Prüfungsaufgaben Mathematik 9783534450428, 9783534450435, 3534450426

Table of contents :
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Impressum
Inhaltsverzeichnis
1. Themenbereich – Algebra und Anwendungsbezogenen Aufgaben
Übungsaufgabe 1: Lineare Gleichungssystem; Parabeln
Übungsaufgabe 2: Quadratische Gleichungen; Geraden
Übungsaufgabe 3: Quadratische Gleichungen; Geraden
Übungsaufgabe 4: Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 5: Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 6: Anwendungsbezogene Aufgaben
2. Themenbereich: Vektorrechnung und Analytische Geometrie
Übungsaufgabe 1: Vektoralgebra; Gerade; Ebene
Übungsaufgabe 2: Vektoralgebra; Gerade; Ebene
Übungsaufgabe 3: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Pyramide
Übungsaufgabe 4: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Fläche
Übungsaufgabe 5: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Dreieckspyramide
Übungsaufgabe 6: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Viereckspyramide
3. Prüfungsaufgabe: Feststellungsprüfung I
4. Themenbereich – Analysis und Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 1: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung
Übungsaufgabe 2: Kurvendiskussion; Tangente; Extremwertberechnung
Übungsaufgabe 3: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung
Übungsaufgabe 4: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung
Übungsaufgabe 5: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung
Übungsaufgabe 6: Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 7: Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 8: Anwendungsbezogene Aufgaben
Übungsaufgabe 9: Anwendungsbezogene Aufgaben
5. Prüfungsaufgabe: Feststellungsprüfung II
6. Themenbereich – Stochastik
Übungsaufgabe 1: Statistik – Mittelwert; Quartilsabstand; Standardabweichung
Übungsaufgabe 2: Statistik – Mittelwert; Quartilsabstand; Standardabweichung
Übungsaufgabe 3: Statistik – Mittelwert; Standardabweichung; Klassifizierung
Übungsaufgabe 4: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Baumdiagramm
Übungsaufgabe 5: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Baumdiagramm
Übungsaufgabe 6: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Vierfeldertafel
7. Prüfungsaufgaben:
Abschlussprüfung (1)
Abschlussprüfung (2)
Stichwortverzeichnis
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Mathematik Übungs- und Prüfungsaufgaben

Starke Partner Kultusministerien und öffentlich-rechtliche Fernsehanstalten garantieren ein hochwertiges Bildungsangebot

ISBN 978-3-534-45042-8

Mathematik · Übungs- und Prüfungsaufgaben

www.telekolleg-info.de

Telekolleg

Mathematik Übungs- und Prüfungsaufgaben

Josef Dillinger

Telekolleg wird veranstaltet von den Bildungs- und Kultusministerien von Bayern und Brandenburg sowie vom Bayerischen Rundfunk (BR). Nähere Informationen zu Telekolleg: www.telekolleg-info.de Dieser Band enthält das Arbeitsmaterial zu den vom Bayerischen Rundfunk produzierten Lehrsendungen.

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über http://dnb.de abrufbar. Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung in und Verarbeitung durch elektronische Systeme. In Lizenz der BRmedia Service GmbH wbg Academic ist ein Imprint der wbg. © 2022 by wbg (Wissenschaftliche Buchgesellschaft), Darmstadt Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage 2010 Die Herausgabe des Werkes wurde durch die Vereinsmitglieder der wbg ermöglicht. Umschlaggestaltung: schreiberVIS, Seeheim Umschlagabbildung: Zaripov Andrei/stock.adobe.com Gedruckt auf säurefreiem und alterungsbeständigem Papier Printed in Germany Besuchen Sie uns im Internet: www.wbg-wissenverbindet.de ISBN 978-3-534-45042-8 Elektronisch sind folgende Ausgaben erhaltlich: eBook (PDF): 978-3-534-45043-5

Liebe teilnehmerinnen und teilnehmer am telekolleg MultiMedial, das vorliegende Buch wurde für das Telekolleg MultiMedial konzipiert und bietet eine Menge an Übungs- und Prüfungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu den verschiedenen Themenbereichen im Fach Mathematik. Die Arbeitsbögen zu den Sendungen im Fernsehen und den Lektionen in den Büchern sind meist nur ergänzende „Häppchen“ zum entsprechenden Mathematikstoff. In diesem Buch hingegen wird der Lernstoff in Aufgaben so dargestellt, wie er in den Prüfungen nach dem 1. Trimester, im 4. Trimester oder in der Abschlussprüfung (Gesamtstoff) abgefragt wird. Die Themenbereiche des Buches sind entsprechend dem Ablauf der Sendungen und Lerninhalte des Telekollegs MultiMedial im Fach Mathematik angeordnet. Um diese gezielt üben zu können, finden Sie auf den Seiten 174 und 175 ein Stichwortverzeichnis, das einen schnellen Zugriff auf Übungen ermöglicht. Die dargebotenen Aufgaben mit den ausführlichen Lösungsvorschlägen sollen Ihnen bei der Prüfungsvorbereitung helfen sowie ein Zeitgefühl vermitteln, damit Sie in der Prüfung auch auf dieses Kriterium achten: Die Aufgaben im Umfang von zwei DIN-A4-Seiten (Aufgaben zur Feststellungsprüfung I und Feststellungsprüfung II) sind in etwa 120 Minuten zu lösen, die Aufgaben zur Abschlussprüfung in 180 Minuten. Bei den Feststellungs- und Abschlussprüfungen ist die Punkteverteilung links neben den Aufgaben angegeben. Maximal können 100 BE (Bewertungseinheiten) erzielt werden. Auch bei einigen Übungsaufgaben zu den Themenbereichen ist die Punkteverteilung angezeigt. Die Feststellungsprüfung I und die Feststellungsprüfung II bzw. die Abschlussprüfung sollten nach folgenden Abschnitten gelöst werden können: Algebra Vektorrechnung und Analytische Geometrie

6

Differenzialrechnung Integralrechnung

6 Feststellungsprüfung II

Feststellungsprüfung I Stochastik

Abschlussprüfung

Ich wünsche Ihnen beim Durcharbeiten dieses Buches viele Erfolgserlebnisse und auch bei den Prüfungen und der Fachhochschulreifeprüfung den Erfolg, den Sie sich erarbeitet haben.

Josef Dillinger

3

inhaltsverzeichnis 1.

themenbereich – algebra und anwendungsbezogene aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme; Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 2: Quadratische Gleichungen; Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 3: Quadratische Gleichungen; Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 4: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 5: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 6: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 9 14 20 24 27

2.

themenbereich – Vektorrechnung und analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 1: Vektoralgebra; Gerade; Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 2: Vektoralgebra; Gerade; Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 3: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 4: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 5: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Dreieckspyramide . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 6: Vektoralgebra; Gerade; Ebene; Viereckspyramide . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 37 42 47 51 56

3.

Prüfungsaufgabe: Feststellungsprüfung i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.

themenbereich – analysis und anwendungsbezogene aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 1: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 2: Kurvendiskussion; Extremwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 3: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 4: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 5: Kurvendiskussion; Tangente; Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 6: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 7: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 8: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 9: Anwendungsbezogene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.

Prüfungsaufgabe: Feststellungsprüfung ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.

themenbereich – Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 1: Statistik – Mittelwert; Quartilsabstand; Standardabweichung . . . . . . . . Übungsaufgabe 2: Statistik – Mittelwert; Quartilsabstand; Standardabweichung . . . . . . . . Übungsaufgabe 3: Statistik – Mittelwert; Standardabweichung; Klassifizierung . . . . . . . . . Übungsaufgabe 4: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Baumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 5: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Baumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgabe 6: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Vierfeldertafel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.

Prüfungsaufgaben: abschlussprüfung (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 abschlussprüfung (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

70 70 74 77 82 87 92 96 100 105

118 118 122 126 131 135 139

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4

Mathematik

1

Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.0

Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen der Geraden g1, g2 und gv : g1 : y = 2 · x – 6 1·x+3 g2 : y = __ 2 gv : y = m · x + b

1.1

Berechnen Sie g1 ∩ g2 und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S an.

1.2

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von gv so, dass gv parallel zu g1 ist und der Punkt P (1 | 3) Element der Geraden gv ist.

1.3

Zeichnen Sie g1 und g2 in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm)

1.4

Unter welchem Winkel a schneidet der Graph der Geraden g1 die x-Achse?

2.0

Gegeben ist die Menge der Parabeln pc mit pc : y = x2 – 4 · x + c.

2.1

Für welche Werte von c existieren keine Schnittpunkte der Graphen der Parabeln pc mit der x-Achse?

2.2

Für weitere Berechnungen gelte c = –1 und somit p–1 : y = x2 – 4 · x –1. Berechnen Sie die Schnittpunkte von p–1 mit den Koordinatenachsen.

2.3

Untersuchen Sie g1 und p–1 auf gemeinsame Punkte und geben Sie, falls vorhanden, die Koordinaten der Schnittpunkte an.

2.4

Berechnen Sie den Scheitel S der Parabel p–1.

2.5

Zeichnen Sie den Graphen der Parabel p–1 für 0 ≤ x ≤ 5.

2.6

Betrachten Sie den Graphen der Parabel p–1. Wie müsste der Wert c der Parabel pc lauten, damit der Graph der Parabel pc die x-Achse berührt?

5

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.1

Gemeinsame Punkte von Geraden Geraden können parallel sein, identisch sein oder sich schneiden. Um Geraden auf gemeinsame Punkte zu untersuchen, wird die Schnittmenge der Geraden gebildet. g1 ∩ g2 y1 = y2 1·x+3 1·x+6 2 · x – 6 = __ | – __ 2 2 3x = 9 2 __ | · __ 2 3 x=6 Die Geraden schneiden sich an der Stelle x = 6. Um den y-Wert zu errechnen, wird x = 6 in g1 oder g2 eingesetzt. x = 6 in g1: y = 2 · 6 – 6 = 12 – 6 = 6 ⇒ S (6 | 6)

1.2

Parallele Geraden Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung m haben. gv ∥ g1 ⇒ mv = m1 ⇒ mv = 2 gv : y = 2 · x + b Alle Geraden gv : y = 2 · x + b sind parallel zur Geraden g1. Um aus der Geradenschar diejenige zu bestimmen, die durch den Punkt P (1 | 3) geht, werden die Koordinaten des Punkts P in die Funktionsgleichung eingesetzt. |–2 gv : 3 = 2 · 1 + b 1=b gv : y = 2 · x + 1

1.3

Graph der Funktion Damit der Graph einer linearen Funktion (Gerade) gezeichnet werden kann, benötigt man zwei Punkte des Graphen. g1 : y = 2 · x – 6 P (0 | –6); Q (3 | 0) 1·x+3 g2 : y = __

2 R (0 | 3 ); S (2 | 4)

6

y

5 4 3 2

S R

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

6

x

Q

P

2

3

4

5

6

1.4

Schnittwinkel Graph – x-Achse Der Winkel zwischen Graph und x-Achse kann auf verschiedene Arten berechnet werden. 1. Im grauen rechtwinkligen Dreieck haben die Katheten die Längen 3 LE und 6 LE. Gegenkathete 6 =2 ⇒ tan a = _____________ = __ 3 Ankathete ⇒ a = arctan 2 a = 63,4°

y

6

1

5 4 3 2 1

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

2. Für die Steigung einer Geraden bezüglich einer Waagrechten gilt: tan a = m m=2 tan a = 2 ⇒ a = 63,4°

2.1 Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellenberechnung) Es existieren keine Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse, wenn für den Wert der Diskriminante D = b2 – 4ac < 0 gilt. ⇒ (–4)2 – 4 · 1 · c < 0 16 – 4c < 0 | + 4c 16 < 4c |:4 4 4 und c ∊ R gibt es keine Schnittpunkte mit der x-Achse. 2.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ y (0) y (0) = 02 – 4 · 0 – 1 = –1 Sy (0 | –1) Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ y = 0 0 = x2 – 4 · x – 1 _______________ 2

x1/2

______

___

__

– (–4) ± √(–4) – 4 · 1 · (–1) 4 ± √ 16 + 4 4 ± √ 20 4 ± 2 √ 5 = ________________________ = ___________ = ________ = ________ 2·1

__

2

2

2

__

⇒ x1 = 2 __+ √ 5 ; x2 = 2 –__√ 5 N1 (2 + √ 5 | 0); N2 (2 – √5 | 0)

7

2.3

Schnittpunkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. g1 ∩ p–1 ⇒ yg = yp | – 2x + 6 2 · x – 6 = x2 – 4 · x – 1 0 = x2 – 6x + 5 _____________

_______

2

x1/2

___

– (–6) ± √ (–6) – 4 · 1 · 5 6 ± √ 36 – 20 6 ± √16 6 ± 4 = _____________________ = ____________ = ________ = _____

2·1 2 6 + 4 = ___ 6 – 4 = __ 10 = 5; x = _____ 2=1 x1 = _____ 2 2 2 2 2

2

2

Um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu errechnen, werden die x-Werte in die Funktionsgleichung von g1 oder p–1 eingesetzt. x1 = 5 in g1 : y = 2 · 5 – 6 = 10 – 6 = 4 ⇒ S1 (5 | 4) x2 = 1 in g1 : y = 2 · 1 – 6 = 2 – 6 = –4 ⇒ S2 (1 | –4) 2.4

Scheitelpunkt einer Parabel b Die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel kann mit der Formel xs = – ___ 2a berechnet werden. Die y-Koordinate wird errechnet, indem man den ermittelten x-Wert in die Funktionsgleichung der Parabel einsetzt. b = – _____ –4 = __ 4 = 2; y = 22 –4 · 2 – 1 = 4 – 8 – 1 = –5; S (2 | –5) p–1 : xs = – ___ s 2a 2·1 2

2.5

Graph der Funktion 8

2.6

p(x)

7 6 5 4 3

Scheitelpunktform: p4 : y = (x – 2)2

2 1 –2 –1 0 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

8

Berührpunkt mit der x-Achse Damit der Graph der Parabel pc die x-Achse berührt, muss der Scheitel um 5 LE nach oben verschoben werden. ⇒ c = –1 + 5 = 4 ⇒ p4 : y = x2 – 4x + 4

x 2

3

4

5

6

7

8

9

(siehe Abbildung)

Mathematik

1

Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.0

Der Graph P1 einer quadratischen Funktion p1 der Form y = ax2 + bx + c schneidet die x-Achse in N1 (–2 | 0), die y-Achse in T (0 | 3) und verläuft durch den Punkt P (–4 | –5).

1.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p1.

1.2

Berechnen Sie die Koordinaten des weiteren Schnittpunkts der Parabel p1 mit der x-Achse sowie die Koordinaten des Scheitelpunkts.

1.3

Die Parabel p2 ist durch die Funktionsgleichung y = x2 + x – 2 gegeben. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabeln p1 und p2.

1.4

Berechnen Sie den Scheitel der Parabel p2.

1.5

Zeichnen Sie in ein kartesisches Koordinatensystem den Graphen P1 der Parabel p1 im Bereich –4 ≤ x ≤ 8 sowie den Graphen P2 der Parabel p2 im Bereich –3 ≤ x ≤ 3. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

2.0

Die Gerade g schneidet die y-Achse in T (0 | 3) und ist parallel zur Geraden h: y = x – 4.

2.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g. Tragen Sie g in das Koordinatensystem von 1.5 ein.

2.2

Zeigen Sie, dass die Gerade g: y = x + 3 die Parabel p1 berührt.

2.3

Die Gerade g schließt im II. Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie diese Fläche und berechnen Sie deren Maßzahl.

2.4

Gegeben sei nun die Menge der Geraden gk: y = x + k, k ∊ R. Für welche Werte von k geht die Gerade durch den Punkt P (–4 | –5)?

2.5

Für welche Werte von k haben die Geraden gk zwei gemeinsame Punkte mit dem Graphen P1 der Parabel p1?

9

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + c erstellt werden kann, müssen für die drei Unbekannten a, b und c drei Gleichungen gefunden werden. Durch Einsetzen der drei Punkte N1, T und P in die Gleichung y = ax2 + bx + c erhält man die erforderlichen Gleichungen. I: 0 = a · (–2)2 + b · (–2) + c II: 3 = a · 02 + b · 0 + c ⇒ c = 3 III: –5 = a · (–4)2 + b · (–4) + c c = 3 in I und III I: 0 = 4a – 2b + 3 III: –5 = 16a – 4b + 3 Lösung des Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren und durch Multiplikation der Gleichung I mit (–2) I: 0 = –8a + 4b – 6 III: –5 = 16a – 4b + 3 ___________________ –5 = 8a – 3 |+3 1 __ –2 = 8a ⇒ a = – 4 1 in I: 0 = –8 – __ 1 + 4b – 6 a = – __ 4 4 0 = 2 + 4b – 6 ⇒ b = 1 1 x2 + x + 3 Gleichung: y = – __ 4

( )

1.2

Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ y = 0

6

1 a = – __ 4

1 x2 + x + 3 ⇒ b = 1 0 = – __ 4

c=3 ​

______________

√

( ) ( )

1 ·3 _____ __ –1 ± 12 – 4 · – __ 4 –b ± √b – 4ac ____________________ –1 ± √1 + 3 ________ –1 ± √ 4 ______ ______________ ___________ = x1,2 = = = = –1 ± 2 2a 1 1 1 1 – __ – __ – __ 2 · – __ 4 2 2 2 ________ 2

⇒ x1 = –2; x2 = 6 N1 (–2 | 0); N2 (6 | 0)

10

Scheitelpunkt einer Parabel b berechnet Die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel kann mit der Formel xs = – ___ 2a werden. Die y-Koordinate wird errechnet, indem man den ermittelten x-Wert in die Funktionsgleichung der Parabel einsetzt. b = – _______ 1 1 =2 = ___ xs = – ___ 2a 1 1 __ – __ 2· – 2 4

( )

1 · 22 + 2 + 3 = –1 + 2 + 3 = 4 ys = – __ 4 ⇒ S (2 | 4) 1.3

Schnittpunkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. P1 ∩ P2 ⇒ y1 = y2 1 2 __ | – x2 – x – 3 – x + x + 3 = x2 + x – 2 4 5 x2 = –5 4 | · – __ – __ 4 _ 5 |√ x2 = 4 |x| = 2 ⇒ x1 = –2; x2 = 2

( )

Um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu errechnen, werden die x-Werte in die Funktionsgleichung von P1 oder P2 eingesetzt. x1 = –2 in P2: y = (–2)2 – 2 – 2 = 4 – 2 – 2 = 0 ⇒ S1 (–2 | 0) x2 = 2 in P2: y = 22 + 2 – 2 = 4 + 2 – 2 = 4 ⇒ S2 (2 | 4) 1.4

Scheitelpunkt einer Parabel b berechnet Die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel kann mit der Formel xs = – ___ 2a werden. Die y-Koordinate wird errechnet, indem man den ermittelten x-Wert in die Funktionsgleichung der Parabel einsetzt. b = – _____ 1 = – __ 1 xs = – ___ 2a 2·1 2 9 1 2 – __ 1 – 2 = __ 1 – __ 1 – 2 = – __ ys = – __ 2 2 4 2 4

( )

( | )

9 1 – __ ⇒ S – __ 2 4

11

1

1.5 2.1

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon berechneten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. P1: f (–4) = –5; f (8) = –5; S (2|4); N1(–2|0); N2 (6|0); T (0|3) 9 1 – __ P2: f (–3) = 4; f (3) = 10; S – __ 2 4

( | )

11

y g

P2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7

12

P1

2.1

Parallele Geraden Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung m haben. g ∥ h ⇒ mg = mh ⇒ mg = 1 g: y = x + b Die Koordinaten des Punkts T (0 | 3) werden in die Funktionsgleichung eingesetzt. g: 3 = 0 + b 3=b g: y = x + 3

1

2.2

Berührpunkt Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. Bei einem Berührpunkt existiert nur ein Schnittpunkt. g ∩ P1 yg = yP 1 x2 + x + 3 x + 3 = – __ |–x–3 4 1 x2 0 = – __ 4 x1 = x2 = 0 ⇒ Berührpunkt B (0 | 3)

2.3

Flächenberechnung 1 · g · h mit g = 0 – (–3) = 3 und Für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gilt A = __ 2 h = 3 – 0 = 3. 1 · 3 · 3 = 4,5 A = __ 2

2.4

Gerade durch Punkt Um den Wert von k zu bestimmen, werden die Koordinaten des Punkts P (–4 | –5) in die Funktionsgleichung eingesetzt. Damit wird die Gleichung gelöst. –5 = –4 + k |+4 –1 = k ⇒ Die Gerade mit der Gleichung y = x – 1 geht durch den Punkt P.

2.5

Gemeinsame Punkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. g ∩ P1 yg = yP 1 x2 + x + 3 x + k = – __ | –x–k 4 1 x2 + 3 – k 0 = – __ 4 Es existieren zwei Lösungen, wenn die Diskriminante D = b2 – 4 · a · c positiv ist. 1 · (3 – k) > 0 02 – 4 · – __ 4 ⇒ Für k < 3 existieren zwei Schnittpunkte.

( )

13

Mathematik Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3

14

1.0

Die Parabel p1 ist durch die Gleichung y = (x + 1)2 – 4 mit x ∊ R und die Parabel p2 durch die Gleichung y = ax2 + b · x + 3 mit x ∊ R gegeben.

1.1

Die Parabel p2 verläuft durch die Punkte A (–2 | –3) und B (2 | 5). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p2.

1.2

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Parabel p1 mit den Koordinatenachsen.

1.3

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Parabeln p1 und p2.

1.4

Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabeln p1 und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel p2.

1.5

Zeichnen Sie in ein kartesisches Koordinatensystem die Graphen der Parabeln p1 und p2 im Bereich –3 ≤ x ≤ 3. (Maßstab auf der x-Achse: 1 LE = 1 cm; auf der y-Achse: 1 LE = 2 cm)

2.0

Eine Gerade g schneidet ___die Koordinatenachsen in den Punkten T (0 | 4) und N, welche die Entfernung NT = 5 LE haben.

2.1

Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden g an.

3.0

Gegeben ist die Menge der linearen Funktionen durch die Gleichung y = –t · x + t mit t ∊ R und x ∊ R. Der Graph einer solchen linearen Funktion ist die Gerade Gt.

3.1

Zeigen Sie, dass alle Geraden Gt einen gemeinsamen Punkt P haben, und berechnen Sie dessen Koordinaten.

3.2

Bestimmen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-Achse und den Geraden G–1 und G2 begrenzt ist.

3.3

Ermitteln Sie diejenigen Werte von t, für die Gt und der Graph der Parabel p1 genau einen gemeinsamen Punkt besitzen.

3.4

Geben Sie die Koordinaten des Berührpunkts an.

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.1

1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + 3 erstellt werden kann, müssen für die zwei Unbekannten a und b zwei Gleichungen gefunden werden. Durch Einsetzen der zwei Punkte A und B in die Gleichung y = ax2 + bx + 3 erhält man die erforderlichen Gleichungen. I: –3 = a · (–2)2 + b · (–2) + 3 II: 5 = a · 22 + b · 2 + 3

|–3 |–3

I: –6 = 4a – 2b II: 2 = 4a + 2b Lösung des Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren I: –6 = 4a – 2b II: 2 = 4a + 2b _______________ 1 –4 = 8a ⇒ a = – __ 2 1 + 2b 1 in II: 2 = 4 – __ a = – __ 2 2 2 = –2 + 2b ⇒ b = 2 1 x2 + 2x + 3 Gleichung für p2: y = – __ 2

( )

1.2

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ y (0) y (0) = (0 + 1)2 – 4 = –3 Sy (0 | –3) Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ y = 0 a=1 0 = (x + 1)2 – 4 = x2 + 2x – 3 ⇒ b = 2 c = –3​

6

________

x1/2

_____________

______

___

2 –b ± √b2 – 4ac –2 ± √ 2 – 4 · 1 · (–3) –2 ± √4 + 12 –2 ± √ 16 –2 ± 4 = ______________ = ___________________ = ____________ = _________ = ______

2a ⇒ x1 = –3; x2 = 1 N1 (–3 | 0); N2 (1 | 0)

2·1

2

2

2

15

1.3

Schnittpunkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. P1 ∩ P2 y1 = y2 1 x2 + 2x + 3 x2 + 2x – 3 = – __ 2 3 x2 –6 = – __ 2 x2 = 4 |x| = 2 x1 = –2 x2 = 2

| – x2 – 2x – 3

( )

2 | · – __ 3 _ |√

Um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu errechnen, werden die x-Werte in die Funktionsgleichung von p1 oder p2 eingesetzt. x1 = –2 in p1: y = (–2)2 + 2 (– 2) – 3 = 4 – 4 – 3 = –3 ⇒ S1 (–2 | –3) = 4 + 4 – 3 = 5 ⇒ S2 (2 | 5) x2 = 2 in p1: y = 22 + 2 · 2 – 3 1.4

Scheitelpunkt einer Parabel p1: Aus der Scheitelpunktform y = (x – xs)2 + ys kann der Scheitel S (xs | ys) abgelesen werden. ⇒ S1 (–1 | –4) b bep2: Die x–Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel kann mit der Formel xs = – ___ 2a rechnet werden. Die y-Koordinate wird errechnet, indem man den ermittelten x-Wert in die Funktionsgleichung der Parabel einsetzt.

6

1 a = – __ 2

1 x2 + 2x + 3 ⇒ b = 2 y = – __ 2

c=3 ​

2 2 =2 xs = – _______ = – ___ –1 1 __ 2· – 2

( )

1 · 22 + 2 · 2 + 3 = –2 + 4 + 3 = 5 ys = – __ 2 ⇒ S2 (2 | 5)

16

1.5

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon berechneten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben und die Angaben aus der Aufgabenstellung sind zu verwenden.

y

P1

5

1

4 3

P2

2 1

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

1

2

3

4

5

4

5

–2

p1: y (–3) = 0; y (3) = 12 S1 (–1 | –4); N1 (–3 | 0); N2 (1 | 0); Sy (0 | –3) p2: y (–3) = –7,5; y (3) = 4,5 S2 (2 | 5); A (–2 | –3); B (2 | 5)

–3 –4 –5 –6

2.1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte T und N erstellt werden kann, müssen erst die Koordinaten des Punkts N errechnet werden. Dabei ist es sinnvoll, eine Skizze zu fertigen. Daraus wird ersichtlich, dass mithilfe des Satzes von Pythagoras die x-Koordinate berechnet werden kann.

y 5 4

T

3 2 N1

1

–5 –4 –3 –2 –1 0

N2

x

Es gilt: x2 + 42 = 52 x2 = 25 – 16 _ |√ x2 = 9 | x | = 3 ⇒ x1 = –3; N1 (–3 | 0) x2 = 3; N2 (3 | 0) Die Punkte N1 (–3 | 0) und N2 (3 | 0) haben vom Punkt T (0 | 4) eine Entfernung von 5 LE.

17

Gerade durch zwei Punkte Um die Werte m und b in der Gleichung y = m · x + b zu bestimmen, werden die Koordinaten der Punkte T und N1 sowie T und N2 in die Gleichung eingesetzt und damit das Gleichungssystem gelöst. Gerade g1 durch T und N1 I: 4 = m · 0 + b ⇒ b = 4 II: 0 = m · (–3) + b 4x + 4 4 ⇒ g : y = __ b = 4 in II ⇒ m = __ 1 3 3 Gerade g2 durch T und N2 I: 4 = m · 0 + b ⇒ b = 4 II: 0 = m · 3 + b 4x + 4 4 ⇒ g : y = – __ b = 4 in II ⇒ m = – __ 2 3 3 3.1

Gemeinsame Punkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt und das Gleichungssystem wird gelöst. Für t1 ≠ t2 gilt: –t1 · x + t1 = –t2 · x + t2 | – t1 + t2 · x t2 · x – t1 · x = t2 – t1 x (t2 – t1) = t2 – t1 | : (t2 – t1) x=1 x = 1 in Gleichung: y = –t1 · 1 + t1 = 0 ⇒ P (1 | 0)

3.2

Flächenberechnung Um die Fläche des Dreiecks berechnen zu können, müssen erst die Graphen der Geraden gezeichnet werden.

2 1

G–1: y = x – 1 G2: y = –2x + 2 Für die Fläche eines Dreiecks gilt: 1·g·h A = __ 2 mit g = y2 – y1 = 2 – (–1) = 3 und h = x2 – x1 = 1 – 0 = 1 1 · 3 · 1 = 1,5 A = __ 2

18

y

x –3

–2

–1

0 –1 –2

1

2

3.3

Berührpunkt Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. Bei einem Berührpunkt existiert nur ein Schnittpunkt. t ∩ p1 yg = yP |+t·x–t –t · x + t = x2 + 2x – 3 0 = x2 + 2x + tx – 3 – t 0 = x2 + (2 + t) x – 3 – t Berührpunkt: Diskriminante D = b2 – 4 · a · c = 0 (2 + t)2 – 4 · 1 · (–3 – t) = 0 4 + 4t + t2 + 12 + 4t = 0 t2 + 8t + 16 = 0

| ordnen

____________

t1/2

_______

__

–8 ± √8 – 4 · 1 · 16 –8 · √ 64 – 64 –8 ± √ 0 –8 ± 0 = __________________ = ____________ = ________ = ______ ⇒ t1 = t2 = –4 2

2·1

2

2

2

Die Gerade t: y = 4x – 4 berührt den Graphen der Parabel p1. 3.4

Koordinaten des Berührpunkts Für t = –4 muss die quadratische Gleichung aus 3.3 gelöst werden. 0 = x2 + (2 – 4) x – 3 – (–4) 0 = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 ⇒ x = 1 x = 1 in p1 oder t: y = 4 · 1 – 4 = 0 ⇒ B (1 | 0) Zum besseren Verständnis: 4

y

3 2 1 x

B –5

–4

–3

–2

–1

0 –1

1

2

3

4

5

6

–2 –3 –4 –5

19

1

Mathematik Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4

20

1.0

Der Widerstand bei der Fortbewegung in einem Medium wird umso größer, je schneller die Bewegung ist. Feststellbar ist dies z. B. bei einer Autofahrt, wenn Sie die Hand aus dem Fenster oder dem Schiebedach halten. Der Luftwiderstand beim r Fahren mit einem Pkw wird mit der Formel FL = cw · __ · A · v2 berechnet, wobei cw 2 der Widerstandsbeiwert (Abhängig von der Form des Pkws), r die Dichte der Luft (in kg/m3) und A die Anströmfläche des Pkws (in m2) ist.

1.1

Geben Sie die Funktionsgleichung F (v) des Luftwiderstandes für einen Pkw an, wenn für cw = 0,3 gilt, die Luftdichte 1,29 kg/m3 und die Anströmfläche A = 2,0 m2 beträgt (auf das Mitführen von Einheiten kann verzichtet werden).

1.2

Berechnen Sie den Luftwiderstand bei einer Fahrt auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 130 km/h (Richtgeschwindigkeit).

1.3

Bei welcher Geschwindigkeit in km/h beträgt der Luftwiderstand 1000 (Newton)?

1.4

Wählen Sie einen geeigneten Maßstab und zeichnen Sie den Graphen der Funktion für 0 ≤ v ≤ 60 in Schritten von ∆v = 10 in ein kartesisches Koordinatensystem.

2.0

Im Eckstück eines rechteckigen Grundstücks soll ein rechteckiges Gemüsebeet der Länge a angelegt werden, das mit zwei Seiten an den Zaun grenzt (siehe Abbildung). Das Beet darf sich nur bis zur Hecke erstrecken, die zwischen den Punkten A (0 | 4) und B (8 | 0) verläuft.

y in m 4

Hecke

a

8

x in m

2.1

Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für a an.

2.2

Stellen Sie eine Geradengleichung für den Verlauf der Hecke auf.

2.3

1 a2 + 4a hat. Zeigen Sie, dass ein Gemüsebeet der Länge a die Fläche A (a) = – __ 2

2.4

Für welchen Wert von a nimmt die Beetfläche ein absolutes Maximum an. Berechnen Sie die Maßzahl dieser maximalen Fläche.

2.5

Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und zeichnen Sie den Graphen der Flächenfunktion.

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4

1

1.1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung F (v) für den Luftwiderstand beim Fahren mit einem Pkw err stellt werden kann, müssen die Werte in die Formel FL = cw · __ · A · v2 eingesetzt werden. 2 1,29 F (v) = 0,3 · _____ · 2,0 · v2 = 0,387 v2 2 Diese Gleichung gibt für jede Geschwindigkeit v > 0 (in m/s) den Luftwiderstand des Pkws an.

1.2

Luftwiderstand bei 130 km/h Damit der Luftwiderstand bei 130 km/h berechnet werden kann, muss erst die Geschwindigkeit von km/h in m/s umgerechnet werden. 1000 m = ___ 130 __ km = ____ 1 · __ m ⇒ 130 ___ 1 km = _______ m (≈ 36,11 m/s) _____ 3600 s 3,6 s 3,6 s 1h h F (36,11) = 0,387 · (36,11)2 = 0,387 · 1303,93 = 504,62 Bei einer Geschwindigkeit von 130 km/h wirkt dem Pkw eine Kraft von 504,62 Newton entgegen.

1.3

Geschwindigkeit bei 1000 N F (v) = 1000 wird in die Funktionsgleichung eingesetzt. | auflösen nach v2 1000 = 0,387 v2 2 | : _0,387 0,387 v = 1000 |√ v2 = 2584 | v | = 50,8 ⇒ v1 = 50,8 v2 = –50,8 (entfällt) Umrechnung von m/s in km/h: 1m/s = 3,6 km/h ⇒ 50,8 m/s = 3,6 · 50,8 km/h = 183 km/h

1.4

Graph der Funktion F (v) Die berechneten Funktionswerte für 0 ≤ v ≤ 60 in Schritten von ∆v = 10 werden in eine Wertetabelle eingetragen. v F (v)

0 0

10 38,7

20 154,8

30 348,3

40 619,2

50 967,5

60 1393,2

Als Maßstab bietet sich auf der Abszissenachse an: 1 cm = 10 (m/s); auf der Ordinatenachse: 1cm = 200 (N).

21

F(v) 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

2.1

2.2

v 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Definitionsmenge Das Beet kann maximal 4 Meter hoch bzw. 8 Meter breit werden, deshalb gilt für die maximale Definitionsmenge: Da = {a | 0 < a < 8 }R Oder in Intervallschreibweise: Da = ]0; 8[

y in m 4

Hecke

a

8

x in m

Geradengleichung Soll die Funktionsgleichung einer Geraden (lineare Funktion) erstellt werden, so sind die Koordinaten der Punkte A (0 | 4) und B (8 | 0) in die allgemeine Form der Geradengleichung y = m · x + t einzusetzen. A (0 | 4) in I: 4 = m · 0 + t B (8 | 0) in II: 0 = m · 8 + t aus I folgt: t = 4; t = 4 in II: II 0=m·8+4 |–4 –4 = 8 m |:8 1 __ – =m 2 1x + 4 ⇒ y = – __ 2

2.3

Fläche in Abhängigkeit einer Variablen Für die Fläche eines Rechtecks gilt: Fläche A gleich Länge l mal Breite b. In unserem Fall hat die Länge den Wert a und die Breite des Rechtecks wandert in Abhän1 x + 4 entlang. Deshalb gilt für die Funktionsgleichung gigkeit von a auf der Geraden y = – __ 2 der Fläche in Abhängigkeit von a: 1 a + 4 = – __ 1 a2 + 4a A (a) = a · y = a · – __ 2 2

(

)

1 x + 4 wurde für x der Wert a eingesetzt. In die Gleichung y = – __ 2

22

2.4

Maximum der Fläche 1 a2 + 4a gibt für jedes a ∊ D die Maßzahl der Fläche des Rechtecks Die Gleichung A (a) = – __ a 2 an. Da es sich bei der Funktionsgleichung um eine nach unten geöffnete Parabel handelt (siehe Bild), ist die gesuchte Größe für a der Ordinatenwert des Scheitels.

6

1 a = – __

1 a2 + 4a ⇒ b = 4 A (a) = – __ 2

2

c=0 ​

b = – ______ 4=4 4 = __ Für den Abszissenwert des Scheitels gilt: as = – ___ 2a 1 1 –2 · __ 2 Der Ordinatenwert des Scheitels gibt die Maßzahl der Fläche an. Um den Ordinatenwert des Scheitels zu berechnen, wird a = 4 in die Gleichung A(a) eingesetzt. 1 42 + 4 · 4 = –8 + 16 = 8 A (4) = – __ 2 Fläche an den Grenzen des Definitionsbereichs: 1 02 + 4 · 0 = 0 + 0 = 0; A (8) = – __ 1 82 + 4 · 8 = –32 + 32 = 0 A (0) = – __ 2 2 Die maximale Fläche des Rechtecks beträgt 8 (Quadratmeter). 2.5

Graph der Funktion Damit der Graph gezeichnet werden kann, werden die Werte für A (a) berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen. Als Maßstab wird 1 LE = 1 cm gewählt. a A (a) 9

0 0

1 3,5

2 6

3 7,5

4 8

5 7,5

6 6

7 3,5

8 0

A(a)

8 7 6 5 4 3 2 1 0

a 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

23

1

Mathematik Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.0

Eine Parabolantenne („Satellitenschüssel“) besitzt den Durchmesser d = 60 cm und die Randhöhe h = 9 cm. Ihr Querschnitt verläuft entlang dem Graphen einer ganzrationalen Funktion p zweiten Grades. Der Graph G (p) der Funktion p ist achsensymmetrisch zum Koordinatensystem und verläuft durch den Ursprung. Auf die Verwendung von Einheiten wird verzichtet; die Koordinaten der Punkte im zugrunde gelegten Koordinatensystem können aber als Maßzahlen in Zentimeter gedeutet werden (siehe Skizze). y F

h = 9 cm

G(p) x

d = 60 cm

1.1

1.2

24

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung p (x) der Funktion p, mit der das Profil der Parabel im Querschnitt beschrieben werden kann. 1 x2) (Zur Kontrolle: p (x) = ____ 100 1 . Eine Parabel mit der Gleichung y = ax2 besitzt den Brennpunkt F 0 ___ 4a Berechnen Sie die y-Koordinate des Brennpunkts der in 1.0 beschriebenen Parabolantenne (siehe Skizze).

(| )

1.3

Erstellen Sie eine Wertetabelle mit ∆x = 5 und zeichnen Sie den Graphen der Parabel p in ein rechtwinkliges Koordinatensystem für –30 ≤ x ≤ 30. Maßstab auf beiden Achsen: 5 LE = 1 cm

1.4

Ein Satellit sendet elektromagnetische Strahlen. Ein Strahl s verläuft entlang der Geraden s: x = 20, wird an der Innenseite der Parabolantenne im Punkt S reflektiert und geht dann durch F. Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g durch S und F und zeichnen Sie s und g in die Zeichnung der Teilaufgabe 1.3 ein.

1.5

Berechnen Sie die Länge der Strecke SF, die vom Auftreffen des Strahles s im Punkt S bis zum Durchgang durch den Brennpunkt F reicht.

___

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.1

1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden kann, benutzt man die Koordinaten der Punkte, die aus der Skizze entnommen werden. Die Koordinaten des Punkts O im Ursprung mit O (0 | 0) und der Randpunkte Rl am linken Rand der Antenne mit Rl (–30 | 9) und Rr am rechten Rand der Antenne mit Rr (30 | 9) werden in die Funktionsgleichung für eine allgemeine Gleichung p (x) = ax2 + bx + c eingesetzt. O (0 | 0) in I: 0 = a · 02 + b · 0 + c Rl (–30 | 9) in II: 9 = a · (–30)2 + b · (–30) + c Rr (30 | 9) in III: 9 = a · 302 + b · 30 + c aus I: c = 0 c = 0 in II und III II 9 = 900a – 30b III 9 = 900a + 30b II + III 18 = 1800a | : 1800 1 a = ____ 100 1 wird in II oder III eingesetzt, um b zu berechnen. a = ____ 100 1 – 30b ⇒ 9 = 9 – 30b ⇒ b = 0 1 in II: 9 = 900 · ____ a = ____ 100 100 1 x2 ⇒ p (x) = ____ 100 Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der Funktionsgleichung bietet die Tatsache, dass die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist. ⇒ b = 0 ⇒ p (x) = ax2 + c Ursprung O (0 | 0) ⇒ p (0) = 0 ⇒ c = 0 1 ⇒ p (x) = ____ 1 x2 Randpunkt Rr (30 | 9) ⇒ a · 302 = 9 ⇒ a = ____ 100 100

1.2

Berechnung des Brennpunkts einer Parabel Damit der Brennpunkt der Parabel y = ax2 berechnet werden kann, benötigt man den Beiwert a der quadratischen Gleichung. 1 x2 ⇒ a = ____ 1 ⇒ y = ___ 1 = _______ 1 = 25 p (x) = ____ F 100 100 4a 1 4 · ____ 100 ⇒ F (0 | 25)

25

1.3

Graph der Funktion Damit der Graph gezeichnet werden kann, werden die Werte für p (x) berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen. x

–30

–25

–20

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

25

30

p (x)

9

6,25

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

40

g

p(x) s

35 30 25

F

20 15 10 5 –30

–20

–10

0

S 10

20

x 30

1.4

Erstellen einer Geradengleichung Damit die Gleichung einer Geraden erstellt werden kann, sind zwei Punkte der Geraden erforderlich, die dann in die allgemeine Gleichung y = m · x + t eingesetzt werden. Ein Punkt der Geraden ist der Brennpunkt F (0 | 25), der zweite Punkt S muss erst berechnet werden. Der Punkt S ist der Schnittpunkt zwischen der Geraden s: x = 20 und der Parabel 1 x2. p: p (x) = ____ 100 ⇒ x = 20 in p (x) 1 · 400 = 4 ⇒ S (20 | 4) 1 · 202 = ____ p (20) = ____ 100 100 F (0 | 25) und S (20 | 4) in g: y = m · x + t F (0 | 25) in I: 25 = m · 0 + t S (20 | 4) in II: 4 = m · 20 + t aus I: t = 25 t = 25 in II: 4 = 20m + 25 | – 25 –21 = 20m | : 20 –21 = –1,05 = m ⇒ g: y = –1,05x + 25 ____ 20

1.5

Länge einer Strecke Die Strecke von S nach F kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet werden.

___

____

____

SF2 = FxSx2 + SyFy2 = (20 – 0)2 + (25 – 4)2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841 ___ ____ ⇒ SF = √ 841 = 29 (LE)

26

Mathematik

1

Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.0

1.1

In einer Möbelschreinerei soll aus einem fünfeckigen Brett ein rechteckiges Stück herausgesägt werden (siehe Skizze). Der Punkt P des rechteckigen Stückes soll auf der Strecke [CD] liegen.

y 6

D(6 | 6) P(10 – a | yP) C(10 | 4)

6

Berechnen Sie die Fläche des Rechtecks, wenn der Schnitt a) beim Abszissenwert x = 6 (durch Punkt D), b) beim Ordinatenwert y = 4 (durch den Punkt C) gemacht wird.

4

10

a

x

1.2

Stellen Sie die Flächenmaßzahl A (a) des Rechtecks in Abhängigkeit der Streckenlänge a dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge DA an.

1.3

Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den die Rechtecksfläche den größten Wert annimmt, und geben Sie deren Maßzahl an.

1.4

Berechnen Sie, wie groß der „Abfall“ in Prozent ist bezogen auf die ursprüngliche Fläche des Fünfecks.

2.0

Bei einem Psychologietest erhält jeder Proband ein Stück Draht der Länge 15 cm. Durch rechtwinkliges Aufbiegen je eines Stückes der Länge a an beiden Enden soll daraus ein u-förmiges Gebilde entstehen. Denkt man sich nun die beiden Drahtenden durch eine unsichtbare Linie verbunden, so erhält man ein Rechteck (siehe Skizze). Aufgabe ist es, ein Rechteck mit dem größten Flächeinhalt zu formen.

a

2.1

Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich Da für a an.

2.2

Stellen Sie die Maßzahl der Rechtecksfläche A (a) in Abhängigkeit von a dar.

2.3

Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den der Flächeninhalt den größten Wert annimmt, und geben Sie dessen Maßzahl an.

a

27

Lösung Mathematik Themenbereich – Algebra, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.1

1.2

Berechnen einer Rechtecksfläche Die Rechtecksfläche wird mit der Formel Fläche A = Länge l mal Breite b berechnet. a) Beim Schnitt durch Punkt D beträgt die Länge l = 6 Längeneinheiten und die Breite b = 6 Längeneineiten. A = l · b = 6 · 6 = 36 Flächeneinheiten b) Beim Schnitt durch Punkt C beträgt die Länge l = 10 Längeneinheiten und die Breite b = 4 Längeneinheiten. A = l · b = 10 · 4 = 40 Flächeneinheiten

6

6 4 10

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der Flächenmaßzahl erstellt werden kann, muss erst die Gleichung der Geraden bestimmt werden, auf der der Punkt P liegt. Soll die Funktionsgleichung einer Geraden (lineare Funktion) erstellt werden, so sind die Koordinaten der Punkte C (10 | 4) und D (6 | 6) in die allgemeine Form der Geradengleichung y = m · x + t einzusetzen. C (10 | 4): D (6 | 6):

I II I II I + II:

4 = m · 10 + t 6=m·6+t | · (–1) 4 = 10m + t –6 = –6m – t –2 = 4m | :4 1 –2 m = ___ = – __ 4 2 1 1 __ __ m = – in I: 4 = 10 · – + t; 4 = –5 + t ⇒ t = 9 2 2 1 __ ⇒y=– x+9 2

( )

Flächenmaßzahl eines Rechtecks Für die Flächenmaßzahl A (a) in Abhängigkeit von a gilt: A (a) = (10 – a) · yP Damit yP berechnet werden kann, wird der Abszissenwert x = (10 – a) in die Geraden1 (10 – a) + 9 = __ 1a + 4 1 x + 9 eingesetzt: y = – __ gleichung y = – __ P 2 2 2 1 a + 4 = – __ 1 a2 + a + 40 A (a) = (10 – a) · __ 2 2

(

)

Sinnvoller Definitionsbereich Der Punkt P bewegt sich in Abhängigkeit der Variablen a zwischen xD = 6 (a = 4) und xC = 10 (a = 0), deshalb gilt für die Definitionsmenge Da: Da = {a | 0 ≤ a ≤ 4}

28

1.3

Maximum der Fläche 1 a² + a + 40 gibt für Die Gleichung A (a) = – __ 2 jedes a ∊ Da die Maßzahl der Fläche des Rechtecks an. Da es sich bei der Funktionsgleichung um eine nach unten geöffnete Parabel handelt (siehe Bild), ist die gesuchte Größe für a der Abszissenwert des Scheitels.

6

1 a = – __ 2 1 2 __ A (a) = – a + a + 40 ⇒ b = 1 2 c = 40 ​

45

A(a)

1

40 35 30 25 20 15 10 5

a 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Für den Abszissenwert des Scheitels gilt: b = – ______ 1 = __ 1=1 as = – ___ 2a 1 1 –2 · __ 2 Der Ordinatenwert des Scheitels gibt die Maßzahl der Fläche an. Um den Ordinatenwert des Scheitels zu berechnen, wird a = 1 in die Gleichung A (a) eingesetzt. 1 12 + 1 + 40 = 40,5 A (1) = – __ 2 Fläche an den Grenzen des Definitionsbereichs: 1 02 + 0 + 40 = 40; A (4) = – __ 1 42 + 4 + 40 = –8 + 4 + 40 = 36 A (0) = – __ 2 2 Die maximale Fläche des Rechtecks ergibt sich für a = 1 und beträgt 40,5 Flächeneinheiten. 1.4

Differenzfläche Die Differenzfläche („Abfallfläche“) errechnet sich aus der Gesamtfläche (Fläche des Fünfecks) und der maximalen Fläche des Rechtecks. AGes = A1 + A2 + A3 mit A1 = 10 · 4 = 40, A2 = 6 · 2 = 12 und 1· 4·2=4 A3 = __ 2 AGes = 40 + 12 + 4 = 56

7

A(a)

6 A2

5

A3

4 3 2

A1

1

a 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Differenzfläche ADif = AGes – Amax = 56 – 40,5 = 15,5 AGes – Amax _________ 56 – 40,5 „Abfallfläche“ in Prozent: __________ = = 0,28 56 AGes Der „Abfall“ beträgt 28 %.

29

2.1

Sinnvolle Definitionsmenge 15 = 7,5, wenn der Die Grenzen für a sind a = 0, wenn der Draht unberührt bleibt, und a = ___ 2 Draht in der Mitte gefaltet wird. Da = {a | 0 < a < 7,5}R

2.2

Fläche in Abhängigkeit einer Variablen Für die Fläche eines Rechtecks gilt: Fläche A gleich Länge l mal Breite b. In unserem Fall wählen wir für die Länge den Wert b und die Breite des Rechtecks ist die Variable a. A (a,b) = b · a, da weder a noch b Konstanten sind, muss durch eine Nebenbedingung eine Variable eliminiert werden. Für den Umfang gilt:

a

a b

U = 15 = 2a + b | – 2a 15 – 2a = b b = 15 – 2a in A (a,b), dann erhält man eine Gleichung, die nur noch von a abhängt. A (a) = (15 – 2a) · a = –2a2 + 15a 2.3

Maximale Fläche Die Gleichung A (a) = –2a2 + 15a gibt für jedes a ∊ Da die Maßzahl der Fläche des Rechtecks an. Da es sich bei der Funktionsgleichung um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, ist die gesuchte Größe für a der Ordinatenwert des Scheitels.

6

a = –2 A (a) = –2a2 + 15a ⇒ b = 15 c=0 ​ b = – _______ 15 = 3,75 15 = ___ Für den Abszissenwert des Scheitels gilt: as = – ___ 2a 4 2 · (–2) Der Ordinatenwert des Scheitels gibt die Maßzahl der Fläche an. Um den Ordinatenwert des Scheitels zu berechnen, wird a = 3,75 in die Gleichung A (a) eingesetzt. A (3,75) = –2 (3,75)2 + 15 · 3,75 = 28,125 Fläche an den Grenzen des Definitionsbereichs : 1 02 + 4 · 0 = 0 + 0 = 0; A (0) = – __ A (3,75) = –2 (7,5)2 + 15 · 7,5 = 0 2 Die maximale Fläche des Rechtecks beträgt 28,125.

30

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (–1 | 0 | 1 ), Bk (k | 2 | 0 ) und C (1 | –2 | –1) gegeben.

1.1

Bilden Sie die Vektoren ABk , AC und BkC .

1.2

Bestimmen Sie k so, dass der Punkt A vom Punkt B 3 LE entfernt ist.

1.3

Berechnen Sie die Werte von b so, dass gilt: ABk senkrecht zu AC .

1.4.0

Die Punkte A, B0 (0 | 2 | 0) und C bilden das Dreieck AB0C.

1.4.1

Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks AB0C.

1.4.2

Geben Sie die Koordinaten des Punkts ___ aus ___ ___D an, der ___dem Dreieck AB0C ein Viereck AB0DC macht, sodass gilt: AB ∥ CD und AC ∥ BD.

1.4.3

Bestimmen Sie die Maßzahl der Länge der Diagonalen im Viereck AB0DC.

2.0

Die Punkte A und C legen die Gerade h fest.

2.1

Geben Sie die Gleichung der Geraden h an.

2.2

Überprüfen Sie, ob die Gerade h durch den Ursprung O (0 | 0 | 0) verläuft?

2.3

Die Gerade h und der Punkt B0 sind Element der Ebene e. Geben Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform an. (Mögliches Ergebnis: e: x1 + x3 = 0)

2.4

____› ___›

2

____›

____›

___›

() ()

1 1 __› Die Gerade g: x = 0 + l 1 mit l ∊ R schneidet die Ebene e im Schnittpunkt S. 0 1 Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S an.

2.5

Unter welchem Winkel a schneiden sich die Gerade g und die Ebene e?

2.6

Zeigen Sie, dass der Punkt P (2 |–3 | 9) nicht Element der Ebene e ist.

2.7

Berechnen Sie den Abstand des Punkts P von der Ebene e.

31

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.1

Vektor zwischen zwei Punkten Soll der Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt werden, so werden die Ortsvektoren zu den beiden Punkten subtrahiert. Dabei gilt für den zu erstellenden Vektor: „Spitze“ minus „Fuß“. k –1 k+1 1 –1 2 ___› __› __› ____› __› __› ABk = bk – a = 2 – 0 = AC = c – a = –2 – 0 = –2 2 ; 0 1 1 –1 –1 –2

() ( ) ( ) ( ) () ( )

()()()

1 k 1–k __› __› BkC = c – bk = –2 – 2 = –4 0 –1 –1 ____›

1.2

Länge von Vektoren Um die Entfernung von zwei Punkten im Raum zu bestimmen, wird der Vektor zwischen den Punkten gebildet und dann die Länge des Vektors berechnet. k+1 ____› ⇒ | ABk | = 3; 2 =3 –1 _________________ _________________ __________

|( )|

√(k + 1)2 + 22 + (–1)2 = √k2 + 2k + 1 + 4 + 1 = √k2 + 2k + 6 = 3

| quadrieren

k2 + 2k + 6 = 9 | – 9 0 k2 + 2k – 3 =_____________ ___ ______ 2 2 – 4 · 1 · (–3) ____________ –2 ± √ –2 ± √ 16 ______ –2 ± √ 4 + 12 _________ ___________________ k1/2 = = = = –2 ± 4 2·1 2 2 2 –2 + 4 –2 – 4 ______ ______ k1 = = 1; k2 = = –3 2 2 1.3

Zueinander senkrechte Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. ____›

___›

____› ___›

ABk senkrecht AC ⇔ ABk ∘ AC = 0

( )()

k+1 2 2 ∘ –2 = 0; (k + 1) · 2 + 2 · (–2) + (–1) · (–2) = 0; 2k + 2 – 4 + 2 = 0; –1 –2 ____›

___›

Für k = 0 stehen die Vektoren AB0 und AC senkrecht aufeinander.

32

2k = 0 ⇒ k = 0

1.4.1

Winkel zwischen zwei Vektoren Die Winkel im Dreieck können bestimmt werden, indem die Vektoren zwischen den Punkten gebildet und dann die Winkel zwischen den Vektoren berechnet werden. Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: ___›

___›

C

AB ∘ AC cos a = ___________ ___› ___›

| AB | · | AC |

()() |( )| |( )|

1 2 2 ∘ –2 1 · 2 + 2 · (–2)_______________ + (–1) · (–2) –1 –2 = ____ _____________ cos a = ___________ 2 2 2 1 2 1 + 2 + (–1) · 2 √ √ 2 + (–2)2 + (–2)2 2 · –2 –1 –2 0 __ ___ = 0 ⇒ a = 90° = ________ √ 6 · √ 12 ___›

___›

A

B

C

BA ∘ BC cos b = ___________ ___› ___ | BA› | · | BC |

()() |( )| |( )|

–1 1 –2 ∘ –4 –1 · 1 + (–2) · (–4) + 1 · (–1) 1 –1 = ____ _______________ _______________ = ___________ 2 2 2 2 –1 1 √(–1) + (–2) + 1 · √1 + (–4)2 + (–1)2 –2 · –4 1 –1 6 ________ = __ ___ ≈ 0,577 ⇒ b = 54,76° √ 6 · √ 18

A

B

c = 180° – (a + b) = 180° – (90° + 54,76°) = 35,24°

1.4.2

Vektoraddition werSoll ein Dreieck AB0C zu einem Viereck AB0DC erweitert __› den, so zeigt zu diesem Punkt D der Ortsvektor d . Dieser kann durch Vektoraddition erstellt werden.

() ( ) ( )

0 2 2 ____› ___› ____› OD = OB0 + AC ; OD = 2 + –2 = 0 ; D (2 | 0 | –2) 0 –2 –2 ____›

1.4.3

C

D

A

B

Länge von Vektoren ___› Um die Länge der Diagonale zu berechnen, wird der Vektor AD gebildet und dann die Länge des Vektors berechnet. Die Länge eines Vektors ist der Betrag des Vektors. ___

__

__

| AD› | = | d› – a› | =

|( ) ( )| |( )|

2 –1 3 _____________ _________ ___ __ 0 – 0 = 0 = √32 + 02 + (–3)2 = √ 9 + 0 + 9 = √18 = 3 √ 2 1 –2 –3

33

2

2.1

Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden ___› durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von AC als Richtungsvektor verwendet. –1 1 – (–1) ___› __ __› __› __› __› __› __› › h: x = a + m AC ; x = a + m ( c – a ) ; x = 0 + m –2 – 0 1 –1 – 1 __›

x =

2.2

() ( ) () ()

–1 2 0 + m –2 ; m ∊ R 1 –2

Punkt Element einer Geraden? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Geraden ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Geraden, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Geraden.

() ( ) ( )

7

1 0 –1 2 I 0 = –1 + 2m ⇒ m = __ 2 0 = 0 + m –2 ⇒ II 0 = 0 – 2m  ⇒ m = 0 ⇒ O (0 | 0 | 0) ∉ h 1 –2 III 0 = 1 – 2m ⇒ m = __ 0 1

2.3

2

Ebene im R3 Ebene in Parameterform Wird die Gleichung einer Ebene gesucht, die durch eine Gerade und einen Punkt festgelegt ist, so wird der Richtungsvektor der Geraden verwendet und als zweiter Richtungsvektor der Vektor vom Aufpunkt der Geraden zum Punkt B0 gewählt. __›

__›

___›

____›

__›

___›

__›

__›

e: x = a + m AC + d AB0 = a + m AC + d ( b0 – a ) =

() () ()

–1 2 1 0 + m –2 + d 2 ; m, d ∊ R 1 –2 –1

Ebene in Normalenform __› __› __› __› Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der__Normalenvektor n der Ebene und › n ist das Kreuzprodukt (Vektorproein Punkt der Ebene erforderlich. Der____ Normalenvektor ___› › dukt) der beiden Richtungsvektoren AB0 und AC der Ebene e.

()()( () ( ) ( )

)(

) ()

2 1 –2 · (–1) – (–2) · 2 2 – (–4) 6 ____› ___› n = AB0 × AC = –2 × 2 = –2 · 1 – 2 · (–1) = –2 – (–2) = 0 2 · 2 – (–2) · 1 4 – (–2) 6 –2 –1

__›

6 x1 –1 __› __› __› e: n ∘ ( x – a ) = 0 ⇒ 0 ∘ x2 – 0 = 0 6 1 x3

| ausmultiplizieren

6x1 + 0x2 + 6x3 – (6 · (–1) + 0 · 0 + 6 · 1) = 0 | zusammenfassen |: 6 6x1 + 6x3 = 0 x1 + x3 = 0 (Koordinatendarstellung der Normalenform)

34

2.4

Gerade g schneidet Ebene e im Schnittpunkt S Der Schnittpunkt S ist die Schnittmenge der Geraden g und der Ebene e (S = g ∩ e). Damit der Schnittpunkt S berechnet werden kann, wird die Gleichung der Geraden

( ) () ()

x1 1 1 __› g: x = x2 = 0 + l 1 in die Ebene e: x1 + x3 = 0 eingesetzt. 0 1 x3 ⇒ 1+l+0+l=0 1 + 2l = 0 2l = –1 1 l = – __ 2

| zusammenfassen | –1 |:2

() ()

()

2

1 __

2 1 1 1 in g: x = s = 0 – __ 1 1 = – __ 1 – __ 1 – __ 1 1 ⇒ S __ l = – __ 2 2 2 2 2 2 0 1 1 – __

__›

__›

( | | )

2

Eine andere Lösungsmöglichkeit für die Berechnung des Schnittpunkts S bietet das Gleichsetzverfahren. Wenn ein Schnittpunkt S existiert, dann ist er sowohl__ Element der › Geraden als auch Element der Ebene. Zu diesem Punkt geht der Ortsvektor s , für den gilt: __› _› _› s = xg = xe. Deshalb werden die Gleichungen der Gerade g und der Ebene e gleichgesetzt.

() () ( ) ( ) ( )

1 1 –1 2 I 1 + l = –1 + 2m + d 1 0 + l 1 = 0 + m · –2 + d · 2 ⇒ II 0 + l  = 0 – 2m  + 2d    0 1 1 –2 –1 III 0 + l = 1 – 2m – d

Der Aufgabenstellung nach existiert ein Schnittpunkt. Deshalb genügt es, aus dem Gleichungssystem die Variable l zu errechnen. aus I: d = l – 2m + 2 in II und III 1 + 4 = ___ 7 1 – __ II l = 0 – 2m + 2 (l – 2m + 2) ⇒ l = 6m – 4 ⇒ m = __ 6 2 12 1 III l = –1 – 2m – (l – 2m + 2) ⇒ 2l = –1 ⇒ l = – __ 2

(

( )

7 = __ 1 1 – 2 ___ in I: d = – __ 2 12 3

)

( )()

1 1 __ 1 – __ 2 2 1 1 __› › 1 in g: __ 1 · 1 = 0 – __ 1 = – __ 1 l = – __ x = s = 0 – __ 2 2 2 2 0 1 1 1 0 – __ – __ 2 2 1 – __ 1 – __ 1 ⇒ S __ 2 2 2

() ()

( | | )

35

2.5

Winkel zwischen Vektoren Damit der Schnittwinkel a berechnet werden kann, __› _› muss erst der Winkel v zwischen den Vektoren n und ug berechnet werden.

() () |( )| |( )|

_›

ug

_›

n v

1 1 ∘ 0 1 __› _› n ∘ ug 1 1 = ___ 1 · 1 + 0 · 1___________ +1·1 ________ _________ ___________ __ 2 __ ≈ 0,816 cos v = __› _› = = _______ | n | · | ug | 1 1 √12 + 02 + 12 · √12 + 12 + 12 √2 · √3 0 · 1 1 1

a

g

e

⇒ v = arccos (0,816) = 35,31° ⇒ a = 90°– v = 90° – 35,31° = 54,69°

2.6

Punkt P Element der Ebene e? Um zu prüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Punkts in die Gleichung der Ebene eingesetzt. P ∊ e? ⇒ P (2 | –3 | 9) in e: x1 + x3 = 0 ⇒ 2 + 9 = 0; 11 = 0 (falsch) ⇒ P ∉ e

2.7

Abstand des Punkts P von der Ebene e Um den Abstand des Punkts P von der Ebene e zu berechnen, werden die Koordinaten des Punkts P in die Hesseform der Ebene e eingesetzt. Hesseform: Die Hesseform wird gebildet, indem die Ebene e durch den Betrag des Normalenvektors der Ebene e dividiert wird. ___________ __ __ | n› | = √ 12 + 02 + 12 = √ 2

x1 + x3 __ = 0 ⇒ HNF: ______ √2 2 +__9 = ___ 11 __ ≈ 7,78 LE ⇒ d (P; e) = _____ √2 √2

36

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (0 | –2 | 1), B (0 | 3 | 3) 2 –2 __› sowie die Gerade g: x = –3 + l 1 mit l ∊ R gegeben. 2 –1

1.1

Berechnen Sie die Entfernung des Punkts A vom Koordinatenursprung.

1.2

Zeigen Sie, dass der Punkt B nicht auf der Geraden g liegt.

1.3

Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die parallel zur Geraden g ist und durch den Punkt B verläuft.

1.4

2

() ()

() ()

0 1 __› Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Geraden g und j mit j: x = 3 + m 2 ; m ∊ R. 3 0

1.5

Bestimmen Sie den Winkel v zwischen den Richtungsvektoren der Geraden g und j.

1.6

Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden g und h.

1.7

Der Punkt B und die Gerade g legen die Ebene e fest. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform.

1.8

Überprüfen Sie, ob der Koordinatenursprung in der Ebene e liegt.

1.9

Ermitteln Sie einen Vektor n , der senkrecht auf der Ebene e steht und dessen zweite Komponente den Wert n2 = 2 besitzt.

2.0

Die Punkte A (0 | –2 | 1), B (0 | 3 | 3) und S (–2 | –1 | 3) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABS.

2.1

Berechnen Sie den Umfang U des Dreiecks ABS.

2.2

Ergänzen Sie das Dreieck ABS so, dass das Parallelogramm ABTS entsteht, und geben Sie die Koordinaten des Punkts T an.

__›

37

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.1

Länge von Vektoren Um die Entfernung von zwei Punkten im Raum zu bestimmen, wird der Vektor zwischen den Punkten gebildet und dann die Länge des Vektors berechnet.

|( )|

0 _____________ ___› _________ __ __› ⇒ | OA | = | a | = –2 = √ 02 + (–2)2 + 12 = √ 0 + 4 + 1 = √ 5 1 1.2

Punkt Element einer Geraden? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Geraden ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Geraden, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Geraden.

() ( ) ( )

7

0 2 –2 I 0 = 2 – 2l ⇒ l = 1 3 = –3 + l 1 ⇒ II 3 = –3 + l   ⇒ l = 6 ⇒ B(0 | 3 | 3) ∉ g 3 2 –1 III 3 = –1 + 2l ⇒ l = 2

1.3

Parallele Geraden Wenn zwei Geraden parallel sind, so müssen die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig sein._ __› __› › h: x = b + s ug

() ( )

0 –2 x = 3 +s 1 ; s∊R 3 2

__›

1.4

Schnittpunkt zweier Geraden Werden die Gerade __ g und__ die Gerade j auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man › › die Geraden gleich: xg = xj

( ) ( ) () ()

1 2 –2 0 1 I 2 – 2l = 0 + m I l = 1 – __ m 2   ⇒ II l  = 6 + 2m    –3 + l 1 = 3 + m 2 ⇒ II –3 + l  = 3 + 2m  2 3 0 –1 III –1 + 2l = 3 III l = 2

l = 2 in I und II ⇒ m = –2 Um den Schnittpunkt S zu berechnen, wird l = 2 in h oder m = -2 in j eingesetzt.

() ()( )()

–2 2 –4 –2 2 s = –3 + 2 1 = –3 + 2 = –1 ; S (–2 | –1 | 3) 2 3 –1 –1 + 4

__›

38

1.5

__› __› Winkel zwischen zwei Vektoren ug ∘ uj ________ Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos v = _› _› | ug | · | uj | –2 1 1 ∘ 2 2 0 –2 · 1 + 1 · 2 ___________ +2·0 _____________ __ 0 __ = 0 ⇒ v = 90° cos v = ___________= ___ = _______ –2 1 √(–2)2 + 12 + 22 · √12 + 22 + 02 √9 · √5 1 · 2 2 0

( ) () |( )| |( )|

1.6

2

Abstand von zwei parallelen Geraden _› j ⊥ g und j ⊥ h ⇒ Gerade durch B mit Richtungsvektor uj = j j ∩ g = S (siehe 1.4) ___› Der Abstand g, h ist die Länge des Vektors | BS |. ___

__

__

|( ) ( )| |( )| –2

0

–2

3

3

0

_______________

______

___

__

| BS› | = | s› – b› | = –1 – 3 = –4 = √(–2)2 + (–4)2 + 02 = √4 + 16 = √20 = 2 √5 LE

1.7

Ebene e im R3 Ebene in Parameterform Wird die Gleichung einer Ebene e in Parameterform gesucht, die durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, festgelegt ist, so wird der Richtungsvektor der Geraden verwendet und als zweiter Richtungsvektor der Vektor vom Aufpunkt der Geraden g zum Punkt B gewählt.

() () ( )() () ()

2 –2 0– 2 2 –2 –2 __› e: x = –3 + l 1 + n 3 – (–3) = –3 + l 1 + n 6 ; l, n ∊ R 2 3 – (–1) 2 4 –1 –1 Ebene in Normalenform __› __› __› __› n der Ebene und Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der Normalenvektor __› ein Punkt der Ebene erforderlich. Der Normalenvektor n __ist das Kreuzprodukt (Vektor› produkt) der beiden Richtungsvektoren der Ebene e. Für a werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt B verwendet. __›

n =

()()(

__›

__›

)(

)( )

–2 –2 1·4 – 2·6 4 – 12 –8 = –4 – (–8) = 1 × 6 = 2 · (–2) – (–2) · 4 4 2 4 –2 · 6 – 1 · (–2) –12 – (–2) –10 __›

n ∘ (x – b ) = 0 ⇒

( ) ( ) ()

–8 x1 0 4 ∘ x2 – 3 = 0 3 –10 x3

–8x1 + 4x2 – 10x3 – (–8 · 0 + 4 · 3 + (–10) · 3) = 0 –8x1 + 4x2 – 10x3 – (0 + 12 – 30) = 0 –8x1 + 4x2 – 10x3 + 18 = 0 8x1 – 4x2 + 10x3 – 18 = 0

| ausmultiplizieren | zusammenfassen | · (–1) (Normalenform der Ebene e in Koordinatendarstellung)

39

1.8

Punkt O Element der Ebene e? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Ebene. Werden die Koordinaten in die Normalenform eingesetzt, so handelt es sich um das „Einsetzverfahren“, werden die Koordinaten in die Parameterform eingesetzt, so handelt es sich um das „Gleichsetzverfahren“. Einsetzverfahren: O (0 | 0 | 0) in e 8 · 0 – 4 · 0 + 10 · 0 – 18 = 0 | ausrechnen –18 = 0 ⇒ O ∉ e Gleichsetzverfahren:

() ( ) ( ) ( ) 0 2 –2 –2 0 = –3 + l 1 + n 6 0 2 4 –1

I 0 = 2 – 2l – 2n II 0 = –3 + l  + 6n   III 0 = –1 + 2l + 4n 3 1 in III: l = __ I + III: 0 = 1 + 2n ⇒ n = – __ 2 2 3 + 6 – __ 1 Probe in II: 0 = –3 + __ 2 2 0 = –4,5 ⇒ O ∉ e Wie Sie feststellen können, ist das Gleichsetzverfahren viel aufwendiger als das Einsetzverfahren.

( )

1.9

Zueinander senkrechte Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. Soll ein Vektor senkrecht auf der Ebene stehen, so muss dieser Vektor senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene sein.

()() ()()

n1 –2 n1 –2 2 ∘ 1 =0∧ 2 ∘ 6 =0 2 4 n3 n3

I –2n1 + 2 + 2n3 = 0 II –2n1 + 12 + 4n3 = 0 | (–1) · I + II _________________________________ –4 __› 10 + 2n3 = 0 ⇒ n3 = –5; n3 = –5 in I: ⇒ n1 = –4; ⇒ n = 2 –5

()

40

2.1

Umfang eines Dreiecks Der Umfang eines Dreiecks kann berechnet werden, wenn die Vektoren zwischen den Punkten gebildet und dann die Beträge (Länge) der Vektoren berechnet werden. ___›

___›

S

___›

AS

___›

A

BS ___›

___›

AB

U = AB + AS + BS mit

B

( ) ()

0–0 0 __› __› AB = b – a = 3 – (–2) = 5 3–1 2 0 ___________ ___› __________ ___ ⇒ | AB | = 5 = √ 02 + 52 + 22 = √ 0 + 25 + 4 = √ 29 2 ___›

|( )|

(

2

)()

–2 – 0 –2 __› __› AS = s – a = –1 – (–2) = 1 3–1 2 –2 _____________ ___› _________ __ ⇒ | AS | = 1 = √(–2)2 + 12 + 22 = √ 4 + 1 + 4 = √ 9 = 3 2 ___›

|( )|

( )()

–2 – 0 –2 __› __› BS = s – b = –1 – 3 = –4 3–3 0 –2 _______________ ___› __________ ___ ⇒ | BS | = –4 = √ (–2)2 + (–4)2 + 02 = √ 4 + 16 + 0 = √20 0 ___›

|( )|

___

___

U = √29 + 3 + √20 = 12,86 (Längeneinheiten LE)

2.2

Punktkoordinaten Die Koordinaten des Punkts T werden gefunden,__indem › eine Vektorkette z. B. vom Punkt B ___›(Ortsvektor b ) und dem parallel verschobenen Vektor AS gebildet wird.

() ( ) ( ) ( )

0 –2 0 + (–2) –2 __› ___› t = b + AS = 3 + 1 = 3 + 1 = 4 3 2 3+2 5 ⇒ T (–2 | 4 | 5) __›

S

T

A

B

41

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3

42

1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (4 | 7 | 5) und 3 1 __› B (–2 | –1 | –5) sowie die Gerade g: x = –1 + l –2 mit l ∊ R gegeben. 0 0

1.1

Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an, die durch die Punkte A und B festgelegt wird.

1.2

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S der Geraden g und h.

1.3

Bestimmen Sie den Winkel v zwischen den Geraden g und h.

1.4

Die Geraden g und h legen die Ebene e fest. Geben Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform an.

1.5

Prüfen Sie, ob der Punkt O (0 | 0 | 0) in der Ebene e liegt.

1.6

4 __› Durch den Punkt O (0 | 0 | 0) und den Richtungsvektor r = 2 ist die Gerade j festgelegt. Geben Sie eine Gleichung der Geraden j an. 5

1.7

Zeigen Sie: Die Gerade j ist parallel zur Ebene e.

1.8

Berechnen Sie den Abstand der Geraden j von der Ebene e.

2.0

Die Punkte A (4 | 7 | 5), B (–2 | –1 | –5) und O (0 | 0 | 0) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABO.

2.1

Berechnen Sie die Maßzahl der Grundfläche des Dreiecks.

2.2

Das Dreieck ABO ist die Grundfläche einer Dreieckspyramide mit der Spitze E (6 | 8 | 8). Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide.

() ()

()

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.1

Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von A nach B als Richtungsvektor verwendet.

() ( ) () ( )

4 –2 – 4 4 –6 ___› __› __› __› __› __› __› __› h: x = a + m AB ; x = a + m ( b – a ); x = 7 + m –1 – 7 = 7 + m –8 ; m ∊ R 5 5 –5 – 5 –10 1.2

Schnittpunkt zweier Geraden Werden die Gerade g und die__Gerade h auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man __› › die Geraden gleich: g ∩ h ⇒ xg = xh

( ) ( ) () ( )

3 1 4 –6 I –1 + l –2 = 7 + m –8 ⇒ ∧ II 0 0 5 –10 III

3 + l = 4 – 6m   –1 – 2l  = 7 – 8m  0 + 0l = 5 – 10m

7

m = 0,5 aus III: 3 + l  = 4 – 6 · 0,5 ⇒ l = –2 wahr ⇒ Es existiert ein Schnittpunkt. in I: in II: –1 – 2l = 7 – 8 · 0,5 ⇒ l = –2 Um den Schnittpunkt zu berechnen, muss entweder m = 0,5 in h oder l = –2 in g eingesetzt werden.

( ) ( ) ( ) ()

3 1 3 –2 1 s = –1 – 2 –2 = –1 + 4 = 3 ; S (1 | 3 | 0) 0 0 0+0 0

__›

1.3

__› __› Winkel zwischen zwei Vektoren ug ∘ uh ________ Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos v = _› _› u | g | · | uh | 1 –6 –2 ∘ –8 1 · (–6) + (–2) ·__________________ (–8) + 0 · (–10) 0 –10 _____________ __ 10____ cos v = ____________ = ____ = _________ 2 2 2 1 –6 √1 + (–2) + 0 · √(–6)2 + (–8)2 + (–10)2 √5 · √200 –2 · –8 0 –10

()( ) |( )| |( )|

⇒ v = 71,57°

43

2

1.4

Ebene durch zwei Geraden Wird eine Ebene durch zwei Geraden aufgespannt, so kann als Aufpunkt der Ebene der Schnittpunkt S der beiden Geraden verwendet werden und die Richtungsvektoren der Geraden dienen als Richtungsvektoren der Ebene. Ebene in Parameterform

() ( ) ( )

1 1 –6 __› __› _› _› e: x = s + s · ug + t · uh = 3 + s –2 + t –8 ; s, t ∊ R 0 0 –10 Ebene in Normalenform __› __› __› __› n der Ebene und Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der Normalenvektor __› ein Punkt der Ebene erforderlich. Der Normalenvektor n __ist das Kreuzprodukt (Vektor› produkt) der beiden Richtungsvektoren der Ebene e. Für a werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt S verwendet.

()( )( ( ) ( ) ()

)(

)( )

1 –6 –2 · (–10) – 0 · (–8) 20 – 0 20 _› _› n = ug × uh = –2 × –8 = 0 · (–6) – 1 · (–10) = 0 – (–10) = 10 0 1 · (–8) – –2 · (–6) –10 –8 – 12 –20

__›

__›

__›

__›

e: n ∘ ( x – s ) = 0 ⇒

20 x1 1 10 ∘ x2 – 3 = 0 0 –20 x3

20x1 + 10x2 – 20x3 – (20 · 1 + 10 · 3 + (–20) · 0) = 0 20x1 + 10x2 – 20x3 – (20 + 30 + 0) = 0 20x1 + 10x2 – 20x3 – 50 = 0

1.5

| ausmultiplizieren | zusammenfassen

Punkt O Element der Ebene e? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Ebene. Werden die Koordinaten in die Normalenform eingesetzt, so handelt es sich um das „Einsetzverfahren“, werden die Koordinaten in die Parameterform eingesetzt, so handelt es sich um das „Gleichsetzverfahren“. Einsetzverfahren: O (0 | 0 | 0) in e 20 · 0 + 10 · 0 – 20 · 0 – 50 = 0 | ausrechnen –50 = 0 (falsch) ⇒O∉e Das bedeutet, der Koordinatenursprung liegt nicht in der Ebene e.

44

Gleichsetzverfahren: 0 1 1 –6 0 = 3 + s –2 + t –8 0 0 0 –10

() () ( ) ( ) I 0 = 1 + s – 6t II 0 = 3 – 2s – 8t III 0 = 0 + 0s – 10t ⇒ t = 0 t = 0 in I I II

1.6

0 = 1 + s – 6 · 0 ⇒ s = –1 0 = 3 – 2 (–1) – 8 · 0 0 = 5 (falsch) ⇒ O∉e

2

| Probe in II

Gerade durch den Ursprung

() () ()

0 4 4 __› __› __› j: x = o + d · r = 0 + d 2 = d 2 ; d ∊ R 0 5 5

1.7

Gerade parallel zur Ebene Die Gerade j ist parallel zur Ebene e, wenn der Punkt O ∉ e ist (Teilaufgabe 1.5) und der Vektor 20 __› __› n = 10 senkrecht zum Richtungsvektor r –20 der Geraden j ist. __› __› __› __› n ⊥ r ⇔n ∘ r =0 20 4 10 ∘ 2 = 20 · 4 + 10 · 2 + (–20) · 5 = 0 5 –20 80 + 20 – 100 = 0 ⇒ Die Gerade j ist parallel zur Ebene e.

__›

n

( )

j

(Seitenansicht)

e

( ) ()

1.8

Abstand Gerade – Ebene Der Abstand der parallelen___ Geraden j zur Ebene e › ist die Länge des Vektors OL . Der Punkt L auf der Ebene e ist der Schnittpunkt zwischen einer Hilfsgeraden k und der Ebene e. Für die Hilfsgerade k wird als Aufpunkt der __ Ursprung O und als Richtungs› vektor der Vektor n gewählt (siehe nebenstehende Skizze, die die Seitenansicht von Ebene e und Gerade j zeigt).

O (0 | 0 | 0)

j

__›

n

e

( | | )

10 __ 5 – ___ 10 L ___ 9 9 9 k

45

() ( ) ( ) 7

( ) () ( ) ( ) 7 ( )

0 0 1 1 1 1 –6 __› __› __› k: x = o + k n = 0 + k 0,5 = k 0,5 ; k ∩ e = {L} ⇒ k 0,5 = 3 + s –2 + t –8 0 0 0 –1 –1 –1 –10 k = 1 + s – 6t aus III: k = 10t I 1   k = 10t in I und II ⇒ t = __ II 0,5k = 3 – 2s   – 8t  9 10 ___ – 10t ⇒ k = 9 III –k = 0

( 9 |9| 9 )

10 __ 5 – ___ 10 ; ⇒ L ___

___

__

| OL› | = | l› | =

1 __› 10 0,5 ⇒ l = ___ 9 –1

___________________

_____

= 15 = 5 √( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) = √( 225 81 ) 9 3 10 ___

2

5 + __

2

10 + – ___

2

____

___

__

Eine andere Möglichkeit den Abstand der Geraden von der Ebene zu berechnen, bietet die Hesseform der Ebene e. | : 10 Normalenform (NF): 20x1 + 10x2 – 20x3 – 50 = 0 2x1 + 1x2 – 2x3 – 5 = 0

|( )|

2 _____________ __ 2x1 + 1x2 – 2x3 – 5 =0 1 = √22 + 12 + (–2)2 = √9 = 3 ⇒ _________________ 3 –2 2 · 0 + 1 · 0 – 2 · 0 – 5 = – __ 5 = __ 5 Koordinaten des Ursprungs in HNF: d (O, e) = ____________________ 3 3 3 __›

Hesseform (HNF): | n | =

|

2.1

Dreiecksfläche ___ ___ 1 | AB› × AO› | mit Für die Maßzahl der Fläche eines Dreiecks gilt: A = __ 2 –6 –4 ___› __› __› ___› AB = –8 (siehe 1.1) und AO = o – a = –7 –10 –5

( )

___›

___›

1 A = __ 2

|( )|

AB × AO =

2.2

()

( )()(

)( )( )

–6 –4 –8 · (–5) – (–10) · (–7) 40 – 70 –30 –8 × –7 = –10 · (–4) – (–6) · (–5) = 40 – 30 = 10 –10 –5 –6 · (–7) – (–8) · (–4) 42 – 32 10

–30 ________________ 1 (–30)2 + 102 + 102 = __ 1 √_______________ 1 √_____ 900 + 100 + 100 = __ 1100 ≈ 16,58 10 = __ √ 2 2 2 10

( )()

Volumen einer Pyramide ___ ___ ___ 6–4 2 ___ __› › 1 | ( AB› × AO›) ∘ AE› | mit AE› = __ Für das Volumen gilt: V = __ e – a = 8 – 7 = –1 und 6 3 8–5 ___›

___›

AB × AO =

46

| | |

( )

|( ) ( )|

–30 –30 2 40 1 10 ∘ –1 = __ 1 | (–30) · 2 + 10 · (–1) + 10 · 3 | = __ 1 | – 40 | = ___ 10 ⇒ V = __ 6 6 6 6 10 10 3

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 BE 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt A (3 | –2 | –3) sowie 2 1 2 4 __› __› die Geraden g: x = 4 + l 4 und h: x = –3 + m 2 mit l, m ∊ R gegeben. 6 6 7 –5

3

1.1

Zeigen Sie, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h linear unabhängig sind.

4

1.2

Bestimmen Sie den Winkel, den die beiden Richtungsvektoren der Geraden g und h einschließen.

4

1.3

Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind.

3

1.4

Die Gerade h und der Punkt A liegen in einer Ebene e. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform. 2 4 1 __› (Mögliches Ergebnis: x = –3 + t 2 + s 1 ) 7 2 –5

() ()

2

( ) ()

( ) () ()

1.5

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene e.

2.0

Gegeben sind die Punkte P (4 | 10 | 1), Q (–2 | 6 | 2), R (1 | 2 | 4) und S (7 | 6 | 3).

3

2.1

Die Punkte P, Q und R liegen in der Ebene f. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene f in Parameterform.

3

2.2

Zeigen Sie, dass der Punkt S in der Ebene f liegt.

7

2.3

Zeigen Sie, dass das Viereck PQRS ein Rechteck ist, und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts auf zwei Nachkommastellen gerundet.

7

47

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 1.1

Linear unabhängige Vektoren Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der eine nicht als Vielfaches des anderen darstellen lässt.

() ()

1 4 I 1 = 4r ⇒ r = _14 4 = r · 2 II 4 = 2r ⇒ r = 2 6 7 III 6 = 7r ⇒ r = _67

1.2

7

Widerspruch ⇒ Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.

_› _› Winkel zwischen zwei Vektoren ug ∘ uh Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos v = ________ _› _› ug | · | uh | | 4 1 4 ∘ 2 6 7 1 · 4 + 4 · 2___________ +6·7 4 + 8 + ___________ 42 ___________ ___________ = 0,893 = ___ cos v = _________ = ___ 1 4 √12 + 42 + 62 · √42 + 22 + 72 √1 + 16 + 36 · √16 + 4 + 49 4 · 2 6 7

() () |( )| |( )|

⇒ v = 26,75°

1.3

Geraden im R3 Geraden im Raum können entweder parallel oder identisch sein, sich schneiden oder windschief zueinander sein. g ∥ h? Wenn zwei Geraden zueinander parallel sind, so müssen die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig (parallel) sein. Dies trifft nach Aufgabe 1.1 nicht zu. g∩h Werden die Gerade __ g und__die Gerade h auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man › › die Geraden gleich: xg = xh

() () ( ) ()

2 1 2 4 I 2 + l = 2 + 4m 4 + l 4 = –3 + m 2 ⇒ ∧ II 4 + 4l  = –3 + 2m   6 6 7 –5 III 6 + 6l = –5 + 7m aus I:

⇒ ∧ in II: in III:

l=

4m

    = –3 + 2m  4 + 4 · 4m  ⇒ m = – _12 11 6 + 6 · 4m = –5 + 7m ⇒ m = – __ 17

7

Widerspruch

⇒ Es existiert kein Schnittpunkt. Die Geraden sind windschief.

48

1.4

Ebene im R3 Soll eine Ebene durch eine Gerade h und einen Punkt aufgespannt werden, so wird der Richtungsvektor der Geraden als Richtungsvektor der Ebene verwendet und der Vektor zwischen dem Aufpunkt der Geraden und dem Punkt A als zweiter Richtungsvektor gebildet. __›

__›

_›

___›

e: x = p + m · uh + d · PA 2 4 3–2 2 4 1 __› x = –3 + m · 2 + d · –2 – (–3) = –3 + m · 2 + d · 1 mit m, d ∊ R 7 7 2 –5 –3 – (–5) –5

( ) () (

1.5

) ( ) () ()

2

Gerade g schneidet Ebene e im Schnittpunkt S Wenn ein Schnittpunkt S existiert, dann ist er sowohl Element der Geraden als auch Ele__› __› _› _› ment der Ebene. Zu diesem Punkt geht der Ortsvektor s , für den gilt: s = xg = xe . Deshalb werden die Gleichungen der Gerade h und der Ebene e gleichgesetzt.

() () ( ) () ()

2 1 2 4 1 I 2 + l = 2 + 4m + d 4 + l 4 = –3 + m · 2 + d · 1 ⇒ II 4 + 4l  = –3 + 2m  + d    6 6 7 2 –5 III 6 + 6l = –5 + 7m + 2d

Der Aufgabenstellung nach existiert ein Schnittpunkt, deshalb genügt es, aus dem Gleichungssystem die Variable l zu errechnen. aus I: d = l – 4m in II und III II 4 + 4l = –3 + 2m + l – 4m ⇒ 3l + 2m = –7 III 6 + 6l = –5 + 7m + 2 (l – 4m) ⇒ 4l + m = –11 III · (–2) + II: –5l = 15 ⇒ l = –3

() () ( ) ( )

2 1 2– 3 –1 __› __› l = –3 in g: x = s = 4 – 3 · 4 = 4 – 12 = –8 6 6 6 – 18 –12 ⇒ S(–1|–8|–12)

2.1

Ebene durch drei Punkte Wird die Gleichung einer Ebene Punkte gesucht, so wird der Punkt P als Auf___› durch ___drei › punkt und die Vektoren von PQ und PR als Richtungsvektoren verwendet. __›

__›

___›

___›

f: x = p + r PQ + t PR

() ( ) ( )() () ()

4 –2 – 4 1– 4 4 –6 –3 __› __› __› __› __› __› f: x = p + r · ( q – p ) + t · ( r – p ) = 10 + r 6 – 10 + t 2 – 10 = 10 + r –4 + t –8 1 2– 1 4– 1 1 1 3

49

2.2

Punkt S Element der Ebene f Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Ebene.

() ( ) ( ) ( ) 7 4 –6 –3 6 = 10 + r –4 + t –8 3 1 1 3

I II III

7 = 4 – 6r – 3t 6 = 10 – 4r – 8t 3 = 1 + r + 3t

I + III: 10 = 5 – 5r ⇒ r = –1 in III: t = 1 Probe in II: 6 = 10 – 4 · (–1) – 8 · 1 6 = 10 + 4 – 8 = 6 ⇒ S∊f

2.3

Rechteck im R3 Für das Rechteck PQRS muss gelten: ___›

___

___

___

___

___

S

R

P

Q

› › › › › | PQ | = | SR |; | PS | = | QR |; PQ ⊥ PS

()

( )() ( )() ( )()

–6 1–7 –6 ___› __› __› ___› ___› PQ = –4 aus 2.1; SR = r – s = 2 – 6 = –4 ⇒ PQ = SR 1 1 4–3 ___›

7– 4 3 ___ __ __ 1 – (–2) 3 ___› ___› __› __› › › › PS = s – p = 6 – 10 = –4 ; QR = r – q = 2 – 6 = –4 ⇒ PS = QR 3– 1 2 4–2 2 ___›

___›

___›

___›

___›

PQ ⊥ PS ⇒ PQ ∘ PS = 0

()()

–6 3 ___› ___› –4 ∘ –4 = (–6) · 3 + (–4) · (–4) + 1 · 2 = –18 +16 +2 = 0 ⇒ PQ ⊥ PS 1 2 –6 3 ___› ___› Maßzahl des Flächeninhalts: A = | PQ | · | PS | = –4 · –4 1 2 _______________

|( )| |( )|

_____________

___________

__________

___

___

= √(–6)2 + (–4)2 + 12 · √ 32 + (–4)2 + 22 = √36 + 16 + 1 · √ 9 + 16 + 4 = √53 · √ 29 = 39,20

50

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 BE 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (4 | 3 | 2), 1 1 __› B (2 | 2 | 4) sowie die Gerade g: x = 0 + l 1 mit l ∊ R gegeben. 0 1 Die Punkte A und B bestimmen die Gerade h.

2

1.1

Berechnen Sie den Abstand der Punkte A und B.

7

1.2

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

4

1.3

Bestimmen Sie, für welche k ∊ R der Punkt Ck (k2 – 1 | k | k) auf der Geraden g liegt.

7

1.4

Die Punkte A, B und C2 (3 | 2 | 2) sind Ecken eines Dreiecks. Berechnen Sie den Innenwinkel bei B und die Flächenmaßzahl des Dreiecks.

4

1.5

Das Dreieck ABC2 liegt in der Ebene e. Geben Sie die Parameterform und die Normalenform der Ebene e an. (Mögliches Ergebnis: e: 2x1 – 2x2 + x3 – 4 = 0)

2

() ()

Begründen Sie, warum die Ebene e und die Gerade g genau einen gemeinsamen Punkt besitzen. 2

1.6

Zeigen Sie, dass der Punkt S (8 | –8 | 8) nicht in der Ebene e liegt.

3

1.7

Bilden Sie die Hesseform der Ebene e und berechnen Sie den Abstand des Punkts S von der Ebene e.

4

1.8

Das Dreieck mit den Punkten A, B und C2 bildet die Grundfläche einer Dreieckspyramide mit der Pyramidenspitze bei S. Berechnen Sie die Volumenmaßzahl der Pyramide.

51

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.1

Abstand zweier Punkte Um den Abstand zweier Punkte zu ermitteln, wird der Vektor zwischen den Punkten gebildet (Differenzvektor) und dann der Betrag des Vektors berechnet. 2–4 –2 ___› __› __› AB = b – a = 2 – 3 = –1 2 4–2 –2 ________________ ___ _________ __ | AB› | = –1 = √(–2)2 + (–1)2 + (2)2 = √4 + 1 + 4 = √9 = 3 2

|( )|

( )()

Der Punkt A ist vom Punkt B 3 LE entfernt. 1.2

Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von A nach B als Richtungsvektor verwendet. 4 2 – 4 __ 4 –2 ___› __› __› __› __› __› __› __› › h: x = a + m AB ; x = a + m ( b – a ); x = 3 + m 2 – 3 ; x = 3 + m –1 ; m ∊ R 2 2 2 4–2

() ( ) () ( )

Geraden im R3 Geraden im Raum können entweder parallel oder identisch sein, sich schneiden oder windschief zueinander sein. g ∥ h? Wenn zwei Geraden zueinander parallel sind, so müssen die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig (parallel) sein. 1 –2 I: –2s = 1  = 1 g parallel h? ⇔ s –1 = 1 ; II: –s  2 1 III:  2s = 1 aus II: s = –1 1 Widerspruch ⇒ Die Geraden g und h sind linear unabhängig (nicht parallel). aus III: s = __ 2

} 

( ) ()6

g∩h Werden die Gerade __ g und__die Gerade h auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man › › die Geraden gleich: xg = xh

() () () ( )

1 1 4 –2 I 1 + l = 4 – 2m l + 2m = 3 0 + l 1 = 3 + m –1 ⇒ II 0 + l  = 3 – m   ⇒ l  + m  = 3 0 1 2 2 III 0 + l = 2 + 2m

I – II: 0 = m ⇒ m = 0 in II: 3 = l ⇒ l = 3 Probe in III: 3 = 2; Widerspruch ⇒ Die Geraden g und h sind windschief.

52

1.3

Punkt Element einer Geraden? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Geraden ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Geraden, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Geraden.

( ) () ()

k2 – 1 1 1 I k2 – 1 = 1 + l = 0 + l 1 ⇒ II   k = 0 + l  k 0 1 k=0+l k III

2

aus II und III: k = l; in I: k2 – k – 2 = 0 _______________ 2

k1/2

_____

__

– (–1) ± √(–1) – 4 · 1 · (–2) 1 ± √ 1 + 8 1 ± √ 9 1 ± 3 = _______________________ = __________ = _______ = _____ 2·1

2

2

2

1 – 3 = –1; k = _____ 1+3=2 k1 = _____ 2 2 2 1.4

Dreiecksseiten Um die Seiten des Dreiecks ABC zu erhalten, müssen die___ Vektoren ___›zwischen den Drei› eckspunkten gebildet werden, in diesem Fall die Vektoren BA und BC .

( )()

( )()

4–2 2 ___ __ __ 3–2 1 __› __› › › › BA = a – b = 3 – 2 = 1 ; BC = c – b = 2 – 2 = 0 2–4 –2 2–4 –2 ___›

___› ___› Winkel zwischen zwei Vektoren BA ∘ BC Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos b = ___________ ___› ___ | BA› | · | BC | 2 1 1 ∘ 0 2 · 1 + 1 · 0 + _____________ (–2) · (–2) –2 –2 = ___ _____________ __ 6 __ ⇒ b = 26,6° cos b = ___________ = _______ 2 2 2 2 2 2 2 1 √ 9 · √5 √2 + 1 + (–2) · √1 + 0 + (–2) 1 · 0 –2 –2

()() |( )| |( )|

Flächenmaßzahl des Dreiecks 1 · a · b · sin v Für die Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks gilt: A = __ 2 ___›

___›

1· 1 · | BA | · | BC | · sin b = __ ⇒ A = __ 2 2

|( )| |( )|

2 1 __ __ 1 · 0 · sin 26,6° = 0,5 · √ 9 · √ 5 · 0,446 = 1,5 –2 –2

53

1.5

Ebene durch drei Punkte Ebenengleichung in Parameterform Wird die Gleichung einer___ Ebene ___ durch drei Punkte gesucht, so wird der Punkt A als Auf› › punkt und die Vektoren AC und AB als Richtungsvektoren verwendet. __›

__›

___›

___›

e: x = a + m AC + s AB

() ( ) ( )

4 –1 –2 ___› ___› __› __› __› __› __› __› __› e: x = a + m AC + s AB = a + m ( c – a ) + s ( b – a ) = 3 + m –1 + s –1 ; m, s ∊ R 2 0 2 Ebenengleichung in Normalenform __› __› __› __› Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der__Normalenvektor n der Ebene und › n ist das Kreuzprodukt (Vektorproein Punkt der Ebene erforderlich. Der___ Normalenvektor ___› › dukt) der beiden Richtungsvektoren AC und AB der Ebene e.

()()( ( ) ( ) ()

)(

)()

–1 –2 –1 · 2 – 0 · (–1) –2 – 0 –2 ___› ___› n = AC × AB = –1 × –1 = 0 · (–2) – (–1) · 2 = 0 – (–2) = 2 0 2 1–2 –1 · (–1) – (–1) · (–2) –1

__›

__›

__›

__›

e: n ∘ ( x – a ) = 0 ⇒

–2 x1 4 2 ∘ x2 – 3 = 0 2 –1 x3

| ausmultiplizieren

–2x1 + 2x2 – x3 – (–2 · 4 + 2 · 3 – 1 · 2) = 0 | zusammenfassen | :(–1) –2x1 + 2x2 – x3 + 4 = 0 2x1 – 2x2 + x3 – 4 = 0 (Koordinatendarstellung der Normalenform) Gemeinsamer Punkt von Ebene e und Gerade g C2 liegt auf g (siehe 1.3) und C2 liegt auf e (Angabe). h verläuft durch A und B und liegt damit in e. Die Geraden h und g sind windschief. ⇒ Es gibt genau einen Schnittpunkt (C2). 1.6

Punkt S Element der Ebene e? Soll geprüft werden, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, setzt man die Koordinaten des Punkts in die Ebenengleichung ein und prüft den Wahrheitsgehalt. Koordinaten von S (8; –8; 8) in e: 2x1 – 2x2 + x3 – 4 = 0 2 · 8 – 2 · (–8) + 8 – 4 = 0 | ausrechnen 36 = 0 (falsch) ⇒ S ∉ e

1.7

Abstand des Punkts S von der Ebene e Um den Abstand des Punkts S von der Ebene e zu berechnen, werden die Koordinaten des Punkts S in die Hesseform der Ebene e eingesetzt. Hesseform: Die Hesseform wird gebildet, indem die Ebene e durch den Betrag des Normalenvektors der Ebene e dividiert wird. _______________ _________ __ __ | n› | = √ (–2)2 + 22 + (–1)2 = √ 4 + 4 + 1 = √ 9 = 3 2x1 – 2x2 + x3 – 4 2 · 8 – 2 · (–8) + 8 – 4 36 ⇒ HNF: ________________ = 0 ⇒ d(P;e) = ___________________ = ___ = 12 LE 3 3 3 Der Abstand des Punkts S von der Ebene e beträgt 12 Längeneinheiten.

54

1.8

Volumen einer Pyramide S Für die Volumenmaßzahl einer Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche (Tetraeder) gilt (siehe Formelsammlung): __› __› › 1 | ( __ a × b) ∘ c | V = __ 6 __› __› __› A Bezogen auf unsere Aufgabe gilt für die Vektoren a , b und c : ___ ___ ___ __ __› __› › › › › a = AB ; b = AC und c = AS ___ ___ ___ 1 | ( AB› × AC›) ∘ AS› | ⇒ V = __ 6 –2 –1 8–4 4 ___› __› ___› __› __› ___› mit AB = –1 (siehe 1.1), AC = a = –1 (siehe 1.5) und AS = s – a = –8 – 3 = –11 2 0 6 8–2

() ()()(

C B

( )( ) 2

()

)(

)() ( )

–2 –1 –1 · 0 – 2 · (–1) 0 – (–2) 2 ___› AB × AC = –1 × –1 = 2 · (–1) – (–2) · 0 = –2 – 0 = –2 2 0 2–1 1 –2 · (–1) – (–1) · (–1) ___›

()

2 4 ___› ___› ___› Nun werden die Vektoren AB × AC = –2 und AS = –11 in die Formel 1 6 ___ ___ ___ 1 | ( AB› × AC›) ∘ AS› | eingesetzt: V = __ 6

|( ) ( )|

2 4 1 | 2 · 4 + (–2) · (–11) + 1 · 6 | = __ 1 | 8 + 22 + 6 | = __ 1 | 36 | = __ 1 · 36 = 6 1 –2 ∘ –11 = __ V = __ 6 6 6 6 6 1 6 Die Dreieckspyramide besitzt ein Volumen von 6 Volumeneinheiten. ___›

___›

Anmerkung: Mit AB × AC kann auch die Flächenmaßzahl der Grundfläche der Dreieckspyramide berechnet werden. Es gilt (siehe Formelsammlung):

|( )|

2 _____________ ___ ___ 1 –2 = __ 1 22 + (–2)2 + 12 = __ 1 · √__ 1 · 3 = 1,5 (siehe auch 1.4) 1 | AB› × AC› | = __ 9 = __ A = __ √ 2 2 2 2 2 1

55

Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 BE 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (2 | –2 | 5), 4 1 __› Bk (0 | 6 | k) mit k ∊ R und C (3 | 6 | 0) sowie die Gerade g: x = 16 + l 9 mit l ∊ R gegeben. 3 –1

2

1.1

Berechnen Sie die Vektoren ABk und CBk.

4

1.2

Bestimmen Sie die Werte von k so, dass das zugehörige Dreieck ABkC bei Bk einen rechten Winkel hat. (Teilergebnis: k = 3)

2.0

Für folgende Berechnungen gelte k = 3.

5

2.1

Berechnen Sie die Länge der Vektoren AB3 und CB3 und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AB3C.

2

2.2

Das Dreieck AB3C wird zum Rechteck AB3CD ergänzt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts D.

3.0

Die Punkte A und C legen eine Gerade h fest.

2

3.1

Geben Sie die Gleichung der Geraden h an.

5

3.2

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

3

3.3

Bestimmen Sie den Winkel v zwischen den Richtungsvektoren der Geraden g und h.

2

3.4

Die Punkte A, B3 und C legen die Ebene e fest. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform.

3

3.5

Überprüfen Sie, ob der Koordinatenursprung in der Ebene e liegt.

4.0

Das Viereck AB3CD mit D (5 | –2 | 2) ist die Grundfläche der Viereckspyramide mit der Spitze E (8 | 9 | –8).

4.1

Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide.

5

56

() ()

___›

___›

___›

___›

Lösung Mathematik Themenbereich – Vektorrechnung und Analytische Geometrie Feststellungsprüfung I /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.1

Vektor zwischen zwei Punkten Soll der Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt werden, so werden die Ortsvektoren zu den beiden Punkten subtrahiert. Dabei gilt für den zu erstellenden Vektor: „Spitze“ minus „Fuß“.

( )( )

( )()

0– 2 –2 ___ 0–3 –3 __› __› › ABk = bk – a = 6 – (–2) = 8 ; CBk = bk – c = 6 – 6 = 0 k– 5 k–5 k–0 k ___›

1.2

__›

__›

Zueinander senkrechte Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. ___›

___›

___›

___›

ABk senkrecht CBk ⇔ ABk ∘ CBk = 0

( )()

–2 –3 ∘ 8 0 =0 k k–5

–2 · (–3) + 8 · 0 + (k – 5) · k = 0 k2 – 5k + 6 = 0 ____________

k1/2

5 ± √25 – 4 · 1 · 6 5 ± 1 = ________________ = _____ ; k1 = 3; k2 = 2

2 2 ___ ___ Für k = 2 oder k = 3 stehen im Dreieck ABC die Vektoren und somit die Seiten AB und BC senkrecht aufeinander.

2.1

Länge von Vektoren Soll die Länge von Vektoren berechnet werden, so ist der Betrag des Vektors zu berechnen. –2 _______________ ___› __________ ___ __ | AB3 | = 8 = √(–2)2 + 82 + (–2)2 = √4 + 64 + 4 = √72 = 6 √2 –2 –3 _____________ ___› _________ ___ __ | CB3 | = 0 = √(–3)2 + 02 + 32 = √9 + 0 + 9 = √18 = 3 √2 3

|( )| |( )|

Dreiecksfläche 1·g·h Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe 1.2: k = 3) gilt: A = __ 2 ___› ___› __ ___ ___ __ 1 · | AB | · | CB | = __ 1 · √72 · √18 = __ 1 · 6 √ 2 · 3 √ 2 = 18 FE ⇒ A = __ 3 3 2 2 2

57

2

2.2

Vektoraddition Soll ein Dreieck ABC __› zu einem Viereck ABCD erweitert werden, so zeigt zu diesem Punkt D der Ortsvektor d . Dieser kann durch Vektoraddition erstellt werden. 2 3 5 ____› ___› ____› ____› OD = OA + B3C ; OD = –2 + 0 = –2 ; D (5 | –2 | 2) 5 2 –3

()()()

3.1

Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von A nach C als Richtungsvektor verwendet. 2 3 – 2 __ 2 1 ___› __ __› __› __› __› __› __› › › h: x = a + m AC ; x = a + m ( c – a ); x = –2 + m 6 – (–2) ; x = –2 + m 8 ; m ∊ R 5 0– 5 5 –5

() ( ) () ()

3.2

Geraden im R3 Geraden im Raum können entweder parallel oder identisch sein, sich schneiden oder windschief zueinander sein. g ∥ h? Wenn zwei Geraden zueinander parallel sind, so müssen die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig (parallel) sein. 1 1 g parallel h? ⇔ s 9 = 8 –1 –5 aus I: s=1 aus III: s = 5 Aus I und II folgt: g und h sind linear unabhängig (nicht parallel).

()()

g∩h Werden die Gerade __ g und__die Gerade h auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man › › die Geraden gleich: xg = xh 4 1 2 1 I 4+ l= 2+ m I 2 = –l + m | · (–9)  + 8m   16 + l 9 = –2 + m 8 ⇒ ∧ II 16 + 9l  = –2 + 8m   ⇒ ∧ II 18 = –9l  –1 –5 III 3 – l = 5 – 5m III –2 = l – 5m 3 5

() ()() ()

I –18 = 9l + –9m I + II: 0 = –m ⇒ m = 0  + 8m     ⇒ l  = –2 II 18 = –9l  in II: 18 = –9l  III –2 = l – 5m 2 1 2 __› m = 0 in h: x s = –2 + 0 8 = –2 ; S (2 | –2 | 5) 5 5 –5

() ()()

58

3.3

__› __› Winkel zwischen zwei Vektoren ug ∘ uh _________ Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos v = __› __› | ug | · | uh | 1 1 9 ∘ 8 1 · 1 + 9 · 8 + _____________ (–1) · (–5) –1 –5 _____________ ___78 ___ ⇒ v = 25,51° cos v = ___________ = ___ = _________ 2 2 2 1 1 √1 + 9 + (–1) · √12 + 82 + (–5)2 √83 · √90 9 · 8 –1 –5

()() |( )| |( )|

3.4

Ebene durch drei Punkte Wird die Gleichung einer Ebene Punkte gesucht, so wird der Punkt A als Auf___drei ___› durch › punkt und die Vektoren von AB und AC als Richtungsvektoren verwendet. Ebenengleichung Parameterform ___› in___ __› __› › e: x = a + m AC + s AB3 2 1 –1 __› __› __› __› __› = a + m ( c – a ) + s ( b3 – a ) = –2 + m 8 + s 4 5 –5 –1

() () ()

Ebenengleichung in Normalenform __› __› __› __› Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der__Normalenvektor n der Ebene und › n ist das Kreuzprodukt (Vektorproein Punkt der Ebene erforderlich. Der___ Normalenvektor ___› › dukt) der beiden Richtungsvektoren AC und AB der Ebene e. ___›

__›

___›

n = AC × AB =

__›

__›

__›

()()( ( )( )()

)(

)()

1 –1 8 · (–1) – (–5) · 4 –8 – (–20) 12 8 × 4 = –5 · (–1) – 1 · (–1) = 5 – (–1) = 6 1 · 4 – 8 · (–1) 4 – (–8) –5 –1 12

e: n ∘ ( x – a ) = 0 ⇒

12 x1 2 6 ∘ x2 – –2 = 0 5 12 x3

12x1 + 6x2 + 12x3 – (12 · 2 + 6 · (–2) +12 · 5) = 0 12x1 + 6x2 + 12x3 – (24 – 12 + 60) = 0 12x1 + 6x2 + 12x3 – 72 = 0 2x1 + x2 + 2x3 – 12 = 0

| ausmultiplizieren

| ausrechnen | zusammenfassen |:6 (Koordinatendarstellung der Normalenform)

59

2

3.5

Punkt O Element der Ebene e? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Ebene. 0 2 1 –1 0 = –2 + m 8 + s 4 0 5 –5 –1

() ( ) ( ) ( ) I 0= 2+ m – s II 0 = –2 + 8m  + 4s   III 0 = 5 – 5m – s

5 1 ; in III: s = __ I – III: 0 = –3 + 6m ⇒ m = __ 2 2 5 1 + 4 · __ Probe in II: 0 = –2 + 8 · __ 2 2 0 = 12 ⇒ O ∉ e Eine einfachere Möglichkeit der Prüfung bietet die Ebene in Normalenform. O (0 | 0 | 0) in e: 2 · 0 + 0 + 2 · 0 – 12 = 0; –12 = 0 (falsch) ⇒ O ∉ e

4.1

Volumen einer Pyramide Für die Volumenmaßzahl einer Pyramide mit einer viereckigen Grundfläche gilt (siehe Formelsammlung): __› __› › 1 | ( __ a × b) ∘ c | V = __ 3 __› __› Bezogen auf unsere Aufgabe gilt für die Vektoren a , b __› c: und __› ___› __› ___› __› ___› a = AB ; b = AD und c = AE ___›

___›

E

D C A

___›

1 | ( AB × AD ) ∘ AE | B ⇒ V = __ 3 –1 ___ __ __ 5–2 3 8–2 6 ___› ___› __› __› › › › mit AB = 4 ; AD = d – a = –2 – (–2) = 0 und AE = e – a = 9 – (–2) = 11 2–5 –1 –3 –8 – 5 –13 ___›

() ( ()()( |( ) ( )| ___›

AB × AD =

1 V = __ 3

)() )(

(

)( )

–1 3 4 · (–3) – (–1) · 0 –12 – 0 –12 4 × 0 = (–1) · 3 – (–1) · (–3) = –3 – 3 = –6 –1 –3 –1 · 0 – 4 · 3 0 – 12 –12

–12 6 1 | –12 · 6 + (–6) · 11 + (–12) · (–13) | = __ 1 | –72 – 66 + 156 | = __ 1 | 18 | = 6 –6 ∘ 11 = __ 3 3 3 –12 –13

Die Viereckspyramide besitzt ein Volumen von 6 Volumeneinheiten.

60

)( )

Mathematik Feststellungsprüfung I Algebra BE 1.0

Gegeben sind die Geraden g1 und gm mit: 3·x–2 g1 : y = __ 2 gm : y = m · x – 1

1

1.1

Welchen Wert muss m annehmen, damit gm parallel g1 gilt?

2

1.2

Bestimmen Sie m so, dass der Punkt P (3 | –2) Element der Geraden gm ist.

3

1.3

5. Für folgende Berechnung gelte m = – __ 2 Berechnen Sie g1 ∩ g– __5 und geben Sie den Schnittpunkt an.

3

2

2.0

Gegeben sind die Parabeln p1 und p2 mit: 1 x2 + b · x + 1 mit b ∊ R p1: y = – __ 8 p2: y = x2 + 5 · x + 1

3

2.1

Betrachten Sie p1. Für welche Werte von b gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-Achse?

4

2.2

1 · x + 1. 1 und somit y = – __ 1 x2 + __ Für weitere Betrachtungen gelte b = __ 2 8 2 Berechnen Sie die Schnittpunkte von p1 mit den Koordinatenachsen.

4

2.3

Berechnen Sie p1 ∩ p2 und geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte an.

3

2.4

Berechnen Sie den Scheitel S1 der Parabel p1 und den Scheitel S2 der Parabel p2.

4

2.5

Erstellen Sie die Gleichung der Geraden g3, die durch die Scheitelpunkte S1 und S2 der Parabeln p1 und p2 geht.

61

Analytische Geometrie 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (3 | 6 | 0), 3 1 __› Bk (0 | 6 | k) mit k ∊ R und C (2 | –2 | 5) sowie die Gerade g: x = 7 + l 9 mit l ∊ R gegeben. 4 –1

2

1.1

Berechnen Sie die Vektoren ABk und CBk .

3

1.2

Zeigen Sie, dass es keinen Wert für k gibt, für den die Vektoren ABk und CBk linear abhängig (parallel) sind.

3

1.3

Bestimmen Sie die Werte von k so, dass das zugehörige Dreieck ABkC bei Bk einen rechten Winkel hat. (Teilergebnis: k = 3)

2.0

Für folgende Berechnungen gelte k = 3.

4

2.1

Berechnen Sie die Länge der Vektoren AB3 und CB3 und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AB3C.

2

2.2

Das Dreieck AB3C wird zum Rechteck AB3CD erweitert. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts D.

3.0

Die Punkte A und C legen die Gerade h fest.

2

3.1

Geben Sie die Gleichung der Geraden h an.

5

3.2

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h und geben Sie, falls vorhanden, den Schnittpunkt S der beiden Geraden an.

4

3.3

Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden g und h.

4.0

Die Punkte A, B3 und C legen die Ebene e fest.

4

4.1

Geben Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform an.

3

4.2

Die Punkte A, B3 und C sind die Eckpunkte des Dreiecks AB3C. Berechnen Sie die Maßzahl der Dreiecksfläche.

3

4.3

Das Dreieck AB3C bildet die Grundfläche einer Dreieckspyramide mit der Spitze im Koordinatenursprung O (0 | 0 | 0). Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide.

62

62

() ( )

___›

___›

___›

___›

___›

___›

Lösung Mathematik Feststellungsprüfung I Algebra 1.1

Parallele Geraden Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung m haben. 3 ; g : y = __ 3·x–1 gm ∥ g1 ⇒ m = __ m 2 2

1.2

Gerade durch Punkt Alle Geraden gm: y = m · x – 1 schneiden die y-Achse bei y = –1. Um aus dem Geradenbüschel diejenige zu bestimmen, die durch den Punkt P (3 | –2) geht, werden die Koordinaten des Punkts P in die Funktionsgleichung eingesetzt. –2 = m · 3 – 1 | + 1 –1 = 3m | :3 1 x – 1 geht durch den Punkt P. 1 ⇒ Die Gerade g __1 : y = – __ m = – __ – 3 3 3

1.3

Schnittpunkt von Geraden Um Geraden auf gemeinsame Punkte zu untersuchen, wird die Schnittmenge der Geraden gebildet. g1 ∩ g– __5 2

y1 = y– __5 2

6

3

y

5 4 3 2 1

3 · x – 2 = – __ 5 · x – 1 | + __ 5·x+2 __ 0 1 –5 –4 –3 –2 –1 2 2 2 –1 4x = 1 | :4 –2 1 __ x= –3 4 –4 Die Geraden schneiden sich an der Stelle –5 1. x = __ 4 1 in g oder g __5 eingesetzt. Um den y-Wert zu errechnen, wird x = __ 1 – 4 2 3 3 3 16 13 1 1 __ __ __ __ __ ___ ___ x = in g1 : y = · – 2 = – 2 = – =– 4 2 2 8 8 8 8 13 1 __ ___ – ⇒S 4 8

x 2

3

4

5

6

( | )

63

2.1

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellenberechnung) Zwei Schnittpunkte mit der x-Achse liegen vor, wenn für den Wert der Diskriminante D = b2 – 4ac > 0 gilt. 1 ·1 > 0 ⇒ b2 – 4 · – __ 8 1 > 0 ist immer erfüllt, da b2 immer positiv und __ 1 auch positiv ist. b2 + __ 2 2 ⇒ Für alle b ∊ R gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.

( )

2.2

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ y (0) 1·0+1=1 1 02 + __ y (0) = – __ 8 2 Sy (0 | 1) Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ y = 0 1 x2 + __ 1·x+1 0 = – __ 8 2_______________

√( )

______

( )

√

__

√

1 2 – 4 · – __ 1 ·1 1 ± __ 3 1 + __ 1 ± __ 1 – __ 1 ± __ – __ – __ 2 2 8 2 4 2 ________ 2 4 ______________________ ____________ x1/2 = = = 1 1 1 – __ – __ 2 · – __ 4 4 8 __ __ √3 2 √ 3 ; x2 = 2 – 2__ ⇒ x1 = 2 + __ N1 (2 + 2 √ 3 | 0); N2 (2 – 2 √3 | 0)

2.3

( )

Schnittpunkte von Graphen Soll die Schnittmenge (gemeinsame Punkte) zweier Graphen bestimmt werden, so werden die y-Werte der Funktionsgleichungen gleichgesetzt. p1 ∩ p2 ⇒ y1 = y2 1 · x + 1 = x2 + 5 · x + 1 1 x2 + __ – __ 8 2 9 x2 + __ 9 x = x __ 9 x + __ 9 0 = __ 8 2 8 2 Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. ⇒ x1 = 0; x2 = –4 Um die y-Werte der Schnittpunkte zu errechnen, werden die x-Werte in die Funktionsgleichung von p1 oder p2 eingesetzt. ⇒ S1 (0 | 1); S2 (–4 | –3)

(

64

)

2.4

Scheitelpunkt einer Parabel b berechnet Die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel kann mit der Formel xs = – ___ 2a werden. Die y-Koordinate wird errechnet, indem man den errechneten x-Wert in die Funktionsgleichung der Parabel einsetzt. 1 1 __ __ b 2 ___ _______ ___ =– =– 2 =2 p1: xs = – 2a 1 1 – __ 2 · – __ 4 8

( )

(| )

3 3 ; S 2 __ 1 22 + __ 1 · 2 + 1 = __ ys = – __ 1 8 2 2 2 b = – _____ 5 = – __ 5 = –2,5 p2: xs = – ___ 2a 2·1 2 ys = (–2,5)2 + 5 · (–2,5) + 1 = –5,25;

2.5

S2 (–2,5 | –5,25)

Gerade durch zwei Punkte Um die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte erstellen zu können, werden die Punkte in die Gleichung y = m · x + b eingesetzt. 1,5 = m · 2 + b S1 (2 | 1,5) in I: S2 (–2,5 | –5,25) in II: –5,25 = m · (–2,5) + b I + (–1) · II m = 1,5 in I

6,75 = 4,5 m ⇒ m = 1,5 1,5 = 1,5 · 2 + b ⇒ b = –1,5 ⇒ y = 1,5 · x – 1,5

Zum besseren Verständnis: 6

y

5 4 3 2 1 0 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 2

3

4

5

6

–2 –3 –4 –5

65

3

Analytische Geometrie 1.1

Vektor zwischen zwei Punkten Soll der Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt werden, so werden die Ortsvektoren zu den beiden Punkten subtrahiert. Dabei gilt für den zu erstellenden Vektor: „Spitze“ minus „Fuß“. 0 3 –3 0 2 –2 ____› __› __› ____› __› __› ABk = bk – a = 6 – 6 = 0 ; CBk = bk – c = 6 – –2 = 8 k 0 k k 5 k–5

() () ( )

1.2

() ( ) ( )

Linear unabhängige Vektoren Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der eine nicht als Vielfaches des anderen darstellen lässt. –3 –2 ___› ____› ABk = l CBk ; 0 = l 8 k k–5 3 I –3 = –2l ⇒ l = __ 2 II 0 = 8l ⇒l=0 Aus I und II folgt, dass die Vektoren nicht linear abhängig sind.

() ( )

1.3

Zueinander senkrechte Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. ____›

____›

____›

____›

ABk senkrecht CBk ⇔ ABk ∘ CBk = 0

()( )

–3 –2 0 ∘ 8 =0 k k–5

–3 · (–2) + 0 · 8 + k · (k – 5) = 0 k2 – 5k + 6 = 0 ____________

5 ± √ 25 – 4 · 1 · 6 5 ± 1 k1/2 = ________________ = _____ 2 2 5 + 1 5 – 1 _____ _____ k1 = = 3 ; k2 = =2 2 2 ___ ___ Für k = 2 oder k = 3 stehen im Dreieck ABC die Vektoren und somit die Seiten AB und BC senkrecht aufeinander.

66

2.1

Länge von Vektoren Soll die Länge von Vektoren berechnet werden, so ist der Betrag des Vektors zu berechnen. ___›

| AB3 | = ___›

| CB3 | =

|( )| |( )|

–3 _____________ ___ __ 0 = √ (–3)2 + 02 + 32 = √18 = 3 √2 3 –2 _______________ ___ __ 8 = √ (–2)2 + 82 + (–2)2 = √72 = 6 √2 –2

Dreiecksfläche 1·g·h Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe 1.3: k = 3) gilt: A = __ 2 ___› ___› ___ ___ 1 · | AB | · | CB | = __ 1 · √ 18 · √72 = 18 FE ⇒ A = __ 3 3 2 2 2.2

Vektoraddition Soll ein Dreieck ABC __› zu einem Viereck ABCD erweitert werden, so zeigt zu diesem Punkt D der Ortsvektor d . Dieser kann durch Vektoraddition erstellt werden. ____›

___›

____›

OD = OA + B3C

() ( ) ( )

3 2 5 OD = 6 + –8 = –2 0 2 2 ____›

D (5; –2; 2)

3.1

Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden ___› durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von AC als Richtungsvektor verwendet. __›

__›

___›

h: x = a + __ m AC__ __› __› › › x = a + m (c – a ) 3 2–3 __› x = 6 + m –2 – 6 0 5–0 3 –1 __› x = 6 + m –8 ; m ∊ R 0 5

() ( ) () ( )

67

3

3.2

Geraden im R3 Geraden im Raum können entweder parallel oder identisch sein, sich schneiden oder windschief zueinander sein. g ∥ h? Wenn zwei Geraden zueinander parallel sind, so müssen die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig (parallel) sein. 1 –1 g parallel h? ⇔ s 9 = –8 5 –1

()()

I s = –1 III s = –5 Aus I und III folgt: g und h sind linear unabhängig (nicht parallel). g∩h Werden die Gerade __ g und__die Gerade h auf gemeinsame Punkte überprüft, so setzt man › › die Geraden gleich: xg = xh

() ( ) () ( )

3 1 3 –1 I 3+ l=3 – m I 0= l+ m 7 + l 9 = 6 + m –8 ⇒ ∧ II 7 + 9l  = 6 – 8m   ⇒ ∧ II –1 = 9l  + 8m   4 0 5 –1 III 4 – l = 0 + 5m III 4 = l + 5m

I 0 = –l – m II –1 = 9l  + 8m   III 4 = l + 5m

⇒m=1 I + III: 4 = 4m   in I: 0 = –l – 1 ⇒ l = –1 Probe in II: –1 = 9 · (–1) + 8 wahr

7

| · (–1)

⇒ Schnittpunkt

() ( ) ( )

3 –1 2 __› m = 1 in h: xs = 6 + 1 · –8 = –2 0 5 5 S (2 | –2 | 5)

3.3

__› __› Winkel zwischen zwei Vektoren ug ∘ uh _________ Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: cos v = __› __› u | g | · | uh | 1 –1 9 ∘ –8 1 · (–1) + 9 · (–8) + (–1) · 5 –1 5 ___________ _____________ _______________ = _________ ___–78 ___ ≈ 0,902 = ____ cos v = 1 –1 √12 + 92 + (–1)2 · √(–1)2 + (–8)2 + 52 √83 · √90 9 · –8 5 –1

| | ()() |( )| |( )|

|

⇒ v = arccos (0,902) = 25,51°

68

| |

|

4.1

Ebene durch drei Punkte Ebenengleichung in Parameterform Wird die Gleichung einer Ebene Punkte gesucht, so wird der Punkt A als Auf___drei ___› durch › punkt und die Vektoren von AB und AC als Richtungsvektoren verwendet.

() ( ) ( )

3 –1 –3 ___› ___› __› __› __› __› __› __› __› e: x = a + m AC + s AB3 = a + m ( c – a ) + s ( b3 – a ) = 6 + m –8 + s 0 ; m, s ∊ R 0 5 3 Ebenengleichung in Normalenform __› __› __› __› n der Ebene und Für die Ebene in Normalenform n ∘ ( x – a ) = 0 ist der Normalenvektor __› ein Punkt der Ebene erforderlich. Der Normalenvektor n __ist das Kreuzprodukt (Vektor› produkt) der beiden Richtungsvektoren der Ebene e. Für a werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt A verwendet.

()()( ( ) ( ) ()

)(

)( )

–1 –3 –8 · 3 – 5 · 0 –24 – 0 –24 ___› ____› n = AC × AB3 = –8 × 0 = 5 · (–3) – (–1) · 3 = –15 – (–3) = –12 5 3 0 – 24 –1 · 0 – (–8) · (–3) –24

__›

–24 x1 3 __› __› __› e: n ∘ ( x – a ) = 0 ⇒ –12 ∘ x2 – 6 = 0 0 –24 x3

| ausmultiplizieren

–24x1 – 12x2 – 24x3 – (–24 · 3 – 12 · 6 – 24 · 0) = 0 –24x1 – 12x2 – 24x3 – (–72 – 72 – 0) = 0 –24x1 – 12x2 – 24x3 + 144 = 0 2x1 + x2 + 2x3 – 12 = 0

4.2

3

| zusammenfassen | : (–12)

Dreiecksfläche Die Fläche eines Dreiecks kann mit folgender Formel berechnet werden:

|( )|

–24 ____________________ ___ ____ 1 | AC› × AB › | = __ 1 –12 = __ 1 (–24)2 + (–12)2 + (–24)2 = __ 1 √_____ 1 · 36 = 18 1296 = __ AABC = __ √ 3 2 2 2 2 2 –24 Die Maßzahl der Fläche ist 18 (Flächeneinheiten).

4.3

Volumen einer Pyramide Das Volumen einer Dreieckspyramide kann mit folgender Formel berechnet werden: –3 ___ ____ ___ ___ __ › 1 | A0› ∘ ( AC› × AB ›) | mit A0› = 0› – __ a = V = __ –6 3 6 0 –3 –24 1 –6 ∘ –12 = __ 1 | (–3) · (–24) + (–6) · (–12) + 0 · (–24) | = __ 1 | 72 + 72 + 0 | = __ 1 · 144 = 24 V = __ 6 6 6 6 0 –24

|( ) ( )|

()

Die Maßzahl des Volumens beträgt 24 (Volumeneinheiten).

69

Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1

70

1.0

Eine in R definierte Funktion f hat die 2. Ableitung f0(x) = –x + 2. Der Graph G der 5 und hat dort die Steigung m = __ 3. Funktion f geht durch den Punkt P 1 __ 6 2

1.1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f (x) der Funktion f. 1 x3 + x2) (Ergebnis: f (x) = – __ 6

1.2

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen G mit den Koordinatenachsen.

1.3

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen der Graph G der Funktion f die Steigung m = –16 hat.

1.4

Bestimmen Sie die relativen Extremwerte des Graphen G der Funktion f nach Lage und Art und geben Sie deren Koordinaten an.

1.5

Ermitteln Sie den Wendepunkt des Graphen G der Funktion f.

1.6

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Wendetangente t. 4) (Ergebnis: t: y = 2x – __ 3

1.7

Geben Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion t–1 zur Wendetangente t an.

1.8

Zeichnen Sie in ein kartesisches Koordinatensystem den Graphen G der Funktion f im Bereich –2 ≤ x ≤ 6. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

1.9.0

Der Graph G, die Wendetangente t und die y-Achse schließen im I. und IV. Quadranten ein Flächenstück ein.

1.9.1

Zeichnen Sie die Wendetangente t in das in 1.8 angelegte Koordinatensystem ein und kennzeichnen Sie die Fläche.

1.9.2

Berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche.

(| )

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.1

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

∫

∫

Es ist zu zeigen: f9(x) = f0 (x) dx und f (x) = f9(x) dx Das bedeutet, es muss das allgemeine Integral gebildet werden. 1 x2 + 2 x + c f9(x) = (–x + 2) dx = – __ 2 1 x2 + 2 x + c dx = – __ 1 · __ 1 x2 + cx + d = – __ 1 x3 + x2 + cx + d 1 x3 + 2 · __ f (x) = – __ 2 2 3 2 6

∫ ∫(

)

Erstellen einer bestimmten Funktionsgleichung aus einer Funktionenschar Um die Variablen c und d bestimmen zu können, müssen die Bedingungen aus der Angabe verwendet werden. 5 liegt auf dem Graphen ⇒ f (1) = __ 5 – Punkt P 1 __ 6 6 5 ⇒ f9(1) = __ 3 3 des Graphen im Punkt P 1 __ – Steigung m = __ 2 6 2 3⇒c=0 1 12 + 2 · 1 + 1 + c = __ f9(1) = – __ 2 2 5 ⇒d=0 1 13 + 12 + 0 · 1 + d = __ f (1) = – __ 6 6 1 x3 + x2 ⇒ f (x) = – __ 6

(| )

(| )

1.2

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ f (0) 1 03 + 02 = 0 ⇒ Sy (0 | 0) f (0) = – __ 6 Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ f (x) = 0 1 x3 + x2 = x2 · – __ 1 x + 1 = 0 ⇒ x = 0; x = 6 f (x) = – __ 1/2 3 6 6 N1/2 (0 | 0); N3 (6 | 0)

(

1.3

)

Steigung des Graphen Die Steigung eines Graphen kann mit der 1. Ableitung der Funktion bestimmt werden. Für die Stellen mit der Steigung m = –16 gilt: f9(x) = –16 1 x2 + 2 x = –16 ⇒ – __ 1 x2 + 2 x + 16 = 0 1 · 3 x2 + 2 x = – __ f9(x) = – __ 6 _______________ 2 2 1 · 16 ______ ___ –2 ± 22 – 4 · – __ 2 –2 ± √4 + 32 –2 ± √ 36 –2 ± 6 _____________________ x1/2 = ⇒ x1 = –4; x2 = 8 = ____________ = _________ = ______ –1 –1 –1 1 2 · – __ 2

√

( ) ( )

71

4

1.4

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: f9(x) = 0 Art: f0 (x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0 (x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 1 x2 + 2 x = x – __ 1x + 2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 4 Lage: f9(x) = – __ 1 2 2 2 Art: f0 (x) = –x + 2 f0 (0) = –0 + 2 = 2; 2 > 0 ⇒ Minimum T (0 | f (0)) f0 (4) = –4 + 2 = –2; –2 < 0 ⇒ Maximum H (4 | f (4)) 1 03 + 02 = 0; Koordinaten: f (0) = – __ T (0 | 0) 6 16 ; 16 1 43 + 42 = ___ f (4) = – __ H 4 ___ 6 3 3

(

)

(| )

1.5

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: f0 (x) = 0 ∧ f- (x0) ≠ 0 f0 (x) = –x + 2 f0 (x) = 0 ⇒ –x + 2 = 0; x = 2 f- (x) = –1 f- (2) = –1 ≠ 0 ⇒ W (2 | f (2)) 8 ; W 2 __ 8 1 23 + 22 = __ f (2) = – __ 6 3 3

(| )

1.6

Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen im Punkt P (x0 | y0) berührt. Die Funktionsgleichung der Geraden lautet y = m · x + b. Für die Steigung m gilt m = f9(x0); b kann berechnet werden, indem man den Punkt P (x0 | yo) in die Geradengleichung einsetzt. t: y = m · x + b; mit m = f9 (2) und W ∊ t 8 in Gleichung einsetzen 1 · 22 + 2 · 2 = 2 ⇒ y = 2x + b | W 2 __ m = f9 (2) = – __ 2 3 8 = 2 · 2 + b ⇒ b = – __ 4 4 __ ⇒ t: y = 2x – __ 3 3 3

(| )

1.7

72

Umkehrfunktion Die Gleichung der Umkehrfunktion t–1 wird gebildet, indem man in der Gleichung der Funktion t die x- und y-Werte vertauscht und dann die Gleichung nach y auflöst. 4 | x- und y-Werte vertauschen 4 | auflösen nach y t: y = 2x – __ ⇒ x = 2y – __ 3 3 1 x + __ 2 t–1: y = __ 2 3

1.8 1.9.1

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon ermittelten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. ⇒ f (–2) = 5,33; f (6) = 0; H (4 | 5,33); W (2 | 2,66); T (0 | 0) y

H

5 4 3

W

2 1 T –2

–1

0

x 1

2

3

4

5

6

4

–1 –2

1.9.2

Fläche zwischen Graphen Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = 0, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 2. Die Fläche zwischen den beiden Graphen erhält man durch Integration der Differenzfunk1 x3 + x2 und y = 2x – __ 4. tion der Funktionen f (x) = – __ 6 3 2 2 2 1 x3 + x2 – 2x – __ 4 dx = – __ 1 x3 + x2 – 2x + __ 4 dx A = (f (x) – y) dx = – __ 6 3 6 3

∫ 0

[

∫( (

) (

0

))

∫(

)

0

]

1 x4 + __ 1 x3 – x2 + __ 4x 2 = – ___ 24 3 3 0 1 1 4 1 (0)4 + __ 1 (0)3 – 02 + __ 4 · 0 = __ 2 – 0 = __ 2 4 3 2 ___ __ __ = – 2 + 2 – 2 + · 2 – – ___ 24 3 3 24 4 3 3 3

(

) (

)

73

Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2

74

1.0

1 x2 + 5x – 8; D = R und die GleiGegeben sind die reelle Funktion p mit p: x ↦ – __ 2 chung der reellen Funktionen gb : y = 2x + b mit x, b ∊ R. Der Graph der Funktion p wird mit P, die Graphen der Funktionen gb werden mit Gb bezeichnet.

1.1

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen P mit den Koordinatenachsen.

1.2

Bestimmen Sie den Scheitel S des Graphen P der Parabel p.

1.3

Zeichnen Sie in ein kartesisches Koordinatensystem den Graphen P der Funktion p im Bereich 1 ≤ x ≤ 9. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

1.4

Für welchen Wert von b ∊ R ist der Graph Gb Tangente t an den Graphen P?

1.5

Berechnen Sie den Berührpunkt B von Tangente t und dem Graphen P.

1.6

Zeichnen Sie die Tangente in das in 1.3 angelegte Koordinatensystem.

1.7.0

Die Gerade Hk mit der Gleichung x = k mit k ∊ R und 2 ≤ k ≤ 5 schneidet die x-Achse im Punkt Q und den Graphen P der Parabel p im Punkt R. Eine waagrechte Gerade durch den Punkt R schneidet den Graphen P der Parabel p in einem weiteren Punkt T. ___ ___ Durch die Strecken QR und RT sind die Seiten eines Rechtecks festgelegt.

1.7.1

Zeichnen Sie das Rechteck für den Sonderfall k = 3 in das in 1.3 angelegte Koordinatensystem.

1.7.2

Bestimmen Sie die Fläche A(k) des Rechtecks in Abhängigkeit von k. (Teilergebnis: A (k) = k3 – 15k2 + 66k – 80)

1.7.3

Bestimmen Sie den Wert von k so, dass die Rechtecksfläche A (k) ihren größten Wert annimmt, und berechnen Sie deren Maßzahl.

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.1

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. 1 02 + 5 · 0 – 8 = –8 ⇒ S (0 | –8) Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ p( 0) = – __ y 2 1 2 Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ p (x) = 0; – __ x + 5x – 8 = 0 ________________ 2 1 · (–8) _______ __ –5 ± 52 – 4 · – __ 2 –5 ± √ 25 – 16 –5 ± √9 –5 ± 3 x1/2 = ______________________ = _____________ = ________ = ______ ⇒ x1 = 2; x2 = 8 –1 –1 –1 1 2 · – __ 2 N1 (2 | 0); N2 (8 | 0)

√

1.2

( ) ( )

Scheitelpunkt der Parabel Der Scheitel einer Parabel ist ein relativer Extremwert. Für die x-Koordinate xs des Scheitels gilt: p9 (xs) = 0; für die y-Koordinate gilt: ys = p (xs) p9 (x) = –x + 5 9 1 · 52 + 5 · 5 – 8 = __ –x + 5 = 0 ⇒ x = 5; p (5) = – __ 2 2 9 S 5 __ 2

(| )

1.3 1.6 1.7.1

Graph der Funktion y 5 4 3

T

R

2 1 x

Q –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–1 (5 – k)

–2 –3

Hk

–4

75

4

1.4

Tangente an den Graphen Bei einer Tangente sind die Steigung der Geraden und die Steigung des Graphen gleich. Die Gerade Gb hat die Steigung m = 2. ⇒ mTangente = mParabel = 2 Die Steigung der Parabel erhält man über die 1. Ableitung p9 (x) der Funktion p. p9 (x) = –x + 5 p9 (x) = 2 ⇒ –x + 5 = 2 ⇒ x=3 5 ⇒ B 3 __ 5 1 · 32 + 5 · 3 – 8 = __ p (3) = – __ 2 2 2 5 = 2 · 3 + b ⇒ b = – __ 7 ⇒ t: y = 2x – __ 7 B ∊ t: __ 2 2 2

(| )

1.5

Berührpunkt 5 ⇒ B 3 __ 5 Für den Berührpunkt B gilt: B ∊ p und B ∊ t ⇒ p (3) = yt (3) = __ 2 2

1.6

Graph der Tangente Es werden zwei Punkte benötigt, um den Graphen einer Geraden zu zeichnen. 7 = – __ 7 7 ⇒ P 0 – __ P1: x = 0 ⇒ y = 2 · 0 – __ 1 2 2 2 5 ⇒ P = B 3 __ 5 P2: x = 3 ⇒ y = __ 2 2 2 Graph t siehe 1.3

(| )

(| )

(| )

1.7.2

Fläche eines Rechtecks ___ ___ Für die Fläche eines Rechtecks gilt: A = l · b = RT · QR ___

___

___

___ 1 k2 + 5k – 8 RT : 2 ≤ k ≤ 5 ⇒ l = RT = 2 · (5 – k); QR: p (k) – 0 ⇒ b = QR = – __ 2 1 k2 + 5k – 8 = (10 – 2k) · – __ 1 k2 + 5k – 8 = k3 – 15k2 + 66k – 80 A(k) = 2 · (5 – k) · – __ 2 2

(

1.7.3

)

(

)

Extremwertberechnung Soll die Funktion A (k) auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle k0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: A9 (k) = 0; A9 (k) = 3k2 – 30k + 66 = 0 ________________

____

2

x1/2 Art:

__

– (–30) ± √ (–30) – 4 · 3 · 66 30 ± √ 108 30 ± 6 √3 = _________________________ = __________ = _________ 2·3

6

6

7

__

3 x1 = 5 – √__ x2 = 5 + √ 3 ∉ Dl

A0 (k) = 6k __ – 30 __ __ __ A0 (5 – √3 ) = 6 (5 – √3 ) – 30 = 30 – 6 √ 3 – 30 = – 6 √3 < 0 ⇒ Maximum

Randextrema: k = 2: A (2) = 23 – 15 · 22 + 66 · 2 – 80 = 0 k = 5: A (5) = 53 – 15 · 52 + 66 · 5 – 80 = 0 __

__

__

__

Maximale Fläche: A (5 – √ 3 ) = (5 – √3 )3 – 15 · (5 – √ 3 )2 + 66 · (5 – √3 ) – 80 ≈ 10,4 (FE)

76

Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen 1 x3 + kx + 4 mit k ∊ R ∧ k < 0. fk (x) = ___ 32 Der Graph einer solchen Funktion fk in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Gk.

6

1.1

Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen Gk und ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente tk. (Ergebnis: tk (x) = kx + 4)

6

1.2

Die Wendetangente tk bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. 16 Bestimmen Sie k so, dass die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks ___ 3 3) beträgt. (Ergebnis: k = – __ 2

5

1.3

Das in Aufgabe 1.2 beschriebene Dreieck rotiert um die y-Achse. 3 ) die Maßzahl des Volumens des Rotationskörpers auf Berechnen Sie (für k = – __ 2 zwei Nachkommastellen gerundet.

1.4.0

Die Funktion f– __3 wird mit f, ihr Graph mit G bezeichnet. Die zur Funktion f 2 3x + 4 1 x3 – __ gehörende Funktionsgleichung lautet: f (x) = ___ 32 2

7

1.4.1

Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der relativen Extrempunkte des Graphen G. (Teilergebnis: E (4 | 0))

6

1.4.2

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.

8

1.4.3

3 x + 4 im Bereich Zeichnen Sie die Wendetangente mit der Gleichung t (x) = – __ 2 –4 ≤ x ≤ 4 und den Graphen G im Bereich –9 ≤ x ≤ 5 in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Erstellen Sie für die Funktion f eine geeignete Wertetabelle. (Maßstab auf beiden Koordinatenachsen: 1 LE = 1 cm)

7

1.4.4

Die Wendetangente, der Graph G und die x-Achse schließen im I. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts.

77

4

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.1

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: f0 (x) = 0 ∧ f- (x0) ≠ 0 Zur Berechnung des Wendepunkts müssen erst die entsprechenden Ableitungen gebildet werden. 3 x2 + k fk9 (x) = ___ 32 3 x fk0 (x) = ___ 16 3 f-k (x) = ___ 16 f0k (x) = 0 3 x=0 ⇒x=0 ___ 16 3 ≠ 0 ⇒ Wendepunkt W (0 | f (0)) f- (0) = ___ 16 1 · 03 + k · 0 + 4 = 4; W (0 | 4) fk (0) = ___ 32 Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen im Punkt P (x0 | y0) berührt. Die Funktionsgleichung der Geraden lautet y = m · x + b. Für die Steigung m gilt m = f9 (x0); b kann berechnet werden, indem man den Punkt P (x0 | y0) in die Geradengleichung einsetzt. tk: yt = m · x + b; mit m = f9 (0) und W (0 | 4) ∊ tk 3 02 + k = k m = fk9 (0) = ___ 32 yt = k · x + b y = 4 und x = 0 in die Gleichung einsetzen 4=k·0+b 4=b tk: y = k · x + 4

1.2

Fläche eines Dreiecks 1·g·h Für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gilt: AAOB = __ 2 Schnittpunkt mit der x-Achse (Grundlinie g): y = 0 0=k·x+4 | –4 –4 = k · x | :k 4 0 4 ⇒ A – __ ⇒ x = – __ k k

( |)

78

Schnittpunkt mit der y-Achse (Höhe h): x = 0 y=k·0+4 y = 4 ⇒ B (0 | 4)

( )

8 1 · – __ 4 · 4 = – __ AAOB = __ 2 k k 16 AAOB = ___ 3 8 = ___ 16 ⇒ k = – __ 3 – __ 3 2 k 1.3

Rotationsvolumen Durch Rotation um die y-Achse entsteht ein Kegel. Für das Volumen eines Kegels 1·A ·h gilt: V = __ G 3 mit Grundfläche AG = r2 · π 8 (Schnittpunkt mit der x-Achse) und r = __ 3 sowie h = 4 (Schnittpunkt mit der y-Achse) 82·π·4 1 · __ V = __ 3 3 V = 29,79

y

4 3 2 1

( )

1.4.1

x –2

–1

0

1

2

3

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: Art:

f9(x) = 0 f0 (x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0 (x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt)

Lage:

f9 (x) = 0 3 x2 – __ 3 f9 (x) = ___ 32 2 3 x2 – __ 3=0 3 ___ | + __ 32 2 2 3 3 x2 = __ 32 ___ ___ | 32 2 3_ x2 = 16 | √ |x| = 4 ⇒ x1 = – 4; x2 = 4

79

4

Art:

1.4.2

6 x = ___ 3 x f0 (x) = ___ 32 16 3 (– 4) = – ___ 12 f0 (– 4) = ___ 16 16 f0 (– 4) < 0 ⇒ Maximum H (– 4 | f (– 4)); 3 · 4 = ___ 12 f0 (4) = ___ 16 16 f0 (4) > 0 ⇒ Minimum T (4 | f (4));

f (– 4) = 8 ⇒ H (– 4 | 8)

f (4) = 0

⇒ T (4 | 0)

Nullstellen Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ f (x) = 0 3x + 4 = 0 1 x3 – __ ___ 32 2 Ein Term 3. Grades kann durch Polynomdivision in einen Term mit einem linearen Faktor und einen Faktor mit einer Gleichung 2. Grades umgewandelt werden. Nullstellen: x1 = 4 (aus Aufgabe 1.4.1) 3 x + 4 : (x – 4) = ___ 1 x3 – __ 1 x2 + __ 1x – 1 ___ 32 2 32 8 1 x3 – __ 1 x2 – ___ 32 8 ____________ 3x + 4 1 x2 – __ __ 8 2 1 x2 – __ 1x – __ 8 2 ______________ –x + 4 – (–x + 4) ______________ 0 1 x2 + __ 1 x – 1 · (x – 4) = 0 ⇒ ___ 32 8

( (

)

)

(

)

(

)

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. 1 x2 + __ 1x – 1 = 0 ⇒ ___ 32 8 ________________

________

( ) √( )

√

___

√

1 ± __ 1 2 – 4 · ___ 1 · (–1) – __ 9 8 1 + ___ 1 ± ___ 1 ± ___ 3 1 ± __ – __ – __ – __ 8 8 32 8 64 64 _________ 8 64 _______ 8 8 _______________________ ______________ x2/3 = = = = 1 1 1 1 ___ ___ ___ 2 · ___ 32 16 16 16

3 3 1 + __ 1 – __ – __ – __ 8 8 8 8 _______ _______ ⇒ x2 = = 4; x3 = = –8 1 1 ___ ___ 16

N1 = N2 (4 | 0); N3 (– 8 | 0)

80

16

1.4.3

Graph der Funktion Für den Graphen der Wendetangente genügen zwei Punkte der Geraden: B (0 | 4) und C (1 | 2,5). Um den Graphen G der Funktion f zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon ermittelten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. H (–4 | 8); T (4 | 0); N (–8 | 0); W (0 | 4) x

–9

–7

–5,5

–2

1

2

5

f (x)

–5,28

3,78

7,05

6,75

2,53

1,25

0,41

9

H

y

8 7 6 5 4 W 3

4

2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

T 1

2

3

4

x 5

6

7

8

9

–2 –3 –4 –5

1.4.4

Fläche zwischen Graphen und der x-Achse Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Bei dieser Aufgabe wird von der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse von x = 0 bis x = 4 die Fläche des Dreiecks abgezogen. 4

∫

A = f (x) dx – A△ 0

4

=

1 x ∫( ___ 32

3

0

[

)

(

3 x + 4 dx – __ 8·4 1 · __ – __ 2 2 3

]

((

)

)

)

16 = ___ 16 = ___ 3 · __ 3 · __ 18 – ___ 16 = __ 1 · __ 1 · __ x4 – __ x2 + 4x 4 – ___ 44 – __ 42 + 4 · 4 – (0) – ___ 2 = ___ 32 4 2 2 3 32 4 2 2 3 3 3 3 0

81

Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 BE

82

1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen fk: x ↦ fk (x) , D (fk) = R, 1 (x3 – 3x2 – 3kx + 3k + 2) mit k ∊ R. fk (x) = __ 8 Der Graph einer solchen Funktion fk in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Gk.

5

1.1

Zeigen Sie, dass die Koordinaten des Wendepunkts W von Gk nicht vom Wert des Parameters k abhängen.

4

1.2

Ermitteln Sie diejenigen Werte von k, für die der Graph Gk keine relativen Extrempunkte besitzt.

3

1.3

Bestimmen Sie den Wert von k so, dass der Graph Gk bei x1 = –1 eine horizontale Tangente hat.

2.0

Im Folgenden sei k = 3. Die zur Funktion f3 gehörende Funktionsgleichung lautet: 1 (x3 – 3x2 – 9x + 11) f3 (x) = __ 8

5

2.1

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f3.

7

2.2

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t, die den Graphen G3 bei x2 = 0 berührt. Berechnen Sie die Koordinaten des weiteren Schnittpunkts der Tangente t mit dem Graphen G3. 1 (9x – 11)) (Mögliches Teilergebnis : t (x) = – __ 8

5

2.3

Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der relativen Extrempunkte des Graphen G3.

5

2.4

Zeichnen Sie die Tangente t und den Graphen G3 im Bereich –3 ≤ x ≤ 5 in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Verwenden Sie ein gesondertes DIN-A4-Blatt im Hochformat.

6

2.5

Der Graph G3 und die Tangente t begrenzen im Zeichenbereich ein abgeschlossenes Flächenstück. Kennzeichnen Sie diese Fläche in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1.2.4 und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts.

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 1.1

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: f0 (x) = 0 ∧ f- (x0) ≠ 0 Zur Berechnung des Wendepunkts müssen erst die entsprechenden Ableitungen gebildet werden. 3 (x2 – 2x – k) 1 (3x2 – 6x – 3k) = __ fk9 (x) = __ 8 8 3 (x – 1) f0k (x) = __ 4 3 f-k (x) = __ 4 f0k (x) = 0 ⇔ x – 1 = 0; x = 1 3 ≠ 0 ⇒ Wendepunkt W (1 | f (1)) f- (1) = __ 4 1 (13 - 3 · 12 – 3k · 1 + 3k + 2) = 0 fk (1) = __ 8 W (1 | 0) Damit ist gezeigt, dass die Koordinaten des Wendepunkts unabhängig von k sind.

1.2

Keine relativen Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist als Erstes die Lage der Extremwerte (an welcher Stelle x0) zu ermitteln. fk9 (x) = 0 ⇔ x2 – 2x – k = 0 Beim Lösen der quadratischen Gleichung (Anzahl der Stellen mit waagerechter Tangente) hängt die Anzahl der Lösungen von der Diskriminante D = b2 – 4a · c ab. Sollen keine relativen Extremwerte vorliegen, so muss der Wert der Diskriminante kleiner oder gleich null sein. D ≤ 0 ⇒ (–2)2 – 4 · 1 · (–k) ≤ 0 4+4·k≤0 k ≤ –1 Der Graph Gk hat keine relativen Extremwerte, wenn k ≤ –1 ist.

1.3

Horizontale Tangente Soll der Graph an der Stelle x1 = –1 eine horizontale Tangente haben, so muss an dieser Stelle die Steigung des Graphen (1. Ableitung) den Wert null haben. f9k (–1) = 0 3 ((–1)2 – 2 (–1) – k) = 0 __ 8 ⇒ 3 – k = 0; k=3 Für k = 3 hat der Graph an der Stelle x = –1 eine waagerechte Tangente und möglicherweise auch einen relativen Extremwert.

83

4

2.1

Nullstellen Berechnung der Nullstellen bedeutet, die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse zu berechnen. Schnittpunkte mit der x-Achse ⇒ f3 (x) = 0 f3 (x) = 0 x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0 In der Gleichung kommt ein allgemeines Glied (–11) vor und somit kann kein x ausgeklammert werden. Es muss durch Probieren mit den Werten x = ±1 bzw. x = ±2 eine Nullstelle gefunden werden. Erste Nullstelle: x1 = 1 Mithilfe der Polynomdivision kann die Gleichung 3. Grades in ein Produkt aus einem linearen Faktor und einem quadratischen Faktor zerlegt werden. (x3 – 3x2 – 9x + 11) : (x – 1) = x2 – 2x – 11 – (x3 – x2) ________ –2x2 – 9x + 11 –_______________ (–2x2 + 2x) –11x + 11 – (–11x + 11) ___________ 0 Nun können weitere Nullstellen berechnet werden. x2 – 2x – 11 = 0 _______________ 2

x2/3

___

______

______

__

– (–2) ± √(–2) – 4 · 1 (–11) 2 ± √4 + 44 4 ± √48 2 ± √ 16 · 3 2 ± 4 √ 3 = _______________________ = ___________ = ________ = __________ = ________

__ 2 · 1 __ ⇒ x2 = 1 + 2 √ 3 ; x3 = 1 – 2 √ 3 __

2

2

2

2

__

N1 (1 | 0); N2 (1 + 2 √ 3 | 0); N3 (1 – 2 √3 | 0)

2.2

Tangente an den Graphen Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen im Punkt P (x0 | yo) berührt. Die Funktionsgleichung der Geraden lautet y = m · x + b. Für die Steigung m gilt m = f9 (x0); b kann berechnet werden, indem man den Punkt P (x0 | yo) in die Geradengleichung einsetzt. t: yt = m · x + b; mit m = f9(0) und P (0 | f (0)) ∊ yt 3 (02 – 2 · 0 – 3) = – __ 9 m = f9(0) = __ 8 8 9 x + ___ 1 (03 – 3 · 02 – 9 · 0 + 11) = ___ 11 11 = – __ 1 (9x – 11) ⇒ t (x) = – __ f3 (0) = __ 8 8 8 8 8 f3 (0) = t (0) 1 (9x – 11) berührt den Graphen G im Punkt Die Tangente mit der Gleichung t (x) = – __ 3 8 11 ___ P 0 . 8

(| )

84

Schnittpunkt Tangente t (x) mit dem Graphen G3 Um Schnittpunkte von Graphen ermitteln zu können, werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt und die entstandene Gleichung wird gelöst. f (x) = t (x) 1 (x3 – 3x2 – 9x + 11) = – __ 1 (9x – 11 ) __ | · 8 und sortieren 8 8 3 2 x – 3x = 0 | x2 ausklammern 2 ⇒ x1/2 = 0; x3 = 3 x (x – 3) = 0 Ein weiterer Schnittpunkt liegt an der Stelle x3 = 3. f (3) = –2 ⇒ S (3 | –2)

2.3

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: Art:

f9(x) = 0 f0 (x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0 (x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt)

Lage:

1 (3x2 – 6x – 9) f93 (x) = __ 8 f93 (x) = 0 1 (3x2 – 6x – 9) = 0 __ 8 _______________ _________ ____ – (–6) ± √(–6)2 – 4 · 3 · (–9) _____________ 6 ± √ 36 + 108 _________ 6 ± √ 144 ______ _______________________ x1/2 = = = = 6 ± 12 2·3 6 6 6 6 – 12 = –1 x1 = ______ 6 6 + 12 = 3 ______ x2 = 6 1 (6x – 6) f0(x) = __ 8 12 ; – ___ 12 < 0 ⇒ Maximum H f0(–1) = – ___ 8 8 1 3 __ f (–1) = ((–1) – 3 (–1)2 – 9 (–1) + 11) = 2 8 H (–1 | 2) 12 ; ___ 12 > 0 ⇒ Minimum T f0(3) = ___ 8 8 1 ((3)3 – 3 (3)2 – 9 (3) + 11) = –2 f (3) = __ 8 T (3 | –2)

Art:

4

85

2.4

Graph der Funktion Um den Graphen der Funktion für –3 ≤ x ≤ 5 skizzieren zu können, werden die bisher errechneten Punkte verwendet und mindestens f (–3) und f (5) berechnet. ⇒ f (–3) = –2; f (5) = 2; H (–1 | 2); T (3 | –2) Bei der Geraden genügen zwei Punkte, um sie zeichnen zu können. Dies sind die errech11 und S (3 | –2). neten Schnittpunkte der Geraden mit dem Graphen G3: S 0 ___ 8

(| )

y 3 H

2 1 x

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

5

–1 –2 T –3

2.5

Kennzeichnen einer Fläche Das Kennzeichnen einer Fläche hat den Zweck, die Integrationsgrenzen festzulegen und die Maßzahl der Fläche abzuschätzen. Fläche zwischen Graphen Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Abgeschlossenes Flächenstück bedeutet, dass die Fläche zwischen den Graphen eingeschlossen sein muss. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = 0, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 3. Die Fläche zwischen den beiden Graphen erhält man durch Integration der Differenzfunk1 (x3 – 3x2 – 9x + 11) und t (x) = – __ 1 (9x – 11). tion der Funktionen f (x) = __ 8 8 3 3 3 1 (–9 x + 11 – (x3 – 3x2 – 9x + 11)) dx = __ 1 (–x3 + 3x2) dx A = (t (x) – f (x)) dx = __ 8 8

∫

∫

0

∫

0

[

] ((

0

) (

)) ((

) )

34 + 33 – – __ 04 + 03 = __ 81 + 27 – 0 = ___ x4 + x3 3 = __ 1 – __ 1 – ___ 27 1 – __ = __ 8 4 8 4 4 8 4 32 0

86

Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 BE 1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen fa,b: x ↦ fa,b (x), D = R mit 1 (x3 + a x2 + b ) und a, b ∊ R. fa,b (x) = __ 8 Der Graph einer solchen Funktion fa,b in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G (fa,b).

4

1.1

Bestimmen Sie die Werte a und b so, dass der Punkt P (2 | 0) auf G (fa,b) liegt und der Graph im Punkt P die Steigung m = –1,5 hat.

3

1.2

Erstellen Sie eine Gleichung der Tangente t an G (fa,b) im Punkt P (2 | 0).

1.3.0

Für die folgenden Teilaufgaben gilt a = – 6 und b = 16. Die Funktion f– 6,16 wird nun mit f und ihr Graph mit G bezeichnet. Die zur Funktion f gehörende Funkti1 (x3 – 6x2 + 16) onsgleichung lautet: f (x) = __ 8

6

1.3.1

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen G mit den Koordinatenachsen.

6

1.3.2

Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der relativen Extremalpunkte des Graphen G.

3

1.3.3

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen G.

5

1.3.4

Zeichnen Sie den Graphen G im Bereich –2 ≤ x ≤ 6 unter Verwendung der bisher ermittelten Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

7

1.3.5

Der Graph G und die Gerade m: y = –2 haben die Punkte R (–2 | f (–2)) und T (4 | f (4)) gemeinsam und begrenzen ein endliches Flächenstück. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück im Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.3.4 und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

87

4

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.1

Erstellen einer bestimmten Funktionsgleichung aus einer Funktionenschar Um die Variablen a und b bestimmen zu können, müssen für die Bedingungen aus der Angabe mathematische Gleichungen erstellt werden. – Steigung m = –1,5 des Graphen im Punkt P (2 | 0) ⇒ Steigung (1. Ableitung) des Graphen an der Stelle x = 2 ⇒ f9(2) = –1,5 – Punkt P (2 | 0) liegt auf dem Graphen ⇒ y = 0 und x = 2 in Funktionsgleichung einsetzen 1 (x3 + a x2 + b) und a,b ∊ R fa,b (x) = __ 8 1 (3x2 + 2ax) fa,b 9 (x) = __ 8 f9 (2) = –1,5 1 (12 + 4a) = –1,5 __ |·8 8 12 + 4a = –12 | – 12 4a = –24 | : 4 a = –6 P (2 | 0) ∊ Ga,b ∧ a = –6 1 (23 + (–6) · 22 + b) | · 8 0 = __ 8 0 = 8 – 24 + b 0 = –16 + b | + 16 b = 16 ⇒ Der Graph G–6;16 der Funktion f–6;16 geht durch den Punkt P (2 | 0) und hat dort die Steigung m = –1,5.

1.2

88

Tangente an den Graphen Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen im Punkt P (x0 | y0) berührt. Die Funktionsgleichung der Geraden lautet y = m · x + b. Für die Steigung m gilt m = f9 (x0); b kann berechnet werden, indem man den Punkt P (x0 | y0) in die Geradengleichung einsetzt. 3 und P (2 | 0) ∊ t t: yt = m · x + b; mit m = – __ 2 3 in Gleichung einsetzen m = – __ 2 3x + b yt = – __ 2 y = 0 und x = 2 in Gleichung einsetzen 3·2+b 0 = – __ 2 0 = –3 + b b=3 3x + 3 yt = – __ 2

1.3.1

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ f (0) f (0) = 2 Sy (0 | 2) Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ f (x) = 0 1 (x3 – 6x2 + 16) 0 = __ 8 Ein Term 3. Grades kann durch Polynomdivision in einen Term mit einem linearen Faktor und einem Faktor mit einer Gleichung 2. Grades umgewandelt werden. Nullstellen: x1 = 2 (aus 1.1 oder durch Probieren) (x3 – 6x2 + 16) : (x – 2) = x2 – 4x –8 – (x3 – 2 x2) __________ –4x2 + 16 –____________ (–4x2 + 8 x) –8x + 16 – (–8 x + 16) __________ 0 1 (x2 – 4x – 8) · (x – 2) = 0 1 3 2 __ ⇒ (x – 6x + 16) = __ 8 8 Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. 0 ⇒ x2 – 4x – 8 =_______________

________

___

______

__

– (–4) ± √(–4) – 4 · 1 · (–8) 4 ± √16 + 32 4 ± √ 48 4 ± √16 · 3 4 ± 4 √ 3 = _______________________ = ____________ = ________ = __________ = ________ 2

x2/3

4

2·1 __ ⇒ x2 = 2 + 2 √3 ; x3 = 2 – 2 √3

2

__

__

2

2

2

__

N1 (2 | 0); N2 (2 + 2 √3 | 0); N3 (2 – 2 √ 3 | 0) 1.3.2

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: f9(x) = 0 Art: f0(x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0(x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 1 (3x2 – 12x) f9(x) = __ 8 1 (6x – 12) f0(x) = __ 8 Lage: f9(x) = 0 ⇔ 3x2 – 12x = 0 x (3x – 12) = 0 ⇒ x1 = 0 oder 3x – 12 = 0 ⇒ x2 = 4

89

Art:

1.3.3

1 (6 · 0 – 12) = – ___ 12 f0(0) = __ 8 8 f0(0) < 0 ⇒ Maximum H (0 | 2) 1 (6 · 4 – 12) = ___ 12 f0(4) = f0 (x) = __ 8 8 f0(4) > 0 ⇒ Minimum T (4 | –2)

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: f0(x) = 0 ∧ f-(x0) ≠ 0 1 (6x – 12) f0(x) = __ 8 6 f-(x) = __ 8 f0(x) = 0 1 (6x – 12) = 0 __ 8 ⇔ 6x – 12 = 0 | + 12 6x = 12 x=2 6 __ f-(2) = 8 f-(2) ≠ 0 ⇒ W (2 | 0)

1.3.4

1.3.5

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon errechneten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. ⇒ f (–2) = –2; f (6) = 2; H (0 | 2); W (2 | 0); T (4 | –2)

Kennzeichnen einer Fläche Das Kennzeichnen einer Fläche hat den Zweck, die Integrationsgrenzen festzulegen und die Maßzahl der Fläche abzuschätzen.

4 f(x) 3 2 H 1 1

2

3

4

–2

5

6

T

–3

4 f(x) 3 2 H 1

x

W –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

90

x

W –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5 T

6

Fläche zwischen Graphen Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Endliches Flächenstück bedeutet, dass die Fläche zwischen den Graphen abgeschlossen sein muss. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = –2, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 4. Die Fläche zwischen den beiden Graphen erhält man durch Integration der Differenzfunk1 (x3 – 6x2 + 16) und y = –2. tion der Funktionen f (x) = __ 8 4

∫

A = (f (x) – y) dx –2 4

=

∫(( 8

–2

[

)

)

6 x2 + 2 – (–2) dx = 1 x3 – __ __ 8

4

∫ ( __81 x

3

–2

)

3 x2 + 4 dx – __ 4

]

1 x4 – __ 1 x3 + 4x 4 = ___ 32 4 –2 1 1 1 (–2)4 – __ 1 (–2)3 + 4 · (–2) = 8 – (–5,5) = 13,5 4 3 = ___ 4 – __ 4 + 4 · 4 – ___ 32 4 32 4

(

) (

)

4

91

Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.0

Gegeben ist die 1. Ableitung der ganzrationalen Funktion f mit der Gleichung 3 x2 – __ 3 x – 3; x ∊ R. f9 (x) = __ 8 4 Der zugehörige Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit K bezeichnet.

1.1

Der Graph K der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt Sy (0 | 2). Bestimmen Sie 1 (x3 – 3 x2 – 24 x + 16; x ∊ R) die Funktionsgleichung der Funktion f. (Ergebnis: f (x) = __ 8

1.2

Zeigen Sie, dass x = –4 eine Nullstelle der Funktion f ist, und berechnen Sie weitere Nullstellen.

1.3

Untersuchen Sie den Graphen K der Funktion f auf relative Extremwerte.

1.4

Zeichnen Sie den Graphen K in ein rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich –5 ≤ x ≤ 7. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

1.5.0

Der Graph K schließt mit den Koordinatenachsen im II. Quadranten ein endliches Flächenstück ein.

1.5.1

Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in dem in 1.4 angelegten Koordinatensystem und berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche.

2.0

Aus einer Bleikristallscheibe in einem Kirchenfenster ging bei einem Sturm eine rechteckige Scheibe zu Bruch. Das herausgebrochene Stück hat die Form einer 8 beschrieben werden kann. Parabel, die mit der Funktionsgleichung p (x) = x2 + __ 3 Aus der Glasplatte soll eine achsenparallele Scheibe mit p(x) 6 möglichst großer Fläche herausgeschnitten werden.

2.1

Geben Sie die Funktionsgleichung A (a) für die Fläche der Scheibe in Abhängigkeit von der Abszisse a und des Punkts P (a | p (a)) an.

4

Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den der Flächeninhalt den größten Wert Amax annimmt. Berechnen Sie Amax.

1

5

2.2

92

3

P

2

0 a 1

x 2

3

4

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.1

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Durch Integration der Funktion der 1. Ableitung f9(x) erhält man die Stammfunktionen

∫

f (x) + c.

⇒ f (x) = f9 (x) dx

Das bedeutet, es muss das allgemeine Integral gebildet werden. 3 x2 – __ 3 x – 3 dx = __ 3 · __ 3 · __ 3 x2 – 3x + c 1 x3 – __ 1 x3 – __ 1 x2 – 3x + c = __ f (x) = __ 8 4 8 3 4 2 8 8

∫(

)

Erstellen einer bestimmten Funktionsgleichung aus einer Funktionenschar Um die Variable c bestimmen zu können, muss die Bedingung aus der Angabe verwendet werden. Punkt Sy (0 | 2) ist Element des Graphen K ⇒ f (0) = 2 3 02 – 3 · 0 + c = 2 ⇒ c = 2 1 03 – __ f (0) = __ 8 8 3 x2 – 3x + 2 = __ 1 x3 – __ 1 (x3 – 3x2 – 24x + 16) f (x) = __ 8 8 8 1.2

Nullstelle Wenn x = – 4 eine Nullstelle ist, muss gelten: f (– 4) = 0 1 ((–4)3 – 3 (–4)2 – 24 (–4) + 16) = __ 1 (–64 – 48 + 96 + 16) = __ 1·0=0 f (– 4) = __ 8 8 8 Mithilfe der Polynomdivision können durch Lösen des quadratischen Terms weitere Nullstellen berechnet werden. Polynomdivision (x3 – 3 x2 – 24x + 16) : (x + 4) = x2 – 7x + 4 – (x3 + 4 x2) __________ –7x2 – 24x + 16 –____________ (–7x2 – 28x) 4x + 16 – (4x + 16) _________ 0 Weitere Nullstellen ⇒ x2 – 7x + 4 = 0 _____________ 2

x2/3

_______

___

– (–7) ± √(–7) – 4 · 1 · 4 7 ± √ 49 – 16 7 ± √ 33 = _____________________ = ____________ = ________ ___

2·1

___

2

2

7 – √ 33 7 + √33 x2 = _______; x3 = ________ 2

2

93

4

1.3

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: f9(x) = 0 Art: f0(x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0(x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 1 (3x2 – 6x – 24) = 0 ⇒ 3x2 – 6x – 24 = 0 Lage: f9(x) = __ 8 _________________ _________ ____ (–6)2 – 4 · 3 · (–24) 6 ± √ 36 + 288 6 ± √324 6 ± 18 – (–6) ± √ x1/2 = ________________________ = _____________ = _________ = ______ 2·3 6 6 6 x1 = 4 x2 = –2 1 (6x – 6) Art: f0(x) = __ 8 1 (6 · 4 – 6); f0(4) = __ f0(4) > 0 ⇒ Minimum T (0 | f (4)) 8 1 (6 · (–2) – 6); f0(–2) = __ f0(–2) < 0 ⇒ Maximum H (4 | f (–2)) 8 1 (43 – 3 · 42 – 24 · 4 + 16) = –8; Koordinaten: f (4) = __ T (4 | –8) 8 1 ((–2)3 – 3 · (–2)2 – 24 · (–2) + 16) = ___ 11 ; 11 f (–2) = __ H –2 ___ 8 2 2

( | )

1.4 1.5.1

Graph der Funktion Für den Graphen der Funktion müssen die Funktionswerte an den Grenzen x = –5 und x = 7 bestimmt werden. Des Weiteren sind die bisher berechneten Werte zu verwenden. f (–5) = –8; f (7) = 5,5 H (–2 | 5,5); T (4 | –8) N1 (– 4 | 0); N2 (0,62 | 0); N3 (6,37 | 0)

H

6

y

5 4 3 2 N1

1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

N2 1

2

3

4

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

94

T

5

6

x

Flächenberechnung Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = –4, die obere Integrationsgrenze ist x2 = 0. 0

A=

∫

1 f (x) dx = __ 8

–4

0

∫ (x

3

–4

[

1 __ 1 x4 – x3 – 12 x2 + 16x – 3x2 – 24x + 16) dx = __ 8 4

[

]

0 –4

)]

(

1 (0)4 – (0)3 – 12 · (0)2 + 16 · (0) – __ 1 (–4)4 – (–4)3 – 12 · (–4)2 + 16 · (–4) = 16 1 __ = __ 8 4 4 2.1

Fläche eines Rechtecks Für die Fläche A eines Rechtecks gilt: A = l · b mit l = (3 – a) und b = p (a). 8 = –a3 + 3a2 – __ 8a + 8 A (a) = (3 – a) · a2 + __ 3 3

(

2.2

)

Extremwertberechnung Zunächst muss der Definitionsbereich bestimmt werden. Der Punkt P(a | p(a)) liegt auf der Parabel. Der größte y-Wert der Parabel ist y = 6, deshalb ___ ___ 8 ⇒ | a | = ___ 10 ⇒ D = a 0 ≤ a ≤ ___ 10 ∧ a ∊ R    gilt: 6 = a2 + __ A 3 3 3 Um die größte Fläche bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion A (a) gesucht und auch die Randextremwerte berechnet werden. 8; 8=0 Lage: A9(a) = –3a2 + 6a – __ A9(a) = 0 ⇒ –3a2 + 6a – __ 3 3

{|

√

}

√

________________

√

( )

8 _______ __ –6 ± 62 – 4 · (–3) · – __ 3 –6 ± √ 36 – 32 –6 ± √ 4 –6 ± 2 4 ; a = __ 2 ______________________ _____________ = = ________ = ______ ; a1 = __ a1/2 = –6 –6 –6 3 2 3 2 · (–3)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 = – 6 · __ 4 + 6 = –2; A0 __ 4 < 0 ⇒ relatives Maximum H Art: A0(a) = –6a + 6; A0 __ 3 3 3 8 · __ 8·0+8=8 4 = – __ 4 3 + 3 __ 4 2 – __ 4 + 8 = 7,4; A (0) = –(0)3 + 3 (0)2 – __ Flächen: A __ 3 3 3 3 3 3 ___ ___ 3 ___ 2 ___ 10 10 10 8 10 + 8 = 7,05 ___ ___ ___ __ =– +3 – · ___ A 3 3 3 3 3 8 LE. Die größte Scheibe erhält man für a = 0: eine Scheibe mit l = 3 LE und b = __ 3

(√ ) (√ ) (√ )

√

Die Funktionswerte A (a) geben die Maßzahl der Fläche für jedes a ∊ DA an. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass der größte Wert am Rand (Randextremum) von DA liegt.

12

A(a)

10 8 6 4 2 0

A 0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

95

4

Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 7

96

1.0

Für einen Betrieb, der elektronische Bauteil produziert, ergibt sich für die Produktion von Halbleitern folgende Erlösfunktion e: 16 e: x ↦ e (x) = 15x + ___ 3 Dabei stellt x die Mengeneinheit (ME) dar (1 ME = 1 000 000 Stück Halbleiter). Die Kosten für die Produktion wurden durch eine betriebliche Untersuchung ermittelt. Als Ergebnis der Untersuchung ergab sich die Kostenfunktion k mit der Gleichung: 2 x3 – 7x2 + 27x + 1 k: x ↦ k (x) = __ 3 Die Erlösfunktion e und die Kostenfunktion k ergeben zusammengefasst die Gewinnfunktion g: g: x ↦ g (x) = e (x) – k (x) Die Gewinnfunktion gilt für die Bereiche 0 ≤ x ≤ 8,5 (Mengeneinheiten).

1.1

Geben Sie die Gleichung der Gewinnfunktion g an.

1.2

Bei 0,5 Mengeneinheiten wird weder Gewinn noch Verlust gemacht (Nullstelle der Funktion g). Untersuchen Sie die Funktion g auf weitere solche Stellen und geben Sie deren Koordinaten an.

1.3

Für welche produzierten Mengeneinheiten ist der Gewinn bzw. der Verlust am größten? Geben Sie jeweils die Koordinaten für den maximalen Gewinn bzw. den größten Verlust an.

1.4

Berechnen Sie den Wendepunkt der Gewinnfunktion g und geben Sie die Bedeutung des Wendepunkts bezüglich der vorliegenden Problematik an.

1.5

Zeichnen Sie den Graphen G (g) der Gewinnfunktion g in ein rechtwinkliges Koordinatensystem im Bereich 0 ≤ x ≤ 8,5 und verwenden Sie folgenden Maßstab: x-Achse (ME) 1 ME = 1 cm y-Achse (WE) 10 WE = 1 cm (ME = Mengeneinheiten; WE = Währungseinheiten) Machen Sie aufgrund des Verlaufs des Graphen G (g) der Gewinnfunktion g eine Aussage bezüglich Gewinn und Verlust.

1.6

Schraffieren Sie den Verlustbereich und deuten Sie das Intervall.

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 7 1.1

Funktionsgleichung Um die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion g zu erhalten, muss von der Erlösfunktion e die Kostenfunktion k subtrahiert werden. 16 – __ 2 x3 – 7x2 + 27x + 1 g (x) = e (x) – k (x) = 15x + ___ 3 3 13 2 x3 + 7 x2 – 12x + ___ = – __ 3 3

(

)

Die Funktionsgleichung g (x) gibt den erzielbaren Gewinn in Abhängigkeit der verkauften Bauteile an. 1.2

Polynomdivision Um weitere Nullstellen der Funktion g zu berechnen, wird die Funktion 3. Grades durch Polynomdivision auf eine Funktion 2. Grades reduziert. 13 : x – __ 20 x – ___ 26 2 x3 + 7x2 – 12x + ___ 1 = – __ 2 x2 + ___ – __ 3 3 2 3 3 3 2 x3 + __ 2 x2 – – __ 3 6 ______________ 20 x2 – 12x + ___ 13 ___ 3 3 20 x2 – ___ 20 x – ___ 3 6 _____________ 26 x + ___ 13 – ___ 3 3 26 26 ___ ___ – – x+ 3 6 _____________ 0

( (

) (

)

)

(

)

(

)

Weitere Nullstellen werden durch Lösen der quadratischen Gleichung gefunden. 20 x – ___ 26 = 0 2 x2 + ___ – __ |·3 3 3 3 2 –2x + 20x – 26 = 0 __________________ 2

x2/3

__________

____

___

–20 ± √ 20 – 4 · (–2) · (–26) –20 ± √ 400 – 208 –20 ± √192 –20 ± 4 √12 = ________________________ = ________________ = ___________ = ___________ 2 · (–2)

___

–4

___

___

–4

–4

___

–20 + 4 √ 12 –20 – 4 √ 12 x2 = ___________ = 5 – √ 12 ≈ 1,53; x3 = ___________ = 5 + √ 12 ≈ 8,46 –4

–4

( 2| )

1 0; Koordinaten der Nullstellen: N1 __

___

N2 (5 – √ 12 | 0);

___

N3 (5 + √12 | 0)

97

4

1.3

Extremwertberechnung Der größte Gewinn liegt vor, wenn der Graph der Funktion g ein Maximum aufweist. Der größte Verlust liegt beim betragsmäßig größten Negativwert vor. Berechnung der relativen Extremwerte: 13 2 x3 + 7x2 – 12x + ___ g (x) = – __ 3 3 2 2 __ g9(x) = – · 3x + 7 · 2x – 12 = –2x2 + 14x – 12 3 g0(x) = –2 · 2x + 14 = –4x + 14 Lage der relativen Extremwerte: g9(x) = 0 –2x2 + 14x – 12 = 0

__________________

________

2

x1/2

____

–14 ± √ 14 – 4 · (–2) · (–12) –14 ± √ 196 – 96 –14 ± √100 –14 ± 10 = ________________________ = _______________ = ___________ = ________

–4 2 · (–2) –14 + 10 = ___ –14 – 10 = ____ –4 = 1; x = ________ –24 = 6 x1 = ________ 2 –4 –4 –4 –4

–4

–4

Art der relativen Extremwerte: g0(x0) < 0 ⇒ relatives Maximum g0(x0) > 0 ⇒ relatives Minimum g0(1) = –4 · 1 + 14 = 10; 10 > 0 ⇒ relatives Minimum T g0(6) = –4 · 6 + 14 = –10; –10 < 0 ⇒ relatives Maximum H Berechnung der Koordinaten der relativen Extremwerte: 13 = – __ 2 · 13 + 7 · 12 – 12 · 1 + ___ 4 4 ⇒ T 1 – __ g (1) = – __ 3 3 3 3 13 = ____ 2 · 63 + 7 · 62 – 12 · 6 + ___ 121 121 ⇒ H 6 ____ g (6) = – __ 3 3 3 3

(| ) (| )

1.4

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: g0(x) = 0 ∧ g-(x0) ≠ 0 g0(x) = –4x + 14 g-(x) = –4 g0(x) = 0 ⇒ –4x + 14 = 0 7 14 = __ x = ___ 4 2 7 = –4 ≠ 0 ⇒ W g- __ 2 13 = 19,5 ⇒ W (3,5 | 19,5) 7 = – __ 2 · __ 7 3 + 7 · __ 7 2 – 12 · __ 7 + ___ Koordinaten: g __ 2 3 2 2 2 3 An der Wendestelle des Graphen ist die Gewinnsteigerung am größten.

( )

( )

98

( )

( )

( )

1.5

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon errechneten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. g (0) = 4,33; g (8,5) = –1,33; H (6 | 40,3); W (3,5 | 19,5); T (1 | –1,33); N1 (0,5 | 0); N2 (1,53 | 0); N3 (8,46 | 0) 40

g(x)

36

G(g)

32 28 24 20 16

4

12 8 4 x 0

1 2 Verlustbereich

3

4

5

6

7

8

Der Verlauf des Graphen der Gewinnfunktion zeigt, dass T (1 | –1,33) ein relativer Tiefpunkt ist, denn für ME > 8,46 beginnt der Bereich des Verlustes, der immer größer wird. Der Hochpunkt H (6 | 40,3) ist relatives und absolutes Maximum (für ME ≥ 0). 1.6

Verlustbereich Verlustbereich siehe Graph (1.5) Um Gewinne zu erzielen, darf/soll die Mengeneinheit der produzierten Halbleiter nicht im schraffierten Bereich liegen.

99

Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 8 1.0

R

Wegen der vorgegebenen Ladeöffnung ___ von Transportfahrzeugen ist die Diagonale (Strecke QR) von zylinderförmigen Behältern auf 1,2 m festgelegt (siehe nebenstehende Skizze).

h

Q 2r

1.1

Stellen Sie die Maßzahl des Volumens V(h) des Behälters in Abhängigkeit von der Höhe h dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge DV (Bereich der Höhe h) der zugehörigen Funktion V an. (Einheiten bleiben unberücksichtigt) h3 + 0,36 · h Mögliches Teilergebnis: V (h) = π · – __ 4

[

(

)]

1.2

Bestimmen Sie h ∊ DV so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Bestimmen Sie für diesen Fall auch den Radius r des Behälters sowie das maximale Volumen Vmax .

2.0

Für ein Ersatzteillager sollen quaderförmige Boxen angefertigt werden. Um sie gut stapeln zu können, sollen die Boxen folgende Vorgaben erfüllen: Die beiden Seitenflächen (links und rechts) sollen quadratisch sein und die Summe aller Kantenlängen soll genau 24 Meter betragen.

x

x b

2.1

Der Funktionsterm b (x) zeigt den Zusammenhang zwischen der Boxenbreite b und der Länge x (siehe Zeichnung). Bestimmen Sie den Funktionsterm b (x).

2.2

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung V (x), wenn diese den Zusammenhang zwischen dem Volumen der Box und der Länge x darstellt. (1 LE ≙ 1m) [Mögliches Ergebnis: V (x) = –2x3 + 6x2]

2.3

Bestimmen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich der Funktion V.

2.4

Berechnen Sie, für welchen Wert von x das Boxenvolumen maximal wird, und geben Sie dieses maximale Volumen an.

2.5

Aus technischen Gründen entscheidet man sich für Seitenflächen mit je 2,25 FE. Ermitteln Sie das Volumen der Boxen.

100

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 8 1.1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der Volumenmaßzahl erstellt werden kann, benötigt man die Formel V = r2 · π · h für das Volumen eines Kreiszylinders. In dieser Formel ist das Volumen von den Variablen r und h abhän1,2 gig. Damit man die Formel nur noch in Abhängigkeit von h erhält, h muss die Variable r eliminiert werden. Legt man in den Zylinder ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ka2r theten 2r und h sowie der Hypotenuse 1,2 Meter, so kann mit dem Satz des Pythagoras die Variable r in Abhängigkeit von h ausgedrückt werden (siehe Skizze). | ausrechnen und sortieren Pythagoras: (2r)2 + h2 = 1,22 4r2 = –h2 + 1,44 | : 4 h2 + 0,36 r2 = – __ 4 2 h h2 · π · h = π · – __ h3 + 0,36 h 2 2 r = 0,36 – __ in V = r · π · h ⇒ V (h) = 0,36 – __ 4 4 4

(

)

(

)

Sinnvolle Definitionsmenge Da es kein negatives Volumen gibt, gilt: V (h) > 0 h3 + 0,36 h > 0 ⇔ h · (–h2 + 1,44) > 0 ⇔ –h2 + 1,44 > 0 ⇔ –1,2 < h < 1,2 ⇒ π · – __ 4 wegen h > 0 ⇒ DV = ]0; 1,2[

(

1.2

)

Extremwertberechnung Um das größte Volumen bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion V (x) gesucht werden. Auch die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs müssen berechnet werden, um zu überprüfen, ob Randextrema vorliegen. Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle h0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: V (h)9 = 0 Art: V (h0)0 > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) V (h0)0 < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt)

(

)

–3 h2 + 0,36 ; V0(h) = –π · __ 3h V9(h) = π · ___ 4 2

101

4

–3 h2 + 0,36 = 0 V9 (h) = 0 ⇒ ___ 4 –3 h2 = –0,36 4 ___ | · – __ 4 _ 3 h2 = 0,48 |√

Lage:

| – 0,36

( )

__

__

2 √3 ≈ 0,69 ∨ h = – __ 2 √3 ≈ –0,69 ∉ D h1 = __ 2 V 5 __ __ 5 3 2 2 __ __ __ Art: V0 √3 = –π · · √ 3 ≈ –3,26 < 0 2 5 __ 5 2 __ ⇒ h1 = √3 ist ein relatives Maximum. 5

(

)

(

)

Berechnung des relativen Maximums: __

(

2 √3 Vmax = V __ 5

)

[

__ 3

2 √3 __ ( 5 ) 2 √3 _______ =π· – + 0,36 · __

__

5

4

]

__

12 · √3 · π ≈ 0,52 = ____ 125

Untersuchung der Grenzen des Definitionsbereichs 03 + 0,36 · 0 = 0 (linke Seite) h → 0: V (0) = π · – __ 4 1,23 (rechte Seite) h → 1,2: V (1,2) = π · – ____ + 0,36 · 1,2 = 0 4

(

(

__

)

)

(

)

__

2 √ 3 = ____ 12 · √3 · π ≈ 0,52 ist ein absolutes Maximum. ⇒ Vmax = V __ 5 125 __ Berechnung des Radius 2 √3 2 __ __ __ 2 5 2 h 1 √6 h1 = __ √3 in r2 = 0,36 – __ ⇒ r2 = 0,36 – _______ = 0,24 ⇒ r = __ 5 5 4 4

(

Zum besseren Verständnis: Der Graph der Funktion V (h) zeigt für jedes h ∊ Dh den Volumeninhalt des zylindrischen Körpers. An der Stelle h ≈ 0,69 Meter liegt das größte Volumen vor, es beträgt bei dieser Höhe ca. 0,52 Kubikmeter. Es ist auch ersichtlich, dass an den Rändern der Definitionsmenge das Volumen gegen null strebt.

102

)

0,6 V(h) 0,4 0,2 h 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

2.1

Kantenlänge b in Abhängigkeit von x Es sind insgesamt 12 Kanten vorhanden. Die Summe der Kantenlänge beträgt 24 (Meter). 8x + 4b = 24 4b = 24 – 8x ⇒ b(x) = 6 – 2x

2.2

x

x

| – 8x |:4

b

Funktionsgleichung in Abhängigkeit einer Variablen Das Volumen (Rauminhalt) eines Quaders wird mit der Formel V = A · h berechnet, wobei A die Grundfläche (in unserem Beispiel x · x) und h die Höhe (in unserem Beispiel b) des Quaders ist. V (x, b) = x · x · b = x2 · b Diese Gleichung für das Volumen hängt von den Variablen x und b ab. Damit eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht, muss eine Variable eliminiert werden. In unserem Fall soll das Volumen in Abhängigkeit von x dargestellt werden, deshalb muss die Variable b eliminiert werden. Das erreicht man, indem b (x) = 6 – 2x in die Gleichung eingesetzt wird. V (x) = x2 · b (x) = x2 · (6 – 2x) = 6x2 – 2x3 V (x) = –2x3 + 6x2

| ordnen

Diese Gleichung beschreibt für jedes x (aus dem Definitionsbereich) die Volumenmaßzahl des Quaders. 2.3

Sinnvoller Definitionsbereich Betrachtet man bei der Box die Variablen x und b, so gilt für die Variable x: „Schrumpft“ die Höhe b gegen null (b → 0), so bleiben 8 Kantenlängen mit der Länge x übrig. Die Summe aller Kantenlängen beträgt 24 Meter, deshalb kann ein x maximal 24 = 3 Meter sein. Des Weiteren sind negative Werte für x sind nicht zulässig, da x eine ___ 8 Längenmaßzahl darstellt, d. h. x > 0, da die Box sonst kein Volumen hat. ⇒ DV = {x | 0 < x < 3}R

2.4

Extremwertberechnung Um das größte Volumen bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion V (x) gesucht werden. Auch die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs müssen berechnet werden, um zu überprüfen, ob Randextrema vorliegen. Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle h0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln.

103

4

Lage: Art:

V (x)9 = 0 V (x0)0 > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) V (x0)0 < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt)

Lage:

V9 (x) = –6x2 + 12x | x ausklammern V9 (x) = 0 = –6x2 + 12x 0 = x (–6x + 12) | Satz vom Nullprodukt x1 = 0 oder –6x + 12 = 0 ⇒ x2 = 2

Art:

x1 = 0 ∉ D, deshalb wird x2 = 2 in die 2. Ableitung eingesetzt. V0 (x) = –12x + 12 V0 (2) = –12 < 0 ⇒ An der Stelle x2 = 2 liegt ein relatives Maximum vor.

Funktionswert des relativen Maximums V (2) = –2 · 23 + 6 · 22 = –2 · 8 + 6 · 4 = –16 + 24 = 8 Untersuchung der Grenzen des Definitionsbereichs (linke Seite) x → 0: V (0) = –2 · 03 + 6 · 02 = –0 + 0 = 0 (rechte Seite) x → 3: V (3) = –2 · 33 + 6 · 32 = –2 · 27 + 6 · 9 = –54 + 54 = 0 (siehe auch den Graphen der Funktion V (x), der für jede Länge x das Volumen der Box angibt) ⇒ Vmax = V (2) = 8 An der Stelle x = 2 liegt nicht nur ein relatives Maximum, sondern ein absolutes Maximum mit einem Raumvolumen von 8 Kubikmeter vor. 2.5

104

Volumen bei vorgegebener Seitenfläche Für die Seitenfläche A = 2,25_gilt: |√ A = x · x = x2 = 2,25 x1 = 1,5; x2 = –1,5 ∉ DV Für die Berechnung des Volumens wird x1 = 1,5 in die Funktionsgleichung V (x) eingesetzt. V (1,5) = –2 · (1,5)3 + 6 · (1,5)2 = 6,75

V(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 x 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Der Graph zeigt die Volumenmaßzahl der Box. Für x = 1,5 ergibt sich ein Volumen von 6,75 VE.

Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II / Abschlussprüfung Übungsaufgabe 9 1.0

Über einen Fluss wird eine Bogenbrücke nach untenstehender Skizze gebaut. Der Brückenbogen hat näherungsweise die Form einer Parabel. y

22 m x

x

x

48 m Fluss

1.1

Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung, mit der der Parabelbogen beschrieben werden kann. 11 (x2 – 48 x)) (Mögliches Ergebnis: p (x) = – ____ 288

1.2

Berechnen Sie die Höhe der Brücke in 12 m Entfernung vom Ufer.

1.3.0

Ein Containerschiff fährt in der Flussmitte. Sein Querschnitt oberhalb der Wasserlinie kann näherungsweise als rechteckig angenommen werden (vergleiche Skizze). Die Höhe des Containerschiffs wird in Abhängigkeit von seiner Breite so festgelegt, dass es gerade noch unter der Brücke hindurchfahren kann. Bei einer bestimmten Breite des Containerschiffs beträgt die seitliche Entfernung zum Ufer x.

1.3.1

Ermitteln Sie eine Gleichung für die Querschnittsfläche des Schiffs oberhalb der Wasserlinie in Abhängigkeit von x. 11 (x3 – 72 x2 + 1152x)) (Mögliches Ergebnis: A (x) = ____ 144

1.3.2

Bestimmen Sie die Breite des Schiffs, für welche sich eine maximale Rechtecksfläche ergibt. Das Ergebnis ist auf zwei Nachkommastellen zu runden.

1.3.3

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion A (x) in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Wählen Sie einen geeigneten Maßstab auf der Abszissen- und Ordinatenachse.

4

105

Lösung Mathematik Themenbereich – Analysis, Anwendungsbezogene Aufgaben Feststellungsprüfung II /Abschlussprüfung Übungsaufgabe 9 1.1

Erstellen einer Funktionsgleichung Damit die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden kann, benutzt man die Koordinaten der Punkte, die aus der Skizze entnommen werden. Die Koordinaten des Punkts O im Ursprung mit O (0 | 0) und die Koordinaten des Scheitelpunkts S (24 | 22), der in der Mitte des Brückenbogens in einer Höhe von 22 m liegt, werden in die allgemeine Gleichung der Funktionsgleichung p (x) = ax2 + bx + c eingesetzt. Des Weiteren nutzt man die Tatsache aus, dass die Steigung im Scheitelpunkt die Steigung null hat. Deshalb kann die Gleichung zum Lösen verwendet werden. p9(x) = 2ax + b p (x) = ax2 + bx + c; O (0 | 0) in p (x): ⇒ p (0) = 0 I: a · 02 + b · 0 + c = 0 ⇒ c = 0 S (24 | 22) in p (x): ⇒ p (24) = 22 II: a · 242 + b · 24 + c = 22 ⇒ 576a + 24b + c = 22 p9(24) = 0 III: 2a · 24 + b = 0 ⇒ b = –48a aus I c = 0 in II und aus III b = –48a in II II: 576a + 24 (–48a) = 22 576a – 1152a = 22 | ausrechnen –576a = 22 | : (–576) 11 ≈ –0,038 22 | a in III a = – ____ = – ____ 576 288 11 · 48 ≈ 1,833 –11 = _______ ⇒ b = –48 · ____ 288 288 11 · 48 und c = 0 in p (x) = ax2 + bx + c einsetzen 11 a = – ____ und b = _______ 288 288 11 · 48 x + 0 11 x2 + _______ 11 ausklammern p (x) = – ____ | – ____ 288 288 288 11 (x2 – 48x) p (x) = – ____ 288

1.2

Höhe des Brückenbogens an der Stelle x = 12 Die Höhe des Brückenbogens an der Stelle x = 12 ist der Funktionswert p (12). 11 (x2 – 48x) einsetzen x = 12 in p (x) = – ____ 288 11 (122 – 48 · 12) = – ____ 11 (144 – 576) = – ____ 11 (–432) = 16,5 p (12) = – ____ 288 288 288 In 12 Meter Entfernung ist die Brücke 16,5 Meter hoch.

106

y

1.3.1

Fläche in Abhängigkeit einer Variablen Damit die maximale Breite des Schiffs berechnet werden kann, muss die Fläche (Querschnitt) berechnet werden. Für die Fläche eines Rechtecks gilt die Formel: 22 m Fläche A = Länge l mal Breite b (A = l · b). Die Länge l x des Rechtecks entspricht in unserem Fall 48 – 2x (siex x he Skizze) und die Breite b des Rechtecks ist je nach 48 m Fluss Lage von x der Funktionswert an der Stelle x, also p (x). Die Gleichung für die gesuchte Fläche des Rechtecks lautet: A (x) = (48 – 2x) · p (x) bzw. A (x) = p (x) · (48 – 2x) 11 (x2 – 48x) · (48 – 2x) A (x) = – ____ 288 11 (48x2 – 2x3 – 2304x + 96x2) = – ____ | : 2 und sortieren 288 11 (x3 – 72x2 + 1152x) ⇒ A (x) = ____ 144 11 (x3 – 72 x2 + 1152 x) gibt jetzt für jedes x aus der DefiniDie Funktionsgleichung A (x) = ____ 144 tionsmenge die Maßzahl der Rechtecksfläche an.

1.3.2

Extremwertberechnung Um die größte Fläche bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion A (x) gesucht werden. Für die Definitionsmenge gilt (siehe Skizze): Die Variable x muss größer null sein und kann maximal bis zu x = 24 gehen (2x = 48). ⇒ DA = {x | 0 < x < 24}R Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: A (x)9 = 0 Art: A (x0)0 > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) A (x0)0 < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 11 (x3 – 72x2 + 1152x) Lage: A (x) = ____ 144 11 (3x2 – 144x + 1152) A9(x) = ____ 144 A9(x) = 0 ⇔ 3x2 – 144x + 1152 = 0

107

4

6

a=3 3x2 – 144x + 1152 = 0 ⇒ b = –144 c = 1152  3x -144x+ 1152 = 0

___________________

_______________

2

x1/2

2·3 _____ √ 144 – 6912 x1 = ____________ ≈ 10,14 6 _____ 144 + √6912 x2 = ____________ ≈ 37,85 ∉ DA 6 Art:

_____

– (–144) ± √(–144) – 4 · 3 · 1152 144 ± √ 20 736 – 13 824 144 ± √ 6912 = _____________________________ = _____________________ = ____________ 6

6

11 (6x – 144) A0(x) = ____ 144 11 (6 · 10,14 – 144) = ____ 11 (–83,16) < 0 A0 (x1) = A0 (10,14) = ____ 144 144 A0 (x1) < 0 ⇒ x1 ist eine Maximalstelle.

Der Wert für x1 = 10,14 ist nun in die Gleichung für die Länge des Rechtecks l = (48 – 2x) einzusetzen: ⇒ Die maximale Breite des Schiffs beträgt 48 m – 2 · 10,14 m = 27,72 m. 1.3.3

Graph der Funktion Damit der Graph der Funktion A (x) gezeichnet werden kann, wird eine Wertetabelle erstellt. Als Maßstab wird auf der Abszissenachse 1 LE = 2 m und auf der Ordinatenachse 1 LE = 50 m2 gewählt. x

A (x)

450

0

0

400

2

154

350

6

346

300

10

406

250

14

363

200

18

247

150

20

171

100

24

0

50 0

108

A(x)

x 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Mathematik Feststellungsprüfung II Analysis Aufgabe 1 BE

1.0

Gegeben sind die reellen Funktionen fa : x ↦ fa (x), D = R mit 1 (x3 + a x2 + 36x ) und a, ∊ R. fa (x) = __ 4 Der Graph einer solchen Funktion fa in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Ga.

3

1.1

Bestimmen Sie den Wert a so, dass der Graph bei x = 6 eine waagrechte Tangente besitzt.

3

1.2

Bestimmen Sie den Wert für a so, dass der Graph die x-Achse berührt.

1.3.0

Für die folgenden Teilaufgaben gilt a = –12. Die Funktion f–12 wird nun mit f und ihr Graph mit G bezeichnet. Die zur Funktion f gehörende Funktionsglei1 (x3 – 12x2 + 36x) chung lautet: f (x) = __ 4

4

1.3.1

Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen G mit den Koordinatenachsen.

6

1.3.2

Untersuchen Sie den Graphen G der Funktion f auf relative Extremwerte nach Lage und Art und geben Sie deren Koordinaten an.

3

1.3.3

Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen G und geben Sie seine Koordinaten an.

4

1.3.4

Geben Sie die Gleichung der Wendetangente an.

5

1.3.5

Zeichnen Sie den Graphen G im Bereich 0 ≤ x ≤ 8 unter Verwendung der bisher ermittelten Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab: 1 LE = 1 cm)

109

5

Aufgabe 2 2.0 Ein Bauer verpachtet seiner Gemeinde eine ebene Ackerfläche mit der Auflage, auf diesem Feld einen Bolzplatz für die Jugend anzulegen. Diese Fläche wird von zwei sich unter einem rechten Winkel schneidenden Flurbereinigungswegen (Koordinatenachsen) und einem Bach begrenzt. Ein Architekt wird beauftragt, die notwendigen Pläne und Berechnungen zu erstellen. Er fertigt einen Plan im Maßstab 1:1000 an und stellt fest, dass der Bach dem Graphen einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit dem Tiefpunkt T (15 | 0) und dem Wendepunkt W (5 | 5) folgt. 9

y

8 7 6 W

5 4 3 2 1 0

T 1

2

3

4

5

6

7

8

x

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

8

2.1

Ermitteln Sie den Funktionsterm f (x). 1 (x3 – 15x2 – 225x + 3375)] [Ergebnis: f (x) = ____ 400

5

2.2

Ermitteln Sie die Maßzahl der Fläche, die von den Wegen und dem Bach auf dem Plan begrenzt wird.

2.3.0

Der Bolzplatz soll rechteckig werden, wobei zwei Rechtecksseiten auf den Koordinatenachsen liegen. Die Breite des Bolzplatzes sei x = u mit 0 < u < 15.

2

2.3.1

Übertragen Sie die Zeichnung aus der Angabe auf Ihr Blatt und zeichnen Sie für den Sonderfall u = 6 den Bolzplatz ein.

2

2.3.2

Ermitteln Sie die Funktion A, die die Fläche des Bolzplatzes in Abhängigkeit von u angibt. 1 (u4 – 15u3 – 225u2 + 3375u)] [Ergebnis: A (u) = ____ 400

8

2.3.3

Berechnen Sie den Wert von u, für den diese Fläche maximal wird, und geben Sie die maximale Flächenmaßzahl an.

110

Lösung Mathematik Feststellungsprüfung II Analysis Aufgabe 1 1.1

Waagerechte Tangente Soll der Graph an der Stelle x1 = 6 eine waagerechte Tangente haben, so muss an dieser Stelle die Steigung des Graphen (1. Ableitung) den Wert null haben. fa9(6) = 0 1 (3x2 + 2ax + 36) fa9(x) = __ 4 1 (3 · 62 + 2a · 6 + 36 = 0 fa9(6) = __ 4 ⇔ 108 + 12a + 36 = 0 12a = –144 | : 12 ⇒ a = –12

1.2

Berührpunkt Soll der Graph der Funktion f die x-Achse berühren, so liegt nur ein Schnittpunkt (Berührpunkt) vor. Dies bedeutet, dass der Wert der Diskriminante D null sein muss. 1 x (x2 + ax + 36) fa (x) = __ 4 Berührpunkt: b2 – 4ac = 0 ⇒ a2 – 4 · 1 · 36 = 0_ |√ a2 = 144 | a | = 12 ⇒ a = ± 12

1.3.1

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bedeuten Schnittpunkt mit der y-Achse und Schnittpunkt mit der x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0 ⇒ f (0) 1 (03 – 12 · 02 + 36 · 0) = 0 ⇒ S (0 | 0) fa (0) = __ y 4 Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ f (x) = 0 1 x (x2 – 12x + 36) = 0 f (x) = __ 4 x1 = 0 ________________

__________

__

– (–12) ± √ (–12)2 – 4 · 1 · 36 12 ± √ 144 – 144 12 ± √0 12 ± 0 x2/3 = _________________________ = _______________ = ________ = ______ 2·1 2 2 2 x2 = x3 = 6 N1 (0 | 0); N2 (6 | 0)

111

5

1.3.2

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: Art:

Lage:

f9(x) = 0 f0(x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0(x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 1 (3x2 – 24x + 36) f9(x) = __ 4 f9(x) = 0 ⇔ 3x2 – 24x + 36 = 0 ________________

Art:

3 > 0 ⇒ Minimum T (6 | f (6)) 1 (23 – 12 · 22 + 36 · 2) = 8 f (2) = __ 4 1 (63 – 12 · 62 + 36 · 6) = 0 f (6) = __ 4 1.3.3

112

__________

____

– (–24) ± √ (–24)2 – 4 · 3 · 36 24 ± √ 576 – 432 24 ± √144 24 ± 12 x1/2 = _________________________ = _______________ = __________ = _______ 2·3 6 6 6 24 – 12 24 + 12 x1 = _______ = 2; x2 = _______ = 6 6 6 1 f0(x) = __ (6x – 24) 4 1 (6 · 2 – 24) = –3 f0(2) = __ 4 –3 > 0 ⇒ Maximum H (2 | f (2)) 1 (6 · 6 – 24) = 3 f0(6) = __ 4

H (2 | 8) T (6 | 0)

Wendepunkt Als Kriterium für einen Wendepunkt gilt: f0(x) = 0 ∧ f-(x0) ≠ 0 1 (6x – 24) f0(x) = __ 4 f0(x) = 0 ⇔ 6x – 24 = 0 6x = 24 ⇒x=4 6 f-(x) = __ 4 6 f-(4) = __ 4 f-(4) ≠ 0 ⇒ W (4 | f (4)) 1 (43 – 12 · 42 + 36 · 4) = 4 f (4) = __ W (4 | 4) 4

1.3.4

Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen im Punkt P (x0 | y0) berührt. Die Funktionsgleichung der Geraden lautet y = m · x + b. Für die Steigung m gilt m = f9(x0); b kann berechnet werden, indem man den Punkt P (x0 | y0) in die Geradengleichung einsetzt. t: y = m · x + b ; mit m = f9(4) und W ∊ t 1 (3 · 42 – 24 · 4 + 36) = –3 m = f9(4) = __ 4 ⇒ y = –3x + b | W (4 | 4) in Gleichung einsetzen 4 = –3 · 4 + b ⇒ b = 16 y = –3x + 16

1.3.5

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, sind Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, zu berechen. Sinnvoll ist dabei, eine Wertetabelle anzulegen und die bisher berechneten Punkte einzutragen. x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f (x)

0

6,25

8

6,75

4

1,25

0

1,75

8

f(x) H

8 7

5

6 5 W

4 3 2 1

x

T –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

113

Aufgabe 2 2.1

Erstellen einer Funktionsgleichung mithilfe von Angaben und Punkten Der Bach folgt dem Graphen einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deshalb lautet die zu bestimmende Funktionsgleichung: f: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. In dieser Gleichung sind die Variablen a, b, c und d zu bestimmen. Damit die vier Variablen bestimmt werden können, sind vier Gleichungen erforderlich. Die Koordinaten der Punkte T und W erfüllen die Bedingung für die Gleichung f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. Die x-Koordinate des Tiefpunkts T (relativer Extremwert) erfüllt die Bedingung f9(x0) = 0 und die x-Koordinate des Wendepunkts W erfüllt die Bedingung f0(x0) = 0. Damit die Aufgabe gelöst werden kann, sind die Koordinaten der gegebenen Punkte in folgende Gleichungen einzusetzen: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d f9(x) = 3ax2 + 2bx + c f0(x) = 6ax + 2b Anschließend ist das erhaltene lineare Gleichungssystem zu lösen: T (15 | 0) ⇒ f (15) = 0: I 0 = a · (15)3 + b · (15)2 + c · (15) + d W (5 | 5) ⇒ f (5) = 5: II 5 = a · (5)3 + b · (5)2 + c · (5) + d 0 = 3a · (15)2 + 2b · (15) + c T bei x0 = 15: ⇒ f9(15) = 0: III IV 0 = 6a · (5) + 2b W bei x0 = 5 ⇒ f0(5) = 0: I 3375a + 225b + 15c + d = 0 II 125a + 25b + 5c + d = 5 III 675a + 30b + c = 0 IV 30a + 2b = 0 –30a = –15a in I, II und III aus IV: b = _____ 2 I 3375a + 225 (–15a) + 15c + d = 0 ⇒ 3375a – 3375a + 15c + d = 0 ⇒ 15c + d = 0 II 125a + 25 (–15a) + 5c + d = 5 ⇒ 125a – 375a + 5c + d = 5 ⇒ –250a + 5c + d = 5 III 675a + 30 (–15a) + c = 0 ⇒ 675a – 450a + c = 0 ⇒ 225a + c = 0 aus III: c = –225a in I und II I 15 (–225a) + d = 0 ⇒ –3375a + d = 0 II –250a + 5 (–225a) + d = 5 ⇒ –1375a + d = 5 aus I: d = 3375a in II 5 = ____ 1 II –1375a + 3375a = 5 ⇒ 2000a = 5 ⇒ a = _____ 2000 400 1 in I und III und IV: a = ____ 400 3375 1 = _____ I d = 3375 · ____ 400 400 225 1 = – ____ III c = –225 · ____ 400 400 15 1 = – ____ IV b = –15 · ____ 400 400 15 x2 – ____ 225 x + _____ 3375 = ____ 1 x3 – ____ 1 (x3 – 15x2 – 225x + 3375) ⇒ f (x) = ____ 400 400 400 400 400

114

2.2

Fläche zwischen Graph und x-Achse Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Abgeschlossenes Flächenstück bedeutet, dass die Fläche zwischen den Graphen eingeschlossen sein muss. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = 0, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 15. 15

15

∫

A = f (x) dx = 0

15

∫ 400

400

0

1 = ____ 400 1 = ____ 400

[ x4 – 15 x3 – 225 x2 + 3375x] 3

__

[

15

0

]

225 x2 + 3375x 15 1 __ x – 5x3 – ____ = ____ 400 4 2 0 0 4 4 15 225 0 225 3 2 3 2 ____ – 5 · 15 – ____ 15 + 3375 · 15 – __ – 5 · 0 – ____ 0 + 3375 · 0 = 52,73 4 2 4 2 4

((

∫

1 (x3 – 15x2 – 225x + 3375) dx = ____ 1 (x3 – 15x2 – 225x + 3375) dx ____ 2

__

__

4

) (

))

Die Fläche zwischen den Wegen und dem Bach beträgt 52,73 Flächeneinheiten (FE).

2.3.1

Übertragen einer Skizze (Graph) Damit der Graph der Funktion gezeichnet werden kann, sind die Punkte aus der Skizze zu übernehmen und weitere Punkte zu berechnen (Wertetabelle). x

0

2

5

9

12

15

f (x)

8,44

7,18

5

2,16

0,61

0

12

y

11 10 9 8

5

7 6 5 4 3 2 1 0

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Die Linie des Rechtecks ist bei x = u = 6 so weit zu ziehen, bis der Graph der Funktion berührt wird. Dann ist die Linie zur Ordinatenachse zu ziehen und zu markieren.

115

2.3.2

Fläche in Abhängigkeit einer Variablen Damit die Gleichung der Fläche A(u) erstellt werden kann, sind die entsprechenden Koordinaten in die Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks einzusetzen: Fläche A = Länge l mal Breite b (A = l · b). Die Länge l des Rechtecks entspricht in unserem Fall x = u. Die Breite b des Rechtecks ist je nach Lage von x = u der Funktionswert an der Stelle x = u, also A (u). Die Gleichung für die gesuchte Fläche des Rechtecks lautet: 1 (u4 – 15u3 – 225u2 + 3375u) 1 (u3 – 15u2 – 225u + 3375) = ____ A (u) = u · f (u) = u · ____ 400 400

2.3.3

Extremwertberechnung Um die größte Fläche bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion A (u) gesucht werden. Für die Definitionsmenge gilt (siehe Skizze): Die Variable u muss größer null sein und kann maximal bis zu u = 15 gehen. ⇒ DA = {u | 0 < u < 15 }R Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle u0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: A (u)9 = 0 1 (4u3 – 45u2 – 450u + 3375) 1 (4u3 – 3 · 15u2 – 2 · 225u + 3375) = ____ A9(u) = ____ 400 400 A9(u) = 0 ⇔ 4u3 – 45u2 – 450u + 3375 = 0 (4u3 – 45u2 – 450u + 3375) : (u – 15) = 4u2 + 15u – 225 – (4u3 – 60u2) ___________ 15u2 – 450u + 3375 – (15u2 – 225u) _____________ –225u + 3375 – (–225u + 3375) ______________ 0 Berechnung weiterer Nullstellen: a= 4 4u² + 15u – 225 = 0 ⇒ b = 15 c ​= –225

6

_________________

_____

–15 ± √ 15 – 4 · 4 · (–225) –15 ± √ 3825 = _______________________ = ____________ 2

⇒ u2/3

2·4

⇒ u2 = 5,86; u3 = –9,61 ∉ DA

116

8

Art: A (u0)0 < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) 1 (12u2 – 90u – 459); A0 (5,86) = ____ 1 (12 · (5,86)2 – 90 · 5,86 – 459) = –1,41 A0 (u) = ____ 400 400 A(5,86)0 < 0 ⇒ relatives Maximum (Hochpunkt) bei u = 5,86 Untersuchung an den Rändern des Definitionsbereichs: 1 (04 – 15 · 03 – 225 · 02 + 3375 · 0) = 0 u = 0: A (0) = A (0) = ____ 400 1 (154 – 15 · 153 – 225 · 152 + 3375 · 15) = 0 u = 15: A (15) = ____ 400 ⇒ Maximum bei u = 5,86 1 ((5,86)4 – 15 · (5,86)3 – 225 · (5,86)2 + 3375 · 5,86) = 25,53 (FE) A (5,86) = ____ 400

5

117

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.0

Damit ein Haushaltsgerätehersteller seine Mitarbeiter langfristig an die Firma binden kann, plant er, den Mitarbeitern, die in größerer Entfernung vom Arbeitsplatz wohnen, eine feste Lohnzulage zu gewähren. Auf Anfrage stellt die Personalabteilung des Haushaltsgeräteherstellers folgende Liste zur Verfügung, welche die Entfernung der Wohnorte der Beschäftigten vom Arbeitsplatz in Kilometer angibt. 18,0 3,0

24,0 12,0

5,5 13,5

20,5 11,0

7,0 12,5

4,0 36,0

30,0 10,0

3,5 32,5

9,0 2,0

1.1

Fertigen Sie eine Rangwertliste für die Entfernung vom Arbeitsplatz der Mitarbeiter des Haushaltsgräteherstellers an.

1.2

Bestimmen Sie das arithmetrische Mittel x für die aufgeführten Daten des Haushaltsgeräteherstellers.

1.3

Geben Sie den Zentralwert z der zur Verfügung gestellten Daten an.

1.4

Berechnen Sie den Quartilsabstand der Rangwertliste.

1.5

Bestimmen Sie die Standardabweichung s der zur Verfügung gestellten Daten.

1.6

Geben Sie die entsprechenden Werte an, die im Intervall [x – s; x + s] liegen.

1.7

Wie viel Prozent der Daten liegen im Intervall [x – s; x + s]?

1.8

Das Merkmal „Entfernung zwischen Wohnung und Arbeitsplatz in km“ wird in folgende Klassen eingeteilt: [0; 8,0[, [8,0; 16,0[, [16,0; 24,0[, [24,0; 32,0[, [32,0; 40,0[ Zeichnen Sie das zugehörige Säulendiagramm.

2.0

Der Durchschnittsverdienst aller Beschäftigten der Firma beträgt monatlich 2380 €. Der Personalbestand der Firma beträgt 18 Mitarbeiter.

2.1

Berechnen Sie den durchschnittlichen Monatslohn der weiblichen Mitarbeiter, wenn der durchschnittliche Monatslohn der 16 männlichen Mitarbeiter 2430 € beträgt.

118

__

__

__

__

__

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 1 1.1

1.2

Rangwertliste In einer Rangwertliste werden die Häufigkeiten entsprechend ihrer Maßzahl geordnet. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

2,0

3,0

3,5

4,0

5,5

7,0

9,0

10,0

11,0

10

11

12

13

14

15

16

17

18

12,0

12,5

13,5

18,0

20,5

24,0

30,0

32,5

36

__

Arithmetisches Mittel x __ Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. __

n

18

1 1 · x = ___ 1 (x + x + … + x ) x = __ xi = ___ ∑ 2 18 n · i∑ 18 i = 1 i 18 1 =1 __ 1 · (2,0 + 3,0 + 3,5 + 4,0 + 5,5+ 7,0 + 9,0 + 10,0 + 11,0 + 12,0 + 12,5 + 13,5 + x = ___ 18 18,0 + 20,5 + 24,0 + 30,0 + 32,5 + 36) 1 · 254 ≈ 14,11 = ___ 18 __ Das arithmetische Mittel x ist 14,11 km. 1.3

Zentralwert z Der Zentralwert z (auch Median xmed genannt) ist derjenige Wert, der die geordneten Beobachtungswerte xi in zwei Hälften teilt. Der Zentralwert steht in der Mitte der Rangwertliste. Unsere Rangwertliste ist geradzahlig (xi = 18), deshalb gilt für den Zentralwert: 1 · (x + x 1 · (x + x 1 · (x + x ) = __ 1 · (11 + 12) = 11,5 __ __ z = __ 18 18 + 1) = n n + 1) = 9 10 __ __ ___ ___ 2 2 2 2 2 2 2 2 Der Zentralwert z ist 11,5 km.

1.4

Quartilsabstand Q Wenn die geordneten Werte in vier gleiche Bereiche eingeteilt werden, so werden die drei Grenzen zwischen diesen Bereichen als Quartile bezeichnet. Für den Quartilsabstand Q gilt: Q = Q3 – Q1 3 · 5,5 = 5,125 1 · 4,0 + __ __ 1. Quartil Q1: Q1 = x_____ 18 + 1 = x___ 19 = 4,75 ⇒ Q1 = n + 1 = x______ 4 4 4 4 4 3 · 20,5 + __ 1 · 24,0 = 21,375 __ 3. Quartil Q3: Q3 = x______ 3n + 3 = x_________ 3 · 18 + 3 = x___ 57 = 14,25 ⇒ Q3 = 4 4 4 4 4 Q = 21,375 – 5,125 = 16,25

119

6

1.5

Standardabweichung s Die Standardabweichung s ist ein Maß für die Streuung der Beobachtungswerte. Sie wer__ tet die Abstände (Entfernungen) aller Beobachtungswerte vom Mittelwert x aus. Für die Standardabweichung s gilt: ___________ n __ 2 1

√

(xi – x) s = __ n i∑ =1

________________

√

__

18

1 In unserem Fall mit n = 18 und x = 14,11: s = ___ ∑ (x – 14,11)2 18 i = 1 i Bei der Berechnung der Terme ist es vorteilhaft, eine Tabelle anzulegen. __

__

n

xi

xi – x

(xi – x)2

1

2,0

–12,11

146,65

2

3,0

–11,11

123,43

3

3,5

–10,61

112,57

4

4,0

–10,11

102,21

5

5,5

–8,61

74,13

6

7,0

–7,11

50,55

7

9,0

–5,11

26,11

8

10,0

–4,11

16,89

9

11,0

–3,11

9,67

10

12,0

–2,11

4,45

11

12,5

–1,61

2,59

12

13,5

–0,61

0,37

13

18,0

3,89

15,13

14

20,5

6,39

40,83

15

24,0

9,89

97,81

16

30,0

15,89

252,49

17

32,5

18,39

338,19

18

36

21,89

__

479,17

∑ (x – x) i

2

= 1893,24

____________

1 · 1893,24 = √_______ 105,18 = 10,25 s = ___ 18

√

1.6

120

__

__

Werte im Intervall [x – s; x + s] __ __ Die Werte, die innerhalb des Intervalls [x - s; x + s] liegen, werden folgendermaßen berechnet: [14,11 – 10,25; 14,11 + 10,25] = [3,86; 24,36] ⇒ Im Intervall liegen 12 Werte (siehe Tabelle in 1.5): Die Werte von i = 4 bis i = 15.

1.7

Prozentberechnung 100 % · 12 = 66,66 % 12 von 18: ______ 18 __ __ Es liegen 66,66 % der Beobachtungswerte im Intervall [x - s; x + s].

1.8

Säulendiagramm Damit das Säulendiagramm gezeichnet werden kann, müssen die Beobachtungswerte ermittelt werden, die im entsprechenden Intervall liegen. Intervall

[0; 8[

[8; 16[

[16; 24[

[24; 32[

[32; 40[

ni

6

6

2

2

2

ni 7 6 5 4 3 2 1 x in km 0

2.1

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

Durchschnittslohn Die Berechnung des Durchschnittslohns der zwei Frauen muss in mehreren Schritten berechnet werden. Aus den Angaben kann Folgendes entnommen werden: __ Durchschnittslohn aller Beschäftigten: x = 2380 € __ Durchschnittslohn der Männer: xM = 2430 € __ Durchschnittslohn der Frauen: xF Anzahl der Mitarbeiter: n = 18 Anzahl der Männer: nM = 16 Anzahl der Frauen: nF = 2 __ Gesamtlohn: n · x = 18 · 2380 € = 42 840 € __ Gesamtlohn der Männer: nM · xM = 16 · 2430 € = 38 880 € __ __ __ n · x = nM · xM + nF · xF __ __ __ n · x – nM · xM __________________ 3960 € = 1980 € xF = ____________ = 42 840 € – 38 880 € = _______ nF 2 2 Der Durchschnittslohn der weiblichen Mitarbeiter beträgt 1980 €.

121

6

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.0

Eine Firma stellt in jedem Ausbildungsjahr neue Lehrlinge ein. Die Anzahl der Bewerberinnen und Bewerber übertrifft bei Weitem die angebotenen freien Stellen. Deshalb müssen sich die Kandidatinnen und Kandidaten einem Einstellungstest unterziehen. In folgender Häufigkeitstabelle ist das Ergebnis dieses Tests, bei dem maximal 12 Punkte erreichbar sind, von 24 Bewerberinnen und Bewerbern wiedergegeben: erreichte Punkte

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Anzahl der Prüflinge

0

1

1

1

2

4

3

5

3

2

1

1

0

1.1

Bestimmen Sie den Modalwert für die erreichten Punktezahlen.

1.2

Berechnen Sie den Median für die erreichten Punktezahlen.

1.3

Geben Sie die Spannweite der von den Kandidaten erreichten Punkte an.

1.4

Bestimmen Sie den Quartilsabstand für die erreichten Punkte.

1.5

Zeichnen Sie für die vorgegebene Häufigkeitstabelle das zugehörige Stabdiagramm.

2.0

Für folgende Aufgaben sind wieder die Daten aus der Häufigkeitstabelle zu verwenden.

2.1

Berechnen Sie für die vorgegebenen Daten den arithmetrischen Mittelwert x.

2.2

Berechnen Sie die Standardabweichung s der Häufigkeitstabelle. Erstellen Sie eine Tabelle und tragen Sie die berechneten Daten in die Tabelle ein.

2.3

Wie viel Prozent aller Bewertungen liegen im Intervall [x – 2s; x + 2s]?

2.4

Bewerberinnen und Bewerber, die im Bereich xi > x + s liegen, bekommen direkt eine Zusage für die Lehrstelle. Geben Sie die Anzahl der direkten Zusagen an.

2.5

Bewerberinnen und Bewerber, die im Intervall x < xi < x + s liegen, kommen auf die Warteliste für eine Lehrstelle. Geben Sie die Anzahl der Kandidatinnen und Kandidaten an.

122

__

__

__

__

__

__

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 2 1.0

Tabelle Zur Verdeutlichung der folgenden Berechnungen werden die Daten bzw. Ergebnisse der Bewerberinnen und Bewerber in der nachstehenden Tabelle veranschaulicht. Dabei sind in der zweiten Zeile der Tabelle die erreichten Punkte angegeben. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

4

5

5

5

5

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

8

9

9

10 11

1.1

Modalwert xmod Der Modalwert xmod ist der am häufigsten vorkommende Beobachtungswert. Am häufigsten kommt in der Tabelle der Wert 7 (5-mal) vor, deshalb ist dies der Modalwert. xmod = 7 (siehe Tabelle 1.0)

1.2

Median xmed Der Median xmed (auch Zentralwert z genannt) ist derjenige Wert, der die geordneten Beobachtungswerte xi in zwei Hälften teilt. Der Median steht in der Mitte der Rangwertliste. Unsere Rangwertliste ist geradzahlig (n = 24 Bewerber), deshalb gilt: 13 = 6,5 1 (x + x 1 (x + x 1 (x + x ) = __ 1 (6 + 7) = ___ __ __ xmed = __ n + 1) = 24 24 + 1) = 12 13 __ ___ ___ 2 __2n 2 2 2 2 2 2 2 (siehe Tabelle 1.0)

1.3

Spannweite w Die Spannweite w ist die Differenz zwischen dem größten Beobachtungswert xmax und dem kleinsten Beobachtungswert xmin in der Tabelle. w = xmax – xmin = 11 – 1 = 10 (siehe Tabelle 1.0)

1.4

Quartilsabstand Q Wenn die geordneten Werte in vier gleiche Bereiche eingeteilt werden, so werden die drei Grenzen zwischen diesen Bereichen als Quartile bezeichnet. Für den Quartilabstand Q gilt: Q = Q3 – Q1 3 · 5 + __ 15 + __ 5 = ___ 20 = 5 1 · 5 = ___ __ 1. Quartil Q1: Q1 = x_____ 25 = 6,25 ⇒ Q1 = n + 1 = x______ 24 + 1 = x___ 4 4 4 4 4 4 4 4 3 · 8 = __ 8 + ___ 32 = 8 1 · 8 + __ 24 = ___ __ 3. Quartil Q3: Q3 = x______ 3n + 3 = x_________ 3 · 24 + 3 = x___ 75 = 18,75 ⇒ Q3 = 4 4 4 4 4 4 4 4 Q=8–5=3 Der Quartilsabstand beträgt 3 Punkte (siehe Tabelle 1.0).

123

6

1.5

Stabdiagramm Im Stabdiagramm wird die Anzahl der erreichten Punkte verdeutlicht. Anzahl 6 5 4 3 2 1 0

2.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12 11 erreichte Punkte

__

Arithmetisches Mittel x __ Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. n

__

24

1 · x = ___ 1 · x = ___ 1 (x + x + … + x ) x = __ ∑ ∑ 2 24 2 i = 1 i 24 i = 1 i 24 1 __ 1 · (1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 + 2 · 4 + 4 · 5 + 3 · 6 + 5 · 7 + 3 · 8 + 2 · 9 + 1 · 10 + 1 · 11) x = ___ 24 1 · (1 + 2 + 3 + 8 + 20 + 18 + 35 + 24 + 18 + 10 + 11) = ___ 1 · 150 = 6,25 = ___ 24 24 __

Der arithmetrische Mittelwert x beträgt 6,25 Punkte. 2.2

Standardabweichung s Die Standardabweichung s ist ein Maß für die Streuung der Beobachtungswerte. Sie wer__ tet die Abstände (Entfernungen) aller Beobachtungswerte vom Mittelwert x aus. Für die Standardabweichung s gilt: ___________ n __ 2 1

√

(xi – x) s = __ n i∑ =1

_______________

__

√

24

1 In unserem Fall mit n = 24 und x = 6,25: s = ___ ∑ (x – 6,25)2 24 i = 1 i __

Bei der Berechnung der Terme (xi – x)2 ist es vorteilhaft, eine Tabelle anzulegen. Es kann dabei eine Tabelle mit 24 Zeilen angelegt werden oder eine Tabelle mit einer zusätzlichen Spalte, in der die Häufigkeit der erzielten Punktewerte eingetragen wird __ (n · (xi – x)2 ).

124

__

__

__

ni

xi

xi – x

(xi – x)2

ni · (xi – x)2

0

0

–6,25

39,06

0

1

1

–5,25

27,56

27,56

1

2

–4,25

18,06

18,06

1

3

–3,25

10,56

10,56

2

4

–2,25

5,06

10,12

4

5

–1,25

1,56

6,24

3

6

–0,25

0,06

0,18

5

7

0,75

0,56

2,80

3

8

1,75

3,06

9,18

2

9

2,75

7,56

15,12

1

10

3,75

14,06

14,06 22,56

1

11

4,75

22,56

0

12

5,75

33,06

__

0

∑ n · (x – x) i

i

2

= 136,44

___________

1 · 136,44 = √______ s = ___ 5,685 ≈ 2,38 24

√

2.3

Prozentberechnung __ __ Die Werte, die innerhalb des Intervalls [x – 2s; x + 2s] liegen, werden folgendermaßen berechnet: [6,25 – 2·2,38; 6,25 + 2·2,38] = [6,25 – 4,76; 6,25 + 4,76] = [1,49; 11,01] ⇒ Im Intervall liegen 23 Bewerberinnen und Bewerber (siehe Tabelle 1.0). 100 % · 23 = 95,83 % 23 von 24: ______ 24 __ __ Es liegen 95,83 % der Bewertungen im Intervall [x – 2s; x + 2s].

2.4

Bewerberinnen und Bewerber mit fester Zusage __ Es müssen die Punkte berechnet werden, für die gilt: xi > x + s xi > 6,25 + 2,38 = 8,63 ⇒ Alle Bewerberinnen und Bewerber mit 9, 10 und 11 Punkten werden direkt übernommen. Dies sind insgesamt vier.

2.5

Bewerberinnen und Bewerber für die Warteliste __ __ Es müssen die Punkte berechnet werden, für die gilt: x < xi < x + s 6,25 < xi < 8,63 ⇒ Alle Bewerberinnen und Bewerber mit 7und 8 Punkten werden auf die Warteliste gesetzt. Dies sind insgesamt acht.

125

6

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.0

Ein Hersteller von Autoreifen macht eine Umfrage bei seinen Kunden, die die Marke „longdrive“ vertreiben. Die Werkstätten melden an den Hersteller Daten von zweihundert Autofahrern, die folgende Laufleistung L (in 1000 km) angaben: Laufleistung L in 103 km Anzahl n der Befragten

8–10 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–50 2 8 30 40 50 40 24 6

(Die Laufleistungsintervalle sind links abgeschlossen und rechts offen.) 1.1

Zeichnen Sie das Säulendiagramm für die Angaben der Autofahrer.

1.2

Berechnen Sie die mittlere Laufleistung L.

1.3

Berechnen Sie die Standardabweichung s.

1.4

Wie viele der Befragten liegen mit ihren Angaben im Intervall [L – s; L + s]?

2.0

In einer Prüfungsarbeit konnten maximal 15 Punkte erzielt werden. Nach der Korrektur der Arbeiten ergab sich bei den 20 Prüfungsteilnehmern folgendes Bild:

__

__

erreichte Punktzahl Anzahl der Schüler

0 1

1

2 1

3

4

5 2

6

7 2

8

9 3

__

10 3

11 4

12 1

13 2

14

15 1

2.1

Geben Sie die Spannweite der von den Kandidaten erreichten Punkte an.

2.2

Bestimmen Sie den Modalwert für die erreichten Punktezahlen.

2.3

Geben Sie den Zentralwert an.

2.4

Berechnen Sie das arithmetrische Mittel x der erreichten Punkte.

2.5.0

Die Punktezahlen in der Tabelle werden nun klassifiziert (d. h., die erreichten Punkte werden in Noten umgerechnet).

__

Note Klassengrenzen

2.5.1

126

1 2 3 15 ≥ x ≥ 13 13 > x ≥ 10 10 > x ≥ 7

4 7>x≥4

5 4>x≥1

Zeichnen Sie das Säulendiagramm für die Häufigkeitsverteilung der Noten.

6 1>x≥0

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Statistik Abschlussprüfung Übungsaufgabe 3 1.1

Säulendiagramm Maßstab auf Abszissenachse: 5000 km ≙ 1 cm; auf Ordinatenachse: 10 Autofahrer ≙ 1 cm ni 66 50 40 30 20 10 0

1.2

5

10

15

20

25

30

35

40 45 50 Laufleistung/1000 km __

Mittlere Laufleistung (Arithmetisches Mittel x) __ Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. Bei der Berechnung der Laufleistung wird die Intervallmitte gewählt (siehe auch Tabelle in Teilaufgabe 1.3). __

__

n

200

1 1 · x = ____ 1 (x + x + … + x ) x = L = __ xi = ____ ∑ 2 200 n · i∑ 200 i = 1 i 200 1 =1 __ 1 · (2 · 9 + 8 · 12,5 + 30 · 17,5 + 40 · 22,5 + 50 · 27,5 + 40 · 32,5 + 24 · 37,5 + 6 · 45) L = ____ 200 1 · (18 + 100 + 525 + 900 + 1375 + 1300 + 900 + 270) = ____ 1 · 5388 = 26,94 = ____ 200 200 __

Die mittlere Laufleistung beträgt L = 26,94 · 1000 km = 26940 Kilometer (ca. 27 000 Kilometer).

127

6

1.3

Standardabweichung s Die Standardabweichung s ist ein Maß für die Streuung der Beobachtungswerte. Sie wer__ tet die Abstände (Entfernungen) aller Beobachtungswerte vom Mittelwert x aus. Für die Standardabweichung s gilt: ___________ n __ 2 1

√

(xi – x) s = __ n i∑ =1

_________________

√

__

200

1 In unserem Fall mit n = 200 und x = 26,94: s = ____ ∑ (x – 26,94)2 200 i = 1 i Die Mitte des Intervalls wird mit mi bezeichnet. __ Bei der Berechnung der Terme (xi – x)2 ist es vorteilhaft, eine Tabelle anzulegen. Es kann dabei eine Tabelle mit 200 Zeilen angelegt werden oder eine Tabelle mit einer zusätzlichen Spalte, in der die Häufigkeit der erzielten Punktewerte eingetragen wird __ (n · (xi – x)2). __

__

__

ni

mi = xi

xi – x

(xi – x)2

ni · (xi – x)2

2

9

–17,94

321,84

643,68

8

12,5

–14,44

208,51

1668,10

30

17,5

–9,44

89,11

2673,40

40

22,5

–4,44

19,71

788,54

50

27,5

0,56

0,31

15,68

40

32,5

5,56

30,91

1236,54

24

37,5

10,56

111,51

2676,32

6

45

18,06

326,16

__

1956,98

∑ n · (x – x) i

i

2

= 11 659,24

_______________

1 · 11 659,24 = √______ s = ____ 58,29 = 7,63 200

√

Die Standardabweichung s beträgt 7,63 · 1000 km = 7630 km. 1.4

128

__

__

Beobachtungswerte im Intervall [L – s; L + s]__ __ Berechnung der Werte innerhalb des Intervalls [L – s; L + s]: [26,94 – 7,63; 26,94 + 7,63] = [19,31; 34,57] ⇒ Im Intervall liegen (40 + 50 + 40) = 130 Angaben der Autofahrer. 100 % · 130 = 65 % 130 von 200: ______ 200 __ __ Es liegen 65% der Bewertungen im Intervall [L – s; L + s].

2.0

2.1

Tabelle Zur Verdeutlichung der folgenden Berechnungen werden die Daten bzw. Ergebnisse der Bewerberinnen und Bewerber in der folgenden Tabelle veranschaulicht. Dabei sind in der zweiten Zeile der Tabelle die erreichten Punkte angegeben. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

2

5

5

7

7

9

9

9

10 10 10 11 11 11 11 12 13 13 15

Spannweite w Die Spannweite w ist die Differenz zwischen dem größten Beobachtungswert xmax und dem kleinsten Beobachtungswert xmin in der Tabelle. w = xmax – xmin = 15 – 0 = 15 (siehe Tabelle 2.0)

2.2

Modalwert xmod Der Modalwert xmod ist der am häufigsten vorkommende Beobachtungswert. Am häufigsten kommt in der Tabelle der Wert 11 (4-mal) vor, deshalb ist dies der Modalwert. xmod = 11 (siehe Tabelle 2.0)

2.3

Zentralwert z Der Zentralwert z (auch Median xmed genannt) ist derjenige Wert, der die geordneten Beobachtungswerte xi in zwei Hälften teilt. Der Zentralwert steht in der Mitte der Rangwertliste. Unsere Rangwertliste ist geradzahlig (n = 24 Bewerber), deshalb gilt: 20 = 10 1 (x + x 1 (x + x ) = __ 1 (10 + 10) = ___ 1 (x + x __ __ z = __ 20 20 + 1) = n + 1) = 10 11 __ ___ ___ 2 __2n 2 2 2 2 2 2 2 (siehe Tabelle 2.0)

2.4

__

Arithmetisches Mittel x __ Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. __

n

20

1 1 · x = ___ 1 (x + x + … + x ) x = __ xi = ___ ∑ 2 20 n · i∑ 20 i = 1 i 20 1 =1 __ 1 · (1 · 0 + 1 · 2 + 2 · 5 + 2 · 7 + 3 · 9 + 3 · 10 + 4 · 11 + 1 · 12 + 2 · 13 + 1 · 15) x = ___ 20 1 · (0 + 2+ 10 + 14 + 27 + 30 + 44 + 12 + 26 + 15) = ___ 1 · 180 = 9,0 = ___ 20 20

6

__

Der arithmetische Mittelwert x beträgt 9 Punkte.

129

2.5.0

Zuordnung der erreichten Punkte zu Noten Die in der Prüfungsarbeit erzielten Punkte müssen nun den entsprechenden Noten zugeordnet werden. Noten

2.5.1

Klassengrenzen

Anzahl der Schüler

1

15 ≥ x ≥ 13

3

2

13 > x ≥ 10

8

3

10 > x ≥ 7

5

4

7>x≥4

2

5

4>x≥1

1

6

1>x≥0

1

Säulendiagramm Im Säulendiagramm wird für jede Merkmalsausprägung (Notenstufe) eine einzelne Säule gezeichnet. 9

Anzahl der Schüler

8 7 6 5 4 3 2 1 Noten 0

130

1

2

3

4

5

6

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 1.0

Anita, Bärbel und Christian besuchen ein Volksfest. Bei einem Bummel über den Volksfestplatz versuchen sie ihr Glück an der Schießbude.

1.1

Anita und Bärbel schießen (unabhängig von einander) jeweils einmal. Anita trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%, Bärbel trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 70%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den beiden Mädchen a) keine trifft, b) genau eine trifft.

1.2

Christian hat eine Treffsicherheit von 60%. Wie oft muss Christian mindestens schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens einmal zu treffen?

2.0

Gleich neben der Schießbude ist der Stand der Jugendabteilung des örtlichen Sportvereins, der ein Gewinnspiel anbietet. Bei diesem Glücksspiel werden zwei gleich große Glücksräder verwendet, die in vier gleich große 1 0 Sektoren mit den Ziffern 0, 1, 0, 5 eingeteilt sind. Jedes Feld kann nach der Betätigung der Räder 0 0 1 5 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit angezeigt 5 0 werden. Für ein Spiel wird jede der beiden Scheiben einmal gedreht. Die Höhe des Gewinns hängt von den beiden angezeigten Ziffern ab. Einsatz und Gewinn zeigt folgende Tafel an: Spieleinsatz: Gewinnchance: Beide Ziffern gleich: Ungleiche Ziffern und Ziffernsumme mindestens 5: Andere Ziffernpaare:

1€ 2€ 0,4 € verloren

2.1

Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und geben Sie für jedes mögliche Ziffernpaar die zugehörige Wahrscheinlichkeit an.

2.2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Die Ziffernsumme beträgt mindestens 5 B: Das Ziffernpaar ist nicht 55 C: Mindestens ein Glücksrad zeigt die Ziffer 0 D: Ein Spieler erhält 2 €; 0,40 € bzw. 0 €

6

131

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 4 1.1

Wahrscheinlichkeitsberechnung Anita hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,4 (40%), ein Fehlschuss die Wahrscheinlichkeit (1 – 0,4) = 0,6 (60%). Bärbel hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,7 (70%), ein Fehlschuss die Wahrscheinlichkeit (1 – 0,7) = 0,3 (30%). Festlegung: A: „Anita trifft“ B: „Bärbel trifft“ A und B sind stochastisch unabhängig. a) Keine trifft ⇒ Anita trifft nicht und Bärbel trifft nicht. Wegen der Schnittmenge (UNDVerknüpfung) müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. __ __ __ __ ⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = (1 – 0,4) · (1 – 0,7) = 0,6 · 0,3 = 0,18 Die Wahrscheinlichkeit, dass keine trifft, beträgt 18%. b) Genau eine trifft ⇒ Anita trifft und Bärbel trifft nicht, oder Anita trifft nicht und Bärbel trifft. In diesem Fall liegt die Vereinigungsmenge (ODER-Verknüpfung) von zwei Schnittmengen (UND-Verknüpfung) vor. Deshalb müssen die beiden Schnittmengen addiert werden. __ __ __ __ __ __ ⇒ P (A ∩ B) ∪ P (A ∩ B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) = P (A) · P (B) + P (A) · P (B)= = 0,4 · (1 – 0,7) + (1 – 0,4) · 0,7 = 0,4 · 0,3 + 0,6 · 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54 Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine trifft, beträgt 54%.

1.2

Bernoulli-Kette Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Bernoulli-Kette unbekannter Länge mit mindestens einem Treffer. Dabei ist das Ereignis E „Christian trifft“ ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit P(E) = 0,6. Der Begriff „wenigsten einmal“ bedeutet Z ≥ 1, das Gegenereignis „nicht einmal“ bedeutet Z = 0. Für unser Beispiel gilt: P (Z ≥ 1) > 0,99 Die Aufgabe wird vereinfacht, wenn mit dem Gegenereignis gearbeitet wird.

132

P (Z ≥ 1) + P (Z = 0) = 1 P (Z ≥ 1) = 1 – P (Z = 0)

| umstellen nach P (Z ≥ 1)

1 – P (Z = 0) > 0,99 – P (Z = 0) > 0,99 – 1 – P (Z = 0) > –0,01 P (Z = 0) < 0,01

| umstellen nach P (Z = 0) | · (–1) (Beachte: Das Ungleichheitszeichen „dreht sich um“)

()

Für eine Bernoulli-Kette unbekannter Länge gilt: B (n;p;k) = n · pk (1 – p)n – k k ⇒ n · (0,6)0 · (1 – 0,6)n – 0 < 0,01 0 1 · 1 · (0,4)n < 0,01 | ln (logarithmieren) (0,4)n < 0,01 | Logarithmengesetz anwenden ln (0,4)n < ln (0,01) n · ln (0,4) < ln (0,01) | : ln (0,4) (Achtung: ln (0,4) ist negativ, deshalb < → >) ln (0,01) _______ n> | (Taschenrechner) ln (0,4) n > 5,03 ⇒ n ≥ 6

()

Christian muss also mindestens 6-mal schießen, damit er bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 60% mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% trifft. 2.1

Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden angetragen. Als Pfad wird in einem Baumdiagramm der Weg von der Wurzel über die Verzweigungspunkte bis zur letzten Stufe bezeichnet. 1 = 0,5 Die Ziffer 0 kommt 2-mal vor, deshalb gilt: P (0) = __ 2 1 = 0,25 Die Ziffer 1 kommt 1-mal vor, deshalb gilt: P (1) = __ 4 1 = 0,25 Die Ziffer 5 kommt 1-mal vor, deshalb gilt: P (5) = __ 4

1 __

2

0

1 __

1

1 __

1 __

4

2

4

1

4

4

0

1 __

1 __

1 __

2

5

0

1 __

5

1 __

1 __

4

2

4

1

5

0

1 __

6

1 __

4

4

1

5

133

Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (z), dass ein Ziffernpaar eintritt, wird mit der Pfadmultiplikationsregel durchgeführt: P (z) = P (E1) · P (E2). Die berechneten Werte werden dann in die Tabelle eingetragen. 1 · __ 1 = __ 1 = 0,25; P (00) = P (0) · P (0) = __ 2 2 4 1 · __ 1 = __ 1 = 0,125; P (01) = P (0) · P (1) = __ 2 4 8 1 · __ 1 = __ 1 = 0,125; P (05) = P (0) · P (5) = __ 2 4 8 1 · __ 1 = __ 1 = 0,125; P (10) = P (1) · P (0) = __ 4 2 8 1 · __ 1 = ___ 1 = 0,0625; P (11) = p (1) · P (1) = __ 4 4 16

1 · __ 1 = ___ 1 = 0,0625; P (15) = P (1) · P (5) = __ 4 4 16 1 · __ 1 = __ 1 = 0,125; P (50) = P (5) · P (0) = __ 4 2 8 1 · __ 1 = ___ 1 = 0,0625; P (51) = P (5) · P (1) = __ 4 4 16 1 · __ 1 = ___ 1 = 0,0625; P (55) = P (5) · P (5) = __ 4 4 16

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten:

2.2

zi

00

01

05

10

P({zi})

0,25

0,125

0,125

0,125

11

15

0,0625 0,0625

50 0,125

51

55

0,0625 0,0625

P (A): Ziffernsumme mindestens 5 Ziffernsumme mindestens 5 bedeutet alle Ziffernpaare, deren Summe größer oder gleich 5 ist. Dies sind die Kombinationen 0+5; 5+0; 1+5; 5+1 und 5+5. ⇒ P (A) = P (05) + P (50) + P (15) + P (51) + P (55) = 0,125 + 0,125 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 = 0,4375 = 43,75% P (B): Ziffernpaar nicht Kombination 55 ___ Ziffernpaar nicht Kombination 55 bedeutet P (55). Das bedeutet also alle anderen möglichen Zifferenpaare. Hier kann zur Verkürzung der Aufgabe mit dem Gegenereignis gerechnet werden. ___ ___ P (55) + P (55) = 1 ⇒ P (55) = 1 – P (55) ___ P (55) = 0,0625 (siehe Tabelle) ⇒ P (B) = P (55) = 1 – 0,0625 = 0,9375 = 93,7% P (C): Mindestens ein Glücksrad zeigt die Ziffer 0 Dies bedeutet: P (C) = P (00) + P (01) + P (05) + P (10) + P (50) = 0,25 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,75 = 75% P (D1): Ein Spieler erhält 2 € P (2 €) = P (00) + P (11) + P (55) = 0,25 + 0,0625 + 0,625 = 0,375 = 37,5% P (D2): Ein Spieler erhält 0,4 € P (0,4 €): P (Ungeleiche Ziffern) ∩ P (A) = (P (01); P (05); P (10); P (15); P (50); P (51) ∩ P (A) = P (05) + P (15) + P (50) + P (51) = 0,125 + 0,0625 + 0,125 + 0,0625 = 0,375 = 37,5% P (D3): Ein Spieler verliert P (0 €) = 1 – (P (2 €) + P (0,4 €)) = 1 – (0,375 + 0,375) = 1 – 0,75 = 0,25 = 25%

134

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.0

An einer Lottoannahmestelle wer5€ den Rubbelkarten angeboten. Von den neun Feldern einer Karte tragen drei den Auszahlungsbetrag 1 € und 1€ 5€ zwei den Auszahlungsbetrag 5 €. Die restlichen vier Felder sind Leerfelder. Die Lage der einzelnen Felder 1€ 1€ ist zufällig. Die nebenstehende Skizze zeigt ein mögliches Ergebnis. Jedes Feld ist mit einer undurchsichtigen Deckschicht überzogen, die man mit einem harten Gegenstand (z. B. einer Münze) entfernen kann. Ein Spiel ist wie folgt definiert: Nach dem Kauf der Rubbelkarte muss der Käufer genau zwei Felder aufrubbeln (d. h. die Deckschicht dieser beiden Felder entfernen), sodass der Inhalt dieser Felder sichtbar wird.

1.1

Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm für ein Spiel mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und berechen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Beide Felder sind leer B: Beide Felder zeigen einen Geldbetrag an C: Höchstens ein Feld zeigt einen Geldbetrag an D: Beide Felder zeigen einen Geldbetrag von mindestens 6 € an

1.2.0

Eine Rubbelkarte kostet 3 €. Es werden die Geldbeträge der aufgerubbelten Felder ausgezahlt. Für Leerfelder gibt es nichts.

1.2.1

Erstellen Sie eine Tabelle für alle möglichen Auszahlungsbeträge.

1.2.2

Welchen Gewinn kann der Betreiber des Gewinnspiels im Durchschnitt von 10 Spielen erwarten?

1.3

Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbleibt dem Käufer in einem Spiel ein Gewinn?

1.4

Ein Spieler kauft 10 Rubbelkarten. Bei wie vielen Spielen kann er mit einem Gewinn rechnen?

1.5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Aufrubbeln von 3 Karten mindestens einmal ein Gewinn verbleibt?

6

135

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 5 1.1

Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden angetragen. Als Pfad wird in einem Baumdiagramm der Weg von der Wurzel über die Verzweigungspunkte bis zur letzten Stufe bezeichnet. In den 9 Feldern der Rubbelkarte kommen 5 € zweimal und 1 € dreimal vor, deshalb gilt in der 1. Stufe des Baumdiagramms: 3 und P (L) = __ 4 2 ; P (1 €) = __ P (5 €) = __ 9 9 9 Die zweite Stufe des Baumdiagramms ist von der 1. Stufe abhängig. Es stehen nur noch acht Felder zum Aufrubbeln bereit. Des Weiteren ist zu beachten, dass wenn beim ersten Mal Rubbeln ein Geldbetrag sichtbar wurde, dieser Betrag beim Aufrubbeln des zweiten Feldes nicht mehr zur Verfügung steht. Deshalb gilt für die 2. Stufe des Baumdiagramms: 3 und P (L) = __ 4 1 ; P (1 €) = __ Falls in der 1. Stufe 5 € erschienen: P (5 €) = __ 8 8 8 2 ; P (1 €) = __ 2 und P (L) = __ 4 Falls in der 1. Stufe 1 € erschien: P (5 €) = __ 8 8 8 3 und P (L) = __ 3 2 ; P (1 €) = __ Falls in der 1. Stufe ein Leerfeld erschien: P (5 €) = __ 8 8 8

2 __

3 8 __ 8

5

1

9

9

5 1 __

4 __

3 __

9

1 4 __

2 __

L

5

2 8 __ 8

8

L 4 __

2 __

1

L

5

3 __

8 __ 3 8

8

8

1

L

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten:

136

zi

55

51

5L

15

11

1L

L5

L1

LL

P({zi})

2 ___

6 ___

8 ___

6 ___

6 ___

12 ___

8 ___

12 ___

12 ___

72

72

72

72

72

72

72

72

72

Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (z), dass ein Felderpaar eintritt, wird mit der Pfadmultiplikationsregel durchgeführt: P (z) = P (E1) · P (E2), wobei E1 das Ereignis der 1. Stufe und E2 das Ereignis der 2. Stufe ist. P(A): Beide Felder sind leer 3 = ___ 4 · __ 12 = __ 1 = 0,1666 = 16,66% P(A) = P (LL) = P (L1) · P (L2) = __ 9 8 72 6 P(B): Beide Felder zeigen einen Geldbetrag an Für dieses Ereignis muss sowohl die Pfadmultiplikationsregel als auch die Pfadadditionsregel angewendet werden, da es mehrere Treffer gibt. Die Ergebnisse können der Tabelle (vorherige Seite) entnommen werden. P (B) = P (55) + P (51) + P (11) + P (15) 6 + ___ 6 + ___ 6 = ___ 20 = ___ 5 = 0,277 = 27,7% 2 + ___ P (B) = ___ 72 72 72 72 72 18 P (C): Höchstens ein Feld zeigt einen Geldbetrag an Für dieses Ereignis kann mit dem Gegenereignis zu P (B) gearbeitet werden, denn es schließt genau das Ereignis P (B) aus. P (B) + P (C) = 1 ⇒ P (C) = 1 – P (B) 5 = ___ 18 – ___ 5 = ___ 13 = 0,722 = 72,2% P (C) = 1 – ___ 18 18 18 18 P (D): Beide Felder zeigen zusammen einen Geldbetrag von mindestens 6 € an Für dieses Ereignis muss sowohl die Pfadmultiplikationsregel als auch die Pfadadditionsregel angewendet werden, da es mehrere Treffer gibt. Die Ergebnisse können der Tabelle (vorherige Seite) entnommen werden. 6 + ___ 6 = ___ 14 = ___ 7 = 0,194 = 19,4% 2 + ___ P (D) = P (55) + P (51) + P (15) = ___ 72 72 72 72 36 1.2.1

Mögliche Auszahlungsbeträge Die entsprechenden Ereignisse können dem Baumdiagramm bzw. der Tabelle (vorherige Seite) entnommen werden. Z: Ausbezahlungsbetrag in € Es gilt: P (0) = P (LL); P (1) = P (1L) + P (L1); P (5) = P (5L) + P (L5); P (6) = P (15) + P (51);

6

P (2) = P (11); P (10) = P (55);

Z

0

1

2

5

6

10

P (Z)

12 ___

24 ___

6 ___

16 ___

12 ___

2 ___

72

72

72

72

72

72

137

1.2.2

Zu erwartender Gewinn des Betreibers bei 10 Spielen Es muss erst der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags E (Z) ermittelt werden. Es wird deshalb der zu erwartende Auszahlungsbetrag mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multipliziert. 6 + 5 · ___ 16 + 6 · ___ 24 + 2 · ___ 12 + 10 · ___ 2 12 + 1 · ___ E (Z) = 0 · ___ 72 72 72 72 72 72 80 + ___ 20 = ____ 208 = ___ 26 24 + ___ 12 + ___ 72 + ___ = 0 + ___ 72 72 72 72 72 72 9 Gewinn für den Betreiber bei 10 Spielen Jedes Spiel kostet 3 €. Daher nimmt der Betreiber bei 10 Spielen 30 € ein. 26 € = ____ 260 € 26 €; Erwartungswert für 10 Spiele: 10 · ___ Erwartungswert für ein Spiel: ___ 9 9 9 260 € = ____ 270 € – ____ 260 € = ___ 10 € = 1,11 ⇒ Gewinn G für 10 Spiele: G = 30 € – ____ 9 9 9 9 Der Betreiber kann im Durchschnitt bei 10 Spielen mit einem Gewinn von 1,11 € rechnen.

1.3

Wahrscheinlichkeit eines Gewinns beim Kauf eines Loses Ereignis E: „Käufer macht Gewinn“ Damit ein Käufer Gewinn macht, muss er mehr als 3 € (Lospreis) erzielen. ⇒ P (E) = P (5 €) + P (6 €) + P (10 €) (siehe 1.2.1) 30 = ___ 5 = 0,416 = 41,6% 16 + ___ 12 + ___ 2 = ___ P (E) = ___ 72 72 72 72 12 Ein Loskäufer kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 41,6% mit einem Gewinn rechnen, d. h., er bekommt mehr Geld heraus, als er eingesetzt hat.

1.4

Gewinnerwartung bei 10 Rubbelkarten 5 Die Gewinnerwartung P (E) bei einem Spiel beträgt: ___ 12 5 = ___ 50 = 4,16 ⇒ Gewinnerwartung GE bei 10 Spielen: GE = 10 · ___ 12 12 ⇒ Ein Spieler kann beim Kauf von 10 Losen mit mindestens 4 Losen rechnen, bei denen er Gewinn erzielt.

1.5

Wahrscheinlichkeit, dass beim Aufrubbeln von 3 Losen mindestens einmal ein Gewinn verbleibt __ 5 = ___ 7 Es kann mit dem Gegenereignis gearbeitet werden: P (E) = 1 – P (E) = 1 – ___ 12 12 __ 3 342 7 = ___ 7 = _____ Bei drei Spielen: 3 · P (E) = 3 · ___ 12 12 1728 ⇒ Gewinnerwartung P (G):

( )

__

342 = _____ 1728 – _____ 342 = _____ 1385 ≈ 0,802 = 80,2% P (G) = 1 – 3 · P (E) = 1 – _____ 1728 1728 1728 1728 Wenn ein Spieler 3 Lose aufrubbelt, kann er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80,2 % rechnen, dass er einen Gewinn macht.

138

Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.0

In einer Großstadt wurde die Pünktlichkeit von öffentlichen Verkehrsmitteln untersucht. Umfangreiche Beobachtungen haben ergeben, dass an der Haltestelle „Hauptbahnhof“ 60% aller Busse unabhängig von einander pünktlich abfahren.

1.1

An dieser Haltestelle werden nun drei zufällig ausgewählte, aufeinander folgende Busse in Bezug auf Pünktlichkeit beobachtet. Veranschaulichen Sie für diese drei Busse alle Möglichkeiten des Pünktlichkeitsverhaltens in einem Baumdiagramm.

1.2

Ermitteln Sie für das Zufallsexperiment „Pünktlichkeit der abfahrenden Busse“ die Wahrscheinlichkeit aller denkbaren Elementarereignisse.

1.3

Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an: A: Drei Busse fahren hintereinander pünktlich ab B: Zwei von drei Bussen fahren pünktlich ab

1.4

Nun werden an dieser Haltestelle zehn zufällig ausgewählte Busse in Bezug auf Pünktlichkeit beobachtet. Berechnen Sie auf drei Stellen hinter dem Komma gerundet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den zehn Bussen genau zwei Busse nicht pünktlich abfahren.

2.0

Bei einem örtlichen Sportverein werden für Frauen (F) und Männer (M) die Aktivitäten Krafttraining (K) und Laufen (L) angeboten. Die Besucher wählen das Krafttraining zu 30%. Die Männer bilden eine Gruppe von 60%. Von den Frauen machen 10% ein Krafttraining.

2.1

Fertigen Sie eine Vierfeldertafel für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.

2.2

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Mann Laufsport betreibt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Männer Laufsport betreiben.

3.0

In der Jugendgruppe des Sportvereins, bestehend aus 30% Mädchen, werden für die Jugendlichen Fußballspielen (F) und Handballspielen (H) angeboten. Von den Jugendlichen spielen 31% Handball und 6% aller Fußballspieler sind Mädchen.

3.1

Fertigen Sie eine Vierfeldertafel für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.

3.2

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Junge Fußball spielt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Jungen Fußball spielen.

139

6

Lösung Mathematik Themenbereich – Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Abschlussprüfung Übungsaufgabe 6 1.1

Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden angetragen. Als Pfad wird in einem Baumdiagramm der Weg von der Wurzel über die Verzweigungspunkte bis zur letzten Stufe bezeichnet. Die einzelnen Stufen des Baumdiagramms sind unabhängig voneinander, deshalb treten bei jeder Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten auf. Es gilt in jeder Stufe für die Wahrscheinlichkeiten: – „pünktlich“ P (p): P (p) = 60% = 0,6 – „unpünktlich“ P (u): P (u) = 1 – P (p) = 1 – 0,6 = 0,4 = 40%

0,4

0,6

u 0,4

0,6

0,4

0,6

u

p

u

p

0,4

0,6

u

p

{uuu} {uup}

1.2

p

0,4

u

0,6

0,4

p

u

{upu} {upp}

0,6

p

{puu} {pup}

0,4

0,6

u

p

{ppu} {ppp}

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P (zi) P (uuu) = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 = 6,4%; P (upu) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096 = 9,6%; P (puu) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096 = 9,6%; P (ppu) = 0,6 · 0,6 · 0,4 = 0,144 = 14,4%;

P (uup) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096 = 9,6%; P (upp) = 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144 = 14,4%; P (pup) = 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144 = 14,4%; P (ppp) = 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216 = 21,6%;

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten:

140

zi

uuu

uup

upu

upp

puu

pup

ppu

ppp

P ({zi)}

0,064

0,096

0,096

0,144

0,096

0,144

0,144

0,216

1.3

Wahrscheinlichkeit P (A) und P (B) Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Busse hintereinander pünktlich abfahren, wird mit P (A) bezeichnet. Für P (A) gilt die Pfadmultiplikationsregel. P (A) = P (ppp) = P (p) · P (p) · P (p) = 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216 = 21,6% Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Busse hintereinander pünktlich abfahren, beträgt 21,6%. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von drei Bussen hintereinander pünktlich abfahren, wird mit P (B) bezeichnet. Für P (B) gilt die Pfadmultiplikationsregel (Schnittmenge) und die Pfadadditionsregel (Vereinigungsmenge). P (B) = P (ppu) ∪ P (pup) ∪ P (upp) = P (ppu) + P (pup) + P (upp) = 0,6 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144 + 0,144 + 0,144 = 0,432 = 43,2% Die Wahrscheinlichkeit, dass drei von zwei Bussen hintereinander pünktlich abfahren, beträgt 43,2%.

1.4

Wahrscheinlichkeit P (Von zehn Bussen fahren genau zwei nicht pünktlich ab) Die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn zufällig ausgewählten Bussen genau zwei nicht pünktlich abfahren, wird mit der Binomialverteilung berechnet.

()

Für die Binomialverteilung B (n;p;k) = n · pk · (1 – p)n – k gilt in unserem Fall: k n = 10, p = 0,4, k = 2 Diese Zahlenwerte werden in die Formel für die Binomialverteilung eingesetzt:

( )

B (10;0,4;2) = 10 · (0,4)2 · (1 – 0,4)10 – 2 2 10! 10! = _________ 10 · 9 · 8! = ______ 10 · 9 = ___ 90 = 45 mit 10 = ___________ = ______ 2 2 2 2 · 1 · 8! 2! · (10 – 2)! 2! · 8! und (0,4)2 = 0,16 sowie (1 – 0,4)10 – 2 = (0,6)8 = 0,017

( )

( )

⇒ B (10;0,4;2) = 10 · (0,4)2 · (0,6)8 = 45 · 0,16 · 0,017 = 0,122 = 12,2% 2 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 12,2% fahren zwei von zehn Bussen nicht pünktlich von der Haltestelle ab.

2.1

Vierfeldertafel In einer Vierfeldertafel sind die Ergebnisse bzw. Wertigkeiten der vier Pfade eines zweistufigen Baumdiagramms enthalten. Die Vierfeldertafel besteht aus vier Zeilen und vier Spalten. Um an einer Vierfeldertafel Berechnungen durchführen zu können, sind vier Angaben (Zahlenwerte) erforderlich, dabei muss mindestens einer ein Feldwert sein. Die Summe der vierten Zeile und die Summe der vierten Spalte ist jeweils immer „1“. Zur Anfertigung der Vierfeldertafel werden die Angaben aus der Aufgabenstellung in die Felder eingetragen.

141

6

Die Angabe Frauen (F) und Männer (M) werden in Spalte 2 und 3 oben, die Aktivitäten Krafttraining (K) und Laufen (L) werden in die Zeilen 2 und 3 links eingetragen.

F

M

K L 1

Die Angabe, die Gäste wählen von den angebotenen zwei Aktivitäten das Krafttraining zu 30%, bedeutet, dass der Beobachtungswert 30% = 0,3 in die 4. Spalte und 2. Zeile eingetragen wird.

F

M 0,3

K L

1 Wegen der Spaltensumme = 1 in der 4. Spalte, gilt für den Beobachtungswert L: L = 1 – K = 1 – 0,3 = 0,7.

F

M

K

0,3

L

0,7 1

Die Angabe, dass 60% = 0,6 der Gäste Männer sind, wird in das Feld „4. Zeile und 3. Spalte“ eingetragen.

F

M

K

0,3

L

0,7 0,6

Aus der Tatsache, dass die Summe in der 4. Zeile „1“ sein muss, folgt, dass das Feld „4. Zeile und 2. Spalte“ den Wert F: F = 1 – 0,6 = 0,4 hat.

F

M

K

0,3

L

0,7 0,4

142

1

0,6

1

Die Angabe, dass von den Frauen 10% = 0,1 ein Krafttraining absolvieren, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit. Da 40% = 0,4 der Gäste Frauen sind und von denen 10% = 0,1 Krafttraining machen, ist die Schnittmenge (Pfadmultiplikation im Baumdiagramm) 0,4 · 0,1 = 0,04. Der Wert 0,04 wird in das Feld „2. Zeile und 2. Spalte“ eingetragen. Mit dieser Belegung der Vierfeldertafel können die Werte in den verbliebenen leeren Feldern berechnet werden. Die Summe im Feld „2. Zeile und 4. Spalte“ beträgt 0,3, deshalb ist in das Feld „2. Zeile und 3. Spalte“ der Wert 0,26 einzutragen.

Die gleiche Vorgehensweise gilt für die Spaltensummen: F ∩ S = 0,4 – 0,04 = 0,36 M ∩ S = 0,6 – 0,26 = 0,34

2.2

F K

M

0,04

0,3

L

K

0,7 0,4

0,6

F

M

0,04

0,26

L

1

0,3 0,7

0,4

0,6

F

M

K

0,04

0,26

0,3

L

0,36

0,34

0,7

0,4

0,6

1

1

Wahrscheinlichkeit, als Mann zur Läufergruppe zu gehören Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mann bei der Gruppe der Läufer ist, ist im Feld „3. Zeile und 3. Spalte“ zu finden. P (M ∩ L) = 0,34 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 34%. Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten Die bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit der 2. Stufe im Baumdiagramm, die von der 1. Stufe abhängt, wird mit dem Satz von Bayes berechnet. Wie viel Prozent der Männer sind bei den Läufern? P (M ∩ L) 0,34 PM (L) = _________ = _____ = 0,57 = 57% 0,6 P (M)

3.1

Vierfeldertafel Der Aufbau der Vierfeldertafel ist ähnlich wie bei 2.1. In die Außenfelder werden die Kürzel M (Mädchen) und J (Jungen), sowie F (Fußball) und H (Handball) eingetragen.

M

J

H F 1

143

6

Die Angabe, dass 30% = 0,3 der Jugendgruppe aus Mädchen besteht, wird in das Feld „4. Zeile und 2. Spalte“ eingetragen. Wenn 30% Mädchen sind, müssen 70% Jungen sein. Diese Tatsache wird im Feld „4. Zeile und 3. Spalte“ festgehalten. Die Angabe, dass 31% = 0,31 der Jugendlichen Handball spielen, wird in das Feld „2. Zeile und 4. Spalte“ eingetragen. Wenn 31% der Jugendlichen Handball spielen, müssen 69 % = 0,69 der Jungendlichen Fußball spielen. Diese Tatsache wird im Feld und „3. Zeile und 4. Spalte“ festgehalten. Die Angabe, dass 6% aller Jugendlichen, die Fußball spielen, Mädchen sind, ist nicht die bedingte Wahrscheinlichkeit, sondern die Schnittmenge. M ∩ F = 6% = 0,06 und wird deshalb direkt in das Feld „3. Zeile und 2. Spalte“ eingetragen. Die noch freien Felder können aufgrund der Tatsache, dass in den Außenfeldern die Summe der Innenfelder in jeder Zeile und jeder Spalte steht, berechnet werden. Es gilt: M ∩ H = 0,3 – 0,06 = 0,24 J ∩ H = 0,31 – 0,24 = 0,07 J ∩ F = 0,7– 0,07 = 0,63 3.2

M

J

0,3

0,7

M

J

H F 1

H

0,31

F

0,69 0,3

0,7

M

J

H F

1

0,31 0,06

0,69

0,3

0,7

M

J

H

0,24

0,07

0,31

F

0,06

0,63

0,69

0,3

0,7

1

1

Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge Fußball spielt Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Junge Fußball spielt, ist im Feld J ∩ F zu finden. Dieses Feld ist in der „3. Zeile und 3. Spalte“. J ∩ F = 0,63 = 63% Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten Die bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit der 2. Stufe im Baumdiagramm, die von der 1. Stufe abhängt, wird mit dem Satz von Bayes berechnet. Wie viel Prozent der Jungen spielen Fußball? P (J ∩ F) 0,63 PJ (F) = ________ = _____ = 0,90 = 90% 0,7 P (J)

144

Mathematik Abschlussprüfung

BE

Aufgabe 1 1 x3 – __ x2 – 2x 1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fa: x ↦ fa (x) = __ a 4 mit a ∊ R ∧ a ≠ 0 und Df = R. Der Graph der Funktion fa wird mit Gf bezeichnet. a

a

5

1.1

2 Berechnen Sie den Parameter a so, dass der Graph Gf an der Stelle xW = __ 3 einen Wendepunkt hat.

5

1.2

Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Graph Gf für jeden Wert von a Extrempunkte besitzt.

1.3.0

Für die folgenden Teilaufgaben gilt a = 2. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet: 1 x3 – __ x2 – 2x f2 (x) = __ 4 2

4

1.3.1

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.

7

1.3.2

Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen Gf .

a

a

2

4

1.3.3

Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt W.

7

1.3.4

Zeichnen Sie den Graphen Gf und die Tangente im Wendepunkt mithilfe der bisherigen Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle im Bereich von –3 ≤ x ≤ 5 in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab auf beiden Koordinatenachsen: 1 LE = 1 cm)

5

1.3.5

Der Graph Gf schließt mit der x-Achse im IV. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

2

2

7 145

(Fortsetzung Aufgabe 1) 2.0

Zum Tennistraining wird eine Ballmaschine Netz Ballmaschine verwendet, die außehalb des Tennisfeldes ebenerdig in den Boden eingelassen ist Spielfeld (siehe nebenstehende Skizze). Sie schleudert in 13 Meter 13 Meter Abstand vor dem Netz Bälle mit einer konstanten Anfangsgeschwindigkeit und gleichbleibendem Abwurfwinkel auf die gegenüberliegende Tennisfeldseite. Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems, dessen Ursprung im Abwurfpunkt der Ballmaschine liegt, hat die dabei entstehende Wurfparabel eine Gleichung der Form p (x) = –0,034 x2 + 0,58x mit x ∊ R ∧ x ≥ 0.

4

2.1

Berechnen Sie, wie viele Meter hinter dem Netz der Ball den Boden berührt.

3

2.2

Ermitteln Sie die Koordinaten des höchsten Punkts der Wurfparabel.

3

2.3

Das Netz hat eine Höhe von 0,91 Meter. Bestimmen Sie den Abstand zwischen Ball und Netzoberkante, wenn der Ball das Netz überfliegt.

3

2.4

Berechnen Sie den Winkel gegenüber der Horizontalen, während der Ball das Tennisnetz überquert.

Aufgabe 2 1.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (–2 | 3 | 1), Bk (2 | k | 0), C (1 | 0 | 4) und D (3 | –1 | 2) mit k ∊ R gegeben.

146

5

1.1

Die Punkte A und C legen die Gerade g fest. Zeigen Sie, dass für keinen Wert von k der Punkt Bk auf der Geraden g liegt.

2

1.2

Die Punkte A, Bk und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABkC. Berechnen Sie die Längenmaßzahl der Dreiecksseite [AC].

4

1.3

Berechnen Sie den Wert von k so, dass die Vektoren ABk und AC zueinander senkrecht stehen.

3

1.4

Für k = 3 ____ ergibt sich der Punkt B3 (2 | 3 | 0). Berechnen Sie den Winkel, den die ___ › › Vektoren AB3 und AC miteinander einschließen.

____›

___›

(Fortsetzung Aufgabe 2)

___›

____›

1.5.0

Die Vektoren AB3 und AC legen eine Ebene e fest.

6

1.5.1

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene e in Parameterform und Normalenform. [Mögliches Teilergebnis: e: x1 + 5x2 + 4x3 – 17 = 0]

2

1.5.2

Zeigen Sie, dass der Punkt D nicht in der Ebene e liegt.

3

1.5.3

Berechnen Sie den Abstand des Punkts D von der Ebene e.

Aufgabe 3 1.0 Die Mitarbeiter einer Firma besuchen eine Fortbildung. Von den 15 Personen nimmt die Bedienung mittels einer Strichliste folgende erste Getränkebestellung auf: alkoholfreies Bier (B): IIII II Limonade (L): IIII Wein (W): III Mineralwasser (M): I 2

1.1

Fertigen Sie eine Rangwertliste für die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Getränkesorten an.

4

1.2

Erstellen Sie eine Tabelle für die relativen Häufigkeiten der einzelnen Getränkesorten und stellen Sie diese in einem Säulendiagramm grafisch dar.

1.3.0

Die Mitarbeiter konsumieren während des Tages eine Vielzahl an Getränken. Die Bedienung weiß nicht mehr, wie viele alkoholfreie Biere die einzelnen Personen zu bezahlen haben. Das Ergebnis der Befragung der 15 Personen ist in folgender Tabelle dargestellt. Person Anzahl der alkholfreien Biere

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

3

2

1.3.1

Berechnen Sie das zur Tabelle gehörige arithmetische Mittel.

2

1.3.2

Bestimmen Sie den Median und den Modalwert der Tabelle.

3

4

4

5

7 147

(Fortsetzung Aufgabe 3) 1.4.0

Jeder Firmenmitarbeiter bestellt 3-mal __ein Getränk. Die Verteilung von alkoholischen (A) und nicht alkoholischen (A) Getränken bleibt in jeder Bestellrun1 de gleich. Es gilt: P (A) = __ 5

3

1.4.1

Fertigen Sie ein Baumdiagramm mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die 3 Bestellrunden an.

2

1.4.2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nach 3 Bestellrunden kein alkoholisches Getränk bestellt hat.

3

1.4.3

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nach 3 Bestellrunden genau zweimal ein alkoholisches Getränk bestellt hat.

2.0

In einem Wellnesshotel werden für Frauen (F) und Männer (M) die Aktivitäten Radfahren (R) und Schwimmen (S) angeboten. Die Gäste wählen die angebotenen Aktivitäten Radfahren und Schwimmen zu gleichen Teilen. 40 Prozent der Gäste sind Männer. Von den Frauen fahren 30 Prozent Rad.

4

2.1

Fertigen Sie eine Vierfeldertafel für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.

3

2.2

Ermitteln Sie mithilfe der Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Mann mit dem Rad fährt bzw. eine Frau schwimmt.

100

148

Lösung Mathematik Abschlussprüfung Aufgabe 1 1.1

Erstellen einer Funktionsgleichung mittels Wendestelle Als Kriterium für den Wendepunkt gilt: f0 (x0) = 0. Deshalb ist die 2. Ableitung zu erstellen 2 in die Gleichung einzusetzen. und x0 = __ 3 3 x2 – __ 6 x – __ 1 x3 – __ x2 – 2x; f9 (x) = __ 2 x – 2; f0 (x) = __ 2 fa (x) = __ a a a a a 4 4 4

( )

6 · __ 2 = 0 ⇒ __ 2 – __ 2 = 0 | – __ 2 f0a __ a 3 4 3 a 12 2 ___ = 1 = __ a 12 a=2 1.2

|·a

Extremwerte eines Graphen Als Kriterium für eine relative Extremstelle gilt die notwendige Bedingung: f9 (x0) = 0. Es muss die 1. Ableitung gebildet und dann in Abhängigkeit der Variablen a untersucht werden. 3 x2 – __ 2x – 2 = 0 fa9 (x) = __ a 4

6

3 a = __ 4 3 x2 – __ 2 x – 2 = 0 ⇒ b = __ 2 f9a (x) = 0 ⇒ __ a a 4 c = –2

Die Variablen a, b und c werden in die Diskriminante D = b2 – 4 · a · c eingesetzt. 3 · (–2) = __ 4 + 6 ≥ 0 für alle a ∊ R \ {0} 2 2 – 4 · __ D = __ a 4 a2 ⇒ Es gibt für alle a ∊ R \ {0} relative Extrempunkte (Behauptung).

( )

1.3.1

Nullstellen der Funktion Nullstellen bedeuten Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. ⇒ f2 (x) = 0 1 x3 – __ 1 x2 – 2x = 0 f2 (x) = 0 ⇒ __ | x ausklammern 4 2 1 x2 – __ 1x – 2 = 0 ⇒ x · __ | Satz vom Nullprodukt 4 2 1 x2 – __ 1x – 2 = 0 ⇒ x1 = 0; oder __ 4 2 1 a = __ 4 1 x – 2 = 0 ⇒ b = – __ 1 x2 – __ 1 __ 4 2 2 c = –2

(

)

(

6

)

7 149

_________________

⇒ x2/3

( ) √( )

2

______

√

__

√

9 __ 8 __ 1 ± – __ 1 – 4 · __ 1 · (–2) __ 1 + __ 1 ± __ 1 ± __ 3 1 ± __ – – __ 2 2 4 2 4 4 _______ 2 4 ______ 2 2 ___ ___________ = = = = 1 1 1 1 __ __ __ 2 · __ 4

2

2

2

3 3 1 – __ 1 + __ __ __ 2 2 = –2; x = ______ 2 2 =4 x2 = _____ 3 1 1 __ __ 2

1.3.2

2

Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Lage: f9 (x) = 0 Art: f0 (x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) f0 (x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt)

6

Lage:

3 a = __ 4 3 x2 – x – 2 = 0 ⇒ b = –1 f92 (x) = __ 4 c = –2 ________________

√

3 · (–2) __ – (–1) ± (–1)2 – 4 · __ 1 ± √7 4 ___ ⇒ x4/5 = = _______ 3 3 __ 2 · __ 4 2 __

__

1 – √7 1 + √7 x4 = ______ ≈ –1,10; x5 = _______ ≈ 2,43 3 3 __ __ 2 2 3 x–1 Art: f02 (x) = __ 2 3 · (–1,1) – 1 = –2,65 < 0 ⇒ relatives Maximum H bei x = –1,1 f02 (–1,1) = __ 2 3 · 2,43 – 1 = 2,64 > 0 ⇒ relatives Minimum T bei x = 2,43 f02 (2,43) = __ 2 1 (–1,1)2 – 2 (–1,1) = 1,26 ⇒ H (–1,1 | 1,26) 1 (–1,1)3 – __ Koordinaten: f (–1,1) = __ 4 2 1 (2,43)2 – 2 (2,43) = –4,23 ⇒ T (2,43 | –4,23) 1 (2,43)3 – __ f (2,43) = __ 4 2

150

1.3.3

Tangente im Wendepunkt (Wendetangente) Damit die Gleichung der Wendetangente erstellt werden kann, muss erst der Wendepunkt des Graphen berechnet werden. Wendepunkt Kriterien für den Wendepunkt: f0 (x) = 0 ∧ f- (x0) ≠ 0 3 x – 1 = 0 ⇒ x = __ 2 f0 (x) = __ W 2 3 3 ; f- __ 3 ≠ 0 ⇒ Wendepunkt an der Stelle x = __ 2 = __ 2 f- (x) = __ W 2 3 2 3 40 ⇒ W __ 3 – ___ 40 2 = __ 1 __ 2 3 – __ 1 __ 2 2 – 2 __ 2 = – ___ Koordinaten: f __ 3 4 3 2 3 3 27 2 27

( ) ( )

( )

( )

( )

( |

)

Tangente Der Graph einer Tangente ist eine Gerade mit der Funktionsgleichung y = m · x + t. 2 , der WenDie Steigung m der Tangente entspricht der Steigung des Graphen bei xW = __ 3 3 – ___ 40 ist Element der Tangente. depunkt W __ 2 27 3 2 2 2 – __ 2 – 2 = – __ 7 ⇒ y = – __ 7x + t m = f92 __ = __ · __ 3 4 3 3 3 3 3 – ___ 40 in Gleichung y = – __ 7x + t Koordinaten von W __ 2 27 3 40 = – __ 7 __ 2 + t = – ___ 42 + t ⇒ t = ___ 14 + t = – ___ 2 – ___ 27 3 3 9 27 27 7 x + ___ 2 Wendetangente: y = – __ 3 27

( |

( )

)

( )

( |

)

( )

1.3.4

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen, darunter auch die Punkte an den Grenzen des zu zeichnenden Bereichs, berechnet werden. Die schon ermittelten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden. f (–3) = –5,25; f (5) = 8,75 N1 (0 | 0); N2 (–2 | 0); N3 (4 | 0) 3 – ___ 40 H (–1,1 | 1,26); T (2,43 | –4,23); W __ 2 27 Zum Zeichnen der Tangente reichen zwei 2 . Punkte, der Wendepunkt und y (0) = ___ 27

( |

6

y

5 4 3 H N2

2 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

)

–2

x

N3

N1 1

2

3

4

5

6

W

–3 Gf

–4 2

–5

T

7 151

1.3.5

Fläche zwischen Graph und x-Achse Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Die zu berechnende Fläche befindet sich im IV. Quadranten, deshalb ist der Wert des Integrals negativ. Es ist daher der Betrag zu berechnen. Zunächst müssen die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = 0, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 4.

| ∫( 4

A=

0

)

1 x3 – __ 1 x2 – 2x dx __ 4

|[

2

y

5 4 3 2 1

x

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

–2

|

1 · __ x4 – __ 1 · __ x3 – 2 · __ x2 A = __ 4 4 2 3 2

|(

6

–3 –4

] | |[ 4 0

1 x4 – __ 1 · x3 – x2 = ___ 16 6

) (

–5

]| 4 0

)| |

|

1 · 44 – __ 1 · 43 – 42 – ___ 1 · 04 – __ 1 · 03 – 02 = –10 __ 2 – 0 = 10 __ 2 A = ___ 16 6 16 6 3 3 2.1

Nullstellen der Funktion Der Graph der Flugbahn des Balles ist eine Parabel. Die Stelle, an der der Ball den Boden berührt, entspricht einer Nullstelle der Parabel.

Ballmaschine

Netz

Spielfeld

⇒ p (x) = 0 –0,034x2 + 0,58x = 0 | x ausklammern

13 Meter

x (–0,034x + 0,58) = 0 | Satz vom Nullprodukt x1 = 0 (Abschusspunkt) oder (–0,034x + 0,58) = 0 ⇒ x2 ≈ 17,06 Abstand hinter dem Netz: (17,06 – 13,00) m = 4,06 m Der Ball trifft 4,06 m hinter dem Netz am Boden auf. 2.2

Höchster Punkt der Parabel Der höchste Punkt der Parabel ist der Scheitelpunkt. Im Scheitelpunkt hat der Graph die Steigung null. Deshalb wird die 1. Ableitung der Funktionsgleichung der Parabel gebildet und dann null gesetzt. p9(x) = 2 · (–0,034x) + 0,58 = –0,068x + 0,58 = 0 ⇒ xs ≈ 8,53 Für die y-Koordinate des Scheitels gilt: ys = p (8,53) = –0,034 · (8,53)2 + 0,58 · 8,53 ≈ 2,47 Die Koordinaten des höchsten Punkts des Balles lauten: S (8,53 | 2,47)

152

2.3

Abstand Netz – Ball Damit der Abstand zwischen Netz und Ball berechnet werden kann, muss die Höhe des Balles an der Stelle x = 13 berechnet werden. Von diesem Ordinatenwert wird die Höhe des Netzes subtrahiert (siehe Skizze).

3

y

2 1 0

x 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20

p (13) = –0,034 · 132 + 0,58 · 13 ≈ 1,79 Abstand zur Netzoberkante: 1,79 m – 0,91 m = 0,88 m 2.4

Winkel gegenüber der Horizontalen an einem Graphen Der Winkel kann mit der Steigung des Graphen (Steigung m der Tangente an den Graphen) berechnet werden. Es gilt: m = p9(x) = tan a tan a = p9(13) ⇒ tan a = –0,068 · 13 + 0,58 = –0,304 ⇒ a1 ≈ –16,91° Der Ball ist im Sinkflug, deshalb muss der Winkel gegenüber der Horizontalen größer als 90° sein. ⇒ a2 ≈ 180° – 16,91° = 163,09°

Aufgabe 2 1.1

Drei Punkte nicht in einer Linie Es soll gezeigt werden, dass die Punkte A, B und C nicht auf einer Geraden liegen. Um dies zu zeigen, wird die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und C erstellt und dann gezeigt, dass B nicht auf der Geraden g liegt. Gerade durch zwei Punkte Wird die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte gesucht, so wird z. B. der Punkt A als Aufpunkt und der Vektor von A nach C als Richtungsvektor verwendet. 1 – (–2) –2 3 –2 ___› __ __› __› __› __› __› __› › g: x = a + m AC ; x = a + m ( c – a ); x = 3 + m 0 – 3 = 3 + m –3 ; m ∊ R 1 4– 1 1 3

() ( )() ()

Punkt Bk Element der Geraden g? __ Der Vektor x der Geraden g ist der Ortsvektor zu jedem „x-beliebigen“ Punkt X auf der Geraden. Also muss er auch der Ortsvektor zum Punkt Bk sein. Setzt man die Koordinaten des Punkts Bk in die Vektorkoordinaten ein, erhält man drei lineare Gleichungen. Ergibt die Lösung des Gleichungssystems eine wahre Aussage, so liegt Bk auf der Geraden g, erhält man eine falsche Aussage, ist Bk nicht Element von g. 4 __ 2 = –2 + 3m ⇒ m = 3 2 –2 3 3–k ⇒ Widerspruch in I und II k = 3 + m · –3 ⇒ k = 3 – 3m ⇒ m = _____ 3 0 1 3 1 __ 0 = 1 + 3m ⇒ m = – 3

() ( ) ( )

(

)7

153

7

Wenn Bk auf der Geraden g liegen würde, müsste in jeder Gleichung für m der gleiche Wert als Lösung erscheinen. Dies ist nicht der Fall, deshalb liegt Bk nicht auf der Geraden g. 1.2

Länge eines Vektors Soll die Länge einer Dreiecksseite bestimmt werden, so bildet man den Vektor zwischen den Punkten und berechnet die Länge des Vektors. 3 ___ __ __ | AC› | = | c› – a› | = –3 siehe 1.1 3 3 _____________ _________ ___ –3 = √32 + (–3)2 + 32 = √ 9 + 9 + 9 = √27 ≈ 5,2 3

C A

()

|( )|

B

Die Punkte A und C sind ca. 5,2 Längeneinheiten voneinander entfernt. 1.3

Zueinander senkrechte Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. ___›

____›

____›

___›

ABk senkrecht AC ⇔ ABk ◦ AC = 0 2 – (–2) 4 ____› ABk = k – 3 = k – 3 0– 1 –1 3 4 ___› ____› AC ◦ ABk = 0 ⇒ –3 · k – 3 = 0 ⇒ 3 · 4 + (–3) · (k – 3) + 3 · (–1) = 0 –1 3

( )( ) ( )( )

12 – 3k + 9 – 3 = 0; 3k = 18 ⇒ k = 6 ____›

___›

Für k = 6 stehen die Vektoren AB6 und AC senkrecht aufeinander. 1.4

Winkel zwischen zwei Vektoren Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gilt: ____›

___›

AB3 ◦ AC cos a = ___________ ___› ____›

| AB3 | · | AC |

()() |( )| |( )|

4 3 0 ◦ –3 4 · 3 + 0 · (–3)_____________ + (–1) · 3 3 –1 _____________ cos a = ___________ = ___ 4 3 √42 + 02 + (–1)2 · √32 + (–3)2 + 32 0 · –3 –1 3 9 _________ cos a = ___ ___ ⇒ a ≈ 65,15° √ 17 · √ 27

154

___›

AC

a

____›

AB3

1.5.1

Ebene im R3 Ebene in Parameterform Wird die Gleichung einer Ebene gesucht, die durch zwei Vektoren aufgespannt wird, so werden die Vektoren als Richtungsvektoren der Ebene verwendet und ein Punkt (A,B3 oder C) als Aufpunkt gewählt. –2 4 3 ___› ____› __› __› e: x = a + l AB3 + t AC = 3 + l 0 + t –3 ; l, t ∊ R 1 3 –1

() () ()

Ebene in Normalenform __› __› __› __› Für die Ebene in Normalenform n ◦ ( x – a ) = 0 ist der__Normalenvektor n der Ebene und › n ist das Kreuzprodukt (Vektorproein Punkt der Ebene erforderlich. Der____ Normalenvektor ___› › dukt) der beiden Richtungsvektoren AB3 und AC der Ebene e. __›

____›

___›

n = AB3 × AC =

()()( ( )()()

)(

)( )

4 3 0 · 3 – (–1) · (–3) 0– 3 –3 × = = –3 – 12 = –15 –3 (–1) · 3 – 4 · 3 0 –1 4 · (–3) – 0 · 3 –12 – 0 –12 3

–3 x1 –2 __› __› __› e: n ◦ ( x – a ) = 0 ⇒ –15 ◦ x2 – 3 = 0 1 –12 x3

| ausmultiplizieren

| zusammenfassen –3x1 – 15x2 – 12x3 – ((–3) · (–2) + (–15) · 3 + (–12) · 1) = 0 | : (–3) –3x1 – 15x2 – 12x3 – (–51) = 0 x1 + 5x2 + 4x3 – 17 = 0 (Koordinatendarstellung der Normalenform) 1.5.2

Punkt D Element der Ebene e? Um zu überprüfen, ob ein Punkt Element einer Ebene ist, werden die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt das Gleichungssystem eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene, ergibt es keine wahre Aussage, so ist der Punkt nicht Element der Ebene. D in e: 1 · 3 + 5 · (–1) + 4 · 2 – 17= 0 ⇒ 6 = 0 (Widerspruch) ⇒ entspricht der Behauptung

1.5.3

Abstand des Punkts D von der Ebene e Um den Abstand des Punkts D von der Ebene e zu berechnen, werden die Koordinaten des Punkts D in die Hesseform der Ebene e eingesetzt. Hesseform: Die Hesseform wird gebildet, indem die Ebene e durch den Betrag des Normalenvektors der Ebene e dividiert wird.

___________ ___________ ___ __ | n› | = √ 12 + 52 + 42 = √ 1 + 25 + 16 = √ 42

x1 + 5x2 + 4x3 – 17 = 0 x1 + 5x2 + 4x3 – 17 ___ ⇒ HNF: _________________ =0 √ 42 3 + 5 · (–1) + 4 · 2 – 17 3 – 5 +___ 8 – 17 = ____ –11 ___ ___ ≈ 1,7 LE = _____________ ⇒ d (D; e) = _____________________ √ 42 √ 42 √ 42

|

| |

7

| | |

155

Aufgabe 3 1.1

1.2

1.3.1

Rangwertliste In einer Rangwertliste werden die Häufigkeiten entsprechend ihrer Maßzahl geordnet. Rangnummer

Getränke

absolute Häufigkeit

1

B

7

2

L

4

3

W

3

4

M

1

Relative Häufigkeit und Säulendiagramm ni Für die relative Häufigkeit h (ai) gilt: h (ai) = __ n ni = einzelner Beobachtungswert n = Gesamtheit der Beobachtungswerte = n1 + n2 + n3 + n4 = 7 + 4 + 3 + 1 = 15 relative Häufigkeit

Getränke

relative Häufigkeit

B

7 ≈ 0,46 ___ 15

0,4

L

4 ≈ 0,27 ___

0,3

W

3 = 0,2 ___

0,1

M

1 = 0,07 ___

0,5

15

0,2

15

Getränke L

B

W

M

15

__

Arithmetisches Mittel x __ Das arithmetisches Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. Person Anzahl der alkholfreien Biere __

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

15

3

3

4

4

5

1 1 · x = ___ 1 (x + x + … + x ) x = __ xi = ___ ∑ 2 15 n · i∑ 15 i = 1 i 15 1 =1 __ 1 · (0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5) = ___ 1 · 29 ≈ 1,93 x = ___ 15 15

156

1.3.2

Median xmed und Modalwert xmod Der Median xmed (auch Zentralwert z genannt) ist derjenige Wert, der die geordneten Beobachtungswerte xi in zwei Hälften teilt. Der Zentralwert steht in der Mitte der Rangwertliste. Unsere Rangwertliste ist ungeradzahlig (xi = 15), deshalb gilt für den Median: xmed = x_____ 15 + 1 = x___ 16 = x8 = 2 (siehe Tabelle 1.3.1) n + 1 = x______ 2

2

2

Der Modalwert xmod ist der am häufigsten vorkommende Beobachtungswert. Am häufigsten kommt in der Tabelle der Wert 1 vor, deshalb ist dies der Modalwert. xmod = 1 1.4.1

Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden angetragen. Als Pfad wird in einem Baumdiagramm der Weg von der Wurzel über die Verzweigungspunkte bis zur letzten Stufe bezeichnet.

1 __

5

__

A

A 1 __

4 __

5

1 P (A) = __ 5

1 __ 5

A

1 __

5

A 4 __ 5

__

A

1 __ 5

A

4 __

5

__

A

__

1 = __ 4 P (A) = 1 – P (A) = 1 – __ 5 5

4 __

5

5

__

A

A 4 __ 5

__

A

1 __ 5

A

4 __ 5

__

A

1 __

4 __

A

A

5

5

__

1.4.2

Wahrscheinlichkeit nach drei Schritten __ Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (A), dass eine Person nach drei Bestellrunden kein alkoholisches Getränke bestellt hat, wird mit der Pfadmultiplikationsregel durchgeführt. __ __ __ __ __ __ 64 = 0,512 4 · __ 4 · __ 4 = ____ P (A A A) = P (A) · P (A) · P (A) = __ 5 5 5 125

1.4.3

Wahrscheinlichkeit nach drei Schritten Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nach drei Bestellrunden genau zweimal ein alkoholisches Getränke bestellt hat, muss mit der Pfadadditionsregel durchgeführt werden. Es gilt: __ __ 1 · __ 1 · __ 4 = ____ 4 P (AAA) = P (A) · P (A) · P (A) = __ 5 5 5 125 __ __ 1 · __ 4 · __ 1 = ____ 4 P (AAA) = P (A) · P (A) · P (A) = __ 5 5 5 125 __ __ 4 · __ 1 · __ 1 = ____ 4 P (AAA) = P (A) · P (A) · P (A) = __ 5 5 5 125 __ __ __ 4 + ____ 4 + ____ 4 = ____ 12 = 0,096 ⇒ P (AAA) + P (AAA) + P (AAA) = ____ 125 125 125 125

157

7

2.1

Vierfeldertafel In einer Vierfeldertafel sind die Ergebnisse bzw. Wertigkeiten der vier Pfade eines zweistufigen Baumdiagramms enthalten. Die Vierfeldertafel besteht aus vier Zeilen und vier Spalten. Die Summe der vierten Zeile und die Summe der vierten Spalte ist immer „1“. Zur Anfertigung der Vierfeldertafel werden die Angaben aus der Aufgabenstellung in die Felder eingetragen. Die Angabe Frauen (F) und Männer (M) werden in Spalte 2 und 3 oben, die Aktivitäten Radfahren (R) und Schwimmen (S) werden in die Zeilen 2 und 3 links eingetragen. Die Angabe, die Gäste wählen die angebotenen Aktivitäten Radfahren und Schwimmen zu gleichen Teilen, bedeutet, dass 50% (0,5) der Gäste Rad fahren und 50% (0,5) der Gäste schwimmen. Diese Ergebnisse werden in die vierte Spalte eingetragen. Die Angabe, dass 40% der Gäste Männer sind, wird in das Feld „4. Zeile und 3. Spalte“ eingetragen.

F

M

R S 1

F

M

R

0,5

S

0,5 1

F

M

R

0,5

S

0,5 0,4

Aus der Tatsache, dass die Summe in der 4. Zeile „1“ sein muss, folgt, dass das Feld „4. Zeile und 2. Spalte“ den Wert 1 – 0,4 = 0,6 hat.

Die Angabe, dass von den Frauen 30% (0,3) Rad fahren, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit. Da 60% (0,6) der Gäste Frauen sind und von denen 30% (0,3) Rad fahren, ist die Schnittmenge (Pfadmultiplikation im Baumdiagramm) 0,6 · 0,3 = 0,18. Der Wert 0,18 wird in das Feld „2. Zeile und 2. Spalte“ eingetragen.

158

F

1

M

R

0,5

S

0,5

R

0,6

0,4

F

M

0,18

1

0,5

S

0,5 0,6

0,4

1

Mit dieser Belegung der Vierfeldertafel können die Werte in den verbliebenen leeren Feldern berechnet werden. Die Summe im Feld „2. Zeile und 4. Spalte“ beträgt 0,5, deshalb ist in das Feld „2. Zeile und 3. Spalte“ der Wert 0,32 einzutragen. Die gleiche Vorgehensweise gilt für die Spaltensummen. 2.2

Wahrscheinlichkeit „Ein Mann fährt mit dem Rad“ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mann mit dem Rad fährt, ist im Feld „2. Zeile und 3. Spalte“ zu finden. P (M ∩ R) = 0,32 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 32%.

Wahrscheinlichkeit „Eine Frau schwimmt“ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau schwimmt, ist im Feld „3. Zeile und 2. Spalte“ zu finden. P (F ∩ S) = 0,42 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 42%.

F

M

R

0,18

0,32

0,5

S

0,42

0,08

0,5

0,6

0,4

1

F

M

R

0,18

0,32

0,5

S

0,42

0,08

0,5

0,6

0,4

1

F

M

R

0,18

0,32

0,5

S

0,42

0,08

0,5

0,6

0,4

1

7 159

Mathematik Abschlussprüfung BE

Aufgabe 1 1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fa: x ↦ fa (x) mit fa (x) = x3 – 1,5ax2 – 6a2x mit a ∊ R ∧ a > 0; Df = R. Der Graph der Funktion fa wird mit Gf bezeichnet. a

a

9

1.1

Bestimmen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte und die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen der Funktion fa in Abhängigkeit von a.

5

1.2

Berechnen Sie den Wert von a so, dass die Ableitungsfunktion f9a an der Stelle x = 1 den Wert –6 besitzt. Für die folgenden Teilaufgaben gilt a = 1. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet: f1 (x) = x3 – 1,5x2 – 6x

4

1.3

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f1 .

3

1.4

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Wendetangente des Graphen Gf .

4

1.5

Zeichnen Sie den Graphen Gf und seine Wendetangente in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Koordinatenachsen: 1 LE = 1 cm

6

1.6

Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die Gf im IV. Quadranten mit der xAchse und der Geraden x = 1 einschließt. Kennzeichnen Sie diese Fläche im Diagramm der Teilaufgabe 1.5.

2.0

Eine Laufbahn schließt einen rechteckigen Sportplatz ein. Der Innenrand der Laufbahn besteht aus zwei Halbkreisen und zwei parallelen geraden Strecken und ist insgesamt 400 m lang (siehe Skizze). Für die folgenden Teilaufgaben wird auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

6

160

2.1

1

1

1

x

Sportplatz

r

Laufbahn

Stellen Sie den Flächeninhalt A (r) des rechteckigen Sportplatzes in Abhängigkeit von r der Halbkreise dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge DA an. [Teilergebnis: A (r) = 400r – 2r2 π]

(Fortsetzung Aufgabe 1) 5

2.2

Berechnen Sie denjenigen Wert von r, für den die Flächenmaßzahl A (r) des Sportplatzes den absolut größten Wert annimmt, und geben Sie diesen Wert an. Bestimmen Sie auch den zugehörigen Wert für x.

3

2.3

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion A in ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit einem geeigneten Maßstab.

5

2.4

Ein anderer Sportplatz soll die Fläche von 5000 (m2) aufweisen. Berechnen Sie die zugehörigen Werte für r.

50

Summe Aufgabe 1 Aufgabe 2 1.0 In einem kartesischen Koordinatensystem bestimmen die Punkte A (0 | 2 | 1), B (0 | 2 | 6) und C (4 | –1 | 6) die Ebene E.

5

1.1

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und bei B rechtwinklig ist.

3

1.2

Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke [AC]. [Ergebnis: M (2 | 0,5 | 3,5)]

3

1.3

Das Dreieck ABC soll durch einen Punkt D zum Quadrat ABCD ergänzt werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts D.

5

1.4

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und Normalenform. [Mögliches Teilergebnis: E: 3x1 + 4x2 – 8 = 0]

1.5.0

Das Quadrat ABCD bildet die Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit gleich langen Kanten.

5

1.5.1

Berechnen Sie Höhe und Volumen der Pyramide ABCDS. __ 5 · √2 LE] [Teilergebnis: h = __ 2

4

1.5.2

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S.

25

Summe Aufgabe 2

7 161

Aufgabe 3 1.0 Um einen Überblick über die Höhe der Einkommen von Studenten zu bekommen, wurden 1000 Studenten befragt: Einkommensklassen in € [200 bis 400[ [400 bis 600[ [600 bis 800[ [800 bis 1000[ [1000 bis 1200[

Anzahl 260 386 190 120 44

3

1.1

Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Einkommensklassen.

4

1.2

Stellen Sie die ermittelten Werte durch ein geeignetes Säulendiagramm dar.

4

1.3

Ermitteln Sie das arithmetische Mittel der Einkommen der Studenten. Hinweis: Verwenden Sie hierzu die Klassenmitte der Einkommensklassen. (Beispiel: Einkommensklassen [200 bis 400[; Klassenmitte = 300)

2.0

Eine Urne enthält 5 weiße, 4 schwarz und 3 gelbe Kugeln. Für ein Zufallsexperiment wird eine Kugel aus der Urne entnommen, deren Farbe notiert und anschließend wieder in die Urne zurückgelegt. Danach wird erneut eine Kugel entnommen und deren Farbe notiert.

6

2.1

Zeichnen Sie für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse.

4

2.2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: E1: „Die zuerst gezogene Kugel ist weiß“ E2: „Die Kugeln haben verschiedene Farben“

4

2.3

Geben Sie das Ereignis A = E1 ∩ E2 in aufzählender Mengenschreibweise an und beschreiben Sie das Ereignis A in möglichst einfachen Worten im Sinne der vorliegenden Thematik. Geben Sie auch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A an.

25

Summe Aufgabe 3

100 Gesamt

162

__

Lösung Mathematik Abschlussprüfung Aufgabe 1 1.1

Relative Extremwerte und Wendepunkt in Abhängigkeit einer Variablen Relative Extemwerte Soll der Graph der Funktion fa auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle x0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu ermitteln. Die Untersuchung wird dabei in Abhängigkeit der Variablen a > 0 geführt. Lage: fa9 (x) = 0 Art: fa0 (x0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) fa0 (x0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) Lage:

fa (x) = x3 – 1,5ax2 – 6a2x fa9 (x) = 3x2 – 3ax – 6a2 = 0

6

__________________ a= 3 – (–3a) ± √ (–3a)2 – 4 · 3 · (–6a2) ___ 3x – 3ax – 6a = 0 ⇒ b = –3a ⇒ x1/2 = 2·3 c = –6a2 3a – 9a = ____ –6a = –a __________ _____ x1 = _______ 6 6 3a ± √81a2 _______ 3a ± √ 9a2 + 72a2 __________ 3a ± 9a ________________ = = ⇒ = 3a + 9a 12a 6 6 6 x2 = _______ = ____ = 2a 6 6 2

Art:

2

6

fa0 (x) = 6x – 3a; a > 0 (positiv) fa0 (–a) = 6 · (–a) – 3 · a = –9a < 0 ⇒ relatives Maximum H bei x = – a fa0 (2a) = 6 · (2a) – 3 · a = 9a > 0 ⇒ relatives Minimum T bei x = 2a

Koordinaten:

fa (–a) = (–a)3 – 1,5a · (–a)2 – 6a2 · (–a) = 3,5a3 ⇒ H (–a | 3,5a3) fa (2a) = (2a)3 – 1,5a · (2a)2 – 6a2 · (2a) = –10a3 ⇒ T (2a | –10a3)

Wendepunkt Kriterien für den Wendepunkt: f0a (x) = 0 ∧ f-a (x0) ≠ 0 f0a (x) = 6x – 3a f-a (x) = 6 ≠ 0 a f0a (x) = 6x – 3a = 0 ⇒ x = __ 2 a = 6 ≠ 0 ⇒ Wendepunkt an der Stelle x = __ a f-a __ W 2 2 a = __ a 3 – 1,5a __ a 2 – 6a2 __ a = –3,5a3 ⇒ W __ a –3,25a3 Koordinaten: fa __ 2 2 2 2 2

( )

( ) ( )

( )

( )

( |

)

7 163

1.2

Erstellen einer bestimmten Funktionsgleichung aus einer Funktionenschar Um die Variable a zu bestimmen, müssen die Bedingungen aus der Angabe verwendet werden. | ordnen f9a (1) = –6 ⇒ 3 · (1)2 – 3a · 1 – 6a2 = –6

6

_______________

________ a = –6 – (–3) ± √ (–3)2 – 4 · (–6) · 9 3 ± √9 + 216 3 ± 15 –6a – 3a + 9 = 0 ⇒ b = –3 ⇒ a1/2 = _______________________ = ____________ = ______ –12 –12 2 · (–6) c= 9 2

3 – 15 = ____ 3 + 15 = ____ 18 = –1,5 ∉ D –12 = 1; a = ______ a1 = ______ 2 a –12 –12 –12 –12 1.3

Nullstellen der Funktion Nullstellen bedeuten Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse ⇒ f1 (x) = 0 f1 (x) = 0 ⇒ x3 – 1,5x2 – 6x = 0 ⇒ x · (x2 – 1,5x – 6) = 0 ⇒ x1 = 0; oder (x2 – 1,5x – 6) = 0

| x ausklammern | Satz vom Nullprodukt _________________

6

______ a= 1 – (–1,5) ± √ (–1,5)2 – 4 · 1 · (–6) ____________ 1,5 ± √26,25 ___________________________ x – 1,5x – 6 = 0 ⇒ b = –1,5 ⇒ x2/3 = = 2·1 2 c = –6 2

______

______

1,5 – √26,25 1,5 + √26,25 x2 = ____________ ≈ –1,81; x3 = ____________ ≈ 3,31 2

1.4

2

Tangente im Wendepunkt (Wendetangente) Damit die Gleichung der Wendetangente erstellt werden kann, muss erst der Wendepunkt des Graphen berechnet werden. Wendepunkt a –3,25a3 ; somit für a = 1: W __ 1 –3,25 Aus Aufgabe 1.1 gilt: W __ 2 2 Tangente Der Graph einer Tangente ist eine Gerade mit der Funktionsgleichung y = m · x + t. 1 , und der Die Steigung m der Tangente entspricht der Steigung des Graphen bei xW = __ 2 1 –3,25 ist Element der Tangente. Wendepunkt W __ 2 2 3 – __ 3 – 6 = –6,75; ⇒ y = –6,75x + t 1 1 1 – 6 = __ __ __ m = f91 =3· – 3 · __ 2 2 2 4 2

( |

( )

( | ( )

)

( |

)

)

( |

)

1 –3,25 in Gleichung ⇒ y = –6,75x + t Koordinaten von W __ 2 –3,25 = –6,75 · 0,5 + t ⇒ t = 0,125 ⇒ Wendetangente: y = –6,75x + 0,125

164

1.5

Graph der Funktion Um den Graphen einer Funktion zeichnen zu können, müssen Punkte des Graphen berechnet werden. Die schon ermittelten Koordinatenwerte aus den bisherigen Aufgaben sind zu verwenden.

3 2 1

f (x)

–2

–2

–1,81

0

N

–4

–1

3,5

H

–5

0

0

N

–6

0,5

–3,25

W

–7

1

–6,5 –10

3

–4,5

3,31

0

3,5

3,5

x=1

–4 –3 –2 –1 0 –1

x

2

y

4

1

x 2

3

4

5

6

7

–2 –3

–8

T

–9 –10

N

Für die Tangente genügen zwei Punkte: P (–1 | 6,875); W (0,5 | –3,25) 1.6

Fläche zwischen Graphen und der x-Achse Flächeninhalte können mit der Integralrechnung berechnet werden. Die zu berechnende Fläche befindet sich im IV. Quadranten, deshalb ist der Wert des Integrals negativ, es ist daher der Betrag zu berechnen. Es müssen zunächst die Integrationsgrenzen festgelegt werden. Die untere Integrationsgrenze ist x1 = u = 0, die obere Integrationsgrenze ist x2 = o = 1. Kennzeichnung der zu berechnenden Fläche siehe 1.5

|

1

||

1

∫f (x) dx = ∫(x 1

0

3

0

|(

|

|[

x4 – 1,5 · __ x3 – 6 · __ x2 – 1,5x2 – 6x) dx = __ 4 3 2

)

] | = | [ x4 – x2 – 3x ] | 1 0

4

__

3

__

2

1 0

|

1 – __ 1 – 3 – (0 – 0 – 0) = | –3,25 | = 3,25 = __ 4 2

7 165

2.1

Fläche in Abhängigkeit einer Variablen Bei der Sportplatzfläche A handelt es sich um ein Rechteck. Die Formel für die Berechnung der Rechtecksfläche lautet Länge l mal Breite b: A=l·b

x

r

In unserem Fall wird für die Länge l die Variable x verwendet. Für die Breite b gilt b = r + r = 2r. Somit erhält man die Gleichung: A (x, r) = x · 2r = 2r · x Damit man eine Gleichung mit nur einer unabhängigen Variable x erhält, muss die Variable r mithilfe der Nebenbedingung, dass die Laufbahn eine Länge von 400 m hat, eliminiert werden. Die Laufbahnlänge l setzt sich zusammen aus den zwei Geradenstücken x und zwei Halbkreisen π · r: l = 2x + 2π · r = 400 | nach x umstellen 2x = 400 – 2π · r |:2 x = 200 – π · r | in Gleichung A (x, r) = 2r · x einsetzen A (r) = 2r · (200 – r π) = 400r – 2r2 π Sinnvolle Definitionsmenge Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss die Skizze betrachtet werden: Für x → 0 verschwindet das Spielfeld und man erhält eine Kreis mit 400 m Umfang. Für eine sinnvolle Definitionsmenge gilt somit: 200 200 ⇒ D = r 0 < r < ____ 400 = ____ 400 = 2πr ⇒ r = ____ A π π R 2π

{|

2.2

}

Extremwertberechnung Um die größte Fläche bestimmen zu können, müssen die relativen Extremwerte der Funktion A (r) gesucht werden. Relative Extremwerte Soll der Graph einer Funktion auf relative Extremwerte untersucht werden, so ist erst die Lage (an welcher Stelle r0) und dann die Art (relativer Hochpunkt oder relativer Tiefpunkt) der Extremwerte zu berechnen. Lage: A9(r) = 0 Art: A0(r0) > 0 ⇒ Minimum (relativer Tiefpunkt) A0(r0) < 0 ⇒ Maximum (relativer Hochpunkt) Lage:

A9(r) = 400 – 4rπ 400 = ____ 100 ≈ 31,8 A9(r) = 0 = 400 – 4rπ ⇒ r = ____ π 4π

166

Art: A0(r) = –4π A0(31,8) = –4π < 0 ⇒ relatives Maximum H für r = 31,8 Maßzahl des relativen Maximums: 100 = 400 · ____ 100 – 2π · ____ 100 2 ≈ 6366,2 A ____ π π π Berechnungen an den Rändern des Definitionsbereichs:

(

)

(

)

r = 0: A (0) = 400 · 0 – 2π · (0)2 = 0

(

)

(

)

200 : A ____ 200 = 400 · ____ 200 – 2π · ____ 200 2 = 0 r = ____ π π π π 200 liegt ein absolutes Maximum für die Sportplatzfläche vor. ⇒ Für r = ____ π 100 · π = 100 Berechnung der Länge x: x = 200 – ____ π 2.3

2.4

Graph der Funktion Damit der Graph der Funktion A (r) gezeichnet werden kann, wird eine Wertetabelle erstellt. Als Maßstab wird auf der Abszissenachse 1 LE = 10 m und auf der Ordinatenachse 1 LE = 1000 m2 gewählt. r

A (r)

7000

0

0

6000

10

3371,7

5000

20

5486,8

4000

31,8

6366,2

40

5947,2

50

4292,5

63,66

0

A(r)

3000 2000 1000

r

–10 0

10 20 30 40 50 60

Radius in Abhängigkeit der Fläche Bei vorgegebener Fläche A (r) = 5000 gilt die Gleichung: !

A (r) = 400r – 2r2π = 5000 ⇒ –2r2π + 400r – 5000 = 0 ______________________

⇒ r1/2

________

–400 ± √ 4002 – 4 · (–2π) · (–5000) –400 ± √34 336,3 –400 ± 185,3 = ___ = ________________ = ____________ 2 · (–2π)

–4π

–4π

⇒ r1 ≈ 46,58; r2 ≈ 17,09 Für r = 46,58 bzw. r = 17,09 erhält man eine Sportplatzfläche von 5000 m2.

7 167

Aufgabe 2 1.1

Gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck Das Dreieck ABC ist rechtwinklig beim ___› ___› Punkt B, wenn die Vektoren BA und BC senkrecht zueinander stehen. Rechtwinklige (senkrechte) Vektoren Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, so muss die skalare Multiplikation der Vektoren null ergeben. ___› ___› ___› ___› BA senkrecht BC ⇔ BA ◦ BC = 0 mit

( )() ()()

C

A

B

( )()

0–0 0 4–0 4 ___› __› __› __› __› BA = a – b = 2 – 2 = 0 und BC = c – b = –1 – 2 = –3 1–6 6–6 0 –5 ___›

___›

___›

BA ◦ BC = 0;

0 4 ___› ___› 0 ◦ –3 = 0 · 4 + 0 · (–3) + (–5) · 0 = 0 + 0 + 0 = 0 ⇒ BA ⊥ BC 0 –5 ___›

___›

Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, wenn die Vektoren BA und BC die gleiche Länge haben. Länge eines Vektors Die Länge eines Vektors ist der Betrag des Vektors.

|( )| |( )|

0 _____________ __________ ___ 0 = √02 + 02 + (–5)2 = √ 0 + 0 + 25 = √25 = 5 –5 4 _____________ ___› __________ ___ | BC | = –3 = √42 + (–3)2 + 02 = √16 + 9 + 0 = √25 = 5 0 ___

| BA› | =

1.2

Mittelpunkt einer Strecke Der Mittelpunkt einer Strecke entspricht der Teilung der Strecke im Verhältnis 1:1. __›

__›

___›

__›

1 __› __

__›

1 __› __

__›

1 · AC = a + ( c – a ) = ( a + c ) m = a + __ 2 2 2 0 + 4 2 __› 1 __› __› 1 · 2 – 1 = 0,5 ; M (2 | 0,5 | 3,5) m = __ ( a + c ) = __ 2 2 1+6 3,5

( )( )

168

⇒

Dreieck ABC ist gleichschenklig.

C

M __›

A

m __›

a

O

1.3

Vektoraddition Zum Punkt __ D im Viereck ABCD geht der › Ortsvektor d . Dieser Vektor __setzt sich › a und dem aus der Addition der Vektoren ___ › parallel verschobenen Vektor BC zusammen. 0 4 4 __› __› ___› d = a + BC = 2 + –3 = –1 ; D (4 | –1 | 1) 1 0 1

D __›

d

__›

() ( ) ( )

1.4

O

C

___›

BC A

B

a

Ebene im R3 Ebene in Parameterform Wird die Gleichung einer gesucht, die durch drei Punkte bestimmt ist, so wer___ ___› Ebene › den z. B. die Vektoren BA und BC als Richtungsvektoren der Ebene verwendet und ein Punkt (A, B oder C) als Aufpunkt gewählt. 0 0 4 ___› ___› __› __› e: x = b + l BA + t BC = 2 + l 0 + t –3 ; l, t ∊ R 6 0 –5

() ( ) ( )

Ebene in Normalenform __› __› __› __› n der Ebene und Für die Ebene in Normalenform n ◦ ( x – a ) = 0 ist der Normalenvektor __› n ist das Kreuzproein Punkt der Ebene (A, B oder C) erforderlich. Der ___ Normalenvektor ___› › dukt (Vektorprodukt) der beiden Richtungsvektoren BA und BC der Ebene e. __›

___›

___›

n = BA × BC =

()()( ( ) ( ) ()

)(

)( )

0 4 0 · 0 – (–5) · (–3) 0 – 15 –15 × = = = 0 –3 (–5) · 4 – 0 · 0 –20 – 0 –20 –5 0 0 · (–3) – 0 · 4 0– 0 0

–15 x1 0 __› __› __› e: n ◦ ( x – b ) = 0 ⇒ –20 ◦ x2 – 2 = 0 | ausmultiplizieren 0 6 x3 –15x1 – 20x2 + 0x3 – ((–15) · 0 + (–20) · 2 + 0 · 6)) = 0 | zusammenfassen | : (–5) –15x1 – 20x2 + 40 = 0 (Koordinatendarstellung der 3x1 + 4x2 – 8 = 0 Normalenform)

7 169

1.5.1

Pyramide mit quadratischer Grundfläche und gleich langen Kanten Höhe der Pyramide Die Höhe h der Pyramide kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet werden. Da alle Kanten der Pyramide die gleiche Länge l = 5 LE haben, gilt für die Diagonale d: _ |√ d2 = 52__+ 52 = 52 · 2 d = 5 √2 ≈ 7,07

S

2

+ h2 = 52

C

d

A

Die Höhe kann wieder mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet werden.

( __d2 )

h

D

M 5

5 B

| umstellen nach h2 __ 2

( )

5 √2 d 2 = 52 – _____ 52 = __ 52 ⇒ h = ___ 5__ = __ 5 √__ h2 = 52 – __ = 52 – __ 2 ≈ 3,53 2 2 2 2 √2 2

( )

Volumen einer Pyramide 1 · A · h, Für die Berechnung des Volumens V einer Pyramide gilt die Formel: V = __ 3 dabei ist A die Grundfläche der Pyramide (A = Seite s mal Seite s) und h die Höhe der Pyramide. 125 √__ 5 √__ 1 · s · s · h = __ 1 · 5 · 5 · __ V = __ 2 = ____ 2 ≈ 29,46 (Volumeneinheiten) 3 3 2 6 1.5.2

Spitze der Pyramide __› S kann mit Der Ortsvektor s__ zum Punkt _›0 › + h · n gebildet werder Vektorkette m __› den. Dabei ist m der_ Ortsvektor zum › Punkt M. Der Vektor h · n0 ist der mit dem Betrag der Höhe h multiplizierte Einheitsvektor des auf der Grundfläche stehenden __› senkrechten Vektors n . Der Punkt M (2 | 0,5 | 3,5) ist der Mittelpunkt der Strecke [AC] (siehe 1.2).

S __›

s

__›

m

O

_›

Für den Vektor n0 gilt:

()

() ()

3 3 3 1 __› 1 1 · 4 = __ 1· 4 ___________ ___ n0E = ___ · 4 = ____ __› · n = ____________ |n | √32 + 42 + 02 0 √25 0 5 0 __›

( )

()

2 3 __ __› _› 5 √__ 3 √__ 1 · 4 ⇒ S 2 + __ s = m + h · n0 = 0,5 + __ 2 · __ 2 0,5 + 2 √ 2 3,5 5 2 2 0 3,5

__›

170

(

|

| )

_›

h · n0 M

Aufgabe 3 1.1

1.2

Relative Häufigkeit ni Für die relative Häufigkeit h (ai) gilt: h (ai) = __ n ai = Einkommensklassen ni = einzelner Beobachtungswert n = Gesamtheit der Beobachtungswerte = 260 + 386 + 190 + 120 + 44 = 1000 Einkommensklasse ai

ni

[200 bis 400[

260

[400 bis 600[

386

[600 bis 800[

190

[800 bis 1000[

120

[1000 bis 1200[

44

ni relative Häufigkeit h (ai) = __ n n1 _____ 260 h (a1) = __ n = 1000 = 0,26 n2 _____ 386 h (a2) = __ n = 1000 = 0,386 n3 _____ 190 h (a3) = __ n = 1000 = 0,19 n4 _____ 120 h (a4) = __ n = 1000 = 0,12 n5 _____ 44 h (a5) = __ n = 1000 = 0,044

Säulendiagramm Im Säulendiagramm wird für jede Merkmalsausprägung (Einkommensklasse) eine einzelne Säule gezeichnet. Dabei wird die Einkommensklasse durch die Breite der Säule ausgedrückt. relative Häufigkeit 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Einkommen

7 171

1.3

__

Arithmetisches Mittel x __ Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. Aus 1.1 __ sind die relativen Häufigkeiten bekannt, deshalb wird das arithmetische Mittel x über die relativen Häufigkeiten berechnet. __

5

x = ∑ ai · h (ai) = a1 · h (a1) + a2 · h (a2) + a3 · h (a3) + a4 · h (a4) + a5 · h (a5) i=1

__

x = 300 · 0,26 + 500 · 0,386 + 700 · 0,19 + 900 · 0,12 + 1100 · 0,044 = 560,40 2.1

Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden angetragen. Als Pfad wird in einem Baumdiagramm der Weg von der Wurzel über die Verzweigungspunkte bis zur letzten Stufe bezeichnet. Das Experiment wird mit 12 Kugeln durchgeführt, deshalb gilt: 5 weiße Kugel w: P (w) = ___ 12 4 schwarze Kugel s: P (s) = ___ 12 3 gelbe Kugel g: P (g) = ___ 12

5 ___ 12

12

w

s 3 ___

4 ___ 12 s

12

12

w 5 ___

3 ___

4 ___

12

g

5 ___ 12 w

g 5 ___

3 ___

4 ___ 12 s

12

12

g

w

3 ___

4 ___ 12

12

s

Für die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse z gilt die Pfadmultiplikationsregel. 5 = ____ 25 ; 5 · ___ 20 ; 5 · ___ 3 = ____ 15 5 · ___ 4 = ____ P (ws) = ___ P(wg) = ___ P (ww) = ___ 12 12 144 12 12 144 12 12 144 5 = ____ 20 ; 16 ; 3 = ____ 4 · ___ 4 · ___ 4 = ____ 4 · ___ 12 P (sw) = ___ P (ss) = ___ P (sg) = ___ 12 12 144 12 12 144 12 12 144 3 · ___ 5 = ____ 15 ; 3 · ___ 3 · ___ 3 = ____ 9 4 = ____ 12 ; P (gw) = ___ P (gs) = ___ P (gg) = ___ 12 12 144 12 12 144 12 12 144

172

zi

ww

ws

wg

sw

ss

sg

gw

gs

gg

P ({zi})

25 ____

20 ____

15 ____

20 ____

16 ____

12 ____

15 ____

12 ____

9 ____

144

144

144

144

144

144

144

144

144

g

2.2

Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse g Für die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Ereignisses gilt: P (E) = __ m , dabei ist g die Anzahl der weißen Kugeln und m die Gesamtzahl der Kugeln. Es ist gleichgültig, welche Kugel als Nächste gezogen wird. 5 P (E1) = ___ 12 Die Wahrscheinlichkeit E1 kann aber auch mit der Pfadmultiplikationsregel bestimmt werden. Für die Pfadmultiplikationsregel gilt: 25 + ____ 20 + ____ 15 = ____ 60 = ___ 5 P (E1) = P (ww) + P (ws) + P (wg) = ____ 144 144 144 144 12 Für das Ereignis E2 gilt ebenfalls die Pfadmultiplikationsregel. P (E2) = P (ws) + P (wg) + P (sw) + P (sg) + P (gw) + P (gs) 20 + ____ 15 + ____ 20 + ____ 15 + ____ 94 = ___ 12 + ____ 12 = ____ 47 = ____ 144 144 144 144 144 144 144 72 Eine andere Möglichkeit, E2 zu berechnen, besteht darin, die Formel für das Gegenereignis zu verwenden. Die Summe der Ereignisse im Zufallexperiment ergibt den Wert 1. Deshalb gilt: 25 + ____ 50 = ____ 16 + ____ 9 = 1 – ____ 94 = ___ 47 P (E2) = 1 – (P (ww) + P (ss) + P (gg)) = 1 – ____ 144 144 144 144 144 72

(

2.3

)

Schnittmenge von Ereignissen __ __ Das Ereignis A = E1 ∩ E2 bedeutet, es muss die Schnittmenge von E1 und E2 gebildet werden. Für E1 gilt:__E1 = P (ww) oder P (ws) oder P (wg). Die Negation E2 des Ereignisses „Die Kugeln haben verschiedene Farben“ bedeutet, die gezogenen Kugeln haben keine verschiedenen Farben, also P (ww) oder P (ss) oder P (gg). __ Die Schnittmenge A bedeutet, die Ereignisse müssen sowohl in E1 als auch in E2 enthalten sein. Dies trifft nur für P (ww) zu. ⇒ A = {ww} Das heißt, beide gezogenen Kugeln sind weiß. 24 (siehe 2.1) Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gilt: P (A) = ____ 144

7 173

Stichwortverzeichnis Algebra und Analysis Berührpunkt 13, 19, 76, 111 Definitionsmenge 22, 30, 101, 103, 166 Extremwertberechnung 23, 29, 72, 76, 94, 98, 101, 103 f., 107 f., 116 f., 166 f. Extremwerte (relative) 79 f., 83, 85, 89 f., 94, 101 f., 112, 149, 163, 166 f. Flächenberechnung 73, 81, 86, 91, 95, 115, 152, 165 Flächenfunktion 28, 76, 107, 116 Funktionsgleichungen erstellen 10, 15, 21, 22, 25, 26, 28, 71, 88, 93, 97, 101, 106, 114, 149, 164, 166 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 71, 93 Nullstellen 7, 10, 15, 64, 80, 84, 149, 152, 164 parallele Geraden 63 Polynomdivision 93, 97 Randextrema

102, 104

Scheitelpunkt 11, 16, 75 Schnittpunkte – Graphen 8, 11, 13, 16, 63, 64, 85 – Koordinatenachsen 7, 15, 64, 71, 75, 89, 111 Schnittwinkel 7, 153 Steigung von Graphen 71 Tangente

76, 78, 83, 84, 88, 111, 113, 164

Wendepunkt 78, 83, 90, 98, 112, 163, 164

Vektorrechnung und Analytische Geometrie Ebene Hesseform 36, 46, 54, 155 Normalenform 34, 39, 44, 54, 59, 69, 155, 169 Parameterform 34, 39, 44, 49, 54, 59, 69, 155, 169 Punkt Element Ebene 36, 40, 44, 50, 54, 60, 155 Schnittpunkt – Ebene/Gerade – Gerade/Gerade

35, 49 38, 68

Gerade Abstand

39, 45

Gleichung 34, 38, 43, 48, 52, 58, 67, 153 parallele Geraden 38, 48, 52, 58, 68 Punkt Element Gerade 34, 38, 53, 153 Schnittpunkt 43, 48, 52, 58, 68 Vektoralgebra Addition

33, 41, 58, 67, 169

Flächenberechnung 46, 67, 69 Länge von Vektoren 154, 168

32, 33, 41, 52, 57, 67,

senkrechte Vektoren 32, 40, 50, 57, 66, 154 Volumenberechnung 46, 55, 60, 69, 170 Winkel zwischen Vektoren 33, 39, 43, 48, 53, 59, 68, 154, 168

174

Stochastik Statistik arithmetisches Mittel 172

119, 124, 127, 129, 156,

Median 123, 157 Modalwert 123, 129, 157 Quartilsabstand

119, 123

Rangwertliste 119, 156 relative Häufigkeit 156, 171 Säulendiagramm 121, 127, 130, 156, 171 Spannweite 123, 129 Stabdiagramm 124 Standardabweichung 120, 124, 128, Zentralwert 119, 129

Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm 133, 136, 140, 157, 172 bedingte Wahrscheinlichkeit 136, 143, 144 Bernoulli-Kette 132 Vierfeldertafel 141 ff., 158 f. Wahrscheinlichkeiten 173

134, 137, 138, 141, 157,

175

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