Problemas de fisica del estado solido

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Problemas de física del estado sólido Francisco Domínguez-Adame

Problemas de F´ısica del Estado S´olido por Francisco Dom´ınguez-Adame

Curso 2016-2017 Universidad Complutense de Madrid

´Indice general 1. Estructura cristalina y cohesi´ on

1

2. Din´ amica de las redes at´ omicas

5

3. Electrones libres

9

4. Electrones en un potencial peri´ odico

13

5. Campos externos

19

6. Semiconductores y nanoestructuras

23

7. Defectos y desorden

27

8. Fen´ omenos cooperativos

29

i

BOLET´IN 1

Estructura cristalina y cohesi´ on Problema 1.1 ⊲

Compruebe que los u ´nicos ejes de simetr´ıa de rotaci´on compatibles con la simetr´ıa de traslaci´on son de orden 1, 2, 3, 4 y 6.

Problema 1.2 ⊲

Si los vectores aj (j = 1, 2, 3) definen la celda primitiva de una cierta red, determine la condici´on que deben satisfacer los vectores a′i = Sij aj (i = 1, 2, 3) para que tambi´en sean vectores primitivos de la misma red.

Problema 1.3 ⊲

Sabiendo que el Ne cristaliza en una estructura c´ ubica centrada en las caras de par´ametro a, determine qu´e tipo de red bidimensional constituyen los ´atomos contenidos en los planos (100). Exprese el m´odulo de sus vectores primitivos en funci´on de a. Dibuje la celda de Wigner-Seitz de dicha red bidimensional.

Problema 1.4 ⊲

Demuestre que a) todo vector Ghkl de la red rec´ıproca es perpendicular al plano (hkl) y b) el m´odulo de Ghkl es inversamente proporcional a la distancia interplanar entre los planos paralelos a (hkl).

Problema 1.5 ⊲

El grafeno es una monocapa de ´atomos de carbono densa1

2

Bolet´ın 1

mente empaquetados. Los ´atomos de carbono se disponen en una estructura denominada panal de abeja mediante enlaces covalentes. El ´angulo entre los enlaces de un ´atomo es 120◦ . La distancia entre dos ´atomos vecinos es a = 1,42 ˚ A. La red cristalina es triangular y la base es doble, constituida por los ´atomos denominados A y B en la figura. a) Obtenga los vectores a1 y a2 que definen la red cristalina y que se muestran en la figura. b) Determine la celda de Wigner-Seitz de la red rec´ıproca.

A

B

a a1 a2 Y X

Problema 1.6 ⊲

Obtenga la m´axima fracci´on de la superficie de un cristal bidimensional que pueden ocupar los ´atomos, suponiendo que se comportan como esferas r´ıgidas, en una red cuadrada de base simple. Repita el c´alculo cuando existe una base doble con ´atomos en el origen y en el punto medio de la diagonal.

Problema 1.7 ⊲

Calcule la m´axima fracci´on del volumen total de un cristal que pueden ocupar los ´atomos, considerados como esferas duras, en las tres redes c´ ubicas.

Problema 1.8 ⊲

Un electr´on libre con momento h ¯ k incide sobre una regi´on del espacio en la que existe un potencial V (r). La soluci´on del problema de dispersi´on requiere resolver la ecuaci´on de Sch¨odinger h

−

i h ¯2 2 ∇ + V (r) ψ(r) = Eψ(r) . 2m

Compruebe que la soluci´on se puede expresar como Z 2m 0 ψ(r) = ψ (r) + 2 d3 r′ G+ (r − r ′ )V (r ′ )ψ(r ′ ) , h ¯ donde ψ 0 (r) es la onda plana que est´a incidiendo sobre el potencial y la funci´on de Green retardada satisface la ecuaci´on
∇2 + k 2 G+ (r) = δ(r) .

Mediante la transformada de Fourier, obtenga tambi´en G+ (r).

Estructura cristalina y cohesi´ on

3

Problema 1.9 ⊲

Determine el factor at´omico de difusi´on de rayos X del ´atomo de hidr´ogeno en su estado fundamental, sabiendo que la densidad electr´onica para dicho estado es n(r) = (πa3B )−1 exp(−2r/aB ), siendo aB el radio de Bohr.

Problema 1.10 ⊲

Determine el factor de estructura del diamante y discuta las posibles extinciones.

Problema 1.11 ⊲

Un haz monocrom´aticos de rayos X incide sobre una cadena lineal de N ´atomos separados por una distancia a. Demuestre que la anchura de los m´aximos de difracci´on es inversamente proporcional a N . Se pretende calcular los estados electr´onicos del i´on H+ 2 y para ello se supone que el electr´on se mueve en una dimensi´on bajo un potencial de interacci´on de la forma V (x) = −λ [δ(x + a/2) + δ(x − a/2)], siendo λ > 0 una constante. Determine el valor de λ para que se obtenga la energ´ıa de un electr´on en el ´atomo de hidr´ogeno cuando a → ∞. Calcule la energ´ıa de los estados electr´onicos del i´on en funci´on de a.

Problema 1.12 ⊲

Problema 1.13 ⊲

Considere una cadena lineal diat´omica constituida por iones de carga +e y −e, separados por una distancia R en equilibrio. Determine la constante de Madelung para esta cadena.

Problema 1.14 ⊲

Considere la cadena lineal del problema anterior cuando adem´as se incluye una energ´ıa potencial repulsiva entre vecinos m´as pr´oximos de la forma A/Rn , donde A > 0 y n > 1. Calcule la separaci´on de equilibrio R0 y el trabajo por unidad de longitud necesario para comprimir la cadena de manera que la separaci´on entre vecinos pr´oximos sea R0 (1−δ), con 0 < δ ≪ 1.

Problema 1.15 ⊲

El m´odulo de compresibilidad del NaCl es B = 2,4 × 10 din/cm y la distancia de equilibrio entre ´atomos de Na y Cl es r0 = 2,82 ˚ A. Si el potencial de interacci´on entre ´atomos es Vij = ±e2 /rij + β/rijn , calcule β y n. 11

2

Problema 1.16 ⊲

La energ´ıa potencial de N ´atomos, interaccionando mediante el potencial de Lennard-Jones, es  σ 6 i h  σ 12 − C6 U (R) = 2N U0 C12 R R

4

Bolet´ın 1

siendo R la distancia entre vecinos pr´oximos. Las constantes C6 y C12 dependen de la estructura cristalina C6 C12

sc 8,4 6,2

bcc 12,25 9,11

fcc 14,45 12,13

a) Obtenga la separaci´on de equilibrio para cada una de las estructuras, en unidades del par´ametro σ. b) ¿Cu´al de las tres estructuras c´ ubicas es m´as estable cuando T = 0 K?

Problema 1.17 ⊲

Los par´ametros del potencial de Lennard-Jones se pueden obtener a partir de medidas en el estado gaseoso. En el caso del H2 se ha encontrado que U0 = 50 × 10−16 erg y σ = 2,96 ˚ A. Calcule la energ´ıa de cohesi´on en kJ por mol de H2 en la estructura fcc. Compare el valor obtenido con el resultado experimental, que es 0,751 kJ/mol.

Problema 1.18 ⊲

Se pretende analizar los efectos de polarizaci´on en ´atomo de un gas noble debido a la presencia de un i´on situado a una distancia R. Para ello supondremos que el n´ ucleo del ´atomo tiene una masa M y se encuentra en reposo. Su nube electr´onica de masa m ≪ M se supone concentrada en un punto a una distancia x del n´ ucleo, con un momento p. El Hamiltoniano del ´atomo se expresa como H=

1 p2 + kx2 + HI 2m 2

donde HI es el Hamiltoniano debido a la interacci´on entre el ´atomo y el i´on. Determine a) HI , b) la fuerza entre el ´atomo y el i´on en funci´on de su separaci´on y c) el valor esperado del momento dipolar inducido.

BOLET´IN 2

Din´ amica de las redes at´ omicas Problema 2.1 ⊲

La ecuaci´on para los desplazamientos at´omicos respecto a la posici´on de equilibrio de una cadena monoat´omica lineal es M U¨n = K (Un+1 + Un−1 − 2Un ) donde M es la masa de los a´tomos y K la constante de interacci´on entre ellos. Compruebe que Un (t) = A cos(kan − ωt) es soluci´on de las ecuaciones de movimiento, siendo a la separaci´on de equilibrio. Represente gr´aficamente f (x, t) = cos(kax − ωt) cuando t = 0 para k = π/3a y k = π/3a + 2π/a. Comente qu´e sucede cuando x es entero y relaci´onelo con el hecho de que ambos n´ umeros de onda se diferencian en un n´ umero de onda de la red rec´ıproca.

Problema 2.2 ⊲

Considere una red diat´omica lineal compuesta por ´atomos de masa M1 = 5,9 × 10−26 kg y M2 = 3,8 × 10−26 kg. Suponga que la constate recuperadora en la aproximaci´on arm´onica es K = 5 N/m. Calcule el valor de las frecuencias permitidas en el l´ımite de la primera zona de Brillouin.

Problema 2.3 ⊲

Considere una cadena lineal de ´atomos en la aproximaci´on arm´omica, con separaci´on de equilibrio a. Sea un (t) el desplazamiento respecto al equilibrio del ´atomo nsimo, como indica la figura. Adem´as de la interacci´on arm´onica entre ve5

6

Bolet´ın 2

cinos pr´oximos, de constante K, existe una energ´ıa potencial local que act´ ua 2 sobre cada ´atomo y que es de la forma En = (1/2)αun , donde α > 0. a) Obtenga la ecuaci´on del movimiento de los desplazamientos un . b) Empleando una soluci´on de la forma un (t) = A exp[i(kan − ωt)], obtenga la relaci´on de dispersi´on. c) Discuta si tiene sentido definir la velocidad del sonido en esta cadena.

Problema 2.4 ⊲

Considere las vibraciones at´omicas de un s´olido bidimensional con estructura cuadrada simple y par´ametro de red a. El potencial de interacci´on entre ´atomos se supone arm´onico, de constante recuperadora K, y se admite que s´olo es apreciable entre ´atomos vecinos pr´oximos. Sea u(R, t) el desplazamiento en el plano respecto a la posici´on de equilibrio del ´atomo que en equilibrio ocupa la posici´on R. Con estas aproximaciones, las ecuaciones de movimiento se escriben como # " X ′ ¨ u(R , t) − 4u(R, t) mu(R, t) = K R′

siendo m la masa de cada ´atomo y la suma se extiende a los vecinos pr´oximos. Suponiendo que la soluci´on es de la forma u(R, t) = Aei(κ · R−ωt) obtenga la relaci´on de dispersi´on y la velocidad del sonido.

Problema 2.5 ⊲

Las frecuencias de vibraci´on en cristales c´ ubicos monoat´omicos se pueden obtener a partir de h  i X 1 2 2 b b k · R α1 + β RR . M ω A = D(k)A D(k) = sen 2 R

donde M es la masa de los ´atomos, α y β son constantes que dependen del potencial interat´omico, 1 es la matriz unidad 3×3. La suma en R recorre todos bR b denota el producto di´adico del vector los vecinos pr´oximos de un ´atomo y R b ≡ R/R por s´ı mismo, es decir (R b R) b ij = (R) b i (R) b j . Considere la unitario R propagaci´on de ondas en la direcci´on [100] de un s´olido con estructura c´ ubica simple de par´ametro a y determine: a) la expresi´on de la matriz din´amica en este caso, b) los vectores de polarizaci´on y frecuencias propias en funci´on

Din´ amica de las redes at´ omicas

7

de k, y c) la velocidad del sonido de las ondas longitudinales y transversales (considere el l´ımite cuando λ ≫ a).

Problema 2.6 ⊲

Considere un cristal con estructura fcc y base monoat´omica. Si se supone que s´olo existe interacci´on (arm´onica) entre vecinos pr´oximos, se puede demostrar que las frecuencias normales se obtienen a partir de los autovalores λ de la matriz D(κ) definida en el problema anterior. Demuestre que cuando κ = (κ, 0, 0), hay un modo normal puramente longitudinal y dos modos puramente transversales y degenerados.

Problema 2.7 ⊲

Utilizando el modelo de Debye, calcule la frecuencia m´axima de los modos de vibraci´on de una red c´ ubica simple de par´ametro a = 3 ˚ A 3 en la que la velocidad del sonido es 4 × 10 m/s.

Problema 2.8 ⊲

Calcule la energ´ıa de punto cero de un cristal a partir del modelo de Debye. Estime su valor para el He s´olido suponiendo que la temperatura de Debye es de 24 K.

Problema 2.9 ⊲

La masa de un mol de Fe es M = 55,85 g. Sabiendo que su densidad es ρ = 7,86 g/cm3 y la temperatura de Debye es θ = 420 K, obtenga la velocidad del sonido en Fe.

Problema 2.10 ⊲

El criterio de Lindemann establece que la mayor parte de los metales funden cuando la amplitud cuadr´atica media de vibraci´on de sus ´atomos, medida en unidades de la distancia interat´omica, excede un cierto valor cr´ıtico. Utilizando el modelo de Debye, estudie la validez de este criterio para los siguientes metales con estructura fcc: Cu

Au

Al

Ni

Pd

a (˚ A)

3, 61

4, 08

4, 05

3, 52

3, 89

TFusi´on (K)

1356

1336

933

1726

1825

TDebye (K)

343

165

428

450

274

Masa at´omica

63, 5

197

27

58, 7

106

8

Problema 2.11 ⊲

Bolet´ın 2

Estime el desplazamiento cuadr´atico medio de los ´atomos de Li met´alico a baja temperatura debida a la energ´ıa de punto cero. La temperatura de Debye del Li es 344 K.

BOLET´IN 3

Electrones libres Problema 3.1 ⊲

Obtenga la densidad de estados por unidad de longitud para electrones libres en una dimensi´on.

Problema 3.2 ⊲

Partiendo de la expresi´on general para calcular la densidad de estados electr´onicos por unidad de volumen Z 1 dS n3D (E) = 3 4π S(E) |∇κ Eκ | obtenga el valor de la misma para electrones libres.

Problema 3.3 ⊲

En la aproximaci´on del tiempo de relajaci´on se supone que todos los electrones de la esfera de Fermi ganan una cantidad de movimiento h ¯ ∆k = −eτ E cuando se aplica un campo el´ectrico E, siendo τ el tiempo de relajaci´on. La densidad de corriente se puede obtener mediante la expresi´on P j = −2(e/V) k vk , donde V es el volumen del s´olido y la suma se extiende a todos los estados k ocupados. Obtenga el valor de la conductividad a partir de la ley de Ohm j = σE y comp´arela 9

10

Bolet´ın 3

con la conductividad de Drude.

Problema 3.4 ⊲

Sabiendo que la energ´ıa de Fermi de la plata es 5, 48 eV y que su temperatura de fusi´on es 1233,8 K, calcule en la aproximaci´on de electrones libres la fracci´on de electrones de la banda de conducci´on que est´an excitados a esa temperatura.

Problema 3.5 ⊲

Obtenga la expresi´on del calor espec´ıfico en el problema anterior y comp´arelo con el resultado obtenido en un gas cl´asico donde todos los electrones son excitables.

Problema 3.6 ⊲

f(E,T)

La figura muestra la funci´on de distribuci´on de FermiDirac en l´ınea de puntos, que se preAproximada tende reemplazar en los c´alculos por Fermi-Dirac la funci´on en l´ınea continua. Conside1 re un gas bidimensional de electrones libres con una densidad superficial ns . a) Como ns no depende de T , demuestre que empleando la funci´on aproxi0 mada, tambi´en µ resulta ser indepen0 µ-kBT/2 µ µ+kBT/2 E diente de T y, por tanto, igual a la energ´ıa de Fermi. b) Sea nexc la densidad superficial de electrones excitados a una temperatura T , cuya energ´ıa se encuentra entre µ − kB T /2 y µ + kB T /2 . Calcule nexc /ns . c) Sabiendo que al aumentar la temperatura de 0 a un valor T los electrones excitados ganan una energ´ıa del orden de kB T , estime el calor espec´ıfico del gas.

Problema 3.7 ⊲

Determine la la presi´on ejercida por un gas de electrones libres en el cero absoluto. Particularice el resultado para el Cu, cuya densidad electr´onica es n = 8,47 × 1028 m−3 y EF = 1,12 × 10−18 J.

Problema 3.8 ⊲

Se pretende calcular la energ´ıa de cohesi´on de los metales considerando que los electrones est´an uniformemente distribuidos por el cristal, y que los iones se comportan como cargas puntuales fijas. Si el n´ umero de electrones es N y el volumen del cristal es V , cada electr´on ocupa un volumen v = V /N . a) Suponiendo que dicho volumen es una esfera de radio r0 , exprese la energ´ıa cin´etica media por electr´on en t´erminos de r0 . b) Calcule

Electrones libres

11

la energ´ıa de Coulomb entre una carga positiva puntual y la distribuci´on de carga esf´erica negativa de radio r0 que le rodea. c) Obtenga la autoenerg´ıa de Coulomb de dicha carga negativa esf´erica. d) Calcule el valor de r0 en el equilibrio a partir de los resultados de los apartados anteriores.

Problema 3.9 ⊲

En Cu, el 3 % de los electrones contribuyen a la conductividad el´ectrica σ = 6, 45 × 107 Ω−1 m−1 a temperatura ambiente. Utilice el modelo de Drude (σ = nexc e2 τ /m) para estimar el recorrido libre medio de los electrones a esa temperatura. Datos: EF = 7 eV y n = 8,5 × 1028 m−3 (densidad electr´onica total).

Problema 3.10 ⊲

Cuando un electr´on interacciona con la red cristalina la deforma. Si el electr´on se mueve, en su movimiento desplaza tambi´en el campo de deformaci´on, dando lugar a lo que se conoce como polar´on. Se propone un modelo sencillo de polar´on para comprobar que en determinadas circunstancias la formaci´on de un polar´on reduce la energ´ıa del sistema. Para ello, consideremos una cadena lineal de ´atomos. En la aproximaci´on del potencial de deformaci´on la red se describe como un medio continuo, que al deformarse genera un potencial sobre el electr´on de la forma V (x) = −E1

du , dx

donde u(x) es el campo de deformaci´on y E1 una constante con dimensiones de energ´ıa que depende del s´olido. Admitiremos que el campo de deformaci´on en la red est´atica conduce al siguiente potencial   x2 V (x) = −V0 exp − 2 . 2σ Calcule la energ´ıa el´astica de la red deformada, que viene expresada como  2 Z ∞ 1 du Ered = B , dx 2 dx −∞ donde B es el m´odulo de compresibilidad del medio el´astico. Asimismo, obtenga el nivel de energ´ıa del electr´on Eel en el potencial V (x), suponiendo que se puede aproximar por una par´abola. Y, finalmente, demuestre que la energ´ıa total del sistema Etotal = Ered + Eel alcanza un valor m´ınimo en funci´on de los par´ametros V0 y σ, y que dicho valor es negativo.

BOLET´IN 4

Electrones en un potencial peri´ odico Problema 4.1 ⊲

Utilizando la aproximaci´on de electrones libres, determine el n´ umero de electrones por ´atomo que hay en un cristal cuando la esfera de Fermi es tangente a la frontera de la zona de Brillouin en las tres estructuras c´ ubicas.

Problema 4.2 ⊲

Considere una red triangular bidimensional de par´ametro de red a con dos electrones por ´atomo, en la aproximaci´on de electrones libres. Obtenga las regiones donde se encuentran los electrones y los huecos en la segunda y primera zona de Brillouin, respectivamente.

Problema 4.3 ⊲

Demuestre que toda funci´on peri´odica U (r) admite un desarrollo de Fourier en t´erminos de los vectores de la red rec´ıproca.

Problema 4.4 ⊲

Empleando las condiciones de Born-von Karman, calcule el valor de las siguientes sumas de red: X X S = eik · R S = eik · R R

k

R

k

Problema 4.5 ⊲

El la aproximaci´on de electrones casi libre hay que evaluar los elementos matriz h k | U | k′ i, donde U (r) es la energ´ıa potencial de un 13

14

Bolet´ın 4

electr´on en el cristal y | k i denota los estados electr´onicos sin perturbar (ondas planas). Demuestre que Z 1 ′ hk | U | k i = d3 r U (r)e−iG · r δk−k′ ,G , Ω Ω donde Ω es el volumen de la celda unidad y G un vector de la red rec´ıproca.

Problema 4.6 ⊲

En la aproximaci´on de electrones casi libres la relaci´on de dispersi´on cerca de un plano de Bragg que bisecta al vector G de la red rec´ıproca se puede escribir como i1/2
1h 0
2 1 0 0 0 2 E + Ek−G ± Ek − Ek−G + 4|UG | E± (k) = U0 + 2 k 2

donde UG indica los coeficientes del desarrollo de Fourier del potencial peri´odico U (r) y Ek0 = h ¯ 2 k2 /2m es la relaci´on de dispersi´on de los electrones libres. Definiendo q = k − G/2, realice un desarrollo de E± en serie de potencias de q cuando q y G/2 son paralelos y q ≪ G.

Problema 4.7 ⊲

En el trabajo original de Kronig y Penney (1931) se considera un modelo de s´olido unidimensional donde el potencial cristalino es de la forma ∞ X U (x) = v(x − na) v(x) = λδ(x) n=−∞

siendo a el par´ametro de red y λ es la constante de acoplamiento del potencial. Calcule el valor de los intervalos prohibidos de energ´ıa empleando la aproximaci´on de electrones casi libres.

Problema 4.8 ⊲

Calcule los coeficientes del desarrollo de Fourier para el potencial de Kronig-Penney, cuando los pozos y barreras tienen una anchura a/2 y la energ´ıa de las barreras es V0 . Determine la energ´ıa de los dos primeros intervalos prohibidos utilizando la aproximaci´on de electrones casi libres.

Problema 4.9 ⊲

Un electr´on se mueve en una red cristalina cuadrada de par´ametro a y experimenta un potencial d´ebil dado por  y i h  x + cos 2π . U (r) = V0 cos 2π a a

Electrones en un potencial peri´ odico

15

Obtenga los vectores de la red rec´ıproca y calcule el valor de los intervalos prohibidos de energ´ıa.

Problema 4.10 ⊲

Calcule la densidad de estados por unidad de longitud en una banda en la aproximaci´on de enlace fuerte, considerando exclusivamente los vecinos m´as pr´oximos.

Problema 4.11 ⊲

El compuesto K0,3 MoO3 es ejemplo de ´oxido de metales de transici´on que se comporta como un conductor casi-unidimensional. Para estudiar sus propiedades electr´onicas se formula un sencillo modelo basado en una red at´omica unidimensional, donde se considera un u ´nico orbital para cada ´atomo. Para simplificar el modelo se supone que las energ´ıas de los orbitales at´omicos ε′n puede ser distinta pero las correspondientes funciones de onda | n i son todas iguales, donde el ´ındice n indica el ´atomo n-simo. Se propone una soluci´on a la ecuaci´on de Schr¨odinger para un electr´on en el crisP tal en forma de combinaci´on lineal de orbitales at´omicos | Ψ i = n ψn | n i. Determine la ecuaci´on que satisface la amplitud ψn dentro de la aproximaci´on de enlace fuerte.

Problema 4.12 ⊲

Considere una cadena de ´atomos id´enticos, cada uno de ellos con nivel local de energ´ıa E0 , que se toma como origen (E0 = 0). La estructura cristalina tiene una base doble, como se muestra en la figura. En la aproximaci´on de enlace fuerte las integrales de intercambio son J ′ y J ′′ , y las ecuaciones para las amplitudes de la funci´on de onda son

Eψ2n = −J ′ ψ2n+1 − J ′′ ψ2n−1 ,

Eψ2n+1 = −J ′′ ψ2n+2 − J ′ ψ2n ,

n∈N .

a) Utilizando una soluci´on de Bloch de la forma ψ2n = Aeiκna y ψ2n+1 = Beiκna , encuentre la relaci´on de dispersi´on. b) Dibuje esquem´aticamente la relaci´on de dispersi´on en las dos primeras zonas de Brillouin.

16

Bolet´ın 4

c) Demuestre que la energ´ıa del intervalo prohibido es proporcional a |J ′ − J ′′ |. d) Cuando d = a/2 entonces J ′ = J ′′ ≡ J. Discuta desde el punto de vista f´ısico qu´e sucede entonces con la relaci´on de dispersi´on.

Problema 4.13 ⊲

En ciertos materiales aparece una banda estrecha de energ´ıa, debida a orbitales d, que se encuentra dentro de una banda m´as ancha debida a orbitales s. Se propone un modelo sencillo de enlace fuerte en el que la banda s se describe mediante una red at´omica unidimensional con integral de intercambio −J, con J = W/4 y W es la anchura de la banda s. La energ´ıa de los orbitales d es E0 respecto a la energ´ıa de los orbitales s, que se toma como origen. Adem´as, se supone que los orbitales d no solapan entre s´ı, pero lo hacen con los orbitales s mediante una integral de intercambio −∆. Obtenga la relaci´on de dispersi´on de los electrones.

Problema 4.14 ⊲

La banda de conducci´on de un cierto s´olido bidimensional, con estructura cuadrada de par´ametro a se puede expresar en la apro
ximaci´on de enlace fuerte como Eκ = −2J cos κx a + cos κy a con J > 0. Sabiendo que cada ´atomo aporta un electr´on: Calcule la energ´ıa de Fermi y dibuje la l´ınea de Fermi en el espacio κ (Ayuda: exprese la relaci´on de dispersi´on como producto de funciones trigonom´etricas).

Problema 4.15 ⊲

Calcule la conductividad el´ectrica en el problema anterior, que se expresa como τ e2 σ= 2πh

I

dκ

1 |∇κ Eκ | h ¯

donde τ es el tiempo de relajaci´on y la integral se realiza sobre la l´ınea de Fermi. Compare el resultado con el obtenido a partir del modelo de Drude.

Problema 4.16 ⊲

El grafeno es una monocapa de ´atomos de carbono

Electrones en un potencial peri´ odico densamente empaquetados. Los ´atomos de carbono se disponen en una estructura denominada panal de abeja mediante enlaces covalentes. El ´angulo entre los enlaces de un ´atomo es 120◦ . La distancia entre dos ´atomos vecinos es a = 1,42 ˚ A. La red cristalina es triangular y la base es doble, constituida por los ´atomos denominados A y B en la figura. Obtenga la relaci´on de dispersi´on de los electrones en la aproximaci´on de enlace fuerte.

17 A

B

a a1 δ3

δ1 δ2

Y X

a2

BOLET´IN 5

Campos externos Problema 5.1 ⊲

Seg´ un la descripci´on semicl´asica, cuando se aplica un campo el´ectrico E (constante y uniforme) a un s´olido unidmensional el momento cristalino y la posici´on de los electrones satisfacen las ecuaciones h ¯ k˙ = −eE y x˙ = (1/¯h) dEk /dk. Si la relaci´on de dispersi´on es de la forma Ek = −2J cos(ka), siendo a el par´ametro de red y 2J la semianchura de la banda, obtenga x(t).

Problema 5.2 ⊲

Considere una cadena at´omica infinita sometida a la acci´on de un campo el´ectrico uniforme E a lo largo de la misma. En la aproximaci´on de enlace fuerte, la ecuaci´on para las amplitudes de la funci´on de onda electr´onica es Eψn = eEanψn − Jψn+1 − Jψn−1

donde a es el par´ametro de red. Demuestre que las autofunciones normalizadas son ψn = Jn−k (2/F ), donde Jn (x) son las funciones de Bessel, k es un entero y F = eEa/J. Para ello utilice la relaci´on de recurrencia de las funciones de Bessel (2m/x)Jm (x) = Jm+1 (x) + Jm−1 (x). Obtenga tambi´en las autoenerg´ıas del electr´on.

Problema 5.3 ⊲

Considere la cadena del problema anterior. Inicialmente 19

20

Bolet´ın 5

se prepara un estado de la forma 1 ψn (0) = √ [Jn (2/F ) + Jn−1 (2/F )] 2 A partir de la ecuaci´on i¯h

dψn = eEanψn − Jψn+1 − Jψn−1 dt

calcule ψn (t) y el valor esperado de la posici´on del electr´on en funci´on del tiempo, definido como X hxi(t) = a n|ψn (t)|2 Utilice que

P

n

n

nJn (x)Jn−1 (x) = x/2.

Problema 5.4 ⊲

Sea S(E, kz ) el ´area de la ´orbita de un electr´on semicl´asico en el espacio de momentos, en presencia de un campo magn´etico uniforme B. El periodo de la ´orbita es entonces T (E, kz ) =

h ¯ 2 ∂S(E, kz ) eB ∂E

Mediante este resultado encuentre el periodo en el caso de electrones libres.

Problema 5.5 ⊲

Se aplica un campo magn´etico uniforme B sobre una muestra met´alica cuyo tiempo de relajaci´on a 4 K es τ = 0, 3 ns. Determine el valor del campo magn´etico necesario para que el electr´on describa al menos una ´orbita ciclotr´on, empleando para ello la aproximaci´on semicl´asica.

Problema 5.6 ⊲

Al estudiar el efecto de Haas-van Alphen, se observa en un metal que el periodo seg´ un el cual var´ıa el momento magn´etico de la muestra, cuando se aplica el campo magn´etico en una determinada direcci´on, es   1 = 10−1 G−1 ∆ B Calcule el ´area de la ´orbita extrema correspondiente del electr´on en el espacio κ y explique qu´e condiciones debe cumplir ωc para que el efecto sea observable.

Campos externos

21

Problema 5.7 ⊲

La relaci´on de dispersi´on cerca del borde de la banda de conducci´on en el Si es   ky2 kz2 h ¯ 2 kx2 + + Ek = E0 + 2 mt mt ml

donde E0 es una constante. Los par´ametros mt y ml se denominan masas transversal y longitudinal, respectivamente. Para determinarlas se realizan experimentos de resonancia ciclotr´on aplicando un campo magn´etico B contenido en el plano XZ y que forma un ´angulo θ con el eje Z. Encuentre la relaci´on entre la masa efectiva m∗ y las masas mt y ml . Suponga que la dependencia de k con el tiempo es de la forma exp(iωc t).

BOLET´IN 6

Semiconductores y nanoestructuras Problema 6.1 ⊲

Cuando los autovalores del tensor de masa efectiva, m1 , m2 y m3 , son diferentes entre s´ı, la frecuencia ciclotr´on se puede expresar como ωc = eB/m∗ , donde

∗

m =

r

u21 m1

m1 m2 m3 + u22 m2 + u23 m3

siendo ui las componentes del vector unitario B/B a lo largo de los ejes principales del tensor. Dresselhaus y colaboradores han obtenido la se˜ nal de la resonancia ciclotr´on en silicio, que se muestra m´as abajo. La frecuencia se sintoniz´o a ν = 2,4×1010 Hz. El campo magn´etico estaba contenido en el plano (110) y formaba un ´angulo de 30 ◦ con la direcci´on [001], variando solamente la intensidad del mismo durante el experimento. Sabiendo que los electrones tienen una masa transversal igual a mt = 0,2m y una masa longitudinal ml = m, siendo m la masa de los electrones libres, explique cuantitativamente los dos m´aximos observados, considerando la forma de las superficies de energ´ıa constante mostradas m´as abajo. 23

0

2

Electrones

Si T = 4K Huecos

Huecos

1

Electrones

Bolet´ın 6

Absorción (u. a.)

24

3 4 B (kGauss)

5

6

Problema 6.2 ⊲

Se ha determinado la concentraci´on intr´ınseca de portadores de un semiconductor a dos temperaturas diferentes. A 300 K resulta ni = 1,09 × 1016 cm−3 mientras que a 400 K se obtiene ni = 5,21 × 1016 cm−3 . Calcule la energ´ıa del intervalo prohibido. Obtenga el valor m´aximo de la concentraci´on de impurezas para que a 200 K pueda seguir consider´andose como semiconductor intr´ınseco.

Problema 6.3 ⊲

El Ge intr´ınseco tiene una resistividad de 47 Ωcm a temperatura ambiente y se sabe que las movilidades de electrones y huecos est´an en la relaci´on µn /µp = 2. Determine la m´axima resistividad posible a temperatura ambiente y el tipo de dopado (n o p) que puede producirla. Problema 6.4 ⊲ La energ´ıa cin´etica debida al movimiento transversal de los portadores en un pozo cu´antico puede escribirse trivialmente como   2 2 2 1 h ¯ 2 k⊥ 1 h ¯ 2 k⊥ h ¯ 2 k⊥ = − + 2m(z) 2m⊥ 2 m(z) m⊥ Calcule el valor de m⊥ para que se anule la correcci´on de primer orden a la energ´ıa de los portadores debida a la presencia del segundo t´ermino en el desarrollo propuesto.

Problema 6.5 ⊲

Considere un electr´on con momento h ¯ k en incidencia normal sobre dos barreras cuadradas consecutivas, cuyos centros est´an separados una distancia d. Se supone que no se aplica ninguna diferencia de potencial a la heteroestructura. Si denotamos por TL y TR los coeficientes de transmisi´on en la barrera de la izquierda y de la derecha, respectivamente, y si adem´as definimos φ ≡ 2kd + ϕL + ϕR , siendo ϕL y ϕR las fases de las amplitudes de reflexi´on en cada una de las barreras, demuestre que el coeficiente

Semiconductores y nanoestructuras

25

de transmisi´on en la heteroestructura viene dado por T2B =

1−

√

RL RR


2

TL TR , √ + 4 RL RR sen2 (φ/2)

siendo RL ≡ 1 − TL y RR ≡ 1 − TR los coeficientes de reflexi´on.

Problema 6.6 ⊲

El dopado δ consiste en intercalar una fina l´amina de donadores en un semiconductor. El potencial resultante para electrones puede (2D) aproximarse mediante la expresi´on V (z) = eF |z|, siendo F = eND /8πǫ0 ǫr , (2D) donde ND es el n´ umero de donadores por unidad de ´area y ǫr la constante diel´ectrica relativa del semiconductor masivo. Determine los valores de la (2D) energ´ıa de los m´ınimos de las subbandas en GaAs:Si (ǫr = 13) cuando ND = 5 × 1011 cm−2 (la masa efectiva de los electrones en GaAs es m∗ = 0,067m0 en unidades de la masa del electr´on libre m0 ).

Problema 6.7 ⊲

Considere una superred de GaAs/Alx Ga1−x As con anchura de pozo dA y anchura de barrera dB , de manera que dB es lo suficientemente grande como para que los pozos cu´anticos est´en d´ebilmente acoplados. Se pretende calcular la funci´on envolvente en la superred, χSL (z), admitiendo que se conocen las funciones envolventes en los pozos aislados, χ(z). Para ello se propone una combinaci´on lineal de la forma X χSL (z) = ψn χ(z − zn ) n

donde zn es la coordenada del centro del pozo cu´antico n-´esimo. Obtenga la ecuaci´on para las amplitudes ψn en la aproximaci´on de enlace fuerte, as´ı como la relaci´on de dispersi´on.

Problema 6.8 ⊲

Los potenciales de confinamiento de electrones y huecos en un punto cu´antico son Ve (re ) = (1/2)m∗e ω02 re2 y Vh (rh ) = (1/2)m∗h ω02 rh2 , respectivamente. Encuentre la relaci´on que existe entre ω0 y el di´ametro del punto cu´antico L. Determine el efecto de la formaci´on de excitones de Wannier en la energ´ıa de confinamiento de un par electr´on-hueco cuando L es grande (l´ımite de confinamiento d´ebil).

Problema 6.9 ⊲

Se pretende analizar el efecto Stark confinado en un pozo cu´antico de GaAs de anchura a, con barreras de AlGaAs. Para ello se aplica

26

Bolet´ın 6

un campo el´ectrico uniforme de magnitud F a lo largo de la direcci´on de crecimiento. Se supone que la profundidad del pozo cu´antico es grande, de manera que en ausencia de campo aplicado las funciones envolventes y las energ´ıas de los niveles electr´onicos son r    2 h ¯ 2π2 2 z 1 0 χn (z) = En0 = sen nπ − n n = 1, 2, · · · a a 2 2m∗ a2 despreciando el movimiento lateral. a) Demuestre que la teor´ıa de perturbaciones de primer orden predice que la energ´ıa del nivel fundamental de los electrones no cambia al aplicar el campo. b) Pruebe que la teor´ıa de perturbaciones de segundo orden predice un cambio de energ´ıa de dicho nivel de la forma γF 2 e indique el signo de γ. c) Calcule el valor de la correcci´on de segundo orden. d) Considerando un c´alculo similar para los huecos, ¿hacia donde se desplaza el borde de absorci´on ´optica interbanda de dicha heteroestructura (rojo o azul) cuando se aplica el campo? A continuaci´on se proporcionan todas las sumas e integrales que necesita para realizar los c´alculos 16an hχ01 |z|χ02n−1 i = 0 2 2 2 π (4n − 1)   ∞ 2 X π2 1 π2 n ≃ 5 = 12 5 − 5 2 3 3 (4n2 − 1) n=1

hχ01 |z|χ02n i =

n = 1, 2, · · ·

BOLET´IN 7

Defectos y desorden Problema 7.1 ⊲

Se ha medido la resistencia el´ectrica de una muestra met´alica a templada diversas temperaturas. La variaci´on relativa de la resistencia respecto a la observada a 20 K viene dada por la siguiente tabla T (K)

800

850

900

950

1000

∆R/R ( %)

0,46

1,07

2,18

4,14

71,17

Sabiendo que ∆R/R es proporcional a la concentraci´on de vacantes, ajuste los datos de la tabla para obtener la energ´ıa de formaci´on de las vacantes en este metal.

Problema 7.2 ⊲

Experimentalmente se ha determinado que el cociente de concentraciones de vacantes en Mo a 500o C y 900o C es 2 × 10−3 . Determine la energ´ıa de formaci´on de vacantes.

Problema 7.3 ⊲

Determine el n´ umero de pares de Frenkel en equilibrio en un cristal en funci´on de la temperatura y de la energ´ıa necesaria para trasladar un ´atomo desde su posici´on en la red a una posici´on intersticial.

Problema 7.4 ⊲

Calcule la relaci´on entre la concentraci´on de vacantes y divacantes que se encuentran en equilibrio a temperatura ambiente. La energ´ıa 27

28

Bolet´ın 7

de formaci´on de vacantes es 1 eV y la energ´ıa de enlace en una divacante es 0,2 eV.

Problema 7.5 ⊲

Un modelo muy sencillo de impureza intersticial en un semiconductor consiste en una cadena at´omica unidimensional de periodo a en la que en uno de sus nodos se adhiere la impureza. Los estados electr´onicos del sistema se describen mediante la aproximaci´on de enlace fuerte. La energ´ıa de los orbitales de los ´atomos de la cadena y de la impureza son iguales y se toman como origen de energ´ıa. La integral de intercambio entre los ´atomos de la cadena se denota por −J mientras que dicha integral entre la impureza y la cadena es −∆. Demuestre que existe un estado exponencialmente localizado en torno a la impureza y determine tanto su energ´ıa respecto al fondo de la banda como su longitud de localizaci´on cuando ∆ ≪ J. Si ambas magnitudes se identifican con el Rydberg y el radio de Bohr efectivos, respectivamente, obtenga la masa efectiva. Compare el valor de dicha masa con la obtenida a partir de la relaci´on de dispersi´on en la cadena at´omica.

Problema 7.6 ⊲

Bellani y colaboradores [Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 2159] han determinado experimentalmente que las propiedades de transporte de los electrones en superredes de semiconductores con desorden correlacionado son similares a las superredes ordenadas. En estas superredes existen pozos cu´anticos de dos anchuras que se colocan en secuencia aleatoria, con la restricci´on de que uno de ellos siempre aparece formando parejas. Considere el siguiente sencillo modelo de sistema desordenado unidimensional en la aproximaci´on de enlace fuerte Eψn = ǫn ψn − J(ψn+1 + ψn−1 ) ,

J >0,

donde ǫn puede tomar aleatoriamente dos posibles valores, ǫA y ǫB , con las restricci´on adicional de que los nodos B s´olo aparecen formando parejas. Demuestre que cuando |ǫA − ǫB | < 2J es posible encontrar una energ´ıa para la cual los electrones atraviesan el sistema con probabilidad igual a la unidad.

BOLET´IN 8

Fen´ omenos cooperativos El radio del ´atomo de Na es 1,85 ˚ A. Sabiendo que el Na cristaliza en la estructura bcc y que su configuraci´on electr´onica es [Ne]3s1 , estime su susceptibilidad diamagn´etica.

Problema 8.1 ⊲

Problema 8.2 ⊲

Un material paramagn´etico tiene 1028 ´atomos por metro c´ ubico, cada uno con momento magn´etico |m| = 1,8 × 10−23 A m2 . Determine la susceptibilidad paramagn´etica a temperatura ambiente. Compruebe que |m|B ≪ kB T cuando el campo magn´etico aplicado es 1 T.

Problema 8.3 ⊲

Un material paramagn´etico tiene 6,02 × 1028 ´atomos por metro c´ ubico y una energ´ıa de Fermi EF = 11,63 eV. Determine la susceptibilidad paramagn´etica de Pauli suponiendo que cada ´atomo aporta un electr´on a la banda de conducci´on.

Problema 8.4 ⊲

Si la densidad de iones magn´eticos de un material ferromagn´etico es 3 × 1028 m−3 y el momento magn´etico de cada uno es 3 × 10−23 A m2 , determine la magnetizaci´on de saturaci´on.

Problema 8.5 ⊲

Se aplica un campo magn´etico de 5 T sobre un material ferromagn´etico. Si la poblaci´on de espines paralelos al campo duplica la poblaci´on de espines antiparalelos, determine la temperatura del material. 29

30

Bolet´ın 8

Problema 8.6 ⊲

Calcule la magnetizaci´on de saturaci´on del Ni met´alico, que tiene estructura fcc de par´ametro a = 0, 3524 nm, por dos procedimientos distintos: a) suponiendo que el momento angular est´a bloqueado (L = 0) y b) empleando el momento magn´etico experimental del Ni, que es |m| = 0,58µB , donde µB = 9, 274 × 10−24 J/T. Discuta el posible motivo por el que no coinciden ambos resultados. La confip 8 2 guraci´on electr´onica del Ni es [Ar]3d 4s , |m| = gJ µB J(J + 1) y gJ = 1 + [J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)] / [2J(J + 1)].

Problema 8.7 ⊲

Calcule la susceptibilidad magn´etica por unidad de masa del compuesto NiSO4 .7H2 0 a 20◦ C, que contiene iones Ni2+ aislados. La densidad de dicho compuesto es ρ = 1980 kg/m3 y su masa molar es Mm = 0,2808 kg/mol. Suponga que L = 0.

Problema 8.8 ⊲

Considere un s´olido paramagn´etico que contiene N iones magn´eticos no interactuantes por unidad de volumen, cada uno con momenb . Calcule la to magn´etico µ. Se aplica un campo magn´etico d´ebil B = B u magnetizaci´on M empleando la mec´anica estad´ıstica cl´asica. Obtenga la ley de Curie M = C/T y determine el valor de la constante C.

Problema 8.9 ⊲

Repita el c´alculo anterior pero empleando la f´ısica es-

tad´ıstica cu´antica.

Problema 8.10 ⊲

Se coloca un material que tiene N espines 1/2 en el seno de un campo magn´etico. Calcule la capacidad calor´ıfica debida al conjunto de espines.

Problema 8.11 ⊲

El Hamiltoniano de Heisenberg para una colecci´on de espines de un material ferromagn´etico en un campo magn´etico se puede escribir como X 1X z JRR′ SR · SR′ − gµB B SR H=− 2 R,R′ R donde JRR′ > 0. Considere el estado |0i =

Y R

|SiR

z donde |SiR son los autoestados del operador SR con autovalor m´aximo S, es z decir, SR |SiR = S|SiR . Demuestre que

Fen´ omenos cooperativos

31

a) |0i es autoestado de H, b) |0i es estado fundamental de H.

Problema 8.12 ⊲

En el modelo de dos fluidos de un superconductor, se supone que existen electrones normales y superconductores. Ambos fluidos satisfacen las ecuaciones del modelo de Drude, pero en el caso de los electrones superconductores el tiempo de relajaci´on es infinito. Encuentre la conductividad del superconductor cuando se aplica un campo el´ectrico de frecuencia ω y discuta qu´e ocurre en el l´ımite de baja frecuencia.

Problema 8.13 ⊲

Se aplica un campo magn´etico de magnitud B0 paralelo sobre una l´amina superconductora infinita de espesor 2d. Empleando las ecuaciones de London, encuentre el campo magn´etico y la supercorriente en el interior de la l´amina. Discuta lo que ocurre con la supercorriente cuando el espesor de la l´amina es mucho mayor que la longitud de penetraci´on.

Problema 8.14 ⊲

El campo y la temperatura cr´ıticos del Pb son 6,5 × 10 A/m y 7,18 K, respectivamente. Determine la densidad de corriente cr´ıtica para un hilo de Pb de 1 mm de di´ametro a 4,2 K. 4

Problema 8.15 ⊲

A partir de los datos del problema anterior, ¿a qu´e temperatura debe enfriarse el Pb para que sea superconductor si se aplica un campo magn´etico de 2 × 104 A/m?

Problema 8.16 ⊲

Las longitudes de penetraci´on en un cierto superconductor son 396 ˚ A y 1730 ˚ A a 3 K y 7,1 K, respectivamente. Calcule su temperatura cr´ıtica.

Problema 8.17 ⊲

E. Maxwell [Phys. Rev. 68, 235 (1952)] ha obtenido la dependencia de la temperatura cr´ıtica (en K) del lat´on en funci´on de la masa at´omica promedio (en unidades at´omicas de masa). Los datos se recogen en la siguiente tabla M

113,58

116,67

118,05

118,70

119,78

123,01

Tc

3,8082

3,7708

3,7444

3,7419

3,7238

3,6669

32

Bolet´ın 8

Ajuste los datos a una expresi´on de la forma Tc ∼ M −α y compare el valor del exponente obtenido con la predicci´on de la teor´ıa BCS.

Problema 8.18 ⊲

Consideremos dos electrones en un estado singlete formando un par de Cooper. La parte espacial de la funci´on de onda puede escribirse como Z d3 k ′ ′ χ(k)eik · (r−r ) φ(r − r ) = 3 (2π)

La ecuaci´on de Schr¨odinger en el espacio de momentos es   Z 3 ′ h ¯ 2k2 dk E−2 χ(k) = V (k, k′ )χ(k′ ) 2m (2π)3

Considerando el principio de exclusi´on de Pauli debe cumplirse que χ(k) = 0 cuando k < kF . Se supone que el potencial de interacci´on entre los electrones se puede aproximar por −V (V > 0) cuando EF < h ¯ 2 ki2 /2m < EF + h ¯ω con i = 1, 2 y se anula en caso contrario. Aqu´ı ω es la frecuencia del fon´on intercambiado. a) Demuestre que la energ´ıa E del estado ligado que puede formarse satisface la ecuaci´on Z EF +¯hω D(ǫ) 1=V dǫ 2ǫ − E EF donde D(ǫ) es la densidad de estados por esp´ın de un electr´on libre.

b) Suponiendo que D(ǫ) ≃ D(EF ) en el rango de energ´ıas entre EF y EF + h ¯ ω, obtenga el valor de la energ´ıa de ligadura ∆ ≡ 2EF − E y estudie el l´ımite de interacci´on d´ebil (V → 0).