Теория автоматического управления (с использованием MATLAB — SIMULINK). Практикум 9785811437719

Table of contents :
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.............3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
I. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
1. Временные характеристики динамических звеньев......4
1.1. Теоретические сведения..........4
1.2. Порядок выполнения работы......10
1.3. Содержание отчета......... 11
2. Определение частотных характеристик динамических звеньев 12
2.1. Теоретические сведения........12
2.2. Методический пример........16
2.3. Порядок выполнения работы......18
2.4. содержание отчета...........20
3. Анализ устойчивости систем с обратной связью....21
3.1. Теоретические сведения........21
3.2. Порядок выполнения работы......26
3.3. Содержание отчета......... 27
4. Анализ и синтез систем управления методом корневого годографа......... 29
4.1. Теоретические сведения........29
4.2. Порядок выполнения работы......34
4.3. Содержание отчета......... 35
5. Синтез корректирующего устройства........ 36
5.1. Теоретические сведения........36
5.2. Методический пример........39
5.3. Определение параметров передаточной функции корректирующего звена средствами MATLAB и SIMULINK.....43
5.4. Порядок выполнения работы......47
5.5. Содержание отчета......... 48
6. Исследование системы управления с ПИД регулятором...50
6.1. Теоретические сведения........50
6.2. Порядок выполнения работы......50
6.3. Содержание отчета......... 55
7. Модальный синтез системы управления........ 56
7.1. Теоретические сведения........56
7.2. Порядок выполнения работы......62
7.3. Содержание отчета......... 63
II. ПРАКТИЧЕСКИЕ СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1. Решение линейных дифференциальных уравнений...65
1.1. Основные положения.........65
1.2. Классический метод решения линейных дифференциальных уравнений....... 65
1.3. Задачи для решения линейных дифференциальных уравнений....... 69
2. Преобразование Лапласа и получение динамических характеристик объектов и систем....... 71
2.1. Основные положения......... 71
2.2. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью преобразования лапласа......71
2.3. Определение передаточной функции объекта и его временных характеристик......75
2.4. Задачи на решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа......76
2.5. Задачи определения временных характеристик объекта...... 77
2.6. Задачи определения передаточной функции объекта..... 78
3. Определение передаточных функций блочных и графовых структурных схем.......79
3.1. Основные положения......... 79
3.2. Передаточные функции блочных структурных схем...79
3.3. Передаточные функции графовых структурных сх ем ....86
3.4. Задачи определения передаточных функций.... 88
4. Преобразование фурье и частотные характеристики объектов и систем...........91
4.1. Основные положения.........91
4.2. Получение и построение частотных характеристик...92
4.3. Задачи получения и построения частотных характеристик 93
5. Анализ динамических систем в пространстве состояний...95
5.1. Основные положения.........95
5.2. Дифференциальные уравнения состояния......96
5.3. Анализ моделей в пространстве состояния.....97
5.4. Связь передаточной функции с уравнениями состояния......101
5.5. Определение управляемости и наблюдаемости....103
5.6. Задачи определения передаточных функций и дифференциальных уравнений состояния...... 105
5.7. Задачи оценки управляемости и наблюдаемости объектов 107
6. Анализ качества динамических систем....... 109
6.1. Основные положения.......109
6.2. Показатели качества переходного процесса..... 109
6.3. Корневые оценки качества......... 111
6.4. Задачи анализа установившегося режима........113
6.5. Задачи анализа переходных процессов..... 115
7. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов 117
7.1. Основные положения.......117
7.2. Аналитическое и схемное решение задачи АКОР......117
7.3. Методический пример......... 119
7.4. Задачи АКОР.......... 123
III. ТЕСТЫ............ 125
Ответы.........137
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
I. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
8. Исследование процессов квантования в цифровых системах 138
8.1. Методические указания......... 138
8.2. Порядок выполнения работы........139
8.3. Содержание отчета........... 141
9. Модели цифровых систем управления........143
9.1. Методические указания......... 143
9.2. Задание на лабораторную работу.........151
9.3. Содержание отчета........... 152
10. Определение оптимальных параметров дискретных ПИД регуляторов.......... 153
10.1. Методические указания........153
10.2. Методические примеры........155
10.3. Порядок выполнения работы...... 158
10.4. Содержание отчета..........158
11. Изучение типичных нелинейностей........159
11.1. Методические указания........159
11.2. Моделирование нелинейных элементов.......161
11.3. Порядок выполнения работы...... 170
11.4. Содержание отчета..........170
12. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости....172
12.1. Методические указания........172
12.2. Задание для лабораторной работы........ 173
12.3. Использование пакета MATLAB....... 173
12.4. Порядок выполнения работы...... 182
12.5. Содержание отчета..........183
13. Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса...........184
13.1. Методические указания........184
13.2. Задание на лабораторную работу....... 185
13.3. Моделирование нелинейной системы.......186
13.4. Порядок выполнения работы...... 202
13.5. Содержание отчета......... 202
14. Исследование релейной cap температуры......204
14.1. Принцип действия релейного регулятора...... 204
14.2. Анализ процессов в САР температуры с релейным регулятором..........205
14.3. Методические указания........207
14.4. Порядок выполнения работы...... 208
II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
8. Решение разностных уравнений...... 210
8.1. Основные положения.......210
8.2. Численный метод решения разностных уравнений......212
8.3. Аналитический метод решения разностных уравнений..... 213
8.4. Решение разностных уравнений с помощью ^-преобразования.......... 219
8.5. Задачи на решение разностных уравнений...... 222
9. Z-преобразование и дискретная передаточная функция...... 224
9.1. Основные положения.......224
9.2. Дискретная передаточная функция........ 224
9.3. Временные характеристики...... 227
9.4. Задачи представления дискретных систем...... 230
10. Представление дискретных динамических систем в пространстве состояний.........231
10.1. Основные положения........ 231
10.2. Задачи на дискретное представление в пространстве состояний.......234
11. Анализ устойчивости дискретных систем управления...... 235
11.1. Основные положения........ 235
11.2. Корневой критерий устойчивости........ 235
11.3. Алгебраические критерии устойчивости........238
11.4. Частотные критерии устойчивости......240
11.5. Задачи определения устойчивости д с у ........242
12. Построение фазовых портретов нелинейных систем...244
12.1. Основные положения........ 244
12.2. Задачи построения фазовых портретов систем.....245
13. Анализ устойчивости нелинейных систем...... 250
13.1. Основные положения........ 250
13.2. Первый метод Ляпунова...... 250
13.3. Задачи анализа устойчивости нелинейных систем первым методом Ляпунова......... 251
13.4. Второй метод Ляпунова........252
13.5. Задачи анализа устойчивости нелинейных систем вторым методом Ляпунова......... 254
13.6. Анализ абсолютной устойчивости........ 256
13.7. Задачи анализа абсолютной устойчивости..... 256
III. ТЕСТЫ............259
Ответы.........266
Приложение......... 267
Литература............ 274

Citation preview

Ю. И. КУДИНОВ, Ф. Ф. ПАЩЕНКО, А. Ю. КЕЛИНА

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATLAB - SIMULINK) ПРАКТИКУМ УЧЕБН О Е ПОСОБИЕ

h

ДАНЬ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР 2020

УДК 681.5 ББК 32.965я73 К 88

Кудинов Ю. И. Теория автоматического управления (с ис­ пользованием MATLAB — SIMULINK). Практикум : учебное посо­ бие / Ю. И. Кудинов, Ф. Ф. Пащенко, А. Ю. Келина. — СанктПетербург : Лань, 2020. — 280 с. — (Учебники для вузов. Специ­ альная литература). — Текст : непосредственный. ISBN 978-5-8114-3771-9 Практикум — это обязательное дополнение к учебному пособию «Теория автоматического управления (с использованием MATLAB — SIMULINK)». Он осуществляет методическую поддержку практических и лабораторных занятий с привлечением программных средств MATLAB — SIMULINK. Кроме того, практикум снабжен тестами, позволяющими закрепить знания теоретического материала по теории автоматического управления. Пособие предназначено для бакалавров, магистров и аспирантов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и физика» и «Управление в технических системах».

УДК 681.5 ББК 32.965я73

Обложка П. И. ПОЛЯКОВА

© Издательство «Лань», 2020 © Коллектив авторов, 2020 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2020

3

ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое вашему вниманию учебное пособие предназначено для практического освоения дисциплины «Теория автоматического управле­ ния (ТАУ)» с использованием программных продуктов MATLAB и SIMULINK. Практические навыки студентов приобретаются в ходе вы­ полнения лабораторных работ и практических занятий. Как в лабораторных работах, так и на практических занятиях слож­ ные и громоздкие вычисления, построение схем управления и графиков осуществляются с помощью программных продуктов, входящих в про­ граммные комплексы MATLAB и SIMULINK. Практикум состоит из двух частей и рассчитан на двухсеместровый курс ТАУ для бакалавров по направлению «Управление в технических системах». Практикум может быть использован также студентами дру­ гих направлений с аналогичными содержанием и длительностью курса ТАУ. В первой части пособия методические указания к семи лабораторным работам и семи практическим занятиям посвящены построению дина­ мических моделей, анализу устойчивости и качества непрерывных си­ стем управления, синтезу модальных и ПИД регуляторов, а также ана­ литическому конструированию оптимальных регуляторов. Во второй части приводятся методические указания к семи лабора­ торным работам и шести практическим занятиям. В них, помимо анали­ за устойчивости и качества, в разделе линейных дискретных систем управления, рассматривается параметрический синтез дискретного ПИД регулятора методом Такахаши и модальный синтез, а в разделе нели­ нейных систем управления — синтез релейной системы управления. В конце каждой части практикума помещены тестовые задачи, по­ зволяющие закрепить теоретические знания по соответствующим темам курса ТАУ. В книге использованы научные результаты работ по синтезу систем управлению, выполненных по гранту РНФ (проект № 14-19-01772).

4

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ I. Лабораторные работы 1. Временные характеристики динамических звеньев Ц ель раб о т ы : приобретение практических навыков, необходимых при исследовании динамических характеристик, а также закрепление теоретических знаний по переходным процессам в звеньях систем регу­ лирования.

1.1. Теоретические сведения 1.1.1. Д иф ференциальные уравнения и передат очные функции Рассмотрим динамическое звено или систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным дифференциальным уравне­ нием вида О.

dny(t) dn l y(t) + 0„_i ----- + ... + Oi d tn d f 1-1

dy(t) ... + OnZ/(t) = dt '

, dmu(t) . 2 Т 2)

y(t) = Knit)

W(s) = K

y ( t) = .К"! u(l)dx 0

W (s) = — s

■'a И и

Усилительное

Передаточная функция

’si

1

Дифференциальное уравнение

W(s) = K s

Ty(t) + y(t) = Ku(t)

T2* m +

T1

y{t) + y(t) = K u (t)

W(S) = ~~~~7 Ts + 1 W (s) = -------- —-------T /s2 + Tjg + 1

1.1.2. Временные характ ерист ики динамических звеньев Временная характеристика динамического звена представляет собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. Обычно выполняется анализ вы­ хода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и импульсную функцию (функция Дирака или 8-функция). Единичный скачок 1(£) определяется условиями

1 (0 4 °

[1

щш

при

!5 0 ’

t > 0.

Реакция звена или системы на единичный скачок называется пере­ ходной функцией звена или системы и обозначается как h(t). При нееди­ ничном ступенчатом воздействии u(t)=N 1(f), где N = const, в соответст­ вии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет y (t)= N h (t). Импульсная функция 5(f) определяется условиями:

6

ад J ” при , = 0’ [О

при t Ф 0.

Очевидно, что 8(t)=l'(t). Основное свойство дельта-функции 8((t)=h(t).

(1.3)

Запишем переходные функции звеньев, представленных в таблице 1.1. 1. Усилительное звено h(t) = К l(t). 2. Интегрирующее звено h(t) = К t l(t). 3. Дифференцирующее звено h(t) = K 8 (t). 4. Апериодическое звено 1-го порядка h(t) = K ( l - e ‘/T). 5. Апериодическое 2-го порядка h(t) = K ( 1 - - Л - е-*Ъ + ^ F e - ^ ) l ( t ) . Н ~ 1i

13 ~ 14

где Гм = 0.5(71 ± s j T f - A T i ) . Переходную функцию можно получить в виде аналитического выра­ жения, используя функцию dsolve, и виде графика переходного процесса в Simulink. Пример 1.1. Пусть на вход апериодического звена 1-го порядка 5y(t) + y(t) = 3 u ( t ) .

(1.4)

подается единичное ступенчатое воздействие u(t) = l(t). Определить аналитическое выражение переходной функции и ее график. Решение. Подставляя u(t) = l(i) в дифференциальное уравнение (1.4), получим

7

5y(t) + y(#) = 3 1 ( t ) . Тогда решением этого дифференциального уравнения в Matlab при ННУ, т. е. при г/(0) = О y=dsolve('5*Dy+y=3Yy(0)=0') будет аналитическое выражение переходной функции y=3-3*exp(-t/5) или h(t) = 3 (1 -e"t/5). (1.5) Формулу импульсной переходной функции можно найти из соотно­ шения (1.3), вычислив производную от формулы (1.5) w ( t ) = h ( t ) = 3 /5 е “/б.

(1.6)

На основании дифференциального уравнения (1.4) или выражения весовой функции (1.6), используя преобразование Лапласа, найдем пере­ даточную функцию звена W(s) = L H t)] = g A _ - .

(1.7)

График переходной функции можно построить с помощью программ Simulink и Matlab, а также по формуле (1.7). Для построения в Simulink графика переходной функции составим схему моделирования, изобра­ женную на рисунке 1.1а.

а

Рис. 1.1

8

Для этого в окне Matlab нажатием кнопки Simulink Library вызовите Simulink, выполните команды File, New, Model и откройте окно Untitled. В него из разделов библиотеки Simulink перетащите следующие элемен­ ты: из раздела Sources (источники) блок Step, вырабатывающий ступен­ чатое воздействие, из раздела Continuous (непрерывный) блок Transfer Fen, формирующий передаточную функцию, и из раздела Sinks (измери­ тели) блок Scope вывода графиков на экран. Соедините эти блоки соглас­ но рисунку 1.1а. Двойным щелчком на блоке Step откройте его окно и сделайте следующие установки: • Step time (время возникновения ступенчатого воздействия): 1; • Initial value (величина скачка в момент времени t = 0): 0; • Final value (конечная величина скачка): 1; • Sample time (время дискретизации): 0. Нажмите кнопку ОК. Двойным щелчком на блоке Transfer Fen откройте его окно и введите Numerator coefficients (коэффициент числителя): [3] и Denominator coefficients (коэффициенты знаменателя): [5 1] и нажмите кнопку ОК. Нажмите кнопку Run, запустите схему моделирования и на осцилло­ графе Scope получите график переходной функции (рис. 1.1 б). Единичная импульсная функция не может быть точно реализована, поэтому она воспроизводится приближенно с помощью двух блоков Step, имеющих равные амплитуды 100, причем один сигнал запаздывает на время равное 0.01 с относительно другого (параметры блоков приведены в окнах на рисунке 2.4). Затем сигналы суммируются в блоке суммиро­ вания Sum с противоположными знаками и на выходе получаем импульс длительностью 0.01 с и амплитудой 100, который приближенно модели­ рует функцию Д(£), площадь которой равна 1. Таким образом, в окнах блоков Step и S tepl делаются следующие ус­ тановки: Step Stepl Step time: 1 1.01 Initial value: 0 0 Final value: 100 100 Схема модели импульсной функции изображена на рисунке 1.2а, а гра­ фик импульсной переходной или весовой функции — на рисунке 1.26. Здесь импульсное входное воздействие реализуется на двух блоках Step и S tep l, а также блоке сравнения Sum, который выбирается из раз­ дела Math Operation. Аналогичные данные введите в блок Transfer Fen и нажмите кнопку ОК. Нажмите кнопку Run, запустите схему моделирования и на осцилло­ графе Scope получите график импульсной переходной функции (рис. 1.2 б).

9

н > Step

X

3

ь

5s+1 Transfer Fen

□ Scope

Stepl

a

Исследовать реакцию на типовые входные воздействия можно с по­ мощью команд Matlab, позволяющих получить переходную функцию step(W) и импульсную переходную функцию impulse(W) на основании передаточной функции элемента или системы W. Можно на одном графике получить реакцию сразу нескольких дина­ мических звеньев с передаточными функциями W, W1, W2, если исполь­ зовать команды step(W,W1,W2), impulse(W,W1 ,W2). В приведенных примерах время моделирования выбирается автома­ тически. При необходимости его можно явно указать в команде step(W,W1,W2,t), где t — время моделирования в секундах. Пример 1.3. Составить программу пр. 1.1 построения переходных функций и программу пр. 1.2 построения импульсных переходных функций апериодического звена первого порядка с передаточной функ­ цией W(s) =

3 CS + 1

при различных значениях параметра с = 3, 4, 5.

( 1 .8 )

10

(Пр. 1.1) W=tf([3].[3 1]); W1=tf([3],[4 1]); W2=tf([3],[5 1]); step(W,W1,W2.50) (Пр. 1.2) W=tf([3],[3 1]); W1=tf([3],[4 1]); W2=tf([3],[5 1]); impulse(W,W1,W2.50) Графики переходных A, hlt h2 и импульсных переходных w, wl9 w2 функций представлены на рисунках 1.3а и 1.36, соответственно.

Рис. 1.3

1.2. Порядок выполнения работы С помощью пакета MATLAB постройте реакцию на ступенчатое и импульсное входное воздействие каждого типового звена из табли­ цы 1.1, умноженных на с = 0 .1 , 0 .3 , 0.5 значений параметров К (звеньев 1-4) и Т, !Г1, Т2 (остальных звеньев) из таблицы 1.2. Напри­ мер, для варианта 2 с К = 1.4 постройте три временные характеристи­ ки (переходные функции или импульсные переходные функции) с ко­ эффициентами, равными К 1 = 0.1-.8Г = 0.14, К 2 — 0.3-.ЙГ = 0.42, К а = 0.5-JT = 0.7. Определите влияние указанных коэффициентов, входящих в описа­ ние каждого звена на параметры переходных процессов.

11

Таблица 1.2 ПарДВар.

1

2

3

4

5

6

7

8

К

1.2

1.4

1.6

1.8

2 .0

2.2

2.4

2.6

Т

2.1

2.2

2.3

2 .4

2.5

2 .6

2 .7

2 .8

г,

3.3

4 .4

5.5

6 .6

7.7

8 .8

9.9

11.0

Тг

1.5

2.0

2.5

3 .0

3.5

4 .0

4 .5

5.0

9

10

11

12

13

14

15

16

К

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3 .8

4 .0

4 .2

т

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

Г,

12.1

13.2

14.3

15.4

16.5

17.6

18.7

19.8

Т2

5.5

6 .0

6 .5

7.0

7.5

8 .0

8 .5

9.0

ПарДВар.

1.3. Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: • краткие теоретические сведения; • передаточные функции и схемы моделирования исследуемых звеньев; • экспериментально полученные характеристики при вариации параметров каждого звена; • выводы, обобщающие проделанные эксперименты по каждому звену.

Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение передаточной функции и найти ее выражение для объекта, описываемого дифференциальным уравнением при ННУ 2у + Зу + 4у = 2й + Зи . 2. Дайте определение переходной функции и с помощью SIMULINK получите график переходной функции объекта с передаточной функцией Щ з) = 2 /(s + 2). 3. Дайте определение импульсной переходной функции и с помощью MATLAB получите график импульсной переходной функции объекта с передаточной функцией W(s) = 3 /(s + 3). 4. Как связаны между собой передаточная, переходная и импульсная переходная функции звена?

12

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Ц ель работы: получение частотных характеристик типовых звеньев систем автоматического управления и определение их параметров по экспериментальным характеристикам.

2.1. Теоретические сведения 2.1.1. Частотные характ ерист ики динамических звеньев Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (синусои­ дальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция системы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свойствах. Пусть входной сигнал системы и имеет амплитуду Д , и частоту со, т. е. описывается формулой и = A osin(cot). Выходной сигнал будет иметь оду и ту ж е частоту со, амплитуду А у и отличаться от входного по фазе на величину фазового сдвига ф у = А у sin(cot + ф). Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде

Для каждой частоты входного сигнала со будут свои А и ф. Изменяя со в широком диапазоне, можно получить зависимость А(со) — амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ф(со) — фазо­ вую частотную характеристику (ФЧХ). Главное достоинство метода ча­ стотных характеристик заключается в том, что АЧХ и ФЧХ объекта мо­ гут быть получены экспериментально. Для этого необходимо иметь гене­ ратор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измерительную аппаратуру для измерения амплитуды и фа­ зового сдвига колебаний на выходе объекта. Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ Ж(э). Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида [1] Щ усо)= А /“ .

13

Тогда выходной сигнал YO'rn) = А у(со)е№+ф)=lT (где К — коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФХ в начале координат при ш —>°° (рис. 3.16).

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так: 1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, не­ обходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при измене­ нии частоты соот Одо не охватывала точку с координатами -1 ,/0 . 2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функ­ ция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от го от — 1. По­ этому для анализа устойчивости можно использовать не АФХ, а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем). Система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает -я . Соответственно для ус­ тойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе — расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня - я , и

24

запас устойчивости по амплитуде — расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной -к . Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу Гур­ вица и найдите ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных детер­ минантов. Пример 3.1. В пр. 3.1, 3.2 определим детерминанты заданных раз­ ным способом матриц А и А1: (Пр. 3.1) А=[1 14 18;2 5 2;3 4 3] А= 1 14 18 25 2 34 3 det(A) a n s=-119 (Пр. 3.2) А1=А(1:2.1:2) А1 = 1 14 2 5 det(A1) ans = -23 Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно выяс­ нить, является ли устойчивой разомкнутая система. Пример 3.2. Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы w f s) - _________ 2 s + 1_________

К}

2s4 + 3 s3 + 2 s2 + 3s + V

на основании которой составим пр. 3.3, определяющую реакцию на ска­ чок (рис. 3.2). (Пр. 3.3) W=tf([2 1],[2 3 2 3 1]); step(W) Разомкнутая система неустойчива, тогда, согласно критерию Найк­ виста, надо, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку -1 , /О столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФХ нужно вызвать команду nyquist и составить пр. 3.4

25

(Пр. 3.4) W=tf([2 1],[2 3 2 3 1]); nyquist(W) и получить на рисунке 3.3 диаграмму Найквиста. Step Response

Time (seconds)

Рис. 3.2 Nyquist Diagram

Рис. 3.3

Как показывает рисунок 3.3, АФХ ни разу не охватывает точку - 1 ,/0 , поэтому замкнутая система будет устойчивой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы: замкнутая минимально-фазовая система устойчива, если при достижении ЛФЧХ значения -л ЛАЧХ бу­ дет отрицательной. Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости си­ стемы по амплитуде и по фазе с помощью команды margin(W) програм­ мы пр. 3.5. (Пр. 3.5) W=tf([10],[2 2 31]); margin(W) Соответствующий график показан на рисунке 3.4.

26

Bode Diagram Gm = -14 dB (at 1.22 rad/s), An = -52 deg (at 1.89 rad/s)

Frequency (rad/s)

Рис. 3.4

3.2. Порядок выполнения работы Исследуйте устойчивость замкнутой САУ по заданной передаточной функции разомкнутой системы. По номеру студента в списке группы в строке «№ с/г» таблицы 3.1 выбирается соответствующий номер варианта Таблица 3.1 № с/г № вар.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 1

12 2

13 3

14 4

15 5

задания таблицы 3.2, приведенного в строке «№ вар.» таблицы 3.1. Таблица 3.2 Ва рианты заданий №

Передаточная функция разомкнутой системы

1 W (s) = -------------- --------------s4 + 5s3 + 5s2 + 3s + 1 2 W (s) = ----------------- -----------------0 ,0 5 s4 + 0,1s8 + s 2 + s + l 3 W (s) --------------- -------------0,1s3 + 0,1s2 + s + 1 4 W (s)

100 = ----------------------------

5s4 + 0, Is3 + 2s2 + 2s + 1

27

Окончание табл. 3.2 №

Передаточная функция разомкнутой системы

5 W (s) = ----------- -----------8s3 + 4 s2 + 2s + 1 6 Ж (8) = -----------------—-----------------

s5 + 3s4 + 2s8 + 2s2 + s + 1 7 W (s) = ---------------- ----------------0.1s8 + 0.01s2 + 0.1s + 1 8 Щ з) = --------- —--------2s3 + 2s2 + s + 1 9 W (s) = ------------- -------------s3 + 0.1s2 + 0.1s + 1 10 W (s) = --------------------- —--------------------2s5 + 3s4 + 3s3 + 0 .5 s2 + 0.5 s + 1 11 W (s) = ---------- —---------3s8 + 4 s2 + 5s + 1 12 Щ з) = ---------------- ----------------0.1s3 + 0 .02s2 + 0.3s + 1 13 W (s) = ----------------—---------------2s4 + 0.3s3 + 4s2 + 5s + 1 14 W(s) = ------------- -------------0 .3 s3 + 0.2 s2 + s + l 15 W (s) = ----------- -----------6s8 + 3s2 + 2s + 1

3.3. Содержание отчета Отчет должен содержать: • краткие теоретические сведения; • переходную функцию разомкнутой системы; • расчет передаточной функции замкнутой системы; • расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну­ той системы по алгебраическому критерию Гурвица; • годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании кото­ рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы; • переходную функцию замкнутой системы; • проверку полученных результатов путем компьютерного моде­ лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой системы в MATLAB SIMULINK; • выводы по всем полученным результатам.

28

Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение устойчивости линейной системы. 2. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости Гурвица и с помощью MATLAB по критерию Гурвица определите устойчивость си­ стемы с характеристическим уравнением A(s) = 4s3 + 3s2 + 2s + 1. 3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы и с помощью MATLAB определите устойчивость си­ стемы с передаточной функцией W(s) = (3s + l)/(4 s 3 + 3s2 + 2s1+ 1). 4. Сформулируйте частотный критерий устойчивости Михайлова и с помощью MATLAB определите устойчивость системы по ее характери­ стическому уравнению A(s) = 3s3 - 2s2 + 4s + 5. 5. Сформулируйте критерий Найквиста и определите с помощью MATLAB устойчивость замкнутой системы, если характеристиче­ ское уравнение соответствующей разомкнутой системы имеет вид A (s) = 2s3 + 3 s2 + 4s + 5.

29

4. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА Ц ель раб от ы : научиться применять метод корневого годографа для анализа и синтеза САУ.

4.1. Теоретические сведения Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекторий пе­ ремещения всех корней характеристического уравнения замкнутой си­ стемы при изменении какого-либо параметра этой системы. Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при из­ менении коэффициента усиления разомкнутой системы К . ПФ разомкнутой системы VTJs) представим в следующем виде: т

к ст * -ъ ) WpC(s) =

(4.1) n (s -P i) 1=1

где Zj — нули ПФ W ^s), ( у = 1, т ); pt — полюса ПФ W ^s), ( i - l , n ); п и т — порядки знаменателя и числителя; С — коэффициент представле­ ния (отношение коэффициентов при старших членах числителя и знаме­ нателя). Коэффициент представления С вычисляется по формуле 7П

П т,

)=1 п

П Tl 1=1

При замыкании системы с ПФ W ^s) единичной отрицательной об­ ратной связью ПФ замкнутой системы W(s) принимает вид (4.2) Из выражения (4.2) следует, что нули ПФ замкнутой системы равны нулям ПФ разомкнутой системы. Для нахождения полюсов рассмотрим выражение

30

l+ W „ (e ) -0 , в соответствии с выражением (4.1) имеем

(4.3)

КСП ( s - zj) + 1 = 0 ^ П (5 - P l) + K C m s - Z j ) . (4.4) IK'S- Pi) и м i=1 На основании выражения (4.4) можно сказать, что при К = 0 корни характеристического уравнения совпадают с полюсами, а при К = °° — с нулями. При изменении К от 0 до °° траектории корней начинаются в полюсах и заканчиваются в нулях. Обычно полюсов больше, чем нулей. В этом случае п —т ветвей КГ стремятся к °°. Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной об­ ратной связью необходимо решить уравнение (его называют основным уравнением метода КГ) W J s ) = - 1. (4.5) Так как W ^s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение (4.5) распадается на два уравнения: уравнение модулей |W > )| = 1

(4.6)

и уравнение аргументов (фаза вектора - 1 есть нечетное число л): argW ^s) = ±(2v + 1)л, v = 0, 1, 2 ,... (4.7) Как известно, при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а при делении — вычитаются. Поэтому, исходя из выра­ жения (4.1), уравнение (4.7) имеет наглядный геометрический смысл. Пусть точка р — полюс замкнутой системы. Если провести в s векто­ ра из всех нулей W ^s) (обозначим аргументы этих векторов 6 4ас) К s(as2 +bs + c) 4)

А s(s + d)(s + e)

А s

В С . s+d s+e’

комплексные корни выражения второго порядка (& 2 < 4ос) К _ А | Bs + С s(as2 +bs + c) s as2 +bs + c '

Тогда согласно правилу 2) функцию Y(s) можно записать как Y(s) = ^ - + - ^ - + - ^ - . (2.4) s+1 s+2 s+3 Приведем к общему знаменателю выражения в правой части (2.4) (SJ

(А + В + C)s2 + (5А + 4Bs + 3C)s + 6 А + ЗВ + 2С (s + l)(s + 2)(s + 3)

Приравнивая к 1 и 0 группы выражений, не содержащих и содержа­ щих множители з2и s , соответственно, получим систему уравнений отно­ сительно А, В, С 6А

+ ЗВ + 2С = 1, 5А + 4В +ЗС = О,

А + В + С = 0. Введем в рассмотрение матрицы Гб 3 21 Р = 5 4 3 , q = [1 0 О] 7 1

1

1

и матричное решение г = P\q, г = (л\, г2, г3), системы из трех уравнений с тремя неизвестными составим пр. 2 . 1 для вычисления неизвестных А = г1, В = гг, С = г3. (Пр. 2.1) Р = [ 6 3 2;5 4 3;1 1 1];

q=[1 0 0]'; r=P\q г = 0.5000 -

1.0000

0.5000 Отсюда находим А = 0.5, В = - 1 , С = 0.5 и подставляем в (2.4)

74

= - М ._ _ 1 _ + А 5 (2.5) s +1 s + 2 s + 3 Коэффициенты А, В, С в (2.5) легко получить в MATLAB, применяя в пр. 2 . 2 функцию residue к исходному многочлену l/( (s + 1 ) (s + 2 )(s + 3)) и разлагая его на элементарные члены У (8 )

Y(s)

= К + —3— + — 8 ~ Р2 8 ~ РЗ

+

Гз

S ~ Pi

(Пр. 2.2) num=[1]; den=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 3]); [r,p,k]=residue(num,den) г = 0.5000 р =-3.0000 1.0000 2.0000 0.5000 -1.0000 К=[] Подставляя в это выражение найденные в пр. 2.2 значения г, р и k, получим уравнение -

-

У(8) = -9 4 --- ^77+ 0-5 s+ 1 s+2 s+3 ’ аналогичное (2.5). (Пр. 2.3) syms s f= 1/((s+1)*(s+2)*(s+3)); yt=ilaplace(f) yt = exp(-t)/2-exp(-2*t)+exp(-3*t)/2 Шаг 3. Подвергнем выражение (2.5) обратному преобразованию Лап­ ласа и получим решение исходного дифференциального уравнения (2.3) y(t) = / Г ' т з ) ] = 0.5е{ - е* + 0 .5 е 3(. С помощью функции обратного преобразования Лапласа ilaplace, примененной непосредственно к выражению 1 /((s+ l)(s+ 2)(s+ 3)), в пр.2.3 можно также получить решение дифференциального уравнения (2.3). Пример 2.2. Найти решение дифференциального уравнения (2.3) z/(0 + 5z/(f) + 6 z/(f) = e-* с начальными условиями

т = - з , i/(0)=1, выполняя перечисленные выше шаги.

75

Решение. Запишем сначала изображения по Лапласу искомой функ­ ции y(t) и ее производных С Ш ) = Y(s), L{y(t)} = sY(s) - 1/( 0 ) = sY(s) - 1, £{y(f)} = s 2Y(s) - sy(0) - z/(0) = s 2Y(s) + 3s - 1. Шаг 1. Подвергнем преобразованию Лапласа левую и правую части дифференциального уравнения (2.3) при ненулевых начальных условиях + 5 sY(s) - 5z/(0) + 6 Y(s) = - ^ т • s+1 Подставим значения ненулевых начальных условий s 2Y ( s )

- st/(0) - т

s 2Y ( s )

- s + 3 + 5 sY (s)- 5 + 6 Y(s) =

.

и перенесем все элементы, не содержащие Y(s), в правую часть s 2Y(s) + 5 sY(s) + 6 Y(s) =

+ s +2.

Шаг 2. В левой части равенства выведем за скобки множитель Y(s) Y(s)(s 2 + 5s + 6 ) =

s+1

+ s +2,

поделим левую и правую часть преобразованного равенства на квадратный трехчлен и, определяя два корня, представим его в виде множителей YYs) - — _______ I_____ |___ s + 2 __ _________ 1 ________ |__ 1 _ s +1 s 2 + 5s + 6 s 2 + 5s + 6 (s + l)(s + 2)(s + 3) s + 3 Обратное преобразование Лапласа последнего уравнения дает реше­ ние y(t) = 0.5е' - е* + 0 .5 e3t+ e 3t = 0 .5 е ‘ - е"21 + 1.5е3'.

2.3. Определение передаточной функции объекта и его временных характеристик Пример 2.3. Задано дифференциальное уравнение объекта у + 4у + 4у = 2й + и

(2 . 6 )

при нулевых начальных условиях 2/( 0

) = 2/( 0 ) = и(0 ) = 0 .

Найти передаточную функцию этого объекта. Решение. Подвергнем преобразованию Лапласа левую и правую час­ ти дифференциального уравнения Y(s)s 2 + 3Y(s)s + 2Y(s) = 2C7(s)s + u(s). В левой части уравнения вынесем за знаки суммы Y(s), а в правой — U(s) Y(s)(s 2 + 3s + 2) = U(s)(2s + 1).

76

Поделим обе части уравнения сначала на C7(s), а затем на (s 2 + 3s + 2) и получим

Таким образом, передаточной функцией называется отношение вы­ ходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу и при нуле­ вых начальных условиях. Теперь определим временные характеристики объекта (переходную и весовую функции) по его ранее полученной передаточной функции (2.7). Начнем с переходной функции при = 1(£), преобразуя по Ла­ пласу единичный ступенчатый вход

h(t) u(t)

£(u(t)) = £{!(()} и определяя его изображение

U(s) =- •

S

Подставим выражение (2.8) в формулу (2.7) и получим изображение Y (s ) =

2 s + 1___ s 3 + 3s 2 + 2s *

w h,

u(s)

Подвергнем его обратному преобразованию Лапласа (пр. 2.4), нахо­ дим аналитическое выражение переходной функции а при = 1 — выражение импульсной переходной функции (пр. 2.5). (Пр. 2.4) syms s f=(2*s+1 )/(sA3+3*sA2+2*s); h=ilaplace(f) h=exp(-t)-(3*exp(-2*t))/2+1/2 (Пр. 2.5) f=(2*s+1 )/(sA2+3*s+2); w=ilaplace(f) w=3*exp(-2*t)-exp(-t) Из сравнения ответов видно, что

w

равен производной от

h.

2.4. Задачи на решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа Операторным методом и с помощью MATLAB найдите решения урав­ нений и постройте их графики. 1. y + 4y + Sy при 1/(0 ) = 1, у(0) = 2 . 2 . 3у + 24у + 96у = 0 при у( 0 ) = 0 , у{ 0 ) = 0 .

=5t

77

3. у + 7 у + 12у = 5e~3t при у(0) = 3, у(0) = 5, у(0) = - 6 0 . 4. у + Ъу + 2у = 0 при у(0) = 2, у(0) = - 1 . 5. у + Чу + 10у = 5e"2t при у(0) = 1, у(0) = - 1 . 6 . у + 1 0 у + 16у = 4cos3t при у( 0 ) = 0 , у( 0 ) = 1 . 7. у + Ъу + 6 у = 3e 4t при у(0) = 1, у(0) = 2 . 8 . у - у - 6 у = 2 при у( 0 ) = 1 , у( 0 ) = 0 . 9. у - 9у = 2 - 1 при у(0) = 0, у(0) = 1 . 1 0 . у - 4 y = 4t при у( 0 ) = 1 , 1/( 0 ) = 0 . 1 1 . у + 4у - 2 cos 2 t при у( 0 ) = 0 , у( 0 ) = 4 . 12

. у + 4у + 4у = ег* при у( 0 ) =

1,

у( 0 ) =

2

.

13. у + 6у + 5у = sin 2# при у(0) = 1, у(0) = 0 . 14. у + у = е~* + 2 при 1/(0 ) = 0, у(0) = 1. 15. у + 6 у + 13у = 0 при у(0) = 2, у(0) = 1 .

2.5. Задачи определения временных характеристик объекта Используя операторный метод и MATLAB, при нулевых начальных условиях определите выражения и постройте графики переходной (при u(t) = 1) и импульсной (при u(t) = A(t)) функций для следующих диффе­ ренциальных уравнений: 1. у + 2у + 2у = 3u (t). 2. у - у - б у

=

2u ( t) .

3. у + у - б у = 4u(t). 4. y + 5 y + 6 y = 2u(t) . 5. y - 4 y + 4y = l,5u(t) . 6 . у + 3у + 2у = 3u( t) . 7. у + 4у + 4у = 2,5u(t). 8

. у + 7у + 12у = 3,5u(t) .

9. у + у - 12у = 4,5u(t) . 10 . y - y - 1 2 y = u(t). 11 . y + 4 y + 3y = \, bu( t) . 1 2 . у - 2 у - 8 у = 2,5u(t) . 13. у - 6 у + 8у = 3u(t) . 14. у + 2у - 8 у = 2,5u(t) . 15. у - 2 у - Q y = 3,5u(t) .

78

2.6. Задачи определения передаточной функции объекта По дифференциальному уравнению объекта определите его переда­ точную функцию. 1 . у + 6у + у = Ъи (дополнительно определите полюса). 2. у + 7 у - 5 у = й + 5и (дополнительно определите полюса и нули). 3. у + 6у + 3у = 5и (дополнительно определите полюса). 4. у + 2у + у = 2й + Зй + и (дополнительно определите полюса и нули). 5. у + 0,4у + 0,6у = 0 , 2 й + 0 , 8 и (дополнительно определить полюса и нули). 6 . 0,4у + 7у + 2у = 0 , 8 и (дополнительно определите полюса). 7. 6 у + 7,4у + 0,8у = 0 ,lit + 0,6ы + 2ы (дополнительно определите по­ люса и нули). 8 . 2у + 4 у + 2у + 4у - и (дополнительно определите полюса). 9. 2у + 5 у + 3у = 6й + 2й + и (дополнительно определить полюса и ну­ ли). 1 0 . Зу + 6у + +2 у + 4у = 2й + 3й + и (дополнительно определите полюса и нули). Известна передаточная функция объекта, определить корни характе­ ристического уравнения и записать его дифференциальное уравнение при ННУ. 11. W(s) = (10s + l) /( s 2 + 3s - 1). 12. W(s) = (0.3s + l)/(4 s 3 + 6 s 2 + 2.1s + 1.2). 13. W(s) = 4 /(6 s 3 + 4s 2 + 2). 14. W(s) = (3s + 2)/(3s 3 + 2s 2 + s + 5). 15. W(s) = (s 2 + 4s + 4)/(s 3 + 3s 2 + 3s + 1).

79

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ БЛОЧНЫХ И ГРАФОВЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ 3.1. Основные положения Различают два типа структурных схем систем автоматического управления [2,4]: Блочные структурные схемы, в которых элементы автоматики обо­ значаются прямоугольниками — блоками, содержащими соответствую­ щие обозначения передаточных функций, а направленные воздействия или связи между блоками обозначаются стрелками. Графовые структурные схемы или сигнальные графы, или графы Мейсона, в которых передаточные функции элементов автоматики обо­ значаются стрелками, а воздействия — точками, именуемыми узлами графа или вершинами дуг графа.

3.2. Передаточные функции блочных структурных схем Начнем с определения передаточных функций последовательного (рис. 3.1а) и параллельного (рис. 3.16) соединений двух звеньев с переда­ точными функциями W^s) и W^s). Передаточная функция соединений, имеющих вход U(s) и выход Y(s), определяется по формуле W(s) = Y(s) / Ща).

Для последовательного соединения (рис. 3.1а), умножая на Yt(s) чис­ литель и знаменатель отношения Y(s)/C7(s) можно записать TY(s) =

Y ( s ) _ Y 1(s) Y(s) U(s) U(s) Y.is)

В соответствии с рисунком 3.1а имеем

Y (5 ) ч = Wi(s), U(s)

тогда выражение (3.1) можно переписать так Ж(8 ) = Щ 8 ) Щ 8).

Рис. 3.1

(3.1) YYs) = W2 ( s ) , Y1(s) (3 . 2)

80

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. В выражение Y(s)/Z7(s) согласно рисунку 3.16 вместо Y(s) подставим ЭД +ВД Щ в )= ш ± ? т =Ш

+Ш

= Щ (3 ) + w 2(a ).

(3.3)

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна ал­ гебраической сумме передаточных функций этих звеньев. Пример 3.1. Даны передаточные первого W^s) = 2 /(s + 2) и второго T Y 2( s ) = 3/(s +3) звеньев. Определить передаточные функции последова­ тельного и параллельного соединений двух звеньев. Решение. Найдем в MATLAB передаточную функцию последователь­ ного соединения двух звеньев (3.2) с помощью пр. 3.1 и параллельного соединения двух звеньев (3.3) с помощью пр. 3.2. (Пр. 3.1) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=W1*W2 Transfer function:

6 sA2 + 5s + 6 (Пр. 3.2) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=W1+W2 Transfer funtion: 5s+ 12 sA2 + 5s + 6 Аналогичные результаты можно получить, если при последователь­ ном соединении звеньев с передаточными функциями TY^s) и TY2(s) ис­ пользовать функцию series в пр. 3.3, а при параллельном-функцию parallel в пр. 3.4 (Пр. 3.3) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=series(W1,W2)

81

а

б Рис. 3.2

(Пр. 3.4) W1=tf(2,[1.2]); W 2=tf(3,[1.3]); W=parallel(W1 ,W2)

Выведем передаточные функции соединений с положительной (рис. 3.2а) и отрицательной (рис. 3.2 б) обратными связями. Запишем общие соотношения для элементов сравнения U ( s ) ± W 2( s ) Y ( s ) = E ( s ) (3.4) и прямой связи Y(s) = W 1(s)E(s). (3.5) Найдем выражение для E(s) из (3.5) E(s) = Y ( s ) / W 1(s) и подставим его в (3.4) C7(s) ± W 2( s ) Y ( s ) = Y(s)/W 1(s). (3.6) Перенесем ± W 2(s) Y(s) в правую часть (3.6) U ( s ) = Y ( s ) / W 1( s ) + W 2( s ) Y ( s )

и вынесем за скобки Y(s) в выражении правой части U(s) = Y(s) [ l / W ^ + W^s)]. После приведения к общему знаменателю выражения в квадратных скобках Х2(К,хг) =

~ 6^

++ 22 0

(3.7)

делим левую и правую части (3.7) на U(s) и выражение в квадратных скобках, в результате получим передаточные функции соединения с по­ ложительной

Ш 8) - Ж - ___ _______ ( '

U(S)

1 - ^ ( 8 ) . Ж 2 (8)

(38) ( * }

и отрицательной W(c) - Y(S) Щ(8) ( ) C7(s) 1 + W1( s ) W 2(s) обратными связями.

(3 9) (> )

82

Теперь рассмотрим более распространенный случай замкнутой сис­ темы (рис. 3.3) с единичной отрицательной обратной связью и дейст­ вующим на выход Y\(s) возмущением F(s). Основные соотношения в изо­ бражениях по Лапласу будут иметь вид E(s) = U( s )- Y ( s ), (3.10) (3.11) Y ( s ) = W 1( s ) E ( s ) + W 2( s ) V ( s ). Из формулы (3.10) и (3.11) при F(s) = 0 имеем y(s) = TF1( s ) ( [/(s ) -y ( s )) , откуда W(s) =

1

TFi(s) + Wi(s) *

(3.12)

Выражение (3.12) называется главной передаточной функцией замк­ нутой системы. Найдем передаточную функцию замкнутой системы на рисунке 3.3 для ошибки при v(t) = 0 W (s) = WeW U(s) ’ Из формулы (3.10) и (3.11) получаем w (с) _ U(s) - У(з) _ U(s) - W ^ E j s ) _ U(s) U(s)

1

W M W M

,

откуда We(s) =

------.

l + TF^s)

(3.13)

1 } Передаточная функция замкнутой системы по возмущению F(s) (при u(t) = 0 ) запишется как

Из формул (3.10) и (3.11) при U(s) = 0 имеем

y(s) = - ^ s ) y ( s ) + TF2(s)F(s), откуда Wv(s) =

W2(a)V(a)

1 + Wi(s) *

83

Для замкнутой системы в целом находим Y( s ) =

+

F( s ) = w ' (s)C/(s)+ w v ( № •

Пример 3.2. Используя передаточные функции первого W\(s) и второ­ го Ж 2(з) звеньев из примера 3.1, определить передаточные функции со­ единений с положительной отрицательной и единичной отрицательной обратными связями. Решение. Используя различные модификации функции feedback, найдем в MATLAB передаточные функции соединений с положительной обратной связью (3.8) в пр. 3.5 отрицательной обратной связью (3.9) в пр. 3.6 и единичной отрицательной обратной связью (3.10) в пр. 3.7. (Пр. 3.5) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feedback(W1 ,W2,+1) Transfer function: 2s+ 6

sA2 + 5s (Пр. 3.6) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feedback(W1 ,W2) Transfer function: 2s+ 6

sA2 + 5s + 12 (Пр. 3.7) W1=tf(2,[1.2]); W2=tf(3,[1.3]); W=feed back(W 1*W2,+1) Transfer function:

6 sA2 + 5 s + 12 Для нахождения передаточных функций сложных структурных схем осуществляются их эквивалентные преобразования, приведенные в таб­ лице 3.1.

84

Таблица 3.1 № 1.

2.

3.

5.

П р е об р а зов а ни е

И с х о д н а я схе м а

Перенос сумма­ тора через блок по ходу движе­ ния сигнала

Э к в и в а л е н т н а я схе м а

X

W

Хъ

Х2

Перенос сумма­ тора через блок против движения сигнала

Хг

W

X

Хъ

W

W

х2

1

Хъ с Хг

W

Ал

Перенос узла через блок по ходу движения сигнала

X,

Х2

W

Х2

W

Ал

Перенос узла через блок про­ тив движения сигнала

X±

Исклю чение контура с обрат­ ной связью

Л +

Х г_

W

Хг_

и

W

Х2

W

Хг

W

Xi

Х2

w

Х2

1+ WV

Xi

Перенос узла через сумматор вперед

X,

Перенос узла через сумматор назад

Ал

Хъ

X,

Хъ Х\

Хъ

+

+

+ z

Хъ 8.

Х2

Перенос узла обратной связи через сумматор по ходу движе­ ния сигнала

W

X i A t Х3

W

Q =1+ VW Перенос узла обратной связи через сумматор против движения сигнала

Х2 Ал

W

Хъ W

Q

=

1 1 + VW

85

Пример 3.3. Преобразуем структурную схему на рисунке 3.4, содер2

жащую сумматоры С19 С2 и блоки W^s) = 3s, W^s) = g +

1

Wg(s) = — , и

определим с помощью таблицы 3.1 и MATLAB ее передаточную функ­ цию W(s) = Y(s)/U(s). Решение. В данном примере выполним следующие действия: 1. Определяем в MATLAB все передаточные функции W 19 W 2, W 3. С,

С2

Рис. 3.4

2. Переносим узел у 1через блок W s в направлении, противоположном движению сигнала (рис. 3.5).

Рис. 3.5

3. Определяем передаточную функцию системы s i с отрицательной обратной связью W^s) у ,.,81

Ш 1 ’1

+ W 2 s(’

передаточную функцию системы s 2 с единичной отрицательной обратной связью Ws2(s) =

W AsW^s) 1 + Wsl(s)W1(s)

и передаточную функцию всей системы W(s) = W s2( s ) W 3(s) =

W1(s)W2(s)W3(s) (проверьте). l + W1 (s)W2 (s) + W2 (s)W3 (s)

Указанные действия реализованы в программах MATLAB пр. 3.8а, б.

(Пр. 3.8а) wi=tf([3 0],[1]);

W2=tf([2],[1 1]) W3=tf([1],[2 0])

86

Ws1=feedback(W2,W3); Ws2=feedback(Ws1 *W1 ,+1); W0=series(Ws1 ,Ws2); W=simplify(WO) transfer function: 48sA3 28sA4+32sA3+36sA2+8s+4 (Пр. 3.86) syms s W1=3*s; W2=2/(s+1); W3=1/(2*s); Ws1 =W2/(1 +W2*W3); Ws2=Ws1*W1/(1 +Ws1*W1); W0=Ws1*Ws2; W=simplify(WO) W= (12*sA3)/(7*sA4 + 8*sA3 + 9*sA2 + 2*s + 1) Здесь используется функция sim plify для упрощения выражений числителя и знаменателя передаточной функции W0.

3 .Передаточные функции графовых структурных схем Второй способ получения ПФ многоконтурной системы заключается в использовании модели системы в виде сигнального графа или графа Мейсона. Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей. Ветвь соответствует блоку структурной схемы и отражает зависи­ мость между входной и выходной переменными или передаточную функцию. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответст­ вующую этому узлу переменную. Последовательность ветвей между двумя узлами называется путем. Контуром называется замкнутый путь, на всех участках которого сигналы направлены в одну сторону (по часовой стрелке или против) и который начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не встречается на этом пути дважды.

87

Коэффициент передачи или ПФ контура — это произведение всех входящих в него дуг или передаточная функция. Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих уз­ лов. Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме. Пусть Z7(s) и Y(s) — входная и выходная переменные системы. Тогда для вычисления передаточной функции системы управления по ее графу можно воспользоваться формулой Мейсона [2]: N

где Pt— i-й путь от входа к выходу; N — количество путей; А — опреде­ литель графа; А. — дополнительный множитель для i-ro пути. Определитель графа получается по формуле: К

M ,Q

д =1 - £ l * + £ fc=l

R,S,L

ЦпЦ, -

£

4 Л А + ...,

r=l,s=l,l=l

m=l,q=l

К

где ^ L k — сумма передаточных функций всех К отдельных контуров; k=i M ,Q

LmLq — сумма произведений всех возможных комбинаций из двух LrLsLi — сумма произведений всех возr=i,s=i,i=i можных комбинаций из трех не касающихся контуров. Дополнительный множитель для i-ro пути Дг равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути. Пример 3.4. С использованием формулы Мейсона получим переда­ точную функцию многоконтурной системы для структуры рис. 3.4, ко­ торой соответствует граф, показанный на рисунке 3.6. некасающихся контуров;

и

Y

Рис. 3.6

Решение. От входа к выходу ведет один путь P^WJLaWHaWAa). Граф содержит два контура L^-W ^sW A s), L2 = - W 2(s )W3(s).

88

Контур Lj касается контура L2, поэтому определитель графа вычисля­ ется по формуле A = 1 - ( L 1 + L 2) = 1 + W . i s W A s ) + W 2( S ) W 3(S).

Все контуры касаются пути, поэтому дополнительный множитель пути А, = 1 . В окончательном виде передаточную функцию соединения на рисун­ ке 3.4 и соответствующего сигнального графа на рисунке 3.6 можно за­ писать W1(s)W2(s)W3(s) 1 }

A

i

+w m w m

+w m w m ’

которая совпадает с ранее полученной.

3.4. Задачи определения передаточных функций По структурной схеме системы, используя MATLAB, блочным и гра­ фовым методами определить ее передаточную функцию VF(s). 1

W(s) = т Ща)’ где Wi(s) = K w 2(s) = - 2 — ,W3(s) = . s 2s + 1 s+о 2. Структурная схема та же, что и в п. 1. W(s) =

Y(s) , ' . U(s)

3.

ш 8) = 1 Ё W(S) U (a )9 где

= 2 ^ T ’ ^ (S) = i

4.

’ ^ (S) = 4' Ж‘ (8) = -рТ2 ■ Y(s) Структурная схема та же, что и в п. 3. W(s) = ) ' . F(s)

89

5.

W(s) = где Wi(s) =

Y(s) U(s) ’

W2(s) = 2,W3(s) = 3, W4(s) = |,W 5(s) = 0,5, W„(s) =

Y(s) . Структурная схема та же, что и в п. 5. W(s) = V(s) 7.

6

W(s) = где Wl(s) = 3,W 2 (s) = ^ 8

WM

Y(s) U(s) ’

= I ,Wi ( s) = ^

3

, W6 (s) = i

. Структурная схема та же, что и в п. 7. W(s) =

Y(S) . . V(s)

9. W(s) =

Y(s) U(s)’

s+1 где Wi(s) = 3,W 2 (s) = 1 , Ws(s) = — ,W4(s) = W5(s) = s+2 s 4s +1 s Ч-1 Y (s )

10. Структурная схема та ж е, что и в п. 9. W(s) = т_, . . V(s) 11 .

90

Щ з) =

Y(s) 17(e)*

где W, (.) осуществ­ ляется с помощью интеграла Фурье FU®) = 3[/(f)] = ] m e - i ^ d t , о где со — частота, [рад/с]; j = V- 1 — мнимая единица.

Рис. 4.1

(4.1)

92

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье т

= З -Т О го)] = ±

У F(/co)e**dco,

(4.2)

которым однако редко пользуются.

4.2. Получение и построение

частотных характеристик Интегралы Лапласа и Фурье очень похожи и отличаются лишь аргу­ ментами s и /со, поэтому переход к частотным характеристикам может быть выполнен путем формальной замены s на /со или F(s) на F(/'co). Пусть для объекта или системы известно выражение передаточной функции = М " +ь, в—^ _ OoSn + o1s ” -1 + ... + С„ в котором осуществим замену s на /со и получим комплексный коэффи­ циент передачи или обобщенную частотную характеристику W ( ,юч _ b0 (/co)m + &i(/co) m~1 + . . . + Ьт

ОоО'ю)" + OiC/rn) " - 1 + ... + ал ' Комплексный коэффициент передачи W(/co) графически можно пред­ ставить в виде амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) Щ/'со) = Re(co) + /'lm(co) = А(со)е(со)"р0

данном случае от параметров у0 и v не зависит. Пример 6.3. По известной структурной схеме системы на рисунке 6.5 и заданному значению статической ошибки (е = 5%) определить величи­ ну коэффициента передачи регулятора -К"рег.

113

Рис. 6.5

Решение. Ошибка от входного воздействия определяется следующим операторным выражением £(s) = W(s)Y"(s), где W(s) =

4 s 2 + 5s +1 4s 2 + 5s +1 + К ’

При s —>0 получим статическую ошибку ест = -— —у 0 , которая должна 1 +Л удовлетворять неравенству — < 0 ,0 5 . Отсюда находим коэффициент пе1 +К редачи К > 19. Замечание. Если выражение для ошибки E(s) получено на основе преобразования Лапласа, тогда величина ошибки в установившемся ре­ жиме вычисляется в соответствии с предельной теоремой на основе сле­ дующего соотношения: е = lim sE (s). s—>0

6.4.Задачи анализа установившегося режима 1. Для системы, заданной структурной схемой (рис. 6 . 6 ), записать выражение для полной динамической ошибки, определить абсолютную 0 2 статическую ошибку при W^s) = 1 0 ; W^s) = ^ ; у0 = 1 (£); v = 2 (t).

Рис. 6.6

2. Определить полную статическую ошибку естдля системы, струк­ турная схема которой изображена на рисунке 6.7, при Wi(s) =

^ d

10

^ ; ^ (s) = o i T T ;W »(s) = s + io

Рис. 6.7

;

у°=

1(#); v = 10(f).

114

3. Для системы, заданной структурной схемой на рисунке 6 . 8 , опре­ делить абсолютную статическую ошибку от входного воздействия и оце­ нить «вклад» внешнего возмущения v на управляющее воздействие U (при у0, v = const). У0

К, 7> + 1

и

к2 T2s + 1

:Л + уу

.

кз S

Рис. 6.8

4. Определить полную статическую ошибку для системы, структур­ ная схема которой изображена на рисунке 6.7, при Wi(«) =

s

w ,(*) = - 4 - г ; w 3 (s) = ^ г ; г / ° - 4 ( t) ;v os +1 s+7

2

(t).

5. Для системы, представленной на рисунке 6.9, определить относи­ тельную статическую и скоростную ошибки при у0 = 5Ф1(£).

Рис. 6.9 6 . Определить величину коэффициента передачи Кр для обеспечения требуемого значения статической ошибки ест < 1 % в системе, заданной структурной схемой (рис. 6 . 1 0 ).

Рис. 6.10 6

. Известна передаточная функция разомкнутой системы W M =

К s(l + Ts) ’

где Т = 1.6 с. Необходимо определить значение коэффициента передачи К, обеспечивающего требуемое значение скоростной ошибки (ест< 5%).

115

6.5. Задачи анализа переходных процессов Пример 6.4. Необходимо получить оценку для времени переходного процесса в системе на рисунке 6 . 1 1 . Y (s + 2)5 Рис. 6.11

Решение. Найдем передаточную функцию замкнутой системы W(s) = „ 5 ------- . w s2 + 2 s + 3 Запишем ее характеристическое уравнение s 2 + 2s + 3 = 0, корни ко­ торого равны Х1>2 = -1 ± /V2 . Таким образом, степень устойчивости ц = 1, в результате получаем оценку для времени переходного процесса

1. Оценить время переходного процесса tu для объекта, поведение ко­ торого описывается передаточной функцией Щ з) = (6 s + l) /( s 2 + 4s + 5). 2. Оценить показатели качества переходных процессов для объекта, поведение которого описывается передаточной функцией W(s) = 10/(s 2 + 3 s + 1). 3. Оценить показатели качества переходных процессов для объекта, поведение которого описывается передаточной функцией W(8)= з \ 0------ - . s + 4s 2 + s +1 4. Оценить показатели качества переходных процессов tn и т в систе­ ме, уравнения состояния которой следующие: x-L = - 3 ^ + х2;

- х2 = -2х1 - Ъх2 + 6м; у = х1 . 5. Оценить время переходного процесса в системе tu, уравнения со­ стояния которой следующие: хг = - 3 ^ + 2 л:2; \ х 2 = —х1 - 5х 2 + и; У = Ху. 6 . Оценить время переходного процесса fn и перерегулирование т в замкнутой системе при и = у° - у , где уравнение разомкнутой имеет вид

116

Xl = X2 ;

■ x2 - - 8 x i - 4 x 2 + 5 u;

у = O.Sxv 7. Уравнение закона обратной связи имеет вид и = 2(у0 - у). Оценить т и колебательность мдля системы, описание которой имеет вид 5у + 6у + 2у = 0 ,8м . 8. Оценить перерегулирование о и колебательность м для системы, описание которой имеет вид х1 - х 2 - 2х1; ■х2 = - 4 х г - 6х2 + 7у°; у = х1.

117

7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ 7.1. Основные положения Одними из важнейших характеристик систем управления являются интегральные квадратичные и среднеквадратичные функционалы. В связи с этим приобретает важную роль выбор таких законов управле­ ния, при которых эти характеристики приобретали минимальные (мак­ симальные значения). За рубежом такого рода работы, именуемые как LQ-R-управление (Linear Q Regulation), были проведены Р. Калманом [1]. В нашей стране они называются аналитическим конструированием оп­ тимальных регуляторов (АЕСОР), которому были посвящены исследова­ ния А. М. Летова [2, 3] и В. И. Зубова [4]. В настоящей работе рассматри­ вается аналитическое и схемное решение задачи АКОР для объекта управления, заданного передаточной функцией.

7.2. Аналитическое и схемное решение задачи АКОР Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме в виде экстремали (решения) тех или иных функциона­ лов и чаще всего интегральных квадратических. Для линейной системы в пространстве состояния x(t) - Ax(t) + Bu(t) , y(t) = Cx(t) + Du(t) запишем следующий интегральный квадратический функционал: *i J = | [ x T(t)Qx(t) + uT(t)Ru(t)] d t ,

(7.1) (7.2)

(7.3)

to

где Q vlR — весовые матрицы для переменных состояния и входных пе­ ременных, соответственно; t0, t 1— начальное и конечное время управле­ ния. Задачей синтеза является определение матрицы коэффициентов об­ ратной связи по состоянию К (рис. 7.1), доставляющей минимум функ­ ционалу (7.3). Задача АКОР сводится к решению дифференциального уравнения Риккати, вывод которого приводится ниже. Запишем функцию Гамильтона H(t,x,u,X) = ~ ^ ( x TQx + uTRu) + Хг (Ах + Ви)

118

х = Ах+ Ви

З

I

г Рис. 7.1

и следующие выражения для ее градиентов: дН = А х + Ви = х , дХ

(7.4)

ЭН = А ТХ - Qx = - X , дх

(7.5)

дН = B TX - R u = О, ди используя примеры градиентов линейной формы Gz

(7.6)

± ( G z ) = GT , и квадратичной формы z TGz

^-(zTSz) = 2Sz , dz где G — строка; S — симметрическая матрица. Из уравнения (7.6) следует, что и = К 1ВтХ.

(7.7)

Равенство (7.7) позволяет исключить управление u(t) из (7.4) и полу­ чить систему х = А х + ВН~1В тХ,

(7.8)

X = Q x - A TX.

(7.9)

Для нахождения оптимального управления требуется решать систе­ му (7.8), (7.9), полагая, что существует такая матрица P(t) для любого решения {#(£), Х(£)} этой системы, что выполняется тождество X(t) = — Pit) x(t)

(7.10)

и, подставляя (7.10) и (7.7), находим уравнение u = -R~1BTP(t) x(t). Определим необходимое и достаточное условие существования мат­ рицы P(t). Продифференцируем равенство (7.10) X(t) = -P(t)x(t) - P(t)x(t) = -P(t)x(t) - P(t)[Ax{t) + ВД - 1В ГХ] . Приравнивая правые части последнего уравнения и уравнения (7.5), получим с учетом (7.10)

119

-P(t)x(t) - P(t)[A x(t) + BR~1B TP(t)x(t)] = Qx(t) + A TP(t)x(t) , откуда следует [~P(t) - P(t)A - A TP(t) + P(t)BR~1B TP(t) - Q]x(t) = 0 . Искомая матрица P(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению P(t) = -P(t )A - A TP(t) + P ( t ) B R 1B TP ( t ) - Q ,

(7.11)

которое называется матричным дифференциальным уравнением Риккати. Дифференциальное уравнение Риккати (7.11) обладает следующим свой­ ством: при t его решение стремится к постоянной величинеP(t) —>Р, а P(t) —> 0 . Тогда получим матричное алгебраическое уравнение Риккати РА + А ТР - PBR ^ P + Q = 0

(7.12)

относительно матрицы Р. Тогда скалярное управление u(t) на рисун­ ке 7.1 определится как u(t) = -Kx(t), (7.13) где К = К 1ВТР.

(7.14)

Подставляя уравнение (7.13) в (7.1), получим х = А х —В К х = ( А - ВК)х . В последующих выкладках будем иметь в виду, что матрица А - В К устойчива или ее собственные значения имеют отрицательные действи­ тельные части.

7.3. Методический пример Рассмотрим систему управления, показанную на рисунке 7.2. Объект управления имеет передаточную функцию W0(s) =

1

s 3 + 7s 2 + 16s +12 ‘

(7.15)

Для перехода к уравнениям (7.1) и (7.2) пространства состояний в программе (пр. 7.1) повергнем ss преобразованию передаточную функ­ цию (7.15).

Рис. 7.2

120 (Пр.7.1)

W=tf([1],[1 7 16 12]); W1=ss(W)

A = x1 x2 x3 X1 -7 -4 -1.5 x2 4 0 0 x3 0 2 0 B = u1 x1 0.25 x2 0 x3 0 С = x1 x2 x3 y1 0 0 0.5 D = u1 y1 0 В результате получим матрицы А, В, С, D для системы (7.1), (7.2) '-7 А = 4 0

-4

1.5"

0

0

2

0

"0.25" , в

0

-

, С = [0 0 0.5] , D = [0 ].

(7.16)

0

Управление и определим из соотношения и = K t f - хг) - (КЛ + К 3х3) = К 1У° - (KlXl + К 2х2+ К 3х3) = К 1У° - К Х, (7.17) а также определим такую матрицу коэффициентов К = \Кг К 2 K s], кото­ рая минимизирует критерий J = J (xTQx + u2R ) d t , где 0

0

0

?22

0

0

0

Vn Q=

'

Xl ,

R = 1,

х =

*2

?зз_

У

=

У У_

Уравнение Риккати (7.12) в MATLAB может быть решено с помощью функции lq r(), имеющей следующие версии: К = lqr(A,B,Q,R), [К,Р] = lqr(A,B,Q,R), [К.Р.Е] = lqr(A,B,Q,R).

В результате могут быть найдены векторы К , матрица Р и вектор Е собственных значений матрицы А —ВК. Для получения быстрой реак­ ции элемент qu должен быть больше элементов q22 и q33 и гораздо больше коэффициента R. Поэтому для данной задачи выберем