Relazioni e strutture

561 92 10MB

Italian Pages 228 Year 1970

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Polecaj historie

Relazioni e strutture

Table of contents :
Cover......Page 1
Indice......Page 7
Elenco dei principali simboli usati......Page 10
Introduzione......Page 11
1.1 Insiemi e sottoinsiemi......Page 14
1.2 Complementazione, intersezione, riunione......Page 20
1.3 Insiemi prodotto......Page 28
2.1 Relazioni fra due o più insiemi......Page 37
2.2 Legami fra relazioni......Page 45
2.3 Proprietà delle relazioni......Page 48
2.4 Relazioni d'equivalenza. Insieme quoziente......Page 51
3.1 Definizione di applicazione......Page 68
3.2 Suriezioni, iniezioni, biiezioni......Page 73
4.1 Il prodotto di due relazioni......Page 86
4.2 Prodotto di due applicazioni......Page 89
4.3 Pseudoprodotto di due suriezioni......Page 91
5.1 Grafi non orientati e grafi orientati......Page 103
5.2 Grafi semplici. Grafi bipartiti......Page 110
5.3 Grafi e relazioni......Page 114
6 Strutture algebriche......Page 123
6.1 Operazioni......Page 124
6.2 Proprietà delle operazioni......Page 129
6.3 Gruppi......Page 137
6.4 Reticoli......Page 141
6.5 Categorie e gruppoidi......Page 145
6.6 Strutture algebriche......Page 149
6.7 Omomorfismi e isomorfismi......Page 152
7 Strutture topologiche......Page 165
7.1 Spazi topologici......Page 166
7.2 Funzioni continue. Omeomorfismi......Page 175
7.3 Spazi metrici......Page 178
8.1 Strutture di relazione......Page 187
8.2 Cos'è una struttura matematica?......Page 189
8.3 Isomorfismi fra strutture......Page 194
8.4 Esempi di strutture composte nella matematica......Page 198
Risoluzione di alcuni problemi......Page 203
Suggerimenti per ulteriori letture......Page 224
Glossario......Page 226

Citation preview

FRANCESCO SPERANZA

RELAZIONI E STRUTTURE La cosiddetta « matematica moderna », nata da un'esigenza che si potrebbe dire « amministrativa », di mettere ordine nel linguaggio e nella presentazione della matematica, ha dimostrato di essere molto di piu: ha portato un punto di vista nuovo, che si sta rivelando estremamente utile anche nella didattica della matematica, fin dai livelli piu elementari. Questo volume introdurrà i lettori al linguaggio e ai metodi della matematica moderna: prendendo l'avvio dalle nozioni elementari di « insieme» e « relazione », che cominciano oggi a esser familiari anche nella scuola media, si passa a uno studio piu particolareggiato delle « applicazioni» e dei « prodotti di relazioni », con un cenno alle operazioni su di esse e ai grafi che vi si collegano; la visuale si allarga poi alle « strutture algebriche », alle « strutture topo logiche » e all'idea generale di « struttura », quale è considerata nella matematica. Ad ogni capitolo seguono numerosi problemi con cui il lettore è invitato a cimentarsi e che contengono anche informazioni e idee nuove a complemento di quelle già presentate nel capitolo. L'indice analitico finale è anche un piccolo glossario della terminologia della matematica moderna.

ZANICHELLI

Francesco Speranza è attualmente titolare della Cattedra di

Geometria presso l'Università di Parma. Ha tenuto corsi universitari di varie discipline matematiche. Le sue pubblicazioni riguardano specialmente la geometria differenziale e le discipline collegate, e la teoria dei grafi. Si interessa di problemi didattici e divulgativi specialmente per quanto riguarda i fondamenti della matematica, l'algebra e la topologia.

Matematica Moderna

Collana diretta da Delfino Imolera

8

Relazioni e strutture

Matematica Moderna

Questa serie, dedicata a tutti coloro che sentono interesse per la matematica, si comporrà di voi umetti di mole limitata, ciascuno rivolto a un argomento specifico, monografico, assai circoscritto. Tra gli argomenti trattati primeggeranno quelli meno noti, il cui interesse è venuto in luce recentemente, attraverso ricerche di matematici moderni; non mancheranno però argomenti classici, e anche storici, ma si cercherà di vederli sempre in una prospettiva tipica della matematica moderna. Mentre poche conoscenze tecniche basteranno al lettore per capire la maggior parte di questi libri, gli sarà sempre richiesto un certo sforzo intellettuale. Un lettore che, prima d'ora, abbia incontrato la matematica soltanto a scuola, dovrebbe tener presente che un libro di matematica non può essere letto in fretta. E non dovrebbe pretendere di capire tutte le parti del libro alla prima lettura; dovrebbe invece sentirsi libero di saltare le parti piu complicate, per ritornarvi in seguito: spesso ciò che da principio appariva oscuro viene chiarito da qualche osservazione successiva. D'altra parte, certi capitoli conterranno materiale ben familiare al lettore e potranno essere letti molto rapidamente. Il miglior modo di imparare la matematica è facendo della matematica, e perciò ogni libro conterrà dei problemi, alcuni dei quali esigono molta meditazione. Si raccomanda al lettore di prender l'abitudine di leggere con carta e matita alla mano: in questo modo la matematica acquisterà per lui un significato sempre piu profondo. L'editore desidera ringraziare il Professor Carlo Felice Manara per i suoi consigli. Sarà estremamente importante per l'editore poter conoscere i giudizi dei lettori sui libri di questa serie: si spera perciò che molti lettori vorranno scrivere le loro impressioni e le loro critiche alla Direzione Editoriale della Casa Editrice Zanichelli, Via Irnerio 34, Bologna.

Francesco Speranza

Relazioni e strutture

Zanichelli

Bologna

Copyright 1970 Nicola Zanichelli S.p.A •• Bologna

Copertina e disegni di Paolo Sala Redazione: Laura Felici

Indice

p.

9 Il

Introduzione 1 Nozioni sugli insiemi 1.1 Insiemi e sottoinsiemi. 1.2 Complementazione, intersezione, riunione. 1.3 Insiemi prodotto.

34

2 Le relazioni 2.1 Relazioni fra due o piu insiemi. 2.2 Legami fra relazioni. 2.3 Proprietà delle relazioni. 2.4 Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. 2.5 Relazioni d'ordine.

65

3 Applicazioni 3.1 Definizione di applicazione. biiezioni.

83

3.2 Suriezioni, iniezioni,

4 Prodotto di relazioni 4.1 Il prodotto di due relazioni. 4.2 Prodotto di due applicazioni. 4.3 Pseudoprodotto di due suriezioni.

100

5 Relazioni e grafi 5.1 Grafi non orientati e grafi orientati. Grafi bipartiti. 5.3 Grafi e relazioni.

121

5.2 Grafi semplici.

6 Strutture algebriche 6.1 Operazioni. 6.2 Proprietà delle operazioni. 6.3 Gruppi. 6.4 Reticoli. 6.5 Categorie e gruppoidi. 6.6 Strutture algebriche. 6.7 Omomorfismi e isomorfismi.

163

7 Strutture topologiche 7.1 Spazi topologici. 7.3 Spazi metrici.

185

7.2 Funzioni continue. Omeomorfismi.

8 Strutture matematiche 8.1 Strutture di relazione. 8.2 Cos'è una struttura matematica? 8.3 Isomorfismi fra strutture. 8.4 Esempi di strutture composte nella matematica.

201

Risoluzione di alcuni problemi

222

Suggerimenti per ulteriori letture

223

Indice analitico e glossario

Ai miei Cari

Elenco dei principali simboli usati

C N Q

R Z R" P(I)

il3 (if{) éI (iIt) {il (if{)

~

(iIt)

E,

~,

C, c,

C, 0,

n, U, ~,

12 12 14 14 18 15 18 18 31

{ l}, 13 A, 13 V, 18 -', 17

insieme dei numeri complessi, o retta complessa insieme dei numeri naturali insieme dei numeri razionali, o retta razionale insieme dei numeri reali, o retta reale (o numerica) insieme dei numeri interi relativi spazio numerico ad n dimensioni insieme delle parti di I classe di equivalenza cui appartiene x classe delle applicazioni d'un elemento di if{ in un altro (g{ è una classe di insiemi) classe delle biiezioni d'un elemento di g{ su un altro classe delle iniezioni d'un elemento di if{ in un altro classe delle relazioni fra gli elementi d'una classe g{ d'insiemi classe delle suriezioni d'un elemento di g{ su un altro ..l, 31 ~, 31

3, 16 V, 16 20 =>, 20 --+, 65 1-+, 66 -

e,

{f _

e.

v

v

v

v

V F

F V

F V

F F

F

F

V

V

Vale a dire, {f => e è vera allorché JP è falsa, oppure {f e e sono entrambe vere; {f - e è vera allorché {f e e sono entrambe vere o entrambe false. I connettivi logici soddisfano a varie interessanti proprietà, dalle quali si deducono subito altrettante proprietà dei simboli C, u, (ì (cioè, come si suoi dire, prop~ietà dell'algebra degli insiemi: per il concetto di struttura ·algebrica, vedi pili. avanti il capitolo 6).

Nozioni sugli insiemi 21

Precisiamo anzitutto cosa s'intende per tautologia, o identità logica: è una espressione nella quale compaiono lettere indicanti proposizioni, collegate dai connettivi logici, e che sia sempre vera, cioè che abbia sempre il valore V quali che siano i valori di verità delle proposizioni che intervengono. Tale è ad esempio la legge del terzo escluso, che è la tautologia ii' V ..., ii': verifichiamo sulla tabella di verità, tenendo conto di quella di ii' V éJ

V

F

F

V

V V

(dopo aver scritto i valori di Y' e i relativi valori di ..., ii', abbiamo applicato ad essi la tabella di ii' ve). A noi interessano soprattutto le tautologie che si possono schematizzare nella forma W=- q), dove W e q) sono due proposizioni costruite a partire da ii', e, ... mediante i simboli ..." /\, V: queste danno luogo subito ad un'uguaglianza fra espressioni contenenti gli insiemi A, B, .... Diamo qui una lista di tali tautologie.

ii'v e =e V 9'

(1.1) ii' /\ e=-e/\ii'

9'v (e Vfil) =Wv e) VDl

(1.2) ii'/\(e/\fil)=-w/\e)/\fil

(1.3) ii'/\(e V ii') =-9'

~i'v (e /\ ii') =~p

(l.4) 9'/\ (e V fil) =W/\ e) V (ii'Mil) ii'v (e /\ fil) =(~Pv e) /\ Wv fil) (1.5) (...,ii')/\( ...,e)=- ...,Wve) (1.6)

(...,Y')v( ...,e)= ...,(il'/\e)

..., ...,ii'=ii'

In queste espressioni, il connettivo =- indica un'« operazione» da eseguire dopo le altre: ad esempio, la prima delle (1.1) va intesa cosi: W/\ e) = (e /\ ii'). È una convenzione analoga a quella dell'aritmetica, secondo la quale prima si eseguono le moltiplicazioni e poi le addizioni, vale a dire, x' y + z va inteso (x' y) + z. Si prova che le proposizioni precedenti sono delle tautologie scrivendo la relativa tabella di verità, e constatando

22

Nozioni sugli insiemi

che esse sono sempre vere. Costruiamo a titolo d'esempio la tabella della (1.3) a sinistra: 9'

&1

&1 V ~J'

9' /\ (&1 V 9')

V V

V F

V V

F F

V

V V V

F

F

9' /\ (&1 V 9')

fl'

V V V V

F F

Ad esempio, la terza orizzontale si « calcola» cosi: se ~l è falsa e &1 vera, e V il' è vera; inoltre 9' è falsa e &1 V 9' vera, quindi 9' /\ (&1 V 9') è falsa. Infine, anche fl' è falsa, e quindi ti' /\ (&1 V 9') 9' è vera. Per semplificare la scrittura, si può tralasciare l'ultimo passaggio, confrontando semplicemente la prima e la quarta verticale: compaiono sempre gli stessi valori di verità e quindi la proposizione che si ottiene inserendo è sempre vera. Scriviamo la tabella per la (l.4) a sinistra:

e

9' -

V V V V

-

-

- - - . __. -

----

V V V F F V

V V V

V V V

F F

F

F F F F F

F V F V F F F F

W /\ e) V V W /\ {il) _ _- -_ _---.__

Yl &1 V {Il Y'/\ (&1 V{il) 9'/\&1 9'/\ {il

V V

V V V

F

F

F

-_ ..

.....

V

..

.-

V V

F

F F F F F F

V

V V V

F F F F F

F F F F F

Si vede direttamente che le proposIZIoni ~/' /\ (6:1 V {il), (Y'" /\ e) V W /\ Yl) hanno sempre gli stessi valori di verità. Lasciamo allo studioso le dimostrazioni delle altre proposizioni. Si osservi che da ciascuna delle proposizioni scritte se ne può ricavare un'altra scambiando fra di loro i connettivi /\, V.

Altre tautologie, di verifica immediata, sono (2)

9'V-,9'

-, W /\ -,9')

Nozioni sugli insiemi 23

che prendono solitamente il nome di principio del terzo escluso (un'affermazione è vera o è falsa) e di principio di non contraddizione (una proposizione e la sua negazione si escludono vicendevolmente). Una tautologia si può costruire anche con forme enunciative, e allora è vera per tutti i valori della variabile. Interpretiamo tf, 62, Yl come forme enunciative in una variabile x. Le (1) sono tutte della forma C]f """"~, cioè, per ogni x, 'lI e ~ sono entrambe vere o entrambe false. Fissato ·un insieme ambiente I, l'insieme degli elementi per cui C]f è vera coincide con l'insieme degli elementi per cui è vera ~. Tenendo conto dei nessi fra connettivi logici e operazioni sugli insiemi, abbiamo le seguenti uguaglianze (3.1)

Ar.B=Br.A

(3.2)

A

r. (B r. C) =

AUB=BuA (A

r. B) r. C = (A

U

B) U C

A U (B

r.

A)

A U B (u C) (3.3)

A

(3.4)

A

r. (B r. (B

= A C) = (A r. B)

U A)

U

A U (B

(3.5) (3.6)

U (A r. C) r. C) = (A U

CA r. CB = C(A U B) CA CCA = A.

U

B)

r. (A

= A U

C)

CB = C(A r. B)

Si hanno formule analoghe a (3.1), (3.2), (3.4), (3.5) per un numero qualsiasi di insiemi. In quanto alle (2), osserviamo che se una proposizione è sempre vera, essa dà luogo ad I, mentre se è sempre vera la sua negazione, essa non è mai verificata e dà luogo a 0. Quindi abbiamo (4)

A

r.

CA =

0.

Fra le (3), le uguaglianze espresse dalla prima, seconda e quarta orizzontale si dicono rispettivamente proprietà commutativa, associativa e distributiva; le altre sono rispettivamente le leggi d'assorbimento e di De Morgan. Su molte di esse ritorneremo nel capitolo 6. Osserviamo che alcune di esse ricordano, per il loro aspetto formale, alcune leggi dell'aritmetica [cioè nelle (3.1), nelle (3.2) e nella prima delle (3.4) possiamo sostituire ai simboli U, r. i simboli e considerare A, B, C come numeri].

+,.,

24 Nozioni sugli insiemi

Osserviamo che da ciascuna delle uguaglianze (3), (4) possiamo dedurre quella scritta accanto scambiando n con U e 0 con I: ovviamente, lo stesso scambio si può fare in tutte le conseguenze che se ne possono trarre. Tale simmetria di comportamento si dice dualità (e duali si dicono due affermazioni cosi collegate). Vediamo alcune conseguenze delle (3), (4) ottenute direttamente, senza riscrivere le relative tabelle di verità. Proprietà d'idempotenza:

(5)

A uA =A.

A nA = A,

Nella seconda legge d'assorbimento poniamo A = B: abbiamo A u (A n A) =A.

Intersechiamo entrambi questi insiemi con A: anche le intersezioni saranno uguali: A n [A u (A n A)] = A n A.

Nella parentesi, scriviamo B in luogo di A n A: per la prima legge d'assorbimento il primo membro vale A, e quindi A = A nA.

L'altra uguaglianza si ottiene per dualità. Ancora: (6)

X u 0 = X, X n 0 = 0, X n I = X, X u I = l.

Dimostriamo le prime due: applicando prima le (4) e poi la legge d'assorbimento, X U 0= X

u

(X n

CX) =

X;

invece, per le (4) e per le proprietà associativa e d'idempotenza X n 0 = X n (X n

CX) =

(X n X) n

CX =

X n

CX =

0.

Le altre si ottengono per dualità. Nei problemi si vedrà poi come anche alcune delle (3) si possono ricavare dalle rimanenti con un metodo analogo, senza cioè scrivere le

Nozioni sugli insiemi 2S

tabelle di verità, ma facendo dei « calcoli» diretti: non riportiamo tali calcoli nel testo per non appesantirlo eccessivamente.

1.3 Insiemi prodotto. Abbiamo visto che vi sono insiemi con un solo elemento, come {x}. Analogamente, vi sono insiemi con due elementi, come {x, y}, che si dicono coppie, insiemi con tre elementi, {x, y, z}, che si dicono terne'o triple, e cosi via. La coppia { x, y} e la coppia {y, x} sono la stessa cosa:

{ x, y } =

{

y, x}.

Ad esempio, l'insieme degli stati confinanti con gli U.S.A. si può denotare {Canada, Messico}, o {Messico, Canada }. D'altra parte, vi sono dei casi in cui in una coppia si deve distinguere il « primo» dal « secondo» elemento: ciò accade ad esempio per i numeri che formano i « dati» della sottrazione, il minuendo e il sottraendo. Una situazione analoga si presenta per il risultato d'una partita (conveniamo, come si fa spesso, di indicare prima il punteggio della squadra « di casa» e poi' quello degli « ospiti »): i due numeri non si possono scambiare fra di loro. Si noti che sono ammesse coppie i cui elementi sono uguali (una partita che termini in pareggio). In questi casi appare naturale parlare di « coppia ordinata»: il concetto è intuitivamente abbastanza chiaro, ma necessita d'una definizione precisa. Cosa si deve intendere per « ordinata»? Che significano esattamente i termini « primo» e « secondo»? Sono concetti che ritroveremo nel paragrafo 2.5, e nei problemi relativi: ma (come vi accorgerete in seguito) per arrivare a quel punto ci occorre proprio il concetto di coppia ordinata. Invece di dire che c'è un « primo» elemento, diciamo che c'è un elemento in posizione privilegiata, cioè con ufficio diverso dall'altro. Questo ci conduce alla DEFINIZIONE. Si dice coppia ordinata (x, y) l'insieme {{ x, y}, {x}}: si tratta d'una coppia i cui elementi sono

26

Nozioni sugli insiemi

la coppia { x, y} e l'insieme costituito dal solo x. Per tener conto anche di coppie del tipo (x, x), ammetteremo pure la notazione {x, x}, intendendo che questo è ancora l'insieme {x}. Si osservi che, quando y =1= x, (x, y) =1= (y, x): infatti, scambiando x con y, abbiamo (y, x) = {{ y, x}, {y}} =1= {{ x, y }, { x}}

=

(x, y).

Possiamo poi definire le terne, le quaterne, ... ordinate: (x, y, z)

=

«x, y), z),

(x, y, z, t)

=

«x, y, z), t), ....

Il concetto di coppia ordi~ata ci conduce subito a quello di insieme prodotto di due insiemi. DEFINIZIONE. Dati due insiemi A, B, distinti o coincidenti, si dice insieme prodotto (o prodotto cartesiano) A X B l'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y), dove x E a ed y E B. Analogamente, dati tre insiemi A, B, C, il prodotto A X B X C è l'insieme di tutte le terne ordinate (x, y, z), con x E A, y E B, z E C. A X A si scrive A2, A X A X A si scrive A3, ecc. Se A, B non hanno elementi comuni, l'aggettivo « ordinate» [riferito alle coppie (x, y)] si può ritenere superfluo, perché il fatto d'appartenere ad A distingue il primo elemento dal secondo. Cosi, se A = {r, s}, B = { 1,2}, abbiamo A

X

B

=

{(r, l), (r, 2), (s, l), (s, 2)}.

A e B possono però coincidere, o plU IO generale avere elementi comuni: cosi, se A = {l, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, abbiamo A X B = {(l, 2), (l, 3), (l, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}.

Compare sia la coppia (2, 3) che la coppia (3, 2); invece, mentre c'è (1,2), non c'è (2, l). Esempi notevoli di insiemi prodotto si possono riscontrare nelle tabelle statistiche: pensiamo ad una tabella nella quale ogni orizzontale corrisponde ad uno stato ed ogni verticale ad una materia prima (per il momento non c'interessiamo a quel che si scrive nei riquadri: potrebbe esserci la quantità prodotta, o quella consumata, o il costo locale, oppure la

Nozioni sugli insiemi 27

tabella tabella e d'un Come A X B

potrebbe essere ancora da riempire). Dunque questa è scritta sull'insieme prodotto d'un insieme di stati insieme di materie prime. si vede, è utile rappresentare l'insieme prodotto con un quadro: ciascuna verticale rappresenta un

3 ... ------Q-------Q-------Q--

I I

I

I

0,3)

(2,3)

I

I

I

I

I

I

(3,3) I

I

I

2 +--------------Q.------Q-I 0,2) (2,2) (3,2) I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Fig. 1.3

1.-----0-----_- f(x) o X ---+ f(x). Tale simbolismo è comodo specialmente quando si ha a che fare con insiemi di numeri: ad esempio (se A e B sono l'insieme N dei numeri naturali) l'applicazione tale che f(x) = x + 1 associa ad ogni numero il successivo: vale a dire f = { (O, 1), (1, 2), (2, 3), ... }. L'applicazione che ad x associa 2x associa ad ogni numero il doppio, e cosi via. Nel grafo che rappresenta un'applicazione (vedi il paragrafo 2.1), da ogni elemento di A deve uscire sempre una ed una sola linea; e, viceversa, una relazione cosi fatta è un'applicazione. Dunque, la classifica del campionato è un'applicazione d'un insieme di squadre in N; la tavola pitagorica è un'applicazione di { 1,2, ... , lO} x { 1,2, ... , lO} in N. Se abbiamo una statistica che ci dice il numero delle automobili prodotte in vari stati in diversi anni, diciamo A l'insieme degli stati, e B quello degli anni considerati: la tabella è un'applicazione di A X B in N; se invece si tratta d'un prodotto frazionabile, N va sostituito con un insieme piu vasto, ad esempio quello dei numeri decimali. Ancora: se ad ogni numero frazionario (assoluto) associamo la sua parte intera, abbiamo un'applicazione di Q+ in N. Da questi esempi possiamo trarre due osservazioni: 1) Per un'applicazione, i due insiemi A e B hanno un ufficio molto diverso: quel che si può dire di A non si può solitamente dire di B; piu precisamente, non è detto che ad un elemento di B si possa associare un elemento di A, e che questo sia unico. Ad esempio, nel caso della tavola pitagorica, vi sono dei numeri naturali (come 19 o 22) che non sono il prodotto di due numeri compresi fra 1 e lO (vale a dire, 19 o 22 non sono associati ad alcuna coppia). D'altra parte, i numeri che compaiono sono associati a piu coppie: 21 si può ottenere da 3 X 7 o da 7 X 3; 24 da 8 X 3, 3 X 8, 6 X 4 e 4 X 6. Notate anche le differenti espressioni usate: abbiamo parlato di relazione fra due insiemi (quel « fra» li mette un

Applicazioni

67

po' sullo stesso piano), e di applicazione di un insieme in un altro. In termini piu precisi: La relazione inversa di un'applicazione non è sempre un'applicazione. Non è un'applicazione la relazione inversa della tavola pitagorica, né quella della classifica del campionato di calcio (abbiamo posto B = N, e quindi è impossibile che qualunque numero sia associato a qualche squadra). La relazione «il successivo di » sui numeri naturali è un'applicazione di N in N (ogni numero ha un solo successivo), ma la sua inversa non lo è (il primo numero naturale non è il successivo d'alcun numero); nell'insieme Z dei numeri interi relativi, l'analoga relazione è un'applicazione, e lo è anche la sua inversa. Per questo motivo, A prende un nome particolare: si dice dominio dell'applicazione. Di solito a B non si dà un nome speciale; certi lo chiamano rango, o insieme dei valori; del resto vedremo subito che, dal punto di vista pratico, B è meno importante di A. 2) Come per le relazioni, per le applicazioni bisogna sempre dichiarare (o almeno sottintendere) i due insiemi A e B; non si può pensare di cambiare uno di essi, senza cambiare l'applicazione. Ad esempio, per A = B = Z (insieme dei numeri interi relativi), consideriamo l'applicazione che ad x associa X2. Consideriamo poi l'applicazione espressa dalle stesse parole, nella quale però B è l'insieme dei numeri interi non negativi 0, + l, + 2, ... (mentre A = Z). In tal modo, non «si perdono» coppie (x, X2) di elementi associati, perché nessun numero negativo può valere X2; ma è bene tener distinte le due applicazioni (in pratica, tuttavia, la distinzione può essere d'importanza secondaria; nel capitolo 4, con il concetto di restrizione, torneremo sull'argomento). A volte, un'applicazione viene definita come una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere un solo elemento di B. Naturalmente, non c'è differenza sostanziale fra questa definizione e la nostra: quella da noi adottata ha il vantaggio di esprimersi attraverso l'idea di relazione, e quindi di fare intervenire un minor numero di termini primitivi, cioè non definiti (come sarebbe, qui, il concetto di «legge che fa corrispondere »).

68

Applicazioni

DEFINIZIONE. Se f è una applicazione di A in B, e se a è un elemento di A, l'elemento f(a) associato [cioè tale che f(a) f a] si dice la sua immagine (o il suo corrispòndente, o il suo trasformato); se X ç: A, l'insieme delle immagini degli elementi di X si indica con f(X) e si dice immagine di X (attenzione! una cosa è l'immagine d'un elemento, altra l'immagine d'un sottoinsieme). Si dice pure che f trasforma a in f(a), X in f(X), o fa corrispondere f(a) e f(X) ad a ed X rispettivamente. In particolare, si può considerare l'immagine di A, che si dice codominio di f DEFINIZIONE. Dato un Y ç: B, si dice controimmagine o immagine reciproca di Y l'insieme degli elementi di A la cui immagine appartiene ad Y. Si osservi che, secondo questa definizione, Y può anche

non esser contenuto nel codominio dell'applicazione; anzi, può essere addirittura disgiunto dal codominio, e in tal caso la sua controimmagine è vuota. Nella figura 3.1, abbiamo l'applicazione d'un quadrato A in un segmento B che ad ogni a E A associa la sua proiezione verticale, e sono segnate le controimmagini di Y 1 e di Y 2 (mentre quella di Y 3 è vuota). 1-' (VJ

t' (Vi)

A

Fig. 3.1

,l BI

V,

•Vi

Vi

Infine, si dice controimmagine d'un elemento y di B la controimmagine di {y }, cioè dell'insieme che contiene solo y. Se l'applicazione è f, la controimmagine di Y (o di y) si indica con f -1 (Y) [o, rispettivamente, f -1 (y)]. Ad esempio, sia f l'applicazione di Z in sé tale chef(x) =x2 : l'immagine reciproca di {l, 4, 9, 16} è {± l, ± 2, ± 3,

Applicazioni 69

± 4}; quella di { 1,2,3,4} è { - 2, - l, I,2}; quella di { l } è { - l, l }; infine, quella di {2, 3, 7}, o quella dell'insieme dei numeri negativi, è vuota (non v'è nessun numero intero di cui 2, o 3, o 7, o un numero negativo sia il quadrato). Molti parlano,· anziché di applicazione, di funzione. In un certo senso, i due concetti sono equivalenti; le differenze consistono in parte in una diversa terminologia. C'è però un punto in cui la differenza è più avvertibile: mentre quando si parla di applicazione di A in B s'intende sempre che, per ogni elemento di A v'è un elemento di B, con il termine « funzione» si preferisce l'espressione funzione definita in A e a valori in B, e secondo molti questo va inteso nel senso che ad ogni elemento di A può esser associato un solo elemento di B, o anche nessuno: ciò per riallacciarsi meglio a certi punti di vista della matematica classica. Ad esempio, prendiamo l'equazione in x ed y (x, y numeri razionali) l

Y=x 2 -1

essa definisce un'applicazione dell'insieme, che si ottiene togliendo a Q i numeri - l e + l, in Q: il dominio non può essere Q, perché, per x = ± l, non v'è alcun y che soddisfi l'equazione. Tuttavia, nel linguaggio solitamente usato, si parla di funzione definita in Q, o di funzione di variabile razionale. II termine « funzione» può dunque apparire con un ufficio diverso: DEFINIZIONE. Data un'applicazione f di A in B, o d'un sottoinsieme di A in B, se x è variabile in A ed y in B, si dice che y è funzione di x. Terminiamo questo paragrafo con un esempio assai notevole di rela.,zione d'equivalenza, che si viene a stabilire nel dominio d'una applicazione. TEOREMA 3.1. Data un'applicazione f di A in B, definiamo in A la seguente relazione: « a efa' quando f(a) = f(a') ». La relazione ef è una relazione d'equivalenza.

70

Applicazioni

Infatti, si ha f(a) =f(a); se f(a) =f(a'), allora f(a') = = f(a); e se inoltre f(a') = f(a"), abbiamo f(a) = f(a"). Valgono cioè le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. (c.v.d.). Con altre parole, si può dire che Le immagini reciproche degli elementi di f(A) costituiscono una partizione di A. Se f è l'applicazione di Z in Z che ad x associa x 2 , si ha f(a) = f(a') se a2 = a'2, cioè se a = ± a'. Le classi d'equivalenza di (!f sono le coppie di numeri opposti. Se invece l'applicazione (di Z in Z) ad x associa x 1 , si ha a (!fa' solo se a = a', e quindi le classi d'equivalenza contengono un solo elemento ciascuna. Sia A un quadrato, B un segmento e l'applicazione sia la proiezione fatta parallelamente agli orli della pagina; le classi d'equivalenza di (}r sono dei segmenti paralleli (fig. 3.2 *) .

• •



• •



• y=x2 (inZ)

Fig. 3.2 *

A

,I y=x3 (inZ)

B



Le tre applicazioni sono qui rappresentate in modi affatto diversi. La prima è data come grafico, cioè come sottoinsieme di Z x Z: ciò accade pure nelle figure 2,7, 3.6, S5, S6, S7, eccetera. La seconda invece associa ad ogni punto di A la sua proiezione verticale su B: pertanto qui, e in casi consimili (vedi le figure 3.1, 3.3, 3.4, 7.5, 7.6 eccetera), è segnata accanto una piccola freccia verticale.

Applicazioni 71

3.2 Suriezioni, iniezioni, biiezioni. Come abbiamo notato, può accadere che in un 'applicazionefdi A in B un elemento di B non sia immagine d'alcun elemento di A. Ciò accade per l'applicazione di N in se stesso che ad ogni numero associa il suo doppio, invece nelI'applicazione di Q in Q definita nelIo stesso modo ogni elemento è immagine d'un altro elemento. Si è resa opportuna una distinzione fra i due tipi, e a ciò provvede la DEFINIZIONE. Si dice SurtezlOne o applicazione suriettiva, o applicazione di A su B un'applicazione tale che ogni elemento di B sia immagine d'un elemento almeno di A. Di volta in volta si userà la locuzione che si adatta meglio al discorso; esse sono del tutto equivalenti. Si può anche dire che un'applicazione di A in B è suriettiva se e solo se B è il suo codominio [B = f(A)]. Data un'applicazione di A in B, restringendo opportunamente B, fino a ridurlo a f(A), si « ottiene» una nuova applicazione di A su B, che agli effetti pratici potrà anche identificarsi con f Accanto alI' applicazione x 1-> 2x di N in N possiamo considerare la suriezione x 1-" 2x di N sull'insieme dei numeri pari. Esempi di suriezioni: dato un piano IX, è suriettiva l'applicazione delI'insieme dei cerchi di IX sull'insieme dei suoi punti, che ad ogni cerchio associa il suo centro; associando ad ogni coppia di punti di IX il loro punto medio si ha una suriezione di IX X IX su IX; data in un insieme I una relazione d'equivalenza (l, è suriettiva l'applicazione di I su l/e che a x associa 2x. Non è invece suriettiva l'applicazione che ad ogni numero naturale associa il suo successivo (il primo numero non è successivo d'alcun numero). Nella figura 3.3, la proiezione fatta parallelamente al lati della pagina nel primo caso è suriettiva, nel secondo non lo è.

72

Applicazioni

A

B------------------- ---------------------B

Fig. 3.3

Abbiamo già notato che vi sono delle applicazioni per le quali un elemento di f(A) è immagine d'un solo elemento di A, mentre per altre può esser immagine di piu elementi. Si è pensato quindi di dare un nome speciale a quelle che soddisfano la prima condizione: DEFINIZIONE. Si dice iniezione, o applicazione iniettiva, una applicazione tale che ogni elemento di B sia immagine al piu d'un elemento di A. Naturalmente, si potrà dire che ogni elemento dif(A) è immagine d'un solo elemento di A.

La locuzione « al piu» ricorda che non sempre si tratta d'una applicazione «su»; in questo caso, le parole «al piu» sono superflue. Si può anche usare come definizione di iniezione la seguente: se f(x) = f(x '), allora x = x'. Per un'iniezione J, la relazione eh definita alla fine del paragrafo l, si riduce all'uguaglianza: a = a'. Nella figura 3.4 nel primo caso si ha un'iniezione, nel secondo no.

A~

tl B---------Fig. 3.4

B---------------

Applicazioni 73

Non è iniettiva l'applicazione (di Z in Z) che ad x associa l'y tale che y = X2 (quando y è un quadrato perfetto, vi sono due valori interi di x che soddisfano l'equazione); in N, invece, l'applicazione è iniettiva. Dato un piano oc, l'applicazione di oc X oc in oc che ad ogni coppia di punti associa il loro punto di mezzo non è iniettiva (uno stesso punto è punto medio di varie coppie). Se A e B contengono un numero finito di elementi, quando in A vi sono meno elementi che in B un'applicazione f di A in B non può esser suriettiva; mentre, se in A vi sono più elementi che in B, f non può essere iniettiva (vedi il problema 8). L'applicazione di N in N che ad ogni numero fa corrispondere il successivo è iniettiva (ogni numero è il successivo d'un solo numero). Facendo corrispondere ad ogni automobile d'una provincia (nella quale non si sia superato il milione di targhe) il numero della sua targa si ottiene un'applicazione iniettiva d'un insieme d'automobili in N. Infine, possiamo considerare le applicazioni che siano tanto iniettive che suriettive: DEFINIZIONE. Si dice biiezione (o applicazione biiettiva, o applicazione biunivoca, o corrispondenza biunivoca) un'applicazione che sia tanto suriettiva che iniettiva. In altri termini, una biiezione è un'applicazione di A in B nella quale ogni elemento di B è associato ad uno ed un solo elemento di A.

In un insieme A, la relazione « uguale a », che ad ogni a E A associa solo a stesso, è una biiezione: essa si dice applicazione identica, o identità. I n Z sono biiettive le applicazioni

x

j---+

x

+ l,

X 1--+ -

x,

mentre non lo sono

x

1---+

2x,

x

1--+ X2

(vi sono dei numeri interi che non sono il doppio, o il quadrato, d'un altro numero intero). Nell'insieme Q dei numeri razionali, invece, x 1--+ 2x è una biiezione, come pure le prime due or ora scritte, mentre ciò non accade per x 1--+ X2. Nell'insieme R dei numeri reali, x 1---+ x 3 è una

74

Applicazioni

biiezione (ogni numero è la radice cubica d'un solo numero), mentre ciò non accade nell'insieme C dei numeri complessi. In una partita a briscola, facendo corrispondere a ciascuna carta quella che viene giocata contemporaneamente, si ha una biiezione dell'insieme delle quaranta carte su se stesso (si potrebbe dire anche « in se stesso », perché, avendo già specificato che si tratta d'una biiezione, è implicito che si tratta in effetti d'una applicazione « su »). TEOREMA 3.2. Condizione necessaria e sufficiente affinché la relazione inversa d'una applicazione I di A in B sia un'applicazione è che I sia una biiezione. Allora anche l'inversa è

una biiezione che si scrive

l-l.

Infatti, affinché la relazione inversa di I sia un'applicazione occorre e basta che ogni elemento dell'insieme B corrisponda a uno ed un solo elemento del dominio (A): I è dunque una biiezione, e quindi anche la sua inversa lo è. Viceversa, se I è una biiezione, la relazione inversa associa ad ogni elemento di B un solo elemento di A, e quindi è una biiezione. (c.v.d.). l vari tipi di applicazioni che abbiamo studiato danno luogo a tipi di rappresentazione grafica ben precisi: anzi da tali rappresentazioni si può facilmente risalire al tipo in cui rientra l'applicazione data. Abbiamo già detto che nel grafo che rappresenta un'applicazione di A in B da ogni punto di A deve uscire una sola freccia; inoltre, in ogni elemento di B A

>

B

A

B

O

O

O

~ ~

O

O

suriezione

iniezione

Fig. 3.5

~

A

B

O

O

O

O

>< biiezione

Applicazioni 75

se f è una suriezione, deve terminare almeno una freccia;

f è un'iniezione, deve terminare al pi6 una freccia; se f è una biiezione, deve terminare una ed una sola frecse

cia (fig. 3.5). Anche i grafici dei vari tipi di applicazioni sono caratteristici. In un'applicazione, per ogni elemento di A si deve avere un solo elemento di B; in una suriezione, ogni elemento di B deve provenire da almeno un elemento di A, ed in un'iniezione esso deve provenire al pi6 da un elemento di A (fig. 3.6).

B~B~BL:~ applicazione qualsiasi

A suriezione

A iniezione

A biiezione

A

Fig. 3.6

Vediamo come «si trasportano» le relazioni d'inclusione e le operazioni u, n in A per effetto d'una applicazione di A in B. 3.3. Sia f: A -+ B un'applicazione, e siano X, Y, U, V sotto insiemi di A. Allora

TEOREMA

a) Se U ç: V, allora f(U) ç:f(V); b) f(X U Y)

= f(X)

U

f(Y);

c) f(X n Y) ç:f(X) nf(Y): se f è iniettiva, f(X n Y) = =f(X) nf(Y). Dire che U ç: V equivale a dire che ogni elemento di U è pure elemento di V. Gli elementi di f(U) appartengono alIora a f(V), e la a) è provata. Osserviamo ora che Xç:XUY,

yç:XUY,

da cui, per la a), f(X) ç:f(X U Y), f(Y) ç:f(X U Y).

76

Applicazioni

Sia I(X) che I(Y) sono contenuti in/(X cade anche della loro riunione: I(X)

I(Y) ç/(X

U

U

U

Y), e ciò ac-

Y).

Sia ora be/(X U Y): v'è almeno un a con b =/(a), ed esso deve appartenere ad X U Y, cioè a X o ad Y. Quindi b e/(X) U I(Y), e, poiché ciò accade per ogni b, 1 (X U Y) ç 1 (X) U 1 (Y). Per confronto I(X

Y) =/(X) u/(Y).

U

Analogamente, X I(X





Y ç X, X



Y ç Y, da cui

Y) ç/(X) Iì/(Y) (fig. 3.7, sinistra).

Se 1 è iniettiva (vedi figura 3.7, destra) consideriamo un b ç/(X) Iì/(Y). V'è un solo a tale che b = I(a), ed esso

A

~f (XnY)----j '---+-f (X)--...... ' - - - - f ( Y ) - -......

........._----'-- I è suriettiva, ma ...

°

*lO.

Se A contiene m elementi, e B ne contiene n, si provi che le applicazioni di A in B sono nm; si provi che le iniezioni di A in B sono n(n - l)' .... (n -- m + l).

Il. Le biiezioni d'un insieme finito in sé si dicono anche so-

stituzioni, e si indicano con la scrittura usata nel problema 7. Una sostituzione si dice ciclica se gli elementi dell'insieme si possono ordinare circolarmente (v. problema 37 del capitolo 2) in modo che l'immagine d'ogni elemento a sia il successivo (cioè il primo elemento di Ra). Si dimostri che le sostituzioni in un insieme di n elementi sono n! = = n' (n - l) .... ·2 . l, e che quelle cicliche sono (n - l)! *12. Si provi che ciascuna sostituzione su n elementi si può associare ad un ordinamento totale sugli stessi, e che ciascuna sostituzione ciclica si può associare ad un ordinamento circolare.

Applicazioni 79

13. Assegnate una sostituzione su 6 oggetti, e poi rappresentatela mediante un grafo. Ad esempio, la sostituzione . ( 21234567) 3 5 l 7 64 SI rappresenta come nella figura 3.9.

Fig. l.!'

14. Si rappresentino secondo il modo solito le sostituzioni dividuate dai grafi della figura 3.10. La prima è una sostituzione ciclica.

In-

A~ Fig. l.lU

*15.

b)

a)

Tenendo presente la rapprcscntazione grafica precedente, si provi che data una sostituzione su l, questo si puà ripartire in solloillsiemi in modo che su ciascuno di essi la sostituzione agisca come ulla sostituzione ciclica.

16. Nel paragrafo 1.3 abbiamo già accennato al fatto che, detto R l'insieme dei numeri reali, il piano si può considerare come il prodotto R x R. Detto poi l un intervallo, cioè l'insieme dei numeri compresi fra due numeri dati, consideriamo un'applicazione di l in R (l potrebbe anche essere l'intero R). L'applicazione è data da un sottoinsieme di R x R che si chiama diagramma; la sua particolarità sta nel fatto che ogni parallela all'asse y lo incontra in un solo punto. Com'è il diagramma dell'applicazione che ad ogni numero associa il doppio? di quella che associa il quadrato? 17. Si traccino i diagrammi delle applicazioni di R in R definite dalle equazioni y = x + 2 (x / I); y 0= l x l *;

y

=

v'x (x

/ O);

y

=

-

x

+ l.

* l x! vale, se x è reale positivo, x; se è reale negativo,-x; se x è complesso (. - (/ -!- ib), vale v'a' -I- b'.

80

Applicazioni

Si riconoscano fra tali applicazioni le iniezioni e le suriezioni. 18. Una circonferenza può essere il diagramma d'una applicazione? ed una semicirconferenza? una retta? 19. Quando il codominio di un'applicazione è costituito da un solo elemento, si parIa di applicazione costante. Può essere un'iniezione, o una suriezione? 20. Dati due insiemi A e B, nel paragrafo 1.3 abbiamo scritto prl(a, b) = a, pr2(a, b) = b. Possiamo ora dire che prl e pr2 sono due applicazioni, di A x B in A e in B rispettivamente. Sono delle suriezioni? sono delle iniezioni? Si estenda la definizione al caso del prodotto di tre insiemi. 21. Se L è l'insieme delle lettere dell'alfabeto, le targhe automobilistiche svizzere danno un'iniezione dell'insieme delle automobili svizzere in L X L X N. Si ripetano delle considerazioni analoghe per le targhe francesi e inglesi. E per quelle italiane? *22. Una biiezione d'un insieme in sé si dice involutoria se f(a) =f-l(a) per ogni a: si può quindi scriveref=f-l. In altri termini, deve valere la proprietà... delle relazioni. Ad esempio, è involutoria la biiezione che ad ogni carta associa quella giocata contemporaneamente in una partita di briscola; quella che ad ogni punto d'una retta associa il simmetrico rispetto ad un punto; la biiezione x 1->- - x in Z (o in Q, o in R); non è involutoria x 1-+ x + 1. Si provino queste affermazioni e si trovino altri esempi. *23. Sia l un insieme; il simbolo C (paragrafo 1.1) individua in p(I) una relazione (

che ha per dominio l-l (B (ì H) e codominio g (B (ì 11). Se B (ì H = 0, essa è necessariamente un insieme vuoto. Osserviamo che, date due suriezioni fra sottoinsiemi di uno stesso insieme, lo pseudoprodotto esiste sempre (al piò è vuoto); inoltre, se esiste non vuoto il prodotto di due suriezioni, il loro pseudoprodotto non è vuoto, ed essi sono uguali. Infatti, se esiste g o f, il dominio di g coincide con il codominio di f, e quindi, a maggior ragione, essi non sono disgiunti. Inoltre, f, g coincidono con le restrizioni di cui alla definizione precedente.

Prodotto di relazioni 91

ESEMPI:

l) Sia f: R --- R la suriezione x 1--+ x + 1, e sia g : R --- R+ la suriezione x 1--->- X2 (con R+ indichiamo l'insieme dei numeri reali non negativi). Allora, esiste il prodotto g o f (il dominio di g coincide con il codominio di.n, e, per scriverne l'equazione, conviene esprimere che la I associa ad ogni x l'y tale che

= x + 1, e la g associa ad ogni y lo z tale che z =y2

y

(prima si applica I e poi g!). Allora, sostituendo la prima espressione nella seconda, abbiamo che gol (cioè anche gf) associa ad ogni x lo z [ = g (f(x))] tale che z

=

(x

+ 1)2.

Invece,/o g non esiste, ma c'è lo pseudoprodotto Ig. Per ottenerlo, dobbiamo considerare la restrizione g* di g a g-l (R+ fì R), cioè allo stesso R: dunque g* = g. Inoltre, dobbiamo prendere la restrizione 1* di f a R+ fì R = R+, vale a dire la I per x ~ O. Conviene scrivere, per g ed I rispettivamente, z=y+l

e quindi Ig =

1* o g

è dato da

Z=X2+1.

Si tratta di una suriezione di g-l (R+) su I(R+) cioè di R sull'insieme dei numeri reali ~ 1. 2) La funzione x/(x - l) definisce una suriezione h dell'insieme RI dei numeri reali, escluso l, su se stesso. Se g è la suriezione dell'esempio precedente, non esistono né il prodotto g o h né il prodotto h o g. Per avere lo pseudoprodotto gh, dobbiamo considerare la restrizione di h ad h-l (R fì R I ) = h-l (R I ) = Rh cioè la h stessa, e la restrizione di g a RI. Lo pseudoprodotto è una suriezione di Rl su g (R1) (cioè sull'insieme dei numeri non negativi): applichiamo successivamente la h e la g:

x 1____ __x __ 1--->- (_~)2 x-l

x-l

92 Prodotto di relazioni

Per avere lo pseudoprodotto hg, dobbiamo considerare la restrizione di g a g-l (R + n R 1), e quella di h a R + n R 1 : ad ogni x, hg associa lo z tale che X2

z=

x2~T.

3) Sia f (fig. 4.7) la suriezione d'un quadrato su un suo lato che ad ogni punto fa corrispondere la sua proiezione sul lato stesso; sia g la rotazione del piano d'un angolo retto nel senso delle lancette dell'orologio intorno al vertice a. g o f non esiste, ma gf non è vuoto.

Fig. 4.7

r

'----------__ea 4) Sia f la suriezione (dell'insieme delle città europee sull'insieme delle città portuali d'Europa) che a ogni città associa il porto piu vicino, e sia g la suriezione (dell'insieme delle città d'Italia sull'insieme delle regioni) che ad ogni città fa corrispondere la sua regione. Il prodotto g o f non esiste; lo pseudoprodotto gf non è vuoto, ed è la suriezione (dell'insieme delle città italiane sull'insieme delle regioni italiane) che ad ogni città associa la regione in cui si trova il porto piu vicino. Per lo pseudoprodotto vale la proprietà associativa; essa è espressa dal 4.4. Se uno dei due pseudoprodotti h (gl), (hg)f non è vuoto, non lo è neppure l'altro: essi sono uguali. TEOREMA

Siano (fig. 4.8) f: A

-+

B,

g : C -+ D,

h: M

-+

N

Prodotto di relazioni 93

tre suriezioni. Se h (gf) non è vuoto, il codominio di gf [cioè g (B fì C)] e il dominio di h [cioè M] non sono disgiunti. Allora, per ogni Z E M fì g (B fì C), vi sono un x E A e un y E B .tali che y = f(x), z = g (y): poiché Z E M fì D, abbiamo y E g-l (M fì D), perciò B fì

g-l

(M fì D) =1= 0,

e quindi (hg)f non è vuoto, poiché B è il codominio di J, e g-l (M fì D) è il dominio di hg. g (BnC)

~h~9

_

~~~-I-;c' h (MnD)

g-1 (MnD)

Fig. 4.8

Analogamente si prova che, se (hg)f non è vuoto, allora neppure h (gl) lo è. I due pseudoprodotti coincidono, in quanto sono i prodotti delle restrizioni delle stesse suriezioni (J, g, h) agli stessi insiemi. Ad esempio, il dominio di (hg)f è Il

f- l

=

(B fì

g-l

(M fì D»:

infatti il dominio di hg è g-l (M fì D), e il codominio di f è B. D'altronde, il codominio di gf è g (B fì C), e il dominio di h è M; quindi il dominio di h (gf) è K

= f-l(g-l (g (B

x

E



C)

fì M».

Il se e solo se f(x)

f(x)

E g-l

E

B (il che è sempre vero) e

(M fì D), cioè g (f(x»

E

M.

K se e solo se g (f(x» E g (B fì C) (il che è sempre vero) e g (f(x» E M. Dunque Il = K. (c.v.d.).

x

E

Si osservi che può accadere che non siano vuoti gf ed hg, mentre h (gf) ed (hg)f lo sono. Ciò accade quando il codominio di g non è disgiunto dal dominio di h, e quello di f da quello di g, mentre il codominio di gf è disgiunto dal dominio di h.

94

Prodotto di relazioni

Nella figura 4.9, possiamo al solito pensare che le J, g, h siano traslazioni del dominio sul codominio (cioè che si ottengano facendo « scorrere» l'uno sull'altro).

Fig. 4.9 Problemi 4. 1. Si costruisca il prodotto di qualche relazione di parentela, che non sia già stato considerato nel paragrafo 1 (ad esempio, « genitore» per «genitore », «padre» per «madre », ecc.). 2. Confrontare i prodotti delle relazioni «padre» e «madre », nei due modi nei quali si possono eseguire. Vale la proprietà commutativa? Cosa accede nei riguardi dei prodotti di «fratello» e « cugino»? *3. Restrizione d'una relazione. Vediamo di generalizzare alle relazioni la nozione di restrizione. Sia R una relazione fra A e B. Se X ç A diremo prima restrizione di R a X la relazione fra X e B cosi definita: Rlx

=

R nprl-1(X).

Ricordando la definizione dell'applicazione « pr 1 » (paragrafo 1.3), possiamo dire che in R Ix sono associate le coppie (x, y) di R tali che x E X. Analogamente, se Y ç B, diremo seconda restrizione di R ad Y la relazione fra A ed Y: RII y = R

n pr2 -l(Y);

abbiamo yR11 yX se Y R x ed inoltre y E Y. Se non è altrimenti specificato, per restrizione si intenderà la prima restrizione. Si può pensare anche alla restrizione contemporanea ad un Xç A e a un yç B: essa si scriverà Rlxlly = Rlx n Rlly (fig. 4.10). Se infine R è una relazione in un insieme I, diremo relazione indotta in Jç I la relazione in J: RIJIIJ'

Prodotto di relazioni 95

cioè quella che si ottiene, per cosi dire, tenendo conto dei soli elementi in J. B

r----(I5------:----r-R---1

II

Bl

I I

I

y

I

I I I I

I I I

I I I I

I I I

~------

I

----~

I I I

______ 4

I I I I IL _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ I ____ ~ I _ _ _ _ _ _ JI

I I I I L __________ ...1.. ____ ..L ______ .J

-------+I~X~+---

r----------r----'--i---l :i---- ---- !~-: ---1 :

A

-------4~X~----A

R,x

R,XIIY

Fig. 4.Jn *4. Restrizione di un'applicazione. Se g è un'applicazione di A in B, la sua restrizione (nel senso del problema 3) ad un X ç A si dirà applicazione restrizione gi x di g ad X. Abbiamo glx(x) = g(x) per ogni x EX.

Se g è una suriezione di A su B, la suriezione restrizione g/x e l'applicazione restrizione glx non sono di regola la stessa cosa: la prima è una suriezione di X su g(X), la seconda un'applicazione di X in B. Tuttavia, per ogni x del comune dominio, glx(x) = g/x(x). Di che tipo è l'ap-

plicazione restrizione di una iniezione? Si dia qualche esempio di applicazione restrizione. Si provi, che se f è una suriezione, ft x = fìx Ilj(x)· *5. Per le relazioni date negli esempi del paragrafo 2.1, o comunque ivi studiate, si dia qualche esempio di restrizione. Cosi, per quella dell'esempio I del paragrafo 2.1, si hanno, per X = { 1,2,4} o rispettivamente X = { 2, 3, 4, 5}, i grafici della figura 4.11.

4.

4.

3.

2.

• Fig. 4.11

•2

• •• 4

3• 2•

•2

• • • •• •• •• 3

4

5

96

Prodotto di relazioni

In quest'ultimo caso, non viene esclusa alcuna coppia (a, b) E R; però la relazione R:x (v. problema 3) è diversa da R, in quanto A è stato sostituito da X.

*6. Se in un insieme I di persone J è il sottoinsieme dei maschi, qual è la restrizione ad J della relazione in I « fratello o sorella»? Si dia qualche esempio analogo. *7. Rappresentate graficamente la relazione y = 2x nell'insieme dei numeri reali compresi fra O e 4 (estremi compresi) e determinate la sua prima e la sua seconda restrizione all'insieme 1= {O, 1,2,3,4}. Analogamente per la 2y = = 3x. *8. Si prenda un InSieme I (di numeri, ad esempio), ed un suo sottoinsieme J; si dia una relazione in I in modo che la sua prima restrizione ad J (o la seconda, o la relazione indotta in J) sia vuota. *9. Si provi che, data una relazione d'equivalenza in I, la relazione indotta in un J ç: I è ancora una relazione d'equivalenza; altrettanto si può dire per le relazioni d'ordine (eventualmente totale, o in senso stretto), o per un buon ordinamento.

* lO. Dare un esempio di relazione in un insieme

I tale che le restrizioni prima e seconda ad un sottoinsieme J coincidano.

Il. Abbiamo due relazioni, R fra A e B, ed S fra B e c: per rappresentare graficamente il prodotto delle relazioni R, S rappresentiamo A, B, C come nella figura 4.12 (quand'è possibile). B b

Fig. 4.12

Prodotto di relazioni 97

Le coppie (a, b) occupano un certo settore del piano; un altro è occupato dalle coppie (b, c), ed un terzo da quelle (a, c) (a E A, b E B, c E C). A ciascun a associamo i rispettivi b, e a questi i c; si ottengono le coppie (a, c) della relazione prodotto. Si tracci la figura per qualche semplicissima relazione. 12. Il prodotto di due relazioni, quando una di esse è la relazione «uguale a », vale l'altra relazione. Precisate l'enunciato, nominando anche gli insiemi fra i quali intercorrono le relazioni. 13. Il prodotto di due relazioni, una delle quali sia una relazione vuota, è una relazione vuota. *11 prodotto di una relazione per la relazione universale è una restrizione della relazione universale (e perché non la relazione universale?). 14. Siano R, S due relazioni (fra A e B e fra B e C rispettivamente) che non siano delle applicazioni. Può darsi che, in casi particolari, So R sia un'applicazione? 15. Può essere un'iniezione il prodotto di due applicazioni non iniettive? Può essere una suriezione il prodotto di due applicazioni non suriettive? Può essere una biiezione il prodotto di due applicazioni non biiettive? 16. Si trovi il prodotto (sia lo g, che go f) delle relazioni in R rappresentate dalle seguenti equazioni in x, y (cioè, yRx allorché x ed y sono legati da questa equazione): a) b)

c)

I: I: I:

X2

y y2

+ 2y 2 = < x, < x 2,

1,

g :y

g : y = X2

=

2x;

+ 1; + l.

g: y = x

[Ad esempio, per calcolare lo g nel caso a), scriviamo I nella forma y2 + 2z2 = 1; il prodotto lo g si ottiene scrivendo un legame fra x e z che esprima che v'è un y tale che ygx, zly; basta allora «eliminare)) y fra le due espressioni, cioè ricavarlo da una e sostituirlo nell'altra, ... l. 17. Si scrivano i prodotti log, gol. nonché gli analoghi prodotti delle biiezioni inverse, per le seguenti biiezioni (in R) a) f: x t-.. 2x;

g: x I-r;

b) f: x t->- X2 (per x ;;;. O), g : x t->- x - 2. 5

X t->- -

X2

(per x

< O);

98

Prodotto di relazioni

Per g o f. nel caso a), si può scrivere x

1-+ (f)

2x

1-+ (g)

(2X)3 = 8x3.

18. Si scrivano le sostituzioni su tre elementi (vedi il problema 11 del capitolo 3), e si determinino i loro prodotti. 19. Un elenco telefonico è un'applicazione f. d'un sottoinsieme di N in un insieme I di persone, società, enti, ecc. (perché non abbiamo detto, come potrebbe sembrare piu naturale, che si tratta d'una applicazione d'un insieme di persone, ecc., in N ?). La targhettina sull'apparecchio che ne riporta il numero è un'applicazione g di. .. in ... (è una biiezione?). Ne facciamo il prodotto (in quale ordine?) e si ottiene ... 20. Sia A l'insieme delle ellissi d'un piano che non sono circonferenze, B l'insieme dei segmenti e C l'insieme dei punti del piano. Facciamo il prodotto delle applicazioni: f di A in B che ad ogni ellisse fa corrispondere l'asse maggiore, e g di B in C che ad ogni segmento associa il suo punto medio. Si ottiene ... (Cosa accadrebbe se da A non escludessimo le circonferenze? Le applicazioni f. g sono iniettive? sono suriettive ?). *21. Si provi che il prodotto d'una relazione R (tale che, per ogni x, vi sia almeno un y con yRx) per la sua inversa è una relazione riflessiva. Si provi che il prodotto d'una biiezione per la sua inversa è la relazione «uguale a» (e il prodotto d'una iniezione per la sua inversa ?). *22. Si provi che una relazione in un insieme è transitiva se e solo se R o R ç R; se la relazione è anche riflessiva, si ha RoR =R.

*23. Si provi che il prodotto d'una relazione d'equivalenza per la sua complementare GR (paragrafo 2.2) vale GR. Si confronti questo risultato con quello del problema 12: si osservi che la relazione «uguale a» lascia invariata qualsiasi relazione (purché se ne possa fare il prodotto), mentre di R possiamo solo dire che se è una relazione d'equivalenza lascia invariata GR. 24. Si dice traslazione un'applicazione f di una retta, o d'un piano, o dello spazio in sé tale che i segmenti aventi per estremi x ed f(x) abbiano tutti la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso. Si provi che una traslazione è una biiezione, e che il prodotto di due traslazioni non cambia se si scambiano i «fattori )).

Prodotto di relazioni 99

25. Si determini il codominio delle suriezioni individuate dalle seguenti funzioni di variabile intera: X2, 2x, x + 1. Si trovino gli pseudoprodotti di tali suriezioni, prese a due a due in tutti i 6 modi possibili.

26. Se x e y sono due variabili nell'insieme dei numeri razionali, ciascuna delle seguenti equazioni determina una suriezione d'un insieme di numeri razionali su un altro: 1

y= .._._--'

1'

1

y=-.

x Si determinino i loro domini e i loro codomini, e se ne trovino gli pseudoprodotti in tutti i 6 modi possibili. X2 -

*27. Si p"rovi che, se A non è vuoto e B è vuoto, non esistono applicazioni di A in B. Invece, se A è vuoto, esiste una sola applicazione di A in B (comunque sia B): la relazione vuota. L'applicazione vuota è iniettiva? È suriettiva?

5. Relazioni e grafi

5.1

Grafi non orientati e grafi orientati.

Accade spesso che vari fatti della vita quotidiana, quando siano opportunamente schematizzati, rivelino delle analogie di comportamento cosi spiccate da suggerire, tutti assieme, una stessa nozione teorica. Consideriamo ad esempio il grafico d'una rete ferroviaria (come quelli che si trovano sugli orari tascabili), oppure la pianta d'una città, o lo schema che indica quali sono le scuole alle quali si può accedere quando si è terminato un certo ciclo di studi, o ancora il disegno delle mattonelle d'un pavimento. Il significato ordinario di questi schemi (se pur c'è) è completamente diverso da un caso all'altro, ma v'è un aspetto formale che li accomuna tutti (chi, del resto, non ha, sia pure involontariamente, immaginato talvolta un sistema di strade o qualcosa d'analogo guardando le commessure d'un pavimento ?). In tutti i casi, vi sono dei nodi, o incroci, o stazioni, che si possono rappresentare con dei punti (vertici), e dei tratti (spigoli) che li congiungono. Questa è l'idea di grafo (fig. 5.1). Si osservi che molti degli esempi precedenti si riferiscono a situazioni che sono di per sé di carattere spaziale (rete ferroviaria o stradale, mattonelle d'un pavimento); ma vi

Fig. 5.1

Relazioni e grafi

101

sono pure schemi che non sono di per sé spazi ali (tabella per il passaggio di scuola, albero genealogico), e che tuttavia può risultare conveniente rappresentare con una figura. A parte questo, si possono osservare subito alcune differenze anche sul piano formale. Nel caso del grafico d'una

Fig. 5.2

rete ferroviaria, o in quello delle commessure delle mattonelle, i vari tratti non vanno orientati (i treni li percorrono in entrambi i sensi); invece, nello schema d'un ordinamento scolastico, i tratti vanno orientati (almeno con il pensiero) da una scuola a quelle immediatamente superiori cui quella dà accesso. Nel primo caso si parIa di grafi non orientati, nel secondo di grafi orientati (fig. 5.2, sinistra). V'è anche la possibilità di grafi misti (fig. 5.2, destra), che rappresentano 1a situazione della rete stradale di quelle città nelle quali alcune strade sono a senso unico, e quindi occorre orientare i relativi tratti: questo tipo non avrà interesse per il seguito. Vediamo di dare una definizione precisa. Intanto osserviamo che vi possono essere dei vertici per i quali passano due soli spigoli (ad esempio, in una rete ferroviaria, una stazione che non sia di diramazione), o uno solo, o anche nessuno (come una località che per qualche motivo conviene segnare, anche se non è raggiungibile per ferrovia).

102

Relazioni e grafi

Però, ad ogni spigolo debbono sempre corrispondere due vertici, o un vertice solo (nel qual caso si dice che i due vertici coincidono): per quest'ultima eventualità, si pensi ad esempio ad un circuito automobilistico con una sola strada d'accesso. Due vertici potranno esser congiunti da piu spigoli (ad esempio, si pensi a due località collegate da piu strade). Nei grafi orientati, per ogni spigolo si dovrà distinguere fra il vertice iniziale e quello finale (vale a dire, ogni spigolo deve avere un vertice iniziale ed un vertice finale); in quelli non orientati, no. Concludendo: il fatto essenziale è la relazione che ad ogni spigolo associa i suoi vertici, con le varie modalità esaminate; possiamo dare perciò la DEFINIZIONE. Un grafo non orientato è costituito da due insiemi V, S, i cui elementi si dicono rispettivamente vertici e spigoli, e da un'applicazionè F di S nell'insieme delle coppie non ordinate di elementi di V. Un grafo orientato è costituito da due insiemi V, S e da un'applicazione f di S in V X V (insieme delle coppie ordinate di elementi di V). Invece della locuzione « un grafo è costituito da ... » si può usare una di questo tipo, che però è un po' piu macchinosa: « un grafo è un insieme i cui elementi sono due insiemi V, S ed un'applicazione F ... ». Nel caso d'un grafo orientato, fissato uno spigolo S, i suoi vertici si possono distinguere l'uno dall'altro, e quindi si può dare la DEFINIZIONE. Un grafo orientato è costituito da due insiemi S, V e da due applicazioni f1, f2 di S in V. Uno spigolo a vertici coincidenti si dice un cappio o laccio. Un grafo, indipendentemente dal significato intrinseco dei vertici e degli spigoli, si usa rappresentare segnando, per ogni elemento di V, un punto, e, per ogni elemento di S, un arco di curva (quando è possibile, si usa tracciare un segmento) che congiunge i punti che rappresentano i suoi vertici. Se il grafo è orientato, gli archi vengono muniti di una freccia che indica la direzione dal primo al secondo

Relazioni e grafi

103

vertice (in modo da poterli distinguere, osservando la rappresentazione del grafo); i cappi non vanno muniti di freccia, poiché per essi i vertici coincidono. A volte le linee che rappresentano gli spigoli d'un grafo si incontrano anche fuori dei vertici: tali intersezioni non 2

4

Fig. 5.3

3

l'

l}----------U2'

Fig. 5.4

hanno nulla a che vedere con il grafo, e dipendono dal modo in cui esso è rappresentato: per evitare confusioni, è bene rappresentare i vertici con un segno preciso (ad esempio, un circoletto). Può accadere che, cambiando eventualmente la posizione dei vertici e degli spigoli, si possa rappresentare il grafo con una figura piana nella quale non vi siano intersezioni al di fuori dei vertici: un tale grafo si dice planare. Ad esempio, nel grafo della figura 5.3 gli spigoli 13 e 24 (cioè gli spigoli congiungenti i vertici l e 3, 2 e 4) s'incontrano, ma basta rappresentare lo stesso grafo con la figura 5.4 perché questo non accada. Tale grafo è dunque planare. Invece, nel rappresentare sul foglio il grafo disegnato nella figura 5.5 non si può evitare che due spigoli

Fig. 5.5

104 Relazioni e grafi

s'incontrino fuori dei vertici; ricorrendo ad una rappresentazione spazi aIe si può evitare tale fatto (ad esempio, basta assumere il vertice 1 fuori del piano degli altri, come se la figura fosse vista in prospettiva). È la situazione che si presenta allorché si hanno due strade che si attraversano senza incrociarsi: occorre usare un sottopassaggio, cioè la figura, che non si può realizzare nel piano, si può ottenere nello spazio. Ritorniamo alle figure 5.3 e 5.4. Essi ci dicono che può accadere che dei grafi « diversi », nel senso che sono diversi gli elementi che compongono V ed S, si possono pensare come differenti aspetti d'uno stesso schema. Questo fatto può esser meglio precisato con il concetto d'isomorfismo. DEFINIZIONE. Siano dati due grafi non orientati G, G', i cui insiemi dei vertici sono V, V', mentre quelli degli spigoli sono S, S'. Diciamo isomorfismo fra G e G' una coppia di biiezioni h, k h: V ->- V',

k :S

->-

S',

in modo che, se e, e' sono i vertici dello spigolo s, quelli dello spigolo k (s) siano h (e), h (e') (fig. 5.6). 2'

3'

5

3

4

4'=h (4)

l'

Fig. 5.6

Per i grafi orientati, bisogna tener conto dell'orientazione di ciascuno spigolo: DEFINIZIONE. Siano G, G' due grafi orientati, i cui insiemi dei vertici siano V, V', e quelli degli spigoli siano S, S': siano

Relazioni e grafi 105

rispettivamente Ilo 12 e I~ e I~ le applicazioni di cui alla definizione. Un isomorfismo fra i grafi è una coppia di biiezioni h : V ->- V', k : S ->- S', tali che il primo (secondo) vertice d'uno spigolo sabbia h (I, (8)) =I( (k (8))

l, (8)

------------------+

h

+,, +,, , à -------------------1> k'(8) k

Fig. 5.7

per corrispondente il primo (rispettivamente il secondo) vertice di k (s); in simboli o k = h o Il' I~ o k = h 0/2. Infatti, I~ (k (s)) è il primo vertice dello spigolo corrispondente ad s, e dev'essere pure il corrispondente del primo vertice di s, cioè h Ch (s)) (fig. 5.7). Due grafi, orientati o non orientati, fra i quali intercorra un isomorfismo si dicono isomorfi.

I~

1

l'

3'

2'

Fig. 5.8

Ad esempio, un isomorfismo fra i grafi delle figure 5.3 e 5.4 è dato dalla biiezione che ad 1, ... , 4 associa l', ... , 4' rispettivamente, e dalla biiezione che allo spigolo 12 associa lo spigolo 1'2', ecc. Analogamente per i grafi orientati rappresentati nella figura 5.8.

106

Relazioni e grafi

Nelle definizioni precedenti, anziché considerare due biiezioni h, k, si può ricorrere ad una sola biiezione g di V u S su V' U S', in modo che g(V)

= V',

g(S)

= S';

Fig. 5.9

4}----t------{

3

allora h e k non sono altro che le restrizioni di g a V e ad S rispettivamente (cfr. paragrafo 4.3). Se ad un grafo orientato «togliamo» le orientazioni, si ottiene un grafo non orientato; ad esempio, dal primo grafo della figura 5.8, si ottiene il grafo della figura 5.3. Lo stesso grafo si ottiene però da altri grafi orientati, non isomorfi a quello da cui siano partiti, ad esempio da quello della figura 5.9. l grafi della figura 5.8 e quello della figura 5.9 non sono isomorfi, poiché nei primi c'è un «circuito» che tocca tutti i vertici, mentre ciò non accade per l'ultimo. Dunque: togliendo le orientazioni a due grafi orientati non isomorfi, può accadere di trovare dei grafi non orientati isomorfi. Questo accade anche per i due grafi della figura 5.10.

Fig. 5.10

Relazioni e grafi

107

5.2 Grafi semplici. Grafi bipartiti. Quando in un grafo non orientato vi sono due spigoli s, s' con i medesimi vertici, si dice che s, s' sono in parallelo (tale denominazione proviene dall'elettrologia). Per i

a

b

Fig. 5.11

grafi orientati, si diranno in parallelo due spigoli che abbiano lo stesso primo vertice e lo stesso secondo vertice. Ad esempio, nei grafi non orientati della figura 5.11 sono in parallelo gli spigoli a, b. In un grafo orientato, sono in parallelo spigoli come quelli rappresentati nella figura 5.12 a sinistra, mentre quelli di destra non lo sono.

Fig. 5.12

108

Relazioni e grafi

Se in un grafo orientato due spigoli sono in parallelo, essi lo sono pure nel grafo non orientato che gli si può associare (togliendo le orientazioni); ma il viceversa non è vero. Ad esempio, nella figura 5.12 i due spigoli di destra non sono in parallelo, ma lo sono se si privano dell'orientazione. TEOREMA 5.1. In un grafo privo di spigoli in parallelo, ogni spigolo è perfettamente individuato dai suoi vertici. Tale teorema vale sia per i grafi non orientati che per quelli orientati. purché, per questi ultimi, si faccia distinzione fra il primo ed il secondo vertice di ciascuno spigolo. In ogni caso, per ogni coppia di vertici l, 2 v'è al piu uno spigolo che li congiunge (per i grafi orientati, v'è al piu uno spigolo che ha il primo estremo in l ed il secondo in 2): perciò, quando si paria dello « spigolo 12 », non c'è possibilità di equivocare su di esso. Un cappio per l si indicherà con « Il>> (leggi uno-uno): naturalmente, se mancano spigoli in parallelo, non vi possono essere due cappi Il. (c.v.d.). Abbiamo già sfruttato questa particolarità dei grafi privi di spigoli in parallelo nel paragrafo 5.1, nel nominare gli spigoli del grafo della figura 5.3. Nella pratica, si possono trovare spigoli in parallelo in una rete elettrica, o in una rete stradale, o, piu difficilmente, nelle commessure d'un pavimento; non ve ne sono, ovviamente, nello schema dei passaggi da una scuola ad un'altra: il motivo di questo fatto si vedrà meglio nel paragrafo successivo. In molti casi, invece, si può senz'altro escludere la presenza di cappi: ad esempio, non ve ne sono nel grafico di una rete ferroviaria, o nello schema dei passaggi scolastici. Particolare interesse presentano i grafi che non presentano né spigoli in parallelo né cappi: da cui la DEFINIZIONE. Si dice semplice un grafo (orientato o no) che sia privo di spigoli in parallelo e di cappi.

Relazioni e grafi

109

A volte può esser utile parlare non solo di «vertici d'uno spigolo s », ma anche di «vertici d'un vertice v », nel qual caso converremo sempre che essi siano lo stesso v [in formule.: per i grafi non orientati, F(v)

= {v, v}

V VE V;

per i grafi orientati,

Il (v) =

v,

v

VE

V].

Con questa nuova terminologia, possiamo enunciare il 5.2. In un grafo semplice, ogni elemento è individuato dai suoi vertici.

TEOREMA

Siano l, 2 due vertici; se essi sono diversi, allora v'è al piu uno spigolo 12; se invece l = 2, solo il vertice l stesso ha per vertici l ed l, in quanto non vi sono cappi. Naturalmente, ciò vale sia per grafi non orientati che per grafi orientati. (c.v.d.). Un esempio di grafo semplice è dato da un albero genealogico (gli spigoli sono trattini che simboleggiano certe relazioni di parentela fra persone, che sono i vertici del grafo). Anche i grafi (orientati o no) delle figure 5.3, 5.4, 5.5, 5.8 sono semplici. Non lo sono il primo grafo della figura 5.1 e quello della figura 5.6. Grazie al fatto che gli elementi (vertici o spigoli) sono individuati dai loro vertici, un isomorfismo fra due grafi semplici si può descrivere assegnando solo la biiezione h (quella fra i vertici); vale a dire, in questo caso la biiezione g è individuata dalla sua restrizione a V. Un grafo non orientato semplice tale che, per ogni coppia di vertici, vi sia uno spigolo che li congiunge si dice completo. Il grafo delle figure 5.3, 5.4 è il grafo completo con 4 vertici. Vi sono dei casi nei quali i vertici d'un grafo si possono suddividere in due classi, in modo che i vertici d'una stessa classe non siano mai collegati a due a due. Questo accade, ad esempio, per il grafo che rappresenta una relazione fra due insiemi A, B disgiunti: i suoi spigoli (prescindendo dall'orientazione) vanno sempre da un elemento di A ad uno di B (vedi il paragrafo 2.1).

110

Relazioni e grafi

DEFINIZIONE. Diciamo bipartito un grafo non orientato i cui vertici sono ripartiti in due classi disgiunte, in modo che ogni spigolo abbia un vertice nella prima classe ed uno nella seconda (esempio: fig. 5.13). A

Fig. 5.13

Un grafo bipartito non può dunque possedere dei cappi. Esso si può sempre orientare in due modi ben precisi; se A e B sono due classi in cui si riparte V, basta per ogni spigolo assumere come primo vertice quello in A e come secondo quello in B, o viceversa. Un esempio di grafo bipartito è dato dalla tabella che riporta i vari titoli di studio, le varie professioni e le possibilità di accedere alle professioni per chi abbia un certo titolo di studio.

5.3 Grafi e relazioni. Per certe interpretazioni, o per certe considerazioni, conviene distinguere nettamente fra i vertici e gli spigoli d'un grafo: anzi di regola, si usa fare proprio cosi. Si pensi ad una carta ferroviaria, nella quale i vertici sono stazioni mentre gli spigoli sono tronchi di linea; e piu ancora a uno schema del tipo d'un albero genealogico o allo schema scolastico piu volte menzionato, nei quali gli spigoli sono solamente dei legami fra delle entità reali, rappresentate dai vertici. Sostanzialmente, questo è l'aspetto del quale in questo paragrafo c'interesseremo.

Relazioni e grafi

111

Fra i vari legamI che sussistono fra relazioni e grafi, i piu interessanti si possono sintetizzare cosi: un grafo orientato privo di spigoli in parallelo ed una relazione in un insieme si possono considerare concetti intercambiabili. Vediamo di precisare questi fatti. 5.3. Ad una relazione R in un insieme A si può sempre associare un grafo orientato r (R) privo di spigoli in parallelo. Il grafo r (R) ha per vertici gli elementi di A, mentre gli spigoli sono le coppie ordinate (x, y) tali che yRx. Resta cosi precisato quanto s'era detto nel paragrafo 2.1. r (R) è privo di spigoli in parallelo, poiché ogni spigolo, essendo definito come « coppia», è perfettamente individuato dai suoi vertici. Possono esistere dei lacci. (c.v.d.). TEOREMA

Ad esempio, sia A = { l, 2, 3, 4}. La relazione < in A dà luogo al grafo orientato semplice della figura 5.14.

Fig. 5.14 Nello stesso insieme, la relazione individuata dalla figura 5.15 dà I uogo al grafo 5.16. In tutti questi grafi, abbiamo convenuto di orientare lo spigolo xy da x ad y, qualora sia yRx: naturalmente, si sarebbe potuta fare anche la convenzione opposta .



4. 3•

• • Fig. 5.15

2. 1.

• •1

• •2

•3

.A 4

112

Relazioni e grafi

Vediamo di invertire, in qualche modo, l'affermazione precedente: si tratta ora di associare, ad un grafo, una relazIOne. Ad un grafo orientato G si può associare la seguente relazione e (G) nell'insieme V: poniamo V 2 e (G) Vi quando c'è almeno uno spigolo che ha Vi come primo e v2 come secondo vertice.

~ Fig. 5.16

Fig. 5.17

Secondo tale «regola », al grafo della figura 5.17 viene associata la relazione R della figura 5.15. Vale a dire, a grafi diversi può risultare associata la stessa relazione. *In altre parole: e è un'applicazione suriettiva (ma non iniettiva) della classe dei grafi il cui insieme dei vertici è A, sull'insieme delle relazioni in A. Infatti, la stessa relazione è immagine di pi6 grafi. L'applicazione r non è la relazione inversa di e (ciò non potrebbe essere, poiché e non è iniettiva): essa è un'iniezione, ma non una suriezione, dell'insieme delle relazioni in A nella classe dei grafi i cui vertici sono gli elementi di A. *Si osservi ancora che, fissata una relazione R in A, abbiamo e (r (R)) = R; mentre, fissato un grafo orientato G (i cui vertici siano gli elementi di A) di regola r (e (G)) non è isomorfo a G: questo vale solo se G non ha spigoli in parallelo (il codominio di r è appunto l'insieme dei grafi privi di spigoli in parallelo). Finora abbiamo parlato sempre di relazioni (binarie) in un insieme: come si può rappresentare con un grafo una relazione fra due insiemi? Ad una relazione fra due insiemi A, B possiamo associare un grafo orientato avente per vertici gli elementi di A u B: gli spigoli sono le coppie (x, y) tali che yRx (tracciamo cioè uno spigolo avente il primo estremo in x e il secondo in y).

Relazioni e grafi

113

Qualora i due insiemi A e B siano disgiunti, il che accade spesso in pratica, alla relazione R possiamo associare un grafo bipartito, in modo che A e B siano le classi in cui si suddivide l'insieme dei vertici (al solito, v'è uno spigolo per ogni coppia di elementi associati in R). Non v'è bisogno di orientare gli spigoli, in quanto il grafo è bipartito (si veda la fine del paragrafo 2). Basta intendersi su qual è

/

Roma

Milano

Giordania

Polonia

Francia

Italia

\

Varsavia

Zurigo

Ankara

Fig. 5.18

il « primo» e qual è il « secondo» dei due sottoInslemi A, B. Ad esempio, sia A = { Italia, Francia, Polonia, Giordania}, e B = {Roma, Milano, Zurigo, Varsavia, Ankara}; sia R la relazione « è la capitale di ». Abbiamo il grafo della figura 5.18. Il viceversa è ormai ovvio: Ad un grafo bipartito G, dette A, B le due classi nelle quali si suddivide l'insieme dei vertici, possiamo associare la seguente relazione a (G) fra A e B: poniamo y a (G) x (x E A, y

E

B) allorché esiste almeno uno spigolo di estremi x, y.

Consideriamo i due grafi bipartiti delle figure 5.19, 5.20, aventi gli stessi vertici: A è l'insieme dei vertici allineati sulla prima orizzontale, B quello dei vertici inferiori. Ad entrambi è associata la medesima relazione R = {(x, u), (x, v), (y, u), (y, v), (y, w)}. Viceversa, ad R si associa il grafo della figura 5.19. che è privo di spigoli in parallelo. y z y z

O

u

Fig. 5.19

w

O

u

Fig. 5.20

w

114

Relazioni e grafi

Secondo i criteri ora esposti, non si saprebbe quale relazione associare ad un grafo non orientato e non bipartito. Ricordiamo che non si può distinguere fra i due estremi d'uno spigolo, vale a dire che lo spigolo ab e lo spigolo ba sono la stessa cosa. Per tale ragione, s'è pensato di associare ad un grafo non orientato G una relazione simmetrica 7: (G), nella quale sia y 7: (G) x quando v'è uno spigolo di estremi x, y. La relazione risulta simmetrica, in quanto è pure x 7: (G) y. *La medesima relazione è pure immagine in Q del grafo orientato G' cosi costituito [cioè, T(G) = Q(G')]: i vertici sono gli stessi di G, mentre per ogni spigolo s di G che non sia un cappio ve ne sono due di G', con gli stessi vertici di s ed orientati in senso opposto (fig. 5.21).

~ Fig. 5.21

Problemi 5. l. Tracciate il grafo (non orientato) della vostra abitazione,

segnando un vertice per ciascun locale, e uno spigolo per ciascun passaggio da un locale ad un altro. 2. Tracciate il grafo delle strade che si trovano nei pressi di casa vostra; tracciate anche il grafo orientato delle singole carreggiate di marcia, segnando cioè due spigoli distinti per i tratti a doppio senso di circolazione. 3. Consideriamo i due insiemi v = { 1,2,3,4 }, s = { a, h, c, d, e }, e le applicazioni di S in V individuate dalle tabelle (ahcde) hl1234

(a h c de') h21123·

Si tracci il grafo orientato definito da V, S e dalle due applicazioni h, h.

Relazioni e grafi

115

4. In relazione ai due insiemi V, S del problema 3, si consideri l'applicazione F di S nell'insieme delle coppie non ordinate di elementi di V: a b c d e F (1,2) (1,2) (2,4) (3,4) (4,4)

Si tracci il grafo non orientato cosi definito. 5. Si orientino a piacere gli spigoli del grafo di cui al problema 4; si scrivano, per il grafo orientato cosi ottenuto, le due applicazioni Ilo 12 e le si confrontino con la F. 6. Si scrivano le applicazioni h, fA per il grafo orientato della figura 5.22, e l'applicazione F per il grafo che si ottiene togliendo le orientazioni. 1

a

~~------~------~

2

d

b

4

Fig . .5.22

3

7. Diremo percorso in un grafo una sequenza di spigoli s, t, ... , z tali che ciascuno abbia un vertice in comune con il successivo; si dice ciclico un percorso che ritorni al vertice di partenza. Nei grafi orientati si possono poi considerare quelli la cui percorrenza concorda con le orientazioni degli spigoli. Nei grafi (orientati o no) trovati nei problemi precedenti se ne indichi qualche esempio. 8. Si dice connesso un grafo tale che, presi due vertici, vi sia sempre un percorso che va da uno all'altro. Si disegni un grafo connesso, quindi se ne tolgano alcuni spigoli in modo da renderlo non connesso. 9. Si dice albero un grafo non orientato tale che, fissati due suoi vertici, si possa andare da uno all'altro in uno ed

116

Relazioni e grafi

un solo modo. Segnate quattro vertici e tracciate il maggior numero possibile di alberi con questi quattro vertici. *10. Si provi che un albero con n vertici ha n -- 1 spigoli, e che esso è planare.

*11.

La teoria dei grafi ha avuto inizio, si può dire, con il problema dei ponti di Kanigsberg: la città di K6nigsberg (oggi Kaliningrad) è costruita sul fiume Pregel, e questo è attraversato da sette ponti disposti come della figura 5.23.

Fig. 5.23 Si trattava di trovare un percorso che passasse una sola volta su ciascun ponte riportando al punto di partenza. Eulero provò nel 1736 che ciò è impossibile, in questo modo: rappresentiamo ciascuna delle regioni A, B, C, D con un vertice d'un grafo, e ciascun ponte con uno spigolo. Se esistesse il percorso richiesto, in ogni regione attraversata si dovrebbe entrare tante volte quante se ne esce, e quindi per essa dovrà esservi un numero pari di ponti; .... Si provi che il problema non ha soluzione neppure se si consente di terminare il percorso in una regione diversa da quella iniziale. 12. Tracciate una pianta di città nella quale il problema dei ponti abbia soluzione nella forma iniziale, oppure ammettendo di non tornare necessariamente nella regione di partenza. Se avete una pianta di Roma, vedete quel che si può fare, tenendo conto della presenza dell'Isola Tiberina. Fate lo stesso per Parigi. Cercate qualche altra città per la quale si può porre il problema.

Relazioni e grafi

117

13. Tracciate un grafo non planare, diverso da quello della figura 5.5. *14. Il grafo della figura 5.5 è collegato ad un altro celebre problema; vi sono tre case a, b, c e tre pozzi l, 2, 3. Si chiede di tracciare un sentiero da ciascuna casa a ciascun pozzo in modo che non vi siano incroci. Ciò è impossibile, poiché il grafo che si ottiene non è planare *. Esiste un grafo non planare con 4 vertici? E con 5? *15. Si dice toro la superficie che si ottiene facendo ruotare una circonferenza intorno ad una retta del suo piano che sia ad essa esterna (vale a dire, la superficie che contorna un anello). Si provi che il grafo della figura 5.24 si può tracciare su un toro, senza i che suoi spigoli si intersechino fuori dei vertici.

Fig. 5.24

* 16. Si provi che un grafo wn un numero finito di spigoli e di vertici che sia planare si può tracciare su una superficie sferica, e viceversa. 17. Si traccino i grafi completi con 3, 5, 6 vertici. Quanti spigoli ha il grafo completo con Il vertici? 18. Si provi che i grafi orientati della figura 5. \O non sono isomorfi, mentre togliendo le orientazioni si hanno dei grafi isomorfi. Si trovi un'altra coppia di grafi orientati per i quali accada la stessa cosa. 19. Tracciare due coppie di grafi isomorfi, e scrivere le tabelle che danno le applicazioni h, k che costituiscono l'isomorfismo. Lo stesso problema per due grafi orientati.

*

Si veda, in questa collana, O. ORE, I grafi e le loro applicazioni, paragrafo 1.5.

118

Relazioni e grafi

20. Si dice automorfismo d'un grafo (orientato o no) un isomorfismo del grafo su se stesso. Si trovino gli automorfismi dei grafi della figura 5.25, determinando quelli che sono automorfismi per il primo e non per il secondo.

2

4

Fig. 5.25

3

2

u------1 4

3

*21. Dato un insieme l di grafi, la relazione «esiste un isomorfismo fra G e G'» è una relazione d'equivalenza. Ciò giustifica la locuzione «grafi isomorfi ». 22. Sia G un grafo orientato, e G quello che si ottiene cambiando l'orientazione ai suoi spigoli. Si indichi un esempio di grafo G che sia isomorfo al suo G, ed un esempio in cui ciò non accada. 23. Si tracci un grafo nel quale ogni spigolo sia in parallelo con almeno un altro; analogamente per un grafo orientato. Un tale grafo possiede degli automorfismi (oltre a quello che ad ogni elemento fa corrispondere se stesso)? 24. Provate che un grafo semplice può esser isomorfo solamente ad un grafo semplice. Date un esempio in proposito, e descrivete l'isomorfismo mediante la biiezione h fra i vertici (sia per grafi orientati che per grafi non orientati). *25. Si indichino due coppie di grafi non orientati semplici con lo stesso numero di vertici e di spigoli che non siano isomorti; si diano poi due valori di n, m tali che, invece, tutti i grafi non orientati semplici con n vertici ed m spigoli siano isomorfi.

Relazioni e grafi

119

26. L'insieme dei vertici e dei lati d'un poligono con n vertici è un grafo particolare. Dite per quali valori di n tale grafo si può considerare bipartito. 27. Dato un insieme I, qual è il grafo l'(/ x I), cioè il grafo corrispondente alla relazione universale? E quello corrispondente alla relazione vuota? 28. Di quali proprietà godono le relazioni associate ai grafi della figura 5.26?

Fig. 5.26 29. Dite di quali proprietà gode il grafo l'(R), allorché la relazione R è: a) riflessiva; b) simmetrica; c) transitiva; d) una relazione d'equivalenza; e) una relazione d'ordine totale. *30. Cosa si può dire di l' e di e se si considerano solamente grafi privi di spigoli in parallelo? *31. Siano f: A --->- B, g : C --->- D due applicazioni: supponiamo che i grafi 1'(1), l'(g)-siano isomorfi (per semplicità, supponiamo che A e B siano disgiunti, come pure C e D:

120

Relazioni e grafi

fig. 5.27). Detta h la biiezione fra i vertici che interviene nell'isomorfismo, si provi che h/H 0/= g o h/A.

~~~~~:::::::::~ ?----------------c/ 1(x)

Fig. 5.27

9 (h (x)) =h (I (x))

,» ----------------- ----?J C5-:~----------------cY. h (x)

32. Si tracci un grafo bipartito e quindi si espliciti la relazione che gli è associata. 33. Si espliciti la relazione associata ai grafi della figura 5.21 [per quello non orientato, la relazione T(G), per quello orientato e(G')]. Lo stesso per i grafi tracciati con il problema 24. 34. Può esser connesso il grafo d'una applicazione?

6 Strutture algebriche

6.1

Operazioni.

Fra i primi argomenti di carattere matematico che s'incontrano fin dalle scuole elementari vi sono le operazioni. Qui, nell'intento di dare forma generale all'idea di operazione, esaminiamone alcune, fra le quali scegliamo l'addizione, la sottrazione e l'elevazione a potenza nell'insieme No dei numeri naturali, zero escluso (I, 2, 3, ... : analogamente Ro sarà R - { O}, ecc.). Notiamo subito che è essenziale specificare l'insieme sul quale si eseguono le operazioni (è una situazione analoga a quella che si ha per le relazioni, per le quali occorre specificare, o almeno sottintendere, gli insiemi che vengono associati: vedi i capitoli 2 e 3). Ad esempio, per la sottrazione fra numeri naturali e per la sottrazione fra numeri relativi le proprietà differiscono in modo sostanziale. Prendiamo poi due numeri naturali, ad esempio 4 e 3. Abbiamo 4

+ 3 = 7,

4 - 3 = l,

43

= 64.

Se invece scambiamo i due numeri, abbiamo 3

+ 4 = 7,

34

=

81,

mentre 3 - 4 non si può eseguire, o, come s'è detto in un'occasione analoga, «non è definito ». Rileviamo subito i seguenti fatti:

Qualunque operazione, nel senso ora inteso, associa ad una coppia ordinata di numeri un terzo numero: tali operazioni si dicono anche binarie, perché i «fattori », o «termini », sono due. Si possono considerare anche operazioni n-arie (ternarie, quaternarie, ... ): salvo avviso contrario, qui si considerano operazioni binarie. Vi sono operazioni (come l'addizione e l'elevazione a potenza in No) tali che, a qualunque coppia, è sempre associato un numero; per altre operazioni, invece, vi sono delle coppie che non danno luogo ad alcun risultato (ad esempio, la sot-

122

Strutture algebriche

trazione fra numeri naturali, quando il minuendo è minore del sottraendo). Le prime si dicono ovunque definite, le seconde non ovunque definite. L'ordine in cui si considerano i fattori è, di regola, essenziale: cioè solo in certi casi (per quanto importanti) il risultato non cambia scambiando i fattori. In un'operazione riconosciamo dunque una relazione fra l'insieme delle coppie ordinate di elementi dell'insieme e l'insieme stesso; piu precisamente possiamo dare la seguente DEFINIZIONE. Un'operazione (o legge di composizione) interna binaria in un insieme I è un'applicazione di un sottoinsieme di I X I in l. Salvo avviso contrario, per « operazione» intenderemo un'operazione interna binaria.

Un'operazione (o legge di composizione) ovunque definita è un'applicazione di I X I in I. Se non si sa, a priori, se l'operazione è ovunque definita o non lo è, si dice che è non necessariamente ovunque definita. In tal caso si parla anche di operazione nell'insieme I, mentre se è ovunque definita si dice anche operazione su I. Abbiamo detto, nella definizione, « un'applicazione in I»; quindi si possono avere degli elementi di I che non provengono da alcuna coppia. Ciò avviene, ad esempio, allorché si considera la moltiplicazione fra numeri pari: solo se il numero è divisibile per 4 esso risulta il prodotto di due numeri pari.

Le due locuzioni « operazione» e « legge di composizione» sono equivalenti; si potrà preferire la seconda quando si vuoi chiarire che si sta parlando di un'operazione in senso lato, non limitatamente a quelle dell'aritmetica. Vediamo ora di chiarire il simbolismo e la terminologia. Fissata in I un'operazione (interna binaria), per questa si sceglie un certo simbolo; quando non ve ne sia uno già pronto, o non ci sia un certo modo di scrivere le coppie (come per l'addizione, che ha il simbolo +, o la moltiplicazione, che ha x o ., o l'elevazione a potenza, in cui l'esponente si scrive in alto, in carattere piu piccolo), si usa di solito uno di questi simboli: 0, ., *, .l, T. Vale a dire: siano a, b due elementi di I, che diremo i « fattori », e sia a il « fattore di destra» e b il « fattore di sinistra ». Se la

Strutture algebriche

123

coppia (b, a) appartiene al dominio dell'applicazione, si dice che a e b, nella posizione indicata, sono componibili; l'immagine della coppia si dice risultato o prodotto e si indica cosi: boa

* a, ecc., a seconda del simbolo scelto). L'insieme I, dotato dell'operazione o, si indica

(o b . a, o b (/, o),

o anche

o anche

I,

o.

Usando la notazione (I, o) si esprime che siamo in presenza di una coppia ordinata, i cui elementi sono I e o. In certi casi, poi, si preferisce indicare il risultato dell'operazione scrivendo semplicemente l'uno accanto all'altro i fattori (è quel che si fa nella moltiplicazione, quando i fattori sono delle lettere); in tal caso, naturalmente, non si possono usare le notazioni precedenti per indicare che I è stato dotato d'una certa legge di composizione. Quando I possiede un numero finito di elementi, l'operazione si può individuare scrivendo effettivamente i prodotti per tutte le coppie di fattori componibili. Si usa allora scrivere una «tabella di composizione» nella quale il prodotto b o a si legge nell'orizzontale di b e nella verticale di a. Ad esempio: o

abc

a acb b b c c ca

In particolare, b o a = b. Vediamo subito alcuni esempi che non si riducono alle ben note operazioni dell'aritmetica. Nei capitoli precedenti ne abbiamo già incontrati molti! Nel paragrafo 1.2 abbiamo parlato dell'intersezione (n) e della riunione (u) d'insiemi; esse sono due operazioni ovunque definite nell'insieme IP (/) delle parti d'un insieme I. La riunione di X ed Y [X ed Y sono elementi di ., (l), cioè insiemi subordinati ad I] si scrive X U Y, la loro intersezione X n Y (si osservi che questa può esser anche l'insieme vuoto 0; se non si considerasse anch'è 0 fra i sottoinsiemi di I, l'intersezione non

124

Strllllure algebriche

sarebbe ovunque definita). Altre operazionI In 1P (I) sono state definite nel problema lO del capitolo l: la differenza simmetrica (~) e la differenza (-). Nel capitolo 4 abbiamo visto altri esempi di operazioni: fissata una classe dC d'insiemi A, B, C, ... abbiamo definito il prodotto di due relazioni, R fra A e B ed S fra B e C che è stato indicato con S o R. Inoltre, si sono visti i prodotti fra relazioni di tipo particolare: quello fra applicazioni, fra suriezioni, fra iniezioni, fra biiezioni: si tratta d'una operazione nell'insieme delle applicazioni (o delle suriezioni, ... ) d'un insieme della classe dC in un altro. Infine, abbiamo considerato lo pseudoprodotto di due suriezioni: fissato un insieme I, esso è un'operazione nell'insieme delle suriezioni d'un elemento di 1P (/) su un altro. Salvo casi particolari, il prodotto non è ovunque definito (fa eccezione il caso in cui a c7{ appartenga un solo insieme, perché allora il prodotto di due relazioni esiste sempre). Come abbiamo già notato nel capitolo 4, si conviene di scrivere la prima relazione (o applicazione, ... ) a destra, e la seconda a sinistra. Piu sopra, quando si parlava d'una operazione non meglio precisata, abbiamo preferito parlare di « fattore di destra» o « di sinistra», e ciò per evitare l'uso di termini, come « primo» e « secondo», che possanQ far pensare ad una successione temporale [per esser piu precisi: l'insieme {a, b} può esser ordinato in due modi, (a, b) o (b, a); parlando di primo e secondo elemento, faremmo una certa scelta fra i due ordinamenti, scelta che, in generale, non è giustificata]. Quando invece si parla di prodotto e di pseudoprodotto d'applicazioni, c'è un ordine ben preciso nel quale esse vanno considerate: quando si scrive g of (o gf) significa far agire prima la f e poi la g; o, se si preferisce, ad un elemento x si applica la f, e, al risultato f(x), si applica poi la g. Per le relazioni si può ripetere qualcosa d'analogo: è dunque giustificato parlare di « prima» e di « seconda» relazione, e, per le ragioni già indicate nel capitolo 4, scriviamo la prima a destra e la seconda a sinistra. Data in I un'operazione, fissiamo l'attenzione su un sottoinsieme l di I. Può accadere che il prodotto di due elementi di l, quando esiste, cada sempre in l.

DEFINIZIONE. Diciamo che J ç I è stabile (o chiuso) rispetto ad un'operazione o fissata in I allorché il prodotto di due elementi di J componibili appartiene sempre ad J. In J resta cosi fissata una legge di composizione che si dice subordinata (o indotta) da o.

Ad esempio: I sia l'insieme Z dei numeri interi relativi. Rispetto all'addizione sono stabili sia il sottoinsieme dei numeri positivi che quello dei numeri negativi, come pure quello dei numeri pari (la somma di due numeri positivi è ancora un numero positivo, ecc.), non è stabile quello dei numeri dispari. Rispetto alla moltiplicazione è stabile il sottoinsieme dei numeri positivi, ma non quello dei numeri negativi. Le operazioni subordinate si chiamano, in pratica, con lo stesso nome. I sia la classe III (aC) delle relazioni fra gli insiemi d'una classe ac d'insiemi. Rispetto al prodotto, la sottoclasse a (3C) delle applicazioni è stabile, e cosi pure quelle delle suriezioni, delle iniezioni e delle biiezioni che diremo rispettivamente ~ (ac), a (è7t'), J/3 (aC) (paragrafo 4.2). È pure stabile il sottoinsieme delle traslazioni in un piano (o nella retta, o nello spazio) (vedi problema 24 del capitolo 4). La legge di composizione indotta si dice ancora « prodotto ». Non è stabile il sottoinsieme costituito da una sola traslazione non identica, poiché il prodotto di questa per se stessa è una nuova traslazione. Abbiamo già accennato all'esistenza di operazioni n-arie; per maggior chiarezza, diamone la definizione. Si dice operazione n-aria un'applicazione di un sottoinsieme di I X I X ..• X I (n volte) in I. Si dice che essa è ovunque definita se il suo dominio è proprio l X I X ••. X I. Per indicare il « risultato» di a, b, ... , j scriveremo (f, ... , b, a) o o f o ••• o boa. DEFINIZIONE.

Osserviamo un fatto: l'addizione e la moltiplicazione si definiscono inizialmente come operazioni binarie, ma si fanno diventare subito anche operazioni n-arie. Il metodo si applica a qualsiasi legge di composizione binaria: ad esempio, per avere una legge di composizione ternaria, si ponga (c, b, a)

o

= [c o (b o a)]:

126

Strutture albegriche

(eseguiamo cioè il prodotto b o a e componiamo il risultato con c); analogamente (d, c, b, a)

o

= {d

o

[c

o

(b o a)] },

e cosi via. Il fatto che si parli di leggi di composizioni interne vi avrà già fatto pensare che ne esistano pure di esterne! Esse sono quelle che, alle coppie costituite da elementi d'un insieme L (detto insieme degli operatori) e da elementi di I, associano un elemento di I. DEFINIZIONE. Si dice legge di composizione esterna fra elementi di un insieme di operatori L e d'un insieme I un'applicazione d'un sottoinsieme di L x I in I. Qualora il suo dominio sia L x I essa si dice ovunque definita. Useremo ancora la notazione IX o a, o una analoga, per indicare il risultato della « composizione» di IX con a (IX E L, a E I).

Data una legge di composizione interna in I (che, per semplicità, supporremo ovunque definita), possiamo definire subito una legge di composizione esterna in I, il cui insieme degli operatori è No (cioè l'insieme { 1,2,3, ... l). Basta porre 21. a = a o a, = a, 41. a = a o [a o (a o a)], Il. a

3 l. a = a o (a o a),

e cosi via. Per coloro che hanno gia studiato qualcosa sui vettori, possiamo accennare ad un altro esempio di legge di composizione esterna: la moltiplicazione d'uno scalare (nei casi piu comuni, d'un numero reale) per un vettore.

6.2 Proprietà delle operazioni. Passiamo ora in rassegna le proprietà piu note delle quali possono godere le operazioni. Naturalmente se ne potrebbero definire delle altre: noi elenchiamo alcune di quelle che, secondo l'esperienza, si presentano piu frequentemente.

Strutture algebriche

127

l) Proprietà associativa.

Diciamo che vale la proprietà associativa per una certa operazione in un insieme I allorché, quando esistono i prodotti c o (b o a),

(c o b) o a,

essi sono uguali. Naturalmente, la locuzione « quando esistono » è superflua nel caso d'una legge di composizione ovunque definita. Esempi di operazioni associative: la moltiplicazione e l'addizione sui soliti sistemi di numeri; la riunione e l'intersezione in ID (I) (fatto già osservato nel paragrafo 1.2); la differenza simmetrica in ID (I) (problema 14 del capitolo l); il prodotto di relazioni, e quindi anche quello d'applicazioni, ecc. (teorema 4.1); lo pseudoprodotto di suriezioni, nell'insieme ~ (ID (I») delle suriezioni d'un sottoinsieme di I su un altro (teorema 4.4). Esempi di operazioni non associative: la sottrazione e la divisione in uno dei soliti insiemi di numeri (N, Z, Q, R, ... ): infatti, solitamente,

ed analogamente per la divisione; l'elevazione a potenza: vi sono degli a, b, c per cui a(b O) è un omomorfismo (iniettivo) di (R, +) in (R, x): infatti f(x

+ y) = ax + y = a + a = f(x) X

Y

x

f(y).

Spesso si parla di omomorfismo fra due insiemi dotati di strutture algebriche di una data specie: in questo modo si introduce un concetto un po' diverso: vediamo di precisare. Un'applicazione f può essere un omomorfismo fra due insiemi strutturati I ed J; ma quando si parla di « omomorfismo fra strutture d'una certa specie», ci si deve limitare al caso in cui le strutture di I e di J sono della specie considerata (e quindi le operazioni di I ed J non sono solo dello stesso tipo, binarie, interne, esterne, ... , ma debbono anche soddisfare agli stessi assiomi). Possiamo cosi avere degli omomorfismi d'una categoria in un gruppo; questi saranno « omomorfismi della struttura di categoria », ma non « omomorfismi della struttura di grupPO». Ci siamo intrattenuti un po' a lungo sulle strutture algebriche, per provvederci d'esempi per le strutture in generale; ora vediamo alcuni teoremi piu specifici su di esse.

Strutture algebriche

153

TEOREMA 6.16. Sia f un omomorfismo di (I, o) su (J, .), dove l'operazione o è ovunque definita. Allora anche· è ovunque definita. Se poi (I, o) ammette l'elemento neutro u, allora f(u) è elemento neutro per (J, .); se infine x possiede il simmetrico, f(x- l ) è simmetrico di f(x).

Infatti, presi due elementi x', y' di J, vi saranno almeno un x ed un y tali che x' = f(x), y' = f(y). Il prodotto x o y è definito, e quindi lo è pure f(x) . f(y). Se poi y = u, abbiamo x' . f(u) = f(x) . f(u) = f(x o u) = = f(x) = x': dunque f(u) è elemento neutro per (J, .). Infine, f(x)· f(x- l ) = f(x o X-l) = f(u) [e analogamente per f(x- l ) . f(x)]: dunque f(x) ed f(x- l ) sono inversi. (c.v. d.). 6.17 (d'invarianza della struttura di gruppo per omomorfismi). Sia (G, o) un gruppo, e sia (J, .) un insieme dotato d'una operazione binaria interna, tale che esista un omomorfismo di (G, o) su (J, .) : (J, .) è un gruppo. (In altre parole, l'immagine d'un gruppo per effetto d'un omomorfismo suriettivo è un gruppo. Qui naturalmente si parla d'omomorfismo puro e semplice, senza supporre che le specie di struttura siano le stesse).

TEOREMA

Infatti, per il teorema precedente, l'operazione· è ovunque definita, esiste l'elemento neutro ed ogni elemento ammette il simmetrico. Detti x', y', z' tre elementi di J, sia x' = = f(x), y' = f(y), z' = fez). Allora (x' . y') . z'

= (f(x) . f(y»

. fez)

= f(x o y) . fez)

=

=f«x o y) o z) =f(x o (y o z» =f(x) ·f(y o z) = = f(x) . (.f(y) . fez»~ = x' . (y' . z').

Vale la proprietà associativa e quindi (J,.) è un gruppo. (c.v.d.). 6.18. Se l'operazione o è ovunque definita, ogni omomorfismobiiettivo di (l, o) su (.[, .) è un isomorfismo.

TEOREMA

Siano x', y' due elementi di J, e sia X =f-I(X'),

Y =f-l(y').

154 Strutture algebriche

Intanto f(x) . f(y) = f(x o y) (per il teorema 6.16 l'operazione . è ovunque definita). Calcoliamo f -l(X') o f -l (y'): f-l(X') o f-l(y')

= X o y = f-l(f(X o y»

=

= f-l (f(x)' f(y» = f-l (x" y').

Quindi anche f morfismo.

-l

è un omomorfismo, ed f è perciò un iso(c.v.d.).

*Se l'operazione in I non è ovunque definita, questi teoremi non sono piu veri. Vediamo alcuni esempi in contrario. I) Consideriamo le categorie individuate dalle seguenti tabelle di composizione:

eau e e a a u au

e' a'

o

e' e' a' a' a' a'

L'applicazione definita dalle uguaglianze

= f(u) =

(a)

a',

f(e)

=

e'

è un omomorfismo; infatti nella prima categoria sono definiti i prodotti a o e, e o e, u o a, u o u, mentre nella seconda sono definiti tutti, e si ha f(a o e) = f(a) = a' = a' . e' = f(a) . f(e), f(e o e) = e' = f(u o a) = f(a) = a' = a' . a' = f(u) . f(a), = f(e) . f(e), f(u

o

u)

= f(u) =

a'

=

a' . a'

= f(u) . f(u).

D'altra parte, l'immagine dell'elemento neutro u è un elemento non neutro (a'). II) Sia A = {a, b, e, u}, A' = {a', b', e', u'}. In A e A' diamo, mediante le seguenti tabelle, due operazioni: abeu

a' b' e' u'

a ua b e b e be u a u

a' u' a' a' b' e' b' e' b' e' e' u' a' b' e' u'

o

(A, o) è un gruppoide (e, u elementi neutri, b = a-l). Invece (A, .) non è una categoria, poiché sono definiti e' . u',

Strutture algebriche

155

u' . a' = a', ma non e'· a': non vale cioè C 2). Tuttavia, la biiezione f: A ~ A' tale che f(a) = a', f(b) = b', f(e) = e', f(u) = u'

è un omomorfismo di (A, o) su (A', .): infatti, ad esempio f(a

o

b) = f(u) = u' = a' . b' = f(a) . f(b).

Dunque le strutture di categoria e di gruppoide non sono invarianti per omomorfismi. III) Inoltre, se le operazioni non sono definite ovunque, un omomorfismobiiettivo può non essere un isomorfismo (vale a dire, il suo inverso può non essere un omomorfismo). In II), accade proprio questo: e'· u' è definito, mentre f-1 (e') of-1 (u') non lo è. Perciò f-1 non è un omomorfismo di (A', .) in (A, o). Problemi 6. l. Sia A

= { a, b, c, d}; si dia un'operazione in A, tracciando la relativa tabella di composizione, in modo che l'operazione sia: a) ovunque definita e commutativa; b) ovunque definita e non commutativa; c) non ovunque definita e commutativa; d) ovunque definita e dotata di elemento neutro. Come appare la tabella quando l'operazione è commutativa?

2. Data la seguente operazione in A, vedere se esistono elementi neutri: abed a a b b c bed d d

3. Date le seguenti operazioni ovunque definite, dite se v'è un elemento neutro e se_ ogni elemento ammette inverso: abe abe -----a aab a abe b abe b bba c bea ceca Tali operazioni somo commutative? Sono associative?

156

Strutture algebriche

4. Per l'operazione di cui al problema 2, i sottoinsiemi { a }, { b}, {a, b}, {a, b, d} sono stabili? Riguardo alla prima operazione del problema 3, vi sono sottoinsiemi stabili? Come si può vedere, nella tabella di composizione se un dato sottoinsieme S è stabile? 5. Si dice ideale sinistro d'un insieme (/, o) dotato di legge di composizione un sottoinsieme J ç: I tale che, per ogni a E I e per ogni x E J per i quali esista a o x, sia a o x E J: in modo analogo si definiscono gli ideali destri. Si dice ideale un sottoinsieme che sia un ideale tanto destro che sinistro: se l'operazione è commutativa, un ideale destro (sinistro) è senz'altro un ideale. Si provi che, in (Z, x), i multipli d'un numero fissato costituiscono un ideale. 6. Dato un insieme I, e due suoi sottoinsiemi A, B, con A o B s'intende l'insieme dei prodotti a o b, dove a, b sono elementi qualsiasi di A, B rispettivamente. Si enuncino le definizioni del problema 5 con queste notazioni. 7. Dato l'insieme 1= { 1,2,3}, si scrivano le tabelle delle operazioni U, n, !1 in p(I) (occorre elencare !J.nzitutto gli 8 insiemi subordinati ad I: 0, { 1 }, {2}, { 3 }, { 1,2 }, { 1,3}, {2, 3}, {l, 2, 3}, e quindi scrivere le tabelle). 8. A volte per proprietà commutativa s'intende (per operazioni non ovunque definite) qualcosa di diverso, e precisamente l'affermazione seguente: « Se i prodotti a o b, b o a sono definiti entrambi, essi sono uguali». In che consiste la differenza fra le due affermazioni? Si provi che per l'operazione definita dalla seguente tabella non vale la proprietà commutativa da noi adottata, ma vale quella di questo problema:

~Iabc

a aab bI c c b b 9. Verificare che le seguenti operazioni non sono associative. Ammettono elemento neutro? _I ab c aabc blbCb c cab

__ ab c aabc b cb c c

lO. Sia I l'insieme dei punti d'una retta. Assumiamo come a o b il punto medio del segmento ab. Vale la proprietà commutativa? e quella associativa? Esiste un elemento

Strutture algebriche

157

neutro? Sullo stesso I definite in modo analogo un'operazione ternaria. Il. Si provi che la seguente operazione è commutativa ma non associativa:

+ a b e

abe bea eeb aba

Per essa non vale il teorema di commutatività: c + (b + a) = e + c = a. a + (b + c) = a + b = e; Si dia un esempio analogo su un insieme di 4 elementi. 12. In N, questa è un'operazione ternaria: (a, b, c)

o =

(a

+ b) . e.

Nell'insieme I dei cerchi del piano, associamo ad ogni cerchio e ad ogni retta il cerchio avente il suo stesso centro e tangente alla retta: si ottiene un'operazione esterna su I, ovunque definita, nella quale l'insieme ausiliario è quello delle rette del piano. Si diano esempi di operazioni ternarie e di operazioni non ovunque definite sugli stessi insiemi. *13. Quando si ha a + (b' c) = (a + b) . (a + e)? Si può generalizzare questo risultato a due operazioni qualsiasi, tali che «.» sia distributiva rispetto a «+»? 14. Nelle operazioni qui definite, vi sono elementi che, composti solo a sinistra (o solo a destra) con ogni elemento, lo lasciano invariato. Quali sono? abcd abed a abae a aaae b abed b b b c aeda e eee d ddd d abea *15. Si osservi che, fissato un elemento, vi possono essere degli elementi, non neutri, che lo lasciano invariato. Ad esempio, nella prima delle operazioni del problema 14, abbiamo a o e = a, e o a = a, ma e non è neutro (infatti, e o e = d =1= e). Ancora, considerate le due applicazioni di R in sé: I: xr+-r. g : x 1-+ - x, il prodotto log è ancorai [f(g(x» = ( - X)3 = X2]. Sia I un insieme, ed I una suriezione d'un A c I su un B c I, g ed h le applicazioni identiche di un A' :::J A e di un B':::J B in sé: allora Ig =!.

158

Strutture algebriche

hl = /, e tuttavia h e g non sono elementi neutri, perché non lasciano invariata ogni suriezione con cui sono componibili. *16. Si provi che gli assiomi G 2), G a) dei gruppi si possono sostituire con i seguenti (fermo restando l'assioma G l ): G'2) esiste un elemento u tale che, per ogni a, u o a = a. G'a) per ogni a, v'è un elemento a-l tale che a-lo a = u. 17. Sia (/, o) un insieme dotato d'una operazione ovunque definita. Si provi che, se valgono le regole di semplificazione, in ogni linea (orizzontale o verticale) della sua tabella di composizione non si possono avere ripetizioni. Se vale la regola dei quozienti, in ogni linea debbono comparire tutti gli elementi. Se ne deduce che, in un (/, o) finito, se vale una delle regole vale anche l'altra. *18. Si scriva la tabella di composizione d'un gruppo su { a, b, c}. Si tenga presente che deve esistere un elemento neutro, e che in ogni linea debbono comparire tutt'e tre gli elementi (problema 17). 19. Le sostituzioni su n elementi, essendo biiezioni d'un insieme in sé (problema Il del capitolo 3), formano un gruppo. Si scriva la tabella di composizione delle sostituzioni su 3 elementi. 20. Si dice monoide un insieme dotato d'una operazione ovunque definita, associativa e con un elemento neutro (avvertiamo che altri Autori chiamano monoide ogni insieme dotato d'una operazione ovunque definita e associativa). Si provi che P (/), rispetto ad una delle operazioni n, U, sostituisce un monoide. Ogni gruppo è un monoide.

21. Si provi che, rispetto alla differenza simmetrica Ll, p(1) è un gruppo (aiutarsi con un diagramma d'Eulero: A Ll0 =, ... , A ~A = ...). *22. I gruppi si possono anche definire come insiemi dotati d'una operazione ovunque definita e associativa, per la quale valgano le regole dei quozienti. Provate che da queste ipotesi scende l'esistenza dell'elemento neutro e del simmetrico di ogni elemento. *23. Si dice anello un insieme A dotato di due operazioni ovunque definite (dette di solito «addizione» + e «moltiplicazione» .) in modo che (A, +) sia un gruppo commutativo, e invece la «moltiplicazione» sia associativa e distributiva rispetto all'« addizione». Si provi che, Z, Q, R, C sono anelli rispetto alla addizione e alla moltiplicazione ordinarie. Sono anelli anche rispetto alla moltiplicazione e all'addizione, scambiate fra loro? N è un anello?

Strutture algebriche

159

*24. In un anello, l'elemento neutro dell'« addizione» si indica con O. Si provi che O' a = a . O = O [si calcoli in due modi diversi (b + O) . a, una volta applicando la proprietà distributiva, un'altra la definizione di O]. Si provino pure le «regole dei segni»: a' (- b)

= (-

a)' b

= -

[Si calcoli in due modi (a

(a' b),

(- a)' (- b)

=

ab.

+ (- a) ) . b].

*25. Provate che p (I), rispetto alle operazioni in quest'ordine!) è un anello.

~

e



(prese

26. Provate che in No, posto n n m = M.C.D. (n, m), Il U m = = m.c.m. (n, m), si ottiene un reticolo. (Per provare le leggi d'assorbimento, si scrivano n, m scomposti in fattori: n = prx X ... , m = pf3 X ... ; allora il loro M.C.D. si scrive ...). *27. Consideriamo un insieme I di oggetti, sui quali si possono fare delle affermazioni; consideriamo equivalenti due proposizioni quando sono verificate, dagli stessi oggetti di I (ad esempio, se 1= {l, 2, 3, 4}, le affermazioni: «x è pari », «x è soluzione dell'equazione X2 - 6x + 8 = O», «x è una cifra di 4427 », dove x E I, sono equivalenti, perché sono verificate solo da x = 2 ed x = 4). La relazione cosi stabilita è d'equivalenza, e sia A' la classe cui appartiene la proposizione A. Definiamo nell'insieme delle classi due operazioni: A' Y.. B' = (A V B)', A' /\ B' = (A /\ B)' (per il significato di V, /\ si veda il capitolo 1; le posizioni

fatte sono ammissibili perché le classi di A V B, A /\ B dipendono solo dalle classi di A e di B). Nell'insieme delle classi si ottiene un reticolo (il reticolo della logica). Lavorando in modo analogo a partire da =1= e /\ si ottiene un anello. 28. Si trovi la relazione d'ordine associata al reticolo del problema 27. 29. Si provi che il reticolo del problema 26 ha per minimo 1: c'è il massimo? *30. Gli assiomi Cl) e C 2) delle categorie sono indipendenti, cioè uno non è conseguenza dell'altro. Lo si può dimostrare trovando degli esempi in cui uno è verificato e l'altro non lo è. Ad esempio, l'operazione definita dalla seguente tabella soddisfa a ... o ab a a b aa

160

Strutture algebriche

31. Provate che la seguente operazione definisce una categoria ma non un gruppoide: o abcdel a a b b c be d Id e del

I I 32. Si provi che, in una categoria, a(g o f) = a(f), (J(g o f) = = (J(g) [esiste lo a(/), e quindi, per l'assioma C 2), esiste pure (g of) o a(f), ... l. Se si pone poi 1= a(g), ne segue che a(a(g» = a(g): infine, poiché lo a(f) è definito, dal teorema 6.12 si ha che (J(a(f) ) = a(f). Analogamente, si prova che (J({J(f) ) = (J(f), a({J(f» = (J(f). *33. Si dimostri che le categorie possono essere individuate anche dagli assiomi seguenti: 1) per ogni elemento f, esiste un solo elemento neutro componibile a destra, detto a(/), ed uno solo a sinistra, (J(f). 2) Condizione necessaria e sufficiente affinché esista g o f, è che sia a(g) = (1(f): in tal caso abbiamo inoltre che a(g o f) = rx(f), P(g o f) = (J(g).

3) Vale la proprietà associativa. 34. Si provi che in una categoria ogni elemento neutro è componibile con se stesso. 35. Dati gli insiemi A = { 1, 2 }, B = { m, n}, scrivere le biiezioni che costituiscono ~({ A, B e la tabella dei relativi prodotti. Tracciare il grafo relativo a tale gruppoide.

n,

36. Data una specie di struttura algebrica, imponendo nuovi assiomi si ottengono delle nuove specie, che si possono dire subordinate alla prima: a partire dalla struttura di categoria, si diano gli assiomi aggiuntivi che individuano la struttura di gruppoide, e poi quelli che individuano la struttura di gruppo. Si faccia lo stesso per i monoidi (si può anche tracciare un grafo orientato delle strutture subordinate). 37. Si definiscano le specie di strutture algebriche di gruppo, di categoria, d'anello, ... ricorrendo agli insiemi privilegiati: ad esempio, un gruppo è individuato da una classe K di coppie «a, b), c), tali che, V- (ao, bo) E G x G, vi sia un solo elemento di K tale che a = ao, b = bo; inoltre....

Strutture algebriche

161

38. Si provi (analogamente a quanto s'è fatto nel paragrafo 6.7) che esiste un isomorfismo fra il gruppo delle rotazioni d'un esagono regolare e il gruppo delle radici seste (complesse) di 1. *39. I segmenti orientati d'un piano, composti con la celebre «regola del parallelogramma »: AB + BC = AC, costituiscono un gruppoide (\{l'B' +). Fissiamo nel piano una direzione, ed una retta non parallela ad essa, e proiettiamo dalla direzione i segmenti del piano su quelli della retta. Si dimostri che tale proiezione è un omomorfismo di (\{l'., +) su (\{l'lo +) (vedi il paragrafo 6.5). *40. Sia I un insieme, e sia H = { 1, O}. In H consideriamo le due seguenti operazioni V01/I. 01 -._----O 01 O 00 1 Il 1 01 Consideriamo la seguente suriezione di 13(1) su H: 1(0) = O, I(X) = 1 per ogni altro xç I. Si provi che 1 è un omomorfismo di 13(1), dotato dell'opezione U, su (H, V) e di 13(1), dotato dell'operazione n, su (H, /I.). 13(1) è un reticolo: ed H? 41. È data una classe d'insiemi, dotati d'una struttura algebrica d'una certa specie: provate che la relazione «è isomorfo a» è una relazione d'equivalenza. 42. Provate che l'applicazione 1 tale che I(x) = xk è un endomorfismo di (Z, x), (Q, x), (R, x). *43. Si verifichi che la prima delle operazioni seguenti definisce una categoria, e la seconda no: abeu a' b'e' a a a' a' b b b' I b' e' a' b' e' e a e u b u Si verifichi che l'applicazione 1 tale che I(a) = a', I(b) = b', I(e) = I(u) = e' è un omomorfismo. Si ha cosi un esempio di omomorfismo suriettivo di una categoria su un insieme che non lo è, che però trasforma gli elementi neutri in elementi neutri. Naturalmente, questo non è un «omomorfismo della struttura di categoria ».

_I

7

162

Strutture algebriche

*44. Si provi che in un gruppoide ogni elemento ammette un solo simmetrico. 45. In R, le equazioni seguenti, fissate À e l', definiscono delle biiezioni: a) x' = ÀX (À ~ O); (À -:/= O); h) x' = ÀX + l' c) x' = ÀX + À. Al variare di À, l', si ha un insieme di biiezioni. Verificare se tali insiemi (rispetto al prodotto operatorio) sono dei gruppi. (Si tenga conto che essi risultano immersi nel gruppo delle biiezioni in R, e si applichi il teorema 6.7 o il teorema 6.8). 46. Provate che la tabella di composizione delle rotazioni di un quadrato (fig. 6.4) è la seguente: o[ABCD AIABCD C DA C CDAB D DAB C

BIB

7 Strutture topologiche

7.1 Spazi topologici. Vogliamo ora parlare di altre strutture, che hanno anche esse grande importanza in tutta la matematica. In molte occasioni si parla di spazi; noi tuttavia abbiamo finora parlato d'insiemi. Ci possiamo allora chiedere: quali sono le caratteristiche che fanno si che un insieme si possa considerare uno spazio? Un insieme come quello delle parole d'una poesia, o dei treni previsti da un orario ferroviario, non sono, di per sé, degli spazi. Approssimativamente, possiamo dire che quello che caratterizza uno spazio è la continuità, o, se si preferisce, la possibilità di parlare in esso di «vicinanza». Si tratta ora di darne una definizione precisa. Premettiamo alcune osservazioni. Le definizioni di «spazio» hanno carattere assiomatico, vale a dire, un insieme è uno spazio quando certi assiomi sono verificati. Inoltre, esse sono, per cosi dire, «strutturalistiche»: cioè, non è tanto l'insieme che si considera che deve soddisfare a condizioni particolari, quanto la «struttura» che si assegna su di esso. Vedremo appunto che qualsiasi insieme può esser dotato della struttura di spazio. In questo modo, la nozione di « spazio topologico » riesce a coprire una quantità di casi particolari, interessanti vari rami della matematica e delle scienze. In quasi tutte le definizioni di spazio che si usa dare, hanno subito importanza fondamentale gli «insiemi privilegiati», che si assumono come primitivi, cioè non definiti. Bisogna naturalmente assegnare degli assiomi che limitano la loro scelta: in una teoria matematica, questi sono largamente arbitrari, ma in pratica sono in buona parte obbligati dal complesso della matematica già esistente. La nostra trattazione deve infatti contenere in sé, almeno in germe, vari capitoli di matematica tradizionale, ed i nostri assiomi debbono dunque esser soddisfatti dagli enti studiati in tali capitoli.

164

Strutture topo logiche

Come concetto primitivo conviene assumere quello d'aperto, grazie alla grande semplicità degli assiomi cui deve soddisfare. Naturalmente, preso un altro concetto come primitivo, questo soddisferà ad assiomi che si possano dimostrare a partire da quelli degli aperti, e tali che da essi si possano dedurre quelli degli aperti. Ma su ciò ritorneremo nel seguito. DEFINIZIONE. Si dice spazio topo logico (o semplicemente spazio) un insieme nel quale siano stati assegnati dei sottoinsiemi, detti aperti, che soddisfano agli assiomi seguenti: TI) La riunione di aperti è un aperto. T 2) L'intersezione di due aperti è un aperto. T a) Lo spazio e l'insieme vuoto sono aperti.

Gli elementi d'uno spazio si dicono punti. Da T 2) segue subito (per induzione) che l'intersezione d'un numero finito d'aperti è ancora un aperto: non si può affermare lo stesso se gli aperti sono infiniti, perché il metodo non « funziona» piu. Quando in un insieme è dato un sistema di aperti, si dice anche che in esso è data una topologia, o una struttura topologica. Non si usa una notazione particolare per ricordare che l'insieme considerato è dotato d'una struttura topologica. Ad esempio, sull'insieme { a, b, c, d} i seguenti sistemi di sottoinsiemi definiscono altrettante topologie:

I)

0, {a,b,c,d}.

II) 0, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}, {a, b, c, d}.

III) 0, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}, {a, b, c, d}. IV) 0, {a}, { b }, { c}, { d}, { a, b }, { a, c}, { a, d}, { b, c},

{ b, d}, { c, d}, { a, b, c}, { a, b, d}, { a, c, d}, { b, c, d}, {a, b, c, d}. L'insieme è sempre lo stesso, ma gli spazi sono quattro, distinti fra di loro. Il primo e l'ultimo hanno un carattere particolare, poiché contengono il minimo e il massimo numero di aperti [0 ed {a, b, c, d} debbono comparire sempre, per T a)].

165

Strutture topo logiche

Su un insieme I, si dice topologia banale quella in cui sono aperti solo 0 ed I, e topologia discreta quella in cui tutti i sottoinsiemi sono aperti: si parla anche di spazio banale e spazio discreto. Ne segue che: Su ogni insieme si possono sempre definire delle strutture topologiche: anzi, ve ne sono almeno due se l'insieme ha almeno due elementi (infatti, se ciò accade, la topologia banale e quella discreta sono diverse). Invece, i sottoinsiemi 0, {a}, {b}, {a, b, c, d} non definiscono una topologia, perché manca l'unione di {a} e di { b }; e cosi pure 0, {a, b }, { b, c}, {a, b, c}, {a, b, c, d} perché manca l'intersezione di {a, b}, {b, c}. Una delle topologie piu notevoli è quella di retta numerica, che si stabilisce sull'insieme R dei numeri reali. Premettiamo una definizione e un teorema. DEFINIZIONE. Nell'insieme R dei numeri reali, si dice intervallo aperto l'insieme ] a, b [ dei numeri reali soddisfacenti la disuguaglianza a < x < b, cioè ] a, b [

= { x I (x E R) /\ (a < x < b) }.

Si dice plurintervallo una riunione di intervalli. TEOREMA 7.1. I plurintervalli soddisfano agli assiomi degli aperti; lo spazio topologico determinato su R da tali aperti si dice retta numerica. Una riunione di plurintervalli è una riunione d'intervalli, e quindi è un plurintervallo. Dati due plurintervalli, U h, k

Ih *, la loro intersezione è somma delle intersezioni

U h

degli intervalli dell'uno e di quelli dell'altro: (u h)



k (ì

(u I h) = U (Ik h



I h ), e quindi è un plurintervallo. R è

k.h

la riunione di tutti gl'intervalli e 0 è l'intervallo ] a, a [. Sono quindi verificati gli assiomi degli aperti. (c.v.d.).

*

Ulk sta a significare la riunione degli lk ({lk)' { lA } sono insiemi qualk

siasi d'intervalli: vale a dire, gli indici k e h variano in insiemi qualsiasi,

e non è detto che debbano prendere valori numerici).

166

Strutture topo logiche

Diamo ora tre metodi importanti per costruire delle strutture topo logiche a partire da topologie già note: definiamo lo spazio subordinato, lo spazio prodotto e lo spazio quoziente. Essi sono delle topologie costruite rispettivamente su un insieme subordinato ad uno spazio, sul prodotto di due spazi e sull'insieme quoziente d'uno spazio per effetto d'una relazione d'equivalenza. DEFINIZIONE. Si dice spazio subordinato ad uno spazio E un insieme S ç E nel quale si assumono come aperti le intersezioni di S con gli aperti di E. Questa definizione è ammissibile, in virtò del TEOREMA 7.2. Le intersezioni degli aperti d'uno spazio E con un suo sottoinsieme S soddisfano gli assiomi degli aperti. Infatti, se A, B, ... sono aperti di E, abbiamo (S



A) U (S



B) U ... ,= S

(S



A)

(S



B)

=

S



0

=

S



0,

S

=

S





E,

(A



(A U B U ... ),



B),

vale a dire, la riunione e l'intersezione di insiemi del tipo S (ì A, lo stesso S e 0 sono ancora del tipo S (ì A. (c.v.d.). Per definire lo spazio prodotto, ci varremo del TEOREMA 7.3. Dati due spazi E, F, le riunioni degli insiemi prodotto A X B, dove A è un qualsiasi aperto in E e B lo è in F, soddisfano gli assiomi degli aperti. Gli assiomi TI) e T a) sono evidentemente verificati; occorre ancora provare che l'intersezione di due sottoinsiemi M, M', che sono riunione di prodotti di aperti, è anch'essa riunione di prodotti d'aperti. Sia z = (x; Y) E M (ì M' (fig. 7.1): possiamo trovare due aperti A, A' di E e due di F (B e B'), tali che A X B ç M, A' X B' ç M' e z E A X B, z E A' X B'. Allora x E A (ì A', y E B (ì B', che sono entrambi aperti, e quindi z E (A (ì A') X (B (ì B') che è prodotto di aperti ed è contenuto in M (ì M'. Questo si può ripetere per ogni z E M (ì M', e quindi M (ì M' è riunione di prodotti di aperti. (c.v.d.).

Strutture topo logiche

167

r --- -- - --- ---- - - - -- - - - - -- ----- ---- - -- - - - - ------

B'

,

,

: y ~

---+---

,

L-------t---

,

,

'

,--- - - - - t -- -----

-i- - - -- - --- - - -- - - - - - --'t-+-----i;rL-------J

, • I

~---

I I I

I I

I t

I

:

----- +--------- --------+-+-+ ----------- -+-----,

:

'

, , , I i I

, X '

,

~---i----A-----~

!..- - -- - ----AL------ ___ o;

Fig. 7.1

Questo teorema ci permette di dare la DEFINIZIONE. Dati due spazi E, F, si dice spazio prodotto E X F l'insieme prodotto, nel quale si assumano come

aperti i sottoinsiemi che sono riunioni di prodotti del tipo A X B, dove A è un aperto di E e B un aperto di F.

Il teorema e la definizione si estendono subito al prodotto di tre o pili spazi [A X B X C si può definire come (A X B) X

Cl.

Veniamo infine alla definizione di spazio quoziente: DEFINIZIONE. Data in uno spazio E una relazione d'equivalenza e, si dice spazio quoziente E/e l'insieme quoziente (paragrafo 2.4), nel quale come aperti si considerano quei sottoinsiemi i cui elementi sono classi d'equivalenza, tali che la loro riunione sia aperta in E. (Ricordiamo che gli elementi di E/e sono le classi d'equivalenza della relazione e, e ciascuna di esse è un sottoinsieme di E. Un sottoinsieme A di E/e è un insieme di classi d'equivalenza: diciamo che A è aperto in E/e se i punti delle classi che costituiscono A formano, complessivamente, un aperto di E.).

168

Strutture topologiche

Nella figura 7.2, E è una corona circolare, e e è la relazione « x e Y sono allineati con il centro». Anche per lo spazio quoziente, occorrerebbe dimostrare che i sottoinsiemi considerati soddisfano gli assiomi degli aperti (vedi problema 12).

Fig. 7.2

Fra gli spazi prodotto sono particolarmente importanti gli spazi numerici: il piano numerico R2 è il prodotto della retta numerica per se stessa (R x R); lo· spazio numerico Rn è il prodotto di R per se stessa n volte. Un punto di Rn è una n-pIa di numeri reali (Xl' X 2 , ••• , X n): i numeri Xk si dicono anche le coordinate del punto. Tutte le figure della retta, del piano o dello spazio tridimensionale R3 si pensano (a meno che non sia detto diversamente in modo esplicito) dotate della topologia di spazio subordinato. Fra gli spazi quoziente sono degni di nota gli spazi numerici omogenei (detti pure spazi proiettivi reali) On. Ad Rn+l togliamo il punto O (O, O, ... , O) e stabiliamo nello spazio Rn+l - { O} (subordinato a Rn+l), la relazione d'equivalenza: « (Xb X2, •.. , Xn+l) e (Yb Y2, ... , Yn+l) allorché esiste un numero reale r =1= O tale che Yk = rXk ».

Per definizione, On è lo spazio quoziente RHl - { O } / e. Ad esempio, 0 1 si presenta come l'insieme delle rette d'un piano numerico che passano per l'origine O (O, O), con una topologia opportuna. Per altri tipi di spazi analoghi agli spazi numerici si vedano i problemi 9, lO.

Strutture topologiche

169

Vediamo ora come si approfondisce lo studio della struttura topologica d'uno spazio. Chi ha seguito un corso di Analisi matematica ha certamente sentito parlare, oltre che di aperti, di insiemi chiusi, di punti d'accumulazione, di intorni, ... : probabilmente avrà visto questi enti nel caso d'una retta numerica (o d'uno spazio numerico). Ora li definiremo per uno spazio topologico qualsiasi. DEFINIZIONE.

Si dice insieme chiuso il complementare d'un

aperto. Come conseguenza della definizione e degli assiomi degli aperti si ha subito il TEOREMA 7.4. l) L'intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso. 2) La riunione d'un numero finito d'insiemi chiusi è un insieme chiuso. 3) Lo spazio e l'insieme vuoto sono chiusi.

Basta tener presenti i legami (1) stabiliti nel paragrafo 1.2 fra la riunione, l'intersezione e il complementare d'un insieme. (c.v.d.). Vi possono essere in uno spazio E dei sottoinsiemi che sono tanto aperti che chiusi (o, il che è lo stesso, sottoinsiemi chiusi il cui complementare è chiuso). Tali sono sempre E e 0: se non ve ne sono altri, E si dice connesso. Ciò si ricollega assai bene all'idea intuitiva di spazio connesso, come spazio non decomponibile in parti « chiuse in sé». DEFINIZIONE. Si dice intorno Vx d'un punto x in uno spazio E un sottoinsieme di E contenente un aperto A cui appartiene x: x E A C Vx C E (fig. 7.3). E

Fig. 7.3

170 Strutture topologiche

Per definizione, un aperto è un intorno di ogni suo punto. Si osservi che: 1) ogni sottoinsieme contenente un intorno di x è pure un intorno di x; 2) l'intersezione d'un numero finito d'intorni di x è un intorno di x; 3) ogni intorno V di x contiene un sottoinsieme A, con x E A, tale che V è intorno d'ogni punto di A. [n uno spazio banale, il solo intorno d'un punto a è l'intero spazio; in uno spazio discreto, ogni sottoinsieme è intorno d'ogni suo punto. Nello spazio indicato nell'esempio III), abbiamo, per ciascun punto, i seguenti intorni: a: {a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, b, c}, {a, b, d},

{ a, c, d}, {a, b, c, d}. b: {a, b }, { a, b, c}, { a, b, d}, { a, b, c, d}. (il terzo non è aperto, ma contiene l'aperto {a, b }). c: {a, c}, { a, b, c}, { a, c, d}, { a, b, c, d}. d: {a,b,c,d}.

Può anche accadere che, per un punto x, un intorno sia { x}. Ciò accade, negli esempi II) e 111), per il punto a. DEFINIZIONE.

Si dice punto d'accumulazione per un insieme

X subordinato ad uno spazio E un punto a tale che, in ogni suo intorno, vi sia almeno un punto di X distinto da a: a può appartenere a X o no.

Un punto b si dice interno al sottoinsieme X d'uno spazio E se esiste un intorno di b tutto contenuto in X. L'insieme dei punti interni ad X si dice l'interno di X CX); l'insieme dei punti d'accumulazione di X si dice il derivato di X (X'), e la riunione di questo e di X è la chiusura di X (X). Infine, la frontiera ~ (X) di X è la intersezione della chiusura di X e del suo complementare: ~ (X) = X lì eX = =~(eX).

Strutture topologiche

171

In altre sistemazioni, si preferisce basarsi sulla nozione di «intorno », assunta come primitiva (cfr. problema 15): allora un X C E si dice aperto allorché tutti i suoi punti e chiuso allorché contiene sono ad esso interni (X = tutti i suoi punti d'accumulazione (X = X) (si osservi che nella definizione di punto interno e di punto d'accumulazione abbiamo parlato solo di intorni). Queste «altre definizioni» sono giustificate dai teoremi seguenti:

in,

TEOREMA 7.5. Affinché tutti i punti d'un X C E siano interni ad X è necessario e sufficiente che X sia aperto.

Supponiamo che tutti i punti di X gli siano interni. Allora ogni x E X appartiene a un aperto Ax contenuto in X; questo è riunione degli A x , e quindi è un aperto. Viceversa, se X è aperto, è un intorno d'ogni suo punto, e quindi ogni suo punto gli è interno (fig. 7.4, sinistra). (c.v.d.). TEOREMA 7.6. Affinché i punti d'accumulazione d'un X C E appartengano a X è necessario e sufficiente che X sia chiuso.

Supponiamo che ogni punto d'accumulazione a di X appartenga a X: proviamo allora che CX è aperto. Se y E CX, esso non può esser punto d'accumulazione di X, e quindi si deve poter trovare un suo intorno Vy che non contiene punti di X (è inutile aggiungere « distinti da y », perché y f; X). Allora y è interno a CX, e quindi questo, per il teorema 7.5, è aperto: dunque X è chiuso.

Fig. 7.4

172

Strutture topologiche

Viceversa, se X è chiuso, CX è aperto, e ·ogni y E CX ammette almeno un intorno Vy tutto contenuto in CX (per il teorema 7.5). Tale intorno non contiene punti di X, dunque y non può esser punto d'accumulazione di X: questo contiene perciò tutti i suoi punti d'accumulazione (fig. 7.4, destra). (c.v.d.). Notiamo ancora un tipo importante di spazi: gli spazi di HausdorjJ. DEFINIZIONE. Uno spazio topologico con almeno due punti si dice uno spazio di Hausdorff (o spazio separato) allorché, presi due punti distinti x, y, si può trovare un intorno di x ed un intorno di y fra loro disgiunti. Ad esempio, sono spazi di Hausdorff uno spazio discreto, o lo spazio Rn (vedi il problema 21, o il teorema 7.11); non sono spazi di Hausdorff uno spazio banale (il solo intorno d'un punto è l'intero spazio, e quindi non si possono trovare intorni disgiunti), e gli spazi degli esempi II e III.

7.2 Funzioni continue. Omeomorfismi. Come nell' Analisi matematica, nella Topologia ha grande importanza la continuità. DEFINIZIONE. Un'applicazione f d'uno spazio E in uno spazio E' si dice continua in un punto x E E allorché, per ogni intorno V' di f(x), si può trovare un intorno V di x tale che f(V) ~ V' (fig. 7.5).

r (V,

Strutture topologiche

173

In altre parole, fissato V' si deve poter trovare un V in modo che l'immagine reciproca f,-l (V') contenga V. Ma se V è un intorno di x, anche f - l (V'), cui x appartiene, è un intorno di x. Si può quindi dire che Un' applicazione f: E -+ E' è continua in x E E se e solo se l'immagine reciproca d'ogni intorno dif(x) è un intorno di x. DEFINIZIONE. Un'applicazione f: E -+ E' si dice continua in un sottoinsieme X di E se è continua in ogni punto di X; si dice continua se lo è in ogni punto di E. TEOREMA 7.7. Un'applicazionef: E-+E' è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di E' è un aperto di E.

Supponiamo che f sia continua, e sia A' un aperto di E'. Sia x un punto dif-1 (A') (v. fig. 7.6). Per ogni intorno V' di f(x), f -l (V') è un intorno di x. A' è un intorno di f(x), quindi f - l (A') è un intorno di x. Per la definizione di intorno, f-1 (A') contiene un aperto cui appartiene x; f-1 (A') è riunione di tutti questi aperti, dunque è un aperto. Viceversa, supponiamo che la controimmagine d'ogni aperto A' C E' sia un aperto di E. Prendiamo un x E E, ed un intorno V' dif(x), e sia A' un aperto contenuto in V', conf(x) E A'. :-t'(V')_. ~t' (Ah

E

E'

Fig. 7.6

I

A,

f (x)

V'

174

Strutture topologiche

Allora I -l (V') contiene I - l (A '), che, per ipotesi, è aperto, e a questo appartiene x: perciò l-l (V') è un intorno di x, e quindi I è continua in x. (c.v.d.). ESEMPI: in uno spazio qualsiasi, l'applicazione identica [f(x) = x] è continua: infatti l'immagine reciproca d'ogni intorno è l'intorno stesso. Invece, su un insieme I con almeno tre elementi, consideriamo lo spazio banale B, lo spazio discreto D ed uno spazio non discreto né banale S. Una stessa applicazione può esser continua o no, a seconda della struttura topo logica considerata: piu esattamente, un'applicazione di B su S non può esser continua, poiché in S vi sono degli intorni la cui immagine reciproca non è B, solo intorno d'un punto dello spazio B. Un'applicazione di S su B è invece sempre continua: infatti, in B v'è solo l'intorno B, e la sua controimmagine è S, intorno d'ogni suo punto. Considerazioni analoghe si possono ripetere per applicazioni di S su D, o di D su S. DEFINIZIONE. Si dice applicazione aperta di E in E' un'applicazione di E in E' che trasforma ogni aperto di E in un aperto di E'. Si dice omeomorfismo di E su E' una biiezione di E su E' che sia continua insieme con la sua inversa. Dal teorema 7.7 segue subito che: condizione necessaria e sufficiente affinché una biiezione Ira E ed E' sia un omeomorfismo è che a qualunque aperto di E o di E' sia associato un aperto del/' altro spazio. Vediamo di esprimere alcuni dei concetti passati in rassegna dal punto di vista strutturalistico. Una struttura topologica in I è individuata dal sistema degli aperti, cioè da una classe di sottoinsiemi; in altre parole, da un sottoinsieme di ~ (I), o, se preferite, da un elemento di ~ (~ (I» [un elemento di P (X) è, per definizione, un sottoinsieme di X]: esso deve però soddisfare agli assiomi TI), TJ, T3) degli spazi topologici. Abbiamo cosi una « specie di strutture» (gli spazi topologici); un'altra specie è quella degli spazi di Hausdorff, che potremo dire « subordinata)} alla precedente, in quanto uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico, che deve soddisfare ad un ulteriore assioma

Strutture topologiche

175

(una struttura di spazio di Hausdorff è anche una struttura di spazio topologico). Diremo che gli aperti sono gli «insiemi privilegiati» della struttura di spazio topologico: essi infatti individuano lo spazio in quanto tale. Gli omeomorfismi fra due spazi sono perciò le biiezioni che trasformano gli insiemi privilegiati d'uno dei due spazi negli insiemi privilegiati dell'altro (teorema 7.7): per tale ragione essi si chiamano anche isomorfismi della struttura di spazio topologico. Ad esempio, lo spazio dell'esempio III (paragrafo 7.1) possiede l'automorfismo identico, e inoltre l'automorfismo f tale che

I(a)

=

a,

I(b) = c,

I(c)

=

b,

I(d)

=

d:

infatti tale biiezione trasforma gli aperti dello spazio in altri aperti. Invece, lo spazio dell'esempio II ammette solo l'automorfismo identico. Se esiste un omeomorfismo f d'uno spazio di Hausdorff H su uno spazio E, anche E è uno spazio di Hausdorff. Infatti, presi due punti x, y di E, possiamo trovare due intorni V l , V 2 di l-l (x), l-l (y) fra loro disgiunti: allora anche I (Vl), f(V2) sono disgiunti, e, per la continuità di l-t, sono intorni di x, y. E è uno spazio di Hausdorff o, come si suoI dire, la struttura di spazio di Hausdorff è invariante per omeomorfismi (cioè per isomorfismi della struttura di spazio topologico).

7.3 Spazi metrici. Nella Geometria elementare ha un posto importante il concetto di distanza di due punti: si è pensato allora di generalizzare tale idea, da un punto di vista assiomatico. In sostanza, uno spazio metrico si ottiene assegnando, in un insieme, una regola che dia la distanza di due elementi: DEFINIZIONE. Si dice spazio metrico un insieme I dotato d'una applicazione d di I X I in R (insieme dei numeri reali), tale che: M l ) d (x, y) = O se e solo se x = y; M 2) d (x, y)

+ d (y, z) ~ d (z, x) (quali che siano x, y, z).

176

Strutture topologiche

L'applicazione d è un'operazione esterna ovunque definita su I, in uno dei sensi considerati nel capitolo 6. Essa si chiama distanza, e d (x, y) si chiama distanza di x da y. L'espressione che compare in 2) si dice disuguaglianza triangolare: essa generalizza una nota proprietà di Geometria elementare, secondo la quale la somma delle misure di due lati d'un triangolo non è minore della misura del terzo lato (non diciamo semplicemente « è maggiore », perché occorre qui tener conto anche di terne di punti allineati). Il piano e lo spazio della geometria euclidea sono sostanzialmente un R2 ed un R3, nei quali la distanza dei punti x di coordinate Xk ed y di coordinate Yk è espressa da V~k (Xk - Yk)2 *. La quantità scritta è nulla se e solo se Xk = Yk, cioè se x = y, e l'assioma MJ si può verificare direttamente (si pensi, del resto, al già citato teorema di Geometria elementare). La formula si estende a Rn, con n qualsiasi. Un altro spazio metrico si ottiene, in Rn, ponendo d (x,,y) =

I

= ~k Xk - Yk

I.

'

In qualsiasi insieme si può sempre assegnare una «struttura di spazio metrico»: una è quella che si ottiene ponendo d(x, y)

= O se

x

=

y,

d(x, y)

= 1 se

x =1= y.

TEOREMA 7.8. La distanza di due punti è una funzione simmetrica e non negativa, cioè

d(x, y) = d(y, x)

~

O.

Poniamo z = y nella disuguaglianza triangolare: d(x, y) + d(y, y) ~ d(y, x). Ma per l'assioma Mi) d(y, y) = O, e quindi d (x, y) ~ d (y, x), quali che siano x, y. Vale una disuguaglianza analoga se scambiamo x ed y, cioè d(y, x) ~ d(x, y), da cui segue necessariamente d (x, y) = d (y, x).

* -I;k A" significa 1

AL

+ A. + ... + A" (si

danno a k tutti i valori da l ad

n e si somma). Se non c'è pericolo di confusione, si può scrivere anche 1:" A", o semplicemente 1: Ai.

Strutture topologiche

Ancora in M 2) poniamo z = x: d'ex, y) + d(y, x) ~ d(x, x) = O, cioè, per quanto abbiamo appena visto, d (x, y)

177

~

O. (c.v.d.). Per quanto abbiamo già osservato, gli spazi metrici si possono pensare come una specie di strutture, algebriche. Di solito, essi vengono pili utilmente inquadrati dal punto di vista della topologia (di qui la giustificazione della parola « spazio »). Anzitutto vediamo cosa s'intende per r-intorno (o r-bolla): è l'immediata generalizzazione del concetto di cerchio del piano euclideo.

DEFINIZIONE. In uno spazio metrico, si dice r-intorno d'un punto a (o r-bolla di centro a) l'insieme dei punti x tali che d (a, x) < r (r è un numero reale ~ O). In particolare, se r = O si ha l'insieme vuoto (non esistono punti che abbiano distanza < O da a). TEOREMA 7.9. In uno spazio metrico, se B e B' sono due bolle non disgiunte, ogni punto x E B () B' è centro d'una bolla tutta contenuta in B () B'.

Fig. 7.7

178

Strutture topologiche

Siano a, a' i centri di B, B', ed r, r' i loro raggi (fig. 7.7). Prendiamo un numero r" > O che sia minore tanto di r - d (a, x) che di r' - d (a', x), e proviamo che lo r"-intorno di x (B") è contenuto in B' n B". Infatti, se y E B", d(y, x) < r", e quindi d (a, y) ~ d (y, x)

+ d (x, a) < r" + d (a, x) < r,

e quindi y E B. Analogamente si prova che y questo vale per ogni y E B", B" ç B n B'.

E

B', e, poiché

(c.v.d.).

Il teorema ora dimostrato ci permette di provare il 7.10. Indichiamo con n i sotto insiemi d'uno spazio metrico che siano riunione di bolle. La classe di tutti gli n dà luogo a una topologia, che si dirà la topologia naturale dello spazio metrico.

TEOREMA

Osserviamo anzitutto che l'intero spazio metrico è riunione di tutte le bolle, 0 è la O-bolla, e che, presi degli insiemi n, la loro riunione è ancora un insieme n, essendo anche essa una riunione di bolle: dunque gli assiomi TI) e T 3) della topologia sono verificati. Consideriamo ora due insiemi n, n' (fig. 7.8): se la loro intersezione è vuota, è

---

... - .. - .. - ....

-'''''''''.

.....

o

~'

,..

_---

"~,,,

.... ·· .

:

...

"

,

:,

I

\

...

\

I

I \

\

..

,r

:

I

\ ...

I \

'.

\

,

\

\

I I /,'

l! /

// , '",/

.... ----......

.........- ----"""

....

/ ' , '

.. ~ ..... _.. --_ .......

."

,','

............

, \:

\, I:

\

I i I:

.... )1'0 ...........,.':. _ _ _ , , / / '.......

!,

\

\ \:

"., .... '..,!.,'

\

n'·.."............ .. Fig. 7.8

.

~---

//\

I

......~'

"

...... '\ ...... //''''

//

,,

"

"':'.t.;" ""........"

I

I

""

.. - ....................... . .

. ..", r

"

Strutture topo logiche

179

una O-bolla; altrimenti, per ogni x E n (ì n', possiamo trovare due bolle, B, B', tali che x E B ç n, x E B' ç n'. Per il teorema precedente, x è centro d'una bolla contenuta in B (ì B', cioè in n (ì n': questo vale per ogni x E n (ì n', quindi tale intersezione è riunione di bolle. Anche l'assioma T 2) degli spazi topologici è verificato. (c.v.d.). 7.11. La topologia naturale d'uno spazio metrico è una topologia di spazio di Hausdorff.

TEOREMA

Basterà dimostrare che, presi due punti a, b, si possono trovare due bolle di centri a, b fra loro disgiunte: una bolla è infatti un aperto, e, quando non è vuota, un intorno del suo centro. Se d è la distanza fra a e b, consideriamo la dj3-bolla di centro a e la dj3-bolla di centro b: esse sono disgiunte, perché, se vi fosse un x appartenente ad entrambe, sarebbe d (a, x) < dj3 > d (b, x), da cui, sommando, d (a, x) + + d (b, x) < 2dj3; ma, d'altra parte, è certo d (a, x) + + d (b, x) ~ d (a, b) = d, e quindi un x cosiffatto non può esistere. Lo spazio è dunque uno spazio di Hausdorff. (c.v.d.). Possiamo quindi dire che: Una struttura di spazio metrico determina una ·struttura di spazio di Hausdorff; non tutte le topologie si possono quindi considerare topologie naturali d'uno spazio metrico.

Lo spazio metrico tale che d (x, y) = 1 se x =F y dà luogo alla topologia discreta: infatti, per ogni punto x, l'ì-intorno di x è {x}, perché solo x ha, da x, distanza < t; {x} è un aperto, e anche tutti i sottoinsiemi dello spazio, che sono riunioni di aperti cosiffatti, sono aperti. In R", abbiamo considerato (fig. 7.9) due strutture di spazio metrico: in quella per cui d (x, y) = ~k IYk - Xk I , le bolle sono per n = 2 dei quadrati, per n = 3 dei cubi, ecc. Nel caso della distanza euclidea [v'~k (Yk - Xk)2], le bolle sono « ipersfere» (per n = 2 cerchi, e per n = 3 sfere intese come figure solide). Si dimostra in modo elementare che se un insieme X ç R" è riunione di bolle d'un tipo, è pure riunione di bolle dell'altro tipo, ed è anche riunione di prodotti d'intervalli (vedi il problema 32): quindi la topologia dei due spazi metrici è la stessa, ed è quella di R".

180 Strutture topologiche ,

" ,, ,,

...... ':"'----- ............

~,'

.......

.

: , I

\

,\

a

,

.

\

I I I



\ I

...

......

, ,,

:



,



I

\,

.

""~......

.

~'

\..

.......... _------_ .. -'

""

,/

d=~ Fig. 7.9

Dunque due diversi spazi metrici possono dar luogo alla medesima topologia. Per definire gli omomorfismi e gli isomorfismi delle strutture di spazio metrico, possiamo pensare uno spazio metrico come una struttura algebrica, e ricorrere alle definizioni del capitolo 6. Un omomorfismo d'uno spazio metrico M in un altro, M', è un'applicazione di f di M in M' che fa corrispondere insiemi privilegiati a insiemi privilegiati, cioè tale che a «x, y), c5) - dove c5 è la distanza di x da y faccia corrispondere «f(x),j(y», c5). In altre parole, indichiamo con d' la distanza in M', e scriviamo x', y' in luogo di f(x), f(y): deve valere la d'(x',y') = d(x,y).

La f è certo iniettiva: se x' = y', si ha d (x', y') = 0, quindi d (x, y) = 0, cioè x = y. Se l'applicazione f è biiettiva, anche la sua inversa è un omomorfismo; infatti l'uguaglianza precedente si può scrivere: d (f-l (X'),j-l (y'» = d' (x', y'):

f è allora un isomorfismo. DEFINIZIONE. Si dice isometria fra due spazi metrici un isomorfismo fra di essi, cioè una biiezione che conserva le distanze (ciò significa che ad ogni coppia di punti corrisponde una coppia di punti con la stessa distanza).

Strutture topologiche

181

TEOREMA 7.12. Una suriezione di uno spazio metrico su un altro che conserva le distanze è un omeomorfismo. O anche: Ogni isometria è un omeomorfismo, cioè un isomorfismo delle strutture di spazio metrico è un isomorfismo delle topologie associate. Siano M, M' i due spazi metrici, d e d' le loro distanze ed f una suriezione di M su M'. Proviamo che ogni bolla di M si trasforma in una bolla di M': allora ogni aperto, che è riunione di bolle, si trasforma nella riunione delle bolle trasformate, cioè in un aperto. Infatti, sia B la r-bolla di centro x e B' la r-bolla di centro f(x): se y EB, d(x, y) < r, e quindi d' (f(x),f(y» < r. Perciò f(y) appartiene alla r-bolla di centro f(x) : f(B) r;;, B'. Viceversa, sez' E B', esiste uno z con z' = f(z): ma d (x, z) = = d' (f(x), z') < r, e quindi z E B, e z' = f(z) Ef(B): dunque B' r;;,f(B). Confrontando, si trova B' = f(B). Altrettanto per f-t, dunquefè un omeomorfismo. (c.v.d.). Si osservi che vi sono degli omeomorfismi fra spazi metrici che non sono isometrie: ad esempio, in Rl ciò accade nel caso della biiezione x 1->- x 3 •

Problemi 7. 1. Trovate tutte le topologie sull'insieme { a, b }. 2. Trovate qualche topologia su { a, b, c } e su { a, b, c, d, e }. 3. In R, l'intersezione di infiniti aperti può non essere un aperto: si verifichi questo fatto ricorrendo a tutti gli intervalli aperti che contengono un punto dato. 4. Perché in R non si possono assumere come aperti gli intervalli ? *5. In un insieme I siano date due topologie [1 e [2. Si dice che [1 è pia fine di [2 se gli aperti di [2 sono aperti anche in [1. Si provi che la relazione cosi definita è una relazione d'ordine nell'insieme delle topologie su I. Si ordinino le topologie degli esempi I-IV (paragrafo 7.1). 6. Relativamente agli spazi degli esempi II e III (paragrafo 7.1), si scrivano gli aperti degli spazi subordinati sul sottoinsieme { a, b, d}.

182

Strutture topologiche

7. Se uno spazio è discreto (o banale) tali sono pure tutti gli spazi subordinati. Date un esempio di spazio, non discreto né banale, che abbia uno spazio subordinato discreto (o banale). 8. Sia E lo spazio definito su {a, b} dagli aperti 0, {a}, { a, b }: trovare gli aperti di E x E. *9. Si dice retta complessa C l'insieme dei numeri complessi x + iy, gli aperti essendo formati da quei numeri tali che le coppie (x, y) costituiscano un aperto di R2. Definite il piano complesso C2 e gli spazi complessi CR. *10. Si definisca la retta razionale Q in modo analogo a quello seguito per R: si definiscano poi il piano razionale e gli spazi razionali. Il. Qual è la topologia che assume Z (insieme dei numeri interi), considerandolo come spazio subordinato ad R?

*12.

Provate che i sottoinsiemi che nella definizione di spazio quoziente sono presi come aperti soddisfano gli assiomi TI)' T 2), T 3) degli spazi topologici.

13. In uno spazio discreto, nessun sottospazio che abbia piu d'un punto è connesso. 14. Uno spazio topologico si può definire assumendo come enti primitivi (cioè non definiti) gli insiemi chiusi, e come assiomi le affermazioni del teorema 7.4. Ciò posto, si definiscano gli aperti, e gl'intorni d'un punto. *15. Una struttura di spazio topologico in I si può definire assegnando, per ogni x E I, una classe q)x di sottoinsiemi soddisfacenti alle proprietà l), 2), 3) degli intorni (basta provare che, definiti gli aperti come gli insiemi i cui punti sono tutti interni, essi soddisfano a TI)' T 2), T a), e che gli intorni definiti a partire da essi sono gli elementi di q)x). 16. Trovare gli insiemi chiusi degli spazi dati negli esempi I-IV (paragrafo 7.1). 17. Trovare gli intorni dei vari punti per lo spazio dell'esempio II (paragrafo 7.1). *18. Si provi che, qualunque sia il sottoinsieme X d'uno spazio, ex~

eX.

*19. Si provi che uno spazio di Hausdorff, tale che l'intersezione di aperti sia sempre un aperto, è discreto. Segue che uno spazio di Hausdorff con un numero finito di punti è discreto.

Strutture topologiche

183

20. Trovare, nello spazio dell'esempio III (paragrafo 7.1), l'interno e i punti d'accumulazione dell'insieme { a, b, d }. 21. Dati in Ra due punti a(a h a 2 ), b(b h ba), trovare un intorno di a ed uno di b fra loro disgiunti. ·22. Considerato un punto x di R, si trovi un sottoinsieme cui appartenga x ma che non sia un intorno di x. 23. Provare che una applicazione d'un intervallo di R in R è continua in un punto a se e solo se, fissato un e > O, si può trovare un (5(e) > in modo che, per ogni x tale che Ix - a I < b, sia I I (x) - I(a) I < e.

°

24. In un'applicazione continua l'immagine d'un aperto non è sempre un aperto. Provate, che nell'applicazione continua di R in R x 1-+ X2 + 1, l'immagine dell'aperto A ] - 1,1[ (insieme dei punti tali che - 1 < x < 1) non è un aperto. 25. Se l: E -+ E' è continua in E, l'immagine reciproca d'un aperto di E' è un aperto di E. Se I è continua in un punto a E E (ma non in tutto E), può esistere un aperto contenente a la cui immagine reciproca non è un aperto. Si verifichi che ciò accade per l'applicazione I di R in sé definita da I(x) = x (per x .;;;; 1) e da I(x) = x + 2 (per x> 1): nel punto 1/2 essa è continua, ma l'immagine reciproca dell'aperto A' = ] 0,2 [, contenente 1(1/2), ... 26. Si considerino le due seguenti applicazioni dello spazio dell'esempio III in quello dell'esempio Il (paragrafo 7.1): I(a)

= I(b) = I(e). =

g(a)

=

g(b)

=

a,

a, g(e)

=

I(d) = d; c, g(d)

=

d.

Si provi che la prima è continua e la seconda non lo è. 27. Nella definizione di spazio metrico, all'assioma Ma) si può sostituire il seguente: M'a) d(x, y)

+ d(z, y) ;;;. d(z, x).

Quest'affermazione segue subito da Ma) e dal teorema 7.8; viceversa, da M'a) e MI) si deduca il teorema 7.8 [e quindi anche Ma)]. 28. Consideriamo un insieme di località A, B, ... (ad esempio, quelle elencate su un annuario o su una guida turistica), ed un sistema di carte topografiche che ricoprano la regione considerata. Poniamo deA, A) = 0, deA, B) sia invece dato dal minimo numero di carte da « attraversare»

184 Strutture top%giche

per andare da A a B. Si provi che in {A, B, ... } si definisce una struttura di spazio metrico. Qual è la topologia associata? *29. Sia S una superficie dello spazio ordinario, tale che le

semirette uscenti da un punto dato a la incontrino in un punto al piu. Per ogni coppia x, y di punti di S, sia d (x, y) la misura dell'angolo ~: si provi che si ottiene cosi uno spazio metrico S. *30. Provare l'affermazione del testo, secondo la quale l'applicazione di Rn in R d(x, y) = l:k I Yk - Xk I definisce uno spazio metrico. 31. In Cn la funzione Vl:k (Xk

- Yk)2 (usata per Rn) non definisce uno spazio metrico; infatti, per due punti x(l, i,O, •.. , O), y(O, 0, 0, •.. , O) si ha...

*32. In Rn abbiamo definito due diversi spazi metrici: per di-

mostrare che essi danno luogo alla stessa topologia, basta provare che ogni bolla dell'uno è riunione di bolle dell'altro. Allora, gli aperti di uno dei due spazi sono riunione di bolle dell'altro, e quindi sono aperti anche nell'altro. Inoltre, tale topologia è proprio quella di R". Dimostrate la proprietà per n = 2 (vale a dire, dimostrate che ogni cerchio è riunione di quadrati a lati paralleli, ed ogni quadrato è riunione di cerchi; qui s'intende che da ogni quadrato va escluso il perimetro). *33. Si provi che, dato uno spazio metrico M, la distanza è un'applicazione continua di M X M in R. *34. In uno spazio finito, i complementari degli aperti (chiusi)

danno luogo ad una nuova topologia. L'applicazione identica del primo spazio nel secondo è continua? Esistono degli spazi metrici per i quali tali topologie sono quelle naturali? *35. Si indichino delle biiezioni continue fra spazi topologici, le cui inverse non siano continue.

8 Strutture matematiche

8.1

Strutture di relazione.

Abbiamo visto due tipi fondamentali di strutture: le strutture algebriche e le strutture topologiche. Come appare dalla trattazione dei capitoli precedenti, « dare in un insieme una struttura» significa dare in esso un'organizzazione. Prima di precisare in forma piu rigorosa queste idee, riprendiamo un momento gli argomenti trattati nel capitolo 2. Abbiamo allora definito cosa s'intende per relazione in un insieme (o fra insiemi), ma potremmo anche dire che una relazione è una particolare organizzazione, cioè una struttura: possiamo parlare cioè di « strutture di relazione », che sono quelle che si ottengono assegnando una o piu relazioni soddisfacenti a condizioni assegnate. Fra di esse, quelle di cui si parla piu di frequente sono le strutture d'ordine, cioè quelle determinate da una relazione d'ordine. La specie di strutture considerata ammette delle specie subordinate, come le relazioni d'ordine totale, i buoni ordinamenti, ecc. Vi sono poi gli ordinamenti in senso stretto. Una struttura di relazione in I ha degli insiemi privilegiati; sono le coppie di elementi di I associati nella relazione (o in ciascuna delle varie relazioni, se ve n'è piu d'una). Possiamo anche parlare di omomorfismi e d'isomorfismi. Siano dati due insiemi I, l' ed in ciascuno di essi una relazione, diciamo e, e'. Un'applicazione f di I in l' si dirà un omomorfismo quando, per ogni coppia x, y tale che x ey, è f(x) e' f(y). Analogamente nel caso in cui le relazioni siano piu d'una. La definizione di omomorfismo che abbiamo data esprime proprio che f trasforma gli insiemi privilegiati di I in insiemi privilegiati di l'. Diremo poi isomorfismo una biiezione tale che tanto essa che la sua inversa siano omomorfismi. Ad esempio, se I = l' = N, e se e, e' sono la relazione ~, l'applicazione f definita da f(n) = n2 , per n ~ lO; f(n) = 100, per n > IO,

186

Strutture matematiche

è un omomorfismo; infatti, se n1 :::::;; n2, abbiamo f(n 1) :::::;; :::::;;f(n2). Tale applicazione non è un omomorfismo per la relazione -

A X A

--+

(A X A) X A

--+ ~

--+

IP ((A

A

-->-

~

A

--+

A X A

A

--+

IP (A) --+ A

A

--+

A X N

X A) X A) X

(A)

--+

1P ((A

X A) X A).

((A X A) X A

--+

X A) X A)

P (l' (A»

--+

--+

(A X A) X R X

--+

1P ((A

P (A) --+ IP (A

(A X N) X 1P (Q)

X A) X

X

IP (A»

--+

1P ((A

X

R)

N)

X

P(Q»

I primi quattro esempi si riferiscono alle quattro specie di

strutture cui s'è accennato piu sopra: una struttura algebrica con un'operazione interna binaria, una con due operazioni interne binarie, una struttura topologica ed una struttura di spazio metrico. Gli ultimi due sono casi inventati li per li, che tuttavia potrebbero anche avere il loro interesse in qualche teoria.

188

Strutture matematiche

Possiamo ormai dare la definizione cercata. DEFINIZIONE. In un insieme A una struttura si ottiene nel modo seguente: a partire da A ed eventualmente da insiemi ausiliari L, M, ... costruiamo una sequenza di insiemi, eseguendo volta per volta uno dei due passaggi: I) Costruzione del prodotto di due insiemi, ciascuno dei quali sia uno di quelli dati o uno già ottenuto nella sequenza. II) Costruzione di IP (B), insieme delle parti dell'insieme B, che è uno di quelli dati o uno già ottenuto nella sequenza. Una struttura è un elemento S dell'insieme X ottenuto al termine della sequenza. Una struttura si dirà semplice quando l'ultimo passaggio per la costruzione di X non è del tipo I): escludendo il caso banale in cui X = A, per una struttura semplice X = 8) (Y), e quindi, essendo S E X, possiamo anche scrivere S ç: Y. Sono strutture semplici i gruppi (Y = (A X A) X A) gli spazi topologici (Y = J:) (A», gli spazi metrici, .... Se invece l'ultimo passaggio è del tipo I), sarà X = U X V. Per semplicità supponiamo che sia U = IP (Y), V = P (Z) (in ogni caso, X si risolverà nel prodotto di insiemi che a loro volta non sono insiemi prodotto). Dire che S E X equivale a dire che S = (H, K), con H E 8) (Y), K E" (Z), cioè H ç: Y, K ç: Z. Si dirà che S è composta dalle strutture semplici H, K. Composta è ad esempio la struttura di reticolo, o quella di gruppo topologico (v. problema 5). Nel caso d'una struttura semplice, si dicono insiemi privilegiati gli elementi dell'insieme S. Se S è composta da strutture semplici H, K, ... , gli insiemi privilegiati sono gli elementi di H, K, .... In modo analogo si possono definire delle strutture su piu insiemi; basta considerare, invece d'un solo A, parecchi insiemi, A, A', ... (per quello che s'è detto fin qui, del resto, basta « promuovere» qualcuno degli insiemi ausiliari a insieme « principale »). DEFINIZIONE. Dato un insieme A, si costruisca, applicando i passaggi I e II secondo una regola prestabilita, un insieme X; una specie di strutture è una classe di elementi

Strutture matematiche

189

di X (cioè una classe di strutture) soddisfacenti ad assiomi prefissati. Si può parlare di specie di strutture anche in relazione a piu insiemi (e non limitatamente ad un solo insieme): si ricordi, ad esempio, che s'è parlato di «spazi topologici su insiemi qualsiansi», ecc. S'intenderà allora questo: data unà classe d'insiemi, si costruisca, a partire da ciascuno degli insiemi considerati (e facendo intervenire, se è il caso, gli insiemi ausiliari che occorrono) il rispettivo insieme X, secondo una certa regola prefissata: una specie di strutture è la classe di tutti gli elementi degli X che soddisfano ad assiomi dati. Ad esempio, per la specie di «grupPO» (o di « categoria»), costruiamo, a partire da un A dato, l'insieme X = IP«A X X A) X A): essa è individuata dagli assiomi dei gruppi (o delle categorie, paragrafi 6.3 e 6.5), cioè coincide con la classe di tutti i sotto insiemi di Y = (A X A) X A che soddisfano a tali assiomi. Per la specie delle strutture topologiche, costruiamo X = t' (IP (A)); essa è la classe degli elementi che soddisfano gli assiomi degli spazi topologici. Se, nella definizione di una specie di strutture, intervengono degli insiemi ausiliari, per ciascuno di essi possono aversi due possibilità: a) l'insieme ausiliario è sempre lo stesso. È il caso degli

spazi metrici, nei quali interviene sempre l'insieme ausiliario R dei numeri reali; b) l'insieme si può scegliere, entro certi limiti, ad arbitrio:

ciò accade negli spazi studiati dalla geometria, in cui interviene un gruppo (vedi paragrafo 4). Secondo la terminologia qui adottata, una struttura è una « organizzazione» assegnata in un insieme determinato, ed una specie di strutture è un «tipo di organizzazioni» aventi delle caratteristiche comuni (in sostanza, le regole per costruire l'insieme X e gli assiomi cui debbono soddisfare le strutture). Ora, è opportuno avvertire che a volte il termine struttura viene usato anche con il significato di specie di strutture: ad esempio, quando si parla di «proprietà della struttura di grupPO». I due significati della parola struttura

190 Strutture matematiché

vanno naturalmente tenuti distinti, ma non vi dovrebbe essere pericolo di confusione (il contesto suggerirà quale dei due è valido). Su un medesimo insieme si possono considerare piu strutture. Sull'insieme R dei numeri reali, si considerano, l'una accanto all'altra, tre strutture: una algebrica e (determinata dalle operazioni di addizione e moltiplicazione) una topologica ([, (la topologia di retta numerica) ed una d'ordine totale (costituita dalla relazione - 11 ->0->-2->-4->-6->-8/,

Risoluzione di alcuni problemi 205

28. Nell'ordinamento «naturale », com(; pure in fI, ogni sottoinsieme di N ha sempre il minimo. Invece, Z e Q, rispetto all'ordinamento solito, non hanno minimo (preso un numero r, r - 1 è piu piccolo). Anche l'insieme dei numeri razionali assoluti non è ben ordinato. 29. Nell'insieme {a, b} v'è minimo, e quindi uno dei due elementi precede l'altro. Dunque vale OTa). 30. Nell'ordinamento di questo problema, non c'è, in N, l'elemento minimo. Cosi pure nell'ordinamento ... , 6, 4, 2, O, ... , 5, 3, l (tutti i numeri pari precedono tutti i numeri dispari). Invece Z, in questo modo: 0, + 1, - 1, + 2, - 2, ... è ben ordinato. 34. Il primo assioma degli ordinamenti è certo verificato. Siano ora date tre partizioni K, K', K": se ogni elemento di K" è contenuto in uno cii K', e questo in uno di K, ogni elemento di K" è contenuto in uno di K. Infine, se ogni X E K è contenuto in un Y E K', ed Y è contenuto in uno Z E K, è necessariamente Z = X e quindi Y = X, cioè K = K'. La partizione meno fine è quella costituita da un solo elemento: I. Quella piu fine ha come elementi i sottoinsiemi di I costituiti da un solo elemento. Km e K'n non sono confrontabili. 37. Nell'assioma sostituiamo b ad a, c a b, d a c, a a d: abbiamo che «se in Rb c precede d e questo precede a, in Re d precede a e questo precede b ». Problemi 3. 3. Se e solo se l'applicazione è suriettiva, ogni oggetto di B ha accanto un oggetto di A. 4. Se e solo se l'applicazione è iniettiva, ogni oggetto di B ne ha accanto uno solo di A, o nessuno. 6. L'immagine di {l, 2} è {2, 3}, l'immagine reciproca di { 1,2,3 } è { 0, 1,2}, quella di {O, 1,2} è { 0, 1 }. 8. Sia 1 un'applicazione di A in A. Supponiamo che 1 sia suriettiva: essa è pure inietti va, perché, se vi fossero due elementi a, b con I(a) = I(b), gli elementi di I(A) sarebbero meno di n, mentre è I(A) = A. Supponiamo che 1 sia iniettiva: se a =1= b, I(a) =1= I(b), e quindi gli elementi di I(A) sono n, cioè I(A) = A, ed j è suriettiva. Se esiste una suriezione di A su B (A, B finiti) ogni elemento di B è associato ad almeno un elemento di A, e quindi in B non vi possono essere piu elementi che in A; se esiste un'iniezione di A in B, ogni elemento di B è associato ad un elemento

206 Risoluzione di alcuni problemi

di A al piu, e quindi gli elementi di B non possono essere in numero inferiore a quelli di A. 9. [è iniettiva, ma non suriettiva, in quanto [(N) è l'insieme dei numeri pari; g è suriettiva, ma non inietti va, perché per x = O ed x = 2 si ha y = O. lO. Per le applicazioni: il corrispondente di ciascun elemento di A si può scegliere in n modi, le scelte da fare sono m, e quindi si hanno nm possibilità. Per le iniezioni: ordinati a piacere gli elementi di A, il corrispondente del primo si può scegliere in n modi, il corrispondente del secondo in n-l, perché dev'essere diverso da quello già scelto; il corrispondente del terzo in n - 2 modi, ... , quello dell'ultimo in n - m + 1 modi. In totale le possibilità sono n(n -

14. a)

1) ... (n - m

(~i ~ i~) ;

+ 1). b)

(~i ~ ~~) .

15. Fissiamo ad arbitrario un elemento ab e poniamo aa = = [(al), a:1 = [(a2), ... In questa sequenza d'elementi non possono piu ripetersi né a2' né a3, •.. , in quanto [ è inietti va. Ad un certo punto si deve perciò trovare un ak = al: se k = n, si sono via via ottenuti tutti gli elementi, e la sostituzione è ciclica; altrimenti è ciclica solo la « restrizione» della sostituzione ad ab a2, ... , ak. Prendendo poi un altro elemento, non ancora ottenuto, si trova un altro sottoinsieme su cui [opera ciclicamente, e cosi via. 16.

y=2x Fig. S 5

Risoluzione di alcuni problemi 207

17.

"

y=x+2

,,

,

(x~-l)

y=vx

" ,, ,

",

,,

Fig. S6

,,

(x~O)

,,

,

"

18. Una circonferenza no; una retta o una semicirconferenza (in posizione opportuna) si.

0 =1= B), ma non delle iniezioni (a meno che, rispettivamente, B o A non contengano un solo elemento).

20. pr1 e pr2 sono delle suriezioni (purché A =1=

22. Una biiezione involutoria è una relazione simmetrica. Poniamo y = f(x): se y = - x, allora x = - y, vale a dire f-l(y) = - Y = f(y); se y = x + 1, x = y - 1, f-l(y) = = Y - 1 =l=f(y). 23. La relazione definita da C fa t:orrispondere ad X un solo C(X), e viceversa, fissato un Y, esiste un solo X tale che Y = C(X): dunque è una biiezione. C-l(X) è l'insieme il cui complementare è X, cioè C(X): C è involutoria.

26. Per le funzioni reali di variabile reale: dominio: a) R; b) R; c) R - { + 1, - 1 }; d) R. codominio [si ponga f(x) = y e si trovi per quali valori di y l'equazione in x ha soluzioni]: a) {y I y ;;;. - 1/4 } (infatti l'equazione

zioni reali allorché 1 b) {y

d) {y

+ 4y ;;;. O);

1- 1 < y < 1 }; c) {y I y > I - 1/2 < y < 1/2}.

X2

+x

OV Y

27. f"'I e U sono suriettive, ma non iniettive.

= y ha solu-

l)

X

/

I

I

I I I

I

I I

I

-1 A

Fig. S 17

Fig. S 18

Risoluzione di alcuni problemi 219

25. È l'intervallo non aperto O < x

< 1.

26. Per f, l'immagine reciproca degli aperti { a }, { a, b }, { a, c }, { a, b, c} è l'aperto {a, b, c }; quella di {a, b, c, d} è { a, b, c, d}, quella di { c } c di 0 è 0. In g la controimmagine di {c} è { c}, che nello spazio III non è aperto. 30. Se ~k I yk ~k

+

I

-

Xk

Yk - Xk I Zk - Yk I )

I = O, abbiamo I Yk - Xk I = O, cioè Yk = Xk. I + ~k I Zk - Yk I = ~k ( I Yk - Xk I + ;;;. ~k I )'k - Xk + Zk - Yk I = ~k I Xk - Zk I .

31. Per i due punti si ha

v(l - W + (i -

0)2 =

vt=T = O.

32. Dato un cerchio C, ogni suo punto a è centro d'un cerchio Kr;;, C (basta assumere, nel teor. 7.9, C in luogo di B, B'; K in luogo di B"); quindi a è pure contenuto in un quadrato Qa i cui lati hanno direzione fissata e iscritto in K: dunque C è riunione dei quadrati Qa. Viceversa, dato un quadrato

Fig. S 19 Q ed un suo punto a, sia r la piu piccola fra le quattro distanze di a dai lati del quadrato: il cerchio Ka di centro a e raggio r è contenuto in Q, e Q è riunione di tutti i cerchi Ka. Infine, poiché gli aperti di R2 sono riunioni di rettangoli,

un ragionamento analogo prova che tale topologia coincide con quella di R2. 33. Un aperto di R è riunione d'intervalli. L'immagine reciproca d'un intervallo ] a, b [ è. l'insieme I (a, b) delle coppie di punti la cui distanza è maggiore di a e minore di b: proviamo che I (a, b) è riunione di prodotti di bolle, cioè di prodotti di aperti di M: per la definizione di spazio prodotto, I (a, b) sarà allora aperto e l'immagine reciproca di un aperto di R è pure un aperto. Sia x, Y una coppia di punti

220

Risoluzione di alcuni problemi

tale che a < d (x, y) < b; sia e un numero minore sia di [d (x, y) - a]/2 che di [b - d(x, y)]/2. Proviamo che, dette B x, By le bolle di centro x, y e raggio e, Bx x By ç I (a, b). Infatti, se u E B x, v E By, abbiamo e d (u, v) .;;; d (u, x) -I-

-I- d(x, v) .;;; d(u, x) -I- d(x, y) -I- dry, v) < d(x, y) -I- 2e < < d (x, y) -I- b - d (x, y) = b. Analogamente d (x, y) .;;; .;;; d(x, u) -I- d(u, v) -I- d(v, y) < d(u, v) -I- 2e; cioè d(u, v) > > d(x, y) - 2e > d(x, y) - d(x, y) -I- a = a. La distanza

di due punti qualsiasi delle bolle è maggiore di a e minore di b, perciò Bx x By ç I (a, b). Ne segue che I (a, b), e quindi anche l'immagine reciproca d'un aperto di R, è un aperto, e quindi l'applicazione d è continua.

Problemi 8. l. Ad esempio, costruiamo la sequenza A --+ A x A --+ p (A x x A) = X: S sia un qualunque sottoinsieme di X [cioè un elemento di p (X)], tale che i suoi elementi s (insiemi privi0 [gli insiemi privilegiati) soddisfino l'assioma: s n ~A legiati sono cioè insiemi di coppie soddisfacenti la condizione: in ogni insieme vi deve essere almeno una coppia (a, a)]. La specie è formata da tutti gli S.

*"

2. Ad esempio, costruiamo A --+ p (A) --+ IP (A) x N = X: consideriamo le strutture S ç X i cui elementi (insiemi privilegiati) sono coppie (B, n) [:E E P (A), n E N] tali che B sia formata da n elementi di A; resta cosi definita la specie di tutte queste strutture. 4. Un grafo orientato è definito da due insiemi :E (degli spigoli) e V (dei vertici), e da due applicazioni h, la di :E in V. Posto X = :E x V x V, una struttura di grafo orientato è un sottoinsieme di X i cui elementi (O", Vb v2 ) debbono esser tali che V1 = Il (0"), V2 = la (a); vale a dire, per ogni a E:E vi dev'essere un solo V1 ed un solo V2. 5. (R, +) è un gruppo topologico perché le funzioni I(x, y) = = x -I- y, g (x) = - x sono continue. 8. È una biezione che trasforma le classi d'equivalenza d'uno dei due insiemi in quelle dell'altro. 9. Un automorfismo della relazione.;;; è una biiezione I di N in sé tale che, se x .;;; y, I(x) .;;; l(y). O precede ogni altro x E N, e quindi anche 1(0) .;;; I(x); poiché l'applicazione è suriettiva, 1(0) = O. Supponiamo ora che sia I(x) = x per x.;;; n; allora/(n -I- 1) precede tutti gli I (x), per x > n -I- 1,

.Risoluzione di alcuni problemi 221

e quindi, non potendo essere alcuno dei numeri da 1 a n, vale Il + 1. Dunque se la proprietà è vera per x = n, lo è pure per x = n + 1; per x = O è f(O) = O: quindi è provato che f(x) = x (l'automorfismo è identico). Un esempio di endomorfismo è dato da x I~ 2x, un automorfismo della relazione < in Z è x ~ x + 1.

+ y) = f(x) + f(y), ne segue che f(x + x + f(x) + f(x} + ... + f(x} (entrambe le somme contengono n addendi), cioè f(nx} = nf(x}: posto f(l) = a, abbiamo f(n} = Ila. Per il teor. 6.16, la proprietà vale anche per n = o. Sia ora n intero negativo: per il teor. 6.16, f(n} = = - f( - Il} = - (a) (- n) = ano Poniamo ora x = m/n, e otteniamo f(m} = l(n· m/n} = nf(m/n}, cioè f(m/n} = = f(m}/n = amino Dunque dev'essere f(x} = ax, e si verifica s'.Abito che questa soddisfa alla f(x + y} = f(x} 1- f(y}. Se a -=1= O, f è una biiezione.

11. Abbiamo f(x

+ ... + x) =

< O x 1-+ ax è un endomorfismo della struttura di gruppo ma non perla struttura d'ordine. Posto f(x) = x 3 si ha un endomorfismo della seconda e non della prima.

12. Per a

16. Siano x, y due elementi distinti del secondo insieme; deve essere f -1 (x) Il f -1 (y), oppure f -1 (y) Il f -1 (x). Nel primo caso si ha xll'y, nel secondo Yll'x. Il' è quindi una struttura d'ordine totale; se xll'y, si ha f -1 (x) Il f -1 (y), cioè f -1 è un isomorfismo. 18. Si veda il problema 24 del capitolo 7: l'applicazione considerata è continua, ma non trasforma tutti gli aperti in aperti.

19. Dotiamo un insieme della topologia banale e poi d'un'altra topologia: l'applicazione identica trasforma aperti in aperti ma non è continua. 22. Lo spazio individuato dai seguenti aperti: 0, {c}, {a, c }, { b, c}, {a, b, c}, {a, b, c, d} possiede, oltre all'identità,

l'automorfismo

f(~ ~ ~ ~).Il

prodotto f o f è l'identità. Lo

spazio i cui aperti sono 0, { c}, { a, c }, { a, b, c }, { a, b, c, d} ha solo l'automorfismo identico. 24. Gli automorfismi della struttura additiva (cioè x 1-+ ax) non lo sono per quella moltiplicativa [a (x . y) -=1= ax . ay, se a -=1= 1].

+ ib} = a - ib. Allora f(a + ib + c + id) = + c - ib - id = f(a + ib} + f(c + id}; f«a + ib} X (c + + id)} =f«ac - bd} + i (ad + bc}} =ac - bd - i (ad+bc) = = (a - ib) X (c - id) =f(a + id} X f(c + id}.

25. Poniamo f(a a

Suggerimenti per ulteriori letture

N. BOURBAKI, E/éments de Mathématique: les structures fondamentales de l'Analyse. Théorie des ensembles (capp. 2 e 4 e Fascicule de résultats). Algèbre (cap. 1). Topologie générale (cap. 1). Hermann, Paris. C. CHEVALLEY, I concetti fondamentali dell'algebra, Feltrinelli, Milano. C. EHRESMANN, Structures loca/es, in «Annali di Matematica », ser. 4, voI. 36. Catégories et structures, Dunod, Paris. R. L. WILDER, An Introduction to the Foundation of Mathematics, J. Wiley, New York. G. PAPY, I gruppi, Feltrinelli, Milano. L. LOMBARDO RADICE, Istituzioni di algebra astratta, Feltrinelli, Milano. O. ORE, Theory of grqphs, American Mathematical Society ColI. PubI., Providence.

F. HARARY, Z. NORMAN, D. CARTWRIGHT, Structural Mode/s, J. Wiley, New York. F. CONFORTO, M. BENEDICTY, Illtroduzione alla topologia, Cremonese, Roma. G. ZAPPA, R. PERMUTTI, Gruppi, corpi, equazioni, Feltrinelli, Milano. R. GODEMENT, Cours d'Algèbre, Hermann, Paris. Fra i testi di .carattere divulgativo aventi attinenza con argomenti di que~to libro citiamo: A. MONJALLON, Introductioll aux Mathématiques modernes, Vuibert, Paris. O. ORE, I grafi e le loro applicazioni, Zanichelli, Bologna. H. BEHNKE, R. REMMERT, H.-G. STEINER, H. TIETZ, Matematica l (Encidopedia Feltrinelli-Fischer, 15), Feltrinelli, Milano.

· Glossario

Ambiente, 13.

Corrispondenza biunivoca, 73.

Aperto: uno dei sotto insiemi d'un insieme, la cui classe deve soddisfare le condizioni seguenti: la riunione di aperti è un - , l'intersezione di due aperti è un - , l'insieme e il sottoinsieme vuoto sono aperti, 164.

Distanza, 176.

Applicazione di A in B: relazione fra A e B tale che aii ogni elemento di A sia associato un elemento di B, 65; biieuiva biiezione, 73; identica, iniettiva, iniezione, 72; suriettiva, suriezione, 7 I.

Funzione, 69.

73;

Assorbimento, 23, 131. Aut, 31. Biiezione: applicazione che sia una iniezione e una suriezione, 73. Categoria: insieme dotato di un'operazione binaria interna, tale che: se uno dei prodotti h(gf), (hg)f è definito, lo è anche l'altro· se esistono hg, gf, esiste pure h(gf); vale la proprietà associativa; per ogni elementofesiste un elemento neutro «(f) [P(f)1 tale che f «(f) [/l(f)f) è definito, 142. Codominio, 68. Complementare (insieme -l, 18. Continua (applicazione in un punto x): applicazione di uno spa~i,? in un altro tale che, per ogm mtorno V' dell'immagine di x, vi sia un intorno di x la cui immagine è contenuta in V' 172· (applicazione -l; applicazion~ continua in tutti i punti del dominio, 173. Controimmagine: proca, 68. Coppia, 25; -

immagine ordinata, 25.

reci-

Dominio, 67. Elemento neutro, 131; - simmetrico (o inverso), 133. Et, 18.

Gruppo: insieme dotato d'una operazione binaria interna ovunque definita, per la quale vale la proprietà associativa, esiste un elemento neutro ed ogni elemento ha il simmetrico, 134. Gruppoide: categoria nella quale ogni elemento ha il simmetrico, 143. Idempotenza, 24, 130. Immagine d'un elemento: elemento associato all'elemento dato in un'applicazione, 68; - d'un sottoinsieme X: insieme delle immagini degli elementi di X, 68; - inversa (o reciproca) d'un sottoinsieme (o d'un elemento): insieme degli elementi che hanno per immagine un elemento del sottoinsieme (o l'elemento stesso), 68. Inclusione, 14. Iniezione: applicazione di A in B tale che ogni elemento di B sia immagine d'un elemento al piu, 72. Insieme: - ambiente (univer~ale), 13; - chiuso, 169; - complementare, 18; - dei valori, 67; - prodotto di A e B: insieme delle coppie ordinate costituite da un elemento di A e da uno di B, 26; - delle parti: insieme i cui ele· menti sono i sottoinsiemi dell'in-

224

Glossario

siemedato, 16; -prodotto di piu insiemi, 26; - quoziente, 51; subordinato: sottoinsieme, 14. Interno, 170.

130; - riflessiva, 45; - simmetrica, 45; - transitiva, 46. Pseudoprodotto, 90. Punto d'accumulazione, 170.

Intorno, 169. Intersezione di insiemi: l'insieme i cui elementi appartengono a tutti gli insiemi dati, 18.

Relazione fra piu insiemi: sottoinsieme del loro prodotto, 35, 41; - d'equivalenza, 48; - d'ordine, 52 e segg.

Isometria, 180.

Restrizione, 90.

Isomorfismo, 152.

Reticolo, 139.

Monoide, insieme dotato di un'operazione binaria interna ovunque definita, per la quale vale la proprietà associativa ed esiste l'elemento neutro, 158.

Riunione di piu insiemi: l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi dati, 18. Sottoin.~ieme

d'un insieme: insieme i cui elementi appartengono all'insieme dato, 14.

Non, 17. Omeomorfismo: biiezione continua insieme con la sua inversa, 174. Omomorfismo, 150, 151. Operazione binaria interna in A: applicazione di un sottoinsieme di A x A in A, 122; - esterna, 126; - ovunque definita: - il cui dominio è A x A (o analogamente), 122; - n-aria, 125. Prodotto di relazioni, 83; applicazioni, 86.

di

Proiezione, 28. Proprietà associativa, 127; - commutativa, 128; - distributiva,

Spazio topologico: insieme in cui sono dati gli aperti, 164; - banale, 165; - discreto, 165; metrico, 175; - prodotto, 167; - quoziente, 167; - subordinato, 166. Struttura algebrica, 147; - d'ordine, 185; - topologica, 164. Suriezione di A su B: applicazione in cui ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A, 71. Variabile, 15, 65. Vel,18.

Finito di stampare il 21 dicembre 1970 in Torino presso la Stamperia Artistica Nazionale

Matematica Moderna

MM 1. Philip J. Davis, Il mondo dei grandi numeri. MM 2. Oystein Ore, I grafi e le loro applicazioni. MM 3. Ivan Niven, Numeri razionali e numeri irrazionali. MM 4. W. W. Sawyer, Che cos'è il calcolo infinitesimale. MM 5. C. D. Olds, Frazioni continue. MM 6. Israel Grossman - Wilhelm Magnus, I gruppi e i loro grafi. MM 7. Edwin Beckenbach - Richard Bellman, Introduzione alle disuguaglianze. MM 8. Francesco Speranza, Relazioni e strutture. MM 9. Ettore Carruccio, Mondi della logica.

ZANICHELLI BOLOGNA

L. 1300