Peano. Storia di un matematico 978-8833901497

Bertrand Russell, nella sua Autobiografia, ha scritto: “Nel luglio del 1900 si tenne un congresso internazionale di filo

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Peano. Storia di un matematico
 978-8833901497

Table of contents :
Peano. Storia di un matematico......Page 1
Colophon......Page 6
Indice......Page 7
Presentazione di Lalla Romano......Page 9
Prefazione......Page 15
1. I primi anni......Page 19
2. Gli anni dell’università......Page 22
3. Assistente......Page 27
4. Carriera accademica......Page 43
5. Professore straordinario......Page 70
6. Il progetto del ‘Formulario’......Page 82
7. Professore ordinario......Page 90
8. La controversia con Volterra......Page 96
9. Il primo congresso internazionale dei matematici......Page 106
10. I contatti con Frege......Page 118
11. Peano acquista una macchina da stampa......Page 125
12. La scuola di Peano......Page 133
13. Parigi, 1900......Page 141
14. Inizia il declino......Page 152
15. Il ‘latino sine flexione’......Page 160
16. Lo sciopero delle operaie dei cotonifici......Page 169
17. Il completamento del ‘Formulario’......Page 173
18. L’‘Academia pro interlingua’......Page 182
19. Apostolo dell’interlingua......Page 195
20. Gli anni di guerra......Page 204
21. Il dopoguerra......Page 215
22. Il congresso di Toronto......Page 223
23. Gli ultimi anni......Page 230
24. Epilogo......Page 235
25. Conclusione......Page 239
Appendici......Page 245
1. I professori di Peano......Page 247
2. I membri della scuola di Peano......Page 261
3. Elenco dei lavori di altri autori presentati da Peano all’Accademia delle Scienze di Torino......Page 262
Note......Page 269
Elenco cronologico delle Opere di Peano......Page 273
Bibliografia......Page 289
Indice dei riferimenti alle pubblicazioni di Peano......Page 295
Indice dei nomi......Page 297
Indice degli argomenti......Page 305

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La cultura scientifica

HUBERT C. KENNEDY

PEANO STORIA DI UN MATEMATICO

PAOLO BORINGHIERI

© 1983 Editore Boringhieri società per azioni Torino, corso Vittorio Emanuele 86 CL 6 1 -8900-8 Titolo originale

Life and Works of Giuseppe Peano © 1980 D. Reidel Publishing Company - Dordrecht Traduzione di Paolo Pagli

Indice

Presentazione di Lalla Romano Prefazione

t . I primi anni 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

Gli anni dell'università Assistente Carriera accademica Professore straordinario Il progetto del 'Formulario' Professore ordinario La controversia con Volterra

9. Il primo congresso internazionale dei matematici 10.

I contatti con Frege

11. Peano acquista una macchina da stampa 12. La scuola di Peano

13. Parigi, 1 900 14. Inizia il declino 15. Il 'latino sine flexione' 16. Lo sciopero delle operaie dei cotonifici

17. Il completamento del 'Formulario' 18. L"Academia pro interlingua' 19. Apostolo dell'interlingua

7 13 17 20 25 41 60 72 80 86 96 1 08 115 123 131 142 150 1 59 163 172 185

20. 21. 22. 23. 24. 25.

1 94 205 2 13 220 225 229

Gli anni di guerra Il dopoguerra I l congresso d i Toronto Gli ultimi anni Epilogo Conclusione Appendici

l. I professori di Peano

2 . I membri della scuola d i Peano 3. Elenco dei lavori di altri autori presentati da Peano

237 251

all'Accademia delle Scienze di Torino

252

Note

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Elenco cronologico delle Opere di Peano

263 279 285 287 295

Bibliografia Indice dei riferimenti alle pubblicazioni di Peano Indice dei nomi Indice degli argomenti

AVVERTENZA BIBLIOGRAFICA I nomi d'autore seguiti da data citati nel testo rimandano alla fine del volume. Nel caso di opere di cui esiste la traduzione indica l'edizione originale, mentre i numeri di pagina si traduzione. I numeri tra parentesi quadre sono riferimenti alle (vedine l'Elenco cronologico alle pp. 263-77).

Bibliografia alla italiana, la data riferiscono alla Opere di Peano

Presentazione di Lalla Romano

Tutti quelli che hanno scritto su Giuseppe Peano hanno esaltato la semplicità di vita, la modestia dell'uomo, e hanno ricordato l'origine "contadina" quale matrice del suo costume austero. Anche il professar Kennedy nella sua ampia, garbata e - mi sembra - perfino affettuosa biografia ripete questo giudizio. Penso di dover intervenire con qualche precisazione, anzi correzione. Giuseppe Peano nacque e visse i suoi primi anni in campagna, ma suo padre non era un contadino. Era un piccolo proprietario. Certo non è facile per chi non sia informato sulle condizioni storico-sociologiche della regione farsi un'idea più adeguata, a cominciare dal significato di certi termini locali. Tetto per esempio indica non una casa, ma un insieme di fabbricati: al minimo consiste di una casa detta "civile", che può essere più o meno rustica, dove abita p er una parte almeno dell'anno il pro­ prietario, e di un'altra casa più propriamente colonica abitata dai contadini che lavorano il fondo, con annessa una stalla, un fie­ nile, eccetera. Le dirette nipoti di Peano residenti a Cuneo, con pietas fami­ liare e gusto aristocratico hanno conservato a tutt'oggi l'inte­ grità della casa natale, la sua grazia e severità antiche. Non so immaginare da quale fonte abbia tratto le sue informa­ zioni il professar Kennedy, che accenna ripetutamente al "lavoro dei campi" nel primo capitolo della sua biografia. Certamente Bartolomeo Peano (il padre) avrà coltivato il suo orto, avrà anche preso parte a certi lavori campestri, come allora usava; così, comprare delle pecore rientrava nelle competenze di un

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PRESENTAZIONE

piccolo proprietario. E devo a questo capitolo la divertente im­ magine bucolica del futuro matematico, immagine che non pos­ sedevo, e che non è per nulla stonata con tante altre immagini scanzonate di lui. D'altronde la madre veniva da una famiglia di uomini di legge che non l'avrebbe maritata a un contadino. Ma c'è nel testo un'espressione "incriminabile" e insieme p er­ fino comica: quella che definisce la classe sociale da cui proveniva Peano come "sottoproletariato". Nemmeno il mezzadro o il fit­ tavolo era un sottoproletario: tale sarebbe stato solo un brac­ ciante agricolo, condizione mai esistita nel cuneese. Comunque penso che l'uso improprio del termine sia particolarmente scu­ sabile in un americano. Resta da fare una considerazione più generale e più impor­ tante. Le qualità umane così singolari di Peano sono proprio un retaggio delle sue origini? Egli fu un uomo particolarmente genuino, debitore solo a sé stesso del suo essere come del suo fare, ma anche - come tutti - ai suoi geni. In famiglia si diceva che avesse ereditato dalla madre il suo ingegno. Lei era intelli­ gente, di forte carattere e relativamente colta: insegnava la scrit­ tura ai figli dei contadini, quelli sì analfabeti. Mi pare anche interessante rievocare la figura del fratello Bar­ tolomeo, il sacerdote. Personaggio affascinante, un po' miste­ rioso, solitario: anche lui non conformista e forse ribelle. Sentivo dire da bambina che "certe volte non diceva la messa"; e non è del tutto improbabile - così almeno ho pensato qualche volta una venatura di giansenismo, dati i tempi e in Piemonte, dove quella dottrina aveva lasciato qualche tardiva impronta. Quando io lo conobbi viveva appunto a Tetto Galant, assistito da una governante che abitava nella casa colonica; e prima era vissuto, sempre nella casa paterna, con la madre. Rivedo la sua figura alta e magra, severa, anzi ieratica, il suo viso estremamente nobile. Sapevo soltanto di lui che "leggeva sempre", che amava la musica, componeva versi e li musicava accompagnandosi con l'armonium. Annibale Pastore, professore di teoretica a Torino, scrisse di Peano che "vite come la sua sono chiuse per l'ordinario, concen­ trate a tal segno che il più vero e il migliore è il meno visibile all'esterno". Tale è appunto l'idea corrente intorno al grande

PRESENTAZIONE

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uomo di scienza: un nucleo segreto di intelligenza e intorno la banalità del quotidiano. Ma non è così. E va rivendicata la coe­ renza, l'unità di una vita in nessun modo sdoppiata tra interno ed esterno, tra idea e costume. Del resto l'errore consiste già nel considerare il quotidiano qualcosa di inferiore: forse perché, appunto, modesto? Ma la semplicità accompagnata da gentilezza è stile. E Peano era l'uomo più cortese, il più generoso; anche la sua casa, senza lussi né ornamenti, era ospitale; e sua moglie, la favolosa zia Nina, figlia di pittore, era anche lei di una bontà senza limiti, e arguta, sorridente. Ora, è giusto chiamare "modesto" un uomo consapevole del proprio valore che non ha in sé ombra di sussiego, di alterigia, né sociale né intellettuale? Uno che è l'opposto del famoso "professore" in Zio Vanj a di C echov (personaggio vuoto e so­ lenne che ha sempre avut o tanti simili nel mondo accademico...). Modestia, dunque, nel senso di sprezzo della vanità. L'umiltà era soltanto verso la scienza. Per gli uomini aveva tol­ leranza e - quanto più essi stessi umili - rispetto. Aborriva il "culto dell'io". La sua prima pubblicazione che conteneva una sua scoperta e correggeva un errore del suo mae­ stro, uscì col nome di quello, non col suo. Disse una volta (a Timpanaro): - Che importa se un'idea si affermi col nome di Peano o con un altro? L'importante è che si affermi. L'altezza morale e il rigore della mente tanto ammirato da Russell possono bastare per la sua gloria. Ma l'originalità irri­ petibile della sua natura era ancora in questo: che il rigore della mente si accompagnava a un'altra p eculiarità altrettanto rara: la fantasia. I poeti sono uomini che non hanno perso la facoltà di mera­ vigliarsi propria dell'infanzia; ebbene, anche gli scienziati veri - creatori - godono di questo privilegio. Infatti la scienza nasce dalla meraviglia come l'arte. Albert Einstein ha scritto: "Lo studio e la ricerca della verità e della bellezza rappresentano una sfera di attività in cui è permesso di rimanere bambini per tutta la vita." Questi ricercatori detti platonicamente "della verità e della bellezza" hanno qualcosa che li apparenta ai bambini: una dispo-

lO

PRESENTAZIONE

nibilità, anzi una passione per il gioco. Perché lo spirito creativo è leggero. Peano possedeva questa dote meravigliosa: un'affinità con i bambini che lo portava a capirli. Cosa negata in genere ai vari pedagoghi, retori, sadico-sentimentali. Lui sapeva giocare dav­ vero con un bambino. Faceva allegre gare di velocità correndo giù dallo scalone del palazzo, con un bambino che abitava nelle soffitte sopra il suo alloggio del quarto piano. Quando ero bambina io, mi propose un problema di tipo sco­ lastico: due carrettieri, i chilometri, la velocità: - A che punto della strada si incontreranno? - Non mi provai neppure a calco­ lare, rabbiosa tacevo. E lui: - Alla prima osteria! - La sua risata cavernosa, urlata, canzonò la mia perplessità, ma anche la serio­ sità del problema. Lui giudicava assurdi e tormentosi gli esami a cui non riconosceva utilità scientifica ma danno alla salute. Ammetteva solo quelli di concorso, che invece dovevano essere difficili. Con i bambini, e anche con gli amici, soleva dire: - Spinetta (o: Cavoretto) è il centro del mondo. E spiegava come si po­ teva partire da quel punto per misurare il mondo. C'era, natu­ ralmente, l'amore per "quel" luogo, le due piccole patrie. In realtà si considerava cittadino del mondo e aveva infinite patrie. Nella sua maniera indiretta e come casuale, educava. Trasmet­ teva il pathos del socialismo facendo ascoltare sul grammofono l'Inno dei lavoratori, o quello della libertà ascoltando La marsi­ gliese. Una volta disse: - I primi a scappare al suono della Marsigliese sono stati i piemontesi. - Era forte, per quei tempi, per la nostra educazione; ma era una prima medicina contro il patriottismo. La sua pedagogia, non sistematica, occasionale, paradossale·, non andava perduta proprio per la sua leggerezza. "Chi vuole impa­ rare l'italiano dovrebbe andare a Londra: là si studia su Dante." Così la sua famosa proposta d'insegnare il greco "in dieci mi­ nuti": perché, secondo lui, non era possibile ignorare il greco. Quando conobbi i testi Zen mi ramm entai di lui e dei suoi curiosi, affascinanti scherzi a sorpresa. Improvvisamente puntava un dito su una persona, come per spaventarla; quello sussultava e lui: - Non stavi pensando a mel -

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Imparai, frequentandolo, a "leggere" come sfida allegra e libera i suoi atti, le sue espressioni, perfino - se potevo afferrarne il senso - quelle scientifiche. Mi piacque che la famosa "curva di Peano" avesse dimostrato che il concetto volgare di curva non potesse essere adottato dal matematico, perché "una cur·va può riempire interamente un quadrato". Era una definizione così con­ creta, che lui fece disegnare la curva sul suo terrazzo della villa di Cavoretto. Il professar Gliozzi (del liceo Cavour di Torino) scrisse (nel 1951) che "quando ad allievi e discepoli saliti da Torino in collina per mangiare la frutta e per conversare col Maestro, egli voleva mostrarla, apriva il balcone sul terrazzo, si volgeva agli amici alzando le mani e con la sua abituale espres­ sione di ironia bonaria, esclamava: - Questo è il mio spazio; voi non potete entrare!" Credo che la sua concezione - mai formulata - fosse sostan­ zialmente anarchica. Detestava il dogmatismo, il conformismo in tutti i campi. Era fuori del suo tempo, come ogni uomo libero. Si permetteva, se non danneggiavano altri, delle infrazioni. Sui quarant'anni si ammalò di broncopolmonite e fu ricoverato al­ l'Ospedale Mauriziano. Dopo due giorni di degenza ne ebbe abbastanza; riuscì a uscire inosservato dall'ospedale, andò all'Ac­ cademia di Artiglieria dove era professore, ottenne una caval­ catura, e su quella se ne tornò a Cavoretto. Forse per via del cavallo , è un'immagine Zen. Non era favoloso che potesse incontrare ogni tanto la tradu­ zione delle sue astrazioni? Il pitagorico Tutto è numero aveva suggerito agli americani di chiamare le strade· coi numeri? Lo constatò nel suo viaggio in America e ne fu entusiasta: anche perché, disse, ciò eliminava la retorica delle commemorazioni. Anche nell'amore della natura era simile a Einstein, il quale lasciò scritto nel suo diario: "Ci si sente immersi nella natura; ancora più del solito si avverte la nullità dell'individuo e questo ci riempie di felicità." Non era certo una considerazione di con­ tadino, cioè pratica, que.lfa della natura in Peano. Gli piaceva raggiungere Cavoretto attraverso i boschi e, se era primavera, raccoglieva margheritine (bellis perennis) e anemoni viola (ane­ mon epatica). Il modo era tutto suo, simile a quello dei bambini piccoli, ma più delicato: staccava, infilandola fra le dita della

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mano a coppa, la corolla soltanto. Poi metteva i fiori in tasca, li dimenticava. A casa, ritrovandoli, li offriva alla moglie. Sul bordo del caminetto c'era in quei giorni una scodellina in cui nuota­ vano le corolle. Morì, come è retaggio dei saggi (e dei santi), un giorno di la­ voro, di vita consueta. Ridendo. Raccontava alla moglie un film che l'aveva molto divertito, e rideva tra colpi dolorosi di tosse. Così se ne andò "plantand ses choux", come voleva Montaigne. LALLA ROMANO

Prefazione

Tutti gli studenti di matematica conoscono gli assiomi di Peano per i numeri naturali e la sua celebre "curva che riempie un qua­ drato", ma spesso la loro conoscenza si ferma lì. Fino ad oggi è mancato infatti uno studio approfondito e minuzioso della sua vita e delle sue opere; e ciò è tanto più sorprendente se si pensa alla durata dell'attività accademica di Peano (oltre cinquant'anni) e al numero delle sue pubblicazioni (più di duecento) nei settori più disparati, e se si considera che molti dei suoi scritti hanno avuto conseguenze sia immediate che di lungo raggio sullo svi­ luppo della matematica contemporanea. Uno studio sulla vita di Peano sembra dunque essere anche troppo in ritardo. Secondo me, la persona più indicata per scriverne la biografia era Ugo Cassina, suo devoto discepolo, che io conobbi all'Uni­ versità di Milano e con il quale studiai nel 1957-58. Gli scrissi il 29 ottobre 1963, chiedendogli se voleva stendere lui stesso la biografia di Peano e offrendogli il mio aiuto, nella speranza di poter tornare in Italia per un anno. Cassina mi rispose il 28 no­ vembre, proponendomi di lavorare insieme: io avrei dovuto scri­ vere la biografia in inglese, lui avrebbe fornito materiale e con­ sigli. Accettai con piacere; avevamo appena iniziato a lavorare al progetto quando purtroppo il professor Cassina morì im­ provvisamente il 5 ottobre 1964. Decisi allora di continuare da solo. Trascorsi a Torino l'anno accademico 1966-67; la stesura del libro mi prese una decina d'anni. Al tempo stesso mi sono occu-

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PREFAZIONE

pato della traduzione di una scelta degli scritti di Peano che, con il titolo Selected Works of Giuseppe Peano, fu pubblicata dal­ l'University of Toronto Press nel1973. Ho avuto la fortuna di poter raccogliere informazioni da molti che hanno conosciuto Peano di persona, ma gran parte del mate­ riale documentario è andata perduta, in un processo di disper­ sione che purtroppo non accenna a finire. (Documenti che io h o avuto modo di consultare sono oggi scomparsi, anche da posti che ritenevo sicuri. Un bibliotecario cui erano stati affidati un certo numero di biglietti postali scritti da Peano, li ha di­ strutti con la giustificazione che non erano "materiale da bi­ blioteca".) Per questo motivo h o rivolto l'attenzione principalmente alle sue pubblicazioni. Con mia sorpresa, sono riuscito ad aumen­ tare di circa un venti per cento l'elenco, già ampio, steso da Cassina. Dato che molti lavori sono rari e di difficile reperi­ mento, di ciascuno ho indicato e descritto il contenuto, usando per i riferimenti la numerazione iniziata da Peano e continuata da Cassina: si tratta dei riferimenti che qui compaiono tra pa­ rentesi quadre. Molte persone e numerosi istituti mi sono stati di aiuto nella preparazione di questa biografia, e a tutti va la mia gratitudine. Un particolare ringraziamento è rivolto alle nipoti di Peano, Carola, Maria e Caterina, che mi hanno fatto parte dei loro ri­ cordi sullo zio. Non avrei iniziato il lavoro senza il suggerimento di Vgo Cassina, e non l'avrei portato a termine senza l'incorag­ giamento di Kenneth O. May, che lo definiva "un progetto prioritario nella storia della matematica". H o ricevuto aiuti dalle biblioteche e dai bibliotecari di molti istituti; fra questi vorrei ricordare: l'Akademie der Wissenschaften der DDR (Berlino), i Bertrand Russell Archives (McMaster University, Hamilton, Ontario), la Biblioteca Civica di Cuneo, la Brown University (Providence, Rhode lsland), la Columbia University (New York), l'Eidgenossische Technische Hochschule (Zurigo), l'lnstitut Mit­ tag-Leffler (Djursholm, Svezia), la Niedersiichsische Staats- und Universitiitsbibliothek (Gottinga), la Staatsbibliothek Preussischer Kulturbesitz (Berlino Ovest) e l'Università di Torino.

PREFAZIONE

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Riconosco il mio debito di gratitudine verso tutti questi istituti e verso altri ancora che non ho citato. Comunque solo io sono responsabile delle molte manchevolezze del lavoro, di cui sono purtroppo ben consapevole. H.K.

Capitolo 1 I primi anni

Cuneo, capoluogo di una delle province del Piemonte, si trova a un'ottantina di chilometri a sudovest del centro industriale di Torino. A oriente di Cuneo scorre il torrente Gesso, e a occi­ dente il fiume Stura: la loro confluenza forma il "cuneo" che dà il nome alla città. Al di là del Gesso, a circa cinque chilometri da Cuneo, a un crocevia, sorge il paese di Spinetta, e lì vicino c'è una casa colonica chiamata "Tetto Galant'', dove nacque Peano il 27 agosto 1 85 8. Il nome della casa è tipico del luogo anche se un po' più ricercato di altri, quali Tetto dei Galli o Tetto del Lupo. Si entra nell'abitazione dalla cucina, quasi a pianoterra; il soggiorno si trova qualche gradino più su e di qui si passa alla camera da letto, che dà su un terrazzo. Alcuni gra­ dini portano al giardino sottostante, traversato da un torren­ tello. Dal soggiorno una ripida scala conduce a una stanza a tetto dove Giuseppe dormiva da bambino. Egli era il secondo figlio di Bartolomeo e Rosa Cavallo Peano. Michele era il fratello maggiore, di sette anni più vecchio; poi venivano Francesco, Bartolomeo e la sorella Rosa. All'inizio Giuseppe frequentò la scuola del paesino di Spinetta, e in inverno egli e i suoi compagni erano tenuti a portare ogni giorno un pezzo di legna da ardere per la stufa della loro aula. In se­ guito, accompagnandosi al fratello maggiore, andava a scuola a piedi ogni giorno sino a Cuneo; dove poi finì per trasferirsi tutta la famiglia, dati in affitto casa e terreno. A Cuneo i Peano abi­ tavano in due stanze in località Lazzaretto, che poi cambiò nome in Baluardi Gesso. Appena Francesco e Rosa ebbero terminato le

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CAPITOLO PRIMO

scuole elementari, tornarono a lavorare la terra con il padre al Tetto Galant, mentre gli altri figli rimasero a Cuneo con la madre. Il primogenito , Michele, frequentò le scuole tecniche e divenne poi geometra ottenendo un buon successo professionale; sposò Giuseppina Pellegrino ed ebbe sette figli: Michele, Alessio, Car­ melo, Giuseppina, Carola, Caterina e Maria. Francesco sposò Lu­ cia Giraldo, Bartolomeo si fece sacerdote e Rosa sposò Luigi Bernardi. Lo zio di Giuseppe (fratello della madre), G. Michele Cavallo, ecclesiastico e avvocato alla curia vescovile di Torino, vedendo che Giuseppe era il più bravo della sua classe, lo invitò a finire gli studi a Torino. Così a un certo punto, nel 1 870 o 1 8 7 1 , Giu­ seppe lasciò Cuneo e andò a vivere con lo zio, pur tornando sempre nelle vacanze estive ad aiutare i genitori nel lavoro dei campi. A Torino studiò privatamente presso l'Istituto Ferraris e con l'assistenza dello zio, sostenendo infine gli esami al Gin­ nasio Cavour nel 1 8 7 3 . Iscrittosi poi al Liceo Cavour, vi ottenne la licenza liceale nel 1 876. Furono le capacità di Giuseppe, subito riconosciute, che con­ vinsero lo zio a chiamarlo a Torino; ma non si devono passare sotto silenzio i sacrifici che affrontarono i genitori per far stu­ diare i figli: in tempi di diffuso analfabetismo nelle campagne, la loro dedizione fu straordinaria. Peano era fiero delle sue ori­ gini e conservò sempre l'amore per la terra. Si raccontano molti aneddoti a questo proposito. Un a volta, quand'era studente uni­ versitario, in estate si recò a Cuneo con il padre per comprare delle pecore, e al ritorno le condusse da solo a casa mentre il p adre si tratteneva in città per altri affari. Più avanti negli anni, i suoi momenti più felici erano quelli che trascorreva nella villa di Cavoretto, vicino a Torino. In questa località aveva comprato del terreno che chiamava il suo "Eden" . Conservò sempre anche l'amore per gli animali, specialmente per i cani cui dava nomi della mitologia greca : Argo, Febo, Melampo. Peano non continuò nell'osservanza della religione cattolica nella quale era stato educato, nonostante l'ascendente che lo zio esercitava e l'affetto per il fratello Bartolomeo, che si era fatto sacerdote. Era sua abitudine, quando negli anni successivi portava

PRIMI ANNI

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con s é i n viaggio u n nipote o una nipotina, accompagnarli in chiesa alla domenica e tornare a riprenderli al termine della Messa. Giuseppe amava lo studio : l'esame di maturità al Liceo Cavour fu molto brillante e gli valse come borsa di studio una camera con pensione al Collegio delle Provincie, che era stato istituito appositamente per permettere gli studi universitari ai giovani provenienti dalla provincia. Cominciò allora quel legame con l'Università di Torino che doveva durare fino alla sua morte, cin ­ quantasei anni più tardi.

Capitolo 2 Gli anni dell'università

Peano s1 1scrisse all'Università di Torino il 2 ottobre 1 876, pagando la tassa di iscrizione di 40 lire e metà della tassa di frequenza di 1 3 2 lire (l'altra metà fu versata il 20 aprile 1 8 7 7 ) . È probabile che al Collegio delle Provincie s i sia trasferito dopo l'iscrizione. L'inaugurazione solenne dell'anno accademico ebbe luogo nell'aula magna dell'università il lunedì 20 novembre 1 876. Era rettore Ilario Filiberto Pateri, docente di diritto canonico, che aveva tenuto il rettorato dal 1 8 74, e quello era l'ultimo anno della sua carica. L'oratore principale fu Luigi Schiapparelli, professore di storia antica, che parlò sul tema: "Degli ultimi progressi sulla storia dell'Oriente antico e delle relazioni che hanno coll'avvenire della Regia Università di Torino" . Può darsi che Peano abbia assistito alla prolusione di Schiapparelli, ma è più probabile che fosse occupato a fare la conoscenza dei compagni di studi del Colle­ gio delle Provincie, sei dei quali facevano parte anche dei cen­ totré iscritti al primo anno del biennio di matematica e fisica. Erano: Michele Barale, Emilio Favre, Luigi Foresti, Carlo Lo­ sia, Raimondo Miracca e Giuseppe Signorelli. Tutti, eccetto Ba­ rale e Foresti, completarono il biennio nel 1 878, ma soltanto Peano continuò il corso di laurea in matematica; la maggior parte degli altri si iscrisse ai corsi di ingegneria, come in origine in­ tendeva fare anche Peano. Le lezioni cominciarono il giorno successivo. Peano aveva alla prima ora geometria analitica, con Enrico D'Ovidio; la lezione ebbe inizio alle 8.45 nell'aula 1 7. La seconda lezione si teneva

ANNI DELL'UNIVERSITÀ

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alle 1 2 . 3 0 nell'aula 1 6b : disegno ornamentale con Carlo Ceppi. Alle 1 4, ancora nell'aula 1 7, si svolgeva la lezione di geometria proiettiva e disegno : ufficialmente il docente del corso era Giu­ seppe Bruno, ma di fatto le lezioni erano tenute da Donato Levi. Il mercoledì la prima lezione, alle 1 0. 1 5 nell'aula 20, era chimica con il professore Hugo Schifi (o Ugo Schifi come era conosciuto a Torino) . L'unica altra lezione del mercoledì era disegno. Il giovedì, alle 8.45, la prima lezione era algebra di nuovo con il professor D'Ovidio. In definitiva Peano doveva se­ guire cinque corsi al primo anno: algebra il martedì e giovedì; geometria proiettiva il martedì, giovedì e sabato; chimica il lunedì, mercoledì, venerdì e sabato; e disegno tutti i giorni ec­ cetto il giovedì. Le lezioni di D'Ovidio avevano luogo solo due volte alla settimana, ma duravano un'ora e mezzo ciascuna, come quelle di Ceppi. Nell'anno accademico 1 876-77 gli studenti iscritti all'università erano 1 3 3 4 (oltre a 404 fuori corso, con esami ancora da soste­ nere) . Le matricole erano 4 1 8, di cui 1 03 a matematica. Verso la fine del primo anno di università, Peano concorse ad alcune borse di studio destinate agli studenti della Facoltà di Scienze. Il risultato del concorso fu annunciato 1'8 giugno 1 87 7 : c'erano due premi "Balbo" e tre premi "Bricco e Martini" . Sette studenti, tra cui Peano, ottennero menzioni onorevoli; egli fu il quarto e risultò l'unico studente del primo anno di matematica nell'elenco dei premiati. Già il 20 aprile 1 877 aveva pagato le tasse di esame. Giovedì 3 luglio Peano sostenne i suoi due primi esami: chimica con la votazione di 8 su 9, e algebra e geometria analitica con 9 su 9 e lode. Il martedì seguente diede l'esame di geometria proiettiva e ottenne ancora il massimo dei voti. Pochi giorni dopo probabilmente Peano partì per andare a pas­ sare l'estate con i familiari a Cuneo. Ritornò poi a Torino il lunedì 1 9 novembre 1 87 7 all'inizio delle lezioni del nuovo anno accademico. (In quella data pagò la prima metà delle tasse di frequenza.) Tutti i professori, eccetto Ceppi, erano cambiati. È probabile che Peano sia arrivato a Torino in tempo per essere presente all'inaugurazione solenne dell'anno accademico, il giorno 1 7 novembre. L'oratore principale fu Michele Lessona, profes­ sore di zoologia e rettore dell'università. Peano quell'anno aveva

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CAPITOLO SECONDO

scelto di frequentare il suo corso. La prolusione di Lessona trat­ tava il tema: "Degli studi zoologici in Piemonte" . L a prima lezione del nuovo anno accademico s i tenne alle 8 nell'aula 2 1 . Era l'inizio del corso di zoologia con Lessona, ap­ punto, le cui lezioni avevano luogo tutti i giorni. Alla seconda ora, alle 9, ancora nell'aula 2 1 , si svolgeva il corso di minera­ logia e geologia con Giorgio Spezia, destinato agli studenti che volevano proseguire gli studi in ingegneria. Le lezioni si tene­ vano il lunedì, giovedì e sabato. Alle 1 0. 1 5 Peano si recò nel­ l'aula 1 7c per il corso di analisi infinitesimale (lunedì, martedì, giovedì e sabato) : il docente era Angelo Genocchi, ma per una parte almeno, sembra, anche Eligio Martini. Le lezioni di dise­ gno con Ceppi avevano luogo (ogni giorno eccetto il giovedì) alle 1 2 . 3 0 nell'aula 1 5 . Il lunedì, mercoledì e venerdì alle 14, nell'aula 9, c'era la lezione di fisica con Giuseppe Basso. Il lunedì era dunque un giorno sovraccarico per Peano, perché si tenevano lezioni di tutti i corsi, eccetto geometria descrittiva. Il docente di quest'ultima materia era Giuseppe Bruno, che faceva lezione il martedì, giovedì e sabato alle 14 nell'aula 1 7b. Quando Peano giunse alla fine del secondo anno di università, gli studenti iscritti in matematica pura erano 1 06. Peano con­ corse ancora ai premi "Balbo" e "Bricco e Martini" e questa volta si classificò quarto tra i vincitori, unico studente del se­ condo anno a ricevere uno dei sei premi in denaro. La somma ricevuta, che ammontava a 200 lire, era più che sufficiente a coprire le 1 3 2 lire della tassa di frequenza (che fu pagata ancora in due rate) più le 20 lire della tassa di esame. Peano dette tutti gli esami a luglio, ottenendo il voto massimo, 9, in analisi, geometria descrittiva e fisica. Nel registro dell'uni­ versità sono segnati solo questi esami; si trova anche l'anno­ tazione di un diploma di licenza rilasciato il 3 novembre 1 8 7 8 (una domenica ! ) . La lezione inaugurale del nuovo anno acca­ demico fu tenuta il giorno successivo dal conte Carlo Bon­ Compagni, professore di diritto costituzionale, sul tema: "L'an­ tico dispotismo orientale e la libertà della Grecia" . Le lezioni del terzo anno di Peano iniziarono l'indomani. Peano dapprima aveva in programma di continuare gli studi presso il Regio Istituto di Ingegneria, come in effetti fecero quasi

ANNI DELL'UNIVERSITÀ

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tutti i suoi compagni, e ottenne in tal senso l'esonero dalle tasse di frequenza; in un secondo tempo decise invece di rimanere a matematica pura e riuscì il 2 6 ottobre 1 8 7 8 ad avere la conva­ lida dell'esonero dal rettore. Alla data del 20 dicembre 1 8 7 8 erano iscritti all'università 1 509 studenti, oltre 6 0 8 fuori corso, ma Peano si trovò ad essere l'unico studente iscritto al terzo anno di matematica pura ! Secondo l'Annuario dell'università, la prima lezione di Peano quel giovedì fu geodesia con Giuseppe Lantelme, che sostituiva ufficialmente Camillo Ferrati: le lezioni si svolgevano il martedì, giovedì e sabato alle 8 . 3 0 nell'aula 1 7b. La lezione successiva era meccanica razionale, con G. B. Erba, nella stessa aula alle 1 0 : l e lezioni d i meccanica s i tenevano il lunedì, mercoledì, venerdì e sabato. Al pomeriggio Peano aveva lezione di analisi superiore con Francesco Faà di Bruno ; il corso aveva luogo alle 14 di ogni martedì, giovedì e sabato nell'aula 1 7c. Tutti questi docenti erano nuovi per Peano; egli conosceva solo Enrico d'Ovidio, che teneva il corso di geometria superiore il mercoledì e il venerdì alle 8.45 nell'aula 1 7c. Sul registro dell'università non ci sono tracce degli esami relativi a questi corsi, ma si trova un'annotazione, in data 1 3 giugno 1 879, sull'esonero che Peano ottenne dalle tasse di esame. Durante le vacanze estive Peano tornò a casa, al Tetto Galant. Era molto affezionato ai suoi familiari e negli anni successivi li aiutò finanziariament e per quanto gli fu possibile. Il quarto e ultimo anno di università iniziò ufficialmente il 3 novembre 1 8 79 , con la lezione inaugurale di Domenico Ti­ hone : "Dell'ufficio della medicina nella civiltà moderna" . D'Ovi­ dio era ora preside della Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali. Peano ottenne di nuovo l'esonero totale dalle tasse (dalla tassa di frequenza il 29 novembre 1 879 e dalle tasse di esame e di laurea il lo giugno 1 8 80) . Le lezioni iniziarono il martedì 4 novembre. I corsi regolari per il quart'anno di mate­ matica erano astronomia, meccanica superiore e fisica matema­ tica. Peano non frequentò il corso di astronomia, ma aggiunse un altro corso di geometria superiore con D'Ovidio. Il docente di fisica matematica era Giuseppe Basso; soltanto Francesco Siacci, docente di meccanica superiore, era nuovo per Peano.

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CAPITOLO SECONDO

L'esame finale ebbe luogo venerdì 1 6 luglio 1 8 80. Secondo il registro dell'università, Peano fu interrogato in meccanica razio­ nale, geodesia teorica, geometria superiore, meccanica superiore e fisica matematica. Quell'anno quattro altri studenti sostennero l'esame, ma lo superarono solo Peano e Antonio Barberis : questi si laureò con pieni voti legali e Peano con pieni voti assoluti, ma nessuno dei due ricevette la lode. Peano con il voto massimo di 1 8 su 1 8 fu puntualmente proclamato dottore in matematica. Il diploma di laurea gli fu rilasciato in data 29 settembre 1 880.

Capitolo 3 Assistente

Poco tempo prima Enrico D'Ovidio si era molto adoperato per convincere il Ministero della Pubblica Istruzione a isti­ tuire il ruolo di assistente universitario. Esso dava modo ai gio­ vani laureati di continuare la loro istruzione e costituiva un primo passo verso la carriera universitaria. D'Ovidio stesso cercò sempre, per quanto possibile, di nominare suoi assistenti i lau­ reati migliori, rendendo così il posto di assistente di algebra e geometria analitica particolarmente ambito. Il primo assistente di D'Ovidio, Fortunato Maglioli, ottenne la nomina per l'anno accademico 1 87 8-79; lo seguirono, per l'anno successivo, Fran­ cesco Gerbaldi, e per il 1 880-8 1 Peano. Una delle novantadue matricole affidate a Peano in quel suo primo anno di assistentato fu Giovanni Vailati, che più tardi sarebbe diventato a sua volta assistente di Peano. Si può avere un'idea dei compiti svolti da Peano seguendo la descrizione che Vailati fece dei propri in una lettera al cugino Orazio Premoli il 22 dicembre 1 892 :1 In questi giorni passati i miei nuovi impegni didattici mi lasciavano po­ chissimo tempo libero, non tanto per la frequenza delle ore di scuola (nove alla settimana, delle quali tre si riducono puramente ad assistere alle lezioni del principale), quanto per la necessaria preparazione ed elaborazione degli argomenti da trattare onde evitare il pericolo di fare qualche marrone.

Peano doveva assistere probabilmente a quattro ore di lezione del "principale", dal momento che D'Ovidio teneva il corso di

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CAPITOLO TERZO

algebra il martedì e il giovedì e quello di geometria analitica il mercoledì e il sabato, sempre alle 8.45. Dovendo soltanto spo­ starsi dal Collegio delle Provincie, sito in via Po 1 5, alla sua aula, al N. 50 della stessa strada, non gli era certo difficile arri­ vare di buon'ora alle lezioni. Si guadagnò ben presto la reputa­ zione di buon insegnante (anche se questa fama venne meno, in parte, negli ultimi anni), nonostante avesse la voce un po' rauca, conseguenza, si diceva, di un attacco di polmonite, e non riuscisse a pronunziare la lettera "r". Gli studenti, scher­ zando su questo difetto, lo chiamavano "il professore del tle tle" per il modo in cui diceva tre. Quell'anno vide la luce il primo dei duecento e più lavori di Peano : fu letto da D'Ovidio a una seduta dell'Accademia delle Scienze (classe di scienze matematiche e fisiche) il IO aprile 1 8 8 1 , una domenica. Questo articolo e le tre pubblicazioni che vennero dopo (una del 1 88 2 ) , pur contenendo alcune idee inte­ ressanti, non ebbero grande importanza per l'evoluzione suc­ cessiva di Peano, perché seguono molto da vicino alcune ricer­ che dei maestri, D'Ovidio e Faà di Bruno (vedi, nell'Elenco cro­ nologico delle Opere, [ 1 -4] ) . Nello stesso anno Peano ebbe probabilmente contatti più fre­ quenti con Enrico Novarese, che aveva quasi la sua stessa età e fu uno dei due soli laureati in matematica alla fine dell'anno. Novarese, che morì prematuramente nel 1 892, fu uno dei fon­ datori, con Peano, della "Rivista di matematica" . Nell'anno accademico successivo, 1 8 8 1 -8 2 , Novarese divenne assistente di D'Ovidio e Peano di Angelo Genocchi, che aveva la cattedra di calcolo infinitesimale, un corso del secondo anno; Peano dovette allora spostarsi con i suoi studenti ed ebbe così l'opportunità di riprendere i contatti con Vailati. Le lezioni ave­ vano luogo il lunedì, martedì, giovedì e sabato, e le esercitazioni il mercoledì e venerdì alle 1 0. 1 5 : certamente P e ano teneva il corso di esercitazioni. Quell'anno rimase famoso nella vita dell'università per le agi­ tazioni degli studenti. L'anno precedente D'Ovidio era stato eletto rettore dell'università e aveva introdotto la procedura di riportare sull'Annuario "le cose più notevoli" accadute nell'anno precedente. Riferendosi al 1 8 8 1 -8 2 egli scrisse:2

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Della disciplina nelle scuole e del contegno degli studenti in genere, non era fatto alcun cenno nella relazione dell'anno precedente. Buon segno per fermo, poiché fortunata la scuola sulla cui disciplina non vi è nulla a dire. Ma purtroppo non mi è dato serbare del tutto il silenzio anche rispetto all'anno ultimo ; e d'altra parte, mi preme che i lontani dalla sede dell'Ateneo non si formino idee esagerate sulla portata delle ano­ malie che segnalarono l'anno medesimo. Accennerò quindi in poche pa­ role, come l'agitarsi de' partiti estremi, preludente alle nuove elezioni generali politiche, abbia trovato inopportuna eco in pochi studenti; i quali, facendosi inconscii strumenti di estranei agitatori, e profittando della solita indifferenza de' molti alieni così dall'associarsi come dall'op­ porsi ai rumori, per varii pretesti provocarono riunioni e dimostrazioni nell'atrio dell'Università e per le vie della città. Ora una disputa per la bandiera degli studenti, ora uno scherzo carnevalesco troppo prolungato, ora una protesta anticlericale, e così via. Fermenti effimeri, bollori pas­ seggeri. Ma questi intanto nuocono alla serietà degli studi, alla buona riuscita degli esami, ed alla riputazione dell'intera classe degli studenti: ma affliggono le famiglie, sovente esposte a duri sacrifici per educare e istruire i giovani; ma mettono a dura prova l'affetto del rettore e dei professori, che vorrebbero citare con orgoglio la gioventù alle loro cure affidata e dedicarsi senza altra preoccupazione a compierne l'educazione del cuore non meno che della mente; ma dànno ardire ai meno studiosi e garbati per turbare la tranquillità anche in qualche scuola, a rischio di richiamare misure di rigore su tutto un corso; e, quel che è peggio, in­ ducono nei giovani il pessimo abito di trascendere in grida e tumulti, alimentando la vanità dei facili trionfi da piazza; come se l'Italia non si fosse fatta e non aspettasse il suo compimento dall'opera di caratteri calmi e serii e capaci di muti sacrifizi. I sentimenti che io qui esprimo non sono particolari a me e ai miei Col­ leghi: essi son condivisi dalla gran maggioranza dei nostri studenti, che nella solenne commemorazione di Giuseppe Garibaldi e in altre occa­ sioni ne ha dato prova manifesta; mostrando così di comprendere come spetti alla maggioranza tenere alto il decoro dell'intera classe. Poiché questa è assai migliore di quel che talora apparisca per colpa di pochis­ simi scadenti e di pochi esaltati, i quali non perderebbero nulla a pen­ sare ora esclusivamente a studiare. Ascoltino il consiglio di chi li ama sinceramente, e perciò appunto non li adula per volgare studio di popolarità.

Risale alla primavera del 1 8 82 la prima scoperta di Peano che, come molte altre che vennero dopo, fece sentire il suo peso sugli sviluppi futuri e sull'insegnamento dell'analisi. Genocchi aveva ormai sessantacinque anni e la sua salute cominciava a de­ clinare, tanto che il 22 aprile 1 8 82 fu costretto a interrompere le lezioni (riprendendole solo 1' 1 1 marzo 1 8 84) . Peano lo sostituì

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CAPITOLO TERZO

e, dovendo spiegare la teoria delle superfici sghembe, scoprì un errore nella definizione di area di una superficie; si trattava di una definizione dovuta a Joseph Serret (nel suo Calcul intégral del 1 86 8 ) . Peano dette la definizione corretta nella lezione del 22 maggio. Si rese conto immediatamente dell'importanza della scoperta e informò, senza perder tempo, Genocchi: si può im­ maginare la sua sorpresa quando seppe che a Genocchi l'obie­ zione era già nota ! In tempi successivi Peano dimostrò sempre scarso interesse per le questioni di priorità, ma senza dubbio è ben comprensibile il suo disappunto in quel momento, in cui era ansioso di iniziare una carriera scientifica. Comunque non era stato Genocchi il primo a mettere in luce l'errore: la scoperta risaliva già a H. A. Schwarz. Fin dal 20 dicembre 1 880 Schwarz aveva comunicato a Ge­ nocchi la sua scoperta e 1'8 gennaio 1 8 8 1 aveva spiegato breve­ mente per iscritto le sue critiche alla definizione di Serret. Genocchi rispose chiedendo che ne facesse oggetto di una comu­ nicazione da includere negli Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, ma Schwarz non diede seguito alla cosa. Quando Genocchi seppe della scoperta di Peano, informò immediata­ mente Schwarz (la lettera reca la data 26 maggio 1 88 2 ) , che in risposta lo informò di trovare difficoltà nella stesura. Il 2 8 luglio Genocchi gli scrisse: "Spero che mi invierete la nota per l'aper­ tura del nuovo anno accademico, e vi prego insistentemente di farlo. L'argomento infatti riveste grande importanza, e vedo che ci sono varie persone che sospettano le manchevolezze delle definizioni usate ... " Genocchi inoltre aveva scritto, a proposito della scoperta di Schwarz e Peano, all'amico Charles Hermite, che aveva adottato anch'egli la definizione di Serret nelle sue lezioni. Hermite a sua volta scrisse a Schwarz per avere una copia delle critiche rivolte alla definizione in modo da poterle includere nella seconda edi­ zione del suo corso che stava per uscire, e contemporaneamente scrisse a Genocchi (22 settembre 1 8 82) per chiedergli se avrebbe dovuto citare anche Peano. Schwarz preparò la comunicazione richiesta e ne spedì una copia a Hermite (perché la includesse nella nuova edizione del suo testo) e una a Genocchi per pub­ blicarla negli "Atti". Hermite la incluse in tutta fretta nelle

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prime pagine del suo volume che uscì litografato prima della fine dell'anno, e alcune copie furono inviate a Genocchi e a Schwarz. (Il testo completo fu pubblicato in litografia nell'estate del 1 8 8 3 .) Naturalmente né Schwarz né Genocchi furono soddisfatti della cosa, perché Schwarz non era contento del fatto che la sua nota comparisse litografata, e né lui né Genocchi volevano inviare per la pubblicazione all'Accademia delle Scienze un articolo che, di fatto, era già apparso. In conclusione la nota di Schwarz non fu pubblicata a stampa fino alla seconda metà del 1 890, quando comparve nel secondo volume delle sue Gesammelte mathema­ tische Abhandlungen. A quell'epoca Peano aveva pubblicato una comunicazione nei Rendiconti dell'Accademia dei Lincei (il 1 9 gennaio 1 890) [2 3 ] , dove spiegava l a sua definizione di area di una superficie usando il concetto di bivettore. (Peano osserva nel suo scritto che la scoperta di Schwarz era stata pubblicata nel volume di Hennite dopo la pubblicazione delle dispense di Peano, senza menzionare la sequenza cronologica delle scoperte ! ) Peano h a dunque la priorità per quel che riguarda la pubblica­ zione, sia in litografia che a stampa, ma non c'è dubbio che Schwarz fosse pervenuto per primo alla scoperta. Schwarz deve averne scritto subito a Peano, perché in una let­ tera del 2 7 aprile 1 890 Peano gli dice: "Alcuni giorni fa (il 1 2 di questo mese) Le ho spedito una lunga lettera in risposta alla Sua comunicazione sulla definizione sbagliata del professor Ser­ ret." (Evidentemente la lettera è andata perduta.) Quell'anno Peano si era trasferito in via Milano al N. 1 2 , una ventina di minuti a piedi dall'aula in cui teneva lezione, ma a partire dall'estate del 1 882 ebbe di nuovo una stanza in via Po, questa volta al N. 2 8, al quarto piano. Tancredi Zeni era in quel momento assistente di D'Ovidio, e Novarese assistente a meccanica razionale (Zeni, uno dei sei laureati in matematica di quell'anno, era stato l'unico a ottenere la laurea a pieni voti legali) . Sebbene l'orario delle lezioni di Peano fosse lo stesso dell'anno precedente, egli aveva in realtà la responsabilità completa del corso di calcolo. Anzi, secondo la testimonianza di Genocchi, Peano lo sostituì senza interruzione dal 2 2 aprile 1 88 2 (ultima lezione di Genocchi) fino al giorno 1 1 marzo 1 8 84 (in cui que-

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sti ritornò a insegnare) . La lunga assenza di Genocchi era do­ vuta a un incidente che gli capitò mentre si trovava in vacanza a Rivoli nel settembre 1 8 8 2 . A causa della vista debolissima, urtando contro un palo sul bordo della strada, si fratturò una rotula e dovette rimanere immobilizzato per vari mesi; dopo, uscì di rado e rimase lontano dalle lezioni ancora per un anno. Nella primavera del 1 8 8 3 Francesco Siacci presentò alcune co­ municazioni di Peano all'Accademia delle Scienze di Torino, alle sedute del l o aprile e del 20 maggio : quella indicata come [ 5 ] nell'elenco cronologico delle sue opere costituisce anche i l primo lavoro da lui pubblicato nel campo dell'analisi. In essa è già implicito il suo concetto di integrale, che sarà dato in forma diretta nel Calcolo differenziale del 1 8 84. Peano introduce il con­ cetto di area (interna, esterna e propria) mediante i concetti di estremo superiore e inferiore: si tratta di un concetto analogo a quelli di lunghezza e di volume definiti esplicitamente nelle Applicazioni geometriche del 1 887. La seconda comunicazione [ 6] riguarda le funzioni interpolari di variabile complessa e di­ mostra che alcune di esse possono esprimersi mediante un inte­ grale calcolato lungo una curva chiusa. Al termine dell'anno accademico i laureati in matematica fu­ rono sei, tra i quali Gino Loria (con il massimo dei voti) e Corrado Segre (con la lode) . Segre, come Peano, compì l'intera carriera accademica all'Università di Torino, prima come assi­ stente di D'Ovidio e di Giuseppe Bruno, e poi, dal 1 88 8, come docente di geometria superiore. Gino Loria fu per tre anni assi­ stente di D'Ovidio e in seguito si trasferì all'Università di Ge­ nova, dove divenne docente di algebra e geometria analitica. Nell'autunno del 1 88 3 Peano aveva di nuovo cambiato abita­ zione trasferendosi in via Po al N. 4·0 . Anche l'orario delle lezioni di calcolo subisce una modifica: ora tre sono le ore di lezione e tre quelle di esercitazioni, invece che, rispettivamente, quattro e due; ma, dal momento che il docente era sempre Peano, tutto ciò in realtà non faceva molta differenza. Nel frattempo tuttavia stava maturando un evento che, pur portando a una momentanea interruzione delle buone relazioni tra Genocchi e Peano, fu all'origine della sua prima pubblicazione importante [8] . L'opera, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale,

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costituisce una curiosità nella storia della matematica, perché il frontespizio porta come autore Genocchi e non Peano e precisa che è "pubblicato con aggiunte dal Dr. Giuseppe Peano" . Una spiegazione della genesi del libro si trova nella lettera che Peano scrisse a Genocchi il 7 giugno 1 8 8 3 (Cassina, 1 96 lb, pp. 3 84 sg.) : Stimatissimo signor professore, fui giorni fa alla libreria Bocca, dove il direttore, che credo si chiami Lerda, mi manifestò gran desiderio di pubblicare in queste vacanze parte d'un trattato di calcolo, o scritto da Lei, o fatto secondo i suoi metodi: né occorre ch'io aggiunga il vantaggio di tale opera. Le sarei quindi assai grato se Ella avesse la bontà di dirmi se sia pos­ sibile in qualche modo concretare la cosa, cioè, qualora Ella non creda di pubblicare il trattato, se sarebbe possibile che lo scrivessi io stesso, dietro i suoi insegnamenti, e, ciò supposto, se Ella avrebbe la bontà di esaminare i miei scritti prima della pubblicazione, oppure favorirmi de' suoi preziosi suggerimenti, e vedere le bozze ed i fascicoli man mano che si stampano; ovvero, nell'ultima ipotesi, se non le riuscirebbe sgra­ dito ch'io pubblichi senz'altro il trattato, dicendolo compilato sulle sue lezioni, o almeno, ch'io citi il suo nome nella prefazione, perché gran parte dei ragionamenti sarebbero suoi, avendoli io appresi da Lei. Mi permetta, chiarissimo Professore, di significarle ch'io nulla trala­ scierei perché ogni cosa riesca bene, e mi creda suo devotissimo allievo G. Peano

L'accoglienza di Genocchi è espressa in una lettera che a sua volta scrisse all'amico Pietro Agnelli, un giudice di Piacenza, il 1 6 agosto 1 8 8 3 (Cassina, 1 96 1 b, p. 3 8 5 ) : Ho potuto fare un corso completo di calcolo infinitesimale che ho per più anni esposto nelle mie lezioni orali: ma non mi sento la forza di metterlo tutto per scritto: il che mi seccherebbe troppo, per usare una frase abituale al nostro amico marchese Mischi, e avendo voluto pren­ dersi questa briga il dottor Peano, mio assistente e coadiutore, che fu anche mio allievo, ho creduto di non oppormi e lascio che se la cavi come meglio potrà.

Alla morte di Genocchi ( 1 6 marzo 1 889), Peano ne scrive il necrologio per l'Annuario dell'università [2 1 ] ed è in tale circo­ stanza che egli espone la sua versione della nascita del libro [OS 3 , pp. 3 1 9 sg.] : Egli, più volte sollecitato a pubblicare il suo Corso, mai lo fece. Forse nei primi anni non aveva ancora raggiunta la perfezione che si propo-

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neva e negli ultimi gli mancarono le forze. Solo nell'8 3 la Casa editrice Fratelli Bocca ottenne di pubblicare le sue lezioni p er mio mezzo, e una parte uscì l'anno successivo. Egli, allora malato, volle rimanere estraneo a tutto il lavoro. Io, servendomi di sunti fatti da allievi alle sue lezioni, li paragonai punto per punto con tutti i principali trattati di calcolo, e con Memorie originali, tenendo così conto dei lavori di molti. Feci in conseguenza alle sue lezioni molte aggiunte, e qualche modificazione. Ora, se in gran parte tali aggiunte sono contrassegnate o dal mio nome, o dal carattere di stampa più minuto, sonvene alcune, di minore impor­ tanza, non aventi alcun contrassegno. Dal che risultò che quella mia pubblicazione non rappresenti esattamente le lezioni del professore benché, come trattato, abbia riscosso l'approvazione di molti scienziati.

La Casa editrice Fratelli Bocca annunciò la pubblicazione, per l'ottobre 1 88 3 , del primo volume del "Corso di calcolo infinitesi­ male" di Genocchi, a cura di Peano. Quando passò la data senza che il volume uscisse, Felice Casorati scrisse a Peano, il 6 no­ vembre, chiedendo notizie. Peano rispose il 1 3 novembre con un biglietto postale (Gabba, 1 9 5 7, p. 8 7 7 ) : Chiarissimo signor professore, il trattato di Calcolo, di cui Ella mi domanda, è in corso di stampa. Sono già stampate circa 1 00 pagine, ed alcune di queste messe a disposizione degli allievi, affinché se ne possano servire fin dal corrente anno. Il primo volume completo potrà difficilmente uscire prima dei primi di febbraio, ed allora non mancherò al mio dovere di spedirgliene copia. Se però Ella desiderasse di avere i fascicoli man mano si stampano, non ha che da accennarmelo. Suo devotissimo servo, G. Peano

Casorati riscrisse il 2 dicembre, declinando l'offerta di Peano ma ringraziandolo per le informazioni, pregandolo di fargli sa­ pere quando il libro sarebbe stato pronto in modo da poterlo raccomandare ai suoi studenti. Lo stesso giorno in cui Peano scrisse a Casorati, Placido Tardy, professore all'Università di Genova, scrisse a Genocchi (Cas­ sina, 1 9 6 1 b, p. 3 86) : Mi avevan parlato del corso di Calcolo che, seguendo le vostre lezioni, il Peano si proponeva di pubblicare, ed aveva supposto che fosse rive­ duto da voi. Ora sento che non ve ne volete occupare, ma son persuaso che non gli farete mancare i vostri consigli, ed io spero veder l'Opera appena pubblicata.

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Nonostante l'ottimismo dei Fratelli Bocca e d i Peano, i l volume non apparve fino all'autunno (la prefazione porta la data: Torino, l o settembre 1 884) . Quasi subito fu inviata alle riviste di mate­ matica italiane, francesi e belghe una smentita a firma di Genoc­ chi. Sulla rivista italiana si legge (Cassina, 196 1b, pp. 3 76 sg.) : In questi giorni i librai F.lli Bocca hanno pubblicato un volume intito­ lato: Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale. In capo al frontispizio è stato messo il mio nome, e nella Prefazione si afferma che, oltre al corso dato da me nell'Università di Torino, quel volume con­ tiene importanti aggiunte e qualche modificazione e varie annotazioni, che si premettono, Perché non mi si attribuisca ciò che non è mio, debbo dichiarare che non ho avuta alcuna parte nella compilazione dell'accen­ nato volume, e che tutto è dovuto a quel giovane egregio che è il dottor Giuseppe Peano, sottoscritto alla Prefazione e alle Annotazioni. Angelo Genocchi.

La rivista francese riporta semplicemente: "Non ho avuto niente a che fare con la preparazione o la pubblicazione del volume dal titolo: Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, pub­ blicato in Italia dalla Casa editrice Fratelli Bocca. L'opera è do­ vuta esclusivamente al dottor Peano." Paul Mansion, professore all'Università di Ghent e direttore della rivista "Mathesis", scrisse a Genocchi il 1 7 ottobre e gli promise di pubblicare la smentita sul numero successivo. Espresse anche la curiosità di vedere il libro, e chiese in prestito a Genocchi una copia per una settimana. Evidentemente Genocchi la inviò perché Mansion scrisse di nuovo il 2 8 ottobre (Cassina, 1 96 l b, p. 3 90) : Signore e caro collega, ho appena ricevuto il Calcolo differenziale pubblicato da Peano. Mi sarà molto utile per diversi punti del mio Corso che è in stampa in questo momento. Per quanto abbiate dovuto protestare, ritengo che ci siano molte cose ispirate alle Vostre lezioni, e che i meriti del vo­ lume, che sono reali, derivino in gran parte da Voi. Il numero di no­ vembre di "Mathesis" conterrà la Vostra lettera. RingraziandoVi del dono, Vi prego di credermi il Vostro devoto P. Mansion ì. facile immaginare che, leggendo la smentita, molti pensarono

che Peano si fosse servito del nome di Genocchi solo per aver modo di pubblicare ricerche proprie, o che, al minimo, fosse

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colpevole di malafede verso il maestro di un tempo. Infatti Her­ mite, che aveva scritto a Genocchi il 6 ottobre congratulandosi con lui per il volume, gli riscrisse il 3 1 ottobre associandosi al suo rammarico per il fatto di avere un assistente così indiscreto e privo di correttezza. Genocchi si lamentò con l'amico Placido Tardy, che gli scrisse il giorno 8 novembre 1 8 84: " ... dopo la vostra lettera ò mandato un biglietto da visita per ringrazia­ mento al Peano. Mi sorprende quel che mi dite circa il modo con cui si è condotto con voi, pubblicando le vostre lezioni." Sembra però che Genocchi, che aveva fama di impulsivo, si ricredesse ben presto, tanto che tre settimane più tardi Tardy gli scriveva (Cassina, 1 96 1b, p. 3 87 ) . " ( ... ) ma sono anch'io persuaso che il Peano non à mai sospettato che avrebbe potuto mancarvi di riguardo." Perché mai Genocchi ritenne che Peano "gli avesse mancato di riguardo ? " Ugo Cassina era del parere che fosse a causa delle parole "importanti aggiunte" scritte da Peano nella prefazione e ripetute da Genocchi nella sua smentita. Spiega Cassina ( 1 9 6 1 b, p. 3 80) : "Infatti non si può disconoscere una tal quale giova­ nile baldanza nel dichiarare 'importanti' le aggiunte fatte alle le­ zioni del maestro, le quali di conseguenza venivano a perdere di valore. " Dopo aver esaminato i manoscritti inediti di Genocchi, egli prospetta anche l'idea che Genocchi possa essere rimasto amareggiato a causa della "profonda e sostanziale diversità tra il testo e le sue effettive lezioni" (p. 3 8 2 ) . I n realtà l e aggiunte erano davvero importanti e i l libro aveva ricevuto molti elogi. Tra i tanti elementi degni di nota del vo­ lume, Alfred Pringsheim, in un articolo apparso sulla Encyklo­ piidie der mathematischen Wissenschaften, cita i seguenti: i teo­ remi e le osservazioni sui limiti delle forme indeterminate, che mettevano in evidenza errori presenti nei testi più importanti allora in uso; una generalizzazione del teorema del valor medio per le funzioni derivabili ; i teoremi sull'esistenza e la differen­ ziabilità delle funzioni implicite; un teorema sulla continuità uni­ forme delle funzioni in più variabili; l'esempio di una funzione le cui derivate parziali seconde non commutano; certe condizioni per esprimere una funzione in più variabili mediante la formula di Taylor; un controesempio relativo alla teoria dei minimi come

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veniva allora svolta; e regole per l'integrazione delle funzioni razionali nel caso in cui non siano note le radici del deno­ minatore. Si può ricordare anche come curiosità la funzione che assume valore O per x razionale e l per x irrazionale. P. G. L. Dirichlet aveva già preso in considerazione questa fun­ zione nel 1 892, ma Peano fu il primo a darne un'espressione ana­ litica, cosa che Gottlob Frege riteneva ancora impossibile nel 1 89 1 (vedi Frege, 1 962, p. 2 3 ) . Peano aveva inserito nel testo anche una nuova definizione di integrale definito, usando l'estremo superiore e l'estremo in­ feriore di certe somme. Egli ci dice che questi erano già stati considerati da Vito Volterra, e che lui stesso (P e ano) aveva di­ mostrato nel 1 88 3 [ 5 ] che, se coincidevano, il loro valore comune era l'integrale di Riemann, definito nel modo solito come limite delle somme di Riemann. F. A. Medvedev, discutendo l'evolu­ zione del concetto di integrale, afferma a proposito di questa definizione: "Peano compì l'ultimo passo in quest'ordine di idee, rendendo la definizione di integrale indipendente dal concetto di limite" (Medvedev, 1 9 74, p. 2 14) . Il volume fu tradotto in tedesco da G. Bohlmann e A. Schepp nel 1 899, e apparvero an­ che due traduzioni in russo : una di N. S. Sineokov nel 1 903 e l'altra di K. A. Posse nel 1 92 2 . Peano aveva trovato uno dei suoi punti d i forza: l a capacità di scoprire errori nei testi di analisi, di mettere in evidenza le dif­ ficoltà presenti in teoremi e definizioni (costruendo controesempi di tale semplicità da risultare comprensibili e convincenti) , di riuscire a rendere del tutto rigorosi certi teoremi semplificandone nello stesso tempo gli enunciati. Il suo libro di calcolo dimostrava chiaramente tutto ciò, ma egli voleva in quel periodo arrivare a un pubblico internazionale, quello degli studiosi che leggevano il francese. Scrisse una lettera al direttore di "Nouvelles An­ nales de Mathématiques" (pubblicata nel numero di gennaio del 1 884) [7] , in cui rivolgeva critiche alla dimostrazione del teorema del valor medio per le funzioni derivabili così come era data nel Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique di Jordan e nel Cours de Calcul infinitesimal di Hoi.iel, osservando che la formula del valor medio, f(xo + h) - f(xo) = hf'(xo + Oh), ha una dimostra­ zione molto semplice che non richiede la continuità della derivata.

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Prima di pubblicarla, il direttore della rivista spedì una copia della lettera a J ordan e sulla rivista alla lettera di Peano faceva seguire un breve estratto della risposta di J ordan, che iniziava: "Non ho alcuna risposta alle critiche del dottor Peano, che sono assolutamente corrette" e terminava: "Peano afferma che è facile dimostrare la formula f(x + h) -f(x) = hf'(x + 8h), senza sup­ porre la continuità della derivata. Mi farebbe piacere ricevere la sua dimostrazione, perché non ne conosco alcuna che mi paia del tutto soddisfacente. " 3 Philip Gilbert, docente all'Università di Lovanio, venne in di­ fesa di J ordan con una lettera in cui cercava di giustificare la dimostrazione data del teorema del valore medio. Riferendosi all'osservazione di Peano secondo cui la formula in questione si poteva dimostrare senza supporre la continuità della derivata, Gilbert afferma: "Il professor J ordan chiede, non senza malizia, di vedere questa dimostrazione, che è impossibile perché il teo­ rema è errato" [OS l, p. 42]4 e fornisce un controesempio. La risposta di Peano, che venne pubblicata, mette in luce l'errore commesso da Gilbert nel suo tentativo di giustificazione. Egli fa notare anche che un teorema di cui si serve Gilbert può es­ sere dimostrato in un certo modo, aggiungendo, con una punta di umorismo : "E affermo questo senza malizia, perché questo modo esiste, ma ne lascerò la cura di trovarlo a Mr. Gilbert" [OS l, p. 44] . Poi demolisce l'enunciato di Gilbert sulla formula del valor medio con una dimostrazione (dovuta a Ossi an Bon­ net) che egli aveva appreso da Genocchi quando era studente, e fornisce anche indicazioni di dove si possano trovare dimo­ strazioni corrette in testi italiani e tedeschi del 1 878, 1 8 8 1 e 1 88 2 (inviò una copia dell'ultima dimostrazione, tratta da Pasch, a Jordan) . Gilbert ebbe l'ultima parola, nel numero di ottobre del 1 8 84. C'era stato un equivoco terminologico sia da parte di Peano sia da parte sua, ma egli non fornisce la dimostrazione richiesta da Peano, dicendo (senza malizia ?) : "Non ho bisogno della proposi­ zione in questione, ed è questo il motivo per cui non mi sono preoccupato molto di perfezionare la dimostrazione data in pre­ cedenza: ma dal momento che il teorema è interessante di per sé,

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spero che i l signor Peano vorrà pubblicare l a sua dimostrazione, che sarà certamente migliore." 5 Nel dicembre 1 8 84 Peano con­ seguì la "privata docenza" ; l'evento è segnalato sull'Annuario dell'università da D'Ovidio, rettore dal 1 8 80, nel suo rapporto annuale. Questo titolo significava che Peano era giudicato in pos­ sesso delle necessarie qualifiche per essere docente universitario. Nell'autunno del 1 8 84 egli andò ad abitare in via Artisti al N. 3 1 , ancora a breve distanza dall'università. Mentre la carriera di Peano sembrava progredire senza scosse, l'università stava attraversando uno dei tanti periodi di agita­ zioni studentesche. La sera dell' 1 1 marzo 1 88 5 , la polizia arrestò parecchi studenti che avevano partecipato a una dimostrazione di protesta per l'occupazione di Massaua, in Eritrea, il mese pre­ cedente. Nei giorni successivi, non essendo stato concesso il loro rilascio che molti compagni richiedevano, scoppiarono disordini, sia dentro che fuori l'università. I tentativi fatti dal rettore e da molti professori per calmare gli studenti ebbero scarso esito, e il Senato accademico, con l'approvazione del governo, decise di chiudere l'università il 1 5 marzo. La riapertura avvenne soltanto il 1 5 aprile, un mese più tardi. Sebbene il rettore potesse scri­ vere nell'autunno seguente che la condotta degli studenti da quel momento era stata " degna di ogni elogio" , i regolamenti univer­ sitari furono modificati in seguito a un rapporto presentato al re, che diceva tra l'altro: Non credemmo che si avessero a tollerare più a lungo le associazioni uni­ versitarie strette per fini politici, che non potrebbero non distrarre gli studenti dal compito più immediato, che hanno, di studiare, e turbare la pace serena delle nostre Scuole per trasportarvi le passioni e le impa­ zienze e turbolenze straniere alla scienza.6

Nell'autunno del 1 8 85, pur continuando a insegnare calcolo, Peano sostituì Genocchi anche nel corso di "Applicazioni geo­ metriche del calcolo infinitesimale" . (Due anni dopo avrebbe pubblicato un libro di testo con questo stesso titolo [ 1 1 ] .) Il corso prevedeva tre lezioni alla settimana. Peano inoltre teneva, come libero docente, un corso di "Geometria infinitesimale trat­ tata sinteticamente" con due lezioni alla settimana. Egli abitava

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ora al N. 2 5 di piazza Castello, al quarto piano. Era il quinto cambiamento di casa in sei anni: qui rimase invece per quattro anm. Nella primavera del 1 8 86 Peano presentò all'Accademia delle Scienze una comunicazione [9] , in cui dimostrava per la prima volta che l'equazione y ' = f(x, y) ammette una soluzione sotto l'unica ipotesi della continuità di f. La dimostrazione è ele­ mentare, anche se non del tutto rigorosa. (Peano dette una dimostrazione più rigorosa di una generalizzazione del teorema nel 1 890 [27] .) Il risultato è un esempio tipico della costante ricerca da parte di Peano della semplificazione: in un certo senso si tratta del teorema fondamentale delle equazioni differenziali. È evidente che se si vuole assicurare l'esistenza di una solu­ zione di y' = f(x, y), f deve soddisfare qualche condizione. Al­ l'inizio del secolo Cauchy aveva dimostrato che, se f e le sue derivate parziali rispetto a x e y sono continue, esiste una e una sola soluzione. Il risultato poi fu perfezionato da Charles Briot e Jean-Claude Bouquet nel 1 8 56, e soprattutto da Rudolf Lipschitz nel 1 868. In una nota dell'articolo Peano ricorda questi e altri autori e conclude con le parole: "Il signor Vito Volterra (Gior­ nale di Matematiche, vol. 1 9 ) generalizzò questi risultati, la­ sciando tuttavia in dubbio la verità del teorema, se si suppone solamente la continuità di f(x, y ) . Nella presente Nota si ha an­ che la risposta a tale questione" [OS l, p. 8 1 ] . Nell'autunno del 1 8 86 Giorgio Anselmi, allora rettore dell'uni­ versità, riferiva nel suo rapporto: " ( ... ) non posso far a meno di rallegrarmi che nessun disordine sia venuto a turbare la tran­ quillità degli studi in questo Ateneo nello scorso anno scolastico 1 885-86, ed in fatti il contegno degli studenti fu lungo l'anno stesso degno d'ogni elogio." 7 I l 2 1 ottobre 1 886 Peano fu nominato professore alla Regia Accademia Militare e aggiunse così al suo orario di lavoro uni­ versitario già pesante (esattamente quello dell'anno precedente) anche l'insegnamento dell'analisi in questa sede. I docenti del­ l'università tenevano spesso incarichi di insegnamento all'Acca­ demia Militare, la cui sede era situata proprio dietro l'università, dall'altra parte di via della Zecca (ora via Verdi) . Peano con­ serverà questo incarico per ben quindici anni.

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Nella primavera del 1 8 8 7 Peano scopre il metodo delle appros­ simazioni successive per risolvere sistemi di equazioni differen­ ziali; esso viene presentato all'Accademia delle Scienze il 20 feb­ braio [ 1 0] . (Una versione modificata, in francese, sarà pubbli­ cata l'anno seguente nei "Mathematische Annalen" [ 1 2 ] ) . Peano ritenne sempre di essere stato il primo a scoprire il metodo in questione e varie volte cercò di rivendicarne la priorità nei con­ fronti di Emile Picard, che, secondo Peano, aveva cominciato a impiegarlo solo nel 1 89 1 . In realtà Picard aveva già dato un esempio di approssimazioni successive nel 1 8 8 8 e ne aveva attri­ buito l'idea a H. A. Schwarz. Quell'anno vide la luce, pubblicato dai Fratelli Bocca, anche il volume Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale [ 1 1 ] , basato sul corso di Peano all'università. Egli approfittò dell'occa­ sione per spiegare nella prefazione le circostanze relative alla pubblicazione del Calcolo differenziale del 1 884. Citava anche la smentita di Genocchi aggiungendo: "Quindi, benché io abbia fatto largo uso delle lezioni del chiar.mo professore, mi assumo l'intera responsabilità di quanto sta scritto in quel libro, come se sul frontespizio del medesimo non comparisse altro nome che il mio." Poi ringrazia l'amico Gino Loria "per la cura assunta nella correzione del volume" (p. Ix) . Fra le tante cose degne di interesse del libro, una particolare menzione va riservata al concetto di misura di un insieme di punti introdotto da Peano. Cantor aveva già considerato questo problema, ma secondo la su a definizione di "misura" era possi­ bile che la misura dell'unione di due insiemi disgiunti risultasse minore della somma delle misure dei due insiemi. Peano superò la difficoltà definendo, oltre alla misura di Cantor m(A) di un insieme A contenuto, diciamo, in un intervallo I, la sua "misura interna" m(/) - m ( ! -A) . Definì poi A misurabile qualora i due numeri coincidano. La definizione venne data lo stesso anno, e indipendentemente, anche da J ordan. In base a tale definizione, tuttavia, molti insiemi usuali non risultavano misurabili, come per esempio l'insieme dei razionali contenuti in un intervallo chiuso. Insiemi di questo tipo divennero anch'essi misurabili quando Henri Lebesgue, nel 1 902, prese in considerazione colle­ zioni infinite numerabili di insiemi invece delle collezioni finite

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che compaiono nella definizione di Peano. L'ininterrotto inte­ resse di Peano per le formule di quadratura si rivela qui nelle nuove formule date per il termine del resto nella formula dei trapezi e nella formula di Simpson. Giulio Vivanti, amico di Peano, scrisse una recensione del vo­ lume per lo "Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik" (vol. 1 9, 248, 1 887) dove tra l'altro si legge: Questo lavoro che certamente non va oltre i primi elementi della geo­ metria infinitesimale, è notevole per l'originalità dei metodi e la sua accurata e rigorosa esposizione. La continua applicazione della teoria dei segmenti di Mobius-Grassmann, che porta una concisione e una eleganza che si trova di rado sulla teoria dei quatemioni, la fondazione rigorosa del concetto di limite in geometria e infine l'introduzione dei campi di punti e delle funzioni su di essi, mediante la quale la geometria infinitesimale è portata a quello stesso livello di rigore e di generalità che il calcolo infinitesimale ha raggiunto di recente, sono gli elementi più caratteristici di questo libro unico.

Le funzioni di insieme, menzionate da Vivanti, riprendevano un concetto introdotto precedentemente da Cauchy, che Peano aveva esteso fino a comprendere la differenziazione e l'integra­ zione di una funzione di un insieme mediante un'altra. Ma fu un aspetto della sua opera che restò in ombra e quando poi Peano vi ritornò nel 1 9 1 5 [ 1 7 5 ] , esso era stato introdotto ex nova da Henri Lebesgue, W. H. Young e altri. I tentativi pionieristici di Peano rimasero a lungo privi di qualunque riconoscimento, ma dice F. A. Medvedev ( 1 97 5 , pp. 67 sg.) : Il più alto risultato raggiunto dai matematici del diciannovesimo secolo nell'elaborazione della teoria delle funzioni di insieme è il quinto capi­ tolo del libro di Peano ( ... ) Oggi è forse possibile trovare dei difetti a questo o a quel metodo di ragionamento applicato da Peano, ma nello stesso tempo, per la generalità e la profondità dei vari concetti, questo capitolo del libro è più notevole del lavoro di Lebesgue del 1 9 1 0, che generalmente è considerato la sorgente da cui ebbe origine il fiume ine­ sauribile della moderna ricerca sulla teoria della funzione di insieme.

Capitolo 4 Carriera accademica

Sembra fuori dubbio che Peano aspirasse, da qualche tempo, alla cattedra di calcolo infinitesimale, e ben a ragione. Aveva già dimostrato a sé stesso e ai suoi studenti di essere un buon inse­ gnante. Nei sette anni che erano trascorsi dalla laurea aveva pubblicato molti articoli e due libri di notevole valore. Era assi­ stente e libero docente all'università, dove aveva di fatto assunto l'incarico del corso di Genocchi. Era inoltre docente all'Acca­ demia Militare. Non c'è dubbio dunque che si sentisse abbastanza sicuro sulla propria carriera accademica. Il giovedì 2 1 luglio 1 88 7 Peano sposò Carola Crosio, la più giovane delle quattro figlie di Luigi Crosio, un pittore di ma­ niera che dipingeva scene di carattere pompeiana e seicentesco. Carola e le sorelle (Camilla, Aneta e Bianca) avevano posato tutte come modelle per il padre, che fu autore di litografie per edizioni d'arte di Milano, Londra, Zurigo e altrove. I suoi quadri comparvero in varie mostre organizzate dalla Società Promotrice delle Belle Arti, che era stata fondata a Torino nel 1 842. Una delle sue tele, La Bibbia del curato, fu acquistata dal Museo Civico di Torino e un suo quadro è esposto nella chiesa di San Giorgio a Chieri, un paese vicino a Torino. Crosio, che era nato ad Alba nel 1 8 3 5, morì a Torino nel 1 9 1 5 . Dopo u n breve viaggio d i nozze a Genova, Livorno e Firenze, Peano e la moglie tornarono a Torino il 2 8 luglio. Vissero per due anni nell'abitazione di Peano in piazza Castello N. 2 5 e poi, nel 1 889, si trasferirono in corso Valentino N. l, al terzo piano.

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CAPITOLO QUARTO

Il 1 0 ottobre 1 88 7 Peano scrisse a Felix Klein, dicendogli di aver ricevuto una sua lettera già da tempo e di non avere rispo­ sto prima a causa del matrimonio. Peano scriveva: "Sarei lieto di spedire l'articolo per la pubblicazione sui 'Mathematische An­ nalen', con le aggiunte che voi suggerite." 8 Presumibilmente si riferiva all'articolo, in francese, sulla risoluzione delle equazioni differenziali con il metodo delle approssimazioni successive che fu poi pubblicato su quella rivista nel 1 8 8 8 [ 1 2] . L'articolo è una versione con modifiche di un'analoga pubblicazione in ita­ liano del l 8 87 [ 1 0) . Peano per l'anno accademico 1 8 87-88 seguiva lo stesso orario di lezione dell'anno precedente, sennonché ora aveva lasciato il corso di geometria infinitesimale. Anselmi, rettore dell'università, è ancora una volta soddisfatto di riferire nel suo rapporto che non ci sono state agitazioni da parte degli studenti. Durante quell'anno, il 6 febbraio 1 888, morì il padre di Peano. Oltre alla versione modificata, in francese, del suo scritto sulle approssimazioni successive [ 1 2 ] , Peano pubblicò un breve arti­ colo su una definizione geometrica delle funzioni ellittiche [ 1 3 ] , tradotta anche in portoghese da F. Gomes Teixeira, e poi il Cal­

colo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva [ 1 4] . La prefa­ zione (che reca la data 1° febbraio 1 8 88) inizia così: Il calcolo geometrico, in generale, consiste in un sistema di operazioni da eseguirsi su enti geometrici, analoghe a quelle che l'algebra fa sopra i numeri. Esso permette di esprimere con formule i risultati di costruzioni geometriche, di rappresentare con equazioni proposizioni di geometria, e di sostituire una trasformazione di equazioni ad un ragionamento. Il calcolo geometrico presenta analogia colla geometria analitica; ne diffe­ risce in ciò, che mentre nella geometria analitica i calcoli si fanno sui numeri che determinano gli enti geometrici, in questa nuova scienza i calcoli si fanno sugli enti stessi (p. v) .

Il capitolo (non numerato) sulle " Operazioni della logica de­ duttiva" con cui si apre il libro è la prima pubblicazione di Peano in logica matematica e si basa sui suoi studi di Ernst Schroder, George Boole, C. S. Peirce e altri. Sebbene egli affermi che "molte delle notazioni qui introdotte vengano usate nel calcolo geo­ metrico", è una parte dell'opera che in realtà ha scarsi legami

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con ciò che segue. L'interesse specifico sembra suggerito dal­ l'analogia che le operazioni della logica matematica presentano con le operazioni dell'algebra e del calcolo geometrico. Peano scrive: "La logica deduttiva, la quale fa parte delle scienze ma­ tematiche, non ha finora molto progredito ( ... ) Le poche que­ stioni trattate in questa introduzione costituiscono già un insieme organico, che può servire in molte ricerche." Ma che genere di ricerche egli aveva in mente per la logica matematica? Peano dà due esempi di problemi interessanti, uno dei quali già risolto : Date n classi, quante proposizioni si possono enunciare usando i simboli logici introdotti in questo libro ? Viene data una for­ mula generale, mediante la quale, ad esempio, per n = 2, il nu­ mero risulta 3 2 766. Una questione aperta è la seguente: Data una relazione tra due enti variabili, quali sono le classi e le pro­ posizioni che si possono enunciare usando quella relazione e i simboli logici ? In questo capitolo preliminare sulla logica, Peano sviluppa per prima cosa un calcolo delle classi e usa i simboli U e n nel senso moderno di unione e intersezione. (Per quest'ultima spesso il segno viene omesso; lo stesso negli esempi che seguono.) ® in­ dica tutti gli enti di un sistema e l'insieme vuoto è O . Quindi AB = O è l'affermazione che l'intersezione di A e B è vuota, o, nel linguaggio di P e ano, che "nessun A è un B" . Il complemento di A nel sistema viene indicato con A. Così AB = O è equiva­ lente a "ogni A è un B" e per comodità Peano introduce per indicarla anche la scrittura A < B. Successivamente viene sviluppato un calcolo, parallelo al pre­ cedente, relativo alle proposizioni, in cui si usano alcuni dei sim­ boli di prima. In questo caso O significa "condizione assurda" e ® "condizione identica" . La negazione della proposizione « in­ vece viene espressa con - a; la congiunzione e la disgiunzione sono rappresentate da n e U e a < � significa "se a è vero, allora � è vero " . Non ci sono tentativi di esporre la materia in forma assiomatica, né dimostrazioni delle varie formule. Peano appare interessato principalmente a far vedere che le proposi­ zioni della logica possono essere trattate in stile algebrico. Questo lavoro dà solo una traccia del futuro sviluppo della logica matematica di Peano. Si potrebbe vederlo come un ten-

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CAPITOLO QUARTO

tativo di sintetizzare l'opera di altri. Lo sviluppo sistematico e originale della logica tuttavia avrà inizio quasi subito dopo, con l'introduzione di nuovi simboli (molti di quelli impiegati nel lavoro in questione vengono abbandonati) e di nuovi concetti. :t degno di nota comunque il riconoscimento da parte sua di una certa equivalenza tra il calcolo delle classi e il calcolo delle proposizioni. La parte più importante del volume, il calcolo geometrico, è, invece, un'opera di notevole maturità formale. Era già stata pre­ ceduta dalle sue Applicazioni geometriche, dove erano stati im­ piegati i concetti di Mobius, Bellavitis, Hamilton e Grassmann. Peano decise successivamente che i metodi di Grassmann erano superiori, e il volume costituì il risultato del suo rimaneggia­ mento dell'Ausdehnungslehre di Grassmann. Non avanzò pre­ tese riguardo all'originalità del contenuto, ma non si possono avere dubbi sul fatto che l'estrema chiarezza della presentazione, in confronto alle notorie difficoltà di lettura che il lavoro di Grassmann presenta, aiutò a diffondere le idee di Grassmann e a renderle più popolari. Il capitolo l inizia con le definizioni di "linee, superfici e vo­ lumi" . Per indicare la linea avente per estremi A e B viene usato il simbolo AB; e la linea è vista come se fosse descritta da un punto P che si sposta da A a B (quindi AB è distinto da BA) . L a misura d i A B è grAB ( ''gr" sta per grandezza) . L a superficie ABC è il triangolo descritto dalla linea AP, con P che si sposta lungo BC da B a C. Il tetraedro descritto dalla superficie ABP, quando P si sposta lungo la linea CD da C a D, è il volume ABCD. Peano inoltre indica le linee con lettere latine minuscole, le superfici con lettere greche minuscole e i volumi con lettere greche maiuscole. Così se a indica AB, a indica ABC, e A indica ABCD, risultano equivalenti: A, aD , aCD, ABCD. Se n è un volume fissato arbitrario, e si suppone che Ajn sia il quoziente delle relative misure, con il segno + se hanno la stessa direzione e con il segno - in caso contrario, Peano è in grado di confrontare vari enti geometrici, risultando per esempio A = B se Ajn = B ;n, e di stabilire un'aritmetica in cui somme di enti di un tipo possono perfino essere moltiplicate con somme di enti di un altro tipo.

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L'opera di Peano, che pure risultava di agevole lettura, suscitò l'interesse di ben pochi studiosi italiani, tra i quali per esempio Cesare Burali-Forti e Roberto M.arcolongo; la lunga collabora­ zione che ne nacque contribuì notevolmente allo sviluppo del­ l'analisi vettoriale in Italia. Peano rimase nel solco della tradizione di Grassmann e i suoi scritti concorsero solo in piccola misura alla formazione dell'emergente analisi vettoriale. Non c'è dubbio tuttavia che il suo incoraggiamento personale ai giovani mate­ matici svolse un ruolo importante e il suo interesse per questo argomento si mantenne anche negli anni successivi. Nella "Ri­ vista di matematica" del 1 895 (vol. 5, pp. 1 68 sg.), egli an­ nunciò la costituzione della Associazione internazionale per lo sviluppo degli studi sui quaternioni e i sistemi matematici con­ nessi, e nel 1901 (vol. 7, p. 84) ne fu il Segretario nazionale per l'Italia. Oggi, seconda metà del secolo ventesimo, è difficile immaginare che dei matematici si opponessero all'introduzione dei metodi vettoriali. A Burali-Forti fu addirittura negata la libera docenza a causa della sua insistenza sull'uso dei vettori, e questo mal­ grado gli sforzi di Pèano, allora membro della commissione giu­ dicatrice, per persuadere gli altri a concederla. Nonostante ciò Peano ebbe indubbiamente la ricompensa cui fa cenno nella sua prefazione, in cui aveva scritto (p. vn) : Sarei lieto delle mie fatiche nello scrivere questo libro (e questa sarà l'unica ricompensa ch'io ne aspetti) , se esso servirà a divulgare tra i ma­ tematici alcune delle idee del Grassmann.

(Oppure intendeva lamentarsi degli accordi sui diritti d'autore con l'editore ?) Per quanto in quel momento sembri essere passata sotto silen­ zio, una delle caratteristiche più notevoli di questo libro da un punto di vista storico è che in esso compare per la prima volta un sistema di assiomi per gli spazi vettoriali. Esso è presentato all'inizio del capitolo 9, e vale la pena di citarlo per mostrare la chiarezza concettuale di Peano ( [ 1 4] , pp. 1 4 1 sg.) . Esistono dei sistemi di enti sui quali sono date le seguenti definizioni: l . E definita l'eguaglianza di due enti a e b del sistema, cioè è definita

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una proposizione, indicata con a = b , la quale esprime una condizione fra due enti del sistema, soddisfatta da certe coppie di enti, e non da altre, c la quale soddisfa alle equazioni logiche: (a = h) = (h = a), (a = b) n (b = c)