Mathématiques et métaphysique chez Descartes 2130401406, 9782130401407

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ÉPIMÉTHÉE ESSAIS PHILOSOPHIQUBS

Colltction fontlét par Jean f!yppolift tf dirigle par Jean-Luc Marion

Epiméthée, nous dit Platon (Protagurar, 321), n'était « pas préci­

sément un sage » : n'avait-il pas, dans la distribution des dons

aux races mortelles, oublié rien moins que l'homme? Prométhée ne dut- i l point dérober le feu aux dieux pour réparer cette bévue? Mais, si Prométhée, donnant la « sagesse qui sait faire », ouvre la carrière aux hommes, tandis qu'Epiméthée « demeu re dans l'aporie », pourquoi donc philosopher sous l'égide de celui qui n'offre que son embarras? Peut-être parce que la philosophie, qui ne commence qu'avec l'étonnemen.t stupéfait devant cette merveille que l'étant simplement est, ne persiste qu'affront ée à l'aporie, accueillie par elle, et arc-boutée sur l'inconnu. Par quoi seulement elle se distingue radicalement des sciences , situées dans l'étant, assurées par la méthode. L'aporie n'empêche pas la philo­ sophie, elle la rend possible, et la philosophie ne meurt que de l'oublier . En retrait de la pensée prométhéenne, qui s 'ext énue

en ses victoires et s'affole en ses raisons, Epiméthée , aporétique et

lent, impuissant à la teçhné, pourrait bien, après tout, offrir le seul visage convenable de la philosophie, aux temps où s'accomplit la métaphysique.

J.•L.

M.

MATHÉMATIQUES ET MÉTAPHYSIQUE CHEZ DE·SCARTES

JULES VUILLEMIN

PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE

DU

MeME

AUTEUR

Aux Presses Universitaires de France : Essai sur la signifùation "4 la fllOrl,

l 948.

L'être el le travail; les çonJitions tlialeGlifjllls de la psyrhologie el de la '""iologie, 1949· L'htrilage l:'!nlitn el la révolution ropernieienne, l9H·

Physifjlll et mitaphysifjlll l:anlimnes, I9H. La philosophie de /'algèbre,

t.

l,

l 96z..

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IDN Il IS 040140 6

- 0768 0708 °"!>6t lqal

- 1'" édition :

11• Hitiaa :

mai

©

1g87,

1g60

Prenes Univenitaire1 de France, 1g6o

1o8, boulevard Saint-Germain, 75ao6

Pari1

AVERTISSEMENT 1

sont le développement d'une note , qui appar­ tenait d'abord à une étude sur les concepts fondamentaux de la Physique ; elle se rapportait à la nature et aux applications des transcendantes élémentaires et, plus particulièrement, à l'invention de la fonction logarithmique . C'est Paul Tann ery qui, dans l'édition de la Co"espomlan&I de Descartes, a signalé le premi er un rappro chement entre ce philosophe et Neper. Je partis de cette remarque. J'étudiai les textes où Descartes analyse la courbe logarithmique et également la spirale l ogari thmiqu e . Poursuivant mon é tude dans l'esprit du livre où elle devait figurer, je ne négligeai pas de montrer co mm ent on pouvait appliqu er de telles fonctions. Dans les présentes réflexions, j'ai conservé ces illustrations, bien qu'elles paraissent des hors-d'œuvre maintenant que j e les ai détachées de leur contexte. Car elles m'ont semblé pouvoir aider des esprits habitués aux représentations con crètes à mieux comprendre la nature de ces fonctions, et, de plus, l'ap pl ication de la logarithmiqu e à la Psycho-physique m�a paru poser, au moins par prétérition , un problème important dans l'économie de la phil osophie cartési enne . Ma note a com men cé à proliférer , quand j'ai tenté de trouver une hyp othèse expliquant chez Descartes l'invention de la spi­ tale logarithmi que . Cette recherche me conduisait au cœur de la Géométrie. En même temps , la simple analyse des Letm1 qui traitent de la courbe logari t hmi que. me renvoyait aux pro­ cédés et aux méthodes qui, chez Descartes, tiennent lieu de Ces réflexions

Calcul infinitésimal.

MATHbMATIQUES ET MbTAPHYSIQUE

2

II Au fur et à mesure qu e j'avan çais dans

m on enquê�e et que

ma not e se transformait en ces réfl exions, je sentais qu'une inter­

p rétati on plus vaste était en j eu, que la cl ass ification des courbes et les solutions apportées aux problèmes de la différenciation

et de l'i ntégratio n c on dui sai ent à une théorie

porti ons ,

générale

des

pro­

qui n'était rien d'autre que la fameuse Ma th ématique

universelle, et qu'enfin cette théorie n'était pas sans influe nc er

à

son tour et m ême sans modeler t rès pr ofondémen t l'ensemble

. de la métaphysique cartésienne.

L'origine de cette pe tite étude fera p eut - être excuser les libertés que j'ai pr ises dans l ' expos é des matières, l'ordre lâche que j 'ai suivi , les limites que je me suis imp osées surtout dans

l'étude des Lettres. ·

Ne regarda nt l'histoire de la P hilosop hie et des Sciences

que comme une propédeutique à la Philosop hie même, j'ai constamment désiré m e ner ici de front deux éclaircissements. Le p re mier ne vise qu'à comp rendre Descartes et, si je ne

me piqu e pas d'ap porter une in terprétatio n nouvelle de sa p e nsée, le p oi nt de vue très p articulier auqu el je me suis p lac é me

laisse

t out efo is esp érer d'éclairer par Descartes savant

Descartes p hilosophe . Un portra it ne cache p as non plus les défauts du modèle, et c'est notre auteur qui conseille d'accorder plus à notre juge­

ment qu'à l' autorité des livres, où les s iens s ont co mpris . Ce

second

éclaircissement conduit

à

question ner

plutôt

qu'à

résoudre, mais a ussi bien c'est là le seul p lais ir et la seu le utilité

que nous p ouvo ns raisonnablement attendre de l'histoire. Je prie ici Mme Henri Gazanion, M. Pierre Samuel, M. Michel

Serres et M. Raymond Siestrunck, d'accep ter le témoignage de ma

r econ naissa nc e pour leurs corrections, leur aide et le urs c o nseils .

BIBLIOGRAPIIlE

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c)

Lis principes 2

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X. Georges

CANGUILHEM

:

a) La formation tlu conapl dl

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XI.

Moritz

la

tlllX XVIIe

biologie

car­

CANTOR, Vor/1111ng1n iilHr Gl1thithl1 tllr Mathematik, Te ubner, 1898.

MATHÉMATIQUES ET MÉTAPHYSIQUE

4 XII.

Rijkxio111

Lazare CARNOT,

mr

la 111llaphy.riqu1 du

ea e11/

l

i11finilési111al1

Gauthier-Villars, 1925.

Xlll .

CHASLES,

Àperftl hi1toriqt11

mr

l'origine

tl /1 tllvelop}'111enl

J11111llhot/11

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XXI.

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mique, la

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XXII . Martial GutROULT, Destarles

11/011 l'ortln

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in Descartes.

Cahilf's tll Royf111o111 nl,

n° n,

Editions de Minuit1 1957,

p. 166. XXIV. KANT

:

a) Critique tll la raison p11n, trad. TlUWBSA.YGUES et PA.CAUD1

P.U.F., 1944.

b)

Die 111etapbysi11hl A11fang1griintll tllr Nlllllnli1111111ha/t, TEIN,

ed. HA.P.TENS­

Leipzig, Voss, 1867, t. IV.

XXV. Felix KLEIN : a) UfOlll sur artaines

qt11.rlio111

dl glo111ltrl1 l/1111e11tain,

ddaction autorisée par Gaœss, Vuibert, 1931. b) 'B11111enlat111alhmtatili

Sprioau,

19�.

'101#

/JalJm#

StflllliJ»lllldl

11111, 5tc

AuS., Berlin,

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Leçons élémentaires

mr

t. VII, p.

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algébrique

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Belles-Lettres de Berlin), 1770, 1771.

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1950.

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Collections (Pappi Alexandrini

Collutioner fJlllZI

111pernml 1 inrlrllXil

libris manu scriptis edidit Latina interpellatione et ço111menlariis Fretkric111 Hu/Isch, Berlin, 1876-I878). XXXIII. Lucien

PLANTEFOL,

Une 'théorie

phyllotaxique

foliaires multiples et contiguïté, Revue

nouvelle, Hélices

.rtientifique,

fascicule 6 de

la s5e année.

XXXIV. Henri P1ÉRON, La sen.ration, guide de vie, Gallimard, I945· XXXV. VERRIEST, Leçons sur la théorie des équations selon

G alo i .r,

Gauthier­

Villars, Paris, I939·

XXXVI. Jules VuILLEMIN, Phyiique el 111étaphy.riqu1 kantiennes, P.U.F. , I9H• XXXVII. Hermann WEYL,

Symmetry,

Princeton, Un. Press, 1952.

PREMIÈRE PARTIE DE

QUI

QUELQUES COURBES ET OPERATIONS NE SONT PAS REÇUES

DANS LA «GÉOMÉTRIE» DE

DESCARTES

CHAPITRE PREMIER

SUR

COURBES TRANSCENDANTES AVEC DES EXEMPLES DE LEUR APPLICATION

DEUX

Les Mathématiques de Descartes sont plus riches que sa Glomlfrie. Stimulé par les défis de ses adversaires, le philosophe

invente souvent comme malgré lui des objets et des procédés nouveaux. Mais ses principes font qu'il

traite avec mépris ces

découvertes et ne leur accorde pas droit de cité dans son univers.

Il les regarde comme de simples procédés que sa méthode récuse

.

L'invention cartésienne, dans les Lettres, vient ainsi contre­ dire au style sévère, restreint et exclusif d'une Géométrie ana­ lytique qui paraît amputée. Seules les courbes algébriques réalisent cette adéquation de l'étendue et de la fonction, dont la découverte ouvre la voie aux mathématiques modernes. Ni la Trigonométrie, ni le Calcul infinitésimal ne sont acceptés dans

l'édifice.

·

Un tel ostracisme obéit-il à des raisons techniques ? C'est cc qu 'Henri Lebesgue suppose

cissoide et

ejette

r

: «

Quand Descartes accepte la

la spirale ou la quadratrice hors

de la Géo­

métrie, c'est au fond, malgré des justifications souvent très

��fCC qu'il n'est pas en mesure d'utiliser les équations ëes demiÇres. Il sait utiliser les équations algé­ briques : l'étude des courbes algébriques fera partie de sa Giomlfrie Il rejette donc des Mathématiques ce qu'il ne peut

faibles,

qui repr,ése.ôt:ëlit: ...

MATHEMATIQUES ET METAPHYSIQUE

IO

traiter (1). »Sans doute, ajoutera-t-on qu'il existe un fondement techni que à la distinction que fait Descartes entre les construc­ tions qu'il légitime et celles qu'il rejette. Mais ces questions de construction ou de classification ne suffisent pas à fonder une

conception aussi étriquée de !'Analyse géométrique. L'équa­

tion d'une fonction transcendante et l'é quation différentielle

sont des é quati ons, même si elles conduisent à

et

à

des raisonnements étran gers à l'Algèbre.

des constructions

Cependant, si Descartes a rejeté ces constructions et ces raisonnements, s'il n'a pas cherché à exprimer analytiquement

les réalités mathématiques qui Jeur correspondaient et s'il

s'est contenté de les traiter, sur demande et par occasion, par des pr océdés qu'il n'a pas cru dignes d'être codifiés dans une

méthode, c'est que les idées méthodiques qui ont permis la

formation de la

Glométrie empêchaient a priori qu'on pût extraire

de ce livre les raisonnements de mise en équation pour les

appliquer aux questi ons pr opos ées dans les Lettres. En effet, beaucoup plus qu'une théorie du parallélisme entre fonctions

et courbes , la Glomltrie est d'abord une conception des propor­

tions qui demeure liée à l'ensemble de la m6taphysique carté­ sienne. Aux yeux du philosophe , l'invention de la

Géométrie

analytique paraît secondaire par rapport à l 'invention d'une m�ode universelle de pensée, contenue, comme je le montremi, dans la thé orie

générale des proportions.

·

J'examinerai d'abord le cas de deux transcendantes . Je les tra­

duimi dans le l angage analytique : c'est une liberté que je prends avec

l'histoire et qu'on m'accordera si l'on pense que cette trans­

cription, fort importante au point de vue technique, n'a cepen ­ dant qu'une importance secondaire au point de vue méthodique.

Je

donnemi des exemples d'appl ication de ces fonctions et

(1) XXVII, p.

15.

SUR DEUX COURBES

TRANSCENDANTES

II

j'aurai à montrer au moins po urquoi de telles applications demeu­

raient ét rang ères

à

l'esprit du cartésianisme. Sans doute objec­

tera-t-on qu'une ignorance technique est une explication simple et suffisante. On doit cependant s'étonner d'une sorte de contra­ diction interne du cartésianisme : cette doctrine affirme avec force que les Sciences naturelles n'ont d'autre méthode que la Mat hémati q ue même et, si l'on excepte !'Optiq ue, toute la

philosophie de la nature que Des cartes a développée est imagi­ native et sans exactitude. Or cette situa tion paradoxale se pré­

sente quand même les instruments mathém ati que s pour expri­ mer les phéno mènes au moins

§ J. LA

THÉORIE CARTÉSIENNE

él émentaires DE

Dans un e Lettre de juin 1645 Descartes écrit

: «

à

sont créés.

LA COURBE LOGARITHMIQUE un correspondant inconnu,

Et touchant les lignes courbes, on pou rrait

proposer celle-ci : Data qualibet Iinea recta N, et ductis aliis duabus lineis indefinitis, ut GD et FE, quae se in puncto A ita intersecent, ut angul us EAD sit 45 g raduu m ; quaeritur modus

describendi lineam

curvam ABO,

quae sit talis naturae, ut a

quocumque ejus p unct o ducantur tangens et ordinata ad diame­ trum

GD ( quemadmodum

BL et ordinata

BC),

hic a puncto B ductae sunt tan.gens

semper sit eadem ratio i sti us ordinatae BC

ad CL, segment u m diametri in ter ipsam et tangentem intercepti, quae est lineae datae N ad BI, segmentum ordinatae a curva ad rectam FE porrectae ( 1) (Fig. 1 ). Cette question me fut proposée,

(1) Void la traduction française du problême de Florimond de Beaune:• ruant donné une longueur de référence, N, menons deux lignes droites infinies, GD et FE, qui se coupent au point A, selon un angle EAD de 45 degrés ; on demande la façon de décrire la ligne courbe ABO, telle que, si d'un point quelconque pris sur cette courbe on mêne la tangente et l'ordonnée par rapport au diamêtre GD (de quelque façon qu'on mêne ici, à partir du point B, la tangente BI, et l'ordonnée BC), le rap·

port entre cette ordonnée BC et CI,, segment du diamètre intercepté entre cette

ordonnée et la tangente, soit constamment égal au rapport du segment donné N à BI, segment de l'ordonnée abaissée de la courbe sur la droite FE. •

MATHP.MATIQUES ET MP.TAPHYSIQUE il y a cinq ou six ans (1), par M. aux

de Beaune, qui la proposa aussi plus célèb res mathématiciens de Paris (z) et de Toulouse (3) ;

mais je ne sache point qu'aucun d'eux lui en ait donné la solution,

ni aussi qu'il leur ait fait voir que je lui ai envoyée

G

»

(4).

Sous

D F FxG. 1.

-

I.e problême de de Beaune

cette forme générale, l'énoncé du problème

se

traduirait géomé­

triquement par l'égalité suivante :

N

BC

CL =BI

Or, comme l 'angle BAD est égal à 4S degrés, on et, par conséquent, dans

AC= IC,

le système de coordonnées où AC =

et CB =y, on a aussi IB =y vérifie

a

-

x.

x

D'autre part, le triangle BLC

la relation trigonométrique CB = LC. tg

at,

où la

pente

(1) Voir la I,ettre du 15 novembre 1638 à Mersenne (A.T., t. II, p. 420) et la 20 février 1639 à de Beaune (A.T., t. II, p. 510); de plus, les Lettres de de Beaune à Mersenne, du 5 mars 1639 et du 26 mars 1639 (A.T., t. V, p. 535 et 537), (2) Roberval et Beaugrand; allusion à l'�ec du premier dans la Lettre à Mersenne du 2 novembre 1646 (A.T., Correspondance, t. IV, p. 550). Une I.ettre au même du 9 février 1639 accusait Roberval de confondxe la ligne de de Beaune avec l'hyperbole (A.T., Cor,.espontlance, t. II, p. 502). Lettre du

(3)

Fermat

(A.T.,

Co,.responàanu, t. II, p. :ao:a).

(4) A.T., COf'rlS('oHda1tce, t. IV, p. :z:a9-J30.

IJ

SUR DEUX COURBES TRANSCENDANTES

tg

oc

de la tangente BL au point courant

t

B

de la courbe cherchée

est précisément la dérivée y'= de l'ordonnée y. Par consé­ quent, CB y LC= - =­ tg ot y'

La relati o n géométrique de définition écrite précédemment peut donc se traduire par l'équation différentielle :

N

.Y

y =·y-x

.J'

ou

dy = N

dx

y-x

remarquera que cette équation, établie sur le cas parti­ sans souci des signes algébriques des diffé­ rents éléments, traduit dans tous les cas de figure, en grandeur et en signe, la relation plus générale (N donnée > o) : On

culier de la Fi gure I

CB

-

CL

=

N

-

BI

Le ré seau des courbes représentatives des solutions de l'équa­ tion différentielle obtenue sera donc tel que la tangente aura une pente positive ou négative suivant que le point considéré sera au-dessus ou au-dessous de la première bissectrice des axe s (J = x) (1).

(x) D ans le cas de l a Figure I , C B est positif, C I, es t négatif, N est positif par hypothèse et BI est négatif : la pente de la tangente CB/� est donc positive et le point B est bien situé au-dessus de la première bissectrice AE. Si l'on se réfère à la Figure II et qu'on y examine le prolongement de la courbe cartésienne (À 1) au-dessous de l'axe des z, on voit que la pente de la tangente y' prend une valeur nqative, le point courant B se trouvant au·deeeou11 de la pnmiére biuectrice.

,,.

14

MA THEMA TIQUES ET METAPHYSIQUE

L'intégration de l'équation s'effectue immédiatement, dans la méthode moderne, par la séparation des variables, en recou­ rant à la fonction auxiliaire. y-x= u(x) ce qui permet d'écrire ,( 1) : udu N -u

=

d.X

L'intégration terme à terme s'effectue avec la transcendante exponentielle et l'on a donc, en revenant à la représen­ tation y (x) (z) [z] x=y-N+t..Ne-11/N la constante/.. restant arbitraire. Les courbes du réseau sont toutes asymptbtes, lorsque y tend vers + oo à la droite x =y - N, (x)

En effet, en düfére ncian t

Donc:

Ndx

l'équation précédente, il vient : du= dy-dx

udy uau+ udx (N-u) dx udu =

=

=

et enfin :

(2) On a :

N- u --

;ç = -

du + r d u + fN-u N

v

x

- u

en posant ee/N qui N- u

=

-

constante

IN

I =

N­ +N-u -u + N

f�

N-u

- N log - ul +constante log 1 N - u 1 + constante log IN-ul = -y(N + constante(N, ou u = y

+

=

IN- ul

et,

"

=

=

N

+

e-11/N.ee/N NÀ contient le nombre déterminé N : ec/N ).Ne-11/N, ou enfin x y -N + ).Ne-11/N e-11/N+c/N

=

=

=

constante =

Ij

S UR DEUX CO URBES TRANSCENDANTES

obtenue elle-même comme cas particulier lorsque /.. = o ( 1 ) . première bissectrice est (comme il apparaît immédiatement

La

( 1 ) •On appelle asymptote d'une courbe plane une droite dont un point mobile sur la courbe s'approcherait indéfiniment, sans jamais l'atteindre : de manière que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite tombât au-dessous de toute grandeur finie, sans jamais s'évanouir; et pour cela il faut que la branche de courbe sur laquelle on conçoit le point en mouvement s'éloigne à l'infini. •Telle est la défini­ tion de l'asymptote que donne Cournot. Pour vérifier l'existence d'asymptotes, on cherche d'abord dans quelle direction s'éloigne le point qui décrit l'asymptote cherchée: cette direction est déterminée par la limite - si elle existe - de y/x quand y et x tendent vers l'infini. Puis on examine si une droite menée par un point de la courbe et parallêle à cette direction atteint une position-limite déterminée par la limite, si elle existe, de l'équation : Y(courbe) = m (X - x (courbe))

y

Dans notre cas, l'équation de l'asymptote apparaît directement sur l'équation de la courbe : x y-N + ÀNe-11/N Car, quand y tend vers +

Donc x tend vers + tend

oo

=

-1'.. tend vers - oo et l'exponentielle tend vers o.

oo,

N

avec y, et la différence :

x-y

vers - N.

=

-N + We-'11/N =

x - (y-N)

We-YIN

et tend vers o. Donc la différence entre l'abscisse y-N + We-'11/N la courbe et l'abscisse y - N d'un point de même ordonnée de la droite x = y -N tend vers o, ce qui indique que la distance - à ordonnées égales entre un point de la courbe et un point de la droite tend vers o. On peut aussi, dans notre cas particulier considérer la recherche d'asylÎlptote comme celle de la limite d'une tangente dont le point de contact s'éloigne à l'in1illi. On formera alors l'équation de la tangente à la courbe ; puis, dans cette équation, on substituera la valeur de x en y (ou de y en x) tirée de l'équation de la courbe. Cette substitution fera apparaître une équation qui ne contiendra plus que les coordonnées courantes de la tangente et (ou x). L'équation sera celle d'une asymp­ y tote si la supposition de y (ou de x) in.fini fait s'évanouir tous les termes renfermant ces variables. L'équation générale de la tangente s'écrit : décroit tres vite

d'un point de

,

Sur notre équation, "1-y=

dx = cly I

I

y

'l - ,,

-x = N

- "6-'ll/N

(i:..

y

-y )

-%

=

=

dy (� - %)

dx

+ N- ÀNe-'llfN

N

�-y

I

=

1

+ N- ').Ne-'///N

- "M-'11/N

_ "6-'llfN

-

� - "'-y = � - "M-Y/N

-

1

-

+ N

MA THÉMA TIQUES ET MÉTAPHYSIQUE

16

sur l'équation différentielle elle-même (1)) le lieu des points à tangente parallèle à Oy. Enfin, les branches infinies corres­ pondant à y tendant vers oo sont paraboliques avec x -+ ± oo , suivant que À � o (Fig. 2.) (2). On notera que la courbe considérée par Descartes (celle dont A est le « sommet », c'est-à-dire qui pas se par l'origine, où elle admet comme tangente l'axe des y) est obtenue dans le réseau précédent pour la valeur À = 1 du paramètre. Dans la Lettre à Florimond de Beaune du 20 février 1639, Des ca rtes obtient cette courbe au moyen d'un changement d e coordonnées obliques, où l'axe des X (3) coïnci de avec l'axe des xprécédent, les

-

Lorsque y-+ + co, cette équation de droite a-t-elle une limite, qui sera l'équation de l'asymptote cherchée ? On a :

1J = I;

c-� ) -11/N

+ N +

y

(I x

!;

"A,e-y/N

(I

- I)

-"A,e-11/N X

')..e-u/N

)

=

+

N

(

+ ,,

- "A,e-y/N I - ')..e -u / N

)

Quand y-+ + co, le facteur de !; tend vers 1, puisque l'exponentielle qui figure au dénominateur tend vers o. Quant au facteur de y, le dénominateur tend vers x, l'exponentielle du numérateur tend verso et y tend vers l'co. Or c'est une proprié� de la fonction exponentielle que la décroissance de e-11/N l'emporte sur la croissance de y, en sorte que ye-11/N-+ o. On démontre d'ailleurs, en Analyse élémentaire, que si une fonction f (x) décroît plus rapidement que la fonction g (x), la fonction A f (x) décroît plus rapidement que la fonction B g (x), quelles que soient les constantes positives A et B. (1) On aperçoit immédiatement cette propriété sur la droite EF dans la Figure II. d

u !,'équation différentielle donne, en remplaçant u par sa valeur : d x

• -d

X

=

-N

)'-X

.

.

.

. Or la pre1D1c.'re blSSeCtriœ EF a pour équato i n x

-

=

=

N -u -- ou u ,

•

y ; donc -d X

-+

oo,

que la pente de la tangente est infinie et donc parallc.'le à l'axe Oy. (2) Po ur y-+ co, l'exponentielle e-'J/N tend vers + co et croît donc dans le même sens que l Y 1, quoique plus rapidement que cette derniêre fonction. N ayant été donnée > o, quand À est o, x tend vers - co avec y. Quand À est positif, x tend vers + co quand y -+ co ; on a, ici encore, à comparer la décroissance de y et la crois· sance de "A,e-11/N (Voir Note I, infra p. 142). (3) Nous transposons dans ce qni suit les notations originales de Descartes pour les adapter à celles qui ont été introduites au début de l'exposé. c.-à-d.

-


CE1

IEI Il - e, et :

DI

2 dae + del > lla•

Par conséquent : lle1 - 2 aile > - a1 e. Divisons par e. Il Or, si la ligne BO devient tangente à la parabole, comme on

-

Ei CIEI .

-

eal

vient : lle - 2 ad > - a•. le demande, les pol.uts B

E FJ:o.

20.

-

Méthode de Fermat pour les tangentes

et O colnddent et l'inégalité devient égalité : Ile 2 ad a• ; en même temps, l'indéterminée e s'évanouit : 2 ad a• et a 2 Il. Autrement dit, CE :a CD. {SKITH, p. 350, n. 1 60) . ( I ) !/anneau est une structure algébrique qui permet en particulier de définir sur lui une congruence comme relation d'équivalence. -

-

-

=

-

-

MA THÉMATIQ UES ET MÉTAPHYSIQ UE que sur une p s eudo-é galité . Pour quey2

ne soit plus seulement négligeable, mais rigoureusement nulle, il suffit de con s idé re r les congruences mo dulo y2, c'est-à-dire l ' anneau quotient K [x] [Y]b'2 (1). Bien que cette idée des cong ruence s soit é t ran g ère aux Mathé­ mati que s de Descartes, une telle définition formelle et purement algébri qu e est bien dans l' e spri t de la Géo métrie. Il est vrai qu'elle contre dit à la repré sentation géo �étriqu e de la tangente comme limite d ' une sécante, mais l 'idé e-mère de la Géométrie analy­ ti que, c'est-à-dire la concepti on d ' une c orres p ondance fonc­ tionnelle entre une é qu ati on et une courbe est secondaire, chez Descartes, par rapport à la théorie purement algébrique des proportions exactes. On a remarqué que si Descartes avait pensé en termes de variables continues plutôt qu'en termes de corres­ pondan ce entre des symboles qui rep ré sentent des lignes dan s un diagramme géométriqu e , il aurait interprété sa méthode des tangentes en termes de limites et donné une di rec ti on différente aux anticipations de l'Analyse ; mais l'idée d'une quantité variant continûment est étrangère aux Mathé matiqu e s j u s qu ' à Euler, et Descartes n'accorde pas de si gnification géométri que à l'idée de limite. Un raisonnement par le passage à la limite peut, même en Métaphysique (z), conduire l'esprit à déco uvri r une relation vraie : il ne s aurai t , par lui-même garantir cette vérité. Or si la méthode des tangentes de Descartes est générale au point de vue métaphysique du critère de la vé ri té conçue comme une représentation claire et di s tinc te , elle cesse de l'être quand on passe à l ' examen de son domaine d'application. De • • •

( 1 ) On définit alors, de façon rigoureusement algébrique la dérivée A1 du poly­ nome A : A (x + y) - A (x) = y A1 (x) (mod y1) (2) Voir Note III , infra p. 1 44.

LES S UBSTITUTS DU CALCUL

65

ce second point de vue, celui de la fécondité qu'on a si souvent opposé à celui de la rigueur, c'est la méthode de Fermat qui l'emporte. En effet la méthode cartésienne est limitée aux courbes algébriques, et la méthode des tangentes en Mathématiques n'est univers e lle qu 'au sens où la méthode des idées claires et di s tinctes l'est en Métaphysique. J amais nous ne devons nous écarter du principe de ne recevoir pour vrai que ce que nous aurons connu clairement et distinctement être tel ; mais, en même temps, l'entendement, qui est la faculté des idées claires et distinctes, doit valider la compétence des facultés telles que le sentiment et dont les données débordent le critère qu'il se fixe. L'universalité méthodique n'est donc, comme on l'a démon­ tré, que celle d'un ordre des raisons, mais elle n'empêche à aucun moment Descartes de discerner, de reconnaître et de légi­ timer dans ses limites le domaine des êtres et des facultés p ou r les ­ q uelle s l'entendement ne saurait être d'aucun secours. De même , la seule méthode rigoureuse, c'est-à-dire entièrement exacte et algébrique, pour analyser les propriétés ou affections d'une courbe consiste à déterminer en chacun de ses points normale et tangente par la méthode des racines égales : c'est, du même coup, reconnaître la limitation du domaine de cette méthode, qu'on ne saurait appliquer à l'analyse des transcendantes. §

8. LA MÉTHODE EXTRA-GÉOMÉTRIQUE DES TANGENTES LES CENTRES INSTANTANÉS DE ROTATION

Il fallait donc, pour pouvoir analyser les courbes non algé­ briques, que Descartes forgeât une seconde méthode, incompa­ rable avec la première du point de vue de la véritable univer­ salité, c ' est-à-dire de la rigueur de la preuve, mais plus générale du point de vue des applications, en ce que, valable pour les trans cendantes , elle pût être également appliquée aux courbes

66

MA THEMA TIQ UES

ET

MÉTAPHYSIQUE

algébriques. Cette méthode est celle du centre instantané de rotation ; elle est exp os ée en particulier, dans la Lettre à Mersenne du z 3 août 1 6 3 8 ( 1 ), à p ropo s de la courbe enge n drée par un point d'un cercle qui roule san s gliss er sur une droite fixe, courbe qu'on nomme roulette ou, auj ourd'hui, cycloïde. Descartes part d'une p ropriété de cette courbe qu'il considère comme ess entielle puisqu 'elle a trait à la normale à la courbe : toute normale à la cycloïde passe par le p o int de contact du cercle variable ( z) (Fig. z 1 ). Il démontre cette propriété de la façon s uivante : « Si on fait ro u le r un pol ygo ne rectiligne , quel qu'il soit, sur une ligne droite, la cou rbe décrite par l'un de ses p oints, quel qu'il soit, sera composée de pl u s ieu rs p arties de cercles, et les t angentes de tous les p o int s de chacune de ces parties de cercles co up eront à angles droits les lignes tirées de ces points vers ce lui auquel le polygone aura sa base en décrivant cette partie. En suite de quoi, considérant la roulette circulaire comme Il, p. 305-343. Ax la droite donnée, Ay la perpendiculaire me né e par l'une des positions où le point générateur B coincide Rvec le point de contact du cercle et de la droite. I,e centre du cercle mobile est alors sur Oy ; B est confondu av ec A. Quand le cercle a roulé sans glisser sur Ay, de A en O, B a parcouru l'arc AB arc AB AO Soit a le rayon du cercle, et cp l'angle ODB dont a tourné le rayon DB , à partir de sa position initiale. On a AO arc OB acp. Donc z OA BI, aq> a sin cp ; y OD DI, a a cos cp. Par co nséquent la dé fini t ion analytique de la cycloïde fait intervenir des éléments trigonométriques ; cette courbe appartient aux transcendant es, que Descartes rejette hors de sa Géomét1ie. I.,a tangente en B à la courbe est déterminée par son coefficient angulaire : sin

, X X : • Toutes les équations d'Algèbre reçoivent autant de solutions que la dénomination de la plus haute quantité le démontre • ; cité in VIII, C., II, 34 8 . ( 3 ) A .T. , VI , 450-451 ; SJrOTB, 377.

( 4 ) A . T ., VI, 44 9-450 ; SllrllTR , 376. ( S ) A .T., V I , 45 1 -452 ; SllrllTR , 37 8 . (6) • C'est proprement la Géométrie qui

a fait connaître l'usage des quantités négatives et c'est là un des plus grands avantages qui soit résulté de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, qu'on doit à Descartes • (XXVI , t. VII, p. 2 2 2 ) .

MA THEMATIQUES ET METAPHYSIQUE intellectuelles ob jective s ,

ne résultent, quand on les rés out, que simple s ou racines, en sorte qu'il n'y aurait gu ère plus de diffi c ul té à ré s o u dre l'équation en ses racines qu'à la d' éléments

cons truire avec celles-ci.

La Sec onde Partie du Livre III e st destinée à réduire les équa­ tions, quand le p rob lème es t p lan. Pour l' é quati on du troisième d egré , c ette ques tion peut être décid ée par la méthode de la , division de la p ro p o s ée par le binôme co mp osé d une quantité divisant le dernier t erme de la proposée et jointe à l'inconnue par le signe + ou - ( 1 ) . « Et si cela est, le problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit par la règle et le compas . . . Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme, qui pui s s e ainsi divi se r toute la somme de l'équation p rop o s ée , il est certain que le pro­ blè me qui en dépend est solide. Et ce n'est pas une moindre -fau t e après cela, de t â ch e r à le construire sans y e mp loye r que des cercles et des lignes droites, que ce serait d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a besoin que de cercles, car en fin tout ce qui té moigne quelqu e ignorance s ' app e lle faute » (.z). Pour l'équation du quatrième degré , on peut essayer cette même mé th ode de la division par le binôme ; mais, si cette méthode écho ue, on devra alors emplo ye r la métho de des indéterminées, pour réduire cette équatio n à une équation du troisième deg ré . Dans s a Géométrie, D es cartes ne nous donne d 'aille urs que le résultat, et non le p rincip e de ce tt e méthode qui a con tri b u é à s a gloire. Mais Hudde et Lagrange en ont assez restitué l ' e sp ri t pour que nous en concevions clairement la nature. Cette mé tho de n 'e s t qu ,une extension du procédé par ( I ) A .T. , VI, 454 : SXJTB, 38I ; voir la Note VII, le procédé de Descartes par l'aemple qu'il a choisi. ( 2 ) A.T. , VI, 45 4 , 456-457 ; SMml, 3 81 -383.

in/ra,

p. 1 5 4 1

oà l'on illustre

LES ÉQUA TIONS ALGEBRIQUES

lequel Descartes

a

vérifié que le nombre

des

racines égalait

le

degré de l équation. Toutefois, au lieu de construire la proposée en faisant le p ro duit de quatre binômes composés de l'inconnue moins chacune des racines, il la construit en partant de deux équations arbitrai re s du deuxième degré, qu' il multiplie entre '

elles ; il ne reste plus alors qu'à identifier les coefficients de la « réduite » ainsi obtenue avec les coefficients correspondants de la propo sée pour obtenir la solution cherchée ( 1 ). L'artifice de cette méthode fait comprendre l ' analyse selon Descartes : il s'agit touj ours , si l'on rencontre une relation compliquée et qui résiste d'abord à notre compréhension, de supposer le pro­ blème résolu, mais non pas d'abord en un pro duit de binômes, puisqu'une telle décomposition nous serait inutile pour réduire la difficulté que nous rencontrons. Cette réduction n'aura lieu que si nous abaissons le degré de la proposée, ici en la regardant comme le produit de deux équations. Aussi comprend-on la nuance que Descartes introduit dans la seconde règle du Dis­ çours, lors qu ' i l prend la résolution de « diviser chacune des diffi­ cultés » qu'il examinera « en autant de parcelles qu 'i l se pourrait et qu'il serait requis pour le s mieux résoudre » (2). Ainsi l'analyse n'est qu'une synthèse renversée et qui va de la supposition vers la vérité. Cette réduction étant faite, « il est aisé de connaître toutes les racines de l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles et des lignes droites » (3 ). De cette construction, ( 1 ) Voir Note VIII ,

infra, p.

quée à l 'exemple qu'il propose.

1 59 , une analyse de

la méthode de Descartes appli­

(2) A.T. , VI , 1 8 ; B . , 1 3 8 ; sur ce caractère synthétique de la méthode cartésienne, voir o te IX, infra, p. 1 6 5. (3) A.T., VI, 459 ; Slam, 385.

N

1 32.

MA THEMATIQUES ET MÉTAPHYSIQUE

Descartes donne un exemple pour l 'équ ation du quatrième deg ré

(1 ).

Quant aux

é quati ons de degré sup é rieu r à quatre , il les co mprend en une règ l e unique (z) : qua nd on ne peut réduire leur é qu atio n à la mu l tiplica tion de p o l ynôme s d'un deg ré moindre, la simplification est imp o ssi ble . S'il s ' agit d'équa­ tions du troisième ou du quatrièm e de g ré, l e p ro b l ème p ropo s é est donc solide , et s'il s 'agit d' équation s d'un degré s upé rieur , le p robl ème est plus que solide. Il ne s 'interro ge pas d ' ail­ leurs s ur les règle s de la déco mp o s ition de s p o lynôme s en facteurs.

Descartes n'était donc pas en possession du critère de la constructibilité d'un p roblème par la règle et le compas . Il a vu qu'il fallait d'abord rai sonne r sur des équ ati o n s irréductibles, mais il n'a ni défini exactement la no tion d'irréductibilité, ni cherché à formuler à son propos des règ les et des critère s . Sur­ tout, il lui manquait les p rincipe s pour décider. Dans la Troi s ième Partie du Livre III toutefois, après avoir donné la règle géné rale pour construi re à l'aide d'une section coni que - la parabole étant choi sie co mme exemp le (3) - tous les problèmes solides qui se p euvent réduire à une é quatio n solide (c'est-à-dire dan s la solution de laqu elle entrent des radi­ caux autre s que de s radi cau x carré s) du troisième ou du quatrième d egré , il traite de l'invention de deux moye nnes propor­ tionnelles et de la fa çon de diviser un ang le en trois, il affirme que tous les problèmes inco n st ructibles par la règ le et le compas, quand ils ne montent pas, sous leu r forme irré du ctible , au delà du quatrième degré , reviennent à ces deux constructions et il conclut qu 'o n peut construire tous ces p rob lème s « sans avoir (1) On trouvera l'analyse de cet exemple Note X, infra, p. 1 67, (2) A.T. , VI, 463 ; SMITH, 38 9, (3) Voir dans la Note XI, in/1'a, p. 1 70, l'analyse de cet exemple,

.

LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQ UES

pour tirer cubi que s de que l ques quant ité s données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quan­ tités et l'unité » ( I ) . Ce sont précisément les deux prob lèmes grecs pour la solu­ tion de s quels Dioclès et Nicomède avaient inventé la cissoïde et la conchoïde (z.). Le premier d'entre eux appa raît immé­ diatement chez Descartes sous une forme générale . Les Grecs formulaient le problème délien sous la fo rme particulière et numérique de la du p lication du cube, et par con s é quent sous un revêtement de géométrie synthétique access oire et artificiel par rapport à la q u es ti on : x8 = z. . Descartes l ' app elle le problème de l'invention ' de deux moyennes propo rtionnelles et parvient immédiatement à une é quation plus générale : z• a2 q, qui se réduit à la première si l ' on chois it a comme unité, suivant la méthode générale de la Géométrie anal yti que et si l'on donne à q la valeur z. . L a construction de ce problème n'innove en rien p ar rapport au besoin des sections coniques pour autre chose que

les racines

=

( 1 ) A.T. , VI, 472 ; SMITH, 398. On voit ici la véritable raison pour laquelle Descartes a rangé dans u n même genre les problêmes du troisième et du quatriême degré. !,es deux équation s au produi t desquelles il ramêne , par la méthode des indéterminées, la proposée du quatriême, sont bien du second degré et elles fournis­ sent par conséquent des expressions des racines dans lesquelles ne figurent que des radicaux carrés ; mais la réduite , qui établit les relations requises entre les coefficients de la proposée et ceux (qu ' on reduit à un en privant la proposée de son second terme) des deux équations du second degré, est du sixiême degré, réduct ible au troisiême. Par conséquent, elle introduit généralement des radicaux cubiques et la question de savoir si elle est ou non constructible par la regle et le compas l'apparente entiè­ rement au • genre • du troisiême degré. I,a théorie des groupes élucide complètement cette question : pour qu 'une gran­ deur x soit constructible par la rêgle et le compas à partit de certains segments donnés de longueur a, c, . . . , il faut que " vérifie une équation irréductible dans le corps D (a, c, . . . ) et que l'ordre du groupe de cette équation soit égal à une puissance de 2 (XXXV, 3 1 7) . I.e groupe de l'équation générale du 4 • degré est de l'ordre : 1 . 2 . 3 . 4 .... 24, qui n'est pas une puissance de 2 . ( 2 ) Voir plus haut, p . 9 1 .

MATHEMA TIQUES ET METAPHYSIQUE

p récé dent ( 1 ). On notera que son é quatio n est homogène, et qu'elle évoque donc encore directement son origine géomé­ trique, où tous les termes mis en relation doivent avoir la même di men s ion exp lici te . Au contraire, le problème de la tri section de l ' ang le est plus général, en ce qu ' il conduit à une é quation é galant à o un polynôme non h o mo gène du tro isième degré (2) :

z3 - 3 z + q = o

De sca rte s donne la p réfé re nce à ce second p rob lème . Car i l e s t à remarquer à p ropo s du p rob lème dé lie n qu e « ce tte façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu ' e lles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connai s s e , n'est en rien plus intelligible, n i plus simple que de les exp rime r par le rapport qu 'e l le s ont aux subtendues . de certains a rcs o u p o rtio ns de cercles, dont le t rip le est donné » (3 ) . Des règles de Cardan à celle s de Descartes, il y a Or

(1) I,a formation de l'équation

On a :

:x2

donc : const ruction

=

, on

q•

est la suivante :

q -

:x

et

:4/al

=

=

a:x

:X

=

z

=

•2

qz, ou

soit une double proportion

:

•

-

a

ou

,.a

=

:x2

=

a1 q

:4/a.•

notera seulement que, puisque l'équation est cubique, le sommet de la parabole est sur le cercle don t les intersections avec la parabole donne les racines. a est toujours choisie comme unité et le latus feclum de la parabole (demi-distance entre le foyer et la directrice) est égal à a/2. Du foyer on él�ve la perpendiculaire sur l'axe de la parabole et l'on porte la distance égale à q/2 . Comme on peut le tirer de la démonstration de la Note XI, infra, p. 1 70, le point situé à cette distance du foyer est le centre du cercle cherché. (A.T. , VI, 469-470 ; SMITB, 39 5 -396) . (2) Aujourd'hui, on gméralise immédiatement le problême délien en cholsiasant au lieu du nombre entier 2 dans l'équation cubique, au eec:ond membre, un para­ m�tre qui soit une quantité complexe de la forme a + bi, c'est-à-dire à une quantité de la forme : , (cos q> + i sin tp). !,'utilisation de la formule de de Moivre permet immédiatement la dêmonstration de l'inconstructibilité du prob�me avec la régie et le compas (par exemple, XXV, a, 1 4 sq.) . (3) A.T., VI, 473-474 ; SKlTB, 400. Pour la

LES ÉQUA TIONS ALGÉBRIQUES donc la différence d'une méthode immédiatement illustrée par la Géométrie synthétique et sensible, à une méthode générale, analytique et pouvant par conséquent figurer sur un plan une courbe de dimension quelconque, sans être assujettie géométrique de l'homogénéité. Le reste du Livre

III

est enfin consacré

à la règle

à la construction des

problèmes ramenés à une équation irréductible, qui ne passe pas six dimensions, et à la division d'un angle en cinq parties égales. Quel que soit l'intérêt particulier de telles constructions, nous les laisserons de côté, parce qu'elles n'apportent rien de nouveau à la méthode algébrique. L'essentiel de la méthode cartésienne tient même à l'impossibilité qu'apparaisse un

cas nouveau quand

on passe à des constructions plus compliquées . Aussi n'est-ce pas humour, mais optimisme quand il conclut

: «

Puis outre cela

qu'ayant construit tous (les problèmes) qui sont plans, en cou­ pant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides, en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composés, en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. Car en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou

trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres » ( 1 ) .

§

1 8 . LA QUATRIÈME RÈGLE

nu

Discours

COMME RÉFLEXION SUR LA MÉTHODE

La Géomltrie de Descartes laissait pendants trois problèmes

quel est le critère général

:

des équations qu'on peut construire

avec la règle et le compas ? Quel rôle j oue la division du cercle (I) A.T., VI, 485 ; Smm, 4 1 3 .

MA THE.MA TIQ UES ET ME.TAPHYSIQ UE

dans la théorie des équ ations algébriques ? Quel est enfin le critère de la rés o lubilité algébrique (c.-à-d. par extraction de racines) des é quations ? Descartes n'a répondu à aucune de ces questions . Il a p o sé la p remière, pressenti la seconde, i gno ré la troisième. D'ailleurs Descartes lui-même a comme prévenu l ' objection qu'on n'a cessé de lui faire concernant l'insuffisance de cette méthode : lorsque Leibniz répétera qu'il aurait dû examiner la question de la po ss ibilité des idées avant de les analyser en élé­ ments clairs et distincts ( I ), il reprend, sans le savoir ou sans se souvenir qu'il le sait, la question que Descartes avait posée au Livre III de sa Géométrie : « Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer, si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais si on prend garde comment, par la mé tho de dont j e me sers, tout ce qui tombe sous la considération des géomètre s se réduit à un même genre de problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire 1111 dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut troNtJer, qui s oit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple » (z). Tel est le cas, par exemple, pour la réduc­ tion des problèmes solides. On notera la parenté de ce texte avec la quatrième règle du Discours, qu'il éclaire (3) : « Faire partout des dénombrements ( 1 ) P. ex. Les Métlitations sur la connaissance, la vérité et les itlées {XXIX, p. 14). ( 2 ) A.T. , VI, 475 ; SMlTll , 401 . (3) Dans les quatre régies, la première n'aurait donc de véritable application

qu'en Métaphysique et en Physique ; en Géométrie, elle est un truisme et cette

VI, 1 9 ; B . , 138) . I.a seconde règle a trait, en Géométrie, à la réduction d es équations (voir plus haut, p. I 30). I.a troisième concerne l'ordre et la spéd1icité des problèmes {classification des courbes et caractère constructeur de l'analyse ; voir plus haut , p. 90) . I.a qqatriême est enfin une règle qui rédéchit sur les précédentes. science est même le moyen d'habituer notre esprit à la respecter (Discours, A.T. ,

LES 1!.QUATIONS ALGE.BRIQ UES

si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré ne rien omettre » (1). Cette règle est en général interprétée comme équivalente à l'énumération de toutes les variables d'un pro­ blème : mais, à ce titre, elle ferait double emploi avec les précé­ dentes. Lorsque je réduis une équation du quatrième degré au produit de deux polynômes du second degré, il va de soi que, par le principe même de la méthode des indéterminées, je suis censé n'avoir oublié aucun des éléments du problème. Dira-t-on alors que la règle gouverne la Physique, où le dénombrement des conditions de l'expérience est la condition préalable de l'induc­ tion ? Mais, là encore, lorsqu'on suppose le problème .divisé en autant de parce lle s qu'il est requis, ce dénombrement est déjà fait. La quatrième règle ne cessera d'être redondante que si, au lieu de la concevoir sur le même plan que les autres et de lui attribuer par conséquent le gouvernement de problèmes parti­ culiers, on la regarde comme un précepte réflexif et régulateur, qui porte donc sur les méthodes et non sur les problèmes, et qui juge de leur généralité et de leur simplicité. Dans la Géométrie, la quatrième règle est illustrée par l'exa­ men où l'on démontre que tous les problèmes solides se peuvent réduire aux deux constructions de l'invention de deux moyennes proportionnelles et de la trisection de l'angle. Descartes examine tous les cas possibles auxquels se réduit l'équation du troisième degré, et il en distingue trois, d'après les signes respectifs des coefficients de l'équation privée de son second terme (2). Le problème de la possibilité est donc résolu par la quatrième règle, dans la mesure où nous pouvons énumérer exhausti­ vement les voies et, entre les différents procédés de solution, choisir le procédé général. (1) A.T. , VI, 19 ; B., 138. (2) Voir infra., Note XII , p. 1 79,

n.

2.

MA THÉMA TIQ UES ET MÉTAPHYSIQ UE

pas avoir assez suivi ne pas l'avoir formulée. Toute l'histoire ultérieu re de la théorie des équations consi s tera d'ailleurs à en On peut reprocher à Descartes de ne

cette règle , mais non de

fournir des illustrations de plus en plus adéquates, à faire l'exa­ men critique des méthodes de résolution et à établir une nouvelle classification des équations en fonction de cet examen. Elle

montrera l'utilité de la dernière règle cartésienne, sorte de méthode de la méthode même, tout en signalant son usage impar­ fait. Car Descartes croit avoir énuméré les méthodes en exami­ nant et en comparant le s solutions particulières qu'entraînent directement les é quations pa rticulières proposées ; mais rien n'assure que cette appréciation directe suffise, et que le p rincipe de classification des méthodes soit inscrit de façon immanente

dans les proposées elles-mêmes. Déjà Descartes avait rangé dans un

qu'il

même genre le

troisième et le quatrième degré,

avait cru pouvoir les

c omprendre

tous

même réduite : ce sont ces considérations qui

parce

deux dans une vont dorénavant

devenir fondamentales, en sorte que l'algébri s te n'établira sa règle d'énumération méthodique que sur l'analyse d ' équations

auxiliaires et indirectes, qui résulteront de la comparaison des méthodes , ou même qu'il aura à construire a priori pour résoudre des clas ses définies d ' é quations . Ainsi la quatrième règle se détachera du corps des règles du Disco11rs, celui-ci servant à déterminer directement le s obj e ts et les é quations , celle-là servant à déterminer indirectement les structures et les méthode s . Caeteris paribus, elle j oue par rapport aux règles qui la précèdent un rôle analogue à celui que remplit la modalité dans le système des catégorie s et des principes chez Kant : elle distingue dans la méthode ce qui appartient à la réflexion de ce qui appartient immédiatement aux objets eux­

mêmes.

CONCL USIONS

I La Mathématique de Descartes est purement intellectuelle en son principe. A la différence de la Géométrie antique, elle subordonne complètement

à

l'entendement des rapports leur

figuration dans l'intuition sensible, et elle re çoit les figures non

pas pou r la réalité spatiale qu'on y rencontre, mais pour la faculté qu'on y reconnaît de représenter les équations . Le réalisme

géométrique empêchait les Grecs de posséder une véritable méthode : ils s 'arrêtaient aux sections coniques . çt procédaient

aveuglément et de façon particulière. La méthode, l'àrdre réglé qui ne dépend que des pensées et non du hasard des figures,

consistent donc dans l' Algèbre des proportions. La

Géométrie

fournit une illustration de cette méthode.

L'entendement y manifeste sa puissance et l'imagination se met

à son service en lui prêtant ses facilités. L'étendue, dans cette

application, est réduite

on

à

l'objet d'une idée claire et distincte ;

la dépouille de tout ce qui, dans l'intuition sensible, échappe

à l'entendement et aux représentations finies de !'Algèbre; Selon l'ordre, la théorie des proportions commande

la Géo­

métrie analytique ; elle lui assigne ses limites et ses droits. Des­

cartes rej ette les expressions qui exigent un nombre infini d'opé­ rations algébriques, la Trigonométrie et le Calcul.

II

La Mathématique est, selon Descartes, une science

et de la mesure. Or la méthode algébrique

de l'ordre qui la définit p eut être

abstraite de son objet. Elle cesse alors d'être algébrique pour

MA THÉMATIQUES ET MÉTAPHYSIQUE

devenir universelle et n'a plus pour objet que l'ordre des idées de l'entendement pur. Cette méthode et cet ordre permettent à la Philosophie d'être une science, qui passe continûment d'évidences en évidences, à partir du Je pense. III Les mathématiciens n'ont jamais admis les limites que Des­ cartes imposait à la Géométrie analytique. Les uns demanderont à un nouveau principe intellectuel, la continuité, de légitimer l'int�duction de l'infini dans les opérations du Jepense. Les autres feront de cette continuité une propriété étrangère à notre enten­ dement et liée à notre sensibilité. Ce conflit, insupportable à la raison, sera le moteur des sys­ tèmes philosophiques après Descartes .. Ou bien on mettra au compte d'une faculté obscure, extrinsèque à l'entendement, l'un des procédés les plus féconds du raisonnement mathématique ; ou bien on devra attribuer à l'entendement même une faculté incompatible avec les critères rigoureux de la lumière naturelle. Descartes est demeuré étranger à ce conflit, sauf peut-être lorsque, pressé de légitimer le principe de causalité qu'il utilise dans la preuve par les effets, il répondra à Arnauld par un passage à la limite. Même alors, la Métaphysique cartésienne n'a rien de commun avec la Métaphysique leibnizienne. Si, chez Descartes, l'infini est premier par rapport au fini, c'est à titre d'idée et non de méthode, de présence et non de puissance. Sur ce point, le cartésianisme est tourné vers le passé, non vers l'avenir. Le moi se découvre comme faculté d'ordre, mais sans pouvoir créateur. Et c'est en rompant avec Descartes, pour déclarer que Dieu est idéal de la raison pure que Kant et Fichte fonderont la philosophie moderne.

CONCLUSIONS

IV Quant

à

l'ordre algébrique lui-même, tel

que

le conçoit

Descartes, il est fondé sur le postulat de la toute-puissance de la méthode génétique. Suivant ce postulat, on doit savoir résou­ dre les problèmes qu'on sait former. Cependant comme devait déjà le remarquer

Comte,

il est

plus facile d'imaginer que de concevoir. La célèbre démonstra­

t io n

d'Abel,

selon laquelle il est impossible de résoudre par radi­

cal l'équation générale du cinquième degré, en fournira la preuve.

De cette

difficulté, les Mathé matiques concevant une méthode nouvelle, où

ne triompheront qu'en

l'analyse des structures

précède et fonde l'analyse des problèmes particuliers . Dans la

quatrième

Règle du Discours,

Descartes a pressenti à Galois, cette règle

la nécessité de cette extension. De Lagrange ne cessera de

prendre

de l'importance et du développement.

Parallèlement, on est en droit d'attendre du renouvellement des méthodes mathématiques le renouvellement des problèmes

qui se posent au philosophe

( 1) . V

L'étude de Descartes évo que donc deux questions

essen­

tielles :

1° Quel est le statut de

mais dans les méthodes de la pensée propres au z.0

l'objet divin, Moi ?

l'infini non plus dans

Quelle s sont les limites que rencontre la méthode géné­

tique ? Quelles

structures méthodiques les lui

imposent

?

( 1 ) Tel est l'objet du livre que je publierai prochainement sur la philosophie de l'Algébre.

NOTES NOTE I

L'étude, dans le cas général, d e

la solution cartésienne a l'avantage de faire d'analyse, la nécessité de recouri r à la compa­ raison de la vitesse relative de la croissance des fonctions. C'est s urto ut Paul du Bois-Reymond qui a développé le premier cette étude. « Représentons-nous. dit-il, une série de fonctions croissant constamment et in définiment et consi­ dûons-en deux quelconques, f (x) et cp (x). On dira que f (x) croît plus rapidement que cp (x) , si à partir d'une valeur X suffisamment grande de x, f(x) > cp (x) et si la différence / (x) - cp (x) augmente avec x. Les applications donnent à apparaître, pour

un

problème simple

cet accroissement diversement rapide des fonctions un intérêt particulier si -

fonction f (x) qui croît le plus vite présente une supériorité de

la

vitesse telle que le

quotient f (x)/cp (x) croisse é galement sans limite » (1). Ainsi le problème d e l a convergence d exp res s ions dans lesquelles entrent '

plusieurs fonctions d'une mê me variable, qu'il convient donc de comparer

dans

leur vitesse de croi ss ance ou de décroissance relative, donne lieu à une espèce propre de Calcul dont nous avons donné un théorème que leur inventeur a nommé Calcul infinitaire. « Suivant que le quotient / (x)/cp (x) aura la limite infinie ou nulle, nous dirons : j (x) a un infini plus grand ou plus petit que cp (x) ; et si cc quotient a une limite différente de o et de l'infini , / (x) et cp (x) ont un infini -

-

égal. Nous écrirons :

f (x) inf. >

pour dire :

f (x)

lim cp

(x)

=

cp (x), f (x) ""

,

li

m

inf.




expressions imaginaires. Posons alors ( 1 ) :

On Si

- 4

p8 + 2 7

q2

=

a :

-

4

X

27 +

27

=

+

de

\/; et

R1

=

�

4

· - .y8/ �+ iR + .y8/�­ - iR

l'on veut trouver des nombres rationnels .1

(y + i�R)1

=

et � tels que :

! + iR 2

on constate qu'on peut �terminer le rapport � .Y

par une équation

du

troisième

degré, qui, par l'élimination du terme du second degré, revient à l'équation de

�·

On n'échappe à ce Moivre. On posera :

' cercle qu en utilisant

!

2

+ iR

= r

les imaginaires

(cos 8 +

i ain

et la formule de

de

8)

à la quatrl�e ; U n'en.mine donc que les dem: formes : A : .. + 111 - q - o ( = forme I de Descartes) , et B : � - p11 - q - o (formes II et III de Descartt!ll) . D ajoute que 9eUle la forme B (p affectée d'un coeftident négatif) intéresse le cas d'irréductibilité, puisque ce cas n'a lieu que si les racines sont données aoua une forme imaginaire. En effe t, la forme A admet une racine 11 de la forme 8 8 -----

- VP1 + P1 ; P1, 1 , 1 indiquent des nombres post. • = V P1 + VP1 + P1 + tifs ; l'une des racines au moins est donc positive. I.a forme B admet des racines de la

VP1

a s �--------forme 11 = + VP1 + N8 + P1 - VP1 + N1 , où N1 est un nombre négatif ; si N1 > on volt ici que les 3 racines peuvent avoir une expression imaginaire. Cette remarque jusWie Descartes d'avoir réservé le problème de l'irréductibilité mP fonne11 II et III (forme B de K6Dig). (1) Je l!IUÎ8 id BOREL, VI, C, p. 28.

VP1 P1,

V

NOTES ce

181

qui foumira Ja solution :

,, =

.Br V ,. [(cos 6 +

i sin

6) 1/3 + (cos 6

-

.sr [ yr

a �r = 2 V r cos 3

; sin 6) 1/&] = 6 . . a + COS - + I Sln �

3

Cette dernière formule doMe bien troi.r racines rü/11.1 : 2

�r a V ,. cos - . 3

2

�r 8 + 2 � V ,. cos 3

•

2

�r y ,.

. .

e 3

e] 3

COS - - I SlD -

a + 4 n '

COI --'-

L'analyse de Dcacartel cat ici fausse. Sc fondant aur la œgl.c des lignes qu"ll a découverte et constatant que, dans le cas d'imductibilité, 1/ est poaitif, il en a conclu que cette équation de degré impair avait nécessairement une racine réelle n�tive (fausse) et que les deux autres étaient imaginaires, par une induction erronée à partir des cas non irréductibles. On notera que les premiers travaux lcibnizicns ayant trait aux équations sont consacrés au cas de l'équation irréductible du troisième degré ( 1 ). C'est à cc propos que Leibni2 signale à Huyghens l' identité (2) :

V1

+ v

,

+

V1

-

v- , = V6

qui impressionna si fortement son correspondant. Maia on a justement rcmarqu6 que « le temps n'était pas encore venu pour qu'on pllt pénétrer réellement ces formes paradoxales et que la formule de Leibni2 était sans doute un exemple frappant, mais n'aurait fait faire aucun véritable progrès à la qucation, à supposer cc succès possible si elle avait été publiée » (3).

(1) XI, III, 105 ; l,EIBNIZ, II, Mathematische Schriften, ed. Gerhardt , n - 1 5 , VII, 138-1 54. Ce cas est ttaité sous sa forme générale par l,AGRANGE, note IX eur la Forme des racines imaginaires, du Traité d.e la résolution. numériqtU , t. VIII, p. 2 1 3 ; c'est d'Alembert qui avait rendu pleinement raison de la remarque de I,eibnis. (2) D 'aprt!s les propriétés des racines de l'équation du second degré, on formera aisément l'équation leibnizienne : 111 - yz + 2 o, •••

oà :

=

'Y ""' •1 + •1

et

On aura donc :

y• = .r•1 + .r•.

(3) XI, III, 1 05,

a

-

+

2

•1 · •1

-

V1

ll1 .S1 = I +

+

.j.

3.

V 3+ y = ± v'6

V1 -

I -

.;.

3 =-

V 3

+

4

Vï+3 ==

6

MA THSMA TIQ UES ET M2TAPHYSIQ UE Cette indication suffit

toutefois pour comprendre le reproche répété de Leibniz forces. Descartes avait rejeté les trans­ cendantes de sa Glo111élri1, mais outre que ce rejet limi tai t le d o maine de ses recherches, ce qui est un propos toujours légitime pour un inventeur, il l'empêchait aussi de résoudre les pro b lèmes restreints qu'il s'était posés, en écartant a priori des mtthodes dans lesquelles les imaginaires servent d'auxiliaires dans les raisonnements, bien qu'elles s'évanou issent dans les résultats. Comme le note Gauss, les fonctions circulaires sont « une étonnante espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque instant dans des recherches fJllÏ y 1111b1 /1111 lotd d/ail llrangms et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Mathé­ matiques » (1). En limitant la méthode par l 'obj et auquel il désirait l'appliquer, Descartes faisait apparaître le préjugé constant de sa Philosophie, l'idée de natures simples comme éléments susceptibles d'intuition intellectuelle et de combinaisons

à Descartes,

accusé d'avoir pré su mé de ses

r6glées dans la méthode génétique.

NOTE xm Dbnon trons par induction que, pour

(1 )

.

1° 20

[1]' Or

x' nn

.le" ( R - l)n- 1

"'n

=

=

Mais �

=

Pour n

=

�. "9 - 1

1.

n a• (xln- 1 + y• - 1> • - a n

Bo

=

substituant la valeur de

al C:t'n- Jt n - 1

"°n - l

dans [ 1 ] '

:

a• . it n- •n - 1 · "9' (ft l) . !C ' (" - 1l,. _ 1 a' · !tn' (n- 1 1 . � •,.- 1 n "° ' n a• . (:t,Jt - l . x'n C:t'n - 1 · :t',J- • n =

n "'

�n - 1 o, 1 =

;

en

substituant la valeur

a• (xl0 + y•o)- 1,

B et équation du

premier terme

hJ

=

=

"° n

lieu de

n,

=

=

"°n- 1

entière de

al (xln + y•,J•n- 1

Pour n 1 , x' a1 (xi + y1). Supposons [ 1 ] vérifiée pour n -

"° '(ft - 1) n [ 1 ]'

[2]

=

toute valeur

xi + y1

de lltn

en [ 1 ]', on

vérifie (1).

ou =

al

=

E,

cercle qui j oue, pour ainsi dire, le rôle de l'unité. Cc étant posé, les autres s'en déduisent sériellement. Posons : s

(1) GAUSS, XIX', §

3 3 5 , p. 429.

=

cx1

:it'

+ r> •

NO TES S est la raison de la progression géométrique

E. ES, ES1,

où

Es" = _. = c�·

Ces

+�;>.,.

1

=

• • • •

correspondant

aux termes

:

ES".

c�· .;_,•r i Ccx1 �.1•>2J

considérations illustrent la méthode cartésienne. [z] sert d'unit6 de

référence et [3] de lien entre chaque te rme de la série ; [4] détermine ces termes,

dont chacun se compose d'un facteur constant et d'un facteur variable, fonction

Finie en Métaphysique, la sériation est in défin ie en Mathématiques. C'est cc qui distingue Descartes dc.s Grecs. Ceux-ci n'utilisaient la perma­ nence d'une « forme » telle que [ 3 ] , j ointe au caractère indéfiniment itératif du procédé qu'illustre l'élément variable dans [4] que pour construire des critères d'irrationalité (XVIII, t. I, p. 3 9 8 ) . Les réunir définit selon Descartes l'esprit de l'Algèbrc, qu'on peut donc regarder comme un essai po ur classer les irrationnelles. plus généralement que ne l'avait fait Théétète (Livre X d es E.!1111m11). [4] correspond alors à la classification par genres des nombres

de

n.

�briques.

\JI

NOTES BIBLIOGRAPIIlQUES §

§ § § §

1 . XVI, t. I, 3 14- 3 2 3 ; XIII, 97 ; XXVI, t. VII, 1 94-1 9 s ; VI, a) 1 10- 1 4 9 ; XXV, b) , t . I, 1 5 J· l 7 J .

VII, a) et

4. 5.

b) ;

XXXIV.

b) ; XXII, t. Il, 1 49-1 5 0 ; XXXIV, 3 3 ; XXXVI, 1 2 9 . XIII , 2 97 ; XIV, 1 5 6-164 ; IX, s 8 , 1 3 2 sq. ; I, I J4. IV, n s et 47 6 ; XXI, 1 - 1 8 et 1 46-1 5 7 ; XXVIII, XXXIV, 543-344 ; XXXVII, 7 2-7 8 . sq . et b) 3 8 n m,

3 · X, a) , H

2.

XXXI, 1 69-1 7s ;

3 1 S sq . ; XXIV,

t.

V, G., 1 6

11

) 1 59 ;

a

et H r;

6. XXVII, 1 6- 1 8 . 7 · IX , 1 66-1 67, 1 s 6 ; XIX, t. I , 1 3 J sq. 8. XI II, 6 9 ; XVI, t. I, 3 14. § 10 . VIII , a) s 2 sq. , t} 1, 484 sq. ; XV, 1 1 7 ; XXV, a) XXVII , I·3 J , 281 sq. § 1 1 . Vlll, t} 484 sq. ; XXXII ; XXVII, chap. 1 et II ; XXII, 2 9 0 sq. § I J . XXIII ; XXII, l, 1 28. § 1 6. XXXVI, 3 34 sq. ; VIII, t) t . I , 3 2.6-H S ; XXV, a ) 1 - 3 4 ; XIII, note V, 288-290 ; XV, 2 3 6 ; XI, t. Il, 62s . § 1 7. XXIX, 9 sq. ; XXXVI, 342 sq. I. V, 2 1 1 1 ; VI, b) . Note II, XIII, 1 1 2- 1 2 3 . Note §

§ §

Note Il. Note m. Note IV. Note V. Note VI. Note VII.

XIII, 2 9 7-3 0 1 . XIII . Note XXIV, 3 1 1-3 16. VIII , t} t. I, 21 3 , 2J 1·2s 6 ; XXVII,

1 2- 1 3 . 254-2 1 6 ; t. II. 1 4 , 1 8 ; XXV, a) 16 sq. ; XXVII, 3- 6 . t. I, 214-21 6 ; XXV, a) s s -1 6 ; XXVII, 6- 1 1 . XXVI, t. m, 214-2s s ; 270 sq. Note VIII . XXVI, t. ill , 270 sq. VIII, VIU,

t} t}

t. I,

Note IX. VIII, a) 80- 1 3 0. Note XI. VIII , a) 1 1 6 sq. ; t} t. I, 2 94 sq. Note XII. XXV, a) 2 2-21 ; VI, t} 28.

TABLE DES MATIÈRES AVBllTIS SJ!KENT

BDILIOGllAPHIB

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•

•

1

'

PRBMmRE PARTIE

DB QUELQUES CO URBES BT OPÉRATIONS

Q UI NB SONT PAS RBÇUBS DANS LA « GÉOMÉTRIE » DB DESCARTES /lw app/içalion

-

CllA PITR.B PREMIER. § §

•

•

•

•

Sur ilNx

• • . • • •

•

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• •

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La théorie cartésienne de la courbe logarithmique . De l'application de la courbe logarithmique à l'étude des sensations et du problème psycho-physique D e la psycho-physique et d e la psychophysiologie d e Descartes dans leur rapport aux lois de la sensatioo . . De la spitale logarithmique chez Descartes . . .. Du nombre d'or et de la phyllotaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypothèse expliquant l'invention de la spirale logarithmique par Dc:scart:es . . .

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§ 3.

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§ 4. § J·

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§

7 . La méthode cartésienne d es tangentes, telle qu'elle est reçue dans la Glolllltri1 . • • . • . • . . • . • • . . • • • • . • • . • . • • • • 8 . La méthode extra-géométrique d es tangentes : l es centres de rotation . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . • . • 9. Des procédés de quadrature chez Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . •

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DEUxIBME

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CHAPITRE m. - Dl la ç/astifitalion Çtlf'/lti1""6 tks ((Jllf'blt.

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Du rôle des constructions mécaniques dans les Mathématiques

cartésiennes • • • • • . u . De Ja classification c:arUsienne des .

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J6 S7

6s 68

PARTIE

GÉOMÉTRIE ET MÉTAPHYSIQUE CARTÉSIENNES

§ 1 0.

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CHAPITllB Il. - Lit nib11il11l1 tt1rllri1n1 tl11 Calt11/ infinitlti111al . . . . . . . . . . . .

§

9 JJ

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a>urbes . . .

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MATHEMATIQUES ET MÉTAPHYSIQUE PAGES

1 2 . Conséquences de cette classification sur la Physique mathématique et caractère « critique » du système de Descartes . . .

CHAPITRE IV. - La lhlori1 "81 proportions

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§ 1 3 . Première partie du problème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14. Deuxième partie du problème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 5 . La Géométrie comme théorie des proportions . . . . . . . . . . . . . § 16. Analogies métaphysiques de la théorie des proportions . . . . . .

CHAPITRE V. - L11 lfJlllJlion s

algébriqNll . . •

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§ 17. La théorie des équations selon Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . § l S . La quatrième règle du Di1çour1 comme réflexion sur la méthode .

CoNCLUSION

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NOTES

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Sur la comparai son des croissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . Sur le rapport entre logari thmi que et spirale logarithmique . . . . . III. Sur un raisonnement par analogie en Métaphysique, fondé sur un passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV . S ur la quadrat rice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. Sur la conchoide . VI . Sur la ci sso ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . VII. Sur la résolution de l ' é quation du troisième degré chez Descartes VIII. Sur la résolution de l'équation du quatrième degré . . . . . . . . . IX. Sur le caractère synthétique de la méthode de Descartes . . . . . . . X . Sur la construction par l a règle et le compas du problème p lan du quatrième degré (construction de Pappus) . . . . . . . . . . . . . . . XI. Sur la construction à l'aide d'une parabole des problèmes solides XII. Sur la construction de la trisection de l'angle . . . . . . . . . . . . . . XIII . Sur l'expression génér ale des équations cartésiennes . . . . . . .

I.

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N OTES BIBLIOGl.lAPHIQUES

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