Philosophiae naturalis Principia mathematica [3. ed.]

Citation preview

N E W T 0 N

1

P R I N C I P I A PHILOSOPHIA.

G

eorge

R t

H E R E A S O u rT fu fty and well beloved William Innys and John Innys o f Our City o f London, Bookfellers, Have by their Petition reprefented unto U s , that they have at great Charge and Expence printed a new and correft Edition of a Book intituled, Philofophice Naturalis Principia Mathematica \ AuElore Ifaaco Newtono Eq. Aur. Editio tertia auEla & emendata: And the fole Right and T itle o f the Copy o f the fame, being vefted in the faid Wtlliam Innys and John Innys, they have humbly befought Us to grant them Our Royal Privilege and Licerice, for the fole printing and publifhing thereo f for the Term o f fourteen Years: W e being willing to giveall due Encouragemeiit to W orks o f this N ature, which tend to the Advancement o f Learning, are gracioufly pleafed to gratify them in their Requeft, and do, by thefePrefents, agreeable to theStatutes in thatBehalf made andprovided, for U s, Our Heirs and Sueceflbrs, give and grant unto them the faid William Inr nys zxAJohn Innys, their Executprs, Adminiftrators and Affigns, Our Rdyal Licenfe for the fole printing and publifhing the faid Book intituled, Philofo­ phice Naturalis Principia Mathematica*, Au EIore Ifaaco Newtono Eq. Aur. for the Terni o f fourteen Years from the Date hereof, ftridUy forbidding ali Our Subje&s within Our Kingdoms and Dominions to reprint the fame, either in the like or in any other Yolume or Volumes whatfoever, or to Import, Buy, Vend, *Utter 'or Diftribute any Copies thereof repririted beyond the Seas, during the aforefaid term o f fourteen Years, without the Confent or A p probation o f the faid William Innys and John Innys, their Heirs, Executors, and Affigns under their Hands and Seals firft had and obtained, as they Ihall anfwer the contrary at their Perii: W hereof Our Commilfioners and other Officers o f Our Cuftoms, the Mafter Wardens and Company o f Stationers, are to take Notice that due Obedience be rendered thereunto. Giveri at Our Court at St. James's the twenty fifth D ay o f March> 1726. in the tweifth Year o f Our Reigri» By his Majeftfs Command,

TOWNSHEND.

I

PHILOSOPHIA NATURALIS

PRINCIPIA MATHEMATICA. A

U

C

T

O

R

E

I S A A C O N E W T O N O , E q. A ur. Editio tertia au6fca 8c emendata. L 0 N D I N 1: Apud Gu i l . & J oh . I nnys , Regi»Societatis typographos> M D G C X X V I.

ILLUSTRISSIMAE

SOCIETATI

REGALI

A

SE R E N ISSIM O REGE

C A R O L O II AD

PHILOSOPHIAM

PROMOVENDAM

F U N D A T I , ET A U S P I C I I S

S E R E N I S S I M I

R E G I S

GEOR G II F

L

O

R

T ractatum

E

N

T

hunc

I

D .D .D .

IS. NEWTON.

I N VIRI

P R A E S T A N T ISSI MI

ISAACI

N E W T O N I

OPUS HOCCE

-

MATHEMATICO-PH YSICUM

feculi gentifque noftrae decus egregium. N tibi norma poli, & divas libramina molis, Computus en Jovis,- & quas, dum primordia rerum' Pangeret, omniparens leges violare creator Noluit, atque operum quas fundamenta locarit. Intima panduntur vidti penetralia casli, Nec latet extremos quas vis circumrotat orbes. Sol lolio relidens ad le jubet omnia prono Tendere defcenfu, nec re£to tramite currus • Siderios patitur vallum per inane moveri; Sed rapit immotis, fe centro, lingula gyris. Jam patet horrificis quas fit via flexa cometis ; Jam non miramur barbati phaenomena aftri. Dilcimus hinc tandem qua caufa argentea Phoebe Paflibus haud aequis graditur,- cur fubdita nulli Hadtenus aftronomo numerorum fraena reculet: Cur remeant nodi, curque auges progrediuntur. Difcimus & quantis refluum vaga Cynthia pontum Viribus impellit, feflis dum flu&ibus ulvam Delerit, ac nautis fufpedtas nudat arenas j Alternis vicibus fuprema ad littora pullans. Quae

E

i

Quae toties animos veterum torfere fophorum, Quaeque fcholas fruftra rauco certamine vexant, Obvia confpicimus, nubem pellente mathefi. Jam dubios nulla caligine praegravat error, Queis faperum penetrare domos atque ardua caeli Scandere lublimis genii concelfit acumen. Surgite mortales, terrenas mittite curas; Atque hinc caeligenae vires dignofcite mentis, A pecudum vita longe lateque remotae. Qui {criptis juffit tabulis compefcere caedes, Furta & adulteria, & perjurae crimina fraudis; Quive vagis populis circundare moenibus urbes Audor erat; Cererilve beavit munere gentes; V el qui curarum lenimen preffit ab uva; V el qui Niliaca monftravit arundine pidos Confociare fonos, oculifque exponere voces; Humanam fortem minus extulit: utpote pauca Refpiciens miferae tantum lolamina vitx. Jam vero fuperis convivae admittimur, alti Jura poli tradare licet, jamque abdita caecae Clauftra patent terrae, rerumque immobilis ordo, Et quae praeteriti latuerunt {ecula mundi. T alia monftrantem mecum celebrate camaenis, Vos 6 caelicolum gaudentes nedare vefci, N e w t o n u m claufi referantem fcriniaveri, N e w t o n u m Mufis charum, cui pedore puro Phoebus adeft, totoque inceflit numine mentem: Nec fas eft propius mortali attingere divos.

* ",

• '

RDM. H A L L E Y

P R iE -

A U C T O R I S

A D

L

E

C

T

O

.

R

E

M

.

V M veteres mechanicam {uti auBor eji Pappus) in rerum naturalium inveftigatione maximi fecerint; & recentiores, mijjis formis fubftantialibus & qualitatibus occultis, phanomena natur£ ad leges mathematicas revocare aggrejfi Jlnt: Vifum eji in hoc tradiatu mathefin excolere, quatenus ea ad philofophiam fpeBat. Mechani­ cam vero duplicem veteres conftituerunt: rationalem, qua per demonf rationes accurate procedit, ® prafticam. A d prafticam fpeBant artes omnes manuales, a quibus utique mechanica nomen mutuata eji. Cum a4item arfificesjp^rum accurate operari foleant> fit ut mechanica omnis a geometria ita diftinguatur, ut quicquid accuratum fit ad ge­ ometriam referatur, quicquid minus accuratum ad mechanicam. A t­ tamen errores non funt artis, fed artificum. fjui minus accurate ope­ ratur , imperfectior eft mechanicus, & f i quis accuratijfime operari poJfeU hic foret mechanicus omnium perfeBiffimus. A7^ gj linearum reBarum & circulorum deferiptiones, /V/ quibus geometria fundatur, ^ mechanicam pertinent. Has lineas deferibere geometria #0» docet, poflulat. Tofiulat enim ut tyro eafdem accurate deferibere prius didiceret, £8**8 ///000 attingat geometrias ; ^0/8, quomodo per has ope­ rationes problemata folvantur, ^000^; reBas & circulos deferibere problemata funt, fed non geometrica. E x mechanica pofiulatur horum folutio, in geometria docetur folutorum ufus. Ac gloriatur geome­ tria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa pr£jlet. Fundatur igitur geometria in praxi mechanica, & nihil aliud efi quam mechanicas univerfalis pars illa, qu£ artem menfitrandi accurate pro­ ponit ac demonfirat. Cum autem artes manuales in corporibus moven­ dis pracipue verfentur, fit ut geometria ad magnitudinem, mechani-

C

‘

a

ca

A U C T O K>n $ ca ad motum vulgo referatur. Quo fenfu mechanica rationalis erit /cientia motuum, qui ex Viribus quibufcunque refuit ant, ® virium qua ad motus quofcunque requiruntur, accurate propofitdac demon/Irata. Tars hac mechanicae a veteribus in potentiis qbinque ad ar­ tes manuales fpeElantibus exculta fu it, qui gravitatem (cum potentia manualis non fit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis confiderarunt. Nos autem non artibus fedphilofophia con­ futent es, deque potentiis non manualibus fed naturalibus ficribentes, ea maxime traftamus, qua ad gravitatem, levitatem, vim elafiicam, refiflentiam fluidorum & ejufmodi vires feu attraEiivas feu impulfivas fpeciant: E t ea propter, hac nofira tanquam philofophia principia mathematica proponimus. Omnis enim philofophia difficultas in eo verfari videtur, ut a phanomenis motuum invefiigemus vires natura, deinde ab his viribus demonfremus phanomena reliqua. E t huc /pec­ tant propofitiones generales, quas libro primo & fecundo pertraElavimus. In libro autem tertio exemplum hujus rei propofuimus per ex­ plicationem fi/fematis mundani. Ibi enim, ex phanomenis ccelefiibus, per propofitiones in libris prioribus mathematice demonftratas, deri­ vantur vires gravitatis, quibus corpora ad folem & planetas fingulos tendunt. Heinde ex his viribus per propofitiones etiam mathematicas, deducuntur motus planetarum, cometarum, luna & maris. 'Dtinam cat era natura phanomena ex principiis mechanicis eodem argumentan­ di genere derivare liceret. Nam multa me movent, ut nonnihil fufpicer ea omnia ex viribus quibufdam pendere poffie, quibus corporum particula per caufas nGndum cognitas vel in fe mutuo impelluntur & fecundumfiguras regulares coharent, vel ab invicem fugantur & rece­ dunt: quibus viribus ignotis, philofophi hactenus naturam fruftra tentarunt. Spero autem quod vel huic philofophandi modo, vel veriori alicui, principia hic pofita lucem aliquam prabebunt. In his edendis, vir acutiffimus & in omni liter arum genere eruditifiimus Edmundus Halleius operam navavit, nec folum typothetarum fphalmata correxit & fche 7nata incidi curavit, fed etiam aultor fu it, ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonftratam a me figuram orbium coeleftium impetraverat, rogare non def i t it, ut ean­ dem cum Societate Regali communicarem, qua deinde hortatibus & be­ nignas fuis aufpiciis effecit, ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. A t poftquam motuum lunarium inaqualitates aggreffius 7• ■

•

efem,

PR ^FA T IO . cffem, deinde etiam alia tentare ccepiffem, qua ad leges & menfuras gra­ vitatis & aliarum virium, & figuras a corporibus fecundum datas quafcunque leges attraffiis defcribendas, ad motus corporum plurium inter fe, ad motus corporum in mediis refiftentibus, ad vires, denfitates & motus mediorum, ad orbes cometarum & fimilia fpeffiant, edi­ tionem in aliud tempus differendam effe putavi, ut cat era rimarer & una in publicum darem. Qua ad motus lunares fpeffiant (imperfeffia cum fin tj in corollariis propofitionis L X V I fimul complexus fumy ne fingula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, © fi­ gi liat im demonfirare tenerer, & feriem reliquarum propofitionum in­ terrumpere. Nonnulla fero inventa locis minus idoneis inferere ma­ lui, quam numerum propofitionum @ citationes mutare. V t omnia N candide legantur, & defeffius in materia tam difficili non tam repre­ hendantur, quam novis leffiorum conatibus invefiigentur, & benigne fuppleantur, enixe rogo. -

Dabam Cantabrigia , e Collegio S . Trinitatis, Maii 8. 1686.

IS . N E W T O M .

& ■ iVyv ^

'

'\w

a z

i; * ' * ’ '■ ' ^ ' V ^*

AUCTORIS

AUCJOJRJES P R>JEFATIO I N

E D IT IO N E M SE C U N D A M .

I

N hac fecunda Trincip iorum editionis multa fparfim emendantur, S? nonnulla adjicmntur. In libri primi feBione II inventio v i­ rium, quibus corpora in orbibus datis revolvi poffint, facilior redditur & amplior. In libri fecundi feBione VII theoria refflentia fluido­ rum accuratius invefligatur, & novis experimentis confirmatur. In li­ bro tertio theoria luna & pracejfio aquinoBiorum ex principiis fuis plenius deducuntur, S> theoria cometarum pluribus & accuratius com­ putatis orbium exemplis confirmatur.

Dabam

Londini ,

Mar. z 8. 1713. IS . N E f F T O N ;

E D I-

E D I T O R I S PRAEFATIO I N

E D IT IO N E M SE C U N D AM . E w t o n ia n ^ philofophiae novam tibi, leftor benevole, diuque defideratam editionem, plurimum nunc emenda­ tam atque auftiorem exhibemus. Quae potiffimum conti­ neantur in hoc opere celeberrimo, intelligere potes ex indicibus adjeftis: quae vel addantur vel immutentur, ipfa te fere docebit auftoris praefatio. Reliquum eft, ut adjiciantur nonnulla de me­ thodo hujus philofophiae. * Qui phyficam traflandam fufceperunt, ad tres fere claffes revo­ cari poliunt. Extiterunt enim, qui lingulis rerum fpeciebus quali, tates fpecificas & occultas tribuerint; ex quibus deinde corporum lingulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere voluerunt. In hoc polita eft fumma dodtrinae fcholafticae, ab Artftotele&c Peri­ pateticis derivatae: Affirmant utique lingulos effeftus ex corporum lingularibus naturis oriri; at unde fint illae naturae non docent; nihil itaque docent. Cumque toti fint in rerum nominibus, non in iplis rebus; fermonem quendam philofophicum cenfendi funt adinvenifle, philofophiam tradidifte non funt cenfendi. Alii ergo melioris diligentiae laudem confequi fperarunt rejefta vocabulorum inutili farragine. Statuerunt itaque materiam univerfam homogeneam efle, omnem vero formarum varietatem, quae in corporibus cernitur, ex particularum componentium fimpliciffimis quibufdam & intelleftu facillimis affeftionibus oriri. Et redte qui-, dem progreffio inftituitur a fimplicioribus ad magis compofita, fi par­ ticularum primariis illis affeftionibus non alios tribuunt modos, quam

E D I T O R If S quos ipfii tribuit natura. Verum ubi licentiam fibi aflumunt, ponen­ di quafcunque libet ignotas partium figuras & magnitudines, incertofque litus & motus; quin & fingendi fluida quaedam occulta, qua corporum poros liberrime permeent, omnipotente praedita fubtilitate, motibufque occultis agitata; jam ad fomnia delabuntur, neglefta re­ rum confiitutione vera: quae fane fruttra petenda eft ex fallacibus conjefturis, cum vix etiam per certiffimas obfervationes inveftigari poflit. Qui fpeculationum fuarum fundamentum defumunt ab hypothefibus; etiamfi deinde fecundum leges mechanicas accuratiflime procedant; fabulam quidem elegantem forte & venuftam, fabulam tamen concinnare dicendi funt. Relinquitur adeo tertium genus, qui philofophiam fcilicet experimentalem profitentur. H i quidem ex fimplicillimis quibus poflimt principiis rerum omnium caufas derivandas efle volunt: nihil autem principii loco aflumunt, quod nondum ex phaenomenis comproba­ tum fuerit. Hypothefes non comminifcuntur, neque in phylicam recipiunt, nifi ut quaeftiones de quarum veritate difputetur. Duplici itaque methodo incedunt, analytica & fynthetica. Natur® vires legefque virium fimpliciores ex feleftis quibufdam phaenomenis per analyfln deducunt, ex quibus deinde per fynthefin reliquorum conftitutionem tradunt. Haec illa eft philofophandi ratio longe optima, quam prae caeteris merito atnpleftendum cenfuit celeberrimus auftor nofter. Hanc folam utique dignam judicavit, in qua excolenda atque ador­ nanda operam fuam collocaret. Hujus igitur illuftriflimum dedit exemplum, mundani nempe fyftematis explicationem e theoria gra­ vitatis feliciflime dedu&am. Gravitatis virtutem univerfis corporibus inefle, fufpicati funt vel finxerunt alii: primus ille & folus ex appa­ rentiis demonftrare potuit, & fpeculationibus egregiis firmiflimum ponere fundamentum. Scio equidem nonnullos magni etiam nominis viros, praejudiciis quibufdam plus aequo occupatos, huic novo principio aegre aflentiri potuifle, & certis incerta identidem praetuliffe. Horum famam vellicare non eft animus: tibi potius, benevole leftor, illa paucis ex­ ponere lubet, ex quibus tute ipfe judicium non iniquum feras. Igitur ut argumenti fumatur exordium a fimpliciflimis & proximis; difpiciamus paulifper qualis fit in terreftribus natura gravitatis, ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora caeleftia, longillime a fe-

, .

is -

'

dibus

O

T

'T'

ff

T

P R ^ rF A T I O . . . „ . Tf. nud;-' dibus noflns remota, perventum fuerit. Convenit,, jamjnter omnes philofophos, corpora univerfa circumterrpfiria gra vitare, in terram. Nulla, dari ^corpora vere levia, jamdudynVjjCQnprpia^it^^xperientia niultiplexi Quae dicitur levitas relatiya, nq^efi vera levitas, fed ap­ parens folummodo; & oritur a praepollente gravitate corporum con­ tiguorum. . ^ nr • Porro, ut corpora univerfa gravitent in terram, ita terra viciflim, in corpora aequaliter gravitat; gravitatis enim afflonem efle mutuam & utrinque aequalem, ftc ollenditur. Dillinguatur terrae totius mo­ les in binas quafcunque partes, vel aequales vel utcunque inaequales: jam fi pondera partium non edent in fe mutuo aequalia cederet pondus minus majori, & partes conjunftae pergerent refla moveri ad infinitum, verfus plagam in quam tendit pondus majus: omnino con­ tra experientiam. Itaque dicendum erit, pondera partium in aequi­ librio efle conftituta: hoc e fi, gravitatis aclionem efle mutuam & utrinque aequalem. Pondera corporum, aequaliter a centro terrae difiantium, funt ut>k quantitates materiae in corporibus. H oc utique colligitur ex aequalH acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires ca­ dentium:. nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter acceleran­ tur, debent efle proportionales quantitatibus materiae movendae. Jam vero corpora univerfa cadentia aequaliter accelerari, ex eo patet, quod in vacuo Boyliano temporibus aequalibus aequalia fpatia caden­ do defcribunt, fublata fcilicet aeris refiftentia: accuratius autem comprobatur per experimenta pendulorum. ■* Vires attraftivae corporum, inaequalibus diftantiis, funt ut quan­ titates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram & terra., viciflim incorpora momentis aequalibus gravitent; terrae pondus in unumquodque corpus, feu vis qua corpus terram attrahit, aequabi­ tur ponderi corporis ejufdem in terram. Hoc autem pondus erat ut quantitas materiae in corpore: itaque vis qua corpus unumquod-' que terram attrahit, five corporis vis abfoluta, erit ut eadem quan­ titas materis. Oritur ergo & componitur vis attrafflva corporum integrorum ex viribus attrafflvis partium: fiquidem aufla vel diminuta mole materiae, oftenfum eft, proportionaliter augeri vel diminui ejus vir­ tutem. Aftio itaque telluris ex conjunffls partium afflonifius con" flari

e d i t o r i s flari cenfenda erit; atque adeo corpora omnia terreftria fe mutuo trahere oportet viribus abfolutis, qute fint in ratione materiae tra­ hentis. Haec efl: natura gravitatis apud terram: videamus jam qualis fit in caelis. Corpus omne perfeverare in flatu fuo vel quiefcendi vel movendi uniformiter in diredium, nifi quatenus a viribus impreflis cogitur flatum illum mutare; naturae lex efl ab omnibus recepta philofophis. Inde vero fequitur, corpora quae in curvis moventur, atque adeo de lineis redtis orbitas fuas tangentibus jugiter abeunt, vi ali­ qua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in orbibus curvis revolventibus neceflario aderit vis aliqua, per cu­ jus aftiones repetitas indefinenter ariingentibus defledtantur. Jam illud concedi aequum efl, quod mathematicis rationibus col­ ligitur & certiflime demonflratur; corpora nempe omnia, quae mo­ ventur in linea aliqua curva in plano defcripta, quaeque radio dudlo ad pundium vel quiefcens vel utcunque motum defcribunt areas circa pundtum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus quae ad idem pundtum tendunt. Cum igitur in confeflo fit apud aflronomos, planetas primarios circum folem, fecundarios vero circum fuos primarios, areas defcribere temporibus proportionales; confequens efl ut vis illa, qua perpetuo detorquentur a tangentibus redtilineis & in orbitis curvilineis revolvi coguntur, verfus corpora dirigatur quae fita funt in orbitarum centris. Haec itaque vis non inepte vo­ cari poteft, refpedtu quidem corporis revolventis, centripeta; refpedtu autem corporis centralis, attradliva; a quacunque demum caufa oriri fingatur. Quin & haec quoque concedenda funt, & mathematice demonflrantur: Si corpora plura motu aequabili revolvantur in circulis con­ centricis, & jquadrata temporum periodicorum fint ut cubi diftantiarum a centro communi; vires centripetas revolventium fore reci­ proce ut quadrata diflantiarum. V el, fi corpora revolvantur in or­ bitis quae funt circulis finitimae, & quiefcant orbitarum apfides; vi­ res centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata diflantiarum. Obtinere cafum alterutrum in planetis univerfis conlentiunt aflronomi. Itaque vires centripetae planetarum omnium lunt reciproce ut quadrata diflantiarum ab orbium centris. Si quis objiciat planetarum, & lunae praefertim, aptides non penitus quiefcere-, fed motu quodam

3'

’

lento

P R JE F A T I O . lento ferri in confequentia: refponderi poteft, etiamfi concedamus hunc motum tardiflimum exinde profedtum effe quod vis centripetae proportio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per computum mathematicum inveniri poffe & plane infenfibilem effe. Ipfa enim ratio vis centripetae lunaris, quae omnium maxime turbari de­ bet, paululum quidem duplicatam fuperabit; ad hanc vero fexaginta fere vicibus propius accedet quam ad triplicatam. Sed verior erit refponfio, fi dicamus hanc apfidum progreflionem, non ex aberrati­ one a duplicata proportione, fed ex alia prorfus diverfa caufa oriri, quemadmodum egregie commonftratur in hac philofophia. Reflat ergo ut vires centripetae, quibus planetae primarii tendunt verfus folem & fecundarii verfus primarios fuos, fint accurate ut quadrata diflantiarum reciproce. E x iis quae haftenus di (fla funt, conflat planetas in orbitis fuis re­ tineri per vim aliquam in ipfos perpetuo agentem: conflat vim illam dirigi femper verfus orbitarum centra: conflat hujus efficaciam au­ geri in acceffu ad centrum, diminui in receffu ab eodem: & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum dittantiae, diminui in eadem proportione qua diftantiae quadratum augetur. Videamus jam,.comparatione inftituta inter planetarum vires centripetas & vim gravitatis, annon ejufdem forte fint generis. Ejufdem vero generis erunt, fi deprehendantur hinc & inde leges eaedem, eaedemque affeftiones. Primo itaque lunas, quae nobis proxima eft, vim centripetam expendamus. Spatia re&ilinea, quae a corporibus e quiete demiffis dato tempo­ re fub ipfo motus initio defcribuntur, ubi a viribus quibufcunque urgentur, proportionalia funt ipfis viribus: hoc utique confequitur ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta lunae in orbita fua revolventis, ad vim gravitatis in fuperficie terrae, ut fpatium quod tempore quam minimo defcriberet luna defcendendo per vim centripetam verfus terram, fi circulari omni 'motu privari fingeretur, ad fpatium quod eodem tempore quam minimo defcribit grave cor­ pus in vicinia terrae, per vim gravitatis fuae cadendo. Horum fpatiorum prius aequale eft arcus a luna per idem tempus defcripti finui verfo, quippe qui lunae tranflationem de tangente, faftam a vi centripeta, metitur; atque adeo computari poteft ex datis tum lunae . b tempore

, quarum A C tra­ hendo radium O D direde a centro nihil valet ad movendam ro­ tam ; vis autem altera D C, trahendo radium D O perpendiculariter, idem

Quod fi pondus p ponderi

, funt reciproce ut vires. Sic pondera aequipollent ad movenda brachia librae, quae ofcillante libra funt reciproce ut eorum velocitates furfum & deorfum : hoc eft, pondera, fi refta afcendunt & defcendunt, a?quipollent, quae funt reciproce ut punflorum a quibus fufpenduntur diftantiae ab axe librae ; fin planis obliquis aliifve admotis obftaculis impedita afcendunt vel defcen­ dunt oblique, aequipollent,'quae funt reciproce ut afcenfus & defcenfus, quatenus fadti fecundum perpendiculum : idque ob determ i­ nationem gravitatis deorfum. Similiter in trochlea feu polyfpafto vis manus funem direfle trahentis, quae fit ad pondus vel d irefle vel oblique afcendens ut velocitas afcenfus perpendicularis ad ve­ locitatem manus funem trahentis, fuftinebit pondus. In horolo­ giis & fimilibus inftrumentis, quae ex rotulis commiffis conftrufla funt, vires contrariae ad motum rotularum promovendum & impe­ diendum, fi funt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, fuftinebunt fe mutuo. V is cochleae ad premendum corpus eft ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progreflivam cochlem verfus corpus preflum. V ires quibus C u ­ neus urget partes duas ligni fifli funt ad vim mallei in cuneum, ut ptogteflus cunei fecundum determinationem vis a malleo in ipfurn impreflae,

PRINCIPIA MATHEMATICA.

27

impreflae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, fecundum L e0es lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par elt ratio machinarum M o t u s . omnium. Harum efficacia & ufus in eo folo confidit, ut diminuendo velo­ citatem augeamus vim, & contra: Unde folvitur in omni aptorum inltrumentorum genere pioblema, pondus datu vi movondi^ aliamve datam relidendam vi data fuperandi. Nam fi machinae' ita formentur, ut velocitates agentis & relidentis lint reciproce ut vires; agens refidentiam fudinebit : & majori cum velocitatum difparitate eandem vincet. Certe fi tanta fit velocitatum difparitas, ut vincatur etiam refidentia omnis, qute tam ex contigu­ orum & inter fe labentium corporum attritione, quam ex conti­ nuorum & ab invicem feparandoruni cohaefione & elevandorum ponderibus oriri fo let; fuperata omni ea refidentia, vis redundans accelerationem motus fibi proportionalem, partim in partibus ma­ china , partim in corpore relidente producet. Caeterum mecha­ nicam traftare non elt hujus indituti. Hifce volui tantum odendere, quam late pateat quamque certa fit lex tertia motus. Nam fi aedimetur agentis aftio ex ejus vi & velocitate conjundiim; & fimiliter reddentis reaftio aedimetur conjun&im ex ejus partium lingularum velocitatibus & viribus relidendi ab earum attritione, cohaefione, pondere, & acceleratione oriundis ; erunt aftio & reaftio, in omni indrumentorum ufu, fibi invicem femper aequales. Et quatenus adiio propagatur per indrumentum & ultimo impri­ mitur in corpus omne refiftens, ejus ultima determinatio determi­ nationi reaflionis' femper erit contraria.

E%

DE

28

PHILOSOPHIA NATURALIS

D e M otu

Corpokum

D E

MOTU C O R P O R U M LIBER PRIMUS. S E C T I O

I.

D e methodo rationum primarum 039 ultimarum, cujus ope fie— quentia demonfirantur. L E M M A

I.

Quantitates, ut & quantitatum nationes, qua ad aqualitatem tempone quovis finito conftanter tendunt, 0 f ante finem temporis illius propius ad invicem accedunt quam pno data quavis differentia, fiunt ultimo aquales.

I negas; fiant ultimo inaequales, & fit earum ultima differen­ tia 2). Ergo nequeunt propius ad aequalitatem accedere quam pro data differentia 2) .• contra hypothefin.

S

II. Si in figura quavis A a c E, re&is A a, A E 0? curva a c E comprehenfa, infcribantur parallelogramma quotcunque A b, Bc, C d, &c. fub bafibus A B, B C, C D, &c. aqualibus, 0 f lateribus B b, C c, D d, &c. figura lateri Aa parallelis contenta; 0 f compleantur parallelogramma a K b l, b L c m , cM d n , &c. D em horum paralL E M M A

lelogrammortim latitudo minuatur, 0f numerus augeatur in infinitum : dico quod ultima rationes quas ha__ _ w ^ bent ad /e invicem figura infcripta A K b L c M d D , circurnfcripta

PRINCIPIA MATHEMATICA.

lp

/cripta A a l b m c n d o E , & curvilinea A a b c d E , funt r a- Ll — f tones squalitatis. P tl“ os Nam figura infcripta & circumfcripta difFerentia eft fumma parallelogrammorum K l , Lm , M < D o , hoc ett (ob aquales omnium bafes) retfangulum fub unius bafi Kb & altitudinum fumma A a, id eft, reftangulum A B l a . Sed hoc redtangulum, eo quod latitu­ do ejus A B in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo (per lemma t) figura infcripta & circumfcripta & multo magis fi­ gura curvilinea intermedia fiunt ultimo aquales. E. 2). L E M M A

III.

Eadem rationes ultima fu n t etiam rationes squalitatis,

ubi

parallelogrammorum latitudines A B , B C , C D , & c. funt rna quales, Q f omnes minuuntur tn infinitum. Sit enim A F aqualis latitudini maxima, & compleatur parallelogrammum F A a f . H oc erit majus quam differentia figura in­ fcripta & figura circum fcripta; at latitudine fua A F in infinitum diminuta, minus fiet dato quovis reftangulo. E', T). Corol. i. Hinc fumma ultima parallelogrammorum evanefcentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea. Corol. x. Et multo magis figura reftilinea, qua chordis evanef­ centium arcuum a b, bc, c d, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea. Corol. 3. Ut & figura reftilinea circumfcripta qua tangentibus eo­ rundem arcuum comprehenditur. Corol. 4. Et propterea h a figura ultima (quoad perimetros ac E,) non funt reftilinea, fed re&ilinearum limites curvilinei. L E M M A S i in duabus fig u r is A a c E,

P p rT,

I V. in fcrib an tu r ( ut fu p r a )

d u a p a ra llelo g r a m m o r u m fe r ie s , fi t q u e id em am borum n u ­ m erus , &

u bi la titu d in es in in fin itu m d im in u u n tu r, rationes

u ltim a p a ra llelo g r a m m o r u m in una fig u ret a d p a r a lle lo g ra m m a

3o m ° tu

PHILOSOPHIA NATURALIS

gramma in altera, fmgulorum ad fingula, fin t eadem } dico quod figura dua A a c E, P p r T , fiunt a d invicem in eadem illa ratione. a

Etenim ut funt parallelogramma fingula ad fingula, ita (compo­ nendo) fit fumma omnium ad fummam omnium, & ita figura ad figu­ ram; exiftente nimirum figura priore (per lemma m ) ad fummam priorem, & figura pofieriore ad fummam pofteriorem in ratione aequalitatis. 6X E. *D. Corol. Hinc fi duae cujufcunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque dividantur; & partes illae, ubi nume­ rus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, fecunda ad fe­ cundam, caeteraeque fuo ordine ad caeteras: erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam fi in lemmatis hujus figuris fuman­ tur parallelogramma inter fe ut partes, fumma: partium femper e­ runt ut fummae parallelogrammorum ; atque ideo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum ideit (per hypothefin) in ultima ratione partis ad partem. * l

e

m

m

a

V.

Similium figurarum latera omnia, qua fih i mutuo refipondent, Junt proportionalia, tam curvilinea quam reB ilinea ■, area fiunt in duplicata ratione laterum. *

&>

L E M M A

PRINCIPIA MATHEMATICA. L E M M A

3

* Li B E R US, ri M

P

V I.

S i arcus qu ilib et pofttione datus A C B fu btendatur chorda A B , &

in p u n B o aliquo

A,

A

n

^

m medto cu rv a tu ra con­ tin u a ,

tangatur a r e B a

u trin q u e p r o d u B a

A D ;

dein p u n B a A , B a d in v i­ cem accedant

coeant •

dico q u o d augulus B A D , fu b

chorda

&

tangente

contentus , m inuetur tn in fin itu m &

ultim o evanefcet .

Nam fi angulus ille non evanefcit, continebit arcus A C B cum tangente A B ) angulum reftilineo aequalem, & propterea curvatura ad puncium A non erit continua, contra hypothefin. l

e

m

m

a

V II.

Ttfdem pofttis ; dico q u o d u ltim a ratio arcus, chorda, &

tan­

g en tis a d in v icem efi ratio a qu a lita tis.

Nam dum pundum B ad pundum A accedit, intelligantur femper A B & A T ) ad punda longinqua b ac d produci, & fecanti BB> parallela agatur bd. Sitque arcus A cb femper fimilis arcui A C B . Et pundis A , B coeuntibus, angulus d A b , per lemma fuperius, evanefcet ; ideoque redae femper finitae A b, A d, & arcus interme­ dius A c b coincident, & propterea aequales erunt. Unde & hifce femper proportionales redae A B, A B ), & arcus intermedius A C B evanefcent, & rationem ultimam habebunt aequalitatis. J^. E. B). Corol. 1. Unde fi per B ducatur tangenti parallela B F, redam quamvis A F per ^tranfeuntem per­ petuo fecans in F, haec B F ultimo ad arcum evanelcentem A C B ratio­ nem habebit aequalitatis, eo quod completo parallelogrammo A F B B ) rationem femper habet aequalitatis ad AB). Corol.

3Z

De motu C orporum

PH ILOSOPHIA

N ATU RALIS

Corel. Et fi per B 8c A ducantur plures reflai B E , BT>, A F , A G , fecantes tangentem A T ) & ipfius parallelam B F ; ratio ultima abfciflarum omnium A T , A E , B F , B G , chordaeque & arcus A B *dS f ” & omnes line*, in omni de ra.io n ita »1. timis argumentatione, pro fe invicem ufurpari pofiunt.

LEMMA

VIII.

Si r e B s d a ts A R , B R cum arcu A C B ,

chorda A B &? tan­

gente A D , triangula tria R A B , R A C B , unt, dein punBa A ,

RAD

B accedunt a d invicem :

confutu­ dico quod

ultima forma triangulorum evanefcentium ejl fim ilitudim s, 0 f ultima ratio squalitatis. Nam dum punflum B ad punftum A accedit, intelligantur femper A B , AT)y A R ad punfta A D ______ ri longinqua b, d & r produci, ipfique R D parallela agi rbd, & arcui A C B fimilis femper fit arcus A c b . Et coeuntibus punftis A , B y angulus b A d evanefcet, & propterea trian­ gula tria femper finita r A by r A c by r A d coincident, funt-7^ que eo nomine fimilia & aequa­ lia. Unde & hifce femper fimilia & proportionalia R A B, R A C B y R A D fient ultimo fibi invicem fimilia & aequalia. 1 ... A A . c*\.l t l H J < i . i ■' F iBEU. per centrum vm um : en t vis centripeta in medio arcus, ut PLi rx MUS fagitta dire&e tempus fisjnverfe. g , Nam fagitta dato tempore elt ut,vis,(per eorol. 4.sprop. i.) & augendo tempus in ratione quavis, 'ob auctum arcunriti e&dem ra­ tione fagitta augetur'in ratione illa duplicata'' ( per eorol. i & 3, lem. x i.) ideoque elt ut vis femel & tempus bis. Subducatur du­ plicata ratio temporis utrinque, & fiet vis ut fagitta direfte & tem^pusrbis inverfe.kA^i?.2>.*,u ’FV a\ * F « A \' IderrT facile demonftratur etiam per eorol. 4. lem. x. Corel. 1. Si corpus T revolvendo circa centrum S deferibat lineam curvam A T Q j tangat vero refla Z T R curvam illam i n' punfto quovis T , & ad tangentem ab alio quovis curvas punfto agatur R diftantife S T parallela , ac demittatur T perpendicularis ad diltantiam illam S T : vis centripeta erit reciproce ut folidum S T quad.^^ T j u a d . _ ^ mQ(j o

jqjUs ea femper fumatur quan­

titas, quae ultimo fit, ubi coeunt punfta T & §>. Nam §>R aequalis elt fagittae dupli arcus 6)T, in cujus medio eil T , & duplum trian­ guli S Q T five S T x §>T, tempori, quo arcus ille duplus deferibi- • tur, proportionale e lt; ideoque pro temporis exponente feribi poteft. Corol. x. Eodem argumento vis centripeta elt reciproce ut folidum STq *

fi modo S T perpendiculum fit a centro virium in or­

bis tangentem T R demifium. Nam reflangula S T x

8cS T x § T _ ■ Corol. 3. Si orbis vel circulus elt, vel circulum concentrice tangit, aut~concentrice fecat, id elt, angulum contaftus aut feflionis cum circulo quam minimum continet, eandem habens curvaturarn eundemque radium curvaturae ad punftum T ; & fi T V chorda fit cir­ culi hujus a corpore per centrum virium a f t a e r i t vis centripeta re­

. aequantur.

ciproce ut folidum S T q x T V . Nam T V elt ~r TW \ ' ‘‘ ' J >ii nm t ut ,■ ' q oq luA-dni.

tilMioa ’ V£

v j

, ^ hi.

'aicvuboj

Corol.

4g db Motu Couporum.

P H*I'EO S O^PWHE N A /T iU R A L I S

-l

Corel. 4. Iifdemrpofitis,. vis .0 ini o centrjpe|:a ut,.yelocitas bis direfte, /> ». " & chorda illa inverfe. Nam veloT , citas elt reciproce ut perpendiculum /' / ” f f f ' S T per corol. i. prop. 1. / ./ \X Corol. 5. Hinc fi detur figura quae-- j ___________\ vis curvilinea A P G f , & in ea detur A etiam punftum S, ad quod vis cen, tripeta perpetuo dirigitur, inveniri poteft lex vis centupetae, quacorpus quodvis P a curfu reftilineo perpetuo retraftum in figurae illius perimetro detinebitur, eamque revolvendo defcribet. Nimi­ rum computandumeft vel folidum----- ^ T R * huic vi reciproce proportionale. in problematis fequentibus.

PROPOSITIO VII.

~ vc' ^ ° ^ um ^ P p

Ejus rei dabimus exempla?

PROBLEMA II.

Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis - centripet. Corol.i. T S q eft ad S N q \itTSzv ad §>x (per corol. z. lem. v n .) fit ratio aequalitatis. Ergo Q x quad. eo in cafu aequale elt rectangulo ^ T S x QJR. Elt autem (ob fi­ milia . triangula Q x T , S T N ) §hcq ad ^ T q ut T S q ad S N q , hoc elt (per corol. 1. lem. xiv.) ut T S ad S J , id elt, ut 4 T S x Q R ad 4 S J X ^ R , & inde (per prop. ix. lib. v. elem.) • STq Q T q & 4 S A x Q R aequantur. Ducantur haec aequalia m & fiet

aequale S T q x ^ S J : & propterea (per corol. 1.

& f. prop. vi.) vis centripeta elt reciproce ut S T q x *,SA, id elt» ob datam 4 S J reciproce in duplicata ratione diftantiae S T . ' 6). E. I. Corol. 1. Ex tribus noviffimis propofitionibus confequens ell, quod fi corpus quodvis T fecundum lineam quamvis reftam T R quacun­ que cum velocitate exeat de loco T , & vi centripeta, quae fit reci­ proce proportionalis quadrato diltantiae locorum a centro, fimul agitetur ; movebitur hoc corpus in aliqua feftionum conicarum umbilicum habente in centro virium ; & contra. Nam datis um­ bilico, & pundto conta&us, & pofitione tangentis, defcribi potell feftio conica, quae curvaturam datam ad punftum illud habebit. Da­ tur autem curvatura ex data vi centripeta, & velocitate corporis: & orbes duo fe mutuo tangentes eadem vi centripeta eademque ve­ locitate defcribi non poliunt. Corol z. Si velocitas, quacum corpus exit de loco fuo T , ea fit, qua lineola T R in minima aliqua temporis particula defcribi pof' I 2, .fit,

60

PHILOSOPHIA

N ATURALIS

De Motu fit . & vis centripeta potis fxt eodem tempore corpus idem movere Corporum per fpatium , ta fit ellipfis, vel A B + S P , fi ea fit ' ______________Hf hyperbola, defcribatur circulus HG. Ad X S J! tangentem TR demittatur perpendicu^ Gjp lum ST, & producatur idem ad F , ut fit T F aequalis S T i centro­ que

P R I N C I P I A M A TH E M A TIC A .

67

que F & intervallo A B defcribatur circulus F H . Hac methodo L iie five dentur duo punda T , / , five du$ tangentes T R , tr , fivepun- P&,“ “ flum T & tangens T R , defcribendi funt circuli duo. Sit H eorum interfedio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato defcribatur trajedoria. Dico fadum. Nam trajedoria defcripta (eo quod T H + S T in ellipfi, & T H — S T in hyperbola sequatur axi) tranfibit per pundum T , & (per lemma fuperius) tanget redam T R . Et eo­ dem argumento vel tranfibit eadem per punda duo T , />, vel tan­ get redas duas T R, tr. Q . E . F .

P R O P O S IT IO XIX.

P R O B L E M A XI.

Circa datum umbilicum traje&oriam parabolicam defcribere, qua tranfibit per pun&a data, & reclas pofitione datat ■ continget. ' Sit S umbilicus, T pundum & T R tangens trajedoriee defcribendae. Centro T , intervallo ‘PJdefcribe circulum FG. Ab um­ bilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, & produc eam ad F, ut fit T V aequalis S T. ' Eodem modo defcribendus eft alter circulus f g, fi datur alterum pundum p ; vel inveniendum alterum pundum v, fi d atur altera tangens t r ; dein d ucenda reda 1 F quae tangat duos circulos F G , f g fi dantur duo punda T , p, vel tranfeat per duo punda V, v, fi dantur duae tangentes T R, tr, vel tangat circulum F G & tranfeat per pundum F, fi datur pundum T & tangens TR. Ad F I demitte per­ pendicularem S I , eamque bifeca in K ; & axe S K , vertice principali K defcribatur parabola. Dico fadum. Nam parabola, ob aequales S K & I K , S T & F T , tranfibit per pundum T ; & (per lem. xiv. corol. 3.) ob aequales S T & T F & angulum redum S T R , tanget redam TR. §K E. F.

Ri

PROPOSITIO