Numeri razionali e numeri irrazionali

Table of contents :
Cover......Page 1
Matematica Moderna......Page 5
Indice......Page 10
Introduzione......Page 12
1 Numeri naturali e numeri interi......Page 18
1.1 Numeri primi......Page 20
1.2 Unicità della fattorizzazione in numeri primi......Page 22
1.3 Numeri interi......Page 24
1.4 Numeri interi pari e numeri interi dispari......Page 27
1.5 Proprietà di chiusura......Page 30
1.6 Un'osservazione sulla natura delle dimostrazioni......Page 31
2.1 Definizione dei numeri razionali......Page 33
2.2 Numeri decimali finiti e numeri decimali non finiti......Page 36
2.3 I numerosi modi di enunciare e dimostrare le proposizioni......Page 39
2.4 Numeri decimali periodici......Page 45
2.5 I numeri decimali finiti considerati come numeri decimali periodici......Page 49
2.6 Note riassuntive......Page 51
3.1 La rappresentazione geometrica......Page 52
3.2 Le rappresentazioni decimali......Page 53
3.3 L'irrazionalità di V2......Page 57
3.4 L'irrazionalità di V3......Page 58
3.5 L'irrazionalità di V6 e quella di V2 + V3......Page 59
3.6 La nomenclatura di cui facciamo uso......Page 61
3.7 Un'applicazione alla geometria......Page 62
4 I numeri irrazionali......Page 67
4.1 Proprietà di chiusura......Page 68
4.2 Equazioni polinomiali......Page 71
4.3 Le radici razionali delle equazioni polinomiali......Page 75
4.4 Altri esempi......Page 81
5 Numeri trigonometrici e numeri logaritmici......Page 83
5.1 I valori irrazionali delle funzioni trigonometriche......Page 84
5.2 Deduzioni a catena......Page 87
5.3 I valori irrazionali dei logaritmi decimali......Page 89
5.4 I numeri trascendenti......Page 91
5.5 Tre famosi problemi di costruzione......Page 94
5.6 Altre considerazioni intorno a V2.......Page 100
5.7 Note riassuntive......Page 101
6 L'approssimazione dei numeri irrazionali mediante numeri razionali......Page 102
6.1 Diseguaglianze *......Page 103
6.2 L'approssimazione mediante numeri interi......Page 107
6.3 L'approssimazione mediante numeri razionali......Page 109
6.4 Approssimazioni migliori......Page 113
6.5 Valori approssimati a meno di 1/n2......Page 119
6.6 Limitazioni relative alle approssimazioni......Page 124
6.7 Note riassuntive......Page 127
7 L'esistenza di numeri trascendenti......Page 128
7.1 Alcuni richiami di algebra......Page 129
7.2 Un'approssimazione per alfa......Page 133
7.3 Lo schema della dimostrazione......Page 134
7.4 Proprietà dei polinomi......Page 136
7.5 La trascendenza di alfa......Page 138
7.6 Note riassuntive......Page 139
Appendice A Dimostrazione dell'esistenza di infiniti numeri primi......Page 141
Appendice B Dimostrazione del Teorema fondamentale dell'aritmetica......Page 143
Appendice C Dimostrazione di Cantor dell'esistenza di numeri trascendenti......Page 148
Risposte e suggerimenti agli esercizi proposti......Page 156
Indice analitico......Page 162

Citation preview

I AN NVEN

NUMERI RAZIONALI E . NUMERI IRRAZIONALI

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I

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ZANICHELLI

IVAN NIVEN

NUMERI RAZIONALI E

NUMERI IRRAZIONALI

Argomento di questo libro è il sistema dei numeri, una delle strutture fondamentali della matematica. Passando in rassegna i numeri naturali, interi, razionati, irrazionali, trascendenti, il libro esamina soprattutto il modo di classificare i numeri in diverse categorie: per esempio presenta criteri per decidere se un dato numero è razionale (cioè rappresentabile in forma di frazione) o irrazionale, se è algebrico' o trascendente. Negli ultimi capitoli il lettore troverà anche alcuni dei pi6 recenti sviluppi della matematica. Il libro può essere letto utilmente da studenti delle scuole secondarie superiori o universitari, ma anche da tutti quelli che desiderano ampliare la loro conoscenza sugli aspetti fondamentali della matematica pura. La maggior parte dei lettori troverà perfettamente accessibili i primi capitoli, mentre i lettori pi6 esigenti saranno interessati piuttosto dagli argomenti meno elementari trattati negli ultimi capitoli.

"

l'

r•• M ZANICHELLI

Ivan Niven è nato a Vancouver (Canada) nel 1915. Ha stu-

diato alla Università della British Columbia e all'Università di Chicago. Ha insegnato all'Università dell'Illinois, alla Purdue University e a Stanford. È attualmente professore di Matematica all'Università dell'Oregon. È stato direttore di riviste matematiche come l'American Mathematical Monthly e il Pacific Journal 01 Mathematics; ha scritto numerosi articoli scientifici e due libri: il Rational Numbers, che contiene una trattazione piu approfondita degli argomenti svolti in questo stesso libro e An Introduction to the Theory 01 Numbers, in collaborazione con il Prof. Herbert S. Zuckerman.

Matematica Moderna

Numeri razionali e numeri irrazionali

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Matematica Moderna

Questa serie, dedicata a tutti coloro che sentono interesse per la,matematica, si comporrà di volumetti di mole limitata, ciascuno rivolto a un argomento specifico, monografico, assai circoscritto. Tra gli argomenti trattati primeggeranno quelli meno noti, il cui interesse è venuto in luce recentemente, attraverso ricerche di matematici moderni; non mancheranno però argomenti classici, e anche storici, ma si cercherà di vederli sempre in una prospettiva tipica della matematica moderna. L'edizione originale del presente volume fa parte di una analoga serie, la New Mathematical Library 1, scritta da matematici professionisti per contribuire a far si che certe importanti idee della matematica diventino interessanti e comprensibili per un largo pubblico di studenti delle scuole secondarie e di profani in genere. Per la maggior parte, i volumi della New Mathematical Library trattano argomenti che non sono di solito inclusi nei programmi di matematica delle scuole secondarie; sono di diversa difficoltà, e anche all'interno di un singolo libro certe parti richiederanno al lettore una concentrazione piu intensa. Si può dire in generale che, mentre poche conoscenze tecniche basteranno al lettore per capire la maggior parte di questi libri, gli sarà sempre richiesto un certo sforzo intellettuale. Un lettore che, prima d'ora, abbia incontrato la matematica soltanto a scuola, dovrebbe tener presente che un libro di matematica non può essere letto in fretta. E non dovrebbe pretendere di capire tutte le parti del libro alla prima lettura; l La New Mathematical Library è curata dallo School Mathematics Study Group (Gruppo per lo Studio della Matematica Scolastica), che raccoglie specialisti provenienti da ogni settore della ricerca matematica e da diverse Università, scuole e laboratori degli Stati UnitL L'attività del gruppo ha per obiettivo il miglioramento dei corsi di matematica nelle scuole americane: crediamo però che la sua produzione possa interessare tuttL Chi desiderasse ulteriori informazioni su questa attività può rivolgersi a: School Mathematics Study Group, School of Education, Stanford University, Stanford, California.

Matematica Moderna

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dovrebbe invece sentirsi libero di saltare le parti pili complicate, per ritornarvi in seguito: spesso ciò che da principio appariva oscuro viene chiarito da qualche osservazione successiva. D'altra parte, certi capitoli conterranno materiale ben familiare al lettore e potranno essere letti molto rapidamente. Il miglior modo di imparare la matematica è facendo della matematica, e perciò ogni libro conterrà dei problemi, alcuni dei quali esigono molta meditazione. Si raccomanda al lettore di prender l'abitudine di leggere con carta e matita alla mano: in questo modo la matematica acquisterà per lui un significato sempre pili profondo. L'editore desidera ringraziare il Professor Carlo Felice Manara per la collaborazione datagli con i suoi consigli e con la lettura dei testi italiani dei volumetti. Sarà estremamente importante per l'editore poter conoscere i giudizi dei lettori sui libri di questa serie: si spera perciò che molti lettori vorranno scrivere le loro impressioni e le loro critiche alla Direzione Editoriale della Casa Editrice Zanichelli, Via Irnerio 34, Bologna.

Titolo originale Numbers: rational and irrational Copyright IO 1961 Yale University L'edizione originale di quest'operaia parte della «New Mathematical Library» pubblicata dalla Random House, [ne., New York Traduzione di Maria Spoglianti Copyright IO 1965 Nicola Zanichelli S.p.A., Bologna Secondo ristampa 1968

Copertina di Paolo Sala

Ivan Niven

Numeri razionali e numeri irrazionali

Zanichelli

Bologna

Indice

p.

9

16

Introduzione 1 Numeri naturali e numeri interi 1.1 Numeri primi. 1.2 Unicità della fattorizzazione in numeri 1.3 Numeri interi. 1.4 Numeri interi pari e numeri primi. interi dispari. 1.5 Proprietà di chiusura. 1.6 Un'osservazione sulla natura delle dimostrazioni.

30

2 I numeri razionali 2.1 Definizione dei numeri razionali. 2.2 Numeri decimali finiti e numeri decimali non finiti. 2.3 I numerosi modi di enunciare e dimostrare le proposizioni. 2.4 Numeri decimali periodici. 2.5 Numeri decimali finiti considerati come numeri decimali periodici. 2.6 Note riassuntive.

49

3 I numeri reali 3.1 La rappresentazione geometrica. 3.2 Le rappresentazioni 3.4 L'irrazionalità di decimali. 3.3 L'irrazionalità di V3. 3.5 L'irrazionalità di e quella di V2 + V3. 3.6 La nomenclatura di cui facciamo uso. 3.7 Un'applicazione alla geometria. 3.8 Note riassuntive.

v-Z.

vti

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4 I numeri irrazionali 4.1 Proprietà di chiusura 4.2 Equazioni polinomiali. 4.3 Le radici razionali delle equazioni polinomiali. 4.4 Altri esempi. 4.5 Note riassuntive.

81

5 Numeri trigonometrici e numeri logaritmici 5.1 I valori irrazionali delle funzioni trigonometriche. 5.2 Deduzioni a catena. 5.3 I valori irrazionali dei logaritmi decimali. 5.4 I numeri trascendenti. 5.5 Tre famosi problemi di costruzione. 5.6 Altre considerazioni intorno a ~2. 5.7 Note riassuntive.

8

Indice

p. 100

6 L'approssimazione dei numeri irrazionali mediante numeri razionali 6.1 Diseguaglianze. 6.2 L'approssimazione mediante numeri interi. 6.3 L'approssimazione mediante numeri razionali. 6.4 Approssimazioni migliori. 6.5 Valori approssimati a meno di lfn 2 • 6.6 Limitazioni relative alle approssimazioni. 6.7 Note riassuntive.

125

7 L'esistenza di numeri trascendenti 7.1 Alcuni richiami di algebra. 7.2 Un'approssimazione per Cl. 7.3 Lo schema della dimostrazione. 7.4 Proprietà dei polinomi. 7.5 La trascendenza di Cl. 7.6 Note riassuntive.

Appendici 138

A Dimostrazione dell'esistenza di infiniti numeri primi

140

B Dimostrazione del Teorema fondamentale dell'arit-

metica 145

C Dimostrazione di Cantor dell'esistenza di numeri trascendenti

153

Risposte e suggerimenti agli esercizi proposti

159

Indice analitico

Introduzione

I numeri piu semplici sono i numeri interi positivi 1, 2, 3, e cosi via, usati comunemente per contare. Questi sono i numeri naturali ed essi sono familiari all'uomo da tanti millenni da far esclamare al famoso matematico Kronecker: «Dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo ». Le stesse esigenze pratiche della vita di ogni giorno condussero all'introduzione delle ordinarie frazioni, quali 1/2, 2/3, 5/4, ecc. *. Questi numeri si dicono numeri razionali, non perché essi siano «ragionevoli», ma perché risultano rapporti di numeri interi. Possiamo rappresentare i numeri naturali con punti di una retta (fig. 1), ciascuno di tali punti distante di un'unità di 1

4

2

Fig. l

lunghezza da quello che immediatamente lo precede; per esempio, con le indicazioni dei centimetri sopra un nastro per misurare. Sulla medesima retta (fig. 2) possiamo rappresentare anche i numeri razionali, riguardandoli come i punti che stanno a indicare frazioni della precedente unità di lunghezza. .l.~

2 3

5

4" 2

Fig. 2

Molto tempo piu tardi, gli Indiani scoprirono il numero

1

• Per comodità tipografica, le frazioni ~ , ~ , e altre spesso saranno scritte in questo volume nella forma 1/2, 2/3, 5/4 e analoghe.

lO

Introduzione

piu importante, lo O, e all'inizio dei tempi moderni gli algebristi italiani introdussero i numeri negativi. Anche questi si possono rappresentare sopra una retta, come mostra la figura 3. 3

-2

2

-'2, -'l

,

o

"3,

, 2

Fig. 3

In matematica, quando si parla di numeri razionali, si intende riferirsi ai numeri interi positivi e negativi (che pure possono essere messi sotto la forma di frazioni, scrivendo, per esempio, 2 = 2/1 = 6/3, ecc.), allo zero e alle ordinarie frazioni. Tutti i numeri, positivi e negativi, e lo zero, si dicono interi, quindi la classe dei numeri razionali contiene quella degli interi. La scoperta che le consuete frazioni non sono sufficienti ad appagare le esigenze della geometria venne fatta dai Greci piu di 2500 anni fa. Essi osservarono, con sorpresa e sgomento, che la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario (fig. 4) non poteva essere espressa da alcun

Fig. 4

numero razionale. (Dimostreremo questo nel terzo capitolo). Oggi noi esprimiamo tale circostanza dicendo che la radice quadrata di 2, la quale, per il teorema di Pitagora, rappresenta la lunghezza della diagonale di un siffatto quadrato, è un numero irrazionale. Geometricamente ciò significa che non esiste alcuna unità di lunghezza, nessun segmento per quanto piccolo, che sia contenuto esattamente sia nella diagonale che nel lato di tale quadrato. In altre parole, non è possibile trovare alcuna unità di lunghezza,

Introduzione

Il

per quanto piccola la si cerchi, tale che il lato e la diagonale di un quadrato appaiano multipli di essa. Per i Greci questa fu una scoperta imbarazzante, perché in numerose dimostrazioni geometriche essi avevano supposto che, dati due segmenti qualsiasi, esistesse sempre un'unità di lunghezza a essi comune. Cosi si apri una crepa nella struttura logica della geometria euclidea: la teoria dei rapporti e delle proporzioni presentava una lacuna. Nel paragrafo 3.7, mostreremo come si può riparare tale frattura e rendere rigorosa la teoria delle proporzioni. Analogamente la circonferenza di un cerchio è un multiplo irrazionale, precisamente secondo il numero 1t', del diametro. Altri numeri irrazionali si presentano quando si desideri calcolare i valori assunti da alcune funzioni notevoli della matematica. Per esempio, quando si vuole calcolare i valori di una funzione trigonometrica, diciamo di sin x per x eguale a 60°, si perviene al numero irrazionale V3/2; analogamente, nella determinazione di log x, anche quando x assume valori razionali, siamo condotti in generale a risultati che sono numeri irrazionali. Sebbene i valori forniti dalle comuni tavole di funzioni logaritmiche e trigonometriche siano apparentemente numeri razionali, in realtà essi sono soltanto approssimazioni dei veri valori, i quali, salvo poche eccezioni, sono irrazionali. È allora evidente che i numeri irrazionali si presentano in numerosi modi, e spontaneamente, nella matematica elementare. I numeri reali comprendono tutti i numeri razionali e tutti i numeri irrazionali e costituiscono l'insieme di numeri che sta al centro dello sviluppo della matematica. In geometria, qualunque considerazione di lunghezze, aree, oppure volumi, conduce immediatamente ai numeri reali. Infatti la geometria fornisce un semplice metodo per caratterizzare tali numeri e precisamente quello di presentarli come i numeri atti a esprimere tutte le possibili lunghezze rispetto a una prefissata unità di misura. Riferendosi di nuovo alla rappresentazione dei numeri come i punti di una retta, si trova che, benché qualunque segmento per quanto piccolo contenga infiniti punti razionali, esistono molti altri punti (quali V 2, 1t', ecc.) che misurano lunghezze inesprimibili mediante numeri razionali. Ma, una volta presi in considerazione tutti i numeri reali, ogni punto sopra la retta

12 Introduzione

viene a corrispondere a un numero reale e a uno solo; reciprocamente, ogni numero reale corrisponde a un punto della retta e a uno solo. La circostanza che tutte le lunghezze si possano esprimere come numeri reali è indicata come la proprietà di completezza di questi numeri e da tale proprietà dipende l'intero sviluppo dell'analisi matematica. Quindi i numeri reali sono di due specie: i razionali e gli irrazionali. Vi è un'altra suddivisione, molto piu recente, dei numeri reali in due categorie; si considerano cioè i numeri algebrici e i numeri trascendenti. Un numero reale dicesi algebrico se esso è soluzione di qualche equazione algebrica a coefficienti interi. Per esempio, v'l" è un numero algebrico, perché soluzione dell'equazione X2 - 2 = O. Un numero che non sia algebrico dicesi trascendente. Da questa definizione, però, non risulta l'esistenza di qualche numero trascendente, ossia non algebrico. Nel 1851, il matematico francese Liouville dimostrò che esistono numeri trascendenti; egli giunse a questo risultato presentando numeri che dimostrò non essere algebrici. Nel Capitolo 7, seguiremo il procedimento di Liouville per stabilire l'esistenza di numeri trascendenti. Nel XIX secolo, venne dimostrato che TI è un numero trascendente e questo risultato chiuse le polemiche relative all'antichissimo problema di costruzione geometrica, noto sotto il nome di « quadratura del cerchio »; di esso tratteremo nel Capitolo 5. Un altro passo avanti fu compiuto, sempre nel XIX secolo, da Cantor, un matematico tedesco, che dimostrò l'esistenza di numeri trascendenti in un modo completamente diverso da quello seguito da Liouville. Sebbene il metodo di Cantor, a differenza di quello di Liouville, non dia un numero trascendente in forma esplicita, esso presenta il vantaggio di dimostrare che, in un certo senso, sono piu numerosi i numeri trascendenti di quelli algebrici. Un'affermazione siffatta esige il confronto di classi infinite, poiché esistono infiniti numeri algebrici e infiniti numeri trascendenti. Questi concetti esulano dall'intento fondamentale di questo volume e quindi la dimostrazione di Cantor dell'esistenza di numeri trascendenti è esposta nell' Appendice C. Scopo di questo libro è presentare i numeri naturali, gli interi, i numeri razionali e i numeri reali nei primi tre capitoli. Successivamente, nel Capitolo 4, viene esposto un

Introduzione

13

metodo generale di riconoscimento dei numeri irrazionali. Il Capitolo 5 tratta dei cosiddetti numeri trigonometrici e logaritmici, ossia di quei numeri i cui valori approssimati sono forniti dalle tavole di funzioni rispettivamente trigonometriche e logaritmiche. Il sesto Capitolo è dedicato al problema della determinazione di quanta precisione sia possibile raggiungere nell'approssimazione dei numeri irrazionali mediante numeri razionali; esso è piu difficile e di carattere meno generale dei capitoli che lo precedono, ma è stato introdotto per offrire a qualche lettore l'occasione di venire a contatto con un argomento di matematica di tipo nuovo. Il Capitolo 7 e l'Appendice C presentano due dimostrazioni del tutto indipendenti fra loro dell'esistenza di numeri trascendenti: rispettivamente seguendo il metodo di Liouville e quello di Cantor. I due procedimenti sono sostanzialmente diversi e il lettore si troverà contento se li seguirà entrambi. La dimostrazione esposta nel Capitolo 7 è condotta necessariamente in modo particolareggiato e ivi, piu che nei capitoli che precedono questo, il lettore sarà obbligato a fare uso di carta e matita per seguire il ragionamento. Infatti può darsi che i primi cinque capitoli si presentino di lettura piana, il sesto si riveli piuttosto difficile e il settimo forse incomprensibile. In tale caso, consigliamo il lettore di rimandare lo studio dell'ultimo capitolo fino a quando egli abbia piu esperienza di matematica. Ma il lettore che trovasse pochissime difficoltà a procedere dal primo al quinto capitolo potrebbe preferire affrontare il settimo prima del sesto. Infatti il Capitolo 7 è del tutto indipendente dal resto del volume, tranne che per un unico notissimo risultato sulle diseguaglianze che trovasi nel paragrafo 6.1. L'Appendice C può essere letta indipendentemente dal Capitolo 7, ma per la sua comprensione è necessaria la conoscenza del Teorema 7.2. A un lettore che non abbia familiarità con la teoria degli insiemi i concetti esposti in tale appendice appariranno molto nuovi. L'Appendice A, relativa all'infinità dei numeri primi, non è essenziale per i temi svolti nel volume; essa è stata introdotta per l'intima connessione che presenta con l'argomento principale e per il fatto che questa elegante proposizione risale a Euclide. Invece l'Appendice B, riguarda il Teorema fondamentale dell'aritmetica, è essenziale nel nostro pro-

14 Introduzione

gramma soprattutto per gli argomenti sviluppati nel quarto e quinto Capitolo; la dimostrazione del suddetto teorema è stata relegata in un'appendice, essendo abbastanza lunga e complicata rispetto alle dimostrazioni sparse nei primi cinque capitoli. Un lettore non specializzato può comunque limitarsi ad accettare come valido il Teorema fondamentale trascurando ne la dimostrazione. Alla fine di molti paragrafi sono indicati numerosi esercizi; il lettore dovrebbe cercare di risolverli, se non altro per rendersi conto di quanto egli abbia compreso della teoria. (La matematica non si può imparare aspettando che la facciano gli altri!). I problemi contrassegnati con un asterisco presentano maggiori difficoltà e il lettore non deve necessariamente sentirsi troppo infelice se non riuscirà a risolverli tutti. Spesso il suo successo dipende dalla sua maturità matematica, cioè dalla sua conoscenza di un numero piuttosto ampio di procedimenti che gli viene da altri suoi studi analoghi. Alla fine del libro sono riportate le risposte agli esercizi e qualche suggerimento per agevolare la risoluzione dei pili difficoltosi. L'insieme dei numeri reali, razionali e irrazionali, può essere presentato in uno qualsiasi dei numerosi livelli di rigore. (Il vocabolo « rigore» è un'espressione tecnica usata in matematica per indicare il grado con cui viene sviluppato un certo argomento, a partire da una posizione precisa dal punto di vista logico, in opposizione a una posizione pili intuitiva in virtli della quale talune affermazioni sono ritenute valide per il semplice motivo che esse sembrano accettabili ed evidenti). Il nostro intento è quello di dare all'argomento un primo sguardo, seguendo linee molto intuitive. Cosi non porremo alla base del nostro studio né assiomi né postulati. Il matematico dell'avvenire, nelle cui mani questo libro potrà cadere un giorno, desidererà in seguito accostarsi a uno sviluppo rigorosamente assiomatico della teoria dei numeri reali. Perché? Per il motivo che il nostro svolgimento qui è cosi intuitivo e descrittivo da lasciare aperto pili di un problema fondamentale. Per esempio, nel Capitolo 3 diciamo che i numeri reali possono venire introdotti in questo modo, in quello e in altri ancora. Ma come possiamo essere certi che questi diversi modi sono tutti atti a individuare il medesimo insieme? Per dare un esempio piu concreto, in questo volume non si dà una risposta alla

Introduzione

IS

seguente domanda: «Come sappiamo che V2· V3 = V6, oppure ~5· ~7 = ~35? ». È possibile rispondere esattamente solo quando sia stata data una definizione rigorosa delle operazioni sui numeri irrazionali. Questo non sarà fatto qui poiché questo non è un compito facile come potrebbe sembrare ed è preferibile rimandare le questioni di tale genere a quando lo studente non solo abbia acquistata una maggiore abilità ma soprattutto egli possa apprezzare con consapevolezza piu profonda l'essenza e il significato di dimostrazione matematica. Come diceva il matematico americano E. H. Moore, «fino a quel giorno ciò può bastare ». «L'essenza e il significato di dimostrazione matematica!» In questo volume e a questo punto non è possibile soffermarsi e puntualizzare cosa significhi una dimostrazione e proprio questo è uno degli spauracchi piu densi di perplessità per chi si accinge a studiare la matematica! Se l'essenza della dimostrazione non può essere spiegata a fondo, come la si può almeno intuire? Per usare un paragone abbastanza significativo, possiamo dire che la si può apprendere allo stesso modo in cui un bambino impara a riconoscere i colori; ossia osservando un'altra persona riconoscere il verde, l'azzurro, ecc. e poi ripetendo per imitazione ciò che si è visto fare. In un primo tempo non mancheranno gli errori dovuti a una conoscenza imperfetta delle vie da seguire e dei tipi di dimostrazione, ma è probabile che lo studioso scopra alla fine l'artificio da usare. Cosi avviene con le dimostrazioni in matematica. Alcuni dei nostri ragionamenti sono svolti con l'intento di chiarire appunto i processi di dimostrazione rigorosi e la loro tecnica e di far conoscere in questo modo al lettore i concetti e i metodi fondamentali delle dimostrazioni. Quindi, mentre non possiamo donare alcuna indicazione effettiva su ciò che è una dimostrazione valida, diciamo egualmente molte cose intorno a tale questione sperando che il lettore, prima dì giungere alla fine del libro, non solo sia in grado di riconoscere le dimostrazioni valide, ma goda nell'avere imparato ad eseguirne qualcuna da solo.

1 Numeri naturali e numeri interi

Il sistema di numeri della matematica inizia con i ben noti numeri che si usano comunemente per contare:

l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO, 11, 12, .... Questi sono tutti i numeri positivi, che si dicono i numeri naturali. Il pi6. piccolo numero naturale è l, ma non esiste il « piu grande» numero naturale, perché scelto un numero naturale grande quanto si vuole. ne esiste sempre un altro maggiore. Si dice quindi che vi sono infiniti numeri naturali. Se si addizionano due numeri naturali qualunque, la loro somma è un numero naturale; per esempio, abbiamo 4 + 4 = 8 e 4 + 7 = Il. Analogamente, moltiplicando due qualunque numeri siffatti, si ottiene ancora un numero naturale; per esempio, 4 X 7 = 28. Queste due proprietà si possono esprimere brevemente dicendo che i numeri naturali sono chiusi rispetto all'addizione e chiusi rispetto alla moltiplicazione. In altre parole, se, data una collezione di oggetti (nel nostro caso, l'insieme di tutti i numeri naturali) e prefissata un'operazione (diciamo l'addizione), operando su due generici elementi dell'insieme (per esempio, 4 e 7) si ottiene come risultato ancora un elemento della collezione data, allora diciamo che il medesimo insieme è chiuso rispetto all'operazione considerata. Supponiamo di fissare l'attenzione soltanto sopra i numeri l, 2, 3. Questo insieme costituito da tre soli elementi non è chiuso rispetto 3 = 4 e 4 non è all'addizione, poiché, per esempio, l un elemento appartenente ad esso. Quando parleremo dell'insieme dei numeri naturali, intenderemo sempre riferirei all'insieme di tutti i numeri naturali. Se vorremo considerare soltanto alcuni di essi, specificheremo volta a volta quali. Abbiamo cosi veduto che l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'addizione, mentre l'insieme particolare formato soltanto dai tre numeri naturali l, 2, 3 non lo è. I numeri naturali non sono invece chiusi rispetto alla sottrazione. Per rendersi conto di questo, basta verificare che la sottrazione di un numero naturale da un altro numero

+

Numeri naturali e numeri interi 17

naturale non sempre dà come resto un altro numero naturale. Per esempio, sottraendo 7 da 4, si ottiene - 3, che non è un numero naturale. Naturalmente, sottraendo 4 da 7, il risultato è il numero naturale 3; ma, per la definizione che abbiamo data, non possiamo affermare che un insieme di numeri è chiuso rispetto alla sottrazione se il risultato di ogni sottrazione possibile non è un elemento dello stesso insieme. In modo analogo, i numeri naturali non sono chiusi rispetto alla divisione, perché il risultato della divisione, per esempio, di 4 per 7 è la frazione 4/7 che non è un numero naturale. In molti casi, dividendo due numeri naturali, si ottiene un numero naturale; cosi 35 diviso per 5 dà 7. Allora si dice che 5 è un divisore esatto di 35, oppure, piu semplicemente, che 5 è un divisore, o fattore, di 35. E, nel medesimo caso, si dice che 35 è un multiplo di 5. In generale, siano b e d due generici numeri naturali; se esiste un terzo numero naturale q tale che sia b = dq, allora d dicesi divisore di b, oppure b un multiplo di d. Con riferimento all'esempio di poco fa, b = 35, d = 5 e, di conseguenza, è q = 7. Le lettere d e q non sono state scelte a caso: esse sono le iniziali rispettivamente di «divisore» e di «quoziente».

1.1 Numeri primi. Quanti divisori ha il numero 35? La risposta è quattro e ciò si vede elencando tutti questi divisori: l, 5, 7, 35. Essendo 35 un numero naturale piuttosto piccolo, la domanda non era difficile. Ma proponiamoci adesso quest'altra: quanti sono i divisori di l87? Qui rispondere non è cosi semplice come dianzi; ma, quando proviamo successivamente l, 2, 3, ecc., la risposta è ancora la stessa di prima. I divisori di 187 sono quattro e, precisamente, sono: l, 11, 17, 187. Potrebbe esigere un certo sforzo al lettore la determinazione dei divisori 11 e 17, ma i divisori l e 187 si determinano immediatamente. In modo analogo risulta evidente che 179 ha come divisori l e 179 e si vede anche che questi sono i suoi unici divisori. Quando, come nel caso di 179, un numero naturale ammette due, e soltanto due, divisori, esso dicesi numero primo, o, piu semplicemente, primo. Un altro modo di esprimere questa circostanza è 2

18 Numeri naturali e numeri interi

riassunto in questa definizione: dicesi numero primo cia-

scun numero naturale che ha per divisori soltanto se stesso e l. In ordine crescente, i primi numeri primi sono:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... Si noti che fra questi non compare 1. La circostanza che non sia considerato un numero primo è una convenzione matematica, o accordo, o per dire altrimenti una questione di definizione. I matematici sono concordi nel non ritenere l un numero primo. Essi avrebbero potuto convenire esattamente Il contrario, ossia di includere l fra i numeri primi; ma proprio una tale esclusione consente di stabilire per i numeri primi delle proposizioni senza eccezioni né riserve, come vedremo di seguito. Problemi 1.1 (I problemi con l'asterisco sono pi6 difficili).

l. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) L'insieme 1, 0, - 1 è chiuso rispetto all'addizione. b) L'insieme l, 0, - l è chiuso rispetto alla moltiplicazione. c) L'insieme l, 0, - l è chiuso rispetto alla sottrazione. d) L'insieme delle potenze con esponente positivo di 2, ossia l'insieme 2\ 22, 23, 24, 25 , 28 , 27, ••• , è chiuso rispetto alla moltiplicazione. *e) L'insieme delle potenze con esponente positivo di 2 è chiuso rispetto all'addizione. 2. Quanti sono i divisori di 30? 3. Quanti sono i divisori di 16? 4. Qual è il pi6 piccolo numero naturale avente esattamente tre divisori? 5. Determinare tutti i numeri primi compresi fra 50 e 100. *6. Dimostrare che, se 3 è divisore di due numeri, esso è divisore anche della loro somma e della loro differenza. Generalizzare questo risultato dimostrando che, se d è un divisore di due numeri, bI e b 2 , allora esso è un divisore anche di bI + b 2 e di bI - b 2 •

Numeri naturali e numeri interi 19

1.2 Unicità della fattorizzazione in numeri primi. I numeri primi diventano sempre meno numerosi quando si considerano numeri naturali sempre piu grandi. Per chiarire ciò che si intende con questa affermazione, precisiamo che vi sono 168 135 127 120 119

numeri numeri numeri numeri numeri

primi primi primi primi primi

fra fra fra fra fra

1 1 000 2 000 3000 4000

e e e e e

1 000, 2000, 3 000, 4000, 5000.

Tuttavia la successione dei numeri primi è illimitata, ossia essi sono infiniti. Ciò è dimostrato nell' Appendice A alla fine del volume. Tale dimostrazione non richiede alcuna conoscenza particolare, quindi il lettore, se lo desidera, può leggerla già a questo punto. Abbiamo indicato che a essa è stata riservata un'appendice, perché questo risultato non ci è necessario per stabilire altre proposizioni del libro. Ma tale dimostrazione è stata egualmente riportata, essendo per se stessa molto interessante. Ora, ogni numero naturale, che non sia 1, o è primo oppure può essere scomposto in prodotti di fattori primi. Per esempio, consideriamo il numero naturale 94 860 che, manifestamente, non è primo, poiché si ha: 94 860

= lO

X

9 486.

Inoltre 9486 è divisibile per 2, per 3 e, anzi, per 9. Quindi si può scrivere: 94 860 = lO X 2 X 9 X 527 = = 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 527. Se 527 fosse primo, questa espressione sarebbe una fattorizzazione di 94 860 in fattori primi; ma 527 non è primo, essendo 527 = 17 X 31. Quindi si ha: 94860

=2

X

2

X

3

X

3

X

5

X

17

X

31.

Abbiamo considerato il numero particolare 94 860, ma il procedimento sarebbe stato identico qualunque fosse stato il numero n che avessimo considerato: ogni numero n o

20

Numeri naturali e numeri interi

è primo, oppure può essere fattorizzato in due numeri piu piccoli, che diciamo a e b, tali che n = ab. Ciascuno dei due numeri a e b, a sua volta, o è primo, oppure è scomponibile in fattori primi. E, continuando in questo modo, si perviene alla fattorizzazione definitiva di n. All'inizio del precedente paragrafo, avevamo distinti i numeri primi dagli altri numeri naturali. In matematica, spesso è opportuno dare definizioni cosi generali da rendere superflua una divisione in numerosi tipi e sottotipi. Per esempio, con « fattorizzazione in numeri primi» intendiamo la rappresentazione di un numero, e sia per fissare le idee 12, come prodotto di piu primi; nel nostro caso, 2 X 2 X 3. Ora estendiamo il significato di « fattorizzazione» in modo da tener conto anche del caso di un unico fattore primo. Cosi il numero primo 23 ammetterebbe una fattorizzazione costituita dal solo fattore primo 23. Avendo esteso il significato di «fattorizzazione in numeri primi », la proposizione enunciata in principio può essere sostituita dalla seguente: « Ogni numero naturale, che non sia 1, può essere fattorizzato in numeri primi ». In tale modo abbiamo abbreviata la proposizione precedente ed eliminata l'esigenza di distinguere i numeri primi dagli altri numeri almeno quando si vuole enunciare un'affermazione concernente la fattorizzazione in numeri primi. In aritmetica, è fondamentale il risultato che la fattorizzazione di un numero naturale in numeri primi può farsi in un solo modo. Cosi 94 860 non può presentare una fattorizzazione in numeri primi diversi da quelli precedentemente determinati. Naturalmente l'ordine dei fattori può essere diverso; ossia, potremmo anche scrivere: 94860

=

3 X 17 X 2 X 5 X 31 X 3 X 2.

Ma, a meno di tali variazioni nell'ordine, non esiste un altro modo di fattorizzare 94 860. Questo risultato è noto come Teorema dell 'unicità della fattorizzazione in numeri primi, o Teorema fondamentale dell' aritmetica, che è suscettibile della seguente formulazione: TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA. Ciascun numero naturale, che non sia l, può essere fattorizzato in numeri primi in un modo, e uno solo, a meno dell'ordine dei fattori.

Numeri naturali e numeri interi 21

Questo enunciato sarà dimostrato nell'Appendice B e ne faremo uso in seguito. La sua dimostrazione è stata esposta in un'appendice, poiché essa è piuttosto complicata; tuttavia, siccome nel suo svolgimento non interviene nessuno dei concetti introdotti nei successivi capitoli, il lettore, se lo desidera, può leggerla fin d'ora. Oppure egli può posporne la lettura, affrontando prima gli argomenti piu semplici e poi quelli piu complessi. Il medesimo enunciato del Teorema fondamentale dell'aritmetica fornisce una spiegazione del motivo per cui 1 non è considerato un numero primo. Infatti, se 1 fosse considerato primo, potremmo, per esempio, scrivere: 35 = 5 X 7 = 1 X 5 X 7; e in questo ordine di idee 35 (oppure qualunque altro numero) potrebbe essere fattorizzato in numeri primi in piu di un modo. Naturalmente il Teorema fondamentale dell'aritmetica continuerebbe a valere, ma nel suo enunciato si dovrebbe introdurre qualche modifica, quale «tranne che ... », oppure «a meno che ... ». Escludendo invece che 1 sia un numero primo, il nostro risultato può esprimersi piu brevemente e in forma piu elegante.

1.3 Numeri interi. I numeri naturali 1,2,3,4, ... sono chiusi rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, ma non rispetto alla sottrazione e alla divisione. Si può avere la chiusura rispetto alla sottrazione di un insieme di numeri ampliandolo mediante la introduzione in esso dello zero e dei numeri negativi: 0, - 1, - 2, - 3, - 4, ... Questi, considerati insieme ai numeri naturali, costituiscono gli interi, ossia tutti i numeri: ... , - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Il lettore probabilmente già conosce le seguenti relazioni fondamentali: a + b = b + a, ab = ba, a' = O· a = 0, (ab)e = a(be), (a + b) + e = a + (b + e), (- a)(- b) = ab, a+O=O+a=a, a(b + e) = ab + ae, a'l=l'a=a,

°

22

Numeri naturali e numeri interi

nelle quali a, b, c sono numeri interi generici. Esse sono soddisfatte dai numeri di tutti i sistemi di cui ci stiamo occupando. Non fa parte del nostro programma discutere le origini di queste proprietà; infatti una tale discussione condurrebbe a uno studio critico dei fondamenti del sistema di numeri (il che verrà intrapreso in un altro volume di questa collezione) ed esulerebbe dai limiti che ci siamo posti. Nostro intento è ora dedurre varie proprietà dei numeri, e specialmente dei numeri irrazionali, supponendo noti i fondamenti stessi. I numeri interi sono dunque chiusi rispetto all'addizione, alla moltiplicazione, alla sottrazione, ma non rispetto alla divisione; infatti, per esempio, il risultato della divisione di 2 per 3 non è numero intero e quindi non appartiene alla classe di tali numeri. Prima di definire la divisione fra numeri interi, soffermiamoci un momento sulle altre operazioni e sui loro risultati. Quando andiamo a considerare l'addizione di numeri interi, vediamo che non solo la somma di due interi è ancora un numero intero, ma anche che questo numero intero è unico. Per esempio, la somma di 3 e di - l è 2 e non 5 né un altro numero qualsiasi. Questa circostanza può esprimersi dicendo che, dati due numeri interi, esiste un unico intero che sia la somma di quelli considerati. Analogamente per la moltiplicazione: dati due numeri interi, esiste un unico intero che sia il prodotto di quelli assegnati. Quando affrontammo la divisione di due numeri naturali, ci accorgemmo che non era sempre vero che, dati due generici numeri naturali, b e d, esistesse un terzo numero naturale, il loro quoziente q, tale che b = dq. Tuttavia, ogni qual volta esiste un terzo numero siffatto, è chiaro che esso è unico, per cui si può asserire tranquillamente che q dovrebbe essere quell'unico numero naturale tale che b = dq. Quando definiamo la divisione nell'insieme dei numeri interi, dobbiamo tuttavia aggiungere che il quoziente deve essere unico. Non staremo qui a spiegare il motivo di tale necessità. A questo punto dobbiamo convenire che è desiderabile ottenere solo una risposta a ciascuna delle domande: Quanto fa 3 - 7? Quanto fa (- 2)(- 3)? Quanto fa 8 4? In altre parole, vogliamo ottenere un unico risultato per ogni tipo delle operazioni che consideriamo. Vediamo ora cosa

+

Numeri naturali e numeri interi 23

si verifica quando prendiamo in considerazione la divisione nell'insieme dei numeri interi. Siano di nuovo b e d due interi assegnati e, per definizione, il quoziente q sia un intero tale che b = dq. Per esempio, poniamo di avere: b = - 12 e d = 3; manifestamente q = - 4, perché si ha: - 12 = = 3 (- 4). Quindi, in questo caso, esiste q ed è unico. Siano ora b un intero generico e d l'intero O; dobbiamo trovare un q per cui si abbia: b = O • q. Se fosse b =1= O *, questa equazione non potrebbe essere risolta; ossia non esiste alcun q che la soddisfi. Se è invece b = O, allora la condizione che deve essere verificata da q diventa: O = O • q; ed essa è valida per qualunque numero intero q. In altre parole se esiste un q che soddisfi alla b = O' q, allora esso non è unico. Poiché è importante ottenere risultati unici per le operazioni di aritmetica, dobbiamo costruire un sistema di numeri nel quale non solo esista il quoziente di due interi, ma inoltre tale numero sia unico. Lo schema deve semplicemente escludere la divisione per zero. Possiamo ora convenire di chiamare d un divisore di un intero b se esiste un unico intero q tale che sia b = dq. (Allora, per quanto precede, è senz'altro d =1= O). Oppure possiamo dire che un intero non nullo d è un divisore di b, se esiste un intero q tale che si abbia: b = dq. (Avendo escluso O come divisore possibile, di conseguenza il quoziente è unico). Precedentemente ci siamo posti la domanda: quanti divisori ammette il numero 35? Allora la discussione era limitata ai numeri naturali e quindi la risposta era quattro, cioè 1, 5, 7, 35. Se ora intendiamo riferirei ai numeri interi, la medesima risposta è otto: ± 1, ± 5, ± 7, ± 35. Problemi 1.3 1. È - 5 un divisore di 35?

2. È 5 un divisore di - 35? 3. È - 5 un divisore di - 35?

4. È 3 un divisore di - 35? 5. È 1 un divisore di - 35? • Il simbolo =1= significa «è diverso da », ossia «non è uguale a ».

24 Numeri naturali e numeri interi

6. 7. 8. 9. lO. 11. 12.

È 1 un divisore di O? È O un divisore di l? È 1 un divisore di l?

È O un divisore di O? È 1 un divisore di ogni numero intero?

È O un multiplo di 35?

Verificare che esistono venticinque numeri primi fra 1 e 100 e ventuno fra 100 e 200.

1.4 Numeri interi pari e numeri interi dispari. Un numero che sia divisibile per 2 dicesi pari; in caso contrario, dicesi dispari. Cosi i numeri interi pari sono: ... , - 8, - 6, - 4, - 2, O, 2, 4, 6, 8, ... , e i numeri interi dispari sono: ... , - 7, - 5, - 3, - l, l, 3, 5, 7, ... Poiché ogni intero pari è divisibile per 2, ciascun intero pari può scriversi nella forma 2n, dove n sta a indicare un qualsivoglia numero intero. Quando un simbolo (come la lettera n ora introdotta) può rappresentare qualunque elemento di un determinato insieme (nel nostro caso, l'insieme dei numeri interi), l'insieme stesso dicesi il dominio, o campo, dei valori che il simbolo può assumere. Nella situazione che stiamo esaminando, diciamo che ciascun intero pari può scriversi nella forma 2n, essendo il dominio di n l'insieme dei numeri interi. Per esempio, gli interi pari 18, 34, 12, - 62 si possono scrivere nella forma 2n dando a n rispettivamente i valori 9, 17,6 e - 31. Non vi è nessun motivo particolare per scegliere proprio la lettera n. Invece di dire che i numeri interi pari sono gli interi del tipo 2n, avremmo potuto dire, con altrettanta precisione, che essi sono gli interi della forma 2m, oppure 2j, oppure 2k. La somma di due interi pari è ancora un intero pari; ciò risulta chiaramente dai seguenti esempi: 12 46 30 -lO - 14 -46 14 22 26

52

32

- 56

Numeri naturali e numeri interi 25

Ma una raccolta di esempi non basta a dimostrare il principio generale che gli interi pari sono chiusi rispetto ali 'addizione. Per dare questa dimostrazione, faremo uso della notazione 2n per indicare un generico intero pari e della notazione 2m per indicare un altro generico intero pari diverso dal precedente. Allora possiamo scrivere:

+ 2n = 2 (m + n); la forma 2 (m + n) in cui abbiamo scritta la nostra somma 2m

mette in risalto la circostanza che essa è divisibile per 2. Per esprimere ciò non sarebbe stato sufficiente scrivere: 2n

+ 2n =

4n;

infatti questa scrittura rappresenta la somma di un intero pari con se stesso. In altre parole, essa avrebbe dimostrato soltanto che il doppio di un intero pari è ancora un intero pari (risultando infatti divisibile per quattro e quindi anche per due), invece di dimostrare che la somma di due qualsiasi interi pari è un intero pari. Proprio per questo abbiamo fatto uso della notazione 2n per uno degli interi pari considerati e della notazione 2m per l'altro: proprio per significare che essi non sono necessariamente il medesimo numero. Quale notazione potremmo introdurre per indicare un intero dispari? Si noti a tale fine che, sommando l a un intero pari, si ottiene sempre un intero dispari. Quindi si vede che ogni intero dispari può scriversi nella forma 2n l; questa forma non è l'unica che si possa trovare. Si sarebbe potuto osservare anche che si ottiene sempre un intero dispari sottraendo l da un intero pari. Quindi si può dire che ogni intero dispari può scriversi nella forma 2n - l. In realtà, si potrebbe anche affermare che ogni intero dispari può essere messo nella forma 2n + 3, oppure 2n - 3, oppure 2k - 5, ecc. È lecito dire che ogni intero dispari può scriver si nella forma 2n 2 + l? Dando alla lettera n della precedente scrittura successivamente i valori:

+

... , - 5, - 4, - 3, - 2, - l, 0, l, 2, 3, 4, 5, ... , otteniamo l'insieme di numeri interi:

... , 51, 33, 19, 9, 3, l, 3, 9, 19, 33, 51,

26 Numeri naturali e numeri interi

Ciascuno dei numeri cosi trovati è dispari, ma essi non sono tutti gli interi dispari. Per esempio, nella suddetta forma non può essere posto il numero 5. Quindi non è vero che 1, ma è ogni intero dispari si possa scrivere come 2n 2 vero che ogni intero del tipo 2n 2 + 1 è dispari. Analogamente è falso asserire che ogni intero pari si possa scrivere nella forma 2k2, essendo il dominio di k l'insieme di tutti i numeri interi; cosi 6 non può mai essere considerato del tipo 2k2 , comunque si scelga k fra gli interi. Però è vero che ciascun intero della forma 2k 2 è pari. Il legame fra queste proposizioni è il medesimo che intercede fra le due seguenti: « tutti i gatti sono animali» e « tutti gli animali sono gatti». Manifestamente la prima affermazione è vera e la seconda è falsa. Sopra questa relazione torneremo in seguito quando analizzeremo le proposizioni contenenti i condizionali « se», « soltanto se» e « se e soltanto se» (cfr. par. 2.3).

+

Problemi 1.4 Riconoscere quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. (Il dominio dei valori che m, n, j, ... possono assumere è l'insieme di tutti i numeri interi). 1. Ogni intero dispari può scriversi nella forma: a) 2j - 1, h) 2n + 7, c) 4n + 1, d) 2n2 + 3, e) 2n 2 + 2n + 1, f) 2m - 9.

2. Ogni intero della precedente forma a) è dispari; e cosi pure ogni intero della forma h), c), d), e) e f) rispettivamente. 3. Ogni intero pari può scriversi nella forma: a) 2n + 4, d) 2 - 2m,

h) 4n

e) n2

+ 2, + 2.

c) 2m - 2,

4. Ogni intero della precedente forma a) è pari; e cosi pure ogni intero della forma h), c), d) ed e) rispettivamente.

Numeri naturali e numeri interi 27

1.5 Proprietà di chiusura. Nel prossimo capitolo, applicheremo queste due proposizioni: (1) L'insieme degli interi pari è chiuso rispetto alla moltiplicazione. (2) L'insieme degli interi dispari è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Per dimostrare la (1) dobbiamo far vedere che il prodotto di due generici interi pari è pari. Rappresentiamo simbolicamente due interi siffatti con 2m e 2n e moltiplichiamoli fra loro; otteniamo: (2m) (2n)

=

4mn

=

2 (2mn).

Il prodotto ottenuto è divisibile per 2, quindi esso è pari. Per dimostrare la (2) dobbiamo far vedere che il prodotto di due generici interi dispari, che indicheremo simbolicamente con 2m + l e 2n + l, è dispari. Moltiplicando fra loro due numeri siffatti, otteniamo: (2m + l) (2n + l) = 4mn = 2 (2mn + m + n) + 1.

+ 2m + 2n + l

=

Ora il numero intero 2 (2mn + m + n) è pari, qualunque siano i valori numerici interi che possano essere sostituiti ad m e ad n in questa espressione: quindi 2 (2mn + m + n) + l è dispari. Le affermazioni (1) e (2) potrebbero anche essere dimostrate ricorrendo all'unicità della fattorizzazione in numeri primi, ma non è nostra intenzione entrare nei particolari di questo secondo procedimento. (Il lettore può scoprirlo, cimentandosi a eseguire da solo la dimostrazione su accennata. A tale scopo, tenga presente che un intero è pari se, e soltanto se, nella sua fattorizzazione in numeri primi compare il 2). Ci siamo soffermati sugli interi pari e dispari, ossia sugli interi rispettivamente delle forme 2m e 2m + 1. La parità e la disparità degli interi sono riferite alla divisibilità per 2. In modo analogo, possiamo considerare la classe degli interi divisibili per 3; precisamente: ... , - 12, - 9, - 6, - 3, 0, 3, 6, 9, 12, ...

28 Numeri naturali e numeri interi

Gli elementi di tale insieme sono i multipli di 3 ed esso può anche essere definito come la classe degli interi della forma 3n. Gli interi della forma 3n + l sono: ... , - Il, - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, lO, 13, ... , e gli interi della forma 3n + 2 sono: ... , - lO, - 7, - 4, - 1, 2, 5, 8, Il, 14, ... Queste ultime tre successioni di interi comprendono tutti gli interi; quindi possiamo asserire che ciascun numero intero è senz'altro di una, e di una sola, delle forme 3n, 3n + 1, oppure 3n + 2.

1.6 Un'osservazione sulla natura delle dimostrazioni. Abbiamo detto (cfr. 1.4) che, allo scopo di dimostrare che gli interi pari sono chiusi rispetto all'addizione, ossia che la somma di due generici numeri interi pari è pari, non è sufficiente fornire solo qualche esempio particolare del tipo: 12 + 14 = 26. Poiché esistono infiniti interi pari, non è possibile esaminare tutti i casi di somma di particolari coppie di interi pari; quindi è necessario ricorrere a un opportuno simbolismo algebrico. Per esempio, la notazione 2n, che abbiamo visto permette di rappresentare qualunque intero pari, ci consente di dimostrare che l'insieme di tutti gli interi pari è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Invece, per dimostrare una proposizione negativa, quale potrebbe essere « gli interi dispari non sono chiusi rispetto all'addizione », non è necessario ricorrere ad alcun simbolismo algebrico del tipo 2m + 1. Questo avviene perché una proposizione negativa siffatta può essere stabilita anche portando un unico esempio efficace. Qualunque proposizione negativa, ossia che affermi che non tutti gli elementi di un determinato insieme godono di una certa proprietà, può essere dimostrata semplicemente trovando un elemento che appunto non gode della proprietà suddetta. Cosi, per dimostrare che non tutti i ragazzi hanno occhi scuri, ci basta trovare un ragazzo con occhi azzurri, oppure color nocciola. Per dimostrare che non tutte le somme di due numeri interi dispari sono dispari, si osservi che 3 + 5 = 8

Numeri naturali e numeri interi 29

e questo unico esempio di somma di due interi dispari che è un intero pari è sufficiente come dimostrazione. Ma, se vogliamo dimostrare che la somma di due qualunque interi dispari è un intero pari, non basta scrivere 3 + 5 = 8. Anche fornendo altri esempi, quali 7 + Il = 18, 5 + 53 = 58, ecc., non daremo una dimostrazione rigorosa dal punto di vista matematico della nostra proposizione. Un'altra proposizione negativa è: « Non tutti i numeri primi sono dispari». Per dimostrarla, basta osservare che il numero pari 2 è un numero primo. Problemi 1.6 (I primi tre esercizi riguardano dimostrazioni di proposizioni negative e pertanto possono essere risolti determinando per ciascuno di essi semplicemente un opportuno esempio numerico). 1. Dimostrare che gli interi dispari non sono chiusi rispetto alla sottrazione. 2. Dimostrare che gli interi della forma 3n rispetto all'addizione.

+ 1 non sono chiusi

3. Dimostrare che gli interi della forma 3n rispetto alla moltiplicazione.

+ 2 non sono chiusi

4. Dimostrare che la somma di due generici interi dispari è un intero pari. 5. Dimostrare che i seguenti insiemi sono chiusi rispetto alle operazioni indicate: a) gli interi della forma 3n + 1 rispetto alla moltiplicazione; b) gli interi della forma 3n rispetto all'addizione; c) gli interi della forma 3n rispetto alla moltiplicazione. 6. Riconoscere quali dei seguenti insiemi sono chiusi rispetto

alle operazioni indicate e dare, per ciascun caso, una dimostrazione: a) gli interi della forma 6n + 3 rispetto all'addizione; b) gli interi della forma 6n + 3 rispetto alla moltiplicazione; c) gli interi della forma 6n rispetto all'addizione; d) gli interi della forma 6n + 1 rispetto alla sottrazione; e) gli interi della forma 6n + 1 rispetto alla moltiplicazione; f) gli interi della forma 3n rispetto alla moltiplicazione; g) gli interi non della forma 3n rispetto alla moltiplicazione.

2 I numeri razionali

2.1 Definizione dei numeri razionali. Abbiamo visto che i numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, ... sono chiusi rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, mentre i numeri interi ... , - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... sono chiusi rispetto all'addizione, alla moltiplicazione e alla sottrazione. Ma nessuno dei suddetti insiemi è chiuso rispetto alla divisione, poiché questa operazione fra numeri interi può dare luogo a frazioni quali 4/3, 7/6, - 2/5, ecc. La totalità di tali frazioni costituisce l'insieme dei numeri razionali. Quindi «un numero razionale (o, come anche si dice, una frazione razionale) è un numero che può essere scritto nella forma a/d, essendo a e d numeri interi e d diverso dallo zero ». Questa definizione suggerisce alcune osservazioni : 1. Abbiamo esplicitamente supposto d diverso da zero. Questa condizione, che può scriversi simbolicamente d 0/= 0, è necessaria perché d sia effettivamente un divisore. Si considerino gli esempi: a _ 21 _ 3 _ 3' Caso (a) a= 21, d = 7, d -T-T- , Caso (b) a = 25,

d = 7,

a_25_ 3 +4

d-T-

7'

Nel caso (a), d è un divisore nel senso indicato nel Capitolo 1; ossia 7 è un divisore esatto di 21. Nel caso (b), d è ancora divisore, ma in un senso distinto da quello di poco fa, perché 7 non è contenuto esattamente in 25. Ma, se chiameremo 25 il dividendo e 7 il divisore, otterremo come quoziente 3 con resto 4. Quindi usiamo il vocabolo divisore adesso in un senso piu generale, per contemplare un numero di casi piu ampio di quello dianzi considerato. Tuttavia

l numeri razionali

31

il concetto di divisore introdotto nel primo capitolo resta applicabile a esempi analoghi al caso (a); quindi, anche qui come nel Capitolo 1, dobbiamo escludere che d sia eguale a o.

2. Si noti che, mentre le denominazioni numero razionale e frazione razionale sono sinonimi, il vocabolo frazione usato da solo sta ad indicare qualunque espressione algebrica che presenti un numeratore ed un denominatore, quale

v'3

17 x

2

oppure

3. Nella definizione di numero razionale si legge: « un numero che può essere scritto nella forma a/d, essendo a e d interi e d diverso da zero ». Perché non basta dire: « un numero della forma a/d, essendo a e d interi e d diverso da zero»? Perché esistono infiniti modi di esprimere un'assegnata frazione (cosi 2/3 può scriversi anche come 4/6, oppure 6/9, ... , oppure 21t/31t, oppure 2 v'3/3 v'3, oppure - 10/- 15, ecc.) e non vogliamo che la definizione di numero razionale da noi adottata dipenda dal modo particolare in cui si può desiderare scriverlo volta a volta. Una frazione è definita in maniera che il suo valore non cambi moltiplicandone numeratore e denominatore per una medesima quantità; ma, guardando una frazione, non sempre si può riconoscere immediatamente se essa è razionale. Infatti, si considerino i numeri:

v'12 v'3

e

né l'uno né l'altro di essi si presenta nella forma a/d, con a e d interi. Tuttavia, con opportune trasformazioni e sem-

plificazioni, la prima frazione può essere successivamente scritta cosi:

v'TI v'3 = Otteniamo quindi un numero eguale alla frazione assegnata ma proprio del tipo caratteristico a/d, con a = 2 e d = l;

32 l numeri razionali

si conclude pertanto che V 12jv'3 è razionale. Invece, nel caso di la trasformazione

v157v3,

V 15 _ V3 -

V5' V3 _. ;V3 -y 5

porta al risultato VS, che, come vedremo, non si può esprimere come rapporto di numeri interi ed è quindi un numero irrazionale. 4. Si osservi esplicitamente che ogni numero intero è razionale. Abbiamo già constatato questo fatto nel caso particolare dell'intero 2. In generale, i numeri interi possono essere scritti nella forma:

-5-4-3-2-10 ... , -1-' -1-' -1-' -1-' -1-' l '

2

3

4

5

l' l ' l ' l ' l ' ... ,

ossia a ciascuno di essi viene attribuito il denominatore l. Problemi 2.1 1. Dimostrare che il numero intero 2 può essere scritto in forma razionale a/d (a e d numeri interi) in infiniti modi. 2. Dimostrare che il numero razionale 1/3 può essere scritto in forma razionale a/d in infiniti modi. 3. Dimostrare che il numero intero O può essere scritto in forma razionale a/d in infiniti modi. 4. Dimostrare che ogni numero razionale ammette infinite rappresentazioni in forma razionale. 5. Definizione. Dato un qualsivoglia numero k, dicesi reciproco di k quel numero, e sia I, tale che sia: kl = 1. Questa definizione implica che tutti i numeri, eccettuato lo zero, ammettono reciproco. Supposto k -=1= O, per definizione il reciproco I di k soddisfa l'equazione kl = 1; quindi soltanto per k -=1= O ha significato la scrittura: 1 1= k

Ciò premesso, dimostrare che il reciproco di qualunque numero razionale (escluso lo zero) è un numero razionale.

I numeri razionali

33

2.2 Numeri decimali finiti e numeri decimali non finiti. Il numero razionale 1/2 ammette un'altra rappresentazione diversa dalle forme 2/4, 3/6, 4/8, ecc.; precisamente esso può essere scritto come numero decimale 0,5. La rappresentazione decimale di alcune frazioni è determinata, o finita; per esempio: 1

2=0,5,

2

5 =

0,4;

1 80 = 0,0125.

Altre frazioni, invece, presentano rappresentazioni decimali non finite; per esempio: 1

3

= 0,333 33 ... ,

1

6

= 0,16666 ... ,

5

11 =

0,454545 ...

Questi numeri decimali illimitati si possono ottenere dalle frazioni corrispondenti dividendo in ciascuna di esse il numeratore per il denominatore. Cosi, nel caso di 5/11, dividendo 5 per Il, si ottiene 0,454545 ... Quali sono le frazioni razionali a/d a cui corrisponde una rappresentazione decimale finita? Prima di rispondere in generale a questa domanda, fissiamo l'attenzione sopra un caso particolare e precisamente sul numero decimale finito 0,862 5. È noto che 8625 0,862 5 = lO 000 e che ogni numero decimale finito può scriversi sotto forma di frazione decimale avente denominatore eguale a lO, 100, 1 000 o a una qualunque altra potenza di lO. Riducendo ai minimi termini la frazione a destra dell'eguaglianza scritta sopra, si ottiene: 8625 69 0,8625 = 10000 = 80' Il denominatore 80 è stato ottenuto dividendo 10 000 per 125, che è il massimo comun divisore di lO 000 e 8 625. Ora 80 e lO 000, fattorizzati in numeri primi, presentano come fattori solo 2 e 5. Se, invece di 0,8625, avessimo considerato un qualunque altro numero decimale finito e lo avessimo trasformato in una frazione di tipo a/h ridotta 3

34 I numeri razionali

ai minimi termini *, questa frazione avrebbe presentato la medesima caratteristica; ossia il denominatore b avrebbe ammesso come fattori primi 2 e 5 e soltanto questi, perché b è sempre un fattore di qualche potenza di lO ed è lO = 2· 5. Questo fatto risulta determinante e dimostreremo il seguente teorema: Una frazione razionale a/b, ridotta ai minimi termini, ammette uno sviluppo decimale finito se, e soltanto se, gli unici fattori primi di b sono 2 e 5.

Naturalmente, non è necessario che b abbia come fattori primi sia 2 che 5; nella fattorizzazione in numeri primi di b può mancare uno di essi oppure possono mancare entrambi questi fattori, come è illustrato dai seguenti esempi: l

25 =

0,04,

l

16 = 0,0625,

7

T=7,0.

dove b assume rispettivamente i valori 25, 16, e 1. L'essenziale è che b non presenti fattori primi diversi da 2 e 5. Si noti che il precedente enunciato contiene la locuzione se e soltanto se. Abbiamo già completamente dimostrata la parte soltanto se, perché abbiamo fatto vedere che lo sviluppo di a/b è finito soltanto quando b non è divisibile per alcun numero primo diverso da 2 e da 5. (In altri termini, se b è divisibile per qualche numero primo diverso da 2 e da 5, allora la frazione a/b, ridotta ai minimi termini, non ammette uno sviluppo decimale finito). La parte se dell'enunciato afferma: se il numero intero b non ammette fattori primi all'infuori di 2 e di 5, allora la frazione decimale a/b, ridotta ai minimi termini, presenta uno sviluppo decimale finito. Per dimostrare ciò, dobbiamo far vedere che è finito lo sviluppo decimale di una generica frazione razionale a/b, ridotta ai minimi termini, in cui b ammetta al piu il fattore primo 2 e il fattore primo 5. Prima di considerare il caso generale, fissiamo l'attenzione sul seguente esempio: a

b

=

9741

9741

3 200 =

2 7 • 52 .

• Un numero razionale a/h è ridotto ai minimi termini quando a e h sono numeri primi fra loro.

I numeri razionali

35

Per trasformare questo numero in decimale, sarà sufficiente scriverlo sotto forma di una frazione il cui denominatore sia una potenza di lO. Basterà cioè moltiplicare per 55 sia il numeratore che il denominatore di quella data; si otterrà cosi: 9741 27 • 52

9741· 55 27 • 57

=

=

30440625 107

=

30440625 '

•

Questo procedimento può essere generalizzato nel modo che indicheremo. Supponiamo che h sia un intero del tipo 2m . 5n , dove m ed n sono interi positivi oppure nulli. Ora, n o è minore oppure eguale ad m (in simboli, n m). Se n b2 , ••• , bt ordinatamente le t cifre del periodo. (Con riferimento all'esempio precedente, si ha: s = 3, t = 3, al = l, a 2 = 2, a 3 = 3, bI = 4, b 2 = 5, b 3 = 6). Moltiplichiamo x prima per il numero IOS+t e poi per IOS; sottraendo i prodotti cosi ottenuti, si ha successivamente: IOS+tx IOSx

=

=

a 1a 2

a 1a 2

•••

as

(IOS+t - IOS) . x d

'. _ a cuI. x -

aSb 1 b2

•••

•••

bt + O,b 1b 2

+ O,b b z ...

=

a 1a 2

1

a 1a 2 •••

•••

•••

bt,

bt,

aSb 1b 2

•••

bt - a 1a 2

aSb1b 2 ••• bt - a 1a 2 IOS+t _ IOS

•••

•••

as

as , •

Nell'ultima scrittura x appare come il rapporto di due numeri interi, quindi esso è razionale come ci eravamo proposti di dimostrare. Problemi 2.4 1. Trasformare in numeri razionali i seguenti numeri decimali: a) 0,111 ... , b) 5,6666 ... , c) 0,3743, d) 0,9987,

e) 0,0001,

f) 0,9.

• Si tenga presente che la notazione ala, ... a, blb • ... b, qui introdotta non è quella algebrica consueta e non sta affatto a indicare il prodotto dei numeri ah ah .... b,; in questa dimostrazione. essa rappresenta l'allineamento delle cifre ah a .. ... , b,. Inoltre i simboli 1, 2, ... , s, t nelle scritture al, a •• ... , a, .... b, si dicono «indici» e non hanno alcun significato particolare; essi sono semplicemente segni di identificazione e ci evitano di introdurre troppe lettere distinte.

46 I numeri razionali

2.5 I numeri decimali finiti considerati come numeri decimali periodici. In questo capitolo siamo giunti alla conclusione che qualche numero razionale può esprimersi come numero decimale finito, mentre altri numeri razionali rivelano di essere numeri decimali non finiti. È interessante osservare che ogni numero decimale finito (eccettuato lo zero) è suscettibile di essere messo in forma non finita. Naturalmente si può conseguire questo risultato in un modo molto spontaneo scrivendo, per esempio, 6,8 come 6,800 O... ; cioè con l'impiego di una successione di infiniti zeri. Ma, oltre a questo procedimento immediato, esiste un altro metodo di un certo qual effetto sorprendente. Consideriamo dapprima il ben noto sviluppo decimale di 1/3: 1/3 = 0,333 33 ... Moltiplicando per 3 entrambi i membri di questa eguaglianza, si ottiene un risultato che, a prima vista, appare molto strano; ossia: (l)

1 = 0,99999 ....

Otteniamo cosi un'eguaglianza fra il numero decimale finito 1, o, se si preferisce, 1,0, e il numero decimale non finito 0,99999 ... Guardiamo la scrittura (1) da un altro punto di vista. Supponiamo di indicare con x il numero decimale non finito 0,999 99 ... ; ossia: (2)

x = 0,999 99 ...

Moltiplicando per lO, si ha: lOx = 9,999 99 ... = 9 + 0,99999 ... Se, dal precedente prodotto, si sottrae la (2), si trova: 9x = 9

oppure

x = 1.

L'eguaglianza (1) resta in tal modo dimostrata con un procedimento diverso dal precedente. Ora, ricorrendo a divisioni rispettivamente per lO, 100, 1 000, lO 000, ecc., dalla (1) si deducono i seguenti risultati: (3)

0,1 0,01 0,001 0,0001

= 0,099 999... , = 0,0099999 ... , = =

0,00099999 ... , 0,000099999 ... , ecc.

I numeri razionali 47

Questi risultati possono essere impiegati per trasformare qualunque numero decimale finito in un numero decimale non finito. Per esempio, si può scrivere: 6,8 = 6,7

+ 0,1 =

6,7

+ 0,099999... =

6,799999 ...

Ecco altri esempi: 0,43 = 0,42 + 0,01 = 0,42 + 0,0099999 ... = 0,4299999 ... ; 0,758 = 0,757 + 0,001 = 0,757 + 0,000 999 99 ... = = 0,75799999 ... ; 0,102 = 0,101 + 0,001 = 0,101 + 0,000 99999 ... = = 0,101 99999 ... ; 6,81 = 6,8 + 0,01 = 6,8 + 0,009 999 9... = 6,8099999 ... In questo modo si può scrivere qualunque numero decimale finito in forma non finita. Inversamente, la (1) e la (3) possono essere impiegate per trasformare qualunque numero decimale, che presenti una successione infinita di cifre tutte eguali a nove, in un numero decimale finito: 0,4699999 ... = 0,46 + 0,0099999 ... = 0,46 + 0,01 = 0,47; 18,099999 ... = 18,0 + 0,099999 ... = 18,0 + 0,1 = 18,1. Il problema relativo a quante rappresentazioni di un dato numero si possano ottenere mediante i decimali è connesso a una questione di interpretazione. Infatti, oltre a scrivere 0,43 come 0,42999 ... , si può ricorrere alle forme: 0,430,

0,4300,

0,43000,

0,430 000,

Ma queste ultime scritture non sono altro che banali variazioni della notazione 0,43 e non possono essere considerate come rappresentazioni diverse da questa. Quando ci riferiamo alla forma decimale non finita di un numero come 0,43, intendiamo la forma 0,429 99 ... e non, per accennare soltanto ad una delle precedenti, alla 0,430 00... Problemi 2.5 1. Scrivere ciascuno dei seguenti numeri come numero decimale finito: a) 0,11999 ... , c) 4,79999 ... ,

b) 0,299999 ... ,

d) 9,999 ....

48

I numeri razionali

2. Scrivere ciascuno dei seguenti numeri come numero decimale non finito: a) 0,73,

h) 0,0099,

c) 13.

3. Quali numeri razionali a/h ammettono due rappresentazioni decimali effettivamente distinte fra loro? 4. Quali numeri razionali a/h ammettono tre rappresentazioni decimali effettivamente distinte fra loro?

2.6 Note riassuntive. Abbiamo distinto due tipi di numeri razionali a/h: i numeri razionali il cui denominatore h non ammette fattori primi diversi da 2 e da 5 e tutti gli altri. (Si intende che a/h sia ridotto ai minimi termini). I numeri del primo tipo possono scriversi sia come numeri decimali finiti che come numeri decimali non finiti; per esempio: 1/2 = 0,5 = 0,499999 ... I numeri del secondo tipo possono scriversi soltanto in forma decimale non finita; per esempio: 1/3 = 0,333 33 ... Queste rappresentazioni sono le uniche possibili, nel senso che 1/2 ed 1/3 non sono suscettibili di essere posti sotto altra forma decimale, prescindendo ovviamente da quelle banali analoghe a 0,500. Nel prossimo capitolo spiegheremo perché avviene cosi. Abbiamo discusso in particolare sui numeri razionali e sulla loro rappresentazione decimale. Torniamo un istante alle rappresentazioni decimali. Tutti gli sviluppi decimali non finiti considerati in questo capitolo erano periodici. Cosa si può dire intorno ai numeri decimali non periodici, come q = 0,101 001 000 100 001000 001 000 000 l.. ... , il cui sviluppo risulta un allineamento di 1 separati da O (ordinatamente uno zero, poi due zeri, poi tre zeri, ecc.)? Ammesso che q sia un numero, a che tipo esso appartiene? Per quanto abbiamo esposto nel corso di questo capitolo, q non risulta un numero razionale. Nel prossimo capitolo, allargheremo il nostro campo di indagine allo scopo di tenere conto anche dei numeri analoghi a q.

3 I numeri reali

3.1

La rappresentazione geometrica.

Quando in geometria analitica si introducono le coordinate, si assume una retta come asse, per esempio, delle ascisse x ed esso viene graduato in modo che ogni suo punto risulti associato a un numero ben determinato. A tale scopo basta fissare due punti qualsiasi (purché distinti) sopra la retta come le posizioni dello O e di 1 (fig. 5), cosicché la -1 I

-2 I

o

1 I

I

2

I

Fig. 5

loro mutua distanza diviene l'unità di lunghezza, o la lunghezza unitaria. Per convenzione, si fissa il punto 1 alla destra del punto O e, di conseguenza, i punti che giacciono a sinistra del punto O risultano associati ai numeri negativi. Il punto O dicesi origine. Per esempio, il punto corrispondente al numero 7 si troverà a destra dell'origine a una distanza pari a sette volte l'unità di lunghezza; quello corrispondente al numero - 7 si troverà a sinistra dell'origine a una distanza pari ancora a sette volte l'unità di lunghezza. Cosi a ogni punto dell'asse corrisponde un numero che individua la distanza del punto considerato dall'origine, tale distanza presa con segno « piti » oppure con segno « meno» secondo che il medesimo punto giaccia alla destra o alla sinistra di O. Come è illustrato nella figura 6, ciascun numero razionale, quale - 4/3, 1/2 e 2,3, può essere immediatamente individuato sopra la retta in virtti di un rapido confronto fra esso e l'unità. -2

4

-3 I

Fig. 6

1

-1

o

"2

I

I

I

1

h

2

2,3

50 l numeri reali

Il simbolo v'l sta a indicare quel numero che, moltiplicato per se stesso, dà come prodotto 2; ossia: v'l' v' 2 = 2. Per comprendere il significato geometrico di v'l, consideriamo un quadrato di lato unitario (fig. 7); per il Teorema 1

lZl Fig. 7 Un quadrato di lato unitario.

di Pitagora, sappiamo che il quadrato della lunghezza della sua diagonale è 2. Quindi indichiamo la lunghezza della diagonale con v'l e associamo il numero v'l a quel punto della retta la cui distanza dall'origine è eguale alla lunghezza della diagonale del nostro quadrato. Poiché ogni punto dell'asse giace a una determinata distanza dall'origine, è evidente che esiste un numero associato a ciascun punto. Con l'espressione numeri reali si designa l'insieme di tutti i numeri corrispondenti, a tutti i punti della retta nel senso che abbiamo indicato. Risulta immediatamente che al suddetto insieme appartengono tutti i numeri razionali, perché ciascuno di essi ha una distanza ben determinata dall'origine; quindi si può affermare che i numeri razionali costituiscono una sottoclasse dei numeri reali. Ma esistono anche numeri reali non razionali: abbiamo visto poco fa che non è razionale il numero v'l. Ciascun numero reale che, come v'l, non sia razionale dicesi irrazionale. In virtu di questa definizione, ogni numero reale è o razionale o irrazionale. Si chiama asse reale la retta, o asse, tale che ogni suo punto è associato, nel senso indicato, a un numero; un punto di tale retta è considerato razionale o irrazionale, secondo che sia rispettivamente razionale o irrazionale il numero a esso corrispondente. Si osservi che la definizione di numero irrazionale qui adottata equivale alla seguente: ciascun numero reale non suscettibile di essere espresso sotto forma di rapporto a/b fra due numeri interi dicesi numero irrazionale.

I numeri reali 51

3.2 Le rappresentazioni decimali. Il numero 1/3 può essere individuato facilmente sull'asse reale, perché esso corrisponde a un punto di trisezione del segmento di estremi e l (fig. 8). Si consideri ora la rappre-

°

1

0"3

1

I

Fig. 8

sentazione decimale di 1/3: 133 0,333 33 ... = W + 100

"3 =

+

3 l 000

+ ...

Questa scrittura esprime 1/3 come una somma di infiniti termini; e anche se il numero dei suoi addendi è infinito, tale somma ha un valore ben determinato, ossia 1/3. Se si segnano sopra l'asse reale i punti associati ordinatamente a 0,3

0,33,

0,333,

0,333 3,

... ,

si ottiene una successione di punti che converge al punto 1/3; questa circostanza è illustrata dalla figura 9, dove 1

3" I Il 0.30 0,33

o

0,5

Fig. 9

l'unità di misura è stata opportunamente ingrandita. In modo analogo qualunque altro numero decimale non finito corrisponde a un determinato punto dell'asse reale. Nel caso del numero decimale non finito 0,999 99 ... , il punto corrispondente è quello a cui convergono ordinatamente i punti associati a 0,9,

0,99,

0,999,

0,999 9,

0,999 99,

ecc.

Come mostra la figura lO, tali punti convergono al punto 1 in pieno accordo con l'eguaglianza, stabilita nel capitolo precedente, 1 = 0,99999 ...

S2 l numeri reali 0.99

Il

o

1

Fig. lO

Ora, riprendendo in considerazione il numero q

=

0,101 001 000 100001000 001000 0001.. ... ,

che abbiamo già presentato, troviamo che anch'esso corrisponde a un preciso punto dell'asse reale. Questo punto può essere considerato come quello cui converge la seguente successione di punti: 0,1, 0,101, 0,101001, 0,101001 000 1, 0,101001 000 100 001, ecc. Poiché q è un numero decimale non periodico, esso è irrazionale e il punto che gli corrisponde è pure irrazionale. Quanto precede suggerisce un'altra interpretazione dei numeri reali. Precisamente: i numeri reali sono l'insieme di tutti gli sviluppi decimali, finiti o infiniti, quali per esempio: 17,34

2,176,

- 6,03722222 ... ,

q

=

0,101 001 000 1...

Le considerazioni svolte nel capitolo precedente ci consentono di distinguere questi sviluppi decimali in numeri razionali e numeri irrazionali. In questo ordine di idee, i numeri razionali sono quei decimali che sono o finiti o periodici; i numeri irrazionali sono invece quelli non periodici come il numero q di poco fa. Inoltre, siccome abbiamo visto che ogni decimale finito (oppure ogni decimale che, come 0,430 00... , presenta una successione infinita di cifre tutte eguali a zero) può scriversi effettivamente sotto forma decimale periodica non finita, nulla ci vieta di scrivere d'ora in poi tutti i numeri razionali come numeri decimali periodici non finiti. (Cosi potremmo scrivere, per esempio, 0,43 nella forma 0,42999 ... ; ciò, che a prima vista può sembrare una complicazione, si rivelerà molto utile invece a semplificare le nostre ulteriori considerazioni).

I numeri reali

53

Ci proponiamo adesso di dimostrare che i numeri reali ammettono un 'unica rappresentazione come decimali non finiti. Questo val quanto affermare che due numeri decimali non finiti sono eguali soltanto se essi sono identici, cifra a cifra. Perché tàle rappresentazione decimale non finita è unica? Per rispondere a questa domanda, consideriamo due numeri le cui rappresentazioni decimali non finite siano diverse fra loro e ragioniamo come segue. Dal momento che le rappresentazioni sono distinte per ipotesi, esse differiscono almeno per una cifra: per esempio a = 17,923416 ... , b = 17,923415 .. .

Al posto dei puntini che nei due numeri ora scritti seguono rispettivamente la cifra 6 e la cifra 5, il lettore immagini scritta una qualunque successione infinita di cifre qualsiasi purché non tutte nulle. L'escludere qui il caso di una successione infinita di zeri ci consente di asserire che a è senza dubbio maggiore di 17,923416, circostanza che, in forma simbolica, si scrive:

a> 17,923416. D'altra parte b è al massimo 17,923 416, essendo eguale a tale numero solo quando le infinite cifre che, nella rappresentazione del numero considerato, seguono la cifra 5 siano tutte eguali a 9. Questa proposizione relativa a b si scrive simbolicamente:

b < 17,923416 oppure

17,923416 > b.

Dalle precedenti diseguaglianze cui soddisfano a e b segue:

a> 17,923416 > b; quindi è:

a>b. Siamo cosi giunti alla conclusione che a è maggiore di b e questo fatto esclude che i due numeri considerati siano eguali. Il nostro ragionamento è stato svolto nel caso di due numeri particolari, a e b, ma esso vale in generale per qualunque coppia di numeri aventi rappresentazioni decimali non finite distinte.

54 l numeri reali

3.3 L'irrazionalità di

V 2.

Esporremo ora la classica dimostrazione indiretta dell'irrazionalità di V2, mentre nel prossimo capitolo daremo un'altra dimostrazione della stessa verità, ricorrendo a un procedimento molto piu generale. Nel Capitolo l abbiamo dimostrato che i numeri interi pari sono chiusi rispetto alla moltiplicazione e cosi pure gli interi dispari. In particolare il quadrato di un intero pari è pari e il quadrato di un intero dispari è dispari. Supponiamo ora che V2 sia un numero razionale; si può allora scrivere:

con a e b numeri interi. Facciamo l'ulteriore ipotesi, essenziale per la nostra dimostrazione, che la frazione a/b sia ridotta ai minimi termini; precisamente, ci appelleremo alla circostanza che a e b non siano entrambi pari: se fossero entrambi divisibili per 2, a/b sarebbe riducibile. Elevando a quadrato ambo i membri della precedente eguaglianza e riducendo alla forma intera, si ottiene: a2

2 = fj2 ,

a2 = 2b 2•

Essendo 2b2 un intero pari, anche a2 è un intero pari e quindi è un intero pari anche a; allora si può scrivere a = 2e, dove e è un numero intero. Ponendo 2e al posto di a nell'eguaglianza a2 = 2b 2, si ha: Ed essendo 2e2 un intero pari, anche b2 è un intero pari e quindi è un intero pari anche b. Siamo cosi giunti alla conclusione che a e b sono interi entrambi pari, mentre, per ipotesi, la frazione a/b è ridotta ai minimi termini; tale conclusione dunque è assurda e quindi possiamo affermare che non è possibile esprimere V2 in forma razionale a/b. Pertanto V2 è irrazionale.

l numeri reali 55

3.4 L'irrazionalità di

v' 3.

Per dimostrare che v' T è irrazionale, si può ricorrere a una dimostrazione analoga a quella della irrazionalità di v'l" esposta nel precedente paragrafo, giocando in questo caso sulla divisibilità per 3 invece che su quella per 2. Come lemma, dimostriamo che il quadrato di un numero intero è divisibile per 3 se, e soltanto se, il medesimo intero è divisibile per 3. A tale scopo, notiamo che ciascun intero divisibile per 3 è del tipo 3n, mentre ogni intero non divisibile per 3 è del tipo 3n + 1, oppure del tipo 3n + 2. Allora, dalle identità: (3n)2 = 9n 2 = 3 (3n 2), (3n + 1)2 = 9n 2 + 6n 1 = 3 (3n 2 + 2n) 1, 2 (3n + 2)2 = 9n 12n 4 = 3 (3n 2 + 4n 1) 1, segue immediatamente l'asserto. Supponiamo adesso che v'3 sia un numero razionale, in modo che si possa scrivere:

+ +

+

./v 3=

+ + +

a

b'

essendo a e b numeri interi. Come nel caso di v'l", si supponga che a/b sia ridotta ai minimi termini e quindi che a e b non siano entrambi divisibili per 3. Quadrando ambo i membri della precedente eguaglianza e riducendo a forma intera, si ottiene: 3

a2

= 7J3 '

a2

=

3b2 •

Poiché il numero intero 3b2 è divisibile per 3, anche a2 è divisibile per 3 e quindi è divisibile per 3 anche a; allora si può scrivere a = 3c, dove c è un numero intero. Sostituendo nell'eguaglianza a 2 = 3b2 ad a il simbolo 3c, si ottiene: (3C)2 = 3b 2,

9c 2 = 3b2,

3c2 = b 2•

Si vede pertanto che b2 è divisibile per 3 e si conclude che anche b è divisibile per 3. Tale conclusione però contraddice l'ipotesi che a e b non fossero entrambi divisibili per 3, cioè che a/b fosse ridotta ai minimi termini; quindi v'"3 è irrazionale.

56

I numeri reali

3.5 L'irrazionalità di

V6 e

quella di

V2 + V 3.

Le dimostrazioni dell'irrazionalità di V2 e dell'irrazionalità di V3 erano fondate sulla proprietà della divisibilità dei numeri interi rispettivamente per 2 e per 3; invece la dimostrazione relativa a V6 può essere svolta ricorrendo indifferentemente alla divisibilità per 2, oppure alla divisibilità per 3. Cosi, volendo procedere come abbiamo fatto nel caso di V2, potremmo supporre che fosse:

V6=~

b '

con a e b numeri interi non entrambi pari. Elevando al quadrato ambo i membri di questa eguaglianza, otterremmo:

E osservando che 6b 2 è pari e quindi è pari anche a 2 , dedurremmo ancora che a è pari e potremmo scrivere a = 2e, ove e è un numero intero. Avremmo cosi:

Dall'ultima eguaglianza segue che 3b2 è pari e cosi pure b2 e, di conseguenza b. Ma, avendo supposto che a e b non siano entrambi pari, dobbiamo concludere che V6 è irrazionale. Il lettore può giungere alla medesima conclusione attraverso la dimostrazione, che lasciamo a lui di svolgere come esercizio, analoga a quella dell'irrazionalità di V3. Come ultimo esempio di irrazionalità, fissiamo ora l'attenzione sul numero V2 + V3, che dimostreremo essere irrazionale mediante un ragionamento nel quale si farà uso dell'analogo risultato ottenuto per V6. Supponiamo che V2 + V3 sia un certo numero razionale che indichiamo con r; cioè:

V2+ V3 =r.

l numeri reali 57

Elevando a quadrato ambo i membri di tale scrittura e riducendo ove possibile, si ottiene:

2 + 2 V6 + 3 = r 2 ,

2

V6 =

r2

-

5,

V6 =

r2 - 5 --::-2-

Poiché sappiamo che i numeri razionali sono chiusi rispetto alle quattro operazioni addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione (con divisore non nullo), riconosciamo che (r 2 - 5)/2 è un numero razionale; ma V6 è irrazionale e quindi siamo giunti a un'eguaglianza assurda. Allora concludiamo che (V2 V3) è irrazionale. Anzi, generalizzando la precedente dimostrazione, possiamo affermare che, dato un generico numero intero n = ab, tale che Vn = V ab è irrazionale, l'espressione Va Vb è irrazionale.

+

+

Problemi 3.5 1. Dimostrare in due modi diversi che il quadrato di un numero intero è divisibile per 5 se, e soltanto se, l'intero considerato è divisibile per 5. a) La prima dimostrazione venga svolta tenendo come traccia quella esposta per il caso di divisibilità per 3. Si cominci con il verificare che ciascun numero intero può essere scritto in una, e una sola, delle seguenti cinque forme: 5n, 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3 oppure 5n + 4. b) Per la seconda dimostrazione, si ricorra invece al Teorema fondamentale dell'aritmetica, che il lettore può trovare nel Capitolo 1 oppure nell'Appendice B. 2. Dimostrare che V5 è irrazionale. 3. Dimostrare che

v15 è

irrazionale.

4. Dimostrare che V5 + V3 è irrazionale. 5. Dimostrare che 6. Sia IX-l

IX

=

V'-Z è

irrazionale.

(alpha) un numero irrazionale; dimostrare che anche l/IX è irrazionale.

7. Il numero O è razionale o irrazionale?

58

I numeri reali

3.6 La nomenclatura di cui facciamo uso. Il linguaggio a cui ricorriamo per designare le varie classi di numeri fa parte della nostra eredità storica e quindi non è né conveniente né facile modificarlo anche se talvolta alcuni vocaboli possono sembrare strani. Per esempio, in ogni discorso, allorché si descrive qualcosa come «irrazionale », si intende affermare che questa cosa è priva di buon senso e quindi irragionevole. Ma è ovvio che non dobbiamo ritenere i numeri irrazionali esseri irragionevoli! Evidentemente i Greci rimasero esterefatti quando scoprirono i numeri irrazionali, perché avevano fino ad allora creduto che, dati due segmenti qualunque (e pertanto anche il lato e la diagonale di un quadrato), esistessero sempre degli interi a e b, tali che il rapporto fra le lunghezze dei segmenti assegnati fosse a/b. Cosi il termine «razionale» in matematica si riferisce a siffatti rapporti di numeri interi, mentre il termine «irrazionale» allude all'inesistenza, in certi casi, di un qualsiasi rapporto di questo tipo. Per indicare due segmenti il cui rapporto è un numero razionale, viene usato anche l'aggettivo «commensurabili». Precisamente, due segmenti commensurabili sono tali che l'uno può essere « misurato» per mezzo dell'altro nel senso che ora indicheremo: se esiste qualche numero intero k tale che, quando il primo segmento viene diviso in k parti eguali, ciascuna di lunghezza I, il secondo segmento risulti misurato da un numero intero, e sia m, di analoghe parti di lunghezza I, allora il rapporto delle lunghezze di due segmenti siffatti è: kl mi

k m

cioè, tale rapporto è razionale (fig. Il). Quando invece due -1-+ I

I

2

:3

2

:3

Fig. 11

I

k-j

I

k

m-i

m

l numeri reali

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segmenti sono tali che il rapporto delle loro lunghezze è irrazionale (come accade, per esempio, nel caso del lato e della diagonale di un quadrato), la precedente costruzione non può essere assolutamente eseguita per quanto grande si scelga k (e per quanto piccolo si scelga l)! Si dice allora che i segmenti assegnati sono in commensurabili. I numeri come V2, ~ 24 o, piu in generale, della forma Va, essendo a un numero razionale e n un numero intero, si dicono radicali. Anche la denominazione «numeri reali» ci viene dal passato. Se avessimo dovuto scegliere oggi un nome per tali numeri, forse li avremmo chiamati « numeri a una sola dimensione». In ogni caso, i numeri non appartenenti al campo dei numeri reali non devono essere riguardati come enti « irreali». È possibile che il lettore abbia già sentito parlare dei numeri complessi, dei quali i numeri reali costituiscono una sotto classe. Un numero complesso è un numero della forma a + bi, dove a e b sono numeri reali ed i soddisfa all'equazione quadratica i 2 = - 1. Riportiamo tale definizione unicamente per completare la descrizione delle classi di numeri; essendo oggetto di questo libro lo studio dei numeri reali, non ci occuperemo infatti dell'ampia classe dei numeri complessi.

3.7 Un'applicazione alla geometria. Molti libri di testo di geometria presentano lacune in quelle dimostrazioni in cui intervengono i numeri irrazionali. Imperfezioni siffatte si manifestano ogni qualvolta un risultato viene dimostrato rigorosamente nel caso razionale soltanto, mentre il caso irrazionale è appena accennato. Questa circostanza ricorre spesso nella dimostrazione del seguente teorema: 3.1. Siano A, B, C, A', B', C'i punti di intersezione di tre rette parallele tagliate da due trasversali (fig. 12) ; allora è:

TEOREMA

AB BC -

A'B' B'C' ,

essendo, per esempio, AB la lunghezza del segmento di estremi A e B.

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I numeri reali

Fig. 12 Questo teorema può essere usato per dimostrare il teorema fondamentale della similitudine fra triangoli: i lati corrispondenti di due triangoli aventi gli angoli ordinatamente eguali sono proporzionali (fig. 13). Questa proposizione, a

Fig. 13 sua volta, spesso è impiegata per la dimostrazione del Teorema di Pitagora e quindi i due teoremi dianzi riportati si possono considerare i fondamenti della trigonometria e della geometria analitica. Dimostreremo qui il Teorema 3.1 nel caso in cui il rapporto AB/Be sia irrazionale, poiché il caso in cui il medesimo rapporto sia razionale si trova riportato in quasi tutti i testi di geometria elementare e quindi lo supponiamo noto. Prima di intraprendere la dimostrazione del Teorema 3.1

J numeri reali

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quando il rapporto AB/BC sia irrazionale, sarà utile stabilire la validità del seguente enunciato: TEOREMA 3.2. Se m ed n sono due numeri interi positivi tali che m/n < AB/BC, alloraèpure: m/n < A'B'/B'C'. DIMOSTRAZIONE. Dividiamo il segmento BC in n parti uguali, delle quali diciamo IX la comune lunghezza cosicché è: BC = nlX. Successivamente stacchiamo m di queste parti di lunghezza IX sul segmento BA, ottenendo cosi il punto D. Dimostriamo dapprima che D cade fra B e A, come nella figura 14. A tale scopo, cominciamo a osservare che, essendo BC = nlX e BD = mlX , possiamo scrivere: DB/BC = mlX/nlX = m/n. Per ipotesi è: m/n < AB/BC ; quindi segue: DB/BC < AB/BC. L'ultima diseguaglianza permette di asserire che è DB < AB, poiché le due frazioni che in essa compaiono hanno egual denominatore. Allora, essendo il segmento DB piu corto del segmento AB, si conclude che il punto D cade internamente al segmento AB. Per ciascun punto della nostra suddivisione, tracciamo ora la parallela alla retta AA' e sia D'il punto corrispondente di D sopra la seconda trasversale (fig. 14). Avendo supposto

A D D' +----------' 0(. Ora, dall'ipotesi

l numeri irrazionali 73

che u e v sono primi fra loro, segue che, nella fattorizzazione di w in numeri primi, si presentano tutti i fattori primi divisori di u e alla medesima potenza con cui compaiono nella fattorizzazione di questo numero in numeri primi. Quindi u è un divisore di w; la prima parte del teorema è cosi dimostrata. La seconda parte, piu generale, è suscettibile di una dimostrazione analoga. L'ipotesi che u e v siano primi fra loro ci permette di asserire che sono primi fra loro anche u e vn • E di nuovo segue che il fattore vn non influisce sulla circostanza che u sia un divisore di vnw, cioè u deve essere un divisore di w. Pertanto il teorema è completamente dimostrato. Dopo tali premesse siamo in grado di affermare e dimostrare la seguente proposizione: TEOREMA 4.3. Sia una generica equazione polinomiale a coefficienti interi;

cnxn + cn_1xn- 1+ cn_ 2x n- 2+ ... + C2X2+ c1x+ Co = O;

(l)

se a/b, supposta ridotta ai minimi termini, è una radice razionale dell 'equazione considerata, allora a è un divisore di Co e b è un divisore di cn .

Anche qui, prima di dimostrare questo teorema, illustriamone l'enunciato con un esempio. Si abbia l'equazione: 2X 3

-

9X2

+ lOx -

3=

o.

Il teorema di cui ci stiamo occupando afferma che, se a/ b è una frazione razionale ridotta ai minimi termini radice dell'equazione data, allora a è un divisore di - 3 e b è un divisore di 2. Quindi i valori possibili di a sono + 1, - 1, + 3, - 3 e quelli di b sono + l, - l, + 2, - 2. Combinando questi valori fra loro, si ottiene il seguente insieme di tutte le possibili frazioni razionali a/b:

+1

+1

+1 +2' +3 +3 --=T' +2'

+1' --=T' +3

+1'

+1 -l - 2 ' +1' +3 -3 - 2 ' +1'

-1

-l

-1

--=T' +2' -2 ' -3

-3

-3

--=T' +2' -2 .

Gli elementi distinti in tale insieme sono soltanto otto;

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I numeri irrazionali

precisamente: 1, - 1, 1/2, - 1/2, 3, - 3, 3/2, - 3/2. E, come il lettore potrà verificare direttamente per sostituzione, soltanto i numeri 1, 1/2 e 3 sono effettive soluzioni dell'equazione considerata. Veniamo adesso alla nostra DIMOSTRAZIONE. Sia a/b una radice dell'equazione (1); allora, sostituendo nella (1) a/b ad x, si ottiene:

cn(:)n +cn- 1(:

(2)

)n-l+ ... +C )2+C1(:) +co=O; 2(:

questa espressione è identicamente vera. Fissiamo dapprima l'attenzione sul caso di n = 3, poiché in tal modo riuscirà piu facile al lettore seguire il nostro ragionamento; in seguito svolgeremo analoghe considerazioni per il caso generale. Quando si ponga n = 3, la (2) diventa: C3

(:

r r +C

+ Cl (:) + Co = O;

2 (:

moltiplicando ambo i membri di quest'ultima per b3 , si ottiene: c 3aa + c 2a2b + c1ab 2

(3)

+ coba = O,

che può scriversi nella forma: caa a =

-

c 2a2b - c1ab 2

-

cOb3 ,

ed anche nella forma: caaa = b (- c 2a2

-

c1ab - cOb2).

Si vede cosi che b è un divisore di caaa; applicheremo allora il Teorema 4.2, identificando u, v e w rispettivamente con b, a e Ca. Le ipotesi di questo teorema sono soddisfatte, poiché, avendo supposto a/b ridotta ai minimi termini, a e b sono primi fra loro e b, come abbiamo stabilito dianzi, è un divisore di caa3 ; quindi sarà vera anche la tesi, ossia b è un divisore di Ca. Resta cosi dimostrata la seconda parte del Teorema 4.3 nel caso particolare di n = 3. Scriviamo adesso la (3) nella forma:

I numeri irrazionali 75

oppure nella forma: cOb3 = a (- c 1b2 - c 2ab - C3a2). Si vede cosi che a è un divisore di cOb3 • Come dianzi, si può applicare a questo punto il Teorema 4.2 e concludere che a è un divisore di CO. Per n = 3, il Teorema 4.3 è quindi completamente dimostrato. Nel caso di n generico, la dimostrazione è altrettanto semplice. Riprendiamo l'equazione (2); moltiplicando ne ambo i membri per bn , si ottiene: (4) Cnan+Cn_lan-lb+ ... + c 2 a2bn- 2+ c1abn- 1+ cobn = O, che può essere scritta nella forma: cna n = - cn_1an-1b - ... - c 2a2 bn- 2 - c1ab n- 1 - cobn, o anche: cnan = b (- cn_1an- 1 - ... - c 2a2bn- 3 - c 1abn- 2

-

cobn- 1).

L'ultima scrittura mette in evidenza che b è un divisore di cna n. Interpretando b, a e Cn rispettivamente come gli interi u, v e w del Teorema 4.2, si può concludere che b è un divisore di cn • Si riscriva poi la (4) nella forma: cobn = a (- cnan- 1 - ... - c 2abn- 2 - c1bn - 1), dalla quale risulta che a è un divisore di cob n. Identificando ora gli stessi interi u, v e w del Teorema 4.2 rispettivamente con a, b e Co, è possibile affermare che a è un divisore di Co e completare cosi la dimostrazione del Teorema 4.3. Avremmo potuto abbreviare le considerazioni che ci hanno condotto alla dimostrazione dell'ultima parte del teorema precedente, osservando che l'equazione (4) presenta una certa simmetria, nel senso che fra b e Cn intercede la medesima relazione che sussiste fra a e co. Esaminiamo ora il caso particolare in cui sia Cn = 1. Vale allora il COROLLARIO

xn

1. Sia l'equazione a coefficienti interi:

+ cn_1xn - 1 + cn_ x n - + ... + C X2 + CIX + Co = 2

2

2

O;

se essa ammette una radice razionale, tale radice è un numero intero. Inoltre questa radice intera è un divisore di Co.

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I numeri irrazionali

DIMOSTRAZIONE. Sia a/b una generica radice razionale dell'equazione assegnata. Possiamo sempre supporre che b sia un intero positivo, perché, se b fosse negativo, per renderlo positivo basterebbe cambiare segno ad a. Per il Teorema 4.3, b deve essere un divisore di Cro , ossia di 1. Il numero 1 ammette come unici divisori 1 e - l; quindi, avendo supposto b positivo, deve essere b = 1; di conseguenza, qualunque radice razionale della nostra equazione è del tipo a/l, ossia è un numero a intero. Ma, per il Teorema 4.3, sappiamo anche che a è un divisore di Co ed è quindi completamente dimostrato il nostro enunciato.

+

Dimostrare che V7 è irrazionale. Il numero V7 è soluzione, per esempio, dell'equazione X2 - 7 = O, per la quale, ricordando le notazioni dianzi introdotte, si ha: C2 = 1, Co = - 7. Si può procedere in due modi diversi. Un primo procedimento è quello di applicare il Corollario 1 e di ragionare come segue. Se X2 - 7 = O ammettesse una radice razionale a/b, tale radice razionale dovrebbe essere un numero intero. Ma v7 non è un numero intero essendo compresa fra i due numeri interi consecutivi 2 e 3; ciò si deduce dalle seguenti diseguaglianze: ESEMPIO.

RISOLUZIONE.

4