Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учебное пособие для студентов вузов по направлению "Прикладные математика и физика" [4-е изд., испр. и доп.] 9785741703786
Пособие написано на основе лекций, читавшихся автором студентам Московского физико-технического института (национального
199 87 12MB
Russian Pages 543 [547] Year 2023
Polecaj historie
!["Sevgili Milena" Mektuplar [4 ed.]](https://dokumen.pub/img/200x200/quotsevgili-milenaquot-mektuplar-4nbsped.jpg)
![Управление продуктом: учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям "Маркетинг", "Коммерция", "Менеджмент" [4-е изд.]
9785238013312](https://dokumen.pub/img/200x200/quotquot-quotquot-quotquot-4-9785238013312.jpg)
![Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учебное пособие для студентов вузов по направлению "Прикладные математика и физика" [4-е изд., испр. и доп.]
9785741703786](https://dokumen.pub/img/200x200/quot-quot-4-9785741703786.jpg)
Citation preview
А. Е. Умнов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
А. Е. Умнов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 4-е издание, исправленное и дополненное
Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов вузов по направлению «Прикладные математика и физика»
МОСКВА
МФТИ 2023
УДК 514.12(075) ББК 22.151.59я73 У54 Р е ц е нз е нт ы : Кафедра кибернетики Московского государственного института электроники и математики (технического университета) (зав. каф. доктор технических наук, профессор В. Н. Афанасьев) Доктор физико-математических наук, профессор В. В. Дикусар
У54
Умнов, А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра : учеб. пособие / А. Е. Умнов. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : МФТИ, 2023. – 544 с. ISBN 978-5-7417-0378-6
Пособие написано на основе лекций, читавшихся автором студентам Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) в 1994 − 2012 гг., и является введением в теорию линейных пространств, состав и упорядочение материала которого определены ориентацией на прикладной характер специализации читателя. Предназначено для студентов физических и технических специальностей университетов и вузов. УДК 514.12(075) ББК 22.151.59я73
ISBN 978- 5-7417-0378-6
© Умнов А. Е., 1997-2023 © Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 1997-2023
Оглавление
3
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ........................................................ .............................. От автора ..................................................................................... Глава 1. Векторы и линейные операции с ними ........... § 1.1. Матричные объекты .............................................. § 1.2. Направленные отрезки .......................................... § 1.3. Определение множества векторов ....................... § 1.4. Линейная зависимость векторов .......................... § 1.5. Базис. Координаты вектора в базисе ................... § 1.6. Действия с векторами в координатном представлении ................................................................ § 1.7. Декартова система координат .............................. § 1.8. Изменение координат при замене базиса и начала координат ....................................................... Глава 2. Произведения векторов ...................................... § 2.1. Ортогональное проектирование ........................... § 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства .......................................................................... § 2.3. Выражение скалярного произведения в координатах ....................................................................... § 2.4. Векторное произведение векторов и его свойства .......................................................................... § 2.5. Выражение векторного произведения в координатах ....................................................................... § 2.6. Смешанное произведение ..................................... § 2.7. Выражение смешанного произведения в координатах ................................................................... § 2.8. Двойное векторное произведение ........................ § 2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов ..................................................................
8 10 12 12 21 24 28 34 38 44 47 54 54 57 59 61 65 68 70 72 75
4
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Глава 3. § 3.1. § 3.2. § 3.3. § 3.4. § 3.5. Глава 4. § 4.1. § 4.2. § 4.3. § 4.4. § 4.5. § 4.6. Глава 5. § 5.1. § 5.2. § 5.3. § 5.4. § 5.5. § 5.6. Глава 6. § 6.1 § 6.2 § 6.3. § 6.4. § 6.5. § 6.6. § 6.7. § 6.8.
Прямая и плоскость ............................................ Прямая на плоскости ............................................. Способы задания прямой на плоскости ............... Плоскость в пространстве ..................................... Способы задания прямой в пространстве ............ Решение геометрических задач методами векторной алгебры ...................................................... Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве .................................................. Линии на плоскости и в пространстве ................. Поверхности в пространстве ................................ Цилиндрические и конические поверхности ...... Линии второго порядка на плоскости .................. Поверхности второго порядка в пространстве .... Альтернативные системы координат ................... Преобразования плоскости ............................... Умножение матриц ................................................ Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости .................................... Линейные операторы на плоскости ..................... Аффинные преобразования и их свойства .......... Ортогональные преобразования плоскости ........ Понятие группы ..................................................... Системы линейных уравнений ......................... Определители ......................................................... Свойства определителей ....................................... Разложение определителей ................................... Правило Крамера ................................................... Ранг матрицы ......................................................... Системы m линейных уравнений с n неизвестными ................................................................ Фундаментальная система решений .................... Элементарные преобразования. Метод Гаусса ...
79 79 84 93 103 107 119 119 124 127 130 138 141 147 147 158 161 169 184 189 191 191 192 199 205 208 213 216 227
Оглавление Глава 7. Линейное пространство ..................................... § 7.1. Определение линейного пространства ................ § 7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве ........................................ § 7.3. Подмножества линейного пространства ............. § 7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении …...... § 7.5. Изоморфизм линейных пространств ................... Глава 8 Линейные зависимости в линейном пространстве ........................................................ § 8.1. Линейные операторы ............................................. § 8.2. Действия с линейными операторами ................... § 8.3. Координатное представление линейных операторов ....................................................................... § 8.4. Область значений и ядро линейного оператора .. § 8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы ................................................................... § 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений ................................................................. § 8.7. Линейные функционалы ....................................... Глава 9. Нелинейные зависимости в линейном пространстве .................................. § 9.1. Билинейные функционалы .................................... § 9.2. Квадратичные функционалы ................................ § 9.3. Исследование знака квадратичного функционала ............................................................................. § 9.4. Инварианты линий второго порядка на плоскости ........................................................................... § 9.5. Экстремальные свойства квадратичных функционалов ................................................................. § 9.6. Полилинейные функционалы ............................... Глава 10. Евклидово пространство ................................... § 10.1. Определение и основные свойства .................... § 10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса ...................................................................
5 235 235 239 244 251 254 267 267 269 275 283 296 303 317 325 325 329 339 348 353 354 356 356 360
6
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 10.3. Координатное представление скалярного произведения ....................................................... § 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве ............................................................. § 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве ….…...... § 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве ............................................................. § 10.7. Самосопряженные операторы ........................... § 10.8. Ортогональные операторы ................................. Глава 11. Унитарное пространство ................................... § 11.1. Определение унитарного пространства ............ § 11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве ............................................................. § 11.3. Эрмитовы операторы ......................................... § 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора .......................... § 11.5. Соотношение неопределенностей ..................... Глава 12. Прикладные задачи линейной алгебры .......... § 12.1. Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду ........................................... § 12.2. Классификация поверхностей второго порядка § 12.3. Аппроксимация функций многочленами .......... Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости ................................................... Прил. 1.1 Вырожденные линии второго порядка …. Прил. 1.2 Эллипс и его свойства ................................ Прил. 1.3. Гипербола и ее свойства ............................ Прил. 1.4. Парабола и ее свойства .............................. Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка ....................................... Прил. 2.1. Вырожденные поверхности второго порядка ............................................................ Прил. 2.2. Эллипсоид ................................................... Прил. 2.3. Эллиптический параболоид .......................
362 368 372 378 383 391 400 400 403 405 410 413 415 415 431 435 443 443 445 452 459 465 465 466 467
Оглавление Прил. 2.4. Прил. 2.5. Прил. 2.6. Прил. 2.7. Приложение 3. Приложение 4. Прил. 4.1. Прил. 4.2. Прил. 4.3. Прил. 4.4. Прил. 4.5.
7 Гиперболический параболоид ................... Однополостный гиперболоид .................... Двуполостный гиперболоид ..................... Поверхности вращения ............................. Комплексные числа ................................. Элементы тензорного исчисления ........ Замечания об определении объектов в линейном пространстве ............................. Определение и обозначение тензоров ...... Операции с тензорами ............................... Тензоры в евклидовом пространстве ....... Тензоры в ортонормированном базисе.....
Литература .................................................................................. Предметный указатель .............................................................
469 472 474 475 478 488 488 496 504 515 520 528 529
8
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ВВЕДЕНИЕ Отличительной чертой подготовки специалистов в Московском физико-техническом институте − системы "Физтеха", является сочетание интенсивности обучения с высоким уровнем детализации и глубины изучаемых предметов, в первую очередь естественных наук. Кафедра высшей математики МФТИ как важный элемент этой системы с момента образования института продолжает вносить существенный вклад в ее формирование и совершенствование. В активе кафедры колоссальный опыт в виде учебных курсов, оригинальных лекций по многим разделам современной математики, системы заданий, методических разработок, приемов, внутрикафедральных материалов, наконец, педагогического фольклора. На кафедре сформировался коллектив преподавателей, педагогически одаренных и обладающих педагогическим мастерством. Поэтому вполне естественно стремление сделать этот опыт всеобщим достоянием. Многое уже отражено в известных учебниках, задачниках, созданных выдающимися математиками и педагогами, среди которых В. С. Владимиров, С. М. Никольский, Л. Д. Кудрявцев, М. В. Федорюк и многие другие. Без сомнения, эти ставшие уже классическими учебные пособия оказали и оказывают существенное влияние на математическое образование как в России, так и за ее пределами. Вместе с тем есть еще немало того, что, несомненно, будет существенно полезным для улучшения подготовки специалистов. Естественным путем для выявления этого опыта, как нам представляется, могла бы быть серия "Лекции кафедры высшей математики МФТИ", и мы будем благодарны всем, кто окажет поддержку и посильную помощь в осуществлении данного проекта.
9
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
В настоящем издании читателю предлагается одна из книг задуманной серии – расширенный курс лекций, который профессор А. Е. Умнов ряд лет читает студентам первого курса Московского физико-технического института. Подготовка первого издания осуществлена при поддержке ООО "Промфинэнерго". По содержанию и стилю изложения материала данная книга рассчитана на студентов физико-математических и технических специальностей высших учебных заведений с углубленной подготовкой по математике. В ней представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительные разделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей. На кафедре высшей математики МФТИ лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре в разное время читали многие выдающиеся ученые и педагоги, такие, как Ф. Р. Гантмахер, В. Б. Лидский, А. А. Абрамов, Д. В. Беклемишев, В. А. Треногин и другие. Сам автор, будучи последовательно студентом, аспирантом, преподавателем и профессором этой кафедры, не мог не испытать влияния своих учителей. Структура и дух его лекций вполне традиционны для кафедры высшей математики МФТИ. В изложении материала автор успешно сочетает, не злоупотребляя абстракциями, достаточно высокий уровень строгости с простотой и ясностью. Предлагаемый читателям курс лекций А. Е. Умнова "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" рекомендован кафедрой высшей математики Московского физико-технического института в качестве учебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может быть использована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.
Г. Н. Яковлев Член-корреспондент РАО, профессор. Август, 1997 год
Введение
10
От автора Данное пособие предназначено для студентов физических и технических специальностей высших учебных заведений с расширенной подготовкой по высшей математике. Его основной целью является введение в теорию линейных пространств – математический аппарат, используемый в разнообразных прикладных дисциплинах: от квантовой механики до методов оптимального управления. Имея в виду особую терминологическую специфику этой теории, ее описание предваряется изложением основ евклидовой геометрии, выполненным при помощи понятий, характерных для теории линейных пространств. Включенный в пособие материал в основном соответствует программе курсов «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра», читаемых для студентов первого курса Московского физико-технического института. Также рассматриваются некоторые дополнительные вопросы, облегчающие изучение студентами математического аппарата теоретической физики и в первую очередь квантовой механики. Задачи, небольшое число которых включено в состав пособия, по мнению автора, существенны для понимания курса в целом. Предполагается, что читатель владеет основными понятиями курса элементарной геометрии, а также знаком в минимальном объеме с дифференциальным и интегральным исчислением. Используемая система обозначений единообразна для всех разделов пособия, что привело к небольшим отличиям от традиционной системы обозначений, в частности: - действительные числа, как правило, обозначаются строчными греческими буквами (исключение сделано лишь для декартовых координат x , y и z , целочисленных индексов и некоторых других стандартных обозначений); - строчные латинские буквы в основном использованы для обозначения более сложных, чем действительные числа, объектов: векторов, комплексных чисел, элементов линейных пространств, функций, функционалов, операторов, а также различных геометрических объектов;
11
Аналитическая геометрия и линейная алгебра -
матрицы обозначаются латинскими буквами с двойными вертикальными ограничителями: например
-
A ;
во избежание конфликтов, для обозначений длин, абсолютных величин, модулей и норм используются одинарные вертикаль
ные ограничители: например,
a , в то время как для обозна-
чения определителей матриц этот вид ограничителей не применяется, а используется обозначение функционального вида: например,
det A .
Автор выражает глубокую признательность преподавателям и сотрудникам кафедры высшей математики МФТИ, советы и замечания которых в большой степени способствовали улучшению пособия, и в первую очередь И. А. Чубарову, В. И. Чехлову, С. В. Ивановой и В. Б. Трушину.
Предисловие ко второму и третьему изданиям Со времени выхода в свет в 1997 году первого издания были учтены многочисленные рекомендации, позволившие улучшить структуризацию материала, включенного в пособие, исправлены замеченные опечатки и неточности. Автор особо благодарен посетителям интернет-сайта www.umnov.ru за доброжелательную критику и конструктивные замечания по версии текста, доступной на этом сайте.
12
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Глава 1
ВЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С НИМИ § 1.1. Матричные объекты Аналитическое описание геометрических линий, фигур и тел, равно как и операций с ними, может быть в большом числе случаев упрощено за счет использования специального математического объекта, называемого матрицей. Определение Матрицей размера m n называется упорядоченная прямоугольная таблица (или массив) чисел, со1.1.1. держащая m строк и n столбцов. Числа, образующие матрицу, называемые ее элементами (или компонентами), характеризуются как своим значением, так и номерами строк и столбцов, в которых они расположены. Условимся обозначать элемент матрицы, расположенный в i -ой строке и j -м столбце, как
i j 1.
Определение 1.1.2.
Числа рицы.
m , n и m n называются размерами мат-
Матрицы обозначаются и записываются перечислением их элементов. Например, матрица с элементами
i j ; i [1, m] ; j [1, n] или же в развернутой форме:
1
Следует читать “альфа i − j“.
13
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
11 21 31 ... m1
12 22 32
13 23 33
... m2
... m3
... 1n ... 2 n ... 3n ; ... ... ... mn
11 21 31 ... m1
12 22 32
13 23 33
... m2
... m3
11
12
13
... 1n
21 31 ... m1
22 32 ... m2
23 33 ... m3
... 2n ... 3n , ... ... ... mn
... 1n ... 2 n ... 3n ; ... ... ... mn
из которых будем использовать последнюю. Если же потребуется неразвернутое представление матрицы, то мы запишем ее в виде или просто
ij
A .
Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов. Определение 1.1.3.
Если m рядка n .
n , то матрица называется квадратной, по-
Матрица размера m 1 называется m -мерным (или m -компонентным) столбцом. Матрица размера 1 n называется n -мерной (или n -компонентной) строкой.
Отметим, что, хотя формально для обозначения строк или столбцов следует использовать двухиндексные записи
1 j или i1 , не-
меняющиеся индексы принято опускать, в результате чего обозначения строк или столбцов имеют вид
j или соответственно i .
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
14
В этих случаях, разумеется, необходимо явно указывать, о чем идет речь: о строке или о столбце. Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов имеют специальные названия и обозначения. Определение 1.1.4.
Квадратная матрица, для которой
ij ji i, j [1, n] , называется симметрической. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают как Квадратная матрица порядка
O .
n вида
1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать
E .
Операции с матрицами Определение 1.1.5.
Две матрицы
A
(обозначается:
A B ), если они одинаковых
и
B
считаются равными
размеров и если их соответствующие компоненты равны, то есть
i j i j i [1, m] и j [1, n] .
15
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 1.1.6.
Матрица
C
A и
называется суммой матриц
B (обозначается: C A B ), если матрицы
A , B , C одинаковых размеров и i j i j i j i [1, m] , j [1, n] ,
где числа
i j i [1, m] , j [1, n] являются
соответствующими компонентами матрицы Определение 1.1.7.
Матрица
C называется произведением числа
на матрицу матрицы
C .
A (обозначается: C A ), если
A и C одинаковых размеров и
i j i j i [1, m] , j [1, n] . Отметим, что умножать число можно на матрицу любого размера. в качестве всех (или некоторых) элементов матрицы Замечание: допускается использование не только чисел, но и других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения, сложения и умножения на число, например, векторов, функций или тех же матриц. Определение 1.1.8.
Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой образуется новая матрица, где строками служат столбцы исходной, записанные с сохранением порядка их следования (рис. 1.1.1).
Матрица, получающаяся в результате транспонирования матрицы T
A , обозначается A .
16
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Рис. 1.1.1
При транспонировании
11 12 21 22 ... ... m1 m 2
13 23 ... m3
... 1n ... 2 n ... ... ... mn
T
11 12 13 ... 1n
21 22 23 ... 2n
то есть для элементов транспонированной матрицы A венство
iTj ji
m1 m2 m3 , ... mn
... ... ... ... ... T
верно ра-
i [1, m] , j [1, n] .
Операция транспонирования, например, не изменяет симметрическую матрицу, но переводит строку размера 1 m в столбец размера m 1 и наоборот.
Детерминанты (определители) квадратных матриц 2-го и 3-го порядков Для квадратных матриц вводится специальная числовая характеристика, называемая детерминантом (или определителем) и обознача-
17 емая как
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
det A 2. Описание свойств определителей квадратных мат-
риц n -го порядка будет приведено в главе 6, здесь же мы ограничимся рассмотрением случаев n 2 и n 3 . Определение 1.1.9.
Детерминантом (определителем) квадратной матри11 12 цы 2-го порядка называется число 21 22
det
Определение 1.1.10.
11 21
12 11 22 12 21 . 22
Детерминантом (определителем) квадратной матрицы 3-го порядка
11 21 31
12 22 32
13 23 33
называется чис-
ло
11 det 21
12 22
13 23 11 22 33 13 21 32
31
32
33
12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33 . Для определителей квадратных матриц справедливы следующие теоремы: Теорема 1.1.1.
2
Определитель матрицы 3-го порядка может быть выражен через определители 2-го порядка формулой следующего вида:
Детерминант квадратной матрицы также часто обозначают при помощи
одинарных вертикальных ограничителей
. Мы не будем использовать
эту форму, чтобы избежать конфликта с представлением абсолютных величин, модулей, длин и норм.
18
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
11
12
13
det 21
22
23
31
32
33
11 det 13 det
22
23
32
33
21
22
31
32
12 det
21
23
31
33
,
называемой разложением определителя по первой строке. Доказательство.
Данная формула проверяется непосредственно при помощи определений 1.1.9 и 1.1.10.
Замечания.
1. Соотношения, аналогичные приведенному в формулировке теоремы 1.1.1, могут быть получены как для каждой из остальных строк матрицы, так и для любого из ее столбцов.
Рис. 1.1.2
2. Иногда подсчет значения определителя матрицы 3-го порядка удобнее выполнить по следующему правилу:
19
Аналитическая геометрия и линейная алгебра каждое слагаемое в определении 1.1.10 есть произведение некоторой тройки элементов матрицы, причем элементы, входящие в произведения, берущиеся со знаком «плюс», соединены в левой части рис. 1.1.2 сплошными линиями, а элементы, входящие в произведения, которые берутся со знаком «минус», – в правой.
Непосредственная проверка показывает, что из определений 1.1.9 и 1.1.10 вытекает При транспонировании квадратных матриц 2-го Следствие или 3-го порядков их определители не меняются. 1.1.1. В терминах определителей матриц второго порядка достаточно удобно формулируется условие однозначной разрешимости системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Теорема 1.1.2 (Крамера).
Для того чтобы система линейных уравнений
111 12 2 1 , 211 22 2 2 имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы
det
11 21
12 0. 22
Доказательство.
Докажем необходимость. Пусть данная система линейных уравнений имеет единственное решение – упорядоченную пару чисел {1 , 2 } , тогда должны быть справедливыми следующие из ее уравнений соотношения
1 (11 22 12 21 ) (1 22 2 12 ) , 2 ( 11 22 12 21 ) ( 2 11 1 21 )
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
1 1 ; 2 2 ,
или где
и
20
det
2 det
11 21
12 , 1 det 1 22 2
12 22
11 1 . 21 2
0, 1 1 ; 2 2 не верны при 1 0 0, или при Следовательно, решений нет. 2 0. Равенства
В
то
же
время
(проверьте
это
самостоятельно)
при
1 2 0 -
либо коэффициенты уравнений исходной системы пропорциональны и каждая пара чисел {1 , 2 } , удовлетворяющая
-
111 12 2 1 есть решение,
либо (при нулевых 11 , 12 , 21 , 22 , 1 , 2 ) вообще любая пара чисел
{1 , 2 } – решение.
Значит, в этом случае у системы имеется бесчисленное множество решений. Поэтому из условия существования и единственности решения следует, что 0. Докажем достаточность. Если 0 , то исходная система линейных уравнений имеет решение { 1 , 2 } , однозначно определяемое значениями параметров
11 , 12 , 21 , 22 , 1 , 2
и формулами
1 1 /
Теорема доказана.
и
2 2 / .
21
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 1.2. Направленные отрезки Определение 1.2.1.
Отрезок прямой, концами которого служат точки A и B , называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая – концом отрезка. Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком.
Будем записывать направленный отрезок в виде
AB, полагая, что
точка A является началом отрезка, а точка B – его концом. Иногда направленный отрезок представляется просто как a . Длина отрезка обозначается как
AB или a соответственно.
Действия с направленными отрезками Определение 1.2.2.
Два ненулевых направленных отрезка AB и CD называются равными, если их начала и их концы могут быть совмещены параллельным переносом одного из этих отрезков.
Заметим, что в силу данного определения параллельный перенос направленных отрезков не меняет. Пусть даны два направленных отрезка Определение 1.2.3.
a иb.
Совместим начало отрезка
b с концом a (то есть построим направленный отрезок b , равный b , начало которого совпадает с концом отрезка a ), тогда
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
22
направленный отрезок
c , начало которого совпадает с началом a и конец с концом b , называется суммой направленных отрезков a и b 3. Это определение иногда называют правилом треугольника (рис. 1.2.1).
Рис. 1.2.1
Отметим, что для операции сложения направленных отрезков: 1)
2)
3)
обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей, смысл которого ясен из рис. 1.2.2; операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма, равносильному определению 1.2.3 (см. рис. 1.2.3); разностью a b направленных отрезков a и b называется направленный отрезок
4)
3
c , удовлетворяющий равенству a bc;
любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.
Для операции замены направленного отрезка на равный, но не совпадающий с ним направленный отрезок будем употреблять термин параллельный перенос направленного отрезка.
23
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Рис. 1.2.2
Рис. 1.2.3
Определение 1.2.4.
Под произведением число
a направленного отрезка a на
понимают: при 0 нулевой направленный отрезок,
24
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
при 0 направленный отрезок, для которого длина равна
a ;
направление совпадает с направлением a , если 0 , направление противоположно направлению a , если 0 .
§ 1.3. Определение множества векторов Определение 1.3.1.
Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены описанные в § 1.2 операции: - сравнения (определение 1.2.2); - сложения (определение 1.2.3); - умножения на вещественное число (определение 1.2.4), называется множеством векторов. Конкретный элемент этого множества будем называть вектором и обозначать символом с верхней стрелкой, например,
a.
Нулевой вектор обозначается символом Теорема 1.3.1.
o.
Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами: 1º. Коммутативности
ab b a.
25
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2º. Ассоциативности
a (b c ) (a b ) c ;
( a ) () a . 3º. Дистрибутивности
( a b ) a b ;
( ) a a a для любых векторов ных чисел и
.
a , b и c и любых веществен-
Данные свойства следуют из определения множества векторов и нуждаются в доказательстве. В качестве примера приведем Доказательство свойства коммутативности.
Пусть даны два вектора
a и b . Совместим начала этих векторов и построим на них параллелограмм ABCD (рис. 1.3.1).
Рис. 1.3.1
26
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Поскольку у параллелограмма противолежащие стороны параллельны и имеют равные длины, то
CD a ; BD b , но тогда, по правилу треугольника, из треугольников ACD и
ABD следует, что AD b CD; AD a BD , то есть
ab b a.
Теорема доказана.
Замечания об определении векторов 1 .
Иногда вектор определяют просто как объект, характеризуемый числовой величиной и направлением. Хотя формально такой подход и допустим, он может оказаться причиной некоторых проблем, суть которых иллюстрируется следующим примером.
Рис. 1.3.2
Поток автомобилей (то есть количество автомобилей, проезжающих мимо наблюдателя за единицу времени) на конкретной дороге является объектом, для характеристики которого нужно указать как его величину (число проходящих за единицу времени автомашин), так и его направление.
27
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
2.
3.
Предположим, что этот объект векторный (в смысле определения 1.3.1), и рассмотрим перекресток трех дорог, показанный на рис. 1.3.2, на котором сливаются два потока автомобилей по 500 автомашин в час каждый. Если суммировать потоки как векторы, то вместо очевидного результата 1000 а-м/ч мы получим (по правилу параллелограмма) заведомо бессмысленное значение а-м/ч. Отсюда следует, что хотя поток ав500 2 700 томашин характеризуется числовым значением и направлением, но тем не менее вектором (в смысле определения 1.3.1) не является. С другой стороны, необходимо иметь в виду, что определение множества векторов 1.3.1 допускает их дальнейшую, более тонкую дифференциацию. Например, в некоторых физических и технических приложениях различают векторы полярные и аксиальные. К первым относятся, например, векторы скорости, силы, напряженности электрического поля; ко вторым – векторы момента силы, напряженности магнитного поля. Кроме того, в механике векторы подразделяются на свободные, скользящие и закрепленные, в зависимости от той роли, которую играет точка их приложения. К заключению о векторной природе тех или иных физических характеристик можно прийти путем рассуждений, основанных на определении 1.3.1 и экспериментальных данных. Например, пусть некоторая материальная точка A , имеющая электрический заряд, перемещается в пространстве под действием электрического поля. Положение этой точки в пространстве в момент времени 0 можно задать исходящим из точки наблюдения и направленным в тором
A век-
r ( 0 ) , а в момент времени – вектором r ().
28
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Поскольку перемещение
r () r ( 0 ) (как разность двух
векторов) является вектором, то и скорость движения материальной точки будет вектором в силу определения 1.3.1. Рассуждая аналогично, можно прийти к заключению, что вектором является также и ускорение. С другой стороны, согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки пропорционально действующей на нее силе, и, следовательно, сила тоже есть вектор. Наконец, принимая во внимание пропорциональность силы, действующей на заряженное тело, и напряженности электрического поля, заключаем, что последняя характеристика также векторная.
§ 1.4. Линейная зависимость векторов Вначале введем часто используемые в приложениях понятия коллинеарности и компланарности векторов. Определение 1.4.1.
Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов. Определение 1.4.2.
Выражение вида
1 a1 2 a 2 ... n a n , где
i ; i [1, n] – некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов
a1 , a 2 , ... , a n .
29
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Если все числа 1 , 2 , ... , n равны нулю одновременно, что равносильно условию
1 2 ... n 0 , то такая линейная комбинация называется тривиальной. Если хотя бы одно из чисел нуля (то есть
1 , 2 , ... , n отлично от
1 2 ... n 0 ), то данная ли-
нейная комбинация называется нетривиальной.
Соглашение о суммировании В тех случаях, когда явная запись суммы некоторого числа слагаемых нецелесообразна или невозможна, но известно, как зависит значение каждого из слагаемых от его номера, то допускается использование специальной формы записи операции суммирования: n
F (k ) F (k 1) ... F (n) F (i ) , i k
(читается: «сумма F (i ) по i от k до n »), где i – индекс суммирования, k – минимальное значение индекса суммирования, n – максимальное значение индекса суммирования и, наконец, F (i ) – общий вид слагаемого. Пример 1.4.1.
По соглашению о суммировании будут справедливы следующие равенства:
12 2 2 ... (n 1) 2 n 2
n
i2 i 1
n(n 1)(2n 1) , 6
30
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
13 2 3 ... (n 1) 3 n 3
n
i
3
i 1
n 2 (n 1) 2 4
( i) , n
2
i 1
1 1 1 ... 1 2 2 3 (n 1)n
n 1
1
i(i 1)
n 1 . n
i 1
Используя данное соглашение о суммировании, линейную комбинацию
n
1 a1 2 a 2 ... n a n можно записать в виде
i ai . i 1
Приведем теперь определение важного понятия линейной зависимости системы векторов.
Определение 1.4.3.
Векторы
a1 , a 2 , ..., a n называются линейно зависи-
мыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация равная нулевому вектору, n
то есть такая, что
i ai o . i 1
Определение 1.4.4.
Векторы
a1 , a 2 , ..., a n называются линейно незавиn
симыми, если из условия
i ai o
следует три-
i 1
n
виальность линейной комбинации
i 1
что
1 2 ... n 0 .
i ai , то есть
31
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Иначе говоря, если векторы
a1 , a 2 , ..., a n линейно независимы, то для любого набора чисел 1 , 2 , ..., n , не равных нулю одновреn
менно, линейная комбинация
k 1
k
a k не нулевой вектор.
Для линейной зависимости векторов
Лемма 1.4.1.
a1 , a 2 , ..., a n
необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Докажем необходимость. Пусть векторы
a1 , a 2 , ..., a n линейно зависимы, тогда существуют числа 1 , 2 , ..., n , одn
новременно не равные нулю, такие, что
k 1
определенности можно считать, что
n
a1 ( k 2
k
a k o . Для
1 0 , но тогда
k ) ak , 1
что и доказывает необходимость. Докажем теперь достаточность. Пусть для определенности
n
n
a1 k a k , тогда (1 ) a1 k a k o , причем k 2
k 2
| 1 | | 2 | ... | n | 0 . То есть линейная комбинация векторов ная нулевому вектору, нетривиальная. Лемма доказана.
a1 , a 2 , ..., a n , рав-
32
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Справедливы следующие утверждения. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, Теорема когда он нулевой. 1.4.1. Теорема 1.4.2.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Теорема 1.4.3.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 предлагаются для самостоятельного доказательства. Здесь же мы рассмотрим подробно теорему 1.4.3. Доказательство.
Докажем необходимость. Пусть три вектора
a1 , a 2 , a3 линейно
зависимы, то есть существуют три, одновременно не равных нулю, числа 1 , 2 , 3 , таких, что
1 a1 2 a 2 3 a 3 o . Тогда по лемме 1.4.1 один из векторов есть линейная комбинация двух остальных, и, значит, данные три вектора компланарны. Докажем достаточность в предположении, что векторы неколлинеарны.
Пусть
даны
три
компланарных
a1 и a 2 вектора
a1 , a 2 , a3 . Перенесем эти векторы таким образом, чтобы их начала попали в одну точку. Через конец вектора рам
a3 проведем прямые, параллельные векто-
a1 и a 2 . При этом получим пару векторов b1 и b2 , та-
ких, что
a3 b1 b2 (рис. 1.4.1).
33
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Поскольку вектор
b1 колли-
неарен вектору
a1 , а вектор
b2 коллинеарен вектору a 2 , по лемме 1.4.1 и теореме 1.4.2 получаем, что
b1 1 a1 , b2 2 a 2 , но тогда
Рис. 1.4.1
a3 1 a1 2 a 2 , и векторы
a1 , a 2 , a3 по лемме 1.4.1 линейно зависимы. Случай
коллинеарных
a1 и a 2 рассмотрите самостоятельно.
Теорема доказана.
Свойства линейно независимых векторов 1. 2. 3.
Теорема 1.4.4.
Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны. Если среди векторов
{a1 , a 2 , ..., a n } имеется подмно-
жество линейно зависимых, то и все векторы
{a1 , a 2 , ..., a n } линейно зависимы.
34
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними Доказательство.
Без ограничения общности можно считать, что линейно зависимы первые k n векторов (иначе просто перенумеруем эти векторы), то есть существуют не равные нулю одновременно числа
1 , 2 , ..., k , такие, что
k
i ai o . i 1
Построим нетривиальную линейную комбинацию векторов
{a1 , a 2 , ..., a n } , взяв в качестве первых k коэффициентов числа i , i [1, k ] и нули в качестве остальных. Тогда получим, что n
k
i ai i ai i 1
i 1
n
0 ai o .
i k 1
Теорема доказана. Следствие 1.4.1.
Если среди векторов
{a1 , a 2 , ..., a n } имеется хотя
бы один нулевой, то векторы
{a1 , a 2 , ..., a n } линей-
но зависимы.
§ 1.5. Базис. Координаты вектора в базисе Определение 1.5.1.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости.
35
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.
Определение 1.5.2.
Базис называется ортогональным, если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).
Определение 1.5.3.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.
Пространственный базис, составленный из линейно независимых векторов
g1 , g 2 , g 3 , будем обозначать {g1 , g 2 , g 3 } . Ортогональ-
ный или ортонормированный базис условимся обозначать как
{e1 , e2 , e3 } . Теорема 1.5.1.
Пусть дан базис
{g1 , g 2 , g 3 } , тогда любой вектор x
в пространстве может быть представлен и притом единственным образом в виде
x 1 g 1 2 g 2 3 g 3 ,
где
1 , 2 , 3 – некоторые числа.
Доказательство.
1. Докажем вначале существование таких чисел. Совместим начала всех векторов проведем через конец вектора плоскости
O, g1 , g 2 (рис. 1.5.1).
g1 , g 2 , g 3 и x в точке O и
x плоскость, параллельную
36
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Построим новые векторы
y и
z так, чтобы x z y , а z
и
g 3 были коллинеарны, тогда
в силу коллинеарности векторов
z и g 3 имеем
z 3 g3 .
Перенеся затем начало вектора
y в точку O и рассуждая как
при доказательстве теоремы 1.4.3, получим
y 1 g 1 2 g 2
и, следовательно,
Рис. 1.5.1
x 1 g 1 2 g 2 3 g 3 ,
что доказывает существование разложения. 2. Докажем единственность разложения по базису. Пусть мы
x 1 g1 2 g 2 3 g 3 и допустим, что существует другая тройка чисел 1 , 2 , 3 , таких, что имеем
x 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
Вычитая почленно эти равенства, получаем
(1 1 ) g1 ( 2 2 ) g 2 ( 3 3 ) g 3 o ,
37
Аналитическая геометрия и линейная алгебра где в силу сделанного предположения о неединственности разложения
1 1 2 2 3 3 0 . Но полученное неравенство означает, что линейная комбинация
(1 1 ) g1 ( 2 2 ) g 2 ( 3 3 ) g 3 нетривиальна, векторы
{g1 , g 2 , g 3 } линейно зависимы и,
следовательно, не могут быть базисом в силу определения 1.5.1. Полученное противоречие доказывает единственность разложения. Теорема доказана. Определение 1.5.4.
1 , 2 , 3 – коэффициенты в разложении
Числа
x 1 g1 2 g 2 3 g 3 – называются координа-
тами (или компонентами) вектора
x в базисе
{g1 , g 2 , g 3 } . Для сокращенной записи координатного разложения вектора
x 1 g1 2 g 2 3 g 3 используются формы: 1.
x( 1 ; 2 ; 3 ),
1 4. 2 , 3
2.
(1 ; 2 ; 3 ),
5.
1 2 , 3
3.
1
2
3 ,
38
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
из которых в дальнейшем мы будем использовать последнюю. В общем случае утверждение «вектор
x в базисе {g1 , g 2 , g 3 } имеет
1 координатное представление 2 (или координатный столбец)» за3
писывается как
x
g
1 2 , но иногда, если это не приводит к 3
неоднозначности толкования, будем использовать и сокращенную за-
1 пись вида x 2 . Наконец, если вектор x в базисе {g , g } на 1 2 3
плоскости может быть представлен как
координатная запись имеет вид
x
g
x 1 g1 2 g 2 , то его
1 . 2
§ 1.6. Действия с векторами в координатном представлении Поскольку в конкретном базисе
{g1 , g 2 , g 3 } каждый вектор пол-
ностью и однозначно описывается упорядоченной тройкой чисел 1 , 2 , 3 – своим координатным представлением, то естественно возникает вопрос о том, как выполняются операции с векторами в координатном представлении. Оказывается, что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов), но и оперировать с ними в матричной форме, поскольку правила действий с векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций с матрицами.
39
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Имеет место Теорема В координатном представлении операции с векторами выполняются следующим образом: 1.6.1. 1. ние ров
Сравневекто-
Два вектора
x 1 g 1 2 g 2 3 g 3
y 1 g1 2 g 2 3 g 3
и
равны тогда и только тогда, когда равны их координатные представления:
y
x
g
2. ние ров
Сложевекто-
g
Координатное двух векторов
1 1 или 2 2 . 3 3
представление
суммы
x 1 g 1 2 g 2 3 g 3
и
y 1 g1 2 g 2 3 g 3
равно сумме координатных представлений слагаемых
x y
g
3. Умножение векторов на число
x
y g
. g
Координатное представление произведения числа на вектор
x 1 g 1 2 g 2 3 g 3
40
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
равно произведению числа на координатное представление вектора
x
x
x:
.
g
g
Доказательство.
Поскольку рассуждения для всех трех пунктов аналогичны, рассмотрим лишь правило сложения векторов в координатной форме. По свойствам операций сложения и умножения на вещественное число векторов (теорема 1.3.1) имеем
x y
(1 g1 2 g 2 3 g 3 ) (1 g1 2 g 2 3 g 3 ) g
g
(1 1 ) g1 ( 2 2 ) g 2 ( 3 3 ) g 3
g
1 1 1 1 2 2 2 2 x 3 3 3 3
y g
. g
Теорема доказана. Следствие 1.6.1.
Координатное представление линейной комбинации
x y является той же линейной комбинацией координатных представлений векторов
x и y:
41
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1 1 1 1 2 2 2 2 . 3 3 3 3 Рассмотрим теперь вопрос о том, как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимости векторов. Теорема 1.6.2.
Для того чтобы два вектора
x и y на плоскости
были линейно зависимы, необходимо и достаточно,
чтобы их координатные представления
x
g
y
и
g
1 2
1 удовлетворяли условию 2 det
1 2
1 0. 2
Доказательство.
Докажем необходимость. Пусть векторы
x и y линейно зависимы, тогда в силу лем-
мы 1.4.1 имеет место равенство форме
x y или в координатной
1 1 , Исключив из этих двух скалярных со 2 2 .
отношений, получим что
det
1 2
1 2 2 1 0, но это и означает,
1 0. 2
42
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Докажем достаточность. Пусть
имеем, что
det
1 2
1 0, тогда 2
1 2 ( при 1 0 , 2 0 ), то есть соот1 2
ветствующие координаты векторов
x и y пропорциональ-
ны, что и доказывает линейную зависимость этих векторов. Случай
1 2 0 предлагается рассмотреть самостоятельно.
Теорема доказана.
Теорема 1.6.3.
Для того чтобы три вектора в пространстве
{ x , y, z }
с координатными представлениями
x
g
1 2 , 3
y
g
1 2 3
z
и
g
1 2 3
были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты удовлетворяли условию
1 det 2 3
1 2 3
1 2 0. 3
Доказательство.
Пусть линейная комбинация векторов вому вектору, то есть
x , y , z равна нуле
1 x 2 y 3 z o , или в коор-
динатном представлении
43
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1 1 1 0 1 2 2 2 3 2 0 . 3 3 3 0 Это матричное равенство, очевидно, равносильно системе линейных уравнений с неизвестными 1 , 2 , 3
1 1 1 2 1 3 0, 2 1 2 2 2 3 0, 0, 3 2 3 3 3 1 которая (согласно теореме Крамера, теорема 6.4.1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля. Но, с другой стороны, очевидно, что данная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. Значит, условие
1 det 2 3
1 2 3
1 2 0 3
равносильно системе равенств 1 доказывает утверждение теоремы.
2 3 0, что и
Заметим, что альтернативная версия доказательства приводится в параграфе «Смешанное произведение векторов» (§ 2.6). Теорема доказана.
44
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
§ 1.7. Декартова система координат
Определение 1.7.1.
Совокупность базиса
{g1 , g 2 , g 3 } и точки O , в ко-
торую помещены начала всех базисных векторов, называется общей декартовой системой координат и обозначается
{O, g1 , g 2 , g 3 }.
Определение
Система координат
1.7.2.
тонормированным базисом, называется нормальной прямоугольной (или ортонормированной) системой координат.
Если задана система координат
{O, e1 , e2 , e3 } , порождаемая ор-
{O, g1 , g 2 , g 3 } , то произвольной
M в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор r , начало которого находится в точке O , а конец – в точке M . точке
Определение 1.7.3.
Определение 1.7.4.
Вектор точки
r OM называется радиусом-вектором
M в системе координат {O, g1 , g 2 , g 3 }.
Координаты радиуса-вектора точки M называются координатами точки M в системе координат
{O, g1 , g 2 , g 3 }. Проиллюстрируем особенности использования векторно-координатного описания геометрических объектов на примере решения следующих задач.
45
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Задача 1.7.1.
В некоторой общей декартовой системе координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } заданы координаты радиусов-векторов точек M и N , которые являются началом и концом вектора
MN . Требуется найти координаты вектора MN .
Решение.
Решение очевидно из рис. 1.7.1 и свойств координат векторов.
1 1 Пусть OM 2 и ON 2 . 3 3
Тогда
имеем
и
OM MN ON
MN ON OM . Окончательно 1 1 MN 2 2 . 3 3
Рис. 1.7.1
Задача 1.7.2.
В некоторой общей декартовой системе координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } заданы координаты несовпадающих точек M 1 и M 2 , для которых соответственно 1 OM 1 2 3
Требуется найти точку
1 и OM 2 2 . 3
M , такую, что M 1 M MM 2 .
46
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними Решение.
Заметим, что может принимать любое значение, кроме 1 , при котором точка M «уходит в бесконечность» (рис. 1.7.2). Найдем радиус-вектор точки M . Из соотношений в треугольниках OM 1 M и
OMM 2 получаем
OM 1 M 1 M OM ; OM MM 2 OM 2 , но так как
M 1 M MM 2 , то
OM OM 1 (OM 2 OM ) и окончательно
OM 1 OM 1 OM 2 . 1 1 Откуда радиус-вектор точки M ,
Рис. 1.7.2
OM
1 1 2 1 3
согласно правилам действия с векторами в координатах (см. § 1.6), равен
1 2 1 3
1 1 1 2 2 . 1 3 3 1
Замечание: к задаче 1.7.2 сводится задача отыскания центра масс си-
стемы материальных точек.
47
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 1.8.
Изменение координат при замене базиса и начала координат
Поскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами, вопрос об изменении координат при переходе от одного базиса к другому и замене начала координат представляет значительный практический интерес. Найдем правила, выражающие зависимость координат произвольной точки пространства, заданных в одной системе координат, от координат этой же точки в другой декартовой системе координат. Пусть даны две декартовы системы координат: “старая”
{O, g1 , g 2 , g 3 } и “новая” {O , g1 , g 2 , g 3 } (рис. 1.8.1). Выразим векторы “нового” базиса, а также вектор
OO через векторы “старо-
го” базиса. В силу теоремы 1.5.1 это можно сделать всегда и притом единственным образом:
g1 11 g1 21 g 2 31 g 3 , g 2 12 g1 22 g 2 32 g 3 , g 3 13 g1 23 g 2 33 g 3 ,
(1.8.1)
OO 1 g 1 2 g 2 3 g 3 . Тогда справедлива Теорема 1.8.1.
Координаты произвольной точки в “старой” системе координат связаны с ее координатами в “новой” соотношениями
1 111 12 2 13 3 1 , 2 211 22 2 23 3 2 , 3 311 32 2 33 3 3 .
(1.8.2)
48
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними Доказательство.
Пусть некоторая точка
стеме
имеет
M в {O, g1 , g 2 , g 3 } − “старой” си1 2 , 3
координаты
а
в
“новой”
–
1 {O , g1 , g 2 , g 3 } , соответственно 2 . 3
Найдем связь между “старыми” и “новыми” координатами точки M . Имеют место соотношения
OM 1 g1 2 g 2 3 g 3 и
O M 1 g 1 2 g 2 3 g 3
1 (11 g1 21 g 2 31 g 3 )
2 (12 g1 22 g 2 32 g 3 ) 3 (13 g1 23 g 2 33 g 3 ) . Подставив
выражения
для
векторов
OM , O M и OO в равенство
OM O M OO Рис. 1.8.1
и перегруппировав слагаемые, получим соотношение вида
49
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1 g1 2 g 2 3 g 3 o , где
1 1 111 12 2 13 3 1 , 2 2 211 22 2 23 3 2 , 3 3 311 32 2 33 3 3 .
Поскольку векторы
нейная комбинация, равная му
{g1 , g 2 , g 3 } линейно независимые, то их ли
o , обязана быть тривиальной, и пото-
1 2 3 0 или окончательно 1 111 12 2 13 3 1 , 2 211 22 2 23 3 2 , 3 311 32 2 33 3 3 .
Теорема доказана.
Определение 1.8.1.
Формулы (1.8.2) называются формулами перехода от системы координат координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } к системе
{O , g1 , g 2 , g 3 } .
При использовании формул перехода следует обратить внимание на то, что «штрихованные» переменные в (1.8.1) и (1.8.2) находятся в разных частях этих равенств. Заметим также, что коэффициенты уравнений в формулах (1.8.2), выражающих “старые” координаты через “новые”, образуют матрицу
S , столбцы которой есть координаты “новых” базисных векторов
50
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
1 в “старом” базисе, а столбец 2 содержит координаты “нового” на3 чала координат в “старом” базисе.
11 S 21 31
Матрица
Определение 1.8.2.
12 22 32
матрицей перехода от базиса
13 23 33
называется
{g1 , g 2 , g 3 } к базису
{g1 , g 2 , g 3 } . Для матрицы перехода
Теорема 1.8.2.
11 det 21 31
12 22 32
13 23 0. 33
Доказательство.
11 Столбцы матрицы 21 31
12 22 32
13 23 образованы коэффи 33
циентами разложения линейно независимых векторов базиса
{g1 , g 2 , g 3 } по векторам базиса {g1 , g 2 , g 3 } . Тогда из
теоремы 1.6.3 следует доказываемое утверждение. Теорема доказана.
51
Аналитическая геометрия и линейная алгебра На параллелограмме построены две системы координат:
Задача 1.8.1.
“старая”
{O, g1 , g 2 } и “новая” {O , g1 , g 2 } (рис. 1.8.2).
Найти формулы перехода, выражающие “новые” координаты через “старые”, если 1 g1 O O и g 2 2 g 1 .
Решение.
Из свойств параллелограмма находим соотношения, выражающие векторы “старого” базиса через “новые”:
2 g 2 ,
g1
g 2 g1 2 g 2 . Тогда матрица перехода
S
Рис. 1.8.2
1 0 1 1 ,а . 2 2 2 0
Следовательно, выражения “новых” координат через “старые” имеют вид
2 1, 1 2 21 2 2 .
Формулы перехода между ортонормированными системами координат на плоскости Рассмотрим
две
ортонормированные
системы
координат
{O, e1 , e2 } и {O , e1 , e2 } . Получим формулы перехода для случая, показанного на рис. 1.8.3.
52
Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними
Из геометрически очевидных соотношений
e1 e1 cos e2 sin и e2 e1 sin e2 cos получаем матрицу перехода:
S
1 cos sin , и если OO , 2 sin cos
то “старые” координаты будут связаны с “новыми” как
1 1 cos 2 sin 1 , 2 1 sin 2 cos 2 . Рис. 1.8.3
В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса “старой” системы на вектор
OO и поворота на угол вокруг точки O . Однако добиться такого совмещения, используя только параллельный перенос и поворот, вообще говоря, нельзя. Соответствующий случай показан на рис. 1.8.4. Здесь, после совмещения векторов и
Рис. 1.8.4
e1
e1 , еще потребуется отражение век-
тора
e2 симметрично относительно
53
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
прямой, проходящей через совмещенные векторы. Формулы перехода будут в этом случае иметь вид
1 1 cos 2 sin 1 , 2 1 sin 2 cos 2 . Формально случаи, показанные на рис. 1.8.3 и рис. 1.8.4, можно различать, используя Определение 1.8.3.
Упорядоченная пара неколлинеарных векторов
a и
b на плоскости с совмещенными началами называ-
ется правоориентированной, если кратчайший поворот от вектора
a к вектору b при совмещении
их начал виден выполняющимся против часовой стрелки. В противном случае эта пара векторов называется левоориентированной.
Отметим, что для матрицы перехода нормированных базиса,
S , связывающей два орто-
det S 1 , причем det S 1 , если
ориентация обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть если отражения не требуется), и личной ориентации.
det S 1 для случая базисных пар раз-
54
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Глава 2
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ § 2.1. Ортогональное проектирование Определение 2.1.1.
Прямую l с расположенным на ней ненулевым вектором
g будем называть осью.
Вектор
Определение 2.1.2. Рис. 2.1.1
g
называется
направляющим вектором оси l. Пусть дана точка M , не лежащая на оси l, тогда основание перпендикуляра, опущенного из M на ось l – точку M , будем называть ортогональной проекцией точки M на ось.
Примером оси может служить ось координат – прямая, проходящая через начало координат, направляющим вектором которой служит один из базисных векторов. Определение 2.1.3.
Ортогональной проекцией вектора вается вектор
a на ось l назы-
Prl a , лежащий на оси l, начало кото-
рого есть ортогональная проекция начала вектора
55
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
a на ось l, а конец – ортогональная проекция конца
вектора
a.
Выполним нормировку направляющего вектора
g , то есть заме-
g
ним его на вектор
e
и рассмотрим нормированный базис
|g|
{e}
на оси l (рис. 2.1.1). Численным значением ортогональной проекции век-
Определение 2.1.4.
тора
a на ось l называется координата вектора
4 Prl a в базисе {e } .
Углом между ненулевыми векторами
Определение 2.1.5.
a и b называ-
ется величина наименьшего из двух углов, образуемых этими векторами при совмещении их начал.
Численное значение ортогональной проекции вектора обозначим как
a на ось l
Пр a . Из рис. 2.1.2 очевидно, что l
Пр l a a cos , где есть угол между a и e .
Рис. 2.1.2
4
Верхний символ « » будет использоваться для обозначения различного рода операций, например: проектирования, поворота, отражения, дифференцирования и т.д.
56
Г л а в а 2 . Произведения векторов
Свойства ортогональных проекций 1.1. Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов:
Prl (a1 a 2 ) Prl a1 Prl a 2 . Данное свойство иллюстрирует рис. 2.1.3.
Рис. 2.1.3 1.2. Если вектор умножить на вещественное число, то его проекция также умножится на это число:
Prl ( a ) Prl a . Заметим, что свойства 1.1 и 1.2 можно объединить в следующее утверждение: Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации проекций:
Prl ( 1 a1 2 a 2 ) 1 Prl a1 2 Prl a 2 . Справедливость свойств 1.1 и 1.2 вытекает из определения операции ортогонального проектирования и правил действия с векторами.
57
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Свойства численных значений ортогональных проекций
2.1.
Пр l (a1 a 2 ) Пр l a1 Пр l a 2 ;
2.2.
Пр l a Пр l a .
Или, объединяя 2.1 и 2.2,
Пр l ( 1 a1 2 a 2 ) 1 Пр l a1 2 Пр l a 2 . Отметим, что эти равенства следуют из свойств ортогональных проекций и свойств координат векторов.
§ 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства Определение 2.2.1.
Скалярным произведением ненулевых векторов
a и
b называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними.
В случае, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор, скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов
a и b обозначается как
( a , b ) . Таким образом, для ненулевых векторов a и b :
( a , b ) | a | | b | cos ,
где – угол между векторами-сомножителями. При этом согласно определению 2.1.5, 0 . Заметим также, что если
b o , то справедливо равенство
( a , b ) b Пр a . b
58
Г л а в а 2 . Произведения векторов
Свойства скалярного произведения 1.
( a , b ) 0 при a o и b o тогда и только тогда, когда
a и b взаимно ортогональны.
2.
( a , b ) ( b , a ) (коммутативность) следует из определений скалярного произведения и угла между векторами.
3.
( a1 a 2 , b ) (a1 , b ) (a 2 , b ) (дистрибутивность). Доказательство.
Если
b o , то 3 очевидно. Пусть b o , тогда
(a1 a 2 , b ) b Пр (a1 a 2 ) b
b Пр a1 b Пр a 2 (a1 , b ) (a 2 , b ). b
b
Свойство доказано.
4.
( a , b ) ( a , b ) .
5.
( a, a ) | a |2 0 a ; | a | ( a, a )
(заметим также, что условия
( a , a ) 0 и a o равносиль-
ны).
6.
При
a o и b o cos
торами
a и b.
( a, b )
| a || b |
, где
– угол меду век-
59
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 2.3. Выражение скалярного произведения в координатах Пусть задан базис
{g1 , g 2 , g 3 } и два вектора a и b , координат-
ные разложения которых в этом базисе имеют вид
a 1 g1 2 g 2 3 g 3 и b 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
По свойствам 3 и 4 скалярного произведения
(a, b ) ( 1 g1 2 g 2 3 g 3 , 1 g1 2 g 2 3 g 3 )
11 ( g1 , g1 ) 1 2 ( g 1 , g 2 ) 1 3 ( g1 , g 3 )
2 1 ( g 2 , g1 ) 2 2 ( g 2 , g 2 ) 2 3 ( g 2 , g 3 )
3 1 ( g 3 , g1 ) 3 2 ( g 3 , g 2 ) 3 3 ( g 3 , g 3 ) 3
( j 1 ( g j , g1 ) j 2 ( g j , g 2 ) j 3 ( g j , g 3 ) ) j 1
3
3
j i ( g j , g i ). j 1 i 1
В случае ортонормированного базиса
{e1 , e2 , e3 } эта формула упро-
щается, поскольку для попарных скалярных произведений базисных векторов справедливо равенство 1, i j , (ei , e j ) ij 0, i j ,
где
ij – так называемый символ Кронекера. Откуда для скалярного
произведения векторов в ортонормированном базисе получаем формулу
( a, b ) 1 1 2 2 3 3 ,
60
Г л а в а 2 . Произведения векторов
из которой следуют полезные соотношения:
a 12 22 32
и для
ao и bo
cos
1 1 2 2 3 3 12 22 32 12 22 32
.
Отметим, что последнее равенство в сочетании с условием
cos 1 приводит к неравенству Коши–Буняковского: i ; i , i [1, 3] 1 1 2 2 3 3 12 22 32
12 22 32 .
Задача 2.3.1.
Найти расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат, если известны радиусы-векторы этих точек.
Решение.
Пусть задана ортонормированная система координат
1 {O, e1 , e2 , e3 } и радиусы-векторы точек OM 2 2 3
1 и OM 1 2 в ней. Тогда, используя решение задачи 3
1.7.1, из равенства
M 1 M 2 (1 1 ) e1 ( 2 2 ) e2 ( 3 3 ) e3 и свойств скалярного произведения получаем
| M 1 M 2 | (1 1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 3 3 ) 2 .
61
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 2.4. Векторное произведение векторов и его свойства Определение 2.4.1.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
{a , b , c } называется правой, если (после совмещения их начал) кратчайший поворот от вектора вектору
a к
b виден из конца вектора c совершаю-
щимся против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов
{a , b , c } называется левой. Определение 2.4.2.
Векторным произведением неколлинеарных векторов
a и b называется вектор x , такой, что 1) | x | | a | | b | sin , где – угол между
векторами 2)
вектор тору
3)
a и b;
x ортогонален вектору a и век-
b;
тройка векторов
{a , b , x} правая.
В случае, когда сомножители коллинеарны (в том числе, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор), векторное произведение считается равным нулевому вектору. Векторное произведение векторов
a и b обозначается как
[ a , b ] . Из определения 2.4.2 следует, что
62
Г л а в а 2 . Произведения векторов
1)
[ a , b ] есть площадь параллелограмма, построенного на векторах
2)
a и b;
для коллинеарности ненулевых векторов
a и b необхо-
димо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
Свойства векторного произведения
1.
[ a , b ] [ b , a ] (антикоммутативность, следует из определения 2.4.2 и нечетности функции sin ).
2.
[ a , b ] [ a , b ] (следует из определения векторного
произведения и того факта, что векторы
[ a , b ] и
[ a , b ] ортогональны одной и той же плоскости при неколлинеарных 3.
a и b и 0 ).
[ a b , c ] [ a , c ] [ b , c ] (дистрибутивность).
Для доказательства дистрибутивности векторного произведения воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями. Лемма 2.4.1.
Пусть даны два вектора
a и b , начала которых на-
ходятся в общей точке на оси с базисом
l . Тогда ре зультат поворота суммы векторов a и b на угол вокруг оси
l равен сумме результатов поворота каж дого из этих векторов вокруг оси l на угол .
63
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Утверждение леммы 2.4.1 будем обозначать как
Пов , l ( a b ) Пов , l ( a ) Пов , l ( b ). Справедливость этого утверждения ясна из рис. 2.4.1.
_
Рис. 2.4.1 Лемма 2.4.2.
e 1 и p o , то вектор [ p, e ] равен ре-
Если
зультату поворота проекции вектора перпендикулярную вектору угол
2
p на плоскость,
e , вокруг вектора e на
по часовой стрелке.
Доказательство.
Проведем две плоскости, одна из которых проходит через точку
O – общее начало векторов p и e , перпендикулярно e , а вторая проходит через векторы
Ортогональная проекция вектора лярную
p и e.
p на плоскость, перпендику-
e , будет лежать на линии пересечения построенных
плоскостей, и тогда из определения векторного произведения следует (рис. 2.4.2):
64
Г л а в а 2 . Произведения векторов
[ p, e ] p e
sin p cos ( ) , 2
поскольку
e 1. Следовательно, в рассматриваемом случае
[ p, e ] Пов ( Pr e p) , где Pr ( p ) обозначает ортого,e e 2
нальное проектирование вектора лярную вектору
p на плоскость, перпендику-
e.
Рис. 2.4.2 Лемма доказана.
Докажем теперь дистрибутивность векторного произведения. Доказательство свойства 3.
Если
c o , то свойство 3 очевидно. Пусть c o , тогда в
силу утверждений лемм 2.4.1, 2.4.2 и свойства 1.1 из § 2.1 следует
65
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
c
[a b, c ] | c | [a b,
|c|
2
(
| c | Пов Pr 2
(
,c
c
| c | ( [ a,
,c 2
c
a Pr
| c | Пов (Pr
(
)
] | c | Пов Pr ( a b )
c
)
b
a ) Пов (Pr 2
c
] [b ,
|c |
c
c
,c
,c
c
)
b)
] ) [ a , c ] [b , c ].
|c |
Свойство доказано.
§ 2.5. Выражение векторного произведения в координатах Пусть задан правый базис ры ры
{g1 , g 2 , g 3 } (то есть такой, что векто-
g1 , g 2 , g 3 образуют правую тройку) и пусть в этом базисе векто
a и b имеют координатные разложения
a 1 g 1 2 g 2 3 g 3
По свойствам 2 и 3 векторного произведения
[a, b ] [ 1 g1 2 g 2 3 g 3 , 1 g1 2 g 2 3 g 3 ]
11[ g1 , g1 ] 1 2 [ g1 , g 2 ] 13 [ g1 , g 3 ]
b 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
и
2 1[ g 2 , g1 ] 2 2 [ g 2 , g 2 ] 2 3 [ g 2 , g 3 ]
66
Г л а в а 2 . Произведения векторов
3 1[ g 3 , g1 ] 3 2 [ g 3 , g 2 ] 3 3 [ g 3 , g 3 ] 3
3
j i [ g j , g i ]. j 1 i 1
Обозначим через
ния базисных векторов
f1 , f 2 и f 3 попарные векторные произведе
[ g i , g j ] следующим образом:
f1 [ g 2 , g 3 ] ; f 2 [ g 3 , g1 ] ; f 3 [ g1 , g 2 ].
Подставив эти обозначения в выражение для
[a , b ] и использовав
формулу, связывающую определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков (см. теорему 1.1.1), получим
[a, b ] ( 2 3 3 2 ) f 1 (1 3 3 1 ) f 2 (1 2 2 1 ) f 3
f 1 det
f1 det 1 1
2 2
3 f 2 det 1 3 1
f2 2 2
3 f 3 det 1 3 1
2 2
f3 3 . 3
Случай ортонормированного базиса Пусть исходный базис
{e1 , e2 , e3 } ортонормированный, образую-
щий правую тройку векторов, тогда по определению 2.4.2
f 1 e1 ,
f 2 e2 ,
f 3 e3 .
67
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Тогда формула для векторного произведения векторов в правом ортонормированном базисе упростится:
e1 [a, b ] det 1 1
e2 2 2
e3 3 . 3
Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия. Следствие 2.5.1.
Для того чтобы векторы
a и b были коллинеар-
ны, необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе
det
2 2
или же
Следствие 2.5.2.
3 det 1 3 1
3 det 1 3 1
2 0, 2
1 2 3 . 1 2 3
В ортонормированном базисе площадь параллелограмма, построенного на векторах
a и b , вычис-
ляется по формуле
S det 2
2 2
3 det 2 1 3 1
3 det 2 1 3 1
причем для случая базиса на плоскости
S det
1 1
2 . 2
2 , 2
68
Г л а в а 2 . Произведения векторов
§ 2.6. Смешанное произведение Смешанным (или векторно-скалярным) произведе-
Определение 2.6.1.
a , b и c , обозначаемым как
нием векторов
( a , b , c ) , называется число ( [ a , b ], c ) . Теорема 2.6.1.
Абсолютная величина смешанного произведения
векторов
( a , b , c ) равна объему параллелепипеда,
построенного на векторах тройка векторов
a , b и c . При этом если
a , b , c некомпланарная и пра-
вая, то их смешанное произведение положительно, а если тройка левая, то – отрицательно. Доказательство.
Если Пусть
a коллинеарен b , то утверждение теоремы очевидно.
a неколлинеарен b , тогда по определению скалярно-
го произведения
( a, b , c ) |[ a, b ] | р c , [a,b]
где S = | [ a ,
b ] | есть площадь параллелограмма, по-
строенного на векторах
a и b ,а
| Пр c | | c | | cos | [ a,b ]
69
Аналитическая геометрия и линейная алгебра – высота параллелепипеда с основанием S, откуда (см. рис. 2.6.1)
V (a , b , c ) . Наконец,
(a, b, c )
| [ a , b ] | | c | cos , что и позволяет сделать заключение о знаке смешанного произведения.
Рис. 2.6.1 Теорема доказана.
Свойства смешанного произведения Для смешанного произведения справедливы тождества: 1.
(a , b , c ) ( c , a , b ) (b , c , a)
( b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ) ;
2.
( a , b , c ) ( a , b , c ) ;
3.
( a1 a 2 , b , c ) ( a1 , b , c ) ( a 2 , b , c ) ,
справедливость которых следует из определения смешанного произведения и теоремы 2.6.1.
70
Г л а в а 2 . Произведения векторов
Отметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных.
§ 2.7. Выражение смешанного произведения в координатах Пусть задан правый базис
{g1 , g 2 , g 3 } и три вектора a , b и c ,
координатные разложения которых в этом базисе имеют вид
a 1 g 1 2 g 2 3 g 3 ,
и соответственно
b 1 g1 2 g 2 3 g 3
c 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
По свойствам векторного произведения имеем
[a, b ] det
2 2
где векторы
3 f 1 det 1 3 1
3 f 2 det 1 3 1
2 f3 , 2
f 1 , f 2 , f 3 были определены в § 2.5.
Из равенств
f 1 [ g 2 , g 3 ] ; f 2 [ g 3 , g1 ] ; f 3 [ g1 , g 2 ] следу-
ет, что
( g k , f j ) ( g1 , g 2 , g 3 ), k j , 0, k j,
и для
( a , b , c ) получаем
(
(a, b, c ) ([a, b ], c ) 1 det 3 det 1 1
2 2
)
2 2
3 2 det 1 3 1
1 ( g 1 , g 2 , g 3 ) det 1 1
2 2 2
3 3
3 3 ( g1 , g 2 , g 3 ) , 3
71
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1.1.) Замечания. 1. Из последней формулы и теоремы 2.6.1 следует справедливость теоремы 1.6.3. 2. В случае ортонормированного правого базиса
( e1 , e2 , e3 ) 1 , поэтому в таком базисе 1 2 3 (a, b, c ) det 1 2 3 . 1 2 3 3. Для введенных в § 2.5 векторов
f1 , f 2 , f 3 спра-
ведлива Тройка векторов
Теорема 2.7.1.
{ f 1 , f 2 , f 3 } образует базис (назы-
ваемый взаимным базису
{g1 , g 2 , g 3 } ).
Доказательство.
Для
доказательства
достаточно
показать,
что
векторы
f 1 , f 2 , f 3 линейно независимы. Пусть существуют числа 1 , 2 , 3 , такие, что
1 f1 2 f 2 3 f 3 o . Умножив последовательно обе части этого равенства скалярно на
g j , j [1, 3] , получим
1 ( f 1 , g j ) 2 ( f 2 , g j ) 3 ( f 3 , g j ) 0 , j [1,3] . (2.7.1)
72
Г л а в а 2 . Произведения векторов
Для девяти выражений
( f i , g j ) , i [1, 3] , j [1, 3] имеем
, i j , ( fi , g j ) , где 0 . Действительно, выраже 0, i j ,
( f i , g i ) , i [1, 3] суть смешанные произведения не-
ния
компланарных векторов
g1 , g 2 , g 3 и потому отличны от
нуля. Остальные шесть выражений
( f i , g j ) , i j будут
равны нулю как смешанные произведения векторов, среди которых имеется пара равных. Подставляя значения выражений в систему равенств (2.7.1), получим, что все
i 0 , i [1, 3] , что доказывает линей-
ную зависимость векторов
f1 , f 2 , f 3 .
Теорема доказана.
§ 2.8. Двойное векторное произведение Определение 2.8.1.
Двойным векторным произведением векторов и
c
называется вектор
a, b
[ a , [ b , c ]] .
Для решения ряда задач оказывается полезной
Теорема 2.8.1.
Имеет место равенство
[ a , [ b , c ]] b ( a , c ) c ( a , b )
a, b, c .
73
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Доказательство.
Заметим, что если векторы
a , b , c попарно ортогональны, то
доказываемое равенство очевидно, поэтому далее будем предпо
лагать, что числа
Обозначим
По
x [ a , [ b , c ]]. По определению векторного произ-
ведения вектор 1º.
( a , b ) и ( a , c ) не равны нулю одновременно.
x ортогонален как вектору [ b , c ] , так и a .
свойствам
смешанного
произведения
условие
( x , [ b , c ]) ( x , b , c ) 0 означает, что тройка векторов
{ x , b , c } компланарная и в силу леммы 1.4.1
x b c ,
где и 2º.
− некоторые числа.
Из условия
( x , a ) 0 следует, что
( b c , a ) 0 или ( b , a ) ( c , a ) 0 . 3º.
Рассмотрим теперь вектор
r , удовлетворяющий следую-
щему набору условий: а)
r (так же как и вектор x ) принадлежит плоскости,
проходящей через векторы б)
b и c;
( r , b ) 0 и ( r , c ) 0 . (См. рис. 2.8.1.)
Найдем теперь выражение для смешанного произведения вида
( a , r , [ b , c ]) ( a , [ r , [ b , c ]]) . С одной стороны, по свойствам смешанного произведения и в силу
( r , b ) 0 имеем
74
Г л а в а 2 . Произведения векторов
Рис. 2.8.1
( a , r , [ b , c ]) ( r , a , [ b , c ]) ( r , [ a , [ b , c ]]) ( r , x )
( r , b c ) ( r , b ) ( r , c ) ( r , c ). С другой стороны, вектор
[ r , [ b , c ]] сонаправлен с b , то есть
0 такое, что [ r , [ b , c ] ] b . Поэтому
( a , r , [ b , c ] ) ( a , b ) Значение
.
найдем из соотношений
b [ r , [ b , c ] ] r b c sin sin({ r ; [ b , c ]}) r b c cos( ) ( r , c ) b 2
(r, c) ,
75
Аналитическая геометрия и линейная алгебра поскольку угол между
r и [ b , c ] прямой. Значит,
(a, r ,[b , c ] ) ( a, b ) ( r , c ) . Приравнивая выражения для
( a , r , [ b , c ] ) , получаем
( r , c ) ( a , b ) ( r , c )
или
( a , b ) .
Наконец, из соотношения, полученного в п. 2º, находим, что
( a, c ) . Теорема доказана.
Альтернативное доказательство этой теоремы приводится в Приложении 4 (см. Прил. 4.5).
§ 2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов Операции векторных произведений были введены независимо от координатного представления сомножителей и, значит, независимо и от используемого базиса. С другой стороны, естественным представляется вопрос о возможности (и соответственно целесообразности) дать определения операций произведения векторов непосредственно в координатной форме. a и b, 1 имеющих в базисе {g , g , g } координатные представления 2 и 1 2 3 3
В общем случае каждой упорядоченной паре векторов
76
Г л а в а 2 . Произведения векторов
1 2 , естественно поставить в соответствие девятку попарных произ3 ведений цы
k i ; k , i 1, 2, 3 , которую можно записать в виде матри11 2 1 3 1
1 2 2 2 32
1 3 2 3 . 3 3
(2.9.1)
На первый взгляд, зависимость компонент этой матрицы от выбора базиса делает координатный способ введения произведений векторов малоцелесообразным, ибо придется давать их определение для каждого из возможных базисов. Однако было замечено, что существуют некоторые линейные комбинации чисел
k i ; k , i 1,2,3 , инвариантные (то есть не изменя-
ющиеся) при замене базиса, которые можно принять за определение произведений векторов в координатном представлении. Покажем в качестве примера, что сумма элементов матрицы 2.9.1, стоящих на ее главной диагонали, не меняется при переходе от одного ортонормированного базиса к другому. Рассмотрим
два
ортонормированных
11 {e1 , e2 , e3 } с матрицей перехода S 21 31
базиса
12 22 32
{e1 , e2 , e3 } и 13 23 . 33
Согласно § 1.8, в этом случае для базисных векторов имеют место
соотношения
3
et pt e p ; t 1, 2, 3 , а для координат соответсp 1
77
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
твенно 3
3
i 1
t 1
s si i ; s 1, 2, 3; s st t ; s 1, 2, 3. Пусть
it – символ Кронекера (см. § 2.3), тогда из условия орто-
нормированности базисов 3
{e1 , e2 , e3 } и {e1 , e2 , e3 } имеем 3
3
3
(ei , et ) it ( si e s , pt e p ) si pt (e s , e p ) s 1
3
p 1
3
s 1 p 1
3
si pt sp si st ; t 1, 2, 3 . s 1 p 1
s 1
3
Отметим, что соотношения
s 1
S
свойством матрицы перехода базиса к другому. Найдем теперь
выражение
si
st it , i, t 1, 2, 3, являются от одного ортонормированного для
линейной
комбинации
11 2 2 3 3 в базисе {e , e , e } , используя зависимости 1 2 3 между компонентами матрицы перехода и определение символа Кронекера: 3
3
3
( i 1
i
i
i 1 3
s 1 3
3
si
3
3
3
i )( st t ) i t si st t 1
i 1 t 1
s 1
3
i t it t t . i 1 t 1
Полученное
11 2 2
t 1
равенство доказывает инвариантность суммы 3 3 при замене одного ортонормированного базиса
Г л а в а 2 . Произведения векторов
78
другим, которая может быть принята в этих базисах за определение скалярного произведения векторов. Покажите самостоятельно, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису инвариантными также оказываются и линейные комбинации вида
2 3 3 2 , 3 1 1 3 , 1 2 2 1 . Выясните, каков геометрический смысл этой инвариантности.
79
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Глава 3
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Как было показано, использование системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством их радиусов-векторов. Это в свою очередь позволяет свести исследование свойств линий, поверхностей или тел к изучению множеств радиусов-векторов, соответствующих точкам, образующим исследуемые геометрические объекты. Глава 3 посвящена методам описания и исследования свойств простейших геометрических объектов – прямой и плоскости – средствами векторной алгебры. В главах 3, 4 и 5 настоящего пособия будут использоваться обозначения координаты по оси абсцисс через x , координаты по оси ординат через y и координаты по оси аппликат через z , равно как и стандартные формы записи уравнений.
§ 3.1. Прямая на плоскости Пусть дана система координат мая L, проходящая через точку тором
{O, g1 , g 2 } на плоскости и пря-
r0 , с лежащим на ней ненулевым век-
a.
Определение 3.1.1.
Вектор
a называется направляющим вектором прямой L .
80
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 3.1.1.
Множество радиусов-векторов точек прямой ставимо в виде
L пред-
r r0 a , где – произвольный ве-
щественный параметр. Доказательство.
r – некоторая точка на прямой L . Ненулевой вектор a образует базис на прямой L , поэтому лежащий на этой прямой Пусть
вектор
r r0 (рис. 3.1.1) может быть для каждого r представ-
лен единственным образом в виде
r r0 a
r r0 a . Тогда
(, ).
Теорема доказана.
Рис. 3.1.1
Найдем теперь координатное представление множества радиу
сов-векторов всех точек прямой
L . Пусть r
g
и
a
g
x , r0 y
ax , тогда справедливы следующие теоремы. ay
g
x0 y0
81
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Теорема 3.1.2.
Всякая прямая в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида
Ax By C 0 ,
A B 0.
Доказательство.
Условие коллинеарности ненулевых векторов
r r0 и a в
координатной форме имеет вид
det Откуда
x x0 ax
y y0 0. ay
a y ( x x0 ) a x ( y y0 ) 0 , или же Ax By C 0 , A B 0 ,
где
A a y ; B a x , C a y x 0 a x y 0 , и мы получили,
что уравнение прямой есть алгебраическое уравнение первой степени. Заметим, что справедливость неравенства
A B 0 следует из условия
a o ax ay 0 .
Теорема доказана. Теорема 3.1.3.
Всякое уравнение вида
Ax By C 0, A B 0 , в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой прямой.
Доказательство.
Пусть дано уравнение первой степени
Ax By C 0 , A B 0 . Подберем числа x0 и y 0 так, чтобы Ax0 By 0 C 0 .
82
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Вычитая почленно два эти равенства, получим A( x x0 ) B ( y y 0 ) 0 .
Возьмем точку
r0
g
x0 и вектор a y0
g
B . По теоA
реме 3.1.2 имеем, что прямая, проходящая через точку направлении вектора
r0 в
a , имеет уравнение вида A( x x0 ) B ( y y 0 ) 0 .
Следовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой. Теорема доказана.
Замечание: из теорем 3.1.2–3.1.3 следует, что каждое линейное урав-
нение в декартовой системе координат на плоскости задает некоторую конкретную прямую, но, с другой стороны, конкретная прямая на плоскости может быть задана бесчисленным множеством линейных уравнений и естественно возникает вопрос: при каких условиях два разных линейных уравнения задают одну и ту же прямую?
Теорема 3.1.4.
Для того чтобы уравнения
A1 x B1 y C1 0,
A1 B1 0 и
A2 x B2 y C 2 0,
A2 B2 0
были уравнениями одной и той же прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовало число 0 , такое, что
A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C 2 .
83
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Доказательство достаточности.
Пусть коэффициенты уравнений пропорциональны и имеет место равенство A2 x B2 y C2 0 . Тогда
1 1 1 A1 x B1 y C1 1 ( A1 x B1 y C1 ) 0 , но поскольку 0 , то A1 x B1 y C1 0 . A2 x B2 y C 2
Аналогично из равенства
A1 x B1 y C1 0 следует, что и
A2 x B2 y C 2 0 . Доказательство необходимости.
Пусть уравнения
A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C 2 0 суть уравнения одной и той же прямой в некоторой декартовой системе координат. Тогда их направляющие векторы коллинеарны (по теореме 3.1.2) и существует 0 , такое, что A1 A2 ; B1 B2 . С другой стороны, из равносильности уравнений
A2 x B2 y C1 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 следует, также, что и C1 C 2 . Теорема доказана. Замечание:
уравнение прямой не в любой системе координат является алгебраическим уравнением первой степени. Например, в полярной системе координат (см. § 4.6) оно может иметь вид P sec( 0 ) .
84
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 3.2. Способы задания прямой на плоскости В произвольной декартовой системе координат
{O, g1 , g 2 } суще-
ствуют различные формы задания прямой на плоскости. Рассмотрим основные из них. 1. Уравнение прямой, проходящей через две несовпадающие точки
r1
r2
x1 y1
и
Поскольку направляющий вектор данной прямой
a r2 r1
торной
x2 x1 , то ее уравнение в векy2 y1
форме
будет
иметь
вид
r r1 ( r2 r1 ) или
r (1 ) r1 r2 .
x2 y2
Соответственно в координатах, исключив параметр , получим одну из следующих формул:
x x1 y y1 ; ( x 2 x1 )( y 2 y1 ) 0; x 2 x1 y 2 y1 y y1 x, если y 2 y1 ;
x x1 y, если x 2 x1 . Проверьте самостоятельно, что эти три случая могут быть описаны одним условием:
x det x1 x2 Следствие 3.2.1.
Для того чтобы три точки
r3
y y1 y2
1 1 0. 1
r1
x1 x2 , r2 и y1 y2
x3 лежали на одной прямой, необходимо и y3
85
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
достаточно, чтобы их координаты удовлетворяли уравнению
x1 det x 2 x3
y1 y2 y3
1 1 0. 1
2. Векторное уравнение прямой (уравнение прямой, проходящей через данную точку
r0
x0 y0
,
перпендикулярно заданному ненулевому вектору
n
nx ) ny
Рис. 3.2.1
Если в качестве направляющего вектора данной
прямой взять
a r r0
x x0 x (где r y y0 y
− радиус-вектор некоторой ее точки) (рис. 3.2.1), то в силу ортогональности векторов
чим
( n , r r0 ) 0 , или же
n и r r0 полу-
( n , r ) d , где d ( n , r0 ) .
86
Аналитическая геометрия и линейная алгебра При обратном переходе от записи уравнения прямой в виде
( n , r ) d к ( n , r r0 ) 0 в каче-
стве
r0 можно взять (проверьте это самостоятель d r n. но!) 0 ( n, n ) В
{O, e1 , e2 } − ортонормированной системе коор
( n , r r0 ) 0 приобретает вид n x ( x x0 ) n y ( y y 0 ) 0,
динат уравнение
или
n x x n y y d , где d n x x0 n y y 0 .
Сравнивая последнюю запись с общим видом уравнения прямой Ax By C 0 , приходим к заключению, что в ортонормированной системе координат вектор
®
n , для которого
n
g
A , B
будет ортогонален этой прямой. Определение 3.2.1.
3. Нормальное уравнение прямой
Вектор мой
L.
n называется нормальным вектором пря-
Рассмотрим скалярное уравнение прямой в орто
нормированной системе координат
{O, e1 , e2 } Ax By C 0, A B 0
и
преобразуем
его,
разделив
обе
A B . Подставляя обозначения 2
2
части
на
87
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
cos
A A B 2
2
; sin
B A B 2
2
;
C A B2 2
,
получим так называемую нормальную форму записи уравнения x cos y sin 0 . Геометрический смысл параметров и ясен из рис. 3.2.2.
Рис. 3.2.2
Замечание о линейных неравенствах Аналогично тому, как линейное уравнение задает на плоскости прямую, линейное неравенство
Ax By C 0 , A B 0 определяет часть плоскости (множество точек, координаты которых x и y удовлетворяют данному неравенству), ограниченную прямой
Ax By C 0 ,
A B 0.
Покажем справедливость данного утверждения для случая, когда пря
L : ( n , r ) d делит плоскость P на две части, обозначаемые P и P (см. рис. 3.2.3).
мая
88
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Рис. 3.2.3
Определение 3.2.2.
M с радиусом-вектором R принадлежит P (или соответственно P ), если существует 0 (соответственно 0 ), такое, Будем говорить, что точка
M M n , где точка M есть ортогональная проекция M на прямую L .
что
Тогда справедлива Теорема 3.2.1.
Для того чтобы
M P , необходимо и достаточно
выполнения неравенства
( n, R) d .
89
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Доказательство необходимости.
Пусть
M P , то есть существует 0 такое, что
M M n .
( n , R ) . Поскольку M L , то
Получим оценку величины
( n , OM ) d , и
( n , R) ( n , OM M M ) ( n , OM ) ( n , M M )
d ( n , n ) d в силу положительности
.
Доказательство достаточности.
Пусть
( n , R ) d и M M n , тогда из ( n , OM ) d полу-
чаем
( n , R ) ( n , OM M M )
( n , OM ) ( n, M M ) d ( n , n ) d ( n, n ) 0. А в силу
n o следует, что 0 и, значит, M P .
Теорема доказана. Задача 3.2.1.
Дана система координат мая
{O, g1 , g 2 } на плоскости и пря-
L с уравнением ( n , r r0 ) 0 . Найти расстояние до
этой прямой от точки, радиус-вектор которой
r1
x1 . y1
90
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Решение
1.
Пусть
MK n , тогда r r1 n (рис. 3.2.4). 2.
Точка K принадлежит данной прямой, поэтому имеет место соотношение
( n , r1 n r0 ) 0 . Откуда
( n ,r1 r0 ) 2
.
|n| 3. Подставив в выражение для
MK , получим
Рис. 3.2.4
| MK | | (r1 r0 ,
n
) |.
|n |
4. Пусть система координат ортонормированная. Для уравнения
Ax By C 0, A B 0 , как было показано, вектор
n
A перпендикулярен прямой. Поэтому B
| MK |
A( x1 x0 ) B ( y1 y0 ) A2 B 2
Принимая во внимание, что точка довательно, Ax0 писать в виде
.
r0 лежит на прямой L и, сле-
By 0 C 0 , окончательный ответ можно за
| MK |
Ax1 By1 C A2 B 2
.
91
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Определение 3.2.3. Теорема 3.2.2.
Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую заданную точку, именуемую вершиной пучка.
Пусть точка, общая для всех прямых пучка, является точкой пересечения непараллельных прямых A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C 2 0 . Тогда 1) для любой прямой пучка найдется пара не равных нулю одновременно чисел и , таких, что
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C 2 ) 0 есть уравнение данной прямой, 2) при любых, не равных нулю одновременно , уравнение
и
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C 2 ) 0 есть уравнение некоторой прямой данного пучка. Доказательство.
x 1. Возьмем некоторую точку r , не совпадающую с y
вершиной пучка, и примем в качестве параметров
A2 x B2 y C 2 , и ( A1 x B1 y C1 ) . Заметим при этом, что
0 , поскольку точка
r
не принадлежит данным прямым одновременно. Кроме того, прямая
( A2 x B2 y C 2 )( A1 x B1 y C1 ) ( A1 x B1 y C1 )( A2 x B2 y C 2 ) 0 проходит как через точку
r , так и через вершину пучка и,
следовательно, принадлежит пучку.
92
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2. Пусть A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 – пара пересекающихся прямых из рассматриваемого пучка, тогда очевидно, что ( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C 2 ) 0 . При этом уравнение
(A1 A2 ) x (B1 B2 ) y (C1 C 2 ) 0 является уравнением прямой, поскольку из
A1 B1 0 , следует, что
A2 B2 0 и 0
A1 A2 B1 B2 0 .
Действительно, допустим противное:
A1 A2 0, (3.2.1) B1 B2 0. Прямые A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C 2 0 по построению имеют, по крайней мер, одну общую точку. Поэтому они либо совпадают, либо пересекаются. По теореме 3.1.4 они совпадают тогда и только тогда, когда существует 0 , для которого
A1 A2 и B1 B2 . А последние два равенства
по теореме 1.6.2 равносильны условию
det
A1 B1
A2 0. B2
В рассматриваемом случае прямые пересекаются, поэтому
det
A1 B1
A2 0 B2
и в силу теоремы 1.1.2 система линейных уравнений 3.2.1 может иметь лишь единственное решение. С другой стороны, очевидно, что эта система имеет тривиальное решение 0 , что в совокупности противоречит неравенству
0.
93
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Следовательно,
A1 A2 B1 B2 0. Теорема доказана.
Уравнение
Определение 3.2.4.
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C 2 ) 0 , где 0 , называется уравнением пучка прямых на плоскости.
§ 3.3. Плоскость в пространстве
Пусть даны система координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } в пространстве и
плоскость S , проходящая через точку с радиусом-вектором жащими на S неколлинеарными векторами Векторы
r0 и ле-
p и q.
p и q называются направляющими векторами плоскости S .
Определение 3.3.1.
Множество радиусов-векторов точек плоскости S
Теорема 3.3.1.
представимо в виде
r r0 p q , где и –
произвольные вещественные параметры. Доказательство.
r – некоторая точка плоскости S . Векторы p , q образуют базис на S , и лежащий на этой плоскости (рис. 3.3.1) векПусть
тор
r r0 может быть единственным образом представлен как
линейная комбинация векторов
p и q вида:
94
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
r r0 p q,
и, следовательно, уравнение плоскости будет иметь вид
r r0 p q,
( , ) (, ).
где
и
Теорема доказана.
Рис. 3.3.1
Иными словами, каждая пара чисел и определяет некоторую точку плоскости S , а радиус-вектор каждой ее точки представим как
r r0 p q .
Найдем теперь координатное представление множества радиусов-векторов
всех
точек
плоскости
S.
Пусть
r
g
p g
px py и q pz
g
x y , z
qx q y , тогда будут справедливы следующие qz
теоремы. Теорема 3.3.2.
Всякая плоскость в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида
Ax By Cz D 0 ,
A B C 0.
Доказательство.
Условие компланарности векторов
r r0 , p и q в коорди-
натной форме имеет (согласно теореме 1.6.3) вид
95
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
x x0 det p x qx
y y0 py qy
z z0 p z 0. qz
A( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 , или окончательно Ax By Cz D 0, где числа A , B и C нахоОткуда
дятся по теореме 1.1.1 и равны соответственно
A det
py qy
pz p ; B det x qz qx
C det
px qx
py , qy
pz ; qz
а D Ax0 By 0 Cz 0 , и, таким образом, мы получили, что уравнение плоскости есть уравнение первой степени. Условие невозможности одновременного равенства нулю чисел A ,
B и C вытекает из неколлинеарности векторов p и q и следствия 2.5.1. Теорема доказана. Теорема 3.3.3.
Всякое
уравнение
вида
Ax By Cz D 0 ,
A B C 0 в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой плоскости.
Доказательство.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение
Ax By Cz D 0 ,
A B C 0
96
Аналитическая геометрия и линейная алгебра при C 0 может быть записано как
x
DA A B2 C2
det
а при
y
2
DB A B2 C 2 2
z
DC A B2 C 2 2
0
C
B
C
0
A
0,
C 0 в виде x det
DA A B2
y
DB A B2 2
z0
B
A
0
0
0
1
2
0.
Тогда любой декартовой системе координат в качестве векторов
p и q можно брать 0 p C и g B
q
g
C 0 A
при
C 0,
или
p g
B A 0
и
q
g
0 0 , если C 0 , 1
поскольку оба эти уравнения будут определять плоскость, проходящую через некоторую заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам. Теорема доказана.
97
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Отметим, что условие компланарности векторов
r r0 , p и q в
векторной форме может быть записано при помощи смешанного
( r r0 , p, q ) 0 , что также есть форма урав-
произведения в виде
нения плоскости S , полезная при решении задач. Задача 3.3.1.
В системе координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } составить урав-
нение плоскости, проходящей через три заданные, не лежащие на одной прямой точки:
x1 x2 x3 r1 y1 ; r2 y 2 ; r3 y 3 . z1 z2 z3
Решение. Из условия задачи следует, что неколлинеарные векторы
r2 r1 и r3 r1 параллельны искомой плоскости. Кроме того, для радиуса-вектора любой принадлежащей этой плоскости точки
r вектор r r1 также будет ей паралле-
лен. Из условия компланарности тройки векторов
{ r r1 , r2 r1 и r3 r1 } получаем уравнение искомой плоскости, которое будет иметь вид
( r r1 , r2 r1 , r3 r1 ) 0 ,
или в координатной форме (согласно § 2.7)
x x1 det x 2 x1 x3 x1 Задача 3.3.2.
В системе координат
y y1 y 2 y1 y 3 y1
z z1 z 2 z1 0. z 3 z1
{O, g1 , g 2 , g 3 } составить урав-
нение плоскости, проходящей через заданную точку
98
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
r0 x 0 тору
y0
n nx
z0
T
ny
перпендикулярно ненулевому векT
nz .
Решение. По условию задачи для радиуса-вектора
r любой точки,
принадлежащей этой плоскости, векторы дут ортогональны, т.е.
n и r r0 бу-
( n, r r0 ) 0 .
В ортонормированной системе координат
{O, e1 , e2 , e3 }
это условие принимает вид
n x ( x x 0 ) n y ( y y 0 ) nz ( z z0 ) 0 A nx ; B n y ; C nz
или, обозначив ственно
Следствие 3.3.1.
и соответ-
D n x x 0 n y y 0 n z z 0 , получим Ax By Cz D 0 .
Если плоскость задана в ортонормированной системе координат
{O, e1 , e2 , e3 } уравнением Ax By Cz D 0, где A B C 0,
то вектор
n A B C
T
ортогонален этой
плоскости. Определение 3.3.2.
Определение 3.3.3.
Вектор сти
n называется нормальным вектором плоско-
( n , r r0 ) 0 .
Вектор
A B C
T
называется главным векто-
ром плоскости
Ax By Cz D 0, A B C 0.
99
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
В ортонормированной системе координат главный вектор плоскости является и нормальным ее вектором.
Задача 3.3.3.
В
Решение.
1. Пусть
{O, e1 , e2 , e3 } − ортонормированной системе координат, найти расстояние от точки M с радиусом-вектоx ром r y до плоскости ( n , r r ) 0 . 0 z K есть ортогональная проекция точки M на
данную плоскость, тогда
MK n и r n .
(рис. 3.3.2.) 2. Точка K принадлежит данной плоскости, поэтому имеет место соотношение
следовательно,
( n , r r0 ) 2
,
|n|
тогда для искомого расстояния получим
| MK |
(
| r r0 ,
n
|n |
) |.
. Рассмотрим теперь ортонормированную систему координат.
( n , r n r0 ) 0 , и,
Рис. 3.3.2
100
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
T
n A B C будет нормальным вектором плоскости Ax By Cz D 0 . Поэтому
В этом случае вектор
| MK | Точка
| A( x x0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) | A2 B 2 C 2
,
r0 принадлежит данной плоскости, значит Ax0 By0 Cz 0 D 0 ,
а, поскольку
A B C 0 , то ответ задачи можно за-
писать в виде
| MK |
Теорема 3.3.4.
Пусть
| Ax By Cz D | A2 B 2 C 2
A1 B1 C1 0 и
.
A2 B2 C2 0 , в
этом случае плоскости
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0
будут параллельны тогда и только тогда, когда их главные векторы коллинеарны. Доказательство.
Докажем достаточность. Если главные векторы коллинеарны, то существует такое число 0 , что
A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C 2 , и система уравнений
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
101
может быть переписана в виде
A1 x B1 y C1 z D1 0, A1 x B1 y C1 z D2 0. D1 D2 на этих плоскостях нет общих точек, а при D1 D2 – все точки общие, что и означает параллельность
При
плоскостей. Докажем необходимость. Пусть плоскости
A1 x B1 y C1 z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0
параллельны. Тогда они должны пересекать одни и те же координатные плоскости по параллельным прямым. Пусть для определенности этими координатными плоскостями являются плоскости, для которых x 0 и z 0 . Линии пересечения, соответствующие первой из координатных плоскостей, будут определяться системами уравнений
x 0, x 0, и B1 y C1 z D1 0 B2 y C2 z D2 0. Параллельность этих прямых означает существование 0 такого, что B1 B2 ; C1 C 2 . Рассматривая случай z 0 , получаем аналогичную систему соотношений
z 0, z 0, и A1 x B1 y D1 0 A2 x B2 y D2 0, но из условия B1 B2 и параллельности этой пары прямых вытекает, что A1 A2 . Теорема доказана.
102 Следствие 3.3.2.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Для того чтобы уравнения
A1 x B1 y C1 z D1 0, A1 B1 C1 0 и A2 x B2 y C 2 z D2 0, A2 B2 C 2 0 были уравнениями одной и той же плоскости, необходимо и достаточно, чтобы существовало число 0, такое, что
A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C 2 ; D1 D2 . Определение 3.3.4.
Пучком плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую.
Определение 3.3.5.
Уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую, определяемую пересечением пары непараллельных плоскостей
A1 x B1 y C1 z D1 0, A1 B1 C1 0 и
A2 x B2 y C 2 z D2 0, A2 B2 C 2 0, называется уравнение вида
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C 2 z D2 ) 0, 0. Определение 3.3.6.
Связкой плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку.
103
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Определение 3.3.7.
Если точка плоскостям
P , принадлежащая одновременно трем
A1 x B1 y C1 z D1 0, A1 B1 C1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0, A2 B2 C 2 0
и
A3 x B3 y C 3 z D3 0, A3 B3 C 3 0, единственная, то уравнение вида
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C 2 z D2 ) ( A3 x B3 y C 3 z D3 ) 0, 0 называется уравнением связки плоскостей, проходящих через точку P . Для пучка и связки плоскостей в пространстве справедливы теоремы, аналогичные теореме 3.2.1 для пучка прямых на плоскости.
§ 3.4. Способы задания прямой в пространстве Существуют различные способы задания прямой в пространстве в декартовой системе координат 1. Уравнение прямой в параметрической форме
{O, g1 , g 2 , g 3 } .
Пусть точка с радиусом-вектором
r x
y
z
T
лежит на прямой в пространстве, имеющей ненулевой направляющий вектор
104
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ax x0 a a y и проходящей через точку r0 y 0 , тоaz z0
r r0 следует, гда из коллинеарности векторов a и что уравнение прямой в пространстве должно иметь
r r0 a . вид 2. Уравнение прямой в канонической форме
Если исключить параметр
уравнения
из скалярной записи
r r0 a
x x0 a x , y y 0 a y , z z a , 0 z то получается так называемое каноническое уравнение прямой
x x0 y y 0 z z 0 , ax ay az хотя здесь правильнее говорить о системе уравнений. Случай
a x a y a z 0 рассматривается аналогично
случаю, рассмотренному в § 3.2 (1). 3. Уравнение прямой, проходящей через две
Поскольку направляющий вектор данной прямой коллинеарен вектору
x 2 x1 r2 r1 y 2 y1 , z 2 z1
a
105
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость две несовпадающие точки
x1 r1 y1 z1
то уравнение прямой в векторной форме можно представить в виде
r r1 (r2 r1 )
и
x2 r2 y 2 z2
или
r (1 ) r1 r2 .
Соответственно в координатах после исключения параметра получаем соотношения
x x1 y y1 z z1 , x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 если только
( x2 x1 )( y2 y1 )( z 2 z1 ) 0 . 4. Уравнение прямой в 1-ой векторной фор-ме
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(n1 , r ) d 1 где
и
(n 2 , r ) d 2 ,
n1 и n2 – неколлинеарные, нормальные векторы этих плоскостей, а d1 и d 2 – некоторые числа. Или же, если известна точка
r0 , через которую про-
ходит данная прямая, то радиус-вектор любой точки этой прямой удовлетворяет следующей системе уравнений:
( n1 , r r0 ) 0, (n2 , r r0 ) 0. Или в координатной форме
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0.
106
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
5. Уравнение Прямая в пространстве может быть задана при помо прямой во 2-ой вектор- щи иного условия коллинеарности векторов a и ной форме
r r0 , в виде уравнения
[ a , r r0 ] o или же
[ a , r ] b , где b [ a , r0 ] . Наконец, в ортонормированной системе координат
{O, e1 , e2 , e3 } данное уравнение прямой в пространстве принимает вид
e1 det a x x
e2 ay y
a y z a z y b x , e3 a z b или a z x a x z b y , a y a x b . z y z x
Отметим, что в последней системе скалярных условий только два уравнения из трех независимые, то есть любое из этих уравнений является следствием двух других. Действительно, умножив первое уравнение на a x , второе на a y и
a z и сложив затем полученные равенства почленно, приходим к тождеству вида 0 0 , поскольку числа a x , a y и a z не равны третье на
нулю одновременно, а
bx a y z 0 a z y 0 , b y a z x 0 a x z 0 , b a y a x . x 0 y 0 z
107
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Наконец, расстояние h в пространстве от некоторой точки с радиусом-вектором
r r0 a можно найти, R воспользовавшись свойством, что S – до прямой
площадь параллелограмма, построенного на паре векторов, равна длине векторного произведения этих векторов. Из рис. 3.4.1 получаем
h
Рис. 3.4.1
S
a
[ R r0 , a ] .
a
§ 3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры Эффективность использования методов векторной алгебры при решении геометрических задач во многом зависит от правильного выбора представления геометрических условий в векторной форме. Например, если ввести определения, равносильные используемым в элементарной геометрии, то вычисление углов, определяющих взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, может быть сведено к нахождению скалярных и/или векторных произведений соответствующих нормальных и направляющих векторов. Определение 3.5.1.
Углом
между
плоскостями
(n1 , r r01 ) 0
и
(n2 , r r02 ) 0 называется угол между их нормальными векторами
n1 и n 2 .
108
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 3.5.2.
Углом между плоскостью
( n, r r0 ) 0 и прямой
r r0 a называется угол 2 , где – угол
между векторами
n и a.
В таблицах 3.5.1–3.5.3 приведены некоторые из часто употребляемых форм выражения геометрических условий при помощи векторных операций. Т аб ли ца 3.5.1 Относительная ориентация прямых в пространстве Геометрическое условие Коллинеарность прямых
Возможная векторная форма представления 1. Существует 0 , такое, что
r r01 a1 и r r02 a 2 .
2.
[a1 , a2 ] o .
Ортогональность прямых
a1 a 2 .
(a1 , a 2 ) 0.
r r01 a1 и
r r02 a 2 .
Коллинеарность прямых
1.
r r0 a и
(n1 , r ) d1 , (n 2 , r ) d 2 .
Существует 0 , такое, что
a [n1 , n2 ] .
2.
[ a , [n1 , n 2 ]] o .
109
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Ортогональность прямых
( a , n1 , n2 ) 0.
r r0 a и
(n1 , r ) d1 , (n 2 , r ) d 2 . Совпадение прямых
1.
r r01 a1 и
Существуют 0 и кие, что
a1 a 2 и
r r02 a 2 .
r01 r02 a1 . 2.
[a 1 , a 2 ] o и
[r01 r02 , a1 ] o .
Пересечение прямых
r r01 a1 и
[ a1 , a 2 ] o и
(r01 r02 , a1 , a 2 ) 0.
r r02 a 2 .
Условие скрещивания прямых
r r01 a1 и
r r02 a 2 .
[ a1 , a 2 ] o и
(r01 r02 , a1 , a 2 ) 0 .
0, та-
110
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Таб лиц а 3.5.2 Относительная ориентация плоскостей в пространстве Геометрическое условие
Параллельность плоскостей
Возможная векторная форма представления 1. Существует 0, такое, что
[ p1 , q1 ] [ p 2 , q 2 ] и
(r01 r02 , p1 , q1 ) 0 .
и
r r01 p1 q1
r r02 p 2 q 2 . 2.
[[ p1 , q1 ],[ p2 , q 2 ]] o и
(r01 r02 , p1 , q1 ) 0. Совпадение плоскостей
1. Существует
r r01 p1 q1 и
(r01 r02 , p1 , q1 ) 0 .
r r02 p 2 q 2 .
Ортогональность плоскостей
r r01 p1 q1
и
r r02 p 2 q 2 .
[[ p1 , q1 ],[ p 2 , q 2 ]] o и
2.
r r01 p1 q1 и
(r01 r02 , p1 , q1 ) 0 .
Совпадение плоскостей
[ p1 , q1 ] [ p 2 , q 2 ] и
r r02 p 2 q 2 .
0, такое, что
( [ p1 , q1 ], [ p 2 , q 2 ]) 0 .
111
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Параллельность плоскостей
r r0 p q и
( p, n ) 0 при условии ( n , r ) d . 0 ( q , n ) 0
( n, r ) d . Совпадение плоскостей
r r0 p q и
( p, n ) 0 при условии ( n , r ) d . 0 ( q , n ) 0
( n, r ) d . Ортогональность плоскостей
1.
r r0 p q и
( n, r ) d .
0,
Существует
такое,
что
[ p, q ] n . 2.
[[ p, q ], n ] o .
Т аб ли ца 3.5.3 Относительная ориентация прямой и плоскости в пространстве Геометрическое условие Параллельность прямой
r r01 a плоскости
r r02 p q .
Возможная векторная форма представления 1. Существуют такие, что
; ; 0,
a p q и
(r01 r02 , p, q ) 0 .
112
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2.
Ортогональность прямой
1.
Существует 0 , такое, что
a [ p, q ] .
r r01 a плоскости r r02 p q .
( a , p, q ) 0, (r01 r02 , p, q ) 0.
2.
[ a ,[ p , q ]] o .
( a , n) 0 при условии
Параллельность прямой
r r01 a плоскости
( n , r0 ) d .
( n, r ) d . ( a , n) 0, (r0 , n) d .
Принадлежность прямой
r r01 a плоскости
( n, r ) d . Ортогональность прямой
1.
r r01 a плоскости
Существует
0, такое, что
a n.
( n, r ) d .
2.
[a, n] o .
Ортогональность прямой
1.
Существуют
; ; 0, такие,
(n1 , r ) d1 , (n 2 , r ) d 2
и плоскости
( n, r ) d .
что 2.
n n1 n2 .
[ n ,[ n1 , n2 ]] o .
113
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
Отметим, что в таблицах 3.5.1–3.5.3 сохранены введенные ранее обозначения и ограничения. При решении геометрических задач методами векторной алгебры также важно уметь переводить эти представления из одной эквивалентной формы в другую5. Найдем, например, для прямой, заданной в пространстве пересечением двух непараллельных плоскостей
(n1 , r ) d1 , (n2 , r ) d 2 ,
r r0 a .
уравнение в параметрическом виде
Нетрудно убедиться, что в качестве направляющего вектора дан
ной прямой можно взять
a [ n1 , n2 ] , а радиус-вектор точки r0 вы-
ражается как некоторая линейная комбинация векторов Действительно, пусть
n1 и n2 .
r0 n1 n2 , тогда из системы линейных
уравнений
(n1 , r0 ) d1 , находим и , (n2 , r0 ) d 2 где
det
(n1 , n1 )
(n1 , n 2 )
(n 2 , n1 ) (n2 , n2 ) и
5
det
(n1 , n1 )
d1
,
det
d1
(n1 , n2 )
d2
( n2 , n 2 )
(см. теорему 1.1.2).
(n 2 , n1 ) d 2
Следует иметь в виду, что использование различных векторных представлений одного и то же геометрического условия может приводить к различным, но, естественно, эквивалентным формам записи решения. (См., например, задачу 3.5.2.)
114
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Покажите самостоятельно, что условие неколлинеарности нор
n1 и n2 равносильно условию 0 .
мальных векторов
Аналогично может быть выполнен и обратный переход. Пусть уравнение прямой в пространстве имеет вид
r r0 a , причем
предположим, что
r0 и a неколлинеарны. Тогда в качестве нор-
мальных векторов плоскостей, которые пересекаются по данной прямой, можно взять
n1 [ a , r0 ] и n2 [ a , n1 ] . Из второго равенства,
используя формулу для двойного векторного произведения (см. § 2.8), получаем
2
n 2 [ a , n1 ] [ a , [ a , r0 ]] ( a , r0 ) a ( a , a ) r0 ( a , r0 ) a a r0 .
d 1 и d 2 , очевидно, можно принять d (n , r ) и 1 1 0
В качестве
d 2 ( n2 , r0 ) . Случай коллинеарных векторов r0 и a рассмотрите самостоятельно. В заключение приведем в качестве примеров решения некоторых стереометрических задач методами векторной алгебры. Задача 3.5.1.
Даны плоскость прямая
( r r0 , p, q ) 0 и пересекающая ее
r 0 a . Найти в векторной форме радиус-
вектор точки пересечения этой прямой и плоскости. Решить задачу в общей декартовой системе координат, уравнения плоскости и прямой в которой имеют вид
x 3 4, x 4 z 7 0 и y 1 4, z 5 .
115
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Решение. 1.
Заметим, что если
( p, q , a ) 0 , то либо решений нет,
либо вся прямая лежит на данной плоскости. Поэтому будем далее полагать, что
( p, q , a ) 0 .
2.
где
R 0 0 a ,
Имеем
R – радиус-вектор
искомой точки пересечения прямой и плоскости, а 0 – соответствующее этой точке значение параметра (рис. 3.5.1). Рис. 3.5.1
Поскольку точка пересечения принадлежит данной плоскости, то имеет место
Откуда
( R r0 , p, q ) 0 или ( 0 0 a r0 , p, q ) 0 .
0
( 0 r0 , p, q )
и, наконец,
( a , p, q )
( r , p, q ) R 0 0 0 a. ( a , p, q )
3. Найдем теперь решение в координатной форме. Поскольку координатное представление каждого смешанного произведения в базисе сомножитель са-вектора координат.
{ g1 , g 2 , g 3 } (см. § 2.7) имеет ненулевой
( g1 , g 2 , g 3 ) , то координатное представление радиу-
R будет одинаковым в любой декартовой системе
116
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Из условия задачи и теоремы 3.3.3 имеем
0 p 4 , 0
Координаты точки
4 q 0 , 1
0
3 1 5
4 a 4 . 1
и
r0 − решения уравнения ( r r0 , p, q ) 0 подбе-
3 0 . Таким образом, имеем рем произвольно: например r0 1
0 1 4 4 4 1 64 0 det 0 4 0 : det 0 4 0 2 ( 32) 4 0 1 4 0 1 и, в силу
R 0 0 a , X 3 4 5 R Y 1 2 4 7 . Z 5 1 3
Задача 3.5.2.
Даны точка с радиусом-вектором
R
и прямая
r r0 a . Найти расстояние от этой точки до
данной прямой, не используя операцию векторного произведения. Решение. 1. Проведем через данную точку с радиусом-вектором
плоскость,
перпендикулярную
Обозначим через
прямой
R
(рис. 3.5.2).
rx радиус-вектор точки пересечения
прямой и плоскости. Искомое расстояние будет равно
| R rx | .
117
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость
2.
Точка
rx будет удовлетворять
одновременно соотношениям
( a , R rx ) 0
rx r0 a , но тогда, исключая параметр , находим, и
что
Рис. 3.5.2
и
(
( R r0 , a ) rx r0 a 2 |a |
( R r0 , a ) ( R r0 , a ) R r0 a, R r0 a 2 2 |a | |a |
| R r0 | 2
)
( R r0 , a ) 2
|a|
.
2
Заметим, что в силу легко проверяемого тождества 2 2
p
q
2
( p, q ) 2 [ p, q ] ,
данное решение совпадает с полученным в § 3.4
[ R r0 , a ]
.
|a| Задача 3.5.3.
Найти расстояние между прямыми
r r02 a 2 .
r r01 a1
и
118 Решение.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1. Если векторы
a1 и a 2 коллинеарны, тогда решение
аналогично приведенному на рис. 3.4.1 и дается формулой
S
| [r02 r01 , a1 ] |
| a1 |
.
| a1 |
2. Пусть векторы
a1 и a 2 некол-
линеарны, тогда построим пару плоскостей, параллельных этим векторам, одна из которых содержит точку ку
r01 , а другая точ-
r02 (рис. 3.5.3).
Объем
параллелепипеда,
строенного на векторах и Рис. 3.5.3
по
a1 , a 2
r02 r01 , равен, с одной сто-
роны, произведению площади параллелограмма, находящегося в основании, на искомую ве личину и
(r02 r01 , a1 , a 2 ) – с другой. Откуда находим, что
| (r02 r01 , a1 , a 2 ) |
| [ a1 , a 2 ] |
.
119
Г л а в а 3 . Прямая и плоскость Задача 3.5.4.
Даны плоскость Найти
и прямая
( n, r ) d
[ a, r ] b .
R – радиус-вектор точки их пересечения.
Решение. Умножив обе части уравнения прямой векторно слева на
n , получим [ n , [ a , r ]] [ n , b ] . Подставляя в это соот-
ношение искомый вектор приходим к равенству
R и применяя формулу § 2.8,
a ( n, R) R ( n , a ) [ n , b ] .
Поскольку точка
R принадлежит данной плоскости, то
( n , R ) d , и тогда, при естественном ограничении
( n , a ) 0 , получаем
R
d a [ n, b ]
( n, a )
.
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
119
Глава 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ § 4.1. Линии на плоскости и в пространстве Пусть дана система координат
{O, g1 , g 2 } на плоскости и число-
вое множество ным).
, являющееся промежутком (возможно, бесконеч-
Определение 4.1.1.
Будем говорить, что линия
L на плоскости задана па-
раметрически вектор-функцией
r F () (или в
координатной форме
r
g
Fx () , F y ( )
Fx (), Fy () – непрерывные, скалярные функции аргумента , определенные для ), если где
1)
для любого точка
r F () ле-
жит на L; 2)
для любой точки ствует
r0 , лежащей на L, суще-
0 , такое, что выполнено ра-
венство
r0 F ( 0 ) .
120 Иногда
Аналитическая геометрия и линейная алгебра линия
на
плоскости
задается
в
виде
уравнения
G ( x , y ) 0 , которое получается исключением параметра из си x Fx () , . стемы уравнений y F y ( ) Пример 4.1.1.
1. Прямая линия, например, задается вектор-функцией
r r0 a , где a – направляющий вектор, а r0 –
одна из точек этой прямой. Скалярная форма задания прямой в этом случае имеет вид
x x 0 a x , (, ) , y y a , 0 y Fx () x 0 a x , (, ) , то есть Fy () y 0 a y , Ax By C 0 , A B 0 , где G ( x , y ) Ax By C .
или
2. В декартовой ортонормированной системе координат окружность радиуса
R с центром в точке
в параметрическом виде может быть задана как
x x0 R cos , [0,2) , то есть y y 0 R sin , Fx () x0 R cos , [0,2) , Fy ( ) y 0 R sin , или же уравнением
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 , где G ( x , y ) ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 R 2 .
x0 y0
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве Определение 4.1.2.
Линия называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид m
k 0
k
x
pk
y
qk
0 , где p k и q k – целые неотрица-
тельные числа, а числа менно. Определение 4.1.3.
121
Число
k не равны нулю одновре-
N max { pk q k } называется порядком k [ 0,m ]
алгебраического уравнения, указанного в определении 4.1.2, где максимум находится по всем k , для которых k 0 . Наименьший из порядков алгебраических уравнений, задающих данную алгебраическую линию, называется порядком алгебраической линии.
Пример 4.1.2 (алгебраические линии).
Теорема 4.1.1.
x 3y 2 0
( N 1)
y x2 0
( N 2)
Гипербола
xy 1 0
( N 2)
“Декартов лист”
x 3 y 3 xy 0
( N 3)
Прямая Квадратная бола
пара-
Порядок алгебраической линии не зависит от выбора системы координат.
Доказательство.
L имеет в системе координат {O, g1 , g 2 } уравнение G ( x , y ) 0 и порядок N . Перейдем
Пусть алгебраическая линия
к системе координат
{O, g1 , g 2 } . Формулы перехода, соглас-
но соотношениям (1.8.2), имеют вид
122
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x 11 x 12 y 1 , y 21 x 22 y 2 , поэтому уравнение линии дет
L в “новой” системе координат бу-
G (11 x 12 y 1 , 21 x 22 y 2 ) 0. Отсюда следует в силу определения 4.1.2, что N N , то есть при переходе к “новой” системе координат порядок алгебраической кривой не может повыситься. Применяя аналогичные рассуждения для обратного перехода от системы координат
{O, g1 , g 2 } к системе {O, g1 , g 2 } , получим N N и окончательно N N . Теорема доказана.
фигуры на плоскости можно задавать, используя ограничения типа неравенств.
Замечание:
Пример 4.1.4.
1.
В ортонормированной системе координат набор
x 0, y 0, условий задает x y 3 0
прямоугольный
равнобедренный треугольник, катеты которого лежат на осях координат и имеют длины 3. 2.
В ортонормированной системе координат неравенство вида x 2 y 2 4 0 определяет круг радиуса 2 с центром в начале координат.
Рассмотрим теперь случай линии в пространстве. Пусть дана пространственная система координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } .
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве Определение 4.1.4.
Будем говорить, что линия
123
L в пространстве задана
параметрически вектор-функцией
r F () (или в
координатной форме
x Fx () y F y ( ) , z Fz () Fx ( ), Fy (), Fz () – непрерывные, скалярные функции от , определенные для ), если где
1) для любого точка
r F () ле-
жит на L, 2) для любой точки
r0 , лежащей на L, су-
ществует
0 , такое, что выполнено
равенство
r0 F ( 0 ) .
Иногда линия в пространстве задается системой уравнений
G ( x, y, z ) 0, H ( x, y, z ) 0, которая получается исключением параметра
x Fx (), y Fy (), z F (), z
из соотношений
,
или же равносильным уравнением, например, вида
G 2 ( x, y , z ) H 2 ( x, y , z ) 0 . Пример 4.1.3.
1. В декартовой системе координат алгебраическая линия второго порядка x 2 y 2 0 z является прямой.
124
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2.
В ортонормированной системе координат винтовая линия радиуса R с шагом 2a может быть задана в следующем параметрическом виде:
x R cos , y R sin , (,) , z a z x R cos a , или же z y R sin . a § 4.2. Поверхности в пространстве Пусть
имеется
пространственная
система
координат
{O, g1 , g 2 , g 3 } и – множество упорядоченных пар чисел , , заданное условиями: , . Определение 4.2.1.
Будем говорить, что в пространстве поверхность задана параметрически вектор-функцией
S
r F (, ) (или в координатной форме Fx (, ) r Fy (, ) , g Fz (, )
Fx (, ), Fy (, ), Fz (, ) – непрерывные скалярные функции двух аргументов , , определенные для , ), если где
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
1)
125
для любой упорядоченной пары чисел
, точка r F (, ) лежит на S, 2)
для любой точки ствует
0 , 0 ство
r0 , лежащей на S, суще-
упорядоченная пара чисел , таких, что выполнено равен
r0 F ( 0 , 0 ) .
Иногда поверхность в пространстве задается в виде уравнения
G ( x , y , z) 0 , которое получается исключением и из системы уравнений
x Fx (, ), y Fy (, ), , . z F (, ). z Пример 4.2.1.
В ортонормированной системе координат сфера радиуса
x0 R с центром в точке y0 может быть параметрически заz0 дана в виде
x x0 R cos sin , y y 0 R sin sin , z z R cos , 0
0 2, 0 ,
а ее уравнение в координатах
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 .
126
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 4.2.2.
Поверхность называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид m
k 0
k
x
pk
q
y k z r k 0 , где p k , q k и rk – целые не-
отрицательные числа, а числа новременно. Определение 4.2.3.
Число
k не равны нулю од-
N max { pk q k rk } называется порядk [ 0,m ]
ком алгебраического уравнения, (указанного в определении 4.2.2), где максимум находится по всем k, для которых k 0 . Наименьший из порядков алгебраических уравнений, задающих данную алгебраическую поверхность, называется порядком алгебраической поверхности.
Пример 4.2.2 (алгебраические поверхности).
Прямой круговой цилиндр
x2 y2 1 0
( N 2)
x2 y2 z 2 R2 0
( N 2)
Сфера
Примерами алгебраических поверхностей в пространстве могут также служить некоторые виды поверхностей вращения (см. Приложение 2.7). Теорема 4.2.1.
Порядок алгебраической поверхности не зависит от выбора системы координат.
Доказательство.
Аналогично доказательству теоремы 4.1.1. Замечание: тела в пространстве можно задавать, используя ограни-
чения типа неравенств.
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
127
§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности Пусть в пространстве заданы система координат и некоторая линия
{O, g1 , g 2 , g 3 }
r F () , , которую будем называть
направляющей. Проведем через каждую точку направляющей линии прямую, называемую образующей, параллельно некоторому ненулевому вектору
a.
Определение 4.3.1.
Совокупность всех точек пространства, лежащих на образующих данного вида, называется цилиндрической поверхностью.
Составим уравнение цилиндрической поверхности в общем виде. Во введенных обозначениях
r F () KM (см. рис. 4.3.1), но по
определению цилиндрической поверхности
KM a , и, следовательно, уравнение цилиндрической поверхности в векторной форме имеет вид
r (, ) F () a , , (, ).
Пусть в координатной форме
F () g
Fx () F y () Fz ()
и
a
g
ax ay , az
тогда после исключения получаем
x Fx () y Fy () z Fz () . ax ay az
128 Пример 4.3.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Прямая круговая цилиндрическая поверхность, для которой в ортонормированной системе координат -
направляющей служит окружность радиуса 3, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси аппликат, с центром в начале координат, - а образующими являются прямые, перпендикулярные этой плоскости, задается сиcтемой условий
3 cos 0 x 3 cos , y 3 sin , поскольку F () 3 sin ; a 0 . z , 0 1 Заметим, что если из полученных соотношений также исключить и параметр , то получится уравнение вида x 2 y 2 9 для любого z , откуда следует, что порядок данной алгебраической поверхности N 2.
Рис. 4.3.1
Рис. 4.3.2
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
129
Проведем через каждую точку направляющей линии прямую (называемую образующей), проходящую через некоторую фиксированную, не принадлежащую направляющей, точку A (называемую вершиной) с радиусом-вектором
r0 .
Совокупность всех точек пространства, лежащих на образующих данного вида, называется конической поверхностью.
Определение 4.3.2.
Составим уравнение конической поверхности в общем виде. Аналогично рассмотренному выше случаю
r F () KM , но
по определению конической поверхности (см. рис. 4.3.2)
KM (r0 F ()) , и, следовательно, уравнение конической поверхности в векторной форме имеет вид
r (, ) (1 ) F () r0 , , (, ).
Пусть в координатах
r0
g
метра
x0 y 0 , тогда после исключения параz0
получаем y Fy () x Fx () z Fz () . x0 Fx () y 0 Fy () z 0 Fz ()
Пример 4.3.2.
Прямая круговая коническая поверхность, для которой в ортонормированной системе координат -
направляющей служит окружность радиуса 3, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси аппликат, с центром в начале координат,
130
Аналитическая геометрия и линейная алгебра -
и
образующими,
проходящими
через
точку
T r0 0 0 1 ,
задается системой условий (см. пример 4.3.1):
x 3 cos y 3 sin z , [0,2) . 3 cos 3 sin 1 Заметим, что если из полученных соотношений исключить также и 2 2 , то получится уравнение вида x y ( z 1) 2 0 , 9 9 то есть N 2 .
параметр
§ 4.4. Линии второго порядка на плоскости Пусть на плоскости дана ортонормированная система координат
{O, e1 , e2 } и некоторая линия L . Определение 4.4.1.
Пусть линия L является алгебраической линией второго порядка, тогда (в соответствии с определениями 4.1.2 и 4.1.3) ее уравнение в данной системе координат может иметь вид
Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0, (4.4.1) где числа A , B и C не равны нулю одновременно, а x и y суть координаты радиуса-вектора точки, принадлежащей L . Поскольку коэффициенты уравнения 4.4.1 зависят от выбора системы координат, при исследовании свойств линий второго порядка целесообразно предварительно перейти к другой ортонормированной
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
системе координат
131
{O , e1 , e2 } , в которой запись уравнения линии
оказывается наиболее простой. Теорема 4.4.1.
Для любой линии второго порядка существует ортонормированная система координат, в которой уравнение этой линии (при a b 0, p 0 ) имеет один из следующих девяти (называемых каноническими) видов: Т аб ли ца 4.4.1
Тип линии
Эллиптичес-кий
Гиперболический
0
Вид линии Пустые множества
x 2 y 2 1 a2 b2
Изолированные точки
x 2 y 2 2 0 a2 b
0
0 y 2 a 2 x
Совпадающие прямые
y2 0 x
Несовпадающие прямые Кривые
Параболический
x2 y2 y2 a 2 0 a2 b2 x Эллипс
Гипербола
Парабола
x y 2 1 2 a b
x y 2 1 2 a b
y 2 2 px
2
2
2
2
132 где
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
det
A B AC B 2 . B C
Доказательство.
1. Предварительно заметим, что без ограничения общности можно считать выполненными условия: B 0 и A C . Действительно, если B 0 , то можно изменить знаки всех коэффициентов в уравнении 4.4.1. Если же A C , то, перейдя к новой ортонормированной системе координат, для которой
e1 e2 ; e2 e1 ; OO o , мы получим желаемое соотношение, поскольку при таком переходе имеют место равенства x y ; y x в силу утверждений § 1.8. Заметим также, что при этой замене не меняется, поскольку
det 2. Если
C B
B A B det . A B C
B 0 , то переходим к пункту 4 на с. 135. Если же
B 0 , то выбираем новую ортонормированную систему коор
{O, e1 , e2 } , получаемую из исходной поворотом против часовой стрелки вокруг точки O на угол 0 / 4, такой, чтобы коэффициент при произведении x y оказался равным динат
нулю. Выведем правило выбора этого угла. Рассмотрим поворот (см. § 1.8): e e cos e 2 sin , 1 1 e2 e1 sin e2 cos , O O o,
тогда формулы перехода от иметь вид
{O, e1 , e2 } к {O, e1 , e2 } будут
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
133
x x cos y sin , y x sin y cos . Подставляя выражения “старых” координат через “новые”, получаем уравнение 4.4.1 в виде
A( x cos y sin ) 2 2 B( x cos y sin )( x sin y cos ) C ( x sin y cos ) 2 2 D( x cos y sin ) 2 E ( x sin y cos ) F 0, или же
A x 2 2 B x y C y 2 2 D x 2 E y F 0 . Откуда находим, что
A A cos 2 2 B cos sin C sin 2 , 2 B 2 A sin cos 2 B cos 2 2 B sin 2 2C sin cos , C A sin 2 2 B sin cos C cos 2 . Из условия
B 0 следует, что 2 B cos 2 ( A C ) sin 2 0,
и окончательно
tg 2
2B 1 2B ; arctg , при A C , AC 2 AC
при A C , то есть искомый угол найден. За4 метим, что угол также может быть найден из равносильного или же
уравнения
tg 2
AC tg 1 0, B 0, B
ибо если B 0 , то поворота не требуется.
134
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
3. Проверим, что при такой замене координат величины A C не изменятся. Действительно, из соотношений
1 ctg 2 2 1 ( и неравенства
sin 2
0
AC 2 1 ) 2B sin 2 2
получаем 4
2B 4B 2 ( A C ) 2
и
; cos 2
AC 4B 2 ( A C ) 2
.
A и C имеем 1 cos 2 1 cos 2 A A B sin 2 C 2 2 AC AC AC cos 2 B sin 2 2 2 2 AC AC 2B B 2 4B 2 ( A C ) 2 4B 2 ( A C ) 2
Из предыдущих соотношений для значений
AC 1 4B 2 ( A C ) 2 . 2 2
Аналогично получаем, что
C
AC 1 4B 2 ( A C ) 2 . 2 2
Теперь находим
det
A 0 0 C AC 2
1 (4 B 2 ( A C ) 2 ) 4 A B AC B 2 det , B C AC
(
)
2
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
135
то есть величина не меняется при выполняемой замене системы координат. Также очевидно, что при этом и A C A C . 4. В дальнейших рассуждениях будем полагать, что B 0 , и рассмотрим отдельно случаи 0 и 0 для уравнения
Ax 2 Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0 . Пусть 0 . Это означает, что A 0 и C 0 и уравнение
вида
линии может быть переписано в виде
D 2 E 2 D2 E 2 C y F. A C A C D2 E 2 Обозначим P F , тогда, перейдя к новой ортоA C
(
A x
(
)
)
нормированной системе координат e e D 1 1, x x A , e2 e2 , E y y , D E C OO A e1 C e2 , получим Ax 2 Cy 2 P , и откуда следует, что
(
x 2 P | | A 2 x | C |2
) ( 2
y2 | A |2
y2 P | | C
)
1 ;
P 0,
2
0;
P 0,
и мы приходим, таким образом, к одному из шести следующих уравнений:
136
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x 2 y 2 2 0; a2 b 2 x y2 2 0; a2 b
x 2 y 2 2 1; a2 b 2 x y2 1; a2 b2
x 2 y 2 2 1 для 0, a2 b 2 x y2 1 для 0. a 2 b2
Первые пять из этих случаев содержатся в формулировке теоремы (табл. 4.4.1), а шестой сводится к пятому умножением обеих частей уравнения на 1 с последующим взаимным переобозначением переменных x и y . 5. Пусть 0 . Это означает, что AC 0 , то есть либо A 0 , либо C 0 (но не вместе!). Пусть A 0 (если это не так, то взаимно переобозначим переменные x и y ), тогда уравнение линии виде
Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0 может быть записано в E C
(
C y
)
2
E2 F 2 Dx, C 0. C
При D 0 получаем
(
C y
E C
)
2
E2 F, C
то есть одно из трех уравнений
y 2 a 2 ; y 2 0; y 2 a 2 . D 0 , то уравнение можно привести к виду E 2 2D 1 E2 y x F , C C 2D C и, таким образом, либо y 2 2 px , либо y 2 2 px , где p 0.
Если же
(
)
(
(
))
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
137
Первый из этих случаев указан в формулировке теоремы (табл. 4.4.1), а второй сводится к первому заменой координат: e e 1 1, x x , e2 e2 , y y . O O o ,
Теорема доказана. Замечания.
1. В теореме 4.1.1 было показано, что порядок алгебраической линии, в том числе и для рассматриваемых в теореме 4.4.1 случаев, не меняется при замене системы координат. 2. Из доказательства теоремы также следует, что поворот и параллельный перенос ортонормированной системы координат не допускают перемещения уравнения линии второго порядка из одной строки таблицы, приведенной в формулировке теоремы 4.4.1, в другую. Более того, в дальнейшем будет показано (см. § 5.4), что никакой заменой общей декартовой системы координат нельзя переместить линию второго порядка, находящуюся в одной из клеток таблицы в условии теоремы 4.4.1, в другую клетку. 3. Пустое множество эллиптического типа иногда называют мнимым эллипсом, а пустое множество параболического типа – парой мнимых параллельных прямых. 4. Алгоритм доказательства теоремы 4.4.1 можно использовать как для нахождения канонического вида уравнения линии второго порядка, так и для построения канонической системы координат, то есть системы координат, в которой данная линия второго порядка имеет канонический вид.
138
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Исследование конкретных свойств различных типов линий второго порядка приводится в Приложении 1.
§ 4.5. Поверхности второго порядка в пространстве Пусть в пространстве дана ортонормированная система координат
{O, e1 , e2 , e3 } . Определение 4.5.1.
Пусть поверхность S является алгебраической поверхностью второго порядка, тогда (в соответствии с определениями 4.2.2 и 4.2.3) ее уравнение в данной системе координат может иметь вид
A11 x 2 A22 y 2 A33 z 2 2 A12 xy 2 A13 xz 2 A23 yz
(4.5.1)
2 A14 x 2 A24 y 2 A34 z A44 0, A11 , A22 , A33 , A12 , A13 , A23 не равны нулю одновременно, а x , y и z суть координаты радиусавектора точки, принадлежащей S . где числа
Как и в плоском случае, коэффициенты уравнения (4.5.1) зависят от выбора системы координат, поэтому при исследовании свойств поверхностей второго порядка целесообразно предварительно перейти в ту систему координат, для которой уравнение поверхности оказывается наиболее простым. Теорема 4.5.1.
Для каждой поверхности второго порядка существует ортонормированная система координат
{O , e1 , e2 , e3 } , в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих семнадцати канонических видов:
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
Пустые множества
Точки, прямые и плоскости
Изолированная точка
x2 y 2 a2 b2 z2 2 1 b
x2 y2 2 a2 b z2 2 0 b Прямая
x 2 y 2 2 1 a2 b z
x 2 a 2 y , z
x 2 y 2 2 0 a2 b z Пара пересекающихся плоскостей
x 2 y 2 0 a2 b2 z Пара параллельных или совпадающих плоскостей
x 2 a 2 y , z x 2 0 y , z
139
Цилиндры и конусы
Эллиптический цилиндр
x2 y 2 2 1 a2 b z Гиперболический цилиндр
x 2 y 2 1 a2 b2 z Параболический цилиндр
y 2 2 px z
Конус
x 2 y 2 2 a2 b 2 z 2 0 c
140
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Невырожденные поверхности Эллипсоиды
Параболоиды Эллиптический параболоид
x 2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c 2
x 2 y 2 2 z a 2 b2 Гиперболический параболоид
x 2 y 2 2 z a 2 b2 причем
a 0, b0, c0,
Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
x 2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c 2 Двуполостный гиперболоид
x 2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c 2
p 0.
Доказательство.
Хотя возможно доказать существование ортонормированной системы координат с требуемыми свойствами, применив подход, аналогичный использованному при доказательстве теоремы 4.4.1, представляется целесообразным рассмотреть этот вопрос в рамках теории евклидовых пространств, где утверждение теоремы 4.5.1 непосредственно вытекает из более общего случая, рассмотренного в § 12.2. Исследование свойств конкретных типов поверхностей второго порядка приводится в Приложении 2.
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
141
§ 4.6. Альтернативные системы координат В ряде практических приложений оказывается целесообразным использование систем координат, отличных от декартовой.
Полярная система координат Примером альтернативной системы координат на плоскости является полярная система координат. Положение точки на плоскости в этой системе координат задается парой упорядоченных чисел {, } , где
OM , (OM , OP) , удовлетворяющих ограничениям 0, 0 2 . Точка O называется полюсом, а луч OP – полярной осью.
Рис. 4.6.1
Угол отсчитывается против часовой стрелки (рис. 4.6.1). Для полюса этот угол не определяется. Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к полярной и обратно имеют следующий вид:
x cos , y sin , cos
x2 y2 ; x ; sin 2 x y2
y x y2 2
.
Использование полярной системы координат позволяет упростить описание объектов, обладающих точечной симметрией.
142
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат, имеющая в ортонормированной декартовой системе координат уравнение x 2 y 2 1 , в полярной системе координат задается условием 1 . Более того, в Приложении 1 показано, что в полярной системе координат три различных типа линий второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – задаются одним и тем же уравнением (1 cos ) p 0 , где 0 и p 0 – некоторые константы, называемые эксцентриситетом и фокальным параметром соответственно, и что для различных значений эксцентриситета при фиксированном p получаются различные типы кривых: эллипсы при 0 1 , параболы при 1 и гиперболы при 1 . Соответствующие случаи показаны на рисунке 4.6.2.
Рис. 4.6.2.
Зависимость типа конического сечения от величины эксцентриситета
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
143
Проверим справедливость этого утверждения, выполнив в уравнении (1 cos ) p 0 переход от полярной к ортонормированной декартовой системе координат. Действительно, поскольку
x 2 y 2 и cos
x x y2 2
,
то данное уравнение преобразуется к виду
x 2 y 2 (1
x x y2 2
) p 0,
которое в свою очередь равносильно при соблюдении условий 0 и
p 0 уравнению (1 2 ) x 2 y 2 2 px p 2 .
Если 1 , то мы получаем уравнение параболы. Если же то исходное уравнение можно записать так:
(x
1,
p 2 1 p2 . 2 ) y 1 2 1 2 (1 2 ) 2
Рассуждая далее, как в пункте 4 доказательства теоремы 4.4.1, можно прийти к заключению, что условие 0 1 приводит к эллиптическому случаю линии второго порядка, а условие ческому типу. Если
ослабить
ограничения
на
1 – к гиперболи-
параметры
уравнения
(1 cos ) p 0 , разрешив им принимать (в смысле предельного перехода) как нулевые, так и бесконечно большие положительные значения, то можно получить и другие виды линий второго порядка, указанные в формулировке теоремы 4.4.1.
0 и p 0 мы имеем окружность, при 0 и p 0 – изолированную точку, а при p 0 и cos 1 – пару Например, при
пересекающихся прямых.
144
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Рис. 4.6.3. Построение конических сечений
Определение 4.6.1.
Линия, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид
(1 cos ) p 0 p 0 , 0,
называется коническим сечением. Действительно, различные виды линий второго порядка, включая и вырожденные случаи, могут быть получены сечением круговой конической поверхности плоскостью, что иллюстрирует рисунок 4.6.3.
Сферическая система координат В ряде практических приложений, требующих аналитического исследования пространственных объектов, используется так называемая сферическая система координат.
Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
145
Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел {, , } (рис. 4.6.4), где
OM , (Ox, OP ) , (OM , Oz ) , которые удовлетворяют ограничениям
0 ; 0 2 ; 0 . Использование сферической системы координат иногда позволяет получить более простое аналитическое описание геометрических объектов, обладающих точечной симметрией. Например, уравнение сферы единичного радиуса с центром в начале координат в сферической системе будет иметь вид 1 . Формулы перехода между ортонормированной декартовой системой координат и сферической имеют следующий вид:
x cos sin , y sin sin , z cos , а для обратного перехода соответственно
Рис. 4.6.4
146
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x 2 2 2 ; sin x y z ; cos 2 2 x y z cos . 2 x y2 z2
y x y2 2
;
Цилиндрическая система координат В тех случаях, когда исследуемый пространственный объект обладает осевой симметрией, может оказаться удобным применение цилиндрической системы координат. Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел {, , h} (рис. 4.6.5), где
OP , (Ox, OP) ,
Рис. 4.6.5
удовлетворяющие ограничениям
0 ; 0 2 ; h (, ). Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид:
x cos , y sin , z h,
cos
x2 y2 ; x x y 2
2
; sin
y x y2 2
; h z.
147
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Глава 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ § 5.1. Произведение матриц Определение 5.1.1.
Матрица C
ji
m n с элементами i [1, n] , j [1, m]
размера
называется произведением матрицы
A
размера
m l с элементами jk j [1, m] , k [1, l ] на матрицу
B
l n с элементами
размера
ki k [1, l ] , i [1, n] , где l
ji jk ki i [1, n] , j [1, m] . k 1
Результат умножения матриц – матрица мера
C
– есть матрица раз-
m n при любом натуральном l , которая обозначается как
C A
B . Правило нахождения компонентов произведения по
компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис. 5.1.1. Пример 5.1.1.
Приведем результаты умножения матриц, имеющих не более чем пару строк или столбцов. 1. Пусть размер
A
есть
2 2 , а размер B –
2 1 , тогда размер C будет 2 1 .
148
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
C A
B
11 21
12 22
11 12 21 11 11 . 21 2111 22 21 11 12
...
1i
...
1n
21 22
...
2i
...
2n
11 12
...
...
...
...
...
1l
21 22
...
...
...
...
...
2l
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
jl
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ml
...
...
...
...
...
...
...
li
...
ln
...
...
j1 j2 ...
...
m1 m2
l1 l 2
11 12
...
1i
...
1n
21 22
...
2i
...
2n
...
...
...
...
...
ji
...
jn
...
...
...
...
...
mi
...
mn
...
...
j1 j2 ...
...
m1 m2
l
ji jk ki k1
Рис. 5.1.1
2. Если размер размер C
C B
A есть 2 2 , а размер B – 1 2 , то будет 1 2 .
A 11
12
11
12
21
22
1111 2112
12 11 22 12 .
149
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
3.
Наконец, пусть размер матрица C
A и B есть 2 2 , тогда
будет иметь размер
2 2.
Замечания об умножении матриц Из определения произведения матриц непосредственно следует, что для матриц подходящих размеров: 1)
умножение матриц некоммутативно, то есть в общем случае
2)
A
A ,
умножение матриц ассоциативно
A ( B 3)
B B
C )( A
B ) C ,
умножение матриц обладает свойством дистрибутивности
A ( B C ) A
B A
C .
Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любой матрицы
A
на подходящего размера единичную матрицу
A .
(см. § 1.1) дает в результате ту же самую матрицу Определение 5.1.2.
Матрица матрице
A
1
называется обратной квадратной
A , если выполнены равенства A
1
E
A A
A
1
E .
150
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Обратная матрица существует не для произвольной квадратной матрицы. Для существования матрицы, обратной к
det A 0 1.
и достаточно, чтобы выполнялось условие Определение 5.1.3.
Лемма 5.1.1.
A , необходимо
A , для которой det A 0 , называется
Матрица
вырожденной, а матрица, для которой det A 0 , – невырожденной.
Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство.
A имеет две об-
Предположим, что невырожденная матрица
A
ратные:
1
A
A
1
A
и
1
1 1
. Тогда из равенств
2
E
A
и
A
1 2
E
следует, что
A
A
1 1
A
A
1 2
E E O .
Умножая слева обе части данного равенства на
A
1 1
, полу-
чаем
A
1 1
и, учтя, что
A ( A A
1 1
1 1
A
1 2
) A
1 1
O O
A E , приходим к равенству A
1 1
A
1 2
O .
Лемма доказана. 1
Правило нахождения определителя квадратной матрицы порядка n приводится в главе 6.
151
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
В
частном
случае,
det A 0 , матрица A
A
когда 1
11
12
21
22
и
если
имеет вид
22 12 1 . (5.1.1) 11 det A 21 Для квадратных матриц порядка n справедливы2 следующие раA
1
венства:
B ) det ( A ) det ( B ) ;
det ( A det A Пример 5.1.2.
1
1 det A
, если det A 0 .
Используя матричные операции, систему линейных уравнений
111 12 2 1 , 211 22 2 2 можно записать в виде
x
1 ; 2
x b , где
A
b
1 2
; A
а ее решение (если существует
x A Пример 5.1.3.
1
A
1
11 21
12 , 22
) – в виде
b .
Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой (1.8.2) с помощью матричных операций могут быть записаны в виде
Для n 2 эти соотношения проверяются непосредственно по определению 1.1.9, случай произвольного n рассматривается в главе 6. 2
152
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
g1
g1
g2 S
T
g2
g3
где S
Теорема 5.1.1.
2 S 3
;
g3
1 1 2 2 , 3 3
1
– матрица перехода.
Имеет место соотношение
( A
B )T B
T
A
T
.
Доказательство.
Будем предполагать, что размеры матриц A и B таковы, что произведения матриц, указанные в формулировке теоремы, существуют. Пусть числа
ik , kj , i j суть элементы матриц A , B
и C A нию 5.1.1,
B
соответственно. Тогда, согласно определеl
ij ik kj . k 1
Но, с другой стороны, по определению 1.1.8 операции транспонирования l
l
l
k 1
k 1
k 1
iTj j i j k k i Tk j Ti k iTk Tk j , откуда, учитывая определение 5.1.1, делаем заключение о справедливости утверждения теоремы. Теорема доказана.
153
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Заметим, что согласно правилу транспонирования произведения
g1
g1
g 2 S
матриц равенство
T
g 3
g1
g 2
g 3 g 1
g2
может быть записано в виде
g3
g2
g3 S .
Для дальнейших рассуждений нам будет полезно следующее вспомогательное утверждение. Лемма 5.1.2.
Q
Пусть произведение квадратной матрицы произвольный нулевой
Q
n -компонентный столбец
x
на есть
n -компонентный столбец, тогда матрица
нулевая.
Доказательство.
11 21 Пусть Q ... n1
12 22 ... n2
... 1n ... 2 n . Выберем в качестве ... ... ... nn
0 ... столбец вида
1 , где единица стоит в строке с номером i . ... 0
x
154
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Q
Тогда
1i 0 0 ... ... ... 1 ii 0 и в силу произвольности i ... ... ... ni 0 0
приходим к заключению о справедливости утверждения леммы. Лемма доказана. Теорема 5.1.2.
Для невырожденных одинакового размера квадрат-
A
ных матриц
и
B справедливо соотношение 1
B ) 1 B
( A
A
1
.
Доказательство.
B ) 1 на некото-
1. Пусть произведение матрицы ( A рый
n -компонентный столбец B ) 1 x c
Тогда ( A
x A
x
B
c
есть столбец
c .
или, что то же самое,
(см. определения 5.1.1 и 5.1.2).
2. С другой стороны, из последнего равенства получаем, что
A и аналогично
B
1 1
x B A
1
c
x c .
3. Вычитая почленно равенства
( A
B ) 1 x c
и
B
1
A
1
x c ,
155
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
в силу дистрибутивности матричного произведения приходим к соотношению
B ) 1 B
(( A
1
A
1
) x o
, которое по лемме 5.1.2 ввиду произвольности столбца
x
означает, что матрица
( A
B ) 1 B
1
A
1
нулевая. Теорема доказана. Задача 5.1.1.
Проверить тождество
Определение 5.1.4.
( A
1 T
) ( A T ) 1 .
Невырожденная квадратная матрица рой
Q
1
Q
T
Q , для кото-
, называется ортогональной.
Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во многих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем. Теорема 5.1.3.
Для ортогональной матрицы Q
справедливо равен-
ство det Q 1 .
Доказательство.
Умножая равенство
Q
1
Q
T
последовательно справа и
слева на Q , в силу определения 5.1.2 приходим к соотношению
Q
T
Q Q Q
det 2 Q 1 , поскольку
T
E . Откуда находим, что
156
Аналитическая геометрия и линейная алгебра -
определитель произведения квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей сомножителей;
-
определитель матрицы не меняется при ее транспонировании;
-
det E 1 .
Теорема доказана. Теорема 5.1.4.
Каждая ортогональная матрица второго порядка Q , для которой det Q 1 , может быть представлена в виде
cos sin , где – некоторое число, а каsin cos
ждая ортогональная матрица с det Q 1 – в виде
cos sin
sin . cos
Доказательство.
Q
Пусть матрица
11 21
12 22
ортогональная, тогда
должны быть справедливы равенства
Q Q
T
11 21
12 11 22 12
21 E 22
и, следовательно, 2 2 11 12 11 21 12 22
1 0 11 21 12 22 . 2 2 0 1 21 22
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
157
Последнее матричное равенство может быть записано в виде системы скалярных условий 2 2 11 12 1, 11 21 12 22 0 , 2 2 1 , 22 21
причем из этих равенств, как было показано при доказательстве теоремы 5.1.3, следует, что det Q 1 . Рассмотрим вначале случай det Q 1 . Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычесть удвоенное равенство
11 22 12 21 1 , то мы получим
2 2 (11 12 ) ( 221 222 ) 2(11 22 12 21 ) 0
или
(11 22 ) 2 (12 21 ) 2 0 , откуда следует, что
11 22 , 12 21 . 2 2 11 12 1 ; 221 222 1 имеем 2 2 оценки 0 11 1 ; 0 21 1 , которые позволяют ввести 11 cos обозначения , приводящие к требуемому виду 21 sin
Наконец, из условий
Q , поскольку из полученных соотношений также 2 2 следует, что 11 21 1 . матрицы
Случай det Q 1 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
158
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Матрица перехода от одного ортонормированного базиса на плоскости к другому ортогональная.
Следствие 5.1.1.
Доказательство.
В § 1.8 было показано, что S – матрица перехода от одной ортонормированной системы координат на плоскости к другой − может иметь один из двух следующих видов:
cos sin cos sin или , sin cos sin cos где
– угол между первыми базисными векторами. Но тогда
матрица перехода S
ортогональная в силу теоремы 5.1.4.
Следствие доказано.
§ 5.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости Вводимое в курсе математического анализа понятие функции (как правила, устанавливающего однозначное соответствие между числом, принадлежащим области определения, и числом, принадлежащим множеству значений) может быть естественным образом обобщено на случай, когда область определения и область значений не являются числовыми множествами. Определение 5.2.1.
ˆ , действуюБудем говорить, что задан оператор A щий на множестве со значениями в множест-
ве , если указано правило, по которому каждому элементу множества поставлен в соответствие единственный элемент из множества
.
159
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Символически результат действия оператора
y Aˆ x,
Aˆ обозначается так:
y . Элемент y в этом случае называется образом элемента x , элемент x – прообразом элемента y . x ,
Определение 5.2.2.
Если – область значений некоторого оператора – является числовым множеством, то говорят, что на множестве задан функционал.
Функционалы обычно обозначаются так же, как и функции: например, Пример 5.2.1.
y ( x), x . 1.
Если каждому вектору x в пространстве постав
лен в соответствие вектор y , являющийся ортого
нальной проекцией вектора x на некоторую ось l , то говорят, что в пространстве задан оператор
y Pr l x ортогонального проектирования векторов на ось l . В этом случае символически можно записать, что 2.
Aˆ Pr l .
Каждой дифференцируемой на
[, ] функции
f () можно поставить в однозначное соответствие f () – ее производную функцию, поэтому можно говорить об операторе дифференцирования
d f () , символически обозначаемом d ˆ d . как A d f ()
160
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 3.
Каждому вектору x в пространстве можно поста
вить в однозначное соответствие число
x
– его
длину. Очевидно, что данная зависимость является функционалом, заданным на множестве векторов. 4.
Для каждой непрерывной на
[, ] функции f ()
существует интеграл
f ()d ,
который можно
рассматривать как функционал
Ф( f ) f ()d
на множестве функций, непрерывных на [, ] . Определение 5.2.3.
ˆ , отображающим плоскость (или Оператором A просто отображением плоскости) P на плоскость Q, называется правило, по которому каждой точке плоскости P поставлена в соответствие единственная точка плоскости Q .
Отображение плоскости принято обозначать следующим образом:
Aˆ : P Q . Если точка M плоскости P отображается в точку M ˆ M (что иногда заплоскости Q, то это представляется как M A ˆ ( M ) ), при этом точка M является обраписывают в виде M A зом точки
M , а точка M – прообразом точки M .
Определение 5.2.4.
Aˆ : P Q называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Q имеет проОтображение
образ и притом единственный.
161
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости Определение 5.2.5. Определение 5.2.6.
ˆ плоскости Отображение A преобразованием плоскости
P в саму себя называется P.
Последовательное выполнение преобразований
M Aˆ M и M Bˆ M называется произведением (или композицией) этих преобразований.
ˆ M. Произведение операторов записывается в виде M Bˆ A Заметим, что в общем случае это произведение не коммутативно, но ассоциативно.
Определение 5.2.7.
Преобразованием, обратным взаимно однозначному
Определение 5.2.8.
Точка плоскости
Aˆ : P P , называется оператор Aˆ 1 : P P , такой, что для каждой точки M плоскости P имеет место Aˆ 1 ( Aˆ M ) M . преобразованию
P , переводимая преобразованием ˆ A сама в себя, называется неподвижной точкой для Aˆ . Множество на P , состоящее из неподвижных ˆ , называется неподвижным для Aˆ . точек для A
ˆ само в сеМножество точек P , переходящее при A бя, называется инвариантным множеством преобразования
Aˆ .
§ 5.3. Линейные операторы на плоскости Пусть
на
плоскости
с
декартовой
системой
координат
{O, g1 , g 2 } каждой ее точке M поставлена в однозначное соответ
ствие точка M , то есть согласно определению 5.2.6
162
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ˆ M . Пусть коордизадано преобразование этой плоскости M A натные представления радиусов-векторов этих точек суть
rM g
x y
и rM
x и y будут , тогда координаты x y
g
x Fx ( x , y) y некоторыми функциями от x и , и потому равен
y Fy ( x , y)
ство
x y
оператора
Fx ( x , y )
можно рассматривать как представление
Fy ( x , y )
rM Aˆ rM в системе координат {O, g1 , g 2 } .
Далее мы будем рассматривать частные, но важные для приложений виды функций Fx ( x , y ) и
F y ( x, y ) .
Определение 5.3.1.
r Оператор rM A M
называется линейным опера-
тором, если в каждой декартовой системе координат
{O, g1 , g 2 } он задается формулами
x 11 x 12 y 1 , y 21 x 22 y 2 . При помощи операций с матрицами линейный оператор может
x Aˆ быть записан в виде y Aˆ
g
g
x 1 , где матрица 2 y 11 21
12 22
163
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
называется матрицей линейного оператора A (координатным пред
ставлением A ) в {O, g1 , g 2 } .
Определение 5.3.2.
r Оператор rM A M
называется линейным одно-
родным оператором, если он удовлетворяет определению 5.3.1 и, кроме того, Если же 1 неоднородным.
Пример 5.3.1.
1 2 0.
2 0 , то оператор Aˆ называется
К линейным однородным операторам относятся: -
оператор A , действие которого сводится к умножению координат радиуса-вектора прообраза на фиксированные положительные числа, называемый “оператором сжатия к осям”, или просто “сжатием к осям”, имеющий матрицу
Aˆ
g
1 0
0 , где числа 2
1 и 2 – коэффициенты сжатия;
Теорема 5.3.1.
-
оператор ортогонального проектирования радиусов-векторов точек плоскости на некоторую заданную ось, проходящую через начало координат;
-
гомотетия с коэффициентом в начале координат.
и с центром
Для линейного однородного оператора A справедливы соотношения:
164
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1.
Aˆ (r1 r2 ) Aˆ r1 Aˆ r2 r1 , r2 .
2.
Aˆ ( r ) Aˆ r r , .
Доказательство.
В справедливости утверждения теоремы убедимся непосредственной проверкой, используя правила действия с матрицами. Например, для 1º имеем
11
12
21
22
11
12
x1
21
22
y1
Aˆ (r1 r2 )
(
x1
x2
y1
)
y2 11
12
21
22 y 2
x2
Aˆ r1 Aˆ r2 .
Теорема доказана. Теорема 5.3.2.
Если для некоторого оператора A справедливы соотношения
1.
Aˆ (r1 r2 ) Aˆ r1 Aˆ r2
2.
Aˆ ( r ) Aˆ r
r1 , r2 ,
r , ,
то этот оператор линейный и однородный. Доказательство.
r x g y g Пусть r x g1 y g 2 и A 1 2
– соответст-
венно координатные разложения для прообраза и образа, тогда
x g1 y g 2 A ( x g1 y g 2 ) x A g1 y A g 2 . По теореме 1.5.1 существуют числа что
11 , 12 , 21 , 22 такие,
Aˆ g1 11 g1 21 g 2 и Aˆ g 2 12 g1 22 g 2 .
165
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Тогда получаем
x g1 y g 2 x Aˆ g1 y Aˆ g 2
(11 x 12 y ) g1 ( 21 x 22 y ) g 2 . А в силу линейной независимости векторов
x 11 21 y
x 11 x 12 y , или y 21 x 22 y
g1 и g 2
12 22
x . y
Теорема доказана.
Отметим также, что для вектора
a , имеющего
a
g
ax a y в ба-
зисе {g1 , g 2 } , при любом линейном преобразовании образом является вектор с координатным представлением
Aˆ a
g
a x 11 ay 21
12 22
ax ay
Aˆ a
.
Из теорем 5.3.1 и 5.3.2 вытекают важные следствия. Следствие 5.3.1.
Столбцами матрицы линейного однородного опера
тора A в базисе {g1 , g 2 } являются координатные
g . представления векторов A g1 и A 2 Следствие 5.3.2.
Каждому линейному однородному оператору преобразования плоскости в конкретном базисе соответствует однозначно определяемая квадратная матрица второго порядка, а каждая квадратная матрица второго порядка задает в этом базисе некоторый линейный однородный оператор.
166
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Задача 5.3.1.
Исходя из правил действия с матрицами, показать, что для линейных однородных операторов на плоскости справедливы утверждения: 1. Матрица произведения линейных однородных операторов равна произведению матриц операторов-
Aˆ Bˆ
сомножителей:
g
Aˆ
Bˆ
g
g
.
1 2. Если A есть оператор, обратный линейному
однородному оператору A , то
A 1
g
A
1
.
g
Выясним теперь, как изменится матрица линейного однородного оператора при замене базиса. Имеет место
Теорема 5.3.3.
Пусть в системе координат {O, g1 , g 2 } некоторый однородный
A
линейный
оператор
имеет
g
матрицу
. Тогда в системе координат {O, g1 , g 2 } этот
оператор будет иметь матрицу
A где S
g
S
1
A
g
S ,
– матрица перехода.
Доказательство.
Пусть в исходной системе координат действие линейного опера
тора A задается формулой
Aˆ
r g
Aˆ
теме координат – r g
g
r
, а в новой сисg
g
r
g
, и пусть S
перехода от {O, g1 , g 2 } к {O, g1 , g 2 } , такая, что
– матрица
167
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
S
r
r
g
g
и r
r
S
. g
g
Подставляя два последних соотношения в первое и принимая во внимание утверждение теоремы 1.8.2 о невырожденности матри-
S
цы перехода лучаем, что
Aˆ
r
S
g
g
S
r
r
или
g
S
1
Aˆ
g
1
S
(то есть существование матрицы
g
), по
S
r
. g
Наконец, вычитая последнее равенство почленно из равенства
Aˆ
r g
r
g
g
, в силу произвольности
r
g
(согласно
лемме 5.1.2) приходим к соотношению
Aˆ
g
S
1
Aˆ
S .
g
Теорема доказана. Следствие 5.3.3.
Величина
det Aˆ
не зависит от выбора базиса.
g
Доказательство.
Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то в силу теоремы 5.3.3 и невырожденности матрицы перехода S
det Aˆ
det ( S
g
det S Следствие доказано.
1 det S
1 1
Aˆ
S )
g
det Aˆ
det Aˆ
имеем
g
g
det S
det S det Aˆ
g
.
168 Задача 5.3.2.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра В ортонормированной системе координат найти матрицу оператора, ортогонально проектирующего радиусы-векторы точек координатной плоскости на прямую
x 3y 2 0 .
Решение.
Пусть точка-прообраз M имеет радиус
вектор
r0
x0 y0
, а
точка M – образ M точки – соответственно ее радиус-
x0 вектор r . y 0 0
Рис. 5.3.1
Из рис. 5.3.1 следует, что M
есть точка пересечения
прямой x 3y 2 0 и перпендикуляра к ней, проходящего через
M.
Поскольку нормальный вектор прямой x 3y 2 0 является направляющим вектором этого перпендикуляра, то уравнение последнего будет иметь вид
x x 1 0 . y0 y 3 Откуда следует, что координаты радиуса-вектора точки
M будут удовлетворять системе уравнений
3 1 9 x0 x 0 , x x y , 0 0 0 10 10 5 y 0 y 0 3, или 3 1 3 x 3 y 2 0 y 0 x0 y 0 . 0 0 10 10 5
169
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Используя правила операций с матрицами, получаем окончательно, что
9 x0 10 3 y0 10
3 10 1 10
1 x0 5 , 3 y0 5
то есть
Aˆ
e
9 10 3 10
3 10 1 10
.
§ 5.4. Аффинные преобразования и их свойства Линейные операторы, преобразующие плоскость саму в себя (то
есть линейные операторы вида A: P P ) и имеющие обратный оператор, играют важную с практической точки зрения роль и потому выделяются в специальный класс.
Определение 5.4.1.
Линейный оператор
x Aˆ y
g
x 1 , ото2 y
бражающий плоскость P саму на себя, с матрицей
Aˆ det
g
11 21
11 21
12 , для которой в любом базисе 22
12 0 , называется аффинным преоб 22
разованием плоскости.
170
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 5.4.1 (признак аффинности).
Если для линейного преобразования плоскости
det A
0 в некоторой декартовой системе
g
координат, то это условие будет выполнено и в любой другой декартовой системе координат.
Доказательство.
По следствию 5.3.3 определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, поэтому для аффинности ли-
нейного преобразования достаточно, чтобы det A
g
0 хо-
тя бы в одном базисе. Теорема доказана.
Теорема 5.4.2.
Каждое аффинное преобразование имеет единственное обратное, которое также является аффинным.
Доказательство.
Поскольку
det Aˆ
g
Aˆ
0 , то матрица
1 g
существует,
единственна и невырожденная (см. § 5.1), а в силу теоремы 1.1.2 (Крамера) система линейных уравнений
Aˆ
g
x x 1 2 y y
всегда имеет единственное решение
x y
для любого вектора
x y . Но это означает, что между образами и прообразами
171
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
аффинного преобразования существует взаимно однозначное
ˆ существует единственное обратсоответствие, то есть для A ное аффинное преобразование, задаваемое формулами
x Aˆ y
1 g
1 1 x , где Aˆ 2 2 y
1 g
1 . 2
Теорема доказана. Задача 5.4.1.
Определитель матрицы, полученной при решении задачи 5.3.2, оказался равным нулю. Сохранится ли верным это равенство, если произвольным образом изменить коэффициенты уравнения прямой, на которую выполняется ортогональное проектирование?
Теорема 5.4.3.
При аффинном преобразовании всякий базис переходит в базис, а для любых двух базисов существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый базис во второй.
Доказательство.
Пусть аффинное преобразование задано формулами
x 11 x 12 y 1 , y 21 x 22 y 2 , тогда образами первой пары базисных векторов будут векторы
g 1 11 g 1 21 g 2 ; g 2 12 g1 22 g 2 . А поскольку
det Aˆ det
11 21
12 0, 22
172
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
то векторы g1 и g 2 линейно независимы (теорема 1.6.2) и из них можно образовать базис. Сопоставляя определение 1.8.2 и следствие 5.3.1, замечаем, что
в том случае, когда базис
{g1 , g 2 } является образом базиса
{g1 , g 2 } при аффинном преобразовании Aˆ , матрица перехо
да от базиса
{g1 , g 2 } к базису {g1 , g 2 } S Aˆ . g
Но поскольку для любой пары базисов матрица перехода существует, единственна и невырождена, то и преобразование, переводящее первый базис во второй, существует, аффинное и единственное. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различными геометрическими объектами на плоскости при ее аффинном преобразовании. Теорема 5.4.4.
При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая.
Доказательство.
Пусть даны прямая
x x0 p , где p и q − не равные нулю y y0 q
одновременно координаты направляющего вектора прямой, и аф-
x Aˆ финное преобразование y
x 1 . 2 y
173
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Тогда образом прямой будет множество точек плоскости с координатами
x (11 x0 12 y 0 1 ) (11 p 12 q) , y ( 21 x0 22 y 0 2 ) ( 21 p 22 q) . Заметим, что если 11 p 12 q 21 p 22 q мы имеем прямую. Предположим противное, пусть
0 , то
11 p 12 q 0, 21 p 22 q 0, тогда в силу аффинности преобразования
det
11 21
12 0 22
и по теореме 1.1.2 (Крамера) p q 0 есть единственное решение этой системы уравнений, что противоречит условию. Теорема доказана. Теорема 5.4.5.
При аффинном преобразовании образом параллельных прямых являются параллельные прямые, общая точка пересекающихся прямых-прообразов переходит в точку пересечения их образов.
Доказательство.
Предположим, что пара параллельных прямых переведена аффинным преобразованием в пересекающиеся или совпадающие прямые. Рассмотрим одну из точек, общих для образов прямых. Поскольку аффинное преобразование взаимно однозначно, то прообраз общей точки единственный и должен принадлежать одновременно каждой из прямых-прообразов. Однако таких точек нет, ибо прямые-прообразы параллельны. Следовательно, образы параллельных прямых также параллельны.
174
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Если же прямые-прообразы пересекаются, то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования образом их точки пересечения может быть только точка пересечения образов этих прямых.
Теорема доказана. Теорема 5.4.6.
При аффинном преобразовании сохраняется деление отрезка в данном отношении.
Доказательство. Пусть точки M i , i 1, 2, 3, с координатами
образами (рис. 5.4.1) точек
xi являются yi
M i , i 1, 2, 3 соответственно
Рис. 5.4.1
с координатами
x 2 x1 xi и . И пусть дано, что x3 x 2 yi
y 2 y1 , где 1 , нужно показать, что y3 y 2
175
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
x 2 x1 y 2 y1 . и y3 y 2 x3 x 2 Если аффинное преобразование задано в виде
x 11 x 12 y 1 , y 21 x 22 y 2 , то
x 2 x1 11 ( x 2 x1 ) 12 ( y 2 y1 ) x3 x 2 11 ( x3 x 2 ) 12 ( y 3 y 2 )
11 ( x3 x 2 ) 12 ( y 3 y 2 ) . 11 ( x3 x 2 ) 12 ( y 3 y 2 )
y 2 y1 . Аналогично показывается, что y 3 y 2 Заметим, что из полученных соотношений следует равенство отношения длин образов и отношения длин прообразов отрезков, лежащих на одной прямой. Проверим справедливость этих утверждений для случая ортонормированной системы координат:
M 1 M 2 3
M M
2
( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( x 3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2
( x 3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2 ( x 3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2
( x3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2 ( x3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2
( x 2 x1 ) ( y 2 y1 ) 2
2
( x3 x 2 ) 2 ( y 3 y 2 ) 2
Теорема доказана.
M 1M 2
M 2M 3
.
176
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Отметим также, что из теоремы 5.4.6 непосредственно вытекает, что при аффинном преобразовании отрезок прямой переходит в отрезок. Теорема 5.4.7.
При аффинном преобразовании отношение длин образов двух отрезков, лежащих на параллельных прямых, равно отношению длин их прообразов.
Доказательство.
M 1M 2 Пусть дано, что
. Проведем прямую M 3 M 3 ,
M 3M 4 параллельную M 4 M 2 . Поскольку при аффинном преобразовании образы параллельных прямых параллельны, то в силу теоремы 5.4.6 M 4 M 2 M 3 M 3 и M 4 M 2 M 3 лограммы (рис. 5.4.2). Следовательно,
M 2 M 4 M 3 M 3 .
Рис. 5.4.2
M 3 – паралле-
177
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Наконец, по теореме 5.4.6 получаем
M 1 M 2 3
M M
M 1 M 2
4
3
M M
2
M 1M 2
M 3 M 2
M 1M 2
.
M 3M 4
Теорема доказана.
При аффинном преобразовании всякая декартова система координат переходит в декартову систему координат, причем координаты образа каждой точки плоскости в новой системе координат будут совпадать с координатами прообраза в исходной.
Теорема 5.4.8.
Доказательство.
Рис. 5.4.3
Пусть исходная система координат образована базисом
{g1 , g 2 } и началом координат O . Согласно теореме 5.4.3 при аффинном преобразовании базис переходит в базис. Дополняя преобразованный базис образом начала координат
O , мы по
лучаем преобразованную систему координат
{O , g1 , g 2 } .
178
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Пусть в исходной системе координаты точки-прообраза M суть x и y , а в преобразованной системе координаты точки
образа M суть x и y (рис. 5.4.3), тогда в силу теоремы 5.4.6 будут справедливы соотношения
x
OM 1
O M 1
g1
g
y
OM 2
x ;
1
O M 2
g2
y .
2
g
После естественного обобщения на случай координат различных знаков получаем доказываемое свойство. Теорема доказана.
Для выяснения геометрического смысла числовых характеристик матрицы аффинного преобразования переформулируем определение 1.8.3 ориентации пары неколлинеарных векторов на плоскости, используя операцию векторного произведения.
Определение 5.4.2.
Пусть n есть некоторый нормальный вектор плоскости
P , направленный в сторону наблюдателя. Тогда
пару неколлинеарных векторов
a и b назовем правоориентированной, если существует 0 (и соответственно левоориентированной, если существует
0 ) такое, что [ a , b ] n .
179
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Тогда будет справедлива Теорема 5.4.9.
1.
При аффинном преобразовании величины
S –
площади образа параллелограмма и S – площади прообраза параллелограмма связаны соотношением
S det 2.
11 21
12 S . 22
При аффинном преобразовании ориентация образов пары неколлинеарных векторов совпадает с ориентацией прообразов, если
det
11 21
12 0, 22
и меняется на противоположную, если
det
11 21
12 0. 22
Доказательство.
При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм. Рассмотрим некоторый базис, образованный векторами
g1 и g 2 , образы которых при аффинном преобразовании
Aˆ есть соответственно 1
g Aˆ g 1 11 g 1 21 g 2 и g 2 Aˆ g 2 12 g1 22 g 2 , где, согласно следствию 5.3.2, коэффициенты
11 , 12 , 21 и 22
являются элементами матрицы линейного оператора A , то есть
Aˆ
g
11 21
12 . 22
180
Аналитическая геометрия и линейная алгебра По свойству векторного произведения (см. § 2.4) площадь па-
равна
g1 и g 2 ,
раллелограмма, построенного на базисных векторах
S [ g1 , g 2 ] , а площадь параллелограмма, построен
ного на образах базисных векторов, – S [ g1 , g 2 ] . Но
[ g1 , g 2 ] [11 g1 21 g 2 , 12 g1 22 g 2 ]
(11 22 12 21 )[ g1 , g 2 ] det Aˆ S det Aˆ
поэтому
ориентация
det A det A
g
g
пары
0
и
g
g
[ g1 , g 2 ] ,
S , а (согласно определению 5.4.2)
векторов
{g1 , g2 }
меняется
на
не
меняется
при
противоположную
при
0.
Наконец, отметим, что полученные соотношения будут выполнены для любого базиса, а значит, и для любого параллелограмма. Теорема доказана. Теорема 5.4.10.
Для любой линии второго порядка, указанной в формулировке теоремы 4.4.1: -
при аффинном преобразовании ее тип и вид не может измениться;
-
найдется аффинное преобразование, переводящее ее в любую другую линию второго порядка этого же типа и вида.
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
181
Доказательство.
Рассмотрим первое утверждение теоремы. 1. В силу теорем 5.4.6 и 5.4.8 параллелограмм вместе со своей внутренней частью переходит в параллелограмм, и, значит, ограниченная линия перейдет в ограниченную. Отсюда следует, что эллипсы и точки могут переходить только в эллипсы и точки. С другой стороны, точка не может переходить в эллипс и наоборот, поскольку это противоречит свойству взаимной однозначности аффинного преобразования. 2. Среди линий второго порядка только гиперболы и параллельные прямые имеют несвязанные ветви, то есть существует прямая, не пересекающая линию второго порядка, такая, что ветви этой линии расположены по разные стороны от прямой. Сохранение данного свойства при аффинном преобразовании очевидно. Параллельные же прямые не могут перейти в ветви гиперболы в силу теоремы 5.4.5. 3. Среди непрямых линий второго порядка только парабола является неограниченной связной кривой. Следовательно, при аффинном преобразовании парабола может перейти только в параболу. 4. Если линия второго порядка есть точка, прямая или же пара параллельных или пересекающихся прямых, то из утверждения теорем 5.4.4 и 5.4.5 вытекает, что их тип не может измениться. Рассмотрим второе утверждение теоремы. Из теорем 4.4.1 и 5.4.3 следует, что для каждой линии второго порядка может быть построено аффинное преобразование, приводящее уравнение линии к одному из следующих девяти видов:
x 2 y 2 1 ; x 2 y 2 1; x 2 y 2 0 ; y 2 1 0 ; y 2 2 x 0 ; y 2 0.
(5.4.1)
182
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Но поскольку уравнения любой пары линий, принадлежащих к одному и тому же типу, приводятся двумя различными аффинными преобразованиями к одному и тому же виду из списка (5.4.1), то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования и очевидной аффинности произведения аффинных преобразований следует справедливость второго утверждения теоремы.
Теорема доказана. Замечание:
Теорема 5.4.11.
изменение при аффинном преобразовании типа линии второго порядка оказывается также невозможным и для случая "пустых множеств". Справедливость этого утверждения будет показана в § 9.4 (теорема 9.4.1). Для всякого аффинного преобразования существует пара взаимно ортогональных направлений, которые переводятся данным аффинным преобразованием во взаимно ортогональные.
Доказательство.
Рассмотрим ортонормированную систему координат. Пусть пара исходных взаимно ортогональных направлений задается в ней ненулевыми векторами
p и q с координатными представле-
ниями
p e
и
q
e
.
Потребуем, чтобы их образы (ненулевые в силу аффинности)
p
e
11 21
12 12 11 , 22 21 22
183
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
q
e
11 21
12 12 11 22 21 22
были также взаимно ортогональны.
Условие ортогональности векторов
p и q в базисе
{e1 , e2 } имеет вид (11 12 )(11 12 ) ( 21 22 )( 21 22 ) 0 или 2 2 (1112 21 22 ) 2 (11 12 221 222 )
(1112 21 22 ) 2 0, а после переобозначения коэффициентов
U 2 2V U2 0 . Рассмотрим следующие случаи:
1) Если U V 0 , то любая пара взаимно ортогональных векторов данным преобразованием переводится во взаимно ортогональную пару векторов. 2) Если U 0 и V 0 , то векторов базисная.
3) Наконец, если
0 , то есть искомая пара
U 0 , то отношение координат векторов
p и q находится из квадратного уравнения 2V ( ) 2 U ( ) 1 0 , имеющего действительные V V2 1 при любом ненулерешения ( ) 1, 2 U U2 вом U .
184
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема доказана.
185
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
§ 5.5. Ортогональные преобразования плоскости Определение 5.5.1.
Ортогональным преобразованием плоскости
P на-
зывается линейный оператор Q вида
x* Qˆ y* матрица которого
Qˆ
e
e
x 1 , 2 y 11 21
12 ортогональ 22
ная в любой ортонормированной системе координат. Заметим, что ортогональное преобразование является частным случаем аффинного преобразования, поскольку в силу теоремы 5.1.3
имеет место либо det Q
e
1 , либо det Q
e
1 . Помимо при-
веденных в § 5.4 аффинных свойств, ортогональные преобразования обладают своими специфическими особенностями. Рассмотрим основные из них. Признак того, что некоторый линейный оператор является ортогональным, может быть сформулирован как Теорема 5.5.1.
Линейный оператор на плоскости является ортогональным, если его матрица ортогональная хотя бы в одной ортонормированной системе координат.
Доказательство.
P имеются два ортонормированных базиса {e1 , e2 } и {e1 , e2 } с матрицей перехода S . Согласно следст-
Пусть на плоскости
вию 5.1.1, эта матрица также ортогональная и для нее справедливо равенство гональна в
S
1
S
T
, и пусть матрица оператора Q орто-
{e1 , e2 }, то есть для нее Qˆ
1 e
Q
T e
.
186
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Перейдем к базису {e1 , e2 } , в котором матрица линейного
оператора Q , согласно теореме 5.3.3, будет иметь вид
Qˆ
e
S
1
Найдем в новом базисе матрицу
Qˆ Qˆ
e 1 e
S . . Использовав теоремы
5.1.1 и 5.1.2, а также ортогональность матриц S
и Q
e
, по-
лучим
Qˆ
1 e
1
( S S
1
Qˆ
T
( S Но равенство оператора
Qˆ
Qˆ
Qˆ
1 e
e
1 e
e
S ) 1 S
S S
T
T e
1
Qˆ
e
T
1
Qˆ
( S
1 1
)
T T
Qˆ e ( S
S )T ( S
Q
1
) T
e
S ) T Qˆ e .
означает, что матрица линейного
Qˆ ортогональная и в базисе {e1 , e2 } .
Теорема доказана. Теорема 5.5.2.
В ортонормированной системе координат ортогональное преобразование плоскости сохраняет: 1) скалярное произведение векторов; 2) длины векторов и расстояния между точками плоскости; 3) углы между прямыми.
Доказательство.
1. Пусть дано ортогональное преобразование плоскости матрицей
Qˆ
e
Qˆ с
в ортонормированной системе координат
187
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
{O, e1 , e2 } . Тогда, как было показано в § 2.3, скалярное произведение векторов
1 2
a
e
a и b с координатными представлениями 1 и b в ОНБ выражается в следую2 e
щем виде:
( a , b ) 11 2 2 1
1 a 2
2
T
b .
e
Тогда для скалярного произведения образов векторов принимая во внимание ортогональность матрицы чаем
T
T
a a
e T
a
a ) T Qˆ
Qˆ e , полу-
b
e
e
Qˆ Qˆ
T
e
Qˆ
e 1 e
Qˆ
e e
b
e T
a
E b
e
b
e
e
Равенство
a и b,
e
e T
e
Qˆ b
e
e
(Qˆ a , Qˆ b ) Qˆ a ( Qˆ
( a , b ).
b
e
e
(Qˆ a , Qˆ b ) ( a , b ) a , b и означает, что при
ортогональном преобразовании плоскости скалярное преобразование сохраняется в любом ортонормированном базисе.
188
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2. Из сохранения при ортогональном преобразовании скалярного произведения для любой пары векторов следует сохранение длин векторов, поскольку
Qˆ a (Qˆ a , Qˆ a ) ( a , a ) a
a.
3. Тогда в силу 2 при ортогональном преобразовании равные треугольники переходят в равные, и величины углов между векторами на плоскости будут сохраняться. Теорема доказана.
Используя свойства ортогональных преобразований, можно показать, что для аффинных преобразований справедлива следующая важная теорема. Теорема 5.5.3.
Каждое аффинное преобразование может быть представлено в виде произведения ортогонального преобразования и двух сжатий по взаимно ортогональным направлениям.
Доказательство.
1. В силу следствия 5.3.2, а также справедливости утверждений задачи 5.3.1 и примера 5.3.1 нам достаточно убедиться, что матрица каждого аффинного преобразования в любом ортонормированном базисе
{e1 , e2 } может быть представлена в
виде произведения ортогональной матрицы и диагональной матрицы с положительными значениями диагональных элементов. 2. По теореме 5.4.11 существует ортогональный (но, вообще говоря, не нормированный) базис
{1 , 2 } , в который данное
189
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
Aˆ переведет исходный ортонорми-
аффинное преобразование
{e1 , e2 } . При этом существуют положительные нормирующие множители 1 и 2 , такие, что рованный базис
e1 1 ; e2 2 ; 1 2
то есть
1 1 ;
2 2 ,
{e1 , e2 } – ортонормированный базис.
3. С другой стороны, линейное преобразование
{e1 , e2 } в ортонормированный ба-
ортонормированный базис
Qˆ , переводящее
{e1 , e2 } , очевидно, ортогональное и имеет в исходном баˆ зисе ортогональную матрицу Q . Тогда будут справедливы зис
e
соотношения
1 0
1
2
e1
0 2
e2
e1
;
Qˆ
e2
e1
T
;
e
e2
1
Aˆ
2
T e
e1
e2
,
из которых следует равенство
(
Aˆ
T e
1 0
0 Qˆ 2
T e
)
e1
o . o e2
Тогда в силу линейной независимости базисных векторов
{e1 , e2 } мы имеем
Aˆ
T e
1 0
0 2
Qˆ
T e
транспонирования обеих частей этого равенства
или после
190
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Aˆ Qˆ e
1 0
e
0 . 2
Таким образом, аффинное преобразование представимо в виде произведения ортогонального преобразования и оператора "сжатия к осям" (см. пример 5.3.1). Теорема доказана.
§ 5.6. Понятие группы Определение 5.6.1.
Множество G называется группой по отношению к заданной операции, если любым двум его элементам x и y поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый произведением и обозначаемый xy , и если выполняются следующие условия: 1)
x ( yz ) ( xy ) z ;
2)
существует элемент
3)
для каждого кой, что
xG
e , такой, что xe ex x ;
x существует элемент x 1 , таx 1 x e .
Если, кроме того, xy yx коммутативной, или абелевой. Пример 5.6.1.
x, y G , то группа называется
К группам относятся, например: 1) множество вещественных чисел относительно операции сложения образует группу, где
e – число 0 ;
Г л а в а 5 . Преобразования плоскости
2)
3)
4)
191
множество положительных вещественных чисел относительно операции умножения, где e – число 1; множество поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции композиции; множество аффинных преобразований плоскости относительно операции композиции.
191
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Глава 6
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 6.1. Определители Рассмотрим
множество,
состоящее
из
натуральных
чисел
1, 2, 3, ... , n . Будем обозначать перестановки этих чисел (то есть последовательную их запись в некотором порядке без пропусков и
{k1 , k 2 , k 3 ,..., k n } . Напомним, что полное число таких различных перестановок равно n! . повторений) как
Определение 6.1.1.
Будем говорить, что числа k i и k j образуют в перестановке беспорядок (нарушение порядка, или инверсию), если при
i j имеет место k i k j .
Полное число беспорядков в перестановке {k 1 , k 2 , k 3 ,..., k n } будем обозначать
Б(k1 , k 2 ,..., k n ) . Например, Б(3, 1, 4, 2) 3 .
Пусть дана квадратная матрица
11 21 A 31 ... n1
12 22 32 ... n2
13 23 33 ... n3
... ... ... ... ...
1n 2n 3n ij ; i, j [1, n]. ... nn
192
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 6.1.2.
Детерминантом (или определителем) квадратной
A
матрицы
размера
n n называется число
det A , получаемое по формуле
det A
(1)
Б ( k1 , k 2 , k 3 ,...,k n )
{ k1 , k 2 , k3 ,...,k n }
1k1 2 k 2 ... nkn
,
где {k 1 , k 2 , k 3 ,..., k n } – всевозможные различные перестановки, образованные из номеров столбцов матрицы
A .
Поскольку в данном определении указано, что сумма берется по всем возможным различным перестановкам, то число слагаемых равно
n !.
Из определения 6.1.2 также вытекает, что каждое слагаемое содержит в качестве сомножителя по одному элементу матрицы из каждого столбца и каждой строки. Задача 6.1.1.
Проверить совпадение определения 6.1.2 и определения детерминантов матриц второго и третьего порядков 1.1.9 и 1.1.10.
§ 6.2. Свойства определителей При транспонировании квадратной матрицы ее опреТеорема 6.2.1. делитель не меняется. Доказательство. Общий вид слагаемого в формуле определителя транспонированной матрицы ( 1)
B A
T
будет
Б( m1 , m2 ,...,mn )
1m 2 m ... nm , 1 2 n
193
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
но, учитывая, что
det A
T
k mk mk k , получим
(1)
Б ( m1 , m2 ,...,mn )
{ m1 , m2 ,...,mn }
m11 m2 2 ... mn n .
Упорядочим сомножители каждого слагаемого по номерам строк, то есть приведем их к виду
(1) Б( m1 , m2 ,...,mn ) 1k1 2 k 2 ... nkn , где
1, 2, 3, ... , n – номера строк, а k1 , k 2 , k 3 ,..., k n – номера
соответствующих столбцов. Отметим, что для введенных обозначений имеет место очевидное равенство: k m i i и i
при выполненном изменении порядка сомножителей для каждого слагаемого в формуле определителя имеет место равенство
Б( m1 , m2 ,..., mn ) Б(k1 , k 2 ,..., k n ) . Действительно, пусть mi и m j дают беспорядок, то есть mi m j при i j , тогда дают беспорядок и числа
k mi и k m j , поскольку
i : k mi i , и, значит, будет справедливо неравенство при
k mi i j k m j
mi m j . Заметим, что верно и обратное утверждение.
Окончательно получаем
det A
T
(1)
{ k1 , k 2 ,...,k n }
Б( k1 , k 2 ,...,k n )
1k1 2 k 2 ... nk n det A
.
Теорема доказана. Замечание 6.2.1.
Утверждение теоремы 6.2.1 допускает следующую наглядную интерпретацию. Выделим в матрице A элементы, входящие в некоторое слагаемое определения 6.1.2, и соединим их от-
194
Аналитическая геометрия и линейная алгебра резками прямых, как показано на рис. 6.2.1. Заметим, что элементов
iki
пара и
jk j дает беспорядок, если соединяющий их отрезок имеет “положительный” наклон, то есть правый конец отрезка расположен выше левого.
11 21 31 n1
12 22 32 n2
13 23 33 n3
1n 2n 3n nn
Рис. 6.2.1
Очевидно, что при транспонировании квадратной матрицы число отрезков с “положительным” наклоном не меняется, поэтому не меняется и знак каждого слагаемого в формуле 6.1.2, и, следовательно, значение определителя сохраняется. Следствие 6.2.1.
Всякое свойство определителя матрицы, сформулированное для ее столбцов, справедливо для ее строк, и наоборот.
Теорема 6.2.2.
При перестановке двух столбцов матрицы знак ее определителя меняется на противоположный.
Доказательство.
Рассмотрим вначале случай, когда переставляются соседние столбцы. Поскольку общий вид слагаемых в выражении для определителя дается формулой
(1)
{ k1 , k 2 ,...,k n }
Б( k1 , k 2 ,...,k n )
1k1 2 k 2 ... nkn
,
то достаточно показать, что число беспорядков изменится при перестановке соседних столбцов на единицу.
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
195
Рассмотрим перестановку чисел
{k1 , ... , k i 1 , k i , k i 1 , k i 2 ... , k n } . Если в ней поменять местами числа ki и ki+1, то число беспорядков, образуемых числами {k1 , k 2 ,...k i 1 , k i 2 ,..., k n } , останется прежним, а за счет изменения порядка следования чисел
ki и ki 1 общее число беспорядков изменится на единицу. Это означает, что знак каждого слагаемого в формуле определителя изменится на противоположный и, следовательно, изменит знак и весь определитель. Наконец, если требуется поменять местами столбцы, между
l столбцов, то для этого потребуется l l 1 2l 1 перестановок соседних столбцов, и, по-
которыми находится 2 l 1
1 , знак определителя опять-таки измескольку ( 1) нится на противоположный. Теорема доказана. Следствие 6.2.2.
Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца, равен нулю.
Доказательство.
При перестановке одинаковых столбцов значение определителя, с одной стороны, не меняется, но, с другой стороны, это значение должно изменить знак. Поэтому данный определитель может равняться только нулю. Следствие доказано. Теорема 6.2.3 (линейное свойство определителя).
Если k -й столбец матрицы задан в виде линейной комбинации некоторых "новых" столбцов, то ее определитель представим в виде той же линейной комбинации определителей матриц, k -ми столбцами которых являются соответствующие "новые" столбцы из исходной линейной комбинации.
196
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство.
A
k -й столбец состоит из элементов ik ik ik , где i 1, 2, , n . Тогда справедливы ра-
Пусть в матрице
венства
(1) Б( k1 ,k 2 ,...,k n ) 1k1 2 k 2 ... ik ... nk n (1) Б( k1 , k 2 ,...,k n ) 1k1 2 k 2 ...( ik ik )... nk n (1) Б( k1 , k 2 ,...,k n ) 1k1 2 k 2 ... ik ... nk n (1) Б( k1 ,k 2 ,...,k n ) 1k1 2 k 2 ... ik ... nk n .
n! слагаемых в формуле для содержит точно по одному элементу из k -го
А поскольку каждое из
det A столбца,
то
det A
det A
det A
,
где
k ы e столбцы матриц A и A соответственно состоят из элементов ik и ik , i 1, 2, , n . Теорема доказана. Следствие 6.2.3.
При вычислении определителя из столбца матрицы можно выносить общий множитель.
Следствие 6.2.4.
Если к некоторому столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных ее столбцов, то определитель не изменится.
Доказательство.
Действительно, определитель, получившийся в результате данной операции с матрицей, можно (по теореме 6.2.3) представить в виде линейной комбинации исходного определителя и линейной комбинации определителей матриц, имеющих одинаковые столбцы. Последние равны нулю по следствию 6.2.2. Следствие доказано.
197
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Определитель произведения матриц размера равен произведению их определителей, то есть
Теорема 6.2.4.
nn
det ( A B ) det A det B . Доказательство.
1. Обозначим
C
C A
B . Пусть матрицы
имеют соответственно элементы
A ,
B
и
ij , kl и pq . Тогда
n
по определению 5.1.1 pq pj jq , и потому j 1
det C 1111 12 21 ... 1n n1 det
... 111n ... 1n nn
2111 22 21 ... 2 n n1 ... 211n ... 2 n nn . ... ... ... n111 n 2 21 ... nn n1 ... n11n ... nn nn
Введем в рассмотрение специальный тип перестановок натуральных чисел 1, 2, 3, ... , n , в которых допускаются повторения одинаковых чисел. Такие перестановки условимся обозначать как [i1 , i 2 , i3 ,..., i n ] . По линейному свойству определителя (теорема 6.2.3)
det C
i2 2 ... in n det
i1 1 [ i1 ,i2 ,...,in ]
1i1
1i2
... 1in
2i1
2 i2
... 2in
...
...
ni1
ni2
i2 2 ... in n det A
i1 1 [ i1 ,i2 ,...,in ]
[ i1 ,i2 ,...,in ]
...
...
... nin .
198
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
[i1 , i 2 , i3 ,..., i n ] (в отличие от
Поскольку перестановки
{i1 , i 2 ,..., i n } ) могут содержать одинаковые числа, то общее n число слагаемых в полученной сумме равно n , но ненулевых среди этих слагаемых в силу следствия 6.2.2 только n! . 2. Заметим, что поскольку матрицы
A
{i1 ,i2 ,...,in }
составлены из
тех же столбцов, что и A , но записанных в разном порядке, то их определители могут отличаться в силу теоремы 6.2.2 только знаком. Перестроим каждую из матриц столбцы
так,
чтобы
каждый
A
{i1 ,i2 ,...,in } ,
столбец
переставив ее с
индексом
ik ; k [1, n] был расположен слева от столбцов с большими индексами. В итоге этой операции столбцы будут полностью упорядочены, для чего потребуется число перестановок столбцов, равное числу беспорядков в перестановке
{i1 , i2 ,..., in } , и, следовательно, для каждой матрицы A будет справедливо соотношение {i1 ,i2 ,...,in }
det A
{i1 ,i2 ,...,in }
( 1) Б ( i1 ,i2 ,...,in ) det A
3. Подставляя это соотношение в выражение для чаем
det C det A
(1)
Б ( i1 ,i2 ,...,in )
{i1 ,i2 ,...,in }
T
det A det B ,
.
det C , полу-
i11 i2 2 ... in n
199
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
что в силу теоремы 6.2.1 означает
det ( A
B ) det A det B .
Теорема доказана.
§ 6.3. Разложение определителей Выберем в квадратной матрице мерами
i1 , i 2 ,..., i k
1 k n.
Определение 6.3.1.
n -го порядка A строки с ноj1 , j 2 ,..., j k , где
и столбцы с номерами
Детерминант квадратной матрицы порядка k , образованной элементами, стоящими на пересечении строк i1 , i 2 ,..., i k и столбцов вается минором
j1 , j 2 ,..., j k , назы-
k -го порядка и обозначается 2 ,..., jk M i j1, i, j,..., ik . 1 2
Определение 6.3.2.
Детерминант квадратной матрицы порядка n k , образованной элементами, остающимися после вычеркивания
строк
i1 , i 2 ,..., i k
и
столбцов
j1 , j 2 ,..., j k , называется минором, дополнительным к минору
2 ,..., j k M i j1, i, j,..., ik , и обозначается 1 2
j , j2 ,..., jk . 1 2 ,...,ik
M i 1,i Выберем в матрице
A
i -ую строку и j -ый столбец, на пересе-
чении которых расположен элемент
ij . Удалим из A выбранные
строку и столбец, рассмотрим квадратную матрицу
(n 1) (n 1) .
A
размера
200
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 6.3.3.
Детерминант матрицы
A
называется дополни-
j
тельным минором M i элемента
ij .
Сгруппируем в определении 6.1.2 – детерминанта матрицы все ( n 1)! слагаемых, содержащих элемент скобки. Получим выражение вида
A –
ij , и вынесем его за
det A ij Dij . Dij называется алгебраическим дополнением элемента ij .
Определение 6.3.4.
Число
Заметим, что по определению 6.3.4 имеют место равенства n
n
j 1
k 1
det A ij Dij kj Dkj j [1, n] , i [1, n], (6.3.1) которые можно использовать для вычисления определителей квадратных матриц, находя значения алгебраических дополнений при помощи соотношений, которые устанавливает Теорема Справедливы равенства 6.3.1. Доказательство.
j
Dij (1) i j M i .
1. По определению детерминанта 6.1.2
det A 11
(1)
Б (1, k 2 , k 3 ,...,k n )
{1, k 2 , k3 ,...,k n }
то есть
D11
очевидно, что
(1)
{ k 2 ,...,k n }
Б ( k 2 ,...,k n )
2 k 2 ... nkn
2 k 2 3k3 ... nkn
,
, поскольку
Б(1, k 2 , k 3 ,..., k n ) Б(k 2 , k 3 ,..., k n ) ,
201
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
но тогда выражение для D11 совпадает с формулой определителя матрицы порядка n 1 , получаемой из A вычеркиванием первого столбца и первой строки. Следовательно, 1
D11 M 1 . A , переместив элемент ij мат-
2. Построим новую матрицу рицы
A в ее левый верхний угол, переставив i-ю строку на
первое место, для чего потребуется i 1 перестановка, и переставим на первое место j-й столбец, что потребует выполнения
j 1 перестановок. Тогда определитель перестроенной матриA равен
цы
det A ( 1) i 1 j 1 det A ( 1) i j det A . Согласно линейному свойству определителя (теорема 6.2.3) данное соотношение будет также выполняться и для каждого из его слагаемых, а значит, в силу формул (6.3.1) и для каждого алгебраического дополнения ство
Dij . Поэтому справедливо равен-
. Dij (1)i j D11
3. Наконец, очевидно, что значение дополнительного к нора не зависит от положения j
ij в матрице A , и потому
1
M i M 1 . 4. Учитывая полученные соотношения j
1
M i M 1 D11 (1) i j Dij , приходим к равенству Теорема доказана.
ij ми-
j
Dij (1) i j M i .
202
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Следствие 6.3.1.
Разложение определителя по вид
i -му столбцу имеет
n
det A (1) k i ki M k i
k 1
или n
det A (1) k i M ki M k . i
k 1
Для практических приложений особо полезной является Теорема 6.3.2.
Для любой квадратной матрицы равенство n
i 1
где det A
и
ij
A имеет место
Dis js ,
1 , j s, js – символ Кро0 , j s
некера (см. § 2.2). Доказательство.
По определению 6.3.4 алгебраического дополнения имеем
det A 1 j D1 j 2 j D2 j nj Dnj , то есть утверждение теоремы для случая j s справедливо. Пусть теперь
j s . Тогда выражение 1 j D1s 2 j D2 s ... nj Dns
можно рассматривать как разложение по s-му столбцу определителя матрицы, у которой s-й столбец совпадает с j-м столбцом. Но такой определитель равен нулю по следствию 6.2.2. Теорема доказана.
203
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений Следствие 6.3.2.
Если квадратная матрица
A
невырожденна, то
элементами ее обратной матрицы
A
1
являются
i
числа
ij
(1) i j M j ; i, j [1, n] .
Доказательство.
Найдем произведение матриц
A и B , элементы которых
i j и i j ; i, j [1, n] . Пусть pq – элемент произведения A
и
B , тогда, согласно определению 5.1.1 и теореме
6.3.2, n
pq pj jq j 1
j
(1) j q M q 1 n pj pj Dqj j 1 j 1 n
1 pq pq ; i, j [1, n] .
Аналогичное соотношение получается и для произведения
B
A и по определению 1.1.4
A
B B
A E ,
но тогда, согласно определению 5.1.2 и лемме 5.1.1,
B A
1
.
Следствие доказано.
Проверьте самостоятельно справедливость формулы (5.1.1). Обозначим I i1 i2 ... ik и J j1 j 2 ... оказывается справедливой обобщающая следствие 6.3.1
j k , тогда
204 Теорема 6.3.3 (Лапласа).
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
j1 , j2 ,..., jk
Для фиксированного набора столбцов имеет место равенство
det A
(1)
I J
{i1 ,i2 ,...,ik }
j1 , j2 ,..., jk
2 ,..., j k M i1j1,i,2j,..., ik M i1 ,i2 ,...,ik
.
Отметим, что суммирование выполняется по всем возможным перестановкам номеров строк i1 , i 2 ,..., i k . Задача 6.3.1.
Найти определитель матрицы n-го порядка:
x
a
a ... a
a
x
a ... a
n det a
a
x ... a .
... ... ... ... ... a Решение.
1.
a
a ...
x
Заметим, что сумма элементов каждого столбца
матрицы одинакова и равна x a ( n 1) . Поэтому, прибавив к первой строке сумму остальных строк и вынося общий множитель из первой строки, мы получим матрицу с тем же определителем (см. следствия 6.2.4 и 6.2.3):
1
1
1
...
1
a
x
a
... a
n ( x a (n 1)) det a a x ... a . ... ... ... ... ... a 2.
a
a
...
x
Вычитая из каждой строки, начиная со второй, первую строку, умноженную на a , получим
205
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
1 1 0 xa n ( x a (n 1)) det 0 0 ... ... 0 0
1 0 xa ... 0
... 1 ... 0 ... 0 . ... ... ... x a
3. Последовательно применив n 1 раз следствие 6.3.1 для разложения определителя по первому столбцу, приходим к выражению
n ( x a (n 1))( x a ) n 1 .
§ 6.4. Правило Крамера Будем рассматривать систему вестными:
n линейных уравнений с n неиз-
11 1 12 2 ... 1n n 1 , ... , 21 1 22 2 2n n 2 ............................................... n1 1 n 2 2 ... nn n n n
в неразвернутом виде
A
ной форме компоненты
ji i j ; i 1
(6.4.1)
j [1, n] или же в матрич-
x b , где квадратная матрица
A
имеет
ji , а столбцы x и b – соответственно i и j .
Определение 6.4.1.
Упорядоченный набор чисел { 1 , 2 ,..., n } будем называть частным решением (или, просто, решением) системы линейных уравнений, если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы мы получаем тождество.
206
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Имеет место Теорема 6.4.1 (правило Крамера).
Для того чтобы система линейных уравнений (6.4.1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы det A 0 , и в этом случае решение данной системы будет иметь вид
i
i ; i 1,2,..., n ,
i – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой ее i -го столбца на столбец свогде
бодных членов b :
11 i det 21 ... n1
12 22 ... n2
... 1 ... 2 ... ... ... n
... 1n ... 2 n . ... ... ... nn
i -й столбец Доказательство.
1. Проверим вначале утверждение теоремы в предположении, что система (6.4.1) имеет единственное решение
1 x 2 , ... n то есть когда выполняются равенства n
i 1
ji
i j ; j [1, n] .
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
207
Умножив последовательно для всех
j [1, n] обе части этих
равенств на алгебраическое дополнение D jk и просуммировав по
j результаты умножения, получим n
n
n
j 1
i 1
j 1
D jk ( ji i ) j D jk
k [1, n].
Изменим порядок суммирования (то есть выполним перегруппировку слагаемых) в левой части этого равенства: n
n
i 1
j 1
(
n
ji D jk ) i j D jk . j 1
Но выражение в круглых скобках равно 6.3.2), поэтому, учитывая, что n
n
j 1
i 1
ik (по теореме
j D jk k и ik i k k , получаем
k k , k [1, n] .
k k , k [1, n] имеют единственное решение тогда и только тогда, когда 0 , то Поскольку уравнения вида
необходимость доказана. При этом также очевидно, что
k
k , k [1, n] .
(6.4.2)
2. Докажем теперь, что в условиях теоремы набор чисел
{ i
k , i [1, n] }
есть решение данной системы линейных уравнений. Убедимся в этом, подставив значения i в левые части исходной системы линейных уравнений (6.4.1):
208
Аналитическая геометрия и линейная алгебра n
ji i 1
n n i 1 n 1 n ji ( k Dki ) k ( ji Dki ) i 1 k 1 k 1 i 1 n 1 k kj j , j [1, n]. k 1
Для получения последнего равенства мы снова изменили порядок суммирования и воспользовались теоремой 6.3.2. Теорема доказана.
§ 6.5. Ранг матрицы Рассмотрим матрицу
A размера m n . Пусть число k такое,
1 k min{m, n} . Выберем некоторым способом в A k столбцов и k строк, на пересечении которых стоят элементы, образующие квадратную матрицу минора порядка k . Пусть при данном k все миноры k -го порядка равны нулю, тогда будут равны нулю и все миноры порядка выше, чем k , поскольку что
каждый минор ( k 1) -го порядка представим в виде линейной комбинации миноров порядка Определение 6.5.1.
k (cм. следствие 6.3.1).
Наивысший из порядков, отличных от нуля миноров матрицы
A , называется рангом матрицы и обо-
значается rg A . Определение 6.5.2.
Любой ненулевой минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.
Определение 6.5.3.
Столбцы (строки) матрицы, входящие в матрицу базисного минора, называются базисными.
209
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Далее рассмотрим
n m -компонентных столбцов вида
11 12 1n a1 21 ; a2 22 ; ... ; an 2 n ... ... ... m1 m2 mn 1 0 2 0 ; o и столбцы b . ... ... m 0 Поскольку для столбцов (как частного случая матриц) определены операции сравнения, сложения и умножения на число, то будем говорить, что столбец
b
есть линейная комбинация столбцов
a1 , a 2 , ... , a n если существуют числа
,
1, 2 , ... , n , такие, что n
b j 1
Теорема 6.5.1 (о базисном миноре).
j
aj .
Всякий столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк) этой матрицы.
Доказательство.
1. Пусть ранг матрицы равен r . Без ограничения общности можно считать, что матрица базисного минора расположена в левом верхнем углу матрицы
A .
Окаймим матрицу базисного минора фрагментами
i -й
строки и j -го столбца и рассмотрим определитель построенной матрицы.
210
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
11 ... det r1 i1
... 1r ... ... ... rr ... ir
1 j ... , rj ij
который равен нулю как минор порядка ранга r. 2. Разложив определитель
r 1 в матрице
по последней строке, получим
i1 D1 i 2 D2 ... ir Dr ij M 0 , где M 0 – базисный минор, а D1 ,..., Dr – некоторые алгебраические дополнения, не зависящие от i . Следовательно,
ij 1 i1 2 i 2 ... r ir , где i s
Ds , s [1, r ] . M
Теорема доказана. Определение 6.5.4.
Столбцы a1 , a 2 , ..., a n будем называть линейно зависимыми, если существуют не равные нулю одновременно числа n
j 1
Лемма 6.5.1.
aj o ,
n
( j 0 ). j 1
Для того чтобы столбцы (строки) матрицы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Лемма 6.5.2.
j
1 , 2 ,..., n , такие, что
Совпадает с доказательством леммы 1.4.1.
Если среди столбцов матрицы есть линейно зависимое подмножество, то множество всех столбцов этой матрицы также линейно зависимое.
211
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений Доказательство.
Допустим, что линейно зависимыми являются первые k столбцов, то есть для них существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу:
11 12 1k 0 2k 0 1 21 2 22 ... k . ... ... ... ... m1 m2 mk 0 Тогда очевидно, что нетривиальная линейная комбинация всех столбцов этой матрицы вида
11 1
1k
1,k 1
1n
2,k 1 21 2k ... k 0 ... 0 2 n ... ... ... ... m, k 1 m1 mk mn
будет также равна нулевому столбцу. Лемма доказана. Теорема 6.5.2.
Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы столбцы (строки) его матрицы были линейно зависимыми.
Доказательство необходимости.
Пусть определитель равен нулю, то есть единственный минор порядка n нулевой, тогда ранг матрицы меньше n . По теореме о базисном миноре всякий столбец есть линейная комбинация базисных столбцов и тогда по лемме 6.5.1 столбцы матрицы линейно зависимы. .
212
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство достаточности.
Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. По лемме 6.5.1 один из столбцов есть линейная комбинация остальных. n 1
Пусть этот столбец последний, то есть an j a j . Умj 1
ножим последовательно (для число
i 1, 2, , n 1 ) j -й столбец на
j и сложим все их. Вычитание этой суммы из столбца
an не изменит величины определителя, но поскольку при этом мы получим нулевой столбец, то определитель равен нулю. Теорема доказана.
Теорема 6.5.3 (о ранге матрицы).
Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк и равно рангу этой матрицы.
Доказательство.
1. Если ранг матрицы нулевой, то все ее элементы нулевые и среди них нет линейно независимых.
Пусть ранг матрицы равен r 0 . Рассмотрим матрицу, составленную из r базисных столбцов матрицы. Она имеет ненулевой минор r -го порядка и, следовательно, ее столбцы линейно независимы.
2.
Выберем k r столбцов матрицы и покажем, что эти столбцы линейно зависимы. Построим из выбранных столбцов матрицу
A . Ее ранг R r , поскольку
ляется частью матрицы
A .
A
яв-
213
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
A
R r k и в матрице
Следовательно,
есть, по
крайней мере, один небазисный столбец, и тогда столбцы матрицы
A линейно зависимы по лемме 6.5.2.
Теорема доказана.
§ 6.6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными Рассмотрим систему вида
m линейных уравнений с n неизвестными
11 1 12 2 ... 1n n 1 , ... , 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... .......... .......... ...... m1 1 m 2 2 ... mn n m ,
(6.6.1)
которая в неразвернутой форме записывается как n
i 1
ji
i j ,
или же в матричной форме
A
j [1, m] ,
x b , где матрица
A
раз-
m n имеет компоненты ji , а столбцы x и b соответственно компоненты i , i [1, n] , и j , j [1, m] . мера
Определение 6.6.1.
Упорядоченный набор чисел {1 , 2 ,..., n } будем называть частным решением системы линейных уравнений (6.6.1), если при подстановке этих чисел в систему мы получаем верные равенства. 0
0
0
214
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Частное решение системы линейных уравнений также может быть записано в виде столбца
10 02 0 x . Совокупность всех частных решений ... 0n системы линейных уравнений (6.6.1) назовем общим решением системы (6.6.1). Определение 6.6.2.
Если система (6.6.1) имеет хотя бы одно частное решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной системой уравнений.
Определение 6.6.3.
11 21 Матрица A ... m1
12 22 ... m2
... 1n ... 2 n называется ... ... ... mn
основной матрицей системы (6.6.1), а матрица
11 A b 21 ... m1
12 22 ... m2
... 1n ... 2 n ... ... ... mn
1 2 m
– расширенной матрицей этой системы. Определение 6.6.4.
Система (6.6.1) называется однородной, если
j 0 j [1, m] , в противном случае – неоднородной системой уравнений.
215
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Теорема Для того чтобы система (6.6.1) была совместна, 6.6.1 необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной (Кронекера– матрицы был равен рангу расширенной. Капелли). Доказательство необходимости.
Пусть существует решение системы (6.6.1) {1 , 2 ,..., n } , тогда эту систему можно представить в виде следующего равенства:
1 a1 2 a 2 ... n a n b , где
a j 1 j
2 j
mj
T
, j [1, n] .
Поскольку в этом случае столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов, образующих основную матрицу, то число линейно независимых столбцов основной и расширенной матриц будет одинаковым. Следовательно, по теореме 6.5.3 (о ранге матрицы)
rg A rg A b .
Доказательство достаточности.
Пусть ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен r . Без ограничения общности предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы, но тогда по теореме 6.5.1 (о базисном r
миноре) имеет место равенство
b j a j , которое j 1
можно переписать в виде r
b j aj j 1
n
0
j r 1
aj .
Однако последнее означает, что система (6.6.1) имеет решение
{ 1 , 2 ,..., r ,0,...,0} , то есть она совместна.
Теорема доказана.
216 Задача 6.6.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Докажите справедливость следующего утверждения. Для того чтобы прямые
Ai x Bi y Ci 0 ,
i [1, n]
пересекались в одной и той же точке плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
rg
A1
B1
A2
B2
...
...
An
Bn
rg
A1
B1
C1
A2
B2
C2
...
...
... .
An
Bn
Cn
§ 6.7. Фундаментальная система решений В § 6.6 было показано, что факт совместности или несовместности системы (6.6.1) можно установить, сравнив ранги ее основной и расширенной матриц. Рассмотрим теперь случай, когда система (6.6.1) совместна и найдем все ее решения. При построении общего решения системы (6.6.1) воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями. Лемма 6.7.1.
Любая линейная комбинация частных решений однородной системы (6.6.1) также является ее частным решением.
Доказательство.
Пусть
1i i2 i x , ... in
системы, то есть
i [1, k ] – частные решения однородной
A x i o , i [1, k ] .
217
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений k
Рассмотрим столбец
y i x i . По правилам действий i 1
с матрицами для него справедливы равенства n n i y A i x i ( A i 1 i 1
A
xi ) o .
Лемма доказана. Лемма 6.7.2.
Сумма некоторого частного решения однородной системы (6.6.1) и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы (6.6.1).
Доказательство.
Пусть x – частное решение однородной системы, а некоторое частное решение неоднородной, то есть
A
x o
,
A
y
–
y b .
Тогда по правилам действий с матрицами справедливы равенства
A ( x y ) A x A
y o b b .
Лемма доказана. Лемма 6.7.3.
Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы (6.6.1) является частным решением однородной системы (6.6.1).
Доказательство.
Пусть
x
и
y
– частные решения неоднородной системы,
то есть A x b , A y b . Тогда по правилам действий с матрицами справедливы равенства
A ( x y ) A x A y b b o . Лемма доказана.
218
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечания 1.
Из лемм 6.7.1–6.7.3. следует, что общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной, и поэтому целесообразно вначале изучить вопрос о нахождении общего решения однородной системы линейных уравнений.
2. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку у нее есть, по крайней мере, одно частное, называемое тривиальным, решение, для которого все неизвестные имеют нулевое значение. 3. Поскольку частные решения системы линейных уравнений представимы в виде столбцов, то, используя операции сравнения, сложения и умножения на число для столбцов, а также лемму 6.7.1, можно ввести понятие линейной зависимости решений однородной системы линейных уравнений аналогично определению 6.5.4. Теорема 6.7.1.
Однородная система (6.6.1) имеет не менее n rg A линейно независимых частных решений.
Доказательство.
1. Рассмотрим вначале совместную неоднородную систему (6.6.1)
111 122 ... 1n n 1 , ... , 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... .......... .......... ....... m11 m 22 ... mn n m и предположим, что матрица базисного минора расширенной матрицы A| b , ранга r min{m, n 1} , расположена в левом верхнем углу последней.
219
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
По теореме 6.5.1 (о базисном миноре) последние m r уравнений являются линейными комбинациями первых r уравнений, и, следовательно, их можно отбросить, поскольку они будут тождественно удовлетворяться решениями первых r уравнений. В оставшихся уравнениях перенесем в правые части слагаемые, содержащие неизвестные r 1 , r 2 ,..., n , и получим упрощенный вид системы линейных уравнений (6.6.1)
111 12 2 ... 1r r 1 1r 1 r 1 ... 1n n , ... ... , 21 1 22 2 2r r 2 2 r 1 r 1 2n n .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... r11 r 2 2 ... rr r r r ,r 1 r 1 ... r , n n .
1 ,..., r называются основными (главными, зависимыми, базисными), а неизвестные r 1 ,..., n – свободныНеизвестные
ми (параметрическими, независимыми, небазисными). Присвоим свободным неизвестным некоторые конкретные значения r 1 1 ,..., n n r и рассчитаем по правилу Крамера (теорема 6.4.1) соответствующие им значения основных неизвестных:
j -й столбец
1 j det M
11 ...
nr
... 1 1, r k k
... 1r
...
...
k 1
nr
...
r1 ... r r , r k k k 1
где
j [1, r ] , а M – базисный минор.
... ,
... rr
(6.7.1)
220
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Заметим, что из соотношений (6.7.1), положив
k 0 ; k [1, n r ] , можно найти частное решение неоднородной системы (6.6.1). 2. Теперь рассмотрим однородную систему, положив в (6.6.1) все
i ; i [1, m] равными нулю. По линейному свойству определителей (теорема 6.2.3) получаем выражения для значений неизвестных: nr
j jk k , j [1, r ] ; k 1
(6.7.2)
r i i , i [1, n r ] , где
jk
11 ... 1,r k 1 det ... ... ... M r1 ... r ,r k
... 1r ... ... , ... rr
j [1, r ] , k [1, n r ] . j -й столбец Наконец, в матричной форме соотношения (6.7.2) могут быть записаны в виде
11 1 21 2 r1 r
12 22 r2
1, n r 2, n r r ,n r
r 1 r 2 n
(6.7.3)
221
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
1 11 2 21 r r1 или r 1 1 r 2 0 n 0
12 22 r2 0 1 0
1, n r 2, n r r ,nr 0 0 1
1 2 . n r
1 1 , 2 3 ... nr 0 , получим решение { 11 , 12 , ... , 1r , 1, 0, ... , 0 } . Аналогично при 1 0 , 2 1, 3 ... n r 0 найдем
3. Полагая
решение {1 , 2 , ... , r , 0 , 1, ... , 0} . И, продолжая этот процесс, получим на последнем шаге при 2
2
2
1 2 3 ... n r 1 0, n r 1 решение
{1n r , n2 r , ... , nr r , 0, 0, ... , 1} .
Полученные решения будем называть нормальными фундаментальными решениями. 4. Покажем теперь, что построенные n r частных решений однородной системы уравнений (6.6.1) являются линейно независимыми. Действительно, записав эти решения как строки, получим матрицу вида
11 12 ... 1n r
12 22 ... n2 r
... 1r ... 2r ... ... ... nr r
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 . ... 1
(6.7.4)
222
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Заметим, что ее ранг, с одной стороны, не меньше, чем n r , поскольку содержит ненулевой минор этого порядка, но, с другой стороны, не больше, чем число строк в этой матрице, равное n r , и потому ранг в точности равен n r, что доказывает линейную независимость построенных частных решений.
Теорема доказана. Определение 6.7.1.
Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений (6.6.1) называется совокупность любых n rg A
частных, линейно независимых решений однородной системы (6.6.1), где n – число неизвестных в системе (6.6.1), а A – ее основная матрица. Матрица (6.7.4) называется фундаментальной. Теорема 6.7.2.
Каждое частное решение однородной системы (6.6.1) может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих нормальную фундаментальную систему решений.
Доказательство.
{1 , 2 ,..., n } однородной системы (6.6.1). Рассмотрим матрицу размера (n r 1) n Пусть дано решение
1 11 12 ... 1n r
2 12 22 ... n2 r
... r ... 1r ... 2r ... ... ... nr r
r 1 1 0 ... 0
r 2 0 1 ... 0
... n ... 0 ... 0 , (6.7.5) ... ... ... 1
223
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
ранг которой, с одной стороны, очевидно, не меньше, чем n r . С другой стороны, первые r столбцов этой матрицы являются линейными комбинациями (заданными соотношениями (6.7.3)) последних n r столбцов. Действительно, эти соотношения, связывающие значения свободных и основных переменных, одни и те же для всех строк матрицы (6.7.5), и потому в этой матрице каждый из первых r столбцов есть линейная комбинация последних n r . Значит, ранг матрицы не n r , и, следовательно, равен в точности n r . превосходит Наконец, по теореме 6.5.1 − о базисном миноре, который располагается в последних r строках, первая строка матрицы (6.7.5) должна быть некоторой линейной комбинацией остальных, и, следовательно, общее решение однородной системы (6.6.1) может быть записано в виде
1 2 ... r r 1 r 2 ... n где
1
11
12
1n r
12 ... 1r 1 0 ... 0
22 ... 2r 0 1 ... 0
n2 r ... nr r , 0 0 ... 1
2
... n r
i i [1, n r ] – произвольные константы.
Теорема доказана. Следствие 6.7.1.
Общее решение неоднородной системы (6.6.1) может быть дано формулой
224
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1
11
12
2 ...
r 1 r 1 r 2 ... n
1 2
... 1r 1 0
2
... 2r 0 1
1n r
10
nr 2
02 ...
2 2
... ... n r
nr r 0 0
0r 0r 1 0r 2
...
...
...
...
0
0
1
0n
где
,
10 02 ... 0r 0r 1 0r 2 ... 0n
является некоторым частным решением неоднородной системы (6.6.1), а числа произвольные константы.
i i [1, n r ] –
Доказательство.
Пусть
x 0 – некоторое (найденное, например, подбором) ча-
стное решение неоднородной системы (6.6.1), а x – ее произвольное решение. Тогда по лемме 6.6.3 произвольное решение однородной системы (6.6.1)
y
представимо в виде
y x x 0 . Откуда получаем x y x 0 . Следствие доказано.
225
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Из теорем 6.7.1 и 6.7.2 непосредственно вытекает Следствие 6.7.2.
Для того чтобы однородная система (6.6.1) с n m имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы удовлетворял условию rg A n . В случае, когда основная матрица однородной системы (6.6.1) квадратная, условие существования нетривиального решения равносильно равенству
det A 0 .
Иное, полезное для приложений условие совместности системы линейных уравнений, дает Теорема 6.7.3 (Фредгольма).
Для того чтобы система (6.6.1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы каждое реше-
y 1
ние
2
... m
T
сопряженной
системы
111 21 2 ... m1 m 0, ... 0, 12 1 22 2 m2 m .......... .......... .......... .......... ....... 1n 1 2 n 2 ... mn m 0
A
(или в матричном виде m
летворяло условию ном виде
b
T
i 1
i
i
T
y o ) удов-
0 (или в матрич-
y 0 ).
Доказательство необходимости.
Пусть система уравнений (6.6.1) совместна, то есть для каждого ее решения
x
справедливо равенство b
A
x .
226
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
b
T
y в предположении, что
y ( A x )T y x
T
A
Тогда, вычисляя произведение
A
b
T T
y o , получаем T
y x
T
o 0
. Доказательство достаточности.
Пусть
b
T
y 0 для любого решения системы линейных A
уравнений
T
y o . Тогда общие решения систем ли-
нейных уравнений T
A
A и b
y o
T
y o ,
T
y 0
совпадают, и для этих систем максимальное число линейно независимых решений одинаково. Поэтому, согласно теоремам 6.7.1 и 6.7.2,
m rg A
T
A m rg b
T
или
rg A
T
A rg b
T
,
но поскольку ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, то имеет место равенство rg A rg A | b , означающее в силу теоремы 6.6.1 (Кронекера-Капелли) совместность системы линейных уравнений
A
x b .
Теорема доказана.
Альтернативное доказательство теоремы Фредгольма приведено в главе 10 (см. теоремы 10.6.4 и 10.6.5).
227
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
§ 6.8. Элементарные преобразования. Метод Гаусса Практическое применение теорем 6.7.3 и 6.7.4 затрудняется тем, что заранее, как правило, неизвестно, совместна ли решаемая система. Определение же рангов основной и расширенной матриц независимо от поиска решений оказывается весьма нерациональной (с точки зрения расходования вычислительных ресурсов) процедурой. Более эффективным вычислительным алгоритмом, позволяющим либо находить общее решение системы (6.6.1), либо устанавливать факт ее несовместности, является метод Гаусса. Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждое из которых не меняет общего решения системы уравнений. Под “наиболее простым” видом расширенной матрицы мы будем понимать верхнюю треугольную форму (т.е. случай, когда
ij 0
при i j ), для которой возможно рекуррентное нахождение неизвестных путем лишь решения на каждом шаге процедуры линейного уравнения с одним неизвестным. Ниже приведен пример матрицы размера
m n (n m) , имеющей верхнюю треугольную форму
a11
a12
a13
... a1, m 2
a1, m 1
a1, m
a1, m 1
...
a1n
0
a 22
a 23
... a 2, m 2
a 2, m 1
a 2, m
a 2, m 1
...
a 2n
0 ...
0 ...
a 33 ...
... a 3, m 2 ... ...
a 3, m 1 ...
a 3, m ...
a 3, m 1 ...
... ...
a 3n ...
0
0
0
...
0
a m 1, m 1
a m 1, m
0
0
0
...
0
0
a mm
.
a m 1, m 1 ... a m 1, n a m, m 1
...
a mn
К элементарным преобразованиям матрицы относятся: перестановка строк (перенумерация уравнений); перестановка столбцов основной матрицы (перенумерация неизвестных);
228
Аналитическая геометрия и линейная алгебра -
-
удаление нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями неизвестных); умножение строки на ненулевое число (нормирование уравнений); сложение строки с линейной комбинацией остальных строк с записью результата на место исходной строки (замена одного из уравнений системы следствием ее уравнений, получаемым при помощи линейных операций).
Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ранг ее матрицы) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций. Непосредственной проверкой можно убедиться, что элементарные преобразования любой матрицы могут быть выполнены при помощи умножения ее на матрицы следующего специального вида. Например: -
перестановка столбцов с номерами
m n осуществляется путем ее умножения справа на матрицу S 1 размера n n , которая в свою очередь получается из единичной матрицы n го порядка E путем перестановки в последней i -го и j -го столбцов; A
-
i и j матрицы
размера
i -й строки матрицы A на некоторое число 0 осуществляется путем умножения A слева на матрицу S 2 , которая получается из единичумножение
ной размера следней це) на
m m матрицы E
путем замены в по-
i -го диагонального элемента (равного едини-
;
229
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
-
сложение строк с номерами i и j матрицы A осуществляется путем ее умножения слева на матрицу
m n , которая получается из единичной матрицы порядка m E путем замены в последней нулевого элемента, стоящего в i -й строке и j -м столбце, на единицу (при этом результат суммирования окажется на месте i -й строки исходной матS
3
размера
A ).
рицы
В дальнейшем (см. теорему 8.4.3) будет показано, что если матрица
S
квадратная и невырожденная и возможно умножение матри-
цы S
Поскольку det S ранг
A , то справедливо равенство rg ( S A ) rg A .
на матрицу
A
1
1 , det S
2
0 и det S
3
1 , то
при рассмотренных выше преобразованиях не меняется.
Проверьте самостоятельно, что будут также справедливы следующие теоремы. Теорема 6.8.1.
Последовательное применение нескольких элементарных преобразований есть новое преобразование, которое имеет матрицу, являющуюся произведением матриц данных элементарных преобразований.
Теорема 6.8.2.
Если умножение матрицы матрицу
S
над строками
S
T
A
слева на квадратную
реализует некоторое преобразование
A , то умножение
A
справа на
реализует то же самое преобразование матрицы
A , но выполненное над ее столбцами.
230
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Отмеченные свойства элементарных преобразований позволяют в ряде случаев упрощать вычислительные процедуры с матричными
S
выражениями. Пусть, например,
есть матрица преобразования,
A
переводящего невырожденную матрицу преобразование с матрицей
E
в матрицу
рожденности
E
A
A 1
A
1
S
в единичную. Тогда
переведет единичную матрицу
E S
, поскольку в силу
A
и невы-
справедливы равенства
S
A
A
1
1
A
или
S
E .
Из этих соотношений следует, что вычисление произведения квадратных матриц
A
1
B
может быть сведено к последовательности
A | B (то есть матрицы,
элементарных преобразований матрицы
B к матрице
образованной добавлением столбцов матрицы
A
приводящих подматрицу
A ),
к единичной. В результате искомое
произведение оказывается на месте подматрицы
B .
Проиллюстрируем применение метода Гаусса на примере решения следующей системы линейных уравнений. Задача Решить систему уравнений: 6.8.1.
1 3 1 51
2
3
4
5
2 2
3
4
3 5
2,
2 4 2
2 3 3 3
2 4 3 4
6 5 5
7, 23, 12.
231
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений Решение.
1.
Составляем расширенную матрицу системы
1 1 1 1 3 2 0
2.
1
7
1 1 3 2
1 2 2
6
23
5 4 3 3
1
12
.
Приводим ее к верхнему треугольному виду. Для этого а)
преобразуем в нули все элементы первого столбца, кроме элемента, стоящего в первой строке. Например, для зануления элемента, стоящего во второй строке первого столбца, заменим вторую строку матрицы строкой, которая является суммой первой строки, умноженной на ( 3 ), и второй строки. Аналогично поступаем с четвертой строкой: ее заменяем линейной комбинацией первой и четвер-
той строк с коэффициентами ( 5 ) и 1 соответственно. Третью, естественно, не меняем: там уже имеется необходимый для верхнего треугольного вида ноль. В итоге матрица приобретает вид
1
1
1
1
1
7
0 1 2 2 6 23 0
1
2
2
6
23
;
0 1 2 2 6 23 б)
выполняем теперь операцию зануления элементов второго столбца, стоящих в его третьей и четвертой строках. Для этого третью строку матрицы заменяем суммой второй и третьей, а четвертую – разностью второй и четвертой. Получаем
232
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1
1
1
1
1
7
0 1 2 2 6 23
в)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
;
поскольку в данном конкретном случае элемент, расположенный в четвертой строке третьего столбца, оказался равным нулю, то приведение расширенной матрицы к верхнему треугольному виду завершено.
3. Полученная матрица является расширенной матрицей системы линейных уравнений, равносильной исходной системе. Ранг этой матрицы совпадает с рангом исходной. Потому заключаем, что а) система совместна, поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен 2 (по теореме 6.6.1 Кронекера–Капелли); б) однородная система уравнений будет иметь по теореме 6.7.1 n rg A 5 2 3 линейно независимых решения. 4. Поскольку общее решение неоднородной системы есть общее решение однородной плюс частное решение неоднородной, то нам достаточно найти три любых линейно независимых решения однородной системы и какое-нибудь одно решение неоднородной. Перепишем исходную систему в преобразованном виде, приняв первое и второе неизвестные за основные, а третье, четвертое и пятое – за свободные:
1
2 2
7 3 23 2 3
4 2 4
5 , (6.8.1) 6 5 .
233
Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений
Второе уравнение для удобства вычислений умножим на (1 ) , а третье и четвертое уравнения отбросим как удовлетворяющиеся тождественно. Положив в системе (6.8.1) свободные неизвестные равными
16 23 нулю, находим частное решение неоднородной системы
0 . 0 0
Значения основных неизвестных определяются из легко решаемой системы линейных уравнений
1
2 2
7, 23.
Для однородной системы
1
2 2
0 3 0 2 3
4 2 4
5 , 6 5
строим нормальную фундаментальную систему решений по схеме, использованной при доказательстве теоремы 6.7.1. Первое
1 2 независимое решение
1 находится из системы 0 0
1
2 2
1, 2.
234
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Аналогично получаются
1
5
2
6
0
и
0
1
0
0
1
– второе и третье ре-
шения. Окончательно общее решение исходной неоднородной системы в матричном виде может быть записано как:
1 1 2 2 3 1 1 4 0 5 0 Замечание:
2
1 5 2 6 0 3 0 1 0 0 1
16 23 0 0 0
1 , 2 , 3 .
поскольку существует свобода выбора как частного решения неоднородной системы, так и линейно независимых решений однородной, то общее решение неоднородной системы может быть записано в различных, но, естественно, равносильных формах.
235
Г л а в а 7 . Линейное пространство
Глава 7
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО § 7.1. Определение линейного пространства Определение 7.1.1.
Множество , состоящее из элементов x, y , z , , для которых определена операция сравнения1, называется линейным пространством, если 1.
Каждой паре элементов x, y этого множества поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый их «суммой» и обозначаемый x нены аксиомы
y , таким образом, что выпол-
x y yx; б) x ( y z ) ( x y ) z ; а)
в) существует нулевой элемент
o , та-
кой, что для любого x имеет место x o x ; г) для каждого x существует проти x , такой, воположный элемент что
1
x x o.
Эта операция дает возможность устанавливать факты «равенства
x и y» ( x y ) элементов принадлежащих множеству . x
и y»
( x y)
или «неравенства
для любой пары двух
236
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2.
Для любого элемента x и любого числа существует такой принадлежащий элемент, обозначаемый x и называемый «произведением числа на элемент», что выполнены аксиомы:
1x x ; б) ( ) x ( x ) . а)
3.
Для операций сложения элементов и умножения элемента на число выполнены аксиомы дистрибутивности:
( ) x x x ; б) ( x y ) x y x, y ; и для любых чисел , . а)
Замечания:
1. 2.
Пример 7.1.1.
Под “числами” в аксиомах второй и третьей групп подразумеваются действительные или комплексные числа. Первая группа аксиом равносильна требованию, чтобы являлось абелевой группой относительно операции сложения (см. § 5.6).
Линейным пространством является 2: 1. Множество всех векторов на плоскости. 2. Множество всех векторов в пространстве. 3. Множество всех
n -компонентных столбцов.
4. Множество всех многочленов степени не выше, чем n . 5. Множество всех матриц размера
2
m n .
Предполагается, что операции сложения и умножения на число выполняются в соответствии с ранее данными определениями.
237
Г л а в а 7 . Линейное пространство
6.
Задача 7.1.1.
C[, ] – множество всех функций, непрерывных на [, ] .
7. Множество всех решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Показать, что в общем случае множество радиусоввекторов точек, принадлежащих плоскости
( n, r ) ,
не является линейным пространством. Выяснить, при каких значениях параметра линейным пространством.
данное множество будет
Задача 7.1.2.
Показать, что множество, состоящее из одного нулевого элемента, является линейным пространством.
Задача 7.1.3.
Будет ли линейным пространством множество всех по-
Решение.
ложительных чисел R ? Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число элементов рассматриваемого множества. 1. Пусть операции вводятся “естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент. 2. Если же операцию “сложения” определить как обычное произведение двух чисел, а “умножение
на x ” определить как возведение положительного числа x в степень R : числа
x y » : «умножение x » : «сложение
x y ; x 0, y 0 , x ; x 0,
то множество положительных чисел будет являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента играет число “1”.
238
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 7.1.1.
Линейное пространство имеет единственный нулевой элемент.
Доказательство.
Пусть существуют два различных нулевых элемента o1 и o2 . Тогда, согласно аксиоме 1(в) из определения 7.1.1 линейного пространства, будут справедливы равенства
o1 o2 o1
и o2 o1 o2 . Откуда в силу аксиомы 1а) − коммутативности операции сложения, получаем o1 o2 . Теорема доказана. Теорема 7.1.2.
x линейного пространства имеет место равенство 0 x o . Для каждого элемента
Доказательство.
Из аксиоматики линейного пространства имеем
x = 1x = (0 + 1) x = 0 x + 1x = 0 x + x. Прибавляя к обеим частям равенства x = 0 x + x элемент x , противоположный элементу x , получаем, что 0x o . Теорема доказана. Теорема 7.1.3.
Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент.
Доказательство.
x существуют два различных противоположных элемента y1 и y 2 . Тогда, согласно аксиоме 1(г) лиПусть для элемента нейного
пространства,
будут
справедливы
равенства
x y1 o и x y 2 o . Прибавим к обеим частям первого равенства элемент y 2 , получим
239
Г л а в а 7 . Линейное пространство
y 2 ( x y1 ) y 2 в силу ассоциативности операции сложения и второго равенства. Но, с другой стороны,
y 2 ( x y1 ) ( y 2 x ) y 1 o y 1 y1 , то есть y 2 y1 . Теорема доказана. Теорема 7.1.4.
x противоположным элементом служит элемент x (1) x . Для каждого
Доказательство.
Из аксиоматики линейного пространства и в силу теорем 7.1.2– 7.1.3 имеем
o = 0 x = (1 1) x = 1x + (1) x = x + (1) x . Это равенство и означает, что противоположный к x элемент имеет вид x (1) x . Теорема доказана.
§ 7.2 Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве n
Определение 7.2.1.
1. Выражение
i 1
i
xi
комбинацией элементов го пространства
.
называется
линейной
x1, x2 ,..., x n линейно-
2. Элементы x1 , x 2 ,... , x n линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,..., n , не равные нуn
лю одновременно, такие, что
i 1
i
xi o .
240
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 3. Элементы x1 , x 2 ,... , x n линейного пространства называются линейно независимыми, есn
ли из равенства
i 1
i
xi o следует, что
1 2 ... n 0 . Лемма 7.2.1.
Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1, в котором слово “вектор” заменено словом “элемент”. Лемма 7.2.2.
Если некоторое подмножество множества элементов
x1 , x 2 ,... , x n линейно зависимо, то линейно зависимы и сами элементы x1 , x 2 ,... , x n .
Доказательство.
Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых
k n элементов
множества x1 , x 2 ,... , x n . Тогда существуют не равные нулю одновременно числа 1 , 2 ,..., k , такие, что
k
i 1
Но это равенство можно записать в виде k
n
x 0x i 1
i
i
i k 1
i
o,
что и доказывает линейную зависимость элементов
x1 , x 2 ,... , x n . Лемма доказана.
i
xi o .
241
Г л а в а 7 . Линейное пространство Определение 7.2.2.
Базисом в линейном пространстве называется любой упорядоченный набор его n элементов, если 1) эти элементы линейно независимые; 2) любое подмножество в , содержащее
n 1 элемент, включая эти тов, линейно зависимое.
Определение 7.2.3.
Линейное пространство
называется n -мерным и
обозначается , если в нем существует базис, состоящий из n элементов. Число n называется разn
мерностью линейного пространства ется Теорема 7.2.1.
n элемен-
n и обознача-
dim( n ) .
Для каждого элемента линейного пространства существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов. n
Доказательство.
Пусть
в
линейном
n
пространстве
заданы
базис
{g1 , g 2 ,..., g n } и произвольный элемент x . Тогда по определению базиса система элементов {g1 , g 2 ,..., g n , x} линей-
0 , 1 , 2 ,..., n
но зависима, то есть существуют числа
такие,
n
что
0 x i g i o , где число 0 0 в силу линейной i 1
независимости базисных элементов. Поэтому n
(
x i 1
i
0
)g
i
и существование разложения, таким образом, доказано. Покажем теперь единственность разложения. Допустим, что существуют две различные линейные комбинации n
n
i 1
i 1
x i gi и x i gi .
242
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Тогда, вычитая эти равенства почленно, получаем, что n
( i 1 n
i 1
i
i ) g i o , но это означает, что в предположении
i
i 0 система элементов g1 , g 2 ,..., g n линейно
зависима, а это противоречит определению базиса. Теорема доказана.
В общем случае линейное пространство может не иметь базиса. Таким свойством обладает, например, линейное пространство, состоящее из одного нулевого элемента. В таблице 7.2.1 приведены примеры базисов в линейных пространствах. Таб л и ц а 7 . 2 . 1
Примеры базисов в линейных пространствах Линейное пространство
Размерность
Множество всех векторов на плоскости
2
Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости.
Множество всех векторов в пространстве
3
Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов.
Множество всех n -компонентных столбцов
n
n cтолбцов вида 1 0 0 1 ; ; ... ; ... ... 0 0
Пример базиса
0 0 ... 1
..
243
Г л а в а 7 . Линейное пространство
Множество всех алгебраических многочленов степени не выше, чем
n 1
n 1 одночлен вида P1 () 1 ; P2 () ; P3 () 2 ; P4 () 3 ;
n
... ; Pn () n1 ; Pn1 () n .
Множество всех матриц размера m n
nm
Множество всех функций, непрерывных
n m всевозможных различных матриц размера m n , все элементы которых равны нулю, кроме одного, равного 1. Базис не существует3.
на [, ]
Множество решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными и рангом основной матрицы, равным
nr
Нормальная фундаментальная система решений.
r
3
В этом линейном пространстве (вопреки определению 7.2.2) для любого натурального n можно построить линейно независимый набор, состоящий из
n 1 элемента. Например, множество функций вида { 1, , 2 , , n } .
244
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 7.3. Подмножества линейного пространства Подпространство Определение 7.3.1.
Непустое множество , образованное из элементов линейного пространства , называется подпространством этого линейного пространства, если для любых
Замечание:
Пример 7.3.1.
x, y и любого числа 1) x y , 2) x .
из определения 7.3.1 следует, что множество само является линейным пространством, поскольку для него, очевидно, выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве. 1. Множество радиусов-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством во множестве радиусов-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства. 2. Множество всех многочленов степени не выше, чем n , есть подпространство в линейном пространстве непрерывных на [, ] функций.
3. В пространстве n -мерных столбцов совокупность решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей ранга r образует подпространство размерности n r . 4. Подпространством любого линейного пространства будет: а) само линейное пространство; б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.
245
Г л а в а 7 . Линейное пространство Определение 7.3.2.
Пусть даны два подпространства пространства
. Тогда
1 и 2 линейного
1 и 2 называется множество элементов x , таких, что x 1 либо x 2 . Объединение под1 и 2 обозначается пространств 1 2 .
1. Объединением подпространств
1 и 2 называется множество элементов x , принадлежащих 1 и 2 одновременно. Пересечение подпространств 1 и 2 обозначается 1 2 .
2. Пересечением подпространств
1 и 2 называется совокупность всех элементов x1 x 2 при условии, что x1 1 и x 2 2 . Сумма подпространств 1 и 2 обозначается 1 2 .
3. Суммой подпространств
4. Прямой суммой подпространств 1 и 2 называется совокупность всех элементов
x1 x 2 при условии, что x1 1 и x2 2 и 1 2 {o} . Прямая сумма обозначается 1 2 . Покажите самостоятельно, что справедлива
246
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 7.3.1.
Как сумма, так и пересечение подпространств
Теорема 7.3.2.
Размерность суммы подпространств равна
1 и
2 в суть также подпространства в . 1 и 2
dim(1 2 )
dim(1 ) dim( 2 ) dim(1 2 ). Доказательство.
1. Пусть
подпространство
1 2
имеет
базис
{g1 , g 2 ,..., g k } и соответственно размерность k . Дополним этот базис элементами {g1 , g 2 ,..., g l } до базиса в 1 и элементами {g1, g 2 ,..., g m } до базиса в 2 . В этом случае каждый элемент x 1 2 может быть разложен по системе элементов
{g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } .
2. Покажем теперь, что набор элементов
{g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } линейно независим в . Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, линейную комбинацию этих элементов: l
k
m
i 1
j 1
p 1
i g i j g j p g p o . m
~ Заметим, что по построению x p g p 2 , p 1
(7.3.1)
247
Г л а в а 7 . Линейное пространство
но, с другой стороны, этот же элемент m
l
k
p 1
i 1
j 1
~ x p g p ( i g i j g j ) 1 .
~ Это означает, что x 1 2 и, следовательно, в равенстве (7.3.1) все
i 0 , i [1, l ] ;
p 0 , p [1, m] .
{g1, g 2 ,..., g k } – базис в 1 2 , то и все j 0, j [1, k ] , и линейная комбинация, стоящая в левой
А поскольку
части равенства (7.3.1), тривиальная. Следовательно,
{g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m }
– линейно независимая система элементов. 3. Из пункта 2 следует, что набор элементов
{g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } является базисом в 1 2 . Размерность подпространства 1 2 при этом равна dim(1 2 ) l k m (k l ) (k m) k dim(1 ) dim( 2 ) dim(1 2 ).
Теорема доказана. Следствие 7.3.1.
В случае прямой суммы подпространств
dim(1 2 ) dim(1 ) dim( 2 )
x (1 2 ) представим в виде x1 x2 так, что x1 1 и x 2 2 , единственным
и каждый элемент
образом, поскольку набор элементов
{g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } является базисом в 1 2 .
248
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Линейная оболочка системы элементов Определение 7.3.3.
Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества элементов
{ x1, x2 ,..., xk }
линейного пространства называется линейной оболочкой этого множества и обозначается
L {x1 , x 2 ,..., x k } . Пример 7.3.2.
Множество многочленов степени не выше, чем n , является линейной оболочкой набора одночленов
{1, , 2 ,..., n } в линейном пространстве непрерывных на [, ] функций. Пусть задан набор элементов {x1 , x 2 ,..., x k } , порождающих линейную оболочку
L{x1, x2 ,..., xk } , тогда любой элемент этой лиk
нейной оболочки имеет вид x i xi и справедлива i 1
Теорема 7.3.3.
Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке L{x1, x 2 ,..., xk } , является в подпространством размерности m , где m – максимальное число линейно независимых элементов в наборе
{x1, x2 ,..., xk } . Доказательство.
1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокупk
ности элементов вида x i x i (в предположении, что i 1
i − произвольные числа) справедливы все аксиомы из
249
Г л а в а 7 . Линейное пространство
определения 7.1.1, то есть рассматриваемая линейная оболочка является линейным пространством. 2.
Пусть максимальное число линейно независимых элементов в наборе {x1 , x2 ,..., xk } равно m k . Без ограничения общности можно считать, что этими элементами являются
x1, x2 ,..., xm . Тогда m
x j ji xi ;
j [m 1, k ]
i 1
и любой элемент линейной оболочки может быть представлен в виде линейной комбинации элементов x1 , x 2 ,..., x m . 3. Покажем теперь, что любой набор из l ( l m ) элементов данной линейной оболочки будет линейно зависимым. Для этого выберем l элементов y1 , y 2 ,..., y l , принадлежащих линейной оболочке, и выразим их через элементы x1 , x 2 ,..., x m , получим m
y j ji xi ;
j [1, l ].
i 1
Приравняем нулевому элементу произвольную линейную комбинацию выбранного набора y1 , y 2 ,..., y l : l
l
m
m
l
j 1
j 1
i 1
i 1
j 1
j y j j ji xi ( ji j ) xi o . x1 , x2 ,..., xm линейно независимы, то
Поскольку элементы
коэффициенты i должны удовлетворять следующей однородной системе линейных уравнений l
j 1
ji
j 0 , i [1, m].
Пусть ранг ее основной матрицы равен
r.
250
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Поскольку
r m , то эта система имеет (по теореме 6.7.1) l r l m0
линейно независимых, и следовательно, ненулевых решений. Принимая во внимание, что l и другу натуральные числа, получаем
m − не равные друг
l m 1,
то есть существует нетривиальная линейная комбинация элементов
y1 , y 2 , ..., y l , равная o .
Теорема доказана.
Гиперплоскость Определение 7.3.4.
, образованное из элементов вида x x0 , где x0 есть произвольный фиксированный элемент линейного пространства , а x – любой элемент некоторого подпространства , назыМножество
вается гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве . Замечания.
1. 2.
В общем случае гиперплоскость не является подпространством. Если dim() перплоскости.
k , то говорят о k -мерной ги-
Например, общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений с n неизвестными является гиперплоскостью в линейном пространстве n -компонентных столбцов. Задача Показать, что если элементы x и y принадлежат 7.3.1. некоторой гиперплоскости , то ей будет принадлежать и элемент бое число.
z x (1 ) y , где – лю-
251
Г л а в а 7 . Линейное пространство
§ 7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении Определение 7.4.1.
Коэффициенты
1 , 2 ,..., n разложения по базису n
x i gi i 1
называются координатами (или компонентами) элемента
x линейного пространства n в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } .
Заметим, что в силу теоремы 7.2.1 элемент
x линейного про-
странства в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } однозначно представляется n -компонентным столбцом, называемым координатным представn
лением элемента
x в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } : 1 x g 2 . ... n
В базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента n
линейного пространства му.
n при переходе от одного базиса к друго-
n даны два базиса: “старый” {g1 , g 2 ,..., g n } и “новый” {g1 , g 2 ,..., g n } с соответствующими координатными разложениями Пусть в
элемента
n
n
i 1
i 1
x : x i g i и x i g i .
252
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”: n
g j ij g i ; j [1, n].
(7.4.1)
i 1
Определение 7.4.2.
S , j -й (j [1, n]) столбец которой
Матрица
состоит из коэффициентов ij координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса
{g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } .
Отметим, что это определение является обобщением определения 1.8.2 и что справедлива Теорема 7.4.1.
1 , 2 ,..., n и 1 , 2 ,..., n связаны со-
Координаты
n
отношениями
i ij j i [1, n] , называеj 1
мыми формулами перехода, где коэффициенты
ij –
элементы матрицы перехода S . Доказательство.
В силу соотношений (7.4.1) будут справедливы равенства n
n
n
n
n
n
j 1
j 1
i 1
i 1
j 1
i g i x j g j j ij g i ( ij j ) g i i 1
n
или
n
( i 1
i
j 1
ij
j ) g i o .
253
Г л а в а 7 . Линейное пространство
Но если линейная комбинация линейно независимых (в данном случае базисных) элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что n
i ij j
i [1, n] .
j 1
Теорема доказана.
Заметим, что если столбец элементов “нового” базиса выражается через столбец элементов “старого” при помощи умножения слева на T
транспонированную матрицу перехода S , то координатный столбец в “старом” базисе равен произведению матрицы перехода на координатный столбец в “новом” базисе. Действительно, рассматривая столбцы x g и лах перехода как двухиндексные матрицы, получаем n
i1 ij j1
x
g
в форму-
i [1, n] ,
j 1
что равносильно равенству
x
g
S
x
g
(см. § 5.1).
Используя аналогичный прием, также и соотношения (7.4.1) можно записать в матричном виде
g1 g 2 ... g n
g1 S
T
g2 ... gn
или g1 g 2 ... g n g1 g 2 ... g n S . В заключение выясним, как операции с элементами линейного пространства выполняются в координатной форме.
254
Аналитическая геометрия и линейная алгебра n
n
i 1
i 1
x i g i и y i g i , тогда в
Пусть в конкретном базисе
силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут справедливы следующие соотношения: 1. Для операции сравнения: два элемента в n
тогда, когда
i 1
n равны тогда и только
n
i
gi x y i gi , i 1
или в координатной форме
x y
x
g
y
g
.
n
2. Для операции сложения:
x y ( i i ) g i , i 1
или в координатной форме
x y
g
x
g
y g.
3. Для операции умножения на число: n
n
i 1
i 1
x i g i ( i ) g i , или в координатной форме
x
g
x
g
.
Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.
§ 7.5. Изоморфизм линейных пространств Рассмотрим два линейных пространства: множество многочленов
P2 () степени не выше, чем 2, и множество векторов трехмерного геометрического пространства.
255
Г л а в а 7 . Линейное пространство
Операции сложения многочленов и их умножения на число выглядят следующим образом:
(1 2 3 2 ) (1 2 3 2 ) (1 1 ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) 2 , (1 2 3 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2 . Те же операции с трехмерными векторами в координатной форме в свою очередь записываются так:
1
1
1 1
2 2 2 2 ; 3 3 3 3
1
1
2 2 . 3 3
Сопоставляя эти записи, можно заключить, что природа данных множеств не играет роли, когда исследуются их характеристики, связанные только с операциями сравнения, сложения и умножения на число. Отмеченное свойство линейных пространств носит название изоморфизма. Более точно его описывает Определение 7.5.1.
Два линейных пространства 1 и 2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение
Fˆ : 1 2 , такое, что для и
x, y 1 , Fˆ ( x y ) Fˆx Fˆy ; 2. Fˆ ( x ) Fˆ x. 1.
Отображение F называется изоморфизмом линейных пространств
1 и 2 .
Напомним, что отображение F является взаимно однозначным (биективным), если разные элементы из
1 имеют в 2 разные об-
256
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
образы (инъективность F ), а каждый элемент из зом некоторого элемента из Теорема 7.5.1 (об изоморфизме).
2 является обра-
1 (сюръективность F ).
Два линейных конечномерных пространства
1
и 2 изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.
Доказательство.
dim( 1 ) dim( 2 ) . Принимая за изоморфизм отображение, при котором каждому элементу x 1 ставится в соответствие элемент из 2 , имеющий те же самые коорди-
1. Пусть
наты, и используя правила операций с элементами в координатном представлении, приходим к заключению об изоморфности линейных пространств
1 и 2 .
n dim( 1 ) dim( 2 ) m , а пространства 1 и 2 изоморфны. Возьмем в 1 некоторую линейную комбинацию n линейно независимых элементов,
2. Допустим теперь, что
равную нулевому элементу. Эта линейная комбинация обязана быть тривиальной. В пространстве 2 эта же линейная комбинация образов выбранных элементов будет также равняться нулевому элементу, поскольку в силу определения 7.5.1 нулевой элемент переходит в нулевой элемент. При этом образы выбранных элементов обязаны быть в 2 линейно зависимыми (поскольку мы предположили, что n m ) и, следовательно, рассматриваемая линейная комбинация может быть нетривиальной. Полученное противоречие показывает ошибочность предположения о том, что n m . Аналогичные рассуждения в предположении, что n также приводят к противоречию, и следовательно n m . Теорема доказана.
m,
257
Г л а в а 7 . Линейное пространство Пример 7.1.2.
Изоморфизм одномерных пространств вещественных чи
сел R и всех положительных чисел R (с операциями, определенными в условии задачи 7.1.3) задается при помощи функций x x ln( y ) и .
y e ; x R; y R
Очевидным следствием теоремы 7.5.1 является изоморфизм любо-
го линейного n -мерного пространства и линейного пространства n -компонентных столбцов, позволяющий убедиться в справедливоn
сти свойств столбцов, установленных в §§ 6.5–6.7 для каждого
n .
Действительно, имеет место Теорема 7.5.2.
Максимальное число линейно независимых элементов в любом конечном наборе элементов из равно рангу матрицы, столбцы которой содержат координаты элементов данного набора в некотором базисе. n
Доказательство.
Следует из изоморфности линейного пространства и линейного пространства всех n -компонентных столбцов, а также из теоремы 6.5.3 (о ранге матрицы). n
Следствие 7.5.1.
k элементов в n линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, столбцы которой содержат координаты этих элементов в некотором базисе, меньше, чем min{n, k } .
Следствие 7.5.2.
Матрица перехода невырожденная, то есть
det S 0 .
Доказательство.
Предположим противное, det S 0 , тогда rg S n и столбцы матрицы перехода линейно зависимые.
258
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
g1 , g 2 ,..., g n , что противоречит условию о том, что {g1 , g 2 ,..., g n } – базис. Но тогда будут зависимыми и элементы
Следствие доказано.
Отметим также, что факт равенства или неравенства двух элементов в координатной форме можно проверять в любом базисе, по-
S
скольку в силу невырожденности матрицы ведливыми соотношения
x
g
y
g
Следствие 7.5.3.
S
x
g
S
Существует матрица рице перехода цей перехода.
y
g
оказываются спра-
T S
1
x
g
x
g
.
, обратная мат-
S , называемая обратной матри-
Для обратной матрицы перехода справедливы соотношения
g1 g2 T ... gn
g1
T
g1 g 2 и ... g n
x
g
g 2 g n g1
T
x
g
, следующие из равенств
g2 gn S ,
и теоремы 7.4.1. Кроме того, очевидно, что Пусть в
x
g
S x
g
det S det T 1 .
n задан базис {g1 , g 2 ,..., g n } , в котором координатное n
разложение элементов представляется в виде x i g i . Тогда i 1
имеет место
259
Г л а в а 7 . Линейное пространство Следствие 7.5.4.
Каждая однородная линейная система уравнений с n неизвестными n
i 1
ji
m линейных
i 0 , j [1, m]
определяет некоторое подпространство
в n .
Доказательство.
Следует из того факта, что данное подпространство в силу теоремы 6.7.2 является линейной оболочкой нормальной фундаментальной системы решений системы линейных уравнений n
i 1
ji
i 0 , j [1, m] , а n изоморфно линейному про-
странству
n -компонентных столбцов 1
2
... n
T
.
Таким образом, каждое подпространство в n может быть задано либо однородной системой линейных уравнений, либо как линейная оболочка базиса подпространства – фундаментальной системы ее решений. Также справедливо Следствие 7.5.5.
Каждая совместная неоднородная линейная система m линейных уравнений с n неизвестными n
i 1
ji
i j , j [1, m]
определяет некоторую гиперплоскость
в n .
Доказательство.
Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4.
260 Задача 7.5.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Проверить, что элементы
g1 , g 2 , g3 образуют базис в
и найти координатное представление элемента x в этом базисе, если в некотором исходном базисе: 3
1
1
x 3 , g1 1 , g 2 1 1 Решение.
1.
2 1
и
g3
0
Для того чтобы из элементов
3 0
.
1
g1 , g 2 , g3 можно бы-
ло образовать в базис, необходимо и достаточно (определение 7.2.2), чтобы эти элементы были линейно независимыми. По следствию 7.5.1 данное ус3
ловие в
3 равносильно неравенству 1 2 3
rg 1 1 0 3 , 1 0 1 которое выполняется, поскольку
1 2 3 det 1 1 0 4 0 . 1 0 1 2.
Обозначим искомые координаты элемента
1 , 2 , 3 . Тогда x координатной форме
1
1
x через
1 g1 2 g 2 3 g 3 , или в
2
3
3 1 1 2 1 3 0 . 1 1 0 1
261
Г л а в а 7 . Линейное пространство
3.
Использовав условие равенства двух элементов в координатной форме, получим систему линейных уравнений
1 2 2 3 3 1, 3, 1 2 3 1, 1 решив которую (например, по правилу Крамера – теорема 6.4.1 или методом Гаусса – § 6.8), получим
1 2, 2 1, 3 1 . Откуда следует, что элеx в базисе { g , g , g }, имеет координатное мент 1 2 3 представление
2 x
Задача 7.5.2.
g
1 . 1
Найти матрицу перехода от базиса в
3 , образованного
элементами {g1 , g 2 , g 3 } , к базису {g1, g 2, g 3} , если в некотором исходном базисе:
1 g1 1 , 1
2 g 2 1 , 0
16 g 2 5 и g 3 6
22 7 . 8
3 g 3 0 1
7 ,
g1 3 , 3
262 Решение.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1.
Пусть x , x и x обозначают координатные столбцы элемента x в трех базисах: исход-
ном, и {g1 , g 2 , g 3 } {g1, g 2, g 3} соответственно. Тогда (по определению 7.4.2 и в силу теоремы 7.4.1) имеют место равенства
x G где матрицы
x
и
и
F
G
x F
x ,
составлены из коорди-
натных столбцов базисных элементов {g1 , g 2 , g 3 } и {g1, g 2, g 3} , то есть
1
2
G 1 1
1 0
3
7 0 и F 3 3 1
Обозначим через
S
16 5 6
22 7 . 8
матрицу перехода от базиса
{g1 , g 2 , g 3 } к базису {g1, g 2, g 3} , для которой
x S и x F
x . Но из условий x G x следует, что x G
поскольку матрица ная. Тогда
S
x
1
F
x ,
G , очевидно, невырожден-
x G
1
F
x
для любого
элемента x , а это в силу леммы 5.1.2 означает, что искомая матрица перехода
S G
1
F .
263
Г л а в а 7 . Линейное пространство
2.
Подсчитав произведение
1 2 3 1 1 0 1 0 1
1
7 3 3
16 5 6
22 7 , 8
используя, например, схему, описанную в § 6.8, для выражений вида G
1
F
, получаем
2 3 4 S 1 2 3 . 1 3 4
Задача 7.5.3.
В линейном пространстве многочленов степени не выше, чем 3, найти базис и размерность пересечения двух линейных оболочек элементов:
x1 () 1 2 2 3 3 , x 2 () 1 8 6 2 5 3 , x 3 ( )
10 5 2 8 3
y1 () 1 4 2 5 3 , и
y 2 () 3 2 6 2 3 3 , y 3 ( ) 4 2 5 2 8 3 .
Решение.
1.
По теореме 7.4.1 каждая из линейных оболочек является подпространством. Первое из них зовано элементами вида
x 1 x1 2 x2 3 x3 ,
1 обра-
264
Аналитическая геометрия и линейная алгебра а второе
2 – соответственно элементами y 1 y1 2 y 2 3 y3 .
Составим однородные системы линейных уравнений, задающих эти подпространства4 (см. следствие 7.5.4). Пусть каждое из уравнений этих систем имеет вид
1 2 3 4
1 2 0. 3 4
Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между 1 и пространством четырехкомпонентных столбцов вида
1 2 1 3 4
1 1 0 2 8 10 2 3 , 1 6 5 3 5 8
1 , 2 , 3 – любые числа, приходим к условию 1 2 1 2 3 4 3 4
где
1 1 0 2 8 10 1 2 3 4 ( 1 2 3 )0, 1 6 5 3 5 8
4
Для этой цели можно также использовать теорему 6.6.1 (КронекераКапелли). См. решение задачи 8.4.1 (пункт 2º).
265
Г л а в а 7 . Линейное пространство
которое будет выполняться при любых
1 , 2 , 3 ,
если числа 1 , 2 , 3 , 4 образуют решение следующей системы линейных уравнений:
1 2 2 3 3 4 0, 1 8 2 6 3 5 4 0, 10 2 5 3 8 4 0. Решив эту систему, например, по схеме, описанной в § 6.8, получим общее решение в виде
1 4 7 2 1 4 1 2 ; 1 , 2 3 2 0 4 0 5 откуда заключаем, что существует два независимых набора искомых чисел 1 , 2 , 3 , 4 , и, следовательно, однородная система линейных уравнений, задающая подпространство 1 имеет вид
0, 4 1 2 2 3 5 4 0. 7 1 4 2 Аналогично строим однородную систему линейных уравнений, задающую 2 :
221 9 2 14 3 111 6 2
0, 7 4 0.
Наконец, подпространство 1 2 ваться системой
будет зада-
266
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
41 2 2 3 7 4 1 2 22 9 1 2 14 3 111 6 2
0, 5 4 0, 0, 7 4 0,
общее решение которой есть
1 2 2 6 1 , 3 7 4 2 и,
следовательно,
для
1 2
имеем
dim( 1 2 ) 1 и базис, состоящий из одного 2 элемента
6 7 2
.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
267
Глава 8
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 8.1. Линейные операторы Определение 8.1.1.
Пусть каждому элементу x линейного пространства поставлен в соответствие единственный элемент
y линейного пространства . Тогда говорят, что в задан оператор, действующий в и имеющий
значения в
y Aˆ x .
, действие которого обозначается как
При этом элемент y называется образом элемента x , а элемент x – прообразом элемента y . Как и в § 5.2, операторы подразделяются на отображения, если
, и преобразования, если . В дальнейшем, за исключени
ем особо оговоренных случаев, будет предполагаться, что из контекста ясно, идет ли речь об отображении или о преобразовании. Определение 8.1.2.
Оператор y Ax называется линейным, если для любых x, x1 , x2 и любого числа равенства
имеют место
1. A( x1 x 2 ) Ax1 Ax 2 и 2.
Aˆ ( x) Aˆ x .
268 Пример 8.1.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило
1 a 11 2 a 21 связывающее вектор-прообраз
образом
y
a12 1 , a22 2 x
1 2
с вектором-
1 . 2
2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производную функцию. 3. В пространстве непрерывных функций f () линейным оператором является операция умножения непрерывной функции на независимую переменную . Задача 8.1.1. Задача 8.1.2.
Доказать, что операторы в примерах 1, 2 и 3 являются линейными. Является ли линейным оператор A , ставящий каждому элементу
a ?
Решение.
x в соответствие фиксированный элемент
a o , то Aˆ – линейный оператор. ˆ линейный, то, с одной стоДействительно, если оператор A роны, x, y Aˆ (x y ) Aˆ x Aˆ y a a ( )a, Если элемент
но, с другой,
, : Aˆ (x y ) a
a ( ) a
a o.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
§ 8.2. Действия с линейными операторами Определение 8.2.1.
Линейные операторы A и B называются равными
Aˆ Bˆ ), если x : Aˆ x Bˆ x .
(что обозначается как
Суммой линейных операторов A и B называется
B , ставящий кажоператор C , обозначаемый A дому элементу x линейного пространства Λ в соот Bx . ветствие элемент Ax Лемма 8.2.1.
Сумма двух линейных операторов является линейным оператором.
Доказательство.
x, y и ; – числа, а C A B , тогда Cˆ ( x y ) Aˆ ( x y ) Bˆ ( x y ) Aˆ x Aˆ y Bˆ x Bˆ y
Пусть
( Aˆ x Bˆ x) ( Aˆ y Bˆ y ) ( Aˆ Bˆ ) x ( Aˆ Bˆ ) y Cˆ x Cˆ y. Лемма доказана. Определение 8.2.2.
Определение 8.2.3.
Нулевым оператором O называется оператор, ставящий каждому элементу x линейного пространства в соответствие нулевой элемент этого линейного пространства. Оператором, противоположным оператору
Aˆ , на-
ˆ , ставящий зывается оператор, обозначаемый A x каждому элементу линейного пространства в соответствие элемент
( Aˆ x) .
269
270
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Из решения задачи 8.1.2 следует, что нулевой оператор линейный. Покажите самостоятельно, что оператор противоположный любому линейному оператору также линейный. Лемма 8.2.2.
Для любых линейных операторов A , B и C выполняются соотношения
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ; ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ ( Bˆ Cˆ ) ; Aˆ Oˆ Aˆ ; Aˆ ( Aˆ ) Oˆ . Доказательство.
Справедливость утверждения леммы непосредственно вытекает из определений 8.2.1 − 8.2.3 и аксиоматики линейного пространства. Определение 8.2.4.
Лемма 8.2.3.
на линейный оператор A ˆ , ставящий называется оператор, обозначаемый A x каждому элементу линейного пространства в ˆ x) . соответствие элемент ( A Произведением числа
Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором, для которого выполняются соотношения
( Aˆ ) () Aˆ ; 1Aˆ Aˆ ; ( ) Aˆ Aˆ Aˆ ; ( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ . Доказательство.
Утверждение леммы проверяется непосредственно. Например, для третьего равенства имеем
x : ( ) Aˆ x Aˆ (( ) x) Aˆ (x x) Aˆ x Aˆ x .
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Теорема 8.2.1.
Множество всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве , является линейным пространством.
Доказательство.
Следует из определений 7.1.1, 8.2.1–8.2.4 и лемм 8.2.1, 8.2.2. Определение 8.2.5.
Теорема 8.2.2.
Произведением линейных операторов A и B назы-
Aˆ Bˆ , ставящий каждому элементу x линейного пространства в соотˆ ( Bˆ x ) . ветствие элемент A вается оператор, обозначаемый
Произведение линейных операторов является линейным оператором, для которого справедливы соотношения
Aˆ ( Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ )Cˆ ; Aˆ ( Bˆ Cˆ ) Aˆ Bˆ Aˆ Cˆ ; ( Aˆ Bˆ )Cˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ . Доказательство.
Докажем вначале линейность произведения линейных операто-
x, y и любых чисел , Aˆ Bˆ ( x y ) Aˆ ( Bˆ ( x y )) Aˆ ( Bˆ x Bˆ y ) Aˆ ( Bˆ x) Aˆ ( Bˆ y ) ( Aˆ Bˆ ) x ( Aˆ Bˆ ) y.
ров. Действительно,
Проверим теперь сочетательный закон для произведения линейных операторов. Имеем
( Aˆ ( Bˆ Cˆ )) x Aˆ ( Bˆ Cˆ x) Aˆ ( Bˆ (Cˆ x)) , но, с другой стороны,
(( Aˆ Bˆ )Cˆ ) x Aˆ Bˆ (Cˆ x) Aˆ ( Bˆ (Cˆ x)) , что и требовалось показать. Остальные утверждения теоремы проверяются аналогично. Теорема доказана.
271
272 Замечание:
Аналитическая геометрия и линейная алгебра в общем случае произведение линейных операторов не обладает перестановочным свойством (или, иначе говоря, операторы не коммутируют), то есть
A B B A . Определение 8.2.6.
A B B A операторов A и B . Оператор
называется коммутатором
Коммутатор коммутирующих операторов есть нулевой оператор. Задача 8.2.1.
В линейном пространстве алгебраических многочленов n
Pn () k k найти коммутатор для операторов: k 0
A , ставящего в соответствие многочлену его производную функцию, и B – оператора умножения многочлена на независимую переменную. Решение.
Построим оператор A B B A . Для любого
Pn () имеем
n d d n Aˆ Pn () Pn () ( k k ) k k k 1 , d d k 0 k 1 n
n
k 0
k 0
Bˆ Pn () ( k k ) k k 1 . Откуда получаем n
n
n
k 1
k 0
Bˆ ( Aˆ Pn ( )) ( k k k 1 ) k k k k k k , k 1
n
n
d Aˆ ( Bˆ Pn ( )) ( k k 1 ) (k 1) k k , d k 0 k 0
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве n
n
k 0
k 0
273
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) Pn () ( (k 1) k k ) ( k k k ) n
k k Pn (). k 0
Следовательно, данные линейные операторы не коммутируют. В рассмотренной выше задаче 8.2.1 оказалось, что действие оператора
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ на любой элемент линейного пространства многочленов не приводит к изменению этого элемента. Введем для такого оператора специальное наименование. Определение 8.2.7.
Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть
Eˆ x x x . Докажите
самостоятельно
справедливость
соотношений:
Aˆ Eˆ Eˆ Aˆ Aˆ Aˆ , а также линейность и единственность Eˆ . Определение 8.2.8.
Оператор B называется обратным для линейного 1 оператора A (обозначается A ), если
BA E . AB Пример 8.2.1.
В линейном пространстве функций
f () , имеющих на
[, ] производную любого порядка и удовлетворяющих (k ) условиям f ( ) 0 ; k 0,1, 2, ... , оператор диффе
ˆ f df и Bˆ f f ()d − оператор ренцирования A d
274
Аналитическая геометрия и линейная алгебра интегрирования с переменным верхним пределом являются взаимно обратными. Действительно,
d Aˆ Bˆ f f ()d f () Eˆ f и d
df Bˆ Aˆ f d f () f (a) f () Eˆ f . d Замечания.
1.
Не для всякого линейного оператора существует обратный оператор. Например, нулевой оператор
O не имеет обратного. Действительно, пусть Oˆ x o при всех x , тогда для любого B имеет место
( Bˆ Oˆ ) x Bˆ (Oˆ x) o x , ˆ Eˆ не выполи, следовательно, равенство Bˆ O няется ни при каком B . 2.
Обратный оператор, если существует, то только единственный. (Покажите это самостоятельно, использовав как аналог доказательство леммы 5.1.1.)
3.
В случае бесконечномерного линейного простран-
Aˆ Bˆ Eˆ может ˆ Eˆ , что не следовать выполнение условия Bˆ A ства из справедливости условия
имеет место, например, в пространстве многочленов n
Pn () k k k 0
для пары операторов A и B , где B есть оператор умножения многочлена на независимую пере-
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве n
менную, а оператор A многочлену n
соответствие многочлен
k 1
k
k 0
k
275
k ставит в
k 1 .
§ 8.3. Координатное представление линейных операторов n заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и линейный оператор A явm ляющийся отображением в с базисом { f 1 , f 2 ,..., f m } . В § 7.2 покаПусть в
зано, что
x n существует единственное разложение 1 n
x i g i , то есть i 1
x
g
2 . ... n
m существует единственное разложение для y Aˆ x , ˆ справедливо представление вида для которого в силу линейности A Аналогично в
n
n
i 1
i 1
y Aˆ x Aˆ ( i g i ) i Aˆ g i . Приняв во внимание возможность и единственность в m
m разложения
Aˆ g i k i f k i [1, n] , с одной стороны, получаем, что k 1
m
n
k 1
i 1
y ( k i i ) f k .
276
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
С другой стороны, если
y
1 2 ... m
f
– координатное представление, то
m
имеет место равенство
y k f k . Наконец, в силу единственности k 1
разложения элемента конечномерного пространства по базису получаем n
k k i i ; k [1, m] . i 1
Данные соотношения позволяют находить координатное представление образов элементов линейного пространства по координатному представлению прообраза. При этом отметим, что каждый линейный оператор вида
Aˆ : n m в паре конкретных базисов полностью и однозначно описывается матрицей размера m n с элементами k i . Определение 8.3.1.
m n , столбцы которой образоваˆ ны компонентами элементов Ag : Матрица размера
i
Aˆ
fg
11 21 ... m1
12 22 ... m2
... 1n ... 2 n , ... ... ... mn
называется матрицей линейного оператора A в базисах
{g1 , g 2 ,..., g n } n и { f 1 , f 2 ,..., f m } m .
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
277
n
k k i i ; k [1, m] имеют
В матричной форме соотношения
i 1
вид
y
f
Aˆ
fg
x
g
,
(8.3.1)
в чем легко убедиться, воспользовавшись их двухиндексной формой записи: n
k 1 k i i1 ; k [1, m] . i 1
Полученный результат формулируется как Теорема 8.3.1.
Между множеством всех линейных операторов вида
Aˆ : n m и множеством всех матриц размера m n имеется взаимно однозначное соответствие.
Доказательство.
Выше было показано, что каждому линейному оператору для
ˆ : можно сопоставить конкретной пары базисов A по определению 8.3.1 матрицу размера m n . n
m
С другой стороны, соотношение
1 11 2 21 ... ... m m1
12 22 ... m2
... 1n 1 ... 2 n 2 ... ... ... ... mn n
может быть принято за определение некоторого оператора ви-
ˆ : , линейность которого следует из правил опеда A раций с матрицами. n
Теорема доказана.
m
278 Пример 8.3.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1. В трехмерном векторном пространстве c ортонормированным базисом рассмотрим линейный оператор, ортогонально проектирующий радиусы-векторы на плоскость
Oxy . Поскольку в данном случае
Aˆ g1 1 g 1 0 g 2 0 g 3 Aˆ g 2 0 g1 1 g 2 0 g 3 , то Aˆ g 0 g 0 g 0 g 3
1
2
1 0 0 A
0 1 0 . 0 0 0
g
3
Действия с линейными операторами в матричной форме
Aˆ : n n , то есть лиn нейные преобразования, действующие в с базисом {g 1 , g 2 ,..., g n } , матрица которых квадратная, порядка n . Введенные в § 1.1 и § 5.1 операБудем рассматривать далее операторы вида
ции с матрицами позволяют описать в конкретном базисе действия с линейными операторами в следующей форме.
Aˆ Bˆ
1. Сравнение операторов:
Aˆ
Bˆ
Aˆ x Bˆ x , или в координатной форме Aˆ x Bˆ x x n g
g
Но тогда по лемме 5.1.2 матрица довательно, условие
g
g
Aˆ
g
Bˆ
Aˆ Bˆ равносильно Aˆ Bˆ g
g
.
g
.
Aˆ Bˆ означает, что
Согласно определению 8.2.1 условие
x n :
g
g
.
нулевая и, сле-
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
A B
2. Сложение операторов:
g
A
g
B
g
279
.
n
n
k 1
k 1
ˆ g i ki g k и Bˆ g i ki g k следует, Действительно, из A что
( Aˆ Bˆ ) g i Aˆ g i Bˆ g i n
n
n
k 1
k 1
k 1
ki g k ki g k ( ki ki ) g k .
3. Умножение оператора на число:
Aˆ
g
Aˆ
g
.
n
ˆ g i ki g k для любого числа находим, что Из A k 1
n
(Aˆ ) g i Aˆ (g i ) ( ki ) g k . k 1
4. Произведение операторов:
AB
g
A
g
B
g
.
По определению матрицы линейного оператора имеем n
( Aˆ Bˆ ) g i Aˆ ( Bˆ g i ) Aˆ ( ki g k ) k 1
n
n
n
n
k 1
k 1
j 1
j 1
ki Aˆ g k ki jk g j ji g j , n
где
j i jk k i , что совпадает с определением произведеk 1
ния матриц 5.1.1.
280
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
A 1
5. Обращение операторов:
g
1
A
g
.
Будем предполагать, что обратный оператор существует. скольку из определения 8.2.8 следует, что
По-
A 1 A A A 1 E , принимая во внимание результат пункта 4, получаем, что искомое матричное представление
A 1
g
1 должно оператора A
удовлетворять соотношениям
A 1
g
A
g
A
g
A 1
E
g
то есть являться обратной матрицей к матрице
A
g
,
g
.
Следствие Размерность линейного пространства линейных отоn m 8.3.1. mn
бражений вида
равна
.
Доказательство.
Из теоремы 8.3.1 и правил действий с линейными операторами в матричной форме следует изоморфизм линейного пространства линейных операторов и линейного пространства всех матриц размера m n . Но тогда по теореме 7.5.1 (об изоморфизме) их размерности равны. n
m
Следствие доказано.
Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса Выясним, как меняется
Aˆ
fg
– матрица линейного отображения
Aˆ : n m при замене базисов. Пусть в n даны два базиса {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1 , g 2 ,..., g n } ,
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
281
G , а в m – два базиса { f 1 , f 2 ,..., f m } и { f 1, f 2,..., f m }
связанные матрицей перехода
с матрицей перехода
Aˆ
f g
F . Найдем соотношение, связывающее
Aˆ
.
В этом случае справедлива Теорема 8.3.2.
Aˆ
Матрица линейного оператора
f g
в базисах
{g1 , g 2 ,..., g n } и { f 1, f 2,..., f m } связана с матрицей ˆ этого же оператора A в базисах {g1 , g 2 ,..., g n } и fg
{ f 1 , f 2 ,..., f m } соотношением 1 Aˆ f g F Aˆ
fg
G .
Доказательство.
{g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } компоненты элементов x – прообраза, и y – ˆ , в этих базисах связаны раобраза при действии оператора A По теореме 7.3.1 при переходе от базиса
венствами
x
g
G
x
g
1 x g 2 ; ...
n
и
y
f
x
F
g
y
1 2 ... n
,
f
, где
fg
и
282
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
y
а
f
1 y f 2 . ... m
1 2 ; ... m
При этом в рассматриваемых базисах образы и прообразы элементов связаны соотношениями
y
f
Aˆ
fg
x
y
и
g
f
Aˆ
x
f g
,
g
но поскольку матрица перехода имеет обратную, то из выписанных соотношений последовательно получаем
y
f
F
1
F
1
y
F
f
Aˆ
fg
G
1
x
Aˆ g
x
fg
g
.
Наконец, приходим к равенству
(
Aˆ
f g
F
1
Aˆ
fg
G ) x
g
из которого в силу произвольности столбца 5.1.2 следует утверждение теоремы.
o ,
x
g
и леммы
Теорема доказана.
Следствие 8.3.2.
Матрица линейного преобразования при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису изменяется по правилу
Aˆ
g
S
1
Aˆ
{g1 , g 2 ,..., g n } в n g
S .
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Следствие 8.3.3.
283
Определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса в
n .
Доказательство.
Согласно следствию 8.3.2
det Aˆ
g
det ( S
1
Aˆ
g
S ),
но поскольку
det ( S
1
и
Aˆ
g
det S
S ) (det S 1
1
)(det Aˆ g )(det S )
1 det S
, где
det S 0 ,
то окончательно получаем, что
det Aˆ
g
det Aˆ g .
Следствие доказано.
Отметим, наконец, что в силу теоремы 8.3.2 в любом базисе нулевой оператор будет иметь нулевую матрицу, а единичный оператор – единичную.
§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора Трактуя линейный оператор, действующий в линейном пространстве как некоторое обобщение понятия функции, естественно рассмотреть вопрос об области определения и области значений линейных операторов. Под областью значений линейного оператора A будем понимать мно-
. В этом жество образов всех элементов x , то есть элементов вида Ax случае очевидно, что для любого линейного оператора его область определения совпадает с .
284
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Ответ на вопрос: “Что представляет собой область значений линейного оператора?” дает Теорема 8.4.1.
Пусть A – линейный оператор, действующий в линейном пространстве
. Тогда
1. Множество элементов странство в
Aˆ x x есть подпро-
.
n с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } ,
2. Если, кроме того,
то размерность этого подпространства равна
rg Aˆ
g
.
Доказательство.
есть множество элементов вида Ax и пусть y1 , y 2 . Тогда существуют x1 и x 2 , такие, что
Пусть
y и Ax y . По свойству линейности оператора Ax 1 1 2 2 A имеем
y1 y 2 Aˆ x1 Aˆ x 2 Aˆ ( x1 x 2 ) . ˆ x Aˆ ( x) и потому есть Аналогично y A подпространство . n с базисом {g 1 , g 2 ,..., g n } . Поскольку * каждый элемент x есть линейная комбинация базисных Пусть теперь
элементов, то соответственно в силу линейности каждый эле-
мент из области значений A есть та же линейная комбина-
Aˆ g 1 , Aˆ g 2 ,..., Aˆ g n , то есть − линейная ˆ g , Aˆ g ,..., Aˆ g } . оболочка множества { A 1 2 n ция элементов
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
ˆ g , Aˆ g ,..., Aˆ g } максимальное Выделим из множества { A 1 2 n подмножество линейно независимых элементов, и пусть число их оказалось равным k . Тогда, применяя теорему 7.4.1, приходим к заключению, что размерность * есть
rg A
g
k , а из теоремы 7.5.2 следует, что и
k .
Теорема доказана. Определение 8.4.1.
Рангом линейного оператора A в размерность его области значений.
n называется
Ранг линейного оператора A обозначается как Следствие 8.4.1.
Следствие 8.4.2.
rg Aˆ rg Aˆ
g
rg Aˆ .
n и не зависит от выбора бази-
са. Размерность области значений линейного операто-
ра A , действующего на некотором подпространстве линейного пространства ходит
, не превос-
dim( ) .
Доказательство.
Поскольку подпространство является линейным пространством, то к нему применима теорема 8.4.1. Следствие доказано. Теорема 8.4.2.
Ранг произведения линейных операторов A и B не превосходит ранга каждого из этих операторов.
285
286
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство.
. По Рассмотрим область значений линейного оператора AB следствию 8.4.2 это подпространство имеет размерность не
большую, чем размерность области значений оператора B . содержитС другой стороны, область значений оператора AB
ся в области значений оператора A , и, следовательно, размер не превосходит размерности обность области значений AB
ласти значений A . Теорема доказана.
A невырожденная, то для
Теорема Если квадратная матрица 8.4.3.
любой квадратной матрицы
rg ( A
B того же размера
B ) rg ( B
A ) rg B .
Доказательство.
A и B как координатные представления линейных операторов A и B в некотором баБудем рассматривать матрицы зисе. Если det A 0 , то существует
A
8.4.2 имеем, с одной стороны, rg ( A другой – rg B rg ( A Поэтому
rg( A
Теорема доказана.
1
1
и в силу теоремы
B ) rg B , но с
A
B ) rg ( A
B ) rg( B
A ) rg B .
B ).
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Замечания. 1. Если матрица
произведений
B
не квадратная, но существует одно из
A
det A 0 rg ( A
B
B
или
также
B ) rg B
A , то при
верны
равенства
или соответственно
A ) rg B .
rg ( B
В этом можно убедиться, заменив матрицу
B
287
B матрицей
, являющейся дополнением нулевыми столбцами
B
или нулевыми строками существовали
A
B
до квадратной так, чтобы
или
B
A
, ибо очевид-
но, что
rg B
rg B .
2. Ранг произведения матриц может быть меньше рангов каждого из сомножителей. Например:
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
.
Другой важной характеристикой линейного оператора является совокупность элементов линейного пространства , называемая ядром линейного оператора и обозначаемая Определение 8.4.2.
ker Aˆ .
Ядро линейного оператора A состоит из элементов
o. x , таких, что Ax
288
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 8.4.4.
n и rg Aˆ r , то ker A есть подпространˆ) n r . ство и dim( ker A Если
Доказательство.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для ker A выполняются условия определения 7.4.1.
{g1 , g 2 ,..., g n } оператор Aˆ имеет матрицу
Пусть в базисе
Aˆ
g
ij . По следствию 8.4.1 rg A
g
r для любого
базиса. Тогда в координатной форме условие принадлежности
x n с x
некоторого элемента
A имеет вид
n
j 1
ij
g
1 2 ядру оператора ... n
j 0 ; i [1, n].
С другой стороны, поскольку каждое решение однородной системы линейных уравнений n
j 1
ij
j 0 ; i [1, n]
является элементом ядра оператора A , то размерность ядра есть максимальное число линейно независимых решений этой системы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1, равно
n rg A
g
nr.
Теорема доказана.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
289
Типы линейных отображений Как было отмечено в § 8.1, в тех случаях, когда область значений оператора не принадлежит области определения, следует говорить об отображении. В § 7.5 было использовано понятие взаимно однозначного отображения, называемого иногда биекцией. Для отображений также выделяются специальные случаи так называемых инъективных и сюръективных отображений. Рассмотрим эти случаи подробнее. Определение 8.4.3.
ˆ x , x , y множества Отображение y A в множество называется инъективным (или инъекцией), если из условия
x1 x 2 ,
Aˆ x1 Aˆ x 2 вытекает x1 , x2 .
В случае инъекции множество всех значений оператора
y Aˆ x , может не совпадать с Определение 8.4.4.
x , y
.
y Aˆ x , x , y множества на множество называется сюръективным (или сюръекцией), если каждый элемент из имеет прообраз в . Отображение
В случае сюръекции прообраз любого элемента из всегда существует в , но, вообще говоря, он не единственен. В таблице 8.4.1 для сравнения приведены примеры отображений различных типов. Заметим, что в частном случае, когда линейный оператор A отобража-
n в элементы n с базисом {g1, g 2 ,..., g n } , то есть являетn ся преобразованием в , оказывается возможным следующее дополнение ет элементы
к определению 8.3.1.
290
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Т а блица 8.4.1 Примеры отображений различных типов
Тип отображения
Инъективное
Неинъективное
Сюрьективное
Несюрьективное
Определение 8.4.5.
Квадратная матрица
Aˆ
g
порядка
n , столбцы кото-
рой есть координатные представления элементов
Aˆ g1 , Aˆ g 2 ,..., Aˆ g n в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } , называется матрицей линейного преобразования A в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }. Отметим также, что в конечномерном случае сюръективность отобра-
Aˆ : n m означает выполнение условия m , а инъективˆ o . Альтернативную форму условий инъективность – условия ker A жения
ности и сюръективности в конечномерном случае дает
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Теорема 8.4.5.
291
Ранг матрицы линейного оператора, являющегося сюръективным отображением, равен числу ее строк, а ранг матрицы инъективного отображения равен числу ее столбцов.
Доказательство.
{g1 , g 2 ,..., g n } и { f 1 , f 2 ,..., f m } отображеAˆ fg , причем Aˆ : n m имеет матрицу
1º. Пусть в базисах ние
rg Aˆ Aˆ
m . Тогда система линейных уравнений вида
fg
x
fg
g
y
имеет решение матрицы
f
y
по теореме 6.6.1 (Кронекера−Капелли) f
m , поскольку для ее расширенной
rg Aˆ y m . Значит, для A каждый образ имеет
хотя бы один прообраз и A − сюръективно. 2º. Пусть
rg Aˆ
fg
n . Тогда, по теореме 6.4.1 (Крамера),
x1 , x 2 n система линейных уравнений вида Aˆ fg ( x 2 g x1 g ) o f имеет единственное решение, которое очевидно тривиальное. Поэтому равные образы имеют равные прообразы, и, следовательно, A − инъективно. Теорема доказана.
Aˆ : n m инъективность равносильна выполn ˆ ˆ нению равенств rg A rg A fg dim( ) n , а сюръективность − Иными словами, для
rg Aˆ rg Aˆ
fg
dim(m ) m .
Наконец, отображение, являющееся одновременно и инъективным и сюръективным, будет взаимно однозначным, или биекцией.
292
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
В общем случае, исследование свойств оператора, у которого область значений не содержится в области его определения, может оказаться достаточно сложной задачей. Если же область значений принадлежит конечномерному линейному пространству, то пользуясь теоремой 7.5.1 (об изоморфизме), можно попытаться свести исследование отображения к исследованию преобразования, установив изоморфизм между областью значений отображения и некоторым подпространством области его определения.
Пример 8.4.1.
1. Оператор Pr , ставящий в соответствие каждой точке трехмерного геометрического пространства ее ортогональную проекцию на некоторую фиксированную прямую, проходящую через начало координат, очевидно, есть отображение , которое, однако, можно рассматривать и как преобразование трехмерного пространства в одномерное подпространство. 3
1
Отметим, что, хотя в данном случае и отображение и преобразование реализуют геометрически одну и ту же функцию, вид задающих их матриц может быть различным. Например, пусть в ортонормированной системе коор
динат {O, e1 , e2 , e3 } прямая, на которую выполняется ортогональное проектирование, задана направляю
T
щим вектором e1
1 1 1 . В этом случае раe
диус-вектор
x
r
r
y
ортогональной проекции точки
z
T
равен
e
r
( r , e ) 2
e
e
r
с
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
x yz 3 x x yz y , и, следовательно, матрица 3 z x yz 3
или
1 1 1 1 1 1 1 . преобразования Pr имеет вид Pr 3 e 1 1 1
Но, с другой стороны, приняв вектор в
e1 за базисный
1 , получим, согласно определению 8.4.5, матрицу
отображения
Pr в виде
Pr e e
1 1 1 1 . 3
2. Пусть линейный оператор
Aˆ ставит в соответствие 11 12
каждой матрице второго порядка
мерный столбец вида
21
22
дву-
11 12 . 21 22
Исследование свойств данного отображения можно свести к исследованию свойств преобразования, ставящего в соответствие квадратным матрицам квадратные матрицы вида
11 12 21 22
0 . 0
293
294 Задача 8.4.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Линейное отображение
3 3 Aˆ : в некотором базисе 1 2 3
Aˆ 2 3 4 . Найти его ядро и 3 5 7
задано матрицей
множество значений. Выяснить, является ли данное отображение инъективным или сюръективным.
1
1
x 2 и y 2 – координатные представ3 3 ˆx . ления соответственно прообраза и образа оператора y A
Решение. 1. Пусть
ˆ x o , заТогда ядро – множество элементов x , таких, что A дается в координатном представлении системой линейных уравнений
Aˆ x o
1 2 2 3 3 0, или 21 3 2 4 3 0, 3 5 7 0, 2 3 1
общее решение которой есть
1
1
2 2 . 3 1 Отсюда заключаем, что ядро линейного отображения
Aˆ есть
1 линейная оболочка элемента
2 , и поскольку оно не со1
стоит только из нулевого элемента, то данное отображение неинъективное.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
295
К этому же заключению можно прийти, приняв во внимание, что
1 2 3
1 2 3
rg 2 3 4 rg 0 1 2 2 3 3 5 7 0 0 0 – числа столбцов матрицы отображения. 2.
Aˆ состоит из элеˆ x x . В координатной ментов y , таких, что y A форме принадлежность элемента y ко множеству значений Область значений линейного отображения
означает совместность системы линейных уравнений
1 2 3
1
1
2 3 4 3 5 7
2 2 , 3 3
следовательно, нам необходимо выяснить, при каких значениях 1 , 2 , 3 данная система линейных уравнений совместна. Это можно сделать, например, при помощи теоремы 6.6.1 (Кронекера–Капелли), сравнив ранги основной и расширенной матриц данной системы. Затем из условия
1 2 3 1 rg 2 3 4 2 3 5 7 3 1 2 3 1 1 2 3 rg 0 1 2 21 2 rg 2 3 4 2 0 0 0 1 2 3 3 5 7
296
Аналитическая геометрия и линейная алгебра найдем, что для совместности необходимо и достаточно, чтобы
1 2 3 0 , что, в свою очередь, означает, что
множество значений отображения A состоит из элементов вида
1
1
1
2 1 1 2 0 3 0 1 являющихся решениями уравнения Заметим,
наконец,
что
1 , 2 ,
1 2 3 0 .
поскольку
не
каждый
элемент
y 3 имеет прообраз в 3 , то данное отображение не является и сюръективным.
§ 8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы Определение 8.5.1.
Подпространство линейного пространства называется инвариантным подпространством
линейного оператора A , если
x : Aˆ x . Пример 8.5.1.
1. Множество радиусов-векторов точек некоторой прямой на
Oxy , плоскости проходящей через начало координат, является инвариантным подпространством оператора поворота
Рис. 8.5.1
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
на угол этих радиусов-векторов вокруг оси (см. рис. 8.5.1).
Oz
2. Для оператора дифференцирования в линейном про-
странстве функций f () , имеющих на (, ) производную любого порядка, n -мерным инвариантным подпространством является линейная оболочка совокупности элементов вида {e
1
,e
2
, ... , e
n
},
где 1 , 2 ,..., n – некоторые, попарно различные константы.
Теорема 8.5.1.
Матрица линейного оператора
A , заданного в ли-
нейном пространстве с базисом тогда и только тогда имеет вид n
11 ... r1 0 ... 0
{g1 , g 2 ,..., g n } ,
... 1r ... ... ... rr ... 0 ... ...
1,r 1 ... r ,r 1 r 1,r 1 ...
... 1n ... ... ... rn ... r 1,n , ... ...
...
n,r 1
...
0
nn
когда линейная оболочка подмножества базисных элементов
{g1 , g 2 ,..., g r } есть инвариантное подпро-
странство оператора A .
297
298
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство.
Докажем достаточность. Пусть матрица оператора A имеет указанный в формулировке теоремы вид. Тогда образ любой линейной комбинации элементов {g1, g 2 ,..., g r } будет принадлежать их линейной оболочке, поскольку в силу определения 8.3.1 каждый столбец матрицы линейного оператора составлен из компонентов образа соответствующего базисного элемента. r
Иначе говоря, если
k 1
k
g k , то и
r
Aˆ ( k g k ) k 1
r
r
r
k ( Aˆ g k ) k ik g i k 1
k 1
i 1
r
r
r
i 1
k 1
i 1
( ik k ) g i i g i . Из теоремы 7.4.1 следует, что – подпространство. Достаточность доказана.
Докажем необходимость. Пусть
есть инвариантное подпро-
странство линейного оператора A , являющееся линейной оболочкой подмножества базисных векторов {g1, g 2 ,..., g r } . Тогда образ любого, в том числе и базисного, элемента, принадлежащего , также будет принадлежать означает, что r
Aˆ g k ik g i i 1
. Это в свою очередь
n
0g
i r 1
i
; k [1, r ]
и в сочетании с определением 8.4.5 доказывает необходимость. Теорема доказана.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Задача 8.5.1.
299
Показать, что всякое инвариантное подпространство
невырожденного линейного оператора A является также инвариантным подпространством оператора
A 1 . Решение.
x , где – инвариантное подпространство ˆ x . оператора A , тогда по условию задачи y A Пусть
Если оператор A невырожденный, то для него сущест 1 и связь элементов вует обратный A
x, y можно
1 записать в виде x A y , что и означает инвариантность подпространства
A 1 .
относительно оператора
В приложениях важную роль играют так называемые задачи "поиска собственных векторов и собственных значений", основой которых служит понятие одномерного инвариантного подпространства. Определение 8.5.2.
Ненулевой элемент
f называется собственным
вектором линейного преобразования A , если существует число
, такое, что Aˆ f f . Число на-
зывается собственным значением вующим собственному вектору
A , соответст-
f.
Заметим, что, согласно данному определению,
f является ненулевым
Aˆ Eˆ , то есть f ker( Aˆ Eˆ ) .
элементом ядра линейного преобразования
300
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечание о важности собственных векторов Допустим, что для некоторого линейного преобразования A , заданно-
n , удалось найти n линейно независимых собственных векторов {g1 , g 2 ,..., g n } , для которых выполнены равенства
го в
Aˆ g1 1 g1 ;
Aˆ g 2 2 g 2 ; ... ;
Aˆ g n n g n .
Если принять набор элементов {g1 , g 2 ,..., g n } за базис, то данные соотношения можно рассматривать как координатные разложения образов базисных элементов:
Aˆ g k 0 g1 0 g 2 k g k 0 g n ; k [1, n] . Поскольку, согласно теореме 7.2.1, эти разложения единственны, то, исходя из определения 8.3.1, можно утверждать, что матрица линейного преоб-
разования A в этом базисе будет иметь диагональный вид:
Aˆ
f
1
0
0 ... 0
2 ... 0
...
0
... 0 ... ... , ... n
благодаря чему исследование свойств A существенно упрощается. Задача 8.5.2.
Показать, что если линейное преобразование A имеет
f с соответствующим ему собственным значением , то элемент f будет также явсобственный вектор
ляться собственным вектором линейного преобразования
A 2 AA с собственным значением
2 .
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Решение.
По условию
301
Aˆ f f , но тогда в силу линейности Aˆ Aˆ 2 f Aˆ ( Aˆ f ) Aˆ (f ) 2 f .
Вычисление собственных векторов и собственных значений линейного оператора в n Выберем в
n некоторый базис {g 1 , g 2 ,..., g n } , в котором коордиn
натное разложение собственного вектора будет f i g i , а линейное i 1
преобразование A имеет матрицу
Aˆ
g
k j .
Пользуясь результатами полученными в § 8.3 для
Aˆ f f можно записать в виде Aˆ
g
f
g
f
g
n , равенство
, или в форме
111 12 2 ... 1n n 1 , ... , 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... n11 n 2 2 ... nn n n , что равносильно
Aˆ Eˆ
g
f
g
o
или
(11 )1 12 2 ... 1n n 0, ( ) ... 0, 21 1 22 2 2n n ........................................................ n11 n 2 2 ... ( nn ) n 0. Система уравнений (8.5.1) с неизвестными нейная, но, если считать
(8.5.1)
{, 1 , 2 , , n } нели-
параметром, то относительно неизвестных
{ 1 , 2 , , n } она линейная и однородная.
302
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Согласно определению 8.5.2 собственный вектор f должен быть ненулевым. Покажем, что этого можно добиться путем подбора специальных значений параметра . Действительно, необходимым и достаточным условием существования нетривиального частного решения (то есть решения, для которого
12 22 2n 0 ) однородной системы линейных уравнений, согласно следствию 6.7.2, является равенство нулю определителя ее основной матрицы. Поэтому условие, которому должны удовлетворять искомые значения
будет иметь вид
det kj kj 0
или же
11 12 21 22 det ... ... n1 n2
Определение 8.5.3.
(8.5.2)
... 1n ... 2n 0. ... ... ... nn
Уравнение (8.5.2) называется характеристическим уравнением, а функция от
, равная det Aˆ Eˆ
g
–
характеристическим многочленом преобразования
A , действующего в n . Теорема 8.5.2.
Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса в
n .
Доказательство.
Aˆ Eˆ , очевидно, линейное в ˆ и Eˆ . Тогда, согласно следстсилу линейности операторов A Заметим, что преобразование
вию 8.3.3, определитель его матрицы не меняется при замене базиса. Поэтому при переходе от базиса зису
{g1 , g 2 ,..., g n } :
Теорема доказана.
det Aˆ Eˆ
g
{g1 , g 2 ,..., g n } к ба det Aˆ Eˆ . g
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
303
Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением
n -й степени относительно , что следует из определения детерминанта 6.1.2 и формулы (8.5.2).
Таким образом, мы получаем универсальный для алгоритм вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов: n
Решив характеристическое уравнение (8.5.2), из однородной системы уравнений (8.5.1) можно найти собственные векторы, соответствующие последовательно подставляемым в основную матрицу этой системы, найденным собственным значениям. Примеры использования данного алгоритма в иллюстрируют решения задач 8.6.1 и 8.6.2. В случае же линейных пространств, не имеющих базиса, задача отыскания собственных значений и построения собственных векторов может оказаться значительно сложнее. Например, в линейном пространстве функций, имеющих на некотором интервале производную любого порядка, линейный оператор дифференцирования имеет бесконеч но много собственных векторов вида f ( ) e (где – произвольn
ная ненулевая константа) и соответствующих им собственных значений удовлетворяющих дифференциальному уравнению
df f . d
§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений Теорема 8.6.1.
В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор. n
,
304
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство.
Поскольку характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -й степени относительно , то к нему при1 менима основная теорема высшей алгебры , утверждающая, что такое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. Теорема доказана.
В случае вещественного линейного пространства теорема 8.6.1 неверна. Например, линейный оператор поворота в пространстве плоскости
Oxy
вокруг оси Oz на угол k не имеет ни одного собственного вектора. Действительно, характеристическое уравнение для этого оператора имеет вид (см. § 5.5):
det
cos
sin
sin
cos
0 или 2 2cos 1 0 ,
то есть cos i sin . Откуда следует, что при k вещественных решений данное характеристическое уравнение не имеет. Теорема 8.6.2.
В вещественном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет либо хотя бы один собственный вектор, либо двумерное инвариантное подпространство. n
Доказательство.
Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень, то из системы (8.5.1) находим собственный вектор. Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный корень i, тогда, решив систему (8.5.1), получим соответ-
f u wi , где u и w – элементы n , представляемые вещественными n ствующий ему комплексный собственный вектор компонентными столбцами.
1
Доказывается, например, в курсе ТФКП.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
Покажем теперь, что u и w линейно независимые. Допустим ˆ f f имеем, противное: u w . Тогда из соотношения A
Aˆ (( i ) w) ( i )w , или Aˆ w w , откуда следует вещественность , что противоречит предположению о невечто
щественности собственного значения. Подставим выражения для собственного значения и собственного вектора в их определение:
Aˆ f f . Получаем
Aˆ (u wi ) ( i )(u w i ) , или в силу линейности A
( Aˆ u ) ( Aˆ w) i (u w) (u w) i, и из равенства действительных и мнимых частей находим, что
Aˆ u u w, ˆ Aw u w.
Но это и означает, что A имеет двумерное инвариантное подпространство, совпадающее с двумерной линейной оболочкой элементов u и w , поскольку
Aˆ (u w) Aˆ u Aˆ w (u w) (u w) ( )u ( ) w. Теорема доказана. Задача 8.6.1.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования A , действующего в пространстве трехмерных столбцов и заданного матрицей
1 2 2 2 1 2 . 3 2 3
305
306
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Решение:
1. Рассмотрим сначала случай, когда A действует в комплексном линейном пространстве. Будем искать собственные значения по формулам (8.5.1) – (8.5.2). Воспользовавшись правилом разложения определителя по первой строке (см. теорему 1.1.1), получим
1 2 2 det 2 1 2 3 2 3 (1 )( 1) 2 2(2 6 6) 2(4 3 3 ) 3 2 1 (2 1)( 1). Откуда следует, что из трех собственных значений одно щественное и два
1 1 – ве-
2 i и 3 i – комплексно сопряженные2.
2. Найдем теперь собственные векторы. Пусть формулам (8.5.2) имеем
1 1 , тогда, по
2 2 2
1
2 2 2 3 2 2
2 0 . 3 0
0
Преобразовав матрицу построенной системы линейных уравнений, получим компоненты собственных векторов
1 1
2
1 0
1 0
1
0
2 0 . 3 0
См. приложение 3.
1 , 2 и 3 из условий
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
307
Следовательно, собственный вектор f 1 , отвечающий собственному значению
1 1 , имеет вид 1
0
2 1 3 1 3. Пусть теперь
0 .
2 i , тогда систему линейных уравнений (8.5.1) 1 i 2 3
2
2
1 i 2 2 3i
1
0
2 0 3 0
можно упростить, разделив3 обе части первого уравнения на 1 i . Заметим, что в полученной таким образом системе
1 1 i 1 i
1
2 1 i 2 3 2 3i
2 0 3 0
0
третье уравнение оказывается суммой первых двух и его можно отбросить как линейно зависимое. Заменив затем второе уравнение разностью удвоенного первого и второго, получим
1 1 i 1 i 1 0 . 0 1 3 i 2i 2 0
3
3
Правило деления комплексных чисел приведено в приложении 3.
308
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Полагая значение свободного неизвестного рой собственный вектор:
1
f2 2
3
2i 2i 1 3i
3 3 i , находим вто 0 .
4. Проведя аналогичные вычисления, найдем, что собственный вектор, отвечающий собственному значению
1
f3 2
3
3 i , имеет вид
2i 2i 1 3i
0.
(Покажите самостоятельно, что комплексная сопряженность f 2 и f 3 не случайна, то есть если
2 и 3 комплексно сопряжены, то будут
комплексно сопряжены и собственные векторы f 2 и f 3 .) 5. Если оператор A действует в вещественном линейном пространстве,
0 то согласно теореме 8.6.2 A имеет собственный вектор
чающий собственному значению
1 1 ,
1 , отве1
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
309
и инвариантное подпространство, являющееся линейной оболочкой элементов
0 2 u 0 и w 2 , то есть которое будет состоять из эле1 3
ментов вида
1
2
0
2 1 2 2 0 ; 1 , 2 . 3 3 1 Заметим, что при необходимости искомое инвариантное подпространство может быть задано и в виде однородной системы линейных уравнений, которая в данном примере имеет вид
1 2 0 (см., например, решение задачи 8.4.1).
Теорема 8.6.3.
Совокупность собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению линейного преобразования
A , дополненная нулевым элементом ли-
нейного пространства
, является инвариантным
подпространством A . Доказательство.
Aˆ f 1 f 1 и Aˆ f 2 f 2 . Тогда для любых, не равных нулю одновременно чисел и : Aˆ ( f 1 f 2 ) Пусть
Aˆ f 1 Aˆ f 2 f 1 f 2 ( f1 f 2 ), что и показывает справедливость утверждения теоремы. Теорема доказана.
310
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 8.6.1.
Подпространство, состоящее из собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению, дополненных нулевым элементом, называется инвариантным собственным (или просто собственным)
подпространством линейного преобразования A . Теорема 8.6.4.
Всякое инвариантное собственное подпространство
ˆ является также инварилинейного преобразования A антным подпространством линейного преобразования Bˆ , если Aˆ и Bˆ коммутируют.
Доказательство.
– инвариантное собственное подпространство Aˆ , то ˆ f f f . Но тогда справедливо равенство есть A Bˆ Aˆ f Bˆ (f ) , а в силу коммутируемости и линейности A и Пусть
B будет верно и Aˆ ( Bˆ f ) ( Bˆ f ) при f . Последнее условие означает, что есть
Bˆ f при f , то
– инвариантное подпространство оператора B .
Теорема доказана. Теорема 8.6.5.
Собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Доказательство.
Один собственный вектор линейно независим как ненулевой. Пусть имеются m линейно независимых собственных векторов
f 1 , f 2 , ... , f m линейного преобразования A , отвечающих различным собственным значениям.
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
Покажем, что в этом случае будут линейно независимы и
m 1 собственных векторов f 1 , f 2 ,... , f m , f m1 , если они
также отвечают различным собственным значениям. Предположим противное: существует нетривиальная и равная нулевому элементу линейная комбинация собственных векторов f 1 , f 2 ,... , f m , f m 1 :
1 f 1 2 f 2 ... m f m m 1 f m1 o , (8.6.1) причем без ограничения общности можно считать, что число m 1
0.
Aˆ на обе части равенства (8.6.1): Aˆ ( 1 f1 2 f 2 ... m f m m1 f m1 )
Подействуем
1 1 f1 2 2 f 2 ... m m f m m1 m1 f m1 o. (8.6.2) С другой стороны, умножая обе части равенства (8.6.1) на
m1 и вычитая почленно результат этого умножения из равенства (8.6.2), получим
1 ( 1 m1 ) f 1 2 ( 2 m1 ) f 2 ... m ( m m 1 ) f m o . Поскольку все собственные значения разные, а векторы
f1 , f 2 ,..., f m линейно независимые, то 1 2 ... m 0. Но тогда из (8.6.1) следует m 1 0 , что противоречит сделанному выше предположению, и по принципу математической индукции из линейной независимости элементов
f1 , f 2 , ... , f m следует линейная независимость элементов f 1 , f 2 ,... , f m , f m1 . Теорема доказана.
311
312
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Следствие 8.6.1.
Теорема 8.6.6.
Линейное преобразование A в может иметь (с точностью до произвольного ненулевого множителя) не более чем n собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Если линейное преобразование
n
A , действующее в
n , имеет n различных собственных значений, то существует базис, образованный собственными векто-
рами A , в котором матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид, причем на ее диаго-
нали расположены собственные числа оператора A . Доказательство.
Следует из теоремы 8.6.5 и замечания о важности собственных векторов § 8.5. Теорема 8.6.7.
Пусть
– инвариантное собственное подпростран-
ство линейного преобразования A , отвечающее некоторому собственному значению гда имеет место соотношение
0 кратности k . То-
1 dim( ) k . Доказательство.
n базис {g1 , g 2 ,..., g m , g m 1 ,..., g n } так, чтобы его первые m dim( ) элементов принадлежали . Выберем в
В силу условия кратности собственного значения
Aˆ g i 0 g i ; i [1, m] ,
ˆ Eˆ g в этом базисе, согласно замечапоэтому матрица A нию о важности собственных векторов (см. § 8.5), будет иметь вид
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
Aˆ Eˆ
g
0 0
313
...
0
1, m 1
...
1n
0 ...
0
2, m 1
...
2n
...
...
...
...
m , m 1
...
mn
0
...
...
...
0
0
... 0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
0
0
...
0
n, m 1
m 1, m 1 ... ...
.
m 1, n ...
... nn
Откуда следует, что
det Aˆ Eˆ
g
( 0 ) m Pnm ( ).
( 0 ) могут содержаться также и в многочлене Pn m ( ) , то m k , где k – кратность корня 0 хаˆ ˆ рактеристического многочлена det A E . Поскольку множители вида
g
Условие 1 m очевидно, поскольку подпространство вое (содержит собственные векторы).
ненуле-
Теорема доказана.
Таким образом, размерность инвариантного собственного подпространства
, отвечающего собственному значению 0 кратности k , может
оказаться меньше k , что иллюстрирует Задача 8.6.2.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, в пространстве двумерных столбцов и заданного матрицей
1 1 0 1
.
314
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Решение.
Находим собственные значения:
det то есть
1
1
0
1
(1 ) 2 0,
1, 2 1 и кратность собственного значения
k 2 . Найдем теперь собственные векторы: 0 1 0 0
1 0 2 0
x
1 0
0 .
Таким образом, получаем, что данный линейный оператор имеет одномерное инвариантное собственное подпро
странство ( m dim( венному значению
) 1 ), соответствующее собст-
1 кратности 2.
На основании теорем 8.6.2, 8.6.5 и 8.6.6 приходим к выводу, что базис в конечномерном вещественном линейном пространстве, образованный из собственных векторов действующего в нем линейного преобразования, может не существовать из-за невещественности или кратности его собственных значений. Теорема 8.6.8.
Линейное преобразование A в
n имеет нулевое соб-
ственное значение тогда и только тогда, когда A не является взаимно однозначным.
Доказательство.
n Линейное преобразование A имеет в собственное значение, равное нулю, тогда и только тогда, когда его матрица вы-
рожденная, то есть в любом базисе det A 0 . Пусть в координатный столбец образа связан с координатным столбцом прообраза n
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
1 11 2 21 ... ... n n1
12 22 ... n2
... 1n 1 ... 2 n 2 . ... ... ... ... nn n
Из теоремы 6.4.1 (Крамера) следует, что для заданного координатного столбца элемента-образа эта система линейных уравнений, у которой неизвестными являются компоненты столбца элемента-прообраза, либо будет несовместной (элементпрообраз не существует), либо будет иметь согласно следствию 6.7.1 неединственное решение (элемент-прообраз определяется неоднозначно). Теорема доказана. Определение 8.6.2.
Степенью квадратной матрицы
Q
с натуральным
показателем k 2 называется произведение множителей вида
Q
1
Q и Q
k со-
Q . Будем также считать, что 0
E .
Матрица линейного преобразования A в удовлетворяет его характеристическому уравнению.
Теорема 8.6.9 (Гамильтона– Кэли).
n
Доказательство.
Докажем данную теорему в предположении, что собственные векторы
преобразования
Aˆ
образуют
в
n
базис
{ f 1 , f 2 ,..., f n } . Пусть данное линейное преобразование Aˆ в Aˆ
этом базисе имеет матрицу n
ние
k 0
k
k 0 .
f
и характеристическое уравне-
315
316
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Aˆ для собственного вектора f , соответствующего собственному значению , имеем (см. задачу 8.5.2) Тогда в силу линейности n
( k Aˆ
n
) f k ( Aˆ f
k
k 0
k
n
k ( Aˆ
f
k 0
( Aˆ
f
...( Aˆ
n
n
k 0
k 0
f )
f
k 0
f
f
)...) )
k (k f ) ( k k ) f 0 f o . Но поскольку это соотношение верно для всех базисных векторов, то оно будет верно и для каждого элемента 5.1.2 следует, что n
k 0
Наконец,
выполнив
k
Aˆ
k
x n . Тогда из леммы
Oˆ f .
f
переход
к
произвольному
базису
{g1 , g 2 ,..., g n } , получим n
k Aˆ k 0
k g
n
k ( S
k ( S
1
Aˆ
k 0
n
k ( S k 0
1
Oˆ
Aˆ
k 0
n
S
1
f
Теорема доказана.
1
Aˆ
f
k f
S
S
1
S ) S
S Oˆ g .
S )k
f
Aˆ 1
1
S ... S
f
n
( k Aˆ k 0
k f
Aˆ
f
) S
S )
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
317
теорема Гамильтона–Кэли также верна и для линейных преобразований, из собственных векторов которых базис образовать не удается.
Замечание:
§ 8.7. Линейные функционалы Рассмотрим специальный случай линейного оператора, когда его область значений содержится в одномерном линейном пространстве, изоморфном множеству вещественных чисел. Такого рода зависимости, следуя классификации, введенной в § 5.2, следует относить к функционалам. Напомним данное ранее Определение 8.7.1.
Пусть каждому элементу x линейного пространства поставлено в соответствие однозначно определяе-
f (x) . Тогда говорят, что в задан функционал f (x) . 1. В пространстве n -компонентных столбцов можно 1 мое число, обозначаемое
Пример 8.7.1.
задать функционал, поставив столбцу
n
ветствие число
i 1
i
i
, где
2 в соот... n
i , i [1, n] – неко-
торые фиксированные константы. 2. В векторном геометрическом пространстве функционалом является длина вектора, то есть
f ( x) | x | . x() , определенных на [1,1] , функционалом является f ( x) x(0) – так
3. В пространстве функций
318
Аналитическая геометрия и линейная алгебра называемая ”дельта-функция”, обозначаемая как
(x) , ставящая в соответствие каждой функции x() ее значение в нуле.
4. В пространстве функций x () , непрерывных на
[, ] , функционалом является определенный инте
грал, то есть
f ( x) p() x()d , где p () – не
которая заданная на [, ] непрерывная функция. 5. В линейном пространстве квадратных матриц вида
11 21
12 функционалом является определитель 22 det
Определение 8.7.2.
11 21
12 11 22 12 21 . 22
Функционал f (x ) называется линейным функционалом (или линейной формой), если для любых
x, y и любого числа : 1. f ( x y ) f ( x ) f ( y ). 2. f ( x ) f ( x ).
Задача 8.7.1.
Доказать, что функционалы в примерах 1, 3 и 4 являются линейными, а функционалы в примерах 2 и 5 – нет.
Представление линейного функционала в n Пусть в
n дан базис {g1 , g 2 ,..., g n } и пусть координатное представn
ление элемента линейного пространства имеет вид x i g i . i 1
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
319
Тогда в силу линейности функционала справедливы соотношения n
n
n
i 1
i 1
i 1
f ( x) f ( i g i ) i f ( g i ) i i , где i f ( g i ) , i [1, n] – числа, называемые компонентами линейного функционала в данном базисе. Из последних равенств следует легко проверяемая Теорема 8.7.1.
f (x ) в n в кон-
Каждый линейный функционал
кретном базисе {g1 , g 2 ,..., g n } имеет однозначно определяемую строку компонентов
f
g
1
2 n ,
1
а каждая строка компонентов конкретном базисе в
2 n
в
определяет некоторый лиn
n
нейный функционал по формуле в матричном виде
f ( x) f
g
f ( x) i i , или i 1
x
g
.
Запись координатного представления линейного функционала в в виде строки (а не столбца!) следует из необходимости обеспечить соответствие этого представления определению 8.4.5, поскольку линейный функn
ционал в
n можно рассматривать как линейное отображение n 1 .
Получим теперь правило изменения компонент линейного функционала
n при переходе от одного базиса к другому. Пусть в n даны два базиса {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1 , g 2 ,..., g n } , связанные матрицей перехода в
n
S ij , где g j ij g i j [1, n] . i 1
320
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Координатные представления некоторого элемента рассматриваемых базисах вид
n
n
i 1
i 1
x будут иметь в
x i g i i g i , а координатные
представления линейного функционала f (x ) – соответственно n
n
i 1
i 1
f ( x) i i i i . Найдем выражения для величин обозначения, получаем
i через i . Используя введенные
n
n
n
k 1
k 1
k 1
i f ( g i ) f ( ki g k ) ki f ( g k ) k ki , что доказывает следующее утверждение. Теорема 8.7.2.
В в базисах {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1 , g 2 ,..., g n } компоненты координатных представлений линейного функционала n
f
g
1 , 2 , ... , n
и
f
g
1 , 2 , ... , n
n
связаны соотношением
k i ik ; k [1, n] , где i 1
коэффициенты ik – коэффициенты S – матрицы перехода от первого базиса ко второму. В матричной форме это утверждение имеет вид
f
g
f
g
S .
Это означает, что компоненты линейного функционала в преобразуются при замене базиса так же, как преобразуются столбцы базисных элементов (см. § 7.3). n
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве
321
Двойственное (сопряженное) пространство. Взаимный (биортогональный) базис Поскольку линейные функционалы в являются частным случаем линейных операторов, то для них можно ввести операции сравнения, сложения и умножения на число. Задача 8.7.2.
Показать, что в с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } операции сложения и умножения на число для линейных функn
ционалов p ( x ) и q ( x ) в координатном представлении имеют вид
pq
g
1 1 p
2 2
g
1
2
g
1
2
g
1
2
... n n
и
... n ,
где
p q
... n
и
... n .
Очевидно, что при этом будут справедливы все утверждения § 8.2, в том числе и Теорема 8.7.3.
Множество всех линейных функционалов, заданных в линейном пространстве , является линейным пространством.
Определение 8.7.3.
Линейное пространство линейных функционалов, заданных в , называется двойственным (или сопряженным) пространству
и обозначается .
Теорема 8.7.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами линейных функционалов и n-компонентных строк, последнее из которых является линейным n-мерным простран-
322
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ством. Принимая во внимание, что операции с линейными функционалами в координатном представлении в совпадают с аналогичными операциями для n-компонентных строк, можно прийти к заключению об изоn
морфности линейных пространств Теорема 8.7.4.
n и n . Поэтому будет справедлива
Размерность пространства равна n .
n , двойственного n ,
Как и во всяком n -мерном линейном пространстве, в ществовать базис. Пусть он состоит из элементов
n должен су-
{ r1 , r2 ,..., rn } ; ri n i [1, n] . n
Тогда каждый элемент f может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных элементов, то есть n
f i ri , i 1
столбцовое координатное представление элемента f , будет иметь вид 1
а стандартное для
n
f
r
2 . n
Связь между координатными представлениями линейного функционала
f в базисах {g1 , g 2 ,..., g n } n и { r1 , r2 ,..., rn } n задается квадратной, порядка n , матрицей rg , элементами которой являются числа
ij ri ( g j ) ; i, j [1, n] – значения функционала ri на элементах g j .
Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве Задача 8.7.3.
Доказать, что если
323
{ r1 , r2 ,..., rn } – базис в n , а
{g1 , g 2 ,..., g n } – базис в n , то f
Определение 8.7.4.
r
(
T rg
) 1 f
g
или
f
g
f
T r
rg
.
E , то есть 1, i j , ij ij i, j [1, n] , 0, i j то базисы { g 1 , g 2 ,..., g n } и { r1 , r2 ,..., rn } называЕсли матрица
T
rg
ются взаимными (биортогональными).
{ r1 , r2 ,..., rn } в n является взаимным для n базиса {g1 , g 2 ,..., g n } в , то для любого линейного функционала f (x) его координатные представления в n и в n связаны очевидным T соотношением f r f g . Отметим, что если базис
Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство
n является n -мерным линейным пространством, то в нем n так же, как и в , возможно определять линейные функционалы и расn сматривать их множество как новое линейное пространство , двойстn n венное к . Будем называть пространство вторичным двойственn ным для линейного пространства . n n n n Вполне очевидно, что линейные пространства , и Поскольку
мерные и, следовательно, изоморфны друг другу. Однако для пространств
n и n существует особый изоморфизм, позволяющий не делать различия между ними и который может быть построен следующим образом.
324
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x – некоторый элемент из n , а X ( f ) – действующий в n n функционал, такой, что X ( f ) f ( x ) f . Убедимся вначале, n что X ( f ) линейный на , то есть он будет некоторым элементом в n . Действительно, Пусть
X ( 1 f 1 2 f 2 ) 1 f 1 ( x ) 2 f 2 ( x ) 1 X ( f 1 ) 2 X ( f 2 ) 1 , 2 R ;
f 1 , f 2 n .
X ( f ) f n , где, согласно теореме 8.4.1, – n подпространство линейного пространства . n Теперь рассмотрим отображение X ( x ) : , которое можно заЭто означает, что
y X ( f ( x)) x n ; y . Оно будет линейным, как произведение (композиция) линейных отображений X ( f ) и f (x ) , и, писать и как кроме
того,
очевидно,
взаимно
однозначным.
Следовательно,
y X ( f ( x)) – отображение, устанавливающее изоморфизм линейного n пространства и множества , а тогда в силу теоремы 7.5.1 dim() dim (n ) n . Наконец, отметим, что сочетание условий
dim (n ) n dim() и n n означает совпадение множества и линейного пространства . Таким образом, мы приходим к заключению, что отображение
y X ( f ( x)) x n ; y n устанавливает тождественное взаимно n однозначное соответствие между элементами линейных пространств и n , позволяющее считать их одним и тем же пространством n и записывать связь между значениями линейных функционалов, действующих в
n и n , в симметричной форме вида x( f ) f ( x) ; x n ; f n .
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 325
Глава 9
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 9.1. Билинейные функционалы Определение 9.1.1.
Пусть в линейном пространстве каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответ-
B ( x, y ) так, что 1) B( x1 x 2 , y ) B( x1 , y ) B( x 2 , y )
ствие число
x1 , x 2 , y ; , , 2) B( x, y1 y 2 ) B( x, y1 ) B( x, y 2 ) x, y1 , y 2 ; , , тогда говорят, что в задан билинейный функционал (или билинейная форма). Пример 9.1.1.
1. Произведение двух линейных функционалов и
F (x )
G ( y ) , определенных в , B ( x, y ) F ( x )G ( y )
есть билинейный функционал. 2. Двойной интеграл
B ( x, y ) K (, ) x() y ()dd
( K (, ) y()d)d,
x ( )
где функция двух переменных
K (, ) непрерывна
326
Аналитическая геометрия и линейная алгебра на множестве
: , есть билинейный
функционал в линейном пространстве непрерывных на [, ] функций. 3.
Билинейным функционалом является скалярное произведение векторов на плоскости или в пространстве.
Билинейные функционалы в n .
n заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и билинейный функционал B ( x , y ) . Найдем формулу для выражения его значения через Пусть в
координаты аргументов. n
Предположим, что в рассматриваемом базисе
x i gi и i 1
n
y j g j , тогда, согласно определению 9.1.1, справедливы раj 1
венства n
n
n
i 1
j 1
i 1
n
B ( x, y ) B ( i g i , j g j ) i B ( g i , j g j ) n
n
n
j 1
n
i j B( g i , g j ) ij i j . i 1 j 1
Определение 9.1.2.
i 1 j 1
ij B ( g i , g j ) называются компонентами билинейного функционала B ( x, y ) в базисе Числа
{g1 , g 2 ,..., g n } , а матрица B
g
ij – матри-
цей билинейного функционала в этом базисе.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 327
В
n с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } билинейный функционал может
быть представлен в виде n
n
n
n
n
n
k 1
i 1
( x, y ) ki k i k1 ki i1 1Tk ki i1 k 1 i 1
1
x где столбцы
x
k 1 i 1
2
T
B
g
g
и
11 12 21 22 ... ... n1 n 2
... n
y
g
y
g
g
... 1n ... 2 n ... ... ... nn
1 2 ... n
,
– координатные представления элементов
x и y в данном базисе. Матрица билинейного функционала зависит от выбора базиса. Правило изменения матрицы билинейного функционала при замене базиса дает Теорема 9.1.1.
S – матрица перехода от базиса {g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } , тогда
Пусть
B
g
S
T
B
g
S .
Доказательство.
По определению матрицы перехода от одного базиса к другому в
n (см. § 7.3) имеют место соотношения n
g k ik g i , k [1, n] , i 1
328
Аналитическая геометрия и линейная алгебра но тогда n
n
i 1
j 1
kl B ( g k , g l ) B ( ik g i , jl g j ) n
n
ik jl B ( g i , g j ) i 1 j 1 n
n
n
n
i 1
j 1
ik jl ij Tki ij jl i 1 j 1
для всех
k , l [1, n] .
Теорема доказана. Следствие det 9.1.1. Доказательство.
B
g
det B
g
det 2 S .
Следует из теоремы 9.1.1, а также свойств детерминанта (теоремы 6.2.1 и 6.2.4). Отметим, что в силу невырожденности матрицы перехода знак определителя матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса. Следствие 9.1.2.
Ранг матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса.
Доказательство.
Следует из теоремы 8.4.3 и невырожденности матрицы перехода Определение 9.1.3.
S . Билинейный функционал B ( x , y ) называется симметричным, если для любой упорядоченной пары элементов x и y линейного пространства имеет место равенство
B( x, y ) B( y, x ) .
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 329 Теорема 9.1.2.
Для симметричности билинейного функционала в n необходимо и достаточно, чтобы его матрица была симметрической.
Доказательство.
Необходимость следует из соотношений
ij B( g i , g j ) B( g j , g i ) ji i, j [1, n].
Докажем достаточность. Действительно, если
ij ji
i, j [1, n] , то n
n
n
n
B( y, x) ji j i ji i j j 1 i 1 n
j 1 i 1
n
ij i j B( x, y ). i 1 j 1
Теорема доказана.
§ 9.2. Квадратичные функционалы Определение 9.2.1.
Пусть в линейном пространстве каждому элементу x поставлено в соответствие число Ф( x) B ( x, x) ,
B ( x, y ) – некоторый билинейный функционал в , тогда говорят, что в задан квадратичный
где
функционал (или квадратичная форма). В общем случае в вещественном линейном пространстве по заданному квадратичному функционалу нельзя восстановить порождающий его билинейный функционал, однако это можно сделать в случае симметричного билинейного функционала.
330
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Действительно, пусть квадратичный функционал ( x ) порожден симметричным билинейным функционалом B ( x, y ), тогда для любых x и y имеет место равенство
Φ( x y ) B ( x y, x y ) B ( x, x ) B ( x, y ) B ( y , x ) B ( y , y ) Φ( x) 2 B ( x, y ) Φ( y ) , откуда
Φ( x y ) Φ( x) Φ( y ) . 2
B ( x, y )
n симметрическая матрица билинейного функ1 ционала Φ( x y ) Φ( x) Φ( y )) называется 2 матрицей квадратичного функционала Ф(x ) . n Если в задан базис {g1 , g 2 ,..., g n } , то квадратичный функ-
Определение 9.2.2.
В
ционал может быть представлен в виде n
n
Ф( x) ki k i k 1 i 1
1
x где
x
2
T g
Ф
... n
g
x
g
11 21 ... n1
12 22 ... n2
... 1n 1 ... 2 n 2 ... ... ... ... nn n
, n
g
– координатный столбец элемента
x i g i в данном i 1
базисе. Замена базиса, в свою очередь, приводит к изменению матрицы квадратичного функционала по формуле определяемой теоремой 9.1.1.
Φ
g
S
T
Φ
g
S ,
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 331
Отметим, что иногда целесообразно строить квадратичный функционал Ф(x ) по порождающему билинейному функционалу, просимметрировав предварительно последний. Действительно, для любого B ( x , y ) можно указать симметричный билинейный функционал
1 ( B( x , y ) B ( y , x )) , который будет порождать тот же са2 мый квадратичный функционал Ф(x ) , что и B ( x, y ) . В этом случае вида
очевидно, что
ij
ij ji 2
ji ij
ji i, j [1, n] ,
2
– элементы симметрической матрицы. Пример 9.2.1.
Пусть в
3 задан билинейный функционал
B1 ( x, y ) 11 3 2 2 2 1 31 2 2 3 1 2 3 3 2 1
имеющий матрицу
2
3
3 3 1
1 1 2
1
3
0
1 2
3 1
1 0
0 1 0
1 2 , 3
и в силу теоремы
9.1.2 не являющийся симметрическим. Порождаемый им в
3 квадратичный функционал будет иметь вид Ф1 ( x) 12 3 22 41 2 21 3 2 2 3 . В то же время симметричный билинейный функционал
332
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
B2 ( x, y ) 11 3 2 2 21 2 2 2 1 13 3 1 2 3 3 2 1
2
имеющий матрицу
в
3
1 2 1
1
2
2 1
3 1
2 3 1
1 1 0
1 2 , 3
1 1 , будет порождать 0
3 квадратичный функционал вида Ф 2 ( x) 12 3 22 41 2 21 3 2 2 3 ,
который совпадает с
Ф1 ( x) и имеет матрицу 1 2 1 2 1
1 . 0
3 1
В ряде важных прикладных задач оказывается необходимым отыскание базисов, в которых квадратичный функционал имеет наиболее простой и удобный для исследования вид. Определение 9.2.3.
Квадратичный функционал ный вид в базисе
Ф(x) имеет диагональ-
{g1 , g 2 , ..., g n } n , если он в
этом базисе представим как n
Ф( x) i i2 , i 1
где
i i [1, n] – некоторые числа.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 333
Если, кроме того, числа
i , i [1, n] принимают
лишь значения 0 или 1, то говорят, что квадратичный функционал в данном базисе имеет канонический вид.
Для каждого квадратичного функционала в n существует базис, в котором функционал имеет канонический вид.
Теорема 9.2.1 (Метод Лагранжа).
Доказательство.
1.
Воспользуемся методом математической индукции. При n 1 в любом базисе Ф(x ) = 11 12 . Если
11 0 , то мы уже имеем канонический вид, если же 11 0 , то, выполняя
1 2.
невырожденную
замену
переменных
11 1 , приходим к каноническому виду.
Предположим, что утверждение теоремы верно для квадратичных функционалов, зависящих от n 1 переменной, и рассмотрим случай n переменных. Будем считать, что
11 0 . Этого можно добиться изме-
нением нумерации переменных в случае, когда хотя бы одно из чисел ii , i [ 2, n] не равно нулю. Если же все
ii , i [1, n] равны нулю одновременно, то без ограничения общности можно считать, что 12 0 . Тогда, выполняя невырожденную замену переменных
1 1 2 , 2 1 2 , 3 3 , ..., n n ,
получаем запись квадратичного функционала с ненулевым диагональным элементом
334
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Ф(x) = 212 1 2 2 21 22 F (1 , 2 , 3 ,..., n ) , где F (1 , 2 , 3 ,..., n ) не содержит квадратов от 1 и 2 . 3. В записи квадратичного функционала сгруппируем слагаемые, содержащие переменную 1 : n
n
Ф( x) ik i k i 1 k 1
n
11 (12 2 i2
n n 1i 1 i ) ik i k , 11 i2 k 2
и выделим полный квадрат, воспользовавшись соотношениями n
n
k 1 i 1
n
k
n
n
i 1
k 1
i ( k )( i ) ( k ) 2 k 1
n
n
n
k 2
k 2
( 1 k ) 2 12 2 1 k ( k ) 2 k 2 n
n
n
12 2 1 k k i . k 2
k 2 i 2
Получим n
Ф( x) 11 (12 2 i2
n
n
( ik i 2 k 2
n n 1i 1 i 1i 2 1k i k ) 11 i 2 k 2 11
1i 1k ) i k 11
и окончательно n
Ф( x) 11 (1 i 2
1i 2 n n i ) ( ik 1i 1k ) i k . 11 11 i 2 k 2
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 335
В последней формуле первое слагаемое есть полный квадрат, а второе – квадратичный функционал, не зависящий от 1 и приводящийся, согласно предположению индукции, к каноническому виду некоторой невырожденной заменой переменных n
k ki i , k [2, n] . i2
4. Выполним замену переменных квадратичного функционала Ф(x) по формулам n 1i ( i ) , 11 1 1 i 2 11 n k ki i ; k [2, n] , i 2
(9.2.1)
которая приведет к представлению его в каноническом виде. Поскольку в силу 11 0 матрица выполненной замены переменных
11 T
11
0
22
... 0
12 11
...
11
...
2n
...
...
...
n2
...
nn
1n 11
имеет определитель, не равный нулю, то замена (9.2.1) – невырожденная.
S T
Но 1
тогда
матрица
T
имеет
(см. следствие 7.5.3), которая в свою очередь яв-
ляется матрицей перехода к искомому базису. Теорема доказана.
обратную:
336
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечание: базис, в котором квадратичный функционал имеет диа-
гональный или канонический вид, не единственный, равно как не является единственным сам канонический или диагональный вид квадратичного функционала в
n .
Метод Лагранжа не всегда оказывается наиболее простой (с точки зрения затрат вычислительных усилий) процедурой. Иногда приведение матрицы квадратичного функционала к диагональному (или каноническому) виду можно выполнить более эффективно путем использования некоторого набора элементарных преобразований. Действительно, при переходе от исходного базиса к новому {g1 , g 2 ,..., g n } с матрицей перехода
S
{g1, g 2 ,..., g n } матрица квадра-
тичного функционала меняется по правилу
Ф
g
S
T
Ф
Будем теперь рассматривать матрицу го элементарного преобразования матрицы Пусть матрица
S
S .
g
S
как матрицу некоторо-
Ф
g
(см. § 6.8).
такова, что умножение на нее справа
Ф
g
приводит последнюю к нижнему треугольному виду, тогда в силу теоремы 6.8.2 матрица роны, матрица
S
Ф
g
оказывается диагональной. С другой сто-
представима как произведение матриц элемен-
тарных преобразований, последовательно примененных к столбцам единичной матрицы. Поэтому, выполнив диагонализацию
Ф
g
некоторым набором
элементарных преобразований (выполняемых на каждом шаге процедуры как с ее строками, так и с ее столбцами) и применив тот же самый набор элементарных преобразований к столбцам единичной матрицы, мы получим одновременно как диагональный вид матрицы
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 337
квадратичного функционала
Ф
g
x
, так и
формулы перехода от исходного базиса
g
S
x
g
–
{g1 , g 2 ,..., g n } к базису
{g1 , g 2 ,..., g n } , в котором матрица квадратичного функционала оказывается диагональной. Применение данного алгоритм иллюстрирует следующий пример. Задача 9.2.1.
Привести в функционал
3 к диагональному виду квадратичный
Ф( x) 212 22 4 32 81 2 21 3 8 2 3 . Решение.
В исходном базисе функционал
Ф(x) имеет матрицу
2
4
1
4 1
1 4
4 . 4
1º. На первом шаге процедуры выполним следующие элементарные операции: - заменим вторую строку исходной матрицы разностью второй и третьей ее строк; - в полученной матрице заменим второй столбец разностью второго и третьего столбца, в результате чего получаем матрицу вида
2
5
5 1
3 0
1 0 . 4
Кроме того, заменив в единичной матрице
1
0
0
0 0
1 0
0 второй столбец разностью второго и 1
338
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
третьего, получим
1
0
0 0
1 1
0 0 . 1
2º. На втором шаге заменяем вначале первую строку утроенной первой, сложенную со второй, взятой с коэффициентом 5. Соответственно такое же преобразование выполняется со столбцами. Получаем следующие две матрицы:
93
0
0 3
3 0
3 0 и 4
3
0
5 5
1 1
0 0 . 1
3º. На третьем шаге заменяем третью строку первой, сложенную с третьей, взятой с коэффициентом 31. Выполнив такие же преобразования со столбцами, соответственно получаем матрицы
93
0
0 0
3 0
0 0 и 3751
3
0
5 5
1 1
3 5 . 26
Таким образом, перейдя к базису
3
0
3
5 ; 1 ; 5 5 1 26 и выполнив замену координат по формулам перехода
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 339
33 , 1 31 2 51 2 53 , 5 26 , 1 2 3 3 мы получим следующий диагональный вид исходного квадратичного функционала:
Ф( x) 931 2 322 3751 32 .
§ 9.3. Исследование знака квадратичного функционала Несмотря на неединственность диагонального или канонического представления, квадратичные функционалы обладают рядом важных свойств, инвариантных относительно (то есть не зависящих от) выбора базиса в . Одной из таких характеристик является ранг квадратичного функционала. n
Определение 9.3.1.
Теорема 9.3.1.
Максимальное число не равных нулю коэффициентов канонического вида квадратичного функционала Ф(x) называется его рангом и обозначается rg .
Ранг квадратичного функционала в n не зависит от выбора базиса.
Доказательство.
По следствию 9.1.2 ранг матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса. Поэтому не будет зависеть от выбора базиса и ранг матрицы порождаемого им квадратичного функционала. С другой стороны, в силу теорем 8.4.3 и 9.1.1 ранг матрицы квадратичного функционала равен числу ненулевых коэффициентов в его каноническом виде. Теорема доказана.
340
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
При исследовании знака значений квадратичного функционала оказывается полезным использование следующих его характеристик. 1.
Определение 9.3.2.
Максимальное число положительных коэффициентов диагонального (канонического) вида квадратичного функционала Ф(x ) в называется его положительным индексом инерции и обозначается rg Ф . n
2.
Максимальное число отрицательных коэффициентов диагонального (канонического) вида квадратичного функционала Ф(x ) в называется его отрицательным индексом инерции и обозначается rg Ф . n
3.
Разность между положительным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой квадратичного функционала значается
Ф(x) в n и обо-
sgnФ rg Ф rg Ф . Теорема 9.3.2 (инерции квадратичных функционалов).
Значения положительного и отрицательного индексов инерции, а также сигнатуры квадратичного функционала Ф(x ) в n не зависят от выбора базиса, в котором этот функционал имеет диагональный (канонический) вид.
Доказательство.
1.
Пусть квадратичный функционал базисе
Ф(x) имеет в некотором
{g1 , g 2 ,..., g n } представление n
n
Ф(x) ij i j i 1 j 1
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 341
и пусть существуют два различных базиса
{g1 , g 2 ,..., g n } и
{g1, g 2 ,..., g n} , в которых Ф(x) имеет следующий вид: k
Ф( x) i i2 i 1
m
i k 1
i
i2 ; m n , i 0 i [1, m]
и соответственно p
Ф( x) i i 1
2 i
q
i p 1
i
2 i
; q n , i 0 i [1, q] .
В силу сделанных предположений должны существовать невы-
ij и ij при пе-
рожденные матрицы замены переменных
реходах от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базисам
{g1 , g 2 ,..., g n } и {g1, g 2 ,..., g n } такие, что n
n
j 1
j 1
s sj j ; s [1, n] и s sj j ; s [1, n] . (9.3.1) 2.
Ф(x) в базисах {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1, g 2 ,..., g n}
Приравняем значения функционала для некоторого элемента n
n
n
x k g k i g i j g j , k 1
k
i i2 i 1
i 1
m
j 1
p
i i2 i i2
i k 1
i 1
q
i p 1
i
2 i
и преобразуем полученное равенство к виду k
i i2 i 1
q
p
i i2 i i2
i p 1
i 1
m
i i2 .
i k 1
(9.3.2)
342 3.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Исследуем полученное соотношение. Допустим, что k p и предположим, что элемент x имеет в рассматриваемых базисах компоненты
i 0 i [1, k ] ;
i 0 i [ p 1, n] . Этих условий меньше, чем n , поскольку k p . Если их подставить в равенства (9.3.1), то мы получим однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных {1 , 2 ,..., n } . Поскольку число таких уравнений меньше числа неизвестных, то можно утверждать, что она в силу теоремы 6.7.1 имеет нетривиальные решения, и, следовательно, элемент x может быть ненулевым. С другой стороны, из равенства (9.3.2), положительности чисел i ; i [1, m] и i ; i [1, q ] , а также условий
i 0 i [1, k ] ; i 0 i [ p 1, n] i 0 ; i [1, p ].
следует, что и все
Тогда в силу (9.3.1) мы получаем однородную систему
n ли-
n
нейных уравнений
s sj j ; s [1, n] с n неизвестj 1
ными и невырожденной основной матрицей, имеющую только тривиальное решение, то есть элемент x обязан быть нулевым. Полученное противоречие показывает ошибочность предположения о том, что k p . 4.
Аналогичными рассуждениями показываем, что невозможно и соотношение k p . Поэтому приходим к заключению, что
k p. 5.
По теореме 9.3.1
Теорема доказана.
m q , и потому k m p q .
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 343
При исследовании знака значений квадратичного функционала будем использовать понятие знаковой определенности. Определение 9.3.3.
1. Квадратичный функционал Ф(x ) называется положительно определенным на подпространстве
, если Ф( x) 0 для любого ненулевого x . 2. Квадратичный функционал Ф(x ) называется отрицательно определенным на подпространстве
, если Ф( x) 0 для любого ненулевого x .
3. Если же (или ) совпадает с , то говорят, что квадратичный функционал Ф(x ) является положительно (отрицательно) определенным. 4. Если же Ф( x ) 0 ( Ф( x ) 0 ) для всех x , то говорят, что квадратичный функционал является положительно (отрицательно) полуопределенным. Теорема 9.3.3.
Максимальная размерность подпространства в n , на котором квадратичный функционал положительно (отрицательно) определен, равняется положительному (отрицательному) индексу инерции этого функционала.
Доказательство.
Следует из теоремы 9.3.2 и очевидного равенства числа положительных (отрицательных) элементов матрицы квадратичного функционала в диагональном представлении размерности подпространства
( ).
344
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
В ряде прикладных задач оказывается необходимым проведение исследования знаковой определенности квадратичного функционала без приведения его к диагональному виду. Удобное необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичного функционала дает Теорема 9.3.4 (Критерий Сильвестра).
Для положительной определенности квадратичного функционала в n необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры его матрицы, имеющие вид
11 det 21 ... k1
12 22 ... k 2
... 1k ... 2 k ; k [1, n] , ... ... ... kk
были положительными. Доказательство достаточности.
1. Воспользуемся методом математической индукции. Для k 1 достаточность очевидна. Допустим, что из положительности главных миноров матрицы квадратичного функционала порядка до k n 1 включительно следует возможность приведения квадратичного функционала от n 1 переменных к виду n 1
Ф( x) i2 . i 1
2. Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь место и для квадратичных функционалов, зависящих от n переменных. В выражении для квадратичного функционала, зависящего от n переменных, выделим слагаемые, содержащие n :
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 345 n 1 n 1
n 1
k 1 i 1
k 1
Ф( x) ki k i 2 kn k n nn 2n . Двойная сумма в правой части этого равенства есть квадратич
ный функционал Ф ( x ) , зависящий от n 1 переменной, причем его главные миноры совпадают с главными минорами Ф(x) до порядка n 1 включительно, которые, по предположению индукции, положительны. Отсюда следует, что квадра
тичный функционал Ф ( x ) положительно определенный, и для него существует невырожденная замена переменных n 1
k ki i ; k [1, n 1] , i 1
n 1
приводящая его к каноническому виду
Ф ( x) i2 . i 1
Выпишем представление квадратичного функционала новых переменных: n 1
n 1
i 1
i 1
Ф(x) в
Ф( x) i2 2 in i n nn 2n и выделим в нем полные квадраты: n 1
Ф( x) (i2 2in i n in2 2n ) i 1
n 1
n 1
i 1
i 1
2n , ( nn in2 ) 2n i2 nn где n 1
nn in2 ; i i in n ; i [1, n 1] . nn i 1
В матричном виде эту замену переменных можно записать как
346
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1 0 0 1,n 1 0 1 0 ' 2, n 2 , n1 0 0 0 1 n1,n n1 n n 0 0 0 0 1
1 2
и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная. 3. Наконец, в силу следствия 9.1.1 определитель матрицы квадратичного функционала сохраняет знак при замене базиса. Знак определителя матрицы квадратичного функционала в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель имеет вид
11 det 21 ... n1
12 22 ... n2
... 1n ... 2 n ... ... ... nn
и является главным минором порядка n . Но тогда из выражения для Ф(x ) в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичного функционала Поэтому
. Ф(x) равен nn
0 и можно сделать замену переменных nn
, приводящую к каноническому виду функцио n n nn n
нал
( x) i2 . i 1
Следовательно, квадратичный функционал (x ) положительно определен для числа переменных n , а значит, в силу математической индукции, для любого числа переменных. Достаточность доказана.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 347
Доказательство необходимости критерия Сильвестра положительной определенности квадратичного функционала приводится в разделе “Евклидово пространство” § 10.3. Исходя из критерия Сильвестра для положительной определенности квадратичного функционала, можно получить аналогичный критерий отрицательной определенности квадратичного функционала. Следствие 9.3.1.
Для отрицательной определенности квадратичного функционала в n необходимо и достаточно, чтобы главные миноры четного порядка матрицы функционала были положительны, а нечетного порядка – отрицательны.
Доказательство.
Пусть квадратичный функционал
Ф(x) отрицательно опреде-
ленный, тогда функционал Ф(x) будет, очевидно, положительно определенным. Применяя к нему критерий Сильвестра положительной определенности, получим для главного минора k -го порядка, использовав линейное свойство определителя, условие
det
11
12
... 1k
21 ...
22 ...
... 2 k ... ...
k1
k 2
... kk
(1) k det
11
12
... 1k
21
22
... 2 k
...
...
k1
k 2
...
...
0 k [1, n] .
... kk
Откуда и следует доказываемое утверждение. Следствие доказано.
348
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 9.4. Инварианты линий второго порядка на плоскости Независимость значений ранга и сигнатуры квадратичного функционала от выбора базиса позволяет выполнить классификацию линий второго порядка на плоскости способом, отличным от приведенного в теореме 4.4.1. Рассмотрим линию второго порядка на плоскости Oxy в базисе
{g1 , g 2 } и с началом координат в точке O. Эта линия в общем случае задается 2
согласно
определению
4.4.1
уравнением
вида
2
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0 , где числа A, B, C, D, F и E произвольны с одним лишь ограничением, что A, B и C не равны нулю одновременно (
A B C 0 ).
Нетрудно проверить, что при замене начала координат коэффициенты A, B и C не меняются, а при смене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичного функционала (см. теорему 9.1.1). Поэтому можно считать, что многочлен тичный функционал
Ax 2 2 Bxy Cy 2 задает квадра-
( x, y ) Ax 2 2 Bxy Cy 2 A B с матрицей в исходном базисе {g1 , g 2 } . B C rg – ранг и sgn – сигнатура квадратичного функционала ( x, y ) не зависят На основании теорем 9.2.2 и 9.3.1 заключаем, что
от выбора системы координат и, следовательно,
rg и sgn
являются инвариантами линии второго порядка на плоскости. Использование модуля сигнатуры необходимо, поскольку одновременное изменение знаков всех коэффициентов уравнения линии второго порядка изменит, естественно, само уравнение, хотя линия при этом останется той же.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 349
Поскольку в запись уравнения линии второго порядка на плоскости входят также и коэффициенты D, F и E, то следует выяснить, не существуют ли дополнительные инварианты, образованные из всей совокупности коэффициентов A, B, C, D, F и E. Для этого рассмотрим вспомогательный квадратичный функционал в
3 вида
( x, y, z ) Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dxz 2 Eyz Fz 2 A B с матрицей B C D E
D E в базисе {g1 , g 2 , g 3 } . F
Заметим, что совокупность всех точек в
3 , для которых
( x, y,1) 0 , есть рассматриваемая нами линия второго порядка, расположенная в пространстве на плоскости z 1 . Пусть в выполняется замена базиса, при которой плоскость z 1 переходит сама в себя. Найдем для этой замены базиса правило изменения коэффициентов квадратичного функционала ( x, y , z ) . 3
Лемма 9.4.1.
S перехода от базиса {g1, g 2 , g 3 } к базису {g1 , g 2 , g 3 } , для которой плоскость z 1 Матрица
переходит сама в себя, имеет вид
11
12
13
S 21 0
22 0
23 . 1
Доказательство.
Замена координат в плоскости лам
Oxy выполняется по форму-
x 11 x 12 y 13 , y 21 x 22 y 23 ,
350
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
z 1 и z 1 , то x 11 12 13 x y 21 22 23 y . 1 0 0 1 1
но поскольку при этом
Невырожденность матрицы вия
det
11 21
S следует из очевидного усло-
12 0. 22
Лемма доказана.
Поскольку ранг и сигнатура квадратичного функционала не меняются при любых заменах базиса, то это будет верным и для замен, переводящих плоскость z 1 саму в себя. Поэтому rg и sgn сохраняются при таких заменах, а числа
rg и sgn являются
инвариантами уравнения линии второго порядка. Таким образом, доказана Теорема 9.4.1.
При любых заменах декартовой системы координат на плоскости Oxy числа rg , rg , sgn и sgn являются инвариантами линии второго порядка.
Подсчитаем значения чисел
rg , rg , sgn и sgn
для девяти видов линий второго порядка на плоскости, приведенных в формулировке теоремы 4.4.1, результаты поместим в таблицу 9.4.1 из которой следует, что каждый вид линии второго порядка на плоскости имеет свой, уникальный набор значений инвариантов, который может быть принят за признак принадлежности некоторой линии второго порядка к конкретному виду.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 351
Т а блица 9.4.1
Вид линии 1
Эллипс
2
Мнимый эллипс
3
Точка
4
Гипербола
5
Пересек. прямые
6
Парабола
7
Параллельные прямые Пара мнимых прямых Совпадающие прямые
8
9
Каноническое уравнение
x2 y2 2 1 a2 b
rg
sgn Ψ
rg
sgn Φ
3
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
1
2
0
2
0
2
0
y 2 2 px
3
1
1
1
y2 a2
2
0
1
1
y 2 a 2
2
2
1
1
y2 0
1
1
1
1
x2 y2 2 1 a2 b 2 x y2 0 a2 b2 x2 y2 2 1 a2 b x 2 a2
y2 b2
0
В заключение отметим, что 1. Подсчет значений рангов и модулей сигнатур выполняется путем приведения квадратичного функционала к диагонально-
352
Аналитическая геометрия и линейная алгебра му виду. Однако для параболы приведение функционала ( x, y, z ) к диагональному виду матрицей перехода, переводящей плоскость
z 1 саму в себя, вообще говоря, невоз0 0
0
можно, поскольку его матрица имеет вид
1 0
0 . 0
В этом случае для подсчета ранга и сигнатуры можно использовать матрицу перехода
S
1
0
1
0 1
1 0
0 , которая, хо1
тя и не обеспечивает выполнение условия перехода плоскости z 1 самой в себя, но, как всякая линейная замена координат, сохраняет ранг и сигнатуру. Действительно,
g
S
T
g
S 1 0 1
1 0 1
0 1 0
0 0
2 0 0
0 0 1 0 . 0 2
0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0
1 0 1
2. Для линий второго порядка на плоскости существуют и другие ортогональные инварианты, например, инвариантами являются числа
I 1 A C и I 2 det
A B . СправедлиB C
вость этого утверждения показана в § 4.4.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 353
3. Схема классификации, аналогичная рассмотренной, может быть построена и для поверхностей второго порядка в пространстве.
§ 9.5. Экстремальные свойства квадратичных функционалов Из теоремы 9.2.1 следует существование в базиса, в котором квадратичный функционал Ф(x ) имеет диагональный вид. Допусn
тим, что этот базис {g1 , g 2 ,..., g n } построен так, что n
Ф(x) i i 2 и 1 2 ... n 1 n . i 1
Тогда справедлива Теорема 9.5.1.
Для квадратичного функционала Ф(x ) в n справедливы
1 minn Ф( x)
соотношения
x
и
n maxn Ф( x) при условии, что компоненты x x
n
удовлетворяют условию
i 1
2
i
1.
Доказательство. n
Если в рассматриваемом базисе
Ф( x) i i 2 , то в силу i 1
соотношений
1 2 ... n 1 n будут иметь место
неравенства n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i i 2 n i 2 и 1 i 2 i i 2 .
354
Аналитическая геометрия и линейная алгебра n
Но поскольку
i 1
i
2
1 , то будут также справедливы и
оценки n
n
i 1
i 1
i i 2 n и 1 i i 2 . То есть при
x 0, 0, ...,1
x 1, 0, ... , 0
T
T
достигается максимум, а при
– минимум значений функционала.
Теорема доказана.
§ 9.6. Полилинейные функционалы По аналогии с билинейными функционалами, зависящими от пары элементов линейного пространства, можно определить нелинейные функционалы (называемые полилинейными), обладающие аналогичными свойствами, но зависящие от большего числа аргументов. Определение 9.6.1.
Пусть в линейном пространстве каждому упорядоченному набору из k элементов { x1 , x 2 ,..., xk } поставлено в соответствие число так, что для любого
j [1, k ]
Q ( x1, x 2 ,..., xk )
Q( x1 ,..., x j x j ,..., x k ) Q( x1 ,..., x j ,..., x k ) Q( x1 ,..., x j ,..., x k ) x , x , , тогда говорят, что в задан полилинейный функционал, а именно, k -линейный функционал.
Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 355 Пример 9.6.1.
k -линейных функционалов F1 ( x ), F2 ( x ), , Fk ( x ) , то есть
1. Произведение определенных в
Q( x1 , x 2 , , x k ) F1 ( x1 ) F2 ( x 2 ) Fk ( x k ) , является k -линейным функционалом в
.
2. Смешанное произведение трех векторов в трехмерном геометрическом пространстве является трилинейным функционалом.
n -го порядка есть полилинейный n функционал от n элементов в в случае, когда ко-
3. Определитель
ординатные представления этих элементов являются столбцами данного определителя.
356
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Глава 10
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО § 10.1. Определение и основные свойства В произвольном линейном пространстве отсутствуют понятия “длины”, “расстояния”, “величины угла” и других метрических характеристик. Однако их использование становится возможным, если в линейном пространстве дополнительно ввести специальную, определяемую ниже операцию. Определение 10.1.1.
Пусть в вещественном линейном пространстве каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число ( x, y ), называемое скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы: 1) ( x, y ) ( y, x ); 2) 3) 4)
(x, y ) ( x, y ); ( x1 x 2 , y ) ( x1, y ) ( x 2 , y ); ( x, x ) 0 , причем ( x, x ) 0 x o ,
тогда говорят, что задано евклидово пространство E. Замечание: аксиомы 1–4 в совокупности означают, что скалярное
произведение есть билинейный (что следует из аксиом 2 и 3) и симметричный (следует из аксиомы 1) функционал, который, кроме того, порождает положительно определенный квадратичный (следует из аксиомы 4) функционал. Любой билинейный функционал, обладающий данными свойствами, может использоваться в качестве скалярного произведения.
357
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Пример 10.1.1.
1.
Трехмерное геометрическое пространство со скалярным произведением, введенным по правилам § 2.2, является евклидовым.
2.
Пространство n-мерных столбцов
1 x 2 ; y ... n
1 2 ... n
со скалярным произведением, определяемым по n
формуле
( x, y ) i i , есть евклидово проi 1
странство. 3.
Евклидовым будет пространство непрерывных на [, ] функций со скалярным произведением
( x, y ) x() y ()d .
Задача 10.1.1.
Можно ли в трехмерном пространстве скалярное произведение определить как произведение длин векторов на куб косинуса угла между ними?
Решение.
Нет, нельзя, так как не будет выполняться аксиома 3 определения 10.1.1.
Определение 10.1.2.
В евклидовом пространстве 1)
E назовем
нормой (или длиной) элемента
x число
x ( x, x) ; 2)
расстоянием между элементами число
x y .
x и y
358
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечание: использование для обозначения нормы элемента ограни-
чителей вида
... не приводит к каким-либо конфлик-
там с введенными ранее обозначениями, поскольку для линейного пространства вещественных чисел норма числа, очевидно, совпадает с его абсолютной величиной, для комплексного числа норма совпадает с его модулем, а для линейного пространства геометрических векторов – с длиной вектора. Теорема 10.1.1 (неравенство Коши– Буняковского).
Для любых
x, y E имеет место неравенство ( x, y) x y .
Доказательство.
Для x, y E и вещественного числа элемент Согласно аксиоме 4 из определения 10.1.1
x y E .
0 ( x y, x y ) ( x, x) 2( x, y ) ( y, y ) 2 2
2
x 2( x, y ) y 2 . Полученный квадратный трехчлен неотрицателен для любого тогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен, то есть
2
2
( x, y ) 2 x y 0 .
Теорема доказана. Задача 10.1.2.
Показать, что неравенство Коши–Буняковского превращается в равенство тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.
Следствие 10.1.1 (неравенство треугольника).
Для любых
x, y E имеет место неравенство xy x y .
359
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Доказательство.
Из аксиом евклидова пространства и неравенства Коши– Буняковского имеем
x y
2
( x y , x y ) ( x , x ) 2( x , y ) ( y , y ) 2
x 2 x y y
2
( x y )2 ,
x y и x y по-
откуда в силу неотрицательности чисел лучаем неравенство треугольника. Следствие доказано.
Отметим, что неравенства Коши–Буняковского и треугольника для евклидова пространства из примера 10.1.1 (2) имеют вид n
i i i 1
n
( i 1
i ) 2
i
n
n
2j
j 1
n
j 1
k 1
2 j
2 k
n
k 1
i ,i , i [1, n] ;
2 k
i ,i , i [1, n] ,
в то время как для евклидова пространства из примера 10.1.1 (3) соответственно:
|
x() y()d |
2 ( x() y()) d
2 x ()d
y
()d ;
2 x ()d
2
y
2
()d .
360
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 10.1.3.
В евклидовом пространстве E величиной угла между ненулевыми элементами x и y назовем число
[0, ] , удовлетворяющее соотношению ( x, y ) cos . x y Из неравенства Коши–Буняковского (теорема 10.1.1) следует, что величина угла существует для любой пары ненулевых элементов в E . Определение 10.1.4.
E элементы x и y называются ортогональными, если ( x , y ) 0 . В евклидовом пространстве
Заметим, что нулевой элемент евклидова пространства ортогонален любому другому элементу.
§ 10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса Определение 10.2.1.
n
В конечномерном евклидовом пространстве E базис {e1 , e2 ,..., en } называется ортонормированным, если
(ei , e j ) ij i, j [1, n].
Теорема Во всяком евклидовом пространстве 10.2.1 ортонормированный базис. (Грама– Шмидта). Доказательство.
E n существует
n
1. Пусть в E дан некоторый, вообще говоря, неортогональный базис {g1 , g 2 ,..., g n } . Построим вначале базис
{e1 , e 2 ,..., e n } из попарно ортогональных элементов. Последовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.
361
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
g1 . Элемент e2 будем искать в виде e2 g 2 21 e1 , где 21 – некоторая константа. Подберем 21 так, чтобы (e1 , e2 ) 0 , для этого достаточно, чтобы Возьмем e1
(e1 , e2 ) (e1 , g 2 21e1 ) (e1 , g 2 ) 21 (e1 , e1 ) 0 ; 21
(e1 , g 2 ) . (e1 , e1 )
e2 o . Действительно, из o e2 g 2 21 e1 g 2 21 g1 следует линейная зависимость g1 и g 2 , что противоречит Заметим, что
условию принадлежности этих элементов базису (см. лемму 7.2.2). 2. Допустим теперь, что нам удалось ортогонализовать k 1 элемент, и примем в качестве e k элемент k 1
ek g k k j ej . j 1
Потребуем, чтобы (e k , ei ) 0 i [1, k 1] , но тогда в силу (e j , ei ) 0 ; j [1, k 1] имеем k 1
(ei , ek ) (ei , g k kj ej ) (ei , g k ) ki (ei , ei ) 0 ; j 1
ki
(ei , g k ) ; (ei , ei )
i [1, k 1] .
Покажем теперь, что в этом случае k 1
тивное:
ek o . Допустим про-
ek g k k j ej o . Однако поскольку все элеj 1
362
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ei , i [1, k 1] по построению есть некоторые линейные комбинации элементов g i ;i [1, k 1] , мы приходим к линейной зависимости g i ; i [1, k ] , что противоречит условию теоремы. Следовательно, ek o . менты
3. Процесс ортогонализации продолжается до исчерпания множества элементов g i ; i [1, n] , после чего достаточно про-
ei ; i [1, n] , чтобы получить искомый ортонормированный базис {e1 , e 2 ,..., e n } , ek где ek ; k [1, n] . ek нормировать полученные элементы
Теорема доказана.
Процесс ортогонализации Грама–Шмидта может быть применен к любой, в том числе и к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства. Если ортогонализуемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасывания которого можно продолжить процесс ортогонализации.
§ 10.3. Координатное представление скалярного произведения Полезным инструментом исследования свойств некоторого набора элементов { f 1 , f 2 ,..., f k } в евклидовом пространстве является матрица Грама. Определение 10.3.1.
В евклидовом пространстве E матрицей Грама системы элементов { f 1 , f 2 ,..., f k } называется симметрическая матрица вида
363
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
( f1 , f k ) ( f2 , fk ) . ( fk , fk )
E n дан базис {g1 , g 2 ,..., g n } . Скалярное произведение
Пусть в элементов
f
( f 1 , f 1 ) ( f1 , f 2 ) ( f 2 , f1 ) ( f 2 , f 2 ) ( f k , f1 ) ( f k , f 2 )
n
n
i 1
j 1
x i g i и y j g j , в силу определения 10.1.1,
представимо в виде n
n
i 1
j 1
n
n
n
n
( x, y ) ( i g i , j g j ) i j ( g i , g j ) ij i j , где
i 1 j 1
i 1 j 1
i j ( g i , g j ) i, j [1, n] – компоненты матрицы
g
, на-
зываемой базисной матрицей Грама. Заметим, что эта матрица симметрическая, в силу коммутативности скалярного произведения (см. аксиому 1 в опр. 10.1.1), является матрицей симметричного билинейного функционала, задающего скалярное произведение. Тогда (принимая во внимание опр. 9.1.2) координатное представление скалярного произведения может быть записано так:
( x, y ) x
1
2
T g
g
... n
y
g
( g 1 , g1 ) ( g 1 , g 2 ) ( g 2 , g1 ) ( g 2 , g 2 ) ... ... ( g n , g1 ) ( g n , g 2 )
... ( g1 , g n ) ... ( g 2 , g n ) ... ... ... ( g n , g n )
1 2 , ... n
364
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x
где
g
и
y
g
– координатные представления (столбцы) элемен-
x и y в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } . Очевидно, что эта формула со-
тов
гласуется с § 2.3 и § 9.2. Заметим, наконец, что в ортонормированном базисе
e
E ,
и, следовательно, формула для скалярного произведения принимает вид
( x, y ) x
Теорема 10.3.1.
n
T
y
g
g
i i . i 1
Γ
Для базисной матрицы Грама
det Γ
g
в любом базисе
g
0.
Доказательство.
Из определения 10.1.1 следует, что скалярное произведение есть билинейный, симметричный функционал, поэтому при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } (с
S ) по теореме 9.1.1 для матрицы Грама
матрицей перехода
имеют место равенства
где
g
S
T
g
S ; det
g
det
g
(det S ) 2 ,
det S 0 .
Откуда следует, что значение
sgn ( det
g
) инвариантно, то
есть не изменяется при замене базиса. А, приняв во внимание, что в ортонормированном базисе ключению, что в любом базисе Теорема доказана.
det e 1 , приходим к за-
det
g
0.
365
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Следствие Система элементов 10.3.1.
{ f1 , f 2 ,..., f k } в E n линейно не-
зависима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы положителен.
Доказательство.
Если элементы
{ f1 , f 2 ,..., f k } линейно зависимы, то опреде-
литель их матрицы Грама равен нулю. Действительно, пусть существуют такие, не равные нулю одновременно, числа 1 , 2 ,..., k , что
1 f 1 2 f 2 ... k f k o . Умножив это равенство скалярно слева на
f i i [1, k ] , по-
лучим
1 ( f i , f 1 ) 2 ( f i , f 2 ) ... k ( f i , f k ) 0 i [1, k ] . Тогда, согласно правилам действий с матрицами (см. § 1.1), следует, что нетривиальная линейная комбинация столбцов матрицы Грама, имеющая коэффициентами числа 1 , 2 ,..., k , будет равна нулевому столбцу и, следовательно, будет равен нулю определитель матрицы Грама (см. лемму 6.5.2 и теорему 6.5.2). С другой стороны, если элементы { f 1 , f 2 ,..., f k } линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке и к ним применим результат теоремы 10.3.1. Следствие доказано.
Теперь можно доказать необходимость в теореме 9.3.4. Теорема 9.3.4
Для положительной определенности квадратичного функционала в
n необходимо и достаточно,
366
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
(Критерий Сильвестра).
чтобы все главные миноры его матрицы, имеющие вид
11 12 22 det 21 ... ... k1 k 2
... 1k ... 2 k ; k [1, n] , ... ... ... kk
были положительными. Доказательство необходимости.
1. В § 10.1 было отмечено, что введение скалярного произведения в линейном пространстве равносильно заданию некоторого симметричного билинейного функционала, порождающего положительно определенный квадратичный функционал. Обратно, по положительно определенному квадратичному функционалу однозначно восстанавливается породивший его симметричный билинейный функционал, который можно принять за скалярное произведение. 2. Покажем, что у положительно определенного квадратичного функционала все (указанного в условии теоремы вида) главные миноры его матрицы положительны. Действительно, если ввести в скалярное произведение при помощи его порождающего билинейного функционала, то матрица этого квадратичного функционала в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } есть матрица Грама этого базиса. n
Рассмотрим последовательно линейные оболочки систем элементов вида {g1 , g 2 ,..., g k } ; k [1, n] . Все эти системы линейно независимые (как подмножества базиса), и по теореме 10.3.1 соответствующие им матрицы Грама имеют положительные определители, поэтому
367
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
det
11
12
... 1k
21
22
... 2 k
...
...
...
k1 k 2
... kk
( g 1 , g1 ) det
...
( g 1 , g 2 ) ... ( g 1 , g k )
( g 2 , g 1 ) ( g 2 , g 2 ) ... ( g 2 , g k ) ...
...
...
...
0;
( g k , g 1 ) ( g k , g 2 ) ... ( g k , g k ) k [1, n]. Теорема доказана. Теорема 10.3.2.
x евклидова в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } может
Координатный столбец любого элемента n
пространства E быть представлен в виде
x
g
1 g
b
g
,
( x , g1 ) где
g
– матрица Грама, а
b
g
( x, g2 ) ...
.
( x, gn ) Доказательство. n
Умножим обе части равенства
x i g i скалярно на g k , i 1
k [1, n] . Тогда получим систему уравнений n
(g , g i 1
i
i
k
) ( x, g k ) ,
k [1, n] ,
368
Аналитическая геометрия и линейная алгебра основная матрица которой есть базисная матрица Грама. Поскольку в силу теоремы 10.3.1 эта матрица невырожденная, приходим к формуле
x
g
1 g
b g.
Теорема доказана. Следствие В ортонормированном базисе 10.3.2. n
ва пространства
{e1 , e2 ,..., en } евклидо-
E для любого элемента n
x i ei E n i 1
имеют место равенства Замечание: формула
i ( x, ei ) , i [1, n] .
i ( x, ei ) , i [1, n] малополезна для ко-
нечномерных евклидовых пространств, поскольку элемент x в этом случае однозначно и полностью описывается своими координатами. Однако данная формула может быть использована для обобщения понятия координатного представления на случай евклидовых пространств с неограниченным числом линейно независимых элементов (см. § 12.3).
§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве Согласно определению 5.1.4 матрица отношению
Q
T
Q
1
Q , удовлетворяющая со-
, называется ортогональной, причём для
любой ортогональной матрицы справедливы равенства
Q
T
Q Q Q
T
E и det Q 1 .
Кроме того, в евклидовом пространстве будут справедливы следующие теоремы.
369
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Теорема 10.4.1.
n
Ортогональные матрицы (и только они) в E могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Доказательство.
Рассмотрим
два
различных
ортонормированных
базиса
{e1 , e2 ,..., en } и {e1 , e2 ,..., en } в E с матрицей перехода S n
от первого базиса ко второму. Поскольку в этих базисах матрица Грама единичная, то из соотношения
e
S
T
e
S
следует равенство
S
T
S , или E S
S
Поскольку матрица перехода
S
тельно имеем
1
S
T
T
S .
невырожденная, то оконча-
.
Теорема доказана.
E S
В развернутой форме равенство n
kl Tki il ;
T
S принимает вид
k , l [1, n] , частный случай которого для n 3
i 1
был получен в § 2.9. Теорема 10.4.2.
Собственные значения линейного оператора, имеющеn
го в E ортогональную матрицу, равны по модулю единице.
Доказательство.
Из равенства
Aˆ
g
f
f
g
f
T g
Aˆ
T g
g
следует, что
f
T g.
370
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Перемножив почленно эти равенства, получим соотношение
f
T g
T
Aˆ
g
Aˆ
В силу ортогональности потому
f
T g
f
g
g
Aˆ
2 f
скольку собственные векторы
f
g
T g
g
2 f
имеем
f
g
T g
Aˆ
T g
f Aˆ
, и, наконец,
g
.
g
Eˆ , а
2 1 , по-
f ненулевые.
Теорема доказана.
Ортогональные матрицы также играют важную роль в вычислительных методах алгебры, что, например, иллюстрирует Теорема 10.4.3.
Если матрица вида
A Q
рица, а
A невырожденная, то ее разложение R , где Q – ортогональная мат-
R – верхняя треугольная матрица с поло-
жительными диагональными элементами, существует и единственно. Доказательство.
Предположим, что имеется14 два разложения
A Q1 R1 Q2 Из невырожденности
R2 .
A следует невырожденность R1
R2 , поскольку Q1 и Q2
и
ортогональные и, очевидно,
невырожденные. Тогда последнее равенство можно переписать
14
Обоснование существования такого разложения выходит за рамки данного курса. Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь вопроса о его единственности.
371
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
в виде
Q2 где
1
R1
T
Q1 R2
R1
1
,
– также верхняя треугольная матрица.
Заметим, что
R2
R1
1
есть диагональная матрица. Дей-
ствительно, с одной стороны, она верхняя треугольная матрица как произведение верхних треугольных. С другой стороны,
R2
R1
1
должна быть и нижней треугольной, поскольку
она ортогональная (как произведение двух ортогональных матриц
Q2
T
Q1 ) и ее обратная матрица совпадает с транспо-
нированной. Очевидно, что диагональная ортогональная матрица может иметь на диагонали лишь элементы, равные по модулю едини-
R1
це. Но диагональные элементы
и
R2
положительны
по условию, поэтому остается возможным лишь случай
R2
R1
1
E , откуда и следует единственность раз-
ложения. Теорема доказана.
Отметим, что в силу теоремы 10.4.3 решение неоднородной систе-
A
мы линейных уравнений
x b может быть сведено к раз-
ложению невырожденной матрицы треугольной
R
A – на произведение верхней
и ортогональной
Q , поскольку в этом случае
система преобразуется к легко решаемому виду
R
x Q
T
b .
372
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве Пусть в
E задано подпространство E1 . Рассмотрим множество
E 2 E элементов x , ортогональных всем элементам из E1 . Определение 10.5.1.
Теорема 10.5.1.
E совокупность элементов x , таких, что ( x , y ) 0 y E 1 E называется ортогональным дополнением множества E1 . В евклидовом пространстве
Ортогональное дополнение k -мерного подпростран-
E1 E n является подпространством размерности n k . ства
Доказательство.
E1 E n со стандартным скалярным произведением дан ортонормированный базис и пусть E 2 – ортогональное дополнение к E1 . Выберем некоторый базис в E1 {g1 , g 2 ,..., g k } . Тогда из условия ортогональности произвольного элемента x E 2 каждому элементу E1 , следует, что Пусть в
( x, g i ) 0 ; i [1, k ] или же в координатной форме:
111 21 2 ... n1 n 0, ... 0, 12 1 22 2 n2 n .......... .......... .......... .......... .. 1k 1 2 k 2 ... nk n 0,
373
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
1i 2i где g i e ; i [1, k ] и x ... ni
1 2 . e ... n
Эта однородная система линейных уравнений (неизвестными в которой являются компоненты элемента x ), определяющая ор-
E 2 , имеет ранг k в силу линейной независимости элементов {g1 , g 2 ,..., g k } . Тогда по теореме 6.7.1 у нее есть n k линейно независимых решений, образующих базис подпространства E 2 . тогональное дополнение
Теорема доказана.
Убедимся теперь в справедливости следующего утверждения. Теорема 10.5.2.
E 2 – ортогональное дополнение подпространства E1 E , то E1 является ортогональным дополнением E 2 . Если
Доказательство.
x E 2 по определению 10.5.1 имеет место равенство ( y , x ) 0 ; y E1 . Но это означает, что для каждого y E1 справедливо ( x, y ) 0 ; x E 2 , то есть E1 является ортогональным дополнением к E 2 в E . Для каждого элемента
Теорема доказана. Определение 10.5.2.
В евклидовом пространстве E элемент y называется ортогональной проекцией элемента x на подпространство
E , если 1. y E ; 2. . ( x
y, z ) 0 z E *
374
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 10.5.3.
Если E E является k -мерным подпространством, то элемент y – ортогональная проекция x E на
E – существует и единственен.
Доказательство.
Если в
E существует базис {g1 , g 2 ,..., g k } , то элемент k
y E может быть представлен в виде y i g i . i 1
Условие сти x
( x y, z ) 0 z E равносильно ортогональноy каждому из базисных элементов подпространства
E , то есть ( x y, g j ) 0 j [1, k ] , и, следовательно, числа
i , i [1, k ] могут быть найдены из системы линейных
уравнений k
( x i g i , g j ) 0 j [1, k ] i 1
или k
(g , g i 1
i
j
) i ( x, g j ) j [1, k ] .
Поскольку основная матрица этой системы (как матрица Грама набора линейно независимых элементов g1 , g 2 ,..., g k , см. следствие 10.3.1) невырожденная, то по теореме 6.4.1 (Крамера) решение данной системы существует и единственно. Теорема доказана.
Отметим, что если базис
{e1 , e2 ,..., ek } в подпространстве E
ортонормированный, то ортогональная проекция элемента k
есть элемент вида
y ( x, ei )ei . i 1
x на E
375
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Задача 10.5.1.
4
В евклидовом пространстве E со стандартным скалярным произведением в некотором ортонормированном базисе система линейных уравнений
1 2 3 4 0, 0 21 2 задает подпространство E . Найти в этом базисе матрицу оператора ортогонального проектирования элементов
E 4 на E .
Решение.
1. За базис подпространства E можно принять пару элементов g1 и g 2 , координатные представления которых в исходном базисе
{e1 , e2 , e3 , e4 } являются линейно независимыми решения-
ми однородной системы линейных уравнений, задающей например,
g1
2. Поскольку
e
1 2 ; 1 0
g
2
E,
1 2 . 0 1
e
dim E 2, то размерность ортогонального допол
нения к E согласно теореме 10.5.1 также равна 2. За базис в этом ортогональном дополнении удобно принять элементы g 3 и
g 4 , такие, что
g3
e
1 1 ; 1 1
g4
e
2 1 , 0 0
376
Аналитическая геометрия и линейная алгебра поскольку они линейно независимы и ортогональны каждому элементу из подпространства E , как образованные из коэффициентов заданной в условии задачи системы линейных уравнений.
3. Элементы
g1 , g 2 , g 3 и g 4 линейно независимые по построе4
4
нию и образуют базис в E , и каждый элемент из E может быть представлен и притом единственным образом как линейная комбинация элементов этого базиса {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } .
ортогонального проектирования элеменИскомый оператор A 4 тов E на E должен, очевидно, удовлетворять соотношениям
Aˆ g 1 g1 ;
Aˆ g 2 g 2 ;
Aˆ g 3 o;
в силу которых его матрица в базисе
Aˆ g 4 o,
{g1 , g 2 , g 3 , g 4 } будет
иметь следующий вид:
Aˆ
g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 . 0 0
4. С другой стороны, матрица перехода от базиса базису
{e1 , e2 , e3 , e4 } к
{g1 , g 2 , g 3 , g 4 } 1 2 S 1 0
1 2 0 1
1 1 1 1
2 1 0 0
,
377
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
Aˆ
но поскольку
Aˆ
e
Aˆ
S
S
g
1
S
g
1
Aˆ
e
S
и, следовательно,
, то, воспользовавшись резуль-
татами приведенными в § 5.1 и § 6.8, найдем, что
Aˆ
e
1
1
1
2
1
0
0
0
1
1
1
2
2 1
2 0
1 1
1 0
0 0
1 0
0 0
0 0
2 1
2 0
1 1
1 0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
2
4
1
1
1 4 11 1 1
8 2
2 6
2 5
2
5
6
1
.
Замечание: геометрическая интерпретация ортогонального проекти-
рования вполне очевидна, однако эта операция используется и в других приложениях. Например, если E есть евклидово пространство непрерывных на [, ] функций со скалярным произведением
( x, y ) x() y ()d ,
а E
– подпространство алгебраических многочленов n
Pn () k k степени не выше, чем n , то ортогоk 0
x() – элемента E – на E может рассматриваться как наилучшее на [, ] приближение x() линейной комбинацией степенных многочленов. нальная проекция
Подробно эта задача рассмотрена в § 12.3.
378
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве Поскольку евклидово пространство является частным случаем линейного пространства, то все изложенные в главе 8 утверждения справедливы и для линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве. Однако операция скалярного произведения позволяет выделять в евклидовых пространствах специфические классы линейных операторов, обладающих рядом полезных свойств. Определение 10.6.1.
, заданный в евклидовом Линейный оператор A пространстве E , называется сопряженным линейноA , если x , y E имеет место ра , y ) ( x , A y ) . венство ( Ax му оператору
Пример 10.6.1.
В евклидовом пространстве, образованном бесконечно дифференцируемыми функциями, равными нулю вне некоторого конечного интервала, со скалярным произведе
нием
( x, y )
x() y()d
для линейного оператора
d Aˆ (дифференцирования) сопряженным будет опеd ˆ d . ратор A d Действительно, согласно правилу интегрирования несобственных интегралов по частям имеют место равенства
( Aˆ x, y )
dx() y ( ) d d
x ( ) y ( )
x ( )
dy () d d
379
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
x()(
dy () )d ( x, Aˆ y ) . d n
Рассмотрим теперь конечномерное евклидово пространство E с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } и выясним связь матриц линейных операто-
A и A в этом базисе, предположив, что сопряженный оператор и A имеют соответстсуществует. Пусть матрицы операторов A , а координатные представления элементов венно вид A и A g g ров
x и y в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } –
x
где
g
x
g
1 y g 2 , ... n
и
, y ) ( x , A y ) можно записать как ( Ax
тогда равенство
( Aˆ
g
1 2 ... n
g
)T
g
y
g
x
T g
– матрица Грама выбранного в
В силу соотношения
g
Aˆ
g
y
g
, (10.6.1)
E n базиса.
( A B )T B
T
A
T
последнее равен-
ство можно преобразовать к виду
x
T g
( Aˆ
T g
g
g
Aˆ ) y g
g
0,
а поскольку это равенство справедливо при любых x и y , то, приняв во внимание невырожденность матрицы Грама и проведя рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве леммы 5.1.2, заключаем, что матрица, стоящая в круглых скобках, – нулевая, а из соотношения
380
Aˆ
Аналитическая геометрия и линейная алгебра T
g
g
g
Aˆ
g
O следует Aˆ
g
которое, в частности, для ортонормированного базиса
1 g
Aˆ
T g
{e1 , e2 ,..., en }
T
имеет вид
Aˆ Aˆ e .
Лемма 10.6.1.
Если
e
( x, Aˆ y ) 0 x, y E , то оператор Aˆ нулевой.
Доказательство.
x , y E справедливо равенство ( x , A y ) 0 . Тогда y . Но из равенства оно будет верным и для x A ( A y , A y ) 0 согласно определению 10.1.1 следует, что Пусть
Aˆ y o. Наконец, в силу произвольности элемента y и опре O . деления 8.2.2 приходим к заключению, что A Лемма доказана. Теорема 10.6.1.
Каждый линейный оператор в евклидовом пространстве E
n
имеет единственный сопряженный оператор.
Доказательство.
Существование в
E n оператора A , сопряженного оператору
A , следует из возможности построения матрицы вида T 1 Aˆ для любого линейного оператора A . g
g
g
A . Предположим, что A и A . Это означает, имеет два сопряженных оператора A что x , y E одновременно выполнены равенства Покажем теперь единственность
g
,
381
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
, y ) ( x , A y ) и ( Ax , y ) ( x , A y ) . ( Ax A ) y ) 0 , но тоВычитая их почленно, получим ( x , ( A A O . гда по лемме 10.6.1 A Теорема доказана. Теорема 10.6.2.
Для любых линейных операторов щих в E , имеет место равенство
A и B , действую-
) B A . ( AB Доказательство.
Имеет место
x , y E
) x , y ) ( x , ABy ) ( A x , By ) ( B A x , y ) . (( AB ((( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ ) x, y ) 0 x , y E и в ) B A O . силу леммы 10.6.1 ( AB Это означает, что
Теорема доказана. Теорема 10.6.3.
Имеет место равенство
( A ) A .
Доказательство.
x , y E справедливы равенства
, y) . (( A ) x , y ) ( x , A y ) ( Ax (( A ( A ) ) x , y ) 0 x , y E и то ( A ) O . гда по лемме 10.6.1 A Откуда следует, что
Теорема доказана.
382
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 10.6.4.
Ортогональное дополнение области значений оператора
A в E n является ядром оператора A .
Доказательство.
A , обозначаемое че , содержится во множестве – ортогональном рез ker A . дополнении области значений оператора A , то есть такой, Действительно, любой элемент y ker A
1. Покажем вначале, что ядро оператора
y что A скольку
, x E n , по o , ортогонален элементу b Ax , y ) ( x , A y ) 0 . (b, y ) ( Ax
и . С одной стороны, 2. Теперь сравним размерности ker A в силу невырожденности базисной матрицы Грама и теоремы 8.4.3
dim( ker Aˆ ) n rg Aˆ n rg (
1
Aˆ
T
) n rg Aˆ
T
n rg Aˆ .
Но, с другой стороны, по теореме 8.4.1 размерность области значений
A равна rg A , поэтому dim( n rg Aˆ
по теореме 10.5.1.
dim(ker Aˆ ) dim( ) и ker Aˆ следует совпадение множеств ker Aˆ и .
Наконец,
из
Теорема доказана.
соотношений
383
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
Замечания: 1) в использованных обозначениях теорема 10.6.4 до-
пускает формулировку, совпадающую с формулировкой теоремы 6.7.3 (Фредгольма), поскольку равенст-
b означает, что элемент b принадлежит Ax . области значений линейного оператора A во
y
2) в предположении, что столбцы
b
и
суть
m
координатные представления элементов E в ортонормированном базисе, также и нижеследующую формулировку: Теорема 10.6.5 (Фредгольма).
Система линейных уравнений
A
x b
со-
вместна тогда и только тогда, когда каждое решение однородной сопряженной системы ортогонально столбцу свободных членов
A
T
y o
b .
§ 10.7. Самосопряженные операторы Определение 10.7.1.
Линейный оператор R , действующий в евклидовом пространстве E , называется самосопряженным, если x , y E имеет место равенство
( Rˆ x, y ) ( x, Rˆ y ) . Пример 10.7.1.
В евклидовом пространстве операторы вида
A A ,
и A A будут самосопряженными для любого лиAA . нейного оператора A Действительно, для оператора что x , y E .
A A , например, имеем,
384
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
, y ) ( Ax , Ay ) ( x , A Ay ), ( A Ax откуда и следует его самосопряженность. Свойства самосопряженных операторов сформулируем в виде следующих утверждений. Лемма 10.7.1.
Линейный оператор R в E является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каждом ортонормированном базисе симметрическая. n
Доказательство.
Rˆ
Из определения 10.7.1 и формулы
g
1 g
Rˆ
T g
g
{e1 , e 2 ,..., en } в T силу самосопряженности оператора Rˆ имеем R R . e e для некоторого ортонормированного базиса
Перейдем теперь к другому ортонормированному базису
{e1 , e2 ,..., en } . Матрица перехода
S , как было показано в
Rˆ
T e
1
( S
S
T
S
T
Rˆ
Rˆ Rˆ
S S Rˆ
Верно и обратное: если
( Rˆ x, y ) Rˆ x x
T e
Rˆ
Лемма доказана.
T e
T
y
e
y
e
) S
T T
( S e
e
T e
T e
Rˆ
T
e
Rˆ Rˆ
e T e
T
. Поэтому
S )T S
S Rˆ e .
Rˆ e , то x, y E n
( Rˆ
x
1
S
T
S )T ( S
e
T
e
1
S
§ 10.4, ортогональная, то есть для нее
Rˆ
e
e
x e )T y y
e
x
e T e
Rˆ y ( x, Rˆ y ). e
385
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
Признак самосопряженности может быть сформулирован как n
Следствие 10.7.1
Если линейный оператор в E имеет симметриическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то он самосопряженый.
Лемма 10.7.2.
Все собственные значения самосопряженного оператора
R в E n вещественные числа.
Доказательство.
Допустим противное: пусть характеристическое уравнение самосопряженного оператора i , где 0 .
R имеет комплексный корень
По теореме 8.6.2 оператор R в этом случае имеет двумерное инвариантное подпространство. То есть существует пара линейно независимых элементов x и y таких, что
Rˆ x x y, ˆ Ry y x. Умножая эти равенства скалярно: первое – справа на – слева на x , получим
y , второе
( Rˆ x, y ) ( x, y ) ( y, y ), ˆ ( x, Ry ) ( x, y ) ( x, x). Вычитая почленно второе равенство из первого и принимая во внимание самосопряженность 2
2
R , приходим к заключению, что
( x y ) 0 . Однако это противоречит предположению о том, что 0 . Лемма доказана.
386
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Лемма 10.7.3.
Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
Доказательство.
R имеют место равенства Rˆ f1 1 f1 и Rˆ f 2 2 f 2 , где ненулевые элементы f 1 и – сооти f 2 – собственные векторы оператора A 1 2 Пусть для самосопряженного оператора
ветствующие им собственные значения. Умножив эти равенства соответственно: первое – скалярно справа на f 2 , второе – скалярно слева на
f 1 , получим
( Rˆ f 1 , f 2 ) ( 1 f 1 , f 2 ), ( Rˆ f 1 , f 2 ) 1 ( f1 , f 2 ), или ˆ ˆ ( f 1 , R f 2 ) ( f 1 , 2 f 2 ) ( f 1 , R f 2 ) 2 ( f1 , f 2 ). Вычитая эти равенства почленно и учитывая, что пряженный оператор, приходим к равенству ( 1 2 )( f1 , f 2 ) 0 , откуда
R – самосо-
( f1, f 2 ) 0 .
Лемма доказана. Лемма 10.7.4.
Пусть
E – инвариантное подпространство самосопря-
женного оператора R , действующего в E , и пусть E – ортогональное дополнение к E в E . Тогда E – также инвариантное подпространство оператора
R .
Доказательство.
E инвариантно для оператора R , то есть E . x E : Rx Если E – ортогональное дополнение E , то x E и x E : ( x , x ) 0 .
387
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
E – инвариантное подпространство R , то будет , x ) 0 . Но в силу самосопряженнотакже иметь место ( Rx ) 0 . Последнее равенство означает, что сти R и ( x , Rx Поскольку
Rˆ x E x E , то есть и подпространство E будет инвариантным для оператора R . Лемма доказана. Теорема 10.7.1.
Для любого самосопряженного оператора R в E существует ортонормированный базис, состоящий из n
собственных векторов
R .
Доказательство.
Для самосопряженного оператора R в крайней мере, одно собственное значение
E n существует, по 1 . По лемме 10.7.2
это собственное значение вещественно. Из системы уравнений (8.5.1) можно найти отвечающий 1 собственный вектор e1 . Без ограничения общности можно считать, что
e1 1 . Если
n 1 , то доказательство завершено. 1
Рассмотрим E – линейную оболочку элемента e1 , являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством
R . Пусть E n1 – ортогональное дополнение к E 1 . Тогда по n1 лемме 10.7.4 E – также инвариантное подпространство оператора R . Рассмотрим теперь оператор R как действующий только в E n1 . Тогда очевидно, что R – самосопряженный оператор, заданный в
E n1 , поскольку E n1 инвариантно относительно
R по лемме 10.7.4 и, кроме того,
388
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
, y ) ( x , Ry ), x , y E n : ( Rx в том числе и
x , y E n 1 .
Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение 2 и соответствующий ему собственный вектор
e2 . Без ограничения общности можно считать, что
e2 1 . При этом 2 может случайно совпасть с 1 , однако из построения ясно, что ( e1 , e2 ) 0 . Если n 2 , то построение базиса завершено. Иначе рассмотрим
E 2 – линейную оболочку { e1 , e2 } и ее ортогональное
E n2 , найдем новое собственное значение 3 и соответствующий ему собственный вектор e3 и т.д. дополнение
Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания
En .
Теорема доказана. Следствие 10.7.2.
В базисе, построенном в теореме 10.7.1, самосопряженный оператор
R имеет диагональную матрицу в
n
E . Доказательство.
Вытекает из замечания о важности собственных векторов в § 8.5. Следствие 10.7.3.
Размерность собственного инвариантного подпространства, отвечающего некоторому собственному значению самосопряженного оператора, равна кратности этого собственного значения.
Доказательство.
Следует из доказательства теоремы 10.7.1.
389
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Следствие 10.7.4.
Если линейный оператор R в E имеет n попарно ортогональных собственных векторов, то он самосопряженный. n
Доказательство.
Пронормируем собственные векторы оператора R и примем их за ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора
R
e
диагональная и, следовательно, симмет-
рическая. Тогда в силу леммы 10.7.1 линейный оператор мосопряженный.
R са-
Следствие доказано. Следствие 10.7.5.
Если
R симметрическая матрица, то существу-
ет ортогональная матрица
Q такая, что матри-
ца
D Q
1
R Q Q
T
R Q
диагональная. Доказательство.
В ортонормированном базисе симметрическая матрица определяет самосопряженный оператор в стве искомой матрицы
R
E n , поэтому в каче-
Q можно выбрать матрицу перехо-
да от данного ортонормированного базиса к ортонормированному базису, образованному собственными векторами этого оператора по схеме, использованной в доказательстве теоремы 10.7.1. Следствие доказано.
390
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема 10.7.2.
A и B имеют обn щую систему собственных векторов в E тогда и ˆ Bˆ Bˆ Aˆ . только тогда, когда A Два самосопряженных оператора
Доказательство.
Докажем необходимость. Пусть
Aˆ a a и Bˆ a a , тогда Bˆ Aˆ a Bˆ a a ; Aˆ Bˆ a Aˆ a a ,
ˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) a o . Поскольи, вычитая почленно, получим, что ( A ку a – произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а знаE n , так как из собственных векто BA O . ров можно образовать базис. Поэтому AB чит, и для любого элемента в
Докажем достаточность.
A и B коммутируют и
Пусть самосопряженные операторы
Aˆ a a . Рассмотрим здесь лишь случай, ко различны. гда все собственные значения оператора A пусть, кроме того,
Покажем, что элемент евклидова пространства собственным вектором оператора
является b Ba
A . Действительно, в силу
BA имеем AB
Aˆ b Aˆ Bˆ a Bˆ Aˆ a Bˆ a Bˆ a b . кратности единица, то Поскольку все собственные значения A есть его собственное значение, отвечающее a и b одновре , также Bˆ a a . b Ba Значит, a – собственный вектор оператора B . менно. Поэтому b a и, поскольку
Теорема доказана.
391
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
§ 10.8. Ортогональные операторы Определение 10.8.1.
Линейный оператор
Q , действующий в евклидовом
пространстве E , называется ортогональным (или изометрическим), если x , y E имеет место равенство
, Qy ) ( x, y) . (Qx
Из определения 10.8.1 следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы элементов и величины углов между ними. Действительно,
Qˆ x (Qˆ x, Qˆ x) ( x, x) x ; cos
(Qˆ x, Qˆ y ) ( x, y ) cos ; x y Qˆ x Qˆ y
x, y E ,
– величина угла между ненулевыми элементами x и y , а – вели и Qy . чина угла между элементами Qx где
Теорема 10.8.1.
имеет сопряженный Если ортогональный оператор Q оператор, то он имеет и обратный оператор, причем
Q 1 Q . Доказательство.
По определению 10.8.1 следует, что
, Qy ) ( x , y ) , откуда x , y E (Qx
) ( x , y ) или ( x ,( Q Q E ) y ) 0 . ( x , Q Qy Последнее равенство в силу леммы 10.6.1 означает, что
Q Q E O .
392
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Q Q E O вытекает, что Q Q E . Тогда Qˆ Qˆ Qˆ Eˆ Qˆ , а в силу того, что единичный оператор комˆ Qˆ Qˆ Qˆ Eˆ или мутирует с любым другим, получаем Q E . Наконец, по определению 8.2.8 приходим к QQ Из равенства
Q 1 Q . Теорема доказана.
Qˆ и Qˆ 1 также ортогональные.
Следствие 10.8.1.
Операторы
Теорема 10.8.2.
Матрица ортогонального оператора в E в каждом ортонормированном базисе ортогональная.
n
Доказательство.
Пусть оператор
Q ортогональный. Тогда из соотношения
Q 1 Q по теореме 10.8.1 и в силу § 8.3 (4) в ортонормированном базисе справедливы равенства
Q Но тогда
Q
1 e
1 e
Q 1 e Q
Q
T e
e
T Q e .
, что и означает, согласно определе-
нию 5.1.4, ортогональность матрицы
Q e .
Теорема доказана.
Признак ортогональности линейного оператора в Теорема 10.8.3.
E n дает n
Для того чтобы линейный оператор в E был ортогональным, достаточно, чтобы его матрица была ортогональной в некотором ортонормированном базисе.
393
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство Доказательство.
Q в некотором ортонормиро-
1º. Пусть у линейного оператора
Qˆ
ванном базисе T
(Qˆ x, Qˆ y ) Qˆ x x
T
Qˆ
e
T e
Qˆ
Qˆ y
e
y
e
e
1 e
T
Qˆ
( Qˆ
e
x
T e
x e ) T Qˆ
e
Qˆ
x, y E n
. Тогда
e
1 e
Qˆ
y
e
y
e e
e
x
T e
y
e
( x, y ).
То есть условие ортогональности выполнено в
{e1 , e 2 ,..., en } . 2º. Перейдем теперь к
{e1 , e2 ,..., en } − некоторому другому ор-
тонормированному базису и убедимся, что условие ортогональности при этом переходе не нарушится. Действительно, в силу ортогональности матрицы перехода
S , связывающей
два ортонормированных базиса, имеем
Qˆ
1 e
( S
S
T
( S
Qˆ 1
1 T e
Qˆ
Qˆ
e
S ) 1 S
S S e
T
T
1
Qˆ ( S
S ) T Qˆ
e
T e
Qˆ
1 e
T T
S S
1
T
Qˆ
) ( S
Qˆ e
T e
S
S )T
.
Теорема доказана.
В ряде приложений оказывается полезной Теорема 10.8.4 (о полярном разложении).
Любой линейный оператор
A в E n с det Aˆ 0
может быть единственным образом представлен в
, где оператор Q ортогональный, а A QR оператор R – самосопряженный и имеющий повиде
ложительные собственные значения.
394
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Доказательство.
1.
A Покажем вначале, что самосопряженный оператор A (см. пример 10.7.1) имеет только положительные собственные значения. Действительно, пусть стороны,
Aˆ Aˆ f f , тогда, с одной
( Aˆ Aˆ f , f ) ( Aˆ f , Aˆ f ) 0 при f o , а с другой ( Aˆ Aˆ f , f ) ( f , f ) ( f , f ) ,
ˆ f , Aˆ f ) ( f , f ) . Но тогда все 0 в силу опто есть ( A ределения скалярного произведения, поскольку из допущения
Aˆ f o при f o следует, что Aˆ f 0 f det Aˆ 0 . {e1 , e2 ,..., en } – ортонормированный базис, состоящий A . Рассмотрим множеиз собственных векторов оператора A ; i [1, n] , для которых ство элементов Ae
2. Пусть
i
( Aˆ ei , Aˆ e j ) ( Aˆ Aˆ ei , e j ) i (ei , e j ) i ij ;i, j [1, n] .
Но это означает, что
1 ˆ Aei ; i [1, n] – также баei i
зис и притом ортонормированный.
Q оператор, переводящий ортонормированный базис {e1 , e2 ,..., en } в ортонормированный базис {e1 , e2 ,..., en } , и убедимся, что в каче 1 A . стве R можно взять оператор Q
3. Примем за искомый ортогональный оператор
Действительно, во-первых, имеет место равенство Во-вторых, из соотношений
Rˆ ei Qˆ 1 Aˆ ei Qˆ 1 i ei i ei ;
. A QR
i [1, n]
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
395
следует, что базисные элементы
ei , i [1, n] суть собствен-
R , отвечающие положительным собст i , а значит, матрица R e в базисе
ные векторы оператора венным значениям
{e1 , e2 ,..., en } диагональная и потому симметрическая. Тогда в силу леммы 10.7.1 оператор R самосопряженный. 4. Покажем, наконец, единственность разложения. Во введенных обозначениях справедливо равенство
A A R 2 , поскольку из
и A R Q следует, что A QR R Q 1QR R R , A A R Q QR A R 2 . то в силу самосопряженности R A Предположим, что существуют два различных самосопряжен-
R1 и R 2 с положительными собственными зна A R 2 ; A A R 2 и R 2 R 2 O . чениями, такие, что A ных оператора
1
2
1
2
Заметим, что R1 и R 2 по построению (см. 2) имеют общую систему собственных векторов, а потому они коммутируют. Но тогда, согласно § 8.2, справедливы равенства
Rˆ12 Rˆ 22 Rˆ12 Rˆ1 Rˆ 2 Rˆ 2 Rˆ1 Rˆ 22 ( Rˆ1 Rˆ 2 )( Rˆ1 Rˆ 2 ) Oˆ . Из невырожденности и линейности R1 и R 2 в силу теоремы 8.6.8 оператор R1 R 2 также невырожденный и поэтому из следует R R O . равенства ( R R )( R R ) O 1
2
1
2
1
2
Таким образом, R – самосопряженный оператор, определяе однозначно. Но Qˆ Aˆ Rˆ 1 и, значит, также опремый по A . деляется однозначно по A Теорема доказана.
396
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечания. 1.
Теорема о полярном разложении является обобщением теоремы 5.5.2 о возможности представления аффинного преобразования плоскости в виде произведения двух операторов, первый из которых ортогональный, а второй – сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям, матрица которого диагональная.
2.
разложение, В случае вырожденного оператора A аналогичное указанному в теореме 10.8.2, с неотрицательными собственными значениями самосопряженного оператора венно.
Задача 10.8.1.
R существует, но не единст-
В некотором ортонормированном базисе в оператор
2
A имеет матрицу Aˆ e0
E 2 линейный 1
0
2
. Найти
его полярное разложение. Решение.
1.
Выполним искомое разложение по схеме, использованной в
A A в ис0 0 ходном (стандартном) ортонормированном базисе {e1 , e2 } доказательстве теоремы 10.8.2. Матрица оператора имеет вид
Aˆ Aˆ
2 1
e0
Aˆ 0 2
e0
2 0
Aˆ
e0
Aˆ
T e0
Aˆ
e0
1 2 2 . 2 2 3
397
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
Собственные значения и собственные векторы этого оператора равны соответственно
1 1 ; 2 4 ; f1
e0
2
1
; f2
e0
1 , 2
поэтому (сохраняя обозначения, использованные в доказательстве теоремы 10.8.4) получим координатные представления в
{e10 , e20 } для элементов, образующих ортонормированные базисы {e1 , e2 } :
e1
и
f1 f1
2 3
f2
; e2
1 3
f2
1 3
,
2 3
{e1 , e2 } :
e1
1 ˆ A e1 1
1 2 2 0
1 3
;
e2
1 3
1 ˆ A e2 2
2 3 1 2
2 3
2 3 1 3
.
398 2.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Обозначив через
2 3
G
1 3 и
1 3
1 3
F
2 3
2 3
2 3 1 3
соответственно матрицы перехода от исходного (стандартного) базиса {e1 , e2 } к базисам {e1 , e2 } и {e1 , e2 } и рассуждая так же, как при решении задачи 7.5.2, получим для матрицы орто0
0
гонального оператора
Q выражение
Qˆ
e0
F G
1
.
Действительно, в рассматриваемом случае преобразование
Qˆ {e1 , e2 } {e1 , e2 } может быть представлено как произведение (последовательное выполнение) преобразований
Gˆ 1 {e1 , e2 } {e10 , e20 } Следовательно,
Qˆ
e0
Fˆ
Fˆ
{e10 , e20 } {e1 , e2 } .
и e0
Gˆ 1
e0
.
Наконец, в силу определений 8.3.1 и 7.4.2, а также равенства
Gˆ 1
e0
Gˆ
1 e0
получаем, что
Учитывая, что матрица
Qˆ
e0
F G
1
.
G ортогональная (как матрица пе-
рехода, связывающая два ортонормированных базиса), находим матрицу
Qˆ
e0
F
G
1
F
G
T
399
Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
1 3
2 3
2 2 3
1 3
1 3
,
2 2 3
которая в исходном ортонормированном базисе ортогональная. 3.
Поскольку
Rˆ
e0
R Q 1 A , то
Qˆ 1
e0
2 2 3
Aˆ
e0
1 3
1 3
Aˆ
1 2
2 0
2 2 3
1 e0
Qˆ
e0
4 3
T e0
Qˆ
2 3
Aˆ 2 3
e0
,
5 3
и, следовательно, искомое полярное разложение имеет вид
Aˆ
e0
Qˆ
e0
Rˆ
e0
2 2 3 1 3
1 3
2 2 3
4 3
2 3
2 3 5 3
.
400
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Глава 11
УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО § 11.1. Определение унитарного пространства Определение 11.1.1.
Пусть в комплексном линейном пространстве U каждой упорядоченной паре элементов a и b поставлено в соответствие комплексное15 число
ab ,
называемое их скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы: 1.
ab ba ;
2.
a b a b
3.
a1 a 2 b a1 b a 2 b ;
4.
a a – вещественное неотрица-
;
тельное число, причем
a a 0 a o, тогда говорят, что задано унитарное пространство. Для обозначения скалярного произведения в унитарном пространстве используются не круглые скобки, принятые в евклидовом пространстве, а скобки типа “брэкет”. Замечание: вид аксиомы 1 позволяет избежать проблемы, которая
возникает в случае использования евклидовского правила коммутативности скалярного произведения для комплексных линейных пространств.
15
Определение и основные свойства комплексных чисел приводятся в приложении 3.
401
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
Действительно, если принять, что
a b b a , то
a b a b , и очевидно, что при некотором ненулевом a и i :
ia ia (i)(i) a a (i ) 2 a a i 2 a a a a , но тогда либо
ia ia , либо a a не положительно и
аксиома 4 не будет справедливой. В случае же равенства
a b b a вынос из вто-
рого сомножителя скалярного произведения выполняется иначе:
a b b a b a b a a b ,
поскольку , что в рассматриваемом примере приводит к равенству
ia ia ii a a a a , которое согласуется с аксиомой 4. Пример 11.1.1.
1. Пространство n-мерных столбцов
1 a 2 ; b ... n
1 2 , где i , i ; i [1, n] ... n
– комплексные числа, со скалярным произведением, n
определяемым по формуле
a b i i , является i 1
унитарным.
402
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2. Унитарным будет пространство непрерывных на [, ] комплекснозначных функций вещественного аргумента со скалярным произведением
a b a ()b()d .
В унитарных пространствах, как правило, существуют аналоги определений и теорем, справедливых для евклидова пространства. Например, неравенство Коши–Буняковского имеет вид
aa bb ab ba . Действительно,
aa bb ab В
2
конечномерном
ab ab ab ba унитарном
a, b U .
пространстве
Un
базис
{g1, g 2 ,..., g n } при необходимости может быть ортогонализирован по схеме Грама–Шмидта. Выражение для скалярного произведения в координатах аналогично соответствующей формуле в евклидовом пространстве:
a b 1
2 n
g
1 2 n
1
2 n
g1 g1 g 2 g1
g1 g 2 g2 g2
g1 g n g2 gn
g n g1
gn g2
gn gn
1 2 n
,
403
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
где
g
– базисная матрица Грама в унитарном пространстве
Заметим, что поскольку во
T g
Определение 11.1.2.
g
U n.
g i g j g j g i , то имеет место равенст-
.
Матрица
A ,
удовлетворяющая
соотношению
T
A A , называется эрмитовой. Матрица
A
T
A , удовлетворяющая соотношениям
A E и
A A
T
E , называется уни-
тарной. Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, модуль которого равен единице. Действительно,
det ( A
T
A ) det A det A
T
det A det A det A 2
det E 1 .
§ 11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве Для унитарного пространства справедливы определения, введенные для линейных операторов в главе 10. В данном параграфе будут рассмотрены лишь специфические особенности линейных операторов, действующих в унитарном пространстве.
404
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение 11.2.1.
, действующий в унитарном Линейный оператор A пространстве U , называется унитарным (или изометрическим), если a , b U имеет место равенство Aˆ a Aˆ b a b . унитарный линейный оператор, действующий в конеч-
Замечание:
n
номерном унитарном пространстве U , в ортонормированном базисе имеет унитарную матрицу. Определение 11.2.2.
, действующий в унитарном Линейный оператор A пространстве U , называется эрмитово сопряженным линейному оператору сто равенство
A , если a , b U имеет ме-
Aˆ a b a Aˆ b . Теорема 11.2.1.
и B , действующих в Для линейных операторов A унитарном пространстве U , справедливы соотношения:
) B A и (Aˆ ) Aˆ . ( AB
Доказательство.
Докажем первое соотношение. Имеем
( Aˆ Bˆ )a b Bˆ a Aˆ b a Bˆ Aˆ b
a, b U .
Откуда получаем по определению 11.2.2, что
) B A . ( AB Аналогично
(Aˆ )a b Aˆ a b a Aˆ b a Aˆ b a, b U для любого комплексного числа . Теорема доказана.
405
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
Для эрмитовски сопряженных операторов, действующих в конечномерном пространстве
U n , имеет место
A , эрмитово сопряженного оператору A в U , в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } определяется
Теорема Матрица оператора 11.2.2. n
соотношением
Aˆ
g
1
Aˆ
T g
,
доказательство которой аналогично выводу формулы (10.6.1) для евклидова пространства.
§ 11.3. Эрмитовы операторы Определение 11.3.1.
, действующий в унитарном Линейный оператор A пространстве, называется эрмитово самосопряженным (или просто эрмитовым), если
A = A .
Замечание: эрмитов оператор, действующий в конечномерном n
унитарном пространстве U , обладает свойствами, аналогичными свойствам самосопряженного оператора в евклидовом пространстве
E n . В частности:
1.
Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
2.
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям эрмитова оператора, ортогональны.
3.
Для каждого эрмитова оператора существует ортонормированный базис, состоящий из его собственных векторов.
406
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 4. В любом ортонормированном базисе унитарn
ного пространства U эрмитов оператор имеет эрмитову матрицу. Определение 11.3.2.
Собственное значение линейного оператора A называется вырожденным, если отвечающее ему инвариантное собственное подпространство имеет размерность больше единицы.
Приведем формулировки и обоснование наиболее важных свойств эрмитовых операторов. Теорема 11.3.1.
и B имеют общую сисДва эрмитовых оператора A тему собственных векторов тогда и только тогда, коˆ Bˆ гда A руют.
Bˆ Aˆ , то есть когда эти операторы коммути-
Доказательство.
Aˆ a a и Bˆ a a , тогда Bˆ Aˆ a Bˆ a a, Aˆ Bˆ a Aˆ a a, BA ) a o . Пои, вычитая почленно, получим, что ( AB
Докажем необходимость. Пусть
скольку a – произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а значит, и для любого элемента унитарного пространства, так как из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому
BA O . AB Докажем достаточность. Пусть эрмитовы операторы
A и B
ˆ a a . Рассмотрим слукоммутируют и пусть, кроме того, A чай лишь невырожденных собственных значений, то есть случай, когда все собственные значения различны.
407
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
Покажем
теперь,
что
элемент
унитарного
пространства
является собственным вектором оператора A . Дейстb Ba BA вительно, в силу AB
Aˆ b Aˆ Bˆ a Bˆ Aˆ a Bˆ a Bˆ a b . кратности единица, то Поскольку все собственные значения A есть его собственное значение, отвечающее a и b одновре Bˆ a a . То есть a менно. Поэтому b a и в силу b Ba – собственный вектор оператора B . Теорема доказана.
коммутирует с каждым Если эрмитов оператор A Теорема 11.3.2 из двух некоммутирующих между собой эрмитовых (о вырожоператоров Bˆ и Cˆ , то все собственные значения дении). оператора
A вырожденные.
Доказательство.
Пусть – линейная оболочка элемента f – является одномерным инвариантным собственным подпространством оператора
A , отвечающим его собственному значению кратности еди ница. То есть предположим, что dim 1 . и B (по теореме 11.3.1) Из коммутируемости операторов A и C следует, имеем, что Bˆ f f , а из коммутируемости A ˆ f f справедливы равенчто Cˆ f f . Но тогда в силу A ства
Aˆ Bˆ f Bˆ Aˆ f f , Cˆ Bˆ Aˆ f f , Aˆ Cˆ f Cˆ Aˆ f f , Bˆ Cˆ Aˆ f f , Cˆ Bˆ ( f ) ( f ) и Bˆ Cˆ ( f ) ( f ).
408
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Вычитая эти равенства почленно, получаем, что
( Bˆ Cˆ Cˆ Bˆ )( f ) o f , CB O и операторы B и C коммутируют. Но то есть, BC последнее утверждение противоречит условию теоремы, и, следовательно, необходимо допустить существование более чем одного линейно независимого элемента в
.
Теорема доказана.
Т а блица 11.3.1 Евклидово пространство
Унитарное пространство
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:
( a , b ) ( a , b )
A : ( Aˆ a, Aˆ b) (a, b) a, b E
Ортогональный оператор
Ортогональная матрица:
A
T
A E
В ортонормированном базисе в
E
n
ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу
a b a b Унитарный оператор
Aˆ a Aˆ b a b
A : a, b U
Унитарная матрица:
A
T
A E
В ортонормированном базисе в
U n унитарный оператор имеет унитарную матрицу
409
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
A :
Сопряженный оператор
Эрмитово сопряженный оператор
( Aˆ a, b) (a, Aˆ b) a, b E n
В E сопряженный оператор имеет матрицу
Aˆ
g
1
Aˆ
T g
Симметрическая матрица:
1
Aˆ
T g
Aˆ a b a Aˆ b
a, b U
Эрмитова матрица:
A
A
В ортонормированном базисе в
E
g
Эрмитово самосопряженный (эрмитов) оператор:
( Aˆ a, b) (a, Aˆ b) a, b E
T
n
В U эрмитово сопряженный оператор имеет матрицу
Aˆ
Самосопряженный оператор:
A
A : Aˆ a b a Aˆ b a , b U .
n
T
A
В ортонормированном базисе в
U n эрмитов оператор имеет эр-
самосопряженный оператор имеет симметрическую матрицу
митову матрицу
Из собственных векторов само-
Из собственных векторов эрмито-
n
сопряженного оператора в E можно образовать ортонормированный базис
n
ва оператора в U можно образовать ортонормированный базис
В таблице 11.3.1 приведены некоторые понятия и свойства евклидова и унитарного пространств таким образом, чтобы облегчить их сравнительное сопоставление.
410
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
§ 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора Как и в любом линейном пространстве, в унитарном пространстве можно ввести билинейные и квадратичные функционалы. Например, в унитарном пространстве непрерывных комплекснозначных на [, ] функций () билинейным по ся выражение
() и () функционалом являет-
B((), ()) () K (, ) () dd .
Определение 11.4.1.
Квадратичный функционал вида
( x) x Aˆ x , где
x U , а линейный оператор A – эрмитов, называется эрмитовым функционалом (или эрмитовой формой) в унитарном пространстве U .
Определение 11.4.2.
Число
Aˆ a a Aˆ a называется средним значением
по a – нормированному элеэрмитова оператора A менту из унитарного пространства.
Замечания. 1. Если a – нормированный (то есть с
a
a a 1)
A с соотˆa , ветствующим собственным значением , то A собственный вектор эрмитова оператора поскольку в этом случае
Aˆ a a Aˆ a a a a a . 2. Среднее значение эрмитова оператора, заданного в унитарном пространстве, вещественно. Пусть
A A , тогда
411
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
Aˆ a a a Aˆ a a Aˆ a Aˆ a a , но если некоторое число равно своему комплексному сопряжению, то оно вещественно. 3. Если принять, что оператор умножения на константу
есть ˆ Eˆ , где E – единичный оператор, то A имеет место соотношение A 0 . Действиaa
тельно,
Aˆ Aˆ a a a ( Aˆ Aˆ a )a a Aˆ a a Aˆ a a ( Aˆ a Aˆ a ) a a 0 . Определение 11.4.3.
Число
A ( A A a ) 2 a
a
называется дисперсией
ˆ по нормированному элеменэрмитова оператора A ту унитарного пространства a. Отметим следующие свойства дисперсии. Теорема 11.4.1.
Дисперсия
A
a
эрмитова оператора
A , действующе-
го в унитарном пространстве, есть вещественное неотрицательное число, для которого справедливо равенство
Aˆ ( Aˆ ) 2 a ( Aˆ a ) 2 .
a
Доказательство.
Покажем вначале, что число
A вещественное и неотрицаa
ˆ Aˆ a , очевидно, эрмитов, поскольку тельное. Оператор A (по условию теоремы) и эрмитовыми являются операторы A Aˆ a (как оператор умножения на константу).
412
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Тогда
Aˆ a ( Aˆ Aˆ a ) 2 a a ( Aˆ Aˆ a )( Aˆ Aˆ a )a a
( Aˆ Aˆ a ) a ( Aˆ Aˆ a )a
( Aˆ Aˆ a )a ( Aˆ Aˆ a )a
0.
С другой стороны, исходя из определения 11.4.2, получим
Aˆ ( Aˆ Aˆ a ) 2 a ( Aˆ Aˆ a ) 2 a a
a
a
(( Aˆ ) 2 2 Aˆ Aˆ a ( Aˆ a ) 2 )a
a ( Aˆ ) 2 a 2 Aˆ a a Aˆ a ( Aˆ a ) 2 a a ( Aˆ ) 2 2 Aˆ a Aˆ a ( Aˆ a ) 2 ( Aˆ ) 2 ( Aˆ a ) 2 . a
a
Теорема доказана.
, действующего в унитарТеорема Для эрмитова оператора A 11.4.2. ном пространстве, дисперсия, взятая по его нормированному собственному вектору, равняется нулю. Доказательство.
Пусть
Aˆ a a , тогда 2
a Aˆ a a a
2
Aˆ ( Aˆ ) 2 a ( Aˆ a ) 2 a ( Aˆ ) 2 a a Aˆ a
a
a Aˆ ( Aˆ a) a Aˆ a a Aˆ (a) a a
2
2
413
Г л а в а 1 1 . Унитарное пространство
a a 2 a a
2
2 a a 2 a a
2
2 2 0 , поскольку
a a 1.
Теорема доказана.
§ 11.5. Соотношение неопределенностей Для эрмитовых операторов, действующих в унитарном пространстве, справедлива Теорема 11.5.1 (cоотношение неопределенностей).
и B , заданДля двух эрмитовых операторов A ных в унитарном пространстве, имеет место соотношение
Aˆ Bˆ a
a
1 4
2
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ a .
Доказательство.
1. Рассмотрим оператор
Qˆ ( Aˆ Aˆ a ) ( Bˆ Bˆ a ) i (где –
некоторый вещественный параметр), для которого эрмитово сопряженным будет оператор вида
Qˆ ( Aˆ Aˆ a ) ( Bˆ Bˆ a ) i , ибо эрмитовыми являются следующие четыре оператора:
A , A , B , B . Заметим также, что оператор Qˆ Qˆ – эрмиa
тов и что
a
a Qˆ Qˆ a Qˆ a Qˆ a 0 Qˆ . (См. доказатель-
ство теоремы 10.8.2, пункт 1.)
414
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
2. Выразим оператор
Q Q через операторы A , A , B , B , a
a
получим
Qˆ Qˆ (( Aˆ Aˆ a ) ( Bˆ Bˆ a )i)(( Aˆ Aˆ a ) ( Bˆ Bˆ a )i) ( Aˆ Aˆ a ) 2 2 ( Bˆ Bˆ a ) 2 (( Aˆ Aˆ a )( Bˆ Bˆ a ) ( Bˆ Bˆ a )( Aˆ Aˆ a ))i ( Aˆ Aˆ a ) 2 2 ( Bˆ Bˆ a ) 2 ( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ )i. Cˆ ( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) i , причем отметим, что из предыдущего равенства следует эрмитовость оператора Cˆ как
3. Обозначим
линейной комбинации эрмитовых операторов. Подсчитаем теперь среднее значение эрмитова оператора
Qˆ Qˆ :
Qˆ Qˆ a Aˆ 2 Bˆ a ( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ )ia a
a
Bˆ Cˆ a Aˆ . 2
a
Полученное значение
a
Q Q есть вещественный квадратный a
трехчлен относительно , который должен быть неотрицательным при любом . Отсюда следует, что его дискриминант не положителен, то есть
( C a ) 2
4 A B 0 , a
a
или окончательно
A B a
Теорема доказана.
a
1 4
BA AB
2 a
.
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
415
Глава 12
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В данной главе рассматриваются некоторые классы задач, имеющие важное значение в прикладных разделах математики, таких, как математическая физика, теория оптимального управления, математическая экономика, вычислительная математика и т.д., причем общим для этих задач является использование в процессе их решения понятий и методов различных разделов линейной алгебры.
§ 12.1. Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду Задача отыскания базиса, в котором квадратичный функционал имеет диагональный или канонический вид, достаточно часто встречается в различных приложениях механики, физики, теории оптимального управления.
Приведение к диагональному виду квадратичного функционала, заданного в ортонормированном базисе Пусть в ортонормированном базисе странства
E
n
{e1 , e2 ,..., en } евклидова про-
задан некоторый квадратичный функционал n
(x).
Рассмотрим задачу отыскания в E ортонормированного базиса {e1 , e2 ,..., en } , в котором функционал (x) имеет диагональный вид.
416
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Принципиальная разрешимость подобной задачи для неортонормированного базиса следует из теоремы 9.2.1. Очевидно, что такой базис не единственный, и потому представляется интересным исслеn
дование возможности построения в E ортонормированного базиса, в котором данный квадратичный функционал (x ) имеет диагональный вид. Напомним предварительно (см. § 9.2), что квадратичный функционал в
n может быть задан формулой n
n
( x) ki k i x k 1 i 1
в которой симметрическая матрица де от базиса
T g
g
x
g
,
преобразуется при перехо-
g
{g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } по правилу
g
S
T
g
S .
При доказательстве теоремы 9.2.1 использовалась математическая индукция в сочетании с методом выделения полных квадратов (называемым иногда методом Лагранжа), применение которого на практике может потребовать значительных затрат вычислительных ресурсов. Существенно более эффективным оказывается алгоритм, основой которого является Теорема 12.1.1.
16
Для всякого квадратичного функционала, заданного в ортонормированном базисе, существует ортонормированный базис, в котором этот функционал имеет диагональный вид16.
Иногда задачу отыскания ортонормированного базиса, в котором квадратичный функционал имеет диагональный вид, называют “приведением квадратичного функционала к диагональному виду при помощи ортогональной матрицы перехода”.
417
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры Доказательство.
1. Как было показано в § 9.2, матрица квадратичного функционала (x ) изменяется по правилу
где
T
S
e
e
S ,
S ij – матрица перехода от базиса {e1 , e2 ,..., en }
к базису
{e1 , e2 ,..., en } , то есть n
ek sk e s , k [1, n] , s 1
а
e
– симметрическая матрица билинейного функциона-
ла, порождающего квадратичный функционал
S
2. Поскольку матрица перехода
(x) .
от одного ортонормиро-
ванного базиса к другому ортогональная (§ 10.4), то для нее справедливо равенство
S
1
S
T
. Откуда вытекает, что
в рассматриваемом нами случае
e
S
1
e
S .
3. Формально симметрическая матрица
e
в ортонормиро-
{e1 , e2 ,..., en } определяет самосопряженный ˆ , матрица которого в базисе оператор (лемма 10.7.1) Ф {e1 , e2 ,..., en } находится по формуле (теорема 8.3.2) ванном базисе
4.
e
S
1
e
S .
Совпадение формул изменения матриц квадратичного функционала и самосопряженного оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому позволяет использовать в качестве базиса {e1 , e2 ,..., en } – ортонормированный базис из собственных векторов оператора
ˆ.
418
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Этот базис существует (см. теорему 10.7.1) и в нем матрица
ˆ (а значит, и матрица квадратичного функциооператора нала (x ) ) имеет диагональный вид, причем на главной диагонали расположены собственные значения самосопряженного оператора
ˆ.
Теорема доказана.
Заметим, что утверждение теоремы 12.1.1 согласуется с утверждением следствия 10.7.4. Определение 12.1.1.
ˆ называется Линейный самосопряженный оператор присоединенным к квадратичному функционалу
(x) в E n . При этом очевидно выполнение равенства
ˆ x) ; x E n . (x) ( x, Определение 12.1.2.
( x, Aˆ x) n , заданный в E для ( x, x ) , называнекоторого самосопряженного оператора A Функционал
( x )
ется отношением Релея. Используя теорему 12.1.1, можно упростить процедуру оценки экстремальных значений квадратичного функционала. В качестве примера рассмотрим задачу нахождения максимума и минимума (x ) .
Следствие 12.1.1.
В ортонормированном базисе максимальное (минимальное) значение (x ) равно максимальному (минимальному) собственному значению операто-
, и это значение достигается на соответстра A вующем собственном векторе этого оператора.
419
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры Доказательство.
Поскольку при переходе к ортонормированному базису, образованному из собственных векторов самосопряженного оператора
A (в силу теоремы 12.1.1), справедливы соотношения n
( x, Aˆ x) ( x ) ( x, x )
ij i j i 1
n
i 1
2 i
n
i 1 n
i
2
i
, 2
i
i 1
то, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 9.5.1, получаем, что min ( x ) max . Следствие доказано.
Проиллюстрируем применение теоремы 12.1.1 на примере решения следующей задачи. Задача 12.1.1.
При помощи ортогонального оператора привести к диа-
E 3 квадратичный функционал (x) 21 2 21 3 2 2 3 .
гональному виду в
Решение.
1. Пусть исходный ортонормированный базис состоит из элементов
1 {e1 , e2 , e3 } с
0
0
e1 0 , e2 1 , e3 0 . Восстано0 0 1
вим по квадратичному функционалу
(x) 21 2 21 3 2 2 3 порождающий его симметричный билинейный функционал B( x , y ) , использовав формулу
420
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
B ( x, y ) В данном случае
1 ( x y ) ( x) ( y )) (см. § 9.2). 2
( y ) 21 2 213 2 2 3 , а
( x y ) 2(1 1 )( 2 2 ) 2(1 1 )( 3 3 ) 2( 2 2 )( 3 3 ), и потому
B( x, y ) 1 2 13 2 3 1 2 1 3 2 3 ,
1 где
x
e
1
2 и y 3
e
2 . 3
Следовательно, матрица функционала
e
0
1
1 1
0 1
(x) имеет вид
1 1 . 0
2. Рассмотрим построенную симметрическую матрицу как задаю-
ˆ в E и найдем для него щую самосопряженный оператор собственные значения. Составляем характеристическое уравнение 8.5.2: 3
det
1
1
1 1 0 или 3 3 2 0 . 1 1
Оно имеет корни:
1 2, 2,3 1 , которые и являются соб-
ственными значениями. Заметим, что если нас интересует только диагональный вид квадратичного функционала, то его можно написать, основываясь на следствии 10.7.1:
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
421
( x) 21 2 22 32 и на этом закончить решение задачи. 3. В случае, когда требуется найти также и матрицу
S – матрицу
перехода от исходного ортонормированного базиса к искомому, ˆ . Для необходимо определить собственные векторы оператора этого будем последовательно подставлять найденные собственные значения в систему (8.4.1) и строить ее общие решения. Для 2 имеем
2
1
1 1
0
1 2 1 2 0 . 1 1 2 3 0 Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, поскольку третье уравнение есть разность первых двух. Далее, действуя по схеме, описанной в § 6.8 (метод Гаусса), получаем для компонентов собственного вектора систему условий
21 2 3 , 1 2 2 3 . Принимая
3 за свободное неизвестное, получим собственный
1 вектор
f1
1 . 1
Кратность собственного значения 1 равна 2, и в силу следствия 10.7.2 ему должны отвечать два линейно независимых (но не обязательно ортогональных) собственных вектора. Конкретно, компоненты собственного вектора должны удовлетворять следующей системе уравнений:
422
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1
1
1 1
0
1 1 1 2 0 , 1 1 1 3 0 из которых независимое только одно
1 2 3 . Общее ре-
шение этой системы будет иметь вид
1
1
1
2 1 0 3 0 1
, .
Каждый столбец такого вида ортогонален f1 , но выбранные конкретные фундаментальные решения не ортогональны друг другу. Поэтому пару ортогональных собственных векторов, отвечающих 1 , сформируем из первого фундаментального решения и ортогональной ему линейной комбинации первого и
1 второго. Условие ортогональности столбцов 1 и , 0 очевидно, есть 2 0 . Откуда, например, выбрав 1 и 1 1 2 , получим f 2 1 и f 3
0 4. Набор элементов
1 . 2
{ f1 , f 2 , f 3 } является в E 3 ортогональным,
но ненормированным базисом. Чтобы построить ортонормированный базис, выполним нормировку каждого из элементов базиса { f1 , f 2 , f 3 } . В результате получим
423
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
e1
1 3 1 , e2 3 1 3
1 2 1 2 0
1 6 1 и e3 . 6 2 6
Матрица
S
1 3 1 3 1 3
(перехода от “старого” базиса
1 2 1 2
1 6 1 6 2 0 6
{e1 , e2 , e3 } к “новому” базису
{e1 , e2 , e3 } ), столбцами которой являются координатные представления элементов базиса {e1 , e2 , e3 } по базису {e1 , e2 , e3 } , ортогональная, то есть удовлетворяет соотношению
S
1
S
T
,
что позволяет легко получить формулы, выражающие “новые” координаты через “старые”.
1 Действительно (§ 7.4), из соотношения
1 2 S 3
1
1 2 , или окончательно 3
2 S 3
1 2 следует 3
424
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1 3 1 1 2 2 3 1 6
1 3 1 2 1 6
1 3 0
2 6
1 2 . 3
Построение базиса, в котором два квадратичных функционала (один из которых знакоопределенный) имеют диагональный вид Пусть в некотором базисе
{g1 , g 2 ,..., g n } линейного пространст-
ва задана пара квадратичных функционалов (x ) и (x ) , первый из которых знакоопределенный (например, положительно). Рассмотрим задачу отыскания базиса {g1 , g 2 ,..., g n } , в котором функn
ционал (x ) имеет канонический, а функционал нальный вид.
(x) – диаго-
Отметим, что условие знаковой определенности одного из приводимых квадратичных функционалов существенно, поскольку в общем случае два различных квадратичных функционала одним линейным преобразованием к диагональному виду не приводятся.17 Например, квадратичный функционал
( x) A12 2 B1 2 C 22 в можно привести к диагональному виду при помощи линейного оператора, сводящегося к повороту плоскости радиусов-векторов на угол . 2
17
Как и ранее, под “приведением квадратичного функционала к диагональному виду” понимается задача отыскания базиса (или построения матрицы перехода к базису), в котором матрица квадратичного функционала диагональная.
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
425
При этом необходимо (см. доказательство теоремы 4.4.1), чтобы удовлетворяло уравнению ( A C ) sin 2 2 B cos 2 .
Однако для пары квадратичных функционалов
1 ( x) 12 22 и 2 ( x) 1 2 угла
, удовлетворяющего системе условий 2 sin 2 0, 0 cos 2,
очевидно, не существует. Опишем теперь алгоритм приведения в пары квадратичных функционалов (x ) и (x ) , заданных в некотором исходном базиn
се
{g1 , g 2 ,..., g n } , первый из которых положительно определенный,
соответственно к каноническому и диагональному виду. 1. Поскольку квадратичный функционал
(x) положительно оп-
ределенный, то для него в найдется другой базис {g1 , g 2 ,..., g n } , в котором он имеет канонический вид, причем n
все его коэффициенты равны единице (см. теорему 9.2.1). Приведем этот функционал к данному виду каким-либо методом, например, выделив полные квадраты с последующей нормировкой элементов его матрицы. Одновременно тем же самым методом преобразуем также и квадратичный функционал (x ) . 2. Введем в
n скалярное произведение по формуле n
( x, y ) k k , k 1
превратив тем самым данное линейное пространство в евклидово
n . Отметим, что в этом случае базис
426
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
{g1 , g 2 ,..., g n } {e1 , e2 ,..., en } , в котором (x ) имеет канонический вид, ортонормированный. 3. Построим теперь третий, также ортонормированный базис {e1, e2 ,..., en} , переход к которому выполняется при помощи
S , приведя квадратичный функционал (x) к
матрицы
диагональному виду по схеме, описанной в § 12.1.1. При этом переходе квадратичный функционал (x ) не потеряет канонического вида, поскольку из условия нальности
e
E и ортого-
S следует, что e
T
S
S
T
e
S S
S S
1
T
E
S
S E .
Таким образом, построен базис, в котором квадратичный функционал (x ) имеет канонический вид, а функционал
(x) – диагональный. В заключение отметим, что матрица перехода к искомому ортонормированному базису есть произведение матрицы перехода, при котором знакоопределенный квадратичный функционал приводится к каноническому виду, и ортогональной матрицы Задача 12.1.2.
S .
Найти замену переменных, приводящую квадратичные функционалы
(x) 12 21 2 3 22 и (x) 412 161 2 6 22 соответственно к каноническому и диагональному виду.
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
427
Решение.
1.
Исследуем квадратичные функционалы (x ) и (x ) на знаковую определенность. Из критерия Сильвестра (теорема 9.3.2) и неравенств
1 1 4 8 2 0 ; det 40 0 1 3 8 6 заключаем, что (x ) – положительно определенный квадратичный функционал, в то время как функционал (x ) не явdet
ляется знакоопределенным. 2.
Приведем положительно определенный квадратичный функционал (x ) к каноническому виду методом Лагранжа. Поскольку
(x) 12 21 2 3 22 (1 2 ) 2 2 22 , то, выполнив замену переменных
1 1 2 получим
1 1 2 или 22 2 1 2 2 , 1 2 2
(x) 1 2 22 и соответственно (x) 41 2 4 21 2 322 .
3.
Введение в скалярного произведения с единичной матрицей Грама означает, что координаты {1 ; 2 } есть координаты 2
евклидова пространства
2
с базисом
{e1 , e2 } , где
428
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
e1
e
1
e2
;
0
e
Матрица квадратичного функционала
e
4
2 2
2 2
3
0 1
.
(x) в этом базисе
. Она задает присоединенный самосо-
пряженный оператор, имеющий собственные значения и
2 4 , а также ортонормированные собственные векторы
f1
e
2 2 3
и
1 3 новый базис {e1, e 2 } . 4.
1 5
f2
e
1 3
, которые примем за
2 2 3
Матрица перехода от ортонормированного базиса ортонормированному базису {e1, e 2 } , в котором
{e1 , e2 } к
(x) 1 2 2 2 и (x) 51 2 42 2 , ортогональная и имеет вид
S
2 2 1 3 3 1 3
Откуда окончательно получаем, что
2 2 3
.
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
2 2 1 1 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 3
429
2 2 1 2 2 , 1 3 2 1 1 2 . 3
Если в задаче одновременного приведения пары квадратичных функционалов, один из которых положительно определенный, соответственно к каноническому и диагональному виду, требуется найти лишь этот вид (а не формулы замены переменных), то можно воспользоваться более простой схемой расчетов. Допустим, что положительно определенный квадратичный функционал
(x) приведен при помощи матрицы перехода S к каноT
S E . После того же преобразования матрица квадратичного функционала (x ) будет иметь S
ническому виду, то есть
вид
S
T
S .
Согласно теореме 12.1.1 в ортонормированном базисе для построения диагонального вида квадратичного функционала (x ) достаточно найти собственные числа самосопряженного оператора, матрица которого есть
. Найдем выражение для этой матрицы, учи-
тывающее связь между матрицами
и
S .
Из равенства
S следует, что
S ( S
T
T
S E ) 1 . Тогда, используя правила об-
ращения и транспонирования произведения матриц, перестановочность обращения и транспонирования, а также симметричность и невырожденность матрицы
, имеем
430
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
S
T
S (( S
( ( ) 1 ( S S
1
(
)
T 1 T
)
T 1
)
T
) 1 ) T
S
S
S S
1
(
1
Полученное равенство означает, что матрица
) S . может рас-
сматриваться как результат преобразования матрицы линейного оператора
1
при замене базиса с матрицей перехода
S .
Поскольку собственные значения линейного оператора не зависят от выбора базиса, то решение задачи может быть сведено к определению собственных значений оператора, имеющего матрицу
1
.
Собственные векторы и собственные значения этого оператора находятся согласно § 8.5 из системы линейных уравнений
(
1
) f f ,
которую можно преобразовать к виду
( )
f o .
Условие существования ненулевых столбцов
ˆ ˆ det
g
f :
0
– алгебраическое уравнение относительно , корни которого и являются искомыми коэффициентами диагонального представления квадратичного функционала (x ) . Проиллюстрируем применение данного метода для нахождения диагонального вида квадратичных форм в задаче 12.1.2. В этом случае
1 1 1 3
и
4 8 , то есть для определения коэф8 6
фициентов диагонального представления квадратичного функционала (x) необходимо решить уравнение
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
det (
431
4 8 1 1 4 8 ) 0 или det 0. 8 3 1 3 8 3 3
1 5 и 2 4 , то 2 2 искомый диагональный вид для (x ) будет (x ) 51 42 , в 2 2 то время как очевидно, что (x ) 1 2 . Поскольку данное уравнение имеет корни
§ 12.2. Классификация поверхностей второго порядка Пусть в евклидовом пространстве
1
E 3 с базисом {e1 , e2 , e3 } , где
0
0
e1 0 , e2 1 , e3 0 , 0 0 1 дано уравнение поверхности
1112 212 1 2 22 22 213 1 3 33 32 2 23 2 3 214 1 2 24 2 2 34 3 44 0 3
второго порядка (
k
k 1 i 1
ik
0 ).
Квадратичную часть данного уравнения можно рассматривать как 3
квадратичный функционал в E . Приведем его к диагональному виду ортогональным оператором по схеме, изложенной в § 12.1. Получим уравнение
1 2 24 2 2 34 3 44 0, 1 1 2 2 22 3 32 2 14 1 2 3 0 , для которого рассмотрим три следующих случая.
432 I.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Центральный случай:
1 2 3 0 или, что в силу теоремы
8.6.8 то же самое,
11 12 13
det 12 22 23 0 .
13 23 33
После переноса начала координат, устраняющего линейные слагаемые, получаем уравнение
0, 1 1 2 2 2 2 3 3 2 44 для которого можно выделить следующие варианты: если
0 44 1) мнимый эллипсоид при sgn( i ) 2) эллипсоид при
) , i 1, 2, 3 ; sgn( 44
) , i 1, 2, 3 ; sgn( i ) sgn( 44
3) однополостный гиперболоид при sgn( 1 ) sgn( 2 )
); sgn( 3 ) sgn( 44
4) двуполостный гиперболоид при sgn( 1 ) sgn( 2 )
); sgn( 3 ) sgn( 44
если
0 44 5) мнимый конус при sgn( 1 ) sgn( 2 ) sgn( 3 ) ; 6) конус при
sgn( 1 ) sgn( 2 ) sgn( 3 ) .
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
II.
Первый нецентральный случай:
433
1 0, 2 0, 3 0 .
После переноса начала координат приходим к уравнению 0 , для которого выделяем 11 2 2 2 2 2 34 3 44 варианты: если
34 0 , то уравнение приводится к 11 2 2 2 2 2 34 3 0 , и тогда имеем: 7) эллиптический параболоид при sgn( 1 ) sgn( 2 ) ; 8) гиперболический параболоид при sgn( 1 ) sgn( 2 ) ;
если
0 , то имеем: 34 0, 44 9) мнимый эллиптический цилиндр ), i при sgn( i ) sgn( 44 10) эллиптический цилиндр ) при sgn( i ) sgn( 44
1, 2 ;
, i 1, 2 ;
11) гиперболический цилиндр при sgn( 1 ) sgn( 2 ) ; если же
0 , то имеем: 34 0, 44 12) пару мнимых пересекающихся плоскостей при sgn( i ) sgn( 2 ) ; 13) пару пересекающихся плоскостей при sgn( i ) sgn( 2 ) .
434
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
III. Второй нецентральный случай:
1 0 и 2 3 0 .
После переноса начала координат приходим к уравнению
2 2 34 3 44 0, 11 2 2 24 для анализа которого целесообразно перейти к новому ортонормированному базису по формулам
1 1 ; 2
2 34 3 24 2 24
2 34
; 3
3 34 2 24 2 34 2 24
(что, очевидно, является поворотом в плоскости
O 2 3 ).
В итоге получаем уравнение ''' 2 34 2 ) 2 44 112 2( 24 0
и соответствующие ему варианты: если
0 или 34 0 , то после переноса начала коорди24 нат имеем: 14) параболический цилиндр;
если
34 0 , то имеем: 24 15) пару мнимых параллельных плоскостей при
''' sgn( 1) sgn( 44 );
16) пару параллельных плоскостей при если
''' sgn( 1) sgn( 44 );
34 44 0 , то имеем: 24 17) пару совпадающих плоскостей.
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
435
Замечания. 1. Для классификации конкретной поверхности второго
порядка необходимо сделать преобразование квадратной части уравнения к диагональному виду и выполнить переносы начала координат. 2. Схема исследования кривых второго порядка на плоскости аналогична случаю, рассмотренному для поверхностей второго порядка.
§ 12.3. Аппроксимация функций многочленами Задача построения наилучшего (в некотором смысле) приближения заданной на [ a, b] функции f () линейной комбинацией некоторых других функций g 0 (), g1 (), g 2 (), ..., g n (), ... , определенных и обладающих более привлекательными (с точки зрения удобства их исследования по сравнению с f () ) свойствами на
[a, b] , достаточно часто встречается в различных приложениях. Ввиду большого разнообразия постановок задач этого класса мы ограничимся рассмотрением лишь двух из них, имея целью только проиллюстрировать на примере их решения, использование методов линейной алгебры. Рассмотрим в качестве объекта аппроксимации непрерывную на [1,1] функцию f () , а в качестве аппроксимирующих функций выберем одночлены вида
{g k () k , k [0, n]} .
Задача состоит в отыскании алгебраического многочлена, степени n
не выше
n , Pn () k k , который наилучшим образом приблиk 0
жает функцию
f () .
Предварительно заметим, что множество непрерывных на функций образует линейное пространство
[1,1]
, элементами которого
436
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
g k () , причем – линейная оболочка сово-
являются и функции
{g k () k , k [0, n] } есть (n 1) -мерное подпространство пространства , в качестве базиса которой можно купности элементов
взять набор элементов
{ g k g k (), k [0, n] }. Для количественной оценки качества аппроксимации одной функции другой введем в скалярное произведение по формуле 1
( x , y ) x ( ) y ( ) d 1
и превратим его тем самым в евклидово пространство E . Тогда мера близости элементов x () и y () может быть оценена величиной 1
x y ( x y, x y )
( x() y ())
2
d
1
(называемой обычно расстоянием между x () и y () в E ), которая в силу свойств определенных интегралов равна нулю только в случае x ( ) y ( ) [1,1] . Далее для краткости будем опускать аргументы элементов в E , то есть будем обозначать функцию f () как f E . Квадрат расстояния между элементами
f и
n
k 0 n
k
g k в E равен n
2 ( f k gk , f k gk ) . k 0
Подберем значения коэффициентов
k 0
k , k [0, n] так, чтобы вели-
чина оказалась минимальной. В силу билинейности скалярного произведения получаем 2
437
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры n
n
2 ( f k gk , f k gk ) k 0
k 0
n
n
n
( f , f ) 2 k ( f , g k ) k i ( g k , g i ), k 0
k 0 i 0
а из условий равенства нулю частных производных от
2 по всем k
k [0, n] , то есть из системы линейных уравнений n
i 0
i
( g k , g i ) ( f , g k ),
k [0, n] ,
находятся оптимальные значения коэффициентов
(12.3.1)
k , k [0, n] , при
которых минимально. Заметим, что данная система уравнений имеет единственное решение, поскольку ее основная матрица невырожденная, как матрица Грама базисных векторов. Отметим формальное совпадение полученной формулы с утверждением теоремы 10.3.2, которое позволяет заключить, что опти2
мальные значения коэффициентов элемента
k ; k [0, n] суть координаты
f в базисе {g k g k (), k [0, n] } в том случае, когда
f принадлежит линейной оболочке . Найдем минимальное значение
2 :
n
n
n
k 0
k 0
i0
2 ( f , f ) k ( f , g k ) k (( f , g k ) i ( g k , g i )) n
n
k 0
k 0
( f , f ) k ( f , g k ) ( f , f k g k ). Иначе говоря, полученное выражение равно нулю для n
f k g k , k 0
438
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
что означает равенство нулю погрешности аппроксимации лишь в случае, когда элемент
f принадлежит подпространству .
Более содержательная оценка величины погрешности аппроксимации
2 получается при подстановке в правую часть равенства n
2 ( f , f k g k ) оптимальных значений k , k [0, n] , наk 0
ходимых при решении системы линейных уравнений 12.3.1. Заметим, что это сделать гораздо удобнее в случае ортонормированного базиса
подпространства . Можно показать, что применение к неортогональному базису
{ g k g k () k ,
k [0, n] }
процедуры ортогонализации Грама–Шмидта, использованной при доказательстве теоремы 10.2.1, дает ненормированную систему ортогональных многочленов вида
1 e0 () 1 ; e1 () ; e2 () 2 ; 3 n 3 d e3 () 3 ; ... ; en () n ( 2 1) n , 5 d называемых полиномами Лежандра. Поскольку все предыдущие вычисления делались для базиса
{ g k k , k [0, n] } , но без учета его конкретного вида, то они будут и справедливы для ортогонального (но, вообще говоря, ненормированного) базиса
{ ek ()
dk 2 ( 1) k , k [0, n] }. k d
Для ортогонального базиса матрица Грама диагональная и, следовательно, система уравнений 12.3.1
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
439
n
(e , e ) ( f , e ) , k [0, n] i 0
i
k
i
k
k
будет иметь решения вида: на
( f , ek ) ; k [0, n] , а величи(ek , ek )
2 : ( f , ek ) 2 ( f , f e ) ( f , f ) . k 0 k 0 (ek , ek ) n
2
k k
n
{ek , k [0, n] } ортонормированный, то есть (ek , ei ) ki ; k , i [0, n] , тогда Если же, кроме того, базис
k ( f , ek ) ; k [0, n] и 2 f Отметим, что значения
2
n
k2 . k 0
k , k [0, n] – оптимальных коэффици-
ентов аппроксимирующего многочлена формально совпадают: 1)
с решением задачи о нахождении ортогональной проекции элемента
2)
f евклидова пространства на подпространство ;
со значениями компонент разложения элемента, принадлежащего
, по ортонормированному базису {ek , k [0, n] }
(см. следствие 10.3.2). Таким образом, ортогональность системы элементов, используемой для аппроксимации, существенно упрощает вычисления. Вместе с тем ортогонализация по методу Грама–Шмидта в случае бесконечномерного евклидова пространства может оказаться достаточно сложной процедурой.
440
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Возможной альтернативой в процессе построения ортонормированной системы аппроксимирующих элементов является лемма 10.7.3, утверждающая, что собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны. Рассмотрим линейный оператор Rˆ в евклидовом пространстве бесконечно дифференцируемых на [1,1] функций, ставящий каждой такой функции в соответствие18 ее вторую производную, взятую с обратным знаком, и выясним, при каких условиях этот оператор будет самосопряженным. Интегрируя по частям, получим 1
d 2x dx ˆ ( Rx , y ) 2 y ( ) d y ( ) d 1 d
1
1
1
dx dy
d d d.
1
Но, с другой стороны, 1
( x, Rˆ y ) x() 1
d2y dy d x ( ) 2 d d
Поэтому для самосопряженности оператора 1
dx dy y () x() d d 1
1 1
1
dx dy d . d d 1
Rˆ достаточно, чтобы
1
. Это условие выполняется, например, для 1
функций, которые (так же, как и их производные) имеют равные значения на концах отрезка [1,1].
18
В примере 10.7.1 было показано, что оператор вида
Aˆ Aˆ
есть самосо-
пряженный и имеет неотрицательные собственные значения. Если A ˆ
d и d
d (при выполнении соответствующих граничных условий), то Aˆ d
d2 Rˆ Aˆ Aˆ 2 . d
Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры
Найдем теперь собственные векторы линейного оператора ловие Rˆ x уравнению
441
Rˆ . Ус-
x в данном случае сводится к дифференциальному
d 2x x, 0 , d 2 решение которого дается формулой где ты.
x() e e ,
и – произвольные, не равные нулю одновременно констан-
Из условий
x(1) x(1) и
dx d
1
dx d
получаем по формуле 1
Эйлера (см. приложение 3):
e
e 0
sin 0 .
Следовательно собственные значения будут
k 2 k 2 k 0,1, 2, ... , а отвечающие им собственные векторы −
x k () k cos k k sin k . k и k здесь произвольные, но не равные нулю одновременно для каждого k . Числа
Таким образом, мы получили систему попарно ортогональных элементов, линейная оболочка которых является подпространством евклидова пространства непрерывных на [1,1] функций. Эта система (так же, как система полиномов Лежандра) может быть использована для построения аппроксимирующих многочленов, однако в данном случае эти многочлены будут тригонометрическими.
442
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Замечание: полученные результаты приводят к естественному во-
просу: можно ли уменьшить погрешность аппроксимации за счет увеличения n ? Или, иначе говоря, справедливо ли равенство
lim ( f
2
n
n
k2 ) 0 ? k 0
Ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный. Рассмотрим, например, некоторое подпространство
E евклидова пространства
E , не имеющее базиса (то есть E бесконечномерное), и пусть су ществует ненулевой элемент f E , но f E , такой, что ( f , g k ) 0 k (где все
g k E , а их любое конечное подмножество линейно неза-
висимо). В этом случае все аппроксимирующие коэффициенты равны нулю и данное предельное равенство, очевидно, не выполняется19.
19
Условия возможности построения линейной комбинации из элементов
множества
{g k , k 0,1, 2, ...} ,
аппроксимирующей
f E
с любой
наперед заданной точностью, выходят за рамки предмета линейной алгебры и изучаются в курсе математического анализа.
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
443
Приложение 1
СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ В § 4.4 были перечислены конкретные типы линий второго порядка, различие между которыми сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую. В данном приложении будут рассмотрены характерные свойства этих линий.
Приложение 1.1. Вырожденные линии второго порядка К вырожденным линиям второго порядка будем относить все типы, перечисленные в первых четырех столбцах таблицы теоремы 4.4.1. Кратко опишем их свойства.
1. Тип линии “Несовпадающие прямые”
x2 y2 Уравнение 2 2 0 определяет пару пересекающихся пряa b мых в системе координат
{O, e1 , e2 } . В свою очередь уравнение
y 2 a 2 при a 0 определяет пару параллельных прямых. Пример Прил. 1.1.1.
{O, e1 , e2 } задана линия второго 2 2 порядка 3 x 4 xy y 0. Преобразовав ее уравПусть на плоскости нение к виду
444
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
(2 x y ) 2 x 2 0 (метод Лагранжа), получим две прямые
y x и y 3x .
(Рис. Прил. 1.1.1.) В данном случае
1 0 , а угол поворота осей системы координат
1 arctg 2 . 2
Рис. Прил. 1.1.1
2. Тип линии “Совпадающие прямые” Уравнение
y 2 0 определяет прямую y 0 в системе коорди-
{O, e1 , e2 } . Это уравнение получается из уравнения для линии типа 1 предельным переходом при b 0 . нат
3. Тип линии “Точки”
x2 y2 Уравнение 2 2 0 определяет единственную точку – начаa b ло координат системы
{O, e1 , e2 } .
4. Тип линии “Пустые множества” На плоскости
{O, e1 , e2 } не существует точек, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнениям
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
445
x2 y2 2 1 или y 2 a 2 . 2 a b Однако эти случаи иногда именуют “мнимыми линиями”.
Приложение 1.2. Эллипс и его свойства Определение Прил. 1.2.1.
Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид
x2 y2 1; a b 0, a2 b2 называется эллипсом.
Определение Прил. 1.2.2.
Число
a2 b2 a
называется эксцентрисите-
том эллипса.
a называются фокусами эллипса. 0 a Прямые x называются директрисами эллипса. 2 b Число p называется фокальным параметром a Точки
эллипса.
Свойства эллипса 1. Эллипс – ограниченная линия: | x | a и записи канонического уравнения в форме
| y | b, что следует из
446
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
y
b a2 x2 . a
L обладает осевой симметрией относительно осей Oy Ox и , а также центральной симметрией относительно
2. Эллипс
начала координат. Это вытекает из отношений
x L y
x L y
x L, y
x L, y очевидных для канонического уравнения эллипса.
Рис. Прил. 1.2.1
( P, Q) расстояние между геометрическими объектами P и Q , а через и обозначим углы между касательной и фокальными радиусами – отрезками F1 A и F2 A . Будем обозначать через
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости Теорема Прил. 1.2.1.
Пусть
A
447
x есть точка, принадлежащая эллипy
су L , заданному каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения: 1)
r1 | F1 A | a x ; r2 | F2 A | a x ;
| F1 A | | F2 A | 2a ; ( A, F1 ) ( A, F2 ) ; 3) ( A, D1 ) ( A, D2 ) 2)
4)
( M , F1 ) M L ; ( M , D1 )
5)
| F2 B | p , где F2 B ортогонален оси Ox ;
6)
.
Доказательство.
1. Имеем (см. рис. Прил. 1.2.1)
r1 ( x a) 2 y 2 ; r2 ( x a) 2 y 2 . Тогда, учитывая каноническое уравнение и определение эксцентриситета, получаем для
i 1, 2 :
ri ( x a) 2 y 2 ( x a) 2
b2 2 (a x 2 ) 2 a
( x a) 2 (1 2 )(a 2 x 2 )
448
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x 2 2 xa a 2 2 a 2 a 2 2 x 2 x 2 2 a 2 2 xa x 2 2 | a x | . Но поскольку довательно,
| x | a и 0 1 , то a x 0 и, сле
r1 | F1 A | a x ; r2 | F2 A | a x. 2. Утверждение 2 очевидно в силу 1. 3. Далее
( A, F1 ) a x ( A, F2 ) a x ; . ( A, D1 ) a ( A, D2 ) a x x 4. Справедливость 4 докажите самостоятельно. 5. Наконец,
| F2 B |
b b b a 2 a 22 a 1 2 b p . a a a
6. Доказательство приводится после доказательства теоремы Прил. 1.2.2. Теорема доказана.
Проведение касательных к эллипсу Теорема Прил. 1.2.2.
Пусть
A
x0 есть точка, принадлежащая элy0
липсу, заданному каноническим уравнением,
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
449
тогда уравнение касательной к этому эллипсу, проходящей через точку A, имеет вид
x0 x y 0 y 2 1. a2 b Доказательство.
A имеет вид y y 0 y ( x0 )( x x0 ) .
Уравнение касательной в точке
Для эллипса из канонического уравнения получаем
2 x 2 yy 2 0, a2 b
то есть
y ( x0 ) Но тогда y y 0
b 2 x0 . a 2 y0
b 2 x0 ( x x0 ) , и, принимая во внимаa 2 y0
x02 y 02 ние, что 2 2 1 , окончательно получим a b x0 x y 0 y 2 1. a2 b Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек
x a.
y 0 0 , где уравнения касательных имеют вид
Теорема доказана. Доказательство свойства 6 теоремы Прил. 1.2.1.
Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касания
A,
450
Аналитическая геометрия и линейная алгебра имеющую координаты
F2 с координатами
x0 . Тогда расстояние d 2 от фокуса y0 c до касательной равно (см. задачу 0
3.2.1):
d2
1 x 0 ( c ) y 0 ( 0) 1 x0 c 2 1 1 2 a2 a b
r 1 x0 a 2 , где a a
x02 a2
y 02 b2
.
Аналогично находим расстояние d 1 от фокуса F1 с координатами
c 0
до касательной:
d1
r 1 x0 c 1 1 x0 a 1 . 2 a a a
и острые, то из равенств d d2 1 1 sin 1 и sin r1 a r2 a следует . Поскольку углы
Свойство 6 теоремы Прил. 1.2.1 доказано.
Из теорем Прил. 1.2.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтернативных формулировок свойств эллипса. Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна 2a .
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
451
Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случай окружности) есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы. Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. (Любой луч света, исходящий из одного фокуса, после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)
Уравнение эллипса в полярной системе координат Поместим полюс полярной системы координат в левый фокус эллипса, а полярную ось направим по линии, соединяющей его фокусы. Для произвольной точки A , лежащей на эллипсе (рис. Прил. 1.2.1.), имеем
r2 a x a ( cos a) a cos a 2 . Откуда
(1 cos ) a(1 2 ) и окончательно
p 1 cos .
(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)
Рис. Прил. 1.2.2
452
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Приложение 1.3. Гипербола и ее свойства Определение Прил. 1.3.1.
Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид
x2 y2 1 ; a 0, b 0, a2 b2 называется гиперболой.
Определение Прил. 1.3.2.
Число
a2 b2 a
называется эксцентрисите-
том гиперболы. Точки
a называются фокусами гиперболы. 0
Прямые
x
a называются директрисами гипер
болы. Число p
b2 называется фокальным параметром a
гиперболы.
Свойства гиперболы 1. Гипербола – неограниченная кривая, существующая для
| x| a, что следует из записи канонического уравнения в b x2 a2 ; форме y a
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
453
L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy , а также центральной симметрией относи-
2. Гипербола
тельно начала координат. Это вытекает из отношений
x L y
x L y
x L, y
x L, y очевидных для канонического уравнения гиперболы. Через и обозначим углы между касательной и фокальными радиусами (рис. Прил. 1.3.1). Определение Прил. 1.3.3.
y u x v называется асимптотой для линии y f (x ) при x , если f ( x) v lim( f ( x) u x) u lim и . x x x Прямая
3. Гипербола обладает асимптотами вида
y
b x . Дейстa
b b x 2 a 2 и, кроме того, x ax a b b b v lim ( x2 a2 x ) lim ( x 2 a 2 x ) x a a a x
вительно,
u lim
b (x2 a2 ) x2 1 lim ab lim 0. 2 2 2 2 x x a x a x x a x
454
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Свойства гиперболы иллюстрирует рис. Прил. 1.3.1.
Рис. Прил. 1.3.1
Теорема Прил.1.3.1 .
Пусть
A
x y
есть точка, принадлежащая гипер-
боле L , заданной каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения: 1. Для правой ветви
r1 | F1 A | a x ;
r2 | F2 A | a x
( x a) .
Для левой ветви
r1 | F1 A | a x ;
r2 | F2 A | a x 2.
| r1 r2 | 2a ;
( x a ) ;
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
3.
( A, F1 ) ( AF2 ) ; ( A, D1 ) ( A, D2 )
4.
( M , F1 ) M , M L; ( M , D1 )
5.
| F2 B | p ;
6.
.
455
Доказательство.
1.
Доказательство аналогично доказательству теоремы Прил. 1.2.1, поэтому ограничимся здесь лишь нахождением величин
r1 ( x a) 2 y 2 ;
r2 ( x a) 2 y 2 ,
используя каноническое уравнение и определение эксцентриситета. Для i 1, 2 получаем
ri ( x a ) 2 y 2 ( x a ) 2
b2 2 (x a 2 ) a2
( x a ) 2 ( 2 1)( x 2 a 2 )
x 2 2 xa a 2 2 a 2 a 2 2 x 2 x 2 2 a 2 2 xa x 2 2 | a x | . Но поскольку для гиперболы вой ветви
| x | a и 1 , то для пра
r1 | F1 A | a x ; r2 | F2 A | a x,
456
Аналитическая геометрия и линейная алгебра а для левой соответственно
r1 | F1 A | a x ; r2 | F2 A| a x. Откуда и следует 2 и 3. Справедливость 4 докажите самостоятельно. 5. Наконец,
| F2 B |
b b b a 22 a 2 a 2 1 b p . a a a
6. Докажите это утверждение самостоятельно по аналогии с доказательством свойства 6 теоремы Прил. 1.2.1, используя также теорему Прил. 1.3.1. Теорема доказана.
Замечание о свойствах гиперболы Каноническое уравнение изучаемой в курсе элементарной математики гиперболы y
a получается путем следующей замены коорx
динат:
1 x x 2 1 y x 2
1 y , 2 1 y . 2
Из теорем Прил. 1.3.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтернативных формулировок свойств гиперболы. Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна
2a .
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
457
Директориальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы. Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с фокальными радиусами точки касания равные углы. (Изображение точечного источника света, расположенного в одном из фокусов, есть мнимое и находится в другом фокусе гиперболы.)
Проведение касательных к гиперболе Теорема Прил. 1.3.2.
Пусть
A
x0 y0
есть точка, принадлежащая ги-
перболе, заданной каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этой гиперболе, проходящей через точку А, имеет вид
x0 x y 0 y 2 1. a2 b Доказательство.
Уравнение касательной в точке
A имеет вид
y y 0 y ( x0 )( x x0 ) . Для гиперболы из канонического уравнения получаем
2 x 2 yy 2 0, a2 b
то есть
y ( x0 )
b 2 x0 b 2 x0 y y ( x x0 ) , . Но тогда 0 a 2 y0 a 2 y0
и, принимая во внимание, что
458
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x02 y 02 1 , окончательно получим a2 b2 x0 x y 0 y 2 1. a2 b Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек
x a.
y 0 0 , где уравнения касательных имеют вид
Теорема доказана.
Уравнение гиперболы в полярной системе координат Поместим полюс полярной системы координат в правый фокус гиперболы, а полярную ось направим по положительной полуоси Ox (рис. Прил. 1.3.2). Тогда для произвольной точки A , лежащей на правой ветви гиперболы,
r1 a x a ( cos a)
Рис. Прил. 1.3.2
a cos a 2 . Откуда
(1 cos ) a( 2 1) и окончательно
p 1 cos .
(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)
459
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
Приложение 1.4. Парабола и ее свойства Определение Прил. 1.4.1.
Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид
y 2 2 px ; p 0 , называется параболой.
Определение Прил. 1.4.2.
Точка
p 2
называется фокусом параболы.
0 Прямая x
p 2 называется директрисой парабо-
лы. Число болы.
p называется фокальным параметром пара-
Свойства параболы иллюстрирует рис. Прил. 1.4.1, на котором через обозначим угол между касательной и фокальным радиусом, а через – угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
Свойства параболы 1. Парабола – неограниченная кривая, существующая 2. Парабола
x 0;
L обладает осевой симметрией относительно оси
Ox , что вытекает из отношения x x L L, y y очевидного для канонического уравнения параболы.
460
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Рис. Прил. 1.4.1
3. Для параболы имеет место монотонное возрастание абсолютной величины ординаты при возрастании абсциссы, причем в нуле касательная к параболе вертикальна.
Теорема Прил. 1.4.1.
Пусть
x есть точка, принадлежащая параy
A
боле L , заданной каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:
p
1. r x 2 ; 2.
( A, F ) 1; ( A, D)
3.
( M , F ) 1 M , M L ; ( M , D)
4. | FB | p ;
5.
.
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости
461
Доказательство.
1.
Имеем
r (x
p 2 ) y 2 , используя каноническое 2
уравнение, получаем
r x 2 px но поскольку x
p2 p 2 px | x | , 4 2 p 2 , приходим сразу к справедли-
вости утверждений 1 и 2. Справедливость 3 докажите самостоятельно.
| FB | 2 p
p p. 2
4.
Наконец,
5.
Доказательство приводится после доказательства теоремы Прил. 1.4.2.
Теорема доказана.
Замечания о свойствах параболы Каноническое уравнение параболы вида y ax , изучаемой в курсе элементарной математики, получается путем взаимного переименования координатных переменных. Из теоремы Прил. 1.4.1 следует возможность альтернативных формулировок свойств параболы. 2
Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.
462
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Оптическое свойство параболы: касательная в любой точке гиперболы образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и положительным направлением оси абсцисс. (Каждый луч света, выходящий из фокуса параболы, после отражения от параболы распространяется параллельно ее оси.)
Проведение касательных к параболе Теорема Прил.1.4.2 .
A
Пусть
x0 y0
есть точка, принадлежащая пара-
боле, заданной каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этой параболе, проходящей через точку A , имеет вид
yy 0 p( x x0 ) . Доказательство.
Уравнение касательной в точке
A имеет вид
y y 0 y ( x0 )( x x0 ) . Для параболы из канонического уравнения получаем
2 yy 2 p , то есть y ( x0 ) Но тогда что
y y0
p y 0. y0 , 0
p ( x x0 ) , и принимая во внимание, y0
y 02 2 px0 , окончательно получим
yy 0 p( x x0 ) . Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точки
y 0 0 , где уравнение касательной x 0 .
Теорема доказана.
463
П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости Доказательство свойства 5 теоремы Прил.1.4.1.
A есть
Направляющий вектор касательной к параболе в точке
y0 p
, а вектор фокального радиуса –
y p 2 0
2
Но, с другой стороны, косинус угла
1 0
y0
p 2 . Поэтому
p ) py 0 2 p 2 2 ( x0 ) y 0 2
y 0 ( x0
cos
x0
y0 y 02 p 2
между векторами
выражается той же формулой. Поскольку углы
Теорема доказана.
Уравнение параболы в полярной системе координат
x
p 2
Рис. Прил.1.4.2
y0 и p
и
острые, то они равны.
Поместим полюс полярной системы координат в фокус параболы, а полярную ось направим по линии, перпендикулярной директрисе и проходящей через ее фокус (рис. Прил. 1.4.2). Для произвольной точки A , лежащей на параболе,
.
464
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Откуда
p p cos p cos . 2 2
(1 cos ) p и окончательно p 1 cos .
(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
465
Приложение 2
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В теореме 4.5.1 были перечислены конкретные типы поверхностей второго порядка, различие между которыми сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую. В данном приложении будут рассмотрены основные свойства поверхностей этих типов.
Приложение 2.1. Вырожденные поверхности второго порядка К вырожденным поверхностям второго порядка относятся типы, указанные в первой части таблицы формулировки теоремы 4.5.1. В первых двух столбцах этой таблицы перечислены типы пустых множеств, а также объекты точечно-линейного типа, исследование которых полностью аналогично случаям, рассмотренным в приложении 1, в ортонормированной, канонической системе координат
{O, e1 , e2 , e3 } . Первые три типа поверхностей, содержащиеся в третьей колонке таблицы, являются частными случаями цилиндрической поверхности, образующая которых параллельна прямой
x 0, а направляющими y 0,
служат плоские кривые – эллипс, гипербола и парабола, соответственно расположенные в плоскости Oxy .
466
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Описание свойств невырожденных поверхностей второго порядка будет также выполнено в ортонормированной системе координат
{O, e1 , e2 , e3 } . В общем случае можно показать, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается кривая второго порядка. Однако для описания основных свойств невырожденных поверхностей второго порядка достаточно рассмотреть сечения, параллельные координатным плоскостям.
Приложение 2.2. Эллипсоид Определение Прил. 2.2.1.
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида
x2 y2 z2 1 , a 0, b 0, c 0, a2 b2 c2 называется эллипсоидом.
Свойства эллипсоида 1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что | x | a ; | y | b ; | z | c . 2. Эллипсоид обладает: -
центральной симметрией относительно начала координат;
-
осевой симметрией относительно координатных осей;
-
плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс. Например, рассматривая секущую
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
плоскость
467
z z 0 , где z 0 c , получаем следующее уравнение
линии сечения:
x2 y2 1, z 02 2 z 02 2 (a 1 2 ) (b 1 2 ) c c z z0 , являющейся эллипсом. (Рис. Прил. 2.2.1.)
Рис. Прил. 2.2.1
Приложение 2.3. Эллиптический параболоид Определение Прил. 2.3.1.
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида
468
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x2 y2 2 z , a 0, b 0, a2 b2 называется эллиптическим параболоидом.
Свойства эллиптического параболоида 1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что z 0 и принимает сколь угодно большие значения.
Рис. Прил. 2.3.1
2. Эллиптический параболоид обладает - осевой симметрией относительно оси Oz ; - плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz .
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
469
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox или Oy – парабола. Например, рассматривая секущую плоскость линии:
z z 0 0 , получаем следующее уравнение плоской x2 y2 1, (a 2 z 0 ) 2 (b 2 z 0 ) 2 z z0 ,
являющейся эллипсом. (Рис. Прил. 2.3.1.) С другой стороны, сечение плоскостью y y 0 приводит к уравнению линии
2 y2 x 2a 2 ( z 02 ), 2b y y0 , являющейся параболой. Для случая сечения плоскостью уравнение сечения имеет аналогичный вид:
x x0
2 x2 y 2b 2 ( z 0 2 ), 2a x x0 . Приложение 2.4. Гиперболический параболоид Определение Прил. 2.4.1.
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида
x2 y2 2 z , a 0, b 0, a2 b2 называется гиперболическим параболоидом.
470 Аналитическая геометрия и линейная алгебра Свойства гиперболического параболоида 1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что z – любое.
Рис. Прил. 2.4.1
2. Гиперболический параболоид обладает - осевой симметрией относительно оси Oz ; - плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz . 3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox или Oy , – парабола. (Рис. Прил.2.4.1.) Например, рассматривая секущую плоскость z z 0 0 , получаем следующее уравнение линии сечения:
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
471
x2 y2 1, (a 2 z 0 ) 2 (b 2 z 0 ) 2 z z0 , являющейся гиперболой. При дет иметь вид
z 0 0 уравнение гиперболы бу-
x2 y2 1, (a 2 z 0 ) 2 (b 2 z 0 ) 2 z z0 . С другой стороны, при сечении гиперболического параболоида плоскостью x x 0 получаем плоскую кривую:
2 x2 y 2b 2 ( z 0 2 ) 2a , x x0 являющуюся параболой. Для случая сечения плоскостью но и имеет вид
y y 0 уравнение аналогич-
2 y2 x 2a 2 ( z 02 ), 2b y y0 . Из полученных уравнений следует, что гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны. 4. Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих.
472
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Если записать уравнение данной поверхности в виде
x
y
x
y
( a b )( a b ) 2 z , то можно прийти к заключению, что при любых значениях параметра точки, лежащие на прямых
x y x y 2 , a b a b 2, и x y x y ( ) z ( ) z , a b a b также принадлежат и гиперболическому параболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение гиперболического параболоида. Заметим, что для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на гиперболическом параболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены (с точностью до некоторого общего ненулевого множителя) путем подбора конкретных значений параметра .
Приложение 2.5. Однополостный гиперболоид \
Определение Прил. 2.5.1.
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида
x2 y2 z2 1, a 0, b 0, c 0, a2 b2 c2 называется однополостным гиперболоидом.
Свойства однополостного гиперболоида 1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует,
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
что
473
z (, ) .
Рис. Прил. 2.5.1
2. Однополостный гиперболоид обладает (рис. Прил. 2.5.1) - центральной симметрией относительно начала координат; - осевой симметрией относительно всех координатных осей; - плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox или Oy – гипербола. Вывод уравнений для линий сечения аналогичен рассмотренным ранее случаям. 4. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Записав уравнение данной поверхности в виде
474
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
x z x z y2 1 ( a c )( a c ) b 2 , можно прийти к заключению, что при любых не равных нулю одновременно и , точки, лежащие на прямых
y x z x z ( a c ) (1 b ), ( a c ) (1 и x z y x z ( ) (1 ) ( ) (1 b a c a c
y ), b y ), b
будут принадлежать и однополостному гиперболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение однополостного гиперболоида. То есть для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на однополостном гиперболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены путем подбора конкретных значений и .
Приложение 2.6. Двуполостный гиперболоид Определение Прил. 2.6.1.
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида
x2 y2 z2 1 , a 0, b 0, c 0, a2 b2 c2 называется двуполостным гиперболоидом.
Свойства двуполостного гиперболоида 1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что не ограничен сверху.
x a и
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
475
Рис. Прил. 2.6.1
2. Двуполостный гиперболоид обладает - центральной симметрией относительно начала координат; - осевой симметрией относительно всех координатных осей; - симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортогональ-
Ox , при x a получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Oy или Oz , – гипербола. (Рис. ной оси координат Прил. 2.6.1.)
Приложение 2.7. Поверхности вращения Пусть некоторая кривая, расположенная в плоскости Oxz , имеет уравнение F ( x, z ) 0 . Если вращать эту кривую вокруг оси Oz , то каждая ее точка будет описывать окружность.
476
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Определение Прил. 2.7.1.
F ( x 2 y 2 , z ) 0, называется поверхностью вращения. К поверхностям вращения, например, относятся:
Пример Прил. 2.7.1.
1.
Эллипсоид вращения
2.
x2 y2 z2 2 1. a2 c 2 2 2 2 Конус вращения k z x y .
Замечание: поверхности вращения линии второго порядка не всегда
задаются уравнениями второго порядка. Например, если квадратную параболу
z 2 2 px вра-
щать вокруг оси Ox , то получается эллиптический параболоид вращения, однако при вращении этой же кривой вокруг оси Oz получится поверхность, задаваемая уравнением вида
z 2 2 p x 2 y 2 или z 4 4 p 2 ( x 2 y 2 ) . Составить уравнение поверхности вращения, получаемой при вращении линии z 2 2 px вокруг оси Ox .
Задача Прил. 2.7.1.
Решение. Зафиксируем на вращаемой линии точку с координатами
x0 0 . Линия, получаемая при вращении этой точки воz0 круг оси Ox в плоскости са
x x0 , есть окружность радиу-
z 0 с уравнением y z 2 z 02 . 2
П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка
С другой стороны,
477
z 02 2 px0 , поэтому y 2 z 2 2 px0 .
Наконец, в силу произвольности точки
x0 0 , выбранной z0
на линии вращения, получаем, что уравнение поверхности вращения – эллиптического параболоида − есть
y 2 z 2 2 px .
478
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Приложение 3
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Рассмотрим двумерное линейное пространство , изоморфное20 линейному пространству радиусов-векторов на плоскости, с ортонормированной системой координат {O, g1 , g 2 } . Каждый элемент z пространства в некотором базисе одно-
. Если базисные 1 0 элементы пространства суть g1 и g2 , то произволь0 1 ный элемент z представляется в виде 1 0 z g1 g 2 . 0 1 значно задается двухкомпонентным столбцом
Введем новую операцию – операцию умножения элементов рассматриваемого линейного пространства. Определение Прил. 3.1.
Результатом операции умножения элементов
z1
20
1 1
и
z2
2 2
Изоморфизм (см § 7.5) в данном случае означает, что операции сравнения, сложения и умножения на вещественное число выполняются в данном множестве так же, как и для векторов на плоскости.
479
П р и л . 3 . Комплексные числа
пространства странства
является элемент этого же проz1 z 2
1 2 1 2 . 1 2 21
Двумерное линейное пространство
Определение Прил. 3.2.
1 0 g1 , g2 0 1
{
с базисом
},
в котором введена операция умножения элементов согласно определению Прил. 3.1, называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент z – комплексным числом.
Замечания.
1.
Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.
2. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа z1 на ненулевое z 2 называется комплексное число
z , такое, что
z1 z 2 z . 3. Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел вида
, где – произвольное ве0
щественное число, в силу определения Прил. 3.2 обладает всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.
480
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
На практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи комплексных чисел: в представлении
z
1 0 g1 g 2 0 1
g1 опускается (заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ g 2 заменяется символом i (называемым символ
иногда “мнимой единицей”). Тогда произвольное комплексное число z представимо как z i , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:
z1 z 2 ( 1 1i ) ( 2 2 i ) (1 2 ) (1 2 )i ; z ( i ) () ()i ; z1 z 2 ( 1 1i )( 2 2 i ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 2 1 )i . Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что i 2 1 , поскольку
i 2 ii (0 1i )(0 1i )
0 1
0 1 (1) 0 i 1 . 1 0
Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюду i 2 на число (1) , мы формально приходим к соотношению
z1 z 2 (1 1i )( 2 2 i ) 1 2 1i 2 1i 1 2 i 2 (1 2 1 2 ) ( 1 2 2 1 ) i, которое согласуется с введенным выше определением Прил. 3.1. Достаточно просто может выполняться также и операция деления:
481
П р и л . 3 . Комплексные числа
z1 1 1i (1 1i )( 2 2 i ) z 2 2 2 i ( 2 2 i )( 2 2 i )
(1 2 1 2 ) ( 2 1 1 2 )i 22 22
Определение Прил. 3.3.
1 2 1 2 21 1 2 i. 22 22 22 22
Для комплексного числа
z i:
1. Вещественное число называется вещественной частью z и обозначается Re z . 2. Вещественное число называется мнимой частью z и обозначается Im z . 3. Вещественное число
2 2 на-
z и обозначается z . 4. Вещественное число , такое, что cos и 2 2 sin , 2 2 называется аргументом z и обозначается arg z при условии, что z 0 . 5. Комплексное число i называется комплексно-сопряженным числу z и обозначается z . зывается модулем
482 Замечания:
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1.
Определения, аналогичные пунктам 1, 2 и 5, могут быть сделаны и для матриц, элементами которых являются комплексные числа.
2. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиусов-векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками на плоскости.
Свойства комплексного сопряжения Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых
z , z1 , z 2 : 1.
(z ) z .
2. Число z будет вещественным тогда и только тогда, когда z z . 3. Число z z отрицательное. 4.
2
2 всегда вещественное и не-
z1 z 2 z1 z 2 ;
z1 z 2 z1 z 2 .
n
5. Если
Pn ( z ) k z k – многочлен с вещественk 0
, то этот многочлен также будет иметь и корень . ными коэффициентами, имеющий корень n
Действительно, пусть
k 0
k
k 0 , тогда
483
П р и л . 3 . Комплексные числа n
n
k 0
k 0
0 0 k k k . k
Замечание: если алгебраическое уравнение с вещественными коэф-
фициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Задача Прил. 3.1.
На множестве комплексных чисел решить уравнение
z 2 1 0 . Решение.
Переписывая это уравнение, приняв, что
z i
, получаем
1 0 . 0 0
Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми представлениями чисел
1 1 0i
1 0
и
0 0 0i
0 . 0
Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равенству
0 2 2 1 . 0 2 Но поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных и :
484
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
2 2 1 0, 2 0, которая, как легко видеть, имеет два решения
0, и 1
0, Поэтому исходное уравнение также имеет два 1. решения
z1
0 0 0 1i i и z 2 0 ( 1)i i . 1 1
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел Используя определение Прил. 3.3, можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:
z i 2 2 (
2 2
2 2
i)
(cos i sin ) . Тригонометрическая форма записи комплексных чисел аналогична описанию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат. Пусть направляющим элементом полярной оси служит элемент
g1
1 , 0
а полюс совпадает с началом ортонормированной системы координат {O, g1 , g 2 } .
485
П р и л . 3 . Комплексные числа
Тогда -
значение модуля комплексного числа
z равно – расстоя-
нию от начала координат до точки, изображающей данное число, -
значение аргумента arg z совпадает с величиной полярного угла , отсчитываемого против часовой стрелки, поэтому, согласно определению Прил. 3.3, комплексное число z i представимо в тригонометрической форме:
z (cos i sin ) .
Рис. Прил.3.1
Другой часто используемой формой представления комплексных чисел является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:
e iz cos z i sin z z .
486
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
В этом случае из
z i z (cos i sin ) следует, что
z e i .
Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются21. Например,
z1 z 2 1e
i1
2e
i 2
1 2 e
i (1 2 )
или, приняв во внимание, что
i i 0 1i cos i sin e 2 , 2 2
получим
i (e i
i i 2
)
e
2
.
Задача Прил. 3.2.
Найти какое-либо вещественное решение уравнения cos x 5 .
Решение.
Из формулы Эйлера следует, что
cos z
e iz e iz 2
z ,
поэтому данное уравнение можно записать в виде
21
Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественного аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.
487
П р и л . 3 . Комплексные числа
ei
x
e i
x
2 где
5
или
y
1 10 0 , y
y ei x .
Откуда находим, что
ei
x
5 2 6 , то есть
i x ln(5 2 6 ), или окончательно
x ln 2 (5 2 6 ).
488
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Приложение 4
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Приложение 4.1. Замечания об определении объектов в линейном пространстве В предыдущих разделах курса линейной алгебры исследовались наиболее часто встречающиеся в приложениях виды объектов в линейном пространстве, такие, как элемент линейного пространства, линейный функционал, линейный оператор, билинейный функционал и т.д., хотя вполне очевидно, что в линейном пространстве могут быть определены и иные, быть может, более сложные объекты, представляющие практический интерес. Определение всех рассмотренных ранее объектов давалось вне зависимости от наличия или отсутствия базиса линейного пространства, причем в случае существования базиса для каждого из объектов приводился альтернативный, покомпонентный способ его описания. И поскольку замена базиса меняет, вообще говоря, данное описание, то специально исследовался вопрос о характере этого изменения. Однако естественно допустить, что в линейном пространстве n существуют объекты, которые можно определить, используя лишь значения их компонентов в некотором базисе. Такой подход привлекателен тем, что, во-первых, в этом случае не требуется объяснять, что представляет собой данный объект безотносительно к базису, и, во-вторых, определения объектов разной природы могут быть выполнены единообразно.
489
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
С другой стороны, недостатком такой схемы является очевидная зависимость описания объекта от выбора базиса, то есть необходимость указывать (в самом определении объекта!), что происходит с его компонентами при переходе от одного базиса к другому. Для оценки целесообразности использования определения объектов в n через их компоненты приведем в таблице Прил. 4.1.1 основные, рассмотренные нами ранее, типы объектов, формы их представления в базисе и правила изменения этого представления при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } . Таб лиц а Прил. 4.1.1 Тип объекта в n
Координатное представление в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }
Элемент x
Столбец
x
Линейный функционал
f (x )
g
1 2 ... n
Строка
f
g
где
2
x
... n ,
i f ( g i )
g
S
1
x
или n
j ji i i 1
f
1
Правило изменения координатного представления при переходе к базису {g1 , g 2 ,..., g n }
g
f
g
или n
j i ij i 1
S
g
490 Линейный оператор
Aˆ
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Aˆ
Aˆ
g
11 21 ... n1
12 22 ... n2
... 1n ... 2 n , ... ... ... nn
1
S
n
Aˆ g j ij g i ; j [1, n]
Aˆ
g
S
или
ki n
где
g
n
kj mi jm j 1 m 1
i 1
Билинейный функционал
B( x, y )
B
g
B
11 12 22 21 ... ... n1 n 2
... 1n ... 2 n , ... ... ... nn
T
S
ij B ( g i , g j ); i, j [1, n] Квадратичный функционал
(x)
Ф
g
11 21 ... n1
12 22 ... n2
... 1n ... 2 n , ... ... ... nn
g
S
ki n
jk mi jm j 1 m 1
B
или
n
где
g
g
S
T
g
S
491
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
где
или
ij
ij ji 2
; i, j [1, n]
ki n
n
jk mi jm j 1 m 1
Как и ранее, будем предполагать, что матрица перехода n
ет компоненты
ij , где g j ij g i ;
S име-
j [1, n] , а матрица
i 1
обратного перехода n
g j ij g i ;
T S
1
имеет компоненты
ij ,
то есть
j [1, n] .
i 1
Сопоставление формул третьей колонки таблицы позволяет заметить, что для данных объектов:
{g1 , g 2 ,..., g n } линейны по значениям компонентов в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } ;
1
значения их компонентов в базисе
2
коэффициентами в этих формулах служат либо компоненты матриц
S или S
1
, либо и той и другой одновременно.
В курсе линейной алгебры нами были рассмотрены далеко не все виды объектов, которые обладают подобными трансформационными свойствами. Например, в n можно ввести произведение элементов
x y , поставив в каждом базисе упорядоченной паре элементов x 1
2
... n
T
и
y 1
2
... n
T
492
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
в соответствие матрицу размера
1 1 2 1 ... n 1
n n , имеющую вид
1 2 2 2 ... n 2
... 1 n ... 2 n ... ... ... n n
.
x y при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } меняется в соответствии с Нетрудно убедиться, что объект
правилами 1 и 2. Действительно, из n
n
k k i i и j jm m i 1 n n
следует, что
m 1
k j ki jm i m , или же, в матричном виде, i 1 m 1
x y
g
( S
1 T
)
x y
g
S
1
.
Последнее равенство означает, что введенное нами произведение элементов обладает свойствами 1 и 2. Рассмотрим другой пример, демонстрирующий существование более сложных объектов, обладающих данными свойствами. Достаточно часто в физических приложениях используется метод, в котором линейный оператор описывает зависимость одного вектора, характеризующего некоторое свойство точки пространства, от другого вектора, являющегося другой физической характеристикой этой же точки. Например, закон Гука связывает вектор силы
F , возникающей в
результате упругой деформации, с вектором деформации шением
Fx xx Fy yx Fz zx
xy yy zy
xz yz zz
x y , z
r соотно-
493
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
или же индукция электрического поля женность электрического поля
Dx xx D y yx Dz zx
D выражается через напря-
E формулой xy yy zy
xz yz zz
Ex Ey . Ez
Если среда однородная, то коэффициенты матриц этих операторов константы. Однако если исследуемые свойства среды меняются от точки к точке, то соответствующие операторы уже не будут линейными, и может возникнуть вопрос о характере их зависимости от координат. В этом случае можно ввести в рассмотрение объект, компоненты которого являются частными производными компонентов матрицы оператора по переменным x, y и z . Для рассматриваемых примеров таких частных производных будет 27, и их удобно представить в виде трехмерной таблицы (или, как иногда говорят, “куб-матрицы”). Например, для закона Гука этот объект состоит из трех матриц вида
xx x yx
xy
x zx x
x zy
x yy
x
xz xx x y yz yx
xy
x zz x
y zy
y zx y
y yy
y
xz xx y z yz yx
xy
y zz y
z zy
z zx z
xz z yz
z yy
z zz z
z
В общем случае n-мерного линейного пространства можно ввести объект, называемый производной оператора, обозначаемый
A
r
g
.
494
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
и задаваемый в конкретном базисе упорядоченным набором из n n чисел. Найдем закон преобразования компонентов этого объекта при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } . Поскольку правило изменения компонентов матрицы оператора имеет вид
A
g
S
1
A
n
g
S
A в n
n
ki kj mi jm ) ,
(или
j 1 m 1
то из правила дифференцирования сложной функции следует, что
k i l
n
n
kj mi j 1 m 1 n
n
n
jm l
T k j im
n
j 1 m 1
jm
j 1 m 1 p 1
n
n
jm p
p 1
p l
kj mi
p
pl ,
или, в матричной форме,
A
S
r
g
1
S
T
A
S .
r
g
Откуда делаем заключение, что введенный нами новый объект также обладает свойствами 1 и 2. С другой стороны, отметим, что не всякий однозначно определяемый своими компонентами объект будет обладать подобными трансформационными свойствами.
495
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Например, рассмотрим однокомпонентный объект
1 2 которого для каждого элемента x ... n сумма компонентов
, значение
пространства
n есть
x . Для него в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } имеем n
i , i 1
и определяется однозначно в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } , оно не выражается линейно через , так как
и, хотя значение
n
n
n
i ij j . i 1
i 1 j 1
Таким образом, мы приходим к заключению, что в конечномерном линейном пространстве существует достаточно широкий класс объектов: -
задаваемых совокупностью значений своих компонентов в некотором базисе;
-
обладающих свойствами вида 1 и 2, характеризующими изменения этих компонентов при переходе от одного базиса к другому.
Объекты, обладающие перечисленными свойствами, называют
S
тензорами, уточняя это название, в случае присутствия матриц или
S
T
в формулах пересчета компонентов тензора при замене ба-
зиса, термином ковариантный (то есть преобразующийся так же, как и базисные элементы) или же в случае присутствия матриц или
( S
1 T
) – термином контравариантный.
S
1
496
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Приложение 4.2. Определение и обозначение тензоров Определение тензора, исходя из вышеизложенных соображений, можно было бы дать, например, в такой форме: Будем говорить, что в вещественном линейном пространстве n определен тензор типа (q, p) q раз контравариантный и p раз ковариантный (или ( p q ) -вален-тный), если в n задан объект, который в каждом базисе характеризуется упорядоченным набо-
j1 j2 ... jqi1i2 ...i p чисел (где n pq jm [1, n] ; m [1, q] – контравариантные индексы и i k [1, n] ; k [1, p ] – ковариантные), преобразующихся при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } по закону ром
n
n
n
n
n
n
j j ... j ii ...i ... ... i i i i ... i i 1 2
q12
p
i1 1 i2 1
i p 1 j1 1 j 2 1
j q 1
11
2 2
p p
j1 j1 j2 j2 ... jq jq j1 j2 ... jqi1i2 ...i p , где
ik [1, n] ; k [1, p] и jk [1, p] ; k [1, m] , а
ij и ij суть соответственно компоненты матрицы перехода
S и ей обратной T S
1
.
Громоздкость записи и неудобочитаемость тензоров при использовании стандартной схемы обозначений очевидны уже на примере этого определения. Поэтому в тензорном исчислении используется специальная, более компактная форма описания тензорных объектов и операций с ними, основу которой составляют следующие правила.
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
497
Запись тензоров 1.
Упорядоченный набор вещественных чисел, являющихся компонентами тензора, образует (q p ) -мерную таблицу (называемую также (q p ) -мерной матрицей, или (q p ) -мерным массивом), каждый элемент которой однозначно определен набором значений контравариантных индексов
j1, j2 ,..., jq и ковариантных индексов i1, i2 ,..., i p .
Если какой-либо из индексов принимает значения от 1 до n , то в записи тензора перечень значений индекса не указывается и предполагается, что выписаны компоненты тензора для всех этих значений. Пример Прил. 4.2.1.
2.
i i означает, что i i i [1, n] .
Порядок следования индексов в записи тензоров существен. Для того чтобы избежать возможной неоднозначности, применяется следующее правило: если необходимо выписать последовательно все компоненты тензора (например, в виде одной строки), то в первую очередь увеличиваются индексы, расположенные ближе к правому концу индексного списка.
Пример Прил. 4.2.2.
3.
Запись
ijk в 2 имеет следующий порядок компонентов: 111 , 112 , 121 , 122 , 211 , 212 , 221 , 222 . Тензор
В тензорных записях для отличия контравариантных индексов от ковариантных принято первые обозначать верхними индексами, а вторые – нижними. При этом, чтобы сохранить общий порядок следования индексов в списке, в запись каждого индекса добавляется символ “точка” под каждым верхним индексом и над каждым нижним.
498
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Пример Прил. 4.2.3.
4.
i..j.kl m.. .
Если точки не использованы в записи тензора, то предполагается, что нижние индексы следуют в списке после верхних.
Пример Прил. 4.2.4.
Линейный оператор
S , переводящий базис
{g1 , g 2 ,..., g n } в {g1 , g 2 ,..., g n } , j является двухвалентным тензором типа (1,1) i (один раз контравариантным и один раз ковариантным), причем его компоненты совпадают с компонентами матрицы перехода
ji как следствие совпадения
определения 7.3.2 и определения матрицы линейного оператора 8.3.1.
Соглашение о суммировании Пусть имеется выражение, являющееся произведением сомножителей, имеющих как верхние, так и нижние индексы, причем некоторый индекс встречается в записи выражения дважды: один раз как верхний, а второй раз как нижний. Тогда под таким выражением понимается сумма членов данного вида, выписанных для всех значений повторяющегося индекса. В случае присутствия в выражении нескольких пар совпадающих индексов имеет место многократное суммирование.
Пример Прил. 4.2.5.
1. Квадратичный функционал записывается теперь в виде
( x) ij i j .
499
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
2.
Система линейных уравнений вида
111 12 2 ... 1n n 1 2 1 2 2 2 n 2 1 2 ... n ............................................. 1n 1 n2 2 ... nn n n с учетом соглашений о тензорных обозначениях запи-
ik i k .
сывается просто как
Используя соглашения о тензорных обозначениях и принимая во внимание, что числа
ij и ij (компоненты матриц прямого и обрат-
ного перехода между базисами {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1 , g 2 ,..., g n } ) являются также компонентами тензоров типа (1,1), сформулируем
Определение Прил. 4.2.1.
Будем говорить, что в вещественном линейном пространстве n определен тензор типа (q, p) , q раз контравариантный и p раз ковариантный, если в n задан объект, который в каждом базисе характеризуется
j1 j2 ... jq i1i2 ...i p
упорядоченным (где
n pq
набором
чисел
j m ; m [1, q] – контравариантные ин-
i k ; k [1, p] – ковариантные), изменяющимся при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } по закону дексы и
ijij......i j ii ii ...ii jj jj ... jj iji j......i j 1 2
12
q
p
1
2
p
1
2
q
1
2
p
1
2
q
1 2
12
p
q
.
500
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение Прил. 4.2.2.
Число
(q p ) называется валентностью (или ран-
гом) тензора Определение Прил. 4.2.3.
i1ji2j2......i pjq . 1
Два тензора называются равными, если они одного и того же типа и во всех базисах имеют равные компоненты.
Замечания. 1. Для равенства тензоров одного типа достаточно, что-
бы их компоненты были равны лишь в некотором базисе, так как из формул пересчета компонентов следует, что эти тензоры будут иметь равные компоненты и в любом другом базисе. 2. Если объект характеризуется одним числом, причем не зависящим от выбора базиса, то его можно считать тензором типа (0,0). Т аб ли ца Прил. 4.2.1 Тип объекта в n
Тип тензора и его запись в базисе
Элемент x
Одновалентный (один раз контравариантный) тензор типа (1,0) j
j ij i
Линейный функционал
Одновалентный (один раз ковариантный) тен-
j i ij
f (x )
{g1 , g 2 ,..., g n }
зор типа (0,1)
j
Изменение компонент тензора при переходе к базису {g1 , g 2 ,..., g n }
501
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Линейный опе- Двухвалентный (один раз контравариантный ратор A и один раз ковариантный) тензор типа (1,1)
km mj ik ij
ij Билинейный функционал
Двухвалентный (дважды ковариантный)
B( x, y )
тензор типа (0,2)
Квадратичный функционал
Двухвалентный (дважды ковариантный)
(x)
Символ Кронекера
1, i j ij 0, i j
тензор типа (0,2)
km kj im ji
ji km kj im ji
ji
Двухвалентный (один раз контравариантный и один раз ковариантный) тензор типа (1,1)
km mj ik ij
ij
Таблица Прил. 4.2.1 содержит описание основных тензорных объектов и правил пересчета их компонентов при замене базиса. Отметим, что последний из приведенных в таблице Прил. 4.2.1 тензоров – символ Кронекера – во всех базисах имеет компоненты, совпадающие с компонентами единичной матрицы, если считать, что верхний индекс этого тензора есть номер строки, а нижний – столбца. Действительно, по определению Прил. 4.2.1 справедливы соотношения
1 , i j , km mj ik ij mj kj 0 , i j.
502
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Последнее равенство, очевидно, имеет место, поскольку выражение
mj kj есть результат произведения двух невырожденных, взаимно обратных матриц, компоненты которых совпадают с компонентами тензоров
mj и kj .
Замечания о матричной записи тензоров В ряде случаев тензоры удобно представлять в виде блочных матриц, то есть матриц, элементами которых являются обычные матрицы с числовыми элементами. При этом примем следующие соглашения: 1.
Тензор типа типа
(1, 0) записывается матрицей-столбцом. Тензор
(0,1) записывается матрицей-строкой.
2.
Элементы матриц, используемых для записи тензоров, нумеруются нижними индексами, порядок следования индексов определен выше, в правиле 2 "Запись тензоров". Обратите внимание, что при этом запись тензоров валентности большей, чем 1, не будет отражать тип тензора.
3.
Первый индекс определяет номер строки в числовой матрице, второй индекс – номер столбца. Третий индекс определяет номер строки в блочной матрице, состоящей из числовых матриц, четвертый индекс соответственно – номер столбца в блочной матрице.
Приведем для иллюстрации общий вид матричной записи тензора четвертой валентности в двумерном пространстве:
1111 2111 1121 2121
1211 2211 1221 2221
1112 2112 1122 2122
1212 2212 . 1222 2222
503
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления Задача Прил. 4.2.1.
Каждой паре элементов x и y линейного пространства 4 сопоставляется число f ( x , y ) , определяемое через компоненты этих элементов 1 , 2 , 3 , 4 и 1 , 2 , 3 , 4 в стандартном базисе {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } по формуле
f ( x, y ) 13 3 2 4 . Показать, что данное сопоставление определяет тензор, найти его тип, выписать его компоненты в данном базисе. Решение.
1. Очевидно, что данное сопоставление линейно по каждому из аргументов. Найдем закон изменения его компонентов при замене базиса. Пусть 4
g i ik g k k 1
при переходе от базиса
{g1 , g 2 , g 3 , g 4 } к базису
{g1 , g 2 , g 3 , g 4 } . Тогда в силу линейности сопоставления 4
4
k 1
l 1
f ( g i , g j ) f ( ik g k , lj g l ) 4
4
ik lj f ( g k , g l ) . k 1 l 1
Поскольку компоненты исследуемого объекта в новом базисе выражаются линейно через компоненты в старом, а коэффициентами служат попарные произведения элементов матрицы перехода
S ,
то по определению Прил. 4.2.1 этот объект является тензором типа (0, 2).
504
Аналитическая геометрия и линейная алгебра 2. Найдем компоненты этого тензора базисе
g1
g
1 0 ; g2 0 0
g
0 1 ; g3 0 0
g
f ( g k , g l ) в исходном 0 0 ; g4 1 0
g
0 0 . 0 1
По условию задачи
f ( g1 , g 3 ) 1 ; f ( g 2 , g 4 ) 3 и f ( g k , g l ) 0 в остальных случаях. Таким образом, искомая матрица тензора имеет вид
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 3 . 0 0
Приложение 4.3. Операции с тензорами Вводимые ниже операции с тензорами во всех случаях требуют обоснования того, что результатом каждой из них является также тензор. В рамках данного курса эти утверждения предлагаются в качестве упражнений.
Сложение тензоров Определение Прил. 4.3.1.
Пусть даны два тензора типа j j ... j
i11i2 2...i p q
. Тензор типа
(q, p)
j j ... j
(q, p) i11i2 2...i p q и
iji j......i j 1 2
12
p
q
называется
505
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
суммой тензоров
j j ... j
i11i2 2...i p q
и
j j ... j
i11i2 2...i p q
, если в каждом
базисе имеет место равенство j j ... j
j j ... j
j j ... j
i11i2 2...i p q i11i2 2...i p q i11i2 2...i p q . Пример Прил. 4.3.1.
Сумма двух линейных операторов
ij и ij , являющих-
ся тензором типа (1,1), есть также линейный оператор и, следовательно, тензор типа (1,1)
ij , для компонентов
которого справедливы соотношения
ij ij ij . Умножение тензоров на число Определение Прил.4.3.2.
Пусть дан тензор типа Тензор типа
j j ... j
(q, p) i11i2 2...i p q и число . j j ... j
(q, p) i11i2 2...i p q называется произведе-
нием тензора
j j ... j
i11i2 2...i p q
на , если в каждом базисе
имеет место равенство j j ... j
j j ... j
i11i2 2...i p q i11i2 2...i p q . Замечание:
нетрудно показать, что множество тензоров типа (q, p) с операциями сложения и умножения на число является линейным пространством размерности nq p .
Тензорное произведение Определение Прил. 4.3.3.
Пусть даны два тензора типа
j j ... j
(q, p) i11i2 2...i p q и типа
506
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
(r , s )
lk11lk2 2......lsk r
j j ... j k k ...k r
i11i2 2...i pl1ql21...2ls j j ... j
i11i2 2...i p q
.
типа
(q r , p s )
называется произведением тензоров
lk11lk2 2......lsk r
и
Тензор
, если в каждом базисе имеет ме-
сто равенство j j ... j k k ...k r
i11i2 2...i pl1ql21...2ls
j1 j2 ... jq
= i1i2 ...i p
lk11lk2 2......lsk r
.
Иногда тензорное произведение обозначают символом .
Пример Прил. 4.3.2.
Мы видели, что элементы линейного пространства n являются один раз контравариантными тензорами. Найдем их произведение по определению Прил. 4.3.3. Получаем, что x y k i есть дважды контравариантный тензор. Заметим, x y y x . Дело в том, что хотя и
k i i k , но упорядочивание компонентов этих тензоров выполняется по-разному. Следовательно, тензорное произведение некоммутативно. Задача Прил. 4.3.1.
c a b , если 1 2 3 4 a – тензор типа ( 0,3) с матрицей и b – 5 6 7 8
Определить тип и матрицу тензора
тензор типа
( 0,1) с матрицей
9 10 .
507
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления Решение.
По определению тензорного произведения c есть тензор типа (0,4) с матрицей, составленной (с учетом соглашения о порядке индексов) из поэлементных произведений вида зоров
ijk l , где ijk и l – компоненты тен-
a и b соответственно.
Таким образом, матрица тензора
1 9 39 59 79
29 49 69 89
1 10 3 10 5 10 7 10
c имеет вид
2 10 9 18 4 10 27 36 6 10 45 54 8 10 63 72
10 30 50 70
20 40 . 60 80
Свертывание тензоров Определение Прил. 4.3.4.
j j ... j
(q, p) i11i2 2...i p q , причем
Пусть дан тензор типа
q 1 и p 1 . Выберем один верхний (например, j r ) и один нижний (например, i s ) индексы и в записи тензора заменим их обозначения одним и тем же символом (например, m ). Тензор типа (q 1, p 1) j j ... j
i11i2 2...i p q11 называется сверткой тензора
j j ... j ... jq
i11i2 2...is ...r i p
по индек-
сам jr и i s , если в каждом базисе имеет место равенство j j ... j
i11i2 2...i p q11
=
j j ...m... j
i11i2 2...m...i p q .
508
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Заметим, что в последнем равенстве правая часть – это сумма n слагаемых, где m – индекс, по которому выполняется суммирование, а само данное тензорное равенство равносильно (q 1)( p 1) скалярным равенствам. Пример Прил. 4.3.3.
(1,1) , являющегося линейным j оператором i , есть тензор типа (0, 0) , то есть инваСвертка тензора типа
риант относительно замены базиса, единственный компонент, равный
имеющий
mm 11 22 ... nn . Данное выражение есть сумма диагональных элементов матрицы линейного оператора, которая не меняется при замене базиса. Заметим, что данным свойством не обладает, например, матрица билинейного функционала. Операция свертки часто комбинируется с операцией умножения тензоров. Например, результатом произведения один раз ковариантного тензора на один раз контравариантный с последующей сверткой является инвариант, представляющий значение линейного функционаi n . Действительно, f ( x ) i . В этом случае говорят, что тензор i свертывается с тензором k .
ла в
Задача Прил. 4.3.2.
Даны тензоры:
a – типа (1,1) с элементами ij и матрицей 1 2 3 4 5 6 ; 7 8 9
509
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
b – типа (1, 0) с элементами j и матрицей 2 3 ; 4 c – типа (0,1) с элементами i и матрицей 2 3 4 . Найти свертки Решение.
1.
ij j и ij i .
По определению операции свертывания,
ij j – 3
тензор типа
(1, 0) с компонентами i ij j . j 1
Поэтому
1 111 12 2 13 3 1 2 2 (3) 3 4 8, 2 12 1 22 2 32 3 4 2 5 (3) 6 4 17, 3 131 32 2 33 3 7 2 8 (3) 9 4 26. 2.
Аналогично,
ij i – тензор типа (0,1) с компо3
нентами
j ij i . Тогда i 1
1 11 1 12 2 13 3 1 2 4 (3) 7 4 18, 2 12 1 22 2 32 3 2 2 5 (3) 8 4 21, 3 13 1 32 2 33 3 3 2 6 (3) 9 4 26.
510
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Транспонирование тензоров Как уже отмечалось ранее, перестановка местами любой пары ковариантных (или пары контравариантных) индексов у тензора, то есть транспонирования тензора, вообще говоря, приводит к его изменению, поскольку в определении тензора говорится об упорядоченной системе индексов. При этом новый тензор будет того же типа, что и исходный. В общем случае для группы, состоящей из N верхних (или нижних) индексов, существует N ! различных способов перестановок. Это означает, что, переставляя данные индексы, можно построить N ! новых тензоров.
Задача Прил. 4.3.3.
Тензор
ijk задан матрицей
1 3 5 7
2 4 . 6 8
Найти матрицу транспонированного тензора. Решение.
Данный тензор можно транспонировать по паре контравариантных индексов i и j. После перестановки соответствующих элементов получаем тензор с матрицей
1 2 5 6
3 4 . 7 8
Симметрирование и альтернирование тензоров Определение Прил. 4.3.5.
Тензор называется симметричным относительно группы (верхних или нижних) индексов, если он не
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
511
меняется при перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе. Определение Прил. 4.3.6.
Тензор называется антисимметричным (или кососимметричным) относительно группы индексов, если он меняет, в смысле указанного выше определения равенства тензоров, свой знак на противоположный при перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе.
Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верхних, либо нижних), построим путем перестановок индексов данной группы N ! всевозможных новых тензоров и возьмем их среднее арифметическое. В результате мы получим тензор, симметричный по выбранной группе индексов. Данная операция называется симметрированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется симметрирование тензора, выделяется круглыми скобками. Пример Прил. 4.3.4.
N 1
(i1 ) i1 ,
N 2
(i1 ,i2 )
N 3
(i1 ,i2 ,i3 ) { i1 ,i2 ,i3 i3 ,i1 ,i2 i2 ,i3 ,i1
1 2!
( i1 ,i2 i2 ,i1 ),
1
3!
i2 ,i1 ,i3 i3 ,i2 ,i1 i1 ,i3 ,i2 } ...
...
512
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Операция симметрирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом симметрирование. Пример Прил. 4.3.5.
(i j ) .
Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верхних, либо нижних), построим путем перестановок индексов данной группы N ! всевозможных новых тензоров, приписав каждому из них
(1) Б (k 1 , k 2 ,..., k N ) , где Б(k1 , k 2 ,..., k N ) – число беспорядков в перестановке чисел {1,2,..., N } , и возьмем их среднее арифметичезнак
ское. В результате мы получим тензор, антисимметричный по выбранной группе индексов. Данная операция называется альтернированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется альтернирование тензора, выделяется квадратными скобками. Пример Прил. 4.3.6.
N 1
[i1 ] i1 , 1
N 2
[i1 ,i2 ]
N 3
[i1 ,i2 ,i3 ]
...
2!
{ i1 ,i2 i2 ,i1 },
1 { i ,i ,i i3 ,i1 ,i2 i2 ,i3 ,i1 3! 1 2 3 i2 ,i1 ,i3 i3 ,i2 ,i1 i1 ,i3 ,i2 }
...
513
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Операция альтернирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом альтернирование. Пример Прил. 4.3.7.
[i j ] .
Заметим, что как симметрирование кососимметричного тензора, так и альтернирование симметричного дает нулевой тензор.
Задача Прил. 4.3.4.
Тензор
ijk задан матрицей
цы тензоров Решение.
1. Тензор
1 3 5 7
2 4 . Найти матри6 8
(ij ) k , i ( jk ) и i[ jk ] .
ijk jik , транспонированный к данному
по паре индексов i и j , имеет матрицу
1 2 5 6 Тензор
3 4 7 8
(см. задачу Прил. 4.3.3).
ijk ikj , транспонированный к данному
по паре индексов j и k , будет иметь матрицу
1 3 2 4
5 7 , 6 8
514
Аналитическая геометрия и линейная алгебра в которой элементы первых столбцов блочных матриц исходного тензора записаны в первой блочной строке. 2.
Тогда тензор
(ij ) k имеет матрицу
11
23
2 32
2 44
2
2
1 5 2
5 2
4
тензор
,
55
67
2 76
2 88
13
2
2
2
5
13 2
8
i ( jk ) – матрицу 11
25
2 33
2 47
2
2
1 3
7 2 11 2
а тензор
,
52
66
7
2 74
2 88
2 11
2
2
2
i[ jk ] – матрицу
6 8
515
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления 11
25
2 33
2 47
2
2
0
0
3 2 3 2
.
52
66
3
2 74
2 88
2 3
2
2
2
0 0
Приложение 4.4. Тензоры в евклидовом пространстве В случае евклидова пространства тензоры обладают дополнительными специфическими свойствами, обусловленными тем фактом, что скалярное произведение есть билинейный функционал, а потому является дважды ковариантным тензором, компоненты которого в любом базисе совпадают с компонентами матрицы Грама. Этот ковариантный тензор иногда называют фундаментальным метрическим тензором. Поясним эти свойства следующим примером. Пусть дан базис {g1 , g 2 ,..., g n } в E n и его некоторый элемент x , являющийся одновалентным, один раз контравариантным тензором фундаментальный метрический тензор
i . Свернем
ij ( g i , g j ) с тензором i ,
получим
j ij i ( g i , g j ) i ( g i i , g j ) ( x, g j ) . Данное равенство означает, что элемент x однозначно характеризуется в каждом базисе E n также и компонентами один раз ковариан-
516
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
j . Числа j называются ковариантными компонентами элемента x в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } , и они однозначно определяются обычными контравариантными компонентами элемента x в тного тензора
силу невырожденности матрицы Грама из системы уравнений
j i j i . Таким образом, в евклидовом пространстве исчезает принципиальная разница между ковариантными и контравариантными индексами тензоров. Более того, в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные компоненты элемента x совпадают (см. теорему 10.3.2).
Операция опускания индекса Определение Прил. 4.4.1.
Пусть в
j j ... j
1 2 q E n задан тензор типа (q, p) i1i2 ...i p , где
j ... j
q 1 . Тензор типа (q 1, p 1) i0i12i2 ...iqp называется результатом операции опускания контравариантного индекса
j j ... j
j1 у тензора i11i2 2...i p q , если в каждом
базисе имеет место равенство j ... j
j j ... j
i0i12i2 ...iqp i0 j1 i11i2 2...i p q . Заметим, что использование точек для указания порядка следования индексов в этой операции оказывается необходимым, чтобы сделать ее однозначной. Иначе непонятно, куда следует опустить индекс.
Операция поднятия индекса Определение Прил. 4.4.2.
Дважды контравариантный тензор, компоненты которого в любом базисе евклидова пространства E n сов-
517
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
падают с матрицей, обратной матрице Грама, называется контравариантным метрическим тензором. Убедимся вначале, что матрица, обратная матрице Грама, задает в
(2, 0) . Имеем
каждом базисе тензор типа
g
T
S
g
S .
Исходя из этого соотношения, получаем следующее правило преобразования обратной матрицы Грама при замене базиса:
1 g
( S S
поскольку из
T
1
E E
g g
S ) 1 S
( S
T
1 T
) ( S
g
T 1
( S
)
1 T
) ,
( S
S
дует, что для невырожденной матрицы
( S
1
1 T
1 T
) ( S
S
)
S
T
сле-
справедливо равенство
T 1
) . А это и означает, что обратная матрица Гра-
ма определяет во всех базисах дважды контравариантный тензор
ij .
По аналогии с операцией опускания индекса дадим Определение Прил. 4.4.3.
Пусть в
j j ... j
1 2 q E n дан тензор типа (q, p) i1i2 ...i p , где
j j j ... jq
p 1 . Тензор типа (q 1, p 1) 0i21...2i p
называ-
ется результатом поднятия ковариантного индекса j j ... j
i1 у тензора i11i 2 2...i p q , если в каждом базисе имеет место равенство j j j ... j
j j ... j
0i21...2i p q i1 j0 i11i2 2...i p q .
518 Задача Прил. 4.4.1.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
E 2 с фундаментальным метрическим тензором 2 3 i ij тензор jk задан матрицей 3 5
В
3 5 2 1 Найти матрицы тензоров Решение.
1.
4 7 . 5 3 ijk и ijk .
Для опускания первого индекса воспользуемся формулой
ijk im mjk . Получаем
2 111 11 111 12 11 2 3 3 5 21, 2 112 11112 12 12 2 2 3 1 7,
121 11 121 12 221 2 4 3 7 29, 122 11122 12 222 2 5 3 3 19, 2 211 21 111 22 11 3 3 5 5 34, 2 212 21 112 22 12 3 2 5 1 11,
221 21 121 22 221 3 4 5 7 47, 222 21 122 22 222 3 5 5 3 30. Следовательно, матрица тензора
21 34 7 11
29 47 . 19 30
ijk имеет вид
519
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
2.
Для поднятия второго индекса следует применить формулу
ij k imk mj , где ij – контравариант-
ный метрический тензор, матрица которого обратна матрице тензора
2 3 3 5
ij и имеет вид 1
5 3 . 3 2
Поэтому
11 111 11 1 21 21 3 5 4 3 3, 1 12 111 12 1 21 22 3 3 4 2 1, 1 211 211 11 221 21 5 5 7 3 4, 221 211 12 221 22 5 ( 3) 7 2 1, 11 112 11 1 22 21 2 5 3 5 5, 2 12 112 12 1 22 22 2 (3) 5 2 4, 2 212 212 11 222 21 1 5 3 (3) 4, 222 212 12 222 22 1 (3) 3 2 3. Таким образом, тензор
ijk имеет матрицу 3 1 4 1 . 5 4 4 3
В ортонормированном базисе очевидно, что
i j i j ij , то
есть между ковариантными и контравариантными индексами нет
520
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
никакой разницы, что также следует из равенства
S
1
S
T
,
верного в ортонормированном базисе, и определения тензоров.
Приложение 4.5. Тензоры в ортонормированном базисе Совпадение ковариантных и контравариантных индексов в ортонормированных базисах евклидова пространства позволяет ввести в рассмотрение упрощенный класс тензоров, определенных только в таких базисах и называемых евклидовыми тензорами. Два евклидовых тензора считаются одинаковыми, если один из них может быть преобразован во второй операциями опускания или поднятия индексов. Поэтому можно в дальнейшем рассматривать евклидовы тензоры как имеющие лишь нижние индексы. При этом, правда, придется допустить суммирование по паре совпадающих ковариантных индексов. При помощи евклидовых тензоров удобно продемонстрировать связь методов тензорного исчисления и аппарата векторной алгебры в обычном трехмерном векторном пространстве E 3 . Введем предварительно в рассмотрение трехвалентный дискриминантный тензор
ijk , определяемый во всех ортонормированных ба-
зисах по правилу
ijk (1) Б(i , j ,k ) , если среди чисел i , j , k нет равных, ijk 0 – в остальных случаях. Б(l , m, n), как и раньше, обозначает число беспорядков в перестановке чисел {l , m, n} (см. § 6.1). Всего у тензора ijk , антисимметричного по любой паре индексов, Здесь
27 компонентов, из которых только шесть ненулевых: три равные 1 и три равные 1.
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Убедимся вначале, что объект
521
ijk преобразуется при переходе от
одного ортонормированного базиса в E 3 к другому как трижды ковариантный тензор. Запишем выражения для компонентов в новом базисе в явном виде:
lmn li mj nk ijk l1 m 2 n 3 l 2 m3 n1 l 3 m1 n 2 l1 m3 n 2 l 2 m1 n 3 l 3 m 2 n1 l1 det m1 n1
l 2 m2 n2
l3 m3 , n3
что в свою очередь по свойствам определителя дает
lmn (1) Б(l ,m,n ) , если среди чисел l , m, n нет равных, lmn 0 – в остальных случаях, поскольку матрица
11 21 31
12 22 32
13 23 33
ортогональная (как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому) и ее определитель равен 1. Но если объект
ijk в новом произвольном ортонормированном
базисе имеет (при использованных правилах преобразования) те же компоненты, что и в исходном, то мы приходим к заключению, что это трехвалентный евклидов тензор.
522
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Тензоры и произведения векторов Покажем теперь связь тензорного произведения элементов пространства E 3 и произведений векторов, введенных в данном пособии (см. § 2.2 и § 2.4). Все базисы по-прежнему ортонормированные. Рассмотрим два одновалентных ковариантных тензора i и k , которые в аналитической геометрии (что было показано ранее) интерпретируются как обычные геометрические векторы
a и b . Их тен-
зорное произведение i k есть дважды ковариантный евклидов тензор, имеющий 9 компонентов, записываемых обычно в виде матрицы следующего вида:
11 2 1 3 1
1 2 2 2 32
1 3 2 3 . 33
Согласно правилам сложения тензоров и умножения их на число, данный тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров:
i k
1 1 ( i k k i ) ( i k k i ) , 2 2
или в матричном виде:
11 2 1 3 1
1 2 2 2 32
1 3 11 11 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 13
1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 3
13 3 1 2 3 3 2 3 3 3 3
0 1 2 1 1 2 2 3 1 13
1 2 2 1 0 3 2 2 3
13 3 1 2 3 3 2 . 0
Рассмотрим теперь каждое слагаемое по отдельности.
523
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Во-первых, отметим, что из симметричности матричного представления для первого слагаемого следует существование ортонормированного базиса, в котором эта матрица диагональна. Теперь покажем, что свертка этого слагаемого есть инвариант, то есть она не зависит от выбора базиса. Действительно, учитывая, что i и k суть одновалентные кова-
S , по-
риантные тензоры, и используя свойства матрицы перехода лучим следующее правило преобразования их свертки:
k k ki i kj j ikT kj i j ij i j i i , что и означает инвариантность этой свертки относительно замены базиса. Отсюда следует важный вывод: любой паре элементов (векторов)
3 a и b , имеющих соответственно компоненты i и k в E , мож-
но поставить в соответствие не зависящее от выбора ортонормированного базиса число i i 11 2 2 3 3 . (См. также § 2.9.) Выясним геометрический смысл этого инварианта, обозначаемого
( a , b ) ki i k . Каковы бы ни были векторы a и b , всегда
найдется ортонормированный базис, в котором их координатные представления соответственно имеют вид
b cos
a
0 0
и
b sin , 0
524 где
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
– угол между и . Тогда значение инварианта равно a b
( a , b ) a b cos , и мы приходим к формуле скалярного произведения векторов, которая обычно принимается за его определение. Рассмотрим теперь второе слагаемое. Как нетрудно видеть, матрица
0 2 1 1 2 3 1 1 3
1 2 2 1 0 3 2 2 3
1 3 3 1 2 3 3 2 0
имеет только три независимых компонента, из чего следует, что паре векторов
3 a и b в E может быть поставлен в соответствие третий
вектор, обозначаемый как
[ a , b ] , с компонентами 2 3 3 2 3 1 1 3 . 1 2 2 1
Исследуем его свойства. Во-первых, заметим, что число независимых компонентов у кососимметричной части тензорного произведения элементов в случае размерности пространства
n равно
(n 1)n , 2
поскольку это есть число компонентов, стоящих в матрице над ее главной диагональю. Отсюда следует, что только в E 3 это число совпадает с размерностью пространства, и только в E 3 произведению двух элементов можно подобным образом ставить в соответствие третий элемент.
525
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Во-вторых, убедимся, что имеют место соотношения
[ a , b ]i ijk j k . Действительно, например, для
i 1:
1 jk j k 11111 112 1 2 113 13 121 2 1 122 2 2 123 2 3 131 3 1 132 3 2 133 3 3 2 3 3 2 . В-третьих, покажем инвариантность тензора
i ijk j k при
переходе от одного ортонормированного базиса к другому в E 3 . Пусть это соотношение в новом ортонормированном базисе
i ijk j k , тогда в исходном базисе будут справедливы равенства
is s ijk jm kl m l . Умножив обе части последнего равенства на тензор qi и свернув произведения по индексу i, получим qi is s qi jm kl ijk m l , qi is s qs s q , а qml qi jm kl ijk , поскольку тензор ijk инвариантен при переходе от одного ортонормированного но
базиса к другому. Следовательно, i iml m l , что и означает инвариантность этого элемента относительно замены базиса. Выясним, наконец, геометрический смысл вектора тим, что для любых векторов
[ a , b ] . Заме-
a и b можно выбрать ортонормиро-
ванный базис в E 3 , в котором их координатные представления имеют вид соответственно
526
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
0 0
a 0
где
и
b cos ,
b sin
– угол между и . a b Тогда значение первого компонента
[a, b]
есть
a b sin , в
то время как остальные компоненты нулевые, и получилась формула векторного произведения, принимаемая обычно за его определение. Таким образом, можно заключить, что введенные в курсе векторной алгебры операции скалярного и векторного произведений базируются не только на “их полезности для приложений”, но и отражают инвариантные свойства тензорного произведения элементов евклидова пространства при переходах между ортонормированными базисами. В заключение покажем, что тензорная символика может быть эффективно использована и для более сложных конструкций векторной алгебры. Например: 1.
Смешанное произведение трех векторов (см. § 2.6) представимо в виде
(a , b , c ) ( a , [ b , c ] ) i [ b , c ]i i ijk j k ijk i j k . 2.
Выражение для двойного векторного произведения трех векторов (см. § 2.8) может быть получено следующим образом:
[a , [ b , c ] ]i ijk j [ b , c ] k ijk j klm l m ijk klm j l m .
527
П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления
Принимая во внимание достаточно легко проверяемую формулу
ijk klm il jm im jl , приходим к равенству
[a , [ b , c ] ]i ijk j klm l m ( il jm im jl ) j l m
i m m i j j i (a , c ) i ( a , b ) , или, окончательно,
[a , [ b , c ] ] b (a , c ) c (a , b ) .
528
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
ЛИТЕРАТУРА 1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 10-е изд., испр. М.: Физматлит, 2005. 2. Чехлов В. И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: МФТИ, 2005. 3. Мальцев А. М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1976. 4. Постников М. М. Лекции по геометрии. М.: Наука, 1979. 5. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983. 6. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. 7. Волков Т. Ф. Тензоры и векторы: учебное пособие. М.: МФТИ, 1976. 8. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001.
Предметный указатель
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А Алгебраическая линия § 4.1. Алгебраическая поверхность § 4.2. Алгебраическое дополнение элемента матрицы § 6.3. Альтернирование тензоров Прил. 4.3. Аппроксимация функций многочленами § 12.3. Аффинное преобразование плоскости § 5.4.
Б Базис § 1.5. Базис в пространстве § 1.5. Базис линейного пространства § 7.2. Базис на прямой § 1.5. Базис на плоскости § 1.5. Базисная строка матрицы § 6.5. Базисный минор § 6.5. Базисный столбец матрицы § 6.5. Билинейная форма § 9.1. Билинейный функционал § 9.1. Биортогональный базис § 8.7.
В Вектор, множество векторов § 1.3. Векторное произведение векторов § 2.4, Прил. 4.5. Взаимно однозначное отображение § 5.2.
529
530
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Взаимно однозначное соответствие (биекция) § 8.4. Взаимный базис § 2.5, § 8.7. Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство § 8.7. Выражение векторного произведения векторов в координатах § 2.5. Выражение векторного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.5. Выражение скалярного произведения векторов в координатах § 2.3. Выражение смешанного произведения векторов в координатах § 2.7. Выражение скалярного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.3. Выражение смешанного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.7. Вырожденная матрица § 5.1. Вырожденные линии второго порядка Прил. 1.1. Вырожденные поверхности второго порядка Прил. 2.1.
Г Геометрический смысл модуля определителя аффинного преобразования § 5.4. Геометрический смысл знака определителя аффинного преобразования § 5.4. Гипербола § 4.4. Гиперболический параболоид § 4.5. Гиперболический цилиндр § 4.5. Гиперплоскость в линейном пространстве § 7.4. Главный вектор плоскости § 3.3. Группа § 5.6.
Предметный указатель
531
Д Двойное векторное произведение § 2.8, Прил. 4.5. Двойственное линейное пространство § 8.7. Двуполостный гиперболоид § 4.5. Действия с линейными операторами § 8.2. Действия с линейными операторами в матричной форме § 8.3. Детерминант матрицы 2-го и 3-го порядка § 1.1. Детерминант матрицы n-го порядка § 6.1. Диагональный вид квадратичного функционала § 9.2. Директориальное свойство гиперболы Прил. 1.3. Директориальное свойство параболы Прил. 1.4. Директориальное свойство эллипса Прил. 1.2. Дисперсия эрмитова оператора § 11.4. Дополнительный минор § 6.3. Дополнительный минор элемента матрицы § 6.3.
Е Евклидово пространство § 10.1. Единичная матрица § 1.1. Единичный оператор § 8.2.
З Запись тензоров Прил. 4.2.
И Изменение компонентов билинейного функционала при смене базиса § 9.1.
532
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Изменение компонентов квадратичного функционала при смене базиса § 9.2. Изменение компонентов линейного функционала при смене базиса § 8.7. Изменение координат точки при смене базиса § 1.8. Изменение координат элемента линейного пространства при смене базиса § 7.3. Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса § 8.3. Изоморфизм § 7.5. Изоморфные линейные пространства § 7.5. Инвариантное подпространство линейного оператора § 8.5. Инвариантное собственное подпространство линейного оператора § 8.6. Инварианты линий второго порядка на плоскости § 9.4. Инъективное линейное отображение (инъекция) § 8.4.
К Канонические уравнения линии второго порядка на плоскости § 4.4. Канонические уравнения поверхности второго порядка § 4.5. Канонический вид квадратичного функционала § 9.2. Квадратная матрица § 1.1. Квадратичная форма § 9.2. Квадратичный функционал § 9.2. Квадратная матрица порядка n § 1.1. Классификация поверхностей второго порядка § 12.2. Коллинеарность § 1.4. Коллинеарные векторы § 1.4. Коммутатор линейных операторов § 8.2. Компланарность § 1.4. Компланарные векторы § 1.4. Комплексные числа Прил. 3.0. Компоненты вектора § 1.5. Компоненты элемента линейного пространства § 7.3.
Предметный указатель Коническая поверхность § 4.3. Коническое сечение § 4.6. Конус § 4.5. Координатное представление билинейного функционала в базисе § 9.1. Координатное представление линейного оператора в базисе § 8.3. Координатное представление линейного функционала в базисе § 8.7. Координатное представление скалярного произведения § 10.3. Координаты вектора § 1.5. Координаты элемента линейного пространства § 7.3. Композиция операторов § 5.2. Компоненты вектора § 1.5. Координаты вектора § 1.5. Критерий Сильвестра § 9.3, § 10.3.
Л Линейная зависимость векторов § 1.4. Линейная зависимость элементов линейного пространства § 7.2. Линейная комбинация векторов § 1.4. Линейная комбинация элементов линейного пространства § 7.2. Линейная независимость векторов § 1.4. Линейная независимость элементов линейного пространства § 7.2. Линейная оболочка элементов линейного пространства § 7.4. Линейное неравенство § 3.2. Линейное пространство § 7.1. Линейное пространство линейных операторов § 8.2. Линейное пространство линейных функционалов § 8.7. Линейный оператор § 8.1. Линейный оператор на плоскости § 5.3.
533
534
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Линейная форма § 8.7. Линейный функционал § 8.7. Линия в пространстве § 4.1. Линия второго порядка на плоскости § 4.4. Линия на плоскости § 4.1.
М Матрица § 1.1. Матрица билинейного функционала § 9.1. Матрица Грама § 10.3. Матрица квадратичного функционала § 9.2. Матрица линейного оператора § 8.3. Матрица линейного отображения § 8.4. Матрица линейного оператора на плоскости § 5.3. Матрица перехода от одной системы координат к другой § 1.8. Матрица перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве § 7.3. Матрица элементарных преобразований § 6.8. Метод Гаусса § 6.8. Метод Лагранжа § 9.2. Минор k -го порядка § 6.3.
Н Направленный отрезок § 1.2. Направляющие векторы плоскости § 3.3. Направляющий вектор прямой на плоскости § 3.2. Невырожденная матрица § 7.5. Неоднородная система линейных уравнений § 6.6. Неоднородный линейный оператор на плоскости § 5.3. Неравенство Коши–Буняковского § 10.1. Неравенство треугольника § 10.1.
Предметный указатель Неразвернутое представление матрицы § 1.1. Нетривиальная линейная комбинация векторов § 1.4. Норма элемента в евклидовом пространстве § 10.1. Нормальная прямоугольная система координат § 1.7. Нормальное уравнение прямой на плоскости § 3.2. Нормальный вектор прямой на плоскости § 3.2. Нормальный вектор плоскости § 3.3. Нулевая матрица § 1.1. Нулевой вектор § 1.3. Нулевой направленный отрезок § 1.2. Нулевой оператор § 8.2. Нулевой функционал § 8.7. Нулевой элемент линейного пространства § 7.1.
О Область значений линейного оператора § 8.4. Обратная матрица § 5.1. Обратная матрица перехода § 7.5. Обратное отображение § 5.2. Обратный оператор § 8.2. Обращение произведения матриц § 5.1. Обращение линейного оператора в матричной форме § 8.3. Общая декартова система координат § 1.7. Общее решение системы линейных уравнений § 6.6, § 6.7. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений § 6.7. Общее решение системы однородной линейных уравнений § 6.7. Однополостный гиперболоид § 4.5. Однородная система линейных уравнений § 6.6. Однородный линейный оператор на плоскости § 5.3. Оператор § 5.2, § 8.1. Оператор сжатия к осям § 5.3. Операции с линейными функционалами § 8.7. Операции с тензорами Прил. 4.3.
535
536
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Операции с элементами линейного пространства в координатной форме § 7.3. Определитель матрицы 2-го порядка § 1.1. Определитель матрицы 3-го порядка § 1.1. Определитель матрицы n -го порядка § 6.1. Определитель произведения матриц § 6.2. Опускание индекса у тензора Прил. 4.4. Оптическое свойство гиперболы Прил. 1.3. Оптическое свойство параболы Прил. 1.4. Оптическое свойство эллипса Прил. 1.2. Ортогонализация базиса § 10.2. Ортогональная матрица § 5.1, § 10.4. Ортогональное проектирование § 2.1, § 10.5. Ортогональная проекция вектора на ось § 2.1. Ортогональная проекция точки на ось § 2.1. Ортогональное дополнение § 10.5. Ортогональное преобразование плоскости § 5.5. Ортогональные элементы в евклидовом пространстве § 10.1. Ортогональный базис § 1.5. Ортогональный оператор § 10.8. Ортонормированная система координат § 1.7. Ортонормированный базис § 1.5, § 10.2. Основная матрица системы линейных уравнений 6.6. Ось § 2.1. Отношение Релея § 12.1. Отображение плоскости § 5.2. Отрицательно определенный квадратичный функционал § 9.3.
П Парабола § 4.4. Параболический цилиндр § 4.5. Параметрическое представление плоскости § 3.3. Параметрическое представление прямой на плоскости § 3.1. Пересечение подпространств линейного пространства § 7.4.
Предметный указатель
537
Переход от одной ортонормированной системы координат к другой § 1.8. Поверхности вращения Прил. 2.7. Поверхности второго порядка § 4.5. Поднятие индекса у тензора Прил. 4.4. Подпространство линейного пространства § 7.4. Полилинейный функционал § 9.6. Положительно определенный квадратичный функционал § 9.3. Полярная система координат § 4.6. Порядок алгебраической линии § 4.1. Порядок алгебраической поверхности § 4.2. Правило замыкающей § 1.2. Правило Крамера § 6.4. Правило треугольника § 1.2. Правило параллелограмма § 1.2. Преобразование плоскости § 5.2. Приведение квадратичного функционала к диагональному виду § 9.2, § 12.1. Приведение пары квадратичных функционалов к диагональному виду § 9.2, § 12.1. Приведение уравнения линии второго порядка на плоскости к каноническому виду § 4.4. Присоединенный оператор § 12.1 Произведение матриц § 5.1. Произведение операторов § 5.2. Произведение линейных операторов § 8.2. Произведение линейных операторов в матричной форме § 8.3. Произведение числа и линейного оператора § 8.2. Произведение числа и линейного функционала § 8.7. Произведение числа и матрицы § 1.1. Произведение числа и направленного отрезка § 1.2. Противоположный оператор § 8.2. Противоположный функционал § 8.7. Противоположный элемент линейного пространства § 7.1.
538
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Прямая сумма подпространств линейного пространства § 7.4. Пучок плоскостей в пространстве § 3.3. Пучок прямых на плоскости § 3.2.
Р Равенство векторов в координатной форме § 1.6. Радиус-вектор точки § 1.7. Развернутое представление матрицы § 1.1. Разложение определителей § 6.3. Разложение определителя 3-го порядка по столбцу или строке § 1.1. Размер матрицы § 1.1. Размерность линейного пространства § 7.2. Ранг линейного оператора § 8.4. Разность направленных отрезков § 1.2. Ранг матрицы § 6.5. Расстояние между скрещивающимися прямыми § 3.4. Расстояние между элементами в евклидовом пространстве § 10.1. Расстояние от точки до прямой на плоскости § 3.2. Расстояние от точки до прямой в пространстве § 3.4. Расстояние от точки до плоскости § 3.3. Расширенная матрица системы линейных уравнений § 6.6. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными § 1.1.
С Самосопряженный оператор § 10.7. Свертывание тензоров Прил. 4.3. Свойства аффинного преобразования плоскости § 5.4. Свойства векторного произведения векторов § 2.4. Свойства гиперболического параболоида Прил. 2.4.
Предметный указатель
539
Свойства гиперболы Прил. 1.3. Свойства двуполостного гиперболоида Прил. 2.6. Свойства однополостного гиперболоида Прил. 2.5. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число § 1.3. Свойства определителя матрицы n-го порядка § 6.2. Свойства параболы Прил. 1.4. Свойства собственных значений линейного оператора § 8.6. Свойства собственных векторов линейного оператора § 8.6. Свойства скалярного произведения векторов § 2.2. Свойства смешанного произведения векторов § 2.6. Свойства эллипса Прил. 1.2. Свойства эллипсоида Прил. 2.2. Свойства эллиптического параболоида Прил. 2.3. Связка плоскостей в пространстве § 3.3. Сигнатура квадратичного функционала § 9.3. Символ Кронекера § 2.3. Симметрирование тензоров Прил. 4.3. Симметрическая матрица § 1.1. Симметричный билинейный функционал § 9.1. Система n линейных уравнений с n неизвестными § 6.4. Система m линейных уравнений с n неизвестными § 6.6. Скалярное произведение векторов § 2.2, Прил. 4.5. Скалярное произведение элементов в евклидовом пространстве § 10.1. Сложение матриц § 1.1. Сложение векторов в координатной форме § 1.6. Сложение линейных операторов в матричной форме § 8.3. Сложение направленных отрезков § 1.2. Сложение тензоров Прил. 4.3. Смешанное произведение векторов § 2.6. Собственное значение (число) линейного оператора § 8.5. Собственный вектор линейного оператора § 8.5. Совместная система линейных уравнений § 6.6. Соглашение о суммировании § 1.4. Соотношение неопределенностей § 11.5.
540
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Сопряженное линейное пространство § 8.7. Сопряженный оператор § 10.6. Сравнение матриц § 1.1. Сравнение направленных отрезков § 1.2. Среднее значение оператора § 11.4. Столбец элементов матрицы § 1.1. Строка элементов матрицы § 1.1. Сумма линейных операторов § 8.2. Сумма линейных функционалов § 8.7. Сумма подпространств линейного пространства § 7.4. Степень квадратной матрицы с целым неотрицательным показателем § 8.6. Сферическая система координат § 4.6. Сюръективное линейное отображение (сюръекция) § 8.4.
Т Тензоры Прил. 4.2. Тензоры в евклидовом пространстве Прил. 4.4. Тензоры в ортонормированном базисе Прил. 4.5. Теорема Гамильтона–Кэли 8.6. Теорема Грама–Шмидта § 10.3. Теорема инерции квадратичных функционалов § 9.3. Теорема Кронекера–Капелли § 6.6. Теорема Лапласа § 6.3. Теорема о базисном миноре § 6.5. Теорема о полярном разложении § 10.8. Теорема о ранге матрицы § 6.5. Теорема об изоморфизме § 7.5. Теорема Фредгольма § 6.7, § 10.6. Тождественный оператор § 8.2. Точка пересечения прямой и плоскости § 3.4. Транспонирование матрицы § 1.1. Транспонирование произведения матриц § 5.1. Транспонирование тензоров Прил. 4.3. Тривиальная линейная комбинация векторов § 1.4.
Предметный указатель Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Прил. 3.0.
У Угол между векторами § 2.2. Угол между элементами в евклидовом пространстве § 10.1. Умножение матрицы на число § 1.1. Умножение направленного отрезка на число § 1.2. Умножение вектора на число в координатной форме § 1.6. Умножение линейного оператора на число в матричной форме § 8.3. Умножение тензоров Прил. 4.3. Умножение тензоров на число Прил. 4.3. Унитарное пространство § 11.1. Унитарный оператор § 11.2. Уравнение плоскости в декартовой системе координат § 3.3. Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат § 3.1. Уравнение пучка прямых на плоскости § 3.2. Условие коллинеарности векторов в координатной форме § 1.6. Условие компланарности векторов в координатной форме § 1.6. Условие ортогональности прямых на плоскости § 3.5. Условие ортогональности прямых в пространстве § 3.5. Условие ортогональности прямой и плоскости § 3.5. Условие параллельности прямых на плоскости § 3.1. Условие параллельности прямых в пространстве § 3.1. Условие параллельности прямой и плоскости § 3.1.
Ф Фокальное свойство гиперболы Прил. 1.3. Фокальное свойство эллипса Прил. 1.2.
541
542
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Формула Эйлера Прил. 3.0. Формулы перехода от одной системы координат к другой § 1.8. Формы задания плоскости в пространстве § 3.3. Формы задания прямой на плоскости § 3.2. Фундаментальная система решений системы линейных уравнений § 6.7. Фундаментальная матрица § 6.7. Функционал § 5.2.
Х Характеристический многочлен линейного оператора § 8.5. Характеристическое уравнение линейного оператора § 8.5.
Ц Цилиндрическая поверхность § 4.3. Цилиндрическая система координат § 4.6.
Ч Частное решение системы линейных уравнений § 6.6. Численное значение ортогональной проекции на ось § 2.1.
Э Экспоненциальная форма записи комплексных чисел Прил. 3.0. Экстремальные свойства квадратичных функционалов § 9.5. Элемент матрицы § 1.1. Элемент обратной матрицы § 6.3. Элементарные операции преобразования матрицы системы линейных уравнений § 6.8.
Предметный указатель Эллипс § 4.4. Эллипсоид § 4.5. Эллиптический параболоид § 4.5. Эллиптический цилиндр § 4.5. Эрмитово сопряженный оператор § 11.2. Эрмитово самосопряженный оператор § 11.3. Эрмитов оператор § 11.3. Эрмитов функционал § 11.4. Эрмитова форма § 11.4.
Я Ядро линейного оператора § 8.4.
543
Учебное издание
Умнов Александр Евгеньевич
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Научные редакторы В. И. Чехлов, И. А. Чубаров Художник Г. Ю. Капустин Редакторы И. А. Волкова, О. П. Котова Корректор И. А. Волкова Подписано в печать __.__.2023. Формат 60 84 1/16. Усл. печ. л. 34,0. Уч.-изд. л. 33,5. Тираж 400 экз. Заказ 000. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 E-mail: [email protected] _________________________________________________________ Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в Отделе оперативной полиграфии МФТИ.