Reelle tall matematikkens sentrale tallsystem

Citation preview

iB. t

'is Fnlkftbnksarnlinff

Ivan Ni ven

Reelle tall

CAPPELENS REALBØKER

Reelle tall

CAPPELENS REALBØGER bygger på et omfattende internasjonalt samarbeid. Seriens norske konsulentråd består av professor, dr. med. Alf Brodal, professor, dr. philos. Knut Fægri, direktør Gunnar Randers og professor, dr. philos. Harald Wergeland. Hittil utkommet: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

Robert Galambos: Nerver og muskler. C. V.Boys: Fysikk med såpebobler. Donald J. Hughes: Det fantastiske neutronet. C.G.Jung: Det ubevisste. Alfred Romer: Det aktive atomet. Goran Bergman: Fuglenes liv. Donald G.Fink og David M.Lutyens: Fjernsynets fysikk. Michael W.Ovenden: Liv i universet. Lev Landau og G. B. Rumer: Hva er relativitet? Johannes Setekleiv: Kampen mot smerten. Victor F. Weisskopf: Vitenskapens verdensbilde. Isaac Asimov: Den genetiske koden. F.M.Branley: På vei til månen. Sverre Dick Henriksen: Immunitet. Hermann Bondi: Verdensrommets gåter. Martin Gardner: Relativitet for millioner. D.K.C.MacDonald: Nær null. Kenneth S.Davis og John Arthur Day: Vann. Vitenskapens speil. Isaac Asimov: Blodet - livets elv. L.C.Dunn og Th.Dobzhansky: Arv, rase og samfunn. Irving Adler: Den nye matematikken. Sigmund Freud: Psykoanalysen. Donald R.Griffin: Å se med hørselen. René Dubos: Louis Pasteur og den moderne vitenskap. Hannes Alfvén: Atomet - mennesket - universet. C.G.Jung: Psykologi og religion. E.N. da C.Andrade: Rutherford og den moderne atomfysikk. George Gamow: Gravitasjon. Knut Schmidt-Nielsen: Dyrenes fysiologi. Anatol og Natascha Heintz: Menneskets avstamning. Marston Bates: Menneskets plass i naturen. Sigmund Freud: Seksualteorien. Fred Hoyle: Mennesker og melkeveien C.G.Jung: Jeg’et og det ubevisste. Isaac Asimov: Biologiens utvikling. Donald R.Griffin: Fugletrekk. Hermann Bondi: Relativitet og sunn fornuft. V.G.Dethier og Eliot Stellar: Dyrenes atferd. P.E.Baldry: Kampen mot mikrobene. Irving Adler: Elektronhjernen. Alex Comfort: Front mot alderdommen. Niels Bohr: Atomfysikk og menneskelig erkjennelse. Otto Lindemark: Medisiner før og nå. George Gamov: Mr. Tompkins i Drømmeland. Carl P. Swanson: Den levende celle. Frands Crick: Om molekyler og mennesker.

Ivan Niven

Reelle tall Matematikkens sentrale tallsystem

Oversatt av

Jørgen Randers i'

r»

C/WW4

OSLO 1967 J.W. CAPPELENS FORLAG

Originalens titel: Numbers: Rational and Irrational © Copyright, 1961, by Yale University Norsk utgave: © 1967 J. W.Cappelens Forlag A/S, Oslo Trykt i P.J.Schmidts Bogtrykkeri A/S, Vojens, Danmark

Innhold

INNLEDNING ........................................................................

7

KAPITTEL 1 Naturlige og hele tall..................................... 1.1 Primtall.......................................................................... 1.2 Entydig faktorisering.................................................... 1.3 Hele tall.......................................................................... 1.4 Like og odde heltall...................................................... 1.5 Egenskaper i forbindelse med lukkethet..................... 1.6 En bemerkning om matematiske bevis.......................

15 16 18 21 24 26 28

KAPITTEL 2 Rasjonale tall................................................. 2.1 Definisjon av rasjonale tall........................................... 2.2 Endelige og uendelige desimaltall............................... 2.3 Forskjellige måter å stille opp og bevise påstander på 2.4 Periodiske desimaltall................................................... 2.5 Endelige desimaltall skrevet som periodiske desimaltall 2.6 Resymé..........................................................................

30 30 33 36 42 46 48

KAPITTEL 3 Reelle tall....................................................... 3.1 Geometrisk betraktning............................................... 3.2 Desimaltallutviklinger.................................................. 3.3 Det irrasjonale tallet |/2............................................... 3.4 Det irrasjonale tallet /3............................................... 3.5 De irrasjonale tallene j/6 og /2+ |/3......................... 3.6 Ordene vi bruker.......................................................... 3.7 En geometrisk anvendelse............................................. 3.8 Resymé..........................................................................

50 50 52 55 56 57 58 60 66

KAPITTEL 4 Irrasjonale tall................................................. 4.1 Egenskaper i forbindelse med lukkethet..................... 4.2 Polynomligninger.......................................................... 4.3 Rasjonale røtter i polynomligninger........................... 4.4 Flere eksempler............................................................ 4.5 Resymé..........................................................................

67 67 70 73 79 82

5

KAPITTEL 5 Trigonometriske og logaritmiske tall............ 83 5.1 Trigonometriske funksjonsverdier som er irrasjonale. 83 5.2 En rekursiv metode....................................................... 86 5.3 Irrasjonale logaritmer................................................... 88 5.4 Transcendente tall........................................................ 90 5.5 Tre berømte konstruksjonsproblemer.......................... 94 5.6 En videre undersøkelse av |/2..................................... 100 5.7 Resymé.......................................................................... 102 KAPITTEL 6 Rasjonale tilnærmelser til irrasjonale tall.... 6.1 Ulikheter........................................................................ 6.2 Tilnærmelse ved hjelp av hele tall............................... 6.3 Tilnærmelse ved hjelp av rasjonale tall........................ 6.4 Bedre tilnærmelser........................................................ 6.5 Tilnærmelser med feil mindre enn 1/n2........................ 6.6 Grenser for muligheten til å tilnærme........................ 6.7 Resymé..........................................................................

103 104 107 109 112 ug 123 126

KAPITTEL 7 Om eksistensen av transcendente tall............ 7.1 Noen algebraiske grunnbegreper................................. 7.2 En tilnærmelse til a...................................................... 7.3 Plan for beviset............................................................ 7.4 Egenskaper ved polynomet f (x)................................. 7.5 Bevis for at a er et transcendent tall........................... 7.6 Resymé..........................................................................

128 130 133 134 135 138 139

TILLEGG A Bevis for at det finnes uendelig mange primtall 141 TILLEGG B

Bevis for aritmetikkens fundamentalteorem .. 143

TILLEGG C

Cantors bevisfor at det finnes transcendente tall 149

SVAR OG FORSLAG til svar på noen av oppgavene............ 158

6

Innledning

De aller enkleste tallene er de positive, hele tallene 1, 2, 3, 4, ... som man bruker når man teller. Disse kalles de naturlige tall og er blitt brukt i så mange tusen år at den berømte matematikeren Kronecker visstnok skal ha sagt: «Gud skapte de naturlige tall, resten er menneskeverk». For å tilfredsstille hverdagens behov, innførte man de vanlige brøkene som |, f, | og så videre. Slike tall kalles rasjonale tall, ikke fordi de er spesielt «fornuftige», men fordi de representerer forhold mellom naturlige tall. Man kan tenke seg de naturlige tallene som punkter på en rett linje (Fig. 1); hvert punkt befinner seg én lengde-

I______________ i------------- 1-------------- 1-------------- l—

1

1

2

3

4

Figur 1.

enhet fra det foregående, akkurat som centimetermerkene på et målebånd. På samme måte kan man plasere de ra­ sjonale tallene langs denne linjen (Fig. 2); de nye punk­ tene vil da angi brøkdeler av lengdeenheten.

Figur 2.

7

På et meget senere tidspunkt oppfant hinduene det over­ ordentlig viktige tallet 0, og i begynnelsen av nyere tid ble de negative tallene innført av italienske matematikere. Disse kan også representeres på tall-linjen, som vist på figur 3. 2

3

Figur 3.

Når matematikerene snakker om rasjonale tall, mener de positive og negative hele tall (som jo også kan frem­ stilles som forhold, for eksempel er 2 = | = f), null og positive og negative vanlige brøker. De positive og nega­ tive hele tallene kalles, sammen med null, ofte for heltall; mengden av rasjonale tall inneholder altså mengden av heltall. Oppdagelsen av at de vanlige brøkene ikke strekker til i geometrien, ble gjort av grekerene for over 2500 år siden. De fant nemlig til sin store overraskelse og skuffelse

Figur 4.

at lengden av diagonalen i et kvadrat med side lik en lengdeenhet (Fig. 4), ikke kan uttrykkes ved hjelp av et rasjonalt tall. (Vi skal bevise dette i kapittel 3.) I dag ut­ trykker man dette faktum ved å si at kvadratroten av 2 (som ifølge den Pytagoreiske læresetning er lengden av diagonalen i et enhetskvadrat) er et irrasjonalt tall. Geo­ metrisk betyr dette at det ikke finnes noen lengdeenhet, uansett hvor liten man enn velger den, som samtidig går 8

opp i kvadratets side og diagonal et helt antall ganger. Det eksisterer med andre ord ingen lengdeenhet som er slik at både siden og diagonalen er hele multipla av denne enheten. Dette var en ubehagelig oppdagelse for grekerene, fordi de i mange av sine geometriske bevis hadde gått ut fra at to vilkårlige linjestykker alltid har en felles lengdeenhet. Det var altså et hull i den logiske strukturen i den Euklidske geometri - en ufullstendighet i drøftelsen av lengdeforhold og proporsjoner. I avsnitt 3.7 skal vi se hvordan denne feilen kan utbedres og hvordan teorien om proporsjoner kan gjøres fullstendig. På samme måte er omkretsen av en sirkel lik et irrasjo­ nalt multiplum, nemlig n, av sirkelens diameter. Andre irrasjonale tall støter man på når man prøver å beregne verdiene til noen av de mest grunnleggende funksjonene i matematikken. Hvis vi for eksempel vil beregne verdien til en trigonometrisk funksjon, la oss ta sin x, for x lik

60°, kommer vi frem til det irrasjonale tallet

. Slik for­

holder det seg også hvis vi prøver oss på logaritmefunksjonen lg x; endog for rasjonale verdier av x kommer man her som oftest frem til irrasjonale tall. Selv om de tallene som står i tabeller over trigonometriske funksjoner og logaritmefunksjonen, avgjort ser ut som rasjonale tall, er de i virkeligheten ikke annet enn rasjonale tilnærmelser til de egentlige verdiene som med få unntak er irrasjonale. De reelle tall består av alle rasjonale og irrasjonale tall og utgjør det sentrale tallsystemet i matematikken. I geo­ metrien fører enhver drøftelse av lengder, arealer og volu­ mer til reelle tall; geometrien er i virkeligheten i stand til å frembringe en rekke intuitive beskrivelser av de reelle tall, for eksempel er de reelle tall den mengden av tall som må til hvis man vil kunne måle alle mulige lengder uttrykt ved en gitt lengdeenhet. La oss enda en gang vende tilbake til fremstillingen av tallene som punkter på en linje. Da vil vi oppdage at selv om et vilkårlig kort linje-

9

stykke inneholder uendelig mange rasjonale punkter, så omfatter det likevel mange andre punkter (som for eksem­ pel /2,it osv.) som angir lengder som ikke kan uttrykkes ved rasjonale tall. Men hvis vi tar for oss de reelle tallene, korresponderer hvert punkt på linjen til nøyaktig ett reelt tall og hvert reelt tall til nøyaktig ett punkt på linjen. Den kjennsgjerning at alle lengder kan uttrykkes ved hjelp av reelle tall, er en følge av at mengden av reelle tall er full­ stendig. Hele den matematiske analysen bygger på denne egenskapen ved de reelle tall. Det finnes altså to slags reelle tall, nemlig rasjonale tall og irrasjonale tall. Imidlertid har man en nyere oppdeling av de reelle tall i to grupper; de reelle tall kan deles i algebraiske og transcendente tall. Man sier at et reelt tall er algebraisk hvis det er løsningen av en eller annen alge­ braisk ligning med heltallige koeffisienter. For eksempel er |/2 et algebraisk tall siden det er en løsning av lignin­ gen x2-2 = 0. Hvis et tall ikke er algebraisk, er det trans­ cendent. Det følger ikke av denne definisjonen at det fin­ nes transcendente, det vil si ikke-algebraiske, tall, men i 1851 viste den franske matematikeren Liouville at det eksi­ sterer transcendente tall. Liouville førte sitt bevis ved å stille opp noen tall og så vise at disse ikke var algebraiske. I kapittel 7 skal vi på samme måte som Liouville, vise at det finnes transcendente tall. Senere i det nittende århundre ble det vist at it er et transcendent tall, og dette gav det endelige svar på det eldgamle geometriske konstruksjonsproblemet som ble kalt «sirkelens kvadratur». Vi skal se nærmere på dette i kapittel 5. Et annet fremskritt i det nittende århundre ble forårsaket av den tyske matematikeren Cantor som på­ viste eksistensen av transcendente tall på en helt annen måte. Selv om Cantor, i motsetning til Liouville, ikke eksplisitt stilte opp transcendente tall, hadde hans metode den fordel at den på en måte viste at det finnes flere trans­ cendente tall enn algebraiske. Et slikt utsagn krever at 10

man kan sammenligne innholdet av to uendelige mengder, siden det jo er uendelig mange transcendente tall og uen­ delig mange algebraiske tall. Disse tankebanene ligger litt på siden av hovedtemaet i denne boken, derfor er Cantors bevis for eksistensen av transcendente tall gitt i tillegg C. I de tre første kapitlene skal vi ta for oss de naturlige tall, heltallene, de rasjonale tall og de reelle tall. Kapittel 4 inneholder en standardmetode for identifisering av irra­ sjonale tall. I femte kapittel skal vi så behandle de så­ kalte trigonometriske og logaritmiske tall; det vil si de tallene vi har gitt rasjonale tilnærmelser for i tabellene over trigonometriske og logaritmiske funksjoner. Kapit­ tel 6 tar for seg spørsmålet om hvor godt man kan til­ nærme et irrasjonalt tall ved hjelp av rasjonale tall; dette kapittelet er imidlertid vanskeligere og mer spesialisert enn de foregående og er tatt med for å gi deg anledning til å stifte bekjentskap med matematiske resonnementer av en ny type. Kapittel 7 og tillegg C inneholder to fullstendig uav­ hengige bevis for eksistensen av transcendente tall; i ka­ pittel 7 er Liouvilles metode brukt og i tillegg C Cantors. Teknikkene er fundamentalt forskjellige, og du vil ha stort utbytte av å sette deg inn i begge bevisene. Beviset i kapittel 7 er spekket med uunngåelige tekniske detaljer, og i langt større grad enn da det gjaldt de første kapitlene, vil du måtte benytte papir og blyant for å kunne følge resonnementene. Du vil muligens finne kapitlene 1 til 5 relativt enkle, kapittel 6 temmelig vanskelig og kapittel 7 øyensynlig umulig. Hvis det er tilfelle, kan det kanskje være en idé å utsette dette kapittelet til du har fått mer matematisk erfaring. Men hvis du på den annen side ikke har noen som helst vanskelighet med kapitlene 1 til 5, kunne det kanskje være en tanke å lese kapittel 7 før ka­ pittel 6. Kapittel 7 er egentlig helt uavhengig av resten av boken, bortsett fra at det gjør bruk av en viktig setning om ulikheter som vi beviser i avsnitt 6.1.

11

Man kan lese tillegg C uavhengig av kapittel 7; det eneste man trenger, er setning 7.2. For dem som tidligere ikke har vært borti mengdeteori, vil ideene i tillegg C både være nye og interessante. Tillegg A, som dreier seg om eksistensen av uendelig mange primtall, er ikke nødvendig for forståelsen av resten av boken; det er tatt med på grunn av bevisets nære til­ knytning til bokens hovedtema og fordi denne elegante setningen stammer helt fra Euklids dager. Tillegg B om aritmetikkens fundamentalteorem er derimot viktig for forståelsen av store deler av boken, spesielt kapitlene 4 og 5. Beviset for denne satsen er plasert i et tillegg fordi det er temmelig langt og noe vanskeligere enn de andre bevisene i de fem første kapitlene. Hvis du ikke har noen særlig matematisk erfaring, kan du godt godta aritmetik­ kens fundamentalteorem uten bevis. Etter hvert av avsnittene står det oppgaver, og det an­ befales på det sterkeste at du løser en god del av disse for å kontrollere at du har forstått avsnittet. (Man kan ikke lære matematikk ved å se på at andre gjør det!) Noen av oppgavene er merket med en stjerne; det betyr at de er litt vanskeligere enn de andre, og du behøver slett ikke fortvile hvis du ikke klarer å løse dem. Om du lykkes eller ikke er som oftest avhengig av den matematiske moden­ het du har oppnådd, det vil si det kjennskap du har til en relativt stor mengde matematiske metoder fra andre deler av matematikken. Svarene til oppgavene står helt til slutt i boken sammen med forslag til løsning av noen av de vanskelige problemene. Det reelle tallsystemet, som altså består av rasjonale og irrasjonale tall, kan studeres på mange forskjellige nivåer når det gjelder logisk stringens. (I matematikken brukes ordet «stringens» når man utvikler et emne, for å angi i hvilken grad man går ut fra et omhyggelig utarbeidet lo­ gisk standpunkt, i motsetning til et mer intuitivt stand­ punkt hvor man aksepterer visse antagelser som korrekte

12

fordi de til en viss grad synes selvfølgelige eller fornuf­ tige.) Formålet med denne boken er å gi en rask oversikt over emnet, og følgelig bygger vi nokså mye på vanlig intuisjon. Av den grunn kan det godt hende at en vor­ dende matematiker etter å ha lest boken, en dag vil få lyst til å se en strengt aksiomatisk utvikling av det reelle tallsystem. Hvorfor? Jo, fordi vi i denne boken benytter en metode som er så beskrivende at den lar noen grunn­ leggende spørsmål bestå ubesvart. I kapittel 3 blir det for eksempel sagt at det reelle tallsystem kan beskrives på den måten, på den måten og på den måten. Kan man være helt sikker på at dette er tre ekvivalente beskrivelser av samme system? Eller for å gi et annet eksempel på et spørsmål som ikke besvares i denne boken: Hvordan kan man vite at j/2 • j/3 = |/6 eller at j/5 • = p35? For å kunne gi svar på slike spørsmål må man først gi nøyak­ tige definisjoner av regneoperasjonene for de reelle tall. Det vil vi ikke gjøre her, fordi det ikke er så enkelt som det kanskje kan synes, og fordi det er best å utsette en slik behandling av temaet til leseren ikke bare har større mate­ matisk dyktighet, men også har lært å forstå meningen ved matematiske bevis. Det er ikke mulig i denne sammenheng å gi en kortfattet definisjon av hva man krever av et matematisk bevis, og dette viser seg ofte å være en av de største vanskelighetene for begynneren i matematikk. Hvis man ikke i detalj kan beskrive eller formulere hva man mener med et bevis, hvordan kan da noen forstå hva som er et bevis og hva som ikke er det? Dette lærer man, for å bruke en overforenklet analogi, på samme måte som et barn lærer å skilne mellom de forskjellige fargene, nemlig ved å følge med når en annen observerer en grønn gjenstand eller en blå gjen­ stand og så ape etter ham. I begynnelsen tar man gjerne feil fordi man ennå ikke har fått full forståelse av kategorienes innhold, men til slutt skjønner eleven trickset. Slik er det også når det gjelder spørsmålet om matematiske

13

bevis. En del av boken er ment som et forsøk på å kaste lys over bevisteknikkene, for å gjøre deg kjent med be­ visets begreper og metoder. Så selv om vi ikke kan gi en vanntett oppskrift på hva som er et bevis og hva som ikke er det, kan vi i alle fall si enkelte ting om saken og håpe at du, før du er ferdig med boken, ikke bare vet hva et bevis er, men også gleder deg over å lage nye på egen hånd.

1

Naturlige og hele tall

Det mest grunnleggende av matematikkens tallsystemer består av de alminnelige tallene man bruker når man teller: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Dette er de positive heltall som også kalles de naturlige tall. Det minste naturlige tall er 1, men det finnes ikke noe største naturlige tall, for uansett hvilket tall man velger, finnes det et naturlig tall som er større. Av denne grunn sier man at det eksisterer uendelig mange naturlige tall. Hvis man legger sammen to fritt valgte naturlige tall, blir resultatet alltid et naturlig tall; for eksempel er 4 + 4 = 8 og 4 + 7 = 11. På samme måte får man også alltid et naturlig tall når man multipliserer to naturlige tall med hverandre; for eksempel er 4 x 7 = 28. Disse to egen­ skapene ved det naturlige tallsystem kan man sammen­ fatte i setningen: De naturlige tall er lukket med hensyn til addisjon og lukket med hensyn til multiplikasjon. Hvis man med andre ord har en mengde gjenstander (for eksem­ pel alle naturlige tall) og en operasjon (for eksempel addi­ sjon) som er slik at man, uansett hvilke elementer fra mengden man velger å la operasjonen virke på (for eksem­ pel 4 og 7), som resultat får et element i den opprinnelige mengden, sier man at mengden er lukket med hensyn til denne operasjonen. La oss ta for oss de tre tallene 1, 2 og 3. Denne mengden, som bare består av tre tall, er ikke

15

lukket med hensyn til addisjon; for eksempel er 1 + 3 = 4 og 4 er jo ikke element i mengden. Når vi snakker om mengden av naturlige tall, mener vi alltid den mengden som består av alle naturlige tall. Hvis vi bare vil betrakte noen av dem, må vi spesifisere hvilke vi tar med i vår mengde. Vi har altså sett at mengden av naturlige tall er lukket med hensyn til addisjon, men at den spesielle meng­ den som bare består av de tre tallene 1, 2 og 3, ikke er det. De naturlige tall er ikke lukket med hensyn til sub­ traksjon. For å bevise dette, er det tilstrekkelig å vise at det ikke er alle subtraksjoner av et naturlig tall fra et annet naturlig tall som fører til et naturlig tall. Hvis man for eksempel subtraherer 7 fra 4, er resultatet, —3, ikke noe naturlig tall. Naturligvis er resultatet av subtraksjonen 7-4 = 3 et naturlig tall, men ifølge definisjonen kan man ikke si at en mengde er lukket med hensyn til subtraksjon hvis ikke resultatet av alle tenkelige subtraksjoner er inne­ holdt i mengden. De naturlige tall er heller ikke lukket med hensyn til divisjon, for eksempel gir jo 4 dividert med 7 resultatet y som ikke er noe naturlig tall. I mange tilfelle kan imidlertid to naturlige tall divideres med hverandre og gi et naturlig tall som svar, for eksem­ pel er 35 dividert med 5 lik 7. Vi sier da at 5 går opp i 35, at 5 er en faktor i 35, eller at 35 er delelig med 5. Det samme kan også uttrykkes på følgende måte: 35 er et (helt) multiplum av 5. La b og d representere to vilkårlige naturlige tall; hvis det da finnes et tredje naturlig tall k slik at b = dk, sier man at d er en faktor i b eller at b er et multiplum av d. I det siste eksempelet var b = 35 og d = 5 mens k naturligvis hadde verdien 7. Vi valgte spe­ sielt å bruke bokstavene d og k fordi de minner oss om ordene «divisor» og «kvotient». 1.1 PRIMTALL

Hvor mange tall går opp i 35? Svaret er fire; det kan man se ved å stille opp disse divisorene: 1, 5, 7, 35. Spørsmålet

16

var enkelt fordi tallet 35 ikke er særlig stort. Men la oss se på dette problemet: Hvor mange tall går opp i 187? Nå er det ikke lenger så lett å svare, men ved å prøve med 1, 2, 3, osv., viser det seg at resultatet igjen er fire, nemlig 1, 11, 17, 187. Det kan hende at det ville ha voldt deg et visst besvær å finne divisorene 11 og 17, men divi­ sorene 1 og 187 var selvfølgelige. Det er likeledes klart at 1 og 179 går opp i 179; det viser seg imidlertid at det ikke finnes andre divisorer. Når et naturlig tall bare har to divisorer, som det naturlige tallet 179, kaller man tallet for et primtall. Dette kan også sies på en annen måte: Et primtall er et naturlig tall som bare er delelig med 1 og tallet selv. De første primtallene, ordnet etter størrelse, er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Legg merke til at 1 ikke er stilt opp som primtall. At man ikke regner 1 som primtall, skyldes en matematisk kon­ vensjon eller overenskomst; eller for å si det på en annen måte: det er en definisjonssak. Matematikerene er blitt enige om at 1 ikke skal kalles et primtall. Man kunne godt ha fattet det omvendte vedtak og ha regnet 1 blant prim­ tallene. Men når man ikke gjør det, kan man stille opp setninger om primtall uten å måtte gjøre unntak og innskrenkninger, noe du vil komme til å oppdage senere i boken. OPPGAVER

1

(De stjernemerkede oppgavene er vanskeligere enn de andre.) 1. Avgjør hvilke av følgende utsagn som er sanne og hvilke som er gale: (a) Mengden 1, 0, —1 er lukket med hensyn til addisjon. (b) Mengden 1, 0, — 1 er lukket med hensyn til multiplikasjon. (c) Mengden 1, 0, —1 er lukket med hensyn til subtraksjon. (d) Mengden av positive potenser av 2, det vil si mengden 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, ..., er lukket med hensyn til multi­ plikasjon. *(e) Mengden av positive potenser av 2 er lukket med hensyn til addisjon. 2 Reelle tall

17

2. Hvor mange tall går opp i 30? 3. Hvor mange tall går opp i 16? 4. Finn det minste naturlige tall som er delelig med nøyaktig tre tall. 5. Skriv opp alle primtallene mellom 50 og 100. *6. Bevis at hvis 3 er faktor i to tall, så er 3 også faktor i summen og differansen av de to tallene. Generalisér dette beviset, og vis at hvis d er felles faktor i to tall bi og Z>2> så er d også faktor i b\ + Z>2 og b\ — bz. 1.2 ENTYDIG FAKTORISERING

Primtallene blir sjeldnere og sjeldnere etter som man be­ trakter større og større naturlige tall. For å illustrere hva vi mener med dette, har vi laget følgende tabell som sier at det er 168 primtall mellom 1 og 1000, 135 primtall mellom 1000 og 2000, 127 primtall mellom 2000 og 3000, 120 primtall mellom 3000 og 4000, 119 primtall mellom 4000 og 5000.

Likevel finnes det uendelig mange primtall; det er bevist i tillegg A helt til slutt i boken. Beviset krever ingen spe­ sielle forutsetninger, så hvis du vil, kan du godt lese det med en gang. Årsaken til at beviset er plasert i et tillegg, er at vi ikke behøver dette resultatet til å underbygge noen av de andre resultatene i boken. Den eneste grunnen til at beviset overhodet er tatt med, er at resultatet er interes­ sant i seg selv. Alle naturlige tall, unntatt 1, er enten primtall eller kan faktoriseres i primfaktorer (dvs. faktorer som er primtall). Vi kan for eksempel undersøke tallet 94 680 som tydelig­ vis ikke er noe primtall siden det kan skrives som

94 860 = 10 • 9486.

9486 er videre delelig med 2, med 3 og endog med 9. Følgelig kan vi skrive 18

94 860 = 10 • 2 • 9 • 527 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 527.

Hvis 527 hadde vært et primtall, ville vi med dette ha hatt en faktorisering av 94 860 i primfaktorer. Men 527 er ikke noe primtall fordi 527 = 17 - 31. 94 860 faktonsert i prim­ faktorer kan altså skrives

94 860 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 17 • 31. Vi brukte det spesielle tallet 94 860, men fremgangsmåten er brukelig på et hvilket som helst naturlig tall n. n er jo enten et primtall eller ikke. Hvis det ikke er et primtall, kan det spaltes opp i to mindre tall, for eksempel a og b, slik at n = ab. Hvert av tallene a og b er i sin tur enten primtall eller kan faktoriseres i mindre tall. Ved å fort­ sette på denne måten får man til slutt spaltet n i prim­ faktorer. I forrige avsnitt skilte vi mellom primtall og andre natur­ lige tall. I matematikken er det ofte ønskelig å gjøre defini­ sjonene så generelle at man ikke behøver å dele et pro­ blem i flere forskjellige spesialtilfeller. Med «faktorisering i primfaktorer» mente vi for eksempel å gjengi et tall, la oss si 12, som et produkt av flere primtall, i vårt tilfelle 2-2-3. Nå utvider vi begrepet «faktorisering i primfak­ torer» til også å omfatte et enkelt primtall, slik at vi her­ etter kan si at primtallet 23 har en primtallsoppløsning som bare består av den ene primfaktoren 23. Når vi bru­ ker denne utvidete betydningen av uttrykket «oppløsning i primfaktorer», kan vi erstatte vår opprinnelige påstand med denne setningen «Alle naturlige tall, unntatt 1, kan faktoriseres i primfaktorer». På denne måten har vi fått et kortere uttrykk, og det er ikke lenger nødvendig å skille mellom primtall og andre naturlige tall, i alle fall ikke når det gjelder setningen om oppløsning i primfaktorer. Det er et grunnleggende resultat i matematikken at faktoriseringen av et naturlig tall i primfaktorer bare kan fore-

tas på en eneste måte. For eksempel kan ikke 94 860 spal­ tes i andre primtall enn dem vi har stilt opp tidligere. Na­ turligvis kan rekkefølgen varieres; for eksempel er det jo også riktig at 94 680 = 3 - 17-2-5-31 - 3-2. Men når man ser bort fra slike forandringer i rekkeføl­ gen, kan man ikke faktorisere 94 680 i primfaktorer på noen annen måte. Dette resultatet, som kalles aritmetikkens fundamentalteorem, har følgende ordlyd: ARITMETIKKENS FUNDAMENTALTEOREM. Et vilkårlig natur­

lig tall forskjellig fra 1, kan faktoriseres i primfaktorer på én og bare én måte, når man ser bort fra rekkefølgen av faktorene.

Setningen er bevist i tillegg B, og den er et resultat som vi skal gjøre mye bruk av etter hvert som vi arbeider oss fremover i stoffet. Årsaken til at vi har plasert beviset i et tillegg, er at det er temmelig vanskelig. Beviset bygger imidlertid ikke på noe av det vi kommer inn på senere i boken, så hvis du vil, kan du godt finne frem tillegg B med en gang. Men du kan også utsette tillegg B til et senere stadium hvis du helst vil ta det letteste først og øke vanskelighetsgraden etter hvert. Formuleringen av aritmetikkens fundamentalteorem forklarer til en viss grad hvorfor man ikke regner med 1 blant primtallene. Hvis 1 hadde vært et primtall, kunne man nemlig ha skrevet

35 = 5 • 7 = 1 • 5 • 7, slik at 35 (og et hvilket som helst annet naturlig tall) kunne skrives som et produkt av primfaktorer på mer enn en måte. Fundamentalteoremet ville selvfølgelig frem­ deles være gyldig, men man måtte formulere det på en mer innviklet måte ved hjelp av uttrykk som «unntatt ...»

20

eller «hvis ikke ...». Ved å utelate 1 kan man altså ut­ trykke setningen kortere og mer elegant. 1.3 HELE TALL

Det naturlige tallsystem er lukket med hensyn til addisjon og multiplikasjon, men ikke med hensyn til subtraksjon og divisjon. Systemet kan gjøres lukket med hensyn til subtraksjon ved at man tilføyer null og de negative tallene 0, -1, -2, -3, -4, -5, ....

Man får da det som kalles systemet av hele tall, eller kort heltallene ...,-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2, 3,4, 5,....

Du kjenner sannsynligvis allerede de grunnleggende regne­ reglene a+b = b + a,

ab + ba,

a • 0 = 0 • a = 0,

(a + />) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc\ a + 0 = 0 + a = a,

= ab,

a • 1 = 1 • a = a,

a(b + c) = ab + ac,

der a, b og c er vilkårlige hele tall. Disse reglene gjelder i alle de tallsystemene vi skal diskutere i denne boken. Vi har ikke tenkt å gå nærmere inn på hvorfor reglene er riktige. (Det kan du lese om i Realboken «Den nye mate­ matikken».) For å kunne gjennomføre en slik undersø­ kelse må man nemlig først studere grunnlaget for tall­ systemene, og det fører en langt vekk fra det emnet vi vil prøve å belyse her. Vårt formål er å utlede en rekke av tallenes forskjellige egenskaper; spesielt skal vi gå nær­ mere inn på de irrasjonale talls merkverdigheter, og i dette studiet skal vi ta grunnlaget for gitt. Systemet av hele tall er altså lukket med hensyn til addi­ sjon, subtraksjon og multiplikasjon. Men det er ikke luk21

ket med hensyn til divisjon, for eksempel er jo 2 dividert med 3 ikke noe helt tall; divisjonen fører oss ut av meng­ den av hele tall. La oss, før vi definerer divisjon av hele tall, undersøke de andre operasjonene og resultatet av dem. Når det gjel­ der addisjon av hele tall, ser vi for det første at summen av to heltall alltid er et heltall, og for det annet at det bare finnes et eneste helt tall som representerer denne summen. For eksempel er summen av -1 og 3 lik 2, ikke 5 og heller ikke noe som helst annet helt tall. Man kan ut­ trykke dette faktum ved å si at når man har gitt to heltall, så finnes det et entydig bestemt helt tall som er hk sum­ men av de to. Det samme gjelder for multiplikasjon: gitt to hele tall, og det finnes et entydig bestemt tredje heltall som representer produktet av de to. Da vi behandlet divisjon av naturlige tall, så vi at det ikke alltid er sant at det finnes et tredje tall k som kalles kvotienten, og som er slik at man, når man har gitt to fritt valgte naturlige tall b og d, har b = dk. Men det er på den annen side ganske klart at når det virkelig eksi­ sterer et slikt tall k, så er det det eneste; vi behøvde med andre ord ikke bry oss om å si at k skulle være et entydig bestemt naturlig tall slik at b = dk. Når vi nå skal de­ finere det samme divisjonsbegrepet i mengden av hele tall, må vi imidlertid ta med et krav om at kvotienten skal være entydig bestemt. Vi skal nå undersøke hvorfor dette er nødvendig. For det første må vi være enige om at det er ønskelig å bare ha ett svar på hvert av spørsmålene: Hva er 3 —7? Hva er (—2) • ( —3)? Hva er 8 : 4? Man vil gjerne ha et entydig resultat når man utfører disse operasjonene. Men la oss nå se hva som skjer når vi betrakter divisjon i mengden av hele tall. La atter en gang b og d være vil­ kårlige gitte heltall, og la oss definere kvotienten k som det heltallet som er slik at b = dk. For eksempel kan vi jo velge b = —12 og d = 3. Da må tydeligvis k = —4 22

siden -12 = 3 ■ (-4). Det finnes altså en k som passer, og den er entydig bestemt. La så b være et fritt valgt hel­ tall, og la d være det hele tallet 0. Vi skal se om vi kan finne en k slik at b = 0 • k. Hvis b / 0*, finnes det ingen slik k; ligningen kan med andre ord ikke løses når b / 0. Når b = 0, ser ligningen slik ut: 0 = 0 • k, og den til­ fredsstilles for et vilkårlig helt tall k. Så hvis det i det hele tatt finnes noen løsning av ligningen b = 0 • k, er den i alle fall ikke entydig bestemt. Det er viktig at resul­ tatet av en aritmetisk operasjon er entydig bestemt, og vi må lage vårt tallsystem slik at forholdet mellom to fritt valgte hele tall ikke bare eksisterer, men også er entydig bestemt. Dette gjør vi ganske enkelt ved å forby divisjon med null. Vi kan nå slå fast at d er en faktor i heltallet b hvis det finnes et entydig bestemt helt tall k slik at b — dk. (Av drøftingene ovenfor følger det da at d / 0.) Man kan også si at et helt tall d forskjellig fra null kalles en faktor i b hvis det finnes et helt tall k slik at b = dk. (Siden vi så bort fra 0 som en mulig faktor, vil kvotienten automatisk være entydig bestemt.) Tidligere har vi spurt: hvor mange tall går opp i 35? Da vi gjorde det, tenkte vi utelukkende på naturlige tall, slik at svaret var fire, nemlig 1, 5, 7 og 35. Hvis vi nå tolker spørsmålet som om det var ment at faktorene skulle være hele tall, er svaret åtte: ±1, ±5, ±7 og ±35. OPPGAVER

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

2

Går —5 opp i 35? Går 5 opp i 35? Går —5 opp i -35? Går 3 opp i 35? Går 1 opp i —35? Går 1 opp i 0? Går 0 opp i 1? Går 1 opp i 1? Går 0 opp i 0?

* Symbolet / betyr «er ulik».

23

10. Går 1 opp i alle hele tall? 11. Er 0 et multiplum av 35? 12. Vis at det er femogtyve primtall mellom 1 og 100 og enogtyve primtall mellom 100 og 200.

1.4 LIKE OG ODDE HELTALL

Man sier at et helt tall er like hvis det er delelig med 2, ellers er det odde. De Uke heltallene er altså -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

mens de odde heltallene er ..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ....

Siden et like heltall er delelig med 2, kan man skrive alle like heltall på formen 2n, der symbolet n står for et fritt valgt helt tall. Når man lar et symbol (som bokstaven n i denne formelen) stå for et vilkårlig element i en angitt mengde av gjenstander (mengden av hele tall i dette til­ fellet), sier man at den angitte mengden er symbolets definisjonsområde. I vårt tilfelle sier vi at et vilkårlig like hel­ tall kan skrives på formen 2n der definisjonsområdet for n er mengden av hele tall. For eksempel ser vi at de like heltallene 18, 34, 12 og -62 er på formen 2n med n lik henholdsvis 9, 17, 6 og —31. Det er ingen spesiell grunn for at vi bruker bokstaven n. I stedet for å si at de like hele tall er på formen 2n, kunne vi like gjerne ha sagt at de er hele tall på formen 2m, på formen 2j eller på for­ men 2k. Hvis man legger sammen to like heltall, blir resultatet et like heltall. Vi har eksemplene:

12 14 26

30 22 52

46 -10 -14 -46 32 — 56

Hvis man vil bevise det generelle prinsipp at mengden av like heltall er lukket med hensyn til addisjon, trenger man 24

imidlertid mer enn en samling eksempler. For å føre et slikt bevis, lar vi 2n stå for et like heltall og for eksempel 2.m for et annet like heltall. Vi kan stille opp addisjonen slik: 2m + 2n — 2(m + ri).

Her har vi skrevet summen 2m + 2n på formen 2(m + ri) for å vise at den er delelig med 2. Legg merke til at det ikke hadde klart seg om vi hadde skrevet

2n + 2n = 4« fordi dette representerer summen av et like heltall med seg selv. Denne påstanden sier ikke annet enn at to ganger et like heltall også er et like heltall (som endog er delelig med fire), i stedet for å bevise at summen av to fritt valgte like heltall er et like heltall. Derfor er det at man må bruke skrivemåten 2n for det ene like heltallet og 2m for det andre; man angir på denne måten at de ikke nødvendigvis er samme tall. Hvordan kan man skrive et symbol som representerer alle de odde heltallene? Vi legger merke til at når man adderer 1 til et like heltall, får man et odde heltall; følge­ lig må alle odde heltall kunne skrives på formen 2n +1. Men dette er ikke den eneste muligheten; vi kunne like gjerne ha bitt merke i at man får et odde heltall hver gang man subtraherer 1 fra et like heltall og som en konsekvens av dette, sagt at et vilkårlig odde heltall kan skrives på formen 2n — 1. Dessuten kunne vi også ha skrevet sym­ bolet for et fritt valgt odde heltall ved hjelp av uttrykkene 2« + 3, 2n— 3, 2k — 5 og så videre. Men er det riktig at et vilkårlig odde heltall kan skrives på formen 2n2+1? Hvis vi erstatter n i denne formelen med heltallene

..., -5, -4, -3, -2, -1,0, 1,2, 3, 4, 5, ...

får vi resultatene ..., 51, 33, 19, 9, 3, 1, 3, 9, 19, 33, 51, ....

25

Disse tallene er odde, men de representerer på ingen måte alle odde heltall. For eksempel kan man ikke skrive det odde heltallet 5 på denne formen. Med andre ord er det ikke riktig at et fritt valgt odde heltall kan skrives på formen 2n2+1, men riktig at et vilkårlig tall på formen 2n2 + 1 er odde. På samme måte er det galt at et fritt valgt like heltall kan skrives på formen 2k2 der definisjonsområdet for k er mengden av alle hele tall; 6 kan jo for eksempel ikke skrives som 2k2 uansett hvordan man velger k blant de hele tallene. Men det er sant at alle tall som kan skrives på formen 2k2, er like. Disse utsagnene står i samme forhold til hverandre som påstandene «alle katter er dyr» og «alle dyr er katter». Den første er selvfølgelig sann, i motsetning til den andre. Vi skal komme nærmere inn på slike relasjoner i forbin­ delse med påstander som inneholder uttrykkene «hvis», «bare hvis» og «hvis og bare hvis» (se avsnitt 2.3). OPPGAVER

3

Hvilke av følgende påstander er sanne og hvilke er gale? (Det er underforstått at definisjonsområdet for symbolene m, n, j, ... er mengden av hele tall.) 1. Alle odde heltall kan skrives på formen (a) 2j —1 (d) 2»2 + 3 (b) 2n + 7 (e)2n2 + 2n+l (c) 4n+l (f) 2m — 9 2. Alle heltall som kan skrives på formen (a), henholdsvis (b), (c), , (d) (e) og (f) i oppgave 1, er odde. 3. Alle like heltall kan skrives på formen (a) 2n + 4 (d) 2 — 2m (b) 4» + 2 (e) n2 + 2 (c) 2m — 2 4. Alle heltall som kan skrives på formen (a), henholdsvis (b), (c), (d) og (e) i oppgave 3, er like. 1.5 EGENSKAPER I FORBINDELSE MED LUKKETHET

Vi kommer til å få bruk for følgende to påstander i et senere kapittel:

26

(1) Mengden av like heltall er lukket med hensyn til multi­ plikasjon. (2) Mengden av odde heltall er lukket med hensyn til multi­ plikasjon.

Når vi skal bevise (1), må vi vise at produktet av to fritt valgte like heltall selv er et like helt tall. Symbolsk kan man representere to like heltall ved 2« og 2w; ved multi­ plikasjon får man da

(2m) (2«) = 4mn = 2(2m«). Produktet er delelig med to og følgelig et like tall. Når vi skal bevise (2), må vi vise at produktet av to fritt valgte odde heltall selv er odde. Vi skriver de to odde hel­ tallene som 2m +1 og 2n +1, og ved å multiplisere dem med hverandre, får vi (2m +1) (2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + \ = 2(2mn + m + ri) + 1.

Nå er jo 2(2mn + m + n) et like tall uansett hvilke hele tall man erstatter m og n med. Følgelig må 2(2mn + m + ri) + 1 være et odde heltall. Man kunne også ha bevist antagelsene (1) og (2) ved hjelp av setningen om entydigheten ved primtallsoppløsning, men vi skal ikke gå nærmere inn på det. (Kanskje du ser dette som en utfordring, og gjerne vil prøve for deg selv? Da bør du legge merke til at et helt tall er like hvis og bare hvis det inneholder primfaktoren 2.) Hittil har vi konsentrert oss om like og odde heltall, det vil si hele tall på formen 2m og på formen 2w+l. Hvorvidt et heltall er like eller odde, er avhengig av om det er delelig med 2 eller ikke. På lignende vis kan man undersøke mengden av hele tall som er delelige med 3, nemlig

..., -12, —9, —6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, .... 27

Disse er hele multipla av 3, og tallene kan beskrives som mengden av heltall som kan skrives på formen 3h. De hele tall som kan skrives på formen 3n +1, er -11, -8, -5, -2, 1,4, 7, 10, 13, ...

mens heltallene på formen 3n + 2 er ..., -10, -7, -4, -1,2, 5, 8, 11, 14, .... Sammen inneholder disse tre listene alle hele tall; vi kan altså si at et vilkårlig helt tall kan skrives på nøyaktig én av de tre formene 3«, 3n +1 eller 3« + 2. 1.6 EN BEMERKNING OM MATEMATISKE BEVIS

Tidligere har vi påpekt at det ikke er tilstrekkelig å stille opp noen få spesielle eksempler, som 12+14 = 26, når man skal bevise at mengden av like heltall er lukket med hensyn til addisjon, dvs. at summen av to fritt valgte like heltall alltid er et like heltall. Siden det finnes uende­ lig mange like heltall, kan man ikke undersøke alle mulig­ hetene bare ved å stille opp eksempler, det ville jo bli uendelig mange slike! Følgelig må man finne en annen algebraisk symbolisme; vi lot symbolet 2n representere et vilkårlig like helt tall og kunne på denne måten vise at mengden av like heltall er lukket med hensyn til addisjon. Hvis man derimot skal bevise et negativt utsagn som «Mengden av odde heltall er ikke lukket med hensyn til addisjon», behøver man ikke generelle symboler som 2m +1. Årsaken er at en slik antagelse kan bevises ved hjelp av et eneste eksempel. Hvis man vil bevise at det ikke er riktig at alle elementene i en mengde har en be­ stemt egenskap, er det øyensynlig tilstrekkelig å finne et enkelt element som ikke har egenskapen. Når man vil vise at alle gutter ikke har brune øyne, er det selvfølgelig nok å finne en blåøyd gutt. Når man skal vise at summer av to odde heltall ikke alltid er odde, kan man se på eksem­ pelet 3 + 5 = 8, og dette ene eksempelet på at addisjon

28

av to odde heltall kan gi et like heltall som svar, er til­ strekkelig for å bevise påstanden. Men hvis man vil vise at summen av to fritt valgte odde heltall er like, er det ikke lenger nok å stille opp regnestykket 3 + 5 = 8. Vi har ikke en gang et skikkelig matematisk bevis for påstan­ den selv om vi stiller opp en hel rekke stykker som 7+11 — 18, 5 + 53 = 58 og så videre. Et annet eksempel på et negativt utsagn er: «Alle prim­ tal er ikke odde». Ved å påpeke at det like heltallet 2 er et primtall, har man bevist denne påstanden. oppgaver

4

(De tre første oppgavene dreier seg om negative utsagn og kan følgelig bevises ved et enkelt numerisk eksempel i hvert tilfelle.) 1. Vis at mengden av odde heltall ikke er lukket med hensyn til subtraksjon. 2. Vis at mengden av hele tall på formen 3/z+l ikke er lukket med hensyn til addisjon. 3. Vis at mengden av hele tall på formen 3n + 2 ikke er lukket med hensyn til multiplikasjon. 4. Vis at summen av to fritt valgte odde heltall alltid er et like helt tall. 5. Vis at følgende mengder er lukket med hensyn til de angitte operasjonene: (a) Mengden av heltall på formen 3n +1 med hensyn til multi­ plikasjon, (b) mengden av heltall på formen 3n med hensyn til addisjon, (c) mengden av heltall på formen 3n med hensyn til multi­ plikasjon. 6. Avgjør hvilke av følgende mengder som er lukket med hensyn til de oppgitte operasjonene, og gi bevis i hvert enkelt tilfelle: (a) Heltallene på formen 6n + 3, ved addisjon, (b) heltallene på formen 6/z + 3, ved multiplikasjon, (c) heltallene på formen 6n, ved addisjon, (d) heltallene på formen 6w+l, ved subtraksjon, (e) heltallene på formen 6n+ 1, ved multiplikasjon, (f) heltallene på formen 3n, ved multiplikasjon, (g) de hele tall som ikke er på formen 3n, med hensyn til multi­ plikasjon.

29

2

Rasjonale tall

2.1 DEFINISJON AV RASJONALE TALL

Vi har sett at de naturlige tall 1, 2, 3, 4, 5, ... er lukket med hensyn til addisjon og multiplikasjon og at mengden av hele tall ..., -5, -4, -3, -2, -1,0, 1,2, 3,4, 5, ... er lukket med hensyn til addisjon, multiplikasjon og sub­ traksjon. Imidlertid er ingen av disse tallsystemene lukket med hensyn til divisjon, fordi man ved divisjon av hele tall kan få brøker som |, |, —f og så videre. Sammen ut­ gjør alle slike brøker mengden av rasjonale tall. Et rasjo­ nalt tall (eller en rasjonal brøk) er altså et tall som kan skrives på formen ajd, der a og d er hele tall og d ikke er lik null. Det er mange bemerkninger å knytte til denne definisjonen: (1) Vi måtte kreve at d skulle være forskjellig fra null. Dette kravet, som matematisk uttrykkes d / 0, er nød­ vendig fordi d brukes som divisor. Se for eksempel på disse regnestykkene: Tilfelle (a)

a = 21,

Tilfelle (b)

a = 25,

= 7L = 1 = 3; a 7 1 d = 7, 4 = ~ = 3^d 7 7 d=

I tilfelle (a) er d divisor, men d er også en faktor, siden 7 går opp i 21. I tilfelle (b) er d fremdeles divisor, men på en litt annen måte, siden 25 ikke er delelig med 7. I dette 30

tilfellet kaller man 25 for dividenden, 7 for divisoren, 3 for kvotienten og 4 for resten. Med andre ord bruker vi nå ordet divisor i en meget videre sammenheng enn i kapit­ tel 1, men det gamle divisorbegrepet forblir anvendelig i spesialtilfeller som (a), og følgelig må vi som i første kapit­ tel, kreve d 0. (2) Legg merke til at selv om uttrykkene rasjonalt tall og rasjonal brøk er synonymer, brukes ordet brøk til å be­ skrive et algebraisk uttrykk som både har teller og nevner, for eksempel x2—y2 —,— eller . 2 x x2—y2 (3) Definisjonen av rasjonale tall inneholdt ordene «et tall som kan skrives på formen afd, der a og d er hele tall og d ikke er lik null». Hvorfor er det ikke tilstrekkelig å si «et tall på formen ajd, der a og d er hele tall og d ikke er lik null»? Årsaken er at en gitt brøk kan skrives på uendelig mange forskjellige måter (for eksempel kan | også skrives som f, ... eller som 2 j/3/3 j/3 eller — 10/ — 15 for bare å nevne noen få skrivemåter), og man vil jo ikke at definisjonen av rasjonale tall skal være avhengig av den spesielle måten man velger å skrive dem på. En brøk er definert slik at den ikke forandrer verdi når man multipliserer teller og nevner med samme stør­ relse; man kan imidlertid ikke alltid avgjøre hvorvidt en brøk er rasjonal bare ved å kaste et blikk på den. Se for eksempel på tallene ]/12 |/15 Og ~=. 1/3 |/3

Ingen av dem er på formen afd, med a og d lik hele tall. Imidlertid kan vi utføre visse aritmetiske operasjoner på den første brøken og få |'12 |/3

j/4-3 | 3

2/3 |/3

2 1 ’

31

På denne måten kommer vi altså frem til et tall som er like stort som brøken, men som er skrevet på den angitte form a/d, med a = 2 og d = 1. /12//3 er følgelig et ra­ sjonalt tall, selv om det ikke ville ha vært det hvis man i definisjonen hadde krevet at tallet skulle være på den riktige formen fra begynnelsen av. Når det gjelder |/15/|/3, får vi på samme måte

Brøken er altså lik tallet |/5. I et senere kapittel skal vi se at /5 ikke kan skrives som et forhold mellom to hele tall, og at det følgelig er irrasjonalt. (4) Legg merke til at de hele tallene er rasjonale tall. Vi har nettopp vist dette når det gjelder tallet 2, og helt generelt kan heltallene skrives på formen

-2-101 med nevner lik 1. OPPGAVER

5

1. Vis at det hele tallet 2 kan skrives på rasjonal form afd (med a og d lik hele tall) på uendelig mange måter. 2. Vis at det rasjonale tallet | kan skrives på rasjonal form ajd på uendelig mange måter. 3. Vis at det hele tallet 0 kan skrives på rasjonal form afdpå uende­ lig mange måter. 4. Vis at et vilkårlig rasjonalt tall kan representeres på rasjonal form på uendelig mange måter. 5. Definisjon: La k være et vilkårlig tall. Den inverse til k er det tallet l som er slik at k • l = 1. En konsekvens av denne definisjonen er at alle tall, bortsett fra 0, har inverser. Hvis man har gitt k 0 er dens invers / bestemt av ligningen k • l = 1, slik at

som bare har mening når k 0. Bevis at inversen til et vil­ kårlig tall (unntatt null) er rasjonal.

32

2.2 ENDELIGE OG UENDELIGE DESIMALTALL

Bortsett fra skrivemåtene | og så videre, kan det ra­ sjonale tallet | også representeres på en annen måte, nem­ lig som et desimaltall, 0,5. Noen brøker kan representeres ved desimaltall som er endelige, for eksempel

1 = 0,5 L = 0,4 -L = 0.0125Z 3 ov Andre brøker har imidlertid uendelige desimaltallutviklinger, som for eksempel

y = 0,33333... 1 = 0,16666... -A-= 0,454545....

Man kommer frem til disse desimaltallene ved å dividere brøkens teller med dens nevner. Hvis vi tar tilfellet ~, dividerer man her 5,0000... med 11 og får resultatet 0,454545.... Hvilke av de rasjonale brøkene afb har endelige desimaltallrepresentasjoner? Før vi gir et generelt svar på dette spørsmålet, skal vi se litt nærmere på et eksempel; la oss bruke det endelige desimaltallet 0,8625. Vi ser at 0,8625 =

8625 10000

og at et vilkårlig endelig desimaltall kan skrives som en rasjonal brøk med nevner lik 10, 100, 1000 eller en annen potens av 10. Hvis vi forkorter brøken på høyre side mest mulig, * får vi 08675 =

0,86 5

10000

= ^_

80 ’

Nevneren 80 fikk vi ved å dividere 10 000 med 125 som er den største felles faktor for 10 000 og 8625. Nå viser det seg at heltallet 80, akkurat som 10 000, bare har primfaktorene 2 og 5 i sin primtallsoppløsning. Uansett hvilket * Det rasjonale tallet ajb er forkortet mest mulig hvis a og b ikke har andre felles faktorer enn 1. 3 Reelle tall

33

endelig desimaltall man begynner med i stedet for 0,8625, vil den tilsvarende rasjonale brøk ajb ha samme egenskap når den er forkortet mest mulig. Brøkens nevner vil altså kun ha primfaktorene 2 og 5, fordi b alltid er faktor i en tierpotens og 10 = 2 • 5. Dette viser seg å være det av­ gjørende punkt, og vi skal nå bevise følgende generelle påstand: En rasjonal brøk a/b som er forkortet mest mulig, har en endelig desimaltallutvikling hvis og bare hvis heltallet b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5. Dette betyr ikke at b må inneholde både 2 og 5 for at desimaltallutviklingen skal være endelig, den vil nemlig også være endelig hvis b bare inneholder den ene eller ingen av disse primfaktorene:

Fil 1 ~ 0,0625 4-=7,0. 7 57-=0,04 vz Her har b verdiene 25, 16 og 1. Det vesentlige er at b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5. Legg merke til ordene hvis og bare hvis i påstanden. Hittil har vi undersøkt bare hvis-teten fordi vi viste at man har en endelig desimaltallutvikling bare hvis b er delelig med primtallene 2 eller 5 og ingen andre. (Brøken ajb forkortet mest mulig, vil med andre ord ikke ha noen endelig desimaltallutvikling hvis b er delelig med andre primtall enn 2 og 5.) 7/ws-delen av påstanden fastslår: hvis heltallet b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5, har den rasjonale brø­ ken afb der a og b ikke har noen felles faktor, en endelig desimaltallutvikling. Når vi skal bevise /zuzs-delen, må vi begynne med en vilkårlig rasjonal brøk ajb som er for­ kortet mest mulig, anta at b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5, og så bevise at den tilsvarende desimaltallut­ viklingen er endelig. La oss igjen først se på et eksempel a _ 9741 _ 9741 b ~ 3200 “ ‘

34

Når vi skal skrive denne brøken som et desimaltall, be­ høver vi ikke gjøre annet enn å omforme den til en brøk med en tierpotens som nevner. Dette gjør vi ved å multi­ plisere både teller og nevner med 55:

974! 27 • 52

974T5S = 30440625 _ 3

Denne fremgangsmåten kan generaliseres fra dette spe­ sialtilfellet til et helt vilkårlig tilfelle på følgende måte: Anta at b er på formen 2m • 5n der m og n er positive hele tall eller null. Da er n enten mindre eller lik m (dette skri­ ves n m) eller større enn m (som skrives n > m). Når n m multipliserer vi både teller og nevner med 5m~n: a

a a- 5m~n _ a■ 5m~n _ a• 5m~n ~ 2,m . §n — 2ra • 5n • 5»ra-n — 2W • 5m ~ 10w

Siden m — n enten er et positivt tall eller null, er 5m~n et helt tall, og følgelig er også a • 5m~n et helt tall, for eksem­ pel lik c. Vi kan altså skrive a _ c ~b ~ 10™ ’ og siden divisjon av heltallet c med 10™ ganske enkelt krever at vi flytter kommaet et visst antall plasser, får vi et endelig desimaltall. Hvis på den annen side n > m, multipliserer vi teller og nevner i brøken ajb med 2n~m:

a

a 2m .

_ a - 2n~m _ a • 2n~m _ a • 2n~m ~ 2m • 5n - 2n~m ~ 2n • 5n ~ 10”

Skriver vi så d for det hele tallet a • 2n m, får vi a _

d

y “To”’ Desimaltallet blir altså endelig akkurat som før. 3»

35

OPPGAVER

6

1. Skriv følgende brøker som endelige desimaltall: . . 1 . 3 . . 321 ... 7 . . 352 ... 3149 (a) 4 (b) 200 400 (d) 625 (e) 125’ 2500

2.3

FORSKJELLIGE MÅTER Å STILLE OPP OG BEVISE PÅSTANDER PÅ

Vi har brukt uttrykket hvis og bare hvis uten å stille opp en nøyaktig definisjon av hva vi mener med det. På dette punkt skal vi derfor gjøre en pause i vår diskusjon av ra­ sjonale tall og kort komme inn på noe av den språkbruk som anvendes i matematiske utsagn, og dessuten knytte forbindelsen mellom ordbruken og den underliggende lo­ gikk. Man har to slags fundamentale utsagn i matema­ tikken : Hvis A, så B. Hvis A, så B og omvendt.

Vi skal undersøke dem hver for seg. Når vi, som i avsnitt 1.5, sier «hvis m og n er like hel­ tall, så er mn også like», har vi å gjøre med et utsagn av formen «hvis A, så B». Et slikt utsagn kan imidlertid for­ muleres på mange måter, noe følgende tabell tydelig viser:

Forskjellige formuleringer av utsagnet «Hvis A, så B» (1) Hvis A er sann, så er B sann. (2) Hvis A gjelder, så gjelder B. (3) A impliserer B. (4) B impliseres av A. (5) B følger av A. (6) A er en tilstrekkelig betingelse for B. (7) B er en nødvendig betingelse for A. (8) B er sann forutsatt at A er sann. (9) B er sann hvis A er sann. (10) A er sann bare hvis B er sann. (11) Det er umulig å ha A sann og B gal på samme tid. (12) Hvis B er gal, så er A gal. 36

Denne listen inneholder ikke annet enn de mest vanlige uttrykksmåtene og er slett ikke fullstendig siden det prak­ tisk talt ikke finnes grenser for hvor mange måter man kan formulere utsagnet på. Noen av formuleringene, som for eksempel (6) og (7), vil ikke bli brukt i denne boken, men er tatt med for å gjøre listen mer komplett. Man kan be­ trakte alle utsagnene unntatt (12) som definisjoner av slike uttrykk som «impliserer», «nødvendig betingelse», «tilstrekkelig betingelse» og «bare hvis». Ta for eksempel (10) som angir hvorledes man bruker uttrykket «bare hvis» i matematikken. Hvis vi erstatter symbolene A og B med påstandene om m og n fra disku­ sjonen i avsnitt 1.5, kan vi av (10) slutte at følgende på­ stander uttrykker akkurat det samme.

«Hvis heltallene m og n er like, er heltallet mn like.» «Heltallene m og n er like bare hvis heltallet mn er like.»

Hvis du har på følelsen at disse påstandene slett ikke sier det samme, skyldes det utelukkende at du er blitt vant til en eller annen hverdagslig bruk av ordet «bare». I så fall bør du merke deg denne forskjellen mellom matematisk språkbruk og vanlig norsk tale. Selv om de to uttrykks­ formene har meget til felles, finnes det enkelte utpregete forskjeller, som for eksempel den vi snakker om i øye­ blikket. (Når man er blitt vant til det matematiske fag­ språket, kan man hvis man vil, bruke det som hverdags­ språk. Ulempen ved et slikt valg er at mannen i gaten vil betrakte det som pedantisk, affektert eller i det minste kjedelig.) Hittil har vi ikke sagt annet i forbindelse med denne listen over forskjellige uttrykk for «hvis A, så B», enn at uttrykkene (1) til (11) kun er grunnet på overenskomster om hvordan man bruker ord i matematikken. Uttrykks­ måte (12) representerer derimot ikke bare en ny måte å ordlegge seg på, men også et fundamentalt aksiom i logik­ ken. Det faktum at (12) sier det samme som «hvis A, så

37

B», er en følge av logikk, og er ikke bare et annet arrange­ ment av ordene. Det aksiomet i logikken som vi snakker om, fastslår at A enten er sann eller gal når A er et vil­ kårlig utsagn som kan analyseres. Det vesentlige ved aksi­ omet er at det utelukker noen tredje mulighet mellom ytterlighetene «A er sann» og «A er gal». La oss anta at aksiomet er gyldig, og på grunnlag av det vise at (1) og (12) er ekvivalente. Dette gjør vi ved først å vise at (1) medfører (12) og så vise at (12) medfører (1). Vi antar altså først (1) og ser på (12): «Hvis B er gal, så er A gal.» Er det mulig at denne slutningen er gal; skulle det kanskje være «så er A sann»? Hvis det var tilfelle kunne vi ved hjelp av (1) slutte at B er sann, og det motsier jo antagel­ sen i (12). Følgelig må konklusjonen være «så er A gal». La oss omvendt anta (12) og bevise at (1) følger av det: «Hvis A er sann, så er B sann.»

Vi spør igjen om slutningen er gal; skulle det kanskje ha stått «så er B gal»? Hvis det var tilfelle ville vi ved hjelp av (12) kunne slutte at A er gal, i motsetning til antagelsen i (1). Derfor er «så er B sann» den riktige konklusjon. Utsagnene (11) og (12) belyser egenskapene ved in­ direkte bevis. Anta at man vil bevise påstanden «hvis A, så B». Et direkte bevis er et bevis der man går ut fra A som gitt og på det grunnlag utleder B. Men ved å bruke utsagn (11), ser vi at vi kan føre et bevis ved samtidig å anta at A er sann og B er gal og utlede en selvmotsigelse på dette grunnlag. En slik utledning av en selvmotsigelse er en av metodene ved indirekte bevisførsel. Indirekte be­ vis kjenner man igjen på de antagelsene som gjøres, man begynner som regel med å anta at den påstanden som skal bevises, er gal. Man kan også kjenne igjen indirekte bevis ved å undersøke språket i slutten av beviset; indirekte be-

38

vis ender gjerne med en setning som «... følgelig har vi en selvmotsigelse og setningen er bevist». En annen slags indirekte bevis bygger på (12). Når man skal bevise påstanden «hvis A, så B», kan man starte med å anta at B er gal og derav utlede at A er gal. Vi kan opp­ summere de tre forskjellige formene for bevis på denne

måten: Anta A, utled B. (Direkte bevis.) Anta A sann og B gal, utled en selvmotsigelse. (En form for indirekte bevis.) Anta B gal, utled at A er gal. (En annen form for indirekte

bevis.) Nå er det en eiendommelighet ved matematikkbøker (blant annet den du leser nå) at de benytter seg fritt av disse tre forskjellige bevisformene, ofte uten å angi klart hvilken form som brukes i det enkelte tilfelle! Man venter i virke­ ligheten av leseren at han selv skal finne ut hva slags bevismetode som anvendes, ellers vil han jo ikke kunne følge med. Dette er imidlertid ikke særlig vanskelig, som regel klarer det seg å undersøke hvilke antagelser som gjøres i begynnelsen av beviset. La oss så se på den andre typen av matematiske utsagn:

«Hvis A, så B og omvendt.» som vi så vidt var inne på i begynnelsen av dette avsnittet. Ordene og omvendt betyr «hvis B, så A», som jo er det omvendte av «hvis A, så B». Du er ganske sikkert klar over at et utsagn og det omvendte utsagn er to forskjellige ting. Det ene kan være sant mens det andre er galt, de kan begge være sanne eller begge gale, alt avhengig av om­ stendighetene. For eksempel er utsagnet «hvis m og n er like heltall, så er mn et like helt tall» sant, mens det om­ vendte «hvis mn er et like helt tall, så er m og n like hel­

tall» er galt. 39

Vi skal nå stille opp en liste som ligner den forrige. Denne gangen inneholder den forskjellige formuleringer av utsagnet «hvis A, så B og omvendt»:

Hvis B, så A og omvendt. A er sann hvis og bare hvis B er sann. B er sann hvis og bare hvis A er sann. A er gal hvis og bare hvis B er gal. B er gal hvis og bare hvis A er gal. A impliserer B og omvendt. B impliserer A og omvendt. A er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for B. B er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for A. A og B er ekvivalente utsagn. Alle disse setningene sier akkurat det samme. Men la oss så se på den store mengden av bevismetoder som kan anvendes når man vil bevise en påstand av typen «hvis A, så B og omvendt». Som vi har sett, finnes det tre vesensforskjellige måter å bevise utsagnet «hvis A, så B» på. Følgelig kan man også bevise utsagnet «hvis B, så A» på tre forskjellige måter, og siden en hvilken som helst av de første metodene kan kombineres med hver av de tre siste bevismetodene, finnes det i alt ni forskjellige former for bevis av utsagnet «hvis A, så B og omvendt». Den metoden som sannsynligvis er den mest alminnelige, er å føre direkte bevis hver vei, altså (1) Anta A, utled B. (2) Anta B, utled A. En annen fremgangsmåte som er meget brukt, er

(1) Anta A, utled B. (2) Anta A gal, utled B gal. I mer innviklede bevis er disse mønstrene ofte slått sam­ men. Et bevis for påstanden «hvis A, så F» kan føres ved hjelp av denne kjeden av påstander: «hvis A, så B», «hvis 40

B, så C», «hvis C, så D», «hvis D, så £», «hvis E, så F». I denne kjeden impliserer hvert av utsagnene det neste ut­ sagnet i kjeden. Hvis man kan bevise hver av disse på­ standene og den omvendte påstand ved hjelp av en av de oppstilte metodene, har man straks vist at «hvis F, så E», «hvis E, så D», «hvis D, så C», «hvis C, så B», «hvis B, så A» slik at det omvendte av «hvis A, så F», nemlig «hvis F, så A», også er vist å gjelde. Når en forfatter sier at «det omvendte kan bevises ved å vende om hvert av trinnene», så er det dette han mener. Man kan støte på alle disse metodene i en matematikkbok, og som vi allerede har sagt, skjer det svært ofte at forfatteren går i gang med beviset uten først å si hvilken bevismetode han har tenkt å bruke. Forfatteren venter av leseren at han selv skal klare å finne ut hvilken metode som anvendes. oppgaver

7

1. Bevis at påstanden «hvis mn er et like helt tall, så er m og n like heltall» er gal. 2. Hvilke av følgende påstander er gale og hvilke er sanne? Den rasjonale brøken a/b forkortet mest mulig kan skrives som et endelig desimaltall (a) hvis og bare hvis b ikke er delelig med andre primtall enn 2; (b) hvis b ikke er delelig med andre primtall enn 2; (c) bare hvis b ikke er delelig med andre primtall enn 2; (d) hvis og bare hvis b ikke er delelig med 3; (e) hvis b ikke er delelig med 3; (f) bare hvis b ikke er delelig med 3. 3. Hvilke av følgende påstander er gale og hvilke er sanne? Den rasjonale brøken a/b kan skrives som et endelig desimaltall (a) hvis og bare hvis b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5; (b) hvis b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5; (c) bare hvis b ikke har andre primfaktorer enn 2 og 5. Hint: Legg merke til at det ikke er forutsatt at brøken a/6 er forkortet mest mulig. 4. En ny lærebok i algebra benytter følgende utsagn som aksiom: «ab = 0 bare hvis a = 0 eller b = 0». Skriv dette utsagnet på formen «hvis A, så B».

41

5.

(a) Bevis at hvis p (beta) er et rasjonalt tall, så er p2 også rasjonalt. (b) Følger det av dette beviset at P er irrasjonalt hvis P2 er irrasjonalt?

2.4 PERIODISKE DESIMALTALL

Vi skal nå vende tilbake til de rasjonale tallene. Tidligere har vi delt de rasjonale brøkene i to klasser: de som kan skrives som endelige desimaltall, og de som kan skrives som uendelige desimaltall. Nå skal vi vise at alle slike uendelige desimaltall inneholder en gruppe sifre som sta­ dig gjentas. For eksempel er 5 — = 0,454545...

og

3097

= 0,31282828....

For enkelhets skyld skal vi benytte den alminnelige metode til å angi et periodisk desimaltall, nemlig en strek over den siffergruppen som gjentas: