Numerische Mathematik: Programme für den TI 59 [1. Aufl.] 978-3-528-04171-7;978-3-322-96313-0

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-vii
Einführung (Jürgen Kahmann)....Pages 1-3
Matrizen (Jürgen Kahmann)....Pages 4-8
Lineare Gleichungen und Ungleichungen (Jürgen Kahmann)....Pages 9-59
Iteration (Jürgen Kahmann)....Pages 60-103
Interpolation und diskrete Approximation (Jürgen Kahmann)....Pages 104-130
Numerische Differentiation und Integration (Jürgen Kahmann)....Pages 131-152
Back Matter ....Pages 153-156

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Ji.irgen Kahmann Numerische Mathematik Programme fur den TI 59

Dieses Buch stimmt in der Gliederung des Stoffes und in der Bezeichnungsweise uberein mit dem uni-text Wolfgang Bohm und Gunther Gose EinfUhrung in die Methoden der Numerischen Mathematik 1977. VIII, 152 Seiten

"In dem Buch werden die Grundideen numerischer Losungsmethoden dargestellt. Es ist fur Studenten der Mathematik und der Informatik und fur Interessenten naturwissenschaftlicher Disziplinen geschrieben. Nach einer Einfuhrung von Grundbegriffen (Algorithmen, Matrizen) werden im zweiten Teil numerische Fragen der linearen Algebra behandelt, darunter der Gau~sche Algorithmus mit Pivotsuche, der konzentrierte Gau~-Algorithmus, die Methode von Cholesky zur Erhaltung der Symmetrie, die Relaxationsmethode, die angeniiherte Losung uber- oder unterbestimmter linearer Gleichungssysteme und das Simplexverfahren der linearen Optimierung. Iterative Verfahren wie die klassische Vektoriteration, der Rutishauser-Algorithmus, Methoden zur Konvergenzbeschleunigung und Nullstellenbestimmung bilden den dritten Teil. Es folgen die Interpolation durch Polynome und Splinefunktionen. 1m abschlie~enden funften Teil werden die numerische Differentiation und I ntegration einschlie~lich Fehlerabschiitzungen, die Grenzwertbestimmung durch Extrapolation sowie Ein- und einfache Mehrschrittverfahren mit Schrittweitensteuerung zur L6sung von Differentialgleichungen behandelt, dabei wird auf das Runge-Kutta-Verfahren besonders eingegangen und ein Vergleich der Vorteile von Ein- und Mehrschrittverfahren durchgefuhrt. Die Darstellung strebt mehr nach Klarheit der Grundideen als nach Volistiindigkeit oder weitestgehender Aligemeinheit. Die einzelnen Verfahren werden durch Algorithmen ergiinzt, die die Formulierung in der Programmiersprache ALGOL vorbereiten. Das ausgezeichnete Lehrbuch ist besonders auch zum Selbststudium geeignet." ZAMM November 1979

Anwendung programmierbarer Taschenrechner

BandS

JOrgen Kahmann

Numerische Mathematik Programme fur den TI 59

Friedr. Vieweg & Sohn

Braunschweig/Wiesbaden

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Kahmann, Jurgen: Numerische Mathematik: Programme fur d_ TI 59/ Jiirgen Kahmann. - Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1980. (Anwendung programmierbarer Taschenrechner; Bd.5) ISBN 978-3-528-04171-7 ISBN 978-3-322-96313-0 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-322-96313-0

Aile Rechte vorbehalten

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1980 Die Vervielfaltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fur Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall muB uber die 2ahlung einer Gebuhr fur die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fur die Vervielfaltigung durch aile Verfahren einschlieBlich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien. Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig

ISBN 978-3-528-04171-7

Vorwort

In den letiten Jahren war in der Herstellung immer leistungsfahigerer programmierbarer Taschenrechner eine rasante Entwicklung zu beobachten. Um ihre Moglichkeiten und Kapazitaten optimal auszuschopfen, sollten auch fur diese Kleinrechner Programmbibliotheken zur Verfugung stehen. Der vorliegende Band enthalt eine Sammlung nutzlicher Programme der numerischen Mathematik fur den programmierbaren Taschenrechner TEXAS INSTRUMENTS TI 59. Zugrundegelegt wurde das im gleichen Verlag erschienene Buch "Einfuhrung in die Methoden der Numerischen Mathematik" von Wolfgang Bohm und Gunther Gose (Vieweg, Braunschweig 1977), aus dem Gliederung und Bezeichnungsweise ubernommen wurden, um die Anwendung und das Arbeiten mit den Programmen zu erleichtern. Hier findet der interessierte Leser neben der theoretischen Herleitung auch die fluBdiagrammahnlichen Algorithmen, nach denen die Programme erstellt wurden. Einen kurzen Oberblick fiber die Handhabung des Rechners liefert das Kapitel 0 "Einfuhrung". Dem im Umgang mit dem TI 59 ungefibten Leser sei zunachst ein intensives Studium der zum Rechner gehorenden Bedienungsanleitung "Individuelles Programmieren", insbesondere der Abschnitte I, II und VII empfohlen. Mein ganz besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Wolfgang Bohm, dessen Vorlesungen ich die Freude an der numerischen Mathematik verdanke. Ohne seine Anregungen und aufmunternden Ratschlage ware dieses Buch nicht entstanden. Nicht zuletzt danke ich der Firma TEXAS INSTRUMENTS fur die freundliche Unterstutzung und dem Vieweg Verlag fur die problem lose Zusammenarbeit.

Jiirgen Kahmann

Wolfenbuttel, im Fruhjahr 1980

I nhaltsverzeichnis

o

Einfuhrung ............................................... . 0.1 0.2 0.3

Der Rechner TI 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Eingabe von Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Magnetkarten............................................

1 2 3

1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

4

1.1 1.2

Produktsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Matrizenprodukt.........................................

4 6

2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen .......... . . . . . . . . . . . . . ..

9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Der Algorithmus von GauB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Der GauBalgorithmus mit Pivotsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die LR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die LR-Zerlegung mit Pivotsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Inversion mit totaler Pivotsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Cholesky·Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die OR-Zerlegung und vermittelndes Ausgleichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Zyklische Relaxation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Methode des stiirksten Abstiegs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

9 13 16 21 28 34 40 46 49 53

3 Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

Vektoriteration nach von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Inverse Iteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Der LR-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Iteration in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Steffensen-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das Horner-Schema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das erweiterte Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Verfahren von Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das Bernoulli -Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das inverse Bernoulli-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der OD-Algorithmus fur tridiagonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Der OD-Algorithmus fur Poly nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 64 70 75 78 80 82 84 86 88 90 93 95 97 100

4 Interpolation und diskrete Approximation 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

....................... 104

Lagrange-I nterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Das Schema von Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Entwickeln nach Tschebyscheff-Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Ckonomisieren eines Poly noms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Der Algorithmus von Clenshaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 De Castlejau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Bezier-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Interpolation durch kubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5 Numerische Differentiation und Integration ...................... 131 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sehnentrapezsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Romberg-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Eulersche Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Verfahren von Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das klassische Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einschrittverfahren mit Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Mittelpunktsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatur

131 135 137 140 142 144 147 150

................................................... 153

Verzeichnis der behandelten Probleme ............................. 154

1

o Einflihrung

Dieses Buch enthalt 44 Programme der numerischen Mathematik fur den programmierbaren Taschenrechner TEXAS INSTRUMENTS TI 59. Die ausfuhrlichen Programmbeschreibungen umfassen jeweils - eine kurze Erlauterung des programmierten Verfahrens - eine Tabelle der bei der Benutzung des Programms durchzufuhrenden Tastenfolgen - eine Obersicht uber die Registerinhalte ein yom TI 59 durchgerechnetes Beispiel und - einen vollstandigen Programmausdruck (sowie bei den Programmen 4.3 und 4.4 eine Liste der einzugebenden Konstanten). Bei den Programmbeschreibungen wurde davon ausgegangen. daB die Programme auf Magnetkarten gespeichert sind. Die Programmlisten haben folgende Form: 000 43 001 01 002 42 003 02

RCL 01 STO 02

Dabei bedeuten die ersten drei Ziffern die Nummer der Programmspeicherstelle. die beiden Ziffern in der Mitte den Tastencode. rechts steht das Tastensymbol.

0.1 Der Rechner TI 59 Der TI 59 ist ein programmierbarer Taschenrechner. der in drei Operationsarten betrieben werden kann: Verwendung des Moduls Durchfuhrung von selbst eingegebenen Programmen Benutzung als uber die Tastatur zu bedienender Rechner Wichtig fur den Leser ist die zweitgenannte Betriebsart.

o Einfiihrung

2 Foigende Zeichnung zeigt die Speicherkapazitat und -verteilung des Rechners

BI.2

BI. 1

BI.4

BI. 3 960 880

110

800

20

720

30

640

40

560

50

480

60

400

70

320 240 160 1

80 90 100

Pr09rammspeicher

Datenspeicher

Wird der Rechner eingeschaltet, stehen 60 Datenspeicher und 480 Programmspeicherstellen zur Verfiigung. Mittels der Tastenfolge ~ 2nd Op 17 laBt sich die Speicherbereichsverteilung - etwa bei Programmen mit hohem Datenspeicherbedarf - auf 10' n Datenspeicher andern. Die zugehorige Anzahl von Programmspeicherstellen entnehme man jeweils der Skizze. Bei den einzelnen Program men ist angegeben, ob und in welcher Weise die Speicherbereichsverteilung geandert werden kann oder muB.

0.2 Eingabe von Programmen Vor Eingabe eines Programmes empfiehlt es sich stets, den Rechner kurz auszuschalten, um sicherzustellen, daB aile Register geloscht sind. Will man ein Programm in den TI 59 eingeben, geht man wie folgt vor: 1. 2. 3. 4.

Einschalten des Rechners Taste LRN driicken. Es erscheint die Anzeige 00000. Eingabe der in den Programmlisten abgedruckten Programmbefehle Taste LRN driicken

Jetzt hat der Rechner das Programm gespeichert.

0.3 Magnetkarten

3

0.3 Magnetkarten In den Programrnbeschreibungen wurde davon ausgegangen, daB die Programme von Magnetkarten in den Rechner eingelesen werden. Aus diesem Grunde und aus Bequemlichkeit ist es sinnvoll, ein in den Rechner eingetastetes Programm auf eine Magnetkarte zu iibertragen. Eine Magnetkarte kann den Inhalt zweier Blocke speichern; die Nummer der gespeicherten Blocke so lite man beim Beschriften der Karte in den dafiir vorgesehenen Kastchen links bzw. rechts oben auf der Karte vermerken. Das Beschreiben der Magnetkarte mit Block m durch den Rechner geschieht folgendermaBen: 1. Tasten m 2nd Write driicken 2. Magnetkarte einschieben 3. In der Anzeige erscheint die Nummer des Blocks m Block mist jetzt auf die Magnetkarte iibertragen und wird mit jedem Einlesen im Rechner wieder abgespeichert. Das Einlesen einer Magnetkarte geschieht so: 1. Anzeige auf 0 stellen 2. Magnetkarte einschieben 3. In der Anzeige erscheint die Nummer des eben eingelesenen Blocks Zu beachten ist, daB Magnetkarten nur dann eingelesen werden konnen, wenn die Speicherbereichsverteilung dieselbe ist wie beim Beschreiben der Magnetkarte.

4

1 Matrizen

1.1 Produktsumme Das Programm bestimmt die Produktsumme s = aTb zweier n-Spalten a und b,

Programminstruktionen Verfahren 1 Einlesen der Magnetkarte (Block 1) 2 Programmbeginn 3 Eingabe der Nummer des ersten zu belegenden Speicherplatzes k ~ 4 4 Eingabe von a1, .. " an; b 1, .. " b n Dabei bedeutet die Anzeige i, daB bisher i-1 Daten eingegeben wurden

5 Ende der Koeffizienteneingabe 6 Eingabe von k und n 7 Ergebnisanzeige

Reg isterinhalte Roo, .. ,' R03: Programmzeiger Rk , .. "R k + n- 1 : a1, .. "an Rk + n, .. " Rk + 2n - 1 : b" .. " bn

Eingabe

Taste

Anzeige

A k

R/S

1

a1 a2

R/S R/S

2 3

an b1

R/S R/S

n+1 n+2

bn

R/S

2n+1

B

2n+1

k n

R/S R/S

k s

5

1.1 Produktsumme

Beispiel

[3.1]

Man berechne s =aT b mit a = 2.7 1.5

[4.2]

und b = 0 ..8 . 2.3 Eingabe

Anmerkungen

Taste

Anzeige

1 1 1 2 3 4 5

Magnetkarte einlesen (Block 1)

A

Programmbeginn

3.1 2.7 1.5 4.2 0.8 2.3

91 42 00 01 42 0·-'"43 02 91 ..,.:. , '00 01 44

Produktsumme

00 00 44 SUt'1 02 f'_......-:' 61 GTO 00 OC 0::: 0:::

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015 016 017 01::: I) 1';" 02:0 021 022

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R/S R/S

4 3

n Anzeige von: s

000 001 002 00:": 004 005 006 007 00::: 009 010 01 1 012 01:;: 014

6 7 7

B

Eingabe von: k

Programm 1.1

R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S

4

k a1 a2 a3 b1 b2 b3 Ende der Koeffizienteneingabe Eingabe von:

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20

2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

100 101 102 10:3 104

44 :::Ut'1 0:3 0:3 01 1 44 :::Ut'1 04 04

106 107 10::: 109 110 111

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105

112

116

117 11::: 119 120 121 122

123

124 125 126 127 12:3

129 1:30 131

1:n

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157 158

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05 05 5:3 4:3 PCl 00 00 75 4:3 PCl 07 07 54 65 43 F.:Cl 00 00 ..,.,. (

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159 160

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162

191

192

19:3 194 195 196 197 19::: 199 200 201 202 20:3 204 205 206 207 20::: 209 210 211

212 213 214 215 216 217

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219 220 221 222 22:3

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131 132 1 3~:

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140 141 142

143

144

145 146

147

148

149

150 151

152 15~:

154 155 156 157

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159

160 161 162 163 164 165

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22 It-l'·. .

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22 I t-l'.,i

44 :3Ut'i

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03 01

03 1

214

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22 I t-l'.,..

44 SUt'i

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2:39 240 241

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00

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76 LBL :::::: m'jS 7:::: F:C* 03 0:3 91 R.····S 01

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03

02

02

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275 27t. .-,...,.., '::'f .. 278 279 280

43 F:CL

+

270

269

02

217

00

91 R/S 76 LBL 16 A'

02

218

00 85 01 54 75 01

264 2E.5 266 267 268

213

216

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2:::6 28:::

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:::5 4~:

00

RCL 01 + RCL

00

95

42 STO

02

01

02 1

42 :3TO 03 03

43 F:CL o~:

91

0:3

F:.··~S

72 ST* 02 02 01 1 44 SUt·j

02

02

44 SUt·j

28

2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

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29 29 2'3

2'3

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B

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PCl +

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359 360

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07 +

PCl

00

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04

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08

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76 lBl 23 lti:'< 4::: PCl 01 01

365 366

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42 ::;TO 10 10 :::5 +

37:3

65

::::64

:367

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374 375

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37::;

379 3:::0

3::: 1 :;::::2

0:::

3

43 PCl 00 00 '35

05

05

43 f;:Cl 00 00 42 ::;TO

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76 lBl 24 CE

386

04

04

05

05

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3:::5 3::::7 3::::::

389 390

73 PC*

75 73 PC*

95

391 392 393 394 395 396 397

67 Eel 25 ClP 01 1 44 ::;Ut'i 05 05 44 SUt'i 10 10

399 400

09 09 24 CE

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137

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411 412

413

414

415

416 417

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4:::

PCl

10

10

25 Clf;:

07 07 75 4::: PCl 95 67

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73 PC ... 07 07 63 D:'" 10 10 6:::

07

D':'" 07

7:::: PC*

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06

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05 05 63 Do: ... 06 06

419 420

06

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422 423 424 425 426 427 42::: 429

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lBl

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1

04

04

06

06

431 432 433 434

97 IIS:

07

07

0::::

0::::

14

Ii'

4:::0

4:35

436

44 ::;Ut'i

44 SUt'i

44 SUt'i

23 It'i~< 61 GTO

2.5 Inversion mit totaler Pivotsuche Das Programm bestimmt die Inverse A- 1 = [a;kl einer reguliiren n,n-Matrix A mittels des Austauschverfahrens. Dabei wird in jedem Schritt innerhalb der bisher nicht getauschten Zeilen und Spalten eine totale Pivotsuche durchgefiihrt. Der jeweilige Pivot wird in die Hauptdiagonale getauscht. Nach Durchfiihrung der Inversion werden die Zeilen und Spalten in natiirlicher Reihenfolge geordnet. Das Programm zerfiillt in drei Teile und gestattet so die Anwendung auf Matrizen bis zur Ordnung n = 6.

29

2.5 Inversion mit totaler Pivotsuche

Programminstruktionen Eingabe

Verfahren

1 "Teil 1" einlesen (Block 1) 2 Programmbeginn "Teil 1" 3 Eingabe der Matrixordnung n 4 Eingabe der Nummer des ersten zu belegenden Speicherplatzes k ~ 11 5 Eingabe der Matrix A spaltenweise

Taste

Anzeige

1 1 n

A n k

6 Ende der Koeffizienteneingabe

R/S R/S

a11 a21

R/S R/S

ann

R/S B

1 2 3 n2 +1

0 2

7 "Teil 2" einlesen (Block 1,2) 8 Programmbeginn "Teil 2"

C

0 2

9 "Teil 3" einlesen (Block 1, 2) 10 Programmbeginn "Teil 3" 11 Ergebnisanzeige (A- 1 spaltenweise)

D

a;1 R/S

ai1

R/S

a~n

Registerinhalte Roo, ... , R10 : Programmzeiger Rk , ... , Rk +2n - 1 : Zeilen- und Spaltenindizes Rk +2n , ... , Rk +n2+2n-1: a11, ... , ann

Bemerku ngen 1. In den Registern Rk , ... , Rk +2n - 1 werden die Zeilen- und Spaltenvertauschungen gespeichert und fur den Rucktausch von dort abgerufen. 2. 1st A singular, so halt das Programm wahrend der Ausfuhrung von "Teil 2" und zeigt dieses durch eine blinkende Anzeige an.

Beispiel Gesucht 1st dIe 'ove"" de< M.",x A =

[~

2

~].

30

2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

Anmerkungen

Eingabe

Taste

1

"TeiI1" einlesen (Block 1) Programmbeginn "Teil 1" Eingabe von:

Anzeige

n k

A

1

R/S R/S

3

11 2 1 2 2 1 1 0 2 1

R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S

2

3

1 Eingabe von:

a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Ende der Koeffizienteneingabe

3 4 5

6 7

8 9 10

B 0

"TeiI2" einlesen (Block 1,2)

2

Programmbeginn "Teil 2"

C 0

"Teil 3" einlesen (Block 1,2)

2

Programmbeginn "Teil 3" Anzeige von:

D

a;l a21 a31 a;2 a22 a32 a;3 a23 a33

-0.25 Es ist also A- 1 = [ 0.75 -0.25

R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S -0.5 0.5 0.5

-iJ.

-0.25 0.75 -0.25 -0.5 0.5 0.5 1 -1 0

31

2.5 Inversion mit totaler Pivotsuche

Programm 2.5

Inversion mit totaler Pivotsuche

Teil1

D

o o o o o

D

i

2 :3 4

5

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o

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045 046 047

04:::: 049

02

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00 95

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1

42 :::;TO 04 04 43 F.:Cl 00 00

052 053

42 ~:;TD 05 05 76 lE:L 23 ur.:

055 056

72 3T*

050 C51

054

43 PCl 04 04

057

02

02

05'3

OJ

060 061

01

03

062 063

064

065

066

067 0':,::: 069

070 071 072

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074

075

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02 02 44 :::;Ut'l

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04

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00

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Teil2

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PCl 01

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PCl

00

+

F.:Cl 02

P l

2

F: l

2

C l l C F: l

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03

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062

063

064 065 066 067 06::: 06'3

070 071 072

073 074

075 076 077

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05

LBl

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091 092

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32 124

125 126 ~

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2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

65

24:::: 249

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251 252

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06 ~"c;

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141

55

140 142 143

144 145

146

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150 151 152 153 154 155

156 157

160 161

162 163 lEA

165 166 167 16:::: 169 170 171 172 173 174 175 176 177

17::::

17'3

1:::0 1:::1 1:::2 1::::3

1 ::::4 1 :::5

,,~,

l

l

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43 P l 00 ;:; 42 3 0 0::::

:::

:::5

43 P l 01 1 43 F:Cl

91

92

93

94 95 97

9:::

00 01 02 03 04 05

06 07

0::::

09 10 11 13 14

43 pel 02 02 54 '35

03 03 43 F.:Cl 01 01

:::5 + 43 PCl

00

00 :::5 + 4:~: PCl 00 00 65 43 PCl 05 95

05

42 ::::TO

04

04

76 lE:l 34

r:,·;

02

15

73 PC* 03 03

4'-'

STO 03 03 43 PCl 01 01

17

04

:::5 + 43 PCl

19 20 21 22

02

'35

05

75

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42 04 43 03 32 43 04 67

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'::'._1

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29

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39 40

42 43

44

45 46

47

255 256

257

25::: 259

260 261 262

2E,::::

264

265 266 267

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269

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':.;'

63 E::::

218 219 220 221 222 223

224

00

85

65

42 ::;TO 04 04 85 53 ;" ._1

05 :::5

01 54 65

.. ..

06

+

43 F:CL

01 75 01

01

230 231 23:3

234

05 +

1 >::

43 F:CL 00 00

229

85

+

43 F:CL 02 02 ..,'" 43 RCL

02

':"'':''''-'

251 252 253

',5

'35

.: : :'

::

:: I

265 266 267 26::::

43 PCl 10 10 54 50 I>:: I

270 271

25 ClP 01 1 44 SU~l 02 02 44 SUt'l

202

208

209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 22E. 227

228 229 230 231 232 233 234

2::::5

236 237 2::::8 239 240 241

95

22 44 02 01 44 04 97 08 10 43 00 33 85 43 01

200 201

H~"''''

SUt'l

02 1

SUt'l

04

IIS:

08

E'

pel

00 ;:.::::: +

PCl 01 95 = 42 ::::TO 02 02 4:3 F:Cl 00 00

242 243 244 245 246

'35

:32 ;:-::: T

73 F:C* 02 02 42 STO 10 10 76 lBl 18 C' 01 1 44 ::::Ut'l 02 02 73 PC* 02 02 50 I ::< I 22 ltf·. . 77 GE 24 CE

:32 >::: T 73 F.:C*

02 02 42 STO 10 10 76 lBl 24 CE 97 IIS: 09 09 1:::

43 00 42 09 33 85 43 01 95 42 02

247

:::5

250

'35

248 249

251 252 253 254

255

EO

t·{

24 CE

f"

F:Cl 00

273 274

275

276

277 278 279 280 2:::1 2::::2

2:::::::

STO

02 +

42 STO 03 03 43 F:Cl OE. 06

261

75

02

03 ::
::

F:C* 03 SUt'l

64

3 Iteration

324

:::25

..

326 .: :.-::, , '_'0:-

32::: 32'3

330

..

3:::: 1

..

.: :,.:. '-' '-''.: :.-:. '-' --"-'

334

07 0 43 FC 10 1 22 I tl 64 PD 02 0 CI 1

1

44 ::;Ut'l 02 02 44 SUt'l 03 03

3:35 ::::36 ::;::;:7

-:":'0 '-"-"-'

33'3

340 34 1 342 343 ::::44 345

.

'37 DSZ

0'3 09 16 A 43 FCL 0::: 0::: 55 4·:'._' RCL 07 07 '35

42 STO 10 10

346 347 34::: 349

::::50 ::::5 1

352 353 354

::::55 ::::56

43 FCL 00 00 42 ::;TO 0'3 0'3 .::'-::' I t·l'",' 44 ::;Ut'l 02 02 43 F.:CL 10 10

5

._' '"._' 6 6

~

.:.

02

'3 1 01

02

F/::; 1

6

44 ::;Ut'l 02 02

6 6 6

0'3 33

6

'3 1 R.··. ::; 7 Eo LBL

>:: ;:: ..,J3 , ..-,.:. PC*

'37 IIS:

09

.•.'2

'3 1 R...·::;

3.2 Inverse Iteration Das Programm berechnet den betragskleinsten Eigenwert An der n,n-Matrix A als bet ragsgroBten Eigenwert A~l von A- l . Dabei wird die Iterationsvorschrift -l Yj = A Yj-l ersetzt durch das Losen des linearen Gleichungssystems LRYj=Yj_l ' wobei die LR-Zerlegung von A vorher durch das Programm 2.4 "Die LR-Zerlegung mit Pivotsuche" bereitgestellt wird. Das Programm bricht die Iteration ab, wenn der Wert IIY j - Yj- l lIyjlUl oo eine vorzugebende Toleranz € > 0 unterschreitet oder die Hochstzahl N von Schritten durchgefuhrt wurde. Es ist in drei Teile zerlegt und auf Matrizen bis zur Ordnung n = 5 anwendbar. Damit die Speicherbelegung ubereinstimmt, muB beim Programm "Die LR-Zerlegung mit Pivotsuche" die Nummer des ersten zu belegenden Speicherplatzes k = 14 gewahlt werden.

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 "LR-Zerlegung mit Pivotsuche - Teil 1" einlesen (Block 1)

2 Programmbeginn "Teil 1" 3 Eingabe der Nummer des ersten zu belegenden Speicherplatzes k = 14 4 Eingabe von A spaltenweise

Anzeige 1

A

1

14

R/S

1

all a2l

R/S R/S

2 3

ann

R/S

n 2 +1

65

3.2 Inverse Iteration

Verfahren

Eingabe

5 Ende der Koeffizienteneingabe

Taste B

6 Eingabe von n und k

n k

R/S R/S

Anzeige n2+1 n 0

7 "LR-Zerlegung mit Pivotsuche - Teil 2" einlesen (Block 1,2)

2

8 Programmbeginn "Teil 2"

C 0

9 "Inverse Iteration - Teil1" einlesen (Block 1)

1

10 Programmbeginn "Teil 1" 11 Eingabe des Startvektors Yo

A

1

y~o)

R/S

2

y~o)

R/S

n+1

B

0

N

R/S R/S

N

12 Ende der Koeffizienteneingabe 13 Eingabe von N und E

E

0 14 "I nverse Iteration - Teil 2" einlesen (Block 1,2) 15 Programmbeginn "Teil 2"

2

C 0

16 "Inverse Iteration - Teil 3" einlesen (Block 1) 17 Programmbeginn "Teil 3" 18 Anzeige des Eigenwerts An und des Eigenvektors X

Registerinhalte Roo, ... , R 13 : Programmzeiger R 14 , ... , Rn2 + 13: Koeffizienten der LR-Zerlegung von A Rn2+ 14, ... , Rn2 + n+ 13·. Y1(i) , ... , y n(i) Rn2+n+14' ... , Rn2+2n+13: Zeilenindizes Rn2+2n+14' ... , R n2 +3n+13·. Y1(i-1) , ... , Y(i-1) n Rn2+3n+14, ... , R n2-14n+13: Zeilenindizes

1

D R/S

An X1

R/S

Xn

66

3 Iteration

Beispiel Gesucht ist der betragskleinste Eigenwert A3 der Matrix A=

[~1 2~ 3~l

horige Eigenvektor x. Dabei sei Vo = [1, 0, OlT, N = 10 und

Anmerkungen

Eingabe

E

= 0.0001.

Taste

"LR-Zerlegung mit Pivotsuche - Teil 1" einlesen (Block 1) A

k a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Ende der Koeffizienteneingabe

14 1 0 1 0 4 2 1 2 3

Eingabe von:

3 14

n k

RIS RIS RIS RIS RIS RIS RIS RIS RIS RIS B RIS RIS

Programmbeginn "Teil 2"

A

1

RIS

2

0

RIS

3

0

RIS

4

B

0 10

Ende der Koeffizienteneingabe Eingabe von:

N E

9

10 10 3

0 1 1

Programmbeginn "Teil 1"

V&O)

7

8

C

"Inverse Iteration - Teil 1" einlesen (Block 1)

V~O)

1 1 2 3 4 5 6

0 2

"LR-Zerlegung mit Pivotsuche - Teil 2" einlesen (Block 1, 2)

Eingabe von: V\O)

Anzeige

1

Programmbeginn "Teil 1" Eingabe von:

und der zuge-

10 0.0001

RIS RIS

0

67

3.2 Inverse Iteration

Taste

Eingabe

Anmerkungen

Anzeige

"Inverse Iteration - Teil 2" einlesen (Block 1,2)

2

C

Programmbeginn "Teil 2"

0 "Inverse Iteration - Teil3" einlesen (Block 1)

1

Programmbeginn "Teil 3" Anzeige von:

D

A3

R/S R/S R/S

Xl X2 X3

Programm 3.2

.354248689 1 .3542448811 -.6457466823

Inverse Iteration

Teil 1 000 OOi 002 003 004 005 006 007

ooe

009 010 01 1 012 013 014 015 016

Oi7

01::: 019 020

76 LEL 11 A 01 04 4 42 ::;TO 01 01

,-,e

':',-'

+

43 RCL 00 00

..

.: :. '-"-'

;:'::2

'35 42 ::;TO 02 02 01 1 42 ::;TO 03 03

7Eo LBL 22 I t·~',/ 43 RCL 0:::: 03 '31 R...·S

021 022 023 024 025 026

027

02::: 02'3 030 031 032 033 034 0:35 036

0::::7

03::: 03'3 040 041

"7-:' , "-

q~

I Teil 2 000 001 002 003 004 005 006 007

(" t·

1·:' ._'

29

43 00 42 04 71

LBL C CP RCL 00 ::;TO 04 SER

008 009 010 01 1 012 013 014 015

ST*

02 02 01 1 44 ::;Ut'i 02 02 44 ::;Ut'1 03 0:::: 61 GTO 22 ltV"; 76 LBL 12 B .-, t:' '::'-' CLF.: R. ·. 3 •. 1 42 ::;TO 02 02 91 R. . . 3 42 3TO 03 03 43 RCL 00 00 75

.

16 A 42 3TD 05 05 85 + 02 2 .. 1:. __1 ~

::
~:T

RC*

07

E>(*

10

Ei·(*

07

PC*

06

EX*

05

E>(* 010.

L8l

xn 1

SU~l

04

156

157 15::: 159 160 161 162 163 164 165 166 167 16::: 169 170 171 172

In

174 175 176

177

178 179 180 H:l 1E:2 lE:3

184 185 186 187

1::::::

1:::9 190 191 192

In

194 195

196

197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 21:::: 214 215 216 217

44 06 44 07 97 OE: 23 71 16 42 07 :::5 01 95 42 05 4:::: 01 85 01 95 42 04 43 00 75 01

SUt'l

06

44 ::;Ut'l

219

05

05 ::;8F.:

220 221 222 22:;: 224 225 226 227 22E:

71 16 42 07 4:::: 01 E:5 4:::: 00

+ 1

22'3

STD

230 231

75

43 PCl 09 09

2:;:2 2:;::;: 234 235 2310,

85

01 1 95 = 42 ::;TD 04 04

+

2:;:7

97

D~;Z

SUt'l 07

IiSZ

0:::

U~::-::

S8F.:

A'

STD

07

05

F.:Cl

01

+

1

07

238 2::::9 240 241 242 243 244 245 2410. 247 248 249 250 251 252 25:::: 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275

08 STD 1

277 278 279

=

STD

04

F.:Cl

00

95

42 STD 09 09

76 l8l =:::5 1 . . . >:: 43 RCl

00 75 43 09 95 42 08 76 42 73 04 65 73 07 95 22 74 05 43 00 44 04 01 44 07 97 08 42 01

218

00

F.:Cl

09

=

STD

OE:

l8l STD RC*

04 ::
Q'- ." (

298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326

04 43 10 85 01 95 42 05 43 00 75 01 95 42 09 76 43 43 00 75 43 09 95 42 08 76 44 73 04 65 73 05 95 22 74 10 43 00 22 44 04 01 22 44 05 97 08

04 RCL 10 + 1

= STO

05 RCL 00

STO 09 LBL RCL RCL 00 RCL 09

=

STO 08 LBL SUM RC* 04 x RC* 05

=

It~V

S11* 10 RCL 00 INV SUM 04 1 It~V

SUM 05 DSZ 08

+ RCL 00

374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404

=

406 407

371 372 373

44 73 07 22 64 10 43 00 85 01 95 22 44 07 01 22 44 10 43 10 75 43 00 95 42 04 71 16 85 43 00 75 01 95 42 05 97 09 43 71 16 42 10 43 00 75 01

008 009 010 011 012 013 014 015

43 RCL 01 01 95 = 42 STO 10 10 85 + 02 2 65 x

327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369

370

SUM RC* 07 INV PD* 10 RCL 00 + 1

=

INV SUM 07 1 INV SUI1 10 RCL 10 RCL 00

= sm 04 SBR

A'

STO 05 DSZ 09 RCL SBR

A'

STO 10 RCL 00

405 408 409

410 411 412 413 414 415 416 417 418 419

420

421

95 42 09 73 10 50 42 06 32 76 45 01 44 10 73 10 50 22 77 52 67 52 42 06 32 76 52 97 09 45 43 00 42 09 71 16 42 10 85 02 65 43 00 95 42 07 43 03

= sm

09 RC* 10 IXI

sm 06

X:r

LBL yx 1 SUI1 10 RC* 10 IXI INV

GE EE EQ EE sm 06

X:r

LBL

EE

DSZ 09 yx RCL 00

sm 09 SBR

A'

sm 10 + 2 x RCL 00

=

sm 07 RCL 03

422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469

32 76 53 53 73 10 50 75 73 07 50 65 43 06 54 50 77 54 01 44 10 44 07 97 09 53 61 55 76 54 97 02 13 76 55 25 91 76 16 53 43 00 33 85 43 01 54 92

024 025 026 027

42 05 76 65 73 10 33 44

X:r

LBL ( (

RC* 10 IxI RC* "07 IxI x RCL 06 )

IxI

GE

)

1 SUM 10 SUM 07 DSZ 09 (

Gm LBL )

DSZ 02 C LBL CLR R/S LBL

A'

(

RCL 00

X2

+ RCL 01 )

RTN

Teil3 000 001 002 003 004 005 006 007

76 LBL 14 D 43 RCL 00 00 42 STD 09 09 33 :X;2 85 +

016 017 018 019 020 021 022 023

43 RCL 00 00

95

:::

42 STO 07 07 00 0 42 sm 08 08

028

029 030 031

STO 05 LBL x

RC* 10 X2

SUM

70 03 03 03 03 03 03 03 03 04 04 04 04

3 Iteration 08 0::: 73 PC* 10 10

044 045 046 047 04::: 049 050 051

65 .., ..-,.:. PC* ;

07

95

07

44 sun 05 05 43 PCl 06 06 22 I t·~ '.,.'

052

05:;:

054 055

6

0 4 1 4 0 '3 0 6 4 0

PD*

056

.::,.::' I t·~ './

::;un

05::: 05'3

pel

10 1 10

::;Ur'1 07

DS: 0'3

peL 0:::

057

OE,O ClE.1

062 063 064

065 06E, 067

49 05 43 00 42 09 22 44 10 4:3

05

PF.:D

05

00 ::;TO 09 I t·~,,/

SUr'1

10

PCl 05

(I

:::

0 '3 (I 0 0 1 0 2 0 :;: 0 4 0 5 0 6 (I 7 0 ::: 0 9 0 0

91 p.""::; 76 lBl c".) + I-'~

7::::

PC*

'37

D::;:

10 10 91 p . ··S 01 1 44 ::;Ur'1 10 10 09

09 +

,-.1:'

':'._'

91 p.

,,- ~:;

3.3 Der LR-Algorithmus Der Algorithmus von Rutishauser zur Bestimmung der Eigenwerte der regularen n,n-Matrix A beruht darauf, die Faktoren der LR-Zerlegung von A in umgekehrter Reihenfolge zu multiplizieren und dieses Vorgehen zu wiederholen:

A =: A1 R1 - L1 =: A2

Existiert die LR-Zerlegung jeder Matrix A; und sind aile Eigenwerte von A von verschiedenem Betrag, so konvergieren die L; gegen die Einheitsmatrix E und die R; gegen eine obere Dreiecksmatrix R, in deren Hauptdiagonalen die Eigenwerte der Matrix A stehen. Das Programm fiihrt maximal eine vorzugebende Anzahl N von Iterationsschritten durch oder bricht vorher ab, falls IlL; - Ell .. ~

€

-IIAII ..

ist, wobei € eine vorzugebende Toleranzschranke ist_ Vor Einlesen der Magnetkarten ist die Speicherbereichsverteilung mittels der Tastenfolge 3 2nd Op 17 auf 720 Programmspeicherstellen zu andern_ Das Programm bearbeitet Matrizen bis zur Ordnung n = 3_

Programminstruktionen Verfahren 1 Anderung der Speicherbereichsverteilung

Eingabe

3

Taste

Anzeige

2nd Op

17

719_29 CLR

0

3.3 Der LR-Algorithmus

71

Verfahren

Eingabe

Taste

Anzeige

2 Magnetkarten einlesen (Block 1, 2, 3)

3

3 Programmbeginn

A

3

4 Eingabe der Nummer des ersten zu belegenden Speicherplatzes k = 15

15

R/S

1

5 Eingabe der Matrix A spaltenweise

a11 a21

R/S R/S

2 3

ann

R/S

n2+1 n 2+1

6 Ende der Koeffizienteneingabe 7 Eingabe von n, k, N und €

B n 15 N

R/S R/S R/S R/S

€

8 Anzeige der E igenwerte Ai

n 15 N

R/S

A1 A2

R/S

An

Registerinhalte Roo, ... , R 14 : Programmzeiger R15, ... , R n2 + 14: a11 , ... , ann R n2+15, ... , R n (2n-1)+14: Zwischenergebnisse

Bemerkung 1st eine LR-Zerlegung von Ai nicht moglich, so halt das Programm und der Rechner zeigt dies durch eine blinkende Anzeige an. Nach Driicken der Tasten CLR und ~ erfolgt dann die Anzeige der Diagonalelemente von R i - 1 .

Beispiel Gesucht sind in [h;Ch~ten~ 1N] = 5 Schritten mit der Toleranz der Matrix A = 2

6

-3 .

002

€

= 0.001 die Eigenwerte

72

3 Iteration

Anmerkungen

Eingabe

Anderung der Speicherbereichsverteilung

3

Taste

Anzeige

2nd Op

17

719.29 0

CLR Magnetkarten einlesen (Block 1,2,3)

3

Programmbeginn Eingabe von:

A

3 1 2 3 4 5

0 -1 -3 2

R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S

7 8 9 10

B

10

3 15 5 0.001

R/S R/S R/S R/S

3 15 5

k

15

a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Ende der Koeffizienteneingabe

6

Eingabe von:

2 0 2

6

n k N €

Anzeige von:

A1 A2 A3

R/S R/S

6

7.878787879 4.121212121 2

Die exakten Eigenwerte sind A1 = 8, A2 = 4, A3 = 2.

Programm 3.3

Der LR-Algorithmus

2nd Op 17 3 -000 001 002 00:;: 004 005 006 007 008 009 010 011

76

11 91 42 00 01 42 01 4'-' 01 91 72 ~

LBL A

F.' . ·C,-' STD ",

00 1

STD 01

RCL 01

R/S ST*

012 01:3 014 015 016 017 01B 019 020 021 022 023

00 00 01 1 44 ~:;Ut'l 00 00 44 ~:;Ut'l 01 01 61 GTO 00 00 O'='.... 0:::

7Eo LBL

12 B 91 F.: . . . S

024 025 026 027 02B 029 030 031 032 0:C:3 034 0:35

42 00 42 09 91 42 01 42 03 91 42 02

STO 00

STO 09

R. ···S STO 01

STO 03

F.'.....··C'-'

STO

02

036

0:37

0:38

039 040 041 042 043 044 045 046 047

91 F.: . ···S 42 ~::;r 0 12 1':''71£. LBL

22 I t·1V 4'-'." F.:CL 00 00 42 ~:;TO 08 OB 76 LBL .-, ,-, c...~

7:3

Lt·1:'' ; RC*

73

3.3 Der LR-Algorithmus 04::: 049 050 051

052 05:;:

054 055 056

057 05:::

059 060 061 062 06:3 064 065 066 067 06::: 069 070 071 072 073

074

075 076 077 07::: 079

080

0:::1

082

0:::3 0:::4 0:::5 0:::6 087 OE::::

089 090 091 092 093

094

0'35 096

(1'37 (1'38

099 100 101 102 1 O:~:

104 105 106 107

10:::

109

0:3 03 50 1::;

43 PCl 11 11

77 00

GE 00

110 111 112 113

114

115

116 117

11:::

119 120

121

122 123

69 00

69 0

124

11

11

00

00

127 12::: 129 130

42 STO

61 GTO

00 0 42 STO

11 11 97 DSZ 09 09 22 It-l','"

42

11 76

~;TO

11

lBL 24 CE 4·3 PCl

125

126

131 132 133 134 135 136 137 138

139 140

141 142 143 144

00 75 01 95

00

04

04

149

01 01 42 STD 05 + 01 1

151

42 STO

43 PCl

'35

42 STO o:~: 03

00 0 :;:2 ~~z

420 421 422 42:3 424 425

426 427 428 429 430 431

432

433 434 4:;:5

4%

437 438 439 440 441 442

44:;: 444 445 446 447 448 449 450 451

452 453

454 455 456

457

458 459 460 461 4E,2 46:;: 464 4t,5

STO

03

RCL 00 STD

04 +

RCL 00

X2

=

STD

466 467 468 469 470 471 472 473 474 475

476 477 478

479 480 481

05 01 42 06 42 14 43 00 42 07 75

05

482

06

485

1 STD STD

14 RCL 00

STD

07

01

95

42 08 00

= STD

08 0

32 g:T 76 LBL

45 V:; 0 und die Hochst· zahl N von Iterationen. Das Programm bricht bereits nach weniger als N Schritten ab, wenn IXj+1- x ;I 0 und die Hochstzahl N von Iterationen. Das Programm bricht nach weniger als N Schritten ab, wenn

Iql < €

ist.

Beachte: ao ist der Koeffizient von An!

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 Magnetkarte einlesen (Block 1)

2 Programmbeginn 3 Eingabe von n, €, ao, ... , an

1 A

1 n

ao al

R/S R/S R/S R/S

an

R/S

n+1

B

n+1

n €

4 Ende der Koeffizienteneingabe

5 Eingabe von

Ao

und N

Ao N

6 Ergebnisanzeige

Registerinhalte Roo, ... , R07: Programmzeiger Ros, ... , Rn+s: ao, a" ... , an

Anzeige

R/S R/S

0 1

2

Ao s

89

3.10 Einfache Nullstellen von Polynomen

Beispiel Gesucht sind die Nullstellen 51, 52,53 von pol(:\) =-:\3+3:\2+4:\-2 und den Startvverten :\01 = - 1, :\02 = 1, :\03 = 5 und

€

= 10- 10

Taste

Eingabe

Anmerkungen

Anzeige

Magnetkarte einlesen (Block 1)

1 A

Programmbeginn Eingabe von:

n

3 1 -10

€

ao a1 a2 a3 Ende der Koeffizienteneingabe

-1 3 4 -2

Eingabe von: :\01 N

-1 10

R/S EE R/S INV EE R/S R/S R/S R/S B R/S R/S

Anzeige von:

51 anderer Startwert Eingabe von:

B 1 10

:\02 N

R/S R/S B

5 10

:\03 N

R/S R/S

Anzeige von: 53

L L

F:

4 -1

-1.292401585 1

.3972950693 5 3.895106516

Einfache Nullstellen von Polynomen ~:;

[]

2

P

::;

.:;

::; 0

F:

L

::

L

.:;

::.::

0 1 2 3 4

.3972950693

52 anderer Startwert

Programm 3.10

o

-1.292401585

Anzeige von: Eingabe von:

1 3 1 00 00

C;

"LJ

::< L L

F:

.:

90

3 Iteration F' 42 "_

42 ': T

'~

05

0

22 I ri')

0

i

Dt,'3

04 01

071

05

Ut:,b

J67

C:, C

=i~i4 i 1-,-, .; .-,

,_ T"

C! 1 00

U

,-+.,.

;=; 4 D ;_!~.L

u44

0;

'_',

02 C'::' .:+ ~ F'F.:.Li

w i

U

;

DS? 4 _: F~CL Ci5;:; 04 04 05'? 44 ::: U['1 0600-:; Cl_

Od

Ub.:::

Cib::::

064

D65

4~:

02

4;

04

peL U,::. F'F.~D

04

7:3 PC+

44 ::;U

05

'=47

D':;:

074 D75

34

~

b

o

7

r,-:":'

D79 Deo

0:_

~

,:! :_ ,;:

.U

44 :,Ui'l

r!7'::'

C1 7

GE

4.

4~

0=

D2

;.;

F.::: L !-; :

:': It·~i; 49 F'FD D4 04 43 peL

,-, .-,

u.::.

U...::

04 u4 50 I·· 1

3.11 Das Verfahren von Bairstow Hat das reelle Polynom pol (A) = aOAn + a1 An - 1 + ... + an die komplexe Nullstelle Jl, so ist auch die zu Jl konjugiert komplexe Zahl Ji Nullstelle von pol (A) und (A - Jl) (A - Ji) ist ein reelles quadratisches Polynom A2 - u A - v, das sich nach dem Euklidischen Algorithmus von pol (A) abspalten laBt. Sind Uo und Vo Naherungen fur u und v in A2 - UA - v, so liefert das Programm verbesserte Naherungen U1 = Uo + ~u und V1=VO+~V. Beachte: ao ist der Koeffizient von An!

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 Magnetkarte einlesen (Block 1)

1 A

1 n

Uo Vo ao a1

R/S R/S R/S R/S R/S

an

R/S

2 Programmbeginn

3 Eingabe von n, Uo, Vo, ao, a" ... , an

4 Ende der Koeffizienteneingabe

Anzeige

n

Uo

0 1 2

n+l

B

5 Anzeige von U1 und V1 R/S

U1 V1

3.11 Das Verfahren von Bairstow

91

Registerinhalte Roo, ... , R10: Programmzeiger R11 , ... , Rn+ 11 : ao, ... , an Rn+ 12 , ... , R3n + 13 : Zwischenergebnisse

Bemerkung Das Verfahren ist nicht auf Paare konjugiert komplexer Nullstellen beschrankt.

Beispiel Die Naherung des quadratischen Faktors ",•.,.2 -

UoA. - Vo '" A.2 - 1.8 A. - (- 2.3)

von soli verbessert werden.

Anmerkungen Magnetkarte einlesen (Block 1) Programmbeginn Eingabe von: n Uo Vo ao a1 a2 a3 a4 Ende der Koeffizienteneingabe Anzeige von: U1 V1 Es ist u '" 2 und v'" - 2.

Eingabe

4 1.8 -2.3 1 -1 -6 14 -12

Taste A R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S B R/S

Anzeige 1 1 4 1.8 0 1 2 3 4 5 1.941934625 -1.983128031

92

3 Iteration

Programm 3.11 l L p ::; ::; 0

Das Verfahren von Bairstow 054 055

F: ::; ::; 0

056 057 05S 059 Cl60

P ::;

061 062

o

::; 0 2

06:c: 064

065

D3

1-1:=:

7'c: F:C*

i

0'3 10

05

22 I t·~\,i 44 ~:;Ut'1 03 03 00 (I 72 ::;T *

03 01

0::: 1

02 2 42 ::;TO 05

05

L L

071 072

02 2 65 43 PCl DO 00 :::5 + 01 1 04 4

,:':,

D73

'35

::; 0 4

P L

4

4

C;

l

0 l

F: l

(I

066 067 06::: 069 070

03 01

074

075 076 077 07:::

079 0:::0 0::: 1

0:::2 OB3

0:::4

085

0:::6 0:::7

0:::::: 0:::9 090 0'31

092

0'33

094

D95 096 097 09:::

099 100

P l

1

101 102 10:::: 104105

106 107

42 ::;TO 07 07 00 0 72 ~:;T* 07 07 43 pel 07 07 :::5 + 01 1 95 42 sro

OB :::5

01 95 42 09 DO 72 0::: 76 34 43 02 65

0::: +

1

::;TO 09 0 ::;T * 0:::

lBl

n
': 7:3 F:C*

95

BE. 87

03

05

44 07

97

01

04

05

07 01

04

:::1

:::::::

:3:::

I"

.")

65 4~:

00

PCl 00

75

01

42

~:;

0 ::::

4'")." P l

2:::9

02

2'jCi

:35

2'31 292 293 2'34

295 296 2'37

29:::

29'3

300 :301 :::::02 30:3 :304 :305 :306

01

02

+

'35

42 '-''7''n .:. ! w 04 04 76 lBl 24 CE -,.-, !" .;,.

04 '31 01 44 04 '37 03 24 '31

PC* 04

p . . . ::;

1 ::;1.11'1

04

D::;: 0::::

CE

F.: ..... ::;

104

4 Interpolation und diskrete Approximation

4.1 Lagrange-Interpolation Zu gegebenen Stiitzstellen xo, ... , Xn bilden die Lagrange-Polynome

I j (x) =

(x-xo) ... (X-Xj_1) (X-Xj+1) ... (x-x n) (Xj-xo) ... (Xj-Xj-1) (Xj-Xj+1) ... (Xj-x n)

-:---~--;----'---'--:-::--......:.........:.-.;---;--~

eine Basis im Vektorraum der Polynome bis zum Grad n. Es ist I-(Xk) = O.k = { 1 fiir i = k I I 0 i *k Sind zu den Stiitzstellen xo, ... , Xn Stiitzwerte fo, ... , fn gegeben, dann hat das Interpolationspolynom durch die Knoten (Xj, f j) die Form (*)

pol(x)=fo·lo(x)+ ... +fn·ln(x),

dennesist

L 'f j . Ij (Xk) = L f j · Ojk = fk . n

pol (Xk) = j

=0

n

j

=0

Das Programm liefert den Wert des Interpolationspolynoms an der Stelle x durch Auswerten von (*).

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 Magnetkarte einlesen (Block 1)

1

2 Programmbeginn

3 Eingabe von n, xo, ... , Xn, fo, ... , fn

4 Ende der Koeffizienteneingabe 5 Eingabe von x 6 Ergebnisanzeige

Anzeige

A

1

n Xo

R/S R/S

0 1

Xn fo

R/S R/S

n+1 n+2

fn

R/S

2n+2

B

2n+2

x

R/S pol (x)

4.1 Lagrange-Interpolation

105

Registerinhalte Roo •... , R06: Programmzeiger R07 , ... ,R n+ 7 : Xo,···,x n R n+ 8 •... , R2n + 8 : fo •...• fn R2n + 9 , ...• R3n + 9 : Zwischenergebnisse

Bemerkungen 1. Die Schritte 4 bis 6 der Programminstruktionen lassen sich mit beliebig vielen Argumenten x wiederholen;

2. Wird x = Xi (also eine der Stiitzstellen) als Argument eingegeben, so halt das Programm und der Rechner zeigt dies durch eine blinkende Anzeige an.

Beispiel Das durch die Tabelle

Xi

0

2

gegebene Interpolationspolynom 8 5 4 Stellen X = 3 und x· = - 1 ausgewertet werden. fi

Anmerkungen

Eingabe

Taste

Magnetkarte einlesen (Block 1) A

1

0 1

2 8 5 4 3

R/S

2

Xo X1 x2 fo f1 f2

0 1

Ende der Koeffizienteneingabe X

Anzeige von:

pol (x)

B

anderes Argument Eingabe von:

x·

Anzeige von:

pol (x')

Anzeige

R/S R/S R/S R/S R/S R/S R/S

n

Eingabe von:

an den

1

Programmbegi nn Eingabe von:

5011

B

-1

2 3

4 5 6 6

5 5

R/S

13

106

I

4 Interpolation und diskrete Approximation

Programm 4.1

CiDO 001

002 C10:::~

004 005

uut:

OD7

00::;

OD'?

76 LE:L .i. 1.

9 i p./::: 42 ~:;TIJ

00 07 01

00

012

:3J

014 016 017

020 021 022 024

025 026 027 02'3

02

01 01

0:::::::

OJ9

040

0

u.:::

1,-'2

D2

01

U41

042 044 045

046

u4(

04:::

04'3 C1SO 051

052

053 054

055 056 057

05::; 05'?

44 '::un 01 01 44 :::Ut'l

060

61

064 OE,5

02

02

GTG

7t':, LBL

12

91

E:

p./:::

42 3TO

06

06

00

01] +

4:::: pel

01

037

01

76 lE:l

:::5 035 036

"7

42 ::;TO

02

011

00

42 ::;TO

10

i=i

H

Lagrange-I nterpolation

'35

42 :::TO

01 01 4:::: pel

00

65 02

00

2

061

062 063 066

:::5

09 95

+

42 :::TiJ 03 lJ:3 07 42 ::;TO D4 04

76 LEL 34 r::·:: 4:3 F.:CL

00

:::5 01

CO

+

95

42 :::TO

02

Oi

03

07

02

0:::: "7

42 :::TO 05 05

76 lE:l "_I.,:'

73 PC* 04 04

070

73 Re* ,-,I:"

DE,'?

071

072

073

D74

075 076 077 07:::

05

0:::5 0:::6

u,_,

EO E' 64 PD*

97 II::;: 02 02

1 ,:,:,,_!

pel

+ 09 'j 95 42 :::TO

129 1::::D

03 00

43

06

0:::9 0'30

73 PC* 04 04

091

54

094

03

095

65 7::::

F.'e* D3

95

EO

67

0'3::: D'39 100 101

:35 1,/::
:

43 PCl

01 ..,'" 01

01

05 95

359 ::::60 ::::61 :362 363 364

5

36'3 370 371 372

::::7::::

375 376 :377 ::::7'3

3:::0

::::::: 1

;' '-!

93

3:::4

67 Ec'i 35 1."'-::-:; 4:::: PCl

01

01

03

3

95 67 42 61 9'0' 76 34 43 04 65 02

42 EC.i

::;TD GTD

PFT lE:l

n:

F~Cl

04

:3:::5

3:::7

:::::::'3

3'0'0 391

::::92 :~:9::::

:~:95

::::96

:3'37 J9;:; ::::9'3

400 401 402

40:::;

2 75 4:::: PCl 05 05

404

05 :::5

5

40'3

+

06

06

411 412

.,:,._! (

36:::

43 F"Cl 03 0::::

01 67 34

::::56

366 367

06

91 76 19 43

354 355

:365

01

95

351 352 353

35:::

:::5 + 4:::: F':Cl E,5

340 341 342 343 344 345 346 347 34::: 349 350

65 04

4

91 p . . . ::; 76 lBl 4::: PCl 04

04

43 f;'Cl

05

05

43 pel 06 06

:::5

+

43 PCl 07 07 95

"'''' 0_1 0_;

02

2

43 PCl

03 0:3 33 :·";2 95

91 p.'::; 76 lEl

05

Ci5

i

._'

05

:::5

410

413

415

419 420 421 422 423 424 425 426 427 42::: 429

95

.:+

65 43 pel

40:::

406 407

"''''

43 f;:Cl 03 0::::

+

04

65 43 FCl

'i- 1 t,

0_10_1

94 + ..... -

::;5

405

43 PCl 07 07 95

~:;TD

4::: F:Cl D4 04

417 41::;

4:30

431 432 433 4::::4

4::::5 4::::6

4:37 4:::::::

439 440 441 442 443

444 445 446

447

06

Ot, +

02 2 65 43 FCl 07 U{ 95

4:::: f;'Cl 0:::: 0::::

95

91 76 15 43 04 94 85

p.>::;

lE:l E PCl 04

+.'+

65 43 pel 05 05 65 43 pel Of, 06 :::5 + 43 pel 07 07

43 PCl 03 03 4:::: F:Cl

03

95

G:::;

135

5.2 Sehnentrapezsumme

5.2 Sehnentrapezsumme b

Ais Niiherung fur den Wert

Sf (x) dx benutzt man die Sehnentrapezsumme SN, die man a

durch Aufteilen des Intervalls [a, b] in 2N Teilintervalle erhiilt. Es ist SN=

b~+~ (f(a)+f(b)+2 2~lf(a+ib~a)).

2

2

i= 1

Die Funktion f wird als Unterprogramm eingegeben. Dabei ist folgendes zu beachten: 1. Die Funktionsvorschrift ist in Klammern einzuschlieBen. 2. Fur x ist RCL 00 zu setzen. 3. Die Taste -= darf nicht verwendet werden. 4. Die Eingabe der Funktionsvorschrift ist mit INV SBR abzuschlieBen.

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 Magnetkarte einlesen (Block 1)

1

2 Eingabe der Funktionsvorschrift fIx)

GTO x2 LRN (

)

INV SBR LRN

3 Programmbeginn 4 Eingabe von a, b und N

a b N

5 Ergebnisanzeige

Roo, ... , R06: Programmzeiger

Gesucht ist eine Niiherung fur I =

101 00 102 00

XXX 00 XXX 00 XXX 00 1

A

1

R/S R/S R/S

a b SN

Registerinhalte

Beispiel

Anzeige

1

S~ mit N = 3. 1 +x

a

2

136

5 Numerische Differentiation und Integration

Anmerkungen

Eingabe

Taste

Anzeige

Magnetkarte einlesen (Block 1)

1

Eingabe der Funktionsvorschrift

GTO x2 LRN

101 00 102 00 103 00 104 00 105 00 106 00 10700 108 00 109 00 110 00 111 00 112 00 112 00 1

( (

RCL 00 x2

+ 1 )

1/x )

INV SBR LRN Programmbeginn Eingabe von: a b N

0 1 3

A

1

R/S R/S R/S

0 1

Anzeige von: SN Es ist I

= arctan 1 = .7853981634

Programm 5.2 000 001 002 003 004 005 006 007

OOS

009 010 01 1 012 013 014 015 016

.7847471236

76 lE:l 11 A 29 CP 91 F:./S 42 STO

00 42 01 91 42 02 91 4'-'

00

~:;TO

01 F:./::; STD 02 I':./S or,'.;"" STD 03 00 0 42 ~:;TO 05 05

Sehnentrapezsumme 017 01 t: 019 020 021 022 02:::: 024 025 026 027

02:::

029 030 0::::1 032 03::::

..

71

~:; E: F:

.: :. oJ ,_,

I..''':'

44 05 43 02 4")'00 71

SUt'1 05 pel 02 STO 00 ::;E:F:

~:::::

~:: 73 F.:C;;

04

04

75 .,..., F.:C* I ,_,

0:3 54

0:3

55 c:::~,

I"

...1.,:..

4':' F.:CL 01 01 ,,J

75

01 54

',5 72 ST*

0:3 01 94 44 0:3 44 04 97 06 4:3 01 44 00 4':''-' 00 4'"'" 06

0:3 1

+,/ -

SUt'l 0:3

SUt'l 04

DSZ

06

F.:CL 1

SUt'l 00

F.:CL 00

STD 06

97 DSZ 05 05

42 STD 4:3 F.:CL 10 10 Q< F.:,/S -' ! 76 LBL

:34 ["'",", 42 STD 00 00 -,,I"

t,

:;:;~:

LBL

::-:;2

5 Numerische Differentiation und Integration

140

5.4 Das Eulersche Polygonzugverfahren Gegeben sei eine gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit Anfangsbedingung

v' =

f (x, V); V (a) = Va·

Gesucht ist V(b) = Vb. Die Grundidee des Polvgonzugverfahrens besteht darin, das Interval! [a, b] in n gleiche Teile zu teilen und die Losungskurve V(x) durch den Streckenzug mit den Ecken (x;,17;) zu ersetzen. Beim Eulerschen Polvgonzugverfahren ist b-a

Xk + 1 = Xk + -n-' 17k + 1 =17k

b-a

+ -n- f

Xo = a (Xk, 17k),

k

=0, ... , n -1.

Die Funktion f wird als Unterprogramm eingegeben. Dabei ist folgendes zu beachten: 1. 2. 3. 4.

a

b

Xi

Die Funktionsvorschrift f (x, V) ist in Klammern einzuschlieBen. Fur x ist RCL 00, fur V RCL Q1 zu setzen. Die Taste == darf nicht verwendet werden. Die Eingabe der Funktionsvorschrift ist mit INV SBR abzuschlieBen.

Programminstruktionen Verfahren

Eingabe

Taste

1 Magnetkarte einlesen (Block 1)

Anzeige 1

2 Eingabe der Funktionsvorschrift f (x, V)

GTO x2

LRN (

)

INV SBR LRN

3 Programmbeginn 4 Eingabe von a, b, Va und n

a b Va n

5 Ergebnisanzeige

048 00 049 00 XXX 00 XXX 00 XXX 00 1

A

1

R/S R/S R/S R/S

a b Va 17 n

141

5.4 Das Eulersche Polvgonzugverfahren

Registerinhalte Roo, ... , R04 : Programmzeiger

Beispiel Gegeben ist die Anfangswertaufgabe V' Niiherung fur V (1.5) gefunden werden.

=~, V(1) =

2. In n = 10 Schritten 5011 eine

Taste

Eingabe

Anmerkungen

Anzeige 1

Magnetkarte einlesen (Block 1) Eingabe der Funktionsvorschrift f (x, V)

GTO x2 LRN

048 049 050 051 052 053 054 055 056 056

(

RCL 00

RCL 01 )

INV SBR LRN A

Programmbeginn Eingabe von: a b

1 1.5 2 10

Va

n Anzeige von: 1'1n Es ist V =

I

Jx

2

000 001 002 003 004 005 006 007 00::: 009 010 011

7':. L8l 11 A

91 42 00 91 42 04 '31 42 01 91

F.:/S STD 00 F:.····S STO 04 F.:./S STO 01 R.····S

1

R/S R/S R/S R/S

1 1.5 2 2.287646401

+3 und V(1.5)

Programm 5.4

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 1

= 2.291287847

Das Eulersche Polygonzugverfahren 012 01:3 014 015 016 017 01::: 019 020 021 022 02::::

42 03 4:3 04 75 43 00 95 55 43 03 95

STO 03 F:Cl 04 F.:Cl 00 F.:Cl 03 =

024 025 02':, 027 028 029 030 031 032

0:;:3

034 035

4·:-::

4-:> RCL 04 04 55 06 6 95 = 44 SUt'1 06 06 4':' RCL 06 06 42 sro ~,

~,

05 05 97 DSZ

0'"'-' 0:3 12 B 4'-'.::J F:CL 06 06 91 R/S 76 LBL 3:3 :: 0 eine vorzugebende Toleranzschranke ist. Das Programm verwendet die beiden folgenden Verfahren F 2 , F3: 17j + 1 = 17j + F2 (Xi' 17j)

p"" 2:

1 2(fa +f 1 )

mit

F2

und

fo == h' f(x i, 17 j), f1

p =3:

""

= h' f(x i + h,

17i + h' fa)

17i+1 == 17i + F3 (x j, 17 i) mit

1 F3= S(fa +f 1 +4f 2 )

und

fo = h 'f(x i, 17j), f1"" h'f(x j + h, 17j + h -fa) ,

f2,,"h'f(Xj+~, 17j+~(fo+f1))

.

Dabei ist Xj "" Xj-1 + hj' Die Funktion f wird als Unterprogramm eingegeben. Dabei ist folgendes zu beachten: 1_ Die Funktionsvorschrift f (x, y) ist in Klammern einzuschlieBen.

2. Fur X ist RCL 00, fur y RCL 01 zu setzen. 3. Die Taste:: dart nicht verwendet werden. 4. Die Eingabe der Funktionsvorschrift ist mit INV SBR abzuschlieBen.

5 Numerische Differentiation und Integration

148

Programminstruktionen Eingabe

Verfahren

Taste

Anzeige 2

1 Magnetkarte einlesen (Block 1,21 2 Eingabe der Funktionsvorschrift f(x, yl

GTO x2 LRN (

I INV SBR LRN

3 Programmbeginn 4 Eingabe von a, b, Va' ho, e, p

a b Ya ho

e p 5 Ergebnisanzeige

241 00 242 00 XXX 00 XXX 00 XXX 00 2

A

2

R/S R/S R/S R/S R/S R/S

a b Ya ho

e 7'l n

Registerinhalte Roo, ... , ROg: Programmzeiger R 10 , R1h R 12 : fo, fh f2

Bemerkung Soli ein anderes Paar von Runge-Kutta-Verfahren Fp, Fp+1 verwendet werden, so sind diese als Unterprogramme ~' und ~ zu programmieren (die im Programmausdruck angegebenen Unterprogramme sind dann selbstverstiindlich wegzulassenl. Dabei ist zur Auswertung der Funktion f der jeweilige x-Wert in Roo, der jeweilige v-Wert in R01 zu speichern; h ist in R05 , Xj in R02 und 7'lj in R04 gespeichert. Die Funktionsvorschrift f(x, yl ist als Unterprogramm x 2 zu programmieren.

Beispiel x

Gegeben ist das Anfangswertproblem y' = y' Y(11 = 2. Gesucht ist eine Niiherung fur y (1.51 mit ho =0.1 und e = 10- 5 .

149

5.7 Einschrittverfahren mit Schrittweitensteuerung

Anmerkungen

Eingabe

Taste

Anzeige

2

Magnetkarte einlesen (Block 1, 2) Eingabe der Funktionsvorschrift fIx, y)

GTO x2 LRN

241 242 243 244 245 246 247 248 249 249

(

RCL 00 RCL 01 )

INV SBR LRN

a

1 1.5

b

RIS RIS

1 1.5 0.1 0.00001

Ya

2

ho E

0.1 0.00001

RIS RIS RIS

p

2

RIS

Anzeige von: 11

Programm 5.7 000 001 002 00:;: 004 005 006 007 00:3 n09 10 11 12 1·-'.::.. 14 15 16 17

1:::

19

120

{ 1:.

11 91 4·")'00 42 02 91 4·")'03 91 42 01 42 04 91 4·")'05

LBL A

R/S STO 00

sro 02

R. . . S sro 03

R. . . S :3rc 01

sro 04

R/S STO 05

91 F.:.····s 4·")'- sro 06 06

2 2

A

Programmbeginn Eingabe von:

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

2

2.291291758

Einschrittverfahren mit Schrittweitensteuerung 021

022

023 024

025

026 027 028 029 030 031

0:32 0:3:3

034

035

036 0:;:7 0:38

039 040 041

91 R. . . S 01:"

,-1._1

+

01 1 95 42 sro 07 07

CP ( t· LBL 22 I t·lV 43 RCL 2'3

02 02 :::5 + 4·:'._' F.:CL 05 05

75 4·:'._' F:CL

0·:'._' 95

03

2~:

Lt·l>':

22 I t·l ', . 77 GE

042 04:;: 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056

057 058 059 060 061 062

43 RCL 0-:'._' 0·")._' "'1:" f·_I

43 RCL 02 02 gl:" _ oJ = 42 sro 05 05 76 LBL 2:3

L~l: