Mathématiques appliquées aux technologies du bâtiment et du territoire [3e édition. ed.] 9782897320492, 2897320494

Citation preview

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES AUX TECHNOLOGIES DU BÂTIMENT ET DU TERRITOIRE André Ross

3e édition

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES AUX TECHNOLOGIES DU BÂTIMENT ET DU TERRITOIRE André Ross Réviseure scientique Johanne Paquin, Collège Ahuntsic

3e édition

Mathématiques appliquées aux technologies du bâtiment et du territoire 3e édition

Sources iconographiques

André Ross © 2016, 2011, 2000 Groupe Modulo Inc. Conception éditoriale : Éric Mauras Édition : Renée Théorêt Coordination : Olivier Rolko Révision linguistique et correction d’épreuves : Nicole Blanchette Conception graphique : Josée Bégin Conception de la couverture : Eykel design

Le matériel complémentaire mis en ligne dans notre site Web est réservé aux résidants du Canada, et ce, à des fins d’enseignement uniquement.

Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec et Bibliothèque et Archives Canada

L’achat en ligne est réservé aux résidants du Canada.

Ross, André, 1944Mathématiques appliquées aux technologies du bâtiment et du territoire 3e édition. Comprend des références bibliographiques et un index. Pour les étudiants du collégial. ISBN 978-2-89732-049-2 1. Construction – Mathématiques. 2. Technique de la construction – Mathématiques. 3. Construction – Mathématiques – Problèmes et exercices. i. Titre. QA37.2.R673 2016

510.2’469

C2015-942354-6

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie, par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de Groupe Modulo Inc. Toute utilisation non expressément autorisée constitue une contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction non autorisée. ISBN 978-2-89732-049-2 Dépôt légal : 1er trimestre 2016 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 1

2

3

4 5

M

Couverture : Ganzaless/Shutterstock.com ; p. 8 : Alain Ross ; p. 51 : Portrait de Galilée par Justus Sustermans. National Maritime Museum/Wikipedia Commons ; p. 98, 124, 174 haut et bas, 186, 240, 317 et 348 haut : Jocelyne Bouchard ; p. 116, 224 haut, 260, 348 bas, 364 et 365 : Wikipedia Commons ; p. 131 : Mofferr Studio/Bibliothèque et Archives Canada/C-017335 ; p. 146 : Numérisé à partir de : Karl Pearson, The Life, Letters and Labors of Francis Galton/Wikipedia Commons ; p. 157 : Gauss Society of Göttingen (Photo : A. Wittmann)/Wikipedia Commons ; p. 224 bas : Stoyan, R. et collab. (2008). Atlas of the Messier Objects : Highlights of the Deep Sky. Cambridge, MA : Cambridge University Press, 23. La peinture originale se trouve à la Bibliothèque de l’Observatoire de Paris.

20 19

18

17

16

Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

À Solène, Damien, Alice, Maëlle et Philémon

Titre courant

Avant-propos Conçu pour les cours de mathématiques des technologies du bâtiment et du territoire, le présent ouvrage vise à donner aux étudiants une formation mathématique de niveau collégial tout en favorisant le transfert des connais­ sances. Certaines applications des mathématiques portent sur des situations étudiées par l’ensemble de la clientèle de niveau collégial et d’autres sont plus spéciques à un champ de concentration donné. L’apprentissage se doit de favoriser le transfert des connaissances en évitant de cloisonner l’étudiant dans un champ d’application trop restreint. Plusieurs étudiants du collégial changent d’orientation avant d’obtenir leur diplôme et il est souhaitable que la formation mathématique ne varie pas trop d’un programme à l’autre. On retrouve donc dans l’ouvrage des applications d’intérêt général et des appli­ cations spéciques aux champs de concentration des clientèles visées. On sait que les mathématiques permettent un apprentissage progressif de la résolution de problèmes en proposant aux étudiants des situations à analyser et à comparer avec des situations ou problématiques déjà étudiées ; ce pro­ cessus exige de faire une synthèse de l’information, d’adapter des procé­ dures de résolution à un cas particulier, d’appliquer la procédure de résolu­ tion retenue et de critiquer les résultats en tenant compte du contexte. Dans cette troisième édition, pour répondre aux changements survenus dans les différents programmes collégiaux en technologies du bâtiment et du territoire, nous avons regroupé les chapitres 11 et 12 et éliminé le cha­ pitre 13. Par ailleurs, nous avons bonié de nombreux exemples et ajouté plusieurs exercices tout au long du manuel. Plusieurs documents sont toujours disponibles pour faciliter l’apprentissage. En plus d’une liste d’hyperliens vers des documents d’apprentissage sur dif­ férentes notions mathématiques, l’étudiant peut consulter et imprimer les documents suivants sur la plateforme : les Résumés et objets d’évalua­ tion, dans lesquels chaque chapitre est résumé sous forme schématique ; et le Glossaire, qui regroupe la dénition des termes techniques utilisés dans l’ouvrage. Notre plus grand souhait est de favoriser la réussite de tous les étudiants.

V

Caractéristiques de l’ouvrage L’objectif premier de cet ouvrage est de vous donner une formation de niveau collégia l en mathématiques tout en favorisant le transfert des connaissances. Le dé est d’éviter de vous cloisonner dans un champ d’application trop restreint. C’est donc dans cet esprit que nous vous proposons les outils d’apprentissage suivants.

D’entrée de jeu, l’ouverture du chapitre permet de garder en tête les éléments de compétence visés et les différents sujets qui seront étudiés.

De nombreux exemples concrets suivis de leur solution guident l’apprentissage au l des chapitres. La plupart sont illustrés an de favoriser une meilleure compréhension. Des remarques judicieuses et pratiques en marge aident à comprendre des concepts mathématiques et différentes règles d’application.

Caractéristiques de l’ouvrage

Les procédures, les théorèmes, les règles et les propriétés particulières sont mis en évidence pour un repérage rapide.

Les dénitions sont présentées dans une trame bleue. Elles sont aussi regroupées dans le Glossaire disponible sur la plateforme , ce qui permet de les consulter facilement.

Les rubriques « Un peu d’histoire » lèvent le rideau sur les savants et les mathématiciens à l’origine des grandes découvertes scientiques et des développements de la pensée mathématique.

De plus, les nombreux exercices qui suivent chaque section théorique mettront à l’épreuve vos nouvelles compétences. Leurs réponses sont fournies à la n de l’ouvrage. Votre réussite en mathématiques nous tient à cœur !

VII

VIII

Chapitre xxx

Remerciements C’est avec plaisir que je remercie toutes les personnes qui ont collaboré à la réalisation de la troisième édition de cet ouvrage. Au l des ans, de nombreuses personnes m’ont fait des commentaires et des suggestions, et elles ont toute ma gratitude. Pour la révision scientique du contenu de l’ouvrage, des exercices et de leurs réponses, je tiens à remercier tout particulièrement Johanne Paquin, du Collège Ahuntsic. Je tiens aussi à remercier pour leurs commentaires et leurs suggestions, au moment de l’évaluation de l’ouvrage : Christian Bernatchez, du Cégep de Rimouski, Camille Melançon, du Cégep régional de Lanaudière à Joliette, Johanne Paquin, du Collège Ahuntsic, Lise Pariseau, du Cégep Limoilou, Patrick Therrien, du Cégep Limoilou. Merci également aux deux consultants, Patrick Therrien, du Cégep de Limoilou, et Patrick Bourget, du Cégep de Lévis-Lauzon, pour leur lecture et leurs judicieux conseils. Pour terminer, je remercie l’équipe de Modulo, qui a rendu possible la troisième édition de cet ouvrage. André Ross

Table des matières

CH A PI T R E

NOTIONS D’ALGÈBRE 1.1



1

Notions d’algèbre                                 

2

Expressions algébriques                                 Parenthèses                                               Distributivité                                               Élimination des parenthèses                                  Ajout de parenthèses                                        Simplication d’expressions algébriques                        Opérations sur les fractions algébriques                       

2 4 4 5 5 6 6

Polynômes                                             

7

Un peud’histoire

Mathématiques de l’Islam                             

8

Un peud’histoire

Notations algébriques                               

10

Multiplication de polynômes                            

11 11 11

Produits remarquables                                      Carré d’une somme                                        

Factorisation de trinômes                               

12

Division de polynômes                                   Zéros et factorisation                                       

13 14

1.2

Exercices                                           

16

1.3

Équations et inéquations                        

19

Équations du premier degré                             

19

Droite réelle                                            

20 21

Intervalles sur la droite réelle                                 

Équations du second degré                              Complétion du carré                                        Solution générale d’une équation quadratique                   

22 23 24

Résolution d’équations                              

26

Équation d’une droite                                   

27

Équations à deux inconnues                            

27 28

Un peud’histoire

Représentations                                           

Systèmes d’équations                                   Résolution par réduction                                     Résolution par comparaison                                 

30 30 30

Exercices                                           

32

ARITHMÉTIQUE DES GRANDEURS PHYSIQUES                                             

37

2.1

Grandeurs et incertitude                        

38

Système international (SI)                               

38

Mesure et incertitude                                   

40 41 42

1.4

CH A PI T R E

Chiffres signicatifs                                         Résultats d’une opération                                   

Opérations et propagation de l’incertitude                Incertitude sur une mesure                                   Incertitude relative                                         

45 46 48

x

Table des matières

Opérations et notation scientique                      Produits et quotients                                       Sommes et différences                                    

50 50 50

Galilée                                         

51

Exercices                                          

52

Grandeurs et rapports                          

55

Rapport, proportion et taux                             Règle de trois                                            

55 56

Grandeurs et proportions                              

56

Un peud’histoire

2.2 2.3

Conversion de mesures                                

61

Systèmes de mesure                               

62

Exercices                                          

63

FONCTIONS ET MODÉLISATION                

67

3.1

Fonctions algébriques                          

68

Mise en situation                                       

68

Modélisation                                          

69 69

Un peud’histoire

2.4

CH A PI T R E

Description et écriture symbolique                           

3.2 3.3

Fonctions polynomiales                                 Fonctions quadratiques                                 Fonctions rationnelles                                   Fonctions comportant un radical                        Fonctions comportant une valeur absolue                Fonctions dénies par parties                          

80

Fonctions partie entière                                

81

Exercices                                          

82

Fonction puissance                              

88

Cas particuliers de la fonction puissance               

88 89

Règle de trois                                            

Variations mixtes                                      

75 76 78 79

Contraintes dans une poutre                                 Module de Young                                         

94 95 97

Un peud’histoire

Charles Augustin de Coulomb                         

98

Un peud’histoire

La modélisation du xvi au xix siècle                    

99

Exercices                                          

100

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES                              

105

4.1

3.4

CH A PI T R E

70

e

Modélisation exponentielle                    

106

Mise en situation                                       

106

Caractéristique du modèle exponentiel                 

109

Critère algébrique du modèle                           

110

Calcul de la valeur initiale                              

113

Calcul du taux                                         

114

Leonhard Euler                                   

116

Exercices                                          

117

Un peud’histoire

4.2

e

Table des matières

4.3

Logarithmes                                       

119

Équation exponentielle                                 

119

Bases de calcul                                        

120

Propriétés des logarithmes                             

121

Un peud’histoire

John Napier                                      

124

Un peud’histoire

Henry Briggs                                     

125

Fonction logarithmique                                 

126

Paramètres d’une fonction exponentielle                

127

Décibel                                                

128

Présentation des résultats                               Logarithme d’une mesure                                   Mesure en exposant                                       

129 129 130

Alexander Graham Bell                              

131

Un peud’histoire

4.4

CH A Pi T R E

Exercices                                            132

MODÉLISATION ET RÉGRESSION 5.1



137

Modélisation afne                              

138

Modélisation et résolution de problèmes                

138

Modélisation de données observées                     Méthode graphique                                        Méthode des données groupées                              Méthode des moindres carrés                               

139 139 140 141

Paramètres d’une droite de régression                  

143

Mesures de la précision du modèle                     

144 144 145

Calcul des résidus                                         Coefcient de corrélation linéaire                            

Droite de tendance                                      Interpolation                                              Extrapolation                                            

145 146 146

Francis Galton                                    

146

5.2

Exercices                                          

147

5.3

Échelles graphiques                             

150

Échelle linéaire                                        

150

Un peud’histoire

Échelle logarithmique                                  

150

Échelle logarithmique et modélisation                   Fonction puissance                                        Fonction logarithmique                                     Paramètres afnes et type du modèle                         

153 154 155 157

Carl Friedrich Gauss                                

157

Exercices                                          

158

Un peud’histoire

5.4

CH A Pi T R E

xi

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 6.1



163

Angles et arcs                                    

164

Mesure d’un angle                                     

164

Relation entre les unités de mesure                      Présentation des résultats                                  

166 167

Longueur                                              

168

xii

Table des matières

Vitesse                                                 Vitesse angulaire                                         

171 171

Rapports trigonométriques                             

173

Un peud’histoire

Hipparque et Euclide                               

174

Un peud’histoire

Le nombre π                                     

175

6.2

Exercices                                          

175

6.3

Fonctions trigonométriques                   

178

Équations trigonométriques                             Résolution d’équations et intervalle principal                   

181 183

Pythagore de Samos                               

186

Modèle sinusoïdal                                      

187 187 187 188 189

Un peud’histoire

Amplitude                                                Fréquence et période                                       Déphasage                                               Mouvements oscillatoires                                  

Ondes                                                 

6.4

CH A Pi T R E

Radiation électromagnétique                                

191 191

Un peud’histoire

Robert Hooke                                    

193

Un peud’histoire

Max Planck                                      

193

Exercices                                          

194

TRIGONOMÉTRIE DES TRIANGLES 7.1



201

Résolution de triangles                         

202

Triangles rectangles                                   

202

Triangles quelconques                                 

206

Rappels de géométrie                                  

210

7.2

Exercices                                          

212

7.3

Applications en topométrie                   

215

Mesure d’une hauteur                                  

215 215 216

Mesure d’une hauteur dont le pied est accessible                Mesure d’une hauteur dont le pied est inaccessible              

Distance entre deux points                              Un point inaccessible                                       Deux points inaccessibles                                  

Jalonnement                                            Jalonnement en présence d’un obstacle                        Jalonnement en présence de deux obstacles                   

219 219 221

Mesure du méridien                                

224

Un peud’histoire

7.4

CH A Pi T R E

218 218 218

Exercices                                            225

AIRES ET VOLUMES                                 

229

8.1

230

Calcul d’aires                                      Surfaces polygonales                                   Cercle et triangle                                       Surfaces délimitées par une courbe                      Courbe régulière                                           Courbe irrégulière                                         

230 233 234 235 237

Table des matières

Thomas Simpson                                  

240

8.2

Exercices                                          

241

8.3

Calcul de volumes                                

247

Polyèdre et prisme                                      Estimation d’un volume                                    

247 249

Cylindre                                               

250

Pyramide et cône                                       Pyramide                                                 Cône                                                    Prismatoïde et courbes de niveau                       

250 251 254 256

Archimède                                       

260

Exercices                                          

261

Un peud’histoire

Un peud’histoire

8.4

CH A Pi T R E

VECTEURS ET FORCES 9.1



269

Vecteurs géométriques                        

270

Dénitions et notation                                  

270 270

Notation                                                

Opérations sur des vecteurs géométriques              Parallélisme                                            Vecteurs et repères                                     Systèmes de forces en équilibre                         Polygone des forces                                   

271 275 275 277 277

Héron d’Alexandrie                                 

281

9.2

Exercices                                          

282

9.3

Vecteurs algébriques                            Dénitions et notation                                 

285

Un peud’histoire

9.4

CH A Pi T R E

xiii

Notation                                                 Module d’un vecteur algébrique de 3                          Localisation d’un vecteur géométrique                        

285 285 286 288

Équations paramétriques                               

290

Coordonnées polaires et cartésiennes                  

292

Vecteurs algébriques et forces                         

293

Exercices                                          

297

PRODUITS DE VECTEURS 10.1



301

Produit scalaire                                 

302

Vecteurs géométriques                               

302 302

Produit scalaire nul                                      

Vecteurs algébriques                                  Interprétation géométrique du produit scalaire                

Éléments de géométrie vectorielle                     

303 304

Angle entre deux droites                                  

305 305

Équation cartésienne                                 

306

Calcul d’une distance                                 

310 310

Distance d’un point à un plan                              

Produit scalaire et travail                               Calcul du travail : approche géométrique                     

314 314

xiv

Table des matières

Calcul du travail : approche algébrique                       

315

Jérôme Cardan                                  

317

10.2

Exercices                                         

318

10.3

Produit vectoriel                                

321

Interprétation géométrique du produit vectoriel        

321

Produit vectoriel nul                                  

322

Vecteurs algébriques                                 

322

Moment d’une force                                  

324 327 329 332

Un peud’histoire

Résultante de forces coplanaires non concourantes             Analyse des forces dans un système en équilibre               Équation d’un plan dont trois points sont connus              

Produit mixte                                          Interprétation géométrique du produit mixte                  

332 334

Exercices                                         

335

MATRICES ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS   

339

11.1

Matrices                                          

340

Notation                                              

340

Opérations sur les matrices                           

340 342 343 344

10.4

CH A Pi T R E

Propriétés des opérations                                  Transposition et produit de matrices                         Propriétés du produit et de la transposition                   

Matrices carrées                                      Un peud’histoire

James Joseph Sylvester                           

347 348

Un peud’histoire

Arthur Cayley                                   

348

11.2

Exercices                                         

349

11.3

Systèmes d’équations                        

352

Équations linéaires à deux inconnues                  

352

Équations linéaires à trois inconnues                  

354

Systèmes d’équations et matrices                     

355

Méthode de Gauss                                    

356

Méthode de Gauss-Jordan                           

357

Problèmes de production et matrices                  

359

Méthode de Cramer                                   

362

Un peud’histoire

Soa Kovalevskaïa                                

364

Un peud’histoire

Emmy Noether                                  

365

Exercices                                         

366

Réponses aux exercices                                      

371

11.4

Bibliographie                                                 

389

Index                                                         

390

NOTIONS d’ALGÈBRE

Utiliser correctement les notions d’algèbre dans la résolution de problèmes Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la manipulation correcte d’expressions algébriques comportant des exposants et des radicaux ; • l’application correcte des procédures d’opérations sur les polynômes ; • l’application correcte des procédures de factorisation ; • la détermination exacte du domaine et du codomaine d’une fonction ; • la résolution de systèmes d’équations simples.

1

1.1 Notions d’algèbre    2 Expressions algébriques Polynômes Un peud’histoire Mathématiques de l’Islam Un peud’histoire Notations algébriques Multiplication de polynômes Factorisation de trinômes Division de polynômes

1.2 Exercices           16 1.3 Équations et inéquations       19 Équations du premier degré Droite réelle Équations du second degré Un peud’histoire Résolution d’équations Équation d’une droite Équations à deux inconnues Systèmes d’équations

1.4 Exercices           32

2

Chapitre 1

1.1

Notions d’algèbre

Les expressions algébriques ont de multiples usages dans la science et la technologie modernes. Elles permettent entre autres l’écriture condensée de relations et de propriétés communes à différents objets. Par exemple, les gures représentées ci-contre ont des formes différentes, mais elles sont toutes des trapèzes puisque chacune a deux côtés parallèles. On démontre facilement, en géométrie, que l’aire d’un trapèze est égale à la demi-somme des bases multipliée par la hauteur. Cette relation entre l’aire du trapèze et la mesure de ses bases et de sa hauteur s’écrit algébriquement sous la forme

La description symbolique de propriétés communes à des ensembles d’objets est une application de l’algèbre qui permet également de résoudre de façon très efcace des problèmes comportant des inconnues.

Expressions algébriques Expression algébrique Une expression algébrique est un groupe de lettres et de nombres reliés entre eux par les symboles d’opérations arithmétiques.

Terme, facteur et coefcient On appelle terme chaque élément d’une addition. On appelle facteur chaque élément d’une multiplication. Un coefcient est un nombre ou une valeur littérale qui est un facteur de cette expression algébrique.

Dans l’expression 2ab + 5b, il y a deux termes : le terme 2ab et le terme 5b. Le terme 2ab comporte trois facteurs puisqu’il est le produit de trois éléments. Le nombre 2 est le coefcient du terme en ab et le nombre 5 est le coefcient du terme en b.

Puissance et exposant On appelle puissance n-ième d’un nombre a le produit de n facteurs égaux à ce nombre. Elle est représentée par an. Le nombre n est appelé exposant de a.

Notions d’algèbre

3

THÉORÈME Règles d’utilisation des exposants

REMARQUE

Soit a et b ∈ \{0}, et m et n ∈ . • am · an = am+n

• a0 = 1

• (am)n = amn

• (a · b)n = an · bn

•

•

•

•

•

sauf si a < 0 et n est pair.

sauf si a < 0 et n est pair.

EXEMPLE 1.1.1

Évaluer l’expression suivante en appliquant les règles d’utilisation des exposants entiers positifs.

Solution On exprime d’abord 15 et 27 sous la forme de puissances de nombres premiers.

EXEMPLE 1.1.2

Évaluer les expressions à l’aide des règles d’utilisation des exposants. a)

b) Solution a)

= 43/2 Règle des exposants fractionnaires. = (22)3/2 On exprime 4 en base 2. = (22)3/2 = 22×3/2 = 23 = 8 Règle de la puissance d’une puissance.

b) En appliquant les règles, on obtient

Lors de la manipulation d’expressions algébriques, on peut avoir à déterminer le plus grand commun diviseur ou le plus petit commun multiple. On procède de la même façon que s’il s’agissait de nombres.

Il découle de la règle des signes relative au produit de deux nombres algébriques que : • toute puissance d’un nombre positif est positive ; • la puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.

4

Chapitre 1

EXEMPLE 1.1.3

Trouver le plus grand commun diviseur des expressions a2b3c et a4b2c3. Solution Le plus grand commun diviseur est le produit des facteurs communs affectés de leur plus petit exposant dans les décompositions en facteurs premiers. Le plus grand commun diviseur de a2b3c et a4b2c3 est donc a2b2c. EXEMPLE 1.1.4

Trouver le plus petit commun multiple des expressions 6ab2c et 8a2bc3. Solution Le plus petit commun multiple est le produit de tous les facteurs apparaissant dans l’une ou l’autre des expressions, chaque facteur étant affecté du plus grand exposant qui lui est assigné dans l’une des décompositions en facteurs premiers. Le plus petit commun multiple de 6ab2c et 8a2bc3 est donc 24a2b2c3.

REMARQUE

Les parenthèses permettent de préciser les priorités des opérations. Lorsqu’on doit effectuer plusieurs opérations, on respecte l’ordre suivant. 1. On effectue d’abord les opérations à l’intérieur des parenthèses. 2. On calcule les puissances (exposants). 3. On effectue les multiplications et les divisions, de la gauche vers la droite. 4. On complète par les additions et les soustractions, de la gauche vers la droite.

Parenthèses Dans les expressions algébriques, on utilise des parenthèses pour indiquer que les termes qu’elles renferment sont considérés comme une expression algébrique globale par rapport aux expressions et opérations situées à l’extérieur. Les parenthèses indiquent la priorité des opérations : on effectue d’abord les opérations à l’intérieur des parenthèses pour calculer la valeur numérique. Ainsi, pour calculer celle de l’expression (3x + 2)(x - 1) lorsque x = 4, on substitue d’abord 4 à x, puis on effectue les opérations en commençant par celles qui sont à l’intérieur des parenthèses :

(3 × 4 + 2)(4 - 1) = (12 + 2)(3) = (14)(3) = 42. Distributivité On n’utilise pas obligatoirement le symbole de la multiplication pour représenter le produit de deux expressions. Ainsi, l’expression 2x2(3x - 2) est le produit des expressions algébriques 2x2 et 3x - 2. Pour effectuer un produit de cette forme, on multiplie par 2x2 chacun des termes de l’expression à l’intérieur des parenthèses. Cette opération consiste à appliquer la distributivité de la multiplication. On obtient alors

2x2(3x - 2) = (2x2 × 3x) - (2x2 × 2) = 6x3 - 4x2. Selon la règle des signes, quand on multiplie une parenthèse par une expression négative, tous les signes des termes à l’intérieur des parenthèses sont inversés : -2(3x2 - 2x + 1) = -6x2 + 4x - 2.

Notions d’algèbre

5

Il est à remarquer qu’en multipliant la parenthèse seulement par le coefcient 2, on a -2(3x2 - 2x + 1) = -(6x2 - 4x + 2). Si on enlève les parenthèses dans le membre de droite, il faut alors inverser le signe de chacun des termes à l’intérieur des parenthèses pour conserver l’égalité. EXEMPLE 1.1.5

Effectuer le produit 3a2b(a + b2c - 2). Solution Pour effectuer le produit, il faut appliquer la distributivité, c’està-dire multiplier chacun des termes à l’intérieur des parenthèses par le facteur situé à l’extérieur : 3a2b(a + b2c - 2) = 3a3b + 3a2b3c - 6a2b.

Élimination des parenthèses PROCÉDURE Pour éliminer les parenthèses

Pour éliminer les parenthèses, on commence par la paire intérieure et on élimine progressivement les autres en respectant la règle des signes et la priorité des opérations. Ainsi, pour éliminer les parenthèses de l’expression 5x - [2y + 4(x - y)], on procède de la façon suivante : 5x - [2y + 4(x - y)] = 5x - [2y + 4x - 4y] = 5x - [4x - 2y] = 5x - 4x + 2y = x + 2y. Ajout de parenthèses Lorsqu’on ajoute des parenthèses, c’est en général pour effectuer une mise en évidence, ce qui est l’inverse de la distributivité. PROCÉDURE Pour ajouter des parenthèses

1. Lorsqu’on met en évidence un facteur positif, tous les termes à l’intérieur des parenthèses conservent le même signe qu’avant la mise en évidence. 2. Lorsqu’on met en évidence un facteur négatif, tous les termes à l’intérieur des parenthèses changent de signe.

REMARQUE

Si une expression renferme plusieurs parenthèses, on utilise également des crochets ([ ]) pour éviter la confusion et en faciliter la lecture. Les règles d’utilisation sont les mêmes.

6

Chapitre 1

EXEMPLE 1.1.6

Mettre en évidence le plus grand commun diviseur des termes de l’expression algébrique suivante. 16x3y2 + 12x3y4 - 8x2y2 Solution On détermine d’abord le plus grand commun diviseur des termes du polynôme, soit 4x2y2. Donc, 16x3y2 + 12x3y4 - 8x2y2 = 4x2y2(4x + 3xy 2 - 2). Simplication d’expressions algébriques Simplier une fraction signie la réduire à sa plus simple expression. Pour ce faire, on peut avoir à effectuer des opérations ou des mises en évidence et à appliquer les règles d’utilisation des exposants. Voici quelques exemples. EXEMPLE 1.1.7

Simplier les fractions algébriques suivantes. a) REMARQUE

Pour pouvoir simplier une expression comportant une lettre apparaissant à la fois au numérateur et au dénominateur, il faut que la valeur numérique de cette lettre soit différente de 0 puisque le quotient 0/0 est indéterminé.

b) Solution a) Le plus grand commun diviseur des termes du numérateur est 3ab. En mettant ce facteur en évidence, on obtient

En simpliant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, on obtient

b) Le plus grand commun diviseur des termes du numérateur est 2xy et le plus grand commun diviseur des termes du dénominateur est 3y2. En mettant ces facteurs en évidence, on obtient

REMARQUE

La simplication d’une expression algébrique est terminée lorsque son numérateur et son dénominateur nʼont plus de facteurs communs.

En simpliant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, on obtient

Opérations sur les fractions algébriques Si on veut additionner ou soustraire des fractions, il faut d’abord procéder à une mise au même dénominateur. Ce dénominateur commun est le plus petit commun multiple des dénominateurs.

Notions d’algèbre

EXEMPLE 1.1.8

Effectuer les opérations suivantes. a)

b) Solution a) En décomposant les dénominateurs en facteurs premiers, on a 15 = 3 × 5, 12 = 22 × 3, 10 = 2 × 5. Le plus petit commun multiple est donc 22 × 3 × 5 = 60. Puisque 60 divisé par 15 donne 4, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 4 pour que son dénominateur devienne 60 sans changer la valeur de cette première fraction. De même, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 5, et ceux de la troisième fraction par 6. On obtient ainsi

b) Le plus petit commun multiple est 4 × 3 × a2 × b2 = 12a2b2. Pour que la première fraction ait ce dénominateur, il faut multiplier son numérateur et son dénominateur par 3ab ; on multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 6a, et ceux de la troisième fraction par 2b. On obtient ainsi

Polynômes Polynôme On appelle polynôme toute expression algébrique constituée de plusieurs termes formés chacun d’un produit de puissances entières positives ou nulles et reliés par des symboles d’addition ou de soustraction. Un monôme ne comporte qu’un seul terme ; un binôme en a deux, et un trinôme, trois.

7

8

Chapitre 1

Un peud’histoire

MATHÉMATIQUES DE L’ISLAM

M

ahomet est né vers 570 à la Mecque, qui était alors, avec Médine, l’une des deux seules villes orissantes de l’Arabie. C’est à 40 ans qu’il commença sa prédication, jetant les bases de la religion islamique, dont les principaux dogmes sont la croyance en un Dieu unique, une vie future, la résurrection et le jugement dernier. Cependant en 622, il dut fuir la Mecque devant l’hostilité de riches marchands et se réfugier à Médine, où il fut accueilli avec enthousiasme. Cet accueil contribua au succès de la nouvelle religion et les Arabes, sous la bannière du prophète Mahomet, allaient conquérir des territoires s’étendant vers l’est jusqu’à l’Inde à travers la Perse et la Mésopotamie, et vers l’ouest jusqu’à l’Afrique du Nord et l’Espagne. En 629, il rentra triomphalement à la Mecque et décida d’en faire sa capitale. Les citoyens juifs et chrétiens, à cause de leur afnité religieuse avec la religion musulmane, y vécurent désormais sous sa protection. En 632, au moment où il se préparait à investir l’Empire byzantin, il mourut des suites d’une èvre, à l’âge de 62 ans. C’est après la première vague de conquêtes que les ca­ lifes s’intéressèrent à la culture des pays conquis. De 650 à 750, les savants furent invités à Bagdad et la traduction des textes grecs et hindous par des Syriens débuta vers le viiie siècle. Les ouvrages ainsi traduits comprennent une version des Siddhantas provenant de l’Inde, l’ouvrage d’astronomie Tétrabible et l’Almageste de Ptolémée, ainsi que les Éléments d’Euclide. Les textes grecs étaient four­ nis directement par l’Empire byzantin à la suite de traités conclus entre les deux puissances. À l’aide de ces traductions, les savants de l’Islam ont pu s’initier à l’astronomie et aux mathématiques grecques et hindoues. Ils ont adopté le système de numération indien et ont élaboré des approches nouvelles de résolution de problèmes. Les mathématiciens arabes ont également joué un rôle important en trigonométrie. D’une part, les Grecs utilisaient une trigonométrie des cordes comme celle de l’Almageste alors que les Indiens se servaient de tables de sinus. Les mathématiciens arabes ont adopté ces tables et ont construit leur trigonométrie à l’aide de cette fonction. D’après certains historiens des mathématiques, près de 500 savants de l’Islam ont contribué à l’essor de l’astronomie et des mathématiques. La création de l’algèbre telle que nous la connaissons n’aurait pas été possible sans un système de numération ayant la souplesse nécessaire pour manipuler les symboles comme des nombres. Le système positionnel de base 10

que nous utilisons répond bien à cette exigence. Il a été élaboré par des mathématiciens indiens, en particulier Brah­ magupta, puis adopté par les Arabes, qui en ont acquis la connaissance grâce aux traductions demandées par les califes de Bagdad. Dans un ouvrage sur le système de numération indien, dont seule la version latine nous est par­ venue sous le titre De numero Indorum, Al­Khwarizmi présente diverses règles de calcul déri­ vées des procédures utilisées par les savants indiens. Cet ouvrage aurait été rédigé à l’aide de la version arabe des textes de Brahmagupta. Dans un ouvrage intitulé Hisâb al-jabr wa’l-muqabâla, Al­Khwa­ rizmi présente des règles de transformation des équations. Le terme al-jabr, à l’origine du mot « algèbre », désigne la procédure consistant à trans­ former une soustraction dans un membre d’une équation en une addition dans l’autre membre. Ainsi, par al-jabr, l’équation 3x2 - 10x = 34 devient 3x2 = 10x + 34. Le terme al-muqabâla (le balancement) désigne la trans­ formation qui consiste à supprimer un même terme dans les deux membres d’une équation. Ainsi, par al-muqabâla, l’équation 2x2 + 15x + 4 = 10x + 34 devient 2x2 + 5x = 30. Le terme al-hatt désigne la transformation consistant à diviser les deux membres d’une équation par un même nombre. Ainsi, l’équation 4x 2 = 2x + 26 devient, par al-hatt, 2x2 = x + 13. Dans le même ouvrage, Al­Khwarizmi présente pour la pre­ mière fois une méthode de résolution presque générale des équations quadratiques. Presque générale, car les solutions négatives et nulles sont écartées. Il traite de différents cas d’équations quadratiques en les classiant de telle sorte que tous les termes soient positifs. Les équations sont de plus ramenées à leur plus simple expression par al-hatt. Ces formes sont décrites verbalement. Ainsi, il désigne par « le carré égal à une racine » l’équation que nous écrivons x 2 = bx. En fait, il s’agit du produit d’une racine par une constante.

Notions d’algèbre

9

Les termes d’un polynôme peuvent comporter des coefcients, des constantes, des paramètres ou des variables. Les paramètres et les constantes sont représentés habituellement par les lettres a, b et c, et les variables, par les lettres x, y et z. Termes semblables de polynômes On appelle termes semblables de polynômes des termes formés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants mais pouvant avoir des coefcients distincts.

Pour additionner (ou soustraire) deux polynômes, on additionne (ou on soustrait) les termes semblables des deux polynômes. EXEMPLE 1.1.9

Effectuer l’addition suivante. (2xy + 3x2 + 4y3) + (5xy - 8x2 + 7) Solution En effectuant les opérations sur les termes semblables, on obtient (2xy + 3x2 + 4y3) + (5xy - 8x2 + 7) = 7xy - 5x2 + 4y3 + 7. Dans notre étude, nous allons nous intéresser plus particulièrement aux polynômes comportant une seule variable, identiée par la lettre x, et appelés polynômes en x. Polynôme en x On appelle polynôme en x toute expression de la forme p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a 0, où n est un entier positif, appelé degré du polynôme, et où an, an–1, an–2, ..., a2, a1 sont des constantes réelles, appelées coefcients, a 0 est la constante et x est la variable. Lorsqu’un polynôme en x comporte un seul terme non nul et que celui-ci est constant, on dit que ce polynôme est constant. Un tel polynôme est dit de degré 0, puisque, par convention, p(x) = a 0 = a 0 x0. Par ailleurs, p(x) = 0 est appelé polynôme nul et on ne lui attribue aucun degré.

REMARQUE

Il est d’usage de désigner les polynômes en x par une notation particulière. On utilise normalement les notations p(x), q(x), r(x) ou s(x) pour ne pas avoir à écrire le polynôme chaque fois qu’il en est question. La variable entre parenthèses indique qu’il s’agit d’un polynôme en x.

10

Chapitre 1

EXEMPLE 1.1.10

Soit les polynômes p(x) = 2x5 - 3x2 - 4 et q(x) = 4x3 + 8x2 - 5x + 12. Trouver le polynôme déni par la somme de p(x) et q(x). Solution Les termes semblables sont les termes de même degré. En effectuant les opérations sur ces termes, on obtient s(x) = p(x) + q(x) = (2x5 - 3x2 - 4) + (4x3 + 8x2 - 5x + 12) = 2x5 + 4x3 + 5x2 - 5x + 8. La valeur numérique d’un polynôme en x dépend seulement de la valeur assignée à sa variable x. Si on assigne à la variable x une valeur a, la va­ leur numérique du polynôme est notée p(a). Zéro d’un polynôme On appelle zéro d’un polynôme p(x) toute valeur a pour laquelle la valeur numérique du polynôme est nulle, c’est­à­dire p(a) = 0.

Un peud’histoire

NOTATIONS ALGÉBRIQUES

L

es notations algébriques ont lentement évolué avant de prendre leur forme actuelle. Chaque auteur utilisait un symbolisme personnel en améliorant parfois celui de ses prédécesseurs. Ainsi, dans Triparty en la science des nombres, Nicolas Chuquet (environ 1445-1500) représente 5x3 par 53, ce qui crée une confusion avec la puissance du nombre. De plus, il note les opérations d’addition et de soustraction respectivement par un « p » et un « m » surmontés d’une barre horizontale, et l’égalité par « égaulx ». Son algèbre est dite syncopée, car elle fait plus appel à une écriture usuelle simpliée qu’à un véritable symbolisme algébrique. L’ingénieur et mathématicien italien, Raffaele Bombelli (1526-1572) publia en 1572 un ouvrage intitulé Algèbre, qui fut probablement rédigé vers 1560. Dans cet ouvrage, il utilise un symbolisme qui ressemble à celui de Chuquet, comme on peut le voir dans les illustrations ci-contre. Il n’utilise pas de symbole particulier pour l’égalité, même si le symbole « = » avait déjà été utilisé par le mathématicien anglais Robert Recorde (environ 1510-1558). Ce symbole ne fut pas populaire dès son apparition, plusieurs auteurs préférant le symbole ae, formé des premières lettres du mot latin aequalis, qui signie « égal ».

Notions d’algèbre

11

Multiplication de polynômes Pour multiplier un polynôme par un monôme, on multiplie chaque terme du polynôme par le monôme en respectant la règle des signes et les règles d’utilisation des exposants. EXEMPLE 1.1.11

Effectuer le produit des polynômes p(x) = 3x2 + 2x - 5 et q(x) = x2 + x - 3. Solution En multipliant chaque terme de p(x) par chacun des termes de q(x) et en respectant la règle des signes et les règles des exposants, on obtient le résultat suivant.

Le polynôme recherché est donc s(x) = 3x4 + 5x3 - 12x2 - 11x + 15. Produits remarquables Il est d’usage en algèbre de déterminer les caractéristiques des formes d’expressions algébriques en écrivant celles-ci à l’aide de paramètres plutôt qu’avec des valeurs numériques particulières. On obtient des règles d’utilisation qui permettent d’écrire directement l’expression algébrique sous une forme équivalente. Carré d’une somme Le carré du binôme a + b se calcule comme suit.

On obtient (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Ce résultat permet d’écrire directement le carré d’un binôme. Par exemple, pour élever au carré le binôme 3x + 2y, on pose a = 3x et b = 2y. On peut alors écrire directement (3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2.

REMARQUE

Pour multiplier deux polynômes quelconques, on multiplie chaque terme d’un des polynômes par chacun des termes de l’autre polynôme en respectant la règle des signes et les règles d’utilisation des exposants.

12

Chapitre 1

ATTENTION

Les produits de binômes donnent lieu à des erreurs fréquentes.

On peut utiliser le même résultat pour exprimer certains trinômes sous la forme du carré d’un binôme. Dans le cas du trinôme 25x4 + 40x2 + 16, en posant a = 5x2 et b = 4, on peut écrire 25x4 + 40x2 + 16 = (5x2 + 4)2. IDENTITÉS REMARQUABLES Carré d’une somme

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Carré d’une différence

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Produit d’une somme et d’une différence

(a - b)(a + b) = a2 - b2

Factorisation de trinômes Les identités remarquables incitent à considérer d’autres formes de produits an de déterminer des procédures permettant de factoriser facilement divers types de trinômes. Forme : x2 + bx + c

En effectuant le produit des facteurs (x + s) et (x + v), on obtient (x + s)(x + v) = x2 + sx + vx + sv = x2 + (s + v)x + sv. Pour factoriser un trinôme, on doit effectuer le cheminement inverse, c’està-dire appliquer la procédure suivante. PROCÉDURE Pour factoriser un trinôme de la forme

x2 + bx + c

1. Chercher deux nombres dont la somme est b et le produit est la constante c. 2. Exprimer b comme la somme de ces deux nombres. 3. Effectuer une double mise en évidence (voir l’exemple suivant). EXEMPLE 1.1.12

Factoriser les trinômes suivants. a) x2 + 7x + 10

b) x2 - x - 20

Solution a) On cherche deux nombres dont le produit est 10 et dont la somme est 7. Les nombres 2 et 5 répondent à cette condition. On peut écrire x2 + 7x + 10 = x2 + 2x + 5x + 10 = x(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x + 5).

Double mise en évidence.

Notions d’algèbre

b) On cherche deux nombres dont le produit est -20 et dont la somme est -1. Les nombres -5 et 4 satisfont à cette condition. On peut donc écrire x2 - x - 20 = x2 - 5x + 4x - 20 = x(x - 5) + 4(x - 5) Double mise en évidence. = (x - 5)(x + 4). Forme : ax 2 + bx + c

En effectuant le produit des deux facteurs (rx + s) et (ux + v), on obtient (rx + s)(ux + v) = rux 2 + (rv + su)x + sv. On constate que les nombres dont la somme égale le coefcient de x, soit rv + su, ont comme produit (rv)(su) = (ru)(sv), c’est-à-dire le produit de la constante par le coefcient de x2. On obtient donc b = rv + su et ac = rvsu. Pour factoriser, on doit faire le cheminement inverse. On doit donc appliquer la procédure suivante. PROCÉDURE Pour factoriser un trinôme de la forme

ax2 + bx + c

1. Chercher deux nombres dont la somme est b et le produit est ac. 2. Exprimer b comme la somme de ces deux nombres. 3. Effectuer une double mise en évidence. EXEMPLE 1.1.13

Factoriser les trinômes suivants. a) 3x2 + 23x + 14

b) 15x2 - 77x + 10

Solution a) On cherche deux nombres dont le produit est 42 et dont la somme est 23. C’est le cas des nombres 2 et 21. On peut écrire 3x2 + 23x + 14 = 3x2 + 21x + 2x + 14 = 3x(x + 7) + 2(x + 7) = (x + 7)(3x + 2). b) On cherche deux nombres dont le produit est 150 et dont la somme est -77. C’est le cas des nombres -2 et -75. On peut écrire 15x2 - 77x + 10 = 15x2 - 2x - 75x + 10 = x(15x - 2) - 5(15x - 2) = (15x - 2)(x - 5).

Division de polynômes Pour diviser un polynôme par un autre de moindre degré, on ordonne en ordre décroissant le dividende et le diviseur, puis on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur pour obtenir le premier

13

14

Chapitre 1

terme du quotient. On multiplie alors tout le diviseur par ce premier terme du quotient et on soustrait du dividende le produit obtenu. On poursuit la même démarche jusqu’à ce que l’on obtienne 0 ou un reste qui n’est pas divisible par le premier terme du diviseur. EXEMPLE 1.1.14

Diviser le dividende p(x) par le diviseur s(x). a) p(x) = 6x4 - 4x3 + 24x - 8 et s(x) = 2x3 - 5x + 8 b) p(x) = 2x3 - 11x2 + 19x - 12 et s(x) = x - 3 Solution a)

En désignant le quotient par q(x) et le reste par r(x), on a q(x) = 3x - 2 et r(x) = 15x2 - 10x + 8. b)

REMARQUE

Lorsque le reste d’une division est 0, cela signie que le diviseur est un facteur du polynôme. Ainsi, on a 2x3 - 11x2 + 19x - 12 = (x - 3)(2x2 - 5x + 4).

Donc, q(x) = 2x2 - 5x + 4 et r(x) = 0. Zéros et factorisation

Facteur d’un polynôme Soit p(x) et q(x), deux polynômes en x. Le polynôme q(x) est un facteur de p(x) si et seulement si q(x) divise p(x) sans reste (c’est-à-dire que le reste est 0). En posant x = 3 dans le polynôme p(x) = 2x 3 - 11x 2 + 19x - 12, on obtient 2 × 33 - 11 × 32 + 19 × 3 - 12 = 54 - 99 + 57 - 12 = 0. Ce résultat est dû au fait que (x - 3) est un facteur de 2x3 - 11x2 + 19x - 12. En effet, 2x3 - 11x2 + 19x - 12 = (x - 3)(2x2 - 5x + 4). Le facteur (x - 3) s’annule en posant x = 3. On a alors une multiplication par 0 qui donne 0. De plus, lorsqu’on multiplie des polynômes entre eux, la constante du produit est le produit des constantes.

Notions d’algèbre

15

Ainsi, (x - 2)(x + 3)(2x + 5) = 2x3 + 7x2 - 7x - 30. On peut dégager de ces observations une procédure pour trouver les zéros entiers d’un polynôme qui doivent être des diviseurs de la constante. PROCÉDURE Pour factoriser en cherchant les zéros

1. Chercher un zéro entier du polynôme en considérant d’abord les plus petits diviseurs de la constante. 2. Chaque fois qu’un zéro est trouvé, décomposer en facteurs par division de polynôme pour simplier la recherche. EXEMPLE 1.1.15

Factoriser le polynôme 2x3 + 7x2 - 7x - 30. Solution Les diviseurs de -30 sont ±1, ±2, ±3, ... On peut repérer les zéros par substitution : p(1) = 2 × 13 + 7 × 12 - 7 × 11 - 30 = -28 ; p(-1) = 2 × (-1)3 + 7 × (-1)2 - 7 × (-1)1 - 30 = -18 ; p(2) = 2 × 23 + 7 × 22 - 7 × 21 - 30 = 0. Puisque p(2) = 0, alors 2 est un zéro de p(x), et p(x) est divisible par x - 2. En procédant à la division, on obtient

On peut donc écrire 2x3 + 7x2 - 7x - 30 = (x - 2)(2x2 + 11x + 15). Il ne reste qu’à factoriser le trinôme. On cherche deux nombres dont le produit est 30 et dont la somme est 11. C’est le cas de 5 et 6. On peut donc écrire 2x2 + 11x + 15 = 2x2 + 5x + 6x + 15 = x(2x + 5) + 3(2x + 5) = (2x + 5)(x + 3). La factorisation complète donne 2x3 + 7x2 - 7x - 30 = (x - 2)(2x + 5)(x + 3).

REMARQUE

Dès que l’on trouve un zéro, on effectue la division par le facteur associé pour simplier le problème.

16

Chapitre 1

1.2 Exercices 1. Éliminer les parenthèses des expressions suivantes et effectuer les calculs ou opérations possibles. a) 2 - [4 + (2 - 3) - (5 + 6)] b) 7 + [3 - (6 - 1) - (5 + 6)] c) x - [y + (x + y)] d) x - [y - (x + y)]

5. Simplier et évaluer les expressions suivantes à l’aide des règles d’utilisation des exposants. Exprimer les réponses à l’aide d’exposants positifs. a) 34 × 3-2

i)

b) 42 × 2-3

j)

c) 54 × 5-4

k)

d) (x3y2)(x-2y-1)

l)

e) 2x - [3y + (x - 5y)] f) 2xy - [3xy + (7 - 5xy)] g) -2(a + c) + 3[(b - c) + 3(c - a)] h) 3(a - 2c) - 2[(b - c) + 2(c - a) - a] i) (4xy + 3x - 2) - (2xy - x + 2y - 3) j) -2x2y(4xy + 2x2y - x + 2) 2. Dans les expressions suivantes, regrouper et mettre en évidence les termes en x de même puissance. a) ax 2 + 7x3 - 2a2 x2 + 3bx - 6a2 x3 + 5x b) 6bx2 - 2x3 - a2 x2 - 2ax + 6ax 3 + 7bx

e)

m) (4x2y-1) -1(2x3y-2)

f)

n) 3-2 x2(x2y) -2

g) (3-2) -3

o) a -2 x2(b2 x) -2

h)

p) a -nx2n(a2 x) -2

3. Simplier les expressions suivantes sachant que a ≠ 0 et b ≠ 0. a)

c)

b)

d)

4. Mettre les fractions au même dénominateur et effectuer les opérations indiquées. a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

6. Calculer la valeur numérique des expressions suivantes pour les valeurs indiquées sous forme de fractions simpliées. a) b)

pour a = 2 et b = 4 pour a = 3, b = 2 et c = 5

c) (xy -2) -3 pour x = 1/2 et y = 3/2 d) (2x2y-1) -1 pour x = 5/3 et y = 2/9 7. Utiliser les exposants pour simplier les expressions suivantes. a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

Notions d’algèbre

8. Simplier et évaluer les expressions suivantes en présentant le résultat sans exposant fractionnaire. a)

g)

b)

h)

c)

i)

d)

j)

17

12. Déterminer le polynôme déni par la somme de p(x) et q(x) si p(x) = 2x3 + 5x - 5 q(x) = 5x3 - 3x2 - 6x + 18. 13. Déterminer le polynôme déni par la différence de p(x) et q(x) si p(x) = 4x4 + 2x3 - 5 q(x) = 3x3 - 2x2 + 4x - 1. 14. Effectuer les produits suivants.

e)

k)

f)

l)

a) (x + 4)(x - 6) b) (2x - 5)(x + 7) c) (x + 6)(3x - 2)

9. Écrire les radicaux suivants sous leur forme la plus simple.

d) (2x - 1)(3x - 4) e) (x + 2)(3x - 1)(x - 3)

a)

e)

f) (2x + 1)(2x - 3)(3x + 2)(x + 5)

b)

f)

g) (3x2 - 2y)(3x2 + 2y)

c)

g)

h) (2x2 + 3y)(2x2 + 3y)

d)

h)

i) (2xy - 3x + 5y)(2xy - 3x - 5y)

10. Effectuer les opérations demandées à l’aide des règles d’utilisation des exposants (sans calculatrice). a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

a) b)

(7x2

+ 2xz +

+ 2xz +

2y3)

2y3)

+

-

(5x2y

(4x2

p(x) = 2x2 - 8 et q(x) = 3x2 + 2x - 5. 16. Calculer les valeurs numériques demandées. a) p(-1) et p(2) si p(x) = 2x2 + 3x - 5 b) p(-1), p(1) et p(2) si p(x) = 3x3 - 4x2 - 3x + 1 c) p(0), p(1) et p(4) si p(x) = -2x2 - 3x + 1 17. Montrer que les valeurs données sont des zéros du polynôme p(x).

11. Effectuer les opérations indiquées. (3x2y

15. Déterminer le polynôme déni par le produit de p(x) et q(x) si

- 4xz +

- 2xz +

3y3

4y3

- 4)

+ 2)

c) (2x2y + 3xy + 4y2) + (5x2y - 6xy - 7y2) d) (5x2y + 3xy + 4y2) - (3x2y + 2xy - 6y2)

a) 2, -5/2 et -3 ; p(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 30 b) -1, 1 et 5/2 ; p(x) = 2x3 - 5x2 - 2x + 5 18. Montrer que b est un zéro de x2 - b2 et que x - b est un facteur de ce binôme.

18

Chapitre 1

19. Une expression de la forme a2 - b2 est appelée différence de carrés. Montrer qu’une différence de carrés est toujours décomposable en un produit de deux facteurs. 20. Décomposer les polynômes suivants en un produit de facteurs. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r)

48x2y

24x a3 - ab2 4a3 - a x3 - 5x2y 12 - 48x2y2 4x3 - 8x2y + 16xy 25x3y - 5x2y2 + 10x4y3 16a3b2 - 4a2b3 + 12ab3 x3y - x2y + 4xy - 4y 16a3b2 - 4a2b3 + 12a - 3b 6y - 4xy - 15x + 10x2 18a2 - 30b + 6a2b - 10b2 x3 - x2 - x + 1 2x3 - 4x2 + 4x - 8 3x3 + 12x2 - 5x - 20 10xy 2 - 6x3 + 5y3 - 3x2y 10ax 2 + 16ax + 15x + 24 2x2y3 + 8y3 - 5x2 - 20

x2 x2 x2 x2 x2 x2

+ -

x - 56 13x + 42 4x - 96 8x + 16 3x - 28 4x - 77

g) h) i) j) k) l)

2x2 + 9x - 35 3x2 + 23x - 36 6x2 - x - 77 5x2 + 37x - 24 6x2 + 19x - 20 12x2 + 26x + 12

g) h) i) j) k) l)

25. Montrer qu’une expression de la forme a3 - b3 est toujours divisible par le binôme a - b.

27. En utilisant les résultats des numéros 19 et 23 à 26, décomposer les polynômes suivants en un produit de facteurs. a) b) c) d) e) f)

x2 - 16 4x2 - 49 8x3 + 27y3 27x3 - 8y3 a2 - 64 9a2 - 16b2

g) h) i) j) k) l)

8x3y6 + 216x3y3 1 - x3 a 4 - b4 16a4 - 81y4 a2 b2 + 1 a4b4 - 1

28. Effectuer les divisions suivantes et indiquer si le diviseur est un facteur du polynôme divisé.

x2 x2 x2 x2 x2 x2

+ + + +

11x + 30 2x - 35 21x + 90 14x + 49 14x + 48 6x - 72

22. Décomposer en facteurs les trinômes suivants de la forme ax 2 + bx + c. a) b) c) d) e) f)

24. Montrer que -b est un zéro de x3 + b3 et que x + b est un facteur de ce binôme.

26. Montrer qu’une expression de la forme a3 + b3 est toujours divisible par le binôme a + b.

21. Décomposer en facteurs les trinômes suivants, de la forme x2 + bx + c. a) b) c) d) e) f)

23. Montrer que b est un zéro de x3 - b3 et que x - b est un facteur de ce binôme.

2x2 - x - 21 4x2 - 24x + 35 6x2 - 31x - 77 10x2 + 46x - 84 6x2 - 15x - 54 6x2 + 37x + 56

a) b) c) d) e) f) g) h)

(2x3 - 3x2 + 10x - 18) ÷ (2x - 3) (4x4 - 6x3 + 2x2 - 4x + 7) ÷ (2x2 + 3x - 2) (x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 21) ÷ (x2 + 3) (x4 + 4x2 - 12) ÷ (x2 - 3) (2x4 + 4x3 - 10x2 - 16x + 8) ÷ (2x - 4) (x3 + 2x2 - 11x + 20) ÷ (x + 5) (6x3 - 19x2 + 22x - 8) ÷ (3x - 2) (x3 + 27) ÷ (x + 3)

29. Déterminer les zéros entiers des polynômes en x suivants et utiliser la division pour factoriser ces polynômes. a) p(x) = 2x3 + 3x2 - 5x - 6 b) p(x) = 2x3 + 3x2 - 11x - 6 c) p(x) = 3x4 - 2x3 - 13x2 + 8x + 4

Notions d’algèbre

1.3 Équations et inéquations Une équation est une expression algébrique comportant le signe d’égalité et une inéquation est une expression algébrique comportant un signe d’inégalité. On doit souvent, dans une équation ou une inéquation, isoler une variable. C’est le cas lorsqu’on veut résoudre une équation ou une inéquation ne comportant qu’une seule variable. Dans une équation à deux variables, le fait d’isoler l’une des variables met en évidence le lien entre elles. Ce lien peut être une relation ou une fonction.

Équations du premier degré Équation Une équation est une expression algébrique comportant une ou des variables et le symbole d’égalité. Ainsi l’expression 2x + 3 = 7 est une équation à une variable. Solution et ensemble solution On appelle solution d’une équation à une variable toute valeur de la variable satisfaisant l’équation. On appelle ensemble solution d’une équation l’ensemble formé de toutes les solutions de l’équation. On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble solution. Résoudre une équation signie trouver les solutions de cette équation, ou encore trouver l’ensemble solution de cette équation. Pour résoudre une équation du premier degré à une variable, on construit une équation équivalente où la variable est isolée. On peut construire une équation équivalente à une équation donnée en effectuant les transformations suivantes : 1. 2. 3. 4.

Additionner une même valeur aux deux membres de l’équation. Soustraire une même valeur aux deux membres de l’équation. Multiplier les deux membres de l’équation par une même valeur non nulle. Diviser les deux membres de l’équation par une même valeur non nulle. EXEMPLE 1.3.1

Trouver l’ensemble solution de l’équation

Solution Le plus petit commun multiple des dénominateurs est 12. On prend donc ce nombre comme dénominateur commun. En mettant toutes les fractions au même dénominateur, on obtient

19

20

Chapitre 1

En multipliant les deux membres de l’égalité par 12, on a 6(x + 3) - 4(x - 2) = 3x - 5 + 3. En transformant lʼexpression, on obtient 6x + 18 - 4x + 8 = 3x - 2 et, par simplication, 2x + 26 = 3x - 2. En soustrayant 3x des deux membres de lʼéquation, on a -x + 26 = -2, puis, en soustrayant 26 de part et d’autre de l’égalité, on obtient -x = -28. On obtient nalement la solution en multipliant les deux membres de lʼéquation par -1 : x = 28.

Droite réelle Dans le cas d’une inéquation, il est commode de représenter l’ensemble solution sur la droite réelle. Droite réelle La droite réelle est une droite comportant une origine, représentée par 0 et dont chaque point est associé au nombre qui représente la distance de ce point à l’origine. On note  l’ensemble des nombres réels. Ordre dans les réels On dit qu’un nombre réel a est plus petit qu’un nombre réel b s’il existe un nombre c > 0 tel que a + c = b. Symboliquement, « a est plus petit que b » s’écrit a < b. La droite réelle permet d’illustrer une propriété fondamentale de l’inégalité. Dans la gure ci-contre, les nombres de l’inégalité -1 < 2 sont représentés sur une droite réelle. En multipliant les deux nombres de cette inégalité par -2, on obtient les nombres 2 et -4. Si on compare les positions de ces nombres sur la droite réelle, on constate que l’ordre a été inversé. On a en effet 2 > -4 ou encore -4 < 2. On peut généraliser cette observation par l’énoncé suivant. Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité est inversé. Pour tout a et b ∈  et c < 0, si a < b alors ac > bc. Démonstration a < b ⇒ il existe d > 0 tel que a + d = b. ⇒ (a + d)c = bc En multipliant chaque membre par c < 0. ⇒ ac + dc = bc ⇒ ac = bc - dc ⇒ ac > bc, puisque -dc > 0.

Notions d’algèbre

Intervalles sur la droite réelle Soit l’ensemble déni par {x ∈  | x ≤ 3}. L’ensemble solution de l’inéquation x ≤ 3 est formé de tous les nombres réels plus petits ou égaux à 3. On peut aussi représenter cet ensemble par ]-∞; 3], qui se lit : l’intervalle de moins l’inni à 3 inclusivement. Cet intervalle est représenté ci-contre sur la droite réelle.

Le point à l’extrémité du segment de la demi-droite signie que le nombre correspondant fait partie de l’ensemble. Cela se produit lorsqu’on a une inéquation comportant le signe ≤ ou ≥. On dit alors que l’intervalle est fermé à 3, ou que 3 est inclus dans l’intervalle. Dans la notation de l’intervalle, cela se traduit par un crochet tourné vers l’intérieur de l’intervalle. Lorsque le point à l’extrémité de la demi-droite ne fait pas partie de l’ensemble solution, on emploie un petit cercle au lieu d’un point. Cela se produit lorsqu’on a une inéquation comportant le signe < ou >. On dit alors que l’intervalle est ouvert. Dans la notation de l’intervalle, cela se traduit par un crochet tourné vers l’extérieur de l’intervalle. Lorsque l’intervalle s’étend à l’inni ou à moins l’inni, le crochet est toujours vers l’extérieur. Ainsi, on note ]2; ∞[ l’intervalle ouvert de 2 à l’inni qui, en écriture ensembliste, est {x ∈  | x > 2}. L’intervalle est ouvert à 2, ce qui signie que la variable ne peut pas prendre la valeur 2 ; elle peut cependant être égale à toute valeur légèrement supérieure à 2. Inéquation On appelle inéquation une expression algébrique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité (, ≥, ≤). On appelle solution d’une inéquation toute valeur de la variable pour laquelle l’inéquation est vériée. PROCÉDURE Pour résoudre une inéquation

On utilise les propriétés des inégalités pour construire une inéquation équivalente où la variable est isolée. Les transformations employées sont : 1. Additionner une même valeur aux deux membres de l’inéquation. 2. Soustraire une même valeur aux deux membres de l’inéquation. 3. Multiplier les deux membres de l’inéquation par une même valeur non nulle. Si la valeur est négative, le sens de l’inégalité est inversé. 4. Diviser les deux membres de l’inéquation par une même valeur non nulle. Si la valeur est négative, le sens de l’inégalité est inversé. EXEMPLE 1.3.2

Résoudre les inéquations suivantes. Donner l’ensemble solution en notation ensembliste et en notation par intervalle, et le représenter graphiquement. a) 3x - 2 ≤ 4

b) 5 - 2x < 8

21

22

Chapitre 1

Solution a) En additionnant 2 à chaque membre de l’inéquation, on obtient 3x ≤ 6. En divisant par 3 chaque membre de l’inéquation, on obtient x ≤ 2. L’ensemble solution est {x ∈  | x ≤ 2} en notation ensembliste et ]-∞; 2] en notation par intervalle. Il est représenté graphiquement ci-contre. b) En soustrayant 5 de chaque membre de l’inéquation, on obtient -2x < 3. En divisant par -2 chaque membre de l’inéquation, on a x > -3/2. L’ensemble solution est {x ∈  | x > -3/2} en notation ensembliste et ]-3/2; ∞[ en notation par intervalle. Il est représenté graphiquement ci-contre.

Équations du second degré Équation quadratique Une équation quadratique est une équation du second degré à une inconnue. Elle peut s’écrire sous la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0. Lorsque les coefcients b et c sont différents de zéro, on dit que l’équation est complète et lorsque l’un de ces deux coefcients est nul, on dit que l’équation est incomplète. Pour résoudre une équation quadratique, on a recours à la factorisation lorsque celle-ci est possible. Pour que le produit des facteurs soit nul, il faut que l’un ou l’autre des facteurs soit nul. On pose donc chaque facteur égal à 0 et il suft ensuite de résoudre chacune des équations du premier degré ainsi obtenue. EXEMPLE 1.3.3

Résoudre les équations suivantes par factorisation. a) 4x2 - 144 = 0 REMARQUE

On peut également résoudre l’équation x2 - 36 = 0 en isolant x2 pour obtenir x2 = 36. Les valeurs de x dont le carré donne 36 sont -6 et 6, ce qu’on écrit x = ±6.

b) 4x2 - 36x = 0

c) x2 - 4x - 21 = 0

Solution a) En divisant par 4 chaque membre de l’équation, on obtient x2 - 36 = 0. En décomposant cette différence de carrés en facteurs, on a (x + 6)(x - 6) = 0.

Notions d’algèbre

Dans l’ensemble des nombres réels, le produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un ou l’autre des deux facteurs est nul (intégrité des nombres réels). Il y a donc deux possibilités : x + 6 = 0 ; donc x = -6 ou x - 6 = 0 ; donc x = 6. Ainsi, l’ensemble solution est {-6; 6}. b) En factorisant le binôme, on obtient 4x(x - 9) = 0. En vertu de l’intégrité des nombres réels, on peut écrire 4x = 0 ; donc x = 0 ou encore x - 9 = 0 ; donc x = 9. Ainsi, l’ensemble solution est {0; 9}. c) En décomposant en facteurs, on obtient (x + 3)(x - 7) = 0. En vertu de l’intégrité des nombres réels, on peut écrire x + 3 = 0 ; donc x = -3 ou encore x - 7 = 0 ; donc x = 7. Ainsi, l’ensemble solution est {-3; 7}. Complétion du carré La complétion du carré est une méthode qui vise à transformer une équation quadratique de façon à obtenir un carré parfait, c’est-à-dire un trinôme qui est le carré d’un binôme. Le carré du binôme x + b est

(x + b)(x + b) = x2 + 2bx + b2. On remarque une relation intéressante entre le coefcient de x et la constante. En effet, en divisant le coefcient de x par 2 et en élevant le résultat au carré, on obtient la constante du trinôme. Cette relation est utile pour résoudre une équation quadratique. EXEMPLE 1.3.4

Résoudre l’équation suivante par complétion du carré. 3x2 + 20x - 32 = 0 Solution Pour appliquer la procédure de complétion du carré, il faut que le coefcient de x2 soit 1. On divise donc chaque membre de l’équation par 3, ce qui donne

En additionnant et en soustrayant le carré de la moitié du coefcient de x, on obtient

23

24

Chapitre 1

Les trois premiers termes forment alors un carré parfait, qu’on peut factoriser :

En mettant les deux derniers termes au même dénominateur, on obtient

En décomposant en facteurs cette différence de carrés, on a

En vertu de l’intégrité des nombres réels, le produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un ou l’autre des deux facteurs est nul. En posant chacun des facteurs égal à 0 et en résolvant les deux équations du premier degré, on obtient les solutions x = 4/3 et x = -8. L’ensemble solution est donc {-8; 4/3}. Solution générale d’une équation quadratique On peut appliquer la procédure de complétion du carré pour obtenir la solution générale d’une équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. THÉORÈME Solution générale d’une équation quadratique

Les solutions de l’équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0 sont données par

Démonstration Pour démontrer ce résultat, il suft de résoudre l’équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 par complétion du carré. Pour rendre unitaire le coefcient de x2, on divise chaque membre de l’équation par a, puisque a ≠ 0 :

En complétant le carré, on obtient

Les trois termes du membre de gauche forment un carré parfait, que l’on peut factoriser directement. En mettant, de plus, les termes du membre de droite au même dénominateur, on obtient

Notions d’algèbre

En extrayant la racine de chaque membre de l’équation, on a

En isolant x dans cette expression, on obtient la forme générale des solutions d’une équation quadratique, soit

25

REMARQUE

Cette méthode permet de résoudre toutes les équations quadratiques, même celles dont les racines sont des nombres irrationnels ou des nombres complexes.

EXEMPLE 1.3.5

Résoudre l’équation quadratique x2 - 4x - 1 = 0. Solution On ne peut trouver deux nombres entiers dont le produit est -1 et la somme est -4. Pour résoudre l’équation, il faut donc appliquer la méthode générale de résolution. Cela donne

L’ensemble solution est donc . En exprimant ces valeurs en décimales, on peut les situer sur la droite réelle et on trouve

CARACTÉRISTIQUES Existence de solutions

Lors de l’application de la méthode générale de résolution d’une équation quadratique, on distingue trois cas selon que l’expression sous le radical, soit b2 - 4ac, est positive, nulle ou négative. Deux racines réelles distinctes Lorsque l’expression b2 - 4ac est positive, on peut en extraire la racine. Il existe alors deux racines réelles.

REMARQUE

Une racine double Lorsque l’expression b2 - 4ac est égale à 0, l’équation admet une seule racine, soit x = -b/(2a), qui intervient deux fois dans la factorisation de ax 2 + bx + c.

Lorsqu’une équation quadratique a une racine double, le trinôme est un carré parfait. On dit alors que la racine est d’ordre 2 ou que la racine est double.

Aucune racine réelle Lorsque l’expression b2 - 4ac est négative, on ne peut en extraire la racine, car la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas dénie dans l’ensemble des nombres réels. Il n’y a donc pas de racine réelle.

REMARQUE

Lorsque b2 - 4ac < 0, l’équation quadratique a des racines complexes.

26

Chapitre 1

Un peud’histoire

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS

l’époque babylonienne (v. 1700 av. notre ère), on savait déjà résoudre certaines équations quadratiques. On rencontrait de telles équations pour déterminer le côté d’un carré dont l’aire est connue ; par

À

exemple, trouver le côté du carré dont l’aire est 24. Ces équations n’étaient cependant pas formulées symboliquement et le raisonnement pour les résoudre était décrit en mots et non par des manipulations de symboles.

Diophante d’Alexandrie

Al-Khwarizmi (783-850)

Diophante d’Alexandrie vécut vers le iiie ou ive siècle. Il est l’auteur d’un ouvrage, l’Arithmétique, qui à l’origine aurait compris 13 livres. Cependant, six livres seulement nous sont parvenus. Le premier contient des problèmes qui se ramènent à des équations du type ax = b ou ax2 = b, avec uniquement une solution positive, alors que les cinq autres livres portent sur des équations indéterminées. Diophante utilise des abréviations pour représenter les opérations d’addition et de soustraction, les puissances de nombres et la quantité inconnue d’une équation. Ces symboles étaient cependant très différents de ceux que nous employons maintenant.

C’est à l’aide de la procédure de complétion du carré qu’AlKhwarizmi résolvait les équations quadratiques de la forme x2 + bx = c. Pour expliquer sa méthode, Al-Khwarizmi donne un exemple qui peut se résumer ainsi :

Les problèmes traités par Diophante comprennent notamment :

Dans cet exemple, Al-Khwarizmi décrit la procédure de complétion du carré pour résoudre l’équation

Trouver deux cubes dont la différence est égale à la diffé rence de leurs côtés.

x2 = 10x = 39.

Trouver deux nombres tels que le carré de l’un ajouté à l’autre donne un carré.

Il existe une légende au sujet de Diophante. Une anthologie grecque (datant d’environ 500 de notre ère) rapporte que sa tombe portait l’épitaphe suivante : Passant, sous ce tombeau repose Diophante. Ces quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort. Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance;

Un carré et dix fois la racine donne 39 unités. La question dans ce type d’équations est : quel est le carré qui, combiné avec dix fois sa racine, donne une somme de 39 unités ? Pour résoudre, on prend la moitié des racines. Dans le problème, le nombre de racines est 10 et la moitié est 5 qui, multiplié par lui-même, donne 25. Une quantité qui ajoutée à 39 donne 64. La racine de ce nombre est 8 et en soustrayant la moitié des racines, on obtient 3, qui est une racine de ce carré et le carré est 9.

Quoique décrite à l’aide de mots, la démarche est géométrique. Elle consiste à construire d’abord un carré de côté x. Sur chaque côté de ce carré, on construit un rectangle dont le deuxième côté a comme mesure le coefcient de x divisé par 2, soit 10/2 = 5. L’aire de la gure est x2 + 10x. On complète la gure par l’ajout d’un carré de côté 5. L’aire totale est alors x2 + 10x + 25. Puisque x2 + 10x = 39, en additionnant 25 à chaque membre, on obtient l’aire totale :

Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula,

x2 + 10x + 25 = 64.

Puis s’étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un ls qui, du destin sévère, Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut. Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut. (H. Eutrope) Source : Fourrey, Émile. Récréations mathématiques, Paris, Librairie Nony et cie, 1899, p. 153. Repéré à archive.org/stream/ rcrationsari00fouruoft#page/153/mode/1up

Par conséquent, la mesure du côté du grand carré est 8 mais elle aussi égale à x + 5. En posant x + 5 = 8, on obtient x = 3. La procédure moderne de résolution donne deux solutions, soit x = 3 et x = -13, tandis que le procédé géométrique ne permet pas d’obtenir de réponses négatives. Il est à noter qu’Al-Khwarizmi n’utilise aucun symbole : tout son raisonnement est exprimé en mots. La résolution d’une équation se faisait à l’aide d’une construction géométrique.

Notions d’algèbre

Équation d’une droite Pour déterminer l’équation d’une droite, on doit pouvoir calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite. EXEMPLE 1.3.6

Représenter graphiquement la droite passant par les points (-3; 1) et (4; 6) et trouver l’équation de cette droite. Solution La représentation graphique des points et de la droite est donnée ci-contre. Pour qu’un point (x; y) soit sur la même droite que (-3; 1) et (4; 6), il faut que la pente du segment reliant (x; y) et (-3; 1) soit égale à la pente du segment reliant (-3; 1) et (4; 6). Sous forme algébrique, cette condition s’écrit ; donc En regroupant les termes, on obtient 7(y - 1) = 5 (x + 3) 7y - 7 = 5x + 15 7y = 5x + 22.

Droite passant par (-3; 1) et (4; 6)

En isolant la variable y, on a

Équations à deux inconnues Équation du premier degré à deux inconnues Une équation du premier degré à deux inconnues est une équation de la forme Ax + By + C = 0. Si B ≠ 0, en isolant y dans cette équation, on obtient , où a = -A/B et b = -C/B. Le graphique d’une telle équation est une droite dont la pente est a et l’ordonnée à l’origine est b. Le fait d’isoler la variable y dans une équation à deux inconnues permet d’expliciter la relation entre les variables. EXEMPLE 1.3.7

Isoler la variable y dans les équations suivantes. a) 2x - 3y - 8 = 0 c) x2 - y - 4 = 0 b) xy - 4 = 0 d) x2 + y2 - 4 = 0

Droite dont l’ordonnée à l’origine est b

27

28

Chapitre 1

REMARQUE

On note que, en b) et en d), la relation n’est pas dénie pour toutes les valeurs de x, car la division par zéro et l’extraction de la racine carrée d’un nombre négatif ne sont pas dénies. De plus, en d), à chaque valeur de x pour laquelle la relation est dénie correspond plus d’une valeur y.

Solution a) En isolant y, on obtient

.

On reconnaît l’équation d’une droite dont la pente est 2/3 et l’ordonnée à l’origine est -8/3. b) En isolant y, on obtient c) La relation obtenue en isolant y est y = x2 - 4. d) La relation obtenue en isolant y est On a recours aux équations à deux inconnues pour décrire le lien entre deux variables dont les valeurs sont en relation.

REMARQUE

Lorsqu’on parle de relation, ou de fonction, on parle d’une correspondance entre les éléments de deux ensembles. Dans les cas étudiés dans le présent ouvrage, il s’agit de deux ensembles de nombres.

Relation On appelle relation de A dans B tout ensemble de couples (c ; d) tel que c ∈ A et d ∈ B. L’ensemble A est appelé ensemble de départ et B, ensemble d’arrivée de la relation. Le premier élément d’un couple (c ; d) de la relation est appelé préimage de d par la relation et le deuxième élément du couple est appelé image de c par la relation. Domaine et codomaine d’une relation On appelle domaine d’une relation l’ensemble des valeurs qui sont préimage dans au moins un couple de la relation. On appelle codomaine d’une relation l’ensemble des valeurs qui sont image dans au moins un couple de la relation. Représentations La représentation d’une relation sous la forme d’un tableau ou d’une liste de couples est une représentation en extension. La description en compréhension d’une relation consiste en l’énoncé d’une règle de correspondance. En associant à chaque couple d’une relation un point dans un système de référence cartésien, on obtient une courbe qui est la représentation graphique de la relation.

REMARQUE

Dans la recherche des zéros d’une fonction, il faut résoudre une équation. La démarche à suivre dépend du type d’équation.

REMARQUE

Dans les applications, on utilise généralement la première lettre de la grandeur physique pour désigner la variable et on n’intervertit pas les symboles pour écrire la règle de correspondance de la relation réciproque ou de la fonction inverse.

Fonction Une fonction est une relation pour laquelle chaque élément du domaine a une et une seule image. Zéros et ordonnée à l’origine d’une fonction Les zéros d’une fonction f sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. L’ordonnée à l’origine est l’image de 0 par la fonction f. Relation réciproque et fonction inverse Soit f une fonction. On appelle relation réciproque de f la relation formée des couples réciproques de la fonction f. Lorsque la relation réciproque d’une fonction est elle-même une fonction, on l’appelle fonction inverse et on la note f -1.

Notions d’algèbre

Puisque le couple réciproque d’un couple (c; d) est le couple (d; c), on obtient la règle de correspondance de la relation réciproque d’une fonction f en isolant la variable indépendante dans la règle de correspondance de f. Selon l’usage, en mathématique, on emploie la lettre x pour désigner la variable indépendante. C’est pourquoi, après avoir isolé celle-ci, on intervertit x et y pour écrire la règle de correspondance de la relation réciproque. On peut construire rapidement le graphique de la relation réciproque puisque, dans un système cartésien, les couples réciproques sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Couples réciproques

EXEMPLE 1.3.8

Déterminer la règle de correspondance de la relation réciproque de chacune des fonctions suivantes. Donner le domaine de la relation réciproque et esquisser son graphique, puis dire si c’est une fonction. a) y = x2 + 2

b) y = x3 + 1

Solution a) Pour déterminer la règle de correspondance de la relation réciproque, on isole la variable x dans l’équation y = x2 + 2. On obtient x2 = y - 2 et En intervertissant la désignation des variables, on a la règle de correspondance de la relation réciproque Représentation par symétrie

Le domaine de cette relation est l’ensemble des valeurs de x telles que x - 2 ≥ 0, soit l’intervalle [2; ∞[. Pour esquisser le graphique, on pourrait calculer des correspondances, mais il est plus simple de représenter d’abord la fonction f(x) = x2 + 2, puis de construire le graphique de la relation réciproque par symétrie par rapport à la droite y = x. Le graphique de la fonction f est une parabole dont l’axe de symétrie est l’axe des y et dont le sommet est (0; 2). En se servant de la symétrie, on obtient le graphique représenté ci-contre. La relation réciproque n’est pas une fonction, car certains des éléments du domaine ont deux images. C’est le cas, par exemple, de x = 3, qui est la préimage des couples (3; 1) et (3; -1).

Relation réciproque

b) Pour déterminer la règle de correspondance de la relation réciproque, on isole la variable x dans l’équation y = x3 + 1. On obtient x3 = y - 1 et En intervertissant la désignation des variables, on obtient la règle de correspondance de la relation réciproque Puisqu’une racine impaire est dénie pour tout nombre réel, le domaine de cette relation est l’ensemble des nombres réels. Pour esquisser le graphique, on trace d’abord le graphique de la fonction f (x) = x3 + 1, puis on construit celui de la relation réciproque par symétrie par rapport à la droite y = x. On obtient ainsi le graphique représenté ci-contre. La relation réciproque est une fonction.

Fonction inverse

29

30

Chapitre 1

Systèmes d’équations Un système d’équations à deux inconnues est formé d’au moins deux équations renfermant ces inconnues. Lorsque les deux équations sont du premier degré, elles sont représentées graphiquement par des droites et, si celles-ci ont des pentes différentes, elles sont concourantes. En résolvant un système de deux équations à deux inconnues, on détermine le point d’intersection de leurs graphiques. Résolution par réduction La méthode de résolution par réduction consiste à construire un système d’équations équivalent au système donné en éliminant des inconnues. EXEMPLE 1.3.9

Représenter graphiquement les droites L1 et L2 et résoudre par réduction le système d’équations linéaires suivant.

Solution On peut construire un système équivalent dans lequel le coefcient de la variable x dans la deuxième équation sera nul en ajoutant -2 fois la première équation à la deuxième.

On isole y dans la deuxième équation en divisant chaque membre par -7.

On annule le coefcient de y dans la première équation en ajoutant -2 fois la deuxième équation à la première.

Solution

La solution est donc (3; 1). Résolution par comparaison La méthode de résolution par comparaison repose sur la comparaison des valeurs numériques des deux expressions d’une même variable. On procède en isolant une même variable dans chacune des équations et en posant l’égalité entre les deux expressions obtenues. Il suft alors de résoudre l’équation résultante et de substituer la valeur obtenue dans l’une des équations initiales. EXEMPLE 1.3.10

Résoudre par comparaison des ordonnées le système d’équations linéaires suivant. 2x - 3y = 3 3x + 2y = 24

Notions d’algèbre

Solution En isolant y dans chacune des équations, on obtient

Les deux droites se rencontrent lorsque les deux expressions algébriques ont la même valeur numérique, c’est-à-dire si

En effectuant le produit des extrêmes et des moyens, on a 6 - 4x = -72 + 9x. En isolant x dans cette équation, on obtient -13x = -78 ; donc x = 6. On peut alors substituer la valeur de x dans l’une des équations initiales et isoler la valeur de y correspondante. On trouve ainsi y = 3. La solution est donc le couple (6; 3).

Solution du système d’équations

THÉORÈME Droites perpendiculaires

Le produit des pentes respectives de deux droites perpendiculaires est égal à -1. EXEMPLE 1.3.11

Trouver l’équation générale de la droite passant par le point (-3; 4) et perpendiculaire à la droite d’équation 2x - 3y + 4 = 0. Solution Pour écrire l’équation d’une droite, on doit connaître la pente et un point de la droite ou encore deux points de la droite. On donne le point (-3; 4) et on doit déterminer la pente. La droite recherchée étant perpendiculaire à la droite d’équation 2x - 3y + 4 = 0, on obtient sa pente en appliquant le théorème sur les pentes des droites perpendiculaires : le produit des pentes est -1. En isolant y dans l’équation de la droite connue, on obtient

La pente de cette droite est le coefcient de x, soit a1 = 2/3. La pente a2 de la droite recherchée doit vérier l’équation : a1a2 = -1. En substituant la valeur de a1 dans cette équation et en isolant a2, on obtient a2 = -3/2. Par conséquent, En isolant y, on obtient Droite passant par le point (-3; 4) et perpendiculaire à 2x - 3y + 4 = 0

31

32

Chapitre 1

1.4 Exercices 1. Résoudre les équations du premier degré suivantes. a) 7x + 13 = 10x - 2 b) 6x + 9 = 2x - 7 c) 2x + 7 = 3x - 6

4. Un système de refroidissement de 40 litres est rempli d’un liquide constitué de 25 % d’antigel. Quelle quantité de ce liquide doit-on retirer et remplacer par de l’antigel pur pour obtenir une concentration d’antigel de 45 % ?

d) 8x + 18 = 5x - 7 e) f) g) abx - cd = ab - cdx h) ax - a2 = nx - an 2. Sans résoudre l’équation, déterminer si 4 est une solution de 3x - 2 = 10 et justier la réponse. 3. Décrire algébriquement la situation illustrée au moyen d’une équation et résoudre.

5. Durant une compétition, un groupe de cyclistes se déplace à une vitesse de 20 km/h. La camionnette transportant l’équipement lourd et la nourriture part à leur poursuite 45 minutes plus tard. Si sa vitesse est de 50 km/h, combien de temps lui faudra-t-il pour rejoindre le groupe et quelle sera alors la distance parcourue ? 6. Une piste de course ovale a des extrémités semicirculaires et des côtés droits. La longueur de l’ovale est le triple de sa largeur et le tour de piste mesure 600 m. Trouver la largeur et la longueur de l’ovale. (La longueur de la circonférence C est C = 2πr, où r est le rayon du cercle.)

a)

b)

7. Deux autobus quittent au même moment les terminus opposés d’une ligne de 372 km. Si leurs vitesses respectives sont de 70 et de 85 km/h, combien de temps mettent-ils à se rencontrer ?

c)

d)

e)

8. Un réservoir est muni de deux conduites d’entrée. La première permet de remplir le réservoir en 12 heures et la deuxième, en 8 heures. En combien de temps peut-on remplir le réservoir en utilisant les deux conduites ? 9. Un réservoir est muni de deux conduites d’entrée. La première de ces conduites peut remplir le réservoir en a heures et la deuxième, en b heures. En combien de temps peut-on remplir le réservoir si les deux conduites sont en fonction ? 10. Un cycliste parcourt 112 km en 6 heures. Durant une partie du trajet, il roule à 20 km/h, et durant l’autre, il roule à 16 km/h. Trouver le temps pendant lequel le cycliste roule à chacune de ces vitesses.

Notions d’algèbre

11. Sans résoudre l’inéquation, dire si le nombre c en est une solution et justier la réponse. a) 3x - 2 ≤ 7 et c = 4 b)

et c = 1

c)

et c = -1

33

c) d) 16. Dénir en notation ensembliste et en notation d’intervalle chacun des intervalles représentés graphiquement.

12. Résoudre les inéquations suivantes et exprimer l’ensemble solution en notation ensembliste et en notation par intervalle. a) x - 7 > -3x + 1 b) 3 - 2x > 3x - 5

a) b)

c)

c)

d)

d)

e)

e)

f) f) g) g)

h) 13. Résoudre les systèmes d’inéquations suivants et exprimer l’ensemble solution en notation ensembliste et en notation par intervalle. a)

17. Décrire la situation illustrée à l’aide d’une inéquation et trouver l’intervalle des valeurs que peut prendre la variable. a)

b) 14. Effectuer les opérations indiquées sur les intervalles et représenter le résultat graphiquement. a) ]-3; 5] ∩ [2; 6[

d) ]-∞; 4] ∩ [2; ∞[

b) ]-3; 1] ∩ [4; 6[

e) ]-∞; 4] ∪ [2; ∞[

c) ]-3; 5] ∪ [2; 6[

f) ]-∞; 6[ ∩ ]-2; ∞[

b)

c)

15. Dénir en notation ensembliste et représenter graphiquement chacun des intervalles suivants. a) b)

d)

34

Chapitre 1

18. Décrire la situation illustrée à l’aide d’un système d’inéquations, trouver l’intervalle des valeurs que peut prendre la variable x et représenter graphiquement cet intervalle.

26. Le propriétaire de l’usine qui vous emploie souhaite doubler la supercie de son immeuble en construisant des annexes de même largeur, l’une sur le côté et l’autre à l’arrière (formant un L). Il vous demande de trouver la largeur des annexes à construire pour obtenir la supercie désirée. L’immeuble mesure actuellement 40 m sur 60 m. 27. Trouver la longueur des côtés d’un triangle rectangle dont : a) l’hypoténuse mesure 35 cm, la somme des deux autres côtés étant de 49 cm. b) l’hypoténuse mesure 78 cm, la somme des deux autres côtés étant de 102 cm.

19. Résoudre les équations quadratiques incomplètes suivantes. a) 4x2 - 64 = 0 d) 5x2 + 20x = 0 2 b) 27x - 675 = 0 e) 7x2 - 19x = 0 c) 4x2 + 20 = 0 f) 3x2 - 8 = 0 20. Résoudre les équations quadratiques complètes suivantes par factorisation. a) x2 + 4x - 45 = 0 c) x2 - 20x + 84 = 0 2 b) x + 20x + 51 = 0 d) 2x2 - 5x - 42 = 0 21. Résoudre les équations quadratiques complètes suivantes par complétion du carré. a) x2 + 2x - 35 = 0 c) x2 + 4x - 77 = 0 b) x2 + 8x - 105 = 0 d) x2 - 6x - 72 = 0

28. Trouver le rayon r du petit cercle de la gure suivante.

29. La somme des aires des deux cercles intérieurs de la gure suivante est égale aux trois quarts de l’aire du cercle extérieur. Calculer le diamètre du plus petit cercle.

22. Résoudre les équations quadratiques complètes suivantes par la méthode générale. a) x2 - 5x - 84 = 0 c) x2 + 3x + 4 = 0 2 b) 2x + 11x - 21 = 0 d) 6x2 - 7x - 20 = 0 23. Une peinture et son cadre forment un rectangle de 90 cm sur 120 cm. Sachant que l’aire du cadre est égale à l’aire de la toile peinte, trouver la largeur du cadre. 24. La somme des périmètres respectifs de deux carrés est de 56 cm et la somme de leurs aires est de 106 cm 2. Trouver les dimensions des carrés.

30. Trouver la pente et l’équation de la droite passant par les points donnés. a) (-2; -1) et (2; 4) b) (-5; 2) et (2; 1) 31. Isoler A dans les équations suivantes. a) b)

25. Un rectangle a un périmètre de 128 cm et une aire de 768 cm2. Trouver les dimensions de ce rectangle.

c)

Notions d’algèbre

32. Isoler R dans les équations suivantes. a) b) c) 33. Isoler R dans les équations suivantes. a)

c) 34. Dire si les graphiques suivants représentent des fonctions ou de simples relations. a)

d)

35. Déterminer si les équations suivantes dénissent des fonctions. 3x + 4y - 5 = 0 x2 + 4y + 4 = 0 2x2 + 3y2 - 6 = 0 xy + 4y - 2x = 0

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

39. Soit f la fonction dénie par

a) Trouver la préimage de 4 par la fonction f. b) Trouver la préimage de 2 par la fonction f. c) Les valeurs 4 et 2 font-elles partie du codomaine de la fonction ? d) Trouver la préimage d’un élément y quelconque par la fonction f. e) Dire à quelle condition un élément y fait partie de l’image de la fonction. 40. Déterminer le domaine et le codomaine des fonctions suivantes. a) b)

36. Déterminer le domaine et le codomaine des fonctions représentées par les graphiques suivants.

b)

a)

c)

b)

a)

37. Trouver les zéros et l’ordonnée à l’origine des fonctions dénies par les règles de correspondance suivantes.

38. Trouver la préimage de c par la fonction dont la règle de correspondance est donnée. a) c = 5, f (x) = x2 + x - 7 b) c = 7, f (x) = 3x - 2

b)

a) b) c) d)

35

c)

d)

41. Trouver le domaine et le codomaine des fonctions dénies par les règles de correspondance suivantes. a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

36

Chapitre 1

42. Résoudre par réduction les systèmes d’équations linéaires suivants. a) 2x - 3y - 13 = 0 c) 2x + 3y = 11 3x + 5y + 9 = 0 4x + 5y = 17 b) 3x - y = 18 d) 2x - 7y = -9 4x + 2y = 14 5x + 8y = 54

44. Trouver les points d’intersection du cercle d’équation x2 + y2 = 25 et de la droite d’équation x + y + 1 = 0.

43. Résoudre par comparaison les systèmes d’équations linéaires suivants. a) 3x - 2y = -5 c) 7x + y = 40 2x - 5y = 4 x + 8y = -10

46. Trouver les points d’intersection du cercle d’équation x2 + y2 - 8x - 12y + 27 = 0 et de la droite d’équation x - y + 1 = 0.

b) 3x - 2y = 7 4x + 2y = 28

d) 3x - 7y = 7 x - 2y = 3

45. Trouver les points d’intersection du cercle d’équation x2 + y2 = 13 et de la droite d’équation x + y - 1 = 0.

47. Déterminer les points d’intersection de la droite d’équation x + y + 4 = 0 et du cercle d’équation x2 + y2 + 6x - 14y - 6 = 0.

ARITHMÉTIQUE des GRANDEURS PHYSIQUES Manipuler les grandeurs physiques selon les exigences technologiques Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la conversion correcte de grandeurs dans divers systèmes de mesure ; • le choix pertinent du nombre de chiffres signicatifs ; • la réalisation d’opérations arithmétiques, le résultat comportant un nombre approprié de chiffres signi­ catifs, compte tenu des règles de propagation de l’incertitude ; • le calcul correct des incertitudes absolue et relative en tenant compte des règles de propagation des incertitudes ; • l’utilisation correcte des rapports et des proportions dans la résolution de problèmes.

2

2.1 Grandeurs et incertitude          38 Système international (SI) Mesure et incertitude Opérations et propagation de l’incertitude Opérations et notation scientique Un peud’histoire

Galilée

2.2 Exercices           52 2.3 Grandeurs et rapports             55 Rapport, proportion et taux Grandeurs et proportions Conversion de mesures Un peud’histoire Systèmes de mesure 2.4 Exercices           63

38

Chapitre 2

2.1 Grandeurs et incertitude La mesure est un des aspects fondamentaux des sciences et des techniques. Une mesure est toujours composée de deux éléments : un nombre dont la signication dépend d’une échelle de mesure, et des unités. Le système le plus utilisé dans les milieux scientiques est le système international (SI), qui a été élaboré en 1960.

Système international (SI) Les unités de base du système international sont données dans le tableau suivant. REMARQUE

Le kilogramme est la seule unité de base qui s’écrit avec un préxe, le gramme s’étant révélé une unité trop petite à l’usage. Le kelvin est l’unité de base de température mais, dans la vie courante, on utilise le degré Celsius. La correspondance est : K = °C + 273,15.

Unités de base Grandeur

Unité

Symbole

Longueur

mètre

m

Masse

kilogramme

kg

Temps

seconde

s

Courant électrique

ampère

A

Température thermodynamique

kelvin

K

Quantité de matière

mole

mol

Intensité lumineuse

candela

cd

En combinant les unités de base, on obtient les unités dérivées. Les grandeurs comme l’aire, le volume, la vitesse et l’accélération se mesurent à l’aide d’unités dérivées des unités fondamentales. Autres unités du SI Grandeur

Unité

Symbole

Supercie

mètre carré

m2

Volume

mètre cube

m3

Vitesse

mètre par seconde

m/s

mètre par seconde carrée

m/s2

kilogramme par mètre cube

kg/m3

kilogramme-mètre par seconde

kg⋅m/s

Moment cinétique

kilogramme-mètre carré par seconde

kg⋅m2/s

Volume massique

mètre cube par kilogramme

m3/kg

candela par mètre carré

cd/m2

Accélération Masse volumique Quantité de mouvement

Luminance

Pour simplier l’écriture, on donne un nom particulier à certaines unités dérivées. C’est le cas de l’unité de force, que l’on appelle newton (N) en l’honneur du savant Isaac Newton. En unités de base, le newton vaut un kilogramme-mètre par seconde carrée (1 N = 1 kg·m/s2). De même,

Arithmétique des grandeurs physiques

l’unité dérivée de puissance s’appelle watt, en l’honneur de l’ingénieur James Watt : 1 W = 1 J/s = 1 N·m/s = 1 kg·m2/s3. Unités dérivées Grandeur

Unité

Symbole

Dérivation

Fréquence

hertz

Hz

1/s

Force

newton

N

kg·m/s2

Pression

pascal

Pa

N/m2

Énergie, travail

joule

J

N·m

Puissance

watt

W

J/s

coulomb

C

A·s

Potentiel électrique

volt

V

W/A = J/C

Résistance électrique

ohm

Ω

V/A

Charge électrique

CODE D’ÉCRITURE DU SI

1. Les symboles des unités s’écrivent toujours en caractères droits et les symboles des grandeurs, en italique. Ainsi, W est le symbole des watts et W représente le travail. 2. En général, les symboles sont des minuscules : s pour seconde, m pour mètre. Cependant, les symboles dérivés d’un nom propre sont représentés par des majuscules : A pour ampère, V pour volt, etc. Les symboles des préxes sont également des minuscules : c pour centi, k pour kilo. Cependant, les préxes méga (M), giga (G), téra (T), péta (P) et exa (E) font exception ainsi que le symbole du litre (L). 3. Le nom des unités s’écrit entièrement en minuscules, même pour les unités dérivées d’un nom propre, à moins qu’il ne soit en début de phrase. Cependant, Celsius prend toujours une majuscule. 4. Il ne faut pas mettre de point après un symbole d’unité, sauf en n de phrase. 5. Les symboles d’unités ne prennent jamais la marque du pluriel, contrairement au nom des unités. 6. On utilise les décimales plutôt que les fractions ordinaires et on laisse toujours une espace entre la valeur numérique et la première lettre du symbole des unités. 7. Les préxes sont également en caractères droits et il n’y a pas d’espace entre le symbole du préxe et celui des unités : kg pour kilogramme. 8. On choisit le multiple d’une unité de manière que les valeurs numériques soient comprises entre 1 et 1 000. Par exemple, 23,4 kV pour 23 400 V et 27,842 km pour 27 842 m. 9. Le produit de deux unités est représenté par un point centré entre les symboles des unités, par exemple : N⋅m pour newton-mètre et kW⋅h pour kilowatt-heure. Cependant, on n’emploie généralement pas le point pour représenter le produit de deux valeurs numériques ; on écrit normalement 27 × 35, et non 27⋅35.

39

40

Chapitre 2

10. On utilise une barre oblique ou horizontale, ou encore une puissance négative, pour représenter le quotient de deux unités : m/s2 ou m.s−2. Cependant, une même expression ne doit jamais contenir plus d’une barre oblique. 11. Si on emploie les noms des unités, on utilise le mot « par » pour indiquer la division et un trait d’union pour indiquer le produit de deux unités. Ainsi, on écrit 5 volts par seconde, et non 5 volts/ seconde, 1 newton-mètre ou 15 newtons-mètres. Pour alléger l’écriture et la lecture des nombres très grands ou très petits, on utilise les puissances de 10. Ainsi, on écrit 6,86 × 103 cm3 plutôt que 6 860 cm3. Les nombres s’écrivent avec un seul chiffre avant la virgule, la position étant précisée par le produit d’une puissance de 10. C’est ce que l’on appelle la notation scientique. Dans cette notation, un nombre comporte deux parties : la puissance de 10, qui sert à situer la virgule décimale, et la mantisse du nombre. On a donné des noms aux puissances de 10 pour obtenir la notation de l’ingénieur, dans laquelle les unités sont dotées d’un préxe qui indique la puissance de 10 du nombre. Ces préxes sont donnés dans le tableau suivant. Préxes de la notation de l’ingénieur

REMARQUE

Les préxes des multiples sont tirés de la langue grecque et ceux des sous-multiples sont tirés de la langue latine. En techniques, on n’utilise pas tous les préxes. On préfère déplacer la virgule décimale par des multiples de trois et l’on obtient alors une variante de la notation scientique que l’on appelle notation de l’ingénieur. Si l’on procède de cette façon, certaines données comportent plus d’un chiffre à gauche de la virgule décimale. Cependant, il est recommandé de choisir les préxes de telle sorte que les valeurs soient comprises entre 1 et 1 000. Ainsi : 0,000 023 4 F = 23,4 × 10−6 F = 23,4 µF 46 300 W = 46,3 × 103 W = 46,3 kW 0,003 2 A = 3,2 × 10 −3 A = 3,2 mA.

Puissances positives

Puissances négatives

Préxe

Puissance

Symbole

Préxe

Puissance

Symbole

exa

1018

E

déci

10 −1

d

péta

1015

centi

10 −2

c

téra

1012

T

milli

10 −3

m

giga

109

G

micro

10 −6

µ

méga

106

M

nano

10 −9

n

kilo

103

k

pico

10 −12

p

hecto

102

h

femto

10 −15

f

déca

101

da

atto

10 −18

a

P

Mesure et incertitude Lorsqu’on prend une mesure, on obtient un nombre dont les premiers chiffres sont certains et dont le dernier chiffre est estimé en tenant compte de la plus petite subdivision de l’instrument de mesure. Une mesure comporte donc toujours une incertitude. Quand on effectue des opérations sur des mesures, les incertitudes se propagent. Il faut alors arrondir le résultat des opérations pour que, tout comme dans les mesures, les premiers chiffres soient certains et que le dernier chiffre soit estimé. On doit donc : • déterminer le nombre de chiffres que devra comporter le résultat d’une opération ; • arrondir le résultat selon les règles de l’art.

Arithmétique des grandeurs physiques

41

Pour déterminer le nombre associé à une unité de mesure, on utilise un instrument dont la lecture est nécessairement une source d’erreur puisque la mesure obtenue est une estimation. Chiffres signicatifs Lors d’une expérience de laboratoire, on doit normalement prendre des mesures et, pour rédiger le rapport de l’expérience, il faut effectuer des calculs sur ces mesures. Il est très important de ne communiquer dans ce rapport que l’information que l’on peut garantir. Il est alors nécessaire de déterminer le nombre de chiffres signicatifs qu’il faut conserver dans les résultats. PROCÉDURE Pour déterminer les chiffres signicatifs

1. Nombres entiers différents de zéro Tout nombre entier différent de zéro est considéré comme un chiffre signicatif. 2. Zéros • Zéros en début de nombre Ce sont les zéros qui précèdent tous les chiffres différents de zéro. Ces zéros ne sont pas des chiffres signicatifs. • Zéros captifs Ce sont les zéros placés entre deux chiffres différents de zéro. Ces zéros sont toujours des chiffres signicatifs. • Zéros en n de nombre Ce sont les zéros placés à la droite du nombre. Ils sont signicatifs si le nombre comporte une virgule décimale. 3. Nombres exacts On utilise parfois dans des calculs des nombres qui ne sont pas obtenus à l’aide d’un instrument de mesure. • Nombre exact résultant d’un dénombrement C’est un nombre obtenu en comptant. Ainsi, si on répète une même mesure cinq fois et que l’on veut calculer la valeur moyenne de ces mesures, le cinq est un nombre exact. • Nombre exact dans une relation Dans la relation C = 2πr, qui donne la circonférence d’un cercle, 2 est un nombre exact. • Nombre exact par équivalence de mesure On dénit l’équivalence des kilogrammes et des livres par l’égalité : 1 kg = 2,204 6 lb. Lorsqu’on utilise une telle équivalence dans un calcul, on considère que 1 et 2,204 6 sont des nombres exacts. • Nombre exact d’une spécication d’un produit industriel Les spécications d’un produit industriel sont considérées comme des valeurs exactes, sauf si on indique une incertitude.

REMARQUE

Lorsqu’un nombre se termine par des zéros et qu’il ne comporte pas de virgule décimale, il peut y avoir ambiguïté. Ainsi, la valeur 500 mL a-t-elle un, deux ou trois chiffres signicatifs ? Pour éliminer l’ambiguïté, on écrit 5 × 102 pour indiquer qu’il y a un seul chiffre signicatif. S’il y a deux chiffres signicatifs, on écrit 5,0 × 102 et s’il y en a trois, on écrit 5,00 × 102. Dans le présent ouvrage, lorsqu’un nombre ne comporte pas de virgule décimale, on considère que c’est un nombre exact.

REMARQUE

Un chiffre non nul est toujours signicatif. Le chiffre 0 est signicatif sauf s’il précède tous les chiffres non nuls ou s’il est à la n d’un entier sans virgule décimale. Ainsi, dans les nombres 3 507 et 27,80, tous les chiffres sont signicatifs. Cependant, dans les nombres 0,003 5 et 35 000, seuls le 3 et le 5 sont signicatifs.

42

Chapitre 2

EXEMPLE 2.1.1

Combien de chiffres signicatifs comportent les nombres suivants ? a) 0,067 b) 13,70 c) 2 750

d) 30,08 e) 5,00 × 103

Solution a) 0,067 a deux chiffres signicatifs, puisque les zéros à gauche d’un nombre ne sont pas signicatifs. b) 13,70 a quatre chiffres signicatifs, puisque les zéros à droite sont signicatifs lorsqu’il y a une virgule décimale. c) 2 750 a trois chiffres signicatifs, puisque les zéros à droite ne sont normalement pas signicatifs lorsque le nombre n’a pas de virgule décimale. d) 30,08 a quatre chiffres signicatifs, puisque les zéros captifs sont signicatifs. e) 5,00 × 103 a trois chiffres signicatifs, puisque les zéros à droite sont signicatifs lorsqu’il y a une virgule décimale.

REMARQUE

Dans les exemples et le solutionnaire du manuel, il arrive que certains résultats intermédiaires soient suivis de points de suspension. Cette écriture signie que nous ne donnons pas tous les chiffres afchés à la calculatrice. Ainsi, 19,562... est un résultat dont nous avons abrégé l’écriture sans l’arrondir. Tous les chiffres sont conservés pour les calculs suivants. Nous n’appliquons les règles de la procédure ci-contre que dans l’écriture de la réponse nale.

Résultats d’une opération Lorsqu’on effectue des calculs sur des mesures, le résultat ne doit pas laisser croire à une précision plus grande que celle que l’on peut garantir. Cela signie qu’il doit comporter un seul chiffre incertain, soit le dernier. On doit donc, après un calcul, déterminer le nombre de chiffres qu’il faut retenir dans la réponse.

Notons qu’il est essentiel d’effectuer toutes les opérations intermédiaires en conservant tous les chiffres obtenus, et de n’arrondir que le résultat nal. Voici la marche à suivre pour déterminer le nombre de chiffres à retenir. PROCÉDURE Pour déterminer le nombre de chiffres signicatifs

1. Effectuer d’abord toutes les opérations en conservant tous les chiffres puis appliquer les règles suivantes. REMARQUE

L’expression « ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en a le moins » dans la règle 2 indique qu’on en conserve parfois moins. Cela permet de garantir que le résultat est compris dans l’intervalle obtenu en effectuant le calcul de l’incertitude. Il en est de même pour la règle 3.

2. Règle des sommes et des différences Si la séquence d’opérations ne comporte que des sommes ou des différences, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en a le moins. 3. Règle des produits et des quotients Si la séquence d’opérations ne comporte que des produits ou des quotients, le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres signicatifs que le nombre qui en a le moins.

Arithmétique des grandeurs physiques

4. Séquence de sommes et de produits Si la séquence d’opérations comporte des sommes (ou différences) et des produits (ou quotients), la règle 3 a préséance et le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres signicatifs que le nombre qui en a le moins.

43

REMARQUE

Si le produit ou le quotient comporte un nombre exact, celui-ci n’est pas pris en compte lorsqu’on doit déterminer le nombre de chiffres signicatifs du résultat de l’opération.

Pour respecter les règles de présentation des résultats d’opérations, il faut arrondir ceux-ci. Il faut alors appliquer la procédure suivante. PROCÉDURE Pour arrondir un nombre

1. Repérer le chiffre-test, c’est-à-dire le chiffre le plus à gauche de ceux qu’on laisse tomber. 2. Déterminer, parmi les suivantes, la règle qui s’applique, selon la valeur du chiffre-test : • Si le chiffre-test est inférieur à 5, les chiffres restants demeurent inchangés. Ainsi, le nombre 124,723 28 arrondi à 4 chiffres signicatifs donne 124,7. • Si le chiffre-test est supérieur à 5 ou si c’est un 5 suivi d’au moins un chiffre non nul, le chiffre qui précède le chiffre-test est augmenté de 1. 3. Si le chiffre-test est un 5 suivi uniquement de 0, on distingue deux cas : • Le chiffre qui précède le chiffre-test demeure inchangé s’il est pair. • Le chiffre qui précède le chiffre-test est augmenté de 1 s’il est impair.

Ces nombres sont arrondis à 4 chiffres signicatifs. Le chiffre-test est mis en évidence.

EXEMPLE 2.1.2

Arrondir les nombres suivants à quatre chiffres signicatifs. a) 22,535 789 5

e) 273,550

b) 0,032 418 551 2

f) 0,073 245

c) 3 214,500 2

g) 133,932

d) 782,979

h) 0,021 341 999

Solution a) Dans le nombre 22,535 789 5, le chiffre-test est un 5 suivi d’au moins un chiffre non nul. Le chiffre qui le précède est augmenté de 1 et on retient 22,54. b) Dans le nombre 0,032 418 551 2, le chiffre-test est un 8. Le chiffre qui le précède est augmenté de 1 et on retient 0,032 42.

REMARQUE

Il faut repérer le chiffre-test et arrondir en une seule étape. Ainsi, en arrondissant 7,346 à deux chiffres signicatifs, on obtient 7,3. Il faut éviter d’arrondir en séquence, chiffre par chiffre. Ainsi, il ne faut pas arrondir 7,346 d’abord à 7,35, puis à 7,4.

44

Chapitre 2

c) Dans le nombre 3 214,500 2, le chiffre-test est un 5 suivi d’au moins un chiffre non nul. Le chiffre qui le précède est augmenté de 1 et on retient 3 215. d) Dans le nombre 782,979, le chiffre-test est un 7. Le chiffre qui le précède est augmenté de 1 et on retient 783,0. e) Dans le nombre 273,550, le chiffre-test est un 5 suivi uniquement de zéros. Puisque le chiffre qui le précède est impair, il est augmenté de 1 et on retient 273,6. f) Dans le nombre 0,073 245, le chiffre-test est un 5 suivi uniquement de zéros. Puisque le chiffre qui le précède est pair, il demeure inchangé et on retient 0,073 24. g) Dans le nombre 133,932, le chiffre-test est un 3. Le chiffre qui le précède demeure inchangé et on retient 133,9. h) Dans le nombre 0,021 344 999, le chiffre-test est un 4. Le chiffre qui le précède demeure inchangé et on retient 0,021 34.

EXEMPLE 2.1.3

Effectuer les opérations suivantes ; présenter le résultat en utilisant la règle qui s’applique. a) 318,521 + 65,37 − 99,4 b) (522,465 × 22,5)/64,12 c) (33,53 × 24,65) + (243,12/14,9) Solution a) On effectue les opérations et on obtient 318,521 + 65,37 − 99,4 = 284,491. Puisque la séquence d’opérations ne comporte que des additions et des soustractions, on ne peut conserver plus de décimales que le nombre qui en a le moins. On arrondit donc à une décimale et on retient 284,5. b) On effectue les opérations et on obtient

Arithmétique des grandeurs physiques

45

Puisque la séquence d’opérations ne comporte qu’une multiplication et une division, on ne peut conserver plus de chiffres signicatifs que le nombre qui en a le moins. On arrondit donc à trois chiffres signicatifs et on retient 183. c) On effectue les opérations et on obtient

En plus de l’addition, la séquence d’opérations comporte une multiplication et une division. On ne peut conserver plus de chiffres signicatifs que le nombre qui en a le moins. On arrondit donc à trois chiffres signicatifs et on retient 843.

Opérations et propagation de l’incertitude En utilisant une valeur estimée ou une valeur arrondie, on commet une erreur. Celle-ci est inévitable puisque, dans toute mesure, le dernier chiffre est une estimation. On dénit l’erreur ainsi commise comme la valeur absolue de la différence entre la valeur réelle et la valeur arrondie. Erreur Soit a′ un nombre et a une valeur approchée de a′. L’erreur commise en utilisant l’approximation plutôt que la valeur exacte est alors dénie par E = |a′ − a|. En pratique, on ne connaît pas la valeur exacte d’une mesure, mais seulement sa valeur approximative ; on doit donc estimer l’erreur. En fait, on estime la valeur maximale de l’erreur, qu’on appelle incertitude absolue. Incertitude absolue et incertitude relative On appelle incertitude absolue (ou simplement incertitude) sur une grandeur a′ la valeur maximale de l’erreur commise en estimant a′. On la représente par ∆a (delta a) et on écrit a′ = a ± ∆a.

REMARQUE

Il faut bien différencier les notions d’erreur et d’incertitude absolue. Pour déterminer l’erreur, il faut connaître a et a′, alors que pour déterminer l’incertitude absolue, il suft de connaître la valeur approchée a. Si a est un nombre arrondi ou estimé au cours d’une mesure, l’incertitude ∆a est plus petite que la valeur de position du dernier chiffre signicatif du nombre arrondi ou estimé.

REMARQUE

Le nombre a représente une grandeur dont la valeur exacte a′ est inconnue.

L’incertitude relative est le rapport ∆a/a. On l’exprime souvent en pourcentage. Lorsqu’on effectue une opération (addition, soustraction, produit ou quotient) sur deux nombres comportant une incertitude, les incertitudes se combinent également. Il existe des règles permettant : • de déterminer le résultat de l’opération (les chiffres à retenir) ; • de déterminer l’incertitude absolue sur le résultat de l’opération. Nous allons présenter ces règles en les illustrant par des exemples.

Cependant, on sait que la valeur exacte a′ est comprise dans l’intervalle [a − ∆a; a + ∆a].

46

Chapitre 2

REMARQUE

L’incertitude absolue indique l’intervalle de variation du chiffre incertain. Si l’incertitude absolue n’est pas précisée, c’est la convention qui s’applique.

Incertitude sur une mesure Par convention, la valeur maximale de l’erreur (incertitude absolue) que comporte une mesure correspond à la moitié de la valeur de la plus petite graduation de l’instrument dont on se sert.

Par exemple, si la longueur d’un crayon, évaluée à l’aide d’un ruban à mesurer, se situe entre 14,3 et 14,4 cm, on peut simplement écrire 14,35, mais on peut également écrire 14,35 ± 0,05 cm. RÈGLE 1 Sommes et différences de nombres arrondis ou estimés

REMARQUE

L’incertitude de la somme est la somme des incertitudes.

L’incertitude sur une somme ou une différence est dans ce cas la somme des incertitudes sur chacun des nombres additionnés ou soustraits. Symboliquement, cette règle s’écrit : Si a′ = a ± ∆a et b′ = b ± ∆b, alors a′ + b′ = a + b ± (∆a + ∆b) et a′ − b′ = a − b ± (∆a + ∆b). L’incertitude absolue est arrondie à un seul chiffre signicatif alors que l’incertitude relative l’est à au plus deux. Le résultat de l’opération est arrondi de telle sorte que le dernier chiffre retenu ait le même rang (ou ordre de grandeur) que celui de l’incertitude absolue. EXEMPLE 2.1.4

Soit les nombres c′ = 26,72 ± (0,5 × 10 −1) et d′ = 13,277 ± (0,5 × 10 −2). Effectuer les opérations suivantes et indiquer les incertitudes absolue et relative sur les résultats. a) c′ + d′ b) c′ − d′ REMARQUE

Solution

On arrondit l’incertitude absolue à un chiffre signicatif puisqu’elle porte sur le dernier chiffre incertain de l’opération. Pour l’incertitude relative, on retient deux chiffres signicatifs.

a) En additionnant les deux nombres, avec les incertitudes, on obtient 26,72 ± 0,05 + 13,277 ± 0,005 = 39,997 ± 0,055. L’incertitude absolue est arrondie à un chiffre signicatif, ce qui donne 0,06, et le résultat de l’opération est arrondi de telle sorte que le dernier chiffre retenu ait le même rang que celui de l’incertitude absolue : c′ + d′ = 40,00 ± 0,06. L’incertitude relative est b) En appliquant la même règle qu’en a), on obtient c′ − d′ = 13,44 ± 0,06. L’incertitude relative est

Arithmétique des grandeurs physiques

47

RÈGLE 2 Produits et quotients d’un nombre arrondi par un nombre exact

Lorsqu’on multiplie (ou divise) un nombre arrondi par un nombre exact, le nombre de chiffres signicatifs du résultat est le même que celui du nombre arrondi. L’incertitude sur le résultat est dans ce cas le produit (ou le quotient) de l’incertitude et du nombre exact. Symboliquement, cette règle s’écrit : Si a′ = a ± ∆a et k est un nombre exact, alors ka′ = ka ± k∆a ; si a′ = a ± ∆a et k est un nombre exact, alors

REMARQUE

Les nombres que nous aurons à manipuler dans ce cours ne devront pas toujours être considérés comme des mesures puisqu’un nombre exact peut comporter une partie décimale. L’énoncé du problème devrait permettre de déterminer si on doit considérer les nombres comme des mesures arrondies ou des valeurs exactes.

RÈGLE 3 Produits, quotients et puissances de nombres arrondis ou estimés

Lorsqu’on multiplie, divise ou élève à une puissance des nombres arrondis, le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres signicatifs que l’opérande qui en a le moins. Symboliquement, on écrit : Si a′ = a ± ∆a et b′ = b ± ∆b, alors • produit : a′b′ = ab ± (a∆b + b∆a) ; • quotient :

;

• puissance : (a′)n = an ± n(an−1)∆a. Lorsqu’on calcule l’incertitude sur le résultat d’une suite d’opérations comportant des produits et des quotients, on arrondit d’abord l’incertitude absolue à un seul chiffre signicatif, puis on arrondit le résultat de l’opération de telle sorte que le dernier chiffre retenu ait le même rang que celui de l’incertitude absolue. EXEMPLE 2.1.5

On a mesuré les côtés d’un rectangle avec une incertitude de 0,1 cm. a) Calculer l’aire de ce rectangle et déterminer l’incertitude absolue sur ce calcul. b) Déterminer l’incertitude relative sur ce calcul. c) En considérant l’intervalle déni par l’incertitude, calculer la valeur minimale et la valeur maximale de l’aire du rectangle, et comparer cet intervalle à celui déni par l’incertitude absolue sur le produit. Solution a) L’aire du rectangle est (21,0 ± 0,1) × (14,2 ± 0,1) = 21,0 × 14,2 ± (21,0 × 0,1 + 14,2 × 0,1) = 298,2 ± 3,52. L’incertitude est arrondie à ±4 et il faut arrondir le produit à trois chiffres signicatifs. On retient 298 ± 4 cm2.

REMARQUE

L’incertitude sur un produit est

L’incertitude sur un quotient est

48

Chapitre 2

b) L’incertitude relative est soit 1,3 %. c) En considérant l’intervalle déni par l’incertitude, la valeur minimale est 20,9 × 14,1 = 294,69 cm2. La valeur maximale est 21,1 × 14,3 = 301,73 cm2. L’aire du rectangle est comprise dans l’intervalle [294,69; 301,73] et le calcul de l’incertitude donne l’intervalle [294; 302].

Incertitude relative Il existe une méthode rapide pour calculer directement l’incertitude relative sur un produit ou un quotient. Puisque

alors

Cela signie que l’incertitude relative sur un produit est la somme des incertitudes relatives sur les facteurs du produit. Une fois qu’on connaît l’incertitude relative sur un produit, on peut déterminer l’incertitude absolue, puisque

Cela signie qu’en multipliant l’incertitude relative par le produit, on obtient l’incertitude absolue sur le produit. Si Q représente le quotient a′/b′ de deux nombres comportant une incertitude, l’incertitude relative sur le quotient est alors

Cela signie que l’incertitude relative sur un quotient est la somme des incertitudes relatives sur les opérandes. On obtient l’incertitude absolue en multipliant la somme des incertitudes relatives par le quotient, puisque

Arithmétique des grandeurs physiques

49

De la même façon, il existe une méthode rapide pour calculer directement l’incertitude relative sur une puissance. En effet, si R représente la puissance n-ième d’un nombre a′ = a ± ∆a, alors

Cela signie qu’en multipliant l’incertitude relative sur un nombre par la puissance à laquelle on élève ce nombre, on obtient l’incertitude relative sur la puissance. On peut donc calculer l’incertitude absolue en multipliant l’incertitude relative par la puissance du nombre. EXEMPLE 2.1.6

Sachant que le volume d’un parallélépipède rectangle est le produit de la longueur, de la largeur et de la hauteur, calculer le volume de la boîte illustrée ci-contre dont on a mesuré les côtés. L’incertitude sur ces mesures est de ±0,1 cm. En effectuant le calcul d’incertitude, déterminer le volume en mètres cubes occupé par quatre boîtes identiques. Solution Les nombres à manipuler provenant de mesures, on doit appliquer les règles de présentation des résultats. On effectue le produit des dimensions pour trouver le volume de la boîte illustrée, ce qui donne 8,3 cm × 37,4 cm × 22,1 cm = 6 860,282 cm3. Pour effectuer le calcul de l’incertitude, on effectue la somme des incertitudes relatives :

L’incertitude absolue est 6 860,282 × 0,019 24... = 132,039. On arrondit à un chiffre signicatif et on retient 100. Le volume d’une boîte est 6 900 ± 100 cm 3. Quatre boîtes identiques occuperaient alors un volume égal à 4 × (6 900 ± 100) cm 3 = 27 600 ± 400 cm3. Puisque 4 est un nombre exact, on conserve tous les chiffres. Pour convertir ce volume en mètres cubes, on doit se rappeler qu’un mètre vaut 100 cm. On a alors 1 m3 = (1 m)3 = (100 cm)3 = 1 000 000 cm3 = 1 × 106 cm3. Par conséquent, si un volume est en mètres cubes et que l’on doit le convertir en centimètres cubes, il faut le multiplier par 10 6 cm3/m3. Si un volume est en centimètres cubes et qu’il faut le convertir en mètres cubes, on doit diviser ce volume par 106 cm3/m3 (ou le multiplier par 10 −6 m3/cm3). Dans le présent problème, cela donne 27 600 ± 400 cm3 ×

= 0,027 6 ± 0,000 4 m 3.

Le volume est donc de 0,027 6 ± 0,000 4 m 3.

REMARQUE

Pour obtenir le volume en mètres cubes, on peut également exprimer les dimensions en mètres avant de calculer le volume, ce qui donne : 0,083 m × 0,374 m × 0,221 m = 0,006 860 282 m3 ≈ 0,006 9 m3 par boîte.

50

Chapitre 2

Opérations et notation scientique Pour effectuer des opérations sur des nombres en notation scientique, il faut convertir les préxes en puissances de 10 et appliquer les règles d’utilisation des exposants. Produits et quotients Pour multiplier deux nombres en notation scientique, on effectue le produit des mantisses et on additionne les exposants des puissances de 10. Pour diviser deux nombres en notation scientique, on effectue le quotient des mantisses et on soustrait les exposants des puissances de 10. EXEMPLE 2.1.7 REMARQUE

En a), le produit des mantisses est 3,91. Cependant, il doit avoir le même nombre de chiffres signicatifs que le facteur qui en a le moins. En b), le quotient des mantisses est 1,590 90... Cependant, il doit avoir le même nombre de chiffres signicatifs que le facteur qui en a le moins. On arrondit donc la mantisse à deux chiffres signicatifs, ce qui donne 1,6.

Effectuer les opérations suivantes en utilisant les règles des exposants. a) (1,7 × 104)(2,3 × 102)

b)

Solution a) En regroupant les mantisses et les puissances de 10, on obtient (1,7 × 104)(2,3 × 102) = (1,7 × 2,3)(104 × 102) = 3,9 × 106. b) En regroupant les mantisses et les puissances de 10, on obtient

Sommes et différences Pour additionner ou soustraire des nombres exprimés en notation scientique, il faut ajuster les exposants de manière à pouvoir mettre en évidence une même puissance de 10. L’ajustement se fait normalement sur le nombre ayant le plus petit exposant. Après l’ajustement, on effectue l’opération sur les mantisses et on applique la règle de présentation des résultats, la lecture du nombre de décimales se faisant après l’ajustement des exposants. L’exemple suivant illustre un cas d’ajustement. EXEMPLE 2.1.8 REMARQUE

Les exposants étant différents et positifs, on fait un ajustement pour transformer l’expression 2,264 × 103. On doit multiplier 103 par 10 et, pour conserver l’égalité, diviser la mantisse par 10, ce qui donne : 2,264 × 103 = 0,226 4 × 104. Dans le résultat nal, la somme des mantisses est arrondie à trois décimales.

Effectuer la somme (2,435 × 104) + (2,264 × 103) en utilisant les propriétés des exposants. Solution (2,435 × 104) + (2,264 × 103) = (2,435 × 104) + (0,226 4 × 104) = (2,435 + 0,226 4) × 104 = 2,661 × 104

Arithmétique des grandeurs physiques

51

Un peud’histoire

GALILÉE

G

1564-1642

alilée naquit à Pise en 1564. Il fut professeur de mathématiques à l’Université de Pise en 1589, puis à l’Université de la République de Venise, à Padoue, en 1592. Sa tâche dans cette dernière université était d’enseigner la géométrie euclidienne et l’astronomie géocentrique aux étudiants en médecine. À l’époque, l’astrologie faisait partie des méthodes de diagnostic et de traitement. Galilée fut nommé mathématicien de la cour à Florence en 1610. Il étudia la chute des corps à l’aide de plans inclinés pour ralentir le mouvement an de mieux l’observer. Il formula les lois du mouvement accéléré en fonction du temps. À l’été 1609, il entendit parler d’une lunette construite par un Hollandais ; il construisit alors une série de télescopes avec lesquels il observa la Lune et les étoiles. Il t plusieurs découvertes en astronomie, dont quatre des lunes de Jupiter et les phases de Vénus. Il t beaucoup pour répandre les idées de Copernic, ce qui le t accuser d’hérésie par le pape en 1633. Il mourut en 1642 dans sa villa d’Arcetri, où il avait été assigné à résidence. Par ses travaux sur le mouvement, Galilée est à l’origine de la démarche scientique moderne et de la notion de fonction. Ses réexions l’amenèrent à penser que la seule démarche pouvant être couronnée de succès en sciences est d’établir des relations numériques entre les variables d’un phénomène physique.

descente. Le plan incliné est muni d’un déecteur pour que le mouvement de la bille soit horizontal en quittant le bord de la table. Par cette expérience, Galilée voulait montrer que si on laisse tomber un corps déjà animé d’un mouvement horizontal, le corps ne tombe pas verticalement au sol mais suit une trajectoire parabolique, ce qui réfutait l’objection de la pierre qu’on laisse tomber du haut d’une tour. La vitesse de la bille en quittant le bord de la table dépend de la hauteur à laquelle celle-ci amorce sa descente. Galilée put mesurer à quelle distance de la table la bille touche le sol et vérier si cette distance était conforme à son hypothèse de la composition des mouvements et de la trajectoire parabolique. La gure suivante est une reproduction de la page de notes prises au cours de l’expérience. Galilée représente sur une verticale les hauteurs de départ de la bille. Il indique également la distance des points de chute observés et la distance espérée ainsi que la différence entre les deux valeurs.

Les travaux de Galilée sur le mouvement visaient surtout à répondre aux objections à l’héliocentrisme. En tentant de rejeter l’une de ces objections, Galilée mit au point une expérience dans laquelle il employa, pour la première fois dans l'histoire, la notion de calcul d’erreur. L’objection à laquelle Galilée voulait répondre portait sur le « mouvement diurne » de la Terre. Selon les opposants, si la Terre est en rotation sur elle-même, une pierre qu’on laisse tomber du haut d’une tour devrait toucher le sol à une certaine distance du pied de la tour puisque celle-ci est entraînée par la rotation de la Terre. Une des réponses de Galilée à cette objection est que la pierre est animée du même mouvement que la Terre lorsqu’elle amorce sa chute et que les deux mouvements se composent. Le physicien réalisa entre autres l’expérience suivante sur la composition des mouvements. Le montage consiste en un plan incliné installé sur une table. On fait rouler une bille sur ce plan en contrôlant la hauteur à laquelle la bille amorce sa

C’était la première fois dans l’histoire qu’on rédigeait un tel rapport d’expérience. Les notes indiquent que Galilée voulait comparer les résultats expérimentaux et les valeurs prédites par un modèle et qu’il a calculé les différences entre ces valeurs. C’est le début du calcul d’erreur en recherche scientique.

52

Chapitre 2

2.2 EXERCICES 1. Quel est le nombre de chiffres signicatifs des nombres suivants ? a) 0,147 c) 175,20 e) 2,275 b) 2,57 d) 5 240 f) 70,003 2. Arrondir les nombres suivants à deux décimales et indiquer le nombre de chiffres signicatifs. a) 0,073 85 c) 813,515 e) 51,389 b) 5,273 5 d) 0,000 195 f) 2,037 2 3. Arrondir les nombres suivants à quatre chiffres signicatifs. a) 253,57 c) 353,700 5 e) 532,75 b) 54,382 d) 357,289 f) 0,123 67 4. Effectuer les opérations suivantes en tenant compte du fait que les nombres non entiers ont été préalablement arrondis. a) 275,3 + 3,754 e) 284,3 ÷ 53,12 b) 45,72 − 32,24 f) 26,55 ÷ 8 c) 33,12 × 7,21 g) 51,33 ÷ 3 d) 125,4 × 0,032 h) 335,27 ÷ 9,4 5. En mesurant le côté d’un carré, on obtient 15,4 cm. Calculer l’aire de ce carré. 6. En mesurant le diamètre d’un cercle, on obtient 62,3 cm. Calculer l’aire de ce cercle. 7. On évalue le diamètre d’une sphère à 67 cm. Évaluer le volume (V = 4πr3/3) de cette sphère. 8. Effectuer les opérations suivantes en respectant les règles régissant les opérations sur des nombres arrondis. a) 128,5 + 57,38 d) 22,57 × 15,3 b) 342,6 − 287,26 e) 28,534 × 22,7 c) 26,2 + 38,27 + 15,347 f) 543,2 ÷ 18,2 9. Effectuer les opérations suivantes en respectant les règles régissant les opérations sur des nombres arrondis. a) (38,2 + 17,43) × 15,1 b) (72,3 − 87,26) × 17,2 c) (26,2 × 18,4) + 25,3 d) (17,23 × 8,12) + 18,4 e) (1,534 × 2,73) + (2,216 × 1,65) f) (0,323 × 1,24) + (3,512 × 1,78)

g) (2,432 × 2,73) ÷ (2,216 + 1,65) h) (5,726 − 4,57) ÷ (1,203 4 + 2,34) 10. Le volume d’un cylindre droit est égal au produit de sa hauteur par l’aire de sa base. a) Calculer le volume du cylindre illustré ci-contre. b) On désire fabriquer des boîtes rectangulaires pouvant contenir 12 de ces cylindres sur trois rangées et sur un seul étage. Quel doit être le volume intérieur de ces boîtes ? c) Quel doit être le volume extérieur de ces boîtes, sans compter le couvercle, sachant que le matériau utilisé a une épaisseur de 1,2 cm ? 11. Écrire les grandeurs suivantes en notation scientique et en notation de l’ingénieur. a) 386 400 mètres e) 23 600 g b) 56 300 000 bits f) 0,000 000 024 m c) 0,000 25 m g) 0,000 35 A d) 0,000 003 45 m h) 4 500 000 V 12. Exprimer les nombres suivants sous la forme conventionnelle et en notation de l’ingénieur. a) 1,23 × 106 L e) 6,4 × 1010 bits b) 3,14 × 10 −3 m f) 25 × 105 V c) 7,35 × 104 m g) 42 × 104 g d) 8,92 × 10 −6 s h) 425 × 10 −7 m 13. Appliquer les règles d’utilisation des exposants pour effectuer les opérations suivantes. a) 3,23 × 106 × 2,56 × 10 −4 b) (3,23 × 103) ÷ (1,26 × 102) c) (7,22 × 103) ÷ (3,54 × 10 −2) d) 7,07 × 106 + 3,27 × 105 e) 4,18 × 10 −3 + 7,56 × 10 −2 f) 4,27 × 10 −1 − 6,35 × 10 −2 14. Écrire les grandeurs suivantes en notation de l’ingénieur. a) 27 000 000 Hz d) 1 800 W b) 53 000 Ω e) 225 000 V c) 0,000 000 000 28 F f) 152 000 000 mm 15. Écrire les grandeurs suivantes en unités de base. a) 34 ms d) 456 kV g) 24,6 mA b) 48 mm e) 235 km h) 27 µF c) 2,34 kW f) 233 pF

Arithmétique des grandeurs physiques

16. On a relevé quatre mesures pour déterminer la longueur du segment AE. Calculer cette longueur.

17. Dans chaque cas, expliquer ce que signie l’expression donnée. a) r = 215,8 ± 0,1 b) V = 47,55 ± 0,05

g) h) i) j) k)

53

(3,6 ± 0,1) × (8,4 ± 0,3) (3,6 ± 0,1) ÷ (8,4 ± 0,3) (252,40 ± 0,5 × 10 −1) × (28,960 ± 0,5 × 10 −2) (252,40 ± 0,5 × 10 −1) ÷ (28,960 ± 0,5 × 10 −2) (18,7 ± 0,4)3

22. Deux employés d’une municipalité ont mesuré chacun deux côtés d’un terrain trapézoïdal pour y aménager un parc. Les mesures ont été reproduites sur le croquis suivant.

18. Dans chaque cas, les mesures données comportent une incertitude absolue. Exprimer ces mesures avec une incertitude relative. a) 18,75 ± 0,05 c) 315,55 ± 0,05 b) 213,5 ± 0,5 d) 24,5 ± 0,5 19. Dans chaque cas, indiquer laquelle des deux grandeurs a et b a la plus grande précision (il faut comparer les incertitudes relatives). a) a = 137,5 ± 0,5 et b = 11,4 ± 0,1 b) a = 28,4 ± 0,4 et b = 32,5 ± 0,5 c) a = 3,04 ± 0,01 et b = 94,5 ± 0,4 d) a = 21,20 ± 0,02 et b = 424,5 ± 0,4 20. Dans chaque cas, effectuer l’opération et déterminer les incertitudes absolue et relative sur le résultat, puis écrire l’intervalle de valeurs à l’intérieur duquel se situe le résultat. a) 43,12 ± (0,5 × 10 −1) + 15,8 ± 0,5 b) 43,12 ± (0,5 × 10 −1) − 15,8 ± 0,5 c) 54,1 ± 0,5 + 27,3 ± 0,5 d) 54,1 ± 0,5 − 27,3 ± 0,5 e) 36,1 ± 0,2 + 28,22 ± (0,1 × 10 −1) f) 36,1 ± 0,2 − 28,22 ± (0,1 × 10 −1) 21. Dans chaque cas, effectuer l’opération et déterminer les incertitudes absolue et relative sur le résultat, puis écrire l’intervalle de valeurs à l’intérieur duquel se situe le résultat. a) (28,30 ± 0,5 × 10 −1) × 4 b) (28,30 ± 0,5 × 10 −1) ÷ 4 c) (2 000 ± 1) × 2 d) (2 000 ± 1) ÷ 5 e) (32,70 ± 0,04) × (2,40 ± 0,03) f) (32,70 ± 0,04) ÷ (2,40 ± 0,03)

En effectuant le calcul de l’incertitude absolue et de l’incertitude relative : a) calculer la longueur de treillis nécessaire pour clôturer ce terrain. b) calculer l’aire du terrain. 23. La municipalité aménage chaque année un arrangement oral circulaire devant l’hôtel de ville.

Déterminer l’aire occupée par l’arrangement oral en effectuant le calcul de l’incertitude absolue et de l’incertitude relative. 24. Effectuer les opérations et donner les résultats en appliquant la ou les règles pertinentes. a) (4,347 × 103) + (3,125 × 103) b) (7,513 × 104) + (8,217 × 104) c) (5,134 × 103) + (9,521 × 102) d) (3,205 × 10 –3) + (5,831 × 10 –3) e) (7,831 × 10 –4) + (9,157 × 10 –4) f) (9,134 × 10 –5) + (5,291 × 10 –5)

54

Chapitre 2

25. Effectuer les opérations et donner les résultats en appliquant la ou les règles pertinentes.

27. Effectuer les opérations et donner les résultats en appliquant la ou les règles pertinentes.

a) (5,124 × 103) – (3,125 × 103)

a) (5,134 × 104) ÷ (2,357 × 102)

b) (7,321 × 10 –2) – (4,153 × 10 –2)

b) (1,532 × 104) ÷ (9,813 × 103)

c) (2,314 × 10 –2) – (9,152 × 10 –2)

c) (7,821 × 102) ÷ (2,415 × 107)

d) (7,321 × 103) – (4,512 × 102)

d) (5,214 × 10 –5) ÷ (4,321 × 10 –3)

e) (5,321 × 10 –3) – (4,217 × 10 –2)

e) (4,315 × 10 –3) ÷ (2,145 × 10 –7)

f) (7,327 × 10 –5) – (7,311 × 10 –5)

f) (4,378 × 10 –5) ÷ (9,871 × 10 –5)

26. Effectuer les opérations et donner les résultats en appliquant la ou les règles pertinentes. a) (3,451 × 104) × (5,217 × 104) b) (9,153 × 105) × (3,512 × 105) c) (2,134 × 102) × (2,781 × 102) d) (7,214 × 10 –2) × (5,324 × 101) e) (5,214 × 10 –5) × (4,132 × 10 –7) f) (1,378 × 10 –5) × (1,785 × 10 –3)

Arithmétique des grandeurs physiques

55

2.3 Grandeurs et rapports La mesure d’une grandeur physique s’obtient par comparaison avec une autre grandeur. Voici quelques façons de procéder : • comparer la grandeur physique à un étalon (longueur, aire, volume) ; • comparer la grandeur physique à l’inverse d’un étalon (conductance, admittance) ; • déterminer le rapport d’une grandeur physique à une autre grandeur physique (masse volumique, concentration molaire massique) ; • comparer la grandeur physique au logarithme d’un étalon (échelle de Richter, décibels) ; • comparer le logarithme de la grandeur physique à un étalon (intensité sonore, échelle de Richter).

Rapport, proportion et taux Rapport et proportion Le quotient de deux quantités a/b est appelé rapport de a sur b. Un rapport est une expression généralement fractionnaire dont la valeur peut être exprimée en nombre décimal ou en pourcentage. La fraction inverse d’un rapport est appelée rapport inverse. Ainsi, b/a est le rapport inverse du rapport a/b. Une proportion est une égalité de deux rapports. Ainsi,

est une proportion. Une proportion est composée de quatre termes. Les termes occupant les positions a et d sont appelés extrêmes et les termes occupant les positions b et c, moyens ; a est la première proportionnelle, b est la deuxième, c est la troisième et d est la quatrième. Si b = c, ce terme est dit moyen proportionnel entre a et d. Taux et pourcentage Un taux est le rapport de deux quantités de même nature ou de natures différentes. Un pourcentage est un rapport dont le dénominateur est 100. THÉORÈME Produit des extrêmes et produit des moyens

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Symboliquement, pour tout a, b, c et d non nuls, si et seulement si ad = bc.

REMARQUE

On peut facilement démontrer cette propriété en multipliant les deux membres du rapport

par bd

et en simpliant l’expression obtenue.

56

Chapitre 2

Règle de trois L’expression règle de trois désigne une technique de résolution de problèmes servant à déterminer le terme inconnu d’une proportion dont trois éléments sont connus. PROCÉDURE Pour résoudre un problème de proportionnalité

1. 2. 3. 4.

Identier l’inconnue du problème et la représenter par une lettre. S’assurer que les données forment une proportion. Établir les rapports de cette proportion et résoudre l’équation. Interpréter correctement le résultat dans le contexte du problème en tenant compte des unités.

On rencontre beaucoup de situations où il existe entre les variables un lien de proportionnalité auquel on peut appliquer une règle de trois. Cependant, il faut s’assurer que cette règle est bien applicable au problème à résoudre.

Grandeurs et proportions En géométrie, l’étude des gures et des solides semblables fournit de beaux cas de proportionnalité. Rappelons d’abord quelques termes utilisés dans cette étude. Dans des gures semblables, les parties homologues sont celles qui se correspondent. Ainsi, dans des triangles semblables, les angles égaux sont des angles homologues, les sommets des angles égaux sont des sommets homologues, les côtés opposés aux angles égaux sont des côtés homologues. Les lignes homologues sont des segments de droite ayant les mêmes caractéristiques. Ainsi, dans des triangles semblables, les hauteurs issues de sommets homologues sont des lignes homologues. Les médianes, soit les droites joignant un sommet au milieu du côté opposé, sont des lignes homologues lorsqu’elles sont issues de sommets homologues. Enn, les côtés homologues sont aussi des lignes homologues. THÉORÈME Rapport des longueurs de gures semblables

Dans des gures semblables, les lignes homologues sont proportionnelles. Le rapport des longueurs des lignes homologues est appelé rapport de similitude. Ainsi, dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. Par exemple, dans les triangles représentés ci-contre, on a

Arithmétique des grandeurs physiques

57

La proportionnalité des côtés homologues de gures semblables permet de déterminer la longueur de côtés inconnus. Les triangles semblables fournissent une image mentale de la proportionnalité. La gure ci-contre est un plan en coupe d’une rampe d’accès. Les supports de cette rampe forment des triangles semblables avec le plan incliné et l’horizontale. Dans ces triangles, le rapport de la hauteur sur la base est constant, ce qui s’exprime mathématiquement sous forme d’une égalité de rapports :

Cette suite d’égalités indique que le rapport de la longueur d’un support à sa distance au pied de la rampe est constant. En d’autres mots, la longueur d’un support est proportionnelle à sa distance au pied de la rampe. Le rapport est appelé pente de la rampe. Cette propriété permet de déterminer la longueur de chaque support si on connaît sa distance au pied de la rampe. EXEMPLE 2.3.1

On a mesuré les dimensions de la rampe d’accès pour fauteuils roulants dont l’esquisse est donnée ci-contre. On désire modier le plan, tout en conservant les mêmes proportions et la même largeur de manière à permettre l’accès à une galerie qui est à 0,71 m du sol. Déterminer la longueur au sol de la nouvelle rampe d’accès. Solution Puisqu’il s’agit de mesures, on doit respecter les règles de présentation des résultats d’opérations. Pour conserver les mêmes proportions, les triangles ABC et A′B′C′ doivent être semblables. On désire calculer la longueur de A′C′ sachant que celle de B′C′ est de 0,71 m. Pour ce faire, on établit un rapport entre deux côtés des triangles : REMARQUE

d’où

Dans ce problème, les mesures des longueurs sont précises au centimètre. Puisque le calcul comporte un produit et un quotient, on peut arrondir à deux chiffres signicatifs, soit = 4,4 m.

Les grandeurs données dans un plan sont considérées comme des valeurs exactes lorsqu’on veut calculer d’autres grandeurs à partir de celles données. Lors de la réalisation de la chose planiée, il y a forcément des erreurs de mesure et il faut faire des ajustements. Il est préférable de prévoir plus long et d’ajuster plutôt que de prévoir plus court et de jeter.

58

Chapitre 2

REMARQUE

On dit également que le rapport des aires est égal au carré du rapport des lignes homologues et que le rapport des volumes est égal au cube du rapport des lignes homologues.

THÉORÈME Rapport des aires de gures semblables

Le rapport des aires de gures semblables est égal au carré du rapport de similitude. THÉORÈME Rapport des volumes de solides semblables

Le rapport des volumes de solides semblables est égal au cube du rapport de similitude. EXEMPLE 2.3.2

Lors de l’aménagement extérieur d’un nouvel édice, on veut ériger une sculpture en béton à partir d’un modèle réduit. La maquette mesure 60 cm de hauteur et son volume est de 0,52 m3.

REMARQUE

Le tableau suivant donne quelques exemples de masse volumique. La densité relative d’un corps est le rapport de sa masse volumique sur celle de l’eau.

a) Déterminer le volume de la sculpture une fois réalisée si celle-ci doit avoir 2,3 m de hauteur. b) La masse volumique d’un corps est le rapport de sa masse sur son volume. La masse volumique du béton utilisé pour la sculpture est de 2 360 kg/m3. Calculer la masse de la sculpture. Solution a) Notons respectivement Vs et Vm les volumes de la sculpture et de la maquette, et hs et hm les hauteurs de la sculpture et de la maquette. Puisque le rapport des volumes est égal au cube du rapport des lignes homologues, on doit avoir

En isolant Vs, on obtient

Puisque les données comportent deux chiffres signicatifs, on arrondit à 29 m3. b) La masse volumique donne la masse par unité de volume. Pour calculer la masse de la sculpture, il faut multiplier son volume par la masse volumique. On obtient M = 29,290 925... m3 × 2 360 kg/m3 = 69 126,585 185... kg. En arrondissant à deux chiffres signicatifs, on obtient 69 000 kg.

Arithmétique des grandeurs physiques

Pression La pression est la force exercée par unité d’aire. Elle se mesure en pascals (Pa) et est dénie par l’égalité

La relation entre les unités est 1 N/m2 = 1 Pa. Pour déterminer la pression, il faut donc diviser la force exercée par l’aire de la surface de contact.

EXEMPLE 2.3.3

On doit construire un socle de béton pour soutenir une sculpture. Le plan du socle est donné ci-contre. a) Calculer le volume de ce socle. b) La masse volumique du béton utilisé pour ce socle est de 2 360 kg/m3. Calculer sa masse. c) Calculer la force exercée par ce socle sur le sol. d) Calculer la pression exercée par ce socle. e) En supposant que l’on érige sur ce socle la sculpture de l’exemple précédent, calculer la force et la pression exercée par l’ensemble socle et sculpture sur le sol. Solution a) Le volume du socle est le produit de ses dimensions, ce qui donne V = 0,45 m × 2,4 m × 3,2 m = 3,456 m3. Quelle valeur retenir ? Puisque les grandeurs sont celles d’un plan, on peut considérer que ce sont des valeurs exactes et prendre 3,456 m3. Par ailleurs, puisque les grandeurs sont données à deux chiffres signicatifs et que l’on effectue un produit, on peut choisir de retenir 3,5 m3 comme résultat. Les deux choix se justient et il est préférable de donner la raison de son choix. Retenons 3,5 m3 comme volume, mais utilisons 3,456 m3 pour les calculs. b) Pour déterminer la masse du socle de béton, il faut multiplier son volume par sa masse volumique, ce qui donne M = 3,456 m3 × 2 360 kg/m3 = 8 156,16 kg. En arrondissant à deux chiffres signicatifs, on a 8 200 kg.

59

REMARQUE

La force d’attraction exercée par la Terre sur une masse d’un kilogramme est de 9,81 N au niveau de la mer. La valeur de 9,81 N/kg est une valeur exacte.

60

Chapitre 2

c) La force exercée sur le sol est le produit de la masse et de la constante gravitationnelle, soit F = 8 156,16 kg × 9,81 N/kg = 80 011,929 6 N. En arrondissant à deux chiffres signicatifs, on a 80 000 N ou 80 kN. d) La pression est le rapport de la force sur l’aire de la surface de contact. Dans ce cas, l’aire est A = 2,4 m × 3,2 m = 7,68 m 2. La pression est donc

soit une pression d’environ 10 kPa. e) La masse de la sculpture est de 69 126,585 185... kg. En l’additionnant à celle du socle, on obtient une masse totale de Mt = 8 156,16 kg + 69 126, 585 185...kg = 77 282,745 185 kg. La force exercée est alors Ft = 77 282,745 185 kg × 9,81 N/kg = 758 143,730... N et la pression est

soit une pression d’environ 99 kPa.

EXEMPLE 2.3.4

On estime le rayon d’un piston à 12,0 cm. Calculer la pression exercée sur le liquide si on applique une force de 340 N sur le piston. Solution Il faut d’abord calculer l’aire de la surface de contact, soit l’aire d’un cercle dont le rayon est de 12 cm ou 0,12 m. L’aire est donc Piston et manomètre

A = π × 0,122 = 0,045 238... m2. La pression étant le rapport de la force sur l’aire de la surface de contact, on a

Arithmétique des grandeurs physiques

61

EXEMPLE 2.3.5

Lorsqu’on suspend une masse à un ressort, celui-ci subit une élongation qui est proportionnelle à la masse suspendue. Si une masse de 12 kg suspendue à un ressort produit une élongation de 4,2 cm, quelle serait l’élongation si l’on suspendait une masse de 20 kg ? Solution Soit x l’élongation causée par une masse de 20 kg. L’élongation étant proportionnelle à la masse, on détermine le rapport de l’élongation sur la masse : REMARQUE

Le produit de ce rapport et de la masse de 20 kg donne l’élongation résultante :

Le problème de cet exemple est théorique : on suppose qu’une masse de 12 kg produit une élongation de 4,2 cm. Les nombres ne viennent pas de mesures et sont donc considérés comme exacts.

Conversion de mesures Dans le système impérial d’unités, qui date de 1824, le pouce (po), le pied (pi), la verge (vg) et le mille (mi) sont des unités de longueur d’usage courant. Le pied compte 12 po, la verge, 3 pi et le mille, 5 280 pi. En 1959, le Royaume-Uni, les États-Unis et les pays du Commonwealth ont déni légalement que la verge vaut 0,9144 m exactement. En utilisant cette équivalence, on peut déterminer la valeur en mètres d’unités de longueur, de supercie et de volume du système impérial. EXEMPLE 2.3.6

Convertir chaque mesure dans l’unité demandée. a) 3 po en centimètres

b) 2,5 mi en mètres

Solution a) Puisqu’il y a 12 po dans un pied, 3 pi dans une verge et que la verge vaut 91,44 cm, on a

b) Le mille compte 5 280 pi, soit 1 760 vg, et une verge vaut 0,914 4 m. La mesure en mètres de 2,5 mi est donc

REMARQUE

Dans les problèmes de conversion, les grandeurs données et les facteurs de conversion sont considérés comme des valeurs exactes et on conserve tous les chiffres quand on établit une équivalence d’unités de mesure. Ainsi, une mesure de 3 po équivaut à 7,62 cm. Lorsqu’on effectue non pas un simple calcul d’équivalence entre des unités de mesure, mais la conversion d’une mesure, d’un terrain par exemple, on arrondit le résultat selon le contexte.

62

Chapitre 2

Un peud’histoire

SYSTÈMES DE MESURE

A

vant le xviiie siècle, il n’existait aucun système de mesure unié. Les unités de mesure différaient d’un pays à l’autre, et même d’une région à l’autre à l’intérieur d’un pays. C’est en France que la diversité était la plus grande. Dans le système féodal, le seigneur avait le pouvoir de dénir les unités de mesure en usage dans son domaine. Il y avait donc plusieurs systèmes distincts. Le fractionnement graduel du pouvoir entre les seigneurs, les villes et les villages accentua le problème. Plusieurs appellations venaient de la morphologie humaine : le doigt, le pied, la coudée, le pas, la brasse et la toise (longueur entre les extrémités des deux bras étendus) ; des mesures de même appellation représentaient des grandeurs différentes d’une région à l’autre. Le « journal » correspondait à l’étendue de terre travaillée en une journée par un paysan, le « galopin », à la quantité de vin que l’on peut boire pendant un repas et le « picotin », à la ration quotidienne d’avoine d’un cheval. On se doute que ces unités de mesure étaient très variables. Ainsi, une lieue, qui était à l’origine la distance que pouvait parcourir un homme ou un cheval en une heure, valait 3,248 km jusqu’en 1674. À partir de 1674, la lieue de Paris valait 3,898 km. En 1737, les Postes lui donnèrent une valeur de 4,288 km (les facteurs marchaient plus vite), et la lieue tarifaire pour le transport des grains valait 4,678 km. En favorisant la fraude, la prolifération de mesures arbitraires devenait de plus en plus problématique dans les activités commerciales, administratives et industrielles. À l’époque de la Révolution française, les unités de mesure étaient depuis longtemps un sujet de plaintes. Les représentants politiques et les scientiques ont alors uni leurs efforts pour créer un système de mesure basé sur un étalon universel qui pourrait être adopté par tous les pays. Le 16 février 1791, une commission fut formée sur une proposition du chevalier de Borda, composée de : • Jean-Charles de Borda (1733-1799), mathématicien et physicien ; • Nicolas de Condorcet (1743-1794), philosophe et mathématicien ; • Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), mathématicien, astronome et physicien ; • Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), mathématicien et astronome ; • Gaspard Monge (1746-1818), mathématicien. Pour éliminer l’arbitraire des unités de mesure seigneuriales et s’assurer de l’universalité de l’étalon, la commission devait xer la longueur de l’unité en choisissant l’une des trois options suivantes : la longueur du pendule simple battant la seconde à la latitude de 45°, une fraction de la longueur du quart du cercle de l’équateur ou une fraction de la longueur du quart du méridien terrestre. Le pendule battant la seconde présentait deux inconvénients : il faisait intervenir une durée et sa longueur variait

selon les points du globe. Il aurait fallu dénir un facteur de correction en fonction de la pesanteur en chaque point du globe. Le choix se porta sur la fraction de la longueur du quart du méridien terrestre, plus facile à mesurer que l’équateur. Le 26 mars 1791, le mètre fut déni comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Il fallait donc déterminer la longueur exacte du méridien, et cette mission de géodésie fut conée à Pierre François Méchain (1744-1804) et Jean-Baptiste Delambre (1747-1822). Le système métrique décimal fut institué le 7 avril 1795. En prenant le mètre comme unité de base, on dénit les autres unités : le mètre carré, le mètre cube, le litre (1 L = 1 000 cm3) et le kilogramme (masse d’un décimètre cube d’eau distillée à 4 °C). Ce système était révolutionnaire non seulement parce qu’il éliminait le chaos, mais également parce que ses multiples et sous-multiples s’obtiennent en multipliant ou en divisant l’unité par 10. Pour convertir des pieds en pouces, il faut multiplier la mesure par 12 et la conversion inverse nécessite une division par 12. Pour convertir des verges en pouces, il faut multiplier la mesure par 36 et pour convertir des pieds carrés en pouces carrés, il faut la multiplier par 144, et ainsi de suite. Dans le système métrique décimal, pour exprimer une mesure de longueur en un multiple ou en un sous-multiple, on déplace simplement la virgule d’une position ; pour exprimer une mesure d’aire en un multiple ou en un sous-multiple, on déplace la virgule de deux positions ; pour exprimer une mesure de volume en un multiple ou en un sous-multiple, on déplace la virgule de trois positions. En 1875 fut créé le Bureau international des poids et mesures, qui prit le relais de la France dans la conservation des étalons et la production de copies des étalons pour répondre aux besoins des pays de plus en plus nombreux à adhérer à ce système. La précision de la dénition du mètre étalon a une incidence sur la précision des mesures effectuées avec cet étalon. Pour répondre aux exigences des sciences et des techniques, on a redéni le mètre étalon an d’obtenir des mesures de plus en plus précises. Le 14 août 1960, le mètre fut redéni comme étant égal à 1 650 763,73 fois la longueur d’onde, dans le vide, d’une radiation orangée d’un atome de krypton 86. En 1983, il fut à nouveau redéni comme la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant 1/299 792 458 de seconde. La dénition en fonction de la mesure du méridien permettait d’établir la longueur du mètre avec une précision de 10 −4 et celle en fonction de la vitesse de la lumière donne une précision de 10 −11. Ces dénitions respectent l’objectif visé par les fondateurs du système métrique, soit un mètre étalon invariable, reproductible partout et ne possédant aucune caractéristique le rattachant à un pays en particulier.

Arithmétique des grandeurs physiques

2.4 EXERCICES 1. Indiquer les quantités proportionnelles. a) 8 ; 12 ; 18 ; 27 b) x ; x2y ; y ; xy 2 c) x − y ; x2 − y2 ; x + y ; x2 + 2xy + y2 2. Déterminer la quatrième proportionnelle des nombres ou expressions donnés. a) 2 ; 5 ; 8 c) x ; x2 ; 1 b) x ; xy ; y d) (x − y) ; (x + y) ; (x2 − y2) 3. Déterminer un moyen proportionnel entre les nombres ou expressions donnés. a) 4 et 69 c) (x2 + xy) et (y2 + xy) b)

d)

4. Un tuyau de renvoi a une dénivellation de 8 cm par mètre. Exprimer cette dénivellation sous la forme d’un rapport. 5. Résoudre les proportions suivantes. a)

c)

b)

d)

6. Déterminer la quatrième proportionnelle. a) 7 ; 9 ; 14 b) x2 ; xy ; xy c) (x − 4) ; (x + 4) ; x2 − 16 d) (x − 5) ; (x + 5) ; (x2 − 7x + 10) e) (x − 3) ; (x + 3) ; (x3 − 6x2 + 13x − 12) 7. Déterminer un moyen proportionnel entre les nombres ou expressions donnés. a) 6 et 54 d) x2 + 4x et 16 + 4x b) 5 et 125 e) x3y et xyz 2 c) 18 et 98 8. Un carré mesure a cm de côté. a) Si on multiplie la longueur du côté par 2, par quel facteur l’aire de la surface est-elle multipliée ? b) Exprimer ce facteur à l’aide d’un exposant. Remarque : Le rapport des aires est égal au rapport des carrés des côtés.

63

9. Un carré mesure a cm de côté. a) Si on multiplie la longueur du côté par un facteur b, par quel facteur l’aire de la surface est-elle multipliée ? b) Quelle est l’aire du carré obtenu ? 10. Un cube mesure a cm de côté. a) Si on multiplie la longueur du côté par 4, par quel facteur le volume est-il multiplié ? b) Exprimer ce facteur à l’aide d’un exposant. Remarque : Le rapport des volumes est égal au rapport des cubes des côtés. 11. Un cube mesure a cm de côté. a) Si on multiplie la longueur du côté par un facteur b, par quel facteur le volume est-il multiplié ? b) Quel est le volume du cube obtenu ? 12. La maquette d’une sculpture a une masse de 12,0 kg et mesure 40,0 cm de hauteur. On veut réaliser la sculpture dans le même matériau mais avec une hauteur de 1,80 m. Exprimer la masse de la sculpture à l’aide d’un exposant. (Suggestion : Les volumes sont directement proportionnels au cube de leurs lignes homologues et les masses de solides du même matériau sont directement proportionnelles au volume.) 13. Si une sphère de 7,00 cm de diamètre a une masse de 102 g, quelle est la masse d’une sphère du même matériau dont le diamètre est de 12,0 cm ? 14. Si une sphère de métal de 5,00 cm de diamètre a une masse de 16,5 g, quel est le diamètre d’une sphère du même matériau dont la masse est de 880 g ? 15. L’étirement d’un ressort est directement proportionnel à la masse que l’on suspend à ce ressort. Si une masse de 30,0 g provoque une élongation de 5,00 cm, quelle masse faut-il suspendre au ressort pour l’étirer de 7,00 cm ? 16. Lorsqu’il y a un orage, la distance qui nous sépare de la foudre est directement proportionnelle au temps qui s’écoule entre le moment où on voit l’éclair et celui où on entend le tonnerre. Si on

64

Chapitre 2

entend le tonnerre 9 s après avoir vu l’éclair, la foudre a frappé à environ 3 km. À quelle distance la foudre a-t-elle frappé si le son nous parvient 4 s après qu’on a vu l’éclair ? Que représente la constante de proportionnalité calculée ?

23. Au cours d’un voyage dans Charlevoix, un automobiliste aperçoit le panneau routier suivant.

17. On doit construire une rampe avec une dénivellation de 1,5 m pour une distance horizontale de 9 m (longueurs exactes). Exprimer l’information fournie par ce panneau à l’aide de distances en mètres. Les supports de la rampe doivent être espacés de 1 m. Quelle est la longueur de chacun des neuf supports ?

24. On vous demande de concevoir une boîte avec couvercle. La largeur doit être égale à la hauteur, la longueur doit être de 40 cm et l’aire de la surface doit être de 0,4 m 2.

18. On doit construire un toit avec une dénivellation de 2 m pour une longueur horizontale de 4 m. Les supports du toit doivent être espacés de 1 m. Calculer leur longueur. Quelles seront les dimensions de la boîte ? Quel sera son volume en mètres cubes ? 19. Le rapport idéal pour la pente d’un escalier est de 7/10. Quelle doit être la longueur d’un escalier dont la hauteur est de 2,1 m ? 20. Il faut ériger un socle pour une sculpture de béton de 2,40 m de hauteur. Déterminer la masse que doit supporter le socle, sachant que la maquette en béton de la sculpture mesurant 30,0 cm de hauteur a une masse 1,75 kg. 21. Lorsqu’on suspend une masse à un ressort, celuici subit une élongation proportionnelle à la masse suspendue. Si une masse de 14 kg produit une élongation de 3,4 cm, quelle serait l’élongation si on suspendait une masse de 24 kg ? 22. La masse du lingot ci-dessous est de 485,0 kg. Estimer la masse par unité de volume (masse volumique) du métal constituant le lingot.

25. On doit concevoir une boîte sans couvercle dont la longueur doit être le double de la largeur et dont la hauteur doit être de 60 cm. L’aire de la surface de la boîte doit être de 17 600 cm2. Quelles seront les dimensions de la boîte ? Quel sera son volume en mètres cubes ?

26. Un homme de 80 kg, chaussé de bottes dont la semelle mesure 33 cm sur 12 cm, marche sur la neige. a) Quelle pression cet homme exerce-t-il sur la neige lorsque toute sa masse repose sur un pied ? b) Pour continuer sa promenade, l’homme décide de chausser des skis qui mesurent 1,8 m sur 10 cm. Quelle pression exerce-t-il alors sur la neige lorsque tout son poids repose sur un seul ski ?

Arithmétique des grandeurs physiques

27. On estime le rayon d’un piston à 12 cm. Quelle force s’exerce sur le piston si le manomètre indique 9,2 kPa ?

65

33. Une surface de 1 hectare (ha) est équivalente à la surface d’un carré de 100 mètres de côté. Quelle est la mesure en mètres carrés d’une surface de 1 hectare ? 34. Une bande de terrain mesure 337 m de largeur sur 1 570 m de longueur. Trouver la supercie de cette bande de terrain en mètres carrés, en hectares et en kilomètres carrés.

28. Sachant que la valeur d’une verge est de 0,914 4 m, exprimer les valeurs suivantes dans le système international, sans arrondir. a) 1 po g) 1 pi2 b) 1 pi h) 1 vg2 c) 1 mi i) 1 po3 d) 1 lieue (3 mi) j) 1 pi3 e) 3,6 mi k) 1 vg3 f) 1 po2

35. On vous demande de compléter le tableau suivant en vous servant de l’équivalence donnée. Conserver au plus quatre chiffres signicatifs dans les équivalences.

29. On doit faire ériger un socle en béton pour y installer une sculpture. Le socle doit avoir une longueur de 345 cm, une largeur de 175 cm et une hauteur de 185 cm. La compagnie qui fabrique le béton le livre si la quantité est d’au moins 1 vg3 et elle ne prépare que des multiples de 0,5 vg3. Quelle quantité de béton faut-il commander ? 30. L’acre est une mesure de supercie valant 4 840 vg2. a) Quel est le nombre de pieds carrés dans une acre ? b) Quel est le nombre de mètres carrés dans une acre ? c) Un terrain de 2 850 pi sur 600 pi est mis en vente. Déterminer la supercie de ce terrain en acres. 31. L’are est une mesure de supercie qui équivaut à 100 m 2 et un hectare vaut 100 ares. a) Quel est l’équivalent en pieds carrés d’une mesure de 1 are ? Quel est l’équivalent en verges carrées ? b) Une terre mesure 3 250 pi sur 2 730 pi. Déterminer sa supercie en hectares. 32. Une surface de 1 kilomètre carré (km2) est équivalente à la surface d’un carré de 1 kilomètre de côté. Quelle est la mesure en mètres carrés d’une surface de 1 km2 ?

36. Convertir les mesures données dans l’unité demandée en tenant compte de leur précision. a) 54,2 vg2 en mètres carrés b) 268,2 m en verges c) 383,4 pi2 en mètres carrés d) 2,4 mi en arpents e) 9,8 m3 en verges cubes f) 345 perches en mètres g) 256 dm2 en pieds carrés h) 32 hectolitres en mètres cubes (1 L = 1 000 cm3) 37. La chaîne d’arpenteur, appelée chaîne de Gunter, mesure 66 pi et est divisée en 100 maillons. a) Déterminer le facteur d’équivalence en mètres d’une chaîne de Gunter. b) La mesure de la largeur d’une terre agricole est de 80 chaînes. Déterminer cette mesure en pieds et en milles.

66

Chapitre 2

c) Déterminer, sans arrondir, la largeur en pieds et en mètres d’un terrain dont la mesure est de 2 chaînes et 40 maillons. d) La supercie d’un terrain est de 10 chaînes carrées. Déterminer, sans arrondir, cette supercie en pieds carrés, en mètres carrés, en verges carrées et en acres. e) Les mesures d’un terrain rectangulaire sont de 5 chaînes et 20 maillons sur 4 chaînes et 50 maillons. Déterminer, sans arrondir, sa supercie en acres. Note historique Edmund Gunter (1581-1626) est un mathématicien anglais d’origine galloise. Diplômé de Christ Church à Oxford, il est ordonné prêtre anglican en 1615. En 1619, il obtient un poste de professeur d’astronomie au Gresham College de Londres. Son intérêt pour la trigonométrie l’amène à développer une méthode de levée topographique utilisant la triangulation. À partir de mesures des longueurs séparant des points topographiques, il dresse une carte et calcule les aires par triangulation. Pour effectuer ces mesures, il invente la chaîne d’arpenteur. Il collabore avec Henry Briggs pour produire des tables de logarithmes et de trigonométrie et avec William Oughtred pour développer l’échelle logarithmique. 38. Diverses unités de mesure ont été utilisées en arpentage au Québec depuis le régime français. Il faut parfois déterminer l’équivalent dans le système métrique. En utilisant le tableau rempli à l’exercice 35, mettre à jour les données d’arpentage des trois terrains illustrés ci-contre. Dans chaque cas, donner les longueurs des côtés dans le système métrique et calculer les supercies en mètres carrés, en arpents carrés et en acres.

Conserver dans les résultats le même nombre de chiffres signicatifs que dans la mesure en pieds français. a)

b)

c)

FONCTIONS et MODÉLISATION

Utiliser la notion de fonction et le vocabulaire associé dans la résolution de problèmes divers Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • l’utilisation du vocabulaire relatif aux fonctions et de la notation fonctionnelle dans la description de divers phénomènes ; • l’utilisation des fonctions algébriques pour la construction d’un modèle algébrique d’un phénomène ; • l’utilisation d’un modèle algébrique pour l’analyse d’un phénomène.

3

3.1 Fonctions algébriques           68 Mise en situation Modélisation Fonctions polynomiales Fonctions quadratiques Fonctions rationnelles Fonctions comportant un radical Fonctions comportant une valeur absolue Fonctions dénies par parties Fonctions partie entière

3.2 Exercices            82 3.3 Fonction puissance           88 Cas particuliers de la fonction puissance Variations mixtes Un peud’histoire Charles Augustin de Coulomb Un peud’histoire La modélisation du xvi e au xixe siècle

3.4 Exercices            100

68

Chapitre 3

3.1 Fonctions algébriques Mise en situation Lorsqu’on tente de comprendre un aspect d’un phénomène naturel comportant des grandeurs variables, l’une des approches possibles est d’effectuer des mesures et de tenter d’en déduire un lien entre les variables. Par exemple, si on a l’impression qu’il existe un lien entre la charge que peut supporter une poutre et la largeur de celle-ci, on peut procéder comme suit. 1. Fabriquer des poutres d’un même matériau, de même longueur (d), de même épaisseur (h), mais de largeurs différentes (x). 2. Soumettre les poutres à la pression de différentes charges. 3. Mesurer la charge maximale qu’une poutre peut supporter sans se déformer. On obtient ainsi des mesures semblables à celles du tableau suivant. Charge supportée par des poutres de diverses largeurs Largeur x (cm)

4

6

8

10

12

14

16

Charge C (kg)

148

224

300

378

446

516

594

En construisant le tableau, on a formé des couples de mesures. L’ensemble de ces couples constitue une relation qu’on peut également représenter comme suit : REMARQUE

Trois remarques s’imposent. • Les points de suspension, « … », indiquent que d’autres mesures peuvent être effectuées, comme (15,1; 560), et qu’en fait on peut prendre une innité de mesures. En pratique, on déduit la relation entre la largeur des poutres et la charge maximale qu’elles peuvent supporter à partir des données observées. • On tend à penser qu’il est impossible, dans les mesures, d’obtenir le couple (15; 247). Cette supposition, appelée tendance au lissage, est juste pour plusieurs phénomènes, mais peut être fausse pour d’autres phénomènes mêmes simples. • Une autre hypothèse semble évidente. On ne s’attend pas à ce que des poutres d’une même largeur supportent des charges maximales très différentes.

{..., (4; 148), ..., (6; 224), ..., (8; 300), ..., (10; 378), ..., (12; 446), ..., (14; 516), ..., (16; 594)...}.

Voici quelques rappels de dénitions qui précisent le sens des mots employés dans l’étude des fonctions. Relation Soit A et B, deux ensembles. On appelle relation de A dans B tout ensemble de couples (c; d) tel que c ∈ A et d ∈ B. L’ensemble A est appelé ensemble de départ de la relation et B, ensemble d’arrivée de la relation. Le premier élément d’un couple (c; d) de la relation est appelé préimage de d par la relation, et le deuxième élément du couple est appelé image de c par la relation. Dans la mise en situation, les éléments de l’ensemble de départ sont des valeurs de la largeur des poutres et les éléments de l’ensemble d’arrivée sont des mesures de la charge maximale que les poutres peuvent supporter. Domaine et codomaine d’une relation On appelle domaine d’une relation l’ensemble des valeurs qui sont préimage dans au moins un couple de la relation. On appelle codomaine d’une relation l’ensemble des valeurs qui sont image dans au moins un couple de la relation.

Fonctions et modélisation

Fonction Une fonction est une relation telle que chaque élément du domaine a une et une seule image.

Modélisation La modélisation d’un phénomène vise à décrire celui-ci au moyen d’une relation en compréhension. Un modèle est dit global lorsqu’il décrit la correspondance pour l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante. Il est dit local s’il décrit seulement un sous-ensemble de l’ensemble des valeurs possibles. Il est dit par parties s’il comporte plus d’une équation et que chacune n’est vériée que sur un intervalle déterminé.

69

REMARQUE

Lorsqu’on parle de relation, ou de fonction, on parle d’une correspondance entre les éléments de deux ensembles. Dans les cas que nous rencontrerons dans cet ouvrage, il s’agit surtout de deux ensembles de nombres.

Domaine de validité d’un modèle On appelle domaine de validité d’un modèle l’ensemble des valeurs pour lequel le modèle est valide, compte tenu de la situation qu’il décrit. Description et écriture symbolique On peut décrire une relation entre deux variables : • numériquement, c’est-à-dire en construisant un tableau de valeurs. On procède ainsi lorsqu’on a un ensemble de données expérimentales. On dit que la relation est en extension. • visuellement, c’est-à-dire en associant à chaque couple d’une relation un point dans un système d’axes cartésien. On obtient une courbe qui est la représentation graphique de la relation. La variable indépendante est représentée sur l’axe horizontal et la variable dépendante, sur l’axe vertical. Dans la représentation par un point d’un couple de valeurs correspondantes (c; d), la première composante du couple est appelée abscisse du point et la seconde composante, ordonnée du point. • verbalement, c’est-à-dire avec des mots. • symboliquement ou en compréhension sous la forme suivante :

REMARQUE

Lorsque la fonction est décrite par une règle de correspondance, le domaine est constitué des valeurs de l’ensemble de départ pour lesquels la correspondance est dénie. Ce sont les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles il est possible de calculer une image.

R = {(x; y) ∈ 2 | ...}, où ... est une équation décrivant la relation R entre les valeurs de x, appelée variable indépendante, et celles de y, appelée variable dépendante. L’équation est appelée règle de correspondance entre les variables. Les divers modes de description sont complémentaires et, pour analyser et comprendre un phénomène, on peut construire une représentation en compréhension à partir de l’une des trois autres. PROCÉDURE Pour modéliser un problème

1. Compréhension du problème a) Identier chaque variable et la représenter par un symbole approprié accompagné de l’unité de mesure de la variable.

Graphique d’une relation

70

Chapitre 3

b) Repérer les données et les contraintes du problème. c) Déterminer ce que l’on cherche. 2. Construction d’un modèle a) Exprimer les contraintes sous forme d’équations. (Il faut parfois tracer un dessin pour voir comment traduire symboliquement une situation.) b) Décrire en compréhension la relation entre les variables. c) S’assurer que la relation ne comporte que deux variables. Au besoin, utiliser les équations de contraintes pour effectuer une substitution de manière que le modèle comporte une variable indépendante et une variable dépendante. 3. Utilisation du modèle a) Reformuler la question posée à l’aide des variables du problème. b) Effectuer les calculs et manipulations algébriques permettant de répondre à la question. 4. Retour sur le problème a) Revoir la solution pour : • déterminer s’il est possible de résoudre le problème plus simplement ; • bien assimiler la méthode de façon à pouvoir la réutiliser en l’adaptant à des problèmes analogues. b) Interpréter le résultat selon le contexte et vérier s’il est plausible. c) Rédiger la réponse à la question posée en précisant les unités de mesure s’il y a lieu.

REMARQUE

Les zéros d’une fonction sont les éléments du domaine dont l’image est 0. Graphiquement, ce sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe horizontal. Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe vertical.

Zéros et ordonnée à l’origine d’une fonction Les zéros d’une fonction sont les valeurs de x pour lesquelles f (x) = 0. L’ordonnée à l’origine d’une fonction est l’image de 0 par la fonction.

Fonctions polynomiales On classe les fonctions selon la forme de leur règle de correspondance. Les grandes familles sont les fonctions algébriques (constantes, polynomiales, quadratiques, rationnelles, etc.) dont la règle de correspondance ne comporte que des opérations algébriques, et les fonctions transcendantes (exponentielles, logarithmiques, trigonométriques) dont la règle de correspondance comporte des opérations non algébriques. Fonction polynomiale Une fonction polynomiale f de degré n est une fonction dénie en compréhension par une équation de la forme f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a2 x2 + a1x + a 0,

Fonctions et modélisation

où n est un entier positif ou nul appelé degré du polynôme, an, an−1, ..., a2, a1 sont des constantes réelles appelées coefcients, a 0 est la constante et x est la variable indépendante. Ainsi, l’expression f (x) = 5x3 − 4x2 + 7x − 3 dénit une fonction polynomiale de degré 3. Voici un exemple d’une situation qu’on peut décrire par une fonction polynomiale. EXEMPLE 3.1.1

71

REMARQUE

Dans une fonction polynomiale, la constante est l’ordonnée à l’origine puisque f (0) = a 0. Le domaine d’une fonction polynomiale est toujours  puisque les opérations de la règle de correspondance sont dénies pour tout nombre réel, mais le domaine de validité d’un modèle polynomial peut être un intervalle.

Une compagnie désire fabriquer des boîtes rectangulaires en métal et sans couvercle. Pour ce faire, elle utilise des feuilles de métal de 30 cm sur 40 cm. Une machine découpe un carré dans chaque coin et plie les côtés pour former la boîte ; les joints sont ensuite soudés automatiquement. Construire un modèle décrivant le volume de la boîte en fonction du côté x du carré. Solution Compréhension du problème

Les variables sont le volume V et le côté x du carré. On veut décrire le volume V en fonction de x. Construction du modèle

Le volume d’une boîte est égal au produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. La longueur est L = 40 − 2x, la largeur est l = 30 − 2x et la hauteur est x. Le volume V est donc décrit en fonction de la variable x par V(x) = (40 − 2x)(30 − 2x)x = 1 200x − 140x2 + 4x3. C’est une fonction polynomiale de degré 3 dont le domaine de validité est l’intervalle [0; 15], car les dimensions d’une boîte ne peuvent être négatives.

Fonction constante Une fonction constante est une fonction dénie en compréhension par une équation de la forme f (x) = b (ou y = b), où b est un nombre réel. Fonction afne Une fonction afne est une fonction dénie en compréhension par une équation de la forme f (x) = ax + b (ou y = ax + b), où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0. On détermine le zéro d’une fonction afne en résolvant une équation du premier degré. Ainsi, le zéro de la fonction dénie par f (x) = 3x − 7 est la valeur de x pour laquelle f (x) = 3x − 7 = 0

REMARQUE

Le graphique de la fonction V(x) cidessus illustre bien que le domaine de validité est [0; 15].

REMARQUE

Une fonction constante est une fonction polynomiale de degré 0. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe horizontal.

72

Chapitre 3

REMARQUE

Une fonction afne est une fonction polynomiale de degré 1. Lorsque la constante b = 0, la valeur de la variable dépendante, y, est directement proportionnelle à la valeur de la variable x. La représentation graphique d’une variation directement proportionnelle est une droite passant par l’origine du système d’axes.

et, en résolvant l’équation 3x − 7 = 0, on obtient x = 7/3. De façon générale, le zéro d’une fonction afne f (x) = ax + b est x = −b/a. Le graphique d’une fonction afne est une droite, entièrement déterminée par sa pente a et son ordonnée à l’origine b. Lorsqu’un phénomène est descriptible par un modèle afne, il suft de connaître deux couples de valeurs pour déterminer le modèle. Il faut alors calculer la pente du segment de droite qui relie les points représentant les couples de valeurs, puis calculer l’ordonnée à l’origine. EXEMPLE 3.1.2

Un thermomètre est gradué en degrés Celsius et en degrés Fahrenheit. On sait que la relation entre deux unités de mesure d’une même grandeur physique est une fonction afne. a) Trouver la fonction exprimant la température en degrés Fahrenheit selon la température en degrés Celsius. b) Exprimer en degrés Fahrenheit une température de 20 °C. c) Trouver une relation permettant de convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius. d) Esquisser le graphique des fonctions dénies en a) et en c) dans un même système d’axes et déterminer pour quelle température la lecture est la même sur les deux échelles. Solution a) Puisque le modèle est afne, l’équation recherchée est de la forme y = ax + b. La formulation de la question indique de considérer F, la mesure de la température en degrés Fahrenheit, comme variable dépendante et C, la mesure en degrés Celsius, comme variable indépendante. On peut lire les correspondances (c; f (c)) = (0; 32) et (d; f (d)) = (100; 212) sur le thermomètre. On cherche la pente d’une droite dont deux points sont connus :

Le modèle est donc de la forme

En substituant un des couples de valeurs dans cette équation, on obtient

Ainsi, b = 32 et la fonction recherchée est

Elle permet de calculer la température en degrés Fahrenheit lorsqu’on connaît sa mesure en degrés Celsius.

Fonctions et modélisation

73

b) En substituant la valeur donnée à C dans le modèle, on obtient

Une température de 20 °C équivaut à 68 °F. c) On doit isoler la variable C dans la règle de correspondance

On obtient donc

Cette fonction permet de calculer la température en degrés Celsius lorsqu’on connaît sa mesure en degrés Fahrenheit. d) Le graphique de chacune des deux fonctions est une droite. L’ordonnée à l’origine de la première est 32 et sa pente est 9/5 ; l’ordonnée à l’origine de la seconde est −160/9 et sa pente est 5/9. On a la même lecture sur les deux échelles de température quand l’abscisse d’une des droites est égale à son ordonnée. Puisque

alors C = −40. On a donc la même lecture à −40 degrés. Le point de rencontre des deux droites est (−40; −40). Fonction quadratique Une fonction quadratique est une fonction dénie en compréhension par une équation de la forme f (x) = ax 2 + bx + c (ou y = ax 2 + bx + c), où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole dont l’axe de symétrie a comme équation x = −b/2a. La parabole est concave vers le haut si a > 0 et concave vers le bas si a < 0. Le sommet de la parabole est sur l’axe de symétrie et son abscisse est −b/2a. On détermine son ordonnée en calculant l’image de −b/2a par la fonction. On calcule les zéros d’une fonction quadratique en résolvant l’équation du second degré obtenue en posant f (x) = 0. Il faut donc résoudre une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0. Les racines d’une telle équation sont données par

REMARQUE

Ici, on a obtenu deux fonctions afnes, inverses l’une de l’autre. La dénition de la fonction inverse est donnée à la page 28.

74

Chapitre 3

Il existe trois cas selon la valeur de l’expression sous le radical : • si b2 − 4ac > 0, la fonction a deux zéros réels distincts et son graphique coupe l’axe des x en deux points ; • si b2 − 4ac = 0, la fonction a un zéro réel, appelé zéro double, et le sommet du graphique est tangent à l’axe des x ; • si b2 − 4ac < 0, la fonction n’a aucun zéro réel et son graphique ne coupe pas l’axe des x. Graphique d’une fonction quadratique f(x) = ax 2 + bx + c b2 – 4ac > 0 Deux zéros réels

b2 – 4ac = 0 Un zéro réel

b2 – 4ac < 0 Aucun zéro réel

La position de l’axe vertical dépend des paramètres a, b et c.

Pour représenter graphiquement une fonction quadratique, il suft de déterminer l’axe de symétrie, le sommet, l’ordonnée à l’origine, les zéros et, si besoin est, quelques valeurs d’un côté de l’axe de symétrie. On obtient ainsi une représentation assez dèle. EXEMPLE 3.1.3

Représenter graphiquement la fonction dénie par

Solution L’équation de l’axe de symétrie est L’abscisse du sommet est 2 et son ordonnée est

Le sommet est donc au point (2; −1). L’ordonnée à l’origine est

Fonctions et modélisation

Les zéros sont :

Puisqu’on connaît déjà le point (0; 1), en utilisant l’axe de symétrie, on obtient le point (4; 1).

La représentation des couples du tableau permet une esquisse assez précise du graphique de la fonction.

Fonctions quadratiques On peut appliquer diverses stratégies pour déterminer l’équation d’une parabole selon l’information disponible. Il faut cependant avoir sufsamment d’information pour déterminer la valeur de tous les paramètres de la règle de correspondance y = ax 2 + bx + c. On peut écrire cette équation sous des formes équivalentes en appliquant des procédures algébriques. Ces formes sont : y = a(x - x1)(x - x2), où x1 et x2 sont les zéros ; y = a(x - h)2 + k, où (h; k) est le point sommet. Pour déterminer l’équation d’une parabole en utilisant ces formes, il faut connaître un autre point de la parabole an de calculer la valeur de a. PROCÉDURE Pour déterminer l’équation d’une parabole

1. Si les zéros et un autre point de la parabole sont connus, substituer les valeurs des zéros dans la forme y = a(x - x1)(x - x2). Si le point sommet et un autre point de la parabole sont connus, substituer les valeurs du sommet dans la forme y = a(x - h)2 + k.

75

76

Chapitre 3

2. Substituer les coordonnées du point connu dans l’expression obtenue et isoler le paramètre a pour en calculer la valeur. 3. Écrire la règle de correspondance sous la forme f(x) = ax 2 + bx + c. 4. Utiliser la règle de correspondance pour répondre aux questions posées.

EXEMPLE 3.1.4

Déterminer l’équation de la parabole passant par le point (3; 4) et dont les zéros sont -1 et 5. Solution Puisque les zéros sont connus, on utilise la forme y = a(x - x1)(x - x2). En substituant les valeurs des zéros, on obtient y = a(x + 1)(x - 5) = a(x2 - 4x - 5). Pour déterminer la valeur de a, on substitue les coordonnées du point connu dans y = a(x2 - 4x - 5). On obtient 4 = a(32 - 4(3) - 5) = a(9 - 12 - 5), d’où 4 = -8a et a = -1/2. La règle de correspondance est

Fonctions rationnelles Fonction rationnelle Une fonction rationnelle est une fonction de la forme

où p(x) et q(x) sont des polynômes, et où q(x) ≠ 0. Le domaine d’une fonction rationnelle est domf = {x ∈  | q(x) ≠ 0} = \{x | q(x) = 0}. Puisque la division par 0 est indéterminée, les valeurs de la variable indépendante qui annulent le dénominateur ne font pas partie du domaine de la fonction. Le domaine est donc l’ensemble des réels sauf les valeurs de la variable indépendante qui annulent le dénominateur.

Fonctions et modélisation

EXEMPLE 3.1.5

Déterminer le domaine des fonctions suivantes. a)

b) Solution a) Le dénominateur de la fonction rationnelle s’annule lorsque 2x − 5 = 0, c’est-à-dire si x = 5/2. Cette valeur ne fait donc pas partie du domaine de la fonction : domf = \{5/2}. b) Le dénominateur de la fonction rationnelle s’annule lorsque x2 − 5x − 24 = 0. On peut résoudre cette équation à l’aide de la formule générale de résolution d’une équation quadratique, mais il est plus simple de décomposer le trinôme en facteurs : (x + 3)(x − 8) = 0. En vertu de l’intégrité des nombres réels, le produit s’annule lorsqu’un des facteurs est nul. Le facteur x + 3 s’annule si x = −3 et le facteur x − 8, si x = 8. Ces deux valeurs ne font pas partie du domaine de la fonction. Donc : domg = \{−3; 8}.

EXEMPLE 3.1.6

Une compagnie désire fabriquer des boîtes de conserve de forme cylindrique ayant une capacité de 128 cm3. Exprimer l’aire totale d’une boîte en fonction de son rayon. Solution Les variables sont le rayon r de la base, la hauteur h du cylindre, l’aire A de la surface et le volume V. Le problème comporte une contrainte : le volume doit être de 128 cm3. L’aire du cylindre est constituée de l’aire des deux extrémités circulaires et de celle de la surface latérale. Le volume d’un cylindre est V = πr2h et l’aire de la surface latérale est Al = 2πrh. L’aire des deux extrémités circulaires est Ac = 2πr2. En exprimant mathématiquement les relations entre les variables, on obtient : V = πr2h = 128 cm3, A = 2πr2 + 2πrh.

77

78

Chapitre 3

Pour exprimer l’aire totale A en fonction du rayon, il faut isoler h dans l’équation décrivant la contrainte sur le volume et substituer l’expression obtenue à h dans l’équation décrivant l’aire :

REMARQUE

L’aire totale du cylindre dépend de deux variables, le rayon r et la hauteur h, ce que l’on note A = 2πr2 + 2πrh. Pour indiquer que l’aire est décrite en fonction d’une seule variable, le rayon r, on utilise la notation A(r).

V = πr2h = 128 cm3, donc

.

Ainsi,

L’aire totale de la boîte est donc décrite par une fonction rationnelle dont la variable indépendante est le rayon.

Fonctions comportant un radical REMARQUE

On décrit le domaine d’une fonction comportant un radical en indiquant sur quel(s) intervalle(s) la fonction est dénie. Le crochet vers l’intérieur indique que la borne fait partie du domaine et le crochet vers l’extérieur, qu’elle n’en fait pas partie. Dans le cas de l’inni, le crochet est toujours vers l’extérieur.

Lorsqu’une fonction comporte un radical, il faut, dans la recherche du domaine, tenir compte du fait qu’une racine paire d’un nombre négatif n’est pas dénie dans l’ensemble des nombres réels. Ainsi, dans le cas d’une fonction de la forme

où p(x) est un polynôme, on a

EXEMPLE 3.1.7

Donner le domaine des fonctions suivantes. a)

c)

b)

d) Solution a) L’expression sous le radical s’annule lorsque 2x − 7 = 0, c’est-à-dire si x = 7/2. Si x > 7/2, l’expression sous le radical est positive et, si x < 7/2, elle est négative. Si x = 7/2, la fonction est dénie puisque la racine carrée de 0 est 0. Donc, domf = [7/2; ∞[. b) Le dénominateur de l’expression sous le radical s’annule lorsque 2x − 7 = 0, c’est-à-dire si x = 7/2. Si x > 7/2, l’expression sous le radical est positive et, si x < 7/2, elle est négative. Si x = 7/2, la fonction n’est pas dénie puisque la division par 0 ne l’est pas. Donc, domf = ]7/2; ∞[.

Fonctions et modélisation

79

c) L’expression sous le radical s’annule lorsque 4 − x2 = 0. En factorisant cette différence de carrés, on obtient (2 + x)(2 − x) = 0. Ainsi, l’expression sous le radical est nulle si x = −2 ou x = 2. On construit un tableau pour analyser le signe des facteurs et du produit dans chacun des sous-intervalles déterminés par ces deux valeurs.

La dernière ligne du tableau indique que l’expression sous le radical est nulle à x = −2 et à x = 2, qu’elle est positive entre ces deux valeurs et qu’elle est négative ailleurs. Donc, domf = [−2; 2]. d) L’expression sous le radical s’annule lorsque x2 − x − 6 = 0. En factorisant ce trinôme, on obtient (x + 2)(x − 3) = 0. Ainsi, l’expression sous le radical est nulle si x = −2 ou x = 3. On construit un tableau pour analyser le signe des facteurs et du produit dans chacun des sous-intervalles déterminés par ces deux valeurs.

REMARQUE

La dernière ligne du tableau permet de conclure que domf = ]−∞; −2] ∪ [3; ∞[.

Fonctions comportant une valeur absolue Valeur absolue La valeur absolue d’une expression algébrique u est dénie de la façon suivante :

Le symbole ∪, qui désigne la réunion dans la théorie des ensembles, indique que la variable x peut prendre des valeurs dans l’un ou l’autre des deux intervalles.

80

Chapitre 3

EXEMPLE 3.1.8

Déterminer le domaine des fonctions suivantes et les représenter graphiquement. a)

b) Solution a) Selon la dénition de valeur absolue,

Pour toute valeur de x, on peut calculer l’image correspondante. Par conséquent, domf = . Si (2x − 3) < 0, alors x < 3/2 et y = −(2x − 3) = −2x + 3. Dans l’intervalle ]−∞; 3/2[, le graphique de la fonction est une demidroite dont la pente est −2 et l’ordonnée à l’origine, 3. Si x = 3/2, alors y = 0 et, si x > 3/2, alors y = 2x − 3. Dans l’intervalle [3/2; ∞[, le graphique de la fonction est une demi-droite ayant comme origine le point (3/2; 0) et dont la pente est 2. La fonction est représentée ci-contre. b) Si x = 3/2, la fonction n’est pas dénie, de sorte que domg = \{3/2}. Selon la dénition de valeur absolue,

REMARQUE

Dans la représentation graphique, le symbole signie que l’extrémité de la demi-droite ne fait pas partie de la courbe, alors que le symbole signie que le point à l’extrémité de la demi-droite fait partie de la courbe.

Si x < 3/2, alors y = −1. Le graphique de la fonction est une demidroite horizontale dénie par y = −1 dans l’intervalle ]−∞; 3/2[. Si x > 3/2, alors y = 1. Le graphique de la fonction est une demidroite horizontale dénie par y = 1 dans l’intervalle ]3/2; ∞[. La fonction est représentée ci-contre.

Fonctions dénies par parties Fonction dénie par parties Une fonction par parties est une fonction dont la dénition comporte plusieurs règles de correspondance, chacune n’étant valide que sur un intervalle particulier ou pour une valeur particulière.

Fonctions et modélisation

EXEMPLE 3.1.9

Donner le domaine et esquisser le graphique des fonctions suivantes. a)

b) Solution a) La fonction f est dénie pour tout nombre réel. Donc, domf = . Dans l’intervalle ]−∞; 1[, le graphique est un segment de la parabole dont l’axe de symétrie est x = 0, et le sommet est (0; 1). Dans l’intervalle [1; ∞[, le graphique est un segment de la droite dont la pente est 1 et l’ordonnée à l’origine est 1. Les deux segments se joignent au point (1; 2). La fonction est représentée ci-contre. b) La fonction g est dénie seulement si x < 0 ou x ≥ 1. Donc, domg = ]−∞; 0[ ∪ [1; ∞[. Dans l’intervalle ]−∞; 0[, le graphique est un segment de la parabole dont l’axe de symétrie est x = 0, et le sommet est (0; −1). En x = 1, l’image est 0. Dans l’intervalle ]1; ∞[, le graphique est un segment de la droite dont la pente est −1 et l’ordonnée à l’origine est 2. Les deux segments sont disjoints. La fonction est représentée ci-contre.

Fonctions partie entière Fonction partie entière La fonction partie entière de x, notée f(x) = x, est la fonction qui fait correspondre à x le plus grand entier plus petit ou égal à x, c’est-à-dire que x = k si k ≤ x < k + 1,

où k ∈ .

EXEMPLE 3.1.10

Donner le domaine et esquisser le graphique de la fonction dénie par f (x) = x. Solution Le domaine de la fonction est l’ensemble des nombres réels. Pour esquisser le graphique, on détermine quelques correspondances. • −2,7 = −3, puisque −3 ≤ −2,7 < −2 ; • 0,4  = 0, puisque 0 ≤ 0,4 < 1 ; •  2,5 = 2, puisque 2 ≤ 2,5 < 3. x 

81

82

Chapitre 3

EXEMPLE 3.1.11

Une entreprise de location d’outils afche les prix suivants pour la location d’un compacteur à pierre concassée : • 100 $ la première journée ; • 50 $ par journée additionnelle, complète ou non. Décrire symboliquement la correspondance entre la durée et le coût de la location, en dénir le domaine de validité et la représenter graphiquement. Solution Soit x, le nombre de journées de location et C, le coût de la location. La fonction décrivant la correspondance entre la durée et le coût de la location est

Le modèle est valide pour x > 0 et la fonction est représentée ci-contre.

g)

3.2 Exercices 1. Les ensembles de couples suivants représentent des relations. Dénir en extension le domaine et le codomaine de chacune et déterminer celles qui constituent une fonction. Justier la réponse. a) {(2; 1), (3; 4), (3; 2), (5; 4)} b) {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)} c) {(a; 1), (b; 2), (c; 3), (d; 4)} 2. Dénir en extension le domaine et le codomaine des relations représentées par les graphiques suivants et déterminer celles qui constituent une fonction. Justier la réponse. a)

b)

c)

d)

h)

3. Associer chacune des équations suivantes à l’une des courbes A) à J). À l’aide de l’équation correspondante, déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe et des axes. a) y = 3 − x f) 4x2 + 9y2 = 36 b) y = x2 + 1 g) 4y2 = x c) y = x3 h) d) x2 + y2 = 4

i)

e) y = x(x + 2)(x − 4)

j)

A)

C)

B)

D)

e)

f)

Fonctions et modélisation

E)

H)

8. Déterminer le domaine des fonctions dénies par les règles de correspondance suivantes. a) f (x) = 3x − 5

F)

I)

G)

J)

4. Déterminer l’équation de la droite passant par les points donnés. a) (−3; 2) et (7; 1) c) (4; −7) et (−3; 3) b) (6; −3) et (−1; 5) 5. Déterminer l’équation de la droite passant par le point P et de pente a. a) P(8; 2), a = −1/5 c) P(2; −5), a = 4 b) P(−3; 2), a = 3/4 6. Déterminer la règle de correspondance de la relation réciproque de chacune des fonctions suivantes et représenter graphiquement chacune des fonctions polynomiales et sa relation réciproque. Indiquer lesquelles des relations réciproques sont des fonctions et justier ces choix. a) f (x) = 3x − 2 e) b) f (x) = −3x + 6

f)

c) f (x) = x2

g) f (x) = x3

d) f (x) = x2 − 2

h)

7. Déterminer les coordonnées des points représentant le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine des fonctions dénies par les règles de correspondance suivantes. a) f (x) = 2x − 5 f) b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

83

g)

b) f (x) = x3 − x2 + 3x − 1 h) c)

i)

d)

j)

e)

k)

f)

l)

9. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la préimage de 2, de −2 et de 5. Si une de ces valeurs n’a pas de préimage, expliquer pourquoi. a)

c)

b)

d)

10. Vous désirez installer une haie de cèdres autour de votre résidence et le spécialiste de l’aménagement paysager que vous consultez dit que le coût pour un tel travail comporte des frais xes de 50 $ pour le transport de l’équipement et des frais variables de 36 $ le mètre, qui incluent le creusage de la tranchée, la terre et les plants nécessaires. a) Quelles sont la variable indépendante et la variable dépendante dans ce cas ? b) Déterminer la fonction permettant d’évaluer le coût d’installation. c) Votre terrain mesurant 20 m de largeur sur 32 m de profondeur, déterminer le coût si on y installe une haie : sur un seul côté, sur les deux côtés, à l’arrière seulement, sur les côtés et à l’arrière. d) Vous consultez un autre entrepreneur qui déclare pouvoir installer une haie sur les deux côtés et à l’arrière pour la somme de 2 444 $. Sachant que les frais xes sont également de 50 $, déterminer le coût par mètre de la haie. 11. L’entreprise de construction qui vous emploie a recours à des sous-traitants pour la pose de la pelouse sur le terrain des édices qu’elle érige.

84

Chapitre 3

Deux compagnies proposent leurs services. La première demande 200 $ de frais xes et 7,50 $ le mètre carré ; la deuxième demande 80 $ de frais xes et 7,80 $ le mètre carré. a) Déterminer dans chaque cas le modèle mathématique décrivant le coût en fonction de la supercie de la pelouse. Représenter graphiquement les deux modèles dans un même système d’axes. b) Quel montant demandera chaque compagnie pour installer une pelouse de 300 m2 ? de 600 m2 ? c) À partir de quelle supercie la soumission du premier entrepreneur est-elle avantageuse ? 12. Déterminer par factorisation les zéros de chacune des fonctions quadratiques suivantes. Déterminer les coordonnées du point sommet et de l’ordonnée à l’origine, puis esquisser le graphique. a) f (x) = x2 − 5x + 6 d) f (x) = 16 − x2 2 b) f (x) = x − 6x + 9 e) f (x) = 4x − x2 c) f (x) = −x2 − x + 6 f) f (x) = x2 + 8x + 15 13. Utiliser la formule de résolution d’une équation quadratique pour déterminer les zéros de chacune des fonctions quadratiques suivantes. Déterminer les coordonnées du sommet et de l’ordonnée à l’origine, puis esquisser le graphique. a) f (x) = 2x2 − 3x − 20

d)

b) f (x) = 6x2 − x − 2 c) f (x) = 28 − x − 2x2

e) f (x) = x2 + 2x + 3 f) f(x) = −4x2 + 2x − 1

14. Une compagnie désire fabriquer des gouttières avec des feuilles d’aluminium de 27 cm de largeur en repliant les deux extrémités perpendiculairement à la base. La capacité de la gouttière dépend de l’aire du rectangle formé par les bords repliés.

a) Exprimer l’aire du rectangle en fonction de la largeur x. b) Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire du rectangle est de : 63 cm2, 76 cm2, 85 cm2. c) Déterminer la valeur de x pour laquelle la capacité est maximale. Quelle est alors l’aire du rectangle formé ?

15. Une entreprise de portes et fenêtres veut offrir une nouvelle fenêtre dont la forme est un rectangle surmonté d’un demi-cercle. Le périmètre de la fenêtre est de 8 m. a) Exprimer l’aire de la surface d’une fenêtre en fonction du rayon r du demi-cercle. b) Déterminer l’aire de la fenêtre si le rayon est de : 0,4 m, de 1 m, de 1,5 m. c) Déterminer le rayon pour lequel l’aire de la fenêtre est maximale. 16. Une compagnie utilise des feuilles de carton rectangulaires de 1,2 m sur 3 m pour fabriquer des contenants avec couvercle. Une presse découpe d’abord un carré et un rectangle de chaque côté de la feuille comme l’indique le plan suivant.

Puis, une autre machine plie la feuille suivant les pointillés et applique un ruban pour coller les côtés de la boîte. a) Exprimer le volume d’une boîte en fonction de x. b) Quel est le volume d’une boîte si le côté du carré mesure : 20 cm ? 40 cm ? 17. Une municipalité désire augmenter la supercie d’un parc de 240 m de longueur sur 160 m de largeur en en conservant la forme rectangulaire. Le projet consiste à ajouter des bandes de terrain d’égale largeur sur la longueur et la largeur du parc existant.

a) Exprimer l’aire du parc réaménagé en fonction de la largeur x des bandes. b) Calculer la largeur des bandes de terrain qu’il faut ajouter pour doubler la supercie du parc.

Fonctions et modélisation

18. On doit construire une conduite dont le diamètre intérieur est de 48 cm et qui contient deux conduites plus petites. Le plan en coupe est reproduit ci-contre. a) Exprimer l’aire totale des conduites intérieures en fonction du rayon de l’une des deux conduites. b) Calculer le rayon des conduites intérieures pour lequel la somme des aires est minimale. c) Calculer le rayon des deux conduites intérieures si la somme des aires est égale aux deux tiers de l’aire de la coupe de la conduite principale. 19. Le propriétaire de l’industrie qui vous emploie souhaite augmenter la supercie de son usine en l’agrandissant à l’arrière et sur un des côtés. Il souhaite que la largeur de l’agrandissement sur le côté de l’édice soit le double de la largeur de l’agrandissement à l’arrière. Les dimensions actuelles de l’édice sont de 16 m en façade et de 30 m sur le côté.

85

21. Déterminer le domaine, le codomaine, les coordonnées du sommet, les zéros et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes, et représenter graphiquement celles-ci. a) c) b) d) 22. Déterminer la préimage de 3 par les fonctions suivantes. a) c) b) d) 23. Représenter graphiquement la relation dénie par la règle de correspondance

a) Déterminer le domaine et le codomaine de cette relation. b) Cette relation est-elle une fonction ? Justier la réponse. 24. Représenter graphiquement la relation dénie par la règle de correspondance a) Déterminer le domaine et l’image de cette relation. b) Cette relation est-elle une fonction ? Justier la réponse.

a) Décrire l’aire de l’usine en fonction de la largeur x de l’agrandissement à l’arrière. b) Quelle doit être la valeur de x pour tripler l’aire actuelle de l’usine ?

25. En utilisant les valeurs absolues, écrire la règle de correspondance de chacune des fonctions représentées ci-dessous. a)

c)

b)

d)

20. Soit le point de coordonnées (x; y) de la diagonale du rectangle illustré.

a) Exprimer la somme des aires des rectangles ombrés en fonction de x. b) Déterminer les coordonnées du point (x; y) pour lequel la somme des aires est maximale.

26. Un réservoir contient 650 L de liquide. On désire vidanger le réservoir, puis le remplir de liquide

86

Chapitre 3

propre. Cependant, on ne vide jamais entièrement le réservoir, car cela pourrait endommager le système de pompage. En fait, on diminue le contenu à 50 L, puis on remplit le réservoir. Durant l’opération, le débit est de cinquante litres par minute (50 L/min). a) Représenter graphiquement le volume de liquide dans le réservoir t min après le déclenchement de l’opération de vidange. b) En utilisant les valeurs absolues, décrire algébriquement le volume de liquide dans le réservoir en fonction du temps t durant l’opération de vidange. c) Quel est le domaine de validité du modèle ? d) À l’aide du modèle, déterminer à quel moment le volume de liquide est de 300 L.

29. La municipalité ouvre une nouvelle aire de stationnement au centre-ville. Le coût du stationnement est de • 2,50 $ la première demi-heure ; • 1,50 $ par demi-heure additionnelle, complète ou non ; • 10,00 $ pour la journée. a) Décrire symboliquement la correspondance entre la durée du stationnement et le coût. b) Représenter graphiquement la fonction. c) Une étude préalable a permis d’établir que le stationnement devrait attirer en moyenne 180 utilisateurs par jour et que la durée moyenne pour un stationnement serait de 2 heures. Calculer le revenu journalier du stationnement si les prévisions se réalisent.

27. En utilisant une correspondance par parties, décrire algébriquement chacune des fonctions représentées ci-dessous.

30. On doit construire un pont pour traverser une rivière au fond d’un canyon escarpé. Dans le projet, le tablier est supporté par une forme parabolique. L’écartement entre les piliers de part et d’autre de la rivière est de 120 m et le tablier doit être à 40 m au-dessus des piliers. Les supports du tablier, appuyés sur la forme parabolique, doivent être distants de 15 m.

a)

c)

b)

d)

28. La grille de tarication d’Hydro-Québec pour la consommation domestique est la suivante.

a) Identier la variable indépendante et la variable dépendante du problème. b) Un client a consommé 1 890 kW.h durant une période de 36 jours. Déterminer le montant de sa facture. c) Un client a consommé 3 230 kW.h durant une période de 54 jours. Déterminer le montant de sa facture.

a) Déterminer l’équation de la partie supérieure de l’arche parabolique. b) Calculer la longueur des supports du tablier. 31. On construit un pont suspendu dont la distance entre les piliers doit être de 140 m. Les câbles principaux sont xés à ces piliers à 50 m du tablier et forment des paraboles. Dans la travée centrale, le câble principal descend à 5 m du tablier. Dans les travées aux extrémités, le câble principal descend jusqu’au tablier et forme une demi-parabole. Les câbles verticaux sont distants de 20 m.

Fonctions et modélisation

a) Déterminer l’équation f (x) de la parabole dans la partie centrale du pont. b) Calculer la longueur des câbles verticaux dans la travée centrale. c) Déterminer l’équation g(x) de la parabole dans l’extrémité gauche du pont. d) Calculer la longueur des câbles verticaux dans cette partie.

87

34. Une rivière coupe la ville en deux, et on doit construire un pont pour permettre aux piétons et aux cyclistes de traverser, sans toutefois gêner la navigation. Ce pont sera constitué de deux formes paraboliques de mêmes dimensions. L’une est inclinée à 45° et abrite le système de levage de la seconde partie qui laisse passer les bateaux.

32. On construit un pont dont le tablier et la structure de soutien forment des paraboles. La distance entre les piliers doit être de 150 m et celle entre les deux rives est de 300 m. Les câbles verticaux sont distants de 25 m à partir du centre de la parabole. Le système de levage comporte cinq câbles distants de 5 m les uns des autres et lorsque la seconde partie est relevée, elles forment toutes deux des angles de 45° avec l’horizontale. a) Déterminer l’équation de la parabole de soutien et celle du tablier du pont. b) Calculer la longueur des câbles verticaux dans la travée centrale. 33. On construit un pont suspendu dont la structure de soutien est formée de deux arcs paraboliques qui se joignent sur un pilier central à 30 m au-dessus du tablier. Les autres extrémités de ces arcs paraboliques sont au niveau du tablier. Les câbles de soutien verticaux sont distants de 17 m.

Les dimensions de ces formes paraboliques sont données dans le graphique suivant.

a) Déterminer l’équation de la parabole de soutien de la section de droite. b) Calculer la longueur des câbles verticaux dans cette travée.

a) Déterminer l’équation de ces paraboles. b) Calculer la longueur des câbles lorsque la traverse est abaissée et lorsque la traverse est relevée.

88

Chapitre 3

3.3 Fonction puissance Plusieurs phénomènes, dont les variations directement ou inversement proportionnelles, peuvent être décrits par une fonction puissance. REMARQUE

Dans la forme générale de la fonction puissance, a et b sont les paramètres.

Fonction puissance On appelle fonction puissance toute fonction de la forme f (x) = ax b, où a et b sont des constantes. Il n’y a pas de critère algébrique simple permettant de reconnaître une fonction puissance. Cependant, l’examen de la représentation graphique de données expérimentales aide à déterminer si un tel lien est possible. La fonction puissance prend différentes formes selon la valeur du para­ mètre b. Nous ne présentons ici que les formes correspondant à des valeurs positives de la variable indépendante x, car ce sont celles qu’on emploie en modélisation. Formes de la fonction puissance (x ≥ 0 et a > 0) Si b > 1

Si 0 < b < 1

Si b < 0

f (0) = 0

f (0) = 0

f (0) n’est pas déni

Cas particuliers de la fonction puissance Variation directement proportionnelle Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon directement proportionnelle à x si le lien entre les variables est de la forme y = ax, où le paramètre a est appelé constante de proportionnalité. REMARQUE

Mathématiquement, le domaine d’une variation directement proportionnelle est l’ensemble des nombres réels et le graphique se prolonge à moins l’inni. Dans la modélisation de données dont les valeurs sont positives, il n’est pas utile de considérer l’intervalle ]-∞ ; 0[.

Si la représentation graphique de données laisse supposer l’existence d’une proportionnalité directe, on peut conrmer cette hypothèse à l’aide d’un critère algébrique. Il suft de calculer pour chaque couple de correspon­ dances le rapport de la valeur de y sur la valeur de x. Si les quotients sont relativement constants, cela conrme l’existence d’un lien de proportion­ nalité directe.

Fonctions et modélisation

89

EXEMPLE 3.3.1

L’industrie qui vous emploie produit des poutres de différentes dimensions et vous devez déterminer la charge que ces poutres (de même longueur et de même épaisseur, mais de différentes largeurs) peuvent supporter sans se déformer. Vous avez effectué des essais et avez relevé, pour chacune des largeurs testées, la charge maximale avant déformation. Les données que vous avez recueillies sont consignées dans le tableau suivant. Données expérimentales x (cm)

4

6

8

10

12

14

16

C (kg)

148

224

300

378

446

516

594

a) Représenter graphiquement les données du tableau. Quelle hypothèse peut-on poser sur le lien entre les variables ? b) Conrmer l’existence de ce lien à l’aide d’un critère algébrique. Solution a) Le nuage de points formé par les données du tableau évoque une droite passant par l’origine. On peut donc supposer que le lien entre les variables est une variation directement proportionnelle. b) Le tableau suivant donne les quotients de la charge sur la largeur des poutres. Calcul des quotients x (cm)

4

6

8

10

12

14

16

C (kg)

148

224

300

378

446

516

594

37,00

37,33

37,50

37,80

37,17

36,86

37,12

C/x

On constate que, si la valeur de x est non nulle, le quotient C/x est relativement constant, ce qui conrme l’existence d’un lien de variation directement proportionnelle. Cependant, le quotient n’est pas parfaitement constant. En choisissant comme constante la moyenne arrondie à deux décimales, on obtient a = 37,25. Le modèle est donc y = 37,25x. Règle de trois Lorsque la relation entre deux variables est une variation directement proportionnelle, on peut utiliser une règle de trois pour calculer une valeur inconnue. Soit (c; f(c)) et (d; f(d)) deux couples d’une relation directement proportionnelle. On a alors

d’où l’on tire c • f (d ) = d • f (c). EXEMPLE 3.3.2

Une sculpture en bronze doit être réalisée conformément à un modèle en pin blanc dont la masse est de 8,6 kg. La masse volumique du pin blanc est de 0,42 × 103 kg/m3, et celle du bronze, de 8,5 × 103 kg/m3.

REMARQUE

Pour appliquer le critère permettant de conrmer l’existence d’une variation directement proportionnelle, on n’a pas besoin d’avoir des données à pas constant. Des données à pas variable s’utilisent de la même façon.

90

Chapitre 3

REMARQUE

La masse de deux solides ayant un même volume mais constitués de matériaux différents est proportionnelle à la masse volumique des matériaux dont sont constitués les solides.

a) Déterminer le volume de la sculpture. b) Déterminer la masse de la sculpture en bronze. Solution a) Soit : Ma, la masse du modèle en kilogrammes (kg) et Va, le volume du modèle en mètres cubes (m3). La masse d’un solide est directement proportionnelle à son volume et la constante de proportionnalité est la masse volumique du matériau dont est constitué le solide. Pour un objet en pin, on a donc

Il faut calculer le volume Va du modèle en pin, sachant que sa masse est Ma = 8,6 kg. En isolant Va et en remplaçant Ma par sa valeur, on obtient

Puisque la sculpture doit être de même volume que le modèle, on retient 0,020 m3 comme volume de la sculpture. b) Soit : Mb, la masse de la sculpture en kilogrammes (kg) et Vb, le volume de la sculpture en mètres cubes (m3). La masse d’un solide est directement proportionnelle à son volume et la constante de proportionnalité est la masse volumique du matériau dont est constitué ce solide. Pour un objet en bronze, on a

On connaît le volume et on veut déterminer la masse de la sculpture en bronze. On isole donc Mb dans cette relation : Mb = (8,5 × 103 kg/m3)Vb. On a calculé que le volume est de 0,020 476... m3. Donc, Mb = 8,5 × 103 kg/m3 × 0,020 476... m3 = 174,047 6... kg. On retient 170 kg (ou 1,7 × 102 kg) comme masse de la sculpture en bronze.

Variation inversement proportionnelle Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon inversement proportionnelle à x si le lien entre les variables est de la forme y = ax −1 = où le paramètre a est appelé constante de proportionnalité.

Fonctions et modélisation

91

La courbe d’une variation inversement proportionnelle est décroissante et concave vers le haut. Si la représentation des données laisse supposer l’existence d’une proportionnalité inverse, on peut conrmer l’existence de ce lien à l’aide d’un critère algébrique. Il suft de calculer pour chaque couple de correspondances le produit de la valeur de y et de la valeur de x. Si les produits sont relativement constants, cela conrme l’existence d’un lien de proportionnalité inverse. Variation directement proportionnelle au carré Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon directement proportionnelle au carré de x si le lien entre les variables est de la forme y = ax 2, où le paramètre a est appelé constante de proportionnalité. La courbe d’une variation directement proportionnelle au carré est croissante et concave vers le haut. Variation inversement proportionnelle au carré Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon inversement proportionnelle au carré de x si le lien entre les variables est de la forme y = ax −2 = où le paramètre a est appelé constante de proportionnalité. Si on suppose l’existence d’une proportionnalité directe au carré, on peut conrmer algébriquement cette hypothèse en calculant pour chaque couple de correspondances le rapport de y sur le carré de x. Si les quotients sont relativement constants, cela conrme l’existence du lien de proportionnalité. Pour conrmer l’existence d’une proportionnalité inverse au carré, on calcule pour chaque couple de correspondances le produit de la valeur de y et du carré de x. Si les produits sont relativement constants, cela conrme l’existence du lien de proportionnalité. PROCÉDURE Pour décrire algébriquement un lien de variation directe ou inverse

1. Identier la variable indépendante et la variable dépendante, et représenter graphiquement les données. 2. Poser, à l’aide du graphique, l’hypothèse d’un lien entre les variables. 3. Conrmer l’existence du lien décelé en vériant que les données satisfont au critère algébrique caractérisant ce type de lien. 4. Déterminer, à l’aide des données et de la forme générale de la relation, les valeurs des paramètres du phénomène étudié.

REMARQUE

Mathématiquement, le domaine d’une variation inversement proportionnelle est l’ensemble des nombres réels sauf 0. Dans la modélisation de données dont les valeurs sont positives, il n’est pas utile de considérer l’intervalle ]−∞ ; 0[.

92

Chapitre 3

5. Utiliser le modèle pour analyser la situation ou répondre aux questions. 6. Rédiger la réponse au problème posé en interprétant correctement les résultats compte tenu du contexte. EXEMPLE 3.3.3

On a soumis des poutres d’un même matériau ayant la même largeur et la même longueur mais différentes épaisseurs à des essais pour déterminer la charge que ces poutres peuvent supporter sans se déformer. Pour chacune des épaisseurs testées, on a noté la charge maximale avant déformation. Les données sont consignées dans le tableau suivant. Données expérimentales x (cm)

4

6

8

10

12

14

16

C (kg)

150

335

595

920

1 330

1 815

2 370

a) Construire un modèle mathématique qui décrit la correspondance entre les variables. b) À l’aide du modèle, déterminer la charge que peut supporter une poutre dont l’épaisseur est de 7 cm. Solution a) Pour déceler visuellement le type de relation qui décrit ce phénomène, on représente graphiquement les données. La forme générale du lien est celle d’une variation directement proportionnelle au carré : C = ax 2. On conrme algébriquement cette hypothèse en calculant les rapports qui sont donnés dans le tableau suivant. Calcul des quotients x (cm)

4

6

8

10

12

14

16

C (kg)

150

335

595

920

1 330

1 815

2 370

C/x2

9,375

9,306

9,297

9,200

9,236

9,260

9,258

En posant a = 9,28, soit la moyenne arrondie à trois chiffres signicatifs, on a C(x) = 9,28x2. b) Pour une épaisseur de 7 cm, on a C(7) = 9,28 × 72 = 455 kg.

EXEMPLE 3.3.4

On a soumis des poutres d’un même matériau ayant la même largeur et la même épaisseur mais différentes longueurs à des essais pour déterminer la charge que ces poutres peuvent supporter sans se déformer. Pour chacune des longueurs testées, on a noté la charge maximale que supporte la poutre avant de se déformer. Les données sont consignées dans le tableau suivant.

Fonctions et modélisation

93

Données expérimentales x (m)

2

4

6

8

10

12

14

C (kg)

4 804

2 401

1 595

1 205

958

809

690

a) Construire un modèle mathématique qui décrit la correspondance entre les variables. b) À l’aide du modèle, déterminer la charge que peut supporter une poutre dont la longueur est de 9 m. Solution

On conrme l’existence de l’un de ces liens en calculant les produits Cx et, si ces produits ne sont pas relativement constants, les produits Cx2. On obtient ainsi les valeurs consignées dans le tableau suivant. Calcul des produits x (m)

2

4

6

8

10

12

14

C (kg)

4 804

2 401

1 595

1 205

958

809

690

Cx

9 608

9 604

9 570

9 640

9 580

9 708

9 660

On constate que le produit Cx est relativement constant. On peut donc considérer que le modèle le plus plausible est une variation inversement proportionnelle. Cependant, le produit n’est pas parfaitement constant. On prend comme valeur de la constante la moyenne, arrondie à quatre chiffres signicatifs, des valeurs dans la ligne Cx, soit 9 624. Le modèle est donc

b) Une poutre dont la longueur est de 9 m peut supporter la charge suivante :

EXEMPLE 3.3.5

On a relevé expérimentalement les correspondances regroupées dans le tableau suivant. Construire un modèle mathématique permettant de décrire la correspondance entre les variables. Données expérimentales x

0,0

3,2

5,5

7,3

9,2

11,4

12,7

13,8

y

0,0

4,3

5,7

6,6

7,4

8,2

8,7

9,0

C 5 600 4 800

Charge (kg)

a) Pour déceler visuellement le type de relation qui décrit ce phénomène, on représente graphiquement les données. La représentation graphique est une courbe décroissante et concave vers le haut. De plus, la relation ne semble pas dénie à x = 0. On peut donc poser l’hypothèse d’un lien de proportionnalité inverse ou inverse au carré.

4 000 3200 2 400 1 600 800 0

2

4

6

8 10 12 14 16 18 x

Longueur (m)

94

Chapitre 3

Solution La représentation graphique est une courbe croissante et concave vers le bas. De plus, la relation est dénie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0. On pose donc l’hypothèse qu’il existe entre les variables un lien de puissance y = ax b, où 0 < b < 1. Nous ne sommes pas en mesure actuellement d’inrmer ou de conrmer l’hypothèse de l’exemple 3.3.5 à l’aide d’un critère algébrique. Toutefois, on peut conrmer une hypothèse lorsque la relation est de la forme y = ax b, où b ∈ {−2; −1; 1; 2}.

Variations mixtes On rencontre souvent des variations mixtes, c’est-à-dire qu’une variable peut dépendre de plusieurs autres variables mais, pour étudier plus précisément la relation entre deux de ces variables, on considère les autres comme des constantes. Lorsque le type de lien entre les variables est connu, on utilise les données du problème pour déterminer la valeur des paramètres de la règle de correspondance. EXEMPLE 3.3.6

Une poutre soutenue aux deux extrémités peut porter en toute sécurité une charge proportionnelle au produit de sa largeur et du carré de son épaisseur et inversement proportionnelle à la distance entre les deux supports. Sachant qu’une poutre de 6 cm de largeur et de 12 cm d’épaisseur soutenue par des supports espacés de 2 m peut porter une charge de 240 kg, déterminer la relation entre ces variables. Quelle charge peut supporter une poutre semblable mesurant 3 m de longueur ? Solution On représente la charge que la poutre peut supporter par C, l’épaisseur de la poutre par h, sa largeur par λ (lambda) et la distance entre les supports par d. L’énoncé du problème permet d’écrire la relation mixte suivante : REMARQUE

Dans une proportionnalité mixte, le « et » se traduit par une multiplication. Ainsi, « proportionnelle au produit de sa largeur par le carré de son épaisseur et inversement proportionnelle à la distance » s’écrit symboliquement , ce qui, après simplication, donne

où k est une constante de proportionnalité. On détermine cette constante à l’aide des données en substituant celles-ci aux variables dans la forme générale de la relation

En isolant k, on obtient La relation est donc

Fonctions et modélisation

Si la largeur est de 6,0 cm et l’épaisseur, de 12,0 cm, le modèle décrivant la relation est alors

On veut déterminer la charge que peut porter une poutre de même largeur, de même épaisseur et du même matériau, mais de 300 cm de longueur. Par substitution dans la relation, on obtient

Puisque les données du problème ne comportent que deux chiffres signicatifs, on conserve 160 kg comme charge que la poutre peut supporter. Contraintes dans une poutre En résistance des matériaux, on considère qu’une tige ou une poutre est composée de sections transversales reliées entre elles par une multitude de « ressorts », soit les liaisons chimiques. Si on applique une force extérieure à une tige ou à une poutre, celle-ci se déforme et les « ressorts » reliant les sections entre elles tendent à lui faire retrouver sa forme initiale. La contrainte subie est le rapport de la force exercée (en newtons) sur l’aire de la section de la poutre (en mètres carrés). On rencontre deux types de contraintes : une contrainte normale, c’est-à-dire perpendiculaire à une section de la poutre, notée s (sigma), et une contrainte de cisaillement, parallèle à une section de la poutre et notée t (tau). Dans chaque cas, la contrainte est le rapport de la force sur l’aire de la section, soit

Dans le système métrique, la contrainte se mesure en N/m2 (Pa) et dans le système anglais, en lb/po2 (psi). En pratique, le pascal est une unité trop petite et on utilise couramment le kilopascal (kPa), le mégapascal (MPa) et le gigapascal (GPa). EXEMPLE 3.3.7

Un pilier creux de forme cylindrique ayant un diamètre extérieur de 250 mm et un diamètre intérieur de 160 mm supporte une masse de 120 kN. Calculer la contrainte de compression dans le pilier. Solution La force de réaction est égale à la force due à la gravitation par la masse que le pilier doit supporter, soit F = 120 000 N. L’aire de la section est la différence entre l’aire du cercle extérieur et celle du cercle intérieur. En exprimant les diamètres en mètres, on a

95

96

Chapitre 3

La contrainte de compression est le rapport de la force sur l’aire de la section

On arrondit à deux chiffres signicatifs et on retient 4,1 MPa. En réaction à une force normale, une tige se raccourcit ou s’allonge et cette déformation est représentée par ΔL = L′ – L, où L′ est la longueur après déformation et L est la longueur initiale. Le rapport ΔL sur L est appelé déformation unitaire et est noté ε (epsilon),

Dans ce calcul, les unités se simplient et on obtient une proportion qui n’a pas d’unités. EXEMPLE 3.3.8

Un câble de 180 m de longueur et de 4 cm de diamètre mesure 60 mm de plus lorsqu’il supporte une charge de 4 200 N. Calculer la contrainte subie et la déformation unitaire. Solution REMARQUE

La déformation unitaire permet de comparer la réaction de divers matériaux à l’action d’une force.

La contrainte est le rapport de la force sur l’aire d’une section du câble dont le rayon est 0,02 m :

La contrainte est de 3,3 MPa. On exprime l’élongation en mètres, ΔL = 0,060 m, puis on calcule la déformation unitaire :

La déformation unitaire est de 0,000 33 ou 0,033 %. Plus la contrainte développée est forte, plus la déformation unitaire du matériau est importante. On peut facilement tester un matériau en labora­ toire en lui appliquant diverses forces et en mesurant sa déformation pour chaque force appliquée. EXEMPLE 3.3.9

On a étudié en laboratoire les déformations d’une tige d’acier de 2,5 m de longueur et de 1,2 cm de diamètre en lui appliquant diverses tractions. Le tableau suivant donne la traction appliquée et l’élongation résultante. Données expérimentales F (kN)

0,9

1,1

1,3

1,5

1,8

2,1

Δ L (mm)

0,96

1,17

1,39

1,60

1,92

2,24

Fonctions et modélisation

a) Calculer dans chaque cas la contrainte subie et la déformation unitaire. b) Représenter graphiquement la relation entre la déformation unitaire et la contrainte en considérant la déformation unitaire sur l’axe horizontal. c) Déterminer un modèle décrivant le lien entre la déformation et la contrainte. Solution a) En calculant la contrainte et la déformation dans chaque cas, on obtient les données du tableau suivant. Contrainte et déformation unitaire F (kN)

0,9

1,1

1,3

1,5

1,8

2,1

∆ L (mm)

0,96

1,17

1,39

1,60

1,92

2,24

σ (MPa)

8,0

9,7

13,3

15,9

18,6

ε (%)

0,038

0,047

0,064

0,077

0,090

11,5 0,056

b) Le nuage de points de la représentation graphique semble former une droite passant par l’origine puisque σ = 0 si ε = 0. La relation devrait être une variation directement proportionnelle. c) Pour conrmer l’hypothèse faite en b), il faut calculer les rapports σ/ε:

En poursuivant, on obtient le tableau suivant.

Les rapports sont relativement constants et la valeur moyenne, 20,7 GPa, est la constante de proportionnalité. La relation entre la déformation unitaire et la contrainte est donc σ = 20,7ε GPa. Module de Young En augmentant la traction sur la tige dont il est question à l’exemple 3.3.9, on obtiendrait un graphique analogue à celui représenté à la page suivante. Il est formé de deux parties : la région élastique et la région plastique. Dans la région élastique, l’objet reprend sa forme initiale lorsqu’on cesse d’appliquer la force externe ; elle est caractérisée par le fait que la contrainte est directement proportionnelle à la déformation unitaire.

97

98

Chapitre 3

Le graphique est une droite dont la pente est appelée module de Young ou module d’élasticité, lequel est noté E. La relation s’écrit s = Ee, où s est la contrainte interne du matériau, E est le module de Young et e est la déformation unitaire. Chaque matériau réagit différemment pour une même contrainte. Par exemple, l’aluminium se déforme plus facilement que l’acier et a donc un module de Young moins élevé que l’acier. Ce module est une caractéris­ tique de chaque matériau. Dans la région plastique, la contrainte ne croît plus de façon linéaire, mal­ gré une augmentation importante de la déformation unitaire. L’objet est déformé de façon permanente. À partir du sommet de la courbe qui repré­ sente la contrainte ultime que le matériau peut opposer à la force externe, le matériau ne résiste plus. Le processus de rupture est amorcé, ce qui a pour effet de diminuer la contrainte interne.

Un peud’histoire

CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB 1736-1806

C

harles Augustin de Coulomb naquit à Angoulême, en France, le 14 juin 1736 et il mourut à Paris le 23 août 1806. Il travailla neuf ans comme ingénieur militaire aux Indes orientales mais, éprouvant des ennuis de santé, il démissionna au début de la Révolution française pour se consacrer à ses recherches scientiques. Celles-ci portaient notamment sur la mécanique appliquée, mais il est surtout connu pour ses travaux en électricité et en magnétisme. Il établit les bases de la théorie de la résistance des matériaux (1773) et découvrit les lois de la torsion (1784). Il construisit une balance de torsion à l’aide de laquelle il démontra expérimentalement que la force d’attraction (ou de répulsion) de deux charges électriques est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les charges. Cette loi est le fondement de la théorie mathématique du magnétisme de Siméon Denis Poisson.

La balance de torsion Une balance de torsion est constituée d’un réceptacle en verre dans lequel un l supporte une tige dont une extrémité porte une bille de sureau et l’autre, un disque faisant contrepoids. Un petit miroir xé au système d’attache du l et de la tige rééchit un rayon lumineux sur une règle graduée. Par un petit orice, on insère une deuxième tige portant une bille de sureau maintenue par une pince, puis on insère une troisième tige chargée par frottement. Lorsque cette dernière entre en contact avec la bille de

la deuxième tige, la charge est transférée. La bille de la deuxième tige repousse alors celle à l’extrémité de la tige supportée par le l. Celui-ci se tord et le point lumineux se déplace sur la règle, ce qui permet de quantier l’effet de la force selon la distance entre les billes. De cette façon, Coulomb établit que la force mutuelle entre deux objets chargés est proportionnelle au produit de leurs charges (positive ou négative) et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

où q1 et q2 sont les charges, r est la distance et k, une constante.

Fonctions et modélisation

99

Un peud’histoire

LA MODÉLISATION DU XVI e AU XIX e SIÈCLE

Galilée, le précurseur La modélisation à l’aide de données observées pour établir un lien entre deux variables remonte à l’époque de Galilée (1564-1642). Dans les situations qu’il étudia, soit le mouvement du pendule et la chute des corps, l’une des variables est le temps.

Le tube capillaire contient une goutte de mercure qui emprisonne un échantillon d’air. Si on plonge le tube capillaire dans des liquides à différentes températures, le piston de mercure monte ou descend de manière à maintenir une pression constante. Ainsi, à pression constante, le volume d’un gaz augmente avec la température.

Boyle, l’étude des gaz C’est le chimiste anglais Robert Boyle (1627-1691) qui fut le premier à étudier des phénomènes dans lesquels le temps n’est pas une variable. Il réalisa une expérience sur les gaz qui consistait à en emprisonner une certaine quantité dans un tube recourbé en y versant du mercure. En augmentant la quantité de mercure dans le tube, ce qui accroît la pression subie par le gaz, il constata que le volume de celui-ci diminue à mesure que la pression augmente. Dans cette expérience, il est simple de calculer le volume occupé par le gaz puisque la colonne est cylindrique. On a en effet V = 2πrh, où h est la hauteur de la colonne de gaz. La pression, exprimée en pouces de mercure, est égale à la différence de niveau ∆n (voir la gure ci-dessous). En mesurant le volume pour différentes pressions, Boyle obtint un ensemble de données dont la description mathématique fut réalisée par le physicien anglais Richard Towneley (1629-1707), qui fut le premier à concevoir et à énoncer la loi décrivant les résultats de Boyle et connue sous le nom de Boyle-Mariotte, car elle fut également énoncée en 1661 par le Français Edme Mariotte (1620-1684). Towneley constata que le produit de la pression par le volume est constant, ce qui s’exprime par la relation pV = a, où p est la pression. On mesurait celle-ci en pouces de mercure (po de Hg) à l’époque de Boyle, et on la mesure maintenant en kilopascals (kPa).

réalisant l’expérience suivante. Quand on verse une goutte de mercure dans un tube capillaire, celle-ci emprisonne un échantillon d’air au fond du tube. Puisque le diamètre intérieur de celui-ci est uniforme, la hauteur de la colonne d’air donne la mesure du volume. Le bouchon de mercure agit alors comme un piston : il monte ou descend pour maintenir la pression constante. L’expérience de Charles révèle que le volume d’un gaz ne dépend pas seulement de la pression mais également de la température. On a donc une variation mixte reliant le volume, la pression et la température. En gardant la température constante, on retrouve la loi de Boyle et, en gardant la pression constante, on retrouve la loi de Charles, V = bT, où b est une constante.

Avogadro L’étude des gaz s’est poursuivie et, en 1811, le chimiste italien Amadeo Avogadro (1776-1856) postula que des volumes de gaz égaux, maintenus à une même température et à une même pression, contenaient le même nombre de particules. C’est la loi d’Avogadro, qui, mathématiquement, s’écrit V = an, où V est le volume du gaz en litres (L), a est une constante de proportionnalité et n est le nombre de moles. En combinant les trois lois, on obtient la relation pV = nRT, appelée loi des gaz parfaits, où T est la température en kelvins et R est une constante de proportionnalité qu’on appelle constante molaire des gaz. Lorsque la pression est en kilopascals (kPa) et le volume en litres, la constante molaire des gaz, R, vaut 8,314 J.mol−1.K−1.

Charles, le volume et la température En 1787, le physicien français Jacques Charles (1746-1823) étudia les effets quantitatifs de la température sur les gaz. Il constata que tous les gaz se dilatent d’une même fraction de leur volume initial lorsqu’on élève leur température d’un même nombre de degrés. Il découvrit cette relation en

Depuis, la modélisation de données quantitatives s’est avérée très fructueuse, car elle a permis d’établir plusieurs lois dans tous les domaines de la science et des techniques. Les mathématiques ont servi à élaborer plusieurs autres modèles de phénomènes physiques. Nous en présentons quelques-uns dans le présent ouvrage.

100

Chapitre 3

3.4 Exercices 1. On a soumis des poutres d’un même matériau ayant la même largeur et la même épaisseur mais différentes longueurs à des essais an de déterminer la charge qu’elles peuvent supporter sans se déformer. Pour chacune des longueurs testées, on a noté la charge maximale avant déformation. Les données sont consignées dans le tableau suivant.

a) Construire un modèle mathématique qui décrit la correspondance entre les variables. b) À l’aide du modèle, déterminer la charge que peut supporter une poutre dont la longueur est de 9 m. 2. On a mesuré le volume occupé par 32 g d’oxygène à 0 °C en faisant varier la pression exercée sur le gaz et on a obtenu les valeurs du tableau suivant.

3. On a mesuré la puissance dissipée dans une résistance en faisant varier le courant qui y circule. On a établi les correspondances du tableau suivant.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique de la relation entre les variables la représentation graphique suggère-t-elle ? Justier la réponse. c) Conrmer l’existence du lien décrit en b). d) Décrire mathématiquement la correspondance. 4. On a réalisé une expérience avec un réservoir de 12 m de hauteur rempli d’eau. Une ouverture aménagée dans la paroi, à la base du réservoir, laisse s’écouler l’eau. On a mesuré la vitesse d’éjection de l’eau en tenant compte de la hauteur de la colonne d’eau au-dessus de l’ouverture. Les données sont regroupées dans le tableau suivant.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique de la relation entre les variables la représentation graphique suggère-t-elle ? Justier la réponse. c) Conrmer l’existence du lien décrit en b). d) Décrire mathématiquement la correspondance.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique de la relation entre les variables la représentation graphique suggère-t-elle ? Justier la réponse.

Fonctions et modélisation

101

c) Selon l’équation de Bernoulli sur le mouvement des liquides incompressibles, la vitesse d’éjection de l’eau par une petite ouverture aménagée dans la paroi à une profondeur h est v = (2gh)1/2 où g = 9,81 m/s2.

d) Galilée a énoncé la loi suivante : « Le rapport des distances parcourues par un corps en chute libre est proportionnel au carré des temps. » Cette afrmation est-elle conforme au modèle que vous avez établi ?

Déterminer si les données expérimentales conrment la validité de ce modèle.

6. Dans un circuit comprenant une source de tension constante et une résistance variable, on a mesuré le courant en faisant varier la résistance et on a obtenu les valeurs suivantes.

5. Dans ses expériences sur la chute des corps, Galilée a utilisé un plan qu’il pouvait incliner selon différents angles. Il en a laissé la description suivante : « On utilise un plan incliné de 12 coudées environ (1 coudée ou brasse orentine vaut 0,583 m), large d’une demi-coudée et épais de trois doigts, dans lequel a été creusé un canal parfaitement rectiligne d’une largeur à peine supérieure à un doigt, à l’intérieur duquel peut glisser une boule de bronze très dure, parfaitement arrondie et polie. » Pour chaque inclinaison, Galilée a utilisé comme unité la distance parcourue durant le premier intervalle de temps.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique de la relation entre les variables la représentation graphique suggère-t-elle ? Justier la réponse. c) Conrmer l’existence du lien décrit en b). d) Décrire mathématiquement la correspondance. 7. On a mesuré le volume occupé par 32 g d’ammoniac à 0°C en faisant varier la pression exercée sur le gaz et on a obtenu les valeurs du tableau suivant.

Il a constaté que, quelle que soit l’inclinaison, la distance parcourue durant le deuxième intervalle de temps est trois fois celle qui est parcourue durant le premier intervalle ; la distance parcourue durant le troisième intervalle est cinq fois celle qui est parcourue durant le premier intervalle ; et qu’en général, la distance parcourue durant le n-ième intervalle est la distance parcourue durant le premier intervalle multipliée par le n-ième nombre impair. a) Construire un tableau donnant les correspondances entre le temps écoulé et la distance totale parcourue. b) Représenter graphiquement les données. Décrire la forme de la courbe et formuler une hypothèse sur le lien entre les variables. c) Construire un modèle mathématique qui décrit la correspondance entre les variables.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique de la relation entre les variables la représentation graphique suggère-t-elle ? Justier la réponse.

102

Chapitre 3

c) Conrmer l’existence du lien décrit en b). d) Décrire mathématiquement la correspondance. 8. Un poids de 210 kN s’exerce sur un pilier creux ayant la forme d’un cylindre dont le diamètre extérieur est de 210 mm et le diamètre intérieur, de 140 mm. Calculer la contrainte de compression dans le pilier.

9. Sachant qu’une longueur x de 5 cm sur une carte correspond à une distance y de 100 km, quelle distance est représentée par 3 cm ? 8 cm ? Quelle longueur représenterait une distance de 125 km ? de 275 km ? 10. Un pilier creux de forme carrée de 25 cm de côté et dont le côté du carré intérieur mesure 15 cm supporte une masse de 180 kN. Calculer la contrainte de compression dans le pilier.

11. La masse de deux solides ayant le même volume, mais faits de matériaux différents, est proportionnelle à la masse volumique des matériaux qui les constituent. Une sculpture en bronze doit être réalisée conformément à un modèle en pin blanc dont la masse est de 5,4 kg. Sachant que la masse volumique du pin blanc est de 0,42 × 103 kg/m3 et que celle du bronze est de 8,5 × 103 kg/m3, calculer : a) le volume de la sculpture ; b) la masse de la sculpture en bronze. 12. Un câble de 120 m de longueur et de 4,2 cm de diamètre s’étire de 40 mm si on y suspend une charge de 5 600 N. Calculer la contrainte qui s’exerce sur le câble et la déformation unitaire de celui-ci.

13. La distance parcourue par une automobile se déplaçant à vitesse constante est directement proportionnelle à sa vitesse et à la durée du parcours. Une automobile a parcouru une distance de 180 km en deux heures et quart. a) Calculer la vitesse de l’automobile. b) Déterminer le modèle mathématique qui décrit la distance parcourue selon le temps. c) Calculer le temps nécessaire pour parcourir 500 km à la même vitesse. d) Représenter graphiquement le modèle mathématique décrivant ce phénomène. 14. Un poids de 400 kN s’exerce sur un pilier cylindrique de béton de 24 cm de diamètre. a) Calculer la contrainte dans le pilier. b) Par mesure de sécurité, on veut que le pilier puisse supporter trois fois la charge qui lui est appliquée. Quelle serait dans ce cas la contrainte dans le pilier ? c) Si la contrainte admissible du béton utilisé est de 15 MPa, quel devrait être le diamètre minimal du pilier pour qu’il puisse supporter trois fois la charge qui lui est appliquée sans déformation permanente ? 15. On veut appliquer une traction de 18 kN à une tige d’acier AISI 1045 de 3,2 m de longueur et de 1,5 cm de diamètre. a) Étant donné que la contrainte de limite élastique de ce type d’acier est de 414 MPa, déterminer s’il est sécuritaire d’appliquer une telle traction à la tige. b) Le module de Young de l’acier AISI 1045 est E = 207 GPa. Calculer la déformation unitaire de la tige. c) Calculer la déformation totale de la tige. d) Montrer que la déformation totale est donnée par la relation de Hooke, soit

e) À l’aide de la relation de Hooke, calculer la déformation totale dans le cas où on applique une traction de 24 kN à une tige de 4,5 m de longueur et de 1,2 cm de diamètre faite du même type d’acier. f) Dans le cas décrit en e), quelle traction faut-il exercer sur la tige pour que l’élongation soit de 6 mm ?

Fonctions et modélisation

16. On veut appliquer une traction de 5 kN à une tige de 2,8 m de longueur et de 1,8 cm de diamètre faite d’aluminium commun. a) Étant donné que la contrainte de limite élastique de ce type d’alumi nium est de 276 MPa, déterminer s’il est sécuritaire d’appliquer une telle traction à la tige. b) Le module de Young de l’aluminium commun est E = 69 GPa. Calculer la déformation unitaire de la tige. c) Calculer la déformation totale de la tige. d) À l’aide de la relation de Hooke, vérier le résultat obtenu en c). e) Quelle traction faut-il exercer sur la tige pour que la déformation unitaire soit de 32 mm ? 17. Une poutre soutenue à chaque extrémité peut porter en toute sécurité une charge proportionnelle au produit de la largeur par le carré de l’épaisseur et inversement proportionnelle à la distance entre les supports. a) Sachant qu’une telle poutre de 8 cm de largeur sur 10 cm d’épaisseur, dont les supports sont distants de 2,4 m, peut porter une charge de 400 kg, déterminer la constante de proportionnalité en kg/cm2. b) Représenter dans un tableau la charge que peut supporter une poutre du même matériau, ayant la même longueur et la même épaisseur, mais une largeur de : 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm. Représenter les données graphiquement. c) Représenter dans un tableau la charge que peut supporter une poutre du même matériau ayant 8 cm de largeur, 2,4 m de longueur et dont l’épaisseur est de : 8 cm, 10 cm, 12 cm, 14 cm. Représenter les données graphiquement. d) Représenter dans un tableau la charge que peut supporter une poutre du même matériau ayant 8 cm de largeur, 10 cm d’épaisseur et dont la longueur est de : 2,0 m, 2,2 m, 2,4 m, 2,6 m, 2,8 m, 3,0 m. Représenter les données graphiquement. 18. L’intensité de l’éclairement en un point donné est proportionnelle à l’intensité de la source lumineuse et inversement proportionnelle au carré de la distance à la source. Si un lecteur bénécie d’un éclairement convenable avec une ampoule de 60 W à 1,0 m de la page, quelle est la puissance d’une ampoule pour que l’éclairement soit identique à une distance de 1,3 m ?

103

19. La distance parcourue par un corps en chute libre varie comme le carré du temps. Si un corps tombe de 4,9 m durant la première seconde, quelle distance parcourt-il durant les trois premières secondes ? Quel temps prendra-t-il pour parcourir les 30 premiers mètres ? 20. La force exercée par le vent sur une vitre varie comme le produit de l’aire de la vitre et du carré de la vitesse du vent. Si la force exercée sur une surface de 0,25 m2 est de 50 N lorsque la vitesse du vent est de 20 km/h, quelle est la force exercée sur une surface de 1,6 m2 lorsque la vitesse du vent est de 32 km/h ? Calculer la pression qui s’exerce sur la vitre. 21. La distance de l’horizon en mer varie comme la racine carrée de la hauteur du point d’observation au-dessus du niveau de la mer. Si la lampe d’un phare située à 60,0 m au-dessus du niveau de la mer cesse d’être visible à une distance de 25 km, à quelle distance le phare d’un bateau situé à 12,0 m au-dessus de l’eau cesse-t-il d’être visible ? Un phare doit être érigé sur un promontoire situé à 30 m au-dessus du niveau de la mer. Quelle doit être la hauteur du phare pour que sa lumière soit visible à 40 km ? 22. Un cycliste pédalant à un rythme constant estime que ses roues, dont le diamètre est de 0,8 m, font 4 tours à la seconde. a) Déterminer la distance qu’il parcourt en dix secondes. b) Déterminer la distance qu’il parcourt en deux minutes. 23. L’aire de la surface d’une sphère varie comme le carré de son rayon. Si l’aire d’une sphère de 3 cm de rayon est égale à 36π cm2, quelle est l’aire d’une sphère de 8 cm de rayon ? de 17 cm de rayon ? 24. Le volume d’une sphère varie comme le cube de son rayon. Si le volume d’une sphère de 6 cm de rayon est égal à 288π cm3, quel est le volume d’une sphère de 12 cm de rayon ? de 15 cm de rayon ? 25. On veut utiliser des piliers en bois de section carrée pour supporter une structure. La longueur de chaque pilier est de 5 m et le côté de la section carrée est de 20 cm. On estime que la charge exercée sur chaque pilier sera de 12 kN. a) Étant donné que la contrainte de limite élastique du bois à la compression est de 50 MPa, déterminer s’il est sécuritaire d’utiliser ce type de pilier.

104

Chapitre 3

b) Le module de Young du bois dur est E = 12 GPa. Calculer la déformation unitaire d’un pilier. c) Calculer la déformation totale d’un pilier. 26. On a étudié en laboratoire la déformation d’une tige d’aluminium de 2,8 m de longueur et de 3,2 cm de diamètre à laquelle on applique diverses tractions. Le tableau suivant donne les valeurs de la traction appliquée et de l’élongation résultante.

a) Calculer dans chaque cas la contrainte subie et la déformation unitaire. b) Représenter graphiquement la relation entre la déformation unitaire et la contrainte en considérant la déformation unitaire sur l’axe horizontal. c) Déterminer un modèle décrivant le lien entre la déformation et la contrainte. Donner le module d’élasticité du matériau.

27. On a étudié en laboratoire la déformation d’une tige d’acier carrée de 5,4 m de longueur, dont la section mesure 4 cm de côté, à laquelle on applique diverses tractions. Le tableau suivant donne les valeurs de la traction appliquée et de l’élongation résultante.

a) Calculer dans chaque cas la contrainte subie et la déformation unitaire. b) Représenter graphiquement la relation entre la déformation unitaire et la contrainte en considérant la déformation unitaire sur l’axe horizontal. c) Déterminer un modèle décrivant le lien entre la déformation et la contrainte. Donner le module d’élasticité du matériau.

FONCTIONS EXPONENTIELLES et LOGARITHMIQUES Appliquer les fonctions exponentielles et logarithmiques Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • l’utilisation du vocabulaire et de la notation des fonctions dans la description de divers phénomènes ; • l’utilisation d’une fonction exponentielle pour construire un modèle d’un phénomène à l’aide de sa description verbale ou d’un critère algébrique ; • l’utilisation d’une fonction logarithmique pour construire un modèle d’un phénomène ; • l’utilisation des logarithmes pour résoudre des équations exponentielles et des équations logarithmiques.

4

4.1 Modélisation exponentielle        106 Mise en situation Caractéristique du modèle exponentiel Critère algébrique du modèle Calcul de la valeur initiale Calcul du taux Un peud’histoire Leonhard Euler

4.2 Exercices            117 4.3 Logarithmes         119 Équation exponentielle Bases de calcul Propriétés des logarithmes Un peud’histoire John Napier Un peud’histoire Henry Briggs Fonction logarithmique Paramètres d’une fonction exponentielle Décibel Présentation des résultats Un peud’histoire Alexander Graham Bell

4.4 Exercices            132

106

Chapitre 4

4.1 Modélisation exponentielle Le présent chapitre vise à mettre en évidence les caractéristiques qui permettent de reconnaître et de conrmer l’existence d’un lien exponentiel entre les variables d’un phénomène, et de décrire algébriquement ce lien.

Mise en situation Un promoteur immobilier construit des édices de condos qu’il vend présentement 200 000 $ chacun. Pour suivre l’ination, il envisage d’augmenter son prix de 5 % par année et il veut déterminer le prix de vente pour les trois prochaines années. Après un an, le prix de vente devrait être P(1) = 200 000 + (5 % × 200 000) = 200 000 + (0,05 × 200 000) = 200 000 + 10 000 = 210 000 $. À la n de la deuxième année, le prix de 210 000 $ sera majoré de 5 % de cette valeur, soit P(2) = 210 000 + (5 % × 210 000) = 210 000 + (0,05 × 210 000) = 210 000 + 10 500 = 220 500 $. À la n de la troisième année, le prix de 220 500 $ sera majoré de 5 % de cette valeur, soit P(3) = 220 500 + (5 % × 220 500) = 220 500 + (0,05 × 220 500) = 220 500 + 11 025 = 231 525 $. Pour généraliser ce résultat, on représente d’abord le prix initial par P0. En ajoutant 5 % à ce montant, on obtient 1,05P0. On constate que le prix de vente à la n de chacune des années suivantes s’obtient en multipliant par 1,05 la valeur en début d’année : P(1) = 1,05P0, P(2) = 1,05P(1), P(3) = 1,05P(2), … P(n + 1) = 1,05P(n). On peut décrire le prix à la n de chaque année en fonction du prix initial. • Le prix après un an est P(1) = P0 (1,05) ; • le prix après deux ans est P(2) = P(1)(1,05) = P0 (1,05)2 ; • le prix après trois ans est P(3) = P(2)(1,05) = P0 (1,05)3. En général, P(n) = P0 (1,05)n = P0 (1 + 0,05)n. Dans le cas d’un prix initial de 200 000 $, le modèle décrivant le prix de vente au bout de n années est P(n) = 200 000 (1,05)n.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Ce résultat est très intéressant, car il permet de constater la structure sousjacente du phénomène, à savoir que la croissance du prix suit un modèle dont la variable indépendante est en exposant. Ce modèle sert à déterminer la valeur du prix à n’importe quel moment. Ainsi, pour connaître la valeur du prix après trois ans, on calcule P(3) en substituant 3 à n dans le modèle : P(3) = 200 000(1,05)3 = 231 525 $. On peut utiliser le modèle pour prévoir l’évolution du prix si les conditions demeurent les mêmes pour plusieurs années. On obtient les données du tableau ci-contre. Pour faciliter la représentation graphique du modèle, il est d’usage de calculer les images par rapport à la valeur initiale, comme dans la colonne centrale du tableau. En représentant graphiquement le modèle, on obtient une courbe croissante et concave vers le haut dont l’ordonnée à l’origine est la valeur initiale du modèle. EXEMPLE 4.1.1

Une entreprise d’excavation achète une rétrocaveuse. Ce type d’appareil perd 15 % de sa valeur chaque année. a) Décrire la valeur de revente en fonction du nombre d’années écoulées depuis l’achat. b) Représenter la fonction graphiquement. c) Calculer la valeur de la rétrocaveuse dix ans après l’achat si la valeur au moment de l’achat est de 125 000 $. Solution a) Identication des variables Les variables sont le nombre n d’années écoulées depuis l’achat et la valeur de revente V. Pour faciliter la description du phénomène, représentons la valeur au moment de l’achat par V0 et la valeur après n années par V(n). Dénition du lien entre les variables La valeur V(1) un an après l’achat est V(1) = V0(0,85) ; la valeur V(2) deux ans après l’achat est V(2) = V(1)(0,85) = V0(0,85)2 ; la valeur V(3) trois ans après l’achat est V(3) = V(2)(0,85) = V0(0,85)3. En généralisant cette dénition par récurrence, on obtient V(n) = V0(0,85)n = V0(1 – 0,15)n. b) Pour esquisser le graphique, on calcule quelques correspondances, regroupées dans le tableau ci-contre.

107

108

Chapitre 4

c) Utilisation du modèle Reformulation de la question Quelle est l’image de n = 10 par la fonction ? Calculs V(10) = 125 000(0,85)10 = 24 609,30 Rédaction de la réponse La valeur de la rétrocaveuse dix ans après l’achat est d’environ 24 600 $.

REMARQUE

a et b sont les paramètres de la fonction exponentielle.

Fonction exponentielle Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction exponentielle toute fonction dénie par une équation de la forme y = ab x, où b est la base de la fonction exponentielle. Une fonction exponentielle est donc une fonction dont la variable indépen­ dante est en exposant. Le domaine d’une fonction exponentielle est l’en­ semble des nombres réels et son codomaine est l’intervalle ]0; ∞[. Deux fonctions exponentielles sont représentées ci­contre. Une fonction exponentielle est toujours concave vers le haut. De plus, elle est croissante lorsque sa base est plus grande que 1 (b > 1) et décroissante lorsque sa base est plus petite que 1 (0 < b < 1). Dans la modélisation de phénomènes, on rencontre souvent des expres­ sions dénies à l’aide d’une exponentielle, soit un modèle de l’une des formes présentées dans le tableau suivant.

REMARQUE

Dans une fonction exponentielle dont la variable est le temps, le para­ mètre a est appelé valeur initiale de la variable dépendante. C’est l’image au temps 0. Dans un problème écrit, un taux de variation sans unité au numérateur (par exemple, « 15 % par année » ou « double tous les jours ») justie un lien exponentiel entre les variables.

En pratique, pour esquisser le graphique, il suft de déterminer la valeur initiale et de se rappeler que : • si b > 1, b –x tend vers 0 lorsque x tend vers ∞ ; • si b > 1, bx tend vers 0 lorsque x tend vers −∞.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Caractéristique du modèle exponentiel Les modèles établis dans la mise en situation et dans l’exemple 4.1.1 sont de la forme y = Abx. Dans la mise en situation, le prix croît de 5 % par année, la base de l’exponentielle est b = 1 + r = 1 + 0,05 = 1,05 et A = 200 000 $, soit le prix initial. Dans l’exemple 4.1.1, la valeur de l’équipement décroît de 15 % par année. Dans ce cas, la base de la fonction exponentielle est b = 1 − r = 1 − 0,15 = 0,85 et la valeur initiale est A = 125 000 $. Les phénomènes étudiés sont caractérisés par le fait que la variation de la variable dépendante peut s’exprimer en pourcentage (sans unité) de l’unité de la variable indépendante. C’est ainsi que l’on reconnaît une situation descriptible par un modèle exponentiel. Dans les applications du modèle exponentiel, on désigne de préférence les variables par des lettres évocatrices, comme i pour un taux d’intérêt, P pour le prix et V pour la valeur de revente. PROCÉDURE Pour modéliser un phénomène de croissance ou de décroissance

1. Identier la variable indépendante et la variable dépendante. 2. Identier la valeur initiale et le taux de croissance ou de décroissance. 3. Déterminer la base b du modèle exponentiel. Selon le cas, b = 1 + r ou b = 1 − r, où r est le taux. 4. Établir la relation entre les variables.

EXEMPLE 4.1.2

Les riverains d’un lac ont ensemencé celui-ci avec 2 000 truites, mais on observe un taux de mortalité de 1,8 % par jour en raison de la pollution causée par des installations septiques non conformes. a) Construire un modèle mathématique qui décrit le nombre de truites restantes n jours après l’ensemencement. b) Combien reste-t-il de truites 24 jours après l’ensemencement ? c) Esquisser le graphique de la fonction du nombre de truites vivantes sur une période de 72 jours. Solution a) Identication des variables Les variables sont n, le nombre de jours écoulés depuis l’ensemencement et V, le nombre de truites vivantes. Dénition du lien entre les variables Le phénomène est caractérisé par une décroissance exprimée en pourcentage par unité de temps, soit 1,8 % par jour. On décrit donc

109

110

Chapitre 4

le lien entre les variables par un modèle de la forme V(n) = V0(1 − r)n, où le nombre initial de truites est V0 = 2 000 et r = 0,018. Ce modèle est V(n) = 2 000(1 − 0,018)n = 2 000(0,982)n, où n est le temps exprimé en jours. b) Utilisation du modèle Reformulation de la question Quelle est l’image de n = 24 par la fonction V ? Calcul V(24) = 2 000(0,982)24 = 1 293,319 Rédaction de la réponse Après 24 jours, il devrait y avoir environ 1 290 truites vivantes. c) On connaît l’allure générale de la courbe, mais, pour esquisser le graphique, il faut calculer quelques correspondances. Les valeurs obtenues et leur représentation sont données ci-contre.

Critère algébrique du modèle Les phénomènes étudiés nous permettent également de dénir un critère algébrique grâce auquel on peut conrmer l’existence d’un lien exponentiel à l’aide de données expérimentales. Dans la mise en situation au début du chapitre, la hausse annuelle du prix de vente des condos a donné les relations suivantes : P(1) = 1,05P(0), P(2) = 1,05P(1), P(3) = 1,05P(2), … P(n + 1) = 1,05P(n). Dans l’exemple 4.1.1, on a obtenu V(1) = 0,85V(0), V(2) = 0,85V(1), V(3) = 0,85V(2), … V(n + 1) = 0,85V(n). Ainsi, on peut décrire la caractéristique des modèles exponentiels par l’expression f (x + 1) = (1 + r) f (x). Si r > 0, le modèle décrit un phénomène de croissance et, si r < 0, il décrit un phénomène de décroissance ou de dépréciation.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

111

En général, lorsque le pas est p, la relation est exponentielle si f (x + p) = (1 + r) f (x). On peut reformuler cette condition sous une forme plus simple à utiliser en divisant chaque membre de l’équation par f (x). On obtient alors

CRITÈRE ALGÉBRIQUE Reconnaissance d’un lien exponentiel

L’existence d’un lien exponentiel entre des données à pas constant p est conrmée si le rapport des images consécutives est constant:

REMARQUE

Le critère algébrique est un moyen rapide de vérier l’existence de certains types de relations. Nous verrons au chapitre 5 qu’il ne constitue cependant pas le meilleur moyen de dénir la relation.

Ce critère permet de vérier rapidement si des données à pas constant peuvent être décrites par un modèle exponentiel. La marche à suivre est la suivante. PROCÉDURE Pour décrire des données à pas constant par un modèle exponentiel

1. Identier les variables du problème et les représenter par des symboles appropriés, accompagnés des unités de mesure des variables. 2. Dénir en compréhension la relation entre les variables en justiant le choix du modèle. 2.1. S’assurer que les données sont à pas constant (c’est-à-dire que les valeurs de la variable indépendante sont à intervalles réguliers). 2.2. Calculer le rapport

des valeurs consécutives de la

variable dépendante et vérier qu’il est relativement constant, ce qui conrme l’existence d’un lien exponentiel. 2.3. Estimer la base b = 1 ± r du modèle en prenant la valeur moyenne des rapports. 2.4. Écrire le modèle sous la forme f (x) = a (1 ± r)x, où a est l’image de 0 (ou la valeur initiale). 3. Utiliser le modèle pour résoudre le problème. 3.1. Reformuler la question (ou les questions) en utilisant les variables du problème. 3.2. Effectuer les calculs et les manipulations algébriques permettant de répondre à la question. 3.3. Rédiger la réponse à la question posée.

REMARQUE

Lorsqu’on utilise le critère algébrique, il faut bien remarquer qu’il faut faire le rapport entre une image et l’image précédente et non l’inverse.

112

Chapitre 4

EXEMPLE 4.1.3

On a soumis un matériau à des tests pour déterminer sa capacité d’absorption des rayons X. Pour ce faire, on a bombardé des plaques de différentes épaisseurs avec un faisceau de rayons X dont l’intensité est de 2,400 unités et on a mesuré l’intensité du faisceau de l’autre côté des plaques. Les mesures sont rassemblées dans le tableau donné ci-contre. L’industrie qui produit les plaques utilisées indique que la précision des épaisseurs est de l’ordre de 1 × 10 −3 cm. a) Construire un modèle mathématique qui décrit le phénomène. b) À l’aide du modèle, calculer l’intensité du faisceau qui traverse une plaque de 2,6 cm du même matériau. Solution a) Identication des variables La variable indépendante du problème est l’épaisseur x de la plaque et la variable dépendante est l’intensité I du faisceau de rayons X ayant traversé la plaque. Dénition de la relation entre les variables La représentation graphique des données est une courbe décroissante et concave vers le haut. De plus, la correspondance est dénie lorsque la variable indépendante est nulle et que la valeur correspondante est non nulle. Il est donc raisonnable de poser l’hypothèse d’un lien exponentiel entre les variables. Puisque les valeurs de la variable indépendante sont à intervalles constants, on peut conrmer l’existence d’un lien exponentiel en calculant le rapport des valeurs consécutives de la variable dépendante. Les résultats sont regroupés dans le tableau donné ci-contre. On constate que les rapports sont relativement constants et que la moyenne est 0,780 1. En utilisant cette valeur comme base de l’exponentielle et la valeur initiale 2,400, on obtient le modèle I(x) = 2,400 × (0,780 1)x. b) Utilisation du modèle Reformulation de la question On doit déterminer l’image de 2,6 par le modèle. Calcul I(2,6) = 2,400 × 0,780 12,6 = 1,258 3... Rédaction de la réponse En tenant compte de la précision des données, on considère que l’intensité du faisceau ayant traversé une plaque de 2,6 cm d’épaisseur est de 1,258 unité.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

EXEMPLE 4.1.4

Le prix au pied carré d’un terrain dans un parc industriel croît de façon exponentielle, car ce prix est inuencé à la fois par l’ination et la diminution graduelle de la supercie disponible. Les données pour le prix d’un terrain dans le parc de la municipalité de 2010 à 2015 sont données dans le tableau ci-contre. a) Décrire algébriquement la correspondance entre les variables. b) À l’aide du modèle, estimer le coût au pied carré en l’an 2017. Solution a) Identication des variables Les variables sont t, le nombre d’années écoulées depuis 2010, et C, le coût au pied carré. Dénition de la relation entre les variables L’énoncé du problème indique que le modèle est exponentiel. Pour déterminer la base du lien exponentiel, on calcule le rapport des valeurs consécutives. Les résultats sont rassemblés dans le tableau donné ci-contre. La moyenne des rapports est 1,259. Si on utilise cette valeur comme base du modèle exponentiel, la description algébrique est C(t) = C0(1,259)t = 3,10 × (1,259)t. b) Utilisation du modèle Reformulation de la question et calculs En l’an 2017, il se sera écoulé sept années. On cherche donc la valeur de C pour t = 7 : C(7) = 3,10 × (1,259)7 = 15,543... Rédaction de la réponse Dans le modèle, on peut conserver un chiffre signicatif de plus, car on arrondit normalement après avoir complété tous les calculs et on doit utiliser les modèles pour les effectuer. Dans cet exemple, on estime donc qu’en 2017, le coût au pied carré sera de 15,50 $.

Calcul de la valeur initiale EXEMPLE 4.1.5

Un agent prétend que, grâce à la ambée des prix dans l’immobilier, on peut tripler un capital tous les cinq ans. Si cette afrmation est exacte, combien faut-il investir pour accumuler 1 200 000 $ en 20 ans ? Solution a) Identication des variables La variable indépendante est t, la durée du placement, et la variable dépendante est C, le capital accumulé.

113

114

Chapitre 4

Dénition du lien entre les variables Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée sous la forme d’un taux dont le numérateur n’a pas d’unités. Comme le montant investi triple tous les cinq ans, on peut décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme C(t) = C0bt. On sait que b = 31/5, donc C(t) = C0(31/5)t. On peut également écrire cette relation sous la forme C(t) = C03t/5, où t est le temps exprimé en années. b) Utilisation du modèle Reformulation de la question Calculer la valeur C0 pour laquelle C = C03t/5 = 1,2 × 106 si t = 20. Calculs En posant t = 20, on a donc

C0320/5 = 1,2 × 106, C034 = 1,2 × 106.

En isolant C0 dans cette équation, on obtient

Rédaction de la réponse Il faut investir environ 15 000 $ pour accumuler 1 200 000 $ en 20 ans.

Calcul du taux EXEMPLE 4.1.6

À quel taux faut-il placer un montant de 4 500 $ pour accumuler 9 000 $ en huit ans si les intérêts sont capitalisés annuellement ? Solution Identication des variables La variable indépendante est i, le taux d’intérêt, et la variable dépendante est C, le capital accumulé.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dénition du lien entre les variables Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée sous la forme d’un pourcentage par unité de temps. On peut donc décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme C = C0(1 + i)8. Puisque C0 = 4 500, alors C = 4 500(1 + i)8. Utilisation du modèle Reformulation de la question On cherche le taux i pour lequel C = 9 000. On cherche donc i tel que 4 500(1 + i)8 = 9 000. Calculs En divisant chaque membre de la dernière équation par 4 500, on obtient (1 + i)8 = 2 et, en extrayant la racine huitième, on a 1 + i = ±1,090 5. Puisque i est un taux d’intérêt, la valeur négative est à rejeter et on retient 1 + i = 1,090 5 ; donc i = 0,090 5. Rédaction de la réponse Pour doubler le capital en huit ans, il faut le placer à un taux de 9,05 %, les intérêts étant capitalisés annuellement.

115

116

Chapitre 4

Un peud’histoire

LEONHARD EULER

I

1707-1783

ssu d’une famille modeste, Euler fréquenta d’abord une école qui n’offrait que l’enseignement élémentaire. Son père l’initia aux mathématiques élémentaires. À 13 ans, il entreprit des études en philosophie et en droit à l’Université de Bâle et obtint un diplôme de philosophie à 16 ans. Son père, souhaitant le voir devenir pasteur, le poussa vers des études de théologie. Les cours de l’éminent mathématicien Jean Bernoulli (1667-1748), un ami de son père, transformèrent la vie d’Euler. Remarquant le talent pour les mathématiques de son élève, Bernoulli l’encouragea à poursuivre dans cette discipline. À l’époque, il était presque impossible en Suisse de faire carrière en sciences. Heureusement, en 1727, à l’âge de 20 ans, sur la recommandation de Daniel (1700-1782) et de Nicolas Bernoulli (1687-1759), il fut appelé à Saint-Pétersbourg par Catherine II, impératrice de Russie. Il devint alors membre de l’Académie des sciences de SaintPétersbourg. Il fut médecin militaire dans la marine russe de 1727 à 1730, puis professeur de physique à l’Académie à compter de 1730. En 1733, il succéda à Daniel Bernoulli à la chaire de mathématiques et, à partir de 1740, il fut également responsable de la section de géographie.

par une mémoire phénoménale, il dictait ses textes à ses ls ou à son valet, en ayant toujours le souci de la clarté dans ses écrits. La moitié de son œuvre, qui aborde toutes les branches des mathématiques, fut rédigée après 1765. Auteur de 900 travaux, mémoires et livres sur le calcul différentiel, les mathématiques analytiques, l’algèbre, la mécanique, l’hydrodynamique, l’astronomie et l’optique, Euler mourut à Saint-Pétersbourg en 1783.

Le nombre d’Euler Le nombre d’Euler est déni par

Sous cette forme, il a des applications en gestion. Dans le calcul des intérêts, la relation 1 + r = (1 + j/m)m donne le taux réel r correspondant à un taux nominal j si les intérêts se capitalisent m fois par année. Plus la période de capitalisation est courte, plus m est grand. À la limite, lorsque m tend vers l’inni, l’intérêt est dit continu. On a alors

En 1741, il devint membre de l’Académie des sciences de Berlin à l’invitation du roi de Prusse Frédéric II, qui voulait réorganiser cette institution. À la demande de Frédéric, il donna des leçons à la princesse Sophie Charlotte von Brandebourg-Schwedt, la lle d’un cousin du roi alors âgée de 15 ans. Cet enseignement en français, qui était la langue utilisée à la cour de Frédéric, dura jusqu’à la guerre de Sept ans, qui força Frédéric à fuir la capitale. Euler, resté à Berlin, poursuivit ses leçons en correspondant avec la princesse. Il rédigea en tout, entre 1760 et 1762, 234 lettres qui furent publiées en trois volumes sous le titre Lettres à une princesse d’Allemagne. Elles constituent un important ouvrage de vulgarisation scientique, car Euler prit garde que leur lecture ne nécessite aucune connaissance préalable. L’auteur y aborde divers sujets : l’optique, la gravitation universelle, la philosophie, la logique, la liberté des êtres intelligents, le syllogisme, la latitude, la longitude, les éclipses, le magnétisme et la réfraction de la lumière. Euler demeura 25 ans à Berlin avant de retourner à Saint-Pétersbourg, en 1766, après une dispute avec Frédéric le Grand sur la liberté académique.

Donc, si la capitalisation se fait de façon continue, on a

Au début de la trentaine, Euler avait perdu l’usage de l’œil droit. Peu après son retour en Russie, il devint presque complètement aveugle après une opération de la cataracte. Malgré ce handicap, il poursuivit ses recherches. Soutenu

Considéré comme le mathématicien le plus prolique de tous les temps, Leonhard Euler domina les mathématiques du xviii e siècle et contribua très largement à l’élaboration du calcul différentiel et intégral.

1 + r = e j et j = ln(1 + r) et le taux d’intérêt continu j équivalant au taux réel r est j = ln(1 + r). En pratique, un intérêt quotidien est considéré comme un intérêt capitalisé de façon continue. Dans ses publications, Euler employa différentes notations qui sont aujourd’hui d’usage courant : • f(x) pour désigner l’image d’un nombre x par une fonction f ; • i pour désigner la racine carrée de −1 dans l’étude des nombres complexes ; • e pour désigner la base du logarithme naturel ; • π pour désigner le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre ; •

S pour représenter de façon succincte une somme de termes.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

4.2 Exercices 1. Construire le modèle exponentiel donnant la valeur d’un capital de 7 500 $ placé à 6,5 %, les intérêts étant capitalisés annuellement. a) Quelle est la valeur du capital après cinq ans ? b) Esquisser le graphique du modèle (0 ≤ n ≤ 10). 2. On a mis au point un nouveau matériau pour l’insonorisation des murs dans les édices. On peut installer des panneaux de ce matériau avant la pose des plaques de plâtre ou soufer des granules dans les murs d’édices déjà existants. Selon une publicité, l’intensité des bruits est réduite de 40 % pour chaque centimètre d’épaisseur des panneaux et de 20 % par centimètre si on emploie des granules. a) Construire un modèle mathématique décrivant la relation entre l’intensité sonore d’un côté et de l’autre d’un panneau. b) Calculer la réduction de l’intensité des bruits dans le cas d’un panneau de 3,5 cm d’épaisseur. c) Si on soufe des granules dans un mur dont les montants sont des 2 sur 4, quelle est l’absorption ajoutée par cette opération ? 3. Une compagnie renouvelle sa machinerie au coût de 300 000 $. Ce type de machines se déprécie au taux de 1,7 % par mois. a) Trouver la règle de correspondance donnant la valeur de la machinerie en fonction du temps. b) Calculer la valeur de la machinerie deux ans, trois ans et cinq ans après l’achat. c) Représenter graphiquement le modèle (n en années). 4. Un sel radioactif se désintègre de telle sorte qu’à la n de chaque année, il reste les 49/50 de la quantité présente en début d’année. a) Construire un modèle mathématique donnant la quantité restante de sel après t années si la quantité initiale est Q 0. b) Représenter graphiquement le modèle. c) Sachant que la quantité initiale de ce sel est Q 0 = 100 unités, calculer la quantité restante après cinq ans et après dix ans. 5. Le radium A se désintègre à une vitesse telle qu’à la n de chaque minute, il ne reste que les 8/10 de la quantité initiale.

117

a) Établir un modèle décrivant la quantité de radium en fonction du temps t, mesuré en minutes. b) Esquisser le graphique de la fonction. 6. Au cours d’une panne d’électricité survenue à la mijanvier, vous avez noté la température à l’intérieur de la maison à chaque heure à partir du début de la panne et vous avez obtenu les valeurs du tableau donné ci-contre. a) Sachant que la température intérieure est normalement maintenue à 22°C, construire un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables en cause. b) Représenter graphiquement la fonction. c) Quel est le pourcentage de perte par unité de la variable indépendante ? d) Quelle devrait être la température après dix heures de panne ? 7. On mesure la vitesse de rotation v (r/min) d’une roue d’inertie à différents moments, en minutes, après avoir coupé le courant. On obtient les valeurs regroupées dans le tableau donné ci-contre. a) De quel type est la correspondance entre les variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les variables. 8. Le maire de la municipalité qui vous emploie vous demande de faire une étude sur la croissance de la population de façon à prévoir les services qu’il faudra offrir pour assurer le développement harmonieux de la municipalité. Vous trouvez dans les registres municipaux les résultats de quatre recensements effectués à des intervalles de quatre ans. a) Établir un modèle décrivant la population n périodes de quatre ans après 1992. b) Exprimer le modèle en fonction du temps t, en années, depuis 1992.

118

Chapitre 4

c) Par mesure de précaution, vérier la concordance des résultats statistiques et des valeurs fournies par le modèle. d) Quelle sera la population en l’an 2020 ? 9. Une compagnie veut fabriquer des abat-jour dans un matériau qui absorbe 15 % de la luminosité pour chaque millimètre d’épaisseur. a) Construire un modèle mathématique qui décrit la relation entre l’intensité lumineuse à l’extérieur de l’abat-jour et l’épaisseur de celui-ci. b) Calculer la capacité d’absorption d’un abat-jour ayant une épaisseur de 3 mm, 5 mm, 7 mm. 10. La pression barométrique (p en kilopascals) dépend de l’altitude (h en kilomètres) au-dessus du niveau de la mer, comme l’indiquent les données ci-contre. a) Quel type de correspondance relie les variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les variables. 11. Une automobile se déprécie à un taux de 15 % par année. a) Construire un modèle mathématique décrivant la valeur de l’automobile en fonction du temps n. b) Esquisser le graphique de la fonction. c) Si la valeur à neuf est de 25 000 $, combien vaudra l’auto 8 ans plus tard ? 10 ans plus tard ? 12. À quel taux faut-il placer un montant de 5 000 $ pour accumuler un montant de 12 000 $ en 15 ans si les intérêts sont capitalisés annuellement ? 13. Les mesures ci-contre ont été prises durant une expérience de laboratoire. On sait que le lien entre les variables du phénomène est exponentiel, mais on croit qu’il s’est glissé une erreur dans les mesures. Déterminer la valeur erronée et estimer

la valeur correcte. Construire ensuite un modèle mathématique qui décrit le phénomène. 14. Une entreprise de construction achète une rétrocaveuse ayant deux ans d’usage au coût de 140 000 $. La dépréciation sur une telle machine est de 16 % par année. a) Construire un modèle mathématique décrivant la valeur de cet équipement depuis l’achat. b) Utiliser le modèle pour calculer la valeur de revente de la rétrocaveuse cinq ans après l’achat. 15. Vous avez obtenu les mesures données ci-contre durant une expérience de laboratoire. a) Vous supposez que le lien entre les variables est exponentiel. Vous devez appliquer le critère algébrique pour vérier votre hypothèse. Quelle est votre conclusion ? b) Construire le modèle exponentiel. c) Selon les consignes de l’activité de laboratoire, vous devez utiliser votre modèle pour prévoir la valeur de y si la variable indépendante est égale à 10. Effectuer ce calcul. d) Un de vos collègues prétend que le modèle n’est pas exponentiel mais afne. Pour lui prouver qu’il a tort, vous appliquez le critère algébrique servant à conrmer l’existence d’un lien afne aux données du tableau. Quelle est votre conclusion ? e) Écrire le modèle afne que vous suggère ce nouveau tableau. f) Utiliser le modèle afne établi en e) pour déterminer la valeur correspondante de x = 10. g) Dans le cas étudié, les deux modèles semblent décrire correctement les données de l’expérience, mais les résultats obtenus par extrapolation sont très différents. Que devez-vous faire pour vous assurer que le modèle retenu permet les meilleures prévisions possibles ? h) Peut-on toujours simplier le travail en prenant un modèle afne au lieu d’un modèle exponentiel ? Justier la réponse.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

119

4.3 Logarithmes Les logarithmes constituent un outil indispensable pour la résolution des équations exponentielles, où l’inconnue est en exposant. Dans la présente section, nous abordons la notion de logarithme et nous l’appliquons à la résolution d’équations exponentielles.

Équation exponentielle Dans la mise en situation en début de chapitre, nous avons vu que si on place un capital de 10 000 $ à un taux d’intérêt de 6 %, les intérêts étant capitalisés annuellement, le capital accumulé au cours des années peut être décrit par le modèle exponentiel C(n) = 10 000(1,06) n. Si on désire savoir combien de temps on doit placer le capital pour doubler sa valeur, on cherche n tel que 10 000(1,06)n = 20 000. En divisant chaque membre de l’équation par 10 000, on obtient (1,06) n = 2. Une équation de cette forme est une équation exponentielle et, pour la résoudre, il faut déterminer la valeur de l’exposant n. Les procédures de résolution fondées sur les propriétés de l’égalité et utilisées jusqu’à maintenant ne sont d’aucune utilité. Il faut élaborer un outil adapté à la résolution de ce type d’équations, soit les logarithmes. Équation exponentielle Une équation exponentielle est une équation comportant une seule inconnue, qui se trouve en exposant. La forme la plus simple d’une telle équation est la forme b x = N, où b > 0 et b ≠ 1. Dans cette équation, x est une inconnue, N et b sont des nombres réels positifs et b est la base de l’exponentielle.

REMARQUE

Le problème consiste à déterminer le temps nécessaire pour doubler le capital. Sa valeur est indépendante du capital initial : elle dépend seulement du taux d’intérêt. Dans le cas de phénomènes descriptibles par un modèle exponentiel croissant, le temps nécessaire pour doubler une grandeur est une donnée physique intéressante. Le temps de doublement d’une population de bactéries en est un exemple. Dans le cas de phénomènes descriptibles par un modèle exponentiel décroissant, le temps nécessaire pour réduire de moitié la quantité initiale est également une donnée physique intéressante. Le cas de demi-réaction d’une réaction chimique et la demivie d’un élément radioactif en sont des exemples. Dans le cas d’une loterie dont le retour au consommateur est de 89 % (une perte de 11 % chaque fois), on peut également calculer le nombre de fois qu’un consommateur doit jouer pour dilapider la moitié de sa fortune. Même s’il lui arrive de gagner, ses pertes seront à long terme supérieures à ses gains.

Pour résoudre une équation exponentielle de la forme b x = N, il faut déterminer à quel exposant on doit élever la base b pour obtenir le nombre N. Ainsi, l’équation 2x = 32 est une équation exponentielle et, pour la résoudre, on doit déterminer à quel exposant il faut élever 2 pour obtenir 32. Dans ce cas, on peut exprimer le membre de droite de l’équation en base 2 : 2x = 25. Les deux membres de l’équation étant exprimés dans une même base, les exposants sont nécessairement égaux : on en conclut que x = 5.

REMARQUE

Pour résoudre une équation dont l’inconnue est en exposant, il faut la ramener sous sa forme la plus simple.

120

Chapitre 4

La résolution d’une équation exponentielle n’est pas toujours aussi simple. Cependant, il faut toujours pouvoir exprimer un nombre donné dans une base donnée, élevée à un exposant qui est un nombre réel. Cet exposant est appelé logarithme. REMARQUE

Le logarithme est un exposant. C’est l’exposant qu’il faut donner à la base b pour obtenir le nombre N. Cette formulation est très importante pour la compréhension des logarithmes et de leurs propriétés.

Logarithme en base b d’un nombre N Soit b et N, deux nombres réels positifs, et b ≠ 1. Il existe un et un seul nombre réel x tel que b x = N. L’exposant x est appelé logarithme de base b du nombre N, ce qui s’écrit x = logb N. EXEMPLE 4.3.1

Déterminer le logarithme de base 3 de 81. Solution On cherche log3 81, c’est-à-dire l’exposant auquel il faut élever le nombre 3 pour obtenir 81. On doit donc résoudre l’équation exponentielle 3x = 81. En exprimant 81 en base 3, on obtient 3x = 34. Ainsi, x = 4 et le logarithme de base 3 de 81 est 4 : log3 81 = 4.

Bases de calcul Pour pouvoir effectuer des calculs logarithmiques, on doit connaître les logarithmes d’une base donnée. La calculatrice se révèle alors un outil précieux. Même si, théoriquement, tout nombre positif et différent de 1 peut servir de base pour un système de logarithmes, en pratique, on utilise seulement deux bases pour effectuer des calculs logarithmiques : la base 10 et la base e = 2,718 28... Les calculatrices scientiques effectuent directement les calculs dans ces bases. Pour simplier l’écriture, on note log N le logarithme en base 10 d’un nombre N, et ln N le logarithme en base e d’un nombre N. Ainsi, log 3 désigne le logarithme de base 10 du nombre 3, c’est-à-dire l’exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir 3, et ln 3 est le logarithme de base e du nombre 3. EXEMPLE 4.3.2

Exprimer le nombre 2,8 en base 10. Solution Si on veut exprimer 2,8 en base 10, on doit déterminer l’exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir 2,8. On cherche un nombre réel x tel que 10x = 2,8.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

La dénition de logarithme permet d’écrire cette équation sous forme logarithmique. L’exposant à déterminer étant le logarithme en base 10 de 2,8, on cherche x tel que x = log 2,8. On résout cette équation à l’aide d’une calculatrice : x = log 2,8 = 0,447 158... On peut maintenant exprimer 2,8 en base 10 : 2,8 = 100,447 158.... EXEMPLE 4.3.3

Exprimer le nombre 7,3 en base e. Solution Pour exprimer 7,3 en base e, on cherche l’exposant auquel il faut élever e pour obtenir 7,3, c’est-à-dire la valeur de x pour laquelle ex = 7,3. On a ex = 7,3 ⇔ x = ln 7,3 ⇔ x = 1,987 87... ⇔ e1,987 87... = 7,3.

On écrit l’équation sous forme logarithmique de base e. Valeur obtenue en utilisant une calculatrice. On écrit l’équation sous forme exponentielle de base e.

En exprimant 7,3 en base e, on obtient e1,987 87... = 7,3. EXEMPLE 4.3.4

Soit N, un nombre réel tel que log7 N = 3. Calculer log7 N 2. Solution Par hypothèse, log7 N = 3. On a alors log7 N = 3⇔ N = 7 3 ⇔ N 2 = (7 3)2 ⇔ N2 = 76 ⇔ log7 N 2 = 6.

On exprime sous forme exponentielle. On élève chaque membre au carré. On applique les règles d’utilisation des exposants. On écrit l’équation sous forme logarithmique.

On obtient log7 N 2 = 6.

Propriétés des logarithmes On peut généraliser le résultat de l’exemple précédent de la façon suivante. Considérons un nombre N dont le logarithme en base b est n. On a alors logb N = n ⇔ N = bn On exprime l’équation sous forme exponentielle ⇔ N p = (bn) p = bnp On élève chaque membre à l’exposant p. ⇔ N p = b pn On applique la commutativité de la multiplication. p ⇔ logb N = pn. On exprime l’équation sous forme logarithmique. On obtient donc la propriété suivante : logb N p = p logb N, que l’on considère comme un théorème.

121

122

Chapitre 4

THÉORÈME Logarithme d’une expression algébrique affectée d’un exposant

Si N est un nombre réel (ou une expression algébrique) tel que logb N = n, alors logb N p = pn, c’est-à-dire logb N p = p logb N. Lorsque l’inconnue d’une équation est en exposant, on obtient une seconde équation en prenant le logarithme de chaque membre de l’équation initiale. Les propriétés des logarithmes et de l’égalité permettent de transformer la nouvelle équation de manière à isoler la variable. EXEMPLE 4.3.5 REMARQUE

Dans cet exemple, on parvient au même résultat en utilisant la base e. En effet, en prenant le logarithme de base e de chaque membre de l’équation exponentielle, on obtient ln 3x = ln 24. Donc, x ln 3 = ln 24. En divisant chaque membre de la dernière équation par ln 3, on obtient

Résoudre l’équation exponentielle 3x = 24. Solution Pour résoudre l’équation, il faut choisir une base de calcul. En utilisant la base 10, on a 3x = 24 ⇔ log 3x = log 24 ⇔ x log 3 = log 24

Puisque logb N p = p logb N.

⇔

On divise chaque membre par log 3.

⇔ En généralisant la démarche de résolution employée dans l’exemple précédent, on démontre la propriété de changement de base an de l’utiliser directement dans nos calculs. Soit n tel que an = N. Par dénition du logarithme, an = N ⇔ n = logaN. De plus, an = N ⇔ logb an = logb N On prend le logarithme en base b. ⇔ n logb a = logb N En vertu de la propriété logb N p = p logb N. ⇔ ⇔

On isole n dans l’équation.

.

Puisque n = loga N.

Cette généralisation démontre le théorème suivant. THÉORÈME Changement de base REMARQUE

Le changement de base permet d’écrire l’expression logarithmique dans l’une ou l’autre des bases usuelles lorsqu’on doit calculer la valeur de la variable indépendante.

Soit a et b, deux nombres réels positifs et différents de 1, et N, un nombre réel positif (ou une expression algébrique), alors

Fonctions exponentielles et logarithmiques

123

EXEMPLE 4.3.6

On place un montant de 5 000 $ à un taux d’intérêt de 9 %, les intérêts étant capitalisés annuellement. Déterminer le temps requis pour doubler le capital. Solution Le modèle est C(n) = 5 000(1,09)n. Le temps nécessaire pour doubler le capital est le temps n pour lequel 5 000(1,09)n = 10 000. En divisant chaque membre de l’équation par 5 000, on obtient (1,09)n = 2, donc À ce taux, le capital aura doublé dans huit ans.

PROPRIÉTÉS

Exposants et logarithmes

Pour tout m, n et p ∈  et pour tout b et a ∈  tel que M = bm et N = bn, alors : Propriétés des exposants

Équivalent logarithmique

MN = bmbn = bm + n

logb MN = m + n = logb M + logb N

N p = (bn)p = bnp = bpn

logb N p = pn = p logb N

b0 = 1

logb 1 = 0

b1 = b

logb b = 1

De la dénition du logarithme découlent directement les propriétés suivantes : REMARQUE

et

Équation logarithmique Une équation logarithmique est une équation qui comporte le loga­ rithme d’une inconnue. Pour résoudre une telle équation, on se sert de l’équivalence logb N = n si et seulement si b n = N.

L’équation exponentielle N = bx est équivalente à l’équation loga­ rithmique x = logb N. Autrement dit, N = b x si et seulement si x = logb N. Cette équivalence sert à exprimer une équation exponentielle sous forme logarithmique, et inversement. Cela permet donc de trouver l’exposant s’il est inconnu.

124

Chapitre 4

Un peud’histoire

JOHN NAPIER 1550-1617

M

athématicien et lord écossais, John Napier, baron de Merchiston, naquit et mourut à Merchiston. Préoccupé par le fait que les calculs fastidieux que suppose toute recherche scientique, particulièrement en astronomie, ralentissaient les progrès de la science, Napier consacra son énergie à l’élaboration de méthodes visant à simplier les calculs. Il mit au point des réglettes permettant d’effectuer des multiplications, des divisions et des extractions de racines assez rapidement. La gure ci-dessous illustre l’utilisation de ces réglettes pour le calcul du produit 7 035 × 384. On place dans le cadre les réglettes dont la première ligne forme le nombre 7 035.

Les réglettes de Napier permettaient également d’effectuer des divisions et d’extraire des racines. Elles furent utilisées pendant plus d’un siècle en Écosse. En 1614, Napier t paraître le traité Mirici logarithmorum canonis descriptio (Description de la règle admirable des logarithmes), où il décrit son système de logarithmes. Il y indique que deux idées l’ont amené à l’invention des logarithmes, la première étant la relation entre une progression arithmétique et une progression géométrique. Cette relation avait été étudiée par Michaël Stifel, qui n’avait cependant pas calculé des correspondances sufsamment denses pour en tirer vraiment parti. En comparant la progression arithmétique et la progression géométrique du tableau donné en bas de page, on constate que pour effectuer le produit 32 × 256, il suft de faire la somme des exposants qui sont les termes correspondants de la progression arithmétique associée : 32 × 256 = 25 × 28 = 213. Le terme correspondant à 13 dans la progression géométrique est 8 192, et c’est le résultat de la multiplication. En appliquant les propriétés des exposants, on peut également effectuer des divisions, élever à une puissance et extraire des racines. Ainsi,

On additionne ensuite les nombres de la ligne 4 situés sur une même diagonale pour obtenir les chiffres du produit 7 035 × 4. On a alors 2; 8 + 0; 0 + 1; 2 + 2; 0. Par conséquent, 7 035 × 4 = 28 140. On procède de la même façon pour la ligne 8 et on obtient 5; 6 + 0; 0 + 2; 4 + 4; 0. Par conséquent, 7 035 × 8 = 56 280. La ligne 3 donne 2; 1 + 0; 0 + 0; 9 + 1; 5. Le 9 + 1 donne un report et on obtient 7 035 × 3 = 21 105. On complète alors le produit, en additionnant tous les produits intermédiaires : 7 035 × 384 = 2 701 440.

Stifel ne pensa pas à remplir de nombres tous les intervalles de la progression géométrique et à chercher leurs correspondants dans la progression arithmétique. Il aurait pu découvrir les logarithmes, mais c’est Napier qui les inventa en 1614. La deuxième idée qui inspira la notion de logarithme à Napier est celle des points mouvants. Il considéra un segment de droite AB et une demi-droite HF, ainsi que deux points C et E qui partent simultanément de A et de H avec la même vitesse initiale en direction de B et de F respectivement.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

125

Il posa que la vitesse en C est à la vitesse en A comme la distance y est à la distance AB,

Selon Napier, si le point H se déplace à vitesse constante, alors la longueur x est le logarithme de y, c’est-à-dire que x est le logarithme népérien de y. Pour éviter d’avoir à effectuer de nombreux calculs sur des fractions, Napier, dont le nom fut francisé en Néper, choisit de prendre 107 comme longueur de AB. En supposant que la vitesse initiale est également 107 et en ayant recours au calcul différentiel et intégral, on obtient et

Un deuxième traité de Napier, intitulé Mirici logarithmorum canonis constructio, fut édité à titre posthume en 1619.

Le point C a alors une vitesse vC dont la grandeur est égale à la distance y. Par intégration, on obtient

Napier était contemporain de Galilée (1564-1642) et de Johannes Kepler (1571-1630), dont les travaux ont porté en grande partie sur le système planétaire. Kepler construisit et édita lui-même des tables de logarithmes grâce auxquelles il établit les trois lois qui portent son nom. Cette découverte débuta par l’étude de l’orbite de la planète Mars et nécessita 17 ans de travail et de calculs.

ln y = −t + 107 puisque la constante d’intégration est la vitesse initiale, soit 107. Le point E se déplace à une vitesse constante, donc proportionnelle au temps t, et la représentation graphique de la vitesse de C en fonction du temps est la suivante.

HENRY BRIGGS

C

1561-1630

’est à Henry Briggs, professeur de géométrie à Oxford et admirateur de John Napier, que revient le mérite d’avoir fait accepter les logarithmes par la communauté scientique de l’époque. À la suite de rencontres, les deux savants en vinrent à la conclusion que le logarithme de 1 doit être 0 et que le logarithme de 10 doit être 1, ce qui constituait une étape décisive de l’élaboration de la notion de base d’un logarithme et de la création des logarithmes de base 10. Briggs construisit la première table de logarithmes de base 10. En 1617, année de la mort de Napier, il publia Logarithmorum chilias prima, où il donne les logarithmes de 1 à 1 000 avec une précision de 14 décimales. C’est en 1624, dans Arithmetica logarithmica, qu’il présenta pour la première fois les concepts de mantisse et de caractéristique, qui permettent de simplier la construction et l’utilisation des tables de logarithmes. L’idée sous-jacente à l’emploi de la mantisse et de la caractéristique est que tout nombre s’exprime comme le produit d’un nombre compris entre 1 et 10 et d’une puissance de 10. Ainsi, le nombre 152 s’écrit 1,52 × 102. En appliquant les propriétés des logarithmes au logarithme de base 10 de 152, on obtient

log 152 = log(1,52 × 102) = log 1,52 + log 102 = log 1,52 + 2. Or, log 1,52 = 0,181 843 5... On a donc log 152 = 2,181 843 5... On obtient de la même façon le logarithme du nombre 15 200 : log 15 200 = log(1,52 × 104) = log 1,52 + log 104 = 4,181 843 5... Dans ces logarithmes, la partie entière caractérise les nombres, d’où le terme de caractéristique. La partie décimale du logarithme, soit log 1,52, est la mantisse. Cette dernière est identique pour 152 et 15 200, mais les caractéristiques sont différentes. Il suft donc de connaître le logarithme de base 10 des nombres compris entre 1 et 10 pour pouvoir calculer le logarithme de tout nombre réel, ce qui était très intéressant avant l’invention de la calculatrice.

126

Chapitre 4

EXEMPLE 4.3.7 REMARQUE

Pour utiliser l’équivalence qui permet d’écrire une équation logarithmique sous forme exponentielle, il faut que l’équation ne comporte qu’une seule expression logarithmique. L’équivalence ne s’applique donc pas à une somme ou à une différence d’expressions logarithmiques. Il faut parfois employer les propriétés des logarithmes pour regrouper les termes, ce qui peut avoir pour effet d’introduire des solutions étrangères. Il faut donc, après avoir résolu l’équation, vérier si les valeurs obtenues sont bien des solutions de l’équation de départ.

REMARQUE

L’intégrité des nombres réels signie que le produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

Trouver un nombre x tel que log2(x − 2) + log2(x + 6) = 7. Solution En vertu de la propriété logb M + logb N = logb MN, on peut écrire log2[(x − 2)(x + 6)] = 7 et, selon l’équivalence logb N = n si et seulement si bn = N, on a (x − 2)(x + 6) = 27 x2 + 4x − 12 = 128 x2 + 4x − 140 = 0. En décomposant le trinôme en facteurs, on obtient (x + 14)(x − 10) = 0. En vertu de l’intégrité des nombres réels, ce produit s’annule si x = −14 ou x = 10. En substituant −14 à x dans l’équation initiale, on a log2(−16) + log2(−8) = 7. Or, le logarithme d’un nombre négatif n’est pas déni, de sorte que −14 n’est pas une solution. En substituant 10 à x dans l’équation initiale, on obtient log2(8) + log2(16) = 7. Or, log2(8) = 3 et log2(16) = 4. Ainsi, l’égalité est vériée et 10 est la solution recherchée.

Fonction logarithmique On obtient la fonction inverse d’une fonction exponentielle de la forme f (x) = bx en isolant la variable indépendante. Puisque f (x) représente la valeur de la variable dépendante y, on a y = b x. Par dénition, x = logb y. En interchangeant les symboles des variables, on obtient y = logb x. Ainsi, la fonction inverse de f (x) = bx est f (x) = logb x. Pour tracer le graphique de la fonction inverse, on applique la propriété de symétrie par rapport à la droite d’équation y = x. La fonction logarithmique de base 10 est simplement notée f (x) = log x et la fonction logarithmique de base e est notée f (x) = ln x. Fonction logarithmique Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction logarithmique de base b toute fonction dénie par une équation de la forme f (x) = a logb x + c, où b est la base de la fonction logarithmique, et a et c sont des constantes.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

EXEMPLE 4.3.8

Une entreprise fabrique des plaques pour les cloisons des salles de radiographie dans les hôpitaux et les cabinets de dentistes. Ces plaques sont fabriquées dans un matériau dont le coefcient d’absorption des rayons X est de 2, c’est-à-dire que I(x) = I0 e−2x, où l’épaisseur x est mesurée en millimètres. a) On désire mesurer avec précision l’épaisseur des plaques en se servant de rayons X. Déterminer la fonction permettant de calculer l’épaisseur d’une plaque quand on connaît l’intensité du faisceau de rayons X ayant traversé la plaque. b) Si l’intensité du faisceau incident est de 10 unités, quelle est l’épaisseur d’une plaque qui laisse ltrer un faisceau de 3 unités ? c) Construire un tableau de valeurs permettant de déterminer l’épaisseur d’une plaque en fonction de l’intensité du faisceau de rayons X à la sortie, en supposant toujours que I0 = 10. Solution a) On obtient la fonction recherchée en isolant x dans I = I0 e−2x. En prenant le logarithme de chaque membre de l’équation, on a ln I = ln I0 e−2x ln I = ln I0 + ln e−2x

Propriété du logarithme d’un produit.

ln I = ln I0 − 2x

Dénition de logarithme.

2x = ln I0 − ln I .

Propriété du logarithme d’un quotient.

La fonction recherchée est donc

.

b) L’intensité du faisceau incident étant de 10 unités, l’épaisseur d’une plaque qui laisse ltrer un faisceau de 3 unités est

c) Un tableau de valeurs correspondantes est donné ci-contre.

Paramètres d’une fonction exponentielle Lorsqu’on sait qu’une situation est descriptible par une fonction exponentielle, mais que l’on ne connaît pas les paramètres, il faut les calculer en se servant de la forme du modèle et des données du problème. Les paramètres d’une fonction exponentielle de la forme f (x) = abx sont a, l’image de 0 (soit la valeur initiale lorsque la variable indépendante est le temps), et la base b de la fonction. Ainsi, on peut représenter un phénomène démographique par P(n) = P0(1 + r)n.

127

128

Chapitre 4

La valeur initiale est alors la population initiale et la base est b = 1 + r. Les paramètres à déterminer pour obtenir la fonction sont donc la population initiale P0 et le taux d’augmentation ou de diminution r. EXEMPLE 4.3.9

La municipalité de banlieue pour laquelle vous travaillez est en pleine expansion. La population, qui est actuellement de 17 500 personnes, a un taux de croissance de 5,2 % par année. a) Le service d’urbanisme de la municipalité doit prévoir la population au cours des cinq prochaines années. Quelle fonction permet ces prévisions et quelle sera la population dans cinq ans ? Exprimer la fonction en base e. b) Durant la présentation des résultats de l’étude, l’économiste de la municipalité a contesté les conclusions en alléguant que le ralentissement économique inuera sur l’expansion de la municipalité. Il prétend que le taux de croissance annuel sera plutôt de 2,4 % au cours des cinq prochaines années. Si on tient compte de cette information, quelle fonction décrit la population pour les prochaines années et quelle sera la population dans cinq ans ? Solution a) Soit P la population de la municipalité. La fonction recherchée est de la forme P(t) = P0(1,052)t, où t est le nombre d’années et P0 est la population initiale. On a P(t) = 17 500(1,052)t et P(5) = 17 500(1,052)5 = 22 548. Puisque 1,052 = eln 1,052 ≈ e0,050 693, on peut écrire P(t) ≈ 17 500e0,050 7t. b) Dans ces conditions, la fonction est P(t) = 17 500(1,024)t ≈ 17 500e0,023 7t et P(5) = 17 500e0,023 7 × 5 ≈ 19 702.

Décibel On a réalisé de nombreuses recherches pour tenter de déterminer les effets de la variation et de l’intensité d’un stimulus sonore sur les sens. On a constaté que si l’on double l’intensité d’un son, par exemple, le son perçu ne double pas, c’est-à-dire que la réponse n’est pas proportionnelle au stimulus. On s’est en fait rendu compte que la sensation acoustique est approximativement proportionnelle au logarithme de l’intensité du son. Il a donc fallu déterminer une unité de mesure de l’intensité des sons basée sur le logarithme. On a d’abord choisi le « bel », ainsi nommé en l’honneur

Fonctions exponentielles et logarithmiques

129

d’Alexander Graham Bell, mais cette unité est trop petite et, dans la majorité des cas, le nombre de bels est un nombre fractionnaire. C’est pourquoi on utilise plutôt le « décibel ». Le décibel sert également à mesurer le rapport entre la puissance à l’entrée et la puissance à la sortie d’une composante électronique. Ce rapport, appelé gain, est déni par g(Ps ) = 10 log(Ps/P0 ) décibels, où Ps est la puissance à la sortie, P0 est la puissance à l’entrée ou puissance initiale (c’est la puissance servant de référence), et log est le logarithme de base 10. La représentation graphique de la fonction g permet de voir certaines caractéristiques du gain. Si la puissance à la sortie est plus grande que la puissance à l’entrée, le gain est positif ; dans le cas contraire, le gain est négatif. Le graphique d’un gain en décibels est généralement tracé dans un repère dont l’un des axes est gradué à l’aide d’une échelle logarithmique. Le graphique ci-contre est dans une échelle linéaire, tandis que les échelles logarithmiques sont présentées au chapitre suivant. EXEMPLE 4.3.10

Une puissance de 5 mW est nécessaire pour alimenter un amplicateur dont la puissance à la sortie est de 40 mW. a) Quel est le gain exprimé en décibels ? b) Quel serait le gain si la puissance à la sortie était de 20 mW ? Solution a) La puissance à l’entrée est P0 = 5 mW et la puissance à la sortie est Ps = 40 mW. Par conséquent, la fonction est g(Ps) = 10 log(Ps/5). Donc, g(40) = 10 log(40/5) = 10 log 8 ≈ 10 × 0,903 = 9,03 dB. b) g(20) = 10 log(20/5) = 10 log 4 ≈ 10 × 0,602 = 6,02 dB

REMARQUE

Il est important de préciser que le décibel n’est pas une quantité absolue. Il représente essentiellement une variation de la puissance relativement à une puissance de référence. Si on modie la puissance de référence, le nombre de décibels change aussi. Donner la puissance à la sortie en nombre de décibels n’a aucun sens si on ne précise pas la puissance à l’entrée. Il existe des puissances de référence standard dans l’industrie. La puissance de référence pour l’oreille humaine est 10−16 W.

Présentation des résultats

REMARQUE

Logarithme d’une mesure

Ces deux règles sur la présentation des résultats s’appliquent uniquement lorsqu’on effectue des calculs sur des mesures. Dans les problèmes qui ne portent pas sur des mesures, les nombres sont exacts. Ainsi, si la question est de calculer le logarithme naturel de 3, on donne comme réponse ln 3 = 1,098 612 28...

La règle internationale est que le nombre de décimales à retenir dans le logarithme d’une mesure est égal au nombre de chiffres signicatifs dans la mesure. Ainsi, si la mesure est 324,5, en prenant le logarithme naturel, on obtient ln(324,5) = 5,782 285 536 144... Cependant, puisque la mesure comporte quatre chiffres signicatifs, on ne retient que quatre décimales dans la valeur du logarithme, soit ln(324,5) = 5,782 3.

130

Chapitre 4

Il est à noter qu’en calculant e5,782 3, on obtient e5,782 3 = 324,504 693 555... et, en arrondissant de telle sorte que le résultat ait le même nombre de chiffres signicatifs que l’exposant a de décimales, on retrouve 324,5. Mesure en exposant

Dans le cas d’une expression du type 10mesure, le résultat doit avoir le même nombre de chiffres signicatifs que la mesure a de décimales. Dans le cas d’une expression du type emesure, le résultat doit avoir le même nombre de chiffres signicatifs que la mesure. On n’applique pas ces règles à chaque étape, seulement lorsque tous les calculs ont été effectués. EXEMPLE 4.3.11

Effectuer les calculs demandés. a) ln 48,7, où 48,7 est une mesure. b) ln(8,3 × 10 –3), où 8,3 × 10 –3 est une mesure. c) e1,512, où 1,512 est une mesure. d) Exprimer 64,5 en base 10. e) ln 24,8 + ln 43,27, où 24,8 et 43,27 sont des mesures. Solution a) La calculatrice donne ln 48,7 = 3,885 679... Puisque 48,7 est une mesure qui comporte trois chiffres signicatifs, on arrondit le logarithme à trois décimales et on retient ln 48,7 = 3,886. b) La calculatrice donne ln(8,3 × 10 –3) = –4,791 499... Puisque 8,3 × 10 –3 est une mesure qui comporte deux chiffres signicatifs, on arrondit le logarithme à deux décimales et on retient ln(8,3 × 10 –3) = –4,79. c) La calculatrice donne e1,512 = 4,535 793... Puisque 1,512 est une mesure qui comporte quatre chiffres signicatifs, on arrondit le logarithme à quatre chiffres signicatifs et on retient e1,512 = 4,536. d) Pour exprimer le nombre 64 en base 10, il faut appliquer la propriété , où b = 10 et a = 64,5. On doit donc calculer log 10 64,5 ; on obtient 1,809 559...

Fonctions exponentielles et logarithmiques

131

Dans un tel problème, 64,5 n’est pas une mesure et on n’a pas à appliquer la règle. Dans ce cas, la règle indique quand même le nombre minimum de chiffres à retenir. e) La calculatrice donne ln 24,8 + ln 43,27 = 6,978 303... Puisque les nombres sont des mesures, on arrondit le logarithme à trois décimales, car c’est le nombre de chiffres signicatifs de la mesure qui en a le moins, et on retient ln 24,8 + ln 43,27 = 6,978.

Un peud’histoire

ALEXANDER GRAHAM BELL

A

1847-1922

lexander Graham Bell naquit à Édimbourg, en Écosse, et étudia aux universités d'Édimbourg et de Londres. Il était le ls d’un éducateur écossais, Alexander Melville Bell, qui créa un langage pour les sourds-muets, appelé « parole visible », dans lequel on utilise les lèvres, la langue et la gorge pour l’articulation du son. D’abord attiré par la musique, Bell s’en détourna, probablement touché par les problèmes de surdité dont souffrait sa mère, pour s’initier à la phonétique, suivant ainsi les traces de son père. Après ses études à Londres, il s’établit au Canada en 1870, puis aux États-Unis d’Amérique un an plus tard, où il fonda en 1872 une école pour malentendants, qui fut par la suite rattachée à l’Université de Boston. Il y enseigna avec succès la méthode élaborée par son père. À la même époque, il entreprit des travaux qui devaient le mener à l’invention du téléphone. Dès 1874, il avait acquis

la conviction qu’il est possible de transformer les ondes sonores en impulsions électriques. Avec l’aide de son assistant, Thomas Watson, il y parvint en 1876. Lors des tests effectués en laboratoire, la première phrase, en anglais, transmise par téléphone fut : « Watson, venez ici, j'ai besoin de vous ! » À croire qu’il s’agissait de Sherlock Holmes ! L’invention connut rapidement un succès retentissant qui aboutit, en 1877, à la création de la compagnie de téléphone Bell. La fortune aidant, Bell se tourna alors vers d’autres champs d’expérimentation, jetant les bases du gramophone et s’intéressant à l’aviation et aux transports nautiques. Il participa, avec son beau-père, à la création de la National Geographic Society, dont il fut le président de 1897 à 1903.

132

Chapitre 4

4.4 Exercices 1. Résoudre les équations suivantes en appliquant les règles d’utilisation des exposants. a) 10 −2x × 1002 = 10

d)

b)

e)

c)

f)

c) Représenter graphiquement la fonction en utilisant les valeurs calculées en b).

2. Soit la fonction dénie par la règle de correspondance f (x) = 2x. a) Donner le domaine et le codomaine de cette fonction. b) Calculer les correspondances requises pour remplir le tableau suivant.

c) Représenter graphiquement la fonction en utilisant les valeurs calculées en b). 4. Représenter graphiquement les réciproques des couples donnés dans les graphiques suivants et utiliser les points obtenus pour esquisser le graphique de la relation réciproque. Indiquer le domaine et le codomaine de cette relation, dire si c’est une fonction et, si oui, en donner la règle de correspondance. a) f (x) = bx, où b > 1

3. Soit la fonction dénie par la règle de correspondance f (x) = 2−x. a) Donner le domaine et le codomaine de cette fonction. b) Calculer les correspondances requises pour remplir le tableau suivant.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

b) f (x) = b −x, où b > 1

133

11. Déterminer la valeur de b dans chacune des expressions suivantes. a) logb 8 = 3/4 c) logb 81 = 4 b) logb = 1/4 d) logb 0,125 = −3 12. Déterminer la valeur de N dans chacune des expressions suivantes. a) log3(1/log3 N) = 1 b) log2(log2 N) = 0 13. Trouver les logarithmes demandés. a) log2 32 b) log3(1/243) 14. Exprimer les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10. a) 54,5 b) 1,2 15. Trouver un nombre réel x tel que : a) 102x = 0,7 c) 10 −x(10 −x − 8) = 0 b) 2 log x − 5 = 0 d) 103x = 25

5. Déterminer le domaine des fonctions logarith­ miques suivantes. a) f (x) = log2(3x − 8) b) f (x) = 3 log5(5 − 2x) c) f (x) = log3(2x + 7) d) f (x) = 4 − log2(5x − 4) 6. Trouver les logarithmes suivants. a) Logarithme de base 2 de 64 b) Logarithme de base 0,5 de 0,125 c) Logarithme de base 3 de 1/243 d) Logarithme de base 1/3 de 81 e) logb x dans le cas où logb(1/x) = 1/4 7. Écrire l’équation logb(a − x) = c sous forme expo­ nentielle et isoler x. 8. Déterminer la valeur de N dans chacune des expressions suivantes. a) log2 N = 3 c) 2 log5 N = −4 b) log3 N = −1 9. Trouver les logarithmes suivants. a) logb b) log10 0,1 10. Déterminer la valeur de N dans chacune des expressions suivantes. a) log6 N = 0 c) log8 N = −1/3 b) log4 N = 1,5

16. Exprimer les nombres suivants en base e. a) 27,23 b) 0,78 17. Trouver une valeur de x telle que : a) ex = 0,65 c) 2 ln x − 3 = 0 b) ln x = −0,27 d) e−x(e−x − 2) = 0 18. Résoudre les équations exponentielles suivantes. a) 4x = 22 f) 5 × 30,5x + 125 =630 x b) 5 = 34 g) 2 × 7(2 – x) = 858 c) 2x = 100 h) 3 × 8(5 – x)/3 = 396 x d) 1,5 = 42 i) 7 × 5(x + 2)/5 = 378 e) 4 × 52x = 540 j) 3 × 53(x + 5) = 481 19. Résoudre les équations suivantes. a) 62 − 3x = 42x + 1 b) 83 − x = 52x + 3 20. Déterminer le logarithme demandé. a) Sachant que logb x = 6, calculer logb x2. b) Sachant que logb bx = 7, calculer logb x. c) Sachant que logb bx = 5, calculer logb x2. 21. Résoudre les équations logarithmiques suivantes. a) log2(x − 5) = 3 b) log5(2x + 1) = 2 c) log1/2(3x − 1) = −3 d)

134

e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

Chapitre 4

log3(4x – 1) – log3(x – 2) = 2 log2(3x – 2) – log2(5x + 2) = –2 ln 6 + 2 ln x – ln(x + 1) = 0 2 ln(6 – x) = ln(x + 2) + ln(x – 2) 2 ln(x – 1) = ln(x – 2) + ln 4 2 ln(3 – x) = 2 ln x ln x + ln(x – 3) = ln 10 2 ln(3 – x) = ln(x – 1) + ln(x – 1) ln(4x2 – 10) = ln 3x + ln(x + 1)

22. Reformuler les dénitions des fonctions suivantes à l’aide du logarithme de base 10. a) y = 5 ln x + 2 c) T = 2,5 log β + 1,34 b) N = 3 log2 t + 4,8 23. Déterminer la valeur de x pour laquelle y = 500 dans la relation y = 10(1/3)x. 24. Un sel radioactif se désintègre de telle sorte que la quantité présente après t années est décrite par le modèle Q(t) = Q 0(0,98)t. a) Combien de temps met la quantité initiale à diminuer du quart ? des trois quarts ? b) Déterminer la demi-vie du sel radioactif. 25. Le radium A se désintègre à une vitesse telle qu’à la n de chaque minute, il ne reste que les 8/10 de la quantité initiale. Déterminer la demi-vie du radium A sachant que la demi-vie d’un élément radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié de la quantité initiale se désintègre. 26. Résoudre l’équation suivante.

29. Dans un examen, à la question « Résoudre l’équation 2x = 12 », un étudiant a donné la solution suivante. 2x = 12 log 2x = log 12 x log 2 = log 12

Relever l’erreur qu’il a commise et corriger la solution. 30. Dans un examen, à la question « Écrire l’expression log x + log 4x = 2 sous forme exponentielle », un étudiant a répondu log x + log 4x = 2 log 5x = 2 5x = 102 5x = 100 x = 20. Relever l’erreur qu’il a commise et corriger la solution. 31. Dans un examen, à la question « Résoudre l’équation log x = 3 log 2 », un étudiant a répondu log x = 3 log 2 x = 6. Relever l’erreur qu’il a commise et corriger la solution. 32. Dans un examen, à la question « Résoudre l’équation log x − log 2 = 1 », un étudiant a répondu log x − log 2 = 1 log(x − 2) = 1 x − 2 = 101 x = 12. Relever l’erreur qu’il a commise et corriger la solution.

27. Simplier les expressions suivantes. a) loga x3 − loga x c) loga(x2 − 1) − loga (x + 1) b) loga x3 − loga 2x d) loga(a2 ) + loga x2 28. Calculer la valeur de x à l’aide des propriétés des logarithmes. a) b) c) d)

log2 x + log2(x − 3) = 2 log3(x + 2) − log3(x − 2) = 2 2 log5 x − log5 8x = 0 2 log2 x − log2(x − 2) = 3

33. L’intensité d’un faisceau de rayons X à la sortie d’une plaque de x mm d’épaisseur est donnée par la règle de correspondance I(x) = I0 e−kx, où I0 est l’intensité du faisceau à l’entrée, I, l’intensité à la sortie et k, une constante linéaire d’absorption qui dépend du matériau constituant la plaque. a) Calculer la valeur de k dans le cas où une plaque de 5 mm d’épaisseur absorbe les deux tiers du faisceau. b) Esquisser le graphique de la fonction.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

c) On veut utiliser les rayons X pour mesurer l’épaisseur en millimètres (mm) de plaques formées du même matériau. Déterminer la fonction qui permet de calculer l’épaisseur x selon l’intensité du faisceau à la sortie. Esquisser le graphique de la fonction. d) Sachant que l’intensité initiale est I0 = 10, remplir le tableau de spécications indiquant l’épaisseur des plaques en fonction de l’intensité du faisceau à la sortie.

34. Selon la loi de Halley, la pression atmosphérique p en pouces de mercure dépend de l’altitude mesurée à partir du niveau de la mer, et elle est décrite par p(h) = 29,92e−h/5, où h est l’altitude en milles. a) Quelle est la lecture du baromètre au niveau de la mer ? b) La pression au niveau de la mer est de 101,32 kPa. Trouver l’équivalent en kilopascals de un pouce de mercure. c) Calculer la pression en pouces de mercure et en kilopascals à une altitude de 2 640 pi (1 mi = 5 280 pi). d) À quelle altitude le baromètre indiquera-t-il une pression de 22,12 po de Hg ? 35. Le gain en décibels d’un système de sonorisation est donné par g(Ps ) = 10 log(Ps/P0) dB, où Ps est la puissance à la sortie et P0 est la puissance à l’entrée, ou puissance initiale (c’est la puissance servant de référence). a) Sachant que la puissance de référence la plus utilisée dans l’industrie du téléphone est de 1 mW, trouver la fonction permettant de spécier les qualités d’amplication des systèmes téléphoniques. b) Quelle est la puissance à la sortie correspondant à une amplication de 15 dB ? de 20 dB ? c) Quel est le gain en décibels d’un système dont la puissance à la sortie est de 20 mW ? de 40 mW ? 36. La puissance de référence de plusieurs récepteurs radio est de 0,006 W (ou 6 mW). a) Quelle est la fonction permettant de spécier les qualités d’amplication de ces récepteurs radio ?

135

b) Quel est le gain en décibels d’un système dont la puissance de sortie est de 4 mW ? de 10 W ? de 60 W ? c) Quelle est la puissance de sortie correspondant à une amplication de 12 dB ? de 20 dB ? 37. L’oreille humaine est capable de percevoir les sons d’une puissance de 10−16 W ou plus. a) Quelle est la fonction qui décrit l’intensité d’un son en décibels ? b) Quelle est l’intensité d’un son dont la puissance est de 50 W ? c) Quelle est la puissance en watts d’un son dont l’intensité est de 350 dB ? 38. Une compagnie veut fabriquer des abat-jour dans un nouveau matériau. L’intensité de la lumière que le matériau laisse ltrer diminue lorsque celui-ci est soumis à une tension électrique contrôlée par un rhéostat. L’intensité du faisceau que laisse ltrer un abat-jour est donnée par le modèle I(x) = I0e−kx, où I0 est l’intensité à l’entrée, I est l’intensité à la sortie et k est une constante linéaire d’absorption qui dépend du matériau. Le rhéostat est gradué de 0 V à 10 V. Lorsque la tension est nulle, le matériau est tout à fait translucide et, si elle est de 2 V, le matériau absorbe 35 % de la luminosité. a) Déterminer un modèle permettant de calculer la tension à appliquer selon la luminosité souhaitée. b) Utiliser le modèle pour calculer la tension à appliquer pour que l’absorption soit de 70 %. 39. L’entreprise qui vous emploie achète un ordinateur dont le taux de dépréciation est de 30 % par année. a) Construire un modèle mathématique décrivant la valeur de l’ordinateur en fonction du temps t. b) Calculer la valeur de revente de l’ordinateur dans quatre ans. c) Déterminer le moment où la valeur de l’ordinateur aura diminué de moitié. 40. On a mis au point un nouveau matériau pour l’insonorisation des murs des édices. Il est possible d’installer des panneaux avant la pose des plaques de plâtre ou de soufer des granules dans les murs d’édices déjà existants. Selon une publicité, l’intensité

136

Chapitre 4

sonore des bruits est réduite de 40 % pour chaque centimètre d’épaisseur dans le cas des panneaux et de 20 % par centimètre dans le cas des granules. a) Construire un modèle mathématique décrivant la relation entre l’intensité du bruit d’un côté et de l’autre d’un panneau insonorisant. b) En supposant que l’on installe des panneaux de chaque côté d’un mur, quelle épaisseur doiventils avoir pour que l’absorption soit supérieure à 90 % ?

Dans le local de réception, la vibration du mur fait vibrer l’air et cette vibration cause une variation de pression dans l’oreille qui se traduit par un son. On a testé diverses épaisseurs de panneaux de placoplâtre dans lesquels on a incorporé une substance qui a pour effet de limiter la vibration des panneaux. Dans le local d’émission, on a produit un son de 80 dB et, à l’aide d’un sonomètre, on a mesuré l’intensité du son dans le local de réception. Les données sont consignées dans le tableau suivant.

41. Une compagnie de construction achète une rétrocaveuse ayant deux ans d’usage au coût de 84 700 $. La dépréciation sur une telle machine est de 17 % par année. a) Construire un modèle mathématique décrivant la valeur de l’équipement depuis l’achat par le premier propriétaire. b) Calculer la valeur de revente cinq ans plus tard. 42. Effectuer les calculs demandés et donner le résultat en respectant les règles appropriées. a) ln 7,2, où 7,2 est une mesure. b) ln(14,5 × 10 –4), où 14,5 × 10 –4 est une mesure. c) log(12,50 × 102), où 12,50 × 102 est une mesure. d) e0,127, où 0,127 est une mesure. e) e1,27, où 1,27 est une mesure. f) 100,432, où 0,432 est une mesure. g) 104,32, où 4,32 est une mesure. h) ln 4,2 + ln 54,72, où 4,2 et 54,72 sont des mesures. i) log 52,1 + log 33,2, où 52,1 et 33,2 sont des mesures. 43. Pour tester des panneaux d’insonorisation, on les utilise pour séparer un local d’émission d’un local de réception. Dans le local d’émission, un système produit des sons selon différentes intensités en décibels. Le son fait vibrer l’air et cette vibration se transmet à la cloison séparant les deux locaux, qui vibre à son tour.

a) Déterminer un modèle mathématique décrivant la relation entre l’épaisseur des panneaux et l’intensité du son dans le local de réception. b) La plupart des gens ne peuvent percevoir une variation de pression inférieure à 3 dB. Quelle épaisseur devraient avoir les panneaux pour que l’intensité dans le local de réception soit inférieure 3 dB ? Il est à noter que l’insonorisation des logements est plus compliquée que ce que laissent supposer les exercices 40 et 43. Il faut tenir compte de la fréquence de l’onde, mesurée en hertz (Hz), qui est le nombre d’oscillations par seconde des particules mises en vibration par l’onde (voir le chapitre 6 pour la notion de fréquence). Plus la source sonore vibre rapidement, plus le son produit est aigu. Par exemple, la note la plus basse qu’émet un piccolo est de 40 Hz alors que la note la plus haute peut atteindre jusqu’à 5 000 Hz. Les sons de basse fréquence traversent plus facilement les matériaux légers que les matériaux lourds. À l’inverse, les sons de haute fréquence traversent plus facilement les matériaux lourds et sont plus facilement atténués par les matériaux légers.

Modélisation et régression

MODÉLISATION et RÉGRESSION

Appliquer la méthode de la droite de régression pour modéliser des données expérimentales à pas variable ou constant Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la reconnaissance du lien entre deux variables grâce à l’examen de données observées ; • la modélisation de données expérimentales ; • l’utilisation de papier semi-logarithmique ou logarithmique pour la détermination du lien entre des données expérimentales ; • la transformation de données visant à traduire en un lien afne une relation puissance, une relation exponentielle ou une relation logarithmique.

137

5

5.1 Modélisation afne                138 Modélisation et résolution de problèmes Modélisation de données observées Paramètres d’une droite de régression Mesures de la précision du modèle Droite de tendance Un peud’histoire Francis Galton

5.2 Exercices            147 5.3 Échelles graphiques          150 Échelle linéaire Échelle logarithmique Échelle logarithmique et modélisation Un peud’histoire Carl Friedrich Gauss

5.4 Exercices            158

138

Chapitre 5

5.1 Modélisation afne En modélisation afne, on utilise l’équation d’une droite comme modèle du lien entre les variables. Pour construire le modèle afne, il faut connaître les caractéristiques de la droite que sont la pente et l’ordonnée à l’origine. Elles sont parfois données dans la description verbale de la situation à modéliser, mais on peut aussi avoir à les dégager de valeurs correspon­ dantes des variables. Dans le cas particulier où l’ordonnée à l’origine est nulle, la droite passe par l’origine du système d’axes et le modèle en est un de variation directement proportionnelle.

Modélisation et résolution de problèmes PROCÉDURE REMARQUE

La réponse à un problème est la conclusion d’un travail. Elle doit être rédigée dans un français correct. Les phrases doivent être claires et comporter un sujet, un verbe et un complément. À la n de l’ouvrage, on donne des éléments de réponse, mais pas néces­ sairement une réponse au sens de la conclusion d’un travail. Ces éléments de réponse ont pour but d’aider à vérier les résultats des manipula­ tions et des calculs.

Pour résoudre un problème par modélisation afne

1. Identier les variables du problème et les représenter par des sym­ boles appropriés accompagnés des unités de mesure des variables. 2. Dénir en compréhension la relation entre les variables en justiant le choix du modèle. 3. Utiliser le modèle pour résoudre le problème. 3.1 Reformuler la question (ou les questions) en utilisant les variables du problème. 3.2 Effectuer les calculs et manipulations algébriques permettant de répondre à la question. 3.3 Rédiger la réponse à la question posée.

EXEMPLE 5.1.1

Après avoir suivi un cours sur la modélisation afne, le propriétaire d’immeubles locatifs estime que le lien entre les coûts de chauffage mensuels et la température extérieure est de nature afne. Il a noté qu’en octobre, la température moyenne a été de 13 °C et que les coûts de chauffage pour l’ensemble de ses logements ont été de 1 340 $. Par ailleurs, en novembre, pour une température moyenne de 8 °C, les coûts se sont élevés à 2 530 $. a) En supposant que le phénomène est effectivement modélisable par un lien afne, construire un tel modèle, indiquer la signication des paramètres selon le contexte et représenter graphiquement le lien afne. b) Déterminer le zéro de la fonction et interpréter le résultat selon le contexte. c) Selon les données du service de météorologie local, la température moyenne durant le mois de janvier, au cours des années précédentes, a été de −18 °C. En utilisant le modèle, estimer les coûts de chauffage pour le mois de janvier suivant.

Modélisation et régression

Solution a) Identication des variables Soit C, les coûts mensuels de chauffage, et T, la température moyenne durant le mois, qui servira de variable indépendante. Dénition du lien entre les variables Si l’hypothèse du propriétaire est exacte, la relation entre les coûts et la température est de la forme C = aT + b. La pente de la droite représentant graphiquement le modèle afne cherché est

Le modèle est donc de la forme C = −238T + b. En substituant les coordonnées d’une des correspondances aux variables, on obtient la valeur de b : 2 530 = −238 × 8 + b, donc b = 4 434 $. La fonction est donc C(T) = −238T + 4 434 $. Le fait que la pente est de −238 $/°C signie que les coûts mensuels de chauffage diminuent de 238 $ pour chaque augmentation de 1 °C de la température mensuelle moyenne. L’ordonnée à l’origine, 4 434 $, est la valeur des coûts mensuels de chauffage lorsque la température mensuelle moyenne est de 0°C. Utilisation du modèle b) Le zéro de la fonction est la température mensuelle moyenne pour laquelle les coûts de chauffage mensuels sont nuls : −238T + 4 434 = 0, donc T = 18,63 °C. c) Si la température moyenne au mois de janvier est de −18 °C, les coûts de chauffage mensuels estimés à l’aide du modèle sont C(−18) = −238 × −18 + 4 434 = 8 718 $.

Modélisation de données observées Dans ce qui suit, nous présentons trois méthodes applicables autant à des données à pas variable qu’à des données à pas constant (c’est-à-dire que les valeurs de la variable indépendante sont à intervalles réguliers), ainsi que des mesures utilisées pour juger de la précision d’un modèle mathématique. Méthode graphique La façon la plus simple et la plus rapide de construire un modèle afne à l’aide d’une règle transparente consiste à représenter les couples de données sur du papier quadrillé et à choisir, parmi toutes les droites passant par deux des points obtenus, celle qui semble le mieux décrire le phénomène. On utilise les coordonnées (x1; y1) et (x2; y2) des points choisis pour

139

140

Chapitre 5

écrire l’équation de la droite retenue comme modèle, soit en appliquant la procédure de géométrie analytique

soit en résolvant le système d’équations y1 = ax1 + b y2 = ax 2 + b. EXEMPLE 5.1.2

On veut fabriquer des poutres en I avec un nouveau matériau. La largeur m de la bande centrale est le tiers de la largeur l de la poutre. On veut déterminer la charge que peuvent supporter sans déformation des poutres de même longueur et de même épaisseur mais de différentes largeurs. Les mesures obtenues sont rassemblées dans le tableau ci-contre, où la charge C est en kilogrammes (kg) et la largeur l d’une poutre est en centimètres (cm). Construire un modèle mathématique qui décrit le lien entre les variables. Solution En représentant graphiquement les données du tableau, on constate que le nuage de points évoque une droite, mais les points ne sont pas parfaitement alignés, ce qui peut s’expliquer par des erreurs de mesure. Par exemple, si la droite passant par les points (10,0; 2 515) et (16,0; 3 995) semble la plus apte à décrire la relation entre les variables, en appliquant la procédure de géométrie analytique, on a

En isolant C, on obtient le modèle C(l) = 246,67l + 48,333. On peut mesurer la précision de ce modèle en calculant, pour chaque valeur de la variable indépendante, la différence entre la valeur observée (Ci ) et la valeur donnée par le modèle mathématique (Cm ). De telles différences sont appelées résidus (R). La somme des carrés des résidus est une mesure de la précision du modèle mathématique. La lettre grecque S (sigma) symbolise la sommation. Les résidus et leurs carrés sont inscrits dans le tableau présenté ci-contre.

Méthode des données groupées

Cette méthode consiste à diviser les points en deux groupes contenant chacun la moitié, ou environ la moitié, des données an d’établir un modèle afne crédible. On calcule ensuite la valeur moyenne de la variable indépendante et de la variable dépendante dans chaque groupe. Les valeurs

Modélisation et régression

moyennes, représentées par et d’une droite à l’aide de la proportion

, servent à écrire l’équation

On peut également trouver les valeurs de a et b en solutionnant le système d’équations suivant :

EXEMPLE 5.1.3

Appliquer la méthode des données groupées aux résultats des tests donnés dans l’exemple précédent pour construire un modèle afne décrivant la relation entre la largeur l d’une poutre et la charge C qu’elle peut supporter. Effectuer le calcul des résidus an de mesurer la abilité du modèle obtenu. Solution En regroupant les données et en calculant les moyennes, on obtient

En appliquant la procédure de géométrie analytique, on a

En isolant C et en arrondissant le taux de variation à deux décimales et la constante à cinq chiffres signicatifs, on obtient le modèle afne C(l) = 245,08l + 49,702. Le tableau présenté ci-contre donne la somme des carrés des résidus. On constate que ce modèle est plus able que celui que l’on obtient avec la méthode graphique puisque la somme des carrés des résidus est plus petite.

Méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés consiste à calculer :

•

, la moyenne des valeurs de la variable indépendante x ;

•

, la moyenne des valeurs de la variable dépendante y ;

141

142

Chapitre 5

•

, la moyenne des carrés des valeurs de la variable indépendante x ;

•

, la moyenne des produits des valeurs des deux variables.

On obtient ensuite les paramètres a et b de la droite recherchée en solutionnant le système d’équations

EXEMPLE 5.1.4

En appliquant cette fois la méthode des moindres carrés aux résultats des tests donnés à l’exemple 5.1.2, construire un modèle afne décrivant la relation entre la largeur l d’une poutre et la charge C qu’elle peut supporter. Effectuer le calcul des résidus an de mesurer la abilité du modèle obtenu. Solution Le tableau du centre donne les sommes permettant le calcul des moyennes. En remplaçant les variables par leur valeur dans

d’où le système d’équations 28 410 = 114,3a + 8b 420 854 = 1 694,29a + 114,3b. En isolant b dans la première équation, on obtient

et, par substitution dans la deuxième équation, on a

En remplaçant a par sa valeur dans la première équation, on obtient b = 63,627 5... En arrondissant a à cinq chiffres signicatifs, on obtient a = 244,10 et en arrondissant b à deux décimales, on obtient b = 63,63. Le modèle afne est alors C(l) = 244,1l + 63,63. Le tableau présenté ci-contre donne la somme des carrés des résidus. On constate que ce dernier modèle est le plus able des trois puisque la somme des carrés des résidus est la plus petite.

Modélisation et régression

143

Paramètres d’une droite de régression Les valeurs moyennes des variables sont dénies par

Si on remplace les variables par ces expressions dans les équations

et qu’on isole les paramètres a et b, on obtient

REMARQUE

Dans ce qui suit, nous utiliserons, sans les démontrer, les expressions pour déterminer les paramètres d’une droite de régression.

On peut utiliser directement ces expressions en substituant aux variables les sommes du tableau pour obtenir les paramètres de la droite de régression. Cela évite d’avoir à résoudre le système d’équations chaque fois. Ainsi, pour l’exemple 5.1.4, dont le tableau est reproduit ci-contre, on a

En arrondissant les valeurs de a et b, on obtient le modèle afne C(l) = 244,1l + 63,63. PROCÉDURE Pour calculer les paramètres d’une droite de régression

1. Représenter graphiquement les données an de s’assurer que le modèle afne est approprié. 2. Pour simplier le traitement et la gestion des données, construire un tableau en réservant une colonne à chacune des grandeurs n, x, y, xy et x2. La dernière ligne du tableau contient les sommations (Σ) utilisées dans les formules de a et de b. EXEMPLE 5.1.5

L’entrepreneur en construction pour lequel vous travaillez a décidé d’évaluer les coûts de chauffage des maisons qu’il construit an de se servir de ce renseignement dans sa publicité. Il a noté, pour des périodes de 24 heures, la consommation moyenne de mazout en fonction de la température extérieure moyenne durant ces 24 heures. Les données qu’il a obtenues sont inscrites dans le tableau présenté ci-contre. Trouver, par la méthode des moindres carrés, le modèle afne décrivant la relation entre la température et la quantité de mazout consommée.

REMARQUE

La plupart des calculatrices sont munies de fonctions permettant de calculer directement les paramètres a et b.

144

Chapitre 5

Solution Identication des variables La quantité de mazout consommée Q (L) dépend de la température extérieure T (°C). La représentation graphique des données est un nuage de points (présenté ci-contre) qui évoque une droite, même si les points ne sont pas parfaitement alignés. Dénition du lien entre les variables Pour déterminer la valeur des paramètres de la droite, il faut calculer les produits des valeurs correspondantes et le carré des valeurs de la variable indépendante, puis faire la somme (Σ) des données et de ces résultats. On peut présenter tous les calculs dans un même tableau, dont la dernière ligne est réservée aux sommes des valeurs inscrites dans les colonnes. En utilisant les formules des paramètres, on obtient

Le modèle est donc Q(T) = −1,611T + 30,93.

Mesures de la précision du modèle Le modèle mathématique construit est-il able ? Il existe des mesures qui permettent de répondre partiellement à cette question. Ce sont la somme des carrés des résidus, le coefcient de corrélation et le coefcient de détermination. Calcul des résidus On effectue le calcul de la somme des carrés des résidus. On peut effectuer le calcul de la somme des résidus à l’aide du tableau utilisé pour déterminer les paramètres du modèle afne. Ainsi, pour le dernier exemple, on obtient le tableau complémentaire suivant.

Modélisation et régression

145

Coefcient de corrélation linéaire Le coefcient de corrélation est une mesure de l’intensité du lien de linéarité entre deux variables. Il indique le degré de regroupement des points dans le voisinage de la droite. Il est déni par

Ainsi, pour le dernier exemple, on a

Le tableau des sommes de l’exemple 5.1.5 donne quatre des sommes apparaissant dans la formule de r. Il manque seulement ∑Qi2. On peut donc facilement calculer le coefcient de corrélation :

Le coefcient de corrélation linéaire r est un nombre compris entre −1 et 1 (−1 ≤ r ≤ 1). Lorsque r = 0 (corrélation nulle), le modèle afne n’est pas du tout approprié au phénomène. Lorsque r est proche de 1 ou de −1, le regroupement des points dans le voisinage de la droite est important. Si la valeur de r est positive, les variables varient dans un même sens, c’est-à-dire que la valeur de la variable dépendante augmente lorsque la valeur de la variable indépendante augmente. Si la valeur de r est négative, les valeurs des variables varient en sens inverse, c’est-à-dire que la valeur de la variable dépendante diminue lorsque la valeur de la variable indépendante augmente. L’exemple 5.1.5 illustre ce dernier cas : la quantité de mazout consommée diminue lorsque la température augmente. De plus, le coefcient r est −0,999 8, ce qui est très proche de −1. La corrélation est donc très forte. Le coefcient de détermination est le carré du coefcient de corrélation. Le modèle afne est donc approprié pour décrire la quantité de mazout consommée en fonction de la température puisque (−0,999 8)2 est très près de 1. Le coefcient de détermination permet d’évaluer la pertinence d’utiliser un modèle afne et fait abstraction du caractère positif ou négatif de la corrélation. C’est une mesure de l’adéquation entre le modèle et les données observées.

Droite de tendance La droite de régression permet de construire un modèle simple, utilisé pour analyser des phénomènes ou décrire une tendance. On l’appelle alors droite de tendance. On distingue deux cas dans l’analyse de tendance, selon que les valeurs estimées sont à l’intérieur ou à l’extérieur de l’ensemble des données observées.

REMARQUE

La plupart des calculatrices sont munies d’un fonction permettant de calculer directement le paramètre r.

146

Chapitre 5

Interpolation Lorsque les prévisions portent sur des valeurs à l’intérieur de l’intervalle des données, le processus est appelé interpolation. Généralement, les estimations par interpolation sont plutôt ables. Extrapolation Si les prévisions portent sur des valeurs à l’extérieur de l’ensemble des données, le processus est appelé extrapolation. Il est à noter que la abilité est plus grande lorsqu’on fait des prédictions pour des valeurs proches de l’ensemble des données observées. Une prédiction portant sur une valeur éloignée de cet intervalle donne une estimation qui, sans être à rejeter, doit être utilisée avec circonspection. Dans les deux cas, il ne faut pas s’attendre à ce que le modèle soit plus précis que les données qu’il décrit.

Un peud’histoire

FRANCIS GALTON

I

1822-1911

nuencés par les travaux de Charles Darwin (1809-1882), les statisticiens anglais de la n du xixe siècle utilisèrent les statistiques dans des contextes plus proches de la biologie que de la sociologie, comme le faisaient les statisticiens du continent européen. Francis Galton, cousin de Darwin, s’intéressa à des questions statistiques liées à la génétique, à l’hérédité et au comportement humain. Alors qu’Adolphe Quételet (1796-1874) avait réalisé des travaux sur des données biométriques de l’être humain, comme le poids, la taille et le périmètre thoracique, et avait montré que ces données se répartissaient selon une courbe normale, Galton mena des recherches sur la variabilité des caractères, les différences entre individus et les moyens pour conserver et favoriser les meilleurs d’entre eux. Sa contribution majeure est la notion de corrélation et la mesure de celle-ci, le coefcient de corrélation. Lors d’études sur l’hérédité, réalisées en 1877, Galton se rendit compte que des parents de petite taille avaient des enfants plus petits que la moyenne, mais plus grands que leurs parents. De même, des parents plus grands que la moyenne avaient des enfants plus grands que la moyenne, mais plus petits que leurs parents. Ce phénomène indique qu’il y a corrélation entre la taille des parents et celle des enfants,

mais qu’il y a également une régression par rapport à la moyenne, d’où l’appellation droite de régression. La régression vers la moyenne est en fait inversement proportionnelle à la corrélation. Dans ses travaux sur l’eugénisme, Galton étudia la dispersion des résultats et élabora les notions de médiane et de quartile. À l’époque, les travaux de Galton étaient perçus comme une contribution importante dans la lutte de la science contre l’obscurantisme religieux. Ils furent malheureusement utilisés comme justication pour les exactions commises dans l’Allemagne nazie. À partir de 1865, Galton se consacra à la statistique dans le but de quantier les caractéristiques physiques, psychiques et comportementales de l’être humain, ainsi que leur évolution. Darwin avait énoncé ses lois de l’évolution sans considérer le calcul des probabilités, mais ses théories ont assuré le triomphe d’une description probabiliste du monde. Galton t le lien entre la théorie de la sélection naturelle et la recherche mathématique, consacrant une large partie de son activité à la défense de la théorie de l’évolution et cherchant à montrer qu’elle fournit des prévisions susceptibles d’être vériées.

Modélisation et régression

5.2 Exercices 1. Un technicien en réparation d’appareils de chauffage applique un taux de 30 $ par demi-heure de travail, mais il facture un supplément de 20 $ pour le temps de déplacement. a) Construire un modèle mathématique décrivant le coût de la main-d’œuvre pour les réparations effectuées par ce technicien. b) Déterminer le coût de la main-d’œuvre pour une réparation qui a nécessité une demi-heure de travail. 2. Une personne désirant établir la correspondance entre le kilogramme et la livre se pèse à l’aide d’un pèse-personne gradué selon les deux échelles de mesure. Sur l’échelle graduée en kilogrammes, elle évalue sa masse à 70 kg et, sur l’échelle graduée en livres, elle fait une lecture de 154 lb. a) À l’aide de ces données, établir la correspondance entre les deux unités de mesure. b) Esquisser le graphique de cette correspondance. c) Quel est l’équivalent en livres de 80 kg ? de 100 kg ? d) Si une personne a maigri de 8 lb au cours du dernier mois, combien de kilogrammes at-elle perdu ? 3. Vous contactez deux entrepreneurs paysagistes pour faire installer de la pelouse sur votre terrain. L’un d’eux facture 1,80 $ le mètre carré et des frais xes de 120 $, et l’autre entrepreneur demande 2,10 $ le mètre carré, mais aucuns frais xes. a) Quelles sont la variable indépendante et la variable dépendante dans ce contexte ? b) Déterminer dans chacun des cas la fonction permettant d’évaluer le coût. Représenter graphiquement ces fonctions. c) Si la partie de votre terrain que vous désirez recouvrir de pelouse a une supercie de 300 m2, lequel des deux entrepreneurs facture le moins cher ? d) Quelle doit être la supercie du terrain à recouvrir pour qu’il soit plus avantageux de choisir l’autre entrepreneur ? 4. L’entreprise qui vous emploie doit remplacer temporairement un appareil nécessitant des réparations qui demandent de deux à trois mois. Deux compagnies de location ont présenté une

147

soumission. La première facture 10 $ par jour de location, tous services inclus ; la deuxième exige 6 $ par jour et des frais xes de 180 $. L’appareil est muni d’un dispositif qui détermine le nombre de jours d’utilisation en tenant compte seulement des jours ouvrables. Vous devez préparer une étude comparative des deux offres pour le conseil d’administration, qui doit choisir un fournisseur. a) Construire, pour chaque cas, un modèle mathématique décrivant le coût de la location en fonction de sa durée. Représenter graphiquement les deux modèles dans un même système d’axes. b) Quel est le coût d’une location de 30 jours ouvrables ? de 90 jours ouvrables ? c) Après analyse des modèles, faire une recommandation au conseil d’administration quant au choix d’un fournisseur. 5. Deux cyclistes quittent simultanément deux endroits distants de 300 km et se dirigent l’un vers l’autre. André part du point A et roule à 22 km/h alors que Bertrand part du point B et roule à 26 km/h. a) Exprimer, en fonction du temps, la distance entre le point A et chacun des cyclistes. b) Représenter graphiquement les deux fonctions dans un même système d’axes. c) Que représente l’abscisse du point d’intersection des deux droites ? Que représente l’ordonnée du point d’intersection des deux droites ? d) Déterminer le temps que les deux cyclistes mettent à se rencontrer. e) Déterminer la distance parcourue par chacun des cyclistes au moment de leur rencontre. 6. On a soumis des poutres d’un même matériau, de même longueur et de même épaisseur, mais de différentes largeurs à des essais pour déterminer la charge qu’elles peuvent supporter sans se déformer. Pour chacune des largeurs testées, on a noté la charge maximale avant déformation. Les données sont rassemblées dans le tableau suivant. a) Construire un modèle mathématique de la correspondance entre les deux variables. b) À l’aide du modèle, déterminer la charge que peut supporter une poutre dont la largeur est de 8 cm.

148

Chapitre 5

7. On réalise l’expérience suivante sur les échanges de chaleur. On plonge 25,0 g d’un alliage dans un bécher contenant 90,0 g d’eau à 25,82 ºC. La température nale Tf (lorsque les températures ont atteint leur point d’équilibre) est fonction de la température de l’alliage Ta au moment où on le plonge dans l’eau. Les températures en degrés Celsius mesurées au cours de divers essais sont données dans le tableau suivant.

e) Évaluer la quantité de mazout consommée en une journée lorsque la température extérieure moyenne est de −20 °F. 9. Vous travaillez pour une entreprise qui effectue l’entretien d’espaces à bureaux. Il est très important pour l’entreprise d’estimer le mieux possible le temps nécessaire à l’entretien d’un édice avant de faire une soumission. Elle a donc noté la supercie des édices dont elle fait déjà l’entretien, de même que le temps requis pour le faire. Les données sont présentées dans le tableau suivant.

a) Construire un modèle mathématique qui décrit le phénomène étudié. b) Utiliser le modèle pour calculer la température nale de l’alliage dans le cas où sa température initiale est de 150 °C. c) Déterminer la température initiale de l’alliage si sa température nale est de 30°C et si elle est de 26°C. 8. Un entrepreneur en construction a décidé d’évaluer les coûts de chauffage des maisons qu’il bâtit an de se servir de ce renseignement dans sa publicité. Il a noté la consommation moyenne de mazout durant des périodes de 24 heures en fonction de la température extérieure moyenne durant ces 24 heures. Les données qu’il a obtenues sont présentées dans le tableau suivant.

a) Représenter graphiquement les données. b) Construire un modèle affine décrivant la relation entre la température et la quantité de mazout consommée. c) Évaluer la quantité de mazout consommée en une journée lorsque la température extérieure moyenne est de 9°F. d) Dans le cas où la température moyenne en janvier est de −12 °F, estimer la consommation de mazout durant ce mois.

a) Représenter graphiquement les données. b) À l’aide des données, établir un modèle afne décrivant la relation entre le temps consacré à l’entretien et la supercie d’un édice. c) La compagnie doit soumissionner pour l’entretien d’un édice de 56 000 m2. Estimer le temps requis pour effectuer le travail à l’aide du modèle construit en b). d) Calculer le coefficient de corrélation. Qu’indique-t-il ? 10. Vous avez réalisé une étude pour voir s’il y a un lien entre le nombre de logements mis en chantier et le taux hypothécaire annuel. L’étude porte plus précisément sur le mois de juin, et les données sont présentées dans le tableau suivant.

a) Représenter graphiquement les données.

Modélisation et régression

b) À l’aide des données, construire un modèle décrivant la relation entre le taux hypothécaire et le nombre de mises en chantier. c) Calculer le coefcient de corrélation. Qu’in­ dique ce coefcient ? 11. Une association d’automobilistes a demandé à ses membres de noter la distance qu’ils ont parcourue et le coût d’utilisation de leur véhicule au cours de la dernière année, en incluant les coûts de l’im­ matriculation, des assurances, de l’essence et de l’entretien. L’association a dressé le tableau suivant à l’aide des informations reçues pour la voiture la plus populaire auprès de ses membres.

a) Construire un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les deux variables. b) Donner une mesure de la précision du modèle en calculant les résidus. c) Prévoir, à l’aide du modèle, le coût d’utilisa­ tion de la voiture en question dans le cas où la distance parcourue en une année est de 45 000 km. 12. Une entreprise veut mettre sur le marché un nou­ veau modèle d’armoire avec serrure, destinée à entreposer les médicaments hors de la portée des enfants. Elle a effectué une étude de marché an

149

de xer le prix de ce produit. Les résultats de l’étude sur le prix et le volume estimé des ventes annuelles sont présentés dans le tableau suivant.

a) Déterminer la règle de correspondance entre le prix de l’article et le nombre de clients potentiels. b) Estimer la précision du modèle à l’aide des résidus et du coefcient de corrélation. 13. On a réalisé une étude de marché avant de com­ mercialiser de petites remises de jardin, conçues pour être xées à un mur de la maison ou du garage. L’étude de marché a été effectuée an de xer le prix du produit. Les résultats de l’étude sur le prix et le volume estimé des ventes annuelles sont présentés dans le tableau suivant.

a) Déterminer la règle de correspondance entre le prix de l’article et le nombre de clients potentiels. b) Estimer la précision du modèle à l’aide des résidus et du coefcient de corrélation.

150

Chapitre 5

5.3 Échelles graphiques Dans la présente section, nous appliquons la régression afne à l’élaboration d’une procédure d’analyse permettant de décider quel est le modèle le plus approprié et de dénir ce dernier. Cette méthode repose sur la représentation graphique à échelle logarithmique. Nous allons donc d’abord présenter les caractéristiques d’une telle échelle en la comparant à une échelle linéaire.

Échelle linéaire Une échelle est dite linéaire si son pas est constant, c’est-à-dire si chaque nombre est situé à une distance de l’origine qui est proportionnelle à sa valeur. La droite représentée ci-contre comporte un point origine O et un point A qui détermine la valeur unitaire ou la longueur du pas de l’échelle. Si la droite est graduée selon la longueur unitaire et si M et N sont deux nombres positifs situés à des distances respectives d1 et d2 de l’origine, en respectant la proportionnalité, alors leur somme est un nombre V = M + N représenté par un point situé à une distance d1 + d2 de l’origine. De plus, si un nombre N > 0 est situé à une distance d de l’origine, pour tout nombre k > 0, le nombre kN est situé à une distance kd de l’origine. Dans un système d’axes gradués selon des échelles linéaires de pas différents, les segments de droite joignant deux points des axes de même valeur déterminent des triangles semblables, car la distance à l’origine de n’importe quel nombre est proportionnelle à sa valeur.

Échelle logarithmique Nous avons déjà souligné que la droite est la représentation graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non afne entre deux variables, il est d’usage d’utiliser du papier quadrillé dont au moins l’une des deux échelles est graduée à l’aide du logarithme de base 10. Sur une échelle logarithmique, l’origine correspond au nombre 1, car (0; 0) = (0; log 1). La position des autres nombres est déterminée de telle sorte que leur distance à l’origine soit proportionnelle au logarithme du nombre. Ainsi, puisque le logarithme de base 10 de 5 est 0,698 9… et que le logarithme de 10 en base 10 est 1, la distance de 1 à 5 correspond à 69,90 % de la distance de 1 à 10. Puisque le logarithme de 100 est 2, la distance de 1 à 100 est égale à deux fois la distance de 1 à 10 ; la distance entre 0,1 et 1 est égale à la distance entre 1 et 10 puisque le logarithme de 0,1 est égal à −1. Chacun des intervalles représentant une unité logarithmique est appelé cycle. Ainsi, l’intervalle de 0,1 à 1 est un cycle, tout comme les intervalles de 1 à 10 et de 10 à 100.

Modélisation et régression

Du papier quadrillé suivant une échelle linéaire et une échelle logarith­ mique est appelé papier semi­logarithmique et un papier quadrillé suivant deux échelles logarithmiques est appelé papier logarithmique. Sur ces deux types de papiers, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations ; l’échelle commence à n’importe quel nombre suivant les besoins du pro­ blème. Dans les premiers exercices, nous indiquons les graduations pour permettre au lecteur de se familiariser avec ce genre de représentations graphiques. La caractéristique la plus intéressante est le fait que le gra­ phique d’une fonction exponentielle sur du papier semi­logarithmique est une droite, comme l’illustre la représentation ci­dessous de la fonction f (x) = 2x sur un papier semi­logarithmique à deux cycles. Dans le graphique, le point désigné par (2; 4) correspond en réalité au point (2; log 4) puisque sa distance à l’axe des x est proportionnelle au logarithme de la valeur de la variable dépendante.

151

REMARQUE

Dans la démarche d’analyse menant à la modélisation d’une liste de données, nous représentons ces données dans un système de réfé­ rence bilinéaire, semi­logarithmique ou bilogarithmique.

152

Chapitre 5

EXEMPLE 5.3.1

Représenter la fonction f (x) = 3 × 1,5x sur du papier semi-logarithmique. Solution On calcule d’abord quelques correspondances que l’on inscrit dans un tableau comme le suivant.

Même si la base de la fonction exponentielle est différente de 10, la représentation graphique est une droite. La raison en est fort simple. Soit, par exemple, une fonction exponentielle de la forme y = ab x, où a > 0. On a log y log y log y log y

= log(ab x ) = log a + log b x = log a + x log b = x log b + log a

Logarithme de chaque membre de l’équation. Propriété du logarithme d’un produit. Propriété du logarithme d’une puissance. Commutativité de l’addition.

Y = Ax + B, où Y = log y, A = log b et B = log a. REMARQUE

Le texte ci-contre est particulièrement important. Lorsqu’on dit, par exemple, que log [α] = 21,7 × 10 −3 T + 36,8 × 10 −4 dénit une relation afne, il faut comprendre que la relation dont on parle est entre T et log [α] alors que log [α] est une fonction de T : log [α] = f (T).

Puisque log b et log a sont des constantes, il existe une relation afne entre x et log y. C’est pourquoi la représentation graphique sur du papier semilogarithmique donne une droite. En prenant plutôt le logarithme naturel de chaque membre de l’équation y = ab x, on obtient la relation ln y = x ln b + ln a. Ainsi, qu’on effectue les calculs dans l’une ou l’autre des bases, on obtient le même modèle.

Modélisation et régression

Échelle logarithmique et modélisation Les caractéristiques des échelles logarithmiques indiquent comment utiliser du papier semi-logarithmique pour reconnaître un lien exponentiel entre des variables et déterminer la règle de correspondance décrivant ce lien. L’exemple suivant illustre la marche à suivre. EXEMPLE 5.3.2

Au cours d’une expérience de laboratoire, on a obtenu les grandeurs physiques inscrites dans le tableau présenté ci-contre. a) Vérier l’hypothèse d’un lien exponentiel entre les variables x et y. b) Déterminer la règle de correspondance décrivant le lien entre les deux variables. Solution a) On représente les données dans un système d’axes semilogarithmiques. Puisque les valeurs de la variable dépendante s’échelonnent de 1,40 à 7,53, on a besoin d’un seul cycle. Le graphique sur du papier semi-logarithmique dont l’échelle logarithmique est verticale est une droite, ce qui indique l’existence d’un lien exponentiel entre les variables. b) Pour trouver la description algébrique du lien entre les variables, on applique la méthode des moindres carrés en utilisant le logarithme des valeurs de la variable dépendante. On peut effectuer les calculs dans la base naturelle ou la base 10. Si on choisit la base e, on obtient le tableau présenté ci-contre. Pour déterminer les paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés, on prend le logarithme des valeurs de la variable dépendante. En effectuant les calculs en base e, on obtient

La valeur de B est négligeable compte tenu de la précision des données de départ. Le lien entre les variables est donc ln y = 0,336 5x. On trouve le lien exponentiel en exprimant cette équation sous forme exponentielle : y = e0,336 5x = 1,4x.

153

154

Chapitre 5

EXEMPLE 5.3.3

On désire analyser la capacité d’absorption des rayons X d’un matériau. Pour ce faire, on bombarde des plaques de différentes épaisseurs et on mesure l’intensité I(x) des radiations à la sortie des plaques. En prenant I0 = 1 unité comme intensité des radiations à l’entrée, on a obtenu les me­ sures inscrites dans le tableau ci­contre pour différentes épaisseurs x, en centimètres. a) Quel type de correspondance relie les variables ? b) Déterminer la règle de correspondance. Solution a) On représente les données sur du papier bilinéaire. Le graphique représenté ci­contre étant une courbe, on conclut qu’il ne s’agit pas d’une correspondance afne. La représentation graphique sur du papier semi­logarithmique dont l’échelle logarithmique est verticale est une droite, ce qui conrme l’existence d’un lien exponentiel entre les variables. b) Pour trouver la description algébrique du lien exponentiel entre les variables, on calcule le logarithme des valeurs de la variable dépendante, ce qui donne le tableau présenté ci­contre. On obtient, par régression,

La valeur de B est négligeable compte tenu de la précision des don­ nées. Elle est théoriquement nulle, car la valeur initiale de I est 1 et une plaque d’épaisseur nulle n’absorbe pas de rayons X. Donc, ln I = −0,086 428x, ce qui s’écrit sous forme exponentielle I = e−0,086 428x = 0,917x. Le modèle est I(x) = 0,917x. Il est à noter que la plupart des calcula­ trices sont munies de fonctions permettant de calculer directement les paramètres A et B. Fonction puissance La représentation graphique sur du papier logarithmique permet égale­ ment de reconnaître une fonction puissance ou une fonction logarithmique. Soit une fonction puissance de la forme y = axb, où a > 0. En prenant le

Modélisation et régression

logarithme de chaque membre de l’équation, on obtient log y = log(axb ) log y = log a + log xb Propriété du logarithme d’un produit. log y = log a + b log x Propriété du logarithme d’une puissance. log y = b log x + log a. Commutativité de l’addition. En posant Y = log y, A = b, X = log x et B = log a, on a Y = AX + B. Il existe donc entre log x et log y une correspondance afne que la représentation des données sur du papier logarithmique met en évidence. Fonction logarithmique En ce qui concerne la fonction logarithmique, l’équation y = a log x + b, indique clairement qu’il existe une relation afne entre y et log x, représentée symboliquement par y = AX + B, où A = a, X = log x et B = b. Cette relation est mise en évidence par sa représentation sur du papier semi-logarithmique, la variable indépendante étant portée sur l’échelle logarithmique. Si le nuage de points évoque une droite, le modèle est logarithmique. EXEMPLE 5.3.4

On a obtenu en laboratoire les données présentées dans le tableau ci-contre. a) Quel type de correspondance relie les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance. Solution a) La représentation graphique sur du papier bilinéaire ou du papier semilogarithmique est une courbe. Sur du papier log-log, elle laisse penser qu’une fonction puissance pourrait décrire le lien entre les deux variables. On établit donc une relation afne entre ln x et ln I. Les résultats des calculs préliminaires sont rassemblés dans le tableau suivant.

155

156

Chapitre 5

b) La relation afne est ln I = −2,032 2 ln x + 2,184 3 ; donc, ln I = ln x−2,032 2 + 2,184 3 I = e2,184 3x−2,032 2 = 8,884 4x−2,032 2. Compte tenu de la précision des données, le modèle est

Les valeurs des paramètres A et B varient selon le nombre de chiffres signicatifs retenus pour les calculs, particulièrement si des logarithmes y interviennent. Idéalement, on devrait retenir tous les chiffres et arrondir seulement à la n des calculs en tenant compte de la précision des mesures à modéliser.

EXEMPLE 5.3.5

On a obtenu en laboratoire les données ci-contre. a) Quel type de correspondance relie les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance. Solution a) La représentation graphique sur du papier bilinéaire, sur papier semi-logarithmique ou log-log est une courbe. Cependant, en portant les valeurs de la variable indépendante sur l’axe logarithmique d’un papier semi-logarithmique, on obtient une droite. Le modèle logarithmique est donc approprié. b) Les résultats des calculs préliminaires sont rassemblés dans le tableau suivant.

Le modèle est donc : y = 4,00 log x − 3,01.

Modélisation et régression

157

Il n’est pas toujours nécessaire de représenter les données sur autant d’échelles différentes. Si on sait quel type de relation lie les variables, on choisit tout de suite une échelle appropriée. On peut cependant utiliser du papier linéaire tout en sachant que la relation est exponentielle, logarithmique ou de puissance. Il faut alors effectuer des calculs sur les données expérimentales pour déterminer les valeurs à porter dans le graphique. Paramètres afnes et type du modèle Les paramètres d’une relation afne déterminée au moyen d’une droite de régression servent à préciser le type de la relation sans avoir à dénir celle-ci. On déduit de la valeur du taux de variation (de la pente) la croissance et la concavité du modèle.

Il est à noter que toutes les expressions logarithmiques peuvent s’écrire en base 10. Ainsi,

ce qui s’écrit également y = AX + B, où

, X = log x et B = c.

Un peud’histoire

CARL FRIEDRICH GAUSS

C

1777-1855

arl Friedrich Gauss, astronome, mathématicien et physicien, naquit le 23 avril 1777 à Brunswick, en Allemagne, dans une famille très modeste. Au cours de ses études élémentaires, deux de ses professeurs, Büttner et Bartels, remarquèrent son talent pour les mathématiques et l’aidèrent à entrer à l’école secondaire. En 1791, Bartels le présenta au duc de Brunswick. La recommandation de Bartels et les réalisations de Gauss incitèrent le duc à accorder une bourse à Gauss en 1792, ce qui lui permit d’entrer au Collegium Carolinum de Brunswick en 1792, puis à l’Université de Göttingen en 1795. Gauss quitta l’université en 1798 sans avoir obtenu de diplôme, mais il avait déjà fait une importante découverte, soit la construction à la règle et au compas du polygone régulier à dix-sept côtés. Il retourna à Brunswick où il reçut un diplôme. Le duc de Brunswick décida de continuer à subvenir aux besoins de Gauss, mais exigea que celui-ci soutienne une thèse de doctorat à l’Université de Helmstedt. Cette thèse portait sur le théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que tout polynôme est le produit de binômes de degré 1 et de trinômes de degré 2, tous irréductibles.

Grâce au soutien du duc de Brunswick, Gauss n’eut pas à chercher d’emploi et il put se consacrer entièrement à la recherche. Il apporta des contributions originales en théorie des nombres, en astronomie, en géodésie, en cartographie et dans toutes les branches des mathématiques. Il s’intéressa beaucoup aux géométries euclidiennes et non euclidiennes et élabora la méthode d’approximation par les moindres carrés. Il s’en servit pour résoudre de façon brillante un problème de son époque. L’Italien Giuseppe Piazzi (1746-1826) venait de découvrir, soit le 1er janvier 1801, le plus gros astéroïde entre Mars et Jupiter, nommé Cérès. Il n’avait pu observer qu’une petite partie de son orbite, soit 9°, avant que l’astéroïde ne disparaisse derrière le Soleil. Plusieurs savants tentèrent de décrire la trajectoire de Cérès à l’aide des données recueillies par Piazzi an de déterminer à quel endroit l’astéroïde serait à nouveau visible. La prédiction la plus précise fut celle de Gauss. Ayant perdu son protecteur, tué dans une bataille avec l’armée prussienne, Gauss quitta Brunswick en 1807

158

Chapitre 5

pour occuper le poste de directeur de l’observatoire de Göttingen. Il s’intéressa à l’astéroïde Pallas, découvert par l’astronome Olbers en mars 1802. Ses travaux sur cet astéroïde l’amenèrent à résoudre un système de six équations linéaires à six inconnues. Gauss a laissé son nom à la méthode qu’il employa, soit la construction d’un système d’équations équivalent à celui à résoudre, dans lequel la première équation contient les six inconnues, la seconde seulement cinq, la troisième quatre, et ainsi de suite. Un tel système se résout par substitution en commençant par la sixième équation. Au début du xixe siècle s’imposa une loi fondamentale de la statistique, soit la loi normale (d’abord appelée loi des possibilités, puis renommée par Karl Pearson), issue de la méthode des moindres carrés. Employée comme critère d’optimisation en théorie des erreurs, cette loi fut élaborée indépendamment par Adrien Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss.

La méthode des moindres carrés Il est toujours délicat de tirer des conclusions de mesures. Le problème, c’est que toute mesure comporte une erreur. L’effet de la température sur les instruments, l’imprécision des lectures et des visées ne sont que quelques sources d’erreurs, et celles-ci sont d’autant plus nombreuses que le nombre de mesures est grand. Le fait de ne prendre que quelques mesures ne règle pas le problème, car il est alors difcile d’estimer l’ordre de grandeur des erreurs. Par ailleurs, lorsque le nombre de mesures est élevé, la

manipulation de celles-ci pose un autre problème : comment utiliser toutes ces mesures de façon à minimiser l’effet des erreurs sur le résultat nal ? Le problème fut étudié par Adrien Marie Legendre (1752-1833) au début du xixe siècle. Legendre voulait déterminer l’orbite d’une comète à l’aide de mesures de sa position. Son objectif était de combiner plusieurs mesures pour calculer la meilleure estimation de l’orbite. Ce type de problème est également relié à la découverte d’éventuelles planètes inconnues grâce aux perturbations de la trajectoire d’une planète ou d’une comète qu’elles provoquent. À l’époque, le problème des mesures s’est aussi posé dans les opérations de triangulation visant à mesurer un méridien (dénition du mètre) ou à déterminer la forme de la Terre (aplatissement aux pôles). C’est en 1805 que Legendre publia sa méthode de minimalisation de la somme des carrés des écarts. Gauss avait déjà élaboré cette méthode en 1794 et l’utilisa, en 1801, pour calculer l’orbite de l’astéroïde Cérès, mais il ne la publia qu’en 1809. Gauss établit de plus des liens entre cette méthode et les lois de probabilité, ce que Legendre ne t pas. Plus précisément, Gauss montra, en utilisant la méthode des moindres carrés, que les facteurs aléatoires indépendants entraînent des erreurs de mesure qui se répartissent selon la loi normale, et que la moyenne arithmétique des mesures donne l’estimation qui minimise la somme des carrés des erreurs. Gauss fut l’un des savants éminents de l’histoire. Il est considéré par plusieurs historiens des sciences comme l’un des trois plus grands mathématiciens de tous les temps, avec Archimède et Newton.

5.4 Exercices 1. Représenter f (x) = 1,8 x sur du papier semilogarithmique.

2. Représenter f (x) = 1/x sur du papier log-log.

Modélisation et régression

3. Représenter f (x) = 3x2 sur du papier log-log.

159

b) Déterminer la règle de correspondance entre les deux variables. 6. On a obtenu en laboratoire les données du tableau suivant.

4. On a mesuré la vitesse angulaire N (en tours par minute) d’une roue d’entraînement à différents instants t (en minutes) après avoir coupé le courant.

a) Quel type de correspondance relie les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les deux variables. 7. Représenter la fonction f (x) = ln x dans le système suivant dont l’axe horizontal est gradué suivant une échelle logarithmique.

a) Quel type de correspondance relie les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les deux variables. 5. La pression atmosphérique (p, en kilopascals) dépend de l’altitude (h, en kilomètres) au-dessus du niveau de la mer. On a pris les mesures regroupées dans le tableau suivant.

a) Quel type de correspondance relie les deux variables ?

8. Représenter la fonction f(x) = 2 log 2x dans le système suivant dont l’axe horizontal est gradué suivant une échelle logarithmique.

160

Chapitre 5

9. Le gain d’un composant électrique est illustré par le graphique suivant. Décrire algébriquement ce gain.

a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique la représentation graphique suggère-t-elle d’employer pour décrire la relation entre les deux variables ? c) Décrire mathématiquement la relation en procédant par régression.

10. On a obtenu les données suivantes en laboratoire.

13. On a mesuré le volume occupé par 32 g d’ammoniac à 0 °C en faisant varier la pression exercée sur le gaz. On a obtenu les valeurs regroupées dans le tableau ci-contre. a) Quelle est la variable indépendante dans ce problème ? b) Représenter graphiquement les données obtenues expérimentalement. Quel modèle mathématique la représentation graphique suggère-t-elle d’employer pour décrire la relation entre les deux variables ? c) Décrire mathématiquement la correspondance en procédant par régression.

Déterminer, à l’aide d’une droite de régression, le modèle qui décrit le mieux la relation entre les deux variables. 11. Un réservoir cylindrique de 12 m de hauteur et de 2,5 m de diamètre contient un liquide. On laisse s’écouler le liquide par une valve située à la base du cylindre. On note la vitesse d’écoulement du liquide et la hauteur de celui-ci dans le réservoir. Les données sont rassemblées dans le tableau suivant.

14. Un montage expérimental permettant d’assigner des valeurs exactes à la variable indépendante a été utilisé pour obtenir les données suivantes en laboratoire.

Déterminer, à l’aide d’une droite de régression, le modèle qui décrit le mieux la relation entre les deux variables et en déduire par extrapolation la vitesse d’écoulement du liquide quand le niveau est de 10 m. 12. On a mesuré le courant dans un circuit comprenant une source de tension constante et une résistance variable en faisant varier la résistance. On a obtenu les valeurs inscrites dans le tableau ci-contre.

a) Quel type de modèle décrit le mieux le lien entre les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les deux variables. 15. L’étude en laboratoire de la perméabilité d’un sol se fait à l’aide d’un montage comme celui illustré ci-dessous. On verse de l’eau jusqu’au niveau du déversoir, puis on place un échantillon du sol à analyser dans le récipient prévu à cet effet. On verse

Modélisation et régression

alors de l’eau dans le tube en haut de l’échantillon et on mesure la différence de niveau initial entre l’eau dans le tube d’entrée et le déversoir.

L’eau qui traverse l’échantillon est éliminée par le déversoir. En mesurant la différence de niveau en différents instants t, on peut construire un modèle décrivant la variation de la différence de niveau h en fonction du temps t. Les données recueillies sont consignées dans le tableau suivant.

a) Quel type de modèle décrit le mieux le lien entre les deux variables ? b) Déterminer la règle de correspondance entre les deux variables. 16. Associer chacune des fonctions suivantes a) à p) à la représentation graphique A) à R) correspondante. a) y = 3x2 i) y = 3x2 − 10x + 3 x b) y = 2 × 3 j) y = 3 ln x c) y = 3x + 2 k) y = 3 × 2x d) y = 3x2 + 2x + 3 l) y = −4x2 + 4x + 24 e) m) y = 3ex f) y = log0,5 x n) y = 10x−2,8 g) y = 3 log x + 2 o) y = 5x5/7 h) y = −2x p) y = 3 × 0,85x

A)

J)

B)

K)

C)

L)

D)

M)

E)

N)

F)

O)

G)

P)

H)

Q)

I)

R)

161

162

Chapitre 5

17. On a fabriqué des poutres en I avec un nouveau matériau. La largeur m de la bande centrale est le tiers de la largeur total l. On veut déterminer la charge que peuvent supporter des poutres de même longueur et de même largeur mais de différentes épaisseur h, sans déformation.

Le tableau suivant donne les mesures prises ; la charge C est en kilogrammes (kg) et l’épaisseur h de la poutre, en centimètres (cm).

a) Montrer qu’il existe un lien entre la charge et le carré de l’épaisseur h d’une poutre. b) Utiliser le modèle pour déterminer la charge que peut supporter une poutre de 9 cm d’épaisseur. 18. On a tenté d’établir la relation entre la force nécessaire pour équilibrer une masse M en utilisant une corde enroulée sur une poutre ronde, et l’angle d’enroulement θ de la corde.

À l’aide d’un dynamomètre, on a mesuré la force minimale nécessaire pour équilibrer la masse M, qui exerce une force de 500 N selon l’angle d’enroulement de la corde sur la poutre. Les

valeurs obtenues sont rassemblées dans le tableau suivant.

a) Montrer qu’il existe un lien exponentiel entre les deux variables. b) Quelle force permettra d’équilibrer 800 N en faisant deux tours complets avec la corde ? c) Combien de tours faut-il faire pour que 50 N équilibrent 400 N ? 19. On a fabriqué des poutres en I avec un nouveau matériau. La largeur m de la bande centrale est le tiers de la largeur totale l. On veut déterminer la charge que peuvent supporter des poutres de même épaisseur et de même largeur, mais de différentes longueur d, sans déformation.

Le tableau suivant donne les mesures prises ; la charge C est en kilogrammes (kg) et la longueur d de la poutre, en mètres (m).

Montrer qu’il existe un lien inversement proportionnel entre la charge et la longueur d d’une poutre.

Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Utiliser les notions et modèles trigonométriques pour résoudre des problèmes comportant des angles, des longueurs et des vitesses angulaires Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la résolution de problèmes portant sur des angles, des longueurs d’arcs et des vitesses angulaires ; • l’application des règles de conversion des unités de mesure d’angles ; • l’utilisation appropriée des rapports trigonométriques dans la résolution de problèmes.

163

6

6.1 Angles et arcs       164 Mesure d’un angle Relation entre les unités de mesure Longueur Vitesse Rapports trigonométriques Un peud’histoire Hipparque et Euclide Un peud’histoire Le nombre π

6.2 Exercices            175 6.3 Fonctions trigonométriques    178 Équations trigonométriques Un peud’histoire Pythagore de Samos Modèle sinusoïdal Ondes Un peud’histoire Robert Hooke Un peud’histoire Max Planck

6.4 Exercices            194

164

Chapitre 6

6.1 Angles et arcs La présente section constitue un rappel sur les mesures d’angles, les longueurs d’arcs et les vitesses angulaires. Angle Un angle est une gure géométrique formée de deux demi-droites ou de deux demi-plans qui se coupent.

La gure présentée ci-contre illustre le fait qu’un angle au centre d’un cercle intercepte un arc dont la longueur dépend du rayon du cercle. Pour dénir la mesure d’un tel angle, on se sert du rapport de deux longueurs relatives au cercle. La similitude des gures permet d’écrire les proportions

Angle au centre

Pour un angle donné, le rapport de la longueur de l’arc intercepté sur la circonférence est constant. Le rapport de la longueur de l’arc intercepté sur le rayon est également constant. Chacun de ces rapports permet de dénir une unité de mesure des angles.

Mesure d’un angle Degré La mesure en degrés d’un angle est le rapport de la longueur L de l’arc intercepté sur la longueur C de la circonférence du cercle multiplié par 360°, soit Mesure d’un angle en degrés

Un angle au centre de 1 degré est un angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc de 1 degré, soit 1/360 de la longueur de la circonférence. Le symbole du degré est °. Mesure d’un angle en radians REMARQUE

La constante 360 qui intervient dans la dénition de la mesure d’un angle en degrés vient des Babyloniens, qui utilisaient un système de numération de base 60, soit le système sexagésimal. Pour un rayon unitaire, la mesure de l’angle est égale à la mesure de l’arc. Le radian est un rapport de longueurs.

Minute et seconde Un angle de 1° est subdivisé en 60 min et un angle de 1 min est subdivisé en 60 s. Le symbole de la minute est ', et celui de la seconde est ". Radian La mesure en radians d’un angle est le rapport de la longueur L de l’arc qu’il intercepte sur la longueur r du rayon du cercle :

Un angle au centre de 1 radian est un angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc de 1 radian, soit un arc dont la longueur est égale au rayon. Le symbole du radian est rad.

Fonctions trigonométriques

165

La mesure d’un angle A se note m∠A, surtout lorsque A représente un sommet d’un polygone et que l’on veut désigner la mesure de l’angle formé par les droites se rencontrant en ce sommet. Cependant, pour alléger l’écriture, on représente souvent un angle et sa mesure par l’une des lettres grecques suivantes : α (alpha), β (bêta), γ (gamma), δ (delta) ou θ (thêta). EXEMPLE 6.1.1

Calculer la mesure en radians, en degrés décimaux, et en degrés, minutes et secondes d’un angle interceptant un arc de 22 cm sur un cercle dont le rayon mesure 11 cm. Solution La mesure d’un angle en radians est le rapport de la longueur de l’arc qu’il intercepte sur le rayon du cercle : La mesure d’un angle en degrés est le rapport de la longueur de l’arc qu’il intercepte sur la circonférence du cercle, multiplié par 360°. Il faut donc calculer d’abord la longueur de la circonférence : C = 2πr = 22π cm. La mesure de l’angle en degrés décimaux est

Pour exprimer la partie décimale de la mesure en minutes, il faut la multiplier par 60, ce qui donne 0,591 5...° × 60' = 35,493 5...'. Pour exprimer la nouvelle partie décimale, on la multiplie par 60", ce qui donne 0,493 5...' × 60"/1' = 29,612...". La mesure de l’angle est donc environ de 114° 35' 30".

EXEMPLE 6.1.2

Calculer la mesure en degrés et en radians d’un angle au centre qui intercepte la moitié de la circonférence. Solution Si un angle intercepte la moitié de la circonférence, la longueur de l’arc intercepté est C/2 et, par dénition de la mesure d’un angle en degrés, on a

Par ailleurs, puisque la longueur de la circonférence est C = 2πr, la moitié de la circonférence est πr et, par dénition de la mesure d’un angle en radians, on a

REMARQUE

Quand on utilise un rapporteur, on mesure un angle en faisant coïncider son sommet avec le centre d’un cercle. La graduation du rapporteur est basée sur la longueur de l’arc intercepté par l’angle au centre.

166

Chapitre 6

Relation entre les unités de mesure Si on veut calculer la mesure en radians d’un angle dont on connaît la mesure en degrés, ou inversement, il suft de se rappeler que les unités de mesure d’angles sont dénies à l’aide du rapport de l’arc intercepté L à la circonférence C du cercle. Par conséquent, le rapport de l’angle au centre qui intercepte l’arc L à l’angle au centre qui intercepte la circonférence C est le même quelles que soient les unités de mesure :

Pour utiliser cette relation, on substitue au symbole de l’angle la mesure connue, en degrés ou en radians, puis on calcule le terme inconnu de la proportion. EXEMPLE 6.1.3

Calculer la mesure en radians d’un angle de 45° et trouver l’équivalent en décimales. Solution En substituant 45° à α° dans

on obtient

REMARQUE

En pratique, pour passer d’une unité de mesure à l’autre, on multiplie par 180°/(π rad) ou par (π rad)/180° selon le cas. En effet, la relation entre ces unités de mesure est une variation directement proportionnelle.

Pour exprimer cette mesure en décimales, il suft de remplacer π par sa valeur numérique et d’effectuer la division

EXEMPLE 6.1.4 REMARQUE

Dans les calculs sur des mesures d’angles, il faut tenir compte du nombre de décimales et du nombre de chiffres signicatifs des mesures quand on écrit le résultat des opérations. La valeur 0,79 rad, par exemple, signie que la longueur de l’arc intercepté est égale à 79 % de la longueur du rayon du cercle.

Trouver l’équivalent en degrés d’un angle de 1 rad. Spécier le nombre de minutes et de secondes de la mesure. (Un degré vaut 60 minutes d’arc et une minute d’arc vaut 60 secondes d’arc.) Solution En substituant 1 à θ dans

on obtient

Pour exprimer cette mesure en degrés, minutes et secondes, il faut écrire la partie décimale en base 60, en la multipliant par 60 : 0,295 77° × 60'/1° = 17,746 77...'. On doit à nouveau exprimer la partie décimale en base 60, ce qui donne 0,746 77° × 60'/1° = 44,806...". La mesure de l’angle est donc d’environ 57° 17' 45".

Fonctions trigonométriques

Présentation des résultats En convertissant une mesure d’angle en degrés décimaux, on doit déterminer le nombre de décimales à retenir dans la présentation du résultat. En degrés décimaux, une mesure de 1 seconde est

Par conséquent, les trois premières décimales sont exactes, et on arrondit en conservant quatre décimales puisque le dernier chiffre retenu est toujours le chiffre porteur d’incertitude. Cependant, si on doit utiliser la valeur décimale dans des calculs, on arrondit seulement à la n du calcul. Lorsqu’on convertit en degrés, minutes et secondes une mesure d’angle donnée en degrés décimaux, il est sufsant d’arrondir le résultat nal à un nombre entier de secondes. EXEMPLE 6.1.5

Effectuer les conversions demandées. a) Écrire 42° 37' 29" en degrés décimaux. b) Écrire 28° 34' 12" en degrés décimaux. c) Écrire 42,245 6° en degrés, minutes, secondes. Solution a) En divisant les minutes par 60 et les secondes par 3 600, et en additionnant les parties, on obtient

On doit conserver quatre décimales ; le chiffre-test est un 2, le dernier chiffre retenu demeure inchangé. On donne 42,624 7°. b) En divisant les minutes par 60 et les secondes par 3 600, et en additionnant les parties, on obtient

Dans ce cas, on n’a pas à arrondir et on donne 28,57°. c) Pour déterminer le nombre de minutes, on multiplie la partie fractionnaire par 60, ce qui donne 0,245 6° × 60'/1° = 14,736'. Pour déterminer le nombre de secondes, on multiplie la nouvelle partie fractionnaire par 60, ce qui donne 0,736° × 60'/1° = 44,16". On arrondit à un nombre entier de secondes, ce qui donne 42° 14' 44".

167

168

Chapitre 6

Longueur Plusieurs instruments de mesure des angles donnent des mesures en degrés, minutes, secondes. Pour effectuer des additions ou des soustractions sur ces mesures, il faut procéder par colonne et, pour les reports et les emprunts, tenir compte du fait que les grandeurs sont en base 60. EXEMPLE 6.1.6

Effectuer les opérations sur les mesures d’angles suivantes. a) 27° 38' 42" + 64° 49' 23" b) 42° 18' 27" – 18° 52' 42" Solution REMARQUE

Lorsqu’on additionne plusieurs angles, on doit tenir compte des multiples de 60 pour effectuer un report. Ainsi, 142" est plus grand que 120 et plus petit que 180 ; on aura donc un report de 2. En effet, 142" = 2 × 60" + 22" = 2' 22". On doit donc inscrire 22 dans la colonne des secondes et effectuer un report de deux unités dans la colonne des minutes.

a) En effectuant l’addition dans la colonne des secondes, on obtient 65. Le résultat étant supérieur à 60, on en soustrait 60 : 65 – 60 = 5. On inscrit 5 dans la colonne des secondes et on reporte une unité dans la colonne des minutes, puisque 65 secondes représentent 1 minute et 5 secondes.

En effectuant l’addition dans la colonne des minutes, on obtient 88. Le résultat étant supérieur à 60, on en soustrait 60 : 88 – 60 = 28. On inscrit 28 dans la colonne des minutes et on reporte une unité dans la colonne des degrés, puisque 88 minutes représentent 1 degré et 28 minutes.

On termine l’opération en effectuant l’addition dans la colonne des degrés.

La somme des angles est égale à 92° 28' 5". b) Dans la colonne des secondes, le nombre à soustraire est plus grand que l’autre. On doit emprunter dans la colonne des minutes. Il reste donc 17 dans la colonne des minutes et on ajoute 60 dans la colonne des secondes. On peut alors effectuer la soustraction dans la colonne des secondes, ce qui donne 45".

Fonctions trigonométriques

Dans la colonne des minutes, le nombre à soustraire est le plus grand. On doit emprunter dans la colonne des degrés. Il reste donc 41 dans la colonne des degrés et on ajoute 60 dans la colonne des minutes. On peut alors effectuer la soustraction dans la colonne des minutes, ce qui donne 25'.

On termine l’opération en faisant la soustraction dans la colonne des degrés.

Le résultat de la soustraction est 23° 25' 45".

EXEMPLE 6.1.7

La municipalité veut aménager un parc le long de la rivière. Pour contrer l’érosion, il faut ériger un muret de soutènement. Une esquisse, qui n’est pas nécessairement à l’échelle, a été faite et inclut les mesures connues. a) Déterminer la longueur du muret à construire. b) Le muret devra avoir 2,4 m de hauteur et une épaisseur de 45 cm. Déterminer le nombre de verges cubes de béton nécessaire pour l’ériger. Solution a) Le triangle OAB est rectangle en B et

Le triangle OCD est rectangle en C et

Pour déterminer la longueur de l’arc BC, il faut calculer l’angle au centre de cet arc de cercle et exprimer cet angle en radians. La gure indique que ∠COB = a – (b + g). Il est raisonnable d’estimer la longueur du muret à construire par un arc de cercle de centre O reliant B à C.

169

170

Chapitre 6

En déterminant d’abord b + g, on obtient

On a donc b + g = 73° 01' 27". En calculant a – (b + g), on obtient

On exprime cet angle en degrés décimaux :

puis en radians :

On détermine ensuite la longueur de l’arc :

Pour déterminer la longueur du muret, il faut additionner les trois segments, ce qui donne

REMARQUE

Dans cet exemple, il est préférable de prévoir un peu plus de béton qu’un peu moins lors de la coulée et, par prudence, on pourrait en commander 492 vg3. Il est possible que la municipalité commande toujours un pourcentage additionnel de béton pour éviter d’en manquer et que la compagnie ne prépare qu’un nombre entier de verges cubes.

On doit arrondir la réponse ; on retient 348,0 m de longueur. b) Le volume de béton du muret est V = 348,0 × 2,4 × 0,45 = 375,84 m3. On conserve cette valeur sans arrondir pour calculer l’équivalent en verges cubes. Puisque 1 vg = 0,914 4 m, il faut diviser le volume du muret par 0,914 43 pour déterminer le volume en verges cubes. On obtient

Il faut arrondir ce résultat nal. Puisque l’on a manipulé des nombres qui ne comportaient que deux chiffres signicatifs, on devrait retenir 490 vg3.

Fonctions trigonométriques

171

Vitesse La mesure en radians d’un angle est particulièrement intéressante, car elle établit une relation simple entre la longueur de l’arc intercepté, le rayon du cercle et la mesure de l’angle. Si on connaît la mesure de l’angle et le rayon, on peut calculer directement la longueur de l’arc. En effet, puisque

où θ est la mesure de l’angle en radians, r, le rayon du cercle, et L, la longueur de l’arc intercepté. EXEMPLE 6.1.8

Calculer les longueurs respectives L1 et L2 des arcs de la gure présentée ci-contre, sachant que l’angle au centre est de 1,2 rad. Solution L = rθ L1 = 30 cm × 1,2 = 36 cm L2 = 70 cm × 1,2 = 84 cm Vitesse angulaire La vitesse angulaire d’un corps est la vitesse de rotation du corps autour d’un axe. On la représente par la lettre grecque ω (oméga) et on la dénit comme la mesure de l’angle parcouru par unité de temps. Elle s’exprime en radians par seconde (rad/s), en tours par seconde (r/s), en tours par minute (r/min) ou en hertz (Hz).

Vitesse angulaire moyenne La demi-droite représentée ci-contre est en rotation autour d’un point O. Soit θ1 rad, la mesure de l’angle entre la position initiale et la position au temps t1 s, et θ2 rad, la mesure de l’angle entre la position initiale et la position au temps t2 s. La vitesse angulaire moyenne de la demi-droite durant l’intervalle de temps [t1; t 2] est

Lorsque le rapport ∆θ/∆t est constant quel que soit l’intervalle de temps, la vitesse angulaire ω est constante. Il existe alors une relation de proportionnalité directe entre l’angle parcouru et le temps t, soit θ = ω t, ou encore Dans le présent ouvrage, nous ne considérons que des situations où la vitesse angulaire est constante. Si un corps décrit une trajectoire circulaire à vitesse constante, on peut également dénir sa vitesse linéaire, c’est-à-dire la distance qu’il parcourt (longueur de l’arc) par unité de temps :

REMARQUE

Lorsque l’angle initial est non nul, on a une relation afne : θ = ω t + φ, où θ est l’angle parcouru, ω est la vitesse angulaire, t est le temps et φ est l’angle initial.

172

Chapitre 6

Et, puisque L = rθ, la relation entre les deux vitesses est v = rw. En effet,

THÉORÈME Relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire d’un corps REMARQUE

La relation v = rw décrit également la correspondance entre la vitesse d’un point sur la circonférence d’une roue et la vitesse angulaire de la roue, ou encore la vitesse d’une courroie entraînant une poulie et la vitesse angulaire de la poulie.

Soit P, un point qui décrit une trajectoire circulaire à une vitesse angulaire constante w. La vitesse linéaire de P est v = rw, où v est la vitesse linéaire (m/s) de P, r est le rayon (m) de la trajectoire circulaire et w est la vitesse angulaire (rad/s) de P.

EXEMPLE 6.1.9

Une poulie de 0,5 m de rayon est entraînée par une courroie qui se déplace à une vitesse de 10 m/s. Calculer la vitesse angulaire de la poulie. Solution La relation entre les vitesses est v = rw. Puisqu’on cherche la vitesse angulaire, on isole w et on substitue les données aux variables :

EXEMPLE 6.1.10

Une roue de voiturette de 0,4 m de diamètre a une fréquence de rotation de 300 r/min. Déterminer la vitesse linéaire de la roue en kilomètres par heure. Solution La vitesse angulaire de la roue est de 300 r/min ou 5 r/s. La mesure en radians d’un tour est de 2π rad. La vitesse angulaire est donc w = 10π rad/s. La relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire d’une roue est v = rw. Ainsi, v = (0,2 m) × (10π rad/s) = 6,283 1... m/s. La distance parcourue en 3 600 s est donc d = 22 619,46... m, et la vitesse linéaire de la roue est d’environ 22,6 km/h.

Fonctions trigonométriques

173

Rapports trigonométriques Rapports trigonométriques On appelle rapport trigonométrique le rapport de deux côtés d’un triangle rectangle. Les six rapports trigonométriques sont

Côtés d’un triangle rectangle

EXEMPLE 6.1.11

Soit le triangle rectangle représenté ci-contre, où un angle mesure 30°, et où le côté opposé à l’angle de 30° est désigné par a, le côté ajacent à cet angle, par b et l’hypoténuse, par c. Déterminer les six rapports trigonométriques de l’angle de 30°. Solution Si on reproduit le triangle ABC par symétrie au côté AC, on obtient le triangle équilatéral ABD. Les côtés AB et BD sont nécessairement de même longueur. On a donc 2a = c et a = c/2. On peut déterminer la longueur du troisième côté en appliquant le théorème de Pythagore :

En isolant b, on obtient REMARQUE

La valeur négative étant à rejeter, on détermine les rapports trigonométriques de l’angle de 30°, ou π/6 rad, en prenant la valeur positive.

L’angle de 30° est un angle remarquable, tout comme les angles de 45° et de 60°. On peut facilement déterminer les rapports trigonométriques de ces angles à l’aide du théorème de Pythagore et d’autres théorèmes de la géométrie euclidienne. L’exemple 6.1.11 illustre comment on détermine géométriquement la valeur des fonctions trigonométriques pour des angles remarquables.

174

Chapitre 6

Un peud’histoire

HIPPARQUE ET EUCLIDE vers le iii e siècle avant notre ère

L

’astronome et mathématicien grec Hipparque conçut un procédé trigonométrique basé sur le calcul des cordes pour décrire mathématiquement des observations astronomiques. Il introduisit en Grèce la division du cercle en 360 degrés, du degré en 60 minutes et de la minute en 60 secondes. En divisant le diamètre en 120 parties, il calcula la valeur des cordes qui sous-tendent les

arcs de cercle par rapport au diamètre.

Hipparque

E

uclide est un mathématicien grec connu surtout par ses ouvrages, car on sait peu de choses de sa vie. L’inuence de Platon (~427 à ~347), qui est manifeste dans l’œuvre d’Euclide, laisse supposer que ce dernier vécut après le philosophe ou à la même époque. On sait également qu’Euclide s’installa à Alexandrie, où il fonda l’école de mathématiques de Euclide l’Université d’Alexandrie. On l’a longtemps confondu avec le philosophe Euclide de Mégare, dont il est question dans le Théétète de Platon. Euclide rédigea une dizaine d’ouvrages. Le plus connu, Les Éléments, est divisé en treize livres, dont les six premiers portent sur la géométrie plane (points, droites, cercles, parallélogrammes, etc.). Les livres 7 à 9 traitent d’arithmétique et de théorie des nombres ; le dixième aborde les nombres

En géographie, il introduisit les parallèles et méridiens qui servent à décrire la position dans un repère de coordonnées et qui sont à l’origine du système de latitude et de longitude. La sphère étant quadrillée par des cercles correspondant à des angles au centre de 15°, on mesure la latitude à partir de l’équateur et la longitude à partir de l’observatoire de Greenwich, en Angleterre.

irrationnels ; et les trois derniers, la géométrie des solides ainsi que les cinq corps réguliers platoniciens (tétraèdre, hexaèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre). L’axiome qui caractérise la géométrie euclidienne est le suivant (dans une écriture moderne équivalente) : « D’un point hors d’une droite, on peut tracer, dans le même plan, une droite et une seule qui ne coupe pas la première. » L’existence de droites parallèles dans un plan est l’une des conséquences importantes de cet axiome qui caractérise ce que l’on appelle un espace euclidien dont la structure interne est régie par l’existence de parallèles. D’autres géométries basées sur des axiomes différents, qui impliquent l’existence de plusieurs parallèles ou l’absence de parallèle, furent élaborées au xix e siècle par Nikolaï Lobatchevski, Janos Bolyai et Bernhard Riemann. Les théorèmes de ces géométries sont différents de ceux de la géométrie euclidienne, et la structure spatiale est différente. Par exemple, dans la géométrie sphérique de Riemann, les grands cercles d’une sphère, soit les cercles ayant le même rayon que la sphère, jouent le rôle des droites de la géométrie d’Euclide. Ainsi, deux droites quelconques se rencontrent toujours en deux points, de sorte qu’il n’existe pas de parallèles. De plus, la somme des angles d’un triangle sphérique est toujours plus grande que 180°, comme l’illustre la gure ci-dessous. Il existe une devinette basée sur cette caractéristique. Un chasseur quitte son camp, marche 1 km vers le sud, puis 1 km vers l’est et tue un ours. Il marche ensuite 1 km vers le nord et parvient à son camp. Quelle est la couleur de l’ours ?

Corps réguliers de Platon

L’ours est blanc. En effet, pour qu’un tel parcours permette au chasseur de revenir à son point de départ, il doit nécessairement commencer au pôle Nord.

Parcours du chasseur

Fonctions trigonométriques

175

Un peud’histoire

LE NOMBRE π

L

~300 à 1700

e rapport de la circonférence d’un cercle sur son diamètre a intéressé plusieurs mathématiciens au cours de l’histoire. Euler fut le premier à désigner ce nombre par la lettre π. Un archéologue français a exhumé à Suze une tablette sur laquelle la valeur utilisée pour π est de 3 1/8. Archimède (~287 à ~212), en utilisant des poly­ gones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle, parvint à montrer que 223/71 < π < 220/70. Un mathématicien chinois du Moyen Âge donna le nombre rationnel 355/113 comme valeur approximative de π. Cette fraction est plus précise que 220/70 (ou 22/7), qui est égal à 3,142 8..., tandis que 355/113 = 3,141 592 9...

Leibniz démontra que

et, puisque arctan 1 = π/4, alors

Deux amis, les mathématiciens lord William Brouncker (1620­1684) et John Wallis (1616­1703), donnèrent chacun une formule de π. Lord Brouncker exprima π sous forme de fraction continue :

Claude Ptolémée d’Alexandrie (vers 90 à 168), auteur de l’Almageste, donna l’approximation alors que John Wallis proposa le produit inni Vers 628, le mathématicien indien Brahmagupta proposa comme approximation de π, soit 3,162 27... Le mathématicien hollandais Ludolph Van Ceulen (1540­ 1610), avec l’aide de sa femme Adriana Symonsz, calcula 35 décimales de π. Le mathématicien français François Viète (1540­1603) découvrit la première formule exacte de π, qui est le premier produit inni, soit

6.2 Exercices 1. Calculer la mesure en degrés, minutes, secondes d’un angle au centre d’un cercle de rayon r qui intercepte sur la circonférence un arc de longueur L. a) r = 5 cm et L = 12 cm b) r = 2 m et L = 6,5 m 2. Calculer la mesure en radians d’un angle au centre d’un cercle de rayon r qui intercepte sur la circonférence un arc de longueur L. a) r = 4 cm et L = 5 cm b) r = 3,47 m et L = 2,38 m 3. Calculer la mesure en radians d’un angle au centre d’un cercle de circonférence C qui intercepte sur la circonférence un arc de longueur L. a) C = 48 m et L = 12 m b) C = 36,28 cm et L = 15 cm

La convergence de ces expressions n’est cependant pas très rapide et des expressions basées sur l’intégration convergent plus rapidement. De nos jours, on emploie des formules de ce genre pour calculer autant de décimales du nombre π que l’on veut. La forme décimale exacte de π est cependant inaccessible, car c’est un nombre irration­ nel. Son expression exacte comporte donc une innité de décimales sans motif périodique.

4. Exprimer les angles suivants en radians. a) 30° e) 72° b) 45° f) 120° c) 90° g) 315° d) 36° h) 240° 5. Exprimer les angles suivants en degrés. a) π rad e) 1 rad b) 2π rad f) 2,618 rad c) π/3 rad g) 4,189 rad d) 5π/4 rad h) 5,498 rad 6. Exprimer les angles suivants en degrés, minutes, secondes. a) 25,42° b) 117,75° c) 47,58° d) 152,24°

176

Chapitre 6

7. Exprimer les angles suivants en degrés décimaux. a) 18° 23' 15" c) 67° 24' 49" b) 103° 44' 38" d) 53° 45' 15" 8. Effectuer les opérations suivantes sans utiliser la calculatrice. Donner la réponse en degrés, minutes, secondes, puis la convertir en degrés décimaux. a) 35° 42' 48" + 29° 34' 27" b) 73° 29' 35" + 65° 57' 49" c) 18° 45' 35" + 22° 57' 49" + 27° 55' 52" d) 85° 27' 16" – 49° 48' 37" e) 37° 12' 25" – 18° 28' 38" 9. Déterminer l’angle demandé et donner la réponse en degrés, minutes, secondes. a) Le complément de l’angle de 35° 42' 48" b) Le supplément de l’angle de 57° 28' 37" 10. Calculer la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de θ rad (ou α°) dans un cercle de rayon r. a) θ = 2π rad et r = 5 cm b) α = 135° et r = 8 m 11. Calculer le rayon r et la circonférence C du cercle dont un angle au centre de θ rad (ou α°) intercepte un arc de longueur L. a) θ = 2π rad et L = 20 cm b) α = 25° et L = 12 m 12. Une roue tourne à raison de 24 r/min. Exprimer cette fréquence de rotation : a) en tours par seconde ; b) en radians par minute ; c) en radians par seconde. 13. L’aiguille des minutes d’une horloge a une longueur de 6 cm. Quelle est la longueur de l’arc décrit par l’extrémité de l’aiguille : a) en 20 min ? b) en 35 min ? 14. En supposant que la Terre est une sphère de 6 373 km de rayon, calculer la distance à l’équateur d’un point situé à 30° de latitude nord.

15. Deux villes sont situées à 434 km l’une de l’autre, sur un même méridien. Calculer la différence de leurs latitudes respectives en supposant que la Terre est une sphère de 6 373 km de rayon.

16. Une roue de 3 m de diamètre est entraînée par une courroie qui se déplace à une vitesse de 15 m/s. Calculer la vitesse angulaire de la roue. 17. Calculer le diamètre d’une poulie entraînée à une vitesse angulaire de 50 r/min par une courroie se déplaçant à une vitesse de 12 m/s. 18. L’extrémité d’un pendule de 35 cm de longueur suit un arc de cercle de 15 cm. Quel est l’angle décrit par le pendule ?

19. Ératosthène, bibliothécaire à Alexandrie, disposait de tous les renseignements sur les événements curieux observés dans l’empire d’Alexandre. Il apprit notamment qu’à un certain jour de l’année, la lumière du Soleil se rééchissait à midi dans l’eau d’un puits profond de Syène (aujourd’hui Assouan), non loin de la première cataracte du Nil. À ce moment, le Soleil était donc à la verticale du puits. Le même jour à midi, dans la ville d’Alexandrie, située à 800 km au nord, l’ombre d’un pilier indiquait que le Soleil était à 7,5° de la verticale.

Fonctions trigonométriques

En supposant que les rayons du Soleil sont parallèles, les rayons de la sphère terrestre aboutissant à Syène et à Alexandrie forment un angle de 7,5° et ils interceptent un arc dont la longueur est de 800 km (unité de mesure moderne). a) Utiliser ces renseignements pour calculer la circonférence de la Terre comme le t Ératosthène. b) Archimède, qui fut un ami d’Ératosthène, détermina, en calculant les périmètres de polygones inscrits et de polygones circonscrits à un cercle, que la valeur de π est comprise entre les valeurs 223/71 et 22/7. À l’aide de ces deux valeurs, estimer le rayon de la Terre. 20. Une automobile se déplace à une vitesse de 75 km/h. Sachant que le diamètre des roues est de 0,68 m, calculer la vitesse angulaire des roues en tours par minute. 21. Une poulie de 0,30 m de diamètre entraîne une poulie de 0,48 m de diamètre. La poulie de 0,30 m a une vitesse angulaire de 50 r/min. Calculer la fréquence de rotation de la seconde poulie. 22. Une poulie de 0,52 m de diamètre entraîne une poulie de 0,28 m de diamètre. La poulie de 0,52 m a une vitesse angulaire de 68 r/min. Calculer celle de la seconde poulie.

23. Une poulie de 0,52 m de diamètre entraîne une poulie de 0,24 m de diamètre. La vitesse de la courroie est de 2,8 m/s. Calculer la vitesse angulaire de chacune des deux poulies.

24. Soit un triangle rectangle où les mesures des côtés de l’angle droit sont a et b alors que la mesure de l’hypoténuse est c. On reproduit ce triangle de façon à former la figure ci-contre. Démontrer à l’aide de cette gure la relation de Pythagore : « Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoté-

177

nuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit ». (Suggestion : calculer l’aire du grand carré de deux façons distinctes.) 25. Soit un triangle rectangle où les mesures des côtés de l’angle droit sont a et b et la mesure de l’hypoténuse est c. On reproduit ce triangle de façon à former la gure suivante. Démontrer la relation de Pythagore à l’aide de cette gure. (Suggestion : calculer l’aire du grand carré de deux façons distinctes.) 26. Le triangle rectangle suivant a un angle de 45° (ou π/4 rad en B). Déterminer les valeurs des six rapports trigonométriques d’un angle de 45° à l’aide de ce triangle.

27. Le triangle rectangle suivant a un angle de 60° (ou π/3 rad en B). Déterminer les valeurs des six rapports trigonométriques de l’angle de 60° à l’aide de ce triangle.

28. Déterminer la longueur des arcs de cercle dans les esquisses suivantes. a)

b) Dans la gure ci-dessous, les triangles ABD et ACE sont égaux.

178

Chapitre 6

6.3 Fonctions trigonométriques Soit A, un point situé à une distance r de l’origine O de la demi-droite. Nous avons vu que, si la demi-droite OA subit une rotation d’un angle θ autour de l’origine O, la relation entre la longueur de l’arc décrit par A, l’angle θ et le rayon est L = rθ, où θ est mesuré en radians, ou encore La longueur de l’arc décrit dépend de l’angle θ et du rayon ; d’autres grandeurs en dépendent aussi. Par exemple, en abaissant du point P une perpendiculaire au segment OA, on obtient deux nouveaux segments de droite : OM, la projection horizontale du segment OP, et MP, la projection verticale du segment OP. La longueur de chacun de ces segments dépend également de θ et de r. Dans ce contexte, en généralisant la dénition des rapports trigonométriques, on obtient les fonctions trigonométriques. Cercle trigonométrique On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un système d’axes cartésien. L’équation du cercle trigonométrique est x2 + y2 = 1.

Cercle trigonométrique

Dans un cercle trigonométrique, les angles se mesurent à partir de la direction positive de l’axe des x. La mesure est positive dans le sens antihoraire et négative dans le sens horaire. Tout angle au centre θ est formé par deux rayons du cercle, dont l’un est sur l’axe des x et à droite de l’origine, tandis que l’autre intercepte sur la circonférence un point de coordonnées (a; b) désigné par P(θ). Fonctions trigonométriques Soit un cercle trigonométrique et un angle θ, tel que P(θ) = (a; b). Les fonctions trigonométriques sont dénies comme suit :

Le point P(θ) associé à θ

Les projections verticale et horizontale de OP sont dénies quelle que soit la valeur de l’angle θ. La mesure de ces projections est positive ou négative selon la valeur de θ, comme l’illustrent les gures suivantes.

Fonctions trigonométriques

179

REMARQUE

En représentant les mesures d’angles sur un axe horizontal et les longueurs des projections sur l’axe vertical, on peut tracer le graphique des fonctions sinus et cosinus.

Lorsque l’on traite des fonctions trigonométriques, il est d’usage d’utiliser la lettre x plutôt que q pour désigner la variable indépendante. De plus, par convention, une mesure d’angle effectuée dans le sens antihoraire est positive et une mesure effectuée dans le sens horaire est négative. L’unité de mesure la plus courante est le radian. Dans les graphiques, on remarque les valeurs particulières que sont les angles de 0, π/2, π, 3π/2 rad et leurs multiples.

On voit dans la gure ci-contre que les triangles OPM et OQA sont semblables et que le côté adjacent à l’angle q du triangle OQA est égal à 1. Donc,

Ainsi, la tangente de l’angle q est égale à la longueur du segment AQ, et la sécante de l’angle q est égale à la longueur du segment OQ. Lorsque l’angle q varie, le segment AQ peut être au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal.

REMARQUE

Par cohérence algébrique, la longueur est négative lorsque cos q est négatif, c’est-à-dire si (figure ci-dessus) est dans le sens inverse de celui de l’axe horizontal.

En représentant les mesures d’angles sur un axe horizontal et les longueurs des segments AQ et OQ en ordonnée, on peut tracer le graphique des fonctions tangente et sécante.

En examinant la gure ci-contre, on constate que les triangles OPM et OBR sont semblables. De plus, dans le triangle OBR, le côté opposé à l’angle q est égal à 1. Donc,

180

Chapitre 6

REMARQUE

La calculatrice ne donne directement que la valeur des fonctions sinus, cosinus et tangente. Pour calculer les valeurs des fonctions cotangente, cosécante et sécante, on a recours aux identités suivantes, qui découlent directement de la dénition des fonctions trigonométriques :

Par conséquent, la cotangente de l’angle q est égale à la longueur du segment BR, et la sécante de l’angle q est égale à la longueur du segment OR. Lorsque l’angle q varie, le segment BR peut être au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal.

En représentant les mesures d’angles sur un axe horizontal et les longueurs des segments BR et OR sur l’axe vertical, on peut tracer le graphique des fonctions cotangente et cosécante.

Le tableau suivant fournit un résumé des fonctions trigonométriques dans un cercle de rayon r.

EXEMPLE 6.3.1

Calculer la longueur orientée de la projection verticale et de la projection horizontale du rayon de 52 cm faisant un angle de 137° avec la partie positive de l’axe horizontal. Solution La longueur orientée de la projection verticale est

La longueur orientée de la projection horizontale est

Fonctions trigonométriques

EXEMPLE 6.3.2

Calculer la longueur orientée des segments

de la gure ci-contre.

Solution Selon la dénition de la tangente,

Selon la dénition de la sécante,

Équations trigonométriques Une équation trigonométrique est une équation dont l’inconnue est soumise à une règle de correspondance trigonométrique. On distingue deux types d’équations trigonométriques : les identités trigonométriques et les équations trigonométriques au sens propre. Identité trigonométrique Une identité trigonométrique est une équation vériée par toutes les valeurs des angles inconnus pour lesquelles les fonctions qu’elles comportent sont dénies. Les dénitions des relations trigonométriques donnent directement quelques identités ; on les appelle identités trigonométriques fondamentales.

On peut également déduire plusieurs identités trigonométriques en ayant recours aux symétries du cercle trigonométrique. Considérons par exemple un angle θ au centre du cercle trigonométrique auquel est associé le point P(θ) = (a; b). Le point associé P(π – θ) à l’angle π – θ est symétrique à P(θ) par rapport à l’axe des y, c’est-à-dire que P(π – θ) = (–a; b). Par conséquent, sin(π – θ) = b = sin θ ; cos(π – θ) = –a = –cos θ ;

181

182

Chapitre 6

En exploitant toutes les symétries du cercle trigonométrique, on obtient les identités trigonométriques du tableau suivant. La démonstration de ces identités est laissée en exercices.

REMARQUE

En pratique, l’appellation « équation trigonométrique » désigne une équation trigonométrique au sens propre, les autres étant appelées « identités trigonométriques ».

Équation trigonométrique au sens propre Une équation trigonométrique au sens propre est une équation qui est vériée seulement pour quelques valeurs particulières des angles inconnus. La recherche des solutions d’une équation trigonométrique mène tout naturellement à la dénition de fonctions inverses des fonctions trigonométriques. On les note en ajoutant le préxe « arc » devant le nom de la fonction trigonométrique. Ainsi, la fonction inverse de la fonction sinus est la fonction arcsinus, que l’on note arcsin. Certaines calculatrices désignent la fonction arcsinus par sin–1. Il ne faut pas la confondre avec la fonction cosécante, qui est égale à 1/sin. EXEMPLE 6.3.3

Calculer en radians et en degrés la mesure de l’angle déterminé par le rayon et la direction positive de l’axe des x dans la gure présentée ci-contre. Solution Selon la dénition du sinus,

Pour calculer la préimage avec une calculatrice, on utilise les touches inv sin ou 2nd sin , selon le type de calculatrice, et la séquence des touches peut varier. On obtient dans tous les cas

Cette valeur n’est manifestement pas la valeur recherchée, car la mesure de l’angle droit est d’environ 1,57 rad. Cependant, on peut « corriger » le résultat en soustrayant de π rad la valeur 0,927 3 ; on obtient π – 0,927 3 ≈ 2,214 3 rad. Si la calculatrice est en mode degrés, elle donne arcsin(4/5) ≈ 55,13°. La mesure de l’angle est d’environ 180° – 53,13° = 126,87°.

Fonctions trigonométriques

Résolution d’équations et intervalle principal Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques, c’est-à-dire que les valeurs de la variable dépendante se répètent à intervalles réguliers. La calculatrice ne peut tenir compte de cette caractéristique dans la recherche de la valeur de l’angle dont un rapport trigonométrique est donné. Pour chaque fonction trigonométrique, la calculatrice afche une valeur d’angle à l’intérieur d’un intervalle appelé intervalle principal. Pour faciliter l’interprétation des résultats, on choisit cet intervalle le plus près possible de l’origine et de manière qu’il contienne toutes les valeurs que peut prendre la fonction, et ce, une et une seule fois. Le tableau suivant indique l’intervalle principal associé aux fonctions sinus, cosinus et tangente.

183

REMARQUE

Il faut se méer du résultat afché par une calculatrice qui ne tient pas compte de la périodicité des fonctions trigonométriques dans la recherche de l’angle. Il faut représenter la situation graphiquement ou géométriquement pour apporter les corrections qui s’imposent en tenant compte du contexte.

REMARQUE

Il est à noter que la fonction inverse arcsinus n’est pas la relation inverse de sinus, mais un sous-ensemble de celle-ci, déterminé par l’intervalle de la préimage principale.

EXEMPLE 6.3.4

Calculer la mesure, en radians et en degrés, de l’angle déterminé par le rayon et la partie positive de l’axe horizontal dans la gure présentée ci-contre. Solution Par dénition de la fonction tangente,

La préimage de 5/2 est alors arctan(5/2) ≈ 1,190 3 rad. Cette valeur que donne la calculatrice appartient à l’intervalle ]–π/2; π/2[. Ce n’est manifestement pas l’angle recherché. Cependant, tan(π + θ) = tan θ, ou encore tan(180° + θ) = tan θ. En effectuant la correction, on obtient π + 1,190 3 ≈ 4,331 9 rad.

184

Chapitre 6

Dans la résolution d’une équation trigonométrique, il faut souvent tenir compte d’une contrainte exprimée sous la forme d’un intervalle à l’intérieur duquel sont les solutions cherchées. EXEMPLE 6.3.5

Trouver un angle θ tel que cos θ = 0,4 et θ ∈[π; 2π]. Solution La calculatrice donne θ = arccos 0,4 ≈ 1,159 rad. Cette valeur ne répond pas à la contrainte puisque 1,159 ∉ [π; 2π]. En vertu de la symétrie par rapport à l’axe des x, on peut poser θ = 2π – 1,159 ≈ 5,124 rad. L’ensemble solution est {5,124 rad}. Pour résoudre une équation trigonométrique, on peut avoir recours aux manipulations algébriques ordinaires : factorisation, mise au même dénominateur, élévation à une puissance. On a également souvent recours aux identités trigonométriques pour déterminer une équation équivalente. EXEMPLE 6.3.6

Résoudre l’équation 3 sin2θ – cos2θ = 2 sachant que θ ∈[π/2; 3π/2]. Solution Il faut ramener l’équation à résoudre à une équation contenant une seule fonction trigonométrique. L’identité sin2θ + cos2θ = 1 donne sin2θ = 1 – cos2θ. En substituant cette expression à sin2θ dans l’équation à résoudre, on obtient 3(1 – cos2θ) – cos2θ = 2 3 – 4 cos2θ = 2 –4 cos2θ + 1 = 0 cos2θ – 1/4 = 0 (cos θ – 1/2)(cos θ + 1/2) = 0 cos θ – 1/2 = 0 ou cos θ + 1/2 = 0 cos θ = 1/2 ou cos θ = –1/2. Donc,

cos θ = 1/2, où θ ∈[π/2; 3π/2] ou cos θ = –1/2, où θ ∈[π/2; 3π/2]. La première équation donne θ = arccos(1/2) = π/3 ≈ 1,047 2. Cette valeur n’appartient pas à l’intervalle [π/2; 3π/2], et 2π – π/3 = 5π/3 ≈ 5,236 0 n’est pas non plus dans cet intervalle. La première équation n’a donc pas de solution dans l’intervalle [π/2; 3π/2]. Son ensemble solution est l’ensemble vide, noté ∅.

Fonctions trigonométriques

185

La deuxième équation donne θ = arccos(–1/2) = 2π/3 ≈ 2,094 4. Cette valeur appartient à l’intervalle [π/2; 3π/2] et 2π – 2π/3 = 4π/3 ≈ 4,188 8 est également dans cet intervalle. On accepte ces deux valeurs comme solutions de l’équation. Son ensemble solution est {2π/3; 4π/3}. À chaque étape de la résolution d’une équation, la forme de celle-ci indique la procédure la plus appropriée pour transformer cette équation et parvenir à isoler la variable. Ainsi, dans l’exemple qui précède, le fait que l’équation contient plus d’une fonction trigonométrique indique que la première étape consiste à utiliser une identité trigonométrique de façon à ce que l’équation ne comporte qu’une seule fonction trigonométrique. Dans l’équation cos2θ – 1/4 = 0, le fait que l’élévation au carré s’applique à la fonction cosinus laisse voir que le membre de gauche est de la forme A2 – B2, soit une différence de carrés, et qu’il faut factoriser cette dernière. La factorisation de A2 – B2 est (A – B)(A + B), ce qui, dans l’exemple qui précède, donne (cos θ – 1/2)(cos θ + 1/2) = 0. On a donc la forme A·B = 0, et il faut appliquer la propriété d’intégrité : A·B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0. Cette analyse de la démarche suivie illustre le fait que, dans la résolution d’une équation, la perception des formes et la reconnaissance des fonctions de la variable sont essentielles. De plus, il faut reconnaître la forme globale de chaque membre et déterminer l’ordre dans lequel s’appliquent les éléments d’une fonction composée an d’établir ce sur quoi il faut se concentrer en premier. EXEMPLE 6.3.7

Résoudre l’équation trigonométrique sin θ – 2 sin θ cos θ = 0, où θ ∈ [0; 2π[. Solution On peut factoriser cette équation en faisant une mise en évidence ; on a alors sin θ – 2 sin θ cos θ = sin θ(1 – 2 cos θ ) = 0. Le produit des facteurs s’annule si l’un des deux facteurs est nul ; on peut donc avoir sin θ = 0 ou 1 – 2 cos θ = 0. Selon le cercle trigonométrique, le sinus est égal à 0 lorsque l’angle est de 0 rad ou π rad. L’équation 1 – 2 cos θ = 0 donne cos θ = 1/2. Selon le cercle trigonométrique, le cosinus est égal à 1/2 lorsque l’angle est π/3 rad ou 5π/3 rad. L’ensemble solution est donc {0; π/3; π; 5π/3}.

REMARQUE

En considérant la réunion des ensembles solutions des deux équations, on obtient que l’ensemble solution de l’équation originale est {2π/3 ; 4π/3}.

186

Chapitre 6

Un peud’histoire

PYTHAGORE DE SAMOS vi e siècle avant notre ère

P

y thagore a vécu au vie siècle avant notre ère. Il serait né vers 580 à Samos, une île de la mer Égée située tout près de Milet, où vivait Thalès, qui devait avoir une cinquantaine d’années à la naissance de Pythagore. On admet généralement que Pythagore fut l’élève de Thalès et de son disciple Anaximandre avant d’entreprendre de nombreux voyages, particulièrement en Égypte et à Babylone. À son retour à Samos, l’île étant sous la domination du tyran Polycrate, Pythagore décida de s’installer à Crotone, en Italie du Sud, où il fonda une communauté qui tenait à la fois de la secte et de l’académie. On y étudiait la philosophie, les mathématiques et les sciences naturelles. Les membres de l’École vivaient en communauté et gardaient secrets les enseignements reçus et leurs découvertes. Il est donc difcile de connaître la véritable contribution de Pythagore. Son nom est cependant resté associé à un théorème qui, dans sa formulation moderne, s’énonce :

Les Égyptiens ignoraient cependant la propriété générale de tous les triangles rectangles.

Angle droit formé avec une corde à nœuds

Le triplet pythagoricien Si trois nombres entiers satisfont à la relation de Pythagore, on dit qu’ils forment un triplet pythagoricien. Les nombres 3, 4 et 5 forment un tel triplet, tout comme les nombres 6, 8 et 10 et les nombres 5, 12 et 13. Les triplets pythagoriciens sont utilisés pour vérier la perpendicularité des murs d’une construction. On mesure des distances de 3 m et de 4 m à partir d’un coin A. Si les murs sont perpendiculaires, la longueur de l’hypoté nuse BC est de 5 m.

« Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. »

Angle droit formé avec une équerre

Théorème de Pythagore Pour les pythagoriciens, la relation portait sur les aires des carrés construits sur les côtés : « L’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit. »

Une méthode employée en topométrie pour élever une perpendiculaire à une droite BC en un point A repose aussi sur les triplets pythagoriciens. On prend des multiples de 3, 4 et 5, par exemple 15, 20 et 25 m. On détermine sur BC le point E à 15 m du point A. On place les extrémités d’une chaîne de 50 m aux points A et E, et on joint les graduations 20 et 25 de la chaîne tendue, déterminant ainsi le point F de la perpendiculaire FA.

Les Égyptiens savaient qu’en prenant les longueurs 3, 4 et 5, on forme un triangle rectangle. Ils se servaient de cette propriété pour construire des angles droits en utilisant une corde dans laquelle des nœuds délimitaient ces longueurs. Il leur sufsait de placer la corde de manière à former un triangle dont les nœuds correspondaient aux sommets.

Corde à nœuds

Angle droit formé avec une chaîne

Fonctions trigonométriques

Modèle sinusoïdal Pour décrire des phénomènes vibratoires (ondulatoires) simples, la fonction sinus combinée à une relation afne décrivant l’angle parcouru en fonction du temps s’avère très utile. Amplitude Soit deux rayons, l’un de longueur 1 et l’autre de longueur 2, en rotation autour de l’origine d’un système d’axes à une vitesse angulaire constante de 1 rad/s. Les modèles engendrés par la projection verticale des deux rayons sont

f (t) = sin t et g (t) = 2 sin t, et la représentation graphique de ces modèles est la suivante.

On constate que la valeur maximale du modèle g (t) est le double de celle de f (t). Amplitude L’amplitude d’un modèle sinusoïdal est égale à la moitié de la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du modèle. Dans un modèle vibratoire simple de la forme f (t) = A sin t, où A > 0, l’amplitude est donnée par le paramètre A. Pour g(t), on constate que A = 2. Fréquence et période Soit deux rayons unitaires en rotation uniforme autour de l’origine d’un système d’axes, l’un ayant une vitesse angulaire de 1 rad/s et l’autre, une vitesse angulaire de 2 rad/s. Les modèles engendrés par la projection verticale des deux rayons sont f (t) = sin t et g (t) = sin 2t,

et la représentation graphique de ces modèles est la suivante.

187

188

Chapitre 6

Puisqu’un cycle correspond à un angle au centre de 2π rad et que la vitesse de rotation du deuxième rayon est de 2 rad/s, le temps qu’il met pour faire un tour est de π s ou 3,141 6 s. On obtient donc la durée d’un cycle en divisant la longueur du cycle, soit 2π rad, par la vitesse angulaire. Cet intervalle de temps est la période de l’onde sinusoïdale. REMARQUE

La fréquence se mesure en cycles par seconde. Cependant, dans le SI, on omet le mot cycle, de sorte que l’unité est 1/s ou s−1, et on l’appelle hertz (Hz). La fréquence et la période d’une onde sont en relation inverse l’une de l’autre : T = 1/f et f = 1/T.

Fréquence et période Soit une onde sinusoïdale d’équation g (t) = sin(ωt) ; la fréquence de cette onde est f = ω/2π. Elle représente le nombre de tours par seconde qu’effectue le rayon décrivant l’onde sinusoïdale. L’unité de mesure de la fréquence est le hertz (Hz). La période de cette onde sinusoïdale est

Elle représente le temps nécessaire pour effectuer un cycle complet. Son unité de mesure est la seconde (s). Déphasage

Soit deux vecteurs unitaires en rotation uniforme autour de l’origine d’un système d’axes à une vitesse angulaire de 1 rad/s. Supposons que l’un des vecteurs a commencé sa rotation π/2 s avant l’autre. Les modèles engendrés par la projection verticale de ces fonctions sont f (t) = sin t et g (t) = sin(t + π/2), et la représentation graphique de ces modèles est la suivante.

Au temps t = 0, le rayon dont la projection verticale est décrite par g (t) fait un angle de π/2 avec la partie positive de l’axe des x. Cet angle est appelé angle de phase initial. Un cycle du graphique de sin(ωt + φ) débute lorsque ωt + φ = 0, c’est-à-dire quand ωt = −φ et t = −φ/ω secondes. Cette durée est appelée déphasage t de l’onde ou du modèle sinusoïdal. Le déphasage de la fonction g dénie ci-dessus est de −π/2 s. REMARQUE

Le déphasage est la longueur de l’intervalle de temps allant du début de la période du modèle f (t) = sin t au début de la période du modèle g (t) = sin(ωt + φ).

Angle de phase initial et déphasage Soit un modèle sinusoïdal f (t) = A sin(ωt + φ). L’angle φ est appelé angle de phase initial, alors que le déphasage de l’onde sinusoïdale est t = −φ/ω s.

Fonctions trigonométriques

Mouvements oscillatoires

On utilise des modèles sinusoïdaux pour décrire des phénomènes pério­ diques comme les mouvements oscillatoires. Le montage illustré ci­contre est formé d’un ressort et d’une échelle gra­ duée de telle sorte que le point 0 indique la position d’équilibre du ressort. Si l’on donne une impulsion à la masse M, celle­ci va osciller autour de la position d’équilibre du ressort. En supposant que les forces de frottement sont négligeables, on peut décrire le mouvement de la masse à l’aide d’un modèle sinusoïdal en associant la position de la masse à la projection verticale d’un rayon en rotation autour de l’origine d’un système d’axes. Pour ce faire, on fait coïncider l’échelle graduée avec l’axe vertical et on représente le temps sur l’axe horizontal. Lorsque la masse oscille, le ressort est tour à tour étiré puis comprimé. La longueur de l’oscillation dépend en fait de la masse et de la rigidité du res­ sort. Dans le cas où la masse oscille entre −6 dm et 6 dm et qu’elle effectue quatre oscillations complètes par seconde, f = 4 Hz et ω = 2πf = 8π. La position de la masse M au temps t est donc décrite par le modèle sinusoïdal f (t) = 6 sin(8πt), où l’expression du membre de droite est la projection sur l’axe vertical du rayon de longueur 6 en rotation à une vitesse de 8π rad/s. EXEMPLE 6.3.8

Une masse M, suspendue à un ressort, oscille de −3 dm à 3 dm et elle effectue cinq oscillations complètes par seconde. a) Quelle est la vitesse angulaire du rayon dont la projection sur l’axe vertical décrit la position de la masse en fonction du temps t ? b) Déterminer les deux paramètres : la longueur et l’angle de phase initial du rayon en rotation autour de l’origine, dont la projection verticale décrit le mouvement du ressort si celui­ci est en position 3 au temps initial. c) Calculer l’amplitude, la période, la fréquence et le déphasage, et tracer le graphique du modèle décrivant la position de la masse au temps t pour un intervalle d’une seconde. Solution a) Puisque la fréquence est de 5 oscillations par seconde, la vitesse angulaire est égale à 5 × 2π = 10π rad/s. b) L’amplitude étant de 3 dm, la longueur du rayon est 3. La vitesse angulaire est de 10π rad/s et l’angle de phase initial est de π/2 rad.

189

190

Chapitre 6

REMARQUE

Pour décrire un phénomène physique assez simple, il faut souvent utiliser une combinaison de modèles simples. Ainsi, y = f (t) = A sin(ωt + φ) est une fonction composée. Elle résulte de la combinaison de la règle y = sin x et de la règle afne x = ωt + φ. De plus, si φ = π/2, on peut utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques et y = A sin(ωt + φ) = A cos(ωt).

c) La fonction donnant la position de la masse au temps t est la projection du rayon sur l’axe vertical. Cette fonction est dénie par f (t) = 3 sin(10πt + π/2). Son amplitude est de 3 dm et sa période est égale à

Sa fréquence est de 5 Hz et son déphasage est l’instant t pour lequel 10πt + π/2 = 0, c’est-à-dire t = −1/20 s. La représentation graphique de cette fonction est la suivante.

PROCÉDURE Pour faire la description symbolique du graphique d’une sinusoïde

1. Repérer sur le graphique l’instant t1 du début et l’instant t 2 de la n du premier cycle. 2. Calculer la période, T = t 2 − t1. 3. Déterminer la fréquence, f = 1/T, et la vitesse ω = 2πf = 2π/T. 4. Déterminer l’angle de phase initial φ (en posant ωt1 + φ = 0). 5. Déterminer l’amplitude, A = (Vmax − Vmin)/2. 6. Écrire le modèle mathématique f (t) = A sin(ωt + φ).

PROCÉDURE Pour représenter graphiquement une sinusoïde

Soit f (t) = A sin(ωt + φ). 1. Calculer le déphasage en posant ωt + φ = 0 et en isolant t. 2. Calculer la période, T = 2π/ω. 3. Déterminer la fréquence, f = 1/T = ω/2π. 4. Tracer le graphique d’une sinusoïde. 5. Graduer l’axe horizontal et positionner l’axe vertical en tenant compte du déphasage et de la période. 6. Déterminer l’amplitude et graduer l’axe vertical en tenant compte de l’amplitude.

Fonctions trigonométriques

191

Ondes La lumière visible, les rayons infrarouges, les rayons ultraviolets et les sons se déplacent dans l’espace sous forme d’ondes. Trois paramètres caracté­ risent une onde : la longueur d’onde, la fréquence et la vitesse. Longueur d’onde La longueur d’onde, représentée par la lettre grecque λ (lambda), est la distance entre deux crêtes consécutives de l’onde. Elle se mesure en mètres (m). Soit une onde dont la fréquence est de f cycles par seconde (f Hz) et dont la longueur d’onde est de λ m. Les f cycles parcourus en une seconde ont une longueur totale de f λ m. L’onde parcourt donc f λ m/s. C’est sa vitesse de propagation v = f λ, où f est la fréquence en hertz (Hz), λ est la longueur d’onde en mètres (m) et v est la vitesse de propagation en mètres par seconde (m/s).

REMARQUE

La vitesse de propagation d’un son est de 336 m/s et la vitesse de propagation de la lumière est de 2,997 9 × 108 m/s.

Dans l’illustration suivante, les trois ondes ont la même vitesse, mais des longueurs d’onde et des fréquences différentes.

REMARQUE

Si des ondes se déplacent à une même vitesse, la relation entre leur longueur d’onde et leur fréquence en est une de proportionnalité inverse.

Radiation électromagnétique

La radiation électromagnétique est l’une des formes de déplacement de l’énergie dans l’espace. Ce type de radiation est une onde qui se déplace à la vitesse de la lumière. On désigne sa vitesse par la lettre c et sa fréquence par la lettre grecque ν (nu) :

λν = c.

192

Chapitre 6

La lumière visible, l’énergie solaire et les ondes radio font partie des radiations électromagnétiques. Le spectre de ces ondes est donné dans la gure suivante.

EXEMPLE 6.3.9

Déterminer la fréquence d’une lumière rouge dont la longueur d’onde est de 650 nm. Solution On connaît la vitesse de la lumière : c = 2,997 9 × 108 m/s. On peut déterminer la fréquence ν puisqu’on connaît aussi la longueur d’onde λ : λν = c. Il faut d’abord exprimer la longueur d’onde en mètres. Puisque λ = 650 nm, alors

En isolant ν et en remplaçant c et λ par leurs valeurs, on obtient

La fréquence de la lumière rouge est de 4,61 × 1014 Hz si on arrondit à trois chiffres signicatifs.

Fonctions trigonométriques

193

Un peud’histoire

ROBERT HOOKE

R

1635-1703

obert Hooke, mécanicien, physicien, astro nome et naturaliste anglais, fut l’un des plus grands expérimentateurs de l’histoire de la physique et fut le premier à étudier le mouvement d’une masse suspendue à un ressort. Professeur de mathématiques et de mécanique au collège Gresham, il fut à la fois un émule et un adversaire de Newton. Les polémiques entre les deux savants accélérèrent le développement des théories de l’optique mathématique. Hooke inventa des instruments pour mesurer l’humidité de l’air et la force du vent. Il améliora le microscope et découvrit la structure cellulaire des plantes. Sa connaissance des ressorts et de leurs propriétés lui permit de contribuer au développement des premières horloges mécaniques. On lui doit la « loi de Hooke » sur la résistance des matériaux, selon laquelle les déformations élastiques des matériaux sont proportionnelles aux forces appliquées.

La trigonométrie et la mesure du temps La mise au point d’instruments permettant une mesure pré cise du temps devint une préoccupation majeure au xviie siècle. L’activité scientique croissante et la recherche

de données quantitatives descriptibles mathématiquement créaient un besoin pressant d’instruments pratiques de mesure du temps. De plus, pour calculer la longitude d’un navire en mer, on devait avoir une bonne horloge. En effet, la longitude d’un lieu se calculait par le décalage horaire entre ce lieu et le premier méridien. Comme la Terre effectue une rotation de 360° de longitude par jour, elle tourne donc de 15° chaque heure. Par conséquent, pour tous les 15° à l’ouest du premier méridien, le décalage horaire est d’une heure. Lorsque le Soleil est au zénith, le capitaine d’un bateau en mer sait qu’il est midi à sa position. S’il possède une horloge indiquant l’heure exacte au premier méridien, il peut alors déterminer sa longitude. La latitude, quant à elle, se calculait par rapport à la position des étoiles. C’est par l’étude de la vibration d’un ressort et par la description de cette vibration à l’aide des fonctions trigonométriques qu’il fut possible de mesurer la grandeur de l’impulsion nécessaire pour compenser l’amortissement du ressort et de construire une horloge répondant aux exigences de l’époque. Or, une grande partie des connaissances qui permirent cette avancée découlent des travaux de Hooke.

MAX PLANCK

M

1858-1947

ax Planck était un physicien allemand. Durant ses études à l’Université de Munich, il envisagea d’entreprendre une carrière en physique, mais son professeur lui dit que la physique était une science complète dans laquelle on ne pouvait espérer faire de nouvelles découvertes, tout ayant déjà été découvert. Malgré cet avis défavorable, Planck persévéra et partit étudier à Berlin, où il eut Helmholtz et Kirchhoff comme professeurs. Il retourna à Munich et reçut son doctorat en 1880, à 21 ans, pour une thèse sur la deuxième loi de la thermodynamique. Il y enseigna jusqu’en 1885, après quoi il occupa pendant quatre ans une chaire à Kiel, pour ensuite succéder à Kirchhoff à Berlin, en 1889. Il occupa cette chaire jusqu’en 1925.

C’est en 1900 qu’il annonça sa découverte de la formule maintenant appelée la formule de radiation de Planck. En deux mois, il déduisit la théorie des quanta. Il avait observé que la matière ne peut émettre ni absorber une quantité quelconque d’énergie. Cela l’amena à supposer que l’énergie n’était transférée que par quantités qui sont des multiples entiers d’une quantité hν, où h = 6,626 × 10 −34 J·s est une constante et ν est la fréquence de la radiation électromagnétique absorbée ou émise. Au début, la théorie rencontra de la résistance, mais les travaux de Niels Bohr, qui calcula les positions des lignes spectrales en se basant sur la théorie des quanta, contribuèrent à la faire accepter.

194

Chapitre 6

6.4 Exercices 1. Dans la gure suivante, indiquer les coordonnées des points du cercle trigonométrique associés aux angles remarquables et à leurs multiples.

2. Dans le tableau suivant, exprimer chaque angle en radians et donner son image par chacune des fonctions trigonométriques.

Fonctions trigonométriques

3. Représenter graphiquement les valeurs inscrites dans le tableau de l’exercice 2 et tracer le graphique des fonctions sinus, cosinus et tangente.

195

196

Chapitre 6

4. En utilisant le cercle trigonométrique, montrer que, quel que soit θ ∈  : a) sin(−θ) = −sin θ, b) cos(−θ) = cos θ, c) tan(−θ) = −tan θ. 5. En utilisant le cercle trigonométrique, montrer que, quel que soit θ ∈  : a) sin(π/2 − θ) = cos θ, b) cos(π/2 − θ) = sin θ, c) tan(π/2 − θ) = cot θ. 6. En utilisant le cercle trigonométrique, montrer que, quel que soit θ ∈  : a) sin(π − θ) = sin θ, b) cos(π − θ) = −cos θ, c) tan(π − θ) = −tan θ. 7. En utilisant le cercle trigonométrique, montrer que, quel que soit θ ∈  : a) sin(π + θ) = −sin θ, b) cos(π + θ) = −cos θ, c) tan(π + θ) = tan θ. 8. Déterminer la valeur des expressions suivantes. a) arcsin(1) j) arccos(0,866) b) arcsin(−0,5) k) arcsin(0,707) c) arctan(−1) l) arccos(1) d) arcsin(−1) m) arcsin(0,345) e) arctan(1) n) arccos(0) f) arccos(−0,866) o) arccos(−0,654) g) arcsin(0,789) h) arctan(1,414 2) i) arccos(−2) 9. À l’aide d’une calculatrice, déterminer l’angle θ tel que : a) sin θ = −0,88 et θ ∈ [π/2; 3π/2], b) tan θ = −1,44 et θ ∈ [π/2; 3π/2], c) cos θ = 0,6 et θ ∈ [π; 2π], d) tan θ = 1,44 et θ ∈ [0; 2π]. 10. Résoudre les équations trigonométriques suivantes et retenir la valeur principale comme solution. a) cos 3θ = 1/2 d) tan θ = sin θ b) sin 2θ = 1/2 e) sin2θ + sin 2θ = 0 c) sec2θ = 4 f) 2 sin2θ = 1 + sin θ

11. À l’aide d’une calculatrice, trouver l’angle θ dans les gures suivantes. a)

d)

b)

e)

c)

f)

12. Calculer la valeur des six fonctions trigonométriques pour l’angle θ et la longueur du rayon dans chacun des graphiques suivants. Interpréter du point de vue géométrique les valeurs obtenues. a)

c)

b)

d)

13. Représenter graphiquement les modèles sinusoïdaux suivants. a) f (t) = sin t et g (t) = 0,5 sin t b) f (t) = sin t et g (t) = sin 2t c) f (t) = sin t et g (t) = 3 sin t d) f (t) = sin t et g (t) = 2 sin πt e) f (t) = sin t et g (t) = sin(t + π/2) f) f (t) = sin t et g (t) = 2,5 sin(t + π/2) g) f (t) = sin t et g (t) = 2 sin(t − π/2) h) f (t) = sin t et g (t) = 2 sin 2t i) f (t) = sin t et g (t) = 2 sin(2t − 3) j) f (t) = sin t et g (t) = 2 sin(2t − 1)

Fonctions trigonométriques

14. Déterminer la vitesse angulaire, l’angle de phase initial, la période, la fréquence, le déphasage et l’amplitude ainsi que la règle de correspondance des fonctions dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. a)

197

a) Calculer la fréquence de cette lumière. b) Les travaux de Max Planck (1858-1947) ont montré que l’énergie émise ou absorbée par la matière est un multiple entier de hν, où h est la constante de Planck, dont la valeur expérimentale est 6,626 × 10−34 J·s, et ν est la fréquence de la radiation électromagnétique émise ou absorbée. La variation d’énergie est donc ∆E = nhν,

b)

où n est un nombre entier de quanta d’énergie. Déterminer l’énergie d’un quantum émis par CuCl.

c)

16. Le laser d’un lecteur de disque compact émet une lumière de 780 nm de longueur d’onde. a) Quelle est la fréquence de cette lumière ? b) Quelle est l’énergie d’un photon (quantum d’énergie) de cette lumière ?

d) 17. Une station de radio FM émet des ondes radioélectriques à 102,3 MHz. Quelle est leur longueur d’onde ? e)

f)

g)

h)

15. Dans un feu d’artice, on obtient une couleur bleue en chauffant du chlorure de cuivre (CuCl) à environ 1 200 °C. Le composé émet alors de la lumière bleue dont la longueur d’onde est de 450 nm.

18. Le mercure émet de la lumière visible dont la longueur d’onde est soit de 407,7 nm, soit de 435,8 nm. Calculer l’énergie d’un seul photon et d’une mole de photons de lumière (6,022 × 1023 photons) pour chacune de ces longueurs d’onde. 19. Déterminer la préimage principale : a) de 1,5 par la fonction tangente, b) de 0,2 par la fonction sinus, c) de 3,2 par la fonction f (x) = 4 sin 2x, d) de 5,4 par la fonction f (x) = 6 cos 3x, e) de 13,2 par la fonction f (x) = 5 tan 3x. 20. Donner les solutions principales des équations suivantes. a) 4 cos q = sec q b) 12 cos2 x − 4 cos x − 1 = 0 c) 6 tan 2 x + tan x − 12 = 0 d) 5 tan2 x − 22 tan x + 8 = 0 e) 8 sin2 x + 2 sin x − 3 = 0 f) sin x cot x = 0 g) 12 cos2 x + 5 cos x − 3 = 0

198

Chapitre 6

21. Calculer, en radians et en degrés, les angles des triangles suivants. a)

b)

22. Calculer l’angle d’inclinaison de l’escalier illustré ci-dessous.

23. Un vecteur de longueur 4 est en mouvement circulaire autour de l’origine d’un système d’axes à une vitesse angulaire de 15 r/s.

a) Déterminer la fréquence de ce mouvement. b) Déterminer la période de ce mouvement. c) Calculer la vitesse angulaire en radians par seconde. d) Exprimer la hauteur du point P en fonction du temps t si la hauteur initiale est 0. e) Calculer la hauteur du point P du vecteur à 1/60 s. 24. Un vecteur de longueur 2 est en mouvement circulaire à une vitesse angulaire de 8π rad/s.

a) Déterminer la fréquence de ce mouvement. b) Déterminer la période de ce mouvement. c) Calculer la vitesse angulaire en tours par seconde. d) Exprimer la hauteur du point P en fonction du temps t si l’angle de phase initial est π/2 rad. e) Calculer la hauteur du point P à 1/32 s. 25. Un vecteur de longueur 6 est en mouvement circulaire. Sa période est de 0,02 s.

a) Déterminer la fréquence de ce mouvement. b) Déterminer la vitesse angulaire en radians par seconde. c) Exprimer la composante verticale en fonction du temps t si l’angle de phase initial est −π/2 rad. d) Calculer la composante verticale du vecteur à 1/200 s. 26. La position d’un vecteur en mouvement circulaire est décrite par f (t) = 6 sin(6πt − π/2). a) Déterminer l’amplitude du mouvement vertical. b) Déterminer la période et la fréquence de ce mouvement. c) Déterminer la vitesse angulaire en radians par seconde. d) Trouver l’angle de phase initial de ce mouvement. 27. Une masse M suspendue à un ressort oscille de −4 dm à 4 dm et effectue cinq oscillations complètes par seconde. a) Quelle est la vitesse angulaire du vecteur dont la projection sur l’axe vertical décrit la position de la masse en fonction du temps t ? b) Donner la longueur et l’angle de phase initial du vecteur en rotation autour de l’origine dont la projection verticale décrit le mouvement du ressort si celui-ci est en position 4 au temps initial.

Fonctions trigonométriques

c) Donner l’amplitude, la période, la fréquence ainsi que le déphasage, et tracer le graphique du modèle décrivant la position de la masse au temps t. 28. Une masse M suspendue à un ressort oscille de −5 dm à 5 dm et effectue huit oscillations complètes par seconde. a) Quelle est la vitesse angulaire du vecteur dont la projection sur l’axe vertical décrit la position de la masse en fonction du temps t ? b) Donner la longueur et l’angle de phase initial du vecteur en rotation autour de l’origine, dont la projection verticale décrit le mouvement du ressort si celui-ci est en position 0 au temps initial et se déplace vers le haut. c) Donner l’amplitude, la période, la fréquence et le déphasage, et tracer le graphique du modèle décrivant la position de la masse au temps t. 29. Résoudre les équations trigonométriques suivantes en utilisant le cercle trigonométrique pour déterminer l’ensemble des solutions. a) sin2 θ + sin θ – 2 = 0, où θ ∈ [0; 2π] b) 2 sin θ + csc θ – 1 = 0, où θ ∈ [0; 2π] c) 3 cos2 θ = sin2 θ, où θ ∈ [0; 2π] d) 2 sec θ = tan θ + cot θ, où θ ∈ [0; 2π] e) 4 tan θ sin2 θ – 4 sin2 θ – 3 tan θ + 3 = 0, où θ ∈ [0; 2π] 30. Résoudre les équations trigonométriques suivantes en utilisant la calculatrice pour déterminer l’ensemble des solutions. Donner la réponse en degrés, minutes, secondes. a) tan θ + 3 cot θ = 4, où θ ∈ [0°; 360°] b) 2 cos θ = 1 – sin θ, où θ ∈ [0°; 360°] 31. On veut développer un terrain boisé bordé par deux rues existantes. Le projet nécessite la construction d’une rue formée de deux segments de droite AB et CD joints par un arc de cercle permettant de conserver une bordure boisée. Le service d’arpentage a déterminé les mesures apparaissant dans l’esquisse suivante. a) Calculer la longueur de la bordure ABCD de la rue.

199

b) Calculer la longueur de la bordure EFGH de la rue si la largeur de la rue est de 24 mètres. c) Les bordures doivent avoir une largeur de 24 cm et une hauteur de 52 cm. Déterminer la quantité de verges cubes de béton nécessaire pour réaliser cet ouvrage. La compagnie qui fabrique le béton fabrique toujours un nombre entier de verges cubes.

32. Une municipalité envisage de clôturer deux terrains sur les côtés et à l’arrière. Le service d’arpentage a pris les mesures des terrains en les décomposant en deux triangles rectangles et un secteur circulaire. On vous demande de calculer la longueur de la clôture pour chacun de ces terrains. Terrain 1

200

Chapitre 6

Terrain 2

33. Une municipalité a demandé à un architecte paysagiste de préparer un plan d’aménagement d’un terrain rectangulaire devant comporter une allée à la fois piétonne et cycliste, ainsi que des espaces verts, une pataugeuse et un espace pour des balançoires. L’architecte a soumis le plan suivant, dans lequel l’allée est bordée par des arcs de cercles.

a) Calculer la longueur des bordures de l’allée. b) Les bordures doivent avoir 36 cm de largeur et 75 cm de hauteur. Déterminer la quantité de verges cubes de béton nécessaire pour réaliser cet ouvrage. La compagnie qui fabrique le béton fabrique toujours un nombre entier de verges cubes.

TRIGONOMÉTRIE des TRIANGLES

7 9

7.1 Résolution de triangles             202 Triangles rectangles Triangles quelconques Rappels de géométrie

Résoudre des problèmes nécessitant le recours à la trigonométrie Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la résolution de problèmes à l’aide de la trigonométrie des triangles rectangles ; • la résolution de problèmes à l’aide de la trigonométrie des triangles quelconques ; • la résolution de problèmes de la topométrie à l’aide de la trigonométrie des triangles.

7.2 Exercices           212 7.3 Applications en topométrie       215 Mesure d’une hauteur Distance entre deux points Jalonnement Un peud’histoire Mesure du méridien

7.4 Exercices           225

202

Chapitre 7

7.1 Résolution de triangles Résoudre un triangle signie déterminer les éléments (côtés et angles) inconnus de ce triangle. La trigonométrie est un outil indispensable de la résolution de triangles. Dans le cas de triangles rectangles, on emploie des techniques basées sur la dénition des fonctions trigonométriques dans un cercle ; dans le cas de triangles quelconques, on utilise surtout la loi des sinus et la loi des cosinus, qui reposent sur les relations établies entre les éléments dans un triangle rectangle.

Triangles rectangles On peut interpréter les images des fonctions trigonométriques comme le rapport de deux côtés d’un triangle rectangle exprimé en fonction d’un angle aigu θ. On désigne l’hypoténuse par c, le côté adjacent à l’angle θ par a et le côté opposé à l’angle θ par b. Rappelons les six rapports trigonométriques :

REMARQUE

Dans une gure, il est d’usage de représenter chaque sommet par une lettre majuscule en caractère droit, la même lettre étant utilisée pour représenter l’angle en ce sommet. Si plusieurs angles ont le même sommet, on les distingue en employant les lettres grecques. Le côté opposé à un angle est normalement représenté par la minuscule (en italique) correspondante. Par souci de clarté, on désigne parfois un côté par les deux majuscules qui représentent ses extrémités.

PROCÉDURE Pour résoudre un triangle rectangle

1. Si cela s’avère nécessaire, tracer un triangle à main levée et en représenter les composantes (angles et côtés) par des symboles. 2. Repérer les mesures connues du triangle. 3. Repérer la composante recherchée. 4. Choisir la règle à utiliser (rapports trigonométriques, théorème de Pythagore, somme des angles d’un triangle). 5. Effectuer les manipulations et les calculs requis. 6. Formuler la réponse en interprétant le résultat selon le contexte, en tenant compte des unités de mesure s’il y a lieu. On peut déterminer un angle d’un triangle rectangle si on connaît deux côtés du triangle. La position de ces côtés par rapport à l’angle indique quel rapport trigonométrique utiliser. EXEMPLE 7.1.1

Une entreprise envisage de fabriquer des cabanons de petites dimensions. Compléter les esquisses en calculant, pour chaque modèle, l’angle que forme la toiture avec l’horizontale.

Trigonométrie des triangles

203

Solution Premier cabanon Les sommets du triangle sont déjà représentés par des symboles. Repérage des mesures connues Les données du problème permettent de déterminer que le côté AC du triangle ABC est de 0,9 m. On sait également que l’hypoténuse AB mesure 2,9 m. Repérage de la composante recherchée On cherche l’angle ABC, et on connaît le côté opposé à cet angle et l’hypoténuse. Règle à utiliser Il y a deux rapports trigonométriques où interviennent les deux côtés connus : ce sont le sinus et la cosécante. On choisit le sinus pour simplier le travail avec la calculatrice. Manipulations et calculs Le sinus de l’angle ABC est, par dénition,

Formulation de la réponse L’angle que fait la toiture avec l’horizontale est d’environ 18,08°. Deuxième cabanon Repérage des mesures connues La gure indique que le côté BC mesure 2,3 m et que l’hypoténuse mesure 2,7 m. Repérage de la composante recherchée On cherche l’angle ABC, et on connaît le côté adjacent à cet angle et l’hypoténuse. Règle à utiliser Il y a deux rapports trigonométriques où interviennent les deux côtés connus : ce sont le cosinus et la sécante. On choisit le cosinus pour simplier le travail avec la calculatrice. Manipulations et calculs Le cosinus de l’angle ABC est, par dénition,

Formulation de la réponse L’angle que fait la toiture avec l’horizontale est d’environ 31,59°. Troisième cabanon Repérage des mesures connues Comme le cabanon est symétrique, les mesures données dans la gure à la page suivante per mettent de déterminer la longueur du côté CD, soit 0,8 m, et du côté AD, soit 1,3 m.

REMARQUE

Les données du problème dans cet exemple ne sont pas des mesures et doivent être considérées comme des valeurs exactes. Les règles de présentation de résultats d’opérations sur des nombres arrondis ne s’appliquent donc pas.

204

Chapitre 7

Repérage de la composante recherchée On cherche l’angle CAD, et on connaît le côté opposé et le côté adjacent à cet angle. Règle à utiliser Il y a deux rapports trigonométriques où interviennent les deux côtés connus : ce sont la tangente et la cotangente. On choisit la tangente pour simplier le travail avec la calculatrice. Manipulations et calculs La tangente de l’angle CAD est, par dénition,

Rédaction de la réponse L’angle que fait la toiture avec l’horizontale est d’environ 31,61°. On peut déterminer un côté d’un triangle rectangle si on connaît un angle et un côté du triangle. Dans le repérage des mesures connues (ou que l’on peut déterminer géométriquement), on cherche donc un angle et un côté du triangle. EXEMPLE 7.1.2

Un observateur qui se tient à 200 m du pied d’un phare a mesuré que l’angle d’élévation de la galerie du phare est 25°. Quelle est la hauteur de la galerie ? Solution Représentation symbolique On note respectivement A, B et C les sommets du triangle à résoudre. REMARQUE

L’angle d’élévation est l’angle entre l’horizontale et l’angle de visée d’un objet placé plus haut que l’observateur alors que l’angle de dépression est l’angle entre l’horizontale et l’angle de visée d’un objet placé plus bas que l’observateur.

Repérage des mesures connues On connaît l’angle A et le côté adjacent à cet angle. Repérage de la composante recherchée On cherche la hauteur, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle A, et on connaît le côté adjacent à cet angle. Règle à utiliser Puisque l’on connaît un angle et le côté adjacent à cet angle et que l’on cherche le côté opposé, on utilise la tangente, car la calculatrice donne directement la valeur de ce rapport. Manipulations et calculs et Formulation de la réponse La hauteur de la galerie est d’environ 93 m.

Trigonométrie des triangles

EXEMPLE 7.1.3

On veut assurer la stabilité d’un pylône à l’aide d’un hauban d’acier xé à une attache située à 20,0 m du pied du pylône. Sachant que l’angle d’élévation mesuré au point d’attache est de 65°, trouver la longueur du câble ainsi que la hauteur du pylône. Solution Longueur du câble Représentation symbolique Le triangle ABC est une représentation simpliée du problème. Repérage des mesures connues On connaît l’angle A, qui est l’angle d’élévation du pylône, et la longueur du côté AB, qui est la distance de l’attache au pied du pylône. Repérage de la composante recherchée Pour déterminer la longueur l du câble, il faut calculer celle de l’hypoténuse du triangle ABC. Règle à utiliser On connaît l’angle A et le côté adjacent à cet angle. On utilise donc le rapport cosinus. Manipulations et calculs Le cosinus de l’angle A du triangle ABC est, par dénition,

et, par substitution, on obtient

donc

Formulation de la réponse La longueur du câble est d’environ 47,3 m. Hauteur du pylône Représentation symbolique et mesures connues La représentation symbolique est la même. Aux composantes déjà connues s’ajoute la longueur de l’hypoténuse. Repérage de la composante recherchée On cherche le côté opposé à l’angle A. Règle à utiliser Pour trouver le côté opposé à l’angle A, on peut utiliser le rapport de la tangente, le rapport du sinus ou le théorème de Pythagore. Il est préférable d’utiliser le rapport de la tangente pour ne pas inclure de valeurs arrondies dans les calculs.

205

206

Chapitre 7

Manipulations et calculs La tangente de l’angle A du triangle ABC est, par dénition,

et Formulation de la réponse La hauteur du pylône est d’environ 42,9 m.

Triangles quelconques La loi des sinus et la loi des cosinus sont deux propriétés des triangles quelconques : elles décrivent des relations entre les côtés et les angles de ces triangles. Nous allons démontrer ces lois en ayant recours aux dénitions des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, puis nous les utiliserons dans diverses situations. THÉORÈME Loi des sinus

Soit ABC un triangle quelconque de côtés a, b et c ; alors .

Démonstration En abaissant la hauteur AH, on forme les triangles ABH et ACH, rectangles en H. Donc,

Par conséquent, c sin B = b sin C et . Par ailleurs, en abaissant la hauteur BH′, on forme les triangles ABH′ et BCH′, rectangles en H′. Ainsi,

Par conséquent, c sin A = a sin C et .

Trigonométrie des triangles

207

RÉSOLUTION DE TRIANGLES Résolution de triangles quelconques

Pour résoudre un triangle, il faut en connaître trois éléments. La loi des sinus est utile dans les deux cas suivants. a) On connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux. b) On connaît au moins deux angles et un côté opposé à l’un d’eux. Il existe deux autres cas, où la loi des sinus est inapplicable et où on emploie la loi des cosinus. Ce sont les suivants. c) On connaît deux côtés et l’angle qu’ils déterminent. d) On connaît les trois côtés.

THÉORÈME Loi des cosinus

Soit ABC un triangle quelconque dont les côtés sont a, b et c. a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Démonstration En abaissant la hauteur BH, on détermine sur le côté AC deux segments de longueurs respectives x et b − x. Comme les triangles ABH et CBH sont rectangles en H, selon le théorème de Pythagore, c2 = h2 + x2 et a2 = h2 + (b − x)2 = h2 + b2 − 2bx + x2 = b2 + h2 + x2 − 2bx = b2 + c2 − 2bx. Puisque c2 = h2 + x2. Dans le triangle ABH, obtient

a2

=

b2

+

c2

x/c ; donc x = c cos A et, par substitution, on

− 2bc cos A.

En isolant cos A dans la dernière équation, on a

Ces deux résultats établissent une relation entre les angles et les côtés d’un triangle, et ils sont indépendants des lettres utilisées. Donc,

REMARQUE

Le cas où l’angle A est obtus ne sera vu que dans les exercices.

208

Chapitre 7

PROCÉDURE Pour résoudre un triangle quelconque

1. Repérer les données (au moins trois) et les éléments recherchés. 2. Déterminer s’il est possible d’appliquer directement la loi des sinus (les cas a et b décrits à la page précédente). Si oui, l’appliquer. 3. Sinon, utiliser la loi des cosinus pour déterminer un élément (angle ou côté) de manière que les conditions d’utilisation de la loi des sinus soient satisfaites. 4. Compléter la résolution en employant la loi des sinus. 5. Vérier que les résultats satisfont à la loi des sinus et formuler la réponse. EXEMPLE 7.1.4

Résoudre le triangle représenté ci-contre. Solution On calcule d’abord l’angle B à l’aide de la loi des sinus : . En isolant sin B, on obtient, par substitution,

et Par ailleurs, C ≈ 180° − (49,89° + 35°) = 95,11°. Pour déterminer le côté c, on utilise à nouveau la loi des sinus,

Donc,

Dans la gure de l’exemple 7.1.4, l’angle B est plus petit que 90°. Cependant, on peut construire un autre triangle ayant un angle de 35° et des côtés a et b de longueurs respectives 6 et 8, comme l’illustre la gure ci-contre. Pour résoudre ce deuxième triangle, il faut se rappeler que sin(180° − B) = sin B. Dans l’exemple 7.1.4, on a obtenu

Cependant, comme CB′ = CB = 6, le triangle CB′B est isocèle ; ainsi ∠AB′C = 180° − B ≈ 180° − 49,89° = 130,11°

Trigonométrie des triangles

est égal au sinus de l’angle ∠ACB′. Le troisième angle est alors C′ ≈ 180° − (130,11° + 35°) = 14,89° et Si on ne donne pas de gure quand on cherche un angle en appliquant la loi des sinus, il existe deux solutions parce que le sinus est positif dans les deux premiers quadrants. Si les données du problème sont l’angle A et les côtés a et b, on peut rencontrer les cas suivants. • Si l’angle A est obtus, on doit avoir a > b pour qu’il y ait une solution, et celle-ci est unique. • Si l’angle A est aigu, – il n’y a aucune solution si a < b sin A ; – il existe une solution unique si a = b sin A, le triangle est alors rectangle ; – il existe deux solutions si b sin A < a < b. Lorsqu’il y a deux solutions possibles, il faudra donner les deux solutions, soit quatre mesures d’angles et deux mesures de côtés. EXEMPLE 7.1.5

Trouver la longueur des diagonales du parallélogramme représenté ci-contre. Solution Diagonale BD On connaît deux côtés du triangle ABD, l’angle formé par ces côtés, et on cherche la longueur du troisième côté en appliquant la loi des cosinus :

Donc, On peut estimer à 3,23 la longueur de la diagonale BD. Diagonale AC On connaît deux côtés du triangle ACD, l’angle formé par ces deux côtés, et on cherche la longueur du troisième côté en appliquant la loi des cosinus :

Ainsi, On estime à 9,67 la longueur de la diagonale AC.

209

210

Chapitre 7

Rappels de géométrie Lorsqu’on veut résoudre un triangle, on doit souvent, consciemment ou non, avoir recours à des théorèmes de géométrie plane. Rappelons brièvement certains de ces résultats. THÉORÈME Angles alternes-internes

Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont congruents (ou égaux). On peut se convaincre de la validité de ce théorème en abaissant une perpendiculaire aux parallèles à partir du point milieu de la sécante. Les triangles AOD et BOC ainsi formés sont congruents puisque leurs hypoténuses sont égales et qu’ils ont un angle aigu congruent. En effet, les angles opposés par le sommet sont congruents. Puisque les angles alternesinternes sont congruents, les angles alternes-externes le sont aussi. THÉORÈME Somme des angles d’un triangle

La somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180°.

Pour s’en convaincre, on trace par un sommet du triangle une parallèle au côté opposé. La somme des angles formés par la parallèle et les côtés du triangle est égale à 180°. Puisque les angles alternes-internes sont congruents, la somme des angles intérieurs du triangle est aussi égale à 180°. Angle inscrit Soit un cercle de centre O. On appelle angle inscrit dans le cercle tout angle dont le sommet est sur la circonférence. THÉORÈME Mesure de l’angle inscrit

La mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’arc intercepté. On doit considérer trois cas pour s’en convaincre : 1. Un côté de l’angle passe par le centre du cercle. 2. Le centre du cercle est à l’intérieur de l’angle. 3. Le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle. On constate facilement que, dans le second cas, la mesure de l’angle inscrit est la somme des mesures de deux angles inscrits ayant chacun un côté passant par le centre du cercle. Dans le troisième cas, la mesure de l’angle inscrit est la différence des mesures de deux angles inscrits ayant chacun

Trigonométrie des triangles

211

un côté passant par le centre du cercle. Par conséquent, il est sufsant de démontrer le premier cas pour s’assurer de la validité de l’énoncé. En traçant le rayon du cercle qui aboutit à l’extrémité du côté de l’angle ne passant pas par le centre du cercle, on forme le triangle isocèle AOB. Les angles en A et en B sont donc égaux. La somme des angles intérieurs du triangle est égale à 180° et la somme des angles sur le diamètre AC est égale à 180°. On en tire le résultat cherché, c’est-à-dire que l’angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc.

Par conséquent, des angles inscrits dans un cercle qui interceptent un même arc sont congruents. Dans la gure ci-contre, les triangles sont semblables puisque les trois angles sont congruents. En effet, les angles opposés par le sommet sont congruents. On peut donc déterminer le rapport des côtés des triangles. Le théorème précédent permet également de conclure que l’angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit puisqu’il intercepte la moitié de la circonférence. Ce résultat est attribué à Thalès de Milet (~624 à ~548). THÉORÈME Angle inscrit dans un demi-cercle

Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

La tangente à un cercle est la droite passant par un seul point du cercle et perpendiculaire au rayon aboutissant en ce point. THÉORÈME Tangentes issues d’un même point

Deux segments de droite issus d’un même point hors d’un cercle et tangents à ce cercle sont congruents.

Pour s’en convaincre, on trace le segment de droite joignant le centre du cercle au point d’où sont issues les tangentes. On trace également les rayons aboutissant aux points de tangence. On forme alors des triangles rectangles congruents puisque ceux-ci ont la même hypoténuse et un autre côté congruent, soit les rayons tracés. On peut tirer une autre conséquence de cette construction. THÉORÈME Bissectrice de l’angle entre deux tangentes

Lorsque deux tangentes à un cercle sont issues d’un même point hors du cercle, la droite joignant le centre du cercle au point dont elles sont issues est la bissectrice de l’angle formé par les tangentes.

Dans un cercle, les angles inscrits interceptant un même arc sont congruents.

212

Chapitre 7

7.2 Exercices 1. Déterminer les grandeurs inconnues des gures suivantes. a) d)

b)

e)

c)

f)

2. Calculer le diamètre du cercle inscrit dans un triangle équilatéral de 15 cm de côté.

6. Un gardien de phare repère deux chaloupes sur la grève. En mesurant leur angle de dénivellation, il obtient respectivement 35° et 58°. Sachant que la hauteur de la galerie est de 95 m, calculer la distance entre les deux chaloupes.

7. La gure suivante donne les dimensions de l’extrémité d’une hotte circulaire. Déterminer l’angle θ.

8. Déterminer l’angle θ et le rayon de la sphère ci-contre.

3. Calculer le diamètre du cercle circonscrit à un triangle équilatéral de 10 cm de côté. 4. On désire connaître la hauteur d’un édice. En mesurant l’angle d’élévation en deux points situés à 50 m l’un de l’autre, on a obtenu 40° et 68°. Calculer la hauteur de l’édice. 5. Un ballon survole un lac à une altitude de 700 m. Si les angles de dénivellation des rives du lac sont respectivement α = 48° et β = 39°, quelle est la largeur du lac ?

9. Un pylône est installé au sommet d’une petite colline ayant un angle d’élévation de 12°. Il est xé par deux câbles situés du même côté du pylône et dont les points d’ancrage sont distants de 20 m. Le plus long des deux câbles mesure 60 m et fait un angle de 48° avec l’horizontale. Calculer la longueur de l’autre câble et la hauteur du pylône.

Trigonométrie des triangles

10. Déterminer la longueur du câble AB reliant les deux mâts du monte-charge ci-dessous.

11. Un baigneur se tenant au bord de la mer constate que l’angle d’élévation d’un phare est de 48°. La plage est inclinée à 20°. Si le baigneur marche 60 m en direction du phare, il mesure alors un angle d’élévation de 62°. Calculer la hauteur du phare par rapport au niveau de la mer.

12. On doit installer une conduite d’aération circulaire entre les membrures d’un support du toit d’un laboratoire. Déterminer le rayon de la conduite pour lequel celle-ci a une capacité maximale eu égard aux contraintes.

13. Un mât est xé au toit d’un édice. Les angles d’élévation du pied et du sommet du mât mesurés en un point situé à 50 m de l’édice sont respectivement de 47° et de 63°. Déterminer la longueur du mât.

213

14. On doit construire, à anc de colline, une terrasse dont le plan en coupe est donné ci-dessous. Déterminer la longueur de la terrasse et la hauteur des supports.

15. On doit construire des supports métalliques pour des estrades. Chaque support doit être perpendiculaire à un des côtés du cadre triangulaire. Calculer la longueur de chaque support.

16. On a mesuré les dimensions d’un terrain triangulaire. À l’aide de ces données, tracer un plan du terrain et calculer les grandeurs manquantes. a) = 48,5 m, = 29,8 m et CAB = 25°. b) = 58,2 m, = 29,3 m et CAB = 51,2°. 17. On a mesuré les dimensions d’un terrain ayant la forme d’un polygone à quatre côtés. À l’aide de ces données, tracer un plan du terrain et calculer les grandeurs manquantes. Diagonale AC : 528 m, ∠CAB = 22,3°, ∠CAD = 38,7°, ∠CBA = 95,3°, ∠CDA = 88,6°. 18. Une entreprise fabrique deux modèles de cabanons de jardin en bois. Le détail des fermes de la toiture est donné ci-dessous. Déterminer l’angle θ et la longueur x à l’aide des mesures indiquées. a) b)

214

Chapitre 7

19. Un arpenteur a pris les mesures inscrites sur le croquis suivant en vue de déterminer les distances

22. On doit terminer le plan d’une lucarne qu’on veut installer sur un toit. On connaît déjà les longueurs suivantes : et

Déterminer les longueurs HCG et l’angle θ. Terminer le travail à l’aide du croquis. Quelles sont les distances recherchées ?

l’angle

23. Soit un triangle ABC, où l’angle BAC mesure 32°,

20. On veut poser une conduite de ventilation dans l’entretoit d’un édice sans avoir à couper les fermes. Les contraintes sont données dans la gure suivante.

Déterminer le diamètre extérieur maximal de la conduite. 21. Compléter le plan d’une lucarne de ventilation qu’on veut installer sur un toit. On connaît les longueurs suivantes :

Déterminer les angles θ, α et β ainsi que l’angle d’inclinaison du toit.

Calculer l’angle θ déterminé par les médianes AM et BN. 24. Pour déterminer le diamètre d’un réservoir, on a mesuré à partir d’un point extérieur l’angle formé par les tangentes issues de ce point, ainsi que la longueur de l’une d’elles. Calculer ce diamètre.

Trigonométrie des triangles

215

7.3 Applications en topométrie Dans la présente section, nous décrivons des techniques qui sont utilisées en topométrie et qui reposent sur des calculs trigonométriques. Lors des me­ sures sur le terrain, il faut s’assurer de recueillir toute l’information nécessaire pour effectuer les calculs. Cependant, le temps de collecte est précieux et les mesures superues représentent un coût inutile. Il est donc important de savoir déterminer les mesures requises dans chaque cas.

Mesure d’une hauteur Pour mesurer une hauteur, il faut utiliser une longueur auxiliaire qui sert de base de calcul ; on représente cette longueur par b. Il y a différentes façons de la choisir de manière à tenir compte des accidents du terrain. La longueur b peut être dans le même plan horizontal (au même niveau) que le pied de la hauteur à mesurer, ou dans un plan horizontal différent, ou encore dans un plan oblique si l’édice dont on veut mesurer la hau­ teur est au sommet d’une pente. De plus, on peut choisir une longueur b dans le même plan vertical que la hauteur à mesurer ou dans un autre plan. Le choix de la base doit répondre à un souci d’économie du temps de mesure et de calcul. Nous allons étudier divers cas rencontrés sur le terrain lorsqu’il faut mesurer une hauteur. Nous ne présenterons pas d’exemple comportant des valeurs numériques dans les cas qui ont déjà fait l’objet d’exemples ou d’exercices à la section précédente : nous rappellerons simplement les techniques de résolution employées. Mesure d’une hauteur dont le pied est accessible Le cas le plus simple est celui où le pied de la hauteur à mesurer est acces­ sible. Il suft alors de choisir comme base une longueur partant du pied de la hauteur et de prendre l’angle d’élévation à l’extrémité de cette longueur. Base et hauteur perpendiculaires

Si la base et le pied de la hauteur à mesurer sont dans un même plan hori­ zontal, on applique directement la dénition de la fonction tangente :

Base de calcul b

Il est à noter qu’en pratique, il faut parfois tenir compte de la hauteur d de l’instrument de mesure. Ainsi, dans le cas illustré ci­contre, h = d + b tan α. On peut adapter de la même façon chacune des techniques présentées ci­après de manière à tenir compte de la hauteur de l’instrument de mesure.

Base et hauteur perpendiculaires

Base et hauteur non perpendiculaires

Si la base et la hauteur à mesurer sont dans un même plan, mais que celui­ci n’est pas perpendiculaire à la hauteur, il faut déterminer en un même point : • l’angle d’élévation de la hauteur ; • l’angle d’inclinaison du terrain ; • la distance du point au pied de la tour. On applique ensuite la loi des sinus pour calculer la hauteur.

Base et hauteur non perpendiculaires

216

Chapitre 7

Mesure d’une hauteur dont le pied est inaccessible Base de calcul et hauteur dans un même plan vertical

Si la hauteur à mesurer et la base de calcul sont dans un même plan vertical, deux cas peuvent se présenter. • 1er cas : Les deux extrémités de la base sont du même côté de la hauteur. On mesure une longueur horizontale b dans un plan vertical avec la hauteur et, depuis chacune des extrémités de cette base de calcul, on mesure les angles d’élévation de la hauteur. On applique la dénition de la fonction tangente à chacun des triangles rectangles : Les deux extrémités de la base sont du même côté de la hauteur.

On isole respectivement b + x et x dans ces deux équations, puis on soustrait l’une de l’autre et, dans l’expression obtenue, on isole h. On reporte les mesures connues dans l’équation résultante et, enn, on effectue les calculs. • 2e cas : Les extrémités de la base sont de part et d’autre de la hauteur. On applique la dénition de la fonction tangente à chacun des triangles rectangles :

Les extrémités de la base sont de part et d’autre de la hauteur.

On isole respectivement b − x et x dans ces équations. On additionne les équations et, dans l’expression obtenue, on isole h. On reporte les mesures dans l’équation et on effectue le calcul. En adaptant cette méthode, on peut déterminer, par exemple, la hauteur de l’antenne dans la gure ci-contre. Il suft d’appliquer la fonction cotangente ou de considérer les angles complémentaires, ce qui donne respectivement :

Base de calcul et hauteur dans des plans distincts

Il n’est pas obligatoire de choisir une base b qui soit dans un plan vertical avec la hauteur à mesurer. On peut procéder comme dans la gure ci-contre. Il faut alors mesurer la longueur du segment AB et les angles α, β et θ. Avec ces données, on calcule la longueur du segment AC en appliquant la loi des sinus au triangle ABC, puis on calcule la hauteur h du triangle rectangle ACD, qui est dans un plan perpendiculaire à celui du triangle ABC.

Trigonométrie des triangles

EXEMPLE 7.3.1

Calculer la hauteur du phare ci-contre à l’aide des valeurs données. Solution On calcule d’abord la longueur du côté AC du triangle ABC. L’angle ACB mesure 80° et la loi des sinus permet d’écrire

Dans le triangle ACD, on a

Donc, Compte tenu de la précision de la mesure de la longueur auxiliaire, on retient 52,7 m comme hauteur du phare.

EXEMPLE 7.3.2

On doit déterminer la hauteur d’un pylône situé au sommet d’une colline dont l’inclinaison est de 16°. L’équipe qui a pris les relevés sur le terrain a produit le croquis ci-contre, où est inscrit l’angle d’élévation du sommet du pylône, mesuré depuis le pied de la colline, soit 48°. L’équipe a par la suite marché 60 m en direction du pylône et a mesuré l’angle d’élévation de nouveau. La mesure obtenue est 69°. En utilisant ces données, calculer la hauteur du pylône. Solution On calcule d’abord la longueur du côté AB du triangle ABC à l’aide de la loi des sinus, puis on calcule la hauteur BD en appliquant la loi des sinus au triangle ABD. Pour appliquer la loi des sinus au triangle ABC, il faut déterminer la mesure de ses angles. L’angle BAC mesure 32°, l’angle ABD mesure 42° et l’angle CBD mesure 21°. La mesure de l’angle ABC est donc 21° et celle de l’angle ACB est 127°. En appliquant la loi des sinus au triangle ABC, on obtient

L’angle ADB du triangle ABD mesure 106° et, en appliquant la loi des sinus, on a

Donc, La hauteur du pylône est d’environ 74 m.

217

218

Chapitre 7

Distance entre deux points La marche à suivre pour mesurer la distance entre deux points dépend également des conditions sur le terrain. Lorsque les deux points sont facilement accessibles, on peut procéder à une mesure directe pour autant que le terrain ne soit pas trop accidenté. Cependant, si au moins l’un des points n’est pas accessible, il faut avoir recours à la trigonométrie.

Un point inaccessible

Deux points inaccessibles

Un point inaccessible Si on veut mesurer la longueur AB de la gure ci-contre, où le point B est inaccessible, on doit déterminer une direction qui fait un angle α avec AB. On mesure dans cette direction une longueur AC qui sert de base et, en C, on mesure l’angle β. On peut alors appliquer la loi des sinus au triangle ABC an de calculer la longueur d. Deux points inaccessibles Si on veut déterminer la distance d entre deux points inaccessibles E et F, on choisit une base arbitraire AB de longueur b, puis on construit le quadrilatère ABFE. Sur le terrain, on mesure en A et en B les angles déterminés par les côtés et les diagonales du quadrilatère, et on les représente par α, β, γ et δ. On calcule alors les angles θ et f des triangles AEB et AFB et, en appliquant la loi des sinus et la loi des cosinus, on calcule la longueur d en utilisant seulement la longueur b de la base auxiliaire et les angles α, β, γ, δ, θ et f. EXEMPLE 7.3.3

On a effectué les relevés inscrits sur la gure ci-contre an de déterminer la distance entre les deux pylônes. Calculer cette distance. Solution Dans le triangle AEB, on a f = 180° − (α + β + γ ) = 180° − (66° + 34° + 32°) = 48° et, selon la loi des sinus, . On obtient, par substitution,

Dans le triangle AFB, on a θ = 180° − (β + γ + δ) = 180° − (34° + 32° + 72°) = 42° et, selon la loi des sinus,

On obtient, par substitution,

Trigonométrie des triangles

219

L’application de la loi des cosinus au triangle AEF donne d 2 = x2 + y2 − 2xy cos α et on a, par substitution,

Compte tenu de la précision des mesures, on retient 503 m comme distance entre les deux pylônes.

Jalonnement Jalonnement en présence d’un obstacle Le jalonnement consiste à xer des marques (piquets) à intervalles réguliers suivant une droite donnée. Il peut se faire à vue ou à l’aide d’un théodolite. Lorsqu’il y a un ou des obstacles sur la ligne à jalonner de sorte qu’il est impossible de voir les deux extrémités en même temps, on détermine un point auxiliaire C, visible des extrémités A et B, puis on mesure l’angle θ ainsi que les longueurs a et b. À l’aide des valeurs de θ, de a et de b, on calcule ensuite les angles α et b pour s’assurer, avec un théodolite, que les jalons entre les points A et B sont bien alignés.

Jalonnement

Comme l’indique la gure, lorsqu’il y a un seul point intermédiaire C, le problème consiste à résoudre un triangle dont deux côtés et l’angle qu’ils déterminent sont connus. On se sert de la loi des cosinus pour calculer la longueur du côté AB : À l’aide de la loi des sinus, on détermine les angles α et b :

EXEMPLE 7.3.4

On veut déboiser un terrain pour tracer une route rectiligne du point A au point B. Déterminer la distance et les angles α et β requis pour effectuer le jalonnement du tracé de la route. Solution On détermine d’abord la distance

par la loi des cosinus :

REMARQUE

Par la loi des sinus, on a

ce qui donne d’où b = 180° − (α + 126°) ≈ 19°.

Pour procéder au jalonnement, il est sufsant de déterminer les angles α et b. Il n’est donc pas indispensable de calculer la distance entre les points A et B pour trouver les angles α et b.

220

Chapitre 7

THÉORÈME Jalonnement en présence d’un obstacle

Soit ACB, un triangle quelconque dont on connaît les côtés a et b, ainsi que l’angle qu’ils déterminent. Alors,

Démonstration On examine d’abord le cas où tous les angles sont aigus, comme dans la gure ci-contre. En abaissant la hauteur BH, on construit les triangles BCH et ABH. Dans le triangle ABH, on a

Par ailleurs, dans le triangle BCH, on a h = a sin θ et x = a cos θ. Donc,

La gure ci-contre illustre le cas où un des angles est obtus. En abaissant la hauteur BH sur le prolongement de AC, on construit les triangles BCH et ABH. Dans le triangle ABH, on a

Par ailleurs, dans le triangle BCH, on a h = a sin(180° − θ) = a sin θ et x = a cos(180° − θ) = −a cos θ. Donc,

Il est à noter que ce théorème suggère une autre façon de calculer l’angle α requis pour effectuer le jalonnement, puisque

De plus, lorsque l’angle α est connu, on peut calculer β parce que β = 180° − (α + θ). On peut dès lors jalonner des deux côtés de l’obstacle sans avoir à calculer la distance entre les points A et B. C’est la méthode utilisée sur le terrain, car on n’a pas le temps de résoudre des triangles. Il faut calculer rapidement les angles pour procéder au jalonnement. EXEMPLE 7.3.5

On veut jalonner le terrain entre les points A et B an d’installer un câble électrique souterrain tout en sauvegardant autant que possible le boisé. Déterminer les angles α et β requis pour effectuer ce jalonnement.

Trigonométrie des triangles

221

Solution L’angle a est

Il est à noter que le côté a est opposé à l’angle a, et que le côté b lui est adjacent. On obtient, par substitution,

L’angle β est alors donné par β ≈ 180° − (45,7 + 98,0°) = 36,3°.

Jalonnement en présence de deux obstacles Lorsqu’il est impossible de prendre un point visible des deux extrémités A et B, on utilise deux points auxiliaires C et D, et on mesure les longueurs

ainsi que les angles θ et γ. Les droites CD et AB se rencontrent alors en un point inconnu E et elles forment les triangles ACE et BDE. On peut, à l’aide de ces triangles, calculer l’angle δ déterminé par les deux droites. Une fois qu’on connaît la valeur de δ, on peut calculer les angles a et β puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°. EXEMPLE 7.3.6

Déterminer les angles a et δ utilisés pour jalonner l’alignement AB et calculer la distance Solution Si on représente par x la longueur et par y la longueur , on a alors x + y = 775 m. De plus, en appliquant au triangle ACE le dernier théorème démontré, on obtient

donc, En appliquant le même théorème au triangle BDE, on obtient

donc,

REMARQUE

Pour effectuer le jalonnement, on n’a pas besoin de connaître la distance entre les points A et B. Cette distance est cependant importante pour évaluer le coût des travaux d’enfouissement de la ligne électrique.

222

Chapitre 7

En additionnant membre à membre les deux équations obtenues, on a

Or, x + y = 775 ;

et

.

Ainsi, Donc,

α = 180° − (δ + θ) ≈ 41,53° ; β = 180° − (δ + γ) ≈ 34,53°.

On peut maintenant trouver la longueur à l’aide de la loi des sinus. Si on pose alors, dans le triangle ACE, on a

et, dans le triangle EDB, on a

Donc, REMARQUE

En omettant de substituer les valeurs numériques aux variables dans les équations, on généralise le raisonnement utilisé dans le présent exemple et on obtient le théorème du jalonnement en présence de deux obstacles.

et on a Compte tenu de la précision des mesures prises pour effectuer le jalonnement, on retiendra 1 181 m comme distance entre les extrémités A et B. THÉORÈME Jalonnement en présence de deux obstacles

Soit ACDB, une ligne polygonale qui relie les points A et B, dont les segments, de longueurs respectives a, b et c, déterminent des angles θ et γ. L’angle δ déterminé par les segments AB et CD est

et la distance entre les deux extrémités de la ligne polygonale est

Trigonométrie des triangles

EXEMPLE 7.3.7

Déterminer les angles δ, α et β permettant de jalonner l’alignement AB et calculer la distance Solution On détermine d’abord l’angle δ :

Compte tenu de la précision des mesures, on retient 56,2° comme valeur de l’angle δ. Puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°, on a α = 180° − (θ + δ) ≈ 180° − (73,4° + 56,2) = 50,4° ; β = 180° − (γ + δ) ≈ 180° − (67,1° + 56,2) = 56,7°. Une fois qu’on connaît les angles, on peut calculer la distance entre les points A et B :

Compte tenu de la précision des mesures, on prend 153,7 m comme valeur de la distance

223

224

Chapitre 7

Un peud’histoire

MESURE DU MÉRIDIEN de 1790 à 1799

E

n 1790, l’Assemblée nationale française, issue de la Révolution de 1789, décida d’établir un système d’unités de mesure unique, susceptible d’être accepté par toutes les nations. Le projet fut coné à des savants de renom (Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace, Lavoisier et Monge), qui proposèrent de dénir le mètre comme le dix-millionième du quart du méridien terrestre. Ils pensaient qu’un système fondé sur quelque chose d’universel, soit les dimensions de la Terre, avait plus de chances d’être largement adopté. La tâche de mesurer le quart d’un méridien fut conée à deux astronomes : Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) et Pierre Méchain (1744-1804). Les deux hommes décidèrent d’utiliser la règle bimétallique de Jean Charles de Borda (1733-1799), formée de deux tiges, l’une en laiton et l’autre en platine, an de calculer la variation de la longueur de la règle due à la dilatation lors des changements de température. Les graduations sont celles de la toise et les règles ont 12 pieds (environ 4 m). Delambre et Méchain ne mesurèrent qu’un arc relativement long du quart d’un méridien. Puis, ils calculèrent, par proportionnalité, la longueur de tout le quart de façon précise. L’arc qu’ils mesurèrent, appelé la Méridienne, s’étend sur plus de 700 km, de Dunkerque en France à Barcelone en Espagne. Mais il fallait compter avec le relief. Les astronomes ne purent mesurer directement l’arc de méridien à cause du relief et de la rotondité de la Terre. Ils durent procéder par triangulation, une méthode qui consiste à construire un enchevêtrement de triangles (115 au total) recouvrant la Méridienne et ayant deux à deux un côté commun. L’illustration ci-dessous d’une portion de la ligne donne une idée de l’ampleur de la tâche.

Portion de la Méridienne mesurée par Méchain et Delambre

On prit comme base de calcul de la Méridienne la longueur d’un côté du triangle initial, reposant sur un terrain relativement horizontal. On établit alors par visées les mesures des angles de chacun des triangles. Des calculs trigonométriques servirent à déterminer la longueur de tous les côtés des triangles. Il fallut ensuite calculer la longueur de leur projection sur la Méridienne pour obtenir la distance réelle.

J

ean-Baptiste Joseph Delambre naquit à Amiens le 19 septembre 1749. À partir de 1774, il résida à Paris, où il suivit les cours de l’astronome Jérôme Lalande (1732-1807). Il installa un observatoire dans les combles de son hôtel et publia des tables d’Uranus, découverte par Herschel en 1781, ainsi que plusieurs mémoires. En 1792, il fut élu membre associé de l’Académie des sciences mathématiques, dont il devint secrétaire perpétuel en 1803. Sa tâche dans le calcul de la Méridienne consistait à mesurer la section de Dunkerque à Rodez. Cette activité fut interrompue à plusieurs reprises par le zèle des comités révolutionnaires et l’absence de toute autorité scientique entre 1793 et 1795. Soupçonné de faire des signaux à d’éventuels conspirateurs, on déclara lors de son arrestation : « Il n’y a plus de Cadémie, on est tous égal. »

P

ierre François André Méchain naquit à Laon le 16 août 1744. Il succéda à l’astronome Lalande, qui l’avait aidé au début de sa carrière d’astronome. Il démontra le caractère planétaire de l’astre découvert par Herschel en 1781 et nommé plus tard Uranus. En 1782, il entra à l’Académie des sciences, qui lui cona la mission géodésique de la mesure de la Méridienne de Rodez à Barcelone. Ses dernières années furent assombries par le fait qu’il ne réussit pas à « fermer » exactement sa triangulation : il y avait un écart de 3" entre les latitudes géodésiques calculées pour un même point de Barcelone. Jugeant sa crédibilité remise en question, Méchain ret vainement ses calculs ; il refusa de communiquer ses dossiers, sombra dans l’angoisse et repartit en Espagne, le 26 avril 1803, pour reprendre ses mesures, mais il succomba à la èvre jaune et à l’épuisement, le 20 septembre 1804, au nord de Valence. L’écart de 3" était dû au cumul de petits effets : déviations locales des verticales, erreurs instrumentales, réfraction imprécise des étoiles basses. Méchain n’avait commis aucune erreur.

Trigonométrie des triangles

7.4 Exercices 1. Calculer la distance entre les points A et B.

225

6. On projette la construction d’une jetée EF pour relier une île à la rive, comme l’indique le plan suivant, en vue de l’implantation d’une marina. Quelle sera la longueur de la jetée ?

2. Calculer la distance entre les points A et B.

3. Calculer la hauteur de l’édice à l’aide des mesures données.

4. On doit déterminer la longueur d’un tronçon de route EF devant traverser un petit boisé. À partir d’une base de 800 m, on a mesuré les angles inscrits sur la gure ci-dessous. Calculer la distance entre les points E et F.

7. On désire mesurer la hauteur d’un pylône dont la base est inaccessible. Pour ce faire, on a déterminé une longueur de 200 m qui est dans le même plan vertical que la hauteur à mesurer et, à chacune des extrémités de cette longueur, on a mesuré les angles d’élévation du pied et du sommet du pylône. Calculer la hauteur de ce dernier.

8. On envisage la construction de deux ponts pour relier une île aux deux rives d’une rivière. L’équipe qui a pris les mesures sur le terrain a remis le croquis suivant. Calculer les longueurs EF et FB.

5. À l’aide des mesures inscrites sur la gure cidessous, calculer la longueur EF du pont devant être construit au-dessus de la rivière. 9. Déterminer les angles α et β du triangle suivant, utilisés pour un jalonnement, et calculer la distance entre les points A et B.

226

Chapitre 7

10. Déterminer les angles α et β du triangle suivant, utilisés pour un jalonnement, et calculer la distance entre les points A et B.

11. Déterminer les angles α et β requis pour jalonner la ligne AB, et calculer la longueur de AB.

12. L’opération de biangulation consiste à localiser un point P à l’extérieur d’une droite AB en mesurant les angles α et β déterminés par AB et les segments reliant P aux extrémités de la droite. Dans la gure suivante, le point P a été localisé par biangulation à partir de la droite AB. Les mesures obtenues sont α = 29° 24' et β = 35° 32'. À l’aide de ces données, calculer les longueurs des segments AP et BP.

14. Déterminer les angles requis pour effectuer le jalonnement entre les points A et B, ainsi que la distance entre ces points.

15. L’opération d’angulation-latération consiste à localiser un point P à l’extérieur d’une droite AB en mesurant l’angle déterminé par AB et le segment reliant P à l’une des extrémités de la droite, de même que la distance entre le point P et l’autre extrémité de la droite. Dans la gure suivante, le point P a été localisé par angulation-latération à partir de la droite AB. On a obtenu une mesure de 62°24' pour l’angle α. À l’aide de ces données, calculer l’angle β et la distance du point A au point P.

16. Déterminer les angles requis pour effectuer le jalonnement entre les points A et B, ainsi que la distance entre ces points.

13. L’opération de bilatération consiste à localiser un point P à l’extérieur d’une droite AB en mesurant les distances a et b entre les extrémités de la droite et le point P. Dans la gure suivante, le point P a été localisé par bilatération à partir de la droite AB. À l’aide des données inscrites sur la gure, calculer les angles α et β déterminés par AB et les segments reliant P aux extrémités de la droite.

17. Dans la gure suivante, le point P a été localisé par biangulation à partir de la droite AB. On a obtenu comme mesures α = 61° 08' et β = 75° 22'. À l’aide de ces données, calculer la longueur des segments AP et BP.

Trigonométrie des triangles

18. Dans la gure suivante, le point P a été localisé par bilatération à partir de la droite AB. À l’aide des données inscrites sur la gure, calculer les angles α et β déterminés par AB et les segments reliant P aux extrémités de la droite.

19. La localisation d’un point par coordonnées rectangulaires consiste à prendre une droite passant par deux points connus, A et B, comme axe de référence et à localiser le point en mesurant sur AB la distance entre A et le pied de la perpendiculaire abaissée du point, ainsi que la distance entre le point et AB. Dans le croquis suivant, l’arpenteur a localisé trois coins d’un bâtiment par coordonnées rectangulaires.

a) Calculer les coordonnées rectangulaires du point F. b) Calculer l’angle déterminé par la façade DE de l’édice et la droite AB. 20. Un arpenteur, qui désire effectuer un jalonnement suivant la ligne AE, doit contourner un marais. Il suit donc la direction N77° 32'E jusqu’à ce qu’il voie l’autre extrémité du marais. En mesurant l’angle sous-tendu par les extrémités du marais, il obtient 49° 24' et il détermine qu’il a parcouru une distance de 188 m. a) Calculer la distance qu’il doit parcourir à partir de C pour atteindre le point D de la droite AE.

227

b) Calculer l’angle déterminé par les segments CD et DE pour effectuer le jalonnement. c) Déterminer la longueur du marais. 21. On veut effectuer un jalonnement nécessitant le contournement de deux obstacles.

a) Montrer que l’angle δ, requis pour effectuer le jalonnement en contournant les obstacles, est donné par . b) Montrer que 22. Un arpenteur, qui désire effectuer un jalonnement suivant la ligne AE, doit contourner un marais. Il suit alors la direction N64° 32'E jusqu’à ce qu’il voie l’autre extrémité du marais. En mesurant l’angle sous-tendu par les extrémités du marais, il obtient 50° 27' et il détermine qu’il a parcouru une distance de 453 m. a) Calculer la distance qu’il doit parcourir, à partir de C, pour atteindre le point D de la droite AE. b) Calculer l’angle déterminé par les segments CD et DE, requis pour effectuer le jalonnement. c) Déterminer la longueur du marais. 23. Calculer la hauteur du phare illustré ci-contre.

228

Chapitre 7

24. Les arpenteurs ont mesuré les dimensions du lot 108b le printemps dernier. Une partie de ce terrain est boisée, tandis que l’autre est en prairie. Les arpenteurs ont mesuré la longueur du boisé le long de la ligne de canton puis ils ont calculé que l’angle déterminé par les deux lignes du boisé (soit l’angle BAD) mesure 9,38°. Ils ont parcouru 60 m sur la route 279, jusqu’à ce qu’ils soient en ligne avec la limite du lot 109c (ancien trait carré), et ils ont mesuré un angle de 132,84° (l’angle DCA). Enn, ils ont mesuré le devant du boisé À l’aide de ces données, calculer l’aire du lot 109c.

25. Calculer la hauteur du pylône illustré ci-dessous sachant que α = 62°, β = 67° et θ = 58°.

26. Déterminer les angles α et β du triangle suivant, utilisés pour un jalonnement, et calculer la distance entre les points A et B.

27. À l’aide de la hauteur et du diamètre du cône ci-après, calculer les angles à la base et au sommet du cône.

28. Déterminer les angles α et β requis pour jalonner la ligne AB et calculer la longueur de AB.

29. On a pris des mesures pour déterminer la hauteur de la partie cylindrique du réservoir d’eau de la municipalité situé sur un îlot au milieu de la rivière. Calculer cette hauteur.

Aires et volumes

AIRES et VOLUMES

Résoudre des problèmes nécessitant le calcul d’aires et de volumes Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • le calcul de l’aire d’une surface délimitée par une ligne polygonale ; • le calcul de l’aire d’une surface délimitée par une ligne courbe ; • l’estimation de l’aire d’une surface délimitée par une ligne brisée ; • le calcul du volume d’un polyèdre ou d’un prisme ; • le calcul du volume d’une pyramide ou d’un cône.

229

8

8.1 Calcul d’aires . . . . . . . 230 Surfaces polygonales Cercle et triangle Surfaces délimitées par une courbe Un peud’histoire Thomas Simpson

8.2 Exercices . . . . . . . . . . 241 8.3 Calcul de volumes . . 247 Polyèdre et prisme Cylindre Pyramide et cône Prismatoïde et courbes de niveau Un peud’histoire Archimède

8.4 Exercices . . . . . . . . . . 261

230

Chapitre 8

8.1 Calcul d’aires Dans la présente section, nous rappelons des dénitions an de clarier le vocabulaire dont nous aurons besoin et nous présentons des théorèmes utilisés pour calculer l’aire d’un triangle dont on connaît certains éléments : base et hauteur, longueur des trois côtés, longueur de deux côtés et valeur de l’angle qu’ils déterminent, etc.

Surfaces polygonales Aire d’une surface On appelle aire d’une surface la mesure de son étendue. On confond souvent les termes « aire » et « surface », qui ont une signication distincte. Le mot « surface » désigne un objet à deux dimensions, tandis que le mot « aire » désigne la mesure de l’étendue d’une surface. Surfaces égales Deux surfaces sont dites égales (ou congruentes) si on peut les superposer : elles ont la même forme et la même étendue. Surfaces équivalentes Deux surfaces sont dites équivalentes si elles ont la même aire, sans avoir nécessairement la même forme. Surfaces équivalentes

Base et hauteur La base d’un parallélogramme est un côté quelconque et sa hauteur est un segment perpendiculaire à la base, reliant celle-ci au côté opposé ou à son prolongement. Dans le cas d’un rectangle, la base et la hauteur sont deux côtés adjacents. Les bases d’un trapèze sont les deux côtés parallèles et sa hauteur est un segment perpendiculaire aux bases ou à leur prolongement et compris entre elles. La base d’un triangle est un côté quelconque et la hauteur, le segment perpendiculaire à la base ou à son prolongement issu du sommet opposé. POSTULAT Aire d’un rectangle

L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa base et de sa hauteur : A = bh.

Aires et volumes

La démonstration des théorèmes suivants découle de ce postulat. THÉORÈMES Aire d’un parallélogramme

L’aire A d’un parallélogramme est égale au produit de sa base et de sa hauteur : A = bh. Aire d’un triangle

L’aire A d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base et de sa hauteur :

Aire d’un trapèze

L’aire A d’un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases par sa hauteur :

Aire d’un losange

L’aire A d’un losange est égale à la moitié du produit de ses deux diagonales :

En topométrie, on détermine généralement l’aire d’un polygone quelconque en le décomposant en triangles (découpage 1) ou en trapèzes (découpage 2) et en calculant l’aire de chaque gure obtenue. Pour le découpage en trapèzes, on trace la plus grande diagonale du polygone puis, de chacun des autres sommets, on abaisse les perpendiculaires à cette diagonale. En mesurant les segments perpendiculaires et les segments déterminés sur la diagonale par les pieds des perpendiculaires, on obtient tous les éléments nécessaires pour calculer les aires partielles. THÉORÈME Aire d’un triangle

L’aire d’un triangle ABC, de côtés a, b et c, est donnée par

Démonstration Soit un triangle acutangle ABC de côtés a, b et c. Si on abaisse depuis le sommet C la hauteur hc, alors hc = a sin B et

231

232

Chapitre 8

De même, puisque hc = b sin A, on a

En abaissant du sommet B la hauteur hb, on a hb = a sin C et

On a effectué la démonstration pour un triangle acutangle, mais on peut procéder de la même façon pour montrer que la formule est vériée pour un triangle rectangle et pour un triangle obtusangle. Il existe un théorème, dû à Héron d’Alexandrie, qui permet de trouver directement l’aire si on ne connaît que la longueur des côtés du triangle. THÉORÈME Relation de Héron

L’aire d’un triangle ABC, de côtés a, b et c, est donnée par

c’est-à-dire que p est la moitié du périmètre du triangle. Démonstration En vertu du dernier théorème,

De plus,

et, selon la loi des cosinus,

Donc,

En simpliant l’expression devant le radical et en factorisant la différence de carrés, on obtient

Si on factorise les deux différences de carrés, on a

Aires et volumes

233

et, en posant a + b + c = 2p, on obtient b – a + c = 2p – 2a = 2(p – a) a + c – b = 2p – 2b = 2(p – b) b + a – c = 2p – 2c = 2(p – c). Par substitution, on a

THÉORÈME Hauteur d’un triangle, selon la relation de Héron

Soit ABC un triangle de côtés a, b et c. La hauteur ha abaissée sur le côté a est

où p est le demi-périmètre. Démonstration L’aire du triangle est

En isolant ha dans cette équation, on obtient

EXEMPLE 8.1.1

Calculer l’aire du triangle illustré ci-contre. Solution On connaît les longueurs des trois côtés et Selon la relation de Héron, Il s’agit d’un problème théorique, de sorte que les dimensions sont exactes : on conserve 11,62 unités carrées comme valeur de l’aire.

Cercle et triangle Il existe quelques relations intéressantes entre l’aire d’un triangle et le cercle qui lui est circonscrit. Ces relations sont présentées dans les trois théorèmes qui suivent. THÉORÈME Relation entre un triangle et le cercle circonscrit

Le produit de deux côtés d’un triangle est égal au produit de la hauteur abaissée sur le troisième côté et du diamètre du cercle circonscrit au triangle.

REMARQUE

On démontre de la même façon que

234

Chapitre 8

Triangle inscrit dans un cercle

Démonstration Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle de rayon R et dont les côtés sont a, b et c. Si on abaisse la hauteur ha, représentée par le segment AH, et qu’on trace le diamètre AD, on obtient les triangles semblables ABD et AHC. En effet, l’angle DBA et l’angle H sont des angles droits, puisque DBA est un angle inscrit interceptant une demi-circonférence, car AD est un diamètre. De plus, les angles D et C sont égaux, parce que ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc. Comme les triangles sont semblables, on a

REMARQUE

La relation s’écrit aussi R = bc/(2ha). En la combinant avec la relation de Héron pour ha, on peut montrer que le rayon du cercle circonscrit au triangle est

Ainsi, le produit des côtés b et c du triangle est égal au produit de la hauteur abaissée sur le troisième côté et du diamètre du cercle circonscrit au triangle. On montre de la même façon que ac = 2Rhb et que ab = 2Rhc. THÉORÈME Aire d’un triangle et cercle circonscrit

En jumelant ce résultat avec le théorème sur l’aire d’un triangle dont on connaît deux côtés et l’angle qu’ils déterminent, on obtient

Le rapport intervenant dans la loi des sinus est donc égal au diamètre du cercle circonscrit au triangle.

Soit ABC un triangle de côtés a, b et c inscrit dans un cercle de rayon R. L’aire du triangle est

Démonstration Puisque

et, en remplaçant ha par cette expression

dans THÉORÈME Aire d’un triangle et cercle inscrit

Soit ABC un triangle de côtés a, b et c, et r le rayon du cercle inscrit dans le triangle. L’aire du triangle est A = pr, où p est la moitié du périmètre du triangle. Démonstration Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. L’aire du triangle ABC est alors la somme des aires des triangles BIC, AIC et AIB, dont les bases respectives sont a, b et c. La hauteur de chacun de ces triangles est un rayon du cercle inscrit. Donc,

Surfaces délimitées par une courbe On distingue deux types de gures délimitées par une courbe, selon que la courbe est régulière ou irrégulière. Les courbes régulières étudiées sont en majorité des arcs de cercle. Les surfaces délimitées par des arcs d’ellipse ou de parabole, d’hyperbole, ou par toute autre courbe décrite par

Aires et volumes

235

une fonction mathématique sont traitées dans des cours de calcul intégral et sortent du cadre du présent ouvrage. Nous utiliserons cependant, sans le démontrer, un résultat du calcul intégral qui sert à estimer l’aire délimitée par une courbe. C’est la méthode de Simpson, qui consiste à calculer une valeur approchée d’une aire à l’aide d’arcs de paraboles. Courbe régulière

Polygone régulier Un polygone est dit régulier si tous ses angles sont égaux et si tous ses côtés sont égaux : ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F. On dit qu’un polygone régulier est inscrit dans un cercle si tous ses sommets sont sur ce cercle. Le cercle est alors circonscrit au polygone. Un polygone est circonscrit à un cercle si tous ses côtés sont tangents au cercle. Le cercle est alors inscrit dans le polygone. Le centre d’un polygone régulier est le centre du cercle inscrit et du cercle circonscrit du polygone. Le rayon d’un polygone régulier est le rayon du cercle circonscrit, et l’apothème est la droite abaissée perpendiculairement à un côté depuis le centre du polygone. On appelle angle au centre d’un polygone régulier l’angle déterminé par deux rayons aboutissant à des sommets consécutifs du polygone. Dans la gure ci-contre, il est représenté par θ. THÉORÈME Aire d’un polygone régulier

L’aire d’un polygone régulier convexe est égale au produit de la moitié de son périmètre p par son apothème a, soit A = ap. En examinant les gures ci-contre, on constate que, plus on augmente le nombre de côtés d’un polygone, plus l’apothème s’approche du rayon du cercle circonscrit et plus le périmètre du polygone s’approche de la circonférence du cercle. À la limite, l’aire du polygone devient égale à l’aire du cercle. Plus précisément, l’aire d’un cercle est la limite vers laquelle tend l’aire d’un polygone régulier convexe inscrit lorsqu’on augmente indéniment le nombre de côtés. C’est ce qu’énonce le théorème suivant. THÉORÈME Aire d’un cercle

L’aire d’un cercle est égale à la moitié du produit de sa circonférence C par son rayon r :

REMARQUE

On démontre ce théorème en faisant la somme des triangles. L’apothème est la hauteur de chacun de ceux-ci.

236

Chapitre 8

Secteur polygonal Un secteur polygonal est la surface comprise entre une ligne polygonale régulière et les rayons du cercle circonscrit qui aboutissent aux extrémités de cette ligne. Un secteur polygonal est dit régulier si tous les segments de la ligne polygonale sont de même longueur. Secteur circulaire On appelle secteur circulaire une portion de cercle comprise entre un arc et les deux rayons qui aboutissent aux extrémités de celui-ci.

L’aire d’un secteur polygonal régulier est égale à la moitié du produit de la longueur de la ligne polygonale par l’apothème. L’aire d’un secteur circulaire est la limite vers laquelle tend l’aire du secteur polygonal régulier inscrit quand le nombre de côtés de la ligne polygonale tend vers l’inni :

Puisque la longueur de l’arc est L = rθ, où θ est l’angle au centre en radians, on peut également exprimer l’aire d’un secteur circulaire en fonction de l’angle au centre et du rayon :

Segment circulaire On appelle segment circulaire une portion de cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

THÉORÈME Aire d’un segment circulaire

L’aire d’un segment circulaire sous-tendu par un angle au centre d’un cercle de rayon r, mesurant θ radians, est

où 0 ≤ θ ≤ 2π rad.

Aires et volumes

Démonstration Dans la gure ci-contre, l’aire du segment circulaire est égale à l’aire du secteur circulaire moins l’aire du triangle. L’aire du triangle est

et l’aire du segment circulaire est

Courbe irrégulière Il existe plusieurs façons de calculer approximativement l’aire d’une surface limitée par une ligne courbe irrégulière, entre autres la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson. Méthode des trapèzes

Pour évaluer l’aire d’une surface limitée par une courbe irrégulière, on localise un certain nombre de points de la courbe par rapport à une droite AB de façon à former des trapèzes. La somme des aires des trapèzes est approximativement égale à l’aire recherchée. Par exemple, la somme des aires des trapèzes de la gure ci-après est

En général, si on localise n points, l’aire est

Si on choisit six points à intervalles réguliers, on a alors

237

238

Chapitre 8

REMARQUE

En général, si on prend n points à intervalles réguliers, alors

La méthode est plus précise lorsqu’on localise un plus grand nombre de points.

EXEMPLE 8.1.2

On désire évaluer la supercie d’un terrain limité par une voie ferrée rectiligne et la rive d’un lac. Les mesures effectuées sont inscrites dans la gure suivante. Elles ont été prises à des intervalles de 30 m.

Solution Puisque les mesures ont été effectuées à intervalles réguliers, on calcule l’aire à l’aide de la formule

où d = 30 m et les h sont les valeurs données dans le croquis. Donc,

Méthode de Simpson

La méthode de Simpson consiste à approximer une surface limitée par une courbe irrégulière à l’aide de surfaces bornées par des paraboles. Voici les principes à la base de cette méthode. Soit trois points non alignés, (x1; y1), (x2; y2) et (x3; y3), tels que x2 – x1 = x3 – x2 = d. On peut montrer qu’il existe une seule parabole de la forme y = ax 2 + bx + c L’aire est obtenue de la même façon, peu importe la concavité.

passant par ces trois points. De plus, à l’aide du calcul intégral, on peut montrer que l’aire de la région sous cette parabole est

Aires et volumes

239

Pour évaluer l’aire d’un terrain limité par une courbe, on localise donc nécessairement un nombre impair de points à intervalles réguliers et, en considérant les intervalles deux à deux, on fait la somme des aires des surfaces bornées par des paraboles. Ainsi, dans la gure suivante, l’aire est

REMARQUE

Si n est impair, alors

EXEMPLE 8.1.3

Calculer, à l’aide de la méthode de Simpson, l’aire du terrain limité par la voie ferrée et la rive du lac dont on a localisé les points par intervalles de 30 mètres.

Solution En appliquant la méthode de Simpson, soit

on obtient

Il faut normalement décider de la méthode de calcul de l’aire à utiliser avant de prendre les mesures an de savoir si on doit déterminer un nombre pair d’intervalles et prendre un nombre n impair. En effet, la méthode de Simpson fonctionne seulement avec un nombre pair d’intervalles.

240

Chapitre 8

Un peud’histoire

THOMAS SIMPSON

T

1710-1761

homas Simpson naquit à Market Bosworth, en Angleterre. Il reçut une éducation assez limitée : son père, qui était tisserand, lui apprit ce métier dans lequel il débuta. En 1724, il observa une éclipse de Soleil, ce qui éveilla son intérêt pour les sciences et les mathématiques. Cet intérêt se développa après la lecture de deux ouvrages, l’un en astronomie et l’autre en arithmétique, achetés d’un marchand ambulant. Ayant assimilé ces ouvrages, il enseigna les mathématiques à Nuneaton de 1725 à 1733 tout en poursuivant son apprentissage et en pratiquant comme diseur de bonne aventure. On l’appelait « l’oracle de Nuneaton, Bosworth et les environs ». Il améliora ainsi sa situation nancière et maria sa logeuse, dont il eut une lle prénommée Élisabeth. En 1733, il fut forcé de déménager à cause d’un incident fâcheux : lui, ou un de ses assistants, aurait terrorisé une lle en se déguisant en démon lors d’une séance d’astrologie. Il s’installa alors à Derby, où il tissait durant le jour et enseignait le soir. À partir de 1736, il vécut à Londres où il t partie d’une société mathématique dont la moitié des membres étaient des tisserands. Il donnait des conférences dans des cafés où les gens déboursaient un droit d’entrée de un penny pour entendre un conférencier tout en prenant un café, endroits désignés sous le nom de « Penny Universities ». Certains de ces cafés présentaient des conférences dans un domaine particulier : les arts, l’administration, le droit, les mathématiques, etc. Simpson était le plus célèbre des conférenciers qui fréquentaient les Penny Universities de Londres à cette époque.

En 1740, Simpson publia The Nature and Laws of Chance, dont le contenu repose sur des travaux de De Moivre, avec qui il se disputa au sujet de la priorité de travaux sur les probabilités et les annuités. Simpson s’intéressa tout particulièrement à la théorie des erreurs et il chercha à démontrer qu’il est préférable d’utiliser la moyenne arithmétique d’un ensemble d’observations plutôt qu’une observation particulière. En 1757, il publia un mémoire intitulé An attempt to show the advantage arising by taking the mean of a number of observations in practical astronomy, dans lequel il tente de faire valoir cet avantage pour des observations en astronomie. En 1743, il publia Mathematical Dissertations, qui traite du solide résultant de la révolution d’une ellipse autour de son axe. En 1750, il publia un ouvrage en deux volumes, intitulé The Doctrine and Applications of Fluxions, qui est considéré comme le meilleur ouvrage du xviiie siècle sur la version newtonienne du calcul intégral. En 1754, il devint éditeur en chef du Ladies Diary, dans lequel il avait publié son premier article en arrivant à Londres, en 1736. Dans cette revue, il publiait, sous divers pseudonymes, des solutions à des problèmes mathématiques qui lui étaient posés. Les habiletés mathématiques dont il t preuve dans ses solutions attirèrent l’attention des autres mathématiciens de l’époque. C’est à Simpson que l’on doit la méthode de NewtonRaphson sous sa forme actuelle. Cette méthode avait été élaborée par Newton pour résoudre des équations polynomiales, puis améliorée par Raphson. Sa forme itérative moderne fut publiée par Simpson en 1740.

En 1743, il devint coordonnateur des mathématiques à la Royal Military Academy de Woolwich, fondée deux ans plus tôt. En 1745, il fut élu fellow de la Royal Society et, en 1758, fellow de l’Académie royale des sciences de Suède. Simpson est surtout connu pour ses travaux sur l’interpolation et les méthodes numériques d’intégration. La « méthode de Simpson » consiste à grouper trois points consécutifs d’une courbe et à remplacer l’arc de courbe passant par ces trois points par un arc de parabole an de calculer une valeur approchée de l’aire sous la courbe. Il semble que cette méthode était connue de Kepler, de Cavalieri, de Gregory et de Newton, mais Simpson la publia dans un manuel intitulé A New Treatise on Fluxions (Un nouveau traité sur les uxions). Le succès de cet ouvrage lui permit d’abandonner le métier de tisserand et de se consacrer à l’enseignement des mathématiques et à la rédaction de manuels scolaires dans ce domaine.

L’aire sous la parabole, en bleu, est une estimation de l’aire sous la courbe, en noir.

Aires et volumes

8.2 Exercices

241

a)

1. Dans chaque cas, déterminer la supercie du plancher vu en plongée. a)

b) b)

c)

2. Calculer l’aire des surfaces suivantes. a) e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

3. La rme qui vous emploie a dans son catalogue différents modèles d’habitations et on vous charge de déterminer la supercie des toitures de différents modèles an de calculer les coûts de recouvrement. La pente de la toiture est la même sur chacune des faces.

c)

4. Un promoteur immobilier envisage de se porter acquéreur de terrains. Un arpenteur a réalisé les croquis suivants. Calculer la supercie de chaque terrain. a)

242

Chapitre 8

7. Dans les croquis d’arpentage suivants, les mesures sont exprimées en mètres. Évaluer l’aire de chaque terrain en mètres carrés.

b)

a) c)

b)

5. Calculer l’aire des polygones suivants. a) d)

b)

e)

c)

f)

c)

d)

6. On a arpenté les terrains triangulaires illustrés cidessous. Calculer la profondeur de chaque terrain, c’est-à-dire la distance de la rue au point le plus éloigné du terrain. (On mesure la distance d’un point à une droite suivant la perpendiculaire.) a)

e)

c)

f) b)

d)

Aires et volumes

8. On veut aménager une salle de spectacle selon le plan ci-contre. a) Calculer l’aire de la scène. b) Calculer l’aire de la salle. 9. Un arpenteur a tracé le croquis suivant à l’aide de mesures qu’il a effectuées. Les points ont été localisés au moyen de coordonnées rectangulaires.

a) Calculer l’aire du terrain triangulaire attenant au ruisseau. b) Calculer l’aire de la parcelle de terrain boisée au bas du croquis. 10. Soit P1(x1; y1), P2(x2; y2) et P3(x3; y3), les trois sommets d’un triangle dans un repère cartésien, les indices étant assignés selon le sens antihoraire.

243

12. Démontrer que le rayon R du cercle circonscrit à un triangle de côtés a, b et c est , où p est la moitié du périmètre du triangle. 13. Démontrer que le rayon R du cercle circonscrit à un triangle de côtés a, b et c satisfait

14. Le rayon du cercle circonscrit à un hexagone régulier est de 18 cm.

a) Calculer l’apothème de cet hexagone. b) Calculer l’aire de l’hexagone. c) Calculer l’aire des segments circulaires. 15. Un polygone à n côtés est inscrit dans un cercle de rayon r. a) Calculer l’apothème du polygone. b) Calculer le périmètre du polygone. c) Calculer l’aire du polygone. 16. Calculer l’aire des segments circulaires ombrés. a) c) e)

Montrer que l’aire du triangle est

11. Démontrer que : a) l’aire d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur. b) l’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. c) l’aire d’un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases par sa hauteur.

b)

d)

f)

17. L’apothème d’un octogone régulier est de 4 cm. a) Calculer le rayon du cercle circonscrit. b) Calculer le périmètre de l’octogone. c) Calculer l’aire de l’octogone et du cercle circonscrit.

244

Chapitre 8

18. On désire installer une fontaine dans le centre d’un parc. Le bassin doit être carré et inscrit dans un cercle. On prévoit installer des arrangements oraux dans les segments circulaires. a) Calculer l’aire de la surface réservée à des arrangements oraux, sachant que le rayon du cercle est de 1,5 m. b) Quelle est la supercie du bassin ? 19. On veut aménager un bassin ayant la forme d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle. Les segments circulaires seraient réservés à des aménagements oraux. Sachant que le côté du triangle équilatéral mesure 4 m dans le plan, calculer l’aire du triangle équilatéral et des segments circulaires. 20. Pour calculer l’aire d’une île, on a pris des mesures à des intervalles de 1,00 km à partir du segment joignant les deux extrémités de l’île. Les mesures, en kilomètres, sont inscrites dans le croquis suivant. Calculer la supercie de l’île par la méthode des trapèzes et par la méthode de Simpson.

22. Selon le plan de construction d’une salle de spectacle, la scène et la salle d’un théâtre forment un secteur circulaire ayant un angle de 120° et des rayons respectifs de 12 m et de 40 m. Calculer la supercie de la scène et de la salle. 23. Montrer que l’aire de la partie ombrée de la gure ci-contre est . 24. Montrer que le rayon du cercle inscrit de la gure ci-contre est .

25. Le croquis suivant représente un détail de la ferme d’une toiture. On doit faire passer une conduite d’aération dans la partie triangulaire. Calculer le rayon de la conduite de capacité maximale que l’on peut installer.

26. Montrer que le diamètre du cercle de la gure ci-contre est 21. Déterminer la supercie du terrain bordé par une route et une rivière dont le relevé est illustré ci-dessous. Utiliser la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson.

d = a + b – c.

27. Le croquis ci-contre repré sente un détail de la ferme d’une toiture. On doit faire passer une conduite d’aération dans la partie triangulaire. Calculer le diamètre de la conduite de capacité maximale qu’on peut installer.

Aires et volumes

28. Un cercle est inscrit dans un secteur circulaire. a) Montrer que le rayon du cercle inscrit dans le secteur circulaire est

245

32. Un promoteur immobilier veut se porter acquéreur d’un terrain traversé par une rivière et dont le centre est occupé par un petit lac. Deux équipes d’arpenteurs ont mesuré le terrain, une de chaque côté de la rivière. Les mesures, en mètres, sont inscrites sur le croquis suivant. Calculer l’aire du terrain.

b) Montrer que l’aire du cercle inscrit dans le secteur circulaire est 29. Une église a la forme d’un secteur polygonal régulier et son chœur, celle d’un secteur circulaire dont les dimensions sont données dans la gure ci-contre. a) Calculer la supercie du chœur. b) Calculer la supercie de l’espace réservé aux dèles. 30. La municipalité souhaite aménager un parc sur un terrain dont le croquis d’arpentage est le suivant. Calculer l’aire du terrain.

33. La rme qui vous emploie a dans son catalogue différents modèles d’habitations et on vous demande de calculer la supercie des toitures an de déterminer les coûts de recouvrement. a)

31. Deux équipes d’arpenteurs ont procédé au relevé d’un terrain qui s’étend de part et d’autre d’une voie ferrée. L’équipe responsable des mesures au nord de la voie ferrée les a prises dans l’orientation nord-sud. L’autre équipe a effectué les mesures perpendiculairement à la voie ferrée. Sachant que les mesures sont exprimées en mètres, calculer l’aire du terrain.

b)

246

Chapitre 8

c)

34. Calculer l’aire des terrains. a)

b)

c)

b) d)

35. Une municipalité veut aménager quatre nouveaux parcs. Les croquis suivants sont accompagnés des mesures établies par le service d’arpentage. Calculer l’aire de chacun de ces terrains. a)

Aires et volumes

8.3 Calcul de volumes Le calcul de volumes est important pour déterminer le coût d’une excavation lors d’une construction ou de l’assainissement d’un site pollué, la puissance exigée par un système de chauffage ou de climatisation, etc.

Polyèdre et prisme Polyèdre Un polyèdre est un solide délimité de toutes parts par des portions de plans. Les faces d’un polyèdre sont les polygones plans qui en composent la surface. Ainsi, ABCD, DCHE et FGHE sont des faces du polyèdre illustré ci-contre. Les arêtes d’un polyèdre sont les côtés de ses faces. Chaque arête est commune à deux faces. Ainsi, AB, DE et FE sont des arêtes du polyèdre illustré ci-contre. Les sommets d’un polyèdre sont les extrémités de ses arêtes. Chaque sommet est commun à au moins trois faces du polyèdre. Ainsi, A, B et C sont des sommets du polyèdre illustré ci-contre. L’aire d’un polyèdre est la somme des aires des faces du polyèdre. Le volume d’un polyèdre est la mesure de la portion de l’espace qu’il occupe. Prisme Un prisme est un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux et parallèles, et dont les faces latérales sont des parallélogrammes. Ainsi, AEE′A′ est une face latérale du prisme illustré ci-contre, alors que les polygones ABCDE et A′B′C′D′E′ sont les bases de ce prisme. La hauteur h d’un prisme est le segment de droite perpendiculaire aux bases et reliant celles-ci ; sa mesure est la distance entre les bases. C’est la longueur de la perpendiculaire commune aux deux bases. Un prisme est dit oblique lorsque ses arêtes sont obliques par rapport au plan des bases. Un prisme est droit si ses arêtes sont perpendiculaires aux bases. Un prisme droit est dit régulier si sa base est un polygone régulier. Un prisme peut aussi être triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, …, selon que ses bases sont des triangles, des quadrilatères, des pentagones…

Parallélépipède Un parallélépipède est un prisme dont les faces latérales et les bases sont des parallélogrammes. Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base. Les faces latérales sont alors des rectangles et la base est un parallélogramme quelconque. Un parallélépipède rectangle est un parallélépipède droit dont la base est un rectangle.

247

248

Chapitre 8

Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont celles des trois arêtes issues d’un même sommet : ce sont la longueur, la largeur et la hauteur du parallélépipède. Un cube est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales. POSTULAT Volume d’un parallélépipède rectangle

Le volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions. Il découle de ce postulat que le volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de l’aire de la base et de la hauteur et que le volume d’un cube est égal au cube de la longueur d’une arête. THÉORÈME Volume d’un prisme

Le volume d’un prisme est égal au produit de l’aire de la base par la hauteur du prisme : V = Bh, où B est l’aire de la base et h, la hauteur. Volume d’un prisme

Ce théorème s’avère très utile pour calculer le volume de plusieurs solides. Il suft de se rappeler que le volume est égal au produit de l’aire de la base par la hauteur. Ainsi, on obtient le volume d’un prisme triangulaire ou quadrangulaire en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur. Tronc de prisme droit Un tronc de prisme droit est la portion d’un prisme droit comprise entre une base et un plan qui coupe toutes les arêtes latérales.

Il est à noter que les arêtes latérales d’un prisme droit sont perpendiculaires à la base. THÉORÈME Volume d’un tronc de prisme droit

Le volume d’un tronc de prisme quadrangulaire droit dont les arêtes sont respectivement de longueur ha, hb, hc et hd est , où B est l’aire de la base du prisme et est la hauteur moyenne du tronc de prisme.

Aires et volumes

Estimation d’un volume Pour évaluer le volume de terre à enlever lors d’une excavation, on quadrille le terrain à excaver et on détermine, en chaque point du quadrillage, la différence de niveau avant et après l’excavation, ce qui donne les hauteurs de chacun des troncs de prisme quadrangulaire droit. Dans un tel quadrillage, certaines arêtes sont communes à deux, trois ou quatre prismes, comme on le voit dans la gure ci-contre. En faisant la somme des volumes respectifs de tous les troncs de prisme, on obtient le volume total :

249

Découpage d’un volume en troncs de prisme REMARQUE

où B est l’aire d’un quadrilatère du quadrillage et h est la longueur de l’arête d’un tronc de prisme, c’est-à-dire la différence de niveau en un des sommets ; l’indice est le nombre de troncs de prisme contigus à l’arête.

Dans l’illustration ci-dessus, les troncs de prisme sont représentés par des surfaces planes, ce qui n’est pas nécessairement le cas sur le terrain.

EXEMPLE 8.3.1

Quel est le volume d’excavation de l’emplacement dont le quadrillage est représenté ci-dessous, sachant que la supercie de chaque quadrilatère est de 100 m2 ?

Solution Pour évaluer le volume d’excavation par la méthode des troncs de prisme, on utilise la formule

où

1Σ h1 = 3,5 + 5,1 + 4,1 + 3,7 + 2,1 + 2,5 = 21,0 ; 2Σ h2 = 2(4,2 + 4,5 + 3,1 + 4,8 + 2,3 + 2,5) = 42,8 ; 3Σ h3 = 3(3,9 + 2,9) = 20,4 ; 4Σ h4 = 4(3,6 + 4,2 + 3,5) = 45,2.

Donc,

REMARQUE

En pratique, on donne une vue en plongée du quadrillage et un tableau indiquant les niveaux avant et après l’excavation (ou le remplissage), de façon à pouvoir déterminer les arêtes latérales des troncs de prisme. Ainsi, le quadrillage du présent exemple correspond à la gure cidessus ; chaque sommet des troncs de prisme est identié par une lettre et un chiffre, et les niveaux sont donnés dans le tableau accompagnant le quadrillage. On note que le sommet a-1 appartient à un seul tronc de prisme, le sommet a-2, à deux troncs, le sommet d-2, à trois troncs et le sommet b-2, à quatre troncs : on dit que ces sommets sont respectivement de poids 1, 2, 3 et 4.

250

Chapitre 8

Cylindre Cylindre circulaire droit Un cylindre circulaire droit est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés, qui est à la fois l’axe et la hauteur du cylindre. Le côté opposé à l’axe est appelé génératrice de la surface latérale et les deux autres côtés du rectangle sont les rayons du cylindre. Prisme inscrit On dit qu’un prisme est inscrit dans un cylindre lorsque sa base est un polygone inscrit dans la base du cylindre et que ses arêtes latérales sont sur la surface latérale du cylindre.

THÉORÈMES Aire de la surface latérale d’un cylindre

L’aire de la surface latérale d’un cylindre circulaire droit est égale au produit de la circonférence de sa base et de sa hauteur : AL = 2πrh. L’aire totale du cylindre est AT = 2πrh + 2πr2, soit la somme de l’aire latérale et de l’aire des bases. Volume d’un cylindre circulaire droit

Le volume d’un cylindre circulaire droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur : V = πr2h. Cylindre circulaire droit

Démonstration Le volume d’un cylindre circulaire droit est la limite du volume du prisme régulier inscrit dont le nombre de côtés tend vers l’inni ; la surface de la base tend alors vers celle d’un disque et V = πr2h.

Pyramide et cône Les pyramides et les cônes ont une caractéristique commune : le volume d’une pyramide à base triangulaire est égal au tiers du volume du prisme à base triangulaire de même hauteur, et le volume d’un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même rayon et de même hauteur.

Aires et volumes

Pyramide

Pyramide Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun. Le sommet d’une pyramide est le point d’intersection des arêtes latérales. La hauteur d’une pyramide est le segment abaissé du sommet perpendiculairement au plan de la base. Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur coïncide avec le centre de ce polygone. Dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales sont d’égale longueur et les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de chacun de ces triangles isocèles est appelée apothème de la pyramide. Une pyramide est triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, …, selon que sa base est un triangle, un carré, un pentagone…

THÉORÈME Aire latérale d’une pyramide régulière

L’aire latérale d’une pyramide régulière est égale au produit de la moitié du périmètre de la base par l’apothème : AL = ap, où p est la moitié du périmètre de la base.

Démonstration On calcule simplement l’aire totale des triangles égaux formant la surface latérale de la pyramide régulière. L’apothème est la hauteur de chacun de ces triangles. Dans le cas d’une pyramide à n faces triangulaires congruentes, dont la base est b et la hauteur a,

THÉORÈME Décomposition d’un prisme

Tout prisme triangulaire est décomposable en trois pyramides de volumes équivalents.

Prisme triangulaire

251

252

Chapitre 8

Démonstration

Découpage d’un prisme triangulaire en trois pyramides de volumes équivalents

Soit un prisme triangulaire dont les bases sont ABC et A′B′C′. Si on coupe le prisme suivant les plans AB′C et AB′C′, on obtient trois pyramides. Les pyramides AA′B′C′ et B′ABC ont le même volume. En effet, les bases sont congruentes, car ce sont les triangles A′B′C′ et ABC. De plus, les pyra­ mides ont la même hauteur que le prisme. Il reste à montrer que les pyramides B′AA′C′ et B′ACC′ ont le même volume. Si on prend B′ comme sommet de chacune des pyramides, alors celles­ci ont des bases congruentes, car AA′C′ et AC′C sont congruents, puisque la droite AC′ est la diagonale du parallélogramme AA′C′C. De plus, la hauteur des deux pyramides est la distance du point B′ au plan AA′C′C. THÉORÈME Volume d’une pyramide triangulaire

Le volume d’une pyramide triangulaire est égal au tiers du produit de l’aire de sa base et de la hauteur : Pyramide triangulaire

Démonstration Selon le théorème précédent, le volume de la pyramide triangulaire est égal au tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur ; or, le volume du prisme est égal au produit de l’aire de sa base et de sa hauteur. Pour une pyramide, on obtient donc , où B est l’aire de la base et h, la hauteur. La généralisation de ce théorème sert à calculer le volume d’une pyramide quelconque, en divisant la base polygonale en triangles. THÉORÈME Volume d’une pyramide quelconque

Le volume d’une pyramide quelconque est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur.

Tronc de pyramide Un tronc de pyramide, ou tronc pyramidal, est une portion de pyramide comprise entre la base et un plan qui coupe toutes les faces latérales.

Tronc pyramidal

Si le plan est parallèle à la base, on a un tronc de pyramide à bases parallèles. La hauteur est alors égale à la distance entre les deux bases, c’est­à­dire la longueur du segment perpendiculaire aux deux bases.

Aires et volumes

Un tronc de pyramide régulier est la portion d’une pyramide régulière comprise entre la base et un plan parallèle à cette base qui coupe toutes les faces latérales. Celles-ci sont des trapèzes isocèles congruents et la hauteur de chacun de ces trapèzes est appelée apothème du tronc pyramidal régulier. THÉORÈME Aire de la surface latérale d’un tronc de pyramide régulier

L’aire de la surface latérale d’un tronc de pyramide régulier est égale au produit de la somme des demi-périmètres par l’apothème du tronc : AL = a(p + p′), où p et p′ sont les demi-périmètres des bases.

THÉORÈME Aire des bases d’un tronc de pyramide triangulaire

Les aires respectives des bases d’un tronc de pyramide à bases triangulaires parallèles sont entre elles comme le carré de leur distance au sommet de la pyramide. Démonstration On abaisse la hauteur SH′H de la pyramide et on trace les segments de droite D′H′ et DH. Les triangles SD′H′ et SDH étant semblables, on a

De plus, les triangles SD′E′ et SDE étant semblables, on a donc

Le rapport de similitude des triangles CDE et C′D′E′ est donc k. Le rapport des aires des triangles C′D′E′ et CDE étant égal au carré du rapport de similitude, on a

THÉORÈME Aire des bases d’un tronc de pyramide quelconque

Les aires respectives des bases d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles sont entre elles comme le carré de leur distance au sommet de la pyramide.

253

254

Chapitre 8

Démonstration Soit un tronc de pyramide dont les bases sont des polygones parallèles quelconques. Un tel tronc est décomposable en troncs de pyramides triangulaires à bases parallèles. On généralise le dernier théorème en effectuant la somme des aires des triangles. THÉORÈME Volume d’un tronc de pyramide

Soit un tronc de pyramide à bases parallèles dont les aires sont B et b, et la hauteur est h. Le volume du tronc de pyramide est

Démonstration On peut considérer le volume d’un tronc de pyramide comme la différence entre les volumes de deux pyramides :

Si on exprime x en fonction des éléments du tronc, on obtient, par substitution,

En effectuant le produit des extrêmes et le produit des moyens et en isolant x, on a

Par substitution, on obtient

d’où Cône

Cône circulaire droit On appelle cône circulaire droit un solide engendré par la révolution d’un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit. Le côté h, autour duquel tourne le triangle, est à la fois l’axe et la hauteur du cône. L’autre côté de l’angle droit est le rayon du cône. Cône circulaire droit

L’hypoténuse est la génératrice du cône, appelée également apothème.

Aires et volumes

255

Pyramide inscrite On dit qu’une pyramide est inscrite dans un cône si sa base est un polygone inscrit dans la base du cône et que son sommet est le sommet du cône. Pyramides inscrites dans un cône

THÉORÈME Aire de la surface latérale d’un cône

L’aire de la surface latérale d’un cône de révolution est égale à la moitié du produit de la circonférence de la base par la génératrice : AL = πrl.

Démonstration L’aire latérale d’un cône de révolution est la limite de l’aire latérale d’une pyramide régulière dont le nombre de côtés tend vers l’inni. Le demipérimètre de la base de la pyramide tend alors vers la demi-circonférence de la base, et l’apothème de la pyramide tend vers la génératrice du cône. Donc, AL = πrl.

REMARQUE

L’aire totale est AT = πrl + πr 2. Par le théorème de Pythagore, la longueur de la génératrice est

THÉORÈME Volume d’un cône de révolution

Le volume d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur :

Démonstration Le volume d’un cône de révolution est la limite du volume d’une pyramide régulière dont le nombre de côtés tend vers l’inni. Comme le volume d’une pyramide est dans le cas d’un cône, alors le volume du cône de révolution est THÉORÈME Volume d’un tronc de cône

Le volume d’un tronc de cône de révolution à bases parallèles, de rayons respectifs R et r et de hauteur h, est

REMARQUE

Le volume d’un cône de révolution est égal au tiers du volume du cylindre droit ayant la même base et la même hauteur.

256

Chapitre 8

Démonstration Le volume d’un tronc de cône est la limite du volume d’un tronc de pyramide dont le nombre de côtés tend vers l’inni. Comme le volume d’un tronc de pyramide est

en posant B = πR2 et b = πr2, on obtient

THÉORÈME Volume et aire d’une sphère

Le volume d’une sphère de rayon r est

et l’aire de sa surface est A = 4πr2.

Prismatoïde et courbes de niveau Prismatoïde Un prismatoïde est un polyèdre dont les bases sont des polygones parallèles (non nécessairement congruents, ni semblables, ni réguliers) et dont les autres faces sont des triangles, des trapèzes, des rectangles ou des parallélogrammes.

Dans le cas particulier où les bases sont congruentes et où les autres faces sont des rectangles, on a un prisme droit. Si les autres faces sont des parallélogrammes, on a un prisme oblique. Si les deux bases sont des polygones semblables, on a un tronc de pyramide. THÉORÈME Volume d’un prismatoïde

Le volume d’un prismatoïde est donné par

où H est la distance entre les deux sections de base, S1 et S2 sont les aires des bases, Sm est l’aire de la section médiane et h = H/2 est la distance entre deux sections consécutives.

Aires et volumes

257

Courbe de niveau Une courbe de niveau est la courbe formée par les points d’un relief géographique situés à une même altitude. C’est la courbe d’intersection d’un plan horizontal avec le relief du terrain. La distance verticale séparant deux courbes de niveau s’appelle équidistance.

Dans une carte géographique, des lignes de niveau éloignées indiquent une pente douce tandis que des lignes de niveau rapprochées témoignent d’une pente abrupte. Certains points peuvent être cotés, par exemple le point le plus élevé d’un relief, comme le point coté 58 dans l’illustration ci-contre. On peut déterminer la surface de l’intersection du plan de coupe du relief délimité par la courbe de niveau en utilisant un planimètre.

Planimètre Un planimètre est un instrument formé de deux bras articulés : le bras polaire et le bras extérieur. L’extrémité du bras polaire est xe et le bras extérieur est muni d’une roue dont l’axe est dans le même sens que le bras. L’extrémité du bras extérieur comporte une pointe qui permet de suivre le contour d’une courbe fermée.

THÉORÈME Fonctionnement du planimètre

Lorsque la pointe d’un planimètre parcourt une courbe fermée C sans points doubles, le nombre de tours que fait la roue est proportionnel à l’aire de la surface délimitée par la courbe C.

Le planimètre permet de mesurer l’aire d’un terrain ou de la surface délimitée par une courbe de niveau, en suivant son contour à l’aide de la pointe du bras articulé. Il suft d’étalonner le planimètre en prenant comme courbe un carré de côté unitaire pour mesurer l’aire d’une surface plane sur une carte. L’unité est choisie dans le cartouche d’échelle de la carte. Ainsi, l’unité pourrait, par exemple, représenter une longueur de 30 m ou de 40 m, dans le cartouche d’échelle de l’illustration ci-contre.

Cartouche d’échelle d’une carte géographique

258

Chapitre 8

EXEMPLE 8.3.2

On veut aplanir un terrain pour y construire un édice et aménager un stationnement. On a déterminé les courbes de niveau de la partie à enlever et on a utilisé un planimètre pour déterminer l’aire des surfaces délimitées par les courbes de niveau. Les mesures recueillies ont été consignées dans un tableau. En considérant que le volume formé par un regroupement de trois surfaces successives peut être estimé par le volume d’un prismatoïde, calculer le volume de terre à enlever pour aplanir ce terrain. Solution En regroupant par trois les surfaces successives, on obtient que le volume total peut être estimé par la somme des volumes de trois prismatoïdes. La différence de niveau entre deux courbes est de 2 m. On a donc

On peut estimer à 1 100 m3 la quantité de terre à enlever pour aplanir le terrain.

On peut alléger le traitement en regroupant les termes. Considérons d’abord le cas où il y a un nombre impair de courbes de niveau. En numérotant les aires et en faisant la somme des volumes, on obtient

On obtient une généralisation de la méthode de Simpson pour le calcul d’un volume. THÉORÈME Formule de Simpson pour le calcul d’un volume

Si on dispose d’un nombre impair de courbes de niveau, le volume est

Aires et volumes

259

Si on dispose d’un nombre pair de courbes de niveau, il faut traiter séparément la dernière portion, celle de niveau supérieur. On peut adopter diverses approches selon la forme de la dernière portion du volume à calculer. On peut • utiliser la formule du volume d’une pyramide,

• utiliser la formule des troncs de pyramide,

On utilise également la formule de Simpson pour évaluer la quantité de terre et de roc à enlever pour niveler un terrain an d’y construire une route ou d’y aménager un chemin d’accès. Dans ce cas, si le nombre de sections est pair, on évalue le volume de la dernière portion en prenant la moyenne des bases multipliée par la hauteur, ce qui revient à estimer le volume de cette dernière portion par un parallélépipède rectangle,

Nivellement d’un chemin d’accès

EXEMPLE 8.3.3

Une municipalité veut construire une rue pour joindre deux rues existantes. En tenant compte du relief du terrain et des assises, on a déterminé tous les 20 m l’aire des sections à excaver. Calculer le volume d’excavation nécessaire à la construction de cette rue. Solution Comme on dispose d’un nombre impair de sections, on utilise la méthode de Simpson généralisée au calcul de volumes. On détermine d’abord la somme des aires de sections paires et de sections impaires :

On applique ensuite la méthode de Simpson :

On pourrait faire un appel d’offres à 20 200 m3 pour éviter que le contracteur choisi n’allègue par la suite un dépassement de coût.

260

Chapitre 8

Un peud’histoire

ARCHIMÈDE ~287 à ~212

L

e savant grec Archimède naquit à Syracuse, en Sicile, vers 287 avant notre ère, et mourut en 212, tué par un soldat romain lors de la seconde guerre punique. Il se consacra entièrement à la recherche scientique et ses découvertes, fondamentales, eurent des retombées dans tous les champs de la science. Il séjourna en Égypte et étudia peut-être à Alexandrie avec les successeurs d’Euclide. Il correspondit avec Ératosthène, qui fut son ami, et lui t part de plusieurs de ses découvertes.

L’étude des leviers Archimède s’intéressa également au problème de la manipulation des objets lourds, ce qui l’amena à étudier et à classier les leviers, dont il énonça les principes. Dans son étude des leviers, Archimède adopta une approche analogue à celle de la géométrie en énonçant des principes physiques sous la forme de postulats tels que les suivants. « Des masses inégales, à des distances inversement proportionnelles à ces masses, sont en équilibre. »

L’histoire de la couronne du roi On raconte plusieurs anecdotes sur Archimède. L’une des plus célèbres est l’histoire de la couronne du roi Hiéron II. À son accession au trône de Syracuse, celui-ci s’engagea à offrir une couronne d’or aux dieux. Il demanda à un orfèvre de réaliser cette couronne en lui fournissant une quantité d’or qu’il avait préalablement pesée. La couronne avait exactement le même poids que l’or fourni par Hiéron, qui soupçonnait tout de même l’orfèvre d’avoir remplacé une certaine quantité d’or par de l’argent. Il demanda à Archimède de prouver que l’orfèvre l’avait fraudé. C’est en prenant son bain que le savant aurait compris comment prouver le subterfuge. Il constata que plus la partie immergée de son corps était importante, plus la quantité d’eau qui débordait du bain était grande. Fier de sa découverte, il se serait précipité nu dans la rue en criant : « Eurêka, Eurêka ! » (J’ai trouvé, j’ai trouvé !) Archimède prit deux solides de même masse que la quantité d’or fournie par Hiéron, l’un en or et l’autre en argent. Après avoir rempli un contenant d’eau à ras bord, il y plongea la masse d’or et observa qu’une certaine quantité d’eau débordait du contenant. Il recommença l’opération avec la masse en argent et constata que le déversement d’eau était plus important que dans le cas de la masse d’or. Il ret alors l’expérience avec la couronne et constata que la quantité d’eau qui débordait était plus grande qu’avec la masse d’or, mais moins grande qu’avec la masse d’argent, ce qui démontra qu’une certaine quantité d’argent avait été mélangée à l’or pour réaliser la couronne. (Dans l’expérience d’immersion d’Archimède, la forme du solide plongé dans l’eau importe peu.)

« Des masses égales à des distances différentes ne sont pas en équilibre et penchent du côté de la masse qui est à la plus grande distance. »

« Des masses qui s’équilibrent à des distances égales sont égales. » Ce n’est pas Archimède qui inventa les leviers ; on les utilise depuis fort longtemps. Cependant, il t une description mathématique de leurs caractéristiques fondamentales et utilisa cette abstraction mathématique pour démontrer leurs autres propriétés. Il y a une grande différence entre l’utilisation d’une technique et la compréhension des principes scientiques sous-jacents.

Dans son ouvrage Des corps ottants, Archimède présente ses travaux en hydrostatique et traite de l’équilibre d’un paraboloïde de révolution ottant sur un liquide. Le problème est le suivant : si le paraboloïde est penché d’un certain nombre de degrés, réussira-t-il à se relever ? Cette étude débouche sur le problème de l’équilibre des coques de navire.

Classication des leviers

Aires et volumes

Le résultat dont Archimède était le plus er est le suivant. « Lorsqu’un cylindre est circonscrit à une sphère avec un diamètre égal à celui de la sphère, le volume et la surface du cylindre sont une fois et demie le volume et la surface de la sphère. » Il demanda que la gure illustrant ce théorème soit gravée sur sa pierre tombale. Il s’agit d’une relation très intéressante. Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de sa base et de sa hauteur. Son aire est la somme de l’aire de sa surface latérale et de l’aire de ses bases. L’aire de la surface latérale est le produit de la circonférence de sa base et de sa hauteur, et les deux bases sont des cercles de même rayon que la sphère. Il est donc facile de trouver le volume et la surface de la sphère à l’aide de cette relation.

8.4 Exercices

261

Archimède mit au point plusieur s dispositifs en se servant de poulies, en particulier des catapultes, utilisées pour défendre la ville de Syracuse contre les attaques de légions romaines. Il inventa également une vis sans n, appelée « vis d’Archimède ». Insérée dans un cylindre, elle servait à élever l’eau. Elle est encore employée pour l’irrigation des champs en Afrique. Archimède s’est également rendu célèbre en calculant l’aire de polygones inscrits dans un cercle ou circonscrits à un cercle, ce qui lui a permis de déterminer que la valeur de π est comprise entre 220/70 et 223/71.

4. On construit un réservoir cylindrique de 32,0 m de diamètre et de 22,0 m de hauteur. Calculer son volume.

1. Démontrer que l’aire de la surface latérale d’un prisme régulier est égale au produit du périmètre de la base et de sa hauteur : AL = Ph, où P est le périmètre de la base. 2. On désire couler 8 piliers de béton cylindriques, dont les dimensions sont données ci-dessous, comme fondation pour un débarcadère. Déterminer le volume de béton nécessaire pour cet ouvrage.

3. Vous devez ériger un mur de soutènement en béton dont le plan en coupe est le suivant. De quelle quantité de béton, en verges cubes, avez-vous besoin ?

5. Un réservoir cylindrique a 3,20 m de diamètre et 14,00 m de long. Calculer le volume du réservoir en pieds cubes.

6. Dans le plan ci-contre, trois allées d’un parc se croisent en formant un triangle équilatéral de 4 m de côté. On désire aménager une fontaine dont le bassin circulaire s’inscrit dans ce triangle équilatéral, les pointes étant réservées à un aménagement oral. a) Calculer l’aire du bassin. b) Calculer l’aire de la surface réservée à l’aménagement oral. c) Sachant que le bassin a une profondeur de 65 cm, quel volume d’eau peut-il contenir ?

262

Chapitre 8

d) Sachant qu’il faut une épaisseur de 28 cm de bonne terre pour l’aménagement oral, quelle quantité de terre sera nécessaire pour cet aménagement ? 7. Dans le plan ci-contre, un bassin, ayant la forme d’un triangle équilatéral de 4,5 m de côté, est inscrit dans un cercle dont les segments circulaires doivent recevoir un aménagement oral. a) Sachant que le bassin a une profondeur de 45 cm, calculer le volume d’eau qu’il contient. b) Étant donné qu’il faut une épaisseur de 28 cm de terre pour l’aménagement oral, calculer le volume de terre nécessaire. 8. Un réservoir a la forme d’un cylindre horizontal de 1,20 m de rayon et de 4,40 m de longueur. a) Calculer le volume total du réservoir. b) Sachant que le niveau de liquide dans le réservoir est de 0,80 m, calculer le volume occupé par le liquide. c) On ajoute du liquide jusqu’à ce que le niveau soit de 1,80 m. Quel est alors le volume occupé par le liquide ?

11. On doit couler quatre supports en béton pour les piliers d’un pont. Le plan de ces supports apparaît ci-contre. Quel sera le volume de béton nécessaire à la réalisation de cet ouvrage ? 12. On désire couler les murs du sous-sol d’une maison mesurant 9,50 m sur 13,20 m. Les murs doivent avoir 2,75 m de hauteur et 30 cm d’épaisseur. a) Déterminer le nombre de mètres cubes de béton nécessaires pour réaliser l’ouvrage. b) Quel est le nombre de mètres cubes de béton nécessaires pour couler le plancher du sous-sol, sachant que celui-ci doit avoir 24 cm d’épaisseur ? 13. Un réservoir a la forme d’un cylindre horizontal de 1,4 m de rayon et de 5,2 m de longueur. a) Calculer le volume total du réservoir. b) Sachant que le niveau de liquide dans le réservoir est de 0,9 m, calculer le volume occupé par le liquide. c) On ajoute du liquide jusqu’à ce que le niveau atteigne 1,9 m. Quel est alors le volume occupé par le liquide ?

9. Un réservoir a la forme ci-contre. a) Calculer le volume total du réservoir. b) Sachant que le niveau du liquide est de 0,90 m, déterminer le volume occupé par le liquide. c) Sachant que le niveau est de 3,40 m, déterminer le volume occupé par le liquide.

14. On veut réaliser une rampe d’accès en béton pour personnes handicapées. La rampe doit s’enfoncer de 0,70 m dans le sol, avoir une largeur de 1,50 m et une longueur de 6,65 m, et atteindre une hauteur de 1,75 m. Déterminer le nombre de verges cubes de béton requis pour réaliser cette rampe d’accès.

10. Dans chaque cas, calculer la hauteur du parallélépipède dont le volume est équivalent au volume du tronc de prisme illustré.

15. À partir du plan d’excavation suivant, déterminer le volume de terre à enlever, sachant que le quadrillage s’est fait tous les 10 mètres.

a)

b)

c)

Aires et volumes

263

17. Quel est le volume d’excavation de l’emplacement dont le quadrillage apparaît ci-dessous, sachant que la supercie des quadrilatères est de 60 m2 ?

16. On désire ériger un barrage sur une petite rivière an d’aménager un plan d’eau. On a effectué le relevé suivant en quadrillant le terrain tous les cinq mètres. 18. La compagnie pour laquelle vous travaillez fabrique des colonnes en béton qui sont creuses pour en diminuer la masse. Trois modèles sont offerts : régulier, fort et extra-fort. Toutes les colonnes ont une longueur de 10 m.

Calculer le volume de béton pour couler une colonne de chaque modèle. 19. La façade d’une banque en construction est constituée de trois arches semi-circulaires, comme dans l’illustration ci-dessous. On doit la couler en béton, en un seul morceau. Calculer le volume de béton nécessaire pour réaliser la façade.

a) Calculer la hauteur du barrage. b) Calculer l’aire du plan d’eau. c) Calculer le volume d’eau.

264

Chapitre 8

20. À l’aide des mesures inscrites sur les gures cidessous, déterminer le volume de l’édice illustré, dont la base est carrée.

a) b) c) d)

Calculer l’aire de la base de la pyramide. Calculer l’apothème de la pyramide. Calculer l’aire totale de la pyramide. Calculer le volume de la pyramide.

25. Le réservoir d’un camion-citerne a la forme d’un cylindre de 3,2 m de diamètre et de 12,0 m de longueur. Les extrémités du réservoir sont des hémisphères de même diamètre que le cylindre. Calculer le volume du réservoir.

21. Vous devez évaluer la quantité de pierre concassée que la compagnie qui vous emploie a en réserve. Vous estimez que le tas de pierre, de forme conique, a une circonférence de 40 m et une hauteur de 8 m. Quel est son volume ?

26. Une compagnie a conçu un nouveau modèle de silo à grains dont la forme est celle d’un cône tronqué surmonté d’une calotte hémisphérique. On pense que cette forme offrira une meilleure résistance aux tornades. Calculer le volume et l’aire d’un silo.

22. Une piscine a la forme d’un tronc de prisme dont la base rectangulaire a une largeur de 4 m et une longueur de 9 m. La profondeur est de 1,5 m à une extrémité et de 3,5 m à l’autre extrémité. Sachant que la pente est constante, calculer le volume d’eau que contient la piscine. 23. On veut couler six bases de béton sur lesquelles reposeront les piliers d’une terrasse surplombant une falaise. Ces bases sont des troncs de cône dont les rayons sont de 1,2 m et de 2,0 m et dont la hauteur est de 2,8 m. Calculer la quantité de béton nécessaire pour réaliser la fondation.

24. Les côtés de la base d’une pyramide triangulaire régulière sont de longueur 4 et ses arêtes latérales, de longueur 8.

27. Les côtés de la base d’une pyramide hexagonale régulière mesurent 36 cm et ses arêtes latérales mesurent 48 cm.

a) b) c) d) e)

Calculer l’aire de la base de la pyramide. Calculer la hauteur de la pyramide Calculer l’apothème de la pyramide. Calculer l’aire totale de la pyramide. Calculer le volume de la pyramide.

28. Une compagnie fabrique des blocs destinés à asseoir des poteaux. Ces blocs sont des troncs de pyramide à bases hexagonales. Calculer l’aire des

Aires et volumes

faces latérales d’un bloc et le volume de béton requis pour fabriquer un bloc.

265

32. Une entreprise projette la production d’abat-jour pour des lampes de bureau. Ces abat-jour, dont les dimensions sont données dans la gure suivante, sont fermés à la partie supérieure. Calculer l’aire latérale et le volume d’un abat-jour.

29. Une entreprise fabrique des blocs de béton dont la forme est un tronc de pyramide à bases carrées. Calculer le volume d’un bloc. 33. Une entreprise projette la production d’entonnoirs métalliques pour des installations industrielles. Les dimensions sont données dans la gure suivante.

30. Une entreprise projette la production de bacs pour remiser les ballons dans les installations sportives.

a) Calculer l’aire latérale d’un entonnoir. b) Calculer le volume d’un entonnoir. 34. Une entreprise projette la production de hottes pour des installations industrielles. Les dimensions sont données dans la gure suivante.

a) Calculer l’aire totale d’un bac en mètres carrés. b) Calculer le volume d’un bac en mètres cubes. 31. Une entreprise projette la production d’abat-jour pour des lampes sur pied et des lampes de table. Les dimensions sont inscrites sur les gures suivantes.

a) Calculer l’aire latérale d’une hotte. b) Calculer le volume d’une hotte. 35. Une entreprise projette la production d’abat-jour pour des lampes sur pied et des lampes de table. Les dimensions sont données dans les gures suivantes. Calculer l’aire latérale et le volume d’un abat-jour.

Lors de la production des abat-jour, il faut tenir compte de l’aire latérale, qui inue sur le coût de production, et du volume, dont dépend la puissance maximale des ampoules que l’on peut utiliser. Calculer l’aire latérale et le volume des abat-jour.

266

Chapitre 8

36. On veut installer trois sculptures au milieu d’un parc. Les socles des sculptures seront des troncs de cônes dont les diamètres des bases seront de 1,82 m et de 2,16 m, et dont la hauteur sera de 1,20 m.

a) Calculer le volume des socles de ces sculptures. b) Déterminer le nombre de verges cubes de béton nécessaire pour couler ces socles.

f) Calculer la longueur des bordures de l’allée. g) La bordure doit avoir 24 cm de largeur et 62 cm de hauteur. Calculer le nombre de verges cubes de béton nécessaire pour couler les deux bordures de l’allée. h) Le recouvrement de l’allée doit être de 20 cm de poussière de pierre. Calculer le nombre de verges cubes nécessaire. 37. On a pris des mesures pour déterminer le volume du réservoir d’eau d’une municipalité situé sur un îlot au milieu d’une rivière. Le réservoir est formé d’un cylindre surmonté d’une demi-sphère.

Les sculptures doivent être réalisées en bronze et mesurer 3,2 m de hauteur. On a préalablement confectionné des maquettes en bois de pin de 0,5 m de hauteur. La masse de chacune de ces maquettes est de 2,8 kg. c) Calculer la masse d’une sculpture en bronze à l’aide des densités données dans le tableau suivant.

d) Calculer la masse totale d’une sculpture et de son socle. e) Calculer la pression exercée sur le sol par une sculpture et son socle. L’architecte paysager a conçu le plan suivant où les sculptures sont disposées au centre d’une allée.

a) Calculer le volume du réservoir en pieds cubes. b) Exprimer ce volume en mètres cubes et en litres. 38. Une municipalité doit construire un bassin de décantation des eaux usées selon le plan suivant.

Calculer le volume de ce bassin.

Aires et volumes

39. On projette de construire un barrage sur une rivière. Pour en déterminer la capacité de retenue, on a procédé par planimétrage des courbes de niveau.

Calculer le volume de retenue, sachant que le niveau du barrage sera à la cote 85 et que le planimétrage a donné les résultats suivants.

267

41. On projette de construire un barrage sur une rivière. Pour en déterminer la capacité de retenue, on a procédé par planimétrage des courbes de niveau à l’aide d’un planimètre électronique dont la précision sur une mesure est de ±0,005 tour.

La constante d’étalonnage du planimètre est K = 50 cm2/tr et l’échelle générale du plan est de 1 : 2 000. Le planimétrage a donné les résultats suivants.

Calculer le volume de retenue, sachant que le niveau du barrage sera à la cote 125. 40. On doit percer un tunnel dans une montagne pour faire passer une voie ferrée.

Le tunnel mesurera 150 m et aura la forme parabolique décrite par l’équation

Déterminer le volume de roche qu’il faut enlever pour creuser ce tunnel.

42. Une municipalité veut construire une rue dans un nouveau développement. Le tableau ci-contre comprend les données recueillies tous les 20 m en rapport avec l’aire des sections à excaver. Calculer le volume d’excavation nécessaire à la construction de cette rue.

268

Chapitre 8

43. On doit creuser un tunnel dans une montagne pour faire passer une route. Le tunnel doit être de la forme

où y est sa hauteur en mètres et x, la distance en mètres mesurée à partir du centre de la route.

45. Une municipalité veut construire un chemin d’accès à un plan d’eau qui se trouve dans un parc. En tenant compte du relief du terrain et des assises à creuser, on a déterminé tous les 15 m l’aire des sections à excaver. Calculer le volume d’excavation nécessaire à la construction de ce chemin.

La longueur du tunnel sera de 95 m. Déterminer le volume de roche qu’il faut enlever pour creuser ce tunnel. 44. On doit aménager un terrain pour pouvoir le développer. On a déterminé les courbes de niveau de la partie à enlever et on a utilisé un planimètre pour déterminer l’aire des surfaces délimitées par les courbes de niveau.

46. Le bassin de décantation des eaux usées d’une usine de traitement des eaux a la forme

où y est la profondeur du bassin en verges et x, la distance en verges mesurée à partir du centre de celui-ci.

Les mesures recueillies ont été consignées dans le tableau ci-contre. Calculer le volume de terre à enlever pour aplanir ce terrain.

La longueur du bassin est de 192 pi et les parois aux deux extrémités sont perpendiculaires aux côtés. Déterminer le volume de liquide que ce bassin peut contenir en verges cubes et en mètres cubes.

VECTEURS et FORCES

Résoudre des problèmes en utilisant les vecteurs Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la représentation juste de situations à l’aide de vecteurs ; • la démonstration de propriétés à l’aide des vecteurs ; • l’exécution des opérations sur les vecteurs géométriques ; • l’utilisation des vecteurs géométriques dans la résolution de problèmes ; • l’exécution des opérations sur les vecteurs algébriques ; • l’utilisation des vecteurs algébriques dans l’analyse de situations mettant en jeu des forces.

9

9.1 Vecteurs géométriques        270 Dénitions et notation Opérations sur des vecteurs géométriques Parallélisme Vecteurs et repères Systèmes de forces en équilibre Polygone des forces Un peud’histoire Héron d’Alexandrie

9.2 Exercices           282 9.3 Vecteurs algébriques         285 Dénitions et notation Équations paramétriques Coordonnées polaires et cartésiennes Vecteurs algébriques et forces

9.4 Exercices           297

270

Chapitre 9

9.1

Vecteurs géométriques

Les vecteurs n’existent pas dans la réalité, mais ils constituent un outil puissant de modélisation de phénomènes où interviennent des grandeurs ayant une orientation et une intensité. Les modèles construits avec des vecteurs servent à analyser des situations qui échappent à l’intuition. L’étude des vecteurs fait appel à des notions de trigonométrie.

Dénitions et notation Un vecteur est un modèle géométrique qui sert à décrire et à analyser divers phénomènes.

Vecteur géométrique

REMARQUE

Un vecteur est dit lié si son origine est xe ; il est dit glissant si on peut le déplacer sur son support ; il est dit libre si on peut le déplacer parallèlement à lui-même. Même si on déplace un vecteur glissant ou libre, celui-ci conserve sa direction, son sens et son module. Un tel déplacement est appelé translation.

Vecteurs égaux (ou équipollents)

Vecteur géométrique Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté où A est l’origine du vecteur et B, l’extrémité. Tout vecteur géométrique possède les caractéristiques suivantes : • une longueur, appelée module du vecteur et notée ; • une direction, soit celle de la droite ∆s qui lui sert de support ou de toute droite ∆d parallèle à ∆s ; • un sens, indiqué par une pointe de èche à l’extrémité du segment de droite. Notation On représente habituellement un vecteur par une lettre minuscule telle que , et . Les modules sont notés respectivement . Dans une représentation géométrique, il est parfois important de préciser l’origine et l’extrémité d’un vecteur ; on note le vecteur dont l’origine est le point A et dont l’extrémité est le point B.

Vecteurs égaux et vecteurs parallèles On appelle vecteurs égaux (ou équipollents) des vecteurs ayant la même direction, le même sens et le même module. En déplaçant un vecteur glissant ou un vecteur libre, on obtient toujours un vecteur égal au vecteur initial. Deux vecteurs et ayant la même direction sont dits parallèles ou colinéaires, ce qu’on note // . Vecteur nul et vecteur opposé On appelle vecteur nul tout vecteur de la forme , qu’on note aussi . Ce vecteur n’a ni direction ni sens, et son module est 0. Par convention, le vecteur nul est parallèle à tout vecteur : // pour tout . On appelle vecteur opposé à tout vecteur de même longueur et de même direction que , mais de sens opposé. On note un tel vecteur − . En particulier, =− et + = .

Vecteurs et forces

271

EXEMPLE 9.1.1

Dire lesquels des vecteurs représentés ci-contre : a) ont la même direction ; d) sont opposés ; b) ont le même sens ; e) ont la même longueur ; c) sont de sens contraires ; f) sont équipollents. Solution a) Des vecteurs ont la même direction si et seulement si les droites supports sont parallèles. Les vecteurs ont la même direction ; les vecteurs ont la même direction ; les vecteurs ont la même direction. b) Les vecteurs ont le même sens ; les vecteurs ont le même sens ; les vecteurs ont le même sens. c) Les vecteurs sont de sens contraires ; les vecteurs sont de sens contraires ; les vecteurs sont de sens contraires ; les vecteurs sont de sens contraires.

REMARQUE

Pour être de même sens ou de sens opposés, deux vecteurs doivent d’abord avoir la même direction.

d) Des vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais ils sont de sens contraires. Les vecteurs sont opposés, tout comme les vecteurs et les vecteurs . e) Des vecteurs peuvent avoir la même longueur sans avoir la même direction. Les vecteurs ont la même longueur, de même que les vecteurs . Les vecteurs ont la même longueur, de même que les vecteurs . f) Des vecteurs équipollents sont des vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même longueur. Les vecteurs sont équipollents, de même que les vecteurs .

Angle entre deux vecteurs Soit et , deux vecteurs géométriques libres. On appelle angle entre les vecteurs le plus petit angle déterminé par les vecteurs ramenés à une même origine. L’angle entre deux vecteurs et est noté ∠( , ) et, si cela ne prête pas à confusion, on le représente par la lettre grecque θ (thêta). Par convention, l’angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0° et l80°. Un tel angle joue un rôle important dans la dénition des produits de vecteurs, que nous verrons au prochain chapitre.

Opérations sur des vecteurs géométriques Somme de deux vecteurs géométriques Soit et , deux vecteurs géométriques libres. On obtient le vecteur somme ou vecteur résultant, noté + , soit par la méthode du parallélogramme, soit par la méthode du triangle.

REMARQUE

On peut parler de l’angle entre deux vecteurs même si ceux-ci n’ont pas la même origine.

272

Chapitre 9

Méthode du parallélogramme On peut toujours faire coïncider les origines de deux vecteurs libres. Leur vecteur somme est la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs et en partant de leur origine commune O. Le vecteur − est l’autre diagonale du parallélogramme. Méthode du triangle Soit deux vecteurs libres et . On peut toujours faire coïncider l’origine de avec l’extrémité de ; la somme + est le vecteur ayant la même origine que et la même extrémité que . De plus, − = + (− ). On peut additionner plusieurs vecteurs en les mettant bout à bout pour former un polygone. La somme est le vecteur dont l’origine coïncide avec celle du premier vecteur et dont l’extrémité coïncide avec celle du dernier vecteur. Dans l’exemple illustré ci-contre, la méthode du polygone donne

Il est à noter que l’origine du vecteur résultant est l’origine du premier vecteur et que l’extrémité du vecteur résultant est l’extrémité du dernier vecteur de la somme. Cette égalité est appelée la relation de Chasles, du nom du mathématicien français Michel Chasles (1793-1880). THÉORÈME Relation de Chasles

Pour tous points A, B et X du plan ou de l’espace, l’égalité est vériée. EXEMPLE 9.1.2

Dans le parallélépipède illustré ci-contre, trouver le vecteur résultant des opérations suivantes. a) c) b) d) Solution a) Selon la relation de Chasles, on a b) Des vecteurs ayant le même module, la même direction et le même sens sont égaux ; donc, c) Puisque d) Puisque

alors alors

Le polygone étant fermé, la somme des vecteurs est nulle.

Vecteurs et forces

273

THÉORÈME Module du vecteur somme

Soit deux vecteurs géométriques

et

tels que

alors, par la loi des cosinus,

EXEMPLE 9.1.3

Deux vecteurs

et , dont les modules sont respectivement

déterminent un angle de 28°. Calculer le module du vecteur somme et l’angle que celui-ci détermine avec le vecteur . Solution Selon le théorème précédent et la loi des cosinus,

Le module de la somme est donc

Selon la loi des sinus, on a

REMARQUE

Dans l’étude des vecteurs, on a parfois recours à des notions de trigonométrie, notamment à la loi des cosinus et à la loi des sinus.

L’angle recherché est d’environ 17°.

Multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire Soit , un vecteur géométrique non nul, et k, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire k donne un nouveau vecteur, noté k , dont les caractéristiques sont les suivantes : • sa direction est la même que celle de ; • son module est , c’est-à-dire qu’il est égal au produit de la valeur absolue de k et du module de ; • son sens est : − le même que celui de si k > 0 ; − opposé à celui de si k < 0. De plus, k =

pour tout k et 0 =

pour tout .

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

274

Chapitre 9

EXEMPLE 9.1.4

Soit et , les deux vecteurs ci-contre. Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 2 + et à 3 − . Solution Pour construire le vecteur équipollent à 2 + , on fait d’abord coïncider les origines de et de , puis on prolonge le vecteur pour doubler sa longueur. On trace ensuite le parallélogramme dont les côtés sont déterminés par 2 et . La diagonale de ce parallélogramme donne la longueur, la direction et le sens de 2 + . On procède de façon analogue pour construire un vecteur équipollent à 3 − .

PROPRIÉTÉS Propriétés des opérations sur des vecteurs géométriques

Pour tout vecteur , et ∈ G, l’ensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q ∈ , les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire satisfont aux propriétés suivantes.

REMARQUE

Le lecteur peut facilement se convaincre de la validité des propriétés des opérations d’addition et de multiplication de vecteurs géométriques par un scalaire en construisant des représentations graphiques, comme dans l’exemple 9.1.5.

1. Fermeture de l’addition de vecteurs : + ∈ G. 2. Commutativité de l’addition de vecteurs : + = + . 3. Associativité de l’addition de vecteurs : +( + )=( + )+ . 4. Élément neutre pour l’addition de vecteurs : il existe dans G un élément neutre pour l’addition, noté , tel que, pour tout ∈ G, + = + = . 5. Élément symétrique pour l’addition de vecteurs : pour chaque élément de G, il existe dans G un élément opposé (ou inverse additif), noté − , tel que + (− ) = (− ) + = . 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire : p ∈ G. 7. Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l’addition de scalaires : (p + q) = p + q . 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l’addition de vecteurs : p( + ) = p + p . 9. Associativité de la multiplication d’un vecteur et du produit de scalaires : (pq) = p(q ). 10. Élément neutre pour la multiplication par un scalaire : 1 = .

Vecteurs et forces

275

EXEMPLE 9.1.5

Démontrer que l’addition de vecteurs est une opération associative. Solution Soit , et montrer que

, trois vecteurs géométriques quelconques. On veut +( +

)=( + )+

.

En déplaçant les vecteurs de manière à faire coïncider l’extrémité de l’un avec l’origine de l’autre, on obtient une gure semblable à celle donnée ci-contre, dans laquelle sont représentées les sommes ( + ) et ( + ). On peut alors effectuer les additions : +( +

)=( + )+

.

On obtient ainsi le même vecteur, quel que soit l’ordre dans lequel on réalise les opérations. Puisque les vecteurs , et sont des vecteurs géométriques quelconques, on en conclut que l’addition des vecteurs géométriques est associative.

Parallélisme Vecteur unitaire Soit , un vecteur non nul. Alors,

est un vecteur unitaire

(c’est-à-dire que son module est 1) ayant la même direction et le même sens que . THÉORÈMES Vecteurs parallèles

Deux vecteurs non nuls et sont parallèles si et seulement s’il existe un scalaire k non nul tel que =k . Intégrité de la multiplication par un scalaire

Pour tout vecteur k =

et pour tout scalaire k, si et seulement si k = 0 ou

= .

Vecteurs et repères À l’aide des opérations d’addition de vecteurs et de multiplication d’un vecteur par un scalaire, on peut exprimer n’importe quel vecteur par rapport aux vecteurs d’un repère. On fait alors coïncider l’origine du vecteur à représenter avec l’origine point O.

REMARQUE

Le vecteur nul est parallèle à tout vecteur.

276

Chapitre 9

Repère Un repère {O, , , } dans l’espace est un ensemble formé d’un point et de trois vecteurs non coplanaires de l’espace. Un repère {O, } d’une droite est un ensemble formé d’un point de la droite et d’un vecteur parallèle à la droite (ou directeur de celle-ci). Un repère {O, , } d’un plan est un ensemble contenant un point du plan et deux vecteurs non colinéaires parallèles au plan. Vecteurs colinéaires et vecteurs coplanaires On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont sur une même droite. On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement s’ils sont dans un même plan. THÉORÈME Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs de  3 = (u1; u2; u3) et si et seulement si

= (v1; v2; v3) sont parallèles

Vecteur directeur Un vecteur directeur d’une droite ou d’un plan est un vecteur parallèle à cette droite ou à ce plan. On le note . EXEMPLE 9.1.6

Dans le repère représenté ci-contre, tracer la droite passant par le point P et dont le vecteur directeur est Écrire l’équation vectorielle de la droite. Solution On représente d’abord le vecteur directeur dans le repère en prenant le point O comme origine, puis on trace la droite passant par P et parallèle au vecteur directeur. Pour déterminer l’équation vectorielle de la droite, il faut d’abord préciser la position du point P dans le repère = − . La position d’un point Q quelconque de la droite est donnée par = =

+ −

= +k

−

+k

Vecteurs et forces

277

Systèmes de forces en équilibre Pour résoudre des problèmes portant sur les conditions d’équilibre d’un système de forces, on a recours aux lois du mouvement de Newton. LOIS DU MOUVEMENT DE NEWTON Première loi

REMARQUE

L’adéquation entre l’idée de force et le concept de vecteur est tellement grande qu’on en vient à confondre le vecteur avec la force qu’il représente.

Tout corps au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, reste au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, aussi longtemps qu’il ne subit pas l’action d’une force extérieure. Deuxième loi

Une force extérieure s’exerçant sur un corps lui communique une accélération proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse du corps. La deuxième loi s’exprime par la relation

Troisième loi

À toute force d’action correspond une force de réaction de même grandeur et de même direction, mais de sens contraire. Corps en équilibre Un corps soumis à un système de forces concourantes est en équilibre de translation si et seulement si Un corps soumis à un système de forces non concourantes est en équilibre de rotation si et seulement si

Résultante de forces concourantes La résultante d’un ensemble de forces est la force qui aurait, à elle seule, le même effet que toutes les forces de l’ensemble. L’équilibrante est la force qui équilibre l’action de la résultante : elle est de même grandeur et de même direction que la résultante, mais de sens contraire.

Polygone des forces Pour analyser une situation à l’aide de vecteurs, qu’il s’agisse de déterminer les conditions d’équilibre d’un corps ou la résultante des forces qui s’exercent sur celui-ci, il faut repérer toutes les forces agissant sur le corps (ou la structure). Si on adopte une approche géométrique, on procède à l’analyse en construisant un polygone des forces. Si le système est en équilibre, le polygone des forces est fermé. Dans un polygone de forces, la masse de l’objet, si elle n’est pas négligeable, est représentée par un vecteur ; les tensions sont représentées par et les compressions, par .

REMARQUE

Un corps est en équilibre de translation s’il ne se déplace pas ou s’il se déplace en ligne droite à vitesse constante. Un corps est en équilibre de rotation s’il ne tourne pas sur lui-même ou s’il tourne à une vitesse constante. Dans les exemples du présent chapitre, les forces seront toujours concourantes et nous ne traiterons que de l’équilibre de translation. REMARQUE

Mathématiquement, la résultante est la somme des forces. On dit qu’un système de forces est en équilibre de translation lorsque la résultante est nulle.

278

Chapitre 9

EXEMPLE 9.1.7

La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre représenté ci-contre exerce une force de 700 N. La masse de la tige est négligeable. a) Construire le diagramme des forces agissant au point A. b) Déterminer géométriquement l’intensité des forces agissant en A. Solution a) Il y a trois forces agissant au point A : la force de 700 N, la tension déployée par le câble et la poussée exercée par la tige. Le diagramme des forces est donné ci-contre. b) Puisque le système est en équilibre, la résultante des forces est nulle, de sorte que le polygone des forces est fermé. Dans un diagramme de forces, la longueur des vecteurs est proportionnelle à l’intensité des forces ; on peut donc calculer cette intensité en appliquant la trigonométrie du triangle rectangle :

Donc, la poussée exercée par la tige est de 834 N et la traction déployée par le câble est de 1 089 N.

REMARQUE

Dans l’assemblage de l’exemple 9.1.7, est une force d’action, alors que et sont des forces de réaction dont la résultante doit équilibrer la force .

PROCÉDURE Pour faire l’analyse géométrique d’un système en équilibre de translation

1. Représenter chaque force du système par un vecteur. 2. Construire le triangle des forces en respectant la direction des forces du système. (Le triangle est fermé lorsque le système est en équilibre.) 3. Utiliser la trigonométrie du triangle pour calculer l’intensité des forces. 4. Interpréter les résultats en fonction du contexte. EXEMPLE 9.1.8

Soit le montage en équilibre représenté ci-contre. a) Déterminer si les barres légères (dont la masse est négligeable) du montage sont en tension ou en compression. b) Déterminer géométriquement la valeur de l’effort dans chacune des barres. c) Déterminer la force d’action et la force de réaction (horizontales et verticales) au point A et au point C. Solution a) L’assemblage comporte deux barres légères, soit AB et BC. Pour construire le diagramme des forces appliquées au point B, il faut déterminer le sens de chaque force. Ainsi, la force qu’exerce la

Vecteurs et forces

279

barre AB est­elle orientée de A vers B ou de B vers A ? Pour le déterminer, il suft de se demander ce qui se passerait si l’on remplaçait la barre par une corde. En fait, le système resterait tel quel. Comme une corde est toujours en tension, le fait que le système serait inchangé signie que la barre AB est en tension et qu’elle tire sur le point B. La force s’exerce donc de B vers A. Puisque la barre est en tension, on représente par l’effort dans la barre AB. Si on remplace la barre BC par une corde, le système s’effondre. La barre BC est donc en compression et pousse sur le point B. On représente par (compression) l’effort dans la barre BC. Ces constatations permettent de construire correctement le diagramme des forces et le triangle des forces. b) En faisant glisser les vecteurs de manière à former un triangle fermé, on obtient le triangle des forces. Puisque les vecteurs conservent leur direction et leur sens lorsqu’on les glisse, on peut déterminer un angle aigu D de ce triangle, qui est semblable au triangle des distances : REMARQUE

Même s’ils sont parfois semblables, il est très important de ne pas confondre le diagramme des dis­ tances et celui des forces.

Ainsi, = 1,25 tan D = 2,149... ≈ 2,15 kN ; = 1,25 sec D = 2,486... ≈ 2,49 kN. Donc, l’effort dans la barre AB est de 2,15 kN et l’effort dans la barre BC est de 2,49 kN. c) Au point A, la force d’action verticale est nulle et la force de réac­ tion verticale également. Horizontalement, la barre exerce une force de 2,15 kN en tirant sur le mur, qui réagit en tirant en sens opposé. Au point C, la barre BC pousse sur le mur en exerçant une force de 2,49 kN qui détermine un angle de 59,819° avec la verticale. La composante horizontale de cette force, dirigée vers la gauche, est de 2,15 kN et sa composante verticale, dirigée vers le bas, est de 1,25 kN. Le mur réagit en poussant sur la barre avec une force dont la composante horizontale, dirigée vers la droite, est de 2,15 kN et la composante verticale, dirigée vers le haut, est de 1,25 kN.

Si, dans l’exemple 9.1.8, les barres ont une masse non négligeable, de sorte que la force gravitationnelle s’exerçant sur la barre AB est de 500 N et que celle qui s’exerce sur la barre BC est de 800 N, l’ana­ lyse des conditions d’équilibre de translation se fait de la même façon. Cependant, la masse des barres exerce une force qui s’applique au centre de la barre. Il faut donc déterminer la résultante de forces non concou­ rantes et tenir compte de l’équilibre de rotation pour résoudre ce genre de problèmes.

280

Chapitre 9

EXEMPLE 9.1.9

Dans le montage illustré ci-contre, trois câbles supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. Déterminer la tension dans chacun des câbles. Solution Le câble vertical est soumis à une force d’action de 2,54 kN orientée vers le bas. La force de réaction est une tension dans le câble de 2,54 kN, qui s’exerce vers le haut. Les forces s’exercent dans la direction des câbles et le système est en équilibre de translation. Le triangle des forces est donc fermé. En se servant de l’égalité des angles alternes-internes et des angles complémentaires, on détermine facilement que les angles intérieurs du triangle des forces sont de 38°, 57° et 85°. Selon la loi des sinus, on a alors

REMARQUE

Dans cet exemple, le diagramme des forces et celui des distances ne sont pas semblables.

Donc, la tension dans le câble de droite est de 1,57 kN et la tension dans le câble de gauche est de 2,14 kN.

Vecteurs et forces

281

Un peud’histoire

HÉRON D’ALEXANDRIE

H

environ 74-150

éron d’Alexandrie rédigea Les métriques, qui porte sur la mesure de gures planes et de solides. Cet ouvrage en trois volumes contient de nombreux exemples de mesures et de formules, mais également les fondements théoriques de ces formules. Le livre I traite du calcul de l’aire de carrés, de rectangles, de triangles, de polygones réguliers, de segments circulaires et de segments paraboliques. On y trouve la formule de l’aire d’un triangle, appelée maintenant formule de Héron, même si certains auteurs croient qu’elle est due à Archimède. Le livre II porte sur les gures solides comme le cône, le cylindre, le parallélépipède, la pyramide, le tronc de pyramide, le tronc de cône, la sphère, le tore et les cinq polyèdres réguliers. Le livre III est consacré à la division de gures, d’aires et de volumes dans un rapport donné. Le deuxième ouvrage de Héron, Les Pneumatiques, contient la description d’une centaine d’engins mécaniques, dont un siphon, un dispositif pour ouvrir les portes des temples activé par la vapeur d’eau sous le même principe que la turbine illustrée ci-contre, en haut, une horloge à eau et des machines pour soulever des charges. Le dispositif illustré ci-contre, au centre, montre à quel point Héron avait une bonne connaissance des applications physiques. La poignée entraîne la vis d’Archimède qui, dans sa rotation, fait tourner l’engrenage et enroule la corde sur l’essieu. Le système de poulies agit comme multiplicateur de la force appliquée pour soulever la charge. Dans son ouvrage intitulé La Dioptre, Héron donne la description et les usages d’un instrument de mesure longtemps utilisé comme appareil de nivellement et comme théodolite pour les observations terrestres et astronomiques. Il décrit aussi plusieurs applications du niveau à eau à l’arpentage. Dans Les Mécaniques, Héron énonce une méthode d’addition des mouvements qui correspond à la méthode du parallélogramme utilisée pour additionner des vecteurs (illustrée ci-contre, en bas). L’intérêt que manifeste Héron pour les applications est assez surprenant. Les mathématiciens grecs étaient traditionnellement préoccupés par la recherche de la vérité et faisaient peu de cas des applications. Cette rupture avec la tradition s’explique peut-être par l’inuence de la société romaine, peu intéressée par l’étude des sciences pures. Les Romains furent surtout des ingénieurs : ils construisirent des thermes, des routes, des arènes, des aqueducs, etc.

Cette turbine a été inventée par Héron. Si on recouvre la cuve et qu’on allume la lampe à l’huile, l’eau bout et la vapeur s’échappe des tuyaux coudés, ce qui fait tourner la sphère.

Ce dispositif conçu par Héron montre la bonne connaissance que ce dernier avait de la vis d’Archimède, du levier, des engrenages et des poulies.

Si un point P se déplace à une vitesse constante sur le segment AB et que ce dernier se déplace à une vitesse constante parallèlement à lui-même jusqu’à ce qu’il coïncide avec CD, lorsque P atteint le point B, ses positions successives forment la diagonale AD. Cette représentation de la composition des mouvements est valable pour n’importe quel parallélogramme ABCD. Elle est équivalente à la somme de deux vecteurs par la méthode du parallélogramme.

282

Chapitre 9

5. Trouver le module du vecteur somme et l’angle qu’il fait avec les autres vecteurs dans les cas suivants.

9.2 Exercices 1. Dans le parallélépipède illustré ci-dessous, quels vecteurs sont équipollents à : a) ? ? b) ? c) d) e) f) g)

?

a)

c)

b)

d)

? ? ?

2. Dans l’octaèdre ci-contre, les faces sont des triangles équilatéraux, ABCD est un carré, et BEDF et AECF sont des losanges. Déterminer les vecteurs résultants. a)

c)

b)

d)

3. Représenter, dans la gure suivante, un vecteur équipollent à chaque expression donnée.

a)

c)

b)

d)

6. Deux vecteurs et ont une origine commune. Construire géométriquement les vecteurs suivants. a) b) c)

=2 =2 =3

+3 −3 −

7. Trois vecteurs , et sont dans un même plan et ont une origine commune. Construire géométriquement les vecteurs suivants. a) b) c) d) e) f)

2 2 2 1,5 3 2

+ 1,5 + 1,5 − 1,5 +2 + +

8. Soit {O, , }, un repère du plan π constitué d’un point O et de deux vecteurs et . On dit que ces deux vecteurs constituent une base du plan.

4. Les arêtes du parallélépipède suivant sont sur les droites supports des vecteurs , et .

Représenter, dans ce parallélépipède, les vecteurs suivants. a) 3 + 2 c) + 2 b) 2 + 3 d) 2 + 3

a) Dans un repère, si un vecteur est exprimé en fonction des vecteurs de la base, on le représente en prenant le point O comme son origine. Représenter le vecteur = −2 + 2 dans le repère donné.

Vecteurs et forces

b) On appelle vecteur position d’un point P le vecteur dont l’origine est en O et l’extrémité, en P. Représenter dans ce repère le point P dont le vecteur position est =3 −2 . c) Représenter dans ce repère le point Q dont le vecteur position est =− −2 . d) Utiliser la relation de Chasles et les vecteurs position pour exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et . e) Utiliser la relation de Chasles et les vecteurs position pour exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs et . f) Construire géométriquement le vecteur somme + . Exprimer ce vecteur somme en fonction des vecteurs et en utilisant les propriétés des opérations. g) Représenter graphiquement le vecteur somme en fonction de son expression dans la base du repère. 9. Trois vecteurs , et ont une origine commune, mais ne sont pas dans le même plan. Construire géométriquement les vecteurs suivants. a) − d) +2 b) +2 e) 3 + c)

+ 1,5

10. Soit {O,

,

f) 2 ,

+2

283

c) Exprimer en fonction des vecteurs de la base le vecteur dont l’origine est E et l’extrémité, F. d) Exprimer en fonction des vecteurs de la base les vecteurs + , + et + . 11. On veut tirer un bloc en y appliquant deux forces horizontales, l’une de 200 N et l’autre de 300 N, qui déterminent un angle de 45°.

Calculer la grandeur de la force résultante et l’angle qu’elle détermine avec la direction de la force de 300 N. 12. On veut tirer un bloc en y appliquant deux forces horizontales, l’une de 300 N et l’autre de 400 N, qui déterminent un angle de 30°.

Calculer la grandeur de la force résultante et l’angle qu’elle détermine avec la direction de la force de 300 N.

+2 +2 +3

13. Dans le système en équilibre cicontre, la tension dans le câble est de 700 N. a) Construire le diagramme des forces agissant au point A. b) Calculer l’intensité des forces et .

}, un repère de l’espace.

14. Soit le système en équilibre ci-dessous.

a) Exprimer en fonction des vecteurs de base le vecteur dont l’origine est A l’extrémité, B. b) Exprimer en fonction des vecteurs de base le vecteur dont l’origine est C l’extrémité, D.

la et la et

a) Construire le diagramme des forces agissant au point A. b) Calculer l’intensité des forces agissant au point A et des forces verticales et horizontales agissant aux points B et C.

284

Chapitre 9

15. Le câble illustré ci-dessous exerce une tension de 560 N sur le mât. Quelles sont les composantes horizontale et verticale de cette tension dans le système d’axes représenté ?

19. Déterminer l’angle que doit faire la force de 40,0 N avec l’horizontale pour que la résultante des deux forces représentées soit de 100,0 N. Quel est alors l’angle de la résultante avec l’horizontale ?

16. Soit le système en équilibre illustré ci-dessous. 20. Le système illustré ci-dessous est en équilibre.

a) Construire le diagramme des forces agissant au point A. b) Calculer l’intensité des forces agissant au point A et des forces verticales et horizontales agissant aux points B et C. 17. Soit le système en équilibre suivant.

a) Calculer la tension dans les trois câbles. b) Déterminer l’intensité des forces verticales et horizontales en D et en E. 21. Le système illustré ci-dessous est en équilibre.

a) Construire le diagramme des forces agissant au point A. b) Calculer l’intensité des forces agissant au point A. 18. Dans la gure suivante, les systèmes sont en équilibre. Calculer la tension dans chacun des câbles.

a) Calculer la tension dans les trois câbles. b) Déterminer l’intensité des forces verticales et horizontales en D et en E.

Vecteurs et forces

285

9.3 Vecteurs algébriques En utilisant les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, on peut exprimer tous les vecteurs d’un plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires de ce plan, et tous les vecteurs de l’espace en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Les opérations sur les vecteurs ainsi décrits ne portent que sur des scalaires, et les couples ou les triplets formés par ces scalaires sont appelés vecteurs algébriques.

Dénitions et notation

REMARQUE

Un repère orthonormé d’un plan est un ensemble formé d’un point du plan et de deux vecteurs, unitaires et perpendiculaires entre eux, de ce plan. Un repère orthonormé de l’espace est un ensemble formé d’un point et de trois vecteurs, unitaires et perpendiculaires entre eux, de l’espace.

Plan cartésien Un plan cartésien (ou plan réel) est un repère orthonormé {O, , }, où est horizontal et orienté vers la droite, et est vertical et orienté vers le haut. Tout vecteur du plan s’écrit sous la forme = v1 + v2 ou = (v1; v2). En particulier,

= 1 + 0 = (1; 0) et

= 0 + 1 = (0; 1).

Vecteur algébrique de  2 Un vecteur algébrique de  2 est un couple (v1; v2). On le représente dans le plan cartésien par un vecteur dont l’origine coïncide avec l’origine du système d’axes et dont l’extrémité est le point (v1; v2). Tout vecteur algébrique de  2 possède les caractéristiques suivantes : • une longueur, appelée module, notée

et dénie par

Le module d’un vecteur algébrique est aussi parfois appelé norme ou intensité du vecteur ; • une direction, ou orientation par rapport aux axes, dénie par l’angle déterminé par la droite support du vecteur et la partie positive de l’axe horizontal et évalué en sens antihoraire à partir de l’axe ; • un sens, indiqué par le signe des composantes v1 et v2.

Notation

Pour bien distinguer le vecteur algébrique du point qui se trouve à son extrémité, on le représente par

Nous employons cette dernière notation.

REMARQUE

En notant le vecteur = (v1; v2), on fait un abus de langage, car (v1; v2) représente à la fois le point (v1; v2) et le vecteur dont l’origine est le point (0; 0) et l’extrémité, le point (v1; v2).

286

Chapitre 9

Espace cartésien L’espace cartésien est l’espace de repère orthonormé {O, , , } où les vecteurs , et sont orientés comme dans le système d’axes illustré ci-contre. Tout vecteur de l’espace s’écrit sous l’une des formes suivantes : = v1 + v2 + v3

ou

= (v1; v2; v3).

En particulier, = 1 + 0 + 0 = (1; 0; 0) ; =0 +1 +0

= (0; 1; 0) ;

=0 +0 +1

= (0; 0; 1).

On désigne par  3 l’espace tridimensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées réelles qui forment un triplet. On note les axes x, y et z, et on les représente de la manière illustrée ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans  2, en projetant perpendiculairement les coordonnées sur les axes comme l’indiquent les triplets (3; −4; 4) et (−4; 3; 4) de la gure. Pour alléger la représentation graphique, on ne donne souvent que les parties positives des axes de coordonnées. Vecteur algébrique de 3 Un vecteur algébrique de 3 est un triplet = (v1; v2; v3), où les composantes v1, v2 et v3 sont des nombres réels. Module d’un vecteur algébrique de 3 Le vecteur algébrique

= (u1; u2; u3) est représenté géométriquement par le vecteur dont l’origine est le point (0; 0; 0) et dont l’extrémité est le point (u1; u2; u3). On obtient le module de ce vecteur à l’aide d’une généralisation du théorème de Pythagore. En effet, dans la gure reproduite ci-contre,

Donc,

Cela permet d’énoncer le théorème suivant.

Vecteurs et forces

REMARQUE

THÉORÈME Module d’un vecteur algébrique de 3

Soit = (u1; u2; u3), un vecteur algébrique de  3. Le module de (ou sa norme) est

Égalité de vecteurs algébriques de 3 Deux vecteurs algébriques = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3) de 3 sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : =

⇔ u1 = v1, u2 = v2 et u3 = v3.

Opérations sur des vecteurs algébriques de 3 Soit = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3), deux vecteurs algébriques de  3, et k, un scalaire. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire sont dénies par les égalités : +

= (u1; u2; u3) + (v1; v2; v3) = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3) ; k = k(u1; u2; u3) = (ku1; ku2; ku3).

EXEMPLE 9.3.1

Représenter graphiquement les vecteurs = (−2; 4) et = (4; 3), puis additionner ces vecteurs et déterminer les caractéristiques du vecteur somme. Solution Par dénition, la somme de +

et

est

= (−2; 4) + (4; 3) = (2; 7)

et le module du vecteur somme est

De plus,

Puisque

+

287

est dans le premier quadrant, alors θ = α ≈ 74,05°.

EXEMPLE 9.3.2

Représenter graphiquement les vecteurs

= (6; 4) et

Déterminer les composantes du vecteur

tel que

Calculer l’angle directeur de la droite support.

= (1; −2).

Deux vecteurs de 2, = (u1; u2) et = (v1; v2), sont égaux si et seulement si u1 = v1 et u2 = v2. La somme de deux vecteurs, au sens géométrique, repose sur une diagonale du parallélogramme déterminé par ces vecteurs lorsque leurs origines coïncident. On peut démontrer cette afrmation en dénissant la somme comme dans le cas de 3. En particulier, dans 2, la somme des vecteurs = (u1; u2) et = (v1; v2) est + = (u1; u2) + (v1; v2) = (u1 + v1; u2 + v2).

288

Chapitre 9

Solution Selon la dénition de la multiplication par un scalaire et de l’addition,

Les composantes de Le module de

sont donc 6 et −4.

est

et

Puisque est dans le troisième quadrant, l’angle directeur de la droite support est θ ≈ 360° − 33,69° = 326,31°.

Localisation d’un vecteur géométrique Pour dénir un vecteur géométrique dans  2 ou dans  3, il suft d’en donner l’origine et l’extrémité. Ainsi, dans  2, le vecteur dont l’origine est le point (5; 3) et l’extrémité le point (−2; 9) est entièrement déni.

Translation d’un vecteur La translation d’un vecteur géométrique libre dans un repère est un déplacement de ce vecteur qui en conserve les caractéristiques (module, direction et sens). On peut effectuer une translation de n’importe quel vecteur géométrique de  2 ou de  3 de manière à faire coïncider son origine avec l’origine du système d’axes, ce qui permet de lui associer un vecteur algébrique. Pour réaliser ce type de translation, on applique la relation de Chasles. Soit, dans  2, le vecteur dont l’origine est le point A(a1; a2) et dont l’extrémité est le point B(b1; b2), et soit le point O(0; 0). Selon la relation de Chasles, on peut écrire que

et Le vecteur géométrique résultant de la translation à l’origine est Puisque les vecteurs positions sont

= (b1; b2) et

= (a1; a2), alors

= (b1; b2) − (a1; a2) = (b1− a1; b2 − a2). Le vecteur géométrique résultant de la translation est un vecteur dont l’origine est le point O(0; 0) et dont l’extrémité est le point (b1 − a1; b2 − a2). On peut donc lui associer le vecteur algébrique noté = (b1 − a1; b2 − a2).

Vecteurs et forces

289

Composantes d’un vecteur Soit un vecteur géométrique dont l’origine est le point A(a1; a2) et l’extrémité, le point B(b1; b2). On appelle projections orthogonales du vecteur les vecteurs obtenus en projetant le vecteur perpendiculairement sur les axes. La longueur algébrique de la projection , est b − a et la longueur algébrique de la horizontale, notée 1 1 projection verticale, notée , est b2 − a2. Ces longueurs algébriques sont les composantes du vecteur . On dénit de façon analogue les composantes d’un vecteur de  3. EXEMPLE 9.3.3

Calculer les composantes du vecteur dont l’origine et l’extrémité sont respectivement A(5; 3) et B(−2; 9), puis, à l’aide du résultat, déterminer les caractéristiques du vecteur. Solution Selon la relation de Chasles, . Puisque

= (−2; 9) et

= (5; 3), alors = (−2; 9) − (5; 3) = (−7; 6)

et le module de

est

La direction de

est l’angle directeur de la droite support

Puisque

est dans le deuxième quadrant, on a θ = α + 180° ≈ −40,6° + 180° = 139,4°.

EXEMPLE 9.3.4

Déterminer le vecteur algébrique équipollent au vecteur géométrique dont l’origine et l’extrémité sont A(2; −3; 5) et B(−3; 4; 2), puis, à l’aide du résultat, calculer le module de . Solution Puisque

= (2; −3; 5) et que

= (−3; 4; 2), alors

= (−3; 4; 2) − (2; −3; 5) = (−5; 7; −3) et le module de

est

REMARQUE

Il est à noter que, à chaque vecteur géométrique dont l’origine est le point (0; 0), on associe un vecteur algébrique entièrement déni par les coordonnées de l’extrémité du vecteur. Ainsi, au vecteur géométrique , on associe le vecteur algébrique noté = (5; 3). On dit que ce vecteur algébrique est le vecteur position du point A.

290

Chapitre 9

EXEMPLE 9.3.5 REMARQUE

Des vecteurs géométriques parallèles, ramenés à une origine commune, ont la même droite support. Des vecteurs géométriques situés dans des plans parallèles sont coplanaires une fois ramenés à une origine commune.

Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs

et

sont parallèles.

a) Soit les points A(2; 3; −1), B(4; −5; 6), C(7; 11; −6) et D(11; −5; 8). b) Soit les points A(5; −2; 7), B(3; 4; −5), C(7; 12; −8) et D(9; 6; 8). Solution a) Les deux vecteurs sont parallèles si et seulement s’il existe un scalaire k non nul tel que =k

.

On détermine d’abord les vecteurs algébriques

et

:

= (4; −5; 6) − (2; 3; −1) = (2; −8; 7) ; = (11; −5; 8) − (7; 11; −6) = (4; −16; 14). On constate que 2 = . On en conclut que les deux vecteurs sont parallèles puisqu’il existe un scalaire k tel que =k . Dans le cas présent, k = 1/2. b) Les vecteurs algébriques

et

sont :

= (3; 4; −5) − (5; −2; 7) = (−2; 6; −12) ; = (9; 6; 8) − (7; 12; −8) = (2; −6; 16). Il est évident qu’il n’existe aucun scalaire k tel que =k . On en conclut que les vecteurs et ne sont pas parallèles.

Équations paramétriques On obtient une description paramétrique d’une droite passant par un point R et parallèle à un vecteur à l’aide de la condition de parallélisme de deux vecteurs présentée plus haut. Pour qu’un point quelconque P(x; y; z) appartienne à la droite passant par R(x1; y1; z1) et parallèle au vecteur directeur = (a; b; c), il faut que le vecteur soit parallèle au vecteur directeur exister un scalaire t tel que

. Autrement dit, il doit

=t . De plus, la position du point P est décrite par

(x; y; z) = (x1; y1; z1) + t(a; b; c) = (x1 + ta; y1 + tb; z1 + tc). Selon la dénition de l’égalité des vecteurs, on obtient alors une équation paramétrique de la droite, soit

Vecteurs et forces

291

Réciproquement, ces trois équations dénissent une droite passant par le point (x1; y1; z1) et parallèle au vecteur (a; b; c). Équation paramétrique d’une droite de  3 Soit R(x1; y1; z1), un point d’une droite, et = (a; b; c), un vecteur directeur de cette droite. On appelle équation paramétrique de la droite toute expression

REMARQUE

On procède de façon analogue dans 2 pour obtenir (x; y) = (x1 + ta; y1 + tb), d’où l’on tire une équation paramé­ trique de la droite.

où t ∈ . EXEMPLE 9.3.6

Déterminer une équation paramétrique de la droite passant par le point R(3; 2) et parallèle au vecteur = (−1; 3). Solution Un point P(x; y) appartient à la droite recherchée si et seulement si le vecteur est parallèle à . Autrement dit, le point P appartient à la droite recherchée s’il existe un scalaire t ∈  tel que c’est­à­dire tel que (x; y) = (3; 2) + t(−1; 3) = (3 − t; 2 + 3t). Une équation paramétrique est

EXEMPLE 9.3.7

Déterminer une équation paramétrique de la droite passant par le point R(3; 4; 5) et parallèle au vecteur directeur = (2; 6; 3). Solution Un point P(x; y; z) appartient à la droite passant par le point R et parallèle à si le vecteur est parallèle à , c’est­à­dire s’il existe un scalaire t ∈  tel que = t . De plus, la position du point P(x; y; z) de la droite ∆ est décrite par

Donc, (x; y; z) = (3; 4; 5) + t(2; 6; 3). En effectuant les opérations et en utilisant la dénition de l’égalité de deux vecteurs, on obtient une équation paramétrique de la droite :

REMARQUE

La description paramétrique d’une droite n’est pas unique : on peut choi­ sir n’importe quel point de la droite et n’importe quel vecteur parallèle à celle­ci.

292

Chapitre 9

EXEMPLE 9.3.8

Donner une description paramétrique de la droite ∆ passant par les points P(1; −2; 4) et R(3; 4; 8). Solution On détermine d’abord le vecteur des points P et R : =

−

à l’aide des vecteurs positions

= (3; 4; 8) − (1; −2; 4) = (2; 6; 4).

On peut choisir , ou le vecteur = (1; 3; 2) parallèle à , et l’un ou l’autre des deux points. Si on prend = (1; 3; 2) et P(1; −2; 4), on obtient (x; y; z) = (1; −2; 4) + t(1; 3; 2) = (1 + t; −2 + 3t; 4 + 2t), où t ∈ , d’où l’on tire une équation paramétrique,

Coordonnées polaires et cartésiennes Il existe deux façons de décrire les vecteurs dans le plan cartésien. REPRÉSENTATIONS Vecteur de

2

1. En coordonnées polaires, on donne le module r et l’angle θ, au sens trigonométrique, que le vecteur détermine avec une demi-droite de référence. On appelle argument l’angle θ du vecteur et on note alors ce dernier = r∠θ. 2. En coordonnées cartésiennes ou rectangulaires, on écrit = (a; b), où a et b sont les composantes du vecteur . PROCÉDURES Pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes, et vice-versa

• Convertir en coordonnées polaires un vecteur 1. Calculer

= (a; b).

et α = arctan(b/a).

Choisir θ = α si a > 0, et θ = α + 180° si a < 0. Lorsque a = 0, la représentation graphique indique si θ = 90° ou si θ = 270°. 2. Écrire le vecteur sous la forme

= r∠θ.

• Convertir en coordonnées cartésiennes un vecteur 1. Calculer a = r cos θ et b = r sin θ. 2. Écrire le vecteur sous la forme = (a; b).

= r∠θ.

Vecteurs et forces

EXEMPLE 9.3.9

Exprimer le vecteur

= (−2; −5) en coordonnées polaires.

Solution

En représentant le vecteur dans un système d’axes, on constate que θ = α + 180° ≈ 248,20°. Ainsi, en coordonnées polaires, ≈ 5,39∠248,20°.

EXEMPLE 9.3.10

Exprimer le vecteur

= 3,4∠62° en coordonnées cartésiennes.

Solution = (r cos θ; r sin θ) = (3,4 cos 62°; 3,4 sin 62°) ≈ (1,60; 3,00)

Vecteurs algébriques et forces Lorsqu’on doit additionner des vecteurs donnés sous forme polaire, comme c’est souvent le cas dans la description de forces, il faut d’abord déterminer la forme rectangulaire des vecteurs pour pouvoir additionner les composantes correspondantes. EXEMPLE 9.3.11

Déterminer la résultante des forces illustrées ci-contre. Solution En considérant les angles que les vecteurs déterminent avec la direction positive de l’axe horizontal, on a

= (6∠35°) + (8∠130°) + (4∠250°) = (6 cos 35°; 6 sin 35°) + (8 cos 130°; 8 sin 130°) + (4 cos 250°; 4 sin 250°) = (−1,595…; 5,811…) = (a; b) = r∠θ

293

294

Chapitre 9

En exprimant

sous forme polaire, on obtient

et

Puisque a < 0, alors θ = α + 180° = 105,35…°. Donc,

La résultante est une force d’environ 6 N qui détermine un angle d’environ 105° avec l’horizontale. EXEMPLE 9.3.12

Un arpenteur a noté les vecteurs suivants pour décrire un parcours : : N55°E, 420 m ; : N24°O, 660 m. Les directions sont données par rapport aux axes ouest-est et sud-nord. La direction N55°E signie 55° mesurés à partir du nord vers l’est, soit un angle de 35° avec la parallèle à l’équateur, en direction est. La direction N24°O signie 24° mesurés à partir du nord vers l’ouest, soit un angle de 114° avec la parallèle à l’équateur, en direction est. Représenter graphiquement le parcours, et déterminer la direction et la longueur du parcours . Solution Le parcours est décrit par des vecteurs sous forme polaire : =

+

= (420∠35°) + (660∠114°) = (420 cos 35°; 420 sin 35°) + (660 cos 114°; 660 sin 114°) = (75,597... ; 843,842...) = (a; b) = r∠θ. En exprimant

à l’aide de coordonnées polaires, on obtient

et

Puisque a > 0, alors θ = α ≈ 85°. Le parcours

peut donc être décrit par ≈ 847∠85° ou

≈ N5°E, 847 m.

Vecteurs et forces

On procède de façon analogue pour analyser les conditions d’équilibre de translation d’un système de forces. Du point de vue géométrique, un tel système est en équilibre de translation si le polygone des forces est fermé. Cela signie, sur le plan algébrique, que la somme des composantes suivant chaque axe est nulle. On représente habituellement les forces dans un système d’axes pour établir les équations d’équilibre. Lorsqu’un vecteur algébrique représente une force dans un plan cartésien, on désigne les projections horizontale et verticale de ce vecteur par et .

EXEMPLE 9.3.13

Dans l’assemblage en équilibre illustré ci-contre, la masse suspendue exerce une force de 700 N. Déterminer algébriquement l’intensité des forces en présence. Solution Trois forces agissent au point A : la force de 700 N, la traction exercée par le câble et la poussée imprimée par la tige. Ces forces sont représentées ci-contre dans un système d’axes, par des vecteurs dont l’origine est le point A, qui est aussi l’origine du système d’axes. Le système étant en équilibre, la somme des composantes horizontales est nulle : Tx + Cx + Px = 0, d’où cos 40° +

cos 180° + 700 cos 270° = 0.

Puisque cos 180° = −1 et cos 270° = 0, alors cos 40° −

= 0.

Pour la même raison, la somme des composantes verticales est nulle : Ty + Cy + Py = 0 sin 40° +

sin 180° + 700 sin 270° = 0.

Puisque sin 180° = 0 et sin 270° = −1, alors sin 40° − 700 = 0. Cette dernière équation donne = En remplaçant

≈ 1 089 N.

par sa valeur dans l’équation cos 40° −

on obtient

≈ 834 N.

= 0,

295

296

Chapitre 9

EXEMPLE 9.3.14

Dans la gure reproduite ci-contre, les trois câbles supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. Déterminer algébriquement la tension dans chacun des câbles. Solution On construit d’abord le diagramme des forces. L’assemblage étant en équilibre, on a le système d’équations suivant :

Donc, cos 33° +

cos 128° + 2 540 cos 270° = 0 ;

sin 33° +

sin 128° + 2 540 sin 270° = 0.

En remplaçant le sinus et le cosinus de l’angle remarquable par sa valeur, on obtient cos 33° + sin 33° +

cos 128° = 0 ; sin 128° − 2 540 = 0.

Le système d’équations est donc

Ainsi, ≈ 1 570 et ≈ 2 138. Par conséquent, la tension dans le câble de droite est d’environ 1,57 kN et celle dans le câble de gauche est d’environ 2,14 kN.

Vecteurs et forces

9.4 Exercices 1. Donner le module des vecteurs algébriques suivants et l’angle directeur de la droite support. a) = (1; 3) c) = (−2; −4) b) = (−2; 3) d) = (5; −1)

297

a) Dans le quadrillage de gauche, représenter le vecteur algébrique 2 et le vecteur géométrique équipollent à 2 dont l’extrémité est (8; 7). b) Dans le quadrillage de droite, représenter le vecteur géométrique 3 dont l’origine est la même que , et le vecteur algébrique équipollent à 3 .

2. Déterminer le vecteur algébrique équipollent au vecteur géométrique dont l’origine est A et dont l’extrémité est B, et le représenter graphiquement. a) A(2; 4), B(6; 8) b) A(6; 5), B(2; 1) 3. Effectuer les opérations suivantes sur les vecteurs = (3; −2), = (−5; 4), = (2; 3) et = (−3; −5). a) + d) 5 − 2 + 3 b) − 2 + e) 23 + 13 − 2 c) 3 − + 2 f) −5 + 2 − 3 + 4 4. En utilisant la multiplication d’un vecteur par un scalaire, déterminer un vecteur ayant la même direction et le même sens que , mais un module de 1. a)

= (2; 3)

c)

= (−5; −12)

b)

= (−3; 4)

d)

= (−8; −6)

5. Représenter les vecteurs demandés et les décrire à l’aide des coordonnées de leur origine et de leur extrémité. a) Dans le quadrillage de gauche, le vecteur géométrique équipollent à dont l’origine est (2; 3) et le vecteur géométrique équipollent à dont l’origine est (1; 5). b) Dans le quadrillage de droite, le vecteur algébrique équipollent à et le vecteur géométrique équipollent à dont l’origine est (4; 5).

7. Représenter graphiquement les points donnés dans le système d’axes suivant, en laissant les traces des déplacements parallèlement aux axes. a) A(3; 4; 5) b) B(−2; −3; 3)

8. Déterminer le vecteur algébrique équipollent au vecteur géométrique dont l’origine est A et dont l’extrémité est B, et le représenter graphiquement. a) A(−3; 2; 1), B(3; 5; −2) b) A(3; −3; 3), B(−2; 2; 3)

9. Effectuer les opérations indiquées sur les vecteurs = (2; −3; 1), = (−3; 2; 4) et = (4; 5; −3). a) + c) 5 − 3 + 4 b) 2 − 3 d) −3 + 2 − 4 6. Dans chaque cas, décrire le vecteur au moyen des coordonnées de son origine et de son extrémité. Représenter les vecteurs demandés et les décrire à l’aide des coordonnées de leur origine et de leur extrémité.

10. Trouver sachant que a) = (2; 13; −5) d) b) = (8; 8; 4) e) c) = (−2; 1; 2) f)

= (7; −3; 5) = (1; 4; 2) = (3; 3; 2)

298

Chapitre 9

11. Représenter le vecteur algébrique équipollent à et le vecteur géométrique équipollent à dont l’origine est (0; 1; 5). Décrire ces vecteurs à l’aide des coordonnées de leur origine et de leur extrémité. 12. En utilisant la multiplication d’un vecteur par un scalaire, déterminer un vecteur ayant la même direction et le même sens que , mais un module de 1. a) = (3; −3; 3) d) = (3; 2; −2) b) = (10; 10; 5) e) = (−13; 2; 5) c) = (−4; 2; −4) f) = (7; 2; −3) 13. Déterminer si les vecteurs et sont parallèles et calculer la valeur du paramètre k, s’il y a lieu. a) A(3; −2; −1), B(7; 8; 5), C(5; −15; −2) et D(9; −5; 4) b) A(5; −2; 7), B(1; 4; −5), C(2; 9; −4) et D(4; 6; 2) c) A(6; 0; −2), B(8; 4; −5), C(10; 9; −4) et D(4; −3; 5) d) A(4; −1; 3), B(3; 1; −5), C(5; 4; −3) et D(4; 6; 5) 14. Soit le vecteur algébrique = (3; −2; 5). a) Déterminer les coordonnées du point B si le vecteur est équipollent au vecteur , étant donné A(2; 5; 7). b) Déterminer les coordonnées du point C si le vecteur est équipollent au vecteur , étant donné D(8; 12; −14). c) Déterminer les coordonnées du point F si = 3 , étant donné E(2; −3; 5).

16. Représenter graphiquement les droites suivantes sans éliminer le paramètre. Déterminer les points d’intersection de chaque droite avec les axes. a) x = t ; y = 2t b) x = −4 + 3t ; y = 2 + t c) x = 2 − t ; y = 1 + 4t d) x = 4 − 3t ; y = 1 + t 17. En utilisant le point représenté et le vecteur algébrique équipollent à , donner une description paramétrique de la droite ∆ illustrée. a)

b)

18. Dans chaque cas, donner une description paramétrique de la droite ∆ passant par le point Q et parallèle au vecteur . a) Q(2; −3; 4) et = (1; 4; −2) b) Q(−3; 5; 2) et = (2; −5; 3) 19. Donner une description paramétrique des droites illustrées. a)

b)

20. Donner une description paramétrique de la droite passant par P et parallèle au vecteur . a)

b)

15. Déterminer une équation paramétrique de la droite passant par le point Q et de vecteur directeur . Représenter graphiquement la droite et calculer ses points d’intersection avec les axes. a) b) c) d)

Q(5; 3) et = (2; 5) Q(4; −3) et = (−3; 6) Q(−5; −3) et = (2; −5) Q(4; 2) et = (−2; −3)

21. Localiser les points (3; 0; 2) et (0; 4; 5) dans un système de référence {O, , , }, puis donner une description paramétrique et représenter graphiquement la droite passant par ces deux points.

Vecteurs et forces

22. Déterminer la résultante des trois vecteurs représentés dans la gure suivante.

299

27. On doit ériger un pilier de béton pour supporter une partie du poids d’une construction. On a déterminé la poussée que subira chaque poutrelle d’acier reposant sur le pilier. Calculer la poussée totale que subira le pilier et l’orientation de cette poussée.

23. Déterminer la résultante des trois forces représentées dans la gure suivante.

28. Déterminer algébriquement la tension dans chacun des trois câbles, A, B et C, sachant que le système illustré ci-dessous est en équilibre. 24. Déterminer la résultante du système suivant.

29. Déterminer algébriquement la tension dans chacun des trois câbles, A, B et C, sachant que le système illustré ci-dessous est en équilibre.

25. Calculer la tension dans les cordes, sachant que le système illustré ci-dessous est en équilibre.

30. Déterminer algébriquement la tension dans chacun des trois câbles, A, B et C, sachant que le système illustré ci-dessous est en équilibre. 26. Une poutre d’acier est soutenue en son centre par trois câbles. La tension et la ligne d’action de chaque câble sont données ci-dessous. On désire remplacer les trois câbles par un seul. Déterminer la tension et l’orientation de ce câble unique. 31. Exprimer les vecteurs suivants sous forme cartésienne. a) = 25∠35° b) = 142∠124° c) = 45,3∠212° d) = 28,2∠341°

300

Chapitre 9

32. Dans chaque cas, représenter graphiquement les vecteurs donnés. Calculer la somme des vecteurs, représenter graphiquement le vecteur résultant, puis calculer son module et l’angle qu’il détermine avec l’horizontale. a) = 35∠35° et = 60∠150° b) = 27∠153° et = 41∠277° c) = 54∠47° et = 32∠336° d) = 36∠25° et = 42∠62° 33. La localisation d’un point par coordonnées polaires consiste à prendre une droite joignant deux points connus, A et B, comme axe de référence et à localiser le point P en mesurant sa distance au point A et l’angle que la droite passant par A et P détermine avec la droite AB. Dans le croquis suivant, l’arpenteur a localisé trois des coins d’un bâtiment rectangulaire à l’aide de coordonnées polaires.

a) Déterminer les coordonnées rectangulaires des quatre coins du bâtiment. b) Calculer l’angle déterminé par la façade DE de l’édice et la droite AB. c) Déterminer les dimensions et l’aire du bâtiment. 34. Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours : : N38°E, 610 m ; : N42°O, 812 m. Représenter graphiquement et déterminer la direction et la longueur du parcours .

35. Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours. : N28°E, 420 m ; : N56°O, 948 m ; : S64°O, 364 m. Représenter graphiquement le parcours miner sa direction et sa longueur.

et déter-

36. Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire le contour polygonal d’un terrain. : N59°E, 732 m ; : N57°O, 948 m ; : S22°O, 744 m ; : S65°E, 485 m. Tracer le plan de ce terrain et en calculer l’aire. 37. Un arpenteur a esquissé le plan suivant après avoir fait le relevé d’un terrain. À partir du point A, il a mesuré la direction AF, puis les directions et distances AB et BC. En C, il a mesuré la direction CD. Il a ensuite traversé le pont et, à partir du point D, il a mesuré les directions et distances DE et EF. À l’aide de ces données, déterminer les . longueurs

10 9

PRODUITS de VECTEURS

10.1 Produit scalaire    302

Résoudre des problèmes en utilisant les produits de vecteurs

Vecteurs géométriques Vecteurs algébriques Éléments de géométrie vectorielle Équation cartésienne Calcul d’une distance Produit scalaire et travail Un peud’histoire Jérôme Cardan

Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • la manipulation de vecteurs conformément aux règles d’utilisation ; • l’interprétation des résultats selon le contexte ; • l’utilisation de vecteurs géométriques dans la résolution de problèmes ; • l’exécution des opérations sur des vecteurs algébriques ; • l’utilisation de vecteurs algébriques dans l’analyse de phénomènes mettant en jeu des forces.

10.2 Exercices          318 10.3 Produit vectoriel   321 Interprétation géométrique du produit vectoriel Produit vectoriel nul Vecteurs algébriques Moment d’une force Produit mixte

10.4 Exercices          335

302

Chapitre 10

10.1

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui à deux vecteurs fait correspondre un scalaire.

Vecteurs géométriques Produit scalaire de deux vecteurs géométriques Soit et , deux vecteurs. Le produit scalaire de • , est le scalaire déni géométriquement par

par

, noté

Si cela ne prête pas à confusion, on note θ l’angle déterminé par les vecteurs et . PROPRIÉTÉS REMARQUE

Propriétés du produit scalaire

Toutes ces propriétés sont faciles à démontrer, ce ne sont que des conséquences de la dénition.

Pour tout vecteur , et et pour tout scalaire p et q, le produit scalaire a les propriétés suivantes. 1. Commutativité • = • 2. Associativité de la multiplication par un scalaire ( p ) • (q ) = pq( • ) 3. Distributivité par rapport à l’addition vectorielle •( + )= • + • 4. Produit scalaire nul Soit et , deux vecteurs de module non nul tels que

•

= 0.

Puisque alors l’un des facteurs du produit est nécessairement nul. Les deux vecteurs étant non nuls, on a donc cos θ = 0 et θ = arccos 0 = 90°. Réciproquement, si

et

sont perpendiculaires, alors

On obtient donc le théorème suivant. THÉORÈME Produit scalaire nul

Soit et , deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs et sont perpendiculaires, ce qu’on note ⊥ .

Produits de vecteurs

303

Vecteurs algébriques Il est possible d’effectuer le produit scalaire de vecteurs algébriques. Soit deux vecteurs algébriques et tels que = u1 + u2 + u3 et

= v1 + v2 + v3 .

En vertu des propriétés du produit scalaire, •

= (u1 + u2 + u3 ) • (v1 + v2 + v3 ) = u1v1( • ) + u1v2( • ) + u1v3( • ) + u2v1( • ) + u2v2( • ) + u2v3( • ) + u3v1( • ) + u3v2( • ) + u3v3( • ) = u1v1 + u2v2 + u3v3.

En effet, ( • ) = ( • ) = ( • ) = 1 et les termes contenant le produit de deux vecteurs perpendiculaires sont tous nuls. Cela donne le théorème suivant. THÉORÈME Produit scalaire de deux vecteurs algébriques de 3

Soit = (u1; u2; u3) et = (v1; v2; v3), deux vecteurs algébriques de 3. Le produit scalaire de et , noté • , est le scalaire déni par •

= u1v1 + u2v2 + u3v3.

Ce théorème est également valide dans 2. Il s’énonce alors comme suit. THÉORÈME Produit scalaire de deux vecteurs algébriques de 2

Soit = (u1; u2) et = (v1; v2), deux vecteurs algébriques de 2. Le produit scalaire de et , noté • , est le scalaire déni par •

= u1v1 + u2v2.

EXEMPLE 10.1.1

Montrer que les vecteurs = (2; −5; 7) et = (3; 4; 2) sont perpendiculaires. Solution Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul. Or, • = (2 × 3) + (−5 × 4) + (7 × 2) = 6 − 20 + 14 = 0. Puisque leur produit scalaire est nul,

et

sont perpendiculaires.

En isolant cos θ dans la dénition du produit scalaire, on a

Cette expression suggère une procédure de calcul de l’angle entre deux vecteurs.

REMARQUE

Il est facile de calculer le produit scalaire de deux vecteurs algé­ briques et cela constitue une façon simple de déterminer s’ils sont perpendiculaires.

304

Chapitre 10

PROCÉDURE REMARQUE

Pour calculer l’angle entre deux vecteurs algébriques

On ne peut appliquer cette technique si un des vecteurs est nul puisqu’un vecteur nul n’a ni direction ni sens.

1. Calculer 2. Calculer l’angle entre les vecteurs et à l’aide de la fonction arccosinus. 3. Interpréter le résultat selon le contexte s’il y a lieu. EXEMPLE 10.1.2

Un cube de deux unités de côté est représenté ci-contre dans 3. Calculer l’angle entre les segments joignant le centre du cube à deux de ses sommets. Solution Soit

= (−1; −1; 1) et

= (−1; 1; −1). On a

et θ = arccos(−1/3) ≈ 109,47°. L’angle entre les segments est donc d’environ 109,47°. On obtiendrait le même résultat en choisissant deux autres segments.

Interprétation géométrique du produit scalaire

Soit et , deux vecteurs non nuls de même origine, et b, la longueur de la projection orthogonale de sur ou sa droite support. On examine d’abord le cas où 0° < θ < 90°. On a alors

Dans le cas où 90° < θ < 180°,

Si θ = 0° ou θ = 180°, alors

et, si θ = 90°, alors

Par conséquent, le produit est, dans tous les cas, le produit du module de par la longueur de la projection de sur . Cela signie que le produit scalaire donne, au signe près, le produit du module de par la longueur de la projection de sur . De façon analogue, le produit scalaire • donne, au signe près, le produit du module de par la longueur de la projection de sur .

Produits de vecteurs

305

On peut donc, à l’aide du produit scalaire, trouver la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur . En effet, La longueur de la projection du vecteur

sur le vecteur

est notée

THÉORÈME Longueur de la projection d’un vecteur sur un autre vecteur

Soit et deux vecteurs non nuls dont l’origine coïncide. La longueur de la projection du vecteur sur le vecteur (ou simplement projection de sur ) est donnée par

REMARQUE

De façon analogue, la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur est

Éléments de géométrie vectorielle Angle entre deux droites

Droites coplanaires et droites gauches Deux droites de l’espace sont dites coplanaires lorsqu’elles sont dans un même plan. Des droites coplanaires peuvent être concourantes ou parallèles. Deux droites de l’espace non coplanaires sont dites gauches. Angle entre deux droites Soit ∆1 et ∆2, deux droites de l’espace. L’angle entre ces droites est l’angle aigu déterminé par les vecteurs directeurs et :

Lorsque l’angle entre les vecteurs directeurs est compris entre 0° et 90°, il est le même que l’angle entre les droites ; lorsque l’angle entre les vecteurs est compris entre 90° et 180°, l’angle entre les droites est l’angle supplémentaire de l’angle entre les vecteurs. PROCÉDURE Pour calculer l’angle entre deux droites

1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites. 2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle θ entre ces vecteurs. 3. Calculer α = ∠(∆1, ∆2) : • α = θ si 0° ≤ θ ≤ 90° ; • α = 180° − θ si 90° < θ < 180°.

REMARQUE

L’angle entre deux droites est déni même si celles-ci sont gauches. L’angle entre deux droites, coplanaires ou non, est nécessairement aigu.

306

Chapitre 10

EXEMPLE 10.1.3

Trouver l’angle entre les droites suivantes.

Solution Les vecteurs directeurs sont

= (−3; 7; −2) et

= (6; −2; −3). Donc,

et

L’angle entre les droites est l’angle aigu entre les vecteurs directeurs, soit environ 61,85°.

Équation cartésienne Vecteur normal Un vecteur normal à une droite de 2 est un vecteur perpendiculaire à cette droite. On le note . REMARQUE

Dans la notation R(x1; y1), les symboles x1 et y1 représentent des nombres (ou des constantes) ; dans P(x; y), les symboles x et y représentent des variables. On désigne parfois une droite par la lettre grecque ∆ (delta).

On sait que, pour déterminer l’équation d’une droite, on doit décrire la condition à laquelle doit satisfaire un point pour appartenir à cette droite. Si on connaît un point R(x1; y1) de la droite et un vecteur = (a; b) normal à la droite, on prend un vecteur allant du point R à un point P(x; y) quelconque. La condition pour que P appartienne à la droite recherchée, c’est que les vecteurs et soient perpendiculaires, c’està-dire que leur produit scalaire soit nul. •

= 0;

donc, (a; b) • (x − x1; y − y1) = 0 et ax + by − ax1 − by1 = 0. Si, dans la dernière équation, on désigne la constante −ax1 − by1 par c, on obtient une équation de la forme ax + by + c = 0. Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite perpendiculaire au vecteur = (a; b). REMARQUE

Les coefcients des variables de l’équation cartésienne d’une droite sont les composantes d’un vecteur normal à la droite.

Équation cartésienne d’une droite de 2 Soit R(x1; y1), un point d’une droite ∆, et = (a; b), un vecteur normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite l’équation ax + by + c = 0, où c = −ax1 − by1.

Produits de vecteurs

PROCÉDURE Pour déterminer une équation cartésienne d’une droite ∆ de 2

1. Soit R, un point donné de ∆, et , un vecteur normal à ∆. Cons­ truire le vecteur allant du point R à un point P quelconque de ∆, de coordonnées (x; y). est alors un vecteur directeur de ∆. 2. Effectuer le produit scalaire des vecteurs et . 3. Poser le produit scalaire égal à 0 et regrouper les constantes.

EXEMPLE 10.1.4

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur = (2; 1). Solution Soit P(x; y), un point quelconque de la droite. Le vecteur = (x − 4; y − 5).

est

Le produit scalaire est •

= 2(x − 4) + 1(y − 5).

En égalant ce produit à 0 et en regroupant, on obtient 2x + y = 13.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Forme d’une équation cartésienne pour un plan π de 3

Une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b et c ne sont pas tous nuls est un plan de 3. Pour alléger la représentation graphique, on ne donne parfois que le triangle déterminé par l’intersection avec les axes. Lorsque a, b et c sont non nuls, le plan coupe les trois axes aux points (−d/a; 0; 0), (0; −d/b; 0) et (0; 0; −d/c). Plans parallèles à deux axes • Une équation de la forme ax + d = 0, où a ≠ 0 représente un plan parallèle au plan yz, c’est­à­dire aux axes des y et des z. • Une équation de la forme by + d = 0, où b ≠ 0 représente un plan parallèle au plan xz, c’est­à­dire aux axes des x et des z. • Une équation de la forme cz + d = 0, où c ≠ 0 représente un plan parallèle au plan xy, c’est­à­dire aux axes des x et des y.

307

308

Chapitre 10

Plans parallèles à un axe • Une équation de la forme by + cz + d = 0, où b ≠ 0 et c ≠ 0 représente un plan parallèle à l’axe des x. • Une équation de la forme ax + cz + d = 0, où a ≠ 0 et c ≠ 0 représente un plan parallèle à l’axe des y. • Une équation de la forme ax + by + d = 0, où a ≠ 0 et b ≠ 0 représente un plan parallèle à l’axe des z.

EXEMPLE 10.1.5

Dans chaque cas, représenter graphiquement le plan dont on donne une équation cartésienne, puis déterminer un vecteur normal au plan. a) π1 : 6x + 4y + 3z − 12 = 0 c) π3 : y − 3 = 0 b) π2 : 3x + 2y − 6 = 0 Solution a) Pour déterminer le point de rencontre du plan π1 avec l’axe des x, on pose y = 0 et z = 0 dans l’équation 6x + 4y + 3z − 12 = 0 : 6x − 12 = 0 ; donc x = 2. Le plan π1 coupe donc l’axe des x au point (2; 0; 0). En procédant de façon analogue, on trouve que le plan π1 coupe l’axe des y au point (0; 3; 0) et l’axe des z, au point (0; 0; 4). Ces trois points permettent de représenter une portion du plan. Le vecteur normal, obtenu à l’aide de l’équation cartésienne, est = (6; 4; 3). b) En procédant de la même façon qu’en a), on détermine que le plan π2 coupe l’axe des x au point (2; 0; 0) et l’axe des y, au point (0; 3; 0). Cependant, en posant x = 0 et y = 0, on aboutit à une contradiction. Le plan π2 ne coupe donc pas l’axe des z. La variable z est libre et le plan π2 est parallèle à l’axe des z. Le vecteur normal tiré de l’équation de π2 est = (3; 2; 0). c) Le plan π3 coupe l’axe des y au point (0; 3; 0) et il est parallèle aux axes représentant les variables libres, soit x et z. Le vecteur normal est = (0; 1; 0).

Angle entre une droite et un plan L’angle entre une droite ∆ et un plan π, noté ∠(∆, π), est l’angle aigu formé par la droite et sa projection orthogonale sur le plan.

Produits de vecteurs

Dans les cas illustrés ci-contre, l’angle entre la droite et le plan est l’angle α, et θ est l’angle entre un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite. Il est à noter que • si 0 ≤ θ ≤ 90°, alors α = 90° − θ ; • si 90° < θ < 180°, alors α = θ − 90°. On doit donc déterminer l’angle θ entre un vecteur normal et un vecteur directeur an de déterminer l’angle entre la droite et le plan. PROCÉDURE Pour calculer l’angle entre une droite et un plan

1. Déterminer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan. 2. Utiliser le produit scalaire pour trouver l’angle θ entre les vecteurs. 3. Déterminer l’angle α entre la droite et le plan : • si 0 ≤ θ ≤ 90°, α = 90° − θ ; • si 90° < θ < 180°, α = θ − 90°. EXEMPLE 10.1.6

Calculer l’angle entre le plan π : 2x − 3y + 4z − 5 = 0 et la droite

Solution Un vecteur normal au plan π est = (2; −3; 4) et un vecteur directeur de la droite ∆ est = (−3; 7; −2). L’angle entre ces vecteurs est donné par

Puisque 90° < θ < 180°, alors α ≈ 145,63° − 90° = 55,63°. Angle entre deux plans sécants L’angle entre deux plans sécants π1 et π2, noté ∠(π1, π2), est le plus petit angle α (aigu ou droit) déterminé par les plans. Par conséquent, l’angle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90°, alors que l’angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0° et 180°. Les gures ci-contre indiquent clairement que, si on fait tourner les vecteurs et de 90° autour de l’origine, alors l’angle entre leurs droites supports est égal à l’angle entre les plans π1 et π2. On a • α = θ si 0° ≤ θ ≤ 90° ; • α = 180° − θ si 90° < θ < 180°. Pour simplier la représentation graphique, on peut ne représenter que les deux plans et les vecteurs normaux selon un angle de vision favorable, par exemple, une vue en coupe.

309

310

Chapitre 10

PROCÉDURE Pour calculer l’angle entre deux plans sécants

1. Déterminer un vecteur normal à chacun des plans. 2. Calculer l’angle θ entre les deux vecteurs à l’aide du produit scalaire. 3. Calculer α = ∠(π1, π2), l’angle entre les plans : • α = θ si 0° ≤ θ ≤ 90° ; • α = 180° − θ si 90° < θ < 180°. EXEMPLE 10.1.7

Calculer l’angle entre les plans π1 : x + 2y − 3z + 4 = 0 et π2 : 5x − 3y + 4z − 22 = 0. Solution Des vecteurs normaux aux plans sont donnés par les coefcients des variables dans les équations = (1; 2; −3) et

= (5; −3; 4).

Donc,

et

Puisque θ > 90°, alors α = 180° − θ ≈ 60,57° ; donc, l’angle entre les plans π1 et π2 est d’environ 60,57°.

Calcul d’une distance Pour calculer la distance entre deux points, il suft de déterminer la longueur du vecteur joignant ces deux points. On calcule la distance entre d’autres entités en résolvant un triangle tel que l’un de ses côtés est la distance recherchée. Il faut alors déterminer l’angle entre les vecteurs correspondant aux deux autres côtés et utiliser la trigonométrie pour calculer la longueur du côté égal à la distance recherchée. Voici quelques cas de calcul d’une distance à l’aide de vecteurs. Distance d’un point à un plan Soit un plan π et Q(x1; y1; z1), un point de 3 extérieur à π. La distance du point Q au plan π est la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. Pour calculer cette longueur, on prend un point R quelconque du plan π et on détermine le vecteur algébrique . La distance du point Q au plan π, notée d(Q, π), est égale à la longueur d’un des côtés de l’angle droit du triangle PQR, soit le côté . Pour simplier le graphique, on représente seulement le plan π et le vecteur .

Produits de vecteurs

PROCÉDURE Pour calculer la distance d’un point Q à un plan π

1. Déterminer un vecteur normal au plan. 2. Déterminer un point R du plan et déterminer le vecteur

.

Démarche trigonométrique

3. Calculer l’angle entre les côtés du triangle à l’aide du produit scalaire. 4. Calculer la longueur du côté du triangle rectangle égal à la longueur recherchée au moyen de la trigonométrie. Démarche vectorielle

5. Calculer la valeur absolue du produit

•

.

EXEMPLE 10.1.8

Calculer la distance du point Q(5; −6; 7) au plan π : 5x − 3y + z − 16 = 0. Solution Un vecteur normal au plan est = (5; −3; 1). On détermine un point R du plan en posant, par exemple, x = 2 et y = −1 dans l’équation du plan, ce qui donne z = 3. Donc, le point R(2; −1; 3) est un point du plan π et = (3; −5; 4). Démarche trigonométrique L’angle entre les deux vecteurs est

Puisque 0 ≤ θ ≤ 90°, l’angle entre les côtés du triangle est α = θ. La distance recherchée est la longueur du côté adjacent à l’angle α et l’hypoténuse est la longueur de . On a donc

La distance est donc d’environ 5,75 unités. Démarche vectorielle En appliquant plutôt la procédure pour calculer la projection du vecteur sur le vecteur normal , on obtient

On observe que le résultat est le même, soit environ 5,75 unités.

311

312

Chapitre 10

Les différents cas de calcul des distances sont les suivants. Distance entre deux plans parallèles Pour calculer la distance entre deux plans parallèles, on détermine un point de chacun des plans, puis on construit le vecteur . On peut trouver la réponse à l’aide des relations trigonométriques, puisque l’angle entre le vecteur et le vecteur normal aux deux plans est un angle du triangle rectangle. On peut également procéder en calculant la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur , c’est-à-dire Distance entre une droite et un plan parallèles Pour trouver la distance entre une droite et un plan parallèles, on détermine un point de la droite et un point du plan, puis on construit le vecteur . La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur , c’est-à-dire Distance entre deux droites gauches Deux droites gauches sont toujours contenues dans des plans parallèles. On détermine d’abord un point de chacune des droites pour former le vecteur , puis on trouve un vecteur normal aux deux plans. La distance est la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur , c’est-à-dire

Distance d’un point à une droite Soit une droite ∆ et Q(x1; y1; z1), un point de 3 extérieur à ∆. La distance du point à la droite est la longueur du segment perpendiculaire abaissé du point sur la droite, soit le vecteur . Pour calculer cette longueur, on prend un point R quelconque de la droite ∆ et on détermine le vecteur algébrique . Dans le triangle RPQ, on a +

=

. Donc,

=

–

.

Puisque , on a = – . Par conséquent, la distance du point Q à la droite ∆, notée d(Q, ∆), est

Il est à noter que si l’angle a est plus grand que 90°, le scalaire

est négatif ; on doit alors prendre la valeur absolue. Distance entre deux droites parallèles Pour calculer la distance entre deux droites parallèles, on prend un point de chacune des droites, notés respectivement R et Q, et on construit le vecteur . On procède ensuite comme pour déterminer la distance d’un point à une droite, .

Produits de vecteurs

EXEMPLE 10.1.9

Soit le point Q(4; 5; 2) et la droite

a) En choisissant sur la droite ∆ le point R correspondant à t = 0, calculer la distance du point Q à la droite ∆ selon une approche trigonométrique. b) Calculer à nouveau cette distance selon une approche vectorielle en utilisant le même point R. c) En choisissant sur la droite ∆ le point R correspondant à t = –2, calculer la distance du point Q à la droite ∆ selon une approche vectorielle. Solution a) Un vecteur directeur de ∆ est = (1; –3; 2). Si on prend le point R(3; 2; 5) de ∆, on obtient = (1; 3; –3). L’angle θ entre les deux vecteurs est

Puisque 90° ≤ θ ≤ 180°, l’angle déterminé par les côtés du triangle est l’angle supplémentaire de θ, soit α = 180° – θ ≈ 30,86°. La distance recherchée est la longueur du côté opposé à l’angle α et l’hypoténuse est la longueur de : La distance entre Q et ∆ est donc d’environ 2,24 unités. b) On doit déterminer le vecteur projection de le vecteur = (1; –3; 2) :

= (1; 3; –3) sur

On détermine ensuite le vecteur : = – = (1; 3; –3) – (–1; 3; –2) = (2; 0; –1). Donc, On estime que la distance entre Q et ∆ est d’environ 2,24 unités. c) En posant t = –2, on a R(1; 8; 1) et = (3; –3; 1). Le vecteur projection de = (3; –3; 1) sur le vecteur = (1; –3; 2) est

313

314

Chapitre 10

On détermine ensuite le vecteur =

–

:

= (3; –3; 1) – (1; –3; 2) = (2; 0; –1).

Donc, On estime que la distance entre Q et ∆ est d’environ 2,24 unités.

REMARQUE

Lorsque l’angle entre le déplacement et la force est plus grand que 90°, la force nuit au déplacement. On a alors W < 0. Dans l’illustration ci-dessous, la force de frottement nuit au déplacement et le travail de cette force est négatif.

Produit scalaire et travail Le travail W effectué par une force qui déplace un objet dépend de deux facteurs : • la force elle-même (direction, sens et intensité) ; • le déplacement de l’objet.

Seule la composante de la force dans le sens du déplacement effectue un travail utile. Ainsi : W= cos q , où q est l’angle entre le vecteur et le déplacement, et est la longueur de ce dernier. Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement : W= • . REMARQUE

Le travail est effectué par la résultante des forces agissant sur le corps. Dans les situations que nous présenterons, la force donnée sera, à moins d’indication contraire, la résultante effectuant un travail utile.

L’unité de la force est le newton (N) et le déplacement se calcule en mètres (m). Le produit scalaire de la force et du déplacement s’exprime en newtons-mètres (N·m) ou en joules (J). Calcul du travail : approche géométrique L’exemple suivant illustre le calcul du travail selon l’approche géométrique. EXEMPLE 10.1.10

On tire le bloc ci-contre avec une force de 200 N faisant un angle de 30° avec l’horizontale. Calculer le travail effectué pour déplacer le bloc de 10 m. Solution Le travail est W=

•

= cos q = (200 cos 30°) × 10 ≈ 1,73 × 103 N·m = 1,73 kJ.

Produits de vecteurs

315

Calcul du travail : approche algébrique On peut aussi résoudre le problème de l’exemple 10.1.10 en prenant des vecteurs algébriques. Le vecteur déplacement est alors = (10; 0) et le vecteur algébrique décrivant la force est = (200 cos 30°; 200 sin 30°). Le travail est égal au produit scalaire de ces deux vecteurs :

•

W=

= (200 cos 30°; 200 sin 30°) • (10; 0) = 2 000 cos 30° + 0 ≈ 1,73 × 103 N.m = 1,73 kJ.

Dans cet exemple, l’approche géométrique est évidemment plus simple. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. EXEMPLE 10.1.11

On veut monter le bloc ci-contre en le tirant avec une force de 350 N faisant un angle de 52° avec l’horizontale. Le plan incliné détermine un angle de 23° avec l’horizontale. a) En considérant que la longueur du bloc est négligeable, calculer le travail effectué pour monter le bloc jusqu’en haut du plan incliné. b) Calculer la force verticale qui effectuerait le même travail en montant le bloc verticalement à une hauteur identique. c) Calculer le travail requis si on montait le bloc sur le même plan incliné en le poussant avec une force horizontale de 500 N. Solution a) On représente la situation dans un système d’axes. Le vecteur déplacement fait un angle de 23° avec l’horizontale et est représenté par le vecteur algébrique = (10 cot 23°; 10), et le vecteur algébrique décrivant la force est = (350 cos 52°; 350 sin 52°). Le travail est égal au produit scalaire de ces deux vecteurs : W=

•

= (350 cos 52°; 350 sin 52°) • (10 cot 23°; 10)

= 3 500 cot 23° cos 52° + 3 500 sin 52° = 3 500 (cot 23° cos 52° + sin 52°) = 7 834,46... N.m ≈ 7,83 kJ. b) Le vecteur algébrique représentant la force s’exerçant à la verticale est = (0; Fy ) et le vecteur algébrique représentant le déplacement est = (0; 10). Le travail devant être le même, on a W=

•

= (0; Fy ) • (0; 10) ≈ 7,83 kJ. Donc, 10Fy ≈ 7 830 N.m et Fy ≈ 783 N.

REMARQUE

Si la forme d’un objet n’intervient pas dans l’analyse d’un phénomène, on considère cet objet comme un point. C’est le cas dans la gure suivante, où l’objet est le point à l’origine du système d’axes.

316

Chapitre 10

Il faudrait donc exercer une force d’environ 783 N pour effectuer le même travail en montant le bloc verticalement à une hauteur identique.

REMARQUE

Le présent exemple illustre bien que l’approche algébrique est beaucoup plus simple dans les cas complexes.

c) Le vecteur algébrique représentant la force s’exerçant à l’horizontale est = (500; 0) et le vecteur algébrique représentant le déplacement est = (10 cot 23°; 10). Le travail est égal au produit scalaire de ces deux vecteurs : W=

•

= (500; 0) • (10 cot 23°; 10) = 5 000 cot 23° + 0 = 11 779,26... N.m ≈ 11,78 kJ.

Produits de vecteurs

317

Un peud’histoire

JÉRÔME CARDAN 1501-1576

J

érôme Cardan (en italien, Gerolamo Cardano) était philosophe, médecin, as­ trologue et mathématicien. Il était le ls illégitime d’un mathématicien milanais, Facio Cardano, jurisconsulte et ami de Léonard de Vinci, et d’une veuve, Chiara Micheri. Extraordinairement précoce, il fut éduqué par son père et acquit dès sa jeunesse une cer­ taine renommée comme astrologue et mage, avant de se consacrer aux mathématiques et aux sciences naturelles. Il effectua des études en médecine à Pavie et à Padoue et fut reçu docteur en médecine en 1526. Il fut élu recteur de l’Uni­ versité de Padoue à 25 ans et fut médecin de village à Saccolongo pendant cinq ans. En 1534, il obtint une chaire de mathématiques à Milan, où il enseigna la géométrie et l’astronomie jusqu’en 1539, année où il fut agréé par le Collège des médecins de Milan. À l’époque de Cardan, on enseignait les mathématiques dans les facultés de médecine an que les médecins puissent tracer la carte du ciel des patients dans le but de poser un diagnostic et de prescrire un traitement. Cardan fut dénoncé à l’Inquisition par un de ses ls pour avoir supposément fait l’horoscope de Jésus­Christ. Accusé de magie, il fut emprisonné en 1570 et libéré contre la pro­ messe de ne plus enseigner dans les États de l’Église. Cependant, en 1571, il s’établit à Rome, où il fut agréé par le Collège des médecins. Son talent de médecin lui valut la protection du pape Pie V, puis celle du pape Grégoire XIII, qui lui accorda une pension, versée jusqu’à sa mort cinq ans plus tard.

Les travaux d’algèbre de Cardan Dans ses travaux d’algèbre, Cardan prit connaissance de la racine carrée de nombres négatifs en cherchant à diviser 10 en deux nombres dont le produit est 40, ce qui revient à chercher les racines de l’équation quadratique x 2 − 10x + 40 = 0. Cardan obtint des expressions qu’il qualia de « subtiles et inutiles », soit

dont le produit, si l’on ne se soucie pas de donner un sens à la racine négative, est

Évidemment, la conclusion qui s’imposait était que l’équa­ tion x2 − 10x + 40 = 0 n’a aucune solution réelle.

À l’époque, les mathématiciens ac ceptaient facilement le fait que certaines équations qua­ dratiques (comme x 2 + 1 = 0) n’avaient pas de solution. Cependant, ils considéraient que les équations cubiques avaient nécessairement au moins une solution. (Par exemple, x 3 + 1 = 0 admet −1 comme solution.) Plusieurs mathé­ maticiens cherchaient une formule géné­ rale permettant de résoudre les équations cubiques à l’aide des radicaux comme il en existait une pour les équations quadratiques. En 1545, Cardan publia Ars magna sive de regulis algebraicis, où il était question de la résolution des équations du troisième degré. Il gurait alors parmi les meilleurs algé­ bristes d’Europe. La parution de son traité suscita cepen­ dant une controverse avec le mathématicien Tartaglia, qui accusa Cardan d’avoir dévoilé des méthodes qu’il lui aurait conées en toute condentialité. Dans Ars magna, en appliquant sa méthode de résolution des équations cubiques, Cardan obtint des expressions comportant des racines carrées de nombres négatifs. S’inspirant des manipulations algébriques déjà réalisées, il effectua des opérations sur ces expressions de manière à aboutir à une racine réelle de l’équation. Il devint alors plus difcile de qualier ces expressions de « subtiles et inutiles ». Mais comment les interpréter ? Ce fut le point de départ de l’élaboration des nombres complexes.

Le joint de Cardan On doit aussi à Cardan l’invention du joint qui porte son nom. Il s’agit d’un dispositif mécanique qui assure la trans­ mission d’une rotation angulaire entre deux arbres dont les axes géométriques concourent en un même point. On utilise le joint de Cardan sur les véhicules pour accoupler deux arbres tournants dont les positions angulaires rela­ tives sont variables, comme l’essieu avant et l’axe des roues. Cardan décrivit cette articulation dans un traité de physique intitulé De subtilitate rerum.

318

Chapitre 10

6. Déterminer si le triangle ABC est rectangle. a) A(5; −2), B(11; 2) et C(7; −5) b) A(−5; −2), B(−2; −3) et C(−1; 9) c) A(12; −3; 6), B(7; −5; 8) et C(9; −6; 12) d) A(7; −5; 3), B(5; −1; 7) et C(10; −10; 10)

10.2 Exercices 1. Soit ,

et

les vecteurs unitaires de 3.

7. On déplace un bloc sur une distance de 50 m en le tirant avec une force de 250 N faisant un angle de 26° avec l’horizontale. Calculer le travail effectué par la force.

Effectuer les produits suivants. a) • b) • c) • d) • e) ( + ) • ( + ) f) ( + + ) • ( + )

8. On monte un bloc sur un plan incliné en le poussant avec une force de 200 N. On considère que la longueur du bloc est négligeable.

2. Effectuer les produits suivants. a) (−2; 3; 4) • (4; 1; 4) b) (3; 2; −7) • (4; 2; −5) c) (4; −5; 8) • (3; 3; −6) d) (−3; 5; 2) • (7; −5; 3) 3. Montrer que les vecteurs suivants sont perpendiculaires.

4. Déterminer l’angle entre les vecteurs suivants. a) b) c) d)

et

5. Montrer, à l’aide du produit scalaire, que l’angle déterminé par les segments joignant un point quelconque d’un cercle aux extrémités de son diamètre est un angle droit. (L’équation d’un cercle est x2 + y2 = a2.)

a) Calculer le travail effectué pour monter le bloc en haut du plan incliné si la force appliquée était parallèle à celui-ci. b) Calculer l’intensité de la force horizontale qui effectuerait un travail identique pour le même déplacement. c) Calculer l’intensité de la force minimale qui réussirait à monter le bloc à la même hauteur, verticalement, sans plan incliné. 9. On monte un bloc sur le plan incliné suivant en le poussant avec une force de 200 N.

a) Calculer le travail effectué pour monter le bloc tout en haut du plan incliné dans le cas où la force appliquée était parallèle à celui-ci. b) Calculer l’intensité de la force horizontale qui effectuerait le même travail. c) Calculer l’intensité de la force minimale qui réussirait à monter le bloc à la même hauteur, verticalement, sans plan incliné.

Produits de vecteurs

10. On monte un bloc sur le plan incliné suivant en le poussant avec une force horizontale de 1,5 kN.

17. Soit

319

et π : 6x + 4y − 4z − 15 = 0.

Démontrer que ∆ est perpendiculaire à π. 18. Dans chaque cas, calculer l’angle entre les droites ∆1 et ∆2. a) Calculer le travail effectué pour monter le bloc tout en haut du plan incliné. b) Calculer l’intensité de la force minimale qui réussirait à monter le bloc à la même hauteur, verticalement, sans plan incliné. 11. On veut faire glisser un bloc sur le sol en lui appliquant des forces de 200 et de 300 N. Quel est le travail effectué pour déplacer le bloc d’une distance de 10 m ?

12. Dans chaque cas, écrire une équation cartésienne du plan π passant par le point Q et de vecteur normal . Représenter ce plan dans un système de référence. a) Q(10; −2; 0) et = (5; 10; 6) b) Q(2; 0; 3) et = (3; −4; 2) c) Q(0; 0; 3) et = (3; 0; 5) d) Q(3; 4; 5) et = (1; 0; 0) 13. Démontrer que les plans π1 et π2 sont parallèles. π1 : 2x − 3y + 5z + 12 = 0 π2 : 2x − 3y + 5z − 28 = 0 14. Démontrer que les plans π1 et π2 sont perpendiculaires. π1 : 3x + 4y + 5z − 35 = 0 π2 : 2x − 4y + 2z + 12 = 0 15. Démontrer que les plans π1 et π2 sont concourants. π1 : 2x − y + 3z − 35 = 0 π2 : x − 4y + 5z + 12 = 0 16. Soit

et π : 4x + y − 2z − 9 = 0.

Démontrer que ∆ est parallèle à π.

a)

b) c) La droite ∆1 passe par les points A(2; −3; 4) et B(5; −6; 2), et la droite ∆2 passe par les points C(7; 8; −5) et D(−3; 6; 12). d) La droite ∆1 passe par le point A(2; −3; 4) et elle est perpendiculaire au plan π1 : 2x − 3y + 2z − 23 = 0. La droite ∆2 passe par les points C(6; 11; 9) et D(8; −1; 6). 19. Dans chaque cas, calculer l’angle entre les plans π1 et π2. a) π1 : x = 4 et π2 : 2x + 3y + 2z = 24 b) π1 : x + 2y + 2z = 36 et π2 : 2x + 3y + 2z = 24 c) π1 : 3x − 4y + 2z = 8 et π2 : 5x + 6y − 3z = 15 d) π1 : 6x + 8y −15z = 7 et π2 : 3x − 5y + 6z = 17 20. Dans chaque cas, calculer la distance du point Q à la droite ∆, puis représenter graphiquement cette distance. a) Q(−3; 5) et ∆ : 2x + 3y − 2 = 0 b) Q(6; −5) et 21. Dans chaque cas, calculer la distance entre les droites ∆1 et ∆2, puis représenter graphiquement cette distance. a) b) ∆1 : 2x + 3y − 18 = 0 ∆2 : 2x + 3y + 24 = 0 22. Calculer la distance du point Q au plan π. a) Q(2; 3; 4) et π : x + 2y + 2z = 36 b) Q(−6; 4; −3) et π : 3x − 2y + 7z = 45

320

Chapitre 10

23. Dans chaque cas, calculer la distance entre les plans π1 et π2. a) π1 : 3x + 2y − 5z + 12 = 0 et π2 : 3x + 2y − 5z − 34 = 0 b) π1 : x − 3y + 7z + 15 = 0 et π2 : x − 3y + 7z − 42 = 0 c) π1 : 3x − 4y + 5z + 35 = 0 et π2 : 3x − 4y + 5z − 85 = 0

27. Pour protéger de l’érosion une rue longeant une rivière, la municipalité songe à ériger le muret de béton dont le plan est donné ci-dessous. En utilisant le produit scalaire des vecteurs, calculer l’angle a du plan en coupe.

24. Dans chaque cas, calculer la distance du point Q à la droite ∆. a) Q(5; −1; 7) et

b) Q(8; 4; 2) et

28. En utilisant le produit scalaire des vecteurs, calculer l’angle a dans les plans suivants. a)

c) Q(7; −8; 12) et la droite ∆ passant par les points R(2; −3; 1) et S(5; −3; −2) 25. Dans chaque cas, calculer la distance entre les droites ∆1 et ∆ 2.

b)

a) 29. En utilisant le produit scalaire des vecteurs, calculer les angles a et b dans les plans suivants. b)

a)

26. Dans chaque cas, calculer la distance entre le plan π et la droite ∆. a) π : 7x + y − 2z = 12 et

b) π : x + y − z = 42 et

b)

Produits de vecteurs

321

10.3 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération dénie uniquement pour des vecteurs de 3. Produit vectoriel de deux vecteurs géométriques Le produit vectoriel de deux vecteurs géométriques et , noté × , est le vecteur • dont la direction est perpendiculaire au plan déterminé par les vecteurs et ; • qui a le même sens que le déplacement d’un tire-bouchon (ou d’une vis) tournant de vers ; • dont la longueur est égale au produit des modules des vecteurs et et du sinus de l’angle entre ces vecteurs, noté q : . PROPRIÉTÉS Propriétés du produit vectoriel

1. Anticommutativité : × = −( × ). 2. Associativité pour la multiplication par un scalaire : a × b = ab( × ), où a et b sont des scalaires. 3. Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : ×( + )= × + × ( + )× = × + × .

Interprétation géométrique du produit vectoriel Soit et , deux vecteurs ayant la même origine. Le module du produit vectoriel de ces deux vecteurs est , où q est l’angle entre les vecteurs. Pour tracer le parallélogramme engendré par les vecteurs et , on choisit comme base et on abaisse la hauteur h du parallélogramme. On a alors

Par conséquent, le module est le produit de la base du parallélogramme par sa hauteur, soit l’aire du parallélogramme construit sur et . THÉORÈME Aire d’un parallélogramme

Soit et , deux vecteurs de 3 ayant la même origine. Le module du produit vectoriel des vecteurs et est égal à l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.

REMARQUE

La règle pour déterminer le sens du produit vectoriel porte différentes appellations : la règle de la vis, la règle du tire-bouchon, la règle des trois doigts et la règle de la main droite. Pour appliquer la règle des trois doigts, on utilise la main droite ; l’index tendu représente le vecteur à gauche du symbole d’opération, le majeur légèrement replié représente le vecteur à droite du symbole d’opération et le pouce indique le sens du produit vectoriel.

322

Chapitre 10

Produit vectoriel nul REMARQUE

Les vecteurs algébriques de 3 étant représentés graphiquement par des vecteurs dont l’origine coïncide avec l’origine d’un système d’axes, les résultats quant à la direction et au module du produit vectoriel sont également valides pour les vecteurs géométriques de 3.

Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls peut-il être un vecteur nul ? Soit et , deux vecteurs géométriques non nuls tels que × = . Alors, × = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∠( , ) = 0° ou ∠( , ) = 180° ⇔ et ont la même direction. THÉORÈME Produit vectoriel nul

Soit et , deux vecteurs non nuls. Alors, × = si et seulement si les vecteurs et ont la même direction (c’est-à-dire s’ils sont parallèles ou colinéaires).

Vecteurs algébriques Il est possible d’effectuer algébriquement le produit vectoriel de deux vecteurs. Soit = u1 + u2 + u3 et = v1 + v2 + v3 , deux vecteurs algébriques. En vertu des propriétés du produit vectoriel, ×

= (u1 + u2 + u3 ) × (v1 + v2 + v3 ) = u1v1( × ) + u1v2( × ) + u1v3( × ) + u2v1( × ) + u2v2( × ) + u2v3( × ) + u3v1( × ) + u3v2( × ) + u3v3( × )

REMARQUE

Dans la notation du théorème cicontre, les carrés de nombres bordés de traits verticaux, appelés déterminants, servent à déterminer les coefcients des vecteurs de la base orthonormée. On obtient la valeur d’un déterminant comportant deux lignes et deux colonnes en multipliant les nombres des coins supérieur gauche et inférieur droit et en soustrayant du résultat le produit des nombres des coins inférieur gauche et supérieur droit, comme l’indiquent les diagrammes suivants.

= (u2v3 − u3v2) − (u1v3 − u3v1) + (u1v2 − u2v1) . THÉORÈME Produit vectoriel

Soit = u1 + u2 + u3 et = v1 + v2 + v3 , deux vecteurs algébriques de 3. Le produit vectoriel de et , noté × , s’obtient comme suit :

EXEMPLE 10.3.1

Déterminer un vecteur perpendiculaire à chacun des vecteurs = (3; −2; 5) et = (2; 4; −3).

Produits de vecteurs

Solution Un vecteur

est donné par le déterminant

Le vecteur

= (−14; 19; 16) est perpendiculaire à

et à . On peut

le vérier par le produit scalaire des vecteurs. On obtient alors •

= (–14; 19; 16) • (3; –2; 5) = –14 × 3 + 19 × (–2) + 16 × 5 = –42 – 38 + 80 = 0 ;

•

= (–14; 19; 16) • (2; 4; –3) = –14 × 2 + 19 × 4 + 16 × –3 = –28 + 76 – 48 = 0.

Puisque le produit • est égal à 0, les vecteurs et sont perpendiculaires et puisque le produit • est égal à 0, les vecteurs et sont aussi perpendiculaires. EXEMPLE 10.3.2

Effectuer le produit

× , où

=2 −3 +

et

= −5 + 2 + 3 ,

puis calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. Solution En représentant le produit par un déterminant, on obtient ; donc, × = −11 − 11 − 11 = (−11; −11; −11). On sait que ce vecteur est perpendiculaire à et à . De plus, son module est égal à l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs algébriques et :

EXEMPLE 10.3.3

Calculer l’aire du triangle dont les sommets sont A(2; 5; 4), B(−2; 6; 7) et C(6; −2; 8). Solution L’aire du triangle ABC est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs et , dénis comme suit : = (−2; 6; 7) − (2; 5; 4) = (−4; 1; 3), = (6; −2; 8) − (2; 5; 4) = (4; −7; 4).

323

324

Chapitre 10

Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est

L’aire du triangle ABC est donc

L’aire du triangle est d’environ 22,28 unités d’aire. EXEMPLE 10.3.4

Calculer l’aire du triangle de sommets A(3; 3), B(7; 2) et C(2; 9). Solution Puisque le produit vectoriel est déni seulement dans 3, on pose que la troisième composante est nulle, ce qui donne A(3; 3; 0), B(7; 2; 0) et C(2; 9; 0). L’aire du triangle ABC est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs et , dénis comme suit : = (7; 2; 0) − (3; 3; 0) = (4; −1; 0), = (2; 9; 0) − (3; 3; 0) = (−1; 6; 0). Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est

L’aire du triangle est égale à la moitié du module du produit vectoriel :

Donc, l’aire du triangle ABC est de 11,5 unités d’aire.

Moment d’une force Vous avez peut-être déjà remarqué que, si on pousse une porte à fermeture automatique près des gonds, on a de la difculté à l’ouvrir, tandis que si on la pousse loin des gonds, elle s’ouvre facilement. Trois facteurs jouent un rôle dans ce phénomène : l’intensité de la force, la distance entre le point d’application de la force et l’axe de rotation ainsi que l’angle entre le vecteur force et le vecteur décrivant le déplacement. Voici une analyse plus détaillée des éléments qui entrent en jeu. La gure 1 illustre une tige au repos xée en son extrémité O, mais libre de pivoter autour de O dans le plan de la page. Si l’on applique une force au point a coïncidant avec le milieu de la tige, celle-ci subit une accélération angulaire : elle va pivoter autour de l’axe de rotation passant par O et perpendiculaire à la page. Si l’on applique la même force à l’extrémité b de la tige,

Produits de vecteurs

celle-ci subit une accélération angulaire deux fois plus grande. La gure 2 illustre l’effet d’une force appliquée au même point b et dont la ligne d’action passe par le point O : elle n’entraîne aucun mouvement de rotation. Il est clair que l’accélération angulaire communiquée à la tige dépend de la direction de la force. La gure 3 illustre le cas où l’on applique une force au point b. Cette force, non perpendiculaire à la tige, est décomposable en une somme de deux vecteurs et dont l’un est parallèle à la tige et l’autre, perpendiculaire à la tige. La ligne d’action du vecteur passe par le point O et ne produit aucun mouvement de rotation, alors que le vecteur produit une accélération angulaire. L’intensité de cette accélération ne dépend que de l’intensité de , soit On remarque, de plus, que la force engendre une rotation dans le sens horaire, tandis que la force cause une rotation dans le sens antihoraire. La gure 4 illustre une force qui engendre elle aussi une rotation dans le sens horaire. Une rotation dans le sens antihoraire est considérée comme positive et une rotation dans le sens horaire est considérée comme négative. Moment d’une force, axe de rotation et bras du moment Le moment d’une force , par rapport à un axe A, est la tendance à la rotation, par rapport à cet axe, que la force communique au corps sur lequel elle agit. Le moment est le vecteur =

× ,

où est le rayon vecteur qui va de l’axe de rotation au point d’application du vecteur . L’axe de rotation est la ligne imaginaire autour de laquelle tourne le corps. Dans les gures ci-contre, le point A représente l’axe de rotation, qui est perpendiculaire à la page. Le bras du moment est la distance entre la ligne d’action de la force et l’axe de rotation. Si les vecteurs et sont perpendiculaires, le bras du moment est la longueur du vecteur . Le bras du moment se mesure en mètres (m), la force, en newtons (N) et l’intensité du moment, en newtons-mètres (N·m). Cette dernière est égale à l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs et : . EXEMPLE 10.3.5

Calculer l’intensité, par rapport au point A, du moment de la force dans le montage ci-contre. Solution La distance entre la ligne d’action de et l’axe de rotation est de 11 m et la grandeur de la force est de 250 N. Donc, = 11 × 250 = 2 750 N·m = 2,75 × 103 J.

325

326

Chapitre 10

On obtient le même résultat en effectuant le produit de la longueur de la tige AB et de la composante de la force perpendiculaire à la tige : ; donc,

= 13,6… × 250 × sin 53,97…° ≈ 2 750 N·m.

L’intensité du moment correspond, du point de vue géométrique, à la surface d’un parallélogramme. Cependant, tous les parallélogrammes, y compris les rectangles, qui ont une même base et une même hauteur ont une aire identique. Diverses démarches de calcul sont illustrées ci-dessous.

THÉORÈME Théorème de Varignon

Le moment d’une force par rapport à un point O est égal à la somme des moments des composantes de par rapport à O. Du point de vue algébrique, le théorème de Varignon décrit la distributivité du produit vectoriel par rapport à l’addition vectorielle

puisque tout vecteur peut s’exprimer comme une somme de vecteurs. Le théorème de Varignon sert à calculer algébriquement le moment en effectuant la somme des moments des composantes des vecteurs. PROCÉDURE Pour calculer l’intensité du moment d’une force par rapport à un axe

Démarche géométrique Calculer l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs

et .

β Démarche algébrique 1. Construire un système d’axes dont l’origine coïncide avec le point A (par lequel passe l’axe de rotation). 2. Déterminer les composantes des vecteurs et dans le système d’axes : , où rx = cos α, ry = sin α, Fx = cos β et Fy = sin β. 3. Effectuer le produit vectoriel de et . 4. Calculer le module de × .

Produits de vecteurs

EXEMPLE 10.3.6

On applique au milieu de l’arête de 0,4 m du bloc ci-contre une force de 250 N, perpendiculairement à ce côté et faisant un angle de 53° avec l’horizontale. Calculer l’intensité du moment de la force par rapport à l’axe A et indiquer le sens de la rotation. Solution Comme la force est appliquée au milieu de l’arête de 0,4 m, on prend un système d’axes perpendiculaires à l’axe A et passant par le milieu de l’arête de 0,4 m. Dans ce système d’axes, les composantes et sont = (0,67; 0,22; 0) et

= (250 cos 53°; 250 sin 53°; 0).

Le moment algébrique de la force

est

L’intensité du moment de est donc d’environ 0,10 × 103 N·m ou 0,10 kN·m et la rotation s’effectue dans le sens antihoraire. EXEMPLE 10.3.7

Calculer le moment algébrique du vecteur l’origine du système d’axes.

ci-contre par rapport à

Solution Les composantes des vecteurs et sont = (6; 3) et = (2; 7) − (6; 3) = (−4; 4). Le moment algébrique de

est donc

et l’intensité du moment est de 36 unités.

Résultante de forces coplanaires non concourantes Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps et que leurs lignes d’action sont concourantes, l’effet de la résultante est une translation. Il suft de calculer les composantes de la résultante pour en décrire l’effet. Par ailleurs, si plusieurs forces agissent sur un corps et que leurs lignes d’action ne sont pas concourantes, elles produisent non seulement une translation mais également une rotation, ce qui signie qu’il faut aussi calculer le moment de la résultante. Il est toutefois possible de remplacer un système par un autre plus simple. On obtient toujours la résultante des forces en faisant la somme des composantes selon chacun des axes. Cependant, la ligne d’action de la résultante ne peut passer par le point d’intersection des lignes d’action puisqu’un tel point n’existe pas. Pour déterminer la ligne d’action, on applique le théorème de Varignon.

327

328

Chapitre 10

PROCÉDURE Pour calculer la résultante de forces non concourantes

1. Déterminer la résultante dont les composantes sont , où n est le nombre de forces agissant au point considéré. Calculer le module et l’argument du vecteur résultant. 2. Choisir un point O quelconque et faire la somme des moments des forces par rapport à ce point. 3. Calculer la distance algébrique d entre le point O et la ligne d’action de la résultante en posant l’égalité entre le moment algébrique de la résultante et la somme des moments :

4. Interpréter les résultats selon le contexte. Si d < 0, la rotation se fait dans le sens horaire. EXEMPLE 10.3.8

Déterminer la résultante du système formé des vecteurs représentés ci-contre et représenter graphiquement la résultante par un vecteur géométrique. Solution On détermine d’abord les composantes de chacun des vecteurs du système : = (2; 4), = (−4; 2) et = (3; −4). Les composantes de la résultante sont Rx = 2 − 4 + 3 = 1 et Ry = 4 + 2 − 4 = 2, d’où On détermine ensuite la ligne d’action de la résultante. Pour ce faire, on calcule la somme des moments de par rapport au point (0; 0). Il faut se rappeler qu’une rotation en sens horaire est négative et qu’une rotation en sens antihoraire est positive. Selon le théorème de Varignon (ou principe des moments),

Or,

;

Produits de vecteurs

Ainsi, La ligne d’action de la résultante est donc à une distance de 3,58 unités du point (0; 0). De plus, comme la somme des moments est négative, la rotation s’effectue dans le sens horaire. La ligne d’action est tangente au cercle de rayon 3,58 centré au point (0; 0). Elle fait un angle d’environ 63,43° avec l’horizontale et le module de la résultante est Pour représenter graphiquement la résultante par un vecteur géométrique, on procède comme suit. 1. On trace la droite porteuse (1) de d (le bras du moment de la résultante). Elle passe par l’origine et fait un angle de 90° + 63,43° = 153,43° avec l’horizontale. 2. On trace le cercle (2) de rayon | d | = 3,58, centré à l’origine. 3. On détermine le point d’appui, qui est un des points d’intersection de la droite porteuse et du cercle. Dans le cas présent, la rotation s’effectue dans le sens horaire et, compte tenu du sens du vecteur résultant, le point d’appui (3) est dans le deuxième quadrant. 4. On trace la droite support de qui passe par le point d’appui et est perpendiculaire à la droite porteuse (donc tangente au cercle). On trace le vecteur (4) en plaçant son origine au point d’appui et en tenant compte de son sens.

PROCÉDURE Pour représenter la résultante de forces non concourantes

1. Trouver le bras du moment de la résultante . 2. Tracer la droite porteuse de d (le bras du moment de la résultante). Cette droite passe par l’origine et fait avec l’horizontale un angle de 90° + θ, où θ est l’argument de la résultante. 3. Tracer le cercle centré à l’origine de rayon | d |. 4. Trouver le point d’appui de . (C’est un des points d’intersection de la droite porteuse et du cercle de rayon | d |. Il faut tenir compte du sens de la rotation et du sens de la résultante.) 5. Tracer la droite support de (qui passe par le point d’appui et est perpendiculaire à la droite porteuse), puis tracer le vecteur en plaçant son origine au point d’appui et en tenant compte de son sens.

Analyse des forces dans un système en équilibre Lorsque le poids d’une barre n’est pas négligeable, l’action de la barre sur son point d’appui ne s’exerce pas suivant l’horizontale. Ainsi, dans le cas illustré ci-contre, le poids de la barre imprime une poussée vers le bas. En ce qui concerne la rotation, la force gravitationnelle d’un corps s’exerce toujours en son centre de gravité, qui, dans le cas d’une barre régulière et

329

330

Chapitre 10

homogène, est le milieu géométrique de la barre. La force qu’une barre pesante exerce sur l’appui A et la réaction de l’appui ont une composante verticale et une composante horizontale. Au point B, la réaction de l’appui est la résultante des tensions dans les câbles. Si une barre pesante (ou chargée ailleurs qu’aux extrémités) entre en jeu, on ne peut pas tracer le schéma des forces en isolant seulement un point : on doit isoler un objet entier. En effet, si l’on isole seulement un point, il y a trop d’inconnues pour qu’on puisse résoudre le problème. EXEMPLE 10.3.9

La poutre ci-contre pèse 800 N. Déterminer, par une approche géométrique, la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de l’appui en A. Solution On trace d’abord le schéma des forces en isolant la barre AB. Pour déterminer la valeur de la tension, il faut analyser les conditions d’équilibre de rotation. Puisque la poutre ne tourne pas autour d’un axe, on peut effectuer l’analyse par rapport à n’importe quel point. On prend le point A. Il y a équilibre de rotation par rapport à A si et seulement si

En effectuant géométriquement les produits vectoriels, on obtient

donc,

Le schéma ci-contre montre toutes les forces agissant sur la barre rigide. Les vecteurs A x et Ay sont respectivement les composantes horizontale et verticale de la réaction de l’appui A, qui est une force s’exerçant sur la barre. La condition d’équilibre de translation donne Ax =

cos 30°

Ay +

sin 30° = 800 + 600

A x ≈ 0,866

Ay + 0,5

= 1 400

A x ≈ 0,866 × 2 000 N

Ay = 1 400 − 0,5 × 2 000 N

A x ≈ 1 732 N ;

Ay = 400 N.

La réaction de l’appui en A est de 1 732 N à l’horizontale et d’environ 400 N à la verticale.

Produits de vecteurs

EXEMPLE 10.3.10

La poutre ci-contre pèse 800 N. Déterminer, par une approche algébrique, la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de l’appui en A. Solution On trace d’abord le schéma des forces en isolant la barre AB. Pour déterminer la valeur de la tension, il faut analyser les conditions d’équilibre de rotation. Puisque la poutre ne tourne pas autour d’un axe, on peut effectuer l’analyse par rapport à n’importe quel axe. On prend le point A. Les composantes des vecteurs sont = (3; 0; 0),

= (0; −800; 0),

= (6; 0; 0) et

=(

= (6; 0; 0), cos 150°;

= (0; −600; 0), sin 150°; 0).

La condition d’équilibre de rotation par rapport à A est

Or, = (0; 0; −2 400), = (0; 0; 6

= (0; 0; −3 600),

sin 150°).

Donc, −2 400 − 3 600 + 6 6

sin 150° = 0 sin 150° = 6 000 N·m sin 150° = 1 000 N 0,5

= 1 000 N = 2 000 N.

Dans le schéma, Ax et Ay représentent respectivement les composantes horizontale et verticale de la réaction de l’appui A, qui est une force s’exerçant sur la barre. Le système est en équilibre si la somme des vecteurs donne le vecteur nul, soit (A x +

cos 150°; Ay +

sin 150° – 800 – 600) = (0; 0).

On doit donc avoir Ax +

cos 150° = 0, d’où Ax ≈ 0,866

= 1 732 N

et Ay +

sin 150° – 1 400 = 0,

d’où Ay = 1 400 – 0,5 × 2 000 = 400 N. La réaction de l’appui en A est d’environ 1 732 N à l’horizontale et de 400 N à la verticale.

331

332

Chapitre 10

PROCÉDURE Pour analyser algébriquement des forces agissant sur un corps rigide

1. Construire le schéma des forces en isolant un objet entier qui se déforme peu, appelé corps rigide. 2. Appliquer la condition d’équilibre de rotation, , aux forces agissant sur le corps rigide. 3. Appliquer la condition d’équilibre de translation, , aux forces agissant sur le corps rigide. 4. Résoudre les équations obtenues. 5. Interpréter les résultats selon le contexte. Équation d’un plan dont trois points sont connus EXEMPLE 10.3.11

Écrire une équation cartésienne du plan π passant par les points de coordonnées A(2; −5; 7), B(4; −2; 8) et C(−3; 2; −1). Solution On détermine d’abord deux vecteurs directeurs du plan, par exemple = = (2; 3; 1) et = = (−5; 7; −8). On peut ensuite déterminer un vecteur normal au plan en effectuant le produit vectoriel de et :

Un vecteur normal est donc = (−31; 11; 29). On obtient l’équation du plan à l’aide du produit scalaire. En effet, un point quelconque P(x; y; z) appartient au plan π si et seulement si les vecteurs = (x − 2; y + 5; z − 7) et sont perpendiculaires, c’est-à-dire si •

= (−31; 11; 29) • (x − 2; y + 5; z − 7) = −31x + 11y + 29z − 86 = 0.

Donc, −31x + 11y + 29z − 86 = 0 est une équation cartésienne du plan passant par les points A, B et C.

Produit mixte La procédure appliquée dans l’exemple 10.3.11 suggère l’utilisation combinée du produit vectoriel et du produit scalaire. Produit mixte de trois vecteurs Soit , et , trois vecteurs quelconques de l’espace. Le produit mixte de ces trois vecteurs est • ( × ), où les symboles × et • représentent respectivement le produit vectoriel et le produit scalaire.

Produits de vecteurs

333

Soit = (u1; u2 ; u3), = (v1; v2; v3) et = (w1; w2; w3), trois vecteurs de 3. Le produit × se calcule comme suit :

En effectuant le produit scalaire, on obtient

THÉORÈME Calcul du produit mixte

Soit = (u1; u2; u3), de 3. Alors

= (v1; v2; v3) et

= (w1; w2; w3), trois vecteurs

PROPRIÉTÉS Propriétés du produit mixte

Soit , et , trois vecteurs de 3. Alors, 1. • ( × ) = 0 ⇔ , et sont coplanaires. 2. • ( × ) = • ( × ) = • ( × ) = – •( × ) = – •( × ) = – 3. k • (m × n ) = kmn[ • ( × )]

•(

× )

EXEMPLE 10.3.12

Dans chaque cas, indiquer si les vecteurs donnés sont coplanaires.

REMARQUE

a) b)

Pour déterminer si trois vecteurs de 3 sont coplanaires, on calcule leur produit mixte.

= (2; 1; 4), = (3; −1; 2) et = (3; 2; −1), = (5; 2; 3) et

= (1; 3; 6) = (2; −4; 3)

Solution a) Les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. On calcule ce dernier comme suit :

Les trois vecteurs sont coplanaires puisque le produit mixte est nul.

334

Chapitre 10

b) Le produit mixte donne

Les vecteurs ne sont pas coplanaires puisque le produit mixte est différent de 0.

Interprétation géométrique du produit mixte Soit un parallélépipède dont les arêtes issues d’un sommet O déterminent les vecteurs , et . L’aire de la base de ce parallélépipède est le module du produit vectoriel des vecteurs et :

De plus, la hauteur du parallélépipède est la longueur de la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur × , qui est normal au plan contenant et , soit

Le volume est donc

THÉORÈME Valeur absolue du produit mixte

Le volume du parallélépipède dont les arêtes déterminent les vecteurs , et est . EXEMPLE 10.3.13

Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs = (2; 1; 4),

= (3; −2; 5) et

= (8; 1; 3).

Solution

Donc, de volume.

et le volume du parallélépipède est de 85 unités

Produits de vecteurs

10.4 Exercices 1. Dans chaque cas, calculer × . a) = − + et = + − b) = 2 + + 3 et = − 2 + 2 c) = 3 − 2 + et = −2 + − 3 d) = (−9; 0; 4) et = (12; −15; 0) 2. Dans chaque cas, déterminer un vecteur perpendiculaire aux vecteurs et donnés. Vérier à l’aide du produit scalaire que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire à chacun des vecteurs et . a) = (1; −3; 2) et = (2; −5; 3) b) = (4; −2; 3) et = (5; 3; 2) c) = (2; −1; 4) et = (2; −3; −1) d) = (0; −2; 3) et = (0; 4; 5) 3. Dans chaque cas, calculer l’aire du parallélogramme donné. a) b)

335

6. Calculer l’aire et la hauteur du triangle de base AB dont les sommets A, B et C sont donnés. a) b)

7. Déterminer un vecteur unitaire perpendiculaire à chacun des vecteurs et donnés. a) = (0; 4; 2) et = (0; 6; 5) b) = (2; −5; 3) et = (0; 6; −4) c) = (−3; 4; 5) et = (4; −2; −4) d) = (−3; 2; −1) et = (6; −4; 2) 8. Dans chaque cas, calculer l’intensité du moment de par rapport à l’axe A. Le poids de la barre est négligeable. a)

b) 4. Dans chaque cas, calculer l’aire du triangle donné. a) b)

5. Dans chaque cas, calculer la hauteur du parallélogramme de base AB. a) b)

9. Un mât retenu par deux câbles ne subit pas de déformation si les conditions d’équilibre sont satisfaites.

a) Quelle doit être la tension dans le câble de droite pour qu’il y ait équilibre de rotation ? b) Quelle doit être la tension dans le câble de droite pour qu’il y ait équilibre de translation ?

336

Chapitre 10

c) Est-il possible, dans ce cas, qu’il y ait à la fois équilibre de translation et équilibre de rotation compte tenu des conditions déterminées ? d) Quelles modications faut-il apporter pour qu’il y ait équilibre de translation et équilibre de rotation ? 10. On applique une force de 500 N au point A. Sachant que le bras est xé à l’essieu rigide, déterminer le moment de la force par rapport à l’axe de l’essieu.

14. Dans chaque cas, déterminer la résultante du système de forces représenté. a)

b)

c)

11. Dans chaque cas, calculer l’intensité du moment de la force donnée par rapport à l’origine du système d’axes, puis interpréter le signe du moment. a) c)

15. Dans chaque cas, la poutre pèse 900 N. Déterminer la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de l’appui en A. a) c)

b)

b) 12. On applique une force de 500 N au bloc illustré. La direction de cette force est perpendiculaire à l’axe et elle passe par le milieu du côté opposé à l’axe. Calculer l’intensité du moment de cette force par rapport à l’axe. a) b)

13. Dans chaque cas, calculer le moment de la force par rapport au boulon hexagonal. a) b)

16. Dans chaque cas, la poutre pèse 1 200 N. Déterminer la tension dans le câble BC et les composantes de la réaction de l’appui en A. a) c)

b)

Produits de vecteurs

17. Écrire une équation cartésienne du plan passant par les points A, B et C, puis déterminer un vecteur normal au plan. a) A(3; −2; 4), B(7; −5; 2) et C(−3; −6; 8) b) A(2; −5; 3), B(4; −2; 5) et C(−6; 2; 3) c) A(0; 5; 2), B(0; 3; 4) et C(0; 8; 5) d) A(2; 0; 0), B(4; 0; 0) et C(−6; 0; 0) e) A(8; 0; 2), B(0; 3; 5) et C(6; 8; 0) f) A(3; −5; 2), B(4; 7; −8) et C(7; 2; 4) 18. Quatre particules occupent respectivement les positions suivantes dans l’espace : A(2; 1; 1), B(1; 3; 1), C(1; 2; 2) et D(3; 6; 4).

337

21. Sachant que le volume d’un parallélépipède est égal au produit de l’aire de sa base par la hauteur relative à cette base, calculer la distance du point Q au plan π. a)

b)

22. Dans chaque cas, calculer l’angle entre le plan π et la droite ∆. a) π : 3x − 2y + 3z − 8 = 0 et

a) Donner une équation du plan πABC. b) Représenter le plan πABC. c) Calculer d(D, πABC). 19. Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs , et . a)

= (3; −2; 5),

= (4; 7; −3) et

= (5; −4; 2)

b)

= (−3; 6; 2),

= (8; −5; 4) et

= (7; −4; 3)

b) π : 3x − 6y + 2z − 35 = 0 et la droite ∆ passant par les points A(2; −3; 4) et B(5; −6; 2). c) πABC passant par les points A(5; −2; 2), B(8; −4; 1) et C(−3; 2; 6), et la droite ∆ passant par les points D(7; 2; −5) et E(−3; 4; 6). 23. Soit la pyramide triangulaire suivante.

20. Calculer le volume des solides suivants. a)

b) a) Écrire une équation cartésienne des plans déterminés par la pyramide triangulaire. b) Calculer le volume de la pyramide. c) Calculer l’aire de chacune des faces de la pyramide. d) Calculer la hauteur de la pyramide.

338

Chapitre 10

24. Dans chaque cas, calculer la distance entre les droites ∆1 et ∆2. a)

b) 25. Soit un prisme droit coupé par un plan π.

a) Donner une équation cartésienne du plan π, puis déterminer des équations des côtés du parallélogramme déni par l’intersection du prisme quadrangulaire et du plan π, ainsi que les points sommets de ce parallélogramme.

b) Calculer la hauteur du prisme, l’aire de sa surface et son volume. c) Calculer l’aire de la surface du parallélogramme d’intersection. d) Calculer l’angle entre le plan π et le plan ABCD. e) Calculer la distance entre le point G et la droite passant par C et D. f) Calculer la distance du point B au plan π. g) Calculer la distance du point C au plan π.

MATRICES et SYSTÈMES d’ÉQUATIONS Résoudre des problèmes en utilisant les matrices Les composantes particulières de l’élément de compétence visées par le présent chapitre sont : • l’utilisation des matrices pour structurer de l’information ; • l’exécution d’opérations sur des matrices ; • la représentation d’un problème comportant plusieurs inconnues par un système d’équations linéaires du premier degré ; • la représentation d’un système d’équations linéaires sous forme matricielle ; • la résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss ou la méthode de Gauss-Jordan ; • l’interprétation de la solution d’un système d’équations linéaires en fonction du contexte.

11

11.1 Matrices           340 Notation Opérations sur les matrices Matrices carrées Un peud’histoire James Joseph Sylvester Un peud’histoire Arthur Cayley

11.2 Exercices          349 11.3 Systèmes d’équations        352 Équations linéaires à deux inconnues Équations linéaires à trois inconnues Systèmes d’équations et matrices Méthode de Gauss Méthode de Gauss-Jordan Problèmes de production et matrices Méthode de Cramer Un peud’histoire Soa Kovalevskaïa Un peud’histoire Emmy Noether

11.4 Exercices          366

340

Chapitre 11

11.1 Matrices Lorsqu’on doit traiter de l’information portant sur plusieurs variables, il est parfois très efcace de représenter les valeurs des différentes variables sous forme de tableaux de nombres appelés matrices.

Matrice m × n

Matrice de dimension 3 × 4

REMARQUE

On ne doit pas confondre aij , qui représente un élément, avec (aij), qui représente une matrice dont les éléments sont les aij. Dans la plupart des situations présentées dans le présent ouvrage, les éléments des matrices seront des nombres réels ou des lettres représentant des nombres réels. REMARQUE

Dans la dénition de l’égalité de deux matrices, aij et bij désignent les éléments de même adresse des matrices A et B respectivement. La condition aij = bij pour tout i et pour tout j signie que tous les éléments ayant la même adresse doivent être égaux pour que les matrices soient égales.

Matrice On appelle matrice tout tableau rectangulaire ayant la forme illustrée cicontre, où les aij sont les éléments; l’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de chacun des éléments. Une matrice formée de m lignes et de n colonnes est dite de dimension m × n (qui se lit « m par n »).

Ainsi, la matrice ci-contre est une matrice de dimension 3× 4 (qui se lit « 3 par 4 »), puisqu’elle est formée de trois lignes et de quatre colonnes. Dans cette matrice, l’élément a23 est −2 : c’est l’élément de la deuxième ligne et de la troisième colonne. On dit que l’élément a23 est l’élément d’adresse 23, qui se lit « deux trois » et non « vingt-trois ».

Notation On représente généralement une matrice par une lettre majuscule : A, B, C, etc. Lorsqu’il est nécessaire de préciser la dimension d’une matrice, on écrit Am × n, qui désigne une matrice A de dimension m × n. L’ensemble des matrices de dimension m × n est noté Mm × n. Ainsi, on note M2 × 3 l’ensemble de toutes les matrices de dimension 2 × 3. Pour des matrices dont les éléments sont inconnus, on emploie la majuscule X, Y ou Z. On peut également représenter par (aij) ou (aij)m × n la matrice de dimension m × n formée des éléments aij. Égalité de matrices Deux matrices Am × n et Bp × q sont égales si et seulement si : • les deux matrices ont la même dimension (m = p et n = q) ; • les éléments de même adresse sont égaux (aij = bij pour tout i et pour tout j). On emploie le signe d’égalité usuel comme symbole de l’égalité de deux matrices.

Opérations sur les matrices REMARQUE

Deux matrices de même dimension sont dites compatibles pour l’addition matricielle.

Somme de matrices Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de dimension m× n. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimension m × n dénie par A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij).

Matrices et systèmes d’équations

341

EXEMPLE 11.1.1

Effectuer la somme des matrices A et B suivantes :

Solution

Multiplication d’une matrice par un scalaire Soit A = (aij), une matrice m × n et k, un scalaire (ou un nombre). La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice, notée kA, dénie par l’égalité kA = k(aij) = (kaij).

REMARQUE

Dans la plupart des cas étudiés dans le présent ouvrage, les scalaires sont des nombres réels.

Cette équation signie que chaque élément de la matrice A est multiplié par le scalaire k. EXEMPLE 11.1.2

Calculer 3A et kA, sachant que

Solution

En multipliant la matrice A par le scalaire −1, on obtient une matrice notée −A. Il suft en fait d’inverser le signe de chacun des éléments de la matrice A. Ainsi, en multipliant par le scalaire −1 la matrice

on obtient la matrice L’addition de ces deux matrices donne REMARQUE

Le résultat est une matrice dont tous les éléments sont nuls. On l’appelle matrice nulle. Matrice nulle La matrice nulle de dimension m × n est la matrice, notée 0m × n, dont tous les éléments sont nuls.

La matrice nulle de dimension m × n est l’élément neutre pour l’addition de matrices de dimension m × n. Cela signie qu’en additionnant une matrice Am × n et la matrice 0m × n, on obtient la matrice Am × n :

342

Chapitre 11

Propriétés des opérations Les propriétés des opérations d’addition de matrices et de multiplication d’une matrice par un scalaire sont présentées ci-dessous. Il est à noter que les propriétés de l’addition de matrices sont analogues à celles de l’addition de nombres réels. PROPRIÉTÉS Opérations d’addition et de multiplication par un scalaire

Pour tout A, B et C ∈ Mm × n et pour tout p et q ∈ , les propriétés suivantes sont vériées. 1. Fermeture de l’addition : A + B ∈ M m × n. 2. Commutativité de l’addition : A + B = B + A. 3. Associativité de l’addition des matrices : A + (B + C) = (A + B) + C. 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition : Il existe, dans Mm × n, une matrice nulle, notée 0, telle que A + 0 = 0 + A = A. 5. Existence d’un élément opposé pour l’addition : Pour toute matrice A ∈ Mm × n, il existe, dans Mm × n, une matrice opposée, notée −A, telle que A + (−A) = (−A) + A = 0. 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des matrices : pA ∈ Mm × n. 7. Distributivité de la multiplication d’une matrice par un scalaire par rapport à l’addition de scalaires : (p + q)A = pA + qA. 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l’addition de matrices : p(A + B) = pA + pB. 9. Associativité de la multiplication d’une matrice avec le produit de scalaires : (pq)A = p(qA). 10. Existence d’un élément neutre pour la multiplication d’une matrice par un scalaire : 1A = A.

Matrices et systèmes d’équations

343

Transposition et produit de matrices

Matrice transposée Soit A, une matrice de dimension m × n. On appelle matrice transposée de A, notée At, la matrice de dimension n × m dont la i-ième ligne est la i-ième colonne de A pour i = 1, 2, ..., m. Ainsi, la matrice transposée de A = (aij)m × n est la matrice dénie par At = (bij)n × m , où bij = aji. Autrement dit, l’élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice A est l’élément de la ligne j et de la colonne i de la matrice transposée. De plus, si la matrice A est de dimension m × n, la dimension de la matrice transposée est n × m. Les matrices suivantes sont la transposée l’une de l’autre :

Produit de deux matrices

REMARQUE

Il est à noter que si A = (aij )m × n, la transposée de A est At = (aji)n × m, où j désigne une colonne de A et i, une ligne de A. On peut décrire l’effet de la transposition sur les éléments de A de la façon suivante : [(aij)m × n]t = (aji)n × m. Il est facile de voir que [At]t = A.

REMARQUE

Soit A = (aik)m × p et B = (bkj )p × n, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A • B (ou simplement AB), est une matrice C = (cij )m × n dont les éléments cij sont dénis par cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj

La multiplication de deux matrices est dénie seulement si le nombre de colonnes de la matrice à gauche du symbole d’opération est égal au nombre de lignes de la matrice à droite du symbole d’opération.

pour tout i et pour tout j. La dernière égalité signie que l’élément cij résulte du produit scalaire du i-ième vecteur ligne de la matrice A et du j-ième vecteur colonne de la matrice B. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne, soit c12, s’obtient en effectuant le produit de la première ligne de la matrice à gauche du symbole d’opération par la deuxième colonne de la matrice à droite du symbole d’opération. EXEMPLE 11.1.3

Effectuer l’opération matricielle indiquée sur les matrices

a) A • B b) B • A c) At • Bt d) Bt • At

e) C • A f) A • C g) B • C h) C • B

Multiplication de matrices

344

Chapitre 11

Solution a) Les matrices sont compatibles et le produit est

b) Les matrices sont compatibles et le produit est

c) Les matrices sont compatibles et le produit est

d) Les matrices sont compatibles et le produit est

e) Les matrices sont compatibles et le produit est

f) Le produit A • C n’est pas déni puisque les matrices ne sont pas compatibles pour cette opération. En effet, la matrice A, à gauche du symbole d’opération, a trois colonnes alors que la matrice C, à droite du symbole d’opération, n’a que deux lignes. g) Les matrices sont compatibles et le produit est

h) Le produit C • B n’est pas déni puisque les matrices ne sont pas compatibles pour cette opération. En effet, la matrice C, à gauche du symbole d’opération, a deux colonnes alors que la matrice B, à droite du symbole d’opération, a trois lignes.

Propriétés du produit et de la transposition

En examinant les résultats des opérations du dernier exemple, on constate que A • B ≠ B • A.

Matrices et systèmes d’équations

La multiplication de matrices n’est donc pas une opération commutative. On constate également que (A • B)t = B t • At et que (B • A)t = At • B t. Cet exemple illustre des propriétés de la multiplication de matrices que nous énonçons sans les démontrer. PROPRIÉTÉS Propriétés de la multiplication de matrices

Pour toutes matrices A, B et C de dimensions appropriées et pour tout scalaire p et q, la multiplication de matrices possède les propriétés suivantes. 1. Distributivité à gauche sur l’addition matricielle : A • (B + C) = (A • B) + (A • C). 2. Distributivité à droite sur l’addition matricielle : (A + B) • C = (A • C) + (B • C). 3. Associativité de la multiplication de matrices : A • (B • C) = (A • B) • C. 4. Existence d’un élément neutre pour la multiplication de matrices : Am × n • In = Am × n In • Bn × m = Bn × m. 5. Associativité pour la multiplication par un scalaire : pA • qB = pq(A • B). Propriétés de la transposition des matrices

Pour toutes matrices A et B de dimensions appropriées et pour tout scalaire k, la transposition possède les propriétés suivantes. 1. 2. 3. 4.

(At)t = A (A + B)t = At + Bt (A • B)t = Bt • At (kA)t = kAt

EXEMPLE 11.1.4

Le propriétaire d’une maison a besoin de matériaux pour isoler son sous-sol, soit 18 montants, 8 plaques de plâtre et 2 sacs de laine minérale. Il téléphone à quatre quincailliers locaux pour savoir lequel offre les meilleurs prix. À sa grande surprise, ceux-ci varient beaucoup d’une quincaillerie à l’autre. Il regroupe les informations qu’il a obtenues dans le tableau de la page suivante.

345

346

Chapitre 11

Déterminer le coût total des matériaux requis pour chacune des quincailleries et indiquer celle qui offre le meilleur prix, s’il faut acheter tous les matériaux au même endroit. Solution 1. Structurer les données Les informations sur les prix des matériaux selon les quincailleries sont déjà structurées. L’information sur les quantités de matériaux est donnée sous forme structurée dans le tableau suivant.

2. Associer une matrice à chacun des tableaux

3. Établir les opérations à effectuer On peut déterminer le coût total des matériaux pour chaque quincaillerie en calculant le produit matriciel At • B, c’est-à-dire le produit de la transposée de la matrice des quantités par la matrice des coûts. La matrice à gauche du symbole d’opération a alors trois colonnes et celle à droite a trois lignes. De plus, les colonnes de la matrice à gauche du symbole d’opération indiquent la quantité nécessaire de chacun des matériaux, tandis que les lignes de la matrice à droite donnent le coût unitaire des matériaux dans chacune des quincailleries. 4. Effectuer l’opération

5. Répondre à la question Puisqu’il faut acheter tous les matériaux au même endroit, c’est à la deuxième quincaillerie qu’on peut se les procurer au coût le plus bas.

Matrices et systèmes d’équations

347

Matrices carrées Une matrice carrée de dimension n × n est aussi dite une matrice d’ordre n. Deux matrices carrées de même ordre sont toujours compatibles pour la multiplication matricielle et le produit est toujours une matrice du même ordre que les matrices multipliées.

Les matrices carrées sont intéressantes à plusieurs égards. En particulier, on peut multiplier une matrice carrée par elle-même. On emploie un exposant pour désigner un tel produit. Par exemple, si A est une matrice carrée, on écrit A2 = A • A et A3 = A • A • A.

EXEMPLE 11.1.5

Calculer A2, B2 et C3, où

Solution

Matrice identité Une matrice identité d’ordre n, notée In, est une matrice scalaire où tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et où tous les autres éléments sont nuls :

REMARQUE

Les éléments a11, a22, a33, ..., ann forment la diagonale principale d’une matrice carrée An × n.

348

Chapitre 11

Un peud’histoire

JAMES JOSEPH SYLVESTER

J

1814-1897

ames Joseph Sylvester naquit en 1814. Il fut admis au St. John’s College, à Cambridge, en 1833. Malgré de brillantes études, il n’obtint pas de diplôme, car, à l’époque, il fallait prêter allégeance à l’Église d’Angleterre pour recevoir un diplôme et Sylvester, qui était juif, refusa de le faire.

différents, ils devinrent amis et échangèrent sur des problèmes mathématiques.

À partir de 1838, il enseigna la physique trois ans au University College de Londres, un des seuls établissements qui n’exerçait pas de discrimination religieuse. En 1841, il accepta un poste à l’Université de Virginie, aux États-Unis, mais l’abandonna au bout de trois mois à cause de conits avec des élèves. De retour en Angleterre, il ne parvint pas à trouver un emploi à la mesure de son talent et il pratiqua le droit et l’actuariat tout en donnant des cours privés de mathématiques. Durant cette période, il t la connaissance d’Arthur Cayley, qui exerçait lui aussi le droit. Quoique de tempéraments

Toujours attiré par la carrière de professeur de mathématiques, Sylvester réussit à obtenir un poste au Royal Military Academy de Woolwich en 1854. Il y demeura jusqu’en 1869, l’âge de la retraite étant de 55 ans dans cet établissement. En 1877, il accepta la chaire de mathématiques de la John Hopkins University et, en 1878, il fonda l’American Journal of Mathematics, soit le premier périodique consacré aux mathématiques aux États-Unis. En 1884, alors âgé de 70 ans, il retourna en Angleterre et occupa la chaire de géométrie d’Oxford. Il se retira en 1892 ; il souffrait de pertes de mémoire et était presque aveugle. Sylvester réalisa d’importants travaux sur la théorie des matrices après avoir été sensibilisé à ce sujet lors de ses échanges avec Cayley. En particulier, il utilisa la théorie des matrices pour étudier les géométries de dimension supérieure.

ARTHUR CAYLEY

A

1821-1895

r thur Cayley, un ma thématicien anglais, commença ses études au Trinity College de Cambridge en 1838, où il obtint un diplôme en 1842. Il enseigna d’abord à Cambridge mais, pour subvenir à ses besoins, il s’initia au droit et fut admis au barreau en 1849. Durant ses études de droit, il assista à des conférences de Hamilton sur les quaternions. Il t ainsi la connaissance de Salmon et de Sylvester, qui pratiquaient également le droit. Cayley exerça le métier d’avocat durant 14 ans, sans jamais négliger ses recherches en mathématiques. Il publia environ 250 mémoires. Il effectua un retour à Cambridge en 1863, où il occupa un poste d’enseignant en mathématiques pures jusqu’en 1895. Ce changement entraîna une importante diminution de rémunération, mais Cayley fut heureux d’avoir la chance de se consacrer entièrement aux mathématiques. Durant cette période, il publia plus de 900 articles sur la plupart des sujets mathématiques.

Ses principales contributions portent sur l’algèbre des matrices, la géométrie non euclidienne et les géométries à n dimensions. En 1854, il rédigea deux articles donnant un aperçu intéressant sur la théorie des groupes. Le sujet était nouveau et les seuls groupes connus étaient des groupes de permutations. Cayley dénit les groupes abstraits et en dressa une table de multiplication. Il constata que les quaternions et les matrices forment des groupes. C’est dans un mémoire publié en français en 1855, intitulé Remarques sur la notation des fonctions algébriques, qu’il introduisit les notions de base de l’algèbre des matrices. Cependant, c’est dans un article paru en 1858, Memoir on the Theory of Matrices, qu’il dénit la somme de deux matrices, la multiplication d’une matrice par un scalaire et la multiplication de deux matrices. Il énonça également les propriétés de ces opérations.

Matrices et systèmes d’équations

11.2 Exercices 1. Effectuer, si possible, les opérations suivantes. a) b) c) d) e) 2. Pour chacune des gures suivantes, construire une matrice M où l’élément aij est la distance géo­ métrique entre les sommets i et j du polygone. a)

b)

c)

349

c) La partie patronale propose plutôt des aug­ mentations forfaitaires intégrées aux échelles salariales ; elle offre 850 $ la première année, 700 $ la deuxième année et 600 $ la troisième année. Déterminer la matrice des échelles sala­ riales pour la troisième année de la convention dans le cas où cette offre serait acceptée. 5. Un système de contrôle du niveau de liquide dans un réservoir municipal peut être dans trois états, soit E1 (arrêt), E2 (marche lente) et E3 (marche rapide). Il peut changer d’état chaque fois que la lecture du niveau de liquide est prise électroniquement. En analysant les changements d’état sur une longue période, on a construit le graphe suivant, qui donne les probabilités de transition d’un état vers un autre. On y voit que si le système de pompage est à l’arrêt, il y a 2 chances sur 10 qu’il demeure à l’arrêt lors d’une lecture de niveau. Il y a 5 chances sur 10 qu’il passe à l’état E 2 et 3 chances sur 10 qu’il passe à l’état E3. Déterminer la matrice M où l’élément aij est la probabilité de passer de l’état i à l’état j.

3. Les gures suivantes comportent 6 sommets, numérotés de 1 à 6. Construire une matrice M où l’élément aij est la longueur du plus court chemin entre le sommet i et le sommet j. a)

b)

c)

4. Le tableau suivant présente les échelles de salaire des employés d’une entreprise selon le diplôme et le nombre d’années de service.

a) Représenter les échelles salariales par une matrice. b) Des négociations sont en cours pour le renouvel­ lement de la convention collective et le syndicat demande des augmentations de salaire de 2,5 % la première année, de 2 % la deuxième année et de 1,5 % la troisième année. Déterminer la matrice des échelles salariales de la troisième année de la convention dans le cas où les demandes du syndicat seraient acceptées.

6. Une entreprise doit se procurer des matériaux, dont des planches et des montants de diverses largeurs, épaisseurs et longueurs. Les quantités qu’elle a actuellement en réserve sont données dans le tableau suivant.

a) Le service de la production achemine une commande au responsable des achats pour un projet ; cette commande est décrite par la matrice suivante.

Par une opération matricielle, calculer les quanti­ tés en réserve après avoir livré cette commande.

350

Chapitre 11

b) Après avoir livré la commande, l’entreprise reçoit une livraison de matériaux. Les quantités livrées sont données dans la matrice

10. On a effectué une étude de marché portant sur quatre produits concurrents, notés P1, P2, P3 et P4. L’étude a permis de déterminer, pour chacun des produits, la probabilité, notée aij, qu’un consommateur utilisant le produit Pi opte pour le produit Pj au prochain achat.

Par une opération matricielle, calculer les quantités en réserve après avoir enregistré les quantités livrées. 7. Soit

Déterminer les opérations qui sont dénies et les effectuer. a) 2At c) 3C t b) 3Bt d) (A + B)t 8. Soit A= a) Calculer A + At. b) Qu’est-ce qui caractérise A + At dans le cas où A est une matrice carrée ?

a) Construire une matrice véhiculant la même information que le diagramme ci-dessus. b) Étant donné le peu de satisfaction des consommateurs, la compagnie qui produit P4 a décidé d’en cesser la production. On estime que les consommateurs actuels de P4 et les consommateurs de P2 qui envisageaient de changer pour P4 se répartiront également entre les deux autres produits P1 et P3, et que les consommateurs de P3 qui envisageaient de changer se répartiront également entre les trois produits restants. Compléter le diagramme suivant en supposant que cette hypothèse se réalise.

9. Un propriétaire de stations-service a deux établissements et, entre autres services, il vend des essuie-glace, du lave-glace et des tapis d’auto. Les tableaux suivants donnent les ventes effectuées pour les mois de janvier et de février.

c) Construire une matrice véhiculant la même information que le diagramme en b). 11. Effectuer les opérations suivantes si elles sont dénies. a) b) a) Utiliser les opérations sur les matrices pour déterminer les ventes totales pour ces deux mois. b) Utiliser les opérations sur les matrices pour déterminer la variation des ventes entre ces deux mois.

c)

d)

Matrices et systèmes d’équations

12. Soit

Est-ce que A • B = B • A ?

351

17. Une usine de meubles non peints fabrique des bureaux, des chaises et des tables. Le temps, en heures, que met chaque atelier pour fabriquer un de ces meubles est donné dans le tableau suivant.

13. Soit

Déterminer les opérations qui sont dénies et les effectuer. a) A • B c) B • C t b) A • B d) A • C 14. Soit la matrice A= Construire une matrice non nulle B= telle que Dans ce cas, est-ce que A • B = B • A = 0 ? 15. Illustrer à l’aide des matrices A et B la noncommutativité du produit matriciel. a)

a) L’usine a reçu des commandes pour 25 bureaux, 32 chaises et 16 tables. Déterminer le temps requis par chaque atelier pour produire les meubles commandés. b) Si les travailleurs de l’atelier de sciage gagnent 18,75 $/h alors que les assembleurs gagnent 14,53 $/h et les sableurs, 16,25 $/h, déterminer les coûts de main-d’œuvre des meubles commandés. c) Déterminer les coûts de main-d’œuvre unitaires pour chaque type de meuble. 18. Une usine de meubles fabrique trois modèles de bureaux, soit M1, M 2 et M3. La fabrication des divers modèles nécessite des quantités différentes de bois, de contreplaqué et d’aggloméré, comme l’indique le tableau suivant. La quantité de bois est en unités de longueur, alors que celles de contreplaqué et d’aggloméré sont en unités d’aire.

b) c) d) Existe-t-il des matrices A et B telles que A • B = B • A ? Justier la réponse. 16. Vérier si les matrices A et B possèdent les propriétés suivantes de la transposition d’une matrice : (A + B)t = At + Bt et (A • B)t = Bt • At. a) b)

c)

a) L’usine a des commandes pour 50 bureaux du modèle M1, 65 bureaux du modèle M2 et 52 bureaux du modèle M3. Quelles quantités de matériaux doit-elle acheter pour réaliser ces commandes ? b) Le temps de production des bureaux (en minutes) est donné dans le tableau suivant, pour chaque atelier. Déterminer le temps requis par chaque atelier pour réaliser les commandes.

352

Chapitre 11

11.3 Systèmes d’équations Dans la présente section, nous verrons comment représenter et résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de matrices.

Équations linéaires à deux inconnues Soit le système de deux équations du premier degré :

REMARQUE

Chacune des équations linéaires décrit une droite de 2. Si les droites sont concourantes, elles se rencontrent en un point dont les coordonnées constituent une solution de chacune des équations.

Les deux équations constituent un système d’équations linéaires à deux inconnues.

Le système obtenu par élimination est équivalent au système initial, c’est-à-dire qu’il a les mêmes solutions. En effet, il décrit toujours deux droites dont le point d’intersection est identique à celui des droites ∆1 et ∆2. La solution est (−2; 3), soit le point d’intersection des paires de droites.

Ces équations sont représentées respectivement par les droites que nous notons ∆1 et ∆2. Résoudre le système d’équations signie déterminer les valeurs des variables qui vérient les deux équations. Pour ce faire, on cherche l’équation d’une droite passant par le point d’intersection de ∆1 et de ∆2, et parallèle à un des axes. On l’obtient en éliminant une inconnue dans l’une des équations. On représente le système d’équations par une matrice, appelée matrice augmentée du système d’équations, formée uniquement des coefcients et des constantes du système d’équations.

On résout le système d’équations en éliminant la variable x de la deuxième équation, comme suit. On multiplie la première équation par −3, puis on additionne le résultat à la deuxième équation. Cette transformation revient à additionner des valeurs égales aux deux membres de l’équation.

On obtient ainsi un nouveau système d’équations et une nouvelle matrice.

Dans la matrice augmentée, les éléments à gauche des traits verticaux correspondent aux coefcients du nouveau système d’équations tandis que les éléments à droite des traits correspondent aux constantes. Échelonner la matrice consiste à effectuer des opérations visant à annuler de plus en plus de coefcients, de ligne en ligne, puis de colonne en colonne. Le système d’équations représenté par la dernière matrice, soit

Matrices et systèmes d’équations

353

est équivalent au système initial, c’est-à-dire qu’il admet les mêmes solutions. En isolant y dans l’équation 11y = 33, on obtient y = 3 et, en substituant 3 à y dans la première équation, on obtient x = −2. La solution du système d’équations est donc (−2; 3), qui est le point d’intersection des droites ∆1 et ∆2. EXEMPLE 11.3.1

En construisant une matrice augmentée, déterminer l’intersection des droites dont les équations sont données et représenter graphiquement le système d’équations. a)

c)

b) Solution a) La deuxième ligne de la matrice de droite correspond à l’équation 23y = 46, qui donne directement y = 2. En remplaçant y par sa valeur dans la première équation, puis en isolant x, on obtient x = 3. Le point d’intersection des deux droites est donc (3; 2). b) La deuxième ligne de la matrice de droite correspond à l’équation 0x + 0y = 8. Aucune valeur de x ou de y ne vérie cette équation ; on en conclut que le système n’admet aucune solution. Le système initial est représenté par deux droites parallèles qui ne se rencontrent pas. c) Toutes les valeurs de x et de y vérient la deuxième équation. Ainsi, tous les points de la droite x − 3y = 2 sont des solutions du système d’équations. Cela signie que les droites d’équations respectives x − 3y = 2 et 3x − 9y = 2 sont confondues. Dans ce cas, le système admet une innité de solutions, que l’on décrit à l’aide d’un paramètre, en procédant comme suit. On considère comme variables liées les variables dont le coefcient correspond au premier terme non nul d’une des lignes de la matrice échelonnée et comme variables libres toutes les autres variables. Dans le présent exemple, il y a donc une variable liée, x, et une variable libre, y. L’usage est d’utiliser un paramètre t pour la variable libre ; dans le cas présent, y = t. En substituant t à y dans la première équation, puis en isolant x, on obtient x = 2 + 3t. L’ensemble solution est alors {(x; y)| x = 2 + 3t, y = t}, où t est un nombre réel. Cet ensemble est appelé solution générale du système d’équations linéaires.

REMARQUE

On représente le système d’équations en utilisant le point solution et un autre point de chacune des droites.

354

Chapitre 11

REMARQUE

L’ensemble solution {(x; y)| x = 2 + 3t, y = t}, où t ∈  est la description paramétrique de la droite.

REMARQUE

Un système d’équations à deux inconnues peut comporter plus de deux équations. Si le système a une ou plusieurs solutions, certaines de ces équations seront complètement éliminées lors des transformations. Cependant, cela ne signie pas que l’on peut éliminer n’importe quelle équation arbitrairement. En effet, si un système comprend trois équations à deux inconnues, il est possible qu’il n’admette aucune solution, comme l’illustre la gure suivante.

Solutions particulières En donnant une valeur particulière au paramètre t d’une solution générale, on obtient une solution particulière du système d’équations. Chaque solution particulière correspond à un point de la droite représentant chacune des équations. Par exemple, en posant t = 0, on obtient le point (2; 0) et, en posant t = 2, le point (8; 2). En résolvant un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on peut rencontrer trois cas.

Équations linéaires à trois inconnues Soit REMARQUE

An d’obtenir des éléments nuls dans la première colonne, on se sert de l’élément de la première ligne de cette colonne, qu’on appelle pivot. On indique le pivot au moyen d’un carré ombré. On obtient des éléments nuls dans la deuxième colonne en se servant de l’élément de la deuxième ligne de cette colonne. S’il est nul, on interchange la deuxième ligne avec une des lignes suivantes ayant un élément non nul dans la deuxième colonne. Si tous les éléments de la deuxième colonne sous la deuxième ligne sont nuls, on passe à la colonne suivante.

On cherche d’abord à transformer la première colonne : on annule l’élément de la deuxième ligne en effectuant la transformation L2 → L2 − 2L1, puis on annule l’élément de la troisième ligne en effectuant la transformation L3 → L3 − 3L1. On obtient ainsi un système équivalent et, nalement, la forme échelonnée :

Matrices et systèmes d’équations

355

De l’équation L3 : 5z = −15, on tire z = −3 et, en remplaçant z par sa valeur dans L2 : y − z = −4, on obtient y = −7. Enn, L1 : x + 2y − 3z = −3 donne par substitution x = 2. Le système a donc une solution unique, soit (x; y; z) = (2; −7; −3). Une équation linéaire à trois inconnues dénit un plan de  3. Quand on résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues, trois cas peuvent se présenter.

REMARQUE

La matrice résultant des transformations sur les lignes donne toute l’information nécessaire pour déterminer les solutions du système.

Systèmes d’équations et matrices Il n’est pas possible de représenter graphiquement une équation comportant plus de trois inconnues. On peut cependant résoudre un système formé de telles équations. Un système de m équations linéaires à n inconnues s’écrit sous la forme

et on le représente par l’équation matricielle

qui s’exprime aussi sous la forme AX = B, où A = (aij )m × n est la matrice des coefcients du système d’équations. On appelle cette dernière matrice associée au système d’équations ; B = (bi)m × 1 est la matrice des constantes du système et X = (xj )n × 1, la matrice des inconnues du système. On dit que

REMARQUE

Un système d’équations représente m contraintes sur n variables. À l’aide du produit matriciel, on peut vérier que l’on a la bonne solution. Ainsi, pour le système de trois équations à trois inconnues de la page précédente, on a le produit

356

Chapitre 11

AX = B est l’équation matricielle associée au système d’équations. On peut donc également représenter le système d’équations par la matrice

appelée matrice augmentée du système d’équations. REMARQUE

La matrice

est une matrice échelonnée. Le pivot de la première ligne est 2, celui de la deuxième ligne, −3 et celui de la troisième ligne, −2.

Matrice échelonnée Une matrice échelonnée est une matrice où le nombre de zéros précédant le premier élément non nul d’une ligne augmente de ligne en ligne et où il est possible que la ou les dernières lignes soient nulles. Pivot d’une ligne Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul d’une ligne est appelé pivot de cette ligne.

Méthode de Gauss Pour résoudre un système d’équations linéaires, il faut l’écrire de manière que les variables identiques forment des colonnes et que le coefcient de la première variable de la première ligne soit différent de zéro ; c’est ce qu’on appelle la forme initiale du système. À la première étape, on élimine les termes en x1 depuis la deuxième ligne jusqu’à la dernière, puis les termes en x2 à partir de la troisième ligne (on peut avoir à intervertir deux lignes pour réaliser cette étape), et ainsi de suite. Le système résultant est appelé système échelonné. On nit de résoudre le système par substitution. Cette méthode de résolution consiste donc à construire une suite de systèmes équivalents jusqu’à l’obtention du système échelonné : c’est la méthode de Gauss. En pratique, on effectue, sur la matrice augmentée, les transformations visant à créer une matrice échelonnée. Les transformations sont appelées opérations élémentaires sur les lignes. Opérations élémentaires sur les lignes Soit A, une matrice. On appelle opération élémentaire sur les lignes de A chacune des opérations suivantes. 1. Interchanger la ligne i et la ligne j : Li ↔ Lj. 2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul : Li → aLi, où a ∈ \{0}. 3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i et d’un multiple de la ligne j : Li → aLi + bLj, où a ∈ \{0} et b ∈ .

Matrices et systèmes d’équations

Matrices équivalentes-lignes On dit que deux matrices sont équivalentes-lignes si on peut les transformer l’une en l’autre en effectuant une série d’opérations élémentaires sur les lignes. L’équivalence de matrices est symbolisée par ≈.

Méthode de Gauss-Jordan La méthode de réduction de Gauss-Jordan consiste à utiliser le pivot d’une ligne de la matrice augmentée pour annuler tous les autres termes de la colonne. Cette méthode a servi à concevoir des algorithmes informatiques permettant de résoudre des systèmes d’équations linéaires. Matrice échelonnée réduite Une matrice échelonnée réduite est une matrice où : • le pivot de chaque ligne de la matrice des coefcients est 1 ; • le pivot est le seul élément non nul de sa colonne. EXEMPLE 11.3.2

Résoudre le système d’équations linéaires suivant par la méthode de Gauss-Jordan.

Solution En résolvant le système, on obtient

Le système a une solution unique (5; –36; –20). Cela est conrmé par le produit matriciel suivant :

.

Matrice échelonnée réduite

357

358

Chapitre 11

Système d’équations linéaires homogène Un système d’équations linéaires est dit homogène si toutes les constantes bi sont nulles. Un système homogène admet toujours au moins une solution, soit (0; 0; ...; 0), qu’on appelle solution triviale.

EXEMPLE 11.3.3

Résoudre le système d’équations linéaires suivant par la méthode de Gauss-Jordan.

Solution En appliquant la méthode de Gauss-Jordan, on obtient

Le premier élément non nul de la première ligne est dans la colonne des coefcients de x ; cette variable est donc liée. Le premier élément non nul de la deuxième ligne est dans la colonne des coefcients de z ; cette variable est donc liée. Le premier élément non nul de la troisième ligne est dans la colonne des coefcients de u, cette variable est donc liée. La variable y est libre. Si on la représente par la lettre t, par substitution dans les équations ayant une valeur non nulle dans la colonne des coefcients de y, on obtient la solution générale du système d’équations, soit {(x; y; z; u) ∈  4 | x = −4 − 2t, y = t, z = 6, u = −4}. On peut vérier l’exactitude de ce résultat par le produit matriciel

Matrices et systèmes d’équations

Problèmes de production et matrices Comment décrire un problème de production à l’aide de matrices ? Dans ce type de problème, l’équation matricielle établit une relation entre les quantités de matériaux requises pour produire un exemplaire de chaque modèle, le nombre d’unités de chaque modèle à produire et la quantité totale de chacun des matériaux nécessaires pour la production. La représentation matricielle ci-contre illustre cette relation.

Représentation matricielle d’un problème de production

On rencontre deux grands types de problèmes : • Matériaux à commander pour produire les commandes Calculer la quantité de matériaux à commander compte tenu du nombre d’unités de chaque modèle à produire ; pour ce faire, on effectue le produit de matrices.

Matériaux à commander

• Capacité de production avec les matériaux disponibles Calculer le nombre d’unités de chaque modèle que l’on peut produire avec les matériaux dont on dispose ; pour ce faire, on résout un système d’équations. EXEMPLE 11.3.4

Une compagnie de paysagement achète des engrais simples : azote (N), phosphore (P) et potassium (K). Pour entretenir les espaces verts et les arrangements oraux, elle fait préparer des engrais ternaires, c’est-à-dire contenant un certain pourcentage de chacun des engrais simples ajoutés à 40 % de terre. Les mélanges ternaires sont désignés par A (tout usage), B (enracinement) et C (oraison et fructication). Ces mélanges sont produits en sacs de 50 kg. Les pourcentages des engrais simples dans chacun des engrais ternaires sont donnés dans le tableau ci-contre. a) La compagnie prévoit, pour le premier mois de l’été, vendre hebdomadairement 300 sacs du mélange A, 150 sacs du mélange B et 200 sacs du mélange C. Combien de kilogrammes de chaque sorte d’engrais simples doit-elle commander hebdomadairement chez le grossiste ? b) Le grossiste informe la compagnie qu’il ne peut pas lui fournir les quantités demandées. Hebdomadairement, il peut livrer seulement 5 000 kg d’azote, 6 050 kg de phosphore et 6 350 kg de potassium. Quelle quantité de chaque mélange la compagnie pourra-t-elle produire en tenant compte de ces contraintes ? Solution a) Les mélanges sont donnés en pourcentages et un sac de 50 kg d’un engrais ternaire A, de composition 20-20-20, contient 10 kg d’azote, 10 kg de phosphore, 10 kg de potassium et 20 kg de terre. La matrice des quantités est alors

Capacité de production avec les matériaux disponibles

359

360

Chapitre 11

Pour déterminer les quantités d’engrais simples qu’il faut commander, on doit effectuer une multiplication de matrices :

La compagnie doit commander au grossiste 5 625 kg d’azote, 6 750 kg de phosphore et 7 125 kg de potassium. b) Soit x, le nombre de kilogrammes du mélange A ; y, le nombre de kilogrammes du mélange B ; z, le nombre de kilogrammes du mélange C. La compagnie ne recevra que 5 000 kg d’azote ; il faut donc que 10x + 7,5y + 7,5z = 5 000 an que la quantité totale d’azote utilisée soit égale à la quantité fournie par le grossiste. Pour les autres mélanges, les équations sont 10x + 15y + 7,5z = 6 050 ; 10x + 7,5y + 15z = 6 350. On doit donc résoudre le système d’équations qui, sous forme matricielle, s’écrit . En appliquant la méthode de Gauss-Jordan, on obtient

Matrices et systèmes d’équations

La compagnie pourra produire 260 sacs du mélange A, 140 sacs du mélange B et 180 sacs du mélange C. On peut vérier qu’il ne s’est pas glissé d’erreur en calculant un produit de matrices :

.

EXEMPLE 11.3.5

Le réseau d’eau potable d’une municipalité est alimenté par une usine qui ne suft plus à la demande. On projette donc la construction de deux autres usines, reliées à la première. Le diagramme ci-contre représente les réseaux d’alimentation actuel et projeté ; les èches indiquent le sens d’écoulement de l’eau. Calculer le débit dans chaque branche du réseau lorsque toutes les usines fonctionneront à pleine capacité. Solution Chaque point de jonction du diagramme représente un nœud du réseau d’alimentation. On assigne un sens arbitraire d’écoulement à chaque branche et on désigne le débit dans chacune par une variable. On peut alors établir une équation pour chacun des nœuds du réseau, compe tenu du fait que la quantité de liquide qui arrive à un nœud est identique à celle qui en sort : • nœud N1 : d1 + d2 = 300 ; • nœud N2 : d1 + 180 = d3 ; • nœud N3 : d2 + 240 = d4 ; • nœud N4 : d3 + d4 = d5. En représentant le problème par une matrice, on obtient

361

362

Chapitre 11

L’ensemble solution du système d’équations est {(d1; d2; d3; d4; d5) | d1 = 540 − s, d2 = s − 240, d3 = 720 − s, d4 = s, d5 = 720}. REMARQUE

Le système d’équations comporte une seule variable libre, soit d4. La variable d5 est liée puisque sa valeur est constante.

Il y a donc une innité de solutions. L’eau s’écoule dans le sens indiqué par les èches si d1 = 540 − s ≥ 0, c’est-à-dire si s ≤ 540 L/s. Il faut également que d2 = s − 240 ≥ 0, d’où s ≥ 240 L/s. On doit donc avoir 240 ≤ s ≤ 540. En choisissant s = 300 L/s, on obtient la solution particulière (240; 60; 420; 300; 720).

Méthode de Cramer Il est souvent intéressant d’employer des lettres au lieu de nombres lorsqu’on applique une procédure. Cela permet de découvrir des aspects que l’emploi des nombres ne met pas en évidence. Si on prend les lettres a, b, c et d comme coefcients non nuls des variables x et y, ainsi que e et f comme constantes dans un système de deux équations à deux inconnues, on obtient le système

En appliquant la méthode de Gauss pour éliminer la variable x de la deuxième équation, on obtient

Si ad – cb ≠ 0, on peut isoler y et on obtient

En substituant cette expression à y dans la première équation, puis en isolant x, on obtient

La solution du système est donc

On remarque que le dénominateur des deux expressions est ad – bc. Il doit être différent de 0 pour que le système ait une solution unique. De plus,

Matrices et systèmes d’équations

363

les paramètres sont les coefcients des variables du système d’équations

Il est possible d’écrire un système d’équations de ce type à l’aide de matrices :

On représente la différence de produits ad – bc par un tableau de nombres bordé de droites verticales an de le distinguer de la matrice des coefcients :

REMARQUE

Dans le système d’équations cidessous, chaque équation est représentée graphiquement par une droite. Si le système a une solution unique, celle-ci est représentée par le point d’intersection des deux droites.

. La valeur de l’expression ad – cb est appelée déterminant de la matrice des coefcients du système d’équations, que l’on note « det A ». Le système d’équations a une solution unique si det A ≠ 0. Les numérateurs respectifs des expressions de x et de y s’expriment aussi sous forme de déterminants :

Il suft de calculer ces déterminants pour résoudre le système d’équations. La méthode de résolution d’un système d’équations décrite ci-dessus est appelée méthode de Cramer. Elle se fonde sur le calcul de déterminants, procédure que nous allons décrire en posant quelques dénitions. Déterminant d’ordre 2 Soit

une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de la matrice A est déni par

REMARQUE

Pour obtenir le déterminant du numérateur de x, on remplace la colonne des coefcients de cette variable par la colonne des constantes dans le déterminant de la matrice des coefcients. Pour obtenir le déterminant du numérateur de y, on remplace la colonne des coefcients de cette variable par la colonne des constantes dans le déterminant de la matrice des coefcients.

364

Chapitre 11

EXEMPLE 11.3.6

Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système d’équations suivant.

Solution Le déterminant de la matrice des coefcients est

Le déterminant étant différent de zéro, le système a une solution unique :

La solution unique est donc le couple (4; –1). C’est le point de rencontre des deux droites.

Un peud’histoire

SOFIA KOVALEVSKAÏA

S

1850-1891

oa Kovalevskaïa naquit à Moscou en 1850 et mourut à Stockholm en 1891. Son père, Vasily Korvin-Krukovsky, général d’artillerie, et sa mère, Velizaveta Shubert, faisaient tous deux partie de la noblesse russe. Elle fut éduquée par des tuteurs et des gouvernantes, et vécut d’abord au domaine des Krukovsky, à Palibino, puis à Saint- Pétersbourg, où elle se joignit au cercle social de la famille. Par souci d’économie, on tapissait à l’époque les murs de chambres de feuilles de papier usagées. La sienne était recouverte de notes sur le calcul différentiel et intégral et, à l’âge de 11 ans, elle s’appliqua à en comprendre la signication. Elle entreprit des études en mathématiques sous la direction du tuteur de la famille ; elle avoua elle-même avoir été à ce point fascinée par ce sujet qu’elle négligea les autres matières, de sorte que son père lui interdit l’étude des mathématiques. Elle emprunta alors un livre d’algèbre qu’elle étudiait la nuit, quand toute la maisonnée était endormie. En Russie, à cette époque, une femme n’avait pas le droit de quitter le foyer familial sans la permission écrite de son père ou de son mari. Comme son père refusait de la laisser aller étudier à l’université, elle contracta un mariage blanc avec Vladimir Kovalevski. En 1869,

Kovalevskaïa s’installa à Heidelberg pour y étudier les mathématiques et les sciences naturelles. Elle réussit à assister aux cours même si l’université ne décernait pas de diplôme aux femmes. En 1871, elle déménagea à Berlin pour étudier avec Karl Weierstrass (1815-1897) mais, malgré les démarches de ce dernier, elle ne fut pas autorisée à assister aux cours. Weierstrass lui donna des cours privés durant les quatre années qui suivirent. En 1874, elle reçut un doctorat avec grande distinction de l’Université de Göttingen mais, malgré ce diplôme et les chaudes recommandations de Weierstrass, elle n’obtint pas d’emploi à la mesure de son talent. On lui offrit un poste d’enseignante dans une école primaire pour lles. En 1884, elle accéda enn à un poste de professeur à l’Université de Stockholm grâce aux démarches de Gosta Mittag-Lefer (1846-1927), ancien élève de Weierstrass. En 1886, elle reçut le prix Bordin pour un article intitulé Mémoire sur un cas particulier de la rotation d’un corps pesant autour d’un point xe. En témoignage de la qualité de cet ouvrage, le prix, qui était de 3 000 francs, fut augmenté à 5 000 francs. En 1889, Kovalevskaïa devint la première femme depuis Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) à détenir une chaire de mathématiques dans une université européenne.

Matrices et systèmes d’équations

365

Un peud’histoire

EMMY NOETHER

E

1882-1935

mmy Noether naquit en 1882 à Erlangen, en Allemagne, et elle mourut en 1935 en Pennsylvanie, aux ÉtatsUnis. Son père, Max Noether, était professeur de mathématiques à Erlangen. Sa mère, Ida Kaufmann, venait d’une riche famille de Cologne. Elle était l’aînée et la seule lle d’une famille de quatre enfants.

Noether et son plus jeune frère, Fritz, suivirent les traces de leur père : ils étudièrent les mathématiques. Noether se prépara d’abord à devenir professeur de langues et, après avoir réussi l’examen de l’État bavarois, elle reçut son certicat de professeur d’anglais et de français pour les écoles bavaroises de lles. Cependant, elle n’occupa jamais de poste de professeur de langues. Elle alla plutôt étudier les mathématiques à l’université. Ce choix ne fut pas de tout repos. Ofciellement, les lles n’étaient pas admises dans les universités allemandes à cette époque. Pour qu’une lle puisse suivre les cours, il fallait que chaque professeur donne son accord. Noether obtint la permission d’assister aux cours à l’Université d’Erlangen de 1900 à 1902. Son tuteur fut Paul Gordon, ami de la famille. Après avoir réussi les examens à Erlangen, elle entra à l’Université de Göttingen et assista aux cours des mathématiciens Hilbert, Klein et Minkowski. En 1907, elle présenta sa thèse, intitulée Sur les systèmes complexes d’invariants sur les formes biquadratiques ternaires, ce qui lui valut un doctorat de l’Université d’Erlangen. Son directeur de thèse fut Paul Gordon.

Il y avait encore beaucoup d’opposition à l’arrivée des femmes dans les universités. La faculté de philosophie de Göttingen était formée des professeurs de philosophie, d’histoire, de sciences naturelles et de mathématiques, et ceux qui œuvraient dans d’autres domaines que les mathématiques s’opposaient à l’admission de Noether à la faculté. Aucun poste de professeur ne lui fut donc offert. En 1915, Hilbert et Klein l’invitèrent à retourner à Göttingen et à y demeurer pendant qu’ils exerceraient des pressions pour la faire admettre à la faculté, ce qu’ils réussirent seulement en 1919. Dans l’intervalle, Hilbert lui offrit la possibilité d’enseigner en se servant de son nom pour annoncer le cours qu’elle donnait. Les travaux d’Emmy Noether sur la théorie des invariants ont mené à la formulation de plusieurs concepts de la théorie de la relativité générale d’Einstein. En 1919, Noether délaissa la théorie des invariants pour s’intéresser à la théorie des idéaux. Elle contribua ainsi à faire de cette théorie une composante majeure des mathématiques. Ses recherches conduisirent à la structure de module, plus générale que la structure d’espace vectoriel. En 1933, Noether fut chassée de l’Université de Göttingen par les nazis, car elle était juive. Elle se réfugia aux ÉtatsUnis et enseigna au Bryn Mawr College et à l’Institute for Advanced Study de Princeton. Elle mourut des suites d’une intervention chirurgicale.

366

Chapitre 11

7)

11.4 Exercices 1. Après avoir échelonné différents systèmes de trois équations à deux inconnues, on a obtenu les matrices suivantes. Dans ces matrices, les lettres représentent des valeurs numériques non nulles. Indiquer si le système admet une solution unique, s’il admet une innité de solutions ou s’il n’admet aucune solution. a)

d)

2. On a échelonné différents systèmes de quatre équations à trois inconnues et obtenu les matrices suivantes. Dans ces matrices, les lettres représentent des valeurs numériques non nulles. Indiquer si le système admet une solution unique, s’il admet une innité de solutions ou s’il n’admet aucune solution.

a) b)

e)

c)

f)

Parmi les représentations graphiques suivantes, indiquer celles qui peuvent être des représentations de chaque système d’équations avant qu’il ne soit échelonné. Dans ces représentations graphiques, deux droites sont confondues lorsqu’elles portent deux identications, par exemple ∆ 2 et ∆ 3.

b)

c)

d) 1)

4)

e)

2)

5)

f)

g) 3)

8)

6)

h)

Matrices et systèmes d’équations

3. Résoudre les systèmes d’équations linéaires par la méthode de Gauss. a) x − 2y + z = 13 2x + 5y − 3z = −17 3x + 4y + 2z = 14

367

Montrer les énoncés suivants. a) Si

c’est-à-dire ad – bc ≠ 0, le système

admet une solution unique qui est

b) x + 2y − z = 4 2x + 5y + z = 9 4x + 9y − z = 17 c) x − 3y + 2z = 7 2x − 5y − z = 16 4x − 11y + 3z = 30 3x − 8y + z = 23

b) Si

le système n’a aucune solution.

c) Si

le système a une innité de

solutions. 6. Résoudre les systèmes d’équations suivants par la méthode de Gauss.

d) x − 5y + 6z − 2u = 31 x + 2y + 4z + 3u = 27 2x + 3y + 2z + u = 8 x + 3y + 2z + u = 6

a)

e) 2x + 4y − 3z = 18 5x + y + 2z = 21 8x + 5y + 2z = 14 f) 3x − 2y + 4z = 80 5x + 7y − 4z = −67 3x − 4y + 6z = 118

b)

g) 5x + 3y − 7z = 3 4x + 2y + z = 30 2x + 7y − 4z = −21

c)

h) x + 3y − 5z = −32 4x + 2y + 3z = 17 3x − 7y + 5z = 52 2x − 16y + 7z = 87

d)

7. Déterminer, dans chaque cas, les points d’intersection des plans donnés.

i) 2x + 2y + 5z = 19 3x + 4y + 2z = −5 x + 4y − 14z = −91

a) π1 : 2x + 5y + 3z = 7 π2 : 2x + 6y + 7z = 20 π3 : 2x + 5y + 4z = 11

j) x + 3y − 2z = −25 3x + 5y + z = −16 3x + y + 8z = 20 4. La représentation graphique d’une correspondance de la forme y = ax 2 + bx + c est une parabole. Déterminer l’équation de la parabole passant par les points (2; 2), (4; 4) et (6; 7). 5. Soit le système d’équations .

b) π1 : x + 3y + 2z = 36 π2 : 2x + y + 8z = 106 π3 : 3x + 5y + 9z = 133 c) π1 : 2x – y + 3z = 74 π2 : 4x – y + 2z = 84 π3 : 4x – 2y + 6z = 13 d) π1 : 2x + y + 3z = –2 π2 : 3x – 2y + 4z = –16 π3 : x + 4y + 2z = 12

368

Chapitre 11

8. Une municipalité a réalisé une étude sur la circulation, et les résultats sont représentés par le croquis suivant. Les voies sont à sens unique et on indique le nombre de véhicules par heure en trois points du réseau, à l’heure de pointe du matin.

a) Décrire le réseau routier à l’aide d’un système d’équations. b) Résoudre le système d’équations écrit en a).

a) Déterminer le nombre de litres de chaque type de tourbe qu’il faut employer si on veut absorber 43 g de P1, 29 g de P2 et 27 g de P3. b) Si les polluants à absorber comprennent 58 g de P1, 50 g de P2 et 54 g de P3, quelle quantité de chaque type de tourbe faut-il utiliser ? 11. Une usine de meubles produit trois modèles de bureau, soit M1, M2 et M3. La fabrication de chaque modèle nécessite une quantité donnée de bois, de contreplaqué et d’aggloméré, comme l’indique le tableau suivant. Les quantités de bois sont exprimées en mètres linéaires, et les quantités de contreplaqué et d’aggloméré, en mètres carrés.

9. Dans un treillis métallique, la température en un point de jonction quelconque est égale à la température moyenne aux extrémités ou aux points de jonction immédiatement voisins. a) Déterminer la température en chaque point de jonction du treillis suivant compte tenu des températures indiquées.

b) Si on augmente la température à l’extrémité A à 50 °C en maintenant les autres extrémités à 10 °C, quelle est la température en chacun des points de jonction ? c) Si on règle la température à 40 °C à l’extrémité A, à 20 °C à l’extrémité B et à 0 °C à l’extrémité C, quelle est la température aux points de jonction ?

a) L’usine a en réserve les matériaux suivants : 530 m de bois, 66,9 m2 de contreplaqué et 31,8 m 2 d’aggloméré. Combien de bureaux de chaque modèle peut-elle fabriquer avec ces matériaux ? b) L’usine a des commandes pour 29 bureaux du modèle M1, 55 bureaux du modèle M2 et 43 bureaux du modèle M3. Quelle quantité supplémentaire de chaque matériau doit-elle se procurer pour remplir ces commandes ? c) Le temps de fabrication des bureaux par un ouvrier ainsi que le temps disponible par semaine (en minutes) dans les différents ateliers sont donnés dans le tableau suivant.

10. Une entreprise a mis au point un procédé de ltration nécessitant trois types de tourbe, chacun pouvant absorber une quantité donnée de polluants (en grammes), tel qu’indiqué dans le tableau suivant.

Compte tenu de ces contraintes, combien de bureaux de chaque modèle l’usine peut-elle fabriquer par semaine ?

Matrices et systèmes d’équations

12. Le service de voirie d’une municipalité doit réquisitionner des camions an de transporter trois types de pièces d’équipement sur un chantier. La municipalité dispose de trois types de camions, soit C1, C2 et C3, mais des contraintes d’espace et de poids déterminent le nombre de pièces d’équipement E1, E2 et E3 que chaque type de camion peut transporter, comme l’indique le tableau suivant.

369

b) Déterminer le temps total de production pour chacune des journées. c) On dispose de 100 minutes pour mélanger, de 100 minutes pour chauffer, de 100 minutes pour centrifuger et de 150 minutes pour refroidir. Quelles quantités de P1, de P2 et de P3 devrait-on produire si on désire utiliser toutes les minutes disponibles ? 14. Le réseau d’eau potable d’une municipalité est alimenté par deux usines qui ne sufsent plus à la demande. On projette la construction de deux autres usines. Dans le diagramme suivant, les pointillés représentent les ajouts envisagés. Les conduites actuelles (N2N4 et N3N4) ont une capacité maximale de 400 L/s.

a) Déterminer combien de camions de chaque type le service doit réquisitionner pour assurer le transport de 39 pièces E1, de 31 pièces E2 et de 24 pièces E3. b) Le service doit transporter sur un autre chantier 54 pièces E1, 46 pièces E2 et 48 pièces E3. Combien de camions de chaque type seront nécessaires dans ce cas ? 13. Une entreprise fabrique trois produits, soit P1, P 2 et P3, et la production comporte quatre opérations. Le tableau suivant donne le temps de fabrication, en minutes, d’un litre de chaque produit.

Il faut déterminer le débit dans chacune des branches du réseau, après les ajouts, pour savoir s’il faut changer les deux conduites ou une seule. Calculer ces débits et interpréter les résultats selon le contexte. 15. Le diagramme suivant représente le réseau des rues commerciales d’un centre-ville, qui sont toutes à sens unique. On évalue que, durant les heures d’ouverture des magasins, 800 autos par heure pénètrent dans le réseau par l’intersection A, alors que 300 en sortent par l’intersection B et 500 par l’intersection C.

a) Déterminer le temps requis pour chaque opération au cours des trois jours de production décrits dans le tableau suivant.

a) Combien faut-il de variables pour analyser la circulation dans le réseau ? b) Combien d’équations peut-on écrire pour décrire la circulation dans le réseau ? Combien de variables libres y a-t-il ?

370

Chapitre 11

c) Quelle caractéristique des réseaux à sens unique applique-t-on pour écrire les équations ? d) Déterminer l’équation décrivant la circulation en chacun des nœuds du réseau et construire la matrice augmentée. e) Décrire l’ensemble solution du système. f) Les solutions sont-elles toutes acceptables ? 16. Résoudre simultanément les systèmes d’équations donnés à l’aide de la méthode de Gauss-Jordan.

18. Dans les systèmes en équilibre ci-après, déterminer la tension dans chacun des câbles en appliquant la méthode de Cramer. a)

b)

a)

b) c) c)

17. Résoudre les systèmes d’équations suivants avec la méthode de Cramer, si elle est applicable. a) x – 2y = 1 d) 2x + 3y = 22 3x + 2y = 13 5x – 4y = 32 b) 2x + y = 7 e) 3x – 2y = 12 5x + 4y = 13 6x – 4y = 8 c) x + 2y = 8 f) x + 2y = 10 2x + 4y = 16 3x – y = 9 4x + y = 19

d)

Réponses aux exercices Chapitre 1 1.2 EXERCICES 1. a) b) c) d) e)

10 −6 −2y 2x x + 2y

f) g) h) i) j)

4xy − 7 −11a + 3b + 4c 9a − 2b − 8c 2xy + 4x − 2y + 1 −8x3y2 − 4x4y2 + 2x3y − 4x2y

2. a) (7 − 6a2)x3 + (1 − 2a)ax 2 + (3b + 5)x b) (6a − 2)x3 + (6b − a2)x2 + (7b − 2a)x 3. a) a/(9b) b) 4a2b3/3

c) 4/(3a3b2) d) 9ac 3/(4b2)

4. a) b) c) d) e) f) g)

29/72 h) (2x2 − 3x + 4)/x3 13/3 i) (−2x2 − 5x + 3)/x2 1 427/120 j) (16 − x2y2)/(2x2y2) (3bc − 2ac + ab)/abc (bc 2 − 2a3 + ab3)/(a2b2c) −5x/42 (x2 − 9)/(3x)

5. a) b) c) d) e) f) g) h)

9 2 1 xy 20 9/2 729 1/x3

i) j) k) l) m) n) o) p)

64/81 a5/b y/(x3 + xy) 9x4/(64y) x/2y 1/(9x2y2) 1/a2 b4 x2n−2/an+4

6. a) 2 b) 9/10

c) 729/8 d) 1/25

7. a) b) c) d) e)

2 Pas déni 3 −4 2

f) g) h) i) j)

−9 a/b 2 5/a a/b 2 a2 x/27

1/2 1/9 3/2 25/9 4/9

g) h) i) j) k) l)

8. a) b) c) d) e) f) 9. a)

e)

b) c) 14

f) g)

d)

h)

y4/(9x2) b2/(5a) a/(6b2)

10. a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

11. a) 8x2y − 2xz + 5y3 − 4 b) 3x2 + 4xz − 2y3 − 2

c) 7x2y − 3xy − 3y2 d) 2x2y + xy + 10y2

12. p(x) + q(x) = 7x3 − 3x2 − x + 13 13. p(x) − q(x) = 4x4 − x3 + 2x2 − 4x − 4 14. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

x2 − 2x − 24 2x2 + 9x − 35 3x2 + 16x − 12 6x2 − 11x + 4 3x3 − 4x2 − 17x + 6 12x4 + 56x3 − 37x2 − 91x − 30 9x4 − 4y2 4x4 + 12x2y + 9y2 4x2y2 − 12x2y + 9x2 − 25y2

15. 6x4 + 4x3 − 34x2 − 16x + 40 16. a) p(−1) = −6 ; p(2) = 9 b) p(−1) = −3 ; p(1) = −3 ; p(2) = 3 c) p(0) = 1 ; p(1) = −4 ; p(4) = −43 17. a) p(2) = 0, p(−5/2) = 0 et p(−3) = 0 b) p(−1) = 0, p(1) = 0 et p(5/2) = 0 18. x2 − b2 = (x − b)(x + b) 19. (a2 − b2) = (a − b)(a + b) 20. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

24x(1 − 2xy) a(a − b)(a + b) a(2a − 1)(2a + 1) x2(x − 5y) 12(1 − 2xy)(1 + 2xy) 4x(x2 − 2xy + 4y) 5x2y(5x − y + 2x2y2) 4ab 2(4a2 − ab + 3b) y(x − 1)(x2 + 4)

j) k) l) m) n) o) p) q) r)

(4a − b)(4a2b2 + 3) (2y − 5x)(3 − 2x) 2(3 + b)(3a2 − 5b) (x − 1)2(x + 1) 2(x − 2)(x2 + 2) (x + 4)(3x2 − 5) (5y2 − 3x2)(2x + y) (5x + 8)(2ax + 3) (x2 + 4)(2y3 − 5)

21. a) b) c) d) e) f)

(x + 8)(x − 7) (x − 6)(x − 7) (x + 8)(x − 12) (x − 4)2 (x − 7)(x + 4) (x − 11)(x + 7)

g) h) i) j) k) l)

(x + 6)(x + 5) (x − 7)(x + 5) (x + 6)(x + 15) (x + 7)2 (x − 8)(x − 6) (x + 12)(x − 6)

372

22. a) b) c) d) e) f)

Réponses aux exercices

(x + 7)(2x − 5) (x + 9)(3x − 4) (2x + 7)(3x − 11) (x + 8)(5x − 3) (x + 4)(6x − 5) 2(2x + 3)(3x + 2)

g) h) i) j) k) l)

(x + 3)(2x − 7) (2x − 7)(2x − 5) (x − 7)(6x + 11) 2(x + 6)(5x − 7) 3(x + 2)(2x − 9) (3x + 8)(2x + 7)

2. 4 satisfait à l’équation. 3. a) x = 7/3 b) x = 4 cm c) x = 22 4. x ≈ 10,67 L

23. x3 − b3 = (x − b)( x2 + bx + b2)

5. 30 min, 25 km

24. x3 + b3 = (x + b)( x2 − bx + b2)

6. l ≈ 84 m et L ≈ 252 m

25. (a3 − b3) = (a − b)(a2 + ab + b2)

7. 2 heures et 24 minutes

26. (a3 + b3) = (a + b)(a2 − ab + b2)

8. 4 heures et 48 minutes

27. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

9. x = ab/(a + b)

(x + 4)(x − 4) (2x + 7)(2x − 7) (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) (3x − 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) (a − 8)(a + 8) (3a − 4b) (3a + 4b) 8x3y3(y + 3)(y2 − 3y + 9) (1 − x)(1 + x + x2) (a2 + b2)(a − b)(a + b) (4a2 + 9y2)(2a − 3y)(2a + 3y) Indécomposable (a2b2 + 1)(ab − 1)(ab + 1)

28. a) x2 + 5 et un reste de −3 b) 2x2 − 6x + 12 et un reste de −52x + 31 c) x2 − 4x + 7 et un reste nul ; le diviseur est donc un facteur. d) x2 + 7 et un reste de 9 e) x3 + 4x2 + 3x − 2 et un reste nul ; le diviseur est donc un facteur. f) x2 − 3x + 4 et un reste nul ; le diviseur est donc un facteur. g) 2x2 − 5x + 4 et un reste nul ; le diviseur est donc un facteur. h) x2 − 3x + 9 et un reste nul ; le diviseur est donc un facteur. 29. a) (x + 1)(x + 2)(2x − 3) b) (x − 2)(x + 3)(2x + 1) c) (x − 1)(x − 2)(x + 2)(3x + 1) 1.4 EXERCICES 1. a) b) c) d) e) f) g) h)

x=5 x = −4 x = 13 x = −25/3 x = 21/5 x = −9/26 x = 1 (si ab + cd ≠ 0) x = a si a ≠ n, sinon x quelconque

d) x = 5 cm e) x = 8

10. 4 heures à 20 km/h et 2 heures à 16 km/h 11. a) 4 ne satisfait pas à l’inéquation. b) 1 est une solution de l’inéquation. c) −1 n’est pas une solution de l’inéquation. 12. a) b) c) d)

]2 ; ∞[ ]−∞ ; 8/5[ ]−∞ ; 42/37] ]−∞ ; 2[

e) f) g) h)

[16/9 ; ∞[ ]−∞ ; 247/41[ [6 ; ∞[ ]31/4 ; ∞[

13. a) [−2 ; 5[

b) [9/8 ; 4[

14. a) [2 ; 5] b) ∅ c) ]−3 ; 6[

d) [2 ; 4] e)  f) ]−2 ; 6[

15. a) −3 ≤ x ≤ 2 b) x ≥ 2

c) x > 4 d) x ≤ −3

16. a) b) c) d)

e) [−6 ; 2] f) [−6 ; −3[ ∪ [1 ; 6[ g) ]−3 ; 4]

[−5 ; 4] ]−∞ ; −1[ ∪ [3 ; ∞[ [−1 ; ∞[ ]−∞ ; 2[

17. a) [0 ; 1[ b) ]8 ; ∞[

c) [0 ; 6[ d) ]5 ; ∞[

18. ]5 ; 9[ 19. a) x = ±4 b) x = ±5 c) Pas de solution

d) x = 0 ou x = −4 e) x = 0 ou x = 19/7 f) x =

20. a) x = −9 ou x = 5 b) x = −3 ou x = −17

c) x = 6 ou x = 14 d) x = 6 ou x = −7/2

21. a) x = 5 ou x = −7 b) x = 7 ou x = −15

c) x = 7 ou x = −11 d) x = 12 ou x = −6

22. a) x = −7 ou x = 12 b) x = −7 ou x = 3/2

c) Pas de racine réelle d) x = 5/2 ou x = −4/3

23. 15 cm 24. 5 cm et 9 cm

Réponses aux exercices

25. 16 cm par 48 cm

d) x = (1 + 3y)/(2 − y) e) codomf = \{2}

26. 20 m 27. a) 21 cm et 28 cm

373

b) 30 cm et 72 cm

28. Environ 4,29 cm

40. a) domf = [2 ; ∞[ et codomf = [0 ; ∞[ b) domf = \{2} et codomf = \{1} 41. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

29. Environ 7,03 cm 30. a) b)

31. a)

domf =  et codomf =  domf =  et codomf = [0 ; ∞[ domf =  et codomf = ]0 ; ∞[ domf =  et codomf =  domf =  et codomf = [−9/4 ; ∞[ domf = \{2} et codomf = \{0} domf = [−4 ; 4] et codomf = [0 ; 4] domf = ]−∞ ; 14/3] et codomf = [0 ; ∞[ domf = \{0} et codomf = ]0 ; ∞[ domf = \{5/2} et codomf = \{3/2}

b)

42. a) (2 ; −3) b) (5 ; −3)

c) (−2 ; 5) d) (6 ; 3)

c)

43. a) (−3 ; −2) b) (5 ; 4)

c) (6 ; −2) d) (7 ; 2)

44. (−4 ; 3) et (3 ; −4)

32. a)

45. (−2 ; 3) et (3 ; −2) 46. (1 ; 2) et (8 ; 9)

b)

47. (−3 ; −1) et (−11 ; 7)

c)

Chapitre 2 2.2 EXERCICES 1. a) 3 b) 3

33. a) b)

c) 5 d) 3

2. a) 0,07 ; un b) 5,27 ; trois c) 813,52 ; cinq

c)

e) 4 f) 5 d) 0,00 ; aucun e) 51,39 ; quatre f) 2,04 ; trois

34. a) Relation b) Relation

c) Relation d) Fonction

3. a) 253,6 b) 54,38

c) 353,7 d) 357,3

e) 532,8 f) 0,123 7

35. a) Fonction b) Fonction

c) Relation d) Fonction

4. a) 279,1 b) 13,48 c) 239

d) 4,0 e) 5,352 f) 3,319

g) 17,11 h) 36

8. a) 185,9 b) 55,3

c) 79,8 d) 345

e) 648 f) 29,8

9. a) 840 b) −257 c) 507

d) 158 e) 7,84 f) 6,65

g) 1,72 h) 0,326

36. a) b) c) d)

domf = [−3 ; 3], codomf = [0 ; 2] domf = , codomf =  domf = , codomf = [0 ; 4[ domf = , codomf = [−3 ; 3]

37. a) b) c) d)

(2/5 ; 0) et (0 ; −2) (−3/2 ; 0) et (0 ; 3) (−3 ; 0), (2 ; 0), (0 ; −6/5) (−5 ; 0) et

38. a) x = −4 et x = 3

e) f) g) h)

(±4 ; 0) et (0 ; 4) Pas de zéro et (0 ; 1/3) (9 ; 0) et (0 ; 3) Pas de zéro et (0 ; −5/2)

b) x = 3

39. a) −13/2 b) Pas de préimage c) 4 fait partie du codomaine, mais pas 2.

5. 237 cm2 6. 3 050 cm2 7. 1,6 × 105 cm3

10. a) 1,23 × 103 cm3 b) 1,87 × 104 cm3

c) 2,31 × 104 cm3

374

11. a) b) c) d) e) f) g)

Réponses aux exercices

3,864 × 105 m, 386,4 km 5,63 × 107 bits, 56,3 Mb 2,5 × 10 –4 m, 250 µm 3,45 × 10 –6 m, 3,45 µm 2,36 × 104 g, 23,6 kg 2,4 × 10 –8 m, 24 nm 3,5 × 10 –4 A, 350 µA

h) 0,43 ± 0,03, [0,40 ; 0,46] ; incertitude relative de 7,0 % i) 7 310 ± 3, [7 307 ; 7 313] ; incertitude relative de 0,04 % j) 8,715 ± 0,003, [8,712 ; 8,718] ; incertitude relative de 0,03 % k) 6 500 ± 400, [6 100 ; 6 900] ; incertitude relative de 6,2 % 23. 181 ± 2 m2

h) 4,5 × 106 V, 4,5 MV 12. a) b) c) d) e) f) g) h)

1 230 000 L, 1,23 ML 0,003 14 m, 3,14 mm 73 500 m, 73,5 km 0,000 008 92 s, 8,92 µs 64 000 000 000 bits, 64 Gb 2 500 000 V, 2,5 MV 420 000 g, 420 kg 0,000 0425 m, 42,5 µm

13. a) 8,27 × 102 b) 2,56 × 101

c) 2,04 × 105 d) 7,40 × 106

e) 7,98 × 10 −2 f) 3,64 × 10 −1

14. a) 27 MHz b) 53 kΩ

c) 280 pF d) 1,8 kW

e) 225 kV f) 152 km

15. a) b) c) d)

0,034 s 0,048 m 2 340 W 456 000 V

e) f) g) h)

235 000 m 0,000 000 000 233 F 0,024 6 A 0,000 027 F

24. a) 7,472 × 103 b) 1,573 × 105 c) 6,086 × 103

d) 9,036 × 10–3 e) 1,699 × 10–3 f) 1,442 × 10–4

25. a) 1,999 × 103 b) 3,168 × 10–2 c) –6,838 × 10–2

d) 6,870 × 103 e) –3,685 × 10–2 f) 1,600 × 10–7

26. a) 1,800 × 109 b) 3,215 × 1011 c) 5,935 × 104

d) 3,841 × 100 e) 2,154 × 10–11 f) 2,460 × 10–8

27. a) 2,178 × 102 b) 1,561 × 100 c) 3,239 × 10–5

d) 1,207 × 10–2 e) 2,012 × 104 f) 4,435 × 10–1

2.4 EXERCICES 1. a)

: proportionnelles

b)

: proportionnelles

c)

:

16. 555,2 m 17. a) La valeur de r est comprise entre 215,7 et 215,9 inclusivement. b) La valeur de V est comprise entre 47,50 et 47,60 inclusivement. 18. a) 18,75 ± 0,27 % b) 213,5 ± 0,23 %

c) 315,55 ± 0,02 % d) 24,5 ± 2,0 %

19. a) a b) a

c) a d) Même précision

20. a) b) c) d) e) f)

b) 23 770 ± 20 m 2

22. a) 663,6 ± 0,3 m

58,9 ± 0,6, [58,3 ; 59,5] ; incertitude relative de 1,0 % 27,3 ± 0,6, [26,7 ; 27,9] ; incertitude relative de 2,2 % 81 ± 1, [80 ; 82] ; incertitude relative de 1,2 % 27 ± 1, [26 ; 28] ; incertitude relative de 3,7 % 64,3 ± 0,2, [64,1 ; 64,5] ; incertitude relative de 0,31 % 7,9 ± 0,2, [7,7 ; 8,1] ; incertitude relative de 2,5 %

21. a) 113,2 ± 0,2, [113,0 ; 113,4] ; incertitude relative de 0,18 % b) 7,08 ± 0,01, [7,07 ; 7,09] ; incertitude relative de 0,14 % c) 4 000 ± 2, [3 998 ; 4 002] ; incertitude relative de 0,05 % d) 400,0 ± 0,2, [399,8 ; 400,2] ; incertitude relative de 0,05 % e) 78 ± 1, [77 ; 79] ; incertitude relative de 1,3 % f) 13,6 ± 0,2, [13,4 ; 13,8] ; incertitude relative de 1,5 % g) 30 ± 2, [28 ; 32] ; incertitude relative de 6,7 %

proportionnelles 2. a) 20 b) y2

c) x d) (x + y)2

3. a) b) ±1/8

c) d) ±(x − 3)

4. 8/100 5. a) 26 b) 40

c) 7 ou −2 d) 9 ou −1/2

6. a) 18 b) y2 c) (x + 4)2

d) (x − 2)(x + 5) e) (x + 3)(x2 − 3x + 4)

7. a) ±18 b) ±25

e) ± x2yz

c) ±42 d)

8. a) 4

b) 22

9. a) b2

b) (ab)2

10. a) 64

b) 43

11. a) b3

b) (ab)3

12. (4,50)3 × 12 = 1 093,5 kg ≈ 1 090 kg

Réponses aux exercices

13. 514 g 14. 18,8 cm 15. 42,0 g 16. 4/3 km ; distance qui nous sépare de l’éclair par seconde de délai 17. 1/6 ; 2/6 ; 3/6 ; 4/6 ; 5/6 ; 6/6 ; 7/6 ; 8/6 ; 9/6 18. 1/2 ; 1 ; 3/2 ; 2 19. 3,0 m 20. 896 kg 21. 5,8 cm 22. 9,0 × 103 kg/m3 23. Dénivellation de 16 m pour une distance horizontale de 100 m 24. 0,20 m ; 0,20 m ; 0,40 m ; 0,016 m3 25. 0,40 m ; 0,80 m ; 0,60 m ; 0,19 m3 26. a) ≈20 kPa

b) ≈4,4 kPa

27. 420 N 28. a) b) c) d) e) f)

2,54 cm 30,48 km 1,609 344 km 4,828 032 km 5,793 638 4 km 6,451 6 cm2

g) h) i) j) k)

929,030 4 cm2 8 361,273 6 cm2 16,387 064 cm 3 28 316,846 592 cm3 764 554,857 984 cm3

29. 15 vg3 30. a) 43 560 pi2 b) 4 046,856 422 m2

c) 39 acres

31. a) 1 076,391 042 pi2 ; 119,599 004 6 vg2 b) 82,4 hectares 32. 1 × 106 m2 33. 1 × 104 m2 34. 529 000 m2 ; 52,9 ha ; 0,529 km 2 35.

375

36. a) b) c) d) e) f) g) h)

45,3 m2 293,3 vg 35,62 m2 66 arp 12,8 vg3 2 020 m 27,6 pi2 3,2 m3

37. a) b) c) d) e) f)

20,116 8 m 5 280 pi ; 1 mi 158,4 pi ; 48,280 32 m 43 560 pi2 ; 4 046,856 422 m2 ; 4 840 vg2 ; 1 acre 1 acre 2,34 acres

38. a) Les longueurs des côtés sont 96,2 m et 79,3 m. L’aire du terrain est 3 810 m2, soit 1,11 arpents carrés ou 0,942 acre. b) Les longueurs des côtés sont 113 m et 98,2 m. L’aire du terrain est 11 100 m2, soit 3,25 arpents carrés ou 2,74 acres. c) Les longueurs sont 101 m, 79,3 m et 73,1 m. L’aire du terrain est 10 900 m 2, soit 3,20 arpents carrés ou 2,70 acres. Chapitre 3 3.2 EXERCICES 1. a) domR = {2 ; 3 ; 5}, codomR = {1 ; 2 ; 4} b) domf = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, codomf = {2 ; 4 ; 6 ; 8} c) domf = {a ; b ; c ; d}, codomf = {1 ; 2 ; 3 ; 4} 2. a) b) c) d) e) f) g) h)

domR = {1 ; 2}, codom R = {a ; b ; c} domf = {1 ; 2 ; 3}, codomf = {a ; d} domf = [−1 ; 2], codomf = [−1 ; 2] domf = ]−1 ; ∞[, codomf = [0 ; ∞[ domR = [−1 ; ∞[, codomR =  domf = , codomf =  domf = \{0}, codomf = ]−∞ ; 2[ domR = , codomR = [0 ; 2[

3. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

I, (3 ; 0) et (0 ; 3) G, (0 ; 1) C, (0 ; 0) H, (2 ; 0), (−2 ; 0), (0 ; −2) et (0 ; 2) D, (−2 ; 0), (0 ; 0) et (4 ; 0) A, (3 ; 0), (−3 ; 0), (0 ; −2) et (0 ; 2) E, (0 ; 0) B, (−1 ; 0) et (0 ; 1) J, (0 ; 0) F, (0 ; 0)

4. a)

b)

c)

376

Réponses aux exercices

5. a)

b)

c) y = 4x − 13

6. a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

15. a) b) 2,63 m2 ; 4,43 m2 ; 3,97 m 2 c) r = 1,12 m 16. a) V(x) = 3x3 − 4,8x2 + 1,8x b) 0,192 m3 ; 0,144 m3 17. a) A(x) = x2 + 400x + 38 400 b) 80 m

7. a) b) c) d) e)

(5/2 ; 0) et (0 ; −5) (2/3 ; 0) et (0 ; −2) (−4 ; 0) et (0 ; 2) (4 ; 0), (−4 ; 0) et (0 ; 4) (0 ; 1/2)

f) g) h) i)

(4 ; 0) et (0 ; 2) (0 ; −3) (2 ; 0), (−3 ; 0) et (0 ; −6/5) (−2 ; 0), (−3 ; 0) et (0 ; −6)

8. a) b) c) d) e) f)

  \{2} [−4 ; 4] ]−∞ ; 14/3] \{3}

g) h) i) j) k) l)

]−3 ; 3[ ]−3 ; 2] ∪ ]4 ; ∞[ [−2 ; 1[ ∪ [3 ; ∞[ ]−∞ ; −1] ∪ ]2 ; 5] \{−3 ; 5} \{2}

9. a) −2, pas de préimage, (7 ; 2), (28 ; 5) b) 2 et 5, pas de préimage, (1 ; −2) c) −2 et 5, pas de préimage, d) −2, pas de préimage, 10. b) C(x) = 36x + 50 c) 1 202 $ ; 2 354 $ ; 770 $ ; 3 074 $ d) 28,50 $/m 11. a) C1(x) = 7,50x + 200, C2(x) = 7,80x + 80 b) C1(300) = 2 450, C1(600) = 4 700 C2(300) = 2 420, C2(600) = 4 760 c) x = 400 12. a) b) c) d) e) f)

(2 ; 0), (3 ; 0), (5/2 ; −1/4), (0 ; 6) (3 ; 0), (0 ; 9) (2 ; 0), (−3 ; 0), (−1/2 ; 25/4), (0 ; 6) (−4 ; 0), (4 ; 0), (0 ; 16) (0 ; 0), (4 ; 0), (2 ; 4), (0 ; 0) (−5 ; 0), (−3 ; 0), (−4 ; −1), (0 ; 15)

13. a) b) c) d) e) f)

(−5/2 ; 0), (4 ; 0), (3/4 ; −169/8), (0 ; −20) (−1/2 ; 0), (2/3 ; 0), (1/12 ; −49/24), (0 ; −2) (−4 ; 0), (7/2 ; 0), (−1/4 ; 225/8), (0 ; 28) (−2 ; 0), (4 ; 0), (1 ; −9/4), (0 ; −2) Pas de zéro réel, (−1 ; 2), (0 ; 3) Pas de zéro réel, (1/4 ; −3/4), (0 ; −1)

14. a) A(x) = 27x − 2x2 b) 10,5 cm ou 3 cm ; 9,5 cm ou 4 cm ; 8,5 cm ou 5 cm c) 6,75 cm et 91,125 cm2

18. a) A(x) = π(2x2 − 48x + 576) b) 12 cm pour chacune des conduites intérieures c) 5,07 cm et 18,93 cm 19. a) A(x) = 2x2 + 76x + 480 b) x = 10 m 20. a) A(x) = (40x − 2x2)/5 b) (10 ; 2) 21. a) domf = , codomf = [0 ; ∞[, (2 ; 0), (0 ; 2) b) domf = , codomf = ]−∞ ; 0], (−4 ; 0), (0 ; −4) c) domf = , codomf = ]−∞ ; 2], (−3 ; 2), (−5 ; 0), (−1 ; 0), (0 ; −1) d) domf = , codomf = [−4 ; ∞[, (−2 ; −4), (0 ; 0), (−4 ; 0) 22. a) (−1 ; 3), (5 ; 3) b) Pas de préimage

c) Pas de préimage d) (−11/2 ; 3), (3/2 ; 3)

23. a) domf = \{0}, codomf = {−3 ; 3} b) Fonction 24. a) domf = [−6 ; 6], codomf = [−6 ; 6] b) Pas une fonction 25. a) b) c) d)

26. b) c) t ≥ 0 d) 7 min, 17 min

27. a)

b)

Réponses aux exercices

32. a)

et

b) 33,8 m et 15,5 m

c)

33. a) b) 46,24 m, 49,64 m et 40,20 m 34. a) d)

28. a) Le coût en dollars dépend du nombre de jours et de la consommation moyenne en kilowatts-heures par jour. b) 141,69 $ c) 245,17 $

 29. a)

b) 27,72 m et 21,21 m 24,64 m et 18,86 m 15,40 m et 11,79 m 3.4 EXERCICES 1. a) C(x) = 11 550/x

b) 1 283 kg

2. a) Pression

d) V = 2 240/p



3. a) Courant

d) P(I) = 1,7I 2



4. a) Hauteur

c) v(h) = 4,43h1/2

5. d) d = at 2

b)

6. a) Résistance

d) I = 7,3/R

7. a) Pression

d) V = 4 200/p

8. 11 MPa 9. y = 20x en km/cm

10. 4,5 MPa

c) 1 260 $ 30. a)

b) Puisque l’on calcule les longueurs dans un plan, on doit considérer que les données sont des valeurs exactes et on n’a aucune contrainte pour arrondir. Les longueurs sont 40 m, 22,5 m, 10 m et 2,5 m. 31. a) b) 27,96 m, 13,27 m et 5,92 m

11. a) 0,013 m 3

b) 110 kg

12. σ = 4,0 MPa ; ε = 0,033 % 13. a) 80 km/h

b) d(t) = 80t

c) 6,25 h

14. a) 8,8 MPa

b) 27 MPa

c) 32 cm

15. a) 102 MPa, sécuritaire b) 0,049 % c) 1,57 mm

e) 4,61 mm f) 32 kN

16. a) 20 MPa, sécuritaire b) 0,028 % c) 0,80 mm

d) 0,80 mm e) 201 kN

c)

17. a) 120 kg/cm2

d) 5,56 m et 22,22 m

18. 100 W

Note : Quand on fait un plan, on choisit les dimensions de départ, et ces valeurs doivent être considérées comme des nombres exacts. Le nombre de chiffres à retenir dépend alors de la précision demandée pour la réalisation de l’ouvrage. On a choisi ici, ainsi qu’aux exercices 33 et 34, une précision au centimètre près, mais on pourrait aussi exiger une précision au millimètre près.

19. 44 m ; 2,5 s 20. 819 N, 512 N/m2 21. 11,2 km ; 124 m 22. a) ≈100 m 23. 256π cm2, 1 156π cm2

b) ≈1,2 km

377

378

Réponses aux exercices

24. 2 304π cm3, 4 500π cm3

4.4 EXERCICES

25. a) 0,3 MPa, sécuritaire c) 0,13 mm b) 0,002 5 %

1. a) 3/2 b) −2

c) 2 d) 2

e) 5 f) 4 ou −2

26. c) s = 43,1e MPa

2. a) domf =  , codomf = ]0 ; ∞[

27. c) s = 207e GPa

3. a) domf =  , codomf = ]0 ; ∞[ 4. a) domf = ]0 ; ∞[ ; codomf =  ; f −1(x) = logb x b) domf = ]0 ; ∞[ ; codomf = ; f −1(x) = −logb x = log1/b x

Chapitre 4 4.2 EXERCICES

5. a) ]8/3 ; ∞[ b) ]−∞ ; 5/2[

1. a) 10 275,65 $

6. a) 6 b) 3

2. a) I(x) = I0 × 0,6x b) L’absorption est de 83 %. c) L’absorption est de 88 %.

c) −5 d) −4

e) −1/4

7. x = a − bc

3. a) V(n) = 300 000(0,983)n b) 198 795 $ ; 161 826 $ ; 107 234 $ 4. a) Q(t) = Q 0(49/50)t

c) ]−7/2 ; ∞[ d) ]4/5 ; ∞[

c) 90,39 unités ; 81,71 unités

8. a) N = 23 = 8 b) N = 3 −1 = 1/3

c) N = 5−2 = 1/25

9. a) 1/2

b) −1 60

5. a) Q(t) = Q 0(0,8)t

10. a) N = = 1 b) N = 8

c) N = 1/2

6. a) T(d) = 22 × 0,86d c) Perte de 14 % par heure d) 4,9 °C

11. a) 16 b) 9

c) 3 d) 2

12. a) 31/3

b) 2

13. a) 5

b) −5

7. a) Exponentiel b) v(n) = 130 × 0,558n, v(t) ≈ 130 × 0,311t, où n est le nombre de périodes d’une demi-minute et t, le temps en minutes. 1,090 4n

8. a) P(n) = 27 × milliers d’habitants b) P(t) = 27 × 1,021 8t milliers d’habitants d) 49 000 habitants 9. a) I(x) = 0,85xI0 b) Absorption de 39 %, 56 %, 68 % 0,882h

10. a) Exponentiel

b) p(h) = 101,32 ×

11. a) V(n) = V0(0,85)n

c) 6 812,26 $ ; 4 921,86 $

12. 6 % 13. f (6) erronée, la valeur corrigée serait d’environ 16,7 ; y = 5 × 1,490,5x 14. a) V(n) = 140 000 × b) ≈59 000 $

0,84 n

15. a) Modèle exponentiel pertinent b) y = 35,00 × 1,004 9n, où n = 4x, ce qui donne y = 35,00 × 1,019 74 x. c) 42,6 d) Modèle afne plausible e) y = 0,7x + 35 f) 63

14. a)

≈101,736

b) ≈100,079

15. a) ≈−0,077 b) ≈316,23

c) ≈−0,903 d) ≈0,466

16. a) 27,23 ≈ e3,304 3

b) 0,78 ≈ e−0,248 5

17. a) ≈−0,430 78 b) ≈0,763 38

c) ≈4,481 69 d) ≈−0,693 15

18. a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

2,229 7… 2,191 0… 6,643 8… 9,218 2… 1,523 909…

19. a) 0,269 66…

b) 0,266 1…

20. a) 12

b) 6

21. a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

13 12 3 5 ou −2 17/5

10/7 1/2 10/3 3 3/2

22. a) y ≈ 11,51 log x + 2 b) N ≈ 9,97 log t + 4,8 23. ≈−3,56

8,401 727… –1,114 972… –2,044 394… 10,392 475… –3,948 441… c) 8 k) l) m) n)

5 2 5 2

c) T ≈ 2,5 log β + 1,34

Réponses aux exercices

Chapitre 5 5.2 EXERCICES

24. a) ≈14 ans, ≈69 ans b) ≈34 ans 25. ≈3 minutes 6 secondes

1. a) c(t) = 30t + 20

b) c(1) = 50 $

26. 49/32

2. a) f (x) = 2,2x c) 176 ; 220

d) 3,6 kg

27. a) 2 loga x b) 2 loga x − loga 2

c) loga(x − 1) d) 2 + 2,5 loga x

28. a) x = 4 b) x = 5/2

c) x = 8 d) x = 4

29. x = 3,584… 30. x = 5 31. x = 8 32. x = 20 33. a) I(x) ≈ I0 e−0,219 7x

c) x ≈ −4,551 7 ln(I/I0)

34. a) 29,92 po de Hg b) 3,386 kPa

c) 91,67 kPa d) 7 974 pi

35. a) g(Ps ) = 10 log Ps, où Ps est en milliwatts (mW) b) ≈31,62 mW et 100 mW c) g(20) ≈13 dB et g(40) ≈ 16 dB 36. a) g(Ps ) = 10 log (Ps/6), où Ps est en milliwatts (mW) b) ≈−1,76 dB ; ≈32,22 dB ; 40 dB c) ≈95 mW ; 600 mW 37. a) I(P) = 160 + 10 log P, où P est en watts (W) b) I(50) ≈ 177 dB c) P = 1019 W 38. a) I(x) ≈ I0 e−0,215 4x

379

b) 5,6 V

39. a) V(t) = V00,7t, où t est le temps en années b) 24 % de la valeur d’achat c) 2 ans

3. a) b) c) d)

Le coût dépend de la supercie à couvrir. C1(x) = 1,8x + 120 et C2(x) = 2,1x C1(300) = 660 $ et C2(300) = 630 $ ; le deuxième Plus avantageux au-delà de 400 m 2

4. a) C1(x) = 10x et C2(x) = 6x + 180 b) C1(30) = 300 $ et C2(30) = 360 $, C1(90) = 900 $ et C2(90) = 720 $ c) Choisir le premier fournisseur seulement si la durée de location est inférieure à 45 jours ouvrables. 5. a) c) d) e)

dA(t) = 22t, dB(t) = 300 − 26t Temps écoulé et distance de A au point de rencontre 6 heures 15 minutes 137,50 km et 162,50 km

6. a) C(x) = 29,6x

b) C(8) = 237 kg

7. a) Tf = 0,025 4Ta + 24,63 b) 28,1°

c) 210°C ; 50 °C

8. b) Q(T) = −1,609T + 30,10 c) 15,6 L

d) 1 530 L e) 62,3 L

9. b) N(S) = 3,85S + 54,8, où S est en milliers de mètres carrés c) Environ 270 h d) 0,82 10. b) N(T) = −0,495T + 15,5 milliers d’unités c) −0,675 ; corrélation négative et faible

40. a) I(x) = 0,6xI0 b) Deux panneaux d’au moins 2,25 cm d’épaisseur

11. a) C(D) = 0,179 4D + 3 083 b) R2 = 0,009 715 ; r = 0,999 9 ; r2 = 0,999 8 c) ≈11 200 $

41. a) V(n) = 123 000 × 0,83n b) 33 400 $

12. a) V(p) = −10p + 896

42. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

13. a) V(p) = −2,11p + 1 710 d) 1 539 b) R2 = 1 512 ; r = −0,996 16

ln 7,2 = 1,97 ln(14,5 × 10 −4) = −6,536 log(12,50 × 102) = 3,096 9 e 0,127 = 1,14 e1,27 = 3,56 100,432 = 2,70 104,32 = 21 000 ln 4,2 + ln 54,72 = 5,44 log 52,1 + log 33,2 = 3,238

43. a) I(x) = 80 × 0,788x dB, où x est le nombre d’épaisseurs de 0,25 cm b) Au moins 3,45 cm

b) R2 = 400 ; r = −0,995

5.4 EXERCICES 4. a) Exponentielle

b) N(t) = 40,146(0,319 5t )

5. a) Exponentielle

b) p(h) = 101,32 × 0,882h

6. a) Puissance

b) I(E) = 24,7E 0,601

9. g(Ps) = 10 log(Ps) 10. Logarithmique ; E = 2,997 ln cx + 2,512 11. Puissance ; v = 0,5h1/2

380

Réponses aux exercices

12. a) Résistance b) Puissance ou logarithmique décroissante c) I = 7,24/R 13. a) Pression b) Puissance ou logarithmique décroissante c) V = 4 200/P 14. a) En représentant graphiquement les données sur différents papiers graphiques, on constate que le modèle logarithmique est le plus approprié. b) y = 4,00 + 1,60 ln x 15. a) Le modèle exponentiel est le plus approprié. b) h = 1,500e–0,050 0t 16. a) b) c) d) e) f)

F M L R D H

17. a) C =

g) h) i) j) k) l)

d) 35° 38' 39" ou ≈35,644 2° e) 18° 43' 47" ou ≈18,729 7° 9. a) 54° 17' 12"

b) 122° 31' 23"

10. a) L ≈ 31,42 cm

b) L ≈ 18,85 m

11. a) ≈3,183 cm et ≈20 cm

b) ≈27,50 m et ≈172,8 m

12. a) 0,4 r/s b) 48π rad/min

c) 4π/5 rad/s

13. a) ≈12,57 cm

b) ≈21,99 cm

14. Environ 3 337 km 15. ≈3° 54' 7"

m) n) o) p)

136,98h2 ≈ 137h2

b) 11 100 kg

21. 31,25 r/min

c) 3,54 tours

22. ≈126 r/min

18. a) y = 500e−0,588 2 b) 247 N

J Q P A

16. 10 rad/s

E I B N C G

17. d ≈ 4,58 m 18. ≈24° 33' 19" 19. a) 38 400 km

b) Entre 6 109 et 6 113 km

20. ≈585 r/min

23. ≈103 r/min et ≈223 r/min

19. C = 25 008/d

28. a) 158,2 m

Chapitre 6 6.2 EXERCICES

6.4 EXERCICES

1. a) ≈137° 30' 36"

b) ≈186° 12' 41"

2. a) ≈1,25 rad

b) ≈0,686 rad

3. a) ≈1,571 rad

b) ≈2,598 rad

4. a) b) c) d)

π/6 rad ≈ 0,524 rad π/4 rad ≈ 0,785 rad π/2 rad ≈ 1,571 rad π/5 rad ≈ 0,628 rad

e) f) g) h)

2π/5 rad ≈ 1,257 rad 2π/3 rad ≈ 2,094 rad 7π/4 rad ≈ 5,498 rad 4π/3 rad ≈ 4,189 rad

5. a) b) c) d)

180° 360° 60° 225°

e) f) g) h)

≈57° 17' 45" ≈ 57° ≈150,00° ≈240,01° ≈315,01°

6. a) 25° 25' 12" b) 117° 45'

c) 47° 34' 48" d) 152° 14' 24"

7. a) 18,387 5° b) 103,743 9°

c) ≈67,413 6° d) ≈53,754 2°

8. a) 65° 17' 15" = 65,287 5° b) 139° 27' 24" ou ≈139,456 7° c) 69° 39' 16" ou ≈69,654 4°

8. a) b) c) d) e) f) g) h)

π/2 ≈ 1,571 rad −π/6 ≈ −0,524 rad −π/4 ≈ −0,785 rad −π/2 ≈ −1,571 rad π/4 ≈ 0,785 rad ≈2,618 rad ≈0,909 rad ≈0,955 rad

9. a) ≈4,217 5 rad b) ≈2,177 8 rad 10. a) b) c) d) e) f)

b) 86,3 m

i) j) k) l) m) n) o)

N’est pas dénie. ≈0,524 rad ≈0,785 rad 0 rad ≈0,352 rad π/2 ≈ 1,571 rad ≈2,284 rad

c) ≈5,355 9 rad d) ≈4,105 4 et ≈0,963 8 rad

π/9 rad = 20° π/12 rad = 15° π/3 rad = 60° ; 2π/3 rad = 120° 0 rad = 0° 0 rad = 0° ; ≈−1,107 1 rad ≈ −63,43° π/2 rad = 90° ; −π/6 rad = −30°

11. a) ≈149,04° b) 225°

c) ≈201,80° d) ≈111,80°

e) ≈306,87° f) ≈210,96°

12. a) sin θ ≈ 0,41 ; cos θ ≈ −0,91 ; tan θ ≈ −0,45 ; cot θ ≈ −2,25 ; sec θ ≈ −1,09 ; csc θ ≈ 2,46 ; r ≈ 3

Réponses aux exercices

b) sin θ ≈ 0,83 ; cos θ ≈ −0,55 ; tan θ ≈ −1,51 ; cot θ ≈ −0,66 ; sec θ ≈ −1,81 ; csc θ = 1,20 ; r = 6 c) sin θ ≈ −0,45 ; cos θ ≈ −0,89 ; tan θ ≈ 0,51 ; cot θ ≈ 1,96; sec θ ≈ −1,12; csc θ ≈ −2,21; r = 9,2 d) sin θ ≈ −0,93 ; cos θ ≈ 0,36 ; tan θ ≈ −2,61 ; cot θ ≈ −0,38 ; sec θ ≈ 2,79; csc θ ≈ −1,07 ; r ≈ 5 14. a) ω = 1 rad/s ; φ = 0 rad ; T = 2π s ; f = 1/(2π) Hz ; −φ/ω = 0 s ; |A| = 4 ; f (t) = 4 sin t b) ω = 1 rad/s ; φ = π/2 rad ; T = 2π s ; f = 1/(2π) Hz ; −φ/ω = −π/2 s ; |A| = 2 ; f (t) = 2 sin(t + π/2) c) ω = 2 rad/s ; φ = 0 rad ; T = π s ; f = 1/π Hz ; −φ/ω = 0 s ; |A| = 4 ; f (t) = 4 sin(2t) d) ω = 4 rad/s ; φ = −π rad ; T = π/2 s ; f = 2/π Hz ; −φ/ω = π/4 s ; |A| = 3 ; f (t) = 3 sin(4t − π) e) ω = 4 rad/s ; φ = 0 rad ; T = π/2 s ; f = 2/π Hz ; −φ/ω = 0 s ; |A| = 2 ; f (t) = 2 sin(4t) f) ω = 8π/3 rad/s ; φ = 2π/3 rad ; T = 3/4 s ; f = 4/3 Hz ; −φ/ω = −1/4 s ; |A| = 2 ; f (t) = 2 sin(8πt/3 + 2π/3) g) ω = 4π rad/s ; φ = 0 rad ; T = 1/2 s ; f = 2 Hz ; −φ/ω = 0 s ; |A| = 3 ; f (t) = 3 sin(4πt) h) ω = π rad/s ; φ = π/4 rad ; T = 2 s ; f = 1/2 Hz ; −φ/ω = −1/4 s ; |A| = 3 ; f (t) = 3 sin(πt + π/4)

25. a) 50 Hz b) 100π rad/s

c) f (t) = 6 sin(100πt − π/2) d) f (1/200) = 0

26. a) A = 6 b) T = 1/3 s et f = 3 Hz

c) 6π rad/s d) −π/2 rad

27. a) 10π rad/s b) Longueur 4 dm et φ = π/2 rad c) A = 4, T = 1/5 s, f = 5 Hz, −φ/ω = −1/20 s et f (t) = 4 sin(10πt + π/2) 28. a) 16π rad/s b) Longueur 5 dm et φ = 0 rad c) A = 5, T = 1/8 s, f = 8 Hz, −φ/ω = 0 s et f (t) = 5 sin(16πt) 29. a) b) c) d) e)

{π/2} {π/2 ; 7π/6 ; 11π/6} {π/3 ; 2π/3 ; 4π/3 ; 5π/3} {π/6 ; 5π/6} {π/4 ; π/3 ; 2π/3 ; 5π/4 ; 4π/3 ; 5π/3}

30. a) {45° ; 71° 33' 54" ; 225° ; 251° 33' 54"} b) {90° ; 216° 52' 12" ; 323° 7' 48"}

15. a) 6,66 × 1014 Hz

b) 4,41 × 10 −19 J

16. a) 3,84 × 1014 Hz

b) ≈2,55 × 10 −19 J

31. a) 350,1 m b) 417,7 m c) 126 vg3 arrondi à l’entier supérieur

1014

32. Terrain 1 : ≈144,1 m Terrain 2 : ≈213,6 m

17. 2,930 m 1014

18. 7,353 × Hz et 6,879 × Hz 4,872 × 10 −19 J/photon et 4,558 × 10 −19 J/photon 2,934 × 105 J/mol et 2,745 × 105 J/mol 19. a) 0,982 79… rad b) 0,201 35… rad c) 0,463 64… rad

d) 0,150 34… rad e) 0,402 902… rad

20. a) b) c) d)

e) −48,59…° ou 30° f) 90° g) 70,52…° ou 138,59…°

60° et 120° 60° et 99,6° −56,3…° ou 53,13…° 75,96…° ou 21,80…°

33. a) 127 m

b) 45 vg3

Chapitre 7 7.2 EXERCICES 1. a)

21. a) A = 0,715 3… rad = 40,98…° C = 0,855 4… rad = 49,01…° b) A = 0,969 1… rad = 55,52…° C = 0,601 6… rad = 34,47…° 22. 0,596 5… rad = 34,17…°

b) c) d) e) f)

∠C ≈ 28,55° ; ∠B ≈ 109,45° et b ≈ 9,86 a ≈ 11,2, b ≈ 13,2 et ∠B = 95° ∠A ≈ 50,70° ; ∠B ≈ 95,74° et ∠C ≈ 33,56° ∠C ≈ 37,62°, ∠B ≈ 102,38° et a ≈ 5,26

2. ≈8,66 cm 3. ≈11,5 cm 4. ≈63 m

23. a) 15 Hz b) 1/15 s c) 30π rad/s

d) f (t) = 4 sin(30πt) e) f (1/60) = 4 sin(π/2) = 4

24. a) f = 8π/2π = 4 Hz b) 1/4 s c) 4 r/s

d) f (t) = 2 sin(8πt + π/2) e) f (1/32) ≈ 1,41

381

5. ≈1 490 m (à 3 chiffres signicatifs) 6. ≈76 m 7. ≈55,72° 8. θ = 93,431…° ; r ≈ 11,8 cm 9. Autre câble ≈ 45 m, pylône ≈ 36 m

382

Réponses aux exercices

10. ≈8,7 m

15. b ≈ 61° 40' ;

11. ≈123 m

16. a ≈ 32° ; b ≈ 29° ;

12. ≈0,27 m

17.

13. ≈45 m 14. Longueur de la terrasse ≈ 13 m ; hauteur des supports ≈ 18 m 15.

≈ 5,367 m ; = 3,840 m ;

= 4,800 m ; ≈ 3,434 m ;

≈ 4,293 m ; = 3,072 m

16. a) Solution 1 : ∠ACB ≈ 43,5° et ∠ABC ≈ 111,5° ; solution 2 : ∠ACB ≈ 136,5° et ∠ABC ≈ 18,5° b) Triangle impossible 17.

≈ 470 m ; ≈ 330 m

≈ 201 m ;

≈ 420 m ;

= 85 m et

≈ 100,2 m et

≈ 303 m ≈ 90,7 m

18. a ≈ 57,57° ; b ≈ 71,54° 19. a) (92,8 ; 93,4)

b) ≈42,34°

20. a) ≈185 m

b) 113° 36'

c) ≈156 m

22. a) ≈554 m

b) 127° 13'

c) ≈439 m

23. ≈16 m 24. ≈2 800 m 2 25. ≈20 m

18. a) θ ≈ 30,84° et x ≈ 168 cm b) θ ≈ 37,67° et x ≈ 182 cm 19.

≈ 103,5 m

26. a ≈ 53° 50' ; b ≈ 33° 55' 27. ≈73° et ≈34°

= 185 m

20. ≈47 cm

28. a ≈ 34,45° ; b ≈ 41,54° ; ≈1 303 pi

21. θ ≈ 126,0° ; a ≈ 42,2° ; b ≈ 46,6° ; ∠OAH ≈ 36,3°

29. ≈110 pi 9 po

22.

Chapitre 8 8.2 EXERCICES

≈ 1,83 m ; ≈ 1,17 m ; ∠HCG ≈ 56,3° ; θ ≈ 27,1°

≈ 1,08 m ;

23. ≈47,5° 24. 64 pi 9 po 7.4 EXERCICES 1. ≈1 114,7 m 2. ≈1 314,3 m 3. ≈65,1 m

1. a) 102 m2

b) 243 m 2

c) 892 m2

2. a) 112 cm2 b) 128 cm2 c) 180 cm 2

d) 440 cm 2 e) ≈212 cm2 f) ≈308 cm 2

g) 187,5 cm2 h) 384 cm2

3. a) 384 m2

b) 672 m2

c) 672 m2

4. a) ≈178 000 m 2

b) ≈29 700 m2

c) ≈6 530 m2

5. a) ≈2 900 m2

d) ≈2 600 m2

4. ≈1 515,4 m

b) ≈3 900 m2

e) ≈1 120 000 m2 = 1,12 km 2

5. ≈358,1 m

c) ≈22 cm2

f) ≈283 000 m 2

6. ≈261,4 m

6. a) ≈40,6 m

c) ≈75,6 m

7. ≈223,3 m

b) ≈71,2 m

d) ≈59,3 m

8.

≈ 587,2 m et

≈ 477,3 m

9. a ≈ 40° 16' ; b ≈ 28° 26' ;

≈ 582,0 m

10. a ≈ 41° 31' ; b ≈ 22° 47' ;

≈ 710,7 m

11. a ≈ 32° ; b ≈ 40° ; 12.

≈ 66,6 m et

≈ 808 m ≈ 78,8 m

13. a ≈ 54,27° ; b ≈ 93,19° 14. a ≈ 31° ; b ≈ 42° ;

≈ 267 m

7. a) ≈89 200 m 2

c) ≈321 600 m 2 e) ≈35 871 m2

b) ≈19 900 m2

d) ≈1 416 600 m2 f) ≈63 500 m2

8. a) ≈32 m2

b) ≈247,5 m2

9. a) ≈2 880 m2

b) ≈5 140 m 2

14. a)

b)

15. a) a = r cos(π/n) b) P = 2nr sin(π/n) c) A = nr 2(sin(2π/n))/2

c) ≈176,10 cm2

Réponses aux exercices

16. a) ≈3,77 cm2 b) ≈5,70 cm2

c) ≈46,23 cm 2 d) ≈55,21 cm 2

e) ≈24,53 cm2 f) ≈35,24 cm2

17. a) ≈4,33 cm b) ≈26,51 cm c) ≈53,02 cm 2 ; ≈58,89 cm2 18. a) ≈2,6 m2

20. ≈21,8

c) ≈1 200 m3

18. 4,045 m3 ; 4,514 m3 ; 5,064 m3 19. 12,5 m3

km2 m2 ;

21. Méthode des trapèzes : 18 375 ≈ 18 000 méthode de Simpson : 18 280 m2 ≈ 18 000 m2

20. ≈1 600 m3 21. ≈340 m 3 22. 90 m3

22. ≈151 m2 ; ≈1 525 m2

23. 140 m 3

25. 24,1 cm

24. a) ≈6,93 b) ≈7,75

27. 0,55 m b) ≈1 400 m2

26. ≈1 119 m3 ; ≈603 m2

31. Méthode des trapèzes : 27 319,459... m2 ≈ 27 300 m 2 ; méthode de Simpson : 27 340,356... m2 ≈ 27 300 m 2

27. a) ≈3 367 cm2 b) ≈31,75 cm c) ≈44,5 cm

32. Méthode des trapèzes : 33 960,073... m2 ≈ 34 000 m2 ; méthode de Simpson : 33 033,301... m2 ≈ 33 000 m 2 33. a) ≈257 m2

b) ≈352 m2

34. a) ≈19 390 m2

b) ≈4 850 m2

c) ≈53,404 u2 d) ≈17,69 u3

25. ≈114 m3

30. ≈12 200 m 2

35. a) 21 740 m 2 b) 31 110 m2

b) ≈600 m2

17. ≈15 910 m3

m2

29. a) ≈150 m2

c) 23 m3

14. ≈21 vg

16. a) ≈4,5 m

b) 4,5 m2

≈22,2

b) 8,9 m3

15. ≈12 900 m 3

19. a) ≈6,9 m2 ; ≈9,8 m 2 km2 ;

13. a) 32 m3

c) ≈890 m2

d) ≈8 173 cm2 e) ≈35 634 cm3

28. ≈7 058 cm2 ; ≈89 600 cm 3 29. 184 000 cm3 30. a) 8,15 m2

b) 2,6 m3

31. Grand : ≈2 974 cm2 ; ≈25 470 cm3 Petit : ≈991 cm2 ; ≈4 936 cm3

c) 2 770 m2 d) 6 380 m2

32. ≈1 166 cm 2 ; ≈4 047 cm3 33. a) ≈50 m2

b) ≈36 m3

2. 38,5 m3

34. a) ≈25,4 m 2

b) ≈12,0 m3

3. 51,5 vg3

35. Grand : ≈5 800 cm 2 ; ≈59 000 cm 3 Petit : ≈2 400 cm2 ; ≈15 000 cm 3

8.4 EXERCICES

4. 17 700 m 3

36. a) b) c) d)

5. ≈3 980 pi3

≈3,7 m3 ≈15 vg3 ≈15 000 kg ≈25 000 kg

6. a) 4,19 m2 b) 2,74 m2

c) 2,72 m3 d) 0,77 m3

7. a) 3,95 m3 d’eau

b) 3,48 m3 de terre

8. a) 19,9 m3

b) 5,8 m 3

c) 16,0 m3

9. a) 124 m3

b) 9,00 m3

c) 56,6 m3

38. 4 926 m3

b) 6 dm

c) 8 dm

39. ≈110 000 m3

10. a) 7 dm 11. 1 940 m 3 12. a) 36 m3

e) f) g) h)

≈6 900 kg/m2 ≈62 m ≈12 vg3 ≈49 vg3

37. a) ≈366 000 pi3 ou ≈13 600 vg3 b) ≈10 400 m3 ou ≈10,4 ML

40. 14 400 m3 b) 30 m3

383

41. ≈961 000 m3

384

Réponses aux exercices

42. ≈7 200 m3

9.4 EXERCICES

43. ≈36 000 m3 44. ≈2 250

m3

45. ≈5 990 m 3 46. ≈5 890

vg3

et ≈4 500

m3

Chapitre 9 9.2 EXERCICES 1. a) b) c) d)

=

2. a) b) 5. a) b) c) d)

e) f) g) c) d)

≈11,1 ; ≈18,55° et ≈26,45° ≈12,7 ; ≈9,57° et ≈15,43° ≈13,7 ; ≈6,29° et ≈23,71° ≈5,3 ; ≈79,11° et ≈40,89°

8. d) e) f) 10. a) b) c) d) 11. ≈464 N et ≈17,8° 12. ≈677 N et ≈17,2° 13. b) ≈1,00 kN et ≈1,22 kN 14. b) Point A : vert. ≈553 N, hor. ≈659 N ; point B : vert. ≈553 N, hor. ≈659 N ; point C : vert. ≈0 N, hor. ≈659 N. 15. ≈−396 N et ≈−396 N 16. b) ≈1,31 kN, ≈1,18 kN ; ≈842 N et ≈175 N ; ≈842 N et ≈1 003 N 17. b) ≈1,14 kN et ≈0,765 kN 18. Système de gauche, dans chacun des deux câbles : ≈462 N ; système de droite, dans chacun des deux câbles : ≈426 N.

1. a) ≈3,16 ; ≈71,57° b) ≈3,61 ; ≈123,69°

c) ≈4,47 ; ≈243,43° d) ≈5,10 ; ≈−11,31°

2. a) (4 ; 4)

b) (−4 ; −4)

3. a) (−2 ; 2) b) (−6 ; −4) c) (2 ; 7)

d) (31 ; −9) e) (0 ; 0) f) (−43 ; −11)

4. a) b) (−3/5 ; 4/5)

c) (−5/13 ; −12/13) d) (−4/5 ; −3/5)

5. a) b)

,

6. a)

b)

8. a) (6 ; 3 ; −3)

b) (−5 ; 5 ; 0)

9. a) (−1 ; −1 ; 5) b) (13 ; −12 ; −10)

c) (35 ; −1 ; −19) d) (−28 ; −7 ; 17)

10. a) ≈14,07 b) 12 c) 3

d) ≈9,11 e) ≈4,58 f) ≈4,69

11. 12. a)

d)

b)

e)

c)

f)

13. a) b) c) d)

Parallèles, k = 1 Parallèles, k = −2 Parallèles, k = −1/3 Non parallèles

14. a) (5 ; 3 ; 12) b) (5 ; 14 ; −19) 15. a) b) c) d)

c) (11 ; −9 ; 20)

x = 5 + 2t et y = 3 + 5t ; (19/5 ; 0) et (0 ; −19/2) x = 4 − 3t et y = −3 + 6t ; (5/2 ; 0) et (0 ; 5) x = −5 + 2t et y = −3 − 5t ; (−31/5 ; 0) et (0 ; −31/2) x = 4 − 2t et y = 2 − 3t ; (8/3 ; 0) et (0 ; −4)

19. ≈51,32° et ≈18,20°

16. a) (0 ; 0) b) (−10 ; 0) et (0 ; 10/3)

c) (9/4 ; 0) et (0 ; 9) d) (7 ; 0) et (0 ; 7/3)

20. a) ≈1 007 N, ≈1 566 N, 1 200 N b) En D : vert. = 0 N, hor. ≈1 007 N ; en E : vert. ≈1 200 N, hor. ≈1 007 N.

17. a)

b)

21. a) ≈998 N, ≈1 407 N, 1 500 N b) En D : vert. ≈422 N, hor. ≈906 N ; en E : vert. ≈1 078 N, hor. ≈905 N.

18. a)

b)

Réponses aux exercices

19. a)

b)

6. a) Rectangle en A b) Pas rectangle

385

c) Rectangle en B d) Pas rectangle

7. ≈11,2 kJ

20. a)

b)

8. a) ≈3,51 kJ b) ≈213 N

c) ≈585 N

9. a) 1 kJ b) 250 N

c) ≈333 N

10. a) 18 kJ

21.

b) 3,6 kN

11. ≈4 kJ 12. a) 5x + 10y + 6z = 30 b) 3x − 4y + 2z = 12

22. (0 ; 7) 23. ≈10 N∠ ≈95°

c) 3x + 5z = 15 d) x − 3 = 0

13. Parallèles, car les vecteurs normaux le sont.

24. ≈28 N∠ ≈138°

14. Perpendiculaires, car les vecteurs normaux le sont.

25. 100 N et 100 N

15. Plans concourants, car les vecteurs normaux ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.

26. ≈2,61 kN et ≈108° 27. ≈16,4 kN et ≈−88° 28. ≈771 N ; ≈919 N ; 1 200 N 29. ≈1 007 N ; ≈1 566 N ; 1 200 N 30. ≈998 N ; ≈1 407 N ; 1 500 N 31. a) ≈(20,48 ; 14,34) b) ≈(−79,41 ; 117,72)

c) ≈(−38,42 ; −24,01) d) ≈(26,66 ; −9,18)

32. a) ≈55∠115° b) ≈34∠236°

c) ≈71∠22° d) ≈74∠45°

16. La droite est parallèle au plan, car tout vecteur normal au plan est perpendiculaire à tout vecteur directeur de la droite. 17. La droite est perpendiculaire au plan, car tout vecteur normal au plan et tout vecteur directeur de la droite sont colinéaires. 18. a) ≈58,83° b) ≈71,89°

c) ≈51,41° d) ≈48,84°

19. a) ≈60,98° b) ≈14,04°

c) ≈70,55° d) ≈42,05°

20. a) ≈1,94 u

b) ≈2,68 u

21. a) ≈8,50 u

b) ≈11,65 u

34. ≈1 097 m∠99°

22. a) ≈6,67 u

b) ≈11,68 u

35. ≈1 178∠141°

23. a) ≈7,46 u b) ≈7,42 u

c) ≈16,97 u

24. a) ≈13,42 u b) ≈6,15 u

c) ≈12,37 u

25. a) ≈6,15 u

b) ≈12,09 u

26. a) ≈4,63 u

b) ≈15,01 u

33. a) F(41,3 ; 80,3) ; C(52,8 ; 46,2) ; D(117,7 ; 66,9) ; E(106,2 ; 101,0) b) 108,7° c) 36,0 m sur 68,1 m et ≈2 450 m2

36. ≈490 000 m2 37. 152,8 m et 147,7 m Chapitre 10 10.2 EXERCICES 1. a) 1 b) 1 2. a) 11 b) 51

c) 0 d) 0

e) 1 f) 2

27. ≈128,81°

c) −51 d) −40

29. a) α ≈ 90,48° ; β ≈ 66,64° b) α ≈120,53° ; β ≈ 24,08°

3. Perpendiculaires, car le produit scalaire est nul. 4. a) ≈42,2° b) ≈27,0°

c) ≈104,9° d) ≈139,2°

28. a) ≈26,10°

b) ≈85,84°

10.4 EXERCICES 1. a) (0 ; 2 ; 2) b) (8 ; −1 ; −5)

c) (5 ; 7 ; −1) d) (60 ; 48 ; 135)

386

Réponses aux exercices

2. a) (1 ; 1 ; 1) b) (−13 ; 7 ; 22)

c) (13 ; 10 ; −4) d) (−22 ; 0 ; 0)

3. a) ≈36,5 u2

b) ≈53,9 u2

4. a) ≈25,2 u 2

b) ≈13,9 u2

5. a) ≈11,1 u

b) ≈5,2 u

6. a) ≈5,2 u

b) ≈6,4 u

7. a) (1 ; 0 ; 0)

c)

24. a) ≈4,22 u

d) Une innité de vecteurs b) ≈116 N.m

25. a) π : 4x + 7y + z − 12 = 0, L(2 ; 1 ; −3) ; I(1 ; 1 ; 1) ; J(−1 ; 2 ; 2) ; K(0 ; 2 ; −2) b) ≈9,01 u ; 165,8 u2 ; 85 u3 c) ≈8,12 u2 d) ≈66,14° e) ≈9,57 u f) ≈4,19 u g) ≈2,09 u

b) 8. a) ≈387 N.m 9. a) ≈771 N b) 899 N

c) Non

10. ≈−98,3 N.m, sens horaire 11. a) 29 N.m, sens antihoraire c) 10 N.m, sens horaire b) 24 N.m, sens horaire 12. a) ≈71,5 N.m, sens antihoraire b) ≈366 N.m, sens antihoraire 13. a) 37,5 N.m, sens horaire b) ≈48,2 N.m, sens horaire 14. a) d ≈ 2,32 u, module ≈ 8,60 u et ≈35,54°, sens horaire b) d ≈ 8,67 u, module 3 u, 180°, sens antihoraire c) d ≈ 4,71 u, module ≈ 7,13 u, ≈50,83°, sens antihoraire 15. a) ≈1 478 N, Ax ≈ 1 132 N et Ay ≈ 450 N b) ≈1 736 N, A x ≈ 1 116 N et Ay ≈ 70 N c) ≈1 407 N, A x ≈ 1 153 N et Ay ≈ 593 N 16. a) Tx ≈ −3 201 N, A x ≈ 3 021 N et Ay = 4 200 N b) Tx = −3 360 N, A x = 3 360 N et Ay = 3 600 N c) Tx = −4 800 N, A x = 4 800 N et Ay = 4 200 N 17. a) b) c) d) e) f)

10x + 2y + 17z − 94 = 0, = (0 ; 2 ; 17) 7x + 8y − 19z + 83 = 0, = (7 ; 8 ; −19) x = 0, = (1 ; 0 ; 0) Impossible 15x + 11y + 29z − 178 = 0, = (15 ; 11 ; 29) 94x − 42y − 41z − 410 = 0, = (94 ; −42 ; 41)

18. a) 2x + y + z = 6 19. a) 203

u3

c) ≈4,08 u b) 27

23. a) Face ADC, 2x − 10y + 3z + 20 = 0 Face BCD, 3x + 2y + 13z − 55 = 0 Face ABC, 13x − 14y + 11z − 57 = 0 Face ABD, x + 12y − 7z − 7 = 0 b) ≈11,3 u 3 c) AADC ≈ 21,26 u 2 ; ABCD ≈ 6,75 u2 ; AABC ≈ 11,02 u2 ; AABD ≈ 13,93 u2 d) ≈5,04 u

Chapitre 11 11.2 EXERCICES 1. a)

d)

b)

e)

c) Pas dénie

2. a)

b) 52 u3

21. a) ≈4,24 u

b) ≈4,37 u

22. a) ≈65,59° b) ≈44,47°

c) ≈6,63°

c)

b)

3. a)

b)

u3

20. a) 238 u3

b) ≈6,48 u

4. a)

c)

387

Réponses aux exercices

15. a) b) ≈ b) c) c) d) Oui, par exemple 16. a)

5.

.

et

b) Pas dénie et 6. a)

b)

7. a)

c)

b)

8. a)

9. a)

d) Pas dénie

b) La matrice A + At est symétrique. b)

10. a)

c) 11. a)

c)

b)

d)

12. Non ; 13. a) b) 14.

c) d) Pas dénie , par exemple. Donc, A • B ≠ B • A et

B • A ≠ 0.

c)

et

17. a)

b) c) 117,81 $ pour un bureau, 68,28 $ pour une chaise et 101,56 $ pour une table. 18. a)

b)

11.4 EXERCICES 1. a) Solution unique, graphiques 2) et 4). b) Aucune solution, graphique 7). c) Innité de solutions, graphique 6). d) Aucune solution, graphique 5). e) Aucune solution, graphiques 1) et 3). f) Solution unique, graphique 8). 2. a) b) c) d)

Aucune solution Innité de solutions Aucune solution Aucune solution

e) f) g) h)

Innité de solutions Innité de solutions Aucune solution Solution unique

3. a) b) c) d) e) f) g) h)

(4 ; −2 ; 5) {(x ; y ; z) | x = 2 + 7t, y = 1 − 3t, z = t} {(x ; y ; z) | x = 13 + 13t, y = 2 + 5t, z = t} (2 ; −3 ; 4 ; 5) (11 ; −10 ; −12) (6 ; −7 ; 12) (8 ; −3 ; 4) (2 ; −3 ; 5)

388

Réponses aux exercices

i) {(x ; y ; z) | x = 43 − 8t, y = −67/2 + 11t/2, z = t} j) Aucune solution 4. 6. a) {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5) | x1 = (3t – 10u – 4)/2, x2 = 3t – 3u – 1, x3 = t, x4 = 2 + 3u, x5 = u} b) Aucune solution c) {(x1 ; x2 ; x3 ; x4) | x1 = (22 – t)/7, x2 = (24 + 11t)/7, x3 = t, x4 = 1} d) {(x1 ; x2 ; x3) | x1 = 2 – t, x2 = 2 + 2t, x3 = t} 7. a) (5 ; –3 ; 4) b) (8 ; 2 ; 11) c) Aucun point commun aux trois plans d) {(x ; y ; z) | x = (–20 – 10t)/7, y = (26 – t)/7, z = t}. Ces points forment une droite. 8. a) b) {(x ; y ; z) | x = 80 + t, y = 140 − t, z = t} 9. a) 12 °C au point D, 11 °C au point E et 11 °C au point F b) 30 °C au point D, 20 °C au point E et 20 °C au point F c) 25 °C au point D, 20 °C au point E et 15 °C au point F 10. a) 5 litres de T1, 2 litres de T 2 et 3 litres de T3 b) 2 litres de T1, 8 litres de T 2 et 6 litres de T3 11. a) 9 bureaux du modèle M1, 15 du modèle M 2, 13 du modèle M3 b) 1 300 m de bois, 164 m2 de contreplaqué et 76 m2 d’aggloméré c) 20 bureaux du modèle M1, 22 du modèle M 2 et 18 du modèle M3 12. a) 5 camions de type C1, 2 de type C2 et 3 de type C3 b) 2 camions de type C1, 8 de type C2 et 6 de type C3 13. b) 1 820 min au jour 1, 1 380 min au jour 2 et 1 895 min au jour 3

c) Si on désire utiliser toutes les minutes, il faudrait produire uniquement 50 L du produit P2. 14. {(d1 ; d2 ; d3 ; d4 ; d5 ; d6) |d1 = 520+ s – t, d2 = –220 – s + t, d3 = 400 – s, d4 = s, d5 = 1 220 – t, d6 = t} La municipalité peut décider de changer une seule conduite et utiliser l’autre à sa capacité maximale actuelle. Ainsi, en posant t = 400 L/s, l’ensemble des solutions devient : {(d1 ; d2 ; d3 ; d4 ; d5 ; d6) | d1 = 120 + s, d2 = 180 – s, d3 = 400 – s, d4 = s, d5 = 820, d6 = 400} Il faudrait, dans ces conditions, augmenter la capacité de la conduite N3N4 à 820 L/s. 15. a) Six variables b) On peut écrire quatre équations. Il y a moins de contraintes que d’inconnues et il y a au moins deux variables libres. c) Ce qui entre dans un nœud est égal à ce qui en sort. d) Au nœud A, l’équation est x4 + x5 + x6 = 800 ; au nœud B, l’équation est x2 + x4 = 300 + x1 ; au nœud C, l’équation est x1 + x3 + x6 = 500 ; au nœud D, l’équation est x5 = x2 + x3.

e) {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6) | x1 = 500 – s – u, x2 = –s + t, x3 = s, x4 = 800 – t – u, x5 = t, x6 = u} f) 0 ≤ s + u ≤ 500, s ≤ t et 0 ≤ t + u ≤ 800 16. a) (73/23 ; 164/23) et (8 ; 2) b) (3 ; −2 ; 4) et (−4 ; 2 ; 7) c) {(x ; y ; z) | x = 11t + 68, y = 5t + 34 et z = t} {(x ; y ; z) | x = 11t − 80, y = 5t − 30 et z = t} 17. a) (3,5 ; 1,25) b) (5 ; –3) c) Pas applicable 18. a) b) c) d)

d) (8 ; 2) e) Pas applicable f) Pas applicable

≈771 N, ≈919 N, 1 200 N ≈1 007 N, ≈1 566 N, 1 200 N ≈998 N, ≈1 407 N, 1 500 N ≈1 467 N, ≈1 659 N et 1 800 N

Bibliographie ANTON, Howard. Algèbre linéaire, adaptation de JeanYves Pelletier, Repentigny, Les Éditions Reynald Goulet, 1993, 261 p.

KLINE, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972, 1 238 p.

ATKINS, Peter William. Éléments de chimie physique, Paris, De Boeck Université, 1998, 500 p.

KRAMER, Edna E. The Nature and Growth of Modern Mathematics, New York, Hawthorn Books, 1970, 758 p.

AXLER, Sheldon. Linear Algebra Done Right, New York, Springer, 3e éd., 2015, 336 p.

LACASSE, Raynald et Jules LALIBERTÉ. Algèbre linéaire, Sherbrooke, Loze-Dion, 1991, 293 p.

BALL, W. W. R. A Short Account of History of Mathema­ tics, New York, Dover Publications, 1960, 522 p.

LANG, Serge. Linear Algebra, Readings, Addison-Wesley, 2e éd., 1972, 400 p.

BEAUDOIN, Germain. Algèbre linéaire et géométrie vec­ torielle, tomes 1 et 2, Sainte-Foy, Les Presses de l’Université Laval, 1988, 946 p.

LIPSCHUTZ, Seymour. Theory and Problems of Linear Algebra, New York, McGraw-Hill, Schaum’s Outline Series, 1968, 334 p.

BOYER, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1991, 715 p.

MARTEL, Paul A. et Ginette OUELLETTE. Introduction à l’algèbre linéaire, Mont-Royal, Modulo, 1991, 572 p.

CHARRON, Gilles et Pierre PARENT. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Montréal, Beauchemin, 2011, 570 p.

OSEN, Lynn M. Women in mathematics, Boston, The Massachusetts Institute of Technology, 1977, 185 p.

COLLETTE, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, vol. 1 et 2, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique, 1979, 587 p.

OUELLET, Gilles. Algèbre linéaire, vecteurs et géométrie, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 2002, 528 p.

CÔTÉ, Michèle. Résistance des matériaux, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 1997, 251 p. DAVIS, Philip J. et collab. The Mathematical Experience, Boston, Study Edition, Birkhäuser, 1995, 485 p. DENIS, Jean et Jean-Paul LANGLOIS. Structures algé­ briques et transformations linéaires : une introduc­ tion, Montréal, Les Éditions PointCarré, 1995, 268 p. DUNHAM, William. The Mathematical Universe : An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities, New York, John Wiley & Sons, 1994, 314 p. EVES, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. FLETCHER, T. J. L’algèbre linéaire par ses applications, Montréal, Éditions Hurtubise, 1972, 320 p. HOFFMANN, K. et Ray KUNZE. Linear Algebra, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 2e éd., 1971, 407 p. KEMENY, John G., J. Laurie SNELL et Gerald L. THOMPSON. Algèbre moderne et activités humaines, Paris, Dunod, 1969, 415 p. KEMENY, John G., J. Laurie SNELL et Gerald L. THOMPSON. Introduction to Finite Mathematics, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 3e éd., 1974, 484 p.

PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres com­ plexes, Montréal, Modulo, 2012, 392 p. ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle : applications en sciences de la nature, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 2003, 450 p. ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle : applications en sciences humaines, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 2003, 417 p. ROSS, André. Mathématiques appliquées à l’administra­ tion, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 1999, 379 p. ROSS, André. Modèles mathématiques pour les techniques industrielles, Sainte-Foy, Griffon d’argile, 1998, 438 p. SAINTE-MARIE, Monique. Géométrie vectorielle, Montréal, Éditions PointCarré, 1992, 369 p. SAMUELSON, Hans. An Introduction to Linear Algebra, New York, John Wiley & Sons, 1974, 265 p. SMITH, David Eugene. History of Mathematics, vol. 1 et 2, New York, Dover Publications, 1958, 1 299 p. SPIEGEL, Murray R. Theory and Problems of Vector Analysis, New York, McGraw-Hill, Schaum’s Outline Series, 1959, 225 p. STRUIK, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, 1967, 195 p.

390

Chapitre xxx

Index A Abscisse 69 Aire d’un cercle 235 d’un cylindre 250 d’un losange 231 d’un parallélogramme 231, 321 d’un polygone 235-236 d’un rectangle 230 d’un segment circulaire 236 d’un trapèze 231 d’un triangle 231, 234 d’une pyramide 251, 253 d’une sphère 256 de gures semblables 58 Al-Khwarizmi 8, 26 Amplitude 187 Angle(s) alternes-internes 210 au centre 164, 235 d’un triangle 210 de déphasage 188 de phase initial 188 entre deux droites 305 entre deux plans sécants 309 entre deux tangentes 211 entre deux vecteurs 271, 304 entre une droite et un plan 308 inscrit 210-211 Apothème 235 d’un cône 254 de la pyramide 251 Archimède 260-261 Vis d’ 261 Avogadro, Amadeo 99 Axe de rotation 325

B Balance de torsion 98 Base(s) 126, 230 Changement de 122 de calcul 120 de l’exponentielle 119 de la fonction exponentielle 108 Bell, Alexander Graham 131 Binôme 7 Bissectrice 211

Bombelli, Raffaele 10 Borda, Jean-Charles de 62, 224 Boyle, Robert 99 Bras du moment 325 Briggs, Henry 66, 125

C Calcul des résidus 144 du taux 114 du travail 314-315 Cardan, Jérôme 317 Carré Complétion du 23 d’une somme 11 Cayley, Arthur 348 Cercle circonscrit 235 et triangle 233 inscrit 235 trigonométrique 178 Chaîne d’arpenteur 65-66 Charles, Jacques 99 Chiffres signicatifs 41 Nombres exacts 41 Zéros 41 Chiffre-test 43 Chuquet, Nicolas 10 Codomaine d’une relation 28, 68 Coefcient 2, 9, 71 de corrélation 145 Complétion du carré 23 Condorcet, Nicolas de 62 Cône 254 Constante 9, 71 de proportionnalité 88, 90-91 Contraintes dans une poutre 95 Conversion de mesures 61 Coordonnées cartésiennes 292 polaires 292 Correspondance, Règle de 69 Cosécante 173, 178 Cosinus 173, 178 Loi des 207 Cotangente 173, 178

Coulomb, Charles Augustin de 98 Courbe 28, 69 de niveau 257 irrégulière 237 régulière 235 Représentation graphique d’une 28, 69 Cube 248 Cylindre 250

D Darwin, Charles 146 Décibel 128 Degré 164 du polynôme 9, 71 Delambre, Jean-Baptiste Joseph 62, 224 Densité relative 58 Déphasage 188 Déterminant 363 Diagonale 347 Diophante d’Alexandrie 26 Direction 270, 285 Distance Calcul d’une 310 d’un point à un plan 310 d’un point à une droite 312 entre deux droites 312 entre deux plans parallèles 312 entre deux points 218 entre une droite et un plan parallèles 312 Distributivité 4 Domaine d’une relation 28, 68 de validité d’un modèle 69 Donnée(s) à pas constant 139 à pas variable 139 Droite(s) coplanaires 305 de régression 143 de tendance 145 Équation d’une 27 gauches 305 perpendiculaires 31 réelle 20-21

Index

E Échelle(s) et modélisation 153 graphiques 150 linéaire 150 logarithmique 150, 153 Égalité de vecteurs algébriques de 3 287 Éléments, Adresse des 340 Ensemble d’arrivée 28, 68 de départ 28, 68 solution 19 Équation(s) à deux inconnues 27 cartésienne 306 d’un plan 332 d’une droite 27, 29 du premier degré 19, 27 du second degré 22 équivalentes 19 exponentielle 119 linéaire(s) 352, 354 logarithmique 123 matricielle 355 paramétrique(s) 290-291 quadratique 22 Systèmes d’ 30, 352 trigonométrique(s) 181-182 Équidistance 257 Équilibrante 277 Équilibre de rotation 277 de translation 277-278 Espace cartésien 286 Euclide 174 Euler, Leonhard 116 Exposant(s) 2-3 Mesure en 130 Expression(s) algébrique(s) 2, 6 Extrapolation 146

F Facteur 2, 14 Factorisation de trinômes 12 Fonction(s) 28, 69 afne 71 comportant une valeur absolue 79 comportant un radical 78 constante 71 exponentielle 108, 127

inverse 28 logarithmique 126, 155 par parties 80 partie entière 81 polynomiale 70 puissance 88, 154 quadratique 73, 75 rationnelle 76 trigonométriques 178, 180 Force(s) 277, 293 Formule de Simpson 258 Fractions algébriques 6 Fréquence et période 187-188

G Galilée 51, 99 Galton, Francis 146 Gauss, Carl Friedrich 157 Géométrie vectorielle 305 Grandeur(s) et incertitude 38 et proportions 56 Gunter, Edmund 66

H Hauteur 230 d’un triangle 233 Héron d’Alexandrie 281 Hipparque 174 Hooke, Robert 193

J Jalonnement 219 en présence d’un obstacle 219-220 en présence de deux obstacles 221-222

K Kovalevskaïa, Soa 364

L Lagrange, Joseph-Louis 62 Laplace, Pierre-Simon de 62 Legendre, Adrien Marie 158 Localisation d’un vecteur géométrique 288 Logarithme(s) 119 d’une mesure 129 de base b 120 Propriétés des 121 Loi(s) des cosinus 207 des gaz parfaits 99 des sinus 206 du mouvement de Newton 277 Longueur(s) 168, 270, 285 d’onde 191 de gures semblables 56 de la projection 305 Losange, Aire d’un 231

I Identité(s) trigonométrique(s) 181 fondamentales 181 par symétrie 182 Image 28, 68 Incertitude 40 absolue 45 relative 45, 48 sur une mesure 46 Inconnue 119 Inéquation(s) 19, 21 Intégrité de la multiplication par un scalaire 275 Intensité 285 Interpolation 146 Intervalle fermé 21 ouvert 21 principal 183 sur la droite réelle 21

391

M Mantisse 40 Mariotte, Edme 99 Masse volumique 58 Mathématiques de l’Islam 8 Matrice(s) 340 associée 355 augmentée 352, 356 carrée(s) 347 des constantes 355 des inconnues 355 échelonnée 356-357 Égalité de 340 équivalentes-lignes 357 identité 347 Multiplication de 345 Multiplication par un scalaire 341 nulle 341

392

Index

Somme de 340 Systèmes d’équations et 355 transposée 343 Méchain, Pierre François André 62, 224 Mesure(s) Conversion de 61 d’une hauteur 215 de l’angle inscrit 210 du méridien 224 en degrés 164 en exposant 130 en radians 164 Incertitude sur une 40 Logarithme d’une 129 Relation entre les unités de 166 Systèmes de 62 Méthode(s) de Cramer 362 de Gauss 356 de Gauss-Jordan 357 de Simpson 238 des données groupées 140 des moindres carrés 141, 158 des trapèzes 237 du parallélogramme 272 du triangle 272 graphique 139 Modèle global 69 local 69 par parties 69 sinusoïdal 187 Modèle exponentiel 108-110 Modélisation 69, 153 afne 138 du xvi e au xixe siècle 99 exponentielle 106 Module 270, 285 d’élasticité 98 d’un vecteur algébrique de 3 286 de Young 97, 98 du vecteur somme 273 Moment Bras du 325 d’une force 324-325 Monge, Gaspard 62 Monôme 7 Mouvements oscillatoires 189 Moyen proportionnel 55

N Napier, John 124 Noether, Emmy 365 Nombre(s) Arrondir un 43 d’Euler 116 entiers différents de zéro 41 exacts 41 π 175 Norme 285 Notation(s) algébriques 10 de l’ingénieur 40 scientique 40, 50

O Onde, longueur d’ 191 Ordonnée 69 à l’origine d’une fonction 28, 70 Ordre dans les réels 20 Oughtred, William 66

P Papier logarithmique 151 semi-logarithmique 151 Parallélépipède 247-248 Volume du 334 Parallélisme 275 Parallélogramme, Aire d’un 231 Paramètre(s) afnes 157 d’une fonction exponentielle 127 Parenthèses 4 Ajout de 5 Élimination des 5 Période 187-188 Perméabilité d’un sol 161 Piazzi, Giuseppe 157 Pivot d’une ligne 356 Plan(s) cartésien 285 parallèles à deux axes 307 parallèles à un axe 308 Planck, Max 193 Planimètre 257 Polyèdre 247 Polygone des forces 277 inscrit 235

régulier 235 Polynôme(s) 7, 9 Division de 13 en x 9 Facteur d’un 14-15 Multiplication de 11 Termes semblables de 9 Zéro d’un 10, 14-15 Pourcentage 55 Préimage 28, 68 Pression 59 Prisme 247 Décomposition d’un 251 inscrit 250 Volume d’un 248 Prismatoïde 256 Prix initial 109 Produit(s) de deux matrices 343 de nombres arrondis 47 remarquables 11 Produit mixte 332 Calcul du 333 Interprétation géométrique du 334 Propriétés du 333 Valeur absolue du 334 Produit scalaire et travail 314 Interprétation géométrique du 304 nul 302 Propriétés du 302 Produit vectoriel de deux vecteurs géométriques 321 Interprétation géométrique 321 nul 322 Propriétés du 321 Projection 178 Proportion(s) Extrêmes d’une 55 Grandeurs et 56 Moyen(s) d’une 55 Proportionnalité 56 Propriété(s) de la multiplication des matrices 345 de la transposition des matrices 345 des exposants 123 des logarithmes 121, 123 des opérations 342

Index

des opérations sur des vecteurs géométriques 274 Puissance(s) 2 de 10 40 de nombres arrondis ou estimés 47 Pyramide 251 inscrite 255 Tronc de 252 Pythagore de Samos 186

Q Quotient(s) de nombres arrondis 47

R Racine 25 Radian 164 Radiations électromagnétiques 192 Rapport(s) 55 dans gures semblables 56, 58 inverse 55 trigonométrique 173 Rayon 235 Recorde, Robert 10 Rectangle, Aire d’un 230 Région élastique 97 plastique 98 Règle d’utilisation des exposants 3 de correspondance 28, 69 de trois 56, 89 des produits et des quotients 42 des sommes et des différences 42 Séquence de sommes et de produits 43 Relation 28 afne, Paramètres d’une 157 Codomaine d’une 28, 70 de Chasles 272 de Héron 232-233 Domaine d’une 28-70 entre les unités de mesure 166 réciproque 28 Repère 275-276 Représentation d’une relation 28 Résidus 140 Résolution d’équations 183 de triangles 202

de triangles quelconques 207 par comparaison 30 par réduction 30 Résultante de forces concourantes 277 de forces coplanaires non concourantes 327

S Sécante 173, 178 Secteur circulaire 236 polygonal 236 Segment circulaire 236 Sens 270, 285 Simpson, Thomas 240 Formule de 258 Sinus 173, 178 Loi des 206 Solution(s) et ensemble solution 19 générale d’une équation quadratique 24 générale du système d’équations linéaires 353 particulières 354 triviale 358 Sommes et différences de nombres arrondis ou estimés 46 Sphère Aire d’une 256 Volume d’une 256 Surface(s) Aire d’une 230 délimitées par une courbe 234 égales 230 équivalentes 230 latérale d’un cône 255 polygonales 230 Sylvester, James Joseph 348 Système(s) de mesure 62 échelonné 356 équivalents 356 impérial d’unités 61 international (SI) 38-39 métrique décimal 62 Systèmes d’équations 30 linéaires homogènes 358 Matrices 355

393

T Tangente(s) 173, 178 Bissectrice de l’angle entre deux 211 issues d’un même point 211 Taux 55 Calcul du 114 Terme(s) 2 semblables de polynômes 9 Towneley, Richard 99 Théorème de Varignon 326 Translation d’un vecteur 288 Trapèze, Aire d’un 231 Triangle(s) 207 Aire d’un 231 quelconques 206 rectangles 202 Résolution de 202, 207 Somme des angles d’un 210 Trigonométrie et mesure du temps 193 Trinôme(s) 7 Factorisation de 12 Triplet pythagoricien 186 Tronc de cône 255 de prisme droit 248 de pyramide 252 pyramidal 253

U Unités du système international (SI) 38-39

V Valeur absolue 79 Valeur initiale 108 Calcul de la 113 Variable(s) 9 dépendante 69 indépendante 69 libre(s) 353 liée(s) 353 Variation(s) directement proportionnelle 88 directement proportionnelle au carré 91 inversement proportionnelle 90 inversement proportionnelle au carré 91 mixtes 94, 99

394

Index

Varignon, Théorème de 326 Vecteur(s) algébrique(s) 285-286, 293, 322 Angle entre deux 271 colinéaires 276 Composantes d’un 289 coplanaires 276 directeur 276 égaux 270 géométrique 270, 273-274 Multiplication par un scalaire 273 normal 306

nul 270 opposé 270 parallèles 270, 275 position 289 repères 275-276 résultant 271 Somme de 271 Translation d’un 288 unitaire 275 Vitesse angulaire 171 Volume(s) Calcul de 247, 258 d’un cylindre 250

d’un parallélépipède 248 d’un prismatoïde 256 d’un prisme 248 d’un tronc de prisme droit 248 d’un tronc de pyramide 254 d’une pyramide 252 d’une sphère 256 de gures semblables 58 Estimation d’un 249

Z Zéro(s) 41 d’une fonction 70

estiné aux étudiants des programmes des technologies du bâtiment, des travaux publics, de l’aménagement du territoire, des mines et des travaux de chantiers, cet ouvrage a été conçu avec le souci particulier de leur transmettre les concepts mathématiques nécessaires à l’accomplissement de leurs futures tâches. En plus de consolider leurs connaissances acquises au secondaire, cette troisième édition propose davantage de problèmes d’application en relation directe avec leurs besoins ; on y met l’accent autant sur la modélisation et la résolution de problèmes que sur l’interprétation des résultats.

D

André Ross est titulaire d’un baccalauréat en pédagogie de l’Université Laval, d’un baccalauréat en mathématiques de l’Université du Québec à Trois-Rivières et d’une maîtrise en mathématiques de l’Université de Sherbrooke. Aujourd’hui retraité, il a enseigné plus de trente ans au Cégep Lévis-Lauzon et a publié de nombreux ouvrages pour l’enseignement des mathématiques.

Le manuel comporte de nombreux outils pour favoriser la compréhension et l’intégration de la matière : remarques abondantes, procédures de résolution de problèmes, nombreux exemples résolus en détail, notes historiques illustrées et exercices variés. Voilà qui fait de cet ouvrage un manuel d’apprentissage efcace et adapté aux attentes particulières des étudiants de ces programmes en techniques.

ISBN 978-2-89732-049-2

www.groupemodulo.com/ross