Notas de álgebra

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ISSN 1853-709X

Fascículo

22

Cursos y seminarios de matemática Serie A

Enzo R. Gentile

Notas de álgebra

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2011

Cursos y Seminarios de Matemática – Serie A Fascículo 22

Comité Editorial: Carlos Cabrelli (Director) Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Gabriela Jerónimo Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Claudia Lederman Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Auxiliar editorial: Leandro Vendramin Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] ISSN 1853-709X (Versión Electrónica) ISSN 0524-9643 (Versión Impresa) Derechos reservados © 2011 Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires.

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ciudad Universitaria – Pabellón I (1428) Ciudad de Buenos Aires Argentina. http://www.dm.uba.ar e-mail. [email protected] tel/fax: (+54-11)-4576-3335

; FASCICULO -

\.

carsos ' . ' yhs'eminarios de mateméltica

BIB; IOTECA W M555039:aef3 F‘FH‘: :25 5:522:12 3:53 Exams 5

EMU fl. gentile

NOTAS' DE ALGEBRA‘" 533503 l

UNIV‘E'RSIDAD DE BU-ENOSV AliRES FACULTAD

DE ‘CIENCIASA EXACTAS

Y ; NATURALES — DEPARTAMENTO ‘DE MATEMATICAS

I 9455

Di ProvenZa, 11 mar, il‘suol. . . chi dal cor ti cancelé ? . . . .

Digar‘nos desde ya qfie estas NOTAS no con'stituyen una exposiciénde la t'eoria de grupos abeiianos. La eleccién den éstos, para la exposicién obedece‘fundamentalmente a razones de tipo didactico y formative. Recorde—

I'nos al Iector que Ias mismas estén destinadas a cubrlr ei material 'de Uh s'egundov curso

de algebra para 'estudianies de Matemética,‘ coniinuacién

‘un primer curse, como se dicta

en la

de

Facultad de Ciencias Exactas de la

Universidad _de Buenos Aires. Tai vez sea ne'cesario justificar nuestro pun-

to‘de vista en la eleccién del material.

'

El Esq‘uema Moderno de la Malemética — més propio tai vez que reierirse a... la Matemétiéa Moderna - ha insospechadamente introducido di-iicu'|tades en la ensefianza de la Mateméfica en todos los niveles de la misma dignas de ser consideradas.

Es, sin duda algima

el espiritu de Iageneralidad uno de los ingre—

dientes esenciales en el moderno desarrolio de la Matematica.

Sin embargo

la generalidad es siempre un medio y nunca- debe lie—

gar. a ser un fin por si misma. De lo contrario ... alli comienZa el mal ..-._ Es - vox pOpuli - que H ahora si se puede ensefiar matemética de mane_ ra que guste y se entienda 'i. Mucho hay de cierto en ello pero aigo tam-' bier’I de falacia. Muchas veces ocurre y muchas mas ocurriré que incon—,_ . _ cientemente no se esté ensefiando Matematica sino introduciendo sisteméticamente notacién' y terminologia. No nos oponemos a que se dé en los cur-

sos mucha hotacién y terminologia, muchos,

siempre que se demuestren teoremas,

si es posible.

'

'

Sefialemos aqui, y de paso, que en la ensefianza de la mateméflca y muy especialmente del algebra, en el nivel secundario, dencia a caer en el tipo de diflcultades apuntadas.

hay' urIa gran ien—

es un hecho que diiicuiiades de tipo pe‘dagégico se produceI-‘I En iin . en todos los niveles de la ensefianza, motivadas por la concurrencla de' inc-r , _/

tores como son:

el descontrol de |a generalidad

Ia falta de motivacién la carencia de ejemplos y teoremas Ia formalizacién excesiva

" - '

AI planear el curso de' Algebra II,

dictado Ios segundos cuatrlmes-

tres de los afios 1963 y 1964, la Idea principal fué soslayar el tlpo de dlflcultades. sefialadas anteriormente y dar asf al curso algo que es también In-

grediente de la Matemétlca, a saber: vivencla. _ Cualesqulera hayan sido Ios resultados obtenldos, tras lntenctones.

esas fueron nues-

'

La elecclén de un- tratamiento elemental de la teorfa de grupos abellanos, _ nos pareclé adecuada para aquel logro. Nos apresuramos a admltlr que otras elecciones son posibles, por supuesto, y en ese senfldo no hacemos nlngfin tlpo de aflrmacién. Agreguemos que el dlsponer del hermoso ll—

brlto de I. Kaplansky, sobre Grupos Abellanos lnflnltos facilité enormemente la tar-ea.

,

La Inoluslén de una segunda parte sobre Anlllos, fué moflvada por un 'deseo de ampliar el panorama algebraico y motivar el estudlo de la teorfa‘ de modulos. SI blen no efeptuamos nlngfin tratamiento de los mismos, estas No-

tas constituyen un trabajo preliminar adecuado. Esperamos 'también‘de estas Notas el servir de estfmulo a ampllar y profundizar cuestlones, como ser: la misma teorfa de grupos abelianos, estructura de anlllos 'y cuerpos, cu'erpos p-édicos, algebra homoléglcas En

"ese sentido Una orientaclon puede obtenerse de la bibliograffa al flnaLde las Notas .

Para concluir queremos deJar constancla de nuestro profundo’ agradeclmiento a Ios Partlclpantes de Ios cursos de Algebra II antes sefialados, sln

.......r. . _ ._‘...._....._._~...-

cuyo interés y estfmulo, estas Notas simplemente no existirfan. En particular este agradeclmiento recae en L.Recht,

cuyo estfmulo ha sido mfiltiple.

Con gran generosidad F’.L_lorente y H.Kaplan leyeron gran parte del manuscrlto salvando errores e lmperfecclones. Quedamos aellos rnuy agra-

decldos . lgualmente expresamos nuestro reconocimiento a la Dra. Cora R. *de

'Sadosky que facilité laincluslén de estas Notas en la Serie de Cursos ySe— mlnarios.

\\

CAPITULO I

grupos §I.

-

I

a bellanos

(ENEMUJMEES

1. 1. Defihiciénz. ' Llamaremos grupo abeliano a todo objetg < A,+, 0 > ‘ ml, conjunto A

-

I

.

formado por 7

-

u_na ley de. pom’posicién + : A x,A —)" A que indicamos con

+(X.y)' = X+’y y denominamos sums. -- un elemento 0 E A juntamente con las propiedades siguientes: .gL-a.‘1)

ésociatividad: cualesquiera sean

x + (y+z)

g. a. 2)

a

x’EA , y EA ‘ '

y + x

0 :28 elemento neutro de ia sumé. es decir, cualquiera séai. x 6A.

x +

g. a. 4)

(x+y) +_ 2

conmutatividad: cualésquiera sea. x + 'y

g. a. 3)

=

x E A , y E A , z EA

0

I

O + x . =

x

+ .es lej de éompoéicidncon inversa. es decir, para todo' x 6 A ' existé

'

. , ‘

yEA talque

x+yi

'0 I,

1. 2. Nofacidn: ‘

n1) '

‘

~ ‘

cién A , pafa denotar al grupo 'abeliano < A,+, 0 >

I

mos

y I -x

sea 5: 6 A

n3)

~

k + y 8' 0

‘

r

éséribi-

.

-(fx) I x ‘, cualquiera

I

Si_ A es un grupo abeliéno, are A, ,z 6 A esqribimos , i - z I x+ (42) . Es fécil vér-entonces qfie ,-(x+ &) = ,(-x) - z = -x - z .

1. 3. Definicién:

Sea A un grupo abeliano y x E A . I Si

:1 (-1 N definimos por recurrencia:

1.x-x

(n+'1).x I n.x+x

Si 0 6 Z dendta cl entei-o cero, definimos 70.x

mez,

=

0

m B' tal que el diagrams.

A

¢/

.¢'

B ‘—B'

13' es conmutativo. I

Demostracidn: 1)

Sea para cada 3. € A

'= {y/y'=x'+a

'[a]

,~ x'€A' }.

Notemos errtonces 1a validez de las siguierites propiedades:

1)‘ [a1] = [a2] . siysdlo at al -‘a2-I€ A' 1‘)' [a']

2)

' 51 y 5610 si a' € A'”

.

[0]

[a1] =‘ [3.2]

[01] = [c2] ===?

y

Sea entonces B = { [a] / a (-3 A}

. .

[a1+c1'] = {a2+ c2]

. Definimos en B La siguiente ley de

composicidn:

[a] + [c]

= [we]

da per 2) . La buena definicién de‘ esta ley de composicidn estalgarantiza

slobre B un, grupp Sigue inmediatamente que esta ley de qonp osicién'defipe abeliano.

Si escribimos

se tiene

de manera que

'

.

I

13 *

- [a]

[-a]

Sea.

fl : ‘A"—‘-"B la. aplic'acién definida. po'r

Ma) = [a] cualqgiéra sea ,8. G A fl

es.l__m homomo'rfismo de gmpos abeliénos que. satisface':

fig . =‘ A'

(:)

En efectg,

"¢(a+°) = [a+c] = [a] +‘ [c] = WNW). -\

a€N¢ D

e1 homomorfismo de A/A’ en D tal que

@o {D = 9.

_ Entonces ‘

F) ' N@ =

'

mm .

. ,

b)_

Si .9' 'es un epimorfismo entonces 6) es un epimorfismo

c)

Si N9" -= A' entoncés (9 es un monomorfismo

d)

® ~es .im isomorfismo si 37' 3610 si 9' es un epimorfismo de micleo A' .

-

‘

.

L.

1. i7. Coro..a.rio: .- '

1)

Sea. -W :A —> B un‘homomorfismo de grupbs abelianos. E-‘ntonc'es

Im(§f) =1

A/N‘gTI

En particular,‘ si U es un epimorfismo

B a ii) -

A/N‘fi

En la situacidn dei teorema anterior, 51 q es un epimorfismb y si‘ademés identificamos

Im(¢)

con

A/Nq‘

(segfin i) ) se tiene e1 siguiehte isomor-

fismo

A/Nv: D a (A/AD/(A/Nfi) ' iii)

Sean A1 , A2

tificaciones

subgrupos de A .tales que

A1 C A2 . 'Entonces Iconllas idea

pertinentes , existe e_1 siguiente isomorfismo

A/Az

C (A/Al) /_ (A/Az)

Demostracidn:

Dejamos a1 lector 1a grata‘taneé de probar e1 teorema y su Corolario.

' 1. 18.'Ejem1_)10: Sea ademés n/m .

Sean n y m enteros positives.

Consecuentemente (m)C(n).

Se tiene e1 siguiente isomorfis’mo

(n)/(m) . = nZ/mz “—1 Zm . Tr = z/(%) . . En efectp, sea e1 homomorfismo

g : Z ——>'nZ/mZ ‘deffnido por la composicién

fn. Z ——9 nZ —> nZ/mZ Entonces O

5

"'€=>x=-IE--x'

'xe'(£,;) ‘18

,

x'€Z

-

xiNg @D-nazamz % {1.x = m.x‘

x'€Z

‘\

\_.

. iior lo ‘ténto, én virtugl ded_1. 17, i) ,. y dado que g' es un epimorfismo, ,xtesulta _‘

'z/(%) = zm

.nZ/mZ d

_Tf'

"r

-

,

.

como queriainos .démostrgr. Asf, por-ejemplo

z4

3z/1zz r_v_

Ejercicios:

' Sea H un grupo abeliano. .1.

Sean A' y B subgrupos de H . cdnsistente de todas las sumas

Probar que el subconjunto denotaQO con A+ B , a+ b ,

a. 6 A ,

es un subgrupo de _H,

,

b E B

, minimal en el sentido siguiente: 51 K es uri subg1:up¢_) de H qu_e contiene a. _A ~

A.+ B recibe el nombre de suma'de'A y B'.

y B entbnces contiene a. ~A+ B .

2.-

I

Establece-r e1 siguiepie isomorfiémo

(A+B)/B?:'A/(A nB_)3.

Sea

C CB ,

estabiecer e1 siguiente isomorfismo

(A+B)/(A+C)_"_."B/((Br\A)+C) 4.

‘ Sea

C C B , ‘ estébiecer e1 siguiente isomorfismo

(A flB)/(A NC): (C+(A ABM/C

5.

Sea

13 : H —>H'

‘un homomorfismo de grupos abelianos A , B ‘subgrupos de ' I

H y A', , B' subgrupos de 'H" Sean B C A _, B' CA'

’_

finico homomorfismo

y

f(A)CA' ,

.

f ': A/ B -—VA'/B'

f(B)C. B' .

Probar‘que existe ufi'-

.

.

‘ ‘ '

que hacé conmutativo a1 'diagrama _

A -—L>A'

l

A/B'—>_ f

l

A'/B'

. '

-'

‘ ’ 1.9_

dondq los homomorfismoé verticales son los canénicos.~ _f. se_dice inducida' 20:

i.

Probar que

N_ = (A+f'1(B') )/B f

_f(A/B) = (f(A')+ 30/13! *** \

§ 2 .

GRUPOS ‘ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS. EJ'EMPLOS

Sea A un grupo abeliano y sea X un subconjunto-d6 A .

2. 1. Proposicién: » Existe un subgru.po X' de A con‘las propiedades siguientes: ‘

a) '

X C X'

b)

Si B es subgrupo de A tal que

I X C. B entonces~ X' C .B .

X" se dehomina e1 subgrupo engendrado por X .

Demostracién:

Si X = p

entonces X ' = 0 'Satisfacé las cqndicipnes de la. Propdsicién.

Si Xf p

entonces e1 subconjunto X' de todas las sumas finitas :1 mixi/

_,

miez

,

xiEX

es un subgrupo de A que satisfacie a.) y b) .

2.2; Definicién: .Séa B. an subgrupo de A y X_ un subconjunto de B'tal que X' =. B .

Llamaremos a. X un sistema de‘generadores- .dé B . 2. 3. Progosfcién: E1 subgrfipo de A engendi'ado por lé. unidn de una familia { Ki} de subgrupos coinc_i de con la totalidad de sumas finitas 20.

:i xi

A

donde para cada _i ,

Este subgrupo se suele indieap con la notacién‘

x: 6 Ki .

Z1 Ki

.

‘ ~, .' 3:";

y si la familia es firfita 9:62} I

K1+...+.Kn.

_

‘

_'

Demostracién:

..

.

Queda a cargo del lector.

2. 4. EjemEl :

A= Z

Sa

y sea {K1, . . ,Kn} una familia finita de‘subgnupos de Z .

ces enteros no negativos

Entonces si "con

k1,

Ki = kiZ .

, kn tales que

3e tiene que

K1+...+Kn.

=

(k1,..,kn)z

En efecto, notemos primeramente que

se tiene 1a inclusidn

d/ki

=,

dz

implica

—

Ki 8 kiZ C dZ , por lo tanto'

K1 + . . . + Kn C. dz .

Ahdra e1 subgrupo K1 + . . .- +Kn segfifi vimos anteriormente‘

+ mnkn .

Q.

Supongambs algfin k1 f 0 .

d = (k1, . . ,kn) denotamos e1 maximo comfm_divisor del conjunto de

enteros (k1, . . , kn}

para algfin h 6 .N .

Existen entog

Existen entoncea enteros .ml, . . , mn

KiCKl-l: . . . + Kn 8 hZ ===$

For 10 tanto h/d , o equivalentemente

es‘ de la forma hZ,

tales que h_= m1k1.+ . . .

h/ki' cualquiera sea i= 1,...n .

dz ChZ ; K1 + . . . + Kn .

Nuestlra afirmacién queda probada.

'

g

2.5. Definicién:

,_

.

- '

Z

.

.

,

Un grupo abeliano se dice finitamente generado si posee un sistema finito de gg

1)

I

neradores.

Se dice ciclico si posee un sistema de generadores con un sole e13

mento. Si { a1, . . , an} escribimos

es un sistema de generadores de un'gruPO abeliano A ,

A =' (a1, . . , an) .‘

Sea A un grupo abeliano y sea a e A. Sea

f ‘ Z —’ A e1 finico homomor I

fismo de Z en A tal que f(1) = a .V Si (a) denota- 91 subgrupo de A engen ' ‘

-

drado por a, s'e tiene:

21'

' 1

‘5-

I~

"

.

.

,

r , ,

‘

V '.

‘

A

u ‘

,.

- . - ,

. ‘l

"1) ' fi‘z‘it'; ‘ (a)? ' ; 2)

ii) 7

(a). g .z/Nf

Di_remos que_ a tiene orden infinite si -Nf>= 0 , 6 sea siA (a) ,

Diremgjs que a tiene orden finite iii)

Sea 1p un Anfimero primo.

Z .

k (k (-2 N) 51 Nf = (k)

Diremoslque’ un grupo abeliano A _és un p-grupo si

'todo a e A tiene ofden una. potencia pj , j e Z , j >,_ 0‘ . Demgs ahbzfa y a manera. de ejemplo 1a siguiente

2. 6 . Proposicién:

Todo Subgrupo finitamente generado ‘7‘ 0 de Q es ci’clico e isoniorfo a

Z .

Demostracién:

Sea Of H un subgrupo dé _Q y sea.

X = [#1, . . ,xn}

H . Existen entonces'enteros pi , qi' ,

qif 0 ,

Sea q el producto de todos los denominadores qi . caéién

fq :H—} Z , por fq(f) = q.tV.

un sistema— de generadores de.

1 S i 5n

tales que

:5:i = 91/q .

Esta bien definida. entonces la ap1_i

Siendo ademés un _monomorfis'mo, ‘

N Ii) 1:". Z . H—q

Ejercicio‘s :

1.

Probar que un grupo afiéliano A eé ci'clico si y S610 si existe un homomorfis-

mo sugectivo de Z en A. . 2.

' 3.

Probar que todo subgrupo de ungrupo cfclic‘o"es ci’clico.

Prqbar que si A es mi grupo abgiiafio,

orden k si y 5610 si Card(a)'= k . ' 22

a EA _y k6 N entonces' a posee

Sea 'A un grupo abeliano finito de ofden n . Probarlque si a e A y' k (2". N , ' entonces

orden de a =

1:

sad si k / n:

Sean k e N , p e N primo y A un p-grupo.

Sea fk : A ——) A e1 endomor

fismo fk(x) = k.x . Probar que 'fk es unautomorfismo si y 5610 si 9 4' k . Sea A. un grupo finito de orden imEar.

f2 :A —> A de A , definido por

Probar que e1 endomorfismo

f2(x) = 2.2: 'es un automorfismo.

Sean A y C grupos cfclicos.‘ Probar due A d C

si y 5610 si

Card(A) = Card(_C) '

Sea A un grupo abeliano finito .

ces

Probar que si A' es subgrupo de A entoh-.

Card(A) = Card(A') . Card(A/A') .

Probar que si

.

(Teorema de; Lagrange).

f : A;——' B es un homomorfismo y _Nf = nficleo de f ,

I‘(f) = imagen de f son grupos finitamente génerados, entonces A es finitamente generado.

. 10.‘

Probar que Q no es un grupo finitamente generado y.no es subgrugo de ningfin

grupo finitamente generado.‘ 11.

Dé ejemplqs de subgrupos propios de Q , que no>sean finitamente genera‘dos.

12.

Probar que enIQ/ Z todo subgrupo finitamente generado es cfclico.

13.

Probar que en todo grupo abeliano finitamente generado existen subgriipos .ma- ' ximales (propios) . ‘ .

14.

Sea

_

.

'

.

- '

f : A——>B un homomorfismo, tal que Nf e If son finitos.

>. Probarr

que A es finito.

' 23 ,

-

\ 2. 7. 'Progosicién:

Sea A un grupo abeliano finitamente generadot Entonces todo subgrupo de A es fiqi;

, tamente generado. Demostfacién:

Vamos a razonar inductivamente en e_1 afimero de elementos de un sistema de generaag '\

res.

Si A posee un sistema. de ganeradores que consta de un 5610 elemento, entenges Supongémosla demostra-

A es ci’clico y en este caso 1a proposicién esté. demostrada.

da para todos los grupos abelianos que admiten un sistema de . k s n Sea. A un grupo abeliano que admite un sistema

_

dores.

X I {xv . ”xn ,

Sea A' e1 subgrupo de A engendrado por {x1,_..,xn}

p0 cociente y 95 : A —> A/A' e1 homomorfismo canénico

.

xn+1

.

generadores. de genera-

Sea A/A' él grg

Notemos que la hipéte-

sis inductiva es aplicable a A/A' y A' por ser A/A' cfclico (en efecto, esta gene- ~

rado por ¢(xn+1) ) y A' posee un sistema de genéradores con :1 élemenifos. Sea B un subgrupo de A. Entonces A'f'\ B

rados. Si 95" denota 1a restriccién de 46 Nucleo ¢' = A'fl B y asI te generados.

y

MB) son grapes finitamehte gane-

a B se tiene que

¢": B‘-——> 56 (B)

{6' es un homomorfismo con nficleo e imagen finitamen-

Para ver que B as finitamente generado'usamos e1 Ejercicio 9.-. 2. 6 .

2. 8. Corolario:

Un grupo abéliano' A es finitame‘nte generado si y 5610 si toda cadena ascendente .de subgrupos

(')

AIC

A2C°"'AiCAi+1C

es estacionaria, 0 sea, existe un i’ndice vno tal que

A1'1o para todo i E N .

24’

a

An°+i

‘..

'

’

_ De-mostrlalciéni Sea A finitamente generado y sea 1a cadena' (') de subgrupos.

Entonces 1a reunidn .

For e1 teorema anterior

A' es finitarnente .ge

es subgrupo de A.

A'_:lkfg A1

nerado, digamos per {3.1, . . ,am}

i = ’1, . . , m .

‘

.

Entonces

ai {Aki , para ciertoa Indice's k1 ,

_

ai 6 Ali para todo i , por lo tantp A' = Ak con lo que (') ‘

Si k = maxtki}

entonces

es estacionaria.

Reciprocamente, si toda ~sucesién creciente es estacionaria, vamos

a probar que A es finitamente generado.

Razonemos pdr e1 absurdo, suponiendo que 7

todo subgrupo finitamente generado de A es distinto de A. nimos un subgrupo de A finita'mente generados

An

Para..cada. 11 e N detri-

como sigpe:

A1 = O . Si An ha sido definido, entoncés' An f A ‘ y existe asf un subgrupo IAn+1 de A , finitarnente generado y distinto de An que contiene a An .

For 10 tantci que- 1 1

da determinada asf_una sucesidn de subgrupos de A estrictarnente creciente, no éstacionaria: una. contradiccign.

2. 9. Ejemglo: Subgrupos de

»

Zn = Z/nZ . agape de restgédulo n .

TilLos subgrupos de Zn estén en cprrespondencia biyebtiva con_ ios subgrupos d_e Z qu'e

contienen a nZ ..

E‘sta correspondencia estfi dada de la manera_siguiente.

Sea. if: Z.—’ Z/nZ de Z Ique contierie a entonces

.

e1 hbmomorfiscandnico. Entoncés si H es un subgrupo 11 Z ,

¢(H) es subgrupo de Zn .

Si U .es subgrupo d‘e nz-n

¢'—1(U) es un siibgru'po de Z qué contiene a. nZ . ~ Es entonées is. apnea:-

cién 95 la que induce 1a biyeccién e11 cuestién.

Asf por ejemplo, los subgrupos dé . I

Z12 vistos a través de un diagrams. de 'Hasse son

' ,

z

ch

A)” 122

A 'zi'ifi/ ' /&'33

J CC

32 I.

z12

25

' i

1 En particular, 51 n I p1 105 subgrupos de zpi apn exactammte

Zpi -.I z/piz 3‘

pZ/piZ D. .3pi'1 Z/piz 'D 0_ . Ahora obsérvemos que

pZ/piZ es isomorfo a

Z 1-1

en forms. natpral.‘

p1.

-A.nélogamente

Zpi-j _i/piZ ,

Veamos ahora cdmo podemos identiflcar

' ciente hacerlo para- j I. 1 .

i >,j .

zpi-j a un subgrupo de Zpi .

Serfi sufi-

Sea. e1 diagrama. siguiente

Z —cg'——+,Z/Pizf a

if? H

z —>".‘_

7-fp(m)Ipm.

2/1»1 .12

donde W y ¢" Son‘ 165 hombmorfiSmos c'anénicos. Existe un finico homomorfismb,' ' U;: Z/pi-IZ —} Z/piZ ' que héce con’mutativp aquél ciliagrama, 0 sea, tal que” \

.¢' 6 fp I U- i 95" . Sea m e Z. Dejamos a. cargo del lector 1a verificacién d_e que

U(¢"(M)) I ¢'(fp(m) = ¢'(pm) I p ¢'(m) esté bien definida, es decir, U.(¢"(m)-) depende unfvoéamente de ¢"(m) y no de m . de la fprma. 95"(m)

Como tado elemento de Z/pi 1 Z es

para algfin; m E Z , ,U; séré e1 homomorfismo pédido. Affirmi-

mos gue U; as inxectivo. En efectd, U£( ¢"(m) ) = 0 si y 5610 si fi'(pm) I' 0 ,' 0 sea 31 y sélo si I-pi divide a. pm 0 equivakntementé si y 5610 si pi'l dividé a m 36 sea;

si y 5610 si ¢"(m) = 0 , lo cual .prueba. que U;- es inyectivor. rAhora, y no, antes, 'pod'g ' mds identificar los éubgrupos de

zpi~ = .z/piz D pZ/piz. D 'pZz/piz D .. 'DpiilZ/piZ;?.0. 1

.

774919 zpi_'1-D zpi_2'_')_. .--_DZP'392:;§_ las .inclusiones, 'en esta. filtimasucesién dadasu por.1as aplicagjonés U; ya. definid-as; 2'6

.

O

2. 11 . Observacién:

Sea

1'=¢'(1) 6 Z

identificacién de

Z i

P -1

car 1" con p.1' .

¢"(1) = 1" 6 Z i- 1 (ver diagrama ahterior) entonces 1&. ' ' P

pi!

a uh subéfupo de Zpi por medio de U; consiste en identifi- '

Por ejemplo, si 22 = {0,1} , Z4 = {0,1,2,3} ,entonceszz-

se identifica a1 Subgrupo {0, 2}

de Z4 .

_

\

e2.

€10

0 .

0 i

'

_

332

0

* * #

.V

27

§ 3 . ' EJEMPLOS DE GRUPOS ABELIANOS, Hom(A,B) y zpoo

3.1. Definiciéh: Sean A y B grapes abelianos,

fismos de A en B . f,g € Hom(A,B) .

Sea

Sea

sea Hore(A._Bt) e1 conjun_to de todos los homomqrr .:

definido por I (f+ g)l(x) = f(x)+ fig)

(f,g)—"-f+ g 0 : A—> B

mos que el objeto .

51

.0(x)= 0 .

Entonces afirma- .

es un grupo abeliano.

En s'i', se trata-de 1

uqa verifi-caeien. iamediata, sin embargq hay uh detalle que conviene mostrar explfcité

-mente. _E1 eiguient'e: que

f+ g E Hom(A,B), si f,g E Hom(A,B) , depende esencia‘l'."

mente-d'e ser 1a ley -de composicién en B , conmutativa.

En efecto,.‘

"

f(x+y) +Ig(x+ y)

(f+g)(x;l-y) =

f(x) + f(y) + g(x) + g(y) f(x) + g(x) + f(y) + g(y)

(f+ g) (x) + (f+ g) (y) ' Sean ahora

U': A —> A'

,

Viz' B —’ ‘B'

homomorfismos de grupos abelianos.

Estas aplicaciones inducen naturalmentelos siguientes homomorfismos:

U*(B,).

U* _: Hoin (A',B) —‘-> H‘om(A,‘B)

IV*(A‘)

V*

: Horn (A ,B) '"'—> Hom(A,B')

definidos por las composicione‘s

U*(f)

f a U ‘ ,

V*(g)

V o g

,

f€.Hom(A',B), 'gE Hom(A,B)

La naturalidad de ;U* y ,V* es 1§a1 que si por ejeinplo

y

fismo U(x)= nx

tonces también - Si por ejemplo

-.28

V :B"—‘* B

U'*(f) = nf A = A5 ,

‘*

y

U= IA-

U : A —> A es el homomog-

el homomorfismo ‘V(y)= ny , donde "n E N en» '-

V*(g) = ng

. f,g E Hom(A,B) -

aplieacién identidad de A .56 tiene

f 123(3) '7 1110mm, B.)

'

I y tamb1énuna relac16n analoga-para e1 aaso B = B' , ' V = 1B .

Otrapropledad'dué'ébiiyie‘ne destacar es acerca de la composiaién de homomorfismos}

gags; UA_, A." *," 51*?1 nan—J, B' ‘ énfpnc‘ea

'

.

=A._, A"

y

v2 :B-',.—> B"

-

(U2 9.._U1_.‘).=.,'_“(B,.),_ .

U: (B) p,_U*2‘,.(l§)

(vzov1)*;(A) = y; (A) :O’Vi‘ (A) Es conveniente utilizar up diagrams. para fijar las‘ideas, por ejemplo en el primer caso, se tiene 1a situaciéh:

A,.

U1

' (UzaU1)*(f) :

aplicacién identidad de A 'se tiene

En gartigular Si A" = A y U2 0 U1 8 IA :l: (B) .'= .(U2 0 U1)*(_B) ‘= IA -~ I. . 139193.53).

' '

=

r U1* (B) 0 U2* (B) .

Se tiafié {afiibi'ér'ifinal'réiaci-dn analéga" para el case B = B" , V2 0 V1

3.2; Ejer'nglosi ' 1.

Cualquie‘ra sea él grupo abeliano A

‘ .n¢a

[g] e1 hon10mo'rfismo canénico de Hp

en Hp/ Z . Sea @: Z 4—4 Hp/Z la. aplicacién definida por £130).

@(n) = Ellpi]

(i E N

(j) es unhomomorfismo1 Calculemos N@ = nucleo de_ 9. Es claro que

0 I [n/pi] é===

n/pi f. Z' 0 equivelentemente

o ='@(n)’

pi divides: n

é===é

0 sea N@ = pi.Z- , de manera‘que

( ZmL Notemos que la reunién de todos los subgrupos

tbs-[I/pi]

[1/ pi]

eng-endrados por los elemen-

es exactamente Hp/Z , por lo tanto

['9’

. 'Uzn

Hp/Z

n6 N

P

'U

y. ésto sugiere 1a notacidn -que adpptamos de ahora en adelahte-

z

p°°

=

HZ P/

propio de Z p00 , 0 sea H1 Z pa) . Sea'-H _ _. Z _. _ uniubgrupo

éxiste un Afirmamosgue _

i EhNitai que Z i =' H . 'Si H = 0 -esto es bien cierto. Sea entonces 0 f H . Bas'taré obs'ervafque para cualquier indice k E N 10s subgrupos de Zpk son exactameg _

‘f‘e' 108 i ,- j < k .

Par 10 ta-nto

para algfin j s i .

Sigue que .

p°°

1€N P

i'€N'

P

33.

N! C N, N' ihfinito ===s> H= z 00, .Pblrlotanto ‘N' es finite y si 1: denote. e1 mayor entero contenido en N' , H = Zpi . Notemos de‘ paSO que el 2 oo "niultiplicativo" es el grupo dé todas las rafces pi-simaé

complejas gie 1

, que indicamos con Gpdo ‘.

Conviene notar'también que los cocientes sucesivos satisfacen

Zfll/Zié Zp' P

paratod01EN.

P

Ejercicios

1.

Qué puede decir.de1 grupo cociente Q/Hp ? (Considere las inclusiones

Z C HPCQ , entonces Q/Hp = (Q/Z)/ (Hp/Z) , . . ver més adelante e1 teore-I ma de descomposicién de‘ Q/ Z en suma directa de sus componentes p-primé-

rias ).

2.

Generalizar g1 ejemplo de m . )9 = p1. p2 . . . Pk

y

HIP =

Sean p1, . . , pk primos distintos.

Sea

e1 subconjunto de Q de todas las fracciones de la;

1“

forma

m

i1

P1

m€Z,'

i2

ijEZ

ik

-P2--Pk

Probar que H

P

'es un suBgrupo de Q que contiene a Z .

barque-Zoo, . . -, Z p00

Hallar Hp/Z ypré

se identifican naturalmente a subgrupos de ~ Hp/Z

y todo elemento de este cociente se ascribe uni’vocamente como suma de'eleineg tos en los

Z co

.

Pi 3.

Probar, 'si 'p, (1 son nfimeros primes e i E. N

Hom(Z-

p1 ’

Z

p°°

Nz_ )._.

Hom(Zpi , Zqoo)‘ = 34

p1.

0

si pf q

\

.4.‘

'Sea Zn e1 grupo~cfc1icd de orden/h . a)

Probar que pararcada divisor k de 11 ,

k e N existe un tinieo sfibgrg

po de Zn de orden k .

b)'

Probar que s1, por abuso de notacidn,

Z

(n.m)

Z m de orden (min) ehtonces, cualquiera sea

denota e1 subgrupo de

f €Hem(Zn, Zm.) se tie

ne '£(zn) c zm’m). c)

Dar, usando b) , una nueva demostracién del isomorfismo

.‘3

Hom(;n, Zm) —' Z(n, m) ***

§4 .

. GRUPOS ABELIANOS DIVISIBLES Y DE TORSION

Sea A un grupe abeliano.

Sea n €N .

4. 1 . Definicién:

Diijemos que a CA es divisible Bor n si existe a' 6A tal que a = n.a' .

\ '7

Diremos que a E: A es divisible si es divisible por todo n EN .

’

K

Diremos que A es un grupo abeliano divisible si todo eleinento de 'A es divisible. Si‘ p es un primo y A

es un psgrupo, diremos que

Visiblepor pn pero no por pn'i'1 .

a 6A tiene altura 11 si 2.

es d_i

Diremos que a CA tiene altura infinita si a es

divisible por pn para todo n-.

_F jercicios: " 1.

Sea A uh p-grupo. Probar cualquiera sea 11 e N tal que P I n

y cualquiera

sea a 6A , a es divisible por n .

—

fl,

2.

Probar que un grupo abeliano es divisible si y 5610 si para todo n (-3 N e1 endomorfismo fn(a) =

na , es un epimorfismo

35

nua' -

Prbbar que'si A es un grupo abeliano divisible. y

_3.

f ': A—-> B

en un homo-

.morfismo, entonces f(A') es un grfipo abeliano divisible.

4.2. Ejemplo :‘

1.

Son grupos divisibles : Q, B y sus cocientes Q/Z ,

R/Z' , R/Q .

2.

Ningfin grupo finitamente generadp f 0 es divisible.

(En-efecto_, esto es ,claro

51 el grupo es ci'clico.‘ Ahqra, puesto que todo grupo abeliano no nulo finitameg . te generado tiene una imagen homomdrfica no nula que es un grupo cfclicofi‘nueg

4 tra afirinacidn resulta de1 Ejercicio 3. , 4. 1) .

4. 3. Prqlgosicién:

- Seéffib primo. Eptonces m es divisible. Demostracién:

Bastaré. probar que los endomorfismos fn , 11 e N son todos epimorfisnips.

Observemos prim'eramente que fn7‘ 0 , para todd n 6 N .

La-proposicidn re-

sultaré entonces del resultado siguiehte que'tiene ifiterés por sf‘mismo

4.4. Lema:

Todo endoniorfismo 1 0 de m es‘ un epimorfismo.Demostrécién: ,' _ _'Reco-I_rdemos quetodo subgrupo propio de zpoo es finito. Sea entonces f , un endomorfismo no nulo de Zpoo .

Sigue que Nf es finito.

Siendo Zpoo infinite de-

be ser fizpag) infinite. La finica posibilidad- es f(Zpoo)= zpoo Ejercicios 1._ .-

Dar unis. demostracidn directa de la propiedad de ser m un grupo abeliano di‘

visible. (Notar Ejercicio 1, 4.‘1. ).

36

'

‘

4.5.

__ ..;.

Probar que los finicos subgrupos de m que son divisibles 5611 0 y 2pm .

2.

3.

. ;._._-_.__a~=a!

Jn

J1

J1

Ji

i=1...

Ji

ifi)‘ A = ZjAj yparaiodo k€J

An: k

A.

J

jeJ-{kg

=

o

Demostracién:

La. dejamos a cargo .del lector.

En la situacién de la Proposicién precedente escribimos

A =®jAj Notemos explicitamente el caso finito

=

_J = {1, 2} .

1:91;]. 0 sea, si A1 y A2 son 'subgrupos de

A entonces

A

=

'

' " A AIEBAZ 81y561051

=

t A1+A2 y AlflA2

=

0

45

\

Las «

" _ i

r“

5-. 10.Proasiciér1: Sea A un grupo abeliano y sean A1,..;An subgrupos de A.

Entonces A as su_!

_ma directs. interna de dichos subgrupoa_51 y 8610 si existen endomoffismOa pj de A , - . 3')

j — 1...,n tales que: Pj‘A)‘ = A.

J

b)

Pjopk=0

.C)

IdA= P1+...j+p

sijfk

. ( b) y p) 56 expresan diciendo qu_e los endgmorfisinoaV‘pjf'ac-mstitgyeifi‘ung Eartiéid-q

ortogonal del endomoi‘fismo, identidad tie a. ) . Demostrac 116m

Sea A suma directa de la familia de subg111po_s A1, . . ,An , 81- a €~..A-e1:iste un

_fii1__ico conjunto _f_inito {al' . . , an} can

ai--.€ Ai {18.1 que

.Es c1a1‘o entonces due queda asi‘ definido para cadet.T ' j = 1,

.11 una apligacign

pj:A—-3A por

Es inmediato que pj es un endomorfismo y que pj(a) = Aj . Ahora si jj k' exitog 085

(pk-pj(a) = pk(aj) =_ 0 por la misma. definicién de pk .

"a

Finalmente

=

2111-. . . + an = p1(a)_+ ? ._. + pn(a‘)._'l

=

(91+ - . .‘+ Pa) (a)

y Ié)’ queda verfiicada.

/ ‘

Re‘EiPrOcamente,.sean pj endomorfisrhos de A qfie satisfacenv”a'.i)r,-'Ib);':'c.)'-'.IV . '5.) y c) implicaninmediatamente queztpd-o a é A se escritge

46

=va+....+'

Seaahora

Notemos primeramente que b) y c) implican

Sea

pi o pj = pj

en virtud de a) ai-eiA tal que aj = pj(aJ!) .

para todd j = 1, .‘. ,n.

Entonces

P113»? ' Pj( 9143-5) )

aj - Pj(aj)

(p. - p. o p.) (a!) J

=

Hem'os profiado pues que si

'a.€A_'

ai€Ai. Vamosaproharqua-

,

0 = 3.1+. . .+a.n

con

aj 6‘ A3

J

J

J .

~-

0

entonaés "aj = pj(aj) .

Entonc as

,0

=

pj(0)_ = pj(a1+

+an)_ =

pj(-p1(a1)+-. . . +pn(an))

‘Pj(l(aj)) = P.(a) = a. (*) quads. probado y asi’ 1a Propbsicidn.

5. 11. Definicién:

Sea A un grupo abeiiano.

Llamaremos familia‘ de' gruilos' abelianos y homolhor -

fismos asociada a A a todo objeto indicado por


A , para cada j E J

\

47-.

5§.12. Definicidn:" A Diremosqfie unafami11a. ;(A ,- Aj , pj ‘,. ij > -' es directa si

do'nde Id]. =' ’epddinbiffi'smo identidad dé ..Aj . - 5. 13; Ejemglo:

. Sea {Ajyj-E J una familia de grupos abelianos Iy sea A su produdtqdirecto.

En-

tonces,

1533,11) < A,A., donde pj denptan lgs ‘prdyecciones e ij las inmersiones , es una familia directa. Anélogaméntereemplazando A por la suma directs. S y tomando las restricg-ior-

'fiesde p‘j a. S.

5. 14. ProB-r osicidni

' Sea (A , A. , p! ,7 1]!) J

J

una familia' directs. finita (0 sea; j = 1, . .n). Sea

6 EB— A. ——~ A J

J

.

el homomorfismo inducido por los hombmorfism'os iJ! : A]. —9 A . Entonces U‘ és un ispmorfismo si y 3610 si se sétisface

n ‘

'l

V

[i=1 1j ° pj

=

Id

A

. Demostracién: 1 Si ‘9‘! es un isomorfisx'no, ’entonces para todo a E A existen elementos a. e A j= 1,..,n t'alés que

48

.

.'/-'

-

-

.

.--

\

por lo tanto, para todo E = 1,:.,,::. res’ulta

/

We" 5:1 911”???) = Zij(‘-’1': ° 15’3“éj’- 5%

. yasj.’

.

V2313 (pJHan ='(_Zji.J!_ . 9]!)(a)

IdAga)

" 16 cugl demuéstra la primera pafie 8e 1a pro‘posicidn.

_Recfp1_-o¢a:ménte,"la-yalidez d’e 'Zj i3! 9 p]! = IdA- muéstra'que 31 a. e A entoni

. c_'és .

‘a- =‘ '

. iHa'.)

2J

qqh aj'= p]! (a)_ -'.

Si ,también fuera .

.3"

.

‘ =

'l Zj‘lj (aj)I

_

i‘esultarfa

ak ‘9‘!

J

J

=

v pkg)

=-

- I 'I I' =.'__ak « II ik(1j(aj))

es pues un isomorfismo;

5.15. Definicién‘: Sea. A un grfipo gbeliano. ‘Diremos que un- subgrupo .A' de A es sumaniib direc-

’52 de A si existe un subgrupo A" de A tal que A es suma’directa interim. Ele .

A! y A" . -5.. 16. Progosicién: Sean A y B grugos atbelianors'.’ EntOnces B es isomorfo a. un éumando direcfiol de A 51 y $610 $1 existen homomdrfismos

._.___.——... V. . ..

fales que

p:

A_-—>B

i:

B——*A

x .

Demostracidn;

‘

381 g :B —> A 3': un'ig‘omoi-flsgm de 3: en un sum mdo directo de‘ A hentohces A = A" 9 gm) . Set 13' : A -—’ q(B) 1a prqyéccidn de A' sabre i' : 1;] (B) .—") A la. inclusidn natural, enton c'es ' 9'

.-1

q

q (B)~ e

: B—bA

o p':A'—>-B

A

--1 fip')o(i'oq)

a

(d—lop')§ j €J'

'

'

'

una gamilia directa. de grupos y horriorhorfismos. . '

Séa A sfima directs. de la familia. _Aj : _ A =®. A. J .1

‘ Si C .

'

denofa un grupo abeliano, vamos a definir una familia directa asociada a

Hom(A, C) .

Para e110 consideram'os la familia.

{HongAr 0)}j 6 J y los homomorjfismos

pj : Hom(A, C) —_) Hom(Aj,'C) ij : Hom(Aj, C) "‘7' Hom(A. C) definidos por

ij-(fj) = fj’pJ!

31 f eHom(A,C)

'

5Pj-(f) a his "

'

31 fj €Hom(AJ-.C)

-

Efitopce's' las relaciones (para todo f-k € H.°m.(Ak’ C) ) -

“’1". 1k) “-19.- = ik(£k). i]! = (,f? pk). i]! I 'l . fk. (Pk. lj)

o_

si'kfj

; -.._..\.

£1 .4

-.v..A._... .u

fk si k=jI muestran bien que

c ‘=- 13 a (COM "3.

Sea para todo: par Tab 6 Z , .(a, b)Z H1 subgfupo de _Z 6) Z engendradq 150::(a, b), a) -

Verificar

1)

(1,352 +. (1,1)z

fly (1,3)z + (2,5)z b)_

.(_1,3)za (1,1)z f ze 2

(1,3)‘26’9 (2:5)z = .zez'”

Probar qué '(_a.b)Z +-(a',b')'z = (a,b)Z:$(a',b')Z = ze'z sfy 8619

51- 'a'.1; -‘b.a' = :1 . cj

Verificér qqé (2,‘4)Z Ho es sumafidodirecip dé Z 9 Z

d)

Probar que

(a,lb")Z _e‘s sumando directp de

2 a) Z

51 y $610 51.

m.c._d.‘ {99o} =_- --1 g 5%:

4.

‘ See. 'p e N . pfimo. > Prdbar 13. n6- existencia de fin‘epimorflsmo Q '——> m 91m

. ~Probar que no existe ningfin isemqrfismo- de Z Q’ Z G Z cm; Z 69 Z . (Gen_e_:

is:

-

5. '

ralice!)

‘

‘

'

1

V

‘I‘ {A|

'

6.

Prqbar'que si' 1 < . n €N no existe ningfin isomo‘rfisr‘no de Z 9 Zn con a - a n

7.

Sean p1, . . , pk enterqs' primes positifiros', todds distintos entre sf. ér‘obarf

. que el grupd abeliano Zp e . . . EB Z

-

-

1

Pk

es ci'clico.

' ‘

.

.

V

‘ ‘-

.

i 1

A

3

nei

8. _ Sean A y ‘B 7 grupos abelianos finitos con ('Car 1) 7 sea

fi : Ai —)- Ai+1 , i I 1, . . ,n'-1

una familia. de homomorfismds.

A la familia {A1 , {1.} 1a denominaremos una sucesidn de grupos.abelianos y homomorfis— mos.

Por ejemplo; si 11 I 3 ,. 1a. ind;camos con

:1

f2

A1—> A2 ——-} A3

(L)

Podemos definir sucesiones de grupos abelianos'y homomorfismos para. otlfos conjuntos de i'ndices, como ser ' N , Z , ‘etc; , pero esto no nos interesaré. aquf. _

7. 1. Definicién:

Una sucesién de grupos y homomorfismo {A13 f1} se dice exacta'si cualquiera sea 1 ,

‘ .

ӎ

"awn." ..

1 < i < n , se verifies. que

osea Nucleo de fi+1 I Imagen fi , Por ejemplo, decir que la sucesién (4-) es exacta significa que

N '

fz'

-

Ifl.

osea

si x€A2 entonces' J

"f2(x) :

60

0 31 y 5610 si existe y €A1 tal que x = f1(y)" .

'

EjeniflOS tg’gicds: V

‘ ' ‘ ' I

'- - - '

-

Denotergosmor abuso dé 'nptagign, con’ 0 91. cru‘po ghélianfi: con un solo "elemenibg 'En";

tonces cualquiera sea el grupo abeliano A '. existe mi anico ho'inomorfismo 0 _

‘ .1 A:

a sabei), e1 qug aplica '0 envel elemento neutro (tambiéh indiqado hon 0 ) de A Hepha esta convencién, pgsemos a 105 ejemplqsé

a)

0—-) A1 L» A2

‘es exacta si y 3610 si f ‘ es inyectiva.

b)

A1 -f—> A2 —‘—7- 0

es exacts. si y 3610 si f es suryéctiva.

c)

. 0-4-9131 L>A2——r 0' es exacts. 81 y sélo si 1’ es biyectiva

7. 2. Definicién: :

Llamaremos sucesidn exacta corta. a. todah’sucesién exacta de grupos y homomor'fjs- ' mos de la forma

rg o——>A'——rA—vA"—>o - 7.3. Ejemglo:

Si A' es un subgrupo de A', A/A' e1 grupq cociente y f : A'——* A la’inclusién de

A' en A, g : A —-)A/A' 1' ta.

'

.

e1 homotnortjismo ca‘ndnico, se tiene 1a sneesién exacts. 06;; I . \

\

o—->A' —->A —>A/A' —‘ 0 En particular, si A II. Z ,

A’ = (1:) e1 subgrupo de Z 'engeqdrado porelfevlementp

k e N , se tiene 1a. sncesién exacta‘

0—>(k)—->Z—*Zk-—>O

-7. 4. Otros ejemglos:

1.

’ .

Sea 11 em. La apli’cacién fn : z——.> z , definida' poxfn(x)' = 11 2:

E61! '

’,

' cs inyectiya-y aetiéqé la. 'shcesién émct'a f

, _f o——>z —n~ z—g—‘(zn—> 0-. donde g denota e1 homomorfismo candnicorde Z an 2,139) ' , Zn Sean n,m nfimeros naturales y sea. d! (mm) entohcea 4

, 0 sea

(m)C (d)

e1 subgrupo engendrado por m esta'contenido en el subgrupo engendrado por d , a'mbos en _Z .

Par 10 tanto existe un homomorfismo suryectivo g : Z/(m)'.——9 Z/(d) talique" el~-dia.grarna

_i,z

l:

Z/(m)—g7 Z/(d)

es conrnutativo, donde 1a aplicacién horizontal 1 es la aplicacién identidad y las verticales son los homomorfismos canénicos .

Vamos a aalcular Ng .

Sea pues

g(S) = 0 ,

S €Z/(m) . Existe s EZ ,

tal que 5 —> S en el homomorfismo canénico dé Z en Z/(m)-. En vinyls}. .de la connmtatividad del diagrama anterior

o-sea' '

SE 0 mod. d

s I‘d.k

Si escribimos

,

k€Z

,d I m.r+ n. t ,

r, t e Z , se tiene

5'5 .m(rk)+ n63)

dd

donde, pasando a1 ceciente por Z -——>- Z/ (m) se 1:;iene

s= n.S'

' ,Reciprocamentetsi

,

S'€Z/(m)

" S= n.S' ,

’9' S,S'€1Z/(m) y s’-—>S' entonces usando

1a- conmutatividad de1 diagrams. afiterior 62

, a, 7 Age:

.VEje'mflos tmiéo‘s! - I' U

$- —

j

I

Denotergosmér abuso '35 .119t39i6i1. con 0 ,él grupo gbelianp- (l:(;n un solo 'eiemenfb, flu-5

‘ tonces cualquiera sea el grupo abeliano A , existe mi We mfioéorfismo '0 __, Afi.

a. sébe'r, el que aplica ‘0 en el elgmeut‘o neutro (tambiéh indicadoEAn 0) do A.

'

i '>

Hecha esta convencidn, pasemos a los ejemplosf

a)

0——> A1 L» A2

~eta exact; 81 y sélo si f, e‘é inyectiva.

b)

A1 L) A2

es exacts. si y 5610 si f és suryéctiva

c)

_

‘—r 0

0.—I'A1 iwAz—r 0' es exacta si y'sélo 31 f es biyectiva.

7- 2- mum: _ 5.

Llamaremos sucesidn exacts. corta, a todaisucéesién exacts. de grupos y homomorfis- a

. .

.

mos de la forma

A f. g o—yA',—vA—>A"——>o

7. 3. Ejemplo:

Si A' es un subgrupo de A', A/A' el grupo cociente y‘ 1' :AH A la. inclusién de

.

AI en A, g : A ——>A/A' ‘ e1 homomorfismo cahdnico, se tiene la. sucesién gxacta'ooglu A \

K

ta

0—’A.'—+A—>A/A'——) o

\

En particular, 51 A I‘ Z , A' = (1:) e1 subgrupo de Z 'engendrado porefiglementp k C N . se tiene- 1a. sncesién exacta

0——->(k)——>Z'—*Zk—70

7. 4. Otfos ejemglos: ,

1.

Sea n €N .

La aplicacién fn : Z -——_7 Z , definida. por

fnb‘: =

nx

—

is inye‘ctiva'y se-tiéng 1a sficesién éxacta:

: ‘

\

'

"' " ‘

‘

fn

0——> z —? z—g—> zn——> 0.

donde g denota e1 homomorfismo canénico de Z en 2,] (g) ' 22h . Sean n,m mimeros naturales y sea. d I (n,_m) entoncea 4

(m)C (d)

. 0 sea

e1 subgrupo engendrado por m estfiicontenido en el dubgrupo engendrado pox: _d , a'mbos en Z .

Par 10 tanto existe un homomorfismo suryectivo g : Z/(m )i—->' Z/fd} tgl'que e1 diagrams.

i

/(m)-—g-> Z/(d)

es conmutativo. donde 1a. aplicacién horizontal 1 es la. apliéacién identidad y". ' -1as verticales son los homomorfismos canénicos .

g(S) = 0 ,

Vamos acglcular Ng . Sea pues

;

‘

S€Z/(m). Existe sez‘,

tal que s —> S en el homomorfismo candnico de Z en Z/(m) -. ~En virtu‘i de la conn'mtatividad del diagrama anterior ‘

SE 0 mod. d s I'd.k

Si escribimos

,

osea' '

k€Z

d I m.r+ n. t ,

r,-t e Z ,.se tiene

s .8 m(rk)+ 11(1):)

de

donde, pasando a1 cociente por Z --—> Z/(m) se fiene

s = n.S' Re‘cfprocamente, si

S= n.S'.

,

S'€Z/(m) ,

S.S' CZ/(m) y s'—$S' gntonces usando

1a conmutatividad del diagrama afiterior

62.

V Ag_(S) I [n-,s"] I {a/a €__Z y =

a-‘En‘fg'mod.d}

0 , pues ‘nEO modL'd

Hemos demostrado entonees que Ng I {n.S' / S' e Z/(m)}

Par 10 tanto se

tiene 1a sucesién, no necesariamente exacts. ?

n

(H)

0——>

Zm

g

n '_+

Zm—+

Z(n’m)—+

0

donae En es la aplicacion inducida eli Z/(m) par

fn-:Z—+ Z

.

. fn(x) = nx.

Lavsucesién (") es eiacta si y 5610 si ¥ni -es inyectivo. Traténdose de aplica-l ciones entre conjunto’s finifos (") es exacta. entonces 51 y 5610 91 1; es biyecti va 0 equiva'lefitemefite si y 3610 51‘. Z

(n; m )

8 0 0 sea (n,m) 8 1 .

La. forma exacta de '(") sefl'a. pues i

g

(Ii—‘_> n.Zm-—> Zm:—_‘>'Z

(mm)

.3

0 -,

'si con n. Zm denotamos la‘totalidad de elementos d_e Zm. de' la. forms. n.S . S E Z/(m) , donde ahora hi es la-inclusidn.

7; 5, Definiéidn:

‘ Sean

($1.):o' .

rA"

7_A

A' I

_(Sz):0——*'B"'"‘>J

.

,0

k

B——*;

.

-B'!_..-—> o

..

aucesiones e’xactas. Llamafemos hombmérfismo de (81) "en (82) a fab terfna (u' 5 u , 'u'f) formada. por homoinbl‘fismos. ul : Al '__;. '3!

u ': A -"—.> B u"§A"

I :3"

~63

axe-s q‘u’e, é'1_. diagram -‘

o _

> A' s ; A

>

1‘“ l“ l

(D)

0 —’ Bl _j_> B——> Bu—p 0

es conmutativq

..

Si adema's las apl‘icacipnes u' , u , u'l son biyectivas decimos-

que (SI) y (82) son isomorfas.

7. 6. Progosicién:

Sean 1as sucesioriés exactas (SI) , (52) de la. definicién anténior. a)

Si u' : A' ——> B' ,

u : A —> B

son homomorfismos que hacen conmatati-

vo e1 cuadrado de la izquierda de (D) ,

b)

Entqnces

o

-

I

Si u : A ——> B , u" :A" —> B" son homo¥norfismos que fiacen conmutatg-

vo,e1 cuadrado de la derecha de (D) EXISTEN, respectivamente, finicas éxtensiones .de los pares

S (u',u) ,

(u, u") a ho-

momorfismos (u',u,u") de (SI) en (82).

Demostracién:

Veamos a) .

Para construir u" , sera suficiente probar que

Nt' C Nkou

(k a u) (Nt) =_ k( u(Nt)) = k( u( s(A') )) = k( j( u'(A') H

C k(N'k) = 0

‘

u" o t = k 0 u . b) Para construir u'

sera suficiente probar que u( s(A') )C. j(B') .

En efecto, .si esto liltimo es cierto, bastara definir

u'=j'19uos lo cual tiene sehtido pues 64

j'l : j(B') —> B'

‘

'

-

De- esta manera existe un finico homomorfismo u" : A" —>' B" tal- que

Emmet k(u(s(A'))'\)f- u"_(t(s(A'))) I 0‘ _¢_!e manera que

. was to: I 0 -‘

u( s(A') )C “I: I. ,j(B')..

7. 7. Lema_de los cinch: ,

a)

En todo diagrauia conmutativo de gmpos abelianos ~y homomorfismos

O

con'filas y columnas exactas, A3 ——> 33 es mi hdmomorfismo inyectixhrov. _ En todq diégramé conhutativo de grupos abelianos y homomorfismos‘l

b)

II

IA2

1

-

61

d1 .

.-

‘

1

y

X

l.

g

5

A4

A3 .

f1, 2

32 —9 133 ——> B4. —>513

_~ i

——->

_

, o

k ’ "'

l

_

L.\.

o .

lcon mas y cblumnas exaétas. A3 —‘>' ’33 es un homomorfismo suryeCtWO'

-

7.8. Corolario:‘ ' Sea. e1 'siguienfe diagrams conmutativo con mag exacfas

V

.

-

v1 :1 wi

v 0—; A'——>' A——-> Ate—>0 o—> B"——> B—>- B"—> o 65

.' L

entonce-s

-l '

' f',f" f',f"

-,

"

'.

t

‘

E'.‘ '- ">_-

"u'.

r’..:::-,

,-

monomorfismos. ===%’

f

inonomorfismo

===n>

f

epimorfiiggno

epimorfismos

x_,

.

f'af" 1%9mez‘fism95. ’ ..-,“.".i91.. .f. isomofiésmm f',f

isomorfismos.

f, f"

isomorfismos‘tj'é: :: 33%

Demostracifiilz'de 7._7 .

‘

====>

‘

f"

ispmogfiémo

_»f',

isomqrfismo

. .

.

Probaremos solamente b) , dejamés e1 resto como ejercicio. Sea b3EIB3 .

x(b3) € B4

f(v'v(a4)) =

ysiendo e suryectivo e(a.4).s x(b3), i4€A4‘_

z( e(a4)) =

z(x(b3)) I

0', pues 29x :-

0.

Siendo f inyectiva , se tiene.‘ w(a4),s 0

Existe entonces a3 €A'3 tal quel~v(a3) = a4

x(d(a3)— b3) = x(d(a3))- m3) . e(v(a3))—:5(b3) = é(a4)- x003)”: x053): i603) 5‘ of Existe entonces b2 €32 tal que‘ ‘y(b2) = d(a3) - P3 También, existe a2 6A2 que satiéface c(a2) '8. b2 . Sea

a3 - u(a2) €"'A3

'

d (a3_~u(a2) ) = d(a3) - d( u(a2)) = d(a3) - y( m2) )‘1. ' . d(a3) "y(b2) = d(a3)_- .( d(a3)- b3 ,)

lo cual demuestra que (1 es sygyeptivé’. 66

l

*-

,'- . 9. iiijemplo: .

Sean n,m €N téleS'que n/m y sea r = m/n . 'Entonces e1 homomorfismo

Af:Z—> nZ ,

f(k) = n.k si k€Z

y su reétriccidn f“ a1 subgrupo rZ de Z indu‘cen un homomorfismo 3.

0

f- if if"

>rZ

>Z

>Zr

0—>:mz—>nZ —> ' Ahora,

f' y f son isomorfismos.

morfismo.

nZ/

70

mZ_—> o

En Virtud del lema de los cincd,

f" es un iso-

For 10 tanto-

s'i n,mez , n/m

zm n : nZ/mz

como ya demostramos anteriormente. '

1.

_

:

'Ejercicios:

Séa O ——') A' L) A __g_> A'? ——7 0 exacta. Probar que existé un isomog' fismo. de ‘esta sucesidn en la siguiente-

'q——'> Ng—'—>-A—> A/Ng—.> o . -..-

(Estoflemfiestra'gue lag sucesionés exactas cor‘tas son_"eéencia1mente" de'la _

Jug-w

w.»

forma. d-——>A"i7A——?.A-IA"f’ 0) . 2.

\

_Séa

(A)

o

>'A." r'~A ‘3 lu'

(B)

A"

:o

1 u"

.0—>‘B'——>B—*B"-—-‘> 0

un diagrama con filas exactas (necesariamente conmutativo! ), cOn u", _u isp-_ morfismos .

‘- Prébar " e’s'i existé‘un homomorfismo -(u-. u. ‘u"') de (A) an (B) entofl ' ces es im isomorfismo.

b)

Dar ejemplos de diagramas del tipo dado, para. los cualés no existe n13 gfin hombmorfism'o (u', u, u") . ' (Sugerencia: 0 —> Z2 —>Z4 —>Zz —-> 0

o —>,z —>zzez2—>zz—>.,,OJ 2 " c)

Dar ejemplos de homomorfismé's (u', u, u") , (fi', v, u") tales que ufyv.

(Sugerencia:

0—9Z2—>Z2$Z2—>Z2—>0 0—>Zz—>Z2$Z2-’—»Z2—> 0‘

V(X,y) '

d)

? . u(x,y) I

Probar que si (u;-, u, u") , (u'. v, u") son (B) entonces

);

?

li'somorfismos de (A) en

u'1v+ v-lu 8 idA-h idA I 2 idA . ‘(Sugerencjaz seré sg

‘ficiente probar que f I v_'1u satisface (f - idA)2 I 0 .

Para. e110 notar

que s(f- idA)' 0 y _(f - idA)r= 0 ). e)_

Resolver un problema anélogo g1 b) para la situacién A' I A" = B' 8, B"= Zp ,

p primo.

Sean f : A ——> A' .’ g : A! ——9 A" homomorfismos de grupos abelianos. Sea h = g. f , e1 homomorfismo de composicién.

Nf

I

nficleo de f

CNf

Ng I

nficleq de g

CNg 8

comicleo .de g ' A"/Ig

Nh I

nfiéleo de'h

CNh a

conficleo det h = A"/Ih

.

s

Sean ademés:

'conficleo de f I A-'/If

Probar 1a existencia de homomorfismos

i:Nf—>Nh

,

t :CNf—VCNh

r:Nh——>N

,

g

,

s:N——>CN

g.

f

u:CNh——+ CNg

tal que- la sucesidn

r i Of—> Nf-—> Nh—_’Ng sea exacta.

68

s , CNf ‘5

t g , CNh

u

CNg—> 0

. §3

GRUPO'ABELIANO LIBRE

—

'Sea X mi conjunto.

8. 1. .Defini‘cién:

_

'

.

Llamaremos grugo libr'e engendrado E: X al grupo abeliano 0_ 51 'X-_- p y'é. todo

par < A , j : X_—_—>' A‘ > formado por un grhpo abeiiano A. 'y una aplicacidn . j de_ ‘ X en A con la propiedad de tipo uhiversal siguiente: (A' , j' : X —> ,A' >

cualquiera sea el‘par -

fomado por un grupo abeliano A' y una aplicacidn

j' : X —> A' EXISTE un finico homoinorfismo Q: A.——)r A tal que el diagrama.

.x—J—> A

r

' es conmutativo.

8. 2. Teorema: Cuélquiera sea él conjunto X exist'e un grupo liBre engendrado por X .

Si

(A , j :X —) A > y (B , i :X ——> B > son grupos libres engendrados por X existe un isomorfismo

Ij! : A —'—* B‘

tal que el diagrama

x—j—>A i

\

/U B

es conmutativo.

Demostracidn:

hEl teorema es bien cierto en el_ caso X = p. Sean entonces X f P y FX 61 conjugtq de todas 1as aplicaciones de X ep Z que satisfacen

\

69

--

run.

\.-

I..

fig.

{‘6' FX 4...; {Existe K c_ X , K'finito , tal que f(x) - o 51 x fix} Como es costumbre decir, f 6? FX si y 5610 si ‘f’jéé milaencas1 £636 2‘ dnto de X FX se convierte naturalmente en un grupo abeliano, a1 defihir

(f+ g) (x) = f(x)+ g(x)

I

_ si

f,g €FX

Sea j t X —> FX , la- aplicacidn que asigna a cada x €X‘ 1a funcién'é'afacteri’sfica e .

x del subéofijunto x ‘de X .i .0 .se'a" I . A

xex

I:

j(x)..

x

8'

donde ex :X ——> Z satisface:

ex(z) = 0 e(x)=

si x f z

1

X

Notemos que ahora podemos caracterizar los elementos de FX ‘como el subconjunto,

de ZX ( =' conjunto de todas las aplicaqiones,de X en Z), par

"1' € FX‘ 51' y $610 si existen x1,

(b1)

m1, . .,,m

n

. ' enteros tales que

,x'n puntos en X distintos éntr'esf y -f I- 2 n » m. e 1-1 1 X1

u

En efecto, si f €FX y KC X, es tgl que .f(x) '= 0 81 x {K ,' entonces llamapdo

x1, . . , xn a los elementos de K , se tiene que la aplicacidn E Zn'fix )e i i Xi-

F

X

satisface'

(Xi fix?) exi )(z) - :1 f(xi) exi(z) V

Y

'70

n

'

r

-_

n

_

0

. h A. v $1 Z741:i , 1 - 1, . . ,n

. n

_

de manera que Xi fixi) exi 8' f .

'

‘

La. reci’proca es inmediata.

Notemps también que si 1‘ € FX , g €FX satisfacen

n'

n f = Z1 mi exi ,

.

(bu).

g = Zj- hj 8n

y

f- g

entonces

{2:1 . xa} = m, - , x») m_ 1

a

h. 51 x,=x{ J 1 J

' 0 sea, resumiendo M y bII : f .CAFX 51 y sélo‘si f admite fina finica representacidn .-

como combinaqién lineal entera de funciones caracterfsticas de subconjuntos puntga.les de X . I Pasemos ahora a probar e1 teorema.

Sea AI' uh grupo abeliano y j' : X —+ A" ‘-

una apli-cacién._ En virtud de (bI) y (bII) podemos ‘aso.ciar uni’vogamente a todo f €"FX un elemento de 'A’ que indicarhos con 9(f) , éomo sigue: n

‘

6(f) = Zk mk j'(xk)

51

n

f = Zk mk eX k

'

g=:de

f=:m'e.,'

Sean

x€K f1?

x€L x X

K C X ,_,- L C X‘ subconjuntos finitos Entonces

.m

9(f+g)= 6( Z

xeK-L

= (5'—

xE‘K-L

mx jl(x) +

x

Z

xeKnL

X

x€KnL

2:

x €L_K

)i'

x x

dxj'(x)

x€L-k

_x

(

d‘e

x€L-K

x

(m + dx)j'(x) + Z

x€KnL

Inx jl(x) ) +

x

X:

+.

(m+d)e

Z

+

m j'(x) + Z

Z

9(f+ g) =

e

x X

xEK-L

dx jl(x) +

.

2

. xeLnK

_dx j.‘(x))

71

=

9(f) + 9(g)‘ .

For 16 tanto 9 es un ho'momorfisnio qué Sati‘sface ademés; =

9(j(x))= _9(ex)

para todo x ICX . La diicidad de

—

-

j'(x)

9 resulta de su migmadefinicién.

Dejamps los

detalles de esta. verificaciér; a cargo. del lector.

E1 par (EX; j > es , pu'es, ungi‘upo liiare engendrado por X . Pasemos a la unicidad.

Seafi< A , j > , < B ; i >

grupos libres éngendrédoé por X '.

Sean EI:A—>B talque'filo j = i ,’ ‘u‘I":B—> A talque 'fiI'oi = j Entonces

(fil~ofil')oi = mom'oi) = Uoj =.'i (fil'o-fiI)0j

=

fil'o(‘fiIOj)_=

U'oi =_J'

y como ademés

se tiene e'n virtugi-de 1a unic'idad iB . = W 0' EV iA = fiI' '- Iii de manera. que U" es. uri;-iSomorfismo

con las propiedades pedidas.

8.3. Definicién: Diremos que un grupo A es libré, .si es isomorfo a un grdpo abeliano _libre engen-

drado por un conjunto X :

'A § B de X en uh grfipo abeliano B. existe una finica""extens16n" 'de j a un-

homomorfiemo de A en' .3 . 7.3'J

E jercicios :'

,1.

Probar que en un érupo abeliano A . la familia de subgrupos libres no tiene por gqé ser inductia superiormente.

2.

Probar que 1a m directa de cualquier familia de grnpos abelianos libres, - es un grupo abeliano libre. (E1 enunciado analogo para el producto directo ea

falso, {réase 19. 12. Nota).

3.

Probar que nn subgrupo de Q. es lib_re 51 y 5610 si es ci‘clico. Deducir que para todo primo p e1 subgrupo Z(p) de Qde fracoione's m/n

con p fl n , no es libre.

8(7.

Teorema:

Todo grupo abeliano' A puede sumergirse en una sucesion exacta corta

0—» NgL—5 F -—E—> AW—g’o donde F es un gi‘upo abeliano libre. 0 sea, todo gfupo abeliano es un grupo cocien. te de un grupo abeliano‘ libre.

‘l...

Sea FA el grupo abeliano libre eng'endrado poi: e1,"conjunto' A" .- La aplicacion idea

V

Demostracion:

V

-.

-

tidad Id. A : A —> A , .induce un homomorfismo

-

“.‘A‘

g :_ FA——>A

dado por g(ea) = a ‘. g es evidentemente suryectivo. ta en cuestién'bastara puestbmar

Para tener 1a sucesién exac-

F = FA y Ng = nlicleo de g .

M: Es claro que, en el teorema anterior, podemos reernplazar "e1 conjunto A" per cual quier sistema X de generadores de A -.

grupo (de FX) de relaciones de X .

E1 micleo Ng se denomina entonces e1 sug-

Tal denominacién'obedece a' que Zx 11x ex e N Ev

e“? 0 = g( Zx nx ex) = .:x nx x ' En general, partiendo de un grupo' abeliano libre F can base X , y a manera de prg 74

\

ceso inverse a1 anteriof, podemps éonstrair grupos abeiianos con "félaciones fijadas

deantemano".

En efecto, por cada‘subgrupo' H de F Ise tiene un gru-po abeliano e55

gendrado por un>conjunto X ' (cpordinable a X) con relaciones' precisaazente H . a,

saber: el grupo cociente F/H .

Demos un ejemplo.

do por un conjunto aumefable .ao , a1 , . . .

.

Sea F. el grupo libre engendr_a_._

Sea H e1 subgrupo de .F engendrado

por (las_ relaciones.‘ ) .

(')

-

_

_

2

n

pao,aopa1,aopa2,..,aopan,

Entonces F/H es el grupo abeliano con un sistema de generadores

3° , 21 , . . .

tal que

1.);o 'I O

Eo I p;1 ='.p2;2 I '. . . I p“;n . . .

,

Las relaciones en 7 5° , E1 , . . raci‘ones de suma y diferepcia.

son exactamente las que pfovieneri de (') por ope Es co'stumbre decir simplemente a1 referirse a un

tal grupo, que _el mismo es el grupo engendrado por

nes pad,. 0 ,

_

ao , a1 , . . . , con las relacio-

ao_= pal Ipzaz =

Ejercicio:

Sea A el grupo engendragjo per 10s elementos .

parrafo anterior.

a)

ao , a1 , . .

con las relaciones del-

Probar _

que el Subgrupo (a0) engendrado por ao coincide con el subgrupovd'e A de

\

elementos de altura infinita.

b)

probar que (a0) no es divisible.

c) _

probar que A cs roducido. .

8 . 8 . Definicién: Sea 7

(ll)

0

>;A"

f

>A’gI>A"

,0

una sucesién exacta corta. Llamaremos seecién de (”) , o iambién diremos que (") admite una seccién, o también que (”) se Earte, si existe un hemomorfismo

h :A" —> A tal que

8, 9. Progosicién:

(") admite unaAseccién si y S610 si existen'homomorfismos f' : A “—9 AP , g': A" —> A qfie forman con f y g una famflia dirécta de h6momorfismos,b seal A'iéALA'

‘I.fl.f=IdAl

g.f=0

‘A".g_', A-g—>‘A"

g . g'=‘IdA"

guns}: 0

y tal que A es isomorfo a la suma direéta. . A' $ A" . Demostracién:

1.

Séa (") admitiendo una seccién

g' : A" 4—» A ._ Definamos f' :AQ’A'

como sigue: seé. a. CA ,' -entonces g!( g(a) ) '6 A ‘y

a. - g'( g(a,) ) Satisfacer

g(‘a‘-g'( g(a) )) _= g(a)_.‘- (g o g') (gm) .

= g(a) - g(a.) = 0

For 10 tanto a - g'("g(aij7) ':_€ Ng = If , o séa, existe a' CA" .que satisfacé f(a') = a - g'( g(a) ) . Hdbsérvegnbs due e1 a' -'esté unfvoéamenté determVinado, dado que f es inyectiva.

Definimos

f'(a) = a' . Esta aplicacidn es un homomorfismo -y podemos e§_ _

éribirlo en 13. forms. .

.

'

=

.f

-1

f

-_-

o (Id'A,

Veamos que f,f'

,

fl

3

gog)

g,g' es una familia directs. de homombrfismost

f' o f = (f'lo(1d.A-g.'og))of

= f'1 cudlf) - f'l og' o (gof) = f'f‘of = AId.A,

76

g 0g'

=' my

g of

=' 0

(pues. gof = 0)

f|.g‘

=f-1.IdA.g'-f-1.gl.(g.g')I

§ f-log'-f'1..gl =

0

For 10 tanto f,f' , g, g'_ es una familia directa de homomorfismos.

Para cog

cluir la. demostracién de la primem parte‘falt‘a probar que

2.

fof'+g'og

I

Id.A:

f.f|+gl.g

I

f.f-1.(Id-A-g'.g)+

.

1d,A-g'og+g'og

'

Id'A

g'.g

La segunda parte es trivial.

8.10. Ejempl :

Sea Z x Q e1 producto directo de los grupos abelianos Z y Q . . Recordemos cine en Z x Q 13. ley de composicién de grupo esté definida. por (n,x)+ (n',:i') 3.

(n+ n' , x+ x') .

Sean s,t €Q . L21 aplicafién f : z x Q _._> Q

'definida por f(n,x) . ns + tx es '

m} homomorfismos E‘s fécil ver que f es un epimorfismo 31'. y 5610 si t f 0.

Supog

gamos entonces t f O . Sea, por otra parte,

g : Z —-—> Z x Q e1 homomorfismo

g(h) I (h, - gig) .

Se tiene en conjunto que 'la sucesidn

o—> zi—y ZxQL>.Q—r 0 es exacta.

Afirmamos que esta'sucesién se parte.

En efegto, sea j- : Q —"'Z x Q

laraplicacién j(q) 3 (0, q/t) . . j es uh homomorfismo que satisfac‘er (f 0' j) (q) 3 = f(0, q/t) I q , 0 sea una seccién. Notémos quebusando reqursos del Algebra Homolégica se prueba. la existencia de fa: milks no mimerables de sucesiones exactas

(extgnsiones de 9 mr Z l_.' )

77-

T ww—Trfi—ri

7

.Y

'5-

:'o—>'z‘}.——r’_ ' ' A'-'--> Q _._.,_ 'o

(eséncmmeme distintas) que: NQ SE PARTEN. E jerciciou:

Sean (81) y "(82) Sucésiones exactaé.cortas. Sea (u' ,I u ,‘ u") un isomorhs-g

.1.

m9 de (81). ea (82) .- Probarvque (51) 'se parta si y.sélo si (52) se Parté- _ 'g

Sean n,m€N'-.

2.

Probar que dichas sucesiones exactas se parten si ysélo si (n_, rfi)‘ = 1'

b) c)

.

‘

'

O ———-‘r Zn_f> Zmm a zm ——:r 0_ '

Defihir sucésipnes exactas

.a)

.

'

'

'

Probar que toda Sucesién exacta 0 —.gzn _> A _->zm __>o . con (n, m) = 1‘, se parte.

3. '

Sea- A' subgrupo de A L"‘Entonces toda sucesié'n' exacta

0 —> A' _C__> A"—> J —> O , _con J cfclico. se parte si-y 8610.81 para

-todo n€N , nA' = nAnAfi;

'

.

'

,

\

§9.

PRESERVACION DE EXACTITUD POR Hom

-

‘

Sea 1a sucesidn ekacta:

.

'7 ..

'

0—->A'—1>A-—f->~A"—>

(*)

.

9

Sea C un grupo abeliano.

7

Entonces

9. 1. Teorema: Las sucesiones

(i) ..

0 — Hom(A",C)—-f—*—-> Hom(A,c)i> Hom(A.',C) _ ‘

.

f*

(u) . o—-—> Hom(C,A')—1*—> Hom(c,A)—> Hom(C,-.A") son exactas', 78.

/.

. 3*! Expresainqs estas propiedades dieiehdo que Hom es exacto a izquiereia en anibas ja-

riables._ '

Demostracidn:

‘ (i)

f* es un.monomorfismo£ sea‘ 1: €Hom(A", C) , entonces, por definicidn

-i_:'*(t)r (a) = t(fa) .

Par 10 tanto f*(t) = 0 implica t(fa) 8 ‘ 0 , ‘cualquiera ‘Sea

a en A . :Siendo f un epimorfismo , t(A") = 0 ,- de manera que 1: a 0 .

N-;,= Im.?lt' : Sea t CHom(A,C) . entonces, por definicién 1

I

i*(t)(a') ' t(i(a')) ,

a' CA' . Luego 1*(t) I 0_ implica t( i(a')) l -0 eualquiera sea 'a' en A". Sea 11 :A" ——> C ,' definido por u(a") ' t(a) si fa = a" . u esta bien defini- V ' da, en‘efecto, $5. a‘ CA satisface f(a'-)- a" , entonces a - a'- I -i(x!): para

algdn x' en A' . I 1:(a").'.

For 19 tanto 0 I t( i(x') ) = 't(a) - t(a’-) im'plica u(a")=-t'(a)

Por otra parte es claro queu es un homomorfismo de manera que

Iu €Hom( ",C) . Ahora,_

f*(u) (a) = u(fa) = t(a) chalquiera sea 'a. en A .- Sigue que f*_(u) = .t , que muestra bien la inclusion '

Ni*C Im. f*. . Dejamqs a cargo dei lector 1a demostracidn de la otra mcxuSida, ' . . 'por otra parte trivial. (ii)

Prebemos solamenteflaparte'no triv‘ial, 0 sea. 1a inclusidn Nf*C_Im. i=5“.

's‘éa t eHom(c, A) tal que f*(t) = o . Por definicién f*(t) (c) . f(t(c)) implij ca que f(t(c)) =

0 para todo c en C .

'

Sea u : G —-> A' definida por _

u(c) = i'1(1: {c)) , u esta bien definida pues t(c) eikA') , cualqiiera sea. c en C .

Es claro que u es un homomorfismo.‘ -.

Ahora.

D

i*(u)(c) . i(u(c)) = 1(1'1(t(c))) - ac) de manera que 1*(11) 1‘ t_ 10 cual prueba la inclusién Nf* C Im. i*

' Veamos, mediante ejempIos, que Horn no necesita preservar"'exactitud a dere,

cha n .

.

,

.

7.9

Sea-1a sucesién-exacta 0—-> Z2 ——> Z20° —-> Z200 /Z2 ——> 0 . Entan.

0 —> Hom(Z2&n/Z2. Z2)-—" H0m(Z2m-.Z2)'——.v Hom(Z2, Z2) —" O

0—» Hom(z2,z2)———>- Hom(Z2,s)——’ Hom(Z2,Z2m/Z2)—'> 0' setraducen respectivamente en las suéesiones no exactasz.

0——> 0—? 0—>Z2—>0

u o——> z2—> z.2—> z2_——> o

9. 2. Prog‘osicién:

Si'la sucesién (*) se parte, entonces las sucesiones

'

fa:

1*

(i)

0 —-> Hom(A”, C) —> Hom(A, C) —> Hom(A'. C) —-’ 0

(ii)

o——> Hom(C,A') —i*—> Ho'm(C,A)-f-*—> Hom(C,A")—-> 0

son exactas y se parten.

Demostrgcién:

i) ‘

flabré que probar que ..i* es gn epimorfismo.

. u €I-'Iom(A,-A')

,

Sea. primeramente

u'o i=IdA'

Si 1: € _Hom (A',C) , >e1 homomorfismo (j: o u) €H9m'(A,C) satisface'

i*(£ou) = (tou)oi = to(u‘i)’ = 1: oIdAl =. 1:

de manera que 1* es epimorfismo. Sea u* :Hom(A',C)—> Hom(A,C) inducida. por u.: A-—> A '

' o u*) (1*

;. _ A“

______

Fr:

.

'

‘

ces

=

‘ (u o 1)* .= ( IdA? *=

Id HomKA'.C)

lo cual muestra. que (i) se parte. ii) 80

Lo dejamos a cargo de Jarvis que. esté. aburrido. '2

i
' 0 (donde 1a fila es exacta, existe un hoinomorfismo k :A -—-> C tal sue

Pok =-8‘

‘81

\

';

§ 10 .

GRUPOS ILBELIANOS PROY'ECTIVOS so»: LIBRES

10. 1. Definicién:

Diremos que un grupo abeliano P es Brazectivo si 'toda. sucesidn exacta corta

0.—>A'——> A——> P—VO se parte.

10. 2. Teorema: Todo grupo abéliano libre es proyectivo.

Demostraéién: Sea F un grupo libre'y sea

.0—> A'——> A—g—a F—> 0

exacta.

Bas’éaré. probar que eSta sucesién admite una seccién.

Sea pues,

X una

' base de F . Si para cada. x_ €X , "elegimos" ax €A tal que g(ax) = x se tiene d3 finida. una aplicacién (a. seqas) de 'X en A'.

fismo g' :F—> A

x

=

La. misma se extiende a‘un‘hornomor-

tal qué

g(ax) I

g( g'(x))

si-

x €X

por Lo tan_to también

g(g'(s)) = 5

Si s€F

es decir, a._ una seccidn.

10. 3. Progosicién:

Sean P, P' grupos abeliafios,

P' proyectivot

recto de P' , entonces P‘ es proyectivo. -

82'

Si P es isomorfo a un sumando di-

Demostracién:

_

En efecto, sean i : P f—, P' ,

'

' ,i

p : P' ——'> P homomorfismos tales que p.i =idP.

Sea 1_a sucesién exacta

0—» A'——> A.'—“>. P—.—> o‘ Se tiene entonces 12:. situacién siguiente

L.

s\1p_

o—.—~A-—"—» A—“—> P——i o’

donde

.

'_

s : P' —-+ A es un homomdrfismo que hace conmutativo e1 triangulo del dig

grama.

Las relaciones

id? " Poi " (ueShi ' uo(s.i) vzhuestran que s o ‘1 es una. seccién,‘ de manera due (') se parte. Ejercicios:

1.

Probar que Q no es proyectivo y en general quejfingfin grupo abeliano divisi- i

ble f 0 es proyectivo. 1

2.

Probar que todo grupo abeliano proyectivo es sin torsién.

3.

Probar que-todo grupo abeliano'proyectivo es isomorfo a un sumando directo

.L

de un grupo abeliano libre.

‘4.

A .

1°robar que un grupo abeliano P es proyectivo 51 y 5610 si todo diagrama con ffla exacta P

1p A—g->A"——'>IO

. s3

"

,_

se. puede sumergir en un diagrama commutative

P

' ' Mp.

M IE

A——>-A"——> 0

E E

Ded-xcir que un grupo abeliano P es proyectivo si y S610 si

g

'

._

t

‘

_

A —> Hom(P, A)

|

'

\

\

conserva 1a exactitud a derecha.

5.

Probar que la surfia directa de una familia arbitraria. de grupos abelianos proyectivos es un grupo abeliano proyectivo

6. .

Sean A y B grupos abelianos de alguno de los tipos siguiert es: Z 6 Z pi ,

p primo,‘

i€N . .

Probar que si H y .J son grupos abelianos.

entonces

AQH = 1363.1

y- ASB====> HsJ

(Sea G=A$H=B$J. a)A'A’B"-’Z' entonces de H/HnJF (H+J)/JC

9F

.

G/J'l’z , resulta H= J Ex/FX induce 1a sucesién exacta siguiente:

0 —-* Fx_f\H —-> Fxfi H —>- Fa/FXHH —> 0

g.‘

donde

as isemorfo a un subgrupo de Z .

fxn H/Fxn _H

Puesto que los subgrfipos de' Z. son £11113, 1; sucesién anterior se pafie y podemos escribir: para todo x 61 :

o

'CxCHy-nz

con

cx =0

Sea Z Cx 1a suma de' todos los subgrup‘os

1.

La suma Z Cx es directa.

‘

y

x1< . . 4 xn

-

Ex“ H = (FxflH)$ Cx

CX de H . ' Afirmambs:

Sean pues xl‘, . . , xn fndmes en I tales que

~ 6 Cx1 , . . . , cxn E a 3x1

" tales que

'

+'..A cxl-"v

.+c ‘xn

Po_demos suponer que hemos elegido una tal suma con fifimero mini-mo de

‘f-W

sumandos.

Es claro que

cxl +

+ cxfi_1 - € FxnA. H € C xn

cxn -

' . . + cxn_1)+, cxn € Fxnn H 9 -‘a, . im Plica y por. lo tanto O' — (cx1+

cx1 +_

. . +‘‘cx

_1

'-'

0 =

cxn

.

* 0 sea, todo subconjunto no vaci‘o de I posee primer elemento . respecto _dé ‘ .

'85

Por 1a: rat-ones de mkflmalidad'sufiuestes. - debe-vefiflcarse tauibiéri que' ' c-

I

;x1"~"

2".

~ i c

nx n H .

‘ -- I 0* , 10 -cua.1 prueba nuéstra pqirhera afii'macid'n.

xn-l'

Sea ‘01 H ‘21: Ci ‘.

Sea-entonces x0 61 con 1as prqpiedade‘ga

siguientes (ahora. nearer-1:05:13 buenaprd'enacidn de I):

.1.

Existe h €1.17 - Xx Cg. ' t_a_l "que h efxo

'11.

h 67H - 2

7

ti: y 11 e172. ===-> xoé x'

_(:;o se'elige asi‘; sea. ,1. e1 subconjunto‘ de' -1 '. de todos. ios xi que satisfacen i. , por hipétesie 1' es no vaci’o y as‘f tiene un primer elementq x0).

Sea enionces _h que saltisface 5.. De Fxon H = Fx n'H 9‘ CK

‘

h . _h'+c'.

.

. _'

~

'

o_

‘

o

se tiene

, h'eFoH; clecxc zxcx o‘ '

En'tonees reeelta‘ri’a que hJ f3 Zx Cx y también h'CFy C Fx0 para algfin y (x

, lo cual contradice ii.‘ ' Par 10 tanto‘ debe ser

H '= Zx Cx .

Eliminanho eventualzfienfe los‘f-Cx~i O , se tiene que H es su‘m'a- directa de urge}: famine de’ sdbgrfipbs isomorfps. a Z , porlo tanto libre, como querfamosfpr'g- :

bar.

10. 5. Corola'rio‘: Todo grupo a_beliano preyeetivo es libre.

Demostfacién: En efecto, sea P proyectivo y-sea

0——) A' —-> F-—> P,——> 0

una sucé-

sién exacta, con F libree -' Dado qu'e esé sucesiéri se‘ parte, P} resulta isomorfo a . mi} subg-rupo de F , por lo tanto a un'

10; 6. Corolario:

grupo libre.

'

Sea f :‘A —.—> F ‘un'homomorfis-mo de a g-ryipo abeliano A en_ ungrupo abelianp

86:

iliblre F .

Entonces Nf ‘es sumando directoede A .

16:7: Corolariok Sea V un espacio veetorial sobre Q..

Entonces todo'subgmpo finitamente genera;

d_o del grupo abeliano subyacente en V , es libfe . '

Demostracién: Sea A un subgrupo finitamente gener'ado de V .

r'adores de A .

Sea X3 un sistema filnifo de gene--

X engendra un_subespacio vectorial de V , A .de airfiensida'finita y -

' es claro que ACA .

S'ear{e1,l

, ek} una base de A .. Entonces si ’

X= x1 , . . , xm} existen racionai'e‘e pij/Iqij ,_ pij , qij

léjék

tales que

‘

~

.

6 Z‘ , qijf O, léiéfn

'

..

k

xi ' Zj= 1 (Pij/qij’ej

-

por lo {auto llamando‘

q.

'

I]

i,j

q'ij

j X-=§-k ij'1)(q'1-.e) 1] jal (p---q-Q 1

1] ‘E;“'

>a

q o q]... J

e

i=1..m :t

Z

‘se tiene que A esté contenido en el grupo abeliano F engendracjo por los

{q'lpej}

j=-1,..',k

'Ahora e1 hecho que los ej son Q-linealmente independientes implies. que-el-grupo

. -F engendrado, pOr 10s q’l. ej es libre, Por-lo tarito hemos sumergido A an un grupo libre.

Sigue en virtud del teorema que A es libre .

37.

10. 8. Lama:

Para todo grupo abeliano A existe un grupo abeliano divisible D y un monomorfig mo de A an D .

Si A -es sin tersién, entonces D puede tomarse con la estructu-

ra- adicional de espacio vectorial sobre el cuerpo radional Q .

Demostracién: Sea primeramente A = F , un grupo abeliano libre.

Si X es una base de F _, 4 F

es isomorfo a] grupo abeliano de todas las aplicaciones de X en Z , nulas en casi todo X .

Sea FQ' el grupo abeliano de todas las aplicaciones de X 'en Q ’. nulas

en casi todo X .

'La inclusién

ZCQ , induce un monomorfismo de F en FQ .

En FQ esta definiiia en forma natural una estructura de Q-espaeio vectorial definiendo simplemente

(q . f) (x)_.. =

q . f(x)'

Por otra parte es bien clan; :que el grupe abeliano subyacerite en un Q-espacio vec- I terial es un grupo abeliano divisible,

caso A libre.

De esta manera e1 Lema esta probado en el

Para e1 ease general, eea 1a sucesi6n lexacta 0 —'K —>F -g'>A

—>O , con F libre. Sea IV un Q-espacio vectorial y j»: F —> V un monomor- I fismo de las estructuras de grupos abelianos.

y j' 1a restriccidn tie j ' a K ,

j' : K -.—> V .

Sea Kh—_> F una inclusi6n natural

Se tiene e1 diagrania

0——'> K—>'F—g>iA——> o

1:"

j:

o—-—> E—9v—Xav/E—> o V/j'(K)

donde K denota e1 subespacio de V engendrado por j'(K) y V/I_{ e1 espacio vectg

88

'rial cociente Icorre-sfipondientg. todas las aplicaciones son las naturales

las filas son exactas .

‘

Eé fécil ver que existe un homomorfismo g' : A —-> V/j'(K) que ademas es ixiyeg tivo', dejamos su verilfiqaciéri a cai'go del lector.

~

Puesto que V/j'(K) es divisiblef queda' probada' 1a afirmacidn del Lema ien.1-o‘ (fie Si ahqra A es sin

torsién; u'tilizaremos 1a fila inferior para sumergir A. en el Q-espacio vectorial

cociente V/E .

Sea @zA———> V/E

@(a) = v( j(s))

‘Ajrki

I,fif

.‘

se refiere'a 1a. inmersién de A en un grupo abeliano divisible.

definidalpor

si a€A y 3 EF satisface

@esté efectivamente bien definida y es un homomorfismo. va.

Sea a'EA, s €F , g(s)= a y @(a)II 0.

0 = @(a) = v(j(s))===

g(s)- a .

Veamos que es inyectij

Entonces

j(sm'fi.

Par 10 tanto

j(s). = Z1 (éi/qi) j(ki) donde

pi,qi€-_Z,

Si qa

01%;:

kieK.

”qi entonces

. . -1 . . -1 J(q.s,- 31:1 (q'pi‘qi )J(ki) = 1(Zi(q.pi.qi )ki )

de manera que q . s e K

y por lo tanto

0 = g(q.s) = q.g(s)'= q.a y puesto que' tA = 0 resulta a I 0 .

.

E1 Lema queda. probado.

,.

\

‘

89

.-. '\

'

r

-\ I

,. ‘\

~

‘

>

_

‘ V“-

‘

‘

1"."

"

l

/;

‘-

-'

‘

10. 9. Cordlario:

Todo grupo abelia'no firiitaménte generado y sin torsion es libre.

1 0.1 0. Corolario: Sea A run grupo abeliano finitamente generado y sea tA su _subgrupo de torsién. Entonces tA es Sumando directo de -A y A Se escrib‘e como suma directa r

A = 12A GD F

can F libre.

Demostracién:

f

Sea 13. sucesién exacta 0 —> tA —>- A —>‘A/tA —> 0 .

Siendo A/tA finitamente generado y sin torsion, es libre.

'

For 10 tanto 1a sucesidn

anterior se parte y A es isomorfo a la suma directa de tA y el grupo libre A/tA-.

-£

_4

I

,

_ j

Nota :

Si A no es finitamente generado entonces e1 Coroiario anterior no es necesaria mente verdadero.

Existen ejernplos de grupos abelianos Inixtos en-q'ue e1 sfibgru-

po de torsi6n no es Sumando directo del mismo (o, como suele decirse, que el grE p0 mixto es no partible).

Véase por efimplo, L.Fuclis,n Abelian Groups, paginas

186-7.

.

I

.‘5- -: '—

E1 Corolario anterior reduce e1 problema de clasificacidn de grupos abelianos fini-

tamente generados a1 de los grupos abelianos finitos.

I

En efecto,‘ Siendo A finite:

mente generado, también 10 es tA .. Pero un grupo de torsién finitarnente genera-

do es finito. Ademés, $1

A = mean: ’tAeaF' con F y F' libres, se tiene FrgF' , dado que I

F21 A/tA dF' 90

"

/

I

.

4'

.

,

--

‘

1""

./

.‘

\

Ahora lbs grupos lib'res estan'uni'vocamente caracterizados por el nfimero cardinal

de cualquiera de sus bases. En efecto,

10. 11. Teorema:

Sean F y F' grupos abelianos libres.

F y F' son isomorfoss si y 5610 si cuales-

quiera sean las bases X de F y X" de F' , X y X' sOn coordinables.

Der'nos‘tracién: Sea. V un Q-espacio vectorial tal que FCV y ademés F _=

_notamos e1 subespacio de V. engendra'db por F .

V , donde con F 'dg -

Es facil ver que 51 X ‘ es una

base de F 'e'ntonces X es una base de V . F-Sea (j): F ——-> F' un isomo'rfisme de F en un grupo abelianci libre F' .

F'CV' y F7 = V'- .

Sea V' un 'Q-espaeio vectorial tal Que

Sea U : V a V.‘ e1 homomorfismo de espacios vectofia-

les definido por

1jI(x) = '(j>(x) Si y €Nfic1eo dé U, qi f 0 ,

y €V ,

. si xeX". entonces y = 21 (pi/qi) fi

donde pi,qi €Z ,

fi 6 F y la suma, es fihita.

Se tiene entonées que si q = Trqi , q.y€F .

Como

0 =_1jI(y.) = U_(q.y) = @(q.y)

resulta q.y = 0, por ser (3) inyectiya. nomorfismo.

Asi'

y 2 0y esto afirma cifie 1'}! es un mg

Sigue que

Card.X .= dimQV é dimQV'- = Card.X'

Razonandb simétricamente se tiene Card. X = Card. X'

.

-_

Mas adelante volveremos mas sisteméticamente sobre estas cfiestiones y encontra¥ remos una forma natural de construir V = F "via" 'el producto tensorial. E1 invariante asociado a los grupos- abelianos libres, analogb exacto a1 invariante a

91

- \

. .I

sociado a los espacios vectoriales, a saber, 1a dimensién sera 16 que llamaremos

~

:

e1 rango del grupo.

Ejercicios: '

1.

'3

Sea M un grupe abeliano libre. Entonces

a)

'

Sean S y T subgrupos de M con T sumando directo de M . bar que S AT es sumando directo,de S .

:

Pro-7

(Sugerencia: usar- e1 isomog

fismo s/(snT) 2’. (s + T) /T ). b)

Sea {T1} :11: 1 una familia finita de subgrupos sumandos directqs de M.

Probar qne n :13 1 Ti es_ sumando directo de M .

2. -

Probar que el grupo abeliano Hom(Z oo , Z 00) no _es 1ibfe.‘ (Sugerencia: Sea Z

(p)

‘

P

P

el' subgrupo de Q de fracciones m/n , con p /I n .

monornorfismo Z(p)——> Hom(Z

p90

Defi’nase un

Z 00) y fisese Ejercicio 2. §8.6 y P

10. 4. ).

'

3.

Desarrollar la siguient'e variante de demostracidn .del Teorema 10'. 11.

Sea para todo grupo abeliano A y todo conjunto no vaci'o_ X --,._. QX_A__1a suma directa de una famflia con Indices X de grupos abeiianos todi isomorfos a

A . mo.

Sean X, Y' conjuntos no vaci'os y sea I; : 69X Z —> QY Z un isomOrfis-' Entonces

HHQX 2Z) = QY 2Z e induce un isomorfismo

'u

-

.U'e’xzz Si ahora' X = {1, . . ,n}

ser n = m .

—-—9

$YZ2

e Y = {1, . . , In} , por razones de cardinalidad debe

En general, considerar 1a eStructura de espacio- vectorial sobre

.el 'cuerpo Z2 , de QXZ2 y QY Z2 y notar que ‘fil' dichas estructuras.

l

Usar ent'onces 1a invariancia de la dimensidn. para dedu-

cir 1a coordinabilidad de X e Y . ***

92

es un isomoi'fismo de

§. 11.. .TEOREMAS DE ESTRUCTURA DE GRUPOS ABELIANOS DIVISIBLES. I GRUPOS‘ ABELIANOS DIVISIBLES SON INYECTIVOS .

En esta secciég veremos que es posible dar una descripcidn completa- de los grupos abelig nos divisiblesr. E1 primer teorema juega un rol esencial y el lector se beneficiaré. mantg. niendo‘ er_1 mente e]. tipo de iaeas usado en la demostracién.

Demos previamente 1a

Definicién:

Un grupo abeliano A se dice inxectivo si cualquiera sea 1a situacién

0—)C—i_>cll

£1

A

con 0 ——> C —> C" exacta, existe un homomorfismo g : C“ —> A tal que el diagrama completado es conmutativo, 0 sea

f a go i . ,

Dicho en otros términos, cualquier homomorfismo de un subgrupo C de C" en A admite una extensién a C" .

Por ejemplo, Z no es inyectivo.

En efecto, 1a aplicacién i : Z —> Z identidad- no pue-

de extenderse a ninglin homomorfismo de' Q en Z .

Se tiene en general,

11. 1. Proposicidn:

Un grupo abeliano inyectivo es sumando directo de todo grupo abeliano que 10 contiene.

Demostracién:

Sea A un grupo abeliano inyectivo y sea A subgrupo de C .

Entoaces la aplica-

l a

cidn identidad 1A :A ——> A se factorizaen iA-= g o i , donde 1 es la inclu-

sién de A en C , g es un homomorfismo de C en A . A es en‘tonces sumando directo de C . '93

- 11. 2. Teorema-:

Un grup'o abeliaho A es inyeetivo si y 5610 si es divisible. ~

Demostracién:

a)

Sea A inyectivo, a CA , n €N- y f : nZ —? A e1 homomorfismo del sup. grupo nZ de 2 engendrado por n en el grupo abeliano A tal que f(n)= a.

Sié'ndo A inyectivo,f aduiiteuna extensién g :ZV———h A . Entonces a = f(n) = g(n) = g(n. 1) = n. g(l) 19 cua1~prueba que a 'es divisible por n .

Siendo a

y n arbitrarios queda demostrada la primera parte.

SeajA divisible.

Sea. 1a-situaé16n

0—) C—i—> c"

.151 A

con la fila exacta. Sin pérdida de generalidad podemos suponer C C C" , 0 sea 1': C -———>C" 1a inclusién natural. Diremos que un par (U, j) formado por un grupo abeliano U y un homomorfismO' j : U ——> A , es a'dniisible si:

C CU CC" j/ C =

f

.

inclusidn de subgrupos donde j/C denota e1 homomorfismo de res' triccién.

Es claro que (C,f)-‘ es'un par edmisible. Sea E 18. totalidad de pares admisibles y (E , S ) ls relacién de orden parcial en E definida por (U’j)é(Ul"jl) ¢==§

UCUI

y

jl/U =

j

,

Resulta entonces, como es fécii de verificar, que (E , é') es un conjunto

ordenado,inductivo supe'riormente.

Siendo E f p e invocando e1 Lema de

Zorn es posible afirmar 1a existencia en. Ifl de un par admisible (C*, g*)rfi.xim a1.

94'

.1

[Vamos a pro‘bar qfie C* m C' con 10 cua1"g*. seré'uriaf‘éiten'siénde f' a- C" _ .

y b) quedarérprobado. Sea entonges .c E: C". Bear I ={m/mez y Inc-€03}

._'1 es unsubgrupo de. Z yporlotanto..

de 1a»forma. I = (k) ,~ k €N 6 -k a 0 . Sea. a0 6 "-A‘ 'qe satiéfaga: gf(k.c) I Kao _

Notemos qu'e' 1a eleccidn de a0 es posiblé invocando-la‘dixiisibihdad en A .

Consideremos ahora e1 siguiente par (V, h)‘ definidp por

h':V_——>A

V=C*+Zc.

donde V e5 e1 éubgrupo de G“ engendrado por C*-y 0,5' h es la. aplicacién h(c*+ m.c) *- ' g*(c*)+ m.a° Verifiquemds que

'da'.

h .es efectivamenteuna aplicacién, 0 sea esté. bien defini-

c*+m.c I cf+.m1.c===9 (m3m1). c€C*

m - mi 63 I y puede escribirse h(c* + m. c)

,

si cfc‘i‘ C C*

m - m1 = d.k y per 10 tanto

g*(c*)+ rn.ao

= g=|‘l(c=ig - dk. c)+ m.ao = g*(c=i‘) - d.g*(kc)+ m.a '

.

. A

0

= , g*(cT) - d. kao + _m. 3.0

= 8*(C’i‘) + mljao' =

h(c1* + 111.1 -c_)

que 'prueba que h: esté bien definida.

h es trivialmente un homomorfismo.

Ademés h(c*) = g*(c*') , c* €C* y por lo tanto

h / C. = g*/ C =f.

Hemos probado entonces que (v, h) es un p_a.r admisible. -Puesto que también

(6* ,_g*)

S

(v,h) 1a maximalidad-de (C*", g*) implica C* = V

ra'que c (-3 C* .

Siepdo c‘€ C" arbitrario queda demostrado Que C" C 'C* ,

C" =‘C.*.j‘. 95

as».

0 sea,

, de mans

_ .;,r:»___J

El 'teorema qhéda 'ahora probado.

11.3; Corolario: Todo gifupo abeliano puede Sumergirse en un grupp abeliano inyectivo,

> F

a

Derhostracidn:

En efecto, hemos visto que todo grupe abeliano puede sumergirse en mi grupo diVi ‘ -

sible.

11.4. Cemlario: Un'grupo abeliano A es divisible siy 5610 si toda sucesién exacta-

0——> A—t—a Al—a- A"-_—? 0 ,‘se parte. Demostracién:

Sea A divisible y la sucesién efiacia anterior. Entonces se tiene la situacién

O——> AL:- AIJ» A"__-. o

il

A

Siendo A inyectivo, ' existe-una extensién

g : A' _, A : i = g o t , y esto ya ga'rantiza la particién de la sucesién exacta. Reciprocamente, sea A con la propieda'd del corolai‘io. divisible que contiene a A y sea exacta inducida por la inclusion

Sea A‘- ungi-upo abeliano

0 ——_7 A—i'ifi A' —-—j—-> A'/A—¥ 0 AC A' .

la-sucesidn

Decir que esta suceéién se' parté es egg; .-

valente a decir que existe un homomorfismo g : A' ——> A tal qiie i—A = g o t . Par 10 tanto g es un epimorfismo.

A es entonces divisible y luego inyectivo..'

11. 5. Corolario:

Sea- A divisible: Entonces tA_ ee sumando directo de A .

96

3.....__.,.,~7_._.. a...

i :A —-é> A la aplieaciérl identidad.

1 1. 6. Corolario: Sea A un grupo abeliano.

Si 0 f a €A , existe un homomorfismo

g :A——>-Q/Z tal que g(a)f 0 . bemostraciéri;

Si n 63 N es el orden de a , sea 0 f x €Q/Z un elemento-de orden n (por ejemplo,

1a imagen de l/n en el homomorfismo canénico Q-—>‘ Q/Z) . Si a es‘sin' torsién, sea of x CQ/Z arbitrario.

Sea f : (a)_-+-> Q/Z e1 homomorfismo del Bug

grupo (a) engendrado por 3. en A an Q/Z tal, que f(a) = x . Dado que Q/Z es inyectivo, f. admite una extensién g : A -—-> Q/Z

que satisface of xi f(x) =

g(x) y .esto prueba e1 corolai-io.

11.7. Corolario: 1381 un grupo divisible A posee un el‘emento no nulo de orden pi , p‘ prime, i E N , . entonces pOSee un subgrupo isomorfo a m , Que contiene a dicho elemento.

En

particular, 31 A es un p-grupo divisible, todo elemento esta contenido en un sub-

gmpo isomorfo a Z _ pa) '.. Demostracién:

Si

0 ¢ x GA es un elemento de orden pi , esta definido un homomorfismo

f : Z i ——) A , tal que f(ei) = x , ei denota un generador de Zpi , el cual puede extenderse a un homomorfismo no nulo g 5m —> A .

E1 coxjolario ea entonces‘

consecuencia de la

Si‘ Af 0 entonces A es isomorfo a Zpod .

Demostracién: Sea ei ‘gene'rador de

Zpi tal que p.e

i+1

=

ei , ‘ieN.

Si A1 0 y g .es epimo;

resulta_ entonces Nficleo'g = Z P k para algfin k €N fismo . . ‘ Per 10 tanto _ 97

:::-:--_._..__ A un epimorfismo.

-; v.-< -

A

11. 8. Progbsieién:

= g(e

a

0

k‘l‘l

) f 0 .

Sea h' :(ao)—-> -Z 00 definido 901‘ h'(a°)= 81 p

Es claro que h' es un homoi‘norfismo del subgrupo de A engendrado por a0 en

Z 00 .

Sea h une. extension de h' e A . _ Observemos que A = g(m) es divisi‘

p

4

‘

b1e y lo mismo h(A) , de manera que h debe ser epimorfismo, dado que el finico

grupo divisible finite es eero y los subgrupos propies de m son finitos.

Queda

porvprobarse que h es inyectivo.

Sea entonces of a 6A , h(a)= 0. Existe j €N , j >k, m €Z , tal que a = g(m. ej). Sea j minimal con esa propiedad.

Esto implica que pfl m , pues de

lo contrario m = m'. p implicari’a

a-= g(m.ej) = g(m' . pej) ‘= g(m' . ej-l) contra 1a minimalidad de j . Se tiene entonces

0=h(a)=p

(.1 -1)-k

( )

.ha

=p

(‘-'1)-k J

.h(g(m.ej))

= h( g(m.p(j-1)-k-ej) )'

= h( g(m-.ek_l_1)l)‘

= h(m.ao)

= ml; 10 cual implica p/Ip» , una contradiccién.

Par 10 tanto a =.0 y h es un isomorfig

mo.

Estamos ahora en condiciones de probar e1

11. 9. Teorema:

Un grupo abeliano A es divisible si y 5610 si A 95 suma di;ecta de grupos abeliafi-

nos del tipo siguiente: 98

.4: . I

Q, m,

osea

A=(6Ai)$($A'.') J1 1

,

_

,

donde para cada i 61 , A; es isomorfo a Q y para cada j €J , A'_' es isomorfo

‘ f

a Z ‘00 para"algfin primo p .' Demostracién:

Sea A divisible.

Entonces tA es divisible y por lo tantq‘tA es sumando dii'eeto'

' de A : A 8 tA ED A' . - A' es sin torsién y divisible, por lo tanto Q-espacio vectdrialyes claro que A'IEQBAi ,_A].'".>’.Q. Podemos pues concentrarnos en tA .

I

PueSto que tA es suma directa de las coin-

ponentes p-primarias tA = 9 (‘I:A)p ‘,7 1a suma con fndices en el conjdnto de todos .

>

D

p

16s primos p , cada (tA)p, es entonces divisible y sera suficiente estudiar (1:15.)p

. para cadaprimo p . 'Cada. (tA)p es un p-grupo. entonces subgrupos isomorfbs a m .

Sea (tA)pf 0 . (tA)é contiene

Sea (j) una coleecién de subgrupos de (’cA)p

con las propiedades siguientes: l.

2_. 3.

'

H ۩ ===? H isomorfd a Zpoo

1a suma : H es 'directa H€(j> (j es maximal con las propiedades 1. y 2.

Dejamos a cargo del lecfor la demostracién de la existencia de una ta1 familia maximal, como ejercicio de aplicacién del Lema de Zorn.

\\

' Afirmamos que

2 H

(*)

Hecp

=

(tA)p

En efecto, siendo 1a. suma en el miembro izquierdo, divisible, es sumando direct'o -de (tA)p :

(tA)p' = (X H) e H'

. H€(j>

Si fuera H' 7! 0 , siendo un p-grupo divisible contendri‘a un subgrupo A" isomorfo a

‘

m . ‘ Pero entonces .

la familia

9 u {M}

tendrifa las propiedades 1. y 2. anteriores y contendri’a propiamente a (p, 10 cual

contradiri‘a 1a maximalidad de @ . (*) queda probado y as! e1 teorema, dado que 13.

parte "si" del mismo es conocida.

Veamos ahora algunas caracterizapiqnes de 103 grupos divisibles Q y m Recordemos un resultado probado anteriormente :'

- 31 A es un grupo abeliano tal que

pA = 9 para un prime p entonces‘ A ,- 0 0 es suma directa de grupos todos' isoinorfos a

Zp .

1'1. 10. Proposicidn: Un grupo abeliano A infinito con la propiedad que todo endomorfisrno no nulo de A

es un epimorfismo es, necesariam'ente,

Q 6 Z 00 para algfin prime p .

Demostracién: Qbservemos priméramente qpe un grupo abeliano es divisible 51 y 5610 si todo elemento es divisible por p , para todo prime p .

das en la Proposicién.

a)

Sea A con 1as propiedades enuncig

Veachos las dos sifuadiones siguientes:

pAf 0 para tpdo p primo. E‘sta situacién equivale a que todo endomorfis'xrlo de la forma fpbr) = px , X 6A p,prim9 es distinto de cero.

Enflonces .1 fp es

epimorfismo para todo p , por lo tanto todo elemento de A es divisible ppr' '

p , 0 sea finalmente A es divisible. En virtud del teorema anterior’A‘ ea 53 ma directa da grupos isomorfos‘ a Q 6 ZFPO . Ahora si A 3tuviera dos-sumag dos directos no nulos distintos, 1a proyec'cién: de A sobre uno -de ellos no 82 ...,._.

rfa tin epimorfismo de A .

For 10 tanto A es necasariamenfe isomorfoa Q

6 z m. . P

b) . 100

pA'=-" 07 para algfin primo p . ‘Entoncers A eg s_uma directa de grupos todos. isg

.. -.~

morfos a Zp .

Puesio que A es infinite ,

A admite per lo menos dos sumag

dos directos he nulos y censecuentemente admite endomerfismes no nulos que

no son epimerfismos.

La situacidn es, per lo tante, limposible.

Puesto que la situacien a) es la finica posible, queda' demostrada 1a Preposic ien. 11. 11. Corolario :

Un grape abeliano sin torsion f 0 , tal que todo endomorfisme no nulo es un epimeg fisme, es isomerfe a Q .

11. 12. Corolarie : Un grupo abeliano de torsion, infinite, tal que todo endemeriisme no nulo es un epi-

morfisme, es isomorfe 3. 2pm , para algfin prime p .

11. 13; Cerelario:

—

Un grupo abeliane infinite tal que rtodo subgrupo propie es finite es isomorfo a'algfin Z '11)" para algfin prime p . p

.

bemostracien: Sea A an tal grupe.

Si a 6A , e1 subgrupo de A engendrade per a es finite, per

lo tante se deduce que A es de torsion.

Si f : A —> A es un endomorfisme ‘no

nulo entences si 1' NO es epimerfismo resultaque

Imagerif) y Nficleo (f) son finitos

y censeouentemente es finite Deminio(f) = A , lo cual es un absurdo.

en las condicienes del Corolario anterior.

'

11. 14. Preposicién:

-

Estames ahora

A.= Z (1) para algt’m prime p‘. '

P

.

'

,

Un grupoabeliano A es divisible si y sole si no pesee ningfin 'subgrupo maximal prepie.

Demostracién:

Ya vimos que si A es divisible entences A no posee Iningtin subgrupe maximal prg 101

pio M. En efecto, de lo contrario A/ M seriafinito. y divisible y f0 10 cual es in; posible.

‘

>

«

Probemos r'eci'procamente que si A no posee ningtin subgrupo maximal entences es

divisible. Si no lo fuera, existiria p primo tal que pA f A . For 10 tanto A/pAfO satisfaria p(A/pA) ' O .

Par 10 tanto A/pA pedri'a escribirse como suma dire'cta

de subgrupos isomorfos a. Zp .

Es faicl ver que en todo grupo abeliano f 0 sumad_i_

recta de grupos isomorfos a Zp . p primo, existen subgrupos maximales progios.

vAplicado esto a A/pA, existiri’a entonces M' subtrupo maximal 'profiio de A/pA .

Si 125 :A —> A/pA es el homomoi-fismo candnico, se tendri’a que ¢'1(M’) es en}; . grupo maximal pi-opio de A , una contradiccién.

For 10 tanto pA s A , para. todo

p y A es divisible.

Ejercicios: 1.

Probar que si D f 0 es un grupo divisible sin torsién, entonces .cual’quiera

sea el grupo abeliano A , Hom(A,D) = 0 si y 5610 si A = tA .

2-

Probar que, cualquiera sea el grupo abeliano -A , Hom(Q, A) s '0

si y_ 5610

si A es reducido .

3.

Probar que un grupo abeliano C es divisible 51 y 5610 si

A —->' Hom(A, C) es exacto.

4.

Dar una nueva demostracién de -Hom(Q,Q) ' = Q . (Sugerencia: usar 2. ‘y

0__>Z———>Q———> Q/Z—-> 0). 5.

1'02

Sea H un’subgrupo de Q .

Determine: Q/H cuando

a)

H.= pZ ,

p primo

‘9)

H = nZ , n €Z arbitrario

c)

H= pZ+ qZ

,

p,q primos

d)

H = subgrupo engendrado portl/p} Q'SP

Probar que si H es un subgrupo de Q 0 Q" entonces

t(%—)= 0 siy

5610 31 H es divisible .

Sean A,B grupos abelianos,_

a)

Sea f :A1"—’_ B un homomorfismo de un subgrupo A1 de A en B. Sea Cf el grupo cociente

cf - (AQBH {(a1,f(a1))} del grupo A 6 B por el subgrupo

((al , f(al) )}I

mentos de la. forms. (a1 , f(a1) ) ,

a1 €A1 .

de todos los ele-

Probar due 13. aplicacidn

a1 I—>'(a1', 0 ) de A1 en A e B da lugar a un-hombmoi'fismo

@: A1 —>- Cf tal que Nucleo @ I Nucleo' ('f) . Sea W :'A ‘9 B—>Ct;

e1 homomorfismo candnico. Probar'que @(Al) I W(A)F‘U(B).. b)

Sea C . un grupo abeliano arbitrario.

Probar la .existeneia de un grupo .

divisible D y de pares de subgrupos divisibles D1 , D2 de D tales

que C es isoino'rfo a D1/\D2 . ble que contiene a. C .

A - E , B_- c ,

(Sugereneia: Sea C -un grupo divisi-

Aplicar 1a construccidn a) a la situacidn

r : c —> E 15: inclusidn natural).

Una sucesidn de grupos abelianos y homomerfismos Ie dice divisible-Si to-

dos sus grupos asi’ lo son.

Probar que toda sucesidn exact'a corta puede su-

mergirse en una suces'idn exacta corta divisible . (Por esto. ‘entendemos la

existencia de un monomorfismo de la 'sucesidri original en una sucesidn divi-4 sible);

Probar que un grupo abeliano A es divisible si y sdlo si toda imagen homo-

mdrfica f 0 es infinita. 10.

Sea 1' : Q —>' Z 00 un homomorfismo no nulo. P -.»

Probar que Nf no es fini103

.,_.,,

I

.. __‘

I.

,

-

tamente generado‘. - Brobaren generai due paralun subgrupo‘ Hf 0 es vali-

p-primarias.

' 11,

Sea A_ 11!} grupo abeliano y 'D = el grupo abeliano de todas las aplicacioaes

de Hom(A,Q/Z) en Q/Z . a)

Probar que D es divisible

b)

Probar que la aplicacién (D: A —-> D definida por 0(aé) (f) I f(a) es un monomoi‘fismo.

c)

- Dar una nueva demostracién de la inmer'sidn de un grupo abeliano en un grupo abeliano divisible .

12.

Probar que un grupo abeliano A es divisible 51 y 5610 si_ satisfac‘e 1a siguieg te condicidn: r)

Para todo sistema J de generadores de A y todo subconjunto finito

de J , J-J' es un sistema de gener'adores de A .

13.

Sea A un grupo abeliano de torsién.

Si 9 es un primo, con

pA denote.-

mos e1 subgrupo de A de elementos de orden p .. - Probar q‘ue dea grupos abelianos D1 y D2 ambos detorsién y divisibles, son isomorfos 51 y 8610 si

para todo primo p ,

. 15.

pD2 .

(Usai‘ Ejeifcic‘io 1. , 6. 1)

Estudiar los grupbs de homomorfisnio Hom(A,A) , donde A es subgrupo de Q .

.16.

l es isomorfo a

Probar que si 1 6A , entonces Hom(A,A) L". A .

Sea D un grupo abeliano divisible.

Sean a,a' €D .

Hallar eondiciones so- '

bre estos elementos para que exista un endoinorfismo (fespectivamente', un

automorfismofde D que aplique a en a".

.**'*

* : E1 Ejercicio 14. lo hemos salteado poi- razones de Indole aupersticiosa.

' _‘104

L'

ALGUNAS CUESTIONES DE DUALIDAD 4 *5

§ 12 .

Sea. A un grupo abeliano.

Llamaremos dual de A- al grupo abeliano

A* I Hom(A, Q/Z) Escribiremos tainbién A** I

(A*)* , etc. .

Veremos en esta seccién propiedades de cie‘rta. analogi’a‘ con el concepto de espacio dual en

'élgebra lineal.

Por ejemplo, 1a inmersién de A en su segundo dual A** , en efe'cto

12. 1. Teorema:

'Sea para cada a €A

a.** :A* —> AX definida por

a**(f) = f(a) ' si f €A* .

Entdnces a** €A** cualquiera sea a GA y quedfi definida una aplicacién de A en A** a —> a** ~

que es un monomorfismo .

Demostracién:

Es bien claro que a** €A** y que a -—7 a** es un homomorfismo.

'ahora que este filtimo es inyectivo. Sea pues a GA tal'que

Probefnos

a** I 0 . Esto liltimo ’

equivale a decir que

f(a.) = a**(f) = '0

cualquiera sea 1‘ €A* . 51- Of a , sabemoé que BXiSte- gel-1* t3]; que 8(a)f 0 . Par 10 tanto

a.**(g) = g(a) f 0 r. . L.)

una. contradiccién.

' -

105

' l

h

»‘1'72.'2.'Corola'rid:v

..

‘_

- x

'-

A_= 0 siy§s610 si 'A*= 0.\ ‘ Nota:.

En' élgebra lineal se pruebé que un espacio vectoria1.es gie dimensidn firiiia si y 86'

'

\

10 Si su dual es de dimensién finita.- .Més adelante item-mos que algd anélogo es c_ie_1;

to, a saber' ;' A-es finite siy 8610 si' A* es finit'o.. Sif'finitb" es feemplazado " ' por "finitainente generado'! se esfuma. 1a ahalogfa, come 10 demuestra- el‘caso Z* = Qy Z .

Verémos también qfie Z** 'no' es numerable.

Recordemos ahora 1a exactiiud de

G—> Ham“; , (9/4) = (3* resultante' del‘hecho de ser Q/ Z divisible.

—

Se t—iene entonces, qge toda- sucesién exaqta

o—>_A'—>A—'—->-A"—'—>0 induce 1a sucesidn exacta '

o

‘>A"*‘

>A*

>A'*

Notemos también que si n e N y A _n’> A

so

denoté. e1_eiidomorfismo multiplicacidn por

n ,- entonces e1 homomorfismo inducido. It? :A* —.> A* satisféce

n*(f) (a) = f(na) ,= n.f(a) n*(f) = pf

pars. todo a CA , 0 sea

' .

Escribiremos entonces simplemente A* —n—> A* .

12. 3. Teorema:

J i) divisible A* es

106

. ii) sin torsidn

i)’ sin torsidn si y 5610 si A es ‘

' ii) divisible

Demostracidn:

é.)

A* divisible ===->

A sin torsidn.

Seré suficiente probar, teniendo en cuenta. 1a existenéia de un monomorfismo A—¢- A** , que A** as sin torsién.

La divisibilidad de A* equiv_a1e a la. exactitud de las sucesiones

A* ___+n

A* ___>. 0

,

n 6N

Tomando * 'se obtienen las sucesiones exactas

0 —> A**.—rl—> AM que muestran que A** es sin torsién.

' a')

A sin torsié'n ====/"

A* diirisible .-

A sin tprsién equivale s 1a exaciitud de las sucesiones

o __;_ A —n> A

, ' heN

Tomando * se obtienen 1a_s sucesiones exactas

A* J9- Aai: "—7- 0

,

n CN

qué muestran que A* 'es divisible. b)

A* sin torsidn ===§

A divisible .

NotemOs primeramente que cualquiera sea n C N , 'el endomorfismd n

A/nA ——>- A/ nA ~\

‘

es el ehdomorfisrno nulo.

Per 10 tanfo lo es también e1 inducido

(A/nA)* —n—> (A/nA)* E1 epimori‘ismq natural AA—>. A/nA -—* 0 induce un-monomorfismo

o —7 (A/nArg: —> A*

_

A .197 ”

‘Dereqqf resulta e1 diagrama conmutatixio eon filag exa‘btas

'o——> (A/nA)* '—+ A*

“I #1

d

3

0-4> (A/nA)*—-> A*_Puesto que A* —n) A*- es un monomorfismo, 1a observacién hecha anteriog mente muestra que (A/nA)* debe ser 0 , por lo tanto A/nA — '0 , 0 sea Esto prueEa que A es divisible. ‘

W'fl.

A.= nA.

A.

2:,

b')

A divisible ===->,~ A* sin torsion. Demostracidn anéloga 'a. a') ,' 'la deja‘mos como ejercicio:

12. 4. Corolario:

. '‘

A es

..

fl _ .

11).d1V181,b18

. siysdlo 51 A” es

-

i) sm - torsnSn -

- ii) divisible :

N‘

12. 5. Ejemglo:

Hom(Z

elite. _, el hombre. de —--— . reciben 00 , Q/ Z) = Hom(Z p00 , Z'p00 ), sus elementos .ros E-adicos. Es un grupo abeliano sin torsidn; no numeralbé,_ "reducido; nb’ Iibre.

E jercicio:

Probar que no existe ningtin grupo abeliafio A que satisfaga

A“! Z .

Prohar, en

general, que ninglin grupo abeliano X numerable satisface A*-:£ X , ************

Ach, daés die Luft so ruhig! aeh, 'dass die Welt. so licht!‘

A15 hoch die Sturrhe tbbten, wan-lar ieh 'so_e1e_nd, so elend nicht. ,_- ~

1.08

--

:— .

e

,(Wmteyrele )

.".',"". ‘1'" '

i

i) sin tarsmn

CAPITULO II :

PRODUCTO TENSLORIAL DE GRUPOS ABELIANOS

S 1; .- ._ CONSTRUCGION. PROPIE-DADESLEJEMPLOS -'

Sea‘n' A y B grupos abelianos,

A x B. su producto cartesiano

13. 1. Definicién: Una aglicacién bilineal

W: Ax‘B f) C de A x B en un grupo ébeflano C es

una’ aplicacién que sgtisfaée:

si 2:, a' CA y” b,'b' €B

W(a+ a' , b) I 1H(a , b) + W(a' , b)

-‘

III(a,b+b') I W(a,b)+ W(a,b')

For ejemplo, s_i A= BI Z: C,

/

W(n,m) = n.m es bilineal.

gA-R“,B-Rn,C=Rn'w(x,y)=iyi

-

A

.

esbiiineal, si x-.(x1, . . , xn), y- (yl, . ‘.I , yn)'.

. E1 problema que nos proponemos es el siguiente: Ericontrar un W T y

una aplicacién biliheal t : AxB fi T con_1a propiedad de "tipO universa1"'siguieg. te:

para toda aplic'acidn bilineal u : AxB 9 C de A_xB en un grupo abeli_a.no C exj_s_ . teAun finico homomorfismo p Y: T'—’_' C ta} que

109_._

AxB-a T

1/» es conmutativo.'

Par la vista anteriormente a1 estudigi' 'grupos libres, sabemds que si u : AxB -> 0

es una. aplicacidn bilineal de A x B en un grupo abeliano C exis'te un homomorfig

mo 9 : F

_4—> C tal que el diagrama’m: AxB i AxB ——-> F

. 8 F

es cunmutativo. Calculemos ’N

= Nficleofi .

Se verifica fécilmente que Np contiene a1.subgrupo dehofiado con N engendrado ~.

por la. totalidad de élemehtos de F

de la. forma:

‘

e

e

(a,b+b')

(a,b)‘-

(a,b') -

e

-

e

(a,b)

(a+ a',b)

e

e'

(a',b)

b,b'€B .

con a,a'€A ,

5

Sea in :F ——> F/N e1 homomorfismo candnico. Definimos ' T = F/N

t

t es bilineal:

-

.,

'

fiofi

en efecto

l t(a.b+b)

a

=

. l ¢(e(a,b+b')) ¢(n(a,b+b))=

. 9H e D , que hace conmutativb aqa'el diagrama.

Queda por ver que ,5 es. un homomoffismo y ademas que es finica con 'la pro'piedad d'e hacer conmutativo aquel diagrama. .Esto 10 dejamos' a cargo del lector.

En _definitiva se tiene e1 diagrama con’nfiutativo:

AxBr~fi—> E —¢> F/N

D

EL par -( §é 0 i1 , F/N ) formado por la aplieae'ién bilineal

qL 0 i1 de AxB en F/N y el

grupo’ abeliano F/ N , satisface 1as condiciories de universalidad requeridas. ‘

13. 2'.' Definicién: Sean A y B grupos abelianos.

Llamaremos producto tensorial de A por B a

todo par (t,T) formado por‘un grupo abeliano T y una aplicacidn bilineal - t': AxB —> T

, con la propied'ad, que denominamos de tiEo universal, Siguiente:

Cualquiera sea 1a.apli_caci6n bilineal

u -: AxB —‘e C- de AxB en

un grupo abeliano‘ C existe un finico homomorfismo de'grupos abg

lianos

p : T —-> C que hace conmutativo a1 diagrama

AxB-t—>T

'112

' Hemos pues probado que cualesquiéra sean A y B , grupos abelianos," e1 par

(t I Isl o i , T = F/N ) gs un Broduc‘to tensorial.’ Veamos un resulfado sobre unicidad de1.producto tensorial.

13.3. Teorema: _

Sean A y B grupos abelianos. A y B .

Sean '(t' , T') ,. (t,T) productos tensoriales de

Entonces existVe un isomorfjsmo

U : T ———> T' can6nico en el sentido

siguiente: e1 diagrama

fll/J

AXE—9T

Tl

es conmutativo.

Demostracidn:

_En virtud de la definicidn de producto tensorial se tienen 10s siguientes homomorfig ' \

moé:

U : T —-> T'

,

V : T' —-> T

que hacen conmutativos los diagramas s_i

' guientes:

in"

AxBLwr '

t'l/U

'1" '

-

t i4/V-

T

.

AxB—t4+T tJ/VOU

T

Ax'B_.t—'> Ti t'l/UOV

_

T"

.

I

pues t = Vot' = Vow-t) =

(VoU)ot

t'= U'ot = Uo'(:Vot')- (UoV')ot." Como tambiép se tienen 10s diagramas éonmutativos triviales

_

_ 113.

T

'

.

T'

donde 1T , iT' ., denotan las aplicaciones identidad d.e._T y T'

resbectivaniente,

invocando razones de unicidad se tiene

V 0 U = 1’1"

U 0 V = 1'1"

y

10 cnal es precisaménte lo que deseébamos probar.

13.4} Noticidn: '1!

Si A y 3 son grupos' abelianos, nos referirexjnos 31 par (t I qt 0 i1 ', T = F/N) de nuestra construccidn anterior como\‘.___e1 producto tensorial de A por B que dang

faremos can

AEB

y a la aplicacidnébfljneal AxB L» AB B per

(a. . b) —'—> a E b ‘si a€A,b€B.

13. 5. ProEosicidn; Los elementos de la. for-ma.

a. E b

res del grupo abeliano A E B . y elementos

a ,..,a k CA 1

en A E B . constituyen un'sistema'de generadg

0 sea, 51 X 6A E B , existen enteros til, . .,‘nk b,..,bk€B 1

,

talesque

x = :1 nihixbi) Demostracién:

En nqestra constrticci6n de1~par (:5; Q i’, F/N) ,' se tiene que F es el 'grupo libre'

engendrado por todos 105 elementos de la forma . .

e(

a,

b) ,

a €A , b 63 . .

.

Puesto que _ a. E b - 1;( (a, b)‘_,) a g“ e(a b) ) se tiene que los elementos de A E B

114, '

'

'

‘

de la. forms.

a. E b son exactamente los elemenios en la imégen‘ de

{ e(a M} ‘ por

la aplicacién F ——> F/N . ~ Siendoi-emZ'bfiun sistemé de generadnres de F , esté. claro que. {a E b)

tema de generadores de F/N 0 sea de

A E 'B . .-

13. 6. Progosiciénr Sea A E B , e1 producto‘ tensbrial de los grupos abelianbs A y B .

Se tienen' las siguiehtes propiedades: aEb+aE'b'

T1.

aE(b+b') =

T2.

(a+a')Eb= axb+a'flb

T3.

aEO =

DEB =

0

T4. -n(aEb) = (na)Eb = a§§(nb) -T5.

-(aEb) = (-a)Eb = aE(-b) _

Demostracidn:

T1.

a E (b+b') = t((a. b+b')) = t((a,b)) + t((a.b'))

'

= a. x -b + a a 1:»I T2.

'T3.

Demostracién anélogau

aE0'=aE(0+0)=aEO+aEO OEb

=

(0+O)E'b= 0Eb+‘0flb

'yde aquiresultague 0= Ofib f 330

T4.' '81 n= 0 , es consecuencia de T3.

Si 11+ 0 ,

T5.

y_1a bilinealidad de t .

es‘consecuencia de Tlu T2- yT5.-

(-8.) Kb + aEb = (-a+ a) a b

(envirtud de T2.)

0E b =

Par 10 tanto

0

(—a) E b = -(a E b) . . Anélogamente se prueba que

aE(-b) = ~(aEb) -

es un' sis-

13. 7. Carolario: , ak €A,

existen' a1,

Si x6AEB-,

b1, . . ,bkeB tales que

k

x = :1 a1 E pi Nota :

s A y .3 Es conveniente pensar a1 producto tensorial A E B de dos grupos abeliano

come al grupo engendrado por los elementos (éimbdlicos)

(aEb I a€A y b€B}'

sujetos a las relaciones T1. , . . . ,T5.

13. 8. Ejemglo:

Sea D un grupo abeliano divisible y sea T un grupo abeliano de torsién. Entonceé D4E»T= 0 . En efecto, sean (1 GD y 1; 6T .

Existen entonces In EN y d' €D tales‘ que

0.,=n.t y d=n.d'

Porlotanta,

*

.

amt: n.d'Et = d'En.t = d'E o = o.

Puasto que los elementos de la forma d E t generan D E T , se tiene D E T = 0 ,

I

'

V

como querfainos.

.

Entonces, por ejemplo, = Q E Q/Z ,

n €N ,

0 = Q E Zn. =— Zpoo E Zn = Z (13 E Q =

p y q

Z

E Z

, =

primos cualesquiefa.

*Nota:

En general,

A E A = 0 i._mp11ca que la finica aplicacién bilineal de AxA én A es la

aplicacién nula.

Como consecuencia, si A es un tal grupo abelian'o, la finica estrug

tura de anillo en A que extiende la estructura dé grupo abeliano en A , es la de an_i 110 trivial.

Asi’ por ejemplo, ocurre en ‘Q/ Z 0 Z co , para todo primo* . P

13.' 9. Ejemglo: V’

La multiplicacién en Q induce in? homomorfismo natural de Q E Q en Q . \

116

En efecto, Sea

13: Q x Q —> "Q 1a aplicacidn

END/q. P'/Q') = ('p-p')‘/ (Q-q') En virtud de la propiedad distribdtiva del producto racionales,

resbecto-dé 1a suma de nfimeros

q es bilineal y define asi’ un homomorfismo

i

w : Q E Q—r Q que satisface

EHp/qnp'lq') = .(p-p')/ (q-Q') Es fécil ver que III es un isomorfis'mo . En efecto, sea '6): Q -——'> Q~ E Q e1 homomorfiSmo

@(x) = xfll '

~Es claro que III. (5) = id-

Q

(@o 117) (p/qE p'lq')

, _.

x€Q.

Anélogamente, se tiene

@( (p.p')/ (q.q') ) -= (p.p')/ (q.q')E 1

_=' p/ (q.q')E(p' . q')‘/ q' = (p-q')/ (q-q')E(p'/.q')

‘

~

‘\

'

= p/q'lq'

' de manera

que @o III

=

id . QEQ .

III es,

-

‘

!.

pues,

un isomorfismo.

13.10. Ejemglo:

Sean- A. y B grupos abelianos.

Las aplicaciones

cjl:AxB——>BEA

‘32 :'BxA——>AEB 117

,definidas respectivament-e por

9.1(alb).

y

baa

d2(b,a)--aflb

_-si a€A , bCB'

son biline‘ales y definen asf hopemotfismos

01 :AnB—bsxA @2:BEA—+AEB cuyas cdmposiciones entre si’ dan las aplicaciones identified respectivas.

0 sea,

~ cualesquiera semi los grupos abelianos A y B , existe un.(1in.ic_o) isomorfismo

(t)

@:AEB_’\’_BNA

.

talque @(afib)'.bEa

,

.

Mostremos, con un ejemplo, que no es_ posible, en genefal,_ identfiicar A E B‘ y k

B E A "‘via" e1 isdmorfisino Q . En‘ efecto, sea ‘ A ! Z(2) e1 gfrupo abelian'o, de matrices cuadradas de _2 x 2 con coeficientes en Z-.

Sea U' : A x‘A -—'> A

la

ablicacidn

'

2

V

w (flan-ll , llbijll )} - ”2k aik bi-

0 sea, e1 producto ordinario de maizrices.

as! un homomorfismo

Er : A E A ‘——> A

Es ficil ver ue: if es bilineal y define

tal que

“new-.." f

an n aij u all bijn ) = II Zk.e+ik~bkjll~ Sean

10

'01

.00

,0'0

a.

enA.

Afirmamos que» a. E a.i f a' E. a; . En efecto, 118

1..

.~ .—|

O

o 0. ' 0 O 'fiHa'Ea) = . . 0 O

' Siendo ‘u‘I una aplicacién, W (afla') 1 fiHa'E a);;==9 afla' f a'E'a, de mang ra que queda. probada. nuestra. afirmacién.

13.11. Ejemplo:

Sea A I Z2 'el grupo abeliano de restos modulo 2 y sea. B s 23 _el grupo abeliano de restos modulo 3 .

Entonces, si ‘

0

z2 a {9.71}

y

z3_- {0,1, 2}

un sistema de generadores de Z2 E Z3' es:

o_- oxo-1xo=ox1-on2 It

lfli

’132 Ahora

.1252

=1'E(1+1) =1!&_1+1E1 '=(1+1)x1

éox1

=,o ytambiénlEl

=1E(2+2)=1E2+1E2- 0.

Per 10 tanto

ZEZ

=_0

, Notemos, de paso, que este ejemplo muestra que 1a aplicacidn bilineal

£=AxB—> AEB no necesita. ser inyectiva.

1.19.

E"

Podemos probar el' siguiexte resultédo general.

Sean 1; 'y in 'nfimeros paturales '

yséa. (n,m) 'el méximo com‘in divisor de .n y m . Entonces

13. 12. Teorema:

z .EZ QZ'U' n 113 (mm); . Demostracidn: '

Seanzn -.[o 1...,(n-i)} Sea

y

zm -{o,'...,(m1)}

g : Z ——> Zn E Zm e1 homomorfismo definido por

'

g(1) = 1 E 1

Si con d dé'notanios e1 méximo comfin divisof d9} y’m ,' existéh énteros r y "

.d

=

"

_.

I-

'

sta_1e'sque

_'

n.'r + m.‘é

Por 10.1:anto .

gm

«1‘. gm a any 1) (n.r) (1 E 1) + (m.s) (1 E 1) (rn.1) E 1 + 1 E (sm.1)

_ox1+1ao o

-

-'

'

.

1

Par 10 tanto e1 subgrupo (d) de Z engendrado por d estfi conténido en el nfiéleo .’ de g : (d) C Ng

Esto asegura qug pofiemos definir un homomqrfismo

h : Z/(d) —; z n z n In r.

poz‘ medi._o de1 diagrams. cpnnifififix'ro 120 ,

J

Z/(d) '

donde e1 hoinomorfismo vertical es .el candnico de Z en el grupo cociente Z/(d) . (Los detalles de la definicién de h 10's dgjamos a cargo del'llector). Vamos a definir ahora un homomorfismb Para e110 sea

Z

n

x Z

m

f : Zn E Zm -—‘——> Z/(d) ',- cr'paqral.

e1 producfo cartesiano de Z .

y

S1 6 Zn

Existen entonces s1 6 Z ,

;

n

pot Z

111

'.

Sean

SZ€Zm

s2 6 Z tales que en los homomqrfismos candnicos '

Z———>Z

.Z—* Z

se tiene respectivamente que «

s—aSl 1 1.52 —.—-9

Formemos e1 producto

52

51. 32 62 y luego 1a clase de restos mddulo (1 de 31.72.32

[51. ail . 0 sea.

que denotamos con

[31. 52] e Z/.(d) [521.32] = {a/aez Por otra. parte, si ademés

I

51

’ S1

l—->

s2

y

a

$1.32 mod. d} I I

cpn 5'1 ,. 5'2 6 Z y donde las flechas indican los homomorflsmos (') , significa '. - que

sl-s' _=_ 0 mod.n

y

sz-s'2_ _. 0 mo_.d m ,

'Is‘+nk s1-171

es decir

‘=-s'-+mk 82,2 '2

Par 10 tanto

.5132 - s"1.sé = nm.k1k + n.k1.s'2+ m'kz'si _2

“I

m

I

m

m

m

Y siendo 'd méximcpcomfin divisor de n y 1;: se tiene evidentem‘ente que

o _mo‘d.d

es ciecir [51 . 52] a [Si . 3'2] Per 10 tanto se tigne que (s1 , 32)—’ [$1.52] define una aplicacidn de Zn X Zm en Z](d3 .

Prdbemos que es biliheal.

r

Sean S1 , .Sll (-3 Zn

s

y

SZ€ZIn ' yademés

sl,'s'1,S2 EIZ

tz-aleque

s' —>. S' 's +s' ——> 1 —> S 1’1.,.1'11

en _el homomorfismO'can6nico Z —+‘ Zn

S]_+S'1

y

$2_—>Sz

en el homomorfismo canénizo Z"."‘ Z

Luego

-

. . (Sl+VS' ,SZ)_—> [,(sl+ 8'1). 52]!

=s.|:1s2] + [$152].

122

[31.23 + 51.52]

. vl'-

y anélogamente variando $2 muestran 1a bilinealidad de la aplicécién ($1 , SZ)f——’[_sl'sz]

de a Zm en Z/(d). En virtud de la propiedad universal del producto tensorial se tiene un homomorfismo

. E :ZPE Zm—_" Z/(d) tal que E( (51 E 82)) '- [$1 . $2] Finalm'ente, vamos a probar que las composiciones r

t

y

hoE

sch las apliéaciones identida'd de Z/(d) y Zn E Zm“ respectivamente. Esto cam .cluiré 1a demos’tracidn del- isomprfismo pedido._

m:

.

.

‘

‘

.

. Entonces

Sea [j] e Z/(d) , [j] = {a/aez "y a mod.'_d}

mm): g(j)= 3(1E13)=.'j.1-.:B)1=:'1Ej‘.1.‘ Por la germiqidn dé E

I,

-

'

se tiene

'(tum) . E(g(j)) = E(j.1ni) = [:21] - [j] con lo que 'E o h :- aplicacidn identidad de z/ (d) .

- hoE :.

Sea

SIESZ € ZnEZm ,

'(tHSIESZ)

=

y

srszez como anieriormente.

h( E(SIESZ)) = h([sl~. 52] ) '

>

"_g(51-32)" 51.52 (1E1) I 31.1E32.1 s 31382 con lo que

h o E = aplicacidn identidad de Zn E Zm . .~

E1 teorema queda probado.

123

13. 13. Corolarim Si

n y m

son primos-entre sf, entonces

ZQEZm I

O .'

Demostracidn:

ZnDZm I z(n,m) I Z1-'0-.

Observacidfi:

.

E1 ispmorfismo Z/(d) en Zn E Zm es el induci-do por él homomorfismo

g:z_—4 znxzm definido por g(1) = 1E1.

***

Ԥ .14. ..

PRODUCTO TENSORIAL DE HOMOMORFISMOS

Seanrahora A,B ,

A', B'

grupos abelianosy

f :A—> A'

,

g :B—’ B' hombmog

flames.

14. 1. Pfogosicidn: Exiate un finico fiomoniorfiémo

p : A E B ——> _ A' E B'

tal que Ma. E b) 8 £8. E gb.

Dem-ostracién:

La aPlicacidn 1“ AxB-+—> A"!!! B' . ‘fi(a,b) - fat: gb es bili'neal. Existen entonces un finico ho‘momorfismo p tal que el diagrams. '

AxB—a'AnB

*l/w'

A'EB'

-

.

88 conmutativo. p satisface entorices

¢(a_.E b) = i1(a,b) '- fa. E gb

y 1g propoT-

sicién queda. probada.

La aplicacidn p se denota también con f E g y se denomina e1 grodu'dzo tensorifxl de f Eor g.

u

F—‘—‘ M av

' 124

rfirrufw

'14; 2. Corolgri'o:

Si fl 0 0' g8 0

entonces n = OK 0 'IT0_._

Cases 2' articulares de la. Proposicibn aritepior Son:

3)

b)

(f:A—>_A' ,

B=B'.g'idBl

AaAI‘ ,‘f-idA‘,

y

g:B—‘—>B'.

14. 3. Proposicidn:

Pai'a todo grfipo abeliano A : Z E A QA E Z A_.:A . A

Demostracién: . Bastaré demostrar e1 isomorfismo

i1(a,n) i na

A E Z '-_=IA~ .

La aplicacidn i : s “—9 A

-es bilineal; par 10 tanto existe un homqmorfismo p : A E Z’¥——> A

tal que ¢(;3.En) I na.

Sea

entonces las relaciones

.

P.

W:A——> ABZ e1 homomorfismo III .id_ A

,

III. 1’ 8 idA

111(3) 3 an 1,

x Z. 9rueban f1ue 10 ( y

U)

es un isomorfismo.

14. 4.. Proposicidn:

Sean

f :A_—> A'

, - g :B—> B" como anteriormente.

"'Entonqes si' f y g son isomorfismos

in g es un'isomorfismo.

.W= En efecto,

f y g son isomorfismos 51'. y 5610 si existen homomorfismos f':A‘ —->A,

g':'B'—+ B tales due

f'of I

1A, fof' -

iA'

g'og 4 iB,gog' - 13. La.- aplicacién

f' E g' : A' 18! B' ——7-> A E B satisface 125

"(tofumpgu‘ ‘

[(rfig) o (ring!)

. u

'iA'EiB' ' iA'EB' (f' o f) E (g' o g')

(f'Eg') o (n)

lA‘ElB = IAEB' I por lo tanto f E g es un isomorfismo.

m: Sea_ p primo.

deZ

Para'cada par (i,j)€NxN con 15 j , sea wij un monomorfisngo

enZ-.

pi

93

a.)

Estudiar los micleos de los homomorfismos mi]. N 01“., .

b)

Probar que $13.30“. I 0 si

jc; j' son"suficientemente grandes".

14. 5. Teorema:

Sean A y B grugos abelianos. Entonces' i)

Si iAj , pj , i- , ‘j (-3 J }

denote. una representacién de A . en sumé. directa.‘ de .

{Aj} , la familia {Aj x B , pj x idB , j€ J} l constituye una‘ réfigsefiutaciés'nfl de A EB en surga directa de

_{Aj EB}j 6 J .

Escribimos entonces -

A E B ii)

4695A? x B

Si

{Bk , pk , 1k ,

de

{Bk}

k e K}

, 1a fam111a

=®j(A. x B) J

denota una representacidn 4e B

{A 18! Bk ,

tuye una representacién dg

AE 3

MAE pk ,

1dA E J.k ,

en suma directa de

en suma difecfa ' k e K}

', const1-

{A E Bk} 1: 6K .

Escribimos entonces .

.AEFB

=

Ageing

=1$k(ANBQ.

‘

Demostracién: (parte 1) )

Es inmediato que la. familia de homomorfismos {pj E Id'B , ij E Id. B} es directa.

126

.Sea a€A y b€B . En‘sten x1 €Aj _ . 1

'

, X 6A. , en'mimero finifo ta1 que 1‘ Jk -’

'a -"i1(x1)+ . . . + ik(xk) . - Par 10 tantq

anb - 11(xi)Eb +’. . .+ ik(xk) x b" ‘ [I (11.x Id.B) (.1:1 3:13) +. . . +(1kE'Id1BkE b)

Puesto que 108 {a E b},

5. 6A ,

b 63

const’ituyen un sistema de generadores de

A E B _, e1 teorema. queda probado.

14. 6. Notacidn:

’ Si, -J ={1~,.7,n} y

K = {1,..,m}

escribimosfambién

A1339...$AnEB

AE'B

,_ .4 E 131 e... $iAK’Bm Nata:

L_a. propiedad d¢i=teore1jia anterior 1:1 exbresanios diéiendo que Eroducto tensorial conmuta con sumasl‘directas.‘

Ejercicio:

"

‘Dar in ejemplo de una familia {A31} de gmpb‘s" abelianos y de un grupo abeliano C tal que

y

(UiAi)EC {0

TTi(Ainc)=, o .

14. 7. Ejezpp'lb: Cualquiera sea el grupo abeliano A , e1 isbmorfismo N

-

p€P

P

' ' '

-_

127

induce an isomorfismo

AaQ/z :69 Ann m [3&5

P

"14.8. in em 10: Sean X e Y conjuntos no vaci'os tales que XnY I j) . Segn FX , FY . FX 1: Y 105 grupos iibres engendrados por X,Y y X x Y

'respe'g

tivamente., Ento‘nces se tiene un isomorfisino F

X

art-1F

'Y

.

XxY.

- 'En efecto, podemos escribir

FXEQFX . x€X

donde par-a. dads. x__€X .

es Fx isomorfo a Z, ”y anélogamente, para. FY

3]

FX x Y . .

Entonces

.

.

FXE FY __ ( x63: Ex) 59.. FY.

69 (FXQFY) '

’1- ®( ®x €X

x.€X

ay)‘

y €Y F

.

(x.y).

Z lx.y)€Xx Y F

2 XxY Conviene decir explicitamente que en este isomorfismd, 1a imagen del elemento e E e ./

'€ F

EF

és

é

.

14. 9. Ejemplo:

Sean A y B grqpos detorsidn, ' 128

.-

.

A = E

a A

.peP‘

P.

pep

p

our :5“-

sentaciones én suma directa. de 1as componentes p-primarias. Entonces

ADE-(:eAp )s s ApnB- Z91;p mZ pep p€P . gap“, 3‘1) "

. AEB q :9

P. mi?

9

es dé torsidn y su componente p-primaria es

(A a 13)p - AP E 13p _ _ ) En efecto, 1a multiplicacidn por

pi , p primo, i€N ,

mos sob'relos AqEAql, qhq 6P,

en A E B induce automosig

siysélosi pfq.y pf'q‘.

§ 15. 'FORMAS BILINEALES, Ham 1 a

. Sean A , C y G grupos abelianos. ‘Sea B(A.C;G) latotalidad de aplicaciones bi]; nealep de AgC en G .

Si Lg €B(A, CzG) la. ley de composicibn~ £f,g)——> f+. g :

(f+ g) (a,c)' I f(a.-c)+ g(a_..é) défine sabre HA, C;G) una estructui'a de grupo abeliano.’ ‘

15 . 1 . Teorema:

Existe un finico isomorfigmo.

U ; B(A,C;G) .__. Hom(A a co.) tal que U(f)(a.Ec) = f((a,c)) .

.51f¢3(A-C3G),: §€Ayc€C.

129-,

ram-

Demostracidn:

Sea f E. B(A, C;G) . Por definicidn de .A E C existe un finico homomorfismo

“f :AEC—> G talque uf(a E c) I f(a, c)

Ademés si 3 E B(A,C;G) se tier'ie

j.

.

“fl-g (aEc) :- (f+ g)(a,c) - f(a,c)+ g(a,c) a uf(aE 'AEC

es la. aplicacién natural, 1a composicién his es una aplicacidn

bilineal de AxC en G que-satisface

U(t.s) 8 _

u

LS‘

= t '

de manera que U es un epimorfismo.

E1 teorema queda probaélo.

15. 2. Corolario:

Si A es un grupo de torsién (respectivamente, 'divisible) 'y C es un grupo divisible (respectivamente. de torsién) , entoncesucualquie ra sea el grupo abéliano G

-B(A,C;G) =

0 .

15.3. Ejémplos:

a) 13(z

pm

, Z_m;G) = B(Q/Z.Q/Z;Q/Z) = 13(200, HsG) = 0 . si p.q ‘1

P

son primes y H as finite.

130.

b)

B.(Q,Q;Z) = o . En efeeto; Hom(QaQ;z) 2’ Hom(Q,Z) = o.

. -

' Nota: *Del corolario anterior sigue que la. finica estructura de anillo asqciable a. un grupo abeliano A , divisible y de torsidn, es la de anillo trivial sean a,a‘

: a. a" I _O cualesquiera

en A* .

15. 4. Teorema:

Existe un vfinico isomorfismo

(p :. Hom(A E B , G)——’ Hom(A, Hom(B,G) ) . tal que-

[@(f) (11)] (b) = f(aEb) , aEA, lb €B . Demostracién: Para probar que. es_ un isomer-fig '_ '

Es claro que @ asi' definido es un homomorfismo.

mo definiremos

(jfl : Hom( A, Hpm(B,-G) )—> Hom(fi E B, G) ' inverse. de 6).

Para e110 seguiremogel esquema. de siempre.‘ Sean a. GA ,

Para_cada .

b 623 .

h €Hom( A, Hom(B,G) ) 1a éplicacidn‘ g'h : A x B —> G

dh(a.b) = (h(a) )(b) es bilineal -y define asf un finico homomorfismo @' (h) : A E B ——'> G tal que -

@‘(hHaEM = h(a)(b) . . Adgmés siendo

(Q. @‘) (h) = (i) (@‘(h)) seftiene

-

(@o @001) (a) (_b) - 9'61) (aflb) - h(a) (b)

'El)

'

i

' ‘i

cualquiera sea b y a'. ‘.- For 10 tanto-(p. @' ) (h). = h , ‘para todo h .

Sigue que

;

. ‘

‘

131 ‘

l i

@- (j>'- - 'Id.

Anélogamente 5e prueba que @‘o-@ -_ Id.

, 'por io tanto @ es un isomorfig .

mo. La. unicidai! de @ éigue de la'. unicidéd de— 9' .

15. 5. Corolario:

B (A, BgG) 2’. Hom(A, Hom(B,‘GI) ) E jércicios: 1.

Sea A 3 B. ,

G I Z ." Probar que los homomorfismofi inyectivos 51a IA en

Hom(A, Z) se corrésponden biyectivamente, _vfa e1 isomorfigmo anterior, con las formas bilineales b sobre A x A que satisface‘n la, prépiédad siguien‘te: no

existe a. GA . 0 f a , tal que b(a., a!) I 0 , cualquiera. sea a' CA .

2.

Probar que cualquierasea A ,

Hom(Q/Z , A) es un grupo abéliano reducido '

' (Sugerencia: usar Ejercicio 2. § 11. 14. ) . 3.

Probar 1a existencia. de un isomorfismo natural B(A,B;G) (2'3 (B,A;G) .

4.

Sea

b€B.(Q_,Q;Q)'ta1que b_(n,.m) = n.m

b(q1.q2.) = ql-q2

81

si n,m €Z . Probar que entonces

£11,112 6Q.

15.6. Notacién:

Sea’

A'= Hom(A,Z) .

Entonces

’

15 . 7. Corolario:

(A a B)‘ Q'Homm, B-) (A E A)’ : Hom(A. A-)

15.8. Ejemglo: .

I

l' V

.

-

,-

(AEQ) :Hom(A,Q') I O_, pues Q = Hom(Q, Z) I:

132

, .

0 ,

cualquiera sea. A . ,

15. 9. Prbmsicidn: Sea A un grupo abeliano libre finitamente generaao, Entonces A' es librefinitaf mente generado.

Demostracién:

Sea

{ei}?

unabase de A.-

finida par,

Para. cada i. 1\< is n

.

Sik

( 81k denota 1a delta de Kronecker , _ n { ei} 1

ei' €Hom(A.Z) d2

'

. 8191‘);

Afirmamos que

sea

Sik ‘- 0

51 if k , 3°11 I 1 ) .

' ‘ ‘ es una base de A' que denominaremos 1a ~b‘ase dual de_

{e1} '. Sea g CA‘ y sean g(ei) I 'g1 (-22 . Entonces, como es facil de verificar, n

-

g - :1 giei ytambién

'

0-

n"'n,e' 1.1

1

,

1

n€Z ===9 n_80. 1

.I'

1

15.10. T-eorema: Seam A,B. C, E

grupos abelianos.

Existe un finico homomorfismo

U : Hom(A,_C)E Hom(B,E)—’ Hom(A E B . C E E)

con la. propiedad

wag) ' fN 9 Si f€Hom(A,C), g€Hom(B,E).

"'

-

.

I

Egg:

E1 horno‘morfismo '5! no necesite. ser un isomorfisrno.

\- 1

Por ejemplo, en la. situa-

f

cidn AI! Q , C I: Z el nérmino Hom(A,C) E Hom(B,E) ‘es- cero, cualeSquiera Sean I

5 y E .

Hacienda B = Q = E e1 término'II-Iom(AE B ,-C EE) = Hom(QEQ,ZEQ):‘_’

1_33

-

"

' ,

,

_ _L

2H§m(Q.Q) 2' Qa ill!

15. 11. Teorema:

Sean A y B grupos abelianos finitemente generados y 11_bres. Entonc'es e1 homomorfismo

v :A' air—y (AxBr deducido del teorema anterior, es un isomorfismo.

Demostracién: Sean {a} n , 1 1

{a E L} n

{L} 111 bases de A y B respectivamente. J 1 .

m

1 . J ill ’J'l

Es claro que entonces . .

es una base de A E B . Sea U' e1 homomorfismo de (A E B3,

.

en A' E B" definida por ' e EL)- ! el'nf?

V ( i

J

-1

J

donde, en cada caso, indicamos can ' la. base dual.

Las relaciones

[(W.W')(eififj-)"] (ehmk') - ei(eh)fifj'(fk) para. todo h,k ,

61h; i

1'\< -h\< n,;< 1 < k \< m , muestran que

(111 . U'Heixrj)’ -(eixfj)‘ For 10 tanto

I}! . U' I Id.

Anflogamente verificamos que 6' . V -' Id.

que el teorema ‘queda p‘robedo.

'15. 12. Corolario :

Si A es libre y finitamente generado, entonces- -

.A-xA-zLAEA)’ 134

con lo

15. 13. Notacidn:

Si feA' y a€A

escribimos

f(a) s (a, f> Si 'A y B son grupos abelianos libres finitamente generados, y H es el isomor-

fismo

A- E B- —> (A EB)-

entonces, cualesquiera sean f €A- ', g €B- ,

a€A , b €B , sé'tiene

= :(amgm = A ‘un automorfismo.

su base dual.

Probar que.

is 1;...,n

es la base dual de {9 ei} '3.

Sea A copno en 2. .. Sean f,g €Hem(A,A) . ”Sea

.a)

{e1}:

una base de A .

Probar que~ Z:1 = 2:1 0

‘

.._._

_‘ _. ARE—9 A"EB—> 0es exacta. A.

Demostracién:

i)

f E 13 es un epimorfiemo (0 sea un homomorfismo suryectivb)

En efecto, si a" GA" , b 63 y a 6A satisface ‘fa=a" entofices a" Eb =

fa E j‘B (b) = (f E 13) (a 'E b)

y como Ice 3." E b generan A"_E B , i) sigue.

11 a) NfEiB 31m agen1E1B ' ' .

.

En efecto, basta observar que -(f E 1B). (i E i3) = (f. i)E 1B = 0N 1B = 0 . ii.b) Esta part'e es no trivial.

Se trata de la inclueidn C

.

Es case particular'

de la propesicién mas general siguiente

16. 2. Progosicién: Sean f :A—‘* A" , g :B a B" egimorfismos . 'Entonces Nueleo de in g es el subgrupo de A E B engendrado po‘r los elementos de la fdrma { h E b},h CNf ,

b€B y {Auk}, a€A , kEN. g

-'

Demostracién:

Sea H e1 subgrupo definido en la Proposicidn. .

Sea H*= N . fag

HC H* . Sea e1 'diagrama siguiente con fila y columna exacta: I

138

Es claro que

‘

B—>I A'LE B"-——i o _

B k

I

,

I

04m

A

fl A'EB—9 AEB—> A"-EB——-> 0

n6 es, enAgeneral, exacta. ’0 equivalentemente, 1a aplicacidri

A'EB—a Aims inducida por la. inclusién

A' C A , no es, en general, inyectiva.

Seé, en efecto, 1a inclusién

_

Z2 ——> Z203-

Entonces la apliéacién Z23Z2—> sfizz

' deducida de la anterior, no es inyectiva, pues

z2 = . zzmz2 1 ‘ o

y I zzmxzz

=

0.

siendo' Z200 divisible y Z2 de torsidn.

'\1

16. 3.‘ Aglicacionés: 1.

Sean n y m nfinieros naturales, (n) y'(n'1),'lo_s subgrupos de Z engendra- .

dos par 11 y m .

Los homomorfisinps suryectivos

z ——'- Z/(n)

z __» Z/(m‘) ‘inducen e1 homomorfismo .suryectivo

'140 .

Z R Z ——> Z/(n)D Z/(m) E1 nficleo de este homomorfismo es el subgrupo de Z E Z engendrado por la tbtalidad de elementos de la. forma \

- (3/)

,kEm

,

nEj

k,j€Z

Recordemog que existe un isomorfismo natural de Z N Z en Z dado por la éplicacién ' ' :i rim 31 ——> E11.181.

Este isbmorfismo aplica e1 s'ubgrupo e_ngen'drado por ('/ ) en el_ subgrupo de Z engendrado par

ggm; 91'} .

kJéZA

- e1 cua_1 no es otra cosa. que el sub'grupo -(. (n, In) )' engendrado ppr e1 inéximo comfin divisor de 11 y m' .

For 10 tanto se tiene_ la spcésidn exacts.

0—7) (.(n,m) ).——> Z——>ZnEZm—> 0.

y 'se fiene entonces e1 isomorfis'mq

—> Z R Z Zola m)

n

m.

II

como habi’amos demostrado anteriormente. Seé. A un grupo abeliano,

‘

n e N y sea fn : A ——?A definida _porr £1.1(x) = m.-

.Aflrmamos que A/nA = A/IEI-l) es isomorfo a. A E Zn .

Se}, en efe‘ctot e; _s_i,,. . ‘

' guiente diagrama _conmutativo

.iAEfn ._ iAmn AEz—+AEz——>sn——>'o A

n

——-’

A

‘

'

_

——>A/I(£n)———> o .14i

_ ; :3 ;

x

J con filas exactas y donde 10s dos homomorfisrn'os 'verticales de la izquierda son Vlos isomorfismos canéhicos. 'El homemorfismo t queda definide en forma na-

tural. ' La. file. superior esta inducida por la sucesidn exacta f

_

o —_» z L z —> Zn ——-9 o siendo- in 1a aplieacidn mult-iplicacién por 11 en Z .

Afifmamoe que 1: es u_n isomorfismo.

Esto es consecuencia inmediata del 1e-

ma de los cinco.

Sea 1a sucesién exacta 0——> A' —-> A—> A" —’ 0 , donde A'—> A es una. inclusién.

Sea B = Zd el grupo ci’clico de orden d .

Sea l'a sucesién inducida

.*.

o—>A'xBi-> AEB—> A'.'EB——? o

M Entonces

r

1* es un naommorfismo, 0 sea (') es exacta si y 3610 si dAnA' = dA',

'es decir,.si para todo 'a' €A' tal que aI = da con areA , existe age A' tal que a' = da'1 .

Sea, en efecto,

la inclusidn A' —> A .

h :-A'/dA.; ——> A/dA e1 homomorfismo inducido por

Se tiene entences e1 fliagrama conmutativo:

A'EZCV—fi AEZd—> A"EZd—-—> O .

N

N

~

A' /dAI _b._, A/dA ——’ ' A'_'/dA" —:—> o eon filas exactas, donde 10s isomorfismos verticales son los naturales.

Sigue que

(') es exacta 51 y sdlo si h es u'n monomorfis'mo, es decir s1 0 =

Nh =

(dA,/\IX')/d-liI

0 sea dAn A' = dA' , como queri’amos probar.

E jercicios:

1.

Sea A un grupo abeliano finitamente generado.

mero primo p que satisface A EIZD f 0 .' 142

Probar 1a existencia de un nfi

/ Sea A un grupo abeliano.

Sea. p'eN’, prime.

‘ . Probar la. equivalenéia de_1a.s

proposiciones siguienizies:

i).

Existe un éntero j€N tal que AEZ I, f 0

ii) - Para. 'todo ante-re 1 EN , A x zpi 7! o.

3-

Probar que un grupo‘ A es divi'sible si y 5610' si satisface:

AEH =

O cualquiera sea‘el grupo finite H .

§ 17 . - GRUPOS ABELIANOS 'SIN TORSION PRESERVAN EXACTITUD

Sea ahora. 1a sucesién exacta corta.

0—>A'-i->A'—g——»A"—>o

‘(*)_

17. 1. Teorema:

Si _F es un grupo libre finitamente generado, entdnces 1a sucesién inducidé por (*)'

(**)

gEi _. . £131. 0—» A'EF—>AEF—>A"EF—>o, es exacta, donde abreviadamente i = Id"F .

Demostracién:

Sea F un grupo abeliano lflafe y sea X una base finite. de F .

Haremos induccién'

.143

_.__...m

en el mimero de elementos n(X) de X .

n(X) = 1 .

Entonces F es isomorfo a Z , se tiene e1 diagrama conmutativo

0——->

A'

i

0

ll

_)

——>

l

0—’ A'EZI———r AEZ —DA"EZ ——" 0

donde 1a fila superior es exacta, y los homomorfismos verticales son 10$ homomog~

fismos candziicos.

Dejamo‘s a cargo del leétor verificar que en estas circunstan-

cias 1a ffla inferior es exacta. n(X)= k+ 1

,'

k 7/ 1 .

Sea {x1 , . . , x-k , xk-Fl} 'una base de F.> Supongamos

e1_ teorema cierto para grupos abelianos libres con bases de k elementos; Sea F‘

e1 subgrupo (libre) de F con base {x1 , . . , xk} bre) de F engendrado por

o

x

f.

.

Se tiene e1 siguiente diagraina conmutatixfo: .

o

l

y sea (xlgi-l) eltsubgrlupo (1L

'

o

l '

_

-

_

-

l

0-—, A'EF'—.> ‘A EF' +>A"E.F' ——> O

AEF —*A"EF+*O

0—'——>A'EF 0—-—» A'K('x

0

)‘—’AE(x

-

)—>'A"!§(x

0

)——>0

0

Las columrias estan inducidas por la sucesidr; exacta

0_-—>F'—’ F——’_(x

')——> 0

y son exactas pues ‘esta fiitima sucesidn exacta se parte. Las £515; superior e inferior, indueidas p01; (* ),' son eiactas en virtud de la hipéte-

sis induetiva.

La exactitud de la fila delumedio resulta de un calculo sencfllo.

E1 teorema ‘queda pfobado.

144

.

-

V

17. 2. Proeosicién:

f . Sea

0

= A'

’ A

a A"

0

una sucesién exacta corta. Entonces si

esta sucesién stev parte, 1a sucesidn inducida

o—bA'EB—+AEB——’A"nB—>o

(1)

‘ f

es exacta y se parte, cualquiera sea el grupo abeliano. B . Para probar primeramente que

(i) es exacta es suficiente probar que

A' E B —9V A E B es inyectiva.

Usando 1a notacidn _de la proposicidn anterior s:_'L

f' :A —> A' es el homomorfismo que satisface

f' o f. = Id. A' , se tiene que

' . . = I-A'EIsldAIEB d. . . (fEIdB)O(fEIdB)

Esto implica inmediatamente que

f E Id. B : A' E B —> A E B

es inyectiva.

Para probar que (1) se parté, consideramos una seccidn g' : A" —’ A . Entonces g' E! Id.B es una seccién de (1) .

17. 3. Lema imErt'ante:

Sea-A y B grupos abelianos,

A'EB su producto tensorial.

{a1,..,ak)c

Saan

A

{b1,.. . , bk}; B tales que

-

E.a.xb. = 0 en ARE. .1 1 1 Existen entonces subgrupos finitamenta generados .

A' C3 A talesque

{a1,..,ak}CA l

yziaifibi = .0

y

‘

y

' B'C B

[b1,..,bk}(

.l B

l I enAEB

145

"

w

Demostracién:

Siendo A E B el cocienté de F

..

por el subgrupo N engendrado por los ele-

mentos de' la forma

. e(21+ a' .-b) ' e(a,b) ' e(a‘,b) e

- e (a. b+ b')

don_de a,a'€A ,

- e (a,b)_

(a,b')

b,b'€B.;-

:1.a.Eb. 1 1

= 0

euivalea

q _

Z1.e(apbi) e N

0 sea (it)

_

Zlé‘arbi’

‘

a

Ztfi{e(a't+a"‘bt)

"

e(at.bt)

-

+

6(a'abt_)}

Zu mu{e(au'bu+b:1) f e(au’bu) _ 8(au.b1'1)} nt , mu 6 Z , sumas finitag.. Sea A'

e1 subgrupo de A engendrado por los

(a1,

, a'k} y los

{an} '

’ {at}

que aparecen ep 13. expresidn (i) .

Sea 3' e1 subgrupc; de B engendrado por todos los {bf . . ,bk}

que aparecen en la. expresién (1‘) .

.. {ht}

, {bu}

-

Ambos A' y B' son grlupos finitgmente generados.

- Las inclusiones A' CA y B'CB

inducen una inyeccidn ‘A' x B'-——> Ax B y

3.3:]? un homomorfismo inxectivo

F

1&ll

.—’

FAxB

. Como es fécil de verificar, este homomorfismo inducé un homomorfismo inzectivo A' E-B' —'—> A 18) B ,

por lo tanto, puesto que

-Zi aiEbi——’Zi aimbi = 0

se tiene que :1 aim bi

0

en A'EB'.

Sea A un grupo abeliano, recordemos que A es {1n grupo sin torsidn si cualquiera sea 11 €N , e1 endomorfismo

tivo.

Oequivalentemente si

fn :A —> A definido por fn(a) = na , es_1'nye_c_

n.a =

0 ,

n€N implies. a= 0 .

17.4. Teorema: f

‘

Si 0 —> A'.—> A —g—> A"—» 0

es una sucesidn exacta corta y B es un

grupo abeliano sin tors'ién, 1a sucesién

'ffii

gEi

0—-) A'E‘B——> AEB—> A"EB—> 0'

es exacta.

Demostracién:

Lo

finico que tenemos que probar es que

al

1, . . ,aieA'

,

b.

1"

;.,b

k

63

1' 18! 3'. es inyectivo. ‘Sean pues ‘

talesque

0 = (mi) ([1 ai'iobi) . Zifiapflfbi Por e1 Lema anterior, existen subgrupos finitamente generados

Al‘C A

,

BIC B

que contienen respectivaménte a' {flap} V

'

Ei f(éi)xbi

=

0

y que satisfacen

y {bi} .‘

en A1 E B1

:

f'1(A1nf(A'))——> A1 --

#,

1—».1

-

*f e _ E f

w—wa

Los diagramas conmutativos

1. '

147

inducen e1 diagrama conmutativo

0——> A'EB.—* AEB~

T

o—af'1(A1n mum 131 —> A1 :2: B 1 En este tiltimo diagram}... 1a file. inferior es exacts. pues B

nerado y sin torsién, es libre.

1

siendo finitamente gg

Entonces

Z1 aiE bi'—> Z1 flap :8! bi I l Ziaimbi—r :ifiai) a bi =

o

y por lo tanto

Z.a!mb. = 0 1 1 1

en A'EB

17.5. Corolario: Sean A.y B grfipos'abelianos,

a-€A y b€B .

Si a y- b son sin torsidn, en- ‘

tonces 3.l b es sin torsién en A E B . Démostracidn: Sean (3.) , (b) los subgrfipos de A y B, respectivamente; engendradds per a y?

b. Es claro qué (é)r:Z , (b) cz’Z ===9 (a) E (b) I: Z R Zc:-'Z_,

y consecuente-

mente aflbf 0 en (a)E (b) . Puesto que, por otra parte,

tA n (a) =

0 , 1a composicidn (a)'——> A,—>A/tA

define un monomorfismo: u : (a) —'7 A/tA .

Consideremos ahora 'el diagrama

conmutativo siguiente:

Z: .(a) E (in—L A/tAE (b)

is -

1v.

. t .A x B -_—>.A/tAEB 71.48

donde u' es el homomorfismo inducido por u , y dbnde 3.1%, v' son los homombr-

fismoé naturales.

Notemos que u' y v' 'son monomorfismos,p1es (b) y A/tA

'son sin torsidn..Fuera m€ Z tal que m(aflb) = 0 en AEB, se tendria entonces

v'( u'( m(a x b) H

.t(s (m(é x b) )) t( m(aEbH ’

t(0) =

O

.

Por lo_tanto m(a Eb) = 0 en (21mm), pero (a)E(b) es sintorsién, de manera que m = ‘0 , lo cual demuesti'a. que a. E b es sin torsién en. A E B‘ .

17. 6: Ejemelo:

f z—L 224—» o , donde. 2z denoté’el ' -Sea1a sucesiés'x'i'éxact; o'_> 2z .—>

f es la inclfisién y g es el homomog

subgrupo de Z de todos los mfiltiplos de 2 ,

fismo candnicd de Z en Z/2Z = Z2 .

Esa sucesién induce 1a sucesién

(e): o—_» 2zmz2f_3’_1> zgzzgiia zzmz2_—'> o Primera observacién: 2Z E Z2

es isomorfo a Z2 , pues

-

Z X Z2. es isomorfo a Z2 ~.__

2Z es isomorfo 'a Z y

‘

'

.x ' ‘

Seggnda observacién: f E i = 11.. . En efectb, en base a la primera observacidn 2Z E Z2 , contiene un finico elemento 7‘ 0 , a saber, 2 E 1 . (fE i) (2 E 1) = . 0 .

.

2.1.1811 ?—1~EZ.1 =

.-_.

17. 7. Ejemglo: Q es canénicaménte isomorfo a. Q E Q .

En efecto, sea 18. sucesién exacts.

0—» ZL> Q—f> Q/Z—> o Siendo Q un grupo abeligno sin torsién, se tiene 1a sucesién exacta

149'

« .a; :74. “f

u

.

*fi

\

Terce'ra observacién: 1a s‘ucesién (e) no es exacta.

"o——>:'z_mQ_i—ELI—> QEQ—fg—I» Q/ZEQ-——> o

y éhora. sie_nd§

- Q/ Z un grupo de torsién y— Q un grupo divisible

0 = Q/ Z E Q

de manera que results. e1 isomorfismo

Q —’i’ z E Q —’i> Q E Q V E1 lector podré verificar, a manera de ejercicio que el isomorfismd Q E Q -——> Q

coincide con el homomorfismo vistb anteriormente III: Q E Q —9 Q

WP/q'lq') = (p-p')/( R—-> RER—fi-R/ZER—a o donde hemos identificado ZER' con; R .

Por lo-tanto R/Z E R .resulta isomorfo a1 cociente de RER por el subgrupo de e1e-mentos de la forma

1 E r ,

r €RV .

. 17.9. Teorema. Reciprocd: Si B

es un grupo abeliano, con la propiedad que:

cualquiera sea 1a sucesién exacta corta

150?

w. _

n

0——>A'——>A———-> A"——> 0 1a sucesién inducida

-

”

o—> A-‘ma——> A EB——’- A"EB——> 0 es exacta, entoncles B

es un grupo sin torsién.

Demostracién: ,.

,

‘

Sea, para cada n e N , la sucesién exacta.

fn

V

o—> z——»‘z——> z/1(rn)—> o

.

‘

‘

donde fn(m) = n.m si m€'Z . Por hip‘éiesis se tiene 1a sucesién exacta inducida

.

.

'fnm'd.

. Par 10 tanté n.b = 0 ,

b 6 B‘implica

o 5 .1 amb = nEb =(fnn1d.)(1mb) dedonde

12b = 0 én~ZNB

yasi’ b=0 en B.

M:

Si, siguiendo 1a terminolbgi'a del Algebra Homolégica, llamamos Me. 105 #51908 I

#belianos B con la propiedad que,cualquiera'sea 1a sucesidn exac'ta '

0 —> A' —> A ——_> A" —-> 0 ,' 1a suce'sidn inducida

' 0 —) -A' E B ——>- A E B -—> A" E B —> 0 , es exacta, se tiene’el rfesultado: Un grupo abeliano es playo sf y S610 si es sin torsién.

E jercicios:

‘ 1.

Probar due si

* Flat en inglés, plat en francés. 151

_/. —_) Xn—-——) X.-1-1+—>-' . .

——->- X1—>Xo—->‘- 0

es una sucesidn exacta de grupos abelianos y A es un grupo abeliano playo entqncas 1a sucesién inducida

__. XnEA—-> Xn_1EA——> .

xl—aoAfi 0

es exacta.

2.

Sean f : A1 —> A ,

g : B1 —> B homomorfismos.

Probar que 31‘ f y g

son monoinorfismos y B1, y A aon sip torsidn, entoncés f 33 g ea un monomog fismo.

En particular, 91 A y B son grupos sin torsién y A1 , B1 subgrupos

reapectivamente de A y B ,' entances A1 E B1 se identifica. naturalménte a. un_

subgrupo de A E B .

. § 18 .

UN CRIT'ERIO UTIL

E1 siguiente teorema es de interés por sf mismoyy de-utflidad,, especialmente para el

_

'

i‘

'

caso general de producto tensorial de médulos sobre un anillo.

18. 1. Teorema:

Sean A y B grupbs abelianos, ademasr B sin torsidn.

(*)

.

:1 51113a1 = 0

en ARE

existen b5 €B , y. enteros rji donde j= 1 ,.., 'm

bi

_

Z]-

11

'0

;52

-

,

=

e

-

m

Entonces, para cada relaciéfi:

rji b]!

1

.9

=

lab-:11

‘

:1 rjiai ‘ . VJ 1....m .'

. '

'

=

»

i-= 1 ,.., n iales que

Demostracién:

Sea A! e1 subgrupo de A engendrado por {ai}rll. implica que la relacién (*) Ves valida en A' E B .

La hip6tesis gobre B Por lo tanto, de ahora en adelan;

‘

te nos referiremos a A‘ E B .

Sea 'F un_ grupo abeliano libre con base {e1}: y la sucesién exacfa.

@

o———> K—> F——>A'——>o~

(**)

Ital que

,

@(ei) = a1

y

K ’4 N((j)) . K es el subgrupe de F engendrado por las.

relaciones

Zni

'dd one

rjiei,

rji

ez _

,

'-1,..,m

J

t'f

salsacen

Zni

rjiai

-0

-

De (**) Se obtiene 1a. sucesifih exacta

O—> KE'B——> FEB-—> A'EB—r 0

. n . La relacién .212 ai' E bi = 0 en A_'_E B implica 1a existencia'de elementosi

bl'c , h=1,..,m talesqtie m

n

£1 eiflbi

n

I

n‘

.-

m

. -

v

' =‘ Z1 e1. E (Eh ”rhl. bh4). b' '. . :11 ”:1 rhlei) E h)

=

y ahora e1 hecho de ser {ei}1 una base de F implica las igualdades m

rhi

1'

Zh ' rhi bhl

=

1...,n

satisfacen n

O-Zi rhiai

,

.

h— 1,...m _.._.,_._....—

Puesto que los"

=

_.,._.

'El te‘orema queda probado. ‘

18 . 2. Corolario: . Sea-1a situacién del teorema anterior,

b 63 , h f 0 y. a CA .

' _153

wgwm—

bi

a

a. E b = 0 ._.en A E B implies.

Entonces

‘es de torsién.

Demostracién:

En virtud de1 teorema anterior existen .bJ! EB ,

b= ., ;

_

j = 1, . . ,m tales que

m . r.b' EII 'JJ

0=r

i

r:i e Z ,

a

j=1,

,m

O f b implica que algfin rj es '7‘ O , por lo tanto 2. es de torsion.

1.8. 3. Corolario: 'Sea A -un grupo abeliano y sea

9' : A ——> A E Q e1 homomorfis‘mo'definido por

q'(a) = ax 1 .’ Entonces

mg) = tA “ i

‘ '

Demostracién:

.

Es claro que' tACN(g') .

AE Q .

Si, reciprocamente,

a (-2 N(q') se tiene que a E 1 = 0 en

Aplicando e1 corolario anterior se tiene que a ~es de'torsién, 0 sea a €tA,

como queriamos probar.

18.4. Corolerio: _

Si A y B son grupos abelianos Sin torsién, asi’ 10 es" A E B .

,

~ '

Demostracién: n Sea

u=Zi aiflbi

-ta1que existe h€N con hu= 0.

Exisfen entonces enteros rji , y elementos b5 8 B tales que m

b» =

Z] A211 J

o

{i rji(hai) - m; rjiai.)

1

154

n

-

a

-.

r..b!

' =

J

n

1,...,m

.

,

La filtima relacidn implica

Z? r.. a. 1

For 10 tanto n

.

m

:1

II

:1 ai 3(Zj rjibli). m

n

Zj (Zi rjiai)flb5 y esto prueba nuestra afirmacidn.’

RANGO DE UN GRUPO ABELIANO

Sea A .un grupo abeliano y sea Q E A su producto tensorial con el gmpo abeliano‘de -

10s nfimeros racionales.

qx) = ‘q.x .

Para cada q‘eQ esta definido e1 endomorfismo fc1 : Q ——> Q

Este induce un endomorfismo'

f E_1:QEA—>QEA q

19. 1.‘ Lema:

La ley de composicién externa

Q x (QEA)—> QEUA

(q. Ziqixai)—> (qlH/Ziqiflai) 'define en Q E A una estructura de espacio vectorial sopre Q .

Demostracién:

Es una verificacién que dejamos a. cargo del lector._

‘

A19. 2. Definicidn: I Se clenomi1_.'1a'.~ ._- raggo de A a la dimensidn de Q E A como espacib vectorial. sabre Q, egcribimos

'

-

' EA ) r(A ) = d'1mQ(_Q

_ 19. 3. Ejemglos:

r(Q) = r(2Z) = 1

?

r(Z)

.'-

"r(O) = r(Zk)= 0

~

,

k€N .

Dejamos a cargo del lector 1a demostracién de la. siguiente

19.4. Progosicién:

r(A') 4 r(A)

a)

81‘ A‘ es subgrupo de A , ento'pces’

'b)

Si 0 —-—-> A" —> A —-> A' —> 0

es una suces'ién exacta de grupos abe-

lianos, entonces r(A) es finite si y'sélo si r(A") y r(A') son finitos en cuyo caso vale 1a igualdad r(A) = r(A")'+ r(A') c)

Invariancia. de1 range: Si A y A' son grupos abelianos

i

A"_"A' ‘===9 , r(A) = r(A')

-

I

19.5. Teorema:

QEA = 0

31 y $610 51 A = tA de manera que r(A) = 0 si y 3610 si ‘A es de toi-

sién. Demostracién:

Si A es de torsién, entonces es claro que Q EA = 0 y asi' r(A) = 0 . Para ver 13. feciproca, cdnsideremps 1a sucesz'gén exacta . 0 —-> Z -£> Q -_l> Q/ Z ——> 0 _ y la inducida a1 tomar. E A : '

I

/

ZIA—u—> QEAL» Q/zxA—> o 156

Afirm‘amo‘s‘que Nu' = tA , mega de identificar Z R A con A ,. 0 sea que.1a supesién

'.

(1)

i

11-

-

v'

.0—>tA—> A—_>QEA——)Q/ZEA—>O

-

V es exacta * , donde i denota 1a inc1usidn _y u'(a) = 1 E a . Es claro que Nu' DtA . Sea entorices

O = u' (a) =

1 E a .

do tal que 1 E a = 0 en Q' E A .

Existe un subgrupo Q' de Q , :finitamenjze genera

Ahorva sabemos que'existe m e Z ,' m f 0', tal que

la aplicacién fm :Q —> Q ,

fm(x) = 1113 ;' induce un homomorfismo de Q'

subgrupo de Z .

fm D 1

Par 10 tanto

en un

Hindi-nee un 1eomorfismo de Q' E A en un sag

gi'upo de A .‘ Perp esto implica

0 = m1(1Ea)= mfl a_= ma de manera que a €tA y por lo tanto Nu' = tA .

. (i) es,exacta.

Esto prueba entonces-que 1a shees'ién "

Para completar 1a demostracidn de1 teorema hay que observe: que' en

base a. la exactitud,

Q E A = 0 ===9A = tA .

19 . 6. Corolario:

Paratodo grupo abeliano A ,

r(A)_ = r(A/tA) .

19. 7. Definicién: Sea A un grupo abeliano .

Sea A ——>- Q E A la aplicacidn natural a —;' 1 Ha ..

Diremos que‘un subconjanto X de 'A es Z-linealmente independiente si su imageh en Q E A por aquella aplicaéién, es un conjunto Q-linealmente independiente.

19. 8. Progosieién:

Un subconjunto X de A 'es Z-linealmente independiente si y 5610 si toda relacién entresi’, Z1 ni x, = 0 , donde n1 6 Z y xi €X , en nfimero finite y todos‘distintos 1

,

implica n1 = 0 para todo i .

*

: Este hecho ya lo demostramos anteriormente, pero inclui’mos ahora. otra demostracién, , por razones desconocidas. ‘

157

Demostracidn: Si .‘X es Z- linealmente independiente y Zini

ne 0 = 21.111 (1 E :1) ‘ 1 E xi .

=

como en el'enunciado, setig

0

10 cual implica. n1 =7 0 ,‘ dada’ 1a independencia lineal. de los

Reciprocamente, sea

qieq

,

:iqi(lflxi)= o

xi€X

,

{ xi} en nfime1'o finite y todos distintos entre sf Entonces existe m éZ ,’ of m tal que m. qi €'Z .

For 10 tanto

:1 (mqiki —> :1 (mqi) E xi = m1:i qi (1 E xi)) ‘= 0 implica :1 (1131921 €tA , 0 sea

0 = n21:i(mqi)xi) = Z-(n‘mqi)xi

,

0fn€Z

Esta filtima relacién, en virtud de lafihipétes-is, irnpliéa. nmq. = 0'

'

para todo i

y como nmf O , todos los qi son-cero.

19. 9. qolarioé

Un grubo abeliano A tiene rango >/ m (m caidinal finite o infinite) 81'. y 5610 51 A posee un subcdnjunto Z-linealmente independiente de cardihalidad m .

Demostracifin:

Sea A de range m .

Entonces Q E A posee dimensién m .

. momorfismo‘ A ——> Q E A ,

Puesto que en el ho-

1a imagen de -A es un sistema. de'generadores de

Q E A , se tiene, de propiedades de espacios vectonales, que dicha imagen contiene

una has? de Q E A. Esto implica inmediatamente que A contiene un subconjunto

158 ‘ /\

‘

Z-11neaimente independiente de cardinal m .

Reciprocamente, si A contiene un subconjuntQZI-linealmente independiente de cardinal m , su imagen en Q E A. es un conjunto linealmente independiente dé cardinal m, porlotanto r(A)=dim

19.10.

Q

QEA >/ m.

Corolarioz‘ En todo grupo abeliano existen subcorijuntos Z-linealmente independientes maxima-~ les.

Dos cualesquiera de ellos son coordinables.

Demostracién: Sigue de la validez de dichas afi‘rmaciones para bases de Q E A .

19.11. Corolario: Un grupo abeliano 1ibre,"de rango finito, es finitamente generado.

Demestracidn: En efecto, si ' r(A) = in finite, enionces A posee uii conjunto maximal Z-li’nealmeg

te ind'ependiente de m elementos.

Todo otre‘ conjunto maximal Z-linealmente inde-

pendiente co'ntiene m elementos, en particular una base de A .

19.12. Teorema: (Pontrjagin)

Sea A un grupo abeliano numerable y sin torsién tal que todo subgrupo de vrangoji-‘V - nito es libre.

Entonces

A es libre.

Demostracién:

Sea X un subconjunto no vacio de A ,

C e1 subgrupo de A engendrado por X y ,

sea (—3 = { a , existe n €N tal que na €C.)

el lector puede verificar facilmente. 2°

.

6 es subgrupo puro de A , como

Se 10 denomina ellsubgrugo Euro eng' endrado

X .

Si A' y A" son subgrupos de A , se tiene evidentemente:

7159'

A' C 25.7

~

A' C A" ====> ci" .

.

es ”sin iorsmn

..

A' CA" ===? A" / A'

”an.

”5......-

r(A') = 14K!) Sea {xi} 1 e N un conjunte maximal Z-linealmente inciepend-iente, y para cada i €N ,

A1 = subgrupo puro engendrado por {x1 , '. .- ,1 7 .

. - '3'}

Entonces

A1 CA1+1 y

Cada Ai

r(Ai) = ‘i

es de rango finito y por hipétesis entonceslibre.

En virtud del coroiario I

anterior es finitamente generado.

Q sea, cada Ai es libre finitaxyente geheradoh

For 10 tanto A‘+1 / Ai es finitamente generado y sin torsién, por lo tanto jlib-re. . 'j Esto implica que para todo i

A-i+1 a Ai $(AJ'.+1 / A1)

Ahora esto filtimo implica necesariamente que e1 teorema sera necesario probar que

k1) Ai 'es libre. Parademqstrar ‘

A = Li} Ai .

de {a} implica que existen enteros nkl , . . ,.nk. 1 _ J tales que

Nota:

y elemehtos xkl , . . , x'kj .

E1 teorema queda probado.

.

Sea A =

l I n eN

A

.

An 2 Z ‘ , cualquiera sea. n €‘ N.

puede verificar que A ,satisface: _1.

A es no numerable.

2.

A es sin torsidn

3.

Tpdo subgrupo de A. de rango finito es libre. ‘

,_____

e1 producto-directo dé una familia numerable { A 1‘ . . die n ne N

n

gruposabelianos tales que

I

La maximalidad

nx = :1 nki xk,1 , para algt’m n €N . .

Pero entonces x eAkj C k1) Ai .

160

Sea X 6A .

,‘

../

Ehtonces e1 lector'

'

.

Ca

1

Sin embargo, es un fesultado bien conocide que A no es libre. :Véa‘se tinademostracién de ese 'hecho en Kaplansky. I : Infiriite Abelian Groups, pag. 48, Th. 21.

'19.13.Co_m1ario: 'Sea A un grupo abeliano numerable ial que todo su‘bgrupo de rango finito H- es Ii-

bre médulo" tA (0 sea.‘ (H + tA) [12A es libre ) , entonces tA es sumando directo de

A . Vinculagio a la. nocién de subgrupo puro engeridrado por un conjunto, que hemos definido en . 1a demostracidn del'.Teorema anterior; es de interés e1 siguiente

19. 14. Teorema:

-sea A .sin torsidn y {xi} un subconjuntq Z-linealmente independiente maximal de V

A . "En'topces {xi} es -una base de A $1 y $610 $1 engendra un subgrupo puro de A. ’

Demostracién; Si {xi} .es base de A exitonces e1] subgrupo engendrado es A que es bien subgru.po pui'o de A . Reciprocamente sea entonces puro e1 subgrupo H. engendi‘ado por

{xi} . A/H -es sin torsién. Si A/Hf 0 entonces r(A/H) > 0 . Existe entonces ' un conjunto X' Z-linealmente independiente no vacio en A/H .

Si con X denota-

' mos uri conjunto completo de repreaentantes en A de X ' (via 1a aplicacién can6n_i ca A —‘> A/H) se ve fécilmente que {xi} U X es'un conjunto Zeiinealmente in-

; dependiente en A , contrario a la maximalidad_de xi . E jercicio':

_ Sea

9' -: A -—-—> B un homomorfisino de'grupos abelianos. Direrzios que 9' es-

‘ esencial si cualquiera sea e1 subgrupo B' de B : q (A) (\B'- =

0 ===9

B'_ = 0 ,

o equivalentemente si [iara todo subgrupo B' f 0 cie B es valido que 13—1 (BI)?! O Si A es su'bgrupo de‘ B , decimos que B es 'una exiensién esencial de A si la i5

clusién Ar—> B es un'homomorfismo esencial.

'

'161'

a)

Probar que un ‘grupi: ab_e1iano A es inygctivb 31 'y 5610' 31 A es éu finica. extég si6n esencial.

b)

Sea D un grupo abeliano divisible y sea. cial.

c)

9' :A——> D un homofnorfismo eseg

Probar que 9‘ es un epimorfismo.

Sea D un grupo abeliano divisible que contiene a A .

Pi‘obar’que e1 subgrupo

puro A- de D engendrado por A as divisible y es una extensiénesericial m5 .ximal de A .

d)

-

Sean D1 y D2 grupos abelianos divisibl'es- que contienei: a. .A . Sean A1 , A2 105 subgrupds puros engendraiipé-por A iespectivémente eli-

Probar que existe un homomorfismo

Di y D2 .

11 :D1 ——’ 'D2

que induce‘"

_ -— 1 —2 un isomorfismo u : A ——> A que hace conmutativo Ial diagrama

D

/

-1/‘\_;

1

\>

u

2 .

Sigue entonces que 1as extensiones esenciales maximales de_ A. son naturalmente isomorfas.

Indicaremos cualquiera de ellas simplemente con A y la

denOminaremos (una)_cégsu1a iriyectiva .(o'divisible) de A

Esencialmente,

una cépsula inyectiva es uh g'rupo inyectivo minimal con la propiedad de contg

ner a A .

e).

Probar que si (Ai)i €I

es una familia arbitraria de grupos abelifinos, enton-

ceS

( ea . A1)” = 161

f)

19‘2-

-

e

221

i€I

Hallar cépsulas inyectivas de 10$ siguientes grupos:

f1)

z

,

f2) '22

,

I3)

{m/pi, mez, i€N}_,pprimo

:4)

z2

,

£5)

,/

f6)

26

zm

,

£7)

z'n , n€N

.-

Probar que si A es un grupo abeliano _sin torsié n entonces A D Q es capsula divisible de A .

h)

A

Probar que todo grupo abeliano sin torsioh y de rango 1 es isomorfo a. un sub grupo de Q,

g 20 .

ESTRUCTURA DE GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS.

Ya sabemos que' vtodo grupo abeliano es imagen homomérfica de un grppo abeliane libre.

For 10 tanto fesuita razonable pensar que para lograxi una elasificacién completa

- de los grupos abelianos seraineceaario conocer 1a estructui-a de subgrupos de g'ritpos ab_é_

lianos libres, e lo que se suele llamar acertadamente "1a posicidn de un subgrupo en i111

grupo libre" .

K

”Este problema. de clasificacién ‘ekpuesto con tanta generalidad esta bien lejos a1 presente de una realizacién.

Sin embargo, {para el caso de grupos abelianos finitamente generados

libres se conoce completamente 1a posicidn de sus subgrupos, de mafiera que, consecueg temente, se conocen todos los grupos abelianos finitamente generados.

Antes de comenzar el tratamiento general, fijaremos las ideas-con un

20. 1. Ejemplo: Sea A un grupo abeliano engendrado por {g1 , g2 , g3)

331:"

y 1as relaciones:

g3

3g1 =-8g2+3g3

Entonces 51- F es el grupo libre con base

{e1 , e2 , e3}

y K es ei subgrupo en-

gendrado por ‘

'

163

,

refit-11 -.:w

g)

d1

=

3e1 + e2

d2

=-j

3e1+ 8e2 -, 3e3‘

se tiene e1 'isemorfismo

F/K 2A . Sera cuestidn ahora de encontrar una base (e'1 , e'2 , e5) de F de manera de pg

. der expresar los generadores {d1 , d2}

(0 alg'fin otro sistema de generadores)

de K , en la forma "mas sencflla" posible. ‘Para. e110 iremos efectuando cambios

de base como sigue. ~La medida de la sencfllez a. que nos referimos arriba seré. con respecto a la matrlz de {d1 , d2}

respecto de

{el , e2 , e3}

:

y a las matrices correspondientes a cada cambio de base.

' Procedamos segfin e1 cuadro 'siguiente:

Matriz

3

o

Base de' F

1

8

.

-3

1

0

3

-3

3

-3

1

62

,

-83)

3 e1

+

0e

+

=

d

3 e

+

--

8 e

2

{, a

32

d1 = _

J

e1)

3 e

3

e3

+

Ca2

{

+ '

d2 =-3-_‘e3

{I

e3

.

‘.

.

=

.

.

(33

164.

d1

‘ (e1

3

. 'Generadores de- K

+

8e2

3e1

-

.

4- .3e1

(e3 + 3e1) + ((e3+ 3e1) , 8

-12

0

0

e2

,

e1)

(

J!

((e3+3e1) .

e2

,

0

or

4

0

d2

-— -3(e3+ 3e1)+

d1

=

d1 =

_ J ((e3+ 3e1), (2e2 + 3e1),(e1+ '

e1l

=

I e3 + 3e1

e2l

=

2e2 + 3e1

eé

=

e1 + e2

se tiene que

A 5:1 .

{ei , 4%}

8.

e2

+

0e

"1

+12e

(e3+ 3e1)+ -

d2+‘ 3dl = o (e3 +

Par 10 tanto, si denotamos con

2

e1)

3 12 .1

0e

-

3e1) +

‘ ». . + 0(2e2 + 3e1) + 0(81 +e'2)_A . . (63 + 3e1)

'

d2 3% +

'{e'l , e2' , eé }

=

0 (e3 + 331.) - + 4(2e2 + 3e1)+ M31 + 32).

la nueva base de F

genera (y es base! ) de K , de manera que

I N (Ze1 I 9 Ze2 I e Ze3)/ I I F/K ._ (Ze1I (D Z(4e2))

N

_ Z4 69 Z

Nota:

E1 proce'sto anterior esta inspirado en la diagonalizacion de matrices por medio de 2 peraciories elementaies de filaSy columnas. Véase, por ejemplo, Jacobson N., Leg

tures in AbStI'aCt Algebra, V01. 11, pag. 79.. Sera fitil para el lector desarroi'lar sg gfin las lineas del ejemplo anterior e1 easo siguiente: ,A es un grupo abeliano .engeg

drado por {g1 , g2 , g3} y las relaciones Zgl + 2g2_+ 283 = (Sol, 'A 2 Z 6 Z3) .

0 ,

3g1 ~6g3

0

.

(ei) una base de A .

Sea A- un grupo abeliano libre y sea

20. 2. Definicién: Sea a 6A ?- a = E1 mi ei .

Llamaremos e-Eeso de a a1 entero 0 $1 a = 0 y si

a 7‘ 0 a1 maximo comfin divisor,m. c. d. (mi-),de 10s coeficientes de su representacidn en términos de la base (ei) .

Esci'ibimos entonces

| a |

.

= e-peso de a. . e

-

Nuestra primepa observacién sera 1a‘de 1a invariancia He I a le respecto de la base (ei) . En efecto,

20. 3. ProEosicién:

Si (ei) .

',

.

(fj)

sonbases de A entonces lal = la-Ie =1 a|f.

Demostracidn:

Es claro que $1 a = 0', nada hay que demostrar.

Sea pues a f 0 .

Por raz_ones de simetri'a sera suficiieritebrobar, por éjemplo, que I a [f divi-de

[ale

. Setieae

a = :1 iniei

,

Z.s.f.‘

,

fj = Zk ujk ek

,

a

i

.

J

11-

como todas las sumas finitas.

-

mi€Z

,

s.€Z ,

J

ujk e Z

Ahora

:1 “3551 = Z'?EEZk ujk ek ) = Z1 0

a" €A' ===# d.4 |a"l Sea e1 EA tal que asociada a e 1 .

Ieli

=

1

,

a'

=

dlel .

Sea 1‘ :A—-> (e1) 1a proyeccién

Vamos a probar que la restriccién f/A' de f a A' define una

proyeccidn de A' sobre (a') .

Se tienen las inclusiones

(a') = f( (a') )C f(A') CflA) = (e1) Siendo f(A') shbgi‘upo del grupo ciclic‘o (e1) , posee un generador k. e1 , k e N I.

a' éfiA') ====>

a' = -m(k.e1) = (mk).e1 para algfin m €Z .

Sigue que d1= m.k ,

0 sea k/d1 .

Por'otra parte, puesto'que e1 puede extendeg

se a una base de A' , se tiene que l k. e:l I

f(x') = k. e 1 .

= ‘k .

Sea X' 6A" tal de satisfacer~ -

For 10 ya vista se tiene

'| x'l/ |f(x')| = k§ d1 Ahora, usando 1a minimalida'd de coma queriamos demostrar.

la' l

en A , resulta k = d1 , 0 sea f(A') = (a').

Sea pues A1 = Nf ,

Ai = aA' :

A = Nf€B(e1)= A1$(e1) A'

Nf/A'

$(a') = (NfflA')$(a') = Ai$(a')

A‘CA 1 1

Fuera A'1 = 0 , 0 sea A' = (a') , e1 teorema quedarfa probado tomando‘ por base en A 'cualquier base que contenga a el , y por d1 e1 entero que' satisface a' _=

= d1e1

.

Sea pues Ai f 0 .

.‘ Es claro que r(A'1) _= n-1 .

Razonando inductivamente, podemos suponer 1a exis

t'encia de una b ase (e1)2U(eJ)j€ - n .

J

de A1 I, de enteros p9s1t1vos 1' ' d2, . . ,d1 tales

que (di ei)2n es una base de A; y di/di+1 ,

-— 2, . ._, n — 2 . 1— 169

b) y c) .del teorema seré. suficieg

Para completar 1a demostracién de gas partes

t'e probar que {11l .

l x! = m.c.d. (d1, d2) .

Observemos, ‘para e110, due

x = d1e1 4!- d2e2 6 Ai y'

Dada la'minimalidad de (11 ,

debe ser l x I = (11 , ‘con

' lo que d1/d2 .

20. 10. Teorenia de estructura: Sea A un grupo abeliano finitamentegenerado.

a)

Existen enteros no negativos ($11):1 tales que

14141“

y

dif0===9

djfoydi/dj

y A es isomorfo a la suma directa de los grupos ciciicos:

Z/(d1)€B . . . @Z/(dh)

b)

Si A es isomorfo a una suma directa de grupés cfclicos:

'z/(d'lm. . . e. . . el-Z/(dl‘c) \

' donde los di son enteros no negativos tales que

1\ 1 . Sea n 6 N . . Cémo se determina una cépsula divisiblé de ungi'upo abeliaho de orden - n ?

Sean A y B grupos abelianos finitamente gerierados.

Probar que‘si H y J

son grupos abelianos, entonces

A$H= BeJ

y

AEB ===9

HEJ

(Usar 1'0. 3. , Ejercicio 6. ) . ‘7.

Sean A y B ”grupos abelianos finitamente generados y de torsion; Probar qué

' 173

‘

'

~L

'

A$AE_B$B ===9

A~_B—

(Considerar las componentes p-primarias).

.8.

Sean A y B grupos abelianos finitos a)

Probar 1a existencia de un isomorfismo:

Hom(A,.B) g 13. E B

b)

Probar 1a no naturalidad de dieho isomorfismo. (Sugerencia: usar 14. 4. ,_ .Ej ereicio ).

' 9.

Determinar los_ factores invariantes de los siguientes grupos abelianos:

i)

2 4

ii) iii) iv) v)

: {§ 21 .

A=Z2$z2$z

3

A=zzeaz20 A=z2ez3ez7ez49 A=‘zzezzezzez39z3ez5 . A =. zlzezsezmezzo

ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE ESTRUCTURA

21.1. Clasificacién de los ggupos abelianos finitos:

Sea A un grupo abeliano de orden n _. De acuerdo a1 teorema de estructura existen enteros positivos d1, . . ,dk tales que si 1 < k

di/d1+1 si i= 1, . . , k-l

y _A es isomorfo a la suma directa

zdle. . . ezdk Notemos que n satisface

n = d1.d2. . . dk« De la unicidad que afirmafi'el teorema de estructura resulta entonces que para cada_

116 N y todo conjunto de divisores positivos d1 , . .. , dk de n tales que, si

1 < k ,

di/d'ri-l 'existe y a menos de un isomorfismoun finieg..gfupo de orden n .

con estos factores invariantes.

Esta k-upla de enteros positives que determine.

uni'vocamente al grupo 1a escribiremos de la forma

174

(d 1 , . . , dk)

y diremos que

A es'de tipo (d1, . . ,dk).

A A A

iii) grupos de orden 3

iv) grupos de orden 4

A grupos de orden 5

A

vi) grupos de orden 6

A

v)

A A

TiPo (3)

T1130 (4)

' JTipo (2, 2) Tipo (5)

TiP0_(6) Tipo (2.3)

Tipo (16)

A

N m 0H: ED N on

vii) grupos 'de orden 16 :

Tipo (2)

“J

grupos de orden 2

9

ii)

Tim (1)

N M

A

9.

grupos de orden 1

NN'NNNN NN U1 a: [0 N 4;: on m

.i)

o.

Por ejemplo

A

Z46324

Tipo (4,4)

A

Z2$Z2$Z4

'1?i (2, 2, 4)

A

Z 63 ZZ fl) Z2 $ Z2 2

Tipo (2,2, 2,- 2)

?or ejemplo, si n = p i , p ‘primo.

Tipo (2,8)

Los grupos de orden n estin detérminados,

salvo ,isomorfismo,‘ por la totalidad de particiones del mimero 1 ed sunfindds ent_e_ . ros positivos.

En‘ el caso visto de 24 , los diferentesjipos Son

4

‘4 1+3 1+1+2 1+1+1+1

Si 11 =

p

1‘1

1

. .

'

p

is

s

y A es un grupo de orden n, se tiene que A eslsumardireg

ta de sus componentes prprimarias

A = (A)p1$. . . e(A)p S

por lo tanto A estéi determinado por los tipos, de sus componentes p-primarias.

175 ~

I

Si con ck denotanms e1 mimero total de pérticiones del entero positive k en su_ménflos enteros positivos, podemos conciuir que-,e1 nfimerq total de grupos abelia1 nos de orden n = p:1 . . . phh_

(donde pi; son primos distintos entre sf) es el

producto

‘

c-11 .

-

012

. . .

-

.

-

elk

Por ejemplo. si n = p1 . p:

se tiene a1 considerar las particiones de 2 y 4 en

sumandos enteros positives

‘

2=1+1-

1' .q

2=2

4= 1+1+1+1 4=

:5_

'

'

02

=

2+1¥1

v

2

.

4

E!

.,__‘ S. J

=

2

+

.."

2

c4

=

‘

5

,Il

4:

3+1

E

4“

4

1’ I

I

For 10 tanto e1 nfimero total de grupos abelianos de orden

pf,_ p: es 10 .

i

I I

r

‘

Si n = p: . pg . p4

se tienen 1a_s particiones

3:

1+1+1

5=1+1+1+1+1

c3=33=

2+.1

5=

2+1+1+h1

3=

3

5=

2+2+

'5=

c5=.7

1

§+1+1

3 + 2 iz‘

_—

‘j

.

5:

4+1

5:

5

y por'lo tanto hay 3. 7. 5. =‘ 105 grupos abelianos de ese orden.

Ejercicio: Sea A un grupo abeliano de tipb (cl1 , d2 , -' - a dk) '3' sea. B un grupo abeliano

de tipo- (s1 , 82‘ , . . _, ,sh) . Enunciar y probar um} proposicidn relative. a1 tipo ‘

176

v_‘.

-7

. - .l

"*—“**_—r*“—'*“—- .

tenlsorial-AIB.

-

.

.

I

,

-

' .7

21. i. fizcesiohes exactas puras

21. 3. Teorema: Sea

(I)

o

>A'i,Ah,A"l"_0

ur_1a sucesiéa exacta aura, 0 sea, 'tal que

nAfli(A')

=

ni(A')

Entonces, cualquiera sea el grupo abeliano C , '1a sucesidn

.5

0——>A'EC—*AEC—>A"EC——>0

es exacta.

Demostracidn: Veamos e1 teo‘rema en las siguientes situaciones de C . - a)

b)

Gas ci’clico.

Ya vimos (§ 16. 3. ) que el teorema es cierto en este—caso.

C es finitamentegenerado.

En virtud de1 teorema de estructura se tiene que

c = clecze. ..eack donde todos los Ci son ci’clicos. ‘

Sea pi : C ———+ C1 1a proyeccidn de C sobre Ci .

Se tiene e1 diagrama con-

mutativo con filas exactas

iEiC A'NC _> AEC iAlEpi

iAEpi 1E1C

Sea x €A' E ‘C tal que (1'. E 1C) (x) = h

0 .

Sigue que 177

us,

(i E ic)(iA-, E pi) (x) = .0 'por lo tanto, 'siend'o 1a fila inferior del diagrama, exacta se tiene que

A'

.1

, cualquiera sea i=1,'..,k

O

E p_)(x) =

(1

.

'

‘

Ahdra de la identifi'cacién natural

A'EC=~A'EC1$... .eA'mck

:' resulta

_

'1'

;,

.

c)

ZiiA,Epi= iA'NC

C es arbitrario. Sea

,porloquex=0.

x = Z3. aJ! E C]. €A' E C tal que 1 E iC(x) = _0 . .

'

Existen entonces subgrupos finitamente generado's A1 de A 3' C1 de C , tales que i(a:;)€A1 y cj 6C1 , yademés

= V.

.

2

1 . 1 ( 1) J o 6nAEC ZJ.1a!Ec.=

35:: ,

Del homomorfismo natural Al E (31 —'> A E C1 , inducido P01” 13- inclusidn

'i

;;

J

1

J

~l j 3}

_

en AEC .

1

E1 teorema resulta, ahora de considerar e1 diagrams. conmutativ‘o

A'EC ——> AEC

o'—» A'EC1—7' AECl' donde las aplicaciones verticales estén inducidas por la inclusién C1 C C ,

‘ inferior es exacta p‘or ser C1 finitamente generado.

21. 4. Corolario: . Sea 13. sucesién exacta

178

I

1‘35

"m!

Z, “ammo. = 0

‘

-.-"

A1 CA , se tiene que

1+

.Z'

:‘EL-

La fila"

‘

0—) A'——>A—->A"——> 0'

(o)

1

Entonces, cualquiera sea el grupo abeliano' C , 1a sucesidn

con A" sin torsién.

0—» A'EC——>AKC——->A"EC——>O

‘

\

es exacta.

Demostracidn:

En efecto, con las hipétesis dadas, 1a sucesién (0) es exacts. pu'ra.

Ejercicio P Probar que no existe ninguna suce sio’n exacta. de grupos abelianos

o -—->.z -->L —-sQ —->o !-

con L libre

.

21. 5. Grupp mixto Qartible

:—

...¢_.—~..-..‘

21. 6. Teorema:

Sea A un grupo finite, entonées Hom(A,Q/Z)= A . ' ’

.

\

Demostracién:

En virtud del teorema de estructura, ~se tiene

A-= zdlep .e Z

dk.

donde los -di son enteros

> 1 tales que di/dfl1 Isi k > 1 e i = 1, . .,k-1 . Dada.

1a aditividad (finita) de Horn Seré sufiéiente probar 1a proposicigin para el casg A c_I clico.

Podemos' entonces escribir

A = Z'119---"’Zis PI

98.

donde los pi son prin'aos. - Seré, otra vez, suficiente- probar e1 teorema para el caI-I- . so A =

Z i .

P

'

Pero entonces es fécil, dado que

v

—

179

). .—. Hom(zpi ,- Q/z) _.,2'1.7. Teoréma: Sea 'A un grupo~abeliano con tA finite.

Entonces tA es sumando directo de A .

Demostracién:

’ Sea 1a sucesién exacta

(’)

0—>tA—> A—>A/t‘A'——>’O

‘

Si, con G* denotamos Hom(G, Q[Z) para todo grupo abeliano G , s'e tiene de (1) 1a sucesién exacta

(”)

0'—> (A/tA)*—> A*——> (tA)*—-> 0

‘

Siendoahora A/tA sin torsién,

‘

.

,

(A/tA)* es inyedtivo, .de manera que (") se parter

Aplicando * a (") se obtiene 1a sucesién eXacta

(“') '

0—» (tA)**_, A**—> (A/tA)**——> 0

_

La naturalidad de 1as aplicaciones consideradas dan lugan al diagrama conmutativo con fflas exactas

o —> (tA)** —._» A** —> (A/tA)** —> o

T

T

I

0—) tA—eA—>A/tA—>o donde la fila superior se parte y 1as apliéaciones verticales son 1as inmersiones naturales vistas anteriormente.

En virtud ahora del :teorema

. precedente

tA ——> (tA)** es un isomorfismo. ‘Es claro eritonces que la ffla inferior se parte y el teorema queda probado.

Corolario: Toda sucesién exacta

0—4-AI9 A ——> A"—> o _

con A' finito y A" sin torsiéri, se parte. 180

21.8. Divisibles, par‘avvariar-

2l. 9. Teorema: Sean A y B

p-grupos, p primo.

:Eptonces A E B = 0 'si y S610 Vsi uno pOr lo me-'

nos de estos grupos es divisible.

. Demostraéién: Es claro que 51 A 6 B es divisible, entonces A E B = O , pues se trata del produg to tensorial de un grupo de torsidn por un grupo divisible. Para demostrar la reci— . proca sera suficiente probar e1 siguiente Lema:

Sean A_ y B p-grupos. aE b =

0 ===é

Sean a€A y b'€B .

Entonces

3. es divisible por p 6 b es divisible por p .

aEb = 0 en AE'B implica la existencia de subgrupos

A1 de A y B1 de

B , ambos finitamente generados y que contienen respectizramente a a.’ y a b tales que

“ aEb =

0

en AlEB1

A fortiori, no es divisible por ninguna

Suppngamos a no es divisible por p .

potencia positive. de p . Sea b 7‘ 0, con lo que B1 7! 0 Aplicando el teorema de estructura a B1 se tiene

B-=z.e...ez.

,‘iseN,

's=1,..,k

. por lo tanto

(i)

A1 gs Bl

=

A

Sea b=sl+ . .+sk ,

E zp11- e

.

Sjezpij ,

j= 1...,k. De (1) resulta.

0'=aEb=aEs +..'.+a18lsk

1

p11:

...$AKZ-

_

_

181

=aEsk=0

aEs1=...

iii)

Probemos ahora que sj es divisible pqr p ,. j =’ 1, . . , k .

Recordemos la '

existencia del isomorfismo

(iii)

AB! Z i ——> A/(pij.A) Pi

¢

deducido naturalmente del'epinfxorfismo

Z —> zpij

Si nj e Z satisfsce 15ml.) = sj results. de (ii) y Kifi) nj .a. €pij.A , osea~

nj

.a =-_pij.a'

,

a',€A

Si p/nj entonces p divide 9. ¢ (nj) = sj y eso era lo que queriamos probar. \

Si

p1 n- , podemos escribir

a =

1.= h.n. + u. pij

J

,

h,u €Z .

Entonces

plj (ha' ~ ua)

una conti'adiccién. Sierido cada sj divisible por p, resulta ser b divisible por p .

E1 Lema que

da probado. 0

Volvamos a la. demostracidn del Teorema. que no es divisible por p .

Si A no es divisible, existe a- €A

Luego cualquiera sea b €l3 , a. E b = 0 implica, se-

gfin acabamos de ver, que b es divisible por p . cualquier pj , j €N .

For 10 tanto b es divisible por

Puesto que, por ‘otra parte, en un p-grupo‘, todo elemento

es divisible por cualquier entero no nulo, primo con p , podemos eoncluir que B

es divisible .

182

21. 10. 'Corolario: Si A es un g'rupo abeliaho que satisface A E A = 0 entondeé A es 0 ésuma directa de grupos isomorfps a Z

. pm

Demostracidn:

,

Afirmamos que A es un grupo de torsién.

En efecto,‘ si a.€A es sin torsién, en

'

I

" '

tonces, seglin vimos anteriormente a E a es sin toréidn, por lo tanto f 0 . Sigue que A = :9 Ap . donde Ap denota 1a componente p-primaria de A .

O

ll

Pues’io "que

AaA=E

ANA

M9139 9

q

0

ll

se tiene que

APEAq

para todo par de primos p, q .

En particular Ap E AP = 0 para todo prime 9.

En

virtud del teorema anterior, Ap es divisible. _ Si no es cero sera _suma directa de copias de Z in .

E1 corola'rio sigue ahora inmediatamente.

P

g 22 .

—

PRODUCTO TENSQRIAL DE UNA FAMILIA FINITA DE GRUPOS ABELIANOS

En esta seccidn probaremos que el proceso de iterar e1 producto terfsorial de gru\f

pos abelianos es una operaciéri bien definida. 0 en otros términos, probarémos 1a validez de~una propiedad "asociativa" para el producto tensorial de una. familia’ finite. de grupoé abelianos.

Seguiremos e1 tratamientp de1 tema como aparace en My Fundamental .

Concepts of Algebra; paginas 90-92.

I

Sea entoxices {A1} :1 una familia finita dé grupos abelianosf sea

I

_

”Ai =

_

“:1 A1 su‘

producto cartesiano. Supongamos n > 1 . ' .

'

1'33

22. 1. Defifiicidn:

/

_

Ungéblicacidn @ :n Ai —> G‘ de m Ai en un grupo abeliano G se dice

3"rr“11}1e§1 ojmultilineal s-i para'itddo‘ fiidice‘? k , "1% R $ t: y toda (n-pfi-upla

_ .flfi;‘

'“V' —' n: Aj 1a aphcac16n (3].)i- enialk

Xk_—)

33:: ;:£i_‘)i'-T-1‘:'.-i .233 23

@(a11'-aak_; J_ xk:

:55}: ;

)3

'- F“

.:,v_.

ak'l'l 3":an)

‘1-5. use...

eg un horinomorfismo de Ak e'n G . .

‘ Eff-.5.- £15.".

L» .

.-

. i151

22. 2. Definicidn:

Se denom-ina producto tensorial d'e la familia {Ai} in'1- a todo par (9'. T) formado por un grupo abelianb T y axis a'plicacién mfiltilirieal

g :_ TIAi —> T con la propiedad siguiente de tipo universal: para todo par (3‘ , V)- formado por un

grupo abeliano V y uria aplicacién multilineal ii:

“1:”.

Vj :

“A1 —;>: V

existe un UNICO homomorfismo. (taxfibién llamaHB linealizacién) d : T —> V

con la propiedad d o g =‘ \j . Como en el caso n = 2 es'.vé.-lido pal ‘.

22. 3. Teorema:

_

Para toda familia fin‘ita1 {Ai} 111:1 existe un producto tensorial (tj ,T) . es también producto tensorial, existe entonces un isbmorfismo

13 :.T. ——> V tal

qge v‘ = '1: . x;La. demoétracidn es como en el caso n = 2 y seré. por lo tanto omitida.

184

Si (‘5:V)

Pnesto que todos los productos tensorial‘es de {AJELI son naturalmente isomor- fos, designaremos uno dé estos .con alguna de 1as noiaciOnes- siguientes:

EiA.1 = a i=1 i = A 1 E...DAn También como en el case n = 2 ,

n

1

fii=1Ai esté engendrado ‘por todos los elementos

de la. forma‘

n

_

_

.

Ei=1 a.i - alfl . . . Ban - 9(a1,..,an)

si tj :

A: ——>Eril= 1A1 denota 1a aplicacién multilineal asociada a E1 Ai .

Analicemos previamente un caso particular, a fin de fijar 1as ideas. Sean pues,

A , B , C grupos abelianos.

Entonces

22. 4. Progosicién: Existen finicos isomorfismbs

' —

(1)

U:AEBEC—>AE(BEC)

(2)

V:AEBEC—>(AEB)EC

talesque U(aEbEc)~= aEQJEc)

(a€A,b€B,c€C)

_‘

V(aEbEc) = (aEb)Ec ’.

'1 I'

‘Demostracién: ,

Bastaré. consider-a; 81 0380

3

A E (B E C) , el otro resultaré "mutatis mutandis" .

La aplicacién

AxBafIc—>AE(BIEC) definida por

3:"

I ~

I

(a,b, C)_>aE(bEc) 185

‘—

es evidentemente trilineal., lfigr lo tanto induce pm finico homomorfismo (1) . HaBri que probar que U es un isomorfismo.

Para e110 definiremos primeramen-

te un h'ofnomorfismo:

U' :AE(BEC)—> AE'B'EC‘ Sea a e A. ya aplicacién is. :BxC-—) AEBEC

definida. por

_ia(b,c) = axbx c es bilineal y define asf un homomorfismo i-

q'azBEC—aAfiBEC

(1|).

talque

g'a(bfic) = aEbEc .

Hacienda variar ahora a e A , tenemos una fainilia {9‘21} 3. 6 A de homomorfismos (1') . 0 sea también una aplicacidn

d=A——* Hom(BEC, AEBEC)

9'(a) = q'a Afirmamos que 9' es un-homomorfismo: en efecto

Iq‘(a+a')(bEc)

qa+al(bEc) = (a+a')EbEc =

aEbEc +

=

ga(bEc) + cja,(c)

=

(qa + gal) (b E c)

9'(a) +- g'(al)

' 186

a'EbEc

(b E c)

Estamos "ahora en condiciones de definir una aplicacidn bilineal

)5 :Ax(BEC)+> AEBD'C

En efecto, ‘defin'iendo

ma, [1%c '= ga(Zibix c1) = Ziagbixci afirmamos que dicha aplicacién es bilineal:

16(a+ a' , u) = qa+a'(u.) =- g'a(u)+ ga'm)

Ma. 11) +- Wa', n)

para todo 11 GB E C .

ma, u+ u') = q'a(u+ u') = qa(u')+ dam

wamn 16(a,.u')

para todo par u,u' EB 18) C .

(Observe e1 lector lo fitilde haber. demostrado previamente que q‘a , a €A y g' Vson.homomorfism~os) . \

Sigue entonces que exi'ste un~homomorfis’mo '

U' :AE(BEC)>—> AEBEC

talque

U_'(aE-(bEc)) = aEbEc

Siendo {a E b E c}

ua sistema ae generadores de A E B E C , 1a exp.residr; ‘

(U'oU) (afibflc) = aEbEc . y por lo tanto U es un monomorfismo. inuestzra que U' 0 U = i AEBEC _ ,

E1 grupo abeliano A E (B E C)

esta engendrado por los elementos de la forma

aEHZibiEci) =, :1 asixci) y como

U (Ziaxbixci) =' Ziazubixci)

187

results. ‘que Imagen de U contiene un sisfema de generaderes de A E (B E C) de finanera que -U es un epimorfismo.

La. proposicién qfieda probada.‘

Pasemos ahora. a1 caso general. Designemos con. I a1 irrtervalo natural [1 , n] -

EIAi .

-

n Ei=1 Ai

y

22. 5. Lema:

'

Sea I=JUK

I. 7': Sean T? KIM): ,

unapart1c16nde 1.

TJFEJMi’

TK=EKMT

l

-

Existe entonces un finico isomorfismo CD : T —> TJE TK tal que

(1)

(MEI xi) = (NJ xi) n (EK xi) para toda familia

(xi)I de

TTMi .

Demostracién:

II

La aphcac16n (x1)I

(NJ 31) E (13K xi) de NI M1 en TJ E TK es multflmeal,

~

y existe entonces un homomorfismo (D de T en TJ E TK que satisface (1) . Debernos probar que (D Sea a = (ai)K e

i

es un isombrfismo‘.

“K Mi .

Vamos a construir una aplicacidn

multilineal

: nJMi—>T

Sea pues (xi)J .

Sea ia ( (xi)J) = E1 3*.1

talque

yi='xi si i€J, yiF a1. si

. i

i €K . '~E§ claro que ia es multflineal y entences define una linealizacién q“a : TJ —> T

tai que

g'a( H Xi) '= .31 yi

definido antes.

Si ahora variamos

3 € HK Mi obtenemos una aplicacidn E —> g'a de ITK Mi en ~H0m(-'I‘J. T) Afirmamos que esta aplicacidn es multilineal.

para algLin Indice k €K satisfacen : bi

=

a1_

=

ail

' 81' 1ffk, bk

si i€J., yi= ai= a;

=

Sea 61111011065533' € KMi tal que-

a5L = all. si if k .

_l ak+ak. Entonces

31 16K ,

, 1205).}

if k , yk= ak+ a; .

Sea ge =

KMi tal que

E1 yi tal que y1_

=

xi

Porlotanto por propi_e_

dades derfl, E'yi = (ia'I' 13.) ((xi)J) . , For 10 'tanto $121+a = q‘b. Resulta emances que. 18,8 .

‘

9-3 e5 mu'ltilineal ’37 am? se linealiza a un homofnorfismo

g -—>'

Q : TK —> Hom(TJ , T) ,

Vamos ahora.‘ a definjr- una aplicacidn bilineal

16 :TJxTK—aT . ‘Sean pues

ta. 6 TJ __.' tK'eTK , sea. MtJ , tK) =

(j) (tK) (tJ) . )5 es bien bilineal y se'linealiza a uh hoinomdrfismo

5r : '1‘J no TX —-> T fi( (NJ 1:1) I: ( SK xi) = @(EK xi) (EJ xi) = (32 (EJ ii) llamandq i=(xi)K

tal que

= M1 xi Par 10 tanto, en virtud de la. definicién de a) se tiene (Ijl. (D) (x xi) = Exi ,

0 sea

6- a) = identidad

lo cual muestra que CD es un monomorfismo. _ figmo.

Habré que probar. que es un epiinqg’

TJ E TK és engendrado por los elementos de la forma tJ E‘tK con ‘

'

tJ €TJ y tK €TK . Ahora cada t

>

J

\.

.

'

es suma de elementos. d.e 121 forms. DJ 31, y

anélogamente cada tK es sum? de élementos de la. forma EK xk .

Par 10 tanto

‘tJ 18! tK Hes suma de eleméntos de la for-ma (EJ x113! (EK xi) que forman un 'siStE ma de generadores de T J E TK pero estos estén en la. imagen de (I) .

Asi‘ 0) es

un epimorfismo.

22. 6. Teorema:

Sea I = J1 U .12 'J . .

U Jk

,

k 72 ,

una partic_16n de1 intervalo _na_tura.1 [1 , n]

Existe entonces un finico isomorfismo

(j):

QIMi-—>(

gli) E‘..._E(,'nMi)-_

tal que

@(EIX1)=(QJ1xi)E . . .2( Bki) para toda familia‘ (xi)I G ”1 Mi .

Demostracifin:

'

\

En virtud del lema anterior exists un finiéo isomorfismo

\

tal que

5" ”11‘? = ( 3J1»). . .UJk_1 xi) n < aki) Ahora razonando inductivamente se tiene_un isomorfismo

13 tal que

:

aJIU. .UJk_1

M

i

'—>

'

- M. E . ( EJl 1)

. E

' V ( 93fJIM Mi)

'

Si -iK denota e1 endomorfismo identidad de

NJ]; Mi se tiéne e1 isomorfis'mo

r‘IJEiK:( EJIU. .UJk_1Mi) E ( EJk Mi)'-——> [( EJ1M11)E... E ( QTk-iMiil

x_( 2-kMi). Finalmente, en virtud también del lema anterior, existe un isambrfismo

q: [( EJIMi) a ..E( EJk_1Mi)]E ( kMi)—> ( EJiMi)E . . E(

'E‘Tk Mi)

tal que

@([nJ1xi) m. . )m EJk_1x]-_)]E (aki) = (EJ1x1m"' . . E (EJk-l xi)fl

En efecto, si escribimos

190 '

(EJk xi)

_

e1 lema ~ . anterior a la situacién

.

x = {1, . . , k} ? {1, . . , k-1} U {k}

‘ Finalmente e1 isomorfismo pedido es

(3') 0 ('fi 0 1K) 0 it

k -

y

{As} . . s: 1.

y el teorema queda

demostrado.

22. 7-. Aplicacién: Sean A y B grupos abelianos sin torsién. efecto,

Entonces AEB es sin torsién.

En

B sin torsién implica que la aplicacién

B—>BEQ es inyectiva.

definidapor

b——)bE 1

La misma hipétesis en A implica que la aplicacién inducida

AEBJLe

ABBEQ)

es inyectiva. Sea v : A E (B E Q) ——>(A E B) E Q e1 homomorfismo natural correspondiente. E1 diagrama

AEB—L+AEmEQ)

u.\ /v (AEB)EQ

donde u' es el homomorfismo definido por u'(a E b) =

o

II

E,

t(AEB) = N(u')

E

Per 10 tanto

II

vo.

(a E b) E 1 es conmutat__i_

y asi‘ A E B es sin torsidn.

22. 8 . Aglicacién:

Otra demostracidn de la afirmacién anterior. Recordemos que "sin torsién"y"p1a- ' yo" ,son conceptos equivalentes. Entonces probemos que A E B es playo si A y B 10 son.

Sea pues 1a sucesién exacta: 191

\

0'—7 C'—>C—) C'.'—) 0

‘ La sucesién siguiente

O—-)(VC'E'A)EB—>_ (CEA)E-B——> (Gamma—9 0 es exacts. por ser A

y B playos. .~_—‘-—-

/

Ahora esta sucesién es isomorfa a la. sucesién r

-

0-—> C'E(AEB)—> CE(AEB)# C"E(AEB)——> 0

con lo que esta Ifltima es exacta, y asf A E B es playo.

192

Wer reitet so spat durctacht find Wind? . . . .

23; 1. Definicién: Llamaremog anillo .(asociativo) a. todo objetd

_(Aa +1 1'- 1

0)

forfxiado por un'conjunto A ' un elemento 0 GA.

le‘yes de bomposicién suma

+ :.A x A ——> A

Broducto

. :AxA——9'A

que indicémos respectivamente por

m m

-

H

3.2)

I

.(al ,

92

-l~(a1 , a2) = a1 + 32

si al , a2 €A ,

de manera de satisfacerse las condiciones siguientes:

3.1)

(A , + , 0) es un'grupo abeliano

8,2)

. :- A x A —-——> A es una aplicacién biIineal, .0 sea.

193

a

1

(a1

a3)

=

. a .a. + a1.a3

.-= a3

a3 a2 a3 a1 .+.

. (a2+a3)

+

az)

a1.' (az-as) =. (araz): a3 51 a1,a2 ,a3 €A .

Si (A , + , . , 0) es un anillo lo denotamqs simplemente con A y decimos entonces

que la suma y el producto determinan 1a estructui'a de anillo de A .

Ejemglos triviales:

Z =

(Z , + , . , 0)‘ =

anillo de enteros racionales

Q = (Q. . + , . . 0) = anillo de los mimeros racionales anillo de los nfimeros reales

R =

(R , + , . , 0) =

C =

(C , + , . , 0) = anillo de los nfimeros’ complejos

donde + , . , 0 tienen e1 sentido de la suma, producto y cero respectivamente, de

la aritmética ordinaria.

23. 2. Definicién: Sea. A un anillo. Diremos que A posee identidad o.elemento neutro (para el produg

to) si existe e €A_ta1 que Tz’

cualquiera sea a GA.

23 . 3. Definicidn:

Un anillo A se dira conmutativo si

194

.

'

23.4..Definici6n:

_

,

-

7

.

._V .V V_-MV-'. -_ _.._.3~.=V.‘a..‘,..

a

Un.ani.110 A Ee diré trivial si _

cualesquiera. sea a1 €A , a2 €A .

Las siguientes propiedades son vélidas en todo anillo A .

Dejamos su verificacidn a.

cargo del lector.

= 0 . a. = 0

i)

a . 0

ii)

(-a).b l= a..(-b) = -(a.b)

iii)

(-a).(-b) = a.b

iv)

a. (b-c)

a.b - a. c

v)

(a-b). c

a. c - b. c

vi)

(a+b) . (cl-d) = a. c +-a. d-ij b. c.+ b. d

donde a, b, c, d designan elementos de A .

Sea A an anillo. Seana y b en A. Para todo n e N se define

an EA inductivamente, como sigue

Entonces son vélidas las relaciones siguientes (am)n = am.n

n

am. a = a

m+n

si n,m €N .

Si a.b = b.a son vélidas las relaciones

' x I_ ._3

M

cualesquiera sean' a1,a2 €A. .

3

.

195

,

‘sin,m€N.

23. 5. Ejemglos:

1)

Sea M un grupo 'abeliano. Sea A = Hom(M,-M) el grupo abeliano de endomor-

fismos de 'M .La ley de composieién (f . g) (m) = f( g(m))

si f, g €A y m e M definen sobre A la estructura de anillo que denominamos

e1 anillo de endo'morfismos de M y denotamos con

End(M)

2)

Sea R un anillo y sea X un cqnjunto no vaci’o.

Sea A = RX 1a totalidad de

aplicaciones de X en A .' Las leyes de composicién

(f + g) (x)

fix) + g(x)

(f - g) (x)

f(x) . g(x)

definen sobre A la estructura de anillo que llamamos e1 anil-lo de ffinciones d aplicaciones de X

3)

en R .

Séa n G N y sea X = In-x In e1 ~prod'ucto cartesiano dei intervals natural In por sf misme. Sea Mn(R) = RX .

Sus elementos

los llamainos matrices de

m con eoeficiehtesen R . Si f €Mr-1(R) escribimos f(i,j) = £1].

si

. Entonces las leyes de composicién

196

'

l\, 0 . gfi producto de series formales se efectfia de acuerdo a‘ (**) .

198

La suma

De esta fofina podemos definir

REX1."X2' _' ' ' al . para cualquier conjunto finito X1, . . ,Xn deindezterminadas, simplemente procediendo en forma inductiva:

.

R[[X1, . . , Xn+1]] =

R[[X1,' . . "Xn]][[Xn+1]]

En el caso de dos indeterminadas utilizamds X e Y.

A1 anillo

RIIXI, . . .XDJ] . lo denominamos e1 anillo de series formales de potencias de Xi’ . . ,Xn con coe- _ ficientes en R .

4')

Siguiendo con la notacién de 4), sea VA'- la totalidad de series formales con coeficientes en R 00' 121:0 3'1.X

tales que existe n e N con la propiedad

ie N a

n < i

a

ri = 0

Escribimos entonces

n

.

Zi= 0 r1. X1

en lugar de (') y a las iseries formales de' este fipo las denominamos Bolinomios en X con coeficien’ces en R.

A'

con lasleyes de composicién (**) es un ami-

110 que denominamos anillo de polinomioé en X con coeficientes en R y lo denotamos con

FIX]

199

Sea

p(X) = 2:01.111 (-2 R[x]' Entonces si p(X) f 0 , sea m = mfnimo de los Indices n €Nv£02para1°scuales Iti=0

sinA definidopor

(a.h)(x) = a.h(x)

'Es claro .que. a.h €,R( TI) .

.

I .si XETT

Entonces podemos escribir

g = Z; g(x).fx=::1’i.g(x) x€ H . y si. por abuso de notacién 'éséribimos fx = Ix se tiene ‘

-

- n g(xi). x g(x). x ='Zi=1

g = Z

x€TI

Esta 1105 cofiduce en forma géneral a identificaf R( I—I) a1 conjunto de todas

' las sumas formale's ax.x

Z

x€TI

,

axe;

x€_l_|

',

“’-

y

ax= 0

para casi

'

todo x€ll

Lasrl'eyes' d-encomposicicin de anillo en R( W ), 7 admiten ahora 1a siguiente réprg sentacidn:

N 9

(‘

.

I

N 9

'(

(ax_fI-bx).x

ax-.x)+(Z_ x€TT

x€l_l

. x) * (Z XE‘H

bx . x )l '

E x€Tl','y€fi

(axby).(x.y)

w .~.,~"-'.--.'.'.':.

donde -

'

l..- _ .n n... . ..., 3. .‘i-i'u. .L’fi‘fm‘“ ....._.

sell

m _';r

(f+ g) (x) ,= fax) + g(x) . , (f * g) (x) Z-_V _f(s). g(s‘1.x)

Asi‘ por ejemplo, si

I“

=

{1,x,x2}

es el grupo ci’clico de orden 3 ', los élementos de R( H) son, con licencia,

"polinomios en x co'_h coeficientes en R" . visto con la. reduccidn x2.x = x.x2 =

§ 24 .

1 ,

*. es el pfoducto de polinomios ya x

HOMOMORFISMOS

24. 1. Definicién:

Sean A,A' anillos.

Una aplicacién f ;A —) A' se dice un homomorfismolde ani- '

llos , simplemente un homomorfismo (o también un morfismo de anillos, segfin 1a geg

te culta) si es un homomorfismo de los grupos abelianos subyacentes, 0 sea, si '

f(a1 + a2)

y ademés

‘ '7' ' ‘ .

f(a1) . f(a2)

s1 a1, a2 €A.

. Diremos que un homomorfismo de anillos f : A _, A'

es un monomorfisino, epi-

morfismo, isomorfismo, automorfismo, etc., si f'asi'.lo es'con respecto a. las e54”

tructuras de grupos abelianos subyacentes.

24. 2. Ejemplo: Sean A y K anillos conmutativos con identidadesudenotadas ambas per 1.

Seé

(j) : A —> K un homomorfismo de anillos, escribiremos @(a) = a' para t'odo a. €A..

202

Sea c7 €K

’ "

;

f(al) + f(a2)

' :f(-a1 . a2)

,

.

E—xiste entonces un finico homomorfismo

?

(j):A[X]-f>KV

ll II

30:)

0

97(1)

0"

con las propiedades

En efecto, t_odo .p(X) e A [X]

‘

P(X)

= ' Zi= n0

ai. X i

esté uni'vocamente determinado por los coeficien'tes ao , . . , an .

Per 10 tanto

@(MXH = 2:63;..31 es una aplicaciiin de A [X] en K .

Dejamos a. cargo del lector 1a demostracién de

que (j) tiene las propiedades requeridas.. A1 homomorfismo (j) : A [X] ——> K 10 denominamos 1a especializacién de_X por c , E (j , o simplemente 1a especializacién de X po'r c .

.24. 3. Ejemplo; Sea M un grupo abeliano libre finitamente generado. Séa (e1)? una base de 'M .

Sean A = EtM) y A' = Mn(Z) con las estructuras de anillo‘ antes definidas. Seé. _

"f €End(M) y sea H fi'j || ‘

1a matriz definid'a por las relaciofies ‘

l

f(ej)=Z

n

1\ (Zm)k

un homomorfismo de arfillos.

_

_ 204

Sea f(en) = :- ek ,

r '6 Z .

Valen las relaciones,

‘(nr)ek.= .f(nen) = f(en.en) = f(en).f(en) = .

(rzk)ek

de' donde ‘ .nr

~f2k'mbd(m)

.

......(i')

“Re’cfprocan/Jente, si 1' €~Z satisface (1') 1a 'ablibacién f ,:(Zm)n —.—> (Zm)k

nidé por Hen) = r ek_ es un hpmomqrfismo de anillos.

'defi- I

‘

-(i') és pues 15. condicién necesaria y sufic-iente, sqbre r e Z ',_ para que la. aphcacién

'f : (Zm)n —> (Zm)k ide‘fini’gia por f(en) = rek sea un_hornomorfismol de anillos.‘ _ -Ahora es Iqlaro que; f 'es u'n isofnorfiémo ' si y 6610 si r satisface 1a propiedad adi-

cipnal .

‘

(m,Ir)- = 1

' . . ;... (ii)

_n = rk

. .’....(i)

V

y asi’ de (11') re'sulta‘

mod(m)

Par 10 tanto f(en) = r_.ek défine ~un isomorfismo de. anillos si y 8610 51'. r séfisface

1as‘ condiciones (i) e (ii). . Por otra parte (i) e (ii) implican 1a siguient'e condicidn:

(m, n) = {(m, k)

.... . (iv)

Se’a _D 1a totalidad de divisor'esipositivos d'e m .

(iv) expresa exactamente qu:e n y k determinan el mismo divisqr d'e In ' . .

Par 10 tanto h'embs probédo que ‘toda cla'se'de' isomorfisrfio de anfllds con estr‘uctfira subyacefite de grupo abel‘iano isomorfo >a ZIn determina unfvocamente 'un divisor pg sitivo de m .

-

Probemos ahora que

(m,;n) = ‘(m,k) ==> (Z1552 (zap;Seré evidentemente suficiente hacerlo suponiendo por ejémplq que k/m', '0 < .k .

- Entonces k= (m,n) y asi’ ex’iste r 62 con 205'

{ n'=_‘rk. ‘ -

(m, r) =

‘-

1'

Pfiesto que, en virtud de la ley de1 embudo,

n' =

rk _7

n5 rk

mod(m)

- »se tiene que -r satisface (i) 9 (ii) con lo que la aplicacién f(en) =' r ek define e1 isomorfismo pedido.' Hemos, en definitiva, probado que la 'totalidad de clases de isomorfismo de anillos cop estru'ctura suyacente de grupo abeliano isomorfo a Zm esta en correspondencia

biyectiva con el conjunto de todos los div isoi‘es positives de m . Por ejemplo

(Zm)1’ corresponde a la estructura de am‘llo en Zm' para la cua1.e1 hg -

momorfismo canénigo (de los grupos’ abelianos)

¢ : Z a Z :11 ea un homomorfismo de anillosf

En efecto, sea ¢(1) = e , entonces en (25.1)1 es I

e.e = e . Por lfi‘tanto-si 'x,y €Zm ‘e‘xistea enteros n,s-t'a1es que x = ne

y = se ,

de manera que

ii¢1nes.)'_=; ¢(nS‘..l) = '(né)e = (ne.)'.(s:e)'= A.x.y. = ¢(n).¢(é) -Si por ejemplo identificamos ZIn a la totalidad de restos

'0, 1, . . . , (m-1)—

de la divisién por m (en Z) 1a_estruc1;ura multiplicativa en (Zm)l esta dada por cl

producto ordinario en

_Z seguido de una reduccién mddulo m .

A todo anillo del ti-

'po de (Zfii)1 lo denominamo's anillo de restos médulo m .

(Z

)

mm

corresponde a la estructura de anillo trivial an Zm , 0 sea'

x_ . y = ‘0

296

:cualesquiera sean x,y € Zm .

Para IZ4 se t_ienen las' situ‘aciones siguientes:

+ 0 7.1

2

3-"

o

o

1 ' 2 . 3

1

"1

‘2

3

o

2

2 '3

'o.

1

3 '3 ,o_

1

2

_ A

1 .

mi 1 2 3 .

1

1_

2

o

2, 3

3

i'

_(._)2 11.2.. 73 1

2

'0

,(-)4

3

2

2

2‘ -

o

1

_3

2

0

O

' 3

o o

dongle (- )1 denote. 1a mfiltiplicacidn en (24% , i=1, 2, 4..

§ 25'.

SUBANILLo; IDEALES, ANILLOS COCIENTE

j 25. 1. Definicidri:_ j Sea A .ur'l anillof. Un subgrupo A' dé A se denomina un.subanillo de A si la con-

.'

dicidn si‘guiente es satisfecha fl?

.

l—— al1 ’ a!2€A——->

.l I. .l a1.a2€A

.

25:2. Ejemplos: ' Sea R un anillo conmutativo y sean RIIXB- ,

a)

R [X]

10s afiflloé de series de

potencias formalee ypolinomios-respectiva1;1ente en X_., con coeficientes én REntonées R [X] se identifica a unsubanillo 6.13 R [X] " ._

'I ,

Sea A .un am‘llo y sea K un subconjunto no vaéi’o de A .

b)

Sea A'. = C(K) _ e1 centralizadonde K , es decir, 1a totalidad de a GA 'que sae

‘

,

‘

"

' 207

\

tiSfacen a.k ='

k.a

si k€K.

A'

esunsubanillode A.

Si K=A

,

A'

se denomina el centro de A .

25. 3. Ejemelo:

Sea R un anillo con identidad.

Sea n €N -y sea Mn(R) e1 anillo de matrices de'

\

nxn con coeficientes en R .

Sea A' la totalidad de matrices triangulares inferiores I

0 sea,

(fij) €A' si y $610 $1 fij = 0 toda vez "que‘ 1 < j . A‘ es subanillo de Mn(R).

25.4. Definicién: Un subanillo A' de A se denomina un ideal a izguierda.. (reSpectivamente, un ideal

a derecha) si la condicién siguiente es satisfecha

x€A y a'€A'

=

x.‘a'€A'

(respectivamente a' €A' y X 6A

=

a'.x €A' ) '

25. 5. Ejemglos:

a)

Sea A un anillo y sea K un subconjunto no vaci’o de A . Sea A' = 0(K-) el anulador a izquierda de K , es decir, la totalidad de a 6A que satisfacen a. k = 0

si k e K .

A' es un ideal a izquierda de A .

b)

Sea A un anillo y sea

A .

Sea

Mn-(A)

L C [ 1, 2, . . , n}

e1 anillo de matrices de nxn con coeficientes en

un subconjunto propio. Sean

1 ={Haijn/ aij = 9 H ={ “aijul aij

0

Si MEL} si -1 $L}

Entonces I es un ideal a. izquierda (-ideal de columnas -) y H es fin ideal a

derecha (“ideal de'filas-) . 208 '

25. 6. Definicidn: Un ideal a izquierda. (respectivamenteg a derecha) de A se denomina un ideal bilétero o simplemente un idealF si es tambiéli un ideal a derecha (respectivamente, un ideal a.

izquierda).

25. 7. Ejemplos: a)

Sea A unanillo y‘ sea K un ideal a. izquierda de A .

Entonces A' = 0(K) e1

- L

anulador a izquierda de K es un ideal bilatero de A .

b)

Sea A un anillo con grupo abeliano subyacente de torsién .

Entonces para todo

prime p , 1a componente p-prifiiaria de A es an ideal bilatero de A .

c)

Sea A un anillo conmutativo y sea I un ideal de A . Entonces 1a totalidad r(i) de a GA tales que para algfin 11 SN es an 61 , es un ideal de A .

d)

,Sea A un anillo e I un ideal a izquierda. Sea H el subconjunto de I .iormado por todos los y e I tales que y.a €I , cualquiera sea a. €A .

H es enton-

ces an ideal bilatero de A‘ .

Ejercicios: 1.

Sea A un anillo con identidad.

Sea 11 e N7 y para cada subanillo I de A , sea

In 13., totalidad de matrices de Mn(A) con coeficientes en I . Probar que In es un subanillo de Mn(A) _‘ Probar que In es un ideal de Mn(Al si y $610 51'. 1. es ideal de A .

2.

Con la notacidn de 25. 7. c) , caracterice los ideales I de Z para los. cuales

I = r(I) .

3;

Sea A an anillo y Z Su centro.

do _x €A_ satisface 1a condicién

Probar que A es eonmutativo si y 3610 si 1:3

x2 - x E Z .

V._‘ .E__]:)eg;1ucir que en un anillo A en el que todo elemento a-€A satisface a2‘= a , es .,

209

conmutat ivo .

4.

Sea. I un ideal _a izquierda de colurrinas de Mn(A) .

ros de Mum) de la forma

y

{ x / x eI ’

Estudie~los ideales bilétg

x. a e 1 Jualquiera sea a€ Mn(A)}

- 25.8. Teorema: Sea A un anfllo. Las condiciones siguientes sén equivalentes:

J es un ideal bilétero.

b)

Exis'te un anillo A: y un homomorfismo f : A _—> A' del anillo A eh e1 an; 110 A' tal que J = -Nf .

c)_

En el grupo abeliano cociente A/ J existe una. finica estr'uctura de anillo qfie h-a._

" .g‘l'j::-11'.’I—101"7z-":‘w' -‘;" L“ h

-_:J

a)

ce del homomorfismo canénico 99 : A —-—-> A/J de los grupos abelianos subyfi

Demostracién: a) ===> c)

Sean U,v e A/J' y u,v€A .ta—les'que U = flu) , V = ¢(v) .

l

u'+j1“~

_

< I

:1

Si u','v' E A satisfacen también .U = #u') , V? ¢(v') entonces

' v'+j2

con

-j1€J

con

j2 €J

de manera que

u.v

y puesto que

=

' ' I ' l' I_ l u.v + u.32 + 11.v +3142

u' . j2 .,

j1 . v' -,

¢(u.v)

#(u' . v')

j1 . j2

pertenecen a J , como asi‘tamb‘ién

su suma, resulta

'

.

Si ahora definimos U.V = ¢(u.v) ‘,- es-féciIver que A/J es un anillo y fi :A—yA/J autométicamente un homomorf-ismo. Si 210

(U.V) —> U * V es ima est'ructura‘de an_i

)[X-p‘rm. «.1 : 5.9.. ._ .1;

m,

.

centes, un homomof'fismo de anillos.

110. en A/J que hace de f un homomorfismo, éntonces

: U*V = ¢(u)*¢(v) = ¢(u.‘v) =_ flu) ._¢(v) = .U. v 81 flu) = U y ,S(v) = V . De 8111' 1a unicidad. c) =3? b) .

A' = AIJ

y ¢

satisfaCen b)_

b) ='==> , a) Entonces

f(a. j)

ll

.Sea a€A y j€J'.-

£(j.a)

f(a) , ,f(j)

f_(a) . 0

0- 0 sea ,a.j €Nf.= J

f(j). f(a)

o. f(a)

.o

ose'a j.a€Nf=J

de manera que J es un ideal bflétero.

'25-. 9. Ejémglo: _

- Sea' A e1 anillo Z de enteros racionales.

Los ideales de Z sonexactamente 19s '

subgrupos dé .Z , por lo tanto de 13. forms. 0 6 qZ , 11 e N .

_Las estructuras de an;

llos'cocientes dé .Z por ideales de- Z corresponden a los anillos (Zm)1 de restos _m6dulo m (véase 24. 5.) .

Lds denotamos simplemente con ‘Zm

-E jercic io:

Establecer los siguientes isomorfismos de anillos:

i)

'2m : End(Zm)

n')

Mn(Zp) 2 End( 9“ zp)

iii)

Mn(Q) L". End( 9“ Q)

: p primo

' 5i n G N y 6“ A denota 1a suma directa. de n grupos abelianos isomorfos a.

2.5. 10. Ejgmglo:

I

See. '1 un anillo cor; identidad e f 0 . Existé entonces un finico homomorfismb fie anillos q : Z—> A

-

‘

na. 12. caracteri’stica'de A . Sea m e Z ,

.a) b)

0 $ m .

k> 0

es generador de N9. .: k se denom_i

_.

Entonces sigue de la definicién de caraéteri’stica. que

0 es caracteri’stida -de A— si y $616 si- n. e = 0 ,

n e Z =) n,'= ‘0

i

-'

_.

‘

‘m > 0 es caracterfstica. de A $1 y 5610 si se satisfacen las condiciones siguieg tes:

i

4

‘

que satisface g‘(1) =. e.

Si Nd. denoga e1 nficleo de 9' y k e Z ,

'

_

‘

i)

m. e. = 0

ii)

si m' 62 satisface m'. e = 0 ,

enfonces fi/m'

‘ I '

I

F.

’

I

Notemos que 51'. A es un anillo de caracterfstica m > 0 entonces las relaciones

I '

.

_-

_V '

m.a=m.(e.a)=(m.e)-a

. ; i

.

:

implican

cualquiera'sea a e A . Sea A 'un anillo conmutativo con identidad e f 0 , de caracterfstica p , prime .

Las

relaciones

(E)EO

mod(p)

siO K un honiomorfisnio.

Sea A' = 111103) . 'Sea c €K L

Sea

Existe entoncesun

finico honiomorfismo (véase 24. 2.)

(p : A [X] ——> K

H

@(X)

II

@(1)

ll

con las prbpiedades

0

is. 12.

si 9' es un @pimorfismo y Ng‘ = H , entonces (3) es un isomorfismo. '

Se tiene entonces

@(Z:O aiXi).= 2:0 a'i.ci

, ddnde a; = g'(ai)

y (5) se realiza por lo que llamamos "espflializ'acién de X por c" _. Escribimos, poi abuso de notacién

71m(@).= @(A [x]) = A'[c] «1

Se tiéne, segfin ~e1 teorema anterior, e1 isomorfismo

A' [c] 9; A[X] [131.9 Por ejemplo, si A = Q , K = R ,

\

cj = inclusién .Q-—>R 'y c =\/é- , entoncés

Me] = QM] (QB/3] 2’- 'Q[X]/(X2-2)' donde (x2_- 2) denote. e1 ideal de Q [X]

de mfiltiplqs del polinomio xz- - 2 .

E j erci‘cios :

1.

Con la notacién del ejemplo 25. 12 probar que A' c 110 de K con la propiedad de contener _ es un subanillo de K -ta':1que

Sea.

es el "menor" subani

A‘ y c ; en otros términos, 51'. L

A'CL y c e L , entonces A' [c] C L '.

Z [Q 15. especializecién de X por é— , respecto de la inclusién de 2

en Q .

Probar e1 isomorfismo

z E] 2’. ZEX] / (2x — 1) dbnde (2X - 1) denote. e1 ideal de

Sea ZLE]

1a especializacidn de X por_

F,

respecto de la. inclusidn de

Z en el aniJlo R de los nfimeros reales: Probar e1 isomorfismo

z [[5] l z[x] /(X2-2)' de mfiltiplos del polinomio X2 - 2;

donde' (X2 - 2) denota e1 ideal de Z [X]

I Sea R un anillo donmutativo con identidad. Sean R[X] y

R [Y]

10s an_J'z

1105 de bolinomios en las indeterminadas X e Y respectivamente. ‘Sea ~

. M ‘

e1 producto tensorial de los grupos abelianos subyacentes

Probar que la 'ley de composicidn ‘ V

a)

(PET).(P'ET')

=

(P.P')E(T.T')

P,P'€ RLX] , T,T'€R[_Y] define sobre

R [X]

E R [Y]

una estructura'de anillo comnutat'ivo

co‘n identidad.

b)

Probar que la aplicacidn

6:.RI:X] a R[Y] ——> R [X,Y] 215

righfix;m:.='_‘l

.R [X] E R [Y]

.r

3.

Z [X] de mfiltiplos del polinomio 2X- 1 .

definida por

@(PET) = P.T es un homomorfismo de anillos.

c)

Sea H e1 ideal de

R [X] .E ‘R [Y] , interseccién de todos los idea- ' '

Vles bilateros del mismo anillo que contienen a la. totalidad de elémené _ tos de la forma:

(*)

-

'r.P x T -PE r.T

r€R , PéR[X] (0 sea, H es el ideal de

TeR[Y]

R [X] E R[Y] , engendrado por la total};

dad de elementos de la. for-ma (*) ) . Sea R [X] RR R [Y] ideal H .

e1 anillo cociente de R [X] E R [Y]

Probar que (j)

par-e1

induce un isomorfismo

R [X] RR R [Y1 —-—’ R[X,'Y_]

—.

25. 13. Ejemglo :

a)

Sea A e1 anillo delos nfimeros racionales Q . Veamos cuales son los ideales de Q .

Sea J un ideal de Q .

Si j €J , i ,

entonces cualquiera sea q €Q se tiene

q_= (q-j'1)-J' G J Sigue entonces que 0 i J :Q = J , por lo tanto los finicos id'eales de Q soxi J = 0 y J = Q .

Consecuentémetrte, si 1' : Q _—7 A' es un homomorfismo de .

anillos, .f= 0 6 f es un monomorfismo.

b).

En Q/ Z no hay ninguna estructtira no trivial de anillo.

En efectoq a1 estudiar

las formas bilineales, vimos que no existe ninguna estructura de anillo sobre

un grupo divisible y de torsién, distinfa de la trivial.

- 216‘

25.14 . Notac’idn: Sea A un anillo y sean J,K subconjuntos no vacfos de A .

Con J.K indicaremos

la totalidad de sumas finitas :1 ji’ ki , con ji €J ,. k1 E K . Si J =-{ j} mos simplemente j.K y analogamente, si K = { k}

escribi~

escribimos J.k .

Si J = K escribimos J .J = J 2 y en forma inductive. Jn+1

I

= J.Jn.. Con J+K de-_

netamos 1a totalidad de elementos de A de la forma j'+ k ,

j éJ y k SK

Es cla'

ro que si J y K son ideales a izquierda, asi‘ 10 es J + K .

El' siguiente resultado sigue inmediatamente.

25. 15s Progosicidn: Sea D un ideal a izquierda (-respectivaxnente, a derecha-) del anillo A . subeonjunto no vacfo de A .

Sea J un'

Entonces D.J (-respectivamente J'..D-) es un ideal a iz- ‘

quierda (-respectivamente a derecha-) de A .

Si D = A decimes que J es un EE‘

7 tema de generadores de A.J (-respectivamente J .A) o también que J genera A.J (-respectivamente J .A-) .

25. 16. Definicién: . Un ideal a izquierda I 'de un ,anillo 'A s‘e dice princigal si existe j €A tal que I = A. j .

Si e1 anfllo es‘ conmutativo'se suele utilizar 1a notacidn I = _(j) .

Un ideal a izquierda I. de un anillo A se dice finitamente generado si existen 11 a - . _. Jh en J tales que

1=A.{j1,..,jh} Si 'el~ anillo es conmutativo, se suele utilizar 1a notacidn I = (jl , . . , jh) . ' ejemplo,

25. 17.

Por

(2, X2) denota el ideal de Z [X] generado por los elementos 2 y X2 .

Definicién:

- Un anillo se-dice a ideales principales a Euierda (o breeemente,. princiE'al a izgui er3217

da) ~si todo ideal a izquierda es principal.

Un anillo se dice noetheriano (por Emmy

Noether) a izguierdg si todo ideal a izquierda es finitamente generado.

Anélogas de-

finiciones para ideales a derecha.

25. 18. Definicién:

Un elemento a de un anillo A se dice divisor de cero si alguna de las condiciones si-

guientes son satisfechas:

d1)

Existe b EA

,

0 f b tal que a.b =-0

d2)

Existe b€A

,'

Ofb talque b.a= o

Un elemento a de un anillo A se dice nilpotente si existe n €N tal que an = 0 . ,

Un ideal a izquierda J se dice nilpotente si existe n E N tal que Jn = 0 .

,

,

Un ideal a‘ izquierda se dice nil-ideal si todo elemento del mismo es nilpotente. Un elemento a de un anillo A se dice idempotente si a2 = a .

E j ercicios :

1)

Sea K uh anillo conmutativo y sea A = Mn(K) . es divisor de cero 51 y 5610 si Det(a) €K

2)

Probar que un elemento a€A

es divisor de cero en K .

Sea A un anillo sin elementos nilpotentes f 0 .

Probar entonces que todo ideal

potente de A pertenece a1 centro de A .

3)

Sea A un anillo (fen identidad e .

Sean 3. y a' elementos nilpotentes de A.

y sean d y d' elementos idempotentes de A .

Analizar dando ejemplos las A

propiedades de ser nilpotente o idempotente en los siguien’ces elem entos de A :

a.a' ,

a+a' ,

11a ,

lid ,

d.d' , -d+d'

Analizar el caso en que A es conmutativo.

4)

Sea A e1 anillo RX ,

X = [0, 1]

e1 anillo de funciones reales definidas sobre

[0,71]. . Probar que el finico elemento nilpotente de A .es 0 . _Cué.1es son los e13 \

H.218

’-

memos idgmpotentes? Analiceghora el caso del anillo de funciones reales con . tinuas definidas sobre [0, 1] .

5)

'

Sea M un grupo abeliano librecon una base infinita nfimerable.

Determina'r

en End(M) un nil-ideal (a izquierda, por ejempld) que not sea an ideal nilpoten te.

25. 19? 'Definicién: Un anillo A se dice un dominio die integridad si no posee divisor-es de cero (f .0) , es

commutative y tiene identidad e f 0 .

25. 20. Definicién:

Sea A un anfllo co‘1\1 ideptidad e f 0 .

Un elemento a éA se dice inversible an A

o también con inverso en A 51 existe a' GA” tal que '

a.a' = a'.a = e-

___a' se denémina un inverse (_ie 'a . Se dice que el. anfllo A és de divisién si todo elemento f 0 de .A es inversible en

A . ES fécil ve’r que si un elémento a GA posée fin inyerso en. A ,"éste es finico-y en-

tonces en lugar de a' se lo dénot‘a. c_on a'1 y se 16 denomina e1 invérso de a _. Ejéréicios :‘

Ii;

,

I

' 1) 7 'Sean A y -A' anillds conidentidédes e y e'.--', f 0 y séé; g :A_ __7 A' un homomorfismo de anillos, con g(e) = e' .

‘

:

Probar que Si a €A es inversible an A entonces g(a.) es invérsible en A'

--. y vale 1a relaéién ggarl =- g(a'l‘) _ _ 2)

“Sean AyA' como en 1).

Sga-ademés A un anillo de divisién.

todo homomorfismo 'g : A —-> A' ,

Probar que

g(e) = e' , es un mohomorfiS‘no. 219

3)

' Sea_A tin anillo con iaent'idad e f 0 . Sean al', . . ,an elementos de -A ,' 9." _ ' ‘a'o‘s inversibles en A .

Probar ezrtonc'es que el productd .-'|_| 1; ai. es; inversi-

flg e'n A y satisface

'..1

(TI :11 girl = “11:1 an+1-i ‘

(Por ejemplo‘

(a1..a2.a3)'1 = e: . air. a? Analiqe el caso 3.1 = a2 = .

4)

=,an .

Sea A un aniJlo con idenfidad 1 .' Sea. a GA nilbotente:

Probar que l-a es inversible' en A .

(Jarfis dice que h'ay que usar la. .idehti-

dadmégica' 1L: 1+a+a2+-a‘3+_._) _

5)

-a

.

Sea A unanillo con identidad. Sea 'u €A inversifile.

Probar que la apliea-

cién ¢u : A _)A _ definida por

¢u(a) = u. a... u"1 Los automorfismos 'de

este t'ipo se denominan interiores.

6)

Sea Z(i) 1a totalidad de nfimEroe complejos de 18. forms. m + n. i 'do-nde

m,ne-z , 16V: a)

Probar que Z(i) es, con~respecto a la'suma y producto ordinario .de nfimg

ros cemplejos un‘dominiq de .integrided, e1 llamadb anjllo .de'efiteros de

' 9218.8b)

Sea, para.todo x = m + n.i € Z(i) , Probar que

e)

N'(x) = m2+ h2 = normade x".

x,y 6 2(1) (=P N(x. y) = N(x) . N(y) .

Probar que x e Z(i) Iposee inverse er; Z(i) si y 5610 si N(x) = 1-. A Dibu‘je en el plano complejo 10s enteros de Gauss y muestre aquélles' que poseen inverso en‘ Z(i) .

22.0

-\.~

sV‘uu,.-.. raj-7,.“

es un automorfismo de la estructui'a de anillo de A .

25-..21; Definicién: Un-anillo A se dice un cuerpo si es un anillo de division conrnutativo. Ejemplos trivialesde cuerpo son Q, E y C .. Zp , e1 anillo de restos modulo un cuerpo si y 5610 si p

p: es -

es primo.

_

Ej'ercicios: 1)

Sea K un anillo de division con identidad e .

Probar que K' es de caracteri‘g

tica ce-ro si y 5610 si-existe un monomorfismo Q ——> K fal que 1'_—>-e . Probar que K es de caracteristica p (necesariamente prime) si y_ $610. si exig te un monomorfismo Zp —->K tal que 1

2)

._y e .

Sea Q(i) 1a totalidad de nfimeros complejos de la forma q.+ q'. i ,I q, q"€ Q,

i e \/-1 . , a)

Probar que Q(i) es, con respecto a la suma y preducto ordinarios de complejos, un cuerpo.

b)

Probar que todo elemento de .Q(i)

es cociente de dos enteros de_ Gauss.

25. 22. Definicion: Unanillo A se dice un dominio principal si A

es un- dominio de integridad a. idea-

les principales.

25.23. Ejemplos:

1)

En el anillo de enteros- racionales los ideales coinciden con los subgrupos de Z .

2)

Por lo tanto

Z

es un dominio principal.

E1 anillo Z (i)' de enteros de Gauss es tin dominio principal. La razon es la existencia en. Z(i) de un algoritmo de division, a la manera de Z . (Véase Hardy-Wright: An introduction to the theory sot-numbers, pag. 185) .

3)

Sea K un dominio de integridad.

Sea A = K [X] e1 anillo de polinomios en

221

X con'coeficientes en K .

Si p(X) €A y q (X) '€A y ambos polinomios son

distintos del polinomio cero, entonoes‘ (ver 23. 5, , 4') ), sigue'que

gr( p(X)-. q(X) ) = gr( p(X))+ gr( q(X) ) de manera'que 0 f p(X) . q(X) . ahora (y no antes) es ademas

IK [X] es pues un dominio de integridad.

Si

K un cuerpo , existe en K [X] un algoritmo de

division, a la manera de Z , a saber:

si 0 f q(X) €K [X] , entonce’s' cualquiera sea p(X) €K [X] , .existen

p(X)

ll

.finicos polinomios {(X) y. r(X) GK [X] 'tales que

t(X) . q(X)+ r(X)

0

r(X)

ll

con

6

gr( r-(X) ) < gr( q(X) )

La existencia de algoritmo de division en K [X] determine. que todo ideal .de

A = Horn(F,F) e1 anillo de e'ndomorfismos de F . ‘ iheriano a izquierda (ni a derecha).

.

Sea

Entonces A no es noe-

En efecto, sea I la totalidad de endo-

morfismos g : F ——> F para los cuales existe -n e N y que depende de‘ g ,

;.

con la propiedad

g(ei) = 0

.

si

n< i

I es un ideal a izquierda d'e A , como es facil de ver' (es también a derecha?) E1 lector puede verificar que I no es finitamente generado.

5)

Sea K un cuerpo.

Entonces, para todo

K[X1, . . , Xn] 222

~ ' -'-.-

Sea F un grupo abeliano libre con una base infinita {e1, e2, . . .}

1.- -: 4-». .7

4)

For 10 tanto K [X] es un dominio principal.

:r'~'.'.3“7_'.'trr

este anillo as principal.

n€N,'los anillos ~

,,

g.

{.-

$5

a. 11: t_‘.

-

,

Kn]

. "kIE‘i-r

sén-gnj-llog' qogtheljignos'; __ ‘(Véaéé infield-Samuel: Conifiutative Algebra,-Vol.

V I; paggzm “y_.vq1._11, pig. 139).; 6)

Elanilld III dé-llds‘cilatérnione's (v-réase Jécpbéon; Vol.1) es” un anfllO-de'divii sidn no corimutativp.

.Ejercicios:

_1)"

--Dé_.r ejemplos de los siguientes ohjetoé: 'I

a),

K

Seé. ‘n e N ,, h -> 1 . Anillo finite de cgracteristiga n ',

. a') 8% nt- comb en. a). Anillo infinite de c'aracterfstiqa n . b)

‘ t': §

:Como en' a_.) y a') , gfimoé gin divisores _de cer_o ( f 0);.

!

c) _ Sea 12 prime; Cuerpo infifito de éaracteri’stica p . d)‘

‘ ', 1i

Dominic principal (up.cuerpo). de caracterfstiCa- p , prime. 1

‘2)

Cuél e's 1a condicién neceséria para que m e Z sea ca'racteri‘stica. de un'éni-

‘ _ '. 1

119 de division-:2 3_)-

Probar que Z [X] ' he as dominio‘de ideales principales;

4)'

Denotemos con 1? cualquieré de las prppiedédes Siguiexites: A es dominio de integridad; A es cuerpo; A es dpmixzio d9 ideales principals-as.

Esfudiar 1a validez de P en los siguientes anillos gociemes:

i)» 'z[x] /(x2-1)h

'

7

'11) z[x] ./.(X2+sv)

viii) Q[x] /(2x-1) '

ix). f] /(x2+1) A

iii) ztfiy4x) ‘13,) z[x] /(7x)

' vii) 'Q[x]'/(x2-3)

v) _z [nV—z) .

_

I . x)

v,

n [x] /(2.:-:2+.3x+¢1s)

5

xi) ‘R.[X] I‘X3,+ 2) 223

vi) Q'Pfl/GXz-i).

- -

'

xii), 3'[x]/(32)'

xiii) VREX] [(X)": 5)

‘ Sea P como en el ejercicio") ‘-. ' Estudiai' su validez en los siguientes anillos coeientes: _

i)

_

z [x] [(2, X)

'

- m) ’2[x'_‘] 1(2) '

ii) z [x] [(3.32)

iv)

z [X] [(4,X)_

v) -z [x] /(6._X2-)

6)

P'rdbar que la condicién necesaria y suficiente

para que exists. un isomorfi_s_

'mo del anillq cociente B. [X]/(aX2 + bX + c) en el cuerpo C-de 10s nfimeros complejos es que

1:2 — 4ac < ,0 ;

7)

Existiré en Q[X] an ideal I. tal que'el aniJlo coeiente Q/I resulte isomor-

'foalanille R? 8)

Sea _M un grupo abeliano. Pr'obar Que End(M) es un anillo de divisién 51 y sélolsi M = Zp ,

9)

p primo

-6~ M =.Q .

Sea K un dqminio de-integ'ridad.

Probar que K [Eifl es entonces un dominio

de integridad.

10)

Dar una condicién necesaria: y suficiente para que en el anillo 'RX (-13 cue:

po de los nfimeros-reales',» X uh cqnjunto no vaci’o-) unelemento sea divisor

de cero.

11)

Dar ejeinplo de un anillo donde 1a identidad es e1 finico elemento no divisor de cero;

- 224

12)]. SE3. A un anillé:no trivial, sin ideaiéé biléfefdé f 0 ,

A'.

Probar que el

Icentro de _ A 'es' un'cuefpoi

—Sea A 7.1.111 ani11_o deg divisifiq-:_j

13)

Sean a,b €‘A ~qué satisfacen a.b f b. a A . Probar 1a validez dé las' si-

. 3.)

guientes identidades‘: " a'

(FD-1? (at-1)"1 ."b‘l . (Qt-1) ) .‘(a'1.'b‘.1.‘a 4(a-1)'1.b'1-(a-1)>'1

a = (1--.(a-1).'1.b'1 . (arl).b ).(a'1.b-1.a.b -(a-1)'1.b"1.(a-1).b)'1' * b)"

Probar que si ellcéntro de A _coht1en—té td’éos los ’conrhut‘addfes' (es decir,

“

-' '

I

a

1 . lés elementoé de lé. fogma(x.y.x'1.y-¥ )'de A , entonces A es con‘mg - tativb.

c)

Sea J , 1a tqtalidad de conrputadgres dé' A___ . _ Probar que a. GA satisface 3. €C(J) s_i y S610 si 5.: pgfieneéé a1 centrqde A_. _ ~

‘,

.- "

_.' d)

-Probar que Ar es cphmufiéti§o fly" $3510 si‘ls‘atisfaqe la condicién;

:2

perte'néce a1 centrq de _A i cualquiera sea X 6A . : 14)

Dai“ un ejemplo mostralndo due 1a. Validez en' un anillo A de la confiifiifin enug

' ’ piada—en‘ 7 d) n'o'implica fieéesariamelt 'é' 1a éonmut‘atividad d_e1 mis'mo. 152

a.)

Probar'jla. existencia, en tgdo guillo, (if; gubanfllos conmutativoa maxinig 188;

\

b)

Probar que en todo anfllq de divisidn todo subanillo conmutétivo. méximal

‘ es‘uh cuerpo,’ ' c)'

Cufilég gonts' subanillo'g‘ Cbnmuiétivps 'maxitfiéleé de1.ani‘116 de divisién de 10's cuétei-niohés?

16)

Sea, para @419. gru'po abelianq firiita‘mente generado 'M , (M) 1a .cla'se de isomogfig'mo d? M .. qzsga,‘ 1a tqtaljdad dq gffipos gbelianos isomorfos -a :M .

“Sea. 1‘ ‘el gxfupq gb__eii__ano lise engendradov p01; .todos los simbolos (-M) .- Sea. - 1‘0 e1 subgrupo de 1‘ engendrado por los élementos de la forma

'

225

. {é

\

(M) - (M') - (M") para todas las. su’cesiones exactas cortas I

0—'vM'—>M—->M" —-—> 0

.

E1 grupo abeliano co'ciente K°(Z) = FIE, se denomina.‘e1 gi-ugo de Grothen_ dieck de Z .

Sea‘, para cada gnupo abeliano finiyamente generado M ,

[M]

1a imagende .(M) por la. aplicacién canénica F—y K°(Z) . Sea

'6 : K°(Z) x K°(Z) —-- K°(Z) - la aplicacidn definida. por

W ([M] E [MT = [MEM'] 1)

Probar que W define sobre K°(Z) una estructura de anillo cbnrhutativo-

con identidad: e1 anillo de Grothendieckde Z.

(Sugerencia: ‘notar' que [M 6 M'] 2)

= ([M] + [MEI ) . .

'Probar un isombrfismo de K°(Z) con el anillo. Z .

25. 24. Teoremaz‘ Un anillo A es de divisién si y. 5610 si satisface 1as condiciones siguientes: a)

No es trivial

b)

Sus finicos ideales a izquierda son 0 y A .

_ Demostracién:

Probaremos solamente‘ 1a parte "si" d-ejando 1a otra como ejerciciO' para el lector. La eondiciéna) implica 1a existencia de j €A , tal que A.j f 0 .y a fortiori 0 7’ j“.

Siendo A.j un ideal a izquierda, debe satisfacer A = A.j . e €A que satisface j=e.j . sea.

(ez-e) .'j = 0 .

Es claro que 0 f e

Par 10 tanto existe

Notemos que e2.j = e.j = j , '0

Aho‘ra { x! x.j = 0} es un ideal a izquierda, por lo tanto = 70 6 = A.

Dado que-0fj= e.j , debe ser {xi x.j = O} ‘=' 0 con lo que e2 = e .»

' Affrmamos abora que e.x = 0%}: = 0 . Sea I ={h}e.h =' O} . Si h 61 entonces 226

in

'5' w. . ‘43.

{ulmh = 0}

es an ideal a izquierda.

por lo tanto '-e(Ah) C A. h_F 0'.

Puesto que e.h = 0' debe seriu/um = 0} = A

Esto tiltime mueStra que 1. es un ideal a izquierda.

Porlotanto I = .0 6 -I= A . Cdmo of e‘ y e2 =. e ,- deBe ser I'= 0 ,' de manera que queda probado que ex .= :2: = 0 .

Notemos también que de la relacidnA e2 = e f 0 ,

Aflrmamos que e es identidad de A .

x". e ‘= 0 Q: = 0 .

En efecto.'cua1quiera sea. y €A

e(y'ey) = 0'.= (ye-y). e implican y =. ey,= 'y. e .

Ademas of y implica 07! e._y , por lotanto ALyv= A. y {u ; u.y = o} = o'. Existe entences y'.€A taI que y'.y‘= e .'

tiene y. y" = e = y'.y .

25.25.

Como (y.y' - e). y = y.e .'. y = 0 se

E1 teetema queda probado.

Definicidzi: _ Sea A an anille, diremos que ug'ideal a izquierda

y para todojdeal avizquierda I ,

M de A

M C. I a'M = I 6 I = A .

es maximal'si MfA

Si A = 0 , cohside-

famds a. 03 ideal maximal de A .

25.26. Ejemglo: ' Un anillo 'no tiene necesariamente ideales a izquierda maximales.

Sea, en efecto,

A = Q 6) Q , como grupo abeliano y'donde .

(x.~y) - '(X'.y') = (0.x.x') Sea J fun ideal de A , distinto de A .

Sea U = { q ; q €Q tal que existe q' E‘Q

con (q,q') €J}. Es 'facil Qer que J 7 A prepio de

implica U 7’ Q . Siendo U un subgrupo

Q , existe un subgrupo U' de Q que satisface U C U' {Q -

Entonces J ' =- U' $.Q es un ideal que satieface

JCJ'CA

0 ‘

todas las inclusiones propias.

25. 27. Teorema:

Sea A_ un ahilld con identidad e f 0 . _ Eatonces todo ideal a izquiexfda I , I f A , esta cpntenido en' up ideal a izqhierda maximal.

Demostr-ae‘ién‘: Sea 11‘ la familia de‘ideales a igquierda‘de A definida por:

U€1r

siyséIosi

y" b)ef:U..

.a)IC_U‘

Es claro que I 611‘, dado que e €I implica A = A.e~C I ,I 0 sea I =-A , que‘ho es el caso.

Es facil ver que .F ofdenado por inclusidn es inductivo superiormente... Ill

vocando e1 Lema de Zorn, se iiene'que 11' pos'ee elementos maximales. ideales de A' que contienen a I y son maximales.

Estos sen

E1 teorema queda probado.

25. 28. Corolario':

En todo anillo eon identidad existen ideales maximales a izquierda.

Demostracidn:

Bastaré a'plicar e1 teorema a la situacién _I = ,9, .-

25.29. Teorema:

Sea A un anillo conmutativo eon identidad f 0 y sea H un ideal de A . Eatonces

A/H es un euerpo si y 3610 -si H es ideal maximal de A . Demostracién:

Sea A/H un cuerpo y sea L un ideal de A tal que H C L . 'Entonces si

,5: _A —>A/H denota e1 homomo-rfismo canénico. ¢(L) es un ideal de A/H. Par 10 tanto 950-!) = 0 6 ¢(L) = A/H. En el primer caso se tiene que L= H y en e.1 segundo L = A ; 10 cual-muestra bien que H es maximal.

228'

Sea reciprocamente H

maximal.

Para probar que A/H es un cuerfio sera suficiente probai' que sus fini-

cos.idea1es son 0 y A/H .

Observemes que la existencia de identidad no nula en

A implica 1a existenc'ia de identidad no nula en A/H por lo tanto A/H no es trivial.

Sea pues U C A/H an ideal, Entonces fi'I-(U) es ideal en A y satisface H C ¢—1(U) , _por lo tanto H = ¢'1(U) , en cuyo caso U = 0 , 6 es ¢'1(U) = A , en cuyo caso U = A/H .

Ejercicio:

E1 teorema queda probado.

-

Mostrar con un e‘jemplo, , que 18. parte "Si"; del t-e'corefiaa 25. 29. deja de ser valida 51 A no es conmutativo.

E .26 RADICAL DE JACOBSON DE UN ANILLO

Teorema: Sea A un anillo con identidad.

La interseccién J de todos los ideales maximales

a izquierda es un ideal bilétero.

Demostracién:

,

Sea j €J y a GA .

.

Sea I un ideal maximal a izquierda.

' T = {rlreA es un ideal a izquierda de A .

y

Entonces

r.a€I}

Sea K un ideal a ideal a. izquierda de A tal que

T C K . ‘Afirmamos que T = K 6 K = A . En efecto, 51 k €K - T , enionces k. a f: I , por lo tanto A(k. a) + I siendo un ideal a izquierda que contiene a I , de-

be coincidir con A : A = A(k.a) + I .

Sean .i€I. x€A tales que' a= x.k.a+ i .

(e-x.k).a =

infiplica que e -x.k€K-.

Por'lotanto

161

Como x;k€K setierie que

e€K, conlo que K=A. 229

.‘s-

Estobrfiebaentonces que T‘ as maximal. Sigue que j €T y asi j.a €I . Siehdd I cu'alqilier ideal a izquierda maximal, se tiene que j. a €J .

derecha.

J ‘es pueS'un ideal a.

Co‘mo lo‘ies trivialmen'te a izquierda; ‘J I es bilatero, ‘cual se quiso demoi

trar.

.26. 2. Lenia:

,

Sear j e J . Entonces existe y €A tal que (e-j) ._ y = y. (e-j) = _e . Demostracién:

W:

y existe asi y €A..ta1 que y. (e-j) =_e., Puesto qiie e-y = -y.j €J ,. repitiendo e1 razonamiento existe y' 8A tal que e = y'(e-(e-y) ) = y'.y .

Como y' = y'. e = y'.y.(e-j) = e-j , se tiene que y. (e-j) = (e-j).y = e

' 26. 3. Sea A un anillo con identidad. males a derecha de A .

Sea J ' la-interseccién de todos los ideales maxi-

Entbnces J" es un ideal blilatero, y coincide-Eon J .

J se denomina e1 radical de Jacdbson de A .

Demostracién: Sea D an ideal maximal a derecha de A .

Entonces D + J es un ideal a derecha

que contienea D . Porlotanto D-i- J= A o D+J= D . E1 segundo caso equivale a ‘J CD .

veamos que el caso D+ J = A

Si esto es valido para todo D , entonces Jv'C J '.

es imposiblle.‘ "

:En efecto, se tendri'a e = d + j , por‘ lo tanto d = e-j ..

En virtud del lema anterior

existiri'a y €A con e = (e-j) . y = d.y €D ima conti-adiooién.

analogonos llevari'aa J'CJ yasi' J=J' . 230

Un razonamiento

.

u

'

ffli

;

Sigue que A. (e-j)=A

». ‘-v'~\‘ .- g,

entonces e-j e I y j E J C II implican e 6 I ,' una cpntradiccién.

- ' . -..‘...-,...,

A(e-j) es un ideal a. izquierda. Si esta contenido en un ideal a izquierda maxiinal I,

-26.4. Ejemglo: Sea nA€N . I_J.de Zn .

_ . . Sea A = Zn e1 anillo de restos mddulo n . ' Veamos cual es 'el radical Sea

-' ' ¢ : Z a Zn e1 homomorfismo canénico. I _Es facil ver que

. loa ideales de' Zn se cOrreqnden biyectivamente (via fi'l) con los ideales K de

Z 'que satisfacen (n)_C K .- '81 K es un ideal'de Z que contiene a

, mos ¢(K) = K/(n) . Sea tintos.

11 = pi]- . . .

(n)

escribirg

:1" 1a deseomposicién de 11 en primos dig

Los ideales maxi'males de Z que contienen a (n) son exactamente

(P1) , .V . , (pk? .

Por 10 tanio

-

.

k

.

.

J(Zn) = flmKW/(n) = (p1...pk)/(n)

dado que ' ¢ '1'(AJ(Zn))

k

'

-1

i |i=.1¢-((pi)/(n))

‘ k

. =

I |_1:1 (p.)1

J

= (p1...pk) En particular, si n = p1 ,1 Z i posee‘un finico ideal maximal (p)/(pi) que es, por .sunuesto, su radical.

.26. 5. M: Sea L. un ideal a izquierda de un 'anillo Ar con la propiedad siguiente: todo elemento de L as nilpotente.

(Tal ideal se denomina nil-ideal) .

Ehtonces vamos a

.‘7- r

-

probar que L CJ .

Sea _ M an ideal maximal a izqiiierda de A .

Entonces

‘

!

I

M+ L I es un'ideal a izquierda de A que cqrrtiene a M .

Si es M + L = A entonces 1a idea

. tidad 1 de. A puede escribirse como V

'1=m+i

-,

1 m€M

e

i€L

231

'1.

0 sea, an; = 1-i . {

Ahora siendo i- n'ilpotente, results. que -m = 1-1 posee inverso,

lo cual conduce rapidamente a un absurdo, dado que M f A .

1-

Imente debe ser M+ L = M , 0 sea L C M .

HI

Entonces necesaria-

Siendo este razéhaiiliento valido para

todo ideal maximal a izquierda M , se tiene inmediatamente que L C J_ .

E j erc icios:

1)

Sea K9 un cuerpo,

n e N y Mn(K) e1 anillo de matrices de um! con coefi-

cie'ntes en K . Sea A e1 subanillo de .Mn(K) de matrices triangulares infe-

_.

.

E

Hl’

riores.’ Hallar todos los‘ ideales maximales a izquierda de A y su radical. 2)

Sea X un conjunto finite no vacio y-sea K un cuerpo.

Sea A = Kx .

Pro-

bar que an ideal I de A es maximal 51 y 8610 si existe. x0 €X tal que I es la totalidad de funciones f : X ’—> K

que aatisfacen flxo) = 0 .

3)

Analizar e1 ejercicio 2) para el caso X infinito._

4)

Probar que 31 J es el radical de un anillo A , entonces e1 radical del anillo

cociente A/J. es 0 . 5)‘

Sea K uni'cuei‘pq y 11 EN . Cual e3- e1 radical de Mum) "i

6-)

Probar que el radical de un anillo n'o puede contener elementos 1: de la for; ma siguiente:

.

E 27 .

of x y x2 = x .

k

GRUPO DE UNIIDADES. ANILLOS‘LOCALES

27 . 1. Definicién:

Sea A un anillo con ident'idad f 0 . U'na uhidad de, A as todo elen‘iento u' que posee inverao en A , 0 sea, tal que existe’y' €'A can my = y.u = e .

232 '~

M

' 5

j

-

"W.

A‘ 3

27,2. Propasicidn:

I

*

f‘

' .

\ ..

'Sea A un anillo con identidad f a. ’El conjunto de todas las unidades de A forma coarespecto a1 producto en A , un grupo, e1. llamado grugo de unidades de A . Demoétracién:

Facil.

27. 3. Ejemglos:

1)

Sea. K run cuerpo.

Las unidades de K son exactamente 10s elementos de K.

distintos de cero.

2)

Sea m e N.

En el anillo Zm de resios médulo m , las unidades son exacta

mente los elementoa de orden m (en el‘ grupo abeliano subyacente Zm) .

3)

Sea 2K un anillo conmutativo con identidad 7‘ 0 .1 En el anillo de matrices Mn(K) ,

:

.V-

n €N un elemento h es unidad 51 y $610 $1 det(h) es unidad en K .

En particular, si K es un cuerpo, un elemento h es unidad si y $610 $1

det(h) f o .

27. 4. Teoremaz~

Sea A un anillo con identidad. Las condiciones siguientes sobre un ideal a izquieg

:

da I son equivalm tes.

"

L1)

I ea e1 finico ideal maximal at izquierda de A

L2)

I es-un ideal bilatero que contiene a todo ideal propio a izquierda o a derecha deA

L3),

E1 complemento CA(I) de I en A es el grupo de unidades de A .

Demostraciént L1) @1L3) .

Sea A, eon finico ideal maximala izquierda I

Si a f 1., entonces A.a es un ideal

a izquierda . Si A. a f A , A. a eats ceatenide'en an ideal a fiddiiéivda‘infiiinal, por lo ~tanto' en' 1,. lo cual es ~zitb'surdo dado que_ a EA. a.

#13135 y €A con y. a = e .

Probefnéts que a.y .= e'.

For 10 tanto A. a =.'A y

Sien‘do . I 11c ideal maximal

a izquierda, I = J es bilatero', 15.01: ‘10 tanto y_ El . Repitiendo e1 razonamiento hg

cho-con a,l existe y' e A131 que y|,\y.=‘e , Pero entonces y' =' y' . e .= y' . y .'a =. e,_ ;Va._=. -a ,

‘\

'

ri'amos probar.

a . y.= e como‘que-

9 sea_

que CA(I) a izquierda,. ' sigtie Puesto . I _ . que ningfin-eleniento de' I puedétener'fifiversa .

.

-

es el grupo de unidades de A .

/

/

/ L3). —.——> L1) Sea H ujn ideal maximal a izdu-ierda. -~Ent01_1eels necesariamepte H 0 CA(I) a 0 , 0 sea _H C I , de lo contrario contendria unarunidad y e'sto ifilfilicarl'a irimediatameg te que H = A .

Siendo H maximal, debe ser I '= H , y’asi' A posee un {mice ideal max'imal a 12-quierda;

L3) L2). Usa. las mismas ideas 'utilizadae a1 demestrar las implicaciones anteriores. La de-' jamos como ejercicio para el lector.

27. 5. Definicién:

Un anillo ~A con identidad, que posee un ideal I que satisface cualquiera de las

conditiones equivalenfies LI) , L2) , LS) Se denomina un anillo lecal. Escribiremos también A ‘= (A, I)‘

27. 6. Co'ro1ario: Sea < A, I >

un anillo local. Entonces A/ I es un anillo de divisidn.

. Demostracién:

Notemes que en virtud de L2) tiene sentido hablar del anillo A/I’ .

tiene identidad e f 0 y e f: I , A/I; no es un anillo frivial.

Puesto que A

Seré‘suficiente pro-

bar enlonces que sus finices ideales a izquierdajeon' 0 y A/I .

Sea, pues,

F un

ideal a izquierda de A]; .' Si ¢ : A —% 'A/ I denote. e1 homomorfismo canénico, ‘ ' .234 .

¢-1(F) _es un ideal a izquierda de A .

Si F f A/I entonces {fl-(F) f A . For 10 tanto .¢-1(F) = I . Sigue que' .

F = ¢(¢'1-(F))C_¢(1)-= o.

27.7. Ejemplo: Sea

p €Z , primo.

tales que p11 n .

m .C Z03) ideal.

Sea Z

e1 conjunto de todas las fracciones racionales

(p)

Es claro que Z(p) es un anillo conmutativo con identidacl.

1a totalidad de fracciones m/n tales due p/m ‘.

Afirmamos que (Z

(p)

m/n"

Sea

£1 es entonees un

, E) es un anillo local que satisface '_Z(p)/E 2 Z

p

=

cuerpo de enteros médulo p . .

Es claro que m/n € Z(p'l es una unidad en Z(p) si y sdlo si'lpI m . For 10 tantp ‘el grupo de uhidades de Z(p) es precisamente e1 cemplementode .E en Z(p) de

I manera que (Z(p) , E) Hes local.

Para demostrar la segunda 'parte, probaremOS (que

_nl es eubérupo abeliano maximal de Z(p) .

clico de orden primo q . Como todo elemento de Z

En efeeto, elleocienjze sexfa un grape c’i'-

I

(p)

tiene orderi p médulo E, 0 sea',

tisface px E 0 mod. 2 resultara q = p '.

todo. x€Z

.

(p)-

s a-

Finalmente habra que-notazi que hay u_na

sola estructura de anillo con identidad, en- un grupo'ciclico de orclen n , a saber la

de anillo cociente Z/(n) . Probemps entonces que - _rg es subgrupb maximal. Para ello seré suficiente probar que si k/t €Z(p) , e1 subgrupo S erigendrado por m; y

k/t es un ideal, cualquiéra sea 'k/t . Sea m/n €Z(p) . Sean r,h enter'os tales' que .1 = r.t + h. p .

Las relaciones ‘

.(k/t). (m/n) = (kr).(m/n)+ (hkm).(p/(nt')) ' m . (m/n)'C a

muestran que ,(m/n). S'C S .

For 10 tahto S es un_ ideal.

.1

235

-

.I

27. 8; Ejemplo;

Sea K un cuerpo y eea A = K[[X]] e1 énillo de series formale's de potencia's de X' con coeficientes en K .

,00 La totalidad In de series z .

—

.

1:

a...X

0

1

i

can »a

0

= 0 cons-

'

fcituye un ide'al de A . Afirmacién:

(A , _n:_1_)-

es un anillo local. I

En efecto, sea .

entonces

Defina'mos ahora una familia de elementos de K

(WGGNU{M como. sigue:

yo'= xgl y supuestos definidos

y(j .

~

.

_

.

. yn

'

.n ? 0

definimos + 1

yn+ 1 =

_

_ Z:=1 xi‘y(n+1)-i

01

Sea

Es claro que

donde 1 denota 1a identidad de Kfl:X]] . de A .

Sigue que CA(2) es el grupo de unidades

A es pues un enillo' local y n'uestfa afirgnacidn queda probada. )

27. 9. EjemElor

Sea p €N , primo.

fl

Sea

1 , donde i -recorre N . tes en el cuerpo Z p .

el grupo de todas laa rai'ces pi-simas complejas de

Sea A = Zp( I

) el anillo de grupo de

n

con coeficieg

A es entonces un anillo conmutativo de caracteri’stica p .

Ya vimos que en todo anillo conmutativo de caracteristica p , primo y para cada 1 G N , las aplicaciones a ——> a Vamos a probar entonces que

pi

son endomorfismos de la estructura de anillo.

Zp( T_|) es un anillo local :

En efecto, escribamos los elementos de

Zp( Tl')

como sumas formales Z

a .x

x€TT ‘ donde. ax € Z

P

son nulos para casi todo x 6T1

.

Sea 9 : Zp( I |)—> Zp ; 1a aphcac16n g (7 ax.x) = x€l l mo de anillos.

Siendo

Zp un cuer-po a = Ng'

bar que £n_ es el finico ideal maximal.

Z ax .- es un eplmorfig. x€| I

es 'un ideal maximal...

Habré. que prg

Sea prinderamente 1a siguiente afirmacidn:

feg siysélo si existen y € II ,{x1,..fxn} C H , { a1,;.,an} C Zp tales 1'1

que f ='Zi=1 a1. (y-xi) ._ > La parte "si" es inmediata.

Sea pues f €‘E .

Podemos escribir

'n

f = 21:1 ai.xi-b.y _

——

x.€||, 3’63 III, aiEfZp ytalque n Zi=1 ai = b

Par 10 tanto

f = Zn

i=1 a.1, . (xi-y»)

lo cual prueba nuestra afirmacién.

Sean i,j €N tales que x5

i

=

1 ,

_

'

p = 1 .

ne, er; base a la propiedad de los anillos d-e caracteri'stica prirha

(xi

-

y) p

k =

xip

k -

yp

k '=

;

Entonces si k = méximo (Lj) 5: file-

0

_.

en Zp( I l ) .

237

Slgue fécilmente de esté Ireveisultado y en base a1 hecho de ser Zp( fl) un‘ anillo conmutativo, que f es nilpotehte; .Dejamoé 10's detallei'a cargo del lector.

Por_ lo tanto, todo elemento de E es nilpofente. 2 gas enton‘ces un nil-ideal (véasé .2655- )

y por lo tanto esté. contenido én e1 l'adical de Jacobson J de A .

Puesto

qfie trivialmgnte J C E resulta finalmente que

g = J = Interseccién idealesmgximales de A La maximalidad de E irhplica entonées que .13 es el finico idea'l maximal- .de 'A y ,A es asi local.

Ejercicio:

*Sea A el anlllo de funciones reales continuas'definidés en el inter-vale

[-1, 1]

Sea I 1a totalidacl de funciones. f e A para. la's cuéles existe‘ un entorho U0" f = 1.1

de 0 en

[-1, 1]

, tal que la restriccién f/U = 0 -.

Probér que -I es un ideal de A y el cociente A/I es urranillo local:

de gérmenes de funciones continuasde‘finidas en el'punto '0 . *

238

el fl

CAPITULO IV:'

ANILLOS DE COCIENTES DE UN ANILLO

CONMU-TATIVO

'

;

En toda esta seccién anfllo significaré anillo conmutativo con identidad que ahora denotare-

;

‘

mosc0n1,1f0.

"§_28 .

MONOIDES E IDEALES PRIMOS

28.1. Definicién:

‘

-

’

-

'

5;

Llamaremos monoide (asociativo -con identidad) a toda terna < ' M, i: , e ) formada por un cqnjunto M, un elemento e e M y una apligafiién i): MxM fl M tal que 51 b (fly) = x.y , entonces

m1)

x. (y.z) = (x.y). 2

m2)

x.e =

e.rx=

Diremos que

x

< M, i). 8)

es conmutativo si x.y = y,x .

28. 2. Definicién: Sean

y

< M , i) , e >

< M , 1b , e > =

hl)

g’(x.y)

h2)

< M' . b' , e' >

(fix) .

913’)

monoides.

Llamaremos homomprfismo de

a toda aplicacidn 9' : M ——+M' que satisface .

-

;.[

28. 3._Definic16n:

Llamarenios submonoide de unkmonoide < M , ti) , e_> que satisface

a todo monoide < M' , I'J' . e')

-

sl)

M'C M

s2)

1a inclusion M' ——> M es un homomorfismo de'monoides;

Es claro entonces que

28. 4. Proposicién:

Sea_ < M , 1b , e>-

,

un monoide,

a)

e e M'

b)

x,y€M'=}x.y€M'

M' un subconjunto de :M que satisface:

Existe entonces una finicaaplicacién b' : Ml x M' a M'

es un submonbide de

1:31 que < M' , i)‘ , 8)

< M , i) , e)

De ahora en adelante denotaremos al moznoide- < M , b , e )

simplemente con M .

28. 5. Ejemplo: Sea A un anillo.

Entonces la-terna fdrmada por 'el conjunto A , 1a_ aplicxién

(a1, a2) 6 a1. a2 y la identidad 1 , constituye un monoide. Cuando hablemos de submonoides de A , por abuso de lenguaje, entenderemos submonoides de aquel monoide.

28. 6. Definicién:

Sea P un ideal de A . P

Sea M= C(P) complemento de P en A .

es un ideal Brimo de A si M

.es un submonoidé de A .

Notemos de la definicién, que siendo M submonoide,

240

Diremos que

1 €M y asf P f A .

1

28“. 74.. Teorgnia: Sea A un amine}; P un ideal de A .

Las condiciones siguientes son equivalentes

entre si‘: 1) -

P es un ideal-prime

2)

xfiP

3)

x.z€P =7x€P 6.z€P-

4)

A/P es un dominio de ifitegridad.

y

zfiP=§>x.z£P

Demostracién:

La dejamos a cargo del lector.

En todo~ anillo (conmutativo con identidad!) existen ideales primes: en efecto, todo'

ideal maximal es prime.

E jercicio : Probar la. éxistencia en K [X, Y] , .K cuerpo, de ideales primos no maximales,

Las dos propiedades siguientes 'de los ideales primes son caracteristicas y de suma utilidad.

28.8. Proposicién: '

Sea M un submonbide de A .

Sea I un ideal de A con la propiedad M n I = fl .

Entonces existe un ideal Erimo P , con las_ siguientes propiedades:

a)

I C P I,-

I

b) 'PnM=p Demostracién:

- E1 lema de Zorn asegura 1a existencia de un ideal maximal P con las propiedades

a'.) y b) . Habré que probar que .P es primo. .Sea my €P ddiilié x,y €A . Si xflsl e yfiP enfonces 01(P+ A.'x) n M tanto;_m1=p1+a1x

,

m2=p2+_a2.y

,

y

Of (P+ A.y) n M

mi€M;pi€'P ,

. p‘orlo

aieA,i?1,2.‘

Efectuando e1 producto» m1. m2 se tiene que m1. m2 €P , lo cual es un absurdo,

241

, Idado due m 1'.m2 € AM .

28. '9 . ProEosicién: un conjunto finite de ideales primes dé A .

Sean {P1 , . . , Pn)

de A contenido en la reunién (cozijuntistal ). -Un Pi - ' 1

para algtini‘ndice j.,

'Sea H un ideal

de los ideales Pi . Entonces

1 (j g n; H C Pj‘ .

Demostracién: Notemos'que 1a proposicién es trivialmente c-ierta en el caso' n = 2 , sin imponer

ninguna condiciéa sobre los Pi .

Raz'onemos inductivamente.

_ Sea Ciertoda proposipién para tado: in -, 2 é m < n .

lque pai-a todo i ,

Entonces pademos suponer ‘

1K i s n_

H

¢ 1%- P‘.‘3 .

Sean pu’es xieH? Ua . Entonces

if:

-

'_n

A'

Xuzixl..xi..x.n

.

.

€.H'

(Regordemos que la nataéién x1 . '. 351 . { xn signifies. que el factor xi ‘debejoniitirse, asi‘i x1.§2|.x3 = x1.x3l) _.

.

.

-Puesto que HCL}1 1 Pi , 'sigue que x €Pj. para alguna. j . .

A

=

x,1"xj"xn-.

x

Consecuentemente ‘ ‘

A #il..xi..xn.€l

runa, contradiccidn dado que Pj es ideal prifim y

iii-:XifipjE jercicios:

1)

Sea.A‘ un anjllo conmutativo.

. guientes equivalentes? a) 242

P es prfino

Sea P un idéal ,de A .

Son‘las ‘co‘ndie-iones s_i

b)

raratodo pardeideales 1,J d_e.A_, InJCP-—_—;1CP'6'JCP

(Respuesta: N0) .

2)

Sea. A un anfllo conmutativc. _Un ideal I de A se dice irreducible si paratg do par de ideales

J 1, J2 de A se verifica

Probar que an ideal I de A es irreducible si y 5610 si existe una familia {Ph} h EH de ideales primos' de A

que satisfacen

ci'a: sean a1,a.2 €A con a1.a2 €I .

I =

hQH Ph . (Sugeren-

Sean Hi = { h I ai €Ph}-

ahora los ideales J1 =

m Ph . . . ) h €Hi Dé ejemplos de. anillo donde todo ideal irreducible es primo.

3)

Sea A ‘un anillo conmptativo 'c identidad e f 0 . a)

. . Considere

h

Probar

que la interseccidn de todos lee ideales primos de A ccincide con elideal formado por la totalidad'dei elementos nilpbtentes de A .

b)

que si A posee un sélo ideal primo entonces-todo divisor de cero en. -A

es nilpotente.

4)

Probar que en Zm an ideal es primo siy sélo si es maximal.

§ 29 . ’ ANILLOS DE COCIENTES

Sea A un anillo y M un submonoide de A .

Vamos, de ahora en adelante, a imponer 1a

condicién siguiente sobre los submgnoides: 0 f M . Con II(A) denotaremos el grupo de unidades de A .

29. 1. Definicidn: Llamaremos anillo de cociente de A con respecto a un submo'noide M a,todo par

(q, K) formado por un anillo K y un homomorfismo 9' : A fl K con 1as.propie-

dades siguient-es:

ql)

g'(M) C U(K)

q2)

Si (j, L) es un oar formado pozflun anillo L y un homomorfismo j : A —»L tal ’que j(M) 'C U(L) e'n'tonces_ existe un finico homomorfismo (j) : K e L; talque j= (j).g‘ .

29. 2. Ejemglo:

_Sea A=Z , M'={n;n€Z y nfO} , sea K=Q 3} q:'z—>Q 1ainc1u'si'6n _natural, 'Afirmamos que (9‘ , Q) es un anillo _de cocientes de Z con respecto a1

M dado . Primeramente es claro que g'(M) C U(Q) dado que g‘(M) C Q -,{ 0} y Q es un cuerpo.

Sea L un anillo y j : Z d L un homoinorfismo tal que

j(M) C U(L) ,, Sean p/q ,

p'lq'geQ tales hque p/ci= p'lq' . Entonces de

p. q' = q. p' resulta.

j(p) . mm = j(q)- j(p‘) y por lo tanto

’

jun/5m) = m». 1(q = j(p').j(q')'1 = awn/1m» Sigue que (j) (p/ q) = j(p)/j(q) define una aplicacién (p: Q —> L tal que

.(qqn) = 'j(n) P_ue_sto que una verificacién sencilla muestra que (j) es un homomorfismo, sigue

que (9'. Q) es un anillo d-e cocientes de Z eon resoeeto e1 submonoide de enteros no nulos de’ Z .

244:

29. 3. Ejemplo:

Sea A un anillo y M un submonoide de A que satisface M C U(A) . Entonces

(idA , A)

es un anillo de 'cocientes de A respecto de M .

En,particu- »

lar, si A es un cuerpo, A e_s anillo de cocientes de A ‘con respecto a cualquier ‘ submonoide.

29.4. Ejemplo:

Sea A

e1 anillo de funciones reales definidas en el intervalo [0, 1]

subconjunto de [0,1]

, no vaci’o.

.'

Sea X un

Sea M e1 subconjunto de A formado de todas

las funciones reales f tales que f(x) ‘7‘ 0 cualquiera sea x €X .

M_ es un submg»

noide de A .

Sea K e1 anillo de todas las funciones reales definidas sobre X .

e1 homomorfismo de restriccién: q‘(f) = f/X

Sea 9‘ :A-—>K

Si f €A .

Afirmamos que (g‘,K) es unanillo de cocientes de A con respecto a M .

Es cla

ro que 51 f €M , entonces f/X posee inversa en K : en efecto, f_1(X) = ( f(x) )71 si 1; €X pertenece a K y es inversa de f/X .

Sea j :Ae L un homomor-

I

fismo de A en un anillo L tal que j(f) posee inversa 31 f G M . Entonces

q(f) = 0

finplica la existencia de

m E M tal que

fm = 0 .

For 10 tan'-

1:0 0 = j(fm) = j(f) - j(m) :‘flfl = 0 . Esto muestra que Nd C N. y por lo tag J

to existe un finicd homomorfismo 6) : K —> L tal que (j)

q = j .

Sigue entog

ces que (g' , K) es un anillo de cocientes de A respecto de M .

En particular, si X = {x} , es un conjunto puntual, (q' , R) donde' (j :A—>‘R esta'. definido por q(f) = f(x) ,

es un anillo de cocientes de A con respecto a}. sag

monoide de funciones no nulas en x .

La misma técnica de demostra’cién utilizada en oportunidades anteriores nos muestra 1a

siguiente :

29 . 5 . Progusiéic‘SVn:~

' Sean (9‘ , K) y (9" ',, K') anfllos de cociehtés de A con respecto a1 mismo submg

noide M de' A _. Entonces em‘ste un isomorfismo 13' : K —’ K' .

talque 13'. q'=g".

Pbr 10 tanto, anillos de cocientes de A éon respecto a1 mismo submonoide M son isomorfos en fo_rma natural.

De ahora en adelante, y una vez probada su existen-

cia, nos réferiremos simplemente a1 anillo de cocientes de A con respectoial Su_b_

moxioide .M .

7

‘

‘

29. 6. Teorema: Sea hM un submonoidé A .

Existe-entonces ufi'anfllo de cocieritea (q' , _K) de A ..

Der‘nostracién: .

Sea K' e1 prqducto cartesiano A x M .

Sea en K' 1a siguiente r'elacién:

(a, m) N ('a",m')1..p+ 8n

=

260

.

i

estén unfvocamente determinados por las relacio-

‘nes recurrentes:

,

m

21:0 (:1.. p

0

(p)

_, End(Zém) , del am]l_' o Z(p) de cocientes 'de Z respecto del submonoide de enteros no divisibles por p , en eI anillo End(Zpoo) ,

morfismo.

Es inmediato ver que @ es también un mand-

Seré. interesante mostrar explicitamerrte esta inmersién,

una inmersién de Z(p)r en Up ..

para 10 éual seré. suficiente hacerlo con Z . m >/ 0 .

Sea pues m e Z .

Sea, par'a fijar las ideas}

Entonces se tiené, pbr divisidn poi- p :

r0

,

0$ro . co 21:11 aip1 € s se dice Eeriddico si existen enteros m y n con 0 g m y 1\< n tales que

a

-=

toda vez que

a

m < k

.

Ejercicio:

Sea D un grupo abeliano divisible. Probar que A = End(D) es un anillo local si y 39.

10 Si D = Q 6 D jjpm -

_____

"

Cuéles son todos los grupos abelianos G para los cuales A = End(G) es un anillo (conmutativo ? )local?

Valuaciones p-adicas Nuestra presentacidn de las' estructuras p-adicas en la seccidn anterior ha sido de cor

te netamente algebraico.

Sin embargo, no habra escapado a1 lector que la apariclon de 1as_ .

"series", por formales que Sean, encubre un ingrediente no algebraico.

En eata secc_i6n mo_s_

traremos odmo las series forrnales admiten una representacidn analitica come-series convég

gentes en el sentido usual de este término.

En esta ultima forma 10s cuerpos peadicos juegan

un r01 fundamental en -la teorfa algebraica de numeros.

Digamos desde ya, que nuestro tratg

miento estara lejos de ser sistemético y sera mas bien de fndole informative... Reconienda - ‘

mos a1 lector, para un desarrollo sistematico del toms, el libro de George Bachman: Introdug tion to p-adic numbers and valuation theory.

Sea K un cuerpo

Definicidn:

Llamaremos valuacidn sobre K a toda aplicacidn

- . -l~ .;.m-;.,

.r——’Ir|

.

.1

de _K en R , con las propiedades siguientes:

i)

|r|>, 0

ii)

|r|= 0

iii)

|r1.r2| = lrll .

iv)

[r1+ r2|€

siysélos'i r=0

|r2|

|r1|+|r2|

si r,r1,r2€K .

Definicién:

Una'valuacién sbbre K se dice no-arguimediana si satisface 1a condicidn

v) 31 r

|r1+ r2| s max( |r1| , lrzl) r

1’2

e K .

Notemos 1a validez de la implicacidn v) => iv) .

Ejemglos:

' a.)

lr| = 1

si rfo

y

IOI ~= 0

define-sabre cualquier K una valuacidn no

arquimediana.

b)

Si K = Q entonces Ir| = valor absoluto ordinario congtituye una valuacién arjquimediana sobre Q , (arquimediana = no no-arquimediana).

c)

-_Sea p pi'imo y sea K = Qp . Si 5: €Qp podemos escribir

_x = :5

a1 pi

_h€z

-_Sea 8(x)'= miri( il aif 0) 6 9(0)= 0. Entonces ,

_ lolp-o

y.

_ -9(x) lp-2

s1. xfO

' define una v'aluacidn no-arquimediana sobre Q.p , llamadallah valuacién'g-adica de- Qp .

Notemos e1 hecho importante que

"x E Qp es un entero p-adico si y S610 si' Ix Ip s‘ 1 " , en otros términos,

Up={x/’x€Qp

y

|x|

. Si 2 denote. e1 (finico) ideal maximaf de Up , -se tiene

a ={¥/x€Qp d)

y

IXI

Sea K = Q y. sea p primo.Si‘0 f r- €Q ekiste entonces un finico entero -9(r) con la propiedad

=. p9”) . -_a_ b

donde a,b€Z yademés pvfa y‘p'lb _. Entonees

'

| '. IP_'=

-0

0

y

I r IF

=

2

-6(r)

1‘

define sob're Q una valuacidn no-arquimediana, llamada la valuacidn p-adica de

Q.

Las valuaciones p-adicas de los ejemplos it) y d) guardan 1a siguiente relacidn: 'Teorem'a: Sea Q C Qp 1a inmersién natural de Q en Qp definida en la seccién anterior.

En-

tonces 1a restriccién'a Q de la valuacién p-adiea de Qp coincide con la valuacidn p-adica de‘ Q .

I

Demost racidn:

SeaIr€Q ysea 269

r; park; b

'

a,be'z. . ,

its claro que 51 r = 0 lentonces I0 I p = 0 en amBgs valuaciones.

pIa-fi'plb . Sea pues , rf 0 .

u_n entero pf Sigue que af 0 . Las condiciones p I a y p I B implican que a/b és adico:

a/b = ao+a1p.+ azp

2

' ~ con 3.074 0 Por lo tanto

_

r = ao P6(r).+ a 1 pe(rH1+ _ .

dé donde _ lrL = 2-6“.)

en

Qp

y este es precisamente 'el valor de Irlp en Q . E1 teorema queda demostrado.

E1 resultado importante que 'queremos-sefialar en esfa se_cci6n es que la v'aluacidh p-adica .en Q determina unfvocaménte (a menos dé un isomorfismo) fel cuerpo p-adico Qp .

Esto cérreg

ponde exactamente a1 hecho que la valuacidn ordifiarja (e1 valof absolute) en Q determine. un__f vocamente (a fienos dg’pn isomorfismo) e1 cuerpo real R .

Por esto filtimo nos referimqsa

1a construccidn-nsual d; R , a partir de Q "via" las sycesiones dé Cauchy.

Tratemos dé prg

cisar estas ideas .

Sea K un cuerpo y

l I. una valuacidn sobre K .

Diremos que una familia de ele-

mentos de K. I

(ai)i€ N constituye uné. sucesidng'de Cauchy (relativa a

te'un 110 e N tal que 270

'6 simpleménte (a1)i I I ) si pém .todo

6 e R , 0

y

m,m'€N

Diremos que una familia (ai)i de elementos de K. coaverge (relativo a

I ) a un elemen-

, existe no€N talque

'éGR, 0 lam-aI-_r(m)

,

si‘

'7

= a

a

lo cual dice que en la sucesién de Cauchy 10s coeficientes en cada .

' facen, para todo i,

'

, 1=

0 6 i < co

11 y V" "sufiqientemente grandes"'.

para

aiu = aiv

,. -- '

‘

Per 10 tanto, si definimos

a; = aij

se tiehé qué

Z_ 0 aij p1 .satis_

.

.

para j suficientemente grahdé;

. l

1

Zi=0 a1 p ‘

.

a)

_

0°

=

'

_

-.

1

_

11mj (21:0 alJ-p )J

Seaahora co,

(:z)

'1 'a-,,p).

j€Z,0 n 3" V) n-'.'

.

,_"

I

\

.esté, acotado inféijiqrfmente.

Para. e110 razonemos por el absurdo, sqponiendo 1a exig

tencia de una su'césién de' enteros positives ' ' 0'Qp-

Es claro que si 7x (-2 Up es 7! 0 , y (191 es -la sucesién de Cauchy de sumas parciales asociade. a x , entences

por lo tanto (1:1)]: (-3 X0 y asi‘ 2 es un monomorfismo .'

Siendo Qp cuerpo de cocientes de Up ,

2 se extienqe univo'eamente a. un homomorfig

mo, también denotado con 2 , de Qp' en 5p :

Siendo Q’p ‘un cuerpo, mos

/

9_ es un monomorfismo.

Por este monomorfismo identifica- ’

QP aun subcuerpo‘de 6p :

Notemos también que la. restriccién de la valuacién p-adica de 5p ceincide con 1e. va-

1uaci6n p-adica de Qp .

Siendo Qp completo en su valuacién p-adica, es Qp un'eulg.

cuerpo completo de 6p .

Qp

Dado que Q C Qp es posible concluir que

=

Qp

-

Citemos firihlmente, a titule informative, e1 siguiente resultado impo'rtante, cuya demostracidn puede verse en G. Bachman (10c. cit.) pag. 60, Theorem 4. 5: Teorema:

Sean p y q primoe distintos. Qp y Qq' no son isomorfos.

'276'

Entonces ies cuerpos-

7" ”N

APE NDICE -

DEFJNICION DE R-MODULO Séan

R ux’: afifllo con identidad. 1 7! o M un grhpb abeliano Entonces

Teorema:

Las condiciones siguientes: . m1) Existe un homomorfismo

g'(rEm)=r.m ,

g' : R E M ——>

si reR

y

m€M

M .,

tal que si escribimqs

sesatisfacen:

r1.(r2.m)=(r1r2).m 1..m ='m

m2) Existe una. aplicaci‘dn bilineal Ij : R x M —v- M , tal que si escribinioé Ij(r,m) = r.m,

si

r€R

y

m€M

sesatisfacen:'

(r1+r2) . m = rl'. m+r2. m

r.(m1+m2) = r.m1‘+r.m2 .r1.(r2.m)=(r1r2).m

'1.m=

m3) Existe un homomorfismo de anfllos

p (1) = 1 dM . son todas équivalentes entre 51.

111

fi : R ——-—> End (M)

,

Definicién:

Se denomina. mddu'lo a izquierda. sobre

g a. todo grupo abeliano

M

R

o simplemenfe ‘ ‘R - mddulo a izg-uieg ,

en alguna de las situaciones de1 teorema precedente.

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(13).

ANILLOS Y CU'ERPOS P-ADICOS

(15) G. Bachman: Introduction to p-adics Numbers and Valuation Theory. Academic

Press, 1964. (7) Vol.

II ,

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(12) Vol. II.

.. 1o. ALGEBiiA HOMOLOGICA (16) H. Cartan - S. Eilenberg: (17) D. G. Northcott:

Homologic‘al Algebra.

Princeton University Press,

Introduction to Homological Algebra.

1956.

Cambridge University ‘

Press,‘ 1960.

(18) K. Harrison:

Infinite Abelian Groups and Homological Methods.

tics, Vol. 69, 1959. ‘280

'

,

'

Annals of Mathema-

1

I

1

INDICE

CAPITULO I- GENERAL ID ADE S

' 1.2.

Grupo abeliano cociente . ~

Homomo'rfiSmo can6nico de A en- A/A'

16

Grupos abelianos finitamente generados. Ejemplos E1 grupo de restos‘médulo n . E jemplos de grupos abeli'ahos. Hom(A, B) y Z 00 ‘ Grupos abelianos divisiblrs y de torsidn P Grupo abeliano de torsién GrupO' abeliano sin torsién Grupo abeliano reducido Suma y producto directo Producto directa de una familia. {AJ1513-1. Suma directa de una. familia. {Aj }

j€J

Suma directa interna

20

28 35 .37 38 38 39 40 43 44

-, 49

Sumando directa Aplicaciones

~

54

Descomposicién de 1111 grupo abeh'ano de torsidn

57.

en suma directa de sus componentes primarias Componente p-primaria Sucesiones de grupos abelianos y homo1norfismos Lema de los cinco ‘ Grupo abeliano libre Preservacidn de exactitud por Hom . Grupos abelianos proyectivos son libres

50 65 69 78 82 92

‘ Range de un grupo abeliano ' Teoremas de estructura de grupos abelianos div_1

sib1es. Grupos abelianos divisibles son inyec 93

tos Grupo abeliano inyectivo Razones ,de Indole supersticiosa Algunas cuestiones de dualidad Dual de un grupo abeliano

104

105‘ 105

CAPITULOfi-PRODUCTO TENSORIAL DE

109

GRUPOS ABELIANOS

109 109

COnstruccién, propiedades, ejemplos

. Aplicacién bilineal Producto tensorial de homomorfismos Producto tensorial conmuta con sumas directas Formas bilineales, Hom y E Traspuesta de un homomorfismo

127. 129

Presérvacién de la exactitud por E Aplicaciones Grupos abelianos sin torsién preservan exactitucl Un lema i'mportante Grupos abelianps playos

Un criteria fitil '

Range de un grupo abeliano

_

g;p§|g|§1:;;:,gf)_‘_-I:A'1..;fiil.’1'l.'fl-.':I‘v ,

Z-linealment e independiente Subgrupo puro Cépsula inyectiva. (o divisible)

.

Estructura de grupos abelianos finitamente generados

/

135 - ' 138 ' 140. 143 145 151 152 155 157 159 ' 162 163

e-peso

'

'-

Teorema de estructura

_

'Factores invariantes

»

Algunas consecuencias. del teorema de estructura Clasificacion de los grupos abelianos finitos Sucesiones exactas paras Grupo mixto par-tible .

Divisibles, para variarProducto tensorial de una familia fimta de grupos abelianos _ Aplicacién n-lineal o multineal

166 1170 172 174 174 177 i ' 179 ' 181 183 184

Producto tensorial de una familia {A1};

ANILLOS 193

D efinic idn

-.194.

' Identidad o elemento’ neutro

Anillo Anillo Anillo Anillo

conmutativo . trivial de flm‘ciones o aplicaciones de X en R _de matrices de nxn

Anillo de series formles de potencias de X con coeficientes on R

Anillo de series formales de potencias de X1....,Xn con coeficientes en R Anillo de polinomios en'X con c‘oeficientes en R Anillo de p‘olinomios en las indeterminadas X1,...,'Xn Anillo de grupo con co'eficientes en R

'

Homomorfismos

Definicién Especializacién de« X por c Anillo de restos modulo m Subanillos, ideales, anillos cocientes Centralizador Ideal bilatero Caracteri’stica Ideal principal Anillo a ideales principales a izquierda Anillo noetheriano Divisor de cero

'Elefnento nilpotente

Anillo de enteros de Gauss Cuerpo Dominio principal

207 2 207

' 209 .212 217 217.‘ 218‘ 218 218

' 221 221 223: ‘ 226

'

Anillo de Grothendieck de Z

. Radical de Jacobson de un anillo' . - _ ~ Radical de Jacobson ' Grupo de unidades. Anillos locales Anillo local

199 1.99 200 201 202 202 203 206

.219 219. 219 220

Anillo de division ‘

’ - Grupo de unidades

198 _

,218‘

Elemento idempotente

Dominic dé ‘integridad [Eleme nto inversible

Cuat erniones

194 195 196 197

‘ -

Anillo de gérmenes. de funciones continuas

229

2.30 , 232 233 234 .238

CAPITULOIV-ANILLOS DE COCIENTES DE UN AN,ILLO CONMUTATIVO ,

Monoide é ideales primes

239

Ideal primo Ideal irreducible

240 243

Anillo de cocientes con respecto- a un submonoide

244

Anillo total. de 'cocientes

248

Localizacién en el (ideal) primo P

254

‘ '

CAPITULO V - E NTE F OS P -ADIC OS Entero p-adico Anillo de enteros p-adicos Cuerpo p-adico

.

{ '

.

.

258 263264

Inmersién de Z , 2“» y Q en QP

265

Valuaciones p-adicas Valuacién sobre K Valuacién no-arquimediana Valuacidn p-adica de Qp Valuacién p-adica de Q

267 267 268 269 269

Cuerpo completo Completacién p-adica

_

. -

271 275

APENDICE -DEFINICION DE R-MODULO

277

BIBLIOGRAFIA

279

‘

_ i

—

7 " ‘ _~. 'eUIis-O'SI»? ‘SEM-INAR,IOIS."5I)‘E_f; “TE-g“;\

', a

l

Fasciculo

1..

' Fasciculo

2.

- . .

l ‘.

Matemética. y _fisica cuéntica . . . . . Condiciones de continuidad de ope-

radores potenciales y de Hilbert . . .

"

VFasciculo

3.‘

Integrales singulares y‘sus aplicaciones a ecuaciones ‘diferenciales' hiper—

bélicas. Seminario dirigido por

Propiedades en el contorno de fun—3:,

Fasciculo» 4.

cionesanaliticas

Fasciculo ' 5.

, Fasciculo

6.

Teoria constructiva de funcianes . . .

7.

Nociones elemental'es sobre nL'Icleos singulares y sus.aplicacione5“_. .". . . .

Fasciculo A8.

lntraduccién' al estudio clel problema de Dirichlet

Fasciculo

Anélisis arménico en varias variables.

—1_ .

‘ ’v

9.

Teoria de los espacios HP . . . . . . . . r

Probabilidades y estaditsica . . . T. . .

Fasciculo i O.

Introduccién aula teoria de ,la repre-

'1 .Fasciculo l i.

sentacién de grupos . . . . . . . .._. . . . . 'i'gebra- lineal ,‘. .

Fasciculo- l2.

.. ..

. .

.

Fasciculo‘ T4,; ,' Representaciones de grupos compac._tos y funciones esféricas . . . . . . . . . .

Fasciculo ‘15. .Equipacién con espacios de Hilbert . 5Fasciculo> 16.. Grupos de Lie y grupos de transformaciones Tres teorema's sobre variedades dife-

J Fasciculo l7.

renciale‘s

triangulacién de conjuntos semianali—

'

ticos

‘

I

ICIIICIIII-IUII.C:I_"OIIII_

'Fasciculo l9.- __lntroducci6n.,a. la geometric diferencial de 'varie'dades diferenciables . . . Fa‘scicul'o 20._ _

.

-

,

7

V

,

Fasciculo 2]. Fascic‘ulo 22.

,

_

Alberto P.- emigrant” Alberto Gonzalez D my l

\Jean Pierre Kahane .Jean» Pierre Kahane. I

Juan Carlos 'Merlo

.7 Esteban Végi; ' Guido Weiss ..-~--4I Rogue Carranza .

Mischa Cotlar“ Jean Dieuclonné‘

Jean Dieudonne Mischa Cotlar Philippe Tondeur Juan Carlos Merlo

sobre el problema 'de la division y la

Fasciculo 18,. ‘

‘

Jan Mikusinskij f.

'nocién de medida

>

'

Una introduccién de la integralsin Ia

Fascicuio 'T3.

:,'

_

Mischa Cotlar

Algebras de convolucién de sucesio— nes, func"Io_nes y medidas sumables .

I ' Fasciculo

Laurent Schwartz

‘

S. 'Lojasieyvig -

-—

', L. A. Santa O

Interpolation, espacios de Lorentz y

. teorema de Marcinkiewicz . . . . . . . . .

.

Categorias'y Functores . . . . . . . . . . ‘Notas de‘ Algebra

. T. . .

....

pal-mac's: ‘ Facultéd de Ciencias Exactas y Naturales V Departamento de Biblioteca y Publicaciones Pen’l 272 - Ca‘silln de Carlee, I766 BueIIos Ail-es - Argentina . '

EveIIo T. 0k, anderv

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