Respostas dos Exercícios de Fixação: Matemática em Nível IME/ITA: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica [2, 1 ed.]

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Respostas dos Exercícios de Fixação

Última Atualização: 27/12/2013

Capítulo 1 1.1) 1.2)

      3 a ⋅ c + a ⋅ b + b ⋅ c =− 2  p =3

 124 64   239 87  = , , Q  , 1.7) P =    49 49   49 49    = 6 1.8) u + v max

1.10) ( 4b , − 2b ) 1.17) Área =

(

)(

3 . AB + BC . BC + CD 12

)

Capítulo 2

b. (1 − m ) a   1+ m    +  b  2  2  0 2.2) 3y + x − 10 = 3 5 2.3) y = − x + 2 e= y x + 2 4 12 5 2.4) − > y > − 3 3 .  x − a.  2.1) y =

5  2.5)  x −  2  4 2.7) 5

2

+

( y − 4 )2

= − 4y 11 2.8) 3x 2.9) q =

e

9 = 4

5x= + 6y

12

3 4

2.10) a) x o > −

y o2 p + 2p 2

= xo b) O L.G. é a reta

p

(p > 0 )

2.11) O L.G. de P é uma esfera com centro coincidindo com o centro (2,2,2) do cubo, e raio igual à metade da diagonal do cubo, i.e. R = 2 3 Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: É dado um cubo de aresta 4. Considere o ponto P variável no espaço de tal forma que a soma dos quadrados das distâncias de P às 6 faces do cubo é constante e vale 48. Determine o Lugar Geométrico de P. 2.12) 12 2.13)

3 3 2 . L onde L é o comprimento da aresta do cubo 4 2

2

9 1 1   + y +  =  2 2 2   Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão referida aparece como número 2.12 (repetido), em vez do número 2.32. 2.12) L.G. é a circunferência de equação:  x −

2.14)

L2 3 3

2.15)

(x

138 + 2y )Max = 11

(

2.16) a) ( x − 3 ) + y − 2 2 2

2.17) b)

(

 

2

3 . a2 + 2ab − 2b2 2

5 e x = 2y 2.18) 2x + y =

2.19)  x −

)

2

25  25 + y2 = 4  16

2.20) x = z

1 2.22) β : x + y =

)

5+ 2 2 ± = 9 b) y =

4 ( x − 3) 3

 x2 − 1

2 2 2.23) y = R .  2   x 

2.24) R =

2.25)

145 2 + 15 29 49

22 22 y− 35= 35= z − 44 −5 3 35

x−

2.26) V =

100 unidades de volume 9

278 21

2.27)

36 2.28) ( x² + y² )máx = 2.29) 6 2.30)

1 unidades de distância 3

0 2.31) − 2x + y + z + 1 =

1 unidades de distância 3 Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão impressa com o 2.32 é uma repetição da questão 2.30.

2.32)

0 2.33) x + y + 1 = Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: Considere os feixes de retas concorrentes (onde p e q são parâmetros reais) abaixo. Determine a equação da reta comum aos dois feixes. 3.x – y + 3 + p.( x + y + 1) = 0 2.x + 2.y + 2 + q. (4.x – y + 2 ) = 0 Para o enunciado original, a resposta seria: “há infinitas retas comuns aos dois feixes”.

y 2.34) A segunda reta tem equação:=

3x − 2

Existem duas circunferências que atendem à descrição do problema, e suas equações são dadas por: 2

2

1 2 13   e x − 5 + y + 5 = 5    

2

2.35) x + y + 2z − 6 − 6 = 0 2.36) Dois pares de retas atendem às condições: y= 2x − 3 e 2y = 9 − x ou 2y = x+3 e y = − 2x + 9 2.37) x 2 + ( y + 2 ) = 8 2

2.38) Circunferência de centro (0,0) e raio 2.39) x − 1 =

6

y+2 = z −1 = t ∈ −2

2.40) ( x − 2 ) 2 + ( y + 4 )

2

2

9 18  73   x + 5 + y − 5  = 5    

= 18

2.43) Circunferência de centro em (xo,yo) e raio r.

Capítulo 3 3.1) Eixos : 6 2 e 12, excentricidade : 3.2) Elipse de centro em

comprimentos

OBS: Sendo

3

a   2 , 0  e semieixos maior e menor de  

a b e , respectivamente. 2 2 x2 a2

+

y2

1 a equação da elipse dada, com A = (-a,0), =

b2

temos que a equação do LG pedido é: a  x − 2   a 2  

2

2

+

y2 b 2  

2

= 1

3.3) O LG procurado é uma elipse de centro no ponto médio de AB e semeixos maior de medida

p . ( p − 4c ) p − 2c e menor de medida sendo 12 6

2c a medida de AB . Do LG devemos excluir os 2 vértices localizados no eixo focal. 3.4) Par de hipérboles: x 2 − y 2 = ±

1 3

3.5) LG é a circunferência de centro B e raio (2a – d), a menos dos pontos colineares a A e B. 3.6) y 2 − x 2 = 16 (hipérbole), com exceção do ponto B

8  3.7) a) F =−  2 , − 3  

b) d: 3x + 4y +

125 = 0 3

3.8) Elipse de eixos maior e menor de medidas 6 e 3, respectivamente, com exceção dos vértices do eixo foca OBS: Sendo

x2 a2

y2

+

b2

= 1 a equação da elipse dada, temos que a

equação do LG pedido é: x2 4y 2 + = 9 9

1 , y≠0

3.9) Elipse de eixo maior AB e eixo menor de medida 4, com exceção dos pontos A e B.

3.10) Mostra-se que as equações são equivalentes a:

(x −

xo )

2

+

a2

(y −

yo )

b2

2

= 1

Uma parametrização para a equação da parábola proposta pode ser:  x = t   t2  y = 2p 

3.12) b) 2y= 1 + x 2

c) D = (3,5) 2

x2 AB 3.13) y = − + h 4h

(parábola )

3.18) S =

(a.x a

2

2 o

− yo

)

3 2

LG de A, admitindo S constante é parábola de equação: 1

 a.S2  3 y a x2 −  =  4   

2 p .y² + p 2 (duas parábolas com vértice coincidindo com o foco da parábola original) 3.19) ± x=

0 3.20) O LG terá equação: 2 x y − y o x − x o y ± K = i) Par de hipérboles, se K ≠

x o2 + y o2 4

ii) Par de retas perpendiculares, se K =

x o2 + y o2 4

2

7 162  3.22) O LG terá equação:  x −  − y 2 = (hipérbole) 5 25   Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: De um ponto variável P traça-se uma reta de coeficiente angular m = 1, que intercepta a reta de equação 5 . x – 16 = 0 em um ponto Q. Sendo A = (5,0), determine o Lugar Geométrico dos pontos P sabendo-se que este se move de modo que PA = PQ.

3.24) O L.G. do ponto médio do segmento AC é a semi-circunferência de centro no ponto médio de AO e raio R/2.

3.27) O L.G. de A é dado pela equação paramétrica: yA2 d2 + xA2 = k Discutindo o LG para os casos particulares de k: 0 < k < 1

    

3.29) −

→

elipse, com eixo principal na horizontal

k 1 =

→

circunferência de raio d e centro ( 0,0 )

k > 1

→

elipse, com eixo principal na vertical

3 4

3.33) O LG é a diretriz da parábola. 3.37) O ângulo entre as curvas são: ± Arc tan

( 6)

3.38) x 2 − y 2 = 9 (hipérbole)

3.39)

a2 x '2

+

b2 y '2

= 1

Gráfico: o esboço abaixo considera uma elipse tal que b > a. Note que, apesar da aparência hiperbólica, o LG não é uma cônica.

3.41) a) O LG é uma superfície cônica que compartilha o mesmo eixo do  cos α  cone e cuja geratriz vale: β = Arcsen    2  b) A área do segmento é dada= por: S

8 2 d senα 3

3.42) x 2 + ( y − 3 ) = 4 , com exceção dos pontos (0,1) e (0,5) 2

3.43) Hipérbole centrada em ( r , − 2r ) com semi-eixos valendo r. 3.44) O L.G. de M2 é a circunferência de centro F e raio 2.a 3.45) 10 ( y + 3 )

2

− 3x 2 = 30

3.46) Elipse com focos nos centros de C1 e C2 e eixo maior de medida r1 + r2 3.47) Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: 2

2

Considere a parábola y = x e o ponto variável P = (t, t ) pertencente a parábola (t variando no conjunto dos reais). Seja h uma constante real, e os pontos A e B sobre a parábola com abcissas t – h e t + h, respectiveamente. Mostre que a área do triângulo PAB é constante, independente de t.

Capítulo 4 4.1) a) hipérbole y y" x"

1 .arctan ( 3 ) 2

x

b) elipse y y" x"

45º

x

c) Duas retas concorrentes ( 2y + x = 0 e y = 2x – 1 ) y

x

d) Duas retas paralelas ( 2x + y = 0 e 2x + y + 3 =0 ) y

x

y x"

y"

e) hipérbole :

45º

x

f) hipérbole y

y"

x

x"

g) parábola

y" x"

y

45º

x

1 3 Arc tan   4.2) a) hipérbole, θRotação = 2 4

45o b) elipse, θRotação = 45o c) hipérbole, θRotação =

4.3)

a 4 = − b 15

4.4) Ponto de tangência = ( 2, 0) Nota do Autor: A seção cônica aparece, em algumas versões impressas, escrita de forma errada. A correta equação deveria ser: x 2 − 4 x.y − y 2 + 2x − 4y − 8 = 0

4.5)

= α

Existem

π ou = α 4

dois

valores

de

5π 4

α

que

atendem

à

condição:

0 4.6) 7x + 15y + 7 =  t 2 − p2 4.7) O ângulo agudo é dado por: θ = Arc tan   p 

   

Nota do autor: Alguns leitores chamaram atenção para umaa possível confusão com uma das palavras usadas para descrever P no enunciado. Em vez de “P está sobre a parábola”, a melhor escolha de palavras diria: “P está acima da parábola”.

4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x 2 + 2 y 2 = 8 4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x 2 + 2 y 2 = 2 4.12) Os possíveis valores de a são: 1,

3 5 e 4 4

4.13) O L.G. é representado pelas duas curvas:

4x 2 + 4y 2 + 4 3 b y − b2 = 0 ( circunferência )  2 2 2 0 ( hipérbole ) 4x − 28y + 4 3 b y − b =

4.14) k =

5 2

4.18) O L.G. do ponto médio do segmento AB é a curva de equação 4y 2 + 6xy + 3y − 45 = 0 (hipérbole) Gráfico:

y

s

y"

A

t

B

x P x"

4.19) Tipo parábola 4.20)  a < −2  − ≤ 2 a < 2    2 ≤ a < 5  = a 5   a > 5  4.21)  a > 1   0 < a ≤ 1  = a 0 

→ 0 soluções → 1 solução → 2 soluções → 1 solução → 0 soluções

→ 1 solução →

2 soluções

→ 1 solução

4.22) a < 0  a > 0

→ 1 solução → 2 soluções