema LTI all’ingresso x(t), la risposta all’ingresso

Le relazioni precedenti vanno sotto il nome di proprietà di derivazione della convoluzione:     d d d [x(t) ∗ h(t)] = x(t) ∗ h(t) = x(t) ∗ h(t) dt dt dt ∇1 [x(n) ∗ h(n)] = [∇1 x(n)] ∗ h(n) = x(n) ∗ [∇1 h(n)] La seconda espressione si ottiene facilmente sfruttando la proprietà commutativa. Osservazione. La verifica della proprietà nel caso TC richiede qualche cautela dal punto di vista matematico. Infatti, se −∞ < a < b < +∞ ed f (t, τ ) è una arbitraria funzione di due variabili derivabile rispetto a t, come conseguenza del criterio di Leibnitz, si ha: d dt

Z b a

f (t, τ )dτ =

Z b d a

dt

[ f (t, τ )] dτ ,

ovvero è possibile scambiare l’ordine tra le operazioni di derivazione ed integrazione senza alcun problema. Se gli estremi di integrazioni sono infiniti, cioè a = −∞ e b = +∞, tale scambio non è sempre possibile. Lo studio dettagliato di tale problema richiede la conoscenza della teoria della misura, la cui trattazione esula

4.8 Esercizi proposti

197

dagli scopi di questo corso. Qui ci limitiamo a richiamare il seguente risultato: se esiste una funzione g(t, τ ) integrabile su R rispetto a τ e un costante ε > 0, tale per cui:   d f (t, τ ) ≤ g(t, τ ) , per ogni t0 ∈ R tale che |t0 − t| ≤ ε , dt t=t0 allora

d dt

Z +∞ −∞

f (t, τ )dτ =

Z +∞ d −∞

dt

[ f (t, τ )] dτ .

Esercizio 4.13 Calcolare e diagrammare la risposta al gradino e la risposta impulsiva del sistema LTI avente relazione i-u: y(t) =

Z t

t−1

[x(τ ) − x(τ − 1)] dτ .

Risultato: s(t) = Λ(t − 1); h(t) = rect(t − 0.5) − rect(t − 1.5). Esercizio 4.14 Calcolare e diagrammare la risposta al gradino s(n) del sistema LTI avente relazione i-u y(n) = x(n + 1) − 2 x(n) + x(n − 1) Successivamente, utilizzando s(n), calcolare e diagrammare la risposta y(n) del sistema al segnale di ingresso x(n) = R2 (n) − R2 (n − 2). Risultato: s(n) = δ (n + 1) − δ (n); y(n) = δ (n + 1) − δ (n) − 2δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + δ (n − 3) − δ (n − 4). Esercizio 4.15 Per ognuno dei seguenti sistemi LTI con risposta impulsiva h(t), stabilire se il sistema è non dispersivo, causale e stabile: h(t) = e−4t u(t − 2). h(t) = e−6t u(3 − t). h(t) = e−2t u(t + 2). h(t) = e2t u(−1 − t). h(t) = e−6|t| . h(t) = t e−t u(t). i h (g) h(t) = 2 e−t − e(t−100)/100 u(t).

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Risultato: (a) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (b) il sistema è dispersivo, non causale, instabile; (c) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (d) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (e) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (f) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (g) il sistema è dispersivo, causale, instabile; Esercizio 4.16 Per ognuno dei seguenti sistemi LTI con risposta impulsiva h(n), stabilire se il sistema è non dispersivo, causale e stabile: (a) (b) (c) (d)

h(n) = (1/2)n u(n). h(n) = 4n u(n). h(n) = (1/3)n u(n) + 3n u(−n − 1). h(n) = (1/2)|n| .

198

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

(e) h[n] = sin

 nπ 

u(n). 3 (f) h(n) = 2 u(n + 5) − u(n) − u(n − 5).

(g) h(n) = n (1/3)n u(n − 1).

Risultato: (a) il sistema è dispersivo, causale, stabile; (b) il sistema è dispersivo, causale, instabile; (c) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (d) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (e) il sistema è dispersivo, causale, instabile; (f) il sistema è dispersivo, non causale, stabile; (g) il sistema è dispersivo, causale, stabile. Esercizio 4.17 Si consideri il sistema LTI avente risposta impulsiva 1 h(t) = δ (t) + δ (t − T ) , 2 con T > 0. Si può dimostrare che tale sistema è invertibile e che il sistema inverso ha risposta impulsiva +∞

hinv (t) =

∑ gk δ (t − kT ). Ricavare l’espressione dei coefficienti gk .

k=0

[Suggerimento: studiare l’equazione h(t) ∗ hinv (t) = δ (t) nelle incognite gk .] Risultato: gk = (−1)k 21k , k ∈ N0 . Esercizio 4.18 Si consideri il sistema S descritto dalla seguente relazione i-u: +∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) g(n − 2k) ,

dove g(n) = R4 (n). (a) Calcolare y(n) quando x(n) = δ (n − 1).

(b) Calcolare y(n) quando x(n) = δ (n − 2).

(c) Sulla base dei risultati dei punti (a) e (b), stabilire se S può essere un sistema LTI.

(d) Verificare che S si può interpretare come la cascata (nell’ordine) di un espansore per L (con L da determinare) e di un sistema LTI con risposta impulsiva h(n) = g(n). Risultato: (a) y(n) = R4 (n − 2); (b) y(n) = R4 (n − 4); (c) non è LTI; (d) si prova effettuando il cambiamento di variabile h = 2k nella sommatoria e ricordando le proprietà dell’espansione, si trova L = 2. Esercizio 4.19 Si consideri il sistema S descritto dalla seguente relazione i-u: +∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(2k) g(n − k) ,

dove g(n) = R3 (n). (a) Calcolare y(n) quando x(n) = δ (n − 1).

(b) Calcolare y(n) quando x(n) = δ (n − 2).

(c) Sulla base dei risultati dei punti (a) e (b), stabilire se S può essere un sistema LTI.

Risultato: (a) y(n) ≡ 0; (b) y(n) = R3 (n − 1); (c) non è LTI.

4.8 Esercizi proposti

199

Esercizio 4.20 Si consideri la connessione in cascata dei due sistemi LTI causali aventi risposte impulsive h1 (n) ed h2 (n), rispettivamente, con h1 (n) = R2 (n). Sapendo che la risposta impulsiva del sistema complessivo è h(n) = δ (n) + 4δ (n − 1) − 4δ (n − 2) − 2δ (n − 3) + 5δ (n − 4), determinare la risposta impulsiva h2 (n) (si noti che questo equivale ad effettuare una deconvoluzione). Risultato: h2 (n) = δ (n) + 3δ (n − 1) − 7δ (n − 2) + 5δ (n − 3). Esercizio 4.21 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi LTI:

w1(t) h1(t)

+

w(t)

x(t)

h3(t)

y 3(t)

+ y(t)

+ h2(t)

-

w2(t) y 4(t)

h4(t)

Sistema complessivo

Le risposte impulsive dei sistemi sono le seguenti: h1 (t) = u(t) ,

h2 (t) = u(t + 2) − u(t) ,

h3 (t) = δ (t − 2) ,

h4 (t) = eat u(t) ,

dove a è un numero reale negativo. (a) Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sopra riportati sulla base delle loro proprietà (non dispersività, causalità e stabilità). (b) Determinate la risposta impulsiva h(t) del sistema complessivo avente come ingresso ed uscita i segnali x(t) e y(t), rispettivamente, e discuterne le proprietà (non dispersività, causalità e stabilità). Risultato: (a) il sistema h1 (t) è dispersivo, causale, instabile; il sistema h2 (t) è dispersivo, non causale, stabile; il sistema h3 (t) è dispersivo, causale, stabile; il sistema h4 (t) è dispersivo, causale, stabile; (b) h(t) = (1−eat ) u(t), il sistema è dispersivo, causale, instabile. Esercizio 4.22 I quattro sistemi LTI in figura sono caratterizzati dalle seguenti risposte impulsive: h1 (t) = h3 (t) = δ (t − 1) ,

h1(t)

h2 (t) = e−2t u(t) e h4 (t) = e−3 (t+2) u(t + 2) .

u1(t)

+

w 3(t)

h3(t)

u3(t)

x(t) h2(t)

u2(t) Sistema complessivo

h4(t)

u4(t) + +

y(t)

200

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

(a) Calcolare la risposta impulsiva h(t) del sistema complessivo [avente x(t) come ingresso e y(t) come uscita]. (b) Classificare il sistema complessivo, motivando brevemente le risposte, sulla base delle sue proprietà di non dispersività, causalità e stabilità. h i   Risultato: (a) h(t) = e−2(t+1) − e−3(t+1) u(t + 1) + e−3t + e−2t u(t); (b) il sistema è dispersivo, non causale, stabile. Esercizio 4.23 Si considerino i seguenti tre sistemi TC: S1 : y(t) = x(2t) (compressione di 2) ; S2 : h(t) = δ (t) − δ (t − 1) ; S3 : y(t) = x(t/2) (espansione di 2) . (a) Determinare il legame ingresso/uscita del sistema costituito dalla cascata S1-S2-S3 (nell’ordine) e stabilire se è lineare, non dispersivo, causale, invariante temporalmente, stabile. (b) Ripetere il calcolo del punto (a) con riferimento alla cascata S3-S2-S1 (nell’ordine). Risultato: (a) detti x(t) e y(t) i segnali in ingresso e uscita alla cascata, rispettivamente, il legame ingresso/uscita è y(t) = x(t) − x(t − 2) nel caso (a), y(t) = x(t) − x(t − 0.5) nel caso (b). Entrambi i sistemi sono lineari, dispersivi, causali, invarianti temporalmente e stabili. Esercizio 4.24 Si consideri la seguente interconnessione di sistemi: u(t) S1

x(t)

v(t) h(t)

S2

y(t)

 t  , con T > 0, mentre i due sistemi S1 e 2T S2 sono caratterizzati dalle relazioni ingresso/uscita u(t) = x(t/3) e y(t) = v(at), rispettivamente, con a ∈ R.

dove il sistema al centro è LTI con risposta impulsiva h(t) = rect

(a) Determinare la relazione ingresso/uscita del sistema complessivo e discuterne brevemente le proprietà (linearità, non dispersività, causalità e stabilità). (b) Determinare il valore di a in corrispondenza del quale il sistema complessivo è LTI. (c) Calcolare la risposta impulsiva h(t) del sistema complessivo per il valore di a determinato al punto (b). Z T



at − τ 3



d τ ; il sistema è lineare, dispersivo, non causale, stabile; (b) il sistema è   3t lineare per ogni a; in generale è tempo-variante, eccetto che nel caso in cui a = 3; (c) h(t) = 3 rect . 2T

Risultato: (a) y(t) =

−T

x

Esercizio 4.25 Si consideri il sistema LTI avente risposta impulsiva:  n j u(n) . h(n) = 2 (a) Determinare la risposta y(n) del sistema al segnale di ingresso x(n) = cos(π n) u(n). (b) Determinare un’espressione semplificata della risposta y(n) per n → +∞. n

Risultato: (a) y(n) = (−1)

"

# 1 − (− j/2)(n+1) (−1)n . u(n); (b) per n → +∞, y(n) ≈ 1 + j/2 1 + j/2

4.8 Esercizi proposti

201 △

Esercizio 4.26 Si consideri il circuito RC di fig. 4.36, con costante di tempo T = RC = 1s. Supponendo che il sistema sia inizialmente in quiete (il sistema è quindi LTI), nell’ipotesi in cui la tensione di ingresso sia data da   t −1 x(t) = e−3t rect , 2 determinare analiticamente e rappresentare graficamente la tensione di uscita y(t) ai capi del condensatore.   0, per t < 0 ,     Risultato: y(t) = 0.5 (1 − e−2t ) e−t , per 0 ≤ t < 2 ,     0.5 (1 − e−4 ) e−t , per t ≥ 2 .

Esercizio 4.27 Si consideri il circuito CR di fig. 4.36, dove la tensione x(t) ai capi della serie CR è il segnale di ingresso, e la tensione y(t) ai capi della resistenza è il segnale di uscita. (a) Determinare l’equazione differenziale che lega x(t) ed y(t). (b) Determinare la soluzione omogenea dell’equazione differenziale determinata al punto (a). (c) Determinare l’evoluzione libera del sistema supponendo che y(0) = y0 .

(d) Determinare l’evoluzione forzata del sistema quando l’ingresso è x(t) = t u(t) (rampa). (e) Stabilire sotto quali condizioni il sistema CR è un sistema LTI e determinare la sua risposta al gradino e la sua risposta impulsiva. (f) Studiare le proprietà (non dispersività, causalità, stabilità) del sistema LTI determinato al punto (e). [Suggerimento: per il punto (e), notare che essendo il gradino la derivata della rampa, la risposta al gradino sarà la derivata della risposta alla rampa.] d 1 d △ Risultato: (a) y(t) + y(t) = x(t), con T = RC; (b) y0 (t) = c1 e−t/T ; (c) ylib (t) = y0 e−t/T ; (d) yfor (t) = dt T dt
d T 1 − e−t/T u(t) (risposta alla rampa); (e) il sistema è LTI se y0 = 0; s(t) = yfor (t) = e−t/T u(t); h(t) = dt d 1 s(t) = δ (t) − e−t/T u(t); (f) il sistema è dispersivo, causale, stabile. dt T Esercizio 4.28 Il segnale di ingresso x(n) e quello di uscita y(n) di un sistema LTI causale sono legati dalla seguente equazione alle differenze: y(n) + a−1 y(n − 1) = x(n − 1) , con a ∈ R. Determinare la risposta impulsiva h(n) del sistema e stabilire se esso è dispersivo, causale e stabile. [Suggerimento: Per calcolare h(n), porre x(n) = δ (n) e risolvere ricorsivamente l’equazione alle differenze con h(n) = y(n) ed h(−1) = 0.] Risultato: h(n) = (1/a)n−1 u(n − 1), sistema dispersivo, causale, stabile se e solo se |a| > 1. Esercizio 4.29 Si consideri un sistema ARMA descritto dall’equazione alle differenze 2y(n) − y(n − 1) + y(n − 3) = x(n) − 5x(n − 4) . (a) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma diretta I. (b) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma diretta II. (c) Disegnare lo schema implementativo del sistema in forma canonica.

202

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Esercizio 4.30 Si consideri il sistema LTI avente relazione i-u y(t) = x(t) − x(t − T ), con T > 0. Calcolare la risposta in frequenza del sistema, ed utilizzarla quando possibile per calcolare la risposta del sistema ai seguenti segnali applicati al suo ingresso: t

(a) x(t) = e j2π T . t

(b) x(t) = e jπ T .
(c) x(t) = cos 2π Tt .

(d) x(t) = 2 sin 2π Tt + cos π Tt .
(e) x(t) = cos 2π Tt u(t).



t Risultato: (a) y(t) ≡ 0; (b) y(t) = 2e jπ T ; (c) y(t) ≡ 0; (d) y(t) = 2 cos π Tt ; (e) y(t) = cos 2π Tt rect

t−0.5T T

Esercizio 4.31 Si considerino i sistemi TC S1 , S2 , S3 , le cui risposte al fasore x(t) = e j5t sono le seguenti:




.

S1 : e j5t −→ te j5t ;

S2 : e j5t −→ e j5(t−1) ; S3 : e j5t −→ cos(5t) .

Stabilire se i tre sistemi possono essere LTI. Risultato: Solo il sistema S2 può essere LTI, i sistemi S1 e S3 non sono sicuramente LTI. Esercizio 4.32 Si considerino i sistemi TD S1 , S2 , S3 , le cui risposte al fasore x(n) = e jπ n/2 sono le seguenti: S1 : e jπ n/2 −→ e jπ n/2 u(n) ;

S2 : e jπ n/2 −→ e j3π n/2 ;

S3 : e jπ n/2 −→ 2 e j5π n/2 . Stabilire se i tre sistemi possono essere LTI. Risultato: Solo il sistema S3 può essere LTI, i sistemi S1 e S2 non sono sicuramente LTI. Esercizio 4.33 Nello schema di figura, il sistema S1 è descritto dalla relazione ingresso-uscita z(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

ed il sistema S2 è descritto dalla risposta impulsiva h2 (t) = δ (t − T ), con T > 0. x(t)

-

z(t)

+ -L − 6

S1

-

- y(t)

S2

(a) Determinare l’espressione esplicita del legame ingresso-uscita del sistema complessivo [avente x(t) come ingresso ed y(t) come uscita] ed individuarne le proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità). (b) Nel caso in cui il sistema complessivo determinato al punto (a) sia LTI, determinarne la risposta impulsiva h(t) e la risposta armonica H( f ).

4.8 Esercizi proposti

203

 t , calcolare l’uscita y(t) e rappresentarla grafi(c) Assumendo che l’ingresso sia x(t) = 1 + δ (t) + cos 2π T camente. Risultato:

(a) y(t) =

Z t

x(τ ) dτ , è un integratore con memoria finita, con le seguenti proprietà: linea-

t−T

re, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile); (b) il sistema è LTI, applicando x(t) = δ (t) si ha h(t) =  
sin(π f T ) t − 0.5T 1 rect 1 − e− j2π f T = e− jπ f T ; (c) y(t) = , applicando x(t) = e j2π f t si ha H( f ) = T
j2π f πf . rect t−0.5T T

Esercizio 4.34 Nello schema di figura, il sistema S è caratterizzato dalla risposta impulsiva hS (t) = δ (t − T ) (T > 0). -L

x(t)

-L

6

-

S

- y(t)

6

-

S

(a) Determinare l’espressione esplicita del legame ingresso-uscita del sistema complessivo [avente x(t) come ingresso ed y(t) come uscita] ed individuarne le proprietà (linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale, stabilità). (b) Nel caso in cui il sistema complessivo determinato al punto (a) sia LTI, determinarne la risposta impulsiva h(t) e la risposta armonica H( f ).   1 t  t  (c) Assumendo che l’ingresso sia x(t) = + 5 cos 2π + 7 sin 4π , calcolare l’uscita y(t). 3 3T 3T Risultato: (a) y(t) = x(t) + x(t − T ) + x(t − 2T ); il sistema è lineare, dispersivo, causale, tempo-invariante, stabile; (b) il sistema è LTI, applicando x(t) = δ (t) si ha h(t) = δ (t) + δ (t − T ) + δ (t − 2T ), applicando x(t) = e j2π f t si ha H( f ) = 1 + e− j2π f T + e− j4π f T ; (c) y(t) ≡ 1. Esercizio 4.35 Si consideri il sistema LTI descritto dalla seguente relazione ingresso-uscita: y(t) = x(t) − x(t − T )

T ∈ R+ .

(a) Determinare la risposta in frequenza H( f ) del sistema e diagrammare accuratamente la risposta in ampiezza e la risposta in fase nell’intervallo di frequenze (−1/T, 1/T ). (b) Sfruttando i risultati del punto (a), calcolare l’uscita y(t) del sistema se in ingresso si pone il segnale     2π t 2π t x(t) = 3 + 2 cos + 4 cos 2T T Risultato: (a) H( f ) = 1 − e− j2π f T = 2 je− jπ f T sin(π f T ); (b) y(t) = 4 cos

2π t 2T


.

Esercizio 4.36 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: H(ν ) =

1 − e− j 4πν 1 + 0.5 e− j 8πν

per −0.5 < ν ≤ 0.5 .

Calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = sin(0.25 π n). √ Risultato: y(n) = 2 2 sin(0.25 π (n + 1)).

204

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

R

R

C

x(t)

L

C y(t)

x(t)

Fig. 4.36. Circuito RC.

R

Fig. 4.37. Circuito CR.

y(t)

C

x(t)

y(t)

Fig. 4.38. Circuito RLC.

Esercizio 4.37 Si consideri il circuito CR di fig. 4.37, dove la tensione x(t) ai capi della serie CR è il segnale di ingresso, e la tensione y(t) ai capi del condensatore è il segnale di uscita. (a) Determinare l’equazione differenziale che lega x(t) ed y(t). (b) Supponendo che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI stabile, determinare la sua risposta in frequenza H( f ). (c) Determinare la risposta in ampiezza ed in fase del sistema e rappresentarle graficamente. 1 d d j2π f T △ y(t) + y(t) = x(t), con T = RC; (b) H( f ) = ; dt T dt 1 +(j2π f T π − arctan(2π f T ) , 2π | f |T , ∡H( f ) = ∡ j + ∡ f − ∡(1 + j2π f T ) = 2 π (c) |H( f )| = p 2 2 2 − 2 − arctan(2π f T ) , 1 + 4π f T

Risultato: (a)

f >0 . f 0. Applicando la formula di Eulero si ha: x(t) =

A jϕ0 j2π f0 t A − jϕ0 − j2π f0 t e e + e e , 2 2

da cui, per confronto con l’equazione di sintesi (5.10), si ricava:  A jϕ  k = 1;  2 e 0, Xk = A2 e− jϕ0 , k = −1;   0, altrimenti.

Gli spettri di ampiezza e fase sono dati, rispettivamente, da: ( A , k = ±1; |Xk | = 2 0, altrimenti;   k = 1; ϕ0 , ∡Xk = −ϕ0 , k = −1;   indeterminata, altrimenti;

e sono riportati4 in fig. 5.1 per il caso A = 1 e ϕ0 = π4 .

◭

L’esempio precedente mostra che in casi molto semplici, ovvero quando il segnale periodico è composto da funzioni sinusoidali (vedi anche il segnale (5.1)), i coefficienti della sua serie di Fourier si possono ottenere “per ispezione” adoperando semplici relazioni trigonometriche, come la formula di Eulero. Per segnali più complicati, il calcolo dei coefficienti non è un problema concettualmente difficile, in quanto si può effettuare risolvendo l’integrale che compare nell’equazione di analisi (5.11); eventuali complicazioni possono riguardare soltanto la difficoltà di risoluzione dell’integrale. 4 Si

noti che in fig. 5.1 e nel seguito, per semplicità di rappresentazione, la fase corrispondente al numero complesso z = 0 viene convenzionalmente assunta pari a zero, sebbene essa risulti a rigore indeterminata.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

213

0.5 k

|X |

0.4

0.4

0.2

Xk

0.3

0

0.2

−5

0 k

5

−5

0 k

5

0.1 0

∠ Xk

2

−0.1 −0.2

0 −2

−5

0 k

5

Fig. 5.3. I coefficienti Xk dell’onda rettangolare delreali, e l’es. 5.2 (A = 1, δc = 0.5) sono puramente
si ottengono dalla funzione 12 sinc 2x (tratteggiata) calcolata per x = k.

Fig. 5.4. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) dell’onda rettangolare dell’es. 5.2 (A = 1, δc = 0.5).

◮ Esempio 5.2 (serie di Fourier dell’onda rettangolare TC, funzione sinc) Calcoliamo la serie di Fourier per un’onda rettangolare TC di periodo T0 , ampiezza A > 0 e duty-cycle δc = TT0 ≤ 1 (per il grafico del segnale e l’interpretazione del duty-cycle, cfr. es. 2.9). Tale segnale si ottiene per replicazione dal generatore: t  xg (t) = A rect , T e quindi la sua espressione è la seguente: h  t i . x(t) = repT0 A rect T

Per calcolare i coefficienti della serie di Fourier utilizziamo direttamente l’equazione di analisi (5.11): 1 Xk = T0

Z

− j2π k f0 t

x(t) e

T0

1 dt = T0

Z T0 /2

−T0 /2

A rect

t  T

− j2π k f0 t

e

1 dt = T0

Z T /2

−T /2

A e− j2π k f0 t dt .

Per k = 0, si ha: 1 X0 = T0

Z T /2

−T /2

A dt = A

T = Aδc , T0

mentre per k 6= 0 si ha: Xk =

h it=T /2 sin(π kδc ) A sin(π k f0 T ) e− j2π k f0 t =A . =A − j2π k f0 T0 πk πk t=−T /2

(5.13)

Per esprimere in forma più compatta il risultato precedente, introduciamo la funzione sinc(x): △

sinc(x) =

sin(π x) , πx

x ∈ R,

(5.14)

il cui grafico per x ∈ [−6, 6] è riportato in fig. 5.2. Le principali proprietà della funzione sinc(x) sono le tre seguenti, di facile dimostrazione: (a) La funzione sinc(x) è una funzione pari: sinc(−x) = sinc(x) .

214

Serie di Fourier

(b) La funzione sinc(x) si annulla in tutti i valori interi tranne per k = 0: ( 1, k = 0 ; sinc(k) = 0, k 6= 0 . (c) La funzione sinc(x) è infinitesima del primo ordine per x → ±∞, in quanto: |sinc(x)| ≤

1 , π |x|

∀x ∈ R .

Moltiplicando e dividendo per δc nella (5.13), e utilizzando la definizione di sinc(x), si ha: Xk = A δc

sin(π kδc ) = A δc sinc(kδc ) , π kδc

k 6= 0 .

Notiamo che l’espressione precedente vale anche per k = 0, in quanto, per la proprietà (b) della sinc, risulta: X0 = A δc sinc(0) = A δc . Notiamo che nell’espressione delle armoniche Xk compaiono solo A ed il duty-cycle δc . Consideriamo allora il caso particolare δc = 0.5 (duty-cycle del 50 %) e A = 1. In tal caso, le armoniche si esprimono come:   k 1 Xk = sinc , 2 2 ed utilizzando la definizione di sinc(x) e le sue proprietà, nonché proprietà trigonometriche elementari, si ha: 1  2,   0, Xk = 1   πk ,   1 − πk ,

k = 0; k pari; k = 2h + 1, h pari (k = . . . − 7, −3, 1, 5, 9, . . .); k = 2h + 1, h dispari (k = . . . , −5, −1, 3, 7, 11, . . .).

Più in generale, osserviamo che questo segnale, per qualunque valore di A e δc , presenta armoniche puramente reali, quindi esse possono essere rappresentate come in fig. 5.3, su un unico diagramma cartesiano. Per maggiore generalità, tuttavia, ricaviamo gli spettri di ampiezza e di fase: 1 k = 0;  2, k pari, k 6= 0; |Xk | = 0,   1 , k dispari; π |k|

 0 k = 0;    indeterminata k pari, k 6= 0; ∡Xk =  0 k = . . . , −5, −1, 1, 5, . . .;    k = . . . , −7, −3, 3, 7, . . .. ±π

che sono raffigurati graficamente in fig. 5.4. Notiamo la simmetria pari dello spettro di ampiezza, e quella dispari dello spettro di fase, ottenuta quest’ultima scegliendo opportunamente la fase π per k > 0, e la fase −π per k < 0. Il grafico dello spettro di ampiezza del segnale mostra che tale onda rettangolare possiede soltanto armoniche dispari (vale a dire per valori dispari di k), la cui ampiezza decresce con legge inversamente proporzionale a k. ◭

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

215

1 k

|X |

0.4

0.8

0.2 0

x(t)

0.6

−5

0 k

5

−5

0 k

5

0.4 2 ∠ Xk

0.2 0

0 −2

−2

−1

0 t/T

1

2

0

Fig. 5.5. L’onda triangolare dell’es. 5.3 (A = 1).

Fig. 5.6. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) dell’onda triangolare dell’es. 5.3 (A = 1).

◮ Esempio 5.3 (serie di Fourier dell’onda triangolare TC) Calcoliamo la serie di Fourier per un’onda triangolare TC di periodo T0 ed ampiezza A:    2t x(t) = repT0 A Λ , T0 ottenuta a partire dal generatore: x(t) = A Λ



2t T0



.

Tale segnale è raffigurato graficamente in fig. 5.5 per A = 1. Per calcolare i coefficienti della serie di Fourier utilizziamo direttamente l’equazione di analisi (5.11), ricordando la definizione esplicita della finestra triangolare: 1 Xk = T0

Z

− j2π k f0 t

x(t) e

T0

1 dt = T0

Z T0 /2



2|t| A 1− T0 −T0 /2



e− j2π k f0 t dt .

Applicando la formula di Eulero a e− j2π k f0 t , si ha: 1 Xk = T0

Z T0 /2



2|t| A 1− T0 −T0 /2



2A cos(2π k f0t) dt = T0

Z T0 /2  0

2t 1− T0



cos(2π k f0t) dt ,

dove non abbiamo riportato l’integrale in cui compare sin(2π k f0t), in quanto esso risulta nullo per la simmetria dispari della funzione integranda, ed abbiamo viceversa sfruttato nell’integrale in cui compare cos(2π k f0t) la simmetria pari della funzione integranda. Per k = 0, si ha: 2A X0 = T0

Z T0 /2  0

2t 1− T0



dt =

A 2A T0 = , T0 4 2

mentre per k 6= 0, decomponendo l’integrale nella differenza di due integrali ed integrando per parti il secondo

216

Serie di Fourier

integrale, si ha: Z

 Z 2 T0 /2 cos(2π k f0t) dt − t cos(2π k f0t) dt T0 0 0 )) ( (    Z T0 /2 2A sin(2π k f0t) t=T0 /2 2 sin(2π k f0t) sin(2π k f0t) t=T0 /2 = − − dt t T0 2π k f 0 T0 2π k f 0 2π k f 0 0 t=0 t=0      2A  1 2  T0 1 1 cos(2π k f0t) t=T0 /2  = sin(π k) − sin(π k) +  T0  2π k f0 | {z } T0  2 2π k f0 | {z } 2π k f0 2π k f 0 t=0

2A Xk = T0

T0 /2

=0

=0

4A 1 = 2 [1 − cos(π k) ] | {z } T0 (2π k f0 )2 (−1)k

 0, k pari, k 6= 0; = 2A  , k dispari. π 2 k2

Notiamo che le armoniche Xk sono reali e non negative, quindi gli spettri di ampiezza e fase si calcolano banalmente, in quanto |Xk | = Xk ≥ 0 e ∡Xk = 0, e sono raffigurati in fig. 5.6: si noti anche in questo caso la simmetria pari dello spettro di ampiezza. Dal confronto con lo spettro di ampiezza dell’onda rettangolare con δc = 1/2, notiamo che anche l’onda triangolare possiede solo armoniche dispari, ma la loro ampiezza decresce in modo inversamente proporzionale a k2 , quindi più rapidamente (si ricordi che l’onda rettangolare presenta armoniche che decrescono come 1/k). Come vedremo (cfr. § 5.2.2), questo significa che l’onda triangolare può essere approssimata più accuratamente con un numero minore di armoniche. ◭

Come evidenziato dagli es. 5.2 e 5.3, fatta eccezione per casi molto semplici (es. segnale sinusoidale), il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier per un dato segnale x(t) si effettua utilizzando direttamente l’equazione di analisi (5.11), e quindi consiste nella risoluzione di un integrale. In taluni casi è possibile utilizzare le proprietà formali (riportate nel § 5.4 o più estesamente in app. E) per ricondurre il calcolo a quello di qualche altro segnale per il quale è noto lo sviluppo in serie di Fourier. Vedremo tuttavia nel cap. 6 una procedura molto semplice e generale che consente di ricondurre il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier a quello di una trasformata di Fourier (formule o serie di Poisson). Quest’ultima strada è generalmente la più semplice per calcolare la serie di Fourier di un dato segnale. 5.2.1 Condizioni matematiche per la convergenza della serie di Fourier

In questa sezione prenderemo in considerazione il problema della convergenza della serie di Fourier.5 La trattazione di tale problema matematico è interessante anche dal punto di vista applicativo in quanto, come vedremo nel § 5.2.2, esso è intimamente legato al problema della ricostruzione di un segnale periodico a partire da un numero finito di armoniche. Sia x(t) un arbitrario segnale periodo con periodo T0 . L’ipotesi di partenza che riterremo valida d’ora in avanti è che il segnale x(t) sia sommabile sul periodo T0 . Abbiamo già avuto modo di dire che tutti i segnali periodici di interesse pratico verificano questa ipotesi; inoltre, come già mostrato precedentemente, la sommabilità di x(t) sul periodo assicura che tutti i coefficienti Xk della serie di Fourier, definiti dalla equazione di analisi (5.11), esistano finiti. Tuttavia, il fatto che i coefficienti Xk 5 Per

una trattazione esauriente del problema della convergenza della serie di Fourier si rimanda ai testi di analisi matematica (ad esempio [3]); nel seguito daremo solo qualche risultato fondamentale, enfatizzando il più possibile gli aspetti intuitivi ed applicativi ed omettendo le relative dimostrazioni.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

217

calcolati mediante l’equazione di analisi a partire da x(t) esistano finiti non significa che la serie +∞

∑

Xk e j2π k f0t

(5.15)

k=−∞

costruita a partire da questi coefficienti converga, né tanto meno che tale serie converga al segnale x(t). Così come per le serie numeriche, lo studio della convergenza di una serie di funzioni passa attraverso la definizione delle sue somme parziali. Si definisce somma parziale (simmetrica) M-esima della serie di Fourier (5.15) il segnale: M

xM (t) =

∑

Xk e j2π k f0t ,

k=−M

con M ∈ N ,

(5.16)

ottenuto troncando simmetricamente6 la serie di Fourier ai primi 2M + 1 termini. Se la serie di Fourier (5.15) converge al segnale x(t), allora si può scrivere lim xM (t) = x(t) ,

(5.17)

M→+∞

ovvero l’equazione di sintesi restituisce il segnale x(t). Lo studio delle condizioni sotto le quali la serie (5.15) converge dipende dal tipo di convergenza richiesta. In particolare, si dice che la serie di Fourier (5.15) converge uniformemente [5] al segnale x(t) su R se, per ogni ε > 0, è possibile determinare Nε ∈ N tale che in ogni punto t ∈ R e per tutti i valori di M > Nε sia verificata la disuguaglianza:7 |xM (t) − x(t)| < ε . Una proprietà importante delle serie uniformemente convergenti è che esse si possono integrare membro a membro; pertanto, se la serie di Fourier converge uniformemente su R, i passaggi che hanno portato a ricavare i coefficienti Xk nelle (5.6) e (5.7) sono validi anche per M → +∞. Risulta immediatamente evidente che, se il segnale x(t) ha almeno una discontinuità, la sua serie di Fourier non potrà convergere uniformemente ad x(t), poichè la somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue (quali sono i fasori) è sempre una funzione continua. Quindi, la continuità del segnale x(t) è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè la sua serie di Fourier sia uniformemente convergente. Una condizione sufficiente per la convergenza uniforme della serie di Fourier è la seguente: se la successione {Xk } dei coefficienti è sommabile, ovvero se +∞

∑

k=−∞

|Xk | < +∞ ,

(5.18)

allora la serie associata ai coefficienti Xk converge uniformemente.8 Si osservi che affinchè la successione {Xk } sia sommabile occorre che essa sia necessariamente infinitesima all’infinito, cioè lim |Xk | = 0 .

k→±∞

6 È opportuno effettuare un troncamento

simmetrico per garantire che siano presenti le armoniche Xk e X−k , in modo che il segnale xM (t) possa essere reale (proprietà di simmetria hermitiana, cfr. § 5.4.2). 7 Si osservi che la peculiarità della convergenza uniforme consiste nel fatto che il numero N non dipende dal particolare ε punto t ∈ R: infatti, uno stesso numero Nε va bene per tutti i punti dell’asse reale. 8 Tale risultato è una conseguenza del cosiddetto criterio di Weierstrass [6]: se g (x), con k ∈ Z, sono funzioni a valori k +∞

complessi definite sull’intervallo (a, b), con |gk (x)| ≤ Mk , ∀k ∈ Z e ∀x ∈ (a, b), e inoltre +∞

bilatera

∑

k=−∞

gk (x) converge uniformemente in (a, b).

∑

k=−∞

|Mk | < +∞, allora la serie

218

Serie di Fourier

Si faccia bene attenzione che la sommabilità dei coefficienti di Fourier assicura solo la convergenza uniforme della serie di Fourier, ma non che la serie restituisca proprio x(t). In altre parole, se la (5.18) è verificata, la serie di Fourier (5.15) può convergere uniformemente ad un segnale x(t) ˇ 6= x(t); tuttavia, quando ciò accade, i coefficienti di Fourier si possono ottenere equivalentemente dalle due espressioni seguenti: Xk =

1 T0

Z

T0

x(t) ˇ e− j2π k f0t dt =

1 T0

Z

T0

x(t) e− j2π k f0t dt .

Una semplice condizione sufficiente [11] per la convergenza uniforme al segnale x(t) della serie di Fourier (5.15) è data dal seguente teorema:

Teorema 5.1 (condizione sufficiente per la convergenza uniforme ad x(t)) Se il segnale x(t), periodico con periodo T0 , è continuo e derivabile quasi ovunque, con derivata x′ (t) a quadrato sommabile sul periodo T0 , ossia: Z x′ (t) 2 dt < +∞ , T0

la serie di Fourier (5.10) converge uniformemente al segnale x(t) su tutto l’asse reale.

Abbiamo appena visto che la serie di Fourier può convergere uniformemente al segnale x(t) solo se tale segnale è continuo. Pertanto, se ci limitassimo a considerare la sola convergenza uniforme, non potremmo applicare la teoria della serie di Fourier al caso di segnali con discontinuità, come l’onda rettangolare dell’es. 5.2. Dal punto di vista ingegneristico, potremmo aggirare l’ostacolo osservando che nella pratica i segnali discontinui non esistono, ma sono solo una rappresentazione idealizzata di segnali che variano molto rapidamente, ma con continuità. Tuttavia dal punto di vista matematico il problema ha significato e va affrontato in modo rigoroso,9 considerando il problema della convergenza puntuale [10] della serie di Fourier al segnale x(t). A differenza della convergenza uniforme espressa dal teor. 5.1, che assicura la convergenza della serie (5.15) al segnale x(t) per ogni t ∈ R, il problema della convergenza puntuale della serie di Fourier consiste nel trovare sotto quali condizioni la serie (5.15) converge ad x(t) per quasi tutti i valori di t ∈ R, eccetto al più un sottoinsieme di valori di t di misura nulla, per i quali la serie, pur essendo convergente, non restituisce esattamente il segnale x(t). Si tratta quindi di dare una interpretazione meno restrittiva della convergenza della serie (5.15) che, com’è intuibile, possa consentire di applicare la teoria della serie di Fourier ad una classe più ampia di segnali periodici. In tal senso, un risultato importante fu ottenuto dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), che individuò nel 1828 le condizioni matematiche che prendono il suo nome e garantiscono che, una volta calcolati i coefficienti Xk a partire da un segnale x(t), la serie associata a tali coefficienti converga (non necessariamente in maniera uniforme) al segnale da rappresentare, tranne che nei punti di discontinuità: 9 Il

problema della continuità della somma della serie di Fourier fu al centro del dibattito matematico dell’800, e sollevò numerosi dubbi sulla validità della serie di Fourier, tanto da negare al suo scopritore il meritato riconoscimento della comunità scientifica. Uno dei critici più severi fu il matematico francese Joseph-Louis Lagrange (1763–1813). Infatti la principale obiezione che si muoveva a Fourier era la seguente: visto che le funzioni della serie (fasori, coseni o seni) sono tutte continue, come può la serie rappresentare segnali discontinui, come l’onda rettangolare dell’es. 5.2? Oggi sappiamo che se la serie non converge uniformemente, la somma di una serie di funzioni continue non è necessariamente una funzione continua, ma ai matematici dell’800 l’affermazione di Fourier doveva sembrare ai limiti dell’eresia.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

219

Teorema 5.2 (condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier) Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 . Se il segnale soddisfa le seguenti tre condizioni: (d1) x(t) è sommabile sul periodo T0 : Z

T0

|x(t)| dt < +∞ ;

(d2) x(t) è una funzione continua nel periodo T0 , escluso al più un numero finito di punti con discontinuità di prima specie; (d3) x(t) è una funzione derivabile nel periodo T0 , escluso al più un numero finito di punti nei quali esistono finite la derivata sinistra e destra; allora la serie di Fourier di x(t) esiste e, per ogni t ∈ R, converge al valore assunto dalla funzione x(t) nei punti in cui questa è continua, ed a 12 [x(t + ) + x(t − )] (semisomma dei limiti destro e sinistro) nei punti in cui x(t) presenta discontinuità di prima specie. Si può inoltre dimostrare che la convergenza della serie di Fourier è uniforme in ogni intervallo che non contiene punti di discontinuità di x(t), mentre non è uniforme in ogni intervallo che contiene punti di discontinuità di x(t). In particolare, se la funzione x(t) è continua, la convergenza della serie è uniforme per ogni t ∈ R.10 ◮ Esempio 5.4 (onda rettangolare TC) Si verifica facilmente che l’onda rettangolare dell’es. 5.2 soddisfa le tre condizioni di Dirichlet, e quindi la sua serie di Fourier converge alla funzione x(t) nel punti di continuità, ed al valore A2 (semisomma dei limiti destro e sinistro) nei punti di discontinuità. Poiché l’onda rettangolare non è una funzione continua, la convergenza non è uniforme per ogni t ∈ R. In particolare, la convergenza non è uniforme in ogni intervallo che contiene i punti di discontinuità. Si osservi che in questo caso i coefficienti Xk , decrescendo come 1/k, non costituiscono una successione sommabile, violando la condizione (5.18). ◭ ◮ Esempio 5.5 (onda triangolare a TC) Anche l’onda triangolare dell’es. 5.3 soddisfa le condizioni di Dirichlet. In più, essendo una funzione continua, la serie di Fourier restituisce x(t) in tutti i punti, ed inoltre la convergenza della serie è uniforme per ogni t ∈ R. Il fatto che la serie converga uniformemente è testimoniato anche dal fatto che i coefficienti Xk , decrescendo come 1/k2 , costituiscono una sequenza sommabile. Il fatto che la serie converga uniformemente al segnale x(t) è inoltre testimoniato dal teor. 5.1. ◭

Per concludere, osserviamo che, oltre alla convergenza uniforme e alla convergenza puntuale della serie di Fourier, esiste un terzo tipo di convergenza (meno restrittiva di entrambe), detta convergenza in media quadratica, per la cui validità si richiede solo che il segnale x(t) sia a quadrato sommabile sul periodo T0 . Questo tipo di convergenza, che è importante non solo nell’ambito della teoria dei segnali e sistemi, ma anche in molti problemi di fisica matematica, è discusso in app. E.

10 In taluni testi le condizioni di Dirichlet sono espresse con linguaggio matematico differente. Ad esempio, la condizione (d3) fu originariamente formulata dallo stesso Dirichlet nel modo seguente, matematicamente equivalente: “x(t) presenta nel periodo T0 un numero finito di massimi e minimi”. Inoltre, in numerosi testi la condizione (d2) viene formulata come il fatto che x(t) è una funzione “generalmente continua”, e la condizione (d3) come il fatto che x(t) è una funzione “generalmente derivabile con derivata generalmente continua”. Infine, considerazioni matematicamente più approfondite mostrano che, in effetti, le condizioni di Dirichlet sono un caso particolare del seguente risultato, noto come criterio di Jordan:  “se la  funzione x(t) è a variazione limitata in ogni intorno di t, allora la serie di Fourier converge a 12 x(t + ) + x(t − ) ” (per la definizione di funzione a variazione limitata si veda [7]).

220

Serie di Fourier

5.2.2 Ricostruzione di un segnale periodico con un numero finito di armoniche

L’equazione di sintesi della serie di Fourier, nelle ipotesi in cui valgono le condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale (cfr. teor. 5.2), consente di ricostruire esattamente in ogni punto di continuità il valore del segnale x(t), mentre restituisce in ogni punto di discontinuità la semisomma del limite destro e sinistro. La ricostruzione esatta di un segnale x(t) è possibile in generale solo considerando un numero infinito di armoniche, quindi essa può essere verificata solo analiticamente. D’altra parte, abbiamo osservato che una condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie di Fourier è che i coefficienti Xk tendano a zero per |k| → +∞. Tale proprietà è sicuramente verificata per l’onda rettangolare e triangolare. Questo vuol dire che, se è vero che in teoria occorre considerare un numero finito di armoniche per ricostruire il segnale x(t), è pur vero che in pratica le armoniche di ordine superiore (quelle corrispondenti a valori di |k| grandi) “pesano” di meno nella ricostruzione del segnale. Pertanto, in pratica, se M è “sufficientemente” grande, il segnale M

xM (t) =

∑

k=−M

Xk e j2π k f0t ,

con M ∈ N ,

già definito nella (5.16), che include solo un numero finito di armoniche, può risultare una buona approssimazione del segnale x(t). La questione fondamentale è quanto debba essere grande M affinchè xM (t) consenta di ricostruire con un sufficiente grado di accuratezza il segnale x(t). Evidentemente, la scelta di M dipende dalla rapidità con cui i coefficienti di Fourier Xk tendono a zero per |k| → +∞. Abbiamo osservato che la rapidità di decadimento a zero dei coefficienti di Fourier può essere diversa da segnale a segnale: ad esempio, i coefficienti decadono come 1/k per l’onda rettangolare, e come 1/k2 per l’onda triangolare. È facilmente intuibile che, quanto maggiore è la rapidità di decadimento dei coefficienti di Fourier, tanto più piccolo può essere il valore M sufficiente a garantire un determinato livello di accuratezza. È allora particolarmente interessante notare che l’effettiva rapidità con cui i coefficienti Xk decadono a zero dipende dalla dolcezza del segnale x(t) nel dominio del tempo. Osserviamo infatti preliminarmente che, dal punto di vista matematico, un segnale x(t), continuo con alcune sue derivate, ha un andamento tanto più dolce quanto maggiore è il numero di derivate continue. Vale allora la seguente proprietà (la cui dimostrazione, non riportata, si basa sulla ripetuta integrazione per parti dell’equazione di analisi): Proprietà 5.1 (rapidità di decadimento a zero dei coefficienti della serie di Fourier) Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 . Se il segnale è continuo con le sue derivate fino a quella di ordine n, con derivata (n + 1)-esima discontinua ma limitata, i coefficienti Xk della sua serie di Fourier decadono a zero per k → ±∞ come 1/|k|n+2 . La proprietà precedente esprime con linguaggio matematico il seguente concetto qualitativo: quanto più è dolce il segnale, tanto più rapidamente decadono a zero i coefficienti della sua serie di Fourier. Più precisamente, essa consente di prevedere esattamente tale rapidità di decadimento a zero, anche senza calcolare esplicitamente i coefficienti Xk : basta infatti individuare il più piccolo ordine di derivata discontinua, ed incrementarlo di uno per avere la rapidità di convergenza a zero dei coefficienti. Notiamo che la proprietà precedente vale anche per un segnale discontinuo, basta porre n = −1. Come conseguenza della prop. 5.1, possiamo prevedere che, quanto più dolce è l’andamento del segnale nel dominio del tempo, tanto minore sarà il numero di armoniche necessario per ricostruite il segnale con una determinata accuratezza (ovvero tanto più piccolo sarà il valore di M). Gli esempi seguenti chiariscono ulteriormente l’importante relazione che intercorre tra l’andamento del segnale x(t) nel dominio del tempo ed i suoi coefficienti Xk nel dominio della frequenza.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

221

◮ Esempio 5.6 (fenomeno di Gibbs) Si consideri l’onda rettangolare dell’es. 5.2. Per δc = 1/2 ed A = 1, i coefficienti della sua serie di Fourier sono dati da:   k 1 , Xk = sinc 2 2 e pertanto il segnale ricostruito con 2M + 1 armoniche, sfruttando la simmetria pari della funzione sinc ed il fatto che Xk = 0 per k dispari, assume l’espressione     M k k 1 M 1 j2π k f0 t xM (t) = + sinc = sinc (5.19) e cos(2π f0t) . ∑ ∑ 2 k=−M 2 2 2 k=1 k dispari

Si osservi che l’onda rettangolare è un segnale discontinuo, quindi la prop. 5.1 si applica con n = −1, confermando che, in effetti, i coefficienti della serie di Fourier dell’onda rettangolare decadono a zero come 1/|k|. L’espressione (5.19) può essere calcolata numericamente utilizzando ad esempio Matlab o Mathematica. In fig. 5.7 sono rappresentati il segnale x(t) su un periodo e la sua ricostruzione xM (t) per M = 0, 1, 3, 5, 11, 101, ottenuti con Matlab. Poiché l’onda quadra soddisfa le condizioni di Dirichlet, la ricostruzione ideale mediante la serie di Fourier deve restituire il valore 1 oppure 0 in tutti i punti di continuità, ed il valore 1/2 in corrispondenza delle discontinuità. È interessante osservare il particolare comportamento del segnale ricostruito nell’intorno delle discontinuità. Infatti da entrambi i lati della discontinuità sono presenti delle oscillazioni, la cui frequenza aumenta, ma la cui ampiezza non diminuisce al crescere di M. Questo fenomeno, noto come fenomeno di Gibbs,11 non pregiudica la convergenza della serie di Fourier in prossimità della discontinuità. Infatti al crescere di M i picchi delle oscillazioni, sebbene restino di ampiezza invariata, vengono “schiacciati” verso la discontinuità, garantendo la convergenza per ogni valore di t arbitrariamente prossimo alla discontinuità. Matematicamente, il fenomeno di Gibbs è una conseguenza del fatto che la serie di Fourier dell’onda rettangolare converge, ma non uniformemente negli intervalli che contengono le discontinuità, come già discusso in precedenza. ◭

È interessante osservare che il fenomeno di Gibbs non si verifica solo per l’onda rettangolare, ma per ogni segnale x(t) che, pur soddisfacendo le condizioni di Dirichlet, presenta dei punti di discontinuità. In particolare, se t0 è un punto di discontinuità, denotato con s(t0 ) = x(t0+ ) − x(t0− ) il salto di discontinuità in t0 , si può dimostrare che le oscillazioni a destra e a sinistra della discontinuità sono simmetriche, e la loro ampiezza (calcolata rispetto al limite destro o sinistro) tende per M → +∞ in valore assoluto a

βgibbs |s(t0 )| π

(5.20)

dove βgibbs ≈ 0.28114072518757 è una costante notevole.12 Nell’es. 5.6, l’ampiezza delle oscillazioni calcolata secondo la (5.20) è pari in valore assoluto circa a 0.09, come si può anche osservare dalla fig. 5.7, nella quale il segnale oscilla tra i valori −0.09 (a sinistra della discontinuità) e 1.09 (a destra della discontinuità. ◮ Esempio 5.7 (onda triangolare) Si consideri l’onda triangolare dell’es. 5.3. L’onda triangolare è continua ma con derivata prima discontinua, per cui la prop. 5.1 si applica con n = 0, confermando che, in effetti, i coefficienti della serie di Fourier dell’onda triangolare decadono a zero come 1/k2 . Inoltre, poiché l’onda triangolare è una funzione continua, il fenomeno di Gibbs non si verifica per tale segnale. In effetti, la convergenza della serie di Fourier è dell’onda triangolare è uniforme in R, e la ricostruzione con un numero finito di armoniche è molto più rapida e regolare, come testimoniato dalla fig. 5.8. ◭ 11 Il

fenomeno prende il nome dal fisico J. W. Gibbs (1839–1903), che per primo lo osservò e lo descrisse.

12 In

effetti la costante βgibbs si può calcolare come βgibbs = −

della funzione non elementare seno integrale il calcolo la funzione sinint).

△

△R sinint(x) = 0x sint t

R +∞ sin(t) π

t

dt, che a sua volta può essere espresso in termini

dt, come βgibbs = sinint(π ) − π2 (in Matlab si può usare per

Serie di Fourier

1

1

0.8

0.8 x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

222

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−0.5

0 t/T0

0.5

−0.5

1

1

0.8

0.8

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−0.5

0 t/T

0.5

−0.5

0

0.8

0.8 x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

1

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

(e)

0.5

(d)

1

0 t/T0

0 t/T

0

(c)

−0.5

0.5

(b)

x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

(a)

0 t/T0

0.5

−0.5

0 t/T0

0.5

(f)

Fig. 5.7. Ricostruzione di un’onda rettangolare con un numero finito (2M + 1) di armoniche (si noti la presenza del fenomeno di Gibbs in corrispondenza delle discontinuità): (a) M = 0; (b) M = 1; (c) M = 3; (d) M = 5; (e) M = 11; (f) M = 101.

5.2 Serie di Fourier per segnali TC

223

Dal punto di vista pratico, la lenta convergenza a zero (come 1/k) delle armoniche dell’onda rettangolare comporta che per ottenere una buona approssimazione con M finito è necessario considerare un elevato numero di armoniche. Viceversa, la più rapida convergenza a zero (come 1/k2 ) delle armoniche dell’onda triangolare determina una migliore ricostruzione a parità di numero di armoniche (si confrontino le fig. 5.7 e 5.8).13

13 Una

valutazione quantitativa della bontà di tale ricostruzione, insieme con un ulteriore confronto tra la ricostruzione dell’onda rettangolare e quella triangolare, è proposta nel § 5.4.3, sulla base dell’uguaglianza di Parseval.

Serie di Fourier

1

1

0.8

0.8 x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

224

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−0.5

0 t/T0

0.5

−0.5

1

1

0.8

0.8

0.6 0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

−0.5

0 t/T0

0.5

−0.5

1

1

0.8

0.8

0.6 0.4

0.4 0.2

0

0

(e)

0.5

0.6

0.2

0 t/T0

0 t/T0

(d)

x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

(c)

−0.5

0.5

(b)

x(t), xM(t)

M

x(t), x (t)

(a)

0 t/T0

0.5

−0.5

0 t/T0

0.5

(f)

Fig. 5.8. Ricostruzione di un’onda triangolare con un numero finito (2M + 1) di armoniche (si noti l’assenza del fenomeno di Gibbs): (a) M = 0; (b) M = 1; (c) M = 3; (d) M = 5; (e) M = 11; (f) M = 101.

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS)

225

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) Trattiamo ora la rappresentazione in serie di Fourier di segnali TD, nota anche come Discrete Fourier Series (DFS). Denotiamo con x(n) un segnale periodico di periodo N0 ∈ N, e definiamo la sua frequen△

za fondamentale come ν0 = 1/N0 . Anche nel caso TD la serie di Fourier consiste nella rappresentazione di x(n) come sovrapposizione di fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale ν0 , quindi con un’espressione del tipo: x(n) = ∑ Xk e j2π kν0 n .

(5.21)

k

Notiamo che, nella (5.21), non abbiamo indicato di proposito gli estremi di variazione dell’indice k, e quindi l’intervallo di variazione delle frequenze νk = kν0 . Infatti, una differenza fondamentale da tener presente nel caso TD rispetto al caso TC è che due fasori aventi frequenze ν1 e ν2 tali che ν2 − ν1 = k ∈ Z sono matematicamente coincidenti (proprietà di periodicità in frequenza dei fasori TD, cfr. § 2.3.3). Nella (5.21), pertanto, è sufficiente far variare k in modo da ottenere le frequenze νk = kν0 = k/N0 in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria, ad esempio in (0, 1) oppure in (−1/2, 1/2). In particolare, se k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1}, le frequenze νk assumono i valori 0, 1/N0 , . . . , (N0 − 1)/N0 nell’intervallo [0, 1[, per cui la (5.21) si può scrivere come: x(n) =

N0 −1

∑

Xk e j2π kν0 n .

(5.22)

k=0

La relazione (5.22) è analoga all’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier a TC, e rappresenta l’equazione di sintesi della serie di Fourier discreta, in base alla quale un segnale periodico x(n) di periodo N0 può essere rappresentato come somma di un numero finito N0 di fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale ν0 = 1/N0 . La differenza fondamentale rispetto alla serie di Fourier (5.10) per segnali TC è che nel caso TD il numero di armoniche è finito14 ed è pari proprio ad N0 . Quindi un segnale TD periodico di periodo N0 può essere rappresentato esattamente con N0 armoniche (viceversa, salvo casi particolari, un segnale TC può essere solo approssimato utilizzando un numero finito di armoniche). L’equazione che consente di calcolare Xk (equazione di analisi) si trova con passaggi analoghi a quelli utilizzati nel caso TC, semplificati dal fatto che, essendo la (5.22) una somma finita, non è necessario utilizzare il concetto di convergenza uniforme di una serie come nel caso TC. In particolare, moltiplicando ambo i membri della (5.22) per e− j2π hν0 n e sommando su un periodo, si ha: N0 −1 1 N0 −1 j2π (k−h)ν0 n 1 N0 −1 − j2π hν0 n X x(n) e = Xh , = ∑ ∑ k N0 ∑ e N0 n=0 n=0 k=0 {z } | =δ (k−h)

per cui, cambiando l’indice da h nuovamente a k, si ha: Xk =

1 N0 −1 ∑ x(n) e− j2π kν0 n , N0 n=0

k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1} .

(5.23)

Le (5.22) e (5.23) rappresentano una coppia di equazioni di sintesi/analisi della serie di Fourier per segnali TD. Esse, se si eccettua la fondamentale differenza sul numero di fasori che compaiono nella 14 Si

osservi che, proprio per questo motivo, è improprio parlare di “serie” di Fourier nel caso TD, in quanto si tratta di una somma (finita) e non di una serie.

226

Serie di Fourier

rappresentazione, costituiscono formalmente l’esatta controparte delle (5.10) e (5.11), valide nel caso TC. Va detto però che, nella letteratura scientifica, viene abitualmente utilizzata una definizione leggermente diversa per la serie di Fourier a TD. A partire da Xk , si definisce infatti la sequenza X(k) come △

X(k) = N0 Xk ,

(5.24)

e pertanto, con sostituzioni algebriche banali, le (5.22) e (5.23) si riscrivono in termini di x(n) e X(k) come: x(n) = X(k) =

1 N0 −1 ∑ X(k) e j2π kν0 n , N0 k=0 N0 −1

∑

(5.25)

x(n) e− j2π kν0 n .

(5.26)

n=0

Una prima differenza rispetto alle (5.22) e (5.23) è che il fattore 1/N0 è stato spostato dall’equazione di analisi a quella di sintesi. Inoltre nella (5.26) abbiamo esteso la definizione di X(k) a qualunque valore di k, sebbene a rigore gli unici valori di X(k) richiesti dall’equazione di sintesi (5.25) siano quelli dell’intervallo {0, 1, . . . , N0 − 1}. D’altra parte è facile verificare che la sequenza X(k) definita mediante la (5.26) è periodica,15 come la sequenza x(n), di periodo N0 : tale proprietà discende banalmente dalla periodicità in k del fasore e− j2π kν0 n . In altri termini, le (5.25) e (5.26) definiscono una trasformazione biunivoca tra le due sequenze x(n) e X(k), entrambe periodiche dello stesso periodo N0 . Se infine nelle (5.25) e (5.26) facciamo l’ulteriore posizione: △

wN0 = e− j2π /N0

(5.27)

perveniamo alla seguente definizione per la serie di Fourier o DFS di un segnale TD: Definizione 5.2 (serie di Fourier a TD o DFS) Sia x(n) un segnale periodico avente periodo N0 e frequenza fondamentale ν0 = 1/N0 . Posto △

wN0 = e− j2π /N0 , la serie di Fourier (DFS) di x(n) è definita dalle equazioni: x(n) = X(k) =

1 N0 −1 ∑ X(k) w−kn N0 N0 k=0 N0 −1

∑

x(n) wkn N0

(equazione di sintesi)

(5.28)

(equazione di analisi)

(5.29)

n=0

In effetti, nella letteratura scientifica le (5.28) e (5.29) sono comunemente considerate le equazioni di sintesi ed analisi della serie di Fourier a TD, anche se esse non sono esattamente corrispondenti a quelle nel caso TC. In particolare, la (5.29) viene denominata Discrete Fourier Series (DFS), mentre la (5.28) prende il nome di Inverse Discrete Fourier Series (IDFS). Per sottolineare che la DFS/IDFS istituisce una corrispondenza biunivoca tra due sequenze periodiche delle stesso periodo N0 si scrive: DFS

x(n) ←→ X(k) . 15 Notiamo

che una tale periodicità non vale invece per la sequenza dei coefficienti Xk della serie di Fourier di un segnale TC, che anzi tendono a zero per |k| → ∞ e quindi non possono essere periodici.

5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS)

227

1 0.8

x(n)

0.6 0.4 0.2 0 −20

−10

0 n

10

20

Fig. 5.9. Onda rettangolare TD dell’es. 5.8 (N0 = 8, M = 4).

La DFS e IDFS possono anche essere viste come operatori, e si scrive sinteticamente X(k) = DFS[x(n)] ,

x(n) = IDFS[X(k)] .

È interessante mettere in luce un’ulteriore differenza tra il caso TC e TD. Un segnale TC periodico x(t) con periodo T0 è completamente descritto nel dominio del tempo dal suo andamento su un qualsiasi periodo, ad esempio per t ∈ [0, T0 [, ovvero da un’inifinità continua di valori; abbiamo visto che invece, nel dominio della frequenza, il segnale x(t) è descritto dalla successione {Xk }k∈Z dei suoi coefficienti di Fourier, ovvero da un segnale TD. Differentemente dal caso TC, per i segnali periodici TD sussiste una perfetta dualità tra il dominio del tempo e quello della frequenza. Infatti, un segnale TD periodico x(n) con periodo N0 è completamente descritto nel dominio del tempo dai suoi N0 valori assunti su un periodo, ad esempio x(0), x(1), . . . , x(N0 − 1); nel dominio della frequenza sussiste esattamente la stessa proprietà, il segnale x(n) è completamente descritto assegnando solo N0 valori, N0 −1 della sua serie di Fourier. cioè i coefficienti {X(k)}k=0 Si può infine verificare che le quantità wN0 definite mediante la (5.27) godono delle seguenti proprietà: −kn ∗ (a) Coniugazione: (wkn N0 ) = wN0 ; k(n+N0 )

= wkn N0 ;

(k+N0 )n

= wkn N0 .

(b) Periodicità in n: wN0 (c) Periodicità in k: wN0

In particolare, la periodicità della sequenza x(n) deriva dalla proprietà (b), mentre la periodicità della sequenza X(k) segue dalla proprietà (c). La periodicità di X(k) è una caratteristica peculiare della DFS, ed è importante per comprendere alcune proprietà sia della DFS (come ad esempio la simmetria hermitiana, cfr. § 5.4.2), sia della trasformata discreta di Fourier (DFT), che è strettamente legata alla DFS (cfr. cap. 7). ◮ Esempio 5.8 (DFS dell’onda rettangolare TD, funzione di Dirichlet) Consideriamo l’onda rettangolare TD di ampiezza unitaria e periodo N0 , ottenuta replicando una finestra rettangolare di durata M ≤ N0 : +∞

x(n) = repN0 [RM (n)] =

∑

k=−∞

RM (n − kN0 ) ,

228

Serie di Fourier

e raffigurata graficamente in fig. 5.9 per N0 = 8 ed M = 4. La DFS di x(n) si scrive, sulla base della definizione (5.29), come: X(k) = DFS[x(n)] =

N0 −1

∑

n=0

x(n) wkn N0 =

M−1

M−1

n=0

n=0

∑ wknN0 = ∑ [wkN0 ]n .

Per calcolare l’espressione precedente in forma chiusa, è possibile sfruttare la seguente identità: N2

∑

an =

n=N1

aN1 − aN2 +1 , 1−a

valida per ogni a ∈ C e per ogni N2 ≥ N1 .

Ponendo infatti a = wkN0 , N1 = 0 e N2 = M − 1, si ha: M−1

X(k) =

∑ [wkN0 ]n =

n=0

1 − wkM N0 1 − wkN0

.

(5.30)

Ricordando la definizione di wN0 , notiamo che wkM N0 wkN0

− j2π kM N 0

,

− j2π Nk 0

,

= e = e

per cui la (5.30) può essere riscritta, con semplici passaggi algebrici, come     − jπ kM jπ kM − jπ kM N0 N0 N0 kM e e − e − j2π kM π sin N0 k N 1−e  0  e− jπ (M−1) N0 .   = X(k) = = k − j2π N − jπ k jπ k − jπ k sin π Nk0 0 1−e e N0 e N0 − e N0 Per esprimere in forma più compatta il risultato precedente, introduciamo la funzione DM (x) (funzione di Dirichlet o “sinc periodica”): △

DM (x) =

sin(π xM) − j(M−1)π x e , sin(π x)

x ∈ R,

(5.31)

il cui grafico per x ∈ [−1, 1] è riportato in fig. 5.10 [notiamo che trattandosi di una funzione complessa abbiamo rappresentato separatamente modulo e fase di DM (x)]. Le principali proprietà della funzione DM (x) sono le seguenti, di facile dimostrazione: 1. La funzione DM (x) è periodica di periodo 1: DM (x + 1) = DM (x) ,

∀x ∈ R .

2. La funzione DM (x) si annulla in tutti i valori di x multipli di 1/M, tranne che in x = ±1, ±2, . . ., dove vale M:  k  0, x = , k ∈ Z, x 6∈ Z ; DM (x) = M M, x ∈ Z .

Utilizzando la definizione (5.31), si ha allora:   k X(k) = DM , N0

ovvero la DFS dell’onda rettangolare si ottiene campionando con passo 1/M la funzione di Dirichlet. Tale DFS è rappresentata in ampiezza e fase in fig. 5.11 nel caso N0 = 8 ed M = 4. Notiamo anche in questo caso la simmetria pari dello spettro di ampiezza, e quella dispari dello spettro di fase. ◭

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS

2 0 −1

0 x

0.5

1

2

−5

0 k

5

−5

0 k

5

2

0 −2 −1

2 0

−0.5

∠ X(k)

M

∠ D (x)

4 |X(k)|

M

|D (x)|

4

229

0 −2

−0.5

0 x

0.5

1

Fig. 5.10. Funzione di Dirichlet per M = 4: modulo (in alto) e fase (in basso).

Fig. 5.11. DFS dell’onda rettangolare dell’es. 5.8 (N0 = 8, M = 4): spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso).

Notiamo in conclusione che, poiché la DFS è la rappresentazione di un segnale periodico come somma finita di fasori, allora per essa non esistono problemi di convergenza come per la serie di Fourier a TC. In altre parole, un qualunque segnale periodico TD con periodo N0 si può sempre esprimere mediante le (5.28) and (5.29). Di conseguenza, il fenomeno di Gibbs non sussiste nel caso TD, anche perchè il concetto di continuità perde di significato in tal caso. Il fatto che la DFS/IDFS sia espressa mediante una somma finita di termini comporta che la DFS/IDFS può essere calcolata non solo analiticamente, ma anche algoritmicamente, in quanto richiede un numero finito di operazioni. Vedremo (cfr. § cap. 7) che la DFS presenta forti affinità con la trasformata di Fourier discreta (DFT), e per quest’ultima esistono algoritmi di calcolo computazionalmente efficienti, denominati algoritmi Fast Fourier Transform (FFT), che a partire dalla loro scoperta negli anni ’60 hanno dato un grosso impulso alla diffusione delle tecniche di elaborazione numerica dei segnali.

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS La serie di Fourier a TC e a TD (DFS) gode di molte proprietà interessanti, che suggeriscono ulteriori considerazioni concettuali e, soprattutto, risultano particolarmente utili per facilitare il calcolo dei coefficienti di Fourier. In questo paragrafo considereremo solo alcune proprietà principali della serie di Fourier che risultano più interessanti per le loro implicazioni nell’elaborazione dei segnali. In particolare, discuteremo nel dettaglio la proprietà di linearità, simmetria hermitiana dei coefficienti, e l’uguaglianza di Parseval per il calcolo della potenza. Per tali proprietà, tratteremo congiuntamente sia il caso TC che quello TD, evidenziando, quando necessario, le differenze salienti. Altre proprietà formali, utili talvolta nei calcoli, sono simili a quelle della trasformata di Fourier (che vedremo in maggior dettaglio), e sono comunque riportate in app. E. 5.4.1 Linearità

Siano x(t) ed y(t) due segnali periodici TC con lo stesso periodo T0 , i cui coefficienti di Fourier siano Xk e Yk , rispettivamente. Poichè i due segnali x(t) e y(t) hanno lo stesso periodo, si può facilmente dimostrare che una loro arbitraria combinazione lineare z(t) = α1 x(t) + α2 y(t), con α1 , α2 ∈ C, è ancora un segnale periodico di periodo T0 .16 La proprietà di linearità della serie di Fourier afferma

230

Serie di Fourier

che i coefficienti di Fourier Zk del segnale periodico z(t) si ottengono combinando linearmente allo stesso modo i coefficienti di Fourier dei segnali x(t) e y(t), ossia: Zk = α1 Xk + α2 Yk . Analogamente, siano x(n) ed y(n) due segnali periodici TD con lo stesso periodo N0 , i cui coefficienti di Fourier siano X(k) e Y (k), rispettivamente. Anche in questo caso si può mostrare agevolmente che un’arbitraria combinazione lineare z(n) = α1 x(n) + α2 y(n), con α1 , α2 ∈ C, dei due segnali è ancora un segnale periodico di periodo N0 ,17 la cui DFS si ottiene da quella dei segnali x(n) ed y(n) nel seguente modo: Z(k) = α1 X(k) + α2 Y (k) . Riassumendo, otteniamo la seguente proprietà notevole:

Proprietà 5.2 (linearità della serie di Fourier) FS FS (a) Siano x(t) ←→ Xk e y(t) ←→ Yk due segnali TC periodici con lo stesso periodo. Si ha: FS

α1 x(t) + α2 y(t) ←→ α1 Xk + α2 Yk , DFS

∀α1 , α2 ∈ C .

DFS

(b) Siano x(n) ←→ X(k) e y(n) ←→ Y (k) due segnali TD periodici con lo stesso periodo. Si ha: DFS

α1 x(n) + α2 y(n) ←→ α1 X(k) + α2 Y (k) ,

∀α1 , α2 ∈ C .

La dimostrazione della proprietà di linearità nel caso TC e TD si ottiene immediatamente a partire dalle equazioni di analisi (5.11) e (5.29), rispettivamente. Si noti infine che la proprietà di linearità si estende facilmente al caso della combinazione lineare di un numero arbitrario (ma finito) di segnali periodici dello stesso periodo. 5.4.2 Simmetria hermitiana

Con riferimento a segnali periodici TC, negli es. 5.1, 5.2 e 5.3 abbiamo osservato che lo spettro di ampiezza |Xk | è una funzione pari di k, mentre lo spettro di fase ∡Xk è una funzione dispari di k (a meno di multipli di 2π ). Valgono cioè le seguenti relazioni: |Xk | = |X−k | , ∡Xk = −∡X−k .

(simmetria pari) (simmetria dispari)

(5.32)

Si può facilmente mostrare che queste relazioni di simmetria per gli spettri di ampiezza e di fase si possono sinteticamente enunciare come: Xk∗ = X−k . 16 Può

accadere in casi particolari che il periodo fondamentale della combinazione lineare sia però più piccolo di T0 . nel caso TD, esistono casi particolari in cui il periodo fondamentale della combinazione lineare è più piccolo di

17 Anche

N0 .

(5.33)

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS

231

Una proprietà analoga è stata osservata anche nell’es. 5.8 riguardante la DFS dell’onda rettangolare TD, dove si è visto che lo spettro di ampiezza |X(k)| è una funzione pari di k, mentre lo spettro di fase ∡X(k) è una funzione dispari di k (a meno di multipli di 2π ). Valgono cioè le seguenti relazioni: |X(k)| = |X(−k)| , ∡X(k) = −∡X(−k) .

(simmetria pari) (simmetria dispari)

(5.34)

Pertanto, anche in questo caso le (5.34) si possono scrivere in maniera più compatta come: X ∗ (k) = X(−k) .

(5.35)

Le proprietà (5.33) e (5.35), in particolare, prendono il nome di simmetria hermitiana o coniugata dei coefficienti di Fourier, e valgono se e solo se il segnale periodico in questione è reale, come specificato dalla seguente proprietà: Proprietà 5.3 (simmetria hermitiana dei coefficienti della serie di Fourier) FS (a) Sia x(t) ←→ Xk un segnale TC periodico. Vale la seguente equivalenza: x(t) reale

Xk∗ = X−k

⇐⇒

(simmetria hermitiana)

(5.36)

DFS

(b) Sia x(n) ←→ X(k) un segnale TD periodico. Vale la seguente equivalenza: x(n) reale

X ∗ (k) = X(−k)

⇐⇒

(simmetria hermitiana)

(5.37)

Prova. Nel seguito è riportata la dimostrazione della proprietà di simmetria hermitiana solo nel caso TC; la dimostrazione nel caso della DFS si ottiene con ragionamenti analoghi. Proviamo prima l’implicazione ⇒ nella (5.36). Partiamo dall’equazione di analisi (5.11): Xk =

1 T0

Z

x(t) e− j2π k f0 t dt .

T0

Se x(t) è reale, si ha x∗ (t) ≡ x(t), e pertanto: Xk∗ =

1 T0

Z

x∗ (t) e j2π k f0 t dt =

T0

1 T0

Z

T0

x(t) e− j2π (−k) f0t dt = X−k .

Proviamo adesso l’implicazione ⇐ nella (5.36). Se vale la simmetria hermitiana (5.36), osserviamo preliminarmente che per k = 0 si ha X0 = X0∗ , e quindi X0 è reale. Inoltre l’equazione di sintesi (5.10) si può riscrivere come: +∞

x(t) = X0 + ∑ Xk e j2π k f0 t +

−1

∑

k=1

k=−∞

+∞

+∞

= X0 + ∑ Xk e k=1

j2π k f0 t

+∑

+∞

+∞

Xk e j2π k f0 t = X0 + ∑ Xk e j2π k f0 t + ∑ X−k e− j2π k f0 t

Xk∗ e− j2π k f0 t

k=1

= X0 + 2 Re

k=1

k=1

"

+∞

∑ Xk e

k=1

da cui, avendo già provato che X0 è reale, si ricava che x(t) è reale.

j2π k f0 t

#

(5.38) , 

L’equivalenza tra simmetria hermitiana e simmetria pari/dispari degli spettri di ampiezza/fase si dimostra facilmente nel caso TC esprimendo Xk come Xk = |Xk | e j∡Xk e sostituendo tale espressione nella (5.36). Si ha: Xk∗ = X−k ⇐⇒ |Xk | e− j∡Xk = |X−k | e j∡X−k

232

Serie di Fourier

da cui eguagliando modulo e fase dei due membri si ottiene la (5.32) (con analoghi passaggi si ottiene la (5.34) a partire dalla (5.37) nel caso TD). Per evitare possibili fraintendimenti, notiamo che, poiché la fase di un numero complesso è definita a meno di multipli di 2π , la simmetria dispari dello spettro di fase va intesa anch’essa a meno di multipli di 2π . In altre parole, se x(·) è reale, tra tutti i possibili andamenti dello spettro di fase (ottenuti aggiungendo o sottraendo multipli di 2π ), è possibile determinarne almeno uno dispari. Rispetto al caso TC, la proprietà di simmetria hermitiana della DFS merita qualche ulteriore commento, in relazione alla periodicità della sequenza X(k). Notiamo infatti che nell’equazione di sintesi (5.28) compaiono solo i valori di X(k) per k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1}, per cui sembrerebbe che la simmetria hermitiana si possa applicare solo per k = 0 e, conseguentemente, il solo coefficiente X(0) è vincolato ad essere reale, mentre non è imposta nessuna relazione tra gli altri coefficienti X(k), per k ∈ {1, 2, . . . , N0 − 1}. Questa conclusione non è corretta. Infatti, ricordando che la DFS X(k) è una sequenza periodica di periodo N0 , si ha: X(−k) = X(−k + N0 ) = X(N0 − k) , per cui la (5.37) si può riscrivere, per k ∈ {1, 2, . . . , N0 − 1}, anche come segue: X ∗ (k) = X(N0 − k) .

Notiamo infatti che, se k ∈ {1, 2, . . . , N0 − 1}, anche N0 − k varia nello stesso intervallo. In definitiva, la proprietà di simmetria hermitiana per la DFS, con riferimento ai soli valori di k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1}, si può esprimere, in alternativa alla (5.37) mediante le seguenti condizioni: ( X(0) reale , (5.39) X ∗ (k) = X(N0 − k) , k ∈ {1, 2, . . . , N0 − 1} , dove la seconda relazione si può interpretare anche come una simmetria di X(k) rispetto al “punto medio” N0 /2 dell’intervallo {1, 2, . . . , N0 − 1}. In particolare, se N0 /2 è intero (il che accade se e solo se N0 è pari), applicando la (5.39) per k = N0 /2 si ha: X ∗ (N0 /2) = X(N0 /2) , da cui si deduce che, oltre a X(0), anche X(N0 /2) è vincolato ad essere reale per N0 pari. La proprietà di simmetria hermitiana dei coefficienti consente di ottenere forme alternative della serie di Fourier a TC e TD, valide esclusivamente per segnali reali. Infatti, con riferimento a segnali periodici TC reali, ponendo Xk = |Xk | e j∡Xk nella (5.38), si ottiene: " # " # +∞

x(t) = X0 + 2 Re

∑ |Xk | e j∡X

k

e j2π k f0t = X0 + 2 Re

k=1

+∞

+∞

∑ |Xk | e j(2π k f t+∡X ) 0

k=1

k

(5.40)

= X0 + 2 ∑ |Xk | cos(2π k f0t + ∡Xk ) . k=1

Con ragionamenti simili, partendo dall’equazione di sintesi (5.28) e sfruttando la proprietà di simmetria hermitiana nella forma (5.39), si può verificare (la verifica è lasciata al lettore come esercizio) che, per segnali periodici TD reali, si ottiene:  ( )   (N0 /2)−1  N 1  0  + 2 ∑ |X(k)| cos[2π kν0 n + ∡X(k)] , N0 pari , X(0) + (−1)n X    N0 2 k=1 x(n) = ( )  (N0 −1)/2  1   N0 dispari .   N X(0) + 2 ∑ |X(k)| cos[2π kν0 n + ∡X(k)] , 0 k=1

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS

233

(5.41) Le (5.40) e (5.41) sono forme alternative delle equazioni di sintesi della serie di Fourier a TC e TD, rispettivamente, valide per segnali reali, note come forma polare della serie di Fourier, in cui compaiono esclusivamente funzioni trigonometriche reali e coefficienti reali. Un’ulteriore espressione della serie di Fourier, molto utilizzata nei testi di analisi matematica e valida sempre per segnali reali, si ottiene nel caso TC decomponendo Xk , anziché in modulo e fase, in parte reale ed immaginaria. Infatti, ponendo X0 = a0 /2 e Xk = (ak − jbk )/2 (con k ∈ N) nella (5.38), si ha, con facili passaggi algebrici, x(t) =

a0 +∞ + ∑ [ak cos(2π k f0t) + bk sin(2π k f0t)] , 2 k=1

(5.42)

dove: 2 a0 = T0

Z

x(t) dt ,

T0

2 ak = T0

Z

T0

x(t) cos(2π k f0t) dt ,

2 bk = T0

Z

T0

x(t) sin(2π k f0t) dt .

Allo stesso modo, ponendo X(0) = a(0)/2 e X(k) = [a(k) − jb(k)]/2 (con k ∈ {1, 2, . . . , N0 − 1}) nella (5.29), partendo dall’equazione di sintesi (5.28) e sfruttando la proprietà di simmetria hermitiana nella forma (5.39), nel caso TD si ottiene:  ( ) (N0 /2)−1 n a(N /2)  a(0) (−1) 1  0  + + ∑ [a(k) cos(2π kν0 n) + b(k) sin(2π kν0 n)] , N0 pari ,    N0 2 2 k=1 x(n) = ( )  (N0 −1)/2  a(0) 1   + ∑ [a(k) cos(2π kν0 n) + b(k) sin(2π kν0 n)] , N0 dispari .   N0 2 k=1 (5.43)

dove: a(0) = 2

N0 −1

∑

x(n) ,

a(k) = 2

n=0

N0 −1

∑

n=0

x(n) cos(2π kν0 n) ,

bk = 2

N0 −1

∑

x(n) sin(2π kν0 n) .

n=0

Le espressioni (5.42) e (5.43) sono note come forma trigonometrica o forma rettangolare della serie di Fourier, ed in essa, come nella forma polare, compaiono soltanto quantità reali. Nel seguito, anche per segnali reali, saranno utilizzate quasi esclusivamente le definizioni originali di serie di Fourier a TC e TD (cfr. def. 5.1 e def. 5.2), note anche come forma esponenziale della serie di Fourier, perché più generali e compatte. 5.4.3 Uguaglianza di Parseval

L’uguaglianza di Parseval consente di esprimere la potenza di un segnale periodico in termini delle potenza delle armoniche che lo compongono. Consideriamo dapprima il caso di un segnale TC periodico. Il punto di partenza è l’equazione di sintesi (5.10), che riscriviamo per comodità: +∞

x(t) =

∑

k=−∞

Xk e j2π k f0t .

234

Serie di Fourier

Abbiamo già osservato [eq. (5.4)] che i fasori e j2π k f0t che compaiono nella (5.10) sono a due a due ortogonali. Tale proprietà consente di calcolare la potenza della somma dei fasori come somma delle potenze dei singoli fasori. Poiché (cfr. es. 2.18) la potenza di un singolo fasore Xk e j2π f0t della rappresentazione vale |Xk |2 , otteniamo la seguente relazione: +∞

∑

Px =

k=−∞

|Xk |2 ,

nota come uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier (a TC). Passiamo a considerare il caso di un segnale periodico TD, riprendendo e riscrivendo l’equazione di sintesi (5.28): x(n) =

N0 −1 1 1 N0 −1 j2π k n −kn X(k) w = X(k) e N0 . ∑ ∑ N0 N0 k=0 k=0 N0

Come nel caso TC, possiamo interpretare questa relazione come uno sviluppo del segnale x(n) in una j2π

k

n

somma finita di fasori xk (n) = e N0 , con coefficienti X(k)/N0 . È semplice anche in questo caso provare che i segnali xk (n), essendo fasori a frequenze distinte, sono tra di loro ortogonali, ovvero hanno potenza mutua nulla: ( 1, se k = h ; 1 N0 −1 j2π (k−h) n ∗ Pxk xh = hxk (n) xh (n)i = ∑ e N0 = δ (k − h) = 0, se k 6= h . N0 n=0 In virtù di tale ortogonalità, la potenza del segnale x(n) si ottiene come somma delle potenze dei singoli fasori, e tenendo conto che la potenza di ciascun fasore della rappresentazione è pari stavolta a |X(k)|2 /N02 , si ottiene la seguente relazione: Px =

1 N0 −1 ∑ |X(k)|2 . N02 k=0

nota come uguaglianza di Parseval per la DFS. Riassumendo, possiamo quindi enunciare la seguente proprietà: Proprietà 5.4 (uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier) FS (a) Sia x(t) ←→ Xk un segnale TC periodico con periodo T0 . La potenza di x(t) è data da: +∞

Px =

∑

|Xk |2 .

(5.44)

k=−∞ DFS

(b) Sia x(n) ←→ X(k) un segnale TD periodico con periodo N0 . La potenza di x(n) è data da: Px =

1 N0 −1 ∑ |X(k)|2 . N02 k=0

(5.45)

L’interpretazione “fisica” della uguaglianza di Parseval è che la potenza di un segnale periodico si può ottenere sommando le potenze delle singole armoniche che lo compongono. Notiamo che per segnali

5.4 Principali proprietà della serie di Fourier e della DFS

235

TC reali, sfruttando la simmetria hermitiana dei coefficienti, la (5.44) può essere riscritta utilizzando solo le armoniche con k ≥ 0, ottenendo: +∞

Px = X02 + 2 ∑ |Xk |2 . k=1

L’uguaglianza di Parseval può essere utilizzate per misurare la bontà della ricostruzione di un segnale TC periodico impiegando un numero finito di armoniche (cfr. § 5.2.2). Infatti, per ottenere una valutazione quantitativa di tale bontà, è possibile calcolare la potenza del segnale ricostruito con 2M + 1 armoniche: M

xM (t) =

∑

Xk e j2π k f0t ,

k=−M

con M ∈ N ,

e confrontarla con la potenza del segnale originario x(t). Utilizzando l’uguaglianza di Parseval, la potenza del segnale ricostruito è pari a: M

Px (M) =

∑

k=−M

|Xk |2 .

Tale potenza può essere rapportata alla potenza Px del segnale x(t), ottenendo così il coefficiente △

ξM =

Px (M) ∈ [0, 1] , Px

che può essere assunto come indice della bontà della ricostruzione al variare di M. In particolare, tale coefficiente, per un fissato valore di M, indica la frazione della potenza del segnale originario x(t) presente nel segnale approssimato xM (t). In fig. 5.12 è rappresentato, al variare di M, il coefficiente ξM (espresso in percentuale) per l’onda rettangolare e triangolare. Si noti come il coefficiente ξM per l’onda triangolare tenda molto più rapidamente ad 1, rispetto a quello per l’onda rettangolare. Per un fissato valore di ξM , e quindi per un fissato valore di accuratezza relativa, è possibile calcolare il numero di armoniche M necessarie per i due segnali considerati. Ad esempio, per avere ξM ≥ 0.99 è necessario considerare M = 23 per l’onda rettangolare, mentre è sufficiente un valore M = 3 per l’onda triangolare.

236

Serie di Fourier

100

γM (%)

98 96 94 92 90 0

Onda triangolare Onda rettangolare 20

40

60

80

100

M Fig. 5.12. Bontà della ricostruzione con un numero finito di armoniche: confronto tra l’onda rettangolare e l’onda triangolare.

5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico

x(t)

H(f)

y(t)

x(n)

237

H(ν)

y(n)

Yk=H(kf 0)X k

Y(k)=H(kν0)X(k)

Fig. 5.13. Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico (caso TC).

Fig. 5.14. Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico (caso TD).

5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico Come accennato all’inizio di questo capitolo, la principale motivazione che spinge a rappresentare un arbitrario segnale come sovrapposizione di fasori è la semplicità con cui è possibile calcolare l’uscita di un sistema LTI sollecitato da un singolo fasore, mediante le relazioni (4.97) e (4.105): x(t) = e j2π f t −→ y(t) = H( f ) e j2π f t ,

x(n) = e j2πν n −→ y(n) = H(ν ) e j2πν n . In particolare, sfruttando le formule di Eulero, le espressioni precedenti sono state già utilizzate (cfr. § 4.7.3) per ricavare l’uscita di un sistema LTI reale sollecitato da una sinusoide TC o TD, che può essere vista come un caso particolare di segnale periodico. Avendo ricavato la rappresentazione in serie di Fourier sia nel caso TC che in quello TD, siamo ora in grado di calcolare esplicitamente l’uscita di un sistema LTI quando il segnale di ingresso è un arbitrario segnale periodico.18 Consideriamo prima il caso TC, e supponiamo che il segnale x(t), periodico di periodo T0 , sia applicato (fig. 5.13) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenza H( f ). Applicando l’equazione di sintesi della serie di Fourier a TC (5.10), il segnale x(t) può essere espresso come: +∞

∑

x(t) =

Xk e j2π k f0t ,

k=−∞

dove f0 = 1/T0 . Per la linearità del sistema, è possibile applicare il principio di sovrapposizione (3.23) per calcolare l’uscita y(t). Infatti, l’uscita corrispondente ad un singolo fasore xk (t) = e j2π k f0t (avente frequenza k f0 ) della rappresentazione di x(t) si ottiene applicando la (4.97): xk (t) = e j2π k f0t −→ yk (t) = H(k f0 ) e j2π k f0t . Pertanto, per il principio di sovrapposizione (3.23), ed essendo i coefficienti Xk ∈ C quantità costanti, l’uscita del sistema sarà: +∞

y(t) =

∑

Xk H(k f0 ) e j2π k f0t . {z } | k=−∞

(5.46)

=Yk

Poiché la (5.46) ha la forma dell’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier di y(t), è possibile trarre due importanti conclusioni: 18 Espressioni

ancora più generali per un segnale non necessariamente periodico saranno ricavate quando studieremo la trasformata di Fourier (cap. 6).

238

Serie di Fourier

(1) l’uscita di un sistema LTI sollecitato in ingresso da un segnale periodico x(t) avente periodo T0 è a sua volta un segnale periodico y(t) avente periodo T0 ;19 (2) i coefficienti delle serie di Fourier di y(t) e x(t) sono legati dalla relazione20 Yk = H(k f0 ) Xk .

(5.47)

La (5.47), in particolare, mette in luce che i coefficienti della serie di Fourier dell’uscita y(t) si ottengono moltiplicando quelli dell’ingresso per i campioni della risposta in frequenza H( f ), calcolati alle frequenze fk = k f0 . Notiamo che le quantità che compaiono nella (5.47) sono tutte, in generale, complesse. In termini di modulo e fase, la (5.47) si può scrivere equivalentemente: |Yk | = |H(k f0 )||Xk | ,

∡Yk = ∡H(k f0 ) + ∡Xk .

(5.48) (5.49)

Pertanto la risposta in ampiezza |H( f )| del sistema modifica con legge moltiplicativa lo spettro di ampiezza del segnale di ingresso, mentre la risposta in fase ∡H( f ) del sistema modifica con legge additiva lo spettro di fase del segnale di ingresso. Particolarizzando la (5.47) per k = 0, e ricordando che Y0 = ydc e X0 = xdc , si ha: ydc = H(0) xdc . Pertanto le componenti continue dei segnali di ingresso e di uscita sono legate tra loro dalla moltiplicazione per H(0), che prende per questo motivo il nome di guadagno in continua del sistema.21 Passando ad esaminare il caso di un segnale TD, supponiamo che il segnale x(n), periodico di periodo N0 , sia applicato (fig. 5.14) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenza H(ν ). Tale segnale periodico può essere rappresentato come sovrapposizione di fasori mediante l’equazione di sintesi (5.22) della DFS: x(n) =

1 N0 −1 ∑ X(k) e j2π kν0 n , N0 k=0

dove ν0 = 1/N0 . La risposta del sistema LTI ad un generico fasore della precedente rappresentazione è data dalla (4.105): xk (n) = e j2π kν0 n −→ yk (n) = H(kν0 ) e j2π kν0 n . Pertanto, applicando il principio di sovrapposizione, si trova: y(t) =

1 N0 −1 ν ) e j2π kν0t . ∑ |X(k) H(k {z 0} N0 k=0

(5.50)

=Y (k)

Dal confronto con la (5.22), si ricava anche in questo caso che y(n) è un segnale periodico, con lo stesso22 periodo N0 del segnale di ingresso, e che la sua DFS Y (k) è legata alla DFS del segnale di ingresso dalla relazione: Y (k) = H(kν0 ) X(k) .

(5.51)

Per gli spettri di ampiezza e fase, valgono considerazioni analoghe a quelle già fatte nel caso TC. 19 A

stretto rigore, poiché alcune armoniche Xk del segnale di ingresso potrebbero essere cancellate dal sistema LTI, il periodo fondamentale del segnale y(t) potrebbe essere anche un sottomultiplo di T0 . 20 Proprio perché lega le armoniche del segnale di ingresso e di uscita, la funzione H( f ) prende anche il nome di risposta armonica del sistema. 21 Si noti che, se il sistema è reale, per la simmetria hermitiana di H( f ) risulta che H(0) è reale. 22 Vale anche nel caso TD l’osservazione secondo la quale il periodo fondamentale del segnale di uscita potrebbe essere un sottomultiplo di N0 .

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali

239

1 k

|X |

0.4 |H(f)|, |H(k f0)|

0.8

0.2 0

0.6

−5

0 k

5

−5

0 k

5

0.4 0.4 k

|Y |

0.2

0.2

0 0 −5

0 f/f

5

0

Fig. 5.15. Risposta di ampiezza del filtro RC (es. 5.9). Sono evidenziati i campioni |H(k f0 )| dello spettro di ampiezza |H( f )|.

Fig. 5.16. Spettro di ampiezza dell’ingresso (alto) e dell’uscita (basso) del filtro RC (es. 5.9). Si noti nel segnale di uscita l’attenuazione delle armoniche a frequenza più elevata.

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali Le relazioni (5.47) e (5.51) consentono di studiare gli effetti di un sistema LTI su un segnale periodico, analizzando le modifiche introdotte dal sistema sulle singole armoniche che compongono il segnale. Facendo riferimento al caso TC, ad esempio, la (5.46), riportata di seguito, +∞

y(t) =

∑

Xk H(k f0 ) e j2π k f0t {z } | k=−∞ =Yk

mostra che un sistema LTI modifica in ampiezza e fase ciascun fasore e j2π k f0t del segnale di ingresso, lasciando tuttavia invariata la frequenza k f0 del fasore stesso. Inoltre, la modifica subita dalla k-esima armonica, avente frequenza k f0 , dipende esclusivamente dal valore H(k f0 ) assunto della risposta armonica H( f ) del sistema in corrispondenza di tale frequenza. Ciò significa che in generale un sistema LTI modifica in maniera diversa le armoniche del segnale alle differenti frequenze: questa fondamentale proprietà dei sistemi LTI va sotto il nome di selettività in frequenza. Particolarmente interessante è la modifica delle ampiezze delle armoniche, in quanto essa consente di alterare il peso relativo di ciascun fasore nella serie di Fourier, come evidenziato nell’esempio che segue. ◮ Esempio 5.9 (onda rettangolare a TC in ingresso ad un sistema RC) Si consideri l’onda rettangolare dell’es. 5.2, di ampiezza A e duty-cycle δc , in ingresso ad un sistema RC. Le armoniche del segnale x(t) sono date da Xk = Aδc sinc(kδc ) , mentre la risposta in frequenza del sistema RC è H( f ) =

1 , 1 + j2π f RC

per cui la (5.47) si scrive: Yk = H(k f0 )Xk =

1 Aδc sinc(kδc ) . 1 + j2π k f0 RC

240

Serie di Fourier

1

x(t),y(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

−0.5

0 t/T

0.5

1

0

Fig. 5.17. Segnale di ingresso x(t) (linea tratteggiata) e di uscita y(t) (linea continua) del filtro RC dell’es. 5.9. In particolare, l’ampiezza delle armoniche di uscita (spettro di ampiezza) è data da: |Yk | = p

1 1 + (2π k f0 RC)2

Aδc |sinc(kδc )| .

In fig. 5.15 è raffigurato lo spettro di ampiezza |H( f )| ed i campioni |H(k f0 )|, per 2π f0 RC = 1, mentre in fig. 5.16 sono raffigurate le ampiezze delle armoniche dell’ingresso e dell’uscita per A = 1 e δc = 1/2. Si noti che l’effetto del sistema RC è quello di attenuare l’ampiezza delle armoniche aventi frequenze più elevate. Il segnale y(t) di uscita (fig. 5.17), per effetto dell’attenuazione delle componenti ad alta frequenza, presenta un andamento più dolce rispetto al segnale di ingresso (in particolare, si noti che nel segnale di uscita sono scomparse le discontinuità presenti nell’ingresso). ◭

L’esempio precedente evidenza un comportamento tipico di molti sistemi LTI, ossia quello di attenuare notevolmente (quando |H(k f0 )| ≪ 1) l’ampiezza di alcune armoniche, e di lasciare inalterate (quando |H(k f0 )| ≈ 1) l’ampiezza di altre armoniche.23 Come caso limite, se il sistema presenta un risposta armonica che si annulla in corrispondenza di alcune frequenze, le armoniche corrispondenti a quelle frequenze saranno completamente cancellate e quindi non saranno presenti nel segnale di uscita. Notiamo che il sistema LTI può solo modificare in ampiezza e fase le armoniche che sono già presenti nel segnale di ingresso, mentre non è in grado di “generare” armoniche a frequenze differenti da quelle dell’ingresso (vedremo che la generazione di nuove armoniche è una caratteristica tipica dei sistemi non lineari). Per questo motivo, si dice che il sistema LTI si comporta come un filtro, ovvero opera un filtraggio del segnale di ingresso: i termini “sistema LTI” e “filtro” possono quindi essere assunti come sinonimi. Con riferimento al caso TC, i più semplici esempi di filtri sono quelli cosiddetti ideali, la cui risposta in frequenza H( f ) assume solo i valori 0 oppure 1. In particolare, tutte le armoniche aventi frequenze per le quali H( f ) = 1 vengono fatte passare dal filtro senza modifiche: tale intervallo di frequenze W p prende il nome di banda passante del filtro o passband. Viceversa, tutte le armoniche aventi frequenze per le quali H( f ) = 0 vengono completamente bloccate dal filtro: tale intervallo di frequenze Ws prende il nome di banda oscura del filtro o stopband. I filtri ideali TC sono in genere classificati, sulla base della posizione della banda passante e di quella oscura, in quattro tipologie principali: 23 Ovviamente non è escluso che il sistema LTI possa amplificare (quando |H(k f

un comportamento tipico ad esempio dei circuiti elettrici risonanti.

0 )| ≥ 1) l’ampiezza di alcune armoniche,

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali

241

HLPF(f)

HHPF(f)

1

-fc Ws

1

fc

0 Wp

-fc

f Ws

Fig. 5.18. Risposta in frequenza di un filtro ideale TC passabasso (LPF).

Wp

0 Ws

fc

f Wp

Fig. 5.19. Risposta in frequenza di un filtro ideale TC passaalto (HPF).

(1) Filtri passabasso o lowpass filter (LPF): sono caratterizzati da una banda passante W p posizionata intorno alla frequenza f = 0. La risposta in frequenza di un tale filtro (fig. 5.18) ha un’espressione analitica del tipo: ( 1, | f | ≤ fc ; HLPF ( f ) = 0, | f | > fc ; o equivalentemente: 

f HLPF ( f ) = rect 2 fc



.

La banda passante del filtro è W p = [− fc , fc ], mentre la banda oscura è Ws =]−∞, − fc [ ∪ ] fc , +∞[. La frequenza fc > 0 che separa la banda passante dalla banda oscura prende il nome di frequenza di taglio del filtro. (2) Filtri passaalto o highpass filter (HPF): sono caratterizzati da una banda passante posizionata intorno alle frequenze ±∞. La risposta in frequenza (fig. 5.19) ha un’espressione analitica del tipo: ( 0, | f | ≤ fc ; HHPF ( f ) = 1, | f | > fc . La banda passante del filtro è W p =]−∞, − fc [ ∪ ] fc , +∞[, mentre la banda oscura è Ws = [− fc , fc ]. Anche in questo caso, la frequenza fc > 0 che separa la banda passante dalla banda oscura prende il nome di frequenza di taglio del filtro. Un’espressione equivalente di HHPF ( f ) si ottiene osservando che un filtro HPF è complementare ad un filtro LPF con la stessa frequenza di taglio:   f . HHPF ( f ) = 1 − HLPF ( f ) = 1 − rect 2 fc

242

Serie di Fourier

HBPF(f) ∆f

-fc2 -f0 Ws

Wp

∆f

1

-fc1

0 Ws

fc1

f0

fc2

Wp

f Ws

Fig. 5.20. Risposta in frequenza di un filtro ideale TC passabanda (BPF).

(3) Filtri passabanda o bandpass filter (BPF): sono caratterizzati da una banda passante posizionata intorno alle frequenze ± f0 6= 0. La risposta in frequenza (fig. 5.20) ha un’espressione analitica del tipo: ( 1, fc1 ≤ | f | ≤ fc2 ; HBPF ( f ) = 0, altrimenti ; dove fc1 = f0 − ∆2f e fc2 = f0 + ∆2f , con 0 < fc1 < fc2 (notiamo che f0 = Un’espressione alternativa per HBPF ( f ) è la seguente:     f − f0 f + f0 HBPF ( f ) = rect + rect . ∆f ∆f

fc1 + fc2 2

e ∆ f = fc2 − fc1 ).

La banda passante del filtro è W p = [− fc2 , − fc1 ] ∪ [ fc1 , fc2 ], mentre la banda oscura è Ws = ] − ∞, − fc2 [ ∪ ] − fc1 , fc1 [ ∪ ] fc2 , +∞[. Per questo filtro, è possibile definire due frequenze di taglio, una inferiore ( fc1 ) ed una superiore ( fc2 ), mentre la frequenza f0 prende il nome di frequenza centrale del filtro. (4) Filtri eliminabanda o bandstop filter (BSF): sono caratterizzati da una banda passante posizionata intorno alle frequenze f = 0 e f = ±∞. La risposta in frequenza (fig. 5.21) ha un’espressione analitica del tipo: ( 0, fc1 ≤ | f | ≤ fc2 ; HBSF ( f ) = 1, altrimenti ; dove fc1 = f0 − ∆2f e fc2 = f0 + ∆2f , con 0 < fc1 < fc2 . La banda passante del filtro è W p =] − ∞, − fc2 [ ∪ ] − fc1 , fc1 [ ∪ ] fc2 , +∞[, mentre la banda oscura è Ws = [− fc2 , − fc1 ] ∪ [ fc1 , fc2 ]. Anche per questo filtro, così come per il filtro passabanda, è possibile definire due frequenze di taglio, una inferiore ( fc1 ) ed una superiore ( fc2 ). Un’espressione alternativa per HBSF ( f ) si ottiene osservando che un filtro BSF è complementare ad un filtro BPF con le stesse frequenze di taglio:      f − f0 f + f0 HBSF ( f ) = 1 − HBPF ( f ) = 1 − rect + rect . ∆f ∆f

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali

243

HBSF(f)

1

-fc2 Wp

-fc1 Ws

0 Wp

fc2

fc1 Ws

f Wp

Fig. 5.21. Risposta in frequenza di un filtro ideale TC eliminabanda (BSF).

Per quanto riguarda il caso TD, le tipologie di filtri ideali sono le stesse, con la fondamentale differenza che, essendo la risposta armonica H(ν ) una funzione periodica di periodo 1 (cfr. prop. 4.11), le corrispondenti risposte dei filtri sono tutte periodiche di periodo 1. Nelle fig. 5.22–5.25 sono mostrate le risposte armoniche dei filtri ideali LPF, HPF, BPF e BSF per il caso TD, le cui espressioni analitiche sono riportate di seguito:    ν (filtro passabasso o LPF) (5.52) HLPF (ν ) = rep1 rect 2νc    ν (filtro passaalto o HPF) (5.53) HHPF (ν ) = 1 − rep1 rect 2νc      ν − ν0 ν + ν0 HBPF (ν ) = rep1 rect + rect (filtro passabanda o BPF) (5.54) ∆ν ∆ν      ν − ν0 ν + ν0 + rect (filtro eliminabanda o BSF) (5.55) HBSF (ν ) = 1 − rep1 rect ∆ν ∆ν Per il filtri LPF e HPF, descritti dalla (5.52) e (5.53), 0 < νc < 21 rappresenta la frequenza di taglio, mentre per i filtri BPF e BSF, descritti dalla (5.54) e (5.55) è possibile definire due frequenze di taglio, νc1 = ν0 − ∆2ν e νc2 = ν0 + ∆2ν , con 0 < νc1 < νc2 < 21 . Anche nel caso TD, si ha HHPF (ν ) = 1−HLPF (ν ) e HBPF (ν ) = 1 − HBSF (ν ), ovvero le coppie di filtri LPF/HPF e BPF/BSF con le stesse frequenze di taglio sono (a due a due) complementari. A parte il cambiamento della notazione utilizzata per la frequenza (ν invece di f ), si noti che le espressioni analitiche della risposta in frequenza nel caso TD differiscono da quello TC solo per l’aggiunta dell’operazione di replicazione di passo unitario, necessaria per garantire la periodicità di H(ν ). A causa di tale periodicità, nelle fig. 5.22–5.25 si è scelto di rappresentare le varie risposte in frequenza solo nell’intervallo ν ∈ [−1/2, 1/2[. Si noti che per tutte le tipologie di filtri introdotti precedentemente, sia nel caso TC che TD, la risposta armonica H(·) è una funzione reale e pari, quindi soddisfa la proprietà di simmetria hermitiana, data dalla (4.101) nel caso TC, oppure dalla (4.108) nel caso TD. Per questo motivo, i filtri considerati precedentemente sono tutti esempi di sistemi reali dal punto di vista matematico, intendendo con questo che la loro risposta impulsiva h(·) è una funzione reale. Tali filtri si dicono invece ideali in senso “fisico”, perché presentano una separazione netta tra banda passante e banda oscura, proprietà che in molte applicazioni è una caratteristica desiderabile (ad esempio, essa consente di separare perfettamente segnali che occupano differenti intervalli di frequenza). Tali filtri si dicono ideali anche

244

Serie di Fourier

perché non soddisfano alcune delle proprietà dei sistemi, quali ad esempio la stabilità e la causalità, e per questo motivo essi non sono fisicamente realizzabili (una discussione più approfondita su questo aspetto sarà effettuata nel cap. 6).

5.6 Selettività in frequenza dei sistemi LTI e filtri ideali

245

HLPF(ν)

HHPF(ν)

1

-νc

-1/2

1

νc

0

Ws

Wp

1/2

ν

-νc

-1/2

Ws

Wp

Fig. 5.22. Risposta in frequenza di un filtro ideale TD passabasso (LPF).

νc

0 Ws

Fig. 5.23. Risposta in frequenza di un filtro ideale TD passaalto (HPF).

Ws

∆ν

1

-νc2 -ν0 -νc1

-1/2

Wp

νc1 ν0

0 Ws

νc2

Wp

1/2

ν

Ws

Fig. 5.24. Risposta in frequenza di un filtro ideale TD passabanda (BPF).

HBSF(ν)

1

-νc2

-1/2 Wp

-νc1 Ws

ν

Wp

HBPF(ν) ∆ν

1/2

0 Wp

νc1

νc2 Ws

1/2

ν

Wp

Fig. 5.25. Risposta in frequenza di un filtro ideale TD eliminabanda (BSF).

246

Serie di Fourier

5.7 Esercizi proposti Con riferimento ai segnali TC (analoghe considerazioni sussistono per la DFS di un segnale TD), per ricavare i coefficienti Xk di un segnale x(t) periodico, avente periodo fondamentale T0 e frequenza fondamentale f0 = T10 , ci sono varie strade alternative: (a) nel caso particolare in cui il segnale si può esprimere come somma di sinusoidi/cosinusoidi, si espande ciascuna sinusoide/cosinusoide con le formule di Eulero e si identificano i coefficienti Xk confrontando l’espressione ottenuta con l’equazione di sintesi della serie di Fourier (metodo di “ispezione”); (b) si risolve direttamente l’equazione di analisi 1 Xk = T0

Z

T0

x(t) e− j2π k f0t dt ,

dove le scelte più comuni per l’intervallo di integrazione sono (−T0 /2, T0 /2) oppure (0, T0 ). In questo caso il calcolo di Xk si riduce a quello di un integrale definito (spesso conviene considerare separatamente il caso k = 0); (c) si esprime il segnale periodico x(t) in funzione di uno o più segnali periodici con lo stesso periodo, le cui serie sono più agevoli da calcolare, e si utilizzano le proprietà formali della serie di Fourier: ad esempio, se x(t) = 2 y(t) − 1 si ha, per la proprietà di linearità Xk = 2Yk − δ (k), in quanto i coefficienti della serie di Fourier di 1 (segnale costante) sono δ (k); (d) si utilizza la relazione nota come proprietà di campionamento in frequenza o formula di Poisson (cfr. capitolo 6 del libro di teoria) che lega i coefficienti Xk della serie di Fourier alla trasformata di Fourier Xg ( f ) di un arbitrario segnale generatore xg (t) del segnale periodico; in questo modo il calcolo della serie di Fourier si riconduce a quello della trasformata di Fourier di xg (t), e quest’ultimo problema è generalmente più semplice. In conclusione, il metodo di ispezione è applicabile solo a segnali composti da sinusoidi/cosinusoidi. Per un segnale avente forma più generale, la procedura (d) è quella che semplifica maggiormente i calcoli, e quindi andrebbe utilizzata per prima; tuttavia, tutte le serie di Fourier proposte negli esercizi di questo capitolo sono calcolabili semplicemente anche con le tecniche (b) e (c). Esercizio 5.1 Si consideri il segnale:  π . x(t) = cos(6π t) cos(2π t) + sin 2π t + 4 (a) Determinare il periodo T0 di x(t). (b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica. [Suggerimento: per il punto (b), utilizzare note formule trigonometriche ed applicare il metodo di ispezione.] Risultato: (a) T0 = 1 (b) X1 = 21j e jπ /4 , X−1 = − 21j e− jπ /4 , X2 = X−2 = X4 = X−4 = 14 , Xk = 0 per tutti gli altri valori di k ∈ Z. Esercizio 5.2 Si consideri il segnale periodico: x(t) = | cos(2π f1t)|

(segnale coseno “raddrizzato”),

con f1 ∈ R+ .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t) e determinarne il periodo T0 e la frequenza fondamentale f0 .

5.7 Esercizi proposti

247

(b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica. 1 2 f1 , f 0

Risultato: (a) T0 =

2 = 2 f1 ; (b) Xk = (−1)k π (1−4k 2) .

Esercizio 5.3 Si consideri il segnale periodico x(t) = repT0 [xg (t)], con T0 ∈ R+ , dove  1 − 4t , 0 ≤ t ≤ T /2 , 0 T0 xg (t) = 0 , altrimenti .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t). (b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica.

 k = 0,  0 , j 6 0 pari , Risultato: (b) Xk = − π k , k =   2 , k dispari . (π k)2

Esercizio 5.4 Si consideri il segnale periodico +∞

x(t) =

∑

(−1)k δ (t − kT ) ,

k=−∞

con T ∈ R+ .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t) e determinarne il periodo T0 . (b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica. ( 0, k pari ; Risultato: (a) T0 = 2T ; (b) Xk = 1 T , k dispari . Esercizio 5.5 Si consideri il segnale periodico x(t) = repT0 [xg (t)], con T0 ∈ R+ , dove     2t 2t − T0 xg (t) = rect − rect . T0 T0 (a) Rappresentare graficamente il segnale x(t). (b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica. [Suggerimento: dal grafico, notare che il segnale x(t) si può esprimere come x(t) = y(t) − 1, dove y(t) = repT0 [2 rect(2t/T0 )] (onda rettangolare di ampiezza 2 e δc = 1/2), ed applicare poi la proprietà di linearità della serie di Fourier.]

Risultato: (b) Xk =

( 0, 2 kπ

sin

kπ 2




k pari ; , k dispari .

Esercizio 5.6 Si consideri il segnale periodico x(t) = repT0 [xg (t)], con T0 ∈ R+ , dove       2t t xg (t) = 2Λ − 1 rect . T0 T0

248

Serie di Fourier

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t). (b) Determinare analiticamente i coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t) e fornirne una valida rappresentazione grafica. [Suggerimento: dal grafico, notare che il segnale x(t) si può esprimere come x(t) = y(t) − 1, dove y(t) = repT0 [2Λ(2t/T0 )] (onda triangolare di ampiezza 2), ed applicare poi la proprietà di linearità della serie di Fourier.] ( 0, k pari ; Risultato: (b) Xk = 4 , k dispari . k2 π 2 Esercizio 5.7 Si consideri il segnale periodico x(n) = rep4 [xg (n)], dove xg (n) = δ (n) − 2 δ (n − 2) − δ (n − 3) . (a) Rappresentare graficamente il segnale x(n). (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana. Risultato: (b) X(k) = 1 − 2e− jπ k − e− j(π /2)k , k ∈ {0, 1, 2, 3}, da cui X(0) = −2, X(1) = 3 − j, X(2) = 0, X(3) = 3 + j. Esercizio 5.8 Si consideri il segnale periodico   nπ 3π + x(n) = 1 + sin . 12 8 (a) Determinare il periodo N0 di x(n). (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana.  24 ,     12 e j 3π /8 , j Risultato: (a) N0 = 24; (b) X(k) = 12 − j 3π /8  e , −    j 0,

k = 0; k = 1; k = 23 ; k ∈ {2, 3, . . . , 22} .

Esercizio 5.9 Si consideri il segnale periodico       2π n 2π n 4π n π x(n) = 1 + sin + + 3 cos + cos . N N N 2 (a) Determinare il periodo N0 del segnale x(n). (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana.

Risultato: (a) N0 = N; (b) X(0) = N, X(1) = X(k) = 0 per tutti gli altri valori di k.

N 2 (3 −

j), X(2) =

N 2

j, X(N − 2) = − N2 j, X(N − 1) =

N 2 (3 +

j),

5.7 Esercizi proposti

249

Esercizio 5.10 Si consideri il segnale periodico x(n) = rep6 [xg (n)], dove  2,    1 , xg (n) =  2,    0,

n = −1 ; n = 0; n = 1; altrimenti .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(n). (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana. Risultato: (b) X(k) = 1 + 4 cos

πk 3




, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Esercizio 5.11 Si consideri il segnale periodico rappresentato nella seguente figura: x(n)

2 1 ....

....

-5

0

5

n

(a) Determinare il periodo N0 di x(n). (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana.

Risultato: (a) N0 = 5; (b) X(k) =

( 8,

k π k/5) e− j2π 5 sin(3 sin(π k/5)

k = 0; , k ∈ {1, 2, 3, 4} .

Esercizio 5.12 Si consideri il segnale periodico +∞

x(n) =

∑

k=−∞

[4 δ (n − 4k) + 8 δ (n − 1 − 4k)] .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(n) e determinarne il periodo N0 . (b) Determinare analiticamente la DFS X(k) di x(n) e fornirne una valida rappresentazione grafica. (c) Verificare che la DFS calcolata gode della proprietà di simmetria hermitiana. Risultato: (a) N0 = 4; (b) X(k) = 4 + 8(− j)k , k ∈ {0, 1, 2, 3}, da cui X(0) = 12, X(1) = 4 − j 8, X(2) = −4, X(3) = 4 + j 8. Esercizio 5.13 Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 ∈ R+ .

250

Serie di Fourier

(a) Mostrare che se x(t) ha solo armoniche dispari (Xk = 0, ∀k pari, incluso k = 0) allora x(t) presenta la seguente proprietà di simmetria   T0 x(t) = −x t + , ∀t ∈ R . (5.56) 2 (b) Viceversa, mostrare che se x(t) ha la proprietà di simmetria (5.56), allora il segnale ha solo le armoniche dispari, e si ha in particolare  0 , k pari Xk = 2 Z T0 /2 − j2 π k f t 0 dt ,  x(t) e k dispari T0 0

[Suggerimento: (a) Scrivere l’equazione di sintesi e provare direttamente che vale la (5.56). (b) Scrivere l’equazione di analisi in (−T0 /2, T0 /2) e dividere l’integrale in due integrali, in modo da poter sfruttare la (5.56) operando un cambiamento di variabile in uno dei due integrali. ]

Esercizio 5.14 Sia wN0 = e− j2π /N0 , con N0 ∈ N (è la quantità che compare nella definizione di DFS/IDFS). Provare che valgono le seguenti identità: N0 −1

∑

n=0 N0 −1

∑

k=0

w±kn N0 = N0 w±kn N0 = N0

+∞

∑

ℓ=−∞ +∞

∑

ℓ=−∞

△

δ (k − ℓN0 ) = N0 repN0 [δ (k)] △

δ (n − ℓN0 ) = N0 repN0 [δ (n)] N−1

[Suggerimento: applicare l’indentità notevole

∑ an =

n=0

1 − aN , valida ∀a 6= 0.] 1−a

Esercizio 5.15 Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 ∈ R+ . Si consideri il segnale a tempo discreto x(n) ottenuto campionando x(t) con passo Tc = NT00 , N0 ∈ N: 

n T0 x(n) = x N0



.

Verificare che x(n) è un segnale periodico di periodo N0 e determinare la DFS X(k) di x(n) in funzione dei coefficienti Xk della serie di Fourier di x(t). [Suggerimento: applicare le identità dell’esercizio 5.14.] +∞

Risultato: X(k) =

∑

ℓ=−∞

Xk−ℓN0 = repN0 [Xk ].

Esercizio 5.16 Senza calcolare esplicitamente x(n), stabilire quali delle seguenti DFS corrispondono ad un segnale x(n) reale: (a) X(0) = 3, X(1) = −5, X(2) = 3, X(3) = −5; (b) X(0) = 3, X(1) = 5 − j, X(2) = 3 j, X(3) = −3 j, X(3) = 5 + j; (c) X(0) = j, X(1) = 2, X(2) = 2, X(3) = − j; (d) X(0) = −2, X(1) = 3, X(2) = 1 + j, X(3) = 1 − j, X(4) = −3; (e) X(0) = 3, X(1) = 3 e jπ /4 , X(2) = 1, X(3) = 3 e j7π /4 .

5.7 Esercizi proposti

251

Risultato: (a) x(n) reale; (b) x(n) reale; (c) x(n) non reale; (d) x(n) non reale; (e) x(n) reale. Esercizio 5.17 Si consideri il segnale periodico x(n), avente DFS X(k), caratterizzato dalle seguenti proprietà: (1) x(n) è un segnale reale; (2) x(n) è periodico di periodo N0 = 10; (3) X(11) = 50; (4) Px = 50. Dimostrare che l’unico segnale che soddisfa le proprietà (1)–(4) ha l’espressione x(n) = α cos(β n + γ ), e determinare in particolare le costanti α , β , γ . [Suggerimento: utilizzare le proprietà della DFS.] Risultato: α = 10, β = π /5 e γ = 0. Esercizio 5.18 Si consideri il segnale periodico x(n), avente DFS X(k), caratterizzato dalle seguenti proprietà: (1) x(n) è periodico di periodo N0 = 6; (2) ∑5n=0 x(n) = 2; (3) ∑7n=2 (−1)n x(n) = 1; (4) tra tutti i segnali che verificano le proprietà (1)–(3) precedenti, il segnale x(n) è quello avente potenza Px minima. Determinare e rappresentare graficamente il segnale x(n) che verifica le quattro proprietà sopra elencate. [Suggerimento: utilizzare le proprietà (2) e (3) per ricavare alcuni valori della DFS di x(n); per la proprietà (4), utilizzare l’uguaglianza di Parseval per la DFS.] Risultato: x(n) = 13 + 16 (−1)n . Esercizio 5.19 Si consideri il sistema LTI avente risposta in frequenza H( f ) =

sin(8π f ) . 2π f

Calcolare l’uscita y(t) del sistema in corrispondenza del segnale di ingresso x(t) = rep8 [xg (t)], con ( 1, 0 ≤ t < 4; xg (t) = −1, 4 ≤ t < 8 . Risultato: y(t) ≡ 0. Esercizio 5.20 Il segnale periodico x(t) = rep2T0 [xg (t)], dove xg (t) = Λ



t T0



,

con T0 ∈ R+ ,

viene filtrato con un filtro LTI avente risposta armonica H( f ) =

1 − j4π f T0 , 1 + j2π f T0

ottenendo il segnale y(t).

252

Serie di Fourier

(a) Determinare la componente continua dei segnali x(t) ed y(t). (b) Determinare il rapporto tra l’ampiezza della terza armonica e l’ampiezza dell’armonica fondamentale per ciascuno dei segnali x(t) e y(t). Risultato: (a) xdc = ydc =

1 2;

(b) |X3 |/|X1 | =

1 9

e |Y3 |/|Y1 | =

1 9

r

(1+36π 2 )(1+π 2 ) (1+9π 2 )(1+4π 2 )

≈ 19 .

Esercizio 5.21 Il segnale periodico x(t) = rep2T0 [xg (t)], dove       t t xg (t) = 2 Λ − 1 rect , T0 2T0

con T0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso avente guadagno unitario nella banda passante e frequenza di taglio fc . (a) Determinare la frequenza di taglio fc del filtro in modo che l’uscita y(t) del filtro sia un segnale sinusoidale di frequenza f0 = 1/(2T0 ). (b) In corrispondenza dei valori di fc determinati al punto (a), calcolare l’espressione esplicita di y(t). Risultato: (a) ragionando sulla relazione i-u Yk = Xk H(k f0 ), si trova che

1 2T0

< fc < 2T30 ; (b) y(t) = π82 cos(2π f0t).

Esercizio 5.22 Il segnale periodico x(t) = repT0 [xg (t)], dove       2t t xg (t) = 2 Λ − 1 rect , T0 T0

con T0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro passabasso avente risposta armonica:   f − j2π 4 ff 0 H( f ) = rect e 4 f0 con f0 = 1/T0 . Determinare il segnale y(t) in uscita al filtro. Risultato: y(t) =

8 sin(2π f0t). π2

Esercizio 5.23 Quando il segnale x(n) = rep4 [δ (n)] è posto in ingresso al sistema LTI avente risposta armonica H(ν ), l’uscita y(n) è pari a   π 5π n+ y(n) = cos . 2 4
Determinare i valori di H 4k , per k = 0, 1, 2, 3. Risultato: H(0) = 0, H(1/4) = 2 e jπ /4 , H(1/2) = 0, H(3/4) = 2 e− jπ /4 . Esercizio 5.24 Si consideri il filtro ideale avente risposta armonica      ν − ν0 ν + ν0 + rect , H(ν ) = rep1 rect ∆ν ∆ν con ν0 =

3 16

e ∆ν =

1 24 .

(a) Rappresentare graficamente la risposta armonica del filtro nell’intervallo ν ∈ (−1, 1).

5.7 Esercizi proposti

253

(b) Calcolare l’uscita del filtro in corrispondenza dei seguenti ingressi periodici: (1) x1 (n) = (−1)n ; (2) x2 (n) = 1 + sin (3)




3π π 8 n+ 4 ;
1 n−4k x3 (n) = ∑+∞ u(n − 4k). k=−∞ 2

Risultato: (a) y1 (n) ≡ 0; (b) y2 (n) = sin

3π π 8 n+ 4


; (c) y3 (n) ≡ 0.

Esercizio 5.25 Il segnale periodico x(t) = repT0 [xg (t)], dove xg (t) = cos



πt T0



rect



t T0



,

con T0 ∈ R+ ,

è posto in ingresso ad un filtro RC avente risposta armonica H( f ) =

1 . 1 + j2π f RC

(a) Determinare l’espressione dei coefficienti Yk della serie di Fourier del segnale y(t) in uscita al filtro. (b) Con riferimento al punto precedente, determinare il valore di RC che assicura che il rapporto ciente di ripple) in uscita al filtro sia pari ad 13 .

2|Y1 | Y0

(coeffi-

[Suggerimento: il segnale x(t) è il coseno raddrizzato dell’esercizio 5.2.] √ T0 3 1 1 ; (c) RC = . Risultato: (a) Yk = (−1)k π2 1−4k 2 k 2π 1+ j2π T RC 0

Esercizio 5.26 Il segnale +∞



t − 2kT0 x(t) = ∑ (−1) Λ T0 k=−∞ k



è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e frequenza di taglio 1/T0 . (a) Calcolare la frequenza fondamentale f0 del segnale x(t). (b) Determinare il segnale in uscita al filtro e valutarne la potenza Py . [Suggerimento: il segnale x(t) è simile all’onda triangolare dell’esercizio 5.6.]   
8 πt 8 3π t 1 Risultato: (a) f0 = 1/(4T0 ); (b) y(t) = π 2 cos 2T0 + 9π 2 cos 2T0 ; Py = π324 1 + 81 . Esercizio 5.27 Il segnale x(t) = rep2T0 [xg (t)], dove       t t xg (t) = 2Λ − 1) rect , T0 2T0

con T0 ∈ R+ ,

è filtrato con un filtro RC allo scopo di ottenere un segnale approssimativamente sinusoidale con frequenza f0 = 1/(2T0 ). Determinare la costante di tempo RC del filtro in modo che l’ampiezza della prima componente sinusoidale a frequenza superiore ad f0 del segnale filtrato sia pari ad 1/25 della fondamentale. q 0.364 Risultato: RC = 2π1f0 68 13 ≈ f0 . Esercizio 5.28 Con riferimento allo schema in figura, si calcoli l’uscita y(t), sapendo che: (1) x(t) = cos(2π f0t), con f0 = 1 kHz; f1 = 2 kHz, f2 = 3 kHz;

254

Serie di Fourier

(2) H1 ( f ) è la risposta in frequenza di un filtro ideale passabasso avente frequenza di taglio 2 kHz e guadagno nella banda passante pari a 2; (3) H2 ( f ) è la risposta in frequenza di un filtro ideale passaalto avente frequenza di taglio 3 kHz e guadagno nella banda passante pari a 2.

-N

x(t)

- H1 ( f )

-N

6

- H2 ( f )

- y(t)

6

cos(2π f1t)

cos(2π f2t)

Risultato: y(t) = cos[2π ( f1 − f0 + f2 ) t]. {z } | =4kHz

Esercizio 5.29 Con riferimento allo schema in figura, (1) x(t) = 5 + 2 cos(2π f0t);

(2) H1 ( f ) è un filtro RC avente costante di tempo RC =

1 2π f 0

e guadagno in continua unitario;

(3) H2 ( f ) è un filtro ideale passabasso avente frequenza di taglio fc = 1.5 f0 e guadagno in continua unitario. Calcolare l’uscita y(t) e determinarne la potenza Py .

x(t)

u(t)

- H1 ( f )

-

v(t) (·)2

- H2 ( f )

- y(t)

√ Risultato: y(t) = 26 + 10 2 cos(2π f0t − π /4); Py = 776. Esercizio 5.30 Con riferimento allo schema in figura, x(t) è un segnale periodico di periodo T0 ∈ R+ con coefficienti della serie di Fourier Xk , g(x) = |x|2 è una nonlinearità (quadratica) senza memoria, e H( f ) è un filtro ideale passabasso avente frequenza di taglio fc = 1.5/T0 e guadagno unitario. Si assuma che tutti i segnali ed i sistemi considerati siano reali. Determinare l’espressione del segnale di uscita z(t).

x(t)

-

Risultato: z(t) = Y0 + 2 Re{Y1 e

g(x)

j 2Tπ t 0

y(t)

-

H( f )

- z(t)

+∞ 2 ∗ }, dove Y0 = ∑+∞ k=−∞ |Xk | e Y1 = ∑k=−∞ Xk Xk−1 .

Capitolo 6

Trasformata di Fourier

In questo capitolo affrontiamo in maniera sistematica lo studio della trasformata di Fourier dei segnali TC e TD, sviluppando ed approfondendo i primi concetti già introdotti nel cap. 4 con riferimento alla risposta in frequenza di un sistema LTI. Mostreremo nel corso di questo capitolo che la trasformata di Fourier è uno strumento di grande utilità non solo per lo studio dei sistemi LTI, ma più in generale per la caratterizzazione di segnali e sistemi nel dominio della frequenza. Lo studio partirà dalle definizioni fondamentali di trasformata ed antitrasformata di Fourier nel caso TC e TD, e dalla discussione delle loro proprietà elementari. In seguito mostreremo che la relazione i-u dei sistemi LTI ammette una forma particolarmente semplice e generale se espressa in termini delle trasformate di Fourier del segnale di ingresso e di uscita. Successivamente approfondiremo alcune condizioni matematiche relative all’esistenza ed all’invertibilità della trasformata di Fourier, ed analizzeremo più estesamente le sue proprietà, con particolare attenzione verso le applicazioni, ed evidenziando il più possibile i legami e le interpretazioni nell’ambito dei segnali e dei sistemi. Un concetto centrale sarà quello di banda (di un segnale o di un sistema), che sarà introdotto nell’ambito più generale della caratterizzazione sintetica di segnali e sistemi nel dominio della frequenza. Infine, mostreremo che la trasformata di Fourier può essere applicata anche ai segnali periodici; poiché per questi ultimi abbiamo a disposizione anche la serie di Fourier, ricaveremo interessanti ed utili relazioni tra queste due rappresentazioni nel dominio della frequenza. Tra le possibili applicazioni, approfondiremo nel corso del capitolo quelle del filtraggio, della distorsione e dell’equalizzazione, e della modulazione.

6.1 Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier è uno strumento fondamentale nello studio dei segnali e dei sistemi, in quanto consente di introdurre un dominio alternativo a quello del tempo, il dominio della frequenza, nel quale affrontare i più comuni problemi di analisi o sintesi. Il concetto di trasformata di Fourier è stato già introdotto nel cap. 4, con riferimento al problema del calcolo dell’uscita di un sistema LTI sollecitato da un fasore al suo ingresso. In tal caso, si è osservato (cfr. § 4.7) che il comportamento

256

Trasformata di Fourier

del sistema è perfettamente descritto dalla sua risposta in frequenza1 H(·), e che quest’ultima si può interpretare come la trasformata di Fourier della risposta impulsiva h(·). Successivamente, nel cap. 5 abbiamo mostrato che la risposta in frequenza H(·) può essere utilizzata anche per calcolare l’uscita di un sistema LTI sollecitato da un arbitrario segnale periodico, applicando la (5.46) o la (5.50). Tale risultato si fonda sulla rappresentazione di un segnale periodico come sovrapposizione di fasori (serie di Fourier o DFS). È naturale allora cercare di estendere i benefici di tale rappresentazione anche al caso di segnali non periodici o aperiodici, utilizzandola poi per analizzare le modifiche introdotte dai sistemi LTI su tali segnali. A differenza del caso di segnali periodici, per i quali è sufficiente considerare solo il sottoinsieme discreto dei fasori aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale, per un segnale aperiodico dovremo considerare tutti i possibili fasori, ovvero dovremo far variare con continuità la frequenza dei fasori. Tale rappresentazione in effetti prende il nome di trasformata di Fourier, ed è uno degli strumenti matematici fondamentali nell’elaborazione dei segnali. Per capire intuitivamente come sia possibile rappresentare un segnale aperiodico come sovrapposizione continua di fasori, partiamo dalla rappresentazione in serie di Fourier. Per comodità, faremo riferimento solo ai segnali TC; analoghe considerazione si possono fare anche nel caso TD. Consideriamo allora un segnale aperiodico x(t) e supponiamo che, su ogni intervallo temporale finito, tale segnale soddisfi le condizioni che ne garantiscono la sviluppabilità in serie di Fourier. Più precisamente, detto (−Z/2, Z/2) un arbitrario intervallo finito di R, supponiamo che x(t) soddisfi le condizioni di Dirichlet (cfr. teor. 5.2) su tale intervallo, per ogni Z > 0. In tal caso, limitatamente all’intervallo considerato, possiamo rappresentare il segnale x(t) in serie di Fourier: +∞

x(t) =

∑

Xk e j2π k∆ f t ,

k=−∞

∀t ∈ (−Z/2, Z/2) ,

(6.1)

△

dove ∆ f = 1/Z è la frequenza fondamentale, ed i coefficienti di Fourier sono dati da: 1 Xk = Z

Z Z/2

−Z/2

x(τ ) e− j2π k∆ f τ dτ .

(6.2)

La (6.1) consente di esprimere il segnale x(t) nell’intervallo (−Z/2, Z/2) come sovrapposizione di un’infinità numerabile di fasori. Ciò comporta che x(t), con t ∈ (−Z/2, Z/2), è completamente descritto nel dominio della frequenza dalla successione dei coefficienti di Fourier (6.2): in altre parole, il suo spettro è di natura discreta. Sostituendo la (6.2) nella (6.1), ed estraendo dalla sommatoria il termine per k = 0, si ottiene:  Z Z/2 Z +∞ 1 1 Z/2 x(τ ) e− j2π k∆ f (τ −t) dτ , ∀t ∈ (−Z/2, Z/2) , x(τ ) dτ + ∑ (6.3) x(t) = Z −Z/2 Z −Z/2 k = −∞ k 6= 0

La (6.3) consente di rappresentare il segnale x(t) solo nell’intervallo finito (−Z/2, Z/2); il nostro obiettivo è quello di trovare una valida rappresentazione del segnale x(t) lungo tutto l’asse reale. Per fare ciò, dobbiamo far tendere formalmente Z all’infinito o, equivalentemente, far tendere ∆ f a zero. Prima di effettuare questa operazione, aggiungiamo un’ulteriore ipotesi su x(t), supponendo che sia sommabile su tutto l’asse reale, ossia: Z +∞ −∞

1 Qui

|x(t)|dt < +∞ .

e nel seguito, useremo la notazione del tipo H(·) per denotare indifferentemente la risposta in frequenza H( f ) per un sistema TC e la risposta in frequenza H(ν ) per un sistema a TD.

6.1 Trasformata di Fourier

257

In questa ipotesi, al limite per Z → +∞, il primo addendo nella (6.3) tende a zero. Quindi, passando al limite per ∆ f → 0 nella (6.3), si ha:   " #     +∞ Z 2∆1 f − j2π fk (τ −t) x( τ ) e d τ ∆ f , ∀t ∈ R , (6.4) x(t) = lim ∑  ∆ f →0  k = −∞ − 2∆1 f  k 6= 0

△

dove si è posto fk = k ∆ f . Al limite per ∆ f → 0, i valori di frequenza fk coprono l’intero asse reale e la loro separazione ∆ f diventa infinitesima: in altri termini, fk tende a variare con continuità in tutto R, determinando così un infittimento dello spettro del segnale. Conseguentemente, per ∆ f → 0, l’integrale tra parentesi quadre nella (6.4) dipende con continuità dalla variabile f , e si può scrivere come: Z +∞  Z 1 2∆ f − j2π fk (τ −t) − j2π f τ x(τ ) e x(τ ) e dτ = dτ e j2π f t , lim ∆ f →0 − 1 −∞ 2∆ f {z } | X( f )

dove

X( f ) =

Z +∞ −∞

x(τ ) e− j2π f τ dτ .

(6.5)

Inoltre, al limite per ∆ f → 0, la sommatoria su k nella (6.4) diventa una somma integrale (estesa a tutto R) dell’integrale della funzione X( f ) e j2π f t rispetto alla variabile f (formalmente la differenza finita ∆ f diventa un differenziale d f ), cioè: x(t) =

Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f ,

(6.6)

la quale evidenzia che il segnale aperiodico x(t) può essere rappresentato sovrapponendo nel continuo (cioè, integrando) i fasori e j2π f t aventi frequenza variabile su tutto l’asse reale e ampiezza infinitesima X( f ) d f . Osserviamo che tale risultato si basa sulle ipotesi che il segnale x(t) sia sommabile su R e che verifichi le condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier su ogni intervallo finito di R;2 vedremo (cfr. § 6.3.1) che tali ipotesi sono sufficienti ma non necessarie per la validità delle equazioni (6.5) e (6.6). La (6.6) prende il nome di equazione di sintesi della trasformata di Fourier; mentre la (6.5), che consente di calcolare il “peso” specifico da attribuire ad ogni singolo fasore, prende il nome di equazione di analisi della trasformata di Fourier. È interessante confrontare nuovamente la (6.6) con l’equazione di sintesi (5.10) della serie di Fourier, valida solo per segnali periodici TC: +∞

x(t) =

∑

Xk e j2π k f0t .

k=−∞

In entrambi i casi, il segnale x(t) nel dominio del tempo è rappresentato come sovrapposizione di fasori: mentre però la serie di Fourier è una rappresentazione discreta, nella quale le frequenze dei fasori sono tutte multiple di una stessa frequenza (la cosiddetta frequenza fondamentale f0 del segnale periodico), l’equazione di sintesi (6.6) della trasformata di Fourier è una rappresentazione continua, in cui la frequenza f dei fasori può assumere tutti i possibili valori in R. 2A

stretto rigore, la sommabilità su R del segnale x(t) assicura automaticamente che la condizione (d1) del teor. 5.2 sia soddisfatta; pertanto, le ipotesi che assicurano la validità delle relazioni (6.5) e (6.6) sono che, oltre alla sommabilità su R di x(t), il segnale verifichi le condizioni (d2) e (d3) del teor. 5.2 su ogni intervallo finito del tipo (−Z/2, Z/2).

258

Trasformata di Fourier

Nel seguito, definiremo in modo più sistematico la trasformata di Fourier di un segnale a TC e a TD, e presenteremo le proprietà più semplici dal punto di vista matematico (linearità, simmetria hermitiana, dualità, e valore nell’origine). Per chiarezza, presenteremo le definizioni prima nel caso TC, e successivamente in quello TD, mentre le proprietà elementari saranno trattate in maniera unificata. 6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC

Nel paragrafo precedente abbiamo presentato una giustificazione intuitiva delle equazioni che definiscono la trasformata di Fourier di un segnale aperiodico x(t), partendo dalla rappresentazione in serie di Fourier del segnale su un intervallo finito e facendo tendere all’infinito la lunghezza di tale intervallo. Tali equazioni, possono evidentemente essere assegnate anche senza nessun riferimento alla serie di Fourier, e costituiscono la fondamentale definizione di trasformata di Fourier di un segnale TC: Definizione 6.1 (trasformata di Fourier per segnali TC) La trasformata di Fourier di un segnale TC x(t) è definita dalle equazioni: X( f ) = x(t) =

Z +∞

−∞ Z +∞ −∞

x(t) e− j2π f t dt

(equazione di analisi)

(6.7)

X( f ) e j2π f t d f

(equazione di sintesi)

(6.8)

Matematicamente, l’equazione (6.7) (equazione di analisi) consente di calcolare X( f ) a partire da x(t), e definisce la trasformata di Fourier,3 mentre l’equazione (6.8) (equazione di sintesi) effettua il passaggio inverso, e definisce l’antitrasformata di Fourier. Così come per la serie di Fourier, anche per la trasformata di Fourier vale la proprietà di unicità: siano x1 (t) e x2 (t) due segnali trasformabili secondo Fourier con trasformate X1 ( f ) ed X2 ( f ), rispettivamente; se X1 ( f ) ≡ X2 ( f ), allora i due segnali x1 (t) e x2 (t) sono uguali quasi ovunque su R, ossia x1 (t) = x2 (t), ∀t ∈ R eccetto che in un insieme di misura nulla. Le condizioni matematiche per l’esistenza e l’invertibilità della trasformata di Fourier e per la validità delle equazioni di analisi/sintesi non sono immediate, e saranno discusse nel § 6.3. Limitiamoci ad osservare che, se tali condizioni sono soddisfatte, le (6.7) e (6.8) instaurano una corrispondenza biunivoca tra il segnale x(t) (funzione del tempo) ed il segnale X( f ) (funzione della frequenza): simbolicamente, si scrive allora FT

x(t) ←→ X( f ) .

(6.9)

In altri termini, la trasformata di Fourier consente di passare dalla rappresentazione nel dominio del tempo – il segnale x(t) – alla rappresentazione nel dominio della frequenza – il segnale “trasformato” X( f ). Notiamo che le relazioni di trasformata ed antitrasformata di Fourier possono indicarsi simbolicamente anche come segue: X( f ) = F[x(t)],

x(t) = F−1 [X( f )] .

(6.10)

La trasformata di Fourier X( f ) di un segnale (reale o complesso) è in genere una funzione complessa4 della variabile reale f ∈ R: come già osservato, essa rappresenta, al variare di f , l’ampiezza complessa 3 Notiamo tra l’altro che la definizione (4.96) di risposta in frequenza H( f ) di un sistema LTI a TC ha la stessa forma della (6.7), per cui come già osservato la risposta in frequenza di un sistema LTI è la trasformata di Fourier della sua risposta impulsiva h(t) (questo concetto è ulteriormente approfondito nel § 6.2). 4 In alcuni casi particolari, tuttavia, la X( f ) può anche essere reale, in particolare quando il segnale x(t) possiede particolari proprietà di simmetria (cfr. § 6.5.2).

6.1 Trasformata di Fourier

259

1 |X(f)|

1 0.8

X(f)

0.6

0.5 0 −6

0.4 0.2

−4

−2

0 fT

2

4

6

−4

−2

0 fT

2

4

6

∠ X(f)

2

0 −0.2

0 −2

−6

−4

−2

0 fT

2

4

6

Fig. 6.1. Trasformata di Fourier X( f ) della finestra rettangolare x(t) = Arect(t/T ) per AT = 1 (es. 6.1).

−6

Fig. 6.2. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X( f ) della finestra rettangolare x(t) = Arect(t/T ) per AT = 1 (es. 6.1).

dei fasori che compongono il segnale x(t). Equivalentemente, |X( f )| e ∡X( f ) rappresentano, al variare di f , l’ampiezza (ovvero il modulo) e la fase dei fasori che compongono il segnale x(t). Lo spettro di ampiezza di un segnale x(t) è la rappresentazione di |X( f )| in funzione della frequenza f , mentre lo spettro di fase è la rappresentazione di ∡X( f ) in funzione della frequenza f . Notiamo che, poiché la fase di un numero complesso è definita a meno di multipli di 2π , lo spettro di fase di un segnale non è univocamente determinato. ◮ Esempio 6.1 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier della finestra rettangolare di ampiezza A ∈ R e durata ∆x = T ∈ R+ : t  . x(t) = A rect T

Sostituendo l’espressione di x(t) nell’equazione di analisi (6.7), e ricordando la definizione della funzione rect si ha:  − j2π f t t=T /2 Z +∞ Z T /2 t  e − j2π f t − j2π f t X( f ) = e A rect dt = A e dt = A T − j2π f t=−T /2 −∞ −T /2 =

sin(π f T ) AT e jπ f T − e− jπ f T = AT . π fT 2j π fT

Confrontando la precedente espressione con la definizione della funzione sinc (cfr. es. 5.2) si ha in definitiva:5 t  FT x(t) = A rect ←→ X( f ) = A T sinc( f T ) . T

Contrariamente a quanto accade in generale, in questo caso la trasformata di Fourier X( f ) è una funzione reale, e quindi può essere rappresentata con un unico diagramma cartesiano (fig. 6.1). Se tuttavia si desidera determinare gli spettri di ampiezza e fase, basta osservare che, poiché la funzione sinc assume valori sia positivi sia negativi, lo spettro di ampiezza coincide con il valore assoluto di X( f ): |X( f )| = |A| T |sinc( f T )| ,

5 Abbiamo già incontrato e definito la funzione sinc quando abbiamo calcolato nell’esempio 5.2 la serie di Fourier per l’onda rettangolare a TC, che si ottiene proprio per replicazione della finestra rettangolare a TC. Questa apparente coincidenza si spiegherà quando considereremo la trasformata di Fourier di segnali TC periodici e metteremo in relazione la serie di Fourier con la trasformata di Fourier (cfr. § 6.6).

260

Trasformata di Fourier

il cui andamento è raffigurato in fig. 6.2 (grafico in alto). Lo spettro di fase, invece, si calcola notando che la fase di un numero reale (a meno di multipli di 2π ) è pari a 0 quando il numero è positivo, mentre vale π quando il numero è negativo. Si ha allora: ( 0 + 2kπ , se sinc( f T ) > 0 ; ∡X( f ) = π + 2kπ , se sinc( f T ) < 0 . Scegliendo opportunamente i valori di k, lo spettro di fase assume l’andamento costante a tratti di fig. 6.2 (grafico in basso). Notiamo che per ottenere tale grafico, in corrispondenza degli intervalli di f < 0 nei quali sinc( f T ) < 0, si è scelta come determinazione della fase −π anziché π , in modo da avere uno spettro di fase dispari: il motivo di tale scelta è sarà più chiaro quando si discuteranno in dettaglio le proprietà di simmetria (simmetria hermitiana) dello spettro di ampiezza e di fase. A scopo mnemonico, è utile particolarizzare i precedenti risultati al caso di una finestra rettangolare elementare, avente cioè A = 1 e T = 1. Si ottiene in tal caso FT

x(t) = rect(t) ←→ X( f ) = sinc( f ) . Questa relazione assume una forma particolarmente semplice ed, insieme ad altre trasformate di Fourier notevoli (di uso frequente), è riportata in app. F. ◭

Con riferimento all’esempio precedente, un ulteriore ed importante aspetto riguarda l’interpretazione da dare ai diagrammi dello spettro di ampiezza e di fase del segnale. Se esprimiamo X( f ) in modulo e fase nell’equazione di sintesi (6.8), ovvero poniamo X( f ) = |X( f )|e j∡H( f ) , si ha x(t) =

Z +∞ −∞

|X( f )| e j[2π f t+∡X( f )] d f .

Pertanto, le quantità |X( f )| e ∡X( f ) si interpretano, rispettivamente, come l’ampiezza e la fase del generico fasore e j2π f t che compone il segnale. In particolare, la quantità |X( f )|, essendo non negativa, rappresenta il peso che ha ciascun fasore nella sintesi (6.8) del segnale: i fasori aventi frequenze per le quali |X( f )| assume valori significativi contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale, in confronto ai fasori aventi frequenze per le quali |X( f )| è piccolo o addirittura nullo. Se allora si applica quest’interpretazione alla fig. 6.2 (grafico in alto), si osserva che i fasori che pesano maggiormente6 nella sintesi del segnale x(t) = A rect(t/T ) sono quelli per cui | f T | ≤ 1, ovvero | f | ≤ T1 . Questa interpretazione è strettamente legata al concetto di banda di un segnale, che approfondiremo nel § 6.4.

6.1.2 Trasformata di Fourier per segnali TD

Estendiamo adesso la definizione di trasformata di Fourier al caso di segnali TD. Anche nel caso TD è possibile far discendere il concetto di trasformata di Fourier da quello di serie di Fourier (DFS), con un ragionamento al limite. Seguendo tale strada, si giunge alla fondamentale definizione di trasformata di Fourier 7 di un segnale TD: 6 Notiamo che in linea teorica sono necessari tutti i fasori per sintetizzare esattamente il segnale x(t) (esclusi solo quelli alle frequenze per cui |X( f )| = 0, ovvero f = Tk , con k ∈ Z − {0}). 7 Anche nel caso TD possiamo osservare che la definizione (4.104) di risposta in frequenza H(ν ) di un sistema LTI a TD ha la stessa forma della (6.11), per cui anche nel caso TD la risposta in frequenza di un sistema LTI è la trasformata di Fourier della sua risposta impulsiva h(n) (questo concetto è ulteriormente approfondito nel § 6.2).

6.1 Trasformata di Fourier

261

Definizione 6.2 (trasformata di Fourier per segnali TD) La trasformata di Fourier di un segnale TD x(n) è definita dalle equazioni: X(ν ) = x(n) =

+∞

∑

n=−∞ Z 1/2

x(n) e− j2πν n

(equazione di analisi)

(6.11)

X(ν ) e j2πν n dν

(equazione di sintesi)

(6.12)

−1/2

Osserviamo che notazioni simili alle (6.9) e (6.10) si utilizzano anche nel caso TD, con le ovvie modifiche. Sempre a livello di notazione, notiamo la differente scelta della variabile che denota la frequenza, vale a dire f nel caso TC e ν nel caso TD. Bisogna puntualizzare peraltro che, a differenza delle variabili temporali t ∈ R (caso TC) ed n ∈ Z (caso TD), le variabili frequenziali f e ν variano entrambi con continuità in R, come evidenziato dal fatto che le equazioni di sintesi sia nel caso TC che in quello TD sono definite attraverso degli integrali. Un confronto più attento tra le equazioni di sintesi nel caso TC e TD mostra che nella (6.12) compaiono solo fasori aventi frequenze nell’intervallo ν ∈ (−1/2, 1/2), mentre nella (6.8) compaiono fasori a tutte le frequenze f ∈ R. Questa differenza è diretta conseguenza della proprietà di periodicità in frequenza del fasori nel caso TD (cfr. prop. 2.4 del § 2.3.3). In altri termini, poiché due fasori TD le cui frequenze differiscono di 1 sono coincidenti, per rappresentare un segnale TD è sufficiente considerare solo quei fasori le cui frequenze cadono nell’intervallo (−1/2, 1/2) o, più un generale, in un qualunque intervallo di ampiezza unitaria.8 Come ulteriore conseguenza della periodicità in frequenza dei fasori a TD, è facile dimostrare che vale la seguente proprietà, la cui prova è identica a quella della prop. 4.11: Proprietà 6.1 (periodicità della trasformata di Fourier a TD) La trasformata di Fourier X(ν ) di un segnale TD x(n), definita dalla (6.11), è periodica di periodo unitario, ossia X(ν ) = X(ν + 1) ,

∀ν ∈ R .

In virtù di tale proprietà, per specificare completamente la trasformata di Fourier X(ν ) è sufficiente assegnare i suoi valori in un arbitrario intervallo di ampiezza unitaria, ad esempio ν ∈ (0, 1) oppure ν ∈ (−1/2, 1/2). Ad esempio, nell’equazione di sintesi (6.12) si utilizza l’intervallo ν ∈ (−1/2, 1/2), ma è chiaro che qualunque intervallo di integrazione di ampiezza unitaria, ad esempio l’intervallo ν ∈ (0, 1), sarebbe ugualmente valido.9 Bisogna notare infine che la prop. 6.1 non significa che il periodo fondamentale di X(ν ) sia necessariamente 1, in quanto ci sono casi in cui tale periodo fondamentale può essere un sottomultiplo di 1.10 Anche per la trasformata di Fourier a TD è possibile considerare i concetti di spettro di ampiezza |X(ν )| e spettro di fase ∡X(ν ); per la periodicità della funzione X(ν ), tali spettri saranno periodici di periodo 1, e quindi potranno essere calcolati e rappresentati graficamente in qualunque intervallo di frequenze di ampiezza unitaria, come ν ∈ (0, 1) oppure ν ∈ (−1/2, 1/2). 8 La

stessa proprietà è alla base della differenza esistente tra le equazioni di sintesi della serie di Fourier a TC e a TD (IDFS). 9 La periodicità della trasformata di Fourier è una proprietà peculiare del caso TD. Infatti, fatta eccezione per alcuni casi particolari (ad esempio, la trasformata di Fourier di un segnale campionato, cfr. cap. 7) la trasformata di Fourier di un segnale TC non è periodica. 10 Un caso significativo in cui ciò accade è quando x(n) è il risultato di un’espansione (cfr. prop. 6.21 e relativa discussione).

Trasformata di Fourier

|X(ν)|

262

4 2 0 −1

−0.5

0 ν

0.5

1

−0.5

0 ν

0.5

1

∠ X(ν)

2 0 −2 −1

Fig. 6.3. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X(ν ) della finestra rettangolare x(n) = R5 (n) (es. 6.2). ◮ Esempio 6.2 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare TD) Calcoliamo la trasformata di Fourier del segnale x(n) = RN (n). Sostituendo x(n) nell’equazione di analisi, e ricordando la definizione di RN (n), si ha: X(ν ) =

+∞

∑

RN (n) e− j2πν n =

n=−∞

N−1

∑ e− j2πν n .

n=0

Per esprimere X(ν ) in forma chiusa, è sufficiente sfruttare la formula seguente, valida per ogni a ∈ C e per N2 ≥ N1 : N2

∑

an =

n=N1

aN1 − aN2 +1 . 1−a

Infatti, applicando l’identità precedente per a = e− j2πν , N1 = 0 ed N2 = N − 1 si ha: X(ν ) =

N−1

∑ e− j2πν n =

n=0

1 − e− j2πν N , 1 − e− j2πν

che può essere riscritta, con facili passaggi algebrici, in termini della funzione di Dirichlet,11 già introdotta nel § 5.3: X(ν ) =

sin(πν N) − j(N−1)πν △ e = DN (ν ) . sin(πν )

In definitiva, abbiamo individuato la seguente trasformata notevole di Fourier per segnali TD: FT

x(n) = RN (n) ←→ X(ν ) = DN (ν ) . A differenza del caso TC, nel caso TD la trasformata della finestra rettangolare è una funzione complessa, per cui possiamo rappresentarla graficamente solo se ricaviamo modulo e fase di DN (ν ). Per il modulo, si ha sin(πν N) |X(ν )| = sin(πν )

11 Similmente al caso della funzione sinc, abbiamo già incontrato la funzione di Dirichlet quando abbiamo introdotto la serie di Fourier per l’onda rettangolare TD, che si ottiene replicando proprio la finestra rettangolare TD. Questa apparente coincidenza si spiegherà quando considereremo la trasformata di Fourier di segnali TD periodici e metteremo in relazione la DFS con la trasformata di Fourier a TD (cfr. § 6.6).

6.1 Trasformata di Fourier

263

mentre la fase è data da

∡X(ν ) = ∡

   0 + 2kπ − (N − 1)πν ,   

se

sin(πν N) > 0; sin(πν )

sin(πν N) − (N − 1)πν =  sin(πν )  sin(πν N)   π + 2kπ − (N − 1)πν , se < 0. sin(πν )

Tali spettri di ampiezza e fase sono raffigurati in fig. 6.3, con riferimento ad una finestra rettangolare di lunghezza N = 5. ◭

6.1.3 Proprietà elementari della trasformata di Fourier

Come ogni operatore matematico, la trasformata di Fourier possiede alcune proprietà di grande interesse sia dal punto di vista teorico che applicativo. In questa sezione introdurremo alcune proprietà matematiche elementari (linearità, simmetria hermitiana, dualità nel caso TC, valore nell’origine); altre proprietà (associate alle operazioni elementari sui segnali) sono presentate nel § 6.5, ed ulteriori proprietà (associate ai sistemi) sono presentate in varie sezioni di questo capitolo. L’obiettivo di tale esposizione, solo apparentemente frammentaria, è quella di enfatizzare le applicazioni ai segnali e ai sistemi, piuttosto che fornire un semplice elenco di proprietà matematiche. Per una esposizione più sistematica di tutte le proprietà della trasformata di Fourier, il lettore è comunque rinviato all’app. F. Proprietà di linearità

La trasformata di Fourier, essendo definita attraverso un integrale o una sommatoria, eredita da tali operatori la caratteristica proprietà di linearità. Come già specificato per i sistemi (cfr. cap.3), un operatore si dice lineare se possiede sia la proprietà di omogeneità sia quella di additività. Per quanto FT riguarda l’omogeneità della trasformata di Fourier, essa si enuncia come segue: se x(·) ←→ X(·) e α ∈ C, si ha: FT

y(·) = α x(·) ←→ Y (·) = α X(·) , ovvero se si moltiplica un segnale nel dominio del tempo per una costante, la sua trasformata di FT Fourier viene moltiplicata per la stessa costante. Per l’additività, invece, se x1 (·) ←→ X1 (·) e FT x2 (·) ←→ X2 (·), si ha: FT

y(·) = x1 (·) + x2 (·) ←→ Y (·) = X1 (·) + X2 (·) , ovvero alla somma dei segnali nel dominio del tempo corrisponde la somma delle corrispondenti trasformate di Fourier nel dominio della frequenza.12 La proprietà di linearità si può formulare equivalentemente come segue (si noti l’analogia con il principio di sovrapposizione per i sistemi lineari): Proprietà 6.2 (linearità della trasformata di Fourier) FT

FT

Siano x1 (·) ←→ X1 (·) e x2 (·) ←→ X2 (·), e siano α1 , α2 ∈ C, si ha: FT

y(·) = α1 x1 (·) + α2 x2 (·) ←→ Y (·) = α1 X1 (·) + α2 X2 (·) . 12 Vale

(6.13)

la pena notare che non vale invece una semplice relazione additiva per quanto riguarda gli spettri di ampiezza e/o di fase dei due segnali. In effetti, non esiste in generale una relazione semplice tra lo spettro di ampiezza e di fase della somma di due segnali ed i corrispondenti spettri dei singoli segnali.

264

Trasformata di Fourier

Si noti che scegliendo opportunamente i segnali x1 (·) e x2 (·) e le costanti α1 e α2 , è possibile ottenere le proprietà di omogeneità e additività come casi particolari della (6.13). La proprietà di linearità si può estendere anche al caso di più di due segnali, e con qualche cautela matematica, anche al caso di infiniti segnali. Tale proprietà è frequentemente utilizzata nelle applicazioni per calcolare la trasformata di Fourier di un segnale espresso come combinazione lineare di segnali, le cui trasformate di Fourier sono note o più semplicemente calcolabili. Proprietà di simmetria hermitiana

Una proprietà elementare e di grande importanza della trasformata di Fourier è la simmetria hermitiana, che abbiamo già introdotto per la risposta in frequenza di un sistema LTI (cfr. § 4.7) e che vale anche, in forma matematicamente diversa ma concettualmente simile, per la serie di Fourier e la DFS. FT In generale, si verifica facilmente che, dato x(·) ←→ X(·), se il segnale x(·) è reale, si ha X ∗ ( f ) = X(− f ) ∗

X (ν ) = X(−ν )

(segnali TC) , (segnali TD) .

Per esprimere tale proprietà indifferentemente nel caso TC e TD si può utilizzare la notazione generale: X ∗ (·) = X(−(·)) Nel § 4.7 abbiamo facilmente provato che se h(·) è reale, allora H(·) gode della simmetria hermitiana (condizione necessaria). Ora, avendo anche a disposizione la relazione di antitrasformata di Fourier, possiamo provare che la simmetria hermitiana di X(·) è, più in generale, una condizione necessaria e sufficiente affinché x(·) sia reale, vale cioè la seguente proprietà: Proprietà 6.3 (simmetria hermitiana della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), valgono i seguenti risultati: (a) Se x(·) è reale, allora X(·) possiede la seguente proprietà di simmetria hermitiana: X ∗ (·) = X(−(·)) .

(6.14)

(b) Se X(·) possiede la proprietà di simmetria hermitiana (6.14), allora x(·) è reale. Prova. La prova di (a) è stata già sviluppata nel § 4.7, con riferimento alla risposta in frequenza H( f ) di un sistema LTI a TC [cfr. in particolare la (4.101)]; la dimostrazione nel caso TD è analoga. Dimostriamo esplicitamente (b) nel caso TC, partendo dall’equazione di sintesi (6.8): x(t) =

Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f

e calcolando x∗ (t): x∗ (t) =

Z +∞ −∞

X ∗ ( f ) e− j2π f t d f .

Se vale la simmetria hermitiana, X ∗ ( f ) = X(− f ), per cui sostituendo tale espressione ed effettuando un cambio di variabile f ′ = − f nella precedente si ha: x∗ (t) =

Z +∞ −∞

X(− f ) e− j2π f t d f =

Z +∞ −∞

′

X( f ′ ) e j2π f t d f ′ = x(t) ,

6.1 Trasformata di Fourier

265

da cui, essendo x∗ (t) = x(t), si ricava che x(t) è un segnale reale. Nel caso TD, la dimostrazione procede in maniera analoga, partendo dalla (6.12). 

Vedremo nel § 6.5.2 che la simmetria hermitiana si può inquadrare nel contesto più ampio delle proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Osserviamo infine che, se la trasformata di Fourier è reale, la simmetria hermitiana si riduce ad una semplice simmetria pari, in quanto la coniugazione non opera in questo caso. ◮ Esempio 6.3 (simmetria hermitiana della trasformata delle finestre rettangolari a TC e a TD) Nel caso TC, la trasformata di Fourier (es. 6.1) della finestra rettangolare è X( f ) = A T sinc( f T ), cioè è puramente reale. In questo caso, la simmetria hermitiana si riduce alla simmetria pari, ed è sicuramente verificata in quanto la funzione sinc è pari (vedi anche fig. 6.1). Per la finestra rettangolare TD, la trasformata di Fourier ricavata nell’es. 6.2 è complessa. Verifichiamo allora analiticamente che vale la proprieà di simmetria hermitiana: X ∗ (ν ) =

sin(πν N) j(N−1)πν − sin[π (−ν )N] − j(N−1)π (−ν ) = = X(−ν ) e e sin(πν ) − sin[π (−ν )] ◭

e quindi la (6.14) è verificata.

Abbiamo già osservato nel § 4.7, con riferimento alla risposta in frequenza, che la simmetria hermitiana di X(·) equivale a dire che lo spettro di ampiezza |X(·)| è una funzione pari, mentre lo spettro da fase ∡X(·) è una funzione dispari (a meno di multipli di 2π ). Pertanto, quando si trattano segnali x(·) reali, è lecito calcolare e rappresentare gli spettri di ampiezza e di fase in corrispondenza delle sole frequenze positive. ◮ Esempio 6.4 (simmetria degli spettri di ampiezza e fase delle finestre rettangolari a TC e a TD) La simmetria pari e dispari degli spettri di ampiezza e di fase delle finestre rettangolari è evidente dai grafici di fig. 6.2 e fig. 6.3. Una precisazione va fatta per gli spettri di fase: poiché la fase di un numero complesso è definita a meno di multipli di 2π , è chiaro che l’andamento dispari della fase si ha solo se si scelgono opportunamente i ◭ multipli di 2π da aggiungere algebricamente a ciascun valore di fase calcolato. Proprietà di dualità nel caso TC

Confrontando le equazioni di analisi (6.7) e di sintesi (6.8) della trasformata di Fourier a TC, si può notare che esse sono molto simili tra loro, e differiscono soltanto per la variabile di integrazione (t oppure f ) e per il segno dell’esponenziale complesso. Sulla base di questa osservazione, è facile provare che, detta X( f ) la trasformata di Fourier di x(t), se si considera X(t) come funzione del tempo (cioè si effettua la sostituzione formale t → f ), la trasformata di Fourier del segnale X(t) risulta essere x(− f ), cioè si ottiene effettuando la sostituzione formale (− f ) → t in x(t). Tale risultato è noto come la proprietà di dualità della trasformata di Fourier a TC13 ed è espresso sinteticamente come segue: Proprietà 6.4 (dualità della trasformata di Fourier a TC) FT

FT

Sia x(t) ←→ X( f ), si ha X(t) ←→ x(− f ). Prova. Posto X( f ) = F[x(t)], la trasformata di X(t) si scrive formalmente come: F[X(t)] = 13 Nonostante

Z +∞ −∞

X(t) e− j2π f t dt .

la somiglianza delle equazioni di analisi e di sintesi nel caso TC e TD, la proprietà di dualità non vale nel caso TD, in quanto nell’equazione di analisi (6.11) compare una sommatoria, mentre nell’equazione di sintesi (6.12) compare un integrale.

266

Trasformata di Fourier

Riscriviamo l’equazione di sintesi (6.8) utilizzando λ come variabile di integrazione: x(t) =

Z +∞ −∞

X(λ ) e j2πλ t dλ ,

da cui ponendo formalmente f al posto di t si ha: x( f ) =

Z +∞ −∞

X(λ ) e j2πλ f dλ .

Infine, utilizzando t al posto di λ come variabile di integrazione ed effettuando una riflessione in f , si ha: x(− f ) =

Z +∞ −∞

X(t) e j2π t(− f ) dt =

Z +∞ −∞

X(t) e− j2π f t dt = F[X(t)] , 

e quindi l’asserto.

La proprietà di dualità consente di ottenere la seguente ulteriore proprietà della trasformata di Fourier: ogni segnale x(t) trasformabile secondo Fourier è invariante rispetto a quattro trasformazioni di Fourier consecutive. Infatti, se x(t) ha trasformata X( f ), in virtù della proprietà di dualità, il segnale X(t) ha trasformata x(− f ); applicando nuovamente la proprietà di dualità, si ottiene che la trasformata del segnale x(−t) è data da X(− f ); trasformando per la quarta volta e applicando per l’ultima volta la proprietà di dualità, si ottiene che la trasformata di X(−t) è proprio il segnale x( f ) di partenza (espresso in funzione della frequenza anzichè del tempo). In altre parole, se x(t) è trasformabile secondo Fourier allora x( f ) appartiene all’insieme delle trasformate di Fourier. La principale applicazione della proprietà di dualità consiste nel ricavare, nota una coppia segnale– trasformata, una nuova coppia segnale–trasformata, semplicemente scambiando i ruoli del dominio del tempo e della frequenza ed operando una riflessione nel dominio della frequenza. ◮ Esempio 6.5 (trasformata del segnale sinc a TC) Dalla coppia segnale-trasformata: FT

x(t) = rect(t) ←→ X( f ) = sinc( f ) ricavata nell’es. 6.1, applicando la proprietà di dualità si ricava FT

X(t) = sinc(t) ←→ x(− f ) = rect(− f ) , da cui, tenendo conto che rect(·) è un segnale pari, per cui rect(− f ) = rect( f ), e chiamando nuovamente x(t) ed X( f ) i segnali nel dominio del tempo e della frequenza, rispettivamente, si ha la seguente trasformata notevole: FT

x(t) = sinc(t) ←→ X( f ) = rect( f ) . Si noti che, scrivendo esplicitamente l’equazione di sintesi (6.8) in questo caso, si ha sinc(t) =

Z +∞ −∞

rect( f ) e j2π f t d f =

Z 1/2

−1/2

e j2π f t d f ,

secondo la quale il segnale x(t) = sinc(t) è rappresentato nel dominio della frequenza da una sovrapposizione di fasori con frequenze | f | ≤ 12 ed ampiezza unitaria. Vedremo più avanti (cfr. § 6.4) che la sinc è un primo esempio di segnale avente banda rigorosamente limitata. ◭ Proprietà del valore nell’origine

La proprietà del valore nell’origine esprime il fatto che il valore del segnale nell’origine in un dominio corrisponde all’area del segnale nell’altro dominio. Tale proprietà si ottiene semplicemente calcolando le equazioni di sintesi e di analisi nell’origine, vale a dire per t, n, f , ν uguale a zero, e si può esprimere formalmente come segue:

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI

267

Proprietà 6.5 (valore nell’origine della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), si ha: X(0) =

Z +∞ −∞ +∞

X(0) =

∑

x(t) dt ,

x(0) =

x(n) ,

x(0) =

n=−∞

Z +∞

Z−∞ 1/2

X( f ) d f

(caso TC)

X(ν ) dν

(caso TD)

−1/2

(6.15)

L’unica cautela dal punto di vista matematico è l’interpretazione degli integrali indefiniti e della serie bilatera presenti nella (6.15). Senza approfondire troppo gli aspetti matematici, si può semplicemente affermare che le uguaglianze definite nella (6.15) valgono se e solo se esistono finiti sia il primo che il secondo membro. L’utilità della proprietà del valore nell’origine è che essa consente ad esempio di calcolare l’area di un segnale di cui sia nota la trasformata di Fourier senza risolvere esplicitamente l’integrale o calcolare la somma di una serie. ◮ Esempio 6.6 (area del segnale sinc a TC) Si consideri ad esempio la trasformata notevole FT

x(t) = sinc(t) ←→ X( f ) = rect( f ) . Applicando la proprietà del valore nell’origine per t = 0, si ha: sinc(0) =

Z +∞ −∞

rect( f ) d f

=⇒

Z +∞ −∞

rect( f ) d f = 1 .

Questo risultato non è particolarmente interessante, in quanto il fatto che il segnale rect( f ) abbia area unitaria si può giustificare più semplicemente calcolando direttamente l’integrale oppure applicando considerazioni geometriche elementari al grafico del segnale. Viceversa, se si applica la proprietà del valore nell’origine per f = 0, si ha rect(0) =

Z +∞ −∞

sinc(t) dt

=⇒

Z +∞ −∞

sinc(t) dt = 1 .

Dal punto di vista matematico, questo risultato è più interessante del precedente, in quanto consente di calcolare △ sin(π t) πt ,

l’integrale tra −∞ e +∞ del segnale x(t) = sinc(t) =

che non è dotato di primitive elementari.

◭

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI In questo paragrafo, avendo introdotto le definizioni e le proprietà elementari della trasformata di Fourier, siamo ora in grado di dimostrare un risultato fondamentale, secondo il quale la risposta in frequenza di un sistema LTI consente di calcolare l’uscita del sistema non solo quando il segnale di ingresso è periodico (con fasore e sinusoide come casi particolari), ma quando il segnale di ingresso è arbitrario (purché dotato di trasformata di Fourier). Per iniziare, osserviamo che, alla luce delle definizioni di trasformata di Fourier date nel precedente paragrafo, la risposta in frequenza H(·) di un sistema LTI (TC o TD) va interpretata come la trasformata di Fourier della risposta impulsiva h(·). Conseguentemente, la risposta impulsiva h(·) si può ricavare effettuando l’antitrasformata di Fourier di H(·), ovvero applicando la (6.8) (nel caso TC)

268

Trasformata di Fourier

o la (6.12) (nel caso TD): h(t) = h(n) =

Z +∞

−∞ Z 1/2

H( f ) e j2π f t d f

(sistema TC) ,

H(ν ) e j2πν n dν

(sistema TD) .

−1/2

In generale, allora, la risposta impulsiva h(·) e la risposta armonica H(·) di un sistema LTI sono legate da una relazione di trasformata di Fourier FT

h(·) ←→ H(·) . Data la sostanziale biunivocità della trasformata di Fourier (per un approfondimento matematico di questo aspetto si veda il § 6.3), la conoscenza di H(·) equivale a quella di h(·). Pertanto anche la risposta in frequenza H(·) è una risposta canonica, in quanto descrive completamente il sistema LTI nel dominio della frequenza, mentre h(·) descrive il sistema nel dominio del tempo. Le descrizioni del sistema fornite da h(·) e H(·) sono equivalenti ma complementari, e ciascuna può risultare più o meno conveniente a seconda delle applicazioni. Vediamo ora come la risposta in frequenza H(·) consenta di calcolare esplicitamente l’uscita di un sistema LTI sollecitato da un arbitrario segnale di ingresso. Tale fondamentale relazione va sotto il nome di relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI, e consente di generalizzare le (5.47) e (5.51) valide per segnali periodici TC e TD, le relazioni (4.97) e (4.105) valide per fasori TC e TD, e le relazioni (4.109)–(4.112) valide per sinusoidi TC e TD. Trattiamo prima il caso di segnali a TC, e consideriamo un segnale x(t) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in frequenza H( f ) finita. In base all’equazione di sintesi (6.8), il segnale x(t) può essere espresso come: x(t) =

Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f .

Abbiamo già osservato che, mediante tale relazione, si rappresenta il segnale x(t) come sovrapposizione (continua) di fasori e j2π f t , aventi ampiezze complesse X( f ) d f . Poiché la risposta del sistema LTI ad un singolo fasore è data dalla (4.97): e j2π f t −→ H( f ) e j2π f t , applicando la proprietà di linearità del sistema14 si ottiene Z +∞  Z +∞ Z  j2π f t  j2π f t y(t) = S X( f ) S e X( f ) e df = df = −∞

−∞

+∞

−∞

X( f ) H( f ) e j2π f t d f . (6.16)

Confrontiamo tale espressione con l’equazione di sintesi della trasformata di Fourier per y(t): y(t) =

Z +∞ −∞

Y ( f ) e j2π f t d f .

(6.17)

Data la biunivocità della trasformata di Fourier Y ( f ), dal confronto tra la (6.16) e (6.17) si ricava che Y ( f ) = X( f ) H( f ) , 14 A

(6.18)

rigore va applicata la proprietà di linearità nella forma più generale (4.14), per un segnale esprimibile come sovrapposizione di una infinità continua (4.13) di segnali elementari.

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI

269

nota come relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI. In pratica essa consente di calcolare la trasformata di Fourier Y ( f ) del segnale di uscita mediante semplice moltiplicazione tra la trasformata di Fourier dell’ingresso X( f ) e la risposta in frequenza H( f ); se si desidera calcolare il segnale y(t) nel dominio del tempo è necessario evidentemente effettuare l’antitrasformata di Y ( f ). Si noti la forma semplice che assume la relazione i-u nel dominio della frequenza, in confronto alla corrispondente relazione i-u per sistemi LTI TC nel dominio del tempo, ovvero alla convoluzione (4.12): y(t) = x(t) ∗ h(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ .

In effetti, mettendo in relazione la (4.12) e la (6.18), possiamo scrivere: FT

y(t) = x(t) ∗ h(t) ←→ Y ( f ) = X( f ) H( f ) .

(6.19)

Questa rappresenta la fondamentale proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier a TC che discuteremo nel paragrafo seguente. Per quanto riguarda il caso TD, possiamo seguire un ragionamento analogo. Sia x(n) un segnale arbitario in ingresso ad un sistema LTI TD con risposta in frequenza finita H(ν ). Se esprimiamo x(n) utilizzando l’equazione di sintesi (6.12): x(n) =

Z 1/2

−1/2

X(ν ) e j2πν n dν ,

ed applichiamo come nel caso TC il principio di sovrapposizione e la relazione i-u per i fasori, possiamo calcolare l’uscita del sistema con facili passaggi: y(n) =

Z 1/2

−1/2

X(ν ) H(ν ) e j2πν n dν ,

da cui per confronto con l’equazione di sintesi per y(n): y(n) =

Z 1/2

−1/2

Y (ν ) e j2πν n dν

ricaviamo la relazione i-u nel dominio della frequenza per un sistema LTI TD, analoga alla (6.18): Y (ν ) = H(ν ) X(ν ) .

(6.20)

In questo caso, ricordando la relazione i-u nel dominio del tempo (4.7), si ha FT

y(n) = h(n) ∗ x(n) ←→ Y (ν ) = H(ν ) X(ν ) ,

(6.21)

che si interpreta come la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier a TD. Le relazioni i-u di un sistema LTI nel dominio della frequenza, date dalle (6.18) e (6.20), si possono scrivere in forma unificata come Y (·) = H(·) X(·) .

(6.22)

Le grandezze in gioco nella (6.18) sono tutte (in generale) complesse: è tuttavia semplice calcolare relazioni equivalenti tra quantità reali se calcoliamo modulo e fase dei due membri della (6.22). Applicando semplici concetti di algebra dei numeri complessi (cfr. app. A) si ha: |Y (·)| = |H(·)| |X(·)| , ∡Y (·) = ∡H(·) + ∡X(·) ,

270

Trasformata di Fourier

da cui si vede che la risposta in ampiezza del sistema |H(·)| modifica con legge moltiplicativa lo spettro di ampiezza |X(·)| del segnale di ingresso, mentre la risposta in fase ∡H(·) del sistema modifica con legge additiva lo spettro di fase ∡X(·) del segnale di ingresso. In conclusione, osserviamo che la (6.22) consente di esprimere la risposta in frequenza di un sistema LTI anche come H(·) =

Y (·) , X(·)

(6.23)

ovvero come il rapporto tra la trasformata di Fourier del segnale di uscita e quella del segnale di ingresso (almeno in corrispondenza di tutte le frequenze f o ν per le quali il denominatore X(·) della (6.23) è diverso da zero). La (6.23) è spesso utilizzata, operando formalmente sulla relazione i-u, come strumento per il calcolo analitico della risposta in frequenza di un sistema LTI. Essa, inoltre, specialmente nel caso TC, è alla base di un metodo sperimentale per il calcolo di H( f ), alternativo a quello delineato nell’es. 4.21. Notando infatti che la (6.23) vale per un’arbitraria coppia di segnali x(·) ed y(·), nel caso TC basterà allora sollecitare il sistema LTI con un segnale di ingresso x(t) che presenti valori di X( f ) 6= 0 su un insieme molto ampio di frequenze (segnale a banda larga, cfr. § 6.4 per il concetto di banda di un segnale) per ricavare H( f ) mediante la (6.23).15 6.2.1 Proprietà di convoluzione

Le equazioni (6.19) ed (6.21) esprimono forse la proprietà più importante della trasformata di Fourier, vale a dire la proprietà di convoluzione. Si noti che tale proprietà assume la stessa forma nel caso TC ed in quello TD, e può essere applicata a due arbitrari segnali x1 (·) ed x2 (·), senza che essi debbano necessariamente essere interpretati come l’ingresso e la risposta impulsiva di un sistema, purché sia definita la loro convoluzione: Proprietà 6.6 (proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier) FT

FT

Siano x1 (·) ←→ X1 (·) e x2 (·) ←→ X2 (·), si ha FT

y(·) = x1 (·) ∗ x2 (·) ←→ Y (·) = X1 (·) X2 (·) . La proprietà precedente esprime il fatto che alla convoluzione di due segnali nel dominio del tempo corrisponde il prodotto delle loro trasformate di Fourier nel dominio della frequenza. Ovviamente l’importanza di tale proprietà nello studio dei sistemi LTI è fondamentale; l’esempio che segue mostra invece come essa possa essere utilizzata anche per il calcolo della trasformata di Fourier di particolari segnali. ◮ Esempio 6.7 (trasformata della finestra triangolare a TC) Si vuole calcolare la trasformata di Fourier del segnale x(t) = Λ(t) (finestra triangolare a TC). Nell’es. 4.5 abbiamo provato la seguente relazione notevole tra finestre rettangolari e triangolari [cfr. eq. (4.28)]: rect(t) ∗ rect(t) = Λ(t) . FT

Pertanto, applicando la proprietà di convoluzione e ricordando che rect(t) ←→ sinc(t), si ha la seguente trasformata notevole: FT

x(t) = Λ(t) ←→ X( f ) = sinc2 ( f ) . 15 Le

trasformate di Fourier di x(t) ed y(t) richieste per l’applicazione della (6.23) sono calcolate in pratica attraverso strumenti analogici o – più comunemente – digitali, noti come analizzatori di spettro.

6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI

271

1 0.8

X(f)

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −6

−4

−2

0 f

2

4

6

Fig. 6.4. Trasformata di Fourier X( f ) della finestra triangolare x(t) = Λ(t) (es. 6.7). Poiché X( f ) ≥ 0, si ha che |X( f )| = X( f ) e ∡X( f ) = 0; è sufficiente allora diagrammare (fig. 6.4) X( f ). Con considerazioni analoghe si può calcolare la trasformata di Fourier della finestra triangolare a TD (finestra di Bartlett), ma in questo caso occorre introdurre anche un’ulteriore proprietà della trasformata di Fourier (proprietà di traslazione temporale), per cui si rimanda all’es. 6.38. ◭

272

Trasformata di Fourier

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier In questa sezione cercheremo di approfondire le condizioni matematiche che garantiscono che un dato segnale TC o TD possa essere rappresentato mediante le formule di Fourier (cfr. def. 6.1 e 6.2), e forniremo nel contempo ulteriori esempi di calcolo della trasformata di Fourier. Più precisamente, affronteremo i seguenti problemi di carattere matematico:16 (i) stabilire le condizioni che assicurano che, per un dato segnale x(·), le equazioni di analisi (6.7) e (6.11) siano valide, cioè la trasformata di Fourier X(·) esista (problema dell’esistenza); (ii) supponendo che le condizioni menzionate in (i) siano verificate, determinare le condizioni che assicurano che le equazioni di sintesi (6.8) e (6.12), costruite a partire da X(·), siano valide e restituiscano proprio il segnale x(·) di partenza (problema dell’invertibilità). La trattazione di questi problema matematici (in particolare, del problema dell’esistenza) non è fine a se stessa ma, come vedremo, consentirà di calcolare alcune trasformate notevoli, che saranno utili nel seguito per evidenziare aspetti applicativi e interpretazioni nell’ambito dei segnali e dei sistemi. Nel seguito, per chiarezza espositiva, studieremo separatamente il caso dei segnali TC e TD. 6.3.1 Segnali TC

Nel § 6.1, abbiamo visto che, in via del tutto preliminare, la rappresentazione di Fourier per un segnale aperiodico x(t) si può ottenere sviluppando tale segnale in serie di Fourier su un intervallo finito (−Z/2, Z/2) e facendo poi tendere Z → +∞. Tale risultato è stato ottenuto assumendo che il segnale x(t) sia sommabile su tutto l’asse reale, cioè Z +∞ −∞

|x(t)| dt < +∞ ,

(6.24)

e, in aggiunta, verifichi le condizioni (d2) e (d3) del teor. 5.2 (condizioni di Dirichlet per la serie di Fourier a TC) su ogni intervallo (−Z/2, Z/2). Come vedremo, tali condizioni sono sufficienti ma non necessarie per la validità della rappresentazione di Fourier. Osserviamo preliminarmente che un segnale sommabile su R [simbolicamente, x(t) ∈ L 1 (R)] deve essere necessariamente infinitesimo all’infinito: lim x(t) = 0 .

|t|→+∞

(6.25)

Questa comporta che risultano sicuramente non sommabili tutti i segnali di durata non limitata o persistenti (ad esempio, tutti i segnali periodici), i quali non soddisfano la (6.25). Viceversa, risultano sommabili tutti i segnali (a valori finiti) di durata rigorosamente limitata, nonché tutti i segnali di durata praticamente limitata che decadono a zero per |t| → +∞ con sufficiente17 rapidità: queste ultime due tipologie di segnali appartengono alla classe dei segnali transitori. Le precedenti considerazioni ci inducono a trattare separatamente il caso dei segnali transitori e quello dei segnali persistenti. 16 Per una trattazione esauriente del problema dell’esistenza e invertibilità della trasformata di Fourier si rimanda ai testi di analisi matematica (ad esempio [3]); nel seguito daremo solo qualche risultato fondamentale, enfatizzando il più possibile gli aspetti intuitivi ed applicativi ed omettendo le relative dimostrazioni. 17 Una condizione sufficiente affinchè un segnale x(t) sia sommabile su R è (cfr. teor. B.9) che, per |t| → +∞, esso tenda a zero come 1/|t|α , con α > 1.

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

273

Segnali TC transitori

Cominciamo col considerare il problema dell’esistenza della trasformata di Fourier per un segnale TC transitorio, che soddisfa pertanto la (6.25). Partiamo dall’equazione di analisi (6.7), riportata qui per comodità: X( f ) =

Z +∞ −∞

x(t) e− j2π f t dt ,

(6.26)

che definisce la trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t). Osserviamo che, a partire dalla (6.26), sussiste la seguente disuguaglianza: Z +∞ Z +∞ Z +∞ − j2π f t |x(t)| dt , dt ≤ x(t) e |x(t)| |e− j2π f t | dt = |X( f )| = | {z } −∞ −∞ −∞ =1

per cui, se il segnale transitorio x(t) è anche sommabile, ovvero vale la (6.24), l’integrale che definisce la X( f ) nella (6.26) esiste in senso ordinario ed, in aggiunta, la trasformata di Fourier X( f ) è una funzione limitata, cioè |X( f )| < +∞, ∀ f ∈ R. Mettiamo subito in luce il fatto che la sommabilità del segnale x(t) non implica la sommabilità della sua trasformata di Fourier. In altre parole, se x(t) è sommabile, la sua trasformata X( f ) non è necessariamente sommabile su R. A conferma di ciò, ricordiamo (cfr. es. 6.1) il caso di x(t) = rect(t) (segnale sommabile), la cui trasformata è il segnale X( f ) = sinc( f ), il quale non risulta sommabile, in quanto la funzione sinc(x) (cfr. es. 5.2) è infinitesima solo del primo ordine per |x| → +∞. Tale esempio mostra però che la trasformata del segnale sommabile x(t) = rect(t) è una funzione continua ed infinitesima all’infinito: questa proprietà vale in generale per la trasformata di tutti i segnali sommabili.18 In sintesi, alla luce di quanto finora detto, possiamo enunciare la seguente proprietà notevole riguardante la trasformata di Fourier dei segnali TC sommabili: Proprietà 6.7 (trasformata di Fourier a TC di un segnale sommabile) Se il segnale x(t) è sommabile su R, l’integrale che definisce l’equazione di analisi (6.7) esiste in senso ordinario e la trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) è una funzione continua e limitata, infinitesima per | f | → +∞. Alcuni esempi di segnali sommabili su R sono la finestra rettangolare x(t) = rect(t) e triangolare x(t) = Λ(t), le cui trasformate di Fourier X( f ) = sinc( f ) e X( f ) = sinc2 ( f ) (cfr. es. 6.1 e 6.7), come è facile verificare, soddisfano la prop. 6.7. Oltre ai segnali di durata rigorosamente limitata come le finestre, risultano sommabili su R anche tutti quei segnali di durata praticamente limitata che tendono a zero per |t| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da soddisfare la (6.24). Un esempio di segnale che appartiene a questa famiglia è l’esponenziale monolatero decrescente. ◮ Esempio 6.8 (trasformata di Fourier dell’esponenziale monolatero decrescente TC) Si consideri il segnale esponenziale monolatero, con fattore di ampiezza A ∈ R e costante di tempo T ∈ R+ : x(t) = A e−t/T u(t) .

(6.27)

Si tratta di un segnale di durata praticamente limitata, sommabile su R. Sostituendo l’espressione di x(t) nell’equazione di analisi (6.7), si ha: #t=+∞ " Z +∞ AT e−(1/T + j2π f )t −(1/T + j2π f )t X( f ) = A . e dt = A = −(1/T + j2π f ) 1 + j2π f T 0 t=0

18 Questo

risultato è una conseguenza del celebre teorema di Riemann-Lebesgue (si veda [12]).

274

Trasformata di Fourier

|X(f)|

1 0.5 0 −6

−4

−2

0 f

2

4

6

−4

−2

0 f

2

4

6

∠ X(f)

1 0 −1 −6

Fig. 6.5. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X( f ) dell’esponenziale monolatero x(t) = A e−t/T u(t) per A = 5 e T = 1/5 (es. 6.8). In sintesi, si ottiene la seguente trasformata notevole: FT

x(t) = A e−t/T u(t) ←→ X( f ) =

AT , 1 + j2π f T

da cui si vede che X( f ) è una funzione a valori complessi ed, in accordo con la prop. 6.7, è continua ed infinitesima all’infinito. Tuttavia, come nel caso della trasformata della finestra rettangolare, lo spettro X( f ) non è sommabile su R. Assumendo A > 0, gli spettri di ampiezza e fase del segnale x(t) considerato sono dati da: |X( f )| = p

AT 1 + (2π f T )2

e

∡X( f ) = − arctan(2π f T ) ,

i cui andamenti sono raffigurati in fig. 6.5. Osserviamo che, essendo il segnale x(t) reale, lo spettro di ampiezza è pari e lo spettro di fase è dispari (simmetria hermitiana, cfr. prop. 6.3). Lo spettro di ampiezza, in particolare, mostra che il segnale esponenziale monolatero ha un contenuto spettrale prevalentemente concentrato alle basse frequenze. Notiamo in conclusione che l’espressione di X( f ) ed i grafici della fig. 6.5 sono simili a quelli ricavati nell’es. 4.18 con riferimento alla risposta in frequenza H( f ) di un sistema RC. Tale coincidenza si spiega facilmente, se si osserva che in generale la risposta in frequenza H( f ) di un sistema LTI coincide con la trasformata di Fourier della sua risposta impulsiva h(t), che per un sistema RC ha l’espressione h(t) = 1 −t/RC 1 u(t), ovvero si può vedere come un caso particolare del segnale (6.27) per A = RC e T = RC. ◭ RC e

Osserviamo esplicitamente che la prop. 6.7 non può essere applicata a tutti i segnali transitori, in quanto esistono segnali transitori che non risultano sommabili su R. Si consideri ad esempio il segnale x(t) = sinc(t), che non è sommabile in quanto infinitesimo del primo ordine per |t| → +∞. Abbiamo visto tuttavia nell’es. 6.5 che, applicando la proprietà di dualità, è possibile calcolare formalmente la trasformata di Fourier di tale segnale come FT

x(t) = sinc(t) ←→ X( f ) = rect( f ) .

(6.28)

Tale esempio mostra chiaramente che la sommabilità del segnale x(t) è una condizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenza della trasformata X( f ). In altri termini, la trasformata può esistere anche se il segnale x(t), come accade per x(t) = sinc(t), non è sommabile; in questo caso, tuttavia, l’integrale che definisce X( f ) nell’equazione di analisi (6.26) non esiste in senso convenzionale, ma va

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

275

interpretato più comunemente nel senso del valore principale di Cauchy, come specificato dal seguente teorema (si veda [13]): Teorema 6.1 (esistenza della trasformata di Fourier a TC nel senso del valor principale) Se il segnale x(t) soddisfa le seguenti tre condizioni: (1) x(t) = a(t) sin(ω0t + ϕ0 ), con ω0 , ϕ0 ∈ R; (2) esiste un t0 ∈ R+ tale che Z

|t|>t0

|x(t)| dt < +∞ ; |t|

(3) a(t) è una funzione monotona decrescente; allora la funzione x(t) e− j2π f t è integrabile in R nel senso del valor principale di Cauchy e si ha: X( f ) = lim

Z Z

Z→+∞ −Z

x(t) e− j2π f t dt .

(6.29)

Si noti che la (6.29) non è altro che l’equazione di analisi (6.7) in cui però l’integrale è interpretato nel senso del valor principale (di Cauchy). In effetti, i segnali che soddisfano le condizioni del teor. 6.1 si dicono trasformabili nel senso del valor principale. ◮ Esempio 6.9 (trasformata di Fourier del segnale sinc a TC) Rivisitiamo la trasformata del segnale x(t) = sinc(t) alla luce del teor. 6.1. Osserviamo che x(t) = sinc(t) soddisfa le condizioni del teor. 6.1 con ω0 = π , ϕ0 = 0 e a(t) = 1/(π t); quindi la sua trasformata si ottiene risolvendo l’integrale a valor principale (6.29). Si può dimostrare che il risultato di tale calcolo restituisce in realtà la seguente funzione

X( f ) = lim

Z→+∞

  per −1/2 < f < 1/2; 1 , sinc(t) e− j2π f t dt = 1/2 , per f = ±1/2;  −Z  0, altrimenti.

Z Z

che differisce da rect( f ) semplicemente19 per il valore assunto alle frequenze f = ±1/2. Questa differenza è una conseguenza della scelta (piuttosto arbitraria) di assegnare alla funzione rect(x) il valore unitario nei punti di discontinuità x = ±1/2. Tuttavia, si osservi che essa non ha alcuna importanza dal punto di vista applicativo, in quanto il valore della trasformata di Fourier X( f ) in punti isolati è irrilevante ai fini della sintesi del segnale x(t) (purché ovviamente in tali punti non siamo presenti impulsi di Dirac). ◭

È interessante osservare che, per la classe di segnali che soddisfano il teor. 6.1, venendo a mancare la sommabilità del segnale nel dominio del tempo, non è più garantita la continuità e/o la proprietà di convergenza a zero per | f | → +∞ della trasformata di Fourier, che invece valgono per i segnali sommabili (cfr. prop. 6.7). Ad esempio, la trasformata X( f ) = rect( f ) del segnale x(t) = sinc(t) è infinitesima all’infinito ma non è continua. Un altro segnale di interesse trasformabile nel senso del valor principale è il segnale x(t) = 1/t, la cui trasformata di Fourier è ricavata nell’esempio seguente. ◮ Esempio 6.10 (trasformata di Fourier del segnale 1/t) Il segnale x(t) = 1t (fig. 6.6) non è sommabile su R, in quanto è infinito del primo ordine per t → 0, ed infinitesimo del primo ordine per |t| → +∞. Tuttavia, 19 Questo

è il motivo per cui, in alcuni testi, si attribuisce alla funzione rect(x) il valore 1/2 nei punti di discontinuità.

276

Trasformata di Fourier

esso soddisfa le condizioni del teor. 6.1 per ω0 = 0, ϕ0 = π /2 e a(t) = 1/t, per cui è trasformabile nel senso del valor principale. Applicando la (6.29), si ottiene:  Z Z Z Z Z Z 1 − j2π f t cos(2π f t) sin(2π f t) X( f ) = lim e dt − j dt dt = lim Z→+∞ −Z t Z→+∞ t t −Z −Z Z Z sin(2π f t) = − j 2 lim dt , Z→+∞ 0 t dove si è sfruttato il fatto che la funzione cos(2π f t)/t è dispari, e quindi il suo integrale sull’intervallo (−Z, Z) è sempre nullo, mentre la funzione sin(2π f t)/t è pari, e quindi il suo integrale sull’intervallo (−Z, Z) è pari al doppio dell’integrale sull’intervallo (0, Z). Se, nell’ultimo integrale, si effettua il cambio di variabile x = 2 f t ⇔ dx = 2 f dt, si ottiene dopo qualche semplice manipolazione algebrica:  Z +∞   − j 2 π sinc(x) dx , per f > 0;   Z 2fZ  0 per f = 0; X( f ) = − j 2 π lim sinc(x) dx = 0 , Z 0 Z→+∞ 0      j2π sinc(x) dx , per f < 0. −∞

Ricordando a questo punto che l’area della funzione sinc(x) è unitaria (cfr. es. 6.6), cioè Z +∞ −∞

sinc(x) dx =

Z 0

−∞

sinc(x) dx +

Z +∞

sinc(x) dx = 1 ,

0

da cui, essendo sinc(x) una funzione pari, si ricava che Z 0

−∞

sinc(x) dx =

Z +∞

sinc(x) dx =

0

1 . 2

Conseguentemente, si ha:   − j π , per f > 0; X( f ) = 0 , per f = 0;   jπ , per f < 0;

(6.30)

X( f ) = − j π sgn( f ) .

(6.31)

o, più sinteticamente,

Si osservi in effetti che la (6.31) differisce dalla (6.30) per il valore assunto in f = 0: nella (6.30), il valore in f = 0 è nullo; mentre nella (6.31), il valore in f = 0 è uguale a π /2. Questa differenza è una conseguenza della scelta20 (piuttosto arbitraria) di assegnare alla funzione sgn(x) (cfr. es. 2.16) il valore unitario nel punto di discontinuità x = 0. Tuttavia, come già osservato precedentemente a proposito della finestra rettangolare (cfr. es. 6.9), questa differenza è del tutto inessenziale ai fini della sintesi del segnale x(t). In definitiva, possiamo quindi scrivere la seguente trasformata notevole: x(t) =

1 FT ←→ X( f ) = − j π sgn( f ) . t

(6.32)

La trasformata di Fourier X( f ) è una funzione puramente immaginaria (la parte reale è identicamente nulla). Gli spettri di ampiezza e fase sono dati da: ( − π , per f ≥ 0; |X( f )| = π e ∡X( f ) = π 2 per f < 0; 2 , 20 Questo

è il motivo per cui, in alcuni testi, si attribuisce alla funzione sgn(x) il valore zero nel punto di discontinuità.

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

5

3 |X(f)|

x(t)

277

2 1 0 −6

−4

−2

0 f

2

4

6

−4

−2

0 f

2

4

6

0

∠ X(f)

1 0 −1

−5 −5

0 t

Fig. 6.6. Il segnale x(t) = 1/t (es. 6.10).

5

−6

Fig. 6.7. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = 1/t (es. 6.10).

e sono rappresentati graficamente in fig. 6.7 [si noti che lo spettro di fase si può scrivere sinteticamente come ∡X( f ) = − π2 sgn( f )]. Notiamo che tali spettri presentano le simmetrie tipiche della trasformata di Fourier di un segnale reale (simmetria hermitiana). La forma costante dello spettro di ampiezza evidenzia in particolare che il segnale x(t) = 1/t ha un contenuto spettrale significativo a tutte le possibili frequenze f : come vedremo, si tratta di un primo esempio di segnale avente banda non limitata. Infine, dal punto di vista matematico, è interessante osservare che, poichè il segnale x(t) non è sommabile, la trasformata di x(t), oltre ad essere discontinua, non è neanche infinitesima all’infinito. ◭

Consideriamo ora il problema dell’invertibilità della trasformata di Fourier, limitando per il momento la nostra attenzione al caso dei segnali sommabili, per i quali vale la prop. 6.7. Malgrado la somiglianza formale tra l’equazione di analisi (6.7) e di sintesi (6.8), i problemi di carattere matematico ad esse associati sono diversi: l’equazione di analisi è la definizione della funzione X( f ), e l’integrale che la definisce esiste in senso ordinario se x(t) è sommabile; l’equazione di sintesi impone invece che l’integrale △

x(t) ˇ =

Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f ,

(6.33)

esista in qualche senso e sia uguale al segnale di partenza x(t) (non è quindi la semplice definizione di una funzione), pertanto affinchè questa uguaglianza sia verificata è necessario imporre che x(t) soddisfi, oltre alla sommabilità, ulteriori condizioni. Le condizioni aggiuntive da imporre dipendono dal tipo di uguaglianza che si desidera imporre tra l’integrale (6.33) e il segnale x(t). Inoltre, poichè in generale la sommabilità di x(t) non garantisce la sommabilità della sua trasformata X( f ), l’integrale (6.33) può non esistere in senso ordinario. In analogia a quanto fatto per la serie di Fourier a TC, si può considerare il problema della convergenza puntuale dell’integrale (6.33) al segnale x(t), trovando sotto quali condizioni l’uguaglianza x(t) ˇ = x(t) sussiste per tutti i valori di t ∈ R, eccetto che per i valori di t appartenenti ad un insieme di misura nulla, per i quali l’integrale (6.33), pur essendo convergente, non restituisce esattamente il segnale x(t). Come per la serie di Fourier a TC, questo problema è stato affrontato e risolto dal matematico tedesco J. P. G. L. Dirichlet, il quale individuò le condizioni matematiche che prendono il suo nome e garantiscono che, una volta calcolata la trasformata X( f ) a partire dal segnale x(t), l’integrale (6.33), inteso più in generale nel senso del valore principale di Cauchy, converga al segnale da rappresentare x(t), tranne che nei punti di discontinuità:

278

Trasformata di Fourier

Teorema 6.2 (condizioni di Dirichlet per la trasformata di Fourier a TC) Se il segnale x(t) soddisfa le seguenti tre condizioni: (d1) x(t) è sommabile su R: Z +∞ −∞

|x(t)| dt < +∞ ;

(d2) x(t) è una funzione continua in ogni intervallo finito, escluso al più un numero finito di punti con discontinuità di prima specie; (d3) x(t) è una funzione derivabile in ogni intervallo finito, escluso al più un numero finito di punti nei quali esistono finite la derivata sinistra e destra; allora la funzione X( f ) e j2π f t è integrabile in R nel senso del valor principale di Cauchy, e si ha: lim

Z Z

Z→+∞ −Z

X( f ) e j2π f t d f =

 1 + x(t ) + x(t − ) , 2

∀t ∈ R .

(6.34)

In altre parole, il teor. 6.2 stabilisce che l’integrale a valor principale di Cauchy21 (6.33) restituisce il valore assunto dal segnale x(t) nei punti in cui questo è continuo, mentre è uguale alla semisomma dei limiti destro e sinistro nei punti in cui x(t) presenta discontinuità di prima specie.22 Ad esempio, applicando questo risultato al caso della finestra rettangolare, si ottiene23 che:   per −1/2 < t < 1/2; Z Z 1 , j2π f t d f = 1/2 , per t = ±1/2; lim sinc( f ) e (6.35) Z→+∞ −Z   0, altrimenti. Consideriamo adesso il problema dell’invertibilità della trasformata di Fourier per i segnali transitori non sommabili, che però sono trasformabili nel senso del valor principale, in quanto soddisfano le condizioni del teor. 6.1. Si può dimostrare [10] che la tesi del teor. 6.2, cioè la formula di inversione (6.34), è ancora valida se: • al posto della condizione (d1), il segnale x(t) soddisfa le condizioni (1), (2) e (3) del teor. 6.1;

• su ogni intervallo finito, il segnale x(t) presenta un numero finito di discontinuità di seconda specie (uno o entrambi i limiti destro e sinistro non esistono o non sono finiti); in tal caso, il segnale x(t) deve soddisfare le condizioni (d2) e (d3), escluso ogni intorno qualsivoglia piccolo contenente i punti di discontinuità di seconda specie.

In questo caso più generale, la (6.34) è ovviamente valida per tutti i punti dell’asse reale in cui esistono finiti i limiti destro e sinistro del segnale x(t). Sulla base di questo risultato, è facile verificare che, nel caso ad esempio del segnale x(t) = sinc(t), la formula di inversione (6.34) restituisce il segnale la funzione X( f ) e j2π f t è integrabile in R, l’integrale (6.33) esiste in senso ordinario e il suo valore è pari a quello del corrispondente valor principale di Cauchy. Ricordiamo che il viceversa non è vero: il valor principale di Cauchy dell’integrale (6.33) può esistere anche quando l’integrale ordinario non esiste. 22 Similmente alla serie di Fourier a TC, la presenza di discontinuità di prima specie nel segnale x(t) determina il cosiddetto fenomeno di Gibbs quando il segnale x(t) è approssimativamente ricostruito troncando l’integrale (6.33) ad un intervallo finito del tipo (−Z/2, Z/2). 23 Notiamo che il risultato dell’es. 6.9 si può ottenere applicando la (6.35) e scambiando i ruoli del tempo e della frequenza. 21 Se

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

279

di partenza per ogni t ∈ R; mentre, nel caso del segnale x(t) = 1/t, la (6.34) sintetizza il segnale assegnato in tutti i punti dell’asse reale, tranne che nel punto t = 0, dove x(t) presenta una discontnuità di seconda specie. Come considerazione conclusiva, si osservi che, similmente alla serie di Fourier, se non si richiede che l’equazione di sintesi (6.8) riproduca esattamente il segnale di partenza x(t) in tutti i punti (eccezion fatta eventualmente per i punti di discontinuità di prima e seconda specie), la rappresentazione di Fourier può essere estesa più in generale ai segnali x(t) di energia; in questo caso, tuttavia, la convergenza degli integrali di analisi e di sintesi è da intendersi in media quadratica. Il problema della convergenza in media quadratica della rappresentazione di Fourier a TC è discusso in app. F. Segnali TC persistenti

Abbiamo visto che una condizione sufficiente (ma non necessaria) per l’esistenza della trasformata di Fourier X( f ) di un segnale x(t) è quella che x(t) sia sommabile oppure, più in generale, verifichi le condizioni enunciate nel teor. 6.1. Tali condizioni non sono soddisfatte dai segnali persistenti di interesse, quali, ad esempio, il segnale costante, il gradino e tutti i segnali periodici. Sorge allora il problema di generalizzare opportunamente la definizione di trasformata di Fourier in modo che essa possa essere applicata anche alla classe dei segnali persistenti, che racchiude l’importante sottoclasse dei segnali di potenza. A differenza dei casi esaminati nel paragrafo precedente, i segnali persistenti non sono in generale trasformabili in senso ordinario, il che significa che nella loro trasformata, qualora esista, possono comparire degli impulsi di Dirac. È bene notare però che non tutti i segnali persistenti hanno trasformata di Fourier contenente impulsi di Dirac, come mostra il seguente esempio. ◮ Esempio 6.11 (trasformata di Fourier del segnale signum a TC) Si consideri il segnale x(t) = sgn(t), che è un segnale persistente, e quindi non trasformabile in senso ordinario (neppure a valor principale). La sua trasformata di Fourier si può ottenere però formalmente applicando la proprietà di dualità. Infatti, nell’es. 6.10, abbiamo dimostrato la seguente trasformata notevole: x(t) =

1 FT ←→ X( f ) = − j π sgn( f ) , t

dalla quale, invocando prima la proprietà di dualità e poi quella di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene facilmente la seguente coppia segnale-trasformata: FT

x(t) = sgn(t) ←→ X( f ) =

1 . jπ f

(6.36)

Si noti che x(t) = sgn(t), pur essendo un segnale persistente, ha una trasformata ordinaria, non contenente cioè funzioni generalizzate. Per quanto riguarda gli spettri di ampiezza e di fase, si ha ( − π2 , per f > 0 ; π 1 |X( f )| = e ∡X( f ) = −∡ jπ f = − − ∡ f = π| f | 2 + π2 , per f < 0 ; che sono rappresentati graficamente in fig. 6.8 [si noti che la fase si può scrivere sinteticamente come ∡X( f ) = − π2 sgn( f )]. Anche in questo caso, gli spettri soddisfano le proprietà di simmetria caratteristiche delle trasformate di segnali reali. Dallo spettro di ampiezza, si nota che x(t) = sgn(t) ha uno spettro concentrato intorno alle basse frequenze, ma che per f → 0 si ha che lim f →0 |X( f )| = +∞. Si noti che questo è uno di casi in cui la proprietà del valore nell’origine della trasformata di Fourier non vale formalmente, in quanto mentre l’area del segnale x(t) = sgn(t) nel dominio del tempo (nel senso a valor principale) è nulla, risulta invece che il valore nell’origine di X( f ) diverge in modulo. ◭

La trattazione rigorosa della trasformata di Fourier per segnali persistenti o, più in generale, non trasformabili in senso ordinario prevede l’uso di strumenti matematici avanzati, quali la teoria delle

280

Trasformata di Fourier

1 |X(f)|

|X(f)|

4 2 0 −3

−2

−1

0 f

1

2

0 −2

3

∠ X(f)

∠ X(f)

−1

0 f

1

2

−1

0 f

1

2

5

1 0 −1 −3

0.5

−2

−1

0 f

1

2

3

Fig. 6.8. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = sgn(t) (es. 6.11).

0 −5 −2

Fig. 6.9. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = δ (t − t0 ) per t0 = 0.5 (es. 6.12).

distribuzioni.24 Poichè l’enfasi della teoria dei segnali e dei sistemi è sulle applicazioni piuttosto che sulla teoria pura, qui ci baseremo invece su un approccio alternativo, che richiede solo una conoscenza operativa delle principali proprietà dell’impulso di Dirac e della trasformata di Fourier. Per applicare tale approccio, il punto di partenza è proprio il calcolo della trasformata di Fourier dell’impulso di Dirac. ◮ Esempio 6.12 (trasformata di Fourier dell’impulso di Dirac a TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier del segnale x(t) = δ (t − t0 ) (impulso di Dirac di area unitaria centrato in t0 ∈ R). La trasformata di tale segnale è data per definizione dal seguente integrale: X( f ) =

Z +∞ −∞

δ (t − t0 ) e− j2π f t dt .

Poichè l’impulso di Dirac è una distribuzione, tale integrale non ha alcun significato in senso ordinario. Tuttavia, ricorrendo alla proprietà di campionamento dell’impulso di Dirac [cfr. prop. 2.2(b)], si ottiene facilmente che: x(t) = δ (t − t0 ) ←→ X( f ) = e− j2π f t0 . FT

(6.37)

Gli spettri di ampiezza e fase sono dati da |X( f )| = 1

e

∡X( f ) = −2π f t0

e sono riportati in fig. 6.9 per t0 = 0.5. Si noti che lo spettro di ampiezza è costante, mentre lo spettro di fase varia linearmente con la frequenza, con una pendenza che dipende dal valore del ritardo/anticipo t0 . Se si particolarizza la (6.37) al caso t0 = 0, si ottiene la seguente trasformata notevole: FT

x(t) = δ (t) ←→ X( f ) = 1 ,

(6.38)

ovvero la trasformata di un impulso di Dirac centrato nell’origine avente area unitaria è uguale ad uno su tutto l’asse delle frequenze. Da questo punto di vista, come il segnale x(t) = 1/t, l’impulso di Dirac è caratterizzato da un contributo spettrale significativo a tutte le possibili frequenze. 24 In taluni casi è possibile calcolare la trasformata di un segnale persistente ricorrendo a procedure al limite, per il cui uso

rigoroso occorre introdurre il concetto di limite di una distribuzione (esempi di calcolo al limite della trasformata di Fourier a TC sono presentati in app. F).

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

281

Dal punto di vista matematico, è interessante osservare che l’equazione di sintesi corrispondente alla (6.38) assume la seguente forma:

δ (t) =

Z +∞ −∞

e j2π f t dt ,

(6.39)

dove l’uguaglianza tra il primo e il secondo membro è valida solo nel senso delle distribuzioni, in quanto l’integrale che vi compare non è definito in senso ordinario per nessun valore di t: basta notare infatti che Z +∞ −∞

e j2π f t d f =

Z +∞ −∞

cos(2π f t)d f + j

Z +∞ −∞

sin(2π f t)d f ,

e che nessuno dei due ultimi integrali esiste in quanto le funzioni integrande non sono infinitesime per | f | → +∞. La (6.39) evidenzia un legame notevole tra impulso di Dirac e fasori e, dal punto di vista della rappresentazione di Fourier, mostra che il segnale x(t) = δ (t) si può rappresentare come sovrapposizione nel continuo di esponenziali complessi aventi tutti lo stesso peso X( f ) = 1, ∀ f ∈ R. ◭

L’impulso di Dirac x(t) = δ (t), considerato nell’es. 6.12, assomiglia più ad un segnale transitorio che ad un segnale persistente, in quanto una sua possibile interpretazione intuitiva è quella di un segnale “concentrato” nel punto t = 0, ed avente quindi durata nulla. Tuttavia la sua trasformata (6.38) consente di calcolare direttamente la trasformata di due segnali TC persistenti di notevole interesse: il segnale costante ed il gradino.

◮ Esempio 6.13 (trasformata di Fourier del segnale costante a TC) Il calcolo della trasformata di Fourier del segnale costante x(t) = 1 si ottiene facilmente applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole FT x(t) = δ (t) ←→ X( f ) = 1 ricavata nell’es. 6.12. Si trova infatti FT

x(t) = 1 ←→ X( f ) = δ (− f ) = δ ( f ) , dove abbiamo sfruttato la proprietà di parità della delta di Dirac [cfr. prop. 2.2(d)]. In definitiva, si ha FT

x(t) = 1 ←→ X( f ) = δ ( f ) .

(6.40)

Ricorrendo alla interpretazione intuitiva della delta di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nel punto di applicazione, la (6.40) mostra che il contenuto spettrale di un segnale costante è tutto concentrato alla frequenza f = 0. ◭ ◮ Esempio 6.14 (trasformata di Fourier del gradino TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier del segnale gradino unitario x(t) = u(t). Anziché calcolare direttamente tale trasformata, utilizziamo le trasformate calcolate finora e le proprietà della trasformata di Fourier. A tale proposito, sfruttando la decomposizione del gradino in componente continua e alternata (cfr. es. 2.20), possiamo scrivere che: x(t) = u(t) =

1 1 + sgn(t) , 2 2

da cui, in virtù della proprietà di linearità della trasformata di Fourier, segue che:   1 1 X( f ) = F + F[sgn(t)] . 2 2 Utilizzando le trasformate (6.36) e (6.40), si ottiene in definitiva la seguente relazione: FT

x(t) = u(t) ←→ X( f ) =

1 1 . δ(f)+ 2 j 2π f

(6.41)

La trasformata del gradino TC è composta da una parte ordinaria (il secondo addendo) a cui si somma una parte impulsiva (il primo addendo). Data la presenza della componente impulsiva, il calcolo dello spettro di ampiezza

282

Trasformata di Fourier

X(f)

1

X(f)

1

f0 f

Fig. 6.10. Trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = 1 (es. 6.13).

f

Fig. 6.11. Trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = e j2π f0 t ( f0 > 0) (es. 6.15).

e di fase può risultare di difficile interpretazione, per cui non è possibile fornire una rappresentazione grafica significativa di X( f ). La parte impulsiva porta in conto la presenza nel gradino di un segnale costante (la sua componente continua xdc ), mentre per quanto riguarda la parte ordinaria, poiché essa coincide con la trasformata di sgn(t) (a meno di un fattore 1/2), valgono considerazioni analoghe a quelle già fatte per quest’ultimo segnale (cfr. es. 6.11). ◭

Nei due esempi che seguono, utilizzando la trasformata di Fourier (6.37) della delta di Dirac traslata (cfr. es. 6.12), sono calcolate le trasformate di altri due segnali TC persistenti che ricorrono spesso nella teoria dei segnali e sistemi, vale a dire il fasore e la sinusoide. ◮ Esempio 6.15 (trasformata di Fourier del fasore a TC) Il calcolo della trasformata di Fourier del fasore x(t) = e j2π f0 t , con f0 ∈ R, si può ottenere facilmente applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole FT x(t) = δ (t − t0 ) ←→ X( f ) = e− j2π f t0 ricavata nell’es. 6.12. Si ha infatti x(t) = e− j2π tt0 ←→ δ (− f − t0 ) . FT

Per eliminare l’inconsistenza dimensionale della relazione precedente, effettuiamo la sostituzione formale f0 → −t0 ed applichiamo la proprietà di parità [cfr. prop. 2.2(d)] della delta di Dirac: x(t) = e j2π f0 t ←→ X( f ) = δ (− f + f0 ) = δ ( f − f0 ) , FT

per cui si ha in definitiva x(t) = e j2π f0 t ←→ X( f ) = δ ( f − f0 ) . FT

(6.42)

Tale trasformata di Fourier è rappresentata simbolicamente in fig. 6.11. Notiamo che la trasformata di un segnale costante (6.40) può ottenersi anche come caso particolare della (6.42) per f0 = 0. Ricorrendo alla interpretazione intuitiva della delta di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nel punto di applicazione, la (6.42) mostra che il contenuto spettrale di un fasore a frequenza f0 (ricordiamo che si tratta di un segnale periodico di periodo T0 = 1/| f0 |) è concentrato alla frequenza f0 ; in questo caso, si suole dire che x(t) = e j2π f0 t presenta nel dominio della frequenza una “riga” spettrale – ossia un impulso – centrato alla frequenza del fasore.25 Come vedremo nel § 6.6, la natura a righe dello spettro è una peculiarità di tutti i segnali periodici. ◭ 25 Un

segnale come il fasore viene anche chiamato, con terminologia mutuata dall’ottica, “monocromatico”, in quanto la luce è normalmente composta da radiazioni a differenti lunghezze d’onda (e quindi a differenti frequenze, stante la relazione λ = c/ f di inversa proporzionalità tra lunghezza d’onda λ e frequenza f , con c velocità della luce nel mezzo), mentre un raggio di un particolare “colore” (monocromatico, per l’appunto) contiene esclusivamente radiazioni ad una singola lunghezza d’onda (e quindi ad una singola frequenza).

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

283

A/(2j)

X(f)

X(f)

A/2

−f

0

f

0

−f0

f0

−A/(2j) f

f

Fig. 6.12. Trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = A cos(2π f0t) (es. 6.16).

Fig. 6.13. Trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) = A sin(2π f0t) (es. 6.16).

◮ Esempio 6.16 (trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TC) Il segnale x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ), con A, f0 , ϕ0 ∈ R, è un segnale persistente periodico, di periodo T0 = 1/| f0 |. Anche in questo caso, il calcolo diretto della trasformata di x(t) si può evitare, osservando che, in virtù delle formule di Eulero, tale segnale si può decomporre nella combinazione lineare di due fasori a frequenze ± f0 , ossia: x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) =

A jϕ0 j2π f0 t A − jϕ0 − j2π f0 t e e + e e . 2 2

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene: X( f ) =

A j ϕ0 A e F[e j2π f0 t ] + e− jϕ0 F[e− j2π f0 t ] . 2 2

Utilizzando due volte la trasformata (6.42) per i fasori a frequenza f0 e − f0 , si ha: FT

x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) ←→ X( f ) =

A j ϕ0 A e δ ( f − f0 ) + e− jϕ0 δ ( f + f0 ) . 2 2

(6.43)

Dalla fig. 6.12, nella quale è rappresentato tale spettro per ϕ0 = 0, è possibile notare che la trasformata di Fourier del segnale sinusoidale è costituita da due righe spettrali, alle frequenze ± f0 . Notiamo che in generale l’area dell’impulso a frequenza f0 è A2 e jϕ0 , mentre quella dell’impulso a frequenza − f0 è A2 e− jϕ0 : tali aree sono complesse coniugate l’una dell’altra, di modo che la trasformata di Fourier X( f ) soddisfi comunque la simmetria hermitiana caratteristica dei segnali x(t) reali. Analogamente, se si considera l’espressione alternativa di un segnale sinusoidale x(t) = A sin(2π f0t + ϕ0 ) ottenuta utilizzando la funzione sin(x), applicando le formule di Eulero, si ha: x(t) = A sin(2π f0t + ϕ0 ) =

A jϕ0 j2π f0 t A − jϕ0 − j2π f0 t e e − e e . 2j 2j

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene: X( f ) =

A j ϕ0 A e F[e j2π f0 t ] − e− jϕ0 F[e− j2π f0 t ] . 2j 2j

Utilizzando due volte la trasformata (6.42) per i fasori a frequenza f0 e − f0 , si ha FT

x(t) = A sin(2π f0t + ϕ0 ) ←→ X( f ) =

A j ϕ0 A e δ ( f − f0 ) − e− jϕ0 δ ( f + f0 ) . 2j 2j

(6.44)

In questo caso, la trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TC è costituita da due righe spettrali alle frequenze ± f0 . Si noti ancora che le aree sottese dai due impulsi ( 2Aj e jϕ0 per l’impulso a frequenza f0 e

284

Trasformata di Fourier

− 2Aj e− jϕ0 per l’impulso a frequenza − f0 ) sono complesse coniugate l’una dell’altra, di modo che la proprietà di simmetria hermitiana della trasformata di Fourier di un segnale reale sia verificata. Nel caso particolare ϕ0 = 0, le aree dei due impulsi nella (6.44), sebbene complesse, differiscono semplicemente per un segno, per cui spesso si ricorre alla rappresentazione convenzionale dello spettro riportata in fig. 6.12. Si noti infine che la differenza tra le (6.44) e (6.43) è piuttosto artificiosa, in quanto i segnali x(t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) e x(t) = A sin(2π f0t + ϕ0 ) si possono ottenere l’uno dall’altro ponendo opportunamente ϕ0 = ± π2 , per cui anche ◭ le trasformate (6.43) e (6.44) si ottengono l’una dall’altra per ϕ0 = ± π2 .

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

285

6.3.2 Segnali TD

Rispetto al caso dei segnali TC, il problema dell’esistenza e dell’invertibilità della trasformata di Fourier dei segnali TD è più semplice da studiare matematicamente. Il punto di partenza è ancora lo studio dell’esistenza, ovvero della validità dell’equazione di analisi (6.11), che riportiamo qui per comodità X(ν ) =

+∞

∑

x(n) e− j2πν n .

(6.45)

n=−∞

Affinchè la serie di funzioni a secondo membro della (6.45) converga in senso ordinario, il segnale x(n) deve necessariamente essere infinitesimo all’infinito: lim x(n) = 0 .

(6.46)

|n|→+∞

Poiché solo i segnali transitori (di durata limitata) soddisfano la (6.46), similmente a quanto fatto nel caso TC conviene studiare separatamente il caso dei segnali TD transitori e quello dei segnali TD persistenti. 6.3.3 Segnali TD transitori

Consideriamo prima il problema dell’esistenza della trasformata di Fourier per un segnale TD transitorio. Se il segnale transitorio, oltre a soddisfare la (6.46), è anche sommabile, nel senso che +∞

∑

n=−∞

|x(n)| < +∞ ,

(6.47)

allora è possibile provare facilmente, a partire dalla (6.45), che vale la seguente disuguaglianza: +∞ +∞ +∞ − j2πν n dν ≤ ∑ |x(n)| e− j2πν n dν = ∑ |x(n)| < +∞ , |X(ν )| = ∑ x(n) e n=−∞ n=−∞ | {z } n=−∞ =1

da cui si ricava che la trasformata di Fourier esiste ed assume valori limitati, cioè |X(ν )| < +∞, ∀ν ∈ R. In termini matematici, ciò significa che la serie di funzioni (6.45) che definisce X(ν ) è sicuramente convergente. In realtà, si può dimostrare che vale una proprietà più forte: se x(n) è sommabile (simbolicamente, x(n) ∈ ℓ1 ), la serie di funzioni al secondo membro della (6.45) converge uniformemente per ν ∈ (−1/2, 1/2) (e quindi in tutto R, per la periodicità) ad una funzione X(ν ) continua. La sommabilità del segnale x(n) gioca un ruolo fondamentale anche nello studio dell’invertibilità della trasformata di Fourier a TD. Notiamo anzitutto che tale studio è più semplice nel caso TD rispetto a quello TC. Infatti, come conseguenza della periodicità di X(ν ), il segnale x(n) espresso mediante l’equazione di sintesi (6.12), che riportiamo qui per comodità x(n) =

Z 1/2

−1/2

X(ν ) e j2πν n dν ,

(6.48)

si ottiene mediante integrazione su un intervallo di misura finita (unitaria), e non infinita come nell’equazione di sintesi (6.8) per il caso TC. Per verificare direttamente l’invertibilità, sostituiamo la X(ν ) espressa dalla (6.45) (dopo aver effettuato il cambio di variabile m → n) nella (6.48), ottenendo così: ! Z x(n) ˇ =

1/2

+∞

−1/2

m=−∞

∑

x(m) e− j2πν m

e j2πν n dν .

(6.49)

286

Trasformata di Fourier

Si noti che nella (6.49) abbiamo denotato con x(n) ˇ il segnale restituito dall’equazione di sintesi, in quanto esso può essere diverso dal segnale x(n) originariamente utilizzato nell’equazione di analisi (6.45) per calcolare la trasformata X(ν ). Studiare l’invertibilità significa determinare sotto quali condizioni risulta x(n) ˇ = x(n), ∀n ∈ Z, nella (6.49). Abbiamo visto precedentemente che, se il segnale x(n) è sommabile, la serie che definisce X(ν ) converge uniformemente, per cui essa può essere integrata termine a termine. Ciò equivale a scambiare l’ordine di integrazione con quello di sommatoria nella (6.49), scrivendo quindi: Z 1/2  +∞ j2πν (n−m) dν . e x(n) ˇ = ∑ x(m) −1/2

m=−∞

Calcolando l’integrale tra parentesi, e ricordando la definizione e le proprietà di sinc(x), si ha: Z 1/2

−1/2

e j2πν (n−m) dν =

sin[π (n − m)] = sinc(n − m) = δ (n − m) , π (n − m)

da cui si ottiene semplicemente: +∞

x(n) ˇ =

∑

m=−∞

x(m)δ (n − m) = x(n) ,

∀n ∈ Z .

(6.50)

Il risultato ottenuto è particolarmente significativo, in quanto prova che se x(n) è un segnale sommabile, non solo la trasformata di Fourier X(ν ) esiste, ma è anche invertibile, nel senso che l’equazione di sintesi restituisce esattamente il segnale x(n), ∀n ∈ Z. In definitiva, mettendo insieme i risultati ottenuti sull’esistenza e l’invertibilità della trasformata di Fourier per i segnali x(n) sommabili, possiamo enunciare la seguente proprietà notevole: Proprietà 6.8 (trasformata di Fourier a TD di un segnale sommabile) (i) Se il segnale x(n) è sommabile, la serie che definisce l’equazione di analisi (6.11) converge uniformemente in R e la trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(n) è una funzione continua. (ii) Se X(ν ) è la trasformata di Fourier di un segnale x(n) sommabile, l’equazione di sintesi (6.12) restituisce x(n), ∀n ∈ Z. Si noti la già citata semplificazione matematica rispetto al caso di segnali TC: nel caso TC, la sommabilità garantisce solo l’esistenza della trasformata di Fourier, mentre per l’invertibilità occorre richiedere che valgano condizioni aggiuntive (ad esempio, le condizioni di Dirichlet, cfr. teor. 6.2); invece nel caso dei segnali TD, la sommabilità di x(n) assicura sia l’esistenza che l’invertibilità della trasformata di Fourier. All’insieme ℓ1 dei segnali TD (ovvero delle successioni) sommabili appartengono tutti i segnali di durata rigorosamente limitata, quali, ad esempio, la finestra rettangolare (cfr. es. 6.2) e quella di Bartlett (la cui trasformata sarà calcolata successivamente, cfr. es. 6.38). È interessante osservare che l’impulso TD è anch’esso un segnale (ordinario) sommabile e, quindi, a differenza dell’impulso TC (impulso di Dirac), la sua trasformata di Fourier esiste in senso ordinario. ◮ Esempio 6.17 (trasformata di Fourier dell’impulso TD) A differenza dell’impulso TC, che è definito attraverso una funzione generalizzata (la delta di Dirac), l’impulso TD x(n) = δ (n) è una funzione ordinaria. In effetti, esso si può vedere come una finestra rettangolare di durata N = 1, si ha cioè δ (n) ≡ R1 (n). Conseguentemente, la sua trasformata di Fourier si può ottenere come un caso particolare della trasformata di R1 (n) ricavata nell’es. 6.2. Poiché risulta FT

x(n) = R1 (n) ←→ X(ν ) = D1 (ν ) ,

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

287

ricordando la definizione della funzione di Dirichlet si ha sin(πν N) − j(N−1)πν sin(πν ) e = 1, D1 (ν ) = = sin(πν ) sin( πν ) N=1

per cui anche nel caso TD la trasformata dell’impulso è la costante unitaria, vale cioè la trasformata notevole FT

x(n) = δ (n) ←→ X(ν ) = 1 ,

(6.51)

simile formalmente a quella ricavata nel caso TC per la delta di Dirac. Come nel caso TC, osserviamo che l’impulso TD presenta, nel dominio della frequenza, un contenuto spettrale significativo a tutte le possibili frequenze ν . Tuttavia, a differenza del caso TC, esso può essere rappresentato dai fasori e j2πν n di ampiezza costante con frequenze |ν | ≤ 12 , in quanto X(ν ) = 1 si può vedere ancora come una funzione periodica di periodo 1. In effetti, a differenza del caso TC in cui l’equazione di sintesi (6.33) va interpretata nel senso delle distribuzioni, la validità dell’equazione di sintesi per l’impulso TD può essere verificata direttamente, in quanto si ha: Z 1/2   per n = 0;  Z 1/2  −1/2 dν = 1 , −1 j2πν n   F [1] = e dν = ν =1/2
e j2πν n 1  −1/2   e jπ n − e− jπ n = 0 , per n 6= 0; =  j2π n ν =−1/2 j2π n e quindi si ha effettivamente che δ (n) =

R 1/2

−1/2 e

j2πν n dν ,

come previsto dalla prop. 6.8 [punto (ii)].

◭

Appartengono all’insieme ℓ1 dei segnali sommabili anche tutti quei segnali di durata praticamente limitata che tendono a zero per |n| → +∞ con sufficiente rapidità, in modo da soddisfare la (6.47). Un esempio di segnale appartenente a questa famiglia è l’esponenziale monolatero decrescente. ◮ Esempio 6.18 (trasformata di Fourier dell’esponenziale monolatero decrescente TD) Consideriamo l’esponenziale monolatero TD x(n) = A an u(n), con A ∈ R e 0 < |a| < 1. Si tratta di un segnale di durata praticamente limitata e sommabile (la sommabilità è garantita dal’ipotesi |a| < 1). Sostituendo l’espressione di x(n) nell’equazione di analisi (6.11), si ha: +∞

+∞

n=0

n=0

X(ν ) = A ∑ an e− j2πν n = A ∑ (a e− j2πν )n . L’espressione precedente è una serie geometrica la cui ragione a e− j2πν è in modulo strettamente minore di uno, in quanto |a e− j2πν | = |a| < 1 per ipotesi. Ricordando l’espressione della somma di una serie geometrica, si ottiene la seguente trasformata notevole: A . (6.52) 1 − a e− j2πν La trasformata di Fourier di un esponenziale monolatero decrescente è una funzione periodica di periodo unitario a valori complessi e, in accordo con la prop. 6.8, è limitata e continua. È interessante osservare che la trasformata (6.52) può essere interpretata come la risposta in frequenza H(ν ) di un sistema AR del primo ordine (cfr. es. 4.20), il cui legame i-u è descritto dall’equazione alle differenze y(n) = a y(n−1)+b x(n), con b = A; conseguentemente, ricordando che la risposta in frequenza è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva, il segnale x(n) può essere visto come la risposta impulsiva h(n) del sistema (cfr. es. 4.17). Si osservi inoltre che, nell’es. 4.20, la risposta in frequenza H(ν ) del sistema AR del primo ordine non è stata calcolata direttamente a partire da h(n) come è stato qui fatto con X(ν ) a partire da x(n), ma è stata invece calcolata indirettamente sfruttando la proprietà della risposta ad un fasore di un sistema LTI (cfr. prop. 4.10). Assumendo A > 0, gli spettri di ampiezza e fase del segnale x(n) considerato sono dati da: FT

x(n) = A an u(n) ←→ X(ν ) =

|X(ν )| = q

A

[1 − a cos(2πν )]2 + a2 sin (2πν )   a sin(2πν ) , ∡X(ν ) = − arctan 1 − a cos(2πν ) 2

=p

A 1 + a2 − 2 a cos(2πν )

,

288

Trasformata di Fourier

2 |X(ν)|

|X(ν)|

2 1 0

0 −1

−0.5

0 ν

0.5

1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

1 ∠ X(ν)

1 ∠ X(ν)

1

0 −1

0 −1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

Fig. 6.14. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) delle trasformata di Fourier X(ν ) dell’esponenziale monolatero x(n) = A an u(n) per A = 1 e a = 0.5 (es. 6.18).

Fig. 6.15. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) delle trasformata di Fourier X(ν ) dell’esponenziale monolatero x(n) = A an u(n) per A = 1 e a = −0.5 (es. 6.18).

i cui andamenti sono raffigurati in fig. 6.14 e 6.15, nel caso in cui 0 < a < 1 e −1 < a < 0, rispettivamente. Osserviamo che, essendo il segnale x(n) reale, lo spettro di ampiezza è pari e lo spettro di fase è dispari (simmetria hermitiana, cfr. prop. 6.3). Una differenza importante che emerge dal confronto tra gli spettri di ampiezza per 0 < a < 1 e −1 < a < 0 è il fatto che, nel primo caso, si ha un massimo per ν = 0 (e, per la periodicità, per tutti i punti ν = k, k ∈ Z), mentre, nel secondo caso, si ha un massimo per ν = 12 (e, per la periodicità, per tutti i punti ν = 12 + k, k ∈ Z). Ricordando (cfr. § 2.3.3) che nel caso TD le frequenze ν = 12 + k, k ∈ Z, rappresentano quelle dei fasori più rapidamente variabili (e quindi vanno considerate come le alte frequenze nel caso TD), possiamo concludere che per −1 < a < 0 i fasori e j2πν n che contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale sono quelli ad alta frequenza (vedremo che un segnale di questo tipo si dice ad alta frequenza o passaalto), mentre per 0 < a < 1 i fasori e j2πν n che contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale sono quelli a bassa frequenza (vedremo che un segnale di questo tipo si dice a bassa frequenza o passabasso). ◭

La prop. 6.8 mostra che lo studio dell’esistenza e dell’invertibilità della trasformata di Fourier dei segnali sommabili a TD è particolarmente semplice. Osserviamo però che tale proprietà non può essere applicata a tutti i segnali transitori, in quanto esistono segnali transitori x(n) che, pur tendendo a zero per |n| → +∞, non risultano sommabili. Tuttavia, il venir meno della sommabilità di x(n) non significa necessariamente che tale segnale non sia rappresentabile secondo Fourier. Infatti, ricordiamo che la sommabilità del segnale x(n) è una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’esistenza ed invertibilità della trasformata X(ν ). A supporto di questa affermazione, consideriamo il seguente esempio, nel quale procediamo in senso contrario a quanto fatto solitamente, ovvero partiamo dalla trasformata X(ν ) nel dominio dell frequenza e ricaviamo il segnale x(n) nel dominio del tempo. ◮ Esempio 6.19 (trasformata di Fourier della sinc a TD) Consideriamo il seguente spettro, periodico di periodo 1:    ν 1 X(ν ) = rep1 rect . (6.53) 2νc 2νc con 0 < νc < 12 , rappresentato graficamente in fig. 6.16 per νc = 14 . Si noti che, a differenza della trasformata dell’impulso TD (cfr. es. 6.17) e dell’esponenziale monolatero decrescente (cfr. es. 6.18), questa trasformata non è continua, in quanto presenta delle discontinuità di prima specie nei punti ν = ±νc + k, con k ∈ Z. Pertanto, essa non può essere la trasformata di Fourier di un segnale sommabile, in quanto la condizione (i) della prop. 6.8

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

289

1 0.8

X(ν)

x(n)

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −1

νc−1 −0.5

ν

−νc

c

0.5

1−νc

1

−0.4 −5

ν

Fig. 6.16. Spettro del segnale x(n) = sinc(2νc n) per νc = 14 (es. 6.19).

0 n

5

Fig. 6.17. Il segnale x(n) = sinc(2νc n) per νc = (es. 6.19).

1 4

non è soddisfatta. Ci chiediamo allora se esiste e qual’è il segnale (non sommabile) x(n) che ha X(ν ) come trasformata di Fourier. La risposta a questa domanda si ottiene direttamente sostituendo la (6.53) nell’equazione di sintesi (6.12), e calcolando il corrispondente integrale. Notando che, nel periodo ν ∈ (−1/2, 1/2), la X(ν ) data dalla (6.53) si riduce (fig. 6.16) ad una semplice finestra rettangolare, si ha:   Z 1/2 Z νc 1 ν 1 sin(2πνc n) x(n) = rect e j2πν n dν = = sinc(2νc n) . e j2πν n dν = 2νc 2νc −νc 2πνc n −1/2 2νc Si ottiene pertanto la seguente trasformata notevole:    ν 1 FT x(n) = sinc(2νc n) ←→ X(ν ) = rep1 rect . 2νc 2νc

(6.54)

Osserviamo che il segnale x(n) = sinc(2νc n) (raffigurato in fig. 6.17 per νc = 14 ) non è effettivamente sommabile in quanto, pur essendo infinitesimo all’infinito, decade a zero come 1/|n| per |n| → +∞. Questo risultato è in perfetto accordo, come già osservato, con il fatto che siamo partiti da una trasformata discontinua. In particolare, poiché X(ν ) è discontinua alle frequenze ν = ±νc , si ha che in questo caso la serie di funzioni (6.45) non può convergere uniformemente ad X(ν ), per ν ∈ (−1/2, 1/2), in quanto la somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue (quali sono i fasori e− j2πν n ) è sempre una funzione continua. In questo caso, si può dimostrare che la serie di funzioni +∞

∑

sinc(2νc n) e− j2πν n

(6.55)

n=−∞

converge uniformemente ad X(ν ) in ogni intervallo di (−1/2, 1/2) che non contiene i punti di discontinuità ±νc , mentre la convergenza non è uniforme in ogni intervallo che contiene i punti di discontinuità; in particolare, in corrispondenza delle frequenze ν = ±νc , la serie (6.55) converge al valore 12 [X(ν + ) + X(ν − )] = 41νc . Notiamo infine che anche nel caso TD la sinc è un segnale a banda rigorosamente limitata, in quanto è rappresentato nel dominio della frequenza esclusivamente dai fasori aventi frequenze |ν | ≤ νc . ◭

L’es. 6.19 consente di trarre alcune conclusioni importanti. Innanzitutto, il segnale transitorio x(n) = sinc(2νc n), non sommabile, ammette come trasformata di Fourier il segnale X(ν ) ricavato indirettamente nell’esempio, a partire dal quale è possibile sintetizzare il segnale x(n) per ogni n ∈ Z. Inoltre, come già messo in evidenza nel caso TC, se si rimuove l’ipotesi che il segnale x(n) sia sommabile, non è più garantita la continuità della sua trasformata X(ν ). Infine, si osservi che, se non si richiede che la

290

Trasformata di Fourier

serie di funzioni (6.45) converga uniformemente o puntualmente, la trasformata di Fourier a TD esiste più in generale per segnali x(n) di energia (successioni a quadrato sommabile); in questo caso, tuttavia, la convergenza della (6.45) è da intendersi in media quadratica. Il problema della convergenza in media quadratica della trasformata di Fourier a TD è discusso in app. F. Segnali TD persistenti

Abbiamo osservato che una condizione sufficiente (ma non necessaria) per l’esistenza della trasformata di Fourier X(ν ) di un segnale x(n) è quella che x(n) sia sommabile, oppure a quadrato sommabile. I segnali persistenti, quali ad esempio il segnale costante e tutti i segnali periodici non soddisfano tali condizioni. Similmente al caso TC, anche per i segnali TD si pone quindi il problema di estendere la rappresentazione di Fourier alla classe dei segnali persistenti e, in particolare, ai segnali di potenza. In alcuni casi, la trasformata di un segnale persistente si può ottenere più in generale ricorrendo a procedure al limite, per il cui uso rigoroso occorre introdurre il concetto di limite di una distribuzione.26 Come fatto nel caso TC, anche per i segnali TD, eviteremo di ricorrere alla teoria delle distribuzioni e cercheremo di calcolare le trasformate di interesse per altra via. Questo compito è più complicato per i segnali TD rispetto ai segnali TC, in quanto nel caso dei segnali TD viene a mancare la proprietà di dualità della trasformata di Fourier che, come abbiamo visto nel § 6.3.3, consente invece di calcolare formalmente la trasformata a TC di alcuni segnali persistenti senza dover ricorrere al calcolo diretto. Il primo segnale persistente di cui calcoleremo la trasformata di Fourier sarà il segnale costante a TD. Per tale calcolo, tuttavia, ci serviremo di un risultato notevole associato alla serie di Fourier di un particolare segnale periodico TC, denominato pettine di δ , discusso nell’esempio che segue. ◮ Esempio 6.20 (serie di Fourier a TC del pettine di δ di periodo unitario) Consideriamo il seguente segnale TC periodico di periodo T0 = 1: △ δe(t) = rep1 [δ (t)] =

+∞

∑

m=−∞

δ (t − m) ,

(6.56)

ottenuto replicando con passo unitario l’impulso di Dirac centrato nell’origine e avente area unitaria. Tale segnale è anche noto come pettine di δ (in inglese, “comb”) ed è rappresentato simbolicamente in fig. 6.18. Trattandosi di un segnale periodico di periodo T0 = 1 e frequenza fondamentale f0 = T10 = 1, il pettine di δ può essere rappresentato in serie di Fourier come:

δe(t) =

+∞

∑

Xk e j2π kt ,

(6.57)

k=−∞

dove i coefficienti di Fourier sono dati da: Xk =

Z 1/2

−1/2

δe(t) e− j2π kt dt ,

(6.58)

e come periodo di integrazione abbiamo scelto per convenienza di calcolo l’intervallo t ∈ (−1/2, 1/2). Sostituendo la (6.56) nell’espressione dei coefficienti di Fourier, si ottiene: # " Z Z Xk =

1/2

+∞

−1/2

m=−∞

∑

δ (t − m) e− j2π kt dt =

+∞

∑

1/2

m=−∞ −1/2

δ (t − m) e− j2π kt dt ,

da cui effettuando il cambio di variabile u = t − m segue che: +∞

Xk = 26 Esempi

∑

Z 1/2−m

m=−∞ −1/2−m

j2π km δ (u) e− j2π ku e|− {z } du = =1

+∞

∑

Z 1/2−m

m=−∞ −1/2−m

δ (u) e− j2π ku du .

di calcolo al limite della trasformata di Fourier a TD sono presentati in app. F.

(6.59)

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

291

Ricordando la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac [cfr. prop. 2.2(h)], si ha: ( Z 1/2−m 1 , se −1/2 − m < 0 < 1/2 − m ; − j2π ku δ (u) e du = 0 , altrimenti ; −1/2−m ovvero Z 1/2−m

−1/2−m

− j2π ku

δ (u) e

( 1 , se −1/2 < m < 1/2 ; du = 0 , altrimenti .

L’unico valore di m ∈ Z che soddisfa la disuguaglianza −1/2 < m < 1/2 è il valore m = 0. Pertanto: ( Z 1/2−m 1 , se m = 0 ; − j2π ku δ (u) e du = 0 , altrimenti . −1/2−m Ciò comporta che l’unico termine della sommatoria che fornisce un contributo non nullo nella (6.59) è quello relativo ad m = 0, per cui Xk = 1 ,

∀k ∈ Z .

In altri termini, i coefficienti di Fourier del pettine di δ di periodo unitario sono tutti uguali ad uno, indipendentemente da k. Si osservi che questo risultato si poteva ottenere più semplicemente (anche se in maniera meno rigorosa) ricorrendo all’interpretazione intuitiva dell’impulso di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nel punto di applicazione; in tal modo, poichè l’unico impulso del pettine di δ che cade nell’intervallo (−1/2, 1/2) è quello applicato in t = 0, la (6.58) si riduce a calcolare l’integrale Xk =

Z 1/2

−1/2

δ (t) e− j2π kt dt = 1 ,

che è uguale ad uno, ∀k ∈ Z, sempre per la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac. In definitiva, utilizzando nella (6.57) i coefficienti di Fourier calcolati precedentemente, il pettine di δ di periodo unitario può essere riscritto formalmente mediante l’equazione di sintesi della sua serie di Fourier:

δe(t) =

+∞

∑

e j2π kt ,

(6.60)

k=−∞

ovvero, anziché come somma di impulsi (6.56), come somma di fasori. Si noti che la convergenza della serie a secondo membro nella (6.60) al segnale δe(t), ∀t ∈ R, va intesa nel senso delle distribuzioni; infatti tale serie non converge in senso ordinario per nessun valore di t, in quanto +∞

∑

e j2π kt =

k=−∞

+∞

∑

cos(2π kt) + j

k=−∞

+∞

∑

sin(2π kt) ,

k=−∞

e le successioni {cos(2π kt)}k∈Z e {sin(2π kt)}k∈Z non sono infinitesime per |k| → +∞. La (6.60) è un’identità notevole della teoria delle distribuzioni, e può essere vista come la versione periodica della relazione notevole (6.39): entrambe le relazioni trovano ampia applicazione nella teoria dei segnali. ◭

Utilizzando il risultato ricavato nell’esempio precedente, in particolare la (6.60), nell’esempio che segue è calcolata la trasformata di Fourier del segnale x(n) = 1 (segnale costante a TD). ◮ Esempio 6.21 (trasformata di Fourier del segnale costante a TD) La trasformata di Fourier del segnale costante x(n) = 1 si scrive formalmente, a partire dall’equazione di analisi (6.11), come: X(ν ) =

+∞

∑

n=−∞

e− j2πν n .

(6.61)

292

Trasformata di Fourier

1

1

X(ν)

rep [δ(t)]

1

−2

−1

0

1

2

−1

t

−0.5

0

0.5

1

ν

Fig. 6.18. Il segnale δ (t) = rep1 [δ (t)] (pettine di δ di periodo unitario) utilizzato nell’es. 6.20.

Fig. 6.19. Trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(n) = 1 (es. 6.21).

Notiamo che tale serie è assai simile a quella che compare al secondo membro della (6.60), e pertanto non converge in senso ordinario per nessun valore di ν . La sua somma nel senso delle distribuzioni si può ottenere però facilmente effettuando il cambiamento di variabile k = −n nella (6.60) e la sostituzione formale ν → t. Si ha allora: X(ν ) =

+∞

∑

e− j2πν n = δ˜ (ν ) ,

(6.62)

n=−∞

In virtù della (6.62), otteniamo la seguente trasformata notevole: FT x(n) = 1 ←→ X(ν ) = δ˜ (ν ) ,

(6.63)

ovvero la trasformata del segnale costante a TD è un pettine di δ nel dominio della frequenza, rappresentato simbolicamente in fig. 6.19. Si noti l’analogia tra la (6.63) e la (6.40) valida per il segnale costante a TC; l’unica differenza nel dominio della frequenza si spiega facilmente se si pensa che la trasformata del segnale costante a TD dev’essere necessariamente periodica, e quindi non potrebbe essere δ (ν ) (un singolo impulso) in stretta analogia al caso TC, ma dev’essere δe(ν ), ovvero la replicazione periodica con passo unitario di δ (ν ). Per lo stesso motivo, possiamo osservare che anche nel caso TD il contenuto spettrale di un segnale costante si può considerare tutto concentrato alla frequenza ν = 0 (segnale a bassa frequenza) come nel caso TC, ma, per la periodicità dello spettro nel caso TD, tale contenuto (fig. 6.19) si può considerare equivalentemente concentrato a ciascuna frequenza ν = k ∈ Z. Osserviamo infine che per la (6.63) l’equazione di sintesi vale in senso ordinario, in quanto per la proprietà di integrazione definita della delta di Dirac si ha: x(n) =

Z 1/2

valida ∀n ∈ Z.

−1/2

δ˜ (ν ) e j2πν n d ν =

Z 1/2

−1/2

δ (ν ) e j2πν n d ν = 1 , ◭

Sfruttando la trasformata di Fourier del segnale costante, ed in particolare la (6.62), possiamo facilmente calcolare la trasformata di Fourier del fasore TD e della sinusoide TD.27 27 Le

trasformate di Fourier di altri segnali persistenti TD di interesse, quali il gradino ed il signum, saranno considerate successivamente.

6.3 Esistenza ed invertibilità della trasformata di Fourier

X(ν)

A

X(ν)

1

293

−1 ν0−1 −0.5

ν0

0.5

1

ν0+1

−ν0−1 −1 ν0−1 −0.5 −ν0

ν

ν0

0.5 1−ν0

1 ν0+1

ν

Fig. 6.20. Trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(n) = e j2πν0 n (0 < ν0 < 12 ) (es. 6.22).

Fig. 6.21. Trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(t) = A cos(2πν0t) per A > 0 e 0 < ν0 < 12 (es. 6.23).

◮ Esempio 6.22 (trasformata di Fourier del fasore a TD) Il fasore TD x(n) = e j2πν0 n è un segnale persistente, e risulta periodico nel tempo solo se la sua frequenza ν0 è un numero razionale (cfr. prop. 2.5). Utilizzando l’equazione di analisi (6.11), la trasformata del fasore TD si scrive formalmente come X(ν ) =

+∞

∑

+∞

e j2πν0 n e− j2πν n =

n=−∞

∑

e− j2π (ν −ν0 )n ,

(6.64)

n=−∞

che non converge in senso ordinario, per nessun valore di ν . Per calcolare la somma di tale serie in senso geneeralizzato, possiamo ricorrere alla (6.62); infatti, mediante la semplice sostituzione formale ν − ν0 → ν nella (6.62), si ha +∞

∑

n=−∞

e− j2π (ν −ν0 )n = δe(ν − ν0 ) ,

per cui si ottiene la seguente trasformata notevole FT x(n) = e j2πν0 n ←→ X(ν ) = δ˜ (ν − ν0 ) .

(6.65)

Si osservi che il risultato ottenuto sussiste sia quando ν0 è razionale (e quindi il fasore è periodico) che quando ν0 è irrazionale (e quindi il fasore è aperiodico). Per determinare la rappresentazione grafica di X(ν ), poichè due fasori le cui frequenze differiscono di un numero intero sono indistinguibili (cfr. prop. 2.4), è possibile considerare senza perdità di generalità il caso ν0 ∈ (−1/2, 1/2). Inoltre, poiché δe(ν − ν0 ) = rep1 [δ (ν − ν0 )], la trasformata X(ν ) si ottiene replicando con passo unitario l’impulso di Dirac di area unitaria centrato alla frequenza ν0 , il che conduce alla rappresentazione simbolica di fig. 6.20. Notiamo che anche nel caso TD il contenuto spettrale di un fasore è concentrato alla frequenza ν0 e, per la periodicità, anche a tutte le frequenze ν0 + k, ∀k ∈ Z. ◭ ◮ Esempio 6.23 (trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TD) A partire dalla trasformata del fasore, si può calcolare agevolmente anche la trasformata del segnale sinusoidale TD x(n) = A cos(2πν0 n + ϕ0 ), con A, ν0 , ϕ0 ∈ R. Esso è un segnale persistente, e risulta periodico solo se la sua frequenza ν0 è un numero razionale. Anche in questo caso, il calcolo diretto della trasformata di x(n) si può evitare, osservando che, in virtù delle formule di Eulero, un segnale sinusoidale si può decomporre nella combinazione lineare di due fasori a frequenze ±ν0 , ossia: x(n) = A cos(2πν0 n + ϕ0 ) =

A jϕ0 j2πν0 n A − jϕ0 − j2πν0 n e e + e e . 2 2

294

Trasformata di Fourier

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene: X(ν ) =

A j ϕ0 A e F[e j2πν0 n ] + e− jϕ0 F[e− j2πν0 n ] . 2 2

Utilizzando la trasformata (6.65) per i due fasori, si ha: FT

x(n) = A cos(2πν0 n + ϕ0 ) ←→ X(ν ) =

A j ϕ0 ˜ A e δ (ν − ν0 ) + e− jϕ0 δ˜ (ν + ν0 ) . 2 2

(6.66)

Come mostrato in fig. 6.21, nella quale è rappresentato lo spettro per ϕ0 = 0, la trasformata di Fourier del segnale sinusoidale TD si ottiene partendo da due righe spettrali, alle frequenze ±ν0 , che si ripetono periodicamente con periodo unitario. L’area sottesa dagli impulsi dipende in generale dall’ampiezza e dalla fase iniziale del segnale; notiamo, peraltro, che le aree degli impulsi a frequenze positive sono complesse coniugate di quelle degli impulsi a frequenze negative, di modo che la trasformata di Fourier X(ν ) soddisfi la proprietà di simmetria hermitiana caratteristica dei segnali x(n) reali. Come nel caso TC, può risultare conveniente derivare la forma esplicita dello spettro quando il segnale sinusoidale è espresso tramite la funzione sin(x), ovvero x(n) = A sin(2πν0 n + ϕ0 ). Anche in questo caso, applicando le formule di Eulero, si ha: x(n) = A sin(2πν0 n + ϕ0 ) =

A jϕ0 j2πν0 n A − jϕ0 − j2πν0 n e e − e e . 2j 2j

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ottiene: X(ν ) =

A j ϕ0 A e F[e j2πν0 n ] − e− jϕ0 F[e− j2πν0 n ] . 2j 2j

Utilizzando la trasformata (6.65), si ha in definitiva: FT

x(n) = A sin(2πν0 n + ϕ0 ) ←→ X(ν ) =

A j ϕ0 ˜ A e δ (ν − ν0 ) − e− jϕ0 δ˜ (ν + ν0 ) . 2j 2j

(6.67)

Anche in questo caso, lo spettro si ottiene a partire da un coppia di righe spettrali, alle frequenze ±ν0 , che si ripetono periodicamente con periodo unitario. Per le aree degli impulsi, valgono osservazioni simili a quelle già fatte per la (6.66). ◭

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

295

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale Abbiamo visto che gran parte dei segnali di interesse (teorico e pratico) possono essere rappresentati nel dominio della frequenza attraverso la trasformata di Fourier. In particolare, con riferimento al caso TC, l’equazione di sintesi (6.8) consente di rappresentare un segnale x(t) come sovrapposizione di fasori o componenti spettrali, aventi ampiezza complessa X( f ) e frequenza f variabile con continuità su R. Analogamente, nel caso TD, l’equazione di sintesi (6.12) consente di rappresentare un segnale x(n) come sovrapposizione di fasori o componenti spettrali, aventi ampiezza complessa X(ν ) e frequenza ν variabile con continuità nell’intervallo finito (− 21 , 12 ). In entrambi i casi, lo spettro di ampiezza |X(·)| determina il peso che ciascun fasore ha nella sintesi del segnale x(·): i fasori aventi frequenze per le quali |X(·)| assume valori significativi contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale, mentre i fasori aventi frequenze per le quali |X(·)| assume valori trascurabili, o al limite nulli, contribuiscono poco o non contribuiscono affatto alla sintesi del segnale x(·). La conoscenza dell’intervallo di frequenza dove lo spettro di ampiezza |X(·)| del segnale è non trascurabile è importante per due motivi. Dal punto di vista della sintesi dei segnali a TC, la ricostruzione esatta del segnale x(t) è possibile in generale solo calcolando un integrale esteso a tutto l’asse delle frequenze, e quindi può essere fatta solo dal punto di vista analitico;28 tuttavia, se l’intervallo di frequenza ove |X( f )| assume valori significativamente diversi da zero ha misura finita, in pratica il segnale x(t) può essere ricostruito con buona approssimazione a partire dal suo spettro restringendo il calcolo dell’integrale (6.8) ad un intervallo di misura finita.29 Dal punto di vista dell’elaborazione dei segnali, inoltre, abbiamo visto nel § 6.2 che un sistema LTI è in grado di modificare le ampiezze e le fasi delle componenti spettrali del segnale di ingresso (selettività in frequenza), e quindi può alterare in particolare il peso relativo (ovvero l’ampiezza) di ciascun fasore nella sintesi del segnale. Tale alterazione può determinare modifiche anche profonde della forma del segnale di ingresso; pertanto, la conoscenza della risposta in frequenza del sistema e dell’intervallo di frequenze ove |X(·)| è non trascurabile consente di valutare a priori se il segnale subirà o meno modifiche significative nel passaggio attraverso un dato sistema LTI. L’intervallo di frequenza ove lo spettro di ampiezza |X(·)| del segnale è non trascurabile è comunemente denominato estensione spettrale del segnale, e la sua misura è detta larghezza di banda (in inglese, bandwidth) o, più semplicemente, banda. Definizione 6.3 (estensione spettrale e banda di un segnale) (a) L’estensione spettrale Wx ⊆ R di un segnale TC x(t) è l’intervallo di frequenza in cui il suo spettro di ampiezza |X( f )| assume valori non trascurabili. La banda di x(t) è la misura Bx ≥ 0 dell’insieme Wx . (b) L’estensione spettrale Wx ⊆ (ν , ν + 1), con ν ∈ R, di un segnale TD x(n) è l’intervallo di frequenza in cui il suo spettro di ampiezza |X(ν )| assume valori non trascurabili sul periodo (ν , ν + 1). La banda di x(n) è la misura 0 ≤ Bx ≤ 1 dell’insieme Wx .

La differenza fondamentale tra la definizione di estensione spettrale di un segnale TC e TD è legata al fatto che lo spettro X(ν ) di un segnale TD è sempre periodico di periodo unitario, mentre lo spettro X( f ) di un segnale TC è in generale aperiodico. Pertanto, la caratterizzazione di X(ν ) può essere fatta senza perdità di generalità limitando l’analisi ad un periodo; in tal caso, come intervallo di riferimento 28 Rispetto al caso TC, la sintesi di un segnale TD è meno problematica in pratica, in quanto la ricostruzione esatta di un segnale TD richiede la valutazione di un integrale esteso ad un intervallo di misura unitario. 29 Tale problema è essenzialmente lo stesso di quello della sintesi di un segnale periodico TC utilizzando solo un numero finito di armoniche (cfr. § 5.2.2).

296

Trasformata di Fourier

X(f)

X(ν)

(a)

(b)

0 Wx

f

-1/2

0 Wx

1/2

ν

Fig. 6.22. Segnale passabasso: (a) TC; (b) TD.

si può scegliere un arbitrario periodo (ν , ν + 1) di X(ν ); le scelte più comuni sono gli intervalli (− 12 , 12 ) (corrispondente a ν = − 21 ) e (0, 1) (corrispondente a ν = 0). Nel seguito faremo riferimento per i segnali TD esclusivamente all’intervallo (− 12 , 12 ). Osserviamo inoltre che le definizioni di estensione spettrale e banda ricordano molto da vicino le definizioni di estensione Dx e durata temporale ∆x di un segnale x(·) (cfr. def. 2.1); infatti, estensione e durata temporale di un segnale sono due parametri sintetici che caratterizzano il segnale nel dominio del tempo, ovvero sono definiti a partire dal segnale x(·); dualmente, estensione spettrale e banda sono due parametri sintetici che caratterizzano il segnale nel dominio della frequenza, ovvero sono definiti a partire dallo spettro X(·) del segnale x(·). In altri termini, durata temporale e banda sono misure duali dell’estensione di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza, rispettivamente. Vedremo più avanti (cfr.§ 6.5.2) che sussiste una relazione di inversa proporzionalità tra durata e banda di un segnale. Analogamente alla definizione di estensione temporale di un segnale, la definizione di estensione spettrale contiene un certo grado di arbitrarietà circa l’interpretazione di quali valori dello spettro di ampiezza siano trascurabili e quali no. Conseguentemente, non esiste una definizione di estensione spettrale universalmente accettata: la definizione più appropriata dipende dal tipo di segnale e dalla specifica applicazione considerata. Rileviamo esplicitamente che la definizione data di estensione spettrale si riferisce sia alle frequenze positive ( f ≥ 0 per i segnali TC e ν ∈ [0, 12 [ per i segnali TD) in cui |X(·)| assume valori non trascurabili sia alle frequenze negative ( f < 0 per i segnali TC e ν ∈] − 21 , 0[ per i segnali TD). Per questo motivo, l’intervallo Wx è anche detto estensione spettrale bilatera e, conseguentemente, Bx è detta banda bilatera. Tuttavia, per i segnali reali è sufficiente considerare solo le frequenze positive (o, equivalentemente, solo le frequenze negative), in quanto lo spettro gode della proprietà di simmetria hermitiana (cfr. prop. 6.3) e, quindi, lo spettro di ampiezza è una funzione pari della frequenza. Così facendo, l’estensione spettrale Wx è definita come sottoinsieme di [0, +∞[ nel caso dei segnali TC, oppure di [0, 12 [ nel caso dei segnali TD. In questo caso, si parla di estensione spettrale monolatera e, conseguentemente, di banda monolatera. Evidentemente, la banda bilatera di un segnale reale è esattamente il doppio della banda monolatera, e quindi la conoscenza della sola banda monolatera è sufficiente per caratterizzare sinteticamente lo spettro di ampiezza |X(·)| di un segnale reale. Osserviamo infine che, mentre la banda di un segnale TC si misura in Hertz (Hz) e multipli (kHz, MHz, GHz i più comuni), la banda di un segnale TD, così come la frequenza ν , è in effetti adimensionale. Una prima classificazione qualitativa dei segnali sulla base della loro estensione spettrale è quella

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

297

X(f)

X(ν)

(a)

(b)

f

0 Wx

Wx

-1/2

0 Wx

1/2

ν

Wx

Fig. 6.23. Segnale passaalto: (a) TC; (b) TD.

tra segnali passabasso, passaalto e passabanda:30 • Segnali passabasso o a bassa frequenza: sono caratterizzati da un’estensione spettrale essenzialmente concentrata alle basse frequenze, vale a dire da una Wx posizionata intorno alla frequenza f = 0 nel caso TC, oppure intorno alla frequenza ν = 0 nel caso TD. Se il segnale x(·) è reale, il suo spettro gode della proprietà di simmetria hermitiana e, quindi, lo spettro di ampiezza è una funzione pari della frequenza; in questo caso, se x(·) è passabasso, l’estensione spettrale Wx è perfettamente centrata intorno alla frequenza nulla (fig. 6.22). • Segnali passaalto o ad alta frequenza: sono caratterizzati da un’estensione spettrale essenzialmente concentrata alle alte frequenze, ovvero da una Wx posizionata intorno alle frequenze f = ±∞ nel caso TC, oppure intorno alle frequenze ν = ±1/2 nel caso TD. In fig. 6.23 è riportato lo spettro di un segnale reale passaalto sia nel caso TC che TD. • Segnali passabanda o a media frequenza: sono segnali caratterizzati da un’estensione spettrale essenzialmente concentrata a frequenze intermedie, ovvero da una Wx posizionata intorno a ± f0 ∈ R − {0} nel caso TC, oppure intorno a ±ν0 nel caso TD, con ν0 ∈ (− 12 , 12 ) − {0}.31 Se il segnale x(·) è reale, il suo spettro gode della proprietà di simmetria hermitiana e, quindi, lo spettro di ampiezza è una funzione pari della frequenza; in questo caso, se x(·) è passabanda, si avranno due intervalli di frequenza simmetricamente posizionati intorno alle frequenze f = ± f0 nel caso TC e ν = ±ν0 nel caso TD (fig. 6.24). Notiamo in particolare l’importante differenza, nel caso di segnale passalto, tra segnali TC e TD (si tratta della stessa differenza già evidenziata con riferimento ai filtri ideali). Infatti, come conseguenza della periodicità dello spettro nel caso TD, il segnale passaalto nel caso TD ha una estensione spettrale centrata nell’intorno di ν = ± 12 , e non nell’intorno di f = ±∞ come nel caso TC. Questo corrisponde al fatto, osservato per la prima volta nel § 2.3.3, che nel caso TD il fasore più rapidamente variabile è quello con frequenza ν = ± 12 , e quindi la massima frequenza a TD è proprio ν = ± 21 . 30 Una

classificazione simile è già stata fatta con riferimento ai filtri ideali (§ 5.6). Sebbene per alcuni aspetti la caratterizzazione nel dominio della frequenza di segnali e sistemi possa essere trattata in maniera unificata – in fondo la risposta in frequenza H(·) di un sistema LTI non è altro che la trasformata di Fourier del “segnale” h(·) – dal punto di vista operativo i concetti di banda di un segnale e di un sistema possono differire notevolmente. Per questo motivo, questo paragrafo è prevalentemente dedicato allo studio dei segnali propriamente detti, mentre il caso dei sistemi sarà approfondito più avanti. 31 Nelle comunicazioni elettriche, i segnali passabanda a TC (con f che assume valori da qualche centinaia di kHz fino 0 alle centinaia di GHz) sono anche denominati segnali a radiofrequenza e la frequenza f0 è detta frequenza portante.

298

Trasformata di Fourier

X(f)

X(ν)

(a)

(b)

f0 Wx

-f0 Wx

f

-1/2

-ν0 Wx

ν0 Wx

1/2

ν

Fig. 6.24. Segnale passabanda: (a) TC; (b) TD.

A differenza della classificazione precedente, di tipo qualitativo, la banda di un segnale fornisce una caratterizzazione quantitativa (ovvero un valore numerico) dell’intervallo di frequenze in cui lo spettro assume valori non trascurabili. Come già detto, non è possibile dare una definizione univoca di banda, per l’ambiguità legata all’uso del termine “non trascurabile” nella sua definizione. Essa dipende piuttosto dalla natura frequenziale del segnale (passabasso, passaalto o passabanda), dalla forma dello spettro di ampiezza, e dallo specifico campo di applicazione. Nel seguito del paragrafo faremo principalmente riferimento a segnali di tipo passabasso; altri esempi con riferimento a segnali passabanda e passaalto saranno forniti nel seguito del capitolo. In maniera simile a quanto visto per la caratterizzazione dei segnali in termini di durata, possiamo considerare le due grandi famiglie dei segnali a banda limitata (ulteriormente suddivisi in segnali a banda rigorosamente limitata e segnali a banda praticamente limitata), e quella dei segnali a banda non limitata. 6.4.1 Segnali a banda rigorosamente limitata

Un segnale TC x(t) si dice a banda rigorosamente limitata se la sua trasformata di Fourier X( f ) è identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo ( f1 , f2 ), con f2 > f1 valori reali finiti. In tal caso, in modo del tutto naturale, si considerano trascurabili solo i valori nulli dello spettro del segnale. Pertanto, l’estensione spettrale (bilatera) del segnale è data da Wx = ( f1 , f2 ), e la sua banda (bilatera) è pari ad Bx = f2 − f1 . Nel caso dei segnali x(t) reali, per i quali la trasformata di Fourier gode della proprietà di simmetria hermitiana, se risulta X( f ) = 0 in corrispondenza di un certo valore di f > 0, allora risulta necessariamente anche X(− f ) = X ∗ ( f ) = 0, per cui l’estensione spettrale del segnale ( f1 , f2 ) è necessariamente simmetrica rispetto all’origine, cioè Wx = (−W,W ), con W ≥ 0. Conseguentemente, la trasformata di Fourier di un segnale x(t) reale a banda rigorosamente limitata soddisfa la seguente condizione: X( f ) = 0 ,

∀| f | ≥ W ,

(6.68)

per cui la banda bilatera del segnale è pari a Bx = 2W . Ricordando che per segnali reali si può far riferimento più semplicemente all’estensione spettrale ed alla banda monolatera, la prima vale Wx = (0,W ), e la sua misura Bx = W rappresenta la banda monolatera. Un tipico spettro di un segnale reale TC a banda rigorosamente limitata è quello riportato in fig. 6.25(a). Per i segnali TD valgono considerazioni simili, tenendo conto come al solito della periodicità di periodo unitario della trasformata di Fourier X(ν ). In particolare, la condizione di annullamento di X(ν ) può essere data con riferimento al solo periodo (− 21 , 12 ), per cui un segnale TD x(n) si dice a banda rigorosamente limitata se, con riferimento al solo intervallo (− 12 , 12 ), la sua trasformata di

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

299

X(f)

X(ν)

(a)

(b)

-W

W Bx

f

-1/2

-W

W

1/2

ν

Bx

Fig. 6.25. Segnale a banda rigorosamente limitata. (a) Caso TC. (b) Caso TD.

Fourier X(ν ) è identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo (ν1 , ν2 ), con ν2 > ν1 e (ν1 , ν2 ) ⊂ (− 21 , 12 ). In tal caso, l’estensione spettrale (bilatera) del segnale x(n) è per definizione Wx = (ν1 , ν2 ), e la sua banda (bilatera) è pari ad Bx = ν2 − ν1 . Nel caso in cui il segnale x(n) sia reale, in virtù della simmetria hermitiana del suo spettro, l’estensione spettrale è necessariamente simmetrica, si ha cioè Wx = (−W,W ), con 0 < W < 12 . In altri termini, un segnale TD reale x(n) a banda rigorosamente limitata soddisfa, limitatamente al periodo (− 12 , 12 ), la seguente condizione: X(ν ) = 0 ,

∀|ν | ≥ W .

(6.69)

Per un segnale del genere, evidentemente è conveniente ragionare in termini di estensione frequenziale monolatera Wx = (0,W ) e banda monolatera Bx = W . Uno spettro caratteristico di un segnale TD reale a banda rigorosamente limitata è quello riportato in fig. 6.25(b). Notiamo in conclusione che un segnale (TC o TD) a banda rigorosamente limitata è necessariamente passabasso, o al limite passabanda, ma non può essere di tipo passaalto. ◮ Esempio 6.24 (banda del segnale sinc) Un esempio di segnale TC con banda rigorosamente limitata è il segnale x(t) = sinc(t), la cui trasformata di Fourier (cfr. es. 6.5) vale X( f ) = rect( f ) , che soddisfa la (6.68) per W = 12 . La banda bilatera di tale segnale è pertanto Bx = 2W = 1, quella monolatera è invece pari a Bx = W = 12 (tali bande sono misurate in Hz). Analogamente, un esempio di segnale TD a banda rigorosamente limitata è il segnale x(n) = sinc(2νc n), con 0 < νc < 12 , la cui trasformata (cfr. es. 6.19) è data da    ν 1 X(ν ) = rep1 rect , 2νc 2νc che soddisfa la (6.69) nell’intervallo (− 12 , 12 ) con W = νc . La banda bilatera di tale segnale è pertanto Bx = 2νc < 1, quella monolatera è invece pari a Bx = νc < 12 (tali bande sono adimensionali). ◭

Nell’esempio precedente abbiamo considerato segnali aventi banda rigorosamente limitata; si noti tuttavia che tali segnali non hanno durata rigorosamente limitata. Vedremo più avanti che un segnale di durata rigorosamente limitata non può avere anche banda rigorosamente limitata, e viceversa. Poichè i segnali che si incontrano in pratica sono sempre di durata limitata (essi sono il risultato di osservazioni e/o elaborazioni su intervalli di tempo finiti), segue che i segnali a banda rigorosamente limitata rappresentano una pura astrazione matematica, utile tuttavia in alcuni modelli matematici.

300

Trasformata di Fourier

|X(f)|

|X(ν)| lobo principale

(a)

...

...

... Bx

lobo principale

(b)

f

-1/2

... Bx

1/2

ν

Fig. 6.26. Segnale con spettro a lobi. (a) Caso TC. (b) Caso TD.

Notiamo infine che, tra i segnali a banda rigorosamente limitata, un caso limite è costituito dai segnali che abbiamo denominato monocromatici (fasori e sinusoidi TC e TD): secondo la def. 6.3, in effetti, tali segnali, il cui spettro è costituito solo da funzioni concentrate in valori isolati di frequenza (impulsi di Dirac), possono essere a rigore visti come segnali passabanda, la cui estensione spettrale si riduce a Wx = { f0 } o Wx = {ν0 } nel caso di fasori TC o TD, rispettivamente, oppure a Wx = {− f0 , f0 } o Wx = {−ν0 , ν0 } nel caso di sinusoidi TC o TD, rispettivamente: in tutti questi casi, la banda vista come misura dell’estensione spettrale (ovvero, come misura continua di un insieme discreto) è nulla. Tuttavia, in alcuni casi può convenire riguardare tali segnali, anziché come passabanda, come segnali passabasso a banda rigorosamente limitata: in accordo con la (6.68) o la (6.69), la loro banda monolatera in effetti coincide con la massima frequenza delle componenti spettrali che li compongono, per cui si ha Bx = f0 nel caso TC e Bx = ν0 nel caso TD. 6.4.2 Segnali a banda praticamente limitata

In via del tutto generale, un segnale x(·) a banda praticamente limitata è un segnale il cui spettro di ampiezza |X(·)| tende a zero per f → ±∞ nel caso TC e per ν → ±1/2 nel caso TD, assumendo valori trascurabili (ma non rigorosamente nulli) al di fuori di un certo intervallo di frequenza. Quasi tutti i segnali di interesse pratico presentano banda praticamente limitata. In particolare, con riferimento ai segnali TC, in virtù della prop. 6.7 (convergenza a zero della X( f ) per | f | → +∞), possiamo dire che tutti i segnali x(t) sommabili (sottoclasse dei segnali transitori) sono a banda praticamente limitata. Tuttavia, per i segnali a banda praticamente limitata, l’interpretazione e la misura della banda non è altrettanto univoca come quella per i segnali a banda rigorosamente limitata; in effetti, è possibile dare differenti definizioni di banda, a seconda della forma dello spettro del segnale e della specifica applicazione. Nel seguito, con riferimento esclusivamente ai segnali reali, approfondiremo le seguenti definizioni di banda, particolarmente interessanti dal punto di vista applicativo: - la banda nullo-nullo; - la banda all’α % di energia; - la banda ad α dB. Banda nullo-nullo

Tale definizione di banda è applicabile a segnali aventi durata rigorosamente limitata, come la finestra rettangolare o la finestra triangolare. Si può dimostrare infatti che lo spettro di ampiezza di un segnale

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

301

reale con durata rigorosamente limitata, come la finestra rettangolare dell’es. 6.1, ha un tipico andamento a lobi, come quello evidenziato qualitativamente in fig. 6.26(a) nel caso TC, ed in fig. 6.26(b) nel caso TD. Per questo motivo, appare abbastanza naturale definire l’estensione spettrale Wx di tali segnali come l’intervallo di frequenze corrispondente al lobo principale (centrato su f = 0 oppure ν = 0) dello spettro di ampiezza. Di conseguenza, la banda Bx del segnale coincide con la larghezza del lobo principale, ed è denominata banda nullo-nullo o null-to-null bandwidth, proprio perché essa misura la distanza che intercorre tra i primi due nulli (in posizioni simmetriche rispetto ad f = 0 o a ν = 0) dello spettro di ampiezza. Si noti che la banda nullo-nullo, poiché misura la distanza tra il primo nullo a frequenza positiva ed il primo nullo a frequenza negativa, è una banda intrinsecamente bilatera. ◮ Esempio 6.25 (banda nullo-nullo della finestra rettangolare TC e TD) Si consideri la finestra rettangolare TC x(t) = A rect(t/T ), con A ∈ R e T ∈ R+ , la cui trasformata di Fourier, già calcolata nell’es. 6.1, vale X( f ) = A T sinc( f T ) . Lo spettro di ampiezza corrispondente, supponendo A > 0, è |X( f )| = A T |sinc( f T )| , ed è raffigurato in fig. 6.2 (grafico in alto), simile qualitativamente alla fig. 6.26(a). Da tale grafico, oppure per via analitica ricordando le proprietà della funzione sinc, si ricava che l’estensione spettrale del lobo principale è Wx = (− T1 , T1 ) e, conseguentemente, la banda nullo-nullo vale Bx = T2 . Ragionando in maniera analoga, si ricava che l’estensione spettrale e la banda nullo-nullo della finestra rettangolare a TD x(n) = RN (n) di lunghezza N > 1 (cfr. es. 6.2) valgono rispettivamente Wx = (− N1 , N1 ) ⊆ (− 12 , 12 ) e Bx = N2 ≤ 1 (per N = 1 la finestra rettangolare degenera nell’impulso discreto, il cui spettro è costante e quindi non ha il caratteristico andamento a lobi). ◭

L’esempio precedente mostra che la banda nullo-nullo Bx della finestra rettangolare (TC o TD) risulta inversamente proporzionale alla sua durata temporale (Bx = 2/T per la finestra rettangolare a TC, Bx = 2/N per la finestra rettangolare a TD con N > 1). Questo risultato esprime il seguente concetto fondamentale, che è valido in generale (indipendentemente dalla definizione di banda adottata): se si riduce la durata temporale di un segnale, si aumenta la sua banda, e viceversa. Una conseguenza fondamentale di questa relazione è che è impossibile costruire segnali che abbiano contemporaneamente durata temporale e banda arbitrariamente piccole. Ritorneremo su questo concetto quando studieremo gli effetti nel dominio della frequenza di un cambiamento di scala dei tempi (proprietà di cambiamento di scala della trasformata di Fourier, cfr. § 6.5.2). Banda all’α % dell’energia

Per segnali a banda praticamente limitata che siano anche segnali di energia, è possibile fornire una definizione di banda che si basa su una particolare proprietà della trasformata di Fourier, nota come uguaglianza di Parseval: Proprietà 6.9 (uguaglianza di Parseval per la trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), con x(·) segnale di energia, si ha: Ex =

Z +∞

Ex =

∑

−∞ +∞

n=−∞

2

|x(t)| dt = |x(n)|2 =

Z

Z +∞ −∞ 1/2

−1/2

|X( f )|2 d f ,

|X(ν )|2 dν ,

(segnali TC) (segnali TD)

302

Trasformata di Fourier

Prova. Dimostriamo l’uguaglianza nel caso dei segnali TC, analoghi passaggi possono essere seguiti per la dimostrazione nel caso TD. A tal fine osserviamo che l’energia di un segnale TC è per definizione data da: Ex =

Z +∞ −∞

|x(t)|2 dt =

Z +∞ −∞

x(t) x∗ (t) dt ,

da cui, esprimendo x∗ (t) mediante l’equazione di sintesi (6.8), si ottiene: Z +∞ ∗ Z +∞  Z +∞ Z +∞ x(t) X( f ) e j2π f t d f dt = x(t) X ∗ ( f ) e− j2π f t d f dt . Ex = −∞ −∞ −∞ −∞ | {z } x∗ (t)

D’altra parte, poichè il segnale x(t) è di energia (a quadrato sommabile su R), è possibile scambiare l’ordine di integrazione,32 ottenendo così: Z +∞  Z +∞ Z +∞ Z +∞ X ∗( f ) x(t) e− j2π f t dt d f = X ∗ ( f ) X( f ) d f = |X( f )|2 d f , Ex = −∞ −∞ −∞ −∞ | {z } X( f )

dove nel passaggio dal primo al secondo integrale abbiamo utilizzato l’equazione di analisi (6.7).



L’uguaglianza di Parseval consente di affermare che l’energia di un segnale può essere calcolata nel dominio del tempo a partire da |x(·)|2 oppure, equivalentemente, nel dominio della frequenza a partire da |X(·)|2 . In altri termini, l’energia del segnale si conserva passando dal dominio del tempo a quello della frequenza. Notiamo che l’uguaglianza di Parseval afferma implicitamente che la trasformata di Fourier di un segnale x(·) di energia (a quadrato sommabile) è ancora un segnale X(·) di energia (a quadrato sommabile) nel dominio della frequenza. La funzione della frequenza △

Sx (·) = |X(·)|2

(6.70)

prende il nome di densità spettrale di energia del segnale x(·). Si tratta di una funzione non negativa per definizione, ossia Sx (·) ≥ 0; inoltre, per segnali x(·) reali, in virtù della simmetria pari dello spettro di ampiezza (simmetria hermitiana), essa risulta essere una funzione pari della frequenza, Sx (−(·)) = Sx (·); infine, il nome densità spettrale di potenza deriva dal fatto che, per l’uguaglianza di Parseval, l’energia del segnale x(·) si può ottenere integrando Sx (·) su tutto l’asse delle frequenze (cioè per f ∈ R) nel caso TC, ovvero su ogni intervallo di frequenze di misura unitaria [ad esempio, per ν ∈ (− 12 , 12 )] nel caso TD. Si noti infine che l’uguaglianza di Parseval per la trasformata di Fourier vale solo per i segnali di energia, ed è la diretta controparte dell’uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier (cfr. prop. 5.4), che vale solo per i segnali di potenza periodici. L’uguaglianza di Parseval consente di calcolare l’energia di un segnale operando nel dominio della frequenza, invece che nel dominio del tempo. Sulla base di tale uguaglianza, è allora possibile definire l’estensione spettrale Wx (e quindi la banda) di un segnale x(·), fissando un valore 0 < α < 1 (spesso espresso in percentuale) ed imponendo che l’energia del segnale nell’intervallo di frequenze Wx sia pari ad una frazione α Ex dell’energia totale. Nel caso TC, ad esempio, ciò significa risolvere rispetto a Wx la seguente relazione: EWx =

Z

Wx

|X( f )|2 d f = α Ex ,

la cui soluzione Wx rappresenta l’intervallo di frequenza all’interno del quale è contenuta l’α % dell’energia totale Ex del segnale. Se il segnale x(t) è passabasso, la sua trasformata di Fourier sarà 32 Questo

risultato è una conseguenza diretta dei teoremi di Fubini e Tonelli.

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

303

concentrata intorno alle basse frequenze; inoltre, se x(t) è un segnale reale, il suo spettro di ampiezza |X( f )| sarà una funzione pari di f , e così pure |X( f )|2 . Di conseguenza, l’estensione spettrale del segnale x(t) sarà un intervallo simmetrico, del tipo Wx = (−W,W ), per cui la precedente relazione si scrive più esplicitamente: EW =

Z W

−W

|X( f )|2 d f = α Ex .

(6.71)

Risolvendo questa equazione rispetto a W per un fissato α , si determina l’estensione spettrale del segnale x(t) come l’intervallo di frequenze che contiene una percentuale pari ad α dell’energia totale del segnale. La misura di questo intervallo di frequenze, pari a Bx = 2W , prende il nome di banda all’α % dell’energia (generalmente si utilizza in questo contesto la banda bilatera). Valori tipici del parametro α vanno da α = 0.9 (banda al 90% dell’energia), ad α = 0.95 (banda al 95% dell’energia), fino ad α = 0.99 (banda al 99% dell’energia). ◮ Esempio 6.26 (banda all’α % dell’energia dell’esponenziale monolatero decrescente a TC) Si consideri il segnale esponenziale monolatero x(t) = A e−t/T u(t), con ampiezza A ∈ R e costante di tempo T ∈ R+ . Si tratta di un segnale reale a quadrato sommabile la cui energia (cfr. es. 2.22) è pari a Ex =

Z +∞ −∞

|x(t)|2 dt =

A2 T . 2

(6.72)

Nell’es. 6.8 abbiamo calcolato la trasformata di Fourier di tale segnale, che vale X( f ) =

AT , 1 + j2π f T

da cui supponendo A > 0 si ricava lo spettro di ampiezza: |X( f )| = p

AT 1 + (2π f T )2

,

il cui andamento è riportato in fig. 6.5 (grafico in alto). Per calcolare la banda all’α % dell’energia, occorre calcolare l’integrale che compare al primo membro della (6.71) che, nel caso in esame, è dato da: EW =

Z W

−W

  f =W A2 T A2 T 2 2 2 arctan(2π f T ) d f = A T = arctan(2π W T ) . 2 1 + (2π f T ) 2π T π f =−W

(6.73)

In base alla (6.72) e (6.73), per ottenere la banda monolatera all’α % dell’energia, bisogna risolvere rispetto a W la seguente equazione: A2 T A2 T , arctan(2π W T ) = α π 2 da cui si ricava W=

 απ  1 tan 2π T 2

⇒

Bx = 2W =

 απ  1 tan . πT 2

Ad esempio, nel caso in cui α = 0.99, si ottiene che la banda bilatera all’99% dell’energia è pari a Bx = 2W ≈ 0.00864/T . È interessante ricordare che la durata temporale ∆x di un esponenziale monolatero decrescente cresce con legge direttamente proporzionale a T (cfr. § 2.3.2); conseguentemente, ritroviamo un risultato già messo in evidenza in precedenza con riferimento alla banda nullo-nullo delle finestre rettangolari, e cioè che la banda di un segnale è inversamente proporzionale alla sua durata temporale. ◭

304

Trasformata di Fourier

Nel caso di un segnale reale TD, l’estensione spettrale del segnale x(n) sarà un intervallo simmetrico, del tipo Wx = (−W,W ) ⊆ (− 21 , 12 ), con 0 < W < 21 , per cui la (6.71) si scrive EW =

Z W

−W

|X(ν )|2 dν = α Ex ,

(6.74)

con 0 < W < 12 . Risolvendo questa equazione rispetto a W per un fissato α ∈]0, 1[, si determina l’estensione spettrale del segnale x(n) come l’intervallo di frequenza che contiene l’α % dell’energia totale del segnale. La misura di questo intervallo sarà la banda bilatera all’α % di energia del segnale. L’uguaglianza di Parseval ammette un’interessante generalizzazione con riferimento all’energia mutua (cfr. def. 2.7) tra due segnali, la cui prova è simile a quella riportata per la prop. 6.9: Proprietà 6.10 (uguaglianza di Parseval generalizzata per la trasformata di Fourier) FT

FT

Siano x(·) ←→ X(·) e y(·) ←→ Y (·), con x(·) e y(·) segnali di energia, si ha: Exy =

Z +∞

Exy =

∑

−∞ +∞

n=−∞

x(t) y∗ (t) dt = ∗

x(n) y (n) =

Z

Z +∞ −∞ 1/2

−1/2

X( f )Y ∗ ( f ) d f ,

X(ν )Y ∗ (ν ) dν ,

(segnali TC) (segnali TD)

Notiamo preliminarmente che, per x(·) ≡ y(·), l’energia mutua si riduce all’energia del segnale e, quindi, la prop. 6.10 degenera nella prop. 6.9. Si ricordi poi che l’energia mutua Exy è una quantità (possibilmente complessa) che gioca un ruolo importante nel calcolo dell’energia della somma dei due segnali x(·) e y(·). Nel caso di segnali reali, l’energia mutua è anch’essa reale (anche se può avere segno qualsiasi), e risulta simmetrica, in quanto Eyx = Exy . Ricordiamo inoltre che due segnali di energia x(·) e y(·) si dicono ortogonali se Exy = 0. In aggiunta ai casi considerati negli es. 2.24 e es. 2.25, in base alla prop. 6.10 possiamo individuare un ulteriore caso tipico di segnali ortogonali. Infatti, i due segnali x(·) e y(·) sono ortogonali se hanno banda rigorosamente limitata ed, in aggiunta, i loro spettri X(·) e Y (·) non si sovrappongono in frequenza, ovvero le loro estensioni spettrali Wx e Wy hanno intersezione vuota, matematicamente Wx ∩ Wy = ∅. Segnali (TC o TD) i cui spettri non si sovrappongono in frequenza sono detti ortogonali in frequenza, e costituiscono il caso duale dei segnali che non si sovrappongono nel tempo (segnali ortogonali nel tempo, cfr. es. 2.24). ◮ Esempio 6.27 (segnali di energia ortogonali in frequenza) Si considerino due segnali reali aventi spettri che non si sovrappongono in frequenza, come ad esempio X( f ) = rect( f ) e Y ( f ) = rect( f − 2) + rect( f + 2) (fig. 6.27). Notiamo che il primo segnale è di tipo passabasso, mentre il secondo è di tipo passabanda. In tal ◭ caso si ha X( f )Y ∗ ( f ) ≡ 0, e quindi Exy = 0. Banda ad α dB e decadimento asintotico dello spettro

Il concetto di banda ad α dB si fonda sull’introduzione di un opportuno valore di soglia per lo spettro di ampiezza |X(·)| di un segnale x(·), considerando trascurabili i valori di |X(·)| inferiori alla soglia fissata. In particolare, tale definizione si riferisce ad una particolare rappresentazione dello spettro di ampiezza |X(·)|, basata su una scala di misura logaritmica. Questo tipo di rappresentazione consente di definire un secondo parametro, detto rolloff o decadimento asintotico dello spettro di un segnale che, insieme con la banda, caratterizza sinteticamente un segnale nel dominio della frequenza. Si è già detto che lo spettro di un segnale può essere rappresentato graficamente in termini del suo modulo (spettro di ampiezza) e della sua fase (spettro di fase). In molti casi, anzichè rappresentare lo

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

305

X(f)

1 0.5 0 −3

−2

−1

0 f

1

2

3

−2

−1

0 f

1

2

3

Y(f)

1 0.5 0 −3

Fig. 6.27. I segnali aventi spettri X( f ) = rect( f ) e Y ( f ) = rect( f − 2) + rect( f + 2) sono ortogonali in frequenza (es. 6.27).

spettro di ampiezza in unità naturali, si utilizza nella rappresentazione il logaritmo di |X(·)|. Precisamente, con riferimento ad un segnale TC x(t) avente spettro di ampiezza |X( f )|, si definisce spettro di ampiezza in deciBel (abbreviato dB), la seguente funzione della frequenza: △

|X( f )|dB = 20 log10

|X( f )| , |X( frif )|

(6.75)

dove frif rappresenta una frequenza di riferimento opportunamente scelta in dipendenza del tipo di segnale (passabasso, passalto o passabanda) e della forma dello spettro di ampiezza. In molti casi, ad esempio, la frequenza frif è scelta come la frequenza in cui lo spettro di ampiezza assume il valore massimo. Si noti quindi che il dB non è una misura assoluta, ma è per definizione una misura relativa ad un riferimento. La rappresentazione in dB dello spettro si può scrivere anche nel caso TD, con le ovvie sostituzioni formali ν → f e νrif → frif . La motivazione principale che spinge ad impiegare una scala logaritmica per rappresentare lo spettro di ampiezza è che, in molti fenomeni fisici (soprattutto nel campo dell’acustica), lo spettro di ampiezza del segnale può variare in funzione della frequenza di svariati ordini di grandezza, il che rende impossibile descrivere in unità naturali con la necessaria precisione la grandezza in questione. Nel caso dei segnali TC, la rappresentazione di |X( f )|dB in funzione di f , dove la frequenza è anch’essa espressa in scala logaritmica, prende il nome di diagramma di Bode per lo spettro di ampiezza.33 Una rappresentazione analoga in cui la fase ∡X( f ) è rappresentata in funzione di f espressa in scala logaritmica prende il nome di diagramma di Bode per lo spettro di fase. Il vantaggio della rappresentazione logaritmica anche per la frequenza è quella che è possibile rappresentare sullo stesso asse valori di frequenza che variano anche di differenti ordini di grandezza (ad esempio, si può rappresentare su uno stesso diagramma, senza perdere precisione, le frequenze che vanno dagli Hz fino ai kHz, ai MHz o addirittura ai GHz). I diagrammi di Bode sono molto utilizzati nella teoria dei sistemi a TC, per la rappresentazione in modulo e fase della risposta in frequenza H( f ) di un sistema LTI; noi nel seguito considereremo esclusivamente il diagramma di Bode per l’ampiezza, in quanto ci consentirà di introdurre importanti concetti relativi alla banda ad α dB e al decadimento asintotico dello spettro di un segnale. caso TD, non si è soliti rappresentare la frequenza ν in scala logaritmica, in quanto a differenza del caso TC essa varia in un intervallo di ampiezza unitaria. 33 Nel

306

Trasformata di Fourier

5 0 −5

|X(f)|

dB

−10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −2 10

−1

0

10

10

1

10

fT

Fig. 6.28. Diagramma di Bode dello spettro di ampiezza di un esponenziale monolatero TC (es. 6.28). I segmenti di retta tratteggiati rappresentano le approssimazioni asintotiche per f T ≪ 1 e f T ≫ 1 (i due segmenti si intersecano per f T = 21π ≈ 0.16).

A titolo esemplificativo, consideriamo il diagramma di Bode per lo spettro di ampiezza di un esponenziale monolatero decrescente a TC. ◮ Esempio 6.28 (diagramma di Bode dello spettro di ampiezza dell’esponenziale monolatero TC) Si consideri il segnale esponenziale monolatero x(t) = A e−t/T u(t), con A ∈ R e T ∈ R+ , il cui spettro di ampiezza (assumendo A > 0) (cfr. es. 6.8) è |X( f )| = p

AT 1 + (2π f T )2

,

ed è raffigurato in fig. 6.5 (in alto). Si tratta evidentemente di un segnale passabasso. Poiché lo spettro di ampiezza è massimo per f = 0, possiamo scegliere frif = 0 e quindi: |X( f )|dB = 20 log10

|X( f )| = −10 log10 [1 + (2π f T )2 ] . |X(0)|

Il diagramma di Bode di |X( f )|dB in funzione di f T (espresso in unità logaritmiche) è riportato in fig. 6.28. È interessante notare che tale diagramma può essere approssimato mediante due rette asintotiche: • per 2π f T ≪ 1, ovvero f T ≪ • per 2π f T ≫ 1, ovvero f T ≫

1 2π , 1 2π ,

si ha |X( f )|dB ≈ −10 log10 1 = 0;

si ha |X( f )|dB ≈ −20 log10 (2π f T ) = −20 log10 (2π ) − 20 log10 ( f T ).

Tali rette sono raffigurate con linea tratteggiata in fig. 6.28. Si osservi che, al divergere di f T , la rappresentazione in dB dello spettro decresce linearmente rispetto a log10 ( f T ) con un fattore moltiplicativo 20. Si noti inoltre che le due rette asintotiche si incontrano in corrispondenza della frequenza (normalizzata) f T = 21π ≈ 0.16 dove si ha |X( f )|dB ≈ −3 dB. ◭

La rappresentazione in dB dello spettro di ampiezza suggerisce in modo del tutto naturale una definizione di banda che si applica a tutti i segnali a banda praticamente limitata, purché essi possiedano uno spettro di ampiezza che decade in maniera monotona per f → ±∞ (nel caso TD, per v → ± 21 ). Scelto α ∈ R+ , si definisce estensione spettrale ad α dB l’intervallo di frequenza nel quale lo spettro di

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

307

ampiezza |X(·)|dB del segnale x(·) assume valori maggiori o al più uguali ad −α dB; la misura di tale intervallo (monolatera o bilatera) è detta banda ad α dB. Ad esempio, con riferimento ad un segnale reale passabasso TC, la banda monolatera ad α dB è rappresentata dal valore di f > 0, indichiamolo con fα , tale che: |X( fα )|dB = −α dB

(6.76)

che, ricordando la definizione di spettro di ampiezza in dB, si può esprimere equivalentemente in unità naturali come segue: |X( fα )| =γ, |X( frif )|

△

con γ = 10−α /20 .

(6.77)

In altre parole, l’estensione spettrale del segnale è l’intervallo di frequenza nel quale lo spettro di ampiezza |X( f )| si discosta dal valore di riferimento |X( frif )| al più dell’aliquota γ , che rappresenta la soglia scelta. In tal caso, la banda monolatera ad α dB è data da Bx = fα e quella bilatera è esattamente il doppio, cioè Bx = 2 fα . In altre parole, le componenti spettrali del segnale x(t) le cui frequenze cadono nell’intervallo Wx = (− fα , fα ) sono ritenute “importanti” ai fini della sintesi del segnale, mentre quelle che non appartengono a tale intervallo di frequenza sono invece ritenute “trascurabili”. Con riferimento ai segnali TC o TD, molto utilizzate nelle applicazioni sono la banda (monolatera) a 10 dB Bx = f10 , corrispondente in unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari almeno a √110 volte il valore alla frequenza di riferimento, o la banda (monolatera) a 20 dB Bx = f20 , corrispondente 1 volte il valore alla frequenza di in unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari almeno a 10 riferimento. Per quanto riguarda i sistemi, risulta molto utilizzata anche la banda (monolatera) a 3 dB Bx = f3 , corrispondente in unità naturali a valori dello spettro di ampiezza pari (circa) almeno a √1 ≈ 0.707 volte il valore alla frequenza di riferimento. 2 ◮ Esempio 6.29 (banda a α dB dell’esponenziale monolatero TC) Riconsideriamo il caso del segnale esponenziale monolatero, considerato nell’es. 6.28, il cui spettro di ampiezza in dB è dato da: |X( f )|dB = 20 log10

|X( f )| = −10 log10 [1 + (2π f T )2 ] . |X(0)|

ed è riportato in fig. 6.28. Per calcolare la banda ad α dB dobbiamo risolvere rispetto ad fα la seguente equazione: −10 log10 [1 + (2π fα T )2 ] = −α

=⇒

1 + (2π fα T )2 = 10α /10

che ammette due soluzioni, simmetriche rispetto ad f = 0. Scegliendo la soluzione positiva, si ricava che la banda monolatera ad α dB vale 1 p α /10 10 −1. Bx = fα = 2π T

Particolarmente semplice è il caso α = 3 per il quale si ha Bx = f3 ≈ 1/(2π T ). Si noti che, in generale, come la banda all’α % dell’energia (cfr. es. 6.26), anche la banda ad α dB è inversamente proporzionale alla costante di tempo T , e quindi alla durata del segnale nel dominio del tempo. ◭ ◮ Esempio 6.30 (banda a α dB dell’esponenziale monolatero TD) Consideriamo l’esponenziale monolatero TD x(n) = A an u(n), con A ∈ R e 0 < |a| < 1, la cui trasformata, calcolata nell’es. 2.23, vale X(ν ) =

A , 1 − a e− j2πν

308

Trasformata di Fourier

0.5

0.45

B

x

0.4

0.35

0.3

0.25

0.5

0.6

0.7 a

0.8

0.9

1

Fig. 6.29. Banda a 3 dB dell’esponenziale monolatero TD in funzione di a ∈ (amin , 1); per valori di a < amin la banda a 3 dB non può essere definita (es. 6.30). da cui si ricava lo spettro di ampiezza: |A| , |X(ν )| = p 2 1 + a − 2 a cos(2πν )

il cui andamento è riportato in fig. 6.14 e 6.15 (in alto), nel caso in cui 0 < a < 1 e −1 < a < 0, rispettivamente. In particolare, nell’ipotesi 0 < a < 1 il segnale è passabasso, per cui scegliendo νrif = 0 la banda ad α dB si può calcolare risolvendo l’equivalente a TD della (6.76) o (6.77). Con riferimento alla seconda, essendo X(0) = |A| si ha: 1 |X(να )| = 10−α /20 =p 2 |X(0)| 1 + a − 2 a cos(2πνα )

che può essere risolta rispetto a να , scrivendola nella forma 1 + a2 − 2 a cos(2πνα ) = 10α /10

⇒

cos(2πνα ) =

1 + a2 − 10α /10 . 2a

Evidentemente, tale equazione nell’incognita x = 2πνα ammette soluzioni se e solo se risulta 1 + a2 − 10α /10 ≤ 1. 2a

(6.78)

(6.79)

Studiando la disuguaglianza (6.79), si può mostrare che tale espressione è verificata, per a ∈]0, 1[, solo se a ≥ amin , con amin = 10α /20 − 1, purché α ≤ 20 log10 2 ≈ 6 dB. In queste ipotesi, la (6.78) ammette infinite soluzioni per x, che si ripetono periodicamente con periodo 2π . L’unica soluzione x esistente nell’intervallo (0, π ) si può ottenere mediante la funzione arccos(x), e quindi la banda monolatera vale ! 1 + a2 − 10α /10 1 Bx = να = , (6.80) arccos 2π 2a

valida per a ≥ amin e purché α ≤ 6 dB; se queste ultime condizioni, equivalenti alla (6.79) non sono soddisfatte, l’equazione che definisce la banda ad α dB non ammette soluzioni e, quindi, la banda ad α dB non può essere definita.

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

309

Dalla (6.80), ricordando le proprietà della funzione arccos(x), si nota che effettivamente Bx ∈ (0, 12 ). A differenza del caso TC, la relazione tra banda e durata non è immediatamente evidente dalla (6.80), e richiederebbe uno studio più approfondito di tale espressione. Per semplicità, in fig. 6.29 è riportato l’andamento della banda a 3 dB (corrispondente ad α = 3), nell’intervallo a ∈ [amin , 1]. Notiamo che per a → 1, la durata del segnale nel dominio del tempo aumenta, mentre la sua banda diminuisce, e viceversa (la massima banda Bx = 12 si ha in corrispondenza di a = amin ). ◭

In sostanza, la definizione di estensione spettrale Wx ad α dB per un segnale x(·) a banda praticamente limitata è legata all’individuazione di un intervallo di frequenza nel quale la risposta in ampiezza si discosta (in dB) dal valore assunto ad una frequenza di riferimento al più per una prefissata aliquota (dipendente dalla scelta di α ). Le componenti spettrali del segnale le cui frequenze non appartengono all’intervallo Wx sono da considerarsi trascurabili, nel senso che non contribuiscono significativamente alla sintesi del segnale; tuttavia, la conoscenza della banda a α dB fornisce solo una prima informazione su quanto tali componenti siano trascurabili. Sebbene tale informazione non sia importante nel caso dei segnali TD (la sintesi del segnale è già il risultato di una integrazione su un intervallo di misura finita), essa è invece importante per la caratterizzazione sintetica dei segnali TC ed è legata alla rapidità con cui lo spettro X( f ) del segnale decade a zero quando f → ±∞: maggiore è la rapidità di decadimento di X( f ), tanto più lo spettro di ampiezza del segnale risulta confinato nell’intervallo Wx . Si ricordi che una questione simile è stata già affrontata per i coefficienti di Fourier di un segnale periodico (cfr.§ 5.2.2); in quella occasione si è visto che l’effettiva rapidità con cui i coefficienti di Fourier decadono a zero nel dominio della frequenza dipende dalla dolcezza con cui il segnale varia nel dominio del tempo, ovvero dal numero di derivate continue che esso possiede. Un risultato analogo sussiste anche per la trasformata di Fourier a TC: Proprietà 6.11 (rapidità di decadimento a zero della trasformata di Fourier) FT Sia x(t) ←→ X( f ). Se il segnale è continuo con le sue derivate fino a quella di ordine n, con derivata (n + 1)-esima discontinua ma sommabile, la sua trasformata di Fourier X( f ) decade a zero per f → ±∞ come 1/| f |n+2 . La prop. 6.11 stabilisce un legame tra l’ordine di derivabilità di un segnale (ovvero la sua “dolcezza” nel dominio del tempo) e la velocità di decadimento a zero per f → ±∞ della sua trasformata di Fourier. In particolare, maggiore è il numero di derivate continue di x(t) (ovvero quanto più il segnale varia dolcemente nel tempo), tanto più rapidamente decade a zero la sua trasformata di Fourier.34 L’importanza della prop. 6.11 è che essa consente di calcolare la rapidità di decadimento a zero della trasformata di Fourier anche senza calcolarla esplicitamente. Ad esempio, si pensi alla finestra rettangolare x(t) = rect(t): in questo caso, essendo il segnale x(t) discontinuo, la prop. 6.11 si applica con n = −1 e, conseguentemente, consente di prevedere che la sua trasformata di Fourier X( f ) è infinitesima all’infinito del primo ordine, come in effetti è [infatti si ha che X( f ) = sinc( f ), cfr. es. 6.1] Lo stesso risultato sussiste anche per la trasformata del segnale esponenziale monolatero decrescente (cfr. es. 6.8), che è anch’esso discontinuo. In questi due casi, come abbiamo già avuto modo di dire, la sommabilità del segnale nel dominio nel tempo non comporta la sommabilità della trasformata nel dominio della frequenza. Un diverso discorso sussiste invece per la finestra triangolare x(t) = Λ(t), la cui trasformata di Fourier è data da X( f ) = sinc2 ( f ) (cfr. es. 6.7); in questo caso, essendo il segnale continuo con derivata prima discontinua ma limitata, la prop. 6.11 si applica con n = 0 e, conseguentemente, in accordo con il fatto che X( f ) = sinc2 ( f ), la sua trasformata di Fourier è infinitesima all’infinito del secondo ordine e quindi sommabile. Generalizzando questo risultato, 34 Si

può dimostrare che è vera anche la proprietà duale, e precisamente, quanto più rapidamente decresce x(t), tanto più derivabile è la sua trasformata di Fourier.

310

Trasformata di Fourier

come corollario della prop. 6.11, osserviamo che se la derivata seconda del segnale x(t) esiste ed è sommabile, allora la trasformata di Fourier X( f ) è sommabile. La prop. 6.11 ci consente di dare una diversa definizione quantitativa della rapidità con cui lo spettro di ampiezza decresce. Infatti, da un punto di vista operativo, possiamo dire che se il segnale x(t) verifica le ipotesi enunciate nella prop. 6.11, allora lo spettro di ampiezza per f sufficientemente grande decade con legge polinomiale del tipo: |X( f )| ∼

1 . | f |n+2

Se si considera allora un intervallo di frequenza ( f1 , f2 ) con f2 > f1 > 0 sufficientemente grandi, l’attenuazione in dB subita dallo spettro di ampiezza passando dalla frequenza f1 alla frequenza f2 sarà pari a

ρdB = 20 log10

f2 |X( f1 )| = 20 (n + 2) log10 |X( f2 )| f1

(6.81)

ed è denominata decadimento asintotico o rolloff dello spettro di ampiezza (si noti che in effetti, pur essendo un’attenuazione, risulta convenzionalmente ρdB > 0, poiché f2 > f1 ). Per misurare tale decadimento dobbiamo tuttavia specificare l’intervallo di frequenze ( f1 , f2 ) a cui riferirci. Data la forma della (6.81), conviene scegliere intervalli in cui f2 sia un multiplo di f1 . Nell’ingegneria, due sono le scelte frequentemente utilizzate. Se f2 = 10 f1 , si parla di una decade, e si ha:

ρdB/dec = 20 (n + 2) log10 10 = 20 (n + 2) dB/decade , per cui si perviene ad una misura del rolloff in dB/decade. Le decadi sono molto utilizzate nella teoria dei sistemi e nei controlli automatici, in quanto ben si legano con la rappresentazione logaritmica delle frequenze tipica dei diagrammi di Bode. Una scelta alternativa è quella dell’intervallo denominato ottava, per il quale f2 = 2 f1 e si ha:

ρdB/ott = 20 (n + 2) log10 2 = 6 (n + 2) dB/ottava . In questo caso si perviene ad una misura del rolloff in dB/ottava. Le ottave sono molto utilizzate nell’elaborazione di segnali audio e nell’acustica in quanto hanno un diretto legame con il concetto “musicale” di ottava: in particolare, dal punto di vista musicale, considerando due note sulla tastiera di un pianoforte separate da un’ottava (ad esempio, un La e quello immediatamente superiore), la frequenza della seconda nota è esattamente il doppio della prima. In definitiva, un decadimento dello spettro di ampiezza come 1/| f |n+2 corrisponde a 6(n + 2) dB/ottava o a 20(n + 2) dB/decade. Il passaggio tra le due unità di misura è molto semplice, in quanto sussiste una relazione lineare:

ρdB/ott = ρdB/dec

6 . 20

◮ Esempio 6.31 (rolloff della finestra rettangolare e dell’esponenziale monolatero decrescente TC) La finestra rettangolare x(t) = rect(t) e l’esponenziale monolatero decrescente monolatero x(t) = A e−t/T u(t), con A ∈ R e T ∈ R+ , sono segnali discontinui, per cui le loro trasformate sono infinitesime all’infinito di ordine uno (n = −1). Per tali segnali, lo spettro di ampiezza ha un rolloff pari a 20 dB/decade o, equivalentemente, 6 dB/ottava. ◭ ◮ Esempio 6.32 (rolloff della finestra triangolare a TC) La finestra triangolare x(t) = Λ(t) ha derivata prima discontinua ma sommabile, per cui la sua trasformata è infinitesima all’infinito di ordine due (n = 0). In tal caso, quindi, lo spettro di ampiezza ha un rolloff pari a 40 dB/decade o, equivalentemente, 12 dB/ottava. Questo corrisponde alla già osservata (cfr. fig. 6.4) maggiore “compattezza” in frequenza dello spettro di x(t) = Λ(t) rispetto a quello di x(t) = rect(t). ◭

6.4 Estensione spettrale e banda di un segnale

311

6.4.3 Segnali a banda non limitata

Esistono segnali, sia a TC che a TD, per i quali non è possibile trovare alcun criterio oggettivo per considerare trascurabili alcune componenti spettrali del segnale rispetto ad altre. È questo il caso dei segnali il cui spettro di ampiezza |X(·)| è poco variabile, o addirittura è costante per f ∈ R o per ν ∈ (− 21 , 12 ). Tali segnali prendono il nome di segnali a banda non limitata, anche se in effetti tale terminologia è appropriata a rigore solo nel caso TC, come mostra l’esempio seguente. ◮ Esempio 6.33 (banda dell’impulso) Nel caso TC, la trasformata di Fourier del segnale x(t) = δ (t) è stata calcolata nell’es. 6.12 e vale X( f ) = 1. In questo caso, lo spettro di ampiezza vale |X( f )| = 1, ovvero è costante, e quindi, in accordo alla def. 6.3, l’estensione spettrale di questo segnale deve essere considerata Wx = R, e la sua banda (bilatera o monolatera) vale Bx = +∞. Nel caso TD, la trasformata di Fourier del segnale x(n) = δ (n), calcolata nell’es. 6.17), vale X(ν ) = 1. Anche in questo caso si ha |X(ν )| = 1: poiché, però, per la def. 6.3, l’estensione spettrale di un segnale a TD va considerata ragionando all’interno di un intervallo di frequenze di ampiezza unitaria, tipicamente (− 12 , 12 ), risulta in questo caso che Wx = (− 12 , 12 ), e la banda bilatera vale Bx = 1 (quella monolatera vale Bx = 12 ). ◭

L’esempio precedente mostra che, a stretto rigore, la denominazione di “segnale a banda non limitata” è appropriata solo nel caso TC, e vale in particolare per quei segnali per i quali Wx = R e Bx = +∞. Un altro esempio di segnale TC a banda non limitata è il segnale non sommabile x(t) = 1/t, la cui trasformata, calcolata nell’es. 6.9 vale X( f ) = − j π sgn( f ), per cui lo spettro di ampiezza |X( f )| = π è costante anche in questo caso. Nel caso TD, per estensione, chiameremo “segnale a banda non limitata” un segnale per il quale si ha Wx = (− 21 , 21 ) e, conseguentemente, Bx = 1 (banda bilatera); notiamo che, per un tale segnale, la banda assume il massimo valore consentito dalla def. 6.3(b). Un concetto che accomuna il caso TC e quello TD è che per un segnale a banda non limitata tutte le componenti spettrali sono significative nella sintesi del segnale; inoltre, in entrambi i casi la banda assume il massimo valore possibile (Bx = +∞ nel caso TC, Bx = 1 nel caso TD). I segnali a banda illimitata, specialmente quelli a TC, costituiscono spesso una astrazione matematica (si pensi, ad esempio, all’impulso TC) o, comunque, non sono direttamente riconducibili a nessun fenomeno naturale (si pensi, ad esempio, al segnale x(t) = 1/t). Da un punto di vista applicativo, tuttavia, il modello matematico di segnale a banda illimitata viene solitamente utilizzato per descrivere segnali del mondo fisico aventi banda limitata, il cui valore è tuttavia di gran lunga superiore alla banda dei sistemi con i quali vengono elaborati. Un esempio di modello di questo tipo è il rumore generato dall’agitazione termica degli elettroni (rumore termico) nei componenti elettrici ed elettronici.

312

Trasformata di Fourier

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier Presentiamo in questo paragrafo le proprietà della trasformata di Fourier legate alle operazioni elementari sui segnali introdotte nel § 2.1. Seguendo la stessa distinzione operata nel § 2.1, distingueremo tra le operazioni che agiscono sulla variabile dipendente (l’ampiezza del segnale), e quelle che agiscono sulla variabile indipendente (il tempo). 6.5.1 Trasformazioni della variabile dipendente

Tra le trasformazioni della variabile dipendente, abbiamo studiato nel § 2.1 la moltiplicazione di un segnale per un costante, la somma di due segnali, ed il prodotto di due segnali. A tali operazioni corrispondono altrettante proprietà della trasformata di Fourier. Inoltre a partire dalla proprietà del prodotto, possiamo introdurre due ulteriori proprietà, quella di traslazione in frequenza e di modulazione. Moltiplicazione per una costante e somma di due segnali

Tali operazioni, sia nel caso TC che in quello TD, sono casi particolari della proprietà di linearità (cfr. prop. 6.2) introdotta precedentemente. Più specificamente, la moltiplicazione per una costante equivale alla proprietà di omogeneità: FT

y(·) = α x(·) ←→ Y (·) = α X(·) , mentre per il calcolo della trasformata della somma di due (o più) segnali, basta applicare la proprietà di additività: FT

y(·) = x1 (·) + x2 (·) ←→ Y (·) = X1 (·) + X2 (·) . Notiamo infine che, mentre la moltiplicazione per una costante non altera l’estensione spettrale e la banda del segnale, in quanto risulta |Y (·)| = |α ||X(·)| (lo spettro di ampiezza è moltiplicato per una costante), più difficile è prevedere l’estensione spettrale e la banda della somma di due segnali, in quanto per lo spettro di ampiezza si può scrivere solo la disuguaglianza |Y (·)| ≤ |X1 (·)| + |X2 (·)|. In genere, però, l’estensione spettrale di y(·) soddisfa la relazione Wy ⊆ Wx1 ∪ Wx2 . Prodotto di due segnali

Per quanto riguarda il prodotto di due segnali, è necessario discutere in maniera separata il caso TC e TD. Nel caso TC, infatti, partiamo dalla prop. 6.6 (proprietà di convoluzione) ed invochiamo la prop. 6.4 (proprietà di dualità) per affermare che al prodotto di due segnali nel dominio del tempo corrisponde la convoluzione delle rispettive trasformate di Fourier: FT

y(t) = x1 (t) x2 (t) ←→ Y ( f ) = X1 ( f ) ∗ X2 ( f ) , dove si ha esplicitamente Y ( f ) = X1 ( f ) ∗ X2 ( f ) =

Z +∞ −∞

X1 (λ ) X2 ( f − λ )dλ .

(6.82)

Una dimostrazione diretta di questo risultato (non basata cioè sulla dualità) si può ottenere calcolando direttamente la trasformata di Fourier di y(t) = x1 (t) x2 (t), utilizzando cioè la definizione (6.7).35 35 Tale

calcolo diretto nel caso TC non è riportato per brevità, in quanto i passaggi sono simili a quelli per il caso TD, discusso successivamente.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

313

Applicando la proprietà di durata della convoluzione (cfr. § 4.3.1), si ricava che By ≤ Bx1 + Bx2 , ovvero la moltiplicazione tra i segnali nel tempo comporta in genere un allargamento della banda. Nel caso TD, vale una proprietà molto simile a quella del caso TC, dove però la convoluzione nel dominio della frequenza deve essere intesa in maniera differente. Ricordiamo infatti che, nel caso TD, la trasformata di Fourier è una funzione periodica (di periodo 1), e la convoluzione (6.82) tra due funzioni periodiche diverge. Per ricavare allora il risultato corretto, procediamo calcolando direttamente la trasformata di Fourier di y(n) = x1 (n) x2 (n), utilizziamo cioè la definizione (6.11) di trasformata di Fourier nel caso TD: Y (ν ) =

+∞

∑

x1 (n) x2 (n)e− j2πν n .

(6.83)

n=−∞

Il segnale x1 (n) può essere espresso mediante l’equazione di sintesi (6.12): x1 (n) =

Z 1/2

−1/2

X1 (λ )e j2πλ n dλ .

Si noti l’uso di λ come variabile di integrazione invece di ν , per evitare confusione. Sostituendo tale espressione nella (6.83), riordinando e combinando opportunamente i termini,36 si ha: " #  Z Z Y (ν ) =

+∞

1/2

n=−∞

−1/2

∑

X1 (λ )e j2πλ n dλ x2 (n)e− j2πν n =

e quindi: Y (ν ) =

Z 1/2

−1/2

1/2

−1/2

+∞

∑

X1 (λ )

|

n=−∞

X1 (λ )X2 (ν − λ )dλ .

x2 (n)e− j2π (ν −λ )n dλ , {z

=X2 (ν −λ )

}

(6.84)

La convoluzione definita dalla (6.84) differisce da quella definita nella (6.82) esclusivamente per l’intervallo di integrazione, che nella (6.84) è limitato e pari ad un periodo dei segnali X1 (ν ) e X2 (ν ). Per questo motivo, tale convoluzione prende il nome di convoluzione periodica, e si può effettuare tra due segnali (nel dominio del tempo o della frequenza) aventi lo stesso periodo, effettuando le stesse operazioni della convoluzione convenzionale, ma integrando su un periodo del segnale e non su tutto R.37 Per contrasto, la convoluzione convenzionale (6.82) prende anche il nome di convoluzione aperiodica. Per comodità di notazione, conviene utilizzare il simbolo ∗ per denotare entrambi i tipi di convoluzione, in quanto risulta chiaro dalla natura dei segnali coinvolti (aperiodici o periodici) se si tratti, appunto, di convoluzione aperiodica oppure periodica. Con questa scelta, è possibile enunciare la proprietà del prodotto per la trasformata di Fourier in maniera unificata: Proprietà 6.12 (proprietà del prodotto della trasformata di Fourier) FT

FT

Siano x1 (·) ←→ X1 (·) e x2 (·) ←→ X2 (·), si ha FT

y(·) = x1 (·) x2 (·) ←→ Y (·) = X1 (·) ∗ X2 (·) . 36 In generale, non è possibile scambiare l’ordine tra la serie e l’integrale; tale operazione è sicuramente possibile se x (n) 1 e x2 (n) sono trasformabili secondo Fourier e, in aggiunta, il loro prodotto è ancora trasformabile. 37 In alcuni testi, nella definizione di convoluzione periodica è inclusa la moltiplicazione per un fattore pari al reciproco del periodo delle funzioni coinvolte; poiché, in questo caso, il periodo è unitario, tale fattore non gioca nessun ruolo.

314

Trasformata di Fourier FT

Per x1 (·) = x2 (·) = x(·), la proprietà del prodotto assume la forma particolare y(·) = x2 (·) ←→ Y (·) = X(·) ∗ X(·), e consente pertanto di calcolare la trasformata di Fourier del quadrato di un segnale, come mostrato nell’esempio che segue. ◮ Esempio 6.34 (trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TC) Calcoliamo la trasformata di Fourier del FT segnale x(t) = sinc2 (t). Poiché sinc2 (t) = sinc(t) · sinc(t), ricordando la trasformata notevole sinc(t) ←→ rect( f ) ed applicando la prop. 6.12, si ha: FT

sinc2 (t) = sinc(t) · sinc(t) ←→ rect( f ) ∗ rect( f ) = Λ( f ) . dove si è sfruttato il risultato notevole (4.28) sulla convoluzione tra due finestre rettangolari applicato nel dominio della frequenza. Si giunge pertanto alla trasformata notevole FT

x(t) = sinc2 (t) ←→ X( f ) = Λ( f ) ,

(6.85)

la quale evidenzia che, come il segnale x(t) = sinc(t), anche il segnale x(t) = sinc2 (t) è un segnale a banda rigorosamente limitata. Si noti in particolare che la banda di sinc2 (t), in accordo alla proprietà della durata della convoluzione, è doppia di quella di sinc(t). Notiamo infine che la trasformata (6.85) poteva ottenersi FT anche applicando la proprietà di dualità alla trasformata notevole di x(t) = Λ(t) ←→ X( f ) = sinc2 ( f ) ricavata nell’es. 6.7. ◭

Con riferimento specifico al caso TD, vale la pena notare che la convoluzione periodica possiede gran parte delle proprietà della convoluzione aperiodica, a patto di effettuare solo lievi modifiche formali. Tali proprietà si possono provare semplicemente a partire dalla seguente proprietà fondamentale, che enunciamo senza dimostrazione, la quale istituisce un legame tra la convoluzione periodica di due segnali e la convoluzione aperiodica dei loro generatori: Proprietà 6.13 (legame tra convoluzione periodica ed aperiodica) Siano X(ν ) = rep1 [Xg (ν )] ed Y (ν ) = rep1 [Xg (ν )] due segnali periodici di periodo unitario, ottenuti per replicazione dai generatori Xg (ν ) e Yg (ν ). Si ha: rep1 [Xg (ν )] ∗ rep1 [Xg (ν )] = rep1 [Xg (ν ) ∗Yg (ν )] . dove la convoluzione a primo membro è periodica, mentre quella a secondo membro è aperiodica. La proprietà precedente esprime il fatto che la convoluzione periodica tra due segnali di periodo unitario è uguale alla replicazione con passo unitario della convoluzione aperiodica tra i generatori di tali segnali. In altri termini, la prop. 6.13 suggerisce un procedimento, alternativo a quello diretto, per il calcolo della convoluzione periodica: si calcola prima la convoluzione aperiodica tra i generatori, e successivamente si effettua la replicazione del risultato.38 Tale modo di procedere viene utilizzato nell’esempio seguente per calcolare la trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TD. ◮ Esempio 6.35 (trasformata di Fourier del segnale sinc2 a TD) Il calcolo della trasformata di Fourier del segnale x(n) = sinc2 (2νc n), con 0 < νc < 12 (raffigurato in fig. 6.30 per νc = 14 ) si può ottenere applicando la proprietà del prodotto ed i risultati dell’es. 6.19. Infatti, poiché sinc2 (2νc n) = sinc(2νc n) · sinc(2νc n), ricordando la trasformata notevole ricavata nell’es. 6.19    1 ν FT , rep rect sinc(2νc n) ←→ 2νc 1 2νc 38 Sebbene abbiamo fatto riferimento alle trasformate di Fourier X(ν ) ed Y (ν ) di due segnali TD, funzioni della frequenza

ν aventi periodo unitario, la prop. 6.13 vale più in generale per la convoluzione periodica tra due segnali (nel tempo o in frequenza) aventi (lo stesso) periodo arbitrario.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

315

X(ν)

1 0.8 x(n)

−1

−0.5

0.5

1

0.5

1

ν

0.6

X(ν)

0.4 0.2 0 −1

−5

0 n

−0.5

5

ν

Fig. 6.30. Il segnale x(n) = sinc2 (2νc n) per νc = 1 4 (es. 6.35).

Fig. 6.31. Spettro del segnale x(n) = sinc2 (2νc n) per νc = 18 (in alto) e per νc = 38 (in basso) (es. 6.35).

si ha: FT

sinc2 (2νc n) = sinc(2νc n) · sinc(2νc n) ←→

      1 ν ν 1 rep1 rect rep1 rect ∗ . 2νc 2νc 2νc 2νc

Per il calcolo della convoluzione periodica in frequenza, si può utilizzare la prop. 6.13, ottenendo            1 1 1 ν ν ν ν ∗ = 2 rep1 rect ∗ rect . rep rect rep rect 2νc 1 2νc 2νc 1 2νc 4νc 2νc 2νc Poiché la convoluzione di due finestre rettangolari di uguale durata è una finestra triangolare di durata doppia, calcolando il fattore di scala si ha:       ν ν ν rect ∗ rect = 2νc Λ , 2νc 2νc 2νc e quindi si ha, in definitiva, la seguente trasformata notevole    ν 1 FT x(n) = sinc2 (2νc n) ←→ X(ν ) = . rep1 Λ 2νc 2νc

(6.86)

che è la controparte a TD della trasformata (6.85). La trasformata X(ν ) è puramente reale, ed è raffigurata in fig. 6.31 nei due casi 0 < νc < 14 (valore effettivo νc = 18 , grafico in alto) e 14 ≤ νc < 12 (valore effettivo νc = 38 , grafico in basso). La differenza tra i due spettri deriva dal fatto che nel primo caso le repliche delle finestre triangolari che generano X(ν ) non si sovrappongono, mentre nel secondo caso esse si sovrappongono. ◭

Un caso particolare molto interessante del prodotto di due segnali è quello in cui uno dei due segnali è un fasore oppure una sinusoide. Vediamo per semplicità prima il caso TC, e consideriamo la trasformata di Fourier del prodotto tra il segnale x(t) ed il fasore e j2π f0t , data da y(t) = x(t) e j2π f0t . FT

Ricordando la trasformata del fasore TC (cfr. es. 6.15) e j2π f0t ←→ δ ( f − f0 ), ed applicando la prop. 6.12 con x1 (t) = x(t) e x2 (t) = e j2π f0t , si ha: Y ( f ) = X( f ) ∗ δ ( f − f0 ) = X( f − f0 )

316

Trasformata di Fourier

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la prop. 4.2(f) (proprietà di convoluzione della delta di Dirac). Nel caso TD, si può ragionare in maniera simile a partire dal segnale y(n) = x(n) e j2πν0 n . RiFT cordando in particolare che la trasformata del fasore TD (cfr. es. 6.22) è e j2πν0 n ←→ δe(ν − ν0 ), ed applicando la prop. 6.12, si ha: Y (ν ) = X(ν ) ∗ δe(ν − ν0 ) .

Esprimendo X(ν ) = rep1 [Xg (ν )] e δe(ν ) = rep1 [δ (ν )], si ha δe(ν − ν0 ) = rep1 [δ (ν − ν0 )] e quindi, applicando la prop. 6.13, si ottiene: Y (ν ) = rep1 [Xg (ν )] ∗ rep1 [δ (ν − ν0 )] = rep1 [Xg (ν ) ∗ δ (ν − ν0 )] .

Sfruttando ancora la prop. 4.2(f) (proprietà di convoluzione della delta di Dirac), si ha infine Y (ν ) = rep1 [Xg (ν − ν0 )] = X(ν − ν0 ) , ovvero si ottiene un risultato analogo al caso TC. In definitiva, sia nel caso TC che in quello TD, vale la seguente proprietà di traslazione frequenziale della trasformata di Fourier: Proprietà 6.14 (proprietà di traslazione frequenziale della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·) e f0 ∈ R, ν0 ∈ R, si ha y(t) = x(t) e j2π f0t y(n) =

x(n) e j2πν0 n

FT

←→ FT

←→

Y ( f ) = X( f − f0 )

Y (ν ) = X(ν − ν0 )

(segnali TC) (segnali TD)

L’interpretazione della prop. 6.14 è che, per effetto della moltiplicazione nel tempo del segnale x(·) per un fasore (a frequenza f0 o ν0 ), lo spettro X(·) subisce una traslazione in frequenza, verso destra se f0 , ν0 > 0, verso sinistra se f0 , ν0 < 0; ad esempio, in fig. 6.32 è rappresentata tale traslazione nel caso TC e per f0 > 0. A tale traslazione dello spettro corrisponde un’analoga traslazione dell’estensione spettrale del segnale: ad esempio, in fig. 6.32, tale estensione passa da Wx = (−W,W ) a Wy = ( f0 − W, f0 +W ), per cui il segnale passabasso x(t) viene trasformato in un segnale y(t) passabanda. Poiché però una semplice traslazione dell’estensione spettrale non ne modifica la sua misura, si può affermare che la banda bilatera di x(·) non varia per effetto della moltiplicazione con un fasore, ovvero si ha By = Bx . L’esempio di fig. 6.32 mostra anche che la traslazione in frequenza distrugge in genere l’eventuale simmetria hermitiana dello spettro X(·): d’altra parte, a causa della moltiplicazione con il fasore, il segnale y(·) è in generale complesso, e quindi la sua trasformata Y (·) non è tenuta a presentare la proprietà di simmetria hermitiana. Nel caso TD, la proprietà di traslazione in frequenza assume una forma particolare per ν0 = ± 21 : in questo caso, infatti, il fasore a frequenza ν0 = ± 12 si scrive come e j2πν0 n = e±π n = (−1)n , per cui la prop. 6.14 si scrive in maniera esplicita come   1 n FT y(n) = x(n)(−1) ←→ Y (ν ) = X ν ± . 2

(6.87)

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

317

X(f)

Y(f)=X(f-f0)

(a)

1

-W

W

(b)

1

f

f0-W

f0

f0+W

f

Fig. 6.32. Traslazione in frequenza nel caso TC: (a) trasformata del segnale x(t); (b) trasformata del segnale y(t) = x(t) e j2π f0 t per f0 > 0.

Tale forma della traslazione in frequenza nel caso TD prende il nome di scambio alte-basse frequenze: si noti infatti che, per effetto della traslazione di ± 21 nella (6.87), il contenuto spettrale del segnale alle frequenze ν = k, con k ∈ Z (le basse frequenze), viene spostato alle frequenze ν = k + 12 (le alte frequenze), e viceversa. In altri termini, la moltiplicazione per (−1)n nel dominio del tempo può trasformare un segnale passabasso in un segnale passaalto, e viceversa, come evidenziato ad esempio in fig. 6.33. Si noti che in questo caso, essendo (−1)n reale, la particolare traslazione frequenziale effettuata nella (6.87) preserva l’eventuale simmetria hermitiana dello spettro di x(n). ◮ Esempio 6.36 (scambio alte-basse frequenze per l’esponenziale monolatero TD) L’effetto dello scambio alte-basse frequenze sullo spettro del segnale si può vedere partendo dall’esponenziale monolatero TD x(n) = A an u(n), con A ∈ R e 0 < a < 1, e costruendo il segnale y(n) = (−1)n x(n) = A (−a)n u(n). In effetti, il segnale y(n) si può vedere ancora come un segnale esponenziale monolatero TD, avente base (−a) negativa ed opposta a quella di x(n). In base allora alla (6.87), gli spettri di due segnali esponenziali monolateri TD aventi basi opposte ±a si possono ottenere l’uno dall’altro operando uno scambio alte-basse frequenze, ovvero una traslazione in frequenza di ± 12 di uno dei due spettri. Questa interpretazione è confermata dal confronto degli spettri riportati nelle fig. 6.14 e fig. 6.15, e che corrispondono ad a = ±0.5. ◭

Poiché nella pratica non è possibile moltiplicare un segnale per un fasore, interessa derivare una proprietà analoga alla prop. 6.14 per le sinusoidi TC o TD. Prendendo come esempio il caso TC, calcoliamo la trasformata di Fourier della seguente espressione: y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ) ,

(6.88)

dove f0 , ϕ0 ∈ R. Adoperando la formula di Eulero, è possibile esprimere y(t) come   1 j2π f0t jϕ0 1 − j2π f0t − jϕ0 y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ) = x(t) e e + e e 2 2 1 1 = e jϕ0 x(t) e j2π f0t + e− jϕ0 x(t) e− j2π f0t , 2 2 da cui, applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier e la prop. 6.14 per i due prodotti con i fasori a frequenze ± f0 , si ha: Y(f) =

1 1 jϕ0 e X( f − f0 ) + e− jϕ0 X( f + f0 ) . 2 2

(6.89)

Nel caso TD, ragionando in maniera simile per il segnale y(n) = x(n) cos(2πν0 n + ϕ0 ), si mostra facilmente che si giunge ad un risultato analogo, per cui può enunciare la seguente proprietà di modulazione della trasformata di Fourier:

318

Trasformata di Fourier

X(ν)

1

-1

-1/2

1/2

1

ν

1/2

1

ν

Y(ν)=X(ν±1/2)

1

-1

-1/2

Fig. 6.33. Illustrazione dello scambio alte-basse frequenze (6.87): per effetto della traslazione di ± 12 , lo spettro passabasso X(ν ) (in alto) viene trasformato nello spettro passaalto Y (ν ) (in basso).

Proprietà 6.15 (proprietà di modulazione della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·) e f0 , ν0 , ϕ0 ∈ R, si ha 1 1 FT y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ) ←→ Y ( f ) = e jϕ0 X( f − f0 ) + e− jϕ0 X( f + f0 ) (segnali TC) 2 2 1 1 FT y(n) = x(n) cos(2πν0 n + ϕ0 ) ←→ Y (ν ) = e jϕ0 X(ν − ν0 ) + e− jϕ0 X(ν + ν0 ) (segnali TD) 2 2 Per effetto della moltiplicazione per una sinusoide39 a frequenza f0 o ν0 , lo spettro X(·) del segnale x(·) subisce una doppia traslazione in frequenza, sia verso destra che verso sinistra (fig. 6.34), ad esempio, in fig. 6.34 è rappresentata tale traslazione nel caso TC, per ϕ0 = 0 e f0 > 0, accompagnata da un dimezzamento delle ampiezze di Y (·) rispetto a quelle di X(·) per effetto della moltiplicazione per 21 nella (6.89). A tale doppia traslazione dello spettro corrisponde una doppia traslazione dell’estensione frequenziale del segnale: ad esempio, in fig. 6.34, tale estensione passa da Wx = (−W,W ) a Wy = (− f0 − W, − f0 + W ) ∪ ( f0 − W, f0 + W ), per cui il segnale passabasso x(t) viene trasformato in un segnale y(t) passabanda: ciò accade in particolare se | f0 | > W , in caso contrario le due traslazioni dello spettro tendono a sovrapporsi, per cui l’estensione spettrale risultante Wy = (− f0 −W, f0 +W ) è ancora centrata su f = 0, quindi il segnale rimane passabasso. Conseguentemente, la misura di Wy può 39 La

prop. 6.15 ammette una forma equivalente quando la sinusoide è espressa in termini della funzione sin(x), che non è difficile ricavare utilizzando la formula di Eulero per quest’ultima funzione.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

319

X(f)

Y(f) (a)

(b)

1 1/2

-W

W

f

-f0-W

-f0

-f0+W

f0-W

f0

f0+W

f

Fig. 6.34. Modulazione nel caso TC: (a) trasformata del segnale x(t); (b) trasformata del segnale y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ) per ϕ0 = 0 e f0 > 0.

essere al più pari al doppio della misura di Wx , per cui la banda di x(·) può al massimo raddoppiare per effetto della moltiplicazione con una sinusoide, ovvero si ha By ≤ 2Bx , dove l’uguaglianza vale se le due traslazioni in frequenza non si sovrappongono: questo è il caso, ad esempio, di fig. 6.34, in cui le bande bilatere sono Bx = 2W e By = 4W . Notiamo infine che la modulazione non altera l’eventuale simmetria hermitana dello spettro, in quanto se x(·) è reale, anche y(·) lo è. Nelle telecomunicazioni, la moltiplicazione per un segnale sinusoidale a TC o a TD effettuata nella prop. 6.15 prende il nome di modulazione, ed il sistema con ingresso x(·) ed uscita y(·) prende il nome di modulatore. Il modulatore, come si può facilmente verificare, è un sistema lineare ma tempo-variante (in breve, LTV). La natura LTV e non LTI di tale sistema è evidenziata dal fatto che, come mostra esplicitamente la fig. 6.34 nel caso TC, esso introduce nel segnale di uscita y(·) delle componenti spettrali che non sono originariamente presenti nel segnale x(·), e quindi non funge semplicemente da filtro, come i sistemi LTI. Lo schema a blocchi di un modulatore, con riferimento ad esempio al caso TC, è riportato in fig. 6.35, e comprende un oscillatore sinusoidale a frequenza f0 (la cosiddetta frequenza portante o carrier frequency) ed un moltiplicatore: il segnale x(t) prende il nome di segnale modulante, mentre il segnale cos(2π f0t + ϕ0 ) è chiamato segnale portante, ed infine il risultato y(t) della modulazione è denominato segnale modulato. Nel caso TC, la modulazione realizza in effetti una conversione di frequenza del segnale x(t): mediante tale operazione (fig. 6.34) un segnale x(t) passabasso viene trasformato in un segnale y(t) passabanda, detto anche a radio frequenza quando la frequenza portante f0 , come spesso accade, assume valori nell’ambito delle frequenze radio (si veda in particolare la tab. 6.1). Lo scopo principale della modulazione è quello di traslare il contenuto spettrale del segnale x(t), originariamente a bassa frequenza, verso frequenze più elevate, in modo da consentirne una trasmissione efficiente a lunga distanza su un mezzo trasmissivo, come lo spazio libero oppure un cavo metallico, che non è adatto alla trasmissione di segnali a bassa frequenza. Mediante la modulazione, pertanto, le caratteristiche spettrali del segnale vengono adattate a quelle del mezzo trasmissivo.40 Per chiarire meglio alcuni dei concetti precedenti, l’esempio che segue considera il caso specifico della trasmissione via radio di un 40 Nelle telecomunicazioni, in realtà, il termine “modulazione” è utilizzato in senso più ampio:

per modulazione si intende qualunque elaborazione di un segnale di informazione effettuata allo scopo di renderlo più adatto alla trasmissione su un canale. Il segnale di informazione da elaborare può essere analogico oppure numerico, si parla allora di modulazione analogica o numerica, rispettivamente. La trasformazione (6.88), allora, rientra nell’ambito delle modulazioni analogiche di ampiezza (amplitude modulation, AM), e prende più precisamente il nome di “modulazione di ampiezza con portante soppressa” o “modulazione DSB” (double sideband). Altre modulazione analogiche frequentemente utilizzate sono la modulazione di frequenza (frequency modulation, FM), e la modulazione di fase (phase modulation, PM), i cui modelli matematici sono più complessi di quello (6.88) (si tratta, in particolare, di modulazioni non lineari, ovvero descritte mediante sistemi non lineari).

320

Trasformata di Fourier Banda ELF (Extremely low frequency) SLF (Super low frequency) ULF (Ultra low frequency) VLF (Very low frequency) LF (Low frequency) MF (Medium frequency) HF (High frequency) VHF (Very high frequency) UHF (Ultra high frequency) SHF (Super high frequency) EHF (Extremely high frequency

Frequenza f 3–30 Hz 30–300 Hz 300–3000 Hz 3–30 kHz 30–300 kHz 300–3000 kHz 3–30 MHz 30–300 MHz 300–3000 MHz 3–30 GHz 30–300 GHz

Lunghezza d’onda λ 100 000 km–10 000 km 10 000 km–1 000 km 1 000 km–100 km 100 km–10 km 10 km–1 km 1 km–100 m 100 m–10 m 10 m–1 m 1 m–100 mm 100 mm–10 mm 10 mm – 1 mm

Principali impieghi comunicazioni sottomarine comunicazioni sottomarine comunicazioni sottomarine comunicazioni marine radio AM radio AM radioamatori (onde corte) radio FM, TV ponti radio, TV, cellulare, WLAN radar, satelliti, WLAN sistemi wireless fissi, satelliti

Tab. 6.1. Bande di frequenza, lunghezze d’onda e principali impieghi dello spettro radio (λ = c/ f , dove c = 3 · 108 m/s è la velocità della luce nel vuoto, coincidente con buona approssimazione con la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nell’aria.) Segnale voce musica video dati a velocità Rs simboli/s

Banda monolatera Bx 4 kHz 20 kHz 5 MHz Rs /2 ≤ Bx ≤ Rs

Tab. 6.2. Valori indicativi della banda monolatera Bx per alcuni segnali di informazione di uso comune.

segnale vocale. ◮ Esempio 6.37 (trasmissione via radio di un segnale vocale) Il segnale vocale x(t) (cfr. es. 1.9), come ogni segnale di informazione, andrebbe modellato rigorosamente come un segnale aleatorio. In questo esempio, per semplicità, considereremo un più semplice modello deterministico, nel quale x(t) è un segnale deterministico passabasso a banda rigorosamente limitata [fig. 6.34(a)], avente banda monolatera dell’ordine di Bx = 4 kHz. Notiamo che tale segnale, pur avendo componenti spettrali che raggiungono la banda radio VLF (cfr. tab. 6.1), non può essere direttamente trasmesso via radio. Infatti, un risultato fondamentale dell’elettromagnetismo è che per trasmettere efficientemente un segnale con contenuto spettrale nell’intorno della frequenza f , sono necessarie antenne aventi dimensioni lineari comparabili alla lunghezza d’onda λ = cf del segnale (una dimensione

tipica di un’antenna lineare è L = λ2 ). Dalla tab. 6.1, si nota che tali lunghezze d’onda per la banda VLF sono nell’ordine 10–100 km, per cui sarebbero necessarie antenne di proporzioni gigantesche. Risulta molto più conveniente effettuare una modulazione del segnale x(t) per spostarlo a frequenze più elevate; ad esempio, nella radiofonia AM si utilizzano tecniche di modulazione di ampiezza per traslare lo spettro del segnale nella banda 535-1605 kHz, ovvero nella banda MF (tab. 6.1) cui corrispondono lunghezze d’onda nell’ordine 1 km–100 m, e quindi dimensioni più contenute delle antenne. Ancora più favorevole è la trasmissione effettuata (con modulazione di frequenza) nella banda FM 535-1605 MHz, ovvero nella banda VHF, con lunghezze d’onda dell’ordine 10 m–1m; oppure (utilizzando una modulazione numerica) nella banda dei 900 MHz (sistema di telefonia cellulare GSM), cui corrisponde una lunghezza d’onda pari circa a 33 cm, per cui l’antenna può essere addirittura integrata in un terminale tascabile. ◭

Più in generale, la modulazione consente di affrontare il problema della trasmissione a distanza di un segnale che trasporta informazione, modellabile come un segnale (aleatorio) passabasso avente banda monolatera Bx (valori tipici della banda Bx per segnali di informazione di varia natura sono riportati in tab. 6.2). Essa consente di traslare, alle frequenze caratteristiche dello spettro radio, il contenuto spettrale del segnale x(t), avente frequenze troppo basse per essere trasmesso direttamente via radio.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

321

y(t)

x(t)

y(t)

cos (2πf0t + ϕ0) Fig. 6.35. Schema a blocchi di un modulatore a TC.

LPF

x(t)

2 cos (2πf0t + ϕ0) Fig. 6.36. Schema a blocchi di un demodulatore a TC. Il filtro LPF  è ideale, con risposta in frequenza H( f ) = rect Wf

.

Dalla fig. 6.34, si nota che il segnale modulato y(t) presenta una banda monolatera By = 2W , ed un’estensione spettrale monolatera centrata intorno alla frequenza f0 ; si definisce allora banda relativa monolatera del segnale y(t) la quantità △

by =

By 2W = . f0 f0

Considerazioni ingegneristiche impongono che la banda relativa di un segnale modulato debba assumere valori dell’ordine di 0.01 ≤ by ≤ 0.1 ; ciò comporta che per soddisfare tale relazione, al crescere della banda W del segnale di informazione, debba crescere proporzionalmente la frequenza portante f0 , una tendenza confermata da molti sistemi di telecomunicazione (cfr. tab. 6.1 e tab. 6.2). La traslazione in frequenza operata dalla modulazione non deve precludere la possibilità di recuperare perfettamente (almeno in linea teorica) il segnale x(t) a partire dal segnale modulato y(t). L’operazione inversa della modulazione viene svolta da un sistema denominato demodulatore. Si può verificare, in particolare, che se il segnale x(t) è a banda rigorosamente limitata, con banda monolatera Bx = W , lo schema a blocchi di fig. 6.35 consente di recuperare perfettamente il segnale x(t) a partire dal segnale modulato y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ). Si noti che tale demodulazione è perfetta solo in condizioni ideali: in particolare, dallo schema di fig. 6.35, si vede che è necessario disporre in ricezione, oltre che di un filtro ideale, di un oscillatore a frequenza f0 e fase iniziale ϕ0 , con valori di frequenza/fase perfettamente coincidenti con quelli dell’oscillatore utilizzato in trasmissione. Ottenere tale perfetta coincidenza non è semplice, visto che gli oscillatori del modulatore e del demodulatore sono distinti e si trovano in posizioni geograficamente separate: le tecniche che risolvono tale problema prendono il nome di algoritmi di sincronizzazione. L’approfondimento più specifico delle tecniche di modulazione e demodulazione, nonché delle tecniche di sincronizzazione, non rientra tra gli argomenti di base della teoria dei segnali e dei sistemi, ed è invece sviluppato in corsi più avanzati di telecomunicazioni.

6.5.2 Trasformazioni della variabile indipendente

Consideriamo ora le proprietà della trasformata di Fourier collegate alle trasformazioni della variabile indipendente, quali la traslazione temporale, la riflessione, ed il cambiamento di scala dei tempi.

322

Trasformata di Fourier

Traslazione temporale

È semplice calcolare la trasformata di Fourier di un segnale che ha subito una traslazione temporale. Ad esempio, nel caso TC, la trasformata di Fourier di y(t) = x(t − t0 ), applicando la (6.7), è data da Y(f) =

Z +∞ −∞

y(t) e− j2π f t dt =

Z +∞ −∞

x(t − t0 ) e− j2π f t dt .

Effettuando il cambio di variabile u = t − t0 → t = u + t0 nell’integrale si ha: Z +∞  Z +∞ x(u) e− j2π f (u+t0 ) du = Y(f) = x(u) e− j2π f u du e− j2π f t0 , −∞ −∞ | {z } =X( f )

per cui in definitiva si trova

Y ( f ) = X( f ) e− j2π f t0 . Con passaggi simili si può provare che una proprietà analoga vale nel caso TD, per cui si può enunciare la proprietà di traslazione temporale della trasformata di Fourier: Proprietà 6.16 (proprietà di traslazione temporale della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·) e t0 ∈ R, n0 ∈ Z, si ha y(t) = x(t − t0 )

y(n) = x(n − n0 )

FT

Y ( f ) = X( f ) e− j2π f t0

(segnali TC)

FT

Y (ν ) = X(ν ) e− j2πν n0

(segnali TD)

←→

←→

Gli effetti di una traslazione temporale sullo spettro del segnale sono più chiari se si ragiona separatamente sullo spettro di ampiezza e di fase dei segnali y(t) e x(t). Nel caso TC, ad esempio, calcolando modulo e fase di Y ( f ) = X( f ) e− j2π f t0 , si ha |Y ( f )| = |X( f )| ,

∡Y ( f ) = ∡X( f ) − 2π f t0 . La prima relazione evidenzia che una traslazione temporale non modifica lo spettro di ampiezza del segnale; la seconda mostra invece che essa modifica lo spettro di fase, introducendo uno sfasamento additivo, caratterizzato da una legge lineare in frequenza, con pendenza negativa se t0 è positivo (ritardo temporale), positiva se t0 è negativo (anticipo temporale). In altri termini, ad una traslazione temporale corrisponde uno sfasamento lineare nel dominio della frequenza. Il fatto che, per effetto della traslazione temporale, lo spettro di ampiezza non subisca modifiche, ha come conseguenza che l’estensione frequenziale e la banda del segnale non cambiano, si ha cioè Wy = Wx e By = Bx . In altri termini, una traslazione temporale del segnale non altera nè l’estensione spettrale, nè la banda del segnale. ◮ Esempio 6.38 (trasformata della finestra triangolare a TD) Applichiamo la proprietà di traslazione temporale (insieme con altre proprietà, quali la linearità e la convoluzione) per calcolare la trasformata di Fourier della finestra di Bartlett o finestra triangolare a TD x(n) = B2N (n). Nell’es. 4.6 abbiamo provato che vale la seguente relazione [cfr. eq. (4.33)] tra finestre rettangolari e triangolari a TD: RN (n) ∗ RN (n) = NB2N (n + 1) .

|X(ν)|

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

323

4 2 0 −1

−0.5

0 ν

0.5

1

−0.5

0 ν

0.5

1

∠ X(ν)

2 0 −2 −1

Fig. 6.37. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier X(ν ) della finestra triangolare x(n) = B10 (n) (es. 6.38). Applicando la proprietà di invarianza temporale della convoluzione (cfr. § 4.3.1), si trova allora: x(n) = B2N (n) =

1 [RN (n − 1) ∗ RN (n)] , N FT

da cui, ricordando che RN (n) ←→ DN (n) (cfr. es. 6.2), ed applicando le proprietà di linearità, traslazione temporale e di convoluzione della trasformata di Fourier si ha: X(ν ) =

 1 1 DN (ν )e− j2πν · DN (ν ) = DN2 (ν )e− j2πν , N N

ovvero, ricordando la definizione di DN (ν ), FT

x(n) = B2N (n) ←→ X(ν ) =

sin2 (πν N) − j2N πν . e N sin2 (πν )

Il modulo e la fase si calcolano immediatamente: sin2 (πν N) N sin2 (πν ) ∡X(ν ) = −2N πν |X(ν )| =

(6.90) (6.91)

e sono raffigurate in fig. 6.37 nel caso N = 5. Si noti che, poiché la fase riportata in fig. 6.37 è in effetti l’argomento principale Arg[X(ν )], i cui valori appartengono all’intervallo ] − π , π ], tale grafico ha l’andamento di una spezzata e non quello di una retta continua, come invece suggerito dall’espressione (6.91). ◭

Riflessione temporale

Come per la traslazione temporale, anche per la riflessione temporale di un segnale vale una proprietà molto semplice, con riferimento alla sua trasformata di Fourier. Prendendo ad esempio ancora il caso TC, la trasformata del segnale riflesso y(t) = x(−t) si calcola come segue: Y(f) =

Z +∞ −∞

− j2π f t

y(t) e

dt =

Z +∞ −∞

x(−t) e− j2π f t dt .

324

Trasformata di Fourier

Operando il cambio di variabile u = −t → t = −u, si ha: Y(f) =

Z +∞ −∞

x(u) e j2π f u du =

Z +∞

|

e quindi

−∞

x(u) e− j2π (− f )u du , {z } =X(− f )

FT

y(t) = x(−t) ←→ Y ( f ) = X(− f ) . In sintesi, ad una riflessione nel dominio del tempo corrisponde una riflessione nel dominio della frequenza. La proprietà precedente può essere dimostrata con passaggi analoghi anche nel caso TD, e quindi è possibile enunciare la seguente proprietà di riflessione della trasformata di Fourier: Proprietà 6.17 (proprietà di riflessione della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), si ha FT

y(·) = x(−(·)) ←→ Y (·) = X(−(·)) . La proprietà di riflessione ha un significato prettamente matematico, e consente di introdurre e discutere più approfonditamente una serie di proprietà di simmetria caratteristiche dei segnali e delle loro trasformate di Fourier. Ad esempio, dato un segnale x(·) pari, ovvero tale che x(·) = x(−(·)) , trasformando membro a membro la precedente relazione, ed applicando la prop. 6.17, si trova X(·) = X(−(·)) , e quindi la trasformata di Fourier è anch’essa un segnale pari. In altri termini, un segnale pari ha una trasformata di Fourier pari. Seguendo un ragionamento analogo, dato un segnale x(·) dispari x(·) = −x(−(·)) , trasformando membro a membro ed applicando la prop. 6.17, si trova X(·) = −X(−(·)) , per cui la trasformata di Fourier è anch’essa dispari. In altri termini, un segnale dispari ha una trasformata di Fourier dispari. Il discorso precedente può essere generalizzato al caso di un segnale arbitrario (nè pari nè dispari), ricordando [cfr. prop. 2.1(e)] che qualsiasi segnale x(·) può essere decomposto nella somma di un segnale pari e di un segnale dispari: x(·) = Pa[x(·)] + Di[x(·)] ,

(6.92)

dove △

Pa[x(·)] =

1 [x(·) + x(−(·))] , 2

△

Di[x(·)] =

1 [x(·) − x(−(·))] , 2

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

325

rappresentano, rispettivamente, la componente pari e la componente dispari del segnale. Applicando le proprietà di riflessione e di linearità della trasformata di Fourier, si ha 1 1 △ FT [x(·) + x(−(·))] ←→ [X(·) + X(−(·))] = Pa[X(·)] , 2 2 ovvero alla componente pari del segnale nel dominio del tempo corrisponde la componente pari della sua trasformata di Fourier. Con ragionamento analogo si trova △

Pa[x(·)] =

1 1 △ FT [x(·) − x(−(·))] ←→ [X(·) − X(−(·))] = Di[X(·)] , 2 2 e quindi alla componente dispari del segnale nel dominio del tempo corrisponde la componente dispari della sua trasformata di Fourier. Ovviamente, per il segnale complessivo x(·), si avrà che △

Di[x(·)] =

x(·) = Pa[x(·)] + Di[x(·)]

FT

←→

X(·) = Pa[X(·)] + Di[X(·)] .

La (6.92) può essere vista come la decomposizione elementare di un segnale x(·) nella somma delle sue componenti elementari pari e dispari [un’analoga decomposizione vale, nel dominio della frequenza, per X(·)]. È possibile considerare altre tipologie di decomposizione elementare di un segnale (nel dominio del tempo o della frequenza), che consentono di sviluppare ulteriormente il discorso sulle proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Ad esempio, un segnale x(·) a valori complessi può essere matematicamente decomposto nella somma della sua componente reale e della sua componente immaginaria: x(·) = Re[x(·)] + j Im[x(·)] ,

(6.93)

dove la componente reale e la componente immaginaria41 possono essere espresse in funzione di x(·) e di x∗ (·) come: 1 △ 1 [x(·) + x∗ (·)] , j Im[x(·)] = [x(·) − x∗ (·)] . 2 2 Per effettuare la trasformata di Fourier delle precedenti espressioni, occorre calcolare la trasformata del segnale coniugato y(·) = x∗ (·). Con riferimento ad esempio al caso TC, si ha immediatamente Z +∞ ∗ Z +∞ ∗ Z +∞ Z +∞ x∗ (t)e− j2π f t dt = x(t)e j2π f t dt = x(t)e− j2π (− f )t dt , y(t)e− j2π f t dt = Y(f) = −∞ −∞ −∞ −∞ | {z } △

Re[x(·)] =

=X ∗ (− f )

per cui si trova

FT

y(t) = x∗ (t) ←→ Y ( f ) = X ∗ (− f ) . In sintesi, ad una coniugazione nel dominio del tempo corrispondono una coniugazione più una riflessione nel dominio della frequenza. Tale proprietà può essere estesa facilmente al caso TD, e vale pertanto la seguente proprietà di coniugazione della trasformata di Fourier: Proprietà 6.18 (proprietà di coniugazione della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), si ha FT

y(·) = x∗ (·) ←→ Y (·) = X ∗ (−(·)) . 41 Si

osservi che, mentre la “componente reale” coincide con la parte reale definita nell’app. A, per “componente immaginaria” intendiamo la parte immaginaria moltiplicata per j.

326

Trasformata di Fourier

Applicando allora la proprietà precedente e la proprietà di linearità, è possibile calcolare la trasformata della componente reale di x(·): △

Re[x(·)] =

1 [x(·) + x∗ (·)] 2

1 △ [X(·) + X ∗ (−(·))] = He[X(·)] , 2

FT

←→

dove è stata definita la componente hermitiana He[X(·)] della trasformata di Fourier. In sintesi, alla componente reale nel dominio del tempo corrisponde la componente hermitiana nel dominio della frequenza. Notiamo che la componente (o parte) hermitiana di un segnale ha una espressione simile a quella della componente (o parte) pari, con l’unica differenza che il secondo addendo, oltre ad essere riflesso, è coniugato; ovviamente si ha He[X(·)] ≡ Pa[X(·)] se (e solo se) X(·) è reale. Con passaggi simili, si ha, per la componente immaginaria, △

j Im[x(·)] =

1 △ FT 1 [x(·) − x∗ (·)] ←→ [X(·) − X ∗ (−(·))] = Ah[X(·)] , 2 2

dove Ah[X(·)] rappresenta la componente antihermitiana della trasformata di Fourier. Pertanto, alla componente immaginaria nel dominio del tempo corrisponde la componente antihermitiana nel dominio della frequenza. Notiamo che la componente (o parte) antihermitiana di un segnale ha una espressione simile a quella della componente (o parte) dispari, con l’unica differenza che il secondo addendo, oltre ad essere riflesso, è coniugato; chiaramente si ha Ah[X(·)] ≡ Di[X(·)] se (e solo se) X(·) è reale. Per il segnale complessivo x(·), si avrà ovviamente che x(·) = Re[x(·)] + j Im[x(·)]

FT

←→

X(·) = He[X(·)] + Ah[X(·)] .

Per completezza, consideriamo un’ultima decomposizione elementare, in cui un segnale x(·) a valori complessi è espresso come la somma della sua componente hermitiana ed antihermitiana: x(·) = He[x(·)] + Ah[x(·)] ,

(6.94)

dove: △

He[x(·)] =

1 [x(·) + x∗ (−(·))] , 2

△

Ah[x(·)] =

1 [x(·) − x∗ (−(·))] , 2

sono definite nel dominio del tempo analogamente a quanto visto prima per X(·) nel dominio della frequenza. Quest’ulteriore decomposizione di x(·) si può vedere come una estensione al caso complesso della decomposizione (6.92) in componente pari e dispari [in effetti, se (e solo se) x(·) è reale, le (6.92) ed (6.94) coincidono]. Nel calcolo della trasformata della componente hermitiana ed antihermitiana di x(·), compare la trasformata di Fourier di x∗ (−(·)), ovvero di un segnale che ha subito una riflessione più una coniugazione. Il risultato si può ottenere subito combinando le prop. 6.17 e 6.18, e si ha la seguente proprietà di riflessione e coniugazione della trasformata di Fourier: Proprietà 6.19 (proprietà di riflessione e coniugazione della trasformata di Fourier) FT

Sia x(·) ←→ X(·), si ha FT

y(·) = x∗ (−(·)) ←→ Y (·) = X ∗ (·) . In altre parole, ad una riflessione più una coniugazione nel dominio del tempo corrisponde una semplice coniugazione nel dominio della frequenza. Applicando tale proprietà, insieme con la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ha: △

He[x(·)] =

1 [x(·) + x∗ (−(·))] 2

FT

←→

1 △ [X(·) + X ∗ (·)] = Re[X(·)] , 2

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

327

dominio del tempo x(·) = Pa[x(·)] + Di[x(·)] x(·) = Re[x(·)] + j Im[x(·)] x(·) = He[x(·)] + Ah[x(·)]

dominio della frequenza X(·) = Pa[X(·)] + Di[X(·)] X(·) = He[X(·)] + Ah[X(·)] X(·) = Re[X(·)] + j Im[X(·)]

Tab. 6.3. Relazioni tra le decomposizioni elementari di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza.

dominio del tempo Pa[x(·)] Di[x(·)] Re[x(·)] j Im[x(·)] He[x(·)] Ah[x(·)]

dominio della frequenza Pa[X(·)] Di[X(·)] He[X(·)] Ah[X(·)] Re[X(·)] j Im[X(·)]

Tab. 6.4. Relazioni tra le componenti elementari di un segnale nel dominio del tempo e della frequenza.

1 1 △ FT [x(·) − x∗ (−(·))] ←→ [X(·) − X ∗ (·)] = j Im[X(·)] , 2 2 che esprimono il fatto che alla componente hermitiana nel dominio del tempo corrisponde la componente reale nel dominio della frequenza, mentre alla componente antihermitiana nel dominio del tempo corrisponde la componente immaginaria nel dominio della frequenza. Anche qui, per il segnale complessivo si ha △

Ah[x(·)] =

x(·) = He[x(·)] + Ah[x(·)]

FT

←→

X(·) = Re[X(·)] + j Im[X(·)] .

Tutte le relazioni derivate in precedenza sono sinteticamente raccolte nelle tab. 6.3 e 6.4. Le relazioni delle tab. 6.3 e 6.4 ammettono una ulteriore chiave di lettura, molto interessante in quanto consente di ottenere in maniera sistematica le principali proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Infatti, con riferimento ad esempio alla decomposizione pari-dispari (6.92), si ha evidentemente x(·) pari

⇐⇒

Di[x(·)] = 0

⇐⇒

Di[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) pari

per cui ritroviamo la proprietà secondo la quale un segnale pari ha una trasformata pari. Allo stesso modo x(·) dispari

⇐⇒

Pa[x(·)] = 0

⇐⇒

x(·) pari dispari reale immaginario hermitiano antihermitiano

Pa[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) dispari

X(·) pari dispari hermitiana antihermitiana reale immaginaria

Tab. 6.5. Proprietà di simmetria di un segnale e della sua trasformata di Fourier.

328

Trasformata di Fourier

1 y(t)

1

x(t)

0.8

0.5 0

0.6

−5

0.4

0 t

5

0 t

5

1 y(−t)

0.2

0.5

0

0 −0.2 −5

0 t

−5

5

Fig. 6.39. L’esponenziale bilatero x(t) = Ae−|t|/T di fig. 6.38 (es. 6.39) può essere rappresentato come la somma dei due segnali y(t) = Ae−t/T u(t) (in alto) e y(−t) = Aet/T u(−t) (in basso).

Fig. 6.38. Esponenziale bilatero a TC per A = 1 e T = 1 (es. 6.39).

ovvero un segnale dispari ha una trasformata dispari. Un ragionamento simile si può fare per il caso di un segnale reale: x(·) reale

⇐⇒

jIm[x(·)] = 0

⇐⇒

Ah[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) hermitiana

dove dire che X(·) è hermitiano o gode della simmetria hermitiana significa che Ah[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) = X ∗ (−(·)) ,

ed è ovviamente la stessa proprietà di simmetria hermitiana già definita dalla prop. 6.3. In sintesi, un segnale reale ha una trasformata hermitiana. Analogamente x(·) immaginario

⇐⇒

Re[x(·)] = 0

⇐⇒

He[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) antihermitiana

dove dire che X(·) è antihermitiano o gode della simmetria antihermitiana significa che He[X(·)] = 0

⇐⇒

X(·) = −X ∗ (−(·)) ,

ovvero, un segnale immaginario ha una trasformata antihermitiana. Altri casi, meno interessanti dal punto di vista applicativo, si possono ottenere con riferimento alla simmetria hermitiana ed antihermitiana di x(·), utilizzando le relazioni di tab. 6.4, per cui un segnale hermitiano ha una trasformata reale, ed un segnale antihermitiano ha una trasformata immaginaria. Tutte le proprietà di simmetria della trasformata di Fourier sono sinteticamente raccolte in tab. 6.5. Notiamo infine che le proprietà di simmetria di tab. 6.5 si possono anche utilizzare in maniera combinata: ad esempio, se x(·) è reale e pari, dalla tabella si ricava che la sua trasformata X(·) è hermitiana e pari, ed è facile verificare che, combinando queste due ultime proprietà, si ricava necessariamente che X(·) è reale. Per cui, un segnale reale e pari ha una trasformata reale e pari. Allo stesso modo, se x(·) è reale e dispari, la sua trasformata X(·) sarà hermitiana e dispari, ed è facile verificare che, combinando queste due ultime proprietà, si ricava necessariamente che X(·) è immaginaria. Per cui, un segnale reale e dispari ha una trasformata immaginaria e dispari. Altre combinazioni sono possibili, ma sono di minore interesse pratico.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

329

1

X(f)/(2 A T)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −6

−4

−2

0 2πfT

2

4

6

Fig. 6.40. Trasformata di Fourier dell’esponenziale bilatero a TC (es. 6.39). ◮ Esempio 6.39 (trasformata di Fourier dell’esponenziale bilatero a TC) Le relazioni tra le componenti elementari di tab. 6.4 possono essere utilizzate per calcolare, ad esempio, la trasformata di x(t) = A e−|t|/T , con T > 0; notiamo che tale segnale è un esponenziale bilatero, come mostra il grafico di fig. 6.38. Tenendo presente anche la fig. 6.39, osserviamo che il segnale x(t) si può esprimere come segue: x(t) = A e−|t|/T = A e−t/T u(t) + A e+t/T u(−t) = 2 Pa[y(t)] ,

(6.95)

ovvero x(t) coincide, a meno del fattore 2, con la componente pari del segnale y(t) = A e−t/T u(t) (esponenziale monolatero).42 Utilizzando allora la trasformata di quest’ultimo segnale, già ricavata nell’es. 6.8, ovvero FT

y(t) = A e−t/T u(t) ←→ Y ( f ) =

AT , 1 + j2π f T

e sfruttando la relazione di tab. 6.4 tra Pa[y(t)] e Pa[Y ( f )], e la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si ha: FT

2 Pa[y(t)] ←→ 2 Pa[Y ( f )] = Y ( f ) +Y (− f ) = Y ( f ) +Y ∗ ( f ) = 2 Re[Y ( f )] , dove si è anche sfruttata la simmetria hermitiana Y (− f ) = Y ∗ ( f ) di Y ( f ), associata al fatto che y(t) è reale. Applicando semplici proprietà dell’algebra complessa, si ha: Y(f) =

1 − j2π f T 1 − j2π f T AT = AT 1 + j2π f T 1 − j2π f T 1 + 4π 2 f 2 T 2

=⇒

2 Re[Y ( f )] =

2AT , 1 + 4π 2 f 2 T 2

e quindi in definitiva vale la seguente trasformata notevole, valida per ogni A ∈ R e T ∈ R+ : FT

x(t) = A e−|t|/T ←→ X( f ) =

2AT . 1 + 4π 2 f 2 T 2

Notiamo che, poiché x(t) è reale e pari, anche X( f ) è reale e pari, inoltre lo spettro X( f ) è non negativo, per cui si ha |X( f )| = X( f ) e ∡X( f ) = 0: tale spettro è rappresentato graficamente in fig. 6.40. Si tratta chiaramente di un segnale passabasso, il cui spettro X( f ) decade per | f | → +∞ come 1/ f 2 , il che equivale ad un roll-off di 40 dB/decade o 12dB/ottava; si noti che, poiché x(t) è continuo ma con derivata discontinua e sommabile, tale risultato si può ricavare anche applicando la prop. 6.11 per n = 0. 42 In

realtà, la (6.95) non vale a rigore per t = 0, in quanto mentre x(0) = A, si ha che 2Pa[y(t)] = 2 A; tuttavia, questa differenza tra i due segnali in un punto isolato non ha alcuna influenza sul calcolo della trasformata di Fourier di x(t), che è definita mediante un integrale (notiamo che invece nel caso TD una tale differenza sarebbe stata significativa).

330

Trasformata di Fourier

1

1

0.8 0.8

0.6 0.4 x(n)

x(n)

0.6 0.4

0.2 0

0.2

−0.2 −0.4

0

−0.6 −0.2 −10

−5

0 n

5

10

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1

0.5

0.5

0

0 −1

−0.5

0 ν

0.5

1

Fig. 6.43. Trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = 0.5 (es. 6.40).

0 n

5

10

1.5

1

−0.5

−5

Fig. 6.42. Il segnale esponenziale bilatero a TD x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = −0.5 (es. 6.40).

|X(ν)|

|X(ν)|

Fig. 6.41. Il segnale esponenziale bilatero a TD x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = 0.5 (es. 6.40).

−10

−0.5

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

Fig. 6.44. Trasformata di Fourier X(ν ) del segnale x(n) = Aa|n| per A = 1 e a = 0.5 (es. 6.40).

La frequenza di taglio ad α dB si trova risolvendo l’equazione (6.76) o (6.77), scegliendo frif = 0 dal momento che lo spettro (fig. 6.40) è massimo per tale frequenza. Ad esempio, poiché |X(0)| = 2AT , la (6.77) in unità naturali si scrive esplicitamente 1 |X( fα )| = = 10−α /20 , |X(0)| 1 + 4π 2 fα2 T 2 da cui, scegliendo la soluzione positiva, si ricava che la banda monolatera ad α dB vale: Bx = fα =

1 p α /20 10 −1. 2π T

Si noti che, come nell’es. 6.26, anche in questo caso la banda ad α dB è inversamente proporzionale alla costante di tempo T , e quindi alla durata del segnale nel dominio del tempo. Nel caso α = 3, si ha Bx = f3 ≈ 0.644 2π T . A 1 parità di costante di tempo T , tale valore è più piccolo di quello Bx = f3 ≈ 2π T dell’esponenziale monolatero (cfr. es. 6.26), il motivo è che lo spettro del segnale esponenziale bilatero decade a zero più rapidamente (come 1/ f 2 ) di quello dell’esponenziale monolatero. ◭

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

331

0.5 0.45

B

x

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.2

0.4

0.6 a

0.8

1

Fig. 6.45. Banda a 3 dB dell’esponenziale bilatero TD in funzione di a ∈ (amin , 1); per valori di a < amin la banda a 3 dB non può essere definita (es. 6.40). ◮ Esempio 6.40 (trasformata di Fourier dell’esponenziale bilatero a TD) Consideriamo il segnale esponenziale bilatero a TD, definito come x(n) = A a|n| , con A ∈ R e 0 < |a| < 1, rappresentato graficamente in fig. 6.41 per 0 < a < 1 ed ed in fig. 6.42 per −1 < a < 0. Data la natura esponenziale del segnale, si verifica facilmente che si tratta di un segnale sommabile (la sommabilità è garantita dall’ipotesi |a| < 1). Anche per questo segnale è possibile sfruttare le relazioni tra le componenti elementari di tab. 6.4, ma è necessaria qualche cautela in più rispetto al caso TC. Notiamo infatti che il segnale x(n) si può esprimere come segue:   (6.96) x(n) = A an u(n) + a−n u(−n) − δ (n) , dove la sottrazione di δ (n) serve a garantire l’uguaglianza tra il primo ed il secondo membro per n = 0. Notiamo allora che la (6.96) si può interpretare come x(n) = 2 Pa[y(n)] − A δ (n) , dove y(n) = A an u(n) (esponenziale monolatero a TD). Utilizzando allora la trasformata di quest’ultimo segnale, già ricavata nell’es. 6.18, ovvero FT

y(n) = A an u(n) ←→ Y (ν ) =

A , 1 − ae− j2πν

e sfruttando la relazione di tab. 6.4 tra Pa[y(n)] e Pa[Y (ν )], nonché la proprietà di linearità della trasformata di FT Fourier, e la trasformata notevole x(n) = δ (n) ←→ X(ν ) = 1, si ha : FT

2 Pa[y(n)] − Aδ (n) ←→ 2 Pa[Y (ν )] − A = Y (ν ) +Y (−ν ) − A = Y (ν ) +Y ∗ (ν ) − A = 2 Re[Y (ν )] − A , dove si è anche sfruttata la simmetria hermitiana Y (−ν ) = Y ∗ (ν ) di Y (ν ), associata al fatto che y(n) è reale. Applicando semplici proprietà dell’algebra complessa, si ha: Y (ν ) =

A(1 − ae j2πν ) A [1 − a cos(2πν ) − ja sin(2πν )] , = − j2 πν 2 |1 − ae | 1 + a2 − 2a cos(2πν )

da cui si ricava
A 1 − a2 A [1 − a cos(2πν )] 2 Re[Y (ν )] − A = 2 −A = , 1 + a2 − 2a cos(2πν ) 1 + a2 − 2a cos(2πν )

332

Trasformata di Fourier

e quindi in definitiva vale la seguente trasformata notevole, valida per A ∈ R e 0 < |a| < 1:
A 1 − a2 FT . x(n) = A a|n| ←→ X(ν ) = 1 + a2 − 2a cos(2πν ) Notiamo che, poiché x(n) è reale e pari, anche X(ν ) è reale e pari, inoltre si può verificare che lo spettro X(ν ) è non negativo, per cui si ha |X(ν )| = X(ν ) e ∡X(ν ) = 0; lo spettro X(ν ) è direttamente rappresentato (per A = 1) in fig. 6.43 per 0 < a < 1 (spettro di tipo passabasso) ed in fig. 6.44 per −1 < a < 0 (spettro di tipo passaalto). La frequenza di taglio ad α dB si trova risolvendo l’equivalente a TD dell’equazione (6.76) o (6.77), Seguendo passaggi simili a quelli dell’es. 6.30, per 0 < a < 1 (caso passabasso), si trova che la banda monolatera vale ! " 1 + a2 − 10α /20 1 , (6.97) arccos Bx = να = 2π 2a △

valida per a ≥ amin , dove amin = 10α /40 e purché α ≤ 12 dB; se queste ultime condizioni, non sono soddisfatte, l’equazione che definisce la banda ad α dB non ammette soluzioni e, quindi, la banda ad α dB non può essere definita. La fig. 6.29 riporta l’andamento della banda a 3 dB (corrispondente ad α = 3), nell’intervallo a ∈ [amin , 1]. Notiamo che per a → 1, la durata del segnale nel dominio del tempo aumenta, mentre la sua banda diminuisce, e viceversa (la massima banda Bx = 12 si ha in corrispondenza di a = amin ). Confrontando le fig. 6.29 e fig. 6.45, si nota che, anche nel caso TD, a parità di a e di α , il segnale esponenziale bilatero ha una banda più contenuta dell’esponenziale monolatero. ◭

Cambiamento di scala temporale

Nel § 2.1.2 abbiamo visto che il cambiamento di scala temporale di un segnale assume forme diverse nel caso TC e TD: per lo stesso motivo, discuteremo separatamente la proprietà di cambiamento di scala temporale per la trasformata di Fourier nei due casi TC e TD. Partiamo dal caso TC, e ricordiamo (cfr. § 2.1.2) che effettuare un cambiamento di scala dei tempi sul segnale x(t) corrisponde a considerare il segnale y(t) = x(at), con a ∈ R+ ; si parla in particolare di compressione se a > 1, e di espansione se 0 < a < 1. Il caso a < 0 si può vedere come composto da una compressione/espansione di un fattore |a| positivo, seguito da una riflessione. Per maggiore generalità, considereremo in questa sezione valori di a non necessariamente positivi, quindi a ∈ R − {0}: parleremo pertanto più in generale di espansione se 0 < |a| < 1, e di compressione se |a| > 1; se |a| = 1, il segnale o resta inalterato (a = 1), o subisce una semplice riflessione (a = −1). Il calcolo della trasformata di Fourier di y(t) = x(at) si riconduce semplicemente a quello della trasformata di x(t) mediante il cambiamento di variabile u = at. Si ha infatti: Y(f) =

Z +∞ −∞

y(t)e− j2π f t dt =

Z +∞ −∞

x(at)e− j2π f t dt .

Distinguiamo i due casi a > 0 e a < 0. Per a > 0, ponendo u = at, si ha:   Z f 1 1 +∞ x(u)e− j2π ( f /a)u du = X Y(f) = . a −∞ a a Nel caso a < 0, invece, con lo stesso cambiamento di variabile, si ottiene 1 Y(f) = a

Z −∞ +∞

− j2π ( f /a)u

x(u)e

1 du = − a

Z +∞ −∞

− j2π ( f /a)u

x(u)e

1 du = − X a

  f . a

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

333

Notando che |a| = a se a > 0, mentre |a| = −a se a < 0, le due espressioni precedenti si possono scrivere in forma unificata:   f 1 X Y(f) = . |a| a È possibile pertanto enunciare la seguente proprietà di cambiamento di scala temporale della trasformata di Fourier a TC: Proprietà 6.20 (cambiamento di scala temporale per la trasformata di Fourier a TC) FT

Sia x(t) ←→ X( f ) e a ∈ R − {0}, si ha   f 1 FT X y(t) = x(at) ←→ Y ( f ) = . |a| a

(6.98)

Notiamo che, per a = −1, la prop. 6.20 si riduce alla prop. 6.17 (proprietà di riflessione). Nel caso – più interessante – in cui |a| = 6 1, tale proprietà esprime un comportamento significativo della trasformata di Fourier, associato al cambiamento di scala dei tempi del segnale TC: notiamo infatti che, ad un cambiamento di scala di x(t) (nel tempo) di un fattore a, corrisponde un cambiamento di scala di X( f ) (in frequenza) di un fattore 1/a, accompagnato da una moltiplicazione dei valori delle ampiezze di X( f ) per un fattore 1/|a|. Tralasciando l’ultima modifica, ed osservando che i cambiamenti di scala nei due domini avvengono con fattori reciproci, concludiamo che ad una compressione nel dominio del tempo (|a| > 1) corrisponde una espansione nel dominio della frequenza (1/|a| < 1) e, viceversa, ad una espansione nel dominio del tempo (|a| < 1) corrisponde una compressione nel dominio della frequenza (1/|a| > 1). Poiché comprimere/espandere un segnale nel dominio del tempo ha l’effetto di diminuire/incrementare la sua durata ∆x , ed analogamente comprimere/espandere un segnale nel dominio della frequenza comporta una diminuzione/incremento della sua banda Bx , possiamo concludere che riducendo la durata ∆x di un segnale, la sua banda Bx si incrementa, e viceversa. Questa relazione di inversa proporzionalità tra durata e banda di un segnale è una proprietà fondamentale associata alla rappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale, e può essere matematicamente espressa anche come Bx ∆x = αx , dove αx ∈ R+ dipende dalla definizione di durata e di banda adottata e dal tipo di segnale. In altri termini, il prodotto durata-banda (in inglese, time-bandwidth product), per un dato segnale, è una quantità costante: pertanto, non è possibile ridurre contemporaneamente la durata e la banda di un segnale: se si riduce la durata, la banda si incrementa, e viceversa. Quest’ultima formulazione della proprietà del cambiamento di scala viene talvolta denominata principio di indeterminazione della trasformata di Fourier, per analogia con il principio di indeterminazione di Heisenberg utilizzato nella meccanica quantistica.43 43 Nella

meccanica quantistica, il principio di indeterminazione fu introdotto dal fisico teorico tedesco W. Heisenberg (1901–1976), e afferma che “non è possibile conoscere simultaneamente posizione e quantità di moto di un dato oggetto con precisione arbitraria”. Il legame di tale principio con la trasformata di Fourier è in effetti assai stretto, e si basa anche su concetti di calcolo della probabilità: nella meccanica quantistica, infatti, la posizione e la quantità di moto di una particella non sono quantità perfettamente note, ma sono modellate come variabili aleatorie, descritte da due funzioni di densità di probabilità (pdf), che risultano essere legate da una relazione di trasformata di Fourier. Per questo motivo, se aumenta la precisione con cui è nota la posizione, la pdf della posizione si restringe, e questo comporta (per il cambiamento di scala della trasformata di Fourier) un allargamento della pdf della quantità di moto, e quindi un peggioramento della precisione con cui è nota quest’ultima grandezza.

334

Trasformata di Fourier

1 X(f)

x(t)

1 0.5

0.5 0

0 −1

−0.5

0 t

0.5

−0.5 −5

1

5

0 f

5

1 Y(f)

1 y(t)

0 f

0.5

0.5 0

0 −1

−0.5

0 t

0.5

1

Fig. 6.46. Segnale x(t) = rect(t) (in alto) e la sua versione y(t) = rect(2t) (in basso) compressa di un fattore a = 2 (es. 6.41).

−0.5 −5

Fig. 6.47. Trasformata di Fourier X( f ) (in alto) ed Y ( f ) (in basso) dei segnali x(t) = rect(t) e y(t) = rect(2t), rispettivamente (es. 6.41).

◮ Esempio 6.41 (trasformata di Fourier della finestra rettangolare a TC) Applichiamo la prop. 6.20 per calcolare la trasformata di Fourier del segnale y(t) = rect(2t), ottenuto mediante una compressione con a = 2 dal segnale x(t) = rect(t) (fig. 6.46). Poiché: FT

x(t) = rect(t) ←→ X( f ) = sinc( f ) , si ha immediatamente 1 y(t) = rect(2t) ←→ Y ( f ) = sinc 2 FT

  f . 2

Le trasformate di Fourier X( f ) ed Y ( f ) sono entrambi reali, e sono rappresentate in fig. 6.47. Confrontando i segnali nel dominio del tempo e della frequenza, notiamo che, mentre y(t) si ottiene da x(t) mediante una compressione (a = 2) dei tempi, Y ( f ) si ottiene da X( f ) mediante un’espansione ( 1a = 12 ) delle frequenze. In altri termini, ad un dimezzamento della durata del segnale nel dominio del tempo, corrisponde un raddoppio della sua banda, comunque siano misurate queste due quantità. Per un segnale di questo tipo, la durata può essere definita in maniera non ambigua (segnale a durata rigorsoamente limitata), mentre per la banda è particolarmente indicata la banda nullo-nullo): utilizzando tali definizioni si verifica facilmente che il prodotto durata-banda è costante, in quanto si ha ∆x Bx = 1 · 1 = 1 e ∆y By = 12 · 2 = 1. Il cambiamento di scala delle ampiezze (il fattore moltiplicativo 12 presente nella Y ( f )) si giustifica facilmente sulla base della proprietà del valore nell’origine della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.5): notiamo infatti che, per effetto della compressione nel tempo con a = 2, l’area di y(t) è la metà dell’area di x(t), e questo deve riflettersi nel dominio della frequenza in un dimezzamento del valore nell’origine Y (0) rispetto ad X(0). ◭

La proprietà del cambiamento di scala, utilizzata congiuntamente ad altre proprietà (tipicamente linearità e/o traslazione temporale), serve per generalizzare alcune trasformate notevoli. Ad esempio, generalizzando il risultato dell’esempio precedente, a partire dalla trasformata notevole x(t) = FT rect(t) ←→ X( f ) = sinc( f ), applicando la linearità ed il cambiamento di scala è facile ottenere la seguente trasformata di Fourier: t  FT ←→ X( f ) = A T sinc( f T ) , x(t) = A rect T

valida ∀A ∈ R e ∀T ∈ R+ , che è stata già ricavata per integrazione diretta dell’equazione di analisi FT nell’es. 6.1. Allo stesso modo, partendo dalla trasformata notevole x(t) = Λ(t) ←→ X( f ) = sinc2 ( f ),

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

335

ricavata nell’es. 6.7, si ottiene facilmente la seguente relazione t  FT ←→ X( f ) = AT sinc2 ( f T ) , x(t) = A Λ T

valida ∀A ∈ R e ∀T ∈ R+ . Altri esempi di questo tipo sono proposti negli esercizi. Passiamo ora ad esaminare il caso di segnali TD. Nel § 2.1.2 si è visto che, per un segnale TD x(n), il cambiamento di scala temporale assume due distinte forme, note come decimazione (corrispondente alla compressione a TC)  ed espansione. Per quanto riguarda l’espansione, la trasformata di Fourier del segnale y(n) = x Ln , L ∈ N, si calcola direttamente, in quanto +∞

∑

Y (ν ) =

y(n) e− j2πν n =

n=−∞

+∞

∑

n=−∞

x

hni L

e− j2πν n .

Ricordando che, per la definizione (2.1) di espansione a TD, si ha ( n hni , se n è multiplo di L ; x L y(n) = x = L 0, altrimenti ; la relazione precedente si può scrivere: ∞

∑

Y (ν ) =

n = −∞ n multiplo di L

x

n L

e− j2πν n .

Ponendo k = n/L → n = kL (la sostituzione è lecita a questo punto in quanto n è multiplo di L e quindi k è sicuramente intero, in particolare k ∈ Z) si ha +∞

Y (ν ) =

∑

x(k) e− j2π (ν L)k = X(Lν ) .

k=−∞

Vale allora la seguente proprietà: Proprietà 6.21 (proprietà di espansione della trasformata di Fourier a TD) FT

Sia x(n) ←→ X(ν ) e L ∈ N, si ha hni FT ←→ Y (ν ) = X(Lν ) . y(n) = x L

(6.99)

Dalla (6.99) si osserva che, dal punto di vista formale, ad una divisione per L nel dominio del tempo corrisponde una moltiplicazione per L nel dominio della frequenza, ed essendo L ≥ 1, quest’ultima operazione corrisponde ad una compressione dell’asse delle frequenze. Pertanto, sebbene l’espansione a TD sia diversa da quella a TC, per la trasformata di Fourier vale una proprietà concettualmente simile a quella che vale per l’espansione TC (caso 0 < a < 1): ad un’espansione nel dominio del tempo, corrisponde una compressione nel dominio della frequenza. Si noti invece che, a differenza del caso TC, nel caso TD le ampiezze della trasformata di Fourier non subiscono nessuna modifica: in effetti, poiché l’espansione a TD introduce semplicemente degli zeri nel segnale x(n), essa non altera l’area di x(n) e quindi (in accordo alla proprietà del valore nell’origine) neppure il valore dell’origine della trasformata X(ν ). La relazione (6.99) evidenzia una proprietà interessante, legata alla periodicità dello spettro di un segnale TD. Per effetto infatti della moltiplicazione per L dei valori di frequenza nella (6.99), si può

336

Trasformata di Fourier

osservare che Y (ν ) = X(Lν ) ammette un periodo più piccolo di 1, più precisamente essa è periodica di periodo 1/L. Infatti si ha:      1 1 Y ν+ =X L ν+ = X(Lν + 1) = X(Lν ) = Y (ν ) , L L dove si è sfruttata la periodicità (con periodo unitario) di X(ν ). Il fatto che Y (ν ) sia periodica di periodo 1/L non è in contrasto con la prop. 6.1, in quanto, poiché 1 è evidentemente un multiplo di 1/L, Y (ν ) sarà anche periodica di periodo 1, e quindi soddisfa la prop. 6.1. In effetti, così come non è detto che 1 sia il periodo fondamentale di X(ν ), non è detto che 1/L sia il periodo fondamentale di Y (ν ) (esso potrebbe essere un sottomultiplo di 1/L). Per quanto riguarda infine la decimazione y(n) = x(nM), con M ∈ N, abbiamo osservato che si tratta di un’operazione non reversibile, in quanto essa elimina completamente alcuni campioni del segnale x(n). Questo comporta che la relazione tra lo spettro del segnale y(n) = x(nM) e quello del segnale x(n) non è di semplice derivazione, come quella dell’espansione, e non è a sua volta reversibile, se non sotto ipotesi particolari. Si può verificare che la decimazione di un segnale TD è simile al campionamento, per cui la determinazione del legame tra gli spettri richiede necessariamente la conoscenza di alcune relazioni fondamentali che descrivono il campionamento nel dominio della frequenza. 6.5.3 Derivazione e differenza prima, integrazione e somma

In questa sezione esaminiamo gli effetti nel dominio della frequenza delle operazioni introdotte nel § 2.1.4, ovvero la derivazione e la differenza prima, e l’integrazione e somma. Partiamo dall’operazione di derivazione a TC: il problema è quello di calcolare la trasformata di Fourier del segnale y(t) = dtd x(t) in funzione della trasformata di x(t). Il risultato si ottiene facilmente a partire dall’equazione di sintesi per x(t): x(t) =

Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f .

Se infatti si deriva formalmente tale espressione rispetto a t, portando la derivata sotto il segno di integrale44 , si ottiene: y(t) =

d x(t) = dt

Z  X( f ) e j2π f t d f =

Z +∞  d −∞

dt

+∞

−∞

X( f )

d  j2π f t  df = e dt

Z +∞ −∞

X( f ) j2π f e j2π f t d f .

Confrontando l’ultimo integrale con l’equazione di sintesi per y(t), ovvero con y(t) =

Z +∞ −∞

Y ( f ) e j2π f t d f ,

e invocando la proprietà di unicità della trasformata di Fourier, si ricava che Y ( f ) = j2π f X( f ). Vale allora la seguente relazione: y(t) = 44 Se

d FT x(t) ←→ Y ( f ) = j2π f X( f ) . dt

(6.100)

il segnale x(t) è a banda rigorosamente limitata, cioè X( f ) = 0 per f 6∈ ( f1 , f2 ), con f2 > f1 valori reali finiti, l’integrale che definisce l’equazione di sintesi è esteso al solo intervallo finito ( f1 , f2 ) e, in questo caso, invocando il criterio di Leibnitz, è possibile portare senza alcun problema la derivata sotto il segno di integrale. Se il segnale non è a banda rigorosamente limitata, tale passaggio non è sempre lecito; una condizione sufficiente per poter portare la derivata sotto il segno di integrale è che la funzione di due variabili X( f ) e j2π f t sia derivabile parzialmente rispetto a t e, per ogni t ∈ R, la risultante derivata sia maggiorata in modulo da una funzione g(t, f ) sommabile su R rispetto alla variabile f .

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

337

|H(f)|

30 20 10 0 −5

0 f

5

0 f

5

∠ H(f)

1 0 −1 −5

Fig. 6.48. Risposta in ampiezza (in alto) ed in fase (in basso) del sistema TC derivatore.

Notiamo che l’operazione di derivata si può interpretare come un sistema LTI avente risposta impulsiva h(t) = dtd δ (t) (derivatore), per cui la (6.100) consente di calcolare la risposta in frequenza H( f ) di tale sistema. Utilizzando la definizione (6.23) di risposta in frequenza, si ha infatti H( f ) =

Y(f) = j2π f , X( f )

cui corrispondono le risposte in ampiezza ed in fase |H( f )| = 2π | f | e ∡H( f ) =

π sgn( f ) , 2

rappresentate graficamente in fig. 6.48. Dal grafico della risposta in ampiezza, si nota che la derivazione opera qualitativamente come un filtro passaalto: infatti, il guadagno in continua vale H(0) = 0, il che significa che la componente continua del segnale di ingresso - se presente - viene completamente cancellata in uscita (essendo una costante, in effetti, la sua derivata è nulla). Inoltre risulta |H( f )| ≪ 1 per | f | ≪ 1, per cui le basse frequenze vengono fortemente attenuate; viceversa, si ha che |H( f | ≫ 1 per | f | ≫ 1: in particolare, si osservi che per | f | → +∞ si ha che |H( f )| → +∞, per cui le alte frequenze vengono fortemente amplificate.45 Dal grafico della risposta in fase, si osserva inoltre che il derivatore introduce uno sfasamento di ±π /2 del segnale di ingresso. Questo sfasamento associato alla derivazione ammette una semplice interpretazione se si fa riferimento alla derivazione di un segnale sinusoidale: derivando infatti il segnale x(t) = sin(t) si ottiene il segnale y(t) = cos(t) e viceversa (a meno di un segno), ed evidentemente y(t) = cos(t) = sin(t − π /2), ovvero le funzioni seno e coseno differiscono tra loro proprio per uno sfasamento di π /2 (notiamo che la stessa proprietà si può mostrare anche in maniera più formale applicando la prop. 4.12). Concludiamo osservando che la proprietà di derivazione (6.100) può essere facilmente estesa al caso della derivata k-esima, applicando iterativamente (k volte) la (6.100). È possibile pertanto enunciare la seguente proprietà in forma più generale:46 45 Tale comportamento passaalto del derivatore ne rende sconsigliato l’impiego pratico nei circuiti analogici, in quanto esso inevitabilmente amplifica le componenti ad alta frequenza dei disturbi eventualmente sovrapposti al segnale di ingresso, peggiorando quindi la qualità del segnale. 46 Ragionando come fatto per la derivata prima, si può concludere che anche la derivata k-esima tende a comportarsi come un filtro passaalto, con guadagno in continua H(0) = 0 e guadagno ad alta frequenza |H(±∞)| = +∞.

338

Trasformata di Fourier

1.5 |X(f)|

x(t)

1 0.5 0 −1.5

−1

−0.5

0 t

0.5

1

1 0.5 0 −3

1.5

−2

−1

0 f

1

2

3

−2

−1

0 f

1

2

3

1

∠ X(f)

y(t)

1 0 −1 −1.5

0 −1

−1

−0.5

0 t

0.5

1

1.5

Fig. 6.49. L’impulso bifase y(t) (in basso) si ottiene derivando la finestra triangolare x(t) = Λ(t) (in alto) (es. 6.42).

−3

Fig. 6.50. Spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) della trasformata di Fourier Y ( f ) dell’impulso bifase (es. 6.42).

Proprietà 6.22 (proprietà di derivazione k-esima della trasformata di Fourier a TC) FT

Sia x(t) ←→ X( f ) e k ∈ N, si ha y(t) =

dk FT x(t) ←→ Y ( f ) = ( j2π f )k X( f ) . k dt

(6.101)

◮ Esempio 6.42 (trasformata di Fourier dell’impulso bifase a TC) Consideriamo il segnale x(t) = Λ(t), e calcoliamo la sua derivata y(t) = dtd x(t). Utilizzando il grafico di x(t) (fig. 6.49), oppure ricordando l’espressione analitica della finestra triangolare, si ha   0 < t < 1; 1 , d y(t) = x(t) = −1 , −1 < t < 0 ;  dt  0, |t| > 1 .

Il segnale y(t) prende il nome di impulso bifase ed è raffigurato in fig. 6.49. Esso presenta in effetti tre punti di discontinuità (in −1, 0 ed 1), nei quali la finestra triangolare x(t) non è derivabile, ma ammette finite le derivate sinistra e destra. La trasformata di Fourier dell’impulso bifase si calcola facilmente applicando la proprietà di derivazione e FT ricordando la trasformata notevole x(t) = Λ(t) ←→ X( f ) = sinc2 ( f ) (cfr. es. 6.7). Si ha: Y ( f ) = j2π f sinc2 ( f ) = j2

sin2 (π f ) . πf

La trasformata ottenuta, essendo quella di un segnale reale e dispari, risulta essere (per le proprietà di simmetria) immaginaria pura e dispari. Gli spettri di ampiezza e di fase sono ( π , f > 0; π sin2 (π f ) 2 e ∡Y ( f ) = + ∡ f = 2 π |Y ( f )| = 2π | f |sinc ( f ) = 2 π| f | 2 −2 , f < 0; e sono diagrammati in fig. 6.50; si noti inoltre che la fase si può esprimere come ∡Y ( f ) = π2 sgn( f ). Dall’esame dello spettro di ampiezza, si nota che l’impulso bifase presenta un contenuto spettrale poco significativo nell’intorno della frequenza zero (per f = 0 si ha Y (0) = 0), per cui esso si può considerare come un esempio di segnale a media frequenza o passa banda, con banda monolatera nullo-nullo pari a By = 1. Per tale sua

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

339

10 |X(ν)|

|H(ν)|

2 1

5

0 −0.5

0 ν

0.5

0

1

1 0 −1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

1

∠ X(ν)

∠ H(ν)

−1

0 −1

−1

−0.5

0 ν

0.5

1

Fig. 6.51. Risposta in ampiezza (in alto) ed in fase (in basso) del sistema TD differenza prima.

Fig. 6.52. Spettro di ampiezza (in alto) ed di fase (in basso) del segnale x(n) = sgn(n) (es. 6.43).

caratteristica spettrale, l’impulso bifase è molto utilizzato nelle trasmissioni numeriche “in banda base” (cioè senza ricorrere a tecniche di modulazione) su mezzi trasmissivi che non trasmettono bene le basse frequenze (ad esempio su circuiti elettrici in cui sono presenti accoppiamenti induttivi o capacitivi). ◭

Passiamo ora alla controparte a TD dell’operazione di derivazione, vale a dire la differenza prima △

y(n) = ∇1 [x(n)] = x(n) − x(n − 1). In questo caso la trasformata di y(n) si può calcolare applicando la prop. 6.2 (linearità) e la prop. 6.16 (traslazione temporale): Y (ν ) = F[y(n)] = F[x(n) − x(n − 1)] = F[x(n)] − F[x(n − 1)] = X(ν ) − X(ν ) e− j2πν , per cui si ha, in definitiva,
FT y(n) = ∇1 [x(n)] ←→ Y (ν ) = 1 − e− j2πν X(ν ) .

(6.102)

Anche nel caso TD, l’operazione di differenza prima si può interpretare come un sistema LTI avente risposta impulsiva h(n) = δ (n) − δ (n − 1): notiamo che un sistema del genere è in effetti un sistema MA (cfr. § 4.6.2). Utilizzando la definizione (6.23) di risposta in frequenza, dalla (6.102) si ha H(ν ) =


Y (ν ) = 1 − e− j2πν = e− jπν e jπν − e− jπν = 2 j e− jπν sin(πν ) , X(ν )

(6.103)

cui corrispondono le seguenti risposte di ampiezza e fase: |H(ν )| = 2 |sin(πν )| ,

e ∡H(ν ) =

π − πν + ∡ sin(πν ) , 2

raffigurate in fig. 6.51. Dal grafico della risposta di ampiezza, si nota che, analogamente alla derivata nel caso TC, anche la differenza prima si comporta come un filtro passaalto. Infatti,
si ha H(0) = 0 (guadagno in continua nullo), mentre il guadagno ad alta frequenza vale H ± 21 = 2 (si ricordi che nel caso TD le componenti ad alta frequenza si trovano in corrisponenza dei valori di ν = ± 21 ). Pertanto, a differenza del caso TC, in cui il guadagno ad alta frequenza tende ad infinito, nel caso TD tale guadagno è limitato e vale 2.

340

Trasformata di Fourier

◮ Esempio 6.43 (trasformate di Fourier della signum e del gradino a TD) Applicando la proprietà della differenza prima, calcoleremo prima la trasformata di Fourier del segnale signum a TD e, da questa, quella del gradino a TD. Partendo dal segnale x(n) = sgn(n), si può verificare facilmente che ∇1 [sgn(n)] = sgn(n) − sgn(n − 1) = 2 δ (n) , FT

per cui, ricordando la trasformata notevole δ (n) ←→ 1 ed applicando la (6.102), si ha X(ν )(1 − e− j2πν ) = 2 , da cui si ricava47 X(ν ) =

2 1 = − jπν . 1 − e− j2πν je sin(πν )

(6.104)

In definitiva, abbiamo trovato la seguente trasformata notevole FT

x(n) = sgn(n) ←→ X(ν ) =

2 , 1 − e− j2πν

(6.105)

controparte a TD della (6.105). Gli spettri di ampiezza e di fase si ricavano facilmente utilizzando l’espressione (6.104) della X(ν ). Si ha: |X(ν )| =

1 |sin(πν )|

e

∡X(ν ) = −

π + πν − ∡ sin(πν ) , 2

e sono raffigurati graficamente in fig. 6.52. Avendo determinato la trasformata della signum, procediamo come nel caso TC ricavando subito la trasformata del gradino. Si ha infatti: u(n) =

1 1 + sgn(n) , 2 2

per cui, adoperando la proprietà di linearità, e le trasformate di Fourier della costante (cfr. es. 6.21) e della signum ricavata precedentemente, si trova   1 1 1 1 , F[u(n)] = F + F [sgn(n)] = δe(ν ) + 2 2 2 1 − e− j2πν ovvero la trasformata notevole

1 1 FT , x(n) = u(n) ←→ X(ν ) = δe(ν ) + 2 1 − e− j2πν

(6.106)

che può essere considerata la controparte a TD della (6.41).

◭

Concludiamo osservando che, come nel caso TC, la proprietà della differenza prima definita dalla (6.102) può essere facilmente estesa al caso della differenza k-esima, in quanto quest’ultima operazione può essere definita ricorsivamente nel seguente modo: ∇k [x(n)] = ∇1 {∇k−1 [x(n)]} . Ad esempio, la differenza seconda si scrive esplicitamente come ∇2 [x(n)] = ∇1 {∇1 [x(n)]} = ∇1 [x(n) − x(n − 1)] = x(n) − x(n − 1) − [x(n − 1) − x(n − 2)] = x(n) − 2x(n − 1) + x(n − 2) . noti che questa derivazione è valida solo se ν 6= k ∈ Z, il che assicura che 1 − e− j2πν 6= 0. Si può tuttavia verificare (anche se il calcolo non è banale) che la X(ν ) calcolata precedentemente è corretta anche per ν = k ∈ Z, in quanto sostituita nell’equazione di sintesi fornisce effettivamente il segnale x(n) = sgn(n), ∀n ∈ Z. 47 Si

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

341

Poiché la differenza k-esima si ottiene applicando k volte la differenza prima, applicando k volte la (6.102) si ottiene la seguente proprietà più generale:48 Proprietà 6.23 (proprietà di differenza k-esima della trasformata di Fourier a TD) FT

Sia x(n) ←→ X(ν ) e k ∈ N, si ha y(n) = ∇k [x(n)] ←→ Y (ν ) = 1 − e− j2πν FT


k

X(ν ) .

(6.107)

Passiamo ora a considerare il caso dell’integrazione a TC, ovvero del calcolo della trasformata di Fourier del segnale y(t) =

Z t

−∞

x(τ ) dτ ,

espressa in funzione di quella di x(t). Tale calcolo si effettua semplicemente se si osserva che in effetti la relazione precedente definisce un sistema LTI (integratore con memoria infinita, cfr. es. 4.7) avente risposta impulsiva h(t) = u(t). Infatti, si ha: y(t) =

Z t

−∞

x(τ ) dτ =

Z +∞ −∞

x(τ ) u(t − τ )dτ = x(t) ∗ u(t) .

Applicando allora la prop. 6.6 (convoluzione) e ricordando l’espressione della trasformata del gradino U( f ) = F[u(t)] (cfr. es. 6.14) si ha:   1 1 X( f ) 1 = X(0) δ ( f ) + Y ( f ) = X( f )U( f ) = X( f ) δ ( f ) + 2 j2π f 2 j2π f dove abbiamo utilizzato anche la proprietà di campionamento della delta di Dirac. Vale allora la seguente relazione: y(t) =

Z t

−∞

FT

x(τ ) dτ ←→ Y ( f ) =

X( f ) 1 + X(0) δ ( f ) . j2π f 2

(6.108)

Se confrontiamo questa espressione con la (6.100), valida per la derivazione, notiamo che, se X(0) = 0, esiste una perfetta simmetria, dovuta al fatto che l’integrazione è l’operazione inversa della derivazione; pertanto, mentre nella derivazione si moltiplica X( f ) per j2π f nel dominio della frequenza, nell’integrazione X( f ) è diviso per la stessa quantità. Notiamo però che tale simmetria non è perfetta se X(0) 6= 0, in quanto compare in quest’ultimo caso un impulso di Dirac per f = 0, di area pari a 1 2 X(0). Quest’impulso nell’origine evidenzia in effetti la presenza di una componente continua nel segnale y(t): poiché, per la prop. 6.5 (valore nell’origine), il valore X(0) coincide con l’area del segnale x(t), tale impulso non è presente se (e solo se) il segnale di ingresso x(t) ha area nulla. Notiamo infine che, analogamente a quanto fatto per il derivatore, si può ricavare dalla (6.108) la risposta in frequenza H( f ) dell’integratore: H( f ) =

1 1 Y(f) = + δ(f). X( f ) j2π f 2

(6.109)

Il primo termine di H( f ) presenta un comportamento reciproco rispetto a quello del derivatore nel dominio della frequenza (guadagno infinito per f → 0 e guadagno tendente a zero per | f | → +∞), ovvero 48 La differenza k-esima, come la derivata k-esima nel caso TC, tende a comportarsi come un filtro passaalto, con guadagno

in continua H(0) = 0 e guadagno ad alta frequenza |H(± 21 )| = 2k .

342

Trasformata di Fourier

si comporta come un filtro passabasso, mentre l’effetto del secondo termine impulsivo è concentrato per f = 0, come descritto precedentemente.49 Concludiamo con l’osservazione che, anche per l’integrazione, la (6.108) può essere applicata iterativamente al caso dell’integrale k-esimo di un segnale, ma tale formulazione non è molto diffusa, per cui la proprietà di integrazione della trasformata di Fourier è comunemente enunciata come segue: Proprietà 6.24 (proprietà di integrazione della trasformata di Fourier a TC) FT

Sia x(t) ←→ X( f ), si ha y(t) =

Z t

FT

−∞

x(τ ) dτ ←→ Y ( f ) =

X( f ) 1 + X(0) δ ( f ) . j2π f 2

Da ultimo, affrontiamo il calcolo della trasformata di Fourier della somma corrente y(n), definita dalla relazione: n

y(n) =

∑

x(k) ,

k=−∞

che si può interpretare come la controparte a TD dell’integrazione a TC vista precedentemente. Tale calcolo si sviluppa con passaggi analoghi a quelli per il caso TC, osservando che la somma corrente definisce anch’essa un sistema LTI (accumulatore o integratore a TD con memoria infinita), avente risposta impulsiva h(n) = u(n). Infatti si ha: +∞

n

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) =

∑

k=−∞

x(k) u(n − k) = x(n) ∗ u(n) ,

per cui, applicando la prop. 6.6 (convoluzione) e ricordando l’espressione della trasformata del gradino U(ν ) = F[u(n)] ricavata nell’es. 6.43, si ha:   1e 1 X(ν ) 1 . Y (ν ) = X(ν )U(ν ) = X(ν ) δ (ν ) + = X(0) δe(ν ) + − j2 πν 2 1−e 2 1 − e− j2πν

dove abbiamo sfruttato la proprietà di campionamento X(ν ) δe(ν ) = X(0) δe(ν ) del pettine di delta, di facile verifica. Vale allora la seguente relazione: n

y(n) =

∑

k=−∞

FT

x(k) ←→ Y (ν ) =

X(ν ) 1 + X(0) δe(ν ) . 1 − e− j2πν 2

(6.110)

Per quanto riguarda l’interpretazione della (6.110), valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per l’integrazione nel caso TC. In particolare, nel primo termine compare il reciproco del fattore 1 − e− j2πν caratteristico della differenza prima [cfr. (6.102)], per cui tale termine presenta il comportamento di un filtro passabasso, in quanto il guadagno è infinito per ν = 0 (bassa frequenza), mentre esso vale 21 per ν = ±1/2 (alta frequenza). Notiamo che, a differenza dell’integratore a TC, ad alta frequenza il guadagno non è zero e nemmeno eccessivamente piccolo. Per quanto riguarda invece il secondo termine, il suo effetto è concentrato alla frequenza ν = 0 (e, per la periodicità, a tutte le 49 Bisogna dire però che, per quanto suggestiva, questa interpretazione non è del tutto rigorosa:

infatti, poiché l’integratore con memoria infinita è un sistema instabile, bisogna adoperare qualche cautela nel definire ed interpretare la sua risposta in frequenza.

6.5 Proprietà della trasformata di Fourier

343

frequenze intere): poiché anche nel caso TD, per la prop. 6.5 (valore nell’origine) la quantità X(0) rappresenta l’area del segnale x(n), tale termine non è presente se (e solo se) il segnale di ingresso ha area zero. Le precedenti considerazioni possono essere riformulate anche con riferimento alla risposta in frequenza del sistema accumulatore, calcolabile in base alla (6.110) come50 H(ν ) =

Y (ν ) 1 1 + δe(ν ) . = πν − j2 X(ν ) 1 − e 2

In definitiva, la proprietà di somma corrente della trasformata di Fourier a TD si enuncia come segue: Proprietà 6.25 (proprietà di somma corrente della trasformata di Fourier a TD) FT

Sia x(n) ←→ X(ν ), si ha n

y(n) =

∑

FT

x(k) ←→ Y (ν ) =

k=−∞

X(ν ) 1 + X(0) δe(ν ) . 1 − e− j2πν 2

◮ Esempio 6.44 (trasformata di Fourier della finestra triangolare a TC) In questo esempio mostriamo come le proprietà di derivazione ed integrazione possano essere utilizzate per il calcolo della trasformata di Fourier di determinati segnali. In pratica questo esempio ripropone il calcolo dell’es. 6.42, ma ragionando al contrario, ovvero per calcolare la trasformata di Fourier del segnale x(t) = Λ(t), già calcolata nell’es. 6.7 utilizzando la proprietà di convoluzione. La derivata di x(t) = Λ(t) ha l’espressione seguente, già ricavata nell’es. 6.42:   −1 < t < 0 ; 1 , d y(t) = x(t) = −1 , 0 < t ≤ 1 ;  dt  0, altrimenti ;

e gà raffigurata in fig. 6.49. Notiamo che tale segnale si può esprimere analiticamente come y(t) = rect(t + 1/2) − rect(t − 1/2) .

(6.111)

Si noti che, viceversa, si ha x(t) =

Z t

−∞

y(τ )dτ ,

per cui è possibile esprimere la trasformata di x(t) in funzione di quella di y(t) utilizzando la prop. 6.24 (integrazione). Poiché y(t) ha area nulla, inoltre, risulta Y (0) = 0 e quindi la proprietà di integrazione assume la forma particolarmente semplice: X( f ) =

Y(f) . j2π f

Calcoliamo adesso la trasformata di y(t) espresso mediante la (6.111), utilizzando in particolare la prop. 6.2 FT (linearità), la prop. 6.16 (traslazione nel tempo) e la trasformata notevole rect(t) ←→ sinc( f ). Si ha:   sin(π f ) Y ( f ) = sinc( f ) e jπ f − sinc( f ) e− jπ f = sinc( f ) e jπ f − e− jπ f = 2 j sinc( f ) sin(π f ) = 2 j sin(π f ) πf = 2j

50 Va

sin2 (π f ) , πf

detto che, anche in questo caso, non è del tutto corretto ragionare in termini di risposta in frequenza, in quanto l’accumulatore, come l’integratore, è un sistema instabile.

344

Trasformata di Fourier

da cui ritroviamo X( f ) =

Y(f) 1 sin2 (π f ) sin2 (π f ) = 2j = = sinc2 ( f ) , j2π f j2π f πf π2 f 2 FT

ovvero la trasformata notevole x(t) = Λ(t) ←→ X( f ) = sinc2 ( f ) già ricavata nell’es. 6.7.

◭

La tecnica di calcolo adoperata nell’es. 6.44 è frequentemente utilizzata nel caso più generale in cui, derivando (anche più volte) il segnale x(t), si ottiene un segnale y(t) di cui sia relativamente semplice calcolare la trasformata di Fourier. Questo accade quando il segnale x(t) è ad esempio descritto da una funzione lineare a tratti, con eventuali discontinuità. Infatti la derivata di un tale segnale potrà essere espressa come la somma di un certo numero di finestre rettangolari (scalate nel tempo ed in ampiezza, e traslate) e di un certo numero di impulsi di Dirac, in corrispondenza delle discontinuità diR x(t). La trasformata di y(t) potrà allora essere calcolata in maniera semplice ed, t y(τ )dτ , la trasformata X( f ) si otterrà come nell’es. 6.44 utilizzando la prop. 6.24. essendo x(t) = −∞ Si può anche notare che, quando x(t) è un segnale transitorio come nell’es. 6.44, l’applicazione della prop. 6.24. risulta semplificata dal fatto che Y (0) = 0. Infatti, poiché per un segnale transitorio si ha lim|t|→+∞ x(t) = 0, allora risulta Y (0) =

Z +∞ −∞

y(τ )dτ = lim x(t) = 0 . t→+∞

Infine, esistono anche delle proprietà che, almeno nel caso TC, si possono interpretare come duali di quelle di derivazione/integrazione, ed in particolare sono le proprietà di derivazione in frequenza (caso TC e TD), e la proprietà di integrazione in frequenza (solo caso TC). Tali proprietà, insieme con un riepilogo di tutte le proprietà della trasformata di Fourier, sono riportate in app. F.

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

345

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici Avendo introdotto le principali proprietà della trasformata di Fourier e numerose trasformate notevoli, in particolare quelle dei fasori TC e TD, siamo ora in grado di calcolare la trasformata di Fourier di un arbitrario segnale periodico TC e TD. In particolare, questo risultato ci consentirà di discutere alcuni aspetti particolari relativi all’estensione spettrale ed alla banda di un segnale periodico. Infine, poiché un segnale periodico può essere equivalentemente rappresentato nel dominio della frequenza attraverso la sua serie di Fourier, calcolarne la trasformata ci consentirà di individuare anche delle fondamentali relazioni esistenti tra serie di Fourier e trasformata di Fourier. 6.6.1 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TC

Partiamo dal caso TC, ricordando che un segnale x(t), periodico di periodo T0 , si può rappresentare in serie di Fourier, mediante l’espressione +∞

x(t) =

∑

Xk e j2π k f0t ,

(6.112)

k=−∞

dove f0 = T10 (frequenza fondamentale). Il calcolo della trasformata di Fourier della (6.112) si basa sulla trasformata di un fasore TC data dalla (6.42), che per il generico fasore a frequenza k f0 che compare nella (6.112) si scrive e j2π k f0t ←→ δ ( f − k f0 ) . FT

Applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.2), si trova allora +∞

x(t) =

∑

Xk e

j2π k f0 t

FT

←→ X( f ) =

k=−∞

+∞

∑

k=−∞

Xk δ ( f − k f0 ) =

+∞

∑

k=−∞

Xk δ



k f− T0



.

(6.113)

Tale trasformata si può interpretare (fig. 6.53) come la sovrapposizione di infiniti impulsi di Dirac, centrati alle frequenze armoniche k f0 , ed aventi area (in generale complessa) pari al coefficiente Xk della serie di Fourier. Uno spettro discreto del genere prende il nome di spettro a righe, ed è caratteristico di un qualunque segnale periodico: notiamo che la spaziatura tra le righe è proprio pari alla frequenza fondamentale f0 del segnale periodico. Facendo riferimento all’interpretazione intuitiva della delta di Dirac come funzione concentrata in un punto, la forma discreta dello spettro di un segnale periodico esprime il fatto che il contenuto spettrale di un segnale periodico è tutto concentrato alle frequenze armoniche k f0 , mentre è nullo a tutte le altre frequenze. Questa caratteristica dello spettro è in accordo al fatto che, per la (6.112), un segnale periodico è perfettamente rappresentato da una sovrapposizione di fasori alle frequenze armoniche k f0 . Notiamo infine che gli spettri del fasore e della sinusoide a TC, già ricavati in precedenza, si possono vedere come casi particolari dello spettro (6.113). ◮ Esempio 6.45 (trasformata di Fourier dell’onda rettangolare a TC) Si consideri l’onda rettangolare h  t i , x(t) = repT0 A rect T

con A ∈ R e duty-cycle δc = come Xk = A δc sinc(kδc ) ,

T T0

≤ 1. I coefficienti della sua serie di Fourier si possono esprimere (cfr. es. 5.2)

∀k ∈ Z ,

346

Trasformata di Fourier 0.6

X(f)

0.5

X0

0.4

X1

X -1

0.3

X -2

X2

X3

...

X(f)

X -3

... -3f 0

-2f 0

-f0

0

f0

2f 0

3f 0

0.2 0.1

f

0 −0.1

Fig. 6.53. Rappresentazione grafica dello spettro di un segnale periodico a TC.

−0.2 −6

−4

−2

0 f

2

4

6

Fig. 6.54. Trasformata di Fourier X( f ) dell’onda rettangolare con T0 = 1, A = 1 e δc = 12 (es. 6.45). per cui lo spettro (6.113) si esprime come X( f ) = A δc

+∞

∑

k=−∞

sinc(kδc ) δ ( f − k f0 ) = A δc

+∞

∑

k=−∞

sinc(kδc ) δ



f−

k T0



.

Tale spettro è raffigurato graficamente in fig. 6.54 per A = 1, T0 = 1, e δc = 12 (si noti che tale rappresentazione è semplificata dal fatto che le armoniche Xk sono puramente reali; inoltre le armoniche per k pari sono nulle, tranne quella per k = 0). ◭

Confrontando la fig. 6.54 dell’esempio precedente con la fig. 5.3 dell’es. 5.2, si può osservare che in effetti la rappresentazione grafica dello spettro di un segnale periodico è molto simile alla rappresentazione dei coefficienti della serie di Fourier in funzione di k. La principale differenza è dovuta al fatto che i coefficienti Xk della serie di Fourier sono funzione della variabile discreta k, mentre la trasformata di Fourier del segnale periodico è funzione della variabile continua f , il che giustifica in qualche modo la presenza degli impulsi di Dirac in X( f ). In altri termini, la serie di Fourier si può vedere come una rappresentazione “discreta” del contenuto spettrale di un segnale periodico, mentre la trasformata di Fourier è una rappresentazione “continua” della stessa quantità (notiamo peraltro che lo spettro di un segnale periodico è “intrinsecamente” discreto). La trasformata di Fourier di un segnale periodico particolarmente interessante per il seguito è quella del pettine di δ , già introdotto nell’es. 6.20. Per maggiore generalità, nell’esempio che segue considereremo il caso di un pettine di δ avente periodo arbitrario T0 ∈ R+ .

◮ Esempio 6.46 (trasformata di Fourier del pettine di δ a TC) Consideriamo il seguente segnale x(t), periodico di periodo T0 : +∞

x(t) =

∑

n=−∞

δ (t − nT0 ) = repT0 [δ (t)] ,

(6.114)

ottenuto replicando con passo T0 l’impulso di Dirac centrato nell’origine ed avente area unitaria. Si tratta della generalizzazione ad un arbitrario periodo T0 del pettine di δ già introdotto nell’es. 6.20; il segnale x(t) è rappresentato simbolicamente in fig. 6.55. I coefficienti della serie di Fourier di x(t) si ottengono risolvendo l’equazione di analisi: Xk =

1 T0

Z T0 /2

−T0 /2

x(t) e− j2π k f0 t dt ,

(6.115)

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

347

1/T

1

x(t)

X(f)

0

−2T

0

−T

0

0

2T

T

0

−2f

0

0

0

−f

0

t

f

0

2f

0

f

Fig. 6.55. Pettine di δ a TC di periodo T0 (es. 6.46).

Fig. 6.56. Trasformata di Fourier X( f ) del pettine di δ a TC di periodo T0 (es. 6.46).

con f0 = 1/T0 (frequenza fondamentale). Nella (6.115), come periodo di integrazione, abbiamo scelto per convenienza di calcolo l’intervallo t ∈ (−T0 /2, T0 /2). Ricorrendo all’interpretazione intuitiva dell’impulso di Dirac come funzione nulla ovunque tranne che nel punto di applicazione, notiamo che l’unico impulso del pettine di δ che cade nell’intervallo (−T0 /2, T0 /2) è quello applicato in t = 0, per cui la (6.115) si riduce alla Xk =

1 T0

Z T0 /2

−T0 /2

δ (t) e− j2π k f0 t dt =

1 , T0

∀k ∈ Z ,

per la proprietà di integrazione definita della δ di Dirac. In altri termini, i coefficienti di Fourier del pettine di δ di periodo T0 sono tutti uguali ad 1/T0 , indipendentemente da k; notiamo che questo risultato generalizza quello già ricavato nell’es. 6.20. In definitiva, sostituendo l’espressione di Xk nella (6.113), la trasformata di Fourier del pettine di δ è 1 +∞ X( f ) = ∑ δ T0 k=−∞



k f− T0



=

1 rep 1 [δ ( f )] , T0 T0

che si interpreta come un pettine di δ nel dominio della frequenza, avente spaziatura 1/T0 ed area 1/T0 (fig. 6.56). In altri termini, vale la seguente trasformata notevole: +∞

x(t) =

∑

n=−∞

FT

δ (t − nT0 ) ←→ X( f ) =

1 +∞ ∑ δ T0 k=−∞



f−

k T0



,

ovvero la trasformata di un pettine di δ nel tempo è un pettine di δ in frequenza.

(6.116) ◭

6.6.2 Trasformata di Fourier di un segnale periodico TD

Nel caso TD, valgono considerazioni analoghe, tenendo conto però della fondamentale differenza tra la trasformata di Fourier a TC e a TD, ovvero la periodicità di quest’ultima. Partiamo in questo caso dalla rappresentazione di un segnale x(n), periodico di periodo N0 , mediante l’equazione di sintesi della sua DFS (ovvero la IDFS): x(n) =

1 N0 −1 1 N0 −1 −kn X(k) w = ∑ ∑ X(k) e j2π kν0 n , N0 N0 k=0 N0 k=0

(6.117)

348

Trasformata di Fourier

dove abbiamo esplicitato il termine wN0 = e− j2π /N0 ed abbiamo posto ν0 = N10 (frequenza fondamentale). Per la (6.65), la trasformata di Fourier del generico fasore che compare nella (6.117), avente frequenza kν0 , è data da FT e j2π kν0 n ←→ δe(ν − kν0 ) .

Pertanto, applicando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier, si trova   1 N0 −1 k 1 N0 −1 1 N0 −1 j2π kν0 n FT e e ←→ X(ν ) = x(n) = ∑ X(k) e ∑ X(k) δ (ν − kν0 ) = N0 ∑ X(k) δ ν − N0 . N0 k=0 N0 k=0 k=0 (6.118)

Nel caso TD, lo spettro X(ν ) si presenta come la sovrapposizione di un numero N0 finito di pettini di δ , aventi periodo unitario, moltiplicati per i coefficienti X(k) della DFS del segnale x(n). Più specificamente, i pettini di δ che compaiono nella (6.118), con i rispettivi fattori moltiplicativi, sono i seguenti: X(0)δe(ν ) ,

X(1)δe(ν − ν0 ) ,

X(2)δe(ν − 2ν0 ) ,

...

X(N0 − 1)δe[ν − (N0 − 1)ν0 ] .

e sono rappresentati in fig. 6.57 per N0 = 4. Come si vede, ciascun pettine è traslato di ν0 = N10 rispetto al precedente; sovrapponendo tali pettini, come previsto dalla (6.118), si hanno come risultato impulsi di Dirac posizionati a tutte le frequenze νk = kν0 , k ∈ Z. Questa osservazione, insieme con il fatto che la DFS X(k) è periodica di periodo N0 , mostra che, in effetti, la trasformata X(ν ) nella (6.118) si può scrivere anche come   1 +∞ k 1 +∞ X(k) X(k) δ ( ν − k ν δ ν − ) = X(ν ) = , (6.119) 0 ∑ ∑ N0 k=−∞ N0 k=−∞ N0 vale a dire sommando su k ∈ Z infiniti impulsi di Dirac centrati alle frequenze kν0 . In ogni modo, se si osserva lo spettro su un qualsiasi intervallo di frequenze di ampiezza unitaria, ad esempio per ν ∈ (0, 1), si vede che sono presenti esattamente N0 impulsi di Dirac, posizionati alle frequenze armoniche νk = kν0 , k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1}, che corrispondono agli 0 fasori strettamente necessari per la perfetta rappresentazione del segnale periodico a TD, come evidenziato dalla (6.117). ◮ Esempio 6.47 (trasformata di Fourier dell’onda rettangolare a TD) Si consideri l’onda rettangolare di periodo N0 : x(n) = repN0 [RM (n)] , con M ≤ N0 . I coefficienti della DFS si possono esprimere (cfr. es. 5.8) come   k X(k) = DM , N0 per cui lo spettro (6.118) si esprime come       k e k e 1 N0 −1 1 N0 −1 k X(ν ) = D δ ( ν − k ν ) = D δ ν − . 0 ∑ M N0 ∑ M N0 N0 k=0 N0 k=0 N0

o equivalentemente, in accordo alla (6.119), come       1 +∞ 1 +∞ k k k D δ ( ν − k ν ) = D δ ν − X(ν ) = , M M 0 ∑ ∑ N0 k=−∞ N0 N0 k=−∞ N0 N0

Poiché X(ν ) è complesso, tale spettro è raffigurato graficamente in modulo e fase in fig. 6.58 per N0 = 8 ed M = 4. Dal confronto con la fig. 5.11 dell’es. 5.8, si può osservare anche in questo caso la forte analogia tra la rappresentazione grafica dello spettro e quella della DFS in funzione di k. ◭

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

349

~ X(0) δ(ν)

-1

-1/2

0

1

ν

1

ν

1

ν

1/2

1

ν

1/2

1

ν

1/2

~ X(1) δ(ν-1/4)

-1

-1/2

0

1/2

~ X(2) δ(ν-2/4)

-1

-1/2

0

1/2

~ X(3) δ(ν-3/4)

-1

-1/2

0

X(ν)

-1

-1/2

0

Fig. 6.57. Rappresentazione grafica dello spettro di un segnale periodico a TD per N0 = 4. Lo spettro X(ν ) si ottiene sommando gli N0 = 4 pettini di δ traslati raffigurati in alto (con differenti colori).

Un caso particolarmente interessante per il seguito è quello della trasformata di Fourier del pettine di δ a TD, che è la controparte del segnale introdotto per il caso TC nell’es. 6.48. ◮ Esempio 6.48 (trasformata di Fourier del pettine di δ a TD) Consideriamo il seguente segnale x(n), periodico di periodo N0 : x(n) = repN0 [δ (n)] =

+∞

∑

k=−∞

δ (n − kN0 ) ,

(6.120)

ottenuto replicando con passo N0 l’impulso di Dirac discreto centrato nell’origine e avente ampiezza unitaria; tale segnale è rappresentato in fig. 6.59 per N0 = 3. Notiamo in particolare che per N0 = 1 si ha un segnale costante a TD, la cui trasformata di Fourier è stata già calcolata in precedenza (cfr. es. 6.21). La DFS di tale segnale periodico per N0 arbitrario è: X(k) =

N0 −1

∑

x(n) e− j2π kν0 n ,

n=0

dove ν0 = 1/N0 è la sua frequenza fondamentale. Poiché nell’intervallo n ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1} si ha x(n) = δ (n)

350

Trasformata di Fourier

|X(ν)|

4 2 0 −1

−0.5

0 ν

0.5

1

−0.5

0 ν

0.5

1

∠ X(ν)

2 0 −2 −1

Fig. 6.58. Trasformata di Fourier X(ν ) dell’onda rettangolare con N0 = 8 ed M = 4: spettro di ampiezza (in alto) e di fase (in basso) (es. 6.47). 1/3 1

0.6

X(ν)

x(n)

0.8

0.4 0.2 0

−1 −6

−4

−2

0 n

2

4

6

Fig. 6.59. Pettine di δ a TD di periodo N0 = 3 (es. 6.48).

−0.5

0

0.5

1

ν

Fig. 6.60. Trasformata di Fourier X(ν ) del pettine di δ a TD di periodo N0 = 3 (es. 6.48).

(fig. 6.59), allora X(k) =

N0 −1

∑

δ (n) e− j2π kν0 n = 1 ,

n=0

∀k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1} ,

(6.121)

per la proprietà di campionamento dell’impulso discreto. In altri termini, la DFS del pettine di δ di periodo N0 è costante e pari ad 1, per ogni k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1}. In definitiva, sostituendo l’espressione di X(k) nella (6.118), la trasformata di Fourier del pettine di δ a TD si può scrivere come   1 N0 −1 e k X(ν ) = ∑ δ ν − N0 , N0 k=0

o in alternativa, in accordo alla (6.119), come   1 +∞ k 1 X(ν ) = δ ν − rep 1 [δ (ν )] , = ∑ N0 N0 k=−∞ N0 N0 che si interpreta come un pettine di δ nel dominio della frequenza, avente spaziatura 1/N0 ed area 1/N0 (vedi

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

351

fig. 6.60 per N0 = 3). In altri termini, vale la seguente trasformata notevole   1 N0 −1 e 1 N0 −1 e k x(n) = ∑ δ (n − kN0 ) ←→ X(ν ) = ∑ δ (ν − kν0 ) = N0 ∑ δ ν − N0 , N0 k=0 k=−∞ k=0

(6.122)

  1 +∞ 1 +∞ k x(n) = ∑ δ (n − kN0 ) ←→ X(ν ) = ∑ δ (ν − kν0 ) = N0 ∑ δ ν − N0 . N0 k=−∞ k=−∞ k=−∞

(6.123)

+∞

FT

che può essere anche scritta, in accordo alla (6.119), come +∞

FT

Entrambe le relazioni mostrano che anche nel caso TD la trasformata di un pettine di δ nel tempo è un pettine di δ in frequenza. ◭

6.6.3 Estensione spettrale e banda di un segnale periodico

Avendo calcolato la trasformata di Fourier di un segnale periodico TC o TD, siamo ora in grado di discutere alcuni aspetti peculiari relativi all’estensione spettrale ed alla banda di un segnale periodico. Prendendo a riferimento il caso TC, la (6.113) mostra che lo spettro di un segnale periodico x(t) con frequenza fondamentale f0 è a righe, cioè è concentrato alle frequenze k f0 , con k ∈ Z. È allora legittimo considerare che l’estensione spettrale di un tale segnale sia Wx = ∪k∈Z {k f0 }, sia cioè l’insieme discreto contenente le sole frequenze armoniche. A stretto rigore, allora, in accordo alla def. 6.3, la misura di tale insieme, e quindi la banda del segnale periodico, risulta essere Bx = 0. Un discorso analogo vale per un segnale periodico TD x(n) con frequenza fondamentale ν0 , per il quale si può definire Wx = ∪k∈Z∩(−1/2,1/2) {kν0 } ⊂ (−1/2, 1/2), ed anche in questo caso risulterebbe Bx = 0, in quanto misura nel continuo di un insieme discreto. Il risultato precedente, sia nel caso TC che TD, non contrasta con l’interpretazione secondo la quale un segnale periodico è la sovrapposizione di segnali monocromatici o monofrequenziali quali i fasori, ovvero è la sovrapposizione di segnali aventi banda nulla, per cui non stupisce che anche il segnale risultante abbia banda nulla. Tuttavia questa definizione di banda, sebbene matematicamente fondata, non risulta di grosso interesse applicativo. Dal punto di vista operativo, invece, facendo riferimento in particolare a segnali TC reali, risulta più utile definire l’estensione spettrale di un segnale periodico come l’intervallo simmetrico Wx = (−M f0 , M f0 ) che contiene le 2M + 1 armoniche più significative del segnale. Per valutare se un’armonica sia significativa o meno, non è conveniente utilizzare il confronto con una soglia, in quanto le armoniche tendono sì a zero per |k| → +∞, ma non necessariamente in maniera monotona. Risulta invece conveniente valutare la potenza contenuta in tali armoniche utilizzando l’uguaglianza di Parseval (5.44) per la serie di Fourier. Si perviene in questo modo ad una interpretazione della banda che risulta essere l’equivalente, per i segnali di potenza, della banda all’α % dell’energia introdotta per i segnali di energia in precedenza (cfr. § 6.4.2). In sostanza, fissato 0 < α < 1, e detta Px la potenza del segnale x(t), si determina il valore di M tale che la potenza associata al segnale M

xM (t) =

∑

Xk e j2π k f0t

k=−M

risulti pari a α Px . Poiché la potenza di xM (t), per l’uguaglianza di Parseval per la serie di Fourier a TC, è pari a M

Px (M) =

∑

k=−M

|Xk |2 ,

352

Trasformata di Fourier

ciò significa individuare il valore di M soluzione dell’equazione M

Px (M) =

∑

k=−M

|Xk |2 = α Px .

(6.124)

Si noti l’analogia tra la precedente equazione e la (6.71) che definisce la banda all’α % dell’energia; si noti inoltre che il ragionamento precedente è analogo a quello già sviluppato nel § 5.4.3 per misurare la bontà della ricostruzione di un segnale TC periodico impiegando un numero finito di armoniche (in effetti il coefficiente α gioca il ruolo del coefficiente ξM definito a suo tempo). Data la natura discreta di M, è raro che la (6.124) possa essere soddisfatta con il segno di uguaglianza; in pratica, allora, per M si sceglierà il minimo valore tale che Px (M) ≥ α Px . In ogni caso, una volta definito M, l’estensione spettrale del segnale è Wx = (−M f0 , M f0 ) e la sua banda bilatera è Bx = 2M f0 . Si noti che, con questo ragionamento, il segnale periodico è implicitamente assimilato ad un segnale di tipo passabasso avente banda praticamente limitata, in quanto la sua estensione spettrale è un intervallo centrato su f = 0, ed il suo spettro non si annulla identicamente al di fuori di un questo intervallo. 6.6.4 Relazioni tra serie e trasformata di Fourier

Le (6.113) e (6.118) mettono in luce che la trasformata di Fourier di un segnale periodico TC o TD dipende direttamente dai coefficienti della serie di Fourier o della DFS. In questo paragrafo, tuttavia, utilizzeremo i risultati ricavati in precedenza per individuare un’altra relazione notevole tra serie e trasformata di Fourier; in particolare, mostreremo che è possibile legare in maniera molto semplice i coefficienti della serie di Fourier o della DFS alla trasformata di Fourier di un segnale generatore xg (·) del segnale periodico. Partendo dal caso TC, consideriamo la rappresentazione di un segnale periodico x(t) come la replicazione di un opportuno generatore (non univocamente determinato): +∞

x(t) = repT0 [xg (t)] =

∑

k=−∞

xg (t − kT0 ) .

Applicando le proprietà della convoluzione con la δ (t), si ha: xg (t − kT0 ) = xg (t) ∗ δ (t − kT0 ) , per cui +∞

+∞

x(t) =

∑

k=−∞

xg (t − kT0 ) =

∑

k=−∞

  xg (t) ∗ δ (t − kT0 ) = xg (t) ∗

"

+∞

∑

k=−∞

#

δ (t − kT0 ) ,

dove l’uso della parentesi quadre evidenzia che abbiamo formalmente applicato la proprietà distributiva della convoluzione rispetto alla somma. In questo modo, abbiamo mostrato che un arbitrario segnale periodico x(t) si può esprimere come la convoluzione tra un generatore xg (t) ed il pettine di δ di periodo T0 , considerato nell’es. 6.46. È possibile allora calcolare la trasformata di Fourier di x(t) applicando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier e la trasformata del pettine di δ FT (6.116). Posto xg (t) ←→ Xg ( f ), si ha: " #      +∞ 1 +∞ k 1 k k X( f ) = Xg ( f ) (6.125) ∑ δ f − T0 = ∑ T0 Xg T0 δ f − T0 , T0 k=−∞ k=−∞

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

353

dove abbiamo portato Xg ( f ) all’interno della sommatoria ed abbiamo sfruttato la proprietà del prodotto della δ di Dirac. Confrontando la (6.125) con l’espressione (6.113) precedentemente ricavata della trasformata di Fourier, riportata sotto per comodità: +∞

X( f ) =

∑

k=−∞

Xk δ



k f− T0



,

affinché le due espressioni siano uguali, in virtù della proprietà di unicità della trasformata di Fourier, deve risultare necessariamente:   k 1 , ∀k ∈ Z . (6.126) Xk = Xg T0 T0 La (6.126) evidenzia che la sequenza dei coefficienti Xk della serie di Fourier coincide, a meno del fattore di proporionalità T10 , con la trasformata di Fourier del segnale generatore “campionato” alle frequenze Tk0 , k ∈ Z. Per questo motivo, la (6.126) prende il nome di proprietà di campionamento in frequenza della trasformata di Fourier a TC. La (6.126) suggerisce una strada alternativa, spesso più conveniente rispetto al calcolo diretto considerato nel cap. 5, per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier di un segnale periodico x(t) di periodo T0 : basta infatti trovare un generatore xg (t) del segnale, calcolarne la trasformata di Fourier, ed infine campionare quest’ultima alle frequenze armoniche Tk0 , secondo lo schema seguente: xg (t)

FT

−→

Xg ( f )

f =k/T0

−→

1 Xk = Xg T0



k T0



.

I due esempi che seguono mostrano l’applicazione pratica di questo procedimento. ◮ Esempio 6.49 (calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolare a TC) Mediante la proprietà di campionamento in frequenza, il calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolare x(t) = A repT0 [rect(t/T )], già affrontato nell’es. 5.2, si può effettuare più semplicemente. La trasformata del segnale generatore è evidentemente t  FT ←→ Xg ( f ) = AT sinc( f T ) . xg (t) = A rect T Applicando la (6.126), si trova allora:     k k 1 1 Xk = Xg = AT sinc T = Aδc sinc(kδc ) , T0 T0 T0 T0

∀k ∈ Z ,

con δc = T /T0 (duty-cycle), risultato ovviamente coincidente con quello già ricavato nell’es. 5.2.

◭

◮ Esempio 6.50 (calcolo della serie di Fourier del segnale coseno raddrizzato) Applichiamo la proprietà di campionamento in frequenza per il calcolo della serie di Fourier del segnale x(t) = | cos(2π f1t)|, con f1 ∈ R. Tale segnale è un’onda sinusoidale raddrizzata (fig. 6.61) e, per la presenza del valore assoluto, è facile verificare che risulta periodica di periodo T0 = 21f1 . Scegliamo come generatore di x(t) la restrizione al periodo (−T0 /2, T0 /2), che si può ottenere moltiplicando il segnale x(t) per una finestra rettangolare:   t xg (t) = cos(2π f1t) rect , T0 dove abbiamo eliminato il valore assoluto, in quanto nell’intervallo considerato si può facilmente verificare che risulta cos(2π f1t) ≥ 0. Applicando le proprietà di cambiamento di scala e di modulazione, e ricordando la

354

Trasformata di Fourier

1 0.6 0.5

0.6

0.4 X

k

x(t)

0.8

0.3

0.4 0.2

0.2

0.1

0

0

−2

−1

0 t

1

2

Fig. 6.61. Segnale coseno raddrizzato per f1 = e T0 = 1 (es. 6.50).

1 2

−0.1

−5

0 k

5

Fig. 6.62. Coefficienti della serie di Fourier del segnale coseno raddrizzato per f1 = 12 e T0 = 1 (es. 6.50).

FT

trasformata rect(t) ←→ sinc( f ), possiamo scrivere: FT

rect(t) ←→ sinc( f ) ;   t FT ←→ T0 sinc ( f T0 ) ; rect T0   t 1 FT 1 cos(2π f1t) rect ←→ T0 sinc [( f − f1 )T0 ] + T0 sinc [( f + f1 )T0 ] . T0 2 2 Ricordando che f1 T0 = 12 , ed applicando la (6.126), si trova        k 1 1 1 1 Xk = Xg sinc k − + sinc k + . = T0 T0 2 2 2 Con qualche passaggio trigonometrico, ricordando la definizione di sinc(x), si trova infine: Xk =

2 1 (−1)k , π 1 − 4k2

valida ∀k ∈ Z. Tali coefficienti (reali) sono raffigurati in fig. 6.62.

◭

Un discorso analogo si può fare nel caso TD con riferimento in particolare alla DFS. Un segnale periodico x(n) di periodo N0 si può esprimere come replicazione di un opportuno generatore (non univocamente determinato): +∞

x(n) = repN0 [xg (n)] =

∑

k=−∞

xg (n − kN0 ) .

Applicando le proprietà della convoluzione con la δ (n), si ha: xg (n − kN0 ) = xg (n) ∗ δ (n − kN0 ) e pertanto si ha, con passaggi del tutto simili a quelli del caso TC, " # +∞

+∞

x(n) =

∑

k=−∞

xg (n − kN0 ) = xg (n) ∗

∑

k=−∞

δ (n − kN0 ) .

6.6 Trasformata di Fourier dei segnali periodici

355

Pertanto, anche nel caso TD, un arbitrario segnale periodico può essere espresso mediante la convoluzione tra un generatore xg (n) ed il pettine di δ di periodo N0 , considerato nell’es. 6.48. Possiamo allora calcolare la trasformata di Fourier di x(n) applicando la proprietà di convoluzione della FT trasformata di Fourier e la trasformata (6.123) del pettine di δ . Posto xg (n) ←→ Xg (ν ), si ha: "    #   k 1 +∞ k k 1 +∞ X(ν ) = Xg (ν ) ∑ δ ν − N0 = N0 ∑ X N0 δ ν − N0 , N0 k=−∞ k=−∞ FT

dove x(n) ←→ X(ν ), ovvero X(ν ) è la trasformata del generatore x(n). Confrontando la trasformata di Fourier con l’espressione (6.119) precedentemente ottenuta, e riportata sotto per comodità   1 +∞ k X(ν ) = ∑ X(k)δ ν − N0 , N0 k=−∞ in virtù della proprietà di unicità della trasformata di Fourier, si ricava necessariamente che:   k , ∀k ∈ Z . (6.127) X(k) = X N0 La (6.127) evidenzia che la DFS X(k) della serie di Fourier coincide con la trasformata di Fourier del segnale generatore “campionato” alle frequenze Nk0 . Per questo motivo, anche la (6.127) prende il nome di proprietà di campionamento in frequenza della trasformata di Fourier a TD. Notiamo che poiché la DFS è in effetti periodica di periodo N0 , è sufficiente applicare la (6.127) per k ∈ {0, 1, . . . , N0 − 1} per ottenere gli N0 coefficienti significativi della DFS. Anche nel caso TD, allora, la (6.127) suggerisce una strada alternativa, talvolta più conveniente rispetto al calcolo diretto considerato nel cap. 5, per il calcolo della DFS di un segnale periodico x(n) di periodo N0 : basta infatti trovare un generatore xg (n) del segnale, calcolarne la trasformata di Fourier, ed infine campionare quest’ultima nelle frequenze armoniche Nk0 , secondo lo schema seguente: xg (n)

FT

−→

Xg (ν )

ν =k/N0

−→

X(k) = Xg



k N0



Il seguente esempio mostra l’applicazione di tale procedura di calcolo al caso dell’onda rettangolare TD. ◮ Esempio 6.51 (calcolo della DFS dell’onda rettangolare a TD) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, il calcolo della serie di Fourier dell’onda rettangolare x(n) = repN0 [RM (n)], già affrontato nell’es. 5.8, si può effettuare più semplicemente. La trasformata del segnale generatore è evidentemente FT

xg (n) = RM (n) ←→ Xg (ν ) = DM (ν ) . Applicando la (6.127), si trova     k k X(k) = Xg = DM , N0 N0 risultato coincidente con quello già ricavato nell’es. 5.8.

◭

Un’importante osservazione riguardo la proprietà di campionamento in frequenza è relativa alla non unicità del segnale generatore xg (·) di un segnale periodico x(·). In effetti, nelle (6.126) o (6.127), è possibile utilizzare la trasformata di Fourier Xg (·) di un arbitrario generatore, il che sembra in

356

Trasformata di Fourier

contrasto con l’unicità dei coefficienti della serie di Fourier. In realtà, le (6.126) e (6.127) mostrano invece una caratteristica importante che accomuna tutti i generatori di un dato segnale periodico: sebbene le trasformate di Fourier di tali generatori siano in generale funzioni (di f o ν ) diverse, esse devono necessariamente coincidere in corrispondenza delle frequenze armoniche ( fk = k f0 oppure νk = kν0 ). Infine, notiamo che esprimendo i coefficienti di Fourier o la DFS come previsto dalla (6.126) o la (6.127), è possibile esprimere un segnale periodico TC o TD o come replicazione o come somma della sua serie di Fourier:   +∞ 1 +∞ k j2π k t Xg x(t) = ∑ xg (t − kT0 ) = e T0 ; ∑ T0 k=−∞ T0 k=−∞   +∞ k 1 N0 −1 j2π k n x(n) = ∑ xg (n − kN0 ) = Xg e N0 . ∑ N0 k=0 N0 k=−∞ Le espressioni precedenti, in cui compaiono esplicitamente il segnale generatore xg (·) e la sua trasformata Xg (·), prendono complessivamente il nome di prima formula di Poisson.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

357

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza Un sistema LTI può essere caratterizzato nel dominio del tempo mediante la sua risposta impulsiva h(·) oppure, equivalentemente, nel dominio della frequenza in termini della sua risposta in frequenza H(·). Da un punto di vista dell’analisi dei sistemi LTI, in molti casi è più conveniente far riferimento alla risposta in frequenza del sistema, in quanto le equazioni differenziali o alle differenze, che descrivono il funzionamento di molti sistemi TC o TD nel dominio del tempo, diventano semplici operazioni algebriche nel dominio della frequenza. Inoltre, alcune proprietà dei sistemi, quali ad esempio la selettività in frequenza, possono essere interpretate più semplicemente nel dominio della frequenza. Tutto ciò rende lo studio dei sistemi LTI nel dominio della frequenza di grande interesse pratico. Lo scopo di questa sezione è quello di introdurre alcuni parametri che caratterizzano sinteticamente un sistema LTI nel dominio della frequenza, quali ad esempio, l’estensione frequenziale (denominata anche banda passante) e la banda, ed inoltre di esprimere le proprietà dei sistemi LTI (non dispersività, stabilità, causalità e invertibilità) in termini delle proprietà matematiche della risposta in frequenza. Per introdurre questi concetti in maniera semplice ed intuitiva, consideriamo il problema della separazione di segnali mediante il filtraggio, che riveste un grande interesse applicativo. 6.7.1 Separazione di segnali mediante filtraggio

Abbiamo visto (cfr. § 6.2) che gli spettri di ampiezza dell’ingresso x(·) e dell’uscita y(·) di un sistema LTI sono legati alla risposta in ampiezza del sistema |H(·)| dalla relazione moltiplicativa: |Y (·)| = |H(·)| |X(·)| ,

(6.128)

che mette in luce come i sistemi LTI abbiano un comportamento filtrante o selettivo in frequenza: le componenti spettrali del segnale di ingresso sono debolmente attenuate o amplificate in corrispondenza di quelle frequenze alle quali la risposta in ampiezza H(·) assume valori apprezzabilmente diversi da zero, mentre sono fortemente attenuate o eliminate del tutto in corrispondenza di quelle frequenze alla quali la risposta in ampiezza H(·) assume valori trascurabili o nulli. Tale comportamento selettivo è particolarmente semplice ed intuitivo se consideriamo i filtri ideali (cfr. § 5.6), caratterizzati da una risposta H(·) che assume solo i valori 1 oppure 0. Per effetto della selettività in frequenza del sistema, la sola conoscenza della banda del segnale di ingresso non è sufficiente per determinare la banda del segnale di uscita, in quanto, per effetto della moltiplicazione per |H(·)|, lo spettro di ampiezza del segnale di uscita |Y (·)| può subire modifiche anche significative.51 Occorre, quindi, la conoscenza addizionale dell’intervallo di frequenze ove la risposta in ampiezza del sistema è significativamente diversa da zero. La selettività in frequenza è una importante proprietà dei sistemi LTI, che è già stata evidenziata nel § 5.6 con riferimento ai segnali periodici, utilizzando la serie di Fourier. La trasformata di Fourier offre qui la possibilità di estendere al caso dei segnali aperiodici molte delle considerazioni fatte in § 5.6 per i soli segnali periodici. In particolare, utilizzando la (6.128), possiamo evidenziare ulteriori proprietà dei filtri ideali, che rappresentano gli esempi più semplici di filtri. A tal fine, si ricordi che la risposta in frequenza di un filtro ideale vale 1 nella intervallo di frequenze W p , detto banda passante del filtro o passband, e vale 0 nell’intervallo di frequenze Ws (complementare a W p ), detto banda oscura del filtro o stopband. In base alla posizione della banda passante e di quella oscura, tali filtri si possono raggruppare in quattro famiglie principali: LPF, HPF, BPF e BSF. Prescindendo 51 Ricordiamo

che il segnale in uscita da un sistema LTI non può contenere componenti spettrali a quelle frequenze alle quali X(·) = 0; tuttavia, può accadere che, a determinate frequenze, risulti |Y (·)| ≫ 1 anche se alle stesse frequenze è invece |X(·)| ≪ 1 (ma non nullo), per effetto evidentemente di un guadagno elevato |H(·)| ≫ 1 introdotto dal sistema.

358

Trasformata di Fourier

X(f)

Wx

X(f)

f

f Wx H(f)

H(f)

f

f

Wp

Wp

Y(f)

Y(f)

W y =W x

f

(a)

f (b)

Fig. 6.63. Comportamento selettivo in frequenza dei filtri: (a) l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente interna alla banda passante del filtro (grafici a sinistra); (b) l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente esterna alla banda passante del filtro (grafici a destra). Si noti che nel caso (a) il filtro lascia passare il segnale x(t) inalterato, nel caso (b) lo cancella completamente.

per il momento dal particolare tipo di filtro, osserviamo che, in virtù della (6.22), con riferimento per semplicità al caso TC, lo spettro del segnale in uscita ad un filtro ideale risulta essere: ( X( f ), se f ∈ W p ; Y ( f ) = H( f ) X( f ) = 0, se f ∈ Ws , e quindi l’equazione di sintesi del segnale di uscita assume la forma semplificata: y(t) =

Z

X( f ) e j2π f t d f ,

Wp

che esprime il fatto che solo le componenti spettrali del segnale di ingresso contenute nella banda passante del filtro contribuiscono a determinare il segnale di uscita y(t). L’espressione di y(t) può essere resa più esplicita osservando che, in base alla def. 6.3, lo spettro di ampiezza |X( f )| del segnale di ingresso assume per definizione valori trascurabili all’esterno della propria estensione spettrale Wx ,

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

H 1(f)

y 1(t)

H 2(f)

y 2(t)

359

y(t) x1(t)

x2(t)

Fig. 6.64. Schema per la separazione di segnali mediante filtraggio (es. 6.52).

cioè X( f ) si può considerare (approssimativamente) nullo per f 6∈ Wx .52 Si ha allora y(t) =

Z

Wx ∩ Wp

X( f ) e j2π f t d f .

(6.129)

La (6.129) consente di ricavare i due comportamenti “limite” dei filtri ideali: • se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente contenuta nella banda passante del filtro ideale, cioè Wx ⊆ W p come in fig. 6.63(a), si ha che Wx ∩ W p = Wx e, conseguentemente, l’uscita del sistema coincide (approssimativamente o esattamente, si veda la nota 52) con il segnale di ingresso, si ha cioè: y(t) =

Z

X( f ) e j2π f t d f = x(t) .

Wx

In questo caso, il filtro ideale si comporta come un sistema identico, ovvero il segnale x(t) passa inalterato attraverso il filtro; • se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente esterna alla banda passante del filtro ideale, come in fig. 6.63(b), si ha cioè Wx ∩ W p = ∅, l’uscita del sistema coincide con il segnale nullo: y(t) ≡ 0 . In questo caso, il filtro ideale elimina completamente o sopprime il segnale x(t) di ingresso. Con ovvie modifiche di notazione, gli stessi comportamenti limite possono essere evidenziati anche nel caso TD. Sulla base delle considerazioni sviluppate precedentemente, l’esempio che segue mostra come una delle potenzialità maggiori dei filtri sia la loro capacità di separare segnali aventi estensioni frequenziali non sovrapposte. ◮ Esempio 6.52 (separazione di segnali mediante filtraggio) Con riferimento allo schema di fig. 6.64, si considerino due segnali x1 (t) ed x2 (t), aventi estensioni spettrali Wx1 e Wx2 tali che Wx1 ∩ Wx2 = ∅, ovvero gli spettri dei due segnali non sono sovrapposti in frequenza. Segnali di questo tipo si dicono in effetti ortogonali in frequenza (vedi es. 6.27), un esempio è costituito dai segnali i cui spettri sono raffigurati (con diversi colori) in fig. 6.65: in particolare, il segnale x1 (t) con spettro in arancione è un segnale passabasso, mentre il segnale x1 (t) con spettro in azzurro è un segnale passabanda. 52

Si noti che la (6.129) vale esattamente solo se il segnale di ingresso è a banda rigorosamente limitata, ossia X( f ) = 0 per f ∈ 6 W x ; per segnali a banda praticamente limitata, per i quali X( f ) ≈ 0 per f 6∈ W x , essa vale solo approssimativamente.

360

Trasformata di Fourier

X1(f), X2(f), Y(f)

X1(f), X2(f), Y(f)

f

H1(f)

f

H2(f) ...

...

f Y1(f)=X1(f)

f Y2(f)=X2(f)

f (a)

f (b)

Fig. 6.65. Spettri dei segnali dell’es. 6.52 (lo spettro X1 ( f ) è raffigurato in arancio, lo spettro X2 ( f ) in celeste). (a) Filtraggio ideale LPF per la separazione del segnale x1 (t) (grafici a sinistra). (b) Filtraggio ideale HPF per la separazione del segnale x2 (t) (grafici a destra). Supponiamo di osservare la somma dei due segnali, sia essa y(t) = x1 (t) + x2 (t), e di volere separare i due segnali che compongono y(t) mediante filtraggio. Poiché risulta Y ( f ) = X1 ( f ) + X2 ( f ), e gli spettri X1 ( f ) ed X2 ( f ) non si sovrappongono in frequenza, lo spettro Y ( f ) si ottiene graficamente (fig. 6.65) semplicemente affiancando gli spettri X1 ( f ) ed X2 ( f ). Sfruttando la non sovrapposizione degli spettri, ed utilizzando i concetti sviluppati precedentemente, è chiaro che la separazione dei due segnali x1 (t) e x2 (t) a partire da y(t) è possibile utilizzando una coppia di filtri, come indicato nello schema di fig. 6.64: • mediante un filtro ideale H1 ( f ) con banda passante W p ⊇ Wx1 e W p ∩ Wx2 = ∅ è possibile separare perfettamente x1 (t), si ha cioè y1 (t) ≡ x1 (t); • mediante un filtro ideale H2 ( f ) con banda passante W p ⊇ Wx2 e W p ∩ Wx1 = ∅ è possibile separare perfettamente x2 (t), si ha cioè y2 (t) ≡ x2 (t); Ad esempio, in fig. 6.65 sono raffigurate le risposte in frequenza di un filtro ideale passabasso H1 ( f ) (a sinistra) ◭ e passaalto H2 ( f ) (a destra) che presentano le caratteristiche desiderate.

Si noti che la separazione perfetta ottenuta nell’esempio precedente, anche supponendo di disporre di filtri ideali, non può essere ottenuta se gli spettri dei due segnali sono parzialmente o completamente sovrapposti in frequenza. Questa è una conseguenza del fatto che un sistema LTI non è capace di discriminare componenti spettrali dovute a diversi segnali alla stessa frequenza. In tal caso, la separazione dei due segnali potrebbe ancora essere ottenuta, in ipotesi particolari, utilizzando sistemi tempo-varianti o, addirittura, non lineari.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

361

6.7.2 Banda passante e banda di un sistema

I filtri ideali utilizzati negli esempi della sezione precedente hanno un comportamento drasticamente selettivo, nel senso che le componenti spettrali del segnale di ingresso o sono lasciate passare inalterate, oppure sono completamente soppresse. Come abbiamo già avuto modo di dire, e come vedremo più in dettaglio in questa sezione, nessun sistema fisico può presentare un comportamento di questo tipo. In particolare, per molti sistemi di interesse applicativo, la transizione tra banda passante e banda oscura non è così brusca come per i filtri ideali (si vedano le fig. 5.18–5.25), ma impegna invece un certo intervallo di frequenza di misura non nulla (cosiddetta banda di transizione); inoltre, per molti sistemi fisici, pur potendo assumere valori arbitrariamente piccoli, la risposta in ampiezza non si annulla mai esattamente (non esiste quindi una vera e propria banda oscura). Questo ci spinge ad adottare una definizione più generale di banda passante di un sistema e, contestualmente, a definire il concetto di banda di un sistema. Definizione 6.4 (banda passante e banda di un sistema) (a) La banda passante W p ⊆ R di un sistema TC è l’intervallo di frequenza in cui la risposta in ampiezza del sistema |H( f )| assume valori non trascurabili. La banda del sistema è la misura B p ≥ 0 dell’insieme W p . (b) La banda passante W p ⊆ (ν , ν + 1), con ν ∈ R, di un sistema TD è l’intervallo di frequenza in cui la risposta in ampiezza del sistema |H(ν )| assume valori non trascurabili sul periodo (ν , ν + 1). La banda del sistema è la misura 0 ≤ B p ≤ 1 dell’insieme W p .

Dal confronto tra la definizione precedente e la def. 6.3, risulta evidente che la definizione di banda passante di un sistema è molto simile a quella di estensione spettrale di un segnale: in effetti, la banda passante di un sistema avente risposta in frequenza H(·) coincide con l’estensione spettrale del segnale h(·) (risposta impulsiva). Generalizzando i concetti visti nella sezione precedente per i filtri ideali, a partire dalla conoscenza dell’estensione spettrale del segnale di ingresso Wx e della banda passante del sistema W p , in virtù della relazione moltiplicativa (6.128), possiamo dire che l’estensione spettrale del segnale di uscita è data dall’intersezione dei due intervalli di frequenza Wx e W p , ossia W y = Wx ∩ W p . Conseguentemente, se l’estensione spettrale del segnale di ingresso è completamente fuori dalla banda passante del sistema, ossia Wx ∩ W p = ∅, all’uscita del sistema si avrà un segnale praticamente nullo; in questo caso, il sistema ha soppresso (completamente o approssimativamente) il segnale di ingresso. Analogamente a quanto fatto per i filtri ideali, sulla base della posizione della banda passante, i sistemi possono essere suddivisi in quattro famiglie che richiamiamo qui per comodità facendo riferimento direttamente ai sistemi reali (risposta impulsiva reale, risposta in frequenza con simmetria hermitiana): • Sistemi passabasso (LPF): la banda passante W p è centrata intorno alla frequenza nulla.

• Sistemi passaalto (HPF): la banda passante W p è posizionata intorno alle frequenze f = ±∞ nel caso TC, oppure intorno alle frequenze ν = ±1/2 nel caso TD.

• Sistemi passabanda (BPF): la banda passante W p è centrata a frequenze intermedie, intorno a ± f0 ∈ R − {0} nel caso TC, oppure intorno a ±ν0 nel caso TD, con ν0 ∈ (−1/2, 1/2) − {0}. • Sistemi eliminabanda (BSF): la banda passante W p è posizionata intorno alle frequenze f = 0 e f = ±∞ nel caso TC, oppure intorno alle frequenze ν = 0 e ν = ±1/2 nel caso TD.

362

Trasformata di Fourier

Giocando sul fatto che la banda di un sistema altro non è che la misura dell’estensione spettrale della sua risposta impulsiva, in maniera simile a quanto visto per la caratterizzazione dei segnali nel dominio della frequenza, possiamo suddividere i sistemi in sistemi a banda rigorosamente e praticamente limitata, e sistemi a banda non limitata. Sistemi a banda rigorosamente limitata

Un sistema TC con risposta in frequenza H( f ) si dice a banda rigorosamente limitata se H( f ) è identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo ( f1 , f2 ), con f2 > f1 valori reali finiti. In tal caso, si considerano trascurabili solo i valori nulli della risposta in frequenza del sistema. Pertanto, la banda passante è per definizione data da W p = ( f1 , f2 ) e la banda è pari ad B p = f2 − f1 . Esempi di sistemi TC a banda rigorosamente limitata sono i filtri ideali LPF e BPF. ◮ Esempio 6.53 (banda dei filtri TC ideali LPF e BPF) La risposta in frequenza di un filtro ideale LPF è   f HLPF ( f ) = rect , 2 fc ed è rappresentata graficamente in fig. 5.18, mentre quella di un filtro ideale BPF è     f − f0 f + f0 HBPF ( f ) = rect + rect , ∆f ∆f ed è rappresentata graficamente in fig. 5.20: sono entrambi sistemi con banda rigorosamente limitata. Per il filtro ideale LPF, la banda è pari al doppio della frequenza di taglio fc , ossia B p = 2 fc ; se si considerano solo le frequenze positive,53 la banda monolatera coincide con la frequenza di taglio, cioè B p = fc . Per il filtro ideale BPF, la banda è indipendente dalla frequenza centrale f0 (nell’ipotesi f0 ≥ ∆ f /2) ed è pari a B p = 2 ∆ f ; se si considerano solo le frequenze positive, la banda monolatera è uguale a B p = ∆ f . ◭

Analogamente, un sistema TD con risposta in frequenza H(ν ) si dice a banda rigorosamente limitata se, con riferimento al solo intervallo (−1/2, 1/2), la funzione H(ν ) è identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo (ν1 , ν2 ), con ν1 , ν2 ∈ (−1/2, 1/2) e ν2 > ν1 . In tal caso, la banda passante è per definizione data da W p = (ν1 , ν2 ) e la banda è pari a B p = ν2 − ν1 . Analogamente al caso TC, i filtri ideali LPF e BPF sono due esempi tipici di sistemi TD a banda rigorosamente limitata. ◮ Esempio 6.54 (banda dei filtri TD ideali LPF e BPF) La risposta in frequenza di un filtro ideale LPF è    ν , HLPF (ν ) = rep1 rect 2νc ed è rappresentata graficamente in fig. 5.22, mentre quella di un filtro ideale BPF è      ν − ν0 ν + ν0 HBPF (ν ) = rep1 rect + rect , 2∆ν 2∆ν ed è rappresentata graficamente in fig. 5.24: sono entrambi sistemi con banda rigorosamente limitata. Per il filtro ideale LPF la banda è pari al doppio della frequenza di taglio νc , ossia B p = 2 νc ; se si considerano solo le frequenze positive, la banda monolatera è proprio la frequenza di taglio, cioè B p = νc . Per il filtro ideale BPF, la banda è indipendente dalla frequenza centrale ν0 (nell’ipotesi ν0 ≥ ∆ν /2) ed è pari a B p = 2 ∆ν ; se si ◭ considerano solo le frequenze positive, la banda monolatera è uguale a B p = ∆ν .

È interessante osservare che, a differenza del caso TC, anche i filtri TD ideali HPF e BSF sono da considerarsi a tutti gli effetti sistemi a banda rigorosamente limitata. 53 Così

come per i segnali reali, anche per i sistemi reali, aventi cioè risposta impulsiva reale, è sufficiente considerare solo le frequenze positive nella definizione di banda passante e banda.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

363

◮ Esempio 6.55 (banda dei filtri TD ideali HPF e BSF) La risposta in frequenza di un filtro ideale HPF è    ν HHPF (ν ) = 1 − rep1 rect , 2νc ed è rappresentata graficamente in fig. 5.23, mentre quella di un filtro ideale BSF è      ν − ν0 ν + ν0 HBSF (ν ) = 1 − rep1 rect + rect , 2∆ν 2∆ν ed è rappresentata graficamente in fig. 5.25: sono entrambi sistemi a banda rigorosamente limitata. Per il filtro ideale HPF, la banda è pari a B p = 1 − 2 νc . Per il filtro ideale BSF, la banda è indipendente dalla frequenza ◭ centrale ν0 (nell’ipotesi ν0 ≥ ∆ν /2) ed è pari a B p = 1 − 2 ∆ν .

Quando studieremo le proprietà dei sistemi nel dominio della frequenza (cfr. § 6.7.4, in particolare la condizione di Paley-Wiener) vedremo che i sistemi con banda rigorosamente limitata non possono essere causali e, quindi, non sono fisicamente realizzabili. Pertanto, tali sistemi hanno un interesse prevalentemente teorico, ma in molti casi il loro comportamento idealizzato può essere approssimato accuratamente mediante sistemi fisicamente realizzabili. Sistemi a banda praticamente limitata

Parafrasando la definizione di segnale a banda praticamente limitata, un sistema LTI con risposta in frequenza H(·) si dice a banda praticamente limitata se la sua risposta in ampiezza |H(·)| decade asintoticamente a zero per f → ±∞ nel caso TC o per ν → ±1/2 nel caso TD, assumendo valori trascurabili (ma non rigorosamente nulli) al di fuori di un certo intervallo di frequenza. In particolare, con riferimento ai sistemi TC, ricordando che un sistema LTI è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile, ed applicando la prop. 6.7 al segnale h(t), possiamo dire che tutti i sistemi stabili sono a banda praticamente limitata, in quanto la trasformata H( f ) è continua e infinitesima per | f | → +∞. Così come per i segnali, anche per i sistemi a banda praticamente limitata l’interpretazione e la misura della banda non è univoca. Tuttavia, a differenza dei segnali, per i quali varie definizioni di banda sono diffusamente utilizzate (banda nullo-nullo, banda all’α % dell’energia, e banda ad α dB), nel caso dei sistemi la definizione di banda passante di gran lunga più utilizzata è quella di banda passante ad α dB. Tale definizione è del tutto simile alla definizione di banda ad α dB di un segnale. Precisamente, con riferimento ad un sistema TC con risposta in frequenza H( f ), si definisce risposta in ampiezza in dB la seguente funzione della frequenza: △

|H( f )|dB = 20 log10

|H( f )| , |H( frif )|

(6.130)

dove frif rappresenta una frequenza di riferimento opportunamente scelta in dipendenza del tipo di sistema (passabasso, passalto o passabanda). In molti casi, ad esempio, la frequenza frif è scelta come la frequenza in cui la risposta in ampiezza assume il valore massimo.54 La definizione di risposta in ampiezza in dB si può scrivere anche per un sistema TD, con le consuete sostituzioni formali ν → f e νrif → frif . Scelto α ∈ R+ , si definisce banda passante ad α dB l’intervallo di frequenza nel quale la risposta in ampiezza |H(·)|dB del sistema assume valori maggiori o al più uguali ad −α dB; la misura di 54 Nel

caso dei segnali TC, la rappresentazione di |H( f )|dB in funzione di f espressa in scala logaritmica, prende il nome di diagramma di Bode per la risposta in ampiezza, mentre la rappresentazione di ∡X( f ) in funzione di f espressa in scala logaritmica prende il nome di diagramma di Bode per lo spettro di fase.

364

Trasformata di Fourier

tale intervallo è detta banda ad α dB. Molto utilizzata nelle applicazioni per i sistemi è la banda a 3 dB, corrispondente in unità naturali ad uno scostamento massimo di √12 ≈ 0.707 rispetto al valore di riferimento. Negli esempi che seguono è calcolata la banda ad α dB del circuito RC e del sistema AR del primo ordine (notiamo che tali esempi ripetono sostanzialmente i calcoli già effettuati negli es. 6.29 e 6.30 per gli esponenziali monolateri a TC e a TD). ◮ Esempio 6.56 (banda ad α dB del circuito RC) Consideriamo il circuito RC studiato nell’es. 4.16 e raffigurato in fig. 4.22, nel quale l’ingresso x(t) è la tensione ai capi della serie RC, mentre l’uscita y(t) è la tensione ai capi della capacità. Ricordiamo che se il sistema è inizialmente in quiete, cioè si impone y(0) = 0, il circuito RC è un sistema LTI causale e stabile con risposta impulsiva: h(t) =

1 −t/RC e u(t) , RC

che, ponendo T = RC, corrisponde al segnale esponenziale monolatero decrescente h(t) = T1 e−t/T u(t), la cui banda ad α dB è stata calcolata nell’es. 6.29. Tenendo conto di ciò, si ricava quindi che il circuito RC è un sistema passabasso con banda monolatera ad α dB data da: Bp =

1 p α /10 10 −1. 2π RC

Nel caso in cui α = 3, si ha B p ≈ 1/(2π RC). Si noti che B p è inversamente proporzionale al prodotto RC.

◭

◮ Esempio 6.57 (banda a α dB del sistema AR del primo ordine) Consideriamo il sistema AR del primo ordine studiato nell’es. 4.17, descritto dalla equazione alle differenze y(n) = a y(n − 1) + b x(n). Ricordiamo che se il sistema è inizialmente in quiete, cioè si impone y(−1) = 0, il sistema AR del primo ordine è un sistema LTI causale con risposta impulsiva: h(n) = b an u(n) . Se 0 < |a| < 1 tale sistema è stabile e quindi avrà banda praticamente limitata. In questa ipotesi, ponendo b = A, la risposta impulsiva del sistema AR del primo ordine corrisponde al segnale esponenziale monolatero decrescente h(n) = A an u(n), la cui banda ad α dB è stata calcolata nell’es. 6.29. Tenendo conto di ciò, si ricava quindi che il sistema AR del primo ordine è un sistema passabasso con banda monolatera ad α dB data da: ! 1 1 + a2 − 10α /10 Bp = arccos , 2π 2a valida per a ≥ amin , con amin = 10α /20 − 1, purché α ≤ 6 dB. Si noti (si veda fig. 6.29 con α = 3) che al crescere di a la banda del sistema diminuisce, e viceversa. ◭

Sistemi a banda non limitata

Un sistema TC con risposta in frequenza H( f ) si dice a banda non limitata se la sua risposta in ampiezza |H( f )| assume valori non trascurabili su un intervallo di frequenza di misura infinita, ovvero se B p = +∞. I più semplici esempi di sistemi a banda non limitata sono quelli con risposta in ampiezza |H( f )| costante, come ad esempio il sistema identico H( f ) = 1, l’amplificatore/attenuatore ideale H( f ) = α , oppure il sistema che effettua la traslazione temporale H( f ) = e− j2π f t0 , t0 ∈ R. Tali sistemi non sono selettivi in frequenza (almeno per quanto riguarda lo spettro di ampiezza), per cui sono anche detti filtri passatutto (in inglese, all-pass). Altri esempi di sistemi TC a banda non limitata, che però risultano selettivi in frequenza per le ampiezze, sono i filtri ideali HPF e BSF, ed il derivatore.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

365

◮ Esempio 6.58 (banda dei filtri TC ideali HPF e BSF) La risposta in frequenza di un filtro ideale HPF è   f , HHPF ( f ) = 1 − rect 2 fc ed è riportata in fig. 5.19, mentre quella di un filtro ideale BSF è      f − f0 f + f0 HBSF ( f ) = 1 − rect + rect , ∆f ∆f ed è riportata in fig. 5.21. In entrambi i casi, la risposta in frequenza dei filtri assume valore costante su un intervallo di frequenza non limitato e, conseguentemente, tali filtri sono esempi di sistemi a banda non limitata ◭ (B p = +∞). ◮ Esempio 6.59 (banda del derivatore a TC) Un sistema TC fisicamente realizzabile avente banda infinita è il derivatore, avente risposta in frequenza H( f ) = j2π f e risposta in ampiezza rappresentata in fig. 6.48 (grafico in alto). Abbiamo visto in effetti che il derivatore è assimilabile ad un sistema passaalto, e tutti i sistemi passaalto a TC sono sistemi con banda non limitata, in quanto la risposta in frequenza deve assumere valori non ◭ trascurabili per | f | → +∞, per cui risulta necessariamente B p = +∞.

Un sistema TD con risposta in frequenza H(ν ) si dice a banda non limitata se la sua risposta in ampiezza |H(ν )| assume valori non trascurabili su tutto l’intervallo di frequenza (−1/2, 1/2), ovvero se B p = 1 (si ricordi che nel caso TD questo è il massimo valore possibile della banda). Anche nel caso TD, risultano a banda non limitata tutti i sistemi con risposta in ampiezza |H(ν )| costante, come ad esempio il sistema identico, l’amplificatore/attenuatore ideale, ed il sistema che effettua la traslazione temporale (sono tutti esempi di filtri passatutto). Si ricordi invece che tutti i filtri ideali nel caso TD vanno considerati sistemi a banda rigorosamente limitata (tranne nel caso in cui degenerino nel sistema identico). 6.7.3 Studio dell’interconnessione di sistemi LTI nel dominio della frequenza

Un dato sistema può essere anche molto complesso, e per uno studio efficiente abbiamo già visto che può risultare utile decomporlo in sottosistemi più semplici connessi tra loro mediante alcune configurazioni elementari. Le configurazioni fondamentali che abbiamo considerato sono tre: connessione in serie (cfr. def. 3.3), connessione in parallelo (cfr. def. 3.4) e connessione in retroazione (cfr. def. 3.5). In questa sezione, ci proponiamo di studiare nel dominio della frequenza queste connessioni, con riferimento ai sistemi LTI, per i quali è possibile trovare soluzioni semplici e generali. Partendo dalla connessione in serie, utilizzando la proprietà associativa della convoluzione abbiamo ricavato l’importante proprietà che la serie di due sistemi LTI, con risposte impulsive h1 (·) e h2 (·), equivale ad unico sistema LTI avente risposta impulsiva hser (·) = h1 (·) ∗ h2 (·) . FT

(6.131) FT

Posto h1 (·) ←→ H1 (·) e h2 (·) ←→ H2 (·), invocando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.6), la (6.131) si può riscrivere equivalentemente nel dominio della frequenza come segue: △

Hser (·) = F[hser (·)] = H1 (·) H2 (·) , in virtù della quale si può affermare che la serie di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta in frequenza Hser (·) = H1 (·) H2 (·), cioè i due schemi in fig. 6.66(a) e fig. 6.66(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). Risultando banalmente H1 (·) H2 (·) = H2 (·) H1 (·) (proprietà

366

Trasformata di Fourier

H 1(.)

x(.)

H 2(.)

y a(.)

(a)

H 1(.) H 2(.)

x(.)

H 1(.)

y 1(.)

y a(.)

x(.)

H 2(.)

y b(.)

(b)

Fig. 6.66. Connessione in serie di sistemi LTI: in virtù della proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier, i due schemi in figura sono equivalenti.

y 2(.)

(a)

x(.)

H 1(.)+H 2(.)

y b(.)

(b)

Fig. 6.67. Connessione in parallelo di sistemi LTI: in virtù della proprietà di linearità della trasformata di Fourier, i due schemi in figura sono equivalenti.

commutativa del prodotto algebrico), nel dominio della frequenza risulta ancora più evidente che il comportamento della serie di due sistemi LTI è indipendente dall’ordine di connessione. Per quanto riguarda la banda passante del sistema serie, poichè risulta |Hser (·)| = |H1 (·)| |H2 (·)|, la banda passante W p,ser del sistema serie è data dalla intersezione tra la banda passante W p,1 del primo sistema e quella W p,2 del secondo sistema, cioè W p,ser = W p,1 ∩ W p,2 . Conseguentemente, risulta che la banda del sistema serie B p,ser non può superare la più piccola delle bande passanti B p,1 e B p,2 dei sistemi che compongono la serie, ossia B p,ser ≤ min(B p,1 , B p,2 ). In altre parole, la connessione in serie è un modo per poter ottenere un sistema con banda passante più stretta di quella dei sistemi che compongono la serie stessa. È interessante osservare che, come caso limite, se le bande passanti dei due sistemi della serie sono disgiunte, cioè W p,1 ∩ W p,2 = ∅, il sistema serie ha banda nulla: in questo caso, l’uscita del sistema serie è sempre zero, indipendentemente dal segnale di ingresso (sistema eliminatutto). Per quanto riguarda la connessione in parallelo, utilizzando la proprietà distributiva della convoluzione abbiamo inoltre ricavato l’importante proprietà che il parallelo di due sistemi LTI, con risposte impulsive h1 (·) e h2 (·), equivale ad un unico sistema LTI avente risposta impulsiva hpar (·) = h1 (·) + h2 (·) .

(6.132)

In questo caso, invocando la proprietà di linearità della trasformata di Fourier (cfr. prop. 6.2), la (6.132) si può riscrivere equivalentemente nel dominio della frequenza come segue: △

Hpar (·) = F[hpar (·)] = H1 (·) + H2 (·) , in virtù della quale si può affermare che il parallelo di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta in frequenza Hpar (·) = H1 (·) + H2 (·), cioè i due schemi in fig. 6.67(a) e fig. 6.67(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). Nella connessione in parallelo, è più difficile prevedere la banda passante e la banda del sistema risultante, in quanto per la risposta in ampiezza del sistema complessivo si può scrivere solo la disuguaglianza |Hpar (·)| ≤ |H1 (·)| + |H2 (·)|. In genere (anche se non è sempre così) la banda passante

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza 5

+

-

H 1(.) y 2(.)

H 2(.)

(a)

H retr (.) =

x(.)

Sistema in retroazione Circuito RC

y a(.) |H1(f)|dB, |Hretr(f)|dB

x(.)

367

H 1(.) 1+H 1(.)H 2(.)

y b(.)

0

−5

−10 −2 10

−1

0

10

10

1

10

fRC

(b)

Fig. 6.68. Connessione in retroazione di sistemi LTI: l’analisi nel dominio della frequenza mostra che la retroazione di due sistemi LTI è ancora un sistema LTI, e che i due schemi in figura sono equivalenti.

Fig. 6.69. Diagramma di Bode della risposta in ampiezza del circuito RC (curva a tratto e punto) e della risposta in ampiezza del sistema in retroazione (curva a tratto continuo) (es. 6.60). Il segmento di retta tratteggiata rappresenta la soglia a −3 dB.

del sistema parallelo soddisfa la relazione W p,par ⊆ W p,1 ∪ W p,2 . Si osservi che, a differenza della configurazione serie, la banda del sistema è non nulla anche se le bande passanti dei due sistemi che compongono il parallelo sono disgiunte; questo è vero anche se, al limite, una delle bande passanti W p,1 o W p,2 è vuota. Infine, un discorso a parte merita la connessione in retroazione di due sistemi LTI con risposte impulsive h1 (·) e h2 (·), riportata in fig. 6.68(a).55 Questo tipo di connessione non può essere studiato in maniera semplice nel dominio del tempo e, per questo motivo, è studiato direttamente nel dominio della frequenza. A tale scopo, scrivendo le relazioni i-u nel dominio del tempo dei sistemi LTI che compaiono in fig. 6.68(a), si ottiene senza grosse difficoltà che ya (·) = h1 (·) ∗ [x(·) − y2 (·)] = h1 (·) ∗ [x(·) − h2 (·) ∗ ya (·)] .

(6.133)

Si faccia attenzione tuttavia che la (6.133) non rappresenta il legame i-u del sistema complessivo, con ingresso x(·) ed uscita ya (·), in quanto il segnale di uscita compare sia al primo membro che al secondo membro. Pertanto, non è immediato dedurre il comportamento del sistema a partire dalla (6.133). Per semplificare l’analisi della connessione in retroazione, è necessario il passaggio nel dominio della frequenza. A tal fine, trasformiamo secondo Fourier ambo i membri della (6.133): invocando le proprietà di linearità e convoluzione della trasformata di Fourier, si ottiene: Ya (·) = H1 (·) [X(·) − H2 (·)Ya (·)] , FT

FT

dove x(·) ←→ X(·) e ya (·) ←→ Ya (·). Risolvendo rispetto a Ya (·), si ha: Ya (·) =

H1 (·) X(·) = Hretr (·) X(·) , 1 + H1 (·) H2 (·) {z } |

(6.134)

Hretr (·)

55 Nello schema considerato in fig. 6.68(a) il segnale y (·) si sottrae al segnale di ingresso x(·). 2

Molte delle considerazioni fatte con riferimento a questo schema si applicano con modifiche minime al caso in cui y2 (·) si somma al segnale di ingresso x(·).

368

Trasformata di Fourier

che ha significato solo alle frequenze per cui H1 (·) H2 (·) 6= −1.56 La (6.134) mostra che lo spettro del segnale in uscita dal sistema Ya (·) è uguale al prodotto della funzione Hretr (·) e dello spettro del segnale di ingresso X(·), che è il legame i-u nel dominio della frequenza valido esclusivamente per un sistema LTI. Pertanto, possiamo affermare che la connessione in retroazione di due sistemi LTI equivale ad un unico sistema LTI avente risposta in frequenza Hretr (·), cioè i due schemi in fig. 6.68(a) e fig. 6.68(b) sono equivalenti, nel senso che ya (·) ≡ yb (·). Per poter comprendere qualitativamente in che modo la retroazione influisce sulla banda del sistema complessivo, consideriamo il seguente esempio. ◮ Esempio 6.60 (circuito RC con retroazione unitaria) Soffermiamo l’attenzione sul caso TC e supponiamo che il sistema H1 ( f ) sia un circuito RC (cfr. es. 4.16), ossia: h1 (t) =

1 −t/RC 1 FT e , u(t) ←→ H1 ( f ) = RC 1 + j 2π f RC

la cui banda a 3 dB è pari (cfr. es. 6.56) a B p,1 ≈ 1/(2π RC). Supponiamo inoltre che la risposta in frequenza del sistema sul percorso di retroazione sia pari ad uno (retroazione unitaria), cioè H2 ( f ) = 1 [sistema identico, risposta impulsiva h2 (t) = δ (t)]. In questo caso, la risposta in frequenza del sistema complessivo assume l’espressione: Hretr ( f ) =

1 H1 ( f ) = , 1 + H1 ( f ) 2 + j 2π f RC

il cui modulo in dB è dato da: |Hretr ( f )|dB = 20 log10

|Hretr ( f )| = −10 log10 [1 + (π f T )2 ] . |Hretr (0)|

Calcoliamo la banda a 3 dB del sistema complessivo. Per fare ciò, dobbiamo risolvere rispetto ad fα la seguente equazione: −10 log10 [1 + (π fα T )2 ] = −3

=⇒

1 + (π fα T )2 = 103/10

che ammette due soluzioni, simmetriche rispetto ad f = 0. Scegliendo la soluzione positiva, si ricava che la banda monolatera a 3 dB vale B p,retr = fα ≈

1 , π RC

che è circa il doppio della banda a 3 dB del circuito RC. Pertanto, com’è anche evidente dalla fig. 6.69, nella quale sono riportati i diagrammi di Bode di |H1 ( f )| e |Hretr ( f )|, la retroazione unitaria comporta un aumento della banda del circuito RC. ◭

Il risultato dell’esempio precedente vale più in generale per un arbitrario sistema H1 (·), nel caso in cui la risposta in frequenza del percorso di retroazione sia una costante (non necessariamente unitaria) H2 (·) = γ2 , con γ2 ∈ C. In tal caso, si ha: Hretr (·) = 56 Con

H1 (·) . 1 + γ2 H1 (·)

analoghi ragionamenti, nel caso in cui il segnale y2 (·) si sommi al segnale di ingresso x(·), si ottiene:

Ya (·) =

H1 (·) X(·) = Hretr (·) X(·) , 1 − H1 (·) H2 (·) {z } | Hretr (·)

che ha significato solo alle frequenze per cui H1 (·) H2 (·) 6= 1.

(6.135)

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

369

A quelle frequenze per cui |γ2 | |H1 (·)| ≫ 1, risulta che |Hretr (·)| ≈

1 , |γ2 |

cioè la risposta in ampiezza del sistema in retroazione Hretr (·) rimane pressochè costante al variare della frequenza, pur in presenza di variazioni anche notevoli della risposta in ampiezza |H1 (·)|. D’altra parte, alle frequenze per cui |γ2 | |H1 (·)| ≪ 1, si ha: |Hretr (·)| ≈ |H1 (·)| . Questo determina, in genere, un allargamento della banda del sistema in retroazione (6.135) rispetto a quella del sistema H1 (·). 6.7.4 Proprietà della risposta in frequenza

Poichè la risposta in frequenza, al pari della risposta impulsiva, caratterizza completamente un sistema LTI, dalle sue proprietà matematiche deve essere possibile stabilire le proprietà del sistema. Sebbene questo sia vero in linea di principio, vedremo in particolare che per le proprietà di stabilità e causalità lo studio nel dominio della frequenza non è altrettanto semplice di quello nel dominio del tempo, per cui tali proprietà possono essere caratterizzate nel dominio della frequenza solo in maniera incompleta. Questi aspetti sono discussi nei paragrafi seguenti. Non dispersività

Ricordiamo (cfr. prop. 4.4) che un sistema LTI risulta non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma h(·) = α δ (·), caratteristica di un amplificatore/attenuatore ideale. Trasformando secondo Fourier ambo i membri di questa relazione, invocando la proprietà di omogeneità della trasformata di Fourier e ricordando che la trasformata dell’impulso (TC e TD) è uguale ad uno, si ottiene che la risposta in frequenza è H(·) = α . Pertanto, la caratterizzazione di un sistema LTI non dispersivo in termini di risposta in frequenza può essere riassunta dalla seguente proprietà (valida per il caso TC e TD): Proprietà 6.26 (risposta in frequenza di un sistema LTI non dispersivo) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza è del tipo H(·) = α . In altri termini, un sistema è non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza ha un andamento costante in frequenza. Pertanto, un sistema non dispersivo è un sistema passatutto a banda non limitata, con banda che vale B p = +∞ nel caso TC e B p = 1 nel caso TD. Se la risposta in frequenza non verifica la prop. 6.26, il sistema LTI è dispersivo o con memoria: a tal proposito è interessante discutere alcuni legami tra memoria e banda di un sistema LTI. Ricordiamo infatti che la memoria di un sistema coincide con la durata temporale ∆h della risposta impulsiva h(·) (escluso eventualmente il campione per n = 0 nel caso TD). Per il principio di indeterminazione della trasformata di Fourier, allora, sussiste un legame di inversa proporzionalità tra memoria ∆h e banda B p di un sistema LTI. Per cui riducendo la memoria ∆h di un sistema, la sua banda B p si incrementa, e viceversa. Si può anche dimostrare che non esistono segnali che siano simultaneamente a durata rigorosamente limitata e a banda rigorosamente limitata. Questo comporta che, se il sistema ha memoria rigorosamente finita, ovvero è un sistema FIR, allora esso non può avere anche banda rigorosamente

370

Trasformata di Fourier

limitata: in tal caso, il sistema può avere banda infinita o, al più, praticamente limitata. Viceversa, se il sistema è a banda rigorosamente limitata, allora esso non può avere memoria rigorosamente finita: in questo caso, il sistema può avere memoria infinita o, al più, praticamente finita, ovvero è un sistema IIR. Stabilità

Lo studio della stabilità dei sistemi LTI nel dominio della frequenza non è altrettanto immediato come quello della non dispersività. Per determinare condizioni necessarie e sufficienti da imporre alla risposta in frequenza H(·) in modo che il sistema sia stabile, è necessario ricorrere alla trasformata di Laplace della risposta impulsiva h(t) nel caso dei sistemi TC e alla trasformata Z della risposta impulsiva h(n) nel caso dei sistemi TD. Volendo fare uso della sola trasformata di Fourier è possibile derivare condizioni solo necessarie ma non sufficienti per la stabilità di un sistema LTI. Con riferimento ai sistemi TC, ricordiamo (cfr. prop. 4.8) che un sistema è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva h(t) è sommabile su R. In base a tale risultato, ricordando inoltre che la trasformata di Fourier di un segnale TC sommabile è continua ed infinitesima all’infinito (cfr. prop. 6.7), possiamo affermare che condizione necessaria per la stabilità di un sistema LTI TC è che la sua risposta in frequenza H( f ) sia continua ed infinitesima all’infinito. Nel caso dei sistemi TD, ricordiamo (cfr. prop. 4.8) che un sistema è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva h(n) è sommabile. In base a tale risultato, ricordando inoltre che la trasformata di Fourier di un segnale TD sommabile è continua (cfr. prop. 6.8), possiamo affermare che condizione necessaria per la stabilità di un sistema LTI TD è che la sua risposta in frequenza H(ν ) sia continua. I risultati precedenti sono riassunti dalla seguente proprietà della risposta in frequenza: Proprietà 6.27 (risposta in frequenza di un sistema LTI stabile) (a) Se un sistema LTI a TC è stabile, allora la sua risposta in frequenza H( f ) è continua ed infinitesima all’infinito. (b) Se un sistema LTI a TD è stabile, allora la sua risposta in frequenza H(ν ) è continua. Rileviamo ancora una volta che la condizione data nella prop. 6.27 è solo necessaria per la stabilità di un sistema LTI. Più esplicitamente, se la prop. 6.27 non è soddisfatta, allora il sistema non è stabile; tuttavia, se la prop. 6.27 è soddisfatta, nulla può essere affermato circa la stabilità del sistema. In altri termini, la prop. 6.27 può essere usata per dimostrare che un sistema LTI è instabile, ma non può essere usata per mostrare che un sistema LTI è stabile. In particolare, sulla base della prop. 6.27, possiamo affermare che tutti i sistemi LTI (TC e TD) aventi risposta in frequenza discontinua sono instabili. L’esempio che segue discute in particolare il caso del filtro passabasso ideale a TC. ◮ Esempio 6.61 (instabilità del filtro TC ideale LPF) Il filtro TC ideale LPF, la cui risposta in frequenza è   f HLPF ( f ) = rect , 2 fc riportata in fig. 5.18, è un sistema instabile, in quanto HLPF ( f ), pur essendo infinitesima all’infinito, è discontinua alle frequenze f = ± fc . Come ulteriore conferma, ricaviamo la risposta impulsiva del sistema antitrasformando HLPF ( f ): hLPF ( f ) = 2 fc sinc(2 fct) . Si tratta di una risposta impulsiva non sommabile (infinitesima all’infinito solo del primo ordine) e quindi il sistema non è effettivamente stabile in virtù della condizione necessaria e sufficiente per la stabilità (prop. 4.8) nel dominio del tempo. ◭

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

371

Più in generale, notiamo che tutti i filtri ideali (TC e TD) presentati nel § 5.5 sono instabili, in quanto le loro risposte in frequenza non sono funzioni continue della frequenza. In conclusione, riprendendo una discussione già fatta nel § 4.5.4, notiamo che nel caso TC l’applicazione rigorosa della prop. 6.27 potrebbe portare a risultati scorretti nel caso in cui la risposta impulsiva h(t) contenga degli impulsi di Dirac. In particolare, la prop. 6.27 porterebbe a concludere che tutti i sistemi TC a banda non limitata sono necessariamente instabili, in quanto la loro risposta in ampiezza non decade a zero per f → ±∞. Tuttavia, questa affermazione non è sempre corretta: ad esempio, il sistema LTI identico y(t) = x(t) è sicuramente stabile, come si prova facilmente ricordando la definizione originaria di stabilità BIBO; tuttavia la sua risposta in frequenza vale H( f ) ≡ 1, per cui esso ha banda non limitata (sistema passatutto) e soprattutto viola manifestamente la prop. 6.27, in quanto H( f ), pur essendo continua, non è infinitesima all’infinito. D’altra parte osserviamo che la risposta impulsiva di tale sistema vale h(t) = δ (t), e la presenza di uno o più impulsi di Dirac in h(t) rende comunque problematico stabilire nel dominio del tempo se h(t) vada considerata sommabile oppure no, e quindi se soddisfi la prop. 4.8. Si tratta di un problema peculiare del caso TC, che abbiamo già studiato nel § 4.5.4 decomponendo la risposta impulsiva h(t) in una parte ordinaria (senza impulsi di Dirac) ed in una impulsiva, h(t) = hord (t) + himp (t) , △

dove, in accordo alla (4.64), himp (t) = ∑Nn=1 αn δ (t − tn ), con N ∈ N. Conseguentemente, nel dominio della frequenza si ha H( f ) = Hord ( f ) + Himp ( f ) , △

con Himp ( f ) = F[himp (t)] = ∑Nn=1 αn e− j2π f tn . Il carattere “particolare” di himp (t) con riferimento alla sommabilità si riflette, nel dominio della frequenza, nel fatto che, pur essendo evidentemente il sistema himp (t) stabile, la sua risposta in frequenza Himp ( f ) è continua (somma di funzioni continue), ma non tende a zero per | f | → +∞ (la somma di fasori che costituisce Himp ( f ) non tende a nessun limite per | f | → +∞, tranne che in casi particolari). Poiché però lo studio della stabilità del sistema complessivo si riduce a studiare la stabilità della sola parte ordinaria, descritta da hord (t) nel tempo e da Hord ( f ) in frequenza, se ne ricava che la proprietà prop. 6.27 va applicata esclusivamente alla risposta in frequenza Hord ( f ) associata alla parte ordinaria del sistema. A questo proposito, notiamo in conclusione che, poiché Himp ( f ) è sicuramente continua, eventuali discontinuità della risposta in frequenza complessiva H( f ) sono imputabili esclusivamente a Hord ( f ). Pertanto, si ricava che se la risposta in frequenza H( f ) è discontinua, il sistema è sicuramente instabile, anche nell’eventualità che la risposta impulsiva h(t) contenga impulsi di Dirac. Causalità

Ricordiamo (cfr. prop. 4.5) che un sistema LTI è causale se e solo se la sua risposta impulsiva h(·) è causale, ossia si annulla identicamente per t < 0 nel caso TC oppure per n < 0 nel caso TD. Un problema importante nella teoria dei sistemi è quello di individuare condizioni matematiche sulla risposta in frequenza del sistema H(·) in modo che la sua antitrasformata h(·) sia causale. Purtroppo, a differenza dello studio della causalità nel dominio del tempo, questo problema non ammette una soluzione generale e condizioni necessarie e sufficienti si possono ricavare solo se si impongono alcune restrizioni sulla risposta in frequenza del sistema. Una condizione che consente di ottenere risultati relativamente semplici è l’assunzione che la risposta in frequenza del sistema sia a quadrato sommabile su tutto l’asse delle frequenze nel caso dei sistemi TC, ossia Z +∞ −∞

|H( f )|2 d f < +∞ ,

(6.136)

372

Trasformata di Fourier

o su un intervallo di frequenza di ampiezza unitaria nel caso dei sistemi TD, ovvero Z 1/2

−1/2

|H(ν )|2 dν < +∞ .

(6.137)

Nel caso dei sistemi TC, la condizione (6.136) può essere verificata solo se il sistema è a banda rigorosamente o praticamente limitata, ed è verificata, ad esempio, da gran parte dei sistemi TC descritti da equazioni differenziali. Pertanto, dal nostro studio sono esclusi tutti i sistemi TC con banda non limitata. Per quanto concerne i sistemi TD, invece, la condizione (6.137) è verificata da tutti i sistemi la cui risposta in frequenza assume valori finiti (indipendentemente dalla banda). Per i sistemi aventi risposta in frequenza a quadrato sommabile un’utile condizione per lo studio della causalità nel dominio della frequenza è la cosiddetta condizione di Paley-Wiener.57 Proprietà 6.28 (condizione di Paley-Wiener per la causalità di un sistema LTI) (a) Sia H( f ) la risposta in frequenza di un sistema TC a quadrato sommabile su R: (a1) se il sistema è causale allora la sua risposta in frequenza H( f ) verifica la condizione di Paley-Wiener: Z +∞ | log(|H( f )|)| −∞

1+ f2

d f < +∞ ;

(6.138)

(a2) viceversa, se la risposta in frequenza H( f ) verifica la condizione (6.138), alla risposta in ampiezza |H( f )| può essere associata una risposta in fase ϕ ( f ) tale che Hϕ ( f ) = |H( f )| e jϕ ( f ) sia la risposta in frequenza di un sistema causale. (b) Sia H(ν ) la risposta in frequenza di un sistema TD a quadrato sommabile sul periodo (−1/2, 1/2): (b1) se il sistema è causale, allora la sua risposta in frequenza H(ν ) verifica la condizione di Paley-Wiener: Z 1/2

−1/2

| log(|H(ν )|)|dν < +∞ ;

(6.139)

(b2) viceversa, se la risposta in frequenza H(ν ) verifica la condizione (6.139), alla risposta in ampiezza |H(ν )| può essere associata una risposta in fase ϕ (ν ) (periodica di periodo unitario) tale che Hϕ (ν ) = |H(ν )| e jϕ (ν ) sia la risposta in frequenza di un sistema causale. L’interpretazione della condizione di Paley-Wiener richiede qualche cautela, soprattutto per quanto riguarda la parte sufficiente (a2) o (b2). Anzitutto, la condizione di Paley-Wiener riguarda esclusivamente la risposta in ampiezza del sistema e non impone alcuna restrizione sulla risposta in fase. In particolare, se la condizione di Paley-Wiener non è soddisfatta, il sistema con risposta in frequenza H(·) e con risposta in ampiezza |H(·)| non può essere causale, indipendentemente dalla sua fase. Quindi le condizioni (6.138) e (6.139) sono necessarie per la causalità di un sistema TC e TD, rispettivamente. 57 Una

giustificazione rigorosa della condizione di Paley-Wiener richiede l’uso della trasformata di Laplace per i sistemi TC e della trasformata Z per i sistemi TD ed è, pertanto, omessa.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

373

Tuttavia, se il modulo della risposta in frequenza H(·) verifica la condizioni (6.138) nel caso TC oppure la (6.139) nel caso TD, ciò non significa che il sistema sia causale. In altre parole, la condizione di Paley-Wiener è sufficiente per affermare che la funzione a valori reali |H(·)| può essere la risposta in ampiezza di un sistema causale, ma non è sufficiente per dire che la funzione a valori complessi H(·) sia effettivamente la risposta in frequenza di un sistema causale, in quanto non vi è alcuna condizione sulla risposta in fase ∡H(·). D’altra parte, la prop. 6.16 (traslazione temporale) della trasformata di Fourier, che stabilisce che un anticipo o un ritardo di h(·) modifica solo lo spettro di fase ∡H(·), dovrebbe chiarire che la fase di un sistema può influire decisamente sulla causalità. Con riferimento ad un sistema TC, questi aspetti sono sviluppati nel seguente esempio. ◮ Esempio 6.62 (sufficienza della condizione di Paley-Wiener) Si consideri l’integratore con memoria finita (cfr. es. 3.10 e 3.12), avente relazione i-u: y(t) =

Z t+T

x(u) du ,

(6.140)

t

con T > 0. Si tratta di un sistema LTI avente risposta impulsiva (cfr. es. 4.12) data da:   t + 0.5T h(t) = rect , T che è rappresentata in fig. 4.18. Poiché h(t) non è identicamente nulla per t < 0, il sistema non è causale. FT Utilizzando la trasformata notevole rect(t) ←→ sinc( f ), ed applicando la proprietà di cambiamento di scala dei tempi e di traslazione temporale della trasformata di Fourier, la risposta in frequenza dell’integratore non causale è la seguente: H( f ) = T sinc( f T ) e jπ f T . Si può verificare che si tratta di una funzione a quadrato sommabile, il cui modulo è dato da: |H( f )| = T |sinc( f T )| .

(6.141)

Inoltre, si può mostrare (anche se i calcoli non sono semplici) che tale risposta in ampiezza è tale da rendere finito l’integrale nella (6.138). Pertanto, la risposta in ampiezza dell’integratore (4.55) soddisfa la condizione di Paley-Wiener, anche se H( f ) non è la risposta in frequenza di un sistema causale! Questo dimostra che la condizione (6.138) non è sufficiente per la causalità di un sistema LTI. Tuttavia, il fatto che |H( f )| soddisfi la condizione di Paley-Wiener assicura che, a partire da essa, è possibile costruire la risposta in frequenza di △

un sistema causale, associando una opportuna risposta in fase ϕ ( f ) tale da rendere Hϕ ( f ) = |H( f )| e jϕ ( f ) la risposta in frequenza di un sistema causale. A tale scopo, è sufficiente scegliere la funzione (a valori reali) ϕ ( f ) come segue:

ϕ ( f ) = −2π f t0 + ∡sinc( f T ) , da cui segue che: Hϕ ( f ) = |H( f )| e jϕ ( f ) = T |sinc( f T )|e j∡sinc( f T ) e− j2π f t0 = T sinc( f T ) e− j2π f t0 . Antitrasformando Hϕ ( f ) e utilizzando nuovamente la proprietà di traslazione temporale della trasformata di Fourier, si ottiene la corrispondente risposta impulsiva:   t − t0 hϕ (t) = rect , T che è rappresentata in fig. 6.70: se si impone che t0 ≥ T /2, la funzione hϕ (t) assume valori nulli per t < 0 e, conseguentemente, essa rappresenta la risposta impulsiva di un sistema causale. Notiamo che, potendo scegliere un arbitrario t0 ∈ [T /2, +∞[, in questo caso (ma il discorso vale in generale) esistono un’infinità di funzioni ϕ ( f ) che rendono Hϕ ( f ) la risposta in frequenza di un sistema causale. In particolare, se si sceglie ◭ t0 = T /2, si ottiene la risposta impulsiva dell’integratore con memoria finita causale (cfr. es. 4.2).

374

Trasformata di Fourier

φ

h (t)

1

t −T/2

t

0

0

t +T/2 0

t

Fig. 6.70. Nell’ipotesi in cui t0 ≥ T /2, la funzione hϕ (t) è la risposta impulsiva di un integratore con memoria finita causale.

Il criterio di Paley-Wiener consente di dare una giustificazione alternativa a quella che si può dare nel dominio del tempo circa la non causalità dei filtri ideali (TC e TD), che abbiamo già avuto modo di menzionare nel § 5.5. Nell’esempio che segue, si mostra come utilizzare il criterio di Paley-Wiener per mostrare che il filtro ideale passabasso a TC non è causale. ◮ Esempio 6.63 (non causalità del filtro ideale LPF a TC) Nel caso TC, il filtro ideale LPF ha risposta in frequenza   f , HLPF ( f ) = rect 2 fc riportata in fig. 5.18. Tale risposta in frequenza è a quadrato sommabile, e quindi possiamo applicare ad essa il criterio di Paley-Wiener, inoltre essa si annulla identicamente sull’intervallo di frequenze Ws =] − ∞, − fc [∪] fc , +∞[ (la banda oscura del filtro). Ciò implica che il numeratore della funzione integranda nella (6.138) vale +∞ sullo stesso intervallo (in quanto | log(0)| = +∞), per cui l’integrale non può esistere finito. Come ulteriore conferma, la risposta impulsiva del sistema vale hLPF ( f ) = 2 fc sinc(2 fct) . Si tratta di una risposta impulsiva non causale, in quanto diversa da zero per t < 0 (si tratta di una funzione pari), per cui non soddisfa la prop. 4.5 nel dominio del tempo. Notiamo che poiché HLPF ( f ) ≥ 0 non soddisfa la condizione di Paley-Wiener, non esiste nessuna fase ϕ ( f ) che possa rendere il sistema Hϕ ( f ) = HLPF ( f )e jϕ ( f ) causale. Ad esempio, nessun ritardo t0 ∈ R+ operato su hLPF (t) (corrispondente a scegliere ϕ ( f ) = −2π f t0 , può rendere hϕ (t) = hLPF (t − t0 ) la risposta impulsiva di un sistema causale, in quanto la funzione sinc non si annulla mai identicamente. ◭

Le considerazioni svolte nell’esempio precedente possono essere ripetute per tutti i filtri ideali aventi risposta in frequenza a quadrato sommabile: tali sono tutti i filtri ideali a TD, ed i filtri ideali LPF e BPF a TC, caratterizzati da una regione di frequenze (la banda oscura), avente misura non nulla, in cui la risposta di ampiezza si annulla identicamente (si noti che l’annullamento della risposta in frequenza in punti isolati non comporta necessariamente una violazione del criterio di Paley-Wiener). Pertanto, tutti i filtri ideali a TD ed i filtri ideali LPF e BPF a TC non soddisfano al criterio di Paley-Wiener e, conseguentemente, non sono causali. Indirettamente, la non causalità dei filtri ideali LPF e BPF a TC comporta che anche i filtri ideali HPF e BSF a TC, nonostante ad essi non possa applicarsi direttamente la condizione di Paley-Wiener, risultano non causali, come mostrato dal seguente esempio.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

375

◮ Esempio 6.64 (non causalità del filtro ideale HPF e BSF a TC) Nel caso TC, il filtro ideale HPF ha risposta in frequenza   f HHPF ( f ) = 1 − rect = 1 − HLPF ( f ) , 2 fc riportata in fig. 5.19. Tale risposta in frequenza non è a quadrato sommabile, e quindi non possiamo applicare direttamente ad essa il criterio di Paley-Wiener. Tuttavia, antitrasformando la HHPF ( f ) si ha hHPF (t) = δ (t) − hLPF (t) con hLPF (t) risposta impulsiva del filtro ideale LPF. Avendo già provato che hLPF (t) non si annulla identicamente per t < 0, segue che anche hHPF (t) non può annullarsi identicamente per t < 0 [la δ (t) modifica il comportamento solo per t = 0]. Pertanto il filtro ideale HPF a TC non è causale. Analogo discorso si ha per il filtro ideale BSF a TC, la cui risposta in frequenza si può esprimere in funzione di quella del filtro BPF come HBSF ( f ) = 1 − HBPF ( f ). Pertanto, potendo applicare il criterio di Paley-Wiener ◭ per dimostrare che HBPF ( f ) non è causale, segue che neppure HBSF ( f ) lo è.

Collegando i risultati precedentemente dimostrati relativi alla stabilità ed alla causalità, possiamo riassumere dicendo che tutti i filtri ideali (TC e TD) sono instabili e non causali: l’instabilità è una conseguenza della brusca transizione tra la banda passante W p e quella oscura Ws ; la non causalità è una conseguenza del fatto che la risposta in frequenza H(·) si annulla identicamente nella banda oscura. Se il filtro deve elaborare segnali in tempo reale (non è cioè possibile prima memorizzare il segnale e poi elaborarlo nella sua interezza), la non causalità dei filtri ideali rende tali sistemi non utilizzabili in pratica o non fisicamente realizzabili. Inoltre, se anche la causalità non fosse un vincolo insormontabile per la specifica applicazione, il fatto che i filtri ideali siano instabili ne rende, se non impossibile, quantomeno sconsigliata una loro implementazione pratica: un sistema instabile può trovarsi ad operare in condizioni non previste dal progettista, il caso del Tacoma Narrow Bridge (fig. 3.15) dovrebbe rappresentare un utile ammonimento. Per questi motivi, specialmente nelle applicazioni di filtraggio in tempo reale, se si desidera comunque ottenere prestazioni prossime a quelle dei filtri ideali bisogna ricorrere ad una loro approssimazione stabile e causale. Un filtro fisicamente realizzabile si discosta da un filtro ideale per le seguenti caratteristiche: • la risposta in ampiezza in banda passante W p non è una costante (generalmente di valore unitario), ma è compresa tra soglie prefissate, ad esempio 1 − δ p e 1 + δ p ;

• la transizione tra la banda passante e quella oscura avviene con continuità in frequenza, impegnando un intervallo di frequenza di misura finita (ma non nulla) che prende il nome di banda di transizione Wt del filtro; • la risposta in ampiezza del sistema in banda oscura Ws assume valori trascurabili ma non nulli, inferiori ad una prefissata soglia δs . A titolo di esempio, in fig. 6.71 è riportata qualitativamente la risposta in ampiezza di un filtro TC LPF fisicamente realizzabile.58 Trattandosi di un sistema con risposta impulsiva reale, la sua risposta in ampiezza è una funzione pari della frequenza e, per questo motivo, si riporta |H( f )| solo per le frequenze positive. Per quanto concerne il comportamento in banda passante, si osservi che la risposta in ampiezza, pur non assumendo il valore unitario del caso ideale, può discostarsi da tale valore (in valore assoluto) al più di δ p , che assume pertanto il significato di massimo errore tollerabile in banda passante o 58 Le

considerazioni seguenti si applicano con ovvie modifiche anche agli altri filtri ideali TC e TD.

;; ;;;; ;;;;

376

Trasformata di Fourier

|H(f)|

1+δp 1- δp

δs

0

Wp

Wt

Ws

f

Fig. 6.71. Risposta in ampiezza di un filtro passabasso TC fisicamente realizzabile.

passband ripple. Per poter realizzare un sistema stabile, la transizione tra la banda passante e quella oscura avviene dolcemente; in questo intervallo di frequenze, detto banda di transizione, il comportamento del sistema non è nè di tipo “passante”, nè “oscurante”, ma è intermedio tra i due. Infine, per soddisfare la condizione di Paley-Wiener e, quindi, poter realizzare un sistema causale, la risposta in ampiezza non può annullarsi identicamente nella banda oscura; tuttavia, per poter ben approssimare il comportamento del filtro ideale LPF, tale risposta in ampiezza non può assumere valori maggiori della soglia assegnata δs , che quindi rappresenta il massimo errore tollerabile in banda oscura o stopband ripple. Nella pratica, le estensioni delle tre bande del filtro (passante, di transizione ed oscura), così come i massimi scostamenti δ p e δs nella banda passante ed oscura, rappresentano delle specifiche di progetto, fissate in base alle applicazioni e quindi alla qualità desiderata del filtraggio. Progettare un filtro consiste allora nel ricavare un sistema fisicamente realizzabile (quindi stabile e causale) tale che la sua risposta in ampiezza |H(·)| soddisfi tali specifiche assegnate.59 Esistono numerose tecniche di progetto di filtri, molte delle quali nate per il caso TC e successivamente estese al caso TD, tra cui le più complesse prevedono l’ausilio di un calcolatore; il lettore interessato è rimandato ai testi specializzati, quali [14] per il caso TD. In conclusione, si noti che quanto più piccoli sono δ1 e δ2 , e quanto più piccola è la misura della banda di transizione Wt , tanto meglio la risposta in ampiezza riportata in fig. 6.71 approssima quella del filtro ideale LPF. In generale, però, una migliore approssimazione richiede una maggiore complessità (e costo) del sistema stabile e causale che bisogna progettare, dove la complessità è misurata dal numero dei componenti utilizzati (resistori, condensatori, induttori o amplificatori operazionali nel caso TC, registri di memoria, sommatori e moltiplicatori nel caso TD). Invertibilità

Ricordiamo (cfr. prop. 4.7) che un sistema LTI con risposta impulsiva h(·) è invertibile se esiste un sistema LTI (detto sistema inverso) con risposta impulsiva hinv (·) tale che h(·) ∗ hinv (·) = hinv (·) ∗ h(·) = δ (·) , 59 Tecniche

(6.142)

di progetto più complesse portano in conto anche la risposta in fase del filtro, i cui effetti sul segnale, sebbene non trascurabili in generale, sono considerati solo in seconda approssimazione.

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

377

ovvero se la cascata del sistema e del suo inverso corrisponde al sistema identico. Trasformando ambo i membri della (6.142), applicando la proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier e ricordando che la trasformata della δ (·) (TC e TD) è uguale ad uno, si ottiene la seguente relazione nel dominio della frequenza: H(·) Hinv (·) = 1

⇐⇒

Hinv (·) =

1 , H(·)

(6.143)

ovvero il sistema inverso di un sistema LTI avente risposta in frequenza H(·) è il sistema LTI avente risposta in frequenza 1/H(·). Sussiste quindi la seguente proprietà: Proprietà 6.29 (risposta in frequenza del sistema inverso di un sistema LTI) Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta in frequenza H(·), il suo sistema inverso è anch’esso LTI e, detta Hinv (·) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le due risposte in frequenza: Hinv (·) =

1 . H(·)

(6.144)

Si noti che la condizione di invertibilità è molto più semplice ed immediata nel dominio della frequenza (si tratta di una semplice relazione moltiplicativa) che nel dominio del tempo (dove la relazione è invece una convoluzione). Questa semplicità consente addirittura di ricavare esplicitamente, mediante la (6.144), la risposta in frequenza Hinv (·) del sistema inverso, mentre nel dominio del tempo la determinazione di hinv (·) richiederebbe l’inversione della convoluzione o deconvoluzione. Notiamo anche che, con riferimento alla sola risposta in ampiezza, la (6.144) si scrive come |Hinv (·)| =

1 . |H(·)|

(6.145)

per cui il sistema inverso introduce un elevato guadagno di ampiezza |Hinv (·)| ≫ 1 alle frequenze in cui il sistema originario presenta un’elevata attenuazione di ampiezza |H(·)| ≪ 1, e viceversa. Si osservi che la (6.144) e la (6.145) possono perdere di significato alle frequenze in cui H(·) = 0; in tal caso, tuttavia, se si fa riferimento alla condizione di partenza (6.143), si nota che non esiste nessuna risposta in frequenza Hinv (·) limitata tale che H(·) Hinv (·) = 1 alle frequenze in cui H(·) = 0. Con riferimento per semplicità al caso TC, se H( f ) si annulla alla frequenza f , cioè H( f ) = 0, il sistema cancella completamente ed irrimediabilmente la componente spettrale del segnale di ingresso x(t) alla frequenza f , per cui lo spettro del segnale di uscita y(t) sarà zero a tale frequenza, ossia Y ( f ) = 0. Pertanto, se f cade nell’intervallo di frequenza in cui il segnale di ingresso x(t) ha componenti spettrali significative, ovvero f ∈ Wx , non esisterà alcun sistema capace di recuperare il segnale x(t) a partire dal segnale di uscita y(t), in quanto Y ( f ) non porta alcuna informazione circa il valore di X( f ) alla frequenza f . In questo caso specifico, il sistema è sicuramente non invertibile. Tuttavia, se il segnale di ingresso non ha componenti spettrali significative alla frequenza f , ovvero f 6∈ Wx , allora il fatto che H( f ) = 0 non preclude la possibilità di ottenere x(t) a partire da y(t). A titolo esemplificativo, si pensi al caso dei filtri ideali, per i quali H( f ) = 0 in un intervallo di frequenze di misura non nulla (la banda oscura): se l’estensione spettrale del segnale di ingresso Wx è contenuta interamente nella banda passante del filtro W p , cioe Wx ⊆ W p , allora Y ( f ) = X( f ), per ogni f ∈ Wx , e quindi il segnale di ingresso è (banalmente) recuperabile da quello di uscita; se invece Wx ⊃ W p , parte del contenuto spettrale significativo del segnale di ingresso è inevitabilmente perso e non è quindi possibile risalire ad X( f ) a partire da Y ( f ).

378

Trasformata di Fourier

La discussione precedente evidenzia due aspetti importanti. Innanzitutto, da un punto di vista pratico, è sufficiente che la condizione di invertibilità (6.144) sia soddisfatta solo alle frequenze in corrispondenza delle quali il segnale di ingresso x(·) ha componenti spettrali significative, ovvero all’interno dell’estensione spettrale Wx . Inoltre, assegnato un dato sistema, la possibilità di risalire al segnale di ingresso x(·) a partire da quello di uscita y(·) dipende dal segnale di ingresso. Quest’ultimo risultato è in accordo con il fatto che l’invertibilità di un sistema è una proprietà non elementare, nella quale giocano un ruolo fondamentale gli insiemi dei segnali di ingresso e di uscita del sistema (cfr. app. D). L’esempio che segue mostra come il concetto di sistema inverso trovi applicazione in un problema di notevole interesse pratico nell’ambito delle telecomunicazioni. ◮ Esempio 6.65 (equalizzazione di un canale di comunicazione) La determinazione del sistema inverso di un dato sistema ricorre nelle telecomunicazioni nell’ambito della cosiddetta equalizzazione di un canale di comunicazione. Nelle telecomunicazioni, per canale di comunicazione si intende spesso un collegamento fisico tra il trasmettitore ed il ricevitore. Con il termine canale cablato o wired, in particolare, si fa riferimento ai collegamenti nei quali la propagazione del segnale è guidata da strutture fisiche (“doppino” telefonico, cavo coassiale, fibra ottica, etc.). Viceversa, con il termine canale radio o wireless si fa riferimento ai collegamenti via etere o nello spazio libero (ponti radio, sistemi satellitari, reti di comunicazione cellulari, etc.). I canali di comunicazione danno luogo a diversi effetti indesiderati, dovuti a meccanismi fisici differenti a seconda che la propagazione del segnale avvenga in maniera guidata oppure nello spazio libero. Molto spesso, tuttavia, il canale di comunicazione può essere modellato (esattamente o approssimativamente) come un sistema LTI a TC, avente risposta impulsiva hc (t) e risposta in frequenza Hc ( f ). Il canale, pertanto, si comporta come un filtro (fig. 6.72), introducendo nel segnale trasmesso x(t) modifiche analoghe a quelle introdotte da questa categoria di sistemi. In questo contesto, una modifica del segnale trasmesso viene chiamata distorsione, poiché si tratta di un effetto indesiderato: ciò che maggiormente interessa al progettista di un sistema di telecomunicazioni è infatti che il segnale ricevuto y(t) sia una copia il più possibile fedele o indistorta del segnale posto in ingresso al canale x(t). Poiché non è ragionevole pretendere che all’uscita del canale risulti y(t) ≡ x(t), il segnale y(t) sarà considerato una versione indistorta di x(t) se differisce da esso solo per una costante moltiplicativa ed una traslazione temporale: y(t) = α x(t − t0 ) ,

con t0 ∈ R .

(6.146)

D’altra parte, l’effetto minimo di un qualunque canale fisico su un segnale x(t) è quello di introdurre un ritardo t0 ∈ R+ (dovuto ad una propagazione con velocità finita) ed un’attenuazione |α | < 1 di ampiezza e quindi di potenza (dovuta alle inevitabili perdite del mezzo). Nelle applicazioni di interesse pratico, tuttavia, il segnale ricevuto y(t) è raramente una copia indistorta del segnale trasmesso x(t), secondo la (6.146). Al fine di poter recuperare in ricezione x(t), occorre effettuare un’elaborazione su y(t) nota come equalizzazione e mostrata in fig. 6.72. Tale elaborazione consiste nel far passare y(t) attraverso un sistema LTI detto equalizzatore, avente risposta in frequenza He ( f ) e posto in serie al canale distorcente Hc ( f ), in modo da ottenere in uscita dall’equalizzatore una versione indistorta di x(t), ovvero z(t) = α x(t − t0 ) .

(6.147)

In altri termini, la cascata del canale e dell’equalizzatore deve essere un sistema non distorcente; si noti che tale cascata è in effetti un sistema LTI avente risposta in frequenza H( f ) = Hc ( f ) He ( f ). Trasformando ambo i membri della relazione i-u (6.147), si ottiene allora Z( f ) = α e− j 2π f t0 X( f ) , da cui si ricava che la risposta in frequenza della cascata canale-equalizzatore deve essere: H( f ) = Hc ( f ) He ( f ) =

Z( f ) = α e− j 2π f t0 . X( f )

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

x(t)

H c (f)

y(t)

H e(f)

z(t)

Fig. 6.72. La distorsione introdotta da un canale di comunicazione è compensata mediante l’impiego di un equalizzatore (es. 6.65).

y(t)

379

+

z(t)

-

ritardo ∆ 21

α 21

Fig. 6.73. Schema dell’equalizzatore del canale radio (es. 6.66). La relazione precedente consente di determinare infine la risposta in frequenza He ( f ) dell’equalizzatore: He ( f ) =

α e− j 2π f t0 . Hc ( f )

(6.148)

Si noti che, a meno di una costante moltiplicativa α e di un termine di fase lineare dipendente da t0 ∈ R, He ( f ) coincide con la risposta in frequenza Hinv ( f ) =

1 Hc ( f )

del sistema inverso del canale distorcente. In sostanza, allora, il problema di determinare l’equalizzatore di un canale di comunicazione ammette una soluzione esatta se tale canale è un sistema invertibile. ◭

Nell’esempio seguente si mostra come determinare esplicitamente la struttura dell’equalizzatore per un modello semplificato di un canale di comunicazione di grande interesse pratico, il canale radio. ◮ Esempio 6.66 (equalizzazione di un canale radio) Applichiamo i concetti dell’es. 6.65 al problema dell’equalizzazione di un canale radio. La propagazione di un segnale attraverso un canale radio comporta la ricezione di più repliche del segnale stesso, differentemente ritardate nel tempo e attenuate in ampiezza. Tale fenomeno, noto come propagazione per cammini multipli (multipath), è dovuto alle varie riflessioni, rifrazioni e diffrazioni subite dall’onda elettromagnetica nella propagazione dal trasmettitore al ricevitore. A causa di questi meccanismi fisici, il segnale ricevuto consiste di un gran numero di onde aventi ampiezze, fasi e angoli di incidenza distribuiti in modo casuale. A titolo esemplificativo, supponiamo che la propagazione avvenga lungo due soli cammini (modello a due raggi), lungo ciascuno dei quali il segnale trasmesso x(t) subisce solo un’attenuazione (perdita per propagazione) ed un ritardo temporale; in tal caso, detto x(t) il segnale trasmesso, il segnale ricevuto y(t) assume la forma: y(t) = α1 x(t − t1 ) + α2 x(t − t2 ) .

(6.149)

Per effetto della somma delle due repliche del segnale trasmesso, il segnale y(t) non è una replica indistorta di x(t) (tranne ovviamente che nel caso α1 = 0 oppure α2 = 0); ciò rende evidentemente più difficile l’estrazione dell’informazione trasmessa dal segnale ricevuto y(t). La (6.149) rappresenta la relazione i-u del canale, con x(t) segnale di ingresso e y(t) segnale di uscita. Se trasformiamo ambo i membri della (6.149), otteniamo: Y ( f ) = α1 X( f ) e− j2π f t1 + α2 X( f ) e− j2π f t2 , da cui ricaviamo la risposta in frequenza del canale radio Hc ( f ) =

Y(f) = α1 e− j2π f t1 + α2 e− j2π f t2 . X( f )

380

Trasformata di Fourier

In accordo alla (6.148), l’equalizzatore è dato da He ( f ) =

α e− j 2π f t0 . Hc ( f )

(6.150)

Tale equalizzatore ammette una struttura realizzativa piuttosto semplice, se osserva che Hc ( f ) può essere scritta nella forma     α2 − j2π f (t2 −t1 ) Hc ( f ) = α1 e− j2π f t1 1 + e = α1 e− j2π f t1 1 + α21 e− j2π f ∆21 . (6.151) α1

dove α21 = αα21 con |α21 | < 1 e ∆21 = t2 − t1 > 0 [abbiamo assunto che la seconda replica nella (6.149) arrivi dopo la prima (t2 > t1 ) e con una maggiore attenuazione (|α2 | < |α1 |)]. Sostituendo nella (6.150) si ha He ( f ) =

α e− j 2π f t0 α1 e− j2π f t1 (1 + α21 e− j2π f ∆21 )

.

Scegliendo allora α = α1 e t0 = t1 , la risposta in frequenza dell’equalizzatore assume la forma semplificata He ( f ) =

1 . 1 + α21 e− j2π f ∆21

(6.152)

Notiamo che tale sistema ammetta una semplice interpretazione mediante lo schema in retroazione di fig. 6.73. Si può dimostrare che l’equalizzatore ottenuto è anche stabile e causale. Si noti infatti che, per l’ipotesi α21 < 1, la (6.152) può essere vista come la somma di una serie geometrica He ( f ) =

+∞ 1 = ∑ (−α21 )k e− j2π f k∆21 , − j2 π f ∆ 21 1 + α21 e k=0

(6.153)

per cui antitrasformando la precedente espressione, si ottiene la risposta impulsiva dell’equalizzatore: +∞

he (t) =

∑ (−α21 )k δ (t − k∆21 ) ,

(6.154)

k=0

che soddisfa la causalità per la prop. 4.5, in quanto ∆21 > 0 e quindi he (t) = 0, ∀t < 0, ed anche la stabilità BIBO, poiché è possibile scrivere: +∞

z(t) = he (t) ∗ x(t) =

∑ (−α21 )k x(t − k∆21 ) ,

k=0

da cui, se |x(t)| ≤ Kx , si ha +∞

|z(t)| ≤ Kx ∑ |α21 |k = Kx k=0

1 △ = Kz , 1 − |α21 |

per l’ipotesi |α21 | < 1. L’equalizzatore dato dalle (6.152) e (6.154) opera come un sottrattore d’eco, in quanto la risposta in frequenza del sistema complessivo, per la (6.151) e la (6.152), risulta   1 = α1 e− j2π f t1 , H( f ) = Hc ( f ) He ( f ) = α1 e− j2π f t1 1 + α21 e− j2π f ∆21 1 + α21 e− j2π f ∆21 per cui Z( f ) = H( f )X( f ) = α1 e− j2π f t1 X( f ), da cui z(t) = α1 x(t − t1 ) . Confrontando la precedente con la (6.149) si nota che l’effetto dell’equalizzatore è quello di sopprimere completamente la seconda replica (eco) del segnale dovuta al multipath. ◭

6.7 Caratterizzazione e proprietà dei sistemi LTI nel dominio della frequenza

381

La semplicità dell’esempio precedente non dovrebbe trarre in inganno. Spesso il sistema inverso di un sistema stabile e causale non è a sua volta stabile e causale, per cui il sistema (6.148) può non essere fisicamente realizzabile ed, in pratica, la risposta in frequenza desiderata He ( f ) può essere solo approssimata. Individuare allora il sistema equalizzatore può significare allora determinare, nell’ambito di una classe di sistemi stabili e causali la migliore soluzione approssimata della equazione Hc ( f ) He ( f ) = α e− j2π f t0 . Esistono numerosissime tecniche per affrontare questo problema, che differiscono sulla base dell’insieme dei sistemi in cui si cerca la soluzione, delle ipotesi effettuate sul canale e sul segnale di ingresso, delle informazioni a priori richieste, e delle strategie di implementazione; per esse si rimanda a testi specializzati, quali ad esempio [16].

382

Trasformata di Fourier

6.8 Esercizi proposti Esercizio 6.1 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del seguente segnale (finestra cosinusoidale):  πt  t  rect , dove T ∈ R+ . x(t) = cos T T [Suggerimento: utilizzare la proprietà di modulazione.] 

 Risultato: X( f ) = T2 sinc f T − 12 + sinc f T + 12 =

2T cos(π f T ) π 1−(2 f T )2 .

Esercizio 6.2 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del seguente segnale (finestra a “coseno rialzato”): t   πt  x(t) = cos2 rect , dove T ∈ R+ . T T [Suggerimento: utilizzare la proprietà di modulazione.] Risultato: X( f ) = T2 sinc( f T ) + T4 [sinc( f T − 1) + sinc( f T + 1)] =

T sinc( f T ) 2 1−( f T )2 .

Esercizio 6.3 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale   n 1    16 2 , n ≥ 4 ; x(n) = 1, |n| ≤ 3 ;    16 · 2n , n ≤ −4 . Risultato: X(ν ) =

sin(7πν ) sin(πν )

+ 2 Re

n

e− j 8πν 1−0.5 e− j 2πν

o .

Esercizio 6.4 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale t  t  u(t) − Λ u(−t) , dove T ∈ R+ . x(t) = Λ T T

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di integrazione.] Risultato: X( f ) = πjf [sinc(2 f T ) − 1].

Esercizio 6.5 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale x(n) = 2 · 3n u(−n) . Risultato: X(ν ) =

6 . 3 − e j 2πν

Esercizio 6.6 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale ( 2n , 0 ≤ n ≤ 9 ; x(n) = 0 , altrove . Risultato: X(ν ) =

1 − 210 e− j 20πν . 1 − 2 e− j 2πν

6.8 Esercizi proposti

383

Esercizio 6.7 La funzione di autocorrelazione di un segnale di energia x(t) (non necessariamente reale) è definita come: △

rx (τ ) =

Z +∞ −∞

x(t) x∗ (t − τ ) dt .

(a) Mostrare che rx (τ ) = x(τ ) ∗ g(τ ), dove g(τ ) è un segnale ottenuto a partire da x(τ ). (b) Sfruttando il risultato precedente e la proprietà di convoluzione, mostrare che la trasformata di Fourier di rX (τ ) è Sx ( f ) = |X( f )|2 (densità spettrale di energia). (c) Sulla base del risultato precedente (utilizzando la proprietà del valore nell’origine) dimostrare l’uguaglianza di Parseval: △

Ex =

Z +∞ −∞

2

|x(t)| dt =

Z +∞ −∞

|X( f )|2 d f .

Risultato: (a) g(τ ) = x∗ (−τ ); (c) Ex = rx (0) =

R +∞ −∞

Sx ( f ) d f .

Esercizio 6.8 Utilizzando l’uguaglianza di Parseval generalizzata: +∞

∑

x(n) y∗ (n) =

n=−∞

Z 1/2

−1/2

X(ν )Y ∗ (ν ) dν ,

calcolare la somma S della seguente serie: +∞

sin(π n/4) sin(π n/6) . 2π n 5π n n=−∞

∑

Risultato: S =

1 60 .

Esercizio 6.9 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale ( e j2π 5t , |t| ≤ 1 ; x(t) = 0, altrimenti . [Suggerimento: utilizzare la proprietà di traslazione in frequenza.] Risultato: X( f ) = 2 sinc[2( f − 5)]. Esercizio 6.10 Dimostrare la proprietà di derivazione in frequenza della trasformata di Fourier a TC: −t x(t) ⇐⇒

1 d X( f ) . j2π d f

[Suggerimento: derivare l’equazione di analisi di x(t) oppure applicare la proprietà di dualità]. Esercizio 6.11 Dimostrare la proprietà di derivazione in frequenza della trasformata di Fourier a TD: −n x(n) ⇐⇒

1 d X(ν ) . j2π dν

[Suggerimento: derivare l’equazione di analisi di x(n).]

384

Trasformata di Fourier

Esercizio 6.12 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale 2 1 x(t) = √ e−t /2 . 2π

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di derivazione nel dominio del tempo e della frequenza.] 2 2 Risultato: X( f ) = e−2 π f . Esercizio 6.13 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale x(t) =

1 . 1 + j 2π t

[Suggerimento: utilizzare la proprietà di dualità.] Risultato: X( f ) = e f u(− f ). Esercizio 6.14 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale x(t) = e−3t u(t − 1) . [Suggerimento: utilizzare la proprietà di traslazione temporale.] e − j 2π f Risultato: X( f ) = e13 3+ j 2π f . Esercizio 6.15 Si consideri il seguente segnale a TD: ( 1 n = 0, 1, 4, 5 ; y(n) = 0 altrimenti . (a) Calcolare il segnale x(n) = ∇1 [y(n)]; (b) Utilizzando il teorema della sequenza somma. determinare la trasformata di Fourier del segnale y(n). Risultato: (a) x(n) = δ (n) − δ (n − 2) + δ (n − 4) − δ (n − 6); (b) Y (ν ) = (1 + e j 2πν ) (1 + e− j 8πν ). Esercizio 6.16 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale   1 −t x(t) = e rect t − . 2 [Suggerimento: esprimere x(t) come differenza di due esponenziali monolateri ed utilizzare la proprietà di traslazione temporale.]   1 e− j2π f Risultato: X( f ) = 1− . 1 + j 2π f e Esercizio 6.17 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale t  x(t) = e−|t| rect . 2

[Suggerimento: utilizzare precedente e le proprietà di simmetria.] il risultatodell’esercizio 1 e− j2π f 1− . Risultato: X( f ) = 2 Re 1 + j 2π f e

6.8 Esercizi proposti

385

Esercizio 6.18 Si consideri il seguente segnale     sin(π n/4) 2 sin(2πνc n) y(n) = ∗ , πn πn dove |νc | ≤ 1/2. Determinare tutti i valori di νc in corrispondenza dei quali il segnale y(n) assume la forma   sin(π n/4) 2 y(n) = . πn Risultato:

1 4

≤ |νc | ≤ 12 .

Esercizio 6.19 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale     d sin(t) sin(2t) x(t) = ∗ . dt πt πt Risultato: X( f ) = ( j 2π f ) rect(π f ). Esercizio 6.20 Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier del segnale x(t) =

Z t sin(πτ ) −∞

πτ

dτ .

Risultato: X( f ) = 12 δ ( f ) +

1 j 2π f

rect( f ).

Esercizio 6.21 Rappresentare graficamente la trasformata di Fourier  1  | f | < 2T ; T , 1 X( f ) = 2T (1 − | f |T ) , 2T < | f | ≤ T1 ;   0, | f | > T1 ;

dove T ∈ R+ , e determinare per antitrasformazione il segnale x(t). [Suggerimento: decomporre X( f ) nella differenza di due finestre triangolari.]

Risultato: x(t) = 2 sinc2 Tt − 12 sinc2 2Tt .

Esercizio 6.22 Determinare il segnale x(t) la cui trasformata di Fourier è X( f ) =

1 − j2π f . 4(1 + j4π f )(1 + j6π f )

[Suggerimento: decomporre X( f ) in fratti semplici.] Risultato: x(t) = 13 e−t/3 u(t) − 38 e−t/2 u(t). Esercizio 6.23 Si consideri il segnale z(t) = x(t) ∗ y(t), con x(t) = 2 e−2t u(t) ,

y(t) = 3 e−t u(t) .

Utilizzando la proprietà di convoluzione, determinare il segnale z(t) senza effettuare la convoluzione nel dominio del tempo. [Suggerimento: antitrasformare Z( f ) = X( f )Y ( f ) utilizzando l’espansione in fratti semplici.] Risultato: z(t) = 6 e−t u(t) − 6 e−2t u(t).

386

Trasformata di Fourier

Esercizio 6.24 Determinare il segnale x(n) la cui trasformata di Fourier è X(ν ) =

− 56 e− j 2πν + 5

1 + 16 e− j 2πν − 16 e− j 4πν

.

[Suggerimento: esprimere X(ν ) in fratti semplici.]
n
n Risultato: x(n) = 4 − 12 u(n) + 13 u(n). Esercizio 6.25 Determinare il segnale x(n) la cui trasformata di Fourier è X(ν ) =

1 , 1 − a e− j (2πν +π /4)

con

|a| < 1 .

π

Risultato: x(n) = an e− j 4 n u(n). Esercizio 6.26 Determinare il segnale x(n) la cui trasformata di Fourier è     e− j 6πν sin(21πν ) X(ν ) = ∗ . 1 + 0.5 e− j 2πν sin(πν ) Risultato: x(n) = − 12


n−3

R8 (n − 3).

Esercizio 6.27 Si consideri il segnale reale x(n) avente trasformata di Fourier X(ν ) e caratterizzato dalle seguenti proprietà: (1) x(n) = 0 per n > 0; (2) x(0) > 0; (3) Im{X(ν )} = sin(2πν ) − sin(4πν ); (4)

Z 1/2

−1/2

|X(ν )|2 dν = 3.

Determinare e rappresentare graficamente il segnale x(n) che verifica le quattro proprietà sopra elencate. Risultato: x(n) = δ (n) + δ (n + 1) − δ (n + 2). Esercizio 6.28 Si consideri il segnale x(n) avente trasformata di Fourier X(ν ) e caratterizzato dalle seguenti proprietà: (1) x(n) è un segnale a valori reali; (2) X(ν ) = a + e j2πν − e j4πν , con a > 0; (3) x(n) è un segnale avente energia finita Ex = 3. Determinare e rappresentare graficamente il segnale x(n) che verifica le tre proprietà sopra elencate. Risultato: x(n) = δ (n) + δ (n + 1) − δ (n + 2). Esercizio 6.29 Si consideri il segnale x(n) = z(n) w(n) dato dal prodotto dei due segnali z(n) e w(n), le cui trasformate di Fourier sono Z(ν ) e W (ν ), rispettivamente. Inoltre, si supponga che: (1) la trasformata di Fourier di x(n) è data da X(ν ) =

3

(1/2)k ; 1 − j 2 π (ν − 4k ) k=0 1 − e

∑

4

6.8 Esercizi proposti

387

(2) z(n) = an u(n), con a ∈ R ed |a| < 1; (3) w(n) è un segnale periodico di periodo N0 . N −1

0 Determinare il valore di a, il periodo N0 e la DFS {W (k)}k=0 del segnale w(n).
k Risultato: a = 1/4, N0 = 4, W (k) = 12 per k ∈ {0, 1, 2, 3}.

Esercizio 6.30 Si consideri la seguente equazione differenziale: d2 d d y(t) + 3 y(t) + 2 y(t) = 2 x(t) + x(t) . 2 dt dt dt (a) Nell’ipotesi che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI stabile e causale, determinare e rappresentare graficamente la risposta in frequenza H( f ) = Y ( f )/X( f ) del sistema. (b) Antitrasformando H( f ), calcolare la risposta impulsiva h(t) del sistema LTI. [Suggerimento: per trasformare utilizzare la proprietà di derivazione nel tempo; per antitrasformare utilizzare l’espansione di H( f ) in fratti semplici.] j 4π f −2t u(t) − e−t u(t). Risultato: (a) H( f ) = (1+ j 21+ π f )(2+ j 2π f ) ; (b) h(t) = 3 e Esercizio 6.31 Si consideri la seguente equazione alle differenze: 1 1 y(n) − y(n − 1) − y(n − 2) = x(n) . 6 6 (a) Nell’ipotesi che l’equazione alle differenze definisca un sistema LTI stabile e causale, determinare e rappresentare graficamente la risposta in frequenza H(ν ) = Y (ν )/X(ν ) del sistema. (b) Antitrasformando H(ν ), calcolare la risposta impulsiva h(n) del sistema LTI. [Suggerimento: per trasformare utilizzare la proprietà di traslazione nel tempo; per antitrasformare utilizzare l’espansione di H(ν ) in fratti semplici.]

n 1 3 1 n Risultato: (a) H(ν ) = u(n) + 25 − 13 u(n). 1 e− j 2πν 1+ 1 e− j 2πν ; (b) h(n) = 5 2 1− ( 2 )( 3 ) Esercizio 6.32 Si consideri il segnale periodico +∞

x(t) =

∑

k=−∞

xg (t − kT0 ) ,

dove T0 ∈ R+ e xg (t) = cos

2



πt 2T0





t rect 2T0



.

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t). (b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t). [Suggerimento: per il calcolo della trasformata di Fourier del generatore si utilizzi la proprietà di modulazione.] ( 1 , per k = 0 , . In effetti dal punto (a) si vede che il segnale x(t) = 1, ∀t ∈ R. Risultato: Xk = 0 , per k 6= 0 .

388

Trasformata di Fourier

Esercizio 6.33 Si consideri il segnale periodico   k T0 k (−1) δ t − , ∑ 2 k=−∞ +∞

x(t) =

dove T0 ∈ R+ .

(a) Rappresentare graficamente il segnale x(t). (b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t).

Risultato: Xk =

( 0, 2 T0

per k pari , , per k dispari .

Esercizio 6.34 Si consideri il segnale periodico +∞

x(n) =

∑

k=−∞

xg (n − k N0 ) ,

dove N0 ∈ N e xg (n) = an u(n), con |a| < 1. (a) Rappresentare graficamente il segnale x(n). (b) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della DFS del segnale x(n). Risultato: X(k) =

1 . 1−a e− j 2π k/N0

Esercizio 6.35 Si consideri il segnale periodico +∞

x(n) =

∑

k=−∞

xg (n − k N0 ) ,

dove N0 ∈ N, xg (n) = e j 2πν0 n RM (n), e M ≤ N0 . (a) Utilizzando la proprietà di campionamento in frequenza, determinare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(n). (b) Particolarizzare il risultato ottenuto al punto precedente nel caso in cui ν0 = k0 /N0 , con k0 ∈ Z. Risultato: (a) X(k) = DM



k N0

 − ν0 ; (b) X(k) = M δ (k − k0 ).

Esercizio 6.36 Determinare il decadimento asintotico (in dB/decade e in dB/ottava) per i seguenti spettri: (a) X( f ) = sinc( f ); (b) X( f ) =

sinc( f ) ; 2(1 − f 2 )

(c) X( f ) =

1 ; (1 + j2π f )2

(d) X( f ) =

1 − j2π f ; (1 + j5π f )(1 + j8π f )

(e) X( f ) =

2 . 1 + 4π 2 f 2

6.8 Esercizi proposti

389

Risultato: (a) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (b) ρdB/dec = 60, ρdB/ott = 18; (c) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (d) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (e) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 18. Esercizio 6.37 Senza calcolare la trasformata di Fourier, determinare il decadimento asintotico (in dB/decade e in dB/ottava) degli spettri dei seguenti segnali: (a) x(t) = rect(t); (b) x(t) = Λ(t); (c) x(t) = cos2 (π t) rect(t); (d) x(t) = e−t u(t); (e) x(t) = e−|t| ; (f) x(t) = t e−t u(t); (g) x(t) = t 2 e−t u(t). [Suggerimento: utilizzare il legame tra il decadimento asintotico e la continuità della funzione e delle sue derivate.] Risultato: (a) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (b) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (c) ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (d)

ρdB/dec = 20, ρdB/ott = 6; (e) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (f) ρdB/dec = 40, ρdB/ott = 12; (g) ρdB/dec = 60, ρdB/ott = 18. Esercizio 6.38 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: H(ν ) = e− j πν

per ν ∈ (−1/2, 1/2) .

Stabilire se tale sistema è causale oppure non causale. [Suggerimento: attenzione! non è possibile utilizzare la proprietà di traslazione nel tempo (perché?). Una possibile strada è utilizzare la proprietà del valore nell’origine, calcolando in particolare il valore per n = 0 del segnale di uscita corrispondente al segnale di ingresso x(n) = δ (n − 1).] Risultato: il sistema è non causale. Esercizio 6.39 Si consideri il sistema LTI di figura, x(t)

-L

- y(t)

6

z(t) T



dove x(t) rappresenta l’ingresso e y(t) l’uscita, ed il blocco in retroazione è un elemento di ritardo T ideale la cui uscita è z(t) = y(t − T ). (a) Ragionando nel dominio della frequenza, calcolarne la risposta in frequenza H( f ) del sistema complessivo. (b) Mostrare che se il segnale x(t) di ingresso è passabasso con banda monolatera W ≪ T1 , il sistema si comporta, a meno di una costante additiva, come la cascata di un integratore ideale e di un amplificatore ideale di guadagno T1 .

390

Trasformata di Fourier

[Suggerimento: per il punto (b), utilizzare lo sviluppo ez ≈ 1 + z, z ∈ C, valido per |z| ≪ 1.] 1 Risultato: (a) H( f ) = ; (b) H( f ) ≈ j2π1 f T , se | f | ≤ W ≪ T1 . − 1 − e j 2π f T Esercizio 6.40 Si consideri il sistema LTI avente la seguente risposta impulsiva h(n) = 5 (−1/2)n u(n). Ragionando esclusivamente nel dominio della frequenza, calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = (1/3)n u(n). Risultato: y(n) = 2 (1/3)n u(n) + 3 (−1/2)n u(n). Esercizio 6.41 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: H(ν ) =

1 − e− j 4πν 1 + 0.5 e− j 8πν

per ν ∈ (−1/2, 1/2) .

Calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = sin(0.25 π n). √ Risultato: y(n) = 2 2 sin[0.25 π (n + 1)]. Esercizio 6.42 Si consideri il segnale x(t) = V + cos(2π f0t) , somma di una tensione continua V e di un segnale interferente sinusoidale. Si vuole rimuovere l’interferenza filtrando il segnale x(t) mediante un filtro LTI con risposta impulsiva h(t) = a1 δ (t) + a2 δ (t − T ). Nell’ipotesi in cui f0 T = 1/2, determinare i valori di a1 ed a2 affinché y(t) = V , ovvero si abbia la perfetta soppressione dell’interferenza in uscita. Risultato: a1 = a2 = 0.5. Esercizio 6.43 Con riferimento allo schema in figura,

x(t)

- H1 ( f )

-

h2 (t)

- y(t)

H1 ( f ) è la risposta armonica di un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera 75 Hz, mentre h2 (t) = δ (t) − δ (t − 1). Supponendo che il segnale di ingresso sia x(t) = cos(2π 100t) + 3 δ (t − 5) + 2 , determinare il segnale di uscita y(t). Risultato: y(t) = 450 {sinc[150(t − 5)] − sinc[150(t − 6)]}. Esercizio 6.44 Con riferimento allo schema in figura,

x(n)

- H1 (ν )

w(n)

-

h2 (n)

- y(n)

6.8 Esercizi proposti

391

il primo sistema è caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza: +∞

H1 (ν ) = rep1 [rect(2ν )] =

∑

k=−∞

rect[2(ν − k)] ,

mentre il legame i-u del secondo sistema è y(n) = ∇1 [w(n)] = w(n) − w(n − 1). Supponendo che il segnale di ingresso sia x(n) = cos(0.6 π n) + 3 δ (n − 5) + 2 , determinare il segnale di uscita y(n).      Risultato: y(n) = 32 sinc 12 (n − 5) − sinc 12 (n − 6) . Esercizio 6.45 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: ( 3 e− j 6πν , |ν | < 32 ; H(ν ) = 3 ≤ | ν | < 12 . 0, 32 Calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso +∞

x(n) =

∑

δ (n + 16 k) .

k=−∞

Risultato: y(n) =

1 16

+ 18 cos

πn 8


+ 38π .

Esercizio 6.46 Si consideri il segnale modulato y(t) = x(t) cos(2π f1t), dove x(t) è un segnale deterministico a banda limitata W = 1 kHz (monolatera) e f1 = 4W . Per traslare y(t) a frequenze più elevate, esso viene moltiplicato per cos(2π f2t), con f2 = 5W , ed il segnale risultante z(t) = y(t) cos(2π f2t) viene filtrato con un filtro H( f ) passaalto ideale, avente cioè risposta armonica H( f ) =



1, |f| ≥ B; 0 , altrimenti;

dove B è la frequenza di taglio. (a) Rappresentare graficamente gli spettri dei segnali y(t) e z(t). (b) Determinare i valori di B in corrispondenza dei quali il segnale in uscita al filtro passaalto è w(t) = a x(t) cos[2π ( f1 + f2 )t], dove a è un fattore di scala inessenziale.

Risultato: 2 kHz < B < 8 kHz. Esercizio 6.47 Si consideri il sistema a tempo discreto riportato in figura:

392

Trasformata di Fourier

w(n) x(n)

y(n)

H(ν) Sistema 1

(-1) n Sistema 2

Il primo sistema è un filtro passabasso ideale caratterizzato dalla seguente risposta in frequenza: H1 (ν ) = rep1 [rect(2ν )] =

+∞

∑

k=−∞

rect[2(ν − k)] .

(a) Classificare separatamente i due sistemi, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità, non dispersività, causalità, invarianza temporale e stabilità. (b) Ragionando nel dominio della frequenza, calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = δ (n). Risultato: (a) il primo è un sistema LTI non causale, dispersivo ed instabile, mentre il secondo sistema è lineare, non dispersivo, causale, tempo-variante, stabile; (b) y(n) = δ (n). Esercizio 6.48 Si consideri il sistema passabasso ideale avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: ( 1 1 , |ν | < 10 ; H(ν ) = 1 0 , 10 ≤ |ν | ≤ 12 ; cui corrisponde la risposta impulsiva h(n). (a) Si consideri il sistema avente risposta impulsiva h1 (n) = (−1)n h(n). Calcolare la risposta in frequenza H1 (ν ) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso, passabanda o passaalto)? (b) Si consideri il sistema avente risposta impulsiva h2 (n) = 2 h(n) cos(0.5π n). Calcolare la risposta in frequenza H2 (ν ) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso, passabanda o passaalto)? (c) Si consideri il sistema avente risposta impulsiva h3 (n) = 0.1 h(n) sinc(0.1n). Calcolare la risposta in frequenza H3 (ν ) di tale filtro e rappresentarla graficamente. Di che tipo di filtro si tratta (passabasso, passabanda o passaalto)? Risultato: (a) passaalto; (b) passabanda; (c) passabasso.

Esercizio 6.49 Si consideri il sistema a tempo discreto riportato in figura:

6.8 Esercizi proposti

393

w(n) x(n)

h1(n)

v(n) Sistema 2

h1(n)

z(n)

Sistema 2

y(n)

Sistema 1

Sistema 1

Il primo sistema è un filtro LTI arbitrario con risposta impulsiva h1 (n) e risposta in frequenza H1 (ν ), mentre il secondo sistema è caratterizzato dal legame ingresso-uscita v(n) = w(−n). (a) Esprimere gli spettri W (ν ), V (ν ), Z(ν ) e Y (ν ) dei segnali w(n), v(n), z(n) e y(n), rispettivamente, in funzione dello spettro X(ν ) del segnale di ingresso x(n). (b) Utilizzando il risultato del punto (a), stabilire se il sistema complessivo è lineare e tempo-invariante. In caso affermativo, calcolarne risposta impulsiva h(n) e risposta in frequenza H(ν ). Risultato: (a) Y (ν ) = H1 (ν ) H1 (−ν ) X(ν ); (b) il sistema complessivo è LTI con H(ν ) = H1 (ν ) H1 (−ν ) ed h(n) = h1 (n) ∗ h1 (−n). Esercizio 6.50 Si consideri il sistema LTI avente, con riferimento al periodo principale, la seguente risposta in frequenza: ( − j , 0 < ν < 12 ; H(ν ) = j, − 12 < ν < 0 . Detta y(n) la risposta di tale sistema al segnale x(n) avente trasformata di Fourier X(ν ), calcolare lo spettro Z(ν ) del segnale z(n) = x(n) + j y(n). Risultato: nel periodo principale, Z(ν ) = 2 X(ν ) per 0 < ν < 12 , mentre Z(ν ) = 0 per − 12 < ν < 0. Esercizio 6.51 Con riferimento allo schema di figura,

-N 6

x(t)

-

- y(t)

H( f )

cos(2π f0t + θ ) il sistema H( f ) è un filtro passabasso ideale di guadagno unitario e banda monolatera B, mentre il segnale in ingresso alla cascata è x(t) = s(t) cos(2π f0t), con s(t) segnale di energia passabasso con banda monolatera B. Supponendo f0 ≫ B, determinare l’energia del segnale y(t). 2

Risultato: Ey = Es cos4(θ ) , dove Es è l’energia del segnale s(t).

Esercizio 6.52 Con riferimento allo schema di figura,

s(t)

-L 6

x(t)

cos(2π f0t)

-

(·)2

z(t)

-

h(t)

- y(t)

394

Trasformata di Fourier

s(t) è un segnale passabasso con trasformata di Fourier S( f ) = rect( f /2B) ed h(t) è un filtro passabanda avente risposta armonica     f − f0 f + f0 H( f ) = rect + rect . 2B 2B (a) Determinare lo spettro di z(t) e rappresentarlo graficamente (si assuma per la rappresentazione f0 ≫ B).

(b) Determinare sotto quali condizioni per f0 e B l’uscita y(t) risulta proporzionale a s(t) cos(2π f0t), ovvero il sistema complessivo si comporta da modulatore di ampiezza. Risultato: (b) f0 > 3 B.

Capitolo 7

Campionamento e conversione A/D e D/A

In questo capitolo si affronta il problema della conversione dei segnali da analogici a digitali e viceversa, che riveste un notevole interesse applicativo. Il punto di partenza sarà lo studio del campionamento, per il quale il teorema del campionamento o teorema di Shannon fissa le condizioni che consentono di ricostruire univocamente un segnale analogico a partire dalla sequenza dei suoi campioni. Analizzeremo poi alcuni aspetti di ordine pratico legati alla fisica realizzabilità dei circuiti di campionamento e di ricostruzione. Infine, discuteremo il problema della quantizzazione, che consiste nella discretizzazione delle ampiezze di un segnale campionato, operazione necessaria per convertire completamente un segnale analogico in un segnale digitale. Coerentemente con il resto del libro, la trattazione affronta aspetti metodologici fondamentali, anche se alcune differenze fondamentali tra teoria e pratica sono discusse in un certo dettaglio. Tuttavia, non rientra tra gli obiettivi del capitolo quello di presentare schemi implementativi per le varie operazioni introdotte (campionamento, quantizzazione, interpolazione, conversione A/D e D/A), data anche la rapidissima evoluzione tecnologica in questo settore.

7.1 Introduzione La rapida evoluzione tecnologica dei computer e dei microprocessori, accompagnata parallelamente da alcuni significativi progressi teorici nel campo della teoria dei segnali (si pensi, ad esempio, agli algoritmi Fast Fourier Transform, FFT), ha determinato già da numerosi anni la transizione dalle tecniche analogiche di elaborazione dei segnali verso quelle digitali o numeriche. Alcuni dei principali vantaggi dell’elaborazione digitale rispetto a quella analogica sono stati già messi in luce nel cap. 1, e possono essere così riassunti: (i) possibilità di usare circuiti digitali a basso costo, di dimensioni ridotte e facilmente riproducibili; (ii) facile riconfigurabilità e riprogrammabilità; (iii) possibilità di integrare segnali di diversa natura su unico supporto comune; (iv) possibilità di elaborare segnali che possono assumere valori significativamente diversi (elevata dinamica); (v) elevata immunità ai disturbi ed alle distorsioni. L’elaborazione digitale dei segnali riguarda evidentemente il trattamento dei segnali digitali, ovvero dei segnali TD il cui codominio è costituito da un numero finito di possibili valori. Sebbene vi siano molti casi di interesse pratico in cui i segnali sono intrinsecamente digitali (ad esempio, il nu-

396

Campionamento e conversione A/D e D/A

xa(t)

A/D

xq(n)

DSP

yq(n)

ya(t)

D/A

sistema analogico

Fig. 7.1. Schema di principio per l’elaborazione digitale dei segnali analogici.

mero di giornali venduti al giorno oppure in un dato periodo di tempo), in molti altri casi i segnali da elaborare sono per loro natura analogici (si pensi, ad esempio, alla voce umana, al suono generato da uno strumento musicale, ad un’immagine in bianco e nero oppure a colori). In questi casi, per poter sfruttare a pieno i vantaggi offerti dalle tecniche di elaborazione numerica, i segnali analogici debbono essere preventivamente convertiti in segnali digitali. Dopo aver effettuato in digitale l’elaborazione desiderata, il segnale digitale ottenuto è riconvertito nuovamente in un segnale analogico. Lo schema di principio di un elaboratore digitale di segnali analogici è riportato in fig. 7.1 (simile concettualmente alla fig. 1.27 del cap. 1, ma con una notazione leggermente diversa). In esso, il segnale analogico1 xa (t), con t ∈ R, viene convertito nel segnale digitale xq (n), con n ∈ Z, dal convertitore A/D (analogico/digitale) il “digital signal processor” (DSP) è un microprocessore che esegue l’elaborazione desiderata, producendo in uscita il segnale digitale yq (n); infine, il convertitore D/A (digitale/analogico) ha il compito di convertire il segnale digitale yq (n) nel segnale analogico ya (t), che rappresenta il risultato finale dell’elaborazione di xa (t). convertitore A/D x(n) xa(t)

campion .

quantizz .

xq(n)

Tc

Fig. 7.2. Schema a blocchi di un convertitore A/D.

Da un punto di vista concettuale, la conversione A/D si compone di due operazioni distinte (rappresentate schematicamente in fig. 7.2): • campionamento: a partire dal segnale analogico xa (t) che si intende elaborare, tale operazione consente di ottenere un segnale TD x(n) = xa (n Tc ), ottenuto prelevando da xa (t) i suoi campioni equispaziati nel tempo di una prefissata quantità Tc ∈ R+ ; • quantizzazione: poichè xa (t) è un segnale ad ampiezza continua, il codominio del segnale TD x(n) ottenuto a valle del campionamento è generalmente un sottoinsieme continuo di R, per cui x(n) non è ancora un segnale digitale. A partire da x(n), l’operazione di quantizzazione 1 Sebbene

molte delle considerazioni sviluppate in questo capitolo si potrebbero sviluppare anche per segnali xa (t) a valori complessi, per non snaturare il taglio applicativo della trattazione supporremo che il segnale xa (t) e tutti i segnali da esso derivati nel dominio del tempo siano a valori reali.

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

397

convertitore D/A xq(n)

xr (t)

interp.

Tc

Fig. 7.3. Schema a blocchi di un convertitore D/A. x(n)

xa(t)

xa(nTc ) -3Tc -2Tc

-Tc

0

(a)

Tc

2Tc

3Tc

t

-3

-2

-1

0

1

2

3

n

(b)

Fig. 7.4. Campionamento uniforme di un segnale TC xa (t) con passo Tc : (a) il segnale xa (t) ed i suoi campioni xa (nTc ); (b) il segnale TD x(n) = xa (nTc ). Si noti che x(n), essendo un segnale a TD, non contiene informazioni sul passo di campionamento Tc .

consente di ottenere un segnale TD xq (n) che può assumere solo un numero finito di possibili valori (quindi un vero e proprio segnale digitale). D’altro canto, la conversione D/A è l’operazione duale della conversione A/D e, concettualmente, realizza la seguente operazione (rappresentata schematicamente in fig. 7.3): • interpolazione: a partire dal segnale digitale xq (n), tale operazione consente di ottenere un segnale analogico xr (t), mediante interpolazione dell’andamento del segnale TC tra due qualsiasi campioni consecutivi di xq (n). In effetti notiamo che l’operazione di quantizzazione non è reversibile, per cui il convertitore D/A si occupa solo di invertire gli effetti del campionamento. Lo scopo principale di questo capitolo è lo studio delle operazioni di campionamento, quantizzazione e interpolazione, con attenzione sia agli aspetti teorici che ad alcuni problemi di carattere pratico. In particolare, centrale è il problema di stabilire se l’operazione di campionamento sia, sotto opportune ipotesi, reversibile, cioè se i campioni x(n) = xa (nTc ) possano rappresentare adeguatamente il segnale xa (t).

398

Campionamento e conversione A/D e D/A

xa(nTc )

xa(t)

campion .

x(n)

xa,1 (t)

xa,2 (t)

Tc -3Tc -2Tc

-Tc

0

Tc

2Tc

3Tc

t

Fig. 7.5. Schema a blocchi di un campionatore con passo Tc . Fig. 7.6. A partire dai campioni xa (nTc ), è possibile ricostruire due (in realtà infiniti) segnali xa,1 (t) (in nero) ed xa,2 (t) (in rosso) tali che xa,1 (nTc ) = xa,2 (nTc ) = xa (nTc ).

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale L’operazione di campionamento (uniforme) consiste nel convertire un segnale TC xa (t) in un segnale TD x(n), ottenuto considerando (fig. 7.4) solo i campioni di xa (t) presi con passo Tc ∈ R+ , ossia x(n) = xa (n Tc ) ,

con n ∈ Z ,

(7.1)

dove Tc è detto periodo o passo di campionamento, e il suo reciproco fc = 1/Tc è la frequenza di campionamento. Il sistema che realizza l’operazione di campionamento (7.1) è chiamato campionatore ed è comunemente rappresentato con il simbolo riportato in fig. 7.5. Si osservi che il campionatore è un sistema ibrido che ha in ingresso un segnale TC e produce in uscita un segnale TD. Le questioni teoriche fondamentali connesse con l’operazione di campionamento (7.1) sono le seguenti: Q1) è possibile ricostruire esattamente il segnale analogico xa (t) a partire dalla sequenza x(n) dei suoi campioni? O, equivalentemente, il sistema campionatore in fig. 7.5 è invertibile? Q2) nel caso in cui Q1 ammetta una risposta affermativa, in che modo è possibile riottenere xa (t) a partire da x(n)? O, equivalentemente, qual’è il sistema inverso del sistema campionatore? Più avanti daremo una risposta formale ad entrambi i quesiti Q1 e Q2. Prima di fare ciò, è utile premettere qualche considerazione di carattere intuitivo. In generale, non è possibile dare una risposta affermativa al quesito Q1, cioè senza imporre alcun vincolo la sequenza x(n) non consente di determinare univocamente (e, quindi, esattamente) il segnale analogico xa (t). Per convincersi di ciò, è sufficiente far riferimento alla fig. 7.6, dove sono rappresentati due diversi segnali analogici xa,1 (t) e xa,2 (t), che assumono gli stessi valori in tutti gli istanti di tempo che sono multipli interi di Tc , ossia x(n) = xa,1 (n Tc ) = xa,2 (n Tc ), ∀n ∈ Z. Più in generale, assegnata una sequenza x(n), in assenza di ulteriori vincoli, esistono infiniti segnali analogici che, campionati con passo Tc , generano la sequenza x(n). La perfetta ricostruzione di xa (t) a partire dalla sequenza x(n) può avvenire pertanto solo se sono soddisfatte alcune condizioni aggiuntive. Una condizione necessaria riguarda il periodo di campionamento Tc (o, equivalentemente, la frequenza di campionamento fc = 1/Tc ). Per comprendere ciò, si considerino le fig. 7.7(a) e fig. 7.7(b), in cui due diversi segnali xa,1 (t) e xa,2 (t) sono campionati con il medesimo passo di campionamento (si tratta in effetti degli stessi segnali considerati in fig. 7.6). In particolare, si osservi che la rapidità di

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

xa,1 (t)

x(n)

(a)

Tc1

t

xa,2 (t)

-3

-2

-1

1

2

3

n

t

xa,2 (t)

1

2

3

n

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

n

-3 (c)

t

0 x(n)

(b)

Tc1

Tc2

399

-2

-1

0 x(n)

Fig. 7.7. Campionamento di segnali aventi differenti rapidità di variazione temporale: (a) il segnale xa,1 (t) è campionato con passo Tc,1 ; (b) il segnale xa,2 (t) è campionato con passo Tc,1 ; (c) il segnale xa,2 (t) è campionato con passo Tc,2 = 12 Tc,1 . Si noti che nel caso (b) il segnale xa,2 (t) ha gli stessi campioni di xa,1 (t), mentre ciò non accade aumentando la frequenza di campionamento, come in (c).

variazione temporale di xa,2 (t) è significativamente maggiore di quella di xa,1 (t). Si può intuire che, al fine di poter ricostruire un segnale analogico a partire dalla sequenza dei suoi campioni presi con passo Tc , occorre che i campioni prelevati siano in grado di “catturare” con sufficiente accuratezza l’andamento temporale del segnale. Nel caso del segnale xa,1 (t), che varia più lentamente nel tempo, il passo di campionamento utilizzato in fig. 7.7(a) consente di ottenere una sequenza x(n) che descrive in maniera abbastanza soddisfacente l’andamento del segnale analogico. D’altra parte, con riferimento alla fig. 7.7(b), nel caso del segnale xa,2 (t) che varia più velocemente nel tempo, lo stesso passo di campionamento genera una sequenza x(n) che descrive solo grossolanamente le fluttuazioni temporali del segnale analogico. È chiaro che, per descrivere adeguatamente la variabilità temporale di xa,2 (t), occorre ridurre significativamente il passo di campionamento, come mostrato in fig. 7.7(c). In altre parole, per poter ricostruire un segnale analogico xa (t) a partire dalla sequenza x(n) dei suoi campioni, il passo di campionamento deve essere commisurato alla rapidità di variazione del segnale xa (t) nel dominio del tempo. Poichè però la variabilità di un segnale nel dominio del tempo è legata alla banda del segnale nel dominio della frequenza, ciò implica che deve sussistere una relazione tra il periodo di campionamento o, equivalentemente, la frequenza di campio-

400

Campionamento e conversione A/D e D/A

~ δT c (t) xδ (t)

xa(t)

convertitore δ/n

x(n)

Fig. 7.8. Interpretazione del campionamento come un sistema a due stadi: il segnale analogico xa (t) è moltiplicato per il pettine di δ di periodo Tc , detto δeTc (t), e il blocco denominato “convertitore δ /n” trasforma il segnale impulsivo xδ (t) nel segnale TD x(n).

namento, e la banda del segnale xa (t). Detta W la larghezza di banda (monolatera) del segnale xa (t), vedremo che la condizione addizionale da imporre è che fc ≥ 2W : cioè, maggiore è la larghezza di banda di xa (t) o, equivalentemente, maggiore è la sua rapidità di variazione nel tempo, maggiore deve essere fc o, equivalentemente, minore deve essere Tc . 7.2.1 Teorema del campionamento

Come accennato in precedenza, l’aspetto centrale nella teoria del campionamento è lo studio dell’invertibilità di tale operazione. Nel paragrafo precedente abbiamo osservato che, dati i campioni x(n) = xa (nTc ), esistono infiniti segnali xa (t) che possono averli generati. In termini matematici, il problema può essere assimilato a quello della non unicità dell’interpolazione di un insieme di dati: dato un insieme (finito) di coppie di valori (xk , yk ), esistono infinite funzioni f (x) tali che f (xk ) = yk . Per determinare, allora, un’unica soluzione, bisogna imporre delle condizione aggiuntive o dei vincoli al problema. In altri termini, bisogna ricercare il segnale xa (t) non tra tutti i possibili segnali a TC, ma in un insieme più ristretto. La scelta di tale insieme, e quindi dei vincoli da imporre sul segnale xa (t), dovrà garantire l’unicità matematica della soluzione, ma non dovrà essere così restrittiva da rendere tale soluzione di scarso interesse pratico. Per semplificare lo studio matematico del campionamento, è conveniente schematizzarlo (fig. 7.8) come un processo in due stadi. Il primo stadio effettua la moltiplicazione tra il segnale analogico xa (t) [vedi fig. 7.9(a)] ed un pettine di δ di periodo Tc :

δeTc (t) = repTc [δ (t)] =

+∞

∑

n=−∞

δ (t − n Tc ) ,

detto pettine campionatore ideale, ottenendo così il segnale: " # +∞ +∞ xa (nTc ) δ (t − nTc ) , x (t) = xa (t) δeT (t) = xa (t) δ (t − n Tc ) = δ

c

∑

n=−∞

∑

(7.2)

n=−∞

raffigurato in fig. 7.9(d), dove nel passaggio dalla seconda alla terza uguaglianza si è sfruttata la proprietà del prodotto dell’impulso di Dirac [cfr. prop. 2.2(c)]. Il secondo stadio, denominato convertitore δ /n in fig. 7.8, converte il segnale impulsivo xδ (t) nel segnale TD x(n) raffigurato in fig. 7.9(c), associando all’n-esimo impulso xa (nTc ) δ (t − n Tc ) il campione x(n) = xa (nTc ). Il prodotto definito dalla (7.2) è detto campionamento ideale del segnale xa (t), ed il segnale xδ (t) è detto segnale campionato idealmente. Com’è facilmente intuibile, l’idealità di tale operazione deriva

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

401

xa(t)

xa(nTc )

xa(nTc ) -3Tc -2Tc

-3

-2

-Tc

-1

0

Tc

2Tc

3Tc

t

-3Tc -2Tc

-Tc

0

(a)

(b)

x(n)

xδ(t)

0

(c)

1

2

3

n

-3Tc -2Tc

-Tc

0

Tc

2Tc

3Tc

t

Tc

2Tc

3Tc

t

(d)

Fig. 7.9. I differenti segnali associati al campionamento di un segnale analogico: (a) il segnale analogico xa (t) ed i suoi campioni xa (nTc ) presi con passo Tc ; (b) i campioni xa (nTc ) del segnale xa (t) raffigurati come un segnale a TC; (c) il segnale campionato a TD x(n) = xa (nTc ); (d) il segnale a TC xδ (t) = ∑+∞ n=−∞ xa (nTc )δ (t − nTc ) costruito a partire dai campioni x(n) = xa (nTc ).

dal fatto che il segnale xδ (t), essendo composto da impulsi di Dirac, è una pura astrazione matematica non riproducibile in pratica. Si noti che il segnale xδ (t) è ancora un segnale TC, costituito da impulsi centrati negli istanti di campionamento nTc , con n ∈ Z, la cui area corrisponde ai campioni x(n) = xa (nTc ) del segnale xa (t). Pertanto, il segnale campionato idealmente contiene la stessa informazione sul segnale xa (t) della sequenza x(n). È importante sottolineare che lo schema a due stadi riportato in fig. 7.8 è solo una rappresentazione matematica del campionamento, e non corrisponde in nessun modo all’implementazione pratica di un campionatore. Il vantaggio di ricorrere a tale schema è quello che il secondo stadio è sicuramente un sistema invertibile, in quanto esiste una corrispondenza biunivoca tra il segnale campionato idealmente xδ (t) e la sequenza dei campioni x(n). Pertanto, studiare l’invertibilità del campionamento (7.1) si riduce a studiare l’invertibilità del solo primo stadio. In altri termini, il segnale xa (t) può essere ricostruito a partire dalla sequenza x(n) se e solo se esso può essere ricostruito a partire da xδ (t). Il vantaggio di studiare l’invertibilità basandosi sulla (7.2) e non direttamente sulla relazione x(n) = xa (nTc ), sta nel fatto che tale studio coinvolge esclusivamente segnali TC. Come precedentemente detto, il processo di campionamento è invertibile solo se si pone qualche restrizione sul segnale analogico di partenza xa (t). Il vincolo più semplice e frequentemente considerato è quello che il segnale xa (t) sia a banda rigorosamente limitata, un’ipotesi che, sebbene non possa essere rigorosamente verificata in pratica, è però soddisfatta approssimativamente da molti segnali di interesse. In questo caso, le condizioni che garantiscono l’invertibilità del campionamento

402

Campionamento e conversione A/D e D/A

sono descritte nel fondamentale teorema del campionamento o teorema di Shannon:2 Teorema 7.1 (teorema del campionamento o teorema di Shannon) FT Sia xa (t) ←→ Xa ( f ) un segnale a TC, e siano x(n) = xa (nTc ) i suoi campioni presi con passo di campionamento Tc . Se: (i) il segnale xa (t) è a banda rigorosamente limitata, con banda monolatera Bx = W , ovvero: Xa ( f ) = 0 ,

∀| f | ≥ W ;

(ii) la frequenza di campionamento fc = 1/Tc soddisfa la condizione di Nyquist: fc ≥ 2W ;

(7.3)

allora il segnale xa (t) è perfettamente rappresentato dai suoi campioni x(n) = xa (nTc ). La minima frequenza di campionamento fc,min = 2W nella (7.3) prende il nome di frequenza di Nyquist del segnale xa (t). Prova. In virtù della discussione precedente sul campionamento ideale (7.2), studiare se il segnale xa (t) possa essere ottenuto nuovamente a partire da x(n) è perfettamente equivalente a studiare se lo stesso segnale possa essere ottenuto a partire da xδ (t). A tale scopo, ricordando allora la trasformata del pettine di δ di periodo arbitrario data dalla (6.116):   +∞ k 1 +∞ FT f − , δ (t − nT ) ←→ δ c ∑ ∑ Tc k=−∞ Tc n=−∞ ed applicando la proprietà del prodotto della trasformata di Fourier alla (7.2), si ha che lo spettro Xδ ( f ) del segnale xδ (t) è dato da "  # 1 +∞ k Xδ ( f ) = Xa ( f ) ∗ ∑ δ f − Tc . Tc k=−∞ Sfruttando ancora la proprietà distributiva della convoluzione, e la proprietà di convoluzione dell’impulso di Dirac, si ha:      +∞ 1 +∞ k 1 +∞ k X ( f ) ∗ δ f − = X f − = f (7.4) Xδ ( f ) = a a c ∑ ∑ ∑ Xa ( f − k fc ) . Tc k=−∞ Tc Tc k=−∞ Tc k=−∞ L’espressione precedente mostra che lo spettro Xδ ( f ) del segnale campionato idealmente si ottiene effettuando la replicazione dello spettro Xa ( f ) (moltiplicato per fc ), dove il passo di replicazione nel dominio della frequenza è pari proprio alla frequenza di campionamento fc = T1c , si ha cioè: Xδ ( f ) = 2 Il

1 rep 1 [Xa ( f )] = fc rep fc [Xa ( f )] . Tc Tc

matematico ed ingegnere statunitense Claude E. Shannon (1916–2001) è considerato il padre della teoria dell’informazione. Fornì l’enunciato del teorema del campionamento, in una forma molto simile a quella qui presentata, in un lavoro del 1949 denominato “Communication in the presence of noise” (vedi http://www.stanford.edu/class/ ee104/shannonpaper.pdf). Tuttavia, come spesso capita nelle scoperte scientifiche, altri studiosi affrontarono il problema prima di Shannon, nonostante il loro contributo non sia stato forse ugualmente riconosciuto: tra essi i matematici (padre e figlio) E.T. Whittaker e J.M. Whittaker nel 1915 e nel 1935, H. Nyquist e K. Küpfmüller nel 1928, e V.A. Kotelnikov nel 1933.

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

403

Xa(f)

Xa(f)

1

1

-W

0

W

f

Fig. 7.10. Spettro Xa ( f ) di un segnale a banda rigorosamente limitata.

-W -fc /2

fc /2 W

f

Fig. 7.11. Spettro Xa ( f ) di un segnale a banda rigorosamente limitata che genera lo stesso spettro Xδ ( f ) del segnale di fig. 7.10 nel caso fc < 2W [vedi fig. 7.12(c)].

Pertanto, lo spettro di xδ (t) ha un andamento periodico nel dominio della frequenza, con repliche equidistanziate di fc .3 Il problema allora di individuare se xa (t) possa essere ricostruito univocamente a partire da xδ (t) può essere equivalentemente riformulato nel dominio della frequenza nel modo seguente: individuare le condizioni affinché Xa ( f ) possa essere ottenuto a partire da Xδ ( f ). Notiamo che Xa ( f ) è (a meno di una costante moltiplicativa) il generatore del segnale periodico Xδ ( f ), per cui il problema enunciato in precedenza si riduce a quello di ricavare il generatore di un segnale periodico, per il quale già sappiamo non esiste un’unica soluzione. Notiamo peraltro che finora non abbiamo sfruttato nessuna delle ipotesi fondamentali del teorema, in altri termini l’espressione (7.4) vale per il campionamento di un qualunque segnale. Supponiamo allora che valga l’ipotesi (i), ovvero che il segnale xa (t) abbia banda rigorosamente limitata, con uno spettro del tipo di quello raffigurato in fig. 7.10. Ciò significa che cercheremo il segnale originario nell’ambito dei segnali aventi spettro limitato nell’intervallo (−W,W ). Lo studio può essere condotto semplicemente se rappresentiamo graficamente la replicazione che dà luogo a Xδ ( f ) nei tre casi fc > 2W , fc = 2W , fc < 2W , come fatto in fig. 7.12. Osservando che 2W è la larghezza delle repliche e fc la distanza tra le stesse, si hanno allora le seguenti situazioni: (a) se fc > 2W , le repliche di Xa ( f ) non si sovrappongono nel dominio della frequenza; (b) fc = 2W , le repliche di Xa ( f ) si affiancano perfettamente nel dominio della frequenza; (c) fc < 2W , le repliche di Xa ( f ) si sovrappongono nel dominio della frequenza. Dall’esame dei grafici, si nota che lo spettro Xa ( f ) del segnale di partenza può essere recuperato univocamente solo nei casi (a) e (b). Infatti, nel caso (c), esistono almeno due (in realtà infiniti) spettri Xa ( f ) nell’intervallo (−W,W ) che possono aver generato il segnale Xδ ( f ): uno è evidentemente quello di fig. 7.10, l’altro è invece quello raffigurato in fig. 7.11, che in effetti costituisce la restrizione del segnale Xδ ( f ) all’intervallo (− fc /2, fc /2) ⊂ (−W,W ). Il punto fondamentale è che, osservando il segnale Xδ ( f ), la sola ipotesi (i) non consente di individuare univocamente lo spettro tra quello di fig. 7.10 e quello di fig. 7.11. Si capisce allora come, oltre al vincolo di segnale a banda limitata (i), sia necessario imporre l’ulteriore condizione (ii), ovvero fc ≥ 2W . Le considerazioni precedenti costituiscono già una dimostrazione completa del teorema del campionamento, ma non esplicitano chiaramente la relazione che consente di ricavare xa (t) da xδ (t) ed, in ultima analisi, da x(n) = xa (nTc ). Tale relazione tuttavia può essere ottenuta semplicemente, se osserviamo che, nell’ipotesi fc ≥ 2W , lo spettro Xa ( f ) si può ottenere da Xδ ( f ) mediante una finestratura nel dominio della frequenza, 3 Questa relazione tra il campionamento ideale nel tempo e la replicazione in frequenza costituisce una proprietà notevole

della trasformata di Fourier, valida anche nel caso TD con qualche modifica e riportata in app. F con il nome di proprietà di campionamento nel tempo: essa è la duale della proprietà di campionamento in frequenza vista nel § 6.6.4.

404

Campionamento e conversione A/D e D/A

Xδ (f) fc > 2W

1/Tc (a)

-fc -W

-fc

-fc +W -fc /2

0

-W

W

fc /2

fc -W

fc

fc +W

f

Xδ (f) fc = 2W

1/Tc (b)

-fc

0

-W =-fc /2

W =fc /2

fc

f

Xδ (f) fc < 2W

1/Tc (c)

-2fc

-fc

-W -fc /2

0

fc /2 W

fc

2fc

f

Fig. 7.12. Spettro Xδ ( f ) risultante dal campionamento di un segnale xa (t) a banda limitata avente lo spettro di fig. 7.10: (a) campionamento con fc > 2W ; (b) campionamento con fc = 2W ; (c) campionamento con fc < 2W . equivalente ad un filtraggio passabasso ideale come riportato in fig. 7.13: Xδ ( f ) Hr ( f ) = Xr ( f ) , dove il filtro ideale di ricostruzione ha risposta in frequenza   f Hr ( f ) = Tc rect , 2 fr e la sua frequenza di taglio fr deve soddisfare la seguente condizione [si veda la fig. 7.12(a)]: W ≤ fr ≤ fc −W . In effetti se vale la condizione fc ≥ 2W , risulta Xr ( f ) ≡ Xa ( f ) che, passando nel dominio del tempo, significa  che il segnale xa (t) è stato perfettamente ricostruito a partire dal segnale xδ (t).

Il teorema del campionamento consente di determinare rigorosamente il legame tra frequenza di campionamento e banda del segnale da campionare, che abbiamo già anticipato per via intuitiva. Precisamente, affinchè il segnale xa (t) con banda monolatera W sia perfettamente ricostruibile a partire dai suoi campioni x(n), occorre che fc ≥ 2W ; questo significa che quanto più larga è la banda del segnale xa (t) o, equivalentemente, maggiore è la sua rapidità di variazione nel tempo, tanto più elevata deve

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

405

Xδ (f) 1/Tc (a)

-fc -W

-fc

-fc +W -fc /2

-W

0

W

fc /2

fc -W

fc

f

fc +W

Hr (f) Tc (b)

0

-fc /2

fc /2

f

Xr (f)=Xa(f) 1 (c)

-W

0

W

f

Fig. 7.13. Ricostruzione del segnale xa (t) a partire dal segnale xδ (t): (a) spettro Xδ ( f ) risultante dal campionamento (caso fc > 2W ); (a) risposta in frequenza Hr ( f ) del filtro di ricostruzione; (a) spettro Xr ( f ) del segnale ricostruito. Si noti che Xr ( f ) ≡ Xa ( f ) e quindi xr (t) ≡ xa (t) se sono soddisfatte le ipotesi del teorema del campionamento.

risultare la frequenza di campionamento fc o, equivalentemente, tanto più piccolo deve essere il periodo di campionamento Tc . Tuttavia, il teorema del campionamento mostra anche che la frequenza di campionamento fc non deve essere arbitrariamente elevata, ma è sufficiente che sia maggiore di 2W (risultato non facilmente intuibile a priori).

7.2.2 Interpolazione ideale

Il teorema del campionamento consente di individuare le condizioni affinchè il campionatore in fig. 7.5 sia un sistema invertibile, sia cioè possibile ricostruire univocamente xa (t) a partire dall’uscita x(n). Tale teorema consente di stabilire anche qual’è il sistema inverso del campionatore. A tale scopo ricordiamo che, se le condizioni del teorema del campionamento sono soddisfatte, filtrando il segnale campionato idealmente xδ (t) mediante un filtro passabasso ideale con risposta in frequenza 

f Hr ( f ) = Tc rect 2 fr



,

406

Campionamento e conversione A/D e D/A

x(n)

convertitore n/δ

xδ (t)

Hr (f)

xr (t)

Fig. 7.14. Schema a blocchi dell’interpolatore ideale: il blocco denominato “convertitore n/δ ” trasforma il segnale TD x(n) nel segnale TC xδ (t); la risposta in frequenza Hr ( f ) è quella di un filtro passabasso ideale.

dove la frequenza di taglio fr deve soddisfare la condizione: W ≤ fr ≤ fc −W ,

(7.5)

il segnale xr (t) in uscita dal filtro coincide proprio con il segnale xa (t). Pertanto il sistema inverso del campionatore è quello riportato in fig. 7.14, dove il convertitore n/δ realizza l’operazione inversa del convertitore δ /n in fig. 7.8, associando ad ogni campione del segnale x(n) un impulso centrato nell’istante di campionamento nTc e avente area pari proprio a xa (nTc ). Notiamo che, come lo schema di fig. 7.8, per la presenza del segnale ideale xδ (t), anche lo schema di fig. 7.14 è una rappresentazione matematica del sistema inverso del campionatore, ma non corrisponde ad uno schema implementativo in quanto tale. Notiamo che, nel caso in cui fc = 2W , l’intervallo (7.5) si riduce all’unico valore fr = fc /2 (metà della frequenza di campionamento), che soddisfa sempre la (7.5) anche quando fc > 2W , in quanto si tratta del punto medio dell’intervallo (W, fc −W ). Con questa scelta il filtro di ricostruzione si scrive:   f 1 Hr ( f ) = rect , (7.6) fc fc da cui per antitrasformazione ricaviamo la risposta impulsiva di tale filtro   t hr (t) = sinc . Tc Il legame i-u nel dominio del tempo consiste allora nella convoluzione tra hr (t) e il segnale di ingresso al filtro xδ (t), per cui si ha " #   +∞ t xr (t) = xδ (t) ∗ hr (t) = ∑ xa (nTc ) δ (t − nTc ) ∗ sinc T c n=−∞      +∞ +∞ t t − nTc = ∑ xa (nTc ) δ (t − nTc ) ∗ sinc = ∑ xa (nTc ) sinc , (7.7) Tc Tc n=−∞ n=−∞ dove abbiamo applicato le ben note proprietà della delta di Dirac. L’espressione trovata in effetti restituisce xr (t) ≡ xa (t) nelle ipotesi del teorema del campionamento, e quindi esprime il segnale xa (t) direttamente in funzione dei suoi campioni: +∞



t − nTc xa (t) = ∑ xa (nTc ) sinc Tc n=−∞



.

(7.8)

La formula (7.8) prende il nome di serie di Shannon, e mostra che la ricostruzione ideale del segnale xa (t) a partire dai suoi campioni avviene mediante un’operazione ben precisa che prende il nome di

407

1

5

0.8

4

0.6

3 x (t)

0.4

r

hr(t)=sinc(t/Tc)

7.2 Campionamento ed interpolazione ideale

2

0.2

1

0

0

−0.2

−1

−5

0 t/T

5

−3

c

−2

−1

0 t/T

1

2

3

c

Fig. 7.15. Risposta impulsiva hr (t) = sinc(t/Tc ) del filtro interpolatore ideale.

Fig. 7.16. Illustrazione grafica dell’interpolazione effettuata mediante la serie di Shannon (il segnale risultante dalla somma dei termini della serie è in colore rosso).

interpolazione ideale. Da un punto di vista matematico, l’interpolazione consiste nel “raccordare” i campioni x(n) = xa (nTc ) mediante una opportuna funzione interpolatrice hr (t): +∞

+∞

xr (t) =

∑

n=−∞

xa (nTc ) hr (t − nTc ) =

∑

n=−∞

x(n) hr (t − nTc ) .

(7.9)

Il sistema ibrido TD/TC che realizza questa operazione è detto filtro interpolatore. La serie di Shannon mostra quindi che il sistema inverso di un campionatore comprende un filtro interpolatore con funzione interpolatrice hr (t) = sinc(t/Tc ), che è riportata in fig. 7.15. Il filtro interpolatore ideale (n) opera in questo modo: il contributo del segnale di uscita dell’interpolatore xr (t) dovuto all’n-esimo (n) valore di ingresso è pari a xr (t) = xa (nTc ) sinc[(t − nTc )/Tc ]; il segnale di uscita xr (t) è ottenuto come (n) somma di tutti i contributi xr (t), come illustrato in fig. 7.16. Notiamo peraltro che la funzione sinc è un segnale a banda rigorosamente limitata, per cui la (7.8) si può interpretare come la rappresentazione di un segnale a banda rigorosamente limitata in termini di funzioni a banda rigorosamente limitata. L’interpolazione mediante funzione sinc (serie di Shannon) è detta ideale perchè non è fisicamente realizzabile (la funzione interpolatrice ha durata infinita). L’idealità della serie di Shannon si può spiegare anche osservando che la sua realizzazione richiede l’impiego di un filtro ideale passabasso, che sappiamo essere instabile e non causale. 7.2.3 Aliasing

Se la frequenza di campionamento fc non soddisfa la condizione di Nyquist (7.3), le repliche dello spettro del segnale campionato Xa ( f ) si sovrappongono in frequenza, non consentendo più l’univoca ricostruzione del segnale xa (t). In questo caso si dice che il segnale all’uscita del filtro di ricostruzione xr (t) è una versione distorta del segnale xa (t) o, più comunemente, che è affetto da aliasing.4 Gli effetti dell’aliasing sono facilmente interpretabili sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza, se si considera il campionamento di un semplice segnale sinusoidale. 4 Dal

latino alias=altrove, in quanto vedremo che tale distorsione può essere interpretata come l’effetto di uno spostamento delle componenti spettrali del segnale.

408

Campionamento e conversione A/D e D/A

xa(n Tc)

1 0 −1 −4

−2

0 t/T

2

4

0 t/Tc

2

4

c

xa(t), xr(t)

1 0 −1 −4

−2

Fig. 7.17. Interpretazione nel dominio del tempo del fenomeno dell’aliasing (caso di una sinusoide a frequenza f0 campionata con frequenza fc < 2 f0 ): in alto, campioni della sinusoide xa (t); in basso, sinusoide originale xa (t) (in nero) e sinusoide ricostruita xr (t) con aliasing (in rosso). Si noti che le sinusoidi xa (t) e xr (t), pur avendo frequenze diverse, sono caratterizzate dagli stessi campioni x(n). ◮ Esempio 7.1 (aliasing nel campionamento di una sinusoide) Consideriamo il campionamento del segnale sinusoidale A FT xa (t) = A cos(2π f0t) ←→ Xa ( f ) = [δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 )] , 2 con f0 ∈ R+ , il cui spettro è riportato in fig. 7.18(a). Si tratta di un segnale periodico costituito da una coppia di armoniche a frequenze ± f0 , per cui come estensione spettrale del segnale è ragionevole scegliere (cfr. § 6.6.3) l’intervallo simmetrico Wx = (− f0 , f0 ), a cui corrisponde la banda monolatera W = f0 . Si tratta quindi di un segnale passabasso con banda rigorosamente limitata. In base al teorema del campionamento, il segnale xa (t) può essere ricostruito dalla sequenza dei suoi campioni x(n) = xa (nTc ) = A cos(2π n f0 Tc ) se fc > 2 f0 (il caso fc = 2 f0 è degenere e richiede una discussione a parte). Vediamo cosa succede se invece fc < 2 f0 , ed in particolare se f2c < f0 < fc . In tal caso, lo spettro Xδ ( f ) del segnale campionato idealmente si può ottenere per via grafica, come in fig. 7.18(b), replicando gli impulsi δ ( f − f0 ) e δ ( f + f0 ) con passo fc . Per effetto di tale replicazione, si vede che all’interno della banda passante W p = (− fc /2, f2 /2) del filtro di ricostruzione cadono le due componenti spettrali a frequenza ±( fc − f0 ) [fig. 7.18(c)]. Conseguentemente, il segnale in uscita dal filtro di ricostruzione è dato da [fig. 7.18(d)]: A {δ [ f − ( fc − f0 )] + δ [ f + ( fc − f0 )]} , 2 che è diverso dal segnale xa (t). Più precisamente, xr (t) è ancora un segnale sinusoidale avente ampiezza A e fase iniziale nulla, con la differenza fondamentale che esso presenta una frequenza fc − f0 diversa (più bassa) rispetto alla frequenza f0 del segnale di partenza xa (t). L’effetto dell’aliasing è ancora più chiaro nel dominio del tempo. Infatti, le due sinusoidi xa (t) e xr (t), pur avendo frequenze diverse, assumono esattamente gli stessi valori negli istanti di campionamento nTc , com’è facilmente verificabile, in quanto si ha FT

xr (t) = A cos[2π ( fc − f0 )t] ←→ Xa ( f ) =

xr (nTc ) = A cos[2π ( fc − f0 )nTc ] = A cos[2π fc Tc n − 2π f0 nTc ]

= A cos[2π n − 2π f0 nTc ] = A cos[−2π f0 nTc ] = A cos[2π f0 nTc ] = xa (nTc ) .

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

409

Tale comportamento è evidenziato in fig. 7.17.

◭

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica Il campionamento e l’interpolazione visti nella sezione precedente, ed in particolare nel teorema del campionamento, si basano su alcune ipotesi non realistiche, che possono introdurre scostamenti anche significativi tra lo studio teorico ed il comportamento pratico dei circuiti di campionamento e ricostruzione. In particolare, le ipotesi che richiedono un approfondimento ed una rivisitazione in un contesto più applicativo sono le seguenti: (a1) l’assunzione che il segnale sia a banda rigorosamente limitata. (a2) l’assunzione che l’interpolazione sia effettuata in maniera ideale, ovvero mediante la serie di Shannon (7.8) o, equivalentemente, utilizzando un filtro ideale passabasso (7.6). Vediamo allora come si modificano le proprietà del campionamento e dell’interpolazione quando tali ipotesi non sono verificate. A tal fine, per semplicità di trattazione, considereremo separatamente gli effetti che la rimozione di tali ipotesi comporta, anche se nella pratica sia la (a1) che la (a2) risultano contemporaneamente non soddisfatte. 7.3.1 Campionamento di segnali a banda praticamente limitata

Poichè in pratica è possibile osservare ed elaborare escusivamente segnali di durata finita, i segnali che si incontrano nelle applicazioni non possono avere banda rigorosamente limitata, ma solo praticamente limitata, come ad esempio il segnale riportato in fig. 7.19(a). Per effetto della banda non rigorosamente limitata, per qualunque scelta della frequenza di campionamento fc , le repliche del segnale campionato idealmente si sovrappongono in frequenza come mostrato in fig. 7.19(b), per cui lo spettro Xδ ( f ) è affetto da aliasing. In effetti, la (7.4), riportata di seguito per comodità +∞

Xδ ( f ) = fc

∑

k=−∞

Xa ( f − k fc ) ,

evidenzia che, se Xa ( f ) non ha banda rigorosamente limitata, ogni componente spettrale a frequenza f in Xδ ( f ) è il risultato della sovrapposizione di tutte le componenti spettrali di Xa ( f ) alle frequenze f − k fc , con f ∈ Z. Se facciamo riferimento in particolare allo spettro nell’intervallo (− fc , fc ), notiamo (fig. 7.19) che, per effetto della replicazione in frequenza, ogni componente spettrale del segnale xa (t) a frequenza fc /2 < f ≤ fc è riportata per aliasing alla frequenza f − fc , che cade nell’intervallo ] − fc /2, 0], ossia all’interno della banda passante del filtro di ricostruzione; allo stesso modo, ogni componente spettrale del segnale xa (t) a frequenza − fc ≤ f < − fc /2 è riportata per aliasing alla frequenza f + fc , che cade nell’intervallo [0, fc /2[. Da un punto di vista grafico, la sovrapposizione nella banda (− fc /2, fc /2) delle componenti spettrali del segnale xa (t), originariamente esterne a tale banda, si può interpretare anche come dovuta ad un ripiegamento o folding delle “code” dello spettro intorno alle frequenze ± fc /2, come mostrato in fig. 7.19(b). Notiamo che in effetti tale folding è semplicemente un modo equivalente di interpretare l’aliasing, già visto nel § 7.2.3. Esso non può essere compensato una volta che le frequenze si sono combinate tra loro, generando in uscita dal filtro di ricostruzione [vedi fig. 7.19(c)] una versione distorta del segnale campionato; in particolare, si può notare che in questo caso lo spettro del segnale ricostruito xr (t) differisce sensibilmente da quello del segnale originario xa (t), specialmente in prossimità delle frequenze ± fc /2 di ripiegamento [vedi fig. 7.19(d)].

410

Campionamento e conversione A/D e D/A

Xa(f) A /2

(a)

-fc

-f0

0

-fc /2

fc /2

f0

f

fc

Xδ (f)

(b)

A /(2Tc )

...

...

-fc

-f0

-fc /2

f0-fc

0

fc -f0

fc /2

f0

fc

f

Hr (f) Tc

(c)

-fc /2

fc /2

0

f

Xr (f)

(d)

-fc

A /2

-fc /2

f0-fc

0

fc -f0

fc /2

fc

f

Fig. 7.18. Interpretazione nel dominio della frequenza del fenomeno dell’aliasing (caso di una sinusoide a frequenza f0 campionata con frequenza fc < 2 f0 ): (a) spettro Xa ( f ) originario; (b) spettro Xδ ( f ) risultante dal campionamento (in rosso gli impulsi risultanti dalla replicazione); (c) risposta in frequenza Hr ( f ) del filtro di ricostruzione; (d) spettro Xr ( f ) del segnale ricostruito.

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

411

Xa(f) 1 (a)

-fc

-fc /2

0

fc /2

fc

f

fc /2

fc

f

Xδ (f) 1/Tc (b)

-fc

-fc /2

0 Hr (f) Tc

(c)

0

-fc /2

fc /2

f

Xr (f), Xa(f) 1 (d)

-fc

-fc /2

0

fc /2

fc

f

Fig. 7.19. Campionamento e ricostruzione di un segnale con banda praticamente limitata e fenomeno del folding dello spettro: (a) spettro originario Xa ( f ); (b) repliche dello spettro Xa ( f ) (in nero) e spettro Xδ ( f ) risultante (in rosso); (c) risposta in frequenza Hr ( f ) del filtro di ricostruzione; (d) spettro Xr ( f ) del segnale ricostruito (in rosso) e confronto con lo spettro originario Xa ( f ) (in nero).

412

Campionamento e conversione A/D e D/A

Xδ (f) 1/Tc (a)

fc1 /2

0

fc1

2 fc1

f

fc2

f

Xδ (f) fc2 = 2 fc1

1/Tc (b)

fc2 /2

0

Fig. 7.20. Effetto di un sovracampionamento sul folding/aliasing (lo spettro Xa ( f ) è quello di fig. 7.19): (a) folding dello spettro (in rosso) utilizzando una frequenza di campionamento fc1 ; (b) folding dello spettro (in rosso) utilizzando una frequenza di campionamento fc2 = 2 fc1 . Si noti che nel caso (b) l’effetto del folding/aliasing è trascurabile.

ya(t) xa(t)

Haa (f)

campion .

y(n)

Tc

Fig. 7.21. Schema a blocchi del campionamento con filtraggio antialiasing.

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

413

Il fenomeno del folding/aliasing può essere reso trascurabile sovracampionando il segnale xa (t), ovvero utilizzando una frequenza di campionamento fc superiore rispetto alla minima frequenza di campionamento (frequenza di Nyquist). In questo modo le code dello spettro che si sovrappongono nella banda di interesse (− fc /2, fc /2) risultano essere più basse. Come mostrato nello schema di fig. 7.20, un adeguato sovracampionamento può rendere l’effetto del folding praticamente trascurabile. Tuttavia, è bene osservare che non è possibile in pratica aumentare a dismisura la frequenza di campionamento. Innanzitutto, il campionamento di un segnale con fc elevata richiede l’impiego di circuiti elettronici con elevata frequenza di clock; ovviamente, maggiore è la frequenza di clock, maggiore è il costo del circuito. Inoltre, la frequenza di campionamento rappresenta il numero di campioni estratti dal segnale analogico xa (t) nell’unità di tempo, pertanto il numero di campioni da memorizzare per l’elaborazione digitale di un segnale xa (t) avente durata ∆x è pari circa a K = ∆Tcx = ∆x fc ; in altre parole, l’ingombro di memoria cresce in maniera direttamente proporzionale alla frequenza di campionamento e, quindi, maggiore è fc , maggiore è l’occupazione di memoria richiesta. Per ridurre il fenomeno del folding/aliasing, senza incorrere in un significativo incremento nel costo dei circuiti di campionamento e nell’ingombro di memoria, è necessario filtrare il segnale analogico xa (t) prima di effettuare il campionamento. Lo scopo di tale pre-filtraggio è quello di ridurre significativamente (idealmente, di eliminare) il contenuto spettrale del segnale da campionare all’esterno della banda − fc /2 ≤ f ≤ fc /2. Come mostrato in fig. 7.21, ciò può essere realizzato anteponendo al campionatore un filtro passabasso, detto filtro antialiasing, avente frequenza di taglio fc /2 (metà della frequenza di campionamento). In tal modo, come è evidente dalla fig. 7.22, nell’ipotesi che il filtro passabasso sia ideale, il problema del folding/aliasing è completamente eliminato. La scelta della frequenza di campionamento (e quindi della frequenza di taglio del filtro antialiasing) di un segnale a banda praticamente limitata dipende dalla particolare applicazione. ◮ Esempio 7.2 (campionamento di un segnale audio musicale) Considerazioni sperimentali di carattere fisiologico mostrano che l’orecchio umano può udire segnali costituiti da componenti spettrali contenute nell’intervallo di frequenza tra i 20 Hz e i 20 kHz: i suoni con frequenza inferiori ai 20 Hz sono percepiti come vibrazioni, mentre i suoni con frequenza maggiore di 20 kHz (ultrasuoni) non sono percepiti dall’orecchio umano.5 Un segnale audio musicale prodotto da strumenti acustici o elettrici in molti casi possiede componenti spettrali a frequenze ben superiori a quelle udibili, e pertanto si tratta di un segnale con banda non rigorosamente limitata. Tuttavia, poichè le frequenze superiori ai 20 kHz non sono percepibili dall’uomo, è conveniente pre-filtrare il segnale audio mediante un filtro passabasso con frequenza di taglio fc /2 = 20 kHz, in modo da ottenere un segnale avente banda (quasi) rigorosamente limitata, che può essere campionato con una frequenza di campionamento dell’ordine di fc = 40 kHz (frequenza di Nyquist), senza alcun problema di aliasing o di folding. Per l’orecchio umano, il segnale in uscita dal filtro antialiasing è praticamente indistinguibile da quello originariamente prodotto dagli strumenti musicali. Notiamo che se non effettuassimo tale filtraggio, le componenti non udibili, a frequenze superiori a 20 kHz, per effetto del folding si “ripiegherebbero” all’interno della banda utile, andandosi a sommare alle componenti udibili originariamente presenti in tale banda. Ciò comporterebbe un peggioramento qualitativo del segnale musicale, direttamente percepibile come un fruscio alle più alte frequenze dello spettro. In realtà, i sistemi di registrazione su CD adottano una frequenza di campionamento leggermente più alta pari a fc = 44.1 kHz, ed i sistemi audio professionali utilizzano frequenze ancora più elevate, pari a fc = 48 kHz o multipli. Abbiamo visto in effetti che mediante un sovracampionamento è possibile ridurre gli effetti del folding: vedremo subito dopo che mediante un sovracampionamento è possibile anche migliorare la ricostruzione del segnale analogico. ◭

Concludiamo osservando che l’ipotesi di disporre di un filtro ideale antialiasing è ovviamente irrealistica, e nella pratica bisognerà accontentarsi di un filtro reale, come quello di fig. 6.71, che pertanto non potrà sopprimere perfettamente ma solo attenuare fortemente le componenti spettrali del segnale xa (t) aventi frequenza superiore a fc /2. In tal caso, l’uso combinato del sovracampionamento, del 5 Tuttavia

molti animali, ad esempio i cani, presentano una spiccata sensibilità agli ultrasuoni.

414

Campionamento e conversione A/D e D/A

Xa(f) 1 (a)

0

fc /2

fc

f

fc /2

fc

f

fc /2

fc

f

fc /2

fc

f

Haa (f) 1 (b)

0 Ya(f) 1 (c)

0 Yδ (f) 1/Tc (d)

0

Fig. 7.22. Effetto del filtraggio antialiasing effettuato sul segnale xa (t) prima del campionamento: (a) spettro originario Xa ( f ); (b) risposta in frequenza Haa ( f ) del filtro antialiasing ideale; (c) spettro Ya ( f ) del segnale all’uscita del filtro antialiasing; (b) spettro Yδ ( f ) risultante dal campionamento. Si noti che il filtraggio antialiasing (ideale) ha completamente eliminato il folding dello spettro.

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

415

Xδ (f) 1/Tc (a)

-fc -W

-fc

-fc +W -fc /2

-W

0

W

fc /2

fc -W

fc

f

fc +W

Hr (f) Tc (b)

-fc

0

-fc /2

fc /2

fc

f

fc

f

Xr (f) 1 (c)

-fc

-W

0

W

Fig. 7.23. Effetto di una interpolazione non ideale (lo spettro Xa ( f ) è quello di fig. 7.19): (a) spettro Xδ ( f ) risultante dal campionamento del segnale xa (t); (b) risposta in frequenza Hr ( f ) del filtro di ricostruzione (il filtro ideale è indicato con linea tratteggiata); (c) spettro Xr ( f ) del segnale ricostruito. Si noti che il filtro ha distorto la replica fondamentale alle alte frequenze ed ha lasciato passare residui delle repliche a frequenze ± fc .

filtraggio antialiasing e di tecniche di elaborazione numerica, che operano direttamente sui campioni x(n), consente di ottenere un buon compromesso tra qualità del campionamento e costo/complessità dei dispositivi. 7.3.2 Interpolazione non ideale

In base al teorema del campionamento, la ricostruzione del segnale TC xa (t) a partire dalla sequenza dei suoi campioni può essere ottenuta utilizzando la serie di Shannon (7.8) ovvero, nel dominio della frequenza, un filtro ideale passabasso (7.6). Abbiamo già avuto modo di mettere in evidenza che tale tipo di filtro non è fisicamente realizzabile per cui il suo comportamento può essere solo approssimato. Nella pratica, si ricorre ancora a formule di interpolazione basate sulla (7.9) e sullo schema di fig. 7.14 in cui, però, la funzione interpolante hr (t) è la risposta impulsiva di un filtro reale, ovvero fisicamente realizzabile. Consideriamo ad esempio la situazione di fig. 7.23, in cui si utilizza per la ricostruzione un filtro reale la cui risposta in frequenza Hr ( f ), del tipo di quella di fig. 6.71, approssima abbastanza bene quella di un filtro ideale nella banda passante W p e nella banda oscura Ws , mentre se ne discosta significativamente nella banda di transizione Wt . L’impiego di un filtro reale di interpolazione comporta due effetti negativi nella ricostruzione del segnale: se l’estensione spettrale del segnale xa (t) non è interamente contenuta nella banda passante del filtro, si ha un’attenuazione delle componenti ad alta frequenza del segnale analogico xa (t), che risulterà quindi distorto; inoltre,

416

Campionamento e conversione A/D e D/A

xZOH (t)

-3Tc -2Tc

-Tc

0

xFOH(t)

Tc

2Tc

3Tc

t

Fig. 7.24. Interpolazione con mantenimento o ZOH [a linea tratteggiata è riportato l’andamento del segnale originario xa (t)].

-3Tc -2Tc

-Tc

0

Tc

2Tc

3Tc

t

Fig. 7.25. Interpolazione lineare o FOH [a linea tratteggiata è riportato l’andamento del segnale originario xa (t)].

se parte delle repliche contigue centrate alle frequenze multiple di quella di campionamento cadono nella banda di transizione del filtro, o se il filtro non ha una sufficiente attenuazione in banda oscura, nella ricostruzione saranno presenti dei residui di tali repliche, il cui effetto può essere percepibile, anche se essi cadono fuori dalla banda del segnale originario. Tali effetti negativi si possono ridurre significativamente scegliendo un filtro di ricostruzione di elevata qualità (e quindi più costoso), avente ad esempio una banda di transizione stretta per una data frequenza di campionamento. In aggiunta, è quasi sempre necessario introdurre un certo tasso di sovracampionamento per assicurare una sufficiente separazione tra le repliche del segnale campionato, in modo che esse cadano il più possibile nella banda oscura del filtro di ricostruzione.6 In pratica, per ridurre la complessità dei convertitori D/A, si utilizzano tecniche di interpolazione poco complesse, che tuttavia consentono di approssimare abbastanza bene l’interpolazione ideale, soprattutto se accompagnate da un moderato sovracampionamento. Tra esse, quella più semplice è l’interpolazione a mantenimento (in inglese, zero-order hold, ZOH), che consiste nello scegliere come funzione interpolatrice la finestra rettangolare:   t − Tc /2 . hr (t) = rect Tc In questo caso, come mostrato in fig. 7.24, il segnale ricostruito xr (t), che è una forma d’onda costante a tratti, è una versione distorta del segnale campionato xa (t). Una ricostruzione più accurata del segnale campionato si può ottenere utilizzando l’interpolazione lineare (in inglese, first-order hold, FOH), che consiste nello scegliere come funzione interpolatrice una finestra triangolare   t . hr (t) = Λ Tc In questo caso, come mostrato in fig. 7.25, il segnale interpolato xr (t) è costituito da una spezzata che collega i punti corrispondenti a campioni consecutivi del segnale campionato. La giustificazione 6 Tuttavia

poiché sovracampionare eccessivamente un segnale ha gli aspetti negativi che abbiamo menzionato precedentemente (maggiore costo ed ingombro di memoria), in molti casi è possibile aumentare virtualmente la frequenza del segnale campionato solo ai fini della ricostruzione con una elaborazione effettuata direttamente sui campioni x(n). Per i dettagli di tale operazione, nota come innalzamento in numerico della frequenza di campionamento o digital oversampling, si vedano i testi specializzati di elaborazione numerica dei segnali, ad esempio [14].

7.3 Campionamento ed interpolazione in pratica

417

analitica dell’andamento in fig. 7.25 si ottiene osservando che, nel generico intervallo [nTc , (n + 1)Tc ], solo due termini contribuiscono nella somma (7.9), ossia:     t − nTc t − (n + 1)Tc xr (t) = x(n) Λ + x(n + 1) Λ Tc Tc   t − nTc , ∀t ∈ [nTc , (n + 1)Tc ] , (7.10) = x(n) + [x(n + 1) − x(n)] Tc che rappresenta l’equazione della retta che collega i punti corrispondenti ai campioni x(n) e x(n + 1). Analizzando la risposta impulsiva dei filtri ZOH e FOH, si nota sono entrambi filtri FIR e quindi stabili, ma mentre il filtro ZOH è causale, il filtro FOH non lo è poiché hr (t) non si annulla identicamente per t < 0. D’altra parte, la (7.10) non è un’operazione causale, in quanto per ricavare l’equazione della retta nell’intervallo [nTc , (n + 1)Tc ], si richiede la conoscenza del campione passato x(n) ma anche di quello futuro x(n + 1). Per ottenere un filtro FOH causale, tuttavia, è sufficiente introdurre nella hr (t) un ritardo pari a Tc . Infine, se si confrontano gli andamenti dei segnali xr (t) nel caso di interpolazione ZOH e FOH si può osservare che nel primo caso il segnale interpolato è discontinuo, mentre nel secondo caso il segnale xr (t) è continuo. Questo comporta che il segnale con interpolazione a mantenimento ha un maggior contenuto spettrale significativo alle alte frequenze rispetto al segnale con interpolazione lineare, per cui è meno adatto ad approssimare il segnale a banda rigorosamente limitata xa (t). Tale risultato intuitivo è confermato dallo studio più rigoroso degli effetti nel dominio della frequenza dei due tipi di interpolazione.

418

Campionamento e conversione A/D e D/A

x(n)

Q(x)

xq(n)

Fig. 7.26. Schema a blocchi di un quantizzatore.

7.4 Quantizzazione A valle del campionamento, il segnale TD x(n) presenterà ampiezze appartenenti in generale ad un insieme continuo di valori; ad esempio, campionando il segnale sinusoidale xa (t) = A cos(2π f0t + ϕ0 ) si otterrà il segnale TD x(n) = xa (nTc ) = A cos(2πν0 n + ϕ0 ), con ν0 = f0 Tc = f0 / fc , che potrà assumere in linea di principio qualunque valore nell’intervallo reale [−A, A]. Pertanto, il segnale x(n) non può essere ancora considerato digitale, in quanto le sue ampiezze sono dei numeri reali, caratterizzati da infinite cifre significative; tali valori non possono direttamente essere memorizzati in una memoria digitale, costituita da registri di dimensione finita. Per completare allora la conversione A/D del segnale, come evidenziato anche dallo schema di fig. 7.2, bisogna discretizzare anche le ampiezze del segnale TD x(n). Questa discretizzazione prende il nome di quantizzazione, ed il dispositivo che la effettua si chiama quantizzatore. Pertanto, nella teoria dei segnali il termine “quantizzazione” è sinonimo di “discretizzazione delle ampiezze”.7 Facendo riferimento allo schema di fig. 7.26, il quantizzatore è un sistema TD, avente in ingresso il segnale campionato x(n), ed in uscita il segnale quantizzato xq (n); notiamo che xq (n), essendo a tempo e ad ampiezza discreta, è effettivamente un segnale digitale. Tale sistema può essere descritto matematicamente dalla relazione i-u: xq (n) = Q[x(n)] , ovvero si tratta di un sistema non lineare, senza memoria, e invariante temporalmente (una non linearità senza memoria, secondo la def. 3.12). La discretizzazione delle ampiezze, in altri termini, avviene campione per campione, secondo una legge non lineare che non varia nel tempo. La discretizzazione di un numero reale è un concetto intuitivo: un possibile esempio è l’arrotondamento del numero x ∈ R ad un valore intero Q(x) ∈ Z, che si effettua solitamente in tre modi diversi: arrotondamento al numero intero precedente (approssimazione per difetto), al numero intero successivo (approssimazione per eccesso), al numero intero più vicino (arrotondamento propriamente detto).8 L’errore di arrotondamento e(x) = Q(x) − x vale al massimo 1 (in modulo) per l’approssimazione per difetto o per eccesso, e 1/2 per l’arrotondamento, il che evidenzia il limite principale di tale arrotondamento, ovvero il fatto che abbia una precisione fissa, non modificabile. Per generalizzare allora questo concetto, possiamo introdurre un passo di quantizzazione ∆ ∈ R+ , e discretizzare il numero x ∈ R nel modo seguente: qualsiasi valore x ∈ (0, ∆), (detto intervallo di quantizzazione) viene rappresentato come il valore discreto q = Q(x) = ∆2 (detto livello di quantizzazione o di restituzione), scelto come il punto medio dell’intervallo (0, ∆). La scelta del livello di restituzione come il punto medio dell’intervallo di quantizzazione (e non come uno dei due estremi) è legata all’osservazione precedente che a tale scelta corrisponde il minimo errore di arrotondamento, pari al più a ∆/2 in modulo. Ovviamente, lo stesso procedimento si potrà ripetere per l’intervallo 7 Il

termine “quantizzare” deriva dalla meccanica quantistica, secondo la quale alcune grandezze fisiche (ad esempio, la luce) non variano in maniera continua, ma per quanti, ovvero in maniera discreta (il quanto di luce è il fotone). Notiamo che nel linguaggio comune, a volte “quantizzare’ è utilizzato come sinonimo di “quantificare”: tale uso, purtroppo diffuso, è scorretto, poiché quantificare non ha niente a che vedere con la discretizzazione, implicita invece nel termine “quantizzare” 8 Tali arrotondamenti sono realizzati ad esempio in Matlab mediante le funzioni floor, ceil e round, rispettivamente.

7.4 Quantizzazione

419

Q(x)

11

q4=3∆ /2

q3=∆ /2 -2∆ =- Xmax

-∆

01

00

10

∆

x

2∆ =Xmax

q2=-∆ /2

q1=-3∆ /2

Fig. 7.27. Caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore con M = 4 livelli di quantizzazione (con la linea tratteggiata è rappresentata la retta di equazione y = x).

(∆, 2∆), e più in generale per l’intervallo (k∆, (k + 1)∆), con k ∈ Z. Pertanto, con riferimento al segnale x(n), supponiamo di considerare solo i valori di ampiezza appartenenti all’intervallo [−Xmax , Xmax ], che suddividiamo in M intervalli di quantizzazione, ponendo ∆ = 2Xmax /M. Ripetendo allora i ragionamenti precedenti per ciascun intervallo di quantizzazione, possiamo costruire la cosiddetta caratteristica i-u Q(x) del quantizzatore, riportata in fig. 7.27 nel caso molto semplice in cui M = 4. Notiamo che la funzione non lineare Q(x) ha un caratteristico andamento a scalini, che si “appoggiano” sulla retta di equazione y = x; in altri termini, il quantizzatore (sistema non lineare) cerca comunque di approssimare il comportamento del sistema identico (sistema lineare). Osservando la caratteristica i-u di fig. 7.27, notiamo che qualsiasi valore assunto dal segnale nell’intervallo (−Xmax , Xmax ) viene discretizzato in uno degli M = 4 possibili livelli di restituzione, dati da q1 = − 23 ∆, q2 = − 21 ∆, q3 = 12 ∆, q4 = 32 ∆. Poiché M = 4 livelli possono essere codificati con b = log2 M = 2 bit, ogni campione del segnale quantizzato xq (n) potrà in effetti essere rappresentato in binario da una stringa di b = 2 bit. In fig. 7.27, in particolare, tale associazione tra livelli di quantizzazione e stringhe di bit è effettuata utilizzando la cosiddetta codifica naturale,9 ovvero numerando i livelli in binario a partire da quello inferiore, per cui q1 = − 3∆ 2 → 00 ,

q2 = − ∆2 → 01 ,

q3 =

∆ 2

→ 10 ,

q4 =

3∆ 2

→ 11 .

Al fine della rappresentazione binaria, è conveniente scegliere in generale M = 2b (potenza di due), in modo che tale rappresentazione sia efficiente, nel senso che ciascuna delle 2b stringhe di b bit è associata ad uno degli M livelli di quantizzazione. Se, invece, M non fosse una potenza di due, sarebbe necessario utilizzare un numero b di bit tale che 2b > M, per cui non tutte le 2b stringhe di bit verrebbero utilizzate per rappresentare gli M livelli di quantizzazione (2b − M stringhe risulterebbero inutilizzate in questo caso), e tale scelta risulterebbe evidentemente inefficiente. 9 Altre

scelte per la codifica sono ovviamente possibili (ad esempio, codifica in complemento a due o codifica in segno e modulo), ma la scelta della codifica più opportuna è strettamente legata all’architettura del DSP utilizzato per l’elaborazione del segnale digitale (fig. 7.1), ed esula pertanto dagli scopi di questo testo.

420

Campionamento e conversione A/D e D/A

Q(x) ...

qM

X max

-X max Rg

Rs

...

x Rs

q1

Fig. 7.28. Caratteristica ingresso uscita di un quantizzatore con M = 16 livelli di quantizzazione. Nel grafico sono evidenziate la regione granulare Rg e la regione di sovraccarico Rs .

Con riferimento alla conversione A/D di fig. 7.2, notiamo che i campioni x(n) si presentano in effetti all’ingresso del quantizzatore con una velocità pari a fc campioni al secondo ( fc è la frequenza di campionamento). Poiché ogni campione viene codificato con b bit, la velocità di tale flusso di bit all’uscita del quantizzatore, chiamata bit-rate, sarà pari a rb = fc b bit/s. Pertanto, se si effettua anche la codifica binaria, il segnale analogico xa (t) viene convertito in un flusso di bit con velocità rb , cioè in un vero e proprio segnale digitale binario. Abbiamo discusso finora il comportamento del quantizzatore solo all’interno della regione Rg = [−Xmax , Xmax ], chiamata regione granulare, caratterizzata dall’andamento a gradini della funzione Q(x); tuttavia, bisogna prevedere l’eventualità che il segnale possa anche assumere valori superiori in modulo ad Xmax . Pertanto, la funzione Q(x) va estesa anche alla regione Rs =] − ∞, Xmax [∪]Xmax , +∞[, chiamata regione di sovraccarico (in inglese, overloading). Il modo più semplice per fare ciò, senza alterare il numero M di livelli, è quello di estendere il primo e l’ultimo livello di restituzione, come fatto in fig. 7.28 per un quantizzatore con M = 16 livelli, in modo che essi rappresentino i livelli di restituzione del segnale quando la sua ampiezza cade in Rs . Per effetto di questa scelta, osserviamo che in Rs la caratteristica i-u del quantizzatore non segue più la legge a gradini, ma è invece costante (si dice che il quantizzatore va in sovraccarico o in “saturazione”). Un quantizzatore, avente caratteristica i-u come quelle di fig. 7.27 o fig. 7.28 si dice uniforme, perché il passo di quantizzazione ∆ è lo stesso per tutti gli intervalli di quantizzazione; si dice inoltre simmetrico perché gli intervalli di quantizzazione (e conseguentemente i livelli di restituzione q1 , q2 , . . . , qM ) sono simmetricamente disposti intorno allo zero; infine, esso si dice anche senza restituzione dello zero, in quanto, per la simmetria, tra i livelli di restituzione non esiste il livello zero, per cui l’uscita del quantizzatore non può mai essere nulla: alcuni commenti sull’applicabilità e le conseguenze di queste ipotesi sono effettuati al termine della sezione. Avendo descritto il comportamento i-u del quantizzatore, passiamo ora ad analizzare le sue prestazioni ed a fornire dei semplici criteri di dimensionamento. A differenza del campionamento, la discretizzazione della ampiezze effettuata dal quantizzatore introduce una degradazione irreversibile del segnale, che non può essere più recuperata dal convertitore D/A, che si limita ad effettuare (fig. 7.3)

7.4 Quantizzazione

421

xq(n)

x(n)

e(n) Fig. 7.29. Modello additivo per il quantizzatore: si noti che l’errore e(n) dipende dal segnale di ingresso x(n).

l’interpolazione del segnale. Pertanto, tale degradazione va contenuta il più possibile, secondo criteri di qualità che dipendono dalle applicazioni. L’entità della degradazione dipende evidentemente dai parametri caratteristici del quantizzatore, ovvero da M, Xmax , b, ∆. Tali parametri non sono tutti indipendenti, in quanto esistono delle relazioni tra essi: ad esempio, risulta Xmax = M2 ∆ e M = 2b , per cui nel progetto è sufficiente individuare due soli parametri, ad esempio Xmax e b. Per valutare l’effetto della scelta di tali parametri sulle prestazioni del quantizzatore, introduciamo il cosiddetto errore di quantizzazione, definito come e(n) = xq (n) − x(n) = Q[x(n)] − x(n) ,

(7.11)

ovvero come la differenza tra l’uscita e l’ingresso del quantizzatore. Sulla base della (7.11), è possibile scrivere evidentemente xq (n) = x(n) + e(n) , che ammette l’interpretazione di fig. 7.29, in cui il quantizzatore è assimilato ad un sommatore a due ingressi x(n) ed e(n). In questo senso, si parla dell’errore e(n) come del rumore di quantizzazione, che si aggiunge al segnale x(n) determinando il segnale quantizzato xq (n). Si tenga presente, però, che in modelli simili a quello di fig. 7.29, il “rumore” ha solitamente un’origine indipendente dal segnale: nel nostro caso, invece, il disturbo dipende fortemente dal segnale x(n), come evidenziato chiaramente dalla (7.11). L’errore di quantizzazione ha caratteristiche completamente diverse nelle due regioni Rg e Rs definite in precedenza: • nella regione granulare Rg , in cui |x(n)| ≤ Xmax , risulta evidentemente |e(n)| ≤

∆ 2

,

(7.12)

ovvero l’errore granulare è limitato, con massima ampiezza (in valore assoluto) pari ∆2 ; nella regione granulare, pertanto, l’errore massimo cresce proporzionalmente a ∆; • nella regione di sovraccarico Rs , in cui |x(n)| > Xmax , l’errore di sovraccarico non è limitato, ma può crescere (in valore assoluto) senza limiti, al crescere dell’ampiezza del segnale di ingresso. Dal momento che la quantizzazione è un’elaborazione irreversibile, è particolarmente importante contenere l’errore di sovraccarico, in quanto esso non è limitato, e quindi degrada il segnale in maniera severa. L’estensione della regione di sovraccarico Rs dipende in effetti solo dalla scelta di Xmax , per cui l’entità del sovraccarico dipende solo da questo parametro. Sfruttando il fatto che qualunque segnale di ingresso in pratica è limitato in ampiezza, con valore massimo (in modulo) dato da xmax = maxn∈Z |x(n)|, per evitare il sovraccarico sarebbe sufficiente scegliere Xmax ≥ xmax . Ad esempio, se il segnale x(n) è ottenuto dal campionamento di una sinusoide di ampiezza A, scegliendo

422

Campionamento e conversione A/D e D/A

Xmax ≥ A il sovraccarico non si verificherà mai. Va detto, però, che tale esempio è ottimistico, in quanto i segnali analogici tipicamente sottoposti alla conversione A/D e quindi alla quantizzazione sono segnali di informazione, e quindi non hanno un andamento così semplice e regolare come quello di una sinusoide, ma tendono a presentare una forte variabilità temporale, come ad esempio il segnale vocale di fig. 1.9. Segnali del genere, in effetti, assumono per gran parte del tempo valori di ampiezza piuttosto contenuti, con brevi escursioni (positive o negative) di ampiezza molto elevata. Dimensionare allora il valore Xmax del quantizzatore in base al massimo valore del segnale ha la seguente controindicazione: per un fissato numero di livelli M, poiché ∆ = 2Xmax /M, questo comporterà valori di ∆ piuttosto elevati, e quindi una cattiva approssimazione del segnale nella regione granulare [si ricordi che l’errore massimo cresce proporzionalmente a ∆ nella regione granulare, come stabilito dalla (7.12)]. È necessario allora trovare un criterio quantitativo per scegliere valori di Xmax più contenuti, ed in particolare più piccoli di xmax , accettando così che il quantizzatore possa trovarsi in sovraccarico per brevi intervalli di tempo, ma migliorando l’approssimazione del segnale nella regione granulare. Un buon criterio pratico è quello di dimensionare Xmax , anziché rispetto ad xmax , in base al valore efficace  √ △

xrms = Px del segnale x(n), con Px = x2 (n) potenza del segnale in ingresso al quantizzatore. Il motivo di tale scelta è che xrms , essendo ottenuto mediante una media temporale, non si limita a portare in conto esclusivamente i valori di ampiezza assunti dal segnale, ma “pesa” tali valori in accordo alla frazione di tempo per cui questi valori sono assunti; pertanto, eventuali picchi di breve durata contribuiscono in maniera contenuta al valore di xrms . In definitiva, il valore efficace risulta un ottimo e realistico indicatore del livello medio di un dato segnale.10 Per limitare l’errore di sovraccarico è conveniente allora scegliere Xmax in modo che sia proporzionale ad xrms . A tale scopo, si definisce il fattore di carico, dato da △

kc =

Xmax . xrms

(7.13)

Maggiore è il fattore di carico kc , maggiore è il livello Xmax rispetto ad xrms , e quindi minore è la frazione di tempo durante il quale il segnale porta il quantizzatore ad operare nella regione Rs di sovraccarico. Osserviamo che il fattore di carico dipende sia dal quantizzatore (attraverso Xmax ) ma anche dal segnale, attraverso xrms . Appare chiaro che, all’aumentare di kc , il sovraccarico si riduce; la discussione precedente dovrebbe chiarire, tuttavia, che ad un aumento di kc , e quindi di Xmax , corrisponde un proporzionale aumento di ∆ (a parità di M), per cui l’approssimazione nella regione granulare Rg peggiora. È chiaro, allora, che non conviene scegliere kc e quindi Xmax troppo elevato. Modellando il segnale x(n) come un processo aleatorio con assegnata densità di probabilità, è possibile dimensionare il fattore di carico in modo da garantire una determinata probabilità di sovraccarico, definita come Ps = P[|x(n)| > Xmax ]. Più semplicemente, il valore kc = 4 è generalmente considerato accettabile e, tra i progettisti di convertitori A/D, tale caso viene denominato four-sigma loading.11 Una volta scelto un valore adeguato per kc , nel seguito dell’analisi faremo l’ipotesi semplificata che il quantizzatore non vada mai in sovraccarico, per cui riterremo che la (7.12) sia sempre verificata (notiamo che questo vale a rigore solo per Xmax ≥ xmax o, al limite, per kc → +∞). Questa semplificazione consente di misurare la bontà della quantizzazione attraverso il seguente parametro sintetico, xmax 10 Si prova facilmente che x rms ≤ xmax , con uguaglianza se e solo se |x(n)| = xmax , ∀n ∈ Z; il rapporto k p = xrms ≥ 1 prende il nome di fattore di picco o fattore di cresta del segnale, ed è √ tanto più grande quanto più il segnale presenta forti escursioni rispetto al valore xrms (per una sinusoide, ad esempio, k p = 2). 11 Si può dimostrare, utilizzando la disuguaglianza di Chebishev [15], che un valore di k = 4 assicura che il quantizzatore c 1 vada in sovraccarico per non più del 6.25% del tempo (corrispondente ad una probabilità di sovraccarico Ps ≤ k12 = 16 = c 0.0625).

7.4 Quantizzazione

423

e(n)

e(n)

∆ /2

∆ /2

n

n

-∆ /2

-∆ /2

Fig. 7.30. Andamento dell’errore di quantizzazione e(n) (si suppone che il quantizzatore non vada mai in sovraccarico).

Fig. 7.31. Andamento dell’errore di quantizzazione e(n) nel caso peggiore (si suppone che il quantizzatore non vada mai in sovraccarico).

denominato rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione:

2  x (n) potenza segnale in ingresso △ Px = 2 , SNR = = he (n)i Pe potenza errore quantizzazione

(7.14)

dove l’errore di quantizzazione viene assunto coincidente con l’errore nella regione granulare (errore granulare). In effetti, la definizione di SNR si basa sull’interpretazione del quantizzatore fornita in fig. 7.29, in quanto esso misura il rapporto tra la componente di segnale utile e quella di rumore presente nel segnale quantizzato xq (n). Un’interpretazione equivalente dell’SNR è quella secondo cui esso coincide con il reciproco del rapporto tra la potenza dell’errore e la potenza del segnale, quindi è una sorta di errore relativo di quantizzazione. Tale scelta è del tutto naturale, poiché non avrebbe senso valutare la potenza dell’errore Pe senza rapportarla in qualche modo alla potenza del segnale Px . Ad esempio, il valore Pe = 1 può considerarsi “piccolo” se Px = 100 (in questo caso si ha un SNR di 100), mentre è decisamente “grande” se Px = 0.01 (in questo caso si ha un SNR di 0.01). Nei casi pratici, essendo il reciproco dell’errore relativo, l’SNR dovrà assumere valori elevati (il valore effettivo dipenderà dal livello di accuratezza richiesto nella specifica applicazione di interesse). Poiché abbiamo ipotizzato che il quantizzatore non vada in sovraccarico, l’errore e(n) coincide con l’errore granulare, e quest’ultimo cresce proporzionalmente con ∆ [si veda (7.12)], ed in definitiva possiamo prevedere che la sua potenza Pe crescerà proporzionalmente con ∆2 . Per giungere, tuttavia, a criteri di dimensionamento quantitativi, dovremo trovare una precisa relazione matematica tra Pe e ∆2 . Notiamo che l’andamento effettivo di e(n) non è noto a priori, in quanto esso dipende dallo specifico segnale di ingresso; pertanto, è naturale modellare e(n) come un segnale aleatorio a TD, i cui valori soddisfano la disuguaglianza (7.12): un tipico andamento di e(n) è riportato in fig. 7.30. Dalla (7.12), si ha:

 D 2E 2 2 ⇒ Pe = e2 (n) ≤ ∆4 = ∆4 , e2 (n) ≤ ∆4

ovvero in definitiva Pe ≤

∆2 △ 4 =

Pe,max .

Sostituendo Pe,max = ∆4 in luogo di Pe nella (7.14) si perviene ad un valore di SNR pessimistico (più piccolo) rispetto a quello effettivo. Progettare il quantizzatore sulla base dell’SNR peggiore (cosiddetto worst case), sebbene sia un criterio comunemente adottato nell’ingegneria, porterebbe nel nostro caso a sottodimensionare ∆ e quindi, per un fissato Xmax , ad un sovradimensionamento del numero M di livelli. Notiamo che il caso peggiore corrisponde a ipotizzare (situazione piuttosto irrealistica) che 2

424

Campionamento e conversione A/D e D/A

e(n) = ± ∆2 , ovvero che l’errore sia massimo (in modulo) in ogni istante di tempo, e quindi per ogni campione (fig. 7.31) Più realisticamente, è ragionevole ritenere che l’errore di quantizzazione e(n) tenda ad assumere qualsiasi valore nell’intervallo (−∆/2, ∆/2), senza preferenza per alcun valore particolare di questo intervallo. Esprimendo questo concetto in termini probabilistici, ciò corrisponde a modellare e(n) come una variabile aleatoria a media nulla, avente una distribuzione uniforme nel’intervallo (−∆/2, ∆/2). In questo caso, allora, possiamo calcolare Pe effettuando, anziché una media temporale, una media statistica, e cioè come il valore quadratico medio di e(n): Pe = E[e2 (n)] . Ricordando [15] che, per un variabile aleatoria a media nulla, il valor quadratico medio coincide con 2 la varianza, e che quest’ultima, per una variabile uniforme in (a, b), vale (b−a) 12 (si veda [15]), si ha in definitiva: Pe = E[e2 (n)] =

∆2 . 12

Notiamo che il valore di potenza Pe calcolato assumendo che e(n) abbia una distribuzione uniforme è pari a Pe = 31 Pe,max , ovvero è un terzo della potenza corrispondente al caso peggiore. Sostituendo nella (7.14) si trova allora SNR =

Px 12 Px = . Pe ∆2

2 , che ∆ = Ricordando poi che Px = xrms

SNR =

2Xmax M ,

e che M = 2b , si ha

2 2b 2 M Px 12 xrms 3 xrms 22b = = 3 , = 2 2 Pe 4 Xmax Xmax kc2

dove abbiamo sfruttato la definizione (7.13) del fattore di carico kc . Il rapporto segnale-rumore è comunemente espresso in dB, come △

SNRdB = 10 log10 SNR , per cui utilizzando tale formulazione si ha:  2b  2 SNRdB = 10 log10 3 2 kc da cui, sfruttando note proprietà del logaritmo, si ottiene SNRdB = 10 log10 3 + 20 b log10 2 − 20 log10 kc , △

ed infine, ponendo 10 log10 3 ≈ 4.77, 20 log10 2 ≈ 6.02 e [kc ]dB = 20 log10 kc , si ha SNRdB = 6.02b − [kc ]dB + 4.77 .

(7.15)

L’equazione (7.15) è la formula fondamentale che esprime il SNR di quantizzazione in funzione di due parametri caratteristici del quantizzatore, il numero b di bit ed il fattore di carico kc (espresso in dB). Poiché in pratica il fattore di carico viene fissato preliminarmente per contenere il sovraccarico (ad esempio, al valore tipico kc = 4 corrispondente circa a 12 dB), la (7.15) consente di determinare in definitiva il numero minimo di bit necessari per ottenere un dato SNR, ovvero un dato livello di qualità della quantizzazione, come mostrato nel seguente esempio.

7.4 Quantizzazione

425

◮ Esempio 7.3 (dimensionamento di un quantizzatore ) Supponiamo di voler dimensionare un quantizzatore per un segnale con xrms = 10 mV e tale da garantire un SNR di almeno 85 dB. In primo luogo, in mancanza di informazioni più specifiche sulla massima probabilità di sovraccarico richiesta, scegliamo un fattore di carico kc = 4, il che significa Xmax = 4 xrms = 40 mV. Sostituendo kc = 4 nella formula (7.15) del SNR troviamo: SNRdB = 6.02b − 7.27 e quindi si ha: SNRdB ≥ 85dB

⇒

6.02b − 7.27 ≥ 85

⇒

b≥

85 + 7.27 = 15.33 6.02

Per soddisfare la specifica sul SNR, tenendo conto che b deve essere intero, bisogna scegliere per b il più piccolo valore intero superiore a 15.33, ovvero b = 16. In effetti, sostituendo questo valore nella (7.15), si ha un valore effettivo di SNR pari a 89.05 dB; in altri termini, il quantizzatore avrà prestazioni migliori di quelle minime previste dalle specifiche di progetto, ovvero sarà leggermente sovradimensionato. ◭

La (7.15) evidenzia che l’SNR si incrementa di circa 6dB per ogni incremento di 1 bit (ovvero per ogni raddoppio del numero M dei livelli); questa legge prende il nome di “legge dei 6 dB/bit”, ed è una regola pratica molto utilizzata per ricavare rapidamente una stima del numero di bit necessari ad ottenere un dato SNR. La (7.15) mostra anche che un aumento del fattore di carico kc determina, a parità di b, un peggioramento del SNR; questo spiega perché non convenga scegliere un valore di kc troppo elevato. La (7.15) sembrerebbe evidenziare, simmetricamente, che diminuire kc possa portare ad un miglioramento del SNR: notiamo tuttavia che questo è vero fin tanto che il sovraccarico (che aumenta al diminuire di kc ) può essere considerato trascurabile, ipotesi fondamentale per la validità della (7.15). Queste due considerazioni mostrano in definitiva che kc va fissato ad un valore di compromesso tra l’esigenza di contenere il sovraccarico e quella di non degradare il SNR. Osserviamo infine che un quantizzatore progettato per un dato kc , potrebbe trovarsi ad operare in condizioni di disadattamento, ovvero con kc diversi da quelli di progetto. Tali variazioni di kc , poiché Xmax è fissato, possono essere imputabili solo a variazioni di xrms , cioè del livello di potenza del segnale di ingresso. Avendo notato che variazioni sia in aumento che in diminuzione di kc , per motivi diversi, hanno un effetto deleterio sulle prestazioni, si intuisce come un aspetto essenziale nella quantizzazione e più in generale nella conversione A/D sia garantire che il valore RMS (e quindi la potenza) del segnale di ingresso sia quello assunto in fase di progetto. Questo requisito si può ottenere prevedendo, prima della conversione A/D, un opportuno stadio di condizionamento del segnale, vale a dire un preamplificatore avente guadagno variabile (e possibilmente adattativo). Concludiamo la trattazione del quantizzatore esaminando criticamente le ipotesi fatte precedentemente, e cioè quelle di quantizzatore uniforme, simmetrico e senza restituzione dello zero. Per quanto riguarda la simmetria, notiamo che tale assunzione ha senso per segnali che hanno escursioni di ampiezza simmetriche rispetto allo zero, caso molto frequente in pratica. Se evidentemente il segnale assumesse solo valori positivi, avrebbe senso scegliere gli intervalli di quantizzazione tutti sul semiasse positivo. La scelta di un passo di quantizzazione uniforme, invece, è appropriata solo per segnali che presentino una distribuzione uniforme (in senso probabilistico) delle ampiezze. I segnali tipici di informazione, come abbiamo visto precedentemente, presentano invece un andamento in cui i valori piccoli sono assunti per una frazione elevata di tempo, ed i valori grandi per una frazione piccola. Questo evidentemente porta alla necessità di adattare il passo di quantizzazione all’ampiezza del segnale, scegliendo un passo più piccolo per rappresentare adeguatamente i valori piccoli, ed un passo più grande per rappresentare adeguatamente i valori più grandi. In questo modo, si cerca di ottenere lo stesso errore relativo per tutti i valori del segnale di ingresso. Nella pratica, quindi, il quantizzatore uniforme è raramente la scelta ottimale, tuttavia esso è comunemente utilizzato ad esempio nella conversione A/D dei segnali musicali. Nelle applicazioni telefoniche, invece, si utilizzano tipicamente

426

Campionamento e conversione A/D e D/A

quantizzatori non uniformi, ottenuti mediante una pre-elaborazione non lineare del segnale vocale,12 seguita da una quantizzazione uniforme. Infine, la scelta di non restituire lo zero è ovviamente in accordo con l’ipotesi che i livelli di restituzione siano in numero pari e simmetricamente disposti rispetto allo zero. Questa scelta presenta tuttavia il seguente svantaggio pratico: se all’ingresso del convetitore A/D è presente il segnale nullo, a causa di piccoli disturbi presenti in ingresso (rumore termico), in uscita dal quantizzatore avremo comunque un segnale xq (n) = e(n), dove e(n) ha tipicamente l’andamento riportato in fig. 7.31, ovvero un segnale che oscilla tra i valori ±∆/2. Questo genera un disturbo, noto come idle channel noise (ICN) (letteralmente, “rumore da canale spento”) che, sebbene di piccola entità, può essere percepibile, visto che il segnale di ingresso è completamente assente; ad esempio, in una conversazione vocale, questo disturbo potrebbe essere percepito come un crepitio durante le pause della conversazione. In molti casi, allora, è conveniente alterare la perfetta simmetria del quantizzatore, introducendo la restituzione del livello zero, in modo da annullare l’ICN.

12 Tale pre-elaborazione avviene mediante una legge non lineare nota come

µ -law (negli USA) oppure A-law (in Europa).

7.5 Esercizi proposti

427

7.5 Esercizi proposti Esercizio 7.1 Si campiona con periodo Tc il segnale a tempo continuo xa (t) = cos(4000π t), ottenendo il segnale a tempo discreto x(n) = cos(π n/3). (a) Determinare un possibile valore per Tc . (b) La scelta di Tc effettuata al punto (a) è unica? Se sì, spiegare perché, altrimenti individuare altri possibili valori di Tc compatibili con i dati del problema. Risultato: (a) Tc = 1/12000; (b) non unica, esistono infiniti valori di Tc , dati da Tc = (2k + 1)/12000, con k ∈ N. Esercizio 7.2 Determinare la minima frequenza di campionamento (se esistente) per ricostruire perfettamente il segnale xa (t) a partire dai suoi campioni, nei seguenti casi: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

xa (t) = sinc(t); xa (t) = sinc2 (t); xa (t) = sinc[2(t − 0.5)] + sinc[2(t + 0.5)]; xa (t) = sinc(3t) u(t); xa (t) = e−|t| ∗ sinc(t); xa (t) = e−|t| sinc(t).

Risultato: (a) fc,min = 1; (b) fc,min = 2; (c) fc,min = 2; (d) non esiste; (e) fc,min = 1; (f) non esiste. Esercizio 7.3 Si consideri il campionamento del segnale xa (t) = cos(2π f0t + ϕ0 ) effettuato alla frequenza di Nyquist fc = 1/Tc = 2 f0 . (a) Calcolare il segnale TD x(n) = xa (nTc ) per ϕ0 = 0 e per ϕ0 = π2 . (b) Utilizzando i risultati del punto (a), ritenete che la frequenza di Nyquist sia adeguata per la corretta ricostruzione del segnale per un qualunque valore di ϕ0 ? Se rispondete sì, fornite una giustificazione. Se rispondete no, individuate la minima frequenza di campionamento necessaria per la corretta ricostruzione del segnale xa (t). Risultato: (a) per ϕ0 = 0, x(n) = (−1)n ; per ϕ0 = π2 , x(n) = 0. Esercizio 7.4 I seguenti segnali sono campionati con frequenza fc = 1/Tc = 4: xa,1 (t) = − sin(14π t),

xa,2 (t) = − sin(6π t),

xa,3 (t) = sin(2π t),

xa,4 (t) = sin(10π t),

xa,5 (t) = sin(18π t).

Mostrare che i segnali TD xi (n) = xa,i (nTc ), i = 1, 2, . . . , 5, ottenuti mediante il campionamento, coincidono. Risultato: xi (n) = sin(2π n/4), i = 1, 2, . . . , 5. Esercizio 7.5 Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza fc = 1 kHz (senza filtraggio antialiasing) ed il filtro di ricostruzione è ideale con frequenza di taglio fc /2 e guadagno 1/ fc .

xa (t)

- campion.

x(n)

- ricostr.

6

6

fc

fc

- xr (t)

Determinare il segnale ricostruito xr (t) per i seguenti segnali xa (t) (t è espresso in secondi):

428

Campionamento e conversione A/D e D/A

(a) xa (t) = cos(2π 400t); (b) xa (t) = 1 + cos(2π 800t); (c) xa (t) = 2 cos(2π 200t) + 3 cos(2π 800t). Ripetere il calcolo supponendo di sottoporre xa (t) a filtraggio antialiasing prima del campionamento (si supponga di utilizzare un filtro ideale con frequenza di taglio fc /2. Risultato: (a) xr (t) = xa (t); (b) xr (t) = 1 + cos(2π 200t); (c) xr (t) = 5 cos(2π 200t); se si effettua il filtraggio antialiasing i risultati sono invece: (a) xr (t) = xa (t); (b) xr (t) = 1; (c) xr (t) = 2 cos(2π 200t). Esercizio 7.6 Si consideri il segnale xa (t) = 4 + 3 cos(π t) + 2 cos(2π t) + cos(3π t) , con t espresso in millisecondi. (a) Determinare la minima frequenza di campionamento (frequenza di Nyquist) affinché non si verifichi aliasing nella ricostruzione di xa (t). (b) Supponendo di campionare il segnale alla metà della frequenza di Nyquist determinata al punto (a), determinare il segnale ricostruito xr (t) (si assuma una ricostruzione ideale). Risultato: (a) fc > 3 kHz; (b) campionando a fc = 1.5 kHz si ha xr (t) = 5 + 5 cos(π t). Esercizio 7.7 Il segnale xa (t) = sin(π t) + 4 sin(3π t) cos(2π t) , con t in millisecondi, è campionato con fc = 3 kHz. Determinare il segnale ricostruito xr (t) (si assuma una ricostruzione ideale). Risultato: xr (t) = sin(π t). Esercizio 7.8 Il segnale xa (t) = sin(6π t)[1 + 2 cos(4π t)] , con t in millisecondi, è campionato con fc = 4 kHz. Determinare il segnale ricostruito xr (t) (si assuma una ricostruzione ideale). Risultato: xr (t) = sin(2π t). Esercizio 7.9 Con riferimento allo schema di figura, xa (t) è un segnale audio (t è in millisecondi): xa (t) = sin(10π t) + sin(20π t) + sin(60π t) + sin(90π t) , che viene sottoposto a filtraggio antialiasing Haa ( f ), campionato a fc = 40 kHz e successivamente ricostruito idealmente.

xa (t)

- Haa ( f )

ya (t)

- campion.

Determinare il segnale ricostruito yr (t) nei seguenti casi.

y(n)

- ricostr.

6

6

fc

fc

- yr (t)

7.5 Esercizi proposti

429

(a) in assenza di filtraggio antialiasing (Haa ( f ) = 1); (b) quando Haa ( f ) è un filtro ideale passabasso con frequenza di taglio 20 kHz; (c) quando Haa ( f ) è un filtro reale passabasso con una risposta in ampiezza pari ad 1 fino alla frequenza 20 kHz ed un roll-off di 48 dB/ottava oltre 20 kHz (si ignori la risposta in fase del filtro). Risultato: (a) yr (t) = 2 sin(10π t); (b) yr (t) = sin(10π t) + sin(20π t); (c) yr (t) = (1 + 1.56 · 10−3 ) sin(10π t) + (1 − 3.98 · 10−2 ) sin(20π t). Esercizio 7.10 Si vuole campionare un segnale audio xa (t) a banda non rigorosamente limitata, per il quale la massima frequenza di interesse è 20 kHz. Per limitare l’aliasing si utilizza un filtro RC: Haa ( f ) =

1 . 1 + j( f / f3 )

(a) Per fc = 44 kHz, determinare la frequenza di taglio f3 del filtro in modo che le componenti di aliasing nella banda di interesse siano attenuate in ampiezza di almeno 20 dB. Valutare inoltre la massima attenuazione del segnale all’interno della banda di interesse. (b) Ripetere i calcoli del punto (a) per fc = 176 kHz (“4 x oversampling”), e discutere perché la seconda soluzione sia preferibile rispetto alla prima. Risultato: (a) f3 = 2.41 kHz, |Haa (20 kHz)| = −18.4 dB; (b) f3 = 15.7 kHz, |Haa (20 kHz)| = −4.19 dB. Esercizio 7.11 Con riferimento allo schema di figura, il segnale (con t in millisecondi) xa (t) = 3 cos(100π t) + 2 sin(250π t) , viene campionato a frequenza fc e ricostruito dai campioni utilizzando un filtro passabasso avente frequenza di taglio fr /2 e guadagno 1/ fc ( fr 6= fc ).

xa (t)

- campion.

x(n)

- ricostr.

6

6

fc

fr

- xr (t)

(a) Determinare il segnale xr (t) se fc = 400 kHz e fr = 200 kHz. (b) Determinare il segnale xr (t) se fc = 200 kHz e fr = 400 kHz. Risultato: (a) xr (t) = 3 cos(100π t); (b) xr (t) = 3 cos(100π t) + 2 sin(250π t) − 2 sin(150π t) + 3 cos(300π t). Esercizio 7.12 Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza fc = 15 kHz (senza filtraggio antialiasing), il sistema TD realizza la trasformazione y(n) = 1 + x(n) + x2 (n), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio fc /2 e guadagno in continua 1/ fc (interpolazione ideale).

xa (t)

- campion.

x(n)

- sistema TD

y(n)

- ricostr.

6

6

fc

fc

- yr (t)

430

Campionamento e conversione A/D e D/A

Nell’ipotesi che xa (t) = 1 + cos(2π f0t), con f0 = 10 kHz, determinare y(n) e il segnale ricostruito yr (t). 
 Risultato: y(n) = 72 1 + cos 4π3 n . Esercizio 7.13 Con riferimento allo schema di figura, i segnali xa,1 (t) ed xa,2 (t) sono entrambi segnali passabasso a banda rigorosamente limitata, aventi banda monolatera pari, rispettivamente, a W1 e W2 , il campionamento è ideale (senza filtro antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio fc /2 e guadagno in continua 1/ fc . xa,1 (t)

-N

y(t)

- camp.

6

y(n)

- ricostr.

- yr (t)

6

xa,2 (t)

fc

(a) Determinare il minimo valore della frequenza di campionamento fc per la perfetta ricostruzione del segnale y(t) a partire dai suoi campioni y(n). (b) Nell’ipotesi che xa,1 (t) = cos(2π 3t) (tempi in ms), xa,2 (t) = cos(2π 5t) (tempi in ms), fc = 10 kHz, stabilire se la condizione determinata al punto (a) è verificata, e determinare in ogni caso l’espressione esplicita dei segnali y(n) e yr (t). Risultato: (a) fc,min = 2 (W1 +W2 ); (b) la condizione non è verificata, y(n) = cos

2π n 5




, yr (t) = cos(2π 2t).

Esercizio 7.14 Un segnale vocale analogico è convertito in digitale mediante un campionamento a fc = 8 kHz, seguito da una quantizzazione dei campioni effettuata con un quantizzatore uniforme e simmetrico avente massimo livello di restituzione Xmax = 5V. (a) Determinare il numero b di bit necessari ad assicurare un valore rms dell’errore granulare (errore di quantizzazione) inferiore a 12 mV, ed il bit-rate corrispondente in uscita al convertitore A/D. (b) In corrispondenza del valore di b determinato al punto (a), determinare l’effettivo valore rms dell’errore di quantizzazione (in mV) ed il rapporto segnale rumore (in dB) supponendo xrms = 1V. Risultato: (a) b = 8, bit-rate = 64 kbit/s; (b) erms =

√ Pe = 11.3 mV, SNR = 38.8 dB.

Esercizio 7.15 Un segnale audio analogico è convertito in digitale mediante un campionamento a fc = 44 kHz, seguito da una quantizzazione dei campioni effettuata con un quantizzatore uniforme e simmetrico avente massimo livello di restituzione Xmax = 5V. (a) Determinare il numero b di bit necessari ad assicurare un valore rms dell’errore granulare (errore di quantizzazione) inferiore a 50 µ V, ed il bit-rate corrispondente in uscita al convertitore A/D. (b) In corrispondenza del valore di b determinato al punto (a), determinare l’effettivo valore rms dell’errore di quantizzazione (in µ V) ed il rapporto segnale rumore (in dB) supponendo xrms = 1V. Risultato: (a) b = 16, bit-rate = 704 kbit/s; (b) erms =

√ Pe = 44 µ V, SNR = 86.8 dB.

Esercizio 7.16 I campioni di un segnale sinusoidale x(n) = 5 cos(π n/3) (ampiezza espressa in V) sono quantizzati con un quantizzatore uniforme e simmetrico. (a) Determinare il massimo valore di restituzione Xmax del quantizzatore se il fattore di carico del quantizzatore è kc = 4. (b) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il minimo numero di bit b per ottenere un SNR di almeno 60 dB, e calcolare l’SNR effettivo.

7.5 Esercizi proposti

431

(c) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il valore dell’SNR se l’ampiezza della sinusoide in ingresso si riduce di 3 dB. Risultato: (a) Xmax = 14.2 V; (b) b = 12, SNR = 64.73 dB; (c) SNR = 61.73 dB. Esercizio 7.17 Il segnale a tempo discreto x(n) = cos con un quantizzatore uniforme e simmetrico.

πn 3




+2 cos

7π n 3




(ampiezze espressa in V) è quantizzato

(a) Determinare il massimo valore di restituzione Xmax del quantizzatore se il fattore di carico del quantizzatore è kc = 4. (b) Utilizzando i valori precedentemente calcolati, determinare il minimo numero di bit b per ottenere un SNR di almeno 60 dB, e calcolare l’SNR effettivo. Risultato: (a) Xmax = 6.4 V; (b) b = 12, SNR = 64.73 dB. Esercizio 7.18 Si consideri il segnale (t espresso in millisecondi, ampiezza espressa in V): xa (t) = 4 + 2 cos(π t) + 2 cos(2π t) + cos(3π t) che viene campionato a due volte la sua frequenza di Nyquist e successivamente quantizzato con un quantizzatore uniforme e simmetrico. (a) Determinare il massimo valore di restituzione Xmax del quantizzatore se il fattore di carico è kc = 4. (b) Utilizzando il valore di Xmax determinato al punto (a), determinare il minimo numero di bit b per ottenere un SNR di almeno 80 dB, calcolare l’SNR effettivo ed il bit-rate in uscita al convertitore A/D. Risultato: (a) Xmax = 18.12 V; (b) b = 15, SNR = 82.7 dB, bit-rate = 90 kbit/s. Esercizio 7.19 Con riferimento alla figura, xa (t) = cos(2π 10t) + cos(2π 20t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], e fc = 30 kHz.

- camp.

xa (t)

x(n)

- quant.

- xq (n)

6 fc (a) Determinare l’espressione esplicita del segnale x(n) e calcolare la sua potenza ed il suo valore efficace. (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico, con potenza del rumore di quantizzazione pari a 2 mV2 , calcolare il rapporto segnale-rumore (in dB). (c) Calcolare il numero di bit b necessario per ottenere un fattore di carico kc non inferiore a 4. (d) Utilizzando il valore di b determinato al punto (c), calcolare il valore effettivo di kc ed il massimo valore di restituzione Xmax (espresso in V). Risultato: (a) x(n) = 2 cos

2π n 3




, xrms =

√ 2 V; (b) SNR = 30 dB; (c) b = 7; (d) kc = 7, Xmax = 9.9 V.

Esercizio 7.20 Con riferimento alla figura, xa (t) = cos(2π 5t) + cos(2π 10t) + cos(2π 15t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], fc = 20 kHz, e     f |f| 2 Haa ( f ) = 1 − rect 20 40

(frequenze in kHz)

432

Campionamento e conversione A/D e D/A

xa (t)

- Haa ( f )

ya (t)

- camp.

y(n)

- quant.

- yq (n)

6 fc (a) Determinare l’espressione esplicita dei segnali ya (t) e y(n). (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzione Xmax = 5V, determinare il numero di bit b necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore a 70 dB. Risultato: (a) ya (t) = 14.

9 16

1 cos(2π 5t) + 14 cos(2π 10t) + 16 cos(2π 15t), y(n) =

5 4

cos

πn 2




+ 14 cos (π n); (b) b =

Appendice A

Richiami sui numeri complessi

I

n questa appendice si richiamano le principali definizioni e proprietà dei numeri complessi e delle funzioni complesse di una variabile reale. I numeri complessi e le funzioni complesse ricorrono naturalmente quando si considerano la serie e la trasformata di Fourier, che rappresentano gli strumenti matematici maggiormente utilizzati per l’analisi e la sintesi di segnali e sistemi. La trattazione ivi riportata non vuole essere eccessivamente rigorosa né esaustiva, ed è orientata principalmente ad acquisire gli elementi fondamentali per operare con i numeri e le funzioni complesse nelle applicazioni tipiche della teoria dei segnali e dei sistemi; si rimanda pertanto a testi specializzati di analisi matematica per eventuali approfondimenti.

A.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso una coppia ordinata (x, y) ∈ R × R di numeri reali, dove x è il primo numero della coppia e y è il secondo numero della coppia. Essendo la coppia ordinata, i numeri (x, y) e (y, x) vanno considerati distinti se x 6= y. Poiché i numeri complessi devono comprendere i numeri reali come caso particolare, si conviene che: (x, 0) = x ,

(A.1)

cioè i numeri reali possono essere riguardati come coppie ordinate per le quali il secondo elemento della coppia è nullo. Ovviamente, poichè le coppie ordinate (x, 0) rappresentano i numeri reali, esse devono soddisfare tutte le proprietà formali delle operazioni sui numeri reali. Per dare una veste operativa alla definizione astratta di numero complesso data precedentemente, è necessario fornire la definizione di uguaglianza, somma e moltiplicazione di numeri complessi: Definizione A.1 (operazioni fondamentali sui numeri complessi) (a) Uguaglianza: (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2 .

(b) Somma: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ).

(c) Prodotto: (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).

434

Richiami sui numeri complessi

La prima definizione introduce la proprietà formale di uguaglianza tra numeri complessi. La seconda definizione introduce nell’insieme dei numeri complessi l’operazione di somma: si noti che la definizione data è perfettamente coerente con quella valida per i numeri reali, infatti, risulta che (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0). L’ultima definizione riguarda invece l’operazione di prodotto tra due numeri complessi; anche in questo caso, tale definizione è coerente con quella valida per i numeri reali, infatti, si ha che (x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 x2 , 0). Si può dimostrare che l’insieme dei numeri complessi in cui siano valide le operazioni di somma e prodotto appena definite presenta la struttura algebrica di campo e, per questo motivo, è detto campo dei numeri complessi ed è comunemente indicato con il simbolo C.

A.2 Forma algebrica dei numeri complessi La forma (x, y) di un numero complesso non è in verità la più agevole per il calcolo operativo. Per questo motivo, si ricorre ad una rappresentazione equivalente, detta forma algebrica del numero complesso. A tale proposito, osserviamo che, dalla (A.1) e dalla def. A.1(c), si ha semplicemente che: (x, 0) = (x, 0) · (1, 0) = x · 1 = x . In aggiunta, dalla def. A.1(b) segue che: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + (0, y) ,

(A.2)

da cui è evidente che ogni numero complesso è sempre la somma di un numero reale e di un numero complesso del tipo (0, y). D’altra parte, per la def. A.1(c), si verifica che (0, y) = (y, 0) · (0, 1) = y · (0, 1) .

(A.3)

In base alla def. A.1(c), il numero complesso (0, 1) gode della seguente proprietà: (0, 1)2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 , il che giustifica la seguente definizione: Definizione A.2 (unità immaginaria) △ Il numero complesso (0, 1) si dice unità immaginaria e, posto j = (0, 1), si ha che j2 = −1. È interessante osservare che1 (0, 1)0 = j0 = 1 , (0, 1)1 = j1 = j , (0, 1)2 = j2 = −1 ,

(0, 1)3 = j3 = (0, 1)2 · (0, 1) = − j ,

(0, 1)4 = j4 = (0, 1)2 · (0, 1)2 = 1 ,

(0, 1)5 = j5 = (0, 1)4 · (0, 1) = j ,

(0, 1)6 = j6 = (0, 1)4 · (0, 1) = −1 ,

(0, 1)7 = j7 = (0, 1)6 · (0, 1) = − j , ...

1 Coerentemente

(x, y)1

con l’algebra dei numeri reali, si introducono le seguenti operazioni nel campo complesso: (x, y)0 = 1, = (x, y), (x, y)m · (x, y)n = (x, y)n+m , [(x1 , y1 ) · (x2 , y2 )]n = (x1 , y1 )n · (x2 , y2 )n e [(x, y)m ]n = (x, y)m n , con m ∈ Z, n ∈ Z.

A.2 Forma algebrica dei numeri complessi

435

ossia, al crescere di n ∈ N0 , le potenze (0, 1)n = jn assumono periodicamente i valori 1, j, −1, − j con periodo di ripetizione 4. Si ha allora la seguente regola pratica per il calcolo della potenza jn , con n ∈ N0 : dividendo n per 4 si trova il quoziente q ed il resto r < 4, cioè n = 4 q + r, conseguentemente jn = j4 q+r = j4 q · jr = jr ,

(A.4)

in altre parole, per il calcolo della potenza jn basta considerare j elevato al resto della divisione di n per 4. In virtù della definizione di unità immaginaria e utilizzando le (A.2) e (A.3), si ottiene la seguente forma algebrica del numero complesso: (x, y) = x + j y = z , in cui x è detta parte reale di z e si denota con x = Re(z), mentre y è detta parte immaginaria di z e si denota con y = Im(z). Si ricava chiaramente che un numero complesso è reale se e solo se la sua parte immaginaria è nulla, cioè Im(z) = 0. Allo stesso modo, se un numero complesso z ha la parte reale nulla, cioè Re(z) = 0, esso è detto immaginario puro o, più semplicemente, immaginario. A partire dalla def. A.1(a), si ricava che, dati due numeri complessi in forma algebrica z1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 , si ha che ( x1 = x2 , z1 = z2 ⇐⇒ y1 = y2 . In altri termini, due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali le loro parti reali e immaginarie2 . Inoltre, si osservi che un’uguaglianza nel campo complesso (z1 = z2 ) equivale a due uguaglianze nel campo reale (x1 = x2 e y1 = y2 ). Si dice complesso coniugato o più semplicemente coniugato del numero complesso z = x + j y il numero complesso x − j y, che d’ora in avanti denoteremo con z∗ , avente la stessa parte reale di z e parte immaginaria di segno opposto. Con riferimento ad un arbitrario numero complesso z = x + j y, l’operazione di coniugazione gode delle seguenti proprietà elementari, di immediata verifica: Proprietà A.1 (proprietà elementari della coniugazione) (a) (z∗ )∗ = z. (b) z + z∗ = 2 Re(z) = 2 x. (c) z − z∗ = 2 j Im(z) = 2 j y.

(d) z z∗ = x2 + y2 .

(e) Il numero complesso z è reale se e solo se z = z∗ . (f) Il numero complesso z è immaginario puro se e solo se z = −z∗ . Dalla def. A.1(b) segue che la somma di due numeri complessi z1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 è semplicemente data da: z1 + z2 = (x1 + j y1 ) + (x2 + j y2 ) = (x1 + x2 ) + j (y1 + y2 ) , ossia la somma di due numeri complessi è un numero complesso che ha come parte reale la somma delle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie. Per quanto riguarda 2 Si

osservi che, non potendosi definire alcuna relazione d’ordine nel campo dei numeri complessi, non si possono usare segni di disuguaglianza tra due numeri complessi, cioè non hanno senso disuguaglianze del tipo z1 > z2 .

436

Richiami sui numeri complessi

invece il prodotto, invocando la def. A.1(c), si ottiene che il prodotto di due numeri complessi z1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 si calcola come segue: z1 · z2 = (x1 + j y1 ) · (x2 + j y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1 y2 + y1 x2 ) , il cui risultato si può ottenere equivalentemente svolgendo il prodotto secondo le usuali regole del calcolo algebrico elementare e ricordando che j2 = −1: z1 · z2 = (x1 + j y1 ) · (x2 + j y2 ) = x1 x2 + j x1 y2 + j y1 x2 + j2 y1 y2

= x1 x2 + j x1 y2 + j y1 x2 − y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1 y2 + y1 x2 ) .

A partire dalle operazioni di somma e prodotto è possibile definire il quoziente z1 /z2 dei due numeri complessi z1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 . Precisamente, si dice quoziente di z1 e z2 il numero complesso z3 = x3 + j y3 tale che z3 z2 = z1 . Ricavare l’espressione esplicita di x3 ed y3 , e quindi di z3 , per questa via richiede la soluzione di un sistema di equazioni lineari. Utilizzando invece la definizione di complesso coniugato, è possibile calcolare il quoziente di due numeri complessi in maniera più semplice: z3 =

z1 x1 + j x1 z1 · z∗2 (x1 + j y1 ) (x2 − j y2 ) (x1 x2 + y1 y2 ) + j (y1 x2 − x1 y2 ) = = = = z2 x2 + j y2 z2 · z∗2 x22 + y22 x22 + y22 x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 = +j , 2 2 x2 + y2 x22 + y22

da cui ricordando che z3 = x3 + jy3 si ricava x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 e y3 = . x3 = 2 2 x2 + y2 x22 + y22 Il reciproco 1/z di un numero complesso z = x + jy 6= 0 si può ottenere come caso particolare del rapporto tra z1 = 1 e z2 = z, oppure più direttamente utilizzando il coniugato, come 1 1 z∗ x− jy x y = = = 2 = 2 −j 2 . ∗ 2 2 z x+ jy z·z x +y x +y x + y2

L’operazione di potenza n-esima, con n ∈ N, di un numero complesso z = x + j y è definita come: zn = (x + j y)n = (x + j y) · (x + j y) · · · (x + j y) , {z } | n volte

dove il prodotto al secondo membro si calcola tenendo presenti le comuni regole del calcolo algebrico elementare e la formula (A.4). Notiamo infine che è possibile definire per un numero complesso anche l’operazione di radice n-esima. Precisamente, dato il numero complesso z1 = x1 + j y1 , si dice radice n-esima di z1 il numero complesso z2 = x2 + j y2 tale che zn2 = z1

⇐⇒

(x2 + j y2 )n = x1 + j y1

(A.5)

e si scrive z2 =

√ n

z1 .

Tuttavia, il calcolo esplicito del numero complesso z2 mediante la (A.5) offre notevoli difficoltà operative. Formule notevoli per il calcolo della radice n-esima si possono ricavare introducendo per i numeri complessi la forma esponenziale (cfr. § A.4). Per concludere, dati due numeri complessi z1 = x1 + j y1 e z2 = x2 + j y2 , è immediato verificare che l’operazione di coniugazione commuta rispetto alle operazioni fondamentali (somma, prodotto, etc.) precedentemente introdotte:

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi

Im

Im

P=(x,y)

y

P=(x,y)

y

ρ

ρ ϕ

O

437

ϕ x

Re

O

-ϕ

x

Re

ρ -y

P*=(x,- y)

Fig. A.1. Il piano complesso. Fig. A.2. Le immagini P e P∗ dei numeri complessi z e z∗ occupano posizioni simmetriche rispetto all’asse reale.

Proprietà A.2 (relazione tra coniugazione e le operazioni fondamentali) (a) (z1 + z2 )∗ = z∗1 + z∗2 . (b) (z1 · z2 )∗ = z∗1 · z∗2 .  ∗ z1 z∗ (c) = ∗1 . z2 z2

(d) (zn1 )∗ = (z∗1 )n , ∀n ∈ Z.

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi I numeri complessi ammettono una rappresentazione geometrica che si rivela molto utile per interpretarne alcune proprietà. Infatti, con riferimento alla fig. A.1, definito sul piano un riferimento cartesiano con origine nel punto O, ad ogni numero complesso (x, y) corrisponde un punto P del piano avente coordinate (x, y). In altri termini, il punto P = (x, y) si può interpretare come l’immagine sul piano del numero complesso z = x + j y. I numeri reali (x, 0) hanno per immagini i punti dell’asse orizzontale che, per tale motivo, è detto asse reale, mentre i numeri immaginari puri (0, y) hanno per immagini sul piano i punti dell’asse verticale, detto asse immaginario. Un tale piano si dice convenzionalmente piano complesso o piano di Gauss, sebbene tutti i punti in esso abbiano coordinate reali. Notiamo che i due numeri complessi coniugati z = x + j y e z∗ = x − j y hanno per immagini sul piano complesso (fig. A.2) i punti P = (x, y) e P∗ = (x, −y), simmetrici rispetto all’asse reale. Se P è l’immagine sul piano del numero complesso z = x + j y, la distanza ρ del punto P dall’origine (misura del segmento OP) si dice modulo del numero complesso e si indica comunemente con

438

Richiami sui numeri complessi

|z|. Dalla fig. A.1, ricordando anche la prop. A.1(d), si ha: p √ ρ = |z| = x2 + y2 = z · z∗ ,

(A.6)

da cui si ricava anche che il prodotto del numero complesso z per il suo complesso coniugato z∗ è pari al modulo al quadrato di z, cioè z · z∗ = |z|2 = ρ 2 . Si osservi che se z è un numero reale (y = 0), allora il modulo degenera nel valore assoluto di z, cioè |z| = x se x ≥ 0, mentre |z| = −x se x < 0 (una proprietà simile vale se z è immaginario puro). Supposto z 6= 0, si dice argomento o fase di z = x + j y, il valore dell’angolo ϕ (misurato in radianti) che il semiasse reale positivo deve descrivere, ruotando in senso antiorario, per sovrapporsi al segmento OP. La fase di un numero complesso z si denota con arg(z) oppure ∡z. Dalla Fig. A.1 è immediato ricavare che: x = ρ cos(ϕ )

e

y = ρ sin(ϕ ) ,

(A.7)

da cui tan(ϕ ) =

y . x

(A.8)

Notiamo che se ϕ è un valore della fase di z, allora anche ϕ + 2 h π , con h ∈ Z, è un valore della fase di z. In altre parole, la fase di un numero complesso è definito a meno di un arbitrario multiplo intero di 2 π . Per questo motivo, tra i valori che competono ad ∡(z), ne esiste certamente uno che appartiene all’intervallo ] − π , π ]: esso si dice argomento principale di z e si indica con Arg(z). La totalità delle fasi di z si ottiene quindi come ∡z = Arg(z) + 2 h π , con h ∈ Z. Osserviamo esplicitamente che a z = 0, cioè all’origine O del piano cartesiano, non si associa alcun valore della fase.3 In virtù delle relazioni (A.7), un arbitrario numero complesso z = x + j y, avente modulo ρ e fase ϕ , può essere scritto come z = ρ [cos(ϕ ) + j sin(ϕ )] .

(A.9)

Quest’espressione prende il nome di forma trigonometrica del numero complesso z (si noti che la (A.9) vale anche per z = 0 a patto di assegnare un valore arbitrario a ϕ , in quanto per z = 0 si ha ρ = 0). La (A.9) è talvolta detta forma polare del numero complesso z in quanto, facendo sempre riferimento alla rappresentazione geometrica, mentre la coppia (x, y) rappresenta le coordinate cartesiane del punto P, la coppia (ρ , ϕ ) rappresenta le coordinate polari dello stesso punto. Di conseguenza, le formule che legano (x, y) a (ρ , ϕ ) sono le stesse che consentono di effettuare le trasformazioni dalle coordinate cartesiane a quelle polari e viceversa. A tale proposito, è interessante notare che, assegnata la forma polare (ovvero il modulo ρ ed un valore ϕ della fase di z), è possibile risalire senza alcuna difficoltà alla forma algebrica di z, cioè calcolare x e y, utilizzando le (A.7). Viceversa, data la forma algebrica del numero complesso z, assegnati cioè i numeri reali x e y, nel ricavare la forma polare bisogna porre particolare attenzione al calcolo della fase; il calcolo del modulo mediante la (A.6), infatti, è immediato e non offre alcuna difficoltà. Per il calcolo dell’argomento principale, invece, occorre invertire la (A.8), ovvero individuare un valore di ϕ ∈] − π , π ] soluzione di tale equazione. A tale scopo, bisogna ricordare che la funzione tangente, essendo periodica, non è invertibile su tutto l’insieme di definizione, e la funzione 3 Per

uniformità, talvolta si pone convenzionalmente ∡0 = 0.

A.3 Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica dei numeri complessi

439

arcotangente (arctan) è l’inversa della restrizione della funzione tangente all’intervallo ] − π /2, π /2[, il che significa che y i π πh arctan[tan(ϕ )] = arctan = ϕ , ∀ϕ ∈ − , . x 2 2

Pertanto, se l’immagine di z = x + j y sul piano complesso è un punto P che giace nel primo oppure nel quarto quadrante del piano complesso (x > 0), allora il suo argomento principale Arg(z) cade nell’intervallo ] − π /2, π /2[ e, in base alla relazione precedente, si può affermare che y Arg(z) = arctan se x > 0 . x Tale formula non può però essere applicata nel caso in cui l’immagine di z sul piano complesso non cada nel primo oppure nel quarto quadrante del piano complesso (x < 0), poiché y i π h iπ i 6= ϕ , ∀ϕ ∈ −π , ∪ ,π . arctan[tan(ϕ )] = arctan x 2 2

In questo caso, il calcolo dell’argomento principale di z si può effettuare sfruttandoila periodicità di π π h iπ i della tangente, per cui tan(ϕ ) = tan(ϕ − π ), ed, in aggiunta, osservando che, se ϕ ∈ −π , ∪ ,π , 2 2 allora ϕ − π ∈] − π /2, π /2[. Mettendo insieme questi due risultati, si giunge alla seguente relazione: y i π h iπ i arctan[tan(ϕ )] = arctan = arctan[tan(ϕ − π )] = ϕ − π , ∀ϕ ∈ −π , ∪ ,π , x 2 2 che ci consente di scrivere: y +π Arg(z) = arctan x

se x < 0 .

Resta da considerare il caso x = 0, ovvero i numeri immaginari puri z = j y, che hanno immagini che giacciono sull’asse immaginario: se y > 0, l’argomento principale è pari a π /2; se y < 0, l’argomento principale è pari a −π /2. Riassumendo i casi precedenti, è possibile allora esprimere l’argomento principale Arg(z) di un arbitrario numero complesso z = x + j y come   0,    π  2 , y  = − π2 , Arg(z) = tan−1  x   arctan     arctan

se x = y = 0 ; se x = 0 e y > 0 ; se x = 0 e y < 0 ; y
se x > 0 ; x
, y x + π , se x < 0 ;

(A.10)

dove, per semplificare alcune notazioni, si è introdotta la funzione tan−1 , che è talvolta denominata, per ovvi motivi, arcotangente su quattro
quadranti (si noti che è una funzione che opera separatamente su y ed x, per cui la notazione tan−1 xy è puramente convenzionale). Sinteticamente, allora, le formule per il passaggio dalla forma algebrica/cartesiana a quella trigonometrica/polare sono: y p ρ = x2 + y2 e ϕ = tan−1 (A.11) x

440

Richiami sui numeri complessi

◮ Esempio A.1 (passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica) Consideriamo i seguenti quattro numeri complessi in forma algebrica: z1 = 1 + j,

z2 = −1 + j,

z3 = −1 − j

z4 = 1 − j ,

e

le cui immagini sul piano complesso cadono nel primo, secondo, terzo e quarto quadrante, rispettivamente. Si verifica facilmente che √ √ |z1 | = |z2 | = |z3 | = |z4 | = 1 + 1 = 2 . Per quanto riguarda l’argomento principale, poiché le immagini dei numeri complessi z1 e z4 cadono nel primo e quarto quadrante, rispettivamente, segue che Arg(z1 ) = arctg(1) =

π 4

e

Arg(z4 ) = arctg(−1) = −

π . 4

Per gli altri due numeri complessi z2 e z3 , che cadono nel secondo e terzo quadrante, rispettivamente, si ha invece: Arg(z2 ) = arctg(−1) + π = −

3 π +π = π 4 4

e

Arg(z4 ) = arctg(1) + π =

5 π +π = π . 4 4

Notiamo che i valori di fase ottenute sono in accordo con la posizione dei numeri complessi nei vari quadranti: questa verifica andrebbe sempre fatta per evitare banali errori di calcolo. ◭

A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi Un’ulteriore rappresentazione dei numeri complessi, molto utilizzata nei calcoli, si può ottenere ricorrendo alla definizione di esponenziale complesso. A tale proposito, ricordiamo che se x è un numero reale, l’esponenziale ex può essere espresso in serie di Mac-Laurin nel seguente modo: ex =

+∞

xk

∑ k! .

k=0

dove la serie converge ∀x ∈ R. Se al posto di x ∈ R sostituiamo formalmente il numero complesso z = x + j y, si ottiene la definizione di esponenziale con esponente complesso (sinteticamente chiamato esponenziale complesso): ez =

+∞ k z

∑ k! .

(A.12)

k=0

Si può dimostrare che la serie al secondo membro converge per ogni z ∈ C, ed inoltre la funzione ez definita attraverso tale serie conserva la proprietà principale dell’esponenziale: ez1 ez2 = ez1 +z2 ,

∀z1 , z2 ∈ C .

La precedente definizione di ez rivela un legame profondo tra esponenziale complesso e alcune funzioni trigonometriche. Infatti, ponendo z = j x nella (A.12), utilizzando la (A.4) e ricordando gli sviluppi in serie di Mac-Laurin delle funzioni sin(x) e cos(x), si ottiene: ejx =

+∞ 2k+1 2k ( jx)k +∞ k x k x (−1) + j = cos(x) + j sin(x) , (−1) = ∑ ∑ ∑ (2k)! (2k + 1)! k=0 k=0 k=0 k! {z } {z } | | +∞

cos(x)

sin(x)

(A.13)

A.4 Forma esponenziale dei numeri complessi

441

che prende il nome di formula di Eulero.4 A partire da tale formula è immediato verificare che e− j x = cos(x) − j sin(x) = (e j x )∗ , da cui, per somma o sottrazione con la (A.13), segue anche che cos(x) =

e j x + e− j x 2

e

sin(x) =

e j x − e− j x . 2j

In particolare notiamo che |e j x |2 = e j x (e j x )∗ = e j x e− j x = cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ,

∀x ∈ R ,

ossia, il numero complesso e j x ha sempre modulo unitario, inoltre ∡e j x = x + 2 π h ,

∀x ∈ R e h ∈ Z .

Utilizzando la (A.13), segue che per un esponenziale di esponente complesso z = x + j y qualsiasi si ha ez = ex+ j y = ex e j y = ex [cos(y) + j sin(y)] , da cui si ricava |ez | = ex ,

∡ez = y + 2 π h ,

∀x ∈ R e h ∈ Z .

Si noti che, essendo |ez | = ex > 0, ∀z ∈ C, si ha che ez non si annulla mai. In virtù della formula di Eulero, possiamo riscrivere la (A.9) come segue: z = ρ ejϕ , che prende il nome di forma esponenziale del numero complesso. Si noti che z∗ = ρ [cos(ϕ ) − j sin(ϕ )] = ρ e− jϕ , in accordo con l’interpretazione geometrica di fig. A.2 (il coniugato di z ha lo stesso modulo di z e fase opposta). La forma esponenziale è molto comoda per eseguire alcune operazioni algebriche, in particolare quelle che riguardano prodotti e rapporti tra numeri complessi. Infatti, dati due numeri complessi z1 = ρ1 e j ϕ1 e z2 = ρ2 e j ϕ2 , sussistono le seguenti proprietà: Proprietà A.3 (operazioni in forma esponenziale) (a) z1 · z2 = ρ1 ρ2 e j (ϕ1 +ϕ2 ) . z1 ρ1 j (ϕ1 −ϕ2 ) (b) e . = z2 ρ2 1 − j ϕ1 1 = e (c) . z1 ρ1 (d) zn1 = ρ1 n e j n ϕ1 , ∀n ∈ Z.

(e) Se z1 6= 0 ed n ∈ N, esistono esattamente n radici n-esime distinte del numero complesso z1 , ϕ1 +2 h π √ √ date da n z1 = n ρ1 e j n , per h ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. 4 Eulero

è la traslitterazione latina del cognome del matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783), considerato uno dei più grandi matematici mai esistiti.

442

Richiami sui numeri complessi

Notiamo che dalle prop. A.3(a) e (b) è possibile ricavare in particolare alcune semplici regole per calcolare modulo e fase del prodotto e del rapporto tra numeri complessi: |z1 · z2 | = |z1 ||z2 | z1 |z1 | = z2 |z2 |

e

∡z1 · z2 = ∡z1 + ∡z2 ;

e

∡

z1 = ∡z1 − ∡z2 . z2

Si noti invece che non esistono espressioni altrettanto semplici per il modulo e la fase della somma o della differenza di due numeri complessi, in particolare per il modulo della somma è possibile solo fornire una disuguaglianza |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .

A.5 Funzioni complesse di una variabile reale Una funzione complessa f (x) della variabile reale x, definita per x ∈ A ⊆ R, è una corrispondenza che ad ogni valore di x ∈ A associa un numero complesso f (x) ∈ C, ovvero f : x ∈ A → f (x) ∈ C . Considerate le due funzioni reali: f1 : x ∈ A → Re[ f (x)] ∈ R

e

f2 : x ∈ A → Im[ f (x)] ∈ R ,

dette rispettivamente la parte reale di f (x) e la parte immaginaria di f (x), si ha evidentemente: f (x) = f1 (x) + j f2 (x) ,

∀x ∈ A .

Tale relazione evidenzia che la funzione complessa f (x) di variabile reale x può essere riguardata come una coppia di funzioni reali dello stesso argomento. Di conseguenza, la teoria delle funzioni complesse di una variabile reale non ha caratteristiche sostanzialmente nuove rispetto alla teoria delle funzioni reali. In particolare, le definizioni di continuità, derivazione ed integrazione, ecc., si estendono con modifiche minime. Una novità importante rispetto al caso reale è la definizione dell’operazione di coniugazione. Sulla scorta di quanto fatto per i numeri complessi, si dice coniugata della funzione f (x) la funzione complessa f ∗ (x) così definita: f ∗ (x) = f1 (x) − j f2 (x) ,

∀x ∈ A .

Si chiama modulo di f (x) la funzione reale non negativa | f (x)| così definita: q | f (x)| = f12 (x) + f22 (x) , ∀x ∈ A . Infine, si chiama fase di f (x) la funzione reale ∡ f (x) così definita: ∡ f (x) = arg[ f (x)] . Poiché la fase di un numero complesso è determinata a meno di un arbitrario multiplo intero di 2π , la funzione di fase ∡ f (x) è plurivoca e diventa univocamente determinata considerando il suo argomento principale Arg[ f (x)], che può essere calcolato utilizzando la funzione tan−1 definita nella (A.10). La

A.5 Funzioni complesse di una variabile reale

443

descrizione di f (x) mediante modulo e fase consente di esprimere la funzione complessa in forma esponenziale: f (x) = | f (x)| e j ∡ f (x) ,

∀x ∈ A ,

che risulta particolarmente comoda nella sintesi e analisi dei segnali e sistemi. Per concludere, osserviamo che tutte le proprietà richiamate per i numeri complessi si estendono in modo naturale alle funzioni complesse. ◮ Esempio A.2 (fasore) Il fasore è per definizione la seguente funzione complessa: e j x = cos(x) + j sin(x) ,

∀x ∈ R .

Poiché |e j x | = 1, il fasore ha per codominio la circonferenza del piano complesso avente centro nell’origine e raggio unitario. Si tratta di una funzione periodica di periodo 2 π , cioè e j (x+2 π h) = e j x ,

∀x ∈ R e ∀h ∈ Z .

Si noti che f1 (x) = cos(x) e f2 (x) = sin(x) sono anch’esse funzioni periodiche di periodo 2 π .

◭

444

Richiami sui numeri complessi

Appendice B

Richiami di analisi matematica

In questa appendice si richiamano le principali definizioni e proprietà degli integrali e delle serie di interesse per gli argomenti trattati nel testo, concentrandoci in particolare sul concetto di sommabilità. La trattazione è volutamente sintetica, in quanto si presuppone che il lettore possieda una conoscenza approfondita di tali argomenti, e serve solo come riferimento; si rimanda a testi specializzati di analisi matematica per eventuali approfondimenti.

B.1 Successioni e serie numeriche L’obiettivo di questa sezione è quello di richiamare alcuni concetti legati alle serie numeriche. Prima di fare ciò, richiamiamo alcune definizione riguardanti la nozione di limite di una successione. B.1.1

Definizione di limite di una successione

Si dice che la successione a valori reali {xn }+∞ n=1 ha per limite ℓ ∈ R e si scrive lim xn = ℓ

n→+∞

se è verificata la seguente proprietà: ∀ε > 0 ∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |xn − ℓ| < ε . In tal caso la successione {xn }+∞ n=1 si dice convergente; in particolare, se ℓ = 0 si dice che la successione è infinitesima. Si dice che la successione a valori reali {xn }+∞ n=1 ha per limite +∞ e si scrive lim xn = +∞

n→+∞

se è verificata la seguente proprietà: ∀K > 0 ∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ xn > K .

446

Richiami di analisi matematica

In tal caso si dice che la successione {xn }+∞ n=1 diverge positivamente. Analogamente, si dice che la successione a valori reali {xn }+∞ ha per limite −∞ e si scrive n=1 lim xn = −∞

n→+∞

se è verificata la seguente proprietà: ∀K > 0 ∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ xn < −K . In tal caso si dice che la successione {xn }+∞ n=1 diverge negativamente. Una successione che sia o convergente o divergente positivamente o divergente negativamente si dice anche regolare. Una successione non regolare si dice anche oscillante. In alcuni casi, il comportamento al limite di una successione si può stabilire semplicemente se si introducono i concetti di successione limitata superiormente/inferiormente e successione crescente/decrescente. Una successione {xn }+∞ n=1 si dice limitata superiormente se esiste una costante A ∈ R tale che xn ≤ A, ∀n ∈ N. Una successione {xn }+∞ n=1 si dice invece limitata inferiormente se esiste una costante A ∈ R tale che xn ≥ A, ∀n ∈ N. Una successione che sia limitata superiormente e inferiormente si dice limitata. Una successione si dice monotona se gode di una delle seguenti proprietà1 : xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N, in tal caso si dice che la successione è crescente; xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N, in tal caso si dice che la successione è decrescente. A tal proposito sussistono le seguenti proprietà: Proprietà B.1 (proprietà fondamentali delle successioni numeriche) (a) Ogni successione convergente è limitata. (b) Ogni successione divergente positivamente è limitata inferiormente e non limitata superiormente. Analogamente, ogni successione divergente negativamente è limitata superiormente e non limitata inferiormente. (c) Ogni successione monotona è regolare. Il concetto di limite si estende naturalmente al caso di una successione a valori complessi {zn }+∞ n=1 , con zn = xn + j yn . Infatti, se ℓ = λ + j µ è un numero complesso, si dice che la successione {zn }+∞ n=1 è convergente e si scrive lim zn = ℓ

n→+∞

se è verificata la seguente proprietà: q ∀ε > 0 ∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |zn − ℓ| = (xn − λ )2 + (yn − µ )2 < ε .

In particolare, si noti che la successione {zn }+∞ n=1 è infinitesima, cioè ℓ = 0, se e solo se è infinitesima la successione a valori reali {|zn |}+∞ . Inoltre, rileviamo esplicitamente che la successione {zn }+∞ n=1 n=1 +∞ ha per limite ℓ se e solo se le due successioni a termini reali {xn }+∞ n=1 e {yn }n=1 hanno per limite λ e µ , rispettivamente. Si dice che la successione a valori complessi {zn }+∞ n=1 diverge e si scrive lim zn = +∞

n→+∞ 1 Se

xn < xn+1 , ∀n ∈ N, la successione si dice strettamente crescente; se xn > xn+1 , ∀n ∈ N, la successione si dice strettamente decrescente.

B.1 Successioni e serie numeriche

447

se è verificata la seguente proprietà: ∀K > 0 ∃νε ∈ N : ∀n > νε =⇒ |zn | =

q xn2 + y2n > K .

Anche in questo caso si noti che la successione {zn }+∞ n=1 è divergente se e solo se è divergente la successione a valori reali {|zn |}+∞ . Si noti che, a differenza delle successioni a valori reali, non si n=1 parla di divergenza positiva e negativa per le successioni a valori complessi. B.1.2

Serie monolatere

Sia {xn }+∞ n=1 una successione a valori reali. Posto S1 = x1 , S2 = x1 + x2 , . . . , Sn = x1 + x2 + · · · + xn , la successione a valori reali {Sn }+∞ n=1 si chiama serie (monolatera) di termine generale xn e si indica con il seguente simbolo: +∞

∑ xn = x1 + x2 + · · · + xn + · · · .

(B.1)

n=1

Per ogni n ∈ N, si dice che Sn è la somma parziale n-esima della serie. Una serie si dice convergente, divergente positivamente, divergente negativamente, regolare, oscillante se tale è la successione +∞ {Sn }+∞ n=1 . Il limite S di {Sn }n=1 , se esiste, si chiama somma della serie e si scrive +∞

∑ xn = S .

n=1

Un risultato che fornisce una condizione necessaria per la convergenza di una serie è il seguente: Proprietà B.2 (condizione necessaria per la convergenza) Se la serie (B.1) è convergente la successione {xn }+∞ n=1 è infinitesima. È ben noto che in R vale la proprietà commutativa della somma; in altri termini, dati n numeri reali, il valore della somma non si altera permutando gli addendi. E’ naturale chiedersi se tale proprietà valga nel caso delle “somme infinite di numeri reali”, ovvero nel caso delle serie. Si può dimostrare che, in generale, la somma di una serie cambia se si permutano in modo del tutto arbitrario i termini della serie stessa. Un caso particolare è rappresentato dalle serie assolutamente convergenti. Definizione B.1 (convergenza assoluta) La serie (B.1) si dice assolutamente convergente se è convergente la serie considerando i valori assoluti della successione {xn }+∞ n=1 .

+∞

∑ |xn |

ottenuta

n=1

Si può dimostrare che se una serie è assolutamente convergente essa è anche convergente. Inoltre, si ha che le serie assolutamente convergenti si caratterizzano come quelle serie convergenti la cui somma non varia se si permutano in modo arbitrario i suoi termini. Passiamo ora a considerare il caso delle successioni monolatere a valori complessi. Sia {zn }+∞ n=1 , con zn = xn + j yn , una successione a termini complessi. Posto S1 = z1 , S2 = z1 + z2 , . . . , Sn = z1 + z2 +

448

Richiami di analisi matematica

· · · + zn , la successione a valori complessi {Sn }+∞ n=1 si chiama serie (monolatera) di termine generale zn e si indica con il seguente simbolo: +∞

∑ z n = z1 + z2 + . . . + zn + . . . .

(B.2)

n=1

Tale serie si dice convergente se la sua somma è un numero complesso, si dice divergente se la sua somma è infinita. Si noti che a differenza delle serie a valori reali non si parla in questo caso di divergenza positiva e negativa. Consideriamo ora le due serie a valori reali: +∞

∑ xn

+∞

∑ yn ,

e

n=1

(B.3)

n=1

′

′′

+∞ le cui successioni delle somme parziali indichiamo con {Sn }+∞ n=1 e {Sn }n=1 , rispettivamente. Poichè ′ ′′ risulta che Sn = Sn + j Sn , ∀n ∈ N, risulta ovviamente che la serie (B.2) è convergente se e solo se ′ sono convergenti le due serie (B.3). Inoltre, quando ciò accade, indicata con S la somma della serie ′′ di termine generale xn e con S la somma della serie di termine generale yn , la somma S della serie ′ ′′ (B.2) è pari a S = S + j S . Questo risulta mostra chiaramente che lo studio della convergenza di una serie a valori complessi si riconduce allo studio della convergenza di due serie a valori reali. Pertanto, le definizioni e le proprietà enunciate per le serie a valori reali si estendono in maniera naturale alle serie a valori complessi.

B.1.3

Serie bilatere

Siano z0 , z1 , . . . , zn , . . . e z−1 , z−2 , . . . , z−n , . . . due successioni a termini complessi2 . La successione (doppia) di somme: ( ) n

∑

zh

h=−m

che presenta due indici, si dice serie bilatera e si indica con +∞

∑

zh .

(B.4)

h=−∞

Se S è un numero complesso, dire che la serie bilatera converge ad S significa che n

lim

n,m→+∞

∑

zh = S ,

h=−m

con n ed m tendenti all’infinito indipendentemente l’uno dall’altro. In altre parole, la serie (B.4) è convergente e ha S come somma se n ∀ε > 0 ∃νε ∈ N : ∀n, m > νε =⇒ S − ∑ zh < ε . h=−m

Il teorema che segue riduce il problema della convergenza di una serie bilatera a quello della convergenza di serie monolatere.

2 Poichè le definizioni e i risultati riguardanti le serie a valori reali si possono ottenere immediatamente particolarizzando

quelli relativi alle serie a valori complessi, nel seguito considereremo direttamente serie a valori complessi.

B.1 Successioni e serie numeriche

449

Teorema B.1 (convergenza di una serie bilatera) Condizione necessaria e sufficiente affinchè la (B.4) sia convergente è che risultino convergenti le serie monolatere z0 + z1 + . . . + zn + . . . e z−1 + z−2 + . . . + z−n + . . .. Quando ciò accade, vale l’uguaglianza: +∞

∑

zh =

h=−∞

+∞

+∞

h=0

h=1

∑ zh + ∑ z−h .

Si dice che la serie (B.4) è assolutamente convergente se è convergente la serie bilatera: +∞

∑

h=−∞

|zh | .

Dal teor. B.1, si deduce che condizione necessaria e sufficiente affinchè la (B.4) sia assolutamente convergente è che risultino assolutamente convergenti le serie monolatere z0 + z1 + . . . + zn + . . . e z−1 + z−2 + . . . + z−n + . . .. Da ciò, tenuto conto che l’assoluta convergenza di una serie comporta la convergenza della medesima, si ha che ogni serie bilatera assolutamente convergente è anche convergente. In questo testo faremo spesso ricorso a un diverso concetto di convergenza di una serie. Per ogni n ∈ N0 , la somma n

∑

zh

h=−n

si chiama somma parziale n-esima simmetrica della serie bilatera. Si dice che la serie (B.4) è simmetricamente convergente se la successione delle sue somme parziali simmetriche ( ) n

∑

zh

h=−n

risulta convergente. Il limite di tale successione si dice allora la somma simmetrica della serie (B.4). Risulta evidente il seguente risultato: Teorema B.2 (convergenza simmetrica) La serie bilatera (B.4) è simmetricamente convergente se e solo se è convergente la serie monolatera: +∞

z0 + ∑ (zn + z−n ) . n=1

Se tale serie è convergente, la sua somma coincide con la somma simmetrica della serie (B.4). Inoltre, si può verificare che se la (B.4) è convergente, essa è anche simmetricamente convergente e la sua somma coincide con quella simmetrica. Il viceversa non è vero in generale. Ad esempio, se consideriamo la successione   per h > 0 , 1 , zh = 0 , per h = 0 ,   −1 , per h < 0 ,

è immediato verificare che la serie di termine generale zh è simmetricamente convergente e la sua somma simmetrica è uguale a zero, ma la stessa serie non è convergente.

450

Richiami di analisi matematica

B.1.4

Successioni sommabili

Sia 1 ≤ p < +∞. Una successione3 {xn }+∞ n=1 a valori complessi si dice sommabile con esponente p se la serie: +∞

∑ |xn | p

n=1

è convergente. In particolare, se p = 1, la successione si dice sommabile (senza alcun riferimento a p); nel caso in cui p = 2, la successione si dice a quadrato sommabile. L’insieme delle successioni a valori complessi sommabili con esponente p è usualmente indicato con ℓ p . Risulta evidente che ∀α ∈ C e ∀{xn }+∞ n=1 ∈ ℓ p

=⇒

{α xn }+∞ n=1 ∈ ℓ p ,

cioè, l’insieme ℓ p è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante, volendo inten+∞ dere con ciò che, se {xn }+∞ n=1 è sommabile con esponente p, la successione {α xn }n=1 è sommabile con +∞ +∞ lo stesso esponente. Inoltre, ∀n ∈ N e ∀{xn }n=1 , {yn }n=1 ∈ ℓ p , risultando che |xn + yn | p ≤ (|xn | + |yn |) p ≤ (2 max{|xn |, |yn |}) p ≤ 2 p (|xn | p + |yn | p ) e tenendo presente il criterio del confronto per le serie numeriche, si ha che +∞ ∀{xn }+∞ n=1 , {yn }n=1 ∈ ℓ p

=⇒

{xn + yn }+∞ n=1 ∈ ℓ p ,

cioè, l’insieme ℓ p è chiuso rispetto all’operazione di somma, volendo intendere con ciò che, se {xn }+∞ n=1 +∞ ed {yn }+∞ sono sommabili con esponente p, la successione {x + y } è sommabile con lo stesso n n n=1 n=1 esponente. Un risultato importante è il seguente: Teorema B.3 (relazione di inclusione) Se 1 ≤ p < q < +∞, si ha: ℓ p ⊆ ℓq . Questo teorema ci consente di affermare che se una successione è sommabile (p = 1) allora essa è anche a quadrato sommabile (p = 2). Il viceversa non è vero in generale. Si osservi che se la successione {xn }+∞ n=1 è sommabile allora la serie (B.1) è assolutamente convergente per definizione. In base alla prop. B.2, la successione {xn }+∞ n=1 è sommabile solo se lim |xn | = 0 .

n→+∞

Tale condizione non è tuttavia sufficiente per la sommabilità, in quanto il verificarsi di quest’ultima dipende in maniera cruciale dalla rapidità con cui la successione {|xn |}+∞ n=1 tende a zero al crescere di n (ovvero dall’ordine di infinitesimo). A tale proposito, una condizione sufficiente frequentemente utilizzata per verificare se una successione risulta sommabile è rappresentata dal seguente teorema: Teorema B.4 (criterio di sommabilità per le successioni monolatere) Sia {xn }+∞ n=1 una successione a valori complessi: se per n → +∞ la successione è infinitesima come 1/nα , con α > 1, allora {xn }+∞ n=1 è sommabile; viceversa, se per n → +∞ la successione è infinitesima come 1/nα , con α ≤ 1, allora {xn }+∞ n=1 non è sommabile. 3 Dato

che la convergenza di una serie bilatera si riconduce a quella di due serie monolatere, per semplicità, considereremo solo successioni monolatere.

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale

451

Nel caso di una successione bilatera, il precedente criterio di sommabilità si modifica come segue: Teorema B.5 (criterio di sommabilità per le successioni bilatere) Sia {zh }+∞ h=−∞ una successione a valori complessi: se per |h| → +∞ la successione è infinitesima come 1/|h|α , con α > 1, allora {zh }+∞ h=−∞ è sommabile; viceversa, se per |h| → +∞ la successione α è infinitesima come 1/|h| , con α ≤ 1, allora {zh }+∞ h=−∞ non è sommabile.

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale Lo scopo di questa sezione è quello di richiamare alcuni risultati notevoli legati alle nozioni di continuità, derivabilità, integrabilità e sommabilità di una funzione. Per brevità, si farà riferimento direttamente alle funzioni a valori complessi di una variabile reale; tutti i risultati presentati si particolarizzano senza alcuna difficoltà al caso di funzioni a valori reali. B.2.1

Continuità e derivabilità

Sia f (x) = f1 (x) + j f2 (x) una funzione complessa definita per x ∈ A ⊆ R. La funzione f (x) si dice continua in x = x0 ∈ A se ∀ε > 0 ∃νε > 0 : ∀x ∈ A ∩ ]x0 − νε , x0 + νε [ =⇒ | f (x) − f (x0 )| = e si scrive sinteticamente

q

[ f1 (x) − f1 (x0 )]2 + [ f2 (x) − f2 (x0 )]2 < ε

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

In tal caso, il punto x0 si dice essere un punto di continuità di f (x). Si osservi che il valore di una funzione in un punto di continuità non può essere infinito. Se la funzione f (x) è continua in ogni punto di A si dice che f (x) è continua in A. Circa le funzioni continue sussistono le seguenti proprietà: Proprietà B.3 (proprietà delle funzioni continue) (a) La somma, la differenza e il prodotto di un numero finito qualsiasi di funzioni continue è ancora una funzione continua. (b) Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua in ogni punto in cui il denominatore è non nullo. (c) Una funzione composta di funzioni continue è anch’essa una funzione continua. Un punto x0 che non è un punto di continuità della funzione f (x) si dice un suo punto di discontinuità. Se x0 è un punto di discontinuità della funzione f (x), il valore della funzione in tal punto è indeterminato. In tal caso, un ruolo importante giocano il limite destro e il limite sinistro della funzione in tal punto. Si dice che la funzione f (x) ammette in x0 limite destro se ∀ε > 0 ∃νε > 0 : ∀x ∈ A ∩ ]x0 , x0 + νε [ =⇒ e si scrive sinteticamente lim f (x) = f (x0+ ) .

x→x0+

| f (x) − f (x0 )| < ε

452

Richiami di analisi matematica

Analogamente, si dice che la funzione f (x) ammette in x0 limite sinistro se ∀ε > 0 ∃νε > 0 : ∀x ∈ A ∩ ]x0 − νε , x0 [ =⇒

| f (x) − f (x0 )| < ε

e si scrive sinteticamente lim f (x) = f (x0− ) .

x→x0−

Risulta evidentemente che x0 è un punto di continuità per la funzione f (x) se e solo se f (x0+ ) = f (x0− ). In alcuni casi, può accadere che, sebbene f (x0+ ) = f (x0− ), il valore della funzione in x0 non sia determinato. In tal caso, si dice che x0 è un punto di discontinuità eliminabile, in quanto si può porre f (x0 ) = f (x0+ ) = f (x0− ) ed avere così una funzione continua in x0 . Ad esempio, la funzione a valori reali seno cardinale f (x) =

sin(x) x

è continua per in tutti i punti dell’asse reale, eccetto che per x = 0 dove non è definita. Tuttavia, in virtù del limite notevole sin(x) = 1, x→0 x lim

si può porre f (0) = 1 eliminando la discontinuità: la funzione così definita sarà continua per ogni x ∈ R. Se i valori f (x0+ ) e f (x0− ) sono finiti, ma f (x0+ ) 6= f (x0− ), si dice allora che la funzione f (x) ha nel punto x0 una discontinuità di prima specie o, il che è lo stesso, un salto finito s(x0 ) = f (x0+ ) − f (x0− ). Sia f (x) = f1 (x) + j f2 (x) una funzione complessa definita per x ∈ A ⊆ R, per x0 ∈ A costruiamo il rapporto incrementale f (x) − f (x0 ) . x − x0 Se tale rapporto ha un limite finito per x → x0 , si dice che la funzione f (x) è derivabile in x0 e si pone   d f (x) − f (x0 ) ′ = f (x0 ) = f (x) . lim x→x0 x − x0 dx x=x0 Il numero f ′ (x0 ) si chiama derivata della funzione f (x) nel punto x0 . Sussiste il seguente risultato: Teorema B.6 (derivata di una funzione complessa) Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione a valori complessi f (x) sia derivabile in x0 è che tali siano le funzioni a valori reali f1 (x) e f2 (x). Quando ciò accade risulta che f ′ (x0 ) = f1′ (x0 ) + j f2′ (x0 ) . Il seguente teorema invece chiarisce quali sono le relazioni tra derivabilità e continuità di una funzione: Teorema B.7 (relazione tra derivabilità e continuità) Se la funzione f (x) è derivabile in x0 , allora f (x) è continua in x0 .

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale

453

Questo risultato evidenzia che la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. In altre parole, se una funzione è continua in un dato punto non è detto che la funzione sia anche derivabile in quel punto. Se la funzione f (x) è definita in un intervallo chiuso [a, b], si dice che f (x) è derivabile in a oppure, dualmente, derivabile in b, se esiste finito il limite lim

x→a+

f (x) − f (a) = f ′ (a+ ) o, dualmente, x−a

lim

x→b−

f (x) − f (b) = f ′ (b− ) . x−b

Il primo si chiama derivata destra di f (x) nel punto a, il secondo si chiama derivata sinsitra di f (x) nel punto b. B.2.2

Integrazione

Cominciamo col dare il concetto di primitiva di una funzione complessa. Sia f (x) = f1 (x) + j f2 (x) una funzione complessa definita nell’intervallo (a, b), si chiama primitiva di f (x) ogni funzione ϕ (x) = ϕ1 (x) + j ϕ2 (x), definita in (a, b), ivi derivabile e tale che: ′

ϕ (x) = f (x) ,

∀x ∈ (a, b) .

Risulta evidente che ϕ (x) è una primitiva di f (x) se e solo se ϕ1 (x) e ϕ2 (x) sono primitive di f1 (x) e f2 (x), rispettivamente. È altresì evidente che se ϕ (x) è una primitiva di f (x), tutte e solo le primitive di f (x) sono le funzioni del tipo ϕ (x) + z, con z ∈ C. Il caso più semplice da trattare è quello in cui la funzione f (x) è continua nell’intervallo compatto (chiuso e limitato) [a, b]. In tal caso, si pone per definizione: Z b

f (x)dx =

a

Z b a

f1 (x)dx + j

Z b a

f2 (x)dx .

Inoltre, in tal caso, se ϕ (x) è una primitiva di f (x) si ha: Z b a

f (x)dx = ϕ (b) − ϕ (a) .

La funzione f (x) può non essere continua in uno o entrambi i punti estremi dell’intervallo (a, b). Se la funzione è discontinua nel punto b (supposto finito) o, dualmente, nel punto a (supposto finito), si dice che f (x) è integrabile in (a, b) se esiste ed è finito il limite: lim

Z x

x→b a

f (t)dt

o, dualmente,

lim

Z b

x→a x

f (t)dt .

Quando ciò accade si pone per definizione: Z b

f (x)dx = lim

Z x

x→b a

a

f (t)dt

o, dualmente,

Z b a

f (x)dx = lim

Z b

x→a x

f (t)dt .

Se invece la funzione f (x) è discontinua sia in a che in b, si dice che f (x) è integrabile in (a, b) se per ogni c ∈]a, b[ la funzione f (x) risulta integrabile in entrambi gli intervalli (a, c) e (c, b). In tal caso, si pone per definizione: Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b

f (x)dx .

c

Più in generale, la funzione f (x) può presentare uno o più punti di discontinuità interni all’intervallo (a, b). In questo caso, la definizione di integrabilità della funzione f (x) richiede qualche attenzione. A tal proposito diamo la seguente definizione:

454

Richiami di analisi matematica

Definizione B.2 (funzione generalmente continua) La funzione f (x) = f1 (x) + j f2 (x), definita in A, si dice generalmente continua nell’intervallo X ⊆ A se esiste una parte D di X vuota o finita, in modo che siano rispettate le condizioni: (i) la funzione f (x) è continua in X − D;

(ii) se D 6= ∅, ogni punto di D è di discontinuità per f (x). Se X è illimitato, si dice che f (x) è generalmente continua in X se essa è generalmente continua in ogni intervallo compatto contenuto in X. Si può dimostrare che, nel caso in cui X è illimitato, l’insieme D se non è vuoto o finito, risulta necessariamente numerabile. Siamo ora in grado di definire l’integrabilità di f (x) in (a, b) anche quando vi sono punti di discontinuità interni all’intervallo (a, b). Sia f (x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo (a, b), con a e b finiti. Supponiamo che i punti interni ad (a, b) di discontinuità per f (x) siano un numero finito, diciamoli x1 < x2 < · · · < xn−1 , e poniamo x0 = a ed xn = b. Si dice che f (x) è integrabile in (a, b) se essa risulta integrabile in (xi , xi+1 ), ∀i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. In tal caso, si pone per definizione: Z b

f (x)dx =

n−1 Z xi+1

∑

f (x)dx .

i=0 xi

a

In altre parole, la presenza di un numero finito di discontinuità interne all’intervallo (a, b) non è significativa ai fini del calcolo dell’integrale di f (x) su tale intervallo. A questo punto, è lecito chiedersi cosa succede se si considera l’integrabilità su tutto l’asse reale. Prima però, vediamo come si definisce l’integrabilità su semirette del tipo [a, +∞[ oppure, dualmente, ] − ∞, a]. Sia f (x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo [a, +∞[ o, dualmente, ] − ∞, a], ivi dotata di infiniti punti di discontinuità, integrabile in ogni intervallo compatto del tipo [a, λ ] con λ > a o, dualmente, integrabile in ogni intervallo compatto del tipo [λ , a] con λ < a. Si dice che f (x) è integrabile in (a, +∞) o, dualmente, in (−∞, a), se esiste ed è finito il limite: lim

Z x

x→+∞ a

f (t)dt

o, dualmente,

lim

Z a

x→−∞ x

f (t)dt .

In tal caso, si pone per definizione: Z +∞

f (x)dx = lim

Z x

x→+∞ a

a

f (t)dt

o, dualmente,

Z a

−∞

f (x)dx = lim

Z a

x→−∞ x

f (t)dt .

Alla luce di queste definizioni, possiamo attribuire un significato all’integrale di f (x) su tutto l’asse reale. Sia f (x) una funzione complessa generalmente continua in R, ivi dotata di infiniti punti di discontinuità, integrabile in ogni intervallo compatto. Si dice che f (x) è integrabile in R se per ogni c ∈ R la funzione f (x) risulta integrabile in (−∞, c) e in (c, +∞). In tal caso, si pone per definizione: Z +∞ −∞

f (x)dx =

Z c

−∞

f (x)dx +

Z +∞

f (x)dx .

c

Possiamo quindi affermare che la presenza di una infinità numerabile di discontinuità non influisce sul calcolo dell’integrale di f (x) su R. Un concetto importante che ricorre spesso nelle applicazioni è quello di funzione sommabile. Sia f (x) = f1 (x) + j f2 (x) una funzione complessa generalmente continua in (a, b), si dice che f (x)

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale

455

è sommabile o assolutamente integrabile in (a, b) se la funzione reale | f (x)|, che è generalmente continua in (a, b), risulta integrabile in (a, b). Sussistendo le disuguaglianze: | f1 (x)| ≤ | f (x)| ≤ | f1 (x)| + | f2 (x)| ,

| f2 (x)| ≤ | f (x)| ≤ | f1 (x)| + | f2 (x)| ,

e stante il criterio del confronto, si ha che la funzione f (x) è sommabile in (a, b) se e solo se lo sono le funzioni f1 (x) ed f2 (x). Ne seguono le seguenti proprietà: Proprietà B.4 (proprietà delle funzioni sommabili) (a) Se f (x) è sommabile in (a, b), allora f (x) è anche integrabile in (a, b). (b) Se f (x) è sommabile in (a, b), risulta: Zb Z b ≤ | f (x)|dx . f (x)dx a

a

Una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo (a, b), che sia integrabile ma non sommabile in (a, b) si dice semplicemente integrabile oppure integrabile in senso improprio in (a, b), ed il relativo integrale assume la denominazione di integrale improprio. Il punto che rimane da chiarire è come si calcola un integrale improprio. Per fare ciò, dobbiamo generalizzare la nozione di primitiva di una funzione. Definizione B.3 (primitiva generalizzata) Sia f (x) = f1 (x) + j f2 (x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo (a, b), si chiama primitiva generalizzata di f (x) ogni funzione complessa ϕ (x) = ϕ1 (x) + j ϕ2 (x) soddisfacente le seguenti condizioni: (i) la funzione ϕ (x) è continua in (a, b); (ii) la funzione ϕ (x) è derivabile in ogni punto x di (a, b) in cui f (x) è continua e si ha: ′

ϕ (x) = f (x) . In virtù di questa definizione, possiamo richiamare il seguente risultato: Teorema B.8 (calcolo dell’integrale improprio) Sia f (x) una funzione complessa generalmente continua nell’intervallo (a, b). Se f (x) è integrabile in (a, b), detta ϕ (x) una primitiva generalizzata di f (x), si ha che ϕ (x) converge nei punti a e b, e risulta: Z b a

f (x)dx = lim ϕ (x) − lim ϕ (x) . x→b

x→a

Un’osservazione importante circa l’integrabilità di f (x) su R è la seguente. In virtù di quanto sopra richiamato, se f (x) è una funzione generalmente continua in R e ivi integrabile, esistono e sono finiti i limiti: lim

Z 0

α →−∞ α

f (x)dx

e

lim

Z β

β →+∞ 0

f (x)dx ,

456

Richiami di analisi matematica

e l’integrale di f (x) su R è dato da Z +∞ −∞

f (x)dx = lim

Z 0

α →−∞ α

f (x)dx + lim

Z β

β →+∞ 0

f (x)dx .

In questo caso, α e β tendono a −∞ e +∞, rispettivamente, indipendentemente l’uno dall’altro. Ciò detto, consideriamo adesso il seguente integrale: lim

Z λ

λ →+∞ −λ

f (x)dx ,

dove le ipotesi su f (x) sono che essa sia generalmente continua in R e integrabile in ogni intervallo compatto. Tale integrale quando esiste ed è finito prende il nome di valor principale di Cauchy di f (x) esteso ad R e la funzione f (x) si dice integrabile nel senso del valor principale. È immediato verificare che se f (x) è integrabile in R, allora lim

Z λ

λ →+∞ −λ

f (x)dx = lim

Z 0

α →−∞ α

f (x)dx + lim

Z β

β →+∞ 0

f (x)dx .

In altre parole, se f (x) è integrabile in senso improprio su R allora essa è integrabile anche nel senso del valor principale e i due integrali forniscono lo stesso risultato. Viceversa, se la funzione f (x) è integrabile nel senso del valor principale, non è detto che f (x) sia integrabile in senso improprio su R. Ad esempio, si consideri la seguente funzione ( se x ≥ 0 ; △ 1, f (x) = sign(x) = −1 , se x < 0 . È immediato verificare che tale funzione non è integrabile su R in senso improprio. Il suo integrale a valor principale invece esiste ed è dato da: Z 0  Z λ Z λ f (x)dx = 0 . f (x)dx = lim f (x)dx + lim λ →+∞ −λ

B.2.3

λ →+∞

−λ

0

Sommabilità

Sia 1 ≤ p < +∞. La funzione complessa f (x), definita in A, si dice sommabile con esponente p su X se la funzione reale | f (x)| p è sommabile su X, cioè esiste ed è finito l’integrale Z

X

| f (x)| p dx .

In particolare, se p = 1, la funzione si dice sommabile (senza alcun riferimento a p); nel caso in cui p = 2, la funzione si dice a quadrato sommabile. L’insieme delle funzioni a valori complessi sommabili con esponente p è usualmente indicato con L p (X). Risulta evidente che ∀α ∈ C e ∀ f (x) ∈ L p (X)

=⇒

α f (x) ∈ L p (X) ,

cioè, l’insieme L p (X) è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione per una costante, volendo intendere con ciò che, se f (x) è sommabile con esponente p, la funzione α f (x) è sommabile con lo stesso esponente. Inoltre, ∀ f (x), g(x) ∈ L p (X), poichè risulta che | f (x) + g(x)| p ≤ 2 p (| f (x)| p + |g(x)| p ) ,

B.2 Funzioni complesse di una variabile reale

457

si ha che ∀ f (x), g(x) ∈ L p (X)

=⇒

f (x) + g(x) ∈ L p (X) ,

cioè, l’insieme L p (X) è chiuso rispetto all’operazione di somma, volendo intendere con ciò che, se f (x) ed g(x) sono sommabili con esponente p, la funzione f (x) + g(x) è sommabile con lo stesso esponente. Circa la sommabilità (p = 1) di una funzione, similmente a quanto fatto per le successioni, sussiste il seguente criterio: Teorema B.9 (criterio di sommabilità per le funzioni) Sia f (x) una funzione generalmente continua in R e integrabile in ogni intervallo compatto: se per |x| → +∞ la funzione tende a zero come 1/|x|α , con α > 1, allora f (x) è sommabile; viceversa, se per |x| → +∞ la funzione tende a zero come 1/|x|α , con α ≤ 1, allora f (x) non è sommabile. In sintesi, una funzione risulta sommabile se all’infinito risulta infinitesima di ordine maggiore ad 1; in caso contrario, risulta non sommabile. Una differenza importante rispetto alle successioni riguarda le relazioni di inclusione tra gli insiemi L p (X) e L q (X), con p 6= q. A tal proposito, sussiste il seguente risultato: Teorema B.10 (relazione di inclusione) Sia 1 ≤ p < q < +∞. Se X ha misura finita, si ha: L q (X) ⊆ L p (X) . È importante osservare che se X ha misura infinita, non c’è alcuna relazione di inclusione tra gli insiemi L p (X) e L q (X). Questo aspetto è chiarito nell’esempio seguente, con riferimento agli spazi L 1 (R) ed L 2 (R). ◮ Esempio B.1 (relazioni tra segnali sommabili e a quadrato sommabile) La funzione 1 f (x) = √ 1 + x2 appartiene a L 2 (R), in quanto | f (x)|2 è continua in R ed infinitesima del secondo ordine nei punti ±∞. Tuttavia, tale funzione non appartiene a L 1 (R), in quanto f (x) = | f (x)| è continua in R ed infinitesima del primo ordine nei punti ±∞. Viceversa, la funzione 2

e−x f (x) = p |x|

appartiene a L 1 (R), in quanto f (x) = | f (x)| è continua in R − {0}, infinita di ordine 1/2 nel punto zero ed infinitesima di ordine α , per ogni α > 0, nei punti ±∞. Tuttavia, tale funzione non appartiene a L 2 (R), in ◭ quanto | f (x)|2 è continua in R − {0} ed infinita del primo ordine nel punto zero.

458

Richiami di analisi matematica

Appendice C

Proprietà matematiche della convoluzione

La somma di convoluzione e l’integrale di convoluzione giocano un ruolo molto importante nella teoria dei sistemi LTI a tempo discreto e a tempo continuo, rispettivamente. In questa appendice sono brevemente richiamati alcuni risultati notevoli circa l’esistenza e la convergenza dell’integrale di convoluzione e della somma di convoluzione.

C.1 Integrale di convoluzione Sia S un sistema TC LTI con risposta impulsiva h(t). L’uscita y(t) di tale sistema in risposta al segnale di ingresso x(t) si ottiene risolvendo uno dei due seguenti integrali di convoluzione: y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞ −∞

h(τ ) x(t − τ ) dτ .

(C.1)

Tali integrali non sono sempre definiti e, qualora lo siano, non è detto che y(t) assuma valori finiti per ogni t ∈ R. L’integrale di convoluzione1 gode di alcune proprietà interessanti. La prima proprietà riguarda la convergenza dell’integrale di convoluzione. A tale proposito, osserviamo che, se la risposta impulsiva è una funzione limitata, cioè |h(t)| ≤ Kh , per ogni t ∈ R e con Kh ∈ R+ , la funzione integranda ammette la maggiorazione: |x(τ ) h(t − τ )| = |x(τ )| |h(t − τ )| ≤ Kh |x(τ )| . In aggiunta, se il segnale di ingresso è sommabile su R, cioè Z +∞ −∞

|x(τ )| dτ = Ix ,

con Ix ∈ R+ ,

1 Nel seguito faremo riferimento al primo integrale nella (C.1) la cui funzione integranda è x(τ ) h(t − τ ).

Tutte le considerazioni fatte per tale integrale si applicano anche al secondo integrale, la cui funzione integranda è h(τ ) x(t − τ ), scambiando semplicemente i ruoli tra segnale di ingresso e risposta impulsiva.

460

Proprietà matematiche della convoluzione

la funzione di due variabili x(τ ) h(t − τ ) ammette come maggiorante la funzione non negativa e integrabile |x(τ )|, per ogni t ∈ R. In virtù del criterio di Cauchy circa la convergenza uniforme degli integrali, possiamo quindi dire che l’integrale (C.1) è convergente e converge uniformemente rispetto a t ∈ R. Inoltre, poiché Z +∞ Z +∞ Z +∞ |x(τ )| |h(t − τ )| dτ ≤ Kh (C.2) |x(τ )| dτ , x(τ ) h(t − τ ) dτ ≤ |y(t)| = −∞

−∞

−∞

△

segue che |y(t)| ≤ Ky = Kh Ix , per ogni t ∈ R, ovvero il segnale y(t) è limitato. Possiamo quindi enunciare la seguente proprietà: Proprietà C.1 (convergenza dell’integrale di convoluzione) Se il segnale di ingresso x(t) [la risposta impulsiva h(t)] è sommabile e la risposta impulsiva h(t) [il segnale di ingresso x(t)] è una funzione limitata, allora l’integrale di convoluzione (C.1) converge uniformemente rispetto a t ∈ R e, quindi, il segnale di uscita y(t) è limitato.

Supponiamo ora che entrambe le funzioni x(t) e h(t) coinvolte nella convoluzione siano sommabili su R e, conseguentemente, ivi integrabili (cfr. § B.2.2). Consideriamo la seguente funzione di due variabili:

ψ (τ ,t) = x(τ ) h(t − τ ) , definita in R2 . Notiamo che y(t) =

Z +∞ −∞

x(τ )h(t − τ )dτ =

Z +∞ −∞

ψ (τ ,t)dτ .

Nell’ipotesi in cui x(t) e h(t) siano sommabili su R, mediante semplici passaggi ed un cambio di variabile nell’integrale in dt, risulta che:   Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ |x(τ )||h(t − τ )|dt dτ |ψ (τ ,t)|dt dτ = −∞ −∞ −∞ −∞   Z +∞ Z +∞ = |x(τ )| |h(t − τ )|dt dτ −∞ −∞  Z +∞ Z +∞ |x(τ )| |h(u)|du dτ = −∞ −∞   Z +∞ Z +∞ |h(u)|du < +∞ , (C.3) |x(τ )|dτ = −∞

−∞

quindi, invocando il teorema di possiamo affermare che la funzione ψ (τ ,t) è sommabile su 2 3 R . Invocando il teorema di Fubini, in conseguenza della sommabilità su R2 della funzione ψ (τ ,t), Tonelli,2

2 Siano U e V due sottoinsiemi misurabili di R e f (u, v) una funzione misurabile su U ×V , il teorema di Tonelli consente di affermare che se  Z Z | f (u, v)| dv du < +∞ , U

V

allora f (u, v) è sommabile su U ×V . 3 Siano U e V due sottoinsiemi misurabili di R e f (u, v) una funzione definita quasi ovunque su U ×V e ivi misurabile, in base al teorema di Fubini si può affermare che, se la funzione f (u, v) è sommabile su U ×V , allora risulta che   Z Z Z Z Z f (u, v) dv du = f (u, v) du dv = f (u, v) du dv . U

V

U×V

V

U

C.2 Somma di convoluzione

461

segue che, nell’integrale doppio della funzione ψ (τ ,t), l’ordine di integrazione rispetto a t e τ è inessenziale, per cui:   Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ y(t)dt = ψ (τ ,t)dτ dt = ψ (τ ,t)dt dτ (C.4) −∞ −∞ −∞ −∞ −∞  Z +∞  Z +∞ Z +∞ Z +∞ = x(τ ) (C.5) h(t − τ )dt dτ x(τ )h(t − τ )dt dτ = −∞ −∞ −∞ −∞ Z +∞   Z +∞ x(τ )dτ = h(u)du , (C.6) −∞

−∞

da cui si evince che il segnale di uscita y(t) è anch’esso integrabile su tutto l’asse reale e il risultato dell’integrazione è dato dal prodotto dell’integrale del segnale di ingresso x(t) e dell’integrale della risposta impulsiva h(t). Poiché anche la funzione |ψ (τ ,t)| è sommabile su R2 , è possibile applicare ancora il teorema di Fubini per scambiare l’ordine di integrazione nell’integrale doppio della funzione |ψ (τ ,t)|. Si ha allora, con semplici passaggi ed un cambiamento di variabile nell’integrale in dt: Z +∞ Z +∞ Z +∞ |y(t)|dt = ψ (τ ,t)dτ dt −∞ −∞ −∞   Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ |ψ (τ ,t)|dτ dt = |ψ (τ ,t)|dt dτ ≤ −∞ −∞ −∞ −∞  Z +∞  Z +∞ Z +∞ Z +∞ |x(τ )h(t − τ )|dt dτ = |x(τ )| |h(t − τ )|dt dτ = −∞ −∞ −∞ −∞  Z +∞  Z +∞ |h(u)|du < +∞ , (C.7) = |x(τ )|dτ −∞

−∞

il che prova che y(t) è sommabile su R. Riassumendo, possiamo enunciare la seguente proprietà: Proprietà C.2 (sommabilità e area della convoluzione TC) Se il segnale di ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) sono funzioni sommabili su R, allora il segnale di uscita y(t) è anch’esso una funzione sommabile (ed integrabile) su R, e si ha   Z +∞ Z +∞ Z +∞ h(t) dt . (C.8) x(t) dt y(t) dt = −∞

−∞

−∞

La (C.8) può essere riletta dicendo che, se x(t) e h(t) sono sommabili su R, l’area Ay del segnale di uscita y(t) è data dal prodotto dell’area Ax del segnale di ingresso e di quella Ah della risposta impulsiva, ossia Ay = Ax Ah .

C.2 Somma di convoluzione Sia S un sistema TD LTI con risposta impulsiva h(n). L’uscita y(n) di tale sistema in risposta al segnale di ingresso x(n) si ottiene risolvendo una delle due seguenti somme di convoluzione: +∞

+∞

y(n) =

∑

k=−∞

x(k) h(n − k) =

∑

k=−∞

h(k) x(n − k) .

(C.9)

Tali somme, essendo in effetti delle serie, non sono sempre definite e, qualora lo siano, non è detto che il segnale risultante y(n) assuma valori finiti per ogni n ∈ Z.

462

Proprietà matematiche della convoluzione

La somma di convoluzione4 gode di alcune proprietà interessanti, che sono le controparti di quelle già discusse per l’integrale di convoluzione. La prima proprietà riguarda la convergenza della somma di convoluzione. A tale proposito, osserviamo che, se la risposta impulsiva è una successione limitata, cioè |h(n)| ≤ Kh , per ogni n ∈ Z e con Kh ∈ R+ , ed il segnale di ingresso è sommabile, cioè +∞

∑

k=−∞

|x(k)| = Ix ,

con Ix ∈ R+ ,

segue che, per ogni n ∈ Z, +∞ +∞ +∞ △ |y(n)| = ∑ x(k) h(n − k) ≤ ∑ |x(k)| |h(n − k)| ≤ Kh ∑ |x(k)| ≤ Ky = Kh Ix , k=−∞ k=−∞ k=−∞

(C.10)

ovvero il segnale di uscita y(n) è limitato. Possiamo quindi enunciare la seguente proprietà: Proprietà C.3 (convergenza della somma di convoluzione) Se il segnale di ingresso x(n) [la risposta impulsiva h(n)] è sommabile e la risposta impulsiva h(n) [il segnale di ingresso x(n)] è una successione limitata, allora la somma di convoluzione (C.9) è convergente per ogni n ∈ Z e, quindi, il segnale di uscita y(n) è limitato. Supponiamo ora che entrambi le successioni x(n) e h(n) coinvolte nella convoluzione siano sommabili, ragionando analogamente a quanto fatto nel caso TC,5 si può dimostrare il seguente risultato: Proprietà C.4 (sommabilità della convoluzione TD) Se il segnale di ingresso x(n) e la risposta impulsiva h(n) sono successioni sommabili, allora il segnale di uscita y(n) è anch’esso una successione sommabile e si ha: ! ! +∞

∑

n=−∞

+∞

y(n) =

∑

n=−∞

+∞

x(n)

∑

h(n)

.

(C.11)

n=−∞

In altre parole, la (C.11) può essere riletta dicendo che, se x(n) e h(n) sono sommabili, l’area Ay del segnale di uscita y(n) è data dal prodotto dell’area Ax del segnale di ingresso e di quella Ah della risposta impulsiva, ossia Ay = Ax Ah .

4 Nel

seguito faremo riferimento alla prima somma nella (C.9) il cui termine generale è x(k) h(n − k). Tutte le considerazioni fatte per tale integrale si applicano anche alla seconda somma, il cui termine generale è h(k) x(n − k), scambiando semplicemente i ruoli tra segnale di ingresso e risposta impulsiva. 5 I teoremi di Tonelli e Fubini (note 2 e 3) si possono applicare anche nel caso TD, assumendo che f (u, v) abbia un andamento costante a tratti sia rispetto ad u che a v, ovvero, f (u, v) = a(ℓ, m) per u ∈ (ℓ, ℓ + 1) ⊂ U e v ∈ (m, m + 1) ⊂ V , con ℓ, m ∈ Z; in tal caso, gli integrali che compaiono negli enunciati dei teoremi diventano somme di successioni.

Appendice D

Invertibilità di un sistema

I

n questa appendice è discusso con maggiore dettaglio il concetto di invertibilità di un sistema. Poichè un sistema è matematicamente descritto da una trasformazione o operatore, il concetto di invertibilità di un sistema è strettamente legato a quello di invertibilità di un operatore [11]. In particolare, sono discussi alcuni esempi che evidenziano come l’invertibilità di un sistema sia una proprietà non elementare, il cui studio richiede un’appropriata formalizzazione matematica, nella quale giocano un ruolo fondamentale gli insiemi I e U dei segnali di ingresso e di uscita del sistema.

D.1 Invertibilità di un sistema Prima di studiare l’invertibilità di un sistema LTI, richiamiamo brevemente il modello matematico di sistema e la definizione di invertibilità di un sistema, al fine di discutere alcuni esempi interessanti. Un sistema SISO – TC o TD – è un modello matematico che descrive la relazione tra un segnale di ingresso x(·) ed un segnale di uscita y(·). Tale modello matematico è descritto da una trasformazione: S : I → U,

(D.1)

che istituisce una relazione tra l’insieme dei segnali di ingresso I e l’insieme dei segnali di uscita U. Se i segnali appartenenti agli insiemi I e U sono TD, allora il sistema è TD; viceversa, se i segnali appartenenti agli insiemi I e U sono TC, allora il sistema è TC. In questa appendice, invece delle notazione complete (3.2) e (3.3) per le relazioni i-u dei sistemi, si utilizzerà la notazione semplificata: y(·) = S[x(·)] . Ricordiamo che (cfr. def. 3.8) il sistema (D.1) si dice invertibile se, comunque si fissi un segnale di uscita y(·) ∈ U, esiste un unico segnale di ingresso x(·) ∈ I tale che S [x(·)] = y(·) .

(D.2)

Se il sistema è invertibile, allora si può far corrispondere ad ogni segnale y(·) ∈ U l’unico segnale x(·) ∈ I che soddisfa la (D.2). Il sistema S−1 : U → I ,

464

Invertibilità di un sistema

che realizza questa corrispondenza si dice il sistema inverso del sistema S. Da un punto di vista sistemistico, la cascata di S e S−1 (nell’ordine) realizza la trasformazione identica, nel senso che S−1 {S[x(·)]} = x(·) ,

per ogni segnale di ingresso x(·) ∈ I .

Si può verificare che, se S−1 è il sistema inverso di S, allora anche il sistema S−1 è invertibile e si ha: S{S−1 [y(·)]} = y(·) ,

per ogni segnale y(·) ∈ U .

Si osservi che, oltre alla trasformazione S, la natura degli insiemi I ed U gioca un ruolo fondamentale nello studio dell’invertinilità di un sistema. Questo aspetto è chiarito dai seguenti esempi. ◮ Esempio D.1 (invertibilità dell’integratore TC) Studiamo l’invertibilità del sistema Sint : Iint → Uint , il cui legame i-u è dato da: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du ,

(D.3)

che rappresenta un integratore TC (cfr. es. 3.1). Affinchè abbia senso studiare l’invertibilità di tale sistema, l’insieme Iint dei segnali di ingresso deve essere costituito da tutti i segnali {x(u)}u∈R che risultano integrabili sulla semiretta (−∞,t), ∀t ∈ R. A seguito di questa restrizione, ad esempio, il segnale costante x(u) = a, con a ∈ C − {0}, non può appartenere all’insieme Iint . L’insieme Uint è costituito da tutti i segnali che si possono scrivere nella forma y(t) = X(t) − X(−∞), dove X(t) è una primitiva di x(t) ∈ Iint . È interessante osservare che, detto y1 (t) l’uscita del sistema corrispondente al segnale di ingresso x1 (t) ∈ Iint , non esiste alcun segnale x2 (t) ∈ Iint , diverso dal segnale x1 (t), la cui corrispondente uscita y2 (t) differisce da y1 (t) per una costante non nulla, cioè tale per cui y2 (t) = y1 (t) + c, con c ∈ R − {0}. La prova di questa proprietà si può ottenere ragionando per assurdo. Siano x1 (t), x2 (t) ∈ Iint due segnali diversi, ossia x1 (t) 6= x2 (t), le cui corrispondenti uscite siano legate, per ogni t ∈ R, dalla relazione: y2 (t) − y1 (t) = c

⇐⇒

Z t

−∞

x2 (u) du −

Z t

−∞

x1 (u) du = c

⇐⇒

Z t

−∞

[x2 (u) − x1 (u)] du = c ,

da cui derivando ambo i membri dell’ultima relazione, si ottiene x2 (t) − x1 (t) = 0, per ogni t ∈ R, il che viola l’ipotesi che x1 (t) 6= x2 (t). L’integratore TC è un sistema invertibile. A tale proposito, è sufficiente osservare che, derivando ambo i membri della (D.3), si ha: d y(t) = x(t) , dt da cui si evince che l’integratore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema che opera la derivata prima del segnale di ingresso: S−1 int : y(t) ∈ Uint →

d y(t) ∈ Iint . dt

A sua volta, quest’ultimo sistema è invertibile ed il suo sistema inverso è l’integratore TC. Si faccia bene attenzione che ciò non vuol dire che il derivatore sia in generale un sistema invertibile. Infatti, se consideriamo il sistema: S : y(t) ∈ U →

d y(t) ∈ I , dt

per il quale non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti ad U, si ottiene un sistema non invertibile. Infatti, due segnali appartenenti ad U che differiscono per una costante, ad esempio y1 (t) ed y2 (t) = y1 (t) + c, con c ∈ R − {0}, hanno la stessa derivata e quindi generano in uscita lo stesso segnale; pertanto, il sistema S non può essere invertibile. Ciò non accade invece per il sistema S−1 int in quanto non esistono nell’insieme Uint due segnali che differiscono per una costante. ◭

D.1 Invertibilità di un sistema

465

◮ Esempio D.2 (invertibilità dell’accumulatore o integratore TD) Studiamo l’invertibilità del sistema Sacc : Iacc → Uacc , il cui legame i-u è dato da: n

y(n) =

∑

x(k) ,

k=−∞

detto accumulatore o integratore TD (cfr. es. 3.2). Affinchè abbia senso studiare l’invertibilità di tale sistema, l’insieme Iacc dei segnali di ingresso deve essere costituito da tutte le successioni {x(k)}k∈Z la cui somma parziale per k ≤ n risulta finita, ∀n ∈ Z. A seguito di questa restrizione, ad esempio, il segnale costante x(k) = a, con a ∈ C − {0}, non può appartenere all’insieme Iacc . Per quanto riguarda l’insieme Uacc è interessante osservare che, detta y1 (n) l’uscita del sistema corrispondente al segnale di ingresso x1 (n) ∈ Iacc , non esiste alcun segnale x2 (n) ∈ Iacc , diverso dal segnale x1 (n), la cui corrispondente uscita y2 (n) differisce da y1 (n) per una costante non nulla, cioè tale per cui y2 (n) = y1 (n) + c, con c ∈ R − {0}. La prova di questa proprietà si può ottenere ragionando per assurdo. Siano x1 (n), x2 (n) ∈ Iacc due segnali diversi, ossia x1 (n) 6= x2 (n), le cui corrispondenti uscite sia legate, per ogni n ∈ Z, dalla relazione: n

y2 (n) − y1 (n) = c

⇐⇒

∑

k=−∞

n

x2 (k) −

∑

k=−∞

n

x1 (k) = c

⇐⇒

∑

[x2 (k) − x1 (k)] = c .

(D.4)

k=−∞

Poichè l’ultima relazione deve valere per ogni n ∈ Z, deve quindi valere anche che: n−1

∑

[x2 (k) − x1 (k)] = c ,

(D.5)

k=−∞

da cui sottraendo membro a membro la (D.5) e la terza relazione nella (D.4), si ottiene x2 (n) − x1 (n) = 0, per ogni n ∈ Z, il che viola l’ipotesi che x1 (n) 6= x2 (n). L’accumulatore è un sistema invertibile. A tal fine, osserviamo che la relazione i-u dell’accumulatore si può scrivere anche in forma ricorsiva: y(n) = y(n − 1) + x(n) , per cui si ricava univocamente la relazione inversa: x(n) = y(n) − y(n − 1) , sulla base della quale si può affermare che l’accumulatore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema che opera la differenza prima causale: S−1 acc : y(n) ∈ Uacc → ∇1 [y(n)] ∈ Iacc . Tale sistema è invertibile ed il suo sistema inverso è l’accumulatore. Si faccia bene attenzione che ciò non vuol dire che il sistema che opera la differenza prima sia in generale un sistema invertibile. Infatti, se consideriamo il sistema: S : y(n) ∈ U → ∇1 [y(n)] ∈ I , dove non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti ad U e I, si ottiene un sistema non invertibile. Infatti, due segnali che differiscono per una costante, ad esempio y1 (n) ed y2 (n) = y1 (n) + c, con c ∈ R − {0}, generano la stessa sequenza: x1 (n) = y1 (n) − y1 (n − 1) , x2 (n) = y2 (n) − y2 (n − 1) = [y1 (n) + c] − [y1 (n − 1) + c] = y1 (n) − y1 (n − 1) = x1 (n) , per cui il sistema S non può essere invertibile. Ciò non accade invece per il sistema S−1 acc in quanto non esistono ◭ nell’insieme Uacc due segnali che differiscono per una costante.

466

Invertibilità di un sistema

◮ Esempio D.3 (invertibilità del decimatore e dell’espansore) Si verifica facilmente che la cascata di un espansore e di un decimatore con M = L, nell’ordine, realizza la trasformazione identica. Infatti, il sistema espansore Sesp : Iesp → Uesp è caratterizzato dal legame i-u: ( n hni x , se n è multiplo di L ; L y(n) = x = L 0, altrimenti , da cui si evince che non esiste alcuna restrizione sui segnali di ingresso, mentre l’insieme Uesp è costituito da segnali y(n) che assumono valore nullo in tutti gli istanti di tempo n che non sono multipli di L. Se consideriamo il sistema: S−1 esp : y(n) ∈ Uesp → y(nL) ∈ Iesp , otteniamo che S−1 esp {Sesp [x(n)]} = x



 nL = x(n) . L

Pertanto, l’espansore Sesp è invertibile ed il suo sistema inverso S−1 esp è un decimatore che opera sui segnali appartenenti all’insieme Uesp . A sua volta, anche il sistema S−1 è invertibile ed il suo sistema inverso è un espansore. esp Si faccia bene attenzione che ciò non vuol dire che un decimatore sia in generale un sistema invertibile. Infatti, se consideriamo il sistema S : y(n) ∈ U → y(nM) ∈ I , per il quale non sussiste alcuna restrizione sui segnali appartenenti ad U, si ottiene un sistema non invertibile, in quanto l’operazione di decimazione comporta inevitabilmente la perdita di alcuni campioni del segnale di ingresso che non possono essere recuperati da nessun sistema posto in serie a valle del decimatore. Per il sistema S−1 esp ciò non accade in quanto esso è un decimatore operante sui segnali appartenenti all’insieme Uesp , i quali assumono valore nullo negli istanti di tempo che non sono multipli di L = M, per cui tali campioni non sono importanti per la ricostruzione esatta dell’andamento del segnale. ◭

D.2 Invertibilità di un sistema LTI Un sistema S è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione (cfr. prop. 3.3): S[α1 x1 (·) + α2 x2 (·)] = α1 y1 (·) + α2 y2 (·) ,

∀α1 , α2 ∈ C ,

(D.6)

dove l’uguaglianza sussiste per ogni coppia di segnali di ingresso x1 (·), x2 (·) ∈ I, le cui corrispondenti uscite siano y1 (·) = S[x1 (·)] e y2 (·) = S[x2 (·)]. Supponiamo che, oltre ad essere lineare, il sistema S sia anche invertibile e sia S−1 il suo sistema inverso. In tal caso, a partire dalla (D.6) e dalla definizione di sistema inverso segue che: S−1 {S[α1 x1 (·) + α2 x2 (·)]} = α1 x1 (·) + α2 x2 (·) = S−1 [α1 y1 (·) + α2 y2 (·)] .

(D.7)

Per definizione di sistema inverso segue anche che: S−1 [y1 (·)] = x1 (·) e S−1 [y2 (·)] = x2 (·) , da cui moltiplicando queste due uguaglianze per α1 e α2 , rispettivamente, e sommando, si ottiene:

α1 S−1 [y1 (·)] + α2 S−1 [y2 (·)] = α1 x1 (·) + α2 x2 (·) .

(D.8)

D.2 Invertibilità di un sistema LTI

467

Confrontando le (D.6) e (D.8), possiamo quindi scrivere che: S−1 [α1 y1 (·) + α2 y2 (·)] = α1 S−1 [y1 (·)] + α2 S−1 [y2 (·)] , dalla quale possiamo concludere che il sistema inverso S−1 soddisfa anch’esso al principio di sovrapposizione ed è quindi, per definizione, un sistema lineare. In base a tali considerazioni, possiamo pertanto enunciare il seguente risultato: Proprietà D.1 (linearità del sistema inverso) Dato un sistema S invertibile, se S è lineare anche S−1 è lineare. La prop. D.1 mette in luce che se un sistema è lineare ed invertibile, il corrispondente sistema inverso è lineare. Cerchiamo di capire se un risultato analogo vale anche per la proprietà di invarianza temporale. Per fare ciò, soffermiamo l’attenzione sul caso di sistemi TC. Si ricordi preliminarmente che, detta y(t) = S[x(t)] la risposta del sistema S all’arbitrario segnale di ingresso x(t) ∈ I, il sistema è TI se S[x(t − t0 )] = y(t − t0 ) ,

∀t0 ∈ R .

(D.9)

Se il sistema S è invertibile ed S−1 è il suo sistema inverso, risulta che S−1 [y(t)] = x(t), per ogni y(t) ∈ U. D’altra parte, a partire dalla (D.9) e dalla definizione di sistema inverso segue che: S−1 {S[x(t − t0 )]} = x(t − t0 ) = S−1 [y(t − t0 )] ,

(D.10)

da cui si evince che, se x(t) è la risposta del sistema inverso al segnale di ingresso y(t), allora la risposta del sistema inverso al segnale di ingresso y(t −t0 ) è x(t −t0 ). In altre parole, ad una traslazione temporale del segnale di ingresso il sistema inverso fa corrispondere una eguale traslazione temporale del segnale di uscita. Per definizione, il sistema S−1 è allora TI. Con ovvie modifiche, è possibile dimostrare che vale lo stesso risultato anche per i sistemi TD. Possiamo quindi concludere che vale la seguente proprietà: Proprietà D.2 (invarianza temporale del sistema inverso) Dato un sistema S invertibile, se S è invariante temporalmente anche S−1 è invariante temporalmente. Mettendo insieme le prop. D.1 e D.2, possiamo quindi ottenere l’importante risultato che che se un sistema LTI è invertibile, allora il corrispondente sistema inverso è anch’esso LTI. Nei due esempi che seguono, utilizzando la prop. 4.7, studieremo l’invertibilità di sistemi LTI. ◮ Esempio D.4 (invertibilità dell’integratore TC in termini di risposta impulsiva) Riconsideriamo il sistema integratore TC (cfr. es. D.1), il cui legame i-u è: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du .

(D.11)

Abbiamo già mostrato che tale sistema è TI (cfr. es. 3.18) e si può facilmente verificare che tale sistema è anche lineare, per cui l’integratore (D.11) è un sistema LTI. La risposta impulsiva di tale sistema si può ottenere osservando che la (D.11) si può scrivere come una convoluzione: y(t) =

Z t

−∞

x(u) du =

Z +∞ −∞

x(τ ) u(t − τ ) dτ ,

(D.12)

468

Invertibilità di un sistema

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(t − τ ) = 0 per t − τ < 0 e quindi per τ > t. Confrontando la (D.12) con la (4.12), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è: h(t) = u(t) , ossia la risposta impulsiva del sistema integratore è proprio il gradino unitario. Abbiamo visto nell’es. D.1 che l’integratore TC è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema derivatore, il cui legame i-u è dato da: y(t) =

d x(t) . dt

(D.13)

Si tratta di un sistema chiaramente lineare (l’operatore di derivazione è per sua natura lineare). Tale sistema è anche TI, infatti, utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte è immediato ottenere:     d d d x(t − t0 ) = x(u) (t − t0 ) = y(t − t0 ) . dt du u=t−t0 dt La risposta impulsiva del sistema derivatore si può calcolare applicando la definizione di risposta impulsiva, ponendo x(t) = δ (t) nella (D.13), ottenendo così: hinv (t) =

d δ (t) . dt

Verifichiamo che tale sistema è effettivamente il sistema inverso dell’integratore TC. Per fare ciò, in virtù della prop. 4.7, dobbiamo verificare che hinv (t) ∗ h(t) = δ (t) .

(D.14)

Si ha: hinv (t) ∗ h(t) =

Z +∞ −∞

hinv (τ ) h(t − τ ) dτ =

Z +∞  d −∞

dτ

 δ (τ ) u(t − τ ) dτ

Invocando la prop. 2.2(f), la (2.9) e applicando nuovamente la regola di derivazione delle funzione composte, si ha:        Z +∞  d d d d u(s) δ (τ ) u(t − τ ) dτ = − u(t − τ ) =− (t − τ ) dτ dτ ds −∞ τ =0 s=t−τ dτ τ =0 = δ (t − τ ) = δ (t) . τ =0

Pertanto, la (D.14) è verificata e, quindi, il derivatore è il sistema inverso dell’integratore TC.

◭

◮ Esempio D.5 (invertibilità dell’integratore TD o accumulatore in termini di risposta impulsiva) Si riconsideri l’integratore TD o accumulatore (cfr. es. D.2), avente relazione i-u: n

y(n) =

∑

x(k) .

(D.15)

k=−∞

Si può facilmente verificare che l’integratore TD è un sistema LTI. La risposta impulsiva di tale sistema si può ottenere osservando che la (D.15) si può scrivere come una convoluzione: +∞

n

y(n) =

∑

x(k) =

k=−∞

∑

k=−∞

x(k) u(n − k) ,

(D.16)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che u(n − k) = 0 per n − k < 0 ovvero per k > n. Confrontando la (D.16) con la (4.7), si conclude che la risposta impulsiva del sistema è: h(n) = u(n) ,

D.2 Invertibilità di un sistema LTI

469

ossia la risposta impulsiva del sistema integratore TD è proprio il gradino unitario. Si è mostrato nell’es. D.2 che l’accumulatore è un sistema invertibile e, in aggiunta, che il suo sistema inverso è il sistema che opera la differenza prima causale, il cui legame i-u è dato da: y(n) = ∇1 [x(n)] = x(n) − x(n − 1) .

(D.17)

La risposta impulsiva di tale sistema si può calcolare applicando la definizione di risposta impulsiva, ponendo x(n) = δ (n) nella (D.17), ottenendo così: hinv (n) = δ (n) − δ (n − 1) . Verifichiamo che tale sistema è effettivamente il sistema inverso dell’integratore TD. Per fare ciò, in virtù della prop. 4.7, dobbiamo verificare che: hinv (n) ∗ h(n) = δ (n) .

(D.18)

Per la verifica di tale uguaglianza, osserviamo che, invocando la prop. 4.2(c) e 4.2(d), si ha: hinv (n) ∗ h(n) = [δ (n) − δ (n − 1)] ∗ u(n) = u(n) − u(n − 1) = δ (n) . Pertanto, la (D.18) è verificata e, quindi, il sistema che effettua la differenza prima causale è il sistema inverso dell’accumulatore. ◭

470

Invertibilità di un sistema

Appendice E

Proprietà della serie di Fourier

I

n questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della serie di Fourier per segnali periodici TC e TD. Inoltre, con riferimento ai segnali periodici TC, è brevemente discusso il problema della convergenza in media quadratica della serie di Fourier.

E.1 Serie di Fourier a TC E.1.1

Definizioni

Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 = 1/ f0 ∈ R+ : FS

x(t) ←→ Xk +∞

x(t) =

∑

Xk e j2π k f0t

(equazione di sintesi)

k=−∞

1 Xk = T0 E.1.2

Z

T0

x(t) e− j2π k f0t dt

(equazione di analisi)

Proprietà

1. Linearità: FS

α1 x(t) + α2 y(t) ←→ α1 Xk + α2 Yk ,

∀α1 , α2 ∈ C .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0 . 2. Simmetria: FS

x(−t) ←→ X −k , FS

∗ x∗ (t) ←→ X −k , FS

x∗ (−t) ←→ Xk∗ .

472

Proprietà della serie di Fourier

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha coefficienti di Fourier pari (Xk = X −k ), un segnale dispari ha coefficienti di Fourier dispari (Xk = −X −k ), un segnale reale ha coefficienti di Fourier hermitiani (Xk∗ = X −k ), un segnale reale e pari ha coefficienti di Fourier reali e pari, un segnale reale e dispari ha coefficienti di Fourier immaginari puri e dispari. 3. Traslazione nel tempo: y(t) = x(t − t0 ) ←→ Yk = Xk e− j2π k f0t0 , FS

∀t0 ∈ R .

Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale. 4. Traslazione in frequenza: y(t) = x(t) e j2π k0 f0t ←→ Yk = Xk−k0 FS

∀k0 ∈ Z .

5. Cambiamento di scala: FS

y(t) = x(at) ←→ Yk = Xk ,

∀a ∈ R+ .

Nota: x(t) periodico di periodo T0 , per cui y(t) = x(at) è periodico di periodo T0 /a. Pertanto lo sviluppo di x(t) è relativo al periodo T0 , mentre quello di y(t) = x(at) è relativo al periodo T0 /a. Se a < 0, risulta che y(t) = x(at) = x(−|a|t), per cui in base alla prop. 2, segue che Yk = X −k . 6. Derivazione: y(t) =

d FS x(t) ←→ Yk = ( j2π k f0 ) Xk . dt

7. Convoluzione periodica: 1 z(t) = T0

Z

FS

T0

x(τ ) y(t − τ ) dτ ←→ Zk = Xk Yk .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0 . Nella convoluzione periodica l’integrale è esteso al periodo T0 . 8. Prodotto: +∞

FS

z(t) = x(t) y(t) ←→ Zk = Xk ∗Yk =

∑

Xℓ Yk−ℓ .

ℓ=−∞

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0 . 9. Parseval: Px =

1 T0

Z

T0

|x(t)|2 dt =

+∞

∑

k=−∞

|Xk |2 ,

Pxy =

1 T0

Z

T0

x(t)y∗ (t) dt =

Nota: nella seconda, x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0 .

+∞

∑

k=−∞

Xk Yk∗ .

E.2 Serie di Fourier a TD (DFS)

473

E.2 Serie di Fourier a TD (DFS) E.2.1

Definizione △

Sia x(n) un segnale periodico di periodo N0 ∈ N, wN0 = e− j2π /N0 : DFS

x(n) ←→ X(k) x(n) =

1 N0 −1 ∑ X(k) w−kn N0 N0 k=0 N0 −1

X(k) =

∑

x(n) wkn N0

(equazione di sintesi) (equazione di analisi)

n=0

E.2.2

Proprietà

1. Linearità: DFS

α1 x(n) + α2 y(n) ←→ α1 X(k) + α2 Y (k) ,

∀α1 , α2 ∈ C .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0 . 2. Simmetria: DFS

x(−n) ←→ X(−k) = X(N0 − k) , DFS

x∗ (n) ←→ X ∗ (−k) = X ∗ (N0 − k) , DFS

x∗ (−n) ←→ X ∗ (k) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha DFS pari [X(k) = X(−k) = X(N0 − k)], un segnale dispari ha DFS dispari [X(k) = −X(−k) = −X(N0 − k)], un segnale reale ha DFS hermitiana [X ∗ (k) = X(−k) = X(N0 − k)], un segnale reale e pari ha DFS reale e pari, un segnale reale e dispari ha DFS immaginaria pura e dispari. 3. Traslazione nel tempo: DFS

y(n) = x(n − n0 ) ←→ Y (k) = X(k) wNkn00 ,

∀n0 ∈ Z .

Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale. 4. Traslazione in frequenza: DFS

y(n) = x(n) wN−k0 0 n ←→ Y (k) = X(k − k0 ) ,

∀k0 ∈ Z .

5. Dualità: DFS

x(n) ←→ X(k) DFS

X(n) ←→ N0 x(−k) Nota: la dualità non sussiste per la serie di Fourier a TC.

474

Proprietà della serie di Fourier

6. Differenza prima: DFS

y(n) = x(n) − x(n − 1) ←→ Y (k) = (1 − wkN0 ) X(k) . 7. Convoluzione periodica: z(n) = ∑ x(m) y(n − m) ←→ Z(k) = X(k)Y (k) . DFS

N0

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0 . Nella convoluzione periodica la sommatoria è estesa al periodo N0 . 8. Prodotto: z(n) = N0 x(n) y(n) ←→ Z(k) = ∑ X(ℓ)Y (k − ℓ) . DFS

N0

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0 . I coefficienti Z(k) sono il risultato della convoluzione periodica tra X(k) e Y (k). 9. Parseval: Px =

1 1 |x(n)|2 = 2 ∑ N0 N0 N0

∑ |X(k)|2 , N0

Pxy =

1 1 x(n)y∗ (n) = 2 ∑ N0 N0 N0

∑ X(k)Y ∗ (k) . N0

Nota: nella seconda, x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0 .

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier La serie di Fourier per segnali TC, essendo il risultato della combinazione lineare di un numero infinito di fasori, può risultare non convergente. Tale problema non sussiste invece per la DFS, in quanto un qualunque segnale TD periodico, con periodo N0 , si può esprimere esattamente come combinazione lineare di N0 fasori. Nel § 5.2.1, si è discussa la convergenza uniforme e puntuale della serie di Fourier di un segnale TC periodico con periodo T0 , fornendo alcune condizioni per questi tipi di convergenza. In questo paragrafo, discuteremo invece il problema della convergenza in media quadratica della serie di Fourier a TC, che pone condizioni meno restrittive (soddisfatte da tutti i segnali di interesse ingegneristico) sulla famiglia dei segnali periodici rappresentabili in serie di Fourier. Il punto di partenza per lo studio della convergenza della serie di Fourier affrontato nel § 5.2.1 è riconducibile allo studio della convergenza della somma parziale M-esima (5.16) della serie di funzioni (5.15), al limite per M → +∞. Si noti che nella (5.16) i coefficienti della combinazione lineare sono quelli di Fourier definiti dalla equazione di analisi (5.11). Qui affronteremo in partenza un problema più generale, considerando la seguente somma parziale M-esima: M

xˇM (t) =

∑

k=−M

λk e j2π k f0t ,

con M ∈ N ,

(E.1)

dove, a differenza della (5.16), i coefficienti λk ∈ C della combinazione lineare sono dei parametri da determinare. Più precisamente, il nostro obiettivo è quello di trovare una risposta ai seguenti quesiti: (i) per un fissato M (finito), qual’è la scelta “migliore” dei coefficienti λk , ovvero la scelta tale da garantire che xˇM (t) sia una versione il più fedele possibile del segnale x(t)?

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier

475

(ii) se x(t) è un segnale a quadrato sommabile sul periodo T0 , che non verifica tutte le condizioni di Dirichlet1 (cfr. teor. 5.2), il segnale xˇM (t) può convergere in qualche modo ad x(t), per M → +∞? Se il segnale x(t) non soddisfa tutte le condizioni di Dirichlet, allora può succedere che la somma parziale (5.16) non converga puntualmente al segnale x(t); questo significa che, per M → +∞, il segnale limM→∞ xˇM (t) può differire dal segnale di partenza x(t) in corrispondenza di uno o più valori di t (al limite, per tutti i valori di t). Tuttavia, adoperando definizioni meno restrittive di uguaglianza, è possibile ancora individuare una similitudine tra i segnali xˇM (t) e x(t). In effetti, mentre due numeri a e b sono uguali se e solo se la loro differenza |a − b| è nulla, la differenza tra due funzioni si può valutare in diversi modi, non tutti equivalenti tra loro. Nel nostro caso, poichè entrambi i segnali x(t) e xˇM (t) sono periodici di periodo T0 , possiamo soffermare l’attenzione su un arbitrario periodo T0 . Un modo per poter misurare globalmente la differenza tra i due segnali x(t) e xˇM (t) è quello di definire il cosiddetto scarto quadratico medio, normalizzato al periodo: 1 Pe (M) = T0 △

Z

T0

|xˇM (t) − x(t)|2 dt ,

(E.2)

che è nullo solo se x(t) è uguale ad xˇM (t) quasi ovunque sul periodo T0 , altrimenti è una quantità positiva, il cui valore è un indicatore della differenza tra xˇM (t) ed x(t). Dal punto di vista fisico, △

essendo i due segnali xˇM (t) ed x(t) entrambi periodici con periodo T0 , la loro differenza eM (t) = xˇM (t) − x(t) è ancora un segnale periodico dello stesso periodo; pertanto, lo scarto quadratico medio rappresenta (cfr. § 2.6.1) la potenza del segnale periodico eM (t), ovvero dell’errore che si commette approssimando il segnale x(t) con la somma parziale M-esima xˇM (t).2 Siamo ora in grado di dare una risposta al quesito (i). Supponiamo d’ora in avanti che x(t) sia un segnale di potenza (cfr. § 2.6.1), con potenza finita 1 Px = T0

Z

T0

|x(t)|2 dt < +∞ .

Sviluppando il modulo al quadrato che compare nella (E.2), si giunge alla seguente forma:  Z  Z Z 1 1 1 ∗ Pe (M) = |x(t)|2 dt − 2 Re x(t) xˇM (t) dt + |xˇM (t)|2 dt , T0 T0 T0 T0 T0 T0 da cui sostituendo l’espressione (E.1) di xˇM (t) si ottiene:        M  Z Z   1 ∗ 1 2 − j2π k f0 t dt |x(t)| dt − 2 Re Pe (M) = ∑ λk T0 T0 x(t) e   T0 T0  k=−M   | {z }   Xk

M

M

+

∑ ∑

λk λh∗

k=−M h=−M

1 = T0 1 Se

Z

T0

2

1 T |0

Z

T0

|x(t)| dt − 2 Re

e j2π (k−h) f0t dt {z } δ (k−h)

(

M

∑

k=−M

λk∗ Xk

)

M

+

∑

k=−M

|λk |2 ,

(E.3)

il segnale x(t) è a quadrato sommabile sul periodo T0 , esso è sommabile su T0 (cfr. teor. B.10) e verifica quindi la prima condizione (d1) di Dirichlet; tuttavia, il segnale x(t) può non soddisfare le condizioni (d2) e (d3) ma essere a quadrato sommabile. 2 Si noti che lo scarto quadratico medio P (M) si può calcolare non solo per i segnali x(t) continui, ma anche per quelli e discontinui, come pure per i segnali non limitati sul periodo T0 , a patto che l’integrale che compare nella definizione (E.2) esista finito.

476

Proprietà della serie di Fourier

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato l’ortogonalità dei fasori xk (t) = e j2π k f0t [si veda la (5.4)]. M

Sommando e sottraendo al secondo membro della (E.3) il termine

∑

k=−M

|Xk |2 , si ottiene, dopo qualche

semplice manipolazione algebrica, che: Pe (M) =

1 T0

Z

T0

|x(t)|2 dt −

M

∑

k=−M

|Xk |2 +

M

∑

k=−M

|λk − Xk |2 = Px − Px (M) +

M

∑

k=−M

|λk − Xk |2 , (E.4)

dove Px (M) (cfr. § 5.4.3) è la potenza del segnale xM (t) ottenuto troncando la serie di Fourier. Come è ovvio, per un fissato valore di M, lo scarto quadratico medio Pe (M) dipende dai valori dei coefficienti λk utilizzati per combinare linearmente i fasori nella (E.1). Alla luce di questo risultato, il quesito (i) si può riformulare più precisamente come segue: qual’è il valore dei coefficienti λk che minimizza lo scarto quadratico medio tra x(t) e xˇM (t)? La risposta a tale quesito si ottiene immediatamente dalla (E.4) osservando che il primo e il secondo addendo non dipendono dai coefficienti λk ; l’unico addendo che dipende da λk è il terzo, che assume solo valori non negativi. Pertanto, visto come funzione dei coefficienti λk , lo scarto quadratico medio Pe (M) assume il suo valore minimo quando il terzo addendo nella (E.4) è nullo, il che avviene se e solo se: 1 λk = Xk = T0

Z

T0

x(t) e− j2π k f0t dt .

Notiamo che la scelta “ottima” (a minimo scarto quadratico medio per ogni fissato M) dei coefficienti λk è data proprio dall’equazione di analisi (5.11) della serie di Fourier. In altre parole, la somma parziale M-esima (5.16) è la migliore approssimazione del segnale x(t), utilizzando come misura lo scarto quadratico medio (E.2). Per λk = Xk , la (E.4) diventa semplicemente: Pe (M) = Px − Px (M) ,

(E.5)

dalla quale, osservato che per definizione Pe (M) ≥ 0, si ottiene: M

Px (M) ≤ Px

⇒

∑

k=−M

|Xk |2 ≤

1 T0

Z

T0

|x(t)|2 dt ,

per ogni M ∈ N ,

che prende il nome di disuguaglianza di Bessel.3 In virtù di tale osservazione, possiamo dire che se x(t) è un segnale di potenza (0 < Px < +∞), i coefficienti di Fourier Xk risultano essere una successione a quadrato sommabile (appartenente ad ℓ2 ), cioè: +∞

∑

k=−∞

|Xk |2 < +∞ .

Passiamo ora a considerare il secondo quesito (ii), dando la seguente definizione: si dice che la serie di Fourier (5.15) converge in media quadratica al segnale x(t) se lim Pe (M) = 0 ,

(E.6)

M→+∞

△ Px (M) Px

(E.5) può evidentemente essere riscritta come Pe (M) = Px (1 − ξM ), dove il coefficiente ξM = definito nel § 5.4.3, e la disuguaglianza di Bessel stabilisce che ξM ≤ 1. 3 La

è già stato

E.3 Convergenza in media quadratica della serie di Fourier

477

ovvero se lo scarto quadratico tra i segnali xM (t) ed x(t) tende a zero al divergere di M. Valutando la (E.5) al limite, si ottiene che la serie di Fourier converge in media quadratica al segnale x(t) se e solo se: +∞

lim Pe (M) = lim [Px − Px (M)] = 0

M→+∞

⇐⇒

M→∞

Px = lim Px (M) = M→∞

∑

k=−∞

|Xk |2 ,

ovvero se e solo se sussiste l’uguaglianza di Parseval (cfr. prop. 5.4). Riassumendo quando detto finora possiamo enunciare la seguente proprietà: Proprietà E.1 (convergenza in media quadratica della serie di Fourier) FS Sia x(t) ←→ Xk un segnale TC periodico di periodo T0 , a quadrato sommabile sul periodo T0 . La serie di Fourier (5.10) converge in media quadratica al segnale x(t), nel senso che lim

Z

M→+∞ T0

x(t) −

M

∑

k=−M

2 Xk e j2π k f0t dt = 0 ,

se e solo se sussiste l’uguaglianza di Parseval, cioè Px =

1 T0

Z

|x(t)|2 dt =

T0

+∞

∑

k=−∞

|Xk |2 .

Si può dimostrare [11] che per ogni segnale a quadrato sommabile sul periodo T0 si verifica l’uguaglianza di Parseval e, quindi, qualunque sia il segnale x(t) ∈ L 2 [(a, a + T0 )], con a ∈ R, la serie di Fourier ad esso associata è convergente in media quadratica. Osserviamo infine che, se la serie di Fourier converge uniformemente al segnale x(t), allora essa è convergente anche in media quadratica allo stesso segnale. La verifica di questa proprietà si ottiene facilmente ricordando che, se la serie di Fourier converge uniformemente al segnale x(t), per ogni ε > 0 si può trovare un Nε ∈ N tale che in ogni punto t ∈ R e per tutti i valori di M > Nε sia verificata la disuguaglianza: |xM (t) − x(t)| < ε e, di conseguenza, si ha: 1 Pe (M) = T0

Z

1 |xM (t) − x(t)| dt < T T0 0 2

Z

ε 2 dt = ε 2 ,

T0

da cui discende la (E.6). Il viceversa non è necessariamente vero: cioè, la serie di Fourier può convergere in media quadratica al segnale x(t) anche quando non converge uniformemente a x(t). In altri termini, la convergenza in media quadratica è più “debole” della convergenza uniforme. Per quanto riguarda la convergenza puntuale, si può mostrare che la convergenza in media quadratica al segnale x(t) della serie di Fourier non implica in generale la convergenza puntuale. Inversamente, la serie di Fourier può convergere puntualmente e, nel frattempo, non convergere in media quadratica.

478

Proprietà della serie di Fourier

Appendice F

Proprietà della trasformata di Fourier

I

n questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della trasformata di Fourier per segnali TC e TD. Inoltre, sono riportate alcune trasformate notevoli (TC e TD).

F.1 Trasformata di Fourier a TC F.1.1

Definizioni FT

x(t) ←→ X( f ) x(t) = X( f ) = F.1.2

Z +∞

−∞ Z +∞ −∞

X( f ) e j2π f t d f

(equazione di sintesi)

x(t) e− j2π f t dt

(equazione di analisi)

Proprietà

1. Linearità: FT

α1 x(t) + α2 y(t) ←→ α1 X( f ) + α2 Y ( f ) ,

∀α1 , α2 ∈ C .

2. Valore nell’origine: X(0) =

Z +∞ −∞

x(t) dt ,

x(0) =

Z +∞ −∞

X( f ) d f .

Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite. 3. Dualità: FT

x(t) ←→ X( f ) , FT

X(t) ←→ x(− f ) .

480

Proprietà della trasformata di Fourier

4. Simmetria: FT

x(−t) ←→ X(− f ) , FT

x∗ (t) ←→ X ∗ (− f ) , FT

x∗ (−t) ←→ X ∗ ( f ) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari, un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnale reale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari. 5. Traslazione nel tempo: y(t) = x(t − t0 ) ←→ Y ( f ) = X( f ) e− j2π f t0 , FT

∀t0 ∈ R .

6. Traslazione in frequenza: y(t) = x(t) e j2π f0t ←→ Y ( f ) = X( f − f0 ) , FT

∀ f0 ∈ R .

7. Modulazione: FT

y(t) = x(t) cos(2π f0t + ϕ0 ) ←→ Y ( f ) =

1 1 jϕ0 e X( f − f0 ) + e− jϕ0 X( f + f0 ) , 2 2

∀ f 0 , ϕ0 ∈ R .

8. Cambiamento di scala: 1 y(t) = x(at) ←→ Y ( f ) = X |a| FT

  f , a

∀a ∈ R − {0} .

9. Derivazione nel tempo: y(t) =

dk FT x(t) ←→ Y ( f ) = ( j2π f )k X( f ) , dt k

∀k ∈ N .

10. Derivazione in frequenza: FT

(−t)k x(t) ←→

1 dk X( f ) , ( j2π )k d f k

∀k ∈ N .

11. Integrazione: y(t) =

Z t

−∞

Nota: se X(0) =

FT

x(τ ) dτ ←→ Y ( f ) = Z +∞ −∞

1 X( f ) X(0) δ ( f ) + . 2 j2π f

x(t) dt = 0 si ha una versione semplificata (senza la parte impulsiva).

12. Convoluzione: z(t) = x(t) ∗ y(t) =

Z +∞ −∞

FT

x(τ ) y(t − τ ) dτ ←→ Z( f ) = X( f )Y ( f ) .

F.1 Trasformata di Fourier a TC

481

13. Prodotto: FS

z(t) = x(t) y(t) ←→ Z( f ) = X( f ) ∗Y ( f ) =

Z +∞ −∞

X(λ )Y ( f − λ ) dλ .

14. Parseval: Ex =

Z +∞ −∞

2

|x(t)| dt =

Z +∞ −∞

2

|X( f )| d f ,

Exy =

Z +∞ −∞

∗

x(t) y (t)dt =

Z +∞ −∞

X( f )Y ∗ ( f ) d f .

Nota: x(t) e y(t) segnali di energia (a quadrato sommabile). 15. Replicazione/campionamento: 

   k , ∀T0 ∈ R+ , δ f− T0   +∞ 1 +∞ k FT y(t) = ∑ x(kT0 ) δ (t − kT0 ) ←→ Y ( f ) = ∑ X f − T0 , ∀T0 ∈ R+ . T0 k=−∞ k=−∞ 1 +∞ y(t) = ∑ x(t − kT0 ) ←→ Y ( f ) = ∑ X T0 k=−∞ k=−∞ +∞

FT

k T0

16. Formule di Poisson: 1 +∞ ∑ x(t − kT0 ) = T0 ∑ X k=−∞ k=−∞ +∞

+∞

∑

k=−∞

− j2π Tk t

x(kT0 )e

0

=

1 +∞ ∑ X T0 k=−∞

 

k T0



f−

e

j2π Tk t

k T0

0



,

,

∀T0 ∈ R+ ∀T0 ∈ R+

(prima formula di Poisson) , (seconda formula di Poisson) .

482

F.1.3

Proprietà della trasformata di Fourier

Trasformate notevoli

Segnale x(t)

Trasformata X( f )

δ (t)

1

1

δ(f) 1 1 δ(f)+ 2 j2π f 1 jπ f

u(t) sgn(t) 1 t rect(t)

− jπ sgn( f )

Λ(t)

sinc2 ( f )

sinc(t)

rect( f )

2

sinc (t) e−at u(t), a ∈ R+ t e−at u(t), a ∈ R+ e−a|t| , a ∈ R+ e j2π f0 t cos(2π f0t + ϕ0 ) sin(2π f0t + ϕ0 ) +∞

∑

k=−∞

δ (t − kT0 ), T0 ∈ R+

sinc( f )

Λ( f ) 1 a + j2π f 1 (a + j2π f )2 2a 2 a + (2π f )2 δ ( f − f0 ) 1 1 j ϕ0 e δ ( f − f0 ) + e− jϕ0 δ ( f + f0 ) 2 2 1 j ϕ0 1 e δ ( f − f0 ) − e− jϕ0 δ ( f + f0 ) 2j 2j   k 1 +∞ ∑ δ f − T0 T0 k=−∞

Nota: applicando la proprietà di dualità è possibile ottenere da ogni FT FT coppia x(t) ←→ X( f ) una nuova coppia X(t) ←→ x(− f ) (le più importanti sono comunque riportate per completezza).

F.2 Trasformata di Fourier a TD F.2.1

Definizioni FT

x(n) ←→ X(ν ) x(n) =

Z 1/2

X(ν ) =

∑

X(ν ) e j2πν n dν

(equazione di sintesi)

x(n) e− j2πν n

(equazione di analisi)

−1/2 +∞

n=−∞

Nota: X(ν ) è una funzione periodica di periodo 1.

F.2 Trasformata di Fourier a TD

F.2.2

483

Proprietà

1. Linearità: FT

α1 x(n) + α2 y(n) ←→ α1 X(ν ) + α2 Y (ν ) ,

∀α1 , α2 ∈ C .

2. Valore nell’origine: +∞

X(0) =

∑

x(n) ,

x(0) =

n=−∞

Z 1/2

−1/2

X(ν ) dν .

Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite. 3. Simmetria: FT

x(−n) ←→ X(−ν ) , FT

x∗ (n) ←→ X ∗ (−ν ) , FT

x∗ (−n) ←→ X ∗ (ν ) .

Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari, un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnale reale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari. 4. Traslazione nel tempo: y(n) = x(n − n0 ) ←→ Y (ν ) = X(ν ) e− j2πν n0 , FT

∀n0 ∈ Z .

5. Traslazione in frequenza: y(n) = x(n) e j2πν0 n ←→ Y (ν ) = X(ν − ν0 ) , FT

∀ν0 ∈ R .

6. Modulazione: FT

y(n) = x(n) cos(2πν0 n + ϕ0 ) ←→ Y (ν ) =

1 jϕ0 1 e X(ν − ν0 ) + e− jϕ0 X(ν + ν0 ) , 2 2

7. Espansione: y(n) = x

hni L

FT

←→ Y (ν ) = X(Lν ) ,

∀L ∈ N .

8. Decimazione: FT

y(n) = x(nM) ←→ Y (ν ) =

1 M−1 ∑X M k=0



ν −k M



,

∀M ∈ N .

9. Differenza: ∇k [x(n)] = ∇1 {∇k−1 [x(n)]} ←→ Y (ν ) = 1 − e− j2πν FT


k

X(ν ) ,

∀k ∈ N .

∀ν0 , ϕ0 ∈ R .

484

Proprietà della trasformata di Fourier

10. Derivazione in frequenza: FT

(−n)k x(n) ←→

dk 1 X(ν ) , ( j2π )k dν k

∀k ∈ N .

11. Somma: n

y(n) =

∑

FT

x(k) ←→ Y (ν ) =

k=−∞ +∞

∑

Nota: se X(0) =

1 X(ν ) . X(0) δe(ν ) + 2 1 − e− j2πν

x(n) = 0 si ha una versione semplificata (senza la parte impulsiva).

n=−∞

12. Convoluzione: +∞

∑

z(n) = x(n) ∗ y(n) =

FT

k=−∞

x(k) y(n − k) ←→ Z(ν ) = X(ν )Y (ν ) .

13. Prodotto: FT

z(n) = x(n) y(n) ←→ Z(ν ) = X(ν ) ∗Y (ν ) =

Z 1/2

−1/2

X(λ )Y (ν − λ ) dλ .

Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica. 14. Parseval: +∞

Ex =

∑

|x(n)|2 =

n=−∞

Z 1/2

−1/2

+∞

|X(ν )|2 dν ,

Exy =

∑

x(n) y∗ (n) =

n=−∞

Z 1/2

−1/2

X(ν )Y ∗ (ν ) dν .

Nota: x(n) e y(n) segnali di energia (a quadrato sommabile). 15. Replicazione/campionamento:    k e δ ν− , ∀N0 ∈ N , N0   +∞ 1 N0 −1 k FT y(n) = ∑ x(kN0 ) δ (n − kN0 ) ←→ Y (ν ) = ∑ X ν − N0 , ∀N0 ∈ N . N0 k=0 k=−∞ 1 N0 −1 y(n) = ∑ x(n − kN0 ) ←→ Y (ν ) = ∑X N0 k=0 k=−∞ +∞

FT



k N0

16. Formule di Poisson: 1 N0 −1 x(n − kN ) = 0 ∑ ∑X N0 k=0 k=−∞ +∞

+∞

∑

k=−∞

− j2π Nk n

x(kN0 )e

0



k N0



e

j2π Nk n 0

  k 1 N0 −1 = ∑ X ν − N0 , N0 k=0

,

∀N0 ∈ N

∀N0 ∈ N

(prima formula di Poisson) , (seconda formula di Poisson) .

F.2 Trasformata di Fourier a TD

F.2.3

485

Trasformate notevoli Segnale x(n)

Trasformata X(ν )

δ (n)

1 δe(ν )

1 u(n) sgn(n) RN (n) B2N (n) sinc(2νc n), 0 < νc