Mathematik - Formeln und Begriffe 9783534273034, 9783534273041, 9783534273058, 3534273036

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Titel
Impressum
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen
Geometrie
Flächen
Volumina
Mengen und Rechenarten
Zahlenmengen
Addition und Subtraktion rationaler Zahlen
Multiplikation und Division rationaler Zahlen
Mengenbeziehungen
Mengenverknüpfungen
Regeln für das Rechnen mit Mengen
Intervalle (spezielle Teilmengen von R)
Terme
Allgemeine Grundrechenarten
Termumformung
Binomische Formeln
Vorzeichen und Rechenzeichen
Produktregeln
Rechnen mit Brüchen (Bruchrechnen)
Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen
Ungleichungen und Gleichungen
Definition einer Ungleichung
Inversionsgesetz
Definition einer Gleichung
Definitionsmenge
Lösungsmenge
Lineare Gleichungen
Äquivalenzumformung
Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Definition
Schreibweise
Graphisches Lösen
Algebraisches Lösen
Einsetzverfahren
Gleichsetzverfahren
Additionsverfahren
Lösen mithilfe von Determinanten
Bestimmung der Lösungen
Proportionalitäten
Direkte Proportionalität
Indirekte Proportionalität
Dreisatz
Prozentrechnung
Relation und Funktion
Relation
Funktion
Graphische Darstellungen
Arten von Funktionen
Steigungsfaktor
y-Achsenabschnitt
Lage von Geraden
Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung
Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung
Wurzeln und Potenzen
Wurzeln
Wurzelgesetze
Potenzen
Logarithmen
Definition
Logarithmen spezieller Basen
Logarithmengesetze
Basiswechsel
Quadratische Gleichungen
Reinquadratische Gleichung
Allgemeine Form
Normalform (p-q-Form)
Satz von Vieta
Quadratische Funktionen
Normalform
Symmetrieachse
Scheitelpunktform
Normalparabel
Achsenschnittpunkte
Sätze am rechtwinkligen Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras
Höhensatz des Euklid
Kathetensatz des Euklid
Winkelfunktionen
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Tangensfunktion
Definitionen am rechtwinkligen Dreieck
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Werte für spezielle Winkel
Vorzeichen in den vier Quadranten
Trigonometrischer Pythagoras
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Reduktionsformeln
Summen und Differenzen
Vielfache und Teile
Produkte
Trigonometrische Berechnungen am allgemeinen Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Flächeninhalt
Höhen
Seitenhalbierende
Winkelhalbierende
Inkreisradius (p)
Umkreisradius
Projektionssatz
Bogenmaß
Umrechnung Grad – Bogenmaß
2. Vektorrechnung und Analytische Geometrie
Vektoren
Definition
Schreibweisen und Darstellungen
Ortsvektor
Basisvektoren
Nullvektor
Rechenoperationen, Verknüpfungen und Formeln
Gleichheit zweier Vektoren__›a =__›b
Addition zweier Vektoren
Subtraktion zweier Vektoren
Rechenregeln
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
S-Multiplikation von Vektoren
Skalare Vervielfachung
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Skalarprodukt
Geradengleichungen und Ebenengleichungen in Parameterform
Vektorielle Punkt-Richtungs-Form
Vektorielle Zwei-Punkte-Form
Ebenengleichung
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Definition
Rechenregeln beim Vektorprodukt
Kollineare (parallele) Vektoren
Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten
Flächeninhalt des Parallelogramms
Flächeninhalt eines Dreiecks ABCim ℝ3
Volumen des Parallelflachs
Volumen der Pyramide
Ebenengleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem
Normalenform in Koordinatendarstellung
Normalenform in vektorieller Darstellung
Hesse’sche Normalenform (HNF) der Ebene
Abstand Punkt P – Ebene E
Lagebeziehung zweier Ebenen E und F
Schnittwinkel zweier Ebenen E und F
3. Grenzwerte, Stetigkeit und Unstetigkeit
Grenzwerte einer Funktion
Grenzwert für x → x0
Grenzwert für x → ∞
Rechenregeln für Grenzwerte
Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen
Stetigkeit
Unstetigkeit
4. Differenzialrechnung
Differenzialrechnung
Differenzenquotient
Definition der Ableitung
Stetigkeit
Differenzierbarkeitsbereich
Globale Differenzierbarkeit
Ableitungsfunktion
Schreibweisen
Differenzieren nach der Zeit t
Stetige Differenzierbarkeit
Höhere Ableitungen
Stammfunktion
Geometrische Deutung der Ableitung
Steigung
Tangente
Normale
L’Hospitalsche Regeln
Ableitungsregeln
Ableitung der Grundfunktionen
Kurvendiskussion
Symmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie zum Ursprung
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Monotonie
Relative Extremwerte
Krümmung des Graphen
Wendepunkt
5. Integralrechnung
Integrale
Grundbegriffe
Eigenschaften des bestimmten Integrals
Grundintegrale
Weitere Integrale
Uneigentliche Integrale
Geometrische Anwendungen
6. Statistik und Stochastik
Statistik
Datenerfassung – Begriffe
Häufigkeiten
Diagramme
Lagemaße
Streumaße
Stochastik
Zufallsexperiment
Häufigkeit
Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses P (E)
Gegenereignis E
Laplace-Experiment
Pfadregel
Baumdiagramme
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Vierfeldertafel
Satz von Bayes
Inverses Baumdiagramm
Hypothesentest
Binominalverteilung
Register
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Telekolleg

Mathematik Formeln und Begriffe

Josef Dillinger

Telekolleg Telekolleg wird veranstaltet von den Bildungs- und Kultusministerien von Bayern und Brandenburg sowie vom Bayerischen Rundfunk (BR). Nähere Informationen zu Telekolleg: www.telekolleg-info.de Dieser Band enthält das Arbeitsmaterial zu den vom Bayerischen Rundfunk produzierten Lehrsendungen.

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Inhaltsverzeichnis 1.

Grundlagen Geometrie Flächen 6 Volumina 9 Mengen und Rechenarten Zahlenmengen 12 Addition und Subtraktion rationaler Zahlen 12 Multiplikation und Division rationaler Zahlen 13 Mengenbeziehungen 13 Mengenverknüpfungen 14 Regeln für das Rechnen mit Mengen 14 Intervalle (spezielle Teilmengen von ℝ) 14 Terme Allgemeine Grundrechenarten 15 Termumformung 15 Binomische Formeln 15 Vorzeichen und Rechenzeichen 15 Produktregeln 15 Rechnen mit Brüchen (Bruchrechnen) 16 Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen 16 Ungleichungen und Gleichungen Definition einer Ungleichung 17 Inversionsgesetz 17 Definition einer Gleichung 17 Definitionsmenge 17 Lösungsmenge 17 Lineare Gleichungen 17 Äquivalenzumformung 18 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 19 Schreibweise 19 Graphisches Lösen 19 Algebraisches Lösen 20 Einsetzverfahren 20 Gleichsetzverfahren 20 Additionsverfahren 21 Lösen mithilfe von Determinanten 21 Bestimmung der Lösungen 21

Proportionalitäten Direkte Proportionalität 22 Indirekte Proportionalität 22 Dreisatz 22 Prozentrechnung 23 Relation und Funktion Relation 23 Funktion 23 Graphische Darstellungen 23 Arten von Funktionen 24 Steigungsfaktor 25 y-Achsenabschnitt 26 Lage von Geraden 27 Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung 27 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung 27 Wurzeln und Potenzen Wurzeln 28 Wurzelgesetze 28 Potenzen 28 Logarithmen Definition 29 Logarithmen spezieller Basen Logarithmengesetze 29 Basiswechsel 29

29

Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichung 30 Allgemeine Form 30 Normalform (p-q-Form) 30 Satz von Vieta 31 Quadratische Funktionen Normalform 31 Symmetrieachse 31 Scheitelpunktform 31 Normalparabel 31 Achsenschnittpunkte 32 Sätze am rechtwinkligen Dreieck Rechtwinkliges Dreieck 33 Satz des Pythagoras 33 Höhensatz des Euklid 34 Kathetensatz des Euklid 34

Winkelfunktionen Sinusfunktion 34 Kosinusfunktion 35 Tangensfunktion 35 Definitionen am rechtwinkligen Dreieck Sinus 36 Kosinus 36 Tangens 36 Kotangens 36 Werte für spezielle Winkel Vorzeichen in den vier Quadranten 36 Trigonometrischer Pythagoras 36 Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens Reduktionsformeln 36 Summen und Differenzen 37 Vielfache und Teile 37 Produkte 37 Trigonometrische Berechnungen am allgemeinen Dreieck Sinussatz 38 Kosinussatz 38 Flächeninhalt 38 Höhen 38 Seitenhalbierende 38 Winkelhalbierende 38 Inkreisradius (p) 38 Umkreisradius 38 Projektionssatz 38 Bogenmaß 38 Umrechnung Grad – Bogenmaß 38

2.

Vektorrechnung und Analytische Geometrie Vektoren Definition 39 Schreibweisen und Darstellungen 39 Ortsvektor 40 Basisvektoren 40 Nullvektor 40

4

Rechenoperationen, Verknüpfungen und Formeln 41 __› __› Gleichheit zweier Vektoren__ a =__ b 41 › › Addition zweier Vektoren a +__b __41 › › Subtraktion zweier Vektoren a – b 41 Rechenregeln 41 Kommutativgesetz 41 Assoziativgesetz 42 S-Multiplikation von Vektoren 42 Skalare Vervielfachung 42 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 42 Skalarprodukt 43 Geradengleichungen und Ebenen­ gleichungen in Parameterform Vektorielle Punkt-Richtungs-Form 44 Vektorielle Zwei-Punkte-Form 44 Ebenengleichung 44 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Definition 45 Rechenregeln beim Vektorprodukt 45 Kollineare (parallele) Vektoren 45 Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten 45 Flächeninhalt des Parallelogramms 46 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC im ℝ3 46 Volumen des Parallelflachs 46 Volumen der Pyramide 46 Ebenengleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem Normalenform in Koordinatendarstellung 46 Normalenform in vektorieller Darstellung 47 Hesse’sche Normalenform (HNF) der Ebene 47 Abstand Punkt P – Ebene E 47 Lagebeziehung zweier Ebenen E und F 47 Schnittwinkel zweier Ebenen E und F 47

3.

Grenzwerte, Stetigkeit und Unstetigkeit

5.

Grenzwerte einer Funktion Grenzwert für x → x0 48 Grenzwert für x → ∞ 48 Rechenregeln für Grenzwerte 49

Integrale Grundbegriffe 61 Eigenschaften des bestimmten Integrals 62 Grundintegrale 62 Weitere Integrale 63 Uneigentliche Integrale 63 Geometrische Anwendungen 64

Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen Stetigkeit 49 Unstetigkeit 50

4.

Differenzialrechnung Differenzialrechnung Differenzenquotient 51 Definition der Ableitung 51 Stetigkeit 51 Differenzierbarkeitsbereich 52 Globale Differenzierbarkeit 52 Ableitungsfunktion 52 Schreibweisen 52 Differenzieren nach der Zeit t 52 Stetige Differenzierbarkeit 52 Höhere Ableitungen 52 Stammfunktion 52 Geometrische Deutung der Ableitung Steigung 53 Tangente 53 Normale 53 L’ Hospitalsche Regeln 53 Ableitungsregeln 54 Ableitung der Grundfunktionen 55 Kurvendiskussion Symmetrie zur y-Achse 56 Punktsymmetrie zum Ursprung 56 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 56 Monotonie 56 Relative Extremwerte 57 Krümmung des Graphen 59 Wendepunkt 59

Integralrechnung

6.

Statistik und Stochastik Statistik Datenerfassung – Begriffe Häufigkeiten 66 Diagramme 67 Lagemaße 67 Streumaße 69

66

Stochastik Zufallsexperiment 70 Häufigkeit 70 Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses P (E) __ 71 Gegenereignis E 71 Laplace-Experiment 71 Pfadregel 71 Baumdiagramme 71 Bedingte Wahrscheinlichkeit 72 Vierfeldertafel 72 Satz von Bayes 72 Inverses Baumdiagramm 73 Hypothesentest 73 Binominalverteilung 74

Register 75

5

1. Grundlagen Geometrie Flächen A = Fläche

d = Diagonale / Durchmesser

h = Höhe

Quadrat 2 A = a__ √ a = A__ d = a√ 2 U=4⋅a

Rechteck A = a  ∙  b _____ d = √a 2 + b 2 U=2∙a+2∙b

Parallelogramm A=a∙h A a = __ h

Trapez A=m∙h a+b 2

m = ___

6

U = Umfang

r = Radius

11

Dreieck 1 2

A = __ ∙ a ∙ h  2∙A h

a = _____

Gleichseitiges Dreieck a 2 __ 4

A = __ √ 3 a __ 2

d = __ √ 3

Kreis d ∙π A = ____ = π ∙ r 2 ≈ 0,785 ∙ d 2 2

4

U=2∙r∙π=π∙d d=2∙r

Sechseck

_

2 3 ∙ a ∙ √3 A = _________ 2

d=2∙a __

s = √3 ∙ a

7

Achteck

__

A = 2 ∙ a 2 (√ 2 + 1) _____ __

d = a ∙ √4 + 2 √2 ____

s = a( √ 2 + 1)

Kreisring π A = __ ∙ ( D 2 − d 2) = ( d + b)b ∙ π 4

D−d b = ____ 2

Kreisausschnitt b∙r r 2 ∙ π ∙ α ° = ___ A = ______ 360°

2

r∙π∙α b = ______ °

180°

Kreisabschnitt

(

)

α° ∙ π r 2 ____ 1 [r (b − s) + sh] A = __ − sin α = __ 2 180°

2

α s = 2r ∙ sin __ 2

s α α ) = __ h = r (1 − cos __ tan __ 2

α°∙ π ̂ = ____ α 180°

̂ b=r∙α

8

2

4

Volumina

11

V = Volumen O = Oberfläche M = Mantel h = Höhe A = Fläche r = Radius d/D = Durchmesser Würfel V = a3 O=6∙a __

d = a √3

Quader V=a∙b∙c O = 2 ( ab + ac + bc) ________

d = √a 2 + b 2 + c 2

Pyramide A∙h V = ____ 3

Pyramidenstumpf

______

h A +A + A +A V = __ ( 1 2 √ 1 2) 3

9

Zylinder h ∙ π ( D 2 − d 2) V = ____ 4

M=2∙π∙r∙h O = 2 ∙ r ∙ π ∙ ( r + h)

Kegel r ∙π∙h V = ______ 2

3

M=r∙π∙m O = r ∙ π ∙ ( r + m) ______

√ (2)

d m = h 2 + __

2

Kegelstumpf π ∙ h ( D 2 + Dd + d 2) V = ____ 12

π ∙ m ( D + d) = 2 ∙ π ∙ p ∙ h M = ____ 2

_________

m=

Kugel

D−d +h √(____ 2 ) 2

2

4 r 3 π = __ 1 ∙ d 3 π ≈ 4,189 ∙ r 3 V = __ 3

6

O = 4π ∙ r 2 = π ∙ d 2

10

Kugelzone

11

π ∙ h (3 a 2 + 3 b 2 + h 2) V = ____ 6

M=2∙π∙r∙h

Kugelabschnitt

(4

)

(

)

3 2 π ∙ h __ h V = ____ s + h 2 = π h 2 r − __ 6

3

π (s 2 + 4 h 2 ) M = 2 ∙ r ∙ π ∙ h = __ 4

Kugelausschnitt

2 ∙ h ∙ r2 ∙ π V = __ 3

π ∙ r ( 4h + s) O = ___ 2

Kreisring

D ⋅ π2 ⋅ d2 4

V = ________ O = D ∙ d ∙ π2

11

Mengen und Rechenarten Zahlenmengen Natürliche Zahlen N ≔ {0, 1, 2, 3, …} N: 0, 1, 2, 3, …

Ganze Zahlen Z ≔ {…, –1, 0, 1, 2, 3, …} p Gebrochene Zahlen ℚ+ ≔ __ q p∊ ℕ ∧ q ° 0 p Rationale Zahlen ℚ ≔ __ q p∊ℤ∧q°0

{ |

{ |

_

Z: 0, –1, 1, –2, 2, …

}

1 , __ 1 , –1, 1, … Q: 0, – __ 2 2

}

_

I: √2 , p, e, …

Irrationale Zahlen I ≔ {…, √2 , p, e, …}

_

1 , √2 , p, … R: 0, – __ 2

Reelle Zahlen R ≔ ℚ ∪ I

_

C: √–1, …

Komplexe Zahlen C ≔ {Z | Z = a + ib}

Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Unterscheidung zwischen Vor- und Rechenzeichen Vorzeichen (VZ) Rechenzeichen (RZ)

Vereinfachung von Rechenzeichen

12

+2 positives Vorzeichen ⇒ +2 = 2 –5 negatives Vorzeichen 3 + 5 Addition (plus) 9 – 2 Subtraktion (minus) RZ

VZ

wird zu

Beispiel

+

+

+

(+5) + (+3) = 5 + 3

+

–

–

(+5) + (–3) = 5 – 3

–

+

–

(+5) – (+3) = 5 – 3

–

–

+

(+5) – (–3) = 5 + 3

Multiplikation und Division rationaler Zahlen Die Regeln für Multiplikation und Division mit negativen Zahlen entsprechen sich. Also gelten für die Vorzeichen dieselben Regeln.

Division durch 0

1. Faktor 2. Faktor

Produkt

Beispiel

+

+

+

(+5) · (+3) = +15

–

+

–

(–5) · (+3) = –15

+

–

–

(+5) · (–3) = –15

–

–

+

(–5) · (–3) = +15

Dividend

Divisor

Quotient

Beispiel

+

+

+

(+6) : (+2) = +3

–

+

–

(–6) : (+2) = –3

+

–

–

(+6) : (–2) = –3

–

–

+

(–6) : (–2) = +3

Durch 0 kann nicht dividiert werden, da diese Rechenausdrücke nicht definiert sind.

Mengenbeziehungen Mengengleichheit: Eine Menge A ist gleich einer Menge B. Jedes Element von A ist auch Element von B und umgekehrt.

Teilmenge: Eine Menge A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Echte Teilmenge: Gibt es mindestens ein Element in B, das nicht zu A gehört, so ist A echte Teilmenge von B. Ist A Teilmenge von B, so ist die Komplementärmenge von A bezüglich B diejenige Teilmenge von B, die alle Elemente enthält, die nicht zu A gehören.

Schreibweise: A = B ∧ B = A A

∧: logisches UND

B

Schreibweise: A ⊆ B (Teilmenge) A ⊂ B (echte Teilmenge) B

A

__

Schreibweise: A __

A

A

B

13

11

Mengenverknüpfungen Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A und zu B gehören.

Schreibweise: A ∩ B gelesen: A geschnitten B A ∩ B = {x | x ∊ A ∧ x ∊ B} A

B A∩B

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören.

Die Differenzmenge A \ B ist die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.

Schreibweise: A ∪ B gelesen: A vereinigt B A ∪ B = {x | x ∊ A ∨ x ∊ B} A

A∪B

B

Schreibweise: A \ B gelesen: A ohne B A \ B = {x | x ∊ A ∧ x ∉ B} A

B A\B

Die Produktmenge A × B ist die Menge aller (geordneten) Paare, deren erstes Glied zu A und deren zweites Glied zu B gehört.

Schreibweise: A × B gelesen: A kreuz B A × B = {(x, y) | x ∊ A ∧ y ∊ B}

Regeln für das Rechnen mit Mengen Idempotenzgesetz

A∪A=A A∩A=A

Kommutativgesetz

A∪B=B∪A A∩B=B∩A

Assoziativgesetz

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Distributivgesetz

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Intervalle (spezielle Teilmengen von R) abgeschlossenes Intervall von a bis b

[a; b] = {x ∊ R | a ≤ x ≤ b}

rechtsoffenes Intervall von a bis b

[a; b[ = {x ∊ R | a ≤ x < b}

linksoffenes Intervall von a bis b

]a; b] = {x ∊ R | a < x ≤ b}

offenes Intervall von a bis b

]a; b[ = {x ∊ R | a < x < b}

linksoffenes Intervall von –∞ bis a

]–∞; a] = {x ∊ R | x ≤ a}

offenes Intervall von a bis +∞

]a; +∞[ = {x ∊ R | a < x}

offenes Intervall von -∞ bis +∞

]–∞; ∞[ = {x ∊ R | –∞ < x < ∞}

14

Terme

11

Allgemeine Grundrechenarten Addition

a+b=c

Subtraktion

a–b=c

Multiplikation

a∙b=c

Division

a:b=c

für b ° 0

Termumformung Kommutativgesetz – der Addition – der Multiplikation

a+b=b+a a∙b=b∙a

Assoziativgesetz – der Addition – der Multiplikation

(a + b) + c = a + (b + c) (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Distributivgesetz

(a ± b) ∙ c = a ∙ c ± b ∙ c (a ± b) : c = a : c ± b : c für c ° 0

Binomische Formeln 1. Binomische Formel

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomische Formel

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3. Binomische Formel

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Vorzeichen und Rechenzeichen Verschmelzungsregeln

a + (+b) = a + b a + (-b) = a – b a – (+b) = a – b a – (-b) = a + b

Auflösen einer Minusklammer

a – (b + c) = a – b – c a – (b + c - d) = a – b – c + d

Produktregeln Das Produkt zweier Faktoren mit gleichen Vorzeichen ist positiv, mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ.

(+a) ∙ (+b) = +(a ∙ b) (–a) ∙ (–b) = +(a ∙ b) (+a) ∙ (–b) = –(a ∙ b) (–a) ∙ (+b) = –(a ∙ b)

15

Rechnen mit Brüchen (Bruchrechnen) Addition/Subtraktion

a ± __ b = _____ a ± b __ c

c

c

a ± __ b = ___________ a · d ± b · c __ c

Multiplikation

d

c · d

a · __ c = _____ a · c __ b d

b · d

a  · c = ____ a · c __ b

Division

b

a __ b = _____ a · d c = __ a : __ __ c b · c b d __ d

a __ b = _____ a a : c = __ __ b c b · c Erweitern

a = ____ a · r __

r ∊ R \ {0}

Kürzen

a = _____ a : n __

n ∊ R \ {0}

b b

b · r

b : n

Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Teiler

a heißt Teiler von b, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass a ∙ n = b.

größter gemeinsamer Teiler – ggT

Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt. Man bezeichnet sie mit ggT (a; b). Haben a und b keinen gemeinsamen Teiler, so gilt: ggT (a; b) = 1.

Vielfaches

b heißt Vielfaches von a, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass a ∙ n = b.

kleinstes gemeinsames Vielfaches – kgV

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a als auch von b ist. Man bezeichnet sie als kgV (a; b). Haben a und b keinen gemeinsamen Teiler, so gilt: kgV (a; b) = a ∙ b. Das kgV entspricht dem (kleinsten) Hauptnenner bei Brüchen.

16

Ungleichungen und Gleichungen Definition einer Ungleichung

11

Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen und einer der folgenden Ordnungsrelationen: < (kleiner als) ≤ (kleiner gleich als) > (größer als) ≥ (größer gleich als)

Inversionsgesetz

Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden: a < b ⇔ a ∙ (–c) > b ∙ (–c)

Definition einer Gleichung

Eine Gleichung ist eine „Behauptung“ der Form Linke Seite = Rechte Seite, wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme sind, die z. B. von x abhängen. Für manche Werte der Unbekannten stellen sie wahre Aussagen dar. Diese Werte heißen Lösungen. Einfache Gleichungen können durch Anwendung systematischer Methoden gelöst werden.

Definitionsmenge

Alle Zahlen, welche die Aussageform in eine wahre oder falsche Aussage übergehen lassen, bilden die Definitionsmenge D.

Lösungsmenge

Alle Zahlen, welche die Aussageform in eine wahre Aussage übergehen lassen, bilden die Lösungsmenge L.

Lineare Gleichungen

Bei linearen Gleichungen hat die Variable die Potenz (Hochzahl)1.

– mit einer Variablen

ax + b = 0

(a ° 0)

–b Lösung: x = ___ a

– mit zwei Variablen

Normalform

ax + by = c (a; b ° 0) c = ______ c – ax a x + __ Lösung: y = – __ b b b (I) (II)

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

17

Lösungsformeln (Cramersche Regel)

c1b2 – c2b1 x = __________ a1b2 – a2b1 a1c2 – a2c1 y = __________ a1b2 – a2b1

(a1b2 – a2b1 ° 0)

Äquivalenzumformung Äquivalenzumformungen werden benutzt, um Gleichungen Schritt für Schritt zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke (Tl) und die rechte Seite einer Gleichung (Tr) auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muss umkehrbar sein, d. h., es muss möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurückzugewinnen. Dann enthalten die ursprüngliche und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander „äquivalent‘‘) und haben dieselbe Lösungsmenge. Operation

Allgemein

Addition

x–a=0 |+a Tl + T = Tr + T x – a + a = 0 + a x=a

Subtraktion

Tl – T = Tr – T

Multiplikation Tl · T = Tr · T

Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen negativen Term multipliziert oder dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen umgekehrt wird. Das heißt: aus < wird >, aus > wird –2

Tl __ T __ < r T T T°0

Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition

Schreibweise

Graphisches Lösen

Eine Lösung: L = {(xs | ys)} Die Geraden schneiden sich in S (xs | ys).

Zwei durch das Zeichen „∧” verknüpfte lineare Gleichungen mit zwei Variablen bezeichnet man als lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. (I) a1x + b1y = c1 ∧ (II) a2x + b2y = c2 Jeder Graph der beiden Gleichungen wird in ein kartesisches Koordinatensystem eingetragen. Dabei können folgende drei Fälle auftreten: y

x

Die Schnittstelle ist mit dem blauen Punkt markiert.

19

11

y

Keine Lösung: L = { } Die Geraden sind parallel.

y1 = x y2 = x – 1 x

Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.

y

2 y1 = 2 x1 + 2 y2 = x2 + 1 x Die Graphen liegen exakt aufeinander. Zur Veranschaulichung gestrichelt und blau dargestellt.

Algebraisches Lösen Einsetzverfahren Eine der Gleichungen wird nach einer der Variablen aufgelöst und der erhaltene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Gleichsetzverfahren Beide Gleichungen werden nach ein und derselben Variablen aufgelöst und die beiden erhaltenen Terme werden gleichgesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

20

a c y = – __1 x + __1 b1 b1 b c x = – __2 y + __2 a2 a2

a c y = – __1 x + __1 b1 b1 a c y = – __2 x + __2 b2 b2

Additionsverfahren Durch äquivalentes Umformen wird erreicht, dass die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen übereinstimmen bzw. sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Addition der so umgeformten Gleichungen führt zu einer linearen Gleichung mit nur einer Variablen.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

| · (–a2) | · a1

11

–a1a2x – b1a2y = –c1a2 a1a2x + b2a1y = c2a1 oder a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

| · (–b2) | · b1

–a1b2x – b1b2y = –c1b2 a2b1x + b1b2y = c2b1

Lösen mithilfe von Determinanten

| aa bb | = a b – a b

Zweireihige Determinante

1

1

2

2

1

2

2

1

| aa bb | = a b – a b c b D =| =cb –cb c b |

Definition der Determinanten

DN =

X

DY =

1

1

2

2

1

1

2

2

a1 c1

1

2

2

1

1

2

2

1

|a c | = a c – a c 2

Bestimmung der Lösungen

D x = ___X DN

DN ° 0

eine Lösung: L = {(xs | ys)}

D y = ___Y DN

DN = 0

DX ° 0 ∨ DY ° 0

keine Lösung: L = { }

DN = 0

DX = 0 ∧ DY = 0

unendlich viele Lösungen: L = {(x | y) | a1x + b1y = c1} L = {(x | y) | a2x + b2y = c2}

1 2

2 1

2

DN ° 0

21

Proportionalitäten Direkte Proportionalität

Verhältnisgleichung

Wenn sich bei einer Zuordnung durch Verdoppelung (Verdreifachung, Vervierfachung, …) der Ausgangsgröße auch die zugeordnete Größe verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …), handelt es sich um eine direkte Proportionalität. a = __ b⇒a·d=b·c __ c d

Proportionalitätsfaktor

b = k · a d b = __ ⇒ k = __ a c d = k · c

Indirekte Proportionalität

Eine Zuordnung heißt indirekt Proportional, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: – Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) man die Ausgangsgröße, so wird die zugeordnete Größe halbiert (durch drei geteilt, durch vier geteilt, …). – Teilt man die Ausgangsgröße durch zwei (drei, vier,…), so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) sich die zugeordnete Größe.

Verhältnisgleichung

d⇒a·b=c·d a = __ __

Proportionalitätsfaktor

1 b = k · __ a ⇒k=a·b=c·d 1 d = k · __ c

Dreisatz

Schritte

c

b

produktgleich

Ein Verfahren, durch das mit drei gegebenen Größen eine vierte errechnet werden kann. In allen Dreisatzaufgaben sind die gegebenen Größen direkt oder indirekt proportional. 1. Schluss vom Wert der bekannten Mehrheit 2. auf den Wert für eine Mengeneinheit und 3. von dieser Einheit auf die gesuchte Mehrheit.

Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter 9,6 ℓ ≙ 100 km Benzin. 100 km 1 ℓ ≙ _______ Welche Strecke kann er mit einer Tankfüllung 9,6 ℓ von 60 Litern zurücklegen? 100 km · 60 ℓ = 625 km _____________ 9,6 ℓ

22

quotientengleich

Prozentrechnung Grundgleichung

Vermehrter Grundwert Verminderter Grundwert

G W = ____ __ p

100

__

( (

W = p% bzw. __ G

G = Grundwert W = Prozentwert p % = Prozentsatz

) )

100 + p G = G · _______ nach prozentualem Aufschlag 100 __ 100 – p G = G · _______ nach prozentualem Abzug 100

Relation und Funktion Relation x↦y

Eine Relation ist eine Zuordnung x ↦ y. Dabei können jedem Element x mehrere Elemente y zugeordnet werden.

Funktion f: Name der Funktion x: Variable (∊ D) y: Variable (∊ W) ↦: wird zugeordnet

Ist jedem Element x einer Menge D (Definitionsbereich) genau ein Element y einer Menge W (Wertebereich) zugeordnet, so heißt die Menge der geordneten Paare (x,y) eine Funktion. f = {(x; y): x ∊ D ∧ y ∊ W}

Schreibweise von Funktionen

f (x) = 3 x + 2 y = 3x + 2 x ↦ 3x + 2

Darstellung von Funktionen Funktionsgleichung Funktionswert Wertetabelle

y = f (x) Aus der Gleichung y = f (x) ergibt sich mit f (x1) der Funktionswert an der Stelle x1 . x

–2

–1

0

1

…

y = f (x)

f (–2)

f (–1)

f (0)

f (1)

…

Graphische Darstellungen Pfeilbild

x

f (x) = y

1

f (1)

0

f (0)

–1

f (–1)

–2

f (–2)

23

11

Koordinatensystem

y = f(x)

II. Quadrant

I. Quadrant

4 yP

P (x P | y P)

2 x –6

–4

0

–2

2

xP 4

6

–2 III. Quadrant

IV. Quadrant

Die Menge aller Punkte P (xp| yp) in einem kartesischen Koordinatensystem mit xp ∊ D und yp = f (xp) nennt man Graph der Funktion f. Die x-Koordinate eines Punktes heißt Abszissenwert und die y-Koordinate heißt Ordinatenwert. Arten von Funktionen Konstante

y=c y 4

y=c

2 x –6

–4

0

–2

2

4

6

–2 –4

Lineare Funktionen

y=x Winkelhalbierende im I. und III. Quadranten y 4 2 x –6

–4

0

–2 –2 –4

24

2

4

6

y=m·x Ursprungsgerade mit Steigung m

11

y 4 m

2

x –6

–4

0

–2

2

4

6

4

6

–2 –4

y=m·x+t Normalform y 4 2

–6

–4

m t 0

–2

x 2

–2 –4

Eine Funktion f mit der Gleichung y = m · x + t heißt lineare Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Gerade mit y-Achsenabschnitt t und Steigung m. Steigungsfaktor Ist der Verlauf einer Geraden durch die Punkte A (xA | yA) und B (xB | yB) festgelegt, so lässt sich aus den Koordinaten der Punkte der Steigungsfaktor m berechnen.

∆ y yB – yA m = ___ = ______ ∆ x xB – xA m = tan a 6

y

4 B

YB

∆y

A

2 YA

∆x XA

0

2

XB 4

6

x 8

10

12

25

Der Wert von m bestimmt den Verlauf der Geraden im Koordinatensystem.

m > 0: steigende Gerade m = 0: Parallele zur x-Achse m < 0: fallende Gerade y

m0

–4

y-Achsenabschnitt Der Wert von t bestimmt den Punkt S (0 | t), an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

y 4 2 t>0 –6 t=0

x –4

0

–2 –2

t 0: Gerade schneidet die positive y-Achse. t = 0: Die Gerade geht durch den Ursprung. t < 0: Die Gerade schneidet die negative y-Achse.

26

Lage von Geraden Parallelität

11

g1: y = m1x + t1 g2: y = m2x + t2 m1 = m2 ⇔ g1 ∥ g2 2

y

x –6

–4

0

–2

g1

4

6

2

4

6

–2

g2

Orthogonalität

2

–4

g1: y = m1x + t1 g2: y = m2x + t2 m1 · m2 = –1 ⇔ g1 ⊥ g2 g2

y 4 2 x

–6

–4

0

–2 –2

g1

–4

Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung Die Funktionsgleichung f (x) lässt sich aus den Koordinaten eines Punktes P (xp | yp) und dem Steigungsfaktor m ermitteln.

y = f (x) = m (x – xp) + yp

Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung Die Funktionsgleichung f (x) lässt sich aus den Koordinaten zweier Punkte P1 (x1 | y1) und P2 (x2 | y2) beschreiben.

y  – y1 y – y1 ______ _____ = 2 x – x1

x2 – x1

x1 ° x2

27

Wurzeln und Potenzen Wurzeln Definition

__

n

√ a (a ∊ R+0 , n ∊ N) ist jene eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz a ist. n __ ( √a )n = a a heißt Radikand und n Wurzelexponent.

Spezieller Fall: __ √ a : Unter der Quadratwurzel aus a (sprich „Wurzel aus a“) versteht man diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt. Monotonie

n

__

n

__

0 < a < b ⇔ 0 < √a < √b

Wurzelgesetze

__

__

Produkt

n

Potenz

( √ a )m = √am

Quotient

√a ___ n __ =

Wurzel

___ m n __ √ √a

n

n

_____

√a · √b = √a · b ; __

n

n

__

n

√b

__

__

mn

mn

____

n

√a ____ n __ =

a; __ n

m

___

__

mn

____

√ an – m

√a

____ m __

√ √a

=

__

√ a · √ a = √ am + n

√b

n

m

__

= √a

Potenzen Definition

Monotonie 1. Monotoniegesetz

an = a · a · a · a · a · … · a (n Faktoren, n ∊ N) Eine Potenz an ist eine abkürzende Schreibweise für die Multiplikation gleicher Faktoren. a heißt Basis und n Exponent. 1 1 = an ___ a1 = a a–n = __ a0 = 1 an a–n 0 1 6 x  0 2 p2 __ genau 1 Lösung, wenn –q=0 2 p2 keine Lösung, wenn __ – q < 0. 2 2

()

() ()

30

Satz von Vieta

Falls die quadratische Gleichung  x2 + px + q = 0  zwei reelle Lösungen x1 und x2 hat, so ist die Summe der beiden Lösungen –p, und ihr Produkt ist q.

ax2 + bx + c = 0

b x1 + x2 = – __ a c x1 · x2 = __ a

x2 + px + q = 0

x1 + x2 = –p x1 · x2 = q

11

Quadratische Funktionen Normalform y = ax2 + bx + c (a ° 0)

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung auf die Form y = ax2 + bx + c gebracht werden kann, heißt quadratische Funktion.

Symmetrieachse x = xs (Gerade durch den Scheitel)

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse heißt Scheitelpunkt S (xs | ys) der Parabel. y

Scheitelpunktform y = a (x – xs)2 + ys S (xs | ys)

4

Umrechnung

2

b xs = – ___

S (2 | 1)

2a

2

b ys = c – ___

–6

–4

0

–2

2

x

4

6

4a

–2

Normalparabel y = x2

y –4 4 2 x –6

–4

0

–2

2

4

6

–2

Symmetrie zur y-Achse: f (x) = f (–x) –4

31

Formänderung

a > 0 Parabel nach oben offen a < 0 Parabel nach unten offen | a | < 1 gestauchte Parabel | a | > 1 gestreckte Parabel |

y

a| > 1 a>0 4 2

x –6

–4

0

–2

2

4

6

–2 |

–4

a| < 1 a 0, › – entgegengesetzt der von a ist, wenn l < 0. __›

Wenn l = 0, ist l · a der Nullvektor. __›

R2: l · a = l ·

(aa ) = (ll aa ) 1

1

2

2

()( )

a1 l a1 __› R3: l · a = l · a2 = l a2 a3 l a3 Skalare Vervielfachung __›

__›

__›

__›

Bezüglich der Addition gelten die beiden Distributivgesetze.

l · (a + b ) = l · a + l · b

Bezüglich der Multiplikation gilt das Assoziativgesetz.

(l1 · l2) · a = l1 · (l2 · a )

__›

__›

__›

(l1 + l2) · a = l1 · a + l2 · a __›

__›

Lineare Abhängigkeit von Vektoren __›

__›

__›

Kollinearität

2 Vektoren a ° 0 und b ° 0 sind dann linear abhängig (kollinear), wenn sie parallel sind. __› __› b =m· a

Komplanarität

3 unterschiedlicher Richtung a ° 0 , __›Vektoren __› __› __› b ° 0 und c ° 0 sind dann linear abhängig (komplanar), wenn __› sie in einer Ebene liegen. __› __› c =m· a +n·b

42

__›

__›

Vektor als Differenz zweier Ortsvektoren

___›

__›

(

__›

R2: AB = b – a =

)

b1 – a1 mit A (a1; a2), B (b1; b2) b2 – a2

( )

b1 – a1 ___› __› __› R3: AB = b – a = b2 – a2 mit A (a1; a2; a3), B (b1; b2; b3) b2 – a3 A ___›

a

__›

22

B

__›

0

Betrag

__›

AB = b – a

__›

b

Unter dem Betrag versteht man die Länge des Vektors. ____ ______ __ __ __ __ | a› | = a = √ a› ∘ a› = √ ( a›)2

|( )|

a1 ___________ __ __ | a› | = a mit | a› | = a2 = a2 + a2 + a2 1 2 3 a3

Skalarprodukt Definition

√

__›

__›

Zwei__ Vektoren a und b ist genau eine reelle Zahl (Ska__› › lar) a ∘ b zugeordnet: __›

__›

__

__›

› a ∘ b = | a | · | b | · cos c, (0 ≤ c ≤ p)

()()

a1 b1 __› a ∘ b = a2 ∘ b2 = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 a3 b3

__›

__›

Winkel zwischen zwei Vektoren

b

c

__›

a

__

__›

› a1b1 + a2b___________ a  ∘  b__ = ________________________ 2 + a3b3 __________ cos c = ________ __› › | a | · | b | √ a2+ a2 + a2 √ b2 + b2 + b2 1 2 3 1 2 3

Zueinander senkrechte Vektoren

__›

__›

__›

__›

a ∘ b = 0 ⇔ a ⊥ b,

__›

__› __›

__›

a ° 0, b ° 0

43

Geradengleichungen und Ebenengleichungen in Parameterform Vektorielle Punkt-Richtungs-Form

__›

__›

__›

x = a + l · u __ __› › (–∞ < l < +∞; u ° 0 ) X __›

A

u

__›

x

__›

a

0

Vektorielle Zwei-Punkte-Form

__›

__›

__›

__›

x = a + l · ( b __ – a ) __ › › (–∞ < l < +∞; a ° b ) X ___›

B

AB

A

__›

x

__›

b

__›

a

0

Ebenengleichung Parameterform

__›

Ebene durch A (Ortsvektor a ), __aufgespannt von zwei __› › linear unabhängigen Vektoren u und v . __›

__›

__›

__›

x = a +l·u +m· v (–∞ < l; m < +∞) __›

__›

u

__›

lu + mv

A

X

__›

v

__›

__›

x

a

0

44

Ebene durch drei nichtkollineare Punkte A, B, C __› __› __› (zugehörige Ortsvektoren a , b , c ) __›

__›

__›

__›

__›

__›

x = a + l (b – a ) + m ( c – a ) (–∞ < l; m < +∞) X

B A

22

__›

b

C __›

__›

__›

x

c

a

0

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Definition __› __› a und b ist im R3 genau ein Zwei Vektoren __ __› › Vektor a × b zugeordnet, sodass gilt: __›

__›

__›

__›

__›

a ×b

__›

b

__›

a) a × b steht senkrecht auf a und b . __› __›

__›

__›

b) a ; b und a × b bilden ein Rechtssystem. __›

__›

__›

v

__›

__›

a

c) | a × b | = | a | · | b | · sin v mit 0 ≤ v ≤ p. Rechenregeln beim Vektorprodukt __›

__›

__›

__›

a

__›

b × a = – (a × b ) __›

__›

__›

__›

__›

b

b × a = – (a × b)

Kollineare (parallele) Vektoren

__›

__› __› __› __› __› a × b__ =__0 ⇔__a , b kollinear, falls __› › › ›

a

__›

a ° 0; b ° 0

Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten

b

()()(

a1 b1 a2 · b3 – a3 · b2 __› a × b = a2 × b2 = a3 · b1 – a1 · b3 a3 b3 a1 · b2 – a2 · b1

__›

) 45

Flächeninhalt des Parallelogramms Für die Maßzahl der Fläche A im R3 des von __› __› den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms gilt: __

__

__›

| b› | · sin v

v

__

__

__

b

› › › › A = | a × b | = | a | · | b | · sin v

__›

a

Flächeninhalt eines Dreiecks ABC im R3 ___›

___›

C

AC

___›

1 | AB × AC | A = __ 2

A

___›

B

AB

Volumen des Parallelflachs Für die Maßzahl des Volumens V des von __› __› __› den Vektoren a , b und c aufgespannten Parallelflachs gilt: __›

__›

__›

V = |(a × b ) ∘ c

__›

c

__›

b

|

__›

a

Volumen der Pyramide __› __› › 1 · | ( __ VPyramide = __ a × b) ∘ c | 3 __›

__›

__›

1 · |(a × b ) ∘ c VTetraeder = __ 6

__›

__›

c

c __ › b

__›

b

|

__›

__›

a Pyramide

a Tetraeder

Ebenengleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem Normalenform in Koordinatendarstellung __› u ∊E __›

E: n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 – n0 = 0

v ∊E

Bei der parameterfreien Normalenform ist n1 __› n = n2 der Normalenvektor der Ebene E, n3 u1 u2 · v3 – u3 · v2 v1 __› __› __› mit n = u × v = u2 × v2 = u3 · v1 – u1 · v3 , u3 u1 · v2 – u2 · v1 v3

()

__›

__›

()()(

Ebene E

__›

n

)

v

__›

u

u und v sind die Richtungsvektoren der Ebene E. __›

__›

__›

__›

Es gilt: n ∘ u = n ∘ v = 0

46

__›

Normalenform in vektorieller Darstellung __›

__›

__›

__›

E: n ∘ ( x __– a ) = 0 , › n der Normalenvektor der Ebene dabei ist __› E und a der Ortsvektor zum Punkt A der Ebene.

__›

n

__›

x –a

A

X

__›

__›

x

a

E

O

Hesse’sche Normalenform (HNF) der Ebene __›O

Vektorielle Darstellung E: n Koordinatendarstellung E:

__›

__›

__›O

∘ ( x – a ) = 0;

mit n

n1x________________ 1 + n2x2 + n3x3 – n0 ___________________

√(n1)2 + (n2)2 + (n3)2

22

__›

1 n; __ = ___ | n› |

= 0,

dabei muss n0 ein negatives Vorzeichen haben. P

Abstand Punkt P – Ebene E __›O

d (P, E) = | n

__›

__›

__›

∘ (p – a ) |

n

|

+ n2 · p2 + n3 · p3 – n0 n1 · p1________________ d (P, E) = _________________________ √(n1)2 + (n2)2 + (n3)2

|

Ebene E

__› O

n

__

| n›O | = 1

Lagebeziehung zweier Ebenen E und F __›

a) Zwei Ebenen E und F sind parallel, wenn für die Normalenvektoren der Ebenen gilt: __› __› n E = l · n F und Punkt P ∊ E, aber P ∉ F

nE __›

nF

Ebene E

b) Zwei Ebenen E und F sind identisch, wenn für die Normalenvektoren der Ebenen gilt: __› __› n E = l · n F und Punkt P ∊ E und P ∊ F

Ebene F

Schnittwinkel zweier Ebenen E und F

|

__›

__›

n ∘n __› E __F› cos v = _________ | n E | · | nF |

|

|

E

n1 · n1 + n2 · n2 + n3 · n3 __________________ _________________ = ______________________________________ 2 √(n1 ) + (n2 )2 + (n3 )2 · √(n1 )2 + (n2 )2 + (n3 )2 E

E

F

E

E

E

F

E

F

F

F

F

|

v

F

47

3. Grenzwerte, Stetigkeit und Unstetigkeit Grenzwerte einer Funktion Grenzwert für x → x0 Schreibweise x → limx f (x) = g 0

f(x)

g

x0

x

Eine Funktion f: x ↦ f (x) hat an der Stelle x0 einen Grenzwert, wenn f in der Umgebung von x0 definiert ist und der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind. Grenzwert für x → ∞ Schreibweise

f(x)

lim f (x) = g

x→∞

lim f (x) = g

x → –∞

g x

Eine Funktion f: x ↦ f (x) hat für x → ∞ einen Grenzwert, wenn die Funktionswerte für jedes über alle Grenzen hinauswachsende x ∊ Df gegen eine Zahl g streben. Diese Zahl g wird dann als Grenzwert der Funktion f bezeichnet. Analog wird der Grenzwert für x → – ∞ erklärt.

48

Rechenregeln für Grenzwerte C · f (x)

lim f (x)) lim C · f (x) = C · (x → x

x → x0

f (x) ± g (x) f (x) · g (x)

0

lim [f (x) ± g (x)] = x → x lim f (x) ± x → x lim g (x)

x → x0

0

0

lim [f (x) · g (x)] = x → x lim f (x) · x → x lim g (x)

x → x0

0

0

lim f (x) f (x) x → x lim ____ = ________ , falls x → x lim g (x) ° 0 g (x) x → x lim g (x)

f (x) ____

0

g (x)

x → x0

0

0

Diese Regeln gelten sinngemäß auch für Grenzübergänge vom Typ | x | → ∞.

Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen

3

Stetigkeit Definition lim f (x) = f (x0)

x → x0

Eine Funktion f: x ↦ f (x) heißt stetig, wenn f in der Umgebung von x0 definiert ist und der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem Funktionswert f (x0) übereinstimmt.

Voraussetzungen

f(x)

1. x → x lim f (x) = g exisitert 0

2. f (x0) = g

g

x0

x

Eine in einem Intervall stetige Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig, wenn sich das Schaubild ohne Absetzen zeichnen lässt.

49

Unstetigkeit 1. x → x lim f (x) = g existiert

f(x)

0

2. f (x0) existiert nicht g

x0

x

Eine Funktion f: x ↦ f (x) heißt unstetig, wenn f in der Umgebung von x0 definiert ist und der Grenzwert g an dieser Stelle vorhanden ist, aber x0 ∉ Df ist. 1. x → x lim f (x) = g für x < x0

f(x)

0

2. x → x lim f (x) = h für x > x0 0

3. g ° h

g h

x0

x

Eine Funktion f: x ↦ f (x) heißt unstetig, wenn f in der Umgebung von x0 definiert ist und der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist, aber Grenzwert g ° Grenzwert h ist.

50

Differenzialrechnung Differenzialrechnung Differenzenquotient

Ist eine Funktion y = f (x) an der Stelle x0 einschließlich einer e-Umgebung von x0 definiert, so heißt der Ausdruck mit 0 < h < e:

{

f (x0 + h) – f (x0) _____________ rechtsseitiger h

f (x0 – h) – f (x0) _____________ linksseitiger –h

}

Differenzenquotient

Unter dem Differenzenquotienten der Funktion f: x → f (x); x ∊ Df bezüglich x0 ∊ Df versteht man den Term: f (x) – f (x0) _________ : = f(x0) (x), x – x0

wobei x ∊ U∗e   (x0) und Df ∩ U∗e   (x0) ° { } vorausgesetzt wird. Definition der Ableitung

Existiert mit h → 0 der Grenzwert des rechtsseitigen wie auch der Grenzwert des linksseitigen Differenzenquotienten und sind beide Grenzwerte gleich, so heißt die Funktion y = f (x) an der Stelle x0 differenzierbar. Der gemeinsame Grenzwert wird Ableitung an der Stelle x0 genannt. f (x0 + h) – f (x0) f (x0 – h) – f (x0) lim _____________ = lim _____________ = f9 (x0) h –h h → 0

h → 0

Hat der Differenzenquotient von f bezüglich x0 für x → x0 einen Grenzwert, so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar. Die Ableitung oder der Differenzialquotient der Funktion f an der Stelle x0 heißt: f (x) – f (x0) lim _________ : = f9 (x0) x – x0

x → x0

Stetigkeit

Eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion ist dort stetig.

51

4

Differenzierbarkeitsbereich

Die Gesamtheit aller x-Werte, für welche die Ableitung existiert, heißt Differenzierbarkeitsbereich der Funktion. Innerhalb dieses Bereichs ist jedem x-Wert in eindeutiger Weise die zugehörige Ableitung als Zahlenwert zugeordnet. Die Ableitung ist demnach im Differenzierbarkeitsbereich von y = f (x) selbst eine Funktion von x. Sie heißt Ableitungsfunktion oder Differenzialquotient von f (x).

Globale Differenzierbarkeit

Eine Funktion, die an jeder Stelle eines offenen Intervalls ¯ ⊂ Df differenzierbar ist, heißt in diesem Intervall (in dieser Menge) differenzierbar.

Ableitungsfunktion

Die zu einer Funktion f: x → f (x); x ∊ Df in Df9 definierten Funktion f9: x → f9 (x); x ∊ Df9 heißt Ableitungsfunktion (kurz auch Ableitung) der Funktion f.

Schreibweisen

Differenzieren nach der Variablen x dy df (x) d y = f (x) ⇒ y9 = f9 (x) = _____ = ___ f (x) = ___ = y9 dx dx dx Der Term f9 (x) dx = dy wird als Differenzial bezeichnet.

Differenzieren nach der Zeit t

Ist die Variable die Zeit t, so wird die Differenziation nach t meist durch einen Punkt zum Ausdruck gebracht. d v (t) __ · · ds = _____ (t) = ___ = d v (t) s = v (t) ⇒ s = v  dt dt dt

Stetige Differenzierbarkeit

Ist f in ]a; b[ differenzierbar und f9 dort stetig, so heißt f stetig differenzierbar in ]a; b[.

Höhere Ableitungen

Eine Funktion f, deren n-te Ableitung f(n) in einer gewissen Menge existiert, heißt dort n-mal differenzierbar.

zweite Ableitung

f0: x → f0 (x); x ∊ Df0 d2y d [f9 (x)] = ___ auch: f0 (x) = ___ dx dx2

dritte Ableitung

f-: x → f- (x); x ∊ Dfd [f0 (x)] auch: f- (x) = ___ dx

n-te Ableitung

f(n): x → f(n) (x); x ∊ Df d [f(n – 1) (x)] auch: f(n) (x) = ___ dx

Stammfunktion

Eine Funktion F (x) mit der Eigenschaft F9 (x) = f (x) heißt Stammfunktion von f (x).

52

(n)

Geometrische Deutung der Ableitung Steigung

Unter der Steigung m der Geraden durch die beiden Punkte P (x0 | y0) und Q (x1 | y1) versteht man den Wert des Quotienten m, wobei x1 ° x0 vorausgesetzt wird. y1 – y0 m = ______ x1 – x0 tan a = m mit –90° < a < 90° Der Winkel a der Geraden PQ gegen die x-Achse heißt Neigungswinkel.

Tangente

Unter der Tangente im Punkt P (x0 | f (x0)) des Graphen einer an der Stelle x0 differenzierbaren Funktion f versteht man die Gerade durch P mit der Steigung m.

Steigung der Tangente

m = f9 (x0) = tan a

Gleichung der Tangente

y = f9 (x0) (x – x0) + f (x0)

Normale

Unter der Normalen im Punkt P (x0 | f (x0)) des Graphen einer an der Stelle x0 differenzierbaren Funktion f versteht man die Gerade durch P, die auf der Tangente senkrecht steht. 1 1 _____ mN = – ___ mT = – f9 (x0) mit f9 (x0) ° 0

Steigung der Normalen Gleichung der Normalen

1 (x – x ) + f (x ) y = – _____ 0 0 f9 (x0)

L’Hospitalsche Regeln Regel I

Sind zwei an der Stelle a stetige Funktionen u und v mit u (a) = v (a) = 0 in einer gemeinsamen (evtl. punktierten) Umgebung von a differenzierbar und existiert u9 (x) lim _____ so gilt: x → a v9 (x) u (x) u9 (x) lim _____ lim ____ = x → a x → a v (x) v9 (x)

Regel II

Sind zwei Funktionen u und v mit lim v (x) = 0 in einem gemeinsamen lim u (x) = x → ∞ x → ∞ rechtsseitigen unbeschränkten Intervall ]k; ∞[ u9 (x) differenzierbar und existiert x → ∞ lim _____ , so gilt: v9 (x) u (x) u9 (x) ____ _____ lim = lim x → ∞ v (x) x → ∞ v9 (x) Entsprechendes gilt für x → −∞.

53

4

Regel III

Sind zwei Funktionen u und v mit | u (x) | → ∞ für x → a und | v (x) | → ∞ für x → a in einer gemeinsamen punktierten Umgebung von x = a differenzieru9 (x) bar und existiert, x → a lim _____ , so gilt: v9 (x) u (x) u9 (x) ____ _____ lim = x → a lim x → a v (x) v9 (x)

Regel IV

Sind zwei Funktionen u und v mit | u (x) | → ∞ für x → ∞ und | v (x) | → ∞ für x → ∞ in einem gemeinsamen rechtsseitigen unbeschränkten Intervall ]k; ∞[ u9 (x) differenzierbar und existiert x → ∞ lim _____ , so gilt: v9 (x) u (x) u9 (x) lim ____ = x → ∞ lim _____ x → ∞ v (x) v9 (x) u (x) Entsprechendes gilt für x → −∞ lim ____ . v (x)

Ableitungsregeln Konstante Funktion f (x) = C

f (x) = C ⇒ f9 (x) = 0 f (x) = u (x) + C ⇒ f9 (x) = u9 (x)

Summenregel f (x) = u (x) + v (x)

f (x) = u (x) + v (x) ⇒ f9 (x) = u9 (x) + v9 (x) f (x) = C · u (x) ⇒ f9 (x) = C · u9 (x) f (x) = C · u (x) + D · v (x) ⇒ f9 (x) = C · u9 (x) + D · v9 (x)

Produktregel f (x) = u (x) · v (x)

Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D9 differenzierbar, so ist auch f = u · v dort differenzierbar und es gilt: f (x) = u (x) · v (x) ⇒ f9 (x) = u9 (x) · v (x) + u (x) · v9 (x)

Quotientenregel u (x) f (x) = ____ v (x)

Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D9 u in D definiert, so ist f in differenzierbar und ist f = __ v D ∩ D9 differenzierbar und es gilt: u9 (x) · v (x) – u (x) · v9 (x) u (x) f (x) = ____ ⇒ f9 (x) = _____________________ v (x) [v (x)]2

54

Kettenregel y = f (g (x))

Ist u = g (x) an der Stelle x0 und y = f (u) an der Stelle u0 = g (x0) differenzierbar, dann ist auch die zusammengesetzte Funktion y = f (g (x)) an der Stelle x0 differenzierbar. Die Ableitung dieser Funktion lautet: dy dy du ___ = f9 (u) · g9 (u) = ___ · ___ dx

Ableitung der Umkehrfunktion (f–1)9

du dx

Ist f: x → f (x); x ∊ Df eine umkehrbare, differenzierbare Funktion, so gilt für die Umkehrfunktion: f–1: y → f–1 (y); y ∊ Df 1 mit x = f–1 (y) (f–1)9 (y) = ____ f9 (x) –1

Ableitung der Grundfunktionen Funktion f (x) Potenzfunktion

n

Ableitung f9 (x)

f (x) = x (n ∊ R)

f9 (x) = n · xn – 1

f (x) = a · xn (n ∊ R) a = a · x–n f (x) = __ xn

f9 (x) = n · a · xn – 1

__

f (x) = √x = x n

1 __1n – 1 f9 (x) = __ n·x

Sinusfunktion

f (x) = sin x

f9 (x) = cos x

Kosinusfunktion

f (x) = cos x

f9 (x) = –sin x

Tangensfunktion

f (x) = tan x

1 f9 (x) = ______ cos2 x

Kotangensfunktion

f (x) = cot x

1 f9 (x) = _____ sin2 x

Arkussinus

f (x) = arcsin x

1 ______ f9 (x) = _______ √ 1 – x2

Arkuskosinus

f (x) = arccos x

Arkustangens

f (x) = arctan x

Arkuskotangens

f (x) = arccot x

1 ______ f9 (x) = – _______ √1 – x2 1 f9 (x) = ______ 1 + x2 1 f9 (x) = – ______ 1 + x2

Exponentialfunktion

f (x) = ax, (a > 0) f (x) = ex

f9 (x) = ax · ln a f9 (x) = ex

Logarithmusfunktion

f (x) = logb x; b > 0; b ° 1

1 f9 (x) = ______ x · ln b

f (x) = ln x

1 f9 (x) = __ x

n

1 __

f9 (x) = –n · a · x –n – 1

4

55

Kurvendiskussion Symmetrie zur y-Achse f (–x) = f (x)

Der Graph Gf von f: x → f (x); x ∊ Df ist genau dann symmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x ∊ Df gilt: f (–x) = f (x)

y f(–x)

f(x)

x –x

+x

f heißt gerade Funktion. Punktsymmetrie zum Ursprung f (–x) = –f (x)

y

Der Graph Gf ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x ∊ Df gilt: f (–x) = –f (x)

f(x)

–x

x +x

f heißt ungerade Funktion. f(–x)

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-Achse f (0)

Schnittpunkt mit der y-Achse

y

⇒ x = 0 ⇒ f (0) Sy (0; c) Schnittpunkt mit der x-Achse f (x) = y = 0

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen) ⇒ f (x) = y = 0 N1 (x1 | 0), N2 (x2 | 0), …, Nn (xn | 0)

Sy

x N1

N2

Monotonie monoton steigend f9 (x) > 0

f9 (x) > 0 ⇒ Der Graph von f (x) steigt bei x0 echt monoton.

y

x x0

56

monoton fallend f9 (x) < 0

f9 (x) < 0 ⇒ Der Graph von f (x) fällt bei x0 echt monoton.

y

x x0

monoton gleichbleibend f9 (x) = 0

f9 (x) = 0 ⇒ Der Graph von f (x) hat bei x0 eine waagrechte Tangente.

y

x x0

Relative Extremwerte Definition

Unter einem relativen Extremwert an der Stelle x0 versteht man den größten oder kleinsten Funktionswert in einer Umgebung von x0.

y H

T

x

größter Funktionswert (relatives Maximum) H (x0 | f (x0)) kleinster Funktionswert (relatives Minimum) T (x0 | f (x0))

57

4

Bedingungen zur Bestimmung relativer Extremwerte a) Bestimmung mittels Funktionswerte f (x) Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren Relatives Maximum des Definitionsbereichs f9 (x0) = 0 ein relatives Maximum, ∧ f (x0) ≥ f (x) wenn die Funktionswerte in einer gewissen Umgebung von x0 kleiner sind als an der Stelle x0 . f (x0) ≥ f (x)

y

Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs ein relatives Minimum, wenn die Funktionswerte in einer gewissen Umgebung von x0 größer sind als an der Stelle x0 . f (x0) ≤ f (x)

y

b) Bestimmung mittels Vorzeichenwechsel Der Graph von y = f (x) hat der Steigung des Graphen an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs Relatives Maximum ein relatives Maximum, f9(x0) = 0 wenn f9(x0) = 0 und die ∧ f9(x–0) > 0 Steigung an der Stelle f9(x+0) < 0 x0 von f9(x) > 0 für x < x0 nach f9(x) < 0 für x > x0 wechselt.

y

Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs ein relatives Minimum, wenn f9(x0) = 0 und die Steigung an der Stelle x0 von f9(x) < 0 für x < x0 nach f9(x) > 0 für x > x0 wechselt.

y

Relatives Minimum f9 (x0) = 0 ∧ f (x0) ≤ f (x)

Relatives Minimum f9(x0) = 0 ∧ f9(x–0) < 0 f9(x+0) > 0

58

x x–0 x0 x+0

x x–0 x0 x+0

x x–0

x0 x+0

x x–0 x0 x+0

c) Bestimmung mittels Krümmung des Graphen Relatives Maximum f9(x0) = 0 ∧ f0(x0) < 0

Relatives Minimum f9(x0) = 0 ∧ f0(x0) > 0

Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs ein relatives Maximum, wenn f9(x0) = 0 und die Krümmung des Graphen an der Stelle x0 negativ ist. ⇒ f0(x0) < 0

y

Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs ein relatives Minimum, wenn f9(x0) = 0 und die Krümmung des Graphen an der Stelle x0 positiv ist. ⇒ f0(x0) > 0

y

Der Graph einer Funktion heißt rechtsgekrümmt, wenn die zweite Ableitung der Funktion f0(x) negativ ist. ⇒ f0(x) < 0

y

Der Graph einer Funktion heißt linksgekrümmt, wenn die zweite Ableitung der Funktion f0(x) positiv ist. ⇒ f0(x) > 0

y

Der Graph von y = f (x) hat an der Stelle x0 im Inneren des Definitionsbereichs einen Wendepunkt, wenn an einer gewissen Umgebung von x0 rechts und links davon entgegengesetztes Krümmungsverhalten herrscht.

y

x x0

x x0

Krümmung des Graphen Rechtskrümmung f0(x) < 0

Linkskrümmung f0(x) > 0

x

x

Wendepunkt Definition f0(x0) = 0 ∧ f0(x–0) < 0 f0(x+0) > 0

WP x x0

59

4

Hinreichende Bedingung f0(x0) = 0 ∧ f-(x0) ° 0

Als Nachweis gilt auch folgende Bedingung: f0 (x0) = 0 ∧ f- (x0) ° 0

Terrassenpunkt f0 (x0) = 0 ∧ f-(x0) ° 0 ∧ f9(x0) = 0

Ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente heißt Terrassenpunkt. Für ihn gilt zusätzlich: f9 (x0) = 0

60

y

x x0

5. Integralrechnung Integrale Grundbegriffe Integralfunktion

Ist die untere Grenze a fest, so definiert x

∫f (t) dt a

eine Funktion von x. Sie heißt Integralfunktion von y = f (x). Durchläuft a den zulässigen reellen Zahlenbereich, so ist durch x

∫f (t) dt a

die Menge aller Integralfunktionen von f (x) gegeben. Stammfunktion

F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit y = f (x) ⇔ F9(x) = f (x) für alle x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich von f und F. Mit y = F (x) ist auch jede Funktion y = F (x) + C eine Stammfunktion von f.

Unbestimmtes Integral

Unter dem unbestimmten Integral von f (x) versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f (x). Ist F (x) irgendeine Stammfunktion von f (x), so wird durch  

∫f (x) dx = F (x) + C  

die Menge aller Stammfunktionen von f (x) beschrieben. C ∊ R heißt Integrationskonstante. b

Bestimmtes Integral

∫f (x) dx = F (b) – F (a) a

(Falls F eine Stammfunktion der im Intervall [a; b] stetigen Funktion f ist.)

61

55

b

Integrationsformel

∫f (x) dx = [F (x)]

b a

= F (b) – F (a)

a

Ist F eine Stammfunktion einer stetigen Funktion f zwischen der unteren Grenze a und der oberen Grenze b, so gilt für den Funktionswert der Stammfunktion die Differenz F (b) – F (a) (Obergrenze minus Untergrenze). x

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

∫

F (x) = f (t) dt ⇒ F9(x) = f (x), a

falls f eine stetige Funktion ist. Eigenschaften des bestimmten Integrals a

Untergrenze gleich Obergrenze

∫f (x) dx = 0 a

b

Vertauschen der Integrationsgrenzen

∫

a

∫

f (x) dx = – f (x) dx

a

Faktorregel

b

b

b

a

a

∫C · f (x) dx = C · ∫f (x) dx b

Additivitätseigenschaft

∫

c

b

∫

∫

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx

a

a

c

(für c ∊ [a; b]) Summenregel (Linearität)

Grundintegrale Konstante Funktion

b

b

b

a

a

a

∫[f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx  

∫a dx = ax + C  

(a ∊ R)

 

Potenzfunktion

1 x + C (n ∊ R; n ° –1) ∫x dx = _____ n + 1 1 ax + C (n ∊ R; n ° –1) ∫ax dx = _____ n + 1 n

n+1

  

n

n+1

   

Trigonometrische Funktionen

∫sin x dx = –cos x + C ∫cos x dx = sin x + C 1 dx = tan x + C ∫______ cos x        

62

2

 

1 dx = –cot x + C ∫_____ sin x ∫sin x dx = __21 (x – sin x cos x) + C ∫cos x dx = __21 (x + sin x cos x) + C 1 dx = arcsin x + C ______ ∫_______ √ 1 – x 1 dx = arctan x + C ∫______ 1 + x 2

  

2

  

2

  

2

  

2

   

Transzendente Funktionen

a + C (a ° 1) ∫a dx = ___ ln a ∫e dx = e + C ∫__1x dx = ln x + C (x ° 0) 1 dx = log x + C ∫______ x · ln a ______ dx ______ = ln | x + √x ± a | + C ∫________ √x  ± a x

x

  

x

x

  

|

|

  

a

  

2

 

2

2

2

 

Weitere Integrale

f9(x) dx = ln | f (x) | + C ∫____ f (x) ∫ln x dx = –x + x ln x + C ∫tan x dx = –ln cos x + C      

|

|

 

Uneigentliche Integrale Integrationsbereich nicht beschränkt

∫f (x) dx : = a

lim

b → ∞

∫f (x) dx,

∫ f (x) dx : =

für x ≥ a

a

b

–∞

55

b

∞

b

lim

a → –∞

∫f (x) dx,

für x ≤ b

a

63

Geometrische Anwendungen Fläche zwischen Graphen Zwischen x-Achse und dem Graphen Gf (Graph Gf über der x-Achse)

b

∫

A = f (x) dx a

Flächenmaßzahl A des zwischen der x-Achse, dem Graphen zu y = f (x) und den Ordinaten zu x = a und x = b liegenden Flächenstücks.

y

A x a

b

b

Zwischen x-Achse und dem Graphen Gf (Graph Gf unter der x-Achse)

∫

A = – f (x) dx a

y

Flächenmaßzahl A des zwischen der x-Achse, dem Graphen Gf zu y = f (x) und den Ordinaten zu x = a und x = b liegenden Flächenstücks.

a

bx

A

b

Zwischen dem Graphen Gf und dem Graphen Gh

∫

A = (f (x) – h (x)) dx a

Flächenmaßzahl A des zwischen dem Graphen Gf zu y = f (x) und dem Graphen Gh zu y = h (x) liegenden Flächenstücks.

y h S2

S1 A

f a

64

b

x

b

Maßzahl des Raumvolumens V des Rotationskörpers

∫

Vx = π · [f (x)]2 dx a

y

Volumenmaßzahl V, die durch Rotation des Flächenstücks A, des Graphen Gf zu y = f (x) für a ≤ x ≤ b, der Parallelen zur y-Achse durch x1 = a und x2 = b um die x-Achse entsteht.

Maßzahl der Mantelfläche M des Rotationskörpers

Mx = 2 π ·

|

b

f

x a

b

V

_________

∫| f (x) | · √1 + [f9(x)] dx 2

a

Maßzahl M der Mantelfläche, die durch Rotation des Flächenstücks A, des Graphen Gf zu y = f (x) für a ≤ x ≤ b, der Parallelen zur y-Achse durch x1 = a und x2 = b um die x-Achse entsteht.

A

y

| A

f

x a

b

M

55

65

6. Statistik und Stochastik Statistik Datenerfassung – Begriffe Grundgesamtheit

Gesamtheit der Individuen oder Objekte, die Gegenstand einer statistischen Untersuchung sind.

Zufallsprinzip

Sicherstellung, dass jedes Element der Grundgesamtheit bei der Erhebung einer Stichprobe ausgewählt werden kann.

Stichprobe

ausgewählter Teil der Grundgesamtheit

Rohdaten

die in einer Stichprobe erfassten Daten

Urliste

Liste, in der die Rohdaten der Stichprobe eingetragen werden.

Verdichtete Daten

verarbeitete Rohdaten

Strichliste

Verdeutlichung der Merkmalsausprägung

Merkmalsklasse

Zusammenfassung von unterschiedlichen Merkmalen

Merkmalsausprägung

spezifische Daten der Merkmalsklasse

Nominalskala

Erfassung eines qualitativen Merkmals ohne eindeutige Rangfolge

Ordinalskala

Merkmale mit eindeutiger Rangfolge

Metrische Skala

Erfassung eines quantitativen Merkmals mit eindeutiger Rangfolge

Häufigkeiten Absolute Häufigkeit ni

Die Anzahl, mit der eine Merkmalsausprägung ai vorkommt.

Gesamtheit n

Summe der absoluten Häufigkeiten k

n = ∑ ni = n1 + n2 + … + nk i = 1

66

Relative Häufigkeit h (ai)

n h (ai) = __i; n

Summe der relativen Häufigkeiten

Für k Merkmalsausprägungen gilt:

ni : einzelne Beobachtungswerte n: Gesamtheit der Beobachtungswerte

k

∑ h (a ) = 1

i = 1

i

Diagramme Stabdiagramm Säulendiagramm

Stabdiagramm

Säulendiagramm

ni ; hi

ni ; hi

ai

ai

ni: absolute Häufigkeit hi: relative Häufigkeit ai: Merkmalsausprägung Kreisdiagramm ai M

ai = h (ai) · 360° M: Mittelpunkt ai: Mittelpunktswinkel h (ai): relative Häufigkeit

Lagemaße __

Arithmetisches Mittel x

__

Das arithmetische Mittel x ist der Durchschnittswert aller Beobachtungswerte. __

n

1· x x = __ ∑ i n i = 1 __

1 · (x + x + … + x ) x = __ 1 2 n n n: Anzahl der Beobachtungswerte xi : Beobachtungswerte i: Laufvariable von i = 1 bis zur Anzahl n der Beobachtungswerte

67

66

__

Arithmetisches Mittel x über relative Häufigkeit

__

k

x = ∑ ai · h (ai) i = 1

__

x = a1 · h (a1) + a2 · h (a2) + … + ak · h (ak) ai : Merkmalsausprägungen h (ai): relative Häufigkeiten k: Anzahl der Merkmalsausprägungen Zentralwert z Median xmed

Der Zentralwert z (auch Median xmed genannt) ist derjenige Wert, der die geordneten Beobachtungswerte xi in zwei Hälften teilt. Der Zentralwert steht in der Mitte der Rangwertliste. Fall 1: n ungeradzahlig n + 1 z = xmed = x_____ 2

Fall 2: n geradzahlig 1 · x__n + x_____ 1 n + 2 = __ · x__ n + x__ n+1 z = xmed = __ 2 2 2 2 2 2

(

Spannweite w

)

(

)

Die Differenz zwischen dem größten Beobachtungswert xmax und dem kleinsten Beobachtungswert xmin einer Reihe von Beobachtungswerten xi wird als Spannweite w bezeichnet. w = xmax – xmin

Modalwert xmod

Der Modalwert xmod ist der am häufigsten vorkommende Beobachtungswert.

Verteilung der Lagemaße

linksschiefe Verteilung: rechtsschiefe Verteilung: symmetrische Verteilung:

68

__

xmod > xmed > x __ x > xmed > xmod __ x ≈ xmed ≈ xmod

Streumaße Quartil Q1;2;3 Quartilsabstand Q

Werden alle Messwerte einer Stichprobe der Größe nach geordnet und in vier gleiche Bereiche eingeteilt, so werden die drei Grenzen zwischen diesen vier Bereichen als Quartile bezeichnet. n + 1 1. Quartil: Q1 = x_____ 4

n + 1 = xmed 2. Quartil: Q2 = x_____ 2

3n + 3 3. Quartil: Q3 = x______ 4

Der Quartilsabstand ist die Breite, den die beiden mittleren Bereiche einnehmen. Quartilsabstand: Q = Q3 – Q1 n

Mittlere Abweichung dmed vom Median

1 · | x  – x | dmed = __ ∑ i med n i = 1

n

Mittlere Abweichung e vom arithmetischen Mittel Varianz v

__ 1 · | x  – x e = __ ∑ i | n i = 1

n: Anzahl der Beobachtungswerte xi: Beobachtungswerte xmed: Median __

x: arithmetisches Mittel

Die Varianz v ist ein Maß für die Streuung der Messgrößen. n 1 · ( x  – __ v = __ x )2 ∑ n i = 1 i _____________ n __ 2 1

√

__

Standardabweichung s

s = √ v = __ · ∑ ( xi – x ) n i = 1

Varianz v für absolute Häufigkeiten

1 · ( x  – x )2 · n v = __ ∑ i i n i = 1

Varianz v für relative Häufigkeiten

v = ∑ ( xi – x )2 · hi

k

k i = 1

__

__

k: Anzahl der Klassen ni: absolute Häufigkeiten hi: relative Häufigkeit

66

69

Normalverteilung

Verteilungen, die die Form einer Glockenkurve aufweisen, nennt man Normalverteilungen oder auch Gauß-Verteilungen. Die Normal- oder Gauß-Verteilung ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. hi s s hi s

s

xi

xi

Die Standardabweichung s beschreibt die Breite der Normalverteilung. Berücksichtigt man die tabellierten Werte der Verteilungsfunktion, gilt näherungsweise folgende Aussage: Rund 68% aller Werte liegen im Intervall __ __ [x – s; x + s], rund 95% aller Werte liegen im Intervall __ __ [x – 2s; x + 2s], mehr als 99% aller Werte liegen im Intervall __ __ [x – 3s; x + 3s].

Stochastik Zufallsexperiment

• Alle möglichen Ergebnisse sind vorab bekannt. • Einzelne Experimentergebnisse sind zufällig. • Beliebige Wiederholbarkeit unter gleichen Startbedingungen

Häufigkeit

Relative Häufigkeit: Tritt ein Ereignis E bei einer Versuchsreihe mit n

ni Versuchen genau ni-mal auf, so wird der Quotient __ n als relative Häufigkeit des Ereignisses E bezeichnet. Absolute Häufigkeit: ni heißt die absolute Häufigkeit des Ereignisses E.

70

Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses P(E)

g P (E) = __ m

g:

0 ≤ P (E) ≤ 1 M = {m1; m2; …; mn} n

∑ P (m ) = 1

i = 1

i

Anzahl der günstigen Ereignisse m: Anzahl der möglichen Ereignisse M: Ereignisraum Elementarereignisse mi: P (mi): Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Elementarereignisses

Eintreffen des Ereignisses gewiss

P (E) = 1

wahrscheinlich

1 > P (E) > 0,5

zweifelhaft

P (E) = 0,5

unwahrscheinlich

0,5 > P (E) > 0

unmöglich __

P (E) = 0

__

Gegenereignis E

P (E) = 1 –__P (E) P (E) + P (E) = 1

Laplace-Experiment

Sind bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse des Ereignisraums gleich wahrscheinlich, so wird dies als Laplace-Experiment bezeichnet. P (m1) = P (m2) = … = P (mn) 1 P (mi) = __ n

Pfadregel

Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E1 oder das Ereignis E2 eintritt: P (E __1 ∨ E2) = P (E1) + P (E2) P (E) = 1 – P (E)

Baumdiagramme

Einstufiges Baumdiagramm

P(E2) E1

E2

66

P(En)

P(E1) P(E3) E3

…

En

Pfadadditionsregel: P (E1; …; En) = P (E1) + P (E2) + … + P (En) = 1

71

Zweistufiges Baumdiagramm

P(E1) E1 P(E1) E1

P(E2) E2

Pfadmultiplikationsregel P (E1; …; E1) = P (E1) · … · P (E1) P (E1; E1) = P (E1) · P (E1) P (E1; E2) = P (E1) · P (E2) Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis nach dem Eintreffen eines vorhergegangenen Ereignisses PE (En): Wahrscheinlichkeit für das n-te Ereignis, nachdem das m-te Ereignis eingetreten ist. m

__

P(E1)

P(E1)

__

E1

E1 PE (E2) 1

E2

__

PE (E2) __

E2

1

__

E2

E2 __

E2

E2

__

E1

E1 ∩ E2

E1 ∩ E2

__

__

__

E1

72

P__ (E2) E

1

Vierfeldertafel

Satz von Bayes

__

(E2) P__ E

1

E1 ∩ E2

P (E1 ∩ E2) mit P (E1) ° 0 PE (E2) = _________ P (E1) 1

__

E1 ∩ E2

Inverses Baumdiagramm

Die Ereignisse der ersten und zweiten Stufe gegenüber dem ursprünglichen Baumdiagramm sind vertauscht.

Hypothesentest

Überprüfung des Wahrheitsgehalts einer Hypothese – –

Nullhypothese H0 : für wahr angesehene Behauptung Alternativhypothese HA : alternative Theorie zur Nullhypothese

Bei jedem Hypothesentest wird ein Zufallsexperiment in Form einer Stichprobe der Länge n durchgeführt. Die Testgröße Z gibt die Zahl der Treffer im Stichprobenergebnis an. Die Grenze zwischen __ Annahmebereich A und Ablehnungsbereich A heißt kritischer Wert c. A __ = {1; …; c} A = {c + 1; …; n} Der Fehler 1. Art ist der Fehler, eine wahre Hypothese abzulehnen. Der Fehler 2. Art ist der Fehler, eine falsche Hypothese anzunehmen.

Entscheidung beim Hypothesentest

Ergebnis der Stichprobe

Wahrheit

H0

HA

H0

richtig

Fehler 2. Art

HA

Fehler 1. Art

richtig

66

73

Binomialverteilung __

P(E1)

P(E1)

__

E1

E1 PE (E2) 1

E2

__

PE (E2) 1

__

E2

P__ (E2) E 1

E2

1. Stufe __

PE__ (E2) 1

__

E2

2. Stufe

Die Wahrscheinlichkeitsberechnung ist abhängig von der Gesamtzahl n der Einzelexperimente, der Wahrscheinlichkeit p des Eintreffens für ein Einzelexperiment und der Anzahl k der Treffer. n · pk · (1 – p)n – k B (n; p; k) = k

()

Binomischer Satz Für k ≤ n Binomialkoeffizient (k, n ∊ N) n __ n – 1 · _____ n – 2 · … · ________ n – k + 1 = ________ n! = n · _____ 1 2 3 k k! (n – k)! k

()

Für k > n n =0 k

()

Es gilt: n =1 0

()

Fakultät n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n – 1) ∙ n, wobei n ∊ N \ {1} 0! = 1 1! = 1

74

Register Ablehnungsbereich 73 Ableitung 51 Ableitungsfunktion 42 Ableitungsregeln 54, 55 Abstand Punkt – Ebene 47 Achsenschnittpunkte 32 Achteck 8 Addition zweier Vektoren 41 Additionsverfahren 21 Additivitätseigenschaft 62 Algebraisches Lösen von Gleichungen Alternativhypothese 73 Ankathete 33 Annahmebereich 73 Äquivalenzumformung 18 Arithmetisches Mittel 67 Arkuskosinus 55 Arkuskotangens 55 Arkussinus 55 Arkustangens 55 Assoziativgesetz 14, 42 Basis von Potenzen 28 Basisvektoren 40 Basiswechsel beim Logarithmus 29 Baumdiagramme 71, 72 Bedingte Wahrscheinlichkeit 72 Betrag des Vektors 43 Binominalverteilung 74 Binomische Formeln 15 Binomischer Satz 74 Bogenmaß 38 Bruchrechnen 16 Cramersche Regel

18

Definitionsbereich einer Funktion Definitionsmenge 17 Determinante 21 Diagramme 67 Differenzenquotient 51 Differenzial 52 Differenzialquotient 52 Differenzialrechnung 51 Differenzierbarkeit

23

Globale ~ 51 Stetige ~ 51 Differenzierbarkeitsbereich 51 Differenzmenge 14 Diskriminante 30 Distributivgesetz 14, 42 Dreieck 33 Trigonometrische Berechnungen am ~ 38 Dreisatz 22 20, 21

Ebenengleichung 44 Ebenengleichungen in Parameterform 44 Einheitskreis 34, 35 Einheitsvektor 40 Einsetzverfahren 20 Euklid 34 Exponent 28 Exponentialfunktion 55 Extremwerte 57 Faktorregel 62 Fakultät 74 Fehler 1. & 2. Art 73 Flächeninhalt 38, 46 Formänderung der Normalparabel 32 Funktion 23 Arten von ~en 24 Konstante ~ 24, 54, 62 Lineare ~en 24 Quadratische ~en 31 Transzendente ~en 63 Trigonometrische ~en 62 Funktionswert 23 Gauß-Verteilung 72 Gegenkathete 33 Gegenvektor 39 Geradengleichung Punkt-Steigungs-Form 27 Zwei-Punkte-Form 27 Geradengleichungen in Parameterform 44 Gesamtheit 66 ggT 16 Gleichheit zweier Vektoren 41 Gleichsetzverfahren 20

R R 75

Gleichung 17 Lineare ~en 30 Quadratische ~en 17 Graphische Darstellung von Funktionen 23, 24 Graphisches Lösen von Gleichungen 19, 20 Grenzwert 51 Grundgesamtheit 66 Grundintegrale 62 Grundwert 23

Häufigkeit 72 Häufigkeiten 66 Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung 62 Hesse’sche Normalenform 47 Höhen 38 Höhensatz des Euklid 34 Hypothenuse 33 Hypothesentest 73 Idempotenzgesetz 14 Inkreisradius 36 Integrale 61 ff. Integralfunktion 61 Integralrechnung 61 Integrationsformel 62 Integrationsgrenze 62 Intervalle 14 Inversionsgesetz 17 Kathetensatz des Euklid 34 Kegel 10 Kettenregel 55 kgV 16 Kollinearität 42 Kommutativgesetz 14, 41 Komplanarität 42 Komplementärmenge 13 Komponentenschreibweise 39 Koordinaten (kartesisch) 45 Koordinatenursprung 40 Kosinus 36 Kosinusfunktion 35, 55 Kosinussatz 38 Kotangens 36 Kotangensfunktion 55

76

Kreis 7 ~abschnitt 8 ~ausschnitt 8 ~ring 11 Kreuzprodukt 45 Kritischer Wert 73 Krümmung des Graphen 59 Kugel 10 ~abschnitt 11 ~ausschnitt 11 ~zone 11 Kurvendiskussion 56 L’ Hospitalsche Regeln 53, 54 Lage von Geraden 27 Lagebeziehung zweier Ebenen 47 Lagemaße 67 Länge des Vektors 43 Laplace-Experiment 71 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 42 Lineare Gleichungssysteme 19 Linearität 62 Lösungsmenge 17 Logarithmengesetze 29 Logarithmus 29 Logarithmusfunktion 55 Mantelfläche 65 Maximum (relatives) 58, 59 Median 68 Mengengleichheit 13 Merkmalsausprägung 66 Merkmalsklasse 66 Metrische Skala 66 Minimum (relatives) 58, 59 Mittelpunktswinkel 34, 35 Mittlere Abweichung 69 Modalwert 68 Monotonie 56 Monotoniegesetze 28 Neigungswinkel 53 Nominalskala 66 Normale 53 Normalenform 46 Normalform 17 Normalverteilung 70

Nullhypothese 73 Nullstelle 32 Nullvektor 40 Numerus 29

Relationszeichen 18 Richtungskomponenten 40 Rohdaten 66 Rotationskörper 65

Obergrenze 62 Ordinalskala 66 Orthogonalität 27 Ortsvektor 40

Satz von Bayes 72 Satz von Vieta 31 Scheitelpunkt 31 Scheitelpunktform 31 Schnittmenge 14 Schnittwinkel zweier Ebenen 47 Sechseck 7 Seitenhalbierende 38 Senkrechte Vektoren 43 Sinus 36 Sinusfunktion 34, 55 Sinussatz 38 Skalar 43 Skalare Vervielfachung 42 Skalarprodukt 43 S-Multiplikation von Vektoren 42 Spannweite 68 Stammfunktion 52 Standardabweichung 69 Statistik 66 Steigung 53 Steigungsfaktor 25 Stetigkeit 51 Stichprobe 66 Stochastik 70 Streumaße 69 Strichliste 66 Subtraktion von Vektoren 41 Summenregel 54, 62 Symmetrieachse 31

Parabel 31 Parallelflach 46 Parallelität 27 Parallelogramm 6, 46 Parameterform 44 Pfadregel 71 Potenzen 28 Potenzfunktion 55 p-q-Form 30 Produktmenge 14 Produktregel 15, 54 Projektionssatz 38 Proportionalität 22 Proportionalitätsfaktor 22 Prozentrechnung 23 Prozentsatz 23 Prozentwert 23 Pyramide 9, 46 Pythagoras Satz des ~ 33 Trigonometrischer ~ 36 Quader 9 Quadrat 6 Quadratwurzel 28 Quartil 69 Quartilsabstand 69 Quotientenregel 54 Radikand 28 Rangfolge 66 Raumvolumen 65 Rechenzeichen 12, 15 Rechteck 6 Rechtssystem in der Vektorrechnung Reduktionsformeln 36 Relation 23

45

Tangens 36 Tangensfunktion 35, 55 Tangente 53 Teiler 16 Teilmenge 13 Terme 15 Termumformung 15 Terrassenpunkt 60 Testgröße 73 Tetraeder 46 Trapez 6

R R 77

Umkehrfunktion 55 Umkreisradius 38 Ungleichung 17 Untergrenze 62 Urliste 66

Wendepunkt 59 Wertebereich 23 Wertetabelle 23 Winkel zwischen zwei Vektoren Winkelhalbierende 38 Würfel 9 Wurzelexponent 28 Wurzelgesetze 28 Wurzeln 28

Variable 17 Varianz 69 Vektor 39 ff. Vektorielle Punkt-Richtungs-Form 44 Zwei-Punkte-Form 44 Vektorkette 41 Vektorprodukt 45 Vektorrechnung 39 Vereinigungsmenge 14 Verhältnisgleichung 22 Verschmelzungsregeln 15 Vielfache 16 Vierfeldertafel 72 Volumen 46 Vorzeichen 12, 15 Wahrscheinlichkeit 71 Wahrscheinlichkeitsverteilung

78

y-Achsenabschnitt 26

70

Zahlen 12 ganze ~ 12 gebrochene ~ 12 irrationale ~ 12 komplexe ~ 12 natürliche ~ 12 rationale ~ 12 reelle ~ 12 Zahlenmengen 12 Zentralwert 68 Zufallsexperiment 70 Zufallsprinzip 66 Zylinder 10

43