Second-order elliptic equations and elliptic equations 7030021339, 9787030021335

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Second-order elliptic equations and elliptic equations
 7030021339, 9787030021335

Table of contents :
《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》
书名页
版权页
序言
目录页
目录页1
目录页2
目录页3
正文
第一部分 二阶椭圆型方程
第一章 L2 理论
§ 1. Lax-Milgram 定理
§ 2. 椭圆型方程的弱解
§ 3. Fredbolm 二择一定理
§ 4. 弱解的极值原理
§ 5. 弱解的正则性
第二章 Schauder 理论
§ 1. Holder 空间
§ 2. 磨光核
§ 3. 位势方程解的C2.α估计
§ 4. Schauder 内估计
§ 5. Schauder 全局估计
§ 6. 古典解的极值原理
§ 7.Dirichlet 问题的可解性
第三章 Lp 理论
§ 1. Marcinkiewicz 内插定理
§ 2. 分解引理
§ 3. 位势方程的估计
§ 4. W2.p 内估计
§ 5. W2.p 全局估计
§ 6. W2.p 解的存在性
第四章 De Giorgi-Nash 估计
§ 1. 弱解的局部性质
§ 2. 内部Holder 连续性
§ 3. 全局Holder 连续性
第五章 散度型拟线性方程
§ 1. 弱解的有界性
§ 2. 有界弱解的Holder i模
§ 3. 梯度估计
§ 4. 梯度的Holder 模估计
§ 5. Dirichlet 问题的可解性
第六章 Krylov-Safonov 估计
§ 1. Aleksandrov 极值原理
§ 2. Harnack 不等式与解的Holder 模内估计
§ 3. 解的全局Holder 模估计
第七章 完全非线胜方程
§ 1. 解的最大模估计与Holder 模估计
§ 2. 解的梯度估计
§ 3. 解的梯度的Holder 模估计
§ 4. 非散度型拟线性方程的可解性
§ 5. 关于完全非线佳方程的可解性
§ 6. 一类特殊方程
§ 7. 一般完全非线性方程
第二部分 椭圆型方程组
第八章 b线性散度型椭圆组的L 2 理论
§ 1. 弱解的存在性
§ 2. 能量模估计和H2 正则性
第九章 线性散度型椭圆组的Schauder 理论
§ 1. Morrey空间和Campanato 空间
§ 2. Schauder 理论
第十章 线性散度型椭圆组的Lp理论
§ 1. BMO 空间和Stampaccbia 内插定理
§ 2. Lp 理论
第十一章 非线性椭圆组弱解的存在性
§ 1. 引言
§ 2. 变分方法
第十二章 非线性椭圆组弱解的正则性
§ 1. H2 正则性
§ 2. 进一步的正则性.不正则的例子
§ 3. 研究正则性的间接方法
§ 4. 反向Holder 不等式和Du 的Lp 估计
§ 5. 研究正则性的直接方法
§ 6. 奇异点集
附录1 Sobolev 空间
附录2 Sard 定理
附录3 John-Nirenberg 定理的证明
附录4 Stampacchia 内插定理的证明
附录5 反向Holder 不等式的证明
参考文献

Citation preview

与 程组 2





豆 浙

弓 i i i ,, i , T i - _. __ _ _ _ __ _ __ _ _ , ' i

_ _ i

方 程

巨型 方 学圆 型 数 戈椭 圆 1 现 阶椭



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2 J4 ,8

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介 “



本书是作者根据1'85年在南开数学研究所举办的 偏微年 活动中授课 的讲搞,井吸取了当时来访的国外专家讲学的最新内容编写而成的 . 本书共 分两部分: 第一部分全面介绍二阶椭圆型方程Dhl,hl"问题的各种先 验估计方法,包含近年来出现的最新技巧,井讨论线性方程、拟线性方程以 及完全非线性方程Dlmhl« 问题的可觯性;第二部分介绍线性和非线性 椭圆型力程组Dm,hloO 使得当µ�fl. 时,非齐次Dirichlet问题

t· u

存在唯一的弱解.





µ. u - T,

(2.9)

g E Hi(lJ)

证明.由弱解的定义,与间题(2.9)相应的双线性型为a(u, 11) +队:u, ti)L (Q). 弱解“满足 2

(u,11)+µ(u, 心一(T, 份,Vv E ffl(O), 一 g EHi(o),

r u

这里(u,11为全(u ,II)L (Q). 现在令“ 2

于寻求zu E H�(Q), 使其满足 •

, i

'



u



(2.10)

g, 则问题(2.10)等价

.,.

a(w,v) +µ(w,v)0 = (T ,v) - a(g,v) -µ(g,v)o, (2.11) VvEH�(Q).

由引理2.1与2. 2, 当

µ

�µ 时a (w , v) +µ(w , 心是Hi(IJ)

上的有界强制双线性型,不难验证(T, 吟一a(g,v)-µ(g,v)。是 Hi(D)上的连续线性泛函. 由Lax- Milgram定理方程(2.11)存 在唯一的解w E H�(Q), u = w 十 g即为问题(2.9)的弱解.

§3. Fredholm二择 一 定理 Fredholm二择一定理在Banach空间的表述如下:

定理3.1. 设V是赋范线性空间, A:V--+V是 一 紧线性算

子,1是V的恒同算子,则只有以下两种可能发生: (1)存在XE V, X 兰 o, 使得x- Ax = o.

(2)对于任意y EV, 存在唯一的XE V'使得 x- Ax = Y.

在第二种情况下(I-A尸是有界线性算子. 此外,我们还可得 到: A的谱是离散的,除0之外不可能有其他极限点,每 一 特征值 的重数是有限的.

这个定理的证明在泛函分析的教科书中都能找到. 下面我们 将把它应用于椭圆型方程的Dirichlet问题.

定理3.2. 设L与9满足定理2.3的限定,则问题(2.9)只有以

下两种可能: (1)对于任意TEH飞Q) , g E H1 (!J) , 问题(2.9)有唯一的 弱解.

(2)存在非零u E H�(/J), 使得Lu 队u,11) 一 o, V11 E HKQ)).





µ.u



0(即a(u, v )

+

此外,使第二种情况成立的µ是离散的, 只能以 00 为极限点,

对于每一特征值p,, 相应的特征函数空间是有限维的. 证明. 不妨设g == 0 (参看定理2.3的证明). 对于固定的

uE:L1 (Q), (u, •)。是H氐(fJ)上的有界线性泛函,因此存在有界 • 6 •

线性算子P: L 2 (Q)

-'JI,



H l(!J), 使得

(u,v为= (Pu,v), VuE L 2 (t:J), vEH氏(O). 设1是由H长Q)到L 2 (Q)的嵌人算子,由引理2.1的附注与上 述的事实,我们可把(2.9)写成: 求u E H�(Q)使得 巨+ µ PI u = T. 定理2.3的结论说明必存在fl>

o,

斐得(L

(3.1)

+ ,aPJ尸存在,且

为H飞SJ)--), H从Q)的有界线性算子.记G=(L+µPJ)飞将 算子G作用于方程(3.1)之后得到 U



(µ-µ)GP lu



GT.

(3.2)

方程(3.1)与(3.2)是等价的. 由于HKQ)到L 2 (Q)的嵌人算子 是紧的,因此GPJ是H�(Q)到其自身的紧线性算子. 现在对方 程(3.2)应用定理3.1立即得到所要的结论.

钰弱解的极值原理 极值原理有多种证明方法,De Giorgi迭戊与Moser迭代是 两种常用方法, 它们也是目前偏微研究中的重要手段. 本书将在 不同的地方加以介绍. 这里我们采用De Giorgi迭代方法. De Giorgi迭代往往归结为如下的引理: 引理4.1. 设叭t)是定义于[从+oo)的非负非增函数,当 h>k�k。时满足 C

叭h)�

0 (h - k.)

其中a> O,{J >匕 则有 斗i(如十d)

这里

l

一 0,

d = C ;.[叭知) ]

(4.2)

, 且一 仁 a

2

(4.1)

·.

(4.3)

` {

, ? 一 . 可

证明, 定义数列

[cp(k)]fl,

d 七一知+d-� 2'

(s

0,1,2, ···).



条件(4.1)给出了以下递推公式 q,(k,+1)�

C

2::

1沁

(s

[叭k,)]fl



O,l,2, ···).

(4.4)

我们将用归纳法证明

( $ 一 0,1,2, ···),

叭 k,)� 迅炉 r'

其中r > 1待定.设不等式(4.5)对于

假设

礼,)�

C

2::

1)a

k时

k)飞当h>k时 [!cpllt z *�(h

应用引理4.1, 则有 A(ko

+



时.

— k) I A(h)凡

“ (CF。) IA(h)I� i"* I A(k.) I (h 一 k)

• lO•

当 k�k

亚动

P(,. -2)

d)

.l

, 当h>k�k。时.

一 o,

(4.16)

其中 d 这样



C和A(k。)



l

1

ess sup u�k +d¾k



!!皂 -1·Zic11 一 •>. 1

。+

CF



IOI

了1 一 .l,,

(4.17)



为估计从我们分两步进行. 第一步:由于 和A(k)I�! 因此只须取

心X

D

==

!lu((i•,





K �(2C) 飞 llu肛且心�sup仗, ctD 必有(4.15)成立.由(4.17)立即得到 ess sup u�sup u+ o ao

+

C

!lullL气co,+



CF IDI

1 1 百 一下



(4.18)

第二步:由(4.18), 我们知道“有本性上界,但我们必须进 一 (u 一 步去掉(4.18)右端的第二项.记M = ess sup u 一 J, V 一

"i) + . 我们将考虑函数

印-

1n卫-½:_s._±_ 互 M + s +F。 一”

(4.19)

了 所满足的方程,其中F。 一 F 。 IJJI 入 6 是在意正数为此我们取 l

l

检验函数

" 一一 E HKD 中一 . ·-- ------严二 ). M+

七十几





(4.20)

类似于(4.10), 我们有 a(u,肛使(4.15)成立.于是由(4.17) ess sup正至sup u+ ao

注意到M

一1



ess sup

+

矿一

+

(1一勺) (M

CF。心I

-1_-J n

-t-s+ 沁



sup矿与e的任意性,我们立即有 8D

ess sup u�sup旷+ CF c)f}

。 I'11

l

l

石一石



定理证乳 附注.如果关于L的系数的条件(2.2)加强为

芝 II b II LP(D) +芝 i

!!J i ll 让(D>

+

(2. 2)'

lie [ILp/a(!J)�A,

其中p> n, 则定理4.2的结论(4.9)中常数C只依赖于n,p, A/勺

与D, 而不依赖于凡礼

例如

J

的具体形式与l&J I的下界.

o, 我们可证明 {心妇+归D;cp + C 忖}叫

事实上,对于任意

IL

C

8

>



O n

t' 1

IDu(r,r)I�C[u]_

ER



(Z) fl是某 一 ”重指标,则存在C

一 C(n,a,p)使得

[D'十1u]. �sup[DD�u(x ,, r)]! �C [D fl十l u 1 a '



. (2.9)

T>O

(2.10)

l DD fl 小K表示关于工变量的Holder模. 其中Dfl十 证明. (2.9)是引理2.2与引理2.3的直接推论. 不等式(2.10)的第 一 部分是显然的.事实上对于l>O I D� +1 u(x ,1) - D�+lu(y ,1) I lz-yl"

�sup [D, 1 u]七 r>o

令.t-+O, 则有 • 24 .•



[D沁la�

[D沁比

+

现在证明(2.10)的第二个不等式.令y ==- x

k, A,u





u(x

h), 则 IDD位(x, 了)一DD位(y,r)I IDD只(u�.A.,,u)(x,r) I ..........__...--._,,,, IDD!(u 一 A 矗 u)(x,r)t�C [D 8+1 (u 一 A 矗 u)lo,





最后的不等式应用了引理2.2的(2.7) (当K 此立即可得(2.1 o).

§3.

位势方程解的

2

c ,a

+

一 1, a= 1时).由

估计

由§2知道,关于解的Holder模估计可简化为其磨光函数 的微商估计,因此我们首先需要位势方程解的微商估计公式. 引理3.1. 设u€ c•(R•)且满足 一 Au 一 I, 其中A是Laplace算子,则对于任意R > O, 我们有



ID;u(元) I�- osc u R环(雾)

+

.(i

R sup I/ I BRcr>

(3.1)

这里osc u表示”在9上的振幅. 证明.不妨设工为坐标原点,并记F



,

叩 (D

心心 一 \ aa

_ p彝



I

-沪 另 一 方面

J•.

A(D;11)d:r

,.



8p

.

-

t

足0

。 一 sup I fl. 由Gauss公 BR(d

妞坚心 Br

1 a·-v-·I;; lp'一 f 劝 iw,=I

一 1,2, • ••,n),

(pro ) 如 D;11ds].

Au cos (r, 尤,)dS ., 2,,- •

,.. - !

jcos(r, r;)dS.

联合上两式,我们有

I..

士嘉. [产



D;uds].,.; nw.F

。,

其中o霹是“维单位球体积.. 不等式两边关于P从0至 到 士

r 积分得

[r•-• ts, D;utlS - nw D,u(O)] .,.; nc,,平 彝

不等式两边同乘以r 广l 之后再关于r从0至R积分,则有 士

整理后得

[t, D1u心



心(O)I.,;: RF。十1 .;;; R几十

心D 心)

1�

心丸

左扫炉叫

1



�RF。十工。 SC R B

If ••• 关于x, 口微商两次后得到 -.6.D屯 (x,-r)



o.

D芍(x,r) 应用引理3.1(限制上式vi 为DD 怎 ),则有 IDD汪(x,, t') l 冬 C {�osc DD改江) + R sup ID节1} BR 心 R BR(Zu>



�C { _!__ 一 [DD :c u]: +'R sup I D2g I• RI ” BR(zo> 我们取r�R, 应用引理2.1与引理2.3的推论(2), 则 1 ” 一1一0 了 sup·I ti 产 "IDD泣(xo,r) I�C 一 。 [D丸+ R-r ' R

(— 一



BR丘(叩

)•

现在取R Ni-, N待定,又应用估计(3.5), 则 一 廿勹DD泣(x0 ,r) l�C{Na 1 [D2u 1 a + N l+a l/l ai}• 应用引理2.3的推论(1), 则 一 [D2u ] a �C sup r 1 fll JDD泣(允o, r) I 1'> 0 1toE'R 11

�C{Na l [D 切 L + N1 + .. [几}. 一

一I

选取N充分大使得CNa

_!__, 则得到所要的估计(3.3). 2

..., _

我们很容易将此结果推广到常系数椭圆型方程 D;;u 一 I,

-让

(3.6)

这里遵从求和约定.假设常系数矩阵(a;;)满足 1

,t I�1 2�a 1 �;�; �A_I汗,欢ER•,

.

_

(3. �)

其中A�l > O. 定理3.3. 设u E C�·"(R 娜 ) (O 0时,

Lt

一 �C[R0 1[DD 怎 1t1 ]0+ R-r-2 sup 与定理3.2的证明类似,取R 分大,则有



L

一 Ni-, 利用引理2.3, 然后取N充 BR+I' o, 一 a'iD;;z + b'D;z > 0,

在9内,

则关于切的微分不等式(6.4)就化归为(1)中所讨论的情况.不妨 设9包含于0 l, 可测函数称 ZJ1.t

为属于弱L'空间(记为L!,(Q)), 如果 inf {A I邓t)�,-pA P 冲> O} < oo.'> (1.4) 叩心 (Q)



. .., .



这里需要注意n·11 L1�(JJ> 不是范数此外L!(D) L气切, 事 实上由于llf心一inf{t\l凡) = O}, 因此当t�\)fl匕时儿位)一 o, 当t < lllllc:io时加) > o, 由定义(1.4)则有llf II 心一 Ill 11£ ID • 此外可以证明 (1.5) L'(!J)�L!,(D)CL9(0), Vq < p, q�1. 事实上对于IE L P (Q) r·· 由(1.4)

r'meas.A.,(f)�

, :,,.';



L.

lf(x) I Pdx�1 [J·. 1/(x}l'上

lit I L , �Iii II 止 又如果f E L!,(D), 由引理1.1(1.3) u,

J

/1

If If心一 q �q

CID

f f 可A,(f) I tlt

J>·-! A,(t) 0

冲+贮,•-•\ A,(f)由

�q I D I + Ill II {t, q



J: “ 五 一


O使得 IT{f + g)(尤汁 �Q(ITf(元) I + ITg(元) I), . ·: . · (l.6) Vf, g E L'(IJ), a.e.D. 拟线性映射T称为强(p,q)型的,如果存在C>O使得 IITfllLq, Vf E L'(D). � . , ·...,_:

,宁O(Q)

. i3r

IITllc,., 》 一 sui HTf tli.q/ lff 11£,,,. E: L

T称为弱 s} .,;:; meas {x E !J I I T f心) I>

+ meas�x E O 11 Tf心) t,> l

._

\

.

如果q < oo, 由(1.7),(1.8)与(1.9) 我们有 压(s).� (2QB 汇妇l_ sP 又由引理1.1 j11

ITf\'dx



+

. -�. . 七. �. ...` ,卜...

吵 _.一$

(2QB 况凶 . s'



+

!'

lfl>1',

0

lfl'dz

叶: ,,-, 一'ds L, .... IfI•.r.

(2QB,

(2Q /-? 冲 十 (2QB9

(l.�)



)�rs' •1 心) ds

�(2QB ,, 叶气 rs 广 广,叫'、





i

Q



If I 中 11

r,1/T 0

-

户劝

1

,.`

..

'

• If l•dr} lf1/1',-d . .... ,十 1

.•

尸 宁

.. 45•

-[毁必丫 p一, 十三r• r



Y





p

q

r



喟D

lfl'd 石

(B�B ;t)•i�C T II



!

00

定理证毕.

§2. 分解引理 1 引理2.1. 没f�O, f E L (R 爆 ), 则对于任意固定的 a> 0, 存在两个集合F与9使得: (i) R" FUQ,FnQ (ii) f(x)�a, a.e.F,



u

欠== 1

Q .t'{ Q .t}是两两不重叠且边平行于坐标轴

的立方体,满足如下估计 o< 其中

扣阳) dx�2 飞

(k

一 1,2···),

(Z.1)

加心一忒加扛

证明. 分解R"成等立方体网,其边长如此之大,使得对于任 意这样的立方体Q'都有 • 1ft•

王乙

(iii) {} -

一¢,

七 fdr�a. ,这是 一 定可以做到的,因为JR•/(X)心有限.将每一

er

又等分

成2• 个新的立方体Q勹此时可能出现两种情况: 情况1• 情况2.

t

f

O"

Q"

f d�

�a,

f心?>"`,产

当第二种情况成立时,我们选择这样的:__Q"为引理叙述中的立方

体Q ,t 之 一 ,对于此立方体,(3)显然成立,因为 a

< ,, fdx¾



2



.\Q'I

fo ,

fd:r�2飞.

如果第 一 种情况出现,则继续剖分,直至情况2出现为止,然后定



义9为上述步骤中使情况2成立的所有立方体Q ,t 的并集,而令 F

R•\IJ. 这样,断言(i),(iii)显然成立.现在证明断言(ii).

对于任意“凡必存在这样的立方体列 {Q 扣·-,, 使得 rE 礼IQ,1--+0, 当�-. CX) 时 且对于每 一个

Q,

第 一 种情况成立.由于f可积,因此

i

/($) - lim -,;,;1 —- -·_ f (y)dy, a.e.-i.

, ... I Q,1°,

由此知道

f( 元)�a, a.e.P.

引理证毕.

由引理直接可得到

•. ; 炉

ID I�-1 11111 凶记).

事实上池(2.1)知

. 子

·

101 - .',E 如<笘 "• 1

�L舟 '""气- 11,n山记).

. ., .

上面的分解引理是属于Calderon与Zygmund的,它对于奇

}异积分算子的研究是十分重耍的,而且已成为测度论证的基本方 法(参看第六章§2).

§3. 位势方程的估计 人们熟知,Laplace方程的基本解为 I'(x)



(3.1)

f(x - ;)f(�)d;.

(3.2)

1



lxl

n(n一 2) 也,

1 一



2

一对于f E C ;(If;)·, 考虑以f为密度的Newton位势

i

气===

满足

Rn

引理3.1. 没f E C0(R汃则Newton位势w E C 00 (R")且 ,-Aw 证明. 将(3.2)写成 叭x)



00



1

(3,3)

J, Vx ER•.

R,,

f(;)f (x - {)歧,

不难看出"'E C (R"). 应用分部积分公式 A叭x�



--i )Rn

f(g)A臣-�)兵 R

n

压 (x)

- lim 邕

-+O

8�;

8�;

L,,.., v, C;) 如 r

- -,:丹 再 一 次分部积分后得

旦 r(g)且臣-

I

Iii==•

从r(,)f(x

上面我们用到了Af(的一0 (当

l;I



;)d;

(x - g)Jg,

�)立tlS.

l�I

9;= o时).由r(�)· 的表达

式(3.1), 不难计算上述极限得到等式(3.3). 现在将( ii) 写成印 一 Nf, 其中N是C0(R•)至C 00 (R•)的

线性映射. 对于固定的i,j(l�;,;.�n)定义 多节·

其中加表示微分算子 的线性映射. 引理3.2.

Tf



, 8x;ax; 守

(3.4)

D;; 对,

潭 T也是由 C0(R•) 至c-(R )

T是L 2(R")至L 2(R")的有界线性算子,且 (3.5) IIT lb,2, �1.

证明.先设f E C0(R露 )油(3.3), 对于任意球肛



w LR f'心一!BR心) 2 =�L. D;; D;;wdz,

B从0)'

对上式右端两次分部积分后得

上R f'dx - LR 匀 (D叩)沿 干 -D 叩 + j R�D,w(D;;w R 叩

BB

现假设

I

的支集sptfc B Ro , 对于R > 2R。,当x E aBR时 也叫�J

ID 切 I�J

BR



BR



ID;T(x气) II 阳)

此等式蕴含墙

JR . 习

1 必勹胚

C ID和 - 切l阳)1农21息 1 忒芯 其中J只依赖于“ 墨

• 鲁9 •

证明. 利用中值公式

!

I Di;f(X -�) - D凇),"

l:r 1;;;.,,21 t·

¾l

I z1;;;,,21仑 1

±!D; 九 r(x一区) 11 ;, I心, ot=l

其中O

叶� �J!lfll

利用(3.16), 我们有



切 (f)�I沪+ meas { x E F* I I T扣) I>

�(41

+

O使得 a;;g ;; ; �.t I f I飞\/xEO,gER 籍 ,

习 l!a jj ii

仁('1)

+艺

a;; EC (ll)

!lb; !IL 气 SJ)

(i ,i



(4.3)

+ Uc IIL °" cD>¾A,

(4.4) (4.5)

1,2, · · • ,n).

这里的估计方法与Schauder内估计的方法相仿. 引理4.1. 设方程(4.1)的系数满足(4.3)



一 (4.5).

则存在仅

依赖于n,p,A/l与a;; 的连续模的正数R �1, 使得对于任意 0 < R�R,,如果BR 仁 Q,uE W沪(BR),l



s;; C

{_!_ llfllLP(B > + R-1!1ul1 入

R

让(BR >},

(4.6)

其中C依赖于n,p,A儿 证明不妨设入 一 L设趴的球心为石.用凝固法将方 程(4.1)写成 其中 }一f • 54



一 a ii (x。) D;;u 一 f,

+

(a;1(尤:)一a ii (x0 ))D;;i.『- b;D,u 一&M•

(4.7)

关于常系数糙圆型方程(4.7)有类似于定理3.6的结果,飞比 ijD 1 u.:L,'¾C !!fiJLt', (4.8) 其中C只依赖于n,p与A/ l ,..l = 1. 记a;'的连续模为 w(R)= sup Ja ii (x)-a ii (y)I. (4.9) l Yi..;;R t...;i .;...,;;n 由假定(4.5)当R _.. 0时,w(R)� 队由(4.8)可得 II 庄 ullLP�C { llfllL t, 十 w(R)[ID切胪+ !Ju胪叶. 1 取R。> o, 使得当O O}附近为零,又满足方程 则

一/::,. u 一 /,a.e.B:,

(5.1)

1lD2uJI LP(B炉 �C 11/1, •11,.PcB;>'

(5.2)

其中C只依赖于n,p. 证明.令 ,., 一 u(x'凸),当:r. �0时, 一u(z', 一心),当x },

(S.4)

l

其中C依赖于n ,p, A/ l, dist {!J',aSJ\S}以及a;; 的连续模. z

最后我们可得到 w 鲁P 全局估计. 定理5.4. 设砬属于C出方程(4.1)的系数满足(4.3)一

(4.5). 如果uEW气o)nw沪(D)且在9内几乎处处满足方程 (4.1), 则 2

llu!I w ''c1J>�C

{_!_l llfll

让 cD>

+

llull 让 CD)},

(5.5)

其中C依赖于n,p,A/l,D以及a•i的连续模. 这里我们必须强调,

w 2 ,,

估计依赖于砂的连续模,因此在

应用时必须特别小心. 附注考虑非齐次边值条件 u 其中

cp



中,在迎上,

(5.6)

E W攷D). 如果u E W2•1(IJ), u 一 q, E W�·"(O)且几乎 • 57 .• ,.,



..

'

处处满足方程(4.1), 则称 U 是Dirichlet问题(4.1), (5.6)的解(或 称为强解). 如果记

Jlcp II w2一7,•t-= inf{j] j E W 2 • 心),

+ lluNI] 让(D)), 其中tJ'c 仁 !JU�,c与N无关. 由估计(6.1),对于任意N·,N', sup luN - UN'I�sup lq:,N -中N''• 因此 UN 一 致收敛到某一函数u E C(D), 又由w 2 ., 内部估计 与对角线序列法,{u对可抽子序列在W,�双!J)意义下弱收敛 到u, 因此uEW诏(JJ) n C(D), 引理的结论由(6.5)可得到.



现在考虑椭圆算子类 豆一江IL a叮)ii+ b i D; +

一一

满足(4.3) 一 (4.5),c�O}, (6.6) 其中(4.5)改成: l:c 翌总忖心)一a ii (,y)\�oo(R)(l�i,i� 立 当

R-+

C

胪时,叭R)�o.

1 定理6立如果对于任意LE立,otJ E C '1, Dirichlet问题 (4.1),(4.2)属于W2 •P(Q)(l < p < 00)的解都是唯一的. 则对 � ��1

于任意有界区域Q

,atJ E C汇间题(4.1),(4.2)的解u E W 2 '11(0)

必有估计 C

!lu\lw1、P(Q)�- Hill 让 (Dh A.

(6.7)

其中C只依赖于n,p ,A/l心以及w(R). 进一步可证:如果/ E L"(SJ)(l < p N

+

\]uNl] 让CD>}

+ C,

其中C与N无关,当N�2C时,则有 II uN !lw1 ·P�C. 因此存在IIN 的子序列在w 2 ·P(O)中弱收敛于某函数uE 2

w · 心), 同样a如妹,CN与坎也有子序列满足(6.2), 由此不 难验证uEW叩 co)nw尸(iJ)且满足Lu 一 0, [lu加一1'但 由定理关于唯一性的假定,上面事实是矛盾的. 于是(6.7)得证. 其次证明W

2iP

解的存在性. 同引理6.2证明的第一步一样,

考虑近似间题(6.3), 由于 ao 属于C心必具有外球性质,因此由 第二章定理7.2, 问题(6.3)存在解UN E c 2 ·�(iJ) n C (.D). 我们需 z

2 要证明UN E W ''(iJ), 那时可用w ,p全局估计,定理的结论垂

手可得. 为此只需证明压在每 一 边界点附近属于wz 人设工” ao. 由假定 aD EC沁设 V 与中是第 一 章定义5.1中的z, 的邻 域与映射. 我们可以磨光oBt的角点,因此不妨设8Bt充分光 滑. 令y一叭(%), 记UN(-y)一UN。心-l (分, 则沁满足方程 一政D,心+妗Dr沁+ cN 如= JN, • fO•

共中 砍一a 卢少丸,'6; 扣扣 CN

对于q





z==

i a�fy, 朊祝

CN呻飞fN

=压 O

+ b 豆杻

贮.



max{n, 叶,伈E£i(Bt), 由定理6.1, 引理6.2, UN E

w2 ,q (Bt), 变换回变量x, 则压在x。附近屈于w 2 飞因而

属于w 2 .,, 这就是我们所需要的.定理证毕.

虽然定理6.3巳经得到了w2 ,, 解存在性的结果,但它是在唯 一性的前提下证朗的.当p�n时,由于有定理6.1, 可解性I问题 巳彻底解决了,但当p'其中q为任意�2整数虽然计算较 繁,但基本思路是Moser迭代 • 6ti •



(1.12)

中取检验函数中



妇 UJ 内(q�1), 其中CE c;;(B石),则



;B汀

妇切卢a;iD;wD 叩 ¾2q \

.'B..,



'五1 2 � 一炉D;吵; 1.."11 dx

(1.15)

_ .. ,

十}如u尸a ii D;wD心dx. B(I

., 1:."..

利用Young不等式

2q \ W \ Zq 一I � 2 q - l泸+ (2q)归, 2q

一,' �

于是由(1.15)可得

上\尽a•i伍卢D;wD;w�(2q) 2 叶砂 D;wDi�di Ba 2q Ba 十

勹 4q

+ 4q

I

C

2

Bu

l a i1 D;wD; 切心 I 切勺 '

Bu

i

.

'

'





;,

吵上D;CD沁心,

整理之后并应用正定性条件(1.2)与估计(1.13), 我们得到 A.

j

B (1

,2 I 切 \ 2 "!D砂dx�CA(2q) 勺

+

I 6Aq'l

Ba

(1.16)

凇丙ID 奸dz,

其中C与q无关.对于B�l,r>O,o+r¾ 行取从工)为关 于凡与Bo+� 的截断函数,即

!;EC;'(Bs+'I"), O�{�l,

.

I

,



.

3

2, '= 1当xEB�, IDCI�---,--., t'



注意到(应用Cauchy不等式与Young不等式) 2 ID(和叫 2 ") I�2q和叭 Z f甘D-\w I I + 2?;1Dtl lw 1 ' �,2 1切尸叶Dw 12 + ,2c2 1 w I 2q-2 + 4-r-l \·IQ心 2 2 2 ¾C2 lwJ2tJDwl2 + ?;2 \11112, + , q , + 4-r-1lwl f; 则由(1.16)司得

I..

ID(甘lw户) I d.x .a;;; C (2q) 2 • +

c .. --.,. J•.



. ., .

lw l 2 •d.r,



其中 C只依赖于 m A/l与(a - 1)飞





忙-=

n一 l

Sobolev嵌入定理,则有

(J., iw 严心 ) 取 q;

¼

,s;; C(2沪 +c 心忆

一 K. , 。 一 a,lJ; 仁1

8

a-1 0;_1 -一 i

-==-

(\

两边同时开长 ;

¼

2

�C(..)•o

n

2 (1.2)' a;(x,z,11) 11 ; �l11 l 2 一[µ(z - k)+J -旷, -b(x,z,11)sign z�A[闭+µ(z - k) + + /]. (i'. 7)

则定理仍然成立. 附注3. 如果结构条件(1.2)改为 a;(x,z, 心.,,; �I.,, I ""

- g"" ,

其中i-> 1, 其它结构条件、弱解的定义作相应的改动,那么也有 类似的定理成立. 以上附注请读者作为练习证明之.

§2. 有界弱解的Holder模 估计的方法类似于第四章§1, 但是这里所讨论的是相应于非 齐次方程的情况,此外在结构条件(1.3) ,(1.4)中我们可以看到b 关于凡的增长阶比I叭高一阶,这种增长阶条件称为自然结 .. 构条件,因为不符合这种增长阶条件就存在相应的Dirichlet问题 无古典解的反例. 定璞Z.1. 设方程(l.1)满足结构条件(l.2);(1.3)与(l.4)'

•,a'

u E W 1 ·2(B心是方程(l.l)在凡上的有界弱解,对于某q> n, 设 2一 l 一三 (2.1) F R f IIKIILq 十 R 气 lit + g2 lJ£t < oo,

。-

则对于任意p>O, .0

,, .

[f 压 由 叫,

l

4 m上l

..

o, 使得对于任意0e-A 飞由弱

(2p+l}e-Au]

(lD叮+ f)芍



(2P+1)e

一 Au dX.

然后通过与定理2.1类似的计算可得对于任意p > ess

·�r

即 ess 1�: u;::,,

一 五 •,;,;;; C

囚 矿叫\

¾凡 ; 叫

;,. ½ 甘



B,

u-•dr •

!

o,

-}

B,

U•d r

-t ]

u

矿 dx

i

]

与第四章定理1.3相同,为证定理,只须证明存在p卢>

炉 olwldx�C,

其中w



J

fJ - lnu, 现在取检验函数 Ba

口开D叮dx
1, 取{(元)为BR(动上的截断函数,其中R=- N飞 仁(心满足

c E c;(BR(心),知a) 一 1,

IDtl


det(-D切dx.

啪九,a;;; :

在上面取极限过程中应用了

det(-D'u)d

平.

Vm 心在C(立)上收敛于 tis'

(12 6) 这是

应用Sobolev嵌入定理的结果. 注意到rts crt并在(1.26)的

左端令8--...0, 则有所要的估计(1.20). 现在我们来讨论椭圆型方程 Lu 一— a iiDi;u + h;D;u

假设系数满足以下条件:

+

(a i )�O, 在9内, i

江卢 I



L (D)

C�0, 在9内,

cu



,;;;;

t.

(1.27) (1.28)

B,

(1.29) (1.30)

其中勿 * 一[ det(a吟]飞 先考虑如下的特殊方程 L u 一- 让D;;u







,.

定理1.8. 设 u E C(D)n W识(tJ)'

L u�f, 系数a ii 满足条件(1.28), 则 • 104•

(1.31) 在9上几乎处处满足

骂p

u (s),,:;;;;

j+

d

s�f u (元) +�11-�\\口(中,

(1.32)

其中v = u - sup u(x). elf}

A



证明. 不妨设不等式(1.32)的右端是有限的. 现在记矩阵 (a;;), U (-D切,由引理1.1'在几上几乎处处有 u�o,



应用算术平匀值与几何平均值的不等式,我们有 -a ii D ;ju

1

= Trace(AU)�n [ det AU]• =n 勿 *[det(-D 2 u)] s , a.e.x Er九

因此在ri上几乎处件有

冗· det(-D 2 u)--c:::::

l "纫 *

f十

[—沪D;iU] < --. * "勿

应用定理1.7立即有所要的结果. 最后关于方程(1.27)我们得到如下的 A leksandrov 极值原 理: 定理1.9. 设 u E C(fJ)n W记(Q)满足方程Lu�I方程 (1.27)的系数满足条件(1.28),(1.29)与(1.30), 则

叩 u ,,-;

s荔r u

+

+ c\l

卢t

气 r,,

其中C只依赖于n, B与diamfJ. 证明. 令v = u 一 sup u飞由于Lu< a!)

-砂 D;;v�-b;D;v 十 l 其中b是向量(b '护,

(1.33)

,

I,

f�I Dul lbl

则在

+

r:

上有

f+,

•,h"). 应用Young不等式,可得 一1 --T -. , ] -让D;it/�[ I b I ,. 十µ一 "(f +)于[!Dul 口 +µ. IO



其中µ是待定正数. 记 g(p) 上式可写成

一 [}pl ¼

II

亡l

+



·

IJ

"'亡 ]·-·,



1 啊

一砂D i ;u• [g(Du)] �[ I 6尸+尸矿) ] .

(1.34) • lOS

11

先设uEC 2 (!J), 由引理1.4

忆;)

g(p)dp ,;;;;



L:

g(Du)det(-D'u)dx.

一 sup v(x)今M, 如果x。 E iJIJ,

此外,必存在x E !J, 使得叭Xo) 则M

一 o.

(1.35)



现在设r E O, 由引理1.3 (2)与引理1.5, B旦(0)cQ[x0 , v(x。) Jcx(r;).

又注意到 g(p)�2 2



"(I P I "十矿)飞

因此我们有

巨)

g(p)dp�) B,i



(O)

尸(IP尸十矿) •Jp

一 2 飞 In [1+( 叮 d ]. 2

,,

又由(1.35)则有 ln [ 1

+卫).]� 立 I rt g(Du)det(-D切dr. 叩



(1.36)

类似于定理1.7的证明方法并注意到g(p)的有界性,可知上式对

于uE W记(0) II C (li)仍成立. (1.36)与(1.34)

类似于定理l.8的证明, 由

In [ l +心).]� 巴 1,: g( 加)[一:芦;u] du 玉伈[志尸µ凡.(么)·1,.,, 彝

如果1 + .i.

于是

o,

则令µ

心 M

• l06•



�exp 一

I 上-



}I

芯丿





此时有

[11, I J 彝

I f+ ; I s�p v(x)�Cd· Q

i 云

+I

仲}- I,

气 ,: ,



如果f



o, 取亿> o, 如同上述运算,然后令p-+ o. 定理证

毕. §2. Harnack不等式与解的Holder模内估计 我们将仿照散度型方程的De Giorgi-Nash估计的程序,先 建立局部极值原理,弱Harnack不等式,最后导出Harnack不 等式. 为计算简便,我们只考虑以下形式的方程 Lu = -a iiD,;u 一 儿在9内.

(2.1)

假设系数(让)满足 一 致椭圆型条件: ,1. > O, A几E;; r, Vz ED,

(2.2)

ii

其中l,A分别是矩阵(a (名))的最小特征值与最大特征值, T 是某 一 正常数. 定理2.1 (局部极值原理). 设方程(2.1)的系数满足 一 致 椭圆型条件(2.2), u E w 2 ••(!J)在9上几乎处处满足Lu�f, 又设//2 EL 霜 (O), 则对于任意p > O, Bu(,,)cD, 我们有·

郘 II..:; C [ ••!,., 111 K(i_i,· ·.. ,i.)I, I K(ii,• .. 心一1) (1 r I�tJI K(i.,·.. ,i. 一 1)I. . 由几的定义,则有K(i1 , · · ·,i 雇 一 1)cr,. 于是 几全

U Ker,.

fCEI

此外由(2.9), I几nr1



I

�IJ

U (Kn r)t KE, 艺 JK!

Kft,

.·f, 又设f/1 E L•(Q), 棹 在B叭y)CQ中非负,则存在p>O,C>l使得 霜

[ .)., I u\• 心 1 1 ,,;;;

1 t,, u + R 11+11口

C [ 忱

(2.10) (B,a(YJ ,

其中p,C只依赖于”与兀 这个定理的证明是相当冗长的,我们分为五步.

一 ?立二立,我们不妨设y为坐标 户 标变换 第• 一 步: 应用坐 • • 2R

原点,2R

一 L记

" - "+ 11+11

·

r

L nO, O 只须取 {J

LtJ�I gl



时,

__

丫· " I > 2 2a.

则有L 71 �0, 这里我们应用了 一 致椭圆型条件(2.1): A/-1 于是由(2.13)在B 十

fl

< T.

{x E B i , 叭心> O}上

+ 4/J'A

十·�;(节) X(B扣

其中X(B a )表示B。上的特征函数. 注意到

, . 1 � I 1 IJf IL B > 气 1

由Aleksandrov极值原理

sup-v�C[l B1



llv 十 fl

L 霉 CB o>

],

(勾“

其中C只依赖于几九o. 为了应用测度论证方法,我们将球转换为立方体, 由(2.15), sup v�C [ 1 + liu + UL•] 邑1

�C[l+IK:I

1. 霄

其中立一{x EK 山心> O}一{ r E K. f u

sup v], .IJ,

+ ti

“ 古,.

< 1 } , 如果 • 111•

一-··-·一, .,.,, ,..,,. ,

1

鸟�8全

芦!Kai

1 K.1

(4Ca)•

则 sup "�2C, Bt

即 inf (u B½

+ s)�J_.

(2 .16)

C

注意这里的C只考虑其依赖关系,而不计其大小. s__.O, 我们得到以下结论: 如果 IK 引 �fJ,

在(2.16)中令

IK 』

其中立一{x EK卫�1 }, 则有 inf u�C 飞 斗 现在取8 引

x_t

K 一 l - f ,�- -兰,显然 n ,./ 6 J



I ](!I

由上面的结论



B1. 则当

lfC1Kal�

I ,;.\Cr n 凡) 1-�BIK.I.

inf u

K归

坛仁

;;:: Binf u�C 飞 令

这就是所要证的. 第二 如果 ..步:对于任意正整数m, . 则

ir nKCII� 沪 I K(I I'

c-- ' · inf u 。 K

;?;

(2.17)

.. .

-

(2.18)

其中C是第 一 步的结论中所确定的常数. 当m=}时,上述结论显然成立. 采用归纳法,设上述结论对 m成立,要证它对于m+t也成立. 现在设

z

It



. .

• ll

tr nK.. I�lJ 咖+i lK.I.

(2�19)

记兑一尺与

几一U{K.J心)

n 岛K心) c 兑,

I rnK 心) I� 引 K,. (3')[}.

由引理2.2, 则有

ra = i C

一1

Ta

如果八一 m). 如果

(2.20)

.

K。 一 凡,则(2.20)缰含着(2.18) (以m+1代替 1rnR。,� 引八 I , 记 Cu, v满足方程 tJ



-a ii D尹, = Cf.

由第 一 步所给出的记号 V-

又记

f

V



I 啊让CB

,>·

一 c;;,

一 {x EB拉�1}, (2.20)意味着 r8乙入

因此由上述事实与(2.19),

1tn和�I 八,� 上 Ir n和 lJ

-凸 f nKal lJ

6畸 I

K"'!

一沪

I

和.

由归纳法假设

inf v�c-•, Ko



inf"�c-< +u. 啊

Ko

...

第三步:记 I' t一 {z E B1 I u(:切> t},

(2.21)

则存在C>l,µ.>O使得对于t>O有估计 • 113•

C



.

,,..

' �·

. ,.,,,,,.

• ...

I B.n r 丿 ,e;;c\B Ir�·-1 "





inf





(2.22)

t

其中C与µ只依赖于n, 兀 令,

,由第一步的结论中所采用的记号,相应地有;; =

一?

uf,, 记

巨刍扛EB扛(x) > 1} = r,, 如果!Banr,I o, 则(2.22)是显然的.现在设IB"nr,i�o, 则必存在正整数m使得 "'一1 沪 !K a i�I斤K a i�o \ K a i, 即 。1 ln ·一, .一 -• (]n8)-1�m�l + In If 门 Koil • (lnlJ)飞 iK,,. I 因 夕;>/ 由第二步的结论(2.18)



rrnK

inf v�C



k卫

"'�C 一 1

i巳“ 一 ln8一 1 /lnC, 贝O

[

l " lnr

I 和勹K,J i

r;:;-;r=-

I K.I

IT,UK« I�(C infi,)P.IK a l. Ko

由此不难得到(2.22). 纾归才:证明存在

驴 I'dx]

}

,;:;; C

由第三章引理1.1,

}酝

1> > 0

ju/P 心一 Pj-

使得

(tf u十五“心)).

(2.23)

,,-•1 B !l rt r t I dt

-寸, 广 1 JB

-x

nr,Jd,



p

J�勹,可 B

tt ()

T, ! dt ,

其中b是待定正常数.在上式右端第二项中应用第三步的估计,我 们得到 • 11 令·

仁 lul'd.r,;;; P 『 f可B.I dt + p�Cm:i l B.I尸劝,

其中m

。 一 inf u. Ba



取 p

0



J.

µ/2, 则

lul'dx�b 1 IBal

+

取b =- C忐西,则 \B.

I ul'dx¾2C m� ¾ 2C 台



第互枣:利用覆盖技术证明

[4

I ul'd"] 古 ...;; C

Cmg'b-'IB .. I.

(tf u + 1l+IL.•}·

(i卧 u + 11+ IL , 它将在后面确定.现在构造闸函

这里门荫足Ix 已兄

"(劣)

1 一 一—

r'Ix



,1,,

其中?是待定大正数.容易计算 Lw

立_ —沁_ 一 a;; [p(p + 2)位�lz y_;)(x; yJ•+z] PI 工 一 ,1,+< _



凡 �. x一yl , ...1..• (p+ 2



rn),

上式应用了条件(2.2入取x, 的邻域 ._Ar, -

o n {,
丫n, 则在4气上 Lw�

YI < 3r}.

2凡 (3r)'+z•

(3.2)

,现在在J广,上考虑辅助函数 ,,(髯:) .... K切(箕?)一(11(:c)一u( 元o)) + (6,) 0 [ 山1 ] a ,8.K,.nlJD t 其中K是待定正常数.由(3.2)

L• 气芯� +2

• 118•



气) > o,

(3.3)

i I

如果取K > 3,+2 l_ I 入

L "°

尸飞此外在叮顺吐 叭:%)�o.

如果又取K > 4r门u ID'则在 心�K

a方,na上

灶-护- 2Jul 。 �o.

这样由Aleksandrov极值原理,当

。, 3

K ;;;,, r 1 max { 4 I uI



时在J飞上有叭x)�O, 即 叭幻



·/l+!lJ



u(x )�Kw位) + (6 r) "' [ u] o:,B.KrnBD

O,OO与

Ilg 11£"l,Ol,O o, 记柱形区域 BR.� =- {x 11 工 'I < R,O < x. < IJR}, B:



2''



3 6R {xllx'l 0使得 工亢

, 11,,

昂t.,;;

”十 Ril+』�,B:>). 2 (�罚

(3.19)

为简单起见,我们可以规范化,设 R=l, 入= 1 , i inf o·, O < p < 1使得对于 任意石E8D

文。

SC

D田 �CR,, VR > O,

其中fl, C依赖于n, 如 I"!, A,.儿Mui 中 h 与 i=1 BR_(�。)

其中

(3.23)

ao.

证明.首先令尸一 ” 一 如u满足方程 一 a'iD;;v 一一 a ii D 时) + F(x,u, 加,O),

设石召泣,

a il 一

『庄 (x,u, 加,-rD u)杠 ar;; 2

由于沉"1 E C 2 , 0

我们可以通过一个c 2 微分同胚将

沉}在 Zo 的邻域展平,并使 x。在9的邻域映为Bt, 由上面的 Krylov引理 [Dv] 111stJBf n

�c.

现在映回原区域D, 并应用有限覆盖定理可得 [ Du l 11 ;Bl1�C. 歹

类似于内估计,考虑函数

• 138•

(3.24) 、

叶=(-1) 0 D1u

+ s 芝(D心2

(l

i=t

=:a

1 , 2, · · ·, n; 0 = 1 , 2). (3.25)

在引理3.2中巳证 fJF 一一—D;;叶�Ce 儿 (1

a吓

+

ID叫中).

由引理1. 又对于任意石E 80,r ED, 叶(心一叶(x。) .;;; c.1x一X产

(1

+孚[叶].,aR).

由叫的定义与(3.24), 上式蕴含蓿 心(:c) - D1u(z。) l-2sM1

�c.Jz对l求和后,并取s=

文 ID心)一Diu( ,)I 允

i -1

m气



1

—后,则有 4nM1

文 ID,心-加(动 �Cl 尤

l•l



艾• I 击,

0E BD,zE D.



由此立即得到(3.23). 这样由定理3.2的内估计与定理3.S的边界附近的估计,我们 可得到梯度的全局Holder模估计,即存在C�l,O X:1 在点(u, a) E X1 X 2的Fr 七chet导数记为G, 对于任意 hE Xu lE�, G:� � 凡称为G在(u,rr)的Frechet

偏导数. 隐函数定理设Xu�,X1是实Banach空间,G是由X心2 的某开子集到凡的映射,对于(uo,ao) EX1X2,G满足:



(1) G[u., o]一=

o.

(2) G在[u。,叫的邻域可微且其Frechet导数在(uo, uo) 连续. • 142•

(3)关于U的Frechet偏导数G�u�,a。)可逆.

则存在q在 户

2的邻域丿户 , 使得G[u, a]= 0对于每一个aE ..A 可解,即 对于每一aE .A户 ,存在Ua 使得G[ua , a]= O. 现在记 F[u] = F(x,u,Du,D切. 定理5.1. 设FE c 1 (r)且满足结构条件(Fl), 如果对于 某O n, 则u E C · (B忒句),其中 8





1--,



但若p�n, 则”并不 一定是Holder连续的. 关于Holder连续性的定理告诉我们:

但是Morrey的

定理1.1 (Morrey入 设u E w 1 ·'(B从句),p > l. 如果对 VxE B从句和Vp:O < p < d(:t:) R- Ix 一 z出有



忆•> I Dul'dx..;;; C (右厂,.

0 < IJ < 1,

(1.1)

则对Vr:O n时,L'•,.(!J)

{O},

(iv)若p�q, 且立二!!_�.!!_二卫,则L4•"(0) 已 Lt• (D). p 'I 卢

证明(i)显然. oo (ii)若正L (!J), 则 ,

ilu II .J..P'•�C \\ul\LP'µ n

+ p,

则豆p,µ(Q)一{常数}. 0 证明.首先证明:如果 uE C •'(fJ), 0 < 8 < l, 则



11E

幻· 凡 (JJ),µ=n+po, 且\lu\l !i P' 汽 D)�C l\ul\c: 叫 s,. 这里Uu\lc"'­ u归+ [u]o,8;!J (参看第二章定义1.1), 为书写简单起见,下面

我们常用Iulo和[u]o.i分剔表示l ulo心和[u]o,&:D• 设uE C 0 · 6 (D),O < o < 1, 则对Vx E JJ, Vz E Q(x,p), 我

们有

-i

仁 I心 l中) - ..... , �_J I Q (X, p)'., JI(ti•11) ¾--1;,

一霹

f -"'«,,/ u J••• I "





叭t)IM



• 171•

f

�C[u]。, fJ Zp 心-1dr 。 Ap 露 �C (n , A, o) [ u] o, 矿, 因而有

习 Q( ,p) l心- U ,p/Pdz�C(n,A,8,p)[上产曰 一 C(n,A,o,p)[u]沁, µ 一 n + pa. z

z

因此有



[u],,µ �C[u]o,a,

C(n, A, 其中 C u E !iL',.卢 (O), 且

a,

p).

又由于\Ju\\L P �IO I ! l. 11. I,, 故

t\u \]砰屯 D)�C\\uflc ° '3co),

其中C

一 C(n,A,o,p,l!JI), µ 一 n + p8.

其次证明:若u E�p,µ(O),n fJ 叭 (R)

+

Br欠 fJRP

红(+l)B [IP(R)

+

BR'

芝:





i=O



1一r' 亡 8)(.t+l) l一廿--,

-,;fl

因此,我们有 叭r -t+1 R)�c-r c.t+1>fl 切(R) 其中C

'Z'j(1"

I _'l'T

+

C(A,a,tJ).

]•

BR6],

(2.3)

现在,对心�R, 选k,使-r -t+1 R < P¾ 召凡于是,由0的

单调上升性和K的选法,以及不等式(2.3), 容易得到 叭p)� 叭 (r k R)�C卢叮(R)

+

�c 尸

+

�c, 其中C1



l(%Y

l烽)•

叭R)

O, 设f't Ei O (i 使得对V式ED和Vp,R :0 �C l]fl1L11心 .IR邓 C(n,N,l,A,µ, diam!J).

2立变系数椭圆组

0 定理2.5. 设A尔夕)满足 c 2.2), 13_ Arf E c cn), 1 A中�A (a,/1 = 1, · · ·,n;i,j = I,···,N), f't EL 扣 (.Q) (a 一 l, · · ·,n; i

一 1 , · · ·,N), 0

-+·

ilf 1li1, 霜



'(Q',Ill 毒 N>} R 11+28 飞

• 189•

由迭代引理知 \

., B ,, 心

I Du - (D�) 怎 •,,,! 2dx

� C{!)Dulli1w',R N) + llfll ia, 亢 巴(立 R N)} p"+za飞 其中C依赖于n,N,从A,lJ,s, !IA和lc•·w, dist(ii,ao)及diat心. 一



由此知 0,3



一g

DuEC,oc: 2(0,R"吟,Vs> O, 而且 11Dullc••6-½ 心,R• 趴

+ llfllrr·•H8(D',R彝N >}.

< C {IIDullL1(.0',R"N>

特别是,由此可知Du是局部有界的且有

I

D

BR(11t )

I Du I 2dx�C [ l)Du!f i1ca'.R 鹉N )

+

!lfll 沪(也R"N>] R 露 ,

其中C依赖于n,N,l,A,8,IIAffllc0•1J, dist(Q,8!J)以及diam!J. 将此再代入(2.18), 得

l

Bo 心

I Du - (Du江 ,P I 2dx

�C

+

(g_R)



+2

, I Du - (Du)箕 , .寸心

\

.. BR(11t)

C [ ii Dul)i2 �C llf 11 让(BR.IR"N)' 其中C = C(n,N, 儿, A ,P). 定理得证.

下面我们研究线性散度型椭圆组弱解的L'局部估计. 定理2立.设u E H1 (!J'RN )满足 LA加) D,u'D.中"dx



\代 (x)D矿dx, I)

V中E Hi(D,R吟,

其中A汗EC (fl)'I A汗(无) I�A(i,i = 1, · · ·,N;a,fJ 一 l'... , 心,且A't/(x)轧轧 �l I ;! 2 , A> 0't: €- LP(Q) (i = l, ...' N; rt 1,···,n), p�2, 则Du E Lfoc(!> ,R n 吟,且对 vfJcco, 。



有估计

l]Du]l让(fl.]RnN ) �C(llullH 1( 如i N ) + Hill LP(D.R" >] , 八r

其中f

一句),

连续模.

C依赖于n , N , .t , A , p , dist ({j , 8Q)和A汗的

证明.只要对迈 c c !J , V xo E Q, \:/ R : 0 < R < dist (Q, 心),证明Du E L1(B R(句,R•N)即可. 歹

由假设知u E H (BR(句,即)满足

!

1

B'Ji. 怎 '>

Af;飞) D,,iD.qi

用凝固系数法将它改写为



BR(怎·>

..... :·

j

心一 \

�B�1r•)

f,

(元 )D矿丘

'i q, E C;'(B R (xu ) ,R N ).

(2.2)

店 (x.)D叫D对dx II

肛釭 )

UAif(义·') - A:'f(元) ]D 11 u 1 D oi 2**' 则Du E L 2 **(BRi 'R nN ),

于是继续进行上述

步骤,经有限步以后,总可得到Du E LP(B 色 ,R [IDu!] 让 (B�,R" 趴 �C{llfll, L心 ,R nN )



)且有估计

+ I 叫. Hl(D,R'!>},

其中C依赖于n,N, ,l, A,p, dist (iJ, 8Q)和心f的连续模. 证 毕.

注2.1. 在定理2.2中,A汗E C 0 (Q)这一条件是不可少的,请

参看第十二章§4中N.G.M�yers的例子.

• 20C•

第十一章

非线性椭圆组弱解的存在性 弓l



§1.



.1

在本章中,我们考虑散度型非线性椭圆组 Da Af(x,u,Du) + B1(x,u,Du)= 0 (i=== l,•••,N) (1.1) 释 nN N 弱解的存在性问题.其中式,B;:Q X R X R -it>�, .!J是R





中的有界区域.“椭圆性 的意思将在下面说明令 (1.1)的弱解的定义与A'; , B; 满足什么样的结构条件有关. 在这里,和在第五章中一样,结构条件是指椭圆性条件和增长条件 的总和. 定义1.1.

r

若Af, B; 满足下列结构条件 Af (X'u'p) p� 诊 lip1 2 -Alul" - f飞),

" . :,,.

(L2)

+ 111! :i 十 f飞)), 1< IB;(x, u, p)I�A(\p! •-}> + lul r- 1 + f心)), 灯(x, u, p) ,s;; A,(lpl

(1.3)

2 其中i, A, A1 是正常数,片,f; �O,f ,ff E L (IJ), /; E L�(!J), 2n 而r 一 2*是2的Sobolev共枙指数(当n>i时,它等于 一一— , n-2

当n=2时,它可为[2, 十 00)内任一实数),则我们说灯, B ; 满足 可控制的结构条件.这里,(1.2)是糊圆性条件,(1.3)是增长条件, 我们称其为可控制的增长条件.

N l 在灯,趴满足可控制的结构条件时,我们可以在H (!J,R )

中寻找(1,1)的弱解. N 定义1.2. 当Af, B i 满足(1.2),(1.3)时,若u E 1/i (Q, R ) 满足 i } [尤(x, u, 加)归+ Bi(x, u, Du)cp ]dx s;

一 o,

(1.4)

• 201•

Vc1, E

Hl(.Q, RN) ,,

则说”是椭圆俎(1 1)的兢斛. 可控制的增长杀件(l.3)保证了积分恒等式(1.4)有意义,但这 组增长条件不十分自然,在N= l (单个方程)的情形, 我们知道, 自然的增长条件是

1 A"(x , u ,

p) I�A, (I p 1 + g C心), I B (X, u'p) I�A(Ip I 2 十 f (x)),

其中f,g>O, 且f'g E L 1 (0). 现在我们也来考虑与此相应的自然结构条件. 定义l立

若店,B; 当I叭�.M时满足 尤(x, u, p)p� � 儿 jpf 2 - Ad飞), (.r, u'p) I ,,,:;; Ai(I p I +代(x)),

{团

(1.5)

(1.6) 2 IB;(x, 凡 P)ll时, 一 般讲拟凸性比凸 2 性弱). 可以证明, 当FE C 时, F关于P的拟凸性蕴涵Legen­ dre-Hadamard条件(2.12)成立. 因此, 更为自然的是称满足 Legendre-Hadamard条件的积分泛函为正则积分泛函,而不是称 满足Legendre条件:

F

比咋

氐gb�0 (即F关于P凸)的积分

泛函为正则积分泛函. 但是由于下面研究椭圆组弱解正则性间题 的需要,我们常常还是假设Legendre条件成立, 甚至假设强Le­ gendre条件 N F g j l , l > 0 , V; E Rn I �A 氐扎 咕咋 成立, 而不是假设Legendre-Hadamard条件成立. 即使在强 Legendre-Hadamard条件 F PaI P13; ; 心和I;�



lg 旧寸,1>0

V;E R飞'1 E RN 下,也不能得到后面第十二章中所述的正则性结果,关于这方面的 讨论请参看[GS], [FU]. 1 (单个方程)的情形,Legendre-Hadamard条 当然,在N



件与Legendre条件是等价的. 2.3.

正则积分泛函在 Hl 中的可微性

在第2.2小节中我们研究了 J[u]



i

D

F(x,

11

, 加)”

在“心(D, 配)处的一阶变分的存在性(以下简称J的可微性), Iil i 一 并导出了J在 U 处的Euler方程组但 般讲,J在c (lJ, R ) 一 中不一定有极小点,我们在第2.1小节中证明了在 定杀件下J在 • 219•



t

H (Q, 即)的闭凸集沈 中有极小点.现在我们要研究J{u]在 u E H 1 (Q, 即)处的可微性并导出J在u E H 1 (!J, R N )处的Euler 方程组.须要注意的是,在这里,要泛函J可微,不但要求F有 一 定的可微性,而且还要求F满足适当的增长条件. 定理2立假设 1 ° F:D X RN X R nN ___. R关于 X 可测,且对a. e. x E Q, 关 i 于(u, p)属于c . 2 ° lV 2 - g1(x)¾F(x, u, p)�AV 1 + g2(元), 2 2 其中儿,A是正常数,V = (1 + !ul + lpl )合,g;(:c) ;?; 0, g 氏 L 1 (fJ) (i = l, 2), 且



只(x, u, p)I,;; C(lpl + lul j了

I 心(x,u,p)lCfJ,

其中



(1.8)

一 t)D心)dt,

—--,

he )一u i (元) -—一1一 h

• 215•

尸.,

由于心满足(1.2)和(1.3), 故A't;伈满足

总斡诊入 1 汗,儿>

!A 灯1i) 1 冬A 鲁

o,

(1.9)

现在,对VQccQ, Vx气Q, VR:O < R


f{ {J

+

'. ·�

[A7工 , +心归+ A�I ·D, D 叫lD胪 心 lB;:r, + B;,,;D叫+ B i p�D1D fl 记l扒心一

o.

其次,对VfJc 仁 Q, Vx乓Q, \f R: O < R < _!_ dist(O, aJJ), 2 o 取中一矿D,u, 其中 77 E Coe(B忒x ))满足(1.10), 则得 0 i DpD s u i D U DS 心x A \矿 i p d ./ Q

+ \Q

A''.,D 8 D叫• 271D « 11• D, 心x •r,,

+

旷A�r,Di1 D,u i dx

lf"J

,





D

+

I Afx .- • 211Da11• D, 心x Q

矿心D,u仇D,u;dx +

+ \ lJ TJ 2 Bi 工

,

D,u'dx

+

\ IJ A切.

2西• D,u1'D,u'dx'

\矿B ;";D,u;D出心 Q

旷B i t-'..D8D, u1 D出dx +\ , Q

-=

(1.12)

O.

通过简单的计算并利用(l.2)和(l.3)可得 因而有

归。, l'IDD,u !'dx�CI

1

B

R

(:,; O )

和炒)

(1

+ I D,11') I bu l'dx,

IDD,ui 2 dx至Cllu\\沁 .R 吓

a

其中C依赖于n, N, 1, A, dist (i:J, !J), 将对 S 的微商改为差商今 , ,u, 以上过程可以严密化而得到 �





I Di:::J..,..,u I 2dx�C \lu.11沁式),

其中C仍依赖于上述诸量而与h无关. 而且可得D,u满足(1.7). 定理得证.

因此有"E -Hi 。 c:(D, RN )

但在自然结构条件下,上述结果 一 般讲不成立,这时只能证明 ..)1'•

i

连续弱解属于H � 即我们有 定理1.2. 假设A,BEC 1 , 满足自然结构条件(1.4), (1. 5 ), 且uE 1 L oo(Q, R N )满足

月n

(x, u, Du)Da cp i + B;(x, u, }凶 " "°

Du)矿]dx



o, (1.13)

V rp E H6n L (Q, R勺,

而且还假设u E C 0 (Q'RN 入则uE Hf 。 c(D, 即),且导数D,,� (s 一 1, • • ·, n)对任意中E H�n L OCl(Q'R N ), spt中co满足积分 恒等式(1.7). 证明.首先,与定理1.1类似,对'r/QCCfJ, Vx气Q, VR: O 1, 所以u,, 无界. 这个例子说明: De Giorgi的关于系数有界可测的散度型二 阶椭圆型方程的弱解必定Holder连续的结论在椭圆组(N> 1) 的清形是不成立的,因而不能用第五章的方法去研究散度型非线 a

性椭圆组弱解的c 1 , 正则性. 但是在系数充分光滑的情况下,究竟散度型非线性椭圆组的 弱解是否具有C 卫 正则性?或者,散度型拟线性椭圆组的弱解是 o 6

否具有 c , 正则性?这些问题从例1中仍然找不到答案.. 1968 年,E. Giusti和M. Miranda将De Giorgi的例子作了一些修 改,得到 一 个散度型拟线性椭圆组的例子,说明了上述间题的答案 是否定的. 例2 (Giusti-Miranda f 1968).

设9

n�3. 考虑

\灯,r (u)D u;D ti

B 1 (0}

叩; d X



B1(0)cR•,

N=

== 0'\:/ cp E HA (B 1 (0)'R 露 ),(2.5)

其中 伈+上一一_u;u°] 吓(u) ..... llo心+ n - 2 t + I" 1 2

伈+

X

这里心





1, u



('t



o,

4 n-2

”“

一言吵

p,

/1.

容易证明,A'tf(u);�g� �I; 几且灯!'(•)是”的实解析函 )I 1 数.但是向趾值函数u.l(xJ - -----·- E H (B 1,(0) ,. R•)是(2.5)的弱

比l

,,

--;

. ,..

•·.

-

..

一 中

. .~ . `



2.U ..

解,却不连续. 还可以举出其系数十分光滑但其弱解不属于厅(Q, 的)的 散度型拟线性椭圆组的例子. 例3 (Necas, 1972). 设Q = B 1 (0)CR", N = n�5. 考 虑

\对 (X, U) D 8u; D a(JJ; d X



�B! (I)

O,V

I; I 2, A�f(x, u)十分光屑,且 n-2 X U 1 ...:= --- E H1 (B 1 (0), R 11 )是(2.6)的弱解.但是当y� 2 I xJ r 时,U1不属于H2 (B 1 (0)'R n ) • 另外还有许多例子说明椭圆组弱解的正则性问题要比二阶椭

- ,.一---—--

圆型方程弱解的正则性问题复杂得多,读者可以参看[GQ1l. 因此,1968年以后, 一 方面,对 一般形式的散度型椭圆组,从 C. 8. Morrey开始,研究弱解的所谓 “ 部分正则性 ” (即证明弱解 1 e 在9的一个开子集!Jo上具有c , 正则性,而meas(Q\Qo) = 0). 另 一 方面,对特殊形式的椭圆组进行具体分析,其中有许多椭圆组 ”



的弱解仍具有 处处正则性 ,例如可以参看[HB). 下面我们将在§3和§§4一5中分别介绍对一般形式的散度 型椭圆组研究弱解部分正则性的间接方法和直接方法.

§3

研究正则性的间接方法

本节中我们以下列散度型拟线性椭圆组为例来介绍研究弱解 的部分正则性的低接方法.考虑

, ii•.

-Da (A'tf(x, u)Deu1 ) = O.

(3.1)

在本节中,我们总假设当(x, u)ED X R N 时,有 A汗(x, u)轧扎�ll�l2, l>O, _

(3.2) (3.3)

IA寸(z, u)J�A,

其中l, A为常数.

出气

我们要证明的主要结果是 定理3.1. 假设A识石u)满足(3.2),(3.3), 且A计(x, u)在 Q X RN 上 一致连续,并没U E H{ oc (Q, R N )是(3.1)的弱解,则存 在开集Q产Q, 使u E Cf�i(O R罚, VO < li < 1, 且meas(!J\

。,

Qo) = 0 ,.

为了证明这个定理,我们需要下面几个引理。 弓 l 理3.2. (Caccioppoli不等式). 设u E Hi 。 c(Q, RN )是 0 (3.1)的弱解,其中系数灯f(x, u)满足(3.2),(3.3),则对Vx E O, 沁,R :0 < p < R < dist(式80), 有 )



其中C

B。心

IDul 2dx�

一 C(n, N, 1, A).

(R

C

一 p)'t



•,

(3.4)

I 寸丸

这个引理可以和第八章定理2.1 一 样地进行证明. 引理3.3. 设b汗是常数,满足肘,梵忑店>门�1 2 , l>O, lh 寸I�A (i,J = l, · · ·, N; a, {3 = 1, · · ·, n). 并且设u E H� oc n L 2 (B 1 (0), RN )满足



, B, (01

则存在c 。 ===

砑D叫D对心

C

其中叭斗p)

。 (n, 一

p



0'\;/中E C;°(B1(0),

即),

N, .1., A)> 1, 使得对Vp:O

!B

Ju($)

这表明meas(l'J\00)



“心泊< s�,

一 o.

(iv)乌与8无关.事实上,可以证明当且仅当 liminf尸 ·O



l

lJ。心)

l心 .



材嵩·�p J 也一O

•J.31•

f

时红乌. 因为当

气fp一.

时,



·f f

B沪

心)一心 •P I z心一0

定存在Rp, 那么,





讲,此不等式就不成立了.不过,在前面我们也遇到过q>p的情 形,第四章定理1.4中的Harnack不等式就是 一 例.这表明在某 些情况下反向Holder不等式也会成立. • 23i•

而且以后我们会看到,

它在弱解正则性的研究中有重要应用. 定理4.1 (反向H 汕 lder不等式).

设B是R• 中的球,并设 1" g ? 0, g E L q(B), q > 1; f�0, f E L'(B), r > q; z o 对Vx0 E B和VR : 0 < R < dist (x0 , aB) /\ R。,有

忨工,,g 切x,,;;

。,

r

b[ 忆 ,,plx +

其中R b, 0是常数,b > 1, R 则存在s>O和C > O, 使

t., .•,

。> o,

卢+

e

f

0�8< 1,

g E L foe (B) , VP E [ q , q十的, 而且对VBRcB, R < R。,有

[f •• 1 肝心

l

2

其中C和

C

,,;;c

Hf.. 1 g也"

¼

a.,.,,K 飞,



[t.

/'tlx

J }• ½

依赖于b, 8, n, q, r, 而肛和BR是同心球.

关于这个定理的证明,请参看附录5或[GQl]. 下面我们利用定理4.1来证明椭圆组的弱解在 一 定条件下属 1 于 w ,,, p > 2. 为使证明的思路清晰,先研究线性齐次椭圆组. 定理4.2. 若 1 ° A汗(幻满足

00

A识Q霖 h� 川汀,l.>O; A汗E L (Q), IA'l/J�A; 2 ° u E H1 (Q, R罚满足 �A沁) D6 u i D0r:p,.dx fJ

则存在p > 2, 使

[f

BR 了

=

O, VcpEHb(!J, 即),

I Du I E Lfoc:(D), 1v .. 1 叫 t o;;; C

[f

(4.1)

而且对任意BRcQ, 有 由



I v.. 心] ,

(4.2)

其中C和P依赖于n, N, 1, A. 证明.对VB 仁 O, V炒 EB, VR: OZ的情形.此时,

r

-= -;;互了, 2 (1-

上)=n+2,,-l= 尸旦-. 利用Holder不等式和Sobolev r ; n 九 一 2 Poincare不等式,我们得到 \矿lu - uRI• BR

111 心

�[归 lu 产网气 B R 111 击d,e 严 Du归"l 川 111 哉 平计 I �C(n) [\ BR 一

� •I l

d,



BR BR

I Du归 x+ 空 B 示lu



UR I•

lI

BR



111

上 平 ,

击 d,

I ul 广1 d,



, i s, ·

- I'12 I u

..-;; [『:R lu





UR I • l u I 己” 伟

u,.)

..L l

气可加 ul

-2. tlx]宁

f 为 Cl// 2 + 111 + I 旰)计了 , (} =上 2

使

{iJB [ I Du I铝 + \

lu 翌气叶

.1.

�c{[f (ID叮+ lu 尸)心 + [归 Cltl'+ I斤+心) �d凇}. 2n





BR



p

一.,n+

彻 一..2一·一 , 由 2

H /ID

m

BR

..;; C

现在,将 • 240•

i

) BR

p>

+

lf

BR

n +2 知P>2 , 而且有 n

中+

l•I 气陆

(I Du I'+ I产酝严 (l/l'+伽+I 斤)才叫.

I和'd:·用

1 的积分来估计:

(4.12)

f心 BR

因此

dx = RP �C RP

[t 压 if I 气勺

[f

BR

BR

111 心

卢立气 J

凡心叶 ¾CR [f.R 111妇x] 翌

于是,当R 2. 定理4.4. 假设: 1 0 当lul�M时 (4.13) A只x, u, p)p� � 引?尸 -f气心, {团(x,11,P)i�A心I + f 飞), (4.14) IB,(x, u, P)I�A IPl 2 十 f心), 其中1, A, 儿是与M有关的正常数, 儿r: �o, 几 ff E L 11 (lJ), •>2, f,EL'(O), .1> I; 2 ° u E HJ. n L 00 (0, 即)满足

J " [A飞, u, Du)D平+B 心, u, Du沺]心

3 ° 2AM 2, 使uE W记(O,R吟,且对任意同心球Bl2

其中8



使I Du I E Lioc; (D), 且对任意BJCB 及仁 D, 当R(x0 , R) < sf, 那么必有

o,

使得如果对某个

4>(x0, -r-tR)�2s沪,tll.

巾于对任意p:O·3)

dim

雾(息 一 P;)

0, dim认I)

一 1, dim



(S)

一 z.

中,

6立奇异点集的Hausdorff维敷的估计 现在我们来估计椭圆组(3.1)和(S.l)的弱解的奇异点集的 Hausdorff维氪 我们已经证明了在定理3.1 (定理5.1)的条件 下,椭圆组(3.1) (椭圆组(5.l))的弱解在9的开子集D, 内局部 Holder连续,且



9 -{zEQ

归�f p1--• I..c,> I l心) I 让一叶,

(6.3)

因而Q\D 仁 :E, 其中 2

一{允 E D I li'!':!�f p' . ! ..,., ID心)心> o}. 一

(6.4)

由定理4.3'知存在p > 2 :, 使 I D111 E: L(oc(D). 利用Holder不 等式易知 • 255•



{i-2 la ,c, 霓

因此若令

I Du(..-) I 叫 ,;; {沪\ Bi•l I Du(-.. )\•叫 t. 合

l

,1



氐= .rE Olli空 �pp,-. l..c•> ID心心

>o},

(6.5)

则ECE霉一,.于是为了估计!J\Do的Hausdorff维数,只要估计 出E,._, 的Hausdorff维数即可.为此我们需要下列引理.





引理6.2 (覆盖引理).设G是R可 中的有界集,且设r:x� r(元)是定义在G上值域在(0, 1)中的函数,那么一定存在一个点 1, 2,···)_, 使 列灼}, Xi E G (i



< 1 }. “

由于G有界, 故可找到一 个由有限个互不相交的球组成的 最大 的子球族 心))

1+�,( 动< 1,

;



1, • • •, n 1 },





2



心中的 一 个球相交.这样做下去, 一 且我们巳选好 Xi,• • •, 尤"' 一 1, -粤., 那么在满足2 十飞tr(元) 2, 使 I Du I E Lfoc: (D). p> n, 则由嵌入定理知"E C记(D, 即),lJ > o, 因而/Jo - D. 若2 < p�n, 则在引理6.3中取v 一 1 Du\ t, a 一 ,, 一 ,,, 便知 "'

辱 ._,(E霉一,)



o,

故�._,(Q\JJ,)

其中E.一,的定义见(6.5), 而D\D,cB 彝 一”

一 o.

• 2St•

附录

1

Sobolev 空间

Sobolev空间的有关知识是近代偏微分方程理论的基础知 识.在这个附录里,我们只列出本书中要用的一些结果. 除Poin­ care不等式外,其起均未给出证明,读者可在[AD], [MJ]等书 中查到这些证明. §1. 弱导数和Sobolcv空间W�·P(Q) 在介绍Sobolev空间之前先介绍 一 下弱导数的概念. 为此我 们先引进下列记号: 1 0 多重指标记号. 我们称“ 一 (a1, • • •, a.)为多重(n重) 指标,其中a;(i一I,•••, n)为非负整数,并规定la I - a1 +· · ·

+ n ,. ,

at - ad·• •a 霹 t, a�{J的意思是中�fl; (i

(/t) 一—仁一(m.;;;; ,8). a at(P- a)!

n),

一 1, .•• ,

2 。 高阶导数记号. 设9是R 觼 中的开集,尤 一 (尤1 , ••• , % 霄 ) R 是9中的点,u:0--+ R, 我们用 D u(心一D沁1D2• • • ·D:nu(x) = ---

a1a1"

---·-u(劣)表示叭心的叫价导数(如果这些导数存在的

O式... a 式露

话). 定义1.1. 设uEL比(D),a是多重指标,若存在vE L比(D),

i

使

D

uD飞工



( 一 1) I乒l!D 呼

对一切中E Ci(IJ)均成立, 则称,为

U

的叶介弱导数, 仍记作

11 - D0 u.

可以证明,弱导数D0u除零测集外是唯 一 确定的. • 2,0•

如果 一 个函数的所有 一 阶弱导数均存在,则说这个函数弱可

衙.如果它所有的直到 K 阶(包括 K 阶)的弱导数都存在,则说这 个函数K次弱可微.我们用W�(fJ)表示由K次弱可微函数组成 的线性空间. 定义1.2. 设K为非负整数,?为实数,p�l, {J为R"中的 开集.我们称集合 {uE W心) \ Dau E LP (0) , V国�k} 赋以范数 切w压丘)-

几互 \ D"u I' ,



(1.1)

后得到的线性赋范空间为Sobolev空间w -t ·1(D). 可以证明,Wl•P(Q)在(l.l)中规定的范数下是 一 个Banach空 间. 当P=2时,常将w.t,,2 (t1)简记作庄(D). 定义1.3. W扣(Q)是c:(JJ)在w-t,P(Q)中的闭包. W沪(Q) = 命题1.1. wl·"(R") ::::::::: w扣(R"), W 0 •1(0)



[, P (Q), 但在一般情况下,w扣(Q)是w l ,P(Q)的真子空间. 下面我们来叙述w-t,, 心)中的二个逼近定理. 命题1立 l�p�C(n,q,D)l{u[[w 1tPca,, I'�q < +oo, p 2 0 若 ao 适当光滑 o , 则当?>”时,有





(1.6)

而且对任意u E W 1 •'(D), 有 llullco•acfJ� �C(n,p,O)Hu!lwi ."(D>.

(1.7 )



W 1 ·1(/J)cC 0 '°(D), 0 �C IID,ull 让(lJ). l)

见上页注脚 1).

" itJ "

2 0 设吓 L11(Q), l �C !lull 沁 I 欠 ( 心'

VuE H-t (R':. 入

命题2.2(逆迹定理).存在线性有界算子 R ` 尸: rr·H .t -½-, (R l 尸H.t(R!) 一

; -o

使得

• 264•

广



了 -1

='、

其中1是但问算于. §3. Poinca让不等式 定理3.1. 设9是Rn中的有界区域. 10 若uE W汃Q), l�p< 十 oo, 则 0

0

2 若9是有界连通区域, w•· 心),1�p < +co, 则 J lu

其中心

(18)

归中�C(n, p, o)J IDul'dr,



证明•



atJ 满足局部Lipschitz条件,"

I 加 I'心,(1.9)

u叭'dx�C(n, P, fJ)

f:u心 一 心I Ludr.

L,

0

1 先考虑uE C吵)的清形.不妨设 JJccQ, R• I I x;I < a, i一1,···,n}. 令 沁) = {u(x), xE IJ, O, zE Q\D, 对VxE Q, 有

1 知) I,

因而有

=

I)�. v.u(t, 知

X

Q 一{xE

,I'

. . . ,心

�(2a) 户 J_. ID矿dx1�(2a)P-• }_.ID印dru

�!:�::f

i

_IDUl•Mr, { i l , .j:::�:;� : � : : : " � : l•;:1�!

令C(n, p, D)一(2a)1, 即得(3.1).

对于uE W沪(Q)的请形,只要利用C�(D)在W�·'(D)中 • 265•

的稠密性,即可得到(1.8). 2

0

为简单起见,我们仅就P>l的悄形证明(1.9), 至于忙>

1的情形,请参看[MJ). 由于在 U 上加 一 个常数以后,(1.9)不变,故不妨设心一

o.

现在假设(1.9)不真,那么对任意正整数k.., 都存在".t E w 1 •1(a), 满足

f

D

u让户..

o,

使

炉心> k

f

D

令 切

U,t

t ....

llu.tllL心) 则叭E W 1 ·'(D)有下列性质: (i) (ii) (iii)

t 11

Q

J

.tll£P(IJ)

D



1, 2,···),

o,

叭心一



(k

!Du.ti也



I,

ID纫 d 中<上. k

由(ii), (iii)知ll w ,t I w 1 •11ca>有界,故利用W'·'(fJ)中有界集的 1

弱列紧性和紧嵌入定理,知存在子列{111,t;}和w E W •1(0), 使 (1.10) (在L 1 (D)中强收敛), 气一切 D 印 .t;-D 印 (1.11) (在L'(!J, R") .中弱收敛), 由(iii)和(1.11)知D叭(元)一0 {a. e. x E D), 因而 a. e. xE D, 切(元)圭常数, 又由(i)和(1.10)知

t

D

w心一 o, 因而

切(元) 但由(ii)和(1.10)知

= o, 扣 11 让(Q)

a.e.rED. 一

1,

与(1.12)矛盾. 证毕. 推论3.1. 设肛是R• 中以R为半径的球. • 266•

(1.12)

1 0 若uE W汃B心l�p
l� f !u 一 "op> I dx, 再次应用Calder6n-Zygmund分解于囡数lu­ o?)

“叶) I' 则存在互不重迭的立方体列{Q网(将每 一 个Q� l) 所得 的立方体列合在 一 起)使得

\ Iu 艺 IQ?> I�-;; � , • o(O

压)





”砂压

u fJ产I�a, a.e. xEQ沪\

LJ

Q�:a),

(3.5) (3.6) • 269•

。一 l 与(3. 3), 由(3.5)可得 艺; IQ伊I¾ a 艺. IQ?'I¾ 飞" IQ止

注意到lu心 , Q

1

1-

事实上,如果xEQ。\ .r

E

l) Q叭UQ伊,

lu(允)



u

X

。,v

今. .

.,,,

Q丸

' ,

uo0 I < 2• 2飞,a. e. z E Q

,�

d



;

`』+

lu(x)



b

我们将证明

(3.7) '

(3.8)

Q; 1) , 那么(3.2)蕴含(3.8), 现在设

必属于某一Q�l:)主(3.6)与(3.4), 我们有

uo。 I�lu(x)



ufJ?'I

+ \ u0?'



Uo。 I�2. z•a.

(3.8)得证.归纳地重复上面的分解,对于任意整数k�I, 存在 互不重迭的立方体列{Q�u}使得 U �IQ) J.,;;;

lu(心 于是

沪• I'

U()。 I�k·2飞,a. e. x E Q



。\U;

Q丸

meas {x E Q0 ! 1 u(x)一uo0 I > 2撑 ka} ��IQ伈,�



古 IQol

Ck



1, 2,···).

0也成立.现在对于任意压(O,+oo), 上面的最后估计对于K 必存在整数k�O使得 2•吹< t�z•a(k + 1). 这样

meas{x E Qol I u(:t)一uoo l > ,} �meas{x E Q,l l u(劣) 一 "oo l > 2顷} 一 I 叫Q I' �ae I

U 畸

`缅 1

由此容易看出



mea.s{x E Q.: Me 飞)

> s}�

�3•

应用(4.8), 则有 meas{x E Q0: M心) • 272•

Q(r;, 3心)) n 釭

>

.,

�I Q(x;, 3 心)) n Q,I '- 1

�IQ(x;, r 伍)) nQ,I. `一 1



�I

s}� 翌$`一 1

()(11;.r(11;

»no。

tf (y)由

3• �- llfllL 1 (Q 。).

s

这说明M。是弱(1.1)型的,不等式(4.6)说明M也是弱(1,1)型的, 这就是所要证的. 推论 .

对于l

f IQ'i l,

{Q 廿中任意包含于 Q, 的那些立方体.对上

艺IQ, I< 主 L J If 2 叶1 If Io。,记 由于从心 I,

�IQ,I,

一 J. P

评 +1111



9

�P J�meas

I,

一 pr。 a -lµ(1.必. fl

上述积分是有意义的.利用估计(4.17), a'甘(a冲+ PJ'

2

a' 1 心)如 一

叶.,,,,,。

{心)>;}“心

• a1s•

+;

J:。 a,

P一 1µ(

�APl)f 井 lltt心。)十

取A

一 4 • z a, 则有 lq

>

f

g•dx

叮 glj1.,f({ J)t

l',t .;

}

(g •JJ F 心+

i) (5.23)

2{ll

心]. • 283•

一-1 -, 4

则有



酌 8 使得肛

g (5.24) ,;;;;;c a 。m,�注 ' q, 十 o。而>肛 ,F 心]. ,对于所有Q切与任意xEQ切,依上有相应的 x. 所有这样

l

U



6。江

{Q。}构成 LJQ 切的一个覆盖,由覆盖引理(引理5.1), `寸,I 可以抽出子列 Q 。, i,Q 。, 2'... 使得 的立方体

对于每一6 们得到

。,

m,

JQ,ntg 中>11

此外,显然

(5.25)

。, "'f. 芝IQ 切 I�s• 艺IQ m

t .; .,

(5.24)都成立,这样由(5.18), (5.24)与(5.25), 我

(g心 •¾Cl• 一

·[L.rn...,., .. 6"'十

(g心•¾C 儿 q

\o,n•••,)

(gq,)• 心

一一

r··



团(,)

L. 而>•• Fdr, 一

+ l)Fllt,cR• > l. 利用Young不等式与to、F的定义,则有 一

lll'P llzPc 0 1 >�C [ II gl} L q 注意到主> 1 (当 p q



+

.l

ll M (fcp )中.t ], 口

q时定理的结论是显然的),算子M是强

停 f) 型的(附录4, Hardy-Littlewood极大定理的推论),于 是我们有

Jl tq>I) LPco,>�C [ Ila IILfcf) 1 > + Hill£Pco,>l ,

这个估计蕴含着定理的结论.

• 285•









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• 286•

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Kpb口 OB, H. B.

[KL]

HeJIHH妞H 郎劝 Jl 血 THqec1O使得 a(u ,u)�Bllull比\:Ju EH. (1.2) 定理1.1 (Lax-:-_Milgram定理). 设a(u,v)是H上的有界 髦

1 (

.' .

II

'』,.,,.,.,, .......,,,

··-··

""旧:: •

. ,.,, .. ,

... ..

丿 / 、 , 、 3 4

1 (



强制双线性型,则对于任意巨H', 存在唯一的uE H_, 满足 (f ,11), \./v EH a(u,v) 且有估计 l I!" ! H�- II f II H'.

证明. 容易知道,对于固定的u EH, a(u, •)是H上的有界 线性泛函,存在唯一的Au EI九使得 (Au,v〉, 'Iv EH a(u,v) 且 IIAullH'�M llullH,



(1.5)

容易验证A是线性的. 此外,又由强制条件知 IJA.u!JH·llu!ln�a(u ,u)�/J[lull拓 因此

(1.6)

[IAu[IH'� 利ul!H.

这样4 勹 存在. 我们将证明A的值域R(A)一H'. R(A)是闭集若Au 了+ "'由(1.6) I I心一u,,, IIH�-- II Au. - Au IIH', B

首先证明



因此 Un 是H的基本列. 由H的完备性,必有极限元素uf H, 又 由A的连续性,必有心厚 一 心, 因此“ 一 Au E R(A.), 这说明 R(A)是H'的闭子空间. 如果R(A)�H', 由正交分解定理,必 存在,飞订,v'�0且v'J_R(A入由H的自反性,必存在vE H 使得(v', •) H, 一< • ,,, 〉, 应用强制性, , 0一(小心)H' 一 (心, g 〉�1Jll11 llt

>

0.

这一矛盾说明R(A)一H', 因此必存在唯一的“适合Au (1.5)与(1.6)立即得到(1.3)与(1.4).



f, 由

§2. 椭圆型方程的弱解 设9是忙的有界开区域,为简单起见,我们总假定n�3. 这一章我们将在9上考虑散度型椭圆型方程 Lu - -D;(a;; D;u + di u) + (h;D;u 十 c心一

I+

D;f仁 {2.1)

上式及以下各处都遵照求和约定,对重复脚标i刃将从1至“求

·a

和,D;-- 对于算子L, 本章总做如下的假定: 8矿 • I •

壮E L (D), 00

又存在正常数从A使得 2 ll�l �ai'(x)� 品�A飞12, VgER•, xED.

艺 !JbillL11 心)+ 艺矿归 ( SJ) "

,,

'= 1

,= 1

下面我们简记Sobolev空间 E H1 (Q), 我们记 a(u,v)

在引理2.1 的.

一j

D

+

!] C !! L ff/l(!J)�A.

w -t · 心) =H心).

(1.2) (2.3)

对于

u,11

{ (a;; 卯+心)加

+ (b;D;u 十 cu)叶心.

的证明过程中我们将看到上面的各项积分是有意义

定义2.1. 对于TEH飞0) (HKD) 的对偶空间), gE H 1 (!J), 称u E H 1 (D)为Dirichlet问题 的弱解,如果

U

满足

{Lu 一 T, 在9内, u 一 g, 在

ao



(2.4)

r(u,v) - (T, 份,Vv E H:(o), “ 一 g E Hi(!J).

(2.5)

引理2.1. 设L的系数满足条件(2.2), (2.3), Q为氏的有界

开区域,则a(u,v)为HKO)上的有界双线性型.

证明.利用Holder不等式与条件(2.2), 可得 II

D

砬D;uD;v心I�A llull H�II vii H�O 使得当µ�fl. 时,非齐次Dirichlet问题

t· u

存在唯一的弱解.





µ. u - T,

(2.9)

g E Hi(lJ)

证明.由弱解的定义,与间题(2.9)相应的双线性型为a(u, 11) +队:u, ti)L (Q). 弱解“满足 2

(u,11)+µ(u, 心一(T, 份,Vv E ffl(O), 一 g EHi(o),

r u

这里(u,11为全(u ,II)L (Q). 现在令“ 2

于寻求zu E H�(Q), 使其满足 •

, i

'



u



(2.10)

g, 则问题(2.10)等价

.,.

a(w,v) +µ(w,v)0 = (T ,v) - a(g,v) -µ(g,v)o, (2.11) VvEH�(Q).

由引理2.1与2. 2, 当

µ

�µ 时a (w , v) +µ(w , 心是Hi(IJ)

上的有界强制双线性型,不难验证(T, 吟一a(g,v)-µ(g,v)。是 Hi(D)上的连续线性泛函. 由Lax- Milgram定理方程(2.11)存 在唯一的解w E H�(Q), u = w 十 g即为问题(2.9)的弱解.

§3. Fredholm二择 一 定理 Fredholm二择一定理在Banach空间的表述如下:

定理3.1. 设V是赋范线性空间, A:V--+V是 一 紧线性算

子,1是V的恒同算子,则只有以下两种可能发生: (1)存在XE V, X 兰 o, 使得x- Ax = o.

(2)对于任意y EV, 存在唯一的XE V'使得 x- Ax = Y.

在第二种情况下(I-A尸是有界线性算子. 此外,我们还可得 到: A的谱是离散的,除0之外不可能有其他极限点,每 一 特征值 的重数是有限的.

这个定理的证明在泛函分析的教科书中都能找到. 下面我们 将把它应用于椭圆型方程的Dirichlet问题.

定理3.2. 设L与9满足定理2.3的限定,则问题(2.9)只有以

下两种可能: (1)对于任意TEH飞Q) , g E H1 (!J) , 问题(2.9)有唯一的 弱解.

(2)存在非零u E H�(/J), 使得Lu 队u,11) 一 o, V11 E HKQ)).





µ.u



0(即a(u, v )

+

此外,使第二种情况成立的µ是离散的, 只能以 00 为极限点,

对于每一特征值p,, 相应的特征函数空间是有限维的. 证明. 不妨设g == 0 (参看定理2.3的证明). 对于固定的

uE:L1 (Q), (u, •)。是H氐(fJ)上的有界线性泛函,因此存在有界 • 6 •

线性算子P: L 2 (Q)



H l(!J), 使得 (u,v为= (Pu,v), VuE L 2 (t:J), vEH氏(O). -'JI,

设1是由H长Q)到L 2 (Q)的嵌人算子,由引理2.1的附注与上 述的事实,我们可把(2.9)写成: 求u E H�(Q)使得 巨+ µ PI u = T. 定理2.3的结论说明必存在fl>

o,

斐得(L

(3.1)

+ ,aPJ尸存在,且

为H飞SJ)--), H从Q)的有界线性算子.记G=(L+µPJ)飞将 算子G作用于方程(3.1)之后得到 U



(µ-µ)GP lu



GT.

(3.2)

方程(3.1)与(3.2)是等价的. 由于HKQ)到L 2 (Q)的嵌人算子 是紧的,因此GPJ是H�(Q)到其自身的紧线性算子. 现在对方 程(3.2)应用定理3.1立即得到所要的结论.

钰弱解的极值原理 极值原理有多种证明方法,De Giorgi迭戊与Moser迭代是 两种常用方法, 它们也是目前偏微研究中的重要手段. 本书将在 不同的地方加以介绍. 这里我们采用De Giorgi迭代方法. De Giorgi迭代往往归结为如下的引理: 引理4.1. 设叭t)是定义于[从+oo)的非负非增函数,当 h>k�k。时满足 C

叭h)�

0 (h - k.)

其中a> O,{J >匕 则有 斗i(如十d)

这里

l

一 0,

d = C ;.[叭知) ]

(4.2)

, 且一 仁 a

2

(4.1)

·.

(4.3)

` {

, ? 一 . 可

证明, 定义数列

[cp(k)]fl,

d 七一知+d-� 2'

(s

0,1,2, ···).



条件(4.1)给出了以下递推公式 q,(k,+1)�

C

2::

1沁

(s

[叭k,)]fl



O,l,2, ···).

(4.4)

我们将用归纳法证明

( $ 一 0,1,2, ···),

叭 k,)� 迅炉 r'

其中r > 1待定.设不等式(4.5)对于

假设

礼,)�

C

2::

1)a

k时

k)飞当h>k时 [!cpllt z *�(h

应用引理4.1, 则有 A(ko

+



时.

— k) I A(h)凡

“ (CF。) IA(h)I� i"* I A(k.) I (h 一 k)

• lO•

当 k�k

亚动

P(,. -2)

d)

.l

, 当h>k�k。时.

一 o,

(4.16)

其中 d 这样



C和A(k。)



l

1

ess sup u�k +d¾k



!!皂 -1·Zic11 一 •>. 1

。+

CF



IOI

了1 一 .l,,

(4.17)



为估计从我们分两步进行. 第一步:由于 和A(k)I�! 因此只须取

心X

D

==

!lu((i•,





K �(2C) 飞 llu肛且心�sup仗, ctD 必有(4.15)成立.由(4.17)立即得到 ess sup u�sup u+ o ao

+

C

!lullL气co,+



CF IDI

1 1 百 一下



(4.18)

第二步:由(4.18), 我们知道“有本性上界,但我们必须进 一 (u 一 步去掉(4.18)右端的第二项.记M = ess sup u 一 J, V 一

"i) + . 我们将考虑函数

印-

1n卫-½:_s._±_ 互 M + s +F。 一”

(4.19)

了 所满足的方程,其中F。 一 F 。 IJJI 入 6 是在意正数为此我们取 l

l

检验函数

" 一一 E HKD 中一 . ·-- ------严二 ). M+

七十几





(4.20)

类似于(4.10), 我们有 a(u,肛使(4.15)成立.于是由(4.17) ess sup正至sup u+ ao

注意到M

一1



ess sup

+

矿一

+

(1一勺) (M

CF。心I

-1_-J n

-t-s+ 沁



sup矿与e的任意性,我们立即有 8D

ess sup u�sup旷+ CF c)f}

。 I'11

l

l

石一石



定理证乳 附注.如果关于L的系数的条件(2.2)加强为

芝 II b II LP(D) +芝 i

!!J i ll 让(D>

+

(2. 2)'

lie [ILp/a(!J)�A,

其中p> n, 则定理4.2的结论(4.9)中常数C只依赖于n,p, A/勺

与D, 而不依赖于凡礼

例如

J

的具体形式与l&J I的下界.

o, 我们可证明 {心妇+归D;cp + C 忖}叫

事实上,对于任意

IL

C

8

>



O n

t' 1

IDu(r,r)I�C[u]_

ER



(Z) fl是某 一 ”重指标,则存在C

一 C(n,a,p)使得

[D'十1u]. �sup[DD�u(x ,, r)]! �C [D fl十l u 1 a '



. (2.9)

T>O

(2.10)

l DD fl 小K表示关于工变量的Holder模. 其中Dfl十 证明. (2.9)是引理2.2与引理2.3的直接推论. 不等式(2.10)的第 一 部分是显然的.事实上对于l>O I D� +1 u(x ,1) - D�+lu(y ,1) I lz-yl"

�sup [D, 1 u]七 r>o

令.t-+O, 则有 • 24 .•



[D沁la�

[D沁比

+

现在证明(2.10)的第二个不等式.令y ==- x

k, A,u





u(x

h), 则 IDD位(x, 了)一DD位(y,r)I IDD只(u�.A.,,u)(x,r) I ..........__...--._,,,, IDD!(u 一 A 矗 u)(x,r)t�C [D 8+1 (u 一 A 矗 u)lo,





最后的不等式应用了引理2.2的(2.7) (当K 此立即可得(2.1 o).

§3.

位势方程解的

2

c ,a

+

一 1, a= 1时).由

估计

由§2知道,关于解的Holder模估计可简化为其磨光函数 的微商估计,因此我们首先需要位势方程解的微商估计公式. 引理3.1. 设u€ c•(R•)且满足 一 Au 一 I, 其中A是Laplace算子,则对于任意R > O, 我们有



ID;u(元) I�- osc u R环(雾)

+

.(i

R sup I/ I BRcr>

(3.1)

这里osc u表示”在9上的振幅. 证明.不妨设工为坐标原点,并记F



,

叩 (D

心心 一 \ aa

_ p彝



I

-沪 另 一 方面

J•.

A(D;11)d:r

,.



8p

.

-

t

足0

。 一 sup I fl. 由Gauss公 BR(d

妞坚心 Br

1 a·-v-·I;; lp'一 f 劝 iw,=I

一 1,2, • ••,n),

(pro ) 如 D;11ds].

Au cos (r, 尤,)dS ., 2,,- •

,.. - !

jcos(r, r;)dS.

联合上两式,我们有

I..

士嘉. [产



D;uds].,.; nw.F

。,

其中o霹是“维单位球体积.. 不等式两边关于P从0至 到 士

r 积分得

[r•-• ts, D;utlS - nw D,u(O)] .,.; nc,,平 彝

不等式两边同乘以r 广l 之后再关于r从0至R积分,则有 士

整理后得

[t, D1u心



心(O)I.,;: RF。十1 .;;; R几十

心D 心)

1�

心丸

左扫炉叫

1



�RF。十工。 SC R B

If ••• 关于x, 口微商两次后得到 -.6.D屯 (x,-r)



o.

D芍(x,r) 应用引理3.1(限制上式vi 为DD 怎 ),则有 IDD汪(x,, t') l 冬 C {�osc DD改江) + R sup ID节1} BR 心 R BR(Zu>



�C { _!__ 一 [DD :c u]: +'R sup I D2g I• RI ” BR(zo> 我们取r�R, 应用引理2.1与引理2.3的推论(2), 则 1 ” 一1一0 了 sup·I ti 产 "IDD泣(xo,r) I�C 一 。 [D丸+ R-r ' R

(— 一



BR丘(叩

)•

现在取R Ni-, N待定,又应用估计(3.5), 则 一 廿勹DD泣(x0 ,r) l�C{Na 1 [D2u 1 a + N l+a l/l ai}• 应用引理2.3的推论(1), 则 一 [D2u ] a �C sup r 1 fll JDD泣(允o, r) I 1'> 0 1toE'R 11

�C{Na l [D 切 L + N1 + .. [几}. 一

一I

选取N充分大使得CNa

_!__, 则得到所要的估计(3.3). 2

..., _

我们很容易将此结果推广到常系数椭圆型方程 D;;u 一 I,

-让

(3.6)

这里遵从求和约定.假设常系数矩阵(a;;)满足 1

,t I�1 2�a 1 �;�; �A_I汗,欢ER•,

.

_

(3. �)

其中A�l > O. 定理3.3. 设u E C�·"(R 娜 ) (O 0时,

Lt

一 �C[R0 1[DD 怎 1t1 ]0+ R-r-2 sup 与定理3.2的证明类似,取R 分大,则有



L

一 Ni-, 利用引理2.3, 然后取N充 BR+I' o, 一 a'iD;;z + b'D;z > 0,

在9内,

则关于切的微分不等式(6.4)就化归为(1)中所讨论的情况.不妨 设9包含于0 l, 可测函数称 ZJ1.t

为属于弱L'空间(记为L!,(Q)), 如果 inf {A I邓t)�,-pA P 冲> O} < oo.'> (1.4) 叩心 (Q)



. .., .



这里需要注意n·11 L1�(JJ> 不是范数此外L!(D) L气切, 事 实上由于llf心一inf{t\l凡) = O}, 因此当t�\)fl匕时儿位)一 o, 当t < lllllc:io时加) > o, 由定义(1.4)则有llf II 心一 Ill 11£ ID • 此外可以证明 (1.5) L'(!J)�L!,(D)CL9(0), Vq < p, q�1. 事实上对于IE L P (Q) r·· 由(1.4)

r'meas.A.,(f)�

, :,,.';



L.

lf(x) I Pdx�1 [J·. 1/(x}l'上

lit I L , �Iii II 止 又如果f E L!,(D), 由引理1.1(1.3) u,

J

/1

If If心一 q �q

CID

f f 可A,(f) I tlt

J>·-! A,(t) 0

冲+贮,•-•\ A,(f)由

�q I D I + Ill II {t, q



J: “ 五 一


O使得 IT{f + g)(尤汁 �Q(ITf(元) I + ITg(元) I), . ·: . · (l.6) Vf, g E L'(IJ), a.e.D. 拟线性映射T称为强(p,q)型的,如果存在C>O使得 IITfllLq, Vf E L'(D). � . , ·...,_:

,宁O(Q)

. i3r

IITllc,., 》 一 sui HTf tli.q/ lff 11£,,,. E: L

T称为弱 s} .,;:; meas {x E !J I I T f心) I>

+ meas�x E O 11 Tf心) t,> l

._

\

.

如果q < oo, 由(1.7),(1.8)与(1.9) 我们有 压(s).� (2QB 汇妇l_ sP 又由引理1.1 j11

ITf\'dx



+

. -�. . 七. �. ...` ,卜...

吵 _.一$

(2QB 况凶 . s'



+

!'

lfl>1',

0

lfl'dz

叶: ,,-, 一'ds L, .... IfI•.r.

(2QB,

(2Q /-? 冲 十 (2QB9

(l.�)



)�rs' •1 心) ds

�(2QB ,, 叶气 rs 广 广,叫'、





i

Q



If I 中 11

r,1/T 0

-

户劝

1

,.`

..

'

• If l•dr} lf1/1',-d . .... ,十 1

.•

尸 宁

.. 45•

-[毁必丫 p一, 十三r• r



Y





p

q

r



喟D

lfl'd 石

(B�B ;t)•i�C T II



!

00

定理证毕.

§2. 分解引理 1 引理2.1. 没f�O, f E L (R 爆 ), 则对于任意固定的 a> 0, 存在两个集合F与9使得: (i) R" FUQ,FnQ (ii) f(x)�a, a.e.F,



u

欠== 1

Q .t'{ Q .t}是两两不重叠且边平行于坐标轴

的立方体,满足如下估计 o< 其中

扣阳) dx�2 飞

(k

一 1,2···),

(Z.1)

加心一忒加扛

证明. 分解R"成等立方体网,其边长如此之大,使得对于任 意这样的立方体Q'都有 • 1ft•

王乙

(iii) {} -

一¢,

七 fdr�a. ,这是 一 定可以做到的,因为JR•/(X)心有限.将每一

er

又等分

成2• 个新的立方体Q勹此时可能出现两种情况: 情况1• 情况2.

t

f

O"

Q"

f d�

�a,

f心?>"`,产

当第二种情况成立时,我们选择这样的:__Q"为引理叙述中的立方

体Q ,t 之 一 ,对于此立方体,(3)显然成立,因为 a

< ,, fdx¾



2



.\Q'I

fo ,

fd:r�2飞.

如果第 一 种情况出现,则继续剖分,直至情况2出现为止,然后定



义9为上述步骤中使情况2成立的所有立方体Q ,t 的并集,而令 F

R•\IJ. 这样,断言(i),(iii)显然成立.现在证明断言(ii).

对于任意“凡必存在这样的立方体列 {Q 扣·-,, 使得 rE 礼IQ,1--+0, 当�-. CX) 时 且对于每 一个

Q,

第 一 种情况成立.由于f可积,因此

i

/($) - lim -,;,;1 —- -·_ f (y)dy, a.e.-i.

, ... I Q,1°,

由此知道

f( 元)�a, a.e.P.

引理证毕.

由引理直接可得到

•. ; 炉

ID I�-1 11111 凶记).

事实上池(2.1)知

. 子

·

101 - .',E 如<笘 "• 1

�L舟 '""气- 11,n山记).

. ., .

上面的分解引理是属于Calderon与Zygmund的,它对于奇

}异积分算子的研究是十分重耍的,而且已成为测度论证的基本方 法(参看第六章§2).

§3. 位势方程的估计 人们熟知,Laplace方程的基本解为 I'(x)



(3.1)

f(x - ;)f(�)d;.

(3.2)

1



lxl

n(n一 2) 也,

1 一



2

一对于f E C ;(If;)·, 考虑以f为密度的Newton位势

i

气===

满足

Rn

引理3.1. 没f E C0(R汃则Newton位势w E C 00 (R")且 ,-Aw 证明. 将(3.2)写成 叭x)



00



1

(3,3)

J, Vx ER•.

R,,

f(;)f (x - {)歧,

不难看出"'E C (R"). 应用分部积分公式 A叭x�



--i )Rn

f(g)A臣-�)兵 R

n

压 (x)

- lim 邕

-+O

8�;

8�;

L,,.., v, C;) 如 r

- -,:丹 再 一 次分部积分后得

旦 r(g)且臣-

I

Iii==•

从r(,)f(x

上面我们用到了Af(的一0 (当

l;I



;)d;

(x - g)Jg,

�)立tlS.

l�I

9;= o时).由r(�)· 的表达

式(3.1), 不难计算上述极限得到等式(3.3). 现在将( ii) 写成印 一 Nf, 其中N是C0(R•)至C 00 (R•)的

线性映射. 对于固定的i,j(l�;,;.�n)定义 多节·

其中加表示微分算子 的线性映射. 引理3.2.

Tf



, 8x;ax; 守

(3.4)

D;; 对,

潭 T也是由 C0(R•) 至c-(R )

T是L 2(R")至L 2(R")的有界线性算子,且 (3.5) IIT lb,2, �1.

证明.先设f E C0(R露 )油(3.3), 对于任意球肛



w LR f'心一!BR心) 2 =�L. D;; D;;wdz,

B从0)'

对上式右端两次分部积分后得

上R f'dx - LR 匀 (D叩)沿 干 -D 叩 + j R�D,w(D;;w R 叩

BB

现假设

I

的支集sptfc B Ro , 对于R > 2R。,当x E aBR时 也叫�J

ID 切 I�J

BR



BR



ID;T(x气) II 阳)

此等式蕴含墙

JR . 习

1 必勹胚

C ID和 - 切l阳)1农21息 1 忒芯 其中J只依赖于“ 墨

• 鲁9 •

证明. 利用中值公式

!

I Di;f(X -�) - D凇),"

l:r 1;;;.,,21 t·

¾l

I z1;;;,,21仑 1

±!D; 九 r(x一区) 11 ;, I心, ot=l

其中O

叶� �J!lfll

利用(3.16), 我们有



切 (f)�I沪+ meas { x E F* I I T扣) I>

�(41

+

O使得 a;;g ;; ; �.t I f I飞\/xEO,gER 籍 ,

习 l!a jj ii

仁('1)

+艺

a;; EC (ll)

!lb; !IL 气 SJ)

(i ,i



(4.3)

+ Uc IIL °" cD>¾A,

(4.4) (4.5)

1,2, · · • ,n).

这里的估计方法与Schauder内估计的方法相仿. 引理4.1. 设方程(4.1)的系数满足(4.3)



一 (4.5).

则存在仅

依赖于n,p,A/l与a;; 的连续模的正数R �1, 使得对于任意 0 < R�R,,如果BR 仁 Q,uE W沪(BR),l



s;; C

{_!_ llfllLP(B > + R-1!1ul1 入

R

让(BR >},

(4.6)

其中C依赖于n,p,A儿 证明不妨设入 一 L设趴的球心为石.用凝固法将方 程(4.1)写成 其中 }一f • 54



一 a ii (x。) D;;u 一 f,

+

(a;1(尤:)一a ii (x0 ))D;;i.『- b;D,u 一&M•

(4.7)

关于常系数糙圆型方程(4.7)有类似于定理3.6的结果,飞比 ijD 1 u.:L,'¾C !!fiJLt', (4.8) 其中C只依赖于n,p与A/ l ,..l = 1. 记a;'的连续模为 w(R)= sup Ja ii (x)-a ii (y)I. (4.9) l Yi..;;R t...;i .;...,;;n 由假定(4.5)当R _.. 0时,w(R)� 队由(4.8)可得 II 庄 ullLP�C { llfllL t, 十 w(R)[ID切胪+ !Ju胪叶. 1 取R。> o, 使得当O O}附近为零,又满足方程 则

一/::,. u 一 /,a.e.B:,

(5.1)

1lD2uJI LP(B炉 �C 11/1, •11,.PcB;>'

(5.2)

其中C只依赖于n,p. 证明.令 ,., 一 u(x'凸),当:r. �0时, 一u(z', 一心),当x },

(S.4)

l

其中C依赖于n ,p, A/ l, dist {!J',aSJ\S}以及a;; 的连续模. z

最后我们可得到 w 鲁P 全局估计. 定理5.4. 设砬属于C出方程(4.1)的系数满足(4.3)一

(4.5). 如果uEW气o)nw沪(D)且在9内几乎处处满足方程 (4.1), 则 2

llu!I w ''c1J>�C

{_!_l llfll

让 cD>

+

llull 让 CD)},

(5.5)

其中C依赖于n,p,A/l,D以及a•i的连续模. 这里我们必须强调,

w 2 ,,

估计依赖于砂的连续模,因此在

应用时必须特别小心. 附注考虑非齐次边值条件 u 其中

cp



中,在迎上,

(5.6)

E W攷D). 如果u E W2•1(IJ), u 一 q, E W�·"(O)且几乎 • 57 .• ,.,



..

'

处处满足方程(4.1), 则称 U 是Dirichlet问题(4.1), (5.6)的解(或 称为强解). 如果记

Jlcp II w2一7,•t-= inf{j] j E W 2 • 心),

+ lluNI] 让(D)), 其中tJ'c 仁 !JU�,c与N无关. 由估计(6.1),对于任意N·,N', sup luN - UN'I�sup lq:,N -中N''• 因此 UN 一 致收敛到某一函数u E C(D), 又由w 2 ., 内部估计 与对角线序列法,{u对可抽子序列在W,�双!J)意义下弱收敛 到u, 因此uEW诏(JJ) n C(D), 引理的结论由(6.5)可得到.



现在考虑椭圆算子类 豆一江IL a叮)ii+ b i D; +

一一

满足(4.3) 一 (4.5),c�O}, (6.6) 其中(4.5)改成: l:c 翌总忖心)一a ii (,y)\�oo(R)(l�i,i� 立 当

R-+

C

胪时,叭R)�o.

1 定理6立如果对于任意LE立,otJ E C '1, Dirichlet问题 (4.1),(4.2)属于W2 •P(Q)(l < p < 00)的解都是唯一的. 则对 � ��1

于任意有界区域Q

,atJ E C汇间题(4.1),(4.2)的解u E W 2 '11(0)

必有估计 C

!lu\lw1、P(Q)�- Hill 让 (Dh A.

(6.7)

其中C只依赖于n,p ,A/l心以及w(R). 进一步可证:如果/ E L"(SJ)(l < p N

+

\]uNl] 让CD>}

+ C,

其中C与N无关,当N�2C时,则有 II uN !lw1 ·P�C. 因此存在IIN 的子序列在w 2 ·P(O)中弱收敛于某函数uE 2

w · 心), 同样a如妹,CN与坎也有子序列满足(6.2), 由此不 难验证uEW叩 co)nw尸(iJ)且满足Lu 一 0, [lu加一1'但 由定理关于唯一性的假定,上面事实是矛盾的. 于是(6.7)得证. 其次证明W

2iP

解的存在性. 同引理6.2证明的第一步一样,

考虑近似间题(6.3), 由于 ao 属于C心必具有外球性质,因此由 第二章定理7.2, 问题(6.3)存在解UN E c 2 ·�(iJ) n C (.D). 我们需 z

2 要证明UN E W ''(iJ), 那时可用w ,p全局估计,定理的结论垂

手可得. 为此只需证明压在每 一 边界点附近属于wz 人设工” ao. 由假定 aD EC沁设 V 与中是第 一 章定义5.1中的z, 的邻 域与映射. 我们可以磨光oBt的角点,因此不妨设8Bt充分光 滑. 令y一叭(%), 记UN(-y)一UN。心-l (分, 则沁满足方程 一政D,心+妗Dr沁+ cN 如= JN, • fO•

共中 砍一a 卢少丸,'6; 扣扣 CN

对于q





z==

i a�fy, 朊祝

CN呻飞fN

=压 O

+ b 豆杻

贮.



max{n, 叶,伈E£i(Bt), 由定理6.1, 引理6.2, UN E

w2 ,q (Bt), 变换回变量x, 则压在x。附近屈于w 2 飞因而

属于w 2 .,, 这就是我们所需要的.定理证毕.

虽然定理6.3巳经得到了w2 ,, 解存在性的结果,但它是在唯 一性的前提下证朗的.当p�n时,由于有定理6.1, 可解性I问题 巳彻底解决了,但当p'其中q为任意�2整数虽然计算较 繁,但基本思路是Moser迭代 • 6ti •



(1.12)

中取检验函数中



妇 UJ 内(q�1), 其中CE c;;(B石),则



;B汀

妇切卢a;iD;wD 叩 ¾2q \

.'B..,



'五1 2 � 一炉D;吵; 1.."11 dx

(1.15)

_ .. ,

十}如u尸a ii D;wD心dx. B(I

., 1:."..

利用Young不等式

2q \ W \ Zq 一I � 2 q - l泸+ (2q)归, 2q

一,' �

于是由(1.15)可得

上\尽a•i伍卢D;wD;w�(2q) 2 叶砂 D;wDi�di Ba 2q Ba 十

勹 4q

+ 4q

I

C

2

Bu

l a i1 D;wD; 切心 I 切勺 '

Bu

i

.

'

'





;,

吵上D;CD沁心,

整理之后并应用正定性条件(1.2)与估计(1.13), 我们得到 A.

j

B (1

,2 I 切 \ 2 "!D砂dx�CA(2q) 勺

+

I 6Aq'l

Ba

(1.16)

凇丙ID 奸dz,

其中C与q无关.对于B�l,r>O,o+r¾ 行取从工)为关 于凡与Bo+� 的截断函数,即

!;EC;'(Bs+'I"), O�{�l,

.

I

,



.

3

2, '= 1当xEB�, IDCI�---,--., t'



注意到(应用Cauchy不等式与Young不等式) 2 ID(和叫 2 ") I�2q和叭 Z f甘D-\w I I + 2?;1Dtl lw 1 ' �,2 1切尸叶Dw 12 + ,2c2 1 w I 2q-2 + 4-r-l \·IQ心 2 2 2 ¾C2 lwJ2tJDwl2 + ?;2 \11112, + , q , + 4-r-1lwl f; 则由(1.16)司得

I..

ID(甘lw户) I d.x .a;;; C (2q) 2 • +

c .. --.,. J•.



. ., .

lw l 2 •d.r,



其中 C只依赖于 m A/l与(a - 1)飞





忙-=

n一 l

Sobolev嵌入定理,则有

(J., iw 严心 ) 取 q;

¼

,s;; C(2沪 +c 心忆

一 K. , 。 一 a,lJ; 仁1

8

a-1 0;_1 -一 i

-==-

(\

两边同时开长 ;

¼

2

�C(..)•o

n

2 (1.2)' a;(x,z,11) 11 ; �l11 l 2 一[µ(z - k)+J -旷, -b(x,z,11)sign z�A[闭+µ(z - k) + + /]. (i'. 7)

则定理仍然成立. 附注3. 如果结构条件(1.2)改为 a;(x,z, 心.,,; �I.,, I ""

- g"" ,

其中i-> 1, 其它结构条件、弱解的定义作相应的改动,那么也有 类似的定理成立. 以上附注请读者作为练习证明之.

§2. 有界弱解的Holder模 估计的方法类似于第四章§1, 但是这里所讨论的是相应于非 齐次方程的情况,此外在结构条件(1.3) ,(1.4)中我们可以看到b 关于凡的增长阶比I叭高一阶,这种增长阶条件称为自然结 .. 构条件,因为不符合这种增长阶条件就存在相应的Dirichlet问题 无古典解的反例. 定璞Z.1. 设方程(l.1)满足结构条件(l.2);(1.3)与(l.4)'

•,a'

u E W 1 ·2(B心是方程(l.l)在凡上的有界弱解,对于某q> n, 设 2一 l 一三 (2.1) F R f IIKIILq 十 R 气 lit + g2 lJ£t < oo,

。-

则对于任意p>O, .0

,, .

[f 压 由 叫,

l

4 m上l

..

o, 使得对于任意0e-A 飞由弱

(2p+l}e-Au]

(lD叮+ f)芍



(2P+1)e

一 Au dX.

然后通过与定理2.1类似的计算可得对于任意p > ess

·�r

即 ess 1�: u;::,,

一 五 •,;,;;; C

囚 矿叫\

¾凡 ; 叫

;,. ½ 甘



B,

u-•dr •

!

o,

-}

B,

U•d r

-t ]

u

矿 dx

i

]

与第四章定理1.3相同,为证定理,只须证明存在p卢>

炉 olwldx�C,

其中w



J

fJ - lnu, 现在取检验函数 Ba

口开D叮dx
1, 取{(元)为BR(动上的截断函数,其中R=- N飞 仁(心满足

c E c;(BR(心),知a) 一 1,

IDtl


det(-D切dx.

啪九,a;;; :

在上面取极限过程中应用了

det(-D'u)d

平.

Vm 心在C(立)上收敛于 tis'

(12 6) 这是

应用Sobolev嵌入定理的结果. 注意到rts crt并在(1.26)的

左端令8--...0, 则有所要的估计(1.20). 现在我们来讨论椭圆型方程 Lu 一— a iiDi;u + h;D;u

假设系数满足以下条件:

+

(a i )�O, 在9内, i

江卢 I



L (D)

C�0, 在9内,

cu



,;;;;

t.

(1.27) (1.28)

B,

(1.29) (1.30)

其中勿 * 一[ det(a吟]飞 先考虑如下的特殊方程 L u 一- 让D;;u







,.

定理1.8. 设 u E C(D)n W识(tJ)'

L u�f, 系数a ii 满足条件(1.28), 则 • 104•

(1.31) 在9上几乎处处满足

骂p

u (s),,:;;;;

j+

d

s�f u (元) +�11-�\\口(中,

(1.32)

其中v = u - sup u(x). elf}

A



证明. 不妨设不等式(1.32)的右端是有限的. 现在记矩阵 (a;;), U (-D切,由引理1.1'在几上几乎处处有 u�o,



应用算术平匀值与几何平均值的不等式,我们有 -a ii D ;ju

1

= Trace(AU)�n [ det AU]• =n 勿 *[det(-D 2 u)] s , a.e.x Er九

因此在ri上几乎处件有

冗· det(-D 2 u)--c:::::

l "纫 *

f十

[—沪D;iU] < --. * "勿

应用定理1.7立即有所要的结果. 最后关于方程(1.27)我们得到如下的 A leksandrov 极值原 理: 定理1.9. 设 u E C(fJ)n W记(Q)满足方程Lu�I方程 (1.27)的系数满足条件(1.28),(1.29)与(1.30), 则

叩 u ,,-;

s荔r u

+

+ c\l

卢t

气 r,,

其中C只依赖于n, B与diamfJ. 证明. 令v = u 一 sup u飞由于Lu< a!)

-砂 D;;v�-b;D;v 十 l 其中b是向量(b '护,

(1.33)

,

I,

f�I Dul lbl

则在

+

r:

上有

f+,

•,h"). 应用Young不等式,可得 一1 --T -. , ] -让D;it/�[ I b I ,. 十µ一 "(f +)于[!Dul 口 +µ. IO



其中µ是待定正数. 记 g(p) 上式可写成

一 [}pl ¼

II

亡l

+



·

IJ

"'亡 ]·-·,



1 啊

一砂D i ;u• [g(Du)] �[ I 6尸+尸矿) ] .

(1.34) • lOS

11

先设uEC 2 (!J), 由引理1.4

忆;)

g(p)dp ,;;;;



L:

g(Du)det(-D'u)dx.

一 sup v(x)今M, 如果x。 E iJIJ,

此外,必存在x E !J, 使得叭Xo) 则M

一 o.

(1.35)



现在设r E O, 由引理1.3 (2)与引理1.5, B旦(0)cQ[x0 , v(x。) Jcx(r;).

又注意到 g(p)�2 2



"(I P I "十矿)飞

因此我们有

巨)

g(p)dp�) B,i



(O)

尸(IP尸十矿) •Jp

一 2 飞 In [1+( 叮 d ]. 2

,,

又由(1.35)则有 ln [ 1

+卫).]� 立 I rt g(Du)det(-D切dr. 叩



(1.36)

类似于定理1.7的证明方法并注意到g(p)的有界性,可知上式对

于uE W记(0) II C (li)仍成立. (1.36)与(1.34)

类似于定理l.8的证明, 由

In [ l +心).]� 巴 1,: g( 加)[一:芦;u] du 玉伈[志尸µ凡.(么)·1,.,, 彝

如果1 + .i.

于是

o,

则令µ

心 M

• l06•



�exp 一

I 上-



}I

芯丿





此时有

[11, I J 彝

I f+ ; I s�p v(x)�Cd· Q

i 云

+I

仲}- I,

气 ,: ,



如果f



o, 取亿> o, 如同上述运算,然后令p-+ o. 定理证

毕. §2. Harnack不等式与解的Holder模内估计 我们将仿照散度型方程的De Giorgi-Nash估计的程序,先 建立局部极值原理,弱Harnack不等式,最后导出Harnack不 等式. 为计算简便,我们只考虑以下形式的方程 Lu = -a iiD,;u 一 儿在9内.

(2.1)

假设系数(让)满足 一 致椭圆型条件: ,1. > O, A几E;; r, Vz ED,

(2.2)

ii

其中l,A分别是矩阵(a (名))的最小特征值与最大特征值, T 是某 一 正常数. 定理2.1 (局部极值原理). 设方程(2.1)的系数满足 一 致 椭圆型条件(2.2), u E w 2 ••(!J)在9上几乎处处满足Lu�f, 又设//2 EL 霜 (O), 则对于任意p > O, Bu(,,)cD, 我们有·

郘 II..:; C [ ••!,., 111 K(i_i,· ·.. ,i.)I, I K(ii,• .. 心一1) (1 r I�tJI K(i.,·.. ,i. 一 1)I. . 由几的定义,则有K(i1 , · · ·,i 雇 一 1)cr,. 于是 几全

U Ker,.

fCEI

此外由(2.9), I几nr1



I

�IJ

U (Kn r)t KE, 艺 JK!

Kft,

.·f, 又设f/1 E L•(Q), 棹 在B叭y)CQ中非负,则存在p>O,C>l使得 霜

[ .)., I u\• 心 1 1 ,,;;;

1 t,, u + R 11+11口

C [ 忱

(2.10) (B,a(YJ ,

其中p,C只依赖于”与兀 这个定理的证明是相当冗长的,我们分为五步.

一 ?立二立,我们不妨设y为坐标 户 标变换 第• 一 步: 应用坐 • • 2R

原点,2R

一 L记

" - "+ 11+11

·

r

L nO, O 只须取 {J

LtJ�I gl



时,

__

丫· " I > 2 2a.

则有L 71 �0, 这里我们应用了 一 致椭圆型条件(2.1): A/-1 于是由(2.13)在B 十

fl

< T.

{x E B i , 叭心> O}上

+ 4/J'A

十·�;(节) X(B扣

其中X(B a )表示B。上的特征函数. 注意到

, . 1 � I 1 IJf IL B > 气 1

由Aleksandrov极值原理

sup-v�C[l B1



llv 十 fl

L 霉 CB o>

],

(勾“

其中C只依赖于几九o. 为了应用测度论证方法,我们将球转换为立方体, 由(2.15), sup v�C [ 1 + liu + UL•] 邑1

�C[l+IK:I

1. 霄

其中立一{x EK 山心> O}一{ r E K. f u

sup v], .IJ,

+ ti

“ 古,.

< 1 } , 如果 • 111•

一-··-·一, .,.,, ,..,,. ,

1

鸟�8全

芦!Kai

1 K.1

(4Ca)•

则 sup "�2C, Bt

即 inf (u B½

+ s)�J_.

(2 .16)

C

注意这里的C只考虑其依赖关系,而不计其大小. s__.O, 我们得到以下结论: 如果 IK 引 �fJ,

在(2.16)中令

IK 』

其中立一{x EK卫�1 }, 则有 inf u�C 飞 斗 现在取8 引

x_t

K 一 l - f ,�- -兰,显然 n ,./ 6 J



I ](!I

由上面的结论



B1. 则当

lfC1Kal�

I ,;.\Cr n 凡) 1-�BIK.I.

inf u

K归

坛仁

;;:: Binf u�C 飞 令

这就是所要证的. 第二 如果 ..步:对于任意正整数m, . 则

ir nKCII� 沪 I K(I I'

c-- ' · inf u 。 K

;?;

(2.17)

.. .

-

(2.18)

其中C是第 一 步的结论中所确定的常数. 当m=}时,上述结论显然成立. 采用归纳法,设上述结论对 m成立,要证它对于m+t也成立. 现在设

z

It



. .

• ll

tr nK.. I�lJ 咖+i lK.I.

(2�19)

记兑一尺与

几一U{K.J心)

n 岛K心) c 兑,

I rnK 心) I� 引 K,. (3')[}.

由引理2.2, 则有

ra = i C

一1

Ta

如果八一 m). 如果

(2.20)

.

K。 一 凡,则(2.20)缰含着(2.18) (以m+1代替 1rnR。,� 引八 I , 记 Cu, v满足方程 tJ



-a ii D尹, = Cf.

由第 一 步所给出的记号 V-

又记

f

V



I 啊让CB

,>·

一 c;;,

一 {x EB拉�1}, (2.20)意味着 r8乙入

因此由上述事实与(2.19),

1tn和�I 八,� 上 Ir n和 lJ

-凸 f nKal lJ

6畸 I

K"'!

一沪

I

和.

由归纳法假设

inf v�c-•, Ko



inf"�c-< +u. 啊

Ko

...

第三步:记 I' t一 {z E B1 I u(:切> t},

(2.21)

则存在C>l,µ.>O使得对于t>O有估计 • 113•

C



.

,,..

' �·

. ,.,,,,,.

• ...

I B.n r 丿 ,e;;c\B Ir�·-1 "





inf





(2.22)

t

其中C与µ只依赖于n, 兀 令,

,由第一步的结论中所采用的记号,相应地有;; =

一?

uf,, 记

巨刍扛EB扛(x) > 1} = r,, 如果!Banr,I o, 则(2.22)是显然的.现在设IB"nr,i�o, 则必存在正整数m使得 "'一1 沪 !K a i�I斤K a i�o \ K a i, 即 。1 ln ·一, .一 -• (]n8)-1�m�l + In If 门 Koil • (lnlJ)飞 iK,,. I 因 夕;>/ 由第二步的结论(2.18)



rrnK

inf v�C



k卫

"'�C 一 1

i巳“ 一 ln8一 1 /lnC, 贝O

[

l " lnr

I 和勹K,J i

r;:;-;r=-

I K.I

IT,UK« I�(C infi,)P.IK a l. Ko

由此不难得到(2.22). 纾归才:证明存在

驴 I'dx]

}

,;:;; C

由第三章引理1.1,

}酝

1> > 0

ju/P 心一 Pj-

使得

(tf u十五“心)).

(2.23)

,,-•1 B !l rt r t I dt

-寸, 广 1 JB

-x

nr,Jd,



p

J�勹,可 B

tt ()

T, ! dt ,

其中b是待定正常数.在上式右端第二项中应用第三步的估计,我 们得到 • 11 令·

仁 lul'd.r,;;; P 『 f可B.I dt + p�Cm:i l B.I尸劝,

其中m

。 一 inf u. Ba



取 p

0



J.

µ/2, 则

lul'dx�b 1 IBal

+

取b =- C忐西,则 \B.

I ul'dx¾2C m� ¾ 2C 台



第互枣:利用覆盖技术证明

[4

I ul'd"] 古 ...;; C

Cmg'b-'IB .. I.

(tf u + 1l+IL.•}·

(i卧 u + 11+ IL , 它将在后面确定.现在构造闸函

这里门荫足Ix 已兄

"(劣)

1 一 一—

r'Ix



,1,,

其中?是待定大正数.容易计算 Lw

立_ —沁_ 一 a;; [p(p + 2)位�lz y_;)(x; yJ•+z] PI 工 一 ,1,+< _



凡 �. x一yl , ...1..• (p+ 2



rn),

上式应用了条件(2.2入取x, 的邻域 ._Ar, -

o n {,
丫n, 则在4气上 Lw�

YI < 3r}.

2凡 (3r)'+z•

(3.2)

,现在在J广,上考虑辅助函数 ,,(髯:) .... K切(箕?)一(11(:c)一u( 元o)) + (6,) 0 [ 山1 ] a ,8.K,.nlJD t 其中K是待定正常数.由(3.2)

L• 气芯� +2

• 118•



气) > o,

(3.3)

i I

如果取K > 3,+2 l_ I 入

L "°

尸飞此外在叮顺吐 叭:%)�o.

如果又取K > 4r门u ID'则在 心�K

a方,na上

灶-护- 2Jul 。 �o.

这样由Aleksandrov极值原理,当

。, 3

K ;;;,, r 1 max { 4 I uI



时在J飞上有叭x)�O, 即 叭幻



·/l+!lJ



u(x )�Kw位) + (6 r) "' [ u] o:,B.KrnBD

O,OO与

Ilg 11£"l,Ol,O o, 记柱形区域 BR.� =- {x 11 工 'I < R,O < x. < IJR}, B:



2''



3 6R {xllx'l 0使得 工亢

, 11,,

昂t.,;;

”十 Ril+』�,B:>). 2 (�罚

(3.19)

为简单起见,我们可以规范化,设 R=l, 入= 1 , i inf o·, O < p < 1使得对于 任意石E8D

文。

SC

D田 �CR,, VR > O,

其中fl, C依赖于n, 如 I"!, A,.儿Mui 中 h 与 i=1 BR_(�。)

其中

(3.23)

ao.

证明.首先令尸一 ” 一 如u满足方程 一 a'iD;;v 一一 a ii D 时) + F(x,u, 加,O),

设石召泣,

a il 一

『庄 (x,u, 加,-rD u)杠 ar;; 2

由于沉"1 E C 2 , 0

我们可以通过一个c 2 微分同胚将

沉}在 Zo 的邻域展平,并使 x。在9的邻域映为Bt, 由上面的 Krylov引理 [Dv] 111stJBf n

�c.

现在映回原区域D, 并应用有限覆盖定理可得 [ Du l 11 ;Bl1�C. 歹

类似于内估计,考虑函数

• 138•

(3.24) 、

叶=(-1) 0 D1u

+ s 芝(D心2

(l

i=t

=:a

1 , 2, · · ·, n; 0 = 1 , 2). (3.25)

在引理3.2中巳证 fJF 一一—D;;叶�Ce 儿 (1

a吓

+

ID叫中).

由引理1. 又对于任意石E 80,r ED, 叶(心一叶(x。) .;;; c.1x一X产

(1

+孚[叶].,aR).

由叫的定义与(3.24), 上式蕴含蓿 心(:c) - D1u(z。) l-2sM1

�c.Jz对l求和后,并取s=

文 ID心)一Diu( ,)I 允

i -1

m气



1

—后,则有 4nM1

文 ID,心-加(动 �Cl 尤

l•l



艾• I 击,

0E BD,zE D.



由此立即得到(3.23). 这样由定理3.2的内估计与定理3.S的边界附近的估计,我们 可得到梯度的全局Holder模估计,即存在C�l,O X:1 在点(u, a) E X1 X 2的Fr 七chet导数记为G, 对于任意 hE Xu lE�, G:� � 凡称为G在(u,rr)的Frechet

偏导数. 隐函数定理设Xu�,X1是实Banach空间,G是由X心2 的某开子集到凡的映射,对于(uo,ao) EX1X2,G满足:



(1) G[u., o]一=

o.

(2) G在[u。,叫的邻域可微且其Frechet导数在(uo, uo) 连续. • 142•

(3)关于U的Frechet偏导数G�u�,a。)可逆.

则存在q在 户

2的邻域丿户 , 使得G[u, a]= 0对于每一个aE ..A 可解,即 对于每一aE .A户 ,存在Ua 使得G[ua , a]= O. 现在记 F[u] = F(x,u,Du,D切. 定理5.1. 设FE c 1 (r)且满足结构条件(Fl), 如果对于 某O n, 则u E C · (B忒句),其中 8





1--,



但若p�n, 则”并不 一定是Holder连续的. 关于Holder连续性的定理告诉我们:

但是Morrey的

定理1.1 (Morrey入 设u E w 1 ·'(B从句),p > l. 如果对 VxE B从句和Vp:O < p < d(:t:) R- Ix 一 z出有



忆•> I Dul'dx..;;; C (右厂,.

0 < IJ < 1,

(1.1)

则对Vr:O n时,L'•,.(!J)

{O},

(iv)若p�q, 且立二!!_�.!!_二卫,则L4•"(0) 已 Lt• (D). p 'I 卢

证明(i)显然. oo (ii)若正L (!J), 则 ,

ilu II .J..P'•�C \\ul\LP'µ n

+ p,

则豆p,µ(Q)一{常数}. 0 证明.首先证明:如果 uE C •'(fJ), 0 < 8 < l, 则



11E

幻· 凡 (JJ),µ=n+po, 且\lu\l !i P' 汽 D)�C l\ul\c: 叫 s,. 这里Uu\lc"'­ u归+ [u]o,8;!J (参看第二章定义1.1), 为书写简单起见,下面

我们常用Iulo和[u]o.i分剔表示l ulo心和[u]o,&:D• 设uE C 0 · 6 (D),O < o < 1, 则对Vx E JJ, Vz E Q(x,p), 我

们有

-i

仁 I心 l中) - ..... , �_J I Q (X, p)'., JI(ti•11) ¾--1;,

一霹

f -"'«,,/ u J••• I "





叭t)IM



• 171•

f

�C[u]。, fJ Zp 心-1dr 。 Ap 露 �C (n , A, o) [ u] o, 矿, 因而有

习 Q( ,p) l心- U ,p/Pdz�C(n,A,8,p)[上产曰 一 C(n,A,o,p)[u]沁, µ 一 n + pa. z

z

因此有



[u],,µ �C[u]o,a,

C(n, A, 其中 C u E !iL',.卢 (O), 且

a,

p).

又由于\Ju\\L P �IO I ! l. 11. I,, 故

t\u \]砰屯 D)�C\\uflc ° '3co),

其中C

一 C(n,A,o,p,l!JI), µ 一 n + p8.

其次证明:若u E�p,µ(O),n fJ 叭 (R)

+

Br欠 fJRP

红(+l)B [IP(R)

+

BR'

芝:





i=O



1一r' 亡 8)(.t+l) l一廿--,

-,;fl

因此,我们有 叭r -t+1 R)�c-r c.t+1>fl 切(R) 其中C

'Z'j(1"

I _'l'T

+

C(A,a,tJ).

]•

BR6],

(2.3)

现在,对心�R, 选k,使-r -t+1 R < P¾ 召凡于是,由0的

单调上升性和K的选法,以及不等式(2.3), 容易得到 叭p)� 叭 (r k R)�C卢叮(R)

+

�c 尸

+

�c, 其中C1



l(%Y

l烽)•

叭R)

O, 设f't Ei O (i 使得对V式ED和Vp,R :0 �C l]fl1L11心 .IR邓 C(n,N,l,A,µ, diam!J).

2立变系数椭圆组

0 定理2.5. 设A尔夕)满足 c 2.2), 13_ Arf E c cn), 1 A中�A (a,/1 = 1, · · ·,n;i,j = I,···,N), f't EL 扣 (.Q) (a 一 l, · · ·,n; i

一 1 , · · ·,N), 0

-+·

ilf 1li1, 霜



'(Q',Ill 毒 N>} R 11+28 飞

• 189•

由迭代引理知 \

., B ,, 心

I Du - (D�) 怎 •,,,! 2dx

� C{!)Dulli1w',R N) + llfll ia, 亢 巴(立 R N)} p"+za飞 其中C依赖于n,N,从A,lJ,s, !IA和lc•·w, dist(ii,ao)及diat心. 一



由此知 0,3



一g

DuEC,oc: 2(0,R"吟,Vs> O, 而且 11Dullc••6-½ 心,R• 趴

+ llfllrr·•H8(D',R彝N >}.

< C {IIDullL1(.0',R"N>

特别是,由此可知Du是局部有界的且有

I

D

BR(11t )

I Du I 2dx�C [ l)Du!f i1ca'.R 鹉N )

+

!lfll 沪(也R"N>] R 露 ,

其中C依赖于n,N,l,A,8,IIAffllc0•1J, dist(Q,8!J)以及diam!J. 将此再代入(2.18), 得

l

Bo 心

I Du - (Du江 ,P I 2dx

�C

+

(g_R)



+2

, I Du - (Du)箕 , .寸心

\

.. BR(11t)

C [ ii Dul)i2 �C llf 11 让(BR.IR"N)' 其中C = C(n,N, 儿, A ,P). 定理得证.

下面我们研究线性散度型椭圆组弱解的L'局部估计. 定理2立.设u E H1 (!J'RN )满足 LA加) D,u'D.中"dx



\代 (x)D矿dx, I)

V中E Hi(D,R吟,

其中A汗EC (fl)'I A汗(无) I�A(i,i = 1, · · ·,N;a,fJ 一 l'... , 心,且A't/(x)轧轧 �l I ;! 2 , A> 0't: €- LP(Q) (i = l, ...' N; rt 1,···,n), p�2, 则Du E Lfoc(!> ,R n 吟,且对 vfJcco, 。



有估计

l]Du]l让(fl.]RnN ) �C(llullH 1( 如i N ) + Hill LP(D.R" >] , 八r

其中f

一句),

连续模.

C依赖于n , N , .t , A , p , dist ({j , 8Q)和A汗的

证明.只要对迈 c c !J , V xo E Q, \:/ R : 0 < R < dist (Q, 心),证明Du E L1(B R(句,R•N)即可. 歹

由假设知u E H (BR(句,即)满足

!

1

B'Ji. 怎 '>

Af;飞) D,,iD.qi

用凝固系数法将它改写为



BR(怎·>

..... :·

j

心一 \

�B�1r•)

f,

(元 )D矿丘

'i q, E C;'(B R (xu ) ,R N ).

(2.2)

店 (x.)D叫D对dx II

肛釭 )

UAif(义·') - A:'f(元) ]D 11 u 1 D oi 2**' 则Du E L 2 **(BRi 'R nN ),

于是继续进行上述

步骤,经有限步以后,总可得到Du E LP(B 色 ,R [IDu!] 让 (B�,R" 趴 �C{llfll, L心 ,R nN )



)且有估计

+ I 叫. Hl(D,R'!>},

其中C依赖于n,N, ,l, A,p, dist (iJ, 8Q)和心f的连续模. 证 毕.

注2.1. 在定理2.2中,A汗E C 0 (Q)这一条件是不可少的,请

参看第十二章§4中N.G.M�yers的例子.

• 20C•

第十一章

非线性椭圆组弱解的存在性 弓l



§1.



.1

在本章中,我们考虑散度型非线性椭圆组 Da Af(x,u,Du) + B1(x,u,Du)= 0 (i=== l,•••,N) (1.1) 释 nN N 弱解的存在性问题.其中式,B;:Q X R X R -it>�, .!J是R





中的有界区域.“椭圆性 的意思将在下面说明令 (1.1)的弱解的定义与A'; , B; 满足什么样的结构条件有关. 在这里,和在第五章中一样,结构条件是指椭圆性条件和增长条件 的总和. 定义1.1.

r

若Af, B; 满足下列结构条件 Af (X'u'p) p� 诊 lip1 2 -Alul" - f飞),

" . :,,.

(L2)

+ 111! :i 十 f飞)), 1< IB;(x, u, p)I�A(\p! •-}> + lul r- 1 + f心)), 灯(x, u, p) ,s;; A,(lpl

(1.3)

2 其中i, A, A1 是正常数,片,f; �O,f ,ff E L (IJ), /; E L�(!J), 2n 而r 一 2*是2的Sobolev共枙指数(当n>i时,它等于 一一— , n-2

当n=2时,它可为[2, 十 00)内任一实数),则我们说灯, B ; 满足 可控制的结构条件.这里,(1.2)是糊圆性条件,(1.3)是增长条件, 我们称其为可控制的增长条件.

N l 在灯,趴满足可控制的结构条件时,我们可以在H (!J,R )

中寻找(1,1)的弱解. N 定义1.2. 当Af, B i 满足(1.2),(1.3)时,若u E 1/i (Q, R ) 满足 i } [尤(x, u, 加)归+ Bi(x, u, Du)cp ]dx s;

一 o,

(1.4)

• 201•

Vc1, E

Hl(.Q, RN) ,,

则说”是椭圆俎(1 1)的兢斛. 可控制的增长杀件(l.3)保证了积分恒等式(1.4)有意义,但这 组增长条件不十分自然,在N= l (单个方程)的情形, 我们知道, 自然的增长条件是

1 A"(x , u ,

p) I�A, (I p 1 + g C心), I B (X, u'p) I�A(Ip I 2 十 f (x)),

其中f,g>O, 且f'g E L 1 (0). 现在我们也来考虑与此相应的自然结构条件. 定义l立

若店,B; 当I叭�.M时满足 尤(x, u, p)p� � 儿 jpf 2 - Ad飞), (.r, u'p) I ,,,:;; Ai(I p I +代(x)),

{团

(1.5)

(1.6) 2 IB;(x, 凡 P)ll时, 一 般讲拟凸性比凸 2 性弱). 可以证明, 当FE C 时, F关于P的拟凸性蕴涵Legen­ dre-Hadamard条件(2.12)成立. 因此, 更为自然的是称满足 Legendre-Hadamard条件的积分泛函为正则积分泛函,而不是称 满足Legendre条件:

F

比咋

氐gb�0 (即F关于P凸)的积分

泛函为正则积分泛函. 但是由于下面研究椭圆组弱解正则性间题 的需要,我们常常还是假设Legendre条件成立, 甚至假设强Le­ gendre条件 N F g j l , l > 0 , V; E Rn I �A 氐扎 咕咋 成立, 而不是假设Legendre-Hadamard条件成立. 即使在强 Legendre-Hadamard条件 F PaI P13; ; 心和I;�



lg 旧寸,1>0

V;E R飞'1 E RN 下,也不能得到后面第十二章中所述的正则性结果,关于这方面的 讨论请参看[GS], [FU]. 1 (单个方程)的情形,Legendre-Hadamard条 当然,在N



件与Legendre条件是等价的. 2.3.

正则积分泛函在 Hl 中的可微性

在第2.2小节中我们研究了 J[u]



i

D

F(x,

11

, 加)”

在“心(D, 配)处的一阶变分的存在性(以下简称J的可微性), Iil i 一 并导出了J在 U 处的Euler方程组但 般讲,J在c (lJ, R ) 一 中不一定有极小点,我们在第2.1小节中证明了在 定杀件下J在 • 219•



t

H (Q, 即)的闭凸集沈 中有极小点.现在我们要研究J{u]在 u E H 1 (Q, 即)处的可微性并导出J在u E H 1 (!J, R N )处的Euler 方程组.须要注意的是,在这里,要泛函J可微,不但要求F有 一 定的可微性,而且还要求F满足适当的增长条件. 定理2立假设 1 ° F:D X RN X R nN ___. R关于 X 可测,且对a. e. x E Q, 关 i 于(u, p)属于c . 2 ° lV 2 - g1(x)¾F(x, u, p)�AV 1 + g2(元), 2 2 其中儿,A是正常数,V = (1 + !ul + lpl )合,g;(:c) ;?; 0, g 氏 L 1 (fJ) (i = l, 2), 且



只(x, u, p)I,;; C(lpl + lul j了

I 心(x,u,p)lCfJ,

其中



(1.8)

一 t)D心)dt,

—--,

he )一u i (元) -—一1一 h

• 215•

尸.,

由于心满足(1.2)和(1.3), 故A't;伈满足

总斡诊入 1 汗,儿>

!A 灯1i) 1 冬A 鲁

o,

(1.9)

现在,对VQccQ, Vx气Q, VR:O < R


f{ {J

+

'. ·�

[A7工 , +心归+ A�I ·D, D 叫lD胪 心 lB;:r, + B;,,;D叫+ B i p�D1D fl 记l扒心一

o.

其次,对VfJc 仁 Q, Vx乓Q, \f R: O < R < _!_ dist(O, aJJ), 2 o 取中一矿D,u, 其中 77 E Coe(B忒x ))满足(1.10), 则得 0 i DpD s u i D U DS 心x A \矿 i p d ./ Q

+ \Q

A''.,D 8 D叫• 271D « 11• D, 心x •r,,

+

旷A�r,Di1 D,u i dx

lf"J

,





D

+

I Afx .- • 211Da11• D, 心x Q

矿心D,u仇D,u;dx +

+ \ lJ TJ 2 Bi 工

,

D,u'dx

+

\ IJ A切.

2西• D,u1'D,u'dx'

\矿B ;";D,u;D出心 Q

旷B i t-'..D8D, u1 D出dx +\ , Q

-=

(1.12)

O.

通过简单的计算并利用(l.2)和(l.3)可得 因而有

归。, l'IDD,u !'dx�CI

1

B

R

(:,; O )

和炒)

(1

+ I D,11') I bu l'dx,

IDD,ui 2 dx至Cllu\\沁 .R 吓

a

其中C依赖于n, N, 1, A, dist (i:J, !J), 将对 S 的微商改为差商今 , ,u, 以上过程可以严密化而得到 �





I Di:::J..,..,u I 2dx�C \lu.11沁式),

其中C仍依赖于上述诸量而与h无关. 而且可得D,u满足(1.7). 定理得证.

因此有"E -Hi 。 c:(D, RN )

但在自然结构条件下,上述结果 一 般讲不成立,这时只能证明 ..)1'•

i

连续弱解属于H � 即我们有 定理1.2. 假设A,BEC 1 , 满足自然结构条件(1.4), (1. 5 ), 且uE 1 L oo(Q, R N )满足

月n

(x, u, Du)Da cp i + B;(x, u, }凶 " "°

Du)矿]dx



o, (1.13)

V rp E H6n L (Q, R勺,

而且还假设u E C 0 (Q'RN 入则uE Hf 。 c(D, 即),且导数D,,� (s 一 1, • • ·, n)对任意中E H�n L OCl(Q'R N ), spt中co满足积分 恒等式(1.7). 证明.首先,与定理1.1类似,对'r/QCCfJ, Vx气Q, VR: O 1, 所以u,, 无界. 这个例子说明: De Giorgi的关于系数有界可测的散度型二 阶椭圆型方程的弱解必定Holder连续的结论在椭圆组(N> 1) 的清形是不成立的,因而不能用第五章的方法去研究散度型非线 a

性椭圆组弱解的c 1 , 正则性. 但是在系数充分光滑的情况下,究竟散度型非线性椭圆组的 弱解是否具有C 卫 正则性?或者,散度型拟线性椭圆组的弱解是 o 6

否具有 c , 正则性?这些问题从例1中仍然找不到答案.. 1968 年,E. Giusti和M. Miranda将De Giorgi的例子作了一些修 改,得到 一 个散度型拟线性椭圆组的例子,说明了上述间题的答案 是否定的. 例2 (Giusti-Miranda f 1968).

设9

n�3. 考虑

\灯,r (u)D u;D ti

B 1 (0}

叩; d X



B1(0)cR•,

N=

== 0'\:/ cp E HA (B 1 (0)'R 露 ),(2.5)

其中 伈+上一一_u;u°] 吓(u) ..... llo心+ n - 2 t + I" 1 2

伈+

X

这里心





1, u



('t



o,

4 n-2

”“

一言吵

p,

/1.

容易证明,A'tf(u);�g� �I; 几且灯!'(•)是”的实解析函 )I 1 数.但是向趾值函数u.l(xJ - -----·- E H (B 1,(0) ,. R•)是(2.5)的弱

比l

,,

--;

. ,..

•·.

-

..

一 中

. .~ . `



2.U ..

解,却不连续. 还可以举出其系数十分光滑但其弱解不属于厅(Q, 的)的 散度型拟线性椭圆组的例子. 例3 (Necas, 1972). 设Q = B 1 (0)CR", N = n�5. 考 虑

\对 (X, U) D 8u; D a(JJ; d X



�B! (I)

O,V

I; I 2, A�f(x, u)十分光屑,且 n-2 X U 1 ...:= --- E H1 (B 1 (0), R 11 )是(2.6)的弱解.但是当y� 2 I xJ r 时,U1不属于H2 (B 1 (0)'R n ) • 另外还有许多例子说明椭圆组弱解的正则性问题要比二阶椭

- ,.一---—--

圆型方程弱解的正则性问题复杂得多,读者可以参看[GQ1l. 因此,1968年以后, 一 方面,对 一般形式的散度型椭圆组,从 C. 8. Morrey开始,研究弱解的所谓 “ 部分正则性 ” (即证明弱解 1 e 在9的一个开子集!Jo上具有c , 正则性,而meas(Q\Qo) = 0). 另 一 方面,对特殊形式的椭圆组进行具体分析,其中有许多椭圆组 ”



的弱解仍具有 处处正则性 ,例如可以参看[HB). 下面我们将在§3和§§4一5中分别介绍对一般形式的散度 型椭圆组研究弱解部分正则性的间接方法和直接方法.

§3

研究正则性的间接方法

本节中我们以下列散度型拟线性椭圆组为例来介绍研究弱解 的部分正则性的低接方法.考虑

, ii•.

-Da (A'tf(x, u)Deu1 ) = O.

(3.1)

在本节中,我们总假设当(x, u)ED X R N 时,有 A汗(x, u)轧扎�ll�l2, l>O, _

(3.2) (3.3)

IA寸(z, u)J�A,

其中l, A为常数.

出气

我们要证明的主要结果是 定理3.1. 假设A识石u)满足(3.2),(3.3), 且A计(x, u)在 Q X RN 上 一致连续,并没U E H{ oc (Q, R N )是(3.1)的弱解,则存 在开集Q产Q, 使u E Cf�i(O R罚, VO < li < 1, 且meas(!J\

。,

Qo) = 0 ,.

为了证明这个定理,我们需要下面几个引理。 弓 l 理3.2. (Caccioppoli不等式). 设u E Hi 。 c(Q, RN )是 0 (3.1)的弱解,其中系数灯f(x, u)满足(3.2),(3.3),则对Vx E O, 沁,R :0 < p < R < dist(式80), 有 )



其中C

B。心

IDul 2dx�

一 C(n, N, 1, A).

(R

C

一 p)'t



•,

(3.4)

I 寸丸

这个引理可以和第八章定理2.1 一 样地进行证明. 引理3.3. 设b汗是常数,满足肘,梵忑店>门�1 2 , l>O, lh 寸I�A (i,J = l, · · ·, N; a, {3 = 1, · · ·, n). 并且设u E H� oc n L 2 (B 1 (0), RN )满足



, B, (01

则存在c 。 ===

砑D叫D对心

C

其中叭斗p)

。 (n, 一

p



0'\;/中E C;°(B1(0),

即),

N, .1., A)> 1, 使得对Vp:O

!B

Ju($)

这表明meas(l'J\00)



“心泊< s�,

一 o.

(iv)乌与8无关.事实上,可以证明当且仅当 liminf尸 ·O



l

lJ。心)

l心 .



材嵩·�p J 也一O

•J.31•

f

时红乌. 因为当

气fp一.

时,



·f f

B沪

心)一心 •P I z心一0

定存在Rp, 那么,





讲,此不等式就不成立了.不过,在前面我们也遇到过q>p的情 形,第四章定理1.4中的Harnack不等式就是 一 例.这表明在某 些情况下反向Holder不等式也会成立. • 23i•

而且以后我们会看到,

它在弱解正则性的研究中有重要应用. 定理4.1 (反向H 汕 lder不等式).

设B是R• 中的球,并设 1" g ? 0, g E L q(B), q > 1; f�0, f E L'(B), r > q; z o 对Vx0 E B和VR : 0 < R < dist (x0 , aB) /\ R。,有

忨工,,g 切x,,;;

。,

r

b[ 忆 ,,plx +

其中R b, 0是常数,b > 1, R 则存在s>O和C > O, 使

t., .•,

。> o,

卢+

e

f

0�8< 1,

g E L foe (B) , VP E [ q , q十的, 而且对VBRcB, R < R。,有

[f •• 1 肝心

l

2

其中C和

C

,,;;c

Hf.. 1 g也"

¼

a.,.,,K 飞,



[t.

/'tlx

J }• ½

依赖于b, 8, n, q, r, 而肛和BR是同心球.

关于这个定理的证明,请参看附录5或[GQl]. 下面我们利用定理4.1来证明椭圆组的弱解在 一 定条件下属 1 于 w ,,, p > 2. 为使证明的思路清晰,先研究线性齐次椭圆组. 定理4.2. 若 1 ° A汗(幻满足

00

A识Q霖 h� 川汀,l.>O; A汗E L (Q), IA'l/J�A; 2 ° u E H1 (Q, R罚满足 �A沁) D6 u i D0r:p,.dx fJ

则存在p > 2, 使

[f

BR 了

=

O, VcpEHb(!J, 即),

I Du I E Lfoc:(D), 1v .. 1 叫 t o;;; C

[f

(4.1)

而且对任意BRcQ, 有 由



I v.. 心] ,

(4.2)

其中C和P依赖于n, N, 1, A. 证明.对VB 仁 O, V炒 EB, VR: OZ的情形.此时,

r

-= -;;互了, 2 (1-

上)=n+2,,-l= 尸旦-. 利用Holder不等式和Sobolev r ; n 九 一 2 Poincare不等式,我们得到 \矿lu - uRI• BR

111 心

�[归 lu 产网气 B R 111 击d,e 严 Du归"l 川 111 哉 平计 I �C(n) [\ BR 一

� •I l

d,



BR BR

I Du归 x+ 空 B 示lu



UR I•

lI

BR



111

上 平 ,

击 d,

I ul 广1 d,



, i s, ·

- I'12 I u

..-;; [『:R lu





UR I • l u I 己” 伟

u,.)

..L l

气可加 ul

-2. tlx]宁

f 为 Cl// 2 + 111 + I 旰)计了 , (} =上 2

使

{iJB [ I Du I铝 + \

lu 翌气叶

.1.

�c{[f (ID叮+ lu 尸)心 + [归 Cltl'+ I斤+心) �d凇}. 2n





BR



p

一.,n+

彻 一..2一·一 , 由 2

H /ID

m

BR

..;; C

现在,将 • 240•

i

) BR

p>

+

lf

BR

n +2 知P>2 , 而且有 n

中+

l•I 气陆

(I Du I'+ I产酝严 (l/l'+伽+I 斤)才叫.

I和'd:·用

1 的积分来估计:

(4.12)

f心 BR

因此

dx = RP �C RP

[t 压 if I 气勺

[f

BR

BR

111 心

卢立气 J

凡心叶 ¾CR [f.R 111妇x] 翌

于是,当R 2. 定理4.4. 假设: 1 0 当lul�M时 (4.13) A只x, u, p)p� � 引?尸 -f气心, {团(x,11,P)i�A心I + f 飞), (4.14) IB,(x, u, P)I�A IPl 2 十 f心), 其中1, A, 儿是与M有关的正常数, 儿r: �o, 几 ff E L 11 (lJ), •>2, f,EL'(O), .1> I; 2 ° u E HJ. n L 00 (0, 即)满足

J " [A飞, u, Du)D平+B 心, u, Du沺]心

3 ° 2AM 2, 使uE W记(O,R吟,且对任意同心球Bl2

其中8



使I Du I E Lioc; (D), 且对任意BJCB 及仁 D, 当R(x0 , R) < sf, 那么必有

o,

使得如果对某个

4>(x0, -r-tR)�2s沪,tll.

巾于对任意p:O·3)

dim

雾(息 一 P;)

0, dim认I)

一 1, dim



(S)

一 z.

中,

6立奇异点集的Hausdorff维敷的估计 现在我们来估计椭圆组(3.1)和(S.l)的弱解的奇异点集的 Hausdorff维氪 我们已经证明了在定理3.1 (定理5.1)的条件 下,椭圆组(3.1) (椭圆组(5.l))的弱解在9的开子集D, 内局部 Holder连续,且



9 -{zEQ

归�f p1--• I..c,> I l心) I 让一叶,

(6.3)

因而Q\D 仁 :E, 其中 2

一{允 E D I li'!':!�f p' . ! ..,., ID心)心> o}. 一

(6.4)

由定理4.3'知存在p > 2 :, 使 I D111 E: L(oc(D). 利用Holder不 等式易知 • 255•



{i-2 la ,c, 霓

因此若令

I Du(..-) I 叫 ,;; {沪\ Bi•l I Du(-.. )\•叫 t. 合

l

,1



氐= .rE Olli空 �pp,-. l..c•> ID心心

>o},

(6.5)

则ECE霉一,.于是为了估计!J\Do的Hausdorff维数,只要估计 出E,._, 的Hausdorff维数即可.为此我们需要下列引理.





引理6.2 (覆盖引理).设G是R可 中的有界集,且设r:x� r(元)是定义在G上值域在(0, 1)中的函数,那么一定存在一个点 1, 2,···)_, 使 列灼}, Xi E G (i



< 1 }. “

由于G有界, 故可找到一 个由有限个互不相交的球组成的 最大 的子球族 心))

1+�,( 动< 1,

;



1, • • •, n 1 },





2



心中的 一 个球相交.这样做下去, 一 且我们巳选好 Xi,• • •, 尤"' 一 1, -粤., 那么在满足2 十飞tr(元) 2, 使 I Du I E Lfoc: (D). p> n, 则由嵌入定理知"E C记(D, 即),lJ > o, 因而/Jo - D. 若2 < p�n, 则在引理6.3中取v 一 1 Du\ t, a 一 ,, 一 ,,, 便知 "'

辱 ._,(E霉一,)



o,

故�._,(Q\JJ,)

其中E.一,的定义见(6.5), 而D\D,cB 彝 一”

一 o.

• 2St•

附录

1

Sobolev 空间

Sobolev空间的有关知识是近代偏微分方程理论的基础知 识.在这个附录里,我们只列出本书中要用的一些结果. 除Poin­ care不等式外,其起均未给出证明,读者可在[AD], [MJ]等书 中查到这些证明. §1. 弱导数和Sobolcv空间W�·P(Q) 在介绍Sobolev空间之前先介绍 一 下弱导数的概念. 为此我 们先引进下列记号: 1 0 多重指标记号. 我们称“ 一 (a1, • • •, a.)为多重(n重) 指标,其中a;(i一I,•••, n)为非负整数,并规定la I - a1 +· · ·

+ n ,. ,

at - ad·• •a 霹 t, a�{J的意思是中�fl; (i

(/t) 一—仁一(m.;;;; ,8). a at(P- a)!

n),

一 1, .•• ,

2 。 高阶导数记号. 设9是R 觼 中的开集,尤 一 (尤1 , ••• , % 霄 ) R 是9中的点,u:0--+ R, 我们用 D u(心一D沁1D2• • • ·D:nu(x) = ---

a1a1"

---·-u(劣)表示叭心的叫价导数(如果这些导数存在的

O式... a 式露

话). 定义1.1. 设uEL比(D),a是多重指标,若存在vE L比(D),

i

使

D

uD飞工



( 一 1) I乒l!D 呼

对一切中E Ci(IJ)均成立, 则称,为

U

的叶介弱导数, 仍记作

11 - D0 u.

可以证明,弱导数D0u除零测集外是唯 一 确定的. • 2,0•

如果 一 个函数的所有 一 阶弱导数均存在,则说这个函数弱可

衙.如果它所有的直到 K 阶(包括 K 阶)的弱导数都存在,则说这 个函数K次弱可微.我们用W�(fJ)表示由K次弱可微函数组成 的线性空间. 定义1.2. 设K为非负整数,?为实数,p�l, {J为R"中的 开集.我们称集合 {uE W心) \ Dau E LP (0) , V国�k} 赋以范数 切w压丘)-

几互 \ D"u I' ,



(1.1)

后得到的线性赋范空间为Sobolev空间w -t ·1(D). 可以证明,Wl•P(Q)在(l.l)中规定的范数下是 一 个Banach空 间. 当P=2时,常将w.t,,2 (t1)简记作庄(D). 定义1.3. W扣(Q)是c:(JJ)在w-t,P(Q)中的闭包. W沪(Q) = 命题1.1. wl·"(R") ::::::::: w扣(R"), W 0 •1(0)



[, P (Q), 但在一般情况下,w扣(Q)是w l ,P(Q)的真子空间. 下面我们来叙述w-t,, 心)中的二个逼近定理. 命题1立 l�p�C(n,q,D)l{u[[w 1tPca,, I'�q < +oo, p 2 0 若 ao 适当光滑 o , 则当?>”时,有





(1.6)

而且对任意u E W 1 •'(D), 有 llullco•acfJ� �C(n,p,O)Hu!lwi ."(D>.

(1.7 )



W 1 ·1(/J)cC 0 '°(D), 0 �C IID,ull 让(lJ). l)

见上页注脚 1).

" itJ "

2 0 设吓 L11(Q), l �C !lull 沁 I 欠 ( 心'

VuE H-t (R':. 入

命题2.2(逆迹定理).存在线性有界算子 R ` 尸: rr·H .t -½-, (R l 尸H.t(R!) 一

; -o

使得

• 264•

广



了 -1

='、

其中1是但问算于. §3. Poinca让不等式 定理3.1. 设9是Rn中的有界区域. 10 若uE W汃Q), l�p< 十 oo, 则 0

0

2 若9是有界连通区域, w•· 心),1�p < +co, 则 J lu

其中心

(18)

归中�C(n, p, o)J IDul'dr,



证明•



atJ 满足局部Lipschitz条件,"

I 加 I'心,(1.9)

u叭'dx�C(n, P, fJ)

f:u心 一 心I Ludr.

L,

0

1 先考虑uE C吵)的清形.不妨设 JJccQ, R• I I x;I < a, i一1,···,n}. 令 沁) = {u(x), xE IJ, O, zE Q\D, 对VxE Q, 有

1 知) I,

因而有

=

I)�. v.u(t, 知

X

Q 一{xE

,I'

. . . ,心

�(2a) 户 J_. ID矿dx1�(2a)P-• }_.ID印dru

�!:�::f

i

_IDUl•Mr, { i l , .j:::�:;� : � : : : " � : l•;:1�!

令C(n, p, D)一(2a)1, 即得(3.1).

对于uE W沪(Q)的请形,只要利用C�(D)在W�·'(D)中 • 265•

的稠密性,即可得到(1.8). 2

0

为简单起见,我们仅就P>l的悄形证明(1.9), 至于忙>

1的情形,请参看[MJ). 由于在 U 上加 一 个常数以后,(1.9)不变,故不妨设心一

o.

现在假设(1.9)不真,那么对任意正整数k.., 都存在".t E w 1 •1(a), 满足

f

D

u让户..

o,

使

炉心> k

f

D

令 切

U,t

t ....

llu.tllL心) 则叭E W 1 ·'(D)有下列性质: (i) (ii) (iii)

t 11

Q

J

.tll£P(IJ)

D



1, 2,···),

o,

叭心一



(k

!Du.ti也



I,

ID纫 d 中<上. k

由(ii), (iii)知ll w ,t I w 1 •11ca>有界,故利用W'·'(fJ)中有界集的 1

弱列紧性和紧嵌入定理,知存在子列{111,t;}和w E W •1(0), 使 (1.10) (在L 1 (D)中强收敛), 气一切 D 印 .t;-D 印 (1.11) (在L'(!J, R") .中弱收敛), 由(iii)和(1.11)知D叭(元)一0 {a. e. x E D), 因而 a. e. xE D, 切(元)圭常数, 又由(i)和(1.10)知

t

D

w心一 o, 因而

切(元) 但由(ii)和(1.10)知

= o, 扣 11 让(Q)

a.e.rED. 一

1,

与(1.12)矛盾. 证毕. 推论3.1. 设肛是R• 中以R为半径的球. • 266•

(1.12)

1 0 若uE W汃B心l�p
l� f !u 一 "op> I dx, 再次应用Calder6n-Zygmund分解于囡数lu­ o?)

“叶) I' 则存在互不重迭的立方体列{Q网(将每 一 个Q� l) 所得 的立方体列合在 一 起)使得

\ Iu 艺 IQ?> I�-;; � , • o(O

压)





”砂压

u fJ产I�a, a.e. xEQ沪\

LJ

Q�:a),

(3.5) (3.6) • 269•

。一 l 与(3. 3), 由(3.5)可得 艺; IQ伊I¾ a 艺. IQ?'I¾ 飞" IQ止

注意到lu心 , Q

1

1-

事实上,如果xEQ。\ .r

E

l) Q叭UQ伊,

lu(允)



u

X

。,v

今. .

.,,,

Q丸

' ,

uo0 I < 2• 2飞,a. e. z E Q

,�

d



;

`』+

lu(x)



b

我们将证明

(3.7) '

(3.8)

Q; 1) , 那么(3.2)蕴含(3.8), 现在设

必属于某一Q�l:)主(3.6)与(3.4), 我们有

uo。 I�lu(x)



ufJ?'I

+ \ u0?'



Uo。 I�2. z•a.

(3.8)得证.归纳地重复上面的分解,对于任意整数k�I, 存在 互不重迭的立方体列{Q�u}使得 U �IQ) J.,;;;

lu(心 于是

沪• I'

U()。 I�k·2飞,a. e. x E Q



。\U;

Q丸

meas {x E Q0 ! 1 u(x)一uo0 I > 2撑 ka} ��IQ伈,�



古 IQol

Ck



1, 2,···).

0也成立.现在对于任意压(O,+oo), 上面的最后估计对于K 必存在整数k�O使得 2•吹< t�z•a(k + 1). 这样

meas{x E Qol I u(:t)一uoo l > ,} �meas{x E Q,l l u(劣) 一 "oo l > 2顷} 一 I 叫Q I' �ae I

U 畸

`缅 1

由此容易看出



mea.s{x E Q.: Me 飞)

> s}�

�3•

应用(4.8), 则有 meas{x E Q0: M心) • 272•

Q(r;, 3心)) n 釭

>

.,

�I Q(x;, 3 心)) n Q,I '- 1

�IQ(x;, r 伍)) nQ,I. `一 1



�I

s}� 翌$`一 1

()(11;.r(11;

»no。

tf (y)由

3• �- llfllL 1 (Q 。).

s

这说明M。是弱(1.1)型的,不等式(4.6)说明M也是弱(1,1)型的, 这就是所要证的. 推论 .

对于l

f IQ'i l,

{Q 廿中任意包含于 Q, 的那些立方体.对上

艺IQ, I< 主 L J If 2 叶1 If Io。,记 由于从心 I,

�IQ,I,

一 J. P

评 +1111



9

�P J�meas

I,

一 pr。 a -lµ(1.必. fl

上述积分是有意义的.利用估计(4.17), a'甘(a冲+ PJ'

2

a' 1 心)如 一

叶.,,,,,。

{心)>;}“心

• a1s•

+;

J:。 a,

P一 1µ(

�APl)f 井 lltt心。)十

取A

一 4 • z a, 则有 lq

>

f

g•dx

叮 glj1.,f({ J)t

l',t .;

}

(g •JJ F 心+

i) (5.23)

2{ll

心]. • 283•

一-1 -, 4

则有



酌 8 使得肛

g (5.24) ,;;;;;c a 。m,�注 ' q, 十 o。而>肛 ,F 心]. ,对于所有Q切与任意xEQ切,依上有相应的 x. 所有这样

l

U



6。江

{Q。}构成 LJQ 切的一个覆盖,由覆盖引理(引理5.1), `寸,I 可以抽出子列 Q 。, i,Q 。, 2'... 使得 的立方体

对于每一6 们得到

。,

m,

JQ,ntg 中>11

此外,显然

(5.25)

。, "'f. 芝IQ 切 I�s• 艺IQ m

t .; .,

(5.24)都成立,这样由(5.18), (5.24)与(5.25), 我

(g心 •¾Cl• 一

·[L.rn...,., .. 6"'十

(g心•¾C 儿 q

\o,n•••,)

(gq,)• 心

一一

r··



团(,)

L. 而>•• Fdr, 一

+ l)Fllt,cR• > l. 利用Young不等式与to、F的定义,则有 一

lll'P llzPc 0 1 >�C [ II gl} L q 注意到主> 1 (当 p q



+

.l

ll M (fcp )中.t ], 口

q时定理的结论是显然的),算子M是强

停 f) 型的(附录4, Hardy-Littlewood极大定理的推论),于 是我们有

Jl tq>I) LPco,>�C [ Ila IILfcf) 1 > + Hill£Pco,>l ,

这个估计蕴含着定理的结论.

• 285•









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