Pixel. Erpi mathemaatique. Cahier d'activités. 2e secondaire [2] 9782761354356, 2761354354, 9782761354400, 2761354400

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Pixel. Erpi mathemaatique. Cahier d'activités. 2e secondaire [2]
 9782761354356, 2761354354, 9782761354400, 2761354400

Table of contents :
Cahier d'activités
Copyright
Table des matières
Aperçu du cahier d’activités
Arithmétique
Chapitre 1: Les nombres et les opérations
1.1: Qu’est-ce qu’un nombre rationnel?
1.2: L’addition et la soustraction de nombres rationnels
1.3: La multiplication et la division de nombres rationnels
1.4: L’exponentiation de nombres rationnels
1.5: Les chaînes d’opérations et les propriétés des opérations
1.6: L’arrondissement et l’estimation
1.7: Le système international d’unités (SI)
Bilan et situations d'application
Chapitre 2: Les rapports et les taux
2.1: Qu’est-ce qu’un rapport? un taux?
2.2: Les proportions
2.3: Les situations de variation directe et les situations de variation inverse
2.4: La résolution de situations de variation directe et de situations de variation inverse
2.5: Les pourcentages dans les situations de variation directe
Bilan et situation d'application
Algèbre
Chapitre 3: Les expressions algébriques
3.1: Qu’est-ce qu’une expression algébrique?
3.2: Les suites numériques
3.3: La réduction d’expressions algébriques par addition ou soustraction
3.4: La réduction d’expressions algébriques par multiplication ou division
Bilan et situations d'application
Chapitre 4: La résolution d'équations à une inconnue
4.1: Qu’est-ce qu’une équation à une inconnue?
4.2: Les méthodes de résolution d’équations
4.3: La résolution d’équations du 1 degré à une inconnue
Bilan et situations d’application
Géométrie
Chapitre 5: Les mesures manquantes dans un polygone
5.1: Qu’est-ce qu’une droite? un angle?
5.2: Les mesures manquantes dans un triangle
5.3: Les mesures manquantes dans un quadrilatère
5.4: Les mesures manquantes dans un polygone de plus de quatre côtés
Bilan et situation d’application
Chapitre 6: L’aire des polygones
6.1: Qu’est-ce qu’une aire?
6.2: L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés
Bilan et situations d’application
Chapitre 7: Le cercle
7.1: Qu’est-ce qu’un cercle?
7.2: La circonférence d’un cercle
7.3: L’aire d’un disque
7.4: Le secteur circulaire, l’angle au centre et l’arc de cercle
Bilan et situations d’application
Chapitre 8: Les solides
8.1: Qu’est-ce qu’un solide?
8.2: L’aire d’un prisme droit
8.3: L’aire d’une pyramide droite
8.4: L’aire d’un cylindre droit
8.5: L’aire des solides décomposables
Bilan et situations d’application
Chapitre 9: Les transformations géométriques
9.1: Qu’est-ce qu’une isométrie?
9.2: Qu’est-ce qu’une homothétie?
Bilan et situations d’application
Statistique
Chapitre 10: Les données statistiques
10.1: Qu’est-ce qu’une enquête statistique?
10.2: Les tableaux et les diagrammes statistiques
10.3: La moyenne arithmétique
Bilan et situation d’application
Probabilité
Chapitre 11: Les expériences aléatoires à une étape
11.1: Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire?
11.2: La probabilité d’un événement
Bilan et situation d’application
Chapitre 12: Les expériences aléatoires composées
12.1: Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire composée?
12.2: La probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée
Bilan et situations d’application
Cahier de savoirs
Copyright
Table des matières
Aperçu du cahier de savoirs
Arithmétique
Chapitre 1: Les nombres et les opérations
1.1: Qu’est-ce qu’un nombre rationnel?
1.2: L’addition et la soustraction de nombres rationnels
1.3: La multiplication et la division de nombres rationnels
1.4: L’exponentiation de nombres rationnels
1.5: Les chaînes d’opérations et les propriétés des opérations
1.6: L’arrondissement et l’estimation
1.7: Le système international d’unités (SI)
Chapitre 2: Les rapports et les taux
2.1: Qu’est-ce qu’un rapport? un taux?
2.2: Les proportions
2.3: Les situations de variation directe et les situations de variation inverse
2.4: La résolution de situations de variation directe et de situations de variation inverse
2.5: Les pourcentages dans les situations de variation directe
Algèbre
Chapitre 3: Les expressions algébriques
3.1: Qu’est-ce qu’une expression algébrique?
3.2: Les suites numériques
3.3: La réduction d’expressions algébriques par addition ou soustraction
3.4: La réduction d’expressions algébriques par multiplication ou division
Chapitre 4: La résolution d’équations à une inconnue
4.1: Qu’est-ce qu’une équation à une inconnue?
4.2: Les méthodes de résolution d’équations
4.3: La résolution d’équations du 1 degré à une inconnue
Géométrie
Chapitre 5: Les mesures manquantes dans un polygone
5.1: Qu’est-ce qu’une droite? un angle?
5.2: Les mesures manquantes dans un triangle
5.3: Les mesures manquantes dans un quadrilatère
5.4: Les mesures manquantes dans un polygone de plus de quatre côtés
Chapitre 6: L’aire des polygones
6.1: Qu’est-ce qu’une aire?
6.2: L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés
Chapitre 7: Le cercle
7.1: Qu’est-ce qu’un cercle?
7.2: La circonférence d’un cercle
7.3: L’aire d’un disque
7.4: Le secteur circulaire, l’angle au centre et l’arc de cercle
Chapitre 8: Les solides
8.1: Qu’est-ce qu’un solide?
8.2: L’aire d’un prisme droit
8.3: L’aire d’une pyramide droite
8.4: L’aire d’un cylindre droit
8.5: L’aire des solides décomposables
Chapitre 9: Les transformations géométriques
9.1: Qu’est-ce qu’une isométrie?
9.2: Qu’est-ce qu’une homothétie?
Statistique
Chapitre 10: Les données statistiques
10.1: Qu’est-ce qu’une enquête statistique?
10.2: Les tableaux et les diagrammes statistiques
10.3: La moyenne arithmétique
Probabilité
Chapitre 11: Les expériences aléatoires à une étape
11.1: Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire?
11.2: La probabilité d’un événement
Chapitre 12: Les expériences aléatoires composées
12.1: Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire composée?
12.2: La probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée
Outils
Outil 1: Les notations et les symboles mathématiques
Outil 2: Les nombres premiers et les nombres composés
Outil 3: Les diagrammes
Outil 4: Les angles
Outil 5: Les droites
Outil 6: Les polygones
Outil 7: Le cercle
Outil 8: Les solides
Outil 9: Constructions et transformations géométriques
Outil 10: Les principaux énoncés de géométrie

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2e secondaire

cahier d’actiVitéS Guylaine Faubert • Virginie Krysztofiak • Paul Ste-Marie

Rédacteur

Directrice à l’édition Julie Gauthier

Pierre Mathieu

Chargées de projet Carole Bellefeuille Dominique Page Sylvie Richard Isabelle Rolland

Réviseurs scientifiques Pierre Mathieu Michel Poulin Enseignant Collège Jean-Eudes

Réviseurs linguistiques Line Nadeau Dominique Page Isabelle Rolland

Consultants pédagogiques Isabelle Castilloux Enseignante École secondaire De Rochebelle Commission scolaire des Découvreurs

Correctrice d’épreuves Isabelle Rolland Coordonnateur – droits et reproductions Pierre Richard Bernier

Julie Cléroux Enseignante École secondaire Pierre-Brosseau Commission scolaire Marie-Victorin

Directrice artistique Hélène Cousineau Coordonnatrice aux réalisations graphiques Sylvie Piotte

Gilles Morin Enseignant École secondaire Joseph-François-Perrault Commission scolaire de la Capitale

Couverture et conception graphique Sylvie Morissette Benoit Pitre

Jean-Michel Panet Enseignant Collège Laval

Édition électronique Les studios Artifisme Illustration Michel Rouleau (p. 141)

Christine Robert Enseignante Polyvalente Hyacinthe-Delorme Commission scolaire de Saint-Hyacinthe

Illustrations techniques Les studios Artifisme Philippe Morin

Sources iconographiques Shutterstock : 7 © Computer Earth

75 © Alegria

12 © Klara Viskova

79 © maraga

15 © iralu

84 © iralu

17 © Javi Merino

85 © -Albachiaraa-

19 © Vitaly Usov

119 © valeriya-sh

24 © S. Hanusch

131 © Kolopach

25 © Maria Bell

131 © NesaCera

34 © iralu

182, 183, 192 © Grum_l

38 © Scott Maxwell/LuMaxArt 184 © Daboost 40 © Yurkina Alexandra

188 © Zern Liew

© ÉDITIONS DU RENOUVEAU PÉDAGOGIQUE INC. (ERPI), 2013 Membre du groupe Pearson Education depuis 1989

43 © OK-SANA

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54 © dayzeren

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5757, rue Cypihot Saint-Laurent (Québec) H4S 1R3 Canada Téléphone : 514 334-2690 Télécopieur : 514 334-4720 [email protected] pearsonerpi.com

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Dépôt légal – Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2013 Dépôt légal – Bibliothèque et Archives Canada, 2013 Imprimé au Canada ISBN 978-2-7613-5440-0

1234567890 13217 ABCD

II

19876543 OF10

table des matières AIII

Aperçu du cahier d’activités ..................................................................................... v

ARITHMÉTIQUE Chapitre 1

Les nombres et Les opérations

1 . 1 Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? ............................................................... 3 1 . 2 L’addition et la soustraction de nombres rationnels ...................................... 5 1 . 3 La multiplication et la division de nombres rationnels ................................... 8 1 . 4 L’exponentiation de nombres rationnels ...................................................... 11 1 . 5 Les chaînes d’opérations et les propriétés des opérations ............................ 13 1 . 6 L’arrondissement et l’estimation ................................................................... 16 1 . 7 Le système international d’unités (SI) ........................................................... 18 Bilan et situations d’application ............................................................. 21 à 25 Chapitre 2

Les rapports et Les taux

2 . 1 Qu’est-ce qu’un rapport ? un taux ? .............................................................. 26 2 . 2 Les proportions ............................................................................................. 29 2 . 3 Les situations de variation directe et les situations de variation inverse ..... 32 2 . 4 La résolution de situations de variation directe et de situations

de variation inverse ....................................................................................... 35 2 . 5 Les pourcentages dans les situations de variation directe ........................... 39 Bilan et situation d’application .............................................................. 41 à 44

ALGÈBRE Chapitre 3

Les expressions aLgébriques

3. 1 Qu’est-ce qu’une expression algébrique ? .................................................... 47 3. 2 Les suites numériques ................................................................................... 51 3. 3 La réduction d’expressions algébriques par addition ou soustraction ......... 55 3. 4 La réduction d’expressions algébriques par multiplication ou division ....... 58 Bilan et situations d’application ............................................................. 62 à 67 Chapitre 4

La résoLution D'équations à une inconnue

4 . 1 Qu’est-ce qu’une équation à une inconnue ? ............................................... 68 4 . 2 Les méthodes de résolution d’équations ...................................................... 72 4 . 3 La résolution d’équations du 1er degré à une inconnue .............................. 76 Bilan et situations d’application ............................................................. 80 à 86

GÉOMÉTRIE Chapitre 5

Les mesures manquantes Dans un poLygone

5 . 1 Qu’est-ce qu’une droite ? un angle ? ............................................................ 89 5 . 2 Les mesures manquantes dans un triangle ................................................... 91 5 . 3 Les mesures manquantes dans un quadrilatère ........................................... 95 5 . 4 Les mesures manquantes dans un polygone de plus de quatre côtés ........ 99 Bilan et situation d’application .......................................................... 102 à 105 Chapitre 6

L’aire Des poLygones

6 . 1 Qu’est-ce qu’une aire ? ................................................................................ 106 6 . 2 L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés ............................................ 110 Bilan et situations d’application ........................................................ 114 à 117

iii

table des matières iV

Chapitre 7

Le cercLe

7.1 Qu’est-ce qu’un cercle ? .............................................................................. 118 7. 2 La circonférence d’un cercle ...................................................................... 120 7. 3 L’aire d’un disque ........................................................................................ 122 7. 4 Le secteur circulaire, l’angle au centre et l’arc de cercle .......................... 125 Bilan et situations d’application ........................................................ 129 à 132 Chapitre 8

Les soLiDes

8 . 1 Qu’est-ce qu’un solide ? .............................................................................. 133 8 . 2 L’aire d’un prisme droit ............................................................................... 136 8 . 3 L’aire d’une pyramide droite ....................................................................... 139 8 . 4 L’aire d’un cylindre droit ............................................................................. 142 8 . 5 L’aire des solides décomposables ............................................................... 145 Bilan et situations d’application ........................................................ 148 à 151 Chapitre 9

Les transformations géométriques

9. 1 Qu’est-ce qu’une isométrie ? ...................................................................... 152 9. 2 Qu’est-ce qu’une homothétie ? .................................................................. 155 Bilan et situations d’application ........................................................ 159 à 162

STATISTIQUE Chapitre 10

Les Données statistiques

10. 1 Qu’est-ce qu’une enquête statistique ? ...................................................... 165 10. 2 Les tableaux et les diagrammes statistiques ............................................... 168 10. 3 La moyenne arithmétique ........................................................................... 171 Bilan et situation d’application .......................................................... 173 à 176

PROBABILITÉ Chapitre 11

Les expériences aLéatoires à une étape

1 1 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire ? .................................................... 179 1 1 . 2 La probabilité d’un événement ................................................................... 182 Bilan et situation d’application .......................................................... 185 à 188 Chapitre 12

Les expériences aLéatoires composées

1 2 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire composée ? .................................. 189 1 2 . 2 La probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée ... 192 Bilan et situations d’application ........................................................ 195 à 198

OUTILS ................................................................................................................. O1 O Ut i L 1

Les notations et les symboles mathématiques ..................................... O2

O Ut i L 2 Les nombres premiers et les nombres composés ................................ O3 O Ut i L 3 Les diagrammes .................................................................................... O4 O Ut i L 4 Les angles .............................................................................................. O5 O Ut i L 5

Les droites ............................................................................................. O6

O Ut i L 6 Les polygones ....................................................................................... O7 O Ut i L 7

Le cercle ................................................................................................ O9

O Ut i L 8 Les solides ........................................................................................... O10 O Ut i L 9 Constructions et transformations géométriques ............................... O12 O Ut i L 10 Les principaux énoncés de géométrie ............................................... O18 AIV

Aperçu du cAhier d’Activités Le cahier d’activités, tout comme le cahier de savoirs, contient 12 chapitres divisés entre 5 grandes parties : l’arithmétique, l’algèbre, la géométrie, la statistique et la probabilité.

Les pages D’ouverture De partie SOMMAIRE

Le titre de la partie

La géométrie, c’est souvent une question de plan ! Elle te permet de savoir comment sont construits les objets qui t’entourent et de voir les choses sous un autre angle... La géométrie, c’est en quelque sorte la découverte du monde sous toutes ses formes.

géométrie

OÙ SONT LES MATHS ?

LES MESURES MANQUANTES DANS UN POLYGONE

5. 1 Qu’est-ce qu’une droite ? un angle ? ............................... 89 5. 2 Les mesures manquantes dans un triangle ..................... 91 5. 3 Les mesures manquantes dans un quadrilatère ............. 95 5. 4 Les mesures manquantes dans un polygone

de plus de quatre côtés .................................................. 99

Une courte introduction t’amène à faire le lien entre la mathématique et ton quotidien.

géométrie

CHAPITRE 5

Le sommaire des chapitres de la partie

BILAN DU CHAPITRE 5 ............................................................102 CHAPITRE 6

L’AIRE DES POLYGONES

6. 1 Qu’est-ce qu’une aire ? ..................................................106 6. 2 L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés ..............110 BILAN DU CHAPITRE 6 ............................................................114 CHAPITRE 7

LE CERCLE

7. 1 Qu’est-ce qu’un cercle ? ................................................118 7. 2 La circonférence d’un cercle .........................................120 7. 3 L’aire d’un disque ...........................................................122 7. 4 Le secteur circulaire, l’angle au centre

et l’arc de cercle............................................................125 BILAN DU CHAPITRE 7 ............................................................129 CHAPITRE 8

LES SOLIDES

8 . 1 Qu’est-ce qu’un solide ? ................................................133 8 . 2 L’aire d’un prisme droit .................................................136 8 . 3 L’aire d’une pyramide droite .........................................139 8 . 4 L’aire d’un cylindre droit ...............................................142 8 . 5 L’aire des solides décomposables .................................145 BILAN DU CHAPITRE 8 ............................................................148 CHAPITRE 9

LES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES

9. 1 Qu’est-ce qu’une isométrie ? .........................................152 9. 2 Qu’est-ce qu’une homothétie ? ....................................155 BILAN DU CHAPITRE 9 ............................................................159

88

87

Le contenu D’un chapitre De nombreux exercices, variés et gradués, te sont proposés.

CHAPITRE

Le titre de la section LES SOLIDES

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

QU’EST-CE QU’UN SOLIDE ?

8.1

Des renvois au cahier de savoirs t’indiquent les pages où tu trouveras la théorie correspondante.

Savoirs, p. 61 à 63

1 Que suis-je ? Arêtes

Bases

Développement

Faces latérales

Solide

Sommet

2 Nomme les solides qui correspondent aux illustrations et aux définitions suivantes.

a)

b)

Cône

Cylindre

c)

Prisme

Pyramide

d)

e)

géométrie

Boule

f) Corps rond qui ne possède qu’une seule face courbe appelée « sphère ». g) Polyèdre dont les faces latérales sont des triangles qui relient la base à un sommet commun appelé « apex ». h) Corps rond dont l’unique base est un disque et dont la face latérale correspond à un secteur circulaire. i) Polyèdre ayant deux bases parallèles et isométriques, et dont  les faces latérales sont des parallélogrammes. j) Corps rond dont les bases sont des disques isométriques et dont l’unique face latérale est un parallélogramme.

CH A PITRE 8

AV

LE S SO L IDE S

Des renvois t’indiquent la présence d’une fiche Outils à la fin de ton cahier.

133

Aperçu du c Ah ie r d ’Act iv ité s

V

Le contenu D’un chapitre (suite) Dans chaque section, on trouve une page de courts problèmes.

PROBLÈMES 1 Fatima a acheté un aquarium de 75 cm de hauteur dont la base est un hexagone régulier. Combien de mètres carrés de verre faut-il pour fabriquer cet aquarium ? Écris tes calculs et arrondis ta réponse au centième près.

h = 75 cm a = 8,7 cm 8,7 cm c = 10 cm Réponse :

2 Louis-Charles veut construire une remise collée au mur

0,25 m

2,41 m

de son garage. La remise sera constituée de trois murs et d’un toit.

Combien de mètres carrés de matériaux Louis-Charles doitil acheter pour bâtir sa remise ? Ajoute 10 % de matériaux supplémentaires pour l’assemblage. Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au centième près.

1,8 m

3m

2,4 m

Réponse :

? cm

3 Élizabeth a repeint en bleu l’extérieur de sa commode, sauf

78 cm 80 cm

géométrie

le dessous. Si un contenant de 824 ml de peinture couvre une surface de 10 m² et qu’elle a utilisé seulement 196 ml de peinture, quelle est la mesure de la profondeur de sa commode ? Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse à l’unité près.

Réponse :

138

CHAPIT RE 8

LES SOLIDES

BILAN Savoirs, p. 61 à 68

CHAPITRE

Chaque chapitre se termine par un bilan qui te permet de réinvestir tes connaissances.

SITUATIONS D’APPLICATION 1 À l’épicerie, Jonathan achète toujours les contenants

1 Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale

de chacun des solides suivants. Arrondis tes réponses au centième près, s’il y a lieu. a) Cube Aire de la base du cube

On te propose de résoudre une ou deux situations d’application à la fin de chaque bilan.

Aire latérale du cube

Aire totale du cube

les plus écologiques, c’est-à-dire ceux qui, selon leur capacité, utilisent le moins de matériau. Il hésite entre les deux contenants à jus ci-contre, faits du même type d’emballage. Lequel devrait-il choisir s’il tient compte de la capacité de chaque contenant (175 ml et 1,5 L) ? Écris les étapes de ta démarche.

3 cm

5,5 cm 20 cm

1,5 L 11 cm

175 ml 10 cm

2,25 dm

AT ≈ b) Prisme droit à base hexagonale Aire de la base du prisme

Aire latérale du prisme

Aire totale du prisme

6 cm

Réponse :

7,25 cm

2 Mélodie veut un étui protecteur pour sa tablette AT =

5 cm

c) Pyramide droite à base pentagonale Aire de la base de la pyramide

Aire latérale de la pyramide

Aire totale de la pyramide

17,1 m

8,3 m

Fermeture éclair Rembourrage 20 cm

Épaisseur 2,5 cm

d) Cylindre droit Aire de la base du cylindre

Aire latérale du cylindre

géométrie

géométrie

Sachant que le prix en magasin d’un étui semblable est de 54,99 $, combien d’argent Mélodie économiset-elle en le fabriquant elle-même ? Écris les étapes de ta démarche.

AT =

12 m

Aire totale du cylindre

34 mm

45 cm

AT =

148

Tissu extérieur

électronique. Elle décide d’en fabriquer un elle-même. L’extérieur de son étui sera fait d’un tissu coloré, vendu 10,99 $ le mètre carré. Elle veut aussi  25 cm recouvrir les deux grandes faces intérieures de l’étui d’un rembourrage, vendu 25 $ le mètre carré. Enfin, elle ajoutera une fermeture éclair qui coûte 3,75 $.

CH A P ITRE 8

LE S S O L I DE S

Réponse :

CHAP IT RE 8

LES S O LIDES

151

Les outiLs SOMMAIRE

outils

À la fin du cahier de savoirs et du cahier d’activités, les Outils te proposent une série de fiches sur des notions diverses : notations et symboles mathématiques, tableaux et diagrammes, figures et constructions géométriques, énoncés de géométrie, etc.

OUTIL 1

Les notations et les symboles mathématiques .................................O2 OUTIL 2

Les nombres premiers et les nombres composés .....................O3 OUTIL 3

Les diagrammes ................................O4 OUTIL 4

Les angles ..........................................O5 OUTIL 5

Les droites ........................................O6 OUTIL 6

Les polygones ....................................O7 OUTIL 7

Le cercle ............................................O9 OUTIL 8

Les solides....................................... O10 OUTIL 9

Constructions et transformations géométriques ...... O12 OUTIL 10

Les principaux énoncés de géométrie ................................. O18

O1

Vi

A p e rç u d u c Ah ier d ’ Ac t ivités

AVI

ARITHMÉtIQUE OÙ SONT LES MATHS ? Les nombres, ça compte ! Partout, autour de toi, il y a toutes sortes de nombres : des numéros de téléphone, des prix, des quantités, des grandeurs, des résultats scolaires, etc. L’arithmétique, c’est la « science des nombres », tu peux toujours compter sur elle.

A1

1

Sommaire

ARITHMÉtIQUE 2

Chapitre 1

LES NOMbrES ET LES OpérATiONS

1 . 1 Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? ................................ 3 1 . 2 L’addition et la soustraction de nombres rationnels ....... 5 1 . 3 La multiplication et la division de nombres rationnels.... 8 1 . 4 L’exponentiation de nombres rationnels ....................... 11 1 . 5 Les chaînes d’opérations et les propriétés

des opérations ................................................................ 13 1 . 6 L’arrondissement et l’estimation .................................... 16 1 . 7 Le système international d’unités (SI) ............................ 18 Bilan du chapitre 1 .............................................................. 21 Chapitre 2

LES rAppOrTS ET LES TAux

2 . 1 Qu’est-ce qu’un rapport ? un taux ? ............................... 26 2 . 2 Les proportions .............................................................. 29 2 . 3 Les situations de variation directe

et les situations de variation inverse.............................. 32 2 . 4 La résolution de situations de variation directe

et de situations de variation inverse .............................. 35 2 . 5 Les pourcentages dans les situations

de variation directe ........................................................ 39 Bilan du chapitre 2 .............................................................. 41

A2

Chapitre 1.1

LES NOMbrES ET LES OpérATiONS

Qu’est-ce Qu’un nombre rAtIonneL ?

Savoirs, p. 2 et 3

1 Que suis-je ? Écris ta réponse à l’aide du symbole approprié. Ensemble des nombres décimaux (𝔻) Ensemble des nombres entiers (ℤ) Ensemble des nombres naturels (ℕ) Ensemble des nombres rationnels (ℚ)

a) Je contiens uniquement des nombres entiers positifs. a

b) Je contiens tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction b , où a et b sont des nombres entiers et b ≠ 0. c) Je contiens uniquement des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. d) Je contiens les nombres entiers positifs et négatifs.

2 a) Désigne chacun des ensembles ci-dessous à l’aide du symbole 𝔻, ℕ, ℚ ou ℤ. b) Écris chacun des nombres suivants dans l’ensemble qui convient. −15

150

5 15

9

9 10

−5 6

−99

ARITHMÉtIQUE

0,05

A3

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

3

3 Compare les nombres suivants à l’aide des symboles . a)

24

d) g)

42

b)

32

10,1

1,01

e)

19,4

12,9

12,90

h)

70,95

−45

c)

−12

−21

19,42

f)

−62,5

−62,3

71

i)

0,03

0,05

4 Compare les fractions suivantes à l’aide des symboles . 1 2

a)

2 1

b)

3 8

5 8

c)

16

16 1

10

5 10

e)

6 5

1

f)

12 5

11 5

8 15

1 2

h)

−9

1

i)

−5

1 5

−5

d) g)

8

7 5 a) Place les fractions 16, 14, 29, 23 et 12

dans l’ordre croissant.

Réponse :

1

7

5 3 5

2

b) Place les fractions 12, 6, 4, 8 et 3 dans l’ordre décroissant.

Réponse :

ProbLÈme

ARITHMÉtIQUE

Clémence, Louis-Félix, Élise et Samuel ont participé à une course à pied de 21,1 km. Le temps mis par chacun d’entre eux pour parcourir cette distance est indiqué ci-dessous.

4

Clémence : 3,08194 h

Louis-Félix : 3,0805 h

Élise : 3,0833 h

Samuel : 3,0858 h

Lequel des quatre amis est arrivé en premier ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A4

L’ADDItIon et LA soustrActIon De nombres rAtIonneLs

1.2

Savoirs, p. 3 et 4

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) L’addition de deux nombres opposés donne toujours 1.

b) Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

c) Pour additionner des fractions qui ont le même dénominateur, on doit additionner leurs numérateurs.

d) L’addition de deux nombres négatifs donne toujours un nombre positif.

2 Remplis les tableaux suivants en calculant mentalement les additions et les soustractions. a) +

15

−32

8,6

0,7

b) 2

23

15

−12

−10

3,5

5,5

−1,5

−5

14

−25

−3,8

9

3 Remplis les tableaux suivants en calculant mentalement les additions et les soustractions. a)

+

3 2

3 4

3 8

b) 2

1 2

1 3

5 2

−2

−1

−4

3 8

1 2

2

A5

1 2

1 3

1 6

5 9

7 18

3

9

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

Simplifie tes réponses, s’il y a lieu.

5

4 Effectue les additions et les soustractions suivantes. a) 63,4 + 28,62

Réponse :

b) −131,9 + 75,61

Réponse :

e) 18,4 − 12,6

Réponse :

f) −103,1 − 5,23

Réponse :

c) 82,8 + −8,92

Réponse :

d) −909,2 + −14,6

Réponse :

g) 8,345 − −17,6

Réponse :

h) −9,81 − −10,72

Réponse :

5 Effectue les additions et les soustractions suivantes. Donne tes réponses sous la forme de fractions irréductibles. 5

9

7

ARITHMÉtIQUE

a) 6 + 4 + 12

6

Réponse : 7

2

2

7

Réponse : 6

c) 2 − 3 − 1 9

Réponse :

CH Ap i T rE 1

3

b) 2 + 1 3 + 6

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

2

7

1

d) 1 15 − 10 − 3

Réponse :

A6

ProbLÈmes 1 À Montréal, l’hiver dernier, la température moyenne a été de −10,2 °C. Sachant qu’on a enregistré

une température moyenne de 20,9 °C pendant l’été, calcule l’écart de température entre ces deux moyennes. Écris tes calculs.

Réponse :

2 Francis a 110 $ pour acheter une calculatrice graphique. Celle qu’il désire coûte 124,99 $. S’il

obtient un rabais de 31,25 $ et qu’il doit payer des taxes de 14,04 $, a-t-il suffisamment d’argent pour faire cet achat ? Écris tes calculs.

Réponse :

3 Cinq amis vérifient s’ils ont assez d’argent pour aller au cinéma. Il manque 3,50 $ à Angélique,

1,42 $ à Jackson et 0,70 $ à Jessica pour payer leur billet. Marie et Colin, quant à eux, ont respectivement 2,25 $ et 3,00 $ en trop. S’ils mettent tous leur argent en commun, peuvent-ils acheter leurs cinq billets de cinéma ? Écris tes calculs.

Réponse :

4 Estelle a plusieurs livres dans la bibliothèque de sa chambre. Le quart de ses livres

Réponse :

4

5 Un agriculteur cultive du blé sur une superficie de 33 5 hectares. S’il a déjà récolté son blé sur une superficie de

17 78 hectares,

combien d’hectares de blé lui reste-t-il à récolter ? Écris tes calculs.

ARITHMÉtIQUE

sont des bandes dessinées, le tiers sont des romans d’aventures, les trois huitièmes sont des romans policiers et ceux qui restent sont des encyclopédies. Quelle fraction des livres d’Estelle sont des encyclopédies ? Écris tes calculs.

Réponse : A7

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

7

LA muLtIPLIcAtIon et LA DIVIsIon De nombres rAtIonneLs

1.3

Savoirs, p. 4 et 5

1 Vrai ou faux ? b) −20 × −1 = 20

a) 5 × 0,5 = 1 c)

2 3

3

d) −3 ÷ 5 < 0

×2=0

e) 100 × 0,01 = 1

f) 3 × 0,5 = 0,15

1

g) 0,1 × 10 = 10 1

i) 9 × 9 = 9

h)

1 4

÷4=1

1

j)

5 2

×5=1

2

2 Remplis les tableaux suivants en calculant mentalement les multiplications et les divisions. a) ×

8

4,2

11,25

−1,5

b) ÷

5

0,5

−3

−4

10

10

0,1

0,1

10

8

−5

1

3 Remplis les tableaux suivants en calculant mentalement les multiplications et les divisions. Simplifie tes réponses, s’il y a lieu.

ARITHMÉtIQUE

a)

8

×

1 3

2 3

4

4 7

b)

÷

3

3

5

5

−1

−1

−3

−3

2

5

CH Ap i T rE 1

−3

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

1 3

2 3

−3 4

4 7

2

5

A8

4 Trouve les termes manquants. a) −6 ×

= −30 ÷ −3 = −17

d) g) 0,5 ×

= 2,5 5

÷ 6 = −7

b) e) −11 × h)

c) −9 ×

= 81

= 55

f)

÷ −3 = 9

× 1,5 = −12

i)

× −23,1 = −231

l)

÷ 4 = 80

o)

× 0,1 = 39

j)

×4=5

k) −0,75 ÷

m)

÷ 3,4 = 2

n) −55 ÷

= 7,5 = −110

5

5 Effectue les multiplications et les divisions suivantes.

Réponse :

b) −3,25 × 20,1

c) 0,155 × −130

Réponse :

e) 59,2 ÷ 4

Réponse :

d) −19,95 × −1,15

Réponse :

Réponse :

g) 15,15 ÷ −0,25

f) 76,4 ÷ 25

Réponse :

h) −82,4 ÷ −16

Réponse :

Réponse :

6 Effectue les multiplications suivantes. Simplifie tes réponses, s’il y a lieu. 2

7

a) 5 5 × 9

Réponse : A9

3

3

b) 2 4 × 5

Réponse :

5

6

c) 5 12 × 5

Réponse : CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

a) 0,61 × 12

9

7 Effectue les divisions suivantes. Simplifie tes réponses, s’il y a lieu. 3

3

a) 8 ÷ 1 5

Réponse :

6

9

b) 3 7 ÷ 7

Réponse :

3

7

c) 4 8 ÷ 2

Réponse :

ProbLÈmes 1 L’école a acheté de nouveaux manuels scolaires. Sachant que chaque manuel a coûté 73,78 $ et que l’école a déboursé 9296,28 $ en tout pour cet achat, trouve le nombre de manuels que l’école a achetés. Écris tes calculs.

Réponse :

2 Le comité sportif de l’école doit acheter 8 m de ruban rouge et 2,5 m de ruban or pour une cérémonie de remise de médailles. Si 1 m de ruban coûte 2,18 $, peu importe sa couleur, à combien s’élèvera le montant de la facture ? Écris tes calculs.

ARITHMÉtIQUE

Réponse :

10

1

3 Méliane a acheté un roman de 774 pages. Elle en a déjà lu le tiers et prévoit lire 18 du livre par

semaine pendant les trois prochaines semaines. Quelle fraction de son roman Méliane aura-t-elle lue après ces trois semaines ? Écris tes calculs.

Réponse :

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A10

L’eXPonentIAtIon De nombres rAtIonneLs

1.4

Savoirs, p. 5 et 6

1 Complète le schéma suivant. Base

Exposant Notation exponentielle Puissance Racine carrée Radical Radicande

144 = 122

∙144 = 12

2 Vrai ou faux ? a) 199 = 1

b) 10 + 20 + 30 + 40 = 4

c) 11 + 21 + 31 + 41 = 10

d) 01 = 1

e) 5 × 5 × 5 = 35

f) (−6)2 = 36

g) −16 = −1

h)

i) 00 n’est pas défini.

j) ∙25 = 5

∙14∙

2

1

= 16

3 Compare les nombres suivants à l’aide des symboles = ou ≠. a)

40

160

b)

251

52

c)

23

d)

24

42

e)

(−8)2

82

f)

− 73

(−7)3

g)

101

1000

h)

13 3

1 9

i)

6− 2

12 6

4 a) Place les nombres 23, 32, ∙36, ∙4, 51, 40, ∙100 et ∙49 sur la droite numérique suivante.

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

b) Écris les puissances de la question a) dans l’ordre décroissant.

A11

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

32

11

5 Trouve les bases ou les exposants manquants pour que les égalités suivantes soient vraies. a) 5 = 125

b)

Réponse : 1

5

= 32

Réponse : 1

Réponse :

= 1000

3

Réponse :

f) (−4) = −64

e) 6 = 36

c)

Réponse :

g)

3

= −27

Réponse :

d) 7 = 49 Réponse :

h)

2

= 144

Réponse :

6 Extrais les racines carrées suivantes. a) ∙9 =

b) ∙64 =

c) ∙25 =

d) ∙16 =

e) ∙81 =

f) ∙121 =

g) ∙1 =

h) ∙0 =

ProbLÈmes 1 L’ordinateur de Mahée a été infecté par un virus informatique. À son insu, Mahée a transmis ce virus par courriel à 25 destinataires. Chacun d’eux a, à son tour, transmis le virus à 25 autres utilisateurs. Au total, combien d’ordinateurs ont été infectés par le virus provenant de l’ordinateur de Mahée ? Écris tes calculs.

Réponse :

2 Dans un jeu-questionnaire mathématique sur les exposants, on pose les deux questions ci-dessous en

ARITHMÉtIQUE

donnant l’indice suivant : « La réponse à la question A est la même que la réponse à la question B. » Réponds aux deux questions en montrant ton raisonnement et tes calculs.

12

A. Trouve les puissances des nombres suivants

et place-les dans l’ordre croissant.

∙13∙ , ∙13∙− 2

, − ∙ 3 ∙ , − ∙ 3 ∙−

2

12

1

2

B. Trouve les puissances des nombres suivants

et place-les dans l’ordre croissant. 32, 3−2, −32, −(3)−2

Réponse :

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A12

1.5

Les cHAÎnes D’oPÉrAtIons et Les ProPrIÉtÉs Des oPÉrAtIons

Savoirs, p. 7 et 8

1 À l’aide des chiffres de1 à 4, indique l’ordre de priorité des opérations suivantes, 1 étant la première étape.

a) Effectuer les multiplications et les divisions (de gauche à droite). b) Effectuer les additions et les soustractions (de gauche à droite). c) Effectuer les opérations entre parenthèses. d) Effectuer l’exponentiation (calcul des puissances).

2 Relie chacune des égalités suivantes à la propriété qui lui correspond. a) 6 × (13 − −34) = (6 × 13) − (6 × −34) b) 18 + 25 + 2 = 25 + 18 + 2 c) 6 × 4 × 25 = 6 × (4 × 25)

• • •

• Associativité • Distributivité • Commutativité

3 Indique à l’aide d’un crochet (√) la ou les opérations qui correspondent aux propriétés suivantes. Opérations

+



×

÷

a) Nous sommes commutatives. b) Je suis distributive. c) Nous ne sommes ni commutatives, ni associatives.

4 Entoure l’opération qui doit être effectuée en premier dans chacune des chaînes d’opérations suivantes.

A13

a) 143 + 210 − 195 ÷ 15

b) 7,2 × (52 − 16) ÷ 2

c) 3,45 + 9,38 × 5 − 10 − 2,5

d) 25,08 + 21,6 + 88,9

e) (7,5 +12,2) × 1,15 + 32 × 5

f) 315 + 55 − 1200 × 1,5 − 625

g) (15 + 73 ÷ 11) − 93 ÷ 3

h) (9 − 43)4 × 12

i) 40 − (71 × 52 − 29)

j)

∙(62 − 39) × 3 + 81∙ ÷ (42 × 19)

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

d) Nous sommes associatives.

13

5 Compare les expressions suivantes à l’aide des symboles = ou ≠. a) 25 + −70 d)

2,1 ÷ 11

−70 + 25 b)

42 − −12

11 ÷ 2,1 e) (15 − −4) − 9

−12 − 42

82 × 91

c)

15 − (−4 − 9) f) (6 × 2) × 8

91 × 82 6 × (2 × 8)

6 Calcule la valeur des chaînes d’opérations suivantes. 3

a) 4 + −0,7 × 20 % + 10,2

Réponse :

d) 8 + 12,5 ÷ 5 % − 2,52

Réponse :

b) ∙9,1 −

13 8

∙ × 60 % + 92

Réponse :

9

c) ∙4 + 2,75∙ − 95 × 15 % 2

Réponse :

11 e) 210 ÷ −10,5 % × ∙−6 − 5 ∙

Réponse :

12

f) ∙−1,25 × 50 % + 2 ∙ × 5

Réponse :

7 Récris les chaînes d’opérations à l’aide de la propriété indiquée, puis calcule leur valeur. Commutativité

ARITHMÉtIQUE

a) 3,2 + 19 + 4,8 =

14

Distributivité =

Associativité c) (72 + 15) + 25 =

b) (3 × 2,1) + (3 × 9,9) =

=

Commutativité =

d) 2,5 × 7 × 2 × 10 =

=

ProbLÈmes 1 L’été dernier, Malek a travaillé huit semaines au terrain

de camping de ses parents. Chaque semaine, il travaillait 16 heures à l’accueil et 12 heures à tondre le gazon. Si ses parents lui ont donné 9,75 $ l’heure, combien d’argent Malek a-t-il gagné l’été dernier ? Écris tes calculs. Réponse :

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A14

2 Mélissa et Thomas veulent partager également 4 boîtes de 24 chocolats et 3 boîtes de 12 chocolats entre les élèves de leur groupe de mathématique. Ce groupe comprend 17 filles et 16 garçons. Combien de chocolats chaque élève recevra-t-il ? a) Complète la chaîne d’opérations suivante en y ajoutant les symboles des opérations et les parenthèses qui permettront de trouver la réponse. 4

24

3

12

17

16

b) À l’aide de cette chaîne d’opérations, calcule le nombre de chocolats que recevra chacun des élèves du groupe. Écris tes calculs.

Réponse :

3 Clovis doit se rendre au marché pour acheter quatre litres de lait, un kilogramme de

clémentines et trois pâtisseries. Il se demande s’il aura assez de 20 $ pour faire ses achats. Le sac de 4 litres de lait coûte 5,89 $, le kilogramme de clémentines coûte 4,99 $ et les pâtisseries coûtent 3,25 $ chacune. Seules les pâtisseries sont des produits taxables (TPS : 5 % et TVQ : 9,975 %). Clovis fait les calculs suivants : 1. 3 × 3,25 = 9,75 2. 5 % + 9,975 % = 14,975 % 3. 9,75 × 1,149 75 = 11,21 4. 5,89 + 4,99 + 11,21 = 22,09

a) Remplace les cinq étapes du calcul de Clovis par une chaîne d’opérations. Écris aussi le résultat de la chaîne. b) Dans le contexte, à quoi correspond la réponse −2,09 ?

5. 20 − 22,09 = −2,09

4 Marion et ses parents vont à une fête communautaire. Le prix d’entrée est de 1,50 $ pour Marion a) Traduis cette situation par une chaîne d’opérations.

Réponse :

b) Calcule la valeur de ta chaîne d’opérations pour obtenir la réponse.

Réponse : A15

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

1

et est 2 2 fois plus élevé pour chacun de ses parents. Si 250 enfants et 98 adultes sont allés à la fête, combien d’argent a-t-on amassé grâce à la vente des billets d’entrée ?

15

L’ArronDIssement et L’estImAtIon

1.6

Savoirs, p. 9

1 Indique à l’aide d’un crochet (√) la valeur qui correspond le mieux à chacun des énoncés suivants.

Valeur exacte

Valeur approximative

a) Plus de 300 élèves ont assisté à la pièce de théâtre. b) La région de Saguenay compte 150 000 habitants. c) Le délégué de classe a été élu avec 16 voix contre 12. d) Le prix de location d’un jeu vidéo est d’environ 6 $. e) Ma carte mensuelle d’autobus coûte 45 $.

2 Arrondis chacun des nombres suivants à la position indiquée dans la colonne de gauche. a) 43,9

b) 101,45

c) 56,009

d) 18,91

e) 61,845

f) 90,059

À l’unité près À la dizaine près Au dixième près Au centième près

3 Estime le résultat des opérations suivantes. Calcule ensuite leur résultat exact. b) −1063 + 648

Estimation :

Estimation :

Estimation :

Estimation :

Calcul :

Calcul :

Calcul :

Calcul :

ARITHMÉtIQUE

a) 542 + −329

16

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

c) 362 + 96 − 19

d) 3,50 + 15,95 − 12,34

A16

4 Estime le résultat des opérations suivantes. Calcule ensuite leur résultat exact. a) 28 × 9 × −11

b) 312 ÷ 8

c) −618 ÷ 12

d) 159,95 × 1,15

Estimation :

Estimation :

Estimation :

Estimation :

Calcul :

Calcul :

Calcul :

Calcul :

ProbLÈmes 1 Isabelle est dans un magasin pour faire quelques achats. Elle aimerait estimer le montant total de sa facture avant de passer à la caisse. Voici ce qu’elle a dans son panier :

2 chandails à 5,99 $ chacun, 3 pantalons à 12,75 $ chacun et 5 paires de bas à 0,89 $ chacune. Estime le montant total des achats d’Isabelle avant taxe, en arrondissant les prix à l’unité près.

Réponse :

lors d’un spectacle en plein air, Magalie a tracé un plan de l’endroit où s’est déroulé l’événement. Elle a divisé son plan en carrés. Au cours de la soirée, elle a compté 70 personnes dans l’un de ces carrés. En supposant que les spectateurs étaient répartis sur l’ensemble des carrés du plan, aide Magalie à estimer, au millier près, le nombre de personnes présentes au spectacle.

70

Réponse :

A17

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

Scène

2 Pour estimer le nombre de personnes présentes

17

Le sYstÈme InternAtIonAL D’unItÉs (sI)

1.7

Savoirs, p. 9 à 11

1 Indique l’unité de mesure appropriée. Centimètre

Centimètre carré

Gramme

Kilomètre

Litre

Mètre carré

Mètre cube

a) La largeur d’un écran d’ordinateur. b) L’aire d’un gymnase. c) La masse d’un téléphone cellulaire. d) La distance entre deux villes. e) La capacité d’un contenant de lait. f) L’aire d’une page de ton cahier. g) Le volume de ta classe.

2 Quel est le symbole ou le nom des unités de mesure suivantes ? b)

a) Kilogramme d)

mm

e) Kilomètre h)

g) Litre j)

hl

s

m) Mètre cube

c) Centimètre cube f)

dag

k) Minute

h

i) Centimètre carré l)

n)

g

ms

o) Millilitre

ARITHMÉtIQUE

3 Entoure le facteur qui permet d’effectuer les conversions suivantes.

18

a) De mètre à centimètre

× 10

× 100

÷ 100

÷ 1000

b) De décimètre à mètre

× 10

× 1000

÷ 10

÷ 100

c) De mètre carré à centimètre carré

× 100

× 10 000

÷ 100

÷ 1000

d) De décimètre carré à millimètre carré

× 10 000

× 1000

÷ 10000

÷ 100 000

e) De centimètre cube à mètre cube

× 1000

× 100 000

÷ 100

÷ 1 000 000

f) De mètre cube à litre

×1

× 1000

× 100 000 ÷ 1000

g) De millilitre à centimètre cube

×1

× 1000

× 100 000 ÷ 1000

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A18

4 Convertis les mesures suivantes. cg =

a) 1 g = b) 1 m2 =

dag =

cm2 =

c) 1 L =

mm2 =

dal =

d) 1 m3 = h=

f) 1 h =

s

mg

km2 =

ml =

mm3 =

e) 1 j =

kg =

hm2

cl = cm3 =

kl dm3 =

L

min

5 Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles . a)

34,5 L

d) 0,005 km2

345 cl

b) 8 cm3

8000 mm3

c)

59,3 dm

500 m2

e) 1,25 g

10,125 kg

f)

91,25 dm3

612 mm 91 250 cm3

6 Convertis les mesures suivantes. a) 2001 mm = d) 63,2 kg =

dm b) 25 cm = g

e) 5,5 dm3 =

c) 3 m2 =

mm

= cm2

f) 18,4 L =

cm3

dm3

7 Écris le symbole de l’unité de mesure qui rend vraies les égalités suivantes. a) 0,675 m = 675

b) 3,5 kg = 350

c) 15 min = 900

d) 500 mm = 0,5

e) 90 m2 = 900 000

f) 4500 cm2 = 0,45

ARITHMÉtIQUE

PROBLÈMES 1 Si un escargot adulte se déplace à une vitesse d’environ 1 mm/s,

combien de jours mettra-t-il pour parcourir une distance de 1 km ? Écris tes calculs.

Réponse :

A19

CHAPIT RE 1

LES NOM BR ES E t LE S O p é R at iO N S

19

2 Gaëlle et Billy ont parcouru les sept pistes de randonnée du mont Rigaud en une journée. Ils ont noté dans le tableau suivant les distances qu’ils ont parcourues. De 9 h à 10 h

De 10 h à 12 h

De 12 h 30 à 14 h

De 14 h à 14 h 30

De 14 h 30 à 16 h 30

3 km

54 hm

590 dam

400 m

38 hm

Quelle distance totale Gaëlle et Billy ont-ils parcourue au cours de cette journée ? Écris tes calculs.

Réponse :

3 Dans la cour arrière illustrée

ci-contre, il y a un cabanon pour les articles de jardin, une piscine, des espaces pavés et du gazon. Si la cour arrière a une superficie totale de 136 m², quelle est l’aire, en mètres carrés, de la surface recouverte de gazon ? Écris tes calculs.

Cabanon 3,5 m2

804 dm2

Piscine 10,98 m2

Gazon

Gazon

684 dm2 Pavé 103 900 cm2

Gazon

Réponse :

4 Pour préparer 12 petits chocolats à l’orange, on a besoin des ingrédients suivants : 50 g de chocolat noir, le jus d’une orange, 15 g de sucre en poudre et une feuille de gélatine.

ARITHMÉtIQUE

a) En tenant compte de la quantité de chocolat seulement, trouve le nombre de petits chocolats à l’orange que Viviane peut préparer si elle a 1 kg de chocolat noir. Écris tes calculs.

20

Réponse :

b) En tenant compte de la quantité de sucre seulement, trouve le nombre de petits chocolats à l’orange que Viviane peut préparer avec 14 kg de sucre en poudre. Écris tes calculs.

Réponse :

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A20

Chapitre

BILAN Savoirs, p. 2 à 11

1 a) Place les nombres suivants sur la droite numérique. − ∙ 1 ∙− 1

26 13

3

0,125

− 29 4

∙49

∙12∙−

2

−100

0,52

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

b) Écris les nombres de la question a) dans l’ordre décroissant.

2 Effectue les opérations suivantes. Arrondis tes réponses au centième près. a) −0,38 + 196,129

Réponse :

b) 62,173 − −449,03

Réponse :

c) 8,04 × −51,2

Réponse :

d) 0,4 ÷ 3,1

Réponse :

3 Effectue les opérations suivantes. Donne tes réponses sous forme de fractions ou de nombres fractionnaires réduits. 1

5

Réponse : A21

10

1

15

b) 12 − 4 − 18

ARITHMÉtIQUE

4

a) 3 + 8 + 16

Réponse : CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

21

12

1

2

c) 25 × 14

1

28

d) 2 3 × 2 5

Réponse :

5

e) 27 ÷ 3 12

Réponse :

Réponse :

4 Trouve les termes manquants. a) −7 –

= −2

b)

1

e)

=5

h)

÷ −3 = −4

d)

g) ∙0,25 ×

– 14 = −83 24 40

c) −4 ×

4

× 1

=1

= − 15

f)

÷ − 32 = 9

1

i)

× 0,125 = 8

÷ 2 = 12

1

5 Une seule des comparaisons suivantes est fausse. Entoure-la. 0,125 < 125 %

11 40

> 0,25

345 % >

26 5

3 4

> 34 %

6 Calcule la valeur des chaînes d’opérations suivantes. Arrondis tes réponses au millième près. 3

ARITHMÉtIQUE

a) 8 × (0,75 + 50 %)

22

Réponse :

c) ∙14∙− + (50 %)2 × 0,125 1 2

Réponse : CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

11

b) 115 % × 45,5 − 3 20

Réponse : 1

3

d) ∙−12 2 + 0,21∙ − 2,2 ∙0,65 − 4∙

Réponse : A22

7

32

e) 4,5 ∙−4 + 2∙ + 3250 × 0,25 %

Réponse :

7 Écris le symbole de l’unité de mesure qui rend vraies les égalités suivantes. a) 3,24 hm = 324

b) 4,8 m = 48

c) 0,462 hg = 462

d) 14,14 dag = 1414

e) 27,42 dl = 2742

f) 9,5 kl = 95

g) 23,32 dam² = 2332

h) 0,2323 dm² = 2323

i) 5,562 km³ = 5562

j) 0,111 111 m³ = 111 111

ProbLÈmes 1 Ashley est allée rendre visite à des amis dans le nord du Québec. Au moment de son départ,

l’odomètre de sa voiture indiquait 87 924,9 km. À son retour, 2 semaines plus tard, l’odomètre indiquait 89 528,7 km.

Réponse :

b) Durant ce voyage, la voiture d’Ashley a consommé 11,8 litres d’essence par 100 km. Sachant que le prix de l’essence était de 1,37 $/L, calcule combien Ashley a dépensé en essence pour son voyage. Écris tes calculs.

Réponse : A23

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

ARITHMÉtIQUE

a) Combien de kilomètres a-t-elle parcourus en deux semaines ? Écris tes calculs.

23

I

9,66 m

H

Parc

2 On a construit un parc de planche à roulettes près de l’école.

Ce parc a la forme d’un demi-octogone régulier. On veut entourer ce parc d’une clôture. Si chaque section de la clôture a une longueur de 1,5 mètre, combien de sections seront nécessaires pour faire le tour du parc ? Écris tes calculs.

J

4m A

Réponse :

3 Liliane achète une caméra haute définition d’une valeur de 489,99 $. Elle remet au vendeur 125 $ et s’engage à payer le reste, en plus des taxes de 15 % du montant total, en 12 versements égaux. À combien s’élèvera chacun de ces 12 versements ? Écris tes calculs.

Réponse :

4 Yohan fait partie d’une équipe de football. Pour s’entraîner, il doit faire 20 minutes de course par

jour, et le double de ce temps pour pratiquer son jeu avec ses coéquipiers. De plus, il joue un match de 50 minutes par semaine. Au total, combien d’heures consacre-t-il au sport par semaine ?

ARITHMÉtIQUE

a) Traduis cette situation à l’aide d’une seule chaîne d’opérations.

Réponse :

b) Effectue les calculs afin de répondre à la question.

Réponse :

24

CH Ap i T rE 1

LeS N OMB reS et Le S O pérat iO NS

A24

sItuAtIons D’APPLIcAtIon 1 L’été dernier, Annabelle a travaillé dans un camp de jour qui accueillait 520 jeunes. Annabelle

a principalement travaillé au camp de cirque. Si le quart des jeunes étaient inscrits au camp 11 multisport, 22,5 % au camp de soccer, un dixième au camp de natation et 40 au camp multimédia, combien de jeunes étaient inscrits au camp de cirque d’Annabelle ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Constance et Léon veulent préparer des frappés aux fruits (smoothies)

pour les 25 élèves de leur groupe. Voici les ingrédients de leur recette : • 500 ml de petits fruits (bleuets, fraises, mûres, etc.) • 250 ml de jus d’orange • 250 ml de yogourt à la vanille • 5 ml de miel

ARITHMÉtIQUE

S’ils veulent servir 1 verre de 225 ml à chacun des 25 élèves, de quelle quantité de chaque ingrédient ont-ils besoin ? Écris les étapes de ton raisonnement.

Réponse :

A25

CHA piT rE 1

Le S NO M Br e S e t Le S O p é r at iO N S

25

Chapitre

les rapports et les taux

Savoirs, p. 12 à 14

QU’EST-CE QU’UN RAPPORT ? UN TAUX ?

2.1

1 Que suis-je ? Rapport

Rapport réduit

Taux

Taux unitaire

a) Je permets de comparer des grandeurs ou des quantités de nature différente. b)

12 16

3

=4

c) Je représente la valeur d’une grandeur ou d’une quantité pour une unité. d)

125 g 500 ml

e) Je permets de comparer des grandeurs ou des quantités de même nature. f) 60 km/h

ARITHMÉtIQUE

2 Indique si les énoncés suivants correspondent à des rapports ou à des taux.

26

a)

Nombre de garçons au conseil des élèves Nombre de filles au conseil des élèves

b)

Distance parcourue par une automobile Durée du trajet

c)

Taille d’un joueur de basketball Hauteur d’un panier de basketball

d)

Quantité de farine nécessaire pour faire des biscuits Nombre d’œufs nécessaires pour faire des biscuits

e)

Temps consacré aux devoirs Temps consacré aux jeux vidéo

f)

Quantité de savon pour la vaisselle Quantité d’eau

g)

Nombre de grammes de sucre Prix d’un gramme de sucre

h)

Taille d’une personne Poids d’une personne

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A26

3 Traduis chacune des situations suivantes à l’aide d’un rapport ou d’un taux. a) Le prix des pommes est de 3,25 $ pour un sac de 1 kg. b) Cette épicerie est ouverte six jours sur sept. c) Il faut ajouter 250 g de riz à 500 ml d’eau. d) Ce cinéma présente huit films en français et cinq films en anglais.

4 Simplifie les rapports suivants pour obtenir des rapports réduits. a) 8 : 10

Réponse :

10

b) 15

Réponse :

63

c) 27

d) 6 : 24

Réponse :

Réponse :

5 Transforme les taux suivants en taux unitaires. a)

135 km 3h

Réponse :

b)

125 g 5L

Réponse :

c)

65 hab 5 km2

d)

Réponse :

2,50 $ 250 g

Réponse :

6 a) Trouve les deux taux qui traduisent chacune des situations suivantes. b) Pour chaque situation, indique à l’aide d’un crochet (√) si le deuxième taux correspond à une augmentation ou à une diminution. Justifie tes réponses. Situation n° 1

Traduction en taux : Augmentation de la valeur du taux

Diminution de la valeur du taux

Justification : Situation n° 2

Cette vieille voiture consomme 16 L d’essence pour parcourir 100 km. Ce nouveau modèle consomme 5 L pour parcourir 100 km. Traduction en taux : Augmentation de la valeur du taux

Diminution de la valeur du taux

Justification :

A27

CHapIt re 2

Les r ap p o rt s e t Le s taux

ARITHMÉtIQUE

Il y a 2 ans, Tom courait le 100 m en 20 secondes. Aujourd’hui, il court le 100 m en 16 secondes.

27

7 Compare les rapports et les taux suivants à l’aide des symboles ou =. Écris tes calculs. a)

3 : 12

8 : 30

b)

9 15

11 20

c)

2,5 m/s

9 km/h

PROBLÈMES 1 Jimmy prépare une assiette de fruits. Dans l’assiette, il dépose 4 cerises, 12 mûres et 24 fraises. a) Compare le nombre de cerises au nombre total de fruits à l’aide d’un rapport réduit.

Réponse :

b) Compare le nombre de fraises au nombre de mûres à l’aide d’un rapport réduit.

Réponse :

c) Dans l’assiette de Jimmy, combien y a-t-il de mûres pour chaque cerise ? Réponse :

ARITHMÉtIQUE

Réponse :

28

2 Sur une carte routière, on indique qu’une distance de 2 cm correspond à une distance réelle de 5 km. a) Traduis cette situation à l’aide d’un rapport réduit.

Réponse :

b) Si deux villes sont à 6 cm l’une de l’autre sur cette carte, quelle est la distance réelle, en kilomètres, entre ces deux villes ?

Réponse :

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A28

2.2

LES PROPORTIONS

Savoirs, p. 15 et 16

1 Complète les schémas suivants. Coefficient de proportionnalité

Extrêmes

Facteur de changement

1 : 14 = 5 : 70

× 14

Moyens

1 5 = 14 70 ×5

25 g 60 g = 300 ml 720 ml

2 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Dans une proportion, le produit des extrêmes est toujours égal au produit des moyens.

b) Deux rapports équivalents ou deux taux équivalents ont le même quotient quand on effectue la division de leurs termes.

3 Traduis chacune des situations suivantes en une proportion.

ARITHMÉtIQUE

a) Le prix de 6 oranges est de 2 $, celui d’une boîte de 24 oranges, de 8 $. b) Si le débit d’une pomme de douche est de 6,6 L d’eau à la minute, il faut 66 L d’eau pour une douche de 10 minutes. c) Dans cette limonade, il y a 10 g de sucre par 100 ml de liquide, soit 100 g de sucre par litre de limonade. d) Dans ce jus de fruits, il y a 2 parts de jus d’orange pour 3 parts de jus d’ananas, soit 500 ml de jus d’orange pour 750 ml de jus d’ananas. e) Cette voiture roule à une vitesse constante de 96 km/h. Dans 2 heures, elle aura parcouru 192 km.

A29

CHapIt re 2

Les r ap p o rt s e t Le s taux

29

4 Trouve le coefficient de proportionnalité. 5

7

b) 14 : 56 = 26 : 104

a) 35 = 49

Coefficient de proportionnalité :

16 g

c) 304 ml =

24 g 456 ml

Coefficient de proportionnalité :

Coefficient de proportionnalité :

5 Trouve le facteur de changement. a) 6 : 12,5 = 24 : 50

Facteur de changement :

4

7

24 $

b) 250 = 437,5

30 $

c) 8 kg = 10 kg

Facteur de changement :

Facteur de changement :

6 Les rapports et les taux suivants sont-ils équivalents ? Indique tes réponses l’aide des symboles

ARITHMÉtIQUE

= ou ≠. Écris tes calculs.

30

a)

5 : 12

8 : 17

b)

d)

350 ml 0,75 $

1,4 L 3$

e)

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

3 5

49 : 14

225 375

9:2

c)

11 L km

f)

18 5

5,5 L 500 m

36 9

A30

7 Trouve les termes manquants dans les proportions suivantes. a)

e)

21 = 15 5 20 $

=

40 $ 3h

b)

f)

: 6 = 5 : 15 7 = 21 8

c)

7g 21 g = ml 27 ml

g) 3 : 10,5 = 12 :

d) 5 : 14 =

h)

: 7

km 8 km = 6h 1h

PROBLÈMES 1 Samedi dernier, Dominic a aiguisé et farté 12 planches à neige en 2 heures. a) Traduis cette situation à l’aide d’un taux unitaire.

Réponse :

b) Dimanche, en 2 heures, Dominic a aiguisé et farté 5 planches de plus que samedi. À quel nouveau taux unitaire correspond cette situation ?

Réponse :

2 Noah et Pablo sont les deux meilleurs sprinteurs de l’école. Si Noah court à une vitesse de 30 km/h

Réponse :

3 Hier, Ana a déboursé 87,50 $ pour 7 billets de spectacle. Aujourd’hui, elle a commandé 3 billets

supplémentaires pour 40,50 $. Ana a-t-elle payé chacun de ces trois billets plus cher, moins cher ou le même prix que ceux achetés la veille ? Écris tes calculs et justifie ta réponse.

Réponse :

A31

CHapIt re 2

Les r ap p o rt s e t Le s taux

ARITHMÉtIQUE

et Pablo, à une vitesse de 8 m/s, lequel des deux court le plus vite ? Justifie ta réponse.

31

LES SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE ET LES SITUATIONS DE VARIATION INVERSE

2.3

Savoirs, p. 16 à 18

1 Indique, à l’aide d’un X, s’il s’agit d’une situation de variation directe ou d’une situation de variation inverse.

Situation de variation directe

Situation de variation inverse

a) Je suis une situation de proportionnalité. b) Dans un graphique, je suis représentée par une courbe qui s’approche des deux axes sans les toucher. c) Je suis une situation dans laquelle plus la valeur de x augmente, plus la valeur de y augmente aussi. d) Quand on effectue la division des termes de mes rapports ou de mes taux, on obtient le même quotient. e) Je suis une situation inversement proportionnelle. k

f) Ma règle est : y = x , où k représente le produit constant. g) Quand on calcule le produit de mes termes, on obtient un produit constant. h) Dans un graphique, je suis représentée par une droite qui passe par l’origine (0, 0). i) Ma règle est : y = kx, où k représente le coefficient de proportionnalité. j) Je suis une situation dans laquelle plus la valeur de x augmente, plus la valeur de y diminue.

2 Les tables de valeurs suivantes montrent-elles des situations de variation directe ou des situations de variation inverse ? Justifie tes réponses en donnant la règle de chaque situation. a)

2

x

ARITHMÉtIQUE

4

5

6



b)

70 105 140 175 210 …

y

32

3

Variation directe

y

Variation inverse

y

7

10

13

15



30 52,5 75 97,5 112,5 … Variation directe

Règle :

CH a pI t re 2

6

12 15 20



240 120 60 48 36



Variation inverse

Règle :

4

x

3

Variation directe

Règle :

c)

x

Les rapport s et Les tau x

Variation inverse

d)

x

12 15 20 22 26

y

60 75 100 110 130 …

Variation directe



Variation inverse

Règle :

A32

3 Indique, à l’aide d’un crochet (√), si les situations suivantes sont des situations de variation directe ou des situations de variation inverse. Écris les étapes de ta démarche. a) Il faut 200 g de farine pour préparer 12 crêpes, et 300 g de farine pour préparer 18 crêpes.

Variation directe

b) Un concierge met 60 minutes pour laver le plancher du gymnase. Quand il travaille avec un autre concierge, ils mettent ensemble 30 minutes pour laver le même plancher.

Variation inverse

Variation directe

c) Un écran de télévision mesure 80 cm de largeur sur 45 cm de hauteur. Le plus grand modèle mesure 160 cm de largeur sur 90 cm de hauteur. Variation directe

Variation inverse

d) Si on partage un prix de 1000 $ entre 4 gagnants, chacun reçoit 250 $. Si on partage le même prix entre 5 gagnants, chacun reçoit 200 $.

Variation inverse

Variation directe

Variation inverse

4 a) Complète les tables de valeurs suivantes à l’aide des règles indiquées. b) Représente chaque situation de variation dans un graphique. 36 x

2. y = 6x

6

x

9

y

10

12 4

2



x



y

y

40

9

36

8

32

7

28

6

24

5

20

4

16

3

12

2

8

1 0

A33

x 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20

3 12

5



24

36



y

4 0

x 1

2

3

4

5

6

CHapIt re 2

7

8

9 10

Les r ap p o rt s e t Le s taux

ARITHMÉtIQUE

1. y =

33

PROBLÈMES 1 En 1992, le salaire minimum était de 5,70 $/h. Vingt ans plus tard, en 2012, le salaire minimum était de 9,90 $/h.

a) Complète la table de valeurs suivante. Salaire en fonction du nombre d’heures travaillées

0

Nombre d’heures travaillées

10

20

30

40

Salaire en 1992 ($) Salaire en 2012 ($)

b) Si un travailleur payé au salaire minimum gagnait 11 400 $/an en 1992, quel serait son salaire annuel en 2012 ?

Réponse :

2 Cassandre et Charles ont loué un grand chalet près de Québec. Le coût de location, de 1950 $, sera partagé également entre toutes les personnes présentes. a) Complète la table de valeurs suivante. Coût de location par personne

Nombre de personnes présentes

2

4

34

390

243,75

130

b) Pour connaître le coût par personne, Cassandre veut utiliser la règle y = 1950x, alors que . Qui a raison ? Justifie ta réponse en représentant la Charles veut utiliser la règle y = 1950 x situation dans le graphique suivant. Réponse :

Coût par personne ($)

ARITHMÉtIQUE

Coût par personne ($)

10

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

y

Coût de location d’un chalet

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nombre de personnes A34

2.4

LA RÉSOLUTION DE SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE ET DE SITUATIONS DE VARIATION INVERSE

Savoirs, p. 18 à 21

1 Indique, à l’aide d’un X, les stratégies de résolution qu’on peut utiliser pour résoudre chaque type de situation.

Situation de variation directe

Situation de variation inverse

a) Le produit constant b) Le retour à l’unité c) Le produit des extrêmes et le produit des moyens d) Le facteur de changement e) Le facteur de changement inverse f) Le coefficient de proportionnalité

2 Résous la situation suivante à l’aide des stratégies indiquées. Écris tes calculs. On veut connaître la quantité de peinture nécessaire pour peindre une pièce de 400 m2, sachant qu’avec 3,75 L de peinture, on peut peindre 75 m2. a) Retour à l’unité

b) Coefficient de proportionnalité

ARITHMÉtIQUE

c) Facteur de changement

d) Produit des extrêmes et produit des moyens

Réponse :

A35

CHapIt re 2

Les r ap p o rt s e t Le s taux

35

3 Résous la situation suivante à l’aide des stratégies indiquées. Écris tes calculs. Combien de temps faut-il pour aller de Québec à Montréal en voiture à une vitesse de 80 km/h, s’il faut 150 minutes (2 h 30 min) pour parcourir la même distance à une vitesse de 100 km/h. a) Facteur de changement inverse

b) Produit constant

Réponse :

4 a) Indique si les situations suivantes sont des situations de variation directe ou des situations de variation inverse.

b) Résous chaque situation à l’aide de la stratégie de ton choix. Écris tes calculs. Situation n° 1

On veut connaître le temps que met une équipe de 6 élèves pour faire un sondage dans toute l’école, sachant qu’une équipe de 4 élèves met 5,5 heures pour faire ce même sondage. Variation directe Variation inverse

ARITHMÉtIQUE

Réponse :

36

Situation n° 2

On veut connaître la valeur de 1,00 $ canadien en euros (€), sachant que 1,00 € vaut 1,30 $. Variation directe Variation inverse

Réponse :

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A36

5 Complète les tables de valeurs des situations de variation directe suivantes. a)

x

1

3

y

7

21

5

12 63



b)



x y

9

10

25

18

45

30

50

… …

6 Complète les tables de valeurs des situations de variation inverse suivantes. a)

x

1

4

y

48

12

8

24 4



b)



x y

5

10

5

10

20

4



50



PROBLÈMES 1 Dans sa dernière situation d’écriture, Dalia a fait 15 fautes dans un texte de 145 mots. De son côté, Cameron a fait 12 fautes dans un texte de 125 mots.

a) Qui a fait le moins de fautes par mot ? Écris tes calculs.

Réponse :

Réponse :

c) Si Dalia avait écrit un texte de 116 mots en conservant le même taux fautes/mot, combien de fautes aurait-elle faites ? Écris tes calculs.

Réponse :

A37

CHAPIT RE 2

LES R AP P O RT S E T LE S TAUX

ARITHMÉtIQUE

b) Si Cameron avait le même taux de fautes par mot que Dalia, combien de fautes aurait-il faites dans son texte de 125 mots ? Écris tes calculs.

37

2 Voici une recette de lait frappé aux fraises pour trois personnes. Trouve les quantités d’ingrédients

nécessaires si tu dois préparer cette recette pour 12 personnes. Quelle stratégie as-tu utilisée pour trouver ces quantités ? Ingrédient

Pour 3 personnes

Fraises

250 grammes

Yogourt nature

650 grammes

Miel

2 cuillères à thé

Lait

10 centilitres

Pour 12 personnes

Stratégie utilisée :

3 La voiture de Mérédith consomme 8,5 litres d’essence pour parcourir 100 kilomètres. Quel sera le coût de l’essence pour parcourir 595 km si Mérédith paye 1,34 $/L d’essence. Écris tes calculs.

Réponse :

4 Nathan adore faire de la randonnée en raquettes dans le parc régional des Appalaches. En général, il

ARITHMÉtIQUE

met 3 heures pour parcourir 6,5 km. S’il part à 7 h 30 le matin, qu’il prend 2 pauses de 15 minutes chacune et 1 heure pour dîner, combien de kilomètres aura-t-il parcourus à son arrivée au refuge à 18 h ? Écris les étapes de ta démarche.

38

Réponse :

5 Justine aimerait repeindre son appartement. Toute seule, elle mettra six jours, en travaillant huit heures par jour, à repeindre toutes les pièces. Combien d’heures faudra-t-il pour repeindre l’appartement de Justine si deux de ses amis viennent l’aider ?

Réponse :

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A38

2.5

LES POURCENTAGES DANS LES SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE

Savoirs, p. 22 à 24

1 Vrai ou faux ? a) 10 % de 100 est égal à 10.

b) 40 est égal à 20 % de 200.

c) 50 % de 50 est égal à 150.

d) 50 % de 250 est égal à 500.

2 Écris chacun des pourcentages suivants sous la forme d’un rapport réduit. a) 80 %

b) 15 %

c) 2,5 %

3 Trouve le nombre qui correspond au « tant pour cent ». ×

1%

5%

10 %

25 %

50 %

70 %

110 %

150 %

50 40 150

4 Résous les situations suivantes en trouvant la valeur du « cent pour cent ».

Réponse :

c) Un téléphone coûte 51,75 $, les taxes de vente de 15 % comprises. Quel est le prix de ce téléphone avant les taxes ?

Réponse : A39

b) Dans une ville, 7500 habitants n’ont pas de voiture. Ces habitants représentent 40 % de la population de la ville. Quel est le nombre total d’habitants dans cette ville ?

Réponse :

d) Si 95 % d’un nombre est égal à 98,8, quel nombre correspond au 100 % ?

Réponse : CHapIt re 2

Les r ap p o rt s e t Le s taux

ARITHMÉtIQUE

a) Dans une école, 450 élèves dînent à la cafétéria. Ce nombre représente 45 % de tous les élèves de l’école. Quel est le nombre total d’élèves dans cette école ?

39

PROBLÈMES 1 Roméo fait partie des 12 % des élèves qui vont à l’école à pied. S’ils sont 172 à marcher pour se rendre à l’école, combien y a-t-il d’élèves à l’école de Roméo ? Écris tes calculs.

Réponse :

2 Sarah et Gregory ont préparé du jus. Sarah en a préparé 1,25 L. Si le récipient de Gregory peut contenir 50 % de plus que celui de Sarah, combien de litres de jus peut-il contenir ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Karina a acheté un logiciel de géométrie au coût de 149,97 $ après avoir obtenu un rabais de 10 %. a) Quel était le prix du logiciel avant le rabais ? Écris tes calculs.

Réponse :

ARITHMÉtIQUE

b) En négociant avec le vendeur, Karina réussit à obtenir 10 % de rabais supplémentaire sur le prix après rabais. Combien Karina a-t-elle finalement payé son logiciel ? Écris tes calculs.

40

Réponse :

c) Le logiciel aurait-il coûté moins cher si Karina avait obtenu 20 % de rabais sur le prix initial au lieu des deux rabais de 10 % ? Écris tes calculs.

Réponse :

CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A40

CHAPITRE

BILAN Savoirs, p. 12 à 24

1 Simplifie les rapports suivants pour obtenir des rapports réduits. a)

12 4

b) 5 m pour 10 km

Réponse :

Réponse :

2,7

c) 1,8

d) 4 mois par année

Réponse :

Réponse :

2 Transforme les taux suivants en taux unitaires. Arrondis tes réponses au centième près. 11,8 L

a) 100 km

b)

Réponse :

376,25 $ 35 h

Réponse :

875 km

c) 2 h 30 min

d)

Réponse :

2,29 $ 5 citrons

Réponse :

3 Compare les taux suivants à l’aide des symboles < ou >. Écris tes calculs. a) 5 km/h

b)

0,85 hm/min

2 cm 6 jours

1 m/an

4 Trouve le coefficient de proportionnalité et le facteur de changement pour chacune des situations suivantes.

56

A41

b) 20 : 0,5 = 300 : 7,5

3,9 g

c) 156 ml =

0,975 g 39 ml

Coefficient de proportionnalité :

Coefficient de proportionnalité :

Coefficient de proportionnalité :

Facteur de changement :

Facteur de changement :

Facteur de changement :

CHAPIT RE 2

LES R AP P O RT S E T LE S TAUX

ARITHMÉtIQUE

0,28

a) 0,35 = 70

41

5 Trouve les termes manquants dans les proportions suivantes. a)

2,5 = 1,5 15

: 4 = 49 : 28

b)

c)

3m 4,5 m = h 13,5 h

d) 2,20 : 14 =

: 70

6 a) Indique si les situations suivantes sont des situations de variation directe ou des situations de variation inverse.

b) Complète les tables de valeurs des situations. c) Représente chaque situation dans un graphique. 1. Si on partage le coût d’un buffet froid

2. Dans un lave-auto, il faut 30 minutes

entre 8 personnes, chacune doit payer 15 $. Si 4 personnes s’ajoutent à ce groupe, le coût sera de 10 $ par personne.

pour laver 6 voitures. Au cours d’une période de 7 heures, on a lavé 84 voitures.

Coût d’un buffet froid Nombre de personnes

10

Coût par personne ($)

24

Productivité d’un lave-auto

20 8

Durée (h)



Nombre de voitures lavées

Coût d’un buffet froid

y

Nombre de voitures lavées

Coût par personne ($)

ARITHMÉtIQUE

0

x 5

10 25 15 20 Nombre de personnes



36



30

90 84 78 72 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 0

Productivité d’un lave-auto

y

x 1

2

3

5 4 Durée (h)

6

7

8

7 Résous les situations suivantes. Écris tes calculs. a) Lors d’une enquête, 64 % des élèves sondés, soit 800 jeunes, étaient pour les changements apportés au code de vie de l’école. Combien de jeunes ont été sondés ?

Réponse :

42

12

7

Variation :

Variation :

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

1,5



CH AP IT RE 2

LES RAPPORT S ET LES TAU X

b) Le prix d’une tablette électronique s’élève à 1002,80 $. Ce montant comprend une taxe de vente de 15 %. Quel est le prix de la tablette électronique sans la taxe ?

Réponse : A42

PROBLÈMES 1 Bella fait de la course à pied. La table de valeurs ci-contre lui

permet de connaître le nombre de calories dépensées en fonction du temps qu’elle consacre à cette activité physique.

Minutes Calories

30 176

35 205

40 235

60 ?

Si Bella a couru pendant 60 minutes, combien de calories a-t-elle dépensées ?

Réponse :

2 Une pépinière spécialisée dans les pins, les sapins et les cèdres fait pousser un total de 14 000 arbres, dont 1400 pins. Si la pépinière cultive quatre sapins pour cinq cèdres, quel est le nombre de sapins et de cèdres cultivés ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Un organisme communautaire a préparé un certain nombre de paniers de nourriture à distribuer. Utilise le graphique ci-contre pour répondre aux questions suivantes. Écris tes calculs. a) Combien de paniers de nourriture cet organisme doit-il distribuer au total ?

180

Distribution de paniers de nourriture y

160

120 100

(2, 90)

80 60

(4, 45)

40

(6, 30)

20 x

Réponse :

0

A43

1

2

7 3 4 5 6 Nombre de bénévoles

CHapIt re 2

8

Les r ap p o rt s e t Le s taux

ARITHMÉtIQUE

b) Si cinq personnes se présentent pour faire la distribution de tous les paniers, combien de paniers chaque bénévole devra-t-il distribuer ?

Nombre de paniers

140 Réponse :

43

4 Dans une entreprise de consultants en informatique, 37 % des employés font des heures supplé-

mentaires. Si cette entreprise compte 3200 employés, combien d’employés ne font pas d’heures supplémentaires ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

SITUATION D’APPLICATION Charline et Ayoub travaillent au comptoir de muffins du café étudiant. Pour prévoir la quantité de muffins qu’ils doivent commander la semaine prochaine, ils ont analysé leurs ventes de la semaine passée. Voici ce qu’ils ont constaté : • Muffins aux carottes : 34 ventes • Muffins aux fruits : 4 ventes pour chaque muffin aux carottes vendu • Muffins au chocolat : 3 ventes pour 2 muffins aux fruits vendus

ARITHMÉtIQUE

Si Charline et Ayoub commandent 50 % de muffins au chocolat en plus, calcule combien leur coûtera leur commande sachant qu’ils paient leurs muffins 7,08 $ la douzaine, peu importe la sorte. Écris les étapes de ta démarche.

44

Réponse : CH a pI t re 2

Les rapport s et Les tau x

A44

algèbre OÙ SONT LES MATHS ? L’algèbre, c’est des chiffres et des lettres ! Dans la vie, tu fais souvent face à toutes sortes de situations. En algèbre aussi. Tu vas voir que le fait d’écrire des lettres, ça sert à résoudre une foule de problèmes et à ne pas avoir peur de « l’inconnue ».

A45

45

Sommaire

Chapitre 3

LES ExprESSiONS ALgébriquES

3 . 1 Qu’est-ce qu’une expression algébrique ?....................... 47 3. 2 Les suites numériques ..................................................... 51 3. 3 La réduction d’expressions algébriques

par addition ou soustraction ........................................... 55 3. 4 La réduction d’expressions algébriques

par multiplication ou division ......................................... 58 Bilan du chapitre 3 .............................................................. 62 Chapitre 4

LA réSOLuTiON d’équATiONS à uNE iNcONNuE

4 . 1 Qu’est-ce qu’une équation à une inconnue ? ................. 68 4 . 2 Les méthodes de résolution d’équations........................ 72 4 . 3 La résolution d’équations du 1er degré

à une inconnue ............................................................... 76

algèbre

Bilan du chapitre 4.............................................................. 80

46

A46

Chapitre 3.1

LES ExprESSiONS ALgébriquES

QU’EST-CE QU’UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE ?

Savoirs, p. 26 et 27

1 Complète le schéma suivant. Coefficient

Constante

Terme constant

Terme algébrique

Variable

7x − 23

2 Que suis-je ? Polynôme à quatre termes

Binôme

Trinôme

4x2 − 6xy + 12

3a − 15

14y

3ab2 − 2a2 + 7b + 9

3 Indique les coefficients, les variables et les degrés des monômes suivants. b) −3xy

a) 21a Coefficient

Variable

Degré du monôme

c) −b3 Coefficient

A47

Coefficient Variables Degré du monôme

d) 5xyz2 Variable

Degré du monôme

Coefficient Variables Degré du monôme

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

algèbre

Monôme

47

4 Indique le nombre de termes et le degré des polynômes suivants. 4

a) 19a + 32 Nombre de termes

b) 3x + 2y − 5 Degré du polynôme

d) 4ab − 9a + b − 32 Nombre de termes

Nombre de termes

c) 3abc + 2a2b2 Degré du polynôme

e) 5xy2 − 7xy + 4x + 2y

Degré du polynôme

Nombre de termes

Nombre de termes

Degré du polynôme

f) 5xy2 − 7xy + 4x + 2y − 24

Degré du polynôme

Nombre de termes

Degré du polynôme

5 Si l’expression algébrique ne respecte pas les règles d’écriture, récris-la correctement. a) cb4

b) 15 − 7y

c) −x4 + 3xy − 12

d) 51a2 + 1a

6 Calcule la valeur des expressions algébriques suivantes, si y = 9. a) 8y

Réponse :

e) 3y − 32

algèbre

Réponse :

48

b) 2y − 10

Réponse :

f) 3,2y + 1,2

Réponse :

c) −5y + 71

Réponse :

g)

2y 3

−6

Réponse :

d) 4y2

Réponse :

h)

y + 27 4

+ 16

Réponse :

7 Traduis chacun des énoncés suivants par une expression algébrique. a) La différence entre a et 8.

b) Le triple de c.

c) 9 fois la valeur de y.

d) bc divisé par 4.

e) x partagé en 3, plus 15.

f) x au carré, diminué de x.

g) 7 huitièmes de y.

h) 5 diminué du quart de b.

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A48

PROBLÈMES 1 Traduis les problèmes suivants par une expression algébrique.

Réponse :

c) Dans une salle de spectacle, il y a 75 rangées de fauteuils et 12 loges. S’il y a x fauteuils par rangée et y fauteuils dans une loge, combien de personnes cette salle peut-elle accueillir ?

Réponse :

e) Renaud a x pièces de 2 $ dans ses mains et 3 billets de 5 $ de plus dans ses poches. Combien d’argent a-t-il en tout ?

Réponse :

g) Dans un groupe, il y a 2 fois plus de femmes que d’hommes et 15 enfants de plus que de femmes. Si h représente le nombre d’hommes, combien y a-t-il de personnes dans le groupe ?

Réponse :

A49

b) Massimo offre une boîte de 24 chocolats à ses amis. S’il a n amis, combien de chocolats recevra chacun d’entre eux ?

Réponse :

d) Le prix d’un manuel de mathématiques est trois fois plus élevé que le prix d’un cahier d’exercices. Quel est le montant de la facture si Ada achète deux manuels et deux cahiers ?

Réponse :

f) Josianne est à la recherche de trois nombres consécutifs pairs. Si le 1er nombre pair est n, quelle est la somme des trois nombres ?

Réponse :

h) Quel est le périmètre d’un rectangle si le plus grand côté est le double de la mesure du plus petit côté qui mesure (x − 4) cm ?

algèbre

a) Rachel a n ans de moins que son père qui a 45 ans. Quel âge a-t-elle ?

Réponse :

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

49

2 Stéphanie et Laurent collectionnent les applications de jeux gratuits sur leur tablette électronique. Stéphanie a sept applications de moins que le triple des applications de Laurent.

a) Si Laurent a x applications, quel binôme représente le nombre d’applications qu’il y a sur la tablette électronique de Stéphanie ?

Réponse :

b) Si Laurent a 15 applications, combien d’applications Stéphanie a-t-elle ? Utilise le binôme trouvé en a) pour répondre à la question.

Réponse :

3 La table de valeurs suivante représente les salaires de Félicia, de Zachary et de Mia pour une même période. Salaire de Félicia ($)

3

4

5

6

20

40

b

Salaire de Zachary ($)

6

8

10

12

40

80

?

Salaire de Mia ($)

8

10

12

14

42

82

?

Si b représente le salaire de Félicia, quelles expressions algébriques représentent le salaire de Zachary et celui de Mia ?

Réponse :

algèbre

4 Loïc et Mégane cueillent des petits fruits pendant trois jours. La 1re journée, Loïc remplit

2 contenants de moins que Mégane. La 2e journée, Mégane remplit 2 fois plus de contenants que Loïc. La dernière journée, Loïc accélère le rythme et remplit six contenants de plus que la moitié des contenants remplis par Mégane. Si Mégane a rempli c contenants tous les jours, trouve les expressions algébriques qui représentent le nombre de contenants remplis par Loïc chaque jour.

Réponse :

50

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A50

3.2

LES SUITES NUMÉRIQUES

Savoirs, p. 28 et 29

1 Complète les formules suivantes. a) Règle d’une suite arithmétique. 1er terme de la suite

Raison (2 fois)

= × b) Règle d’une suite géométrique. 1er terme de la suite

=

+

Rang

Terme



Raison



− Rang

Terme



×

−1∙

2 Complète les phrases suivantes. Raison

Règle d’une suite

a) Dans une terme par un même nombre.

Suite arithmétique

, on passe d’un terme au suivant en multipliant chaque

b) Trouver la régularité ou la nouveaux termes à la suite. c) À l’aide de la termes d’une suite. d) Dans une un même nombre à chaque terme.

Suite géométrique

d’une suite permet d’ajouter de , on peut trouver la valeur et le rang de tous les , on passe d’un terme au suivant en additionnant

a) 5, 14, 23, 32, 41, …

b) −2, −8, −14, −20, −26, −32, …

c) −11, 0, 11, 22, 33, …

d) 5, 10, 20, 40, 80, 160, …

e) 5, 8, 12, 15, 19, 22, …

f) 3000, 300, 30, 3, 0,3, …

g) −3, 3, −4, 2, −5, 1, …

h) 2, 3, 4,5, 6,75, 10,125, …

i) 70, 35, 17,5, 8,75, …

j) −25, 125, 275, 425, 575, …

4 Trouve les quatre prochains termes des suites ci-dessous à l’aide des raisons indiquées. Raison Suite arithmétique

A51

Raison Suite géométrique

a) 5

−12,

b) 3

c) −4

16,

d)

e) −11

17,

f) 5

1 2

3, 400,

algèbre

3 Trouve la régularité des suites suivantes.

1,

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

51

5 Remplis les tables de valeurs suivantes. a) Une suite arithmétique dont la raison est 19.

1

Rang

2

c) Une suite arithmétique dont la raison est 5.

Rang

1

Terme

13

Rang

1

2

Rang



Rang

4

5

… …

2

3

4

5

… …

4 1

2

3

4

5

… …

4

Terme

e) Une suite géométrique dont la raison est −5.

5

… 3

Terme

d) Une suite géométrique dont la raison est 2.

4

53

Terme

b) Une suite arithmétique dont la raison est −8.

3

1

2

3

4

5



−5

Terme



6 Remplis les tables de valeurs suivantes selon les règles données. a) t = 8r Rang

b) t = 2r + 1 1

2

3

4

5

Terme



Rang



Terme

c) t = 5r + 5 Rang

1

2

3

4

5



Rang



Terme

algèbre 52

1

2

3

4

5

Terme



Rang



Terme

4

5

… …

1

2

3

4

5

… …

1

2

3

4

5

… …

h) t = −5r + 10

g) t = 3r2 1

2

3

Terme

cH Ap i T rE 3

3

f) t = −4r2

e) t = r2 – 6

Rang

2

d) t = 11r − 9

Terme

Rang

1

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

4

5



Rang



Terme

1

2

3

4

5

… …

A52

7 Voici les tables de valeurs de quelques suites arithmétiques. a) Trouve la raison et le 1er terme de chaque suite. b) Écris la règle de la suite arithmétique. c) Représente la suite dans un graphique. 1.

Rang

1

2

3

4

5



Terme

−2

5

12

19

26



Raison :

2.

1er terme :

1

2

3

4

5



Terme

26

20

14

8

2



Raison :

Règle : t =

30

Rang

1er terme :

Règle : t =

t

30

25

t

25

20 20

15

15

10 5

10

0

1

−5

2

3

5 r

4

5

−10

Rang

1

2

3

4

5



Terme

12

21

30

39

48



Raison :

1er terme :

A53

3

5 r

4

Rang



4

5

6

7



Terme



45

59

73

87



1er terme :

Règle : t =

t

100

45

90

40

80

35

70

30

60

25

50

20

40

15

30

10

20

5

10

0

2

Raison :

Règle : t =

50

4.

1

1

2

3

4

5 r

0

t

algèbre

3.

0

1

2

c HApi TrE 3

3

4

5

6

7 r

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

53

PROBLÈMES 1 Pierre-Yves prend sa voiture pour se rendre

au travail. Il la gare dans un stationnement près de son bureau. La table de valeurs ci-contre montre le coût du stationnement en fonction du nombre de journées où Pierre-Yves y gare sa voiture. a) Trouve la règle qui traduit cette situation.

Nombre de journées Coût du stationnement ($)

1

2

3

4



15

30

45

60



Réponse :

b) Si Pierre-Yves a utilisé le stationnement 200 jours l’année dernière, combien d’argent a-t-il dépensé ? Utilise la règle trouvée en a) pour faire tes calculs.

Réponse :

2 Clara et Maude participent au voyage « Destination-Europe » organisé par leurs enseignants de

français. Pour financer une partie des coûts du voyage, elles décident de louer un espace dans un marché aux puces pour vendre leurs vieux jeux vidéo. Utilise la table de valeurs suivante pour trouver la règle qui représente cette situation, soit le prix de vente d’un jeu vidéo ainsi que les frais de location d’un espace. Nombre de jeux vendus

1

2

3

4

5

6

Montant d’argent accumulé

−4

2

8

14

20

26

Réponse :

3 Un enseignant de mathématique donne à ses élèves la suite de nombres suivante : 3, 9, 27, 81,

algèbre

243, … Rafaelle pense que la règle de cette suite est 3 × 3(r −1) alors que Jules croit que la règle est 3r. Qui a raison ? Explique ta réponse en montrant ton raisonnement et tes calculs.

Réponse :

54

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A54

3.3

LA RÉDUCTION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR ADDITION OU SOUSTRACTION

Savoirs, p. 29 à 31

1 Vrai ou faux ? Rectifie l’énoncé lorsqu’il est faux. a) Des termes semblables sont formés des mêmes variables affectées d’exposants différents.

b) Deux expressions algébriques sont équivalentes lorsqu’elles ont la même valeur numérique.

2 Entoure les termes semblables dans chacune des expressions algébriques suivantes. a) 14x + 6y + 9a − 3x

b) 24a − a + 4 b − 6a2

c) 16ax − 32ax2 + 12ax2 + 9a

d)

b 2

+ b2 − 23 + 6

3 Entoure le terme qui n’est pas semblable aux autres dans chacune des expressions algébriques suivantes.

a) 3a2b + a2b − 18a2b + 9ab2

b) 21y − 7y − 7 +

20y 3

c) 12x2 +

1x2 2

− 21x + 2,12x2

4 Récris les polynômes suivants en regroupant les termes semblables et en respectant les règles d’écriture.

a) 2a2 + 11x − 4a2

b) 2x2 − 3xy − 9x2 + 2x

d) 45 + 4st2 − 5 st − 5st2 + 4st

c) c + 2b − 2b2 − 3b + 4c

e) 23x + 43y + 13x − 43z + 32y

5 Réduis les expressions algébriques suivantes par addition ou soustraction. Écris tes réponses en respectant les règles d’écriture.

b) 25x + 25 − 13

c) −5b + 31 − 12b − 21

algèbre

a) 3a − 17 + 8a

Réponse :

A55

Réponse :

Réponse :

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

55

6 Réduis les expressions algébriques suivantes. Écris tes réponses en respectant les règles d’écriture. a) 6p − 6p + 18 − 13 − 5p

Réponse :

c) 23xy − 12y + 32x − 18y + 7xy

Réponse :

e) 34 + 5y2 + 83 + 9y − 2y2 + 15y

Réponse :

b) 3u − 25 + 4u − 2u2 + 43

Réponse :

d) 2b − 6 + 4b + 2b2 − 1 − b2

Réponse :

f) 9b − 15b2 + 19 − 24b2 + 11 + 6b

Réponse :

PROBLÈMES 1 Aurélie, Damien et Lucas s’amusent à soulever des poids. Aurélie a soulevé 5 kg de moins que Lucas

algèbre

et Damien a soulevé 4 kg de plus qu’Aurélie. Si le poids soulevé par Lucas est représenté par x kg, quelle expression algébrique réduite représente le poids total (en kg) que les trois amis ont soulevé ?

Réponse :

56

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A56

2 Arielle et Tyler ont acheté des vêtements usagés pour la pièce de théâtre qu’ils présentent à l’école. Arielle a dépensé a $ pour sa robe, 7 $ de moins pour ses souliers et le double du prix de la robe pour ses bijoux. Tyler s’est trouvé un costume 3 pièces pour 4 $ de plus que le coût des bijoux d’Arielle et il a payé ses souliers 13,50 $.

a) Quelles expressions algébriques réduites représentent la somme d’argent que chacun d’entre eux a dépensée ?

Réponse :

b) Si Arielle et Tyler avaient un total de 50 $, quelle expression algébrique réduite représente la somme qu’il leur reste après leurs achats ?

Réponse :

3 Romy veut reproduire le triangle ci-contre dans son

A

cahier d’exercices. Elle aimerait savoir s’il s’agit d’un triangle rectangle. La mesure de ∠ ACB est de x°. La mesure de ∠ ABC est égale à 18° de moins que le double de la mesure de ∠ ACB. La mesure de ∠ BAC est égale à 6° de moins que la somme des 2 autres angles.

b) La mesure de ∠ ACB est de 37°. S’agit-il d’un triangle rectangle ? Montre ton raisonnement et tes calculs.

A57

Réponses :

a)

Réponses :

b)

B

?



C

algèbre

a) Exprime la mesure de ∠ ABC et de ∠ BAC à l’aide d’expressions algébriques réduites.

?

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

57

LA RÉDUCTION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR MULTIPLICATION OU DIVISION

3.4

Savoirs, p. 31 à 33

1 Vrai ou faux ? a) a • 2a = 2a2

b) −b • 15 = −15b

c) a • b • c = abc

d) −1 • −x = x

e) 4a • 5b = 20 + ab

f)

y 5

h)

4a + 6b 2

g)

32x 8

= 4x

• −1 = −5y = 2a + 3b

2 Remplis les tableaux suivants en calculant mentalement les multiplications et les divisions des monômes. a) ×

3

−2

7a

−2a

b) ÷

6a

−1

−3ab

3

5b

6

−a

−2

−30x

6x

24x

12x2

algèbre

3 Calcule les produits et les quotients suivants.

58

a) 21 • 4a

b) 2,5 • 5y

c) −14 • 3z

d) −24x • 2y

e) 25x • 3x

f)

g) 27a ÷ 9

h) 8y2 ÷ 4

i) 54x ÷ 6

j) 24b ÷ 6

k) 45xy ÷ 15

l) 121 ÷ 11c

m) 32ab2 ÷ 4

n) 12a2b • 4b

o) 1,5a • 3a

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

2 3

• 6b

A58

4 Réduis les produits suivants. Écris tes réponses en respectant les règles d’écriture. a) 5(x + y)

Réponse :

c) −12(−3z + 20)

Réponse :

e) 7a(−4a − 6)

Réponse :

b) 7(2a − 5b)

Réponse :

d) 2(−5c + 20c2 − 10)

Réponse :

f) 3x(100xy + 12y − 4)

Réponse :

5 Réduis les quotients suivants. Écris tes réponses en respectant les règles d’écriture.

Réponse :

c)

65b − 125c 5

Réponse :

A59

b) (28x − 52y) ÷ 4

Réponse :

d)

63x2 + 36xy − 81 9

algèbre

a) (15a − 9) ÷ 3

Réponse :

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

59

6 Récris les polynômes suivants en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes. a) 25x + 35

Réponse :

c) 27y2 − 39y + 63

Réponse :

b) 72ab − 48a

Réponse :

d) 24c2 − 66bc + 18c − 84

Réponse :

7 À l’aide de la réduction, démontre que les expressions algébriques suivantes sont des expressions équivalentes.

a) 9(15a − 8) = 5(27a − 14) − 2

b) 2(16xy + 4y − 8x) =

64xy + 16y − 32x 2

algèbre

PROBLÈMES Pour les problèmes suivants, réponds à l’aide d’expressions algébriques réduites et écris les étapes de ta démarche.

1 Chaque jour, Inès boit les 23 de la quantité d’eau bue par Matis. Si Matis boit 3b litres d’eau dans une journée, combien de litres d’eau auront-ils bus tous les deux en une année ?

Réponse :

60

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A60

2 En suivant les consignes ci-dessous, tu obtiendras une expression algébrique. 1. Représente l’âge d’une personne par la variable a. 2. Additionne 24,5 au triple de l’âge de cette personne. 3. Double l’expression algébrique obtenue. 4. Augmente-la maintenant de 22 fois l’âge de la personne. 5. Divise cette nouvelle expression algébrique par 7. 6. Retranche 7 du binôme obtenu.

Quelle expression algébrique as-tu obtenue ? Que représente-t-elle ?

Réponse :

3 Lors de sa dernière sortie au cinéma, Mavrick a remarqué qu’il y avait quatre fois plus d’enfants que d’adultes dans la salle.

a) S’il y avait (4x −12) enfants, combien de personnes y avait-il dans la salle de cinéma ? b) Si le prix d’un billet pour un enfant est de 5 $ et celui pour un adulte de 8,75 $, combien d’argent les spectateurs ont-ils déboursé au total ?

Réponses :

a)

Réponsse :

b)

des points. Rachel a marqué le double des points marqués par Angelina. Angelina a marqué trois points de moins que le double des points marqués par Élise. Si le nombre de points marqués par Élise est p, quelle est la moyenne des points marqués par ces trois joueuses étoiles ?

algèbre

4 Au cours d’un match de basketball, les 3 joueuses étoiles de l’équipe ont marqué plus de 50 %

Réponse :

A61

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

61

Chapitre

BILAN Savoirs, p. 26 à 33

1 Indique le coefficient, les variables et le degré des monômes suivants. a)

3bc³ 2

b) −0,75x²yz³

Coefficient Variables Degré du monôme

Coefficient Variables Degré du monôme

2 Pour chacun des polynômes suivants, indique le nombre de termes qui le forment ainsi que son degré. 1

Nombre de termes

1

b) 35xy + 3z

a) a + 7c² − 2

c) 18a³b + 5b³ − 2 b²c5 − 0,25

2

Degré du polynôme

Nombre de termes

Degré du polynôme

Nombre de termes

Degré du polynôme

3 Trouve la valeur des expressions algébriques suivantes, si a = 2, b = −1 et c = 12. a) a + b + c

Réponse :

b) 3a − 4bc

c) 0,75ab + 3c²

Réponse :

Réponse :

d) ab³c

Réponse :

algèbre

4 Traduis chacun des énoncés suivants par une expression algébrique.

62

a) La somme de a et b.

b) Le cube de c.

c) Le quotient de 19 par y.

d) 5 fois la somme de a et 9.

e) 6 fois moins que la différence de b et c.

f) Le quart de b retranché à 24.

5 Relie chacun des énoncés suivants à la bonne expression algébrique. a) 2 de plus que la moitié d’un nombre.



• 12(x + 2)

b) 2 fois plus que la moitié d’un nombre additionnée de 2.



• 2(12 x + 2)

c) La moitié de la somme d’un nombre et de 2.



• 12 x + 2

d) Le double de la somme de 2 et d’un nombre.



• 2(x + 2)

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A62

6 Trouve les cinq premiers termes des suites ci-dessous à l’aide des indices donnés. a) Suite arithmétique Le 1er terme de la suite est −3 et la raison est 0,7.

b) Suite géométrique Le 2e terme est 15 et la raison est −3.

7 À l’aide des tables de valeurs suivantes : a) trouve la raison et le 1er terme de chaque suite ; b) écris la règle de la suite arithmétique ; c) représente la suite dans un graphique. 1.

Rang

1

2

3

4

5



Terme

17

14

11

8

5



Raison :

1er terme :

0

Rang

1

2

3

4

5



Terme

8

16

24

32

40



Raison :

Règle : t = 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

2.

1er terme :

Règle : t =

t

44

t

40 36 32 28 24 20 16 12 8 r 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4 0

r

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8 Traduis les deux problèmes suivants par une expression algébrique réduite.

Réponse :

A63

b) Si le périmètre d’un octogone régulier, c’est-à-dire une figure à 8 côtés est de (16x − 36) m, quelle est la mesure d’un côté ?

algèbre

a) Le coût d’une planche à neige est de n $. À l’achat de 2 planches à neige, Julien obtient un rabais de 25 %. Quel est le prix des deux planches à neige ?

Réponse :

c HApi TrE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

63

9 Remplis les tables de valeurs en trouvant la valeur numérique des expressions algébriques suivantes. a) 10r + 125 Rang

1

b) 4n + 7 2

3

4

5

Terme



Rang



Terme

c) 3x2 − 5 Rang

1

2

3

4

5

… …

d) 6a3 1

2

3

4

Terme

5



Rang



Terme

1

2

3

4

5

… …

10 Réduis les expressions algébriques suivantes. Écris tes réponses en respectant les règles d’écriture. a) 3ab + 5 − 6ba + 7a² − 15

Réponse :

Réponse :

c) 4(3ab + a²) − 3(−a² −2ab)

Réponse : 2b

b) 18 − (6c − 3)

d) (−25abc + 15ab − 30) ÷ −5

Réponse : b

f) 5(3x² + 41) − 2(15x² + 4x) ÷ 6

algèbre

e) −4( 3 + 7) − ( 3 − 14)

Réponse :

64

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

Réponse :

A64

PROBLÈMES Pour tous les problèmes suivants, réponds à l’aide d’expressions algébriques réduites et écris les étapes de ta démarche.

1 Pendant une tempête de neige, Théo a mesuré toutes les heures l’accumulation de neige au sol. La table de valeurs suivante montre les mesures prises par Théo entre 7 h et midi. Durée (h)

1

2

3

4

5

6

Accumulation de neige au sol (cm)

5

8

11

14

17

20

Traduis la situation à l’aide d’une règle où x représente la durée de la tempête en heures (le rang).

Réponse :

2 Maëli et Arnaud ont décidé de mettre leur argent en commun pour acheter un cadeau à leurs parents. Maëli a (3x – 5) $ et Arnaud a (2x + 9) $. a) Quelle est la différence entre la somme d’argent de Maëli et celle d’Arnaud ?

Réponse :

c) Remplis la table de valeurs suivante. Quelle est la valeur de x si Maëli et Arnaud ont la même somme d’argent ? Valeurs possibles de x

10

12

14

16

18

Somme de Maëli (3x – 5) Somme d’Arnaud (2x + 9)

algèbre

Réponse :

b) Combien d’argent ont-ils ensemble ?

Réponse : A65

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

65

3 Jeanne a inscrit ses trois enfants à une activité culturelle au centre communautaire de son quartier. Pour le plus jeune de ses enfants, elle a payé 2 fois moins que pour son 2e enfant. Pour l’aîné, elle a dû payer 15 $ de plus que la somme déboursée pour les 2 plus jeunes.

a) Quelle somme totale a-t-elle dépensée pour les activités culturelles de ses trois enfants ?

Réponse :

b) En moyenne, quelle somme d’argent Jeanne a-t-elle dépensée par enfant ?

Réponse :

4 Émile est en vacances aux États-Unis. À la télévision, le présentateur météo annonce la température en degrés Fahrenheit. Émile ne connaît que les degrés Celsius.

Ses parents lui donnent un truc pour convertir les degrés Fahrenheit en degrés Celsius. Il doit d’abord soustraire 32° aux degrés Fahrenheit et ensuite multiplier le résultat par cinq neuvièmes. a) Traduis ce calcul à l’aide d’une expression algébrique où f représente une température en degrés Fahrenheit.

Réponse :

b) Complète la table de valeurs suivante.

algèbre

Température (°F)

66

32

41

50

59

68

77

Température (°C)

cH Ap i T rE 3

LeS ex pre S SionS aLg ébriqu eS

A66

SITUATIONS D’APPLICATION

Anne-Sophie

(2a 1 1) km

1 Anne-Sophie et Jean-Sébastien font du

jogging sur les pistes du parc près de chez eux. Anne-Sophie parcourt une fois la piste rectangulaire pendant que Jean-Sébastien parcourt deux fois la piste en forme de triangle isocèle. Si Anne-Sophie et JeanSébastien courent cinq jours par semaine, combien de kilomètres Jean-Sébastien parcourt-il de plus qu’Anne-Sophie ?

(a 1 2) km (a 1 1,1) km

Jean-Sébastien

Réponds à l’aide d’une expression algébrique réduite. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Un groupe d’élèves de 5e secondaire préparent la production de leur album de finissants. Ils ont le choix entre trois entreprises pour le faire imprimer.

La table de valeurs suivante montre les prix proposés par chaque entreprise. Nombre d’albums imprimés 1 entreprise re

2e entreprise 3e entreprise

1 515 20 1510

2 530 40 1520

3 545 60 1530

4 560 80 1540

5 575 100 1550

… … … …

algèbre

Si les élèves ont besoin de 187 albums, quelle entreprise devraient-ils choisir pour obtenir le prix le plus bas ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

A67

c HApi T rE 3

LeS expr eSS io n S aLg é br iq ueS

67

Chapitre

La résoLution d’équations à une inconnue

QU’EST-CE QU’UNE ÉQUATION À UNE INCONNUE ?

4.1

Savoirs, p. 34 et 35

1 Vrai ou faux ? Rectifie l’énoncé lorsqu’il est faux. a) Une équation à une inconnue est une relation d’égalité qui contient un terme manquant appelé « variable ».

b) Pour résoudre une équation à une inconnue, on doit trouver la valeur de cette inconnue qui rend la relation d’égalité vraie.

c) Si 4y + 8 = 5y − 15, alors 5y − 15 = 4y + 8.

2 Entoure l’inconnue dans chacune des équations suivantes. y

a) 2x + 29 = 37

b) 62 − 9a = 33

c) 52 = 3 + 14

d) 6c + 10c − 3 = 0

e) 17 − z = 2z2 − 16

f) 24a − a = 22 + a3

3 Calcule la valeur numérique de chaque inconnue.

algèbre

a) 5x = 15 Réponse :

68

Réponse :

e) −2c = 24 Réponse : a

cH aP it re 4

f) 9 = 3y Réponse :

i) 10 • 5 = 10 Réponse :

b) 10 + a = 35

j) 8a = 4 Réponse :

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

c) b − 32 = 10 Réponse :

g) 101 = x2 + 1 Réponse :

k) 11 = 55 ÷ z Réponse :

d) 45 ÷ n = 9 Réponse :

h) 29 − y = −29 Réponse :

l) 92x = 0 Réponse :

A68

4 Traduis chacun des énoncés suivants par une équation. a) 5 fois n est égal à 30. b) Le nombre 24 divisé par y vaut 3. c) En divisant a en 4, on obtient 18. d) Si on ajoute 15 au double de b, on obtient le carré de b. e) Le quart de y est égal au double de y auquel on a enlevé 20. f) La différence entre le double de z et 15 donne 0. g) Le quotient de 36 par x est égal à la somme de x et de 5.

5 Relie chaque énoncé à la bonne équation.

• •

• x − 20 = 32 • 4c = 32

c) Il ne me reste que 32 $, car hier j’ai téléchargé 20 chansons à 1 $ chacune.



• 8b = 32

d) Théo a gagné 32 parties de ping-pong. C’est huit fois plus que le nombre de parties gagnées par Adrien.



• 2x − 2 = 32

a) Le périmètre d’un carré est égal à 32 cm. b) Le double de l’âge de Nora moins 2 ans correspond à l’âge de son père, qui a 32 ans.

PROBLÈMES 1 Trouve les expressions algébriques demandées, puis traduis chaque situation par une équation réduite.

a) Amélie a deux ans de plus qu’Anna, et Florent est deux fois plus vieux qu’Anna. La somme des âges des 3 amis est de 62 ans. Âge d’Amélie :

Âge d’Anna :

Équation réduite :

Âge de Florent :

b) Laurie a pêché trois truites de plus que Benoit, et leur père en a pêché autant que Laurie et Benoit ensemble. Au total, ils ont pêché 30 truites.

Équation réduite :

Nombre de Nombre de Nombre de truites truites de Laurie : truites de Benoit : de leur père : b

A69

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

algèbre

a

69

c) Nadia, Christian et Jessy ont ensemble 107 $. Nadia a 6 fois plus d’argent que Christian, qui a 7 $ de moins que Jessy. Argent de Nadia :

Argent de Christian :

Équation réduite :

Argent de Jessy : b

d) La somme de 2 nombres est 101, et leur différence est 33. 1er nombre :

Équation réduite :

2e nombre :

x e) Le père de Jimmy lui remet 20 pièces de 10 ¢ et de 25 ¢. Jimmy reçoit un total de 3,20 $. Nombre de pièces de 10 ¢ :

Équation réduite :

Nombre de pièces de 25 ¢ :

b f) Le périmètre de ce carré est de 42 cm. Mesure d’un côté du carré :

Équation réduite : 3 4

(2x − 6)

g) Brigitte a acheté 12 mètres de tissu. Elle en a acheté un certain nombre de mètres à 2,50 $/m, et le reste, à 3,75 $/m. Le total de la facture s’élève à 35 $ sans les taxes.

algèbre

Nombre de mètres à 2,50 $ :

70

Équation réduite :

Nombre de mètres à 3,75 $ :

y h) La différence entre 2 nombres est 48, 1 et leur quotient est 3. 1er nombre :

Équation réduite :

2e nombre :

n

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A70

2 Livia et Jordan ont obtenu un total de 186 points à leur examen d’anglais. Livia a obtenu12 points de plus que Jordan. Quelle note ont obtenue Livia et Jordan à l’examen d’anglais ? Traduis cette situation à l’aide d’une équation réduite.

Réponse :

3 Trois frères, Éloi, Mathieu et Laurent, économisent pour faire l’achat d’un nouveau filet de hockey

qui coûte 225 $, taxes incluses. Ils souhaitent partager le coût du filet à parts égales. Jusqu’à présent, Mathieu a amassé le double de ce que Laurent a économisé. Laurent, lui, a économisé le triple de ce qu’Éloi a pu amasser. Les trois frères ont économisé un total de 354 $, et ils espèrent pouvoir payer chacun leur part de l’achat de 225 $. Traduis cette situation à l’aide d’une équation réduite.

Réponse :

4 Alicia, Éliane et Carl ont joué aux cartes. Alicia a obtenu le triple des points

algèbre

d’Éliane, tandis que Carl a obtenu 28 points de plus qu’Alicia. Les points obtenus par Carl équivalent à la somme des points des deux autres. Traduis cette situation à l’aide d’une équation réduite.

Réponse :

A71

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

71

LES MÉTHODES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS

4.2

Savoirs, p. 35 à 38

1 Que suis-je ? Méthode de l’équilibre Méthode des opérations inverses Méthode du terme caché Méthode par essais et erreurs

a) Quand on m’utilise, on remplace l’inconnue par différentes valeurs jusqu’à ce qu’on trouve la solution. b) Quand on m’utilise, on isole l’inconnue en inversant l’ordre des opérations. c) Quand on m’utilise, on doit appliquer les règles de transformation des équations. d) Quand on m’utilise, on masque un terme algébrique pour en faire un terme manquant.

2 Vrai ou faux ? Rectifie l’énoncé lorsqu’il est faux. a) Il est possible d’additionner ou de soustraire un même nombre aux deux membres d’une équation.

b) Des équations équivalentes sont des équations qui ont la même solution.

3 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode par essais et erreurs. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 3a + 50 = 77

algèbre

Validation :

Solution :

b) 50 = 99 − 7b Validation :

Solution :

72

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A72

4 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode du terme caché. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 15x − 16 = 44 Validation :

Solution :

b) 90 = −8y + 50 Validation :

Solution :

c)

z 5

+ 21 = 27 Validation :

Solution :

5 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode des opérations inverses. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions.

b) 19b − 27 = 11 Validation :

Solution :

A73

Validation :

algèbre

a) 14a + 12 = 82

Solution :

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

73

6 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode de l’équilibre. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions.

c

a) 9a + 11 = 110

b) 2 − 6 = 16 Validation :

Solution :

Validation :

Solution :

c) 6x + 3 = 10 − x

d) 4x − 1 = 6x − 19 Validation :

Solution :

Validation :

Solution :

7 Les équations suivantes sont-elles équivalentes ? Démontre-le en écrivant les étapes de tes calculs et en justifiant tes réponses.

algèbre

a)

10x + 5 = −65

et

8x + 65 = −5 − 2x

Justification :

b)

−3x − 9 = −4x − 7

et

13x − 9 = 17

Justification :

74

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A74

PROBLÈMES 1 Pour leur anniversaire, les jumeaux Ophélie et Jérémie ont reçu la même somme d’argent de leurs grands-parents. Ophélie a déjà dépensé 20 $ et Jérémie, 44 $. S’il reste 2,5 fois plus d’argent à Ophélie qu’à Jérémie, combien chacun avait-il reçu ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

Validation :

Réponse :

2 Hier soir, Julia a mangé le huitième de tous les morceaux de pizza. Pour sa part, Marco a dévoré un morceau de moins que le douzième de tous les morceaux. Si Julia a mangé trois morceaux de plus que Marco, combien de morceaux Marco a-t-il mangés ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

Validation :

Réponse :

3 Léa a acheté un manteau et une paire de bottes pour la somme de 141,75 $. Trouve le prix du

Équation et résolution :

Validation :

algèbre

manteau et celui de la paire de bottes, sachant que le prix de trois manteaux équivaut au prix de quatre paires de bottes. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

A75

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

75

LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU 1er DegRÉ À UNe INCONNUe

4.3

Savoirs, p. 38 à 40

1 Inscris l’ordre (de 1 à 4) des étapes qui permettent de résoudre une équation à une inconnue. a) Je valide ma solution en remplaçant l’inconnue par la valeur que j’ai trouvée à l’étape précédente. b) Je réduis, s’il y a lieu, chaque membre de l’équation. c) Je trouve la valeur de l’inconnue à l’aide de la méthode que j’ai choisie. d) Je choisis la méthode de résolution d’équation appropriée.

2 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode de ton choix. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions.

b) 3 + 32 = 41

Validation :

Validation :

Solution :

algèbre

c) 75 =

Solution : 3x 4

− 15

Validation :

Solution :

76

x

a) −4x + 9 = 33

CH AP IT RE 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i nconnue

d) 3x − 14 = 2x − 8

Validation :

Solution :

A76

3 Réduis les équations suivantes, puis résous-les en utilisant la méthode de ton choix. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions.

Réduction :

Réduction :

Résolution :

Résolution :

Validation :

Validation :

Solution :

c) 42x − 72 = 30x + 48

Solution :

d) 3x − 27 = 9x − 75

Réduction :

Réduction :

Résolution :

Résolution :

Validation :

Validation :

Solution : A77

b) −5(x − 6) = −4x + 35

algèbre

a) 8x − 7 − 5x + 25 = 15

Solution : c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

77

4 Réduis les équations suivantes en utilisant le produit des moyens et des extrêmes, puis résous-les à l’aide de la méthode de ton choix. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 11x + 16 =

25x + 20 2

b)

3x − 2 4

=

1,5x + 20 5

Réduction :

Réduction :

Résolution :

Résolution :

Validation :

Validation :

Solution :

Solution :

PROBLÈMES 1 Ali, Esteban et Nelly ont construit 40 graphiques pour un travail en sciences. Esteban a tracé

quatre graphiques de moins qu’Ali et trois graphiques de plus que Nelly. Combien de graphiques chacun a-t-il tracés ? Écris les étapes de ta démarche.

Validation :

algèbre

Équation et résolution :

Réponse :

78

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A78

2 En partant de Montréal, Xavier et Jade doivent parcourir 932 km en voiture pour se rendre à

Saint-Jean, au Nouveau-Brunswick. La 1re journée, ils parcourent une certaine distance pour se rendre à Rivière-du-Loup. La 2e journée, pour se rendre à Fredericton, ils parcourent 40 km de moins que la 1re journée. La 3e journée, ils atteignent Saint-Jean en roulant 30 km de plus que le dixième de la distance entre Montréal et Fredericton. Quelle distance parcourent-ils la 3e journée ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

Validation :

Réponse :

3 Un groupe d’explorateurs fait l’achat de 5 systèmes GPS et de 5 piles de

remplacement, pour une facture totale de 1120 $. Chaque système GPS vaut 4 $ de plus que le quadruple du coût d’une pile de remplacement. Quel est le coût de chacun des articles ? Écris les étapes de ta démarche.

Validation :

algèbre

Équation et résolution :

Réponse :

A79

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

79

CHAPITRE

BILAN Savoirs, p. 34 à 40

1 Trouve la valeur de l’inconnue dans chacune des équations suivantes. a) 45 + r = 34 Réponse : c

e) 15 = 5 Réponse :

b) a − 11 = 10 Réponse :

f)

36 s

= −18

Réponse :

c) 48 − w = 8 Réponse :

g) −g = 14 Réponse :

d) −12 = 4n Réponse : 7

h) 7 y = 7 Réponse :

2 Traduis chacun des énoncés suivants par une équation. a) Le nombre 25 est la somme d’un nombre x et de 15. b) Le quotient de la somme de r et du double de r par 12 vaut 36. c) Le nombre 5 retranché de z donne 29. d) À la moitié d’un nombre d, on ajoute le double de 18 et on obtient le quart du même nombre plus 25.

3 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode par essais et erreurs. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 5a + 15 = 40 Validation :

Solution :

b)

x 3

− 3 = 78

algèbre

Validation :

Solution :

80

CH AP IT RE 4

L A RÉS OLU T ION D ’ ÉQUAT ION S À U NE I NCONNUE

A80

4 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode du terme caché. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 3x − 2 = −8

Validation :

Solution :

b)

4(k − 7) 2

= −4 Validation :

Solution :

5 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode des opérations inverses. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. a) 2(a − 5) = 6

b)

3b 7

− 7 = −1

Validation :

Solution :

Validation :

Solution :

et valide tes solutions. a) 15 = 9 − 2a

b) 5x − 3 = 4x + 4 Validation :

Solution : A81

Validation :

algèbre

6 Résous les équations suivantes en utilisant la méthode de l’équilibre. Écris les étapes de tes calculs

Solution : c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

81

c)

5y − 9 4

=

3y + 1,5 3

d)

Validation :

3k + 3 5

+ 4 = 2k − 1

Validation :

Solution :

Solution :

7 Réduis l’équation suivante, puis résous-la en utilisant la méthode de ton choix. Écris les étapes de tes calculs et valide tes solutions. x + (2x + 1) − 2(13 − 3x) =

3(2x − 1) + 34,1 10

Réduction :

Validation :

algèbre

Résolution :

Solution :

82

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A82

B

A

2 cm C 2 cm D

8 Sachant que le périmètre de la figure ci-contre est de 84 cm. Quelle est la mesure des côtés AB, DE, EF et AF ? Écris les étapes de ta démarche.

(x 1 2) cm

(x 1 6) cm

F

Équation et résolution :

E

Mesure des différents côtés :

Validation :

Réponse : m AF

m EF

m DE

m AB

PROBLÈMES 1 Si on additionnait l’âge des 190 élèves de 2e secondaire d’une école, on arriverait à 2540 ans.

Équation et résolution :

Validation :

algèbre

Sachant que ces élèves ont 13 ou 14 ans, trouve le nombre d’élèves qui ont 14 ans. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

A83

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

83

2 Pour la sortie de fin d’année, il y a deux fois plus d’élèves inscrits aux glissades

d’eau qu’à la randonnée en forêt. Il y a autant d’élèves inscrits au parc d’attractions qu’il y en a aux glissades d’eau et à la randonnée en forêt réunies. Le nombre total d’élèves inscrits à la sortie de fin d’année est de 540. Combien d’élèves sont inscrits au parc d’attractions ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

Validation :

Réponse :

3 Pour terminer son travail de géographie, Elsa a mis 13 de temps de plus que le temps alloué.

Pénélope, elle, a mis 20 minutes de moins que le temps alloué, et Olivier a mis 10 minutes de moins que le double du temps mis par Pénélope. En sachant qu’Elsa a mis 10 minutes de plus qu’Olivier, détermine le temps que chacun a mis pour faire son travail de géographie. Écris les étapes de ta démarche.

Validation :

algèbre

Équation et résolution :

Réponse :

84

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A84

4 Le restaurant À la poutine souriante peut accueillir 74 clients avec son petit comptoir et ses

21 tables. La salle à manger comprend des tables pour quatre personnes et des tables pour deux personnes. Si huit clients peuvent s’asseoir au comptoir, combien y a-t-il de tables pour quatre personnes dans le restaurant ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

Validation :

Réponse :

SITUATIONS D’APPLICATION 1 Pour le mariage de sa cousine, Mélina doit se rendre à Minneapolis, aux États-Unis. En partant de Montréal, elle doit faire une escale à Toronto, puis prendre un 2e avion. Le 1er avion décolle de Montréal à 19 h 30. Le temps d’attente entre les 2 vols est de 10 minutes de moins que la durée du 1er vol (Montréal−Toronto). La durée du 2e vol (Toronto− Minneapolis) est de 2 minutes de plus que le temps d’attente entre les 2 vols. Si la durée du 2e vol équivaut à 88 minutes de moins que le double de la durée du 1er vol, quelle heure sera-t-il à Montréal lorsque Mélina arrivera à Minneapolis ? Écris les étapes de ta démarche.

Équation et résolution :

algèbre

Validation :

Réponse :

A85

c HaP it re 4

La réso Luti on d’équat io n s à un e inCo n n ue

85

2 Coralie et Zach ont aménagé deux platebandes dans leur jardin. La platebande de Coralie est de

forme triangulaire, et celle de Zach, de forme rectangulaire. Coralie et Zach désirent border leur platebande de blocs de pierre décorative. Au centre de rénovation, ils ont trouvé des blocs d’une longueur de 20 cm chacun vendus en boîte de 10 unités. Une boîte coûte 33,50 $, sans les taxes. Sachant que les platebandes de Coralie et de Zach ont exactement le même périmètre, trouve combien de blocs de pierre il leur faudra pour border leurs platebandes. Quel sera le coût total des blocs de pierre sans les taxes ? Le plan ci-contre contient toutes les données dont tu as besoin pour répondre à la question. Les mesures sont en centimètres. Montre ton raisonnement et tes calculs.

3a

2 ( 2 + 11)

4a − 22

Platebande de Coralie

2a + 1

(6a + 198) 3

Platebande de Zach 15a 4

+ 4,5

Jardin de Coralie et de Zach

Équation et résolution :

algèbre

Validation :

Réponse :

86

cH aP it re 4

L a rés o Lu t ion d ’ équat ion s à u ne i n Connue

A86

géométrie OÙ SONT LES MATHS ? La géométrie, c’est souvent une question de plan ! Elle te permet de savoir comment sont construits les objets qui t’entourent et de voir les choses sous un autre angle... La géométrie, c’est en quelque sorte la découverte du monde sous toutes ses formes.

A87

87

Sommaire

Chapitre 5

LES MESurES MANquANTES dANS uN pOLygONE

5 . 1 Qu’est-ce qu’une droite ? un angle ? ............................... 89 5 . 2 Les mesures manquantes dans un triangle ..................... 91 5 . 3 Les mesures manquantes dans un quadrilatère ............. 95 5 . 4 Les mesures manquantes dans un polygone

géométrie

de plus de quatre côtés .................................................. 99

88

Bilan du chapitre 5 ............................................................102 Chapitre 6

L’AirE dES pOLygONES

6 . 1 Qu’est-ce qu’une aire ? ..................................................106 6 . 2 L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés ..............110 Bilan du chapitre 6 ............................................................114 Chapitre 7

LE cErcLE

7. 1 Qu’est-ce qu’un cercle ? ................................................118 7. 2 La circonférence d’un cercle .........................................120 7. 3 L’aire d’un disque ...........................................................122 7. 4 Le secteur circulaire, l’angle au centre

et l’arc de cercle............................................................125 Bilan du chapitre 7 ............................................................129 Chapitre 8

LES SOLidES

8 . 1 Qu’est-ce qu’un solide ? ................................................133 8 . 2 L’aire d’un prisme droit .................................................136 8 . 3 L’aire d’une pyramide droite .........................................139 8 . 4 L’aire d’un cylindre droit ...............................................142 8 . 5 L’aire des solides décomposables .................................145 Bilan du chapitre 8 ............................................................148 Chapitre 9

LES TrANSfOrMATiONS géOMéTriquES

9. 1 Qu’est-ce qu’une isométrie ? .........................................152 9. 2 Qu’est-ce qu’une homothétie ? ....................................155 Bilan du chapitre 9 ............................................................159

A88

Chapitre

LES MESurES MANquANTES dANS uN pOLygONE

QU’EST-CE QU’UNE DROITE ? UN ANGLE ?

5.1

Outil 4, Les angles, p. O5 Outil 5, Les droites, p. O6

Savoirs, p. 42 et 43

1 Que suis-je ? Bissectrice

Droites parallèles Droites perpendiculaires Médiane Médiatrice Segment

a)

b)

d)

e)

d1

A

d2

c)

f) d1

B

d2

A

A89

a)

Deux angles opposés par le sommet

b)

Deux angles complémentaires

c)

Deux angles supplémentaires

d)

Deux angles correspondants

e)

Deux angles alternes-externes

f)

Deux angles alternes-internes

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

géométrie

2 Dans chaque figure, colorie les angles demandés.

89

3 a) Trouve les mesures demandées, sans rapporteur d’angles. d1

m ∠ 1 = 180 – 112 = d2

m ∠ 5 =

112°

m ∠ 8 = m ∠ 9 =

d3

1

4 2

m ∠ 13 = m ∠ 16 =

12 11 86° 10

9

3 5

8 6

d4

7 68°

16 13 15 14 94°

b) Désigne deux droites parallèles et justifie ta réponse.

PROBLÈME Voici un croquis d’une séquence de jeu lors d’un match de ringuette. L’entraîneur veut connaître la mesure de l’angle décrit par l’anneau entre le lancer d’Anna et le tir au but de Vanessa (angle AVB). Trouve la mesure de cet angle. Justifie tes affirmations.

292° Ruby

Anna

Liana

Pour t’aider, voici quelques données supplémentaires. • Le lancer de Liana (LR) est parallèle à celui d’Anna (AV).

Vanessa

• Le lancer de Ruby (RA) est parallèle à la bande latérale de la patinoire. • Le tir au but de Vanessa (VB) correspond à la bissectrice de l’angle formé par le lancer d’Anna et le coin inférieur droit de la patinoire (∠ AVC). Affirmations

But

?

Coin

Justifications

géométrie

m ∠ ARL = 

m ∠ RAV = 

m ∠ AVC =  m ∠ AVB = 

Réponse :

90

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A90

LES MESURES MANQUANTES DANS UN TRIANGLE

5.2

Savoirs, p. 44

Outil 6, Les polygones, p. O8 Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O13 à O15

1 Classe les triangles suivants selon les mesures de leurs côtés et de leurs angles. Fais un crochet (√) dans la case appropriée. a)

b)

c)

Scalène et rectangle

Isocèle et acutangle

Scalène et obtusangle

Isocèle et rectangle

Équilatéral, équiangle et acutangle

Isocèle et acutangle

Scalène et obtusangle

Équilatéral et isoangle

Scalène et acutangle

d)

e)

f)

Isocèle, acutangle et isoangle

Scalène et isoangle

Isocèle et acutangle

Équilatéral et équiangle

Isocèle et obtusangle

Isocèle, isoangle et obtusangle

Isocèle et obtusangle

Scalène et obtusangle

Scalène et obtusangle

2 Indique le ou les types de triangles décrits dans chaque énoncé. Trace un X dans la ou les colonnes appropriées.

Triangle isocèle

scalène

équilatéral

b) Je peux avoir un angle droit. c) Je possède trois côtés isométriques. d) La somme des mesures de mes angles intérieurs est toujours égale à 180°. e) Mes trois côtés sont de longueurs différentes et mes angles ne sont pas isométriques. f) Mon axe de symétrie supporte à la fois une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur.

A91

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

géométrie

a) Je possède au moins deux côtés et deux angles isométriques.

91

3 Dans chaque triangle, trouve la ou les mesures manquantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes réponses à l’aide des propriétés du triangle. Affirmations

a)

A

m ∠ B =

39°

82°

Justifications

B

C

b)

m ∠ D = m ∠ E =

F

E 155°

D

c)

m GH =

G

m ∠ G =

H I

P = 51 cm

géométrie

d)

92

m JL = m ∠ J =

J

11 cm 132°

K

m ∠ K =

L P = 23 cm

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A92

4 Réponds aux questions

B

A

suivantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes affirmations à l’aide des propriétés des triangles, des angles ou des droites.

F ? G C

7,5 cm D

E

a) Quel est le périmètre du triangle DEF? Affirmations

Justifications

P=

b) Quelle est la mesure de l’angle CFD ? Affirmations

Justifications

géométrie

m ∠ CFD =

A93

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

93

PROBLÈMES 1 Marine a dessiné les plans d’une balançoire à bascule. Elle veut connaître la mesure de l’angle formé par le côté droit de la base triangulaire et la barre transversale, lorsque le siège de droite atteint sa hauteur maximale. Trouve cette mesure et justifie tes affirmations.

A

15° D

45° B

Affirmations

E

? 45° C Justifications

Réponse :

2 David fabrique un vitrail composé de 16 triangles

géométrie

rectangles isocèles et de 4 rectangles. Il veut fixer les pièces de verre avec du ruban de cuivre pour former le motif ci-contre. À l’aide des mesures inscrites sur le schéma et des propriétés des triangles, calcule la longueur minimale de ruban dont David a besoin.

2 dm

1,41 dm

6 dm

Réponse :

94

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A94

LES MESURES MANQUANTES DANS UN QUADRILATÈRE

5.3

Outil 6, Les polygones, p. O7

Savoirs, p. 45 et 46

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) La somme des mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère est toujours égale à 180°.

b) Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs d’un polygone.

c) Dans un quadrilatère, on peut tracer quatre diagonales.

d) Dans un quadrilatère, les diagonales forment des triangles.

2 Indique le ou les types de quadrilatères décrits dans chaque énoncé. Trace un X dans la ou les colonnes appropriées.

Quadrilatère Carré

Rectangle

Parallélogramme

Losange

Trapèze isocèle

a) Mes côtés opposés sont parallèles et isométriques. b) Mes quatre côtés sont isométriques. c) Toutes mes paires d’angles consécutifs sont supplémentaires. d) Mes diagonales sont isométriques. e) Mes diagonales sont perpendiculaires.

3 Nomme les quadrilatères suivants et entoure les parallélogrammes. a)

A95

b)

c)

c HA piT rE 5

d)

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

géométrie

f) Seulement deux de mes côtés sont isométriques.

95

4 Dans chaque quadrilatère, trouve la ou les mesures manquantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes réponses à l’aide des propriétés des quadrilatères et des angles. Affirmations

a)

Justifications

m ∠ C =

A

m ∠ D =

B 65°

C

D

b)

P= m ∠ F = m ∠ E = 24 mm

F

E G

100° H

c)

m ∠ ILK = m ∠ JKL =

géométrie

I

96

J

34° 39° L

cH Ap i T rE 5

K

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A96

C

5 Réponds aux questions

suivantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes affirmations à l’aide des propriétés des quadrilatères, des triangles ou des angles.

A

B

55 mm

42 mm

? F

D

E

a) Quel est le périmètre du quadrilatère ABDF ? Affirmations

Justifications

P=

b) Quelle est la mesure de l’angle CDE ? Affirmations

Justifications

géométrie

m ∠ CDE =

A97

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

97

C E

PROBLÈMES 1 Ariane et Steven ont construit un cerf-volant à l’aide

d’un carré, de deux triangles rectangles isométriques et d’un quadrilatère quelconque. Trouve la mesure des angles à chaque sommet du cerf-volant ABCD. Affirmations

D

F

B

150° G A

Justifications

géométrie

2 Joëlle a acheté 10 moulures décoratives d’une longueur de 2,5 m chacune. Après les avoir

installées au plafond de son salon, elle s’aperçoit qu’il lui en manque 2,6 m. Si le salon a une largeur de 6,1 m, quelle est la mesure de sa longueur ? Écris tes calculs.  

Réponse :

98

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A98

5.4

LES MESURES MANQUANTES DANS UN POLYGONE DE PLUS DE QUATRE CÔTÉS Outil 6, Les polygones, p. O8

Savoirs, p. 47

1 Complète le schéma suivant. Angle extérieur

Angle intérieur

Angle au centre

Centre C du polygone

2 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Un polygone régulier peut être divisé en triangles isocèles isométriques dont les sommets sont situés au centre C du polygone. b) La somme S des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe est égale à (n – 2) × 360°.

3 À l’aide d’une règle et d’un rapporteur d’angles, construis les polygones décrits ci-dessous. Note les calculs que tu dois effectuer pour construire chaque figure.

b) Un octogone régulier de 20 mm de côté

géométrie

a) Un pentagone régulier de 25 mm de côté

A99

CHAPIT RE 5

LES MESURES MA NQUANTES DAN S UN P O LYG O N E

99

4 Observe les deux polygones réguliers suivants, puis réponds aux questions, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes affirmations à l’aide des propriétés des polygones.

a) Quelle est la somme S des mesures des angles intérieurs de ce polygone ? b) Quelle est la mesure d’un angle intérieur ? c) Quelle est la mesure d’un angle extérieur ? d) En combien de triangles isocèles isométriques ce polygone est-il décomposable ? e) Quelle est la mesure de chaque côté ? 1.

2. c

P = 49 cm

c

P = 48 cm

géométrie

Affirmations

100

Affirmations

a) S = 

S = 

b) m ∠ intérieur ≈ 

m ∠ intérieur = 

c) m ∠ extérieur ≈ 

m ∠ extérieur = 

d) Nombre de triangles :

Nombre de triangles :

Justifications

      

e) Mesure d’un côté c :

Mesure d’un côté c :

      

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A100

PROBLÈMES 1 Martin a acheté des bordures de bois pour délimiter le bac à sable de ses enfants. Il veut lui

donner la forme d’un polygone régulier n’ayant pas plus de 10 côtés. Il désire également que la mesure des côtés soit un nombre naturel. Trouve tous les polygones réguliers que Martin peut former avec 56 dm de bordure. Précise le nom de chaque polygone et la mesure de ses côtés. Montre ton raisonnement.

Réponse :

F

2 Violette a dessiné une piste de karting

qu’elle aimerait aménager dans le champ derrière chez elle. Pour des raisons de sécurité, son père exige que le circuit ne comporte aucun angle intérieur de moins de 50°. Est-ce que le circuit dessiné par Violette répond aux exigences de son père ? Justifie tes affirmations.

D

B Pentagone

A

E Triangle

Parallélogramme

120°

H

I

G

Justifications

géométrie

Affirmations

C

Réponse :

A101

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

101

Savoirs, p. 42 à 47

Chapitre

BILAN 1 Dans chaque figure, trouve la ou les mesures manquantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Justifie tes affirmations. Affirmations

a)

m ∠ 2 = 

E AB // CD AB // CD

E 3

B 4 B 4

D

3 A

147° 1

A

2

m ∠ 4 = 

F

b)

Médiatrice de BC

Bissectrice de ∠ ABC

géométrie

Médiatrice F Bissectrice A de BC G de ∠ ABC ?F A G D ?

102

B

ED

C

B

E

C

c) 134° 128° 128°

cH Ap i T rE 5

m ∠ 3 = 

D

C147° 1 F 2 C

Justifications

1

134° 102°

1

102°

2

m ∠ FDG =

m ∠ 1 = 

2

m ∠ 2 = 

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A102

2 Réponds aux questions suivantes, sans règle ni rapporteur d’angles. Écris tes calculs. a) La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone régulier est de 1800°. Si chacun de ses côtés mesure 2 cm, quel est le périmètre de ce polygone ?

Réponse :

b) Si la mesure d’un angle extérieur d’un polygone régulier est de 6° et que son périmètre est de 600 mm, quelle est la mesure d’un côté de ce polygone ?

Réponse :

C

3 La figure ci-contre est composée

(2x + 0,65) cm B

Périmètre de ABCDEF = 9,65 cm A (x) cm

H

G

(2x) cm

E

F

géométrie

d’un polygone régulier, d’un parallélogramme et d’un triangle scalène. Trouve les trois mesures inconnues (celles qui contiennent la variable x). Écris les étapes de ta démarche.

D

Réponse : A103

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

103

PROBLÈMES 1 Voici le plan d’un nouvel échafaudage.

On doit connaître la mesure de tous les angles pour concevoir les pièces d’assemblage. Remplis le tableau suivant en y inscrivant les mesures manquantes. Justifie tes affirmations. Affirmations

8

7

1 70°

6 13 14 9 12 11 10

70° 2 3

5 4

Justifications

m ∠ 1 = m ∠ 11 = 

m ∠ 11 = m ∠ 14 =  m ∠ 11 = m ∠ 5 = m ∠ 8 = 

m ∠ 2 = m ∠ 13 = 

m ∠ 12 = 

2 Julianna veut broder l’image d’une théière sur

Carré

F 1

2

Octogone régulier

Triangle

C

J

CJ = 2,83 cm

géométrie

une nappe de coton. Elle a besoin de fil à broder d’une longueur équivalant à deux fois et demie le périmètre de la théière. Calcule la longueur de fil nécessaire. Écris les étapes de ta démarche et justifie tes affirmations, au besoin.

QF = 1 cm Q

Réponse :

104

cH Ap i T rE 5

les mes u res man quantes da ns u n polygone

A104

SITUATION D’APPLICATION Les parents de Jana veulent construire un garage adjacent à leur maison. Celui-ci aura la forme d’un trapèze rectangle. Le périmètre du patio, de la maison et du futur garage sera de 38,5 m. La longueur de la maison est le double de sa largeur. Les deux murs isométriques du garage mesurent la moitié de la largeur de la maison. Lorsque le garage sera construit, la somme des mesures des angles intérieurs de la propriété (un hexagone non régulier) sera de 720° B

A

C

D

Garage

Patio couvert

Maison

E

5m

F

G

a) Trouve les mesures des angles A, B, D, E, F et G. Justifie tes affirmations. Affirmations

Justifications

m ∠ A = 

m ∠ B = m ∠ G =

m ∠ D =

b) Trouve la mesure du côté EF. Écris les étapes de ta démarche.

géométrie

m ∠ E = m ∠ F = 

Réponse : A105

c HA piT rE 5

les mesures ma nquantes dan s un p o lyg o n e

105

Chapitre

L’aire des poLygones

QU’EST-CE QU’UnE AIRE ? 

6.1

Outil 5, Les droites, p. O6 Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8

Savoirs, p. 48 et 49

1 a) Quelle formule permet de calculer l’aire de chacun des polygones suivants ? Fais un X dans la ou les cases appropriées.

Polygone Carré

Rectangle

Parallélogramme

Triangle

Losange

Trapèze

1. A = b × h 2. A =

D×d 2

3. A =

b×h 2

4. A =

(B + b) 2

×h

5. A = c2

b) Écris le nom des symboles suivants. B:

d:

h:

c:

A:

D:

b:

géométrie

2 Indique les mesures qui correspondent aux symboles indiqués. b)

a)

12 dm

c)

6 cm

21 mm

9 cm

9 dm

16 dm

15 mm

D =

b =

B =

d =

h =

b = h =

106

CH a p i T re 6

L ’ a ire d es poLyg on es

A106

3 Trouve le périmètre P et l’aire A des six figures suivantes. Écris tes calculs. b)

a)

c)

22 mm

3 cm

20 mm

6,5 cm

2,7 cm

40 mm

P=

P=

P=

A=

A=

A=

e)

f)

d)

65 mm

5,4 cm 17 dm 13 dm 15 mm

A107

12,5 dm

9 cm

8 dm

P=

P=

P=

A=

A=

A=

CHapi Tre 6

géométrie

51,5 mm

6 cm

45 mm

L’air e d e s p oLyg o n e s

107

4 Trouve les mesures manquantes. Convertis, au besoin, les unités de mesure et écris tes calculs. a)

A = 9 cm2

b)

c) A = 64 dm

2

12 m

3,6 cm

A = 120 m2 ? dm

? cm

Réponse :

d)

?m

Réponse :

? cm

A = 342 mm2

1,2 cm

e)

Réponse :

A = 276 cm2

P = ? mm

?m

f) ?m

? cm

5,4 m 24 cm

géométrie

3,5 cm

A = 48,6 m2 P = 30 m

Réponse :

108

CH a p i T re 6

L ’ a ire d es poLyg on es

Réponse :

Réponse :

A108

2,1 m

PROBLÈMES 1 Danielle doit remplacer une partie déchirée de la toile de sa tente. Cette partie correspond à l’aire de la moitié de la paroi avant. Sachant que la fermeture éclair située au centre de la paroi avant mesure 1,5 m, trouve l’aire de la partie à remplacer. Écris les étapes de ton raisonnement et tes calculs.

2,4 m

Réponse :

2 Benoît s’occupe de l’entretien d’un parc

municipal. Aujourd’hui, il doit répandre de l’engrais sur le gazon. Si un sac d’engrais de 28 kg couvre 1100 m², de combien de sacs Benoît aura-t-il besoin ? Écris les étapes de ton raisonnement.

B

A

20,5 dam D

C

5 hm

Réponse :

3 Claude fabrique des portes de garage. Un client lui a présenté le dessin suivant. a) la largeur de la porte ;

A

B

b) l’aire totale des deux fenêtres en forme de losange pour s’assurer qu’elle ne dépasse pas 10 % de la surface de la porte. Aide Claude à faire ses calculs.

D : 0,65 m d : 0,60 m 3m Aire de ABCD = 7,5 m2 D

Réponses :

C

a)

géométrie

Pour dessiner le plan final de la porte, Claude veut connaître :

b) A109

CHapi Tre 6

L’air e d e s p oLyg o n e s

109

L’AIRE D’Un POLYGOnE DE PLUS DE QUATRE CÔTÉS

6.2

Savoirs, p. 50 à 52

Outil 6, Les polygones, p. O8

1 Vrai ou faux ? Rectifie l’énoncé lorsqu’il est faux. a) L’apothème est un segment qui relie le centre d’un polygone régulier à l’un de ses sommets.

b) Le périmètre d’un polygone régulier est égal au produit du nombre de ses côtés et de la mesure d’un côté.

c) L’apothème correspond à la hauteur d’un polygone régulier.

d) L’aire d’un polygone régulier est égale à la moitié du produit de son périmètre P et de son apothème a.

2 Indique les mesures qui correspondent aux symboles indiqués, puis calcule le périmètre des polygones suivants. a)

b)

géométrie

8,7 cm

110

c)

4,9 dm

10 cm

40,6 mm

3,2 dm

32 mm

a =

a =

a =

c =

c =

c =

P=

P=

P=

CH a p i T re 6

L ’ a ire d es poLyg on es

A110

3 Calcule l’aire A des polygones suivants. Écris tes calculs. b)

a)

c) 20,5 mm

2,9 cm

14,6 m

4,2 cm

A=

11 mm

A=

14 m

A=

4 Trouve les mesures manquantes. Convertis, au besoin, les unités de mesure et écris tes calculs. b)

a)

c)

5,8 m ? cm

?m

85 mm

A = 72,5 m2

A = 806,4 mm2

géométrie

A = 227,8 cm2

? mm

32 mm

Réponse :

A111

Réponse :

Réponse :

CHapi Tre 6

L’air e d e s p oLyg o n e s

111

5 Calcule l’aire A des régions colorées en orangé. Au besoin, décompose les figures. Montre ton raisonnement et tes calculs. 4,5 cm

a)

b)

5,4 m 7,6 m

3,5 cm 1 cm

7,6 m

6 cm

Réponse :

Réponse :

PROBLÈMES 1 Pour recouvrir sa table de forme octogonale, Florence aimerait fabriquer une nappe avec

géométrie

des panneaux latéraux, comme dans le dessin ci-contre.

112

Calcule la quantité de tissu nécessaire, en mètres carrés, pour faire cette nappe. Écris les étapes de ta démarche. F 4,83 dm A Réponse :

CH a p i T re 6

L ’ a ire d es poLyg on es

E

B

D 4 dm C AD = 1,66 dm

A112

2 Sur un carton de forme pentagonale, Jean-René a tracé

C

une étoile. Quelle est l’aire totale des régions colorées en vert ? Écris tes calculs.

3 cm 1,76 cm B

K

D

H

1,15 cm

0,88 cm G

J

1,97 cm

A

E

F

Réponse :

3 Les parents d’Elliott ont acheté un terrain qui a la forme d’un pentagone régulier. Ils veulent y

installer une clôture sur quatre côtés seulement. Le terrain a coûté 4,25 $/m², pour un total de 153 000 $. Sachant que l’apothème de ce terrain mesure 100 m, trouve la longueur qu’aura cette clôture. Écris tes calculs.

Réponse :

C

4 Les voisins de Bertrand ont une piscine. Pour la couvrir, ils

3m B

E

6m

5,2 m K

A

F 2,6 m

H

J

G

Réponse :

A113

CHapi Tre 6

L’air e d e s p oLyg o n e s

géométrie

veulent faire l’achat d’une toile solaire au coût de 5,49 $/m². Calcule le coût de la toile sans les taxes. Montre tes calculs.

D

113

Savoirs, p. 48 à 52

Chapitre

BILAN 1 Calcule l’aire A des régions colorées des polygones suivants. Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près. a)

0,5 m 0,5 m

b)

c) 2,52 hm 2,52 hm 6 dm 6 dm 0,2 m 0,2 m

3,38 hm 3,38 hm

63,25 63,25 cm cm

2,25 hm 2,25 hm

A=

d)

A=

10,29 10,29 mm mm

A=

e)

2,15 cm 2,15 cm 1 cm 1 cm

3 mm 3 mm

4,23 mm 4,23 mm

1,73 cm 1,73 cm

géométrie

1 cm 1 cm

A≈

114

C H a p i T re 6

A= L ’ a ire d es poLyg on es

A114

2 Les trois polygones suivants ont la même aire, soit 20,1 cm². Pour chacun de ces polygones, trouve la mesure manquante. Écris tes calculs. b)

a)

b =?

c =?

c)

4 cm a = 2,5 cm

h = 4 cm 6,03 cm

b =?

Réponse :

Réponse :

Réponse :

3 Laquelle des expressions suivantes permet de calculer la mesure de la grande diagonale d’un losange ayant une aire de 28,675 m² et une petite diagonale mesurant 3,7 m ? Entoure la bonne réponse. a) 28,675 ÷ 2 × 3,7

b) 28,675 ÷ 3,7

c) 28,675 × 2 ÷ 3,7

d) 28,675 ÷ 2 – 3,7

4 Quelle est la mesure de l’apothème

d’un polygone régulier qui a un périmètre de 33,93 dam et une aire de 87,85 dam² ? Écris tes calculs.

PROBLÈMES 1 Élias veut repeindre les quatre murs de sa chambre rectangulaire. Les murs ont 3,5 m de hauteur. Si la peinture coûte 13,59 $/litre et que chaque litre couvre environ 16 m², quel sera le coût de la peinture pour couvrir les 4 murs, sans les taxes ? Écris les étapes de ton raisonnement.

Plancher de la chambre d’Élias 4m 5m

géométrie

Réponse :

Réponse : A115

CHapi Tre 6

L’air e d e s p oLyg o n e s

115

2 Louisa travaille pour une entreprise de jouets.

7 cm

Elle a conçu une clé multicolore en plastique formée d’un triangle, de trapèzes, d’un rectangle 1 cm et d’un octogone régulier. Louisa veut connaître l’aire de la surface de sa clé. Sachant que l’aire du trou rectangulaire situé dans l’octogone est de 2 cm², trouve l’aire de cette clé. Montre tes calculs.

2 cm 2,54 cm

Réponse :

3 Étienne vient de dessiner un nouveau logo pour une entreprise de panneaux de signalisation. Pour former son logo, il a utilisé un triangle équilatéral et trois octogones réguliers et isométriques. Dans le tableau ci-dessous, il a noté quelques mesures de son logo. Mesures du logo

Base du triangle

9 cm

Hauteur du triangle

7,8 cm

Côtés des octogones

0,49 cm

Apothème des octogones

0,67 cm

Quel pourcentage de la surface du logo est couvert par les trois octogones ? Écris tes calculs.

Nom de l’entreprise

géométrie

Réponse :

116

SITUATIONS D’APPLICATION 1 Le trampoline de Karelle est abîmé. Le tissu recouvrant les huit

1,4 m

coussins protecteurs en forme de trapèze doit être remplacé. Karelle a besoin de connaître les dimensions des trapèzes ainsi que leur aire afin d’acheter la bonne quantité de tissu pour recouvrir les huit coussins. Trouve la quantité de tissu nécessaire pour couvrir les deux faces de chaque coussin protecteur. N’oublie pas d’ajouter 5 % de tissu afin de pouvoir faire les coutures.

Montre ton raisonnement et tes calculs.

CH AP IT RE 6

L ’ A IRE D ES POLYG ON ES

1,2 m Aire de la surface sans les coussins = 6,9 m2

3,4 m

Coussin

A116

Réponse :

2 On a décidé d’installer une grande banderole de 12 m de longueur et de 75 cm de hauteur dans l’entrée de l’école. Le fabricant offre deux choix : une banderole formée de trapèzes ou une banderole formée de triangles.

Le coût d’une banderole varie selon qu’elle est formée de trapèzes ou de triangles. Les trapèzes coûtent 0,15 $/dm2, et les triangles, 0,20 $/dm2. 12 m 120 cm 75 cm 60 cm 75 cm 75 cm

géométrie

Quelle banderole coûte le moins cher ? Celle formée de trapèzes ou celle formée de triangles ? Écris les étapes de ton raisonnement et tes calculs.

Réponse :

A117

CHapi Tre 6

L’air e d e s p oLyg o n e s

117

Chapitre

Le cercLe

Qu’est-ce Qu’un cercle ?

7.1

Outil 7, Le cercle, p. O9

Savoirs, p. 53 et 54

1 Que suis-je ? Centre du cercle

Corde

Diamètre

Cercle

Rayon

O

2 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) On peut tracer une infinité de rayons, de diamètres et de cordes dans un cercle.

b) La mesure du diamètre d’un cercle est égale au double de la mesure de son rayon, donc d = 2r d et r = 2.

géométrie

c) Les médiatrices de deux cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle.

3 Trouve, selon le cas, la mesure du rayon ou du diamètre à partir de la mesure donnée. a) r = 12 mm Réponse :

e) d = 42 cm Réponse :

118

d=

cH AP IT re 7

r=

Le C erCLe

b) r = 4,5 m Réponse :

d=

f) d = 102 mm Réponse :

r=

c) d = 28 cm Réponse :

r=

g) r = 12,75 m Réponse :

d=

d) r = 10,2 dm Réponse :

d=

h) d = 78,8 dm Réponse :

r= A118

4 Dans le tableau ci-dessous, indique les noms de tous les points ou segments de droite qui forment les composantes d’un cercle. cercle n° 1 G H

cercle n° 2

cercle n° 3

J K

B

X

O W V U

F I

A

Q R S

P

L

E D

C

N cercle n° 1

T

M cercle n° 2

cercle n° 3

centre du cercle rayon corde Diamètre

Problème

géométrie

Au cours d’une randonnée pédestre dans l’Ouest canadien, Lyne et Dominique ont découvert un morceau d’un énorme tronc d’arbre. Ils aimeraient connaître la mesure du diamètre de l’arbre avant sa coupe. À l’aide de tes instruments de géométrie, trouve cette mesure en utilisant l’échelle suivante : 1 cm = 1 dm. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

A119

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

119

la circonférence D’un cercle

7.2

Outil 7, Le cercle, p. O9

Savoirs, p. 55

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Lorsqu’on divise la circonférence d’un cercle par la mesure de son diamètre, on obtient toujours le nombre pi (π).

b) Pi (π) est un nombre rationnel. Sa valeur exacte est 3,1416.

c) On mesure la circonférence C d’un cercle à l’aide des formules C = 2πr ou C = πd.

2 Dans chaque cas, trouve la circonférence à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. a) r = 13 cm

C≈

b) r = 4,5 m

C≈

c) d = 15 mm

C≈

d) r = 2,75 dm

C≈

3 Trouve, selon le cas, la mesure du diamètre ou du rayon à partir de la circonférence donnée.

géométrie

Arrondis tes réponses au dixième près.

120

a) C = 78,5 cm

d≈

cH AP IT re 7

Le C erCLe

b) C = 53,4 m

r≈

c) C = 194,8 mm

d≈

d) C = 9,4 km

r≈

A120

4 Trouve les mesures manquantes dans les cercles ci-dessous. Arrondis tes réponses à l’unité près. a)

b)

C = 471 cm

c)

C = 91 m

C = ? mm

? cm O

O

?m

Réponse :

Réponse :

O 100 mm

Réponse :

Problèmes 1 Le rayon de la Terre mesure environ 6371 km. Si tu pouvais faire le tour de la Terre à pied, combien de kilomètres parcourrais-tu ? Écris tes calculs et arrondis ta réponse à la centaine près.

Réponse :

2 Simon-Olivier doit acheter une nouvelle corde à

9,5 m

géométrie

linge. Si les deux poulies ont chacune un rayon de 10 cm, détermine la longueur minimale de corde nécessaire. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

A121

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

121

l’aire D’un DisQue

7.3

Outil 7, Le cercle, p. O9

Savoirs, p. 56 et 57

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) L’aire d’un disque s’exprime en unités carrées.

b) On mesure l’aire A d’un disque à l’aide de la formule A = 2πr.

c) Si on connaît l’aire d’un disque, on peut trouver la mesure de sa circonférence.

2 Calcule les aires des disques à partir des mesures données. Arrondis tes réponses au dixième près. a) r = 6 cm

A≈

b) r = 21 m

A≈

c) d = 14 dm

A≈

d) d = 35 mm

A≈

3 Trouve, selon le cas, la mesure du rayon ou du diamètre à partir de l’aire du disque.

géométrie

a) A = 113,04 cm 2

122

r≈

cH AP IT re 7

b) A = 379,94 m 2

r≈

Le C erCLe

c) A = 314 dm 2

d≈

d) A = 254,34 km 2

d≈

A122

4 Trouve les mesures manquantes dans les disques ci-dessous. Écris les étapes de ta démarche et arrondis tes réponses au dixième près. a)

A = 706,5 dm 2

b)

A = 19,63 m 2

c)

A = ? cm 2

? dm O

O

O

2 cm

?m

Réponse :

d)

Réponse :

A = 50,24 dm 2

O

A = ? km 2

C = ? dm

géométrie

O

Réponse :

e)

C = 175,8 km

2 cm

Réponse :

A123

Réponse :

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

123

Problèmes

50 cm

1 Maxime a découpé des disques de

différentes tailles dans des cartons carrés de 50 cm de côté. Lequel des trois cartons contient la plus grande surface inutilisée ? Écris les étapes de ta démarche.

Carton A

Carton B

Carton C

Réponse :

1m

2 Marie-Pier a fabriqué un cadre en

géométrie

bois pouvant recevoir deux miroirs circulaires de mêmes dimensions. Si l’aire de la partie du cadre qui est en bois mesure 34,9 dm2, trouve la mesure du diamètre de chaque miroir. Écris les étapes de ta démarche.

124

6 dm

Réponse :

cH AP IT re 7

Le C erCLe

A124

le secteur circulaire, l’angle au centre et l’arc De cercle

7.4

Outil 7, Le cercle, p. O9

Savoirs, p. 58 à 60

1 Que suis-je ? Arc de cercle

Angle au centre

Disque

Rayon

Secteur circulaire

A

O B

2 Complète les proportions suivantes. a)

Mesure de l’angle au centre = 360°

b)

Mesure de l’angle au centre = 360°

Longueur de l’arc

Aire du disque

3 Associe chacune des mesures suivantes à l’angle au centre correspondant. 30°

a)

90°

120°

180°

b)

270°

315°

c) O

Réponse :

Réponse :

d)

Réponse :

A125

Réponse :

e) O

f) O

Réponse :

géométrie

O

O

O

Réponse :

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

125

4 Si la circonférence C d’un disque est de 24 cm, trouve la longueur, en centimètres, des arcs de cercle dont les angles au centre ont les mesures suivantes. a) 60°

b) 90°

Réponse :

Réponse :

c) 135°

d) 45°

Réponse :

Réponse :

5 Si l’aire d’un disque est de 60 m 2, trouve l’aire, en centimètres carrés, des secteurs circulaires dont les angles au centre ont les mesures suivantes. a) 180°

b) 30°

Réponse :

c) 120°

Réponse :

d) 360°

Réponse :

Réponse :

6 Trouve les mesures manquantes dans les disques ci-dessous. Arrondis tes réponses au dixième près. b)

a) m ∠ AOB = 130° A

c) ADisque = 29 mm 2

m∠COD = 100°

D

2 ASecteur = 15 cm 2 E ADisque ≈ ? cm

C O

O

B

C = 540 cm

ASecteur COD ≈ ? mm 2

m AB = ? m

géométrie

C = 550 m

O

F m EF = 36 cm

Réponse :

126

CH AP IT RE 7

LE CERC LE

Réponse :

Réponse :

A126

7 Trouve les mesures manquantes dans les disques ci-dessous. Écris les étapes de ta démarche et arrondis tes réponses au centième près. a)

ASecteur = 15 mm 2

G

C = 53 mm

b)

C ≈ ? cm

ASecteur = 15 cm 2

J

H O

O m ∠ GOH ≈ ?°

Réponse :

m∠JOK = 165°

K

Réponse :

Problèmes 1 La balançoire russe est une discipline dans

laquelle l’acrobate est propulsé très haut et très loin grâce au mouvement du balancier. Le plateau sur lequel l’acrobate tient en équilibre est retenu par deux fils de fer de 2,25 m.

85°

b) Si le plateau de la balançoire se déplaçait selon un arc de 8,64 m, quelle serait la mesure de l’angle décrit par l’acrobate ? Écris tes calculs.

Réponse :

A127

géométrie

a) Trouve la longueur de l’arc formé par le déplacement du plateau de la balançoire lorsque l’acrobate décrit un angle de 85°. Écris tes calculs.

Réponse :

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

127

2 Éloise a reçu en cadeau une montre-pendentif. À mesure que

les heures avancent, le cadran de la montre passe du bleu au blanc. Sachant que l’aiguille des minutes mesure 1,4 cm, calcule l’aire de la partie blanche du cadran lorsque la montre indique 5 h. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Pablo veut fabriquer un chapeau de clown à l’aide d’une feuille de carton de 30 cm de côté. Il a tracé un secteur circulaire sur cette feuille pour délimiter la forme de son chapeau. a) Sachant que ce secteur correspond à la portion d’un disque de 188,4 cm de circonférence, trouve la mesure de l’angle au centre de ce secteur. Écris les étapes de ta démarche.

C

B

E

30 cm 30 cm A

D

géométrie

Réponse :

128

b) Quelle est l’aire, en décimètres carrés, de la surface inutilisée de la feuille de carton ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

cH AP IT re 7

Le C erCLe

A128

CHAPITRE

BILAN Savoirs, p. 53 à 60

1 Calcule les circonférences et les aires des disques à partir

des mesures données. Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près. a) r = 2,25 dm

b) d = 3,4 dam

C≈

A≈

C≈

A≈

2 Trouve, selon le cas, la mesure du diamètre ou du rayon à partir de la mesure donnée. Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près. a) C = 8,16 cm

b) C = 69,71 m

d≈

c) A = 64,36 m2

r≈

d≈

d) A = 254,34 hm2

r≈

3 Trouve les mesures manquantes dans les disques ci-dessous. Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près. a)

C ≈?

b)

A≈?

O A ≈ 25,13 cm

c)

ABeigne ≈ ?

O 2

A

O

C ≈ 40,84 cm

2 mm

B

1,03 mm

géométrie

C

Réponse : A129

Réponse :

Réponse : CHA PITRE 7

LE CE RCLE

129

4 Trouve la mesure de l’arc BC et l’aire du secteur AOB.

Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près. Mesure de l’arc BC :

Aire du secteur AOB : B 120° O

C

55° A r = 4,47 dm

m BC≈

ASecteur AOB ≈

5 Pour chaque polygone régulier, trouve les mesures demandées. Écris tes calculs et arrondis tes réponses au centième près, s’il y a lieu. a)

b)

Longueur de l’arc: 5,92 dam

Aire du secteur: 6,81 cm2 1. Mesure de

l’angle au centre du secteur :

2. Aire du disque :

1. Mesure de l’angle

au centre de l’arc :

2. Mesure de la

géométrie

circonférence du disque :

130

3. Mesure du rayon

du disque :

4. Mesure de la

3. Mesure du rayon

du disque :

4. Aire du disque :

circonférence du disque :

cH AP IT re 7

Le C erCLe

A130

Problèmes 1 Une des plus grandes roues du monde se trouve à Londres. Elle a un

diamètre de 135 m. Sachant que cette grande roue met 30 minutes pour effectuer un tour complet, calcule sa vitesse moyenne de rotation, en mètres par minute. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Pour décorer ses pots de confitures maison, mamie Jeanne recouvre les couvercles d’un disque de

tissu à carreaux rouges et blancs. Chaque couvercle a un diamètre de 7 cm. Sachant que mamie Jeanne doit prévoir une bordure de tissu de 3 cm pour bien recouvrir le contour d’un couvercle, trouve la mesure, en centimètres carrés, de chaque disque de tissu. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Maude aimerait aménager un jardin d’eau de 50,27m2 dans un

coin du parc et y installer tout autour des bordures de bois d’une longueur de 1 m chacune. Combien de bordures Maude doit-elle acheter ? Écris les étapes de ta démarche.

géométrie

A = 50,27 m 2

Réponse : A131

c HA PIT re 7

Le C e rCLe

131

situations D’aPPlication 1 Les Nguyen ont dessiné les plans du nouveau

balcon qu’ils veulent aménager derrière leur maison. Ils ont demandé à trois entrepreneurs d’évaluer le coût des travaux. Le premier 2m entrepreneur exige 750 $, plus 25,99 $ par mètre carré de matériaux. Le deuxième estime 11 m qu’il en coûtera 47,50 $ par mètre carré de matériaux. Enfin, le troisième demande 1500 $. Quel entrepreneur offre le prix le plus bas ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Voici le plan d’une nouvelle salle de

1m

Scène

Espace pour les sièges

géométrie

spectacle. La scène occupe 10 % de la superficie totale de la salle. Si les rangées de sièges se trouvent à une distance de 1 m les unes des autres, combien de rangées pourra-t-on installer devant la scène ? Écris les étapes de ta démarche.

145° 13 m

Réponse :

132

cH AP IT re 7

Le C erCLe

A132

Chapitre

Les soLides

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

Qu’est-ce Qu’un solide ?

8.1

Savoirs, p. 61 à 63

1 Que suis-je ? Arêtes

Bases

Développement

Faces latérales

Solide

Sommet

2 Nomme les solides qui correspondent aux illustrations et aux définitions suivantes.

a)

b)

Cône

Cylindre

c)

Prisme

Pyramide

d)

e)

géométrie

Boule

f) Corps rond qui ne possède qu’une seule face courbe appelée « sphère ». g) Polyèdre dont les faces latérales sont des triangles qui relient la base à un sommet commun appelé « apex ». h) Corps rond dont l’unique base est un disque et dont la face latérale correspond à un secteur circulaire. i) Polyèdre ayant deux bases parallèles et isométriques, et dont  les faces latérales sont des parallélogrammes. j) Corps rond dont les bases sont des disques isométriques et dont l’unique face latérale est un parallélogramme.

A133

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

133

3 Nomme le solide auquel correspond chacun des développements suivants.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4 Remplis le tableau suivant : a) en nommant chaque polyèdre ;

b) en cochant la caractéristique appropriée ;

c) en indiquant le nombre de faces, de sommets et d’arêtes. solide

nom du polyèdre

1.

caractéristique

nombre de faces

nombre de sommets

nombre d’arêtes

Régulier Non régulier

2.

Régulier c

3.

Non régulier

Régulier

géométrie

Non régulier

134

4.

Régulier Non régulier

5.

Régulier Non régulier

CH AP i T Re 8

les s olid es

A134

Problèmes 1 Les développements de solides ci-dessous comportent des erreurs. Décris brièvement chacune d’elles. a) Pyramide

b) Cylindre

Réponse :

Réponse :

c) Prisme

d) Cône

Réponse :

Réponse :

2 Marie, Keven et Angela doivent identifier les bases d’un prisme à base rectangulaire. Dans les figures suivantes, chacun a colorié en bleu une face qui, selon lui, correspond à l’une des bases du prisme. Qui a raison ? Justifie ta réponse à l’aide de caractéristiques des prismes. marie

Keven

Angela

1 cm

4 cm 6 cm

1 cm

géométrie

1 cm 6 cm

4 cm

6 cm 4 cm

Réponse :

A135

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

135

l’Aire d’un Prisme droit

8.2

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

Savoirs, p. 64 et 65

1 a) Ajoute les mesures manquantes au développement suivant.

cm

hP = 7 cm

cm h = 3 cm

cm

cm

b = 4 cm

b) À l’aide des figures ci-dessus, trouve les mesures suivantes. 1. Mesure de la hauteur du prisme : 2. Mesure de la base de la base du prisme : 3. Mesure de la hauteur de la base du prisme : 4. Périmètre de la base du prisme :

c) À l’aide des mesures trouvées en b), calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale du prisme. Écris tes calculs. Aire de la base du prisme

Aire latérale du prisme

Aire totale du prisme

AT =

2 Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale de chacun des prismes suivants.

géométrie

Écris tes calculs.

136

a) Prisme droit à base triangulaire Aire de la base du prisme

4 cm 5 cm

Aire latérale du prisme

Aire totale du prisme

5 cm

9 cm 6 cm

AT =

CH AP i T Re 8

les s olid es

A136

b) Cube Aire de la base du cube

Aire latérale du cube

3,5 m

Aire totale du cube

AT =

c) Prisme droit à base trapézoïdale Aire de la base du prisme

Aire latérale du prisme

Aire totale du prisme

8,9 dm 7 dm 9 dm 15 dm

9 dm 10 dm

AT =

3 Trouve la mesure manquante dans chacun des prismes suivants. Écris les étapes de ta démarche. a) AT = 241 cm2 8,6 cm

7 cm

? cm 5 cm

b) AT = 684 mm2

géométrie

Réponse :

4 mm

25 mm

? mm Réponse :

A137

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

137

Problèmes 1 Fatima a acheté un aquarium de 75 cm de hauteur dont la base est un hexagone régulier. Combien de mètres carrés de verre faut-il pour fabriquer cet aquarium ? Écris tes calculs et arrondis ta réponse au centième près.

h = 75 cm a = 8,7 cm 8,7 cm c = 10 cm Réponse :

2 Louis-Charles veut construire une remise collée au mur Combien de mètres carrés de matériaux Louis-Charles doitil acheter pour bâtir sa remise ? Ajoute 10 % de matériaux supplémentaires pour l’assemblage. Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au centième près.

0,25 m

2,41 m

de son garage. La remise sera constituée de trois murs et d’un toit.

1,8 m

3m

2,4 m

Réponse :

? cm

3 Élizabeth a repeint en bleu l’extérieur de sa commode, sauf

78 cm 80 cm

géométrie

le dessous. Si un contenant de 824 ml de peinture couvre une surface de 10 m² et qu’elle a utilisé seulement 196 ml de peinture, quelle est la mesure de la profondeur de sa commode ? Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse à l’unité près.

Réponse :

138

CH AP i T Re 8

les s olid es

A138

8.3

l’Aire d’une PyrAmide droite

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

Savoirs, p. 65 et 66

1 a) Ajoute les mesures manquantes au développement suivant.

cm

cm 10 cm

aP = 9,4 cm

b = 7 cm

cm

h = 7 cm

cm

b) À l’aide des figures ci-dessus, écris les mesures suivantes. 1. Mesure de l’apothème de la pyramide : 2. Périmètre de la base de la pyramide :

c) Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale de la pyramide illustrée ci-dessus. Écris tes calculs. Aire de la base de la pyramide

Aire latérale de la pyramide

Aire totale de la pyramide

AT =

2 Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale de chacune des pyramides suivantes. a) Pyramide droite à base rectangulaire Aire de la base de la pyramide

16 m

16 m

A139

Aire latérale de la pyramide

Aire totale de la pyramide

17,3 m

9m

AT =

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

géométrie

Écris tes calculs.

139

b) Tétraèdre Aire de la base du tétraèdre

Aire latérale du tétraèdre

Aire totale du tétraèdre

10,4 dm 12 dm 12 dm

12 dm

AT =

c) Pyramide droite à base triangulaire Aire de la base de la pyramide

Aire latérale de la pyramide

Aire totale de la pyramide

10 cm

10,3 cm

6 cm 6 cm 5,8 cm

3 cm

AT =

3 Trouve la mesure manquante dans chacune des pyramides droites suivantes. Écris les étapes ta démarche. a) AT = 504 cm2 ? cm

12 cm

géométrie

Réponse :

b) AT = 942,5 m2 20 m

9m ?m Réponse :

140

CH AP i T Re 8

les s olid es

A140

Problèmes 1 William travaille dans une confiserie. Il veut fabriquer un cornet à

bonbons en forme de pyramide à base octogonale. De combien de centimètres carrés de carton a-t-il besoin pour fabriquer son cornet ? Écris tes calculs.

2 cm

15 cm

81,1 m

Réponse :

2 Maggie aimerait fabriquer une petite pyramide en carton à partir du modèle ci-contre. Si elle utilise une échelle de 10 m pour 1 cm, de combien de centimètres carrés de carton Maggie a-t-elle besoin pour fabriquer sa pyramide ? Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au centième près.

85,2 m 121 m 109 m

Réponse :

3 Au cours d’un voyage à Paris, les parents de Victor ont eu la

géométrie

chance d’admirer la pyramide du Louvre, une pyramide à base carrée faite essentiellement de verre. Celle-ci a une aire latérale de près de 1980 m² et un apothème d’environ 27,96 m. Ses quatre faces latérales sont composées de 603 losanges et de 70 triangles. Victor aimerait connaître la mesure d’un côté de la base de la pyramide. Aide-le à trouver cette mesure. Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au centième près.

Réponse :

A141

CHA PITRE 8

le s so l id e s

141

Outil 6, Les polygones, p. O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O11

l’Aire d’un cylindre droit

8.4

Savoirs, p. 67

1 a) Ajoute les mesures manquantes au développement suivant. C ≈ 62,8 cm

r = 10 cm

cm

cm

h = 30 cm

cm

cm

d = 20 cm

b) À l’aide des figures ci-dessus, trouve les mesures suivantes. 1. Mesure du rayon de la base du cylindre : 2. Mesure de la circonférence de la base du cylindre : 3. Mesure de la hauteur du cylindre : 4. Mesure du diamètre de la base du cylindre :

c) Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale du cylindre illustré ci-dessus. Écris tes calculs. Aire de la base du cylindre

Aire latérale du cylindre

Aire totale du cylindre

AT =

2 Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale de chacun des cylindres suivants. Écris tes

géométrie

calculs et arrondis ta réponse au dixième près.

142

a) Aire de la base du cylindre

Aire latérale du cylindre

Aire totale du cylindre

12 cm 15 cm r

AT =

CH A P i T Re 8

les s olid e s

A142

b) Aire de la base du cylindre

Aire latérale du cylindre

Aire totale du cylindre

50 dm

25 dm

AT =

3 Trouve la ou les mesures manquantes dans chacun des cylindres suivants. Écris tes calculs. a) AT = 1457 cm2 8 cm ? cm

Réponse :

b) AL = 188,4 m2

10 m ?m

géométrie

Réponse :

c) AB = 78,5 dm2 AT = 942 dm2 ? dm

? dm

Réponses :

A143

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

143

Problèmes 1 Karl possède 25 pièces de 2 $. Chacune a une épaisseur de 1,8 mm et un diamètre de 28 mm.

Si un rouleau de 2 $ contient exactement 25 pièces, trouve l’aire totale de ce rouleau. Écris tes calculs et arrondis ta réponse au millimètre près.

28 mm

2$

Réponse :

2 Anita doit fabriquer un chapeau pour un acteur de théâtre. Elle a

conçu un moule et elle doit maintenant recouvrir de tissu, à l’intérieur comme à l’extérieur, toutes les composantes du chapeau. Combien de mètres carrés de tissu Anita doit-elle utiliser ? Ajoute 1 % de tissu pour les coutures et l’assemblage. Écris les étapes de ta démarche.

15 cm 20 cm 20 cm

4 cm

géométrie

Réponse :

3 Julien doit acheter une brosse, appelée « hérisson », pour nettoyer la cheminée. Il doit choisir une

brosse de forme circulaire dont le diamètre a 6 cm de plus que celui de la cheminée. Si la cheminée mesure 12 m de longueur et a une aire latérale de 7,5 m², trouve la mesure, en centimètres, du diamètre du hérisson que Julien doit acheter. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

144

CH AP i T Re 8

les s olid es

A144

l’Aire des solides décomPosAbles

8.5

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

Savoirs, p. 68

1 Comment peut-on décomposer les solides suivants ? a)

b)

2 Calcule l’aire totale du solide ci-contre. Écris les étapes de ta démarche.

10 m

AT = 10 m

géométrie

25 m

A145

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

145

3 Calcule l’aire totale du solide ci-contre. 15 cm 10 cm

AT =

12 cm

4 cm 5 cm

Problèmes

7 cm

géométrie

1 Caroline a acheté un paquet de huit contenants de yogourt.

Chaque contenant a la forme d’un cylindre surmonté d’une feuille de plastique de forme rectangulaire dans laquelle il y a une ouverture circulaire. Combien de centimètres carrés de plastique ont été nécessaires pour fabriquer ces huit contenants ? Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au dixième près.

6 cm 5 cm 5,5 cm

Réponse :

146

CH AP i T Re 8

les s olid es

A146

2,5 m

2 Malik doit remplacer les six panneaux en moustiquaire de son

pavillon de jardin. Si le toit en forme de pyramide droite à base hexagonale est fait de 15 m² de tissu à moustiquaire, quelle quantité de tissu sera nécessaire pour remplacer les 6 panneaux ? Écris les étapes de ta démarche.

2m

1,73 m

Réponse :

120 cm

3 Kelly-Ann a dessiné le plan d’un

31,6 cm 30 cm 15 cm 75 cm

60 cm

géométrie

présentoir dont le dessus et une partie du devant seront faits de verre. Le reste du présentoir sera en bois. Kelly-Ann aimerait connaître la quantité de bois et de verre, en mètres carrés, qu’elle doit acheter pour fabriquer son présentoir. Écris les étapes de ta démarche.

50 cm

Réponse :

A147

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

147

Savoirs, p. 61 à 68

Chapitre

BILAN 1 Calcule l’aire de la base, l’aire latérale et l’aire totale

de chacun des solides suivants. Arrondis tes réponses au centième près, s’il y a lieu. a) Cube Aire de la base du cube

Aire latérale du cube

Aire totale du cube

2,25 dm

AT ≈ b) Prisme droit à base hexagonale Aire de la base du prisme

Aire latérale du prisme

Aire totale du prisme

6 cm 7,25 cm

AT =

5 cm

c) Pyramide droite à base pentagonale Aire de la base de la pyramide

Aire latérale de la pyramide

Aire totale de la pyramide

17,1 m

8,3 m

AT =

géométrie

12 m

d) Cylindre droit Aire de la base du cylindre

Aire latérale du cylindre

Aire totale du cylindre

34 mm

45 cm

AT =

148

CH AP i T Re 8

les s olid es

A148

2 Trouve la mesure manquante dans chacun des solides suivants. Écris les étapes de ta démarche. a) AT = 75,5 cm2

2 cm 2,9 cm h=?

5 cm

4 cm Prisme droit à base trapézoïdale Réponse :

b) AT = 243 m2

a=?

9m Pyramide droite à base carrée

Réponse :

18,4 cm

3 Calcule l’aire totale du solide ci-contre.

Écris les étapes de ta démarche et arrondis ta réponse au centième près.

12 cm 4 cm

géométrie

6 cm 4 cm

12 cm

A149

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

149

Problèmes 1 On veut placer 500 feuilles de papier dans une boîte de carton. Chaque feuille mesure 21,6 cm sur 27,9 cm et a une épaisseur de 1,1 mm. a) Trouve la mesure de la hauteur de la boîte qui contient ces 500 feuilles. Écris tes calculs.

? cm

27,9 cm 21,6 cm

Réponse :

b) Quelle est l’aire totale de cette boîte de carton ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

12 cm

50 cm

5 cm

15 cm

5,8 cm

géométrie

que son grand-père a fabriquées. Il dispose de 3,78 L de peinture pouvant couvrir une surface de 15 m².  Jean-Sébastien a-t-il suffisamment de peinture pour couvrir toutes les faces des 20 boîtes aux lettres ? Écris les étapes de ta démarche.

5 cm

Boîte aux lettres

2 Jean-Sébastien doit peindre les 20 boîtes aux lettres

Réponse :

150

CH AP i T Re 8

les s olid es

A150

situAtions d’APPlicAtion 1 À l’épicerie, Jonathan achète toujours les contenants

les plus écologiques, c’est-à-dire ceux qui, selon leur capacité, utilisent le moins de matériau. Il hésite entre les deux contenants à jus ci-contre, faits du même type d’emballage. Lequel devrait-il choisir s’il tient compte de la capacité de chaque contenant (175 ml et 1,5 L) ? Écris les étapes de ta démarche.

3 cm

5,5 cm 20 cm

1,5 L 11 cm

175 ml 10 cm

Réponse :

2 Mélodie veut un étui protecteur pour sa tablette

Tissu extérieur

électronique. Elle décide d’en fabriquer un elle-même. L’extérieur de son étui sera fait d’un tissu coloré, vendu 10,99 $ le mètre carré. Elle veut aussi  25 cm recouvrir les deux grandes faces intérieures de l’étui d’un rembourrage, vendu 25 $ le mètre carré. Enfin, elle ajoutera une fermeture éclair qui coûte 3,75 $.

Rembourrage 20 cm

Épaisseur 2,5 cm

géométrie

Sachant que le prix en magasin d’un étui semblable est de 54,99 $, combien d’argent Mélodie économiset-elle en le fabriquant elle-même ? Écris les étapes de ta démarche.

Fermeture éclair

Réponse :

A151

CHA P i TRe 8

le s so l id e s

151

Chapitre

les transformations géométriques

Qu’est-ce Qu’une isométrie ?

9.1

Savoirs, p. 69 et 70

1 Que suis-je ? Angles homologues

Côtés homologues

Figure image

Figure initiale

a) Nous sommes des segments de même mesure qui appartiennent à deux figures isométriques. b) Je suis une figure de départ dans une transformation géométrique. c) Je suis une figure obtenue par transformation géométrique. d) Nous sommes situés au croisement de deux côtés homologues.

2 Indique à l’aide d’un X la ou les isométries qui correspondent à chacune des propriétés suivantes. Réflexion Rotation Translation

géométrie

a) Les côtés homologues de la figure initiale et de la figure image sont toujours parallèles. b) Les côtés homologues de la figure initiale et de la figure image ne sont pas nécessairement parallèles. c) L’ordre des points homologues est le même dans la figure initiale et dans la figure image.

152

d) L’ordre des points homologues est inversé dans la figure image. e) Les points homologues sont à égale distance les uns des autres et les segments de droites tracés pour les relier sont tous parallèles et isométriques. f) Les points homologues sont à égale distance d’un axe qui coupe perpendiculairement tout segment de droite tracé pour relier ces points. g) Les points homologues ne sont pas à égale distance les uns des autres et les segments de droites tracés pour les relier ne sont jamais parallèles.

CH aP it re 9

LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A152

3 À l’aide de tes instruments de géométrie : a) trace la flèche de translation t qui permet d’obtenir l’image de la figure bleue ;

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O15

b) construis l’image par translation de la figure bleue. Montre les étapes de ta construction.

t

4 À l’aide de tes instruments de géométrie : a) trace l’axe de réflexion s qui permet d’obtenir l’image de la figure bleue ;

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O16

b) construis l’image par réflexion de la figure bleue. Montre les étapes de ta construction.

s

5 À l’aide de tes instruments de géométrie : a) trouve la mesure de l’angle de rotation qui permet d’obtenir l’image de la figure bleue et attribue à l’angle le signe du sens de rotation (+ ou −) qui convient ;

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O16

b) construis l’image par rotation de la figure bleue. Montre les étapes de ta construction.

B

C A E

D

C

E A

D

r −120° O

D B C

géométrie

B A

m ∠ de rotation : A153

CHaP it re 9

LeS tra n S for m at io n S g é o m é t r iq ueS

153

Problèmes

Bobby n° 4

1 Héléna et Justin créent des dessins animés avec leur nouveau logiciel. Dans leur première animation, ils font bouger un personnage, nommé Bobby, par réflexion, par rotation et par translation.

Bobby n° 3 Bobby n° 2 Bobby

Indique l’isométrie qu’ils ont utilisée pour obtenir chaque figure image (Bobby n° 2, n° 3 et n° 4). Justifie tes réponses.

isométrie

Justifications

bobby n° 2

bobby n° 3 bobby n° 4

A A

2 Cédric a dessiné un nouveau logo pour l’entreprise

4,24 dm

de ses parents. Ce logo est composé de quatre triangles isométriques.

L’entreprise qui réalisera le logo a besoin de connaître les isométries effectuées et la mesure de la surface totale des quatre triangles. a) Quelles isométries ont permis d’obtenir les triangles nos 2, 3 et 4 ?

2

1 B B D

C A 2,24 dm 3

4

B C C

triangle n° 2

3 dm

C A

triangle n° 3

B

3,09 dm triangle n° 4

géométrie

isométries :

154

b) Calcule la mesure de la surface des quatre triangles. Écris tes calculs.

Réponse :

CH aP it re 9

LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A154

9.2

Qu’est-ce Qu’une homothétie ?

Savoirs, p. 71 à 74

1 Complète le schéma suivant. Centre d’homothétie

Figure image

Figure initiale

Rapport d’homothétie ou de similitude

1

k = 2 ou 0,5

O

2 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Si k est supérieur à 1 (k >1), la figure image est une réduction de la figure initiale. b) Si k est égale à 3 (k = 3), l’aire de la figure image est 9 fois plus grande que l’aire de la figure initiale.

3 a) Identifie les homothéties de la figure bleue. Pour répondre, écris les abréviations « A », pour

b) L’une des figures en a) n’est pas une image par homothétie de la figure bleue. Laquelle ? Fais un X sur cette figure, puis justifie ta réponse à l’aide d’une propriété de l’homothétie. Justification

A155

CHaP it re 9

LeS tra n S for m at io n S g é o m é t r iq ueS

géométrie

agrandissement, et « R », pour réduction, dans les figures appropriées.

155

4 Indique si les rapports k suivants correspondent à des agrandissements ou à des réductions. 8

a) k = 3

b) k = 3

1

c) k = 5

d) k = 4,5

e) k = 0,65

f) k = 3

4

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O17

5 Sachant que chaque figure bleue est une figure initiale, trouve, à l’aide d’une règle : a) la position du centre d’homothétie O ; b) le rapport k qui a permis d’obtenir chaque figure image. Montre les étapes de ton raisonnement. 1.

2.

k=

k=

6 Sachant que chaque figure bleue est une figure initiale, trouve le rapport k qui a permis d’obtenir chaque figure image. Écris tes calculs.

géométrie

a)

b)

40 mm

24 mm

40 mm

25 mm

15 mm

1 cm

k=

156

20 mm

25 mm

CH aP it re 9

k= LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A156

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O17

7 À l’aide de tes instruments de géométrie, construis les images par homothétie des figures suivantes. Montre les étapes de ta construction.

1

a) k = 1,5

b) k = 3 O

O

8 Calcule mentalement les mesures manquantes, en sachant que m OA = 10 cm, que m OB = 15 cm et que m AB = 20 cm. 1

k=2

rapports :

k = 1,5

k=2

3

k=

k=4

12 5

1

k=5

m O′A′ m O′B′ m A′B′

9 À l’aide des figures initiales bleues, calcule les périmètres et les aires des figures images. Écris tes calculs.

A 8 cm

A ≈ 45,25 cm2

A157

B

12 cm C

b) k = 2,5 B

A

A

6 cm

A

B

D

C

B

A = 36 cm2 D

C

C

PA′B′C′ =

PA′B′C′D′ =

AA′B′C′ ≈

AA′B′C′D′ = CHaP it re 9

géométrie

1

a) k = 2

12 cm

LeS tra n S for m at io n S g é o m é t r iq ueS

157

Problèmes 1 Madeleine et Dany aimeraient avoir un abri pour leur spa qui mesure 191 cm sur 101 cm. On leur offre un abri aux dimensions suivantes : 121,2 cm sur 229,2 cm. Sachant que les dimensions de l’abri sont proportionnelles aux dimensions du spa, trouve le rapport de similitude utilisé entre les mesures du spa et celles de l’abri. Écris tes calculs.

Réponse :

2 La suite d’étoiles suivante a été obtenue par des homothéties. Dans cette suite, chaque étoile est deux fois plus grande que celle qui la précède.

a) Quel rapport d’homothétie y a-t-il entre la plus petite étoile et la plus grande étoile ? Écris ton raisonnement.

A

m PQ = 0,77 cm

A O

P Q

b) Sachant que ces étoiles sont des polygones réguliers et que le côté PQ de la plus petite étoile mesure 0,77 cm, trouve est le périmètre de la plus grande étoile. Explique ta démarche.

géométrie

Réponse :

3 Un pâtissier a préparé un immense gâteau aux fruits. Ce gâteau géant a une aire 16 fois plus grande que celle du gâteau qu’il prépare habituellement. Quelle est la mesure du diamètre du gâteau géant si le diamètre du gâteau habituel mesure 22 cm ? Écris tes calculs.

Réponse :

158

CH aP it re 9

LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A158

Chapitre

BILAN Savoirs, p. 69 à 74

1 Dans le plan ci-contre, les figures nos 1, 2 et 3 sont isométriques à la figure initiale.

Figure no 1

Figure initiale

5 4

a) Indique si ces figures images ont été obtenues par rotation, par réflexion ou par translation.

3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1

b) Trace la flèche de translation, l’axe de réflexion et l’angle de rotation de ces isométries.

0

1

2

3

4

5

−1 −2

c) Remplis le tableau suivant pour justifier tes réponses.

−3 −4

Figure n 2

Figure no 3

−5

o

isométrie

Justifications

Figure n° 1

Figure n° 2

Figure n° 3

2 Pour chacune des figures initiales suivantes, on te propose trois figures images. Entoure la figure

image qui est semblable à la figure initiale, puis indique le rapport de similitude utilisé. Écris tes calculs. Figures images

14,1 cm 135° 14,1 cm

10,575 cm

rapport de similitude

135° 25 cm

135° 20 cm

20 cm

7,05 cm

45° 10 cm 30 cm

30 cm

20 cm

30 cm

30 cm

45 cm

géométrie

Figure initiale

40 cm 60 cm A159

CHaP it re 9

LeS tra n S for m at io n S g é o m é t r iq ueS

159

3 Sachant que la figure bleue est la figure initiale, trouve la mesure des segments suivants. Justifie tes calculs.

D

Image obtenue par rotation et par homothétie

m BC

Image obtenue par rotation

6,32 cm

m FG

B E

C 5 cm

3,16 cm

m ED

F

3 cm G

Figure initiale

A

4 À l’aide de tes instruments de géométrie, construis les images des figures suivantes par homothétie. Montre les étapes de tes constructions. 4

b) k = 2,2

a) k = 5 A

O

E

D

B

F

O

C

G

5 Sachant que la figure bleue est la figure initiale : a) trouve la position du centre d’homothétie ; b) trouve le rapport k qui a permis d’obtenir la figure image ; c) calcule le périmètre et l’aire demandés. Écris tous tes calculs. 1.

E

F

2.

B

C

A

CH aP it re 9

C

mDC = 2 cm

AA′B′C′D′E′F′ = 10,24 cm2 PA′B′C′D′E′F′ = 17,84 cm

C m D′C′ = 1,5 cm

géométrie 160

D

PABCDEF = 12 cm

D

B

F

A

AABCDEF = 10,39 cm2

A

E D

m OA = 2,2 cm m OA′ = 3,52 cm

k=

k=

Périmètre de la figure image :

Périmètre de la figure initiale :

Aire de la figure image :

Aire de la figure initiale :

LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A160

Problèmes 1 On veut publier un livre de grand format en format de poche. La couverture du livre en format de 2

poche mesure 9,5 cm sur 13 cm. Si ces dimensions représentent les 5 des dimensions du livre de grand format, quelles sont les dimensions du livre de grand format ? Écris tes calculs.

Réponse :

2 Lorsque la clôture de Margot produit une ombre de 1,32 m, le grand arbre dans sa cour produit une ombre de 11,32 m. Margot aimerait connaître la hauteur de son arbre. Elle a fait le dessin suivant pour s’aider à la trouver. Si la clôture mesure 1 m de hauteur, quelle est la hauteur de l’arbre dans la cour de Margot ? Écris tes calculs.

Clôture 1m 1,32 m 11,32 m

Réponse :

3 L’enseignant de mathématique d’Alice, d’Anouk et d’Antoine leur a remis le dessin ci-dessous. Ils

doivent expliquer à la classe quelle transformation géométrique a permis d’obtenir la figure image A′B′C′D′ qui se superpose parfaitement à la figure initiale ABCD. A A′

B B′

• Anouk n’est pas d’accord. Elle pense que la figure image a été obtenue en effectuant une réflexion à partir de l’axe de symétrie du trapèze. • De son côté, Antoine croit plutôt que la figure image a été obtenue en effectuant une homothétie de rapport k = 1.

D D′

C C′

Qui se trompe ? Justifie ta réponse.

A161

CHaP it re 9

LeS tra n S for m at io n S g é o m é t r iq ueS

géométrie

• Alice affirme que la figure image a été obtenue en effectuant une rotation de 360° de la figure initiale.

161

situAtions D’APPlicAtion 1 Pour les 25 ans de mariage de ses parents, Antoine veut faire agrandir une vieille photo de ses

parents et la faire imprimer sur une grande toile. Les dimensions de la photo sont de 10 cm sur 15 cm. Antoine commande un agrandissement de 1500 %. Si le coût d’impression d’une photo sur toile est de 34 $/m2, quel sera le coût de l’agrandissement qu’Antoine veut faire imprimer ? Écris tes calculs.

Réponse :

2 Chez Nellie, la forme de la piscine est semblable à celle de la cour arrière. L’aire de la cour est de

121,5 m² et est 9 fois plus grande que l’aire de la piscine. En sachant que la largeur de la piscine est de 2,7 m et celle de la cour, de 8,1 m, calcule la longueur totale des clôtures nécessaires pour entourer la piscine et la cour. (Les clôtures sont représentées par des pointillés dans le schéma.) Écris les étapes de ta démarche.

Aire de la cour: 121,5 m2

2,7 m

Clôtures

8,1 m

1m

géométrie

1m

Réponse :

162

CH aP it re 9

LeS t ran S format ion S g éométri qu eS

A162

statistique OÙ SONT LES MATHS ? Résultats sportifs, sondages, questionnaires, enquêtes, etc. Tous les jours, tu dois déchiffrer un tas de données, un peu comme un ordinateur ! La statistique, ça t’aide à mieux comprendre le sens de toutes ces données afin de rester toujours bien informé.

A163

163

Sommaire

statistique 164

Chapitre 10

LES dONNéES STATiSTiquES

10. 1 Qu’est-ce qu’une enquête statistique ? .......................165 10. 2 Les tableaux et les diagrammes statistiques ...............168 10. 3 La moyenne arithmétique ...........................................171 Bilan du chapitre 10 ..........................................................173

A164

Chapitre 10.1

LES dONNéES STATiSTiquES

Qu’est-ce Qu’une enQuête statistiQue ?

Savoirs, p. 76 et 77

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Un recensement est une enquête statistique portant sur l’ensemble d’une population.

b) Une modalité est une donnée quantitative.

c) Un échantillon est un groupe d’individus choisis pour représenter fidèlement une population.

d) Dans un échantillonnage aléatoire, les éléments sont choisis au hasard.

2 On interroge tous les élèves de l’école pour connaître leurs habitudes de consommation d’eau. Pour chaque question, indique le type de caractère étudié : qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu. a) Combien de litres d’eau bois-tu chaque jour ?

c) Combien de douches prends-tu chaque semaine ?

3 Pour chacun des sondages décrits ci-dessous, indique la méthode d’échantillonnage utilisée : aléatoire ou systématique.

a) On interroge les élèves dont les prénoms commencent par la lettre C. b) On interroge les élèves qui entrent par la porte A. c) On interroge les élèves de la classe qui ont les yeux bleus. d) On interroge les élèves qui mangent à la cafétéria le midi. A165

CHAPi T RE 10

Le S don n é e S S tat iSt iq ue S

statistique

b) Préfères-tu l’eau embouteillée à l’eau du robinet ?

165

4 a) Ajoute les données manquantes aux tableaux ci-dessous. Sondage A

Matière

Nombre de garçons

Nombre de filles

Dans une école de 1000 élèves, on a demandé à des élèves de 1re secondaire leur matière préférée.

Français

15

29

Mathématiques

18

28

Éducation physique et à la santé

34

22

Histoire et géographie

18

14

Sciences

14

20

Sondage B

Dans une école de 800 élèves, on a demandé à des élèves choisis au hasard leur taille en mètres.

Nombre de filles

Total

Moins de 1,20

15

25

De 1,20 à 1,39

25

27

De 1,40 à 1,59

32

67

De 1,60 à 1,79

39

91

Taille (en mètres)

Nombre de garçons

0

Plus de 1,80

Total

1

b) À l’aide des tableaux ci-dessus, trouve les informations demandées. Sondage A

Sondage B

Taille de la population Taille de l’échantillon Caractère statistique Type de caractère statistique

statistique

c) Lequel des deux échantillons représente le mieux la population ? Justifie ta réponse.

166

d) Nomme une source de biais possible dans le sondage A.

e) Indique deux autres sources de biais possibles dans un sondage.

CH AP i T RE 1 0

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

A166

Intérêt pour la lecture chez les jeunes du secondaire en 2013

Problème 10 Effectif (Nombre d’élèves)

On veut connaître les habitudes de lecture des 1543 élèves de l’école. Le sondage se résume à une seule question : « Lis-tu souvent dans une semaine ? » On interroge des élèves sur une base volontaire, pendant les pauses du matin et de l’après-midi. Peu d’élèves acceptent de répondre au sondage. Une semaine plus tard, on présente les résultats dans un diagramme à bandes et on pose la conclusion suivante : la majorité des élèves de l’école aiment la lecture, puisque seulement 12 % des personnes interrogées ont répondu « non » à la question.

8 6 4 2 0

Oui

Non

Remplis le tableau suivant en indiquant les sources de biais qui peuvent avoir faussé les résultats. source de biais possible

Ça dépend

Pas Autres chaque réponses semaine

Fréquence de lecture exemple

Construction de l’échantillon

Rédaction du questionnaire

Collecte

statistique

des données

Analyse des données

Interprétation et présentation des résultats

A167

CHAPi T RE 10

Le S don n é e S S tat iSt iq ue S

167

10.2

les tableaux et les diagrammes statistiQues

Savoirs, p. 78 et 79

1 Que suis-je ? Titre du tableau

Titres des colonnes

Modalité

Effectif

Saison préférée des élèves Garçons

Filles

Total

Été

48

32

80

Automne

30

42

72

Hiver

44

28

72

Printemps

18

38

56

Saison

Outil 3, Les diagrammes, p. O4

2 Indique le type de diagramme le plus approprié pour illustrer les données suivantes. a) La langue maternelle des 900 élèves d’une école.

b) L’évolution des températures mensuelles moyennes au Québec au cours des 12 derniers mois.

c) La répartition des votes aux dernières élections provinciales.

d) Le mets préféré des filles et des garçons de ton école.

e) Les résultats qu’a obtenus Manuela en sciences tout au long de l’année scolaire.

3 Remplis le tableau suivant.

statistique

Passe-temps préféré des élèves de 2e secondaire

168

Passe-temps

Dénombrement

Effectif

Fréquence (%)

Télévision Ordinateur Sports individuels Sports d’équipe Autres Total

CH AP i T RE 1 0

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

50

A168

4 Observe le diagramme circulaire ci-dessous, puis réponds aux questions. Genre de films vus dernièrement au cinéma

Drame (6 %) Comédie (17 %) Aucun ou autre genre (7 %)

a) Si 600 élèves ont participé au sondage, combien d’entre eux ont vu dernièrement :

Film d’horreur (12 %) Film d’action (22 %)

Film d’animation (17 %)

1. un film d’action ? 2. un film d’horreur ? 3. une comédie ?

b) Si on avait interrogé 2000 élèves, combien d’entre eux auraient vu dernièrement un film d’animation ?

Film fantastique (19 %)

5 Observe le diagramme à ligne brisée ci-contre, puis réponds aux questions. a) Quelle était la température du patient à son arrivée à l’hôpital ?

c) De combien de degrés sa température a-t-elle chuté entre 22 h et 2 h ?

Température (°C)

b) À quelle heure sa température était-elle la plus basse ?

Évolution de la température d’un patient durant les 24 premières heures de son hospitalisation

39,5 39,0 38,5 38,0 37,5 37,0 36,5 36,0

8

10 12 14 16 18 20 22 24 Heure

2

4

6

Problèmes 1 Ania organise un dîner pizza pour 200 élèves. Elle servira uniquement les variétés qui auront été choisies comme les préférées d’au moins un élève sur quatre. Pour s’aider à faire un choix, elle demande aux élèves de sa classe d’indiquer leurs préférences. a) Complète son tableau de compilation.

Modalité

Compilation des données

Effectif

Fréquence (%)

Végétarienne Garnie Pepperoni et fromage Total

25

b) Quelles variétés de pizza Ania doit-elle commander ?

A169

CHAPi T RE 10

Le S don n é eS S tat iSt iq ue S

statistique

Titre :

169

2 Alex reçoit chaque mois de l’argent de poche pour couvrir ses dépenses, c’est-à-dire ses repas

à l’école, ses loisirs, ses vêtements et son transport. Le diagramme circulaire ci-dessous représente la répartition moyenne de son argent de poche au cours de la dernière année. a) Remplis le tableau suivant à l’aide du diagramme circulaire. répartition moyenne de l’argent de poche d’alex Modalité

Valeur ($)

Répartition moyenne de l’argent de poche d’Alex

Fréquence relative (%)

Repas à l’école (20 %)

Transport (33 %)

Repas à l’école Loisirs Vêtements Transport Total

Vêtements (22 %)

50,00

Loisirs (25 %)

b) Si Alex économise 15 % de son argent de poche chaque mois, combien d’argent aura-t-il épargné à la fin de l’année ? Écris tes calculs.

Réponse :

Recensement de la population au 1er janvier 2011 dans le Nord-du-Québec et dans la région de la Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine statistique du Québec 50

statistique

s’est intéressé à la répartition de la population par groupe d’âge de deux régions administratives du Québec.

170

Fréquence (%)

3 L’Institut de la

Que montre ce recensement ? Donne deux conclusions possibles.

CH AP i T RE 1 0

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

40 Nord-duQuébec

30 20

Gaspésie– Îles-de-laMadeleine

10 0

De 0 à 24

De 25 à 44

De 45 à 64

65 et plus

Groupe d’âge (ans)

A170

10.3

la moyenne arithmétiQue

Savoirs, p. 79 et 80

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) La moyenne arithmétique représente la valeur unique par laquelle on peut remplacer chaque donnée d’un ensemble sans modifier leur somme.

b) Pour calculer la moyenne arithmétique, on multiplie la somme des valeurs par le nombre de valeurs.

c) L’écart entre le maximum et le minimum s’appelle l’« étendue ».

2 Pour chaque liste de données, détermine le minimum, le maximum et l’étendue. Minimum

Maximum

Étendue

a) 3, 7, 2, 5, 9, 13, 8, 6, 5, 12 b) 21, 18, 12, 34, 26, 24, 10, 33 c) 35, 55, 75, 85, 60, 95, 45, 65 d) 1, 1, 2, 5, 3, 7, 1, 8, 6, 8

3 Calcule la moyenne de chaque liste de données.

Réponse :

c) 3, 8, 13, 12, 4, 4, 5

Réponse : A171

b) −9, 11, 13, −7, 6, −14, 18, 2, 5, −5

Réponse :

d) 20, 25, 30, 15, 20, 10

statistique

a) 6, 8, 5, 11, 12, 7, 8, 5

Réponse : CHAPi T RE 10

Le S don n é e S S tat iSt iq ue S

171

Problèmes 1 Florence et Jules s’entraînent en moyenne 47 minutes par jour. Voici leurs temps d’entraînement de cette semaine. Lundi 20 minutes

Mardi 1,25 heure

Mercredi 20 minutes

Jeudi 1,25 heure

Vendredi Congé

Samedi 2 heures

Dimanche ?

Florence et Jules désirent augmenter leur moyenne à 50 minutes d’exercice par jour. Combien de temps devront-ils s’entraîner ce dimanche pour y arriver ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Audrey a obtenu les résultats suivants dans son cours de musique : 47 %, 83 %, 24 %, 78 %, 87 %, 72 % et 99 %. Pour calculer la note moyenne inscrite au bulletin, son enseignant ne tient pas compte du résultat le plus haut ni du résultat le plus bas. Quelle note apparaîtra sur le bulletin d’Audrey ? Écris les étapes de ta démarche. Arrondis cette moyenne à l’unité près.

Réponse :

3 Au terrain d’entraînement, on vend des paniers de 50 balles de golf. Certains joueurs disent qu’il

statistique

manque en moyenne plus d’une balle par panier. On a vérifié le contenu de 25 paniers choisis au hasard. Voici les résultats.

172

Modalité

Effectif

4 balles en moins

1

3 balles en moins

2

2 balles en moins

4

1 balle en moins

3

Compte exact

5

1 balle en trop

1

2 balles en trop

5

3 balles en trop

3

4 balles en trop

1

Les joueurs ont-ils raison ? Écris les étapes de ta démarche.

CH AP i T RE 1 0

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

Réponse :

A172

Savoirs, p. 76 à 80

Chapitre

BILAN 1 Pour chaque situation, indique par un crochet (√) la méthode d’échantillonnage utilisée.

Aléatoire

Systématique

a) Pour connaître le mois de naissance le plus fréquent, on interroge au hasard des élèves de l’école. b) Pour connaître le sport préféré des élèves de l’école, on interroge deux jeunes par classe, de la 1re à la 5e secondaire.

2 Indique le type de diagramme illustré et le ou les types de caractères qui conviennent à chaque diagramme.

Type de diagramme

Type de caractère

a)

b)

c)

Qualitatif

Quantitatif continu

Quantitatif discret

a) Le nombre de yogourts glacés vendus chaque semaine dans les crèmeries du quartier. b) Le prix des croustilles dans les épiceries. c) La couleur des emballages-cadeaux dans une parfumerie.

A173

CHAPi T RE 10

Le S don n é e S S tat iSt iq ue S

statistique

3 Pour chaque situation, indique par un crochet (√) le type de caractère étudié.

173

4 Pour chacune des listes de données suivantes, détermine le minimum, le maximum, l’étendue et la moyenne. Arrondis tes réponses au centième près, s’il y a lieu. Minimum

Maximum

Étendue

Moyenne

a) −3, −5, 4, 9, −12, 13, 0 b) 2,4, 2,75, 2,6, 2,52, 2,9

5 Associe chaque situation à une source de biais possible. a) Pour connaître les préférences musicales des adolescents au Québec, on interroge 1 personne sur 100 dans les rues de Montréal.



• Interprétation

b) On pose la question suivante à 1 personne sur 10 :  « Préférez-vous les sports d’été ou les sports d’hiver par temps froid ? »



• Rédaction du

c) Selon les résultats d’un sondage, 39 % des répondants sont en faveur d’un changement, 31 % sont contre et 30 % sont indécis. Dans les journaux, il est écrit que la majorité des gens souhaitent un changement.



• Construction

des résultats

questionnaire

de l’échantillon

6 À l’aide des données du diagramme à bandes, remplis le tableau suivant. Fleur préférée des élèves

50 Fréquence (%)

40

Fleur préférée des élèves Modalité

46%

30

Fréquence (%)

150

100

30 %

24%

20

Effectif

10 0

Rose Marguerite Tulipe Variété de fleurs

Total

174

1 India est une jeune fille très occupée. Le diagramme à bandes montre son emploi du temps les

jours de semaine. Le diagramme circulaire présente en détail son programme d’activités quotidien. À l’aide des deux diagrammes, détermine le nombre d’heures qu’India consacre à la fois aux sports et à la chorale. Écris les étapes de ta démarche. Emploi du temps d’India les jours de semaine

Activités

statistique

Problèmes

Cours (41,5%)

12,5%

Temps libre Programme d’activités quotidien

37,5% 0

20

60 40 80 Fréquence (%)

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

Repas (16,7 %) Chorale (8,4%)

50%

Sommeil

CH AP i T RE 1 0

Programme d’activités quotidien d’India

Sports (12,5%) 100

Transport (8,4%)

Devoirs (12,5%) A174

Réponse :

2 On veut choisir les meilleurs candidats pour représenter l’école aux compétitions régionales

d’athlétisme. À l’épreuve du 100 mètres, seuls les élèves qui termineront la course en moins de 13,6 secondes seront sélectionnés. Voici les résultats des 16 participants. Clara a renversé son verre de jus sur la fiche des résultats. Elle se rappelle toutefois que les temps de course des trois derniers participants étaient identiques. Détermine le nombre d’élèves qui représenteront l’école à l’épreuve du 100 mètres.

14,2

11,9

19,2

21,4

14,4

15,7

11,8

11,7

17,5

19,0

15,2

18,3

12,8

Moyenne : 15,225

Réponse :

situation d’aPPlication

8

9

7

9

10

7

8

6

9

8

9

7

8

7

10

10

11

7

9

9

8

9

8

7

7

7

11

12

8

9

Ils doivent maintenant remplir un tableau de compilation, représenter les données dans un diagramme approprié, les analyser à l’aide de la moyenne et formuler deux conclusions. Aide-les à réaliser ces tâches.

A175

CHAPi T RE 10

Le S don n é e S S tat iSt iq ue S

statistique

Aurélie et Dominique préparent un sondage pour leur cours d’éducation physique et à la santé. Ils s’intéressent au nombre d’heures que les adolescents dorment en moyenne par nuit. Voici les réponses qu’ils ont obtenues.

175

a) Remplis le tableau de compilation ci-dessous. Arrondis tes réponses au dixième près, s’il y a lieu. Titre : Nombre d’heures de sommeil en moyenne par nuit

Compilation des données

Effectif

Fréquence (%)

Total

b) Représente les données dans un diagramme approprié.

statistique

c) Calcule la moyenne arithmétique de l’ensemble des données.

176

Réponse :

d) Formule deux conclusions pour interpréter les résultats obtenus.

CH AP i T RE 1 0

Le S d on n ée S Stat iS t iqu eS

A176

probabilité OÙ SONT LES MATHS ? Dans la vie, tu souhaites mettre toutes les chances de ton côté ? Tu veux savoir ce qu’est le hasard ou connaître tes possibilités de gagner à ton jeu préféré ? Tu aimerais faire des prédictions sans boule de cristal ? Avec la probabilité, tout est possible, ou presque !

A177

177

Sommaire

probabilité 178

Chapitre 11

LES ExpériENcES ALéATOirES à uNE éTApE

1 1 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire ? .....................179 1 1 . 2 La probabilité d’un événement ...................................182 Bilan du chapitre 11 ...........................................................185 Chapitre 12

LES ExpériENcES ALéATOirES cOMpOSéES

1 2 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire composée ? ...189 1 2 . 2 La probabilité d’un événement dans

une expérience aléatoire composée...........................192 Bilan du chapitre 12 ..........................................................195

A178

CHAPITRE 11.1

LES EXPÉRIENCES ALÉATOIRES À UNE ÉTAPE

QU’EST-CE QU’UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ?

Savoirs, p. 82 et 83

1 Décris l’univers des résultats possibles de chacune des expériences aléatoires suivantes. a) Je lance un dé à huit faces numérotées de 1 à 8 et je note le chiffre obtenu. b) J’observe la couleur d’une bille tirée au hasard d’un sac contenant des billes rouges, vertes, noires et bleues. c) Je choisis au hasard une lettre du mot GÉOMÉTRIE.

2 Dresse la liste des résultats possibles associés à chacun des événements suivants. a) Choisir au hasard une voyelle de l’alphabet. b) Lancer un dé à huit faces numérotées de 1 à 8 et obtenir un nombre premier.

3 Détermine le nombre de résultats possibles associés à chacun des événements suivants. a) Tirer un 4 d’un jeu de 52 cartes. b) Tirer 1 bille bleue d’un sac contenant 12 billes bleues et 5 billes rouges.

4 Associe chacun des événements suivants à l’expression la plus appropriée. a) Il neigera en décembre prochain à Québec. b) La moyenne des températures mensuelles à Québec sera de 38 °C l’année prochaine. c) Il ne pleuvra pas à Québec en juin prochain. d) Le soleil se lèvera demain. e) Le temps sera ensoleillé demain.

A179

• •

• Événement certain • Événement possible

• • •

• Événement impossible • Événement presque certain • Événement presque impossible

CHAPIT RE 11

LES EXPÉRI ENCES ALÉATO IR E S À UN E É TAP E

probabilité

c) Lancer un dé à huit faces numérotées de 1 à 8 et obtenir un 9.

179

5 On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Voici quatre événements liés à cette expérience aléatoire. Réponds aux questions ci-dessous en justifiant tes réponses.

Événement A : Tirer une figure (un roi, une reine ou un valet). Événement B : Tirer un as de cœur ou un 2 de cœur. Événement C : Tirer un 8, un 9 ou un 10. Événement D : Tirer une carte de pique.

a) Lequel de ces événements est le plus probable ?

b) Lequel de ces événements est le moins probable ?

c) Lesquels de ces événements sont également probables ?

PRObLèmES 1 Jonathan dépose dans une boîte

un cube rouge, deux pyramides à base carrée vertes, six prismes à base triangulaire jaunes et trois prismes à base carrée verts. a) Décris deux expériences aléatoires possibles. 1. 2.

b) Donne l’univers des résultats possibles de chacune des expériences en a). 1. 2.

c) Pour chaque expérience, décris le ou les événements élémentaires qui ont le plus de chances de se réaliser. Justifie tes réponses.

probabilité

1.

180

2.

d) Jonathan veut savoir lequel des deux événements suivants a le plus de chances de se produire : « tirer un solide vert dont une face est un carré » ou « tirer un solide jaune dont une face est un triangle ». Aide-le à trouver la réponse.

cH Ap i T rE 1 1

Le S ex périen Ce S aLéatoireS à u ne éta pe

A180

2 Cinq élèves ont été présélectionnés pour participer à un jeu télévisé, mais un seul d’entre eux sera

choisi. Le directeur inscrit le nom des cinq élèves sur des bouts de papier et tire un nom au hasard. Christina

2e secondaire

Karl

2e secondaire

Tania

3e secondaire

Méliane

2e secondaire

Michel

3e secondaire

Ω b

A

a) Christina aimerait représenter l’univers des résultats possibles de ce tirage en tenant compte des deux événements suivants : A : Tirer le nom d’une fille. B : Tirer le nom d’un ou d’une élève de 2e secondaire.

Aide-la en complétant le diagramme de Venn ci-dessus. b) Quel événement a autant de chances de se produire que l’événement « tirer le nom d’une fille de 2e secondaire » ?

3 Rénada a plusieurs pantalons dans sa garde-robe. Les trois cinquièmes de ses pantalons sont noirs, 25 % sont bleus et les autres sont multicolores. Si elle prend un pantalon au hasard, quelle couleur a-t-elle le plus de chances de choisir ?

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

0

0,5

1

Événement impossible

Événement probable

Événement certain

b) Entoure la couleur que Rénada a le plus de chances de choisir.

A181

cHA piT rE 11

LeS expéri en C eS aLéato ir eS à un e é tap e

probabilité

a) Place les trois événements sur la droite des probabilités ci-dessous. Montre ton raisonnement.

181

11.2

LA PRObAbILITÉ d’UN ÉvÉNEmENT

Savoirs, p. 83 à 85

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un résultat est une valeur toujours comprise entre 0 et 1 inclusivement.

b) La probabilité fréquentielle est souvent utilisée lorsqu’il est difficile ou impossible de déterminer la probabilité théorique d’un événement.

c) Deux événements complémentaires peuvent être compatibles.

2 Calcule la probabilité de chacun des événements suivants. Note tes réponses sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal et d’un pourcentage. a) Lancer un dé à huit faces numérotées de 1 à 8 et obtenir un chiffre impair. b) Tirer une boule bleue d’un récipient contenant sept boules bleues, deux boules noires et une boule blanche. c) Tirer une figure d’un jeu de 52 cartes. d) Lancer simultanément trois pièces de monnaie identiques et obtenir trois faces.

3 Voici trois événements liés au lancer d’un dé à 20 faces numérotées

probabilité

de 1 à 20.

182

Événement A : Obtenir un nombre pair. Événement B : Obtenir un nombre impair. Événement C : Obtenir un nombre premier.

a) Quels événements sont complémentaires ? b) Quels événements sont compatibles ? c) Quels événements sont incompatibles ?

cH Ap i T rE 1 1

Le S ex périen Ce S aLéatoireS à u ne éta pe

A182

4 On tire au hasard une punaise de l’ensemble ci-contre. a) Indique la probabilité associée à chacune des six couleurs. Note tes réponses sous la forme d’une fraction réduite.

b) Selon les probabilités calculées en a), 1. quel événement est le plus probable ? 2. quel événement est le moins probable ? 3. quels événements sont équiprobables ?

5 On lance un dé à 12 faces numérotées de 1 à 12. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) un nombre premier ? b) un multiple de 4 ? c) un nombre carré ? d) un nombre composé ?

1. une carte rouge ?

2. une carte noire ?

3. une carte de pique ?

4. une figure ?

5. une figure de trèfle ?

6. un as ou un roi ?

b) Parmi les événements en a), détermine ceux qui sont complémentaires. c) Parmi les événements en a), donne un exemple de deux événements compatibles.

7 On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Décris l’événement complémentaire de « obtenir une figure ».

8 On lance un dé à 12 faces numérotées de 1 à 12. Décris un événement compatible avec l’événement « obtenir un diviseur de 12 ».

A183

cHA piT rE 11

LeS expéri en C eS aLéato ir eS à un e é tap e

probabilité

6 a) On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir :

183

PRObLèmES 1 Maxime lance une pièce de monnaie et note chaque fois le côté sur lequel elle tombe. Voici les résultats qu’il obtient. face

face

face

pile

pile

pile

face

pile

face

pile

face

face

pile

pile

pile

face

pile

face

face

face

Après avoir calculé la probabilité de chaque événement : P(face) = 55 % et P(pile) = 45 %, Maxime en déduit que sa pièce est truquée. A-t-il raison ? Justifie ta réponse.

2 Pour clore le défi sportif, madame Saint-Pierre fait tirer au sort 2 lecteurs numériques

parmi les 51 élèves participants. Émilio gagne le premier lecteur. Quelle est la probabilité que Léa remporte le deuxième lecteur si une même personne ne peut gagner plus d’une fois ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Le menu d’un restaurant propose un choix de cinq desserts : un feuilleté aux petits fruits, un sorbet

probabilité

choco-menthe, un gâteau aux trois chocolats, une coupe glacée aux fruits et une fondue au chocolat accompagnée de fruits frais. Caroline explique à ses parents qu’en choisissant au hasard, ils ont les mêmes chances d’obtenir un dessert au chocolat ou un dessert aux fruits. Caroline a-t-elle raison ? Justifie ta réponse à l’aide d’un diagramme de Venn.

184

Réponse :

cH Ap i T rE 1 1

Le S ex périen Ce S aLéatoireS à u ne éta pe

A184

Savoirs, p. 82 à 85

Chapitre

BILAN 1 Parmi les quatre expériences suivantes, indique celles

qui ne sont pas aléatoires. Entoure la bonne réponse. Expérience A : Lancer un dé et observer le numéro sur la face du dessus. Expérience B : Tirer une carte d’un jeu contenant uniquement des cartes noires et observer

sa couleur. Expérience C : Tirer une bille d’un récipient contenant trois billes rouges et trois billes vertes,

et observer sa couleur. Expérience D : Prévoir le temps nécessaire aux élèves pour passer un examen.

a) A et B.

b) A et C.

c) B et C.

d) B et D.

2 Un verre contient des olives noires et des olives vertes. L’expérience consiste à choisir une olive au hasard et à noter sa couleur. a) Combien y a-t-il de résultats possibles ?

b) Décris l’univers des résultats possibles.

3 On dépose dans une enveloppe des cartons sur lesquels on a inscrit des nombres. L’univers des résultats possibles se note ainsi :

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

On tire un carton de l’enveloppe. a) Dresse la liste des résultats favorables pour chacun des événements suivants. Événement n° 1 : Tirer un nombre pair. Événement n° 2 : Tirer un nombre impair. Événement n° 3 : Tirer un nombre inférieur à 2. Événement n° 4 : Tirer un nombre supérieur à 2.

probabilité

b) Parmi les événements en a), lequel ou lesquels sont : 1. élémentaires ? 2. compatibles ? 3. incompatibles ? 4. complémentaires ?

A185

cHA piT rE 11

LeS expéri en C eS aLéato ir eS à un e é tap e

185

4 Pour chacune des situations suivantes, indique s’il s’agit d’une probabilité fréquentielle ou théorique.

a) Jasmin a noté la couleur des voitures garées près de l’école. À son avis, la probabilité que la prochaine voiture à se garer soit blanche est de 50 %.

b) Dans un jeu de 54 cartes (incluant deux jokers), la probabilité que Rosemarie tire un joker 1 . est de 27

5 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un résultat peut être supérieure à 1.

b) La probabilité d’un événement ne peut être égale à 1.

6 Une bonbonnière contient un nombre égal de jujubes au citron, à la framboise, à la menthe et à la réglisse.

a) Si on prend un jujube au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir : 1. un jujube à la réglisse ? 2. un jujube au citron ou à la framboise ? 3. un jujube qui n’est pas à la réglisse ?

probabilité

b) Convertis les probabilités trouvées en a) sous la forme d’un pourcentage, puis classe-les par ordre décroissant de probabilité.

186

1.

2.

3.

7 Les événements A et B d’une expérience aléatoire sont complémentaires. Si la probabilité de l’événement A est de 35 %, lequel de ces événements a le plus de chances de se produire ? Écris les étapes de ta démarche.

cH Ap i T rE 1 1

Le S ex périen Ce S aLéatoireS à u ne éta pe

A186

Problèmes 1 Dans sa tirelire, Marilyn possède 231 pièces de 0,05 $, 105 pièces de 0,10 $, 52 pièces de 0,25 $,

8 pièces de 1 $ et 4 pièces de 2 $. Elle croit que ses chances de tirer au hasard 1 pièce de monnaie de plus de 0,25 $ sont inférieures à 5 %. A-t-elle raison ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Dans l’équipe de soccer de Jay, la probabilité qu’un joueur

Ω Français

parle le français est de 0,625 et celle qu’il parle le français et l’anglais est de 25 %. Parmi les 24 membres de son équipe,

Anglais

a) combien de joueurs parlent uniquement le français ? b) combien de joueurs parlent uniquement l’anglais ? Écris tes calculs. Utilise le diagramme de Venn, au besoin.

Réponses :

Français et anglais

a) b)

3 Le directeur d’une école a demandé aux jeunes de 1re secondaire d’indiquer leur préférence entre 

Matière préférée

Nombre de filles

Nombre de garçons

Total

58

105

Français Mathématiques Total

90

200

probabilité

le français et les mathématiques. Si on croise par hasard un garçon parmi les personnes interrogées, quelle est la probabilité qu’il préfère le français ? Complète le tableau suivant pour trouver la réponse. Écris les étapes de ta démarche.

Réponse : A187

CHAPIT RE 11

LES E xpériE nc ES aLéato irE S à unE é tapE

187

SITUATION d’APPLICATION Un magasin d’électronique offre à ses clients la chance de gagner un prix avec tout achat de plus de 250 $. Les clients doivent choisir l’un des trois jeux suivants pour connaître leur prix. Jeu A : On tire au hasard une bille d’un sac contenant quatre billes rouges, quatre billes vertes

et huit billes noires. Si on tire une bille verte, on obtient un rabais de 25 %. Si on tire une bille rouge, on reçoit un article en promotion. Jeu B : On tire au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes. Si on tire un as, on obtient un rabais de 25 %. Si on tire un valet, une dame ou un roi, on reçoit un article en promotion. Jeu C : On lance un dé à huit faces numérotées de 1 à 8. Si on obtient un 8, on a droit à un rabais de 25 %. Si on obtient un chiffre inférieur à 4, on reçoit un article en promotion.

a) Sidney a acheté un téléviseur au coût de 1499,99 $. Lequel des trois jeux doit-il choisir pour avoir le plus de chances de gagner un rabais de 25 % ? Montre ton raisonnement et tes calculs.

Réponse :

probabilité

b) Lequel ou lesquels des trois jeux Sidney doit-il choisir pour avoir le plus de chances de gagner l’un ou l’autre des deux prix offerts ? Montre ton raisonnement et tes calculs.

188

Réponse :

cH Ap i T rE 1 1

Le S ex périen Ce S aLéatoireS à u ne éta pe

A188

Chapitre 12.1

Les expériences aLéatoires composées

Qu’est-ce Qu’une expérience aléatoire composée ?

Savoirs, p. 86 à 88

1 Indique si les expériences aléatoires suivantes sont simples ou composées en mettant un crochet (√) dans la bonne colonne.

Simple

Composée

a) Composer au hasard une combinaison de trois chiffres sur un cadenas. b) Lancer quatre pièces de monnaie. c) Piger deux lettres dans un jeu de scrabble. d) Lancer une pièce de monnaie une seule fois. e) Choisir au hasard une lettre du mot géométrie. f) Tirer deux boules d’un récipient contenant cinq boules de couleurs différentes. g) Tirer une carte d’un jeu de 52 cartes.

2 Indique si les expériences aléatoires suivantes sont des expériences avec remise ou sans remise en mettant un crochet (√) dans la bonne colonne.

Avec remise

Sans remise

a) Tous les élèves de la classe choisissent au hasard un chocolat dans une boîte. b) On lance une pièce de monnaie quatre fois. c) On tire 3 cartes d’un jeu de 52 cartes.

3 Le diagramme ci-dessous représente l’univers des possibles d’une expérience aléatoire composée. Dresse la liste des résultats possibles pour chacun des événements suivants.

Dé à 4 faces

Boules dans un récipient

a) Obtenir un nombre carré et une boule qui n’est pas verte. 1

b) Obtenir un nombre impair et une boule qui n’est pas bleue.

2 3 4

A189

cH apit re 12

Rouge Verte Bleu

Le S expérienC eS aLéato ir eS Co m p oSé eS

probabilité

d) Les élèves de la classe choisissent, dans leur tête, un nombre compris entre 1 et 50.

189

4 Combien y a-t-il de résultats possibles pour chacune des expériences aléatoires suivantes ? Écris tes calculs.

a) On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et une pièce de monnaie.

b) On lance deux dés à six faces numérotées de 1 à 6.

c) On tire une boule d’un récipient contenant cinq boules de couleurs différentes et on lance deux pièces de monnaie.

d) On lance cinq pièces de monnaie.

e) Yan choisit au hasard, comme casse-croûte, un fruit parmi une pomme, une orange et une banane, puis un rafraîchissement parmi un jus d’ananas, un jus de pêche et un jus de raisin.

5 Combien y a-t-il de résultats possibles pour chacune

des expériences aléatoires suivantes, qui consistent principalement à tirer des boules du récipient ci-contre ? Écris tes calculs. a) On tire une boule du récipient et on note sa couleur. On répète l’expérience sans remettre la boule dans le récipient.

b) On tire une boule du récipient et on note sa couleur. On répète l’expérience après avoir remis la boule dans le récipient.

probabilité

c) On tire une boule du récipient et on note sa couleur. On répète deux fois l’expérience sans remettre les boules dans le récipient.

190

d) On tire successivement et sans remise deux boules du récipient, et on lance une pièce de monnaie.

e) On tire successivement et avec remise deux boules du récipient, et on lance une pièce de monnaie.

cH a p it re 1 2

Le S ex périen Ce S aLéatoireS CompoSée S

A190

1

2

3

4

6 Parmi les quatre personnes ci-contre, on désire en choisir trois au hasard.

a) Combien y a-t-il de résultats possibles si on tient compte de l’ordre des résultats ? Montre ta démarche.

Réponse :

b) Combien y a-t-il de résultats possibles si on ne tient pas compte de l’ordre des résultats ? Montre ta démarche.

Réponse :

problèmes 1 Frédéric a un dé à quatre faces numérotées de 7 à 10. Il fait les deux expériences suivantes : A. Il lance le dé deux fois et calcule toutes les sommes possibles. B. Il lance le dé deux fois et calcule tous les produits possibles.

Dans laquelle de ces expériences y a-t-il le plus de résultats différents ? Écris les étapes de ta démarche.

2 Charlène mange deux fruits par jour, tous les jours. Elle a le choix entre trois sortes de fruits :

des bananes (b), des oranges (o) et des pommes (p). Trouve tous les choix possibles de Charlène :

a) si elle mange deux fruits différents et qu’on tient compte de l’ordre dans lequel elle les mange ; Ω= b) si elle mange deux fruits pareils ou deux fruits différents, et qu’on tient compte de l’ordre dans lequel elle les mange ; Ω= c) si elle mange deux fruits pareils ou deux fruits différents, et qu’on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel elle les mange.

probabilité

Réponse :

Ω= A191

cH apit re 12

Le S expérienC eS aLéato ir eS Co m p oSé eS

191

12.2

la probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée

Savoirs, p. 89 et 90

1 Vrai ou faux ? Lorsqu’un énoncé est faux, rectifie-le. a) Pour trouver la probabilité de deux événements élémentaires dans une expérience aléatoire composée, je calcule le produit de leurs probabilités.

b) Dans une expérience aléatoire sans remise, la probabilité d’un événement reste toujours la même.

2 Observe attentivement les illustrations et le réseau ci-dessous qui représentent l’expérience « prendre au hasard une chaussette dans chacun des tiroirs ». Tiroir A

Tiroir B

Tiroir A

Tiroir B

Verte

Bleue Rouge

Rose

Rose

a) Complète le réseau en indiquant les probabilités de chacun des événements. b) Quelle est la probabilité de tirer une chaussette verte du tiroir A et une chaussette bleue du tiroir B ? c) Quelle est la probabilité de tirer une chaussette verte du tiroir A et une chaussette non rose du tiroir B ?

3 Observe attentivement les cinq objets ci-contre. On tire au hasard une punaise de couleur, puis on lance le dé à quatre faces numérotées de 1 à 4.

a) Représente l’univers des possibles de cette expérience à l’aide de la grille ci-dessous.

probabilité

1

192

2

3

4

Bleue Rouge Jaune

b) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair sur le dé et une punaise bleue ?

c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 1 sur le dé et une punaise non jaune ?

cH a p it re 1 2

Le S ex périen Ce S aLéatoireS CompoSée S

A192

problèmes 1 Marc-André doit créer un nouveau mot de passe pour son compte de messagerie. Son mot de passe doit contenir, dans l’ordre : une lettre majuscule, deux lettres minuscules et cinq chiffres. Combien existe-t-il de mots de passe possibles dans ces conditions ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 L’équipe de hockey féminine de l’école vient d’être sélectionnée pour un tournoi à Québec. L’équipe dispose de trois gardiennes de but : Mia, Chloé et Annabelle. Malheureusement, seulement deux d’entre elles accompagneront l’équipe.

Si on tire au sort les noms des deux gardiennes de but, quelle est la probabilité que Mia et Annabelle aillent toutes les deux à Québec ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

3 Pour le prochain travail d’anglais, des équipes de deux élèves seront formées au hasard. On dépose

le nom des 14 filles et des 16 garçons du groupe dans une enveloppe, et on tire les noms des élèves. a) Quelle est la probabilité, en pourcentage, que la première équipe soit formée de deux filles ?

Réponses :

probabilité

b) Quelle est la probabilité, en pourcentage, que la deuxième équipe soit formée de deux garçons, si la première équipe est formée de deux filles ?

a) b)

A193

cH apit re 12

Le S expérienC eS aLéato ir eS Co m p oSé eS

193

4 Un grand tournoi de soccer aura lieu à l’occasion de la fête du Travail. Il y aura des matchs samedi,

dimanche et lundi. La météo ne s’annonce pas très favorable : les probabilités qu’il pleuve sont de 30 % samedi, de 40 % dimanche et de 50 % lundi. Quelle est la probabilité qu’il fasse beau au moins deux jours sur trois ? Fais un diagramme en arbre pour présenter ta solution.

Réponse :

5 Le conseil des élèves de l’école est formé de quatre filles et de quatre garçons. Parmi eux, on doit

probabilité

élire un comité de direction formé de trois personnes : un président, un vice-président et un secrétaire. Si les huit élèves ont des chances égales d’être élus à l’un de ces postes, quelle est la probabilité que les filles soient majoritaires dans ce comité ? Fais un diagramme en arbre pour présenter ta solution.

194

Réponse :

cH a p it re 1 2

Le S ex périen Ce S aLéatoireS CompoSée S

A194

Savoirs, p. 86 à 90

Chapitre

BILAN 1 Combien y a-t-il de résultats possibles dans chacune

des expériences aléatoires suivantes ? Écris tes calculs. a) On lance trois fois une pièce de monnaie et on observe la face du dessus.

b) Dans un boulier, il y a 50 boules numérotées de 1 à 50. On tire deux boules sans les remettre dans le boulier.

c) Le menu du jour à la cafétéria de l’école est composé de trois entrées, de deux plats principaux et de deux desserts. On choisit au hasard une combinaison d’une entrée, d’un repas et d’un dessert.

d) On choisit au hasard quatre chiffres de 0 à 9 pour former une combinaison à quatre chiffres.

e) On choisit au hasard quatre chiffres de 0 à 9, sans utiliser deux fois le même chiffre, pour former une combinaison à quatre chiffres.

2 On lance deux dés en même temps. Observe les développements ci-dessous de chacun de ces dés pour répondre aux questions suivantes.

E A

B

C

A D

B

F

E

F

b) Calcule P{(A, B), (B, A)}.

c) Calcule la probabilité d’obtenir deux lettres identiques.

d) Calcule la probabilité qu’il y ait une seule lettre E dans le résultat.

e) Calcule la probabilité d’obtenir des résultats n’ayant pas de lettres identiques.

A195

cH apit re 12

Le S expérienC eS aLéato ir eS Co m p oSé eS

probabilité

a) Calcule le nombre de résultats possibles.

195

3 Réponds aux questions suivantes en écrivant tes calculs. D’un sac contenant 16 billes rouges, 12 billes vertes, 8 billes jaunes et 4 billes bleues, quelle est la probabilité de tirer : a) une bille verte au premier tirage ? b) une bille verte suivie d’une bille jaune, si on tire deux billes avec remise ?

c) seulement des billes vertes ou jaunes, si on tire deux billes avec remise ?

d) deux billes rouges consécutives, si on tire trois billes sans remise ?

4 En tournant trois fois la flèche de la roue ci-contre, on obtient trois chiffres

2

avec lesquels on forme un nombre. Calcule la probabilité de former :

a) un nombre ayant trois chiffres identiques.

1

5

3

1

2 4

1

b) un nombre pair inférieur à 200 ?

problèmes

probabilité

1 Au cours d’une journée

196

Atelier « carrière » à l’école, les élèves doivent s’inscrire Administration à deux ateliers d’information différents Construction parmi un choix de quatre ateliers. Remplis la grille Informatique ci-contre pour t’aider à trouver toutes les Restauration combinaisons possibles d’ateliers, puis indique le Réponse : nombre de combinaisons si on ne tient pas compte de l’ordre.

cH a p it re 1 2

Le S ex périen Ce S aLéatoireS CompoSée S

A196

2 On cherche une fille et un garçon pour animer le gala de fin d’année. De nombreux élèves se sont présentés aux auditions. Quatre filles (Alexia, Charlotte, Juliette et Rosalie) et trois garçons (Émile, Noah et Simon) ont été choisis. a) Sachant que les noms des deux animateurs seront tirés au hasard, représente les différents couples d’animateurs possibles à l’aide d’une grille et d’un diagramme en arbre. Grille

Diagramme en arbre

b) Calcule, en pourcentage, la probabilité que Charlotte et Noah animent ensemble le gala.

Réponse :

c) Juliette a-t-elle raison de dire que, parmi les élèves choisis, les garçons ont plus de chances que les filles d’être animateurs ?

3 Le cadenas de Maxime a une combinaison à quatre chiffres. Chaque roulette du cadenas contient les chiffres de 0 à 9. Maxime ne se souvient plus très bien de sa combinaison. Il se rappelle que le premier chiffre est 4, que le deuxième est le double ou la moitié du premier et que le quatrième est un nombre impair. Il a oublié le troisième chiffre.

Réponse :

4 Dans un sac, Arnaud dépose six jetons rouges, trois jetons bleus et un jeton jaune. S’il tire trois

jetons en même temps, quelle est la probabilité qu’il n’obtienne aucun jeton rouge ? Écris tes calculs.

probabilité

Quelle est la probabilité que Maxime réussisse à composer la bonne combinaison du premier coup ?

Réponse : A197

cH apit re 12

Le S expérienC eS aLéato ir eS Co m p oSé eS

197

Étape n° 1

situations d’application 1 Une soirée « casino » est organisée pour amasser

des fonds. À leur arrivée, les participants peuvent gagner des jetons supplémentaires pour jouer. Voici comment ils doivent faire.

• Étape n° 1 : Tourner la flèche de la roue chanceuse.

Le résultat obtenu indique le nombre de boules à tirer à l’étape n° 2.

2

Étape n° 2

1

3

3 2

1 0

1

1$ 2$

5$

1$

1 $ 10 $

2$

Étape n° 3

• Étape n° 2 : Tirer le nombre de boules selon le

résultat de l’étape n° 1, sans les remettre dans le sac, et additionner les montants qu’elles représentent. • Étape n° 3 : Lancer le jeton rouge et obtenir le mot Gagnant.

Madame Pascal a reçu 16 $ en jetons avec les résultats suivants : elle a obtenu un 3 sur la roue chanceuse ; elle a tiré les boules représentant 1 $, 5 $ et 10 $ ; elle a obtenu le mot Gagnant sur le jeton rouge. Cet événement s’écrit comme suit : (3, 1 $, 5 $, 10 $, G). On félicite madame Pascal en lui disant qu’elle avait moins de 1 % des chances de gagner ce montant. Ce pourcentage est-il juste ? Écris les étapes de ta démarche.

Réponse :

2 Pour leur atelier d’improvisation, les élèves doivent choisir au hasard, dans deux bacs, un vêtement et un accessoire. Il y a 15 filles et 17 garçons dans le groupe. L’un des bacs contient 20 chemises et 16 robes ; l’autre bac contient10 masques, 10 foulards et 20 perruques.

a) Quelle est la probabilité, en pourcentage, que le 1er élève ne tire ni une chemise ni une perruque ?

probabilité

Réponse :

b) Quelle est la probabilité, en pourcentage, que le 1er élève soit un garçon et qu’il tire une robe ou un foulard, ou les deux ?

Réponse :

198

cH a p it re 1 2

Le S ex périen Ce S aLéatoireS CompoSée S

A198

2e secondaire

cahier de SaVoirS Guylaine Faubert • Virginie Krysztofiak • Paul Ste-Marie

Conforme à la progression des apprentissages

2e secondaire

cahier de SaVoirS Guylaine Faubert • Virginie Krysztofiak • Paul Ste-Marie

Rédacteur

Directrice à l’édition Julie Gauthier

Pierre Mathieu

Chargées de projet Dominique Page Danie Paré

Réviseur scientifique

Correctrice d’épreuves Isabelle Rolland

Consultants pédagogiques

Pierre Mathieu

Isabelle Castilloux Enseignante École secondaire De Rochebelle Commission scolaire des Découvreurs

Coordonnateur – droits et reproductions Pierre Richard Bernier Directrice artistique Hélène Cousineau

Julie Cléroux Enseignante École secondaire Pierre-Brosseau Commission scolaire Marie-Victorin

Coordonnatrice aux réalisations graphiques Sylvie Piotte Couverture et conception graphique Benoit Pitre

Gilles Morin Enseignant École secondaire Joseph-François-Perrault Commission scolaire de la Capitale

Édition électronique Les studios Artifisme Illustrations techniques Les studios Artifisme Philippe Morin

Jean-Michel Panet Enseignant Collège Laval Christine Robert Enseignante Polyvalente Hyacinthe-Delorme Commission scolaire de Saint-Hyacinthe Source iconographique 82, 86 © Shutterstock/ Albachiaraa

© ÉDItIonS Du REnouVEAu PÉDAGoGIQuE InC. (ERPI), 2013 Membre du groupe Pearson Education depuis 1989 5757, rue Cypihot Saint-Laurent (Québec) H4S 1R3 Canada téléphone : 514 334-2690 télécopieur : 514 334-4720 [email protected] pearsonerpi.com

Dépôt légal – Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2013 Dépôt légal – Bibliothèque et Archives Canada, 2013 Imprimé au Canada ISBn 978-2-7613-5384-7

1234567890 13203 ABCD

II

19876543 oF10

table des matières SIII

Aperçu du cahier de savoirs ....................................................................................... v

ARITHMÉTIQUE Chapitre 1

Les nombres et Les opérations

1 . 1 Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? ................................................................ 2 1 . 2 L’addition et la soustraction de nombre rationnels ......................................... 3 1 . 3 La multiplication et la division de nombre rationnels ..................................... 4 1 . 4 L’exponentiation de nombres rationnels ......................................................... 5 1 . 5 Les chaînes d’opérations et les propriétés des opérations .............................. 7 1 . 6 L’arrondissement et l’estimation ...................................................................... 9 1 . 7 Le système international d’unités (SI) .............................................................. 9 Chapitre 2

Les rapports et Les taux

2 . 1 Qu’est-ce qu’un rapport ? un taux ? ............................................................... 12 2 . 2 Les proportions .............................................................................................. 15 2 . 3 Les situations de variation directe et les situations de variation inverse ...... 16 2 . 4 La résolution de situations de variation directe et de situations

de variation inverse ......................................................................................... 18 2 . 5 Les pourcentages dans les situations de variation directe ............................ 22

ALGÈBRE Chapitre 3

Les expressions aLgébriques

3. 1 Qu’est-ce qu’une expression algébrique ? ..................................................... 26 3. 2 Les suites numériques .................................................................................... 28 3. 3 La réduction d’expressions algébriques par addition ou soustraction .......... 29 3. 4 La réduction d’expressions algébriques par multiplication ou division ........ 31 Chapitre 4

La résoLution d’équations à une inconnue

4 . 1 Qu’est-ce qu’une équation à une inconnue ? ................................................ 34 4 . 2 Les méthodes de résolution d’équations ....................................................... 35 4 . 3 La résolution d’équations du 1er degré à une inconnue ............................... 38

GÉOMÉTRIE Chapitre 5

Les mesures manquantes dans un poLygone

5 . 1 Qu’est-ce qu’une droite ? un angle ? .............................................................. 42 5 . 2 Les mesures manquantes dans un triangle ..................................................... 44 5 . 3 Les mesures manquantes dans un quadrilatère ............................................. 45 5 . 4 Les mesures manquantes dans un polygone

de plus de quatre côtés .................................................................................. 47 Chapitre 6

L’aire des poLygones

6 . 1 Qu’est-ce qu’une aire ?.................................................................................... 48 6 . 2 L’aire d’un polygone de plus de quatre côtés ............................................... 50

III

table des matières iV

Chapitre 7

Le cercLe

7. 1 Qu’est-ce qu’un cercle ? ................................................................................. 53 7. 2 La circonférence d’un cercle ......................................................................... 55 7. 3 L’aire d’un disque ........................................................................................... 56 7. 4 Le secteur circulaire, l’angle au centre et l’arc de cercle ............................. 58 Chapitre 8

Les soLides

8 . 1 Qu’est-ce qu’un solide ? ................................................................................. 61 8 . 2 L’aire d’un prisme droit .................................................................................. 64 8 . 3 L’aire d’une pyramide droite .......................................................................... 65 8 . 4 L’aire d’un cylindre droit ................................................................................ 67 8 . 5 L’aire des solides décomposables .................................................................. 68 Chapitre 9

Les transformations géométriques

9. 1 Qu’est-ce qu’une isométrie ? ......................................................................... 69 9. 2 Qu’est-ce qu’une homothétie ? ..................................................................... 71

STATISTIQUE Chapitre 10

Les données statistiques

10. 1 Qu’est-ce qu’une enquête statistique ? ......................................................... 76 10. 2 Les tableaux et les diagrammes statistiques .................................................. 78 10. 3 La moyenne arithmétique .............................................................................. 79

PROBABILITÉ Chapitre 11

Les expériences aLéatoires à une étape

1 1 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire ? ....................................................... 82 1 1 . 2 La probabilité d’un événement ...................................................................... 83 Chapitre 12

Les expériences aLéatoires composées

1 2 . 1 Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire composée ? ..................................... 86 1 2 . 2 La probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée ... 89

OUTILS ................................................................................................................. O1 O Ut i L 1

Les notations et les symboles mathématiques .................................... O2

O Ut i L 2 Les nombres premiers et les nombres composés ................................ O3 O Ut i L 3 Les diagrammes .................................................................................... O4 O Ut i L 4 Les angles .............................................................................................. O5 O Ut i L 5

Les droites ............................................................................................. O6

O Ut i L 6 Les polygones ....................................................................................... O7 O Ut i L 7

Le cercle ................................................................................................ O9

O Ut i L 8 Les solides ........................................................................................... O10 O Ut i L 9 Constructions et transformations géométriques ............................... O12 O Ut i L 10 Les principaux énoncés de géométrie ............................................... O18

IndEx .................................................................................................................... I1 SIV

Aperçu du cAhier de SAvoirS Le cahier de savoirs, tout comme le cahier d’activités, contient 12 chapitres divisés entre 5 grandes parties : l’arithmétique, l’algèbre, la géométrie, la statistique et la probabilité.

La page d’ouverture de partie Le titre de la partie Une courte introduction t’amène à faire le lien entre la mathématique et ton quotidien.

géométrie OÙ SONT LES MATHS ? La géométrie, c’est souvent une question de plan ! Elle te permet de savoir comment sont construits les objets qui t’entourent et de voir les choses sous un autre angle... La géométrie, c’est en quelque sorte la découverte du monde sous toutes ses formes. Chapitre 5

Le sommaire de la partie

Les mesures manquantes dans un polygone . . 42

Chapitre 6

L’aire des polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chapitre 7

Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapitre 8

Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 9

Les transformations géométriques . . . . . . . . . . 69

41

Les rubriques d’un chapitre Des rubriques Comment faire ? te guident pas à pas dans l’application des stratégies et des processus étudiés.

Des renvois aux outils présentés à la fin de ton cahier de savoirs et de ton cahier d’activités te permettent d’avoir constamment ces ressources à portée de main. Le titre de la section CHAPITRE

Un bloc Définition t’aide à bien comprendre les notions et les concepts mathématiques abordés.

SV

FORMULE D’AIRE

Triangle L’aire d’un triangle est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h, divisé par deux.

A=

Losange L’aire d’un losange est égale au produit de la mesure de sa grande diagonale D et de la mesure de sa petite diagonale d, divisé par deux.

A=

Trapèze L’aire d’un trapèze est égale à la somme de la mesure de sa grande base B et de la mesure de sa petite base b, divisée par deux, puis multipliée par la mesure de sa hauteur h.

A=

EXEMPLE

Hauteur h

b×h 2

4×3 2

A=

= 12 ÷ 2 = 6 cm2

3 cm

Base b

DÉFINITION

Outil 5, Les droites, p. O6 Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8

QU’EST-CE QU’UNE AIRE ? Une aire est la mesure d’une surface délimitée par une figure plane. Figure plane (carré)

3 cm

La surface est limitée par les côtés qui forment la figure.

Surface

Le symbole de l’aire est A. L’aire s’exprime en unités carrées (mm2, cm2, dm2, m2, km2, etc.).

A = 9 cm2 Aire (A )

FORMULE D’AIRE

Carré L’aire d’un carré est égale à la mesure d’un de ses côtés c au carré.

A=c×c

EXEMPLE

Côté c

A = c2

3 cm

A=3×3 = 32 = 9 cm2

Hauteur h

48

Rectangle L’aire d’un rectangle est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h.

A=b×h

Parallélogramme L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h.

A=b×h

CH A P ITRE 6

L’ A I R E DE S P O LYGO N E S

3 cm

A=5×3 = 15 cm2

5 cm

Base b Hauteur h

A=5×3 = 15 cm2

3 cm Base b

5 cm

Deux figures de formes ou de périmètres différents peuvent avoir la même aire.

4×3 2

= 12 ÷ 2 = 6 cm2

(B + b ) 2

Petite base b

3 cm ×h

A=

Hauteur h

(5 + 3) ×3 2

=8÷2×3 = 12 cm2

3 cm

5 cm

Grande base B

Comment trouver une mesure manquante d’un polygone à partir de son aire COMMENT FAIRE ?

TYPE DE POLYGONE

3 cm Grande diagonale D

4 cm

On peut utiliser les formules suivantes pour calculer l’aire de polygones. Les formules d’aire varient selon chaque type de polygone. Pour obtenir la mesure du côté d’un carré à partir de son aire, on peut extraire la racine carrée de l’aire. Si A = c2, alors c = √A. Si A = 9 cm2, alors c = √9 = 3 cm.

A=

Petite diagonale d

D×d 2

1

Je note les mesures indiquées dans la figure ou l’énoncé du problème.

2

Je détermine le type de polygone dont il s’agit, et je note sa formule d’aire.

3

Je trouve la mesure manquante en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

B

Je veux trouver la mesure du segment AD, sachant que l’aire du quadrilatère ABCD égale 12 cm2. 1

m BC = 3 cm ; m BE = 3 cm ; AABCD = 12 cm2.

2

Il s’agit d’un trapèze. A=

3

(B + b) 2

3 cm

A

D

E

×h

Je choisis la méthode de l’équilibre pour trouver la mesure du segment AD, c’est-à-dire la mesure de la grande base B du trapèze.

C

3 cm

A= 12 =

(B + b) 2 (B + 3) 2

×h ×3

12 × 2 = (B + 3) × 3 24 = (B + 3) × 3 24 ÷ 3 = B + 3 8=B+3 8–3=B 5=B B = 5 cm

Quand on calcule l’aire d’un polygone, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité de mesure. Si ce n’est pas le cas, on fait une conversion.

Le segment AD mesure 5 cm.

C HAP I T RE 6

L ’AIRE DES P O LYGO NES

géométrie

6.1

géométrie

Des renseignements complémentaires te sont fournis dans des bulles pour t’aider à mieux comprendre le sujet traité.

TYPE DE POLYGONE

4 cm

Les termes mathématiques sont en caractères gras. Ces termes sont regroupés dans l’index, à la fin de ton cahier. Les définitions sont accompagnées d’exemples ou de schémas explicatifs.

L’AIRE DES POLYGONES

49

A perçu du c Ah ie r d e sAvo ir s

V

Les outiLs SOMMAIRE

outils

À la fin du cahier de savoirs et du cahier d’activités, les Outils te proposent une série de fiches sur des notions diverses : notations et symboles mathématiques, tableaux et diagrammes, figures et constructions géométriques, énoncés de géométrie, etc.

OUTIL 1

Les notations et les symboles mathématiques .................................O2 OUTIL 2

Les nombres premiers et les nombres composés .....................O3 OUTIL 3

Les diagrammes ................................O4 OUTIL 4

Les angles ..........................................O5 OUTIL 5

Les droites ........................................O6 OUTIL 6

Les polygones ....................................O7 OUTIL 7

Le cercle ............................................O9 OUTIL 8

Les solides....................................... O10 OUTIL 9

Constructions et transformations géométriques ...... O12 OUTIL 10

Les principaux énoncés de géométrie ................................. O18

O1

A

abscisse, 17, 18 addition, 3, 4, 7, 8 agrandissement dans une homothétie, 71, O17 aire, 48, O2, O7-O11 de figures isométriques, 69 de figures semblables, 71 de la base, 64, 67, O10, O11 d’un disque, 56, O9 d’un carré, 48, O7 d’un cerf-volant, O7 d’un losange, 49, O7 d’un parallélogramme, 48, O7 d’un polygone de plus de quatre côtés, 50 d’un polygone décomposable, 52 d’un polygone régulier, 50, O8 d’un rectangle, 48, O7 d’un trapèze, 49, O7 d’un triangle, 49, O8 latérale, 64, 65, 67, 68, O10, O11 totale, 64, O10, O11 unités d’_, 10, 11 angle(s), 42, O5 adjacents, 42 aigu, 44, O5 alternes-externes, 43, O5 alternes-internes, 43, O5 au centre, 47, 58, O2, O9 complémentaires, 42, O5 correspondants, 43, O5 créés par une sécante, 42, 43, O5 de rotation, 70, O16 droit, 42, 44, O2, O5 extérieur(s), 44, 47 homologues, 69, 71 intérieur(s), 44, 45, 47 isométriques, 43, 44, O7, O8 nul, O5 obtus, 44, O5 opposés par le sommet, O5 plat, O5 plein, 58, O5 rentrant, O5 supplémentaires, 42, O5 année, 10 apex, 62, 63, O10 apothème, O2, O6-O8, O10, O11 d’un polygone régulier, 50, 51 d’une pyramide, 65 arbre des probabilités, 89 diagramme en_, 87, O4 arc de cercle, 58, O2, O9 arête, 61, 63, O10 arrondissement, 9 associativité, 8, 30 axe de réflexion, 70, O16 de symétrie, 43, 44

L’index

B base (notation exponentielle), 5, 6 d’un polygone, 48, 49, O7, O8 d’un triangle, 49, O8 d’un solide, 61, O10 binôme, 26 bissectrice, 43, 44, O6, O15 boule, 61, 63 branche (voir diagramme en arbre)

L’index te fournit les mots clés de la matière abordée et te permet d’accéder rapidement aux pages où ces mots sont définis ou expliqués.

C capacité, 10, 11 unités de_, 11 caractère statistique, 76 qualitatif, 76 quantitatif, 76 quantitatif continu, 76 quantitatif discret, 76 carré, 45, O7 aire d’un_, 48, O7 d’un nombre, 6, 48, 56 cent pour cent, 23 centre d’homothétie, 71, 72, O17 d’un cercle, 53 d’un polygone régulier, 47, 50 de rotation, 70, O16 cercle, 53, O9 cerf-volant, O7 chaîne d’opérations, 7 chiffre, 2 circonférence, 55, 57, O2, O9 coefficient, 26, 27, 30, 31 de proportionnalité, 15, 19 collecte de données, 76, 77 commutativité, 8, 30 compilation de données, 77, 78 cône, 61, 63 constante, 26, 32, 55, 71 conversion d’unités de mesure, 10, 11 coordonnées, 17 corde, 53, O9 corps ronds, 61, 63 côté(s), 42, 44, 45, 47, O7, O8, O10, O11, O13 homologues, 69, 71 isométriques, 44 opposés, 45 courbe dans un graphique, 18 cube, 62, O11 d’un nombre, 6 cylindre(s), 61, 63, 67, O10, O11 aire d’un_, 67 droit, 63, 67

D

index

index

décagone, 47, O8 décimale, 3, 9 degré d’une expression algébrique, 27 dénominateur, 13, 14, 100

I N DE X

Vi

A p e rç u d u c Ah ier d e sAvoirs

I1

SVI

ARITHMÉtIQUE OÙ SONT LES MATHS ? Les nombres, ça compte ! Partout, autour de toi, il y a toutes sortes de nombres : des numéros de téléphone, des prix, des quantités, des grandeurs, des résultats scolaires, etc. L’arithmétique, c’est la « science des nombres », tu peux toujours compter sur elle.

S1

Chapitre 1

Les nombres et les opérations . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chapitre 2

Les rapports et les taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

ChapitrE

LES NOMbRES ET LES OPéRATIONS

L’ensemble des nombres rationnels (ℚ) comprend les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres décimaux.

défINITION

1.1

QU’EST-CE QU’UN NOMBRE RATIONNEL ? a

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro (≠ 0). Les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres décimaux appartiennent à l’ensemble a des nombres rationnels (ℚ), car tous ces nombres peuvent s’écrire sous la forme b .



• 23

• –176





4,9

ARITHMÉtIQUE

–64

2



–3

• –199

–0,516

• –12 •

• 99 91

• 1,003



• 12 13 𝔻

2,85



• –1043 • 32 154



L’ensemble des nombres rationnels (ℚ) comprend tous les nombres pouvant s’écrire sous a la forme d’une fraction b. L’ensemble des nombres décimaux (𝔻) comprend tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. L’ensemble des nombres entiers (ℤ) comprend tous les nombres entiers positifs et négatifs. L’ensemble des nombres naturels (ℕ) comprend tous les nombres entiers positifs.

• 239 •8

Les nombres rationnels peuvent s’écrire en notation décimale. Dans cette forme de notation, chaque chiffre a une valeur différente selon la position qu’il occupe dans le nombre. CH AP IT RE 1

LES n ombrES Et LES opérat ionS

S2

Les valeurs de position des chiffres qui composent le nombre 3 259 684,125, par exemple, sont indiquées dans le tableau suivant. ×10

×10

×10

Nom de la positioN

Unités de millions

Centaines de mille

Dizaines de mille

Chiffre

3

2

5

Valeur de la positioN

×10

×10

×10

×10

Unités Centaines Dizaines Unités de mille

9

6

8

4

(× 1 000 000) (× 100 000) (× 10 000) (× 1000)

(× 100)

(× 10)

(× 1)

3 000 000 200 000 50 000 9000

600

80

4

×10

Dixièmes Centièmes Millièmes

,

1

2

1

(× 1000 )

1 10

2 100

5 1000

La partie décimale d’un nombre rationnel peut être finie (p. ex. : 5,12) ou infinie et périodique  (p. ex. : 0,83).

Sur une droite numérique, les nombres rationnels positifs sont placés à droite du 0, et les nombres rationnels négatifs, à gauche du 0.

Les nombres –0,4 et 0,4 sont des opposés. Ils sont placés à égale distance, à gauche et à droite du 0.

est l’opposé de

−2,2 −3

|

|

•|

|

−0,4 |

|

−2

|

|

|

|

|

−1

•|

|

0,4 |

|

•|

1,6 |

|

0

|

|

2,2

•|

|

|

•|

3,0 |

|

|

2

•|

3

Nombres positifs

Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle (= 0) : 3 = 3,0.

L’ADDITION ET LA SOUSTRACTION DE NOMBRES RATIONNELS L’addition est une opération mathématique qui permet de calculer la somme de deux ou plusieurs nombres appelés termes.

24 + 15 = 39

La soustraction est une opération mathématique qui permet de calculer la différence entre deux nombres appelés termes.

Somme

39 – 15 = 24

Différence

Termes

Termes

0 est l’élément neutre de l’addition.

24 + 0 = 24

0 + 24 = 24

La soustraction est l’opération inverse de l’addition. 24 + 15 = 39

S3

39 − 15 = 24

CHAPIT RE 1

LES no m br ES Et LE S o p é r at io nS

ARITHMÉtIQUE

défINITION

|

1

Nombres négatifs

1.2

1

(× 100 )

partie déCimale

Chaque position a une valeur 10 fois plus grande que celle qui la précède.

|

1

5

(× 10 )

partie eNtière

|

×10

3

L’addition de deux nombres négatifs donne toujours un nombre négatif.

24 + 15 = 39 –24 + –15 = –39

L’addition de deux nombres opposés donne toujours zéro.

24 + –24 = 0

L’addition de deux nombres positifs donne toujours un nombre positif.

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé. 24 − 15 = 24 + (−15) = 9

−24 − (−15) = −24 + 15 = −9

Opposé

défINITION

1.3

Opposé

LA MULTIPLICATION ET LA DIVISION DE NOMBRES RATIONNELS La multiplication est une opération mathématique qui permet de calculer le produit de deux nombres appelés facteurs.

La division est une opération mathématique qui permet de calculer le quotient de deux nombres appelés dividende et diviseur.

4 × 11 = 44 Facteurs

44 ÷ 11 = 4

Produit

Quotient

Dividende Diviseur

0 est l’élément absorbant de la multiplication.

4×0=0

0×4=0

1 est l’élément neutre de la multiplication.

4×1=4

1×4=4

La division par 0 n’est pas définie. La division est l’opération inverse de la multiplication. 4 × 11 = 44

44 ÷ 11 = 4

On appelle multiple d’un nombre naturel le produit de ce nombre par n’importe quel autre nombre naturel.

ARITHMÉtIQUE

M=∙

4

4×0 4×1 4×2

0,

4,

8,

4×3

12,

4×4

16,

4×5

20,

4×6

24, …∙

Multiples de 4

Un diviseur est un nombre naturel (non nul) qui divise entièrement un autre nombre naturel. D=∙

12 ÷ 12 12 ÷ 6

1,

2,

12 ÷ 4

3,

12 ÷ 3

4,

12 ÷ 2

6,

12 ÷ 1

12



Diviseurs de 12

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise un nombre entier par −1, on obtient son opposé.

CH AP IT RE 1

12 × −1 = −12

−12 ÷ −1 = +12 = 12

Opposé

Opposé

LES n ombrES Et LES opérat ionS

S4

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise des nombres positifs ou négatifs, on doit respecter les règles des signes. règles des sigNes

exemple

La multiplication ou la division de deux nombres de même signe donne un nombre positif.

La multiplication ou la division de deux nombres de signes différents donne un nombre négatif.

défINITION

1.4

(+a) × (+b) = (+c) (−a) × (−b) = (+c)

3 × 4 = 12 −3 × −4 = 12

(+a) ÷ (+b) = (+c) (−a) ÷ (−b) = (+c)

12 ÷ 4 = 3 −12 ÷ −4 = 3

(+a) × (−b) = (−c) (−a) × (+b) = (−c)

3 × −4 = −12 −3 × 4 = −12

(+a) ÷ (−b) = (−c) (−a) ÷ (+b) = (−c)

12 ÷ −4 = −3 −12 ÷ 4 = −3

L’EXPONENTIATION DE NOMBRES RATIONNELS L’exponentiation est une opération mathématique qui permet de calculer la puissance d’un nombre écrit sous la forme ab, où a est la base et b, l’exposant. Exposant

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

b

Notation exponentielle (a )

Puissance

4 fois

Base

La puissance d’une base affectée de l’exposant 1 est la base elle-même.

31 = 3

La puissance d’une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.

30 = 1

La puissance 00 n’est pas définie. La puissance d’un nombre négatif est positive quand l’exposant de ce nombre est pair, et elle est négative quand l’exposant de ce nombre est impair.

(−3)2 = (−3) × (−3) = 9

Exposant impair Puissance positive

(−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27

Puissance négative

Un nombre négatif affecté d’un exposant doit être placé entre parenthèses. On évite ainsi toute confusion avec l’opposé d’une puissance. (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

S5

−24 = −(24) = −(2 × 2 × 2 × 2) = −16

CHAPIT RE 1

LES no m br ES Et LE S o p é r at io nS

ARITHMÉtIQUE

Exposant pair

5

Calculer la puissance d’une fraction, c’est multiplier une fraction plusieurs fois par elle-même.

1122 = 12 × 12 × 12 = 12 ×× 21 ×× 21 = 18 3

Un nombre entier affecté d’un exposant négatif est égal à sa fraction inverse affectée d’un exposant positif. −3 3 2−3 = 2 = 1 = 1 1 2 8

1 2

1 2

défINITION

Fraction inverse

Le carré d’un nombre est la puissance d’une base affectée de l’exposant 2.

Le cube d’un nombre est la puissance d’une base affectée de l’exposant 3.

Exposant

Exposant

32 = 3 × 3 = 9

33 = 3 × 3 × 3 = 27

Carré

Base

Cube

Base

Une racine carrée est égale à la base qui, affectée de l’exposant 2, donne un carré.

Une racine cubique est égale à la base qui, affectée de l’exposant 3, donne un cube.

∙27 = 3∙33 = 3

3

∙9 = ∙32 = 3 Racine carrée

Racine cubique

On peut représenter le carré ou le cube d’un nombre par des figures géométriques.

33 = 27

32 = 9

∙27 = 3

3

∙9 = 3

Le symbole de la racine (∙ ) est le radical. Le nombre situé sous le radical est le radicande. Les rangées de carrés et de cubes rouges représentent la racine carrée et la racine cubique.

Extraire une racine carrée, ou une racine cubique, et élever un nombre au carré, ou au cube, sont des opérations inverses.

ARITHMÉtIQUE

∙9 = 3

6

CH AP IT RE 1

32 = 9

LES n ombrES Et LES opérat ionS

∙27 = 3

3

33 = 27

S6

1.5

LES CHAÎNES D’OPÉRATIONS ET LES PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS

défINITION

LES CHAÎNES D’OPÉRATIONS

Une chaîne d’opérations est une suite d’opérations mathématiques.



2





92 ÷ 15 − 12 + 7 × 11 − 6 + 3

22

2

Chaîne d’opérations

= 55

Valeur de la chaîne d’opérations

Quand on calcule une chaîne d’opérations, on doit respecter l’ordre de priorité des opérations. ordre de priorité des opératioNs

exemple

1

Effectuer les opérations entre parenthèses.

92 ÷ (15 − 12) + 7 × (11 − (6 + 3))2 = 92 ÷ (15 − 12) + 7 × (11 − 9)2 = 92 ÷ 3 + 7 × 22

2

Effectuer l’exponentiation (calcul des puissances).

= 92 ÷ 3 + 7 × 22 = 81 ÷ 3 + 7 × 4

3

Effectuer les multiplications et les divisions (de gauche à droite).

= 81 ÷ 3 + 7 × 4 = 27 + 28

4

Effectuer les additions et les soustractions (de gauche à droite).

= 27 + 28 = 55

Une chaîne d’opérations permet de traduire une situation en une suite d’opérations à effectuer pour résoudre un problème. ExEmplE dE situation :

Combien d’argent lui reste-t-il après son achat ? Chaîne d’opérations

2 × 20 − (20 − 5)

Argent de Marilou

Prix de l’étui moins le rabais-surprise

Calcul de la valeur de la chaîne d’opérations (dans l’ordre de priorité des opérations) : 2 × 20 − (20 − 5) = 2 × 20 − 15 = 40 − 15 = 25 ← Il reste 25 $ à Marilou après son achat.

S7

CHAPIT RE 1

LES no m br ES Et LE S o p é r at io nS

ARITHMÉtIQUE

Marilou a deux billets de 20 $. Elle achète un étui d’une valeur de 20 $ pour son téléphone cellulaire. À la caisse, Marilou profite d’un rabais-surprise de 5 $.

7

défINITION

LES PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS La commutativité est une propriété de l’addition et de la multiplication qui permet de changer l’ordre des termes sans modifier le résultat. Commutativité de l’addition

Commutativité de la multiplication

9 + 17 = 17 + 9 26 = 26

12 × 5 = 5 × 12 60 = 60

L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication qui permet de regrouper des termes à l’aide de parenthèses sans modifier le résultat. Associativité de l’addition

Associativité de la multiplication

∙16 + 82 + 12 = 16 + ∙8 + 122 ∙5 × 42 × 10 = 5 × ∙4 × 102 20 × 10 = 5 × 40 200 = 200

24 + 12 = 16 + 20 36 = 36

La distributivité est une propriété de la multiplication qui permet de passer du produit d’une somme à une somme de produits, ou du produit d’une différence à une différence de produits. La distributivité permet le développement du produit d’une somme ou d’une différence.



2 ∙

2 ∙

2

5× 8+2 = 5×8 + 5×2 5 × 10 = 40 + 10 50 = 50



2 ∙

2 ∙

2

6× 9−4 = 6×9 − 6×4 6 × 5 = 54 − 24 30 = 30

La distributivité permet la factorisation d’une somme ou d’une différence de produits.

∙5 × 82 + ∙5 × 22 = 5 × ∙8 + 22 ∙6 × 92 − ∙6 × 42 = 6 × ∙9 − 42

ARITHMÉtIQUE

40 + 10 = 5 × 10 50 = 50

8

54 − 24 = 6 × 5 30 = 30

La soustraction et la division ne sont pas commutatives. Si on change l’ordre des termes, on modifie le résultat. 25 − 10 ≠ 10 − 25 15 ≠ −15

30 ÷ 6 ≠ 6 ÷ 30 5 ≠ 0,2

La soustraction et la division ne sont pas associatives. Si on déplace les parenthèses, on modifie le résultat. (25 − 10) − 10 ≠ 25 − (10 − 10) 15 − 10 ≠ 25 − 0 5 ≠ 25 CH AP IT RE 1

LES n ombrES Et LES opérat ionS

(18 ÷ 6) ÷ 3 ≠ 18 ÷ (6 ÷ 3) 3 ÷ 3 ≠ 18 ÷ 2 1≠9 S8

1.6

L’ARRONDISSEMENT ET L’ESTIMATION

défINITION

L’ARRONDISSEMENT L’arrondissement permet de donner une valeur approximative, ou arrondie, à un nombre dont on connaît la valeur exacte. Valeur exacte du nombre Valeur exacte du nombre

178 ≈ 180 17,826 ≈ 17,83

Valeur arrondie à la dizaine près

Le symbole « ≈ » signifie « à peu près égal à ».

Valeur arrondie au centième près

Il est possible de supprimer, ou tronquer, une ou des décimales sans arrondir un nombre. On effectue alors une troncature. 25,8 ≈ 25

Troncature à l’unité

2,573 ≈ 2,5

Troncature au dixième

défINITION

L’ESTIMATION L’estimation permet de donner une valeur approximative, ou estimée, à un nombre dont on ne connaît pas la valeur exacte.

En 2013, la population mondiale est d’environ (≈) 7 milliards d’habitants Valeur estimée

1.7

La valeur exacte d’un nombre, par exemple une population, peut être difficile ou même impossible à calculer. On donne alors une valeur estimée.

LE SYSTÈME INTERNATIONAL D’UNITÉS (SI)

Une mesure est la valeur d’une grandeur par rapport à une autre grandeur de même nature. On écrit une mesure à l’aide d’un nombre et d’une valeur de référence appelée unité de mesure. Nombre

6,5 m

Unité de mesure

Mesure Se lit « six virgule cinq mètres » ou « six mètres et cinq dixièmes ».

S9

CHAPIT RE 1

Dans cette mesure, la valeur de référence est le mètre (m).

Une unité de mesure peut exprimer une longueur, une durée, une température, une masse, un volume, etc.

LES no m br ES Et LE S o p é r at io nS

ARITHMÉtIQUE

défINITION

LA MESURE

9

Dans le système international d’unités (SI), les unités de mesure supérieures ou inférieures à la valeur de référence sont formées à l’aide d’un préfixe suivi du nom de la valeur de référence. C’est le cas, par exemple, de kilomètre, de décamètre et de centimètre. ×10

×10

×10

préfixe

kilo-

hecto-

déca-

Valeur

1000

100

10

exemple

×10

×10

×10

déci-

centi-

milli-

1 10

1 100

1 1000

1

kilomètre hectomètre décamètre (km) (hm) (dam)

mètre (m)

décimètre centimètre millimètre (dm) (cm) (mm)

Multiples de la valeur de référence

Valeur de référence

Sous-multiples de la valeur de référence

Chaque multiple ou sous-multiple a une valeur 10 fois plus grande que le multiple ou le sous-multiple qui le précède.

Toutes les unités de mesure du SI, à l’exception de celles du temps, sont formées sur le même modèle. kilogramme hectogramme décagramme (kg) (hg) (dag)

masse

gramme (g)

décigramme (dg)

centigramme (cg)

milligramme (mg)

kilolitre (kl)

hectolitre (hl)

décalitre (dal)

litre (L)

décilitre (dl)

centilitre (cl)

millilitre (ml)

aire

kilomètre carré (km2)

hectomètre carré (hm2)

décamètre carré (dam2)

mètre carré (m2)

décimètre carré (dm2)

centimètre carré (cm2)

millimètre carré (mm2)

Volume

kilomètre cube (km3)

hectomètre cube (hm3)

décamètre cube (dam3)

mètre cube (m3)

décimètre cube (dm3)

centimètre cube (cm3)

millimètre cube (mm3)

CapaCité

temps

année (a)

jour (j)

heure (h)

minute (min)

seconde (s)

365 j

24 h

60 min

60 s

1000 ms

milliseconde (ms)

LA CONVERSION DES UNITÉS DE MESURES

ARITHMÉtIQUE

la CoNVersioN des mesures de loNgueur, de masse ou de CapaCité

10

Pour convertir une mesure de longueur, de masse ou de capacité, on multiplie la mesure par 10 autant de fois qu’on se déplace vers une plus petite unité, ou on divise la mesure par 10 autant de fois qu’on se déplace vers une plus grande unité. × 10

× 10

× 10

× 10

× 10

× 10

0,0065 km = 0,065 hm = 0,65 dam = 6,5 m = 65 dm = 650 cm = 6500 mm ÷ 10

CH AP IT RE 1

÷ 10

LES n ombrES Et LES opérat ionS

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

S10

la CoNVersioN des mesures d’aire

Pour convertir une mesure d’aire, on multiplie la mesure par 100 autant de fois qu’on se déplace vers une plus petite unité, ou on divise la mesure par 100 autant de fois qu’on se déplace vers une plus grande unité. × 100

× 100

× 100

× 100

× 100

× 100

0,000 006 5 km2 = 0,000 65 hm2 = 0,065 dam2 = 6,5 m2 = 650 dm2 = 65 000 cm2 = 6 500 000 mm2 ÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

la CoNVersioN des mesures de Volume

Pour convertir une mesure de volume, on multiplie la mesure par 1000 autant de fois qu’on se déplace vers une plus petite unité, ou on divise la mesure par 1000 autant de fois qu’on se déplace vers une plus grande unité. × 1000

× 1000

× 1000

0,000 000 006 5 km3 = 0,000 006 5 hm3 = 0,0065 dam3 = 6,5 m3 = … ÷ 1000

× 1000

÷ 1000

× 1000

÷ 1000

× 1000

… = 6,5 m3 = 6500 dm3 = 6 500 000 cm3 = 6 500 000 000 mm3 ÷ 1000

÷ 1000

÷ 1000

la CoNVersioN de mesures de Volume eN mesures de CapaCité

On peut convertir des mètres cubes (m3) en litres (L) en multipliant la mesure par 1000, puis en remplaçant m3 par L. 1 m3 = 1000 L , donc 6,5 m3 = 6500 L . On peut convertir des décimètres cubes (dm3) en litres (L) en remplaçant dm3 par L . 1 dm3 = 1 L , donc 12 dm3 = 12 L . On peut convertir des centimètres cubes (cm3) en millilitres (ml) en remplaçant cm3 par ml.

ARITHMÉtIQUE

1 cm3 = 1 ml, donc 1,5 cm3 = 1,5 ml.

S11

CHAPIT RE 1

LES no m br ES Et LE S o p é r at io nS

11

ChapitrE 2.1

LEs RAPPoRTs ET LEs TAux

QU’EST-CE QU’UN RAPPORT ? UN TAUX ?

défInITIon

LES RAPPORTS Un rapport est une comparaison entre deux grandeurs ou deux quantités de même nature. Un rapport peut se noter sous la forme

a b

ou a : b.

ExEmplE dE situation :

Se lit « 16 filles pour 12 garçons ».

Dans la classe, il y a 16 filles et 12 garçons. Le rapport entre le nombre de filles et le nombre de garçons est de 16 pour 12.

16 12

Dans un rapport, on n’écrit jamais l’unité des termes comparés.

16 : 12

Un rapport réduit est un rapport dont les termes sont premiers entre eux (1 est leur seul diviseur commun). Pour réduire un rapport, on peut diviser les termes par leur PGCD (plus grand commun diviseur). ÷4 16

On peut réduire le rapport 12 en divisant les deux termes par 4. PGCD (16, 12) = 4.

défInITIon

ARITHMÉtIQUE

=

4 3

Rapport réduit

÷4

LES TAUX

12

16 12

Un taux est une comparaison entre deux grandeurs ou deux quantités de nature différente. a

Un taux se note sous la forme b , où chacun des termes est exprimé dans une unité différente.

ExEmplEs dE situation : Un automobiliste a payé 60,45 $ pour remplir le réservoir d’essence de sa voiture, d’une capacité de 39 litres.

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

60,45 $ 39 L Prix ($) Capacité (L)

Un train parcourt une distance de 350 km en 2,5 heures.

350 km 2,5 h

Dans un taux, on écrit généralement les unités des valeurs comparées.

Distance (km) Temps (h)

S12

Un taux unitaire est un taux dont le dénominateur a une valeur égale à 1. Pour transformer un taux en taux unitaire, on divise le numérateur par le dénominateur. Taux

Quotient

350 km 2,5 h

350 ÷ 2,5 = 140

Dans un taux unitaire, on n’écrit pas le 1 devant l’unité du dénominateur.

Taux unitaire

140 km = 140 km/h 1h

Ce taux unitaire représente une vitesse.

Lorsqu’on veut comparer deux taux unitaires qui ont des unités différentes, on doit faire une conversion. ExEmplE dE situation : Paul marche à une vitesse de 3,6 km/h. Virginie marche à une vitesse de 1,1 m/s. Qui marche le plus vite ?

Vitesse de Paul en m/s : 3,6 kilomètres = 3600 mètres, 1 heure = 3600 secondes, donc 3600 ÷ 3600 = 1 m/s Virginie marche à 1,1 m/s, donc elle marche plus vite que Paul.

CommEnT fAIRE ?

Comment traduire une situation à l’aide d’un rapport ou d’un taux 1

Je lis attentivement l’énoncé de la situation.

2

Je repère les grandeurs ou les quantités à comparer, puis je détermine s’il s’agit d’un rapport ou d’un taux.

3

4

Je compare les unités des termes et, s’il y a lieu, je fais une conversion. Je note le rapport ou le taux sous la forme appropriée. Au besoin, je réduis le rapport ou le taux. S’il y a lieu, je calcule le taux unitaire.

Je veux traduire la situation suivante à l’aide d’un rapport ou d’un taux. 1

Sur une carte de hockey, le joueur mesure 9 cm. Sa taille réelle est de 1,80 m.

2

Les deux grandeurs à comparer sont des longueurs (cm et m). Il s’agit d’un rapport.

3

Je convertis le 2e terme en centimètres : 1,80 m = 180 cm.

4

Le rapport est de 180 ou 9 : 180.

9

1

Le rapport réduit est de 20 ou 1 : 20, car 9 ÷ 9 = 1 et 180 ÷ 9 = 20.

Lorsque les grandeurs ou les quantités d’un rapport ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on doit faire une conversion.

1

Aliocha a reçu un chèque de 152,25 $ pour 15 heures de travail. Il veut connaître son salaire pour une heure de travail.

2

L’une des grandeurs est en dollars ($), et l’autre est en heures (h). Il s’agit d’un taux. Je passe à l’étape 4.

4

Le taux est de 152,25 $/15 h. Taux unitaire (salaire pour une heure) : 152,25 ÷ 15 = 10,15 $/h.

S13

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

ARITHMÉtIQUE

Je veux traduire la situation suivante à l’aide d’un taux unitaire.

13

LES EFFETS DE LA MODIFICATION D’UN TERME DANS UN RAPPORT OU UN TAUX Quand on change la valeur d’un terme dans un rapport ou un taux, on modifie la valeur de ce rapport ou de ce taux. Le tableau suivant montre les effets qu’a l’augmentation ou la diminution de la valeur d’un terme dans un rapport ou un taux. ExEmplE dE situation :

On prépare un chocolat chaud en mélangeant 20 g de cacao à 250 ml de lait. Taux =

20 g 250 ml

Si on augmente la valeur du numérateur, la valeur du rapport ou du taux augmente.

Si on ajoute 40 g de cacao à la quantité initiale, on obtient 60 g de cacao pour 250 ml de lait. Comme la quantité de cacao a augmenté de trois fois, le chocolat chaud est trois fois plus « chocolaté ». 60 g 60 g 20 g 20 + 40 et 250 ml > 250 ml 250 = 250 ml

Si on diminue la valeur du numérateur, la valeur du rapport ou du taux diminue.

Si on enlève 10 g de cacao de la quantité initiale, on obtient 10 g de cacao pour 250 ml de lait. Comme la quantité de cacao a diminué de deux fois, le chocolat chaud est deux fois moins « chocolaté ». 10 g 10 g 20 g 20 − 10 et 250 ml < 250 ml 250 = 250 ml

Si on augmente la valeur du dénominateur, la valeur du rapport ou du taux diminue.

Si on ajoute 500 ml de lait à la quantité initiale, on obtient 20 g de cacao pour 750 ml de lait. Comme la quantité de lait a augmenté de trois fois, le chocolat chaud est trois fois moins « chocolaté ». 20 20 g 20 g 20 g et 750 ml < 250 ml 250 + 500 = 750 ml

Si on diminue la valeur du dénominateur, la valeur du rapport ou du taux augmente.

Si on enlève 200 ml de lait de la quantité initiale, on obtient 20 g de cacao pour 50 ml de lait. Comme la quantité de lait a diminué de cinq fois, le chocolat chaud est cinq fois plus « chocolaté ». 20 20 g 20 g 20 g et 50 ml > 250 ml 250 − 200 = 50 ml

ARITHMÉtIQUE

CommEnT fAIRE ?

Comment comparer des rapports ou des taux

14

1

Je lis attentivement l’énoncé de la situation.

2

Je traduis la situation à l’aide de rapports ou de taux.

3

S’il s’agit de rapports, je calcule les quotients. S’il s’agit de taux, je calcule les taux unitaires.

4

Je compare les quotients ou les taux unitaires à l’aide des symboles >, < ou =.

Je veux comparer les rapports ou les taux dans la situation suivante. 1

À l’épicerie, les œufs coûtent 4,20 $ la douzaine, tandis qu’au marché on les vend 3,20 $ la dizaine. Où les œufs coûtent-ils le moins cher ?

2

Taux à l’épicerie : 4,20 $/12 œufs Taux au marché : 3,20 $/10 œufs

3

Taux unitaire à l’épicerie : 4,20 ÷ 12 = 0,35 $/œuf Taux unitaire au marché : 3,20 ÷ 10 = 0,32 $/œuf

4

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

Les œufs coûtent moins cher au marché, car 0,32 $/œuf < 0,35 $/œuf.

S14

défInITIon

2.2

LES PROPORTIONS Deux rapports ou deux taux sont équivalents s’ils ont la même valeur, c’est-à-dire s’ils correspondent au même quotient lorsqu’on effectue les divisions.

Une proportion est une relation d’égalité entre deux rapports ou deux taux. Pour former une proportion, des rapports ou des taux doivent donc être équivalents. Proportion (deux rapports équivalents)

Proportion (deux taux équivalents)

8 1 = 16 2

355,25 $ 10,15 $ = 35 h 1h

car

car

8 = 0,5 et 1 = 0,5 16 2

355,25 = 10,15 et 10,15 = 10,15 35 1

Une proportion contient toujours quatre termes. Les premier et quatrième termes sont appelés des extrêmes, et les deuxième et troisième termes sont appelés des moyens. Extrêmes Moyens

Extrêmes

8 1 = 16 2

Moyens

355,25 10,15 = 35 1

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. a c C’est la propriété fondamentale des proportions : si b = d , alors a × d = b × c. Extrême = Moyen Moyen Extrême

355,25 = 10,15 35 1

Produit des extrêmes

Produit des moyens

La propriété fondamentale des proportions est aussi appelée produit croisé. Elle permet de trouver un terme manquant dans une proportion.

355,25 × 1 = 35 × 10,15 355,25 = 355,25

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier le terme d’un rapport ou d’un taux pour obtenir l’autre terme de ce rapport ou de ce taux. Dans cette proportion, le coefficient de proportionnalité est 2.

×2

8 1 = 16 2

×2

Le coefficient de proportionnalité 2 est le nombre par lequel il faut multiplier 8 et 1 pour obtenir 16 et 2.

Le facteur de changement est le nombre par lequel il faut multiplier les termes d’un rapport ou d’un taux pour obtenir un rapport ou un taux équivalent. ×9

Dans cette proportion, le facteur de changement est 9.

Le facteur de changement 9 est le nombre par lequel il faut multiplier 5 et 10 pour obtenir 45 et 90.

5 45 = 10 90 ×9

S15

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

ARITHMÉtIQUE

Les quatre termes d’une proportion sont liés par un coefficient de proportionnalité et par un facteur de changement.

15

CommEnT fAIRE ?

Comment déterminer si des rapports ou des taux sont équivalents 1

2

2.3

Je divise les termes de chaque rapport ou de chaque taux pour obtenir leurs quotients. Si les deux quotients obtenus sont égaux, alors les rapports ou les taux sont équivalents.

3

Je veux savoir si les rapports 4 et 1

2

3 4 4 5

4 5

sont équivalents.

= 3 ÷ 4 = 0,75 = 4 ÷ 5 = 0,8 3

J’obtiens des quotients différents, donc 4 et ne sont pas des rapports équivalents.

4 5

LES SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE ET LES SITUATIONS DE VARIATION INVERSE

défInITIon

LES SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE Une situation de variation directe, également appelée situation de proportionnalité, est une situation dans laquelle tous les rapports ou tous les taux sont équivalents.

On peut représenter une situation de variation directe à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique. ExEmplE dE situation : David tond le gazon l’été et déneige l’entrée de la cour l’hiver. Il demande 10 $ l’heure pour ces tâches. Si David travaille 1 heure, il gagne 10 $, s’il travaille 2 heures, il gagne 20 $, s’il travaille 3 heures, il gagne 30 $, etc. Le titre donne de l’information sur les variables x et y de la situation.

Dans une situation de variation directe, plus la valeur de x augmente, plus la valeur de y augmente aussi.

Salaire de David selon le nombre d’heures travaillées

ARITHMÉtIQUE

HEURES TRAVAILLéES (h)

16

SALAIRE ($)

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

x



10 20 30 40 50

y



1 10

x

1

2

2

3

3

4

4

5

5

= 20 = 30 = 40 = 50 = y = 0,1

× 10

Le coefficient de proportionnalité est 10, car x × 10 = y. Dans une situation de variation directe, on obtient le même quotient quand on divise les termes des rapports ou des taux.

S16

Dans un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine, soit le point (0, 0).

Salaire de David selon le nombre d’heures travaillées y 50 40 Salaire ($)

Chaque point correspond à un couple (x, y ), où l’abscisse x représente le nombre d’heures travaillées et l’ordonnée y, le salaire correspondant. La règle de cette variation directe est y = 10x, car pour obtenir y, on doit multiplier x par 10.

Pour toute situation de variation directe, la règle est : y = kx, où k est le coefficient de proportionnalité.

30 20 10

Les coordonnées de l’origine (0, 0) montrent que si David travaille 0 h, il gagne 0 $.

0

1

2 3 Heures (h)

4

5

x

défInITIon

LES SITUATIONS DE VARIATION INVERSE Une situation de variation inverse, également appelée situation inversement proportionnelle, est une situation dans laquelle on obtient un produit constant lorsqu’on multiplie les termes des rapports ou des taux.

On peut représenter une situation de variation inverse à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique. ExEmplE dE situation : Les élèves de la classe doivent préparer 60 paniers de Noël pour la guignolée de l’école. Si 1 seul élève participe à cette activité, il devra préparer 60 paniers. Si 2 élèves y participent, ils devront préparer 30 paniers chacun. Si 3 élèves y participent, ils devront préparer 20 paniers chacun, et ainsi de suite.

Nombre de paniers préparés selon le nombre d’élèves NOMbRE D’éLèVES NOMbRE DE PANIERS

1

2

3

4

5

x



60

30

20

15

12

y



(1 × 60) = (2 × 30) = (3 × 20) = (4 × 15) = (5 × 12) = xy = 60

Le produit constant est égal à 60, car x × y = 60. Dans une situation de variation inverse, on obtient toujours le même produit quand on multiplie les termes des rapports ou des taux.

S17

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

ARITHMÉtIQUE

Dans une situation de variation inverse, plus la valeur de x augmente, plus la valeur de y diminue.

17

Chaque point correspond à un couple (x, y ), où l’abscisse x représente le nombre d’élèves et l’ordonnée y, le nombre de paniers. La règle de cette variation inverse est y = x , car pour obtenir y, on doit diviser 60 par x. 60

Nombre de paniers préparés selon le nombre d’élèves y 60 50 Nombre de paniers

Dans un graphique, une situation inversement proportionnelle est représentée par une courbe qui s’approche des deux axes sans jamais les toucher.

40 30 20 10

Dans une situation de variation inverse, les valeurs sont toujours différentes de 0.

2.4

La règle d’une situation de variation inverse k est : y = x , où k est le produit constant.

0

1

2 3 Nombre d’élèves

5

4

x

LA RéSOLUTION DE SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE ET DE SITUATIONS DE VARIATION INVERSE

Résoudre une situation de proportionnalité ou une situation inversement proportionnelle revient à trouver la valeur d’un terme manquant.

LA RéSOLUTION DE SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE On peut utiliser l’une ou l’autre des stratégies suivantes pour résoudre une situation de variation directe (situation de proportionnalité). Le retour à L’unité

Cette stratégie consiste à trouver, à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu, un rapport ou un taux équivalent dont la valeur du dénominateur est égale à 1 ; à l’aide de ce rapport ou de ce taux, on calcule la valeur du terme manquant. ExEmplE dE situation : On veut connaître le prix de 250 g de chocolat équitable, sachant que 200 g coûtent 5 $.

ARITHMÉtIQUE

Pour résoudre cette situation, on cherche le prix de 1 g de chocolat, c’est-à-dire le prix de 1 unité, puis on calcule, à partir du taux unitaire, le prix de 250 g de chocolat.

18

Pour obtenir le taux unitaire, on calcule le quotient : 5 ÷ 200 = 0,025

Le taux unitaire donne le prix de 1 g de chocolat.

5$ ?$ = 200 g 1 g

Pour trouver le prix de 250 g de chocolat, on multiplie le prix de 1 g par 250 :

× 250

0,025 $ ?$ = 1g 250 g

0,025 × 250 = 6,25

× 250

Retour à l’unité ÷ 200

solution : Si 200 g de chocolat équitable coûtent 5 $, alors 250 g coûtent 6,25 $.

PRIX ($) MASSE (g)

5

0,025 6,25

200 ÷ 200

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

× 250

1

250

… …

× 250

S18

Le coefficient de proportionnaLité

Cette stratégie consiste à trouver un coefficient de proportionnalité à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu ; à l’aide de ce coefficient de proportionnalité, on calcule la valeur du terme manquant. ExEmplE dE situation : On veut connaître le prix de 500 g de chocolat équitable, sachant que 200 g coûtent 5 $.

Pour résoudre cette situation, on cherche le coefficient de proportionnalité des termes du taux 5 $/200 g, puis on calcule le prix de 500 g de chocolat à l’aide de ce coefficient. On cherche le coefficient de proportionnalité : 5 × ? = 200 ? = 200 ÷ 5 ? = 40

×?

5$ 200 g

solution : Si 200 g de chocolat équitable coûtent 5 $, alors 500 g coûtent 12,50 $.

5$ ?$ = 200 g 500 g

× 40

5

12,5



200

500



PRIX ($) MASSE (g)

Pour trouver le prix de 500 g de chocolat, on utilise le coefficient de proportionnalité :

× 40

? × 40 = 500 ? = 500 ÷ 40 ? = 12,5 × 40

Le facteur de changement

Cette stratégie consiste à trouver un facteur de changement à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu ; à l’aide de ce facteur de changement, on calcule la valeur du terme manquant. ExEmplE dE situation : On veut connaître le prix de 750 g de chocolat équitable, sachant que 200 g coûtent 5 $.

Pour résoudre cette situation, on cherche le facteur de changement des termes 200 g et 750 g, puis on calcule le prix de 750 g de chocolat à l’aide de ce facteur. On cherche le facteur de changement : 200 × ? = 750 ? = 750 ÷ 200 ? = 3,75

Pour trouver le prix de 750 g de chocolat, on utilise le facteur de changement :

× 3,75

5$ ?$ = 200 g 750 g

5$ ?$ = 200 g 750 g

×?

5 × 3,75 = 18,75

× 3,75

solution : Si 200 g de chocolat équitable coûtent 5 $, alors 750 g coûtent 18,75 $.

PRIX ($) MASSE (g)

5

18,75



200

750



ARITHMÉtIQUE

× 3,75

× 3,75

S19

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

19

Le produit des extrêmes et Le produit des moyens (produit croisé)

Cette stratégie consiste à utiliser la propriété fondamentale des proportions : dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. ExEmplE dE situation : On veut connaître le prix de 950 g de chocolat équitable, sachant que 200 g coûtent 5 $.

Pour résoudre cette situation, on effectue le produit croisé, puis on trouve la valeur du terme manquant. On utilise le produit des extrêmes et le produit des moyens : 5 × 950 = 200 × ?

5 × 950 = 200 × ?

5$ ?$ = 200 g 950 g

4750 ÷ 200 = ?

Pour trouver le prix de 950 g de chocolat, on effectue la division :

23,75 = ?

4750 ÷ 200 = 23,75

4750 = 200 × ?

solution : Si 200 g de chocolat équitable coûtent 5 $, alors 950 g coûtent 23,75 $.

PRIX ($) MASSE (g)

5

23,75



200 × 23,75 = 4750

200

950



5 × 950 = 4750

LA RéSOLUTION DE SITUATIONS DE VARIATION INVERSE On peut utiliser l’une ou l’autre des stratégies suivantes pour résoudre une situation de variation inverse (situation de proportionnalité inverse). Le produit constant

Cette stratégie consiste à trouver un produit constant à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu ; à l’aide de ce produit, on calcule la valeur du terme manquant. ExEmplE dE situation : Un groupe de 25 personnes doivent partager les coûts d’un tour de ville guidé. On veut connaître la somme que chaque personne devra débourser, sachant que si 10 personnes participent à ce tour de ville, chacune doit payer 65 $.

Pour résoudre cette situation, on cherche le produit constant, c’est-à-dire le produit du terme 65 $ et du terme 10 personnes, puis, à l’aide de ce produit, on calcule la somme à débourser si 25 personnes participent au tour de ville guidé.

ARITHMÉtIQUE

Le produit constant est égal au produit des termes :

20

65 × 10 = 650

65 $ 10 pers.

?$ 25 pers.

Pour trouver la somme que devra débourser chacune des 25 personnes, on utilise le produit constant : ? × 25 = 650 ? = 650 ÷ 25 ? = 26

solution : Si 25 personnes participent au tour de ville guidé, chaque personne devra payer 26 $.

SOMME À DébOURSER ($)

65

26



NOMbRE DE PERSONNES

10

25



(65 × 10) = (26 × 25) =

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

Dans une situation de variation inverse, on n’écrit pas de symbole d’égalité (=) entre les rapports ou les taux, car ce ne sont pas des rapports ou des taux équivalents.

650

S20

LE FACTEUR DE CHANgEMENT INVERSE

Cette stratégie consiste à déterminer un facteur de changement et son inverse à partir d’un taux ou d’un rapport déjà connu ; à l’aide du facteur inverse, on calcule la valeur du terme manquant. ExEmplE dE situation : Un groupe de 50 personnes doivent partager les coûts d’un tour de ville guidé. On veut connaître la somme que chaque personne devra débourser, sachant que si 10 personnes participent à ce tour de ville, chacune doit payer 65 $.

Pour résoudre cette situation, on cherche d’abord le facteur de changement des termes 10 personnes et 50 personnes. Puis, à l’aide de l'inverse de ce facteur, on calcule la somme à débourser si 50 personnes participent au tour de ville guidé. ×

On cherche le facteur de changement : 10 × ? = 50 ? = 50 ÷ 10 ?=5

65 $ 10 pers.

?$ 50 pers.

65 $ 10 pers.

?$ 50 pers. ×

1

de changement est 5 .

×5

×?

solution : Si 50 personnes participent au tour de ville guidé, chaque personne devra payer 13 $.

L’inverse du facteur

1 5

Pour trouver la somme que devra débourser chacune des 50 personnes, on utilise le facteur de changement inverse : 1

1 5

(ou ÷ 5)

65 × 5 = 13

SOMME À DébOURSER ($)

65

13



NOMbRE DE PERSONNES

10

50



×5

1

Je lis attentivement l’énoncé de la situation.

2

Je détermine s’il s’agit d’une situation de variation directe ou d’une situation de variation inverse.

3

Je détermine les données connues et les inconnues, puis je traduis la situation à l’aide de rapports ou de taux.

4

Je résous la situation à l’aide de l’une ou l’autre des stratégies de résolution.

5

Je vérifie ma solution.

Je veux résoudre la situation de proportionnalité suivante. 1

Il faut 1 tasse d’eau pour faire cuire 200 g de riz. Combien faut-il de tasses d’eau pour faire cuire 900 g de riz ?

2

Il s’agit d’une situation de variation directe, car plus on augmente la quantité de riz, plus on doit augmenter la quantité d’eau.

3

1 tasse 200 g

? tasses 900 g

4

Je choisis la stratégie du produit croisé. 1 × 900 = 200 × ? 900 = 200 × ? 900 ÷ 200 = ? 4,5 = ? Il faut 4,5 tasses d’eau pour faire cuire 900 g de riz.

5

J’utilise ma solution pour vérifier si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 1 × 900 = 900 et 200 × 4,5 = 900

S21

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

ARITHMÉtIQUE

CommEnT fAIRE ?

Comment résoudre une situation de variation directe ou une situation de variation inverse

21

LES POURCENTAgES DANS LES SITUATIONS DE VARIATION DIRECTE

défInITIon

2.5

Un pourcentage ( %) est un rapport écrit sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100.

75

75 % = 100

Fraction décimale (sur 100)

Pourcentage

Pour résoudre une situation de variation directe qui contient des pourcentages, on peut utiliser l’une ou l’autre des stratégies suivantes, selon le contexte : le calcul du « tant pour cent » ou le calcul du « cent pour cent ».

LE CALCUL DU « TANT POUR CENT » ExEmplE dE situation : Cette année, 24 élèves du 1er cycle , dont 75 % sont en 2e secondaire, participent au tournoi de volleyball. Combien d’élèves de 2e secondaire participent à ce tournoi ?

Pour résoudre cette situation, on cherche le tant pour cent du nombre d’élèves du 1er cycle qui participent au tournoi de volleyball. Le tant pour cent représente le terme manquant de la proportion. Nombre d’élèves

Pourcentage On transforme le pourcentage en fraction décimale pour former une proportion :

100 % 75 %

75 % = 75

100

22

21

? élèves de 2e secondaire

15 12 9

On peut trouver le tant pour cent (terme manquant) en utilisant la stratégie du produit croisé : 75 × 24 = 100 × ? 1800 = 100 × ? 1800 ÷ 100 = ? 18 = ?

6 3

solution : Il y a 18 élèves de 2e secondaire qui participent à ce tournoi. Comment calculer le « tant pour cent » CommEnT fAIRE ?

ARITHMÉtIQUE

75 = ? 100 24

90 80 70 60 50 40 30 20 10

24 élèves du 1er cycle

1

J’écris le pourcentage en notation décimale.

2

Je multiplie le nombre décimal par le nombre dont je cherche le tant pour cent.

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

Je veux calculer 75 % de 24. 1

75 % = 0,75

2

0,75 × 24 = 18

S22

LE CALCUL DU « CENT POUR CENT » ExEmplE dE situation n° 1 : Il y a 36 filles du 2e cycle qui participent au tournoi de volleyball. Elles représentent 60 % des participants du 2e cycle. Quel est le nombre total d’élèves du 2e cycle qui participent au tournoi ?

Pour résoudre cette situation, on cherche le cent pour cent du nombre d’élèves du 2e cycle qui participent au tournoi. Le cent pour cent représente le terme manquant de la proportion. On transforme le pourcentage en fraction décimale pour former une proportion :

Pourcentage

60 = 36 100 ?

? élèves du 2e cycle

100 %

60 % = 60 100 ×?

Nombre d’élèves

60 %

90 80 70 60 50 40 30 20 10

50 40

36 filles

30

On peut trouver le cent pour cent (terme manquant) en utilisant la stratégie du facteur de changement : ×?

60 = 36 100 ? ×?

20

si 60 × ? = 36 ? = 36 ÷ 60 ? = 0,6

10

alors 100 × 0,6 = 60

solution : Il y a 60 élèves du 2e cycle qui participent au tournoi. ExEmplE dE situation n° 2 : Cette année, 84 élèves de l’école participent au tournoi de volleyball. Ce nombre correspond à 20 % de plus que celui de l’année dernière. Combien d’élèves ont participé au tournoi l’année dernière ?

Pour résoudre cette situation, on cherche le cent pour cent du nombre d’élèves qui ont participé au tournoi l’année dernière. Le cent pour cent représente le terme manquant de la proportion. Il y a 20 % d’élèves de plus que l’année dernière, on doit donc ajouter ce nombre au cent pour cent : 100 + 20 120 = 100 100

120 = 84 100 ?

Nombre d’élèves 84 élèves

120 % 100 %

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

77

? élèves

100 × 84 = 120 × ? 8400 = 120 × ? 8400 ÷ 120 = ? 70 = ?

63 56 49 42 35 28 21 14 7

La propriété fondamentale des proportions (produit croisé) est souvent la stratégie la plus rapide pour résoudre une situation de variation directe qui contient des pourcentages.

solution : L’année dernière, 70 élèves ont participé au tournoi.

S23

On peut trouver le cent pour cent (terme manquant) en utilisant la stratégie du produit croisé :

CHAPIT RE 2

LES r ap p o rt S E t LE S taux

ARITHMÉtIQUE

Pourcentage

23

CommEnT fAIRE ?

Comment résoudre une situation de variation directe qui contient des pourcentages 1

Je lis attentivement l’énoncé de la situation.

2

Je détermine les données connues et les inconnues.

3

Je traduis la situation à l’aide de rapports ou de taux, puis je résous la situation en utilisant une des stratégies que je connais.

4

Je veux résoudre la situation de variation directe suivante. 1

Niels a acheté une manette de jeu vidéo à 27,60 $. On lui a accordé un rabais de 20 %, car la boîte d’emballage avait été ouverte. Trouve le prix de la manette avant le rabais, sachant que le prix qu’a payé Niels inclut les taxes de vente de 15 %.

2

Données connues : le prix de la manette après le rabais (taxes incluses), soit 27,60 $. Inconnues : le prix de la manette avant les taxes et le prix de la manette avant le rabais.

3

Je cherche le prix de la manette avant les taxes de 15 %. 27,60 $ équivaut à 115 %. 115 100

Je vérifie ma solution.

=

27,6 ?

Donc, 115 × ? = 100 × 27,6 115 × ? = 2760 ? = 2760 ÷ 115 ? = 24 Prix de la manette avant les taxes de 15 % : 24 $. Je cherche le prix de la manette avant le rabais de 20 %. Le prix de la manette avant les taxes équivaut à 80 % du prix de la manette. 80 100

=

24 ?

Donc, 80 × ? = 100 × 24 80 × ? = 2400 ? = 2400 ÷ 80 ? = 30 Prix de la manette avant le rabais de 20 % et avant les taxes de 15 % : 30 $. 4

Prix de la manette avec le rabais de 20 % :

ARITHMÉtIQUE 24

Je calcule le prix de la manette avec le rabais de 20 %, puis je calcule le prix de la manette avec les taxes de 15 %. 100 % − 20 % = 80 %

80 % = 0,80

30 × 0,80 = 24 $ Prix de la manette avec les taxes : 100 % + 15 % = 115 %

115 % = 1,15

24 × 1,15 = 27,60 $

CH AP IT RE 2

LES rapport S Et LES tau x

S24

algèbre OÙ SONT LES MATHS ? L’algèbre, c’est des chiffres et des lettres ! Dans la vie, tu fais souvent face à toutes sortes de situations. En algèbre aussi. Tu vas voir que le fait d’écrire des lettres, ça sert à résoudre une foule de problèmes et à ne pas avoir peur de « l’inconnue ».

S25

Chapitre 3

Les expressions algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chapitre 4

La résolution d'équations à une inconnue . . . . 34

25

Chapitre défiNiTiON

3.1

LES ExprESSiONS ALgébriquES

QU’EST-CE QU’UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE ? Une expression algébrique est une expression formée d’une ou plusieurs lettres appelées variables, et d’un ou plusieurs nombres appelés coefficients et constantes. Les termes d’une expression algébrique sont séparés par des symboles d’addition ou de soustraction. Ceux qui contiennent des variables sont des termes algébriques et ceux qui n’en contiennent pas sont des termes constants. Variable

Coefficient

3a + 14

Terme algébrique

Un coefficient est un nombre qui multiplie une variable : 3a = 3 × a. Un coefficient peut être un nombre positif ou un nombre négatif.

Constante

Terme constant

Les termes sont reliés par des symboles d’addition ou de soustraction.

Pour calculer la valeur numérique d’une expression algébrique, on remplace chaque variable par un nombre donné. Par exemple, l’expression algébrique 3a + 14 :

si a = 4, alors 3a + 14 = (3 × 4) + 14 = 12 + 14 = 26

Valeur de l’expression si a = −5

Algèbre

Il existe différents types d’expressions algébriques. On les nomme selon le nombre de termes qui les forment. Monôme

Polynômes

Expression algébrique formée d’un seul terme.

Expressions algébriques formées de plusieurs termes.

7x 3x2 y 12abc

CH AP IT RE 3

Le remplacement d’une variable par un nombre s’appelle une substitution.

si a = −5, alors 3a + 14 = (3 × −5) + 14 = −15 + 14 Une variable = −1 peut être

Valeur de l’expression si a = 4

26

Une expression algébrique ne contient pas de signe d’égalité.

représentée par n’importe quelle lettre de l’alphabet.

Un polynôme est constitué de plusieurs monômes reliés par des symboles d’addition ou de soustraction.

Binôme (deux termes)

Trinôme (trois termes)

Polynôme (quatre termes ou plus)

3n + 14

2a − 5b + 13

6x2 + 4xy + y − 7

LES Ex prES S ion S aLg ébriqu E S

S26

Les expressions algébriques se caractérisent par leur degré. Le degré d’un monôme ou d’un polynôme correspond à la valeur des exposants des variables.

Une variable sans exposant équivaut à une variable affectée de l’exposant 1. (p. ex. : 3n = 3n1).

degré d’une expression algébrique

exemple

Degré d’un monôme à une seule variable

3n est un monôme de degré 1.

Lorsqu’un monôme a une seule variable, le degré correspond à l’exposant de cette variable.

7a2 est un monôme de degré 2.

Degré d’un monôme à plusieurs variables

2xy est un monôme de degré 2.

Lorsqu’un monôme a plusieurs variables, le degré correspond à la somme des exposants des variables.

7x2 y est un monôme de degré 3. 5xy3 est un monôme de degré 4.

Degré d’un polynôme

2a + 13 est un polynôme de degré 1.

Le degré d’un polynôme correspond au degré du monôme qui a le degré le plus élevé.

6x2 + 4y est un polynôme de degré 2.

On classe les termes constants parmi les monômes de degré 0 : (p. ex. : 14 = 14n 0).

x3 est un monôme de degré 3.

6a2c − 29b2 + 16 est un polynôme de degré 3.

Quand on écrit une expression algébrique, on doit respecter les règles d’écriture suivantes. On place un coefficient devant la ou les variables, sans écrire de signe de multiplication.

Quand le coefficient est 1 ou −1, on n’écrit pas le 1. −1a se note −a.

2b2c + −a + 3b − 14

Dans un terme, on écrit les variables dans l’ordre alphabétique.

Quand deux termes sont de même degré, on les place dans l’ordre alphabétique.

On place les termes dans l’ordre décroissant de degré, du plus grand au plus petit. 2b 2c est de degré 3, −a et 3b sont de degré 1, et 14 est de degré 0.

Quand on traduit une situation par une expression algébrique, on doit être attentif aux mots clés, car ils indiquent les opérations à effectuer.

1

2

3

S27

Je lis attentivement l’énoncé et je détermine les données de la situation. Je représente par une variable, par exemple x, la donnée pour laquelle j’ai le moins d’information. J’utilise la variable et les mots clés de la situation pour construire des expressions algébriques qui représentent les autres données de la situation.

Je veux traduire la situation suivante par une expression algébrique.

Dans la classe d’Antoinette, il y a cinq filles de plus que de garçons. 1

J’ai trois données : le nombre de filles, le nombre de garçons et le nombre total d’élèves.

2

x : le nombre de garçons.

3

Il y a cinq filles de plus que de garçons. Donc, le nombre de filles est égal à : x + 5. Le nombre total d’élèves est égal à la somme du nombre de garçons (x) et du nombre de filles (x + 5). Donc, le nombre d’élèves est égal à : x + (x + 5), ou 2x + 5.

CHAPIT RE 3

LES Expr ESS io nS aLg é br iq uE S

Algèbre

COMMENT fAirE ?

Comment traduire une situation par une expression algébrique

27

LES SUITES NUMÉRIQUES

défiNiTiON

3.2

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres appelés termes. Certaines suites numériques présentent une régularité. La régularité décrit un lien mathématique qui se répète d’un terme à l’autre. Dans une suite, chaque terme occupe une position précise appelée rang. Rangs Termes de la suite

1

2

3

4

5

Lorsqu’on connaît la régularité d’une suite, on peut y ajouter de nouveaux termes.

6

Les trois points (…) indiquent que la suite se poursuit à l’infini.

11, 15, 19, 23, 27, 31,… +4

+4

+4

+4

+4

La régularité de cette suite est + 4.

Il existe plusieurs sortes de suites. Parmi elles, on trouve des suites arithmétiques et des suites géométriques. Dans ces suites, la régularité est appelée raison. suite arithmétique

suite géométrique

Suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en additionnant à chaque terme un nombre constant, la raison.

Suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en multipliant chaque terme par un nombre constant, la raison.

La raison de cette suite arithmétique est 12.

La raison de cette suite géométrique est 3.

5,

2,

17, 29, 41, …

+ 12 + 12 + 12

×3

La raison de cette suite arithmétique est −6.

14,

8,

La division est l’opération inverse de la multiplication. Multiplier un nombre par 21 équivaut à le diviser par 2.

18, 54, …

×3

×3 1

La raison de cette suite géométrique est  2 .

−4, …

2,

6,

8,

+ (−6) + (−6) + (−6)

× 21

4,

2, × 12

1 2,

1,

× 12



× 12

On peut représenter une suite numérique de plusieurs façons, par exemple à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique. Une table de valeurs est un tableau qui met en relation deux valeurs, par exemple un rang et un terme. Suite : 14, 8, 2, −4, −10, … rang

(r)

Algèbre

terme

28

(t)

1

2

3

14

8

2

4 −4

5



−10



Un graphique met en relation des couples de valeurs, par exemple un terme et son rang, à l’aide de points placés dans un plan.

CH AP IT RE 3

LES Ex prES S ion S aLg ébriqu E S

16 14 12 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −12

Suite arithmétique Terme (t) (1,14) (2,8) (3,2)

1

2

3

4

5

(4,−4)

6

7

8 Rang ( r)

(5,−10)

S28

défiNiTiON

La règle d’une suite est une relation d’égalité qui permet de trouver la valeur de tous les termes d’une suite. La règle d’une suite arithmétique peut s’écrire sous la forme suivante.

[terme] = [raison] × [rang du terme] + ([1er terme de la suite] − [raison]) t

= [raison] ×

r

+ ([1er terme de la suite] − [raison])

La règle d’une suite géométrique peut s’écrire sous la forme suivante. Pour simplifier l’écriture d’une règle, on remplace les mots terme et rang du terme par des variables.

[terme] = [1er terme de la suite] × [raison]([rang du terme] − 1) t

= [1er terme de la suite] × [raison](r − 1)

COMMENT fAirE ?

Comment trouver la règle d’une suite arithmétique Je veux trouver la règle de la suite : −16, −7, 2, 11, 20, 29, 38, ...

1

Je trouve la raison de la suite.

2

Je note le 1er terme de la suite.

3

Je définis la règle de la suite : t = [raison] × r + ([1er terme de la suite] − [raison]).

4

1

Je valide ma règle en calculant la valeur d’un des termes de la suite.

2 3

4

La raison de la suite est 9, car −7 − −16 = 9. Le 1er terme de la suite est −16. t = 9r + (−16 − 9) = 9r + (−25) = 9r − 25 Je valide ma règle en utilisant le 3e terme de la suite : si r = 3, alors t = (9 × 3) − 25 = 27 − 25 =2 La règle de la suite est : t = 9r − 25.

S29

LA RÉDUCTION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR ADDITION OU SOUSTRACTION Certaines expressions algébriques contiennent des termes semblables, c’est-à-dire des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants. Termes semblables

Termes non semblables

4x et −7x 3ab et 9ab 18 et 63

4x et −7x2 3x2y et 9xy2 15a et 15ab

CHAPIT RE 3

Les termes constants sont tous des termes semblables.

LES Expr ESS io nS aLg é br iq uE S

Algèbre

défiNiTiON

3.3

29

Il est possible de réduire une expression algébrique en additionnant ou en soustrayant ses termes semblables. Termes semblables

8xy + x + 4x + 23 + 7x − 5 = 8xy + x + 4x + 23 + 7x + −5

Réduire une expression algébrique, c’est la récrire sous une forme simplifiée.

Termes semblables Pour regrouper les termes semblables, on applique la commutativité et l’associativité de l’addition.

= 8xy + (x + 4x + 7x) + (23 + −5) = 8xy + 12x + 18

Une expression algébrique réduite ne contient plus de termes semblables. règle pour additionner et soustraire des termes semblables

Addition ou soustraction de termes constants

exemple

8xy + x + 4x + 7x + 23 − 5

On regroupe ces termes, puis on calcule leur somme ou leur différence.

= 8xy + x + 4x + 7x + 18

Addition ou soustraction de termes algébriques

8xy + x + 4x + 7x + 18

On regroupe ces termes, puis on calcule la somme ou la différence de leurs coefficients.

= 8xy + 12x + 18

Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait des termes semblables, on doit toujours tenir compte des signes des coefficients (positif ou négatif), comme dans l’addition ou la soustraction de nombres entiers. 5xy2 + −12xy2 = (5 + −12)xy2 = −7xy2



15xy2 − −2xy2 = (15 − −2)xy2 = 17xy

2

Quand on réduit une expression algébrique par addition ou soustraction, on obtient une expression algébrique équivalente. 8xy + x + 4x + 23 + 7x − 5 = 8xy + 12x + 18 Expression de départ

Expression réduite

Une variable qui n’a pas de coefficient correspond à une variable ayant un coefficient 1 : x = 1x, −x = −1x.

L’expression algébrique de départ et l’expression réduite sont équivalentes, car elles ont la même valeur numérique.

Algèbre

COMMENT fAirE ?

Comment reconnaître deux expressions algébriques équivalentes à l’aide d’une substitution

30

Dans les deux expressions, je remplace chaque variable par une valeur choisie, puis je calcule la valeur de chaque expression. Si j’obtiens deux expressions de même valeur, alors je peux affirmer qu’elles sont équivalentes.

Je veux savoir si 4y + 23 + 7y − 5 et 11y + 18 sont des expressions algébriques équivalentes.

Si y = 3, alors : 4y + 23 + 7y − 5 = (4 × 3) + 23 + (7 × 3) − 5 = 12 + 23 + 21 − 5 = 51 Si y = 3, alors : 11y + 18 = 11 × 3 +18 = 33 + 18 = 51 Les deux expressions ont la même valeur numérique, elles sont donc équivalentes.

CH AP IT RE 3

LES Ex prES S ion S aLg ébriqu E S

S30

COMMENT fAirE ?

Comment réduire une expression algébrique par addition ou soustraction

3.4

1

Je repère les termes semblables.

2

Je les regroupe à l’aide des propriétés de la commutativité et de l’associativité.

3

J’additionne ou je soustrais les termes semblables.

Je veux réduire l’expression 6x2 − 7x + 4y − 11 + 12x + 5x2 + 14.

2

6x2 − 7x + 4y − 11 + 12x + 5x2 + 14 6x2 + 5x2 + −7x + 12x + 4y + −11 + 14

3

11x2 + 5x + 4y + 3

1

LA RÉDUCTION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES PAR MULTIPLICATION OU DIVISION

Il est possible de réduire une expression algébrique en multipliant ou en divisant les termes qu’elle contient. règle pour multiplier des expressions algébriques

Multiplication d’un monôme par un terme constant On multiplie le coefficient de la variable par le terme constant.

exemple

4 • 5a = (4 • 5)a = 20a

En algèbre, pour ne pas confondre le symbole de multiplication « × » avec la variable « x », on le remplace par un point « • ».

Multiplication d’un polynôme par un terme constant On applique la distributivité de la multiplication à l’addition ou à la soustraction, puis on calcule les produits des monômes entre parenthèses. Multiplication d’un monôme par un autre monôme On calcule d’abord le produit des coefficients des monômes. On présente ensuite le résultat du produit, sans symbole de multiplication, devant les variables placées en ordre alphabétique. Attention : Quand deux monômes ont une même variable, on calcule le produit de cette variable en additionnant ses exposants : b • b = b1 • b1 = b(1 + 1) = b2.

5(2a + 7) = (5 • 2a) + (5 • 7) = 10a + 35 4a • 5b = 4 • 5 • a • b = 20 • ab = 20ab 3ab • b = 3 • a • b • b = 3 • a • b2 = 3ab2

Multiplication d’un polynôme par un monôme 5a(2a + 7) = (5a • 2a) + (5a • 7) = (5 • 2 • a • a) + (5 • 7 • a) = (10 • a2) + (35 • a) = 10a2 + 35a

S31

CHAPIT RE 3

LES Expr ESS io nS aLg é br iq uE S

Algèbre

On applique la distributivité de la multiplication à l’addition ou à la soustraction, puis on calcule les produits des monômes entre parenthèses.

31

règle pour diviser des expressions algébriques

exemple

Division d’un monôme par un terme constant

28a ÷ 7 = (28 ÷ 7)a

On divise le coefficient de la variable par le terme constant.

= 4a ÷7 28a 7

=

4a 1

= 4a

÷7

On peut effectuer ces divisions à l’aide d’une fraction qu’on simplifie, ou réduit, pour obtenir une fraction irréductible.

Division d’un polynôme par un terme constant On applique la distributivité de la division à l’addition ou à la soustraction.

(35a − 14) ÷ 7 = (35a ÷ 7) − (14 ÷ 7) = 5a − 2 35a − 14 7

=

5 35a 7 1

=

5a 1

2 14 − 7 1 2

−1

= 5a − 2

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise des termes par une constante, on doit respecter les règles des signes, comme dans la multiplication ou la division de nombres entiers. −5 • 12x = (−5 • 12)x = −60x



−4(−8x + 3) = (−4 • −8x) + (−4 • 3) = 32x + −12 = 32x − 12

Quand on réduit une expression algébrique par multiplication ou division, on obtient une expression algébrique équivalente. 5a(2a + 7) = 10a2 + 35a Expression de départ Expression réduite

Quand un polynôme contient des termes semblables, on additionne ou on soustrait d’abord ces termes avant d’effectuer les multiplications ou les divisions.

L’expression algébrique de départ et l’expression réduite sont équivalentes, car elles ont la même valeur numérique.

Termes semblables

3(6a + 3 − 9a + 5) = 3(−3a + 8)

Algèbre

Termes semblables

3(−3a + 8) = (3 • −3a) + (3 • 8) = −9a + 24

32

CH AP IT RE 3

LES Ex prES S ion S aLg ébriqu E S

S32

COMMENT fAirE ?

Comment réduire une expression algébrique par multiplication ou division 1

Je réduis l’expression, s’il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes semblables.

2

J’effectue les multiplications ou les divisions.

1

Je réduis l’expression, s’il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes semblables.

2

3

Je veux réduire l’expression 2a(3a + 4a − 4) − (6a + 20 − 8) ÷ 3.

2a(3a + 4a − 4) − (6a + 20 − 8) ÷ 3 = 2a(7a − 4) − (6a + 12) ÷ 3 2a(7a − 4) − (6a + 12) ÷ 3 = (2a • 7a) − (2a • 4) −

6a 3

+

12 3

= 14a2 − 8a − 2a + 4 3

14a2 − 8a − 2a + 4 = 14a2 − 10a + 4

Quand un polynôme contient des produits, il est parfois possible de mettre en évidence un facteur commun. Cette mise en évidence permet de trouver le facteur qui a été distribué lors de la multiplication d’une somme ou d’une différence. −9a + 24 = (3 • −3a) + (3 • 8) = 3(−3a + 8) 9 et 24 sont divisibles par 3, donc 3 est un facteur commun de 9 et de 24.

Mise en évidence d’un facteur commun

COMMENT fAirE ?

Comment faire une mise en évidence 1

Je trouve le PGCD (plus grand commun diviseur) des termes de l’expression algébrique.

2

Je divise chaque terme de l’expression par le PGCD.

3

J’écris l’expression algébrique obtenue sous la forme d’un produit dont le PGCD est le facteur.

Je veux effectuer la mise en évidence de l’expression 21a + 7b − 49. 1

PGCD(7, 21, 49) = 7

2

21a 7

3

7(3a + b − 7)

+

7b 7



49 7

= 3a + b − 7

Je réduis chacune des expressions algébriques en effectuant les opérations mathématiques nécessaires. Si j’obtiens deux expressions réduites identiques, alors je peux affirmer que les deux expressions de départ sont équivalentes.

Je veux savoir si 3(6a − 5) et 4a − 9 + 14a − 6 sont des expressions algébriques équivalentes.

3(6a − 5) = (3 • 6a) − (3 • 5) = 18a − 15 4a − 9 + 14a − 6 = 4a + 14a − 9 − 6 = 18a − 15 Les deux expressions réduites sont identiques, les expressions de départ sont donc équivalentes.

S33

CHAPIT RE 3

LES Expr ESS io nS aLg é br iq uE S

Algèbre

COMMENT fAirE ?

Comment reconnaître deux expressions algébriques équivalentes à l’aide d’une réduction

33

chapitre défInITIon

4.1

LA RésoLuTIon d’équATIons à unE InConnuE

QU’EST-CE QU’UNE ÉQUATION à UNE INCONNUE ? Une équation à une inconnue est une relation d’égalité qui contient un terme manquant appelé inconnue. Inconnue

Inconnue

x + 14 = 26

Inconnue

4r + 7 = 31

31 = 45 − 2y

Les membres d’une équation sont formés d’expressions algébriques.

On peut inverser les membres d’une équation : si 31 = 45 − 2y, alors 45 − 2y = 31.

« 31 » et « 45 − 2y » sont les deux membres de l’équation.

Résoudre une équation à une inconnue, c’est trouver la valeur de cette inconnue qui rend la relation d’égalité vraie. Cette valeur est appelée solution de l’équation. Dans l’équation 24 = 3a, l’inconnue a vaut 8, car :

Dans l’équation 2x + 5 = 31, l’inconnue x vaut 13, car :

24 = 3 • a

2 • x + 5 = 31

24 = 3 • 8

2 • 13 + 5 = 31

24 = 24

Dans l’équation 4y + 8 = 5y − 7, l’inconnue y vaut 15, car : 4 • y + 8 = 5 • y − 7 4 • 15 + 8 = 5 • 15 − 7

26 + 5 = 31

60 + 8 = 75 − 7

31 = 31 La solution de l’équation est : a=8

La solution de l’équation est :

68 = 68 La solution de l’équation est :

x = 13

En algèbre, on utilise très souvent un point « • » pour indiquer une multiplication.

y = 15

Quand on traduit une situation par une équation, on doit être attentif aux mots clés, car ils peuvent indiquer les opérations à effectuer.

Algèbre

Quelques exemples de mots clés

34

Mots clés pouvant indiquer une addition

Mots clés pouvant indiquer une soustraction

Somme, total, plus, de plus que, en plus, en tout, ensemble, ajouté, augmenté, etc.

Différence, moins, de moins que, en moins, enlevé, retranché, ôté, diminué, baissé, reste, etc.

Mots clés pouvant indiquer une Multiplication

Mots clés pouvant indiquer une division

Produit, fois, double, triple, quadruple, doublé, triplé, fois plus que, carré, cube, etc.

Quotient, partagé, part, séparé, moitié, demie, tiers, quart, fois moins que, etc.

CH AP IT RE 4

l a rés olu t ion d ’ équat ion s à u ne i nconnue

S34

CommEnT fAIRE ?

Comment traduire une situation par une équation 1

2

3

Je lis attentivement l’énoncé, puis je détermine les données de la situation et ce que je cherche (inconnues). Je représente par une lettre, par exemple x, l’inconnue pour laquelle j’ai le moins d’information. J’utilise l’inconnue et les mots clés de la situation pour construire des expressions algébriques qui représentent les autres données que je cherche.

4

Je construis les deux membres de l’équation.

5

Je réduis l’équation, s’il y a lieu.

4.2

Je veux traduire la situation suivante par une équation. Zahir et Anita ont lu 24 bandes dessinées. Anita a lu deux fois moins de bandes dessinées que Zahir. Combien de bandes dessinées Anita a-t-elle lues ?

Données : le nombre de bandes dessinées lues par Zahir et Anita, soit 24.

1

Inconnues : le nombre de bandes dessinées lues par Zahir et le nombre de bandes dessinées lues par Anita. 2

x : le nombre de bandes dessinées lues par Anita.

3

Zahir a lu deux fois plus de bandes dessinées qu’Anita. Le nombre de bandes dessinées lues par Zahir est donc 2x.

4

Le nombre total de bandes dessinées lues est égal à la somme des bandes dessinées lues par Zahir et Anita. Donc, x + 2x = 24.

5

Équation réduite : 3x = 24.

LES MÉTHODES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS

Il existe diverses méthodes pour trouver la solution d’une équation à une inconnue.

LA MÉTHODE PAR ESSAIS ET ERREURS Cette méthode consiste à remplacer l’inconnue par différentes valeurs jusqu’à ce qu’on obtienne la solution.

1er essai : on remplace a par 9. 5•9 3 45 3

− 12 = 8 − 12 = 8

L’égalité est fausse, car 3 < 8.

Puisque 3 < 8, on peut déduire que a > 9.

S35

− 12 = 8.

2e essai : on remplace a par 15. 5 • 15 3 75 3

15 − 12 = 8 3=8

5a 3

3e essai : on remplace a par 12. 5 • 12 3 60 3

− 12 = 8 − 12 = 8

25 − 12 = 8 13 = 8

− 12 = 8 − 12 = 8

20 − 12 = 8

L’égalité est fausse, car 13 > 8. 8 = 8

Puisque 13 > 8, on peut déduire que 9 < a < 15.

CHAPIT RE 4

L’égalité est vraie.

Puisque 8 = 8, on peut conclure que a = 12.

la résolution d’équat io n s à un e in co n n ue

Algèbre

Par exemple, on cherche la valeur de a dans :

35

LA MÉTHODE DU TERME CACHÉ, OU MÉTHODE DU RECOUVREMENT Cette méthode consiste à masquer un terme algébrique en le recouvrant, par exemple, d’un point d’interrogation. On cherche ensuite la valeur du terme caché, appelé terme manquant. Par exemple, on cherche la valeur de a dans : 1. On cherche la valeur de 5a 3

5a 3

.

? − 12 = 8 Donc, 20 − 12 = 8. Puisque ? = 20, alors

= 20.

3. On cherche la valeur de a. 5a = 60

= 20

5 • ? = 60

= 20

Donc, 5a 3

− 12 = 8.

2. On cherche la valeur de 5a. 5a 3 ? 3

− 12 = 8

5a 3

60 3

Donc, 5 • 12 = 60.

= 20

Puisque ? = 60, alors 5a = 60.

Puisque ? = 12, on peut conclure que la solution est a = 12.

LA MÉTHODE DES OPÉRATIONS INVERSES Cette méthode consiste à isoler l’inconnue en transformant les opérations d’une équation en opérations inverses. Par exemple, on cherche la valeur de a dans : 1. On transforme les opérations de l’équation en opérations inverses. On inverse aussi le sens dans lequel on doit effectuer les opérations. 5a 3

− 12 = 8

5a 3

− 12 = 8.

2. On effectue les opérations de droite à gauche.

a = ÷ 5 ← • 3 ← + 12 ← 8 (On calcule 8 + 12.)

a → • 5 → ÷ 3 → − 12 = 8

a = ÷ 5 ← • 3 ← 20 (On calcule 20 • 3.)

a = ÷ 5 ← • 3 ← + 12 ← 8

a = ÷ 5 ← 60 (On calcule 60 ÷ 5.)

La flèche ← indique le sens dans lequel on effectue les opérations.

a = 12 La solution est a = 12.

LA MÉTHODE DE L’ÉQUILIBRE, OU MÉTHODE DE LA BALANCE Cette méthode consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres de l’équation. Elle est basée sur les règles de transformation des équations. Ces règles permettent de transformer une équation en gardant les deux membres de l’équation en « équilibre », comme les deux plateaux d’une balance. ExEmplE : règles de transforMation des équations

Algèbre

1. On peut additionner ou soustraire une même valeur aux deux membres d’une équation.

36

Dans l’exemple, on soustrait 24 aux deux membres de l’équation. Cela permet d’éliminer le terme constant 24 et, ainsi, d’isoler le terme algébrique 4x. 2. On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par une même valeur (différente de zéro). Dans l’exemple, on divise les deux membres de l’équation par quatre pour isoler x . On obtient alors la solution de l’équation.

CH AP IT RE 4

l a rés olu t ion d ’ équat ion s à u ne i nconnue

4x + 24

=

36

4x + 24 − 24

=

36 − 24

4x

=

12

4x ÷ 4

=

12 ÷ 4

x

=

3

S36

La méthode de l’équilibre peut être utilisée pour résoudre n’importe quel type d’équation. Membre de gauche

On cherche la valeur de y dans 5y + 3 = y + 51. Pour éliminer le terme algébrique y dans le membre de droite, on soustrait y aux deux membres de l’équation. On effectue les soustractions. Pour isoler, dans le membre de gauche, le terme algébrique 4y, on soustrait trois aux deux membres de l’équation. On effectue les soustractions. Pour isoler l’inconnue y, on divise par quatre les deux membres de l’équation.

Membre de droite

5y + 3

=

y + 51

5y + 3 − y

=

y + 51 − y

5y − y + 3

=

y − y + 51

4y + 3

=

51

4y + 3

=

51

4y + 3 − 3

=

51 − 3

4y + 3 − 3

=

51 − 3

4y

=

48

4y

=

48

4y ÷ 4

=

48 ÷ 4

y

=

12

On effectue la division pour obtenir la solution de l’équation.

CommEnT fAIRE ?

Comment valider une solution Je remplace l’inconnue, dans l’équation de départ, par la solution que j’ai trouvée.

Je veux valider la solution b = 5 dans l’équation 12b − 6 = 54.

12b − 6 = 54 12 • 5 − 6 = 54 60 − 6 = 54 54 = 54 L’égalité est vraie. Donc, b = 5 est la solution de l’équation.

Quand on utilise les règles de transformation des équations, on obtient des équations équivalentes. Ces équations ont la même solution. Les trois équations suivantes sont équivalentes, car leur solution est y = 12. 5y + 3 = y + 51

4y + 3 = 51

4y = 48

(5 • 12) + 3 = 12 + 51

S37

(4 • 12) + 3 = 51

(4 • 12) = 48

60 + 3 = 63

48 + 3 = 51

48 = 48

63 = 63

51 = 51

L’égalité est vraie.

L’égalité est vraie.

L’égalité est vraie.

CHAPIT RE 4

la résolution d’équat io n s à un e in co n n ue

Algèbre

validation

37

CommEnT fAIRE ?

Comment vérifier si deux équations sont équivalentes 1

Je résous l’une des deux équations.

2

Je remplace l’inconnue de la seconde équation par ma solution. Si l’égalité que j’obtiens est vraie, je peux affirmer que les deux équations sont équivalentes.

Je veux savoir si x + 14 = 27 et 2x + 28 = 54 sont deux équations équivalentes. 1

La solution de x + 14 = 27 est x = 13, car 13 + 14 = 27. 2x + 28 = 54

2

2 • 13 + 28 = 54 26 + 28 = 54 54 = 54 L’égalité est vraie. Les deux équations ont la même solution, soit x = 13. Elles sont donc équivalentes.

4.3

LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU 1er DEgRÉ à UNE INCONNUE

LA RÉDUCTION DES MEMBRES D’UNE ÉQUATION Avant de résoudre une équation, il est souvent possible de réduire les expressions algébriques qu’elle contient. Il existe différentes façons de réduire une équation. On peut réduire les expressions algébriques d’une équation en effectuant l’addition ou la soustraction des termes semblables, ou en effectuant les multiplications ou les divisions. Réduction par addition des termes semblables 11a + 9 + 7a + 15 = 60

Réduction par multiplication 4(−9x + 8) = 3(2x + 6)

18a + 24 = 60

4 • −9x + 4 • 8 = 3 • 2x + 3 • 6 −36x + 32 = 6x + 18

Équation réduite

Équation réduite

11a + 7a + 9 + 15 = 60

Algèbre

On peut réduire une équation en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes, puis en éliminant ce facteur commun.

38

18a + 24 = 60 Les trois termes sont divisibles par 6.

CH AP IT RE 4

(6 • 3a) + (6 • 4) = 6 • 10

6(3a + 4) = 6 • 10

Mise en évidence du facteur

l a rés olu t ion d ’ équat ion s à u ne i nconnue

3a + 4 = 10 Équation réduite après l’élimination du facteur commun

S38

On peut réduire une équation dont les membres sont des fractions en calculant le produit des moyens et des extrêmes. À gauche de l’égalité, on multiplie les extrêmes

−9x + 8 2x + 6 = 3 4

À droite de l’égalité, on multiplie les moyens.

4(−9x + 8) = 3(2x + 6) 4 • −9x + 4 • 8 = 3 • 2x + 3 • 6 −36x + 32 = 6x + 18

−9x + 8 2x + 6 = 3 4

Équation réduite

« −9x + 8 » et « 4 » sont les extrêmes, et « 3 » et « 2x + 6 » sont les moyens.

LE CHOIX D’UNE MÉTHODE POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION Le choix d’une méthode de résolution dépend de la forme de l’équation. Dans certains cas, il est possible d’utiliser n’importe quelle méthode. Il peut arriver aussi qu’une méthode en particulier se révèle plus efficace que les autres. Quand l’inconnue se trouve dans un seul membre de l’équation, on peut choisir la méthode par essais et erreurs, la méthode du terme caché ou la méthode des opérations inverses. Par exemple, on veut résoudre l’équation 5y + 3 = 38. Méthode par essais et erreurs

Méthode du terMe caché

Méthode des opérations inverses

5y + 3 = 38

5y + 3 = 38

5y + 3 = 38

5 • 6 + 3 = 33

? + 3 = 38

y → • 5 → +3 = 38

5 • 8 + 3 = 43

35 + 3 = 38

5 • 7 + 3 = 38

Si 5y = 35,

La solution est y = 7.

y = ÷ 5 ← – 3 ← 38 y = ÷ 5 ← 35

alors 5 • 7 = 35.

y=7

La solution est y = 7.

La solution est y = 7.

Quand l’inconnue se trouve dans les deux membres de l’équation, on choisit habituellement la méthode de l’équilibre. Par exemple, on veut résoudre l’équation −36x + 32 = 6x + 18. Méthode de l’équilibre −36x + 32 = 6x + 18 −36x + 36x + 32 = 6x + 36x + 18 32 = 42x + 18 14 = 42x 14 ÷ 42 = 42x ÷ 42

S39

14 42

=x

1 3

=x

La solution de l’équation est une fraction irréductible.

CHAPIT RE 4

la résolution d’équat io n s à un e in co n n ue

Algèbre

32 − 18 = 42x + 18 − 18

39

CommEnT fAIRE ?

Comment résoudre une équation du 1er degré à une inconnue 1

Je réduis, s’il y a lieu, chaque membre de l’équation.

2

Je choisis la méthode de résolution la plus efficace.

3

Je résous l’équation.

4

Je valide ma solution en remplaçant l’inconnue par la solution que j’ai trouvée.

Je veux résoudre l’équation 14(3x − 11) = 12x − 4. 1

Je réduis l’équation par multiplication. 14(3x − 11) = 12x − 4 14 • 3x − 14 • 11 = 12x − 4 42x − 154 = 12x − 4

2

Je choisis la méthode de l’équilibre.

3

Je résous l’équation. 42x − 154 = 12x − 4 42x − 154 + 154 = 12x − 4 + 154 42x = 12x + 150 42x − 12x = 12x − 12x + 150 30x = 150 30x ÷ 30 = 150 ÷ 30 x=5

4

Je valide ma solution. 14(3x − 11) = 12x − 4 14(3 • 5 − 11) = 12 • 5 − 4 14(15 − 11) = 60 − 4 14 • 4 = 56 56 = 56

Algèbre

L’égalité est vraie. Donc, x = 5 est la solution de l’équation.

40

CH AP IT RE 4

l a rés olu t ion d ’ équat ion s à u ne i nconnue

S40

géométrie OÙ SONT LES MATHS ? La géométrie, c’est souvent une question de plan ! Elle te permet de savoir comment sont construits les objets qui t’entourent et de voir les choses sous un autre angle... La géométrie, c’est en quelque sorte la découverte du monde sous toutes ses formes.

S41

Chapitre 5

Les mesures manquantes dans un polygone . . 42

Chapitre 6

L’aire des polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chapitre 7

Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapitre 8

Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 9

Les transformations géométriques . . . . . . . . . . 69

41

Chapitre défiNiTiON

5.1

LES MESurES MANquANTES dANS uN pOLygONE

QU’EST-CE QU’UNE DROITE ? UN ANGLE ? Une droite est une ligne formée d’une infinité de points placés les uns à côtés des autres. Deux droites peuvent être parallèles ou sécantes.

d1

Outil 4, Les angles, p. O5

d1 d2

d1 ∙∙ d2

Les droites perpendiculaires sont des sécantes qui se coupent à angle droit.

d2

A

d1 ⊥ d2

B

Un angle est formé par deux demi-droites ou deux segments qui se coupent. Le sommet d’un angle est le point de rencontre de ces deux demi-droites ou de ces deux segments.

A

m∠ BAC = 35°

A est le sommet. Les demi-droites AB et AC forment les côtés de l’angle.

C

Lorsqu’une sécante coupe une ou plusieurs droites, elle forme des paires d’angles qui ont des propriétés communes. Relations entRe les angles

exemple

géométrie

Angles adjacents  Paire d’angles qui ont le même sommet, un côté commun, et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

42

2 11 2 AA

AA

64° 64°

26° 26°

55° 55° 11

Angles supplémentaires Angles dont la somme des mesures est égale à 180°.

22

120° 120°

Les angles angles AA et et BB sont sont Les complémentaires. complémentaires. 90° m∠ ∠AA ++ m m∠ ∠BB == 90° m

BB

Les angles angles 11 et et 22 sont sont Les supplémentaires. supplémentaires. m∠ ∠22 == 180° 180° m∠ ∠11 ++ m m

125° 125°

60° 60°

AA

Les angles angles AA et et BB sont sont Les supplémentaires. supplémentaires. m∠ ∠AA ++ m m∠ ∠BB == 180° 180° m

BB dd22

LES m ESu r ES man quantES danS u n poLygon E

Les angles angles 11 et et 22 sont sont Les complémentaires. complémentaires. m∠ ∠11 ++ m m∠ ∠22 == 90° 90° m

55° 55° 11 35° 22 35°

Angles complémentaires Angles dont la somme des mesures est égale à 90°.

CH AP IT RE 5

Les angles angles 11 et et 22 Les sont adjacents. adjacents. sont

Côté commun commun Côté

50° 50°

130° 130°

11 22

Les angles angles 11 et et 33 ainsi ainsi Les que 22 et et 44 sont sont opposés opposés que par le le sommet. sommet. par ∠ 1 ≅ ∠ 3 et ∠ 2 ≅ ∠ 4

S42

Relations entRe les angles (suite)

exemple

Angles alternes-internes  Paire d’angles qui n’ont pas le même sommet et qui sont situés de part et d’autre d’une sécante, à l’intérieur de deux droites coupées par cette sécante.

Angles alternes-externes  Paire d’angles qui n’ont pas le même sommet et qui sont situés de part et d’autre d’une sécante, à l’extérieur de deux droites coupées par cette sécante.

Angles correspondants Paire d’angles qui n’ont pas le même sommet et qui sont situés d’un même côté d’une sécante, l’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur de deux droites coupées par cette sécante.

Si d1 ∙∙ d2, alors : m ∠ 2 = m ∠ 8 = 130° m ∠ 3 = m ∠ 5 = 50°

1

4

2 130°

d1

3 50°

8

5 6

Si d1 ∙∙ d2, alors : m ∠ 1 = m ∠ 7 = 50° m ∠ 4 = m ∠ 6 = 130°

50°1

4 2

s

130° d1 3 8

5

50°1

4 2

d2 7

6

Si d1 ∙∙ d2, alors : m ∠ 1 = m ∠ 5 = 50° m ∠ 2 = m ∠ 6 = 130° m ∠ 3 = m ∠ 7 = 50° m ∠ 4 = m ∠ 8 = 130°

d2 7

s

130° d1 3 8

5 6

d2 7 s

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O13 à O15

On utilise les propriétés des droites remarquables pour trouver la mesure de certains angles ou de certains segments.

Médiatrice Droite perpendiculaire à un segment et passant par le milieu de ce segment.

exemple

d est la médiatrice de AB, donc AO ≅ OB.

d

O

A

B

A Bissectrice Droite qui partage un angle en deux angles isométriques.

OC est la bissectrice de ∠ AOB, donc ∠ AOC ≅ ∠ COB.

C

35° 35°

O

B A

AO est la médiane issue de A, donc BO ≅ OC.

Médiane Dans un triangle, segment qui relie l’un des sommets au milieu du côté opposé à ce sommet. B Note : Le symbole « S43

O

C

» indique que des segments sont isométriques. CHAPIT RE 5

La médiatrice est l’axe de symétrie du segment qu’elle coupe.

La bissectrice est l’axe de symétrie de l’angle qu’elle coupe.

Le symbole « ≅ » indique que des segments ou des angles sont isométriques.

LES m ESur ES ma nquantES danS un p oLyg o n E

géométrie

DRoite RemaRquable

43

5.2

LES MESURES MANQUANTES DANS UN TRIANGLE

Outil 6, Les polygones, p. O8 Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O13 à O15

Les triangles sont des polygones à trois côtés. On les classe selon les mesures de leurs côtés ou de leurs angles. Classification des triangles selon les mesures de leurs côtés Triangle équilatéral

Triangle isocèle

3 côtés isométriques

Triangle scalène

2 côtés isométriques

3 côtés de longueurs différentes (aucun côté isométrique)

Classification des triangles selon les mesures de leurs angles Triangle équiangle

Triangle isoangle

Triangle rectangle

Triangle obtusangle

Triangle acutangle

3 angles isométriques

2 angles isométriques

1 angle droit

1 angle obtus

3 angles aigus

On peut utiliser les propriétés suivantes pour trouver la mesure d’un côté ou d’un angle dans un triangle. pRopRiété Du tRiangle

exemple

B

m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180°

B

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est toujours égale à 180°. A La mesure d’un angle extérieur à un triangle est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. La somme des mesures d’un angle extérieur à un triangle et de l’angle intérieur qui lui est adjacent est toujours égale à 180°.

C

A A

m ∠ D = m ∠A + m ∠ B m ∠ D + m ∠ C = 180° Angle extérieur

D C

B B

géométrie

Si AB ≅ BC, alors ∠ A ≅ ∠ C

44

Dans un triangle isocèle (isoangle), les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.

L’axe de symétrie d’un triangle équilatéral et d’un triangle isocèle (isoangle) supporte à la fois une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle.

CH AP IT RE 5

LES m ESu r ES man quantES danS u n poLygon E

A

D C

A

B

C B

A

A

La hauteur h d’un triangle est une droite perpendiculaire qui relie un sommet à son côté opposé.

B

A

BD est à la fois : • la médiane issue du sommet B, • la médiatrice de AC, • la bissectrice de ∠ B, • la hauteur issue du sommet B.

C

D

C

B

C D

C

S44

5.3

LES MESURES MANQUANTES DANS UN QUADRILATÈRE Outil 6, Les polygones, p. O7

On utilise les propriétés et caractéristiques suivantes pour trouver la mesure d’un côté ou d’un angle dans un quadrilatère convexe. TRApÈzE

TRApÈzE RECTANGLE b

b

b

b

b

pRopRiété et CaRaCtéRistique c1 c2 Du quaDRilatèRe Convexe

c1 c

c2

B B

B

A deux côtés parallèles.

b

b

c2 c c

c1 h

c

TRApÈzE ISOCÈLE

B B

ch

c c

P=B+b+h+c

P = B + b + 2c





• •



A deux paires d’angles consécutifs isométriques.



A deux paires d’angles consécutifs supplémentaires.



Ses diagonales sont isométriques.



CARRé

RECTANGLE

b

b

h

h

c c

c

c

b

S45

LOSANGE

b

P = 4c

P = 2(b + h)

P = 2b + 2c

P = 4c

Ses côtés opposés sont parallèles et isométriques.









Ses quatre côtés sont isométriques.



Ses angles opposés sont isométriques.









Ses angles consécutifs sont supplémentaires.









Ses diagonales se coupent en leur milieu.









Ses diagonales sont perpendiculaires.



Ses quatre angles sont isométriques et droits.





Ses diagonales sont isométriques.







Dans un quadrilatère, les diagonales forment des triangles.



CHAPIT RE 5

LES m ESur ES ma nquantES danS un p oLyg o n E

géométrie

c

pARALLéLOGRAMME

La somme des mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère est toujours égale à 360°.

b c

c

B

P = B + b + c1 + c2

A deux angles droits.

h

BB

B

Ses deux côtés non parallèles sont isométriques.

pRopRiété et hc CaRaCtéRistique Du quaDRilatèRe Convexe

b

b

45

COMMENT fAirE ?

Comment trouver des mesures manquantes dans un triangle ou un quadrilatère 1

Je note les mesures qui sont indiquées dans la figure ou l’énoncé du problème.

2

Je détermine les caractéristiques du triangle ou du quadrilatère donné pour savoir quelles propriétés de ses côtés et de ses angles je peux utiliser.

3

À l’aide des propriétés du triangle ou du quadrilatère et, s’il y a lieu, de celles des angles et des droites remarquables, je trouve la ou les mesures manquantes et je justifie mes réponses.

Je veux trouver la mesure de l’angle BCO, les mesures des angles du quadrilatère ABCD et le périmètre de ce quadrilatère. 1

m AD = 3 cm ; m ∠ DBC = 75°

Le périmètre P d’un polygone est égal à la somme des mesures de ses côtés. Le périmètre du quadrilatère ABCD est égal à m AB + m BC + m CD + m DA.

B 75° A

C

O 3 cm D Affirmations

2

3

Justifications

Le quadrilatère ABCD est un losange.

Les côtés du quadrilatère sont isométriques et ses diagonales sont perpendiculaires.

Le triangle BCO est un triangle rectangle.

∠ BOC et ∠ AOB sont supplémentaires, donc m ∠ BOC = 90°. La somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180°. 180 − 75 − 90 = 15. La diagonale BD est un axe de symétrie, donc les angles ABD et CBD sont isométriques.

m ∠ BCO = 15°.

m ∠ B = 75° + 75° = 150°

m ∠ D = 150°

géométrie

∠ D est opposé à ∠ B, donc ils sont isométriques. m ∠ A = 180° − 150° = 30° Les angles consécutifs sont supplémentaires. m ∠ C = 30° ∠ C est opposé à ∠ A,

46

donc ils sont isométriques. P = 4c = 4 × 3 = 12 cm

CH AP IT RE 5

LES m ESu r ES man quantES danS u n poLygon E

S46

5.4

LES MESURES MANQUANTES DANS UN pOLYGONE DE pLUS DE QUATRE CÔTéS Outil 6, Les polygones, p. O8

Il existe une infinité de polygones de plus de quatre côtés. On les classe et on les nomme selon leur nombre de côtés. quelques polygones réguliers de plus de quatre côtés pentagone

Hexagone

Heptagone

5 côtés

6 côtés

7 côtés

Octogone

Décagone

Dodécagone

8 côtés

10 côtés

12 côtés

Les préfixes penta-, hexa-, hepta-, etc., sont des mots d’origine grecque qui indiquent le nombre de côtés. 

Les polygones réguliers sont composés de plusieurs triangles isocèles isométriques. Ces triangles isocèles partagent le même sommet situé au centre C du polygone. Centre C du pentagone

C

Centre C de l’hexagone

Centre C de l’heptagone

C

Centre C de l’octogone Tout polygone régulier peut être divisé en autant de triangles isocèles qu’il a de côtés.

C

C

On utilise les propriétés suivantes pour trouver la mesure d’un angle intérieur dans un polygone convexe de quatre côtés et plus.

La somme S des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe qui a n côtés est égale à : S = (n – 2) × 180° « n – 2 » correspond au nombre de triangles formés par les diagonales issues d’un même sommet. « 180° » correspond à la somme des angles intérieurs d’un triangle.

La somme S des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe est toujours égale à 360°.

La somme S des mesures des angles au centre d’un polygone convexe est toujours égale à 360°.

S47

exemple

On calcule la mesure d’un angle intérieur d’un polygone régulier en divisant la somme S des mesures de ses angles intérieurs par le nombre de ses côtés.

Un pentagone régulier a 5 angles intérieurs de 108°, car S = (5 – 2) × 180° = 540° et

540° = 108°. 5

A

108°

Angle intérieur Un pentagone régulier a 5 angles extérieurs de 72°, car 360° = 72°. 5

Un pentagone régulier a 5 angles au centre de 72°, car 360° = 72°. 5

CHAPIT RE 5

Angle extérieur

A

72°

72° Angle au centre

A

LES m ESur ES ma nquantES danS un p oLyg o n E

géométrie

pRopRiété Du polygone Convexe

47

Chapitre défInITIon

6.1

L’AIRE dEs PoLygonEs

Outil 5, Les droites, p. O6 Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8

QU’EST-CE QU’UNE AIRE ? Une aire est la mesure d’une surface délimitée par une figure plane. Figure plane (carré)

3 cm

La surface est limitée par les côtés qui forment la figure.

Surface

Le symbole de l’aire est A. L’aire s’exprime en unités carrées (mm2, cm2, dm2, m2, km2, etc.).

A = 9 cm2 Aire (A )

On peut utiliser les formules suivantes pour calculer l’aire de polygones. Les formules d’aire varient selon chaque type de polygone. type de polygone

formule d’aire

exemple

Côté c

Carré L’aire d’un carré est égale à la mesure d’un de ses côtés c au carré.

A=c×c A=c

2

3 cm

A=3×3 = 32 = 9 cm2

Pour obtenir la mesure du côté d’un carré à partir de son aire, on peut extraire la racine carrée de l’aire. Si A = c2, alors c = ∙A. Si A = 9 cm2, alors c = ∙9 = 3 cm.

géométrie

Hauteur h

48

Rectangle L’aire d’un rectangle est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h.

A=b×h

Parallélogramme L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h.

A=b×h

CH AP IT RE 6

L ’ a ire d es po Lyg on es

3 cm

A=5×3 = 15 cm2

5 cm

Base b Hauteur h

A=5×3 = 15 cm2

Deux figures de formes ou de péri­ mètres différents peuvent avoir la même aire.

3 cm Base b

5 cm

S48

type de polygone

formule d’aire

A=

Triangle L’aire d’un triangle est égale au produit de la mesure de sa base b et de la mesure de sa hauteur h, divisé par deux.

exemple

Hauteur h

b×h 2

4×3 2

A=

= 12 ÷ 2 = 6 cm2

3 cm

Base b

4 cm

Losange L’aire d’un losange est égale au produit de la mesure de sa grande diagonale D et de la mesure de sa petite diagonale d, divisé par deux.

A=

A=

Petite diagonale d

D×d 2

3 cm

4×3 2

= 12 ÷ 2 = 6 cm2

Grande diagonale D

4 cm Trapèze L’aire d’un trapèze est égale à la somme de la mesure de sa grande base B et de la mesure de sa petite base b, divisée par deux, puis multipliée par la mesure de sa hauteur h.

A=

(B + b ) 2

Petite base b

3 cm ×h

A=

Hauteur h

(5 + 3) ×3 2

=8÷2×3 = 12 cm2

3 cm

5 cm

Grande base B

1

Je note les mesures indiquées dans la figure ou l’énoncé du problème.

2

Je détermine le type de polygone dont il s’agit, et je note sa formule d’aire.

3

Je trouve la mesure manquante en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

B

Je veux trouver la mesure du segment AD, sachant que l’aire du quadrilatère ABCD égale 12 cm2. 1

2

m BC = 3 cm ; m BE = 3 cm ; AABCD = 12 cm2. (B + b) 2

A

D

E

×h

Je choisis la méthode de l’équilibre pour trouver la mesure du segment AD, c’est-à-dire la mesure de la grande base B du trapèze.

C

3 cm

Il s’agit d’un trapèze. A=

3

3 cm

A= 12 =

(B + b) 2 (B + 3) 2

×h ×3

12 × 2 = (B + 3) × 3 24 = (B + 3) × 3 24 ÷ 3 = B + 3 8=B+3 8–3=B 5=B B = 5 cm

Quand on calcule l’aire d’un polygone, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité de mesure. Si ce n’est pas le cas, on fait une conversion.

Le segment AD mesure 5 cm.

S49

CHAPIT RE 6

L’air e d e s p o Lyg o n e s

géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver une mesure manquante d’un polygone à partir de son aire

49

6.2

L’AIRE D’UN POLYGONE DE PLUS DE QUATRE CÔTÉS

Outil 5, Les droites, p. O6 Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8

On utilise la mesure de l’apothème a pour calculer l’aire d’un polygone régulier. L’apothème est un segment perpendiculaire qui relie le centre du polygone au milieu d’un de ses côtés. Il correspond à la hauteur des triangles isocèles isométriques qui forment le polygone régulier. c

c

c a

c a

a

P = 6c

P = 7c

a

Apothème

P = 5c

P = 8c

On peut décomposer un polygone régulier en autant de triangles isocèles que le polygone a de côtés. Le périmètre P d’un polygone régulier est égal au produit du nombre de ses côtés n et de la mesure d’un côté c.

On obtient l’aire d’un polygone régulier en multipliant le nombre de côtés n par la mesure d’un côté c et par la mesure de l’apothème a, puis en divisant le résultat obtenu par deux. Comme le produit du nombre de côtés n et de la mesure d’un côté c est égal au périmètre P d’un polygone régulier, on peut calculer l’aire d’un polygone régulier en multipliant le périmètre P par la mesure de l’apothème a et en divisant le résultat obtenu par deux. Formules de l’aire d’un polygone régulier A=

(nombre de côtés) × (côté) × (apothème) 2 A=

n×c×a 2

5 × 4 × 3,5 2 20 × 3,5 A= 2 A = 70 ÷ 2 A=

OU

A=

(périmètre) × (apothème) 2 A=

OU

Côté c

géométrie

A = 35 cm2

50

3,5 cm

Apothème a

CH AP IT RE 6

L ’ a ire d es po Lyg on es

P×a 2

4 cm

S50

CommEnT fAIRE ?

Comment tracer l’apothème d’un polygone régulier de plus de quatre côtés Je trace la médiatrice de la base du polygone et celle d’un autre côté.

1

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O13

2

Je trace un point à l’intersection des deux médiatrices. Je nomme ce point à l’aide d’une lettre majuscule, par exemple O. Ce point est le centre du polygone.

3

À l’aide d’une règle, je trace l’apothème en reliant le centre O au milieu de la base du polygone. Je mesure, s’il y a lieu, la longueur de l’apothème.

Je veux tracer l’apothème du pentagone ABCDE, puis trouver sa mesure. C

1

C

2

D

B

D

B

C

3

D

B

O

O a

A

E

E

A

E

A

L’apothème mesure 1,4 cm.

1

2

3

Je note la ou les mesures indiquées dans la figure ou l’énoncé du problème. Je détermine le type de polygone dont il s’agit, et je note sa formule d’aire. Je trouve la ou les mesures manquantes en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

Je veux trouver la mesure d’un côté du polygone ABCDEF, sachant que son aire est égale à 5,85 cm2. C D 1

m GH = 1,3 cm ; AABCDEF = 5,85 cm2.

2

Il s’agit d’un hexagone régulier. A=

3

B

1,3 cm

Je choisis la méthode de l’équilibre pour trouver la mesure d’un côté c. A= 5,85 = 5,85 = 5,85 × 2 =

E

G

n×c×a 2

A

H

F

n×c×a 2 6 × c × 1,3 2 c × 7,8 2 c × 7,8 ×2 2

11,7 = c × 7,8 11,7 7,8

=

c × 7,8 7,8

1,5 = c c = 1,5 cm La mesure d’un côté du polygone ABCDEF est égale à 1,5 cm.

S51

CHAPIT RE 6

L’air e d e s p o Lyg o n e s

géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver une ou des mesures manquantes d’un polygone de plus de quatre côtés à partir de son aire

51

défInITIon

L’AIRE DES POLYGONES DÉCOMPOSABLES Un polygone décomposable est un polygone que l’on peut décomposer en plusieurs polygones plus simples. Rectangle

Triangle isocèle

La décomposition d’un polygone non régulier de plus de quatre côtés est souvent utile pour faciliter le calcul de son aire.

Ce pentagone non régulier est décomposable en deux polygones : un rectangle et un triangle isocèle.

Polygone décomposable

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer l’aire d’un polygone décomposable 1

2

3

4

Je décompose le polygone en triangles, en quadrilatères ou en d’autres polygones. Je note les mesures indiquées dans la figure ou l’énoncé du problème.

Je veux trouver l’aire du polygone ABCDE. 1

2

Je choisis les formules d’aire appropriées et j’effectue mes calculs. J’additionne les aires des polygones pour trouver l’aire totale du polygone décomposable.

Il s’agit d’un pentagone non régulier. Il peut être décomposé en un carré BCDE et en un triangle rectangle isocèle ABE. m∠A = m∠C = m ∠ D = 90°.

C

E

5 cm

D

A 3,5 cm

Côté du carré : m BC = m ED = 5 cm. Base b du triangle : m AE = 3,5 cm. Hauteur h du triangle : m AB = 3,5 cm. 3

4

géométrie

5 cm

3,5 cm

Je cherche l’aire du carré BCDE.

Je cherche l’aire du triangle ABE.

A = c2 =5×5 = 25 cm2

A= = =

52

B

AABCDE = ABCDE + AABE

b×h 2 3,5 × 3,5 2 12,25 2

= 6,125 cm2

= 25 + 6,125 = 31,125 cm2 L’aire du polygone ABCDE est égale à 31,125 cm2.

CH AP IT RE 6

L ’ a ire d es po Lyg on es

S52

chapitrE défInITIon

7.1

LE CERCLE

QU’EST-CE QU’UN CERCLE ? Un cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont à égale distance d’un point intérieur appelé centre. Un rayon r est un segment qui relie un point d’un cercle au centre O de ce cercle. Une corde est un segment qui relie deux points d’un cercle. Un diamètre d est un segment qui relie deux points d’un cercle et qui passe par le centre O de ce cercle. C’est la plus longue corde du cercle.

Cercle

AO, BO et EO sont des rayons. CD et BE sont des cordes. BE est un diamètre.

B C

Centre O

A

O

r

Il y a une infinité de rayons, de cordes et de diamètres dans un cercle.

d D E

On peut utiliser les propriétés suivantes pour décrire un cercle ou pour trouver des mesures manquantes. ProPriété du cercle

exemPle

B

A Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.

C

S53

m OA = m 2

Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle.

Les médiatrices d1 et d2 se rencontrent au point O, qui correspond au centre du cercle.

AB ≅ CD ≅ EF ≅ GH

A

OA ≅ OB ≅ OC ≅ OD ≅ OE ≅ OF ≅ OG ≅ OH

C

E

O

H

G

m AB = 2 × m OA AB

F

Tous les rayons d’un cercle sont isométriques.

B

D B C

d1 A

Tous les diamètres d’un cercle sont isométriques.

O

d2 D

CHA PITRE 7

LE cE rcLE

géométrie

La mesure d’un diamètre d est égale au double d’un rayon r. d = 2r La mesure d’un rayon r est égale à la moitié d’un diamètre d. d r=2

53

CommEnT fAIRE ?

Comment tracer un cercle À partir de deux points 1

2

3

4

Je relie les points en traçant un segment.

J’écarte les pointes du compas selon un rayon donné. Je pose la pointe traçante du compas sur l’un des deux points, et la pointe sèche sur la médiatrice.

géométrie 54

1

2

3

A

A

B

B

A 4

Je trace le cercle.

1

Je relie les points en traçant deux segments.

2

Je trace la médiatrice de chaque segment. Je place un point où se croisent les deux médiatrices. Ce point est le centre O du cercle.

4

Je veux tracer un cercle à partir des points A et B.

À l’aide d’un compas et d’une règle, je trace la médiatrice de ce segment.

À partir de trois points non alignés

3

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O13

J’écarte les pointes d’un compas selon le rayon (la distance entre le centre et l’un des trois points). Je pose la pointe traçante du compas sur l’un des trois points, et la pointe sèche sur le point de croisement O des deux médiatrices. Je trace le cercle.

CH AP IT RE 7

LE cE rc LE

B

Je veux tracer un cercle à partir des points A, B et C. 1

2

A

3

A

B

B O

O

C

C 4

A B

O C

On peut aussi utiliser cette stratégie pour trouver le centre O d’un cercle, sachant que chaque segment est une corde du cercle et que les médiatrices des cordes se croisent toujours au centre d’un cercle.

S54

LA CIRCONFÉRENCE D’UN CERCLE

défInITIon

7.2

La circonférence est la longueur ou le périmètre d’un cercle. On calcule la circonférence d’un cercle à l’aide d’une constante appelée pi dont le symbole est la lettre grecque « π ». Valeur approximative de π

π = 3,141 592 65… Valeur de π

Le nombre π est un nombre irrationnel. Comme il comprend une infinité de décimales, on utilise habituellement sa valeur approximative 3,14 ou 3,1416 pour faire des calculs.

Dans un cercle, π exprime le rapport entre la circonférence C et le diamètre d. Il représente le nombre de fois que le diamètre est compris dans la circonférence du cercle. Circonférence

π=C= C d 2r

Diamètre

Double du rayon

Quand on divise une circonférence C par son diamètre d, ou par le double de son rayon (2r ), on obtient toujours le nombre π.

On peut calculer la circonférence C d’un cercle à l’aide de l’une ou l’autre des formules suivantes. Circonférence C

C = πd ou C = 2πr 3 cm

O 6 cm

Rayon r

Diamètre d

C = πd C ≈ 3,14 × 6 ≈ 18,84 cm C = 2πr C ≈ 2 × 3,14 × 3 ≈ 6,28 × 3 ≈ 18,84 cm

Quand on calcule à l’aide d’une valeur approximative de π, on remplace le symbole d’égalité par le symbole « ≈ », qui signifie « est approximativement égal à ».

1

2

S55

Lorsque je cherche la mesure d’un rayon r, j’utilise la formule C = 2πr. Lorsque je cherche la mesure d’un diamètre d, j’utilise la formule C = πd. J’effectue mes calculs en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

Je veux trouver la mesure du rayon r d’un cercle dont la circonférence est de 22 cm. 1

2

Pour trouver la mesure du rayon, j’utilise la formule C = 2πr. C = 2πr

Je veux trouver la mesure du diamètre d d’un cercle dont la circonférence est de 33 cm. 1

2

Pour trouver la mesure du diamètre, j’utilise la formule C = πd.

géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver la mesure d’un rayon ou d’un diamètre à partir d’une circonférence

C = πd

22 ≈ 2 × 3,14 × r

33 ≈ 3,14 × d

22 ≈ 6,28 × r

33 ÷ 3,14 ≈ d

22 ÷ 6,28 ≈ r

10,5 cm ≈ d

3,5 cm ≈ r

CHA PITRE 7

LE cE rcLE

55

défInITIon

7.3

L’AIRE D’UN DISQUE Un disque est une surface limitée par un cercle. L’aire d’un disque est la mesure de cette surface. Disque

L’aire A d’un disque est égale à π multiplié par la mesure du rayon r au carré : Rayon r A = πr2

L’aire d’un disque s’exprime en unités de mesure carrées (mm2, cm2, dm2, m2, km2, etc.).

3 cm

=π×r×r

A ≈ 28,26 cm2

Circonférence du cercle

A = πr ≈ 3,14 × 32 ≈ 3,14 × 9 ≈ 28,26 cm2 2

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver la mesure d’un rayon ou d’un diamètre à partir de l’aire d’un disque J’utilise la formule A = πr2 et la méthode de résolution d’équation de mon choix pour trouver la mesure d’un rayon. Si je cherche la mesure d’un diamètre, je multiplie par 2 la mesure du rayon, car d = 2r.

Je veux trouver la mesure du rayon et du diamètre d’un disque dont l’aire est de 38,5 cm2.

J’utilise la formule A = πr2 pour trouver la mesure du rayon. A = πr2 38,5 = π × r2 38,5 ≈ 3,14 × r2 38,5 ÷ 3,14 ≈ r2

Pour extraire la racine carrée d’un nombre qui n’est pas un nombre au carré, on peut utiliser une calculatrice.

12,26 ≈ r2 ∙12,26 ≈ r 3,5 cm ≈ r J’utilise la formule d = 2r pour trouver la mesure du diamètre. d = 2r d ≈ 2 × 3,5

géométrie

d ≈ 7 cm

56

CH AP IT RE 7

LE cE rc LE

S56

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver une aire à partir d’une circonférence et une circonférence à partir d’une aire • Si je cherche une aire, j’utilise d’abord la formule C = 2πr pour trouver la mesure du rayon, puis la formule A = πr2 pour trouver l’aire. Je résous les équations à l’aide de la méthode de mon choix.

Je veux trouver la circonférence d’un disque dont l’aire est de 28,26 m2.

J’utilise la formule C = 2πr pour trouver la mesure du rayon.

J’utilise la formule A = πr2 pour trouver la mesure du rayon.

C = 2πr 18,84 ≈ 2 × 3,14 × r 18,84 ≈ 6,28 × r

A = πr2 28,26 ≈ 3,14 × r2 28,26 ÷ 3,14 ≈ r2 9 ≈ r2

18,84 ÷ 6,28 ≈ r

∙9 ≈ r

3m≈r J’utilise la formule A = πr2 pour trouver l’aire. A = πr2 ≈ 3,14 × 3

2

≈ 3,14 × 9 ≈ 28,26 m

2

3m≈r J’utilise la formule C = 2πr pour trouver la circonférence. C = 2πr ≈ 2 × 3,14 × 3 ≈ 6,28 × 3 ≈ 18,84 m

géométrie

• Si je cherche une circonférence, j’utilise d’abord la formule A = πr2 pour trouver la mesure du rayon, puis la formule C = 2πr pour trouver la circonférence. Je résous les équations à l’aide de la méthode de mon choix.

Je veux trouver l’aire d’un disque dont la circonférence est de 18,84 m.

S57

CHA PITRE 7

LE cE rcLE

57

défInITIon

7.4

LE SECTEUR CIRCULAIRE, L’ANGLE AU CENTRE ET L’ARC DE CERCLE

Outil 7, Le cercle, p. O9

Un secteur circulaire est une portion d’un disque comprise entre deux rayons. L’angle formé par deux rayons d’un cercle est appelé angle au centre. On le désigne souvent à l’aide du symbole « α ». Un arc de cercle est une portion d’un cercle comprise entre deux points de ce cercle.

La mesure d’un arc de cercle exprimée en degrés est toujours égale à la mesure de l’angle au centre.

Secteur circulaire AOB Rayon OA

A

La surface d’un secteur circulaire est limitée par un arc de cercle et deux rayons. L’aire d’un secteur circulaire s’exprime en unités carrées. Angle au centre La mesure d’un angle au centre s’exprime en degrés.

Arc de cercle AB

O

L’angle au centre d’un disque est un angle plein (360°).

B

La mesure d’un arc de cercle peut s’exprimer en unités de longueur ou en degrés.

Rayon OB Disque

On peut trouver la mesure (en unités de longueur) d’un arc de cercle à l’aide de la proportion suivante. Mesure de l’angle au centre Longueur de l’arc = 360° Circonférence ∠ AOB m AB = 360° C 120 m AB = 360 60 m AB = 120 × 60 ÷ 360 = 7200 ÷ 360 = 20 cm

A

Arc de cercle AB

120° O

Angle au centre

B Circonférence C = 60 cm

géométrie

On mesure l’aire d’un secteur circulaire à l’aide de la proportion suivante.

58

Mesure de l’angle au centre Aire du secteur circulaire = 360° Aire du disque ∠ AOB Aire du secteur AOB = 360° Aire du disque 120 ASecteur AOB = 360 286,6 ASecteur AOB = 120 × 286,6 ÷ 360 = 34 392 ÷ 360 ≈ 95,53 cm2

CH AP IT RE 7

LE cE rc LE

A

Secteur circulaire AOB

120° O

Angle au centre

B Aire du disque ADisque = 286,6 cm2

S58

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver des mesures manquantes dans un disque 1

Je note les mesures connues.

2

J’utilise les formules ou les proportions appropriées pour trouver la ou les mesures manquantes.

3

J’effectue mes calculs.

Je veux trouver la mesure de l’angle au centre AOB, sachant que l’arc AB mesure 25 cm, et que la circonférence est égale à 125 cm. 1

Mesure de l’arc de cercle AB : 25 cm ; circonférence : 125 cm.

2

J’utilise la proportion suivante pour trouver la mesure de l’angle au centre AOB. Mesure de l’angle au centre 360°

3

m ∠ AOB 360

=

=

Longueur de l’arc Circonférence

B

25 125

m ∠ AOB = 25 × 360 ÷ 125 = 9000 ÷ 125 = 72°

B ?

A

O

?

A

O

Je veux trouver l’aire du secteur circulaire COD, sachant que l’aire du disque est de 95 m2. 1

Aire du disque : 95 m2 ; mesure de l’angle au centre COD : 200°.

2

J’utilise la proportion suivante pour trouver l’aire du secteur COD. Mesure de l’angle au centre 360° 200 360

3

=

=

Aire du secteur circulaire Aire du disque

ASecteur COD 95

C C

O 200°

ASecteur COD = 200 × 95 ÷ 360 = 19 000 ÷ 360 ≈ 52,78 m2

O

D

200°

D

Je veux trouver la mesure de l’arc de cercle EF. 1

Aire du disque : 95 m2 ; mesure de l’angle au centre = 135°.

2

J’utilise la formule ADisque =

C2 4π

pour trouver la circonférence.

J’utilise la proportion suivante pour trouver la mesure de l’arc de cercle EF.

C ≈ ∙95 × 4 × 3,14 ≈ ∙95 × 12,56 ≈ ∙1193,2 ≈ 34,5 m 135 360

=

m EF 34,5

E

géométrie

3

Longueur de l’arc Mesure de l’angle au centre = Circonférence 360° C2 95 = 4π , donc C = ∙95 × 4π

O 135° F

ADisque = 95 m2

m EF ≈ 135 × 34,5 ÷ 360 ≈ 4657,5 ÷ 360 ≈ 12,9 m

S59

CHA PITRE 7

LE cE rcLE

59

CommEnT fAIRE ?

Comment construire un diagramme circulaire 1

2

3

Je calcule la mesure de l’angle au centre qui correspond à chaque fréquence. Au besoin, j’arrondis les mesures d’angle à l’unité près. À l’aide de mes instruments de géométrie, je trace un cercle. Je trace ensuite chaque angle au centre selon les mesures obtenues à l’étape 2 pour former les secteurs circulaires. Je désigne les secteurs en utilisant, par exemple, des couleurs et une légende, et j’inscris dans chacun son effectif ou sa fréquence.

Je veux construire un diagramme circulaire qui représente les données suivantes.

Participation des élèves aux activités parascolaires 1

2

Effectif (Nombre d’élèves)

Fréquence

Mesure de l’angle au centre

Informatique

102

17 %

≈ 61°

Musique

138

23 %

≈ 83°

Soccer

144

24 %

≈ 86°

Théâtre

126

21 %

≈ 76°

90

15 %

54°

100 %

360°

Activité parascolaire

Autres Total

600

3

4

54°

86°

61°

Participation des élèves aux activités parascolaires

15%

24%

17% 83° 76°

Pour trouver la mesure de l’angle au centre correspondant à chaque fréquence, on calcule le « tant pour cent » de 360°. Par exemple, la mesure de l’angle au centre correspondant à l’activité « Informatique » est d’environ 61 %, soit 17 % × 360 = 61,2.

21%

23%

Légende Soccer Musique Théâtre Informatique Autres

géométrie

4

Je convertis, au besoin, chaque effectif sous la forme d’une fréquence.

Pour calculer les fréquences (%), on divise chaque effectif par le total des effectifs. Par exemple, la fréquence de l’activité « Informatique » est égale à 17 %, soit 102 ÷ 600 = 0,17.

60

CH AP IT RE 7

LE cE rc LE

S60

Chapitre défInITIon

8.1

lEs solIdEs

QU’EST-CE QU’UN SOLIDE ?

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

Un solide est une figure à trois dimensions délimitée par une ou plusieurs surfaces fermées, courbes ou planes, appelées faces. Une arête est un segment qui correspond à l’intersection de deux faces. Un sommet est un point de rencontre de plusieurs arêtes. Le développement d’un solide est une représentation plane de toutes les faces de ce solide. Solide

Sommet

Face latérale

Développement possible du solide

L’aire d’un solide est égale à la somme des aires des faces qui le composent. Les faces de certains solides sont appelées bases ou faces latérales selon leur position à la surface du solide. Dans un développement, les faces d’un solide sont reliées par une arête commune. La plupart des solides ont plusieurs développements possibles.

Base Base Arête

Il existe deux classes de solides : les polyèdres et les corps ronds, ou non-polyèdres.

SOLIDES

PRISMES

S61

PYRAMIDES

CORPS RONDS BOULES

CÔNES

CYLINDRES

CHA PITRE 8

Le s so L id e s

géométrie

POLYÈDRES

61

LES POLYÈDRES Un polyèdre est un solide dont les faces sont des polygones. On classe les polyèdres selon leurs caractéristiques. On nomme un polyèdre selon le type de polygone qui forme sa ou ses bases. TYPE DE POLYÈDRE

ExEMPLE

DévELOPPEMENT POSSIBLE

Prisme Polyèdre dont les bases sont deux polygones parallèles et isométriques, et dont les faces latérales sont des parallélogrammes (carrés, rectangles, losanges, etc.). Un prisme dont les six  faces sont des carrés isométriques est un cube.

2 bases (triangles)

Pyramide Polyèdre dont l’unique base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles reliant la base à un sommet commun nommé apex. Une pyramide dont les quatre faces sont des triangles isométriques est un tétraèdre.

1 base (carré)

3 faces latérales (parallélogrammes)

La hauteur hP d’un prisme est la distance entre ses deux bases.

hP

Prisme à base triangulaire

4 faces latérales (triangles)

La hauteur hP d’une pyramide est la distance entre sa base et son apex.

Apex

hP

Pyramide à base carrée

Un prisme droit est un prisme dont la hauteur hP relie les centres des deux bases. Ses faces latérales sont des rectangles. Une pyramide droite est une pyramide dont la hauteur hP relie le centre de la base à l’apex. Ses faces latérales sont des triangles isocèles. Un prisme régulier est un prisme droit dont les bases sont des polygones réguliers isométriques et dont les faces latérales sont des rectangles isométriques. Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier et dont les faces latérales sont des triangles isocèles isométriques. POLYÈDRES DROITS

géométrie

PRISMES DROITS

62

hP

hP

Prisme droit à base rectangulaire

CH AP IT RE 8

Prisme régulier à base carrée

Les s o Lid es

POLYÈDRES OBLIQUES

PYRAMIDES DROITES

hP

Pyramide droite à base rectangulaire

hP

Pyramide régulière à base hexagonale

PRISMES OBLIQUES

hP

Prisme oblique à base rectangulaire

PYRAMIDES OBLIQUES

hP

Pyramide oblique à base carrée

S62

On peut établir un lien mathématique, appelé relation d’Euler, entre le nombre de sommets, le nombre de faces et le nombre d’arêtes d’un polyèdre. La relation d’Euler permet de trouver des valeurs manquantes dans un polyèdre. Elle s’écrit sous la forme suivante. (nombre S de sommets) + (nombre F de faces) = (nombre A d’arêtes) + 2

S

+

=

F

La pyramide à base pentagonale ci-contre a six sommets et six faces. Pour trouver le nombre d’arêtes, on peut utiliser la relation d’Euler.

A

+

2

A=S+F−2 =6+6−2 = 10

LES CORPS RONDS Un corps rond est un solide qui a au moins une face courbe. On classe et on nomme les corps ronds selon leurs caractéristiques.

Cylindre Corps rond dont les deux bases sont des disques parallèles et isométriques, et dont l’unique face latérale est un parallélogramme (carrés, rectangles, losanges, etc.).

Cône Corps rond dont l’unique base est un disque et dont l’unique face latérale correspond à un secteur circulaire.

Boule Corps rond qui ne possède qu’une seule face courbe appelée sphère. Tous les points de la sphère sont à la même distance du centre de la boule.

S63

ExEMPLE

DévELOPPEMENT POSSIBLE

Un cylindre droit est un cylindre dont la hauteur hC relie les centres des deux bases. Sa face latérale est un rectangle.

2 bases (disques) 1 face latérale (rectangle)

hC

1 base (disque) 1 face latérale (secteur circulaire)

Un cône droit est un cône dont la hauteur hC relie le centre de la base à l’apex.

Apex

hC

1 seule face

Boule Sphère

Une boule est un solide plein. La sphère est l’enveloppe de la boule.

Il n’existe pas de développement pour la boule.

CHA PITRE 8

Le s so L id e s

géométrie

TYPE DE CORPS ROND

63

L’AIRE D’UN PRISME DROIT

défInITIon

8.2

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 8, Les solides, p. O11

L’aire totale AT d’un prisme droit est égale à la somme des aires de ses deux bases AB et de l’aire latérale AL. On calcule l’aire totale d’un prisme droit à l’aide de la formule suivante.

AT = 2 × AB + AL 8 cm

5 cm

5 cm

Hauteur hP du prisme hP

5 cm 4,8 cm

4,8 cm

8 cm 3 cm A = 24 cm2

5 cm AB =

3 cm



3 × 4,8 2

= 7,2 cm2

5 cm

A = 40 cm2

5 cm

A = 40 cm2

AB = 7,2 cm2

AL = 24 + 40 + 40 = 104 cm2 OU AL = 13 × 8

= 104 cm2

L’aire latérale A L correspond à la somme des aires de toutes les faces latérales d’un solide. On peut aussi trouver l’aire latérale A L d’un prisme à partir du périmètre de la base PB et de la hauteur du prisme hP : A L = PB × hP.

AT = 2 × AB + AL

= 2 × 7,2 + 104



= 118,4 cm2

géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer l’aire d’un prisme droit

64

1

2

3

J’identifie le type de polygone qui forme la base du prisme, et j’utilise la formule appropriée pour calculer son aire.

Je veux calculer l’aire du prisme illustré ci-dessus.

Je calcule l’aire latérale du prisme de l’une ou l’autre des façons suivantes : – en additionnant les aires des parallélogrammes qui forment ses faces latérales ; OU – en utilisant la formule AL = PB × hP.



Je calcule l’aire totale du prisme en utilisant la formule AT = 2 × AB + AL.

CH AP IT RE 8

Les s o Lid es

1

La base du prisme est un triangle isocèle. Calcul de l’aire de la base : AB =

= 3 × 4,8 ÷ 2 = 14,4 ÷ 2 = 7,2 cm2 2

Les faces latérales sont trois rectangles dont deux sont isométriques. Calcul de l’aire latérale : AL = (b1 × h1) + (b2 × h2) + (b3 × h3) OU AL = PB × hP = (5 + 5 + 3) × 8 = (8 × 3) + (8 × 5) + (8 × 5) = 24 + 40 + 40 = 13 × 8 = 104 cm2 = 104 cm2

3



b×h 2

Calcul de l’aire totale : AT = 2 × AB + AL = 2 × 7,2 + 104 = 14,4 + 104 = 118,4 cm2

S64

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver une mesure manquante à partir de l’aire d’un prisme droit 1

2

J’identifie le type de prisme et je note la formule pour le calcul de son aire.

Je veux trouver la mesure de la hauteur du prisme ci-contre.

Il s’agit d’un prisme droit à base carrée.

1

Je remplace les lettres de la formule par les mesures connues. Je cherche ensuite la mesure manquante en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

? cm

hP

AT = 66 cm2

AT = 2 × AB + AL

3 cm

AT = 2 × c2 + PB × hP

Je cherche la mesure de la hauteur du prisme hP.

2

66 = 2 × 32 + (4 × 3) × hP 66 = 2 × 32 + 12 × hP 66 = 2 × 9 + 12 × hP 66 = 18 + 12 × hP 66 − 18 = 12 × hP 48 = 12 × hP 48 ÷ 12 = hP 4 cm = hP

L’AIRE D’UNE PYRAMIDE DROITE

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 8, Les solides, p. O10

L’aire totale AT d’une pyramide droite est égale à la somme de l’aire de la base AB et de l’aire latérale AL. On calcule l’aire totale d’une pyramide droite à l’aide de la formule suivante.

AT = AB + AL 8 cm aP

5 cm

A = 20 cm2 8 cm 5 cm

5 cm A = 20 cm2 5 cm

A = 20 cm2

AB = 5 × 5 = 25 cm2 AL = 4 × 20

S65

= 80 cm2

L’apothème aP d’une pyramide régulière correspond à la hauteur des triangles isométriques qui forment les faces latérales de la pyramide.

A = 20 cm2

géométrie

défInITIon

8.3

AT = AB + AL

= 25 + 80



= 105 cm2

CHA PITRE 8

Le s so L id e s

65

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer l’aire d’une pyramide droite 1

2

3

J’identifie le type de polygone qui forme la base de la pyramide, et j’utilise la formule appropriée pour calculer l’aire de la base. Je calcule l’aire latérale de la pyramide en additionnant les aires des triangles qui correspondent aux faces latérales. S’il s’agit d’une pyramide régulière, je peux aussi calculer l’aire latérale en multipliant le périmètre de la base PB par l’apothème de la pyramide aP, puis en divisant le résultat obtenu par deux. Je calcule l’aire totale de la pyramide en utilisant la formule AT = AB + AL.

Je veux calculer l’aire de la pyramide illustrée à la page précédente. 1

La base de la pyramide est un carré. Calcul de l’aire de la base : AB = c2 =5×5 = 25 cm2

2

Il s’agit d’une pyramide régulière, donc ses faces latérales sont quatre triangles isocèles isométriques. Calcul de l’aire latérale : AL = 4 ×



b×h 2

OU AL =

= 4 × (5 × 8) ÷ 2 = 4 × 40 ÷ 2 = 160 ÷ 2 = 80 cm2 3

PB × aP 2

= (4 × 5) × 8 ÷ 2 = 20 × 8 ÷ 2 = 160 ÷ 2 = 80 cm2

Calcul de l’aire totale : AT = AB + AL = 25 + 80 = 105 cm2



géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment trouver une mesure manquante à partir de l’aire d’une pyramide droite

66

1

J’identifie le type de pyramide et je note la formule pour le calcul de son aire.

2

Je remplace les lettres de la formule par les mesures connues. Je cherche ensuite la mesure manquante en utilisant la méthode de résolution d’équation de mon choix.

Je veux trouver la mesure d’un des côtés de la base dans la pyramide ci-contre. 1

Il s’agit d’une pyramide régulière à base pentagonale. AT = AB + AL AT =

2

PB × aB 2

+

AT = 170 cm2

5 cm 3,5 cm

PB × aP 2

? cm

Je cherche la mesure du côté c du pentagone. 170 =

(5 × c) × 3,5 2

+

(5 × c) × 5 2

170 × 2 = (5 × c) × 3,5 + (5 × c) × 5 170 × 2 = 5c × 3,5 + 5c × 5 340 = 17,5c + 25c 340 = 42,5c 340 ÷ 42,5 = c 8 cm = c

CH AP IT RE 8

Les s o Lid es

S66

L’AIRE D’UN CYLINDRE DROIT

défInITIon

8.4

Outil 6, Les polygones, p. O7 et O8 Outil 7, Le cercle, p. O9 Outil 8, Les solides, p. O10 et O11

L’aire totale AT d’un cylindre droit est égale à la somme de l’aire de ses deux bases AB et de l’aire latérale AL. On calcule l’aire totale d’un cylindre droit à l’aide de la formule suivante.

AT = 2 × AB + AL 5 cm

AB = 3,14 × 52

10 cm

La longueur de l’un des côtés du rectangle correspond à la circonférence de la base.

5 cm

= 78,5 cm2

hC

2πr 10 cm

On peut trouver l’aire d’un cylindre à partir du rayon r ou du diamètre d de la base et de la hauteur hC du cylindre : A T = 2 × πr 2 + 2πr × hC.

AL ≈ 2 × 3,14 × 5 × 10

≈ 314 cm2

AT = 2 × AB + AL

≈ 2 × 78,5 + 314



≈ 157 + 314



≈ 471 cm2

AB = 78,5 cm2

1

2

3

Je calcule l’aire du disque qui forme la base du cylindre en utilisant la formule AB = πr2.

Je veux calculer l’aire du cylindre illustré ci-dessus.

Je calcule l’aire du rectangle qui forme la face latérale du cylindre en utilisant la formule AL = 2πr × hC.



≈ 3,14 × 52



≈ 3,14 × 25



≈ 78,5 cm2

Je calcule l’aire totale du cylindre en utilisant la formule AT = 2 × AB + AL.

1

Calcul de l’aire de la base : AB = πr2

2

Calcul de l’aire latérale : AL = 2πr × hC



≈ 2 × 3,14 × 5 × 10



≈ 3,14 × 100



≈ 314 cm2 3

Calcul de l’aire totale : AT = 2 × AB + AL

S67

Lorsqu’on effectue des calculs avec une valeur approximative de π (comme 3,14), on remplace le symbole « = » par le symbole « ≈ », qui signifie « est approximativement égal à ».



≈ 2 × 78,5 + 314



≈ 157 + 314



≈ 471 cm2

On peut trouver une mesure manquante dans un cylindre en remplaçant les lettres de la formule A T = 2 × πr 2 + 2πr × hC par les mesures connues. On utilise ensuite la méthode de résolution d’équation de son choix.

CHA PITRE 8

Le s so L id e s

géométrie

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer l’aire d’un cylindre droit à base circulaire

67

L’AIRE DES SOLIDES DÉCOMPOSABLES

défInITIon

8.5

Un solide décomposable est un solide qu’on peut décomposer en plusieurs solides de formes plus simples. Il peut être composé de prismes droits, de pyramides droites, de cylindres, de demi-cylindres, etc. Pyramide droite à base carrée

Prisme droit à base carrée Ce solide est décomposable en deux solides plus simples : un prisme droit à base carrée et une pyramide droite à base carrée.

La décomposition d’un solide facilite généralement le calcul de son aire totale.

Solide décomposable

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer l’aire d’un solide décomposable 1

Je décompose le solide en solides plus simples.

2

Je note les mesures connues.

3

J’utilise les formules d’aire qui correspondent aux solides simples que j’ai identifiés. J’effectue mes calculs.

4

Je calcule l’aire totale du solide décomposable en additionnant les aires obtenues à l’étape 3.

Je veux trouver l’aire du solide ci-contre. 1

2

3

Ce solide peut se décomposer en une pyramide régulière à base carrée et un prisme droit à base carrée. Côté de la base carrée : 3 cm Hauteur du prisme : 5 cm Apothème de la pyramide : 5 cm

5 cm

5 cm h P 3 cm

Calcul de l’aire de la base du prisme : AB = c2 =3×3 = 9 cm2



Calcul de l’aire latérale du prisme : AL = PB × hP = (4 × 3) × 5 = 12 × 5 = 60 cm2



géométrie

Calcul de l’aire latérale de la pyramide :

68

P ×a

AL = B 2 P = 12 × 5 ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm2

4



CH AP IT RE 8

Les s o Lid es

3 cm

Lorsqu’on cherche l’aire d’un solide décomposable, on doit calculer uniquement l’aire de ses faces extérieures. On ne tient pas compte des faces communes, car elles se trouvent à l’intérieur du solide décomposable.

Calcul de l’aire totale du solide décomposable : AT = 9 + 60 + 30 = 99 cm2

S68

Chapitre définition

9.1

les transformations géométriques

QU’Est-CE QU’UnE isoMÉtriE ?

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O15 et O16

Une isométrie est une transformation géométrique d’une figure de départ, appelée figure initiale, en une figure image de même forme et de mêmes dimensions. Une isométrie produit deux figures isométriques. Dans une isométrie, les côtés homologues et les angles homologues sont isométriques.

Figure initiale

Les angles A et A′ sont homologues et isométriques : ∠ A ≅ ∠ A′.

A

5 cm

3 cm 60°

5 cm

3 cm

A = 7,5 cm2 B

Figure image

A′

A = 7,5 cm2 30°

5,8 cm

C

60°

30° 5,8 cm

B′

C′

Se lit « C prime ».

Les côtés BC et B′C′ sont homologues et isométriques : BC ≅ B′C′.

Deux côtés et deux angles sont homologues quand ils occupent la même position dans deux figures de même forme. Deux figures sont isométriques quand tous leurs côtés et tous leurs angles homologues ont les mêmes mesures. Deux figures isométriques ont la même aire.

Il existe trois types d’isométrie : la translation, la réflexion et la rotation.

La transLation

Direction

Sens

Flèche de translation t Distance

A′ B′

A B

Dans une translation, les points homologues sont situés à égale distance les uns des autres.

Figure image

D′ D Figure initiale

C′ C

S69

CHAPIT RE 9

Les transfor m at io n s g é o m é t r iq ue s

géométrie

La translation, notée t, est une isométrie qui permet d’obtenir l’image d’une figure initiale selon la direction, le sens et la longueur donnés par une flèche de translation.

69

La rÉfLExion La réflexion, notée s, est une isométrie qui permet d’obtenir l’image d’une figure initiale par rapport à une droite appelée axe de réflexion. s A′

A B′

B

Figure image

Figure initiale

L’axe de réflexion s coupe perpendi­ culairement tout segment qui relie deux points homologues.

D′

D

C′

C

Dans une réflexion, les points homologues sont situés à égale distance de part et d’autre de l’axe de réflexion s.

Axe de réflexion

La rotation La rotation, notée r, est une isométrie qui permet d’obtenir l’image d’une figure initiale selon un centre, un angle et un sens de rotation donnés par une flèche de rotation. Dans une rotation : – le centre de rotation O est le point fixe autour duquel se fait la rotation ; – l’angle de rotation est exprimé en degrés ; – le sens de rotation peut être horaire ou antihoraire. A

Un signe négatif (−) devant la mesure de l’angle de rotation indique un sens de rotation horaire (∙).

B′

A

Un signe positif (+) devant la mesure de l’angle de rotation indique un sens de rotation antihoraire (⤺).

B′ C

Figure initiale

r C − O 100° r

B B O

Figure image

A′

−100°

C′ A′

Centre de rotation

C′

géométrie

Mesure de l’angle de rotation

70

CH aP it re 9

−100° −100°

+

+

260°

260°

Flèche de rotation r

Les t ran s format ion s g éomé tri qu es

S70

QU’Est-CE QU’UnE HoMotHÉtiE ?

définition

9.2

Outil 9, Constructions et transformations géométriques, p. O17

Une homothétie est une transformation géométrique qui permet d’obtenir une image agrandie ou réduite d’une figure initiale. Une homothétie produit deux figures semblables.

Des figures semblables sont des figures qui ont la même forme, mais qui peuvent avoir des dimensions différentes.

Dans une homothétie : – les angles homologues sont isométriques ; – les mesures des côtés homologues sont proportionnelles ; – les côtés homologues sont parallèles. Agrandissement ×2

Réduction × 12

A′

A A″

30 mm 50 mm 15 mm 25 mm Figure initiale 60° 30° C″ 60° 30° B″ 29 mm B 58 mm Figure image (réduction)

100 mm

60 mm Figure image (agrandissement)

C B′

30°

60°

C′

116 mm

L’homothétie permet d’obtenir une figure image selon un point fixe O, appelé centre d’homothétie, et un rapport k, constante appelée rapport d’homothétie. L’homothétie se note : h(O, k). Le rapport d’homothétie k correspond au rapport des distances entre le centre d’homothétie et deux points homologues.

k=

Distance entre le centre d’homothétie O et un point de la figure image Distance entre le centre d’homothétie O et le point homologue de la figure initiale

Le rapport d’homothétie a toujours la même valeur que le rapport de similitude. Ce dernier correspond au rapport des mesures de deux côtés homologues. k=

Mesure d’un côté de la figure image Mesure du côté homologue de la figure initiale

Si k a une valeur supérieure à 1 (k > 1), la figure image est un agrandissement de la figure initiale. Soit l’homothétie h de centre O et de rapport 2 : h(O, 2). m OA′ = 16 cm

rapport d’homothétie

=

16 cm 8 cm

2 1

= =2 A′

m OA = 8 cm A Centre O d’homothétie

B

rapport de similitude

k= S71

m B′C′ m BC

=

10 cm 5 cm

2

D′

D 5 cm

Figure initiale

C

B′

10 cm Figure image (agrandissement)

C′

Un rapport de similitude et un rapport d’homothétie s’écrivent sous l’une ou l’autre des formes suivantes : a a : b, b , en notation décimale ou en pourcentage.

=1=2 CHaP it re 9

Les tra nsfor m at io n s g é o m é t r iq ue s

géométrie

k=

m OA′ m OA

71

Si k a une valeur comprise entre 0 et 1 (0 < k < 1), la figure image est une réduction de la figure initiale. Soit l’homothétie h de centre O et de rapport 0,5 : h(O, 0,5).

m OA = 8 cm

rapport d’homothétie

k=

m OA′ m OA

4 cm

1

= 8 cm = 2 = 0,5 A′

Centre O d’homothétie

k=

D

D′

B′ 2,5 cm Figure image (réduction)

rapport de similitude m B′C′ m BC

A

m OA′ = 4 cm

=

2,5 cm 5 cm

B

5 cm

C′

C

Figure initiale

1 2

= = 0,5

On utilise les propriétés suivantes pour vérifier si une figure est une image obtenue par homothétie, ou pour démontrer la construction d’une image par homothétie. propriété de l’homothétie

L’homothétie transforme tout segment en un segment parallèle. Les côtés homologues de la figure initiale et de son image sont parallèles.

géométrie

L’homothétie conserve l’orientation du plan et celle des figures. L’ordre des sommets homologues est conservé. Les mesures des angles homologues sont également conservées.

72

exemple

AB ∙∙ A′B′, BC ∙∙ B′C′ et CA ∙∙ C′A′

k=

1 2

A ou 0,5 A′ 15 mm

O

30 mm 29 mm

B′ 25 mm

58 mm

B

C′

50 mm C

Les sommets A′, B′ et C′ sont placés dans le même ordre que les sommets A, B et C. m ∠ A = m ∠ A′, m ∠ B = m ∠ B′ et m ∠ C = m ∠ C′

Les droites passant par les sommets homologues se rencontrent au centre d’homothétie.

Les droites AA′, BB′ et CC′ se rencontrent au point O.

Le rapport des périmètres de la figure image et de la figure initiale est égal au rapport de similitude (k).

k = Périmètre de la figure image = 15 + 25 + 29 = 69 = 1 = 0,5

Le rapport des aires de la figure image et de la figure initiale est égal au carré du rapport de similitude (k2).

CH AP IT RE 9

Périmètre de la figure initiale

k = Aire de la figure image = Aire de la figure initiale 2

Les t ran s format ion s g éométri qu es

30 + 50 + 58

15 × 25 2 30 × 50 2

138

2

= 187,5 = 1 = 0,25 = 0,52

750

4

S72

Comment faire ?

Comment trouver le rapport de similitude k 1

Je trouve les mesures de deux côtés homologues. J’établis le rapport de similitude à l’aide de ces mesures.

Je veux trouver le rapport de similitude k entre les triangles ABC et A′B′C′. A

Mesure d’un côté de la figure image k= Mesure du côté homologue de la figure initiale 2

Je trouve le rapport réduit (fraction irréductible) ou j’effectue la division pour écrire le rapport sous la forme d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

A′

30 mm

15 mm

29 mm

B′ 25 mm

58 mm

B 50 mm

C′

C m A′B′ 15 mm m AB = 30 mm 15 1 k = 30 = 2 ou

1 2

15

k = 30 k = 15 ÷ 30 = 0,5 = 50 %

1

Je trouve la distance entre le centre d’homothétie O et un point image ainsi que la distance entre le centre d’homothétie O et le point homologue de la figure initiale. J’établis le rapport d’homothétie à l’aide de ces mesures.

Je veux trouver le rapport d’homothétie k entre les triangles ABC et A′B′C′. m OA = 16 cm A m OA′ = 8 cm

Distance entre le point O et un point image k= Distance entre le point O et le point homologue de la figure initiale 2

S73

Je trouve le rapport réduit ou j’effectue la division pour écrire le rapport sous la forme d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

A′

B

B′

O

C′ 1 2

m OA′ m OA

8 cm

= 16 cm 8

C

8

k = 16.

1

k = 16 = 2 ou k = 8 ÷ 16 = 0,5 = 50 %

CHAPIT RE 9

Les transfor m at io n s g é o m é t r iq ue s

géométrie

Comment faire ?

Comment trouver le rapport d’homothétie k

73

Comment faire ?

Comment trouver une mesure manquante dans des figures semblables À l’aide du rapport k 1

2

Je repère la mesure du côté homologue de celui dont je cherche la mesure. Si la mesure manquante est celle d’un côté de la figure image, je multiplie la mesure que j’ai repérée par le rapport k. Si la mesure manquante est celle d’un côté de la figure initiale, je divise la mesure que j’ai repérée par le rapport k.

Je veux trouver la mesure du côté AC. 3

k = 4 ou 0,75

A A′ 20 mm

?

15 mm 24 mm

O

B′

B C′

1

C

m A′C′ = 24 mm

2

AC est un côté de la figure initiale. m AC = m A′C′ ÷ k = 24 ÷ 0,75 = 32 mm

À l’aide d’une proportion entre les mesures de côtés homologues 1

Je repère les mesures de deux côtés homologues.

2

Je repère la mesure du côté homologue de celui dont je cherche la mesure.

3

4

J’établis une proportion à l’aide de ces mesures. J’utilise le produit des extrêmes et des moyens pour trouver la mesure manquante.

Je veux trouver la mesure du côté AC. A A′ 20 mm

?

15 mm 24 mm

O

B′

B C′

1

m A′B′ = 15 mm

C

m AB = 20 mm 2

m A′C′ = 24 mm m AC = ? mm

3 4

15 20

=

24 ?

15 × ? = 20 × 24 15 × ? = 480

géométrie

? = 480 ÷ 15

74

? = 32 mm

CH AP IT RE 9

Les t ran s format ion s g éométri qu es

S74

statistique OÙ SONT LES MATHS ? Résultats sportifs, sondages, questionnaires, enquêtes, etc. Tous les jours, tu dois déchiffrer un tas de données, un peu comme un ordinateur ! La statistique, ça t’aide à mieux comprendre le sens de toutes ces données afin de rester toujours bien informé. Chapitre 10 Les données statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

S75

75

Chapitre défiNiTiON

10.1

LES dONNéES STATiSTiquES

QU’EST-CE QU’UNE ENQUÊTE STATISTIQUE ?

Une enquête statistique permet de collecter, d’organiser, d’analyser et d’interpréter des données statistiques. Dans une enquête, on collecte, on organise et on analyse les données à l’aide de méthodes et de techniques statistiques.

Il existe deux grands types d’enquête statistique : le recensement et le sondage. Type d’enquêTe sTaTisTique

CaraCTérisTique

exemple

RECENSEmENT

Un recensement permet de recueillir des données sur tous les individus d’un ensemble appelé population.

Tous les cinq ans, le gouvernement canadien procède au dénombrement de la population du Canada au moyen de questions variées.

SoNdAgE

Un sondage permet d’interroger un groupe d’individus, appelé échantillon, au sein d’une population.

Dans une école, on mène une enquête auprès du tiers des élèves pour connaître leur boisson préférée.

Le sondage est le type d’enquête statistique le plus utilisé.

Une caractéristique étudiée au cours d’une enquête statistique est appelée caractère statistique. On distingue deux types de caractères statistiques : le caractère qualitatif et le caractère quantitatif. Un caractère quantitatif peut être continu ou discret.

statistique

Type de CaraCTère

76

CARACTèRE QUAlITATIf CARACTèRE QUANTITATIf

CaraCTérisTique

exemple

Il exprime une qualité et ne peut prendre des valeurs numériques. Les données recueillies sont des mots ou des codes appelés modalités.

Le sexe d’une personne : les modalités possibles sont « féminin » et « masculin ».

Il exprime une quantité et prend des valeurs numériques. Les données recueillies sont des nombres appelés valeurs.

CoNTINU

Les données d’un caractère quantitatif continu ont des valeurs qu’on ne peut pas énumérer. Il y a un nombre infini de valeurs possibles dans un intervalle donné. Ces valeurs sont des nombres décimaux.

La taille d’une personne : les valeurs possibles sont, par exemple, 142 cm, 1,5 m, 160 cm et 1,63 m.

dISCRET

Les données d’un caractère quantitatif discret ont des valeurs qu’on peut énumérer. Il y a un nombre fini de valeurs possibles dans un intervalle donné. Ces valeurs sont des nombres entiers.

L’âge d’une personne : les valeurs possibles sont, par exemple, 12, 14, 15 et 17 ans.

CH AP IT RE 1 0

LES d on n é ES S tat iS t iqu ES

S76

lES mÉTHodES d’ÉCHANTIlloNNAgE Lorsqu’on effectue un sondage, on doit choisir un échantillon représentatif de la population visée par l’étude. Un échantillon est représentatif d’une population s’il possède les mêmes caractéristiques que cette population, si sa taille est suffisamment grande et si la méthode La taille d’un échantillon d’échantillonnage est appropriée. Il existe plusieurs méthodes qui permettent de former un échantillon représentatif. Parmi elles, on trouve la méthode aléatoire et la méthode systématique.

est le nombre d’éléments qu’il contient.

méThode aléaToire

méThode sysTémaTique

Méthode qui permet de former un échantillon en choisissant les individus ou les éléments d’une population au hasard. Chaque individu ou élément a une chance égale d’être choisi.

Méthode qui permet de former un échantillon en dressant la liste de tous les individus ou éléments de la population, puis en choisissant des individus ou des éléments à intervalle régulier, selon un critère donné. Par exemple, à partir de la liste des 600 élèves qui fréquentent une école, on choisit un élève à tous les 5 noms, soit le 5e, le 10e, le 15e, etc.

Par exemple, pour choisir au hasard 120 élèves sur les 600 élèves qui fréquentent une école, on utilise un logiciel qui génère des nombres aléatoires de 1 à 600.

lES SoURCES dE bIAIS Tout au long des étapes d’une enquête statistique, on doit éviter les sources de biais, c’est-à-dire toute erreur qui pourrait fausser les résultats d’un recensement ou d’un sondage. sourCe de biais possible

exemple de biais à éviTer

CoNSTRUCTIoN dE l’ÉCHANTIlloN

• La taille de l’échantillon est trop petite. • L’échantillon n’est pas représentatif de la population. • Les questions ne sont pas claires. Elles peuvent être comprises de

RÉdACTIoN dU QUESTIoNNAIRE

différentes façons.

• Les choix de réponses ne couvrent pas toutes les réponses possibles. • L’attitude de la personne qui pose les questions (le sondeur ou la sondeuse) influence les répondants.

CollECTE dES doNNÉES

• La confidentialité des réponses n’est pas assurée. • Le lieu ou le moment de la collecte des données n’est pas approprié.

ANAlySE dES doNNÉES

• Le taux de réponse est trop faible. • Des erreurs se produisent au cours de la compilation des données

Un répondant est une personne qui répond au questionnaire d’une enquête statistique.

INTERpRÉTATIoN ET pRÉSENTATIoN dES RÉSUlTATS

S77

• Les résultats font ressortir certaines données plus que d’autres. • Les conclusions ou les prédictions sont exagérées.

CHAPIT RE 10

LES don n é E S S tat iSt iq u E S

statistique

ou des résultats.

77

10.2

lES TAblEAUX ET lES dIAgRAmmES STATISTIQUES

lES TAblEAUX STATISTIQUES

défiNiTiON

Un tableau de compilation permet de représenter les données recueillies au cours d’une enquête statistique. Ce tableau met en relation les modalités ou les valeurs possibles du caractère observé avec l’effectif ou la fréquence. L’effectif est le nombre d’individus ou d’éléments qui correspondent à une modalité ou à une valeur observée dans une enquête statistique.

66 répondants d’une enquête préfèrent le bleu. Effectif

Modalité

La fréquence est le rapport de l’effectif d’une modalité ou d’une valeur au nombre total de données recueillies. Ce rapport est généralement exprimé en pourcentage.

Fréquence ( %) =

Effectif d’une modalité ou d’une valeur × 100 Effectif total

Le tableau de compilation ci-dessous présente les données recueillies lors d’une enquête statistique menée auprès de 200 répondants pour connaître leur couleur préférée. Titre du tableau

Couleur préférée d’un groupe de répondanTs

statistique

Titres des colonnes

78

CH AP IT RE 1 0

modAlITÉ

CompIlATIoN dES doNNÉES

EffECTIf

fRÉQUENCE ( %)

Vert

56

28

Bleu

62

31

Rouge

44

22

Autres

38

19

Total

200

100

LES d on n é ES S tat iS t iqu ES

Ce symbole signifie que la valeur a été dénombrée cinq fois.

S78

lES dIAgRAmmES STATISTIQUES

Outil 3, Les diagrammes, p. O4

On se sert souvent de diagrammes pour représenter les données recueillies au cours d’une enquête statistique. Type de diagramme

dIAgRAmmE à bANdES

dIAgRAmmE à lIgNE bRISÉE

dIAgRAmmE CIRCUlAIRE

Il permet de décrire les effectifs observés. On l’utilise pour représenter des données qualitatives ou quantitatives discrètes. Dans ce diagramme, chaque bande a une longueur proportionnelle à la grandeur associée à cette modalité ou à cette valeur. Les bandes peuvent être horizontales ou verticales. Il permet de décrire des données qui évoluent dans le temps. On l’utilise pour représenter des données quantitatives. Dans ce diagramme, l’axe horizontal est divisé en unités de temps, et l’axe vertical présente les valeurs quantitatives. Les données sont représentées par des points qui, lorsqu’on les relie, forment une ligne brisée. Il permet de comparer la répartition de données par rapport à un tout. On l’utilise pour représenter des données qualitatives. Dans ce diagramme, un disque est divisé en plusieurs portions appelées secteurs. Chaque secteur représente une modalité. Dans un diagramme circulaire, la grandeur de chaque secteur est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence de la modalité.

lA moyENNE ARITHmÉTIQUE

Une moyenne arithmétique est le quotient obtenu en divisant la somme des valeurs d’un caractère statistique quantitatif par le nombre de valeurs.

Moyenne = Somme de l’ensemble des valeurs d’un caractère quantitatif Nombre total de valeurs Soit l’ensemble de données : 35, 45, 50, 55, 60.

Symbole de la moyenne

Somme des données

X = 35 + 45 + 50 + 55 + 60 = 245 = 49 5 5

Valeur de la moyenne

Nombre de données

La moyenne arithmétique représente la valeur unique par laquelle on peut remplacer chaque donnée d’un ensemble sans modifier leur somme. Elle indique le point d’équilibre d’un ensemble de données. 35 + 45 + 50 + 55 + 60 = 245 49 + 49 + 49 + 49 + 49 = 245 Minimum

Maximum

35



45



50

▲• 49

S79

55



60



Moyenne (point d’équilibre)

CHAPIT RE 10

La donnée qui a la plus grande valeur est appelée maximum, et celle qui a la plus petite valeur, minimum.

LES don n é E S S tat iSt iq u E S

statistique

défiNiTiON

10.3

CaraCTérisTique

79

Dans un ensemble de données, l’écart entre le maximum et le minimum est appelé étendue. Elle se calcule par la différence entre le maximum et le minimum. Étendue = maximum − minimum Dans l’ensemble de données 35, 45, 50, 55, 60, le maximum est 60, et le minimum, 35. L’étendue est donc égale à : 60 − 35 = 25. Le maximum, le minimum et l’étendue sont souvent utiles pour vérifier si une moyenne est représentative ou non d’un ensemble de données. Si certaines données sont trop éloignées des autres, on doit alors vérifier si elles sont liées à des sources de biais possibles.

COMMENT fAirE ?

Comment calculer la moyenne arithmétique d’un ensemble de données 1

J’observe l’ensemble de données et je détermine le nombre de données.

2

Je calcule la somme des données.

1

Nombre de données : 8

2

Somme des données : 7 + 8 + 7 + 6 + 9 + 8 + 5 + 6 = 56

Je divise la somme des données par le nombre de données pour obtenir la moyenne arithmétique.

3

Moyenne arithmétique : 56 ÷ 8 = 7, donc X = 7.

3

Je veux calculer la moyenne arithmétique de l’ensemble de données suivant : 7, 8, 7, 6, 9, 8, 5 ,6.

Je veux calculer la moyenne arithmétique des températures suivantes, qui ont été enregistrées au cours de 10 journées de décembre : −8 °C , −2 °C, 6 °C, 0 °C, −1 °C, 4 °C, 2 °C, −3 °C, −5 °C, −3 °C. 1

Nombre de données : 10

2

Somme des données : −8 + −2 + 6 + 0 + −1 + 4 + 2 + −3 + −5 + −3 = −10 Moyenne arithmétique : −10 ÷ 10 = −1, donc X = −1.

3

statistique

La température moyenne des 10 journées de décembre est de −1°C.

80

CH AP IT RE 1 0

LES d on n é ES S tat iS t iqu ES

S80

probabilité OÙ SONT LES MATHS ? Dans la vie, tu souhaites mettre toutes les chances de ton côté ? Tu veux savoir ce qu’est le hasard ou connaître tes possibilités de gagner à ton jeu préféré ? Tu aimerais faire des prédictions sans boule de cristal ? Avec les probabilités, tout est possible, ou presque ! Chapitre 11 Les expériences aléatoires à une étape . . . . . . 82 Chapitre 12 Les expériences aléatoires composées. . . . . . . 86

S81

81

Chapitre défiNiTiON

11.1

LES ExpériENcES ALéATOirES à uNE éTApE

QU’EST-CE QU’UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est uniquement déterminé par le hasard. L’univers des résultats possibles est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Son symbole est la lettre grecque Ω (oméga). Lancer un dé à six faces et observer le résultat obtenu sur la face du dessus est une expérience aléatoire à une étape. Dans cette expérience, l’univers des résultats possibles est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Le lancer d’un dé suivi du lancer d’une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux étapes.

Dans une expérience aléatoire, on peut faire une prédiction, c’est-à-dire annoncer un événement futur encore inconnu, mais qui a une chance de se produire.

défiNiTiON

LES ÉVÉNEMENTS Un événement est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles. Il peut correspondre à un seul résultat, à plusieurs résultats ou à tous les résultats de l’univers des possibles. Il peut aussi ne correspondre à aucun résultat. Un événement est un événement élémentaire s’il contient un seul résultat de l’univers des possibles.

Un événement est quelque chose qui se produit. On le désigne avec une lettre majuscule.

probabilité

Dans une expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à huit faces numérotées de 1 à 8 et à observer la face du dessus, plusieurs événements peuvent se réaliser. En voici quelques-uns.

82

ExEmplE d’événEmEnt

Résultats possiblEs dE l’événEmEnt

A : Obtenir un nombre premier.

A = {2, 3, 5, 7}

B : Obtenir un nombre supérieur à 3.

B = {4, 5, 6, 7, 8}

C : Obtenir un nombre pair.

C = {2, 4, 6, 8}

D : Obtenir un 4.

D = {4}

CH AP IT RE 1 1

LES E x péri En c ES aLéatoirE S à u nE étap E

L’événement « Obtenir un 4 » est un événement élémentaire.

S82

typE d’événEmEnt

CaRaCtéRistiquE

ÉVÉNEMENT IMPOSSIbLE

Il s’agit d’un événement qui ne se produira jamais. Il correspond à un sous-ensemble vide.

ÉVÉNEMENT PRObAbLE

Il s’agit d’un événement qui peut se produire.

ÉVÉNEMENT CERTAIN

Il s’agit d’un événement qui se produit toujours. Il correspond à l’univers des résultats possibles.

On dit qu’un événement est presque impossible si les chances qu’il se réalise sont presque nulles. On dit qu’un événement est presque certain si les chances qu’il se réalise sont très élevées. lE diagRammE dE vEnn

Outil 3, Les diagrammes, p. O4

Le diagramme de Venn permet de représenter la relation entre l’univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire et les événements de cette expérience. Ω Lorsqu’on lance un dé à 12 faces, l’univers des possibles est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Si l’événement A est « obtenir un nombre premier » et que l’événement B est « obtenir un nombre pair », on peut représenter l’expérience dans un diagramme de Venn.

défiNiTiON

11.2

Diagramme de Venn A

•1

•3 •5

•7

•2

• 11

•4 •6 •8

b • 10

• 12

•9

LA PRObAbILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT

La probabilité d’un résultat d’une expérience aléatoire est une valeur qui indique la possibilité d’obtenir ce résultat. Cette valeur est toujours comprise entre 0 et 1 inclusivement. Elle peut s’exprimer à l’aide d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. Lorsqu’on lance un dé à six faces, la probabilité d’obtenir le résultat « 3 » est notée comme suit : Nombre de faces ayant un 3

Symbole de la probabilité

P(obtenir un 3) = 1 = 0,16 ≈ 16,7 % 6

La probabilité est la même pour les cinq autres résultats de cette expérience.

Nombre de faces du dé

Lorsqu’on lance un dé à six faces, la probabilité de l’événement « obtenir un 5 ou un 6 » se note comme suit :

P(obtenir un 5 ou un 6) = P(obtenir un 5) + P(obtenir un 6) P = 1 + 1 = 2 = 1 = 0,3 ≈ 33,33 % 6 6 6 3 Deux événements qui ont la même probabilité sont équiprobables.

S83

CHAPIT RE 11

LES E xpéri Enc ES aLéato irE S à unE é tap E

probabilité

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des résultats qui le composent.

83

On peut représenter la probabilité des divers types d’événements sur une droite des probabilités.

Plus un événement est possible, plus la probabilité est proche de 1.

La probabilité de différents événements liés à l’expérience de lancer un dé à six faces numérotées de 1 à 6

Obtenir le nombre 7.

•| 0

Obtenir un 3.



Obtenir un 4, un 5 ou un 6.

Obtenir un 5 ou un 6.



Obtenir un nombre plus grand que 2.

•|



0,5

Obtenir un nombre différent de 1.



Événement probable Résultat probable (probabilité entre 0 et 1)

Événement impossible Résultat impossible

Obtenir un nombre entre 1 et 6 inclusivement.

•| 1

Événement certain Résultat certain

défiNiTiON

LA PRObAbILITÉ THÉORIQUE Une probabilité est une probabilité théorique si l’on détermine sa valeur à l’aide d’un raisonnement, de calculs ou d’une représentation (tableau à double entrée, grille, diagramme en arbre, diagramme de Venn, etc.).

Lorsque tous les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un événement est le rapport entre le nombre de résultats favorables à la réalisation de cet événement et le nombre de résultats possibles de l’expérience aléatoire. Probabilité théorique =

Nombre de résultats favorables Nombre de résultats possibles

Lorsqu’on lance un dé à six faces, la probabilité de l’événement « obtenir un nombre pair » est notée comme suit : Nombre de résultats favorables

3 6

1 2

P(obtenir un nombre pair) = = = 0,5 = 50 % Il y a trois résultats favorables, soit 2, 4 et 6.

Nombre de résultats possibles

84

LA PRObAbILITÉ FRÉQUENTIELLE défiNiTiON

probabilité

Il y a six résultats possibles, soit 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

La probabilité fréquentielle d’un événement est le résultat obtenu après la répétition d’une expérience un très grand nombre de fois. La probabilité fréquentielle est souvent utilisée lorsqu’il est difficile ou impossible de déterminer la probabilité théorique d’un événement.

CH AP IT RE 1 1

LES E x péri En c ES aLéatoirE S à u nE étap E

S84

La probabilité fréquentielle d’un événement d’une expérience aléatoire est le rapport entre le nombre de fois que cet événement s’est réalisé et le nombre de fois que l’expérience a été réalisée. Nombre de fois que l’événement s’est réalisé

Probabilité fréquentielle = Nombre de fois que l’expérience a été réalisée Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 100 fois et qu’on observe 60 fois le côté pile, la probabilité fréquentielle de cet événement est de 60 %, alors que sa probabilité théorique est de 50 %. Nombre de réalisations de l’événement

60 60 % = 100

Probabilité fréquentielle

Nombre de répétitions de l’expérience

Plus on répète une expérience aléatoire, plus la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique.

défiNiTiON

LES ÉVÉNEMENTS COMPATIbLES, INCOMPATIbLES ET COMPLÉMENTAIRES Deux événements sont compatibles s’ils ont des éléments en commun. Deux événements qui n’ont aucun élément en commun sont incompatibles. Ces événements ne peuvent pas se réaliser en même temps. Des événements sont complémentaires s’ils sont incompatibles et que la réunion de leurs éléments correspond à l’univers des résultats possibles. La somme de leurs probabilités est égale à 1.

Lorsqu’on lance un dé à huit faces, les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre supérieur à 3 » sont compatibles, car ils ont les éléments 4, 6 et 8 en commun. Les événements « obtenir le nombre 3 » et « obtenir le nombre 7 » sont incompatibles, car ils n’ont aucun élément en commun. Les expériences aléatoires suivantes consistent à tirer une boule d’un récipient et à en observer la couleur. Récipient n° 1

4

6

P(boule noire) = 10

P(boule blanche) = 10

P(boule noire) + P(boule blanche) 4

6

10

Les événements « tirer une boule noire » et « tirer une boule blanche » sont complémentaires, car ils sont incompatibles et la somme de leurs probabilités est égale à 1. Récipient n° 2

5

P(boule blanche) = 10

5

P(boule non blanche) = 10

P(boule blanche) + P(boule non blanche) 5

5

10

= 10 + 10 = 10 = 1 Les événements « tirer une boule blanche » et « tirer une boule qui n’est pas blanche » sont complémentaires, car ils sont incompatibles et la somme de leurs probabilités est égale à 1.

S85

CHAPIT RE 11

LES E xpéri Enc ES aLéato irE S à unE é tap E

probabilité

= 10 + 10 = 10 = 1

85

chapitrE défInITIon

12.1

lEs ExPéRIEnCEs AléAToIREs ComPoséEs

QU’EST-CE QU’UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE COMPOSÉE ?

Une expérience aléatoire composée est une expérience aléatoire qui se réalise en plusieurs étapes. Par exemple, lancer un dé à six faces deux fois de suite et observer chaque fois le  résultat obtenu sur la face du dessus est une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Dans cette expérience, l’univers des possibles est : Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2 ,6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.

On peut déterminer le nombre de résultats possibles d’une expérience aléatoire composée en multipliant les résultats possibles qui correspondent à chacune des étapes. Par exemple, on lance une pièce de monnaie et un dé à quatre faces numérotées de 1 à 4. Le nombre de résultats possibles avec la pièce de monnaie est : {P, F}. Le nombre de résultats possibles avec le dé est : {1, 2, 3, 4}. Nombre de résultats possibles de cette expérience

Nombre de résultats

Nombre de résultats

= possibles à la 1re étape × possibles à la 2e étape =

2

=

8

×

4

probabilité

L’univers des résultats possibles de cette expérience est :

86

Ω = {(P, 1), (P, 2), (P, 3), (P, 4), (F, 1), (F, 2), (F, 3), (F, 4)}.

L’univers des possibles de cette expérience aléatoire composée comprend huit résultats.

CH AP IT RE 1 2

LES E x péri En c ES aLéatoirE S compo SéES

Si l’expérience comportait, par exemple, trois étapes, soit deux lancers de la pièce de monnaie et un lancer du dé, les parenthèses comprendraient alors trois termes plutôt que deux : Ω = {(P, P, 1), (P, P, 2), … }.

S86

LA REPRÉSENTATION dE L’UNIvERS dES POSSIbLES d’UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE COMPOSÉE Il existe diverses façons de représenter l’univers des possibles d’une expérience aléatoire. Le tableau suivant montre quatre modes de représentation de l’univers des possibles d’une expérience aléatoire composée.

Grille Elle permet de représenter une expérience aléatoire à deux étapes. Dans ce tableau à double entrée, les en-têtes de rangée présentent les résultats possibles de la première étape, et les en-têtes de colonne, les résultats possibles de la seconde étape.

EXEMPLE : On lance une pièce de monnaie et un dé à quatre faces numérotées de 1 à 4.

Résultats possibles avec le dé 2 e ÉTAPE

Résultats possibles avec la pièce de monnaie

1

2

3

4

P

(P, 1)

(P, 2)

(P, 3)

(P, 4)

F

(F, 1)

(F, 2)

(F, 3)

(F, 4)

1 re ÉTAPE

Résultats possibles Résultats avec la pièce de possibles avec monnaie le dé

diagramme en arbre Il permet de représenter une expérience aléatoire à deux étapes ou plus. Dans ce diagramme, les résultats possibles de chaque étape sont reliés par des branches.

P

F

Résultats possibles avec la pièce de monnaie

diagramme sagittal Dans ce diagramme, les éléments de chaque ensemble sont reliés par des flèches.

P F

Résultats possibles de l’expérience

1

(P, 1)

2

(P, 2)

3

(P, 3)

4

(P, 4)

1

(F, 1)

2

(F, 2)

3

(F, 3)

4

(F, 4) Résultats possibles avec le dé

1 2 3 4

Réseau Il permet de représenter le nombre de résultats possibles d’une expérience aléatoire composée. Dans ce graphe, les arcs correspondent aux résultats possibles de chaque étape.

S87

Résultats possibles avec la pièce de monnaie

P F

CHAPIT RE 12

Résultats possibles avec le dé

1 2 3 4

LES Expéri Enc ES aLéato irE S co m p o Sé E S

probabilité

MODE DE REPRÉSENTATION

87

L’EXPÉRIENCE ALÉATOIRE COMPOSÉE AvEC REMISE OU SANS REMISE

défInITIon

Une expérience aléatoire composée peut être réalisée avec remise ou sans remise. Une expérience aléatoire avec remise est une expérience dans laquelle les probabilités sont les mêmes à chacune des étapes. Les événements d’une expérience aléatoire avec remise sont indépendants, car les résultats possibles sont les mêmes pour chaque étape. Par exemple, on tire une boule du récipient ci-dessous et on observe la couleur de la boule. On remet cette boule dans le récipient, puis on tire de nouveau une boule. Expérience aléatoire avec remise

1re étape Ω = {R, R, R, J, J}

Une expérience aléatoire sans remise est une expérience dans laquelle le résultat d’une étape influe sur le résultat de l’étape suivante. Les événements d’une expérience aléatoire sans remise sont dépendants, car les résultats possibles sont différents d’une étape à l’autre. Par exemple, on tire une boule du récipient ci-dessous et on observe la couleur de cette boule. On ne remet pas la boule dans le récipient, puis on tire de nouveau une boule. Expérience aléatoire sans remise

2e étape Ω = {R, R, R, J, J}

1re étape Ω = {R, R, R, J, J}

Le nombre de boules est le même à la première et à la deuxième étape.

2e étape Ω = {R, R, R, J}

Le nombre de boules n’est pas le même à la première et à la deuxième étape.

L’EXPÉRIENCE ALÉATOIRE COMPOSÉE AvEC ORdRE OU SANS ORdRE On peut réaliser une expérience aléatoire en tenant compte ou non de l’ordre des résultats. Lorsqu’on réalise une expérience sans ordre ni remise, l’univers des résultats possibles contient généralement moins de résultats. Par exemple, on tire deux boules du récipient ci-contre qui contient une boule rouge, une boule verte et une boule bleue. Si on tient compte de l’ordre dans lequel les boules sont tirées, les résultats possibles sont :

Ω = {(R, B), (B, R), (R, V), (V, R), (B, V), (V, B)} Six résultats possibles

probabilité

Si on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel les boules sont tirées, les résultats possibles sont :

88

Ω = {(R,B), (R,V), (B,V)} Trois résultats possibles

Dans une expérience aléatoire composée sans ordre ni remise, on peut déterminer le nombre de résultats possibles à l’aide de la formule suivante : Nombre de résultats possibles d’une expérience sans ordre ni remise

CH AP IT RE 1 2

=

Nombre de résultats possibles en tenant compte de l’ordre Nombre de façons d’écrire un résultat en tenant compte de l’ordre

LES E x péri En c ES aLéatoirE S compo SéES

=

6 = 2 3

S88

12.2

LA PRObAbILITÉ d’UN ÉvÉNEMENT dANS UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE COMPOSÉE

Dans une expérience aléatoire composée, la probabilité d’un événement élémentaire est égale au produit des probabilités des événements de chaque étape. P(A, B) = P(A) × P(B) Dans une expérience aléatoire avec remise, la probabilité d’un événement reste toujours la même d’une étape à l’autre. Par exemple, on tire une boule du récipient ci-dessous qui contient trois boules rouges et deux boules vertes. On remet la boule dans le récipient, puis on tire de nouveau une boule. On veut connaître la probabilité de l’événement « tirer deux boules rouges de suite », P(R, R). Probabilité des événements de la 2e étape (5 résultats possibles)

Probabilité des événements de la 1re étape (5 résultats possibles)

R Ce type de diagramme en arbre, appelé arbre des probabilités, est utile pour représenter les probabilités de tous les événements d’une expérience aléatoire composée avec remise ou sans remise.

2 5

3 5 2 5

3 5

V

3 5 2 5

Probabilité des événements de l’expérience Ω = {(R, R), (R, V), (V, R), (V, V)} 3 5

3

9

3

2

6

2

3

6

2

2

4

× 5 = 25

R

P(R, R) =

V

P(R, V) = 5 × 5 = 25

R

P(V, R) = 5 × 5 = 25

V

P(V, V) = 5 × 5 = 25

Dans une expérience aléatoire sans remise, la probabilité d’un événement n’est pas la même d’une étape à l’autre. Par exemple, on tire une boule du récipient ci-dessous qui contient trois boules rouges et deux boules vertes. On ne remet pas la boule dans le récipient, puis on tire une autre boule. On veut connaître la probabilité de l’événement « tirer deux boules rouges de suite », P(R, R).

R

S89

2 4 2 4

3 5 2 5

Probabilité des événements de la 2e étape (4 résultats possibles)

V

3 4 1 4

Probabilité des événements de l’expérience Ω = {(R, R), (R, V), (V, R), (V, V)} 3 5

2

6

3

3

2

6

3

2

3

6

3

2

1

2

1

× 4 = 20 = 10

R

P(R, R) =

V

P(R, V) = 5 × 4 = 20 = 10

R

P(V, R) = 5 × 4 = 20 = 10

V

P(V, V) = 5 × 4 = 20 = 10

CHAPIT RE 12

LES Expéri Enc ES aLéato irE S co m p o Sé E S

probabilité

Probabilité des événements de la 1re étape (5 résultats possibles)

89

CommEnT fAIRE ?

Comment calculer la probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire composée 1

Je lis attentivement l’énoncé de la situation et je détermine si l’expérience est avec ou sans remise.

2

Je représente l’univers des possibles, au besoin.

3

Je calcule la probabilité des événements à chacune des étapes.

4

Je multiplie les probabilités des résultats de chaque étape pour trouver la probabilité de l’événement.

Je veux calculer la probabilité d’obtenir un 3 suivi d’un 4 en lançant à deux reprises un dé à six faces. 1

Il s’agit d’une expérience avec remise.

2

Je représente l’univers des possibles à l’aide d’une grille.

3

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

1

P(3 au 1er lancer) = P(3) = 6 1

P(4 au 2e lancer) = P(4) = 6 4

P(3, 4) = P(3) × P(4) 1

1

1

probabilité

= 6 × 6 = 36

90

CH AP IT RE 1 2

LES E x péri En c ES aLéatoirE S compo SéES

S90

Sommaire

outils OUTIL 1

Les notations et les symboles mathématiques .................................O2 OUTIL 2

Les nombres premiers et les nombres composés .....................O3 OUTIL 3

Les diagrammes ................................O4 OUTIL 4

Les angles ..........................................O5 OUTIL 5

Les droites ........................................O6 OUTIL 6

Les polygones ....................................O7 OUTIL 7

Le cercle ............................................O9 OUTIL 8

Les solides....................................... O10 OUTIL 9

Constructions et transformations géométriques ...... O12 OUTIL 10

Les principaux énoncés de géométrie ................................. O18

O1

outils OUTIL

1

Les notations et les symboles mathématiques Notation et symbole

Signification

(

)

Parenthèses.

{

}

Accolades.

∠ A



m ∠ A



Ensemble des nombres entiers : ℤ = {…, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, …}.

∙■    

 a



+

a

Signification … est perpendiculaire à… Angle A. Mesure de l’angle A. Angle droit.

Ensemble des nombres rationnels : 1

ℚ = {…, ‒ 2, …, 0,25, …, 15, …}. Nombre négatif. Se lit « opposé de ». Nombre positif.

∙ a ∙

Valeur absolue d’un nombre.

a:b

Rapport entre deux nombres ; proportion.



… est égal à…



… n’est pas égal à… ; … est différent de…




… est supérieur à… ; … est plus grand que…



… est inférieur ou égal à…



… est supérieur ou égal à… ;



… est à peu près égal à…

%

Pourcentage. Se lit « pour cent ».

ab

Puissance d’un nombre.

a2

△ ABC

Triangle ABC.

AB

Segment AB.

m AB ∘

Mesure du segment AB. Degré.

B, b

Grande base, petite base d’un polygone.

C, c

Grand côté, petit côté d’un polygone. Périmètre.

h

Hauteur d’un polygone.

α

Angle au centre d’un secteur. Se lit « alpha ».

a

Apothème d’un polygone.

A

Aire.

C

Circonférence d’un cercle.

d

Diamètre d’un cercle.

r

Rayon d’un cercle.

Nombre au carré.

π

Rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle (π ≈ 3,14). Se lit « pi ».

∙ a

Racine carrée d’un nombre.

A′

Image du point A, en géométrie. Se lit « A prime ».

a3

Nombre au cube.



Univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Se lit « oméga ».

1 –1 a, a

Inverse d’un nombre.



... est isométrique à…

∙∙

... est parallèle à…



Intersection de deux ensembles.



P

… n’est pas parallèle à…



Union de deux ensembles.



Ensemble vide.

∙ AB

Arc de cercle AB.

L ÉG EN D E a, b : Nombre. A, B, C : Point d’un segment ou sommet d’un polygone.

O U T IL 1



Ensemble des nombres naturels : ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.



O2

Notation et symbole

Les n otat ion s et Les sy mbo Le s mathémati ques

P(A)

∙ m AB

Probabilité de l’événement A.

Mesure de l’arc de cercle AB.

outils Les nombres premiers et les nombres composés OUTIL 1 n’est ni un nombre premier, ni un nombre composé.

1 11 21

2

3

12

13

22

23

22 3 3

337

2 3 11

31

32

41 51

3 3 11

42

43

52

53

23337

5

22

14

15

237

335

24

25

23 3 3

34

2 3 17

44

22 3 11

35

537

45

7

16

17

26

27

36

37

24

2 3 13

22 3 32

33

32 3 5

2 3 23

46

47

55

8

9

18

19

28

29

23

2 3 32

22 3 7

38

3 3 13

48

49 59

24 3 3

58

2 37

3 3 19

2 3 29

63

64

65

66

67

2 3 31

3 37

2

5 3 13

2 3 3 3 11

72

73

62

2

23 3 32

81

82

3

2 3 41

6

78 2 3 3 3 13

84

85

86

87

88

2 3337

5 3 17

2 3 43

3 3 29

2 3 11

97

98

96

7 3 13

2 3 23

3 3 31

2 3 47

5 3 19

2 33 5

2 3335

79

77 7 3 11

95

60 2

23537

76

94

50

2 3 52

3 3 23

22 3 19

93

40

23 3 5

2 3 17

75

92 2

30

23335

70

3 3 52

91

20

22 3 5

69

74

2

72

235

68 2

2 3 37

83

39

2 3 19

57

3

10

32

56

61

54

52

6

233

5 3 11

22 3 13

4

4

2 3 33

3 3 17

71

33

25

2

Facteurs premiers

89

237

90 2 3 32 3 5

3

2

80 24 3 5

99

100

3 3 11

22 3 52

2

L ÉG EN D E

2

Nombre premier

6 233

Nombre composé Facteurs premiers

OU T IL 2

Les nombR es PRemieR s et Les n om b R e s Co mP o sé s

O3

outils OUTIL

3

Les diagrammes Diagramme à bandes

Diagramme circulaire

On utilise un diagramme à bandes pour comparer des effectifs ou des fréquences.

On utilise un diagramme circulaire pour représenter des effectifs ou des fréquences en tant que parties d’un tout.

Participation des élèves aux activités parascolaires Nombre d’élèves

Participation des élèves aux activités parascolaires

Effectif ou fréquence

300

Modalité ou valeur

250 15 %

200

Soccer

24 %

150

Musique

17 %

100

Théâtre

50 0

21 % Soccer

Informatique

23 %

Autre

Musique Théâtre Informatique Autre Activité parascolaire

Effectif ou fréquence

Modalité ou valeur

Diagramme à ligne brisée

Diagramme en arbre

On utilise un diagramme à ligne brisée pour montrer l’évolution d’un phénomène dans le temps.

On utilise un diagramme en arbre pour trouver ou représenter tous les résultats possibles (Ω) d’une expérience aléatoire.

Participation des élèves aux activités parascolaires de 2008 à 2012 Nombre d’élèves Effectif ou fréquence

Résultats possibles de deux lancers d’une pièce de monnaie

1200

1er lancer

1000 800

Résultats possibles (Ω)

P

(P, P)

F

(P, F)

P

(F, P)

F

(F, F)

P

600 Pièce de monnaie

400 200 0

2e lancer

F 2008

2009

Diagramme de Venn On utilise un diagramme de Venn pour montrer les relations qui existent entre des ensembles.

2010 Année

2011

LÉG END E P: Pile F : Face

2012

Modalité ou valeur

Intersection des ensembles P et I : P ∙ I = {3, 5, 7}

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P : Nombres premiers P P = {2, 3, 5, 7} I : Nombres impairs P = {1, 3, 5, 7, 9} •2

•3 •7 •5

•0 Ω

•4

•6

I

•1 •9

•8

Union des ensembles P et I : P ∙ I = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

O4

O U T IL 3

Les D iag Rammes

• 10

outils Les angles OUTIL

4

types d’angles

130°

90°

38°

Angle aigu (entre 0° et 90°)

Angle droit (90°)

Angle obtus (entre 90° et 180°)

180° 0° 360°

240°

Angle plat (180°)

Angle rentrant (entre 180° et 360°)

Angle plein (360°)

Angle nul (0°)

Paires d’angles créées par une sécante Sécante Sécante

140°

Sécante

40°

52°

130°

40°

50°

38°

Angles complémentaires (La somme des angles est égale à 90°.)

Angles supplémentaires (La somme des angles est égale à 180°.)

Sécante

Sécante

d1

d2

Angles alternes-internes (isométriques si d1 ∙∙ d2)

Angles opposés par le sommet (isométriques)

Sécante

d1

d2

140°

d1

d2

Angles alternes-externes (isométriques si d1 ∙∙ d2)

Angles correspondants (isométriques si d1 ∙∙ d2)

: Trait d’isométrie

OU TIL 4

Le s an gLe s

O5

outils OUTIL

5

Les droites Droites parallèles et droites perpendiculaires d2 d2 d1 d1 Droites parallèles (d1 ∙∙ d2)

Droites perpendiculaires (d1 ⫠ d2)

segments et droites remarquables LÉGENDE : Traits d’isométrie

a

d

Diagonale (d)

Apothème (a)

Médiatrice

Bissectrice

Médiane

h

Hauteur (h)

Droites remarquables dans un triangle L ÉG ENDE

80°

Bissectrice Hauteur Médiane Médiatrice h

65°

O6

O U T IL 5

Les D Roites

35°

outils Les polygones OUTIL

6

quadrilatères Carré • 4 côtés isométriques • 2 paires de côtés parallèles • 4 angles isométriques de 90° Périmètre : P = 4c Aire : A = c2

Rectangle • 2 paires de côtés parallèles et isométriques • 4 angles isométriques de 90° Périmètre : P = 2(b + h) Aire : A = b × h

Trapèze • 2 côtés parallèles Périmètre : P = B + b + c1 + c 2 (B + b) × h Aire : A = 2

Losange • 4 côtés isométriques • 2 paires de côtés parallèles • 2 paires d’angles isométriques Périmètre : P = 4c D×d Aire : A = 2

c

Parallélogramme • 2 paires de côtés parallèles et isométriques • 2 paires d’angles isométriques Périmètre : P = 2b + 2c Aire : A = b × h

b h

Trapèze rectangle • 2 côtés parallèles • 2 angles de 90° Périmètre : P=B+b+h+c (B + b) × h Aire : A = 2

b c1

c2 h

c

D d

c h b

b c h

B

Trapèze isocèle • 2 côtés parallèles • 2 côtés isométriques • 2 paires d’angles isométriques Périmètre : P = B + b + 2c (B + b) × h Aire : A = 2

: Trait d’isométrie

B

b c

c h B

a : Apothème b : Base (ou petite base)

Cerf-volant • 2 paires de côtés isométriques • 2 angles isométriques Périmètre : P = 2c1 + 2c2 D×d Aire : A = 2

LÉG END E B : Grande base c: Côté

c1 d

c2

d : Petite diagonale D : Grande diagonale

D

h : Hauteur

OUTIL 6

Le s Po Lyg o n e s

O7

outils OUTIL

6

Les polygones (suite) triangles Triangle équilatéral • 3 côtés isométriques • 3 angles isométriques de 60° Périmètre : P = 3b b×h Aire : A = 2

Triangle rectangle • 1 angle de 90° Périmètre : P = b + h + c b×h Aire : A = 2

60°

h 60°

60°

c

h

b

Triangle isocèle • 2 côtés isométriques • 2 angles isométriques Périmètre : P = b + 2c b×h Aire : A = 2

c

b

Triangle rectangle isocèle • 2 côtés isométriques • 1 angle de 90° • 2 angles de 45° Périmètre : P = 2h + c h2 Aire : A = 2

c h b

Triangle scalène • Aucun côté isométrique • Aucun angle isométrique Périmètre : P = b + c1 + c2 b×h Aire : A = 2

h 45°

c 45°

c1 h

c2

b

Polygones réguliers ayant plus de quatre côtés Pentagone • 5 côtés et 5 angles isométriques Périmètre : P = 5c 5c × a Aire : A = 2 Heptagone • 7 côtés et 7 angles isométriques Périmètre : P = 7c 7c × a Aire : A = 2 Décagone • 10 côtés et 10 angles isométriques Périmètre : P = 10c 10c × a Aire : A = 2

: Trait d’isométrie

O8

O U T IL 6

Les Po Lyg on es

c a

c a

c a

a : Apothème b : Base (ou petite base)

Hexagone • 6 côtés et 6 angles isométriques Périmètre : P = 6c 6c × a Aire : A = 2 Octogone • 8 côtés et 8 angles isométriques Périmètre : P = 8c 8c × a Aire : A = 2 Dodécagone • 12 côtés et 12 angles isométriques Périmètre : P = 12c 12c × a Aire : A = 2 LÉG END E B : Grande base c: Côté

d : Petite diagonale D : Grande diagonale

c a

c a

c a

h : Hauteur

outils Le cercle Caractéristiques et propriétésC • Un cercle contient une infinité de diamètres, de rayons et de cordes. • Toutes les médiatrices des cordes se croisent au centre du cercle (O). C

Circonférence à partir du diamètre : m C = πd OCirconférence à partir du rayon : C = 2πr

7

d

r

π= d   où π ≈ 3,1416

OUTIL

LÉ G E NDE

C

Circonférence (C ) Corde

m

Diamètre (d) Médiatrice (m)*

O

Rayon (r) r

d

* Par définition, une médiatrice est une droite et non pas un segment de droite. Cependant, l’emploi LÉGdu ENterme DE médiatrice pour désigner un tel Circonférence (C droite ) segment de est accepté. Corde Diamètre (d)

aire d’un disque, aire d’un secteur et mesure d’un arc de cercle Aire d’un disque : A = πr2

Rayon (r)

Disque Angle au centre du secteur (𝛂)

Aire d’un secteur : α A= × πr2 360° Mesure d’un arc de cercle : α A= ×C 360°

Médiatrice (m)*

O

A Secteur r

B

Arc de cercle AB

OU TIL 7

Le C eRCLe

O9

outils OUTIL

8

Les solides types de solides Polyèdres Sommet

Cylindre

Arête

Hauteur (h)

Sommet (apex) Apothème de la pyramide (ap )

Faces latérales

Hauteur (h)

Sommet

Base (b)

Face latérale

Base (b)

Relation d’Euler La relation d’Euler est une formule mathématique qui établit un lien entre le nombre de sommets (S), le nombre de faces (F) et le nombre d’arêtes (A) d’un polyèdre convexe : S + F = A + 2.

Base (b)

Rayon (r)

Pyramides Pyramide droite à base triangulaire (tétraèdre) P × ap AL = b 2

Pyramide droite à base carrée 4c × ap AL = 2

ap

AT = AL + Ab

c

Développement

Pyramide droite à base rectangulaire (2c1 + 2c2) × ap AL = 2

ap

AT = AL + (c1 × c2) c1

ap

AT = AL + c2

c2

Développement

Pyramide droite à base pentagonale 5c × ap AL = 2 5c × ab AT = AL +  2

ap

ab c

Développement Développement

ab : Apothème de la base ap : Apothème de la pyramide

O10

O U T IL 8

Les s o Li D es

LÉG END E Ab : Aire de la base AL : Aire latérale

AT : Aire totale c : Côté

Pb : Périmètre de la base

outils Les solides (suite) Prismes et cylindre Cube AL = 4c2 AT = 6c2

Prisme droit à base carrée AL = 4c × h AT = AL + 2c2

OUTIL

8

h

c c

Développement

Développement

Prisme droit à base rectangulaire AL = (2c1 + 2c2) × h AT = AL + 2(c1 × c2)

Prisme droit à base triangulaire AL = Pb × h AT = AL + 2 Ab

h c2

c1 Développement

Prisme droit à base hexagonale AL = 6c × h 6c × ab AT = AL + 2

h

b

h c

Développement

Cylindre AL = 2πr × h AT = AL + 2 × πr2

h

ab r Développement

ab : Apothème de la base ap : Apothème de la pyramide

LÉG END E Ab : Aire de la base AL : Aire latérale

Développement

AT : Aire totale c : Côté

Pb : Périmètre de la base OU TIL 8

Le s so Li D e s

O11

outils OUTIL

9

Constructions et transformations géométriques Construction d’un angle Je veux tracer un angle de 75°. 1. Je trace un segment de droite. Ce segment deviendra un côté de l’angle.

3. Je fais un trait vis-à-vis de la mesure de l’angle à construire, soit 75°.

2. Je place le rapporteur sur le segment de droite en faisant coïncider l’origine du rapporteur avec l’origine du segment de droite, et la ligne de foi du rapporteur avec le segment de droite.

4. À l’aide d’une règle, je relie ce trait à l’origine du segment de droite.

75°

Ligne de foi

Origine

Construction d’une droite parallèle Je veux tracer une droite parallèle au segment AB. 1. Je place un des côtés de l’angle droit d’une équerre le long du segment AB. Je place ensuite une règle contre l’autre côté de l’angle droit de l’équerre. B A

2. Je fais glisser l’équerre le long de la règle en maintenant celle-ci bien en place, afin de conserver la direction de la droite.

3. Sans faire bouger l’équerre, je trace la droite d parallèle au segment AB. B

A

B

A

d

Construction d’une droite perpendiculaire Je veux tracer une droite perpendiculaire au segment AB. 1. Je place un des côtés de l’angle droit d’une équerre le long du segment AB, en ayant soin de faire coïncider le sommet de l’angle droit avec le point B. B

2. En maintenant l’équerre bien en place, je trace la droite d perpendiculaire au segment AB. B

A A

O12

O U T IL 9

3. Au besoin, je déplace l’équerre le long de la perpendiculaire pour allonger celle-ci.

Co n s tR uCt ion s et t Ran s foR mati ons géométR i ques

B d A

d

outils Constructions et transformations géométriques (suite) Construction d’un triangle à partir de la mesure de ses côtés Je veux tracer un triangle dont les côtés font 15 cm, 9 cm et 12 cm. 1. À l’aide d’une règle, je trace la base du triangle, soit un segment de 15 cm. A 15 cm

9

3. À l’aide d’une règle, je relie le point de croisement des arcs aux extrémités de la base.

2. Je règle l’ouverture d’un compas à 9 cm. En plaçant la pointe sèche du compas sur le point A, je trace un arc. Je règle ensuite le compas à 12 cm. En plaçant la pointe sèche du compas sur le point B, je trace un autre arc. Le sommet du triangle est le point où les arcs se croisent.

B

OUTIL

C

A

B

9 cm B A

12 cm A B

Construction de la médiatrice d’un segment de droite Je veux tracer la médiatrice du segment AB. 2. À partir de chaque extrémité du segment AB, je trace des arcs au-dessus et au-dessous du segment de droite.

1. J’écarte les pointes d’un compas pour obtenir une ouverture plus grande que la moitié du segment de droite AB. Je conserve cette ouverture de compas pour les deux opérations de l’étape 2.

A A

3. À l’aide d’une règle, je relie les deux points de croisement des arcs. La droite obtenue est la médiatrice du segment AB.

B A

B

A

B

B

Médiatrice

OU T IL 9

Const Ru Cti ons et tR a nsfoRmat ion s g é o m é t Riq ue s

O13

outils OUTIL

9

Constructions et transformations géométriques (suite) Construction de la médiane d’un triangle Je veux tracer la médiane issue du sommet A du triangle ABC. 2. À partir de chaque extrémité de la base BC, je trace des arcs au-dessus et au-dessous de la base.

1. J’écarte les pointes d’un compas pour obtenir une ouverture plus grande que la moitié de la base du triangle, soit le côté BC. Je conserve la même ouverture de compas pour les opérations suivantes.

A

A

Médiane

C

B A

C

B

3. À l’aide d’une règle, je relie les deux points de croisement des arcs. Je relie ensuite le sommet A au point d’intersection de la nouvelle droite et de la base du triangle. Ce segment est la médiane du côté BC.

A

C

B

C

B

Construction de la hauteur d’un triangle Je veux tracer la hauteur du triangle ABC. 3. À l’aide d’une règle, je relie le sommet A aux points de croisement des arcs. La partie de la droite tracée qui se trouve à l’intérieur du triangle correspond à sa hauteur.

2. Je donne au compas une ouverture plus grande que la moitié du segment CE. Je place la pointe sèche sur le sommet C et je trace un arc. En conservant la même ouverture de compas, je trace un autre arc en plaçant la pointe sèche sur le point E.

1. J’écarte les pointes d’un compas pour obtenir une ouverture égale à la longueur d’un côté adjacent au sommet A, par exemple AC. Je place ensuite la pointe sèche sur le sommet A et je trace un arc qui coupe la base du triangle (ou son prolongement). Je nomme E le point ainsi obtenu.

A

Hauteur

A

A B B B

E

C

C A

A

B

O14

O U T IL 9

E

C

B

Co n s tR uCt ion s et t Ran s foR mati ons géométR i ques

E

C

E

C

outils Constructions et transformations géométriques (suite) Construction de la bissectrice d’un angle Je veux tracer la bissectrice de l’angle BAC.

B

9

3. À l’aide d’une règle, je trace une droite qui relie le sommet A au point de croisement des deux derniers arcs tracés. Cette droite est la bissectrice de l’angle BAC.

2. Je place la pointe sèche sur un point de croisement de l’arc et de l’angle, puis je trace un nouvel arc dans l’ouverture de l’angle. Je refais l’opération en plaçant la pointe sèche sur l’autre point de croisement de l’arc et de l’angle.

1. Je place la pointe sèche d’un compas sur le sommet A de l’angle, puis je trace un arc qui croise les deux côtés de l’angle. Je conserve la même ouverture de compas pour les opérations suivantes.

OUTIL

B

B

Bissectrice

C

A

C

A

C

A

Construction de l’image d’une figure par translation Je veux tracer l’image du triangle ABC par translation. 1. À l’aide d’une règle et d’une équerre, je trace des droites parallèles à la flèche de translation t en passant par chacun des sommets du triangle ABC.

2. J’écarte les pointes d’un compas selon la longueur de la flèche de translation. En suivant le sens de la flèche, je reporte cette mesure sur les droites parallèles à partir de chacun des sommets, puis je trace un arc.

3. À l’aide d’une règle, je relie les points de croisement obtenus afin de former le triangle A′B′C′.

t

B' B

t B

A'

t A

A

C' C

B C A C

OU T IL 9

Const Ru Cti ons et tR a nsfoRmat ion s g é o m é t Riq ue s

O15

outils OUTIL

9

Constructions et transformations géométriques (suite) Construction de l’image d’une figure par réflexion Je veux tracer l’image du triangle ABC par réflexion. 1. À l’aide d’une règle et d’une équerre, je trace des droites perpendiculaires à l’axe de réflexion s en passant par chacun des sommets du triangle ABC.

3. À l’aide d’une règle, je relie les points de croisement obtenus afin de former le triangle A′B′C′.

2. J’écarte les pointes d’un compas selon la distance qui sépare chaque sommet de l’axe de réflexion s, puis je reporte chaque sommet de l’autre côté de l’axe de réflexion en traçant un arc.

A'

C'

A B'

A A C

B

s

C

C

B

B

s

s

Construction de l’image d’une figure par rotation Je veux tracer l’image du triangle ABC par rotation. 1. Je place la pointe sèche d’un compas sur le centre de rotation O, puis je trace des cercles passant par chacun des sommets du triangle ABC.

r

3. À l’aide d’une règle, je relie les points de croisement obtenus afin de former le triangle A′B′C′.

2. À l’aide du compas, je prends pour chaque cercle la longueur de l’arc compris dans l’angle de rotation r. Dans le sens indiqué par la flèche de rotation, je reporte chaque mesure à partir du sommet correspondant. Je trace un petit arc pour marquer l’emplacement de l’image du sommet.

r O

B r

C

A'

B

O A

O16

O U T IL 9

C

A

O A

B

Co n s tR uCt ion s et t Ran s foR mati ons géométR i ques

C

B'

C'

outils Constructions et transformations géométriques (suite) Construction de l’image d’une figure par homothétie 2

Je veux tracer l’image du triangle ABC par homothétie de centre O et de rapport k = 1. 1. À l’aide d’une règle, je trace des droites qui partent d’un centre d’homothétie O et qui passent par chacun des sommets du triangle ABC. Je mesure ensuite les distances entre O et chacun des sommets.

B

O

9

3. Je relie les points pour former le triangle A′B′C′.

2. Je multiplie chaque mesure par le rapport d’homothétie, dans ce cas-ci 2, pour obtenir la position des points de la figure image. Puis, à l’aide d’une règle, je trace ces trois points sur les droites.

C' C

C

OUTIL

O

C B

O A

A

A

B'

B

A' Si k , 1, la figure image obtenue est une réduction de la figure initiale. Si k . 1, la figure image obtenue est un agrandissement de la figure initiale.

Positionnement du centre d'homothétie Je veux trouver la position du centre d’homothétie O qui unit le triangle ABC au triangle A∙B∙C∙. 1. À l’aide d'une règle, je trace des droites qui relient les sommets du triangle ABC aux sommets du triangle A′B′C′.

2. Je trace un point au croisement des trois droites. Je nomme O le point obtenu. Ce point est le centre d’homothétie des triangles ABC et A′B′C′.

B'

B'

A'

C'

B

A

A'

C'

B

A

C

C

O

OU T IL 9

Const Ru Cti ons et tR a nsfoRmat ion s g é o m é t Riq ue s

O17

outils OUTIL

10

Les principaux énoncés de géométrie Énoncé 1. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.

Exemple Si d1 ∙∙ d3 et d2 ∙∙ d3, alors d1 ∙∙ d2. d3 d1

2. Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.

d2

Si d1 ⫠ d3 et d2 ⫠ d3, alors d1 ∙∙ d2. d1

d2 d3

3. Si deux droites sont parallèles, toute droite qui est perpendiculaire à l’une de ces droites est perpendiculaire à l’autre.

Si d1 ∙∙ d2 et d3 ⫠ d1 , alors d3 ⫠ d2. d1

d2 d3

4. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires.

m ∠ ABD + m ∠ CBD = 180º. D

A

5. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont perpendiculaires sont complémentaires.

B

C

m ∠ ABD + m ∠ CBD = 90º. A

D

C

B

6. Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors les paires d’angles internes situées du même côté de la sécante sont supplémentaires.

Si d1 ∙∙ d2, alors d1 m ∠ 1 + m ∠ 4 = 180º et m ∠ 2 + m ∠ 3 = 180º.

2

1

4

d2 7. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

1

O18

O U T IL 1 0

Les PR in Ci Pau x én onC és De gé omét Rie

s

∠ 1 ≅ ∠ 3 et ∠ 2 ≅ ∠ 4. 3

2

8. Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants sont respectivement isométriques.

3

Si d1 ∙∙ d2, alors ∠1≅∠3≅∠5≅∠7 et ∠ 2 ≅ ∠ 4 ≅ ∠ 6 ≅ ∠ 8.

4

d1 1 2 4 3

d2 5 6 8 7

s

outils Les principaux énoncés de géométrie (suite) Énoncé 9. Dans le cas d’une droite coupant deux autres droites, si deux angles correspondants (ou alternes-internes ou encore alternes-externes) sont isométriques, alors ces angles sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante. 10. La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180º.

Exemple Si ∠ 1 ≅ ∠ 2, alors d1 ∙∙ d2.

d1

1

d2

s B

m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180º.

m ∠ C = m ∠ A + m ∠ B.

C

B

C

A

12. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.

Si AB ≅ BC, alors ∠ A ≅ ∠ C.

B

C

A

13. L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle.

14. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

B

BD est à la fois : • la médiane issue du sommet B, • la médiatrice de AC, • la bissectrice de ∠ B, A • la hauteur issue du sommet B.

C D

B

AB ≅ CD et BC ≅ AD.

C

A

15. Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

D B

∠ A ≅ ∠ C et ∠ B ≅ ∠ D.

C

A

16. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

D B

AE ≅ EC et BE ≅ ED.

C E

A

17. Les diagonales d’un rectangle sont isométriques.

18. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

AC ≅ BD.

10

2

A

11. La mesure d’un angle extérieur à un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

OUTIL

D

B

C

A

D B

AC ⊥ BD.

C

A D

OU T IL 10

Les PR i n Ci Paux én onC é s D e g é o m é t Rie

O19

outils OUTIL

10

Les principaux énoncés de géométrie (suite) Énoncé

Exemple

19. Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.

B

A

C

20. Tous les diamètres d’un cercle sont isométriques.

AB ≅ CD ≅ EF ≅ GH.

C

A

E

O

H

G B

F D

21. Dans un cercle, la mesure d’un rayon est égale à la demi-mesure du diamètre.

m AO = m BO =

1 m AB. 2 O

B

A

22. Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est une constante notée π.

23. Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle.

24. Dans un cercle, l’angle au centre a la même mesure en degrés que l’arc compris entre ses côtés.

C

π =  d où π ≈ 3,1416.

C

O

d

B C

Les médiatrices d1 et d2 se rencontrent au point O, qui correspond au centre du cercle.

d2

d1 O

A

D

A

∙ (en degrés). m ∠ AOB = m AB

B

O

25. Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs côtés.

A

∙ m ∠ AOB m AB . = ∙ m ∠ COD m CD O

B

C

26. Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre.

D A

m ∠ AOB Aire du secteur AOB = . Aire du secteur COD m ∠ COD O C

O20

O U T IL 1 0

Les PR in Ci Pau x én onC és De gé omét Rie

B

D