Représentations ℓ-modulaires d'un groupe réductif p-adique avec ℓ≠p (ℓ-modular representations of a reductive p-adic group with ℓ≠p) 0817639292, 3764339292

505 102 23MB

French Pages xviii+233 [251] Year 1996

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Polecaj historie

Représentations ℓ-modulaires d'un groupe réductif p-adique avec ℓ≠p (ℓ-modular representations of a reductive p-adic group with ℓ≠p)
 0817639292, 3764339292

Table of contents :
Table des matières
Introduction
Chapitre I. Groupes Localement Profinis
1. Groupes localement profinis
2. Mesure de Haar
3. Algèbres de Hecke
4. Représentations
5. Induction
6. Modules sur une algèbre avec un idempotent
7. Représentations compactes
8. Algèbres de Hecke H_R(G, K,σ)
9. Réseau dans une représentation admissible
Appendice A : Rappels sur l'adjonction , et Ext Enveloppe projective et blocs d'un groupe fini
Appendice B : Modules sur une algèbre
Appendice C : Réseau dans un espace vectoriel de dimension finie
Chapitre Il. Groupes Reductifs (P-adiques)
1. Rappels et notations
2. Induction et restriction parabolique
3. Restriction parabolique et types
4. Rationalité et représentations ℓ-entières
5. Types non raffinés minimaux
Chapitre III. Representations de GL(n, F)
0. Notations
1. Dérivée
2. Le groupe fini G_n(q)
3. Représentations de niveau 0
4. Types de niveau > 0
5. Représentations (le cas général)
Notations
Bibiliographie
Index terminologique

Citation preview

B

Progress in Mathematics Volume 137

Series Editors

Hyman Bass Joseph Oesterlé Alan Weinstein

Marie-France Vignéras

Représentations l-modulaires d'un groupe réductifp-adique avec l±p

Birkhäuser Boston • Basel • Berlin

Marie-France Vignéras Université de Paris VII Département de Mathématiques 75221 Paris, Cedex 05 France

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Vignéras, Marie-France, 1946Représentations /-modulaires d'un groupe réductif p-adique avec / [différent de] p I Marie-France Vignéras. p. cm. — (Progress in mathematics : v. 137) Includes bibliographical references and index. ISBN 0-8176-3929-2 (hardcover : alk. paper). - ISBN 3-7643-3929-2 (hardcover : alk. paper) 1. Modular representations of groups. 2. p-adic groups. I. Title. II. Series: Progress in mathematics (Boston, Mass.) ; vol. 137. QA174.2.V54 1996 512\55~dc20 96-10919 CIP

Printed on acid-free paper © 1996 Birkhäuser Boston

Birkhäuser

Copyright is not claimed for works of U.S. Government employees. Allrightsreserved. N o part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Permission to photocopy for internal or personal use of specific clients is granted by Birkhauser Boston for libraries and other users registered with the Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $6.00 per copy, plus $0.20 per page is paid directly to C C C , 222 Rosewood Drive, Danvers, M A 01923, U.S.A. Special requests should be addressed directly to Birkhauser Boston, 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, M A 02139, U.S.A. ISBN 0-8176-3929-2 ISBN 3-7643-3929-2 Typesetting and reformatting by TJJCniques from author's disk Printed and bound by Maple-Vail, York, P A Printed in the U.S.A. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Table des matières

Introduction

xin

CHAPITRE I. GROUPES LOCALEMENT PROFINIS

1

1. G r o u p e s localement profinis

1

1.1. Définition 1.2-1-3. Propriétés des groupes localement profinis 1.4. Eléments compacts 1.5. Pro-ordre 1.6. Propriétés des pro-ordres 1.7-1.8. Espace localement profini 1.9. Algèbre avec assez d'idempotents 1.10-1.11. Faisceaux sur un espace localement profini 1.12. Sections à support compact 1.13. Action d'un groupe localement profini G sur un faisceau 2. M e s u r e de H a a r

10

2.1-2.2. Définitions préliminaires 2.3. Mesure de Haar 2.4. Existence et unicité 2.5. Premières propriétés et exemples 2.6-2.7. Module 2.8. Mesure sur un ensemble quotient 3. Algèbres de Hecke

18

3.1. Algèbre de Hecke globale 3.2. Idempotents 3.3. Algèbre de Hecke relative à K 3.4. Produit dans H(G, K) 3.5-3.6. Trace 3.7. Action du centre 3.8. Caractères non ramifiés 3.9. Caractères de F 3.10. Transformation de Fourier et algèbre de Hecke de F 3.11. Algèbre d'un système de Coxeter 3.12. Algèbres du groupe symétrique 3.13. Algèbre de Hecke du groupe fini GL{n,F ) 3.14. Algèbre de Hecke affine du groupe p-adique GL(n, F) 3.15. Le cas général n

n

q

vi

Table des matières 4. Représentations

29

4.1. i?G-module lisse 4.2. Catégorie des iîG-modules lisses 4.3. N o n exactitude du foncteur partie lisse 4.4. Modules sur les algèbres de Hecke globales 4.5. Modules sur les algèbres de Hecke relatives 4.6. Invariants 4.7-4.8. Coinvariants 4.9. Projectifs, injectifs et invariants, coinvariants 4.10. Coinvariants par l'action d'un groupe limite de compacts 4.11. Invariants et coinvariants par un caractère 4.12-4.13. Contragrédiente 4.14. Modules réflexifs 4.15. Formes linéaires i^-invariantes 4.16. Représentation de typefinid'un groupe profini 4.17. Représentation admissible 4.18. Propriétés des représentations admissibles 5. Induction

38

5.1. Définition des deux inductions 5.2. Propriétés élémentaires 5.3. Transitivité 5.4. Passage d'un groupe à un autre 5.5. Décomposition de Mackey 5.6. Vecteursfixespar K G £1 dans une induite. Admissibilité 5.7. Réciprocité de Frobenius. Adjonction 5.8. Transformations naturelles 5.9-5.10. Injectifs projectifs 5.11. Contragrédiente d'une induite à support compact 5.12. N o n nullité de Ext (7r,7r) m

6. M o d u l e s et idempotents 6.1-6.2. Deux lemmes sur les e^e-modules 6.3. e^4e-modules simples 6.4. e^4e-modules de longueur finie 6.5. eAe-homomorphismes 6.6. Equivalence de catégories 6.7-6.9. L e m m e de Schur 6.10. Module absolument simple 6.11. Caractère central 6.12. Restriction à un sous-groupe d'indice fini 6.13. Indépendance linéaire des caractères

48

Table des matières

vu

7. Représentations compactes

54

7.1. Coefficient 7.2-7.3. Représentation compacte 7.4-7.5. Compacte admissible 7.6. Degré formel 7.7. Formules d'orthogonalité de Schur 7.8. Propriétés du degré formel 7.9. Degré formel projectif, injectif 7.10. Bloc 7.11. Cas d'un centre non compact 7.12. Caractères du centre 8. Algebres de Hecke

H (G,K,a)

64

R

8.1. Entrelacement dans une représentation 8.2. Opérateur d'entrelacement 8.3. Critère d'irréductibilité de Mackey 8.4. Représentation Z-compacte induite 8.5. Le module M(cr, n) = Hom^G(indexer, ind^i/Ti") 8.6. Algèbre de Hecke H (G, K, a) 8.7-8.9. H (G, , cr)-modules simples M(a,n) 8.10. Support des algebres de Hecke et éléments canoniques 8.11. Inversibilité d'un élément canonique 8.12. Nullité de ir si ir est Z-compacte 8.13. Injectivité et [/-coinvariants 8.14. Nullité de TT* si TTU = 0 R

R

a

7

9. Réseaux

75

9.1. AG?-réseau 9.2. ylG-réseau, A principal 9.3. Propriétés élémentaires des AG-réseaux 9.4. Compacte => A-entière 9.5. Commensurabilité 9.6. Principe de Brauer-Nesbitt 9.7. Contragrediente 9.8. Réseau dans une algèbre de Hecke, entrelacement et réduction modulo P A Appendice A : Rappels sur l'adjonction, et Ext

....

83

Enveloppe projective Blocs d'un groupe fini Appendice B : M o d u l e s sur une algèbre Appendice C : Réseau dans u n espace vectoriel de dimension finie

89 90

Table des matières

viii

CHAPITREIIGROUPES REDUCTIFS p-ADIQUES 1. Rappels et notations

92 92

....

1.1 Triplet parabolique standard 1.2 Groupe de Weyl 1.3 Propriétés de compacité 95

2. Induction et restriction parabolique 2.1. Définition et premières propriétés 2.2-2.3. Représentation cuspidale 2.4. Support cuspidal 2.5. Représentation supercuspidale 2.6. Support supercuspidal 2.7. cuspidale = Z—compacte 2.8. Irréductible => admissible 2.9. degré formel = projectif 2.10. Caractères non ramifiés 2.11. Restriction à G° 2.12. Bloc cuspidal 2.13. Algèbres de Hecke relative 2.14. Dimension d'une sous-algèbre commutative de M ( n , R) 2.15. Dimension d'un HR(G, if)-module simple 2.16. Support uniforme 2.17. Finitude du nombre de cuspidales 2.18-2.19. Restriction parabolique d'une induite parabolique 2.20. Propriétés du support cuspidal 2.21. Longueur finie 2.22 Représentation cuspidale régulière 3. Restriction parabolique et types 3.1. Injectivité 3.2-3.3. Surjectivité 3.4-3.5. Restriction parabolique et admissibilité 3.6. Stabilisation 3.7. Décomposition de Casselman 3.8. Restriction parabolique et contragrédiente 3.9. Cas banal 3.10. - et longueur finie 3.11. - et suite de Jordan-Hôlder d'une induite 3.12 . - et H (G, K)-modules 3.13. - admissible et typefini=> longueur finie 3.14. - et type fini 3.15. - et décomposition de catégorie R

110

Table des matières 4. Rationalité et représentations /-entières

ix 121

4.1. Corps de rationalité 4.2. Extensionfinieet semi-simplicité 4.3. Propriétés élémentaires 4.4-4.5. Indice de Schur 4.6-4.8. Descente galoisienne 4.9. Cuspidal => réalisable sur R 4.10. Induction et réalisable sur R 4.11. Représentation Z-entière 4.12-4.13. Cuspidal => Z-entière 4.14. Propriétés des représentations Z-entières 5. Types n o n raffinés m i n i m a u x

129

5.1. Rappel de propriétés géométriques 5.2. Type minimal de niveau 0, association, et réduction modulo Z 5.3. Existence d'un type ou d'une strate minimale dans une représentation 5.4. Entrelacement de strates 5.5. L e m m e de finitude 5.6-5.7. Niveau d'une représentation 5.8. Décomposition par le niveau 5.9. Finitude des cuspidales de niveau 5.10. Admissible de typefini=> longueur finie 5.11. Principe de Brauer-Nesbitt 5.12. Induction et niveau 5.13. Induction et longueur finie 5.14-5.15. Preuve de (5.12)

CHAPITRE III. REPRESENTATIONS DE GL(n, F)

141

0. Notations

141

1. Dérivées

146

1.1. La représentation mirabolique. Théorème d'irréductibilité 1.2. Induction 1.3. Propriétés de l'induction 1.4. Dérivées 1.5. Classification 1.6. Niveau mirabolique, dérivée formelle 1.7. Modèle de Whittaker 1.8. Dérivée et restriction parabolique 1.9. Preuve de (l.l.d) 1.10. Dérivée d'un produit, formule de Leibniz

Table des matières

X

1.11. Unicité du modèle de Whittaker 1.12. Longueur finie 1.13. Une autre preuve du principe de Brauer­Nesbitt 1.14. Contragrédiente 1.15. Irréductibilité d'une induite 1.16. Suite de Jordan­Holder d'une induite 2. L e groupe fini G (q)

156

n

2.1. Eléments de partie /­régulière donnée 2.2. Représentations cuspidales 2.3. Classes de conjugaison de G (q) 2.4. Induites 2.5. Classification 2.6. Algèbre de Hecke 2.7. 1ггд С (д) et #^(m,ç )­modules 2.8. Réduction modulo / de la représentation de Steinberg généralisée 2.9. Enveloppe projective d'une supercuspidale 2.10. Le cas banal n

n

г

тп

3. Représentations de niveau 0

168

3.1. Type et représentation de niveau 0 3.2. Existence d'un type minimal de niveau 0 3.3. Type minimal­maximal => cuspidale 3.4. Type mixte 3.5. Restriction parabolique (type mixte) 3.6. Algèbre de Hecke d'un type simple 3.7. Restriction parabolique (type simple) 3.8. Unicité du type minimal formel

3.9. Lemme 3.10. Relèvement d'une cuspidale 3.11. Unicité du modèle de Whittaker 3.12. Propriétés diverses 3.13. Représentation de Steinberg généralisée 3.14. Vecteursfixespar 1 + ррМ(п,Ор) 3.15. Représentation de Steinberg généralisée cuspidale 3.16. Enveloppe projective d'une représentation supercuspidale 4. T y p e s de niveau > 0 4.1. Strates 4.2. Types de niveau r > 0 4.3. Existence d'un type non raffiné 4.4. Niveau d'une représentation irréductible 4.5. Polynôme d'une strate ou d'un type

181

Table des matières

xi

4.6. Polynome d'une représentation irréductible 4.7-4.8. Description explicite 4.9. Strate simple 4.10. Proposition 4.11. Ordre héréditaire de End^i? 4.12. Relèvement des ordres héréditaires de M(TIE, E) à M ( n , F) 4.13. Les groupes J*(x, A), H*(x,A) 4.14. Caractère simple 9 4.15. Bijections canoniques entre les caractères simples 4.16. Type de niveau (r, s) 4.17. Représentation d'Heisenberg r/ 4.18-4.21. Représentation K 4.22-4.23. Représentations irréductibles de J° 4.24. Type de niveau (r, 0) 4.25. Réduction modulo / 4.26. Type minimal effectif 4.27 Extension à E* J° 4.28 Enveloppe projective 4.29 Réduction modulo l 4.30 Décompositions d'Iwahori 4.31 Type minimal formel 4.32 Type minimal simple 5. Représentations (le cas général) 5.1. Existence d'un type minimal 5.2. Représentation non cuspidale 5.3. Type minimal-maximal => cuspidale 5.4. Type mixte 5.5. Restriction parabolique 5.6. Algèbre de Hecke d'un type simple 5.7. Isomorphisme avec l'algèbre de Hecke affine 5.8 Restriction parabolique 5.9. Unicité du type minimal formel 5.10. Cuspidales: Classification, relèvement, unicité du modèle de Whittaker 5.11. Propriétés diverses 5.12-5.13. Vecteursfixespar J^ 5.14. Représentation de Steinberg généralisée cuspidale 5.15. Premier banal 5.16. Enveloppe projective d'une supercuspidale 5.17. Bloc d'une supercuspidale AX

204

xii

Table des matières

Notations

219

Bibiliographie

223

Index terminologique

227

Introduction Soit F un corps local non archimédien de caractéristique 0 ou p, dont le corps résiduel est un corpsfiniF à q éléments, et soit G le groupe des F-points d'un groupe réductif connexe sur F ("un groupe réductif p-adique"). Le but de cet ouvrage est de commencer une étude des représentations lisses de G sur une clôture algébrique Fj d'un corps fini F; où l est un nombre premier différent de p, et de faire une étude des représentations cuspidales de G = GL(n, F) sur F/. Le cas où l = p n'est pas sérieusement abordé, quoique l'on donne plusieurs résultats valables en toute caractéristique*. Il est bien connu que la théorie des représentations complexes de G est essentiellement algébrique. Pourtant dans les travaux de base de Harish-Chandra, de Jacquet, de Langlands, de Borel, de Casselman, de Bernstein, de Zelevinski, de Bushnell et de Kutzko,figurenttoujours des arguments de nature analytique, valable uniquement lorsque le corps des coefficients est le corps des nombres complexes. Il s'avère donc nécessaire de reprendre certaines démonstrations de résultats de nature algébrique, de mettre en évidence les résultats de nature analytique ou de les interpréter. Nous examinons en détail le cas où G = GL(n, F). La théorie est bien mieux comprise que dans le cas général, car on dispose de la théorie des types de Bushnell et de Kutzko et de la théorie des dérivées de Bernstein et de Zelevinski, qui s'avèrent être /-entières. La théorie des types modulaires est possible grâce à la théorie de Dipper et de James des représentations modulaires du groupefiniGL(n, F ). Nous pouvons ainsi décrire les représentations cuspidales ou de Steinberg généralisées de GL(n, F) sur Fj, Nous conjecturons [Vig 9] qu'il existe une correspondance de Langlands entre les représentations sur Fi de GL(n, F) et celles du groupe de Weil W V , compatible avec la réduction modulo /, si l ^ p. Cette conjecture est compatible avec la classification de Kazhdan-Lusztig-Grojnowski [KL, Gro] des modules simples pour les algèbres de Hecke affines. Le premier chapitre donne des propriétés de base des représentations lisses d'un groupe localement profini à coefficients dans un anneau commutatif R. Il est très élémentaire. Dans le second chapitre, le groupe est réductif p-adique, et R = Q Zi ou F/, avec l ^ p. Ce chapitre est beaucoup moins élémentaire que le précédent, les raisonnements bien connus dans le cas complexe et qui restent valables dans le cas modulaire sont q

q

h

* Peu de résultats sont connus, voir cependant les travaux de Barthel et Livne pour GL{2,F) [BL1, BL2]

xiv

Introduction

traités très rapidement; un lecteur débutant est avisé de consulter aussi les articles de Casselman [Casl] et de Bernstein et Zelevinski [BZ1, BZ2]. Le troisième chapitre où le groupe est GL(n, F ) , est carrément destiné à un lecteur spécialisé. Chaque chapitre prépare le suivant, et l'on peut lire directement un chapitre en n'utilisant les chapitres précédents que c o m m e référence. Chapitre I Soit G un groupe localement profini, et R un anneau commutatif (donc R a une unité). Les foncteurs d'induction et de restriction jouent un rôle fondamental dans la théorie des représentations lisses de G sur R, puisqu'ils permettent de monter ou de descendre dans les sous-groupes fermés H de G. Leurs propriétés fondamentales sont la décomposition de Mackey (la restriction d'une induite est une s o m m e d'induites de restrictions, si l'un des sous-groupes est ouvert), et la réciprocité de Probenius (l'induction est toujours adjointe à droite de la restriction, et l'induction à support compact est adjointe à gauche si le sous-groupe est ouvert). Les représentations lisses de G sur R peuvent être étudiées via les modules sur des algèbres de Hecke globale ou locales, qui leur sont associés. — L'algèbre de Hecke HR{G) (dite globale) sur R existe si G contient un sous-groupe ouvert compact K dont le pro-ordre est un entier supernaturel inversible dans R*. — L'algèbre de Hecke (dite locale) EndRGP = HR(G,K,O-), est l'anneau des endomorphismes d'une représentation P — m.&G,K o~ induite à support compact d'une représentation lisse de type fini a d'un sous-groupe ouvert compact if, ou d'une s o m m e directefiniede telles représentations (K, a). Les algèbres de Hecke HR(G,K) usuelles correspondent au cas où a est le caractère trivial. Lorsque 7T est une représentation de G sur un R—module V, on étudie les propriétés du End^c? P-module à droite H O I U R G ^ , V ) = M(cr,n). Ce module est l'analogue du HR(G, if)-module V des éléments de V invariants par K. Lorsque a G M o d ^ i f est irréductible et projectif, l'application 7r —> M( F¿ tel que l'induite IG.M^ est irréductible ? C'est un point essentiel dans la théorie du centre de Bernstein (qui donc n'est pas connu, m ê m e dans le cas où l est banal). Nous introduisons la notion de niveau d'une représentation, qui dépend de sa restriction à certains groupes ouverts compacts, en étendant les travaux de M o y et Prasad [MP]. O n déduit de cette théorie les applications suivantes: la) La sous-catégorie pleine des représentations de niveau donné est abélienne. Les foncteurs de restriction et d'induction paraboliques respectent le niveau. lb) La catégorie des représentations est le produit direct de ses souscatégories de niveau donné. 2) O n peut remplacer "de niveau donné" par "admissibles" ou par "de longueurfinie"dans la). 3) Le principe de Brauer-Nesbitt. Une représentation irréductible n de G sur Q a un Z/G-réseau L, si et seulement si le caractère central d'un élément de son support cuspidal est Z-entier; elle admet alors un O^G-réseau de typefini,où OE est l'anneau des entiers d'une extension E/Q¡ de dimension finie. La réduction de L modulo A est de longueurfinie,tous ses sous-quotients irréductibles ont le m ê m e niveau que 7r, et sa suite de Jordan-Hôlder ne dépend pas du choix de L. 4) Une représentation admissible de typefiniest de longueur finie. z

Chapitre III G = GL(n, F). O n dispose alors du groupe mirabolique, de la théorie des dérivées de Bernstein et de Zelevinski, et de la théorie des types développée par Howe-Moy et Bushnell-Kutzko. Il n'est pas difficile de voir qu'une grande partie de la théorie des

Introduction

xvii

dérivées est /-entière; ceci fournit de nouveaux résultats de finitude pour GL(n, F ) , ou des démonstrations nouvelles de résultats déjà obtenus avec la théorie des strates minimales, c o m m e le principe de Brauer-Nesbitt. Pour toute représentation n irréductible cuspidale Zj-entière, on montre que la réduction modulo A d'un ZjG-réseau de 7r est irréductible. O n dit que TT est /-irréductible. La théorie des dérivées est insuffisante pour tester l'irréductibilité d'une représentation paraboliquement induite d'une représentation irréductible cuspidale donnée, mais elle permet de voir que ces représentations sont génériquement irréductibles, si q est différent de 1 modulo Z. Pour voir que la théorie des types s'étend à F/, on a le choix entre deux méthodes: des démonstrations directes valables pour tout iî, ou réduire modulo Z la théorie sur Q . Cette seconde méthode conduit à trouver des Zj-réseaux et à étudier leur réduction modulo Z. Nous avons opté pour la seconde, aussi souvent que possible. L'objectif est de montrer que toute représentation irréductible cuspidale de GL(n, F ) sur Fi se relève à Qj, en montrant qu'elle est induite à partir d'un sous-groupe ouvert compact. t

O n a décidé d'étudier en détail le niveau zéro avant le cas général; cela fait un peu double emploi, mais les idées sont les plus claires (c'est du moins un espoir), et les phénomènes nouveaux de la théorie modulaire (Z p) se voient dans la théorie des représentations de niveau 0. Nous avons donné un résumé des résultats techniques de BushnellKutzko qui seront nécessaires au cas de niveau > 0, espérant que cela sera utile au lecteur, en recopiant les définitions des caractères simples (plutôt sauvages à m o n avis), alors qu'il aurait mieux valu les réinterpréter, en comparant avec la situation galoisienne. La théorie des types est un tour de force, qui permet de ramener certains problèmes concernant les représentations irréductibles cuspidales d'un groupe réductif p-adique au cas modérément ramifié ou "de niveau zéro". Jointe à la théorie de Dipper et de James pour les représentations du groupe fini GL(n, F ) , on obtient que les représentations cuspidales qui ne sont pas supercuspidales, sont celles qui apparaissent dans la réduction modulo Z des représentations de Steinberg généralisées. O n caractérise les représentations de Steinberg généralisées dont la réduction modulo Z contient une cuspidale. O n montre qu'une représentation irréductible supercuspidale 7r a une enveloppe projective de longueur finie (si l'on fixe le caractère central). Cette enveloppe est cuspidale, tous ses sousquotients sont isomorphes à 7r, et l'on donne sa longueur. g

Soit e le plus petit entier tel que 1 -f q + ... -h q ~ soit divisible par Z. Nous déduisons que c o m m e dans le cas du groupe fini G ( F ) , e

l

n

g

— toute représentation cuspidale est supercuspidale pour tout sous-

xviii

Introduction

groupe de Levi de G?, — toute représentation cuspidale est Z-projective pour tout sousgroupe de Levi de G, — e > n, sont trois propriétés équivalentes. Nous renvoyons le lecteur à la table des matières, ou à l'ouvrage pour plus de détails. L'auteur remercie toutes celles et ceux qui l'ont encouragée durant la préparation de cet ouvrage, et parmi elles (et eux) spécialement B h a m a Srinivasan, Joseph Bernstein, G u y Henniart, Anne-Marie Aubert, et les étudiants de D.E.A. de Paris 7 qui ont suivi le cours (1993-1994), dont cet ouvrage constitue une version alourdie.

CHAPITRE I

Groupes localement profinis 1. Groupes localement profinis Soit F un corps local non archimédien de caractéristique 0 ou p, dont le corps résiduel est le corps fini F à q éléments. La conjecture de Langlands relie les représentations des groupes GL(n, F ) et Gal^p. Ces deux groupes sont très différents, mais leur topologie "naturelle" n'est pas très différente. La topologie sur GL(n, F) est celle provenant de la q

2

topologie naturelle sur M ( n , F) ~ F induite par la topologie p-adique de F, celle sur Galp est la topologie des sous-groupes d'indice fini. Ce sont des cas particuliers des groupes que nous appelons localement profinis et que nous définissons maintenant. n

1.1

Définition

Un groupe topologique G est dit profini, s'il vérifie les

propriétés équivalentes (i) et (ii) suivantes (i) G est compact et totalement discontinu, (ii) G est une limite projective de groupesfinis(munis de la topologie

discrète). Un groupe topologique G

est dit localement profini, s'il vérifie les

propriétés équivalentes (iii) et (iv) suivantes (iii) G est localement compact et totalement discontinu, (iv) G est séparé et l'ensemble Q = $l(G) de ses sous-groupes ouverts compacts forment un système fondamental de voisinages de l'unité. On noterafi= £Î(G) l'ensemble des sous-groupes ouverts compacts d'un groupe localement profini G. Preuve L'équivalence de (iii) et de (iv) est claire. Pour celle de (i) et (ii), voir [Sel 1.1]. Noter que (i) implique que G possède une base de voisinages de 1 qui sont des sous-groupes ouverts distingués K et G s'identifie àfirnG/K ( [Bourbaki T G 111.77 Ex. 18, 111.86, Ex.3]). o O n définit ainsi la catégorie des groupes profinis et celle des groupes localement profinis; les morphismes sont les homomorphismes continus. Exemples de groupes localement profinis a) les groupesfinis:Z/pZ, GL(n, F ) , . . . b) les groupes profinis: GalQ , Z , GL(n, Z ),... c) les groupes discrets: Z, ...; un groupe discret est profini si et seulement s'il est fini. p

p

p

p

2

Chapitre I. Groupes localement profinis

d) les groupes réductifs p-adiques: Q , GL(n, Q ) , les groupes d'adèles des groupes réductifs sur des corps de fonctions. p

1.2 Propriétés des groupes profinis

p

Soit G un groupe profini.

(i) Un sous-groupe ouvert K C G est d'indice fini. (ii) Un sous-groupe fermé H C G est profini; alors l'ensemble des K fl H pour K G fi(G) est cofinal dans Q(H). (iii) Un quotient G/H la topologie quotient.

par un sous-groupe fermé H est profini pour

(iv) Les sous-groupes distingués d'indicefiniforment un système fondamental de voisinages de l'unité. (v) Un produit quelconque de groupes profinis, une limite projective de groupes profinis sont des groupes profinis. Preuve Voir [Sel 1.1 et 1.3 Prop.2 (iii)]; (iv) résulte de [Bourbaki TGIII.86Ex.18]. o O n dit que deux sous-groupes H et K d'un groupe G sont commensurables lorsque les deux indices [K : (KOH)] et [H : (KdH)] sont finis. O n définit Vindice généralisé de deux groupes commensurables c o m m e le nombre rationnel [K : H] := [K : (K fi H)]/[H : (K fi H)].

1.3 Propriétés des groupes localement profinis localement profini.

Soit G un groupe

(i) Les groupes K G fi (G) sont commensurables, et pour tout K G ft(G) l'ensemble Ct(K) est un sous-ensemble cofinal de fî(G). (ii) Un sous-groupe fermé H C G est localement profini. (iii) Un quotient G/H par un sous-groupe fermé H est localement profini pour la topologie quotient. (iv) Un produitfinide groupes localement profinis est un groupe localement profini,mais un produit infini ou une limite projective de groupes localement profinis n'est pas nécessairement un groupe localement pro fini. (v) Tout sous-groupe compact H d G est contenu dans un sousgroupe ouvert compact.

1. Groupes localement pro finis

3

Preuve Les propriétés (i) à (îv) sont immédiates avec (1.2). Les produits infinis d'espaces localement compacts ne sont pas toujours localement compacts [Bourbaki TGI.63, 9.5.th.3, TG1.66. 9.14.prop.l4], ce qui explique la différence entre (1.2.v) et (1.3.iv). Montrons (v). Soit K G fï(G?); alors l'ensemble HK des produits hk, h G H, k £ K, est compact, car il existe un ensemblefini{hi} C H tel que HK = U h{K. L'intersection K' = D

h e H

hKh'

1

=

-i

nhiKh;

est un sous-groupe ouvert et compact de G, invariant par conjugaison par H. L'ensemble HK' est un sous-groupe ouvert compact contenant H. o 1.4 Eléments compacts Un élément g de G est dit compact si le sous-groupe < g > qu'il engendre dans G est contenu dans un compact de G. Le sous-groupe G° de G engendré par les éléments compacts de G est ouvert et distingué dans G, de quotient G/G° un groupe discret. Preuve

Ceci résulte de (1.3.v). o

Exemple : Soient Op l'anneau des entiers du corps local non archimédien F, et valjr la valuation. Le groupe GL(n, F)° est le sousgroupe des g G GL(n, F) de déterminant det g G 0 £ , et l'application g —» valpdetg induit un isomorphisme GL(n, F)/GL(n, F)° ~ Z. Le groupe multiplicatif F* est isomorphe au centre de GL(n, F ) par l'application diagonale. L'image de Z est n Z , et Z D G° ~ Op. Lorsque G est un groupe réductif connexe sur F de centre Z, on sait que le quotient G/G° est un groupe abélien libre de rangfini,l'image de Z dans G/G° est un sous-groupe d'indicefini,et ZC\G° est le sous-groupe compact maximal de Z. 1.5

Pro-ordre U n entier s'identifie naturellement à une application n:P->N

de l'ensemble P des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels N , qui est nulle sauf pour un nombrefinide termes. Un entier surnaturel [Sel] est une application n : P-> {NUoo} . O n écrit formellement n

4

Chapitre I. Groupes localement profinis

O n note Poo{n) l'ensemble des nombres premiers d'exposant infini dans n; les entiers supernaturels II

f=

n

p€Poo(n)

II p p€P-Poo(n)

niP)

s'appellent la partie infinie et la partiefiniede n. On définit formellement le produit, le p.p.c.m. et le p.g.c.d, de deux entiers supernaturels. Soit K un groupe profini admettant une base dénombrable d'ouverts compacts. Le pro-ordre ou Vordre de K est l'entier surnaturel [Sel 1.3]: \K\ = Il

= p.p.c.m. , K

€nw

[K : K').

Soit G un groupe localement profini admettant une base dénombrable d'ouverts compacts. Le pro-ordre de G est l'entier surnaturel \G\ =

p.p.c.m. \K\. Ken

1.6 Propriétés des pro-ordres (i) multiplicativité : si 1 —» K —> H —> H/K —> 1 est une suite exacte de groupes localement profinis, alors \H\ = \K\ \H/K\. Les pro-ordres de deux groupes localement profinis isomorphes sont égaux. (ii) Soit K e ÎÎ(G); alors \K\ oo ne dépend pas du choix de K. Si \G\f est un entier naturel, alors \K\f est un entier naturel. Si \K\f est un entier naturel, alors \K'\f est un entier naturel pour tout K' G fi(G). (iii) Soit n un entier supernaturel tel que (\K\,ri) = 1, alors pour tout sous-groupe fermé H C K, on a (|iï|, n) = 1.

|G|

Exemples a) L'ensemble Poo(|G|) des nombres premiers d'exposant infini dans est • vide : un groupe fini, • l'ensemble de tous les nombres premiers : Z, le groupe de Galois Galir, le groupe des adèlesfinisde Q ou de Q*, etc. • {p} : un groupe de Lie p-adique. b) La partie |G|/finiede |G| est • un entier non naturel : 0 p Z/pZ, • un entier naturel : 1 pour Z , p — 1 pour Z*. p e

p

c) Supposons que G est un groupe réductif p-adique. Alors pour tout K efi(G),\K\ est un entier naturel et \K\ = \K\ p°°. On sait [Titsl] f

f

1. Groupes localement pro finis

5

que G a un nombrefinide classes de conjugaison de sous-groupes ouverts compacts maximaux, et que tout sous-groupe compact est contenu dans un sous-groupe ouvert compact maximal. Donc \G\f est un entier naturel et |G| = \G\ P°. ff

Exemple : si pp est une uniformisante de Op et q l'ordre du corps résiduel n \GL(n,F)\ = \GL(n,0 )\ = - 1) P°°F

i=l

O n rappelle maintenant les notions d'espace localement profini X, d'action continue d'un groupe localement profini G sur un espace localement profini, et de faisceau G-équivariant [GK2, BZ1]. 1.7 Espace localement profini U n espace localement profini est un espace topologique X qui est localement compact et totalement discontinu; il est séparé et l'ensemble O ( X ) des sous-espaces ouverts compacts de X forme un système fondamental de voisinages, stable par intersectionfinieet par réunion finie. Soit R un anneau commutatif; on note R^(X) la P-algèbre des fonctions localement constantes / : X —» R à support compact. Une fonction / G R™(X) est une s o m m efinie/ = ]C/(2/ï)l-Vt pour des Y{ G Q(X). O n vérifie [B2]: Propriétés 1) Tout ouvert Y de X est localement profini, et ft(Y) C Q(X); tout fermé Z deX est localement profini; l'intersection d'un ouvert et d'un fermé (= un localement fermé) est localement profinie. Une union finie de localement fermés (= un constructible) est localement profinie. 2) Si K C U U est un recouvrement ouvert dans X d'un compact K de X, on peut trouver un recouvrement ouvertfinide K C Yi par des Yi G fi(X), i = 1,... ,fe, disjoints, tels que pour tout i, il existe a avec Yi C U . a

a

a

3) Suite exacte associée à un ouvert. Si Y C. X est un ouvert, de complémentaire Z, le prolongement par zéro R^(Y) —> R^(X) et la restriction R^(X) —> R™{Z) donnent une suite exacte 0 -+ R™(Y) -> R?(X) -> R™{Z)

0.

1.8 Action d'un groupe localement profini Une action continue a d'un groupe localement profini G sur un espace localement profini X est la donnée pour tout g E G d'un homéomorphisme

6

Chapitre I. Groupes localement profinis

a(g) de X , tel que cr(g\g2) = o-(gi)a(g ) pour tout #1, #2 £ G, et tel que l'application (#, x) —> cr(c/)a; : G x X —• X est continue. Le graphe de cr est le sous-ensemble de X x X formé des (o~(g)x, x) pour tout g E G,x e X. O n dit que cr est régulière, resp. constructible, si son graphe est fermé, resp. constructible. 2

Exemple Une action continue cr d'un groupefiniG est toujours régulière. E n effet, la diagonale A de X x X est fermée puisque X est séparé; pour tout homéomorphisme 7 de X l'application 7 x id : X x X —» X x X telle que (7 x id)(rri,a;2) = (7^1,^2) est un homéomorphisme; le graphe C de cr est l'unionfiniedes fermés (or(g) x id)A, donc le graphe de a est fermé. a

O n note X/G l'ensemble des orbites de G dans X , et p : X —• X / G la surjection évidente. On munit X / G de la topologie quotient (U C X / G est ouvert si et seulement si son image inverse p (C/) est ouverte dans _1

x). L e m m e X / G est localement profini si et seulement si Vaction de G sur X est régulière. Preuve II est clair que p est une application continue et ouverte (l'image d'un ouvert de X est ouverte dans X / G ) . L'espace X / G est localement profini si et seulement s'il est séparé. L'espace X / G est séparé si et seulement si la diagonale de X / G x X / G est fermée. Elle a pour image inverse dans X x X le graphe de cr, X / G x X / G est homéomorphe à (X x X)/(G x G ) pour l'action cr x cr de G x G sur X x X . Par définition de la topologie quotient sur (X x X)/(G x G ) , la diagonale de X / G x X / G est fermée si et seulement si le graphe de cr est fermé, o Remarque Si l'action de G sur X est simplement constructive, ou ce qui est équivalent si la diagonale de X / G x X / G est contructive, et si X n'est pas vide, alors on peut montrer que les orbites de G dans X sont localement fermées, et qu'il existe un ouvert dense, G-stable, de X sur lequel l'action de G est régulière [BZ1 6.8.b,c page 54]. 1.9 Algèbre avec assez d'idempotents Soit R un anneau (donc R a une unité), et A une P-algèbre. On rencontre naturellement des iî-algèbres sans unités, par exemple la iî-algèbre commutâtive i?£°(X) définie en (1.7) qui a une unité si et seulement si X est compact. O n dit [Fl] que A a assez d'idempotents ou qu'zZ existe un ensemble suffisant d'idempotents Id(A) dans A si: pour tout ensemble fini

1. Groupes localement pro finis

7

ai,...,a dans A, il existe e = e dans Id(A) tel que ai G eAe pour tout i, 1 4

U n A-module à gauche M sera dit unital (pluriel: unitaux) ou non dégénéré, si M = AM. Nous notons par M o d ^ la catégorie des Amodules à gauches unitaux. Proposition 1) Une algèbre A a assez d'idempotents si et seulement elle est une limite inductive d'algèbres Ai, où les algèbres Ai ont des unités. 2) Si Id(A) est un ensemble suffisant d'idempotents dans A, un Amodule M est unital si et seulement si pour tout m G M, il existe un idempotent e G Id(A) tel que em = m, ou encore si M = U

eM.

e e I d ( A )

S) Si A a assez d'idempotents, alors la catégorie M o d ^ a assez de projectifs. Preuve

1) Soit A une limite inductive d'algèbres qui ont une unité, {Ai, (j)ji : Ai —> Aj, i < j)ij i e

sur un ensemble d'indices i"filtrant,les homomorphismes (j)ji ne respectant pas forcément l'unité. Une limite inductive d'algèbres est une algèbre. Si est l'unité de Ai, alors son image dans A est un idempotent. L'ensemble Id(A) des images des unités de Ai est un ensemble suffisant d'idempotents de A. E n effet pour tout a E A, représenté par une s o m m efiniea = ^ a ^ , G Ai, il existe h e I tel que i < h pour tout ai y£ 0 puisque l'ensemble d'indices / estfiltrant,donc a G e^Ae^; le m ê m e raisonnement s'applique à un ensemblefinid'éléments de A, donc Id(A) est un ensemble suffisant d'idempotents de A. Inversement si e = e est un idempotent de A, alors e est l'unité de l'anneau eAe. Si Id(A) est un ensemble suffisant d'idempotents de A, l'ensemble Id(A) partiellement ordonné par la relation e < f si e G f Af ou ce qui est équivalent si eAe C f Af, estfiltrant.E n effet si e, / G /, il existe h G / tel que e, / G h Ah. O n montre [BD 1.1] que A est la limite du système inductif filtrant 2

(eAe, (j) , e < f) jeid(A) fìe

e

8

Chapitre I. Groupes localement profinis

pour les injections: (f>f : eAe —> fAf. 2) Si M = U e M , il est clair que M est unital. Inversement si M est unital, tout m £ M s'écrit ra = am' pour un a G A et un m' G M . Il existe un idempotent e avec ea — a, donc era = m ou ce qui est équivalent ra appartient à eM = {ra G M , era = ra}. >e

3) Si e G A est un idempotent, Ae G M o d ^ est project if puisque Hom(Ae, M ) = e M , et le foncteur M —> e M est exact. Une s o m m e directe de projectifs est projective. La catégorie M o d ^ a assez de projectifs si A a assez d'idempotents, car M G M o d ^ est quotient de ® M ^ 4 e —» M , lorsque e est un idempotent tel que e r a = ra, et l'application envoie e sur ra. o m €

m

m

m

m

1.10 Faisceaux sur u n espace localement profini Soit X un espace localement profini et soit R un anneau commutatif. Tout ensemble O de parties non vides de X définit une catégorie, les morphismes étant les inclusions. Un O-faisceau M en iî-modules [God] est un foncteur covariant de cette catégorie dans celle des i?-modules, donc une donnée (M(U)

G Modi,, r y V

G Hom (M(V),M(U)), R

U C

V )

u

y

e

0

(où A4(U) est appelé le P-module des sections de A4 sur C7, et où rjjy est appelé la restriction de V à [/), telle que 1) Tu,u — id pour tout U £ O, 2) transitivité: ru,yrv,w = ru,w pour tout U CV

CW

dans 0 ,

3) existence et unicité d'un prolongement des sections locales: pour tout ensemble /, pour toute application U : I —• O, telle que l'union U j = UU appartienne à O, et pour tout ensemble de sections m G M(U ), telles que ae

a

a

a

pour tout a,j3 £ I tels que U C\Up G (9, il existe une unique section ra G .A4 (¡7) de restrictions ra à Î7 pour tout a £ I. a

a

a

Si C?' C (9, la restriction de M. àO' est le (^'-faisceau .A/f de données (M(U) G Modtf, O n dit que A 4 prolonge M!.

r ) o'> UiV

UiV€

1. Groupes localement profinis

9

U n faisceau M (en R-modules) sur X est un faisceau (en i?-modules) sur l'ensemble 0(X) de tous les ouverts non vides de X. O n rappelle (1.7) que Q(X) est l'ensemble des sous-espaces ouverts compacts de X. 1.11 L e m m e X.

Un ft(X)-faisceau se prolonge en un unique faisceau sur

Preuve a) Unicité. Soit A4 un 0(X)-faisceau, et soit U un ouvert de X. O n veut voir que Ai(U) est déterminé par la restriction de A4 à Q(X). O n a tt(U) C ft(X), et le système (M(Y),

r , , Y' c Y

Y) , (uy

tY

YtY

ea

est projectif pour l'ordre Y' < Y si Y' C Y. L'existence et l'unicité du prolongement des sections locales montrent que A4(U) s'identifie à la limite projective de ce système par m —» (rY,um)Yen{u)' b) Existence. Soit A4 un fî(X)-faisceau. Le système projectif cidessus est bien défini, et sa limite projective est notée A4(U). Pour U C V dans 0(X), on a Q(U) C Q(V) C ft(X), et l'on pose pour m = (m )Yen(v) dans A4(V) Y

ru v(m) = t

{m )yen(U)' Y

O n vérifie que (A4(U), ruy) est un (9(X)-faisceau qui prolonge Ai. o. Le système (A4(U),iu,v A4(V) —> Al(17), V c U)u,veo(x) où iuy est le prolongement par zéro, est inductif (l'ordre V < U si V C U estfiltrantà droite). Sa limite inductive est appelée le R-module des sections de Ai. :

Soit A4 un faisceau sur X et soit x E X. Si m G A4(U) est une section sur un ouvert C/, on dit que la valeur de m en x est nulle: m(x) = 0, si x n'appartient pas à U ou si la restriction de m à un voisinage de x est nulle. Le iî-module des sections de M nulles sur x est notée A4(x). La valeur d'une section m G A4(U) eux E X est l'image canonique de m dans A4{U)/A4(U) nA4(x); le support de m est l'ensemble des x E X où m(x) ^ 0. O n note M le iî-module des sections de A4 à support compact. Le Rmodule M est un i2£°(X)-module unital pour l'action naturelle: si Y C Z dans Q(X) et si m G A4(Z) alors lym = ry^m. O n a lyM = A4(l ), donc le i?£°(X)-module unital M détermine le faisceau A4 (lemme 1.11). r

1.12 Sections à support compact Tout R^ (X)-module unital est l'ensemble des sections à support compact d'un unique faisceau sur X.

Chapitre I. Groupes localement profinis

10

Preuve L'unicité a déjà été vue. Soit M Montrons que la donnée (lyM, (m -> l y m ) : 1 M

lyM, y C Z)y,

Z

définit un Q(X)-faisceau

un R^(X)-module

unital.

Z G r 2 ( x )

M.

1) l y m = m si m G l y M . 2) Transitivité : formule du produit 1YÌ1Y = ly ny 3) Prolongement unique : l uy Ivi + ^ ~ lnny - Soient mi = ly mi, m = l y m avec l y ^ y ^ i = lyiuy 2- Alors m = m i -h 77i2 — l y u y i ^ l'unique prolongement à Y\ U Y des sections m i sur Y\ et m 2 sur 1^. Ceci traite le cas d'un recouvrement fini; on se ramène à ce cas avec (1.7.2). 2

1

2

=

yi

2

2

m

x

2

2

m

1

2

2

es

2

2

O n applique (1.11) pour obtenir un faisceau sur X\ ses sections à support compact s'identifient à M . o O n peut montrer que l'on définit ainsi un équivalence de catégories entre Mod^oo(x) et celles des faisceaux sur X. 1.13 Action d'un groupe localement profini G sur u n faisceau Une action de G sur un faisceau M. sur X est la donnée 1) d'une action continue a : GxX —> X de G par homéomorphismes sur X; donc / —> a(f) := fa~ : i?£°(X) —> R™(X) est un isomorphisme de jR-algèbres, 2) d'une action de G sur le iï-module M des sections à support compact (1.6), notée encore G : G x M —> M , de sorte que ces actions soient compatibles: pour tout / G i2£°(X) et tout m G M , on a x

a( )(/m) = a(g)(f)a(g)(m). 5

Une partie ouverte compacte Y G £2(X) est fixe par un sous-groupe ouvert compact K G fi(G); si m G l y M , et G if, on a a(k)m = m. Donc lefixateurd'un élément m de M dans G est ouvert pour tout m G M . O n arrive ainsi naturellement à la définition de représentation lisse (4.1). 2. M e s u r e de H a a r Soient G un groupe localement profini, R un anneau commutatif, et i : Z -> R

2. Mesure de Haar

11

l'homomorphisme canonique de noyau l'idéal dZ; on note R* le groupe des éléments inversibles de R. Ce chapitre se simplifie si l'on suppose que le pro-ordre de G est le produit d'un entier par pour un nombre premier p premier à d, et que R est intègre. Dans les chapitres II et III, ces hypothèse seront vérifiées. Définitions préliminaires 2.1 L'homomorphisme i se prolonge au sous-anneau k de Q engendré par les inverses des entiers n tels que (n, d) = 1. Soit n un entier surnaturel (1.5). Si (n, d) = 1 on dit que n est inversible dans R*. 2.2

O n associe à G différents i?-modules.

1) Pour K £ fi(G), soit R (G/K) le /^-module des fonctions / : G R à support compact qui sont if-invariantes à droite; il s'identifie au Rmodule des fonctions à supportfinisur l'espace discret G/K; il a une base canonique formée des fonctions caractéristiques 1 K des ensembles gK, pour g £ G/K; le groupe G opère par translation à gauche sur R (G/K). C

9

C

2) Le i£-module R^(G) des fonctions localement constantes / : G —» R à support compact est l'union des R (G/K) pour K dans un ensemble cofinal de fi(G). Le groupe G opère par translation à droite et à gauche sur R%°(G)] l'action correspondante de (^1,^2) £ G x G sur / £ R™(G) est C

/(*) -+ f{9Ï ^92)1

3) Un caractère de G à valeurs dans R est un homomorphisme G —» R*. Pour tout sous-groupe fermé H de G, et tout caractère x H —» i?*, on considère le iî-module R™(G,x) R%°{G,H,x) des fonctions localement constantes f : G —+ R qui sont x-équivariantes à gauche par iJ: f(hg) = x(h)f(g), h£H,g£G, :

o

u

et à support compact modulo iJ (agissant par multiplication à gauche). Ce module est nul si x n'est pas lisse (i.e. localement constant). Le groupe G opère par translation à droite sur R^(G,x)' 4) Pour tout iî-module V, on définit des sous-iî-modules analogues V (G/K),Vf°(G) et K°°( V. c

M e s u r e de H a a r 2.3 Définition Une distribution (ou une mesure) de G à valeurs dans R est une forme linéaire sur R™(G). Une mesure de Haar (à gauche) de

12

Chapitre I. Groupes localement profinis

G à valeurs dans R est une forme linéaire non nulle \XQ sur i?£°(G), qui est invariante par translation à gauche par G. O n note souvent = Le volume définition

/ f(9)dp (g), f e

R?(G).

G

JG

d'une partie ouverte compacte X

C G pour HG est par

vol(X,// ) = /i (lx). G

G

Soit if G O(G). Si / est if-invariante à droite, alors pcif) t l s o m m e finie es

M/)

a

= E f(9) vol(if )• gK

Le volume d'au moins un K Gfi(G) est non nul, et pour tout if' Gfi(if ) on a (2.3.1)

vol(if, /i ) = [if : if'] vol(if', /i ), G

G

où [if : if'] est l'indice généralisé (1.1). Exemples a) La valeur en g est une distribution, mais non une mesure de Haar. b) Un groupe discret a toujours une mesure de Haar canonique \x à valeurs dans i2, telle que le volume de chaque point égal à 1. Une mesure de Haar /x' sur un groupe discret est un multiple non nul de la mesure de Haar canonique p! = ixr' où r' 7^ 0 est le volume d'un point. c) Le volume d'un groupe profini G est nul lorsque d divise son pro-ordre, car il contient alors un sous-groupe d'indicefininul dans R et l'on applique (2.3.1). d) Il n'existe pas de mesure de Haar de Z à valeurs dans Z. S'il en existait une, elle serait non nulle sur un sous-groupe d'indicefinide Z ; tout sous-groupe d'indicefinide Z est de pro-ordre p°°. Aucun entier de Z n'est divisible par p°° ! p

p

p

2.4 Existence et Unicité a) Il existe K G f2(G) de pro-ordre inversible dans R* si et seulement s'il existe une mesure de Haar JJL de G à valeurs dans R telle que vol(if,/x) = 1.

2. Mesure de Haar

13

Cette mesure est unique et on Vappelle la mesure de Haar normalisée de K et on la note \JLK> Soit if G fi(G) de pro-ordre inversible dans R* (2.1); alors b) pour toute mesure de Haar p de G à valeurs dans R, le volume vol(if,//) n'est pas nul, et ¡1 est un multiple de \XK' p = FJ>K vol (if, /x); c) si if' Gfi(G), le volume vol(if'', fijc) est égal à [if' : K], il est nul si et seulement si |if'| est nul dans R. Preuve O n donne une démonstration légèrement plus générale. Supposons qu'il existe r G R non nul tel que pour tout if' Gfi(if), il existe r(if') G R avec r(K')[K :if'] =r. Supposons qu'aucun diviseur entier de |if | ne divise zéro dans R. Pour tout iî-module V, on construit une forme linéaire /i invariante par translation à gauche sur le it-module V£°{G) (2.2.4) en posant si / G V (G/K') pour if' G fi(if), C

Cette définition ne dépend pas du choix de if': il suffit de montrer qu'un autre groupe if" Gfi(if') aurait donné la m ê m e valeur; or /=

£ £ f(9K')lgkK», gK'eG h'K"dK'

et l'on aurait obtenu ^2f(gK')[K' : if"]r(if"). On a [if' : K"]r(K") = r(if'), car en les multipliant par [if : if'] ils sont égaux à r, et [if : if'] ne divise pas zéro dans R. Les autres propriétés sont évidentes, o 2.5 Premières propriétés 1) Si G a une mesure de Haar de G, tout sous-groupe fermé de G a une mesure de Haar. 2) Une mesure de Haar d'un sous-groupe ouvert compact de G se prolonge en une unique mesure de Haar de G. 3) Si d ^ 0, l'existence d'une mesure de Haar à valeurs dans R est équivalente à l'existence d'une mesure de Haar à valeurs dans Z/dZ. Exemples Soit F un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle de corps résiduel à q éléments. a) Le groupe additif et le groupe multiplicatif F* ont une mesure de Haar à valeurs dans R si et seulement si p est inversible dans i?*. Si cette condition est réalisée, le volume de O F n'est jamais nul, celui de Op est nul si et seulement si q = 1 dans R.

Chapitre I. Groupes localement profinis

14

b) Le groupe GL(n, F) et plus généralement un groupe réductif padique, a une mesure de Haar à valeurs dans R si et seulement si p est inversible dans R*; c) Le groupe GL(n, OF) a une mesure de Haar normalisée à valeurs dans R si et seulement si (q — 1)... (q — 1) G R* (appliquer (2.4) et le calcul de \GL(n,0 )\ (1.6)). n

F

Module 2.6 Définition

oùK

Le module de g £ G est l'indice généralisé (1.2)

Gfi(G).

2.7 Propriétés a) Le module est indépendant du choix de if; pour if' Gfi(if), on veut que [gK'g- : if'] = \gKg~ : if]; on choisit if" G Çl(K'CigK'g- ), et l'on utilise que 1

1

1

b) Le module est trivial sur un élément compact (1.4) (immédiat par a). c) Le module est multiplicatif.

Utiliser a) et

d) VQ '.— ÔGHG est une mesure de Haar à droite. Ceci signifie que ^G(/) = /^G(/£GO> et que vol(ifg, VQ) ne dépend pas de g. On a

C o m m e 6Q est multiplicatif et trivial sur if, on en déduit vol(ifg, VQ) = vol(if, u ). G

e) VG{Î) = £*G(/*) OÙ l'on a posé f*(g) = f(g )• Il suffit de voir que l'égalité est vraie si / = 1K g] alors VG(I) = vol(if, = vol(if, //G); c o m m e l / ^ x " ) = l -i (x), on a HGU*) = vol(if,// 2. Le module ÔQ est trivial sur [/; pour m = (mu) E M , il est égal à l'indice généralisé ë (m) Q

= [mC/(0 )mF

1

: U(0 )\. F

16

Chapitre I. Groupes localement profinis

O n a ÔQ(m) = ç ( ) avec d

m

d(m) =

dj —

ji

d) Cas particuliers : soit d|n, et Q le sous-groupe parabolique associé à (d,..., d); alors d(ra) = d [(1 — n/d) (val^ det m u ) + (3 — n/d) (val det m 2 ) + .. • + (n/d - 1) (val det F

2

F

m / )]. n/dn

d

Supposons que Q soit le groupe associé à (n, 1). Alors si m = (x,y) G M ~ GL(n - 1, F ) x F*, on a: d(m) = — vali? det x + (n - 1) val^ y.

2.8 M e s u r e sur u n ensemble quotient Soit K C G un sous-groupe ouvert. L'ensemble quotient if \ G est discret; la forme linéaire sur i?£°(if \G) qui envoie les éléments de la base canonique Ixg sur 1 est G-invariante à droite, et toute forme linéaire G-invariante à droite lui est proportionelle. Lorsque l'on remplace if par un sous-groupe fermé H une telle forme n'existe pas toujours. Proposition Supposons qu'il existe K G 0 de pro-ordre inversible dans R*. Soit H un sous-groupe fermé de G. Il existe une forme linéaire non nulle G-invariante à droite sur l'espace R™(H\G,XH) XH = ÔHÔQ . Cette forme est unique à homothétie près. o

u

1

Preuve Si H est ouvert, XH est trivial et le résultat a été montré cidessus. E n utilisant (1.6), on voit que |if| G R* implique |if D H\ G R*. O n peut donc considérer sur G et sur H des mesures de Haar à droite ^G? VH OU à gauche //G?, \XH normalisées par if et par if il H (2.4.a), avec G — ^GMGÎ H — ÔH/J R™(H\G,XH)P'ii(f) - G R est Xi^-équivariante à gauche car

La fonction

H

Pour if e ft(G), £ E G, on a PH(W)(Î/) /^(^/ry-^njffc); elle est donc if-invariante à droite, et sa valeur en g est =

b) p' : i?£°(G) —> R OO(H\G,XH) est surjective. O n choisit if de pro-ordre inversible dans i?*, alors (l^ic)^) 7^ 0 pour tout if G fi(if ). Le i?-module R (H\HgK/K, X H ) des fonctions de support HgK de i?£°(ii\G, X H ) qui t invariantes à droite par if, est isomorphe à R par la valeur en g, puisque X H est trivial sur les éléments compacts de H. Les fonctions de HgK dans R (H\G,XH) lorsque g E G, if € fî(if ), forment un système de générateurs. H

G

C

0

c

s o n

C

G

c) Une forme linéaire À : R (HgK/K) —> R qui vérifie pour h G HJe R(HgK/K) l'équation \(f(h*) = M ^ W ) , est un multiple de p' (f)(g). E n particulier p {f){g) = 0 implique À(/) = 0. C'est le cas pour la restriction de VQ à R (HgK/K). c

f

H

H

c

d) Une fonction / G R (G/K) annule p' , si et seulement si pour tout g G G, f\HgK annule p' . Donc VQ est nulle sur le noyau de p' , et se factorise par R^(H\G,XH), OÙ elle définit une forme linéaire Ginvariante à droite non nulle À. C

H

H

H

e) C o m m e on l'a vu plus haut, une forme linéaire À non nulle, Ginvariante à droite sur R^(H\G, x)> composée avec p' est une mesure de Haar à droite sur G. o H

Chapitre I. Groupes localement pro finis

18

3. Algebres de Hecke Soient G un groupe localement profini, = Q ( G ) l'ensemble de ses sous-groupes ouverts compacts. Soient R un anneau commutatif unitaire, et (G) le i?-module des fonctions / : G —> R localement constantes et à support compact. 3.1 Algèbre de Hecke globale Supposons qu'il existe K G Sï de proordre inversible dans R*. L'algèbre de Hecke globale HR(G) de G sur R est la classe d'isomorphisme de l'algèbre formée par le R-module i(G) muni du produit de convolution induit par la mesure de Haar normalisée ¡x de K : Q

0

Q

(1) (/ *

/io

/')(*) = / f(g) f'ig-^dpoig)

(/, /' € i? °°(G), X G G ) . c

JG

Elle est isomorphe au produit de convolution défini par la mesure de Haar r/i> si r G -R* par l'application / —» fr~ . Il est plus intrinsèque de la définir c o m m e l'algèbre de convolution des distributions (2.3) localement constantes, à support compact. Une telle distribution est de la forme h = //i, / G i?£°(G), et /i une mesure de Haar. Le produit fp * /'// — l

0

i?f *

Mo

r' f)n

si /x = r/i , p! = r'ii , ne dépend pas du choix de \x .

0

G

0

Q

L'algèbre de Hecke de G sur R n'a pas d'unité, si G n'est pas un groupe discret (dans ce cas, l'unité est la fonction caractéristique de 1 multipliée par la mesure canonique), elle n'est pas commutative en général. O n ne la confondra pas avec la structure d'algèbre commutative de i?£°(G) donnée par le produit usuel des fonctions. 3.2 Idempotents Preuve

Soit K

Q

L'algèbre HR(G)

a assez d'idempotents (1.9).

G Í2 de pro-ordre inversible dans R*. Pour tout K G

(2)

e

K

= 1

HK

K

est un idempotent de HR(G). L'anneau eKHji(G)eK a une unité e^, il est naturellement isomorphe à l'anneau R (G//K) des fonctions invariantes à gauche et à droite par if, muni du produit de convolution induit par [i . C o m m e R™(G) est l'union des R (G//K), K G iî(JQ, les e , K G iî(if ), forment un ensemble suffisant d'idempotents dans HR(G). O C

K

C

K

0

Remarque Pour tout K G Í2, le iî-module R (G//K) convolution. Si le pro-ordre de K est nul dans i?, alors C

R {G//K) C

* R (G//K) C

= 0.

est stable par

3. Algèbres de Hecke

19

3.3 Algèbre de Hecke relative à K à if G fi est H(G, if) — E n d

L'algèbre de Hecke de G relative G

Z (G/if). c

Ces algèbres sont étudiées dans [Bourbaki G A , ch IV, page 54, exercice 22]. U n endomorphisme G-équivariant de Z (G/if) est défini par l'image de 1K- C o m m e 1K est invariant à gauche par if cette image est if-invariante à gauche. L'image de 1K définit un isomorphisme de Z-module c

H(G,K)^Z (G//K). C

L'algèbre de Hecke est une Z-algèbre libre, avec une base canonique formée par les fonctions caractéristiques e = 1KgK des doubles classes modulo if. Si R est un anneau commutatif, Valgèbre de Hecke sur R de G relative à K est par définition g

H {G,K)

= H{G,K)

R

® z R.

O n note HR(G,K)° l'algèbre de Hecke opposée (le produit est inversé). Nous allons essayer de comprendre la structure multiplicative des algèbres de Hecke relatives. Le groupe G a une mesure de Haar P K normalisée par if sur Q. Pour calculer le produit dans H (G, if), il suffit de le calculer dans HQ(G,K) OÙ l'on pourra utiliser la mesure de Haar HK. O n note / * /' = / * /' pour /, /' G Q ~ ( G ) . M K

3.4 Produit dans H(G,K) (i) Si f G Z (G//K) est l'image de 1 par A G End o Z (G/K), alors * f est l'image de (f) € Z (G/K) A. C

K

C

C

(ii) Si f*(g) = /(g- ), alors 1

* / * = (/ * /0* 2

2

dans H(G, if).

(iii) L'application A —> (^HK) est un isomorphisme d'anneau H(G,K)° —• Z (G//if), où Z (G//K) est muni du produit de convolution défini par \IK • c

C

(iv) Le produit de deux éléments de la base canonique est (3) ee g

= X>(