Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6: Erst wiegen, dann wägen, dann wagen! [1. Aufl.] 9783662618813, 9783662618820

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XIII
Weggelaufene Ziffern (Tatiana S. Samrowski)....Pages 1-14
Katze, Huhn und Elefant (Tatiana S. Samrowski)....Pages 15-26
Mal zu viel, mal zu wenig (Tatiana S. Samrowski)....Pages 27-41
Gemeinsam sind wir stark. Und schnell. (Tatiana S. Samrowski)....Pages 43-53
nesölsträwkcüR saD (Tatiana S. Samrowski)....Pages 55-68
Erst wiegen, dann wägen, dann wagen (Tatiana S. Samrowski)....Pages 69-80
Jedes Alter hat seine Weise (Tatiana S. Samrowski)....Pages 81-88
Vielfalt der Möglichkeiten (Tatiana S. Samrowski)....Pages 89-107
Wasser reichen (Tatiana S. Samrowski)....Pages 109-115
Andre Zeit, andre Lehre (Tatiana S. Samrowski)....Pages 117-134
Damit man nicht nur Bahnhof versteht (Tatiana S. Samrowski)....Pages 135-159
Von Springern und Marsmännchen mit seinen Armen (Tatiana S. Samrowski)....Pages 161-171
Back Matter ....Pages 173-174

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Tatiana S. Samrowski

Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen!

Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6

Tatiana S. Samrowski

Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen!

Tatiana S. Samrowski Institut für Mathematik Universität Zürich Zürich, Schweiz

ISBN 978-3-662-61881-3 ISBN 978-3-662-61882-0  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Andreas Ruedinger Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Gewidmet meinem Großvater Nikolai, meinem ersten Mathematiklehrer.

Geleitwort

Mathematikunterricht gilt in der Schule manchmal als trocken und langweilig. Oft werden die Schüler mit vielen reizlosen mechanischen Rechenaufgaben überflutet und vermissen einfach (meistens unbewusst) die interessanten und abwechslungsreichen Fragestellungen. Überlegungen zu mathematischen Fragestellungen pflegen Auffassungsfähigkeit, Einfallsreichtum und Urteilsvermögen und sind deswegen unerlässlich für die gelungene Anbindung an die moderne Gesellschaft. Die Begeisterung über ein Fach kommt mit den Erfolgen in den echten Herausforderungen, z. B. bei anwendungsbezogenen Projekten oder bei Team- und Einzelwettbewerben. Man darf aber niemanden dabei abschrecken. Das wird nicht passieren, wenn das Kind zu einem solchen Projekt oder Wettbewerb durch eine Mathematik-Arbeitsgemeinschaft oder das Selbststudium vorbereitet wird. Das vorliegende Buch entstand aus einer Sammlung mathematischer Probleme, Rätsel und Knobeleien, die für den Unterricht der Junior Euler Society für Mathematik der Universität Zurich der Klassenstufen 3/4 und 5/6 in den Jahren 2012–2020 verwendet wurden. Die Teilnehmer der Kurse der Junior Euler Society bildeten immer, was die mathematischen Fähigkeiten anbelangt, eine recht heterogene Gruppe, waren aber meistens an der Mathematik interessierte (nicht nur hochbegabte) Kinder, die sich gern an verschiedenen Knobel-, Logik- und Mathewettbewerben beteiligten und deswegen eine entsprechende Vorbereitung benötigten. Die meisten von ihnen erzielten schon nach 1 Jahr solcher Vorbereitungskurse hervorragende Resultate bei verschiedensten Wettbewerben, was uns erlaubt, aus eigener Erfahrung die folgende Aussage von George Polya (1887–1985, VII

VIII      Geleitwort

­ S-amerikanischer Mathematiker ungarischer Herkunft) zu bestätigen: U „Wer schwimmen lernen will, muss ins Wasser gehen, und wer Aufgaben lösen lernen will, muss Aufgaben lösen.“ Die theoretischen Einführungen in die klassischen Themengebiete der Olympiadenmathematik sowie die vorgelösten Beispielaufgaben ermöglichen die selbstständige Arbeit mit dem Buch. Deswegen ist es in erster Linie an die interessierten Kinder und ihre Eltern adressiert, die sich zu Mathematikwettbewerben oder Aufnahmeprüfungen für die höheren Schulen vorbereiten wollen und eventuell keine Möglichkeit haben, an dem zusätzlichen Mathematikunterricht teilzunehmen. Es wird auch extrem hilfreich für die Leiter des zusätzlichen Mathematikunterrichts bei der Suche nach geeigneten Aufgaben sein. Diese Aufgabensammlung könnte sowohl für Grundschul- und Primarlehrer als auch für Studierende Padagogischer Hochschulen interessant sein, weil es als Begleiter oder Ergänzung zum Mathematikunterricht eingesetzt werden kann, um den Schulunterricht aufzulockern und abwechslungsreicher zu gestalten. Das Buch kann auch bei der Vorbereitung und Durchführung von schulinternen Veranstaltungen, Epochenunterricht und Wettbewerben verwendet werden. Das Buch ist in zwölf Kapitel unterteilt. Jedes Kapitel des Buches ist einem bestimmten Thema gewidmet und enthält eine kurze theoretische Einführung in Form von Aufgabenbeispielen mit ausführlichen Lösungsvorschlägen, Aufgaben zum selbstständigen Lösen, Wettbewerbsaufgaben sowie Aufgaben zur Wiederholung. Für die Abschnitte „Wettbewerbsaufgaben“ wurden Aufgaben aus dem Känguru- und Pangea-Wettbewerb, 1998–2019, den 3.–58. Deutschen Mathematik Olympiaden, dem Mathematischen Wettbewerb um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, sowie den Aufgaben aus den Aufnahmeprüfungen ins Langgymnasium im Kanton Zurich, 2006–2019, entnommen. Die entsprechenden Lösungen findet man auf den Internetseiten dieser Wettbewerbe. Die Aufgaben aus den anderen Abschnitten wurden von der Autorin formuliert oder stellen klassische Fragestellungen zu den jeweiligen Themen dar. Die entsprechenden Lösungen können bei der Autorin angefragt werden. Die E-Mail ist zu richten an: [email protected]. Am Ende des Buches findet der Leser und die Leserin eine Liste der weiterführenden Literatur. Zürich März 2020

Tatiana S. Samrowski

Dank

An dieser Stelle möchte ich all den Menschen danken, die durch ihre fachliche und persönliche Unterstützung zum Erscheinen dieses Buches beigetragen haben: Ohne meine lieben Freunde und Kollegen wäre diese Arbeit so nicht möglich gewesen. Für Gespräche, Ratschlage und Korrekturlesen bedanke ich mich ganz herzlich bei Thomas Haller, Dr. Dirk Reh, Ivana und Viera Klasovita. Für die geistreichen Bilder, die das Buch so treffend ergänzt haben, geht mein besonderer Dank an Dr. Ivan Salnikov. Stella Schmoll von Springer Spektrum danke ich für ihre Geduld, sowie für die nette und konstruktive Zusammenarbeit. Herzlich bedanken mochte ich mich auch bei meiner Familie, die mich immer wieder ermutigte und in all meinen Entscheidungen unterstützte, und insbesonders bei meinen Söhnen für die unermüdliche Inspiration. Schließlich danke ich meinen Schülerinnen und Schülern für die wunderschönen und extrem lehrreichen Jahre im JES-Programm.

IX

Inhaltsverzeichnis

1

Weggelaufene Ziffern 1 1.1 Der Anfang, der nicht immer schwer ist 1 1.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 4 1.3 Wettbewerbsaufgaben 6

2

Katze, Huhn und Elefant 15 2.1 Tierfreundlicher Einstieg 15 2.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 17 2.3 Wettbewerbsaufgaben 19 2.4 Und weil es so schön war, machen wir die Zahlenrätsel noch mal 26

3

Mal zu viel, mal zu wenig 27 3.1 Das sollte für den Anfang reichen 27 3.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 29 3.3 Wettbewerbsaufgaben 31 3.4 Und weil es so schön war, machen wir nicht nur die Zahlenrätsel noch mal 41

4

Gemeinsam sind wir stark. Und schnell. 43 4.1 Von Anfang an zusammen 43 4.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 45 4.3 Wettbewerbsaufgaben 47 4.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 53 XI

XII      Inhaltsverzeichnis

5

nesölsträwkcüR saD 55 5.1 leipsiebsgnurhüfniE saD 55 5.2 nesöL negidnätstsbles muz nebagfuA 56 5.3 nebagfuasbrewebtteW 60 5.4 lam hcon sad riw nehcam, raw nöhcs os se liew dnU 68

6

Erst wiegen, dann wägen, dann wagen 69 6.1 Frisch geWAAGt ist halb gewonnen 69 6.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 70 6.3 Wettbewerbsaufgaben 73 6.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 80

7

Jedes Alter hat seine Weise 81 7.1 So wird man richtig alt 81 7.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 82 7.3 Wettbewerbsaufgaben 84 7.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 88

8

Vielfalt der Möglichkeiten 89 8.1 Das Einführungsbeispiel 89 8.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 93 8.3 Wettbewerbsaufgaben 94 8.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 107

9

Wasser reichen 109 9.1 Die Startmischung 109 9.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 110 9.3 Wettbewerbsaufgaben 112 9.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 115

10 Andre Zeit, andre Lehre 117 10.1 Anfang der Zeit 117 10.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 118 10.3 Wettbewerbsaufgaben 120 10.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 134 11 Damit man nicht nur Bahnhof versteht 135 11.1 Achtung, fertig, los! 135 11.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 137

XIII      Inhaltsverzeichnis

11.3 Wettbewerbsaufgaben 143 11.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 158 12 Von Springern und Marsmännchen mit seinen Armen 161 12.1 Beispiele 161 12.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen 163 12.3 Wettbewerbsaufgaben 166 12.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal 171 Weiterführende Literatur 173

1 Weggelaufene Ziffern

Die Zahl ist das Wesen aller Dinge. Pythagoras von Samos Bei den Zahlenrätseln in diesem Kapitel stehen verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern, gleiche Buchstaben stehen immer für die gleichen Ziffern. Falls die gesuchten Ziffern durch Sterne ersetzt sind, gilt diese Regel nicht und die Ziffern können mehrmals vorkommen. Man darf nicht vergessen, dass die mehrstelligen Zahlen nie mit einer Null beginnen und dass die mathematischen Aufgaben nicht immer eindeutig lösbar sein müssen!

1.1

Der Anfang, der nicht immer schwer ist

Problem 1.1 Finde solche Ziffern X und Y, dass die Rechnung X X · X X = XY X mit der zweistelligen Zahl X X und der dreistelligen Zahl X Y X zu einer wahren Aussage wird. Lösung 1.1 Wir überlegen uns zuerst, welche zweistelligen Zahlen bei der Multiplikation mit sich selbst dreistellige Zahlen ergeben. Das sind alle zweistelligen Zahlen, die kleiner als 32 sind. Das heißt, dass für die Ziffer X nur die beiden Möglichkeiten X = 1 und X = 2 infrage kommen. Da die erste Pythagoras von Samos, 570–510 v.Chr., griechischer Mathematiker © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_1

1

2

T. S. Samrowski

Ziffer des Produktes X Y X auch X ist, muss X = 1 sein. Die zweite Ziffer des Produktes X Y X ergibt sich, wenn wir in die Aufgabenstellung X = 1 einsetzen. Aus der Rechnung 11 · 11 = 121 erhält man die einzig mögliche Lösung Y = 2. Wir ändern die obige Aufgabe jetzt ein wenig ab und schauen uns an, wie diese Änderungen die Lösung beeinflussen: Problem 1.2 Finde solche Ziffern X und Y, dass die Rechnung XY · XY = XY Y mit der zweistelligen Zahl X Y und der dreistelligen Zahl X Y Y zu einer wahren Aussage wird. Lösung 1.2 Wir halten wieder fest, dass alle zweistelligen Zahlen, welche bei der Multiplikation mit sich selbst dreistellige Zahlen ergeben, kleiner als 32 sind. Dann gibt es für die erste Ziffer X nur drei Möglichkeiten: 1, 2 oder 3. Die erste Ziffer des Produktes X Y Y ist auch X, dann kommt nur X = 1 in Frage. Die zweite und die dritte Ziffer des Produktes X Y Y sind gleich, somit kann X Y Y entweder für 100 oder für 144 stehen. Die Ziffer Y steht auch in den zweistelligen Faktoren X Y. Wäre Y = 4, so müsste die Aufgabe lauten 14 · 14 = 144, was offensichtlich falsch ist. Die Probe mit Y = 0 ergibt dagegen die einzig mögliche Lösung des Rätsels: 10 · 10 = 100 Wieder fügen wir eine kleine Änderung in die Aufgabenstellung ein und betrachten, wie sie sich bei der Lösung bemerkbar macht: Problem 1.3 Finde solche Ziffern X, Y und Z , dass die Rechnung XY · XY = X Z Z mit der zweistelligen Zahl X Y und der dreistelligen Zahl X Z Z zu einer wahren Aussage wird.

1 Weggelaufene Ziffern

3

Lösung 1.3 Genauso wie in Problem 1.2 kommt man hier zum Schluss, dass X = 1 und dass X Z Z entweder für 100 oder für 144 stehen muss. In den zweistelligen Faktoren X Y steht an der Einerstelle die Ziffer Y, im Produkt X Z Z steht an der Einer- und Zehnerstelle eine andere Ziffer Z , somit wäre hier Z = 0 keine Lösung, weil ein solcher Ansatz zu Y = 0 führt, was aber nicht sein darf. Der Ansatz Z = 4 erfordert Y = 2 und führt somit auf die einzig mögliche Lösung des Rätsels: 12 · 12 = 144 Das folgende Problem stellt eine typische Wettbewerbsaufgabe dar: Problem 1.4 Löse das Zahlenrätsel: + + + +

EINS EINS EINS EINS EINS F U¨ N F

Lösung 1.4 Die letzte Ziffer S wird fünfmal aufaddiert, dann kann die Ziffer F nur 0 oder 5 sein. Da die Zahl F U¨ N F mit der Ziffer F startet, muss sie 5 sein. Aus der Tatsache, dass wir beim Aufaddieren von fünf vierstelligen Zahlen wieder eine vierstellige Zahl bekommen, folgt E = 1. Beim Aufaddieren von fünf N bekommen wir wieder N . Dies ist z. B. dann möglich, wenn N gleich null ist. Dann muss S = 1 sein. Dies ist aber nicht möglich, weil wir 1 schon eindeutig dem Buchstaben E zugeordnet haben. Die andere Möglichkeit für N wäre die Ziffer 2, dann muss S gleich 5 sein, was auch nicht möglich ist, weil F = 5 ist. Ist N = 4, so wird S = 9. Beim Aufaddieren von Ziffern I und dem Übertrag 2, darf kein Übertrag entstehen. Dies ist nur dann möglich, wenn I = 0 ist. Das Ausprobieren von allen anderen Ziffern für N wird jedes Mal zu einem Widerspruch führen. Somit bekommen wir eine eindeutige Lösung: E = 1, I = 0, N = 4, S = 9, F = 5, U¨ = 2.

4

T. S. Samrowski

1.2

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Löse die folgenden Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen. Problem 1.5 a) b) c) d) e) f)

J +U = AB + B A AB + B A BB + BB AB + BC BA + BA

JA = 99 = 110 = ABC + C A = ABC + BA = CBA

Problem 1.6 a)

A + AB + ABC BC B

b)

A + BB + A CCC

c)

ABC D + BCC D + BBD DDDD

Problem 1.7 a)

EINS + EINS ZW EI

b)

SE N D MO RE M O N EY

b)

EINS + EINS + EINS DRE I

c)

THIS IS E ASY

c)

EINS + EINS + EINS + EINS VIER

Problem 1.8 a) +

+

+

E AT T H AT AP PL E

Problem 1.9 a)

S P O RT + S P O RT C R O SS

b)

B AS E + B AL L G AM E S

c)

C OC A + COL A SO D A

1 Weggelaufene Ziffern

5

Problem 1.10 a) +

b)

W O M AN M AN CHILD

+

NO 4 Y ES

c)

D R AM A + D R AM A B U¨ H N 6

Problem 1.11 a)

B L AC K + GRE E N O R AN G E

b)

OHOHO + AH AH A AH AH AH

c)

S AT U R N + U R ANU S P L AN E T S

Problem 1.12 a) + +

TWO T H RE E SEV E N T W E LV E

b) + +

SI X SEV E N SEV E N TW ENTY

c)

T EN + T EN + F O RT Y SI XT Y

Problem 1.13 Finde solche A, B, C und D, dass beide Zahlenrätsel gleichzeitig gelöst werden: +

ABC CC A AB

Problem 1.14 a) b) c) d) e)

X · X · XX XY ZY

XY = Z Z Z Y · XY = Y Y Y · Y Z · XY Z = XY Z XY Z · Y Z = XY Z · XW = ZY XW

Problem 1.15 a) 7 · M U¨ C K E N = Z Z Z Z Z Z b) T W O · T W O = T H R E E

CC · ABC ABC + AB C AD AC

6

T. S. Samrowski

Problem 1.16

C O S I NU S + S I NU S + S I NU S T AN G E N S

Problem 1.17

IGREK ÷ I K S = Z E D

Problem 1.18 a)

∗∗ + ∗∗ ∗98

b) +

∗∗∗ ∗ ∗∗∗8

c) +

3∗ ∗∗4 ∗ ∗ ∗1

d)

6 ∗ 5∗ − ∗8∗4 2856

Problem 1.19 a) ∗ ∗ ·126 ∗∗∗ + ∗∗∗∗ 1∗2∗6

1.3

b) 4 ∗ · ∗ ∗5 3∗∗ + ∗ 2∗∗ 1∗∗∗∗

c) ∗ ∗ · ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗ 87 + ∗∗∗∗∗ 2 ∗ 0 0 4∗

d) ∗ ∗ ∗ · 9 ∗ ∗∗ + ∗∗ ∗∗ ∗∗∗∗8

Wettbewerbsaufgaben

Problem 1.20 Zahlenrätsel: Die Buchstaben a, b, c, d stehen für Ziffern. Gleicher Buchstabe bedeutet gleiche Ziffer. Entziffere die Rechnung 2a1b ÷ 1c = 1b − 1c 71 −d b db − db a und berechne die Summe a + b + c + d = ... (A) 12

(B) 13

(C) 14

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 6. Kl., 22)

(D) 15

(E) 16

1 Weggelaufene Ziffern

7

Problem 1.21 A und B seien Ziffern (d.h. Zahlen zwischen 0 und 9): 2 AB47 − 192B A 9199 Berechne den Wert des Terms A · B − (A + B) (A) 20

(B) 22

(C) 23

(D) 25

(E) 27

(Pangea-CH, Vorrunde 2016, 6. Kl., 20) Problem 1.22 Jeder Buchstabe der folgenden Rechnung steht für eine Ziffer: +

PQ U RST

Eine Ziffer darf nicht zweimal vorkommen. P Q ist eine zweistellige Zahl und RST eine dreistellige Zahl. Außerdem ist U = 5. Welcher Buchstabe nimmt den kleinsten Wert an? (A) P

(B) Q

(C) R

(D) S

(E) T

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 5. Kl., 14) Problem 1.23 Verschlüsseltes Rechnen: Jeder Buchstabe steht für eine Ziffer. Gleicher Buchstabe bedeutet gleiche Ziffer und gleiche Ziffer bedeutet gleicher Buchstabe. Entziffere die Rechnung: L I L LY + W I L LY AL OY Y Wie lautet der größtmögliche Wert für die Summe von W und A? (A) 7

(B) 9

(C) 11

(D) 13

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2016, 6. Kl., 11)

(E) 17

8

T. S. Samrowski

Problem 1.24 Ersetze die Striche in der folgenden Aufgabe so durch Ziffern, dass die Rechnung richtig ist: 6 03 + 73 5 72 53 Was ist das Produkt der fehlenden Zahlen? (A) 120

(B) 128

(C) 150

(D) 7305

(E) 72253

(Pangea-CH, Finale 2016, 6. Kl., 8) Problem 1.25 abc5 ist eine vierstellige Zahl. Es gilt: abc5 · 3 = 28abc Bestimme a + b + c. (A) 16

(B) 20

(C) 28

(D) 30

(E) nicht l osbar ¨

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2018, 5. Kl., 8) Problem 1.26 Wie groß ist die Summe aus der kleinsten vierstelligen Zahl und der größten fünfstelligen Zahl? (A) 1999

(B) 1099

(C) 10009

(D) 10099

(E) 100999

(Pangea-DE, Vorrunde 2013, 6. Kl., 6) Problem 1.27 Ilyas hat auf drei Papierstreifen je eine dreistellige Zahl geschrieben. Die Summe dieser drei Zahlen ist 826.

Welches ist die Summe der beiden verdeckten Ziffern? (A) 5

(B) 6

(Känguru, 2019, 5.-6. Kl., B2)

(C) 7

(D) 8

(E) 9

1 Weggelaufene Ziffern

9

Problem 1.28 In der Tabelle stehen die Symbole ,  und  für Zahlen. Die Summe einer jeden Zeile und Spalte ist gegeben und steht rechts neben der Zeile bzw. unterhalb der Spalte. Wie groß ist  +  − ?    10 (A) 4

(B) 5

   8

 11  8  8 9

(C) 6

(D) 7

(E) 8

(Känguru, 2009, 5-6 Kl., 28) Problem 1.29 Zahlenrätsel: Addiert man vier Zahlen, erhält man 880 000. Die erste Zahl ist die kleinste 6-stellige Zahl. 234567 ist die zweite Zahl. Die dritte Zahl ist das Doppelte der zweiten Zahl. Wie heißt die vierte Zahl? (A) 76299

(B) 77198

(C) 77299

(D) 76349

(E) 75899

(Pangea-DE, Vorrunde 2014, 6. Kl., 15) Problem 1.30 Jeder der 3 Buchstaben B, H und O ist in der folgenden Additionsaufgabe durch genau eine der Ziffern 1, ..., 9 zu ersetzen, sodass die Rechnung richtig ist: OH + HO BOB Dann ist O = (A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) 8

(E) 9

(Känguru, 2008, 5.-6. Kl., 17) Problem 1.31 Als die Kinder nach der Pause ins Klassenzimmer kommen, sind bei der Rechnung an der Tafel zwei Ziffern abgewischt:  3 − 2  = 25. Was ist die Summe dieser beiden fehlenden Ziffern? (A) 8

(B) 9

(Känguru, 2018, 5.-6. Kl., B2)

(C) 11

(D) 13

(E) 15

10

T. S. Samrowski

Problem 1.32 Wenn a − b = b,

c · b = a,

c + c = a −c

und b = 0, dann ist a = (A) 21

(B) 12

(C) 6

(D) 8

(E) 22

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 12) Problem 1.33 Rosalie hat bei der abgebildeten Additionsaufgabe die vier verschiedenen Ziffern A, B, C und D benutzt. Für welche Ziffer steht B? + (A) 0

(B) 2

ABC CBA DDDD

(C) 4

(D) 5

(E) 6

(Känguru, 2018, 5.-6. Kl., C2) Problem 1.34 Die Symbole , , ♦, ♥ und  stehen für die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5, aber in anderer Reihenfolge. Es gelten

 +  − ♦=8 und

 ·  ÷ ♦ = 8.

Für welche Zahl steht (A) 1

♥? (B) 2

(Känguru, 2018, 5.-6. Kl., B6)

(C) 3

(D) 4

(E) 5

1 Weggelaufene Ziffern

11

Problem 1.35 K , L und M sind drei verschiedene Ziffern. Es gilt K K L · L = M L5L . Wie groß ist K + L + M? (A) 13

(B) 15

(C) 16

(D) 17

(E) 20

(Känguru, 2010, 5.-6. Kl., 22) Problem 1.36 Die Buchstaben a, b, c, d und e stehen für 5 verschiedene Ziffern. Wenn nun a + a + a = c und b + b + b = d und c + d = e gilt, dann ist e = (A) 0

(B) 2

(C) 6

(D) 8

(E) 9

(Känguru, 2008, 5.-6. Kl., 25) Problem 1.37 In der Gleichung LU C + DU = ASS steht jeder Buchstabe für eine Ziffer (verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern, gleiche Buchstaben für gleiche Ziffern). Welchen Wert hat AC − L D? (A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 21

(E) 22

(Känguru, 2008, 5.-6. Kl., 28) Problem 1.38 In der abgebildeten Rechenaufgabe sollen verschiedene Figuren unterschiedliche Ziffern bedeuten, keine darf 0 sein:

 +  +   Welche Ziffer muss für das kleine Quadrat gesetzt werden? (A) 6

(B) 5

(Känguru, 2004, 5.-6. Kl., 14)

(C) 9

(D) 2

(E) 7

12

T. S. Samrowski

Problem 1.39 In der folgenden Aufgabe bedeuten gleiche Zeichen gleiche Ziffern und verschiedene Zeichen verschiedene Ziffern:

 +   + 2 0 0 3 Dann gilt

+= (A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 13

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 30) ? Problem 1.40 In der Multiplikationsaufgabe × = 7632 kommt jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal vor. Welche Ziffer gehört an die Stelle des Fragezeichens? (A) 9

(B) 8

(C) 5

(D) 4

(E) 1

(Känguru, 2007, 5.-6. Kl., 30) Problem 1.41 Fritz möchte eine Subtraktionsaufgabe aufschreiben, bei der die Differenz zweier natürlicher Zahlen zu bilden ist. Als Ergebnis soll eine dreistellige Zahl entstehen, deren drei Ziffern alle einander gleich sind. Der Minuend soll eine Zahl sein, die auf null endet. Streicht man diese null, so soll sich der Subtrahend ergeben. Gib alle Subtraktionsaufgaben an, für die das zutrifft! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5A5) Problem 1.42 Bestimme für die folgende Divisionsaufgabe die beiden letzten Ziffern des Dividenden und das Ergebnis der Division: 4455 ∗ ∗ ÷ 77 = x x ist eine natürliche Zahl. Gibt es mehr als eine Lösung der Aufgabe? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994-2004, 5A30)

1 Weggelaufene Ziffern

13

Problem 1.43 a) Wie nennt man das Ergebnis einer Divisionsaufgabe? b) Bestimme für die folgende Divisionsaufgabe die beiden letzten Ziffern des Dividenden und das Ergebnis der Division! 2004 ∗ ∗ ÷ 79 = y. y ist eine natürliche Zahl. (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994-2004, 5A40) Problem 1.44 In den nachfolgenden Rechenaufgaben sind einige Ziffern nicht bekannt, dafür wurden Sternchen geschrieben. Welche Ziffern müssen für die Sternchen eingesetzt werden, damit sich richtige Rechnungen ergeben? Hinweis: Es kann sein, dass es manchmal mehrere Möglichkeiten gibt, die Sternchen zu ersetzen. Dann müssen alle Möglichkeiten angegeben werden. In jedem Fall muss begründet werden, warum es keine weiteren Möglichkeiten gibt. b)

a) 3∗86 +∗2∗7 804∗

∗∗∗ · 538 ∗∗∗∗ 2202 ∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗

d)

c)

(Deutsche Mathematik Olympiade, 560513)

3∗2 +∗3∗ 1 ∗47

∗∗1 · ∗2∗ 1∗1 22∗ ∗∗∗ ∗∗431

14

T. S. Samrowski

Problem 1.45 Bei den folgenden Aufgaben sollen eine oder mehrere Ziffern in den Zahlen der Aufgabe durch eine Null ersetzt werden, damit die Aufgabe das angegebene Ergebnis erhält. Schreibe jeweils eine korrekte Aufgabe auf und führe die jeweilige Probe durch. a) Welche Ziffern muss man in der folgenden Additionsaufgabe 375 + 81 + 829 durch eine Null ersetzen, damit die Aufgabe das Ergebnis 1265 hat? b) Welche Ziffern muss man in der folgenden Subtraktionsaufgabe 693 − 25 − 187 durch eine Null ersetzen, damit die Aufgabe das Ergebnis 566 hat? c) Welche Ziffern muss man in der folgenden Subtraktionsaufgabe 693 − 25 − 187 durch eine Null ersetzen, damit die Aufgabe das Ergebnis 398 hat? (Deutsche Mathematik Olympiade, 560532)

2 Katze, Huhn und Elefant

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste. Michael Stifel Die in diesem Abschnitt angebotenen Aufgaben „über Köpfe und Beine“sind klassische arithmetische Fragestellungen, die man sowohl algebraisch, d.h mit einer Gleichung, als auch arithmetisch durch das Analysieren und das Verstehen von Zusammenhängen in der gegebenen Situation lösen kann. Wir beschränken uns auf die Verwendung der arithmetischen Methode, weil sie für die Entwicklung mathematischen Denkens besonders hilfreich ist.

2.1

Tierfreundlicher Einstieg

Problem 2.1 Aus dem Esszimmerfenster haben wir heute beobachtet, wie unsere jungen Kätzchen mit den Schmetterlingen im Garten gespielt haben. 19 Köpfe und genau 100 Beine haben wir gezählt. Wie viele junge Kätzchen haben wir momentan? Lösung 2.1 Hätten wir nur Kätzchen gesehen, so hätten wir 19 · 4 = 76 Beine zählen können. Die zusätzlichen 100 − 76 = 24 Beine gehören deswegen den Schmetterlingen. Ein Schmetterling hat sechs Beine und somit ein Paar Beine mehr als ein Kätzchen. Dann gab es 24 ÷ 2 = 12 Schmetterlinge im Garten, und die restlichen 19 − 12 = 7 Köpfe gehörten unseren jungen Kätzchen. Michael Stifel, 1487–1567, deutscher Theologe und Mathematiker © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_2

15

16

T. S. Samrowski

Probe: Sieben Kätzchen haben 28 Beine, zwölf Schmetterlinge haben 72 Beine. Zusammen haben sie 28+72=100 Beine und 7+12=19 Köpfe.

Problem 2.2 Während einer Zirkusvorstellung traten Hunde, Tauben und sogar Elefanten vor dem Publikum auf. Wie viele Hunde waren dabei, wenn man 23 Köpfe, 64 Beine, drei Rüssel und zwei Paar Stiefel Größe 44 sehen konnte?

Lösung 2.2 Stiefel Größe 44 gehörten offensichtlich den beiden Dompteuren, die zusammen zwei Köpfe und vier Beine hatten. Die drei Rüssel weisen darauf hin, dass man drei Elefanten mit ihren drei Köpfen und zwölf Beinen sehen konnte. Weil es insgesamt 23 Köpfe und 64 Beine waren, mussten Hunde und Tauben zusammen 23 − (2 + 3) = 18 K¨opfe und 64 − (4 + 12) = 48 Beine

oder

48 ÷ 2 = 24 Beinpaare

haben. Hunde haben zwei Paar Beine und Tauben nur eins, somit hat jeder Hund ein Paar Beine mehr als eine Taube. Um die Anzahl der Hunde zu bestimmen, kann man deswegen die Anzahl der Köpfe von der Anzahl der Beinpaare abziehen. Man erhält somit, dass 24 − 18 = 6 Hunde und 18 − 6 = 12 Tauben bei der Zirkusvorstellung beteiligt waren. Probe: Zwei Menschen haben vier Beine, drei Elefanten haben zwölf Beine, sechs Hunde haben 24 Beine, zwölf Tauben haben 24 Beine. Zusammen haben sie 4+12+24+24=64 Beine und 2+3+6+12=23 Köpfe.

2 Katze, Huhn und Elefant

2.2

17

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 2.3 In diesem Jahr verbrachte Elias seine Sommerferien auf einem Bauernhof. Beim Frühstück hatte er immer Katzen, Hunde und Hühner vom Fenster aus beobachtet. Eines Tages stellte er fest, dass es insgesamt genau 40 Köpfe und 100 Beine waren. Wie viele Hühner hatte Elias vom Fenster aus gesehen? Problem 2.4 Im Kinderzoo können Kinder auf Kamelen reiten. Fjodor saß auf dem letzten Kamel und sein Freund Darius auf dem vorletzten, weil man zu zweit auf einem Kamel nie sitzen darf. Während des Ausritts konnte Fjodor alle anderen Kinder und alle Kamele gut sehen. Neun Köpfe und 26 Beine waren es insgesamt vor ihm. Wie viele Kinder saßen auf den Kamelen? Problem 2.5 Richard hat im Wald mehrere Spinnennetze gefunden. In manchen sah man darin gefangene Fliegen, in manchen saßen auch die Netzinhaber. Insgesamt hat Richard 100 Beine und 14 Köpfe gezählt. Wie viele Spinnen in den Spinnennetzen hat Richard entdeckt?

18

T. S. Samrowski

Problem 2.6 Im Meerestierkindergarten „Die neunte Woge“ sind heute alle Oktopus- und Seesternkinder anwesend, insgesamt 51 Tierkinder. Fast alle See- sternchen sind fünfarmig, fünf Seesternchen haben aber sechs Arme und zwei sind sogar siebenarmig. Wie viele kleine Oktopusse besuchen „Die neunte Woge“, wenn alle Tierkinder zusammen 300 Beine haben? Problem 2.7 Nach dem Fall der bösen Hexe ist die Gesamtzahl der Einhörner (ein Horn, vier Pferdebeine mit Hufen), Hippogryphen (ein Schnabel, ein Paar Flügel, zwei Pferdebeine mit Hufen) und Zentauren (ein Paar Hände, vier Pferdebeine mit Hufen) im verborgenen Wald auf genau 77 angewachsen. Wie viele Einhörner leben im verborgenen Wald, wenn alle Zentauren, Hippogryphen und Einhörner zusammen 66 Arme und 294 Hufe haben? Problem 2.8 Über dem dunklen Wald fliegt eine Herde von dreiköpfigen Fledermäusen und vierzigbeinigen Drachen. Zusammen haben sie 26 Köpfe und 298 Beine. Jeder Drache hat genau einen Kopf. Wie viele Beine hat eine dreiköpfige Fledermaus?

Problem 2.9 Ein Muggel hat sich für eine neue Businessidee aus der Zauberwelt begeistern lassen und beschlossen, eine Eulenpost aufzumachen. Sein Startkapital beträgt 15 000 £, von dem er 3750 £ für die Gehege und 3250 £ für den Papierkram braucht, den Rest will er für den Kauf von mindestens 20 Eulen ausgeben. Bei Gringotts tauscht er Britische Pfunde gegen Zaubergeld zum Geldkurs 1 Galleone = 4,93 £. Eine erfahrene Posteule mit ausgeprägten magischen Fähigkeiten, die älter als 3 Jahre ist, kostet im Durchschnitt 141

2 Katze, Huhn und Elefant

19

Galleonen, 16 Sickel und 23 Knuts. Für jedes unerfahrene Jungtier zahlt man im Durchschnitt 65 Galleonen, 15 Sickel und 20 Knuts. Wie viele erfahrene Posteulen kauft der Muggel von seinem Geld? Hinweis: 1 Galleone = 17 Sickel, 1 Sickel = 29 Knuts.

2.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 2.10 In einem großen Hasenstall sind mehrere Hasen, und an der Wand sitzen ein paar Spinnen. Zusammen haben die Hasen und die Spinnen 108 Beine und 20 Köpfe. Wie viele Hasen und Spinnen sind in dem Stall? (A) (B) (C) (D) (E)

13 Spinnen und 7 Hasen 13 Hasen und 7 Spinnen 12 Hasen und 8 Spinnen 10 Hasen und 10 Spinnen 10 Spinnen und 7 Hasen

(Panges-CH, Finale 2016, 5. Kl., 20) Problem 2.11 In einem Beet sind diese Insekten: – Schmetterlinge (2 Fühler, 1 Rüssel, 6 Beine und 4 Flügel) – Mücken (2 Fühler, 1 Rüssel, 6 Beine und 2 Flügel) – Schnecken (4 Fühler und ein Schneckenhaus)

20

T. S. Samrowski

Insgesamt sind es 34 Fühler, 5 Rüssel, 30 Beine, 16 Flügel und 6 Schneckenhäuser. Wie viele Mücken sind es? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 6

(Panges-DE, Vorrunde 2014, 6. Kl., 22) Problem 2.12 In einem Raum befinden sich Hocker, Stühle und Menschen. Die Hocker haben drei Beine, die Stühle haben vier Beine und die Menschen haben zwei Beine. Wenn alle Hocker und Stühle mit einer Person besetzt sind, so befinden sich 39 Beine im Raum. Wie viele Stühle stehen im Raum? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

(Panges-DE, Zwischenrunde 2014, 6. Kl., 5) Problem 2.13 In der Tierkinderschule unterrichtet eine alte Eule 3 Häschen, einige Lämmer sowie 4 Enten- und 2 Gänseküken. Gemeinsam zählen sie die Beine aller Tierkinder, 44 sind es. „Nun rechnet mal, wie viele Lämmer in der Klasse sind “, spricht die Eule. (A) 11

(B) 9

(C) 8

(D) 5

(E) 5?

(Känguru, 2012, 3.-4. Kl., B6) Problem 2.14 Beim Unterwasserkönig Chudo-Judo dienen 6-, 7- und 8armige Kraken. Die 7-armigen Kraken sind boshaft und lügen stets. Die anderen sind treue Diener und sprechen stets die Wahrheit. Warwara, die Tochter von Chudo-Judo, belauscht eines Nachts ein Gespräch von 4 Kraken, ohne sie zu sehen. Sie sprechen über ihre Arme. Der blaue Krake behauptet: „Wir vier haben zusammen 28 Arme.“ Der grüne sagt: „Wir haben zusammen 27 Arme.“ „Es sind 26“, sagt der gelbe. Und der rote spricht: „Es sind nur 25!“ Falls einer der 4 Kraken die Wahrheit sagt, welche Farbe hat er dann? (A) (B) (C) (D) (E)

Blau Grün Gelb Rot Alle vier Kraken lügen

(Känguru, 2010, 5.-6. Kl., 24)

2 Katze, Huhn und Elefant

21

Problem 2.15 Jonathan sammelt Kuscheltiere, und zwar Hunde und Katzen. Als sein Onkel ihn fragt, wovon er mehr habe, antwortet er verschmitzt: „Die Zahl der Katzenpfoten ist doppelt so groß wie die Zahl der Hundeschnauzen.“ Da weiß sein Onkel, es sind (A) (B) (C) (D) (E)

doppelt so viele Katzen wie Hunde. gleich viele Katzen wie Hunde. halb so viele Katzen wie Hunde. viermal so viele Hunde wie Katzen. viermal so viele Katzen wie Hunde.

(Känguru, 2009, 5.-6. Kl., 10) Problem 2.16 Familie Gärtner hat zur Einfassung zweier Beete dieselbe Zahl von grauen und von braunen Steinen gekauft. Der Vater hat 45 graue und 35 braune Steine zu den Beeten gekarrt. Die restlichen Steine tragen Oskar und Adele. Sie laufen zu zweit hin und her, beide gleich oft, bis alle Steine weg sind. Jedes Mal trägt Oskar 4 graue und Adele 6 braune Steine. Wie viele Steine sind es insgesamt? (A) 100

(B) 110

(C) 120

(D) 130

(E) 140

(Känguru, 2009, 5.-6. Kl., 18) Problem 2.17 Eine Fliege hat 6 Beine, eine Spinne sogar 8. Zusammen haben 2 Fliegen und 3 Spinnen genauso viele Beine wie 10 Hühner und (A) 2 K at zen (B) 3 K at zen (C) 4 K at zen (D) 5 K at zen (E) 6 K at zen?

(Känguru, 2010, 5.-6. Kl., A7)

22

T. S. Samrowski

Problem 2.18 Meine Tante hat in ihrem großen Garten im Herbst Äpfel geerntet, wovon sie 252 kg an einen Händler verkauft hat. Dieser bat sie, die Äpfel in 2 kg- und 5 kg-Netze verpackt zu liefern, und davon jeweils die gleiche Anzahl Netze. Um die Netze zu besorgen, musste ich ausrechnen, wie viele Netze meine Tante dazu insgesamt brauchte; es waren (A) 34

(B) 36

(C) 53

(D) 72

(E) 76

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 24) Problem 2.19 Auf einer Waldlichtung leben Tausendfüßler, Spinnen und Käfer (also Tiere mit 40 bzw. 8 bzw. 6 Beinen). Die Ameisen versprechen, ihnen zum Waldfest 90 Schuhe zu schenken, wenn von den Bewohnern der Lichtung die Bedingung erfüllt wird, dass genau 5 von ihnen Schuhe für sämtliche Füße bekommen. Was ist richtig? (A) (B) (C) (D) (E)

Es gibt mehr als eine Möglichkeit, die Bedingung der Ameisen zu erfüllen. 2 Tausendfüßler sind unter den Beschenkten. Mindestens eine Spinne bekommt Schuhe. Mindestens ein Käfer bekommt Schuhe. Die Bedingung der Ameisen ist nicht erfüllbar.

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 20) Problem 2.20 Vom Kampf gegen die Drachen heimgekehrt, erzählten die Drachenbezwinger: „Es gab rote Drachen und es gab grüne Drachen. Die roten hatten 6 Köpfe, 8 Beine und 2 Flügel, während die grünen 8 Köpfe, 6 Beine und 4 Flügel hatten. Nach dem Kampf fand man die 44 Flügel der getöteten Untiere, und die Anzahl der grünen Beine war um 6 kleiner als die Anzahl der roten Häupter.“ Nach diesen Worten fielen die Recken in tiefen Schlaf. Wie viele Drachen töteten sie? (A) 15

(B) 22

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 29)

(C) 8

(D) 10

(E) 6

2 Katze, Huhn und Elefant

23

Problem 2.21 Bald feiern meine Großeltern Goldene Hochzeit mit vielen Gästen. Ich sollte 8 Kartons mit Kerzen kaufen, von jeder der 3 gewünschten Sorten mindestens einen Karton. Ich kaufe rote Kerzen für 4 EUR, weißgoldene für 6 EUR und dunkelgrüne für 4,50 EUR je Karton und bezahlte insgesamt 39 EUR. Wie viele Kartons mit weiß-goldenen Kerzen habe ich gekauft? (A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 1

(Känguru, 2002, 5.-6. Kl., 14) Problem 2.22 Laura besitzt 73 Franken, und zwar alles in Fünffranken- und Zweifrankenstücken. Im Ganzen sind es 23 Geldstücke. Wie viele sind es von jeder Sorte? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Literargymnasium Rämibühl, Realgymnasium Rämibühl, KS Hohe Promenade, KS Freudenberg, KSWiedikon, KS Küsnacht, Zürich, 2006, 6) Problem 2.23 An der großen Ruderregatta auf der Alster nehmen nur Vierer und Achter teil. Da sowohl die Vierer als auch die Achter jeweils mit Steuermann gefahren werden, sitzen in einem Vierer fünf Sportler und in einem Achter neun Sportler. Jens ist für die Listenführung verantwortlich und findet heraus, dass bis zum Meldetermin 1020 Sportler gemeldet waren und dass die Anzahl der Achter 45 betrug. Jeder Sportler wurde nur für ein Boot gemeldet. a) Berechne die Anzahl der gemeldeten Vierer. Bei der Regatta durften auch Boote starten, die bis zum Meldetermin noch nicht gemeldet waren. Andererseits sind einige gemeldete Boote nicht erschienen. An der Regatta nahm schließlich ein Boot weniger teil als ursprünglich gemeldet. Überraschenderweise waren aber insgesamt mehr Sportler in den Booten, nämlich 1023. b) Ermittle aufgrund dieser Zahlen, wie sich die Anzahlen der Viererboote und der Achterboote gegenüber der Meldung geändert haben. Hinweis: Es gibt nur eine Lösung für dieses Problem. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560622)

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T. S. Samrowski

Problem 2.24 Hühner und Schafe In einem Stall sind Hühner und Schafe. Von jeder Tierart gibt es mindestens ein Tier. Zusammen haben sie 18 Beine. a) Wie viele Hühner und wie viele Schafe können es sein? Gib alle Lösungsmöglichkeiten an. b) Begründe, warum es nicht mehr Lösungen geben kann. (Deutsche Mathematik Olympiade, 550414) Problem 2.25 Schafe und Fliegen Hanno zählt in einem Stall 12 Tiere. Es sind Schafe und Fliegen. Von jeder Tierart gibt es mindestens ein Tier. Zusammen haben sie 66 Beine. a) Wie viele Schafe und wie viele Fliegen hat Hanno gezählt? b) Gibt es zu der Aufgabe mehrere Lösungen? Wenn ja, gib mindestens zwei unterschiedliche Lösungen an. Wenn nicht, begründe, warum es keine weitere Lösung gibt. (Deutsche Mathematik Olympiade, 550423) Problem 2.26 Gänse, Kühe und Fliegen In einem Stall gibt es 12 Tiere. Es sind Gänse, Kühe und Fliegen. Von jeder Tierart gibt es mindestens ein Tier. Zusammen haben sie 50 Beine. a) Wie viele Gänse, wie viele Kühe und wie viele Fliegen können es sein? Gib eine Lösungsmöglichkeit an. b) Wie kannst du die Anzahlen der einzelnen Tierarten ändern, ohne dass sich die Gesamtzahl der Tiere und der Beine verändert? Gib eine weitere Lösung an und beschreibe dein Vorgehen. (Deutsche Mathematik Olympiade, 550433)

2 Katze, Huhn und Elefant

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Problem 2.27 Bauernhof Auf einem Bauernhof sind 17 Tiere im Stall. Sie haben insgesamt 74 Beine. Im Stall befinden sich Kühe, Gänse und Fliegen. Wie viele Kühe, Gänse und Fliegen können sich im Stall aufhalten? Gib eine Möglichkeit an. Beachte, dass Fliegen 6 Beine haben. (Deutsche Mathematik Olympiade, 460432) Problem 2.28 Nach vielen Jahren Flug zu einem entfernten Planeten übermittelte eine Sonde ein sensationelles Bild: Es zeigte nur Megaraupen und dreiköpfige Drachen und sonst keine anderen Tiere. Insgesamt konnten genau 26 Köpfe und 298 Beine festgestellt werden. Es wurde auch festgestellt, dass jede Megaraupe 40 Beine und einen Kopf hatte. Wie viele Beine hat demnach auf diesem Planeten ein dreiköpfiger Drache? Weise nach, dass die von dir ermittelte Lösung alle gestellten Bedingungen erfüllt! (Deutsche Mathematik Olympiade, 400731) Problem 2.29 Ein Viehhändler erzählt: „Gestern habe ich Schafe und Hühner verkauft. Sie hatten zusammen 100 Füße und mehr als 50 Augen. Es waren mehr als viermal so viele Schafe wie Hühner.“ Ist durch diese Angabe eindeutig bestimmt, wie viele Schafe und wie viele Hühner es waren? Wenn diese Zahlen nicht eindeutig bestimmt sind, welches sind dann alle Möglichkeiten für diese Zahlen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 370624) Problem 2.30 Jörg bewundert Holgers Kaninchen und Tauben. Er möchte gern wissen, wie viele Kaninchen und Tauben Holger besitzt, und fragt ihn deshalb danach. Dieser antwortet: „Ich habe insgesamt 24 Tiere, die zusammen 62 Beine haben. Andere Tiere als Kaninchen und Tauben habe ich nicht.“ Wie viele Kaninchen und wie viele Tauben besitzt Holger? Begründe deine Antworten. (Deutsche Mathematik Olympiade, 260513)

26

T. S. Samrowski

2.4

Und weil es so schön war, machen wir die Zahlenrätsel noch mal

Problem 2.31 Wie viele a) b) a) b) c)

einstellige, zweistellige, dreistellige, sechsstellige, zehnstellige

Zahlen gibt es? Problem 2.32 Nenne die größte und die kleinste siebenstellige Zahl. Problem 2.33 Wie oft muss man zur größten einstelligen Zahl die größte dreistellige Zahl addieren, um die größte vierstellige Zahl zu bekommen? Problem 2.34 Es sind alle vierstelligen natürlichen Zahlen zu ermitteln, für die folgende Eigenschaften erfüllt sind: (1) (2) (3) (4)

Die erste Ziffer ist kleiner als die letzte. Die zweite Ziffer ist zweimal so groß wie die erste. Die dritte Ziffer ist um 4 kleiner als die zweite. Die vierte Ziffer ist um 3 größer als die zweite.

Problem 2.35 Löse das folgende Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen: K AT Z E + K AT Z E HU N D E

3 Mal zu viel, mal zu wenig

In der Mathematik muss man mit allem rechnen. Werner Mitsch In diesem Kapitel werden Operationsbeziehungen und arithmetische Muster erforscht und dadurch Erkenntnisse zum Lösen der Aufgaben über Mengen und Preise, Schnitte und Abstände, sowie Zäune und Pfosten festgehalten.

3.1

Das sollte für den Anfang reichen

Problem 3.1 Elina fehlen 12 Franken, um 7 Luftballons zu kaufen. Wenn sie aber nur 5 Luftballons kaufen würde, hätte sie noch 8 Franken übrig. a) Wie teuer ist ein Luftballon? b) Reicht das Geld zum Kauf von 6 Luftballons? Lösung 3.1 a) Für den Kauf von 7 Luftballons fehlen 12 Franken, beim Kauf von 5 Ballons bleiben 8 Franken übrig. Dann sind sieben Luftballons 12 + 8 = 20

Franken

Werner Mitsch,*1936, deutscher Aphoristiker. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_3

27

28

T. S. Samrowski

teurer als fünf. Somit kostet ein Luftballon 20 ÷ (7 − 5) = 10

Franken.

b) Da ein Luftballon 10 Franken kostet, hat Elina insgesamt 10 · 5 + 8 = 58 Franken. Für 6 Luftballons bräuchte man aber 10 · 6 = 60

Franken.

Elinas Geld reicht deswegen nicht aus. Problem 3.2 Darius hat zwei gleichartige Spieleisenbahnen. Der erste Zug hat eine schwarze Lokomotive und rote Waggons. Die Lokomotive des anderen Zuges ist grau, und die Waggons sind blau. Insgesamt sind 18 Waggons in beiden Zügen. a) Wie viele Waggons hat jeder Spielzug, wenn Darius doppelt so viele rote Waggons hat wie blaue? b) Wie viele Waggons hat jeder Spielzug, wenn Darius 4 rote Waggons weniger hat als blaue?

Lösung 3.2 a) Da es doppelt so viele rote Waggons gibt, ist der Anteil der blauen Waggons ein Drittel. Somit hat Darius

und

18 ÷ 3 = 6

blaue Waggons

18 − 6 = 12

rote Waggons.

3 Mal zu viel, mal zu wenig

29

b) Da Darius 4 rote Waggons weniger hat als blaue, ist die Anzahl der blauen Waggons gleich der Anzahl der roten Waggons plus noch 4 Waggons. Dann ist die Anzahl der roten Waggons (18 − 4) ÷ 2 = 7 und die Anzahl der blauen Waggons ist 18 − 7 = 11.

3.2

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 3.3 Zwei kräftige Biber bauen gerade ein Wasserhäuschen. Dafür haben sie einen 6 m langen Stamm in 1-m-Stücke zerlegt. Wie viele Schnitte haben sie gemacht? Problem 3.4 Gegen Ende des Tages haben die beiden Biber, die das Wasserhäuschen bauen, insgesamt 30 Schnitte gemacht und 40 Holzstücke erhalten. Wie viele Stämme hatten sie?

Problem 3.5 Um 4 Hefte zu kaufen, braucht Emma noch 3 EUR. Wenn sie 3 Hefte nehmen würde, hätte sie noch 4 EUR übrig. Wie viel Geld hat Emma dabei?

30

T. S. Samrowski

Problem 3.6 Zwei Zauberwürfel und ein Comicheft kosten genauso viel wie ein Zauberwürfel und drei Comichefte. Wie viel mal ist ein Zauberwürfel teuerer als ein Comicheft? Problem 3.7 Ein wissbegieriger Junge hat eine alte Balkenwaage gefunden und konnte damit Folgendes feststellen: • 4 Pfirsiche und 3 Nektarinen wiegen genauso viel wie 3 Pfirsiche und 6 Aprikosen. • 12 Aprikosen wiegen genauso viel wie 9 Nektarinen. Wie viele Aprikosen muss er in eine Waagenschale legen, wenn in der anderen ein Pfirsich liegt, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt? Problem 3.8 Evelyn hat ihr Lieblingsbuch über Stringtheorie so oft und gründlich gelesen, dass eines Tages die Seiten 38 bis 93 rausgefallen sind. Das war das halbe Buch. Wie viele Seiten hatte das Lieblingsbuch von Evelyn, als es noch neu war, und wie viele Seiten fielen raus? Problem 3.9 Kati, Tati und Fati haben zusammen 18 Farbstifte. Fati hat zwei Stifte weniger als Tati, Tati hat einen Stift mehr als Kati. Wie viele Stifte hat jedes Mädchen? Problem 3.10 Sklizzy ist eine extrem zielstrebige Schnecke. Eines Tages entscheidet sie sich, den höchsten Baum im Wald zu ersteigen. Der Baum ist genau 10 m hoch. Sklizzy schafft es, pro Tag 4 m hoch zu krabbeln, rutscht aber in der Nacht 3 m runter. Wann erreicht Sklizzy ihr Ziel, falls sie am Dienstagmorgen startet?

3 Mal zu viel, mal zu wenig

31

Problem 3.11 Auf zwei Regalen stehen 30 Bücher. Frau Koch nimmt zwei Bücher von dem ersten Regal und stellt sie auf das zweite Regal. Jetzt sind auf dem zweiten Regal doppelt so viele Bücher wie auf dem ersten. Wie viele Bücher standen auf dem ersten Regal zu Beginn? Problem 3.12 Ein Junge hat doppelt so viele Schwester wie Brüder. Seine Schwester hat gleich viele Brüder wie Schwestern. Wie viele Kinder hat diese Familie und wie viele davon sind Mädchen? Problem 3.13 Ich habe zwei Schwestern mehr als Brüder. Wie viele Töchter mehr als Söhne haben meine Eltern?

3.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 3.14 Manuel möchte seine Bonbons gleichmäßig auf Tüten verteilen, um diese seinen Freunden zu schenken. Bei zwei Bonbons je Tüte bleiben 6 Bonbons übrig und bei drei Bonbons je Tüte bleibt eine Tüte leer. Wie viele Bonbons hat er? (A) 24

(B) 20

(C) 18

(D) 12

(E) 9

(Pangea-CH, Vorrunde 2013, 6. Kl., 19) Problem 3.15 In einem Kino sind 84 Kinder. Es sind dreimal so viele Jungen wie Mädchen. Wie viele Mädchen sind es? (A) 63

(B) 45

(C) 30

(D) 21

(D) 15

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 5. Kl., 10) Problem 3.16 Herr Schlaukopf hat genau zwei Mathebücher in seinem Wandregal. Ein Mathebuch ist das Elfte von links, und das andere ist das Dreizehnte von rechts. Zwischen den Mathebüchern sind genau fünf andere Bücher. Wie viele Bücher hat Herr Schlaukopf mindestens in seinem Wandregal? (A) 17

(B) 18

(C) 29

(Pangea-CH, Vorrunde 2016, 5. Kl., 16)

(D) 31

(E) 33

32

T. S. Samrowski

Problem 3.17 Eine Strecke wird in vier Teile geteilt. • Der 2. Teil ist doppelt so lang wie der 1. Teil. • Der 3. Teil ist doppelt so lang wie der 2. Teil. • Der 4. Teil ist doppelt so lang wie der 3. Teil. Wie groß ist das Verhältnis des längsten Teils zur gesamten Strecke? a)

11 15

b)

8 15

c)

4 10

d)

4 15

e)

10 15

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6. Kl., 20) Problem 3.18 Es werden Kugeln in drei Kisten verteilt. In der zweiten Kiste sind doppelt so viele Kugeln wie in der ersten Kiste. In der dritten Kiste sind dreimal so viele Kugeln wie in der ersten Kiste. Nimmt man aus der ersten Kiste fünf Kugeln und legt diese in die dritte Kiste, so sind in der dritten Kiste fünfmal so viele Kugeln wie in der ersten Kiste. Wie viele Kugeln sind insgesamt in den 3 Kisten? (A) 30

(B) 48

(C) 60

(D) 72

(E) 90

(Pangea-DE, Vorrunde 2016, 5. Kl., 20) Problem 3.19 Eine Maschine schneidet eine 18 m lange Holzplatte innerhalb von 537 s in 10 cm Stücke. Wie lange benötigt die gleiche Maschine für die gleiche Holzplatte, wenn die geschnittenen Stücke jeweils 5 cm sein sollen? (A) 1071

(B) 1074

(C) 1077

(D) 1081

(E) 2685

(Pangea-CH, Finale 2016, 5. Kl., 15) Problem 3.20 Vermehrt ein Schäfer seine Herde um 23 Schafe, hätte er doppelt so viele Tiere zu betreuen, als wenn er 27 Schafe zum Schlachter bringen würde. Wie viele Schafe sind in der Herde? (A) 55

(B) 64

(C) 66

(Pangea-DE, Vorrunde 2012, 5. Kl., 25)

(D) 77

(E) 93

3 Mal zu viel, mal zu wenig

33

Problem 3.21 In unserem Schulchor singen 36 Kinder. Bei der Probe sitzen alle auf Zweierbänken. Heute saß neben jedem Jungen ein Mädchen, aber nur die Hälfte der Mädchen hatte einen Jungen als Nachbarn. Wie viele Jungen sind im Chor? (A) 12

(B) 14

(C) 15

(D) 17

(E) 18

(Känguru, 2016, 5.-6. Kl., B5) Problem 3.22 Ich habe 2 Zahlen addiert und als Summe 170 erhalten. Die größere Zahl endet auf 5, und wenn ich die 5 wegstreiche, bleibt die kleinere Zahl übrig. Wie groß ist die Differenz der beiden Zahlen? (A) 110

(B) 120

(C) 130

(D) 140

(E) 150

(Känguru, 2016, 3.-4. Kl., C7) Problem 3.23 Herr Maier arbeitet in einem Hochhaus mit 20 Etagen. Sein Büro ist in der 15. Etage. Der Eingang ist im Erdgeschoss. Zum Mittagessen fährt er in die 2. Etage. Herr Maier benutzt immer den Aufzug. Wie viele Etagen ist er am Ende des Arbeitstages mit dem Aufzug mindestens gefahren? (A) 30

(B) 34

(C) 43

(D) 54

(E) 56

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2019, 5. Kl., 3) Problem 3.24 Tim liest jeden Tag die gleiche Anzahl von Seiten eines Buches. Nach 7 Tagen ist er mit dem Buch fertig. Lara liest jeden Tag 4 Seiten mehr als Tim und ist mit demselben Buch nach 6 Tagen fertig. Robert liest jeden Tag 21 Seiten. Nach wie vielen Tagen ist er mit demselben Buch fertig? (A) 5

(B) 6

(C) 7

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2019, 5. Kl., 5)

(D) 8

(E) 9

34

T. S. Samrowski

Problem 3.25 Ein Blatt Papier ist ungefähr 0,01 mm dick. Es wird zehnmal gefaltet. Wie dick ist das gefaltete Papier? (A) (B) (C) (D) (E)

0,1 mm 0,11 mm 2,56 mm 5,12 mm 10,24 mm

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 6. Kl., 10) Problem 3.26 Familie Berg hat ihren Wanderurlaub genau geplant. Von Montag bis Freitag stehen insgesamt 70 km auf dem Plan. Am Dienstag wandern sie 2 km mehr als am Montag, am Mittwoch 2 km mehr als am Dienstag usw. Wie viel wandern sie am Donnerstag? (A) 12

(B) 13

(C) 14

(D) 15

(E) 16

(Känguru, 2017, 5.-6. Kl., B5) Problem 3.27 Meine Tante Marla eröffnet ein Café. Ihr Freund Pietro schenkt ihr quadratische Tische und Stühle. Um die Tische einzeln mit je 4 Stühlen zu stellen, fehlen Marla 6 Stühle. Stellt sie jedoch immer 2 Tische zusammen und je 6 Stühle dazu, bleiben 4 Stühle übrig. Wie viele Tische hat Marla von Pietro bekommen? (A) 8

(B) 10

(C) 12

(D) 14

(E) 16

(Känguru, 2016, 5.-6. Kl., C4) Problem 3.28 Wie viele 2-stellige Zahlen gibt es, die um 50 größer sind als eine andere 2-stellige Zahl? (A) 10

(B) 20

(Känguru, 2013, 5.-6. Kl., C2)

(C) 30

(D) 40

(E) 50

3 Mal zu viel, mal zu wenig

35

Problem 3.29 Über den kleinen, 40 m breiten Kanal, der durch unseren Ort führt, soll eine neue Brücke gebaut werden. Auf jeder Uferseite soll ein Viertel der Gesamtlänge der Brücke stehen. Wie lang wird die Brücke insgesamt? (A) 50 m

(B) 60 m

(C) 72 m

(D) 75 m

(E) 80 m

(Känguru, 2009, 5.-6. Kl., 8) Problem 3.30 Unser Geld reicht auf dem Jahrmarkt entweder für 12-mal Riesenrad oder für 20-mal Flipper. Wenn wir 9-mal Riesenrad fahren, wie oft könnten wir dann höchstens vom Restgeld Flipper fahren? (A) 2 − mal (B) 4 − mal (C) 5 − mal (D) 6 − mal (E) 8 − mal (Känguru, 2009, 5.-6. Kl., 17) Problem 3.31 Wie viele 2-stellige Zahlen gibt es, bei denen die Zehnerziffer größer ist als die Einerziffer? (A) 9

(B) 18

(C) 27

(D) 36

(E) 45

(Känguru, 2008, 5.-6. Kl., 21) Problem 3.32 In unserer kleinen Schulbibliothek mit insgesamt 180 Büchern haben wir Abenteuer-, Märchen- und Sachbücher. Pablo, in dieser Woche der Bibliothekar, hat gezählt, dass 18 Abenteuer-, 24 Sach- und 12 Märchenbücher ausgeliehen worden sind. Vergnügt stellt er fest, dass er nun von jeder Sorte dieselbe Anzahl in der Bibliothek hat. Wie viele der 180 Bücher sind Sachbücher? (A) 72

(B) 56

(Känguru, 2007, 5.-6. Kl., 22)

(C) 63

(D) 48

(E) 66

36

T. S. Samrowski

Problem 3.33 In Karls Schule wollen aus den drei 5. Klassen insgesamt 89 Kinder am Känguruwettbewerb teilnehmen. Der Direktor der Schule interessiert sich dafür, wie viele Jungen dabei sind. Er erfährt, dass es in der 5a zwei Mädchen mehr als Jungen, in der 5b zwei Jungen mehr als Mädchen und in der 5c sieben Mädchen weniger als Jungen sind, die teilnehmen. Wie viele Jungen nehmen aus den drei Klassen insgesamt teil? (A) 48

(B) 82

(C) 41

(D) 34

(E) 55

(Känguru, 2006, 5.-6. Kl., 17) Problem 3.34 Ein 5 m langes Brett soll in zehn gleich lange Teile gesägt werden. Wie oft muss man sägen? (A) (B) (C) (D) (E)

9-mal 10-mal 11-mal 15-mal 22-mal

(Paangea-CH, 2012, 5. Kl., 12) Problem 3.35 Meine kleine Schwester Dorit schneidet ein Stück Papier in 6 Teile. Dann nimmt sie das größte Stück und zerschneidet es erneut in 6 Teile. Dies tut sie weitere zwei Male. Ich muss dann aufräumen. Wie viele Schnipsel aus Dorits Zerschneideaktion muss ich einsammeln? (A) 21

(B) 22

(C) 23

(D) 24

(E) 25

(Känguru, 2005, 5.-6. Kl., 8) Problem 3.36 Patricia und Patrick sind Bruder und Schwester. Die Anzahl von Patricias Brüdern plus die Anzahl von Patricias Schwestern ist gleich 4. Wie viele Kinder sind in der Familie? (A) 4

(B) 5

(Känguru, 2004, 5.-6. Kl., 6)

(C) 6

(D) 7

(E) 8

3 Mal zu viel, mal zu wenig

37

Problem 3.37 Hans und Helga haben ihre Fotos von der letzten Klassenfahrt auf den Tisch gelegt, insgesamt sind es 96. Helga hat 18 Fotos mehr gemacht als Hans. Welche der Aufgaben muss man lösen, um die Anzahl der Fotos auszurechnen, die Hans gemacht hat? (A) (B) (C) (D) (E)

96 : 2 − 18 96 − 18 : 2 (96 − 18) : 2 (96 + 18) : 2 96 : (2 − 18)

(Känguru, 2003, 5.-6. Kl., 19) Problem 3.38 Im Stadtpark stehen insgesamt 61 Bänke. Als ich dort langspaziere, sind 17 Bänke mehr besetzt, als Bänke leer sind. Auf einem Drittel der besetzten Bänke sitzen pro Bank 3 Personen, auf 5 Bänken je nur eine Person, auf den restlichen je 2. Wie viele Leute sitzen insgesamt au den Bänken? (A) 61

(B) 122

(C) 86

(D) 71

(E) 39

(Känguru, 2002, 5.-6. Kl., 25) Problem 3.39 David, Karin und Max ernten zusammen 280 Tomaten. David hat doppelt so viele wie Karin und sogar viermal so viele wie der kleine Max gepflückt. Wie viele Tomaten hat Karin geerntet? (A) 45

(B) 60

(C) 65

(D) 70

(E) 80

(Känguru, 2001, 5.-6. Kl., 23) Problem 3.40 In einem Bilderbuch sind Fische, Löwen, Schweine und Tiger abgebildet, insgesamt genau 195 Tiere. Landtiere gibt es viermal so viele wie Fische. Es gibt doppelt so viele Schweine wie Raubkatzen und 18 Tiger mehr als Löwen. Wie viele Tiger sind im Bilderbuch abgebildet? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2017, 3)

38

T. S. Samrowski

Problem 3.41 a) Die Seitenzahlen eines Buches beginnen mit der Seitenzahl 3 und enden mit der Seitenzahl 54. Wie viele Ziffern haben alle Seitenzahlen zusammen? b) In einem anderen Buch beginnt die Nummerierung mit der Seitenzahl 5. Für alle Seitenzahlen werden insgesamt 2015 Ziffern benötigt. Bestimme die letzte Seitenzahl. c) Berechne für das erste Buch die Summe aller Seitenzahlen von 3 bis 54. (Deutsche Mathematik Olympiade, 540531) Problem 3.42 Ramon und Stefan treffen sich zum Murmelspielen. Ramon hat 146 Murmeln und Stefan hat 88. a) Wie viele Murmeln müsste Ramon Stefan abgeben, dass beide gleich viele Murmeln haben? b) Ihr Freund Tobias möchte nun auch mitspielen, hat aber keine Murmeln. Wie viele Murmeln erhält er von Ramon und wie viele von Stefan, wenn alle drei Jungen gleich viele Murmeln haben sollen? Beim Austeilen stellt sich heraus, dass die Murmeln drei verschiedene Farben haben und es von jeder Farbe die gleiche Anzahl von Murmeln gibt. Ramon stellt fest: „Drei Dreizehntel meiner Murmeln sind rot, und es sind gleich viele blaue und gelbe.“ Stefan stellt fest: „Ich habe genauso viele blaue Murmeln, wie Ramon rote hat. Außerdem habe ich doppelt so viele rote wie blaue Murmeln.“ c) Wie viele Murmeln hat jeder der drei Jungen von jeder der drei Farben? Führe eine Probe durch. (Deutsche Mathematik Olympiade, 550613)

3 Mal zu viel, mal zu wenig

39

Problem 3.43 Jessica hilft, im Stadtpark zwei Rosenbeete anzulegen, eines mit gelben, eines mit roten Rosen. a) Dazu müssen die Rosenstöcke vom Anhänger zum Beet getragen werden. Jessica trägt immer zwei gelbe Rosenstöcke auf einmal. Hätte sie immer drei gelbe Rosenstöcke auf einmal getragen, hätte sie zwölfmal weniger laufen müssen. Wie viele gelbe Rosenstöcke hat Jessica ans Beet getragen? Führe eine Probe durch! b) Beim Mittagessen erzählt Jessica ihrer Mutter: „Danach wollte ich alle roten Rosenstöcke in einem Rechteck anordnen. Als ich jeweils 4 Rosenstöcke in einer Reihe angeordnet hatte, blieb ein Rosenstock übrig. Als ich jeweils 6 Rosenstöcke in einer Reihe angeordnet hatte, blieb auch einer übrig. Wenn ich jeweils 8 Rosenstöcke in einer Reihe angeordnet hätte, wäre auch wieder ein Rosenstock übrig gewesen.“ Die Mutter fragt, wie viele Rosenstöcke es waren. Jessica antwortet: „Mal sehen, ob du das selbst herausbekommst. Es sind übrigens mehr als 50, aber weniger als 90 Rosenstöcke.“ Ermittle, wie viele Rosenstöcke gepflanzt werden sollten! (Deutsche Mathematik Olympiade, 550524) Problem 3.44 Jens hilft seinem Vater beim Bauen. a) Es sind Bretter ins Haus zu tragen. Jens trägt immer drei Bretter auf einmal. Hätte er vier Bretter auf einmal getragen, hätte er zwölfmal weniger laufen müssen. Wie viele Bretter hat Jens ins Haus getragen? Führe eine Probe durch! b) Beim Mittagessen erzählt Jens seiner Mutter: „Ich wollte alle Gehwegplatten gleichmäßig aufstapeln. Als ich jeweils 4 Platten übereinandergelegt habe, blieb eine Platte übrig. Als ich jeweils 6 Platten übereinandergelegt habe, blieb auch eine übrig. Wenn ich jeweils 8 Platten übereinandergelegt hätte, wäre auch wieder eine Platte übrig gewesen.“ Die Mutter fragt, wie viele Platten aufzustapeln waren. Jens antwortet: „Mal sehen, ob du das selbst herausbekommst. Es sind übrigens mehr als 50, aber weniger als 100 Platten.“ Welche Anzahlen für die Gehwegplatten sind möglich? c) Der Mörtel wird aus Mörtelpulver und Wasser zusammengemischt. Das Mischungsverhältnis von Pulver zu Wasser beträgt hinsichtlich des Gewichts 2:3. Es sollen 25 kg Mörtel hergestellt werden. Wie viel Mörtelpulver und wie viel Wasser werden benötigt? (Deutsche Mathematik Olympiade, 550622)

40

T. S. Samrowski

Problem 3.45 Nach dem Ende eines Fußballspiels fahren die Fans mit Zügen nach Hause. Die 4500 Fans der Heimmannschaft fahren mit der Linie A und die 4000 Fans der Gastmannschaft fahren mit der Linie B. Die Planung sah vor: Die Züge der Linie A fahren alle 8 min und bestehen jeweils aus 9 Waggons. Die Züge der Linie B fahren alle 10 min und bestehen aus 10 Waggons. Beide Züge haben die gleiche Art von Waggons, in die jeweils 100 Leute passen. Die jeweils ersten Züge der Linien A und B fahren zur gleichen Zeit ab. a) Wie lange dauert es nach dieser Planung von der ersten Abfahrt, bis alle Fans beider Mannschaften abgefahren sind? b) Leider können tatsächlich nur die ersten drei Züge der Linie A mit 9 Waggons fahren, die weiteren Züge der Linie A haben 5 Waggons. Wie lange dauert es unter diesen Voraussetzungen, bis alle Fans der Heimmannschaft von ihrem Bahnsteig abgefahren sind? (Deutsche Mathematik Olympiade, 560523) Problem 3.46 Zum Montieren eines Gerätes sind insgesamt 110 h geplant. Die Montage wird in drei Abschnitten erfolgen. Für den zweiten Abschnitt ist genau dreimal so viel Zeit vorgesehen wie für den ersten; der dritte Abschnitt soll genau halb so lange dauern wie der zweite. Untersuche, welche Zeiten man hiernach für jeden einzelnen Abschnitt zu planen hat! Überprüfe, ob diese Zeiten alle gestellten Forderungen erfüllen. (Deutsche Mathematik Olympiade, 190623) Problem 3.47 Fünf Kinder, Andrea, Bettina, Christian, Dirk und Eva, reden über ihre Murmeln. • • • • •

Andrea sagt: Zusammen haben wir 65 Murmeln. Bettina sagt: Ich habe fünf Murmeln mehr als Andrea. Christian sagt: Ich habe fünf Murmeln mehr als Bettina. Dirk sagt: Ich habe fünf Murmeln mehr als Christian. Eva sagt: Ich habe fünf Murmeln mehr als Dirk.

Wie viele Murmeln haben die Kinder jeweils? (Deutsche Mathematik Olympiade, 430521)

3 Mal zu viel, mal zu wenig

3.4

41

Und weil es so schön war, machen wir nicht nur die Zahlenrätsel noch mal

Problem 3.48 Löse das folgende Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen: +

WWW DOW N E RRO R

Problem 3.49 Als die Bauernkinder mit Ferkeln und Gänseküken spielen, sitzt der sibirische Kater Arnold auf dem Zaun und beobachtet das Ganze mehr als skeptisch. Dann fällt ihm auf, dass die Anzahl aller Beine 150 und die Anzahl aller Köpfe 50 beträgt, aber nur wenn er seine eigenen Pfötchen und sein schlaues Köpfchen mitzählt. Es war ihm eigentlich schon bewusst, was für einen enormen Wert er für die Gesellschaft hatte, aber jetzt liegt sogar ein mathematischer Beweis dieser Behauptung vor. „Wie viele Ferkel haben wir eigentlich in diesem Jahr? Rechnen wir das mal aus!“, ist sein nächster Gedanke. Problem 3.50 Nico sollte eine Additionsaufgabe lösen. Allerdings unterlief ihm beim Abschreiben der Aufgabenstellung ein Fehler: Er hatte bei einem der Summanden eine Null am Ende zu viel aufgeschrieben und 36.210 anstatt 11.910 als Ergebnis bekommen. Welche Zahlen sollte Nico eigentlich addieren? Problem 3.51 Zeichne drei Kreise. Wie viele Schnittpunkte können dabei entstehen? Gib alle Möglichkeiten an. Problem 3.52 Mit wie vielen Quadraten, deren Seiten zweimal kleiner sind, als die Seite des Quadrats B, lässt sich das Quadrat A auslegen?

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

Das Glück kann man nur multiplizieren, indem man es teilt. Albert Schweitzer Dieses Kapitel ist der Antiproportionalität (auch umgekehrte oder indirekte Proportionalität genannt) gewidmet. Für die indirekte Proportionalität gilt die Aussage „je mehr, desto weniger“. Bei den Aufgaben geht es meistens um gemeinsames Arbeiten, Essen und Trinken, um das Einkaufen, wenn ein fester Betrag zu Verfügung steht usw. Dabei muss man immer überprüfen, ob dem n-fachen einer Größe das 1/n-fache der anderen Größe entspricht.

4.1

Von Anfang an zusammen

Problem 4.1 Drei gleiche Pumpen füllen ein Schwimmbad in 2 h. Wie lange brauchen a) zwei, b) fünf solche Pumpen? Lösung 4.1 a) Wenn drei gleiche Pumpen ein Schwimmbad in 2 h füllen, würde eine Pumpe für dieselbe Arbeit dreimal mehr Zeit brauchen, d. h. 2 · 3 = 6 h. Albert Schweitzer, 1875–1965, Theologe und Arzt. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_4

43

44

T. S. Samrowski

Zwei solche Pumpen wären aber zweimal schneller als nur eine Pumpe und füllten dasselbe Schwimmbad in 6 ÷ 2 = 3 h. b) Aus dem Teil a) wissen wir schon, dass eine Pumpe das Schwimmbad in 6 h füllt. Fünf Pumpen erledigen die Arbeit fünfmal schneller und füllen dasselbe Schwimmbad in 6 ÷ 5 = 1, 2 h = 1 h 12 min. Problem 4.2 Ein Bulle trinkt ein ganzes Wasserfass in 6 h aus. Das gleiche Wasserfass reicht für den Bullen und das Kalb zusammen für 4 h. Wie lange bräuchte das Kalb für dieselbe Wassermenge allein? Lösung 4.2 Da der Bulle das ganze Wasser in 6 h austrinkt, schafft er in 1 Stunde genau 16 des Wasserfasses. Zusammen mit dem Kalb trinken sie alles in 4 h aus, d. h., dass sie in 1 Stunde genau 41 des Wasserfasses austrinken. Dann trinkt das Kalb allein 1 1 1 − = 4 6 12 des Fasses in 1 Stunde aus. Für das ganze Wasserfass braucht es dann allein 1÷

1 = 12 h. 12

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

4.2

45

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 4.3 Flufy braucht 4 min, um die Karotte zu verputzen. Flinky schafft es doppelt so schnell. Wie schnell verschwindet die Karotte, wenn Flufy und Flinky gleichzeitig anfangen, sie zusammen zu vertilgen? Problem 4.4 Für 1 kg Karotten braucht Flufy 20 min. Flinky schafft es nach wie vor doppelt so schnell. 5 min nachdem die Kaninchen 2 kg Karotten bekommen und Flinky das Fressen begonnen hat, stößt Flufy dazu. Wie schnell verschwinden die Karotten diesmal? Problem 4.5 Drei Kaninchen fressen 1,8 kg Heu in 2 Tagen. Wie viele Kaninchen werden 3 kg Heu in 5 Tagen fressen? Problem 4.6 Zehn Elfen erlegen 50 Orks in 20 min. Wie viel Zeit brauchen fünfzehn Elfen, um 30 Orks zu erlegen? Problem 4.7 Drei Katzen haben drei Mäuse in 3 h gefangen. Wie viele Mäuse werden fünf Katzen in 6 h fangen?

Problem 4.8 Der Bau kann von 10 Bauarbeitern in 8 Tagen errichtet werden. Wie viele Bauarbeiter muss man noch einstellen, damit der Bau in 2 Tagen fertig wird?

46

T. S. Samrowski

Problem 4.9 Zwei Männer können 30 Bäume an einem Tag zersägen. Danach brauchen sie noch einen halben Tag, um diese zersägten Holzstücke zum Feuerholz kleinzuhacken. Wie viele Bäume müssen die beiden Männer zersägen, damit sie das ganze Holz noch am selben Tag kleinhacken könnten? Problem 4.10 Ein Team aus den drei Arbeitern Stefan, Christof und Sebastian hat einen Auftrag bekommen, eine Grube auszuheben. Wenn Christof und Sebastian zu zweit den Auftrag erledigen würden, bräuchten sie für die Arbeit 5 h. Stefan und Sebastian schaffen ihn in 2,5 h, wenn sie zusammen arbeiten. Ohne Sebastian benötigen Christof und Stefan sogar nur 2 h. Wie schnell kann Sebastian alleine den Arbeitsauftrag erledigen? Problem 4.11 Und wieder einmal heben drei Arbeiter eine Grube aus. Da sie diesmal nur einen Bagger haben, wechseln sie sich beim Arbeiten ab. Jeder arbeitet so lange, dass man in dieser Zeit eine halbe Grube ausheben könnte, hätte man zwei Bagger zur Verfügung. Die Grube wird in 2 h erstellt. Wie viel Zeit bräuchte man für die Grube, wenn man drei Bagger eingesetzt hätte.

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

47

Problem 4.12 Ein Schwimmbecken kann durch zwei unterschiedliche Röhren gefüllt werden. Die erste Röhre braucht zum Füllen 3 h, die zweite 9 h. Wie lange dauert es, das Becken zu füllen, wenn das Wasser durch die beiden Röhren gleichzeitig fließt? Problem 4.13 Ein Schwimmbecken kann durch zwei unterschiedliche Röhren gefüllt werden. Die erste Röhre braucht zum Füllen 9 h, die beiden Röhren zusammen füllen das Becken in 3 h. Wie lange dauert es, das Becken aus der zweiten Röhre allein zu füllen? Problem 4.14 Ein Schwimmbecken kann durch drei unterschiedliche Röhren gefüllt werden. Die erste Röhre braucht zum Füllen 3 h, die zweite 4 h und die dritte 12 h. Wie lange dauert es, das Schwimmbecken zu füllen, wenn das Wasser durch alle drei Röhren gleichzeitig fließt? Problem 4.15 Drei Pumpen füllen gemeinsam ein Schwimmbecken in 24 h. Die erste Pumpe braucht allein für das Schwimmbecken halb so lange wie die zweite Pumpe. Die dritte füllt dreimal so schnell wie die zweite. Wie lange braucht jede Pumpe allein, um das Schwimmbecken zu füllen?

4.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 4.16 Auf einer Hühnerfarm mit 20 Hühnern reicht der vorhandene Futtervorrat für 6 Tage. Wie lange reicht dieser Futtervorrat, wenn nur 10 Hühner zu füttern wären? (A) 3 T age

(B) 6 T age

(C) 8 T age

(Pangea-CH, Vorrunde 2016, 6. Kl., 10)

(D) 12 T age

(E) 14 T age

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T. S. Samrowski

Problem 4.17 Ein Schuhmacher kann in 3 Tagen 2 Paar Schuhe herstellen. Sein Mitarbeiter schafft jedoch nur 2 Paare in 5 Tagen. Wie viele Tage brauchen beide zusammen, um 48 Paare herzustellen? (A) 30 T age (B) 35 T age (C) 40 T age (D) 45 T age (E) 50 T age (Pangea-CH, Vorrunde 2016, 6. Kl., 18) Problem 4.18 Ein Schwimmbecken wird aus zwei Pumpen mit Wasser gefüllt. Am Anfang ist das Schwimmbecken leer. Aus der ersten Pumpe fließen je Minute 12 l in das Becken, aus der zweiten Pumpe fließen je Stunde 360 l. Das Becken ist nach 5 h gefüllt. Wie viel Liter Wasser fasst das Becken insgesamt? (A) (B) (C) (D) (E)

1800 l 3800 l 4320 l 5400 l 7200 l

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2015, 6. Kl., 7) Problem 4.19 Eine Kuh gibt täglich 20 l Milch. Landwirt Egli hat 15 Kühe, welche erfahrungsgemäß eine Wiese in 35 Tagen abgrasen. Landwirt Egli kauft noch so viele Kühe dazu, dass er jeden Tag insgesamt 500 l Milch erhält. Nach wie vielen Tagen ist diese Wiese jetzt abgegrast? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2019) Problem 4.20 Erik, Kevin und Lea bauen eine Sandburg. Sie beginnen um 9 Uhr und sind dann erfahrungsgemäß um 14:30 Uhr fertig. Heute aber möchten sie eine größere Sandburg bauen. Deshalb planen sie zu dritt 1 21 h mehr Zeit ein. Wie viele Kinder müssen ihnen von Anfang an helfen, wenn die größere Sandburg schon um 12 Uhr fertig sein soll? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2014)

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

49

Problem 4.21 Für die Kirschenernte würden 15 Bauern 20 Tage benötigen. Da die Bauern eine Regenperiode befürchten, lassen sie sich von 14 Schülern während neun Tagen in den Sommerferien bei der Ernte helfen. Sieben Schüler pflücken gleich viele Kirschen wie fünf Bauern in derselben Zeit. Wie viele Tage dauert die gesamte Kirschenernte nun? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2013) Problem 4.22 Eine Alpwiese gibt für 120 Schafe während 75 Tagen Futter. Nach 36 Tagen werden wegen eines kurzen, aber schweren Unwetters drei Fünftel der noch nicht abgegrasten Alpwiese mit Geröll bedeckt. Deshalb verlassen zwei Fünftel der Schafe die Alp. Für wie viele Tage haben die auf der Alp verbleibenden Schafe noch Futter? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2013) Problem 4.23 Aus den Solarzellen auf dem Dach eines Einfamilienhauses wird eine Batterie geladen, die für neun Glühbirnen während 114 h Strom liefert. Neuerdings steht in den beiden Kinderzimmern zusätzlich je eine Leseleuchte mit Energiesparlampe. Eine Glühbirne verbraucht gleich viel Strom wie vier Energiesparlampen. Wie viele Stunden reicht nun die Batterie für die neun Glühbirnen und die zwei Energiesparlampen? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2012,4) Problem 4.24 In einer Getränkefabrik wird Mineralwasser in Flaschen abgefüllt. Maschine 1 füllt 4400 Flaschen pro Stunde ab. Maschine 2 füllt 3200 Flaschen pro Stunde ab. Maschine 3 füllt 2400 Flaschen pro Stunde ab. Um 7.30 Uhr wird Maschine 1 gestartet, um 7.45 Uhr Maschine 2 und um 8 Uhr Maschine 3. Um wie viel Uhr sind 35.000 Flaschen abgefüllt? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2012,6) Problem 4.25 Philipp hat vier ausgewachsene Meerschweinchen. Für sie reicht ein normaler Sack Futter drei Wochen. Neuerdings gibt es aber auch große Säcke, welche die Hälfte mehr enthalten. Zudem hat Philipp vier weitere Meerschweinchen als Feriengäste, zwei ausgewachsene und zwei junge. Die jungen fressen halb so viel wie die ausgewachsenen Meerschweinchen. Wie viele Tage reicht ein großer Sack Futter für alle acht Meerschweinchen? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2011)

50

T. S. Samrowski

Problem 4.26 Ein Schwimmbecken hat für kaltes und warmes Wasser zwei verschiedene Zuleitungen. Mit der Kaltwasserröhre allein kann das Becken in 1 Stunde gefüllt werden. Mit der Warmwasserröhre allein dauert das Füllen des Beckens 2 h. Zu Beginn der Badesaison füllt der Bademeister das leere Becken. 24 min nach dem Öffnen der beiden Röhren merkt er, dass das Wasser zu kalt ist, und stellt die Kaltwasserröhre ab. Wie viele Minuten dauert es von diesem Zeitpunkt an, bis das Schwimmbecken gefüllt ist? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2011) Problem 4.27 Sieben Maurer können ein Haus in 83 Tagen bauen. Elf Tage nach Beginn der Arbeit wird ein erster Maurer krank und nach vier weiteren Tagen ein zweiter. Beide Maurer können bis zur Fertigstellung des Hauses nicht mehr eingesetzt werden. Um wie viele Tage verzögert sich die Arbeit? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2009) Problem 4.28 In einer Schneiderwerkstatt brauchen 21 Näherinnen 47 Tage für die Herstellung von Kostümen. Wie viele Tage dauert die Herstellung insgesamt, wenn nach 12 Arbeitstagen 6 Näherinnen ausfallen? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2008) Problem 4.29 Bauer Hürlimann hat 14 Pferde und 17 Kühe im Stall. Eine Kuh frisst doppelt so viel Heu wie ein Pferd. Der Heuvorrat von Bauer Hürlimann würde für 110 Tage reichen. Nach 30 Tagen nimmt der Bauer zusätzlich sechs Kühe in seinen Stall auf. Wie lange reicht der Heuvorrat insgesamt? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, Serie A, 2007) Problem 4.30 Bauer Hürlimann hat 16 Pferde und 19 Kühe im Stall. Eine Kuh frisst doppelt so viel Heu wie ein Pferd. Der Heuvorrat von Bauer Hürlimann würde für 120 Tage reichen. Nach 40 Tagen nimmt der Bauer zusätzlich drei Kühe in seinen Stall auf. Wie lange reicht der Heuvorrat insgesamt? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, Serie B, 2007)

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

51

Problem 4.31 Ein Brunnen fasst 1960 l Wasser und kann durch drei Röhren A, B und C gefüllt werden. Röhre B liefert pro Minute doppelt so viele Liter wie Röhre A, Röhre C pro Minute nur halb so viele Liter wie Röhre A. a) Der leere Brunnen wird in 35 min gefüllt. Wie viele Liter Wasser liefert jede Röhre pro Minute? b) Der Brunnen ist leer. Um 12.00 Uhr werden alle Röhren geöffnet. Nach 20 min fallen Röhre A und B aus. Wann ist der Brunnen voll? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Kantonsschule Rychenberg, Winterthur, 2006) Problem 4.32 Herr und Frau Hug wollen mit ihren beiden Kindern den Garten neu gestalten. Nach 5 h haben sie erst 35 der Arbeit erledigt, wobei ein Erwachsener doppelt so viel leistet wie ein Kind. Danach sind die Kinder müde, und Herr und Frau Hug arbeiten noch 3 21 h alleine weiter, bis sie beschließen, noch zwei Ehepaare aus der Nachbarschaft zu bitten, ihnen bei der restlichen Arbeit zu helfen. Wie lange brauchen die sechs Erwachsenen noch, um die restliche Arbeit zu erledigen? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Literargymnasium Rämibühl, Realgymnasium Rämibühl, KS Hohe Promenade, KS Freudenberg, KS Wiedikon, KS Küsnacht, Zürich, 2006) Problem 4.33 Ein Trog fasst 960 l. Er wird durch drei Röhren gefüllt. Zwei Röhren liefern pro Minute je 12 l Wasser. Die dritte Röhre allein würde den Trog in 40 min füllen. Die dritte Röhre ist zunächst 8 min lang verstopft. Während dieser Zeit fließt nur aus den ersten zwei Röhren Wasser. Wie lange dauert es unter diesen Umständen, bis der Trog ganz gefüllt ist? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Kantonsschulen Oerlikon, Limmattal und Zürcher Unterland, 2006)

52

T. S. Samrowski

Problem 4.34 Eine Wiese ist 10 800 qm groß. Drei Bauern überlegen, wie sie die Wiese mähen wollen. Bauer A würde sie in 3 h mähen, wenn er es allein tun müsste, Bauer B in 4 h, Bauer C in 6 h. a) Sie beschließen dann aber, gleichzeitig zu mähen, so dass sie bei geschickter Aufteilung der Wiese gleichzeitig fertig werden können. Wie viel Zeit würden sie hierzu brauchen? b) Nachdem sie zu dritt die Hälfte der Wiese gemäht haben, muss jedoch Bauer B aufhören. Wie viel Zeit brauchen nun noch A und C, bis die Wiese fertig gemäht ist? (Deutsche Mathematik Olympiade, 350632) Problem 4.35 In einer Hühnerfarm wurden 2500 Hühner gehalten. Am ersten Tag eines Monats war Futter vorhanden, das für genau 30 Tage ausreichend war. Nach genau 14 Tagen wurden 500 Hühner geschlachtet. Um wie viele Tage länger wurde dadurch die Zeit, für die das Futter ausreichend war? (Deutsche Mathematik Olympiade, 330711) Problem 4.36 Herr Schmidt will seinen Garten in Ordnung bringen. Er würde dazu 12 h brauchen; das ist ihm zu viel. Deshalb bittet er seine Söhne Max und Philipp um Mithilfe. Wenn alle drei zusammen arbeiten, würden sie die Arbeit in 5 h schaffen. Dabei sei angenommen, dass Philipp ebenso schnell arbeitet wie Max. a) Schafft Max in 1 Stunde mehr oder weniger als sein Vater oder ebenso viel? Begründe deine Antwort! b) In welcher Zeit würden Max und Philipp zusammen die Arbeit ohne ihren Vater schaffen? c) Alle drei beginnen zusammen mit der Arbeit. Max hört nach 2 h auf, Philipp nach 4 h. Wie lange muss Herr Schmidt noch allein arbeiten? (Deutsche Mathematik Olympiade, 400724)

4 Gemeinsam sind wir stark. Und schnell.

4.4

53

Und weil es so schön war, machen wir das noch mal

Problem 4.37 Löse das folgende Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen: +

EINS EINS EINS EINS EINS EINS S EC H S

Problem 4.38 Füge die Operationszeichen „+ “, „- “, „· “, „÷ “ sowie Klammern ein, damit die Rechnung stimmt: a) b) c) d) e)

44444 44444 44444 44444 44444

= = = = =

0 1 2 3 4

Problem 4.39 Mein Bruder hat insgesamt zwölf Spielzeugroboter in den Farben Blau, Rot und Gelb. Es sind fünfmal mehr rote Roboter als blaue. Wie viele gelbe Spielzeugroboter hat mein Bruder? Problem 4.40 Wie viele Schnittpunkte können zwei Kreise und ein Dreieck maximal haben? Problem 4.41 Welche Zahl erhältst du, wenn du die Zahl 7 verdreifachst, die Zahl 4 hinzuzählst, die erhaltene Zahl verdoppelst und die dabei erhaltene Zahl nochmals verdoppelst? Problem 4.42 Ein Hotel besitzt zusammen 98 Zwei- und Dreibettzimmer mit insgesamt 230 Betten. Wie viele Zweibettzimmer und wie viele Dreibettzimmer hat das Hotel?

5 nesölsträwkcüR saD

Mathematik ist eine Sprache. Josiah Willard Gibbs

Bei der Lösung der Aufgaben aus diesem Abschnitt soll man zuerst die Situation am Ende der Aufgabe betrachten, danach analysiert man den vorletzten Schritt, dann den Schritt davor usw. Somit wird die Aufgabe „rückwärts“ gelöst.

5.1

leipsiebsgnurhüfniE saD

Problem 5.1 Ena und Daria sind Schwestern und beide finden mathematische Rätsel toll. Heute spielen sie das „Rate mal meine Zahl“-Spiel. Man denkt sich dabei eine Zahl aus und macht mit der Zahl die arithmetischen Operationen, die der Gegner vorschlägt. Am Ende teilt man das Endergebnis mit, und der Gegner muss die ursprüngliche Zahl nennen. Ena fängt an und denkt sich eine natürliche Zahl aus. Auf die Anweisung von Daria multipliziert sie diese Zahl mit 17, addiert zum Produkt 1 und teilt das Ergebnis durch 3. Nach dieser Rechnung kommt 40 raus. Daria meint, dass die von Ena ausgedachte Zahl 8 ist. Stimmt das? Wenn nicht, welche Zahl hat sich Ena ausgedacht?

Josiah Willard Gibbs, 1839–1903, US-amerikanischer Physiker. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_5

55

56

T. S. Samrowski

Lösung 5.1 Als Erstes können wir prüfen, ob 8 die ursprüngliche Zahl ist und berechnen dafür 8 · 17 = 136, danach 136 + 1 = 137 und anschließend 137÷3 = 45 23 . Daria hat sich also verrechnet. Jetzt rechnen wir die korrekte Zahl aus: Nach der Teilung durch 3 bekommt Ena 40, das heißt, dass 120 = 40 · 3 die Zahl vor der Teilung war. Die Zahl 120 ist nach der Addition mit 1 entstanden, deswegen hatte man davor 120 − 1 = 119. Die Zahl 119 ist das Ergebnis der Multiplikation der von Ena ausgedachten Zahl mit 17, somit findet man 119 ÷ 17 = 7. Ena hat sich also die Zahl 7 ausgedacht. Probe: (7 · 17 + 1) ÷ 3 = 40.

5.2

nesöL negidnätstsbles muz nebagfuA

Problem 5.2 Jetzt ist Daria an der Reihe. Sie muss mit ihrer Zahl auf Enas Anweisungen Folgendes machen: Zuerst 15 addieren, danach mit 3 multiplizieren, anschließend durch 7 teilen, vom entstandenen Ergebnis 14 abziehen, dann wieder durch 7 teilen und zum Schluss mit der Differenz von 37 und 8 multiplizieren. Es kommt die Zahl 1682 raus. Nach kurzem Überlegen findet Ena die Zahl, die sich Daria ausgedacht hat. Wie lautet sie? Problem 5.3 Am ersten Ferientag haben sich Emily und Sofie zum Stadtbummel und einem Kinobesuch verabredet. Nach dem Frühstück schnappte sich Emily ihr ganzes Taschengeld und ging aus dem Haus. Gleich am ersten 1 ihrer Ersparnisse. Kiosk kaufte sie sich ein Päckchen Gummibärchen für 31 Danach nahm sie eine Einzelfahrtkarte für 2,20 EUR und fuhr mit der Linie 7 bis zum großen Einkaufszentrum im Zentrum der Stadt, wo sie die Hälfte des Geldes, das zu dem Moment in ihrem Portemonnaie lag, für ein hübsches T-Shirt ausgegeben hat. Kurze Zeit später trafen sich die beiden Freundinnen und gingen in ihre Lieblingseisdiele. Emily suchte sich einen Erdbeerbecher für genau 5 EUR aus. Während des kurzen Spaziergangs durch das Stadtzentrum zum Kino 1 Stunde später konnte Emily ausrechnen, dass sie im Kino insgesamt 21,70 EUR ausgeben darf, damit ihr noch das Geld für die Rückfahrt übrigbleibt. Wie viel Geld hatte Emily, als sie ihr Haus heute morgen verließ? Problem 5.4 Mephisto schlug Johnny Blaze einmal den folgenden Deal vor: Jedes Mal, wenn Johnny die magische Brücke überquert, würde sich sein Geld verdoppeln. Dafür müsste er aber Mephisto 32 EUR abgeben. Viermal konnte Johnny Blaze die magische Brücke überqueren und stellte fest, dass sein Geld ausging. Wie viel Geld hatte Johnny Blaze zu Beginn?

5 nesölsträwkcüR saD

57

Problem 5.5 Zwei Piraten spielen um ihre Goldmünzen. Zuerst verliert der erste Pirat die Hälfte seiner Goldmünzen und gibt sie dem zweiten Piraten, danach verliert der zweite die Hälfte seiner Goldmünzen an den ersten. Nachdem der erste an den zweiten wieder sieben Goldmünzen in der dritten Spielrunde verloren hatte, stellten sie fest, dass sie jetzt je 27 Goldmünzen übrig haben. Wie viele Goldmünzen hatte jeder Pirat unmittelbar vor dem Spiel?

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T. S. Samrowski

Problem 5.6 Drei Brüder haben in ihrem Garten 24 Ostereier gefunden. Dabei hat jeder drei Eier weniger gefunden, als sein Alter in Jahren war. Der jüngere Bruder war traurig, dass er am wenigsten gefunden hatte, und schlug den älteren Brüdern Folgendes vor: „Ich gebe jedem von euch 41 meines Fundes und behalte den Rest. Danach soll der mittlere Bruder das Gleiche machen und dann der Ältere.“ Nachdem sie ihre Ostereier so ausgetauscht hatten, hatte jeder von ihnen gleich viel. Wie alt war der jüngere Bruder? Problem 5.7 Nico pflückte in Omas Garten viele Äpfel. Unterwegs nach Hause traf er nacheinander Lena, Oana, Evelyn und Anna. Er teilte mit jedem Mädchen jedes Mal alle Äpfel, die er zu dem Zeitpunkt hatte, hälftig. Nach Hause brachte er zwei Äpfel. Wie viele Äpfel hat Nico den Mädchen abgegeben?

Problem 5.8 Während des Sporttages in der Schule fand das große Seilziehen statt. Die beiden ersten Klassen, die gleich viele Schüler hatten, haben sich zuerst an beiden Seilenden aufgestellt. Dann kamen die Zweitklässler und stellten sich jeweils zwischen zwei Erstklässler an jedem Ende des Seils auf. Zum Schluss durften sich Dritt- und Viertklässler in die Lücken zwischen Erst- und Zweitklässlern aufstellen. Wie groß sind die ersten Klassen in dieser Schule, wenn sich insgesamt 194 Kinder am Seilziehen beteiligten?

5 nesölsträwkcüR saD

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Problem 5.9 Die Rückkehr der Kraniche aus den Winterquartieren ist in vollem Gange. Wie die Vogelwarte der Siebenseenstadt heute morgen berichtet hat, sind Tausende von Zugvögeln in der letzten Nacht zurückgekehrt. Mit einem Radar registrierten die Vogelkundler alle Bewegungen von ziehenden Vögeln über der Stadt und Umgebung und bemerkten dabei ein merkwürdiges Verhalten: Die Hälfte der ganzen Keilformation der Kraniche und noch ein halber Kranich fanden gleich beim ersten See ihr Sommerquartier, alle anderen flogen weiter. Die Hälfte der weitergeflogenen Kraniche und noch ein halber Kranich haben sich für den zweiten See entschieden und der Rest flog weiter. Die gleiche Situation beobachtete man bei allen Seen der Siebenseenstadt, auch beim siebten See, wo die letzte Hälfte der zu dem Zeitpunkt bestehenden Keilformation und ein halber Kranich ihr Zuhause fanden. Aus wie vielen Kranichen bestand die Keilformation ursprünglich?

60

5.3

T. S. Samrowski

nebagfuasbrewebtteW

Problem 5.10 Ein Faulenzer traf den Teufel, der ihm folgendes Angebot machte: „Immer wenn du über diese Brücke gehst, verdoppelt sich das Geld in deiner Tasche. Zum Dank gibst du mir jedes Mal 8 Taler.“ Der Faulenzer nahm das Angebot an. Er ging dreimal über die Brücke. Jedes Mal verdoppelte sich sein Geld, und er gab dem Teufel jedes Mal 8 Taler. Nachdem er das dritte Mal über die Brücke gegangen war, hatte er aber nur noch genau 8 Taler, die er dem Teufel geben musste. So hatte er alles Geld verloren. a) Wie viele Taler hatte er zu Beginn in der Tasche? b) Wie viele Taler hätte der Faulenzer mindestens in seiner Tasche haben müssen, damit sich das Angebot für ihn lohnt? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 2A20) Problem 5.11 Auf einem Teich schwimmen Enten. Ein vorbeifliegender Vogel ruft: „Guten Tag, ihr hundert Enten!“ Eine pfiffige Ente antwortet: „Ja, wenn wir das Doppelte unserer Anzahl und dich dazuzählen, dann wären wir hundert.“ Wie viele Enten sind auf dem Teich? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4A16) Problem 5.12 Zahlenrätsel: In drei Kisten sind insgesamt 90 Kugeln. Ich nehme aus der ersten Kiste 3 Kugeln und lege sie in die zweite Kiste. Dann nehme ich aus der zweiten Kiste eine Kugel und lege sie in die dritte Kiste. Jetzt sind in jeder Kiste gleich viele Kugeln. Wie viele Kugeln waren am Anfang in der zweiten Kiste? (A) 30

(B) 31

(C) 33

(D) 29

(E) 28

(Pangea, Vorrunde 2014, 5. Kl., 20) Problem 5.13 Julia überlegt sich zwei Zahlen. Die erste Zahl ist 11, die andere verrät sie uns nicht. Dafür gibt sie uns den Tipp, dass die Summe beider Zahlen multipliziert mit 9 insgesamt 126 ergibt. Wie lautet die unbekannte Zahl? (A) 2

(B) 3

(C) 7

(Pangea, Vorrunde 2016, 6. Kl., 13)

(D) 8

(E) 13

5 nesölsträwkcüR saD

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Problem 5.14 Ali, Boris und Christian besitzen zusammen 102 Sammelkarten. Sie tauschen die Karten untereinander wie folgt aus: • Ali gibt Boris 11 seiner Sammelkarten. • Boris gibt Christian 7 seiner Sammelkarten. • Christian gibt Ali 5 seiner Sammelkarten. Jetzt haben alle die gleiche Anzahl an Sammelkarten. Wie viele Sammelkarten hatte Ali mehr als Christian vor dem Tausch? (A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 10

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 6. Kl., 10) Problem 5.15 In einem Bus fahren viele Personen. An der ersten Haltestelle steigen 7 Personen aus und 18 ein. An der zweiten Haltestelle steigt die Hälfte aus, und die Hälfte der an dieser Haltestelle aussteigenden Personenanzahl steigt ein. An der Endstation befinden sich 21 Personen im Bus. Wie viele Personen waren am Anfang im Bus? (A) 14

(B) 15

(C) 16

(D) 17

(E) 18

(Pangea-DE, Vorrunde 2013, 6. Kl., 23) Problem 5.16 In der Mathe-AG waren zu Beginn des Schuljahres 21 Schülerinnen und Schüler. Nach dem Halbjahr kamen 5 Schüler dazu, und 2 Schülerinnen wechselten in eine andere AG. Jetzt sind doppelt so viele Schülerinnen wie Schüler in der Mathe-AG. Wie viele Schülerinnen waren zu Beginn in der Mathe-AG? (A) 10

(B) 12

(C) 14

(D) 16

(E) 18

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 5. Kl., 13) Problem 5.17 Thomas hat einen Haufen Gummibärchen. Er isst an einem Tag die Hälfte und dann noch 3 Gummibärchen. Am nächsten Tag isst er wieder Hälfte und dann noch 3 der verbliebenen Gummibärchen. Das macht er insgesamt viermal, dann hat er ein Gummibärchen übrig. Wie viele Gummibärchen hatte Thomas zu Beginn? (A) 108

(B) 106

(C) 61

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 5. Kl., 17)

(D) 28

(E) 16

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T. S. Samrowski

Problem 5.18 Als Aschenputtel die Erbsen aus der Asche lesen musste, halfen ihr die Tauben. Besonders fleißig war die erste Taube, die blitzschnell ein Viertel der Erbsen rauspickte, ehe sie fortflog. Die nächsten 3 Tauben pickten gemeinsam die Hälfte der restlichen Erbsen heraus und flogen fort. Schließlich kamen noch 48 Tauben, und jede pickte 5 Erbsen aus der Asche, dann war die Arbeit getan. Wie viele Erbsen waren zu Beginn in der Asche? (A) 880

(B) 660

(C) 640

(D) 600

(E) 480

(Känguru, 2007, 5.–6. Kl., 26) Problem 5.19 Kurt denkt sich irgendeine natürliche Zahl und sagt sie Lea. Lea multipliziert diese Zahl entweder mit 5 oder mit 6. Nina zählt zu Leas Resultat entweder 5 oder 6, ganz nach ihrer Laune. Patrick zieht von Ninas Resultat nun 5 oder 6 ab, wie er will. Das Ergebnis ist 73. Welche Zahl hatte sich Kurt ausgedacht? (A) 9

(B) 12

(C) 14

(D) 16

(E) 19

(Känguru, 2007, 5.–6. Kl., 28) Problem 5.20 Ich falte ein Stück Papier fünf Mal. Dann schneide ich in die Mitte ein Loch (s. Bild). Wie viele Löcher sind auf dem Papier nach dem Auseinanderfalten zu finden?

(A) 6

(B) 24

(C) 32

(D) 48

(E) 64

(Känguru, 2007, 5.–6. Kl., 28) Problem 5.21 Wenn ich von einer Zahl 203 subtrahiere, zum Ergebnis 2003 addiere und dabei 20003 herausbekomme, welche war dann die ursprüngliche Zahl? (A) 23

(B) 18, 203

(Känguru, 2003, 5.–6. Kl., 8)

(C) 17, 797

(D) 21, 803

(E) 22, 209

5 nesölsträwkcüR saD

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Problem 5.22 Welches Ergebnis erhältst du, wenn du die Zahl 3 verdoppelst, die erhaltene Zahl wiederum verdoppelst, die Zahl 2 hinzuzählst und die dabei erhaltene Zahl nochmals verdoppelst? (A) 16

(B) 18

(C) 24

(D) 26

(E) 28

(Känguru, 2002, 5.–6. Kl., 4) Problem 5.23 Kaspar hat Kugeln, Würfel und Münzen, insgesamt 30 Stück. Für einen Zaubertrick legt er ein Tuch darüber. Als er das Tuch hochhebt, sind 6 Würfel in 6 Kugeln verwandelt. Das tut er ein weiteres Mal. Diesmal sind 5 Kugeln in 5 Münzen verwandelt. Jetzt sind es gleich viele Würfel, Kugeln und Münzen. Wie viele Kugeln waren es zu Beginn? (A) 4

(B) 5

(C) 9

(D) 10

(E) 11

(Känguru, 2019, 5.–6. Kl., C4) Problem 5.24 Bei der Wahl in Helgas Angelverein hatten sich 5 ältere Herren um den Vorsitz beworben. Es wurden insgesamt 36 Stimmen abgegeben. Der Sieger erhielt davon 12 Stimmen. Keiner der Kandidaten hat dieselbe Stimmenzahl wie ein anderer bekommen. Derjenige mit der geringsten Stimmenzahl bekam immerhin noch 4 Stimmen. Wie viele Stimmen erhielt der Zweitplatzierte? (A) 10

(B) 20

(C) 30

(D) 40

(E) 50

(Känguru, 2013, 5.–6. Kl., C6) Problem 5.25 Franz und Thomas haben beim Onkel im Garten Äpfel und Birnen gepflückt, große und kleine, insgesamt 25 Stück. Auf dem Weg nach Hause isst Franz einen Apfel und 3 Birnen, Thomas isst 3 Äpfel und 2 Birnen. Zu Hause beim Auspacken stellen sie fest, dass es nun gleich viele Äpfel und Birnen sind. Wie viele Birnen hatten sie gepflückt? (A) 12

(B) 21

(Känguru, 2012, 5.–6. Kl., B2)

(C) 16

(D) 19

(E) 13

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T. S. Samrowski

Problem 5.26 Tinko wollte eine Zahl mit 301 multiplizieren, hat jedoch die 0 dabei vergessen und nur mit 31 multipliziert. Sein Ergebnis war 372. Was hätte er erhalten, wenn er mit 301 multipliziert hätte? (A) 3010

(B) 3612

(C) 3702

(D) 3720

(E) 30, 720

(Känguru, 2011, 5.–6. Kl., 13) Problem 5.27 Fanni ist noch dabei, Schneebälle zu formen, da beginnt ihr Vater schon die Schneeballschlacht. Während sich die beiden wild bewerfen, kann Fanni noch 5 weitere Bälle formen. Als sie 14 Bälle verschossen hat, gibt ihr Vater auf. Da hat sie noch 7 Schneebälle übrig. Wie viele Schneebälle hatte Fanni schon vor der Schneeballschlacht für sich bereitgelegt? (A) 21

(B) 19

(C) 16

(D) 12

(E) 10

(Känguru, 2008, 5.–6. Kl., 16) Problem 5.28 Tarek hat sich eine Zahl ausgedacht, sie durch 7 dividiert, dann 7 addiert und das Ergebnis mit 7 multipliziert. Herausbekommen hat er 777. Welche Zahl hat sich Tarek ausgedacht? (A) 111

(B) 7

(C) 722

(D) 567

(E) 728

(Känguru, 2010, 5–6 Kl., 10) Problem 5.29 Die drei Schwestern Birte, Caroline und Dana hatten vor drei Jahren zusammen 48 Perlen geerbt. Jede hatte so viele Perlen bekommen, wie sie alt war. Zuerst gab Birte die Hälfte ihrer Perlen zu gleichen Teilen an die beiden Schwestern ab. Danach gab Caroline die Hälfte ihrer jetzigen Perlen zu gleichen Teilen an ihre Schwestern. Am Ende gab Dana die Hälfte der Perlen, die sie nun hatte, zu gleichen Teilen an Birte und Caroline. Das Staunen war groß, als dann alle gleich viele Perlen hatten. Wie alt sind die Schwestern jetzt? Ein Tipp: Arbeite dich von hinten nach vorn durch, also von der letzten Verteilung zur ersten. (Das nennt man Rückwärts-Arbeiten.) (Deutsche Mathematik Olympiade, 540514)

5 nesölsträwkcüR saD

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Problem 5.30 Die Differenz der beiden Produkte von 20 und 7 sowie von 16 und 2 wird mit der Summe der beiden Quotienten von 6 und 2 sowie von 39 und 3 multipliziert. Berechne das Ergebnis! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock,1994–2004) Problem 5.31 a) Beim Tag der offenen Tür eines Gymnasiums gibt es für interessierte Schülerinnen und Schüler drei Stationen: ein Wissensquiz, eine Knobelecke und einen Bastelstand. Um 9 Uhr befinden sich an jeder Station 8 Schüler. Bis 9:30 Uhr sind vier Schüler vom Wissensquiz zur Knobelecke, drei Schüler von der Knobelecke zum Bastelstand, zwei Schüler vom Bastelstand zum Wissensquiz und drei Schüler vom Wissensquiz zum Bastelstand gewechselt. Ermittle, wie viele dieser 24 Schüler sich um 9:30 Uhr an welcher Station befinden. b) In einem Zoogehege turnen einige Affen auf Seilen, andere sitzen auf Bäumen und die restlichen sind an der Futterstelle. Nun springt ein Affe vom Seil auf einen Baum, drei Tiere klettern von den Bäumen hinunter zur Futterstelle, ein Affe geht mit einem Apfel von der Futterstelle weg und will ihn genüsslich auf einem Seil sitzend verspeisen. Fünf andere rennen von der Futterstelle zu den Bäumen. Wenn jetzt noch zwei Affen von den Bäumen zu den Seilen springen würden, wären an allen drei Plätzen gleich viele Tiere. Wie viele Affen waren zu Beginn auf den Seilen, auf den Bäumen und an der Futterstelle, wenn insgesamt mehr als 30, aber weniger als 35 Tiere im Gehege sind? (Deutsche Mathematik Olympiade, 540524)

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T. S. Samrowski

Problem 5.32 Lena denkt sich eine Zahl aus. Diese multipliziert sie mit 17. Zu diesem Produkt addiert sie 13 und multipliziert das Ergebnis mit 11. Schließlich addiert sie noch einmal zur entstandenen Zahl 4 hinzu und erhält 2017. a) Welche Zahl hat sich Lena ausgedacht? Führe eine Probe durch! b) Lena hat ihre Anfangszahl im Verlauf ihres Prozesses zweimal mit Zahlen multipliziert und zweimal Zahlen addiert. Die Zahlen, die sie dabei verwendet hat, sind 4, 11, 13 und 17. Lena überlegt nun: Wenn ich diese vier Zahlen in einer anderen Reihenfolge mit meiner Anfangszahl wieder, wie eben, erst multipliziere, dann addiere, dann wieder multipliziere und schließlich addiere – kann ich dann auf ein größeres Ergebnis als 2017 kommen? Finde die Rechnung für das größtmögliche Ergebnis. c) Lena überlegt noch weiter: Komme ich auf eine noch größere Zahl, wenn ich die Reihenfolge der Multiplikationen und der Additionen ändere? Untersuche diese Frage. (Deutsche Mathematik Olympiade, 570514) Problem 5.33 Von einer langen Zuckerschnur schneidet sich Amelie die Hälfte ab und nascht sie auf. Vom Rest der Schnur schneidet sich Ben die Hälfte ab und nascht sie auf. Dann kommen nacheinander zunächst Clemens und dann Dana und naschen jeweils die Hälfte vom Rest der Zuckerschnur. Emma kommt und isst die restlichen 3 cm Zuckerschnur auf. a) Wie lang war die Zuckerschnur am Anfang? Überprüfe dein Ergebnis. Von einer zweiten, gleich langen Zuckerschnur nehmen sich die Kinder auf gleiche Weise, aber in umgekehrter Reihenfolge jeweils ihren Teil. b) Wer hat von den beiden Zuckerschnüren insgesamt am wenigsten abbekommen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580523)

5 nesölsträwkcüR saD

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Problem 5.34 Vier SEHR kluge Wildscheine kommen nacheinander an einem großen Kastanienhaufen im Wald vorbei. Das erste Wildschwein nimmt die Hälfte der Kastanien weg; dann denkt es sich, das sind aber jetzt wenige, und legt wieder die Hälfte der weggenommenen Kastanien zurück. Das zweite Wildschwein nimmt die Hälfte der Kastanien, die es vorfindet, weg; dann denkt es sich, das sind aber jetzt wenige, und legt wieder ein Drittel der von ihm weggenommenen Kastanien zurück. Das dritte Wildschwein nimmt die Hälfte der Kastanien, die es vorfindet, weg; dann denkt es sich, das sind aber jetzt wenige, und legt wieder ein Drittel der von ihm weggenommenen Kastanien zurück. Das vierte Wildschwein nimmt die Hälfte der Kastanien, die es vorfindet, weg; dann denkt es sich, das sind aber jetzt wenige, und legt wieder die Hälfte der weggenommenen Kastanien zurück. Jetzt kommt wieder das erste Wildschwein vorbei, zählt die Kastanien, die noch übrig sind, und kommt auf 30 Stück. (Wie gesagt, SEHR kluge Wildschweine.) Wie viele Kastanien waren es am Anfang? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580633)

68

T. S. Samrowski

5.4

lam hcon sad riw nehcam, raw nöhcs os se liew dnU

Problem 5.35 Löse das folgende Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen: ZY XW V · 4 = V W XY Z Problem 5.36 Füge die Operationszeichen „+ “, „− “, „· “, „÷ “ sowie Klammern ein, damit die Rechnung stimmt: a) b) c) d) e)

44444 44444 44444 44444 44444

= = = = =

5 6 7 8 9

Problem 5.37 Dennis hat ein Buch in drei Tagen gelesen. Am ersten Tag hat er 0,2 des ganzen Buches und noch 16 Seiten durchgelesen. Am zweiten Tag hat Dennis 0,3 von dem Rest des Buches und noch 20 Seiten durchgelesen. Am dritten Tag hat er 0,75 des Restes und die letzten 30 Seiten geschafft. Wie viele Seiten hatte das Buch? Problem 5.38 Für 25 Arbeitstage sollte eine Aushilfe eines Internetcafés 1000 EUR und ein Tablet bekommen. Nach 5 Arbeitstagen hat sie aber gekündigt und durfte nur das Tablet mitnehmen. Was kostete dieses Tablet? Problem 5.39 Ella und Emma sind Schwestern und haben ein gemeinsames Schlafzimmer. Ella kann in 20 min ihr Zimmer aufräumen. Emma braucht dafür 15 min. Wie schnell räumen die Mädchen ihr Zimmer gemeinsam auf? Problem 5.40 Kätzchen und Küken haben zusammen 44 Beine und 17 Köpfe. Wie viele Kätzchen und wie viele Küken sind das?

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

Ein Pfund Mut ist mehr Wert als eine Tonne Glück. James Abram Garfield

In diesem Abschnitt trift man auf kombinatorische und arithmetische Aufgaben und Rätseln zum das Thema Gewichte und wiegen mit verschiedener Waagen.

6.1

Frisch geWAAGt ist halb gewonnen

Problem 6.1 Sirius und Severus haben ihre Schultaschen gewogen. Die Waage zeigte, dass die Tasche von Sirius 3 kg wiegt, und die Tasche von Severus 2 kg. Allerdings, als die beiden ihre Taschen zusammen auf die Waage stellten, zeigte die Waage 6 kg. Erst dann merkten sie, dass die Anzeige der Waage verschoben war. Wie viel wogen die Schultaschen in Wirklichkeit? Lösung 6.1 Da die Anzeige der Waage verschoben war, zeigte die Waage jedes Mal das exakte Gewicht mit einem bestimmen Fehler. Als die Schultaschen einzeln gewogen wurden, wurde dieser Fehler zweimal in der Berechnung berücksichtigt. Als die beiden Schultaschen zusammen gewogen wurden, nur einmal. Dann ist der Fehler gleich der Differenz

James Abram Garfield, 1831–1881, US-amerikanischer republikanischer Politiker, 20. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_6

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70

T. S. Samrowski

6 kg − (2 kg + 3 kg) = 1 kg Somit wog die Tasche von Sirius: 3 kg + 1 kg = 4 kg und die Tasche von Severus: 2 kg + 1 kg = 3 kg Probe:

6.2

3 kg + 4 kg − 1 kg = 6 kg

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 6.2 Was ist schwerer: 1 t Feder oder 1 t Gold? Problem 6.3 Wenn man auf einer falsch geeichten Waage zwei Weizensäcke einzeln wiegt, bekommt man 50 kg und 30 kg. Wenn man dieselben Säcke zusammen auf diese Waage stellt, zeigt die Waage 90 kg an. Wie viel wiegen die Weizensäcke in Wirklichkeit? Problem 6.4 Kann man die 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg, 7 kg, 8 kg und 9 kg Gewichte in drei Gruppen gleicher Masse aufteilen? Problem 6.5 In einem großen Sack liegen 24 kg Äpfel. Wie kann man mit einer Balkenwaage 9 kg Äpfel abwiegen? Problem 6.6 Ein Eimer mit Wasser wiegt 18 kg. Ein leerer Eimer wiegt 2 kg. Wie viel wiegt ein halbleerer Eimer?

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

71

Problem 6.7 Von drei äußerlich gleichen Matrjoschkas ist eine leer. Wie viele Auswägungen sind notwendig, um festzustellen, welche der dreien leer ist?

Problem 6.8 Ein Bauer verkauft an seinem Marktstand Karotten, Äpfel, Weißkohl und Kartoffeln. Zum Abwiegen stehen ihm eine Balkenwaage und 4 Gewichtssteine zur Verfügung: zweimal 2 kg einmal 5 kg und einmal 10 kg. Kann er a) a) b) d) e) f)

20 kg Weißkohl 16 kg Kartoffeln 3 kg Äpfel 1,5 kg Äpfel 750 g Karotten 500 g Karotten

genau abwiegen und wie, wenn die Balkenwaageschalen genug groß sind um darauf 20 kg Weißkohl zu platzieren? Problem 6.9 Ein Schweinchen und ein Hund wiegen zusammen soviel wie 15 Bücher. Ein Hund wiegt so viel wie 4 Katzen, 2 Katzen und ein Hund wiegen so viel wie 9 Bücher. Wie viele Katzen wiegen so viel wie ein Schweinchen?

72

T. S. Samrowski

Problem 6.10 Neun Jungen finden eine alte Waage, die nur die Gewichte zwischen 35 kg und 70 kg genau anzeigt. „Die Waage ist ja komplett unbrauchbar: Jeder von uns wiegt weniger als 35 kg somit können wir uns ja gar nicht wiegen lassen“, sagt Maximilian. „Doch, wir können auch mit dieser Waage unsere Gewichte bestimmen, wenn jeder von uns schwerer als 18 kg ist. Unser Gesamtgewicht könnte man sogar mit lediglich 6 Wiegevorgängen rauskriegen“, erwidert Richard. „Wie geht das denn?“, fragt Maximilian verblüfft.

Problem 6.11 Auf dem Tisch liegen neun Goldmünzen, die äußerlich identisch sind. Es ist bekannt, dass acht Münzen echt und gleich schwer sind. Eine Münze ist gefälscht und deswegen leichter als die echten Münzen. Wie oft muss man die Münzen mit einer Balkenwaage mindestens wiegen, um diese eine falsche Münze mit Sicherheit zu bestimmen? Problem 6.12 Auf dem Tisch liegen 27 Goldmünzen, die äußerlich identisch sind. Es ist bekannt, dass 26 Münzen echt und gleich schwer sind. Eine Münze ist gefälscht und deswegen leichter als die echten Münzen. Wie oft muss man die Münzen mit einer Balkenwaage mindestens wiegen, um diese eine falsche Münze mit Sicherheit zu bestimmen? Problem 6.13 Auf dem Tisch liegen 20 Goldmünzen, die äußerlich identisch sind. Es ist bekannt, dass 19 Münzen echt und gleich schwer sind. Eine Münze ist gefälscht und deswegen leichter als die echten Münzen. Wie oft muss man die Münzen mit einer Balkenwaage mindestens wiegen, um diese eine falsche Münze mit Sicherheit zu bestimmen?

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

73

Problem 6.14 Zu einem Spielbalkenwaagenset gehörten ursprünglich die neun folgende Gewichte: 10 g, 20 g, 30 g, ... 90 g. Dabei war ein leichteres Gewicht immer kleiner als ein schwereres Gewicht. Nach ein paar Monaten intensiveren Spielens ging ein Gewicht verloren. Wie kann man mit zweimal Wiegen feststellen, welches Gewicht verloren ging? Problem 6.15 Ines und Younes wiegen zusammen 40 kg, Younes und Darius 50 kg, Darius und Jonas 90 kg, Jonas und Maurus 100 kg, Maurus und Ines 60 kg. Wie schwer sind Ines und Darius zusammen? Problem 6.16 Als ein Fischer gefragt wurde, wie schwer sein größter Hecht sei, antwortete er: „Sein Schwanz war 1 kg, sein Kopf war so schwer, wie sein Schwanz und die Hälfte von seinem Körper, und sein Körper war so schwer, wie sein Kopf und Schwanz zusammen.“ Wie schwer war der Hecht? Problem 6.17 Man hat 13 Gewichte mit den folgenden Markierungen: 1 g, 2 g, 3 g, ... 13 g. Eine Markierung ist falsch. Kann man mit einer Balkenwaage feststellen, welche das ist, wenn man nur dreimal wägen darf?

6.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 6.18 Vor dir liegen 10 Kugeln. Alle sehen gleich aus. 9 Kugeln haben die gleiche Masse, aber eine Kugel hat eine etwas kleinere Masse. Du hast eine Balkenwaage. Wie oft musst du mindestens wiegen, um diese eine Kugel mit Sicherheit zu bestimmen? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 9

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6. Kl., 17) Problem 6.19 Von den abgebildeten drei Waagen stehen zwei Waagen im Gleichgewicht. Was muss man in den leeren Waagenteller der dritten Waage legen, damit auch diese im Gleichgewicht steht?

(A) • •

(B) • • • (C) •

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 5. Kl., 20)

(D) 

(E) •

74

T. S. Samrowski

Problem 6.20 Ein Karton mit Handtüchern wiegt 17 kg. Wie viel Gramm wiegt ein Handtuch, wenn im Karton 850 Handtücher sind? (Das Gewicht des Kartons spielt keine Rolle!) (A) 10 g

(B) 15 g

(C) 20 g

(D) 25 g

(E) 30 g

(Pangea-CH, Finale 2016, 5. Kl., 7) Problem 6.21 Eine volle Milchpackung (Milch + Verpackung) wiegt 5 kg. Wenn die Hälfte der vorhandenen Milch verbraucht wird, wiegt sie nur noch 3200 g. Wie viel Gramm wiegt die Milchpackung ohne Inhalt? (A) 200 g

(B) 1200 g

(C) 1400 g

(D) 1600 g

(E) 1800 g

(Pangea-CH, Finale 2016, 5. Kl., 7) Problem 6.22 Beide Waagen sind im Gleichgewicht.

Wie schwer ist eine große Kugel? Wie schwer ist eine kleine Kugel? (Pangea-DE, Finale 2019, 5. Kl., 6) Problem 6.23 Von den Gewichtsstücken A, B, C, D und E sind drei aus demselben Material und wiegen jeweils 50 g. Von den anderen beiden wiegt eines 30 g und das andere 80 g. Die Bilder zeigen die Ergebnisse von zwei Wiegevorgängen.

Welches der Gewichtsstücke wiegt 30 g? (A) A

(B) B

(Känguru, 2019, 5.–6. Kl., A6)

(C) C

(D) D

(E) E

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

75

Problem 6.24 Wie viel wiegt das kleinere der beiden Dreiecke?

(A) 1 kg

(B) 2 kg

(C) 3 kg

(D) 4 kg

(E) 5 kg

(Känguru, 2015, 5.–6. Kl., B1) Problem 6.25 Onkel Willy bemerkt, dass er jeden Winter 5 kg zunimmt. Im Sommer schwimmt und radelt er stets und nimmt beglückt 4 kg wieder ab, im Frühling und Herbst verändert sich sein Gewicht nicht. Wenn Onkel Willy am 10. April 2008 77 kg wiegt, wie viel wog er dann im Herbst 2000? (A) 10 kg

(B) 20 kg

(C) 30 kg

(D) 40 kg

(E) 50 kg

(Känguru, 2008, 5.–6. Kl., 18) Problem 6.26 Mit einem Ballon kann ein Korb mit einem bis zu 80 kg schweren Inhalt gehoben werden. Mit zwei solchen Ballons kann derselbe Korb gehoben werden, wenn sich im Korb bis zu 180 kg befinden. Wie schwer ist der leere Korb? (A) 10 kg

(B) 20 kg

(C) 30 kg

(D) 40 kg

(E) 50 kg

(Känguru, 2012, 5.–6. Kl., A5) Problem 6.27 Das Windspiel, das ich gebaut habe, befindet sich im Gleichgewicht.

Die aufgehängten Figuren wiegen zusammen 112 gm. Wie viel Gramm wiegt der Stern? (A) 7 g

(B) 10 g

(Känguru, 2012, 5.–6. Kl., A5)

(C) 12 g

(D) 13 g

(E) 15 g

76

T. S. Samrowski

Problem 6.28 Das Windspiel habe ich selbst gebastelt; es befindet sich im Gleichgewicht. Figuren, die gleich aussehen, wiegen auch gleich viel.

Ein Quadrat wiegt 10 g. Wie schwer ist ein Kreis? (A) 20 g

(B) 15 g

(C) 12 g

(D) 10 g

(E) 5 g

(Känguru, 2006, 5.–6. Kl., 20) Problem 6.29 Die Teller P, Q und R sind nach dem abnehmenden Gewicht geordnet. Der Teller X soll unter Beibehaltung dieser Ordnung einsortiert werden; was ist richtig?

Mit wie vielen Quadraten der Größe des Quadrats B lässt sich das Quadrat A auslegen? (A) (B) (C) (D) (E)

X X X X X

zwischen P und Q zwischen Q und R vor P hinter R hat dasselbe Gewicht wie R

(Känguru, 2002, 5.–6. Kl., 17)

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

77

Problem 6.30 Bei einer Waage kann nur der Teil der Anzeige von 1,5 kg bis 3 kg benutzt werden. Jemand schlägt vor, die 4 Pakete, deren Gesamtmasse ermittelt werden muss, in Paaren zu wiegen, wobei alle 6 dabei möglichen verschiedenen Paare ausgewogen werden müssen: 1,7 kg, 1,8 kg, 2,1 kg, 2,3 kg, 2,6 kg und 2,7 kg. Die gesuchte Gesamtmasse ist dann (A) (B) (C) (D) (E)

3,5 kg, 3,9 kg, 4,4 kg, 6,6 kg, 13,2 kg

(Känguru, 2002, 5.–6. Kl., 29) Problem 6.31 Eine volle Milchkanne wiegt 25 kg, wenn dieselbe Kanne nur halb voll Milch ist, wiegt sie 13 kg. Wie viel wiegt die leere Kanne? (A) 2500 g

(B) 500 g

(C) 2 g

(D) 1500 g

(E) 1 kg

(Känguru, 1999, 5.–6. Kl., 8) Problem 6.32 Alle Figuren auf der Waage wiegen zusammen 500 g. Wie viel wiegt ein Quadrat?

(A) 40 g

(B) 50 g

(C) 60 g

(D) 70 g

(E) 80 g

(Känguru, 2000, 5.–6. Kl., 21) Problem 6.33 Wenn 7 größere Kugeln zusammen mit 11 kleineren Kugeln 97 g wiegen und 9 der kleineren Kugeln zusammen mit 13 der größeren 123 g, wie viel wiegt dann ein Paar aus einer kleineren und einer größeren Kugel? (A) 7 g

(B) 9 g

(Känguru, 2004, 5.–6. Kl., 13)

(C) 11 g

(D) 13 g

(E) 20 g

78

T. S. Samrowski

Problem 6.34 Eine Familie besteht aus Vater, Mutter und Drillingen. Das Auto der Familie hat ein Leergewicht von 1,352 t. Sitzt die ganze Familie im Auto, erhöht sich das Gewicht auf 1,595 t. Der Vater wiegt 17 kg mehr als die Mutter, die wiederum 33 kg schwerer ist als einer der Drillinge, welche alle gleich schwer sind. Wie schwer ist der Vater? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2016, 4) Problem 6.35 Eine Bäckerei bestellt 16 Säcke zu je 2,5 kg Weißmehl und 18 Säcke zu je 2 kg Roggenmehl und bezahlt insgesamt 132 Franken. Dabei kosten 9 kg Roggenmehl gleich viel wie 12 kg Weißmehl. Wie teuer wird die nächste Bestellung von 20 Säcken Weißmehl und 15 Säcken Roggenmehl? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2014, 8) Problem 6.36 Karl und Tom sammeln 1-EUR- und 2-EUR-Münzen. Eine 2-EUR-Münze ist um 1 g schwerer als eine 1-EUR-Münze. Tom hat 20 Münzen, darunter sind vier 1-Euro-Münzen mehr als 2-EURMünzen. Legt er alle seine Münzen zusammen auf die Waage, zeigt die Waage 158 g an. a) Wie viele 1-EUR- und wie viele 2-EUR-Münzen hat Tom? b) Wie schwer ist jede 1-EUR- und jede 2-EUR-Münze? c) Legt Karl seine 16 Münzen auf die Waage, werden 130 g angezeigt. Wie viele Münzen jeder Sorte hat Karl? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580634) Problem 6.37 Die fünf Freunde Anne, Bea, Chris, Danny und Emil haben zusammen 132 kg Kastanien gesammelt und bringen sie zum Förster. Nun vergleichen sie ihre einzelnen Werte und stellen fest: 1. Die Kastanien von Anne, Bea und Chris wiegen zusammen genauso viel wie die von Danny und Emil zusammen. 2. Die Kastanien von Anne, Bea, Chris und Emil wiegen zusammen 112 kg. 3. Die Kastanien von Anne und Bea wiegen zusammen genauso viel wie die von Chris und Emil. 4. Außerdem haben Anne und Danny zusammen genauso viele Kilogramm Kastanien gesammelt wie Emil allein. Wie viel Kilogramm Kastanien hat jedes Kind gesammelt? Führe eine Probe durch. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560631)

6 Erst wiegen, dann wägen, dann wagen

79

Problem 6.38 Sophia, Niklas und Tim helfen den Großeltern bei der Obsternte. Heute müssen Äpfel, Birnen und Pflaumen geerntet werden. Jedes Kind sucht sich eine Obstsorte aus. Am Abend wird das Obst gewogen, und die Kinder vergleichen ihre Ernteergebnisse. Es wurden zwei Körbe mit Äpfeln, zwei Körbe mit Birnen und ein Korb mit Pflaumen geerntet.

Alle geernteten Äpfel zusammen sind genau doppelt so schwer wie die geernteten Pflaumen. a) Zeige, dass man aus diesen Angaben eindeutig feststellen kann, in welchen der Körbe sich die Äpfel, in welchen sich die Birnen und in welchem sich die Pflaumen befinden. Die Großeltern wollen nun wissen, wer welche Obstsorte gepflückt hat. Dazu macht jedes Kind zwei Aussagen, von denen jeweils eine wahr und eine falsch ist. Sophia: 1. Ich habe am meisten geerntet. 2. Ich habe insgesamt eine gerade Kilogrammanzahl geerntet. Niklas: 3. Ich habe zwei Körbe voll geerntet. 4. Ich habe nicht am meisten geerntet. Tim: 5. Ich habe am meisten geerntet. 6. Ich habe insgesamt eine durch 4 teilbare Kilogrammanzahl geerntet. b) Welches Kind hat welche Obstsorte geerntet? (Deutsche Mathematik Olympiade, 550636)

80

6.4

T. S. Samrowski

Und weil es so schön war, machen wir das noch mal

Problem 6.39 Entziffere das Zahlenrätsel: 7 · K AT Z E = X X X X X X Problem 6.40 Ein Openair-Rockfestival wurde von 18654 Menschen besucht. Es waren fünfmal mehr Männer als Frauen. Wie viele Frauen waren beim Rockfestival? Problem 6.41 Beim Einkaufen hat Elina ein riesiges Päckchen Kaubonbons mitgenommen. Unterwegs nach Hause traf sie nacheinander ihre gute Freundinnen Evelyn, Eleonor und Elvira. Sie gab jedem Mädchen jedes Mal ein Drittel von allen Kaubonbons, die sie zu dem Zeitpunkt hatte, plus noch 3 Bonbons. Nach Hause brachte sie 15 Kaubonbons. Wie viele Kaubonbons waren ursprünglich im Päckchen? Problem 6.42 Ein Bauer braucht alleine 9 Tage für die Apfelernte. Seine Frau schafft es in 12 Tagen. Die ersten 3 Tage hat der Bauer selbst seine Äpfel gepflückt. Danach musste er sich einer anderen Arbeit widmen und das Äpfelpflücken seiner Frau überlassen. Wie viele Tage dauerte die Apfelernte insgesamt? Problem 6.43 Alte armenische Aufgabe, 7. Jahrhundert n. Chr. In der Stadt namens Athen gab es ein Wasserbecken, das mit drei Röhren gespeist wurde. Die erste Röhre füllte das Becken in 1 Stunde mit dem Wasser. Die zweite Röhre war enger und füllte das Becken in 2 h. Die dritte Röhre war noch enger als die zweite, und man brauchte 3 h, um damit das Becken zu füllen. Wie lange dauerte es, wenn das Wasser durch alle drei Röhren gleichzeitig floss?

7 Jedes Alter hat seine Weise

Alte Mathematiker sterben nicht – sie verlieren nur einige ihrer Funktionen. (Akademikerwitz) Bei den Altersaufgaben wird das Alter einer Person zu verschieden Zeitpunkten angesprochen, die man oft mit Hilfe einer Tabelle gut separieren kann. Ausserdem darf man nicht vergessen, dass alle Personen jedes Jahr ein Jahr älter werden.

7.1

So wird man richtig alt

Problem 7.1 Dennis ist 12 Jahre alt. Sein Bruder Viktor ist 5. a) Wie alt wird Dennis sein, wenn er doppelt so alt wird wie Viktor? b) Wie alt wird Viktor sein, wenn Dennis fünfmal älter sein wird als Viktor jetzt ist?

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_7

81

82

T. S. Samrowski

Lösung 7.1 a) Denis ist

12 − 5 = 7

Jahre älter als Viktor. Im Alter von 7 · 2 = 14 Jahren wird er doppelt so alt sein, wie Viktor, der dann 7 Jahre alt sein wird. b) Jetzt ist Viktor 5. Dennis wird im Alter von 25 Jahren fünmal älter sein, als Viktor jetzt ist. Das wird in 25 − 12 = 13 Jahren sein. Viktor wird dann 5 + 13 = 18.

7.2

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 7.2 Bern ist 433 Jahre älter als New York. Im Jahr 2057 wird Bern doppelt so alt sein wie New York. Wann wurden Bern und New York gegründet? Problem 7.3 Ein Mann ist 45 Jahre alt und hat vier Söhne. Sein ältester Sohn ist 15. Es ist bekannt, dass der Altersunterschied von zwei aufeinanderfolgenden Kindern immer 3 Jahre ist (jeder älterer Sohn ist 3 Jahre älter als der nächst jüngere Sohn). In wie vielen Jahren werden die Kinder zusammen so alt wie der Vater sein? Problem 7.4 Wenn man zu einem Drittel meines Alters 2 hinzuaddiert, bekommt man die Hälfte meines Alters. Wie alt bin ich? Problem 7.5 Als meine Mutter 35 Jahre alt war, war ich 5. Wie alt ist meine Mutter jetzt, wenn sie dreimal älter ist als ich? Problem 7.6 Eric ist viermal älter als Lucas. Zusammen sind sie 50 Jahre alt. Wann wird Eric dreimal älter als Lucas sein? Problem 7.7 Der Vater ist viermal älter als sein Sohn. In 16 Jahren wird er nur zweimal älter sein. Wie alt wird dann der Sohn sein? Problem 7.8 Meine Tante ist genauso alt wie mein Bruder und meine Schwester zusammen. Wie alt ist meine Tante, falls mein Bruder doppelt so jung wie meine Schwester, und 24 Jahre jünger als meine Tante ist?

7 Jedes Alter hat seine Weise

83

Problem 7.9 Thomas ist älter, als Stephan sein wird, wenn Marcus so alt wird, wie Thomas jetzt ist. Wer ist der Älteste und wer ist der Jüngste? Problem 7.10 Xenia ist jetzt doppelt so alt wie Fjodor war, als Xenia so alt war wie Fjodor jetzt ist. Wie alt ist Xenia, wenn Fjodor und sie zusammen 70 Jahre alt sind. Problem 7.11 Anna ist jetzt dreimal älter, als Max in dem Moment war, als Anna in seinem jetzigen Alter war. Wenn Max in ihrem jetzigen Alter sein wird, werden sie zusammen 28 Jahre alt sein. a) Wie alt sind Anna und Max jetzt? b) Wie alt werden Anna und Max zusammen in 6 Jahren sein? Problem 7.12 Caroline und Isabelle sind zusammen 27 Jahre alt. Caroline ist dreimal jünger, als Isabelle sein wird in dem Jahr, wenn sie zusammen fünfmal älter sein werden, als Caroline jetzt ist. Wie alt ist Caroline jetzt? Problem 7.13 Mein Vater, der viermal älter ist als ich, sagt mir: Wenn ich noch die Hälfte, danach ein Drittel und danach noch ein Viertel meines jetzigen Alters erlebe, werde ich 100 Jahre alt sein. Wie alt bin ich jetzt?

84

7.3

T. S. Samrowski

Wettbewerbsaufgaben

Problem 7.14 Als Tina geboren wurde, war ihre Mutter 27 Jahre alt. Jetzt ist Tina ein Viertel des Alters ihrer Mutter. Wie alt ist die Mutter jetzt? (A) 28

(B) 32

(C) 36

(D) 40

(E) 44

(Pangea-CH, Vorrunde 2012, 6. Kl., 15) Problem 7.15 Das Ehepaar Karl und Vera hat Zwillinge. Karl und Vera sind gleich alt. Die Zwillinge sind 35 Jahre jünger als ihre Eltern. Alle vier sind zusammen 106 Jahre alt. Wie alt sind die Zwillinge? (A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 11

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 5. Kl., 18) Problem 7.16 Lea ist 28 Jahre jünger als ihr Vater. Jean ist 3 Jahre älter als Lea. Zusammen sind sie 73 Jahre alt. Wie alt ist Jean? (A) 10

(B) 14

(C) 17

(D) 18

(E) 42

(Pangea-CH, Finale 2016, 5. Kl., 21) Problem 7.17 Die Mutter ist 38 Jahre alt, der Sohn ist 10 Jahre, und die beiden Töchter sind 7 und 12 Jahre alt. Wie alt ist der Vater, wenn vor 2 Jahren alle fünf zusammen 98 Jahre alt waren? (A) 33

(B) 39

(C) 40

(D) 41

(E) 45

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5. Kl., 17) Problem 7.18 Vor 2 Jahren war Karolinas Mutter doppelt so alt wie Karolina zu dem Zeitpunkt war. In 2 Jahren wird Karolinas Vater doppelt so alt sein wie Karolina zu dem Zeitpunkt sein wird. Wie viele Jahre ist Karolinas Vater älter als ihre Mutter? (Pangea-DE, Finale 2019, 5. Kl., 4) Problem 7.19 Auf die Frage, wie alt er sei, sagt unser Mathelehrer: 48 Jahre, 48 Monate, 48 Wochen, 48 Tage und 48 h. Wie alt ist er ungefähr?

7 Jedes Alter hat seine Weise

(A) (B) (C) (D) (E)

85

51 Jahre 52 Jahre 53 Jahre 54 Jahre 55 Jahre

(Pangea-DE, Vorrunde 2016, 5. Kl., 16) Problem 7.20 Noah möchte wissen, wie alt sein Vater ist. Daraufhin antwortet sein Vater: „Subtrahiere von meinem Alter die Hälfte deines Alters. Dann erhältst du das Fünffache der Hälfte deines Alters.“ Wie viel mal ist der Vater älter als Noah? (A) (B) (C) (D) (E)

zweimal dreimal viermal fünfmal sechsmal

(Pangea-DE, Vorrunde 2016, 6. Kl., 20) Problem 7.21 Anna, Miriam, Leyla und Susanne haben heute (am 21.02. 2018) ihren 13., 14., 15. und 16. Geburtstag. Wann sind die vier Mädchen zusammen 102 Jahre alt? Gib die Jahreszahl an. (A) (B) (C) (D) (E)

2018 2029 2044 2062 es gibt kein Jahr, in dem sie gemeinsam 102 Jahre alt sind

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 5. Kl., 8) Problem 7.22 Wenn man das Alter aller Kinder aus meinem Nachbarhaus addiert, dann erhält man 56. Wenn man das Alter dieser Kinder in 2 Jahren addiert, dann erhält man 78. Wie viele Kinder wohnen in meinem Nachbarhaus? (A) 11

(B) 13

(Känguru, 2019, 5.-6. Kl., A8)

(C) 14

(D) 16

(E) 17

86

T. S. Samrowski

Problem 7.23 Jaro, seine Mutter und seine Großmutter haben am selben Tag Geburtstag. Jaro und seine Mutter sind zusammen 46 Jahre alt. Jaros Mutter und seine Großmutter sind zusammen 91 Jahre alt. Wie alt war seine Großmutter, als Jaro geboren wurde? (A) 42

(B) 45

(C) 49

(D) 53

(E) 56

(Känguru, 2018, 5.-6. Kl., B8) Problem 7.24 Yannis, David und Fabian sind Drillinge. Ihr Bruder Philipp ist 3 Jahre jünger als sie. Addiert man das Alter der 4 Brüder, so erhält man eine der folgenden Zahlen. Welche? (A) 53

(B) 55

(C) 56

(D) 59

(E) 60

(Känguru, 2016, 5.-6. Kl., C2) Problem 7.25 „Gestern beim Geburtstag meiner Zwillinge haben wir ausgerechnet, dass die beiden zusammen mit ihrem Bruder 33 Jahre alt sind“, erzählte unsere Nachbarin meinem Vater. „Na, so was“, antwortete mein Vater, „dann sind Ihre 3 Kinder ja in 3 Jahren zusammen genauso alt wie ich.“ Wie alt sind die 3 Kinder in 3 Jahren zusammen? (A) 39 J ahr e (B) 40 J ahr e (C) 42 J ahr e (D) 44 J ahr e (E) 47 J ahr e (Känguru, 2013, 5.-6. Kl., A6) Problem 7.26 Theo, seine Mutter und sein Großonkel Tobias haben am 17. März Geburtstag. In diesem Jahr werden sie zusammen 100 Jahre alt. Theo wurde am 26. Geburtstag seiner Mutter geboren; Onkel Tobias feierte am selben Tag seinen 59. Geburtstag. Wie alt ist Theo heute, am 17. März 2005? (A) 5

(B) 7

(C) 10

(D) 14

(E) 19

(Känguru, 2005, 5.-6. Kl., 5) Problem 7.27 Agnes ist jetzt 10 Jahre alt; ihr Vater Horst ist viermal so alt wie sie. Wie alt wird Horst sein, wenn Agnes doppelt so alt ist wie jetzt? (A) 48

(B) 50

(Känguru, 2007, 5.-6. Kl., 11)

(C) 56

(D) 60

(E) 80

7 Jedes Alter hat seine Weise

87

Problem 7.28 Fünf Frauen aus vier Generationen treffen sich an einem Familienfest. Die Zwillinge Lea und Livia und ihre Mutter sind zusammen 63 Jahre alt. Die Großmutter und Urgroßmutter der Zwillinge sind zusammen 169 Jahre alt. Lea, ihre Mutter, Großmutter und Urgroßmutter sind zusammen 220 Jahre alt. Der Altersunterschied von Lea und ihrer Mutter ist gleich dem Altersunterschied von Großmutter und Urgroßmutter. Wie alt ist die Urgroßmutter? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2015, 7 ) Problem 7.29 Alle diese Mathematik-Olympiade-Aufgaben denken sich Andreas, Ines, Johannes-Klaus, Katrin, Petra und Renate für euch aus. In diesem Jahr sind sie zusammen 296 Jahre alt. a) In wie vielen Jahren werden sie das nächste Mal ein Gesamtalter haben, das eine durch 5 teilbare Zahl ist? Die Frauen sind zusammen 90 Jahre älter als die Männer. Der Altersunterschied der beiden Männer beträgt 23 Jahre. b) Wie alt sind Andreas und Johannes-Klaus, wenn Andreas der Jüngere ist? Petra ist 54 Jahre alt, das Alter von Ines und Renate ist jeweils ein Vielfaches von 22 und Renate ist 22 Jahre älter als Ines. Katrins Alter ist eine Zahl unter 30. c) Wie alt ist jede der Frauen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 540523) Problem 7.30 a) Marcel und Jana sind zusammen 24 Jahre alt. Marcel ist dreimal so alt wie Jana. Wie alt sind Marcel und Jana? b) Wenn Tom 5 Jahre älter als Anne wäre, dann wären sie zusammen 33 Jahre alt. Aber Tom ist 5 Jahre jünger als Anne. Wie alt sind Tom und Anne? c) Vor 2 Jahren war Robert dreimal so alt wie Kathrin. In 2 Jahren wird er doppelt so alt wie Kathrin sein. Wie alt sind Robert und Kathrin heute? Zeige durch eine Probe, dass dein Ergebnis die im Aufgabentext genannten Angaben erfüllt. (Deutsche Mathematik Olympiade, 440531)

88

T. S. Samrowski

7.4

Und weil es so schön war, machen wir das noch mal

Problem 7.31 Löse das folgende Zahlenrätsel, bedenke dabei, dass verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern stehen: ABC ÷ D E = F − GH J

Problem 7.32 Füge die Operationszeichen „+ “, „- “, „· “, „÷ “, sowie Klammern ein, damit die Rechnung stimmt: a) b) c) d) e)

55555 55555 55555 55555 55555

= = = = =

0 1 2 3 4

Problem 7.33 Neville hat fünf Tiere zu Hause, Eulen und Riesenfrösche sind es. Insgesamt haben die Tiere 16 Beine. Wie viele Eulen hat Neville? Problem 7.34 Man beauftragte zwei Arbeiter, ein langes, aber schmales Gerinne auszugraben. Ein Arbeiter hat Rückenschmerzen und ist deswegen zweimal langsamer als sein Kollege. Welches Szenario ist für den Auftragsgeber günstiger, falls der Stundenlohn bei den beiden Arbeitern gleich ist? a) Beide Arbeiter fangen gleichzeitig an beiden Enden an und graben, bis sie sich treffen. b) Die Hälfte des Gerinnes wird von einem und die andere Hälfte des Gerinnes von dem anderen Arbeiter erledigt. Problem 7.35 Ein Palindrom ist eine Zahl, die von links nach rechts gelesen dasselbe ergibt, als wenn man sie von rechts nach links liest. Beispiele: 7345437, 322223, 56765. Finde alle sechsstelligen Palindrome mit der Quersumme 18.

8 Vielfalt der Möglichkeiten

Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet. Michail Wassilijewitsch Lomonosow

8.1

Das Einführungsbeispiel

Problem 8.1 Zum Muttertag möchte Felizian eine Glückwunschkarte für seine Mutter basteln. In der Bastelkiste findet er fünf verschiedene farbige Papierblätter und neun verschiedene Sticker. Wie viele Möglichkeiten hat Felizian, ein Blatt und einen Sticker für seine Karte auszuwählen. Lösung 8.1 Wenn Felizian ein Blatt Papier wählt, dann gibt es noch neun Möglichkeiten, einen Sticker auszuwählen. Weil es fünf verschiedene Papierblätter gibt, bekommt man 5 · 9 = 45 Möglichkeiten, ein Blatt und einen Sticker für eine Karte auszuwählen. Problem 8.2 Die Glückwunschkarte muss noch beschriftet werden. Zur Auswahl stehen drei Wachsmalstifte und sechs Filzstifte. Wie viele Möglichkeiten hat Felizian, einen Stift für den Glückwunschtext auf der Karte auszuwählen? Lösung 8.2 Insgesamt gibt es 3 + 6 = 9 Stifte, jeden Stift kann man nehmen. Felizian hat somit neun Möglichkeiten, einen Stift für den Glückwunschtext auf der Karte auszuwählen. Michail Wassilijewitsch Lomonosow, 1711–1765, russischer Universalgelehrter. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_8

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T. S. Samrowski

Problem 8.3 Für die Beschriftung einer Glückwunschkarte entscheidet sich Felizian, verschiedene Stifte zu benutzen. a) Wie viele Möglichkeiten hat er, einen Wachsmal- und einen Filzstift auszuwählen? b) Wie viele Möglichkeiten hat er, zwei Wachsmal- und zwei Filzstifte auszuwählen? c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, für die Gestaltung einer Glückwunschkarte ein Blatt, einen Sticker und vier Filzstifte auszuwählen? Lösung 8.3 a) Für die Wahl eines Wachsmalstiftes hat Felizian drei Möglichkeiten. Zu jedem gewählten Wachsmalstift hat er noch sechs Möglichkeiten einen Filzstifte auszuwählen. Somit hat er insgesamt 3 · 6 = 18 Möglichkeiten, einen Wachsmal- und einen Filzstift auszuwählen. b) Bezeichnen wir die Wachsmalstifte mit 1W, 2W, 3W und die Filzstifte entsprechend mit 1F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F, damit wir alle Möglichkeiten systematisch aufzählen und aufschreiben können. Für die Wahl von zwei Wachsmalstiften hat man folgende drei Möglichkeiten: 1W 2W, 1W 3W, 2W 3W. Für die Wahl von zwei Filzstiften hat man folgende 15 Möglichkeiten: 1F2F, 1F3F, 1F4F, 1F5F, 1F6F, 2F3F, 2F4F, 2F5F, 2F6F, 3F4F, 3F5F, 3F6F, 4F5F, 4F6F, 5F6F. Man hat somit 3·15 = 45 Möglichkeiten, zwei Wachs- und drei Filzstifte auszuwählen. c) Für die Wahl bei vier von sechs Filzstiften gibt es auch 15 Möglichkeiten: 1F2F3F4F, 1F2F3F5F, 1F2F3F6F,

8 Vielfalt der Möglichkeiten

91

1F2F4F5F, 1F2F4F6F, 1F2F5F6F, 1F3F4F5F, 1F3F4F6F, 1F3F5F6F, 1F4F5F6F, 2F3F4F5F, 2F3F4F6F, 2F3F5F6F, 2F4F5F6F, 3F4F5F6F. Man hat somit 5 · 9 · 15 = 675 Möglichkeiten, für die Gestaltung einer Glückwunschkarte ein Blatt, einen Sticker und vier Filzstifte auszuwählen. Problem 8.4 An einem 3-km-Lauf nehmen 20 Langstreckenläufer teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Medaillen für den ersten, zweiten und dritten Platz zu verteilen? Lösung 8.4 Es gibt 20 Möglichkeiten für den Platz 1. Für den 2. Platz bleiben dann 19 Möglichkeiten und anschließend für den Platz 3 nur noch 18 Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich somit 20 · 19 · 18 = 6840 Möglichkeiten, die drei Medaillen für den ersten, zweiten und dritten Platz zu verteilen. Problem 8.5 Wie viele Möglichkeiten gibt es in einer Klasse mit 20 Kindern, zwei Kinder für den Tafeldienst zu bestimmen? Lösung 8.5 Um die Möglichkeiten systematisch aufzuzählen, nummerieren wir die 20 Kinder: 1. Mit Kind 1 gäbe es 19 Möglichkeiten, ein Paar für den Tafeldienst auszuwählen: (Kind 1; Kind 2), (Kind 1; Kind 3),..., (Kind 1, Kind 20). 2. Ohne Kind 1, aber mit Kind 2 gäbe es noch 18 Möglichkeiten: (Kind 2; Kind 3), (Kind 2; Kind 4),..., (Kind 2, Kind 20). 3. Ohne Kinder 1 und 2, aber mit Kind 3 gäbe es noch 17 Möglichkeiten: (Kind 3; Kind 4), (Kind 3; Kind 5),..., (Kind 3, Kind 20). ...

92

T. S. Samrowski

19. Ohne Kinder 1–18 gibt es nur eine Möglichkeit: (Kind 19, Kind 20). Wir summieren jetzt alle diese Möglichkeiten und erhalten 19 + 18 + 17 + ... + 1 = 190 verschiedene Paare für den Tafeldienst. Problem 8.6 Wie viele dreistellige Zahlen haben keine Eins in ihrer Dezimaldarstellung? Lösung 8.6 Eine dreistellige Zahl, die keine Eins in der Dezimaldarstellung hat, darf an der Hunderterstelle eine der acht Ziffern 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 haben. Wir haben also acht Möglichkeiten für die Hunderterstelle. Für die Zehnerund Einerstelle hat man jeweils neun Möglichkeiten: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Es gibt somit 8 · 9 · 9 = 648 dreistellige Zahlen, die keine Eins in der Dezimaldarstellung haben. Problem 8.7 Wie viele dreistellige Zahlen haben mindestens eine Eins in ihrer Dezimaldarstellung? Lösung 8.7 Insgesamt gibt es 900 dreistellige Zahlen. Aus der Aufgabe 8.5 wissen wir, dass 648 keine Eins in der Dezimaldarstellung haben. Die restlichen dreistelligen Zahlen müssen also mindestens eine Eins in der Dezimaldarstellung haben. Davon gibt es 900 − 648 = 252. Problem 8.8 Wie viele dreistellige Zahlen mit der folgenden Eigenschaft gibt es? · Die erste Ziffer ist gerade. · Falls die erste Ziffer 4 ist, ist die zweite Ziffer gerade. · Ist die erste Ziffer 6 oder 8, dann ist die zweite Ziffer durch 3 teilbar. · Die dritte Ziffer ist ungerade. Lösung 8.8 An der ersten Stelle dürfen nur die geraden Ziffern stehen. Da die Null an der ersten Stelle einer Zahl nicht stehen darf, hat man hier nur vier Varianten: 2, 4, 6 und 8.

8 Vielfalt der Möglichkeiten

93

1. Falls 2 an der ersten Stelle steht, gibt es für die zweite Ziffer keine Einschränkung. Es darf somit jede der Ziffern 0–9 an der zweiten Stelle stehen. Die dritte Ziffer muss laut der Aufgabenstellung ungerade sein, d. h. 1, 3, 5, 7 oder 9 (fünf Möglichkeiten). Somit gibt es 10 · 5 = 50 dreistellige Zahlen, die mit 2 beginnen und die Aufgabenstellung erfüllen. 2. Falls 4 an der ersten Stelle steht, ist die zweite Ziffer gerade, d. h. 0, 2, 4, 6 oder 8 (fünf Möglichkeiten), und die dritte Ziffer ist ungerade (fünf Möglichkeiten). Somit gibt es 5 · 5 = 25 dreistellige Zahlen, die mit 4 beginnen und die Aufgabenstellung erfüllen. 3. Falls 6 an der ersten Stelle steht, ist die zweite Ziffer durch 3 teilbar, d. h. 3, 6 oder 9 (drei Möglichkeiten), und die dritte Ziffer ist ungerade (fünf Möglichkeiten). Somit gibt es 3 · 5 = 15 dreistellige Zahlen, die mit 6 beginnen und die Aufgabenstellung erfüllen. 4. Falls 8 an der ersten Stelle steht, hat man genau die gleiche Situation wie bei 6 und somit 15 dreistellige Zahlen, die mit 8 beginnen und die Aufgabenstellung erfüllen. Insgesamt findet man 50 + 25 + 15 + 15 = 105 Zahlen mit der in der Aufgabe geforderten Eigenschaft.

8.2

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 8.9 Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Flagge mit drei vertikalen Streifen verschiedener Farben zu erstellen, wenn sechs verschiedene Stofffarben zur Verfügung stehen? Problem 8.10 Wie viele Möglichkeiten hat das Eichhörnchen Melissa, a) für seine drei Mahlzeiten je einen Pilz (d. h. insgesamt drei Stück) auszuwählen, wenn es acht verschiedene Pilze zur Auswahl hat? b) zwei von fünf seiner Söhnchen auszuwählen und zu Igel Thomas mit dem Apfelkorb zu schicken? Problem 8.11 Wie viele vierstellige Zahlen haben mindestens a) eine Null, b) eine Ziffer 2 in ihrer Dezimaldarstellung?

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T. S. Samrowski

Problem 8.12 a) Aus Blümenstadt führen 4 Straßen zur Sonnenstadt. Aus Sonnenstadt führen 5 Straßen zur Wiesenstadt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus Blümenstadt nach Wiesenstadt zu kommen, falls es keine direkten Straßen zwischen diesen beiden Städten gibt? b) Als Erdbeerstadt gebaut wurde, wurden auch noch 2 Straßen aus Blümenstadt zu Erdbeerstadt und 3 Straßen aus Erdbeerstadt zu Wiesenstadt gebaut. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt, aus Blümenstadt nach Wiesenstadt zu kommen?

8.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 8.13 In einem Strumpf sind 15 gleich große Kugeln: 4 rote, 5 grüne und 6 gelbe. Ohne hinzusehen greifst du hinein. Wie viele Kugeln musst du nehmen, um ganz sicher mindestens zwei Kugeln von gleicher Farbe zu bekommen? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6. Kl., 16)

(D) 6

(E) 8

8 Vielfalt der Möglichkeiten

95

Problem 8.14 4 Kinder wollen einen Marathonlauf bestreiten. Da der Fotograf jedoch keine Zeit hat, das Ergebnis dieses langen Laufes abzuwarten, fällt ihm ein schlauer Trick ein. Er möchte nämlich schon vor dem Rennen alle möglichen Ergebnisse auf dem Podium, das die Plätze 1 bis 3 darstellt, fotografieren. Wie viele Fotos muss er schießen, um mit Sicherheit die richtige Platzierung fotografiert zu haben? (A) 24

(B) 48

(C) 16

(D) 9

(E) 12

(Pangea-CH, Vorrunde 2016, 6. Kl., 17) Problem 8.15 Es gibt 7 Sorten Eis. Tugba möchte drei Kugeln Eis kaufen. Wie viele Möglichkeiten hat sie, wenn sie zwei Kugeln von der gleichen Sorte essen möchte? Die dritte Kugel soll von einer anderen Sorte sein. Es ist ihr egal, in welcher Reihenfolge die drei Kugeln sind. (A) 6

(B) 7

(C) 21

(D) 42

(E) 49

(Pangea-CH, Finale 2017, 5. Kl., 8) Problem 8.16 Eine dreistellige Zahl beginnt nicht mit der Ziffer 0. Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich bilden, wenn in jeder Zahl die Ziffer 0 genau einmal vorkommt und jede andere Ziffer höchstens einmal vorkommen darf? (A) 144

(B) 72

(C) 216

(D) 228

(E) 288

(Pangea-DE, Vorrunde 2013, 5. Kl., 18) Problem 8.17 Wie viele unterschiedliche vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 5, 0, 8 und 7 bilden, wenn man jede Ziffer nur einmal benutzen darf? (A) 192

(B) 24

(C) 20

(D) 18

(E) 12

(Pangea-DE, Vorrunde 2012, 5. Kl., 9) Problem 8.18 Vor dir liegen fünf Karten mit den Ziffern 5, 6, 7, 8, 9. Wenn du drei dieser Karten nebeneinanderlegst, entsteht eine dreistellige Zahl. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen, die kleiner sind als 780, lassen sich so mit diesen Karten legen? (Pangea-DE, Finale 2014, 6. Kl., 3)

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T. S. Samrowski

Problem 8.19 Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Musik (je 1 Stunde) und Sport (2 h) im Stundenplan eines sechsstündigen Vormittags anzuordnen? (Die Sportstunden dürfen, aber müssen nicht direkt hintereinander liegen.) (A) 1080

(B) 720

(C) 480

(D) 360

(E) 6

(Pangea-DE, Vorrunde 2013, 5. Kl., 21) Problem 8.20 In einer Kiste sind 17 weiße, 23 rote, 8 grüne, eine schwarze und eine blaue Kugel. Mathias kann den Inhalt der Kiste nicht sehen. Er braucht aber 3 gleichfarbige Kugeln. Wie viele Kugeln muss er mindestens aus der Kiste entnehmen, damit er mit Sicherheit 3 gleichfarbige Kugeln hat? (A) 3

(B) 8

(C) 9

(D) 23

(E) 50

(Pangea-DE, Vorrunde 2013, 5. Kl., 24) Problem 8.21 In einem Eimer sind 20 rote, 10 grüne, 15 blaue, 2 gelbe, 1 schwarze und 2 weiße Kugeln. Tolka darf aus dem Eimer mit verbundenen Augen mit einem Griff so viele Kugeln wie er möchte entnehmen. Wie viele Kugeln muss er mindestens greifen, wenn er sichergehen will, dass mindestens 3 Kugeln dieselbe Farbe haben? (A) 3

(B) 6

(C) 12

(D) 18

(E) 20

(Pangea-DE, Vorrunde 2016, 5. Kl., 14) Problem 8.22 Timo hat drei Eintrittskarten für sein Lieblingskonzert gewonnen. Er möchte zwei seiner vier Freunde mitnehmen. Fatma, Lara, Patrick und Ali stehen zur Auswahl. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er? (A) 4

(B) 6

(C) 8

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2016, 5. Kl., 5)

(D) 10

(E) 12

8 Vielfalt der Möglichkeiten

97

Problem 8.23 Gero hat drei Punkte an der Tafel markiert, die ein Dreieck bilden. Dana soll einen vierten Punkt dazu markieren, so dass die vier Punkte ein Parallelogramm bilden. Wie viele Möglichkeiten hat sie dazu? (A) (B) (C) (D) (E)

eine zwei drei vier mehr als vier

(Känguru, 2011, 5.–6. Kl., 15) Problem 8.24 In einem Strumpf sind 19 gleich große Kugeln: 3 weiße, 4 rote, 5 gelbe und 7 blaue. Du darfst blind, mit einem Griff, mehrere Kugeln auf einmal nehmen. Wie viele Kugeln musst du mindestens nehmen, um ganz sicher mindestens zwei Kugeln der gleichen Farbe zu bekommen? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 7

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2016, 5. Kl., 9) Problem 8.25 In der Pizzeria bei uns um die Ecke gehören zu jeder Pizza Mozzarella und Tomaten. Von den drei Beilagen Sardellen, Schinken und Champignons muss dann – je nach Geschmack – eine oder zwei dazu genommen werden. Jede Pizza gibt es in den Größen klein, normal oder riesig. Wie viele verschiedene Pizzen hat die Pizzeria im Angebot? (A) 12

(B) 18

(C) 21

(D) 23

(E) 24

(Känguru, 2010, 5.–6. Kl., 18) Problem 8.26 In einem Eiscafé gibt es sechs verschiedene Eissorten: Vanille, Schokolade, Erdbeere, Zitrone, Banane und Walnuss. Martina möchte einen Eisbecher mit zwei verschiedenen Eiskugeln kaufen. Wie viele Möglichkeiten hat sie? (A) 6

(B) 11

(C) 12

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2016, 5. Kl., 11)

(D) 15

(E) 16

98

T. S. Samrowski

Problem 8.27 Es gibt einige 3-stellige Zahlen, bei denen die Summe ihrer Ziffern gleich dem Produkt dieser Ziffern ist. Wie viele solche 3-stelligen Zahlen gibt es? (A) 1

(B) 3

(C) 4

(D) 6

(E) 9

(Känguru, 2011, 5.–6. Kl., 23) Problem 8.28 Frau Rossi backt heute Pizza. Auf jede Pizza kommen Tomatensauce und Käse. Die Pizza kann sie dann mit Champingons, schwarzen Oliven, Mais und Paprika belegen. Wie viele Möglichkeiten hat Frau Rossi, wenn immer mindestens ein Belag auf der Pizza sein soll? (A) 4

(B) 15

(C) 16

(D) 24

(E) 32

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 6. Kl., 18) Problem 8.29 Niklas will die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 so in die fünf leeren Felder eintragen, dass die Zahlen in Richtung der Pfeile größer werden.

Wie viele Möglichkeiten hat er dafür? (A) 2

(B) 4

(Känguru, 2017, 5.–6. Kl., C2)

(C) 5

(D) 6

(E) 8

8 Vielfalt der Möglichkeiten

99

Problem 8.30 Der kleine Bruno hat 7 Kuscheltierkatzen, eine ist weiß, eine gelb, eine rot, eine gelb-weiß, eine rot-weiß, eine gelb-rot und eine rot-weißgelb. Er will sich 4 Kuscheltierkatzen zum Schlafen mitnehmen. Von diesen 4 Katzen sollen immer 2 in mindestens einer Farbe übereinstimmen. Wie viele Möglichkeiten hat Bruno für seine Auswahl von 4 Katzen? (A) (B) (C) (D) (E)

eine zwei drei vier fünf

(Känguru, 2011, 5.–6. Kl., 19) Problem 8.31 Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden wir alle möglichen 5-stelligen Zahlen, wobei jede Ziffer genau einmal benutzt wird. Gesucht sind nun jene Zahlen abcde unter ihnen, für die gilt: Die Zahl a ist durch 1, die Zahl ab durch 2, die Zahl abc durch 3, die Zahl abcd durch 4 und die Zahl abcde durch 5 teilbar. Wie viele solche Zahlen gibt es? (A) (B) (C) (D) (E)

keine zwei drei fünf 60

(Känguru, 2011, 5.–6. Kl., 24) Problem 8.32 Jeder der Eckpunkte A, B, C, D eines Quadrats ABCD soll entweder gelb, blau oder rot gefärbt werden, sodass jeweils benachbarte Eckpunkte verschiedenfarbig sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Färbung aller vier Eckpunkte? (A) 12

(B) 15

(Känguru, 2016, 5.–6. Kl., C8)

(C) 18

(D) 20

(E) 24

100

T. S. Samrowski

Problem 8.33 Für eine Wandzeitung zum Frühling basteln Carolin und Alex fünfblättrige Blumen mit hellroten und dunkelroten Blütenblättern. Damit die Wandzeitung besonders schön wird, möchten die beiden alle möglichen fünfblättrigen Blumen mit den Blütenblättern basteln. Blumen, die durch Drehen aus anderen Blumen entstehen, gelten als gleich:

Wie viele verschiedene Blumen können Carolin und Alex basteln? (A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

(Känguru, 2010, 5.–6. Kl., 13) Problem 8.34 Ein 3 × 3-Feld wurde an die Tafel gezeichnet. Wie viele Möglichkeiten gibt es, darin vier Zellen auszumalen, die keine gemeinsame Seite haben, das Beispiel auf dem Bild eingeschlossen?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

(Känguru, 2009, 5.–6. Kl., 13) Problem 8.35 Wirft man die Münze, dann liegt nach dem Wurf entweder Zahl oder Wappen oben. Wenn eine Münze dreimal hintereinander geworfen wird, wie viele Möglichkeiten gibt es dann für die Abfolge von Zahl und Wappen? (A) 3

(B) 8

(Känguru, 2007, 5.–6. Kl., 21)

(C) 9

(D) 12

(E) 15

8 Vielfalt der Möglichkeiten

101

Problem 8.36 Wie viele Möglichkeiten hat der Weihnachtsmann, ein Auto, einen Ball und ein Computerspiel an Ronny und Sven zu verteilen, wenn jeder mindestens ein Geschenk bekommen soll? Gib alle Möglichkeiten an! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock,1994–2004, 4L4) Problem 8.37 In einem Karton liegen 2 rote, 3 blaue, 4 gelbe, 5 grüne, 6 schwarze und 7 weiße Kugeln, alle gleich groß und gleich schwer. Axel möchte mit verbundenen Augen mindestens 4 Kugeln gleicher Farbe aus dem Karton entnehmen. Wie viele Kugeln muss Axel aus dem Karton mindestens herausnehmen, um mit Sicherheit 4 Kugeln gleicher Farbe dabei zu haben? Begründe deine Antwort! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4L5) Problem 8.38 Sechs Schüler verabschieden sich. Jeder gibt jedem einmal die Hand. Wie viele Händedrücke waren es insgesamt? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4L8) Problem 8.39 Die Polizei sucht ein Fahrzeug mit einem Kennzeichen,

von dem durch Zeugenaussagen Folgendes bekannt ist: · · · ·

Nach HRO folgen zwei Buchstaben und eine dreistellige Zahl. Einer der beiden Buchstaben ist ein E oder ein F. Der andere Buchstabe ist U oder V. In der Zahl kommen die Ziffern 1, 4 und 7 vor.

Wie viele Autos muss die Polizei nach diesen Angaben überprüfen? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4L9)

102

T. S. Samrowski

Problem 8.40 Ein Trainer will alle Aufstellungen einer 4 × 100 − m−Staffel ausprobieren. Wie viele Möglichkeiten hat er für die Reihenfolge der vier Sportler A, B, C und D? Schreibe alle Möglichkeiten auf! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5L8) Problem 8.41 Einige Schüler einer Klasse trugen untereinander ein Schachturnier aus, bei dem jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau zwei Partien zu spielen hatte. Insgesamt wurden an jedem der 24 Tage, die das Turnier dauerte, genau drei Partien ausgetragen. Ermittle die Anzahl der Teilnehmer an diesem Turnier! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5L9) Problem 8.42 Drei Spielwürfel werden gleichzeitig geworfen und anschließend nach der Anzahl der Augen so geordnet, dass für die Augenzahlen a, b und c die Bedingung a ≥ b ≥ c gilt. Jeder Wurf mit den drei Würfeln ergibt so eine dreistellige „Würfelzahl“ abc. Wie viele verschiedene solcher Zahlen abc gibt es? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5L11) Problem 8.43 In einer Kiste befinden sich 10 rote, 8 blaue und 6 weiße Kugeln. Du sollst mit geschlossenen Augen eine möglichst kleine Anzahl dieser Kugeln herausnehmen, so dass jeweils eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: Unter den herausgenommenen Kugeln sollen mindestens a) b) c) d)

eine rote, eine rote und eine blaue, eine rote, eine blaue und eine weiße, zwei gleichfarbige

sein. Wie viele Kugeln musst du jeweils entnehmen? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5L19)

8 Vielfalt der Möglichkeiten

103

Problem 8.44 Frau Müller kommt in ihre neue Arbeitsgemeinschaft Mathematik und stellt fest, dass da drei Mädchen und drei Jungen vor ihr sitzen. Sie bittet darum, dass alle sechs ihren Namen auf ein Schildchen schreiben. Das tun die sechs auch ganz brav, aber als Frau Müller sich umdreht, werfen sie alle ihre Schildchen auf einen Haufen und lächeln Frau Müller erwartungsvoll an: „Wie viele Möglichkeiten gibt es denn jetzt, uns Namen zuzuordnen – die Jungennamen und die Mädchennamen können Sie ja unterscheiden?“, fragen die Kinder. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zuordnung der Jungennamen? Wie viele für die Mädchennamen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Namenszuordnung insgesamt? b) Da steht ein Mädchen auf und sagt: „Ich will es Ihnen einfacher machen. Ich bin Carola.“Und ein Junge steht auf und sagt: „Noch einfacher für Sie: Ich bin nicht Paul, das ist ein anderer von uns.“Wie viele Möglichkeiten der Namenszuordnung hat Frau Müller jetzt insgesamt? (Deutsche Mathematik Olympiade, 520524) Problem 8.45 Der neue Trainer Butenschön kommt in seine neue SchachArbeits-gemeinschaft und stellt fest, dass da vier Mädchen und drei Jungen vor ihm sitzen, deren Namen er noch nicht kennt. Er bittet, dass alle sieben ihren Namen auf ein Schildchen schreiben. Das tun die sieben auch ganz brav, aber als Herr Butenschön sich umdreht, werfen sie alle ihre Schildchen auf einen Haufen und lächeln den Trainer erwartungsvoll an: „Wie viele Möglichkeiten gibt es denn jetzt, uns Namen zuzuordnen – die Jungennamen und die Mädchennamen können Sie ja unterscheiden?“, fragen die Kinder. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils für die Zuordnung der Mädchennamen und für die Zuordnung der Jungennamen? Wie viele Zuordnungen gibt es insgesamt für die Zuordnung der Namen zu den Teilnehmern der Schach-Arbeitsgemeinschaft? b) Da steht ein Mädchen auf und sagt: „Ich will es Ihnen einfacher machen. Auf einem der Schildchen steht der Name Carola, und das bin ich nicht.“Nun steht auch noch ein Junge auf und sagt: „Noch einfacher für Sie: Ich bin nicht Paul, das ist ein anderer von uns.“Wie viele Möglichkeiten der Namenszuordnung hat Herr Butenschön jetzt noch? (Deutsche Mathematik Olympiade, 520624)

104

T. S. Samrowski

Problem 8.46 Andreas geht mit seinen Eltern und seinen drei Schwestern in ein Eiscafé. Leider gibt es dort keinen Tisch, der groß genug für alle zusammen wäre. Sie beschließen daher, sich auf zwei Tische für je drei Personen zu verteilen. Andreas setzt sich als Erster hin. Er ist gespannt darauf, mit wem er zusammen am Tisch sitzen wird. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? b) Mama bestimmt, dass Papa und sie sich aufteilen, damit an jedem Tisch ein Erwachsener sitzt. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für die Familienmitglieder, sich mit Andreas an einen Tisch zu setzen? c) Etwas später gesellen sich die zwei Cousins von Andreas dazu. Alle stehen auf und begrüßen sich, an jeden Tisch wird noch ein Stuhl hinzugestellt, und die Plätze werden neu verteilt. Wie viele Möglichkeiten für die Tischnachbarn von Andreas gibt es jetzt, wenn weiterhin gilt, dass Mama und Papa an verschiedenen Tischen sitzen? Hinweis für die gesamte Aufgabe: Es kommt nur darauf an, welche Familienmitglieder mit Andreas am Tisch sitzen, nicht auf die Verteilung am Tisch. (Deutsche Mathematik Olympiade, 530634) Problem 8.47 Die sechs Freunde Albert, Bernd, Christian, Doreen, Erika und Franziska spielen in der großen Pause immer Gummihopse. Die Freunde überlegen sich nun Folgendes: Gummihopse können sie nur zu dritt spielen. Die Freunde finden es gut, wenn in jeder Dreiergruppe sowohl Mädchen als auch Jungen sind. a) Wie viele Möglichkeiten haben sie, solche Dreiergruppen zu bilden? Gerda hat schon oft beim Gummihopsespiel zugesehen und möchte gern mitspielen. Die sechs Kinder haben nichts dagegen, da ihr Spiel jetzt noch abwechslungsreicher wird. b) Wie viele unterschiedliche Dreiergruppen sind nun möglich? Hinweis: Bei dem Bewegungsspiel „Gummihopse“spannen zwei Personen ein geschlossenes Gummiband um ihre Beine, und eine dritte Person muss eine vorher vereinbarte Sprungfolge über die gespannten Gummibänder ausführen. (Deutsche Mathematik Olympiade, 540634)

8 Vielfalt der Möglichkeiten

105

Problem 8.48 In einer Schachtel liegen 20 Buntstifte, die entweder blau, grün, rot oder violett sind. Jede der Farben kommt dabei mindestens einmal vor. Es gibt genauso viele rote wie violette Stifte. Die Anzahl der blauen Stifte ist größer und die Anzahl der grünen Stifte ist kleiner als die Anzahl der roten Stifte. Wie viele Stifte von jeder Farbe können in der Schachtel sein? Schreibe alle Möglichkeiten auf und weise nach, dass du wirklich alle Möglichkeiten gefunden hast. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560514) Problem 8.49 Schwedische Autokennzeichen bestehen aus drei Buchstaben und dann drei Ziffern, z. B. HWK 087. Hier soll es nur um den Ziffernteil der Kennzeichen gehen; wichtig dabei ist, dass alle Ziffern von 0 bis 9 an allen drei Stellen auftreten können. Es gibt aber eine Ausnahme: Kein Kennzeichen endet auf 000. a) Franz behauptet, dass mehr als ein Viertel aller solcher Kennzeichen genau zwei gleiche Ziffern im Ziffernteil aufweisen. Entscheide (mit Begründung!), ob Franz Recht hat. b) Franziska meint, dass es mehr Kennzeichen mit genau zwei gleichen Ziffern gibt als Kennzeichen, die mindestens eine 5 enthalten. Entscheide, ob Franziska Recht hat, und begründe wieder deine Entscheidung. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560633) Problem 8.50 LENA und ANNE sitzen zusammen und denken über ihre Vornamen nach. a) LENA sagt: „Mein Vorname hat vier Buchstaben, ein A, ein E, ein L und ein N. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese vier Buchstaben jeweils verschieden anzuordnen?“ b) ANNE überlegt entsprechend: „Mein Vorname hat auch vier Buchstaben. Dann gibt es genauso viele Möglichkeiten wie bei LENA.“ Hat ANNE Recht? c) Nun kommt auch noch NANNI und sagt: „Mein Vorname hat sogar fünf Buchstaben. Bei mir gibt es deswegen mehr Möglichkeiten der Anordnung als bei euch mit euren vier Buchstaben.“ Hat NANNI Recht? d) Darauf sagt LENA: „Dann hole ich meine große Schwester ANNETTE, und die hat mehr Möglichkeiten als wir alle zusammen.“ Hat LENA Recht? (Deutsche Mathematik Olympiade, 570624)

106

T. S. Samrowski

Problem 8.51 Am Ende einer Schatzsuche finden Kinder eine Schatzkiste, die mit einem Zahlenschloss zugesperrt ist. Das Zahlenschloss hat vier verschiedene Ringe, an denen jeweils die Ziffern 0 bis 9 eingestellt werden können. a) Wie viele verschiedene Einstellungen sind an dem Zahlenschloss möglich? Während der Schatzsuche haben die Kinder einige Hinweise auf die richtige Einstellung des Zahlenschlosses gefunden: 1. 2. 3. 4.

Es kommt keine Ziffer kleiner als 3 vor. Genau eine der vier Ziffern ist durch 3 teilbar. Die Summe der vier Ziffern ist 20. Alle vier Ziffern sind voneinander verschieden.

b) Zeige, dass aus den Hinweisen (1) bis (4) eindeutig ermittelt werden kann, welche vier Ziffern in der richtigen Zahlenkombination vorkommen. c) Die Kinder haben nun die vier Ziffern der Zahlenkombination ermittelt. Sie kennen noch nicht die richtige Reihenfolge der Ziffern zum Öffnen des Schlosses. Wie viele Einstellungen müssen die Kinder im ungünstigsten Fall ausprobieren, um an den Schatz zu gelangen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 570533) Problem 8.52 Zur Familie Wander gehören Mutter, Vater und die Kinder Lisa und Paul. In ihrem Urlaub wollen sie eine Seilbahn benutzen. In jeder Kabine können vier Personen Platz finden, zwei fahren rückwärts, zwei vorwärts. a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat die Familie Wander, in einer Kabine die vier Plätze einzunehmen? b) Der Vater möchte nur vorwärts fahren. Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind unter dieser Bedingung möglich? c) Am nächsten Tag macht der Vater eine lange Wanderung. Nur die Mutter und die Kinder nutzen wieder die Seilbahn. Sie nehmen zu dritt in einer Kabine Platz. Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben sie, sich auf die vier Plätze in der Kabine zu verteilen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580613)

8 Vielfalt der Möglichkeiten

8.4

107

Und weil es so schön war, machen wir das noch mal

Problem 8.53 Finde alle Lösungen des Zahlenrätsels: ZW EI + AC H T ZEHN Problem 8.54 Ein Hotel besitzt zusammen 70 Ein- und Zweibettzimmer mit insgesamt 116 Betten. Wie viele Einbettzimmer und wie viele Zweibettzimmer hat das Hotel? Problem 8.55 Vier Bauarbeiter wollen ein Haus bauen. Der erste Arbeiter würde alleine in 1 Jahr das Haus fertig bauen, der zweite in 2 Jahren, der dritte in 3 Jahren, und der vierter in 4 Jahren. Wie schnell würden sie das Haus zusammen bauen? Problem 8.56 Wie viele Schnittpunkte können höchstens entstehen, wenn man zwei Kreise und zwei Geraden zeichnet? Problem 8.57 Das Eichhörnchen Melissa hat 11 Haselnüsse aus dem Vorjahresvorrat und 10 Haselnüsse aus der diesjährigen Ernte. Es gab viel weniger Regen im letzten Jahr als in diesem, deswegen sind die Nüsse aus der Vorjahresernte trockener und wiegen jeweils 5 g weniger als die Nüsse aus diesem Jahr. Wie kann Melissa mit einer zweischaligen Tafelwaage und zehn 5 − g Gewichten feststellen, aus welchen Jahr jede einzelne Nuss ist?

9 Wasser reichen

In den Aufgaben aus diesem Kapitel wird vorausgesetzt, dass man nur diejenigen Behälter benutzen darf, die in der Aufgabe erwähnt sind. Das Wasser, das nicht mehr gebraucht wird, darf man in den Fluss (oder Abfluss) zurückgießen. Eine Hälfte oder ein Drittel des Behälters darf man Pi mal Daumen nicht genau abmessen, und eine solche Vorgehensweise ist deswegen nicht akzeptabel.

9.1

Die Startmischung

Problem 9.1 Richard hilft heute seinem Vater im Garten. Um ein Düngermittel für die Rosen zu mischen, braucht er genau 6 Liter Wasser, hat aber nur einen Eimer für 4 L und einen Eimer für 9 L. Was könnte Richard machen, um die 6 Liter Wasser abzumessen? Lösung 9.1 Da in der Aufgabenstellung nur zwei Eimer erwähnt wurden, darf man bei der Lösung der Aufgabe keine weiteren Behälter benutzen und die gewünschten 6 L in dem 9 L Eimer am Ende enthalten sein. 1. 9 Liter Wasser in den 9-Liter-Eimer geben. 2. 4 Liter Wasser aus dem 9-Liter-Eimer in den bis jetzt noch leer stehenden 4-Liter-Eimer abgießen. (Im 9-Liter-Eimer bleiben dann noch 5 Liter Wasser.) 3. Den 4-Liter-Eimer leeren (am liebsten sinnvoll, z.B. um etwas zu gießen). 4. 4 Liter Wasser aus dem 9-Liter-Eimer in den wieder leer stehenen 4-LiterEimer abgießen. ( Im 9-Liter-Eimer bleibt dann nur noch 1 Liter.) © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_9

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T. S. Samrowski

5. Den 4-Liter-Eimer leeren (am liebsten sinnvoll, z.B. um etwas zu gießen). 6. Den letzten Liter Wasser aus dem 9-Liter-Eimer in den wieder leeren 4Liter-Eimer umgießen. (Der 4-Liter-Eimer wird dann noch Platz für weitere 3 Liter Wasser haben.) 7. 9 Liter Wasser in den 9-Liter-Eimer geben. 8. 3 Liter Wasser aus dem 9-Liter-Eimer in den 4-Liter-Eimer geben. Im 9-Liter-Eimer bleiben nach diesem Vogang 6 L Wasser.

9.2

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Problem 9.2 In der Zwischenzeit hat Richards Mutter 8 Liter Holundersirup in einem 10-Liter-Topf gekocht und möchte genau 4 L ihrer Schwester abgeben. Wie kann sie diese 4 L abmessen, wenn sie nur einen Topf für 3 L und einen Topf für 5 L zu Hause hat? Problem 9.3 Zur Mittagszeit besucht Richard seine gute Freundin Ines, die sehr gern kocht. Die beiden entscheiden, für die ganze Familie Spaghetti zu kochen, und brauchen dafür genau 1,8 L Wasser. Zur Verfügung stehen aber nur zwei Töpfe: für 1,5 L und für 2,7 L. Ist es überhaupt möglich? Problem 9.4 An einem Samstagmorgen möchte Richard seine Eltern mit einem leckeren Frühstück überraschen und probiert das neue Rezept „Knuspriger Käse-toast“ aus, das wie folgt beschrieben wird: 1. Butter in einer Pfanne zerlassen. Eine Toastscheibe in die Butter legen, 50 g Käsescheiben oder geriebenen Käse darauf verteilen, etwas salzen und den Toast bei mittlerer Hitze ca. 5 min braun braten. 2. Ist der untere Toast braun, obere Toastscheibe auf den Käse legen, wieder etwas Butter in die Pfanne geben und den Käsetoast umdrehen, sodass die obere Toasthälfte in der Butter liegt. Ebenfalls ca. 5 min braun braten. Wie lange braucht Richard für drei solche Käsetoasts mindestens, wenn auf der Pfanne zwei Toastscheiben gleichzeitig gebraten werden können? Problem 9.5 Wie kann man 400 ml Leitungswasser holen, wenn man nur 300-ml- und 500-ml-Gläser zur Verfügung hat?

9 Wasser reichen

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Problem 9.6 In der Antike hat man außer Sonnen- und Sanduhren auch Wasseruhren benutzt. Die Wasseruhr nutzt aus, dass eine bestimmte Wassermenge immer die gleiche Zeit benötigt, um aus einer bestimmten Öffnung zu fließen. Eine Wasseruhr hat mindestens zwei Wasserbehälter, die übereinander angebracht sind. Aus einem Behälter läuft das Wasser aus, der andere Behälter nimmt es auf. Wie könnte man mit Hilfe von zwei Wasseruhren die a) b) c) d)

6 Min., 1 Min., 12 Min., 5 Min.,

stoppen, wenn eine von ihnen genau 7 Min. und die andere 13 Min. messen kann? e) Wie viele Minuten vergehen, bis man mit den beiden Wasseruhren genau 19 Min. abmessen wird? Hinweis: Man darf annehmen, dass der obere Behälter ohne Zeitverlust aufgefüllt und der untere entleert werden kann.

112

T. S. Samrowski

Problem 9.7 Messe 1,3 Liter Wasser aus einem 10-Liter-Eimer mit Hilfe von einem 0,5-Liter-Glass und einem Behälter für 1,4 L ab. Problem 9.8 Wie kann man 3 Liter Wasser aus einem Fluss holen, wenn man nur einen 5 L und einen 9 L Eimer hat? Problem 9.9 Ein Honigverkäufer hat seinen drei Söhnen das folgende Erbe hinterlassen: 7 Fässchen voll mit Honig, 7 Fässchen, die halbvoll sind, und 7 leere Fässchen. Wie sollen die Brüder dieses Erbe untereinander aufteilen, damit alle gleich viel Honig und gleich viele Fässchen bekommen, ohne Honig umzufüllen.

9.3

Wettbewerbsaufgaben

Problem 9.10 Ein Lehrling soll 4 Liter einer Flüssigkeit abmessen, die sich in einem großen Behälter befindet. Er hat aber nur ein Gefäß für 3 Liter und ein Gefäß für 5 Liter. An beiden Gefäßen ist keine weitere Einteilung. Am Ende sollen sich die 4 Liter in dem 5-Liter-Gefäß befinden. Wie kann er das machen? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4L11) Problem 9.11 Zwei Behälter können zusammen 1800 Liter Wasser aufnehmen. Beide Behälter sind zunächst leer und werden nacheinander mit demselben Schlauch gefüllt, durch den in 1 min 40 L Wasser fließen. Der erste Behälter ist nach 24 min voll. a) Wie viele Minuten werden zur Füllung des zweiten Behälters benötigt? b) Wie viele Liter Wasser befinden sich dann in den einzelnen Behältern? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 4A42)

9 Wasser reichen

113

Problem 9.12 In einer Flasche befinden sich 24 l Wasser, in einer zweiten 6 l. Wenn wir in beide Flaschen dieselbe Menge Wasser hinzugießen, dann enthält die zweite Flasche ein Drittel der Wassermenge, die die erste Flasche nun enthält. Wieviel Wasser haben wir dazugegossen? (A) 2 l

(B) 3 l

(C) 5 l

(D) 7 l

(E) 10 l

(Pangea-CH, 2012, 5 Kl., 15) Problem 9.13 Lea, Anja und Miriam haben Durst. Miriam trinkt 41 Liter weniger Wasser als Anja. Anja trinkt 21 Liter mehr als Lea. Insgesamt trinken alle zusammen 3 L. Wie viel trinkt Anja? a) 0, 5 l

b) 0, 75 l

c) 1 l

d) 1, 25 l

e) 1, 5 l

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6 Kl., 18) Problem 9.14 In einem Eimer befinden sich 29 L Olivenöl. Wir füllen mit dem Öl kleine Flaschen, die je 0,75 L umfassen. Wie viele Liter fehlen in der letzten Flasche, wenn wir das ganze Öl verbraucht haben? a) 0, 15

b) 0, 20

c) 0, 25

d) 0, 45

e) 0, 65

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2013, 5 Kl., 8) Problem 9.15 Der Wassereimer hat ein Loch. Dadurch fließen in jeder Minute 300 ml Wasser aus dem Eimer. Nach 10 Minuten ist der Eimer nur noch zu einem Viertel gefüllt. Wie viele Liter Wasser waren zu Beginn im Eimer? a) 3 l

b) 4 l

c) 5 l

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5 Kl., 18)

d) 6 l

e) 7 l

114

T. S. Samrowski

Problem 9.16 Drei Räuber stahlen ein Gefäß mit 24 Litern wertvollen Balsams. Auf ihrer Flucht kauften sie von einem Händler drei leere Kannen. In ihrem Versteck wollten sie den Balsam aufteilen, aber sie stellten zu ihrer Enttäuschung fest, dass ihre Kannen 5 L, 11 L und 13 L fassten. a) Gib an, wie es die Räuber durch Umschütten erreichen konnten, dass sich in einem der vier Gefäße 8 Liter Balsam befanden! b) Wie konnten sie die wertvolle Flüssigkeit gerecht zwischen sich aufteilen, obwohl nur die vier Gefäße zur Verfügung standen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 400624) Problem 9.17 Peter möchte aus einer Kanne, in der sich mehr als 13 L Milch befinden, genau 13 L abmessen. Das genaue Fassungsvermögen der Kanne ist nicht bekannt, und es ist auch nicht bekannt, wie viel Milch genau in der Kanne ist. Außer der Kanne stehen noch genau zwei weitere Gefäße zur Verfügung. Das eine hat ein Fassungsvermögen von genau 5 L, das andere ein Fassungsvermögen von genau 17 L. (Eine Skaleneinteilung oder ähnliche Möglichkeiten zum Abmessen anderer Mengen gibt es jedoch nicht.) Beschreibe, wie Peter allein mit diesen Hilfsmitteln genau 13 L Milch abmessen kann. (Deutsche Mathematik Olympiade, 290611)

9 Wasser reichen

9.4

115

Und weil es so schön war, machen wir das noch mal

Problem 9.18 Löse das folgende Zahlenrätsel, bedenke dabei, dass verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern stehen: M I NU S · M I NU S ∗∗∗∗S ∗ ∗ ∗ ∗ ∗U + ∗∗∗∗ N ∗∗∗∗ I M I NU S ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Problem 9.19 Wie viele Schnittpunkte können ein Kreis, ein Dreieck und ein Quadrat maximal haben? Problem 9.20 Teile das Ziffernblatt in sechs Stücke mit geraden Linien so auf, dass die Summe der Zahlen auf jedem Stück gleich ist. Problem 9.21 Papa Hase brachte einen vollen Korb wilder Äpfel nach Hause und sagte seinem Sohn Flinky, der zu dem Zeitpunkt alleine zu Hause war: „Bitte, teile diese Äpfel mit deinen beiden Brüdern gerecht auf.“ Da Flinky gerade mit seinem Freund Flufy zum Versteckspielen verabredet war, nahm er einfach ein Drittel von allen Äpfeln, schrieb seinen Brüdern einen Brief, dass die Äpfel gerecht verteilt werden sollten, und ging weg. Danach kam Bunny, las den Brief, nahm ein Drittel von den Äpfeln, die er auf dem Tisch fand, und verschwand in den Garten. Als Letzter kam Hopsi in die Küche, las den Brief von Flinky, schmunzelte über die Schreibfehler und nahm vier Äpfel, die genau ein Drittel von den Äpfeln im Korb ausmachten, zu sich. Wie viele Äpfel hatten Flinky und Bunny zusammen gekriegt?

10 Andre Zeit, andre Lehre

Mathematik ist nicht sinnlos und weltfremd, sondern eher wie ein Schweizer Taschenmesser, immer und überall für alles Mögliche zu gebrauchen. Manfred Spitzer

10.1 Anfang der Zeit Problem 10.1 Wie oft am Tag wird der Stundenzeiger vom Minutenzeiger überholt? Lösung 10.1 Um 00:00 Uhr überdecken sich die Uhrzeiger, sofort danach wird der Stundenzeiger vom Minutenzeiger zum ersten Mal am Tag überholt. Zum zweiten Mal überlappen sie sich kurz nach 1 Uhr, zum dritten Mal zwischen 2 Uhr und 3 Uhr und zum elften Mal zwischen 10 Uhr und 11 Uhr. Zwischen 11 Uhr und 12 Uhr überlappen sich die Uhrzeiger nicht, und der Stundenzeiger wird vom Minutenzeiger in dieser Stunde nicht überholt. Erst um 12:00 Uhr überlappen sich die Uhrzeiger wieder, danach wird der Stundenzeiger vom Minutenzeiger zum zwölften Mal am Tag überholt. Zwischen 22 Uhr und 23 Uhr wird der Stundenzeiger zum 22. und zum letzten Mal vom Minutenzeiger überholt. Problem 10.2 Wenn „morgen“ zu „gestern“ wird, dann wird „übermorgen“ einen Tag vor Montag sein. Was für ein Wochentag war, als „gestern“ noch „morgen“ war? Manfred Spitzer, *1958, Psychologe und Psychiater © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_10

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T. S. Samrowski

Lösung 10.2 „Morgen“ wird übermorgen zu „gestern“. Zwei Tage nach „übermorgen“ wird ein Tag vor Montag sein, d. h. ein Sonntag. Dann ist übermorgen ein Freitag, und heute ist ein Mittwoch. „Gestern“ war vorgestern noch „morgen“. Wenn heute ein Mittwoch ist, dann war vorgestern ein Montag.

10.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen Problem 10.3 Wie oft am Tag bilden die Uhrzeiger einen geraden Winkel? Problem 10.4 Teile mit einer geraden Linie ein Ziffernblatt in zwei Hälften so auf, dass die Summe aller Ziffern auf jeder Hälfte gleich ist. Problem 10.5 Teile mit einer geraden Linie ein Ziffernblatt in zwei Hälften so auf, dass die Summe aller Zahlen auf jeder Hälfte gleich ist. Problem 10.6 Teile das Ziffernblatt in drei Stücke mit geraden Linien so auf, dass die Summe der Zahlen auf jedem Stück gleich ist. Problem 10.7 Eine elektronische Uhr zeigt 23:10. Was zeigt sie beim nächsten und beim übernächsten Mal, wenn die Summe der Stunden und der Minuten dieselbe ist? Problem 10.8 Am Freitag, den 28. Februar um 20 Uhr stellt Felix seinen mechanischen Wecker auf 9 Uhr. In wie vielen Stunden hört man den Wecker klingeln?

Problem 10.9 Richards Uhr ist kaputt. Der Minutenzeiger macht eine ganze Umdrehung in 56 min. Um 8 Uhr zeigt sie die genaue Zeit. a) Wann zeigt sie 3 Uhr? b) Was zeigt sie um 3 Uhr?

10 Andre Zeit, andre Lehre

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Problem 10.10 Es gibt zwei Schnüre. Jede Schnur brennt in 1 h vollständig, allerdings nicht gleichmäßig, ab. Wie könnte man mit diesen beiden Schnüren 45 min abmessen? Problem 10.11 Im Gemeinschaftszimmer eines handy- und computerfreien Sommerlagers hängt eine große Uhr, die richtig läuft. Die Wanduhren in den Schlafsälen stehen. Wie stellt man die Uhr in einem Schlafsaal, wenn man keine weiteren Uhren außer der Uhr im Gemeinschaftszimmer zur Verfügung hat? Problem 10.12 Nach einer Operation wird dem Patienten alle 3 h ein Medikament gegen Schmerzen injiziert. Um 11 Uhr bekommt der Patient die erste Spritze und um 23 Uhr die letzte. Wie viele Spritzen hatte der Patient nach 12 h insgesamt bekommen? Problem 10.13 Um 5 Uhr hört man 8 s lang die Kirchenglocke läuten. Wie lange schlägt die Glocke am Mittag? Problem 10.14 Ich habe zwei Sanduhren. Die erste Uhr hat grüne Sandkörner und braucht genau 8 min um einmal durchzulaufen. Der Sand in der zweiten Uhr ist blau und läuft in 5 min komplett durch. Könnte man mithilfe dieser beiden Uhren • • • •

3 min, 4 min, 7 min, jede natürliche Anzahl an Minuten

stoppen?

120

T. S. Samrowski

10.3 Wettbewerbsaufgaben Problem 10.15 Wie lange benötigen 100 Katzen, um 100 Mäuse zu fangen, wenn 10 Katzen in 10 min 10 Mäuse fangen? (A) 100 min

(B) 10 min

(C) 1000 min

(D) 1 min

(E) 50 min

(Pangea-CH, Vorrunde 2013, 5. Kl., 13) Problem 10.16 Eine Sängerin beherrscht 50 Lieder mit einer Dauer von jeweils 3 min und 50 Lieder mit 5 min (alle Lieder einschließlich einer kurzen Pause davor und danach). Sie möchte eine DVD mit einer Spieldauer von genau 3 h erstellen. Wie viele Lieder kann sie dort maximal unterbringen? (A) 36

(B) 40

(C) 56

(D) 60

(E) 100

(Pangea-CH, Vorrunde 2013, 6. Kl., 14) Problem 10.17 Wandle um in Minuten: (A) 54 min

(B) 125 min

5 4

h

(C) 45 min

(D) 75 min

(E) 15 min

(Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6. Kl., 5) Problem 10.18 Eine Schnecke bewegt sich in jeder Minute 6 cm vorwärts. Wie lange braucht sie für 4,80 m? (A) 0, 8 min (B) 28, 8 min (C) 1 h 20 min (D) 10 h 8 min (E) 8 h (Pangea-CH, Vorrunde 2014, 6. Kl., 8) Problem 10.19 Wie viele Stunden sind 352.800 s? (A) 89 h

(B) 91 h

(C) 94 h

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5. Kl., 10)

(D) 97 h

(E) 98 h

10 Andre Zeit, andre Lehre

121

Problem 10.20 Eine von zwei Uhren geht alle 5 min eine Minute nach, die zweite Uhr alle 6 min eine Minute nach. Man stellt die beiden gleichzeitig um 12:00 Uhr richtig ein. Wie viel Uhr zeigt die zweite Uhr, wenn die erste 14:00 Uhr anzeigt? (A) (B) (C) (D) (E)

13:40 Uhr 13:50 Uhr 13:55 Uhr 14:05 Uhr 14:10 Uhr

(Pangea-CH, Vorrunde 2016, 5. Kl., 19) Problem 10.21 Die große Uhr von Familie Maier schlägt zu jeder Viertelstunde einmal, zu jeder halben Stunde zweimal, zu jeder Dreiviertelstunde dreimal, zu jeder vollen Stunde viermal. Wie oft schlägt sie heute von 12:12 Uhr bis 3 min vor Mitternacht? (Pangea-DE, Finale 2014, 5. Kl., 1) Problem 10.22 Zwei Digitaluhren zeigen jetzt genau 00:00:00 Uhr. Nach einer Stunde geht die zweite Uhr gegenüber der ersten Uhr eine Minute vor. Nach welcher Zeit zeigen beide Uhren wieder die gleiche Uhrzeit an? (A) (B) (C) (D) (E)

nach 24 Tagen nach 60 Tagen nach 240 Tagen nach 3600 Tagen nie

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 6. Kl., 18)

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T. S. Samrowski

Problem 10.23 An der Haltestelle „Rathaus“ fahren regelmäßig Busse. Zwischen zwei Bussen vergeht immer gleich viel Zeit. Jetzt ist es 14:42 Uhr. Der letzte Bus fuhr vor 5 min ab, allerdings kam er 3 min zu spät. Der nächste Bus soll um 14:50 Uhr abfahren. Um wie viel Uhr soll der Bus danach abfahren? (A) (B) (C) (D) (E)

14:58 Uhr 14:55 Uhr 15:00 Uhr 15:05 Uhr 15:06 Uhr

(Pangea-CH, Finale 2017, 5. Kl., 18) Problem 10.24 Tobias hat 6 Kerzen. Um 10:00 Uhr zündet er die erste Kerze an, und alle zehn Minuten zündet er eine neue Kerze an. Jede Kerze brennt in 50 min ab. Wie viele Kerzen brennen um 11:35 Uhr? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 0

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5. Kl., 16) Problem 10.25 Eine Kuckucksuhr hängt im Flur. Der Kuckuck meldet sich zu jeder Stunde und ruft um 1 Uhr und um 13 Uhr einmal, um 2 Uhr und um 14 Uhr zweimal, um 3 Uhr und 15 Uhr dreimal, usw. Zu jeder halben Stunde meldet er sich einmal. Wie oft ruft der Kuckuck an einem Tag? (Pangea-DE, Finale 2016, 5. Kl., 5) Problem 10.26 36.000 s sind dasselbe wie (A) (B) (C) (D) (E)

eine Stunde, drei Stunden, fünfeinhalb Stunden, sechs Stunden, es sind mehr als sechs Stunden

(Känguru, 2004, 5.–6. Kl., 4)

10 Andre Zeit, andre Lehre

123

Problem 10.27 Auf dem Tisch stehen 5 Kerzen, jede 14 cm lang. Jede Kerze brennt pro Minute 1 mm herunter. Um 20:00 Uhr wird die erste Kerze angezündet, eine Minute später die nächste, nach einer weiteren Minute die dritte usw. Wann genau erlischt die letzte Kerze? (A) (B) (C) (D) (E)

20:16 21:44 22:05 22:24 22:25

Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr

(Känguru, 2006, 5.–6. Kl., 25) Problem 10.28 Wie lange dauert die Hälfte von einem Drittel von einem Vierteltag? (A) 3 h (B) 2 h (C) 1 h (D) 21 h (E) 13 h (Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 17) Problem 10.29 Unterm Eichenbaum schläft immer von 12 Uhr mittags bis Mitternacht die Grinsekatze, in der restlichen Zeit erzählt sie Geschichten. Eines Tages hängt ein Zettel an der Eiche, auf dem steht: „Vor zwei Stunden hat die Grinsekatze dasselbe getan, was sie in einer Stunde tun wird.“ An wie vielen Stunden eines Tages ist der Inhalt des Zettels wahr? (A) 18

(B) 6

(Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 28)

(C) 12

(D) 3

(E) 21

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T. S. Samrowski

Problem 10.30 Welches Datum haben wir 2003 min nach dem 20.03.2003, 20.03 Uhr? (A) (B) (C) (D) (E)

21.03.2003 22.03.2003 23.03.2003 20.04.2003 21.04.2003

(Känguru, 2003, 5.–6. Kl., 18) Problem 10.31 Die Zwillinge Marie und Luise zeichnen ihrem Großvater zum Geburtstag einen Trickfilm. Sie wissen, dass 24 Bilder je Sekunde nötig sind, um bewegte Bilder zu erhalten. Marie zeichnet 132 und Luise 180 Bilder. Wie lange läuft der Film? (A) (B) (C) (D) (E)

12 s 12,5 s 13 s 7s 62 s

(Känguru, 2002, 5.–6. Kl., 11) Problem 10.32 Betty macht es Spaß, die Ziffern, die sie auf ihrer Digitaluhr sieht, zu addieren – wenn die Uhr z. B. 21:17 zeigt, rechnet sie 2 + 1 + 1 + 7 = 11. Welches ist die größte Summe, die sie dabei erhalten kann? (A) 24

(B) 36

(Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 28)

(C) 19

(D) 28

(E) 23

10 Andre Zeit, andre Lehre

125

Problem 10.33 Matthias hat für seine gesamten Hausaufgaben heute genau eine Stunde gebraucht, davon ein Drittel für Mathe. Von der verbliebenen Zeit brauchte er zwei Fünftel für Englisch. Wie viel Zeit hat er für alle anderen Fächer benötigt? (A) (B) (C) (D) (E)

12 min 20 min 24 min 27 min 32 min

(Känguru, 2002, 5.–6. Kl., 11) Problem 10.34 Der alte Baum auf dem Schulhof erzeugt im Durchschnitt 2 kg Sauerstoff je Stunde. Bei anstrengender Arbeit, z. B. bei einer Matheklausur, verbraucht ein Kind etwa 1 kg Sauerstoff je Stunde. Wie viele Stunden muss der Schulhofbaum „atmen“, um den Sauerstoffbedarf von 24 Kindern zu decken, die 75 min, also eine ganze und eine Viertelstunde, beim Känguruwettbewerb knobeln? (A) 24

(B) 12

(C) 30

(D) 27

(E) 15

(Känguru, 2001, 5.–6. Kl., 24) Problem 10.35 Nora verborgt oft ihr Fahrrad an Freunde. Weil sie eine Naschkatze ist, hat sie sich einen Leihzins ausgedacht: für 1 Tafel Schokolade gibt sie das Fahrrad für 4 h her, für ein Dutzend (das sind 12) Bonbons für 3 h. Wie lange darf Jan das Fahrrad für eine halbe Tafel Schokolade und 4 Bonbons benutzen? (A)

1 2

h

(B) 1 h

(Känguru, 2000, 5.–6. Kl., 8)

(C) 2 21 h

(D) 2 h 40 min

(E) 3 h

126

T. S. Samrowski

Problem 10.36 Wie viel Zeit benötige ich, um eine Million Buchstaben zu schreiben, wenn ich hundert Buchstaben je Minute schreiben kann? (A) (B) (C) (D) (E)

140 h 40 min 166 h 40 min 124 h 10 min 18 h 20 min 200 h

(Känguru, 2000, 5.–6. Kl., 14) Problem 10.37 Ein Film beginnt um 13 Uhr 47 min und endet um 16 Uhr 18 min. Wie viele Minuten dauert der Film? (A) (B) (C) (D) (E)

185 min 151 min 91 min 149 min 209 min

(Känguru, 1999, 5.–6. Kl., 10) Problem 10.38 Der Marstag ist ungefähr 40 min länger als der Erdentag. Was ist die Differenz zwischen einer Marswoche und einer Erdenwoche? (A) (B) (C) (D) (E)

4 h 40 min 2 h 80 min 7 h 20 min 40 min 0 min

(Känguru, 1998, 5.–6. Kl., 5)

10 Andre Zeit, andre Lehre

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Problem 10.39 Anne besucht ein Museum von 11.17 Uhr bis 13.03 Uhr. Michael kommt um 10.45 Uhr in das Museum und verlässt es nach 108 min wieder. Paula bleibt nur genau 94 min dort. Sie geht um 13.26 Uhr. Wie lange waren Michael und Paula gemeinsam im Museum? (A) (B) (C) (D) (E)

33 min 39 min 41 min 45 min 94 min

(Pangea-CH, Vorrunde 2013, 5. Kl., 17) Problem 10.40 Wie spät ist es?

(A) (B) (C) (D) (E)

13:40 Uhr 13:20 Uhr 14:40 Uhr 22:20 Uhr 23:40 Uhr

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5. Kl., 2)

128

T. S. Samrowski

Problem 10.41 Im Spiegel ist eine Uhr zu sehen. Wie spät ist es:

21

(A) 6 : 45

(B) 7 : 45

(C) 4 : 15

(D) 16 : 45

(E) 17 : 15

(Känguru, 2000, 5.–6. Kl., 6) Problem 10.42 Konstantin lässt sich beim Frisör die Haare schneiden. Im Spiegel sieht er die Uhr:

Was hätte er vor 10 min im Spiegel gesehen?

(A)

(B)

10 Andre Zeit, andre Lehre

129

(C)

(D)

(E) (Känguru, 2016, 5.–6. Kl., B8) Problem 10.43 Der mathematische Wettbewerb beginnt heute, am 6. Mai 2000, um 9.30 Uhr. Wie viele a) b) c) d)

Tage, Stunden, Minuten, Sekunden

sind seit Beginn des Jahres 2000 bis zu diesem Zeitpunkt vergangen? Beachte, dass 2000 ein Schaltjahr ist und dass bei der Umstellung auf die Sommerzeit am 26. März die Uhren um eine Stunde vorgestellt wurden. Gib außerdem e) die Anzahl der Tage als Summe von Zweierpotenzen an! (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5A23)

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T. S. Samrowski

Problem 10.44 Am Sonntag, dem 30. März 2003, wurde eine alte Wanduhr bei der Umstellung auf die europäische Sommerzeit nach einer (stets genau gehenden) Funkuhr um 12 Uhr genau gestellt. Die Wanduhr geht innerhalb jeder Stunde um eine Minute und 30 s vor. a) Nach wie vielen Stunden stehen die Zeiger beider Uhren wieder genau auf 12? b) Gib das Datum und den Wochentag dieses Zeigergleichstandes beider Uhren an. (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5A36) Problem 10.45 An einem Wandertag veranstaltet die 5. Klasse eine Schatzsuche. Die Klasse wird in zwei Gruppen geteilt. Jede Gruppe muss nacheinander drei Hinweise zum Versteck des Schatzes finden. Die erste Gruppe findet den ersten Hinweis schon nach acht Minuten. Für den dritten Hinweis braucht die Gruppe dreimal so lange wie für den zweiten. Nach genau einer Stunde haben sie die drei Hinweise entdeckt. Die zweite Gruppe benötigt die meiste Zeit zum Finden des ersten Hinweises. Für den zweiten Hinweis braucht die Gruppe acht Minuten weniger und für den dritten Hinweis nochmals acht Minuten weniger als für den zweiten. Insgesamt hat auch die zweite Gruppe genau eine Stunde benötigt. Wie lange haben die Gruppen jeweils die einzelnen Hinweise gesucht? Führe jeweils eine Probe durch. (Deutsche Mathematik Olympiade, 570522) Problem 10.46 Am Neujahrstag des Jahres 2014 sitzen Anna und ihre Oma beisammen. Anna freut sich immer, wenn die Oma ihr eine Knobelaufgabe stellt. Heute soll es um Zeiten gehen. Das Jahr 2014 hat 365 Tage, und nun fragt die Oma: a) Wie viele Stunden hat das Jahr 2014? b) Wie viele Minuten hat das Jahr 2014? c) An welchem Tag (Datum) und zu welcher Uhrzeit sind insgesamt 100 Tage, 100 h und 100 min vergangen? d) An welchem Tag und zu welcher genauen Uhrzeit werden 1 000 000 s vergangen sein? (Deutsche Mathematik Olympiade, 540521)

10 Andre Zeit, andre Lehre

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Problem 10.47 a) Der jetzige Zeitpunkt ist von der letzten Mitternacht fünfmal so weit entfernt wie von der nächsten Mitternacht. Wie spät ist es gerade? b) Bestimme die Uhrzeit, zu der man folgende Feststellung machen kann: Vor einer Stunde war seit 13 Uhr genauso viel Zeit vergangen, wie jetzt noch bis 18 Uhr fehlt. Mache eine Probe. c) Bestimme die Uhrzeit, zu der man folgende Feststellung machen kann: Vor einer Stunde lag der Zeitpunkt 12 Uhr doppelt so lang zurück, wie jetzt der Zeitpunkt 14 Uhr zurückliegt. Mache eine Probe. (Deutsche Mathematik Olympiade, 540532) Problem 10.48 Familie Fröhlich möchte heute zur 17:30-Uhr-Vorstellung ins Kino gehen. Weil alle am Nachmittag was anderes zu tun haben, treffen sie sich vor dem Kino. 1. Rico wartet doppelt so lange auf den Vater, wie die Mutter auf Nadine. 2. Auf die Mutter braucht Rico nur 20 min zu warten, sie kommt eine Viertelstunde vor der Zeit. 3. Nadine kommt eine Viertelstunde nach dem Vater. 4. Nadine kommt so viele Minuten vor der Zeit, wie Rico auf den Vater wartet. a) In welcher Reihenfolge treffen die Familienmitglieder vor dem Kino ein? b) Gib zu jedem Familienmitglied die Uhrzeit an! (Deutsche Mathematik Olympiade, 450523) Problem 10.49 Jonas hat eine neue Uhr zum Geburtstag bekommen und will die Zeit einstellen. Beim Drehen der Zeiger betrachtet er die Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger. Für die nächste Mathematikstunde denkt er sich dazu Aufgaben zu diesem Winkel aus. (Es gibt natürlich immer zwei Winkel zwischen den beiden Zeigern, in den Aufgaben wird aber immer nach dem kleineren der beiden Winkel gefragt.) a) Welchen Winkel bilden die Uhrzeiger um 16:00 Uhr miteinander? b) Wie groß ist der Winkel um 20:30 Uhr? c) Gib eine Uhrzeit zwischen 15:00 Uhr und 16:00 Uhr an, für die der kleinere der beiden Winkel zwischen den Zeigern 20◦ groß ist! Weise nach, dass deine Zeit die gestellte Bedingung erfüllt. (Deutsche Mathematik Olympiade, 500624)

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Problem 10.50 Gulliver kommt auf seinen Reisen auch auf die fliegende Insel Laputa, auf der die Astronomen herrschen. Die Astronomen haben ihre Zeit anders eingeteilt als wir: „Bei uns hat der Tag zehn Horen. Jede Hore hat einhundert Menores, und jeder Menor besteht wieder aus einhundert Diminuti. Durch lange Beobachtung haben wir festgestellt, dass unser Diminuto genauso lange dauert wie eure Sekunde“, sagt der Chef-Astronom zu Gulliver. Gulliver stutzt. Er überlegt: a) Wie lange dauert demzufolge ein Tag auf Laputa, gemessen in Stunden, Minuten und Sekunden? b) Dann weiß Gulliver plötzlich, was los ist. Laputa befindet sich zwar auf der Erde, aber es ist schließlich eine fliegende Insel. Gulliver schließt messerscharf: Die Insel umkreist die Erde in geringer Höhe und fliegt ständig nach Westen. Wie kommt er zu diesem Schluss? c) Wenn jetzt Laputa über uns vorbeifliegen würde – wann wäre dann die Insel zum ersten Mal wieder zu beobachten? Runde die benötigte Zeit auf volle Tage und Stunden. (Deutsche Mathematik Olympiade, 480633) Problem 10.51 Ein leeres quaderförmiges Wasserbecken ist 22 m lang, 6 m breit und 2 m tief. Beim Füllen des Beckensfließen in jeder Minute 900 l Wasser in das Becken. Nach welcher Zeit ist das Becken bis zu einer Höhe von genau 1,50 m gefüllt? Wir nehmen an, dass der Boden des Wasserbeckens genau waagerecht ist. (Deutsche Mathematik Olympiade, 200622) Problem 10.52 Peter stellt um 7.00 Uhr seine Armbanduhr nach der Zeitansage im Radio. Um 15.00 Uhr stellt er fest, dass seine Uhr in diesen 8 h insgesamt 12 min nachgegangen ist. Er möchte um Punkt 18.00 Uhr seinen Freund treffen. Wie muss er seine Uhr um 15.00 Uhr stellen, damit sie um 18.00 Uhr die genaue Zeit anzeigt? (Deutsche Mathematik Olympiade, 030731)

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Problem 10.53 Wir rechnen mit Zeiten. a) René fährt zu Hause um 15:30 Uhr zur Mathe-AG los; die AG beginnt um 16:00 Uhr. Unterwegs schaut er auf die Uhr und stellt fest: In 10 min wird doppelt so viel Zeit vergangen sein, wie es bis zum Beginn der Arbeitsgemeinschaft dann noch sind. Wie spät ist es gerade? b) Reneé denkt unterwegs weiter: „Ich suche den Zeitpunkt, an dem gilt: Bis 17:00 Uhr sind es noch dreimal so viele Minuten, wie seit 14:00 Uhr bereits vergangen sind.“ Welcher Zeitpunkt ist dies? c) René hat sich für die Regionalrunde der Mathematik-Olympiade qualifiziert. Diese beginnt bei ihm am 11. November 2009 um 08:00 Uhr. Welches Datum und welche Uhrzeit haben wir 2009 Minuten später? (Deutsche Mathematik Olympiade, 490521) Problem 10.54 Zeitdauer Von zwei Uhren geht die erste Uhr genau und die zweite Uhr stündlich eine Minute vor. Angenommen, beide Uhren zeigen 12 Uhr an. Wie viele Tage vergehen, bis beide Uhren wieder dieselbe Uhrzeit anzeigen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 450432) Problem 10.55 Tierfilm Meine Eltern, meine Schwester und ich schauten einen Tierfilm. Mein Vater setzte sich erst 17:35 Uhr dazu, das war genau zur Hälfte des Filmes. Eine Viertelstunde nach Beginn des Filmes klingelte es an der Wohnungstür. Meine Schwester ging zur Tür und verpasste so vier Minuten des Filmes. Die letzten acht Minuten des Filmes verpasste meine Mutter, weil sie um 17:52 Uhr einen Anruf entgegennahm. Nur ich konnte mir den gesamten Film anschauen. a) Wie lange dauerte der Tierfilm? b) Um welche Uhrzeit begann und wann endete der Film? c) Wie lange schaute der Vater, wie lange die Mutter und wie lange die Schwester den Tierfilm an? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580425)

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10.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal Problem 10.56 Löse das folgende Zahlenrätsel, finde dabei alle Lösungen: +

AS A MOM

Problem 10.57 Wie spät ist es jetzt, wenn der Rest des Tages noch doppelt so viele Stunden enthält, wie schon vergangen sind?

Problem 10.58 Füge die Operationszeichen „+“, „−“, „·“, „÷“ sowie Klammern ein, damit die Rechnung stimmt: a) b) c) d) e)

55555=5 55555=6 55555=7 55555=8 55555=9

Problem 10.59 Winnie Puuh hat von seinem Freund Ferkel ein Fässchen mit Honig zum Geburtstag geschenkt bekommen, das insgesamt 7 kg schwer war. Nachdem die Hälfte des Honigs aufgegessen worden war, wog das halbvolle Fässchen immer noch 5 kg. Wie viel Honig war im Fässchen zu Beginn? Problem 10.60 Wie viele dreistellige Zahlen haben genau eine Eins in ihrer Dezimaldarstellung? Problem 10.61 Der Bau kann von 10 Bauarbeitern in 8 Tagen errichtet werden. Wie viele Bauarbeiter muss man noch einstellen, damit der Bau in 2 Tagen fertig wird? Problem 10.62 Ein Wassertank umfasst 270 l Wasser, wenn er ein Drittel gefüllt ist. Wie viel Liter Wasser umfasst der Wassertank, wenn er ein Drittel leer ist?

11 Damit man nicht nur Bahnhof versteht

Die Mathematik transportiert uns in die Regionen des Unbekannten, von wo wir mit herrlichen neuen Entdeckungen zurückkehren. („Times“vom 04.08.1846)

In diesem Kapitel wird insbesondere die arithmetische Vorgehensweise für die Aufgabenstellungen zu „Weg, Zeit, Geschwindigkeit“ thematisiert.

11.1 Achtung, fertig, los! Problem 11.1 Zwei Fähren fahren mit gleichmäßiger Geschwindigkeit zur gleichen Zeit von den gegenüberliegenden Ufern eines Flusses los und aufeinander zu. Ihr Treffpunkt liegt 120 m von einem Ufer entfernt. Sobald die Fähren die Ufer erreichen, machen sie einen fünfminütigen Halt und fahren zurück. Dabei treffen sie sich wieder 50 m von dem anderen Ufer entfernt. Wie breit ist der Fluss? Lösung 11.1 Als die Fähren sich zum ersten Mal treffen, haben sie die Strecke zurückgelegt, die gleich der Flussbreite ist. Bis zum zweiten Treffen legen sie zusammen noch zwei Flussbreiten zurück. Dann ist die reine Fahrzeit bis zum zweiten Treffen gleich der dreifachen Fahrzeit bis zum ersten Treffen.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_11

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Eine Fähre ist bis zum ersten Treffen 120 m gefahren, dann musste sie bis zum zweiten Treffen 360 m insgesamt gefahren zu sein. Diese Strecke ist 50 m länger als die Flussbreite. Somit ist der Fluss 120 · 3 − 50 = 310 m breit. Problem 11.2 Die Häuser von David und Daniel befinden sich in der gleichen Entfernung von der Schule. David fährt immer mit dem Fahrrad zur Schule und zurück. Daniel geht normalerweise zu Fuß, dabei ist er zweimal langsamer als David mit seinem Fahrrad. Nach dem Schulschluss verlassen sie heute gleichzeitig das Schulgebäude. Nachdem Daniel a) die Hälfte, b) ein Drittel, c) vier Neuntel des Wegs nach Hause zurückgelegt hat, holt ihn sein Vater mit dem Auto ein und nimmt ihn mit. Wer war schneller zu Hause, wenn man mit dem Auto fünfmal schneller unterwegs ist als mit dem Fahrrad? Lösung 11.2 David ist mit dem Fahrrad zweimal schneller als Daniel zu Fuß. David legt deswegen in derselben Zeit eine doppelt so lange Strecke zurück wie Daniel. a) Als David zu Hause ankam, befand sich Daniel noch auf dem halben Weg nach Hause. Dass er dort von seinem Vater mit dem Auto eingeholt und mitgenommen wurde, spielte keine Rolle mehr. David war also schneller zu Hause. b) Als Daniel ein Drittel des Weges zurücklegte und von seinem Vater eingesammelt wurde, legte David zwei Drittel des Weges zurück. Ihm blieb noch, 2 1 1− = 3 3 des Weges zu fahren. In der Zeit, die Daniel mit seinem Vater für zwei Drittel des Weges brauchte, legte David eine fünfmal kürzere Strecke zurück: 2 2 ÷ 5= 3 15

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Da zwei Fünfzehntel weniger ist als ein Drittel, schafft es David nicht, vor Daniel mit seinem Vater zu Hause zu sein. Daniel kommt schneller nach Hause als David. c) Als Daniel vier Neuntel des Weges zurücklegte und von seinem Vater eingesammelt wurde, legte David acht Neuntel des Weges zurück. Ihm blieb noch, ein Neuntel zu fahren. In der Zeit, die David für diese Strecke braucht, legt man mit dem Auto eine fünfmal längere Strecke zurück. Da Daniel mit seinem Vater noch 4 5 1− = 9 9 des Weges fahren mussten, also fünfmal weiter als David, kommen sie alle gleichzeitig zu Hause an.

11.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen Problem 11.3 Felix ist ein Pendler, der jeden Tag mit dem Zug zur Arbeit fährt. Von der Arbeit kommt er normalerweise um 18:30 Uhr am Bahnhof in seinem Heimatort an, wo er von seiner Frau mit dem Auto abgeholt wird. Heute machte Felix früher Schluss und kam schon um 17:30 Uhr am Bahnhof in seinem Heimatort an. Er entschied sich, seiner Frau entgegenzulaufen. Ein wenig später trafen sie sich auf der Straße und fuhren sofort nach Hause. Zu Hause kam Felix 20 min früher an als sonst. Um wie viel Uhr traf Felix seine Frau auf der Straße? Problem 11.4 Für die Fahrt über eine 450 m lange Brücke braucht der Zug 45 s. An einer Ampel fährt derselbe Zug 15 s vorbei. Bestimme die Länge des Zuges und seine Geschwindigkeit. Problem 11.5 Ein Zug ist 200 m lang und fährt an einer Gleislaterne in 4 s vorbei. a) Wie viel Zeit braucht dieser Zug, um eine 400 m breite Brücke zu überqueren? b) Mit welcher Geschwindigkeit fährt dieser Zug? Problem 11.6 Die Heuschrecke Elvira hüpft fröhlich auf der Wiese. Bei einem ihrer Sprünge sieht sie ihre Freundin Ameise Amelie, die gerade davonkrabbelt. Wie weit muss Elvira hüpfen, um Amelie einzuholen und die letzten Neuigkeiten auszutauschen, wenn sie fünfmal schneller vorankommt als Amelie, sich aber 200 m hinter ihr befindet?

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Problem 11.7 Ein Motorradfahrer und ein Fahrradfahrer verlassen gleichzeitig Narzissendorf und fahren in Richtung Rosendorf. Nachdem der Fahrradfahrer ein Drittel des ganzen Weges zurückgelegt hat, hält er an einer Gaststätte an und fährt erst dann weiter, wenn dem Motorradfahrer nur noch ein Drittel der Strecke bis Rosendorf bleibt. Wenn der Motorradfahrer Rosendorf erreicht, dreht er sofort um und fährt zurück nach Narzissendorf. Erreicht der Motorradfahrer Narzissendorf schneller, als der Fahrradfahrer in Rosendorf ankommt? Problem 11.8 Herr Schwarz und Herr Weiß machen gerade Fahrradtouren in der gleichen Umgebung. Um 13 Uhr fuhr Herr Schwarz aus Nelkenwiesen los und erreichte um 17 Uhr Tulpenhausen. Herr Weiß verließ um 11:30 desselben Tages Tulpenhausen und kam um 15:30 mit seinem Fahrrad in Nelkenwiesen an. Um wie viel Uhr haben sich die beiden auf der Landesstraße getroffen? Problem 11.9 Drei Schnecken Slizzy, Sklizy und Smuzy haben über eine ebene, 10 cm lange Strecke ein Wettrennen veranstaltet. Als Sklizy die Zielgerade überquerte, musste Slizzy noch einen ganzen Zentimeter kriechen. Als Slizzy die Zielgerade überquerte, musste Smuzy noch genau einen Zentimeter kriechen. Wie weit von der Zielgeraden, war Smuzy, als Sklizy das Rennen gewann? Problem 11.10 Den Weg zur Schule lief Pinocchio zu Fuß. Auf dem Rückweg ist er die erste Hälfte des Weges auf einem Hund geritten und die zweite Hälfte auf einer Schildkröte. Die Geschwindigkeit des Hundes ist viermal größer und die Geschwindigkeit der Schildkröte ist zweimal kleiner als die Laufgeschwindigkeit von Pinocchio. Wäre er zu Fuß nicht schneller zu Hause?

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Problem 11.11 Nachdem zwei Drittel des Weges vorbei waren, platzte einem Fahrradfahrer der Reifen. Den Rest der Strecke ging er zu Fuß, was doppelt so lange gedauert hat wie sein Fahren davor. Wie viel schneller ist er mit dem Fahrrad unterwegs als zu Fuß? Problem 11.12 Wenn Frau Müller mit der Geschwindigkeit von 60 km/h fahren würde, würde sie 15 min zu spät zur Arbeit kommen. Fähre sie 90 km/h, so käme sie 15 min zu früh. Mit welcher Geschwindigkeit soll Frau Müller fahren, damit sie pünktlich ankommt? Problem 11.13 Zwei Züge fahren aneinander vorbei mit der gleichen Geschwindigkeit von 60 km/h. Ein Fahrgast, der im ersten Zug sitzt, bemerkt, dass der zweite Zug genau 6 s an ihm vorbeifuhr. Wie lang ist der zweite Zug? Problem 11.14 An einem Samstag beschließt Veronika, ihre Großeltern zu besuchen, und fährt um 10 Uhr mit ihrem Fahrrad los. Als sie an einem Laden vorbeifährt, sieht sie plötzlich ihren Großvater, der gerade mit dem Auto ankommt, um ein paar Einkäufe zu tätigen. Veronika und ihr Großvater erledigen die Einkäufe zusammen und fahren gleichzeitig in Richtung des Hauses der Großeltern los. Der Großvater kommt genau 6 min vor Veronika zu Hause an. Wie lange dauert die Fahrt mit dem Fahrrad von Veronikas Wohnung bis zum Haus der Großeltern, falls der Großvater an dem Morgen auch um 10 Uhr zu dem Laden losfuhr und fünfmal schneller mit dem Auto war als Veronika mit ihrem Fahrrad? Problem 11.15 Nach einem heftigen Streit laufen Younes und Leo in die entgegengesetzten Richtungen voneinander weg. Nach 2 min beschließt Leo, doch noch Frieden zu schließen und dreht um. Wie viel mal muss Leos Renngeschwindigkeit gesteigert werden, um Younes in 2 min einzuholen?

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Problem 11.16 Auf der Route einer Buslinie werden zwölf Busse eingesetzt, die mit 20-minütigen Abständen dieselben Haltestellen anfahren. a) Wie lange müsste man auf den Bus maximal warten, wenn 15 Busse die Route bedienen würden? b) Wie viele Busse müssten die Route bedienen, damit sie mit 15-minütigen Abständen dieselben Haltestellen anfahren würden? c) Wie viele Busse muss man noch einsetzen, damit das Warten um ein Fünftel verkürzt wird? Problem 11.17 Eine Frau fährt mit dem Fahrrad von Zürich nach Rom. Sie legt pro Tag 80 km zurück. Ihr Mann fährt einen Tag später los, hat aber die Geschwindigkeit von 90 km pro Tag. Wann holt er seine Frau ein? Problem 11.18 Wegen einer Grippe konnten heute 3 von 18 S-Bahnfahrern, die die S-Bahnlinie 10 fahren mussten, ihre Schicht nicht antreten. Da man keinen Ersatz gefunden hat, verkehren heute die S-Bahnen in längeren Zeitabständen. Wie viel länger muss man heute auf die S-Bahn 10 warten, wenn normalerweise die Wartezeit 10 min beträgt? Problem 11.19 Für den Schulweg brauche ich 15 min und mein Bruder 20 min. In wie vielen Minuten hole ich meinen Bruder ein, wenn er 2,5 min früher aus dem Haus geht? Problem 11.20 Ein Eichhörnchen holt eine Nuss in 20 min ins Nest. Wie weit ist der Nussbaum vom Nest entfernt, wenn es ohne die Nuss 5 m/s und mit der Nuss 3 m/s unterwegs ist? Problem 11.21 Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit von a) 20 km/h b) 40 km/h c) 60 km/h Auf wie viel muss man die Geschwindigkeit erhöhen, damit man bei jedem Kilometer 1 min schneller ist?

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Problem 11.22 Ein König mit seinem Gefolge fährt aus dem Winterpalast in die Sommerresidenz, wo ihn die Königin erwartet, mit der Geschwindigkeit von 5 km/h. Jede Stunde schickt er zur Königin Eilboten mit verschiedenen Nachrichten und Aufträgen. Die Eilboten haben dieselbe Geschwindigkeit von 25 km/h. In welchen Zeitabständen kommen die Eilboten in der Sommerresidenz an?

Problem 11.23 Ein Lastwagen braucht für eine bestimmte Strecke 10 h. Wenn er aber pro Stunde 10 km schneller wäre, würde er nur 8 h für dieselbe Strecke brauchen. Wie schnell fährt dieser Lastwagen?

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Problem 11.24 Als der Nachbarskater Arnold das Haus heute Morgen verließ, spazierte er zuerst 45 min mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 km/h. Danach sah er den Rottweiler Eric und beschloss, ihm so schnell wie möglich aus dem Weg zu gehen. Arnold rannte 3 min mit der Geschwindigkeit von 40 km/h zurück nach Hause. Wie hoch war Arnolds Durchschnittsgeschwindigkeit heute Morgen?

Problem 11.25 Der Schulweg dauert bei Vierka 20 min. Einmal auf dem Weg zur Schule bemerkt sie, dass sie ein Schulbuch zu Hause vergessen hat. Wenn sie mit derselben Geschwindigkeit weiterläuft, dann kommt sie 8 min zu früh in der Schule an. Falls sie jetzt aber nach Hause zurückkehrt, um das Buch zu holen, und dann sofort wieder zur Schule geht, ist sie 10 min zu spät. Welchen Bruchteil des Weges hat sie schon hinter sich? Problem 11.26 Zwei Brüder Alex und Lucas wollen ihre Oma besuchen. Alex möchte etwas für seine Gesundheit tun und entscheidet sich, mit dem Fahrrad zu fahren. Lucas fährt die Hälfte des Weges mit dem Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit, die fünfmal größer ist als die Geschwindigkeit des Fahrrads von Alex. Danach geht sein Auto kaputt, und er läuft die andere Hälfte zu Fuß mit der konstanten Geschwindigkeit, die doppelt so klein ist wie die Geschwindigkeit des Fahrrads. Wer von den beiden erreicht das Haus der Oma früher?

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Problem 11.27 Um 30 min vor dem Rotkäppchen bei der Großmutter einzutreffen, steigert der Wolf seine Geschwindigkeit in der zweiten Weghälfte um 25 %. Wie lange war der Wolf zu Rotkäppchens Großmutter unterwegs?

11.3 Wettbewerbsaufgaben Problem 11.28 Fabian soll einen Sandhaufen abtransportieren. Wenn er seinen Schubkarren jedes Mal mit 72 kg belädt, muss er 84-mal fahren. Wie viel kg müsste er laden, damit er nur 63-mal fahren muss? (A) 96 kg

(B) 90 kg

(C) 88 kg

(D) 60 kg

(E) 48 kg

(Pangea-CH, Finale 2016, 5. Kl., 9) Problem 11.29 Für einen Hürdenlauf platziert Karl Hürden auf einer Strecke mit einem Abstand von 20 m zwischen je zwei Hürden. Auf einer zweiten, gleich langen Strecke platziert er Hürden mit einem Abstand von jeweils 16 m. Auf die zweite Strecke passen 6 Hürden mehr. Wie viele Hürden hat er auf der ersten Strecke platziert? (A) 20

(B) 24

(C) 55

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 6. Kl., 16)

(D) 36

(E) 42

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Problem 11.30 Lisa und Luna laufen auf einer 400-Meter-Strecke um die Wette. Weil Lisa zweieinhalbmal schneller als Luna ist, soll Luna einen Vorsprung bekommen. Wie groß muss dieser Vorsprung sein, damit beide gleichzeitig ins Ziel kommen? (A) 200 m

(B) 215 m

(C) 230 m

(D) 240 m

(E) 300 m

(Pangea-CH, Vorrunde 2017, 6. Kl., 19) Problem 11.31 Lukas ist mit dem Fahrrad dreimal so schnell wie Peter beim Inline-Skater-Fahren. Um 12:00 Uhr fährt Peter los und legt in 20 min 7 km zurück. Um 12:40 Uhr fährt Lukas mit dem Fahrrad hinterher. Wann holt Lukas Peter ein? (A) (B) (C) (D) (E)

um 13:00 Uhr um 13:10 Uhr um 13:20 Uhr um 13:30 Uhr um 13:40 Uhr

(Pangea-CH, Finale 2017, 5. Kl., 12) Problem 11.32 Gauß will von Mathe-Dorf nach Pangea-Stadt fahren. Nachdem er 35 des Weges hinter sich gebracht hat, fährt er doppelt so schnell wie bisher. Er erreicht in 20 h Pangea-Stadt. Wie lange ist er gefahren, bevor er seine Geschwindigkeit verdoppelt hat? (A) 5 h

(B) 8 h

(C) 10 h

(Pangea-CH, Vorrunde 2012, 6. Kl., 21)

(D) 12 h

(E) 15 h

11 Damit man nicht nur Bahnhof versteht

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Problem 11.33 Zwei Autofahrer fahren auf der Landstraße mit derselben Geschwindigkeit von 50 km/h. Fahrer B befindet sich 10 km vor Fahrer A. Nach 30 min beschleunigt Fahrer A und erhöht seine Geschwindigkeit auf 70 km/h. Welche Situation liegt nach einer weiteren halben Stunde vor? (A) (B) (C) (D) (E)

Fahrer A überholt Fahrer B. Fahrer B ist immer noch vor Fahrer A. Fahrer A und B sind auf derselben Höhe. Fahrer A hat einen Abstand von 10 km zu Fahrer B. Keine der Aussagen trifft zu.

(Pangea-CH, Vorrunde 2013, 5. Kl., 16) Problem 11.34 Petra und Tim laufen auf gerader Strecke aufeinander zu. Um 16:57:30 Uhr sind sie 240 m voneinander entfernt. Beide legen jeweils 80 cm in einer Sekunde zurück. Um wie viel Uhr treffen sie sich? (A) (B) (C) (D) (E)

16:58:30 Uhr 16:59:00 Uhr 17:00:00 Uhr 17:01:30 Uhr 17:02:30 Uhr

(Pangea-DE, Vorrunde 2015, 5. Kl., 24) Problem 11.35 Olga und Tolga joggen gemeinsam auf einem 600 m langen Rundkurs durch den Park, mit jeweils gleichmäßiger Geschwindigkeit. Tolga als schnellerer Läufer überholt Olga nach 12 Runden das erste Mal. Welchen Vorsprung hatte Tolga nach seiner 7. Runde? (Pangea-DE, Finale 2015, 5. Kl., 2)

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Problem 11.36 Ronni, Dan, Eddy, Lisa und Anna laufen um die Wette. Lisa (L) kommt 10 m hinter Eddy (E) ins Ziel, und Eddy 25 m vor Ronni (R). Ronni kommt 5 m hinter Anna (A) ins Ziel und Anna 25 m hinter Dan (D). Welche der folgenden Buchstabenreihen stellt die Reihenfolge Erster, Zweiter, Dritter usw. dar? (A) (B) (C) (D) (E)

RALED DALER LERAD DELAR LADER

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2015, 5. Kl., 6) Problem 11.37 Karl und Frederic laufen auf einer 102 m langen Bahn jeweils hin und zurück. Karl ist doppelt so schnell wie Frederic. Karl begegnet Frederic auf dem Rückweg. Wie viel Meter ist Frederic bis dahin gelaufen? (A) 51 m

(B) 68 m

(C) 75 m

(D) 76 m

(E) 81 m

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2016, 6. Kl., 8) Problem 11.38 Alex rennt doppelt so schnell wie Boris, und Boris rennt dreimal so schnell wie Christian. Alle drei starten gleichzeitig ein Wettrennen. Wie groß ist die Entfernung von Boris zu Christian, wenn Alex 120 m zurückgelegt hat? (A) 20 m

(B) 40 m

(C) 60 m

(Pangea-DE, Vorrunde 2018, 5. Kl., 11)

(D) 80 m

(E) 100 m

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Problem 11.39 Max lässt seine Brieftaube um 7:30 Uhr mit einer wichtigen Nachricht zu Moritz losfliegen. Die Brieftaube, von der wir wissen, dass sie so schnell ist, dass sie bis zum 4 km entfernten Haus von Max’ Freundin genau 5 min braucht, lässt die Nachricht um 9:10 Uhr bei Moritz aus ihrem Schnabel fallen. Wie weit wohnen Max und Moritz auseinander? (A) (B) (C) (D) (E)

20 km 40 km 50 km 60 km 80 km

(Känguru, 2007, 5.–6. Kl., 16) Problem 11.40 An der Känguru-Allee gibt es Richtung Bahnhof 9 Haltestellen, jeweils in etwa gleichem Abstand zueinander. Ich weiß, dass es von der 2. bis zur 6. Haltestelle ziemlich genau 1200 m sind, weil dort der Staffellauf beim Schulsportfest stattgefunden hat. Wie weit ist es von der 1. bis zur 9. Haltestelle? (A) (B) (C) (D) (E)

2,4 km 24 km 4,2 km 28 km 3,6 km

(Känguru, 2004, 5.–6. Kl., 10)

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Problem 11.41 Beim Veteranenautorennen starten die Autos A, B, C, D und E gleichzeitig. Alle sind nicht mehr so ganz in Form: A fährt 1 min, dann steht es 1 min, dann fährt es wieder 1 min, steht es 1 min usw. Bei den anderen sieht es nicht besser aus. B fährt 2 min, dann steht es 2 min, fährt 2 min, steht 2 min usw., C fährt 3 min, dann steht es 3 min usw., und bei D und E ist es dasselbe, jedoch mit 4 min bzw. 5 min. Jedes Auto braucht exakt 10 min reine Fahrzeit bis zur Ziellinie. Welches Auto erreicht gleichzeitig mit A die Ziellinie? (A) (B) (C) (D) (E)

Keines B C D E

(Känguru, 2004, 5.–6. Kl., 24) Problem 11.42 Mowgli braucht 40 min, wenn er von seiner Hütte zum Wasser läuft und sich zurück vom Elefanten tragen lässt. Wählt er auch für den Hinweg den Elefanten, braucht er 8 min weniger. Wie lange würde er brauchen, wenn er hin und zurück zu Fuß ginge? (A) (B) (C) (D) (E)

24 min 32 min 44 min 48 min 60 min

(Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 13) Problem 11.43 Ein Auto hat die Entfernung von 35 km mit der konstanten Geschwindigkeit von 105 km/h zurückgelegt. Wie viele Minuten hat es dafür gebraucht? (A) 3

(B) 12

(Känguru, 2000, 5.–6. Kl., 5)

(C) 15

(D) 20

(E) 30

11 Damit man nicht nur Bahnhof versteht

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Problem 11.44 Die Kängurumama springt mit jedem Sprung 3 m und braucht für jeden Sprung 1 s. Das Kängurukind springt mit jedem Sprung 1 m und braucht für jeden Sprung 21 s. Beide springen gleichzeitig von derselben Stelle los, um einen 180 m entfernten Eukalyptusbaum zu erreichen. Wie lange muss die Mama beim Baum auf das Kind warten? (A) (B) (C) (D) (E)

30 s 1 min 10 s 2 min Sie kommen gleichzeitig an.

(Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 13) Problem 11.45 Herr Friedrich fährt mit dem Auto von A nach B. Nachdem er 35 der gesamten Strecke über die Landstraße zurückgelegt hat, wechselt er auf die Autobahn und fährt dann doppelt so schnell. Er ist insgesamt 4 h gefahren. Wie lange ist Herr Friedrich auf der Landstraße gefahren? (Pangea-DE, Finale 2016, 5. Kl., 4) Problem 11.46 Ein Kraftfahrer sieht auf seinem Kilometerzähler die Zahl 15.951 und erkennt, dass die erste Ziffer gleich der letzten und die zweite Ziffer gleich der vorletzten Ziffer ist. Staunend sieht er, dass nach genau zwei Stunden Fahrt die nächste Zahl mit solchen Eigenschaften auf dem Kilometerzähler erscheint. a) Nenne diese Zahl! b) Wie viele Kilometer ist er durchschnittlich in jeder Stunde gefahren? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5A4)

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Problem 11.47 Auf einer Modelleisenbahnanlage mit Zweizugbetrieb verkehren ein Schnellzug und ein Güterzug. Der Schnellzug benötigt für eine Runde 15 s, der Güterzug 21 s. Beide Züge starten auf die Sekunde genau um 13 Uhr an den Ausfahrtsignalen auf demselben Bahnhof. a) Nach welcher Zeit durchfahren die Züge das erste Mal gleichzeitig ihre Startposition? b) Wie viele Runden haben sie dann jeweils zurückgelegt? c) Nach wie vielen vollen Minuten treffen sie nach ununterbrochener Fahrt wieder gleichzeitig an der Ausgangsposition ein? (Mathematischer Wettbewerb in den Klassenstufen 4 und 5 um den Pokal des Rektors der Universität Rostock, 1994–2004, 5A39) Problem 11.48 Die Freundinnen Lea, Noemi und Pascale machen eine Wanderung zu einer Berghütte, in der sie übernachten. Die ersten 45 h wandern sie mit einer Geschwindigkeit von 4,8 km/h. Für den steilen Anstieg von 1,6 km Länge brauchen sie 41 min. Die restlichen 2,2 km bis zur Berghütte wandern sie mit 5,5 km/h. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit sind die drei Freundinnen die ganze Tour gewandert? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2019, 6) Problem 11.49 Claudia hat einen Schulweg von 1300 m, wofür sie zu Fuß in ihrem normalen Tempo genau 15 min benötigt. Sie macht sich 15 min vor Schulbeginn auf den Weg. Nach 260 m merkt sie, dass sie ihr Etui zu Hause vergessen hat. Sie geht in ihrem bisherigen Tempo wieder nach Hause, wo sie 1 min braucht, um das Etui zu suchen und einzupacken. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit – gemessen in km/h – muss sie jetzt den Weg zurücklegen, um pünktlich zu sein? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2018, 5) Problem 11.50 Anna startet um 8.30 Uhr zu einer Velotour. Mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18 km/h wäre sie um 11.50 Uhr am Ziel. Sie kommt aber erst um 12.30 Uhr an und hat dabei 15 min Pause gemacht. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit ist Anna gefahren? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2017, 4)

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Problem 11.51 Leonie und Nadine fahren mit ihrem kleinen Motorboot normalerweise in 24 min von ihrem Ferienhaus über den See zum Imbissstand. Ihre durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 15 km/h. Doch heute ist ihr Benzintank bereits nach 6 min leer. Während Leonie ihren Kollegen Noah per Handy um Hilfe bittet, rudert Nadine eine Viertelstunde lang mit einer Geschwindigkeit von 3 km/h weiter. Dann braust Noah mit dem Ersatzkanister heran. Nach 2 min Pause können die Mädchen ihre Fahrt mit vollem Tank und der gewohnten Geschwindigkeit fortsetzen. Wie viele Minuten sind sie heute unterwegs? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2016, 7) Problem 11.52 Am Sporttag rennen Melanie und Stefanie gemeinsam den 200-Meter-Lauf. Melanie legt 80 m in 14 s zurück, und Stefanie braucht für 30 m 6 s. Beide halten ihre Geschwindigkeit während des ganzen Laufes ein. Wie viele Meter vom Ziel entfernt ist Stefanie, wenn Melanie die Ziellinie überquert? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2015, 4) Problem 11.53 Ein Velofahrer erreicht das Ziel seiner Fahrt um 12:30 Uhr. Um 10 Uhr hat er die Hälfte der ganzen Strecke zurückgelegt, um 12 Uhr insgesamt 126 km. Wie lang ist die ganze Strecke, und mit welcher konstanten Geschwindigkeit war der Velofahrer unterwegs? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2014, 6) Problem 11.54 Paula plant mit ihrem Pferd Merlin einen Ritt: Zuerst 18 min Schritt (6 km/h) und dann 8 min Trab (15 km/h). Leider wirft der überm|ütige Merlin Paula nach 13 min ab. Bis Paula wieder weiterreiten kann, entsteht ein Unterbruch. Um zur geplanten Zeit am Ziel zu sein, reitet Paula den Rest der Strecke im Galopp (25 km/h). Wie lange dauerte der Unterbruch? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2013, 7) Problem 11.55 Maya und Peter nehmen an einem Junioren-Velorennen teil. Maya startet um 8.45 Uhr und fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit zum 49 km entfernten Ziel. Fünf Minuten später startet Peter. Er fährt mit einer Geschwindigkeit von 24 km/h und überholt Maya um 9.25 Uhr. Wann erreicht Maya das Ziel? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2011, 6)

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Problem 11.56 Herr Huber verlässt A um 7.23 Uhr in Richtung B. Während der ersten 36 min fährt er mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 95 km/h. Da sich das Wetter verschlechtert, kann er während der nächsten 26 km nur mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 65 km/h fahren. Um 9.05 Uhr muss Herr Huber in B eintreffen, welches 160 km von A entfernt ist. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit muss Herr Huber das letzte Stück seines Weges zurücklegen? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2012, 8) Problem 11.57 Ein Schnellzug verlässt den Bahnhof Astadt um 9.50 Uhr und fährt mit konstanter Geschwindigkeit ins 144 km entfernte Bestadt, wo er üblicherweise um 11.26 Uhr eintrifft. Heute jedoch hat der Zug um 11.10 Uhr eine Panne, welche die Weiterfahrt verunmöglicht. Um 11.45 Uhr trifft eine Ersatzlokomotive ein, die den Zug abschleppen soll. 10 min später ist die Ersatzlokomotive an den Zug angehängt. Nun ist die Weiterfahrt zwar wieder möglich, aber nur noch mit 40 km/h. Um welche Zeit trifft der Zug heute in Bestadt ein? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2010, 8) Problem 11.58 Ein Schiff fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit von A nach B. Es startet um 9.47 Uhr in A. Um 10.15 Uhr ist es noch 32 km von B entfernt. Um 10.50 Uhr ist es noch 18 km von B entfernt. a) Um welche Zeit kommt das Schiff in B an? b) Wie lang ist die Strecke von A nach B? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2009, 7) Problem 11.59 Zwei Autos fahren von A nach B. Sie starten gleichzeitig in A. Das eine Auto fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 90 km/h, das andere mit 60 km/h. Um 9.50 Uhr ist das schnellere Auto noch 3 km, das langsamere noch 20 km von B entfernt. a) Wie groß ist der Abstand der beiden Autos nach 24 min? b) Um welche Zeit sind die beiden Autos gestartet? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, Serie A 2007, 6)

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Problem 11.60 Von A nach B sind es 36 km. Florian fährt mit seinem Fahrrad von A nach B. Er legt die erste Streckenhälfte mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 30 km/h zurück, die zweite mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 20 km/h. Sandra fährt dieselbe Strecke mit gleichbleibender Geschwindigkeit und benötigt dafür genauso viel Zeit wie Florian. Mit welcher Geschwindigkeit fährt Sandra? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Literargymnasium Rämibühl, Realgymnasium Rämibühl, KS Hohe Promenade, KS Freudenberg, KS Wiedikon, KS Küsnacht, Zürich, 2006, 4) Problem 11.61 Jan und Tina fahren mit dem Velo auf dem gleichen Weg von A nach B. Sie starten gleichzeitig in A. Tina fährt auf der ganzen Strecke mit 25 km/h. Jan fährt die ersten 45 min mit 30 km/h, danach nur noch mit 22 km/h bis B. a) Wie weit sind die beiden nach 45 min voneinander entfernt? b) Berechne die Länge der Wegstrecke von A nach B, wenn beide gleichzeitig in B ankommen. (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Kantonsschule Rychenberg, Winterthur, 2006, 6) Problem 11.62 Frau Nolle und Frau Bock müssen zu einem Treffen nach Berlin. Sie fahren beide mit ihrem Auto. Frau Nolle kommt aus Bielefeld und muss 400 km fahren, Frau Bock kommt aus Bonn, fährt über Bielefeld und muss insgesamt 600 km fahren. Frau Nolle fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h, Frau Bock fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h. a) Wie lange brauchen beide jeweils, bis sie ihr Ziel erreicht haben? Frau Bock fährt um 10:00 Uhr morgens los, Frau Nolle um 11:30 Uhr. b) Wie viele Kilometer hat Frau Bock zurückgelegt, wenn Frau Nolle losfährt? c) Wann erreicht Frau Bock Bielefeld? d) Ermittle den Zeitpunkt, an dem Frau Bock Frau Nolle eingeholt hat. (Deutsche Mathematik Olympiade, 570.623)

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Problem 11.63 Peter und Lisa starten um 10.15 Uhr von zu Hause und fahren einander mit dem Roller entgegen. Lisa fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 24 km/h. Nachdem sie 25 der Strecke zurückgelegt hat, trifft sie um 10.40 Uhr auf Peter. a) Wie weit auseinander wohnen die beiden Jugendlichen? b) Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit war Peter unterwegs? (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Kantonsschulen Oerlikon, Limmattal und Zürcher Unterland, 2006, 6) Problem 11.64 Karl fährt Fahrrad. Um 10:15 Uhr ist er noch 21 km von seinem Ziel Burghausen entfernt, und um 11:05 Uhr muss er noch 6 km bis Burghausen fahren. a) Wann kommt Karl in Burghausen an, wenn er die gesamte Strecke mit gleicher Geschwindigkeit fährt? b) Anton fährt die gleiche Strecke in entgegengesetzter Richtung (auch mit gleichbleibender Geschwindigkeit). Er startet um 9:30 Uhr in Burghausen und hat nach 20 min 4 km zurückgelegt. Zu welcher Uhrzeit begegnen sich Karl und Anton? (Deutsche Mathematik Olympiade, 570.635)

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Problem 11.65 Bastian und Elias sind im Langlauftraining. Sie treffen sich im Stadtpark; dort gibt es einen Rundkurs von 400 m Länge. Beide schaffen es, so zu laufen, dass sie Runde für Runde jeweils die gleiche Zeit benötigen. Allerdings laufen sie nicht gleich schnell: Bastian braucht für eine Runde 150 s, während Elias seine Runden um 30 s schneller durchläuft. Beide starten zur gleichen Zeit an der gleichen Stelle auf dem Rundkurs; sie laufen in die gleiche Richtung los. a) Nach welcher Zeit treffen sie sich zum ersten Mal wieder an ihrem Startpunkt? Dann machen sie eine Pause. b) Wie viele Runden haben die beiden jeweils bis dahin zurückgelegt, und wie häufig hat Elias in der Zwischenzeit Bastian unterwegs überholt? Nach dieser erstenTrainingseinheit wollen die beiden noch eine zweite machen. Sie starten wieder zur gleichen Zeit an der gleichen Stelle, laufen allerdings in entgegengesetzte Richtungen los. c) Nach welcher Zeit treffen sie sich zum ersten Mal wieder an ihrem Startpunkt? d) Wie viele Runden haben die beiden jeweils bis dahin zurückgelegt, und wie häufig sind sie sich in der Zwischenzeit unterwegs begegnet? (Deutsche Mathematik Olympiade, 530.633) Problem 11.66 Andreas, Ben, Christoph und Daniel trainieren mit ihren Fahrrädern für ein Viererbahnradrennen. Dabei fahren die vier Fahrer als eine Mannschaft direkt hintereinander die 250 m langen Runden, wobei sich am Ende jeder Runde der vorderste Radfahrer nach hinten fallen lässt und an Position vier weiterfährt und die anderen Radfahrer entsprechend um eine Position nach vorn rücken. Die Fahrer starten in der Reihenfolge ABCD und fahren im Training einen Kilometer in einer Minute. a) b) c) d) e)

Wie viele Runden fährt Andreas in 10 min? Wie viele Runden ist Christoph in 15 min vorn gefahren? Welcher Fahrer fährt in der 58. Runde vorn? Welche Position hat Ben in der 19. Runde? In welcher Runde fährt Daniel zum vierten Mal an Position drei?

(Deutsche Mathematik Olympiade, 580.532)

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Problem 11.67 Andreas und Klaus wollen für einen 10-Kilometer-Lauf trainieren. Andreas möchte die 10 km gern in 60 min schaffen, und Klaus hat sich für seine 10 km eine Zeit von 75 min vorgenommen. Sie gehen mit ihrem Trainer in ein Stadion mit einer 400-Meter-Bahn. Um das Training abwechslungsreicher zu gestalten, entscheiden sie sich, gleichzeitig von der Startlinie, aber in entgegengesetzter Richtung zu laufen. Der Trainer stellt sich an die 200-Meter-Marke. a) Wie viele Runden muss Andreas laufen, um die 10-Kilometer-Strecke zurückzulegen? b) In welcher Zeit müssen Andreas und Klaus jeweils einen Kilometer schaffen, wenn vorausgesetzt wird, dass sie ganz gleichmäßig laufen? Gib die Lösung in Sekunden an. c) Zuerst kommt Andreas am Trainer vorbei. Wie viel Zeit vergeht dann noch, bis auch Klaus zum ersten Mal beim Trainer vorbeikommt? d) Wie oft werden sich Andreas und Klaus unterwegs begegnen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 580.622) Problem 11.68 Die Schulklassen 5a, 5b und 5c veranstalten einen Wandertag. Alle drei Klassen laufen dieselbe Strecke. Die Klassen 5a und 5b starten gleichzeitig. Die Klasse 5b legt pro Stunde durchschnittlich einen Kilometer weniger zurück als die Klasse 5a. Nach 90 min ist die Klasse 5a am Ziel angekommen. Zu diesem Zeitpunkt hat die Klasse 5b genau sechs Kilometer zurückgelegt. a) Wie viele Kilometer ist die Klasse 5b zu diesem Zeitpunkt noch vom Ziel entfernt? b) Wie lang ist die gesamte Wanderstrecke? c) Berechne, wie viele Kilometer die Klassen 5a und 5b durchschnittlich auf ihrer Wanderung pro Stunde zurücklegen. Die Klasse 5c startet 15 min später als ihre Parallelklassen und legt durchschnittlich sechs Kilometer in einer Stunde zurück. d) Untersuche, ob die Klasse 5c ihre Parallelklassen vor dem Ziel einholen wird. Falls ja, bestimme, nach wie vielen Kilometern dies geschieht. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560.533)

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Problem 11.69 Ein Reisender möchte mit der Bahn von A-Stadt über B- und C-Stadt nach D-Stadt fahren, wobei er in B-Stadt und C-Stadt umsteigen muss. Die Züge legen in einer Stunde 120 km zurück. Die gesamte Reisedauer ist mit 5 h und 45 min angegeben. Die reine Fahrzeit beträgt 4 h und 30 min, der Rest ist Umsteigezeit. Der Zug des Reisenden verlässt pünktlich um 9:38 Uhr den Bahnhof von A-Stadt. a) Wie viel Zeit verbringt der Reisende auf den Bahnhöfen von B- und C-Stadt insgesamt? b) Wann wird der Reisende, wenn es zu keinen Verzögerungen kommt, DStadt erreichen? Gib die Uhrzeit an. Von A-Stadt nach B-Stadt sind es 140 km. c) Wie spät ist es, wenn der Zug in den Bahnhof von B-Stadt einfährt? Der Reisende hat in B-Stadt einen Aufenthalt von 40 min. Um 12:50 Uhr erreicht er schließlich C-Stadt. d) Wann fährt der Zug in C-Stadt los, und wie viele Kilometer sind es noch bis D-Stadt? Mit Hilfe eines Taschenrechners wäre die Lösung dieser Aufgabe eine langweilige Geduldsarbeit. Deshalb setzen wir voraus, dass ein Taschenrechner nicht zur Verfügung steht. (Deutsche Mathematik Olympiade, 540.614) Problem 11.70 Der Weg zum Reiterhof Moni und Max wollen zum sieben Kilometer entfernten Reiterhof. Max schlägt vor, mit dem Rad zu fahren. Aber Moni möchte den Bus nehmen. Mit dem Rad brauchen sie für jeden Kilometer sechs Minuten. Der Bus ist fünfmal so schnell, aber sie müssten die letzten zwei Kilometer laufen. Zum Laufen benötigen sie doppelt so viel Zeit wie zum Radfahren. Wie kommen Moni und Max schneller zum Reiten? Wie viele Minuten sparen sie dabei ein? Begründe deine Antwort. (Deutsche Mathematik Olympiade, 490.432)

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Problem 11.71 Ein Wanderer und ein Radfahrer kommen auf einer Straße einander entgegen. Der Wanderer hat eine mittlere Geschwindigkeit von 4,5 km in einer Stunde, der Radfahrer ist fünfmal so schnell. Die beiden sind jetzt 2,7 km voneinander entfernt. Wie viel Zeit vergeht, bis sie wieder 2,7 km voneinander entfernt sind? (Deutsche Mathematik Olympiade, 460.712) Problem 11.72 Man beobachtet, wie ein Hund einem Hasen nachjagt. Der Hase macht Sprünge von 7 Fuß Länge, der Hund macht Sätze von 5 Fuß Länge. In der Zeit, in der der Hase dreimal springt, macht der Hund fünf Sätze. Als der Hase eine Strecke von 630 Fuß zurückgelegt hat, holt ihn der Hund ein. (a) Wie viele Sätze hat der Hund vom Anfang der Jagd bis zu dem Zeitpunkt gemacht, als er den Hasen eingeholt hatte? (b) Wie groß war am Anfang der (in Fuß gemessene) Vorsprung des Hasen? (Deutsche Mathematik Olympiade, 380.622) Problem 11.73 Ein Flugzeug, das mit konstanter (gleichbleibender) Geschwindigkeit von A nach B fliegt, war um 10:05 Uhr noch 2100 km, um 11:20 Uhr nur noch 600 km von B entfernt. Um welche Zeit wird es in B eintreffen, wenn es mit der bisherigen Geschwindigkeit weiterfliegt? (Deutsche Mathematik Olympiade, 200.621)

11 Damit man nicht nur Bahnhof versteht

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11.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal Problem 11.74 Finde alle Lösungen des Zahlenrätsels: + +

WIND WIND WIND ST U R M

Problem 11.75 Wie viele vierstellige Zahlen haben keine Eins in ihrer Dezimaldarstellung? Problem 11.76 Wie oft am Tag bilden die Uhrzeiger einen gestreckten Winkel? Problem 11.77 Vier Ameisen bekämpfen vier Wespen in vier Tagen. Wie viele Ameisen bekämpfen acht Wespen in acht Tagen? Problem 11.78 Ich habe zwei Sanduhren. Die erste Uhr hat grüne Sandkörner und braucht genau 7 min, um einmal durchzulaufen. Der Sand in der zweiten Uhr ist blau und läuft in 3 min komplett durch. Könnte man mithilfe dieser beiden Uhren • • • •

4 min, 5 min, 10 min, jede natürliche Anzahl an Minuten

stoppen? Wenn ja, wie?

12 Von Springern und Marsmännchen mit seinen Armen

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten. Blaise Pascal

Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist. Daher sind alle Zahlen, die mit 0, 2, 4, 6 oder 8 enden, gerade. Eine gerade Anzahl von Objekten kann in Paare aufgeteilt werden. Andere Zahlen nennt man ungerade. Bei vielen Aufgaben helfen die Eigenschaften der Summe, der Differenz und des Produktes von geraden und ungeraden Zahlen: gerade ± gerade = gerade, ungerade ± ungerade = gerade, ungerade ± gerade = ungerade, gerade · gerade = gerade, ungerade · ungerade = ungerade, ungerade · gerade = gerade

12.1 Beispiele Problem 12.1 Kann man 16 Äpfel unter drei Kindern so aufteilen, dass jedes Kind eine ungerade Anzahl von Äpfeln bekommt? Blaise Pascal, 1623–1662, französischer Mathematiker und Philosoph © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_12

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Lösung 12.1 Die Summe von drei ungeraden Zahlen ist immer ungerade. Die Zahl 16 ist dagegen gerade, deswegen ist die gefragte Aufteilung nicht möglich. Problem 12.2 Ein Springer steht auf A1. Kann er auf H8 kommen und dabei genau einmal alle anderen Felder des Schachbrettes betreten? Hinweis: Ein Springer ist eine Schachfigur. Der Zug des Springers erfolgt von seinem Ausgangsfeld immer zwei Felder geradeaus (in einer der vier Richtungen) und dann ein Feld links oder rechts davon auf sein Zielfeld. Lösung 12.2 Das Schachbrett hat 64 Felder, 32 davon sind schwarz, und die anderen 32 sind weiß. Die Felder A1 und H8 sind beide schwarz. Der Springer muss somit 63 Sprünge machen. Mit jedem Zug wechselt der Springer die Farbe des Feldes und kommt so nach eine ungeraden Anzahl von Zügen von A1 auf ein weißes Feld. Nach einer geraden Anzahl von Zügen steht der Springer wieder auf dem Feld mit der Farbe des Startfeldes (in unserem Fall auf Schwarz). Da 63 eine ungerade Zahl ist, wird der Springer nach 63 Sprüngern auf einem weißen Feld sein, das also sicher nicht H8 ist. Problem 12.3 Auf dem Tisch befinden sich vier Münzen, drei von diesen liegen mit dem Kopf und eine mit der Zahl nach oben. Man darf in einem Zug zwei Münzen umdrehen. Nach wie vielen Zügen liegen alle Münzen mit dem Kopf nach oben. Lösung 12.3 Wenn man zwei Münzen, die mit dem Kopf nach oben liegen, umdreht, dann bleibt immer noch ein Kopf auf dem Tisch. Wenn man dann zwei Zahlen umdrehen würde, erscheinen wieder drei Köpfe und eine Zahl. Wenn man einen Kopf und eine Zahl gleichzeitig umdreht, dann ändert sich die Anzahl der Köpfe und der Zahlen nicht. Somit bleibt die Anzahl der Köpfe immer ungerade, kann also niemals vier werden. Problem 12.4 Kater Arnold ist 3 Jahre alt und auf den Tag genau 1 Jahr älter als seine Freundin Mathilde. Wann werden sie zusammen 14 Jahre alt sein? Lösung 12.4 Wenn man natürliche Zahlen auf einer Zahlengerade betrachtet, stellt man fest, dass nach einer ungeraden Zahl immer eine gerade Zahl steht und umgekehrt. Dann ist die Summe zweier aufeinanderfolgenden Zahlen immer ungerade. Da Arnold genau 1 Jahr älter ist als Mathilde, kann die Summe ihrer Alter nur eine ungerade Zahl sein. Die Zahl 14 ist aber gerade, somit lautet die Antwort dieser Aufgabe „NIE“.

12 Von Springern und Marsmännchen mit seinen Armen

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12.2 Aufgaben zum selbstständigen Lösen Problem 12.5 Ein Springer steht auf A1. Kann er nach 999 Zügen wieder auf dem Feld A1 stehen? Und nach 8888 Zügen? Problem 12.6 Elvira ist eine Heuschrecke, die in einem Häuschen auf der Wiese wohnt. Jeden Tag geht sie spazieren und kehrt noch vor Dunkelheit wieder heim. Elvira springt immer nur nach vorne oder nach hinten mit gleichgroßen Sprüngen von je 1 m. Beweise, dass sie jeden Tag eine gerade Anzahl von Sprüngen macht. Problem 12.7 20 nummerierte Chips liegen geordnet in einer Reihe. Kann man diese Chips in die umgekehrte Reinfolge bringen, indem man nur die Chips tauscht, die den gleichen Nachbarn haben? Problem 12.8 Eine hungrige Königskobra Ouro traf auf einer Waldstraße die junge Manguste Super-Flinki, die gerade auf dem Heimweg war. Die hinterhältige Schlange wollte die Manguste angreifen, aber Super-Flinki trug ihren Namen nicht umsonst. Blitzschnell sprang sie zur Seite und Ouro biss sich in den eigenen Schwanz. Super-Flinki rannte so schnell sie konnte nach Hause. Vor dem Haus fasste sie Mut und erzählte ihrem Bruder, dass sie nicht nur extrem tapfer gekämpft habe, sondern auch noch 999-mal über die Kobra hinweggesprungen ist. Da wusste der Bruder, dass die Geschichte nicht ganz wahr ist. Warum?

Problem 12.9 Ist die Parität der Summe und der Differenz zweier ganzer Zahlen gleich? Hinweis: Parität bezeichnet in Mathematik die Eigenschaft einer ganzen Zahl, gerade oder ungerade zu sein.

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Problem 12.10 Kann man ein 4 × 4-Quadrat aus den natürlichen Zahlen so zusammensetzen, dass die Summen der Zahlen in jeder Zeile und die Produkte der Zahlen in jeder Spalte ungerade sind? Problem 12.11 Kann man ein 5 × 5-Quadrat aus den Zahlen 1, 2, …, 24, 25 so zusammensetzen, dass die Summe einiger Zahlen in jeder Zeile gleich der Summe der anderen Zahlen in dieser Zeile ist? Problem 12.12 Auf der Straße stehen 73 weiße Laternen. Jeden Tag kommt ein Maler und streicht vier Laternen wie folgt: Wenn die Laterne weiß war, wird sie schwarz gestrichen; war die Laterne schwarz, dann streicht er sie weiß. Kann es irgendwann dazu kommen, dass alle 73 Laternen schwarz sind?

Problem 12.13 Die Summe von zwei ganzen Zahlen wurde mit deren Produkt multipliziert. Kann das Ergebnis 2019 sein?

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Problem 12.14 Ist die Summe gerade oder ungerade, wenn a) Drei Summanden ungerade und fünf gerade sind? b) 2019 Summanden ungerade und 25 gerade sind? c) 2020 Summanden ungerade und 75 gerade sind? Problem 12.15 Peter kaufte vier Bleistifte, zwei Lineale, acht Hefte, einige Kugelschreiber (je 2,20 EUR), drei Radiergummis (je 1,95 EUR) und eine Mappe (4,40 EUR). Der Gesamtpreis soll seiner Schätzung nach 58,20 EUR betragen. Beweise, dass er damit falsch liegt. Problem 12.16 Jedes Marsmännchen hat fünf Hände. Können sieben Marsmännchen alle ihre Händchen halten?

Problem 12.17 Einst fragte Tom seinen Nachbarn, wie alt er sei. „Falls du mein Alter mit 8 multiplizierst und 6 dazu addierst, bekommst du 327“, war seine Antwort. „Das kann ja niemals sein!“, dachte Tom sofort. Warum?

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Problem 12.18 Zu meiner Geburtstagsparty habe ich alle Kekse selbst gebacken. 25 Kekse haben einen Zuckerüberzug bekommen, 20 Kekse habe ich mit den bunten Zuckerstreuseln verziert. Jeder Gast soll gleich viele meiner wunderschönen und, natürlich, ganzen Keksen bekommen. Gelingt mir das Aufteilmanöver, wenn genau so viele Mädchen wie Jungen zu meiner Geburtstagsparty erschienen sind und ich selbst keine Kekse essen möchte? Problem 12.19 In 13 Legoschachteln befinden sich 2698 Legosteine. Auf jeder Schachtel ist die Anzahl der Legosteine in der Schachtel angeschrieben. Ist das Produkt dieser Zahlen gerade oder ungerade? Problem 12.20 Darius hat neun Schokotafeln. Er unterteilt einige Tafel in sieben, einige in elf und einige in 15 Teile. Können dabei 100 Teile entstehen? Problem 12.21 Anna schreibt auf einem Blatt die Zahlen 1, 2, …, 998, 999 mit einem Bleistift auf und gibt das Blatt ihrem Bruder Thomas. Er wählt zwei Zahlen aus, radiert diese weg und notiert die Differenz dieser zwei Zahlen auf demselben Blatt. Das Vorgehen wiederholt er so lange, bis eine einzige Zahl übrigbleibt. Kann diese Zahl 0 sein? Wenn das geht, dann soll man erläutern, wie genau. Wenn das nicht geht, dann soll man erklären, warum. Problem 12.22 In einer Klasse gibt es 25 Schüler. Kann jeder Schüler mit genau sieben anderen Schülern seiner Klasse befreundet sein? Problem 12.23 Kann man einen 200-Franken-Schein mit 55 Münzen wechseln, wenn man nur 1-Franken-Stücke und 5-Franken-Stücke hat?

12.3 Wettbewerbsaufgaben Problem 12.24 Wie viele gerade Zahlen gibt es zwischen 3814 und 5211? (A) 698

(B) 699

(C) 1396

(D) 1397

(E) 5211

(Pangea-DE, Vorrunde 2012, 5. Kl., 19) Problem 12.25 Wie viele gerade Zahlen zwischen 1 und 100 sind nicht durch 5 teilbar? (A) 39

(B) 40

(C) 41

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2014, 5. Kl., 4)

(D) 42

(E) 43

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Problem 12.26 Zahlenrätsel: Meine Zahl ist gerade, größer als 0 und kleiner als 10. Außerdem ist genau eine der folgenden zwei Eigenschaften für sie richtig, die andere ist falsch: • Eigenschaft 1: Meine Zahl ist kleiner als 6. • Eigenschaft 2: Meine Zahl ist nicht durch 3 teilbar. Wie lautet meine Zahl? (A) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 8

(Pangea-DE, Zwischenrunde 2014, 6. Kl., 8) Problem 12.27 Jannik hat auf die 6 Seiten eines Würfels die 6 kleinsten ungeraden natürlichen Zahlen geschrieben. Er würfelt 3-mal und addiert die gewürfelten 3 Zahlen. Welches Ergebnis ist nicht möglich? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

(Känguru, 2019, 5.–6. Kl., A6) Problem 12.28 In die Zahlenmauer sollen natürliche Zahlen eingetragen werden, so dass die Summe zweier nebeneinander stehender Zahlen in dem Feld direkt darüber steht.

Wie viele ungerade Zahlen können höchstens in die Zahlenmauer eingetragen werden? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

(Känguru, 2017, 5.–6. Kl., C7) Problem 12.29 Es sei a die kleinste gerade natürliche Zahl, für die die Summe ihrer Ziffern gleich 12 ist. Dann ist das Produkt der Ziffern von a gleich: (A) 36

(B) 32

(Känguru, 2005, 5.–6. Kl., 26)

(C) 2

(D) 12

(E) 24

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Problem 12.30 Für ein Spiel hat mein Freund in einem Korb 7 Beutel bereitgelegt, in denen 1, 2, 3, 4, 5, 6 bzw. 7 Murmeln sind. Ich nehme irgendwelche 2 Beutel heraus, Lisa irgendwelche 3 Beutel. Lisa zählt die Murmeln in ihren 3 Beuteln und sagt mir, dass sie wisse, dass ich eine gerade Anzahl von Murmeln hätte. Wie viele Murmeln hat Lisa? (A) 12

(B) 15

(C) 6

(D) 9

(E) 10

(Känguru, 2008, 5.–6. Kl., 30) Problem 12.31 Notiere alle geraden Zahlen mit der Quersumme 12, die zwischen 3500 und 4000 liegen. Sortiere sie der Größe nach und beginne mit der kleinsten. (Aufnahmeprüfung Langgymnasium, Zürich, 2012, 5 ) Problem 12.32 Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich die 1 und sich selbst. So sind z. B. die Zahlen 2, 3 und 7 Primzahlen. a) Zeige, dass sich jede gerade Zahl von 4 bis 40 als Summe von zwei Primzahlen schreiben lässt. Die beiden Primzahlen müssen dabei nicht verschieden sein. Beispiel für eine weitere Zahl: 42 = 19 + 23. Hinweis: In vielen Fällen gibt es für eine solche Darstellung mehr als eine Möglichkeit. Auch danach kannst du suchen. b) Stelle die Zahl 98 als Summe von zwei Primzahlen dar. Zusatz: Kann man auch die Zahl 2012 als Summe von zwei Primzahlen schreiben? (Deutsche Mathematik Olympiade, 520512)

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Problem 12.33 Beate denkt sich folgendes Spiel mit Zahlen aus: 1. Wähle eine zweistellige Zahl aus. 2. Wenn die Zahl gerade ist, teile sie durch 2, wenn sie ungerade ist, addiere 3. 3. Wenn du jetzt die Zahl 1 erreicht hast, höre auf, anderenfalls gehe zu (2). Interessant ist die Frage, ob man bei jeder Anfangszahl bei der 1 endet oder ob es Zahlen gibt, bei denen man die 1 nicht erreicht. a) Wähle mehrere Startzahlen und führe dann die Rechenschritte aus. Finde dabei heraus, ob die Startzahl schließlich auf die 1 führt. b) Bestimme eine gemeinsame Eigenschaft für diejenigen Startzahlen, die schließlich nicht auf 1 führen. Ferdinand schlägt vor, den Schritt (2) in diesem Spiel folgendermaßen zu verändern: (2a) Wenn die Zahl gerade ist, teile sie durch 2. Wenn sie ungerade ist und sich durch 3 teilen lässt, addiere 5, sonst addiere 3. c) Weise nach, dass man mit dieser neuen Bedingung von jeder Startzahl zur 1 gelangt. (Deutsche Mathematik Olympiade, 560612) Problem 12.34 Peter, ein junger Mathematiker, sagt zu seinem Vater: „Ich weiß ein Kunststück. Jeder von uns beiden hat 30 Streichhölzer zur Verfügung und nimmt einige davon in die Hand. Du sagst mir, ob die Anzahl der Streichhölzer, die du in die Hand genommen hast, gerade oder ungerade ist. Ich werde dir dann, ohne nachzuzählen, sagen, ob die Gesamtzahl der übrig gebliebenen Streichhölzer gerade oder ungerade ist.“ Wieso weiß Peter das? (Deutsche Mathematik Olympiade, 030614) Problem 12.35 Heidi, Fritz und Dieter sammeln Briefmarken. Auf die Frage, wieviele Briefmarken sie alle zusammen besitzen, antwortet Fritz: „Jeder von uns hat eine ungerade Zahl von Briefmarken, zusammen sind es genau 500 Stück.“ Was meinst du zu dieser Behauptung? (Deutsche Mathematik Olympiade, 030523)

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Problem 12.36 Frank nimmt in jede Hand eine Anzahl Kugeln, keine Hand bleibt leer. Er verrät: „In einer Hand habe ich eine gerade Anzahl Kugeln, in der anderen Hand eine ungerade Anzahl.“ Michael sagt: „Multipliziere die Anzahl der Kugeln in der linken Hand mit 4, die Anzahl der Kugeln in der rechten Hand mit 5 und nenne die Summe dieser beiden Produkte!“ a) Wie kann man, wenn die Summe genannt wird, mit Sicherheit die Aussage erhalten, in welcher Hand die gerade und in welcher Hand die ungerade Anzahl Kugeln ist? b) Wie kann man, wenn die Summe 60 genannt wird, mit Sicherheit die beiden Anzahlen der Kugeln herleiten, die Frank in der linken Hand und in der rechten Hand hat? (Deutsche Mathematik Olympiade, 350524) Problem 12.37 Während eines mathematischen Spielnachmittages wurden alle Mitspieler vom Spielleiter aufgefordert, in eine Hand eine gerade Anzahl und in die andere Hand eine ungerade Anzahl von Hölzchen zu nehmen. Anschließend erhielt jeder Mitspieler die Aufgabe, die Anzahl der Hölzchen in seiner rechten Hand mit 2 zu multiplizieren und das entstandene Produkt zur Anzahl der Hölzchen in seiner Hand zu addieren. Jedesmal, wenn ein Spieler die so gebildete Summe dem Spielleiter mitteilte, war dieser in der Lage, zutreffend zu sagen, ob der Mitspieler eine gerade Anzahl von Hölzchen in seiner rechten oder in seiner linken Hand hatte. Wie war das möglich? (Deutsche Mathematik Olympiade, 300711)

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12.4 Und weil es so schön war, machen wir das noch mal Problem 12.38 Finde alle Lösungen des Zahlenrätsels: ZW EI + ZW EI + ZW EI DRE I Problem 12.39 Letzten Sommer fuhren wir mit unserem Auto in die Ferien. Vor dem Haus zeigte der Kilometerzähler 18.981. „So eine schöne Zahl sehen wir nicht so schnell wieder“, dachte ich zuerst. Aber schon in 28 min haben wir die nächste „schöne“Zahl gesehen. Mit welcher Geschwindigkeit sind wir gefahren? Problem 12.40 Wie spät ist es jetzt, wenn der Rest des Tages noch dreimal so viele Stunden enthält, wie schon vergangen sind? Problem 12.41 Ein Öltank umfasst 570 L Wasser, wenn er zwei Drittel gefüllt ist. Wie viel Liter Wasser umfasst der Wassertank, wenn er ein Viertel leer ist? Problem 12.42 Eine elektronische Uhr zeigt 11:11. Was zeigt sie beim nächsten und dem übernächsten Mal, wenn die Summe der Stunden und der Minuten dieselbe ist? Problem 12.43 Wir nennen eine Zahl „Rolltreppenzahl“, wenn von links nach rechts gelesen die nachfolgende Ziffer stets größer ist als die vorangehende, z. B. 23.568, 4569 und 135. Finde alle Rolltreppenzahlen, die größer als 3000 und kleiner als 4000 sind.

Weiterführende Literatur

Franco, Agostini. 1998. Weltbild’s Mathematische Denkspiele. Augsburg: Weltbild. Ahrens, Wilhelm. 2008. Mathematische Spiele. Köln: Anaconda. Burago, Anna. 2012. Mathematical Circle Diaries, Year 1. San-Francisco: American Mathematical Society Verlag. Degrazia, Josef J. 2008. Von Ziffern, Zahlen und Zeichen. Köln: Anaconda. Delvin, Keith. 1998. Muster der Mathematik. Ordnungsgesetze des Geistes und der Natur. Heidelberg: Spektrum Akademischer. Fomin, D., S. Genkin, und I. Itenberg. 2007. Mathematical circles. San-Francisco: American Mathematical Society Verlag. Fritzlar, T., K. Rodeck, und F. Käpnik (Hrsg.). 2016. Mathe für kleine Asse 5/6. Berlin: Cornelsen. Fuchs, M., und F. K¨pnick, Hrsg. 2010. Mathematisch begabte Kinder. 2. Aufl. Berlin: Lit. Gardner, Martin. 1984. Mathematischer Zirkus. Berlin: Ullstein. Gardner, Martin. 2004. Mathematischer Zaubereien. Köln: DuMont. Gardner, Martin. 2014. My best mathematical and logical puzzles. New York: Dover Publications inc. Kiefer, Philip. 2012. Mathematische Knobeleien. München: ArsEdition. Loyd, Sam. 2005. Mathematische Rätsel und Spiele. Köln: DuMont. Mazza, Fabrice. 2017.Enigma. Das Buch der Rätsel. 2. Aufl. München: Bassermann. Mazza, Fabrice. 20117. Enigma. Das neue Buch der Rätsel 2. München: Bassermann. Nikolenkov, Dima. 2007. Mathe mal anders. St. Gallen: Wilhelm Surbir Verlag. Noack, B., and H. Titze. 1982. Olympiade-Aufgaben für junge Mathematiker. Hannover: Aulis-Verlag. Noack, M., R. Geretschläger, und H. Stocker. 2012. Mathe mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 1995 bis 2005. München: Hanser. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 T. S. Samrowski, Matherätsel (nicht nur) für Begabte der Klassen 4 bis 6, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61882-0_

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Weiterführende Literatur

Noack, M., R. Geretschläger, und H. Stocker. 2011. Mathe mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 2006 bis 2008. München: Hanser. Noack, M., A. Unger, R. Geretschläger, und H. Stocker. 2012. Mathe mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011. München: Hanser. Noack, M., A. Unger, R. Geretschläger, und H. Stocker. 2015. Mathe mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 2012 bis 2014. München: Hanser. Noack, M., A. Unger, R. Geretschläger, und M. Akveld. 2020. Mathe mit dem Känguru. Die schönsten Aufgaben von 2015 bis 2019. München: Hanser. Ryder, Stephen P., Hrsg. 2010. Logical puzzles. Hours of brain-challenging fun! New York: Alpha. Ryder, Stephen P., Hrsg. 2012. Logical puzzles. Volumen 2. Even more hours of brainchallenging fun! New York: Alpha. Ryder, Stephen P., Hrsg. 2016. Logical puzzles. Volumen 3. Still more hours of brainchallenging fun! New York: Alpha. Ryder, Stephen P., Hrsg. 2015. Fiendish logical puzzles. Hours of brain-challenging fun! New York: Alpha. Sprecht, Eckard, and R. Strich. 2009. Geometria - scientiae atlantis 1. Halberstadt: Koch-Druck. Delft, Van, and Pieter, und J. Botermans. 1979. Denkspiele der Welt. München: Heyne. Janice, VanCleave’s. 1994. Geometry for every kid. San-Francisco: Jossey-Bass.