Mathematics for 10th grade 9789547792784
2,968 185 17MB
Bulgarian Pages 260 Year 2019
Polecaj historie
Citation preview
Математика Мая Алашка, Райна Алашка, Пламен Паскалев
10. КЛАС
1
Означения, използвани в учебника:
O
Определение
T
Теорема
!
Знания, които трябва да се запомнят Обърнете внимание! – пояснения към решението на задачите
1., 2., ...
Задачи с повишена трудност
Рецензенти: проф. д.п.н. Сава Гроздев доц. д-р Драго Михалев Консултант по графичния дизайн: проф. Илия Иванов Илиев
Издателство “АРХИМЕД 2” EOОД, 2019 г. Мая Събчева Алашка, д-р Райна Милкова Алашка, Пламен Георгиев Паскалев – автори, 2019 г. Емил Генков Христов – художник на корицата, 2019 г. Ангелина Владиславова Аврамова – графичен дизайн, 2019 г.
ISBN:
2
Към съдържанието
СЪДЪРЖАНИЕ ВХОДНО НИВО 1. Тест с решения...........................................6 2. Входно ниво. Тест № 1 и Тест № 2........10 ТЕМА 1. ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ 3. Действия с квадратни корени (преговор).................................................14 4. Ирационални изрази...............................18 5. Преобразуване на ирационални изрази........................................................20 6. Ирационални уравнения с един квадратен радикал.......................24 7. Ирационални уравнения с два квадратни радикала........................26 8. Ирационални уравнения. Упражнение..............................................28 9. Ирационални уравнения. Упражнение..............................................30 10. Ирационални уравнения, които се решават чрез полагане.............32 11. Решаване на ирационални уравнения с теорема за еквивалентност..................36 12. Обобщение на темата „Ирационални изрази. Ирационални уравнения“..........38 13. Тестове върху темата „Ирационални изрази. Ирационални уравнения“..........43 ТЕМА 2. ПРОГРЕСИИ 14. Числови редици. Начин за задаване на числови редици...................................46 15. Аритметична прогресия. Формула за общия член на аритметична прогресия.................................................50 16. Свойства на аритметичната прогресия.................................................52 17. Формула за сбора от първите n члена на аритметична прогресия......................54 18. Геометрична прогресия. Формула за общия член на геометрична прогресия.................................................56
19. Свойства на геометричната прогресия.................................................58 20. Формула за сбора от първите n члена на геометрична прогресия......................60 21. Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия........................62 22. Проста лихва. Сложна лихва..................66 23. Практически задачи, свързани със сложна лихва.....................................70 24. Обобщение на темата „Прогресии“.......72 25. Тестове върху темата „Прогресии“.......77 ТЕМА 3. СТАТИСТИКА И ОБРАБОТКА НА ДАННИ 26. Описателна статистика...........................80 27. Централни тенденции – мода, медиана и средно аритметично..............84 28. Петчислено представяне на данни.........88 29. Практически задачи. Упражнение.........92 ТЕМА 4. РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК 30. Тригонометричните функции синус, косинус, тангенс и котангенс в интервала [0°; 180°]..............................98 31. Основни тригонометрични тъждества в интервала [0°; 180°]............................100 32. Таблица за стойностите на тригонометричните функции от някои специални ъгли в интервала [0°; 180°].................................................102 33. Пресмятане на тригонометрични изрази. Упражнение..............................104 34. Синусова теорема..................................106 35. Решаване на произволен триъгълник с помощта на синусова теорема – основни задачи......................................108 36. Косинусова теорема..............................112 37. Решаване на произволен триъгълник с помощта на косинусова теорема – основни задачи......................................114
3
38. Формули за медиани на триъгълник...116 39. Формули за ъглополовящи на триъгълник........................................118 40. Формули за лице на триъгълник..........120 41. Формули за лице на триъгълник. Упражнение............................................124 42. Обобщение на темата „Решаване на триъгълник“...................126 43. Тестове върху темата „Решаване на триъгълник“...................129 ТЕМА 5. ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА 44. Прави и равнини в пространството. Взаимно положение на две прави и ъгъл между тях...................................132 45. Взаимно положение на права и равнина. Перпендикулярност на права и равнина.....................................138 46. Ортогонално проектиране. Ъгъл между права и равнина................142 47. Взаимно положение на две равнини. Ъгъл между две равнини......................146 48. Права призма.........................................150 49. Пирамида...............................................154 50. Пирамида. Упражнение........................158
4
51. Прав кръгов цилиндър..........................164 52. Прав кръгов конус.................................168 53. Сфера и кълбо........................................172 54. Обобщение на темата „Елементи от стереометрията“............176 55. Тестове върху темата „Елементи от стереометрията“............181 ТЕМА 6. ПРЕГОВОР И ОБОБЩЕНИЕ ПО ВЪЗЛОВИ ТЕМИ 56. Рационални и ирационални уравнения...............................................184 57. Системи уравнения...............................190 58. Неравенства. Системи неравенства.....196 59. Функции.................................................202 60. Прогресии..............................................208 61. Подобни триъгълници. Метрични зависимости между отсечки.................214 62. Тригонометрични функции..................220 63. Решаване на триъгълник.......................226 64. Вероятности и статистика....................232 ИЗХОДНО НИВО 65. Тест с решения.......................................240 66. Изходно ниво. Тест № 1 и Тест № 2....245 ОТГОВОРИ.................................................247
Входно ниво (Урок 1 – Урок 2)
ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ВХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ВХОДНО НИВО УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНКА НА ВСИЧКИ ТЕСТОВЕ, ДАДЕНИ В УЧЕБНИКА
Към съдържанието
5
1.
ТЕСТ С РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧА 1
Разполагаме с шест книги, две от които са от един автор, а останалите – от различни. Вероятността при случайното им подреждане на един рафт в библиотека двете книги от един автор да са една до друга е: 1 Б) 3 ; В) 1 ; Г) 1 . А) 2 ; 3 6 5
Решение: Шест книги могат да се подредят една до друга по P6 = 6! начина, т.е. общият брой на всички елементарни събития е n = 6!. Двете книги, които са от един автор, могат да се подредят една до друга по P2 = 2! начина. Сега ги разглеждаме като един елемент и заедно с останалите 4 книги образуват множество от 5 елемента. Те могат да се подредят по P5 = 5! начина. Броят на начините, по които можем да подредим книгите на един рафт така, че тези от един автор да са една до друга, е P2 . P5 = 2! . 5! начина. Броят на благоприятните елементарни събития е m = 2! . 5!. 2!. 5! 2!. 5! Търсената вероятност е P = m= = = 2 = 1 . Отг. Б) n 6! 5!.6 6 3
ЗАДАЧА 2
Стойността на a, при която графиките на функциите f1(x) = 7 – ax, f2 (x) = 10 – 4x и f3 (x) = 2x – 8 минават през една точка, е: Б) 4; В) 2; Г) 3. А) 1;
Решение:
1. Г рафиките на функциите f2(x) и f3 (x) се пресичат в точка M (xM; yM). f2 (x) = f3 (x) 10 – 4х = 2x – 8 – 6x = – 18 xM = 3 yM = f2 (xM) = 10 – 4xM = 10 – 4.3 = – 2 ⇒ M(xM = 3; yM = – 2)
ЗАДАЧА 3
При a = 30° стойността на израза A = А) 3 ; Б) 3;
2. M ∈ f1(x) ⇒ yM = f1 (xM) = 7 – axM – 2 = 7 – a.3 3а = 9 a = 3 Отг. Г)
cos (90° − α) cos α ⋅ + 3 cotg (90° − α) е: sin α sin (90° − α) В) 2;
Г) 4.
Решение: 1. Използваме формулите cos (90° – a) = sin a sin (90° – a) = cos a cotg (90° – a) = tg a и опростяваме израза А. A = sin α ⋅ cos α + 3 tg α sin α cos α A = 1 + 3 tg α
6
2. При a = 30° получаваме A = 1 + 3.tg 30° A =1+ 3 ⋅ 3 3 A =1+1 A = 2.
Отг. В)
Към съдържанието
ЗАДАЧА 4
В ABC е построена ъглополовящата CL (L ∈ AB). През точка L e построена права, успоредна на АС, която пресича страната ВС в точка Е. Ако AС = 15 cm и ВЕ = 4 cm, отношението SLBE : SABC е равно на: 2 4 А) 2 ; Б) 2 .; В) ; Г) . 9 25 3 5
Решение:
( )
C 1 2
15
}
x
2. 1 = 2 (CL – ъглополовяща) ⇒ 2 = 3 1 = 3 (вътрешни кръстни) ⇒ CLE e равнобедрен. LE = CE = x
E 3 x
A
1. О т LE || AC следва, че LBE ∼ ABC 2 S LBE LE 2 = = LE . ⇒ 2 S ABC AC AC
L
4 B
3. От LBE ∼ ABC LE = BE ⇒ . AC BC x = 4 15 x + 4 x2 + 4x – 60 = 0 x1 = 6 > 0 – да, x2 = – 10 < 0 – не ⇒ LE = 6 cm 4. От (1) и (3) ⇒
S LBE S ABC
ЗАДАЧА 5
( ) =( 6 ) = 4 . 15 25
S LBE = LE S ABC AC
2
2
Отг. Г)
2 2 Решенията на системата x + xy + y = 37 са: x − y =1
А) (3; 4), Б) (4; 3), В) (4; 3), Г) (– 4; – 5), (– 4; –3); (– 3; –4); (3; 2); (3; 2).
Решение:
x 2 + xy + y 2 = 37 x − y = 1⇒ y = x −1 От второто уравнение изразяваме y = x – 1, заместваме в първото уравнение и получаваме x2 + x(x – 1) + (x – 1)2 = 37 x2 + x2 – x + x2 – 2x + 1 – 37 = 0 3x2 – 3x – 36 = 0 |:3 x2 – x – 12 = 0 x1,2 = 1 ± 7 , x1 = 4, x2 = – 3. 2 x1 = 4, y1 = 4 – 1 = 3 x2 = – 3, y2 = – 3 – 1 = – 4 ⇒ (4; 3); (– 3; –4)
Отг. Б)
Към съдържанието
7
ЗАДАЧА 6
Сборът от най-малката и най-голямата стойност на функцията f(x) = – x2 + 6x – 5 в интервала [– 1; 2] e: А) – 12; Б) 3; В) – 9; Г) 9.
Решение: 1. З а f(x) = – x2 + 6x – 5 коефициентът a пред x2 e равен на – 1 < 0. Графиката на f(x) изглежда така . 2. Намираме координатите на точка V, която е връх на параболата. xV = − b = − 6 = 3 2.(−1) 2a yV = – 32 + 6.3 – 5 = 4 ⇒ V (3; 4) 3. В интервала [– 1; 2] f(x) е растяща. f н.м.с. = f (–1) = – 1 – 6 – 5 = – 12 f н.г.с. = f (2) = – 4 + 12 – 5 = 3
Отг. В)
4. f н.м.с + f н.г.с. = –12 + 3 = – 9
ЗАДАЧА 7
Допустимите стойности на x в израза A = x 2 − 9 + 5 x − x 2 са: Б) x ∈ [0; 5]; А) x ∈ (– ∞, – 3] ∪ [3; + ∞); Г) x ∈ [– 3; 0]. В) x ∈ [3; 5];
Решение: Допустимите стойности на x в израза A са решенията на системата x2 − 9 ≥ 0 5 x − x 2 ≥ 0 | . (−1)
–3
3
2
x −9≥ 0 x2 − 5x ≤ 0 ( x + 3)( x − 3) ≥ 0 x( x − 5) ≤ 0
ЗАДАЧА 8
0 –3
0
5 3
Отг. В)
5
Около окръжност с диаметър 15 cm е описан равнобедрен трапец с бедро 17 cm. Намерете основите на трапеца. Решение: 1. В исочината DQ е равна на диаметъра 2r на вписаната окръжност, DQ = h = 2r = 15 cm. D С 2. ABCD – описан равнобедрен трапец ⇒ AB + CD = BC + AD 17 15 a + b = 17 + 17 a + b = 34 . a −b = x 3. ADQ (Q = 90°), AQ = A x Q B 2 За ADQ прилагаме питагоровата теорема. AQ 2 + DQ 2 = AD 2 x 2 + 152 = 17 2 x = 17 2 − 152 = (17 + 15)(17 − 15) x = 32.2 = 64 = 8 ⇒ a − b = 8 2 a − b = 16
8
Към съдържанието
4. От (2) и (3) получаваме системата a + b = 34 + a − b = 16
2a = 50 ⇒ a = 25 cm 25 – b = 16 ⇒ b = 9 cm.
ЗАДАЧА 9
Отг. AB = 25 cm, CD = 9 cm
В равнобедрен триъгълник височината към основата е 6 cm, а основата се отнася към бедрото както 2 : 5. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.
Решение: C 5x
A
ЗАДАЧА 10
x
6–r O r B
D
1. О т AB : AC = 2 : 5 ⇒ AB = 2x, AC = 5x. 2. CD e височина ⇒ AD = BD = AB = x . 2 3. AO e ъглополовяща на DAC. OD = r, CO = 6 – r За АDC прилагаме свойството на ъглополовящата OD = CO . AD CA r = 6−r 5x x 5r = 6 − r 6r = 6 r =1 Отг. 1 cm
2 Решете дробното неравенство 3 x2 + x − 38 ≤ 4. x + x − 12
Решение:
1. Преобразуваме неравенството така, че дясната му страна да стане 0.
3 x 2 + x − 38 − 4( x 2 + x − 12) ≤0 x 2 + x − 12
2. Опростяваме и разлагаме на множители лявата страна на неравенството. 3 x 2 + x − 38 − 4 x 2 − 4 x + 48 ≤ 0 x 2 + x − 12 − x 2 − 3 x + 10 ≤ 0 | .(−1) x 2 + x − 12 x 2 + 3 x − 10 ≥ 0 x 2 + x − 12 ( x + 5)( x − 2) ≥0 ( x + 4)( x − 3)
3. Решаваме неравенството с метода на интервалите. +
+
– –5
–4
+
– 2
3 Отг. x ∈ (– ∞; – 5] ∪ (– 4; 2] ∪ (3; + ∞)
Към съдържанието
9
2.
ВХОДНО НИВО. ТЕСТ № 1 1. В урна са поставени 3 печеливши и 9 непечеливши билета. Изваждат се по случаен начин два билета. Вероятността те да са печеливши е: 1 А) ; 22 5 Б) ; 11
В) 1 ; 33 Г) 35 . 66
2. Стойността на a, при която графиките на функциите f1(x) = ax + 5, f2 (x) = x – 4 и f3 (x) = 5 – 2x минават през една точка, е: А) 3;
А) (– 5; – 7), (3; 1);
Б) (3; 5), (– 5; – 3);
В) (– 7; – 5), (1; 3);
Г) (5; 3), (– 3; – 5).
6. Сборът от най-малката и най-голямата стойност на функцията f(x) = – x2 – 4x – 5 в интервала [– 1; 2] e:
А) – 17;
Б) – 19;
В) 17; Г) – 15.
Б) – 2;
В) – 1;
7. Допустимите стойности на x в израза
Г) 2.
A = x 2 + 3 x − 4 + 5 x − x 2 са:
3. Стойността на израза cos (90° − α) 1 + sin (90° − α) + A= 1 + sin (90° − α) cos (90° − α) при a = 30° е: 1 А) ; 2 Б) 2;
В) 3;
Г) 4.
4. Даден е VABC със страни BC = 12 cm, AC = 6 cm и AB = 9 cm. Точката D е от страната AB и AD = 4 cm. Дължината на отсечката CD (в cm) е: А) 5; C Б) 6;
В) 7;
Г) 8.
6
A
10
5. Решенията на системата x. y = 15 са: x− y=2
4
12 D
9
А) x ∈ (– ∞, – 4] ∪ [5; + ∞);
Б) x ∈ [0; 1];
В) x ∈ [1; 5];
Г) x ∈ [4; 5].
8. Около окръжност е описан равнобедрен трапец с основи 16 cm и 9 cm. Намерете радиуса на окръжността. 9. В равнобедрен триъгълник центърът на вписаната окръжност дели височината към основата в отношение 2 : 5, а основата е с 3 cm по-малка от бедрото. Намерете периметъра на триъгълника. 10. Решете дробното неравенство x 2 + 3 x + 6 ≤ 2 . x2 + 5x + 6
B
Към съдържанието
ВХОДНО НИВО. ТЕСТ № 2 1. В партида от 14 детайла 3 са нестандартни. Случайно са избрани три детайла. Вероятността всички те да са стандартни е: А) 79 ; 170 Б) 91 ; 170 В) 199 ; 364 Г) 165 . 364 2. Стойността на a, при която графиките на функциите f1(x) = ax – 9, f2 (x) = 2x – 1 и f3 (x) = 5 – x минават през една точка, е: А) 2; Б) 6; В) 3; Г) 5. 3. Стойността на израза A=
1− sin 2 (90°− α) sin α ⋅ − cotg(90°− α) cos α 1− cos 2 (90°− α) при a = 60° е: А) 3 3 ;
Б) 2 3 ;
В)
Г) – 3 .
3 ;
4. В ABC е построена ъглополовящата АL (L ∈ ВС). През точка L e построена права, успоредна на АВ, която пресича страната АС в точка Е. Ако AЕ = 6 cm и ЕС = 4 cm, дължината на АВ (в сm) е:
А) 8;
Б) 15;
В) 10;
Г) 12.
5. Решенията на системата
x2 − y = 8 са: x− y=2
А) (1; 3), (2; 0);
Б) (– 3; – 5), (– 4; – 2);
В) (3; 1), (– 2; – 4);
Г) (– 5; – 3), (– 2; – 4).
6. Произведението от най-малката и найголямата стойност на функцията f(x) = – 2x2 + 8x + 3 в интервала [– 1; 1] e:
А) 63;
Б) 9;
В) – 7;
Г) – 63.
7. Допустимите стойности на x в израза
A = x 2 + 2 x − 3 + 4 x − x 2 са: А) x ∈ (– ∞, – 3] ∪ [4; + ∞);
Б) x ∈ [0; 1];
В) x ∈ [3; 4];
Г) x ∈ [1; 4].
8. Основите на равнобедрен трапец, описан около окръжност, са 6 cm и 4 cm. Намерете диагонала на трапеца. 9. В равнобедрен триъгълник радиусът на вписаната окръжност се отнася към височината към основата му както 2 : 7. Намерете страните на триъгълника, ако периметърът му е 14 cm. 10. Решете дробното неравенство 2 x 2 − 9 x − 14 ≥ 3 . x2 − 2 x − 8
Към съдържанието
11
УКАЗАНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТЕСТОВЕТЕ, ДАДЕНИ В ТОЗИ УЧЕБНИК В учебника са дадени 14 теста. Във всеки от тях има 10 задачи: •
7 с избираем отговор;
•
2 със свободен отговор;
•
1, за която се изисква писмено аргументирано решение.
След всяка задача с избираем отговор са посочени 4 отговора, от които само един е верен. В бланката за отговори се записва: • за задачите с избираем отговор – буквата, отговаряща на верния отговор; • за задачите със свободен отговор – отговорът на задачата, без да се посочва ходът на решението. За даден грешен отговор не се отнемат точки. Ако решите да промените отговора на дадена задача, зачеркнете с „×” първия си отговор и запишете до него новия. Задачите в теста са с различна трудност. В бланката за отговори е посочен броят на точките, които получавате при верен отговор за всяка от първите 9 задачи. Задача 10 се оценява най-много с 10 точки. Бланка за отговори Задача №
12
Отговор
Точки
Препоръчително време – 1 учебен час. Задачите се решават на допълнителни листове.
1
2
Максималният брой точки е 40.
2
2
Не се използва калкулатор.
3
2
4
3
5
3
6
3
7
3
8
6
9
6
10
до 10
Вариант за оценка: Точки Представяне от 0 до 6 слабо от 7 до 14 средно от 15 до 22 добро от 23 до 30 много добро от 31 до 40 отлично
Към съдържанието
ТЕМА 1 ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ (Урок 3 – Урок 13)
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: ирационални изрази и понятията, свързани с тях; ирационални уравнения. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да определят допустими стойности на ирационален израз; да пресмятат числена стойност на ирационален израз; да извършват тъждествени преобразувания на ирационални изрази; да решават ирационални уравнения с един или с два радикала; да разбират смисъла на релациите „следва” и „еквивалентност” при решаване на ирационални уравнения.
13
3.
ДЕЙСТВИЯ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ (преговор)
О !
Квадратен корен от неотрицателно число a ≥ 0 се нарича единственото неотрицателно число, втората степен на което е равна на числото а. x = a ⇔ x 2 = a, a ≥ 0, x ≥ 0
(
ЗАДАЧА 1
a ) = a при a ≥ 0; 2
a 2 = |a| за всяко а
Намерете допустимите стойности на x в следните изрази: 2 а) 5 − 2 x ; б) x 2 − 9 ; в) x + 4 . Решение: По определeние изразите имат смисъл, когато подкоренните им величини са неотрицателни. а) 5 − 2 x ≥ 0 в) x2 + 4 ≥ 0 б) x2 – 9 ≥ 0 (x + 3)(x – 3) ≥ 0 x2 + 4 ≥ 0 за всяко x −2 x ≥ −5 / .(−1)
2x ≤ 5 x ≤ 2, 5 ДС: x ≤ 2,5
–3
3
ДС: x∈(– ∞; – 3] ∪ [3; + ∞)
ДС: x∈(– ∞; + ∞)
Квадратен корен от произведение
!
a.b = a . b за всяко a ≥ 0, b ≥ 0.
ПРАВИЛО:
ЗАДАЧА 2
Пресметнете: а)
9.16 ;
б)
4.49.64 ;
б)
4.49.64
в)
25.36.81.100 .
в)
25.36.81.100 =
Решение: а) 9.16 =
9 . 16 = = = 3= .4 12
ЗАДАЧА 3
4 . 49 . 64 25. 36 . 81. 100 = = = = = 2= .7.8 112 = 5= .6.9.10 2700
Пресметнете: а) 196 ;
б) 1764 ;
в)
292 − 202 .
в)
292 − 202 =
Решение: а) 196 = =
= 4.49
= = 4 . 49 = 2= .7 14
б) 1764 =
=
= 4.9.49
= 4 . 9 . 49 = 2= .3.7 42
=
= (29 + 20).(29 − 20) = = 49.9 = = 49 . 9 = 7.3 = 21
Умножаване на корени
! 14
ПРАВИЛО:
a . b = a.b за всяко a ≥ 0, b ≥ 0.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 4
Пресметнете произведенията: а)
2. 8 ;
б)
2 . 7 . 14 ;
в)
8. 18 .
б)
2 . 7 . 14 =
в)
8. 18 =
Решение: а) 2 . 8 = =
= 2.8
=
= = 16 =4
= 2.7.14
=
14.14 = = = 14
= =
= 8.18 = 23.2.32 = 24.32 22.3 = 12
Квадратен корен от частно
! ЗАДАЧА 5
a = a за всяко a ≥ 0, b > 0. b b
ПРАВИЛО: Пресметнете: 16 ; 81 Решение: а)
а) 16 = 81 =
16 = 81
б)
16.64 ; 25.49
б)
16.64 = 25.49
=
в)
412 − 402 . 132 − 122
в)
412 − 402 = 132 − 122
16.64 = 25.49
16 . 64 42 = = = 25. 49 92 .8 32 = 4= =4 5 . 7 35 9 Деление на корени
= 81 = 9 = 1 4 5 25 5
=
! ЗАДАЧА 6
(41 + 40)(41 − 40) = (13 + 12)(13 − 12)
=
a = a за всяко a ≥ 0, b > 0. b b
ПРАВИЛО: Пресметнете: 75 ; 3 Решение: а)
б)
50 . 7 ; 18. 28
в)
63 + 112 . 7
б)
50 . 7 = 18. 28
в)
63 + 112 = 7
а)
75 = 3
=
75 = 3
=
50.7 = 18.28
=
= 25
=
25.1 = 9.4
=
= 52 5
Към съдържанието
25. 1 = 9. 4 5 1 . = = 5 3.2 6
=
= 63 + 112 = 7 7 = 63 + 112 = 7 7 = 9 + 16 = = 3+ 4 = =7
15
Изнасяне на множител пред квадратния корен 7 = 16
Като извършваме действия като = . 3, 7 75 = 25.3 = 25. 3 5= 16 казваме, че изнасяме множител пред корена.
! ЗАДАЧА 7
ПРАВИЛО: За всяко b ≥ 0
7 1 7, = 4 4
a b при a ≥ 0; a 2b = a 2 . b = a . b = − a b при a ≤ 0.
Изнесете множител пред корена: 8;
а)
б)
45;
б)
45 =
в)
216.
в)
216 =
Решение: а) 8 =
ЗАДАЧА 8
= 62. 6
=
=3 5
=2 2
= 62.6
=
= 32 . 5
=
= 22 . 2
=
= 3 .5
=
= 22.2
=
2
=6 6
Освободете подкоренната величина от знаменател: 5 ; 7 Решение:
б)
а)
5 а) = 7 =
5.7 = 72
35 1 35 = 72 7
6; 11
6 б)= 11 =
в) 6.11 = 112
3. 8
3 в)= 8
66 1 66 = 2 11 11
=
3.2 = 23.2
6 1 6 = 16 4
Внасяне на множител под квадратния корен 1 = (−1).3 1 = (−1). 32 . 1 = − 32. 1 = − 3 , Като извършваме действия като −3 3 3 3 3 = 3 5 = 32 . 5 32.5 = 45 , 1 7 = 3 множител пред корена.
! ЗАДАЧА 9
( 13 ) . 7 = ( 13 ) .7 = 2
2
7 , казваме, че внасяме 9
a 2b при a ≥ 0; ПРАВИЛО: За всяко b ≥ 0 a b = − a 2b при a ≤ 0. Внесете множител под знака на корените: а) 3 7; б) 1 5; 2 Решение:
()
в) −5 2. 2
б) 1 5 = 1 .5 = в) −5 2 = − 52.2 = 2 2 = − 50 = 5 4 Под знака на квадратния корен се внася само положителен множител.
3 7 = 32.7 а) = = 63
16
Към съдържанието
Сравняване на корени
!
ПРАВИЛО: Ако a > b ≥ 0, то
a > b.
ЗАДАЧА 10 Сравнете числата: б) 7 и 2 11;
а) 2 3 и 3 2 ;
в) −5 3 и − 3 7 .
Решение: а) 2 3 = 22.3 = 12
б) 7 = 7 2 = 49
3 2 = 32.2 = 18
в) −5 3 = − 52.3 = − 75
−3 7 = − 32.7 = − 63
2 11 = 22.11 = 44
12 < 18
− 75 < − 63
49 > 44
⇒2 3 2 11
ЗАДАЧА 11 Докажете, че 5 < 33 < 6 . Доказателство: 5 < 33 < 6 От 25 < 33 ⇒ 25 < 33. От 33 < 36 ⇒ 33 < 36 . Тогава
ЗАДАЧИ
25 < 33 < 36 , т.е. 5 < 33 < 6 .
Пресметнете:
1. 16.25 ;
2.
5. 0, 01.20.180 ;
6. 0,1.360.25.0, 64 ;
49.36 ;
3.
4.9.25 ;
4.
2.5.10 ;
7.
2. 18 ;
8. 3. 21. 28 ;
9. 6. 12 . 18 ;
10.
2. 3. 10 . 15 ;
11. 7 056;
12. 63504;
9 ; 25
14.
36 ; 121
15. 144 ;
16.
13.
22 . 48 ; 11. 54
125 + 180 ; 5 Изнесете множители пред корена:
19. 147 − 27 ; 20. 12 + 75 − 108 .
21. 162;
23. 75;
17.
6 . 22 . 12 ; 18. 7 . 14 . 88
169
22.
48;
3
3
24. 847.
Освободете подкоренната величина от знаменател:
25.
5 ; 16
26.
3; 5
27.
1; 6
28. 1 1 . 2
Внесете множител под корена:
29. 5 3;
30. 2 21;
31. −3 5;
32. 1 7. 2
Сравнете числата:
33. 2 19 и 5 3; 34. 6 3 и 7 2;
Към съдържанието
35. −8 3 и − 9 2.
17
4.
ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ
О
Алгебричен израз, който съдържа радикал (корен), се нарича ирационален. Примери: 2 3 + 1; 2a b − a ; 5a a − b ; a b . b a
О
Един радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина: • не съдържа знаменател; • няма множители, които могат да се изнесат пред радикала. Примери: a a ; 3 2bc ; 1 x 2 − y 2 . 3
О
Коефициент на един радикал се нарича множителят пред знака на радикала. Пример: 5a a − b има коефициент 5a.
ЗАДАЧА 1
Приведете в нормален вид радикалите: а) 125 x3 , x ≥ 0;
б)
27 a 5 , a ≥ 0;
в)
8b8 .
б)
27 a 5 =
в)
8b8 =
Решение: а) 125 x3 =
= 52.5. x 2 . x
=
= 5x 5x
О
= 32. 3. a 4 . a
=
= 22. 2.(b 4 ) 2
=
= 2b 4 2
= 3a 2 3a
Радикали, които в нормалния си вид имат еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали. Примери: 3 10 и 2 10 ; 2a a + b и a + b .
ЗАДАЧА 2
Подобни ли са радикалите: а) 27 и 75;
б)
8 x3 и
18 x , x ≥ 0 ?
Решение: Привеждаме радикалите в нормален вид. а) = 27 = 75
= 32.3 3 3 = 52.3 5 3
Отг. Подобни са.
О 18
б) 8 x3 = = 18 x
= 22 . 2 . x 2 . x 2 x 2 x = 32 . 2 x 3 2 x
Отг. Подобни са.
Допустими стойности (ДС) на ирационален израз се нарича множеството от всички стойности на променливите, за които подкоренните величини са неотрицателни и знаменателите са различни от нула.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Намерете допустимите стойности на x в следните ирационални изрази: 3x б) B = x 2 − 4 + . а) A = x + 3 + 5 − x ; 25 − x 2 Решение: Допустимите стойности на ирационалните изрази се определят от условията: а) x + 3 ≥ 0 5− x ≥0
–3
–3 Отг. ДС: x ∈ [– 3; 5]
ЗАДАЧА 4
б) x 2 − 4 ≥ 0 25 − x 2 > 0
2
–2
5
5
–5
5
–5 –2
2
5
Отг. ДС: x ∈ (– 5; – 2] ∪ [2; 5)
Пресметнете числената стойност на израза C = 3 x + x 2 + 5 x + 4 за: а) x = 0;
б) x = – 1;
Решение: а) При x = 0
б) При x = – 1
в) x = – 2.
в) При x = – 2 2 C = 3.0 + 0 + 5.0 + 4 = C =3.(−1)+ (−1) +5.(−1)+ 4 = C =3.(−2)+ (−2) +5.(−2)+ 4 = =−6+ 4−10+ 4 =−6+ −2 . = 0 + 2 = 2. =−3+ 1 − 5 + 4 =−3. Изразът няма смисъл. 2
2
ЗАДАЧА 5
Пресметнете числената стойност на израза D = 4 x + 9 + 4 − x за: а) x = 0; Решение: а) При x = 0
б) x = 4;
б) При x = – 1 D = 4.4 + 9 + 4 − 4 = D = 4.0 + 9 + 4 − 0 = = 25 + 0 = = 9+ 4= = 5 + 0 = 5. = 3 + 2 = 5.
ЗАДАЧИ
в) x = – 2. в) При x = – 2 D = 4.(−2) + 9 + 4 − (−2) = = −8 + 9 + 4 + 2 = = 1 + 6 = 1 + 6.
Приведете в нормален вид радикалите: 1.
96;
2.
343;
3. 12a 5 , a ≥ 0;.
Подобни ли са радикалите: 4. 2 5 и 3 20;
5. 3 63 и 5 28;
6.
50 x3 и
18 x , x ≥ 0.
Намерете допустимите стойности на x в следните изрази: 7. A = x + 9 − 4 − x ;
2 2 8. A = x + 3 x − 36 − x ;
2 9. A = 4 − x +
10. Пресметнете числената стойност на израза
A = 3 x − 2 + x 2 + 5 x − 6 при: а) x = – 6; б) x = 1;
5 2
x −x
.
в) x = 3.
11. Пресметнете числената стойност на израза
B = 2 x + 3 + 4 − x при: а) x = 3; б) x = –1;
Към съдържанието
в) x = 4.
19
5.
ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ
ЗАДАЧА 1
Дадени са ирационалните изрази A = 3+ x + 2 и B = 3− x + 2 , x ≥−2 . Извършете действията: а) A2; б) B2; в) A. B. Решение: а) A2 = ( 3 + x + 2 ) =
б) B 2 = ( 3 − x + 2 ) =
2
2
в) A. B =
= 32 + 2.3 x + 2 + ( x + 2 ) =
= 32 − 2.3 x + 2 + ( x + 2 ) =
= ( 3 + x + 2 ) .( 3 − x + 2 ) =
=9+6 x + 2 + x + 2
=9 −6 x + 2 + x + 2=
= x + 6 x + 2 +11
= x − 6 x + 2 +11
= 32 − ( x + 2 ) = = 9 − ( x + 2) = =7− x
2
2
2
ЗАДАЧА 2
Опростете израза A = 1 ( x + 1 + x − 1 ) , x ≥ 1, и пресметнете числената му стойност 2 за x = 10. Решение: 2 1 1. A = ( x + 1 + x − 1 ) = 2. При x = 10 2 2 A = 10 + ( 10 ) − 1 = = 1 ( ( x + 1) 2 + 2 x + 1 x − 1 + ( x − 1) 2 ) = 2 = 10 + 10 − 1 = 1 = ( x + 1 + 2 x 2 − 1 + x − 1) = 2 = 3 + 10 . 2 2 1 = ( 2 x + 2 x − 1) = x + x − 1 2
ЗАДАЧА 3
Опростете израза B = x − 4 x ⋅ x − 2 , x ≥ 0, x ≠ 4, и пресметнете числената му 2− x x +2 стойност за x = 1 9 . 16 Решение: 1. B = x − 4 x ⋅ x − 2 = 2. При x = 1 9 16 − + 2 2 x x 25 = B = = 2 x −x−4 x ⋅ x −2 = 16 2− x x +2 25 5 = = = ( − x − 2 x ) ( x − 2) = = 16 4 ( 2 − x ) ( x + 2) =11 . 4 x x 2 x 2 x 4 x − + − + = = 4− x x (4 − x) = x = 4− x
О
2
Когато освобождаваме една дроб от радикали в знаменателя и`, казваме, че я рационализираме. Пример: 2 = 2 3 = 2 32 = 2 3. 3 3 3. 3 ( 3 )
20
Към съдържанието
За да рационализираме дроб с ирационален знаменател, трябва да умножим знаменателя с подходящо избран израз, така че това произведение да е рационален израз. 9= 3 9 3 =3 3 , 3 3 3 2 −1 2 − 1 = 2 − 1 = 2 − 1. 1 = = 2 −1 2 + 1 ( 2 + 1) ( 2 − 1) ( 2 )2 − 12
9 Примери:= 3
О
Два ирационални израза, произведението на които е рационален израз, се наричат спрегнати. Примери: 2− 7 и 2+ 7 ,
!
ПРАВИЛО:
5 + 2 и 5 − 2.
a = a b = a b , b >0 b b b b
a( b∓ c ) a( b∓ c ) a = , b > 0, c > 0, b ≠ c = b −c b ± c ( b ± c )( b ∓ c )
ЗАДАЧА 4
Рационализирайте знаменателя на дробите: 4 5 ; ; б) а) 7− 5 3 2
в)
12 . 3− 5
в)
12 = 3− 5
Решение: 5 2 5 а) = = 3 2 3 2 2
4 = 7− 5
б)
2 5 2 = 5= 3.2 6
= =
(
4. ( 7 + 5 ) = 7 − 5 )( 7 + 5 )
=
4. ( 7 + 5 ) = 7−5
=
= 2. ( 7 + 5 )
ЗАДАЧА 5
12. ( 3 + 5 ) = (3 − 5 ) (3 + 5 )
12. ( 3 + 5 ) = 9−5
= 3. ( 3 + 5 )
Рационализирайте знаменателя на ирационалните изрази: 8 3x 2a + 1 , a > 0; , x ≥ 2; , x ≥ −4, x ≠ 0. а) б) в) 2+ x+4 x + x−2 a Решение: а) 2a + 1 = a (2a + 1) a = a. a ( ) = 2a + 1 a a =
8
б)
x + x−2 = = =
( (
=
8( x − x − 2 )
x + x − 2 )( x − x − 2 ) 8( x − x − 2 )
x) −( x − 2) 2
8( x − x − 2 ) = x − ( x − 2)
= 4( x − x − 2 )
Към съдържанието
в)
2
=
=
3x = 2+ x+4 = = =
(2 +
3x(2 − x + 4 )
x + 4 )(2 − x + 4 )
3x(2 − x + 4 ) 22 − ( x + 4 )
2
=
=
3x(2 − x + 4 ) = 4 − ( x + 4)
= 3( x + 4 − 2)
21
ЗАДАЧА 6
Намерете допустимите стойности на ирационалните изрази и рационализирайте знаменателите им: x+2− x; 4 x 2 + 20 а) A = б) B = . x+2+ x 2 x2 + 6 + x2 + 1 Решение: а) ДС: x + 2 ≥ 0 б) ДС: 2 x 2 + 6 ≥ 0, всяко x –2 x≥0 x 2 + 1 ≥ 0, всяко x 0
x ∈ [0; + ∞) x+2− x = x+2+ x
A= = =
( ( (
x+ 2 − x)
=
2
x + 2) −( x) 2
4 x 2 + 20 = 2 x2 + 6 + x2 + 1
B=
x + 2 − x )( x + 2 − x ) = x + 2 + x )( x + 2 − x )
(
x ∈ (– ∞; + ∞)
2
=
=
2
(
4 ( x2 + 5) ( 2 x2 + 6 − x2 + 1 )
2 x2 + 6 + x2 + 1) ( 2 x2 + 6 − x2 + 1)
4 ( x2 + 5) ( 2 x2 + 6 − x2 + 1 )
(
2x + 6 ) − ( x + 1) 2
2
2
2
=
=
4 ( x 2 + 5) ( 2 x 2 + 6 − x 2 + 1 ) = 2x2 + 6 − x2 − 1
= x + 2 − 2 x + 2x + x = x+2− x
=
2 x + 2 − 2 x2 + 2 x = 2
= 4 ( 2 x2 + 6 − x2 + 1)
= x + 1 − x2 + 2 x
ЗАДАЧА 7
2 x Опростете израза A = x + 2 − + , x > 0, x ≠ 2, и пресметнете числената 2 2 + 2 − 2x x x x му стойност при: a) x = 3; б) x = 6; в) x = 12. Решение: x 2 A= x+2 − + = 2x 2x + 2 x − 2x ( ) x. ( 2 x − 2 ) 2. ( x + 2 x ) + = = x + 2 . 2x − ( 2x + 2) ( 2x − 2) ( x − 2x ) ( x + 2x ) 2x. 2x
( ) x. ( 2 x − 2 ) 2. ( x + 2 x ) + = = x + 2 . 2x − 2x 2x − 4 x2 − 2 x
( ) x. ( 2 x − 2 ) 2. ( x + 2 x ) + = = x + 2 . 2x − 2x 2( x − 2) x( x − 2) =
( x + 2 ) ( x − 2 ) . 2 x − x 2 . ( 2 x − 2 ) + 4. ( x + 2 x ) = 2 x ( x − 2)
2 2 2 = x 2x − 4 2x − x 2x + 2x + 4x + 4 2x = 2 x( x − 2) 2 2 x ( x + 2) x + 2 = = 2x + 4x = 2 x( x − 2) 2 x( x − 2) x − 2
22
Към съдържанието
a) При x = 3 A = 3 + 2 = 5. 3− 2
ЗАДАЧА 8
б) При x = 6 A = 6 + 2 = 2. 6−2
в) При x = 12 A = 12 + 2 = 1, 4. 12 − 2
Опростете израза ( 1+ x 2 1− x A= + . 1 − x − 1) , x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1), и пресметнете 2 1− x −1+ x 1+ x − 1− x числената му стойност при: б) x = 13 ; 14
a) x = − 2 ; 3 Решение:
в) x = 2 . 3
( 1+ x 2 1− x A= + ⋅ 1 − x − 1) = 2 x x 1 1 + − − 1− x −1+ x 1− x . 1− x 1+ x ⋅ ( 1 − x 2 − 1) = = + 1+ x − 1− x ( ) 1 − x . 1 + x − 1 − x 1+ x + 1− x ( 1+ x + 1− x ) 2 . ( 1 − x 2 − 1) = = ⋅ ( 1 − x − 1) = ( ) ( ) 1+ x − 1− x . 1+ x + 1− x 1+ x − 1− x 2
2 2 ( 1 − x 2 + 1) ( = 1 + x + 2 1 − x + 1 − x ⋅ ( 1 − x 2 − 1) = . 1 − x 2 − 1) = (1 + x ) − (1 − x ) 2x
( =
1 − x 2 ) − 12 1 − x 2 − 1 = −x = x x a) При x = − 2 б) При x = 13 3 14 A = − 13 . A = − − 2 = 2. 14 3 3 2
( )
ЗАДАЧИ
в) При x = 2 3 A= − 2. 3
1. Дадени са ирационалните изрази A = x + x 2 + 7 и B = x − x 2 + 7. Извършете действията: а) A2; б) В2; в) А.В. 2. Опростете израза C = 1 ( x + 2 − x − 2 ) 2 , x ≥ 2, и пресметнете числената му стойност 2 за x = 2 5. Рационализирайте знаменателите на ирационалните изрази: 2 15 6x 4. , x ≥ −3; 5. , x > 0. 3. x + 3 x , x > 0; + + − + 3 2 3 2x + 9 x x x Намерете допустимите стойности на ирационалните изрази и рационализирайте знаменателите им: 6.
x+4 − x+2; x+4+ x+2
7.
x2 + 1 ; 3x 2 + 4 + 2 x 2 + 3
8.
2 ( x2 + 4 − x ) x2 + 4 + x
.
2 2 9 9. Опростете израза D = x + x + 9 − x − x + 9 ⋅ , x ≠ 0. 2 2 2 x − x + 9 x + x + 9 4x x + 9
Към съдържанието
23
6.
ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ЕДИН КВАДРАТЕН РАДИКАЛ
О
Уравнение, в което неизвестното се съдържа и под знак за коренуване, се нарича ирационално уравнение. Примери:
ЗАДАЧА 1
2 x + 1 = x − 1,
x 2 + 2 x − 3 = 3 x + 7,
x + 1 + 2 x + 3 = 5.
Решете уравнението 2 x − 1 + 2 = x. Решение: (1) Записваме уравнението във вида 2 x − 1 = x − 2 . Като повдигнем двете му страни във втора степен, получаваме
(
2 2 x − 1 ) = ( x − 2 ) , 2 x − 1 = x 2 − 4 x + 4, x2 – 6x + 5 = 0, (2) което е квадратно уравнение с корени x1 = 5, x2 = 1. Числото x1 = 5 е корен и на даденото уравнение, защото равенството 2.5 − 1 = 5 − 2 e вярно. Числото x2= 1 не е корен на даденото уравнение, защото 2.1 − 1 ≠ 1 − 2.
! ЗАДАЧА 2
2
Това, че числото 1 е корен на уравнението (2), а не е корен на уравнението (1), показва, че уравненията (1) и (2) не са еквивалентни. Следователно повдигането на двете страни на едно уравнение на квадрат не е еквивалентно преобразуване. Ако x e корен на уравнението (1), то е корен и на уравнението (2), защото, като повдигнем две равни числа на квадрат, получаваме пак равни числа. Оттук правим извод, че корени на даденото уравнение могат да бъдат само корените на уравнението (2), т.е. числата 1 и 5. Ако x е корен на уравнението (2), то може да е, а може и да не е корен на уравнението (1), защото, ако квадратите на две числа са равни, числата са или равни, или противоположни. Кой от корените x1 = 5 и x2 = 1 на уравнението (2) е корен на уравнението (1), разбираме чрез непосредствена проверка на даденото уравнение. Оказа се, че даденото уравнение има единствен корен: числото x1 = 5. Другият корен x2 = 1 на квадратното уравнение (2) се нарича „чужд“ или „придобит“ корен на ирационалното уравнение, защото не го удовлетворява. При решаване на ирационални уравнения следваме следното правило: • Преобразуваме уравнението така, че радикалът остава „сам“ от едната му страна. • Повдигаме двете страни на уравнението на втора степен. • Решаваме полученото рационално уравнение. • Проверяваме за всеки корен на рационалното уравнение дали удовлетворява, или не даденото уравнение. Решете уравненията: а) 3 x + 1 = 4; Решение: a)
3x + 1 = 4 3 x + 1 = 16 ⇒ x = 5
Проверка:
3.5 + 1 = 4,
16 = 4, 4 = 4.
Отг. Д аденото уравнение има един корен: х = 5.
24
б)
4 x − 5 = −3.
б)
4 x − 5 = −3.
Уравнението няма корен, защото за всяко x, за което 4 x − 5 има смисъл, 4 x − 5 ≥ 0. Отг. Уравнението няма корен.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Решете уравненията: 2
а) x − 5 x + 4 = 2; Решение: a)
x2 − 5x + 4 = 2
(
2 x 2 − 9 = x.
б) б)
x 2 − 5 x + 4 ) = 22
2 x2 − 9 = x
(
2
2 x2 − 9 ) = x2 2
x2 − 5x + 4 = 4
2x2 − 9 = x2
x 2 − 5 x = 0, x1 = 0, x2 = 5
x 2 − 9 = 0, x1 = 3, x2 = −3
Проверка: x1 = 0,
02 − 5.0 + 4 = 2, 2 = 2
x2 = 5,
52 − 5, 5 + 4 = 2, 2 = 2
Отг. У равнението има два корена: x1 = 0 и x2 = 5.
ЗАДАЧА 4
Проверка: x1 = 3, x2 = −3,
2.(−3) 2 − 9 = 3, 3 ≠ −3
Отг. У равнението има един корен: x = 3.
Решете уравненията: 2 x 2 − 3 = 1; x2 + 1 Решение: a)
x3 + 16 = x, x ≠ −1. x +1
б)
а)
2 x2 − 3 = 1 x2 + 1
x3 + 16 = x x +1
б)
2
2
x3 + 16 2 =x + x 1
2 x2 − 3 2 =1 2 x +1
x3 + 16 = x 2 x +1 x3 + 16 = x3 + x 2
2x2 − 3 = 1 x2 + 1 2x2 − 3 = x2 + 1
x 2 − 16 = 0, x1 = 4, x2 = −4
x 2 − 4 = 0, x1 = 2, x2 = −2 Проверка: x1 = 2,
2.22 − 3 = 1, 22 + 1
1=1
2.(−2) 2 − 3 = 1, 1 = 1 (−2) 2 + 1 Отг. У равнението има два корена: x1 = 2 и x2 = –2.
Проверка: x1 = 4, x2 = −4,
x2 = −2,
ЗАДАЧИ
2.32 − 9 + 4 = 3, 3 = 3
43 + 16 = 4, 4 +1
4=4
(−4)3 + 16 = 4, 4 ≠ −4 −4 + 1
Отг. У равнението има eдин корен: x = 4.
Решете уравненията: 1. 2 x + 1 = 3;
6. x 2 − 8 x + 10 = −1;
11. x + 9 = 3 x − 17;
2. x − 6 = 2;
7. 2 x + 1 = x − 1;
12. 2 x − 3 = 3 x − 5;
3. 7 x + 3 = 0;
8. 2 x + 5 = 2 x − 1;
2 13. x + x + 4 = x + 1;
4. 3 x + 7 = −7;
9. 8 x + 1 = x + 2;
2 5. x − x + 7 = 3;
10. 7 − x = x + 5;
Към съдържанието
2 14. 3 x − 5 x − 3 = 3 x − 7;
15.
x − x 2 − 1 = 2 x + 3.
25
7. ЗАДАЧА 1
ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ДВА КВАДРАТНИ РАДИКАЛА 2 x − 5 − x + 1 = 1.
Решете уравнението
Решение: Прехвърляме единия корен в дясната страна на уравнението и след това повдигаме на квадрат: 2x − 5 = 1 + x + 1
(
2 x − 5 ) = (1 + x + 1 ) 2
2
2x − 5 = 1 + 2 x + 1 + x + 1 2 x + 1 = x − 7. Полученото уравнение е ирационално с един радикал. Отново повдигаме на квадрат и получаваме
(2
x + 1) = ( x − 7) 2
2
4( x + 1) = x 2 − 14 x + 49 x 2 − 18 x + 45 = 0, x1 = 3, x2 = 15. Проверка: x1 = 3,
2.3 − 5 − 3 + 1 = −1, − 1 ≠ 1
x2 = 15,
ЗАДАЧА 2
Отг. Уравнението има един корен: x = 15.
2.15 − 5 − 15 + 1 = 1, 1 = 1
Решете уравненията: a)
3 x + 1 + x = 3;
б)
5 x − 1 + x − 1 = 4.
б)
5x − 1 + x − 1 = 4
Решение: a)
3x + 1 + x = 3 3x + 1 = 3 − x
(
3x + 1 ) = ( 3 − x ) 2
5x − 1 = 4 − x − 1 2
(
3x + 1 = 9 − 6 x + x
8 x − 1 = 16 − 4 x | : 4
3 x =4− x
2 x −1 = 4 − x
2
(2
= (4 − x) 2
x − 1 ) = (4 − x) 2 2
4 x − 4 = 16 − 8 x + x 2
x 2 − 17 x + 16 = 0, x1 = 1, x2 = 16
x 2 − 12 x + 20 = 0, x1 = 2, x2 = 10 Проверка:
Проверка: 3.1+1 + 1 = 3,
3=3
3.16 +1 + 16 =13, 13 ≠ 3
Отг. У равнението има един корен: x = 1.
26
2
5 x − 1 = 16 − 8 x − 1 + x − 1
9 x = 16 − 8 x + x 2
x2 =16,
2
6 x = 8 − 2x | : 2
(3 x )
x1 =1,
5x − 1) = ( 4 − x − 1)
x1 = 2, x2 = 10,
5.2 − 1 + 2 − 1 = 4,
4=4
5.10 − 1 + 10 − 1 = 10, 10 ≠ 4
Отг. У равнението има един корен: x = 2.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Решете уравненията: 2 x 2 − x + 8 − x 2 + 3 x + 5 = 0;
a)
2 x 2 + x − 12 − x 2 − 10 = 0.
б)
Решение: 2
2 2 2 x 2 − xa)+ 8 2−x x−2 x++38x − + 5 x= 0+ 3 x + 5 = 0
2 2 = x 2 − 10 2 x 2 + x2−x12+=x − x12 − 10
2 2 2 x 2 − x + 8 2=x x−2 x++38x = + 5 x + 3x + 5
(
2x
2
2 2 2 ( xx+2 8+)3x=+( 5 )x 2 + 3x + 5 ) − x +( 8 )2 x= − 2
2 x 22−
2
(
x 20− 4 x + 3 = 0 x2 − 4 x + 3 = x1 = 1, x2 = x31 = 1, x2 = 3 Проверка: x1 = 1,
2.12 − 1 + 8 − 12 + 3.1 + 5 = = 9 − 9 = 0, 0 = 0
x2 = 3,
2.32 − 3 + 8 − 32 + 3.3 + 5 = = 23 − 23 = 0, 0 = 0
2x
2
2 2 2 ( x2−x12 +) x = − 12 ( )x 2 =−(10 x) 2 − 10 ) + 2
2
2
2
2
= x − 10 2 x 2 + x2−x12+=x x−212 − 10 2 2 x + x −x 2 += x0 − 2 = 0 x1 = 1, x12 ==1−, 2x2 = −2
2 x − x + 8 = x +x3+x 8+ =5 x + 3 x + 5 2
2
2 − x − 10 = 0 2 x б2)+ x2−x12+−x −x12 − 10 = 0
Проверка: x1 =1,
2.12 +12 −12 − 12 −10 = −9 − −9 , радикалите нямат смисъл. x2 =−2, 2(−2) 2 − 2 −12 − (−2) 2 −10 = −6 − −6 , радикалите нямат смисъл.
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 1 и x2 = 3.
ЗАДАЧА 4
Отг. Уравнението няма корени.
Решете уравненията: a)
2 x − 3 + x + 5 = 0;
б)
x − 3 + 3 − x = 0.
б)
x −3 + 3− x = 0
Решение: a)
ЗАДАЧИ
2x − 3 + x + 5 = 0
За да бъде едно число корен на даденото уравнение, то трябва да бъде общ корен на уравненията 2 x − 3 = 0 и x + 5 = 0, което не е възможно.
Числото 3 е общ корен на уравненията x − 3 = 0 и 3 − x = 0.
Отг. Уравнението няма корени.
Отг. Уравнението има един корен: x = 3.
Решете уравненията: 1. x − 9 = 1− x ;
6. 4 − x + x − 2 = 2;
2 2. x + 7 x +1 = 5 x + 4 ;
7. 2 x − 1 + x − 5 = 3;
2 2 3. x − 9 x + 8 = 1 + x − 2 x ;
8. 2 x + 1 + 3 x + 1 = 11;
4. 2 x − 1 + 1 − 2 x = 0;
9. 16 − x − x + 9 = 1;
5. 3 x + 2 + x − 7 = 0;
10. 15 − x + 3 − x = 6.
Към съдържанието
27
8.
ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ. УПРАЖНЕНИЕ
ЗАДАЧА 1
Решете уравненията: x + 3 = 2; x Решение: x + 3 = 2, x ≠ 0 x
a)
x 4 − 3 x 2 = 2.
б)
a)
(
2
2 3 x+ =2 x x+ 3 =4 x 2 x − 4 x + 3 = 0, x1 = 1, x2 = 3
x 4 − 3 x 2 ) = 22 2
x 4 − 3x 2 = 4 x 4 − 3x 2 − 4 = 0 x 2 = 4, x1 = 2, x2 = −2 x 2 = −1 – няма корени.
1 + 3 = 2, 2 = 2 1
Проверка: x1 = 1,
x 4 − 3x 2 = 2
б)
Проверка: x1 = 2, 24 − 3.22 = 2,
x2 =−2, (−2) 4 − 3(−2) 2 = 2, 2 = 2
3 + 3 = 2, 2 = 2 3 Отг. Уравнението има два корена: x1 = 1 и x2 = 3. x2 = 3,
ЗАДАЧА 2
2=2
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 2 и x2 = – 2.
Решете уравненията: 2 x 2 − 3 x + 9 − x = 3;
a)
5 x 2 + 1 + 1 = 2 x.
б)
Решение: 2 x 2 − 3x + 9 = x + 3
a)
(
5x2 + 1 = 2 x − 1
б)
2 x 2 − 3 x + 9 ) = ( x + 3) 2
(
2
2 5 x 2 + 1 ) = ( 2 x − 1) 2
2 x 2 − 3x + 9 = x 2 + 6 x + 9 x2 − 9x = 0 ,
x1 = 0,
2.02 − 3.0 + 9 − 0 = 3, 3 = 3
x2 = 9,
2.92 − 3.9 + 9 − 9 = = 144 − 9 = 12 − 9 = 3, 3 = 3
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 0 и x2 = 9.
x1 = 0, x2 = −4
Проверка: x1 = 0,
5.02 + 1 + 1 = 2, 2 ≠ 0
x2 = −4,
5.(−4) 2 + 1 + 1 = = 81 + 1 = 10,
10 ≠ −8
Отг. Уравнението няма корени.
Решете уравненията: a)
28
x 2 + 4 x = 0,
x1 = 0, x2 = 9
Проверка:
ЗАДАЧА 3
5x2 + 1 = 4x2 − 4x + 1
x + 5 + 4 − x = 3;
б)
x + 2 = 3. x
Към съдържанието
Решение: a)
x+5+ 4− x =3
(
x+5+ 4− x
)
2
2
= 32
x + 2 = 32 x x+2 x⋅ 2 + 2 =9 x x x+4+ 4 =9 x 2 x − 5 x + 4 = 0, x1 = 1, x2 = 4
x+5+ 4− x =9 4− x =4− x
(
4 − x) ) = ( 4 − x ) 2
2
4 − x = 16 − 8 x + x 2 x 2 − 7 x + 12 = 0, x1 = 3, x2 = 4 Проверка: x1 = 3,
3 + 5 + 4 − 3 = 3,
3=3
x2 = 4,
4 + 5 + 4 − 4 = 3,
3=3
Проверка: 1 + 2 = 3, 3=3 1 x2 = 4, 4 + 2 = 3, 3 = 3 4 Отг. Уравнението има два корена: x1 = 1 и x2 = 4. x1 = 1,
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 3 и x2 = 4.
ЗАДАЧА 4
x + 2 = 3, x ≠ 0 x
б)
Решете уравненията: a)
3 x + 19 − x + 7 = 2;
Решение: a) 3 x + 19 = x + 7 + 2
(
x 2 + 9 − x 2 − 7 = 2.
б)
3 x + 19 ) = ( x + 7 + 2 ) 2
б)
x2 + 9 = 2 + x2 − 7
(
2
x2 + 9 ) = ( 2 + x2 − 7 ) 2
3 x + 19 = x + 7 + 4 x + 7 + 4
x2 + 9 = 4 + 4 x2 − 7 + x2 − 7
2 x+7 = x+4
(2
x2 − 7 = 3
x + 7 ) = ( x + 4) 2 2
(
4 x + 28 = x 2 + 8 x + 16
3.(−6) + 19 − −6 + 7 = 0, 0 ≠ 2 3.2 + 19 − 2 + 7 = 2,
2=2
x1 = 4,
42 + 9 − 42 − 7 = 2,
x2 = −4,
2
2=2
2
(−4) + 9 − (−4) − 7 = 2, 2 = 2
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 4 и x2 = –4.
Отг. Уравнението има един корен: x = 2.
ЗАДАЧИ
2
x 2 − 16 = 0, x1 = 4, x2 = −4 Проверка:
Проверка: x2 = 2,
x 2 − 7 ) = 32 x2 − 7 = 9
x 2 + 4 x − 12 = 0, x1 = −6, x2 = 2 x1 = −6,
2
Решете уравненията: 1. x 2 − 6 x + 9 = 2; 2 2. x − 12 x + 36 = 4;
8 3. x − x = 2;
Към съдържанието
1 4. 3 x + x = 2; 4 2 5. x + 7 x + 10 = 2; 2
6. 2 x − 2 x − 4 x + 9 = 3;
7. x + 7 + x − 2 = 3; 8. 2 x + 5 − 2 x − 2 = 3; 9. 3 x + 13 − 2 x + 7 = 1; 10. x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5.
29
9.
ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ. УПРАЖНЕНИЕ Ирационални уравнения, които се решават без преобразуване
ЗАДАЧА 1
Решете уравненията: a)
x 2 − 5 x + 6 + 1 = 0;
б)
x − 5 + x 2 + 2 = 0.
б)
x − 5 = − x2 − 2
Решение: a)
ЗАДАЧА 2
Когато лявата страна на уравнението има смисъл, тя е неотрицателна и не може да бъде равна на – 1.
Дясната страна на уравнението е отрицателна за всяко x.
Отг. Уравнението няма корени.
Отг. Уравнението няма корени.
Решете уравненията: a)
ЗАДАЧА 3
3 x + 4 + x − 5 = 0;
б)
2 x − 5 + x − 7 = −5.
Решение: a) За да бъде едно число корен на даденото уравнение, то трябва да бъде общ корен на уравненията 3 x + 4 = 0 и x − 5 = 0, което не е възможно.
б) Когато лявата страна на уравнението има смисъл, тя е неотрицателна и не може да бъде равна на –5.
Отг. Уравнението няма корени.
Отг. Уравнението няма корени.
Решете уравненията: a)
ЗАДАЧА 4
x 2 − 5 x + 6 = −1
x − 7 + 7 − x = 0;
б)
x 2 − 1 + x 2 − x = 0.
Решение: a) Числото 7 е общ корен на уравненията x − 7 = 0 и 7 − x = 0.
б)Числото 1 е единственият общ корен на
Отг. Уравнението има един корен: x = 7.
Отг. Уравнението има един корен: x = 1.
уравненията
x2 − 1 = 0 и
x2 − x = 0 .
Решете уравненията: a) 3 x − 6 − 2 − x = 4;
б)
4 − x 2 − x 2 − 9 = 2 x + 5.
Решение: a) Изразът x − 6 има смисъл за x ≥ 6, а изразът 2 − x има смисъл за x ≤ 2. Няма стойности на x, при които и двата израза да са определени.
Отг. Уравнението няма корени.
30
б)4 – x2 ≥ 0
–2
2
x2 – 9 ≥ 0
3 –3 Няма стойности на x, при които и двата израза да са определени. Отг. Уравнението няма корени.
Към съдържанието
Решаване на някои ирационални уравнения
ЗАДАЧА 5
Решете уравненията: б) ( x − 4) x + 2 = 0.
a) ( x − 8) 5 − x = 0; Решение:
ЗАДАЧА 6
a) x − 8 = 0 ∪ 5 − x = 0 x1 = 8, x2 = 5
б) x − 4 = 0 ∪ x + 2 = 0 x1 = 4, x2 = −2
Проверка:
Проверка:
x1 = 8, (8 − 8). 5 − 8 = 0. −3
x1 = 4, (4 − 4). 4 + 2 = 0 6 = 0,
Изразът −3 няма смисъл. x1 = 8 не е корен на уравнението. x2 = 5, (5 − 8). 5 − 5 = −3. 0 = 0, 0 = 0
x2 = −2, (−2 − 4). −2 + 2 = −6 0 = 0, 0 = 0
Отг. Уравнението има един корен: x = 5.
Отг. Уравнението има два корена: x = 4 и x = – 2.
0=0
Решете уравненията: a) ( x 2 − 3 x) x − 1 = 0;
б) ( x 2 − 4) 5 − x = 0.
Решение: a) x( x − 3) = 0 ∪ x1 = 0, x2 = 3
x −1 = 0 x3 = 1
Проверка:
Проверка:
x1 = 0 (02 − 3.0). 0 − 1 = 0 −1
x1 =−2, ( (−2) 2 − 4 ) . 5 − (−2) = 0 7 = 0, 0 = 0
−1 – няма смисъл. x2 = 3, (32 − 3.3). 3 − 1 = 0 2 = 0, 0 = 0
x2 = 2, (22 − 4). 5 − 2 = 0 3 = 0,
2
x3 = 1, (1 − 3.1). 1 − 1 = −2 0 = 0, 0 = 0 Отг. Уравнението има два корена: x = 3 и x = 1.
ЗАДАЧИ
б) ( x + 2)( x − 2) = 0 ∪ 5 − x = 0 x1 = −2, x2 = 2 x3 = 5
x3 = 5,
2
(5 − 4). 5 − 5 = 21 0 = 0,
0=0 0=0
Отг. Уравнението има три корена: x = – 2, x = 2 и x = 5.
Решете уравненията: 1. x 2 + 3 x − 4 + 5 = 0;
8. x 2 − 4 + x 2 − 2 x = 0;
2 2. x − 4 + 2 x + 1 = 0;
9. x − 8 − 3 − x = 5;
3. x 2 + 4 + x 2 + 5 = 0;
10. 1 − x 2 + x 2 − 25 = x + 3;
4. 2 x + 1 + 7 − x = 0;
11. ( x − 5). x − 1 = 0;
5. x + 9 + 6 − x = 0;
12. ( x − 9). 2 − x = 0;
6. 2 x + 1 + x − 5 = −3;
13. ( x 2 − 6 x ) . 5 − x = 0;
7. 2 x − 3 + 5 3 − x = 0;
14. ( x 2 − 4 x + 3) . 7 − x = 0.
Към съдържанието
31
10.
ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ, КОИТО СЕ РЕШАВАТ ЧРЕЗ ПОЛАГАНЕ Ирационални уравнения, в които променливата x участва в един и същи израз, по-лесно могат да се решават чрез въвеждане на помощно неизвестно. Този метод се нарича решаване чрез полагане.
ЗАДАЧА 1
Решете уравнениeто x 2 − 5 x + x 2 − 5 x + 4 = 2. Решение: Променливата x участва само в израза x2 – 5x, което ни дава възможност да въведем помощно неизвестно. Ще разгледаме две различни възможности за полагане и съответните решения. I начин: II начин: Полагаме x2 – 5x = u. Получаваме и решаваме ирационално уравнение с неизвестно u.
2 Полагаме x − 5 x + 4 = u ≥ 0 . Повдигаме на квадрат и изразяваме x2 – 5x чрез u.
u+ u+4 =2
(
u + 4 = 2−u
(
2
x2 − 5x + 4 = u 2
u + 4 ) = (2 − u )2 2
x2 − 5x = u 2 − 4
u + 4 = 4 − 4u + u 2 u 2 − 5u = 0,
x2 − 5x + 4 ) = u 2
u1 = 0, u2 = 5
Правим проверка за u:
Заместваме в даденото уравнение и получаваме рационално уравнение. u2 – 4 + u = 2 u2 + u – 6 = 0
u1 = 0,
0 + 0 + 4 = 2,
2=2
u2 = 5,
5 + 5 + 4 = 8,
8 ≠ 2.
Ирационалното уравнение има само един корен: u = 0. Връщаме се в полагането и решаваме полученото рационално уравнение: x2 – 5x = 0 x1 = 0, x2 = 5.
u1 = –3 < 0 – не u2 = 2 > 0 – да
Връщаме се в полагането и решаваме полученото ирационално уравнение. x2 − 5x + 4 = 2
(
x 2 − 5 x + 4 ) = 22 2
x2 − 5x + 4 = 4
Отг. Първоначалното уравнение има два корена: x1 = 0 и x2 = 5.
x2 − 5x = 0 x1 = 0, x2 = 5 Правим проверка дали x удовлетворява уравнението
x2 − 5x + 4 = 2 :
x1 = 0,
02 − 5.0 + 4 = 2,
2=2
x1 = 5,
52 − 5.5 + 4 = 2,
2 = 2.
Отг. Първоначалното уравнение има два корена: x1 = 0 и x2 = 5.
32
Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
Решете уравненията: a) x 2 + 8 x − 2 x 2 + 8 x = 3; Решение:
б)
2x + 1 −
4 = −3. 2x + 1
a) x 2 + 8 x − 2 x 2 + 8 x = 3 ;
б)
2x + 1 −
2 Полагаме x + 8 x = u. Получавамe уравнението
4 = −3. 2x + 1
Полагаме
u−2 u =3
(2 u )
2
= (u − 3) 2
4u = u 2 − 6u + 9 u 2 − 10u + 9 = 0,
u1 = 1, u2 = 9.
Правим проверка за u: u1 = 1,
1 − 2 1 = −1,
−1 ≠ 3
u2 = 9,
9 − 2 9 = 3,
3 = 3.
Връщаме се в полагането: x2 + 8x = 9 x 2 + 8 x − 9 = 0 → x1 = 1, x2 = −9. Отг. Уравнението има два корена: x1 = 1 и x2 = – 9.
ЗАДАЧА 3
Решете уравненията:
2 x + 1 = u > 0.
Получаваме уравнението u − 4 = −3 u 2 u + 3u = 4 = 0, u1 = 1 – да u2 = – 4 – не. Връщаме се в полагането: 2x + 1 = 1 2x + 1 = 1 x = 0. Проверка: x = 0,
2.0 + 1 = 1,
1=1
Отг. Уравнението има един корен: x = 0.
a)
2 x 2 + 3 x + 1 + 2 x 2 + 3 x + 2 = 1; Решение:
б)
2 x 2 + 6 x + 1 + 3 x 2 + 9 x + 4 = 3.
a) 2 x 2 + 3 x + 1 + 2 x 2 + 3 x + 2 = 1
б)
2 x 2 + 6 x + 1 + 3x 2 + 9 x + 4 = 3
Полагаме 2 x 2 + 3 x + 1 = u. Получаваме уравнението u + u +1 =1 u +1 =1− u
Полагаме x2 + 3x = u. Получаваме уравнението 2u + 1 + 3u + 4 = 3
u +1 =1− 2 u + u
3u + 4 = 3 − 2u + 1
2 u = 0,
3u + 4 = 9 − 6 2u + 1 + 2u + 1
u = 0.
Проверка: u = 0,
2( x 2 + 3 x) + 1 + 3( x 2 + 3 x) + 4 = 3
0 + 0 + 1 = 1, 1 = 1
Връщаме се в полагането: 2 x 2 + 3x + 1 = 0
x1 = −1, x2 = − 1 . 2 Отг. Уравнението има два корена: x1 = – 1 и x2 = − 1 . 2
Към съдържанието
6 2u + 1 = 6 − u 36(2u + 1) = (66 − u ) 2 u 2 − 84u = 0, u1 = 0, u2 = 84. Проверка: u1 = 0, 2.0 + 1 + 3.0 + 4 = 3, 3=3 u2 = 84, 2.84 + 1 + 3.84 + 1 = 29, 29 ≠ 3 Връщаме се в полагането: x 2 + 3 x = 0 → x1 = 0, x2 = −3 . Отг. Уравнението има два корена: x1 = 0 и x2 = – 3.
33
ЗАДАЧА 4
Решете уравненията: 2 x + 1 − 6 x − 1 = −5; a) x −1 2x + 1 Решение: a)
2 x + 1 − 6 x − 1 = −5; 2x + 1 x −1
Полагаме 2 x + 1 = u > 0. x −1 Получаваме уравнението u − 6 = −5 u 2 u + 5u − 6 = 0 , u1 = 1 – да u2 = – 4 – не. Връщаме се в полагането: 2x + 1 = 1 x −1 2x + 1 = 1 x −1 2x + 1 = x −1 x = −2.
б) 5 1 + x − 6 = 1 + x Полагаме 1 + x = u ≥ 1. Получаваме уравнението 5 u −6=u 5 u =u+6 25u = u 2 + 12u + 36 u 2 − 13u + 36 = 0, u1 = 4, u2 = 9. Връщаме се в полагането: 1+ x = 4
1+ x = 9
x =3 x1 = 9
Проверка: 2.(−2) + 1 = −3 = −3 −2 − 1 = 1 = 1, 1 = 1
x =8 x2 = 64.
Проверка: x1 = 9,
5 1 + 9 − 6 = 1 + 9,
4=4
x2 = 64, 5 1 + 64 − 6 = 1 + 64 , 9 = 9
Отг. Уравнението има eдин корен: x = –2.
ЗАДАЧА 5
б) 5 1 + x − 6 = 1 + x .
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 9 и x2 = 64.
Решете уравненията: a)
x 2 + 6 x +1+ x 2 + 6 x + 9 = 2;
б) ( x + 1)( x + 3) − 2 x 2 + 8 x − 1 = 5.
Решение: a)
x 2 + 6 x +1+ x 2 + 6 x + 9 = 2
Полагаме x2 + 6x + 1 = u. Получаваме уравнението u + u +8 = 2
(
u + u +8
)
2
= 22
u + u +8 = 4 u +8 = 4−u u + 8 = 16 − 8u + u 2 u 2 − 9u + 8 = 0, u1 = 1, u2 = 8.
34
2 б) ( x + 1)( x + 3) − 2 x + 8 x − 1 = 5
x 2 + 4 x + 3 − 2( x 2 + 4 x ) − 1 = 5 Полагаме x2 + 4x = u. Получаваме уравнението u + 3 − 2u − 1 = 5 u − 2 = 2u − 1 u 2 − 4u + 4 = 2u − 1 u 2 − 6u + 5 = 0, u1 = 1, u2 = 5.
Към съдържанието
Проверка:
Проверка: u1 =1,
1+ 1+ 8 = 1+ 3 = 2,
u2 = 8,
ЗАДАЧА 6
8 + 16 = 8 + 4 = 12 ,
2=2 12 ≠ 2
u1 =1, 1− 2 = −1,
2.1 −1=1, −1≠1
u2 = 5, 5 − 2 = 2.5 −1, 3 = 3
За u = 1 се връщаме в полагането: x2 + 6x + 1 = 1 x2 + 6x = 0, x1 = 0, x2 = – 6.
Връщаме се в полагането: x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 = 0, x1 = 1, x2 = – 5.
Отг. Уравнение има два корена: x1 = 0 и x2 = – 6.
Отг. Уравнение има два корена: x1 = 1 и x2 = – 5.
Решете уравненията: a) x 4 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 4 = 2 ;
б) x3 − 7 x + x3 − 7 x + 9 = 3.
Решение: 4 2 4 2 a) x − 9 x + x − 9 x + 4 = 2
б) x3 − 7 x + x3 − 7 x + 9 = 3
Полагаме x4 – 9x2 = u. Получаваме уравнението
Полагаме x3 − 7 x = u.
u+ u+4 =2
u+ u+9 =3
u + 4 = 2−u
(
u + 4 ) = (2 − u )2 2
u + 4 = 4 − 4u + u 2
Получаваме уравнението u +9 = 3−u
(
u1 = 0, 0 + 0 + 4 = 2, 2 = 2 u2 = 5, 5 + 5 + 4 = 8, 8 ≠ 2 Връщаме се в полагането.
u 2 − 7u = 0, u1 = 0, u2 = 7. Проверка: u1 = 0, 0 + 0 + 9 = 3,
3=3
u2 = 7, 7 + 7 + 9 =11, 11 ≠ 3 Връщаме се в полагането.
x4 − 9 x2 = 0
ЗАДАЧИ
2
u + 9 = 9 − 6u + u 2
u 2 − 5u = 0, u1 = 0, u2 = 5. Проверка:
u + 9 ) = (3 − u ) 2
x3 − 7 x = 0
x 2 ( x + 3)( x − 3) = 0 x1 = x2 = 0, x3 = −3, x4 = 3
x ( x + 7 )( x − 7 ) = 0
Отг. Уравнението има три корена: 0; – 3 и 3.
Отг. Уравнение има три корена: 0, − 7 и 7.
x1 = 0, x2 = − 7 , x3 = 7
Решете уравненията: 1. x 2 + 3 x + x 2 + 3 x + 1 = 1;
5.
x 2 − 2 x + x 2 − 2 x + 33 = 3;
2 2 2. x − 7 x + x − 7 x + 4 = 2;
2 2 6. x + 4 x + 1 + 2 x + 8 x + 9 = 4;
2 2 3. x + 3 x + 2 x + 6 x + 4 = 2;
7. 5 + x = 4 5 + x − 3;
4. x 2 + 4 x + 3 + x 2 + 4 x + 36 = 3;
8.
Към съдържанието
x − 2 + 2 x + 1 = 3. x +1 x−2
35
11.
РЕШАВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ТЕОРЕМА ЗА ЕКВИВАЛЕНТНОСТ Нека е дадено уравнението (1) f ( x ) = g ( x ) , в което изразите f(x) и g(x) също могат да съдържат квадратни радикали. Като повдигнем двете му страни на втора степен, получаваме уравнението (2) f(x) = g2 (x), което се нарича уравнение следствие от (1). Двете уравнения (1) и (2) не са еквивалентни. • Всеки корен на (1) е корен и на (2). • Не всеки корен на (2) е корен и на (1). Ако могат да се намерят корените на уравнението (2), при определянето кои от тях са истински и кои са чужди използвахме метода на проверката. Но проверката изисква да се извършат пресмятания, които в някои случаи са трудни. Ще покажем, че тези пресмятания могат да се избегнат, като се заменят с проверка само на едно неравенство. Нека x0 е корен на уравнението (2) : f (x0) = g2(x0). Като коренуваме, получаваме
f ( x0 ) = g ( x) , т.е.:
•
f ( x0 ) = g ( x0 ), ако g (x0) ≥ 0 и в този случай x0 е корен на уравнението (1);
•
f ( x0 ) = − g ( x0 ), ако g (x0) < 0 и в този случай x0 не е корен (чужд корен) на уравнението (1).
Доказахме следната теорема за еквивалентност:
Т
Нека D е множеството от числата x, за които g (x) ≥ 0. Уравненията f ( x) = g ( x) и f ( x) = g 2 ( x) са еквивалентни в D. f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g 2 ( x), g ( x) ≥ 0.
При решаване на ирационално уравнение от вида f ( x) = g ( x) не е необходимо да се записва дефиниционното множество DM : f(x) ≥ 0, определящо съществуването на квадратния корен. Условието f(x) ≥ 0 се гарантира от факта, че уравнението се свежда до решаване на f(x) = (g(x))2 и очевидно (g(x))2 ≥ 0. При решаване на ирационални уравнения с теоремата за еквивалентност следваме правилото:
!
ЗАДАЧА 1
ПРАВИЛО: • Преобразуваме уравнението във вида (1): f ( x) = g ( x). • Повдигаме двете страни на уравнението (1) на втора степен и го записваме във вида f (x) = g2 (x), g (x) ≥ 0. • Намираме корените на уравнението (2): f (x) = g2 (x). • За всеки корен x0 на уравнението (2) проверяваме знака на g(x): ако g(x0) ≥ 0 ⇒ x0 e корен на (1); ако g(x0) < 0 ⇒ x0 не e корен на (1). Решете уравненията: a)
36
2 x + 5 = 2 x −1;
б) 4 2 x + 9 = x + 12.
Към съдържанието
Решение: a)
2x + 5 = 2x −1
б) 2
16 ( 2 x + 9 ) = x + 12
2 x + 5 = (2 x − 1) , 2 x − 1 ≥ 0 2 x 2 − 3x − 2 = 0 x1 = 2, x2 = − 1 2 Проверяваваме знака на 2x – 1: за x1 = 2, 2.2 – 1 > 0 – да, за x2 = − 1 , 2. − 1 − 1 < 0 → – не. 2 2
16 (2 x + 9) = ( x + 12) 2 , x + 12 ≥ 0 x ( x − 8) = 0 x1 = 0, x2 = 8 Проверяваваме знака на x + 12: за x1 = 0, 0 +12 > 0 – да, за x2 = 8, 8 + 12 = 20 > 0 – да.
равнението има един корен: Отг. У x1 = 2.
Отг. Уравнението има два корена: x1 = 0 и x2 = 8.
( )
ЗАДАЧА 2
4 2 x + 9 = x + 12
Решете уравнениeто Решение:
2 x − 5 − x +1 =1.
2 x − 5 =1+ x +1 Написваме уравнението във вида f ( x) = g ( x).
2 x − 5 = (1 + x + 1 ) , 1 + x + 1 ≥ 0 2
2x − 5 = 1 + 2 x + 1 + x + 1
Преобразуваме уравнението отново във вида f1 ( x) = g1 ( x).
2 x +1 = x − 7 4( x + 1) = ( x − 7) 2 , x − 7 ≥ 0
Повдигаме на квадрат и поставяме условие то g1 (x) ≥ 0.
2
4 x + 4 = x − 14 x + 49
Решаваме уравнението и получаваме корените му x1 и x2.
2
x − 18 x + 45 = 0 x1 = 3, x2 = 15 За x1 = 3
За всеки корен проверяваме дали изпълнява поставените му условия:
1 + 3 + 1 > 0 – да 3 − 7 < 0 − не.
g ( x) ≥ 0 (1 + x + 1 ≥ 0 ) g1 ( x) ≥ 0 ( x − 7 ≥ 0 ) .
За x2 = 15 1 + 15 + 1 > 0 – да 15 − 7 < 0 − да. Само числото 15 удовлетворява и двете неравенства 1 + x + 1 ≥ 0 и x – 7 ≥ 0.
ЗАДАЧИ
Повдигаме на квадрат и поставяме условието g (x) ≥ 0.
Отг. Уравнението има един корен: x = 15.
Решете уравненията: 1.
4 x + 1 = 3 x − 3;
7. 10 − x + 2 x + 7 = 6;
2.
x 2 − 3 x + 1 = 7 − 2 x;
8.
3.
x + 1 + 7 − 2 x = 3;
9. 15 − x + 3 − x = 6;
4.
4 x − 10 − 2 x + 2 = 1;
10.
2 x + 3 + x + 1 = 1;
16.
4 x + 8 − 3 x − 2 = 2;
5.
x + 10 + 15 − x = 7;
11
x + 2 + x − 3 = 5;
17.
4 x + 1 − x + 2 = 1;
6.
2 x + 3 + 3 x + 2 = 2 5 ; 12.
x + 4 + x − 1 = 5;
18.
3 x + 19 − 2 = x + 7 .
Към съдържанието
2 x − 4 − x + 5 = 1;
13.
x − 4 + x + 1 = 5;
14.
2 x + 1 − x − 3 = 2;
15. 10 − x + x = 4;
37
12.
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ Запомнете! Ирационален израз
лгебричен израз, който съдържа А радикал (корен).
Ирационално уравнение
равнение, в което неизвестното се У съдържа и под знака за коренуване.
Теорема Ако двете страни на едно уравнение се повдигнат на квадрат, се получава уравнение, следствие на даденото. Множеството от неговите решения съдържа множеството от решенията на първоначалното уравнение.
2 (1) f ( x) = g ( x) ⇒ (2) f ( x) = g ( x) Уравнението (2) е следствие на уравнението (1). Освен корените на ирационалното уравнение то може да има и други корени, наречени придобити (чужди).
Tеорема Нека D e множеството от числата x, за които g (x) ≥ 0. Уравненията f ( x) = g ( x) ⇒ и f ( x) = g 2 ( x) са еквивалентни в D.
ЗАДАЧА 1
f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g 2 ( x), g ( x) ≥ 0
Намерете допустимите стойности на x в следните ирационални изрази: a) A = x 2 − 2 x + x + 6;
б) B = x3 − 3 x + 5 − x 2 .
Решение: Допустимите стойности на ирационалните изрази се определят от условията: 3 б) x − 3 x ≥ 0
2 а) x − 2 x ≥ 0 x+6≥0
5 − x2 ≥ 0
x ( x − 2) ≥ 0 x ≥ −6
0
2
–6
–6
(
5 − x)( 5 + x) ≥ 0
− 3
0
− 5
0 2
Отг. ДС: x ∈ [−6; 0] ∪ [2; + ∞].
38
x ( x − 3 )( x + 3 ) ≥ 0
5
− 5− 3 0
Отг. ДС: x ∈ [− 3; 0] ∪ [ 3;
3
3 5
5 ].
Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
2 x 2 Опростете израза A = − ⋅ x − 3 + 3 : 3 x , x > 0, x ≠ 3, x− 3 x − 3 x x +3 3 и пресметнете числената му стойност при: б) x = 5; в) x = 9. а) x = 4; Решение: 2 x 2 A= − ⋅ x − 3 + 3 : 3x = x− 3 x − 3 x x +3 3 2 x 2 ⋅ x − 3x + 3 . 1 = = − 3 3 x − 3 ( x ) + ( 3) x − 3 3 x x − 3x + 3 2( x + 3 ) 2 x = − ⋅ ( x − 3)( x + 3 ) ( x + 3) ( x − 3 x + 3) x− 3
⋅ 1 = 3x
2 ( x + 3 ) 2 x 3x − = = ⋅ x−3 x − 3 3x = 2 x + 2 3 − 2 x ⋅ 3x = x−3 3x = 2 3. 3 x = ( x − 3).3 x = 2 x x( x − 3)
ЗАДАЧА 3
а) При x = 4
б) При x = 5
в) При x = 9
A = 2 4 = 2.2 = 1. 4 (4 − 3) 4
A= 2 5 = 5. 5 (5 − 3) 5
A = 2 9 = 2.3 = 1 . 9 (9 − 3) 9.6 9
Решете уравненията: а) 4 x = x + 3; Решение: 4 x = x+3 а) 16 x = x + 3
(
16 x ) = ( x + 3) 2 , x + 3 ≥ 0 2
16 x = x 2 + 6 x + 9 x 2 − 10 x + 9 = 0, x1 = 1, x2 = 9 Проверяваме знака на x + 3. x1 = 1, 1 + 3 > 0 – да x2 = 9, 9 + 3 > 0 – да Отг. У равнението има два корена: x1 = 1 и x2 = 9.
Към съдържанието
б) б)
2 x 2 − 9 x + 4 = x − 2. 2 x2 − 9 x + 4 = x − 2
(
2 x 2 − 9 x + 4 ) = ( x − 2) 2 , x − 2 ≥ 0 2
2 x2 − 9 x + 4 = x2 − 4 x + 4 x 2 − 5 x = 0, x1 = 0, x2 = 5
Проверяваме знака на x – 2. x1 = 0, 0 – 2 < 0 – не x2 = 5, 5 – 2 > 0 – да Отг. У равнението има един корен: x = 5.
39
ЗАДАЧА 4
Решете уравненията: 2 2 а) x − 2 x + 13 = − x − 1; Решение:
а)
б)
x 2 − 2 x + 13 = − x 2 − 1;
б) x − 3 = 1 − x x−3≥ 0
− x 2 − 1 < 0 за всяко x
3
1− x ≥ 0
x 2 − 2 x + 13 > 0 за всяко x
1 Няма стойности на x, при които двете неравенства са изпълнени. Отг. У равнението няма корени.
Отг. У равнението няма корени.
ЗАДАЧА 5
x − 3 = 1 − x.
Решете уравненията: а)
2 x + 1 − x − 3 = 2;
б)
x 2 + 3 x − 2 − x 2 − 8 = 3.
Решение:
2 2 3− x 2 − 8 = 3 x 22 + 3 xб)− 2 −x +x 223−x 8− = x + 3x − 2 − x − 8 = 3 2 2 8= 3 + x 2 − 8 x 22 + 3 x − 2 =x 3 + 3 xx−22 − x + 3 x − 22 = 3 + x − 8 2 2 2 2 2 ( 2 x + 1 )( =2 x( 2++1 ) x=−( 32 )+ , x2 −+ 3 )x −, 32 +≥ 0 x −(3 ≥x 20+ 3x − 2 ) = ( 3 + x 2 − 8 ) , 3 + x 2 − 8 ≥ 0 2 2 2 x 22 + 3 x − 2 =x9 + 63 x −x 222−=89++x622 −x8 − 8 + x − 8 2 x + 1 = 42+x 4+ 1 x= −43++4 x x− −3 3 + x − 3 x + 3x − 2 = 9 + 6 x − 8 + x − 8 2 2 x 22 − 8 = x2− 1x − 8 = x − 1 4 x − 3 =4 x x − 3 = x − = − 2 x 8 x 1 2 2 2 2 ( 4 x − 3()4 =xx−2 ,3 )x ≥=0x 2 , x ≥ 0 (( 2 x 22 − 8 ))2 (=2 ( xx−2 1−)822 ,) x=−(1x≥−01)2 , x − 1 ≥ 0 2 x − 8 = ( x −21) , x − 12≥ 0 2 = xx2− 48 = x 16 x − 48 16 4 x 22 − 32 = x422 x− 2−x32 + 1= x − 2 x + 1 4 x − 32 =2 x − 2 x + 1 2 2 2 − 16 3 x= 0+ 2 x − 33 = 0 = 0x + 48 = 0 x − 16 x +x 48 3 x 2 + 2 x − 33 3 x + 2 x − 33 = 0 x1 = 4, x2x1==124, x2 = 12 x13=11 3, x2 = −3 1 x1 = 3, x2 = − 3 x1 = 3, x2 = −3 3 3 За x1 = 4 2 + 4 − 3 > 0 − да
2 xа)+ 1 − 2xx −+ 31 −= 2 x − 3 = 2 2 x + 1 = 22+x + 1x =− 32 + x − 3
4 > 0 − да.
За x1 = 3 3 + 32 − 8 > 0 − да 3 − 1 > 0 − да.
За x2 = 12 2 + 12 − 3 > 0 − да 12 > 0 − да.
1 1 За x2 = −3 −3 − 1 < 0 3 3 x2 не е корен.
Отг. У равнението има два корена: x1 = 4 и x2 = 12.
ЗАДАЧА 6
Решете ирационалното уравнение (2 x − 4) 2 x 2 − 1 = 3 x 2 − 7 x + 2 . Решение: (2 x − 4) 2 x 2 − 1 = 3 x 2 − 7 x + 2
3x 2 − 7 x + 2 = 0
2( x − 2) 2 x 2 − 1 = (3 x − 1)( x − 2)
x1,2 = 7 ± 25 , x1 = 2, x2 = 1 46 3 2 1 3 x − 7 x + 2 = 3( x − 2) x − = (3 x − 1)( x − 2) 3
( x − 2) ( 2 2 x 2 − 1 − 3 x +11) = 0
40
Отг. У равнението има един корен: x = 3.
( )
Към съдържанието
∪
x−2=0 x1 = 2
2 2 x 2 − 1 − 3x + 1 = 0 2 2 x 2 − 1 = 3x − 1
(2
2 x 2 − 1 ) = (3 x − 1) 2 2
4 ( 2 x 2 − 1) = 9 x 2 − 6 x + 1 8x2 − 4 = 9 x2 − 6 x + 1 x2 − 6 x + 5 = 0 x2 = 1, x3 = 5 Проверка: x1 = 2, 0. 7 = 12 − 14 + 2, 0 = 0 x2 = 1, − 2 1 = 3 − 7 + 2, − 2 = −2 x3 = 5, 6 49 = 75 − 35 + 2, 42 = 42
ЗАДАЧА 7
Решете уравнениeто Решение: I начин:
2
x+9 + x
()
x = 21. x+9 2
2
x+9 x = 5 + x x+9 2 x + 9 + 2 + x = 25 x x+9 4 x + 9 + x = 17 , x ≠ 0, x ≠ −9 x x+9 4 2 4( x + 9) + 4 x 2 = 17 x( x + 9) 4 x 2 + 72 x + 324 + 4 x 2 = 17 x 2 + 153 x x 2 + 9 x − 36 = 0, x1 = −12, x2 = 3 Проверка: x1 = −12, −12 = 1 + 2 = 2 1 −12 + 9 + −12 + 9 2 −12 2 x2 = 3,
2 1 = 2 1 − да 2 2
3+9 + 3 = 2+ 1 = 21 3 3+9 2 2 2 1 = 2 1 − да 2 2
Към съдържанието
Отг. Уравнението има три корена: x1 = 2, x2 = 1, x3 = 5.
II начин: x+9 + x
x = 5 , x ≠ 0, x ≠ −9 x+9 2
x + 9 = u, u > 0 . x u+1 = 5 u 2 u =2>0 2u 2 − 5u + 2 = 0 → 1 1 u2 = > 0 2 Връщаме се в полагането. Полагаме
x + 9 = 2, 2 > 0 x x+9 =4 x x + 9 = 4x x=3 x+9 = 1, 1 >0 x 2 2 x+9 = 1 4 x 4 x + 36 = x x = −12 Отг. Уравнение има два корена: x1 = –12 и x2 = 3.
41
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ Решете уравненията: 2 2 37. 2 x − 7 − x − 3 = 0;
1. 6 − x = 3 x − 4;
19.
2 x 2 − 7 x + 1 = 3 x + 1;
2. 5 x − 1 = x + 1;
20.
2 2 5 x 2 − 3 x + 25 = 2 x + 5; 38. 3 x + 1 + 5 − x = 4;
3. x + 2 = 4 − x;
21.
x 2 + 2 x + 6 = x + 2;
4. 4 x + 1 = x + 1;
22.
3 x 2 + 5 x +1 + x = 4;
2 23. 7 x + x + 1 − 2 x = 1;
2 2 40. 2 x + 3 + 4 − x = 4;
41. x + 2 + x − 1 = 3;
5. x + 1 = 5 − x;
2 2 39. 2 x + 1 + x + 4 = 3;
6. 2 x + 3 = x; 7.
5 x + 1 = x + 1;
8
7 − x = x − 1;
9. x + 5 = x + 3; 10. 3 x + 7 = 3 x + 5; 11. x + 10 = x + 4; 12. 7 − 2 x = x + 4; 13. x + 6 = x + 4; 14.
7 − x = x + 5;
15. 2 x + 5 = x + 3; 16. 17.
3 x + 7 = 2 x + 5; 2
2 x − 9 x + 4 = x + 2;
2 18. 3 x − 5 x + 9 = 2 x + 3;
42
2 24. 8 x + 3 x − 2 + 2 x = 5;
42. x + 1 + 3 x + 1 = 2;
25. x + 7 + 2 − x = 3;
43. x + 2 + x + 10 = 2;
26. 5 x − 1 + x + 2 = 5;
44. 2 x + 2 + x − 2 = 4;
27. 3 x − 2 + 3 − x = 3;
45. ( x + 2). x + 1 = 0;
28. 4 x + 1 + x − 2 = 3;
46. (2 x − 1). x + 5 = 0;
29. x + 1 + x − 2 = 3; 30. 2 x + 3 + x − 3 = 3; 31. x + 1 + 4 − x = 3; 32. 5 x + 1 − x − 2 = 3; 33. x + 5 + x + 2 = 3; 34. 3 x + 7 + 3 − x = 4; 35. x + 5 − x + 2 = 1; 36. 8 − x − 3 − x = 1;
2 47. ( x − 4 x). x + 3 = 0; 2 48. ( x + 2 x − 3). x + 7 = 0; 2 2 49. ( x + 6 x + 5). x − 9 = 0;
50. ( x 2 − 2 x − 8). x 2 + 3 x = 0; 2 2 51. ( x − 5). x + 7 = x − 4 x − 5; 2 52. ( x − 3). 5 x +1 =− x + 4 x − 3;
53.
5 x − 2 + 3 x − 2 = 4; x−2 5x − 2
2x −1 3x + 1 54. 4 3 x + 1 + 3 2 x − 1 = 7.
Към съдържанието
13.
ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ 1. Допустимите стойности на израза x+3 x − 2 са: А) x ∈ (– 3; + ∞);
6. Кое от посочените уравнения има корен?
Б) x ∈ [– 3; +∞); В) x ∈ [– 3; 2) ∪ (2; + ∞); Г) x ∈ (– 3; 2) ∪ (2; + ∞). 2. Числената стойност на израза 3 x − x 2 − 6 x − 2 при x = – 3 e:
А)
x 2 + 4 = −2 ;
Б)
x − 5 = 3 − x;
В)
2x + 3 + x − 5 = 0;
Г)
3x − 5 − x + 7 = 0 .
7. Сборът от корените на уравнението
2 x + 2 − 3 x − 2 = 2 е:
А) – 14;
А) – 36;
Б) – 4;
Б) – 32;
В) – 34;
В) 32;
Г) 16.
Г) 36.
3. Корените на уравнението
x − 1 = x − 3 са: А) 2; Б) 5;
8. Опростете израза x +1 + 1 − x (x > 0, x ≠ 1) и x x− x x +1 пресметнете числената му стойност
В) 2 и 5;
при x = 2 .
Г) 3 и 5;
9. Намерете корените на уравнението
4. Произведението на корените на уравнението
x 2 + 6 x + 12 − 2 = 0 е:
А) – 10; Б) – 8; В) 10;
x + 4 + 7 − x = 3.
10. Решете уравнението
2x + 8 1 − 3 = 6 . 2x 2x − 3
Г) 8. 5. Броят на корените на уравнението ( x 2 − 9) x 2 − 2 x − 8 = 0 е: А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
Към съдържанието
43
ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ 1. Допустимите стойности на израза 5 − x са: x2 − 4 А) x ∈ (– ∞; 5]; Б) x ∈ (– ∞; 4) ∪ (4; 5]; В) x ∈ (– ∞; 2) ∪ (2; 5]; Г) x ∈ (– ∞; – 2) ∪ (– 2; 2) ∪ (2; 5]; 2. Числената стойност на израза
2 x − 3 x 2 + 5 x + 2 при x = – 2 e: А) – 8; Б) – 6; В) – 4; Г) – 2.
3. Корените на уравнението 5 x − 1 = x + 1 са:
А) 1;
6. Кое от посочените уравнения има корен? А)
x − 6 − 2 − x = 3;
Б)
x + 3 + x 2 + 3x = 0 ;
В)
2 x + 3 + x2 = 0;
Г)
2x − 3 = 1 − x.
7. Сборът от корените на уравнението
5 x + 1 − 2 6 x + 1 = 1 е: А) 56; Б) 40; В) – 40; Г) – 56. 8. Опростете израза 3− x + 1 − 2 x −1 2 x − 2 2
В) 1 и 2;
1 x +1 (x > 0, x ≠ 1) и пресметнете числената
Г) – 2 и – 1;
му стойност при x = 1 − 2 .
Б) 2;
4. Произведението на корените на уравнението
2
x − 5 x + 3 − 3 = 0 е:
А) – 6; Б) – 12; В) 6; Г) 12.
(
)
9. Намерете корените на уравнението
5− x+ x+6 =3.
10. Решете уравнението
3x + 6 x − 2 = 5 . x−2 3x
5. Броят на корените на уравнението ( x 2 − x − 12) x 2 − 4 = 0 е: А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
44
Към съдържанието
ТЕМА 2 ПРОГРЕСИИ
(Урок 14 – Урок 25) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: числови редици, понятията и свойствата, свързани с тях; аритметична прогресия, нейните елементи и свойства; геометрична прогресия, нейните елементи и свойства; проста и сложна лихва; кредит, рента, лизинг. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да конструират числова редица по дадено правило; да определят дали една редица е монотонна; да намират елементите на аритметична и геометрична прогресии; да решават комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия; да моделират с прогресия; да решават практически задачи, свързани с проста и със сложна лихва. 45
14.
ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ. НАЧИН ЗА ЗАДАВАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ Крайна числова редица
О
Крайна числова редица се нарича множество от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа от 1 до k. Числото, съпоставено на 1, означаваме a1, на 2 → a2, ..., на k → ak . Числата a1, a2, ..., ak се наричат членове на крайната числова редица: a1 – първи член, a2 – втори член, ...., ak – k-ти член. Примери: • Първите десет четни числа (1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Те се получават, като умножим с 2 първите десет естествени числа. • Квадратите на реципрочните стойности на първите седем естествени числа (2) 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 . 4 9 16 25 36 49 От определението следва, че членовете на една крайна редица са множеството от стойностите на една функция с дефиниционна област естествените числа от 1 до k. Например: • Крайната редица (1) е множеството от стойностите на функцията f (n) = 2n, D : n ∈ {1, 2, ..., 10}.
! О
• Крайната редица (2) съответства на функцията f (n) = 12 , D : n ∈{1, 2, ..., 7}. n
Всяка функция от вида f (n), D : n ∈ {1, 2, ..., k}, определя една крайна числова редица.
Безкрайна числова редица Ако дефиниционната област на f (n) е множеството от всички естествени числа, редицата се нарича безкрайна. Безкрайна числова редица се нарича множество от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа 1, 2, 3, ..., n ... . Числото an, съпоставено на естественото число n, се нарича n-ти (общ) член на редицата, а n – негов номер. Членовете на безкрайната числова редица записваме във вида a1, a2, a3, ..., an-1, an, an+1 , ... в реда на съпоставянето им на естествените числа. Начини за задаване на числови редици • Аналитично (с формула за общия член): Пример: an = n +1 . Редица е 2, 3 , 4 , 5 , … , n + 1 , … n n 2 3 4 • Описателно (словесно):
46
Пример: На естественото число n съпоставяме n-тото подред просто число. Редицата е 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Към съдържанието
• С рекурентна зависимост (рекурентна формула): Задават се а1 и връзка между два съседни члена на редицата. Пример: a1 = 1, an = an – 1 + n. Редицата е 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... Задават се а1 и а2 и връзка между три съседни члена на редицата. Пример: a1 = 1, a2 = 1, an = an – 1 + an – 2. Редицата е 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Редица на Фибоначи). • Графично: Т ъй като членовете на една редица са стойностите на функция, те могат да се представят чрез графиката на тази функция. Например редицата 1, 1 , 1 , 1 ,. ..., 1 , ... с общ член an = 1 e изобразена гра2 3 4 n n фично на чертежа.
Д руг начин за геометрично изобразяване на една редица използва само абсцисна1 та ос. Така е изобразена редицата с общ член an = на чертежа. n
Всяка редица се изобразява с точки върху числовата ос. Всяка точка от числовата ос съответст в а на едно реално число и обратно. Поради това, без да има двусмислие, точките от числовата ос можем да наричаме числа, а числата – точки.
ЗАДАЧА 1
Напишете първите четири члена на редицата с общ член: б) an = 1 + (–1)n; а) an = 4n – 3; Решение: б) a1 = 1+ ( – 1)1 = 0 а) a1 = 4.1 – 3 = 1 a2 = 1 + ( – 1)2 = 2 a2 = 4.2 – 3 = 5 a3 = 1 + ( – 1)3 = 0 a3 = 4.3 – 3 = 9 a4 = 1 + ( – 1)4 = 2 a4 = 4.4 – 3 = 13
Отг. 1, 5, 9, 13
ЗАДАЧА 2
Отг. 0, 2, 0, 2
в) an = |n – 2n|. в) a1 = |1 – 21| = 1 a2 = |2 – 22| = 2 a3 = |3 – 23| = 5 a4 = |4 – 24| = 12 Отг. 1, 2, 5, 12
Напишете общия член на редицата: б) 1, − 1 , 1 , − 1 , 1 , ...; в) −1, 1 , − 1 , 1 , − 1 ,... а) 0, 1 , 2 , 3 , 4 , ...; 3 4 5 6 2 3 4 5 4 9 16 25 Решение: a) На естественото число n се съпоставя дроб с числител n – 1 и знаменател n + 1, т.е. an = n − 1 ⋅ n +1
Към съдържанието
47
б) На естественото число n се съпоставя реципрочната му стойност, взета със знак „+“ или „–“ в зависимост от това дали n е нечетно, или четно число. Следователно an = (−1) n +1 ⋅ 1 . n в) На естественото число n се съпоставя квадратът на реципрочната му стойност, взета със знак „+“ или „–“ в зависимост от това дали n е четно, или нечетно число. n 1 Следователно an = (−1) ⋅ 2 . n
ЗАДАЧА 3
Напишете първите четири члена на рекурентната редица: в) a1 = 1, a2 = 3 б) a1 = 2 а) a 1 = 3 an = an – 2 + 2an – 1. an = n + an – 1; an = 3an – 1 – 2; Решение: а) a 1 = 3 a2 = 3a1 – 2 = 3.3 – 2 = 7
б) a1 = 2 a2 = 2 + a 1 = = 2 + 2 = 4
a3 = 3a2 – 2 = 3.7 – 2 = 19
a3 = 3 + a2 = = 3 + 4 = 7
a4 = 3a3 – 2 = 3.19 – 2 = 55 Отг. 3, 7, 19, 55
a4 = 4 + a3 = = 4 + 7 = 11 Отг. 2, 4, 7, 11
в) a1 = 1 a2 = 3 a3 = a1 + 2a2 = = 1 + 2.3 = 7 a4 = a2 + 2a3 = = 3 + 2.7 = 17 Отг. 1, 3, 7, 17
Монотонност на редица Да разгледаме редиците: (4) 1, 1, 2, 2, 3, 3, ...
(6) 1, 1 , 1 , 1 , ..., 1 , ... 2 3 4 n (7) 1, 0, –1, – 2, – 2, – 2, – 2, ...
(5) –2, – 4, – 6, –8, ..., –2n, ...
(8) − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1, ... , (− 1)n, ...
(3) 1, 2, 3, 4, ..., n, ...
О
Една числова редица се нарича монотонно растяща, когато всеки неин член след първия е по-голям или равен на предходния му, т.е. когато an ≤ an + 1 за n = 1, 2, 3, ... Примери: Редиците (3) и (4). Редицата (3) е строго растяща, защото an < an + 1 за n = 1, 2, 3, ...
О
Една числова редица се нарича монотонно намаляваща, когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния му, т.е. когато an ≥ an + 1 за n = 1, 2, 3, ... Примери: Редиците (5), (6) и (7). Редиците (5) и (6) са строго намаляващи, защото an > an + 1 за n = 1, 2, 3, ... Редица (8) не е монотонна.
48
Към съдържанието
ЗАДАЧА 4
Докажете, че редицата с общ член an = 2n − 1 е строго растяща. n+2 Решение: 2(n + 1) − 1 2n + 1 = , намираме Като вземем предвид, че an+1 = (n + 1) + 2 n + 3 (2n + 1)(n + 2) − (2n − 1)(n + 3) 5 = an +1 − an = 2n + 1 − 2n − 1 = > 0, n+3 n+2 (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) т.е. an + 1 > an, което показва, че редицата е строго растяща.
ЗАДАЧА 5
Докажете, че редицата с общ член an = Решение: an+1 =
2 е строго намаляваща. 3n + 5
2 = 2 3(n + 1) + 5 3n + 8
an +1 − an =
−6 2 − 2 = 2(3n + 5) − 2(3n + 8) = < 0, 3n + 8 3n + 5 (3n + 5)(3n + 8) (3n + 5)(3n + 8)
т.е. an + 1 < an, което показва, че редицата е строго намаляваща.
ЗАДАЧИ
Напишете първите шест числа на редицата с общ член: n2 − 1 ; 1. an = 2. an = | n − n 2 |; 2n n n +1 ; 3. an = 3n − 2n ; 4. an = (−1) n n 1 5. an = (1 + (−1) ) ; 6. an = 1 − (−1) n .2n. 2 Намерете общия член на редицата: 1 2 3 4 5 7. , , , , , ... ; 8. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , ... ; 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 2 5 10 , 17 , 26 , 37 , ... ; 9. , , 10. 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , ... ; 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 13 11. −4, 7 , − 10 , 13 , − 16 , 19 , − 22 , ... 3 5 7 9 11 13 Напишете първите пет члена на рекурентната редица: 12. a1 = 2, an = 2an − 1 + 1;
13. a1 = 1, an = an − 1 − 3;
14. a1 = 5, an = 3an − 1 ;
15. a1 = 3, an = an − 1 + 2n;
16. a1 = 1, a2 = 2, an = an − 1 − an − 2;
17. a1 = 2, a2 = 3, an = nan − 1 + an − 2.
Докажете, че редицата с общ член: 2 19. an = е строго намаляваща; 18. an = 3n − 1 е строго растяща; n n+3 1 + (−1) n n 20. an = n − е монотонно растяща; 21. an = n е строго намаляваща; 2 3 2 n+3 5 n − 3 22. an = е строго растяща; 23. an = 2n − 1 е строго растяща. n+4
Към съдържанието
49
15.
АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ
О
Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като към предходния му се прибавя едно и също число, се нарича аритметична прогресия. Примери: (1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 – крайна аритметична прогресия;
(2)
– безкр айна аритметична прогресия.
За да означим, че една редица е аритметична прогресия, пред нея поставяме знака „÷“. Общият вид на една • крайна аритметична прогресия е ÷ a1 , a2 , a3 , ... , an ; • безкрайна аритметична прогресия е ÷ a1 , a2 , a3 , ... , an , ...
О
Числото, което се прибавя към всеки член на една прогресия, за да се получи следващият и ` член, се нарича разлика на прогресията. Обикновено разликата се означава с буквата d, an = an − 1 + d, d = a2 − a1 = ... = an + 1 − an. Примери: Разликата на (1) е d = 2, а на (2) е • Една крайна аритметична прогресия е определена, когато са дадени a1 , d и броят на членовете ѝ n. Пример: (1) е определена с a1 = 2, d = 2, n = 7. • Една безкрайна аритметична прогресия е определена, когато са дадени a1 и d.
ЗАДАЧА 1
Пример: (2) е определена с a1 = 1 и
Определете кои от дадените редици са аритметични прогресии и намерете за всяка от тях a1, d, както и n, ако прогресията е крайна: а) 1, 4, 7, 10, 13, 16; б) – 1, – 2, – 3, – 4, ..., – n, ...; в) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...; г) 3, 3, 3, 3, 3, ... Решение: а) Редицата е крайна аритметична прогресия с a1 = 1, d = 3, n = 6. б) Редицата е безкрайна аритметична прогресия с a1 = –1, d = – 1. в) Редицата не е аритметична прогресия. г) Редицата е безкрайна аритметична прогресия с a1 = 3, d = 0. • При d > 0 (редицата (а)) всеки член след първия е по-голям от предходния, т.е. аритметичната прогресия е растяща. • При d < 0 (редицата (б)) всеки член след първия е по-малък от предходния, т.е. аритметичната прогресия е намаляваща. • При d = 0 (редицата (г)) всички членове на аритметичната прогресия са равни помежду си. Формула за общия член на аритметична прогресия Като използваме определението за аритметична прогресия, намираме последователно a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2 d, a4 = a3 + d = a1 + 2 d + d = a1 + 3 d и т. н. Въз основа на тези частни случаи може да се направи изводът, че an = a1 + (n − 1) d, n ≥ 1.
50
Към съдържанието
Т ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
За всеки член на една аритметична прогресия е в сила формулата an = a1 + (n − 1) d, където n ≥ 1, a1 е първият член, а d е разликата на прогресията. За аритметичната прогресия намерете: а) a17, ако a1 = 3 и d = 2; Решение: a) a17 = a1 + 16d a17 = 3 + 16 . 2 a17 = 35
б) a6 = a1 + 5d 17 = a1 + 5 . 3 a1 = 2
Намерете първия член (a1) и разликата (d) на аритметичната прогресия, за която са дадени: б) a1 + a2 + a3 = 9 а) a8 − a4 = 12 a4 + a6 − a7 = 5 . a5 + a9 = 40 ; Решение: a) a1 + 7 d − (a1 + 3d ) = 12 a1 + 4d + a1 + 8d = 40
4d = 12 |: 4 2a1 + 12d = 40 |: 2 d =3 a1 + 6d = 20
Отг. a1 = 2 d =3
ЗАДАЧИ
б) а1, ако а6 = 17 и d = 3.
б) a1 + a1 + d + a1 + 2d = 9 a1 + 3d + a1 + 5d − a1 − 6d = 5 3a1 + 3d = 9 |: 3 a1 + 2d = 5 a1 + d = 3 a1 + 2d = 5 Отг. a1 = 1 d =2
1. О пределете кои от дадените крайни ре 5. Н амерете a1 и d на аритметична прог
дици са аритметични прогресии и наме рете за всяка от тях a1, d и n. а) −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15; б) −10, −8, −6, − 4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10; в) 2, −2, 2, −2, 2, −2; г) .
2. За аритметична прогресия е дадено:
ресия, за която: а) a3 = 3, a5 = 9; б) a4 = −13, a7 = −28; в) a6 = −17, a8 = −23.
6. Н амерете първия член и разликата на
аритметична прогресия, за която са да дени:
а)
3. Н амерете стотния член на аритметична-
в)
а) a1 = 7, d = −5. Намерете a25 .
б)
,
б)
Намерете a1.
та прогресия
4. Н амерете първия член на аритметичната прогресия, за която: а) a11 = − 40, d = − 4; б) a13 = 44, d = 3.
Към съдържанието
;
г)
a3 + a5 = 30 a4 + a6 = 38 .
7. М ежду числата 7 и 35 намерете 6 числа,
които заедно с дадените образуват арит метична прогресия.
8. М ежду числата 5 и 32 намерете 8 числа, които заедно с дадените образуват арит метична прогресия.
51
16.
СВОЙСТВА НА АРИТМЕТИЧНАТА ПРОГРЕСИЯ
ПРИМЕР
Да разгледаме аритметичната прогресия ÷ 5, 8, 11, 14, 17, ... Забелязваме, че
!
, т.е. всеки член след първия е
средноаритметичен на съседните му членове. Свойство 1: Една числова редица a1 , a2 , a3 , ... , an − 1 , an , an + 1, ... е аритметична a + a n +1 прогресия тогава и само тогава, когато за всяко n ≥ 2 е изпълнено an = n −1 . 2 Доказателство: • Ако an − 1 , an , an + 1 (n ≥ 2) са три последователни члена на аритметична прогресия, от определението следва, че a +a d = an − an −1 = an +1 − an , 2an = an −1 + an +1 , an = n −1 n +1 . 2 • Ако за всеки три съседни члена an − 1 , an , an + 1 на една числова редица е изпълнено a +a равенството an = n −1 n +1 , следва, че 2 2an = an − 1 + an + 1 , т.е. an − an − 1 = an + 1 − an за всяко n ≥ 2. Оттук при n = 2, 3, 4, ..., получаваме a2 − a1 = a3 − a2 a3 − a2 = a4 − a3 ⇒ a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = ... , a4 − a3 = a5 − a4 ......................... което показва, че редицата е аритметична прогресия.
52
ЗАДАЧА 1
За коя стойност на x числата 3, x + 4, x2 + 2 са последователни членове на растяща аритметична прогресия? Решение: От Свойство 1 на аритметичната прогресия имаме 2 a +a x + 4 = 3+ x + 2 an = n −1 n +1 2 2 2 x + 8 = x2 + 5 an – 1 = 3 an = x + 4 x2 − 2 x − 3 = 0 2 an + 1 = x + 2 x1 = 3, x2 = – 1 ÷ 3, 7, 11, ÷ 3, 3, 3 Отг. При x = 3 числата 3, x + 4, x2 + 2 са последователни членове на растяща аритметична прогресия (d = 4).
ЗАДАЧА 2
За коя стойност на x числата 8, 2x + 1, x2 – 2x – 1 са последователни членове на намаляваща аритметична прогресия? 2 a +a Решение: 2x + 1 = 8 + x − 2x −1 an = n −1 n +1 2 2 an – 1 = 8 4 x + 2 = x2 − 2 x + 7 an = 2x + 1 x2 − 6 x + 5 = 0 an + 1 = x2 – 2x – 1 x2 = 5 x1 = 1, ÷ 8, 3, – 2 ÷ 8, 11, 14 Отг. При x = 1 числата 8, 2x + 1, x2 – 2x – 1 са последователни членове на намаляваща аритметична прогресия (d = – 5).
Към съдържанието
ПРИМЕР
Да разгледаме аритметичната прогресия ÷ 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,
8, 9,
10.
Забелязваме, че 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 (= 11). Това свойство имат членовете на всяка крайна аритметична прогресия.
!
Свойство 2: Във всяка крайна аритметична прогресия ÷ a1 , a2 , a3 , ... , an − 2 , an − 1 , an сборът на два члена, равноотдалечени от крайните и` членове, е равен на сбора на двата крайни члена, т.е. a1 + an = a2 + an − 1 = a3 + an − 2 = ... Ще обобщим Свойство 2: За произволна аритметична прогресия (крайна или безкрайна) сборът на два нейни члена зависи от сбора на номерата им. Следователно, ако p + q = r + s, то ap + aq = ar + as . Сборовете a1 + an , a2 + an − 1 , a3 + an − 2 , ... са равни, защото 1 + n = 2 + (n − 1) = 3 + (n − 2) = ...
ЗАДАЧА 3
В една аритметична прогресия a4 + a8 = 42. Намерете: б) a3 + a9. a) a6 ; Решение: От Свойство 2 на аритметичната прогресия имаме: б) a4 + а8 = а3+ а9 (4 + 8 = 3 + 9) a) a4 + а8 = а6 + а6 (4 + 8 = 6 + 6) 42 = а3 + a9 42 = 2а6 а3 + a9 = 42. a6 = 21;
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧИ
В една аритметична прогресия a8 = 12. Намерете: б) a2 + a14. a) a7 + a9; Решение: a) a8 + а8 = а7 + а9 (8 + 8 = 7 + 9) 12 + 12 = а7 + а9 a7 + a9 = 24
б) a8 + а8 = а2+ а14 (8 + 8 = 2 + 14) 12 + 12 = а2 + a14 а2 + a14 = 24
1. З а коя стойност на x числата x – 1, x + 3,
4. В една аритметична прогресия
x – 5 са положителни последователни членове на аритметична прогресия? 2
2. За коя стойност на x числата x – 2, x + 4,
x2 – 2 са последователни членове на растяща аритметична прогресия?
3. За коя стойност на x числата 5, x + 5,
x2 + 2 са последователни членове на намаляваща аритметична прогресия?
Към съдържанието
a7 + a13 = 48. Намерете: a) a10 ; б) a5 + a15. 5. В една аритметична прогресия a2 + a10 = 24. Намерете: a) a5 + a6 + a7; б) a4 + a5 + a6 + a7 + a8. 6. В една аритметична прогресия a12 = 64. Намерете: a) a10 + a14; б) a6 + a18.
53
17.
ФОРМУЛА ЗА СБОРА ОТ ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ
ЗАДАЧА 1
Дадена е аритметичната прогресия ÷ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ... Намерете: б) сбора S6 от първите шест члена. а) сбора S4 от първите четири члена; Решение:
ПРИМЕР
Т
а) S4 = а1 + а2 + а3 + а4 =
б) S6 = а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6=
=2+4+6+8=
= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 =
= 10 + 10 = 20
= 14 + 14 + 14 = 42
Да разгледаме аритметичната прогресия ÷ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Сборът Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 може да се пресметне, като се използва Свойство 2 на аритметичната прогресия, т.е. Sn = 5 . (1 + 10) = 55. Ако a1, a2, a3, ..., an − 2, an − 1, an са първите n члена на аритметична прогресия, то сборът им Sn е
.
Доказателство: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an − 2 + an − 1 + an Sn = an + an − 1 + an − 2 + ... + a3 + a2 + a1
Събираме почленно тези равенства: 2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an − 1 ) + ... + (an − 1 + a2 ) + (an + a1 ). Като използваме Свойство 2 на аритметичната прогресия, получаваме 2Sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + ... + (a1 + an ) + (a1 + an ), 2Sn = n(a1 + an ),
.
Ако an заместим с формулата за общия член, получаваме .
ЗАДАЧА 2
Намерете сбора на членовете на прогресията ÷ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47. Решение: В дадената прогресия a1 = 3, an = 47, n = 12. Тогава
ЗАДАЧА 3
.
Отг. Sn = 300
Намерете сбора на първите 100 члена на прогресията ÷ 2, 5, 8, 11, ... Решение: От дадената прогресия намираме a1 = 2, d = 3, а по условие n = 100. Тогава
. Отг. Sn = 15 050
54
Към съдържанието
ЗАДАЧА 4
Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, за която е дадено a1 = 1, d = 3, Sn = 210. Решение: Като заместим дадените величини във формулата
,
получаваме 2 . 210 = 2n + (n − 1).3n 3n2 − n − 420 = 0,
Получихме, че броят на членовете на прогресията е 12.
ЗАДАЧА 5
Отг. 12
Намерете a1, d и n на аритметичната прогресия, за която: б) S3 = 3 a) a3 − a1 = 4 2a4 − a5 = 4 a4 + a5 = 16 S n = 20 . S n = 36 ; Решение: От първите две уравнения на системите намираме a1 и d. б) a1 + a2 + a3 = 3 a) a1 + 2d − a1 = 4 a1 + 3d + a1 + 4d = 16 2(a1 + 3d ) − a1 − 4d = 4 d =2 2a1 + 7 d = 16
3a1 + 3d = 3
d =2 a1 = 1
a1 + d = 1
a1 + 2d = 4 a1 + 2d = 4
⇒
d =3 a1 = −2
Заместваме във формулата за Sn и намираме n. 2a1 + (n − 1). d ⋅ n = 36 2 2.1 + (n − 1). 2 ⋅ n = 36 2 n2 = 36, n = 6 – да,
2.(−2) + (n − 1).3 ⋅ n = 20 2 3n 2 − 7 n − 40 = 0 n1,2 = 7 ± 529 = 7 ± 23 6 6 n = 5 – да, n = − 8 – не 3 Отг. б) a1 = −2 d =3 n=5
n = – 6 – не
Отг. a) a1 = 1 d =2 n=6
ЗАДАЧИ
1. Н амерете сбора на всички нечетни числа 7. a5 = 16, a30 = 91. Намерете a1 и d. до 99 включително. За една аритметична прогресия са дадени: 2. Намерете S30.
3. a1 = 0, a11 = 5. Намерете d и S11. 4.
8. a2 = 4, a5 = 13, Sn = 145. Намерете n. 9. Намерете първия член и разликата на аритметична прогресия, за коят о: а) б)
Намерете an и Sn.
5. a1 = −38, d = 2, an = −10. Намерете n и Sn. 10. Намерете a1 и d на аритметична про6. Към съдържанието
Намерете n и an.
гресия, в която сборът на първите 6 чле на е 12, а сборът на следващите 6 е 84.
55
18.
ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. ФОРМУЛА ЗА ОБЩИЯ ЧЛЕН НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ
О
Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като предходният му член се умножи с едно и също число, се нарича геометрична прогресия. Примери: (1) 1, 1 , 1 , 1 , 1 – крайна геометрична прогресия 3 9 27 81 n−1 (2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, … 2 , … – безкр айна геометрична прогресия.
О
За да означим, че една редица е геометрична прогресия, пред нея поставяме знака „ ÷÷“ . Общият вид на една • крайна геометрична прогресия е ÷:: ÷ a1 , a2 , a3 , … , an ; ÷::÷ a1 , a2 , a3 , … , an , … • безкрайна геометрична прогресия е Числото, с което се умножава всеки член на една геометрична прогресия, за да се получи следващият член, се нарича частно на прогресията. Обикновено частното се означава с буквата q, an = q . an −1 . Примери: Частното на (1) е q = 1 , a на (2) е q = 2. 3 Една крайна геометрична прогресия е определена, • когато са дадени a1, q и броят на членовете ѝ n. a1 1,= q 1, n = 5 . Пример: (1) е определена с= 3 • Една безкрайна геометрична прогресия е определена, когато са дадени a1 и q. Пример: (2) е определена с= a1 1,= q 2.
ЗАДАЧА 1
Определете кои от дадените редици са геометрични прогресии и намерете за всяка от тях a1, q, както и n, ако прогресията е крайна. а) –3, – 6, –12, –24, – 48, – 96, –192; б) −2, 2, −2, 2, −2, 2, ... ; в) 3, 3, 3, 3, ... ; г) 5, 0, 0, 0, ... . Решение: а) Редицата е крайна геометрична прогресия с a1 = – 3, q = 2, n = 7. б) Редицата е безкрайна геометрична прогресия с a1 = – 2, q = – 1. в) Редицата е безкрайна геометрична прогресия с a1 = 3, q = 1. г) Редицата е безкрайна геометрична прогресия с a1 = 5, q = 0. • Ако q = 1 (редицата (в)), всички членове на прогресията са равни. • Ако q = 0 и a1 ≠ 0 (редицата (г)), всички членове на прогресият а след първия са равни на 0. • Ако q = – 1 (редицата (б)), прогресията има два вида членове, които са противоположни числа. Геометрични прогресии, на коит о частното е q = 0, q = ±1, не представляват интерес. В учебната литература обикновено приемаме, че q ≠ 0, q ≠ ±1. Формула за общия член на геометрична прогресия Като използваме определението за геометрична прогресия, намираме последователно a2 = a1.q, a3 = a2.q = a1.q. q = a1. q2, a4 = a3.q = a1.q2.q = a1. q3, a5 = a4.q = a1.q3.q = a1. q4 и т.н. Въз основа на тези случаи може да се направи изводът, че an = a1. qn – 1 за всяко n ≥1.
56
Към съдържанието
Т ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
За всеки член на една геом етрична прогресия е в сила формулата an = a1qn–1, където a1 е първият член, а q – частното на прогресията. За геометрична прогресия намерете: a) a5, ако a1 = 3 и q = 2; Решение: а) a5 = a1q4 a5 = 3. 24 a5 = 3. 16 a5 = 48
б) aп = a1qn–1 54 = 2. 3n–1 3n–1 = 27 3n–1 = 33 n – 1 = 3, n = 4
Намерете първия член (a1) и частното (q) на геометрична прогресия, за която са дадени:
a) a4 − a3 + 2a2 = 24 a3 − a2 + 2a1 = 12 ; Решение:
б) a4 − a2 = 48 a2 + a1 = 8 .
a) a1 q 3 − a1 q 2 + 2a1 q = 24
3 б) a1 q − a1 q = 48 a1 q + a1 = 8
a1 q 2 − a1 q + 2a1 = 12 a1 q (q 2 − q + 2) = 24 a1 (q 2 − q + 2) = 12 a1 q (q 2 − q + 2) 24 = a1 (q 2 − q + 2) 12 q=2 a1 = 3
ЗАДАЧИ
б) n, ако a1 = 2, q = 3 и an = 54.
1. Н амерете геометрична прогресия, за която: а) a1 = 2, q = 5, n = 7; a1 3= , q 1 , n = 10; б) = 2 в) a1 = 1, q = − 5 , n = 5; 4 1 г) a1 = − , q = 1 , n = 6. 3 2 2. Посочете кои от дадените числови реди ци са геометрични прогресии: а) 3, 9, 27, 81, ...; б) 1, 4, 16, 64, ... ; в) 2, 10, 50, 100, ...; 1 1 1 1 1 г) , − , , − , , ... 3 6 12 24 48 3. Напишете общия член на прогресиите: 5 5 5 а) :: 5, 3 , 32 , 33 , … ; 2 22 23 2 4 б) :: 1, − , 2 , − 3 , 4 , … 3 3 3 3
Към съдържанието
a1 q (q 2 − 1) = 48 a1 (q + 1) = 8 q (q – 1) = 6 q2 – q – 6 = 0 За q = 3 а1 = 2. За q = –2 а1 = –8. 4. Намерете на прогресията: а) −3, 6, −12, ..., ако n = 10 ; 1 1 б) :: 2, , , ... , ако n = 7; 2 8 :: − 1 , − 1 , − 1 , … , ако n = 21. в) 10 100 5. За геометрична прогресия са дадени: а) a1 = 3, q = 3. Намерете a8. a 1 2= , q 3 . Намерете a6. б)= 3 4 1 . Намерете q. в) = a 1 2= , a 10 256 = г) a 7 625 = , q 5 . Намерете a1. 32 2 6. Между числата 9 и 243 намерете две числа, които заедно с дадените образуват геометрична прогресия. 7. Между числата 3 и 96 намерете четири числа, които заедно с дадените образуват геометрична прогресия.
57
19.
СВОЙСТВА НА ГЕОМЕТРИЧНАТА ПРОГРЕСИЯ
ПРИМЕР
!
Да разгледаме геометричната прогресия ÷÷ 2, 4, 8, 16, 32, ... Забелязваме, че 42 = 2.8, 82 = 4.16, 162 = 8.32, ..., т.е. всеки член след първия е средногеометричен на съседните му членове. Свойство 1: Една числова редица a1, а2, а3, ... an–1, an, аn+1, ... е геометрична прог ресия тогава и само тогава, когато за всяко n ≥ 2 е изпълнено an2 = аn–1. аn+1. Доказателство: • Ако an – 1, an, an + 1 (n ≥ 2) са три последователни члена на една геометрична прогресия, a a 2 от определението следва, че q = n +1 = n , a n = an −1. an +1. an an −1 • Ако членовете на една редица са различни от нула и за всеки три съседни члена a a an – 1, an, an + 1 е изпълнено an2 = аn–1. аn+1, следва, че n = n +1 за всяко n ≥ 2. an −1 an Оттук при n = 2, 3, 4, ... получаваме a2 a3 = a1 a2 a3 a4 = a2 a3 a4 a5 a2 a3 ⇒ = = = = ..., a1 a2 a3 a4 a4 a5 = a3 a4 ............. което показва, че редицата е геометрична прогресия.
ЗАДАЧА 1
За коя стойност на х числата x, x + 4, 18 са последователни членове на геометрична прогресия? Решение: 1. Прилагаме Свойство 1 и получаваме (x + 4)2 = x . 18 x2 + 8x + 16 = 18x x2 – 10x + 16 = 0 x = 2 и x = 8. 3 2. При x = 2 ÷÷ 2, 6, 18 (q = 3). При x = 8 ÷÷ 8, 12, 18 (q = ). 2 Отг. При x = 2 и при x = 8 числата x, x + 4, 18 са последователни членове на геометрична прогресия.
ПРИМЕР
Да разгледаме геометричната прогресия ÷÷1, 3, 9, 27, 81, 243 Забелязваме, че 1.243 = 3.81 = 9. 27 (= 243). Това свойство имат членовете на всяка крайна геометрична прогресия.
! 58
Свойство 2: Във всяка крайна геометрична прогресия ÷÷ a1, а2, а3, ... an – 2, an – 1, аn произведението на два члена, равноотдалечени от крайните `и членове, е равно на произведението на двата крайни члена, т.е. a1 . аn = a2 . an–1 = a3.an – 2 = ...
Към съдържанието
Ще обобщим Свойство 2: За произволна геометрична прогресия (крайна или безкрайна) произведението на два нейни члена ap . ar = a1 . q p – 1. a1 . q r – 1 = a12 q (p + r) – 2, as . at = a1 . q s – 1. a1. q t – 1 = a12q (s + t) – 2 зависи от сбора на номерата им. Следователно, ако p + r = s + t, то apar = as at. Произведенията a1 . an, a2 . an – 1, a3 . an – 2, ... са равни, защото 1 + n = 2 + (n – 1) = 3 + (n – 2) = ... .
ЗАДАЧА 2
В една геометрична прогресия a1 . a5 = 144. Намерете: б) a2 . a4. a) a3; Решение: От Свойство 2 на геометричната прогресия имаме: б) a2 . a4 = a1. a5 (2 + 4 = 1 + 5) а) a3 . a3 = a1 . a5 (3 + 3 = 1 + 5) 2 a2 . a4 = 144. a3 = 144 a3 = ±12;
ЗАДАЧА 3
В една геометрична прогресия a5 = 2. Намерете: a) a2 . a8; б) a3 . a7. Решение: От Свойство 2 на геометричната прогресия имаме: б) a3 . a7 = a5. a5 (3 + 7 = 5 + 5) а) a2 . a8 = a5. a5 (2 + 8 = 5 + 5) a3 . a7 = 2.2 a2 . a8 = 2.2 a3 . a7 = 4. a2 . a8 = 4;
ЗАДАЧА 4
За геометрична прогресия е известно, че a3 = 3. Намерете произведението на първите пет члена на прогресията. Решение: От Свойство 2 на геометричната прогресия имаме a1 . a5 = a2. a4 = a3. a3= 3.3 = 9 (сборът от индексите на множителите е един същ: 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3). Тогава a1 . a2 . a3 . a4 . a5 = (a1. a5) (a2. a4).(a3) = 9.9.3 = 243. Отг. Произведението на първите пет члена на прогресията е 243.
ЗАДАЧИ
1. З а коя стойност на x числата 3x + 2, 2x, 2 са последователни членове на намаляваща геометрична прогресия?
4. В една геометрична прогресия a1 . a7 = 4. Намерете: а) a4;
б) a3 . a5.
Намерете: а) a5 . a9;
б) a3 . a11.
2. За коя стойност на x числата x – 5, x – 1, 5. В една геометрична прогресия a = 9. 7 2x + 4 са последователни членове на геометрична прогресия с отрицателни членове?
3. З а коя стойност на x числата x – 7, x – 3, 2x са последователни членове на геометрична прогресия с положителни членове?
Към съдържанието
6. За геометрична прогресия е известно, че a5= 2. Намерете произведението на първите девет члена на прогресията.
59
20.
ФОРМУЛА ЗА СБОРА ОТ ПЪРВИТЕ n ЧЛЕНА НА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ
Т
Ако a1 , a2 , ... , an − 2 , an − 1 , an са първите n члена на една геометрична прогресия, a q − a1 то сборът им Sn е S n = n при q ≠ 1. q −1 Доказателство: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an. Същото равенство можем да напишем и във вида Sn = a1 + a1 q + a1 q2 + ... + a1 q n –3 + a1q n –2 + a1q n –1 = = a1 + q (a1 + a1q + ... + a1 q n –4 + a1q n –3 + a1q n –2) = = a1 + q (a1 + a2 + ... + an – 3 + an –2 + an –1) . Изразът в скобите е равен на сбора на членовете на прогресията без an. Тогава Sn = a1 + q (Sn – an). Оттук намираме Sn – qSn = a1 – anq, Sn =
a1 − an q an q − a1 = . 1− q q −1
a q − a1 Формулата, с която се намира Sn на геометрична прогресия, е S n = n . q −1 n 1 q − Ако заместим с an = a1qn–1, получаваме S n = a1 . q −1
ЗАДАЧА 1
За геометрична прогресия намерете: a) a1, ако q = 3 и S4 = 80; Решение: qn − 1 а) S n = a1 q −1 4 80 = a1 3 − 1 3 −1 81 80 = a1 − 1 2 80 = a1. 40 a1 = 2
ЗАДАЧА 2
За геометрична прогресия намерете: a) S7, ако a1 = 3 и q = 2; Решение: 7 а) S7 = a1 q − 1 q −1 7
S7 = 3. 2 − 1 2 −1 S7 = 3.(27 − 1) S7 = 3.(128 − 1) S7 = 3.127 = 381
60
б) n, ако a1 = 1, q = 2 и Sn = 31. б) S n = a1
qn − 1 q −1
n 31 = 1 ⋅ 2 − 1 2 −1 31 = 2n − 1
32 = 2n 25 = 2 n n=5 б) q, ако a1 = 3, S3 = 21. б) S3 = a1
q3 − 1 q −1
21 = 3.(q 2 + q + 1) 7 = q2 + q + 1 q2 + q − 6 = 0 q = 2 или q = – 3
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Намерете a1, q и n на геометрична прогресия, за която:
а) a2 + 2a1 = 5 a2 − a1 = 2 S n = 121;
б) a4 − a1 = 26 a1 + a2 + a3 = 13 S n = 364.
Решение: От първите две уравнения на системите намираме a1 и q. a) a1q + 2a1 = 5 a1q − a1 = 2 a1q = 5 − 2a1 a1q = 2 + a1 5 − 2a1 = 2 + a1 a1q = 2 + a1 a1 = 1
б) a1q 3 − 1 = 26 a1 + a1q + a1q 2 = 13 a1 (q 3 − 1) = 26 a1 (1 + q + q 2 ) = 13 a1 (q − 1)(q 2 + q + 1) = 26 a1 (1 + q + q 2 ) = 13 a1 (q − 1)(q 2 + q + 1) 26 = 13 a1 (1 + q + q 2 )
q=3
q − 1 = 2, q = 3 a1 = 1 С намерените a1 и q заместваме във формулата за Sn. Получаваме
ЗАДАЧИ
n 121 = 1. 3 − 1 3 −1 n 242 = 3 − 1
n 364 = 1. 3 − 1 3 −1 n 728 = 3 − 1
243 = 3n
729 = 3n
35 = 3n ⇒ n = 5;
36 = 3n
⇒ n = 6.
Отг. a1 = 1, q = 3, n = 5
Отг. a1 = 1, q = 3, n = 6
1. За геометрична прогресия са дадени: а) q = 2, a4 = 40. Намерете a1 и S7. б) q = 4, S5 = 511,5. Намерете a1 и a5. в) a 1= – 3, n = 6, a6 = – 96. Намерете q и S6. 1 , a 1 , S = 40 4 . = г) q = 3 n 9 n 9 Намерете a1 и n.
в) a4 + a3 − 3a2 = 54 г) a1 + a2 − 2a3 = 32 a1 − a2 − a3 = 8 a3 + a2 − 3a1 = 18 S n + a3 − 2a4 = 56 . S n = 80 ;
2. Намерете броя на членовете на геомет рична прогресия, за която: a) 2a3 = a4 б) a5 − a1 = 560 a4 − a2 = 168 a5 + a6 = 144 S n = 847; S n = 381;
5. Първият член на една геометрична прог ресия е равен на 2, а сборът на първите 8 члена е 4 пъти по-голям от сбора на първите четири члена. Намерете деветия член на прогресията.
Към съдържанието
3. Н амерете три числа, коит о образуват геометрична прогресия, ако сборът им е 14, а произведението им е 64. 4. Четири числа образуват геометрична прогресия. Сборът на двете крайни числа е 27, а произведението на двете средни числа е 72. Намерете числата.
61
21. ЗАДАЧА 1
КОМБИНИРАНИ ЗАДАЧИ ОТ АРИТМЕТИЧНА И ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ Три числа, сборът на които е 42, образуват геометрична прогресия. Ако към второто число прибавим 4, а от третото извадим 10, ще получим аритметична прогресия. Намерете числата. Решение: Означаваме търсените числа ÷÷ a1, a1q, a1q2 и получаваме ÷ a1, a1q + 4, a1q2 – 10. По условие a1 + a1q + a1q2 = 42. От свойството на аритметичната прогресия ⇒ 2(a1q + 4) = a1+ a1q2 – 10. 2 Решаваме системата a1 (1 + q + q ) = 42 a1 (q 2 − 2q + 1) = 18.
Делим почленно двете уравнения и получаваме q2 + q + 1 7 = (q ≠ 1) q 2 − 2q + 1 3
ЗАДАЧА 2
4q 2 − 17 q + 4 = 0 q1,2 = 17 ± 15 8 q1 = 4, q2 = 1 4 a1 = 2, a1 = 32.
Отг. П олучаваме две тройки числа: ÷÷ 2; 8; 32 и ÷÷ 32; 8; 2.
Три положителни числа, сборът на които е 18, образуват аритметична прогресия. Ако към тях прибавим съответно 1, 2, 7, получените три числа образуват геометрична прогресия. Намерете двете прогресии. Решение: I начин: ÷ a1, a1 + d, a1 + 2d ÷÷ a1 + 1, a1 + d + 2, a1 + 2d + 7 От условието и свойството на геометричната прогресия получаваме системата a1 + a1 + d + a1 + 2d = 18 (a1 + d + 2) 2 = (a1 + 1)(a1 + 2d + 7) a1 + d = 6 → a1 = 6 − d − заместваме във второто уравнение (6 − d + d + 2) 2 = (6 − d + 1)(6 − d + 2d + 7). Получаваме квадратно уравнение за d. 82 = (7 – d)(d + 13) d 2 + 6d – 27 = 0 d = 3, d = – 9 a1 = 3, a1 = 15
62
Към съдържанието
Аритметичните прогресии са ÷ 3; 6; 9 и ÷15; 6; –3. Втората аритметична прогресия не отговаря на условието за положителни числа. Съответната геометрична прогресия е ÷÷4; 8; 16 и има частно q = 2. II начин: Означаваме получената геометрична прогресия ÷÷ a1, a1 q, a1 q2. Първоначалните числа ще бъдат ÷ a1 – 1, a1q – 2, a1q2 – 7. От условието и свойството на аритметичната прогресия получаваме и решаваме системата a1 − 1 + a1q − 2 + a1q 2 − 7 = 18 a1 (q 2 + q + 1) = 28 ⇔ 2(a1q − 2) = a1 − 1 + a1q 2 − 7 a1 (q 2 − 2q + 1) = 4 q2 + q + 1 = 7 (q ≠ 1) q 2 − 2q + 1 2 2q − 5q + 2 = 0. При q = 2 a1 = 4. 1 При q = a1 = 16. 2 Търсените прогресии са ÷÷ 4; 8; 16 ÷÷ 16; 8; 4 ÷ 3; 6; 9 ÷ 15; 6; – 3. Втората двойка не отговаря на условието за положителни членове на аритметичната прогресия. Отг. Т ърсените прогресии са ÷÷ 4; 8; 16 и ÷ 3; 6; 9.
ЗАДАЧА 3
От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три – арит метична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 24, а сборът на двете крайни е 28. Решение: Означаваме първите три числа ÷÷ a1, a1q, a1q2. Второто и третото число са последователни членове на аритметична прогресия с разлика d = a1q2 – a1q. Следователно четвъртото число е a1q2 + d = a1q2 + a1q2 – a1q = 2a1q2 – a1q. По условието съставяме системата a1q + a1q 2 = 24 a1 + 2a1q 2 − a1q = 28 Делим двете уравнения и получаваме q + q2 = 6 ⇔ 5q 2 − 13q + 6 = 0 2 1 + 2q − q 7 q = 3, q=2 5 a1 = 25, a1 = 4.
Към съдържанието
Отг. П олучаваме две четворки числа: 25, 15, 9, 3 и 4, 8, 16, 24.
63
ЗАДАЧА 4
От четири числа първите три образуват аритметична прогресия, а последните три – геометрична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 10, а сборът на двете крайни е 11. Решение: Означаваме първите три числа ÷÷ a1, a1 + d, a1 + 2d. Второто и третото число са последователни членове на геометрична прогресия с частно a + 2d q= 1 . a1 + d Следователно четвъртото число е (a1 + 2d ) (a1 + 2d ) 2 = . a1 + d a1 + d По условието съставяме системата
(a1 + 2d ). q = (a1 + 2d ).
a1 + d + a1 + 2d = 10 ( a + 2d ) 2 = 11. a1 + 1 a1 + d Изразяваме от първото уравнение a1 = 10 − 3d = 5 − 3 d и заместваме във второто. 2 2 Получаваме (5 + 1 d ) 2 3 2 5− d + = 11 2 5− 1 d 2 2 5 − 3 d 5 − 1 d + 5 + 1 d = 11 5 − 1 d 2 2 2 2 2d 2 + d − 10 = 0 d = 2, d =−5 2 Отг. Получаваме две четворки числа: 3 3 − 5 = 35 . 5 a 2 2 , a 5 = − ⋅ = = − 1 1 2 2 2 4 2, 4, 6, 9 и 35 , 25 , 15 , 9 . 4 4 4 4
(
)(
) (
)
(
)
( )
Задача 4 може да се реши по-рационално, като означим второто, третото и четвъртото число като последователни членове на геометрична прогресия и изразим първото. ÷÷ a1, a1q, a1 q2 Разликата на аритметичната прогресия е d = a1q – a1. Тогава първото число е a1 – d = a1 – (a1q – a1) = 2a1 – a1q. Получаваме системата 2a1 − a1q + a1q 2 = 11 a1q + a1q 2 = 10.
ЗАДАЧА 5
64
Естествените числа u1, u2, u3 са първите три члена на геометрична прогресия, а естествените числа v1, v2, v3 са първите три члена на аритметична прогресия. Намерете тези шест числа, ако сборът им е 192, u1 = v2, u3 – v1 = 102, u3 – v3= 90. Решение: ⇒ u1 = a1, u2 = a1q, u3= a1q2 ÷÷ u1, u2 , u3 От u3 – v1 = 102 ⇒ v1 = u3 – 102 = a1q2 – 102. ⇒ v2 = u1 = a1. От u1 = v2 От u3 – v3 = 90 ⇒ v3 = u3 – 90 = a1q2 – 90. По условие u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 = 192 и следователно 2a1 + a1q + 3a1q2 = 384.
Към съдържанието
От свойството на аритметичната прогресия 2 v2= v1 + v3 получаваме a1q2 – a1= 96. Съставяме системата a1 (2 + q + 3q 2 ) = 384 a1 (q 2 − 1) = 96. Делим двете уравнения и получаваме 2 + q + 3q 2 = 4, q 2 − q − 6 = 0 q2 − 1 q = −2, q = 3 Заместваме във второто уравнение на системата и намираме: a1 = 32 и a1 = 12. При a1 = 32 и q = – 2, u2= 32.(–2) = – 64 не е естествено число. При a1 = 12 и q = 3 Отг. Т ърсените числа са получаваме ÷÷ u1 =12, u2 = 36, u3 = 108 ÷÷ u1 =12, u2 = 36, u3 = 108, ÷ v1 = 6, v2 = 12, v3 = 18 ÷ v = 6, v = 12, v = 18. 1
ЗАДАЧИ
1. Т ри пол ож ит елн и числ а, сбор ът на които е 15, образуват аритметична прог ресия. Ако към тях прибавим съответно 1, 4, 19, получените три числа образу ват геометрична прогресия. Намерете първите три числа. 2. Сборът на три числа, които образуват аритметична прогресия, е 30. Ако от първото и второто число извадим съ ответно 5 и 4, а третото остане същото, то получените три числа образуват гео метрична прогресия. Намерете първите три числа. 3. Три числа, сборът на които е 78, обра зуват геометрична прогресия. Тези три числа са същевременно първи, трети и девети членове на аритметична прогре сия. Намерете числата. 4. Три числа, чийто сбор е 42, образуват геометрична прогресия с частн о, поголямо от 1. Ако към първото число прибавим 2, а от третото извадим 8, ще получим аритметична прогресия. Намерете числата. 5. Три числа образуват геометрична прог ресия. Ако второто число намалим с 4, новите три числа пак образуват геомет рична прогресия. Ако третия член на новат а геометрична прогресия намалим с 9, получаваме аритметична прог ресия. Намерете първите три числа.
Към съдържанието
2
3
6. Три числа образуват геометрична прогресия с частно, различно от 1. Ако третия член на тази прогресия намалим с 64, а първия и втория запазим, получените числа образуват аритметична прогресия. Ако втория член на тази аритметична прогресия намалим с 8, а първия и третия запазим, получените числа образуват геометрична прогресия. Намерете първите три числа. 7. От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три – аритметична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 12, а сборът на двете крайни е 14. 8. Намерете разликата на аритметичната прогресия с първи член 24, ако първият, петият и единадесетият ѝ членове образуват геометрична прогресия. 9. Четири числа образуват геометрична прогресия. Сборът от първите две числа се отнася към сбора на последните две както 1 : 4, а произведението на първите две числа е с 10 по-голямо от четвъртото. Намерете числата. 10. Сборът на първите 10 члена на аритметична прогресия е 155, а сборът на първите два члена на геометрична прогресия е 9. Първият член и разликата на аритметичната прогресия са равни съответно на частното и първия член на геометричната прогресия. Намерете двете прогресии, ако членовете им са цели числа.
65
22.
ПРОСТА ЛИХВА. СЛОЖНА ЛИХВА
О
Капитал (пари), вложен в банка или даден в заем за определено време (лихвен период) по взаимно съгласие, носи печалба, която се нарича лихва. Лихвен процент – лихвата на 100 лв. за една година се нарича годишен лихвен процент. Означава се с p. Лихвеният процент може да бъде определен и за друг период от време (например за 1 месец, за 3 месеца, ...). Този период от време се нарича лихвен период. Основен (начален) капитал – парите, внесени на влог или получени в заем, се наричат основен (начален) капитал. Основният капитал се означава с K0. Проста лихва
О
!
Когато в края на всеки период се олихвява само внесеният начален капитал, лихвата се нарича проста. p В края на I период → K1 = K 0 + K 0 ⋅ , 100 p в края на II период → K 2 = K 0 + K 0 ⋅ ⋅ 2, 100 p в края на III период → K 3 = K 0 + K 0 ⋅ ⋅ 3, 100 ....................................................................... p ⋅ n. в края на n-тия период → K n = K 0 + K 0 100 Формулата за пресмятане на нарасналия капитал Kn при проста лихва p% е p .n . (1) K n = K 0 1 + 100 Редицата K1, K2, K3, ..., Kn е аритметична прогресия с a1 = K1 и разлика d = K 0 ⋅ Във формула (1) участват 4 величини. По дадени три от тях можем да намерим четвъртата.
ЗАДАЧА 1
p . 100
Фирма взема заем от банка в размер от 300 000 лв. при 10% проста годишна лихва за 5 години. Каква сума фирмата трябва да внесе в банката след уговорения период? Решение: От формула (1) при K0 = 300 000 лв., p = 10, n = 5 получаваме 10 3 K 5 = 300 000 ⋅ 1 + ⋅ 5 = 300 000 ⋅ = 450 000. 2 100
Отг. След 5 години фирмата трябва да внесе в банката 450 000 лв.
ЗАДАЧА 2
66
Фирма взела заем от банка в размер от 9 600 лв. при 4% проста годишна лихва. След уговорения срок фирмата върнала 11 136 лв. Намерете колко години е уговореният срок.
Към съдържанието
Решение: От формула (1) при K0 = 9 600 лв., Kn = 11 136 лв., p = 4 получаваме 11136 = 9600.(1 + 4 ⋅ n) | : 9 600 100 29 = 1 + n 25 25 Отг. Уговореният срок е 4 години. 29 = 25 + n, n = 4.
О ЗАДАЧА 3
Депозит (влог) – парични средства, вложени в банка или в други кредитни институции за определен период от време, за които се получава лихва. Депозит от 12 000 лв. е вложен в банка при проста годишна лихва. След 5 години депозитът е нараснал на 13 800 лв. Намерете лихвения процент. Решение: От формула (1) при K0 = 12 000 лв., Kn = 13 800 лв., n = 5 получаваме p 13 800 = 12 000.(1 + ⋅ 5) |: 12 000 100 23 = 1 + p 20 20 23 = 20 + p ⇒ p = 3. Отг. Лихвеният процент е 3%. Сложна лихва При банковите заеми най-често лихвата в края на всеки период се прибавя към основия капитал и в следващите периоди се олихвява заедно с него.
О
Когато в края на всеки лихвен период лихвата се прибавя към основния капитал и в следващите периоди се олихвява заедно с него, тя се нарича сложна лихва. При сложна лихва казваме, че лихвата се капитализира. Нека основният капитал е 1 лв. и е вложен с p% сложна лихва, т.е. в края на всеки p p p период 1 лв. нараства с и става 1 + лв. Величината 1 + означаваме с 100 100 100 p q и я наричаме лихвен множител, q = 1 + . 100 Ако основният капитал е K0 и е вложен с p % сложна лихва, ще имаме p в края на I период → K1 = K 0 + K 0 = K 0 q, 100 в края на II период → K 2 = K1 q = K 0 q 2 , в края на III период → K 3 = K 2 q = K 0 q 3 , ................................................................. в края на n-тия период → K n = K 0 q n .
!
Формулата за нарасналия капитал при сложна лихва е n p n K = K q , K n = K 0 1 + (2) n . 0 100 Основният капитал и капиталите в края на всеки период образуват растяща геометрична прогресия 3 :: = K 0 , K1 K= K 0 q 2 , K 3 K= K0 qn , … 0 q, K 2= 0 q , …, K n p с първи член K0 и частно q = 1 + . 100
Към съдържанието
67
1 От K n = K o q n следва, че K 0 = K n ⋅ 1n , където числото се нарича дисконтиращ q q множител, а пресмятането на началната вложена сума – дисконтиране. В банките и другите кредитни инст итуции стойностите на Kn и K0 се пресмятат с 1 помощта на лихвени таблици. С тях по дадени p и n могат да се намерят qn и n с точ q ност до осем десетични знака.
В приложената по-долу лихвена таблица за qn са избрани само 19 стойности на q и точността е до три десетични знака. p q 2 3 1,0% 1,01 1,020 1,030 1,5% 1,015 1,030 1,046 2,0% 1,02 1,040 1,061 2,5% 1,025 1,051 1,077 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% 6,5% 7,0% 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% 9,5% 10,0%
ЗАДАЧА 4
1,03 1,035 1,04 1,045 1,05 1,055 1,06 1,065 1,07 1,075 1,08 1,085 1,09 1,095 1,1
1,061 1,071 1,082 1,092 1,103 1,113 1,124 1,134 1,145 1,156 1,166 1,177 1,188 1,199 1,210
1,093 1,109 1,125 1,141 1,158 1,174 1,191 1,208 1,225 1,242 1,260 1,277 1,295 1,313 1,331
4 1,041 1,061 1,082 1,104
5 1,051 1,077 1,104 1,131
6 1,062 1,093 1,126 1,160
7 1,072 1,110 1,149 1,189
8 1,083 1,126 1,172 1,218
9 1,094 1,143 1,195 1,249
10 1,105 1,161 1,219 1,280
11 1,116 1,178 1,243 1,312
12 1,127 1,196 1,268 1,345
1,126 1,148 1,170 1,193 1,216 1,239 1,262 1,286 1,311 1,335 1,360 1,386 1,412 1,438 1,464
1,159 1,188 1,217 1,246 1,276 1,307 1,338 1,370 1,403 1,436 1,469 1,504 1,539 1,574 1,611
1,194 1,229 1,265 1,302 1,340 1,379 1,419 1,459 1,501 1,543 1,587 1,631 1,677 1,724 1,772
1,230 1,272 1,316 1,361 1,407 1,455 1,504 1,554 1,606 1,659 1,714 1,770 1,828 1,888 1,949
1,267 1,317 1,369 1,422 1,477 1,535 1,594 1,655 1,718 1,783 1,851 1,921 1,993 2,067 2,144
1,305 1,363 1,423 1,486 1,551 1,619 1,689 1,763 1,838 1,917 1,999 2,084 2,172 2,263 2,358
1,344 1,411 1,480 1,553 1,629 1,708 1,791 1,877 1,967 2,061 2,159 2,261 2,367 2,478 2,594
1,384 1,460 1,539 1,623 1,710 1,802 1,898 1,999 2,105 2,216 2,332 2,453 2,580 2,714 2,853
1,426 1,511 1,601 1,696 1,796 1,901 2,012 2,129 2,252 2,382 2,518 2,662 2,813 2,971 3,138
Депозит от 30 000 лв. е вложен в банка при сложна лихва 3,5%. На колко лева ще нарасне депозитът след 12 години? Решение: 3, 5 = 1, 035. По условие K 0 = 30 000, n = 12, q = 1 + 100 От формула (2) получаваме K12 = 30 000 .1, 03512 ≈ 30 000 .1, 511 ≈ 45 330. Стойността на 1,03512 взехме от шестия ред на приложената таблица. Отг. Депозитът ще нарасне на 45 330 лв.
ЗАДАЧА 5
Каква сума трябва да се внесе в банка при сложна лихва 4,5%, така че след 10 години сумата да нарасне на 5 000 лв.? Решение: 4, 5 По условие K n = 5 000, n = 10, q = 1 + = 1, 045. 100 От формулата (2), като използваме лихвената таблица и калкулатор, получаваме K 5 000 5 000 K 0 = nn = ≈ ≈ 3 220. q 1, 04510 1, 553 Отг. Сумата, която трябва да се внесе в банката, е 3 220 лв.
68
Към съдържанието
ЗАДАЧА 6
Сумата от 16 000 лв. се увеличава за 3 години с 2 522 лв. Какъв е лихвения процент? Решение: По условие K0 = 16 000, Kn = 16 000 +2 522 = 18 522, n = 3. От формулата (2) получаваме 9 261 18 522 = 16 000 . q 3 , q 3 = ≈ 1,158, q = 1, 05. 8 000 Използваме формулата за лихвения множител: p p q =1+ , 1, 05 = 1 + , p = 5. 100 100
ЗАДАЧА 7
Отг. Лихвеният процент е 5%.
След колко време сумата от 8 000 лв., вложена в банка при 2,5% сложна лихва, ще нарасне на 8 405 лв.? Решение: По условие K0 = 8 000, Kn = 8 405, p = 2,5, q = 1,025. От формулата (2) получаваме 8 405 = 8 000.1,025n, 1,025n = 1,051. От лихвената таблица (в реда на q = 1,025) намираме, че n = 2. Отг. Лихвеният период е 2 години.
ЗАДАЧА 8
лед колко време ще се удвои сума, вложена при 8% сложна лихва? С Решение: По условие p = 8, q = 1,08, Kn = 2K0. От формулата (2) получаваме 2K0 = K0 .1,08n 1,08n = 2. От лихвената таблица (в реда на q = 1,08) намираме, че n ≈ 9. Отг. След 9 години сумата ще се удвои.
ЗАДАЧИ
1. Бизнесмен взема заем от банка при проста лихва 5% за 3 години и след изтичане на този срок връща 92 000 лв. Каква сума е взета от банката? 2. След колко години сума, взета от бан ката при проста лихва 8%, ще нарасне 1,4 пъти? 3. Сумат а от 6 000 лв. е вложена при сложна лихва 4,5%. На колко ще на расне тази сума след 8 години? 4. Каква сума трябва да се вложи в банка при сложна лихва 1,5%, така че след 5 години тя да нарасне на 26 932,1 лв.? 5. Сума от 1 000 лв. се увеличава за 4 години с 216 лв. Какъв е лихвеният процент?
Към съдържанието
6. След колко време сумата от 15 000 лв., вложена в банка при 4% сложна лихва, ще нарасне на 24 015,5 лв.? 7. Каква сума трябва да внесе един баща на шестгодишното си дете в банка, която плаща годишна сложна лихва от 4%, ако иска то да има 20 000 лв., когато стане на 18 години? 8. След колко време ще се удвои сума, дадена при 6% сложна лихва? 9. След колко време сума, дадена при 5% сложна лихва, ще нарасне с половината от стойността си? 10. Сумат а от 700 лв. се увел ич ава за 10 години с 336 лв. Какъв е годишният лихвен процент?
69
23.
ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ СЪС СЛОЖНА ЛИХВА Кредит Често фирми или частн и лица вземат от банките или от други кредитни институции пари в заем (кредит) при определен срок за погасяване чрез равни вноски за определен период от време (месец, 6 месеца, година, ...). Ако е взет кредит K лв. от банка с погасителна вноска V лв. за уговорен период с лихвен процент p, получаваме последователно
в края на I период → K1 = Kq − V ,
в края на II период → K 2 = K1q − V = Kq 2 − V ( q + 1) ,
в края на III период → K 3 = K 2 q − V = Kq 3 − V ( q 2 + q + 1) , .............................................................................................
в края на n период → K n = K n −1q − V = = Kq − V ( q n
n −1
+q
n−2
+ … + q + 1) .
Получихме геометричната прогресия :: 1, q, q 2 , q 3 ,… , q n − 2 , q n −1 , за която S =
qn − 1 . q −1
Тогава за сумата Kn, която остава след n-тата погасителна вноска, получаваме q n −1 (1) K n = Kq n − V ⋅ q −1 Когато заемът е погасен, Kn = 0. Тогава от горната зависимост (1) получаваме формула за погасителната вноска: q −1 (2) V = Kq n ⋅ qn − 1
ЗАДАЧА 1
Банка дала на строителна фирма кредит от 100 000 лв. за 10 години при 5% сложна лихва, при условие че фирмата ще погасява кредита с годишна кредитна вноска. Определете погасителната вноска. Решение: 5 = 1, 05, n = 10. По условие K = 105 , q = 1 + 100 От формулата (2) получаваме 1, 05 − 1 0, 05 V = 105 .1, 0510 ≈ 105 .1, 629 ≈ 105 .1, 629 . 0,007949 ≈ 105 . 0,12949 = 12 949. 10 1, 05 − 1 0, 629 Отг. Погасителната вноска ще е в размер на 12 949 лв.
ЗАДАЧА 2
Г-н Иванов погасява банков кредит с годишни вноски от по 1 373 лв. в продължение на 12 години. Каква сума е кредитът, ако лихвеният процент е 1,5%? Решение: По условие V = 1 373, n = 12, p = 1,5, q = 1,015. От формулата (2) получаваме 1 373 = K .1, 01512 ⋅
1 373. 0,196 1, 015 − 1 0, 015 , K= ≈ 15 000. , 1 373 = K .1,196 ⋅ 12 0,196 1,196 . 0, 015 1, 015 − 1 Отг. Кредитът е 15 000 лв.
70
Към съдържанието
Рента
О
Ако срещу вложен капитал при определена лихва периодично се получава предварително уговорена сума, тя се нарича рента (R). Рентата може да се разглежда като погасителна вноска, която не се дава, а се по q −1 лучава от рентиера. Тогава формулата за рентата ще е (3) R = Kq n n , където K е q −1 вложеният капитал за n години при сложна лихва с лихвен множител q.
ЗАДАЧА 3
Наследник на сума от 50 000 лв. я влага във фирма за 5 години при лихвен процент 4,5%. Каква рента ще получава от фирмата наследникът в края на всяка година? Решение: 4, 5 = 1, 045 . По услов= ие K 50 = 000 5 .104= , n 5= , p 4, 5 . q = 1 + 100 От формула (3) получаваме 1, 045 − 1 0, 045 ≈ 5 .104 .1, 246 ≈ 1, 0455 − 1 0, 246 6, 23. 0,18293 ≈ 104 .1,139634 ≈ 11 396, 34. ≈ 104 .6
R = 5 .104 .1, 0455 ⋅
Отг. В края на всяка година наследникът ще получава от фирмата 11 396,34 лв. Лизинг
О
Лизингът осигурява улеснение при извършването на покупко-продажба на определен актив, когато купувачът не разполага с цялата сума. При лизинга купувачът плаща първоначална вноска, а останалата част от цената се разделя на месечни вноски, към които се добавя лихва. Лизингът е вид кредит и погасителната вноска при него се пресмята по формула (2), където K е равно на цената на актива минус първоначалната вноска.
ЗАДАЧА 4
Г-н Михалев си купил телевизор на лизинг със срок на погасяване 12 месеца и 6% го дишен лихвен процент. Ако цената на телевизора е 1 200 лв., а първоначалната вноска е 200 лв., намерете месечната погасителна вноска и общата дължима сума за телевизора. Решение: K = 1 200 – 200 = 1 000 Тъй като годишният лихвен процент е 6%, а периодът на олихвяване е 1 месец, лихвеният 005, n 12. процент за 1 месец е 6 : 12 = 0,5, т.е. p == 0,5, q 1,= 1, 005 − 1 От формулата (2) получаваме V = 1000.1, 00512. ≈ 86, 07 . 1, 00512 − 1 Отг. Общата дължима сума за телевизора е 200 + 12.86,07 = 1 232,84 лв.
ЗАДАЧИ
1. Б анк а дал а зем ед елс к и кред ит от 10 000 лв. на фермер за 3 години при 3,5% годишна лихва, при условие че погасява кредита с годишна вноска. Оп ределете погасителната вноска. 2. Предпр ием ач погасява банков кредит с годишни вноски от по 1970 лв. в про дължение на 6 години. Каква сума е кре дитът, ако лихвеният множител е 1,05?
Към съдържанието
3. Семейств о има в банката 15 000 лв. За да си купи жилище за 35 000 лв., то взема кредит от банказа 15 години при годишна сложна лихва 4,5%. Определете годишните погасителни вноски. 4. Наследник на сума от 100 000 лв. я вла га във фирма за 10 години при лихвен процент 5%. Каква рента ще получава той от фирмата в края на всяка година?
71
24.
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „ПРОГРЕСИИ“ Запомнете! Крайна числова редица се нарича множество от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа от 1 до k. Безкрайна числова редица се нарича множество от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа 1, 2, 3, ..., n ... . Една числова редица се нарича монотонно растяща, когато всеки неин член след първия е по-голям или равен на предходния му, т.е. когато an ≤ an + 1 за n = 1, 2, 3, ... Една числова редица се нарича монотонно намаляваща, когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния му, т.е. когато an ≥ an + 1 за n = 1, 2, 3, ... Аритметична прогресия ÷ a1, a2, ..., an, ...
Геометрична прогресия ÷÷ a1, a2, ..., an, ...
Определение
Определение
Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като към предходния му член се прибави едно и също число. an = an – 1 + d d – разлика d = an – an – 1
an = an – 1 . q q – частно, q ≠ 0, q ≠1, a1 ≠ 0 a q= n an −1
Формула за общия член an = a1 + (n – 1).d
Формула за общия член an = a1 . qn – 1
Свойство 1
Свойство 1
Една числова редица {an} e аритметична прогресия тогава и само тогава, когато за всяко n ≥ 2 е изпълнено a +a an = n −1 n +1 ⋅ 2 Свойство 2 ap + ar = as + at, ако p + r = s + t a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ... Формули за сбора от първите n члена a1 + an ⋅n 2 2a + (n − 1). d Sn = 1 ⋅n 2 Sn =
72
Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като пред ходният му член се умножи с едно и също число.
Една числова редица {an} e геомет рична прогресия тогава и само тогава, когато за всяко n ≥ 2 е изпълнено an 2 = an −1. an +1 . Свойство 2 ap . ar = as . at, ако p + r = s + t a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 = ... Формули за сбора от първите n члена a q − a1 Sn = n q −1 qn − 1 S n = a1 ⋅ q −1
Към съдържанието
Проста лихва
Сложна лихва
Определение
Определение
В края на всеки лихвен период се олих вява само внесеният начален капитал.
Формула за пресмятане на нарасналия капитал p K n = K 0 1 + ⋅n 100
p K n = K 0 1 + 100
Редицата {Kn} е аритметична прогреp . сия с a1 = K1 и разлика d = K 0 ⋅ 100
ЗАДАЧА 1
В края на всеки лихвен период лихвата се прибавя към основния капитал и в следващите периоди се олихвява заедно с него. Формула за пресмятане на нарасналия капитал n
Редицата {Kn} е геометрична прогреp . сия с a1 = K0 и частно q = 1 + 100
Намерете първия член а1, разликата d и n на аритметична прогресия, за която: б) a1 + a2 + a3 = 15 a) a3 + a4 = 8 a7 − 2a2 = 9 a2 2 − a4 = 14 S n − S3 = 21; S n + n = 30. Решение: От първите две уравнения на системите намираме a1 и d. a) a1 + 2d + a1 + 3d = 8
б) a1 + a1 + d + a2 + 2d = 15
a1 + 6d − 2(a1 + d ) = 9
(a1 + d ) 2 − (a1 + 3d ) = 14
2a1 + 5d = 8
a1 + d = 5 ⇒ a1 = 5 − d
− a1 + 4d = 9 | .2 + − 2a1 + 8d = 18 2a1 + 5d = 8
13d = 26 d =2
52 − (5 − d + 3d ) = 14 20 − 2d = 14 2d = 6 d =3 a1 = 5 − 3 = 2
a1 = 4d − 9 = −1 Заместваме във формулата за S n = S n = n 2 − 2n S3 = 32 − 2.3 = 3 S n − S3 = 21
n − 2n − 24 = 0 2
2a1 + (n − 1). d ⋅n. 2 2 S n = 3n + n 2 S n + n = 30 3n 2 + n + n = 30 2 2 n + n − 20 = 0
n = – 4 < 0 – не n = 6 – да
n = – 5 < 0 – не n = 4 – да
Отг. a1 = −1 d =2 n=6
Отг. a1 = 2 d =3 n=4
Към съдържанието
73
ЗАДАЧА 2
Ния редила пъзел, като всеки ден подреждала с d елемента повече, отколкото предишния. На седемнадесетия ден тя подредила точно толкова елемента, колкото през първите 5 дни, взети заедно. На деветнадесетия ден Ния наредила последните 390 елемента, подреждайки d елемента повече, отколкото през осемнадесетия. Намерете от колко елемента се състои пъзелът. Решение: Броят на елементите, подредени през конкретния ден, образуват аритметична прогресия с разлика d (d ∈ N). Означаваме с a1, a2, ...a19 членовете на прогресията. От условието на задачата получаваме системата a17 = S5 a19 = 390. 2a1 + (5 − 1). d ⋅ 5 = 5a1 + 10d и решаваме получената система. Пресмятаме S5 = 2 a1 + 16d = 5a1 + 10d 4a1 − 6d = 0 | .3 12a1 − 18d = 0 ⇔ ⇔ + a1 + 18d = 390 a1 + 18d = 390 a1 + 18d = 390 ⇒ 13a1 = 390, a1 = 30
a + an ⋅n. S19 намираме по формулата S n = 1 2 a +a S19 = 1 19 ⋅ 19 2 30 390 ⋅ 19 = 210.19 = 3 990 + S19 = 2 Отг. Пъзелът се състои от 3 990 елемента.
ЗАДАЧА 3
Намерете първия член а1, частното q и n на геометрична прогресия, за която: б) a5 + a2 = 18 a) a3 − a2 = −8 a3 + a2 = 24 a2 − a3 + a4 = 6 S n − 5a4 = 40; S n + S3 = 70. Решение: От първите две уравнения на системите намираме a1 и q. 4 б) a1q + a1q = 18 a1q − a1q 2 + a1q 3 = 6
a) a1q 2 − a1q = −8 2 a1q + a1q = 24 a1q (q − 1) = −8 : a1q (q + 1) = 24 q −1 = −1 q +1 3 1 q= 2 1 a1 ⋅ ⋅ 3 = 24 ⇒ a1 = 32 2 2
: a1q (1 − q + q ) = 6 a1q (q + 1)(q 2 − q + 1) 18 = 6 a1q (1 − q + q 2 ) q +1 = 3 ⇒ q = 2 a1.2.9 = 18 ⇒ a1 = 1 a1q (q 3 + 1) = 18 2
Заместваме във формулата за S n = a1 ⋅ 1 −1 ) = −64 1 + 64 ( = 32 ⋅ 2 (2) 1 −1 n
Sn
n
2 a4 = a1. q = 32 ⋅ 1 = 4 8 S n − 5a4 = 40 3
74
()
n
−64 1 + 64 − 20 = 40 2 4 n 1 1
qn − 1 . q −1 n Sn = 1 ⋅ 2 − 1 2 −1 S n = 2n − 1 S 3 = 23 − 1 = 7 S n + S3 = 70 2n − 1 + 7 = 70 2n = 64 2 n = 26
Към съдържанието
()
−1 S n = 32 ⋅ 2 = −64 1 2 1 −1 2 a4 = a1. q 3 = 32 ⋅ 1 = 4 8 S n − 5a4 = 40
( ) + 64 n
() () () n
−64 1 + 64 − 20 = 40 2 4 n 1 = 1 ⇒n=4 2 2 1 Отг. a1 = 32, q = , n = 4 2
ЗАДАЧА 4
n Sn = 1 ⋅ 2 − 1 2 −1 S n = 2n − 1 S 3 = 23 − 1 = 7 S n + S3 = 70 2n − 1 + 7 = 70 2n = 64 2 n = 26 n=6
Отг. a1 = 1, q = 2, n = 6
Пет числа, сборът на които е 30, образуват растяща аритметична прогресия. Ако към третото число прибавим 2, първите три числа ще образуват геометрична прогресия. Намерете числата. Решение: Означаваме търсените числа: ÷ a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d. Техният сбор е 5a1 + 10d = 30. Числата a1, a1 + d, a1 + 2d + 2 образуват геометрична прогресия. От свойството на геометричната прогресия получаваме (a1 + d)2 = a1.(a1 + 2d + 2). Съставяме системата a1 + 2d = 6 → a1 = 6 − 2d
(a1 + d ) 2 = a1 (a1 + 2d + 2) .
(6 – 2d + d)2 = (6 – 2d).8 d 2 + 4d – 12 = 0 d = – 6 < 0 – намаляваща аритметична прогресия d=2 a = 6 – 2.2 = 2 Отг. Търсените числа са 2, 4, 6, 8, 10. 1
ЗАДАЧА 5
Мъж и жена внесли в различни банки една и съща сума за период от 2 години, като мъжът направил това при сложна лихва от 4%, а жената – при проста лихва. Оказало се, че в края на лихвения период нарасналите суми на двамата били равни. Намерете лихвения процент, при който жената е направила своя депозит. Решение: 1. Началният капитал (K0), 4. Приравняваме нарасналите капитали. нарасналият капитал (Kn) и 2 p 1+ 4 =1+ ⋅2 лихвеният период (n = 2) 100 100 за двата депозита са еднакви. 2 p 1+ 1 =1+ 2. Нарасналият капитал на мъжа е 25 50 2 p Kn = K0 1 + 4 . | .25.25.2 1 + 2 + 12 = 1 + 100 25 25 50 3. Нарасналият капитал на жената е 2.50 + 2 = 25 p p.2 K n = K 0 1 + . p = 102 = 408 = 4, 08 100 25 100
(
(
)
(
) )
Отг. Л ихвеният процент, при който жената е направила своя депозит, е 4,08%.
75
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ПРОГРЕСИИ“ Намерете първия член а1, разликата d и n на аритметична прогресия, за която са дадени: 1. a5 + a4 = 4 2. a4 + a6 = 14 2a3 + a1 = 5 a7 + 2a3 = 5 S n + S5 = 50. an + n = 14; Намерете първия член а1, разликата d и n на аритметична прогресия с членове цели числа, за която са дадени: 3. a5 − a2 = 9 4. a3 − a2 − a1 = 1 a1. a2 + a4 = 14 a1. a5 − a7 = 8 S n + n = 40; S n − n − S5 = 30; 5. a1 + a2 − a4 = −5 a2 . a3 − 2a4 = 8 S n + S3 + n = 89;
6. a4 − a2 − a1 = 4 a1. a4 − a7 = 2 S − 5n = 27. n
Намерете първия член а1, разликата d и n на аритметична прогресия, за която са дадени: 7. a4 − a2 = 6 8. a1 + a2 + a3 = 15 2 a22 − a4 = 14 a2 − a1 = 3 S n + n = 30. S n − 6n = 20; Намерете първия член а1, частното q и n на геометрична прогресия, за която са дадени: 9. a3 − a2 = 12 a3 + a2 = 24 S n = 80;
10. a4 − 2a3 − a2 =12 a3 − 2a2 − a1 = 4 S n = 26;
11. a4 − a3 − a2 = 6 12. a4 − a3 − 2a2 = 24 a3 − a2 − 2a1 = 8 a3 − a2 − a1 = 3 S n + S 4 − S3 = 80; S n − a6 = 93; 13. a1 − a2 + a3 = 24 14. a3 + 2a2 = 30 a1 + a2 − 2a3 = 32 a3 − a2 − 2a1 = 8 S n + 2a6 − 2a7 = 64; S n + a1 − a4 = 28; 15. a4 − a1 = 26 16. 2a5 − a4 − a3 = 20 a1 + a2 + a3 =13 2a4 − a3 − a2 =10 S n + S5 − S 4 =121; S n + S3 = 38. 17. Сборът на три числа, образуващи арит метична прогресия, е равен на 15. Ако от второто число извадим 2, ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете тези числа.
76
18. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е равен на 9. Ако от второто и от третото число извадим 1, ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете тези числа. 19. Сборът на три числа, образуващи гео метрична прогресия, е равен на 26. Ако към второто число прибавим 4, ще получим три числа, които образуват аритметична прогресия. Намерете тези числа. 20. Сборът на три числа, образуващи гео метрична прогресия, е равен на 35. Ако от третото число извадим 5, ще получим три числа, които образуват аритметична прогресия. Намерете тези числа. 21. Намерете четири числа, първите три от които образуват геометрична прогресия, а последните три – аритметична. Сборът на крайните две числа е 21, а на средните две е 18. 22. Намерете четири числа, първите три от които образуват геометрична прогресия, а последните три – аритметична. Сборът на крайните две числа е 16, а на средните две е 12. 23. Н амерете четири числа, първите три от които образуват аритметична прогресия, а последните три – геометрична. Сборът на крайните две числа е 32, а на средните две е 16. 24. Н амерете четири числа, първите три от които образуват аритметична прогресия, а последните три – геометрична. Сборът на крайните две числа е 12, а на средните две е 9. 25. Н амерете четири числа, първите три от които образуват аритметична прогресия, а последните три – геометрична. Сборът на крайните две числа е 24, а на средните две е 12.
Към съдържанието
25.
ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „ПРОГРЕСИИ“ 1. Редицата {an} е определена с равенст- 6. Стойността на x, за която числата вата a1 = 3, an + 1 = 2an + 5, n = 1, 2, 3,… 3, 2x – 2, x2 – 1, взети в този ред, образу Сборът на първите три члена на редица- ват растяща геометрична прогресия, е: та е: А) – 7; А) 31; Б) – 1; Б) 39; В) 1; Г) 7. В) 41;
Г) 49.
2. П етият член на аритметична прогресия {an}, за която a3 = 10 и a7 = 26, е:
А) 18;
Б) 16;
В) 22;
Г) 36.
3. Седмият член на геометрична прогресия {an}, за която a1 = 81 и q = − 1 , е: 3 1 А) − ; 9 1 Б) ; 9 В) 1 ; 27 Г) − 1 . 27 4. Крайните членове на една крайна аритметична прогресия {an} са a1 = 1 и 8 a10 = 7 . Сборът от всички членове на 8 прогресията е: 1 А) 1; Б) 5; В) 1 ; Г) 1 . 2 12 5. Частното на геометрична прогресия {an} е q = 4, а сборът на първите три члена е S3 = 105. Четвъртият член на прогресията е: А) 420; Б) 315; В) 320; Г) 1 280.
Към съдържанието
7. В банка са вложени 40 000 лв. при годишна сложна лихва 1,5%. Сумата след 2 години (в лв.) ще е: А) 41 209; Б) 41 200; В) 41 500; Г) 41 509. 8. Намерете първия член (a1), разликата (d) и n на аритметична прогресия {an}, за която са дадени: a1 + a2 + a3 = 36 a22 + a4 = 148
S n − 6n = −14.
9. Намерете първия член (a1), частното (q) и n на геометрична прогресия {an}, за която са дадени: a4 − a2 = 18 a3 − a2 = 6
S n − 2a5 = 93.
10. Сборът на три числа, образуващи растяща аритметична прогресия, е равен на 24. Ако от първото число извадим 1, а към третото прибавим 5, ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете двете прогресии.
77
ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „ПРОГРЕСИИ“ 1. Р едицата {an} е определена с равенствата a1 = 2, an + 1 = 3an + 2, n = 1, 2, 3,… Сборът на първите три члена на редицата е: А) 26; Б) 34; В) 36; Г) 44. етвъртият член на аритметична про2. Ч гресия {an}, на която a2 = 7 и a6 = 19, е: А) 12; Б) 13; В) 16; Г) 26.
6. Стойността на x, за която числата 2x2, 3x – 1, x, взети в този ред, образуват намаляваща аритметична прогресия, е: А) 2; Б) 1 ; 2 В) 4; Г) – 2. 7. В банка са вложени 10 000 лв. при годишна сложна лихва 0,5%. Сумата след 2 години (в лв.) ще е:
А) 10 100, 25;
Б) 10 100;
В) 11 000,25; Г) 10 010,25.
3. Деветият член на геометрична прогресия {an}, за която a1 = – 16 и q = − 1 , е: 2 1 1 1 1 А) − ; Б) ; В) ; Г) − . 16 16 32 32 4. Крайните членове на една крайна арит 1 метична прогресия {an} са a1 = и 12 11 a16 = . Сборът от всички членове 12 на прогресията е: А) 6; Б) 8;
В) 12; Г) 1 . 8
5. Ч астното на геометрична прогресия {an} е q = 3, а сборът на първите три члена е S3 = 52. Петият член на прогресията е: А) 192; Б) 324; В) 144; Г) 108.
78
8. Намерете първия член (a1), разликата (d) и n на аритметична прогресия {an} с положителни членове, за която са дадени: a6 − a4 = 10 a1. a2 − a5 = 1
S n − 3n = 75. 9. Намерете първия член (a1), частното (q) и n на геометрична прогресия {an}, за която са дадени: a5 − a7 = 18 a5 + a6 = 36
S n − 2a1 = −3.
10. Сборът на три числа, образуващи намаляваща геометрична прогресия, е равен на 21. Ако към всяко от първите две числа прибавим 1, а от третото извадим 2, ще получим три числа, които образуват аритметична прогресия. Намерете двете прогресии.
Към съдържанието
ТЕМА 3 СТАТИСТИКА И ОБРАБОТКА НА ДАННИ (Урок 26 – Урок 29)
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: статистическа съвкупност, генерална съвкупност; извадка, наредена извадка; прост статистически ред, рангов ред, вариационен ред; медиана, мода, квартили; размах (обхват), квартилен размах. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да намират средна аритметична стойност, медиана, мода и да разбират тяхното значение; да намират квартили и да разбират тяхното значение; да извършват петчислено представяне на данните.
79
26.
ОПИСАТЕЛНА СТАТИСТИКА Възникване на статистиката Още в древността хората са се нуждаели от определени знания, които днес наричаме статистически. Има сведения, че около 3 500 години пр.н.е. в Египет е било извършвано преброяване на населението. Статистиката като наука възниква по-късно, като много автори я свързват с името на немския учен Херман Конринг, живял през ХVІІ в. и въвел през 1660 г. нова университетска дисциплина, наричана „Държавоведение“. Слага се началото на една описателна наука, наречена статистика, която на основата на набраните сведения е трябвало да разказва за състоянието на отделните държави. С напредъка на обществото и компютърните технологии статистическата наука и практика достигат висока степен на развитие и имат широко приложение в различни сфери за описване, анализ и прогнозиране на явленията и процесите в заобикалящата ни действителност. Ще дадем едно от определенията за статистиката като наука.
О
Статистика се нарича наука за събиране, организация, представяне, анализ и интерпретация на данни с цел да се подпомогне вземането на решение. Обект и предмет на статистиката Явленията в нашата действителност, които представляват интерес за изучаване, могат да се обединят в две групи – единични (детерминирани) и масови (стохастични). Единичните явления се проявяват по еднакъв начин при дадени условия. Поведението им се определя точно от установените закономерности, които се наричат динамични. Разкриването на динамичните закономерности е предмет на физиката, химията и други науки. Масовите явления не се проявяват по еднакъв начин при дадени условия, а имат вероятностен характер. Едно явление е масово, когато множеството от единици, характеризиращи проявлението му, притежава определени закономерности, валидни за общността от единици като цяло. Такива закономерностите се наричат статистически.
!
Обект на статистиката са масовите явления и съвкупностите, чрез които те се проявяват. Предмет на статистиката са статистическите закономерности на тяхното проявление. Обектът и предметът се конкретизират при всяко статистическо изследване съобразно неговите цели и задачи. В основата на статистиката лежи събирането на данни (информация). Описателната статистика развива методи за подготовка, събиране и представяне на статистически данни. Тя се прилага в държавния и стопанския живот, в обществените науки, в медицината, както и в естествените науки. За събраните данни трябва да е известно мястото и времето на тяхното събиране. Подготвеният от описателната статистика числов материал се изследва научно от математическата статистика. Основни задачи на математическата статистика са създаването на математически модели за събиране и групиране на статистически
80
Към съдържанието
данни, разработването на методи за обработка и анализ на събраната информация, които позволяват след това да се правят обосновани изводи и да се вземат правилни решения. Математическата статистика се опира главно на теорията на вероятностите и на закона за големите числа. Съгласно този закон изводи и заключения за едно масово явление могат да се направят при достатъчно голям брой случаи, без да е необходимо да се изследват всички случаи. Статистически съвкупности
О
Статистическа съвкупност се нарича множество, елементите на което са определени по дефиниционен признак и се различават по други признаци, които могат да бъдат изучаваните признаци. Всеки елемент на една статистическа съвкупност се нарича статистическа единица. Тя може да бъде предмет, живо същество, машина, събитие, състояние и др. Изучаваният признак може да има количествен характер (може да бъде количествено измерен) или качествен характер (не може да бъде количествено измерен).
ПРИМЕР
О
За статистическа съвкупност може да се вземе множеството от всички лица на 17 години в страната. Изучаваният признак може да бъде височината им в сантиметри. Този признак има количествен характер. За същата съвкупност изучаваният признак може да е местоживеенето. Този признак има качествен характер. Ако на всеки елемент от дадена статистическа съвкупност се съпостави числова величина xi (значението на изучавания признак), множеството от числата xi се нарича генерална съвкупност. Броят N на елементите на генералната съвкупност се нарича неин обем. Числовите характеристики на генералната съвкупност се наричат параметри. Обикновено не е възможно да се направи пълно изследване, т.е. да се обхване целият обем на генералната съвкупност. Това е така, защото N, ако не е безкрайно, е много голямо число. Освен това може обектите да са трудно достъпни, за изследването им да са нужни много време, средства, кадри. Най-различни причини налагат използването на извадково наблюдение.
О
Частта от генералната съвкупност, избрана за проучване, се нарича извадка. Извадка с обем n се нарича случаен избор на n обекта от генералната съвкупност, на които трябва да се наблюдава или измери изучавания признак, след което да се направи извод за съответния параметър на генералната съвкупност. Една извадка се счита за представителна, ако единиците, попаднали в нея, имат свойството коректно да възпроизвеждат параметрите на генералната съвкупност. Подборът на обектите, които ще образуват извадката, трябва да бъде случаен. Начинът на получаването ѝ трябва да гарантира възможност всеки обект от генералната съвкупност да попадне в извадката.
ПРИМЕР
При изследване на ръста на лицата на 17 години в страната трябва да се вземат представители на момичета и момчета от различни видове училища. Ако се вземат ученици само от спортни училища, извадката няма да представя правдоподобно множеството на лицата на 17 години в страната. Извадката трябва да бъде достатъчно голяма по обем.
Към съдържанието
81
Статистически данни Всяка една статистически изследвана характеристика може да бъде отъждествена със случайна величина, която може да приема различни стойности. Например производителността на служителите в една фирма, доходът на домакинствата в даден регион и др. Данните представляват възможните стойности на наблюдавана случайна величина и биват количествени – представят се с числа, получени в резултат от броене, измерване и т.н., или качествени – изразяват се в нечислов вид (пол, кръвна група и т.н.). Представяне на данни Данните от статистическо изследване се състоят от числа, които представляват измервания на някаква характеристика. Проблем в началото на всяко такова изследване създава фактът, че данните в извадките са в „суров“ вид, т.е. те са представени в реда на събирането им. Подреждането им в извадката във възходящ ред е полезно преди започване на анализа им. Такава извадка се нарича наредена извадка.
О
Множеството от наблюдения на една статистическа характеристика (случайна величина) X се нарича прост статистически ред. Този ред е изходният материал за следващите разсъждения. Простият статистически ред може да се оформи като таблица със съответните наблюдения.
ПРИМЕР
Директор на училище трябва да определи математическите способности на учениците от 10. клас в повереното му училище. За целта той измерил способностите на извадка от 50 ученици с помощта на подходящ тест. Резултатите от теста са представени в Таблица 1 в реда, в който са получени. Таблица 1. Резултати от теста по математика в „суров“ вид 25 15 30 35 40
20 20 35 30 45
45 35 15 25 35
25 20 35 40 50
30 35 35 50 35
25 50 30 35 45
20 30 40 30 30
40 35 15 25 15
25 20 50 40 20
30 40 35 45 45
В Таблица 1 извадката е ненаредена (представена е в прост статистически ред). Най-внимателното преглеждане на данните в нея не би довело до някакви съществени изводи. Трудно е дори да се определят най-голямата и най-малката измерена стойност. Първата стъпка в организацията на данните е те да бъдат пренаредени във възходящ ред, т.е. от най-малката към най-голямата стойност (Таблица 2). Подреждането на данните във възходящ ред ни осигурява следните възможности: • групиране на еднаквите стойности, разполагайки ги една до друга, така че тяхната честота (повторения) може лесно да бъде определена; • бързо определяне на най-малката и най-голямата стойност.
О
Наблюденията от простия статистически ред, записани в нарастващ (възходящ) ред x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ … ≤ xn, се нарича рангов ред. Таблица 2. Резултати от теста по математика, наредени в рангов ред 15 15 15 15 20
82
20 20 20 20 20
25 25 25 25 25
25 30 30 30 30
30 30 30 30 35
35 35 35 35 35
35 35 35 35 35
40 40 40 40 40
40 45 45 45 45
45 50 50 50 50
Към съдържанието
Втората стъпка е получаване на честотното разпределение. Това е такова подреждане на данните, което показва колко пъти дадена стойност се повтаря (наблюдава).
О
Нека признакът x1 e наблюдаван f1 пъти, x2 – f2 пъти, … , xk – fk пъти, където f1 + f2 + f3 + … + fк = n е обемът на извадката. xi се нарича вариант, а последователността от вариантите, записани в нарастващ (възходящ) ред x1 < x2 < x3 < … < xk, се нарича вариационен ред. Вариационният ред се оформя като таблица, в която в първия ред са разположени стойностите на х (вариантите), а във втория – честотите им (броят на наблюденията им).
Стойности на х Честоти на xi
x1
x2
x3 … xn
f1
f2
f3
…
fn
В Таблица 3 са показани честотите на всяка измерена стойност: има четири стойности от 15 точки, шест стойности от 20 точки и т.н. Данните са групирани в толкова групи, колкото са различните стойности от резултата на теста. Таблица 3. Честотно разпределение на резултатите от теста по математика Брой точки (измерване) Брой ученици (честота)
15 4
20 6
25 6
30 8
35 11
40 6
45 5
50 4
Трета стъпка е представянето на данните чрез диаграми. Стълбовата диаграма (фиг. 1) е графично представяне на честотите чрез правоъгълници с еднаква ширина и с височина, пропорционална на честотите. Линейната диаграма (фиг. 2) е точкова диаграма, при която точките с координати (xi; fi) се свързват с отсечки, така че да се получи начупена линия. Тази диаграма се нарича още полигон на честотите. И при двата вида диаграми по хоризонталата са нанесени измерванията, а по вертикалата – честотите. Фигура 1. Стълбова диаграма
ЗАДАЧИ
Направена е извадка за престоя (в дни) в
болница на 49 пациента по дадена диагноза „А”. Получените данни са дадени в таблицата в реда, в който са събрани. Представете данните: 1. В рангов ред. 2. Във вариационен ред. 3. Чрез стълбова диаграма. 4. Чрез линейна диаграма.
Към съдържанието
Фигура 2. Линейна диаграма
5 4 6 4 5 7 7
7 5 6 6 4 8 7
7 6 7 6 7 8 5
8 8 8 7 7 4 8
9 8 8 7 8 5 9
5 3 9 8 8 6 6
3 9 9 3 9 6 5
83
27.
ЦЕНТРАЛНИ ТЕНДЕНЦИИ – МОДА, МЕДИАНА И СРЕДНО АРИТМЕТИЧНО Основните обобщаващи характеристики на съвкупностите в статистическите изследвания са средните величини (централните тенденции). Те са свързани с количествено измеримите и вариращи признаци и свойства на единиците от статистическата съвкупност. Чрез тях се определя най-често срещаното значение на даден признак и те разкриват типичните, закономерно проявяващи се, свойства на съвкупността. Съществуват два типа средни величини: алгебрични и неалгебрични. При изчисляването на алгебричните средни (средна аритметична стойност) се взимат всички значения на разглеждания признак, а при неалгебричните (медиана, мода) участват само определени значения в зависимост от мястото или честота им. Средна аритметична стойност
О
Средната аритметична стойност е сумата от индивидуалните значения на всички единици от съвкупността, разделена на техния брой. Означава се с x . Средната аритметична стойност е основен показател за намиране на центъра на дадено разпределение. За изчисляване на средна аритметична стойност за прост статистически ред се използва т.нар. непретеглена формула: x + x + x3 + + xn x= 1 2 , където: n xi – индивидуалните значения на признака; n – броят на наблюдаваните единици (обемът на извадката). Горната формула не може да се приложи директно, когато изходните данни са групирани във вариационен ред. В този случай се използва претеглената формула: x f + x f + + xk f k , където: x= 1 1 2 2 n xi – индивидуалните значения на признака; fi – броят на единиците (честотата), с която се срещат значенията на признака; n – броят на наблюдаваните единици (обемът на извадката).
ЗАДАЧА 1
Намерете средните аритметични стойности на статистическите редове: а) 2, 2, 3, 4, 6, 7; б) 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8. Решение: а) x = 2 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 = 24 б) x = 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 = 44 8 8 6 6 x = 5, 5 x =4
ЗАДАЧА 2
Намерете средните аритметични стойности на вариационните редове. а) x б) x 2 3 4 5 6 1 3 5 7 i i fi fi 4 5 6 3 2 2 7 8 5 Решение: а) n = 4 + 5 + 6 + 3 + 2 = 20 x = 2.4 + 3.5 + 4.6 + 5.3 + 6.2 20 + + + 8 15 24 15 + 12 = 74 = 3, 7 x= 20 20
84
9 3
б) n = 2 + 7 + 8 + 5 + 3 = 25 x = 1.2 + 3.7 + 5.8 + 7.5 + 9.3 25 x = 2 + 21 + 40 + 35 + 27 = 125 = 5 25 25
Към съдържанието
Медиана
О
Медианата е числовата стойност, която разделя ранговия ред на две равни части (т.е. на групи от по 50% от единиците). Тя се нарича още средна по положение. Означава се с Mе. Ме
В зависимост от броя на единиците в ранговия ред при пресмятането на медианата участват едно или две индивидуални значения.
_____ _____ 123 123 50%
50%
При определяне на медианата на прост статистически ред изпълняваме следните стъпки: 1. Подреждаме единиците във възходящ ред, т.е. образуваме рангов ред. 2. Изчисляваме номера на медианата NMe (номера на централната единица) по формулата N Me = n + 1 , където n e броят на наблюдаваните единици. 2 • Ако n e нечетно число, номерът NMe ще е цяло число и ще има една централна единица. • Ако n e четно число, номерът NMe няма да е цяло число и ще имаме две централни единици, чиито номера съответстват на двете цели числа, обграждащи NMe . 3. Намираме стойността на медианата. • При нечетен брой единици медианата е равна на стойността на централната (средната) единица на ранговия ред. • При четен брой единици медианата е равна на средното аритметично на двете централни единици на ранговия ред.
ЗАДАЧА 3
Намерете медианите на ранговите редове: а) 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7; Решение: а) n = 9 – нечетно число N Me = 9 + 1 = 5 2 Me = x= 4 5 Ме
2, 2, 3, 4, 4 , 5, 5, 5, 7
123
б) n = 10 – четно число N Me = 10 + 1 = 5, 5 2 x5 + x6 4 + 5 Me = = = 4, 5 2 2 Ме
123
4 единици
ЗАДАЧА 4
б) 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7.
4,5
4 единици
123
2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 123 123 5 единици
5 единици
xi fi
5 4
Намерете медианите на вариационните редове. а)
xi fi
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
Решение: а) Записваме данните в рангов ред 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6. n = 11 – нечетно число N Me = 11 + 1 = 6 2 Me = x= 5 6
Към съдържанието
б)
3 2
7 3
8 2
9 1
б) Записваме данните в рангов ред 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9. n = 12 – четно число N Me = 12 + 1 = 6, 5 2 x6 + x7 5 + 7 Me = = =6 2 2
85
Мода
О
Мода е най-често срещаното значение на признака в съвкупността. Тя се нарича още средна величина на гъстотата. Означава се с Mo. Модата е числовата стойност на вариационния ред, която има най-голяма честота. За разлика от останалите средни величини, в едно разпределение може да има повече от една мода, т.е. в една съвкупност може да има две или повече значения на признака, които са с най-висока честота.
ЗАДАЧА 5
Намерете модите на вариационните редове. а)
xi fi
2 2
3 1
4 3
5 6
6 2
Решение: а) Числовата стойност с най-голяма честота е 5. Вариационният ред има една мода: Мо = 5.
ЗАДАЧА 6
2 2
4 5
6 3
8 5
10 3
б) Ч исловите стойности с най-голяма честота са 4 и 8. Вариационният ред има две моди: Мо1 = 4 и Мо2 = 8.
б) 123 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6 14243 123 123
2 пъти
3 пъти
2 пъти
1 път
Стойностите 3 и 5 са с най-много повторения. Редът има две моди: Мо1 = 3 и Мо2 = 5.
б) 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6.
3 пъти
5 пъти
2 пъти 2 пъти
Стойността 4 е с най-много повторения. Редът има една мода: Мо = 4.
При записването на всички 500 данни от проведен експеримент се оказало, че числата в ранговия ред образуват аритметична прогресия, като най-малкото от тях е 5, а най-голямото е 1 003. Намерете медианата и средната аритметична стойност на тези данни. Решение: Означаваме с x1, x2, x3, …, x500 ранговия ред, като x1 = 5 и x500 = 1 003. 500 + 1 = 250, 5 1. N Me = 2 x + x251 ⇒ Me = 250 2 От Свойство 1 на аритметичната прогресия намираме x250 + x251 = x1 + x500 x250 + x251 = 5 + 1 003 = 1 008 1 008 2 Me = 504.
x + x + + x500 S500 = 2. x = 1 2 500 500 Сборът на първите 500 члена намираме по формулата x +x S500 = 1 500 ⋅ 500 2 5 + 1 003 S500 = ⋅ 500 2 S500 = 504.500
⇒ Me =
86
xi fi
Намерете модите на ранговите редове: а) 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9; Решение: а) 123 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9 123 123 123 123 3 пъти
ЗАДАЧА 7
б)
⇒ x = 504.500 500 x = 504.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 8
При записването на всички 9 данни от проведен експеримент се оказало, че числата в ранговия ред образуват растяща геометрична прогресия, като най-малкото от тях е 9, а най-голямото е 2 304. Намерете медианата и средната аритметична стойност на тези данни. Решение: Означаваме с x1, x2, x3, …, x9 ранговия ред, като x1 = 9 и x9 = 2 304. x + x + + x9 S9 1. N Me = 9 + 1 = 5 = 2. x = 1 2 2 9 9 8 x9 = x1. q ⇒ Me = x5 О т Свойство 1 на геометричната прогресия намираме x52 = x1.x9 x52
q8 =
= 9 . 2 304
x52 = 9.9.16.16 x52 = (9.16) 2 x5 = 144
( x5 > 0 )
⇒ Me = 144.
ЗАДАЧА 9
⇒q=2
( q > 0)
Сборът на първите 9 члена намираме по формулата 9 q9 − 1 S9 = x1 ⋅ = 9 ⋅ 2 −1 2 −1 q −1 S9 = 9.511 ⇒ x = 9.511 = 511. 9
Средната аритметична стойност на реда 2, 3, 3, 3, 5, 5, 7 е равна на средната аритметична стойност на реда 1, 2, 3, 6, 7, x. Намерете медианата на втория ред. Решение: 1. Намираме средната аритметична стойност на първия ред. 2 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 7 = 28 = 4 7 7 2. Намираме средната аритметична стойност на втория ред. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + x = 19 + x 6 6 3. Приравняваме двете стойности и намираме x. 19 + x = 4 6 19 + x = 24 x=5
ЗАДАЧИ
x9 2 304 = = 256 9 x1
Намерете средните аритметични стойности, медианите и модите на дадените редове.
1. 5, 6, 7, 8, 4, 5, 7, 5, 7. 2. 6, 7, 5, 7, 6, 7, 8, 5, 6, 7. 3. xi fi
4 2
Към съдържанието
5 3
6 5
7 7
8 3
4. Подреждаме втория ред във възходящ ред (рангов ред).
1, 2, 3, 5, 6, 7
5. Намираме последователно номера и стойността на медианата. N Me = 6 + 1 = 3, 5 2 x3 + x4 Me = 2 3 5 + Me = 2 Me = 4
4. xi fi
3 4
5 9
7 7
9 3
11 2
5. Средната аритметична стойност на
реда 4, 5, 6, 8, 8, 9, 9, 9 е равна на средната аритметична стойност на реда 5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, x. Намерете медианата на втория ред.
87
28.
ПЕТЧИСЛЕНО ПРЕДСТАВЯНЕ НА ДАННИ Квартили
О
Квартилите са числовите стойности, които разделят ранговия ред на четири равни части (т.е. на групи от по 25% от единиците). Означават се с Q1, Q2, Q3. Q1
Me = Q2
Q3
_____ _____ _____ _____ 123 123 123 123 25%
25%
25%
25%
Единиците, които имат значения на признака до първия квартил (Q1), отделят първата 1 част, т.е. образуват първата 4 25%-ова група.
Единиците от следващата 25%-ова група имат значения между първия и втория квартил. Оттук следва, че вторият квартил ограничава 50% от единиците на реда и съвпада с медианата (Ме = Q2). Третият квартил (Q3) ограничава последната 1 част (25%) 4 от единиците с най-големи значения. В зависимост от броя на единиците в ранговия ред при пресмятането на квартилите участват едно или две индивидуални значения. Има няколко начина за пресмятането на квартили. Понякога те дават различни стойности. При големи извадки от данни тези различия са несъществени. Един от начините за определяне на квартилите е като се намерят медианите на двете половини на ранговия ред. Медианата на първата половина е Q1, а медианата на втората половина е Q3. Друг по-точен начин е чрез определяне на позициите на съответните квартили в ранговия ред по формулите N Q1 = n + 1 и N Q3 = n + 1 ⋅ 3 . Стойностите на квартилите 4 4 (4 − r ). xk + r. xk +1 r се изчисляват по формулата Qi = , където N Qi = k + , r = 0, 1, 2, 3 . 4 4 При следващите примери и разсъждения ще използваме първия начин.
ЗАДАЧА 1
Намерете медианата, първия и третия квартил на статистическите редове: а) 4, 5, 6, 2, 3, 7, 3, 9, 4, 5, 3, 5, 7; б) 2, 5, 6, 4, 1, 4, 5, 2, 5, 7, 2, 4, 5, 6. Решение: а) Подреждаме данните във възходящ ред 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 9. n = 13 – нечетно число N Me = 13 + 1 = 7 , Me = x= 5 7 2 Когато медианата е стойност от статистическия ред, я премахваме от реда и го разделяме на две половини. В случая са по 6 елемента. Медианите на всяка от тях пресмятаме като средно аритметично на 6 + 1 = 3, 5 . 3-та и 4-та единица 2 Q1 Ме Q3 Q1 е медианата на първата половина. Q1 = 3 + 3 = 3 3 6,5 2 123 123 Q3 е медианата на втората половина. 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 , 14243 5, 5, 6, 7, 7, 9 14243 6 + 7 I половина II половина Q3 = = 6, 5 2
(
88
)
Към съдържанието
б) Подреждаме данните във възходящ ред 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7. n = 14 – четно число x + x8 4 + 5 N Me = 14 + 1 = 7, 5 , Me = 7 = = 4, 5 2 2 2 Когато медианата не е стойност от статистическия ред, разделяме реда на две половини. В случая са Q1 Ме Q3 по 7 елемента. Медианите на всяка от тях е равна на 7 +1 = 4 . 4-та единица 4,5 2 123 Q1 = 2 е медианата на първата половина. 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 14243 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 14243 Q3 = 5 е медианата на втората половина. I половина II половина
)
(
Петчислено представяне на данни Петчисленото представяне на данни включва най-малката стойност (xmin), първия квартил (Q1), медианата (Ме), третия квартил (Q3) и най-голямата стойност (xmax) на наблюдавания признак. Петчисленото представяне на данни се дава в графична форма с помощта на диаграма от тип „кутия с мустаци“ (вox-plot).
xmin •
• • • •
ЗАДАЧА 2
Q1
Me
Q3
xmax
Краища на правоъгълника са квартилите (Q1 и Q3). Дължината му е равна на разстоянието между първия и третия квартил. Тя показва диапазон, покриван от средната половина от данни. Характеристиката се нарича междуквартилен размах и се дефинира като разликата между третия и първия квартил (Q3 – Q1). Медианата се маркира като отсечка вътре в правоъгълника. Отсечката от най-малката стойност до първия квартил се нарича „долен мустак“. Тя показва диапазона, който покрива 25% от данните с най-ниска стойност. Отсечката от третия квартил до най-голямата стойност се нарича „горен мустак“. Тя показва диапазона, който покрива 25% от данните с най-висока стойност. Разстоянието между най-малката и най-голямата стойност се нарича размах (R = xmax – xmin). Той показва диапазона, който покрива всички данни.
За дадените диаграми намерете минималната стойност, максималната стойност, медианата, първия и третия квартил, размаха и междуквартилния размах. а) Решение: а) xmin = 22 Q1 = 26 Me = 35 Q3 = 52 xmax = 60 R = xmax – xmin = 60 – 22 = 38 Q3 – Q1 = 52 – 26 = 26
Към съдържанието
б)
б) xmin = 12 Q1 = 23 Me = 40 Q3 = 54 xmax = 58 R = xmax – xmin = 58 – 12 = 46 Q3 – Q1 = 54 – 23 = 31
89
ЗАДАЧА 3
Конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграма от тип „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. а) 7, 2, 5, 6, 4, 6, 7, 8, 2, 3, 8; б) 3, 6, 7, 3, 6, 4, 5, 8, 6, 3, 4, 6. Решение: а) Подреждаме данните във възходящ ред 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8. n = 11 – нечетно число N Me = 11 + 1 = 6 2 Me = x= 6 6
ъй като медианата е стойност от Т статистическия ред, я премахваме. Q1
Ме
б) Подреждаме данните във възходящ ред 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8. n = 12 – четно число N Me = 12 + 1 = 6, 5 2 x6 + x7 5 + 6 Me = = = 5, 5 2 2 Q1
Q3
3,5
123
2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8
14243 I половина
ЗАДАЧА 4
I половина
II половина
R = xmax – xmin = 8 – 2 = 6 Q3 – Q1 = 7 – 3 = 4
5,5
123
Q3 6
123
3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8 14243 14243
14243
Q1 = 3 е медианата на I половина. Q3 = 7 е медианата на II половина. Петчисленото представяне е xmin = 2, Q1 = 3, Me = 6, Q3 = 7, xmax = 8.
Ме
II половина
Q1 = 3 + 4 = 3, 5 , Q3 = 6 + 6 = 6 2 2 Петчисленото представяне е xmin = 3, Q1 = 3,5, Me = 5,5, Q3 = 6, xmax = 8.
R = xmax – xmin = 8 – 3 = 5 Q3 – Q1 = 6 – 3,5 = 2,5
На диаграмата са показани обобщените резултати на тест по английски език. Довършете изреченията. 1. Най-ниският резултат от теста е ____ точки. 2. Най-високият резултат от теста е____ точки. 3. Най-добрите 25% от резултатите са не по-ниски от ____точки. 4. Най-слабите 25% от резултатите са не по-високи от ___ точки. 5. Половината от резултатите са по-високи или равни на ____ точки. 6. Средната половина от резултатите е между ____. 7. Размахът на данните е ____. 8. Междуквартилният размах е ____. Решение: 1. Най-ниският резултат от теста е 14 точки (xmin = 14). 2. Най-високият резултат от теста е 36 точки (xmax = 36). 3. Най-добрите 25% от резултатите са не по-ниски от 28 точки (Q3 = 28). 4. Най-слабите 25% от резултатите са не по-високи от 18 точки (Q1 = 18). 5. Половината от резултатите са по-високи или равни на 24 точки (Me = 24). 6. Средната половина от резултатите е между 18 и 28 точки (от Q1 до Q3) . 7. Размахът на данните е 22 (R = xmax – xmin = 36 – 14 = 22). 8. Междуквартилният размах е 10 (Q3 – Q1 = 28 – 18 = 10).
90
Към съдържанието
Диаграмите от типа „кутия с мустаци“ са удобни за сравнение на няколко различни множества от сравними (еднотипни) данни.
ЗАДАЧА 5
Господин Иванов може да отиде на работа, като използва автобус или лека кола. Той направил проучване кой вид транспорт е по-бърз. Получил следните данни за времето (минутите) за пътуване: Лека кола 13 15 19 19 23 24 25 25 27 27 29 30 32 35 36 Автобус
17 17 17 18 18 20 20 20 22 22 24 24 26 27 27
Сравнете данните за двата вида транспорт и помогнете на господин Иванов да вземе правилното решение. Решение: Петчисленото представяне на данни е: Лека кола: xmin = 13 Q1 = 19 Автобус: xmin = 17 Q1 = 18 Диаграми тип „кутия с мустаци“
Me = 25 Me = 20
Q3 = 30 Q3 = 24
xmax = 36 xmax = 27
Автобус
Лека кола
Най-краткото време за пътуване
17 мин
13 мин
50% от пътувания са били под
20 мин
25 мин
Следователно пътуването с автобус е по-бързо. Размах
R = xmax – xmin = 27 – 17 R = 10
R = xmax – xmin = 36 – 13 R = 23
Междуквартилен размах
Q3 – Q1 = 24 – 18 Q3 – Q1 = 6
Q3 – Q1 = 30 – 19 Q3 – Q1 = 11
Стойностите на двата размаха показват, че пътуването с автобус е по-малко „разпръснато“ от това с лека кола.
ЗАДАЧИ
За дадените диаграми намерете минималната стойност, максималната стойност, медианата, първия и третия квартил, размаха и междуквартилния размах.
1.
2.
Към съдържанието
Конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. 3. 23, 24, 19, 16, 36, 18, 20, 22, 20, 33, 23, 26, 34, 22, 30; 4. 20, 18, 14, 30, 18, 31, 14, 20, 22, 28, 14, 16, 29, 15, 34, 18; 5. 23, 30, 13, 35, 16, 18, 32, 16, 12, 25, 13, 19, 22, 24, 14, 24, 27; 6. 36, 32, 15, 35, 25, 18, 38, 18, 20, 38, 31, 21, 30, 28, 31, 16, 34, 21.
91
29.
ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ. УПРАЖНЕНИЕ
ЗАДАЧА 1
Строителна фирма направила анкета с 60 семейства, желаещи да закупят жилища, относно броя на стаите в жилището. Дадени били следните отговори: 3 4 2 4
5 3 2 3
4 4 5 2
2 6 3 5
5 4 3 3
5 3 5 4
2 3 2 2
4 2 2 3
3 4 3 4
4 2 4 3
5 2 2 5
4 5 6 3
3 3 4 4
4 2 4 3
4 4 3 4
Представете данните във вариационен ред и ги изобразете графично. Решение: Данните групираме в 5 групи, колкото са различните стойности от измерванията (брой стаи). Брой стаи Брой анкетирани
2 13
3 17
4 19
5 9
6 2
Данните изобразяваме графично чрез стълбова и линейна диаграма. И при двата вида диаграми по хоризонталата са нанесени измерванията (брой стаи), а по вертикалата – честотите (брой анкетирани). Фигура 1. Стълбова диаграма Фигура 2. Линейна диаграма
ЗАДАЧА 2
Дадени са резултатите от контролна работа по математика на учениците от 10-а и 10-б клас по номер в класа. 10-а № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Оценка 5 3 2 4 2 3 4 3 5 3 4 2
10-б
№ Оценка
13 6
14 4
15 3
16 4
17 3
18 4
19 2
20 4
21 2
22 5
23 4
24 3
№ Оценка
1 5
2 3
3 4
4 4
5 3
6 2
7 4
8 5
9 3
10 4
11 4
12 3
№ Оценка
14 6
15 5
16 6
17 4
18 3
19 2
20 5
21 6
22 3
23 4
24 5
25 3
13 4
а) За всеки от класовете представете данните във вариационен ред. б) Изчислете средния успех на учениците от всеки клас, като използвате различни средни (средно аритметично, мода, медиана) и сравнете получените стойности; в) сравнете получените данни, като използвате стълбови и линейни диаграми.
92
Към съдържанието
Решение: а) И за двата класа данните са дадени в прост статистически ред. С x1, x2, x3, x4, x5 означаваме различните оценки, а с f1, f2, f3, f4, f5 – съответните честоти. Най-ниската стойност е x1 = 2, а най-високата стойност е x5 = 6. 10-а 10-б xi 2 3 4 5 6 xi 2 3 4 5 6 fi fi 5 7 8 3 1 2 7 8 5 3 Сборът от честотите на всички оценки е равен на обема n (броят на учениците). п = 5 + 7 + 8 + 3 + 1 = 24 п = 2 + 7 + 8 + 5 + 3 = 25 б) За пресмятането на средните аритметични стойности използваме претеглената формула.
x = 2.2 + 3.7 + 4.8 + 5.5 + 6.3 x = 2.5 + 3.7 + 4.8 + 5.3 + 6.1 25 24 + + + 4 21 32 25 + 18 x= x = 10 + 21 + 32 + 15 + 6 25 24 x = 100 x = 84 25 24 x =4 x = 3, 5 Средната аритметична стойност на оценките на учениците от 10-а клас е 3,50 и тя е с 50 стотни по-ниска от тази на учениците от 10-б клас (4,00). За пресмятането на модата намираме оценката с най-висока честота. fmax = 8 ⇒ Мо = 4 fmax = 8 ⇒ Мо = 4 В двата класа модата приема една и съща стойност. Най-често срещаната оценка и в двата класа е 4. При пресмятане на медианите първо намираме техните номера. N Me = 24 + 1 = 12, 5 N Me = 25 + 1 = 13 2 2 x +x Me = x= 4 13 Me = 12 13 = 3 + 4 = 3, 5 2 2 В 10-а клас половината ученици са получили оценка, по-ниска от 3,50, а другата половина – по-висока от 3,50. В 10-б клас половината ученици са получили оценка, не по-висока от 4, а другата половина – не по-ниска от 4.
в) По хоризонталата нанасяме различните оценки, а по вертикалата – съответните им честотите. Фигура 1. Стълбови диаграми
Фигура 2. Линейни диаграми
От диаграмите се вижда, че броят на слабите оценки в 10-а клас е по-голям от броя им в 10-б клас. В двата класа има равен брой оценки „среден“ и „добър“. В 10-б клас има повече ученици с оценки „много добър“ и „отличен“.
Към съдържанието
93
ЗАДАЧА 3
С автомобил е изминато разстоянието от 36 km от град А до град В със средна скорост от 85 km/h и от 42 km от град В до град С със средна скорост от 72 km/h. Намерете с каква средна скорост е изминато разстоянието от град А до град С. Решение: 85. 36 + 72. 42 36 + 42 3 060 + 3 024 6 084 x= = = 78 78 78 x=
Отг. Средната скорост, с която е изминато разстоянието от град А до град С, е 78 km/h.
ЗАДАЧА 4
Ресторант доставя на клиенти по поръчка храна по домовете. Направено е наблюдение за времето на доставките (в минути) при изпълнение на поръчките. Получена е следната извадка: 17, 38, 23, 27, 30, 12, 25, 15, 30, 26, 34, 13, 35. а) Намерете средната стойност на времето за една доставка. б) Конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“. Анализирайте получената диаграма. Решение: а) x = 17 + 38 + 23 + 27 + 30 + 12 + 25 + 15 + 30 + 26 + 34 + 13 + 35 13 x = 325 = 25 13 Средната стойност на времето за една доставка е 25 минути. б)
Q1 16
Ме
Q3 32
123
123
I половина
II половина
12, 13, 15, 17, 23, 25, 26, 1442443 27, 30, 30, 34, 35, 38 1442443 N Me = 13 + 1 = 7, Me = x7 = 26 2 Q1 = 15 + 17 = 16, Q3 = 30 + 34 = 32 2 2 Петчисленото представяне на данните е следното: xmin = 12, Q1 = 16, Me = 26, Q3 = 32,
xmax = 38.
Диаграма от типа „кутия с мустаци“
Най-кратката доставка е била 12 мин., а най-дългата – 38 мин. Времето на 25% от най-кратките доставките е било под 16 мин. Времето на 25% от най-дългите доставките е било над 32 мин. Половината от доставките са били изпълнени за не повече от 26 минути.
94
Към съдържанието
ЗАДАЧА 5
Данните за обема на стокооборота в 15 магазина на дадена фирма са представени в таблицата. № на магазина
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Обем в хил. лв.
35 23 32 36 25 26 30 24 25 30 18 32 36 23 25
а) Намерете средния обем на стокооборота в един магазин, като се използват различни средни (средно аритметично, мода, медиана). б) Конструирайте петчислено представяне на данните. Начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“ и я анализирайте. Решение: а) 1. Подреждаме данните в рангов ред и преброяваме повторенията. 18, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 30, 30, 32, 32, 35, 36, 36 123 123 123 123 123 2 пъти
2 пъти
3 пъти
2 пъти
2 пъти
2. x = 18.1 + 23.2 + 24.1 + 25.3 + 26.1 + 30.2 + 32.2 + 35.1 + 36.2 15 18 46 24 + + + 75 + 26 + 60 + 64 + 35 + 72 x= 15 x = 420 = 28 15
3. Стойността 25 е с най-много повторения. Редът има една мода: Мо = 25.
4. N Me = 15 + 1 = 8 ⇒ Me = 26 (медианата е равна на 8 единици в ранговия ред) 2 Q1
б) 1.
Ме
Q3
18, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 30, 30, 32, 32, 35, 36, 36
1442443 I половина
1442443 II половина
Q1 = 24 е медианата на първата половина; Q3 = 32 е медианата на втората половина.
2. Петчисленото представяне на данните е следното:
xmin = 18,
Q1 = 24,
Me = 26,
Q3 = 32,
xmax = 36.
3. Диаграма от типа „кутия с мустаци“
Най-ниският стокооборот е бил 18 хил. лв., а най-високият – 36 хил. лв. Стокооборотът на 25% от магазините е бил под 24 хил. лв. В половината от магазините той е между 24 и 32 хил. лв. 25% от магазините имат стокооборот, не по-малък от 32 хил. лв.
Към съдържанието
95
ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „СТАТИСТИКА И ОБРАБОТКА НА ДАННИ“ 1. Резултатите от тест на две групи ученици, обучавани по различни системи, са дадени в таблицата. № на групата Резултати от теста (брой точки) Първа 63, 66, 73, 76, 78, 79, 79, 84, 85, група 85, 85, 95 Втора 65, 69, 75, 79, 80, 82, 82, 86, 88, 94 група За всяка група изчислете средния резултат от теста на учениците, като използвате различни средни, и начертайте диаграми от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграми. 2. Шивашка фирма има два цеха. Средната производителност за 1 час е дадена в таблицата. № на цеха
Средната производителност за 1 час (в лв.) 10, 15, 12, 14, 16, 22, 18, 16, 21, Цех 1 16, 16 15, 15, 16, 18, 22, 25, 24, 26, 25, Цех 2 32, 15, 25, 29, 12, 10, 11, 20 За всеки цех изчислете средната производителност за 1 час (в лв.), като използвате различни средни, и начертайте диаграми от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграми. 3. Пациенти с определена диагноза са лекувани с два различни медикамента. Продължителност та на лечението (в дни) е дадено в таблицата. Продължителност на лечението (в дни) 6, 5, 5, 6, 5, 4, 7, 3, 5, 5, Вид 1 5, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 5, 3, 5 2, 4, 2, 3, 3, 7, 3, 3, 4, 8, Вид 2 3, 2, 4, 6, 2, 4, 5, 7 За всеки вид медикамент изчислете средната продължителност на лечението (в дни), като използвате различни средни, конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграми от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграми. Медикамент
96
4. За обработка на площи, засети със селскостопанска култура, са използвани два вида препарати. Добивът от декар е даден в таблицата. Препарат
Добив от декар (в kg) 375, 380, 290, 310, 320, 320, Вид 1 450, 305, 300, 320, 385, 420, 330, 445, 390 315, 380, 270, 385, 410, 330, 410, 345, 430, 345, 290, 350, Вид 2 350, 370, 320, 410, 390, 410, 425 За всеки вид препарат изчислете средния добив от декар (в kg), като използвате различни средни, и начертайте диаграми от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграми. 5. В конкурс за решаване на задача за съобразителност участвали 100 ученици. Те употребили различно време за решаването на задачата, което е показано в таблицата. Време в 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 минути Брой 2 6 10 14 18 16 14 9 6 5 ученици Изчислете средното време (в минути), за което един ученик решава задачата, като използвате различни средни. Начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграма. 6. В една фабрика 400 работници били разпределени в 6 групи според броя на произвежданите от тях изделия за единица време, както е показано в таблицата.
Брой 1 2 3 4 5 6 изделия Брой 50 85 100 140 80 45 работници Изчислете средното производство на един работник за единица време, като използвате различни средни. Начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“. Намерете размаха и междуквартилния размах. Анализирайте получените характеристики и диаграма.
Към съдържанието
ТЕМА 4 РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК (Урок 30 – Урок 43)
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: тригонометричните функции в интервала [0; 180°]; тригонометричните тъждества в интервала [0; 180°]; синусова и косинусова теорема; формули за медиани и за ъглополовящи на триъгълник; формули за лице на триъгълник. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да намират стойностите на тригонометричните функции за някои специални ъгли, както и ъгъла по дадена стойност на функцията; да прилагат синусова и косинусова теорема за решаване на произволен триъгълник; да прилагат формулите за медиани и ъглополовящи в триъгълник; да преценяват вярност, рационалност и целесъобразност при избор на подход за решаването на проблем.
97
30.
ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС В ИНТЕРВАЛА [0°; 180°] Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник (преговор) АВC (C = 90°) e правоъгълен триъгълник със: • катети BC = a, AC = b; • хипотенуза AB = c; • остри ъгли А = a, B = b.
C b
a
β B c Стойностите на основните тригонометрични функции на остър ъгъл в правоъгълния АВC пресмятаме по следните правила: A
α
sin α = a cos α = b c c b sin β = cos β = a c c В сила са следните тъждества: sin 2 α + cos 2 α = 1 sin 2 α = 1 − cos 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 α
tg α = a b tg β = b a
cotg α = b a a cotg β = . b
tg α = sin α cos α cotg α = cos α sin α tg α.cotg α = 1
sin (90° − α) = cos α cos (90° − α) = sin α tg (90° − α) = cotg α cotg (90° − α) = tg α.
Стойностите на тригонометрични функции на острите ъгли 30°, 45°, 60° се дават със следната таблица: a
sin a
cos a
tg a
cotg a
30°
1 2
3 3
3
45°
2 2
1
1
60°
3 2
3 2 2 2 1 2
3
3 3
Единична (тригонометрична) окръжност За да пресметнем стойностите на sin a и cos a, M ще изберем правоъгълен триъгълник с остър ъгъл a и хипотенуза 1. Тогава sin α 1 α A sin α = AM = AM = AM , cos α = OA = OA = OA. O cos α OM OM 1 1
Черт. 1
98
Нека Oxy e избрана правоъгълна координатна система в равнината и k е окръжност с център O и радиус 1. Окръжността k (O, r = 1) се нарича единична (триyM = sin a гонометрична) окръжност. В I квадрант на всеки остър ъгъл a = (Ox; Op) съответства точно една точка M ∈ k, xM = cos a така че AOM = a, където A е проекцията на М върху оста Ox. Координатите на точката М (xM; yM) са съответно cos a и sin a, т.е. xM = OA = cos a, yM = AM = sin a.
Към съдържанието
Определение на тригонометрични функции на a от 0° до 180°. Когато острият ъгъл a се изменя от 0° до 90°, точката М описва от единичната окръжност дъгата, която се намира в I квадрант (черт. 2). Координатите ѝ xM = cos a и yM = sin a се изменят, т.е. те са функции на a с D : a ∈ (0°; 90°).
Черт. 2
sin a = yM cos a = xM
Черт. 3
Геометричното представяне на функциите sin a и cos a за остър ъгъл a позволява да се разширят дефиниционните им области, без да се изменят правилата за представяне на функционалните им стойности. Нека a ∈ [0°; 180°] и първото рамо на ъгъла е положителната част на абсцисната ос Ox, а второто му рамо Op пресича единичната окръжност в точка М (черт. 1 и 3). sin a = AM = yM, cos a = OA = xM, където OA означава дължината на отсечката ОА, взета със знак „+‟ или „–‟ според това дали А е от положителната, или от отрицателната част на Ox.
О
sin a е функция на a, като: • дефиниционната област е D : a ∈ [0°; 180°]; • на всяка стойност на a ∈ D се съпоставя ординатата на точката M от единичната sin a = AM = yM окръжност, за която (Ox; OM) = a (черт. 1 и 3).
О
cos a е функция на a, като: • дефиниционната област е D : a ∈ [0°; 180°]; • на всяка стойност на a ∈ D се съпоставя абсцисата на точката M от единичната cos a = OA = xM окръжност, за която (Ox; OM) = a (черт. 1 и 3). При a = 0° второто рамо Op на ъгъла съвпада с първото рамо Ox и точката М има координати xM = 1, yM = 0. Следователно по определение sin 0° = 0, cos 0° = 1. При a = 90° точката М има координати xM = 0, yM = 1. Следователно по определение sin 90° = 1, cos 90° = 0. точката М има координати xM = –1, yM = 0. При a =180° Следователно по определение sin 180° = 0, cos 180° = –1.
О О
Отношението sin a при a ∈ [0°; 90°) ∪ (90°; 180°] се нарича тангенс от a и cos a се означава tg a. a ≠ 90°, защото tg a няма смисъл при a = 90°, тъй като cos 90° = 0. Отношението cos a при a ∈ (0°; 180°) се нарича котангенс от a и се означава cotg a. sin a a ≠ 0°, 180°, защото cotg a няма смисъл при a = 0° и a = 180°, тъй като sin 0° = sin 180° = 0. Ще обърнем внимание, че при a ∈ (90°; 180°) стойностите cos a, tg a, cotg a са отрицателни.
Към съдържанието
99
31.
ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА В ИНТЕРВАЛА [0°; 180°] Основни тъждества за функциите синус и косинус
!
Основно тригонометрично тъждество sin2 a + cos2 a = 1, a ∈ [0°; 180°] 2
sin α = + 1 − cos α при a ∈ [0°; 180°]
+ 1 − sin 2 α при a ∈ [0°; 90°] cos α = − 1 − sin 2 α при a ∈ [90°; 180°]
Доказателство: Ако a е остър ъгъл (a ∈ (0°; 90°)), знаем, че sin2 a + cos2 a = 1. Ако: • a = 0°, sin2 0° + cos2 0° = 1, защото 02 + 12 =1; • a = 90°, sin2 90° + cos2 90° = 1, защото 12 + 02 =1; • a ∈ (90°; 180°), sin2 a + cos2 a = 1 е изпълнено, защото sin a и |cos a| са катети на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 1; • a = 180°, sin2 180° + cos2 180° = 1, защото 02 + (–1)2 =1. Следователно sin2 a + cos2 a = 1 е изпълнено за всяка стойност на a ∈ [0°; 180°].
!
sin (180° – a) = sin a, a ∈ (0°; 90°) cos (180° – a) = – cos a, a ∈ (0°; 90°)
sin (90° + a) = cos a, a ∈ (0°; 90°) cos (90° + a) = – sin a, a ∈ (0°; 90°)
Доказателство:
На чертежа OMA ≅ OM1A1. От M1A1 = MA ⇒ sin (180° – a) = sin a.
На чертежа OAM ≅ M1A1O. От M1A1 = OA ⇒ sin (90° + a) = cos a.
От OA1 = OA ⇒ cos (180° – a) = – cos a.
От A1O = AM ⇒ cos (90° + a) = – sin a.
Основни тъждества за функциите тангенс и котангенс
!
tg a. cotg a = 1, a∈[0°; 180°] и a ≠ 0°; 90°; 180° Доказателство: При a∈[0°; 180°] и a ≠ 0°; 90°; 180° tg α = sin α и cotg α = cos α са определени и cos α sin α tg α.cotg α = sin α ⋅ cos α = 1. cos α sin α
! 100
tg (180° – a) = – tg a, a ≠ 90° cotg (180° – a) = – cotg a, a ≠ 0°; 180°
tg (90° + a) = – cotg a, a ∈ (0°; 90°) cotg (90° + a) = – tg a, a ∈ (0°; 90°)
Към съдържанието
Доказателство: При a ≠ 90° получаваме tg (180° − α) =
sin (180° − α) = sin α = − tg α . cos (180° − α) − cos α
При a ≠ 0°; 180° получаваме cotg (180° − α) = При a ∈ (0°; 90°) получаваме tg(90° + α) =
sin (90° + α) cos α = = − cotg α . cos (90° + α) − sin α
При a ∈ (0°; 90°) получаваме cotg(90° + α) =
ЗАДАЧА 1
б) cos α = − 1− sin 2 α = − 1− 9 = − 4 25 5 α 3 4 3 sin = : − =− tg α = 5 4 cos α 5 1 4 cotg α = =− 3 tg α
( )
По дадена стойност на тригонометрична функция намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции. 5 а) tg α = ; б) cotg α = −2 2 . 12 Решение: а) Тъй като tg a > 0, то a ∈(0°; 90°) и б) Тъй като cotg a < 0, то a ∈(90°; 180°) и следователно cos a > 0. следователно cos a < 0. Решаваме системата. Решаваме системата. sin α = 5 ⇒ sin α = 5 cos α cos α = −2 2 ⇒ cos α = −2 2 sin α cos α 12 sin α 12 2 2 sin α + cos α =1 sin 2 α + cos 2 α =1 2 sin 2 α + (−2 2 sin α) 2 =1 5 cos α + cos 2 α =1 12 9 sin 2 α =1 2 169 cos α =144 sin α = 1 12 3 cos α = 13 cos α = −2 2 sin α = −2 2 ⋅ 1 = − 2 2 5 5 12 5 3 3 sin α = cos α = ⋅ = 12 12 13 13 tg α = 1 = − 1 = − 2 cotg α = 1 = 12 4 cotg α 2 2 tg α 5
(
ЗАДАЧИ
cos (90° + α) − sin α = = − tg α . sin (90° + α) cos α
По дадена стойност на тригонометрична функция намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции. б) sin α = 3 при a ∈ (90°; 180°). а) sin α = 3 при a ∈ (0°; 90°); 5 5 Решение: а) cos α = + 1− sin 2 α = 1− 9 = 4 25 5 sin α 3 4 3 tg α = = : = cos α 5 5 4 cotg α = cos α = 4 : 3 = 4 sin α 5 5 3
ЗАДАЧА 2
cos (180° − α) − cos α = = − cotg α . sin (180° − α) sin α
)
По дадена стойност на тригонометрична функция намерете стойностите на останалите. 1 12 4. sin α = , α∈(90°; 180°); 7. cotg α = 2 ; 1. sin α = , α∈(0°; 90°); 2 13 5 12 , α∈(90°; 180°); 5. cos α = − 1 ; tg α = −2 ; 8. sin α = 2. 4 13 1; 7 cos α = − 9. cotg α = −3. 6. 3. cos α = − ; 3 25
Към съдържанието
101
32.
ТАБЛИЦА ЗА СТОЙНОСТИТЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ ОТ НЯКОИ СПЕЦИАЛНИ ЪГЛИ В ИНТЕРВАЛА [0°; 180°]
ЗАДАЧА 1
Да се намерят стойностите на тригонометричните функции на ъгъл a, ако: в) a = 150°. а) a = 120°; б) a = 135°; Решение: а) sin 120° = sin (180° − 60°) = tg120° = tg (180° − 60°) = = sin 60° = 3 2 cos120° = cos (180° − 60°) = = − cos 60° = − 1 2
= − tg 60° = − 3 cotg 120° = cotg (180° − 60°) = = − cotg 60° = − 3 3
б) sin 135° = sin (180° − 45°) =
tg135° = tg (180° − 45°) = = − tg 45° = −1 cotg 135° = cotg (180° − 45°) = = − cotg 45° = −1
= sin 45° = 2 2 cos135° = cos (180° − 45°) = = − cos 45° = − 2 2 в) sin 150° = sin (180° − 30°) = = sin 30° = 1 2 cos150° = cos (180° − 30°) = = − cos 30° = − 3 2
tg150° = tg (180° − 30°) = = − tg 30° = − 3 3 cotg 150° = cotg (180° − 30°) = = − cotg 30° = − 3
В приложената таблица са дадени стойностите на тригонометричните функции на някои ъгли от 0° до 180°.
ЗАДАЧА 2
102
a
0°
30° 1 2
45°
60°
90°
sin a
0
2 2
1
1
3 2
2 2
3 2 1 2
cos a tg a
0
3 3
1
cotg a
–
3
1
120° 135° 150° 180° 1 2 3 0 2 2 2
0
−1 2
3
–
− 3
3 3
0
− 3 3
− 2 − 3 2 2
–1
–1
− 3 3
0
–1
− 3
–
Пресметнете: а) A = tg2 135° + 2sin 120°; Решение:
б) B = 2cos 120° + 3tg 150°.
а) A = tg 2 135° + 2 sin 120° = 2 = ( −1) + 2 ⋅ 3 = 2 =1+ 3
б) B = 2 cos120° + 3 tg 150° = = 2 ⋅ − 1 + 3⋅ − 3 = 2 3 = −1 − 3
( )
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Пресметнете стойностите на изразите: а) A = sin 150° cos120° − cos150° sin 120° ; tg135° + cotg 135° Решение:
б) B = sin 135° sin 45° − cos135° cos 45° . 2 cos150° cotg150°
а) A = sin 150° cos120° − cos150° sin 120° = tg135° + cotg 135°
б) B = sin 135° sin 45° − cos135° cos 45° = 2 cos150° cotg150°
( )
1 ⋅ − 1 − − 3 ⋅ 3 2 2 2 = =2 −1 + (−1) −1 + 3 = 4 4= −2 =−1 4
ЗАДАЧА 4
Пресметнете стойностите на израза cos (90° + α).tg (90° − α).cotg (90° + α) , ако: A= sin (180° − α).cos (180° − α) а) a = 45°; б) a = 120°; Решение: Опростяваме израза A.
2 ⋅ 2 − − 2 ⋅ 2 2 2 2 2 = = 2 − 3 (− 3 ) 2 1+1 =2 2= 3 1 = 3
в) a = 150°.
cos (90° + α).tg (90° − α).cotg (90° + α) − sin α.cotg α.(− tg α) = sin (180° − α).cos (180° − α) sin α.(− cos α) A=− 1 cos α A=
а) При a = 45° б) При a = 120° в) При a = 150° A = −1 = −1 A = −1 = −1 A = −1 = −1 cos 45° cos150° 2 cos120° − 1 − 3 2 2 2 A = − 2. A = 2. A = 2 3 . 3
ЗАДАЧИ
Пресметнете числените стойности на изразите: 1. sin 60° cos 150° – sin 30° tg 45°; 5. sin 120° cotg 150° + sin 60° tg 150°; 2. (sin2 45° – cos2 30°) . tg 120°; 6. (sin2150° + tg2 135°) . cos 120°; 3. cos2 60° + 1 – sin2 135°; 7. cos2 135° +1 – sin2 120°; 4. sin 150° cos 30° + cos 150° cotg 135°; 3 cotg 120°+ 2 sin 2 135° . 8. Пресметнете стойностите на изразите: 9. cos (180° – a) cotg (90° + a), ако a = 60°; 1 10. sin (180° – a) tg (90° – a), ако cos a = ; 2 1 11. cos (180° – a) cotg(90° + a), ако sin a = ; 3 12. sin (90° – a) + sin (90° + a) – cos (180° – a), ако a = 45°; 13. sin (90° + a) . cos (180° – a) . cos (90° + a) . sin (180° – a), ако sin α = 2 5 ; 5 14. sin (90° – a) + sin (90° + a) + 2cos (180° – a) – tg (180° – a), ако a = 45°.
Към съдържанието
103
33.
ПРЕСМЯТАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ИЗРАЗИ. УПРАЖНЕНИЕ
ЗАДАЧА 1
Пресметнете стойностите на израза 2 cos (90° − α).sin (90° + α).tg (180° − α) A= , ако: cotg (90° + α).sin (180° − α) 5 а) a = 30°; б) a = 135°; в) cos α = . 7 Решение: Предварително опростяваме израза A. 2 cos (90° − α).sin (90° + α).tg (180° − α) 2 sin α.cos α.( − tg α) A= = cotg (90° + α).sin (180° − α) (− tg α).sin α A = 2 cos α
а) При a = 30° A = 2 cos 30° A= 2 3 2 A = 3.
ЗАДАЧА 2
A = 2 cos135° A = 2⋅− 2 2
5 в) При cos α = 7 A = 2 cos α
A= 2 5. 7
A = − 2.
Пресметнете стойността на израза 2 A = sin α + 2 cos α , ако tg α = 3 . cos α − sin α Решение: I начин: A = sin α + 2 cos α cos α − sin α sin α + 2 cos α A = cos α cos α cos α − sin α cos α cos α tg α + 2 A= 1 − tg α 2+2 A= 3 1− 2 3 A=8
ЗАДАЧА 3
б) При a = 135°
II начин:
От tg α = sin α = 2 ⇒ sin α = 2x cos α 3 tg α = sin α = 2 ⇒ sin α = 2x и cos α = 3x cos α 3 A = sin α + 2 cos α cos α − sin α 2 A = x + 2.3 x 3x − 2 x A = 8x x A = 8. Отг. A = 8
Пресметнете стойността на израза A=
2 cotg α − 5 sin α , ако cos α = − 1 . cotg 135° + 2 cos120° tg α 5
Решение: 1. О т таблицата за стойностите на тригонометричните функции на някои ъгли от 0° до 180° намираме cotg 135° = −1, cos120° = − 1 . 2
104
Към съдържанието
2. Пресмятаме: sin α = 1 − cos 2 α
sin α = 1 − 1 5 sin α = 2 5
tg α = sin α cos α tg α = 2 : − 1 5 5 tg α = −2
cotg α = 1 tg α cotg α = − 1 . 2
( ) ( )
2⋅ − 1 − 5 ⋅ 2 2 5 = −1 − 2 = −3 3. A = 1 −1 + 2 ⋅ − ⋅ (−2) −1 + 2 2
ЗАДАЧА 4
Отг. A = – 3
Пресметнете стойността на израза 4 4 A = sin2 α − cos 2α , ако cotg a = 3. sin α − 2 cos α
Решение: A=
(sin 2 α + cos 2 α)(sin 2 α − cos 2 α) sin 2 α − cos 2 α = sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α − 2 cos 2 α
I начин: sin 2 α − cos 2 α sin 2 α A= sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α 2 1 − cos2 α sin α A= 2 1 − 2 ⋅ cos2 α sin α 1 − cotg 2 α A= 1 − 2 cotg 2 α A = 1− 9 = 8 1 − 18 17
ЗАДАЧИ
II начин: cotg α = cos α = 3 tg α ⇒ cos α = 3 x, sin α = 1x ⇒ cos 2 α = 9 x 2 , sin 2 α = x 2 2 2 A = x2 − 9 x 2 x − 18 x 2 A = −8 x 2 −17 x A= 8 17
Отг. A = 8 17
Пресметнете числените стойности на изразите: 2 + tg α 4. A= , ако sin α = 3 , a ∈ (90°; 180°); 1. A= 2 sin α + 3 cos α , ако tg a = 1; 5 3 − 2 tg α 5 sin α − 4 cos α 2. A= 2 sin α + cos α , ако cotg α = 3 ,; 5 sin α − 3 cos α 4
5. A=
1− cotg α , ако sin α = 8 , a ∈ (90°; 180°); 17 2 + cotg α
4 cos α + 5 sin α , 3. A= ако tg a = 3; 3 sin α − 2 cos α
6. A=
3 sin α.cos α , ако cotg a = 0,5. 4 sin 2 α − 7 cos 2 α
Пресметнете числените стойности на изразите: cos 2 (90°− α) −1 7. A= , ако tg a = 3; cos(180°− α) 8. A =
cos 2 (180° − α) − 1 cotg (90° − α) ⋅ ⋅ cotg (180° − α), ако cotg a = 3. tg α tg (90° + α)
Към съдържанието
105
34.
СИНУСОВА ТЕОРЕМА
Т
Синусова теорема За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия и ` ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност.
b
C γ
a
α β A B c a = b = c = 2R sin α sin β sin γ
Доказателство: Нека АВС е даденият триъгълник и O e центърът на описаната около него окръжност. АВС може да бъде остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен.
I случай: АВС (γ < 90°)
C γ
A1
R γ R A
O B
c
II случай: АВС (γ = 90°)
C γ A
R
O
B
R
γ R
ABC е правоъгълен с хипотенуза АВ = c = 2R и sin γ = sin 90° = 1. От c = 1 и sin γ = sin 90° = 1 получаваме 2R sin γ = c , т.е. c = 2 R . 2R sin γ
III случай: АВС (γ > 90°)
C A
Построяваме диаметъра AA1 = 2R. AB = γ ACB = AA1 B = 1 2 ABA1 = 90° В АВA1 (ABA1 = 90°) намираме sin γ = AB = c , т.е. c = 2 R AA1 2 R sin γ
c O
.B 180° − γ
R
A1
От свойството на вписания четириъгълник АА1ВС следва, че АА 1В = 180° – γ. От АA1В (АВА 1= 90°) намираме sin (180° − γ ) = AB = c AA1 2 R sin (180° − γ ) = sin γ c = 2R. ⇒ sin γ = c , т.е. sin γ 2R
a = 2R и b = 2R sin β sin α a b c ⇒ = = = 2 R , a + b + g = 180°. sin α sin β sin γ
Аналогично доказваме, че
106
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
В АВC са дадени АВ = 20 cm, a = 45° и g = 30°. Намерете страната ВС и радиуса на описаната около АВC окръжност. 1. c = 2 R ⇒ 20 = 20 = 40 = 2 R Решение: sin γ sin 30° 1 C 2 ⇒ R = 20 cm 30° 2. a = 2 R a sin α ⇒ a = 2 R sin α = 2 . 20.sin 45° = 2 . 20 ⋅ 2 = 20 2 2 45° A 20 2 cm ⇒ BC = a = B c
ЗАДАЧА 2
Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е 2a, а ъглополовящата на този ъгъл е l. Намерете: a) основата на триъгълника; б) бедрото на триъгълника. Решение: a) sin (180° − 3α) = sin 3α За АВL прилагаме синусовата теорема и получаваме C AB = AL ⇒ AB = l sin (180° − 3α) sin 2α sin 3α sin 2α 180° − 4α 3α L ⇒ AB = l sin 3α . sin 2α 180° − 3α l A
α α
2α
б) sin (180° − 4α) = sin 4α B За АCL прилагаме синусовата теорема и получаваме AC = AL ⇒ AC = l sin 3α sin (180° − 4α) sin 3α sin 4α ⇒ AC = l sin 3α . sin 4α
ЗАДАЧА 3
В АВC са дадени a = 45°, b = 30°. Върху страната АB e избрана точка М. Радиусът на описаната около АMC окръжност е R. Намерете радиуса R1 на описаната около BMC окръжност. Решение: 1. За АMC прилагаме синусовата теорема C 2 =R 2 CM = 2 R sin 45° = 2 R 2 2. За BMC прилагаме синусовата теорема 45° 30° A B CM = 2 R1 sin 30°⇒ R 2 = 2 R1 1 ⇒ R1 = R 2 M 2
ЗАДАЧИ
1. З а АBC са дадени AB = 30 cm и g = 45°. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност. 2. Радиусът на описаната около АBC окръжност е R = 2 3 . Намерете ъгъл a, 3 ако BC = 2 сm. 3. В АBC a : b : g = 1 : 3 : 8. Намерете страната AC, ако АB = 10 cm. 4. В окръжност с радиус 7 cm дъгата = 120 °. Намерете хордата АB. AB 5. Равнобедрен ABC с ъгъл при върха 30° има основа АВ = 12 cm. Върху
Към съдържанието
бедрото BC е взета точка D така, че CAD : DAB = 1 : 4. Намерете радиуса на описаната около ABD окръжност. 6. Основата на равнобедрен триъгълник е 10 cm, а ъгълът при основата му е 2a. Намерете ъглополовящата на ъгъла при основата. 7. В АBC са дадени AB = 12 cm и g = 60°. Намерете радиуса на описаната около АBL окръжност, където L е пресечната точка на ъглополовящите в АBC.
107
35.
РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА СИНУСОВА ТЕОРЕМА – ОСНОВНИ ЗАДАЧИ C γ b
A
α
Основните елементи на ABC са: • трите страни a, b, c; • трите ъгъла a, b, g.
a
c
β
B
Eдин триъгълник е определен, ако са дадени три негови основни елемента, от които поне единият е страна. Ако един триъгълник е определен и търсим останалите три основни елемента, казваме, че решаваме триъгълника. Според това кои от основните елементи са дадени имаме четири основни задачи за решаване на произволен триъгълник.
Да се реши триъгълник по дадени: 1. страна и два прилежащи ъгъла; 2. две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях; 3. две страни и ъгъл между тях; 4. три страни.
При решаване на триъгълник се налага да се намира ъгъл по дадена стойност на негова тригонометрична функция и обратно. За тази цел се използват научни калкулатори или таблици. В приложената таблица са дадени стойностите на тригонометричните функции (sin a, cos a) на ъглите, мерките на които в градуси са цели числа от 1° до 89°. Тези стойности са с точност до третия знак след десетичната запетая. При подреждането на таблицата е използвано, че sin a = cos(90° – a), т.е. sin 1° = cos 89°, sin 2° = cos 88°, ... Стойностите на тригонометричните функции от 1° до 45° (подредени в първата колона) се отчитат от означените в горния ред sin a, cos a, а тези на ъглите от 46° до 89° (подредени в последната колона) – от означените в долния ред cos a, sin a. Има по-подробни таблици, в които ъглите са дадени с точност до секундата, а стойностите на съответните им тригонометрични функции – с по-голяма точност. Тези пресмятания се извършват още по-прецизно, като се използва научен калкулатор или компютър.
108
a° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 a°
sin a 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 cos a
cos a 0,999 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 sin a
a° 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 a°
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
ЗАДАЧА 2
Като използвате приложената таблица или научен калкулатор, пресметнете с точност до хилядните: а) sin 22°; б) cos 35°; в) sin 53°; г) cos 79°. Решение: I начин: II начин: С помощта на таблицата: С научен калкулатор: а) sin 22° а) Въвежда се последователно Отчита се при засичане на реда sin 22 = . на 22° (ляво) с колоната на sin a Получава се 0.3746065934 (отгоре) ⇒ sin 22° ≈ 0,375. ⇒ sin 22° ≈ 0,375. б) cos 35° Отчита се при засичане на реда на 35° (ляво) с колоната на cos a (отгоре) ⇒ cos 35° ≈ 0,819.
б) Въвежда се последователно cos 35 = .
в) sin 53° Отчита се при засичане на реда на 53° (дясно) с колоната на sin a (отдолу) ⇒ sin 53° ≈ 0,799.
в) Въвежда се последователно sin 53 = .
г) cos 79° Отчита се при засичане на реда на 79° (дясно) с колоната на cos a (отдолу) ⇒ cos 79° ≈ 0,191.
г) Въвежда се последователно cos 79 = .
Получава се 0.8191520443 ⇒ cos 35° ≈ 0,819.
Получава се 0.79863551 ⇒ sin 53° ≈ 0,799.
Получава се 0.1908089954 ⇒ cos 79° ≈ 0,191.
Като използвате приложената таблица или научен калкулатор, определете острия ъгъл a (точност до градус), за който: а) sin a = 0,174; б) sin a = 0,891; в) cos a = 0,927; г) cos a = 0,629. Решение: I начин: II начин: С помощта на таблицата: С научен калкулатор: а) sin a = 0,174 а) sin a = 0,174 Намираме в таблицата 0,174 (или Въвежда се последователно най-близкото до него число). shift sin 0.174 = . 0,174 е под sin a в реда на 10° (ляво) Получава се 10.02046955 ⇒ a ≈ 10°. ⇒ a ≈ 10°. б) sin a = 0,891 ⇒ a ≈ 63° б) sin a = 0,891 0,891 е над sin a в реда на 63° (дясно) shift sin 0.891 = ⇒ a ≈ 63°. в) cos a = 0,927 ⇒ a ≈ 22° в) cos a = 0,927 0,927 е под cos a в реда на 22° (ляво) shift cos 0.927 = ⇒ a ≈ 22°. г) cos a = 0,629 ⇒ a ≈ 51° г) cos a = 0,629 0,629 е над cos a в реда на 51° (дясно) shift cos 0.629 = ⇒ a ≈ 51°.
Към съдържанието
109
За да решим първите две основни задачи, използваме връзката a + b + g = 180° между ъглите в триъгълника и синусовата теорема a = b = c .= 2 R sin α sin β sin γ
ПЪРВА ОСНОВНА ЗАДАЧА
Дадено: c, a и b
Да се намерят: g, a и b
1. γ = 180° − (α + β) sin γ = sin (180° − (α + β) ) = sin (α + β)
Решение: C γ b
A
ЗАДАЧА 3
a = c ⇒ a = c sin α = c sin α sin α sin γ sin γ sin (α + β) 3. b = c ⇒ b = c sin β = c sin β sin β sin γ sin γ sin (α + β) 2.
a
α
β
c
B
Дадено: c = 9,4 сm, a = 47°, b = 63°
Да се намерят: g, a и b 1. γ = 180° − (α + β) γ = 180° − (47° + 63°) = 70°
Решение: C γ b
9, 4 sin 47° 9, 4 sin 47° = 2. a = c sin α = sin(α + β) sin 110° sin 70° 9, 4.0, 7311 ≈ 7, 31cm a≈ 0, 940
a
α
β
c sin β 9, 4 sin 63° 9, 4 sin 63° = = sin(α + β) sin 110° sin 70° 9, 4.0, 8911 ≈ 8, 91cm b≈ 0, 940 При решаването на задачата с помощта на калкулатор пресметнахме стойностите на тригонометричните функции и приближените стойности за дължините на страните на триъгълник. A
ВТОРА ОСНОВНА ЗАДАЧА
c
Дадено: a, b (a > b), a
B
Да се намерят: c,bиg
Решение: C b
A
α
a β
3. b =
B
1. Ъгъл b е срещу по-малката страна b, b < a и следователно b e остър ъгъл. От a = b ⇒ sin β = b ⋅ sin α . sin α sin β a Определянето на ъгъл b (b ∈ (0°; 90°)) можем да направим чрез таблици или с калкулатор. 2. g = 180° – (a + b)
a sin(180° − (α + β)) a sin (α + β) 3. От c = a ⇒ c = a sin γ = = sin γ sin α sin α sin α sin α a sin (α + β) ⇒c= . sin α
110
Към съдържанието
ЗАДАЧА 4
Дадено: a = 28,25 сm, b = 25,89 cm, a = 62°
25, 89 1. sin β = b ⋅ sin α = ⋅ sin 62° a 28, 25 sin β = 0, 92.0, 883 ≈ 0, 812 ⇒ b ≈ 54°
Решение: C b
A
Да се намерят: c, b и g
2. γ = 180° − (α + β) γ = 180° − (62° + 54°) ≈ 64° ⇒ g ≈ 64°
a
α
β
B
ЗАДАЧА 5
Височините в остроъгълен АВC се пресичат в точката H. Докажете, че описаните около АВC и АВH окръжности имат равни радиуси. Решение:
1. Четириъгълникът А1CВ1H има два срещу положни прави ъгъла (А1 = B1= 90°) ⇒ сборът от другите му два ъгъла е 180° ⇒ АHB = А1HВ1 = 180° – γ.
C γ
B1 H
A1
180° − γ
A
ЗАДАЧИ
a sin (α + β) 28, 25 sin 116° = = sin α sin 62° 28, 25 sin 64° 28, 255.0, 899 ≈ = sin 62° 0, 883 ⇒ c ≈ 28,76 cm
3. c =
c
B
2. R – радиус на описаната около АВC окръжност ⇒ AB = 2 R ⇒ R = AB . sin γ 2 sin γ 3. R1 – радиус на описаната около АВH окръжност AB ⇒ = 2 R1 sin ( 180 ° − γ) sin (180° − γ ) = sin γ ⇒ R1 = AB 2 sin γ 4. От R =иR(3) ⇒ (2) 1 . ⇒ R = R1.
1. Като използвате таблица или калкулатор, пресметнете с точност до хилядните: а) sin 47°; б) sin 16°; в) cos 28°; г) cos 69°. 2. Като използвате таблица или калкулатор, определете острия ъгъл a (с точност до градус), за който: а) sin a = 0,454; б) sin a = 0,946; в) cos a = 0,945; г) cos a = 0,423. По дадени три от основните елементи на триъгълник намерете останалите три. 3. a = 29,18 cm, b = 32°, g = 104°;
Към съдържанието
4. a = 28,69 cm, c = 24,27 cm, a = 73°; 5. b = 78,8 cm, a = 39°, g = 89°; 6. b = 76,74 cm, c = 83,18 cm, g = 82°. 7. Височините в тъпоъгълен АВC се пресичат в точката H. Докажете, че описаните около АВC и АВH окръжности имат равни радиуси. 8. Д окажете, че във всеки триъгълник страната, която лежи срещу ъгъл 30°, е равна на радиуса на окръжността, описана около триъгълника.
111
36.
КОСИНУСОВА ТЕОРЕМА
Т
Със синусовата теорема получихме зависимости между страните на триъгълника и синусите на ъглите му. Ще докажем теорема, която свързва страните на триъгълника с косинусите на ъглите му. Косинусова теорема Квадратът на коя да е страна в триъгълника е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.
b
C γ
a
α β A B c 2 2 2 a = b + c – 2bc cos a b2 = a2 + c2 – 2ac cos b c2 = a2 + b2 – 2ab cos g
Доказателство: Ще докажем първата формула: a2 = b2 + c2 – 2bc cos a.
I случай: АВС е остроъгълен.
C
1. Построяваме височината CC1 = hc. Означаваме BC1 = a1 и AC1 = b1, a1 + b1 = c.
γ
b
α A
hc
b1 c
C1
2. От ACC1 ( C1 = 90°) ⇒hc 2 = b 2 − b12 2 2 2 2 ⇒ a − a1 = b − b1 . От BCC1 ( C1 = 90°) ⇒ hc 2 = a 2 − a12 3. a2 = b2 + a12 – b12, a1 = c – b1, a12 = (c – b1)2 ⇒ a2 = b2 + (c – b1)2 – b12 ⇒ a2 = b2 + c2 – 2cb1 4. АCС1 (C1 = 90°) ⇒ b1 = b.cos a От (3) и (4) ⇒ a2 = b2 + c2 – 2bc cos a.
a
a1 β
B
C
II случай: АВС е правоъгълен (a = 90°). a
b
1.cos a = cos 90°= 0 2. За АВС прилагаме питагоровата теорема: a2 = b2 + c 2. От (1) и (2) ⇒ a2 = b2 + c2 – 2bc cos a.
α = 90° A
c
B
III случай: АВС е тъпоъгълен (a > 90°). 1. Построяваме височината CC1 = hc. Означаваме BC1 = a1 и AC1 = b1, c = a1 – b1.
C
hc
b
α . b1 C1 A
a
a1
c
B
2. От ACC1 ( C1 = 90°) ⇒ hc 2 = b 2 − b12 ⇒ a 2 − a12 = b 2 − b12 . 2 2 2 От BCC1 ( C1 = 90°) ⇒ hc = a − a1 3. a2 = b2 + a12 – b12, a1 = c + b1 ⇒ a2 = b2 + (c + b1)2 – b12 ⇒ a2 = b2 + c 2 + 2cb1 4. АCС1 (C1 = 90°) ⇒ b1 = b.cos (180° – a) = – b cos a От (3) и (4) ⇒ a2 = b2 + c 2 – 2bc cos a.
Аналогично доказваме, че b 2 = a2 + c2 – 2ac cos b, c2 = a2 + b2 – 2ab cos g.
112
Към съдържанието
!
Следствие 1
!
Следствие 2 От косинусовата теорема следват условия, които трябва да изпълняват дължините на страните на триъгълник, така че негов ъгъл да бъде остър, прав или тъп.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos α = b + c − a , cos β = a + c − b , cos γ = a + b − c 2bc 2ac 2ab
g < 90° ⇔ a2 + b2 > c2 g = 90° ⇔ a2 + b2 = c2 g > 90° ⇔ a2 + b2 < c2
Доказателство: 2 2 2 γ < 90° ⇔ cos γ > 0 ⇒ a + b − c > 0 ⇒ a 2 + b 2 > c 2 2ab 2 2 2 γ = 90° ⇔ cos γ = 0 ⇒ a + b − c = 0 ⇒ a 2 + b 2 = c 2 2abb 2 2 2 γ > 90° ⇔ cos γ < 0 ⇒ a + b − c < 0 ⇒ a 2 + b 2 < c 2 2ab Аналогично могат да се получат съответните условия за ъглите a и b.
ЗАДАЧА 1
В АВC са дадени АC = 4 cm, BC = 4 3 cm, a = 120°. Намерете страната AB. Решение: За АВC прилагаме косинусовата теорема за страната BC = a. C a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
(4 3)
a=4 3
b= 4 α A
c
B
2
= 42 + c 2 − 2.4 . c cos120°
( )
48 = 16 + c 2 − 8c − 1 2 c2 + 4c –32 = 0, c1= 4, c2 = – 8 – не е решение. Отг. AB = 4 cm
ЗАДАЧА 2
Определете вида на триъгълника според ъглите му, ако a = 3 cm, b = 5 cm и c = 6 cm. Решение: Сравняваме квадрата на най-голямата страна със сбора от квадратите на другите две страни: c2 = 62 = 36, a2 + b2 = 32 + 52 = 34. Отг. Триъгълникът е тъпоъгълен. Получихме a2 + b2 < c 2 ⇒ g > 90°.
ЗАДАЧИ
1. В АBC са дадени AB = 5 cm, AC = 6 cm, a = 60°. Намерете страната BC. 2. Определете вида на триъгълника според ъглите му, ако дължините на страните му са: а) 13, 14, 15; б) 12, 35, 37; в) 13, 15, 24; г) 10, 24, 26. 3. Намерете ъгъл g на АBC, ако: а) a = 2 3 cm, b = 3 cm, c = 3 cm; б) a = 11 cm, b = 60 cm, c = 61 cm. 4. В АBC са дадени a = 45°, AC = 3 cm, BC = 5cm. Намерете страната AB.
Към съдържанието
ължината на диагонала на правоъгъл5. Д ник е 32 cm, а ъгълът между диагоналите му е 135°. Намерете страните на правоъгълника. 6. Центърът на окръжността, вписана в правоъгълен триъгълник, се намира на разстояние 5 и 10 от краищата на хипотенузата. Намерете хипотенузата. 7. Центърът на вписаната в АBC окръжност е на разстояние 7 и 3 3 от върховете му А и B. Намерете АВ, ако ъгълът при върха С е 120°.
113
37.
РЕШАВАНЕ НА ПРОИЗВОЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ПОМОЩТА НА КОСИНУСОВА ТЕОРЕМА – ОСНОВНИ ЗАДАЧИ В урок № 35 формулирахме четири основни задачи за решаване на триъгълник и решихме две от тях с помощта на синусовата теорема. В този урок с помощта на косинусовата теорема ще решим останалите две задачи.
ТРЕТА ОСНОВНА ЗАДАЧА
Дадено: a, b и g Решение:
Да се намерят: c, a и b 1. От косинусовата теорема намираме c.
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
C γ b
2 2 c = a + b − 2ab cos γ 2. a намираме от равенството
a
2 2 2 cos α = b + c − a . 2bc 3. b = 180° – (a + g)
c
A
B
Ъгъл a можем да намерим и чрез синусовата теорема, sin α =
ЗАДАЧА 1
Дадено: a = 18,91, b = 19,66, g = 73° Решение:
a sin γ . c
Да се намерят: c, a и b
1. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = 18, 912 + 19, 662 − 2.18, 91.19, 66 cos 73° ≈ ≈ 357, 5881 + 386, 5156 − 743, 5412.0, 292 ≈ 526, 99 c = 526, 99 ≈ 22, 96 2 2 2 386, 5156 + 526, 99 − 357, 5881 2. cos α = b + c − a ≈ ≈ 0, 6116 2bc 2.19, 66.22, 96 cos α ≈ 0, 616 ⇒ α ≈ 52°
3. β = 180° − (α + γ ) ≈ 180° − (52° + 73°) ≈ 55° b ≈ 55°
ЧЕТВЪРТА ОСНОВНА ЗАДАЧА
Дадено: a, b и c
Да се намерят: a, b и g
Решение:
2 2 2 1. cos α = b + c − a 2bc
C γ
b α A
2 2 2 2. cosβ = a + c − b 2ac
a
c
β
2 2 2 3. cos γ = a + b − c 2ab
B
Задачата можем да решим, като използваме синусовата теорема в следния ред: 2 2 2 cos α = b + c − a , sin β = b sin α, γ = 180° − (α + β). 2bc a
114
Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
Дадено: a = 5 m, b = 6 m, c = 7 m
Да се намерят: a, b и g
Решение: b 2 + c 2 − a 2 = 62 + 7 2 − 52 = 60 = 5 ≈ 0, 714, α ≈ 44° 1. cos α = 2bc 2.6.7 2.6.7 7 2 2 2 2 2 2 2. cos β = a + c − b = 5 + 7 − 6 = 38 = 19 ≈ 0, 543, β ≈ 57° 2ac 2.5.7 2.5.7 35 2 2 2 2 2 2 3. cos γ = a + b − c = 5 + 6 − 7 = 12 = 1 = 0, 2, γ ≈ 79° 2ab 2.5.6 2.5.6 5
ЗАДАЧА 3
За АВC a = 60° и b = 3 cm. Да се намери страната c, ако: a) a = 3 3 cm ; б) a = 7 cm; в) a = 6 cm . Решение: При a = 60° и b = 3 сm от косинусовата теорема за страната а получаваме a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos 60°, a 2 = 32 + c 2 − 2.3. c ⋅ 1 , a 2 = 9 + c 2 − 3c. 2 a) При a = 3 3 cm б) При a = 7 cm в) При a = 6 cm 2 2 c – 3c – 18 = 0 c – 3c + 2 = 0 c2 – 3c + 3 = 0 c1 = 6, c2 = –3. c1 = 1, c2 = 2. D = 9 – 12 < 0. Уравнението няма решение. Отг. а) c = 6 cm. Има един триъгълник, за който a = 3 3 cm, b = 3 cm, a = 60°. б) c1 = 1 cm, c2 = 2 cm. Има два триъгълника, за които a = 7 cm, b = 3 cm, a = 60°. в) Не съществува такъв триъгълник.
ЗАДАЧА 4
Докажете, че равенството a2 = b2 + c2 – bc e необходимо и достатъчно условие ъгълът a в АВC да бъде 60°. Решение: Необходимост: Нека a = 60°. Прилагаме косинусовата теорема за страната BC на АВC. a2 = b2 + c2 – 2bc cos 60° cos 60° = 1 2 ⇒ a2 = b2 + c2 – bc
Достатъчност: Нека a2 = b2 + c2 – bc. Прилагаме косинусовата теорема за страната BC на АВC. a2 = b2 + c2 – 2bc cos a ⇒ bc = 2bc cos a ⇒ cos α = 1 , α = 60° 2 Доказахме, че в АВC ъгъл a = 60° тогава и само тогава, когато a2 = b2 + c2 – bc.
ЗАДАЧИ
По дадени три от основните елементи на триъгълник намерете останалите три. 1. a = 22,53 cm, c = 37,82 cm, b = 100°. 2. a = 23,67 cm, b = 52,16 cm, c = 53,01 cm. 3. b = 21,57 cm, c = 22,25 cm, a = 48°. 4. a = 3,71 cm, b = 4,11 cm, c = 6,49 cm. 5. a = 3,25 cm, b = 5,23 cm, g = 65°. 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 42 cm.
Към съдържанието
окажете, че в АBC ъгълът a = 120° то7. Д гава и само тогава, когато a2 = b2 + c2 + bc. 8. За АBC е дадено, че cos α = c . Дока2b жете, че триъгълникът е равнобедрен с основа c. 9. Докажете, че ако a и b са съседни страни в успоредник (a > b), d1 и d2 са диагоналите му (d1 > d2), a ϕ – острият ъгъл между тях, то a2 – b2 = d1d2 cos ϕ.
115
38.
ФОРМУЛИ ЗА МЕДИАНИ НА ТРИЪГЪЛНИК
Т1
Сборът от квадратите на диагоналите на всеки успоредник е равен на сбора от квадратите на страните му. Дадено: АBCD – успоредник АB = a, AD = b, AC = d1, BD = d2
Да се докаже: d12 + d22 = 2a2 + 2b2
Доказателство:
1. АВD, BAD = a d22 = a2 + b2 – 2ab cos a 2. АВC, ABC = 180° – a d12 = a2 + b2 – 2ab cos (180° – a) d12 = a2 + b2 + 2ab cos a 3. Събираме почленно равенствата d12 = a2 + b2 + 2ab cos a d22 = a2 + b2 – 2ab cos a и получаваме d12 + d22 = 2a2 + 2b2.
D b
α
d2 d1
A
Т2
C
180°–α
b
B
a
(2ma ) 2 + a 2 = 2b 2 + 2c 2 Формули за медианите в триъгълника 2 2 2 2 4 m = 2 b + Ако АВС е със aстрани АВ2c= c,− aBC = a, CA = b и медиани към тях съответно 22 22 22 22 22 22 ma, mb , mc , то ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 ., mmbb ==11 22aa ++22cc −−bb , , mmcc ==11 22aa ++22bb −−cc . . 22 22 2 Доказателство: C b A
A1 M
ma
ma
a c
B
1. Върху продължението на медианата AM нанасяме отсечката МА1 = ma. 2. Четириъгълникът АВА1С е успоредник, защото диагоналите му взаимно се разполовяват. 3. За успоредника АВА1С прилагаме Т1 и получаваме (2ma ) 2 + a 2 = 2b 2 + 2c 2 4ma 2 = 2b 2 + 2c 2 − a 2
ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 . 2 2 2 2 1 1 Аналогично се доказва, че mb = 2a + 2c − b , mc = 2a 2 + 2b 2 − c 2 . 2 2
ЗАДАЧА 1
Даден е успоредник със страни 3 cm, 2 cm и диагонал 10 cm. Намерете другия диагонал. Решение: D
C
АBCD – успоредник d12 + d22 = 2a2 + 2b2
d12 + ( 10 ) = 2.32 + 2.22 2
b A
116
d12 + 10 = 18 + 8 a
B
d12 = 16 ⇒ d1 = 4 cm
Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
Даден е АВC със страни a = 6 cm, b = 6 2 cm и c = 12 cm. Намерете mc. Решение:
C
b
A
mc M
c
mc = 1 2a 2 + 2b 2 − c 2 = 2 = 1 2.62 + 2. ( 6 2 ) − 122 = 2 1 = 72 + 144 − 144 = 3 2 cm 2 2
a
B
ЗАДАЧА 3
Намерете медианата към бедрото на равнобедрен триъгълник с бедро b и ъгъл при основата a. 1. CD – височина, АCD (D = 90°) Решение: c = b cos α ⇒ c = 2b cos α C 2 1 2b 2 + 2c 2 − b 2 = 2. ma = b 2 M 1 b 2 + 2(2b cos α) 2 = = ma 2 α = 1 b 2 + 8b 2 cos 2 α 2 c D A B b 2 ma = 1 + 8 cos 2 α 2
ЗАДАЧА 4
Даден е АВC със страни b = 2 2 cm, c = 3 2 cm и медиана ma = 2 cm. Намеретe страната а. Решение: Използваме формулата за медианата ma. C ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 2 2 2 b M 2 = 1 2. ( 2 2 ) + 2 . ( 3 2 ) − a 2 2 ma 4 = 16 + 36 − a 2 A
ЗАДАЧИ
c
B
1. В АВC са дадени АВ = 14 cm, AC = 8 cm и a = 60°. Намерете медианата към страната AB. 2. В АВC точката М е средата на АВ, АС = 8 cm, BC = 7 cm и CM = 6,5 cm. Намерете АСB. 3. В АВC са дадени АB = 12 cm, BC = 10 cm и AC = 14 cm. Намеретe медианите на триъгълника. 4. В АВC са дадени АB = c, AC = b и a = 60°. Намеретe медианата към страната BC.
Към съдържанието
16 = 52 − a 2 ⇒ a 2 = 36 a = 6 cm 5. Триъгълник има страни 136, 170 и 174. Намерете медианите на триъгълника. 6. Докажете, че ако ma2 + mb2 = 5mc2, триъгълникът е правоъгълен. 7. Докажете, че страните на триъгълника се изразяват чрез медианите му с формулите a = 2 2m 2 + 2m 2 − m 2 ; b c a 3 b = 2 2ma 2 + 2mc 2 − mb 2 ; 3 c = 2 2ma 2 + 2mb 2 − mc 2 . 3
117
39.
ФОРМУЛИ ЗА ЪГЛОПОЛОВЯЩИ НА ТРИЪГЪЛНИК
ЗАДАЧА 1
В АВC са дадени AB = 10 cm, BC = 14 cm и АС = 6 cm. Намерете ъглополовящата на ъгъла при върха С. Решение: C a=14
b=6
lc α A x L 10 – x B
1. От свойството на ъглополовящата AL = BL намираме АL и BL. AC BC x = 10 − x 14 6 7x = 30 – 3x 10x = 30 ⇒ AL = x = 3 cm, BL = 10 – x = 7 cm 2. В АВC чрез косинусовата теорема намираме b 2 + c 2 − a 2 = 62 + 102 − 142 = − 1 . cos α = 2bc 2.6.10 2 3. В АLC чрез косинусовата теорема намираме lc 2 = b 2 + x 2 − 2b. x cos α = 62 + 32 − 2.6.3 − 1 = 2 = 36 + 9 + 18 = 63, lc = 63 = 3 7 cm..
( )
ЗАДАЧА 2
АВC са дадени страните AC = b и BC = а. Ако ъглополовящата lc на ъгъла при В върха С разделя страната АВ на отсечки m и n, докажете че lc2 = a . b – m . n. Решение:
γ γ 2 2
b A
C
lc m
L β x L1
a
n β
B
1. Ъглополовящата CL пресича описаната около АВC окръжност в точка L1. Свързваме А и L1. γ 2. АCL1 ∼ LCB ACL1 = LCB = 2 AL1C = LBC = β CL ⇒ AC = 1 ⇒ AC.BC = CL.CL1 ( LL1 = x) LC CB a . b = lc (lc + x) lc 2 = a . b − lc . x 3. АLL1 ∼ CLB ALL1 = CLB (връхни)
AL1 L = CBL = β LL ⇒ AL = 1 ⇒ AL . LB = CL . LL1 CL LB m . n = lc . x
4. От (2) и (3) получаваме lc2 = a . b – m . n. Доказаната в Задача 2 зависимост се използва наготово (без доказателство) при решаване на задачи. Например с нея решението на Задача 1 е lc = 63 3 7 cm . lc2 = a . b – m . n = 6 . 14 – 3 . 7 = 84 – 21 = 63, =
Т 118
Формули за ъглополовящите в триъгълника Ако АВС е със страни АВ = c, BC = a, CA = b и ъглополовящи la, lb , lc съответно 2 2 2 на CAB, ABC и ACB, то la 2 = bc − bca 2 , lb 2 = ac − acb 2 , lc 2 = ab − abc 2 . (b + c) (a + c) ( a + b)
Към съдържанието
Доказателство:
1. В Задача 2 доказахме, че lc2 = a.b – m.n. 2. От свойството на ъглополовящата в триъгълник намиC раме m и n. AL = BL ⇒ m = c − m a b AC BC b a lc ma = bc − mb ⇒ m = bc , n = c − m a+b bc ac n=c− = m n A B L a+b a+b 2 abc 2 3. От (1) и (2) получаваме lc = a.b − . ( a + b) 2 Аналогично се извеждат формулите за другите две ъглополовящи в триъгълника. 2 2 la 2 = bc − bca 2 , lb 2 = ac − acb 2 (b + c) (a + c)
ЗАДАЧА 3
Намерете ъглополовящата на правия ъгъл в правоъгълен триъгълник с катети а и b. Решение:
C
b
A
ЗАДАЧА 4
От формулата за ъглополовящата имаме
lc L
2 ( a + b) 2 − c 2 = l c 2 = ab − abc 2 = ab ⋅ ( a + b) ( a + b) 2
a
B
2 2 2 = ab ⋅ a + 2ab + b2 − c = ( a + b) 2 2 2 2 = ab ⋅ c + 2ab −2 c = 2a b 2 . ( a + b) ( a + b)
(a 2 + b 2 = c 2 )
lc = ab 2 a+b
АВC AC = 4 cm, BC = 8 cm и ACB = 120°. Намерете дължината на ъглополовящата В CL (L∈ AB). 1. За АВC прилагаме косинусовата теорема. Решение: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ C 2 2 2 c = 8 + 4 − 2.8.4.cos120° c 2 = 64 + 16 − 2.8.4. − 1 = 112 a=8 b=4 2 c = 112 = 4 7 cm 2. От свойството на ъглополовящата CL намираме A m L B AL = m и BL = n. n AL = BL ⇒ m = 4 7 − m ⇒ m = 4 7 , n = 8 7 AC BC 4 8 3 3 2 3. От формулата за ъглополовящата lc = a . b – m . n намираме lc 2 = 8.4 − 4 7 ⋅ 8 7 = 8.4 1 − 7 = 8.4.2 ⇒ lc = 8 cm . 3 3 9 9 3
( )
( )
ЗАДАЧИ
1. В АВC са дадени АВ = 5 cm, AC = 7 cm и BC = 8 cm. Намерете трите ъглополовящи на триъгълника. 2. В АВC АB = c, BC = a и AC = b. Намерете дължината на ъглополовящата la, ако: a) a = 7, b = 6, c = 8; б) a = 18, b = 15, c = 12; в) a = 39, b = 20, c = 45;
Към съдържанието
г) a = 50, b = 32, c = 48. 3. В АВC АC = 3 cm, BC = 6 cm и ACB =120°. Намеретe дължината на ъглополовящата CL (L ∈ AB). 4. В АВC АB = 20 cm, AC = 45 cm и ъглополовящата AL = 24 cm. Намерете страната BC.
119
40.
ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК На всяка равнинна фигура се съпоставя едно положително число – лице на тази фигура. Правилата, които се спазват при това съпоставяне, са: • Всяка фигура има определено лице, което е положително число. • Еднаквите фигури имат равни лица. • Ако една фигура е разделена на части, то лицето ѝ е равно на сбора от лицата на частите. • Лицето на правоъгълник с дължини на страните а и b е ab.
Т
Основна формула за лице на триъгълник Лицето на произволен триъгълник със страни a, b, c и съответните им a . ha b . hb c . hc височини ha, hb, hc намираме по формулите = S = = . 2 2 2 Доказателство: D
C
I случай: ABC e правоъгълен (b = 90°). Допълваме ABC до правоъгълника ABCD. BC = hc , AB = c, SABCD= c . hc ABC ≅ CDA ⇒ SABC = SCDA = S SABCD= SABC + SCDA= S + S = 2S
hc
2 S = c . hc
A
c. hc 2 II случай: ABC e остроъгълен (b < 90°).
B
c
S ABC= S=
C
S ABC = S ADC + S BDC
A
c
D
AD . hc BD . hc + 2 2 ( AD + BD) . hc AB . hc = = 2 2 c . hc = 2
S ABC =
hc
S ABC
B
S ABC C hc
III случай: ABC e тъпоъгълен (b > 90°). S ABC = S ADC − S BDC AD . hc BD . hc − 2 2 ( AD − BD ). hc AB . hc = = 2 2 c . hc = 2
S ABC = A
c
B
D
S ABC S ABC
В трите случая получаваме S =
120
c . hc a . ha b . hb . Аналогично доказваме, че S = и S= . 2 2 2
Към съдържанието
Т1
Лицето на произволен триъгълник с периметър 2p и радиус на вписаната в него окръжност r се намира по формулата S = p . r. Доказателство: Точка О е център на вписаната в ABC окръжност.
C
S ABC = S BCO + S ACO + S ABO
a
b r
a.r b.r c.r + + 2 2 2 ( a + b + c) r 2 p . r = = ar + br + cr = 2 2 2 = p.r
S ABC =
O r
S ABC
r
S ABC
c B A Доказахме, че лицето на триъгълник е равно на произведението от полупериметъра му и радиуса на вписаната в него окръжност.
Т2
Лицето на триъгълник е равно на полупроизведението на две от страните му и синуса на ъгъла, заключен между тях.
b
C γ
a
α β A B c 1 1 S = ab sin γ = bc sin α = 1 ac sin β 2 2 2
Доказателство: I случай: g < 90°
C γ
b
Означаваме с AA1 = ha височината на ABC към страната BC = a.
A1 a
ha A
1. AA1C (C = 90°) ha= b sin g a.h ab sin γ 2. S = a = 2 2
B
ha= b
C 90°
II случай: g = 90°
a
C
B
A A1 ha
180°− γ
b A
C γ
1. ha = b, sin g = sin 90° = 1 a.h ab sin γ 2. S = a = 2 2 III случай: g > 90°
a B
1. ACA1 (A1 = 90°), ACA1 = 180° – g ha = b sin (180° – g) = b sin g a.h ab sin γ 2. S = a = 2 2
ab sin γ . 2 ac sin β Аналогично се извеждат и формулите S = bc sin α , S = . 2 2 И в трите случая получихме S =
Към съдържанието
121
ЗАДАЧА 1
Намерете лицето на триъгълник с периметър 84 cm и радиус на вписаната окръжност 8 cm. Решение:
P 84 1. p= = 2 2 p = 42 cm
C
S p= . r 42 . 8 2.= S = 336 cm 2
r
O
B
A
ЗАДАЧА 2
Намерете лицето на триъгълник по дадени b = 6 2 , c = 8 cm и a = 135°. Решение:
По формулата S = bc sin α намираме 2 6 2 .8 sin 135° S= = 24 2 ⋅ 2 = 24. 2 2 2 S = 24 cm
Т3
Лицето на триъгълник се изразява с формулите S=
a 2 sin β sin γ b 2 sin α sin γ c 2 sin α sin β . = = 2 sin α 2 sin β 2 sin γ
Доказателство:
b
C γ
b α
A
C γ c
a β
B
1. От синусовата теорема получаваме a = b ⇒ b = a sin β . sin α sin β sin α
a
ab sin γ получаваме 2 a sin β a 2 sin β sin γ S = 1a⋅ ⋅ sin γ = . 2 sin α 2 sin α
2. От формулата S = A
α
c
β
B
Аналогично доказваме, че S =
ЗАДАЧА 3
Т4 122
c 2 sin α sin β b 2 sin α sin γ . и S= 2 sin γ 2 sin β
амерете лицето на триъгълник по дадени c = 10 cm, a = 50° и b = 100°. Н Решение: c 2 sin α . sin β 1. γ =180°− (α + β) 2. S = 2 sin γ γ =180°− (50°+100°) S = 100 sin 50° sin 100° γ = 30° 2 sin 30° 100 . 0, 766 . 0, 985 S≈ 2⋅ 1 2 S ≈ 75, 45 cm 2 Херонова формула Лицето на триъгълник със страни a, b, c се изразява с формулата S = p ( p − a )( p − b)( p − c), където p = a + b + c . 2
Към съдържанието
Доказателство: 2 2 2 1. S = 1 ab sin γ ⇒ S 2 = 1 a 2b 2 sin 2 γ, sin 2 γ = 1 − cos 2 γ, cos γ = a + b − c 2 4 2ab 2 2 2 2 2. S 2 = 1 a 2b 2 (1 − cos 2 γ ) = 1 a 2b 2 1 − a + b − c 4 2ab 4 2 2 S 2 = 1 ⋅ a 2b 2 ( 4a 2b 2 − (a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ) 4 4a b 2 S = 1 (2ab + a 2 + b 2 − c 2 )(2ab − a 2 − b 2 + c 2 ) 16 2 S = 1 ( ( a + b) 2 − c 2 ) ( c 2 − ( a − b) 2 ) 16 2 S = 1 (a + b + c)(a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) 16 2 S = a +b+c ⋅ a +b−c ⋅b+c−a ⋅ a +c−b 2 2 2 2 S 2 = p ( p − a )( p − b)( p − c)
(
3. S =
Т5
)
p ( p − a )( p − b)( p − c)
Лицето на триъгълник със страни a, b, c и радиус R на описаната около него окръжност се изразява с формулата S = abc . 4R Доказателство:
c = 2R намираме sin γ = c . sin γ 2R 1 2. Заместваме във формулата S = ab sin γ и получаваме S = 1 a.b ⋅ c = abc . 2 2 2R 4R 1. От синусовата теорема
ЗАДАЧА 4
амерете лицето S и радиусите r и R на вписаната и описаната окръжности на Н триъгълник по дадени a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Решение: 1. Лицето намираме по Хероновата 2. S = p . r формула. = r S= 6 6 p 9 S = p ( p − a )( p − b)( p − c), r = 2 6 cm p = a+b+c = 5+6+7 =9 3 2 2 a.b.c 3. S = S = 9 (9 − 5)(9 − 6)(9 − 7) 4R a .b.c 5.6.7 S = 9.4.3.2 = R = S 4 4.6 6 2 2 S = 3 .2 .6 R = 35 6 cm S = 6 6 cm 2 24
ЗАДАЧИ
Намерете лицето на триъгълник по дадени: 1. a = 6 cm, b = 4 3 cm, g = 120°; 2. b = 3 7 cm, c = 8 cm, a = 30°; 3. a = 10 cm, c = 6 2 cm, b = 135°; 4. a = 4 7 cm, c = 4 cm, a = 120°; 5. a = 9 cm, b = 6 cm, c = 5 cm;
Към съдържанието
6. a = 4 cm, b = 30°, g = 45°, 7. 8. 9.
6 + 2 ; cos15° = 4 a = 9 cm, b = 10 cm, c = 17 cm; a = 8 cm, b = 26 cm, c = 30 cm; a = 26 cm, b = 75 cm, c = 91 cm.
123
41.
ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ 2
ОСНОВНА ЗАДАЧА 1
Докажете, че лицето на равностранен триъгълник със страна b е S = b 3 . 4 Решение: ab sin γ Във формулата S = заместваме a = b и g = 60°. 2 2 2 Получаваме S = bb sin 60° = b ⋅ 3 = b 3 . 2 2 2 4
ОСНОВНА ЗАДАЧА 2
Докажете, че лицето на всеки триъгълник се изразява по формулата S = 2R2 sina sinb sin g. Решение: Във формулата S = abc заместваме a = 2R sina, b = 2R sinb, c = 2R sin g. 4R 2 R sin α.2 R sin β.2 R sin γ Получаваме S = = 2 R 2 sin α sin β sin γ . 4R
ОСНОВНА ЗАДАЧА 3
Вписаната в АВС окръжност допира страната АВ в точка Q, като AQ = m и BQ = n. γ Докажете, че лицето S на триъгълника се изразява с формулата S = m . n.cotg . 2 Решение: 1. Т очката О е център на вписаната в АВС C окръжност, която се допира до BC в точка Е. γ p–c γ CECE = p= −pc−, c ==γ , OCE OCE 2 2 2 γ γ COE ( E = 90 ° ) p − c b В COE ( E = 90°) p −=c r=cotg r cotg E 2 2. a O r 2. От Хероновата формула получаваме r
A
m
Q
S= n
B
=
p ( p − a )( p − b)( p − c) = γ p. m . n . r cotg . 2
γ или 2 γ γ S 2 = S . m . n cotg ⇒ S = m . n cotg 2 2 Ако в основна Задача 3 триъгълникът е правоъгълен, като g = 90°, то S = m .n. 3. S = p . r ⇒ S = S . m . n cotg
ЗАДАЧА 1
124
В АВС са дадени BC = a, AC = b и ACB = g. Намерете дължината на ъглополовящата CL (L ∈ AB). Решение: γ 1. ACL = BCL = , CL = lc C 2 2. S ABC = S ACL + S BCL γ γ γ γ 2 b a. b sin γ b . lc sin 2 a . lc sin 2 2 a = + 2 2 2 lc γ a . b sin γ = lc (a + b)sin 2 a . b sin γ ⇒ lc = γ B L A (a + b)sin 2
Към съдържанието
Ако в Задача 1 триъгълникът е правоъгълен, като g = 90°, получаваме lc =
ЗАДАЧА 2
ab sin 90° = (a + b)sin 45°
= ab 2 . a+b ( a + b) 2 2 ab.1
Намерете ъглополовящата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник с катети: а) a = 6 cm, b = 8 cm; Решение:
б) a = 4 2 cm , b = 6 2 cm.
а) lc = ab 2 = 6.8 2 = a+b 6+8 = 48 2 = 24 2 cm 14 7
б) lc = ab 2 = 4 2 .6 2 . 2 = a+b 4 2 +6 2 = 48 2 = 4, 8 cm 10 2
ЗАДАЧА 3
Даден е АВС, в който AC = b, BC = a и ACB = 120°. Намерете дължината на ъглополовящата CL (L ∈ AB), ако: б) a = 4 cm, b = 8 cm. а) a = 3 cm, b = 7 cm; Решение: ab sin γ ab sin 120° ⇒ l = ab , lc = Използваме формулата lc = c a+b . (a + b)sin 60° γ (a + b)sin 2 3 . 7 21 а) lc = = = 2,1cm б) lc = 4.8 = 32 = 32 = 1 1 cm 3 + 7 10 4 + 8 12 12 3
ЗАДАЧА 4
Намерете лицето на АВС по дадени b = 8 cm, c = 7 cm и g = 60°. 1. За АВС прилагаме косинусовата теоРешение: рема. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 49 = a 2 + 64 − 2a.8 cos 60° 49 = a 2 + 64 − 8a a 2 − 8a + 15 = 0 ⇒ a1 = 3, a2 = 5 Има два триъгълника с дадени страни b, c и ъгъл g.
ЗАДАЧИ
2. Лицето на единия триъгълник е S = 1 ab sin γ = 1 .3.8 sin 60° = 2 2 3 = 12 = 6 3 cm 2 . 2
3. Лицето на другия триъгълник е S = 1 ab sin γ = 1 .5.8 sin 60° = 2 2 = 20 3 = 10 3 cm 2 . 2
1. Намерете височините на триъгълник със страни а = 11 cm, b = 13 cm, c = 20 cm. 2. За триъгълник са дадени а = 3 cm, b = 2 cm, g = 60°. Намерете височина та hc. 3. Страните на триъгълник са а = 18 cm, b = 20 cm, c = 34 cm. Намерете радиуса на вписаната окръжност. 4. Страните на триъгълник са а = 4 cm, b = 13 cm, c = 15 cm. Намерете радиуса на описаната окръжност.
5. Намерете ъглополовящата на правия ъгъл в правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm. 6. Даден е триъгълник със страни 15 cm, 12 cm и 18 cm. Построена е окръжност, която се допира до двете по-малки страни, а центърът ѝ лежи на най-голямата страна. Намерете лицето на триъгълника, радиуса на окръжността и отсечките, на които центърът дели по-голямата страна.
Към съдържанието
125
42.
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК“ Запомнете! b
A
α
C γ
• страни а, b, c • ъгли a, b, g • r – радиус на вписаната окръжност • R – радиус на описаната окръжност • медиани mа, mb, mc • ъглополовящи lа, lb, lc
a
c
β
B
Синусова теорема
Косинусова теорема a2 = b2 + c2 – 2bc cos a b2 = a2 + c2 – 2ac cos b c2 = a2 + b2 – 2ab cos g
a = b = c = 2R sin α sin β sin γ Формули за медиани
Формули за ъглополовящи 2 la 2 = bc − bca 2 (b + c)
ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 2 1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 mb = 2 mc = 1 2a 2 + 2b 2 − c 2 2 Формули за лице a . ha b. hb c . hc S= = = 2 2 2 S = p. r, p = a + b + c 2 a . b. c S= 4R
ЗАДАЧА 1
126
2 lb 2 = ac − acb 2 (a + c) 2 lc 2 = ab − abc 2 ( a + b)
S = 1 ab sin γ = 1 ac sin β = 1 bc sin α 2 2 2 S= S=
p ( p − a )( p − b)( p − c) a 2 sin β sin γ b 2 sin α sin γ c 2 sin α sin β = = 2 sin β 2 sin γ 2 sin α
Даден е триъгълник със страни a = 14 cm, b = 30 cm и c = 40 cm. Намерете: a) най-малката височина на триъгълника; б) радиуса на вписаната окръжност; в) радиуса на описаната окръжност. Решение: 2. Височината hc е най-малка, защото е a + b + c = 14 + 30 + 40 = 42 cm 1. p = височина към най-голямата страна 2 2 c = 40 cm. Използваме формулата за лице S = p ( p − a )( p − b)( p − c) = c . hc на триъгълник S = . 2 = 42.28.12.2 = 2.3.7.22.7.22.3.2 = 40 . hc 168 = ⇒ 168 = 20 . hc ⇒ hc = 8, 4 cm = 26.7 2.32 = 23.7.3 = 168 cm 2 2 S = p . r ⇒ 168 = 42 . r 3. 4. S = abc ⇒ R = abc = 14.30.40 = 25 cm 4R 4S 4.168 ⇒ r = 168 = 4cm 42
Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
За АВС са дадени c = 4 cm, r = 3 cm и a = 60°. Намерете страните a, b и лицето 2 на триъгълника. 1. Изразяваме лицето на АВС по два начина: Решение: b . 4 sin 60° S = bc sin α = = 2b 3 = b 3 2 2 2 C 3 3 a + b + 4 S = p.r = ⋅ = (a + b + 4). 2 2 4 a c b 3 = 3 (a + b + 4) ⇒ 4b = a + b + 4 ⇒ a = 3b − 4 4 2. За АВС прилагаме косинусовата теорема. α = 60° 2 2 A a = b + c 2 − 2bc cos α = b 2 + 42 − 2.b.4 cos 60° c=4 B 2 2 ⇒ a = b + 16 − 4b 3. Образуваме и решаваме чрез заместване системата: a = 3b − 4 a 2 = b 2 − 4b + 16. (3b − 4) 2 = b 2 − 4b + 16 2 2 9b − 24b + 16 = b − 4b + 16 b (2b − 5) = 0 ⇒ b1 = 0 → – не, b2 = 2, 5 → – да, b = 2,5 cm 4. a = 3b – 4 = 3.2,5 – 4 = 3,5 ⇒ a = 3,5 cm
S b= 3 2, 5 3 ⇒ S = 2, 5 3 cm 2 5.=
ЗАДАЧА 3
Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3 cm, AD = 2 cm, BC = 1 cm и BAD = 60°, намерете лицето на ABCD. 1. За АВD прилагаме косинусовата теорема Решение: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD cos 60° = D = 9 + 4 − 2.3.2. 1 = 7 2 BD = 7 cm 2 C 120° 2. BCD, BCD = 180° − 60° = 120° 1 BD 2 = BC 2 + CD 2 − 2.BC.CD.cos120° 60° 7 = 1 + CD 2 + 2CD ⋅ 1 B 3 A 2 2 CD + CD − 6 = 0 ⇒ CD = 2 cm (CD = – 3 – не) 3. S ABCD = S ABD + S BCD S ABCD = 1 AB. AD sin 60° + 1 BC.CD sin120° 2 2 S ABCD = 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 3 + 2 3 2 2 2 2 4 2 S ABCD = 2 3 cm
ЗАДАЧА 4
Докажете тъждеството 1 + 1 + 1 = 1 , където ha, hb, hc са височините, а r е радиусът ha hb hc r на вписаната в триъгълника окръжност. Упътване: a. ha b . hb c . hc , S p . r. Използвайте формулите = S = , S = , S = 2 2 2
Към съдържанието
127
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК“ 1. Намерете третата страна на ABC по дадени: a) a = 7 cm, b = 8 cm и g = 120°; б) a = 5 cm, b = 2 cm и a = 30°. 2. Намерете средния по големина ъгъл в ABC, ако: a) a = 17cm, b = 7 cm и c = 15 2 cm; б) a = 8 cm, b = 13 cm и c = 15 cm. 3. Намерете най-големият ъгъл в триъгълник със страни 11 cm, 24 cm и 31 cm. 4. Около окръжност е описан четириъгълник, двете съседни страни на който са 8 cm и 15 cm, а ъгълът между тях е 60°. Намерете другите две страни на четириъгълника, ако те образуват ъгъл 60°. 5. Две от страните на ABC са a = 6 cm и b = 8 cm, а медианата mc = 5 cm. Намерете c, g и sin a. 6. Разликата от страните на успоредник е 1 cm. Големият му диагонал е 11 cm, а малкият е равен на голямата страна на успоредника. Намерете страните на успоредника. 7. В триъгълник със страни 12 cm, 15 cm и 18 cm e построена ъглополовящата на най-големия ъгъл. Намерете дължината ѝ. 8. Намерете диагоналите на успоредник ABCD, ако AB = 13 cm, AD = 16 cm и медианата BN на ABD е 9 cm. 9. В ABC е вписана окръжност, допираща се до AB, BC и AC съответно в точките M, D и N. Намерете MD, ако AN = 2, NC = 3 и g = 60°. 10. Около окръжност с център точката O е описан ABC, в който ACB = 60°. Намерете дължината на AB, ако AO = 4 и BO = 2. 11. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 48, а радиусът на описаната около триъгълника окръжност е R = 36. Намерете дължината на височината към основата. 12. Около четириъгълник ABCD е описана окръжност. Намерете страната BC, ако е дадено, че AB = 15, CD = 8, AD = 8 и BAD = 60°.
128
13. В окръжност с радиус 7 3 cm е вписан остроъгълен триъгълник. Едната му страна е 21 cm, а другите две се отнасят както 5 : 8. Намерете неизвестните страни. 14. В ABC са дадени AB = 20, BC = 12 и AC = 16. Намерете радиуса r на вписаната в ABC окръжност. 15. В ABC са дадени AB = 14, BC = 30 и AC = 40. Намерете радиуса R на описаната около ABC окръжност. 16. Страните на триъгълник се отнасят както 7 : 15 : 20, а най-голямата му височина е 24 cm. Намерете страните на триъгълника. 17. Страните на триъгълник са 17 cm, 25 cm и 28 cm. В него е вписана полуокръжност, диаметърът на която лежи върху най-голямата страна. Намерете радиуса на полуокръжността. 18. Около окръжност с радиус 10 cm е описан четириъгълник с взаимноперпендикулярни диагонали, които са 30 cm и 28 cm. Намерете периметъра на четириъгълника. 19. Около окръжност с радиус 4 cm е описан четириъгълник с лице 72 cm2, двете съседни страни на който са 6 cm и 8 cm. Намерете дължините на другите две страни на четириъгълника. 20. Около окръжност с радиус 1 cm е описан триъгълник, чиито страни са в отношение 7 : 15 : 20. Намерете лицето на триъгълника. 21. Окръжност с радиус 2 cm е вписана в триъгълник. Намерете страните му, ако допирната точка дели едната от тях на отсечки от 3 cm и 4 cm. Намерете и лицето на триъгълника. 22. Докажете, че за ABC със страни a, b, c, лице S и ъгли a, b, g са изпълнени равенствата a 2 = b 2 + c 2 − 4 S cotg α; b 2 = a 2 + c 2 − 4 S cotg β; c 2 = a 2 + b 2 − 4 S cotg γ.
Към съдържанието
43.
ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК“ 1. Изразът А = cos (90° – a) + cos (90° + a) e тъждествено равен на: А) 0; Б) 1; В) – 2; Г) 2. 1 2. Ако cos α = − , sin α е: 3 А) 10 ; 3 − 10 ; Б) 3
6. Четириъгълникът ABCD е впис ан в окръжност. Ако AC = 21, CD = 5, AD = 4, то АВC e: А) 150°; Б) 120°; В) 60°; Г) 135°.
В) 2 2 ; 3 −2 3. Г) 3 3. В триъгълник срещу страна с дължина 30 cm лежи ъгъл, равен на 60°. Радиу сът на описаната окръжност (в сm) е: А) 15 3;
21
Б) 15 2;
В) 10 3;
Г) 20 2.
4. Триъгълник има страни 5, 6 и ъгъл между тях 120°. Третата му страна е:
А)
61 − 30 3 ;
Б)
61 − 30 2 ;
В) 31;
Г)
31 91.
5. Страните на триъгълник са 10, 12 и 14. Медианата към най-голямата страна е: А) 2 73;
Б)
73;
В) 4 5;
Г) 2 5.
Към съдържанието
D
5 C
4
B
A
7. Върху страната AB на АBC е взета точка M така, че МA = 4, MB = 5 и MC = 8. Ако АС = 6, дължината на BC e: А) 5; Б) 10; В) 12; Г) 8°. C
6
8 A 4
M 5
B
8. Д аден е ABC със страна АВ = 5, BAC = 60° и радиус на описаната окръжност R = 7 3 . Намерете дру3 гите две страни. 9. Триъгълник има страни 7, 8 и 9. Намерете лицето и радиуса на вписаната в него окръжност. 10. Даден е ABC, в които AC = 4, BC = 8 cm и АСВ = 120°. Намерете дължината на ъглополовящата CL (L ∈ AB).
129
ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК“ 1. Изразът А = 2 – sin2 (90° – a) – sin2 (180 – a) е тъждествено равен на: А) 2; Б) 1; В) – 1; Г) 0. 2. Ако cos α = − 2 , sin α е: 5 А) 3 ; 5 Б) 21 ; 5 3 В) − 5 ; 1 Г) . 5 3. В окръжност с радиус 20 cm е вписан триъгълник, един от ъглите на който е 45°. Страната срещу този ъгъл (в cm) е: А) 25; Б) 20; В) 40 2;
C D
5. Даден е АBC със страни AB = 7 cm и AC = 5 cm. Ако ACB = 120°, то дължината на страната BC (в cm) е: А) 3;
Б) 6;
В)
Г) 8.
135°
A
2
B
3 2
7. В успоредника ABCD AB = 8 cm, AD = 7 cm и BAD = 60°. Дължината на диагонала AC (в cm) е: А) 12; Б) 13; В) 14; Г) 15. D
C
7
Г) 20 2.
4. Ако страните на триъгълник са 8, 11 и 15, триъгълникът е: А) тъпоъгълен; Б) правоъгълен; В) остроъгълен; Г) не може да се определи.
130
6. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако ADC = 135°, AB = 3 2 и BC = 2, радиусът на описаната около четириъгълника окръжност e: А) 2 5; Б) 5; В) 10; Г) 3 5.
A
8
B
8. В ABC са дадени AB = 3, BC = 5 и медианата mb = 19 . Намерете страната 2 AC и косинуса на ъгъла при върха C. 9. Триъгълник има страни 13, 20 и 21. Намерете лицето и радиуса на описаната около него окръжност. 10. Намерете лицето на ABC със страни AC = 4, BC = 6 и медиана CM = 2 2.
39;
Към съдържанието
ТЕМА 5 ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА (Урок 44 – Урок 55)
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: прави и равнини в пространството и понятията, свързани с тях; взаимно положение на две прави, ъгъл между две прави; взаимно положение на права и равнина, ъгъл между права и равнина; взаимно положение на две равнини, ъгъл между две равнини; призма, пирамида; цилиндър, конус; сфера, кълбо. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да намират линеен ъгъл на двустенен ъгъл; да намират ъгъл между две кръстосани прави; да намират елементи, лице на повърхнина и обем на права призма, пирамида, цилиндър, конус, сфера и кълбо; да разбират на конкретно ниво понятията „необходимо условие“, „достатъчно условие“ и „необходимо и достатъчно условие“ и да ги прилагат адекватно при конкретни ситуации. 131
44.
ПРАВИ И РАВНИНИ В ПРОСТРАНСТВОТО. ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ ПРАВИ И ЪГЪЛ МЕЖДУ ТЯХ Предварителни бележки При изграждането на една научна дисциплина, каквато е геометрията, се използва аксиоматичният подход: • Всяко понятие се определя чрез вече дефинирани понятия. Първите понятия, които нямат предходни, чрез които да се определят, се наричат основни понятия. • Всяко твърдение се изказва и обосновава чрез вече въведени понятия и доказани твърдения. Първите твърдения, които нямат предходни, чрез които да се обосноват, се наричат основни твърдения или аксиоми. Първото аксиоматично изграждане на геометрията е направено от гръцкия математик Евклид, живял в Александрия около 300 години пр.н.е. Основният му труд “Начала” (в латинизиран превод “Елементи”) се състои от 13 книги, съставени по определена схема – отначало се дават основни понятия и аксиоми, а след това се изказват теореми, на които се правят доказателства. Заслугата на Евклид се състои в това, че се поставя въпросът за логическо обосноваване на геометрията. Развитието на идеите на Евклид довежда до забележителни открития като неевклидовата геометрия на Лобачевски – Бояй. Всяка аксиоматична теория трябва да отговаря на следните изисквания: непротиворечивост – ако P е съждение, отнасящо се до понятия от аксиома • тичната теория, аР е неговото отрицание, поне едно от съжденията P иР трябва да бъде недоказуемо въз основа на аксиомите; независимост – всяка аксиома трябва да бъде абсолютно независима, т.е. да не • може да се докаже с помощта на останалите аксиоми; пълнота – за всяко съждение P поне едно от съжденията P иР трябва да може • да се докаже с помощта на аксиомите. Аксиоматичният метод е прилаган от много математици след Евклид. Но първият, който поставя геометрията на строго аксиоматична основа, е немският математик Давид Хилберт (1862 – 1943) в работата “Основи на геометрията” (1899 г.). Въве дени са три основни понятия – точка, права и равнина, пет основни релации – инцидентност на точка и права, инцидентност на точка и равнина, точка е между други две точки, конгруентност (равенство) на отсечки, конгруентност на ъгли, и 32 аксиоми, разпределени в пет групи – 13 аксиоми на инцидентността, 6 аксиоми на нареждането, 11 аксиоми на конгруентността, 1 аксиома на непрекъснатостта и 1 аксиома на успоредността. В седми клас при изучаването на геометрията използвахме аксиоматичния подход, когато разглеждахме свойствата на равнинните геометрични фигури. За нуждите на средното училище не е необходимо да се спазват всички изисквания за една строга научна аксиоматика.
132
Към съдържанието
Аксиоми на геометрията За основни понятия в геометрията се приемат понятията точка, права и равнина. Множеството от всички точки, прави и равнини се нарича пространство. В геометрията се оформят две направления: • планиметрия (от латинската дума planum, която означава равнина): – геометрия на равнините; – геометрични фигури; • стереометрия (от гръцката дума stereo, която означава пространство): – геометрия на пространствените геометрични фигури и тела. В планиметрията има единствена равнина. В пространството има безброй много равнини. Доказателствата на твърденията в планиметрията извършвахме въз основа на аксиомите и вече доказани твърдения. Да припомним някои от аксиомите на планимет рията, изучени в седми клас. • Всяка права има безброй много точки. • През две различни точки минава само една права. • През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената. Твърденията за взаимното положение на точки, прави и равнини в пространството, които приемаме за основни, се наричат аксиоми на стереометрията. За нуждите на стереометрията ще използваме следните четири аксиоми:
А1
През всеки три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.
А2
Ако две различни точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината.
Ако точките А, В и С не лежат на една права, те определят единствена равнина a, която ще означаваме с (АВС), т.е. a ≡ (ABC).
В такъв случай казваме, че правата лежи в равнината или че равнината минава през правата. Записваме а ⊂ a (а z a). Ако А ≠ В, А ∈ а, В ∈ а, А ∈ a и В ∈ a ⇒ а ⊂ a. От А2 следва, че ако една права не лежи в една равнина, то тя има най-много една обща точка с равнината. Ако права g и равнина a имат точно една обща точка М, казваме, че правата пробожда (пресича) равнината и означаваме g ∩ a = М. Точката М се нарича пресечна точка (пробод) на правата g и равнината a.
А3
Ако две различни равнини имат обща точка, то те имат обща права. В такъв случай казваме, че равнините a и b се пресичат, а общата им права g се нарича пресечница на a и b. Ако М ∈ a и М ∈ b ⇒ a ∩ b = g, М ∈ g.
Към съдържанието
133
А4
Във всяка равнина са изпълнени аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в различни равнини, могат да се прилагат всички твърдения от планиметрията.
А4 дава възможност да доказваме, че фигури, лежащи в различни равнини, са еднакви
или подобни, като използваме признаците за еднаквост и подобие. Определяне на равнина в пространството
Въпросът за определяне на равнина в пространството се решава от А1 . Други начини за определяне на равнина в пространството се дават със следните теореми:
Т1
През права и точка, нележаща на правата, минава точно една равнина.
Т2
През две пресичащи се прави минава точно една равнина.
Т3
През две успоредни прави минава точно една равнина.
В Т3 под успоредни прави се разбира две прави, които лежат в една равнина и нямат обща точка.
!
Една равнина в пространството е определена, ако са дадени от нея: • три точки, които не лежат на една права; • права и точка, нележаща на правата; • две пресичащи се прави; • две успоредни прави.
Взаимно положение на две прави Ако две различни прави в пространството лежат в една равнина, те могат да бъдат: • пресичащи се – ако имат обща точка, и • успоредни – ако нямат обща точка. Например АВ ∩ ВС = В, АВ | | CD. Ако две прави в пространството не лежат в една равнина, те се наричат кръстосани. Например АА1 и ВС.
134
Към съдържанието
Успоредни прави В равнината през точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената. В пространството аналогично твърдение се дава със следната теорема:
Т4
В пространството през точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.
В равнината, ако една права пресича едната от две успоредни прави, то тя пресича и другата. В пространството аналогично твърдение се дава със следната теорема:
Т5
Ако две прави са успоредни, всяка равнина, която пресича едната от тях, пресича и другата. a||b a∩α =
⇒b∩α = B A
В равнината, ако две прави поотделно са успоредни на трета, те са успоредни помежду си. В пространството аналогично твърдение се дава със следната теорема:
Т6
Две прави в пространството, поотделно успоредни на трета, са успоредни помежду си. a | | c ⇒ a||b b | | c Ъгъл между две кръстосани прави
О
Нека са дадени две кръстосани прави а и b. През произволна точка О в пространството минава точно една права a1 | | a и точно една права b1 | | b. Големината на ъгъла j между пресичащите се прави a1 и b1 (по-малкия от два съседни ъгъла) не зависи от избора на точката О, защото в пространството ъгли от един и същи вид с взаимно успоредни рамене са равни. BAC = B1A1C1
О
Ъгъл между две кръстосани прави се нарича ъгълът между две пресичащи се прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.
Към съдържанието
135
ЗАДАЧА 1
Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1B1C1. Намерете ъгъла между кръстосаните прави: а) АВ и СС1; б) АВ и С1В1. Решение:
а) Избираме точката А. Правите, които минават през А и са успоредни съответно на АВ и СС1, са АВ и АА1. Ъгълът между АВ и АА1 е 90°. Следователно ъгълът между правите АВ и СС1 е 90°. Записваме (АВ; СС1) = (АВ; АА1) = А1АВ = 90°. б) Избираме точката В. Правите, които минават през В и са успоредни съответно на АВ и С1В1, са АВ и СВ. Ъгълът между АВ и СВ е 60°. Следователно ъгълът между правите АВ и С1В1 е 60°. Записваме (АВ; С1В1) = (АВ; СВ) = АВС = 60°.
О
Две прави в пространството се наричат перпендикулярни, ако ъгълът между тях е прав. Например в Задача 1 правите АВ и СС1 са перпендикулярни. Записваме АВ ⊥ СС1.
ЗАДАЧА 2
Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Намерете големината на ъгъла между правите: а) АВ и DD1; б) АC и D1C1; б) ВC1 и DD1; б) BD и A1C1. Решение: а) Правата АВ е успоредна на DC. Като ъгъл между две съседни страни на квадрат CDD1 = 90°. ⇒ (АВ; DD1) = (DC; DD1) = CDD1 = 90° б) Правата D1C1 е успоредна на DC. Като ъгъл между страна и диагонал на квадрат ACD = 45°. ⇒ (АC; D1C1) = (AC; DC) = ACD = 45° в) Правата DD1 е успоредна на CC1. Като ъгъл между страна и диагонал на квадрат BC1C = 45. ⇒ (ВC1; DD1) = (ВC1; CC1) = BC1C = 45° г) Правата А1C1 е успоредна на AC. Като ъгъл между диагоналите на квадрат BOC = 90°. ⇒ (BD; A1C1) = (BD; AC) = BOC = 90°
136
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Намерете големината на ъгъла между два непресичащи се диагонала на две съседни стени на куба. Решение: ABCDA1B1C1D1 – куб Ще намерим ъгъла между диагоналите ВС1 и CD1. 1. От АВ | | A1B1 и D1C1 | | A1B1 ⇒ АВ | | D1C1. 2. AB = D1C1 ⇒ АВC1D1 е успоредник AB D1C1
⇒ ВС1 | | АD1.
3. (ВС1; СD1) = (АD1; СD1) = АD1 С 4. АС = CD1 = AD1 като диагонали на квадрати с равни страни ⇒ VАСD1 е равностранен ⇒ АD1С = 60°. 5. От (3) и (4) следва, че (ВС1; СD1) = АD1С = 60°
ЗАДАЧИ
1. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажете, че: а) правите АВ и C1D1 са успоредни; б) правите АВ1 и DC1 са успоредни; в) правите АC и DD1 са перпендикулярни; г) правите ВD и CC1 са перпендикулярни. 2. Докажете, че ако АВСМ е правилна триъгълна пирамида, то правите: а) АВ и СМ; б) ВС и АМ; в) АС и ВМ са кръстосани. 3. Докажете, че кръстосаните диагонали на две срещуположни страни на куб са перпендикулярни. 4. Докажете, че ако една права е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата.
Към съдържанието
5. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Намерете големината на ъгъла между правите: а) BD и CC1; б) BD и B1C1; в) AB1 и CC1; г) AD1 и BB1. 6. Всички ръбове на правилна четириъгълна пирамида ABCDМ са равни. Намерете големината на ъгъла между правите: а) AB и CM; б) BC и DM; в) CD и BM; г) AD и CM. 7. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с ръбове AB = 6 cm , AD = 3 cm и AA1 = 1 cm . Намерете големината на ъгъла между правите: а) АА1 и CB1; б) BC и DA1; в) AB1 и BC; г) B1C1 и AD1.
137
45.
ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ПРАВА И РАВНИНА. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВА И РАВНИНА Успоредност на права и равнина Съгласно А2 , ако две различни точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината. A≠ B A ∈ a, B ∈ a ⇒ a ⊂ α A ∈ α, B ∈ α Ако права и равнина имат точно една обща точка, то правата пробожда равнината. Записваме а ∩ a = A.
О
Права и равнина, които нямат обща точка, се наричат успоредни. Записваме а | | a. Едно достатъчно условие за успоредност на права и равнина се дава със следната теорема-признак:
Т1
Ако права, която не лежи в дадена равнина, е успоредна на някоя права от равнината, то правата и равнината са успоредни. Доказателство:
Дадени са равнина a, права g ⊂ a, права а ⊄ a, като а | | g. Ще докажем, че а | | a, т.е. че а и a нямат обща точка. 1. От а | | g следва, че те определят равнина b ⇒ a ∩ b = g. 2. Допускаме, че а ∩ a = А. От А ∈ а и а ⊂ b ⇒ А ∈ b. От А ∈ b и А ∈ a ⇒ А ∈ g. 3. Получихме, че А ∈ g, което противоречи на условието, че а | | g. Следователно а | | a.
Вярно е и обратното твърдение: Ако права и равнина са успоредни, то в равнината има права, успоредна на дадената права. Ще докажем следната теорема:
Т2 138
Ако права а и равнина a са успоредни, пресечницата b (ако съществува) на всяка равнина b, минаваща през а, с равнината a е права b, успоредна на правата а.
Към съдържанието
Доказателство:
Дадени са равнина a и права а, като а | | a. Равнина b (а ⊂ b) пресича a в правата b (b ∩ a = b). Ще докажем, че b | | а. 1. Допускаме, че а ∩ b = А. От b ⊂ a ⇒ А ∈ a. 2. Получихме, че а ∩ a = А, което противоречи на условието, че а | | a ⇒ b | | a. ABCDA1B1C1D1 – куб Забелязваме, че: • една права може да бъде успоредна на няколко равнини. Например ръбът АА1 е успореден едновременно на стените BCC1B1 и CDD1C1; • ръбът АА1 е успореден на ръба СС1, в който тези стени се пресичат.
ПРИМЕР 1
За пресечниците на равнини са в сила следните твърдения:
Т3
Ако права е успоредна на две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница.
Т4
Ако една равнина пресича две равнини и е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците и` с двете равнини са успоредни прави.
ЗАДАЧА 1
a α a β ⇒ a g α ∩β = g
γ ∩ α = a γ ∩β = b ⇒ a b α ∩β = s γ s
Дадена е триъгълна пирамида с основа VАВС и връх М. Точките Р, Q и E са среди съответно на ръбовете МА, МС и ВС. Докажете, че правата: а) PQ е успоредна на (АВС); б) QE е успоредна на (МАВ). Решение: a) VMAС PQ – средна отсечка PQ | | АС, АС ⊂ (АВС) ⇒ PQ | | (АВС) б) VMBС QE – средна отсечка QE | | MB, MB ⊂ (MAB) ⇒ QE | | (MAB)
Към съдържанието
139
Перпендикулярност на права и равнина Да разгледаме куба ABCDA1B1C1D1. Означаваме с a равнината на стената ABCD на куба. Ръбът АА1 е перпендикулярен на различни прави от a: • правите АВ и AD минават през А и сключват с АА1 ъгъл 90° ⇒ AA1 ⊥ AB и AA1 ⊥ AD; • правата ВС е кръстосана с АА1 (АA1; BC) = (АA1; AD) = 90° ⇒ AA1 ⊥ BC; • може да се докаже, че правата АА1 е перпендикулярна и на правите АС и BD и на всяка права в равнината a.
ПРИМЕР 2
О
Права и равнина са перпендикулярни, ако правата е перпендикулярна на всяка права от равнината. Ако права а е перпендикулярна на равнината a, записваме а ⊥ a. Едно достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина се дава със следната теорема-признак:
Т5
Ако права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на равнината. На чертежа за всеки от многостените ръбът АА1 е перпендикулярен на двата пресичащи се ръба АВ и АС от равнината a. Тогава AA1 ⊥ a.
!
Свойство 1: Дадени са права g и точка М. През дадената точка М минава точно една равнина a, перпендикулярна на дадената права g. I случай: М ∈ g, a ⊥ g
!
II случай: М ∉ g, a ⊥ g
Свойство 2: Дадени са равнина a и точка М. През дадената точка М минава точно една права g, перпендикулярна на дадената равнина a. I случай: М ∈ a Точката М е от дадената равнина a. Казваме, че от точката М е издигнат перпендикуляр към равнината a.
140
Към съдържанието
II случай: М ∉ a Точката М не е от дадената равнина a. Казваме, че от точката М е спуснат перпендикуляр към равнината a. Ако g ⊥ a и g ∩ a = O, отсечката МО се нарича съкратено перпендикуляр от точката М към равнината a, а точката О – пета на перпендикуляра.
!
ЗАДАЧА 2
Свойство 3: Дадени са права g и равнина a, които са перпендикулярни. а) Всяка права g1, успоредна на g, е също перпендикулярна на a. б) Всяка права g1, перпендикулярна на a, е успоредна на g.
Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Докажете, че правата: а) C1D1 е перпендикулярна на правата В1С; б) B1C е перпендикулярна на правата ВD1. Решение: a) C1 D1 ⊥ C1C ⇒ C1 D1 ⊥ равнината BCC1 B1 C1 D1 ⊥ C1 B1 ⇒ С1D1 е перпендикулярна на всяка права от тази равнина. В1С лежи в равнината ВСС1В1 ⇒ С1D1 ⊥ В1С. б) B1C ⊥ BC1 (диагонали в квадрат) ⇒ B1C ⊥ ( BC1 D1 ) B1C ⊥ C1 D1 (от условие а)) ⇒ В1С е перпендикулярна на всяка права от тази равнина. BD1 ⊂ ( BC1 D1 ) ⇒ B1C ⊥ BD1
ЗАДАЧИ
1. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Докажете, че: а) правата BD е перпендикулярна на равнината (АСС1); б) правата BD е перпендикулярна на правата АC1; в) правата АС е перпендикулярна на равнината (BDD1); г) правата АС е перпендикулярна на правата DB1. 2. Даден е правоъгълен АВС с катети АС = 6 и ВС = 8. Отсечката МС = 12 и е перпендикулярна на катетите. Наме
Към съдържанието
рете разстоянието от точка М до средата на хипотенузата на триъгълника. 3. Даден е равнобедрен АВС с бедра СА = СВ = 10 и основа АВ = 16. Отсечката МС = 3 и е перпендикулярна на бедрата. Намерете разстоянието от точка М до медицентъра на АВС. 4. Даден е правоъгълник АВСD със страни АB = 8 и ВС = 6. Отсечката МD = 12 и е перпендикулярна на AD и CD. Намерете разстоянието от точка М до пресечната точка О на диагоналите на правоъгълника.
141
46.
ОРТОГОНАЛНО ПРОЕКТИРАНЕ. ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВА И РАВНИНА Ортогонално проектиране Нека p е дадена равнина и М е произволна точка в пространството. Има точно една права т, която минава през М и е перпендикулярна на p. Означаваме с М1 пробода на правата т с равнината p. Тогава: • точката М1 се нарича ортогонална проекция на точката М върху равнината p; • правата т се нарича проектираща права на точката М; • равнината p се нарича проекционна равнина; • намирането на точката М1 се нарича ортогонално проектиране.
О
Фигурата F1, която се състои от ортогоналните проекции на всички точки от дадена фигура F, се нарича ортогонална проекция на фигурата F.
На чертежа ортогоналната проекция на АВС върху равнината p е А1В1С1. За краткост под проекция ще разбираме ортогонална проекция. Свойства на ортогоналното проектиране
!
Свойство 1: Проекцията на всяка права g, перпендикулярна на проекционната равнина p, е точка – прободът на g с p. Свойство 2: Проекцията на всяка права g, която не е перпендикулярна на проекционната равнина, е права g1. Свойство 3: Ако една точка лежи върху права, то проекцията и` лежи върху проекцията на правата. Свойство 4: Проекцията на две успоредни прави, които не са перпендикулярни на проекционната равнина, са две успоредни или съвпадащи прави. Свойство 5: При ортогоналното проектиране отношението на две отсечки от една права, която не е перпендикулярна на проекционната равнина, е равно на отношението на проекциите на тези отсечки. Свойство 2 следва от това, че всички проектиращи прави на точките от правата g лежат в една равнина ag, която се нарича проектираща равнина на правата g. От Свойство 5 следва, че при ортогоналното проектиране средата на отсечка се проектира в средата на проекцията ѝ.
142
Към съдържанието
ПРИМЕР 1 Основата ABCD на правоъгълния паралелепипед ABCDA1B1C1D1 лежи на проекционната равнина p. Тогава:
• проекциите на A1, B1, C1, D1 са съответно A, B, C, D; • проекциите на правите А1А, B1B, C1C, D1D са съответно точките A, B, C, D (Свойство 1); • проекциите на правите A1D1 и B1D1 са съответно правите AD и BD (Свойство 2); • проекцията М на точка М1 от правата В1С1 лежи на проекцията ѝ ВС (Свойство 3); • проекциите AD и BC на успоредните прави A1D1 и B1C1 също са успоредни (Свойство 4); • средата М1 на В1С1 се проектира в средата М на ВС (Свойство 5). Едно свойство на ортогоналното проектиране се дава със следващата теорема, известна като теорема за трите перпендикуляра.
T
Нека правата а пресича равнината p, но не е перпендикулярна на p. Една права b от равнината p е перпендикулярна на а тогава и само тогава, когато b е перпендикулярна на ортогоналната проекция а1 на а върху p. Доказателство: a
Означаваме с a проектиращата равнина на правата а. Нека А ≡ О е точка от а, а А1 е нейната ортогонална проекция (А1 ∈ а1). От АА1 ⊥ p и b ⊂ π ⇒ АА1 ⊥ b. Необходимост: Нека b ⊥ а. Ще докажем, че b ⊥ а1. 1. От b ⊥ а и b ⊥ АА1 получаваме, че правата b е перпендикулярна на двете пресичащи се прави a и АА1 от равнината a (a ∩ АА1) ⇒ b ⊥ a. 2. От a1 ⊂ a и b ⊥ a ⇒ b ⊥ а1. Достатъчност: Нека b ⊥ а1. Ще докажем, че b ⊥ а. 1. От b ⊥ а1 и b ⊥ АА1 получаваме, че правата b е перпендикулярна на двете пресичащи се прави а1 и АА1 от равнината a (a1 ∩ АА1) ⇒ b ⊥ a. 2. От a ⊂ a и b ⊥ a ⇒ b ⊥ a.
Така доказахме, че ако а1 е проекцията на а върху p и b ⊂ π, то b ⊥ a ⇔ b ⊥ а1.
ЗАДАЧА 1
Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основа ABCD и връх М. Докажете, че диагоналът BD на основата е перпендикулярен на околния ръб АМ. Решение: 1. ABCD е квадрат и АС ∩ BD = О. BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ AO 2. AO е ортогонална проекция на АМ. От BD ⊥ AO и теоремата за трите перпендикуляра следва, че BD ⊥ AМ.
Към съдържанието
143
Разстояние от точка до равнина Нека a е равнина, а М е точка в пространството и М1 е нейната ортогонална проекция върху a. Отсечката ММ1 се нарича перпендикуляр от точката М към равнината a, а точката М1 – пета на перпендикуляра. Дължината на перпендикуляра се нарича разстояние от точката М до равнината a. Ъгъл между права и равнина
T
От всички ъгли, които една права сключва с правите от дадена равнина, най-малък е ъгълът, който тя образува с проекцията си върху равнината. Изказаната теорема ни дава основание за следното определение за ъгъл между права и равнина.
О
Ако права пробожда равнина и не е перпендикулярна на нея, ъгъл между тях се нарича острият ъгъл, който правата сключва с проекцията си върху равнината. Ако права не пробожда равнина, казваме, че те сключват ъгъл 0°. Ако права е перпендикулярна на равнина, казваме, че те сключват ъгъл 90°.
ЗАДАЧА 2
Проекцията на отсечката AB върху равнината a е А1В1. Правата АВ сключва остър ъгъл j с a. Докажете формулата А1В1 = AB.cos j. Решение: 1. Нека АА1 < ВВ1. В проектиращата равнина b построяваме права А1В2 | | АВ. b 2. А1В2ВА е успоредник ⇒ АВ = А1В2. 3. А1В1В2 (В1 = 90°) А1В1 = А1В2.cos j, т.е.
А1В1 = АВ.cos j.
Формулата А1В1 = AB.cos j е вярна и когато АВ | | a (j = 0°) и АВ ⊥ a (j = 90°). Перпендикуляр и наклонена Нека са дадени равнина a и точка М, нележаща на a. Ако М1 е проекцията на М върху a, отсечката ММ1 нарекохме перпендикуляр от М към a, а М1 – пета на перпендикуляра. Всяка отсечка, която съединява М с точка от равнината, различна от М1, се нарича наклонена. В сила е следната теорема:
T
144
Ако са дадени равнина и точка, нележаща на нея, от всички отсечки, съединяващи точката с различните точки от равнината: ММ1 < МА а) перпендикулярът е по-малък от всяка наклонена; ММ1 ⊥ a ⇒ ММ1 < МВ ММ1 < МС б) наклонени, които имат равни проекции, са равни; М1В = М1С ⇒ МВ = МС в) от две наклонени с неравни проекции по-голяма М1А < М1С ⇒ МА < МС е тази, която има по-голяма проекция.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Точка М, нележаща в равнината a на даден равнобедрен трапец АВCD, е на равни разстояния от върховете му. Докажете, че: • около трапеца може да се опише окръжност; • центърът на описаната около трапеца окръжност е петата О на перпендикуляра от М към a; • наклонените MA, MB, MC, MD сключват равни ъгли с a. Решение:
1. Построяваме МО ⊥ a. ⇒ AOM = BOM = COM = DOM = 90°
2. От MA = MB = MC = MD следва, че правоъгъл ните MAO, MBO, MCO, MDO са еднакви. 3. Oт (2) ⇒ ОA = ОB = ОC = ОD ⇒ около трапеца може да се опише окръжност с център точката О. MAO = MBO MCO = MDO 4. Oт (2) ⇒ = като съответни ъгли в еднакви триъгълници. ⇒ ( MA; α) = ( MB; α) = ( MC ; α) = ( MD; α)
ЗАДАЧА 4
През точка М, вън от равнината a, са прекарани наклонени МА и МВ с дължини съответно 15 cm и 13 cm. Ортогоналната проекция на МА върху a има дължина 9 cm. Намерете: а) дължината на ортогоналната проекция на ВМ върху a; б) косинуса на ъгъла между ВМ и a. а) 1. МО ⊥ a, MAO – правоъгълен (МОА = 90°) Решение: MO = MA2 − AO 2 = 152 − 92 = 225 − 81 MO = 144 = 12 cm 2. MВO – правоъгълен (МОВ = 90°) 2 2 2 2 BO = MB − MO = 13 − 12 = 5 cm б) 3. ( MB; α) = ( MB; OB) = MBO = β MBO ⇒ cos β = BO = 5 BM 13 Отг. а) 5 cm; б) cosβ = 5 13
ЗАДАЧИ
1. Д адена е отсечка АВ = 20 cm. Намерете дължината на ортогоналната ѝ проекция А1В1 върху дадена равнина, ако АА1 = 3 cm и ВВ1 = 15 cm. 2. Докажете, че всеки околен ръб на правилна триъгълна пирамида е перпендикулярен на кръстосания с него основен ръб на пирамидата. 3. Докажете, че при ортогоналното проектиране медицентърът на триъгълник се проектира в медицентъра на проекцията му. 4. Краищата на отсечка са на разстояния 10 cm и 4 cm от дадена равнина. Намерете разстоянието от средата на отсечката до равнината, ако отсечката пресича равнината.
Към съдържанието
5. Краищата на отсечка АВ са на разстоя ния съответно 4 cm и 8 cm от дадена равнина. Точка М лежи на отсечката и АМ : МВ = 1 : 3. Намерете разстоянието от М до равнината, ако отсечката не пресича равнината. 6. От върха С на квадрат ABCD е издигнат перпендикуляр към равнината на квадрата и СМ = АВ. Намерете ъглите, които отсечките МВ и МА сключват с равнината на квадрата. 7. От точка към равнина са построени перпендикуляр и две наклонени. Намерете дължината на перпендикуляра, ако: а) наклонените се отнасят както 3 : 4, а проекциите им са 9 cm и 16 cm; б) наклонените са 13 cm и 15 cm, а разликата на проекциите им е 4 cm.
145
47.
ВЗАИМНО ПОЛОЖЕНИЕ НА ДВЕ РАВНИНИ. ЪГЪЛ МЕЖДУ ДВЕ РАВНИНИ Успоредни равнини Ако две различни равнини имат една обща точка М, то те имат обща права.
О T
Ако две равнини нямат обща точка, те се наричат успоредни. Ако равнините a и b са успоредни, пишем a | | b. Едно достатъчно условие за успоредност на две равнини се дава със следната теорема-признак: Ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни. За успоредните равнини са изпълнени следните свойства. Свойство 1 М През точка М, нележаща на дадена равнина a, b минава единствена равнина b, успоредна на a. М ∉ α ⇒ съществува единствена равнина β, a М ∈ β и b | | a.
b
b
a
а g
Свойство 2 Пресечниците на равнина g с две успоредни равнини a и b са успоредни прави а и b. γ ∩ α = a γ ∩β = b ⇒ a b α β Свойство 3 Всички точки на едната от две успоредни равнини са на равни разстояния от другата. b | | a, A ∈ β, B ∈ β, C ∈ β, AA1 ⊥ α, BB1 ⊥ α, CC1 ⊥ α, A1 ∈ a, B1 ∈ a, C1 ∈ a ⇒ AA1 = BB1 = CC1
b a
Свойство 3 ни дава основание за следното определение:
О
Разстояние между две успоредни равнини се нарича разстоянието от произволна точка от едната равнина до другата равнина.
b
a p
b a
146
Свойство 4 Ако две равнини са перпендикулярни на една и съща права, то те са успоредни. α ⊥ p, β ⊥ p ⇒ a| | b Свойство 5 Ако права е перпендикулярна на едната от две успоредни равнини, то тя е перпендикулярна и на другата. α | | β, p ⊥ a ⇒ p ⊥ b
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Дадена е правилна триъгълна пирамида с връх М и основа АВС. Равнина a, успоредна на равнината на основата, пресича околните ръбове МА, МВ, МС съответно в точките MA1 MB1 MC1 = . А1, В1, С1. Докажете, че = MA MB MC 1. Равнината (АМВ) пресича успоредните равнини (АВС) и a = (А1В1С1) в двете успоредни прави АВ и А1В1 (Свойство 2). MA1 MB1 = 2. A1 B1M ∼ ABM ⇒ MA MB 3. Аналогично в равнината (ВСМ) имаме MB1 MC1 B1C1M ∼ BCM ⇒ = . MB MC MA1 MB1 MC1 = 4. Oт (2) и (3) ⇒ = . MA MB MC
Решение:
a
Двустенен ъгъл В равнината определихме ъгъла като фигура, образувана от два лъча с общо начало. Аналогично в пространството даваме следното определение:
О p
n m
О p
m
n n m
Двустенен ъгъл се нарича фигурата, образувана от две полуравнини с общ контур. • Полуравнините m и n се наричат стени на двустенния ъгъл. • Общият им контур p се нарича ръб на двустенния ъгъл. • Двустенния ъгъл със стени m и n бележим (m; n). Ако от произволна точка О на р издигнем перпендикуляри От и Оп съответно в стените m и n, получаваме (mOn). Раменете на този ъгъл са пресечници на m и n с равнината, която минава през О и е перпендикулярна на р.
О
Линеен ъгъл на двустенен ъгъл се нарича ъгълът, който се получава от пресичането на двустенния ъгъл с равнина, перпендикулярна на ръба му.
T
Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са равни.
О1 О2 p
О
n1
m1 m2
n2 n
Линейните ъгли (m1O1n1) и (m2O2n2) са равни като ъгли с взаимно еднопосочни (успоредни) рамене. За измерването на един двустенен ъгъл можем да използваме произволен негов линеен ъгъл.
m
Мярка на един двустенен ъгъл се нарича мярката на кой да е негов линеен ъгъл. Два двустенни ъгъла са равни, ако са равни линейните им ъгли. Един двустенен ъгъл се нарича прав, когато линейният му ъгъл е прав.
Към съдържанието
147
b a
p
n
m
m
n
Две пресичащи се равнини a и b определят четири двустенни ъгъла с общ ръб р. Ако р разделя a на полуравнини m иm, а b – на полуравнини n иn, четирите двустенни ъгъла са (m; n), (m;n), (m; n), (m;n). • Всяка двойка срещуположни двустенни ъгли са равни. • Всяка двойка съседни двустенни ъгли имат мерки, които се допълват до 180°.
О
Две пресичащи се равнини се наричат перпендикулярни, ако образуват равни двустенни ъгли. Казва се, че две перпендикулярни равнини образуват прав двустенен ъгъл.
О
Ъгъл между две пресичащи се равнини, които не са перпендикулярни, се нарича по-малкият от двустенните ъгли, образувани от равнините.
О
s m
ЗАДАЧА 2
n
Ъглополовяща на двустенен ъгъл (m; n) се нарича полуравнината s с контур ръбът на двустенния ъгъл, образуваща равни остри двустенни ъгли със стените му.
В триъгълна пирамида АВСМ ръбът МС е перпендикулярен на основата АВС и има дължина 4 cm. Ако МА = МВ = 10 cm и АВ = 12 cm, намерете ъгъла между (МАВ) и (САВ). Решение: 1. Oт МА = МВ ⇒ СА = СВ. 4
10 10
2. MАВ и САВ са равнобедрени с обща основа АВ. Точка Q е средата на АВ ⇒ CQ ⊥ AB и MQ ⊥ AB ⇒ (MAB; CAB) = (MQ; CQ) = MQC = y. 3. АВM (MA = MB) ⇒ MQ ⊥ AB = BQ = AB = 12 = 6 cm AQ 2 2 4. MQA (Q = 90°) MQ = MA2 − AQ 2 = 102 − 62 = 64 = 8 cm MC = 4 = 1 ⇒ ψ = 30° 5. MCQ (MCQ = 90°), sin ψ = MQ 8 2
ЗАДАЧА 3
В триъгълна пирамида АВСМ околният ръб МС е перпендикулярен на равнината (АВС) и има дължина 6 2 cm. Ако АВ = 6 cm, ВС = 7 cm и СА = 5 cm, намерете ъгъла между (МАВ) и (САВ). Решение: 1. В равнината (АВС) построяваме СQ ⊥ AB.
6 2
148
2. AB ⊥ СQ, СQ е ортогонална проекция на MQ. От теоремата за трите перпендикуляра ⇒ AB ⊥ MQ. ⇒ (MAB; CAB) = (MQ; CQ) = MQC = y
Към съдържанието
3. СQ е височина в АВС. За да намерим СQ, изразяваме SАВС по два начина. S ABC =
p ( p − a )( p − b)( p − c) = 9.3.2.4 = 6 6 cm 2
AB.CQ = 3.CQ , 3.CQ = 6 6 ⇒ CQ = 2 6 cm 2 4. MCQ (MCQ = 90°), tg ψ = MC = 6 2 = 3 = 3 ⇒ ψ = 60° CQ 2 6 3 = S ABC
Перпендикулярни равнини Две равнини са взаимно перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав двустенен ъгъл (α ⊥ b ⇔ (α; b) = 90°). Едно достатъчно условие за перпендикулярност между две равнини се дава със следната теорема:
T
Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, двете равнини са перпендикулярни.
ЗАДАЧА 4
Основата АВСD на четириъгълната пирамида ABCDM е правоъгълник със страни АВ = 5 3 cm и ВС = 5 cm. Околният ръб MD е перпендикулярен на основата и има дължина 5 cm. Намерете ъглите между околните стени и равнината на основата. 1. MD ⊥ (ABCD), равнината (MAD) минава през MD Решение: ⇒ (MAD) ⊥ (ABCD) ⇒ (MAD; ABCD) = 90°. 2. Аналогично (MDС) ⊥ (ABCD) ⇒ (MDС; ABCD) = 90°. 5 3. AB ⊥ AD (ABCD е правоъгълник) AD е ортогонална проекция на AM. От теоремата за трите перпендикуляра ⇒ AB ⊥ AM 5 ⇒ (MAB; ABCD) = (MA; AD) = MAD = y1. 4. MAD (ADM = 90°) 5 3 tg ψ1 = MD = 5 = 1 ⇒ ψ1 = 45° AD 5 5. Аналогично (MBС; ABCD) = (MС; СD) = MСD = y2. MDС (СDM = 90°) tg ψ 2 = MD = 5 = 3 ⇒ ψ 2 = 30° DC 5 3 3
ЗАДАЧИ
1. Намерете косинуса на двустенния ъгъл при основата на правилна четириъгълна пирамида, всички ръбове на която имат дължина 8 cm. 2. Намерете косинуса на двустенния ъгъл при основата на правилна триъгълна пирамида, всички ръбове на която са равни на 6 cm. 3. Основата АВС на триъгълна пирамида АВСМ е правоъгълен равнобедрен триъгълник с хипотенуза АВ = 10 cm. Околният ръб МС е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 5 3 cm. Намерете ъглите, които околните стени сключват с равнината на основата.
Към съдържанието
4. В триъгълна пирамида АВСМ ръбът СМ е перпендикулярен на равнината (АВС) и има дължина 6 2 cm. Ако АМ = ВМ = 13 cm и АВ = 10 cm, намерете ъгъла между (АВМ) и (АВС). 5. В триъгълна пирамида АВСМ ръбът СМ е перпендикулярен на равнината (АВС) и има дължина 3 3 cm. Ако АМ = ВМ = 10 cm и АВ = 16 cm, намерете ъгъла между (АВМ) и (АВС). 6. Дадена е триъгълна пирамида АВСМ, такава, че АВ = 16 cm, АС = ВС = 17 cm и АМ = ВМ. Ако AMВ = 90° и СМ = 13 cm, намерете ъгъла между (АВМ) и (АВС).
149
48.
ПРАВА ПРИЗМА Призма
Черт. 1
О
a)
б)
в)
Многостен, на който две от стените са еднакви n-ъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите му n стени са успоредници, се нарича призма. вата многоъгълника, които лежат в успоредните равнини, са наричат основи • Д на призмата, а останалите стени – околни стени на призмата. • Страните на основите се наричат основни ръбове, а останалите ръбове – околни ръбове на призмата. От определението за призма следва, че всички околни ръбове са равни и успоредни отсечки. Ще припомним, че призмата е: • права, ако околните ръбове са перпендикулярни на равнината на основата (черт. 1-а), б)); • правилна, ако е права и основата ѝ е правилен многоъгълник (черт. 1-б); • наклонена, ако околните ѝ ръбове не са перпендикулярни на равнината на основата (черт. 1-в). Диагонал на призма се нарича отсечка, съединяваща два върха на призмата, които не са от една и съща стена. Височина на призма се нарича всяка отсечка с краища в равнините на двете основи, перпендикулярна на тези равнини. Дължината на всяка височина е равна на разстоянието между равнините на двете основи. Повърхнина на права призма
О
• Л ице на околна повърхнина S на призма се нарича сборът от лицата на околните и˴ стени. ице на пълната повърхнина S1 на призма се нарича сборът от околната • Л повърхнина и лицата на двете основи. В сила са формулите S = P.h, S1 = S + 2 .B, където P и B са съответно периметърът и лицето на основата, а h – височината на призмата.
150
Към съдържанието
Обем на призма Обем на призма се намира по формулата V = B.h, където B е лицето на основата, а h – височината на призмата.
ЗАДАЧА 1
Страните на основата на права триъгълна призма са 7 dm, 8 dm и 9 dm, а повърхнината* ѝ е 264 5 dm2. Намерете околната повърхнина, височината и обема на призмата. Решение:
1. P = a + b + c P=7+8+9 P = 24 dm
2. B = p ( p − a )( p − b)( p − c)
3.
4.
S1 = S + 2 B 264 5 = S + 24 5 S = 240 5 dm 2
B = 12(12 − 7)(12 − 8)(12 − 9) = 12.5.4.3 =12 5 dm 2 S = P.h 240 5 = 24 . h h = 10 5 dm
5. V = B . h V = 12 5.10 5 V = 600 dm3
ЗАДАЧА 2
Правилна четириъгълна призма е с основен ръб 6 cm и обем 432 cm3. Намерете височината и повърхнината ѝ. Решение:
1. Основата е квадрат. B = b2 B = 62 B = 36 cm2
2. V = B . h 432 = 36. h h = 432 : 36 h = 12 cm
3. P = 4b P = 4.6 P = 24 cm
4. S = P . h S = 24.12 S = 288 cm2
5. S1 = S + 2B S1 = 288 + 2 . 36 S1 = 360 cm2
ЗАДАЧА 3
Правилна четириъгълна призма има височина 8 cm и повърхнина 210 cm2. Намерете обема на призмата. Решение: 1. Основата е квадрат. 2. S1 = P . h 2b2 P = 4.b 210 = 4b . 8 + 2b2 2 B=b b2 +16b – 105 = 0 b1 = 5 > 0, b2 = – 21 < 0 b = 5 cm 3. B = b2 B = 52 B = 25 cm2
4. V = B . h V = 25.8 V = 200 cm3
* Под „повърхнина“ ще разбираме лицето на пълната повърхнина.
Към съдържанието
151
ЗАДАЧА 4
Основата на права триъгълна призма е правоъгълен триъгълник с хипотенуза c и остър ъгъл a. Ако височината на призмата е h, намерете повърхнината и обема ѝ. Решение:
1. ABC (C = 90°) a = c sin α, b = c cos α P =a+b+c P = c sin α + c cos α + c P = (1 + sin α + cos α). c 2. S = P . h S = (1 + sin α + cos α). c. h
B = a.b 2 c.sin α. c.cos α B= 2 2 c B = sin α cos α 2
3. S1 = S + 2 B S1 = (1 + sin α + cos α). c. h + c 2 sin α cos α 4. V = B . h V=
c2 . h sin α cos α 2
Прав паралелепипед
О
О ЗАДАЧА 5
Прав паралелепипед – права призма, основите на която са успоредници. Свойства на правия паралелепипед • Срещуположните околни стени на правия паралелепипед са успоредни и еднакви правоъгълници. иагоналите на правия паралелепипед се пресичат в • Д една точка (разглеждат се последователно трите правоъгълника АCC1A1, A1BCD1 и BB1D1D и се доказва, че средата O на CA1 и AC1 e среда и на диагоналите DB1 и BD1). • Правият паралелепипед има шест диагонални сечения: АCC1A1, BDD1B1; АDC1B1 , A1DCB1; АB1C1D , A1BCD1. Всяка двойка диагонали определя диагонално сечение. Правоъгълен паралелепипед – прав паралелепипед с основа правоъгълник. Куб – правоъгълен паралелепипед, на който всички стени са квадрати. Да се докаже, че диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни и да се изрази дължината им чрез дължините на ръбовете му. Решение:
c
1. Основите АВCD и A1B1C1D1 са еднакви правоъгълници ⇒ АС = BD = A1C1 = B1D1. 2. BDD1B1 и ACC1A1 са еднакви правоъгълници ⇒ AC1 = A1C = BD1 = B1D = d. 3. ACC1 (ACC1 = 90°) ⇒ AC12 = AC 2 + CC12 ⇒ d 2 = AC 2 + c 2
4. ABC (ABC = 90°) ⇒ AC 2 = AB2 + BC 2 = a2 + b2 5. От (3) и (4) ⇒ d 2 = a2 + b2 + c2.
152
Към съдържанието
Ако ABCDA1B1C1D1 е куб с ръб a, то диагоналът му d = a 3.
ЗАДАЧА 6
Диагоналът на правоъгълен паралелепипед има дължина 6 и сключва с две негови съседни стени ъгли с мярка 30° и 45°. Да се намерят повърхнината и обема на паралелепипеда. 1. BD1 сключва: Решение: ъгъл 30° с равнината (ABB1А1) ⇒ D1BA1 = 30°; ъгъл 45° с равнината (BCC1B1) ⇒ D1BC1 = 45°. 2. BA1 D1 ( A1 = 90°)
A1 D1 = b, A1 D1 = BD1 sin 30° ⇒ b = 6 ⋅ 1 = 3 2 A1 B = x, A1 B = BD1 cos30° ⇒ x = 6 ⋅ 3 = 3 3 2 3. BC1 D1 ( C1 = 90°) C1 D1 = a, C1 D1 = BD1 sin 45° ⇒ a = 6 ⋅ 2 = 3 2 2 5. P = 2a + 2b 4. ABA1 ( A = 90°) 2 2 2 AB + AA1 = BA1 P = 2.3 2 + 2.3 a2 + c2 = x2 P=6 2 +6
(3 2 )
2
+ c2 = (3 3 ) c=3
2
P = 6 ( 2 + 1)
7. S = P. c
6. B = a.b
S = 18 ( 2 + 1)
B = 3 2 .3 B=9 2
9. V = B. h
8. S1 = S + 2 B
S1 = 18 ( 2 + 1) + 18 2 S1 = 18 ( 2 2 + 1)
ЗАДАЧИ
1. Н амерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна призма с основен ръб 4 cm и околен ръб 5 cm. 2. Намерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на правилна четириъгълна призма с основен ръб 6 cm и околен ръб 8 cm. 3. Намерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на правилна шестоъгълна призма с основен ръб 2 cm и околен ръб 7 cm. 4. В правилна триъгълна призма всички ръбове са равни. Лицето на околната ѝ повърхнина е 108 сm2. Намерете обема на призмата.
Към съдържанието
V = 9 2 .3 V = 27 2
5. Основните ръбове на права триъгълна призма са равни на 10 cm, 17 cm и 21 cm, а обемът ѝ е 1 512 cm3. Намерете околния ръб и повърхнината на призмата. 6. Страните на основата на права триъгълна призма са 25 dm, 29 dm и 36 dm, а повърхнината ѝ е 1 620 dm2. Намерете околната повърхнина и височината на призмата. 7. Намерете повърхнината и обема на правилна n-ъгълна призма с основен ръб b и височина h, ако: а) n = 3 (правилна триъгълна призма); б) n = 4 (правилна четириъгълна призма); в) n = 6 (правилна шестоъгълна призма).
153
49.
ПИРАМИДА Пирамида
Черт. 1
О
a)
б)
в)
Многостен, на който една от стените е многоъгълник, а останалите му стени са триъгълници с общ връх и основи страните на многоъгълника, се нарича пирамида. Височина на пирамидата се нарича отсечката, единият край на която съвпада с върха на пирамидата, а другият е ортогоналната му проекция върху равнината на основата. (На черт. 1 отсечката MM1 е височина.) Дължината на височината е равна на разстоянието от върха на пирамидата до равнината на основата ѝ. Правилна пирамида – пирамида, на която основата е правилен многоъгълник и ортогоналната проекция на върха ѝ е център на основата (черт. 1-a)). На черт. 1-а) пирамидата е правилна. На черт. 1-б), в) пирамидите не са правилни. За правилна пирамида имаме:
Черт. 2
• Центърът O на основата съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата, тъй като равните наклонени имат равни проекции. Тогава отсечката, която съединява върха на пирамидата с центъра на основата (центъра на вписаната и описаната окръжност), е височината на пирамидата. • Околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници. • Височината на коя да е околна стена на правилната пирамида, прекарана към съответния основен ръб, се нарича апотема на пирамидата. Апотемите са равни: МK = MK1 (черт. 2). Проекцията на апотемата върху основата е апотемата на основата.
• Околните ръбове образуват равни ъгли с равнината на основата. МАО = MBO, защото МАО ≅ MBO. • Двустенният ъгъл при основата е MKO, защото в двата равнобедрени триъгълника ABM и ABO отсечките МK и ОK са височини. • Околните стени образуват равни ъгли с равнината на основата. МKO = MK1O, защото МKO ≅ MK1O.
154
Към съдържанието
Обем и повърхнина на пирамида Лице на околната повърхнина S на пирамидата се нарича сборът от лицата на околните стени, а лице на повърхнината S1 – сборът от лицето на основата B и лицето на околната повърхнина S, т.е. S1 = S + B. Формула за обем: Обемът V на пирамида с лице на основата B и височина h се пресмята по формулата V = 1 ⋅ B. h . 3
ЗАДАЧА 1
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб b. Намерете повърхнината и обема на пирамидата, ако: а) околните ѝ ръбове сключват ъгъл ϕ с основата; б) околните ѝ стени сключват ъгъл ψ с основата. Решение: Във всяка правилна четириъгълна пирамида основата е квадрат. AO = R = b 2 2 OQ = r = b 2 ( MQ ⊥ BC , MQ = k ) 2 = B b= , P 4b
а) 1. AOM ( O = 90°)
б) 1. MOQ ( O = 90°) h = r tg ψ = b tg ψ 2 r = k cos ψ k= r = b cos ψ 2 cos ψ
h = R tg ϕ = b 2 tg ϕ 2 2. V = 1 B. h 3 1 V = b 2 ⋅ b 2 tg ϕ 3 2 V = 1 b3 2 tg ϕ 6 MOQ ( O = 90°) 3. 2 2 k = h 2 + r 2 = 2b tg 2 ϕ + b 4 4 k = b 2 tg 2 ϕ + 1 2
4. S =
P. k = 2b ⋅ b 2 tg 2 ϕ + 1 2 2
S = b 2 2 tg 2 ϕ + 1 5. S1 = S + B S1 = b 2 2 tg 2 ϕ + 1 + b 2
(
S1 = b 2 1 + 2 tg 2 ϕ + 1
Към съдържанието
2. V = 1 B. h 3 V = 1 b 2 ⋅ b tg ψ 3 2 3 b V = tg ψ 6 P. k 3. S = 2 S = 2b ⋅ b 2 cos ψ 2 S= b cos ψ
4. S1 = S + B
)
2 S1 = b + b 2 cos ψ
S1 =
b 2 (1 + cos ψ ) cos ψ
155
ЗАДАЧА 2
Правилна триъгълна пирамида има основен ръб b. Намерете повърхнината и обема на пирамидата, ако: а) околните ѝ ръбове сключват ъгъл ϕ с основата; б) околните ѝ стени сключват ъгъл ψ с основата. Решение: Във всяка правилна триъгълна пирамида основата е равностранен триъгълник. CO = R = b 3 3 OQ = r = b 3 6 ( MQ ⊥ AB, MQ = k ) 2 3 , P 3b = B b= 4
а) 1. COM ( O = 90°), h = R.tg ϕ = b 3 tg ϕ 3 2 b3 tg ϕ 2. V = 1 B. h = 1 ⋅ b 3 ⋅ b 3 tg ϕ = 3 3 4 3 12
3. MOQ ( O = 90°) k = h2 + r 2 =
3b 2 tg 2 ϕ 3b 2 + 9 36
k = b 3 4 tg 2 ϕ + 1 6 P . k 3b b 3 = ⋅ ⋅ 4 tg 2 ϕ + 1 4. S = 2 2 6 2 S = b 3 ⋅ 4 tg 2 ϕ + 1 4 b 2 3 ⋅ 4 tg 2 ϕ + 1 + b 2 3 5. S1 = S + B = 4 4 2 S1 = b 3 . 1 + 4 tg 2 ϕ + 1 4
(
ЗАДАЧА 3
)
б) 1. MOQ ( O = 90°) h = r tg ψ = b 3 tg ψ 6 r = k cos ψ ⇒ k = r = b 3 cos ψ 6 cos ψ 2
2. V = 1 B. h = 1 ⋅ b 3 ⋅ b 3 tg ψ 3 3 4 6 3 V = b tg ψ 24 3. S =
2 P. k 3b b 3 = ⋅ = b 3 2 2 6 cos ψ 4 cos ψ
4. S1 = S + B 2 2 S1 = b 3 + b 3 4 cos ψ 4 2 S1 = b 3 ⋅ (1 + cos ψ ) 4 cos ψ
Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб b. Намерете повърхнината и обема на пирамидата, ако: а) околните ѝ ръбове сключват ъгъл ϕ с основата ѝ; б) околните ѝ стени сключват ъгъл ψ с основата ѝ. Решение: Във всяка правилна шестоъгълна пирамида основата е правилен шестоъгълник. AO = R = b OQ = r = b 3 2 ( MQ ⊥ CD, MQ = k ) OQ = a – апотема на основата (a = r). P = 6b P. a 6b b 3 B= = ⋅ 2 2 2 2 B = 3b 3 2
156
Към съдържанието
а) 1. AOM ( O = 90°), h = R tg ϕ = b tg ϕ 2
2. V = 1 B. h = 1 ⋅ 3b 3 ⋅ b tg ϕ 3 3 2 3 V = b 3 ⋅ tg ϕ 2 2 2 3. MOQ ( O = 90°), k = h + r 2
k = b 2 tg 2 ϕ + 3b = b ⋅ 4 tg 2 ϕ + 3 4 2 P . k 6b b = ⋅ ⋅ 4 tg 2 ϕ + 3 2 2 2 2 b 3 S= ⋅ 4 tg 2 ϕ + 3 2
4. S =
5. S1 = S + B
2
2
S1 = 3b ⋅ 4 tg 2 ϕ + 3 + 3b 3 2 2 2 S1 = 3b ⋅ 4 tg 2 ϕ + 3 + 3 2
(
)
б) 1. MOQ ( O = 90°) h = r tg ψ = b 3 tg ψ 2 r = k cos ψ ⇒ k = r = b 3 cos ψ 2 cos ψ 2 2. V = 1 B. h = 1 ⋅ 3b 3 ⋅ b 3 tg ψ 3 3 2 2 3 V = 3b 3 tg ψ 4 2 P. k 6b b 3 3. S = = ⋅ = 3b 3 2 2 2 cos ψ 2 cos ψ
4. S1 = S + B 2 2 S1 = 3b 3 + 3b 3 2 2 cos ψ 2 S1 = 3b 3 ⋅ (1 + cos ψ ) 2 cos ψ
В условията на Задачи 1, 2 и 3 пирамидите са определени с един линеен елемент и ъгъл. Линейният елемент може да бъде основен ръб, околен ръб, апотема, височина, радиус на вписана и радиус на описана окръжност и др. Ъгълът може да бъде между околна стена и основа, околен ръб и основа, при върха на околна стена и др.
ЗАДАЧИ
1. За правилна четириъгълна пирамида докажете, че: 2 2 2 а) l 2 = k 2 + b ; k 2 = h 2 + b ; l 2 = h 2 + b ; 4 4 2 б) b = 2k cos ψ; b = 2l cos δ; b = l 2 cos ϕ;
3. В правилна триъгълна пирамида основният ръб е 6 cm, а околният ръб е 5 cm. Намерете повърхнината и обема на пирамидата.
в) k = l sin δ; h = l sin ϕ; h = k sin ψ, където b, k, l, h са съответно основният ръб, апотемата, околният ръб и височината на пирамидата, а ψ, ϕ и d са съответно ъгълът между околна стена и основа, околен ръб и основа и пресичащи се околен и основен ръб. 2. За правилна триъгълна пирамида докажете, че: а) b = 2l cos δ; b = 2 3 k cos ψ; b = l 3 cos ϕ;
5. В правилна шестоъгълна пирамида основният ръб е 5 cm, а околният ръб е 13 cm. Намерете височината и обема на пирамидата.
2 2 2 б) k 2 = b + h 2 ; l 2 = b + h 2 ; l 2 = b + k 2 ; 12 3 4 в) h = k sin ψ; h = l sin ϕ; k = l sin δ, където b, k, l, h са съответно основният ръб, апотемата, околният ръб и височината на пирамидата, а ψ, ϕ и d са съответно ъгълът между околна стена и основа, околен ръб и основа и пресичащи се околен ръб и основен ръб.
Към съдържанието
4. В правилна четириъгълна пирамида основният ръб е 6 cm, а околният ръб е 5 cm. Намерете повърхнината и обема на пирамидата.
6. Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида, на която повърхнината е 360 m2, а апотемата ѝ е 13 m. 7. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с височина h, ако околната ѝ стена сключва с равнината на основата ъгъл 60°. 8. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с основен ръб 6 cm, на която околните ръбове са перпендикулярни.
157
50.
ПИРАМИДА. УПРАЖНЕНИЕ
ЗАДАЧА 1
Основата ABCD на четириъгълната пирамида ABCDM e правоъгълник със страни AB = 8 cm и BC = 6 cm. Ако всички околни ръбове са равни на 13 cm, намерете повърхнината и обема на пирамидата. Решение:
1. Нека точката O е петата на височината на пирамидата. MAO ≅ MBO ≅ MCO ≅ MDO (по IV признак) ⇒ AO = BO = CO = DO = R (радиус на описаната около ABCD окръжност) ⇒ O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на правоъгълника ABCD. 2. ABC ( ABC = 90°) AC = 2 R = AB 2 + BC 2 = 82 + 62 = 10 AC = 10 cm, R = 5 cm 3. AOM ( ABC = 90°) h = MO = AM 2 − AO 2 = 132 − 52 = 12 4. V = 1 ⋅ B . h = 1 ⋅ 8.6.12 = 192 cm3 3 3 5. Околната повърхнина S е сбор от лицата на MAB, MBC, MCD и MAD. MAB ≅ MCD ( III признак) MBC ≅ MAD ( III признак)
k2
13
6. ABM ⇒ MQ1 = k1 = 132 − 42 = 3 17 cm AB.k1 8.3 17 S ABM = = = 12 17 cm 2 2 2 2 2 7. BCM ⇒ MQ2 = k2 = 13 − 3 = 4 10 cm
S BCM =
3
BC. k2 6 . 4 10 = = 12 10 cm 2 2 2
8. S = 2 S ABM + 2 S BCM S = 2.12 17 + 2.12 10 = 24 17 + 24 10 cm 2 9. S1 = S + B = 24 17 + 24 10 + 48
!
158
S1 = 24 ( 17 + 10 + 2 ) cm 2
Свойство 1: Всички околни ръбове на една пирамида са равни тогава и само тогава, когато около основата и˴ може да се опише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност. Свойство 2: За n-ъгълна пирамида са еквивалентни следните твърдения: • всички околни ръбове са равни; • всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата; • проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни; • всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината.
Към съдържанието
Свойство 2 следва от триъгълниците OA1M, OA2M, OA3M, ..., OAnM. Те имат общ катет ОМ = h и ще бъдат еднакви, ако: • имат равни хипотенузи (MA1 = MA2= MA3=... = MAn= l); • и другите им катети са равни (OA1 = OA2= OA3=... = OAn= R); • имат съответно равни остри ъгли. В сила е формулата h = R tg ϕ.
ЗАДАЧА 2
Основата ABC на триъгълната пирамида ABCM e правоъгълен триъгълник с катети AC =4 5 cm и BC =2 5 cm. Ако всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата и височината на пирамидата е 12 cm, намерете повърхнината и обема ѝ. Решение: 1. От Свойство 2 следва, че върхът M на пирамидата се проектира в точка O, която е център на описаната около ABC окръжност. 2. От ABC ( C = 90°) ⇒ точка O e средата на хипотенузата АВ. 3. V = 1 B. h = 1 ⋅ 4 5.2 5 ⋅ 12 = 80 cm3 , V = 80 cm3 3 3 2 5. AOM ( AOM = 90°) 4. ABC ( C = 90°) AM 2 = AO 2 + MO 2
AB 2 = AC 2 + BC 2
AB 2 = ( 4 5 ) + ( 2 5 ) AB = 10 cm R = AO = BO = 5 cm 2
2
l 2 = R 2 + h2 l = 52 + 122 l = 13 cm
6. Околната повърхнина S e сбор от лицата на MAB, MAC и MBC. O
В
AB. MO 10.12 = = 60 cm 2 2 2 AC. MQ1 8. S MAC = , MQ1 = 132 − (2 5 ) 2 = 149 2 S MAC = 4 5. 149 = 2 745 cm 2 2 2 CB.MQ2 , MQ2 = 132 − ( 5 ) = 164 = 2 41 9. S CBM = 2 S CBM = 2 5.2 41 = 2 205 cm 2 2 10. S = 60 + 2 745 + 2 205 cm 2 S MAB = 7.
11. S1 = S + B S1 = 60 + 2 745 + 2 205 + 20 S1 = 80 + 2 745 + 2 205 cm 2
Към съдържанието
159
ЗАДАЧА 3
Основата ABC на триъгълната пирамида ABCM e правоъгълен триъгълник с катети АC = 12 cm и BC = 9 cm Ако всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата и височината на пирамидата е 4 cm, намерете повърхнината и обема ѝ. Решение: 1. Нека точка O e петата на височината на пирамидата. 2. Построяваме OE ⊥ AC, OF ⊥ BC, OQ ⊥ AB ⇒ (MAС; ABC) = MEO = ψ (MBC; ABC) = MFO = ψ (MAB; ABC) = MQO = ψ. 3. MEO ≅ MFO ≅ MQO (II признак) ⇒ OE = OF = OQ = r (r – радиус на вписаната в ABC окръжност) ⇒ ME = MF = MQ = k (k – апотема на пирамидата) 4. ABC (ABC = 90°) c2 = a 2 + b2 c 2 = 92 + 122 c = 15 cm
!
r = a+b−c 2 r = 9 + 12 − 15 2 r = 3 cm
5. OFM (MOF = 90°) MF 2 = MO 2 + OF 2 k 2 = h2 + r 2 k 2 = 42 + 32 k = 5 cm
6. P = 9 + 12 + 15 = 36 cm B = 9.12 = 54 cm 2 2 P. k = S = 36.5 2 2 2 S = 90 cm
7. S1 = S + B S1 = 90 + 54 S1 = 144 cm 2
8. V =
B. h 3 54 V = .4 3 V = 72 cm3
Свойство 3: Всички околни стени на една пирамида сключват равни ъгли с основата и˴ тогава и само тогава, когато в основата и˴ може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност. Свойство 3 следва от теоремата, че в един многоъгълник може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато ъглополовящите на всичките му (вътрешни) ъгли се пресичат в една точка.
! 160
Свойство 4: За n-ъгълна пирамида са еквивалентни следните твърдения: • всички околни стени сключват равни ъгли с основата; • височините на всички околни стени са равни; • проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни; • всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата.
Към съдържанието
Свойство 4 следва от триъгълниците ОK1М, ОK2М, ..., ОKnМ. Те имат общ катет OM = h и ще бъдат еднакви, ако: • имат равни хипотенузи (MK1 = MK2 = ... = MKn); • и другите им катети са равни (OK1 = OK2 =... = OKn); • имат съответно равни остри ъгли. В сила е формулата h = r tg ψ.
ЗАДАЧА 4
Основата ABC на триъгълната пирамида ABCM e триъгълник със страни 5 cm, 6 cm и 9 cm. Ако всички околни стени сключват с основата равни ъгли и височината на пирамидата е 4 cm, намерете повърхнината и обема ѝ. Решение: 1. От Свойство 4 следва, че върхът M на пирамидата се проектира в точка О, която е център на вписаната в ABC окръжност. 2. OE ⊥ AC, OЕ = r, ME = k 3. Лицето на ABC намираме по Хероновата формула. B = p ( p − a )( p − b)( p − c) p = a+b+c 2 B = 10.5.4.1 p = 5 + 6 + 9 = 10 2 B = 10 2 cm 2 4. От B = p.r намираме r. 10 2 = 10.r r = 2 cm B.h 3 V = 10 2 .4 3 V = 40 2 cm3 3
5. V =
6. В MEO (O = 90°) намираме ME = k. k 2 = h2 + r 2 k 2 = 42 + ( 2 ) k 2 = 18
2
k = 3 2 cm P. k 2 20 S = .3 2 2 S = 30 2 cm 2
7. S =
Към съдържанието
8. S1 = S + B S1 = 30 2 + 10 2 S1 = 40 2 cm 2
161
ЗАДАЧА 5
Основата на пирамида е ромб със страна a и остър ъгъл a. Околните стени на пирамидата сключват с основата ѝ ъгли, равни на b. Намерете обема на пирамидата. Решение: 1. От Свойство 4 следва, че върхът М на пирамидата се проектира в точка O, която е център на вписаната в ромба окръжност AC ∩ BD = O. hромб OQ ⊥ AB, OQ = r = 2 2. ADD1 (D1 = 90°), DD1 = hромб DD1 = AD sin a hромб = а sin a hромб asin a r= = 2 2 3. MOQ (O = 90°), MO = h, MQO = b MO = OQ tg b h = r tg β = a ⋅ sin α tg β 2 4. B = ahромб = a2 sin a B.h 1 2 = a sin α ⋅ a ⋅ sin α tg β 3 3 2 3 V = a sin 2 α tg β 6
5. V =
ЗАДАЧА 6
162
Основата на пирамида е равнобедрен трапец с остър ъгъл a и бедро c. Околните стени на пирамидата сключват с основата ѝ ъгли, равни на b. Намерете обема на пирамидата. Решение: 1. От Свойство 4 следва, че върхът М на пирамидата се проектира в точка O, която е център на вписаната в трапеца ABCD окръжност. 1 OQ ⊥ AB, OQ = r = hтрапец 2 2. ABCD, DD1 ⊥ AB, DD1 = hтрапец a + b = AB + CD = BC + AD = с + с = 2c a+b =c 2 3. ADD1 (D1 = 90°) DD1 = AD sin a, hтрапец = c sin a ⇒ r = csin α 2 4. MOQ (O = 90°) MQO = b, MO = OQ tg b c h = r tg β = 2 sin α tg β 5. B = a + b . hтрапец = c. c. sin a = c2 sin a 2 B.h 1 2 6. V = = c sin α ⋅ c ⋅ sin α tg β 3 3 2 3 2 c V = sin α tg β 6
Към съдържанието
ЗАДАЧА 7
Пирамидата ABCM има за основа ABC със страни АB = 6 cm, BC = 5 cm и AC = 7 cm. Околните стени (MCB) и (MCA) са перпендикулярни на основата. Ако височината на пирамидата е 5 cm, намерете повърхнината и обема ѝ. Решение: 1. Тъй като околните стени (MCB) и (MCA) са перпендикулярни на основата, тяхната пресечница CM е височина на пирамидата. ⇒ h = CM = 5 cm 5+6+7 =9 2. p = 2 B=
p ( p − a )( p − b)( p − c)
B = 9.3.4.2 B = 6 6 cm 2
ЗАДАЧИ
B.h 3 V = 6 6 .5 3 V =10 6 cm3
3. V =
4. Построяваме CQ ⊥ AB. Съгласно теоремата за трите перпендикуляра MQ ⊥ AB. AB.CQ B= 2 6.CQ =6 6 2 CQ = 2 6 cm
5. MCQ ( C = 90°)
6. S = S MCA + S MCB + S MAB S = 7.5 + 5.5 + 6.7 = 51 cm 2 2 2 2
7. S1 = S + B S1 = 51 + 6 6 cm 2
1. О бемът на правилна чeтириъгълна пирамида е V = 3 072 cm3, а височината ѝ h и основният ѝ ръб b се отнасят както 2 : 3. Намерете височината на пирамидата.
5. Основата на пирамида е ромб със страна a = 15 cm. Околната ѝ повърхнина е S = 400 cm2. Всяка околна стена на пирамидата сключва с основата ъгъл 45°. Намерете обема на пирамидата. 6. Основата на пирамида е триъгълник със страни 13 cm, 14 cm и 15 cm. Двустенните ъгли при основата са равни на 45°. Намерете обема на пирамида. 7. Основата на пирамида е равнобедрен трапец с остър ъгъл a и височина h. Околните стени на пирамидата сключват с основата ѝ ъгли, равни на b. Намерете обема на пирамидата. 8. Основата на пирамида е правоъгълник с лице B = 9 cm2. Две околни стени на пирамидата са перпендикулярни към основата, а другите две са наклонени към нея под ъгли 30° и 60°. Намерете обема на пирамидата.
2. Намерете обема на пирамида с основа равнобедрен триъгълник, на който страните са 12 cm, 12 cm, 16 cm и всички околни ръбове са равни на 18 cm. 3. Основата на пирамида e правоъгълник с лице 36 3 cm 2 и ъгъл между диагоналите 60°. Всичките околни ръбове на пирамидата сключват с основата ѝ ъгъл 45°. Намерете обема на пирамидата. 4. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро b и ъгъл a при върха. Всички околни ръбове сключват с равнината на основата ъгъл b. Намерете обема на пирамидата.
Към съдържанието
MQ = MC 2 + CQ 2 MQ = 52 + ( 2 6 )
2
MQ = 25 + 24 MQ = 49 MQ = 7 cm
163
51.
ПРАВ КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР Прав кръгов цилиндър
О
Нека α и b са успоредни равнини, а k (O; r) и k1 (O1; r) са два еднакви кръга, лежащи съответно в α и b, и правата OO1 е перпендикулярна на a и b. Ако М е точка от кръга k, а М1 – точката от кръга k1, за която ММ1 || OO1, то множеството от всички точки върху всички отсечки ММ1 се нарича прав кръгов цилиндър. Черт. 1
Ще разглеждаме само прави кръгови цилиндри и за по-кратко вместо прав кръгов цилиндър ще казваме само цилиндър. Елементи на цилиндър: • основи на цилиндъра се наричат кръговете k и k1; • ос на цилиндъра се нарича отсечката (правата) OO1; • радиус на цилиндъра се нарича радиусът r на основите; • височина на цилиндъра е разстоянието между α и b (ОО1 = h);
• образувателна (образуваща) на цилиндъра Ако c и c1 са окръжностите на кръговете k и k1 и ако X ∈ c, X1 ∈ c1 и XX1 || OO1, отсечката XX1 се нарича образуваща на цилиндъра (отбелязва се с l); • осно сечение на цилиндъра Осно сечение на цилиндъра е равнина, минаваща през оста му. На черт. 1 ABCD е осно сечение. Всяко осно сечение на цилиндъра е правоъгълник със страни, равни на диаметъра на основата и образуващата на цилиндъра. Ако XX1 е коя да е образуваща, цилиндърът може да се разглежда като тяло, получено от въртенето на правоъгълника OXX1O1 около оста ОО1. Казваме, че цилиндърът е ротационно тяло с ос на въртене ОО1. Повърхнина на прав кръгов цилиндър
О
Множеството от точките на всички образуващи на прав кръгов цилиндър се нарича околна повърхнина (S) на цилиндъра. Черт. 2
164
Ако разрежем околната повърхнина на цилиндъра по коя да е от образуващите и я разгънем в равнина, ще получим правоъгълник с измерения дължина h на образуващата и дължина P на окръжността на основата. Този правоъгълник се нарича развивка на околната повърхнина на цилиндъра (черт. 2). Лицето на околната повърхнина на цилиндъра съвпада с лицето на този правоъгълник и е S = P . h.
Към съдържанието
О
Обединението на околната повърхнина на кръгов цилиндър и двете му основи се нарича пълна повърхнина (повърхнина) (S1) на цилиндъра. Ако към лицето на околната повърхнина S прибавим лицата на двата кръга (всеки с лице B), получаваме лицето S1 на повърхнината на цилиндъра: S1 = S + 2B. Формулите S = Ph и S1 = S + 2B са едни и същи за права призма и прав кръгов цилиндър. Ще припомним, че дължината P на окръжност с радиус r се намира по формулата P = 2pr, а лицето B на кръг с радиус r – по формулата B = pr2. За прав кръгов цилиндър с радиус на основата r и височината h: • лицето на околната повърхнина е S = Ph, S = 2prh; • лицето на пълната повърхнина е S1 = S + 2B, S1 = 2prh + 2pr2 = 2pr (h + r). Обем на прав кръгов цилиндър Обемът на прав кръгов цилиндър е V = Bh, където B е лицето на основата на цилиндъра, а h – височината му. По същата формула намираме и обема на права призма. Обемът на прав кръгов цилиндър с радиус на основата r и височина h e V = Bh, V = pr2. h.
ЗАДАЧА 1
Прав кръгов цилиндър има повърхнина 48p cm2 и височина 5 cm. Намерете околната повърхнина и обема му. Решение: 1. S1 = S + 2B 48p = 2prh + 2pr 2 | : 2p 24 = rh + r 2 r 2 + 5r – 24 = 0 ⇒ r1 = 3 – да, r2 = – 8 – не 2. S = 2prh S = 2p.3.5 S = 30p cm2 3. V = pr 2h V = p.32.5 V = 45p cm3
ЗАДАЧА 2
Диагоналът на осното сечение на прав кръгов цилиндър е 6 cm и сключва с основата на цилиндъра ъгъл a. Намерете околната повърхнина и обема на цилиндъра. Решение: 1. Проекцията на диагонала AC на сечението върху основата на цилиндъра е страната AB = 2r на сечението ⇒ CAB = a. 2. ABC (B = 90°) BC = AC sin a ⇒ h = 6 sin a AB = AC cos a ⇒ 2r = 6 cos a ⇒ r = 3 cos a 3. S = 2prh S = 2p.3.cos a.6 sin a S = 36p sin a cos a cm2 4. V = pr2h V = p (3 cos a)2.6 sin a V = 54p sin a cos2 a cm3
Към съдържанието
165
ЗАДАЧА 3
Правоъгълникът ABCD има диагонал АC = d и CAB = a. Намерете S1 и V на тялото, получено при пълното завъртане на правоъгълника около права, която минава през: а) BC; б) АB. Решение: ABC (B = 90°) BC = AC sin a BC = d sin a AD = d sin a а)
б)
1. Получава се цилиндър с r = AB = d cos a и h = BC= d sin a.
1. Получава се цилиндър с r = AD = d sin a и h = AB = d cos a.
2. S = 2prh
2. S = 2prh
S = 2p d cos a d sin a S = 2pd 2 sin a cos a
S = 2p d sin a d cos a S = 2pd 2 sin a cos a
3. S1 = S + 2B S1 = 2pd 2 sin a cos a + 2pd 2 cos2 a S1 = 2pd 2 cos a (sin a + cos a)
3. S1 = S + 2B S1 = 2pd 2 sin a cos a + 2pd 2 sin2 a S1 = 2pd 2 sin a (cos a + sin a)
4. V = B.h
4. V = B.h
ЗАДАЧА 4
AB = AC cos a AB = d cos a
V = pr 2h V = p d 2 cos2 a. d sin a V = p d 3 sin a. cos2 a
V = pr 2h V = pd 2 sin2 a. d cos a V = pd 3 sin2 a. cos a
В цилиндър е вписан куб, като две срещуположни стени на куба лежат в основите на цилиндъра. Намерете отношението на обемите на цилиндъра и куба. Решение:
1. Основата на куба е квадрат, вписан в основата на цилиндъра. Страната a на квадрата е равна на височината h на цилиндъра, h = a. 2. ABC (B = 90°), AC = 2r 2 2 2 a + a = ( 2r ) ⇒ a = r 2 2 2 3 3. Vцилиндър = πr h = πr .r 2 = πr 2 3 r 2 )3 2r 3 2 4. V куб= = a (=
5.
166
Vциилндър V куб
=
πr 3 2 = π 2r 3 2 2
Към съдържанието
ЗАДАЧА 5
В цилиндър е вписана правилна триъгълна призма. Намерете отношението на околните повърхнини на цилиндъра и призмата. 1. Основата на призмата е равностранен Решение: триъгълник, вписан в основата на цилиндъра. Призмата и цилиндъра имат равни височини h. 2. ABC – равностранен със страна a R – радиус на цилиндъра
R= a 3 ⇒a=R 3 3 3. Sцилиндър = 2pRh 4. S призма = P . h = 3а.h = 3R 3h 5.
ЗАДАЧИ
1. Радиусът на основата на цилиндър е 5 cm, а периметърът на осното му сечение е 36 cm. Намерете височината, повърхнината и обема на цилиндъра. 2. Околната повърхнина на цилиндър е 18,84 m2, а пълната му повърхнина е 25,12 m2. Намерете радиуса и височината на цилиндъра (p ≈ 3,14). 3. Околната повърхнина (в cm2) и обемът (в cm3) на цилиндър се изразяват с едно и също число. Намерете диаметъра на цилиндъра.
Sцилиндър S призма
=
2πRh = 2π = 2 3π 9 3R 3h 3 3
а лицето на пълната повърхнина е 144p cm2. Намерете радиуса на основата и височината на цилиндъра. 9. Околната повърхнина на цилиндър е S, а дължината на окръжността на основата е Р. Намерете обема на цилиндъра. 10. В цилиндър е вписана правилна шестоъгълна призма. Намерете отношението на околните повърхнини на цилиндъра и призмата.
4. Каква височина трябва да има цилиндър, така че околната му повърхнина да е 3 пъти по-голяма от лицето на основата?
11. Л ицето на осното сечение на прав кръгов цилиндър е равно на Q, а диа гоналът на това сечение сключва с основата на цилиндъра ъгъл a. Намерете пълната повърхнина и обема на цилиндъра.
5. Радиусът на основата на цилиндър е r = 2 cm, а височината му е h = 7 cm. Намерете радиуса на кръг, равнолицев с пълната повърхнина на този цилиндър.
12. Д ва цилиндъра имат равни обеми. Докажете, че околните им повърхнини се отнасят обратнопропорционално на радиусите им.
6. Радиусът на цилиндър е 50 cm, а развивката на околната му повърхнина е квадрат. Намерете обема на цилиндъра.
13. Сборът от радиуса и височината на прав кръгов цилиндър е 18 cm, а околната му повърхнина е 144 p cm2. Намерете радиуса и височината на цилиндъра.
7. Лицето на основата на цилиндър се отнася към лицето на осното му сечение както p : 4. Намерете ъгъла между диагоналите на осното сечение. 8. Височината на цилиндър е с 10 cm по-голяма от радиуса на основата,
Към съдържанието
14. П равоъгълник със страни 8 cm и 10 cm е завъртян около едната си страна. Намерете повърхнината и обема на полученото тяло.
167
52.
ПРАВ КРЪГОВ КОНУС Прав кръгов конус
О
Нека k (O; r) е кръг, лежащ в равнината α, а Q е точка, вън от равнината a. Правата m, която минава през центъра O и точката Q, е перпендикулярна на a. Ако М е произволна точка от кръга, множеството от всички точки върху всички отсечки QM се нарича прав кръгов конус. Ще разглеждаме само прави кръгови конуси и за по-кратко вместо прав кръгов конус ще казваме само конус. Елементи на конус: • връх на конус се нарича точка Q; • основа на конус се нарича кръгът k; • радиус на конуса се нарича радиусът r на кръга; • ос на конуса – отсечката (правата) OQ; • височина на конуса се нарича разстоянието от Q до a (QO = h);
Черт. 1
• образувателна (образуваща) на конуса: Ако с е окръжността на основата и X e точка от с, отсечката QX се нарича образуваща на конуса (отбелязва се с l); • осно сечение на конуса – сечението на кръгов конус с равнина през оста му. На черт. 1 е показано осното сечение XYQ. Всяко осно сечение на конус е равнобедрен триъгълник с основа, равна на диаметъра на основата на конуса, и бедро, равно на образуващата на конуса; • успоредно сечение на конуса – сечението на кръгов конус е равнина, която е успоредна на равнината a на основата му. Всички успоредни сечения са кръгове. Ако QX е коя да е образуваща, конусът може да се разглежда като тяло, получено от въртенето на правоъгълния OXQ около катета му OQ (черт. 2). Казваме, че конусът е ротационно тяло с ос на въртене OQ. Повърхнина на прав кръгов конус
О
Множеството от точките на всички образуващи на кръгов конус се нарича околна повърхнина (S) на конуса.
Черт. 2
168
Черт. 3
Ако разрежем околната повърхнина на конуса по коя да е образуваща и я разгънем в равнина, ще получим кръгов изрез (черт. 3). Този кръгов изрез (сектор) има: • радиус, равен на образуващата l на конуса, • дължина на дъгата, равна на дължината 2pr на окръжността на основата, и се нарича развивка на околната повърхнина на конуса.
Към съдържанието
Лицето на околната повърхнина на конуса съвпада с лицето на този кръгов сектор и е S = 1 ⋅ 2πr.l = πrl , S = prl. 2
О
Обединението на околната повърхнина на кръгов конус и основата на конуса се нарича пълна повърхнина (повърхнина) (S1) на конуса. Лицето на основата е B = pr2. Лицето на пълната повърхнина на конуса е S1 = S + B, S1 = prl + pr2 = pr (l + r). Обем на прав кръгов конус
Обемът на прав кръгов конус е V = 1 B.h, където B е лицето на основата на конуса, а 3 h – височината му. По същата формула намирахме и обема на пирамида. Обемът на прав кръгов конус с радиус на основата r и височина h е V = 1 B.h, V = 1 πr 2 .h . 3 3
ЗАДАЧА 1
Триъгълник със страни 10 cm, 17 cm и 21 cm се върти около най-голямата си страна. Намерете повърхнината и обема на полученото тяло. Решение: 1. При въртенето на ABC около страната му AB се получават два конуса с обща основа. Радиусът на общата им основа e височината CD в ABC. За да намерим CD, изразяваме лицата на ABC по два начина. p = 10 + 17 + 21 = 24 2 B = AB.CD B = p ( p − a )( p − b)( p − c) 2 B = 24.14.7.3 = 8.3.2.7.7.3 21 84 = .CD 2 B = 4.7.3 8 cm CD = B = 84 cm 2 2. Повърхнината на полученото тяло е сбор от околните повърхнини на двата конуса. Sтяло = pr CB + pr CA Sтяло = pr (CB + CA) Sтяло = p.8 (10 + 17) Sтяло = 27.8p Sтяло = 216p cm2 3. Обемът на полученото тяло е сбор от обемите на двата конуса. Vтяло = 1 πr 2 .BD + 1 πr 2 . AD 3 3 2 1 Vтяло = πr ( BD + AD) 3 1 Vтяло = πr 2 . AB 3 1 Vтяло = π.82.21 3 448 = π cm3 Vтяло
169 Към съдържанието
ЗАДАЧА 2
Правоъгълният ABC (C = 90°) има хипотенуза AB = с и CAB = α. Намерете S1 и V на тялото, получено при пълното завъртане на триъгълника около права, която минава през: а) BC; б) точка A и е перпендикулярна на АC; в) точка и е успоредна на АВ. Решение:
От ABC (C = 90°) намираме a = BC = AB sin a = c sin a ⇒ a = c sin a b = AC = AB cos a = c cos a ⇒ b = c cos a. От ACD (D = 90°) намираме hc = CD = AC sin a = c cos a sin a ⇒ hc = c sin a cos a.
a) Полученото тяло е конус с r = b = c cos a, h = a = c sin a, l = c. 1. S1 = πr (r + l ) S1 = πc cos α(c cos α + c) S1 = πc 2 cos α(cos α + 1)
2. V = 1 πr 2 h 3 1 V = πc 2 cos 2 α c sin α 3 1 V = πc3 sin α cos 2 α 3
б) П олученото тяло е цилиндър с издълбан в него конус. Цилиндърът и конусът имат радиус r = AC = b = c cos a и височина h = BC = a = c sin a. Конусът има образуваща l = AB = c. 1. Sтяло = S ок. цил + S ок. конус + B Sтяло = 2πrh + πrl + πr 2 = πr (2h + l + r ) Sтяло = πc cos α(2c sin α + c + c cos α) 2 Sтяло = πc cos α(2 siin α + cos α +1) 2. Vтяло = Vцил – Vконус
Vтяло = πr 2 h − 1 πr 2 h = 2 πr 2 h 3 3 2 2 2 Vтяло = 3 πc cos α.c sin α 3 2 Vтяло = 2 πc cos α.sin α 3
в) П олученото тяло е цилиндър с два издълбани конуса. Трите тела имат радиус r = hc = c sin a cos a. 1. Sтяло = Sок. цил + Sок. конус 1 + Sок. конус 2 Sтяло = 2πrc + πra + πrb Sтяло = πr ( 2c + a + b ) Sтяло = πc sin α cos α(2c + c sin α + c cos α) 2 Sтяло = πc sin α cos α(2 + sin α + cos α) 2. Vтяло = Vцил – (Vконус 1 + Vконус 2) 2 πr 2 BD + πr 2 AD Vтяло = πr c − 3 3 2 2 2 π r c 2 = πr c = 2 πc 2 sin 2 α cos 2 α.c Vтяло = πr c − 3 3 3 3 2 2 2 Vтяло = πc sin α.cos α 3
(
170
)
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Прав кръгов конус има повърхнина 96p cm2 и образуваща 10 cm. Намерете околната повърхнина и обема на конуса. Решение: 1. S1 = prl + pr2 pr2 + pr10 = 96p |: p r 2 + 10r – 96 = 0, r1 = 6 – да, r2 = – 16 – не 2. S = πrl = π.6.10 S = 60π cm 2 3. AOQ ( O = 90°) h = l 2 − r 2 = 102 − 62 = 8 cm 2 4. V = πr h = π.36.8 3 3 V = 96 π cm3
ЗАДАЧИ
1. При приетите означения за конус са дадени: а) l = 10, h = 8. Намерете S. б) l = 8, (l, r) = 60°. Намерете S. в) r = 2, h = 4. Намерете S1. г) S = 14p, l = 7. Намерете h. 2. Образуващата на конус е l и сключва с равнината на основата ъгъл 30°. Намерете обема на конуса. 3. Намерете околната повърхнина на конус, на който отношението на образуващата и радиуса на основата е 5 : 3, а лицето на основата е 108 cm2. 4. Периметърът на осното сечение на конус е 70 cm, а околната му повърхнина е 942 cm2. Намерете радиуса на основата му. 5. Намерете радиуса на равностранен конус (l = 2r), ако пълната му повърхнина е 115,5 cm2. 6. Лицето на основата на конус е 1 386 dm2, а лицето на осното му сечение е 420 dm2. Намерете обема на конуса. 7. Ъгълът при върха на осното сечение на конус е ϕ. Намерете околната повърхнина и обема на конуса, ако радиусът му е r. 8. Осното сечение на конус е равностранен триъгълник с лице Q. Намерете обема на конуса. 9. Осното сечение на конус е правоъгълен равнобедрен триъгълник с лице 9 m2. Намерете обема на конуса. 10. Р авнобедрен триъгълник се върти около височината към основата си. На-
Към съдържанието
мерете страните на този триъгълник, ако периметърът му е 30 cm, а повърхнината на полученото ротационно тяло е 60p cm2. 11. Намерете обема и повърхнината на тяло, образувано при въртенето на равнобедрен триъгълник около едното му бедро, ако основата на триъгълника е 30 cm, а бедрото е 25 cm. 12. Радиусът на основата на равностранен конус (осното сечение е равностранен триъгълник) e r. Намерете лицето на сечението, прекарано през две образуващи, ъгълът между които е 30° 13. Намерете лицето на повърхнината, получена при въртенето на хорда на окръжност около диаметър, излизащ от края на хордата, ако диаметърът е 25 cm, а хордата е 20 cm. 14. Отношението на лицето на основата на конус и лицето на осното му сечение е равно на p. Намерете ъгъла на наклона на образуващата към основата. 15. Сборът от дължините на образуващата и радиуса на основата на конус е a, а големината на ъгъла при върха на осното му сечение е a. Намерете лицето на повърхнината на конуса. 16. Правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30° и височина h към хипотенузата се върти около права, която минава през върха на правия ъгъл и е успоредна на хипотенузата. Намерете обема на полученото ротационно тяло.
171
53.
СФЕРА И КЪЛБО Сфера
О
Множеството от точките в пространството, които се намират на дадено разстояние R от дадена точка O, се нарича сфера. Елементи на сфера: • център на сферата – точката O; • радиус на сферата – OA = OX = OY = R; • хорда на сферата – отсечка, която свързва две точки от сферата (например AB); • диаметър на сферата – хорда, която минава през центъра на сферата (например XY); • голяма окръжност на сферата – c (O; R), пресечната линия на сферата с равнина, минаваща през центъра ѝ; • точка от сферата – A, OA = R; • вътрешна точка за сферата – М, OM < R; • външна точка за сферата – N, ON > R. ферата е ротационна повърхнина, която се получава от С въртенето на полуокръжност около диаметъра ѝ. Лицето S на сфера с радиус R e S = 4pR2.
Кълбо
О
Множеството от точките на сфера и вътрешните и˴ точки се нарича кълбо. Елементи на кълбото: • център на кълбото – центърът O на сферата; • радиус на кълбото – радиусът R на сферата; • голям кръг на кълбото – сечението на кълбо с равнина, минаваща през центъра му.
Кълбото е ротационно тяло, което се получава при въртене на полукръг около диаметъра му. Обемът V на кълбо с радиус R e V = 4 πR 3 . 3
172 Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Намерете лицето на повърхнината на сфера, ако дължината на голямата окръжност на сферата е 8p cm2. Решение: 2. S = 4pR2 S = 4p42 S = 64p cm2
1. P = 2pR 8p = 2pR R = 4 cm
ЗАДАЧА 2
В квадрат ABCD е вписана окръжност и получената фигура се върти около правата, минаваща през средите на AB и CD. Докажете, че лицето на околната повърхнина на получения цилиндър е равно на лицето на повърхнината на сферата. Решение: 1. Ако страната на квадрата е AB = a, цилиндърът е с височина AD = h = a и радиус= r AM = a ,а 2 сферата има радиус= R OM = a. 2 2 2 a = 4π a 2 = πa 2 3. S 2. Sцил. = 2prh сф. = 4πR = 4π 2 4 2 2 a = 4π a 2 = πa 2 2 a S = 4 π R = 4 π Sцил. = 2π ⋅ a = πa сф. 2 4 2 2 2 2 2 a a 2 a = 4πSсф. = πa = 2π Sцил. ⋅ a = πa = 4πR = 4π 2 4 2 4. От (2) и (3) ⇒ Sцил. = Sсф.
()
ЗАДАЧА 3
()
()
Сферата е вписана в конус с образуваща l, която сключва с основата на конуса ъгъл 2a. Намерете лицето на сферата. Решение:
1. Конусът има образуваща MA = l и радиус OB = r. OBM (O = 90°) OB = BM cos 2a r = l cos 2a 2. Сферата има център O1 и радиус O1O = R. O1 – център на вписаната в ABM окръжност BO1 – ъглополовяща на OBM O1OB (O = 90°) OBO1 = a O1O = OB tg a R = r tg a R = l cos 2a tg a 3. Sсф. = 4pR2
Към съдържанието
Sсф. = 4p(l cos 2a tg a)2 Sсф. = 4pl 2 cos2 2a tg2 a
173
ЗАДАЧА 4
Радиусите на три кълба се отнасят както 3: 2 : 1. Докажете, че сборът от обемите на двете по-малки кълба е 3 пъти по-малък от обема на голямото кълбо. Решение:
1. От R3 : R2 : R1 = 3: 2: 1 ⇒ R3 = 3k, R2 = 2k, R1 = 1k. 4 pR 3 3 1 4 V1 = pk3 3
4 pR 3 3 2 4 V2 = p (2k)3 3 V2 = 32 pk3 3
2. V1 =
3. V2 =
4. V1 + V2 = 4 pk3 + 32 pk3 3 3 V1 + V2 = 12pk3 4 pR 3 3 3 4 V3 = p(3k)3 3 V3 = 36pk3
5. V3 =
6. От (4) и (5) ⇒ V3 = 3(V1 + V2).
ЗАДАЧА 5
Около кълбо е описана правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 12 cm и височина 8 cm. Намерете повърхнината и обема на кълбото. Решение:
1. AB = NQ = 12 cm, MO = 8 cm В MOQ (O = 90°) NQ OQ = = 6 cm 2 MQ = MO 2 + OQ 2 MQ = 64 + 36 = 10 cm. 2. O1 – център на кълбото, O1O = Rкълбо O1 – център на вписаната в NQM окръжност 3. За MOQ прилагаме свойство на ъглополовящата QO1.
O1O MO1 = OQ MQ
R = 8 − R ⇒ 10R = 48 – 6R 6 10 16R = 48 ⇒ R = 3 cm
4. Sкълбо = 4pR 2 Sкълбо = 4p.32 Sкълбо = 36p cm2
174
4 pR 3 3 4 Vкълбо = p.33 3 Vкълбо = 36p cm3
5. Vкълбо=
Към съдържанието
ЗАДАЧА 6
Ъгълът при върха на осното сечение на прав кръгов конус е 2a. Около конуса е описана сфера с радиус R. Намерете повърхнината и обема на конуса. Решение:
1. MM1 = 2R – диаметър на сферата AMM1 (MAM1 = 90°) MO1 = h MA = l елементи на конуса AO1 = r l = 2R cos a 2. О1MA (MО1A = 90°) h = l cos a = 2R cos2 a r = l sin a = 2R cos a sin a 3. S = prl S = p 2R cos a sin a 2R cos a S = 4pR2 cos2 a sin a 4. S1 = S + B S1 = S + pr2 S1 = 4p R2 cos2a sin a + 4R2 p sin2 a cos2 a S1 = 4p R2 sin a cos2 a (1 + sin a) 2 5. V = πr h 3 π V = 4 R 2 cos 2 α sin 2 α.2 R cos 2 α 3 8 V = π R 3 sin 2 α cos 4 α 3
ЗАДАЧИ
1. Намерете лицето на повърхнината на сфера, ако дължината на голямата окръжност на сферата е 6p сm. 2. Намерете обема на кълбо, ако лицето на големия му кръг е 9p сm2. 3. Ако радиусът на една сфера е k пъти по-голям от радиуса на друга сфера, колко пъти е по-голямо лицето на повърхнината на първата сфера? 4. Ако радиусът на едно кълбо е k пъти по-голям от радиуса на друго кълбо, колко пъти е по-голям обемът на първото кълбо? 5. Повърхнините на две кълба се отнасят както 16 : 25. Как се отнасят обемите им? 6. Колко тежи плътно чугунено кълбо с диаметър 14 cm, ако относителното тегло на чугуна е 7,29 g/cm3?
Към съдържанието
7. Три метални кълба с радиуси 10 cm, 8 cm и 6 cm са претопени и от тях е излято ново кълбо. Намерете радиуса му. 8. В квадрат е вписана окръжност. Получената фигура се върти около права, минаваща през средите на две срещулежащи страни на квадрата. Докажете, че обемът на полученото кълбо е 2 от обема на получения цилиндър. 3 9. Около равнобедрен триъгълник с бедро b и ъгъл 2a между бедрата е описана окръжност. Получената фигура се върти около височината към основата на триъгълника. Намерете повърхнините и обемите на получените конус и кълбо. 10. Ъгълът при върха на осното сечение на прав кръгов конус е 2a. Около конуса е описана сфера с повърхнина 16p cm2. Намерете лицето на околната повърхнина на конуса.
175
54.
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „ЕЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА“ ЗАПОМНЕТЕ!
Ъгъл между права и равнина
• Ако права пробожда равнина и не е перпендикулярна на нея, ъгъл между тях се нарича острият ъгъл, който правата сключва с ортогоналната си проекция върху равнината. • Ако права не пробожда равнина, казваме, че те сключват ъгъл 0°. •А ко права е перпeндикулярна на равнина, казваме, че те сключват ъгъл 90°. • Двустенен ъгъл се нарича фигурата, образувана от двe полуравнини с общ контур.
Двустенен ъгъл
• Линеен ъгъл на двустенен ъгъл се нарича ъгълът, който се получава от пресичането на двустенния ъгъл с равнина, перпендикулярна на ръба му. •Ъ гъл между две пресичащи се равнини, които не са перпендикулярни, е по-малкият от двустенните ъгли, образувани от равнините. Прав кръгов цилиндър
Права призма
h
S = P.h S1 = S + 2B V = B.h
Правилна пирамида
Прав кръгов конус P.k S= 2 S1 = S + B B.h V= 3
176
S = P.h S = 2πrh S1 = S + 2 B = 2πrh + 2πr 2 S1 = 2πr (h + r ) V = B.h = πr 2 .h
P.l = πrl 2 S1 = S + B = πrl + πr 2 S1 = πr (l + r ) B.h πr 2 .h V= = 3 3 S=
Към съдържанието
Сфера
Кълбо S = 4πR 2 V = 4 πR 3 3
S = 4pR
2
ЗАДАЧА 1
В цилиндър с височина h и радиус R e вписана правилна четириъгълна призма. Намерете повърхнината и обема на призмата. Решение: 1. Основата на призмата е квадрат със страна a, вписан в кръг с радиус R. За ABC (B = 90°) имаме a 2 + a 2 = ( 2 R ) 2 ⇒ a = R 2. 2. Височината на призмата е равна на височината на цилиндъра h. 3. Sпризма = P.h = 4ah P = .h Sпризма 4= ah = 4 2 Rh 2 4. S1 призма = S + 2 B = 4 2 R.h + 2.2 R
+ 2 B == 4 2 R.h + 2.2 R 2 SS1 призма
S1 призма = 4 R ( 2 h + R )
5. Vпризма = B.h
ЗАДАЧА 2
Vпризма = 2R2.h
Около цилиндър с радиус r = 3 cm и височина h = 8 cm е описана сфера. Намерете повърхнината на сферата. Решение: 1. Центърът O на описаната сфера е среда на височината O1O2 на цилиндъра. OO1= h= 8 = 4 cm 2 2 O1 B= r= 3 cm OB = R е радиус на сферата 2. OO1 B ( O1 = 90°) OB 2 = OO12 + O1 B 2 R 2 = 42 + 32 = 25 R = 5 cm 3. Sсф.= 4pR2 Sсф. = 4p52 Sсф. = 100 p cm2
Към съдържанието
177
ЗАДАЧА 3
Основата на триъгълна пирамида ABCM е правоъгълният ABC (C = 90°) с катети AC = 9 cm и BC = 12 cm. Височината на пирамидата е 4 cm и всички околни стени образуват с основата равни ъгли. Намерете повърхнината и обема на пирамидата. Решение: 1. От това, че всички околни стени образуват с основата равни двустенни ъгли, следва, че върхът M се проектира в точката O, която е център на вписаната в ABC окръжP.k ност и S = 2 2. ABC (C = 90°) P = a + b + c = 36 cm а2 + b2 = c2 2 2 2 9 + 12 = c B = a.b = 9.12 = 54 cm 2 2 2 225 = c2 a + b − c r= = 9 + 12 − 15 = 3 cm c = 15 cm 2 2 3. MOE (MOE = 90°) k2 = h2 + r2 k2 = 42 + 32 = 25 k = 5 cm P.k 36.5 = = 90 cm 2 2 2 S1 = S + B = 90 + 54 = 144 cm 2
4. S =
5.= V
ЗАДАЧА 4
B.h 54.4 = = 72 cm3 3 3
Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб b = 10 cm и височина h = 12 cm. a) Намерете S1 и V на пирамидата. б) Докажете, че в пирамидата може да се впише сфера и е изпълнено равенството S1.rсф. = 3.V. в) Докажете, че около пирамидата може да се опише сфера и намерете радиуса ѝ R сф.. г) Намерете разстоянието между центъра на вписаната в пирамидата сфера и центъра на описаната около пирамидата сфера. Решение: 2 b 10 = 5 cm, P = 4= b 40 cm, B= b= 100 cm 2 a) 1. OQ= r = = 2 2 2. OQM ( O = 90°), MQ = k MQ 2 = MO 2 + OQ 2 k 2 = h 2 + r 2 = 122 + 52 = 169 k = 13 cm P.k 40.13 3. S1 = S + B, S = = = 260 cm 2 2 2 S1 = 260 + 100 S1 = 360 cm 2
B.h 100.12 = = 400 3 3 V = 400 cm3
4. = V
178
Към съдържанието
б) 1. QOM ≅ Q1OM ≅ Q2OM ≅ Q3OM ⇒ ъ глополовящите на MQO, MQ1O, MQ2O и MQ3O пресичат височината MO в една точка O1, която е на равни разстояния от всички стени на пирамидата и е център на вписаната в пирамидата сфера с радиус rсф.. 2. В MOQ (O = 90°) QO1 e ъглополовяща на MQO. O1O MO1 12 − rсф. r = ⇒ сф. = 5 13 OQ MQ 13rсф. = 60 – 5rсф.
12 – rсф.
13
18rсф. = 60
rсф. = 10 = 3 1 cm 3 3 3. Проверяваме, че е изпълнено равенството S1. rcф. = 3.V.
rсф.
5
S1. rcф. = 360. 10 = 1 200 3 ⇒ S1. rcф. = 3.V 3 . V = 3.400 = 1 200
в) 1. Всяка точка от правата MO e на равни разстояния от точките A, B, C, D. 2. AOM ≅ BOM ≅ COM ≅ DOM ⇒ симетралите на околните ръбове MA, MB, MC и MD пресичат MO в една точка O2, която е на равни разстояния от точките A, B, C, D и M и е център на описаната около пирамидата сфера с радиус Rсф.. 3. В AOM (O = 90°) MAO = j, MO = h, MA = l. l = AO 2 + MO 2 = =
(5 2 )
2
+ 122 = 194
sin ϕ = MO = h AM l sin ϕ = 12 194
4. В MEO2 (E = 90°) ME = l , MO2 E = ϕ, MO2 = Rсф.. 2 194 = 194 = 8 1 l = sin ϕ = ME ⇒ Rсф.= 12 24 2sin j 2 ⋅ 12 R сф. 194 1 ⇒ Rсф.= 8 cm 12
5 2
Rсф.= 8 1
12
rсф.= 3 13
Към съдържанието
г) 1. Центровете O1 и O2 на вписаната и описаната сфера се намират върху правата MO (в случая върху височината MO). 2. На чертежа е дадено разположението на точките O1 и O2 върху височината MO = 12 cm. 3. От равенството OO1 + O1O2 + O2 M = OM + O2 M 1= OM OO намираме разстояние O1O2 . 1 + O1O2търсеното 3 + O1O2 + 8 1 = 12 12 3 3 1 + O1O2 + 8 1 = 12 3 12 O1O2 + 11 5 = 12 ⇒ O1O2 = 7 cm 12 O1O2 + 11 5 = 12 ⇒ O1O2 =127 cm 12 12
179
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „EЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА“ 1. Диагоналът на правилна четириъгълна призма е d и сключва ъгъл a с равнината на основата ѝ. Намерете обема на призмата. 2. Дадена е правилна триъгълна призма с радиус r на вписаната в основата ѝ окръжност. Намерете околната повърхнина на призмата, ако околният ѝ ръб е 2 пъти по-голям от основния. 3. Основата на прав паралелепипед е ромб със страна b и остър ъгъл a. По-големият диагонал на паралелепипеда сключва с равнината на основата ъгъл b. Намерете обема на паралелепипеда. 4. В правилна триъгълна пирамида основният ръб е b, а височината е kb. Намерете k, така че ъгълът между околния ръб и равнината на основата да е 60°. 5. Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб b и ъгъл a между околен ръб и височината на пирамидата. Намерете обема на пирамидата. 6. Височината на правилна четириъгълна пирамида сключва с околна стена ъгъл, равен на a, а дължината на основния ръб на пирамидата е b. Намерете повърхнината и обема на пирамидата. 7. Диагоналът на основата на правилна четириъгълна пирамида е m, а ъгълът между два съседни околни ръба е 2a. Намерете околната повърхнина и обема на пирамидата. 8. Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб b и ъгъл a между околен и основен ръб. Намерете околната повърхнина и обема на пирамидата. 9. Основата на пирамида е квадрат със страна 20 cm. Височината на пирамидата минава през един от върховете на основата и е 21 cm. Намерете околната повърхнина на пирамидата. 10. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедра 25 cm и основа 40 cm. Височината на пирамидата минава през върха на ъгъла между бедрата и е равна на 8 cm. Намерете пълната повърхнина на пирамидата.
180
11. Основата на пирамида е правоъгълник със страни 6 cm и 8 cm. Всички околни ръбове са равни помежду си и са с дължина 13 cm. Намерете обема на пирамидата. 12. Развивката на околната повърхнина на цилиндър е квадрат, а околната му повърхнина е S. Намерете обема на цилиндъра. 13. Околната повърхнина на цилиндър е S, а ъгълът между диагоналите на осното му сечение е 90°. Намерете обема на цилиндъра. 14. Лицето на основата на цилиндър се отнася към ≠ 3 : 12. лицето на осното му сечение както p Намерете ъгъла между диагоналите на осното сечение на цилиндъра. 15. Радиусът на един цилиндър е равен на диаметъра на друг. Намерете отношението на обемите им, ако околните им повърхнини са равнолицеви. 16. Намерете обема и повърхнината на конус, на който дължината на окръжността на основата му е c, а ъгълът между височината и образуващата му е a. 17. Лицето на основата на конус е 3 пъти по-малко от околната му повърхнина. Намерете синуса на ъгъла между образуващата и височината на конуса. 18. Конус има обем V и височина h. Намерете тангенса на ъгъла, който образуващата сключва с основата. 19. Хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник са диаметри на три сфери. Докажете, че повърхнината на най-голямата от тях е равна на сбора от повърхнините на другите две. 20. Ако радиусът на кълбо се увеличи с 6 cm, неговият обем се увеличава с 1 608 p cm3. Намерете радиуса на кълбото. 21. Единият катет на правоъгълен триъгълник е a, а прилежащият му остър ъгъл е a. Триъгълникът се върти около другия си катет. Намерете повърхнината и обема на полученото тяло. 22. Правоъгълен триъгълник с хипотенуза c и остър ъгъл a се върти около хипотенузата. Намерете обема на полученото тяло.
Към съдържанието
55.
ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „EЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА“ 1. Точка A е на разстояние 5 2 от равнината a. Точките B и C лежат в a, като АB и АС сключват с a ъгли, равни на 45°. Ако BAC = 60°, дължината на BC e:
5. Правилна четириъгълна пирамида ABCDM има околен ръб MC = 3 и основен ръб AB = 2. Косинусът на ъгъла между околна стена и основата е:
А) 5 3;
Б) 6 2 ; В) 6 3 ; Г) 10.
2. На чертежа е даден куб ABCDA1B1C1D1. Синусът на ъгъла между правите AA1 и B1D е:
А)
6; 2
Б)
6; 3
В)
2; 2
Г)
5 . 2
3. Страните на основата на прав паралелепипед са 6 cm и 8 cm и образуват ъгъл 30°. Ако околният ръб на паралелепипеда е равен на 5 cm, повърхнината му (в cm2) е:
А) 140;
Б) 164;
В) 188;
Г) 120.
4. Правилна триъгълна пирамида има обем V = 1 и ъгъл между околна стена 3 и основата, равен на 45°. Дължината на основния ръб е:
А) 1;
Б) 2;
В) 3;
Г) 4.
Към съдържанието
2; 2 Б) 2 ; 3 В) 2 ; 4 А)
3. 5 6. Прав кръгов конус има образуваща с дължина 10 и височина 8. Пълната повърхнина на конуса е:
Г)
А) 36π;
Б) 40π;
В) 60π;
Г) 96π.
7. От метален цилиндър след претопяване е направено кълбо. Ако диаметърът на основата е 6 и височината на цилиндъра е 4, радиусът на кълбото е:
А) 2;
Б) 3;
В) 4;
Г) 2 2 .
8. Основата на права призма е равнобедрен триъгълник с бедро a и ъгъл a при основата. Височината на призмата е равна на височината на основата ѝ. Намерете обема на призмата. 9. В правилна триъгълна пирамида основният ръб е а, а околната стена сключва ъгъл ψ с равнината на основата. Намерете повърхнината на пирамидата. 10. О сното сечение на конус е правоъгълен равнобедрен триъгълник с катет а. Намерете повърхнината и обема на конуса.
181
ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „EЛЕМЕНТИ ОТ СТЕРЕОМЕТРИЯТА“ 1. През хипотенузата AB на равнобедрен правоъгълен ABC e прекарана равнина a, така че катетите сключват с a равни ъгли с мярка 30°. Синусът на ъгъла между a и равнината ABC e: 1 А) ; 2
Б) 2 ; В) 3 ; Г) 3 ; 2 2 4
2. На чертежа е даден куб ABCDA1B1C1D1. Ъгълът между кръстосаните прави AD1 и DC1 е:
А) 30°;
Б) 45°;
В) 60°;
Г) 90°.
3. Основата на прав паралелепипед е ромб с диагонали 6 cm и 8 cm. Ако диагоналът на околна стена е 13 cm, повърхнината на паралелепипеда (в cm2) е:
А) 240;
Б) 264;
В) 288; Г) 300.
4. Дадена е правилна триъгълна пирамида с височина h = 2 3. Ако околните стени сключват с равнината на основата ъгъл 60°, обемът на пирамидата е:
А) 20 3;
Б) 22 3;
В) 24;
Г) 26.
5. Правилна четириъгълна пирамида има обем V = 36 6. Ако околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл 60°, дължината на основния ръб е:
А) 2 3 ;
Б) 6;
В) 4 2 ;
Г) 8.
6. Прав кръгов конус има образуваща l = 13 и лице на основата B = 25π. Обемът на конуса е:
А) 100π;
Б) 120π;
В) 60π;
Г) 80π.
7. Колко пъти ще се увеличи обемът на прав кръгов цилиндър, ако диаметърът на основата и височината му се увеличат 2 пъти?
А) 2 пъти;
Б) 4 пъти;
В) 6 пъти;
Г) 8 пъти.
8. Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катет a и остър ъгъл a срещу него. Височината на призмата е равна на хипотенузата на основата. Намерете обема на призмата. 9. Околните стени на правилна триъгълна пирамида сключват ъгъл ψ с равнината на основата. Намерете повърхнината на пирамидата, ако височината ѝ е h. сното сечение на конус е равностра10. О нен триъгълник със страна а. Намерете повърхнината и обема на конуса.
182
Към съдържанието
ТЕМА 6 ПРЕГОВОР И ОБОБЩЕНИЕ ПО ВЪЗЛОВИ ТЕМИ (Урок 56 – Урок 64)
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ПРАВИ СИСТЕМАТИЧЕН ПРЕГОВОР И ОБОБЩЕНИЕ ПО ТЕМИТЕ: Рационални и ирационални уравнения Системи уравнения Неравенства. Системи неравенства Функции Прогресии Подобни триъгълници. Метрични зависимости между отсечки Тригонометрични функции Решаване на триъгълник Вероятности и статистика
183
56.
РАЦИОНАЛНИ И ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ Квадратно уравнение Формула за корените ах2 + bх + с, а ≠ 0 D = b2 – 4ас – дискриминанта I случай: − b ± b 2 − 4 ac D > 0 , x1 , 2 = 2a II случай: b – двоен корен D = 0 , x1 = x2 = − 2a III случай: D < 0, няма реални корени.
Съкратена формула ах2 + 2kх + с = 0 b = 2k, D = k2 – ас I случай: − k ± k 2 − ac D > 0 , x1 , 2 = a II случай: k D = 0 , x1 = x2 = − – двоен корен a III случай: D < 0,
няма реални корени.
Разлагане на квадратния тричлен на множители Ако квадратното уравнение Ако квадратното уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, има реални корени х1 и х2, то няма реални корени, то квадратният 2 тричлен ах2 + bх + с не се разлага. ах + bх + с = а(х – х1)(х – х2). Теореми на Виет Права теорема Ако квадратното уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, има корени х1 и х2, то х1 + х2 = − b и х1х2 = c . a a
Обратна теорема Ако за числата х1 и х2 са изпълнени равенствата х1 + х2 = –р и х1х2 = q, то х1 и х2 са корени на квадратното уравнение х2 + рх + q = 0.
Дробно уравнение
Уравнение, което съдържа дробни рационални изрази относно неизвестното, се нарича дробно уравнение. Ирационално уравнение
Уравнение, в което неизвестното се съдържа и под знака за коренуване, се нарича ирационално уравнение. Теорема Ако двете страни на едно уравнение се повдигнат на квадрат, се получава уравнение, следствие на даденото. Множеството от неговите решения съдържа множеството от решенията на първоначалното уравнение.
184
2 (1) f ( x) = g ( x) ⇒ (2) f ( x) = g ( x) Уравнението (2) е следствие на уравнението (1). Освен корените на ирационалното уравнение то може да има и други корени, наречени придобити (чужди).
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Решете уравненията: а) x2 + 3x – 4 = 0; Решение: а) x2 + 3x – 4 = 0 a = 1, b = 3, c = – 4
б) x2 – 6x + 9 = 0;
в) 2x2 – 5x + 6 = 0.
б) x2 – 6x + 9 = 0 a = 1, b = – 6, c = 9
в) 2x2 – 5x + 6 = 0 a = 2, b = – 5, c = 6 D = b2 – 4ac D = (–5)2 – 4.2.6 D = 25 – 48 D = – 23 < 0
D = b 2 − 4ac D = (−6) 2 − 4.1.9 D=0
D = b 2 − 4ac D = 32 − 4.1.(− 4) D = 25 = 52
ЗАДАЧА 2
x1,2 = −b ± D 2a ± 6 0 = →3 x1,2 = 2 3
x1,2 = −b ± D 2a − ± 3 5 = →1 x1,2 = 2 –4
Отг. У равнението има два различни корена: x1 = 1; x2 = – 4.
Отг. У равнението има двоен корен: x1 = x2 = 3.
Отг. У равнението няма реални корени.
Ако x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x2 – 3x – 1 = 0, пресметнете стойността на изразите: x x а) A = 1 + 1 ; б) B = x12 + x22 ; в) C = 1 + 2 . x1 x2 x2 x1 Решение: Използваме теоремата на Виет. Ако x1 и x2 са корени на квадратно уравнение ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, то x1 + x2 = − b и x1. x2 = c . В случая x1 + x2 = 3 и x1 . x2 = –1. a a x x 2 2 1 1 в) C = 1 + 2 а) A = + б) B = x1 + x2 x x1 x1 x2 2 = x12 + 2 x1 x2 + x22 − 2 x1 x2 B 2 x +x x1 + x22 2 A= 2 1 = C B = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 B = 32 − 2(−1) 3 A= C = 11 −1 B =9+2 −1 A = −3 C = −11 B = 11 Отг. A = – 3
ЗАДАЧА 3
Отг. B = 11
Отг. C = –11
Съставете квадратно уравнение с корени числата x1 = – 3 и x2 = 7. Решение: I начин: II начин: Търсеното уравнение има вида Търсеното уравнение има вида 2 x + px + q = 0, (x – x1)(x – x2) = 0. където x1 + x2 = – p и x1 . x2 = q Уравнението (x + 3)(x – 7) = 0 (обратна теорема на Виет). има за корени числата –3 и 7 x1 + x2 = – 3 + 7 = 4 = – p ⇒ p = – 4 ⇒ (x + 3)(x – 7) = x2 – 7x + 3x – 21 = x1 . x2 = – 3 . 7 = – 21 = q ⇒ q = – 21 = x2 – 4x – 21. 2 Уравнението е x – 4x – 21 = 0. Отг. Уравнението е x2 – 4x – 21 = 0.
Към съдържанието
185
ЗАДАЧА 4
Разложете на множители квадратните тричлени: а) A = x2 + 3x + 2; б) B = x2 – 12x + 36; Решение:
При D ≥ 0 квадратният тричлен ax2 + bx + c се разлага на a(x – x1)(x – x2), където x1 и x2 са корени на уравнението ax2 + bx + c = 0. При D < 0 квадратният тричлен не се разлага на множители.
а) x2 + 3x + 2 = 0 D=1>0 –2 x1,2 = −3 ± 1 = → 2 –1 A = (x + 2)(x + 1)
ЗАДАЧА 5
б) x2 – 12x + 36 = 0 D=0 12 ± 0 x1,2 = 2 = 6 B = (x – 6)(x – 6) = (x – 6)2
Решете уравненията: а) x4 – 7x2 + 6 = 0; Решение: а) x4 – 7x2 + 6 = 0 Полагаме x2 = u ≥ 0. u2 – 7u + 6 = 0 D = 49 – 24 = 25 = 52 u = 6 > 0 – да u1,2 = 7 ± 5 = → 1 2 u2 = 1 > 0 – да x2 = 1 x2 = 6 x1,2 = ± 6 x3, 4 = ± 1 Отг. У равнението има четири корена: ± 6 , ±1.
ЗАДАЧА 6
Решете дробните уравнения: 2 а) x2 − x − 4 = 1 ; x − 3x + 2 x − 2 Решение:
в) 3x2 – 5x + 6 = 0 D = (– 5)2 – 4.3.6 D = 25 – 72 < 0 C = 3x2 – 5x + 6 не се разлага на множители.
б) (x2 + 3x)2 – 2(x2 + 3x) – 8 = 0. б) (x2 + 3x)2 – 2(x2 + 3x) – 8 = 0 Полагаме x2 + 3x = u. u2 – 2u – 8 = 0 → u1 = 4 и u2 = –2 x2 + 3x = 4 x2 + 3x = – 2 x2 + 3x – 4 = 0 x2 + 3x + 2 = 0 x1 = – 4 x3 = – 1 x2 = 1 x4 = – 2 Отг. Уравнението има четири корена: – 4, – 2, – 1, 1. б)
x + 5 + x + 3 = x2 − 1 . x − 3 2 − x x2 − 5x + 6
При решението на дробно уравнение ще следваме алгоритъма: • Разлагаме знаменателите на множители и определяме най-малкото им общо кратно. • Определяме ДС на уравнението. • Освобождаваме от знаменател и получаваме цяло рационално уравнение. • Решаваме полученото уравнение. • Проверяваме за принадлежност на корените към ДС на уравнението.
а) x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) x 2 − x − 4 = 1 , ДС: x ≠ 1 x≠2 ( x − 1)( x − 2) x − 2 x2 – x – 4 = x – 1 x2 – 2x – 3 = 0 x1 = – 1 ∈ ДС x2 = 3 ∈ ДС Отг. x 1 = – 1, x2 = 3
186
в) C = 3x2 – 5x + 6.
б) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) x ≠ 2 x+5 − x+3 = x2 − 1 , ДС: x≠3 x − 3 x − 2 ( x − 3)( x − 2) (x + 5)(x – 2) – (x + 3)(x – 3) = x2 – 1 x2 + 3x – 10 – x2 + 9 = x2 – 1 x2 – 3x = 0 x1 = 0 ∈ ДС, x2 = 3 ∉ ДС Отг. x 1 = 0
Към съдържанието
ЗАДАЧА 7
Решете чрез подходящо полагане уравненията: а) 2 7 б) + 2 9 = 2; x + 2x + 4 x + 2x + 6 Решение: 7 + 2 9 =2 а) 2 б) x + 2x + 4 x + 2x + 6 x2 + 2x + 4 > 0 за всяко x x2 + 2x + 6 > 0 за всяко x ДС: x ∈ (– ∞; + ∞) Полагаме x2 + 2x + 4 = u. 7 + 9 = 2 , ДС: u ≠ 0, u ≠ –2 u u+2 7u + 14 + 9u = 2u2 + 4u 2u2 – 12u – 14 = 0 | : 2 u2 – 6u – 7 = 0 u1 = –1 ∈ ДС, u2 = 7 ∈ ДС
x + 2x + 4 = – 1 ∪ x + 2x + 4 = 7 x2 + 2x + 5 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 D < 0 x1 = 1 ∈ ДС няма реални x2 = – 3 ∈ ДС корени. 2
2
Отг. У равнението има два корена: 1 и –3.
ЗАДАЧА 8
Решете ирационалните уравнения: а) 2 x + 1 = 7 − x;
3 2 + = 1. ( x − 2)( x − 3) ( x − 1)( x − 4) 3 2 + = 1 ( x − 2)(3x − 3) ( x − 1)(2x − 4) + =1 ( x −3x2)( ) 2,( x2− )( x = −≠144) ДС: ≠ x1,−x+3≠ ≠ 13, x 2 − 53x + 6 + x 2 − 52x + 4 = 1 x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 4
Полагаме x2 – 5x + 4 = u. 3 + 2 = 1, ДС: u ≠ – 2, u ≠ 0 u+2 u 3u + 2u + 4 = u2 + 2u u2 – 3u – 4 = 0 u1 = – 1∈ ДС, u2 = 4 ∈ ДС x2 – 5x + 4 = – 1 ∪ x2 – 5x + 5 = 0 x1,2 = 5 ± 5 ∈ ДС 2
x2 – 5x + 4 = 4 x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0 x3 = 0 ∈ ДС x4 = 5 ∈ ДС
Отг. У равнението има четири корена: 5 ± 5 , 0 и 5. 2 x + 2 + 3 − x = 3.
б)
Решение: Уравненията ще решим чрез повдигане на двете страни на квадрат и проверка за отстраняване на придобитите корени. а)
2x + 1 = 7 − x
(
2 x + 1 ) = (7 − x ) 2 2 x + 1 = 49 − 14 x + x 2 x 2 − 16 x + 48 = 0 x1 = 4, x2 = 12 2
Проверка: 2.4 + 1 = 3 ⇒3=3 7−4=3 x1 = 4 е корен. x1 = 4,
2.12 + 1 = 5 ⇒ 5 ≠ −5 7 − 12 = −5 x2 = 12 не е корен. x2 = 12,
Отг. У равнението има един корен: x = 4.
Към съдържанието
x + 2 = 3− 3− x
б)
(
x + 2 ) = (3 − 3 − x ) 2
2
x + 2 = 9−6 3− x +3− x 6 3 − x = 10 − 2 x |: 2
(3
3 − x ) = (5 − x) 2 27 − 9 x = 25 − 10 x + x 2 x2 – x – 2 = 0 x1 = 2, x2 = – 1 Проверка: x1 = 2, 4 + 1 = 3, 3 = 3 x1 = 2 е корен. 2
x2 = −1, 1 + 4 = 3, 3 = 3 x2 = –1 е корен. Отг. У равнението има два корена: 2 и –1.
187
ЗАДАЧА 9
Решете чрез подходящо полагане ирационалните уравнения: а) x 2 + x 2 − 3 x + 4 = 3 x + 8; б) x + 3 + 1 = 6 x − 3 . x−3 x+3 Решение: а) x 2 − 3 x + x 2 − 3 x + 4 = 8 Полагаме x2 – 3x = u. u+ u+4 =8
(
u + 4 ) = (8 − u ) u + 4 = 64 − 16u + u 2 u 2 − 17u + 60 = 0 u1 = 12, u2 = 5 Проверка: u1 = 12, 12 + 16 = 16, 16 ≠ 8 2
2
б)
ДС: х ≠ ±3
x + 3 = u, u > 0 Полагаме . x−3 u +1 = 6 u u1 = – 3 < 0 – не u2 + u – 6 = 0 → u2 = 2 > 0 – да 2
x+3 2 =2 x−3 x+3 =4 x−3 x + 3 = 4 x − 12 3 x = 15 x = 5 ∈ ДС
u1 не е корен. u2 = 5, 5 + 9 = 8, 8 = 8 u2 е корен. x 2 − 3x = 5
x 2 − 3 x − 5 = 0, x1,2 = 3 ± 29 2 Отг. У равнението има два корена: 3 ± 29 . 2
x + 3 +1 = 6 x − 3. x−3 x+3
Отг. У равнението има единствен корен: x = 5.
ЗАДАЧА 10 Решете ирационалните уравнения: 2 а) ( x + 4)( x + 1) − 3 x + 5 x + 2 = 6; Решение:
б) (3 x + 2) 3 x + 1 = 3 x 2 + 5 x + 2.
а) x 2 + 5 x + 4 − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 Полагаме x2 + 5x = u. Получаваме u + 4 − 3 u + 2 = 6.
б) 3 x 2 + 5 x + 2 = (3 x + 2)( x + 1) (3 x + 2) 3 x + 1 − (3 x + 2)( x + 1) = 0
u−2=3 u+2 u2 – 4u + 4 = 9u + 18 u2 – 13u – 14 = 0 u1 = – 1, u2 = 14 Проверка: u1 = – 1, – 1– 2 = –3, –3 ≠ 3 u1 не е корен. u2 = 14, 14 − 2 = 3 16 , 12 = 12 u2 е корен. x2 + 5x = 14 x2 + 5x – 14 = 0 x1 = 2, x2 = – 7 Отг. У равнението има два корена: 2 и – 7.
188
(3 x + 2) ( 3 x + 1 − x − 1) = 0 3x + 2 = 0 ∪ 3x + 1 = x + 1 x1 = − 2 3x + 1 = x2 + 2x +1 3 x2 – x = 0 x2 = 0, x3 = 1 Проверка:
( )
x1 = − 2 , 3 x + 1 = 3. − 2 + 1 = −1 3 3 2 x1 = − не е корен. 3 x2 = 0, 2 1 = 2, 2 = 2 x3 = 1, 5 4 = 3 + 5 + 2, 10 = 10
Отг. У равнението има два корена: 0 и 1.
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „РАЦИОНАЛНИ И ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ Решете квадратните уравнения: 1. x2 – 2x – 24 = 0; 2. x2 + 5x – 14 = 0; 3. x2 + 7x – 30 = 0; 4. x2 + x – 72 = 0; 5. 5x2 – 8x + 3 = 0; 6. 2x2 – 7x + 6 = 0. Ако x1 и x2 са корените на квадратното уравнение f (x) = 0, пресметнете стойността на израза A. 2 1 1 7. f ( x) = 5 x + 2 x − 7, A = + ; x1 x2 2 2 2 8. f ( x) = 3 x − 11x + 7, A = x1 x2 + x1 x2 ; 2 2 2 9. f ( x) = x + 20 x + 99, A = x1 + x2 ; x x 2 10. f ( x) = x − 10 x + 22, A = 1 + 2 . x2 x1 11. С ъставете квадратно уравнение, чиито корени са с 2 по-големи от корените на уравнението x2 – 4x + 3 = 0. 12. Съставете квадратно уравнение, чиито корени са 4 пъти по-големи от корените на уравнението x2 – 5x + 6 = 0. 13. Съставете квадратно уравнение, чиито корени са с 3 по-малки от корените на уравнението x2 – 2x – 8 = 0. 14. Съставете квадратно уравнение, чиито корени са 2 пъти по-малки от корените на уравнението x2 – 5x + 4 = 0. 15. Без да намирате корените x1 и x2 на квадратното уравнение x2 – 5x + 3 = 0, съставете квадратно уравнение y2 + py + q = 0, корените на което са y1 = – 2 – x1, y2 = – 2 – x2. 16. Без да намирате корените x1 и x2 на квадратното уравнение x2 – 4x + 2 = 0, съставете квадратно уравнение y2 + py + q = 0, корените на което са y1 = 3x1 – 2, y2 = 3x2 – 2. Решете биквадратните уравнения: 17. ( x − 5 ) ( x − 1)( x + 1) ( x + 5 ) = −3;
Решете дробните уравнения: 25. 2 x + 1 − x + 3 = 2 7 − x ; x − 3 x + 1 x − 2x − 3 2 26. 3 x + 2 + x − 5 = x 2 − 7 x + 18 ; x + 5 1 − x x + 4x − 5 27. x + 5 − x = 32 x + 2 ; 2x − 3 x + 2 2x + x − 6 2( x − 2) 28. x + 1 − 2 = x ; x − 3 x − 4x + 3 1 − x 2 4 2 29. x 2 − 2 = 24x −25 x ; x −3 x − x −6 2 30. 2x − 2 9 = 454 . x −3 x +3 x −9 Решете чрез подходящо полагане дробните уравнения: + 2 2 = 2 6 ; 31. 2 1 x − 3x + 3 x − 3x + 4 x − 3x + 5 5 9 = 2; 32. x( x + 4) + ( x + 2) 2
19. ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 2;
18. ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) = 2;
20. ( x − 6 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 6 ) = 5. Решете чрез подходящо полагане уравненията: 21. (x2 + 4x)2 + 5(x2 + 4x) + 6 = 0; 22. (x2 + 4x + 2)2 – 6(x2 + 4x + 2) – 7 = 0; 23. (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = – 63; 24. (x – 5)(x – 3)(x + 2)(x + 4) = 120.
Към съдържанието
2 33. x + x − 5 + 2 3 x + 4 = 0; x x + x−5 2 2 34. x − 5 − 3 x + 15 = 4; x x 3 2 1 1 1 35. x + 3 + x + 2 + x + = 6; x x x 2 2 x + 2x + 3 = x + 4x + 3 . 36. 2 x − x+3 x2 + 3 Решете ирационалните уравнения:
(
)
37. x + x + 3 = 3;
38.
3 x + 1 = x + 1;
40.
5 x + 9 = 2 x + 3;
39.
x 2 + 5 = 2 x − 1;
41.
7 x 2 + 5 x + 3 = x + 2; 42.
7 x 2 − x − 2 =−3 x −1;
43.
x 4 − 5 x 2 + 8 = 2; 44.
x 4 − 8 x 2 + 24 = 3;
45.
x + 2 + 6 − x = 4; 46.
3 x + 7 + x + 1 = 2;
47.
3 x + 13 − 2 x + 7 = 1;
48. 2 x + 2 − 3 x − 2 = 2; 49.
2 x + 1 + 4 x − 2 = 4;
50.
x 2 − x + 2 = 2 x 2 − 3 x − 1;
51. x 2 + 2 x + 2 x 2 + 4 x + 3 = 6; 52. 2 x 2 + 2 x 2 − 3 x + 4 = 3 x + 2.
189
57.
СИСТЕМИ УРАВНЕНИЯ Системи линейни уравнения с две неизвестни a1 x + b1 y = c1 Например 2 x + 3 y = 4 a2 x + b2 y = c2
3 x + y = −1 .
Решаване чрез заместване 2x + 3y = 4 3 x + y = −1 ⇒ y = −3 x − 1 2x + 3(−3x − 1) = 4 −7x = 7 x = −1 y = −3(−1) − 1 y = 2 Решението е (−1; 2).
Решаване чрез събиране 2x + 3y = 4 3 x + y = −1 |.(−3) 2x + 3y = 4 + − 9x − 3y = 3 −7x = 7 x = −1
3x + y = −1 3(−1) + y = −1 y = 2 Решението е (−1; 2).
Графично решаване 2x + 3y = 4 3 x + y = −1 y=−2x+ 4 3 3 y = −3 x − 1
x 2 y=− x+ 4 3 3
0 11 3
0
x y = –3x – 1
0 –1
–1 2
2
Пресечната точка на двете графики е M (−1; 2). Решението на системата е (−1; 2). Всяка линейна система от две уравнения с две неизвестни: • има решение (x0; y0) (двете графики се пресичат в една точка (x0; y0)); системата е определена; • няма решение (двете графики сa успоредни прави); системата е несъвместима; a c • има безброй много решения x; y = − x + (двете графики са сливащи се b b прави); системата е неопределена.
(
)
Системи уравнения от втора степен с две неизвестни Уравнение от вида ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, където a, b, c, d, е, f са произволни числа и поне едно от числата a, b, c е различно от нула, се нарича уравнение от втора степен с две неизвестни. Когато търсим общите решения на две уравнения с две неизвестни, от които едното е от втора степен, а другото може да бъде от първа или от втора степен, казваме, че решаваме система уравнения от втора степен с две неизвестни. Правилата за преобразуване на една система от втора степен в еквивалентна на нея система са същите като при линейните системи уравнения. Всяка система уравнения от втора степен с две неизвестни, на която едното уравнение е от първа степен, може да се реши чрез заместване. Системи уравнения от втора степен с две неизвестни решаваме чрез заместване, събиране, въвеждане на помощни неизвестни. Система с хомогенно уравнение решаваме, като определим едно от неизвестните чрез другото от хомогенното уравнение.
190
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Решете системите: а) 2 x + 3 y =13 2 x − y =1.
б) x + 2 y =1 2 x − y = 2.
Решение: I начин: чрез заместване а) 2 x + 3 y = 13 2x − y = 1 → y = 2x −1
б) x + 2 y = 1 → x = 1 − 2 y 2x − y = 2
2 (1 − 2 y ) − y = 2
2 x + 3(2 x − 1) = 13 2 x + 6 x − 3 = 13 8 x = 16 x=2 y = 2.2 − 1 = 3
2 − 2y − y = 2 −3 y = 0 y=0 x = 1 − 2 .0 = 1
II начин: чрез събиране а) 2 x + 3 y = 13 2 x − y = 1 | .3
б) x + 2 y = 1 2x − y = 2 | . 2
2 x + 3 y =13 + 6 x − 3 y = 3
x + 2 y = 1 + 2 x − 2 y = 2
8 x = 16 x=2 4 − y =1 y =3 Отг. x = 2 y =3
ЗАДАЧА 2
3x = 3 x =1 1+ 2y =1 y=0 Отг. x = 1 y=0
Решете чрез полагане системите уравнения: а) 2 ⋅ x − 3 + 3 ⋅ y + 2 = 7 7 2 y + 2 3⋅ x − 3 − 5⋅ = 1; 7 2 Решение:
б) 4( x + y ) − (5 x − y − 1) = 5 2( x + y ) + (5 x − y − 1) = 7.
x−3 =u 7 y+2 =v 2 и получаваме системата
б) Полагаме
a) Полагаме
2u + 3v = 7 | .5 3u − 5v = 1 | .3 10u + 15v = 35 + 9u − 15v = 3 19u = 38 ⇒ u = 2 4 + 3v = 7 ⇒ v = 1.
Към съдържанието
x+ y =u 5x − y − 1 = v
и получаваме системата
4u − v = 5 + 2u + v = 7 6u = 12 u=2 8−v =5 v = 3.
191
Връщаме се в полагането.
x−3 = 2 7 y+2 =1 2 x − 3 = 14 y+2=2 x = 17 y=0
Отг. x = 17 y=0
ЗАДАЧА 3
Връщаме се в полагането.
x+ y=2 5x − y − 1 = 3
x+ y=2 + 5 x − y = 4
6x = 6 x =1 1+ y = 2 y =1 Отг. x = 1 y =1
Решете системите: а) x + y = −1 x 2 + y 2 + 4 x = 1;
б) x − y = 3 x 2 − xy − y 2 = 11.
Решение: Системите са от втора степен с две неизвестни, на които едното уравнение е от първа степен. Ще решим системите чрез заместване. б) x − y = 3 → y = x − 3 a) x + y = −1 → y = − x − 1 2 2 x 2 − xy − y 2 = 11 x + y + 4x = 1
x 2 + (− x − 1) 2 + 4 x = 1 x2 + x2 + 2 x + 1 + 4 x = 1 x 2 + 3x = 0 x( x + 3) = 0 x1 = 0, y1 = 0 − 1 = −1 x2 = −3, y2 = 3 − 1 = 2
Отг. (0; –1) и (–3; 2)
ЗАДАЧА 4
x 2 − x( x − 3) − ( x − 3) 2 = 11 x 2 − x 2 + 3 x − x 2 + 6 x − 9 = 11 x 2 − 9 x + 20 = 0
x1 = 4, y1 = 4 − 3 = 1 x2 = 5, y2 = 5 − 3 = 2
Отг. (4; 1) и (5; 2)
Решете системата | y − x | = 2 x 2 + y 2 = 4. Решение: Системата е равносилна на обединението на двете системи. y−x=2→ y = x+2 y − x = −2 → y = x − 2 ∪ 2 2 x + y =4 x2 + y 2 = 4 x2 + x2 + 4 x + 4 = 4 x2 + 2 x = 0 x ( x + 2) = 0 x1 = 0, y1 = 0 + 2 = 2 x2 = −2, y2 = −2 + 2 = 0 (0; 2) и (–2; 0)
x2 + x2 − 4 x + 4 = 0 x2 − 2 x = 0 x ( x − 2) = 0 x3 = 0, y3 = 0 − 2 = −2 x4 = 2, y4 = 2 − 2 = 0 (0; –2) и (2; 0) Отг. С истемата има четири решения: (0; 2), (–2; 0), (0; –2) и (2; 0).
192 Към съдържанието
ЗАДАЧА 5
Решете системата ( x − 3)( y +1) = 0 x 2 − xy − y 2 = 5. Решение: Системата е равносилна на обединението на двете системи. x − 3 = 0→ x = 3 y + 1 = 0 → y = −1 ∪ 2 2 x − xy − y = 5 x 2 − xy − y 2 = 5 9 − 3y − y2 = 5 y2 + 3y − 4 = 0
x2 + x − 1 = 5 x2 + x − 6 = 0
y1 = 1, y2 = −4
x1 = 2, x2 = −3 (2; –1) и (–3; – 1) Отг. (3; 1), (3; – 4), (2; –1) и (–3; – 1)
(3; 1) и (3; – 4)
ЗАДАЧА 6
Решете системата x 2 + xy − 2 y 2 = 0 xy + x − y = 1. Решение: Системата съдържа хомогенно уравнение, което ще решим, x 2на + xyy2−≠20.y 2 = 0 |: y 2 ≠ 0 като разделим двете му страни 2
x x x =u x 2 + xy − 2 y 2 = 0 |: y 2 ≠ 0 ⇒ + − 2 = 0, y y y 2 2 x x x u + u − 2 = 0 ⇒ u1 = 1 и u2 = −2 y + y − 2 = 0, y = u Системата е равносилна на обединението на системите. x =1→ x = y x = −2 → x = −2 y y y ∪ xy + x − y = 1 xy + x − y =1 x2 + x − x = 1 x2 = 1 x1 = 1, y1 = 1 x2 = −1, y2 = −1
ЗАДАЧА 7
−2 y 2 − 2 y − y − 1 = 0 2 y2 + 3y + 1 = 0 y3 = −1, x3 = 2 y4 = − 1 , x4 = 1 2 Отг. (1; 1), (–1; –1), (2; –1) и (1; –0,5)
Решете чрез подходящо полагане системата ( x + y ) 2 − 2 x − 2 y = 15 xy = 6. Решение: В първото уравнение полагаме x + y = u и решаваме уравнението (x + y)2 – 2(x + у) – 15 = 0, u2 – 2u – 15 = 0 ⇒ u1 = – 3, u2 = 5. Системата е равносилна на обединението на системите. x + y = −3 → y = − x − 3 x+ y =5→ y =5− x ∪ xy = 6 xy = 6 x(− x − 3) = 6 x(5 − x) = 6 x 2 + 3x + 6 = 0 x2 − 5x + 6 = 0 D = 9 – 24 < 0 x1 = 2, y1 = 5 − 2 = 3 Уравнението няма реални корени x2 = 3, y2 = 5 − 3 = 2 ⇒ системата няма решение. Отг. Системата има две решения: (2; 3) и (3; 2).
Към съдържанието
193
ЗАДАЧА 8
Решете чрез подходящо полагане системата. 25 x 2 + 4 y 2 = 20 xy + 30 x − 12 y − 8 9x − 4 y = 6 Решение: Първото уравнение преобразуваме във вида (5x – 2y)2 – 6(5x – 2y) + 8 = 0, полагаме 5x – 2y = u и решаваме уравнението u2 – 6u + 8 = 0 u1 = 2, u2 = 4. Системата е равносилна на обединението на системите 5x − 2 y = 4 5x − 2 y = 2 ∪ 9 x − 4 y = 6, 9x − 4 y = 6 които решаваме чрез събиране и получаваме x=2 x = −2 ∪ y = 3. y = −6 Отг. С истемата има две решения: (–2; –6) и (2; 3).
ЗАДАЧА 9
Решете чрез подходящо полагане дробната система. 2 + 2 =3 x + y 2x − y 4 4 + =5 ( x + y )2 (2 x − y )2 Решение: При ДС x ≠ – y и y ≠ 2x полагаме 2 = u, 2 =v, x+ y 2x − y решаваме чрез заместване системата и получаваме
u1 = 1 u =2 и 2 v1 = 2 v2 = 1.
u+v=3 u 2 + v2 = 5
Връщаме се в полагането и решаваме системите. 2 =1 2 =2 x+ y x+ y 2 = 2 2 =1 и 2x − y 2x − y x+ y=2 2x − y = 1
x + y =1 2x − y = 2
x =1 x =1 y =1 y=0 х, у принадлежат на ДС. х, у принадлежат на ДС. Отг. С истемата има две решения: (1; 1) и (1; 0).
194
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „СИСТЕМИ УРАВНЕНИЯ“ Решете системите линейни уравнения:
Решете системите уравнения от втора степен:
1. 2 x − 5 y = 26 3 x − 2 y = 6;
11. ( x − 2)( y − 1) = 0 x 2 + y 2 + 3x = 11;
2. 2 x + 5 y = 9
12. ( x − y )( x − 2) = 0
5 x − y = 5;
x 2 + y 2 + 3 x − y = 12;
Решете чрез събиране системите уравнения от втора степен: 22. 3 x 2 − 3 y 2 + 2 x + y = 6 2 x 2 − 2 y 2 + x + y = 4; 23. 3 x 2 − 3 xy + 5 x − 2 y = 4 2 x 2 − 2 xy + 3 x − y = 2.
3. 3( x − 1) − 4 y = 1 5( y − 1) = 1 + x;
13. ( x − 3)( x − y + 3) = 0 x 2 + y 2 + 5 x − 3 y = 24;
Решете системите хомогенни уравнения:
4. 3(5 x − 3 y ) = 4( x − 5 y ) 7 x + y = (−2 3 ) 2 .
14. y 2 + 3 y + 2 = 0
2 2 24. 2 x + 2 y = 5 xy x 2 − y 2 = 3;
Решете системите линейни уравнения чрез подходящо полагане:
15. x 2 + 3 x − 4 = 0
5. x + 5 + y − 4 = 3 3 4 y−4 x + 5 2⋅ + 3⋅ = 1; 3 4 6. 2(3 x + y ) + 3(2 x − y ) = 1 3(3 x + y ) − (2 x − y ) = 7. Решете системите уравнения от втора степен чрез заместване: 7. x + y = 2 x 2 + y 2 = 2 x + 2 y; 8. 2 x + y = 5 2 x 2 + 2 xy + y 2 + 4 x = 21; 9. x + y = 7
x 2 + y 2 − 2 x − 4 y = 3; 10. 2 x − y = 4 2 2 ( x − 1) + ( y + 2) = 20.
Към съдържанието
x 2 + xy − 2 y = 4;
x 2 + 2 xy + y 2 = 4.
2 2 25. x + y = 10 x 2 − xy = −2;
Решете системите уравнения от втора степен:
2 2 26. x − 2 xy + 2 y = 1 2 x 2 + xy − y 2 = 2;
2 2 16. 2 x − 3 y = 6 x 2 − y 2 = 5;
2 2 27. x + xy + y = 3 2 x 2 + xy + y 2 = 4.
2 2 17. x + y = 17 xy = 4;
Решете системите уравнения от втора степен чрез подходящо полагане:
2 2 18. x + 4 y = 40 xy = −6;
28. 5( x + y ) + 2 xy = −19 3 xy + x + y = −35;
19. | x − y |= 2 x 2 + y 2 = 10; 20. | x − 2 y |= 1 x 2 − 3 y 2 = 6; 21. | x + y | = 5 x 2 − y 2 = 5.
29. ( x + y + 1) 2 + ( x + y ) 2 = 25 x 2 − y 2 = 3; 30.
20 + x+2 15 − x+2
3 =5 y −1 6 = 1; y −1
31. 1 + 2 = 7 x x − y 10 1 = 1. x( x − y ) 20
195
58.
НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМИ НЕРАВЕНСТВА Запомнете! Линейни неравенства
• геометрично представяне на решенията:
• записване на решенията чрез интервал: x ∈ ( −∞ ; − 2 )
Системи линейни неравенства с едно неизвестно x≥2 x 3 ⇔ x > 3 ∪ x < –3
x ∈ ( −∞ ;−3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) f(x) = ax2 + bx + c (a > 0)
Квадратни неравенства
• D > 0, f(x) = 0 има два различни корена: x1 < x2.
+
–
f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)
+
f ( x) < 0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x2 ) f ( x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞)
f ( x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [ x1 ; x2 ]
• D = 0, f(x) = 0 има два равни корена: x1 = x2.
+
f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x1 ; +∞)
+ x1= x2
+
+
f ( x) < 0 ⇔ x ∈∅ f ( x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; +∞) ( x ∈ R ) f ( x) ≤ 0 ⇔ x = x1
• D < 0, f(x) = 0 няма реални корени. f ( x) > 0 ⇔ x ∈ R f ( x) < 0 ⇔ x ∈∅ f ( x) ≥ 0 ⇔ x ∈ R f ( x) ≤ 0 ⇔ x ∈∅
Метод на интервалите (x + 5)(x – 3)(x – 8) > 0
–
x2(x – 7)(x + 9) < 0
+
–
+ –5
8 x x ∈ (– 5; 3) ∪ (8; + ∞)
3
–
– –9
+
0
+ 7
x
x ∈ (– 9; 0) ∪ (0; 7)
196 Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Решете системите неравенства: a) 2 x + 5 < 4 x + 7 3 x + 8 ≥ 5 x + 4;
б) 3 x + 2 ≥ 5 x − 4 4 x + 1 > 6 x − 9.
Решение: a) 2 x + 5 < 4 x + 7 3x + 8 ≥ 5 x + 4
2x − 4x < 7 − 5 3x − 5 x ≥ 4 − 8
3 x − 5 x ≥ −4 − 2 4 x − 6 x > −9 − 1
− 2 x < 2 |: (−2) − 2 x ≥ −4 |: (−2)
− 2 x ≥ −6 |: (−2) − 2 x > −10 |: (−2)
x > −1 x≤2
–1
Отг. x ∈ (–1; 2]
ЗАДАЧА 2
б) 3 x + 2 ≥ 5 x − 4 4x + 1 > 6x − 9
x≤3 x 0. a) x2 – 2x – 3 ≥ 0; Решение: От разположението на графиките на квадратните функции намираме решенията на неравенствата.
–1
3
Отг. x ∈ (– ∞; –1]∪[3; + ∞)
Към съдържанието
в) x2 – 2x + 4 = 0 D = 4 – 16 < 0 Уравнението няма реални корени.
б) x2 – 3x + 2 = 0 x1 = 1, x2 = 2
a) x2 – 2x – 3 = 0 x1 = –1, x2 = 3
1
2
Отг. x ∈ (1; 2)
Отг. x ∈ (– ∞; + ∞)
197
ЗАДАЧА 4
Решете модулните неравенства: a) | 2 x + 3 | ≤ 5 3;
б) | x + 5 | > 2 5.
Решение: a) Неравенството | 2 x + 3 | ≤ 5 3 е еквивалентно на системата 2x + 3 ≤ 5 3
2 x + 3 ≥ −5 3.
2x ≤ 4 3
б) Неравенството | x + 5 | > 2 5 е еквивалентно на обединението на неравенствата x + 5 < −2 5 ∪ x + 5 > 2 5. x < −3 5
2 x ≥ −6 3 x≤2 3
x> 5
5
−3 5
x ≥ −3 3
−3 5 2 3
−3 3
Отг. x ∈ [−3 3; 2 3 ]
ЗАДАЧА 5
Отг. x ∈ (−∞; − 3 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞)
Решете дробните неравенства: a) 3 x + 2 > 4; б) x + 5 ≤ 2. x−4 x−2 Решение: Преобразуваме неравенствата така, че десните им страни да станат 0. a)
3x + 2 − 4 > 0 x−4 3 x + 2 − 4( x − 4) >0 x−4 − x + 18 > 0 | .(−1) x−4 x − 18 < 0 x−4 4
ЗАДАЧА 6
б)
18
x+5 −2≤0 x−2 x + 5 − 2( x − 2 ) ≤0 x−2 − x + 9 ≤ 0 | .(−1) x−2 x−9 ≥ 0 x−2
Отг. x ∈ ( 4; 18 )
2 9 Отг. x ∈ (−∞; 2) ∪ [9; + ∞)
Решете неравенствата: a) (x + 5) (x – 2) (x –8) ≥ 0;
б) ( x + 7 ) ( x + 1) ( x − 3 ) ≤ 0 .
Решение: a) (x + 5) (x – 2) (x – 8) ≥ 0
б) ( x + 7 ) ( x + 1) ( x − 3 ) ≤ 0
–
+ –5
+
– 2
Отг. x ∈ [– 5; 2] ∪ [8; + ∞)
198
5
8
–
+
+
–
–7 –1 Отг. x ∈ (−∞; − 7] ∪ [−1;
3]
3
Към съдържанието
ЗАДАЧА 7
Решете неравенствата: a) (x + 2)4 (x + 1) (5 – x) < 0; Решение: a) (x + 2)4 (x + 1) (5 – x) < 0 –
–
б) (x + 5)3 (x – 1)2 (7 – x) > 0. б) (x + 5)3 (x – 1)2 (7 – x) > 0 –
+
–
–1 5 –2 Отг. x ∈ (– ∞; – 2) ∪ (–2; –1) ∪ (5; + ∞)
ЗАДАЧА 8
+
–
+
1 –5 Отг. x ∈ (– 5; 1) ∪ (1; 7)
7
Решете системите неравенства: б) x 2 − 5 > 0
2 a) x − 4 x ≤ 0
x 2 − 7 ≤ 0.
x 2 − 9 > 0;
Решение: Разлагаме левите страни на неравенствата на линейни множители. a) x( x − 4) ≤ 0 ( x + 3)( x − 3) > 0
б) ( x + 5 )( x − 5 ) > 0 ( x + 7 )( x − 7 ) ≤ 0 4
0 –3
–3
− 5
3
− 7
3
0
4
7
5
− 7− 5
Отг. x ∈ (3; 4]
ЗАДАЧА 9
5
7
Отг. x ∈ [− 7 ; − 5 ) ∪ ( 5 ;
7]
Решете дробните неравенства: 2 2 x 2 + 5 x ≥ 1. a) 2 x2 − 11 ≤ 1; б) x −9 x2 − 4 Решение: Преобразуваме неравенствата така, че десните им страни да станат 0, и разлагаме левите им страни на линейни множители.
a)
2 x 2 − 11 − 1 ≤ 0 x2 − 9 2 x 2 − 11 − x 2 + 9 ≤ 0 x2 − 9 x2 − 2 ≤ 0 x2 − 9
б)
(x +
2 )( x − 2 ) ≤0 ( x + 3) ( x − 3) –
+ –3
− 2
+ 2
Отг. x ∈ (−3; − 2 ] ∪ [ 2 ; 3)
Към съдържанието
+
– 3
2 x2 + 5x − 1 ≥ 0 x2 − 4 2 x2 + 5x − x2 + 4 ≥ 0 x2 − 4 x2 + 5x + 4 ≥ 0 x2 − 4 ( x + 4 ) ( x + 1) ≥0 ( x + 2) ( x − 2) –
+ –4
+ –2
+
– –1
2
Отг. x ∈ (−∞; − 4] ∪ (−2; − 1] ∪ (2; + ∞)
199
ЗАДАЧА 10 Решете дробното неравенство x2 − 2 ≥ 2 x4 − 5x2 . x2 − 3 x4 − x2 − 6
Решение: Преобразуваме неравенството. x2 − 2 − 2 x4 − 5x2 ≥0 x 2 − 3 ( x 2 − 3)( x 2 + 2) ( x 2 − 2)( x 2 + 2) − (2 x 4 − 5 x 2 ) ≥0 ( x 2 − 3)(( x 2 + 2) − x 4 + 5 x 2 − 4 ≥ 0 | . (−1) ( x 2 − 3)( x 2 + 2) x4 − 5x2 + 4 ≤ 0 ( x 2 − 3)( x 2 + 2) ( x 2 − 1)( x 2 − 4) ≤ 0, x2 + 2 > 0 за всяко х ( x 2 − 3)( x 2 + 2) ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x − 2)
(x +
3 )( x − 3 )
+
–
+
– –2
≤0
− 3
–1
+ 1
+
– 2
3
Отг. x ∈ [−2; − 3 ) ∪ [−1; 1] ∪ ( 3; 2]
ЗАДАЧА 11 Решете модулното неравенство |x4 – 7x2 + 9| ≤ 3. Решение: Модулното неравенство е еквивалентно на системата x 4 − 7 x 2 + 9 ≤ 3 , която преобразуваме във вида x 4 − 7 x 2 + 9 ≥ −3 x4 − 7 x2 + 6 ≤ 0 x 4 − 7 x 2 + 12 ≥ 0.
–1
− 6
1
( x 2 − 1)( x 2 − 6) ≤ 0 ( x 2 − 3)( x 2 − 4) ≥ 0
6 3 2
–2 − 3
( x + 6 )( x + 1)( x − 1)( x − 6 ) ≤ 0 ( x + 2)( x + 3 )( x − 3 )( x − 2) ≥ 0
− 6 –2 − 3 –1
1
Отг. x ∈ [− 6 ; − 2] ∪ [− 3; − 1] ∪ [1;
200
3 2
6
3 ] ∪ [2; 6 ]
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМИ НЕРАВЕНСТВА“ Решете системите линейни неравенства: 1. 3( x + 3) > 2( x − 1) x + 5 > 2( x − 3); 2. 3( x − 1) ≤ 2( x + 1) 4( x − 2) < 3( x + 1); 3.
x+6>0 x≤2 x > 0;
4. 3 x + 5 > x + 1 2 x + 9 < 3x + 5 x( x + 2) > ( x − 1) 2 . Решете модулните неравенства: 5. 2 x − 7 ≤ 9 7 ; 6. x + 3 ≥ 2 3;
18.
x 2 + 5 x − 14 < 0 x 2 + 8 x + 15 > 0;
19.
x 2 + 5 x + 4 ≥ 0 x 2 + 4 x − 5 ≤ 0;
20.
x 2 + 3x − 4 > 0 x 2 − 3 x + 2 ≤ 0.
Решете чрез метода на интервалите неравенствата: 21. x( x + 4)( x − 3)(7 − x) ≥ 0; 22. x( x + 2)(3 − x)(9 − x) ≥ 0; 2 23. ( x + 2) ( x − 4)( x − 5) > 0; 7 8 24. ( x + 3)( x − 2) ( x − 4) > 0; 4 2 25. x − 3 x − 28 < 0;
7. 7 | x − 3 | − 2 | 3 − x | < 10;
26. x 4 − 5 x 2 − 6 > 0;
8. 10 | x − 0, 5 | − 3 | 1 − 2 x | ≤ 6.
27. x3 + 6 x 2 + 9 x < 0;
Решете квадратните неравенства:
28. x 4 − 5 x3 + 4 x 2 > 0.
2 9. x + 7 x + 10 > 0;
Решете дробните неравенства:
2 10. x + 3 x − 10 ≤ 0;
6 29. 2 x + 7 + x + 4 ≤ ; x − 4 2 − x x2 − 6 x + 8
2 11. x + x + 20 < 0;
12. 2 x 2 − x + 15 > 0. Намерете допустимите стойности на x в изразите: 13. A = x 2 − 9; 14. A = 7 − x 2 ; 2 15. A = x + 3x ;
16. A = 5 x − x 2 .
30. 2 x − 7 + x − 2 ≥ 23 x + 12 ; x + 4 3 − x x + x − 12 31. 2 2 x + 1 − 1 ≥ x3− 11 ; x + 2x + 4 x − 2 x − 8 32. 2 3 x − 2 − 2 ≤ 33x − 13 ; x − 3 x + 9 x + 3 x + 27 2 2 6 33. 2 x + 7 − ≥ x2 + 4 ; 2 4 2 x − 4 x − 6x + 8 x − 2 2 2 2 34. 2 x ≤ 2 x − 3 − x + 2 ; 2 4 2 x − 2 x − 5x + 6 3 − x2
2 2 35. x − 2 − 2 ≤ 3 x − 10 ; 2 2 4 x + 1 x + 2 x + 3x 2 + 2 Решете системите квадратни неравенства: 2 17. x − 7 x + 10 < 0 x 2 + 6 x + 8 > 0;
Към съдържанието
2 2 2 36. 3 x − 1 − x − 2 ≥ 2 x + 3 . 2 2 4 2 x − 3 x + 2 2 x + x2 − 6
201
59.
ФУНКЦИИ Понятието „функция“ f aргумент х х∈D D – дефиниционна област
правило
функция y y = f (х) – единствена стойност, която се определя от х ∈ D
функционална зависимост
Променливата y се нарича функция на променливата х, ако има правило, посредством което на всяка стойност х ∈ D съответства точно една стойност на y.
• Една функция y е определена, когато са дадени дефиниционната ѝ област D; правилото, по което на всяко х ∈ D съпоставяме точно една стойност на y, т.е. y = f (x), D. • Графика на функцията y = f (x) спрямо правоъгълна координатна система Oxy наричаме всички точки (x; f (x)). • Начин за задаване на функция – аналитичен, графичен, табличен, описателен и комбиниран. Функцията y = ax + b, D: всяко х, се нарича линейна функция. • Графиката на линейната функция е права линия. • За да построим графиката на линейната функция, достатъчно е да пресметнем координатите на две нейни точки. Функцията y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, D: всяко х, се нарича квадратна функция. • Графиката на квадратната функция е парабола. • За да построим графиката на квадратната функция, достатъчно е да пресметнем координатите на върха ѝ и на две допълнителни точки, симетрични спрямо оста ѝ.
202
a > 0, D > 0
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
a < 0, D > 0
a < 0, D = 0
a < 0, D < 0
Към съдържанието
• При b = 0 и c = 0 функцията приема вида y = ax2, чийто връх е точката O (0; 0). Графика на квадратна функция y = ax2, a ≠ 0 y = ax2, a > 0
y = ax2, a < 0
y = − 1 x2 2
y = –x2 y = –2x2
ЗАДАЧА 1
На една координатна система постройте графиките на функциите:
а) y1 = 3x + 2 y2 = 3x y3 = 3x – 2;
ЗАДАЧА 2
б) y1 = – 3x + 2 y2 = – 3x y3 = – 3x – 2.
Решение: 0 а) x
1
б) x
0
1
y1
2
5
y1
2
–1
y2
0
3
y2
0
–3
y3
–2
1
y3
–2 – 5
y
Намерете разстоянието от пресечната точка на графиките на функциите у1 = 2x – 1 и y2 = 5 – x до: а) абсцисната ос; б) ординатната ос. Решение: a) Разстоянието 0 2 а) x от М до Oх→ e 3 м. ед. y1 – 1 3 б) Разстоянието 3 y2 5 от М до Oy→ e 2 м. ед.
y1 ∩ y2 = M M(2; 3)
Към съдържанието
203
ЗАДАЧА 3
Ако
−2 x + 4, x ≤ −1 f ( x) = 6, −1 < x < 3 3 x − 3, x ≥ 3, намерете стойността на изразите: a) А = f (– 3) – f (0) – f (5); Решение: a) f (– 3) = – 2.(–3) + 4 = 6 + 4 = 10 f (0) = 6 f (5) = 3.5 – 3 = 15 – 3 = 12 А = f (– 3) – f (0) – f (5) А = 10 – 6 – 12 А=–8
б) B = 2f (– 2) + 3f (2) – f (4). б) f (– 2) = – 2.(–2) + 4 = 8 f (2) = 6 f (4) = 3.4 – 3 = 9 B = 2f (– 2) + 3f (2) – f (4) В = 2.8 + 3.6 – 9 В = 16 + 18 – 9 В = 25
Отг. A = – 8
ЗАДАЧА 4
Отг. B = 25
Ако f (x) = x – 4, намерете корените на уравнението f (x + 3) . f (x + 5) = f (12). Решение: f (x + 3) = x + 3 – 4 f (x + 3) = x – 1
f (x + 5) = x + 5 – 4 f (x + 5) = x + 1 Заместваме получените стойности в уравнението. f (x + 3) . f (x + 5) = f (12) (x – 1) (x + 1) = 8 x2 – 1 = 8 x2 = 9 x1 = 3, x2 = – 3
ЗАДАЧА 5
f (12) = 12 – 4 f (12) = 8
Отг. – 3; 3
Намерете стойностите на a, при които графиките на функциите f1 (x) = 3 – ax, f2 (x) = 1 – 3x и f3 (x) = 4x – 13 минават през една точка. Решение: 1. Н амираме координатите на пресечната точка M на графикитe на функциите f2 (x) и f3 (x). f2 (x) = f3 (x) 1 – 3x = 4x – 13 – 7x = – 14 xM = 2 yM = 1 – 3xM = 1 – 3.2 = – 5 ⇒ M (2; – 5)
2. M ∈ f1 (x) ⇒ yM = f1 (xM) yM = 3 – axM – 5 = 3 – a.2 2a = 8 a = 4
Отг. a = 4
204
Към съдържанието
ЗАДАЧА 6
Намерете лицето на фигурата, образувана от графиките на функциите f (x) = – 3x + 3, g(x) = 2x + 8 и абсцисната ос. Решение: 1. П острояваме графиките на функциите f (x) и g(x).
x
0
1
f (x)
3
0
⇒ B(1; 0) x
–4 –3
g(x)
0
2
3. | AB | = | xB − x A | = | 1 − (−4) | = 5 | MM 1 | = | yM1 − yM | = | 0 − 6 | = 6
⇒ A(– 4; 0) y М
A
| AB | . | MM 1 | 2 = 5.6 2 = 15 кв. м. ед.
S MAB =
М1
B
g (x)
ЗАДАЧА 7
2. Намираме координатите на пресечната точка M на f (x) и g(x). f (x) = g(x) – 3x + 3 = 2x + 8 5x = – 5 xM = – 1 yM = – 3.(–1) + 3 = 6 ⇒ M(– 1; 6)
S MAB S MAB
x
Отг. 15 кв. м. ед.
f (x)
Постройте графиката на функциите: a) y = x2 + 2x – 3; Решение: a) 1. xV = − b = − 2 = −1 2.1 2a 2 yV = (−1) + 2.(−1) − 3 = −4 ⇒ V (−1; − 4)
б) y = – x2 + 4x – 3. b 4 б) 1. xV = − 2a = − 2.(−1) = 2 yV = −22 + 4 . 2 − 3 = 1 ⇒ V (2; 1) 2. xA = xV – 1 =1 yA = – 12 + 4.1 – 3 = 0 xB= xV + 1 = 3 yB= –32 + 4.3 – 3 = 0 A (1; 0); B(3; 0)
2. xA = xV – 2 = – 3 yA = (– 3)2 + 2.(–3) – 3 = 0 xB= xV + 2 = 1 yB= 12 + 2.1 – 3 = 0 A (– 3; 0); B (1; 0) 3. Построяваме параболата. y
3. Построяваме параболата. y
B
A
x
A
V
B
x
V
Към съдържанието
205
ЗАДАЧА 8
Намерете най-малката стойност на функцията y = x2 – 2x – 3, ако: б) x ∈ [– 2; 0]; в) x ∈ [2; 4]. a) x ∈ (– ∞; + ∞); Решение: Графиката на функцията y = x2 – 2x – 3 е параболата с върха (a = 1 > 0). отдолу Намираме върха на параболата и построяваме графиката ѝ.
a) При x ∈ (– ∞; + ∞) най-малката стойност е във върха на параболата. Най-малката стойност е y = – 4 и се достига при x = 1. б) При x ∈ [– 2; 0] функцията е намаляваща, най-малката стойност се достига при x=0ие y = 02 – 2.0 – 3 у = – 3.
xV = − b = 2 2a 2.1 xV = 1 yV = 12 − 2.1 − 3 yV = −4 ⇒ V (1; − 4) y
–1 –4
ЗАДАЧА 9
206
O
1
3
x
в) При x ∈ [2; 4] функцията е растяща, най-малката стойност се достига при x=2ие y = 22 – 22 – 3 у = – 3.
V
Намерете най-голямата стойност на функцията y = –x2 – 2x + 3, ако: б) x ∈ [– 4; – 2]; в) x ∈ [0; 2]. a) x ∈ (– ∞; + ∞); Решение: Графиката на функцията a) При x ∈ (– ∞; + ∞) y = –x2 – 2x + 3 е параболата с върха най-голямата стойност е във върха на отгоре (a = –1 < 0). параболата. Намираме върха на параболата и Най-голямата стойност е y = 4 и се построяваме графиката ѝ. достига при x = –1. б) При x ∈ [– 4; – 2] xV = − b = − −2 2.(−1) 2a функцията е растяща и xV = −1 най-голямата стойност се достига при 2 x=–2ие yV = −(−1) − 2.(−1) + 3 y = – (– 2)2 – 2.(–2) + 3 yV = 4 у = 3. ⇒ V (−1; 4) y в) При x ∈ [0; 2] функцията е намаляваща и 4 най-голямата стойност се достига при x=0иe O y = – 02 – 2. 0 + 3 –3 –1 1 x у = 3.
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ФУНКЦИИ“ 1. Графиката на функцията f(x) = ax + 6 минава през точката M (3; 9). Намерете стойността на a и f(– 2). 2. Намерете стойността на m, за която графиката на функцията y = (2m +1).x2 минава през точката М (2; 20). 3. Намерете линейната функция, графиката на която минава през точката A (1; –1) и B (0; 2). 4. Ако f(x) = ax + b, f (10) = 0 и f (0) = 10, намерете a, b и f (– 5). 5. Намерете разстоянието от пресечната точка на графиките на функциите y = 3x – 2 и y = 2x + 5 до ординатната ос. 6. Намерете координатите на пресечните точки на графиките на функциите y = x2 и y = 2x + 8. 7. Намерете стойностите на x, за които графиката на функцията f(x) = 2x – 8 е над абсцисната ос. 8. Намерете стойностите на x, за които графиката на функцията f(x) = – 2x – 4 е под абсцисната ос. 9. Намерете лицето на фигурата, образувана от графиката на функцията y = 2x – 6 и координатните оси. 10. Намерете координатите на върха на параболата y = 2x2 – 4x + 5. 1 1 . Намерете най-малката стойност на функцията y = 2x2 – 6x + 1 и на стойността x, за която тя се получава. 1 2. Намерете най-голямата стойност на функцията y = – 2x2 + 4x + 3 и на стойността x, за която тя се получава. 3 x − 1, x ≤ 3 1 3. Ако f ( x) = 8, 3 < x < 10 , 18 − x, x ≥ 10 намерете стойността на израза f (2) + f (5) – f (12).
Към съдържанието
1 4. Ако f(x) = 0,5 x2, намерете корените на уравнението f (2 x + 4) − f ( 2 x) = f (− 2 ). 15. Ако f(x) = x2 и g(x) = x + 3, намерете корените на уравнението f (g(2x + 1)) = f (g(x – 4)). 1 6. Намерете общите точки на графиките на функциите f (x) = x2 – 2x – 5 и g(x) = x2 – 3x – 7. 1 7. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията f (x) = – x2 – 5x – 5 в интервала x ∈ [– 5; – 3] и стойностите на x, за които те cе получават. 1 8. Намерете при кои стойности на a и b графиките на функциите y = 2x – 7, y = 5 – x, y = ax + 9 и y = bx + 3a – 5 минават през една точка. 1 9. Намерете стойностите на a, така че графиките на функциите f (x) = (a – x).x + (x – 2)2 и g (x) = 3(x – 2) + 7 да пресичат абсцисната ос в една и съща точка. 20. Намерете стойностите на a, така че правата x = – 2 да пресича графиките на функциите f ( x) = x( x + a + 3) − ( x + 2 )( x − 2 ) и g ( x) = 2ax − 7 в една и съща точка. 21. Н амерете лицето на триъгълника, определен от пресечните точки на графиките на функциите f (x) = x + 6 и g (x) = 6 – x с координатните оси. 22. Намерете лицето на фигурата, ограничена от абсцисната ос и графиката на − x − 3, x < 3 функцията y = 2 x − 12, x ≥ 3. 23. Намерете лицето на фигурата, ограничена от абсцисната ос и графиката на − x − 10, x ≤ −2 функцията y = −8, −2< x0 (n + 5)(n + 4) ⇒ an +1 > an
3 − 3 n+6 n+5 3(n + 5) − 3(n + 6) an +1 − an = (n + 6)(n + 5) −3 0, y = 2, x = 4
ЗАДАЧА 5
Отг. PQ = 4, CQ = 2
В окръжност с център O и радиус R = 3 3 cm e вписан остроъгълен равнобедрен ABC = BC = 6 2 cm . Намерете лицето на ABC. с бедра AC Решение:
1. CD – височина SBC ∩ BC = M, SBC ∩ CD = O O – център на описаната окръжност
C 6 2
A
R O D
CO= R= 3 3 cm M
SBC
B
2. COM ∼ CBD (I признак) OCM – (общ) M = D = 90° ⇒ CO = CM CB CD 3 3 = 3 2 ⇒ CD = 3 2 .6 2 = 12 = 4 3 CD 3 3 3 6 2 CD = 4 3 cm
216 Към съдържанието
3. За ADC прилагаме питагоровата теорема. AD22=+AC CD22 = AC 2 AD 2 + CD AD=272 + 48 = 72 AD 2 + 48
AD = 24 AD = 24 = 2 6 cm 6 cm AD = 2 AD
AB == 42 AD = 4 6 cm AB = 2 AD 6 cm
.4 3 8= .CD 4 6= 4.= S ABC AB = .3 2 24 2 cm 2 2 2 2 Отг. S ABC = 24 2 cm
ЗАДАЧА 6
Две от страните на разностранен триъгълник са с дължини 4 cm и 6 cm, а мерките на ъглите срещу тях се отнасят съответно както 1:2. Намерете дължината на третата страна на триъгълника. 1. AC = 4 cm, BC = 6 cm, B = b, A = 2B = 2b Решение: 2. Построяваме ъглополовящата AL. C CAL = BAL = b, ABL e равнобедрен. Означаваме AL = BL = x, CL = 6 – x, AB = y. 6–x 3. ABC ∼ LAC L 4 x C – общ x ABC = LAC = b β β β ⇒ AB = BC = AC B A LA AC LC y y 6 = = 4 x 4 6− x 3 3= 4 4. 5. y = ⋅ x 2 2 6− x 18 − 3 x = 8 y = 3 ⋅ 10 2 3 x = 10 5 y = 3 Отг. AB = 5 cm
ЗАДАЧА 7
В правоъгълния ABC (C = 90°) отсечката BL (L ∈ AC) e ъглополовяща на ABC и дели катета AC на отсечки AL = 3 cm и CL = 2 cm. Намерете дължината на BL. Решение:
L 3 A
Към съдържанието
3x
2
1. Отсечката BL e ъглополовяща в ABC. AB = AL = 3 ⇒ AB = 3 x, BC = 2 x BC LC 2
C 2x
B
2. ABC (C= 90°) AB2 =AC 2 + BC 2 9x2 = 25 + 4x2 5x2 = 25 ⇒ x2 = 5 3. BCL (C= 90°) BL2 =BC 2 + CL2 BL2 =4x2 + 4 = 4.5 + 4 = 24 BL = 24 2 6 =
Отг. BL = 2 6 cm
217
ЗАДАЧА 8
Даден е равнобедрен ABC с основа AB = 8 cm и бедро AC = 12 cm. Намерете радиуса на: а) вписаната в триъгълника окръжност; б) описаната около триъгълника окръжност. Решение:
Построяваме височината CD (D ∈ AB). AD = DB = 4 cm ACD (D = 90°)
C
CD = AC 2 − AD 2 CD = 122 − 42 CD = 16.8 A
B
D C 12
12 O r A
4
B
D C R
M
O1 A
ЗАДАЧА 9
218
D
B
CD = 8 2 cm а) O e център на вписаната в ABC окръжност, OD = r. AO – ъглополовяща в ACD CO = CA OD AD 8 2 − r = 12 = 3 r 4 8 2 − r = 3r r = 2 2 cm б) O 1 e център на описаната около ABC окръжност, CO1 = R. Построяваме O1M ⊥ BC, M е среда на BC, CM = 6 cm. CO1M ∼ CBD MCO1 – общ M = D = 90° CO1 CM = CB CD R = 6 12 8 2 R = 9 2 cm 2
Точките A, В, С и D лежат на окръжност k, хордите АВ и CD се пресичат в точка M и MC = 8 cm, MD = 6 cm. Ако MB е с 8 cm по-голяма от MA, намерете дължината на AB. Решение: 1. Означаваме MA = x ⇒ MB = x + 8. C 2. MA. MB = MC.MD x(x + 8) = 6.8 8 x A x2 + 8x – 48 = 0 M x1 = 4 > 0 – да, x2 = – 12 < 0 – не x+8 6 D 3. AB = AM + MB B AB = x + x + 8 AB = 2x + 8 AB = 2.4 + 8 = 16 Отг. AB = 16 cm
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ПОДОБНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ. МЕТРИЧНИ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОТСЕЧКИ“ 1. Страните на един триъгълник са 5 cm, 12 cm, 14 cm. Най-малката страна на подобен на него триъгълник е 15 cm. Намерете другите две страни на втория триъгълник. 2. Периметрите на два подобни триъгълника са 36 cm и 60 cm. Намерете страните на втория триъгълник, ако две от страните на първия са 9 cm и 15 cm. 3. Основите на два подобни триъгълника са 21 cm и 6 cm, а височината на първия е 7 cm. Намерете съответната височина на втория триъгълник. 4. В триъгълник с основа 12,4 cm и височина 8 cm е прекарана права, успоредна на основата и на разстояние 2,5 cm от нея. Намерете отсечката от тази права, заключена между страните на триъгълника. 5. В ABC e вписан успоредник AMNP така, че M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ AC. Намерете страните на успоредника, ако AM : MN = 6 : 5, AB = 20 cm и AC = 25 cm. 6. Около ABC e описана окръжност с радиус R. Ако AC = b, BC = a и hc e височината от върха C към страната АВ, докажете, че a.b = hc.2R. 7. Около ABC e описана окръжност k. Ъглополовящата през върха C пресича страната AB в точка L и окръжността k в точка C1. Докажете, че АC1C ∼ LBC. 8. Окръжност k минава през върховете А и В на ABC и пресича CA и СВ съответно в точките N и M. Докажете, че ABC ∼ MNC. 9. Даден е триъгълник с основа 18 cm и височина към нея 9 cm. В него е вписан квадрат, едната страна на който лежи на основата на триъгълника. Намерете страната на квадрата. 10. Даден е триъгълник с основа 12 cm и височина към нея 8 cm. В него е вписан правоъгълник с периметър 21 cm, основата на който лежи на основата на триъгълника. Намерете страните на правоъгълника. 1 1 . Страните на ABC са АВ = 18 cm, ВС = 10 cm и АС = 12 cm. Ъглополовящата на ъгъла при върха A пресича страната BC в точка L. Намерете BL и CL.
Към съдържанието
1 2. Ъглополовящата на ъгъла при върха C на ABC пресича страната AB в точка L. Намерете AB, ако AC = 10 cm, BC = 15 cm и AL = 3,2 cm. 1 3. Периметърът на ABC е 30 cm. Ъглополовящата при върха А дели страната BC на части BL = 6 cm и CL = 3 cm. Намерете страните AB и AC. 1 4. Страните на ABC са AB = 18 cm, BC = 6 cm и CA = 20 cm. Ъглополовящата на ъгъла при върха B пресича страната АС в точка L. През L е прекарана права, успоредна на AB, която пресича ВС в точка Q. Намерете дължината на отсечката LQ. 15. ABC има лице 60 cm2. Намерете лицето на MNC, в който M и N са средите съответно на AC и BC. 1 6. Периметрите на два подобни триъгълника се отнасят както 3 : 4, а сборът от лицата им е 325 cm2. Намерете лицето на всеки от триъгълниците. 1 7. Основата и бедрото на равнобедрен триъгълник се отнасят както 10 : 13, а височината към основата му е равна на 18 cm. Намерете разстоянието между медицентъра на триъгълника и центъра на вписаната в него окръжност. 1 8. Намерете ъглополовящите на правоъгълен триъгълник с катети a = 6 cm и b = 8 cm. 1 9. Намерете медианите на правоъгълен триъгълник с катет a = 6 cm и хипотенуза с = 10 cm. 20. Намерете радиусите на описаната и вписаната окръжности на правоъгълен триъгълник с катети a = 3 cm и b = 4 cm. 21. О сновите на равнобедрен трапец са 6 cm и 4 cm, а бедрото му е 5 cm. Намерете височината и диагонала на трапеца. 22. Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Намерете разстоянието от центъра на вписаната до центъра на описаната за този триъгълник окръжности. 23. Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до центъра на вписаната в триъгълника окръжност. 24. Правоъгълен трапец с бедра 16 cm и 20 cm е описан около окръжност. Намерете лицето му.
219
62
ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ Тригонометрични зависимости в правоъгълен триъгълник sin α = BC = a AB c BC =a tg α = AC b
cos α = AC = b AB c cotg α = AC = b BC a
Тригонометрични функции на ъгли от 0° до 180° Определения
sin α = y cos α = x tg α = sin α = cos α cotg α = cos α sin α
y , α ≠ 90° x = x , α ≠ 0°, 1800° y
Стойности на тригонометричните функции за някои специални ъгли a
0°
30° 1 2
45°
60°
90°
sin a
0
cos a
2 2
1
1
3 2
2 2
3 2 1 2
tg a
0
3 3
1
3
–
− 3
–1
− 3 3
0
cotg a
–
3
1
3 3
0
− 3 3
–1
− 3
–
0
120° 135° 150° 180° 1 2 3 0 2 2 2 − 1 − 2 − 3 –1 2 2 2
Тригонометрични тъждества sin2 a + cos2 a = 1 tg a . cotg a = 1, a ≠ 0°, 90°, 180°
220
sin (90°– a) = cos a
sin (90°+ a) = cos a
sin (180°– a) = sin a
cos (90°– a) = sin a
cos (90°+ a) = – sin a
cos (180°– a) = – cos a
tg (90°– a) = cotg a
tg (90°+ a) = – cotg a
tg (180°– a) = – tg a
cotg (90°– a) = tg a
cotg (90°+ a) = – tg a
cotg (180°– a) = – cotg a
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
Ако a = 30°, намерете стойността на изразите: 5 sin α 2 sin 2α + 3 cotg 2α ; а) A = б) B = . cotg 3α − cos 2α 3 tg α Решение: 5 sin 30° cotg 90° − cos 60° 5⋅ 1 2 = −5 A= 0− 1 2
а) A =
Отг. A = – 5
ЗАДАЧА 2
При a ∈ (0°; 90°) опростете изразите: 2 sin α.sin(90° − α) а) A = ; cos α − cos(180° − α) Решение: 2 sin α.sin(90° − α) cos α − cos(180° − α) A = 2 sin α.cos α cos α − (− cos α) A = 2 sin α.cos α 2 cos α A = sin α Отг. A = sin a а) A =
ЗАДАЧА 3
2 sin 60° + 3 cotg 60° 3 tg 30° 2 ⋅ 3 + 3⋅ 3 2 3 = 3+ 3 =2 B= 3 3⋅ 3 3 Отг. B = 2
б) B =
б) B =
4 sin(90° + α).cotg(90° − α) . sin(180° − α) + cos(90° − α)
4 sin(90° + α).cotg(90° − α) sin(180° − α) + cos(90° − α) 4 cos α.tg α B= sin α + sin α 4 cos α ⋅ sin α cos α = 4 sin α = 2 B= 2 sin α 2 sin α
б) B =
Отг. B = 2
Aко sin α = 2 2 и a ∈ (90°; 180°), намерете стойността на изразите: 3 3 2 − tg α − α; 7 3 cos б) B = а) A = . 6 cos α + 1 5 2 + 2 tg α Решение: α ∈ (90°; 180°) ⇒ cos α < 0 sin 2 α + cos 2 α = 1 2 cos α = − 1 2 2 3 + cos 2 α = 1 3 sin α tg α = 8 + cos 2 α = 1 cos α 9 2 2 cos 2 α = 1 9 tg α = 3 ⇒ tg α = −2 2 1 cos α = ± −1 3 3 3 2 − tg α а) A = 7 − 3 cos α б) B = 6 cos α + 1 5 2 + 2 tg α 1 7 − 3⋅ − 3 2 − ( −2 2 ) 3 B= A= 5 2 + 2 ( −2 2 ) 6 ⋅ − 1 +1 3 B= 3 2 +2 2 = 5 2 =5 A = 7 + 1 = −8 5 2 −4 2 2 −2 + 1
( ) ( )
Отг. A = – 8
Към съдържанието
Отг. B = 5
221
ЗАДАЧА 4
Aко tg a = – 3, намерете числената стойност на израза A = Решение: I начин: От tg a = – 3 намираме sin a = – 3 cos a и заместваме в израза A. 4 sin α cos α 17 cos 2 α − 2 sin 2 α 4(−3 cos α) cos α A= 17 cos 2 α − 2(−3 cos α) 2 A=
−12 cos 2 α 17 cos 2 α − 18 cos 2 α 2 A = −12 cos2 α − cos α A = 12 A=
ЗАДАЧА 5
4 sin α cos α . 17 cos 2 α − 2 sin 2 α
II начин: За да получим tg a в израза A, делим числителя и знаменателя му с cos2a. 4 sin α cos α cos 2 α A= 2 17 cos α − 2 sin 2 α cos 2 α 4 tg α A= 17 − 2 tg 2 α 4(−3) A= 17 − 2(−3) 2 A = −12 −1 A = 12
Отг. A = 12
Височината CD към хипотенузата AB в ABC (С = 90°) има дължина 3 cm и сключва с катета AC ъгъл 60°. Намерете лицето на триъгълника. Решение: DCB = 90° – 60° = 30°
I начин: 1. ACD (D = 90°), cos 60° = CD AC 1= 3 2 AC AC = 6 cm 2. BCD (D = 90°), cos 30° = CD BC 3= 3 2 BC BC = 2 3 cm 3. S ABC = AC.BC 2 6 . 2 3 S ABC = 2 S ABC = 6 3 cm 2
II начин: 1. ACD (D = 90°) AD = CD tg 60° = 3 3 cm 2. BCD (D = 90°) BD = CD tg 30° BD = 3 3 = 3 cm 3 3. AB = AD + BD AB = 3 3 + 3 = 4 3 cm 4. S ABC = AB.CD 2 S ABC = 4 3.3 2 S ABC = 6 3 cm 2 2 Отг. S ABC = 6 3 cm
222
Към съдържанието
ЗАДАЧА 6
ABC e правоъгълен с хипотенуза AB = 25 cm, височина към нея CD = 12 cm и AC > BC. Намерете тангенса на най-малкия ъгъл на триъгълника. Решение: 1. Означаваме BAC = a и ABC = b. От AC > BC ⇒ b > a. Най-малкият ъгъл в ABC е a и AD > BD. 2. Означаваме AD = x, BD = 25 – x. За ABC (С = 90°) имаме CD2 = AD . BD 122 = x(25 – x) x2 – 25x + 144 = 0 x1 = 16 x2 = 9 ⇒ AD = 16 cm (AD > BD). 3. ACD (D = 90°) tg α = CD AD 12 tg α = = 3 16 4
ЗАДАЧА 7
Отг. tg α = 3 4
Даден е равнобедрен ABC с бедра AC = BС = a и ъгъл g между тях. Изразете чрез a и g основата и височините на триъгълника. 1. ACD (D = 90°), AD = x, Решение: γ AB = 2 x, CD = hc , ACD = 2 γ x = AD = AC sin 2 γ x = a sin 2 AB = 2 x γ AB = 2a sin 2 γ CD = AC cos 2 γ hc = a cos 2 2. ACQ (Q = 90°), AQ ⊥ BC , AQ = ha AQ = AC sin γ ha = a sin γ hb = ha = a sin γ
γ γ Отг. AB = 2a sin , hc = a cos , ha = hb = a sin γ 2 2
Към съдържанието
223
ЗАДАЧА 8
В правоъгълния ABC (С = 90°) BAС = a и отсечката CD = h е височината към хипотенузата AB. Изразете чрез h и a страните а, b, c на триъгълника и радиуса r на вписаната в него окръжност. 1. BAC = α, ABC = 90° − α Решение: BCD (D = 90°) BCD = 90° − ABC BCD = 90° − (90° − α) = α 2. ACD (D = 90°) sin α = CD = h ⇒ b = h AC b sin α 3. BCD (D = 90°) cos α = CD = h ⇒ a = h BC a cos α 4. ABC (C = 90°) sin α = BC = a AB c h ⇒c= a = sin α sin α cos α 5. r = a + b − c 2 h + h − h 1 r= 2 cos α sin α sin α cos α h(sin α + cos α − 1) r= 2 sin α cos α
(
ЗАДАЧА 9
)
Докажете, че tg15° = 2 − 3 . Решение:
1. ABC (С = 90°) e правоъгълен с прав ъгъл при върха C и BAС = 30°. Означаваме BC = a. sin 30° = BC ⇒ 1 = a ⇒ AB = 2a AB 2 AB BC ⇒ 3 = a ⇒ AC = a 3 tg 30° = AC AC 3 CL x = 2. AL – ъглополовяща CL = BL ⇒ x = a − x 2a CA BA a 3 2x = a 3 − x 3
(2 +
3) x = a 3
x= a 3 2+ 3 3. ACL (С = 90°)
224
a 3 tg15° = CL = x = 2 + 3 = 1 CA a 3 a 3 2+ 3 tg15° = 2 − 3
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ“ 1. Намерете: а) cos a, ако sin α = 5 и a ∈ [0°; 90°]; 5 2 б) cos a, ако sin α = 5 и a ∈ [90°; 180°]; 5 2 в) sin a, ако cos α = 2 ; 3 г) sin a, ако cos α = − 6 . 3 2. Пресметнете: а) cos2 45° – 2 sin 30° cos 120°; б) sin 60° sin 120° + cos2 120°; в) sin2 60° – cos2 150°; г) cos 60° – sin 135° cos 45°. 3. Намерете числената стойност на изразите: а) A = 2 sin α cos α за a = 45°, 60°; cos 2α − 2 cos α б) B = sin α − cos α за a = 30°, 45°. sin α + cos α 4. Намерете sin a и cos a, ако: 1 а) tg a = 2; б) cotg α = − ; 2 2 ; в) tg α = г) cotg α = −2 2 . 4 5. Пресметнете: а) tg2 135° – cos 60° tg 45°; б) cotg2 150° – tg2 120°; в) tg2 30° + cotg2 120°; г) cos 150° cotg 30° + 2 cos2 150°. 6. Докажете, че: а) tg a sin2 a + cotg (90° – a) cos2 a = tg a, a ≠ 90°; sin(90°− α).tg 2 α = 1 , α ≠ 90°; б) 1+ 1+ cos α cos α в) sin4 a + sin2 a cos2 a + cos2 a = 1; г) sin4 a + 2sin2 a cos2 a + + sin4 (90° + a) = 1. 7. Пресметнете стойността на изразите: а) A = cos (180° – a) + sin (90° + a) + + sin2 55° + sin2 35°; б) B = cos (90° + a) + sin (180° – a) + + sin2 75° + sin2 15°. 8. Ако a е остър ъгъл и sin α = 4 , пресметнете 5 стойността на изразите: а) A = cos a + sin a . cotg (90° – a); б) B = 3tg a – 5 cos (90° – a).
Към съдържанието
9. Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник има дължина 6 cm и сключва с един от катетите му ъгъл 30°. Намерете лицето на триъгълника. 10. Страната на ромб е 12 cm и острият му ъгъл е 60°. Намерете радиуса на вписаната в ромба окръжност. 1 1 . CD е височина към хипотенузата AB на правоъгълния ABС. Ако BC = 8 cm и BD = 6,4 cm, намерете tg BAC. 1 2. CD е височина към хипотенузата AB на правоъгълния ABС. Ако cos BAC = 2 5 и 5 CD = 6 cm , намерете дължината на BC. 1 3. Намерете лицето на ромб ABCD с диагонал AC = 4 3 cm и ABC = 120°. 1 4. В правоъгълния ABC (С = 90°) AB = 13 cm и cos BAC = 12 . Намерете радиуса на вписа13 ната в триъгълника окръжност. 15. В равнобедрен ABC (СA =CB), за който cos BAC = 1 , е вписана окръжност с радиус 5 r = 1 cm. Намерете лицето на ABC. 1 6. В остроъгълния ABC BAC = 60° и височините през върховете C и B са съответно 6 cm и 3 cm. Намерете лицето на ABC. 1 7. В ABC ACB = 120°. Ако AC = BC = 6 cm, намерете дължината на ъглополовящата AL (L ∈ BC). 1 8. В ABC с BAC = 60° и страна BC = 6 cm е вписана окръжност с радиус r = 3 cm. Намерете лицето на триъгълника. 1 9. Докажете, че: a) sin 75° = 6 + 2 ; б) cos 75° = 6 − 2 ; 4 4 в) tg 75° = 2 + 3; г) cotg 75° = 2 − 3. 20. Докажете, че: 2− 2 2+ 2 ; б) cos 22°30′ = ; a) sin 22°30′ = 2 2 в) tg 22°30′ = 2 − 1; г) cotg 22°30′ = 2 + 1.
225
63.
РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК C γ
b
A
α
• страни а, b, c • ъгли a, b, g • r – радиус на вписаната окръжност • R – радиус на описаната окръжност • медиани mа, mb, mc • ъглополовящи lа, lb, lc
a β
c
B
Синусова теорема
Косинусова теорема
a = b = c = 2R sin α sin β sin γ
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a b2 = a2 + c2 – 2ac cos b c2 = a2 + b2 – 2ab cos g
a + b + g = 180° Следствия от косинусовата теорема 2 2 2 cos α = b + c − a 2bc 2 2 2 cos β = a + c − b 2ac 2 2 2 cos γ = a + b − c 2ab
g < 90° ⇔ a2 + b2 > c2
Формули за медиани
Формули за ъглополовящи
g = 90° ⇔ a2 + b2 = c2 g > 90° ⇔ a2 + b2 < c2
2 la 2 = bc − bca 2 (b + c)
ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 2 1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 mb = 2 mc = 1 2a 2 + 2b 2 − c 2 2
2 lb 2 = ac − acb 2 (a + c) 2 lc 2 = ab − abc 2 ( a + b)
Формули за лице a . ha b. hb c . hc = S =1 1 ab sin γ =1 1 ac sin β = 1 bc sin α a . ha b.Sh= c . hc= 1 b 2 sin α 2 2 2 2 S = ab sin γ = 2ac sin β = bc S= = = 2 2 2 2 2 2 S = p. r, p = a + b + c S = p ( p − a )( p − b)( p − c) 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c) S = p. r, p = a + b + c 2 a . b. c β sin γ b 2 sin α sin γ c 2 sin α sin β a 2 sin 2 2 2 S = S = = a . b. c α sin γ c 2sin α sin β= a sin β sin γ b2sin 4R 2 sin γ = sin β = sin α S= S= 4R 2 sin α 2 sin β 2 sin γ Връзка между страните и диагоналите на успоредник D
C d2
b
d1 A
226
a
B
Сборът от квадратите на диагоналите на всеки успоредник е равен на сбора от квадратите на страните му. d12 + d22 = 2a2 + 2b2
Към съдържанието
ЗАДАЧА 1
В ABC със страни AC = 13 и BC = 15 е построена височината CD (D∈AB). Ако AD = 5, намерете дължината на радиуса на описаната около ABC окръжност. Решение: 1. ACD (D = 90°) C CD = CA2 − AD 2 2 2 15 CD = 13 − 5 = 12 13 sin α = CD = 12 CA 13 α 2. За ABC от синусовата теорема пресмятаме R. 5 D B A BC = 2 R, R = BC = 15 = 65 sin α 2 sin α 2 ⋅ 12 8 13 Отг. R = 8 1
8
ЗАДАЧА 2
Отсечката CL (L∈AB) е ъглополовяща в ABC с A = 45° и B = 30°. Намерете отношението AL : BL. Решение: 1. Означаваме ALC = ϕ. Тогава BLC = 180° – ϕ. C 2. За ACL прилагаме синусовата теорема. AC = CL ⇒ AC = CL sin ϕ = 2CL sin ϕ sin ϕ sin 45° 2 2 3. За BCL прилагаме синусовата теорема. 45° ϕ 30° CL sin ϕ BC = CL ⇒ BC = = 2CL sin ϕ L B A sin(180° − ϕ) sin 30° 1 2
4. CL e ъглополовяща в ABC. AL = AC = 2CL sin ϕ = 2 2CL sin ϕ 2 BL BC Отг. AL : BL = 2 : 2
ЗАДАЧА 3
Намерете радиуса на окръжността, описана около трапец с основи 9 cm и 3 cm и ъгъл при голямата основа a = 60°. Решение: 1. Трапецът ABCD e вписан в окръжност и следователно е a − b = 3 cm равнобедрен. Ако DH e височина, то AH = 2 и BH = a + b = 6 cm. 2 2. ADH (H = 90°) DH = tg 60° → DH = AH .tg 60° = 3 3 cm AH
3. BHD (H = 90°)
BD = DH 2 + BH 2 = (3 3 ) 2 + 62 = 63 = 3 7 cm 4. За ABD прилагаме синусовата теорема. BD = 2 R sin 60° 3 7 = 2R 3 2 R = 3 7 : 3 = 21 cm
Към съдържанието
Отг. R = 21 cm
227
ЗАДАЧА 4
В ABC BC = 3, C = 45° и AC = 2 2. Намерете дължината на медианата CM. Решение:
1. За ABC прилагаме косинусовата теорема. AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC cos 45°
C 3
2 2 A
ЗАДАЧА 5
M
B
AB 2 = 8 + 9 − 2.2 2 .3 ⋅ 2 = 5 2 AB = 5 2. Прилагаме формулата за медианата CM. mc = 1 2a 2 + 2b 2 − c 2 2 1 mc = 2.9 + 2.8 − 5 = 1 29 Отг. CM = 1 29 2 2 2
Равностранният ABC със страна 19 cm е вписан в окръжност k и D е точка от дъгата AC , несъдържаща точка B. Ако CD = 3 cm, намерете дължината на хордите BD и AD. Решение:
19 cm
1. ADB = BDC = 60° (вписани ъгли) 2. Означаваме AD = x и BD = y. 3. За ACD прилагаме косинусовата теорема. AC 2 = AD2 + CD2 – 2AD.CD cos 120° 19 = x2 + 9 + 3x x2 + 3x – 10 = 0, x1 = 2, x2 = – 5, AD = 2 cm 4. За BCD прилагаме косинусовата теорема. BC 2 = BD2 + CD2 – 2BD.CD cos 60° 19 = y2 + 9 – 3y y2 – 3y – 10 = 0, y1 = 5, y2 = – 2, BD = 5 cm Отг. AD = 2 cm, BD = 5 cm
ЗАДАЧА 6
Даден е ABC, в който AC = 5 cm, AB = 7 cm и ACB = 60°. Намерете разстоянието от центъра O на описаната около триъгълника окръжност до страната BC. 1. OB = R. Построяваме OM ⊥ BC, BC = a. Решение: ⇒ BM = BC = a 2 2 2. За ABC прилагаме косинусовата теорема. AB2 = AC2 + BC2 – 2AC . BC cos 60° 49 = 25 + a2 – 2.5.a. 1 2 a2 – 5a – 24 = 0, a1 = 8 – да, a2 = – 3 – не 3. За ABC прилагаме синусовата теорема. AB = 2R sin g 7 = 2 R ⋅ 3 ⇒ R = 7 , R = 7 3 cm 3 2 3 4. За OBM прилагаме питагоровата теорема.
228
()
OM = R 2 − a 2
2
= 147 − 16 = 147 − 144 = 3 9 9 3
Отг. OM = 3 cm 3
Към съдържанието
ЗАДАЧА 7
Дължините на страните на ABC са AB = 15 cm, BC = 13 cm и AC = 14 cm. Намерете дължините на hb, r и R. 1. Намираме лицето на ABC по Хероновата формула. p = a + b + c = 13 + 14 + 15 = 21 2 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c)
Решение:
S = 21.8.7.6 = 3.7.8.7.22.3 S = 32.7 2.42 = 84 cm 2 2. Височината hb намираме от формулата b.h S= b 2 14.hb 84 = ⇒ hb = 12 cm. 2 3. Радиусът r на вписаната в триъгълника окръжност намираме от формулата S = p.r 84 = 21.r ⇒ r = 4 cm. 4. Радиусът R на описаната около триъгълника окръжност намираме от формулата S = a.b.c 4R 84 = 13.14.15 ⇒ R = 8 1 . 4R 8 = Отг. hb 12 = cm, r 4 cm, R = 8 1 cm 8
ЗАДАЧА 8
За ABC са дадени AC = 12 cm, BC = 8 cm и ACB = 30°. Ако CL e ъглополовяща на ACB, намерете лицето на ALC. Решение: C 12 8
A
L
1. S ABC = 1 AC.BC.sin 30° 2 1 S ABC = ⋅ 12.8 ⋅ 1 = 24 cm 2 2 2 2. От свойството на ъглополовящата CL в ABC следва, че AL = 12 = 3 , AL = 3 = 3 . LB 8 2 AB 2 + 3 5 3. ALC и ABC имат обща височина hc. 1 S ALC 2 AL. hc AL 3 = = = S ABC 1 AB. h AB 5 c 2 ⇒ S ALC = 3 S ABC 5 ⇒ S ALC = 3 ⋅ 24 = 72 = 14, 4 cm 2 5 5
B
Към съдържанието
Отг. S ALC = 14, 4 cm 2
229
ЗАДАЧА 9
В ABC със страна AB = 10 точката O е център на вписаната окръжност. Ако AO = 2 и BO = 2, намерете: а) SABO ; б) SABC . Решение: а)
1. AO и BO са ъглополовящи на CAB и ABC. OQ ⊥ AB, OQ = r 2. В AOB означаваме AOB = ϕ и прилагаме косинусовата теорема. AB 2 = AO 2 + BO 2 − 2 AO.BO cos ϕ 10 = 4 + 2 − 2.2. 2 cos ϕ 4 2 cos ϕ = −4 cos ϕ = − 2 ⇒ ϕ = 135° 2 1 AO.BO.sin ϕ S = 3. AOB 2 1 S AOB = .2. 2 .sin 135° 2 S AOB = 1 .2. 2 ⋅ 2 2 2 S AOB = 1
Отг. SAOB = 1
AB.OQ б) 1. S AOB = 2 10 . r 1= 2 10 r= 5 γ 2. ACB = γ, AOB = 90° + 2 γ 135° = 90° + ⇒ γ = 90° 2 ⇒ABC е правоъгълен. 3. r = a + b − c 2 10 = a + b − 10 5 2 a + b = 7 10 5 4. S ABC = p. r p = a+b+c 2 7 10 + 10 p= 5 = 6 10 2 5 S = 6 10 ⋅ 10 = 12 5 5 5 Отг. S ABC = 2 2 5
ЗАДАЧА 10 Даден е ABC, в който AC = 6 cm, BC = 4 cm и ACB = 120°. Намерете дължината на ъглополовящата CL. Решение:
230
1. BC = a = 4 cm, AC = b = 6 cm, CL = lc 2. SABC = SACL + SBCL 1 ab sin 120° = 1 b. l sin 60° + 1 a. l sin 60° 2 2 c 2 c 1 1 1 ab sin 120° = 1 b. l sin ab b°60 .−lc 60 + 160a.°lc sin 60° 120 =1sin( a°. l=180 60sin °°+120 °sin°)60=°sin c sin c sin 2 2 2 2 2 2 1 b. l° −sin 1 a60 1sin 120 180 60 ° = sin( ° ) = sin ab 60 60 . lc°sin 60° | : 1 sin 60° sin ° = ° + sin 120° = sin(180° − 260°) = sin 60° 2 c 2 2 1 1 1 1 1 1 ab sin 60° = 1 b. l sin a.°l.c sin 60° | : 1 sin 60° + 60 ab°sin b60 . lac°.+l= asin . lbc .lc sin|60 ⇒ab =+равенството 60 : °sin c Делим c 2 60° на 2 2 2 2 2 2 2 ab = ( a + b ) l ⇒ ab = b. lc + a. lc ⇒ ab = b. lc + a.clc = (ab a + b=) l4.6 = 24 = 2, 4 ⇒ lab c = ab = (a + b) lc a + b 4c + 6 10 ab 4.6 24 lc = = 2a, +4 b = 4 + 6 = 10 = 2, 4 ⇒ lc = ab = 4.6 =⇒24 a + b 4 + 6 10 Отг. CL = 2,4 cm
Към съдържанието
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК“ 1. Да се намери страната BC на ABC, ако AB = 13 cm, AC = 15 cm и BСА = 60°. 2. Да се намери косинусът на средния по големина ъгъл в ABC, ако: а) a + b = 8 cm, c = 7 cm и g = 120°; б) a = 13 cm, b – c = 1 cm и a = 120°. 3. Е дна от страните на триъгълник е 13 cm. Да се намерят другите две, ако разликата им е 7 cm, а ъгълът между тях е 60°. 4. В окръжност е вписан четириъгълник, две съседни страни на който са 8 cm и 15 cm, а ъгълът между тях е 60°. Да се намерят другите две страни на четириъгълника, ако разликата им е 1 cm. 5. Медианите на ABC са ma = 12 cm, mb = 15 cm, mc = 9 cm. Да се намерят страните на триъгълника и ъгълът между ma и mc. 6. Д ве от страните на триъгълник са 5 cm и 10 cm. Медианата към третата му страна е с 2,5 cm по-малка от тази страна. Да се намери третата страна. 7. В ABC a = 20 cm, b = 45 cm и lc = 24 cm. Да се намери c. 8. Две съседни страни на четириъгълник са 20 cm и 30 cm и образуват ъгъл 60°. Да се намерят другите му две страни, ако се знае, че около четириъгълника може да опише окръжност и в него може да се впише окръжност. 9. Около окръжност е описан четириъгълник ABCD. Да се намерят страните BC и CD, ако е дадено, че AB = 5, AD = 12, BAD = 90° и BCD = 60°. 10. Страните на успоредник ABCD са 5 cm и 3 cm, а ъгълът между тях е 60°. Да се намерят радиусите на окръжности те, описани около ABD и ABC. 1 1 . В окръжност е вписан триъгълник, разликата между най-голямата и най-малката страни на който е 4 cm, а третата е отдалечена от центъра на окръжността на 2 cm. Да се намерят страните на триъгълника, ако радиусът на окръжността е 4 cm.
Към съдържанието
1 2. Най-малката страна на триъгълник се отнася към радиуса на описаната около него окръжност както 6 : 5, а другите страни са съответно 20 cm и 21 cm. Да се намери най-малката страна на триъгълника. 1 3. Лицето на триъгълник е 56 cm2. Една от страните му е 14 cm, а един от прилежащите ѝ ъгли е 45°. Да се намери радиусът на описаната около триъгълника окръжност. 1 4. Две от страните на триъгълник са 4 cm и 6 cm, а ъглите срещу тях се отнасят както 1 : 2. Да се намери третата страна на триъгълника. 15. Височините на триъгълник се отнасят както 6 : 4 : 3, а периметърът му е 9 cm. Да се намери лицето на триъгълника. 1 6. Е дна от страните на триъгълник е 21 cm, а разликата на другите две е 7 cm. Да се намерят неизвестните страни, ако лицето на триъгълника е 84 cm2. 1 7. В триъгълник с лице 84 cm2 e вписана окръжност, която дели едната му страна на отсечки от 6 cm и 8 cm. Да се намерят неизвестните страни на триъгълника. 1 8. Да се намери радиусът на окръжността, вписана в триъгълник със страни 15 cm, 28 cm и 41 cm. 1 9. Страните на триъгълник са 50 cm, 78 cm и 112 cm. Да се намерят разстоя нията от центъра на описаната му окръжност до всяка страна. 20. Около окръжност е описан четириъгълник ABCD. Да се намери радиусът на окръжността, ако AB = 13 cm, BC = 20 cm, CD = 17 cm и диагоналът AC = 21 cm. 21. Да се намерят страните на триъгълник с лице 84, ако те са последователни цели числа. 22. Д ве от страните на триъгълник са 6 cm и 12 cm, а ъгълът между тях е 120°. Да се намери дължината на ъглополовящата на триъгълника, която разполовява дадения ъгъл.
231
64.
ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА Комбинаторика Правило за събиране на възможности Ако един обект a може да бъде избран по m начина, а друг обект b – по n начина, различни от начините за избиране на a, то кой да е от обектите a или b може да бъде избран по m + n начина. Правило за умножение на възможности Ако един обект a може да бъде избран по m начина и при всеки избор на а обектът b може да бъде избран по n начина, то изборът на наредена двойка (a; b) може да стане по m . n начина. Пермутации без повторение от n елемента – съединения, във всяко от които влизат всички дадени елементи и се различават само по реда на тези елементи. Брой пермутации без повторение от n елемента: Pn = 1 . 2 . 3 ... (n – 1) . n = n!, 0! = 1 Вариации без повторение на n елемента от k-ти клас (k ≤ n) – съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго или по елементите, или по реда им. Брой вариации без повторение на n елемента от k-ти клас:
Комбинации без повторение на n елемента от k-ти клас (k ≤ n) – съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго с поне един елемент. Брой комбинации без повторение на n елемента от k-ти клас:
Вероятности Класическа вероятност брой благоприятни елементарни събития ν ( A) . = P( A) = m = брой на всички елементарни събития n ν (Ω) Свойства • Вероятността на достоверното събитие е единица: P(W) = 1. • Вероятността на невъзможното събитие е нула: P(∅) = 0. • За вероятността на кое да е събитие А е в сила 0 ≤ P(A) ≤ 1. Вероятност на сума на несъвместими събития Събитията А и В се наричат несъвместими, когато не могат да се случат едновременно, т.е. ако А ∩ В = ∅. Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е. Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В).
232
Към съдържанието
Вероятност на противоположно събитие Противоположно събитие на А се нарича събитие, което се случва тогава и само тогава, когато не се случва събитието А. Означаваме го сА. АкоА е противоположното събитие на А, то за вероятността наА е в сила: Р(А) = 1 – Р(А). Вероятност на сума на съвместими събития Събитията А и В се наричат съвместими, когато могат да се случат едновременно, т.е. ако А ∩ В ≠ ∅. Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е. Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В). Статистика Средна аритметична стойност Непретеглена формула x + x + x3 + + xn x= 1 2 , n Медиана Медианата е числовата стойност, която разделя ранговия ред на две равни части (т.е. на групи от по 50% от единиците). Тя се нарича още средна по положение.
Претеглена формула x f + x f + + xk f k x= 1 1 2 2 , n Ме __________ __________ 1442443 1442443 50%
50%
При нечетен брой единици медианата е равна на стойността на централната (средната) единица на ранговия ред. При четен брой единици медианата е равна на средното аритметично на двете централни единици на ранговия ред. Мода Мода се нарича най-често срещаното значение на признака в съвкупността. Тя е равна на значението на признака, което притежава най-голям брой единици. Нарича се още средна по гъстота. Квартили Q1 Me = Q2 Q3 Квартилите са числовите стойности, които разделят ранговия ред на четири _____ _____ _____ _____ 123 123 123 123 равни части (т.е. на групи от по 25% от 25% 25% 25% 25% единиците). Квартилите се определят, като се намерят медианите на двете половини на ранговия ред. Медианата на първата половина е Q1, а медианата на втората половина е Q3. Петчислено представяне на данни Включва: xmin – най-малката стойност Q1 – първия квартил Ме – медианата Q3 – третия квартил xmax – най-голямата стойност.
Графична форма Диаграма от типа „кутия с мустаци“ (вox-plot)
xmin
Към съдържанието
Q1
Me
Q3
xmax
233
ЗАДАЧА 1
Пресметнете: P4 ; а) P6
б) V74 − V63 ;
в) C85 + C63 .
Решение: а)
P4 4! = P6 6! 1. 2. 3. 4 P4 = P6 1. 2. 3. 4 . 5. 6
ЗАДАЧА 2
б) V63 = 6.5. 4 V63 = 120 V74 = 7. 6. 5. 4
в) C85 =
8. 7. 6. 5. 4 1. 2. 3. 4. 5
C85 = 56 6 . 5. 4 1. 2. 3
P4 = 1 P6 5. 6
V74 = 840
C63 =
P4 1 = P6 30
V74 − V63 = 840 − 120 V74 − V63 = 720
C63 = 20 C85 + C63 = 56 + 20 = 76
Пет момчета и четири момичета трябва да се подредят в два реда за снимка, като момчетата са прави, а момичетата са седнали пред тях. Намерете по колко начина може да стане това. Решение: Подреждането на момичетата не зависи от подреждането на момчетата. Момичетата могат да се подредят една до друга по P4 = 4! = 24 начина. Момчетата могат да се подредят едно до друго по P5 = 5! = 120 начина. По правилото за умножение на възможности момчетата и момичетата могат да се подредят по P4 . P5 = 24 . 120 = 2 880 начина.
ЗАДАЧА 3
Намерете колко петцифрени числа могат да се образуват от цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6, така че да не се повтаря нито една от тях. Решение: = . 6.5. 4. 3 2 520 – броят Броят на всички наредени петорки с различни цифри е V75 7= на вариациите от 7 елемента от 5-ти клас. Тъй като наредените петорки, започващи с 0, не са петцифрени числа, от този брой трябва да извадим броя на вариациите, при които = V64 6= .5. 4.3 360 . първата цифра е 0, т.е. Следователно броят на петцифрените числа, съставени от дадените 7 цифри, е V75 − V64 = 2 520 − 360 = 2 160.
ЗАДАЧА 4
234
Намерете колко четни четирицифрени числа могат да се образуват от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9, така че да не се повтаря нито една от тях. Решение: Четните числа са тези, които завършват или на 2, или на 4, или на 8. Те имат вида: _ _ _ 2, или _ _ _ 4, или _ _ _ 8 . И в трите случая остават 7 цифри, които могат да заемат първите три празни позиции = V73 7= . 6. 5 210 начина. по Следователно по правилото за събиране на възможности броят на четните четирицифрени числа е 210 + 210 + 210 = 630.
Към съдържанието
ЗАДАЧА 5
Дадени са десет точки, никои три от които не лежат на една права. Намерете броя на правите, определени от тези точки. Решение: Две точки определят една права, като няма значение коя точка е първа и коя – втора, т.е. редът на елементите не е от значение. Задачата се свежда до намиране броя на комбинациите на 10 елемента от 2-ри клас. 10. 9 Пресмятаме: = = 45 прави. C102 1. 2
ЗАДАЧА 6
В кутия има 6 червени топки и 8 сини топки. Намерете по колко начина едновременно могат да се изтеглят 5 топки, така че две от тях да са червени, а другите три – сини. Решение: 6. 5 2 = = 15 начина. От 6 червени топки могат да се изтеглят 2 по C 6 1. 2 8. 7. 6 C83 = 56 начина. От 8 сини топки могат да се изтеглят 3 по= 1. 2. 3 По правилото за умножение две червени и три сини топки могат едновременно да се 2 3 15 = . 56 840 начина. изтеглят по C= 6 .C8
ЗАДАЧА 7
Буквите от думата СТЕРЕОМЕТРИЯ са написани на отделни еднакви картончета, които са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно картонче. Намерете вероятността върху него да е написана: а) гласна буква; б) съгласна буква. Решение: Броят на всички картончета е 12, т.е. броят на всички елементарни събития е n = n(W) = 12. а) На 6 от картончетата е написана гласна буква (Е, Е, О, Е, И, Я). Броят на благоприятните елементарни събития на събитието А = {изтеглено е картонче с гласна ν ( A) 6 1 = = . буква} е m = n(А) = 6. Следователно P ( A) = ν (Ω) 12 2 б) Противоположното събитие на А е събитиетоА ={изтеглено е картонче със 1 1 съгласна буква}. Следователно P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − = . 2 2
ЗАДАЧА 8
С помощта на цифрите 0, 1, 3, 4, 5, 7 и 9 са записани всички възможни трицифрени числа. Намерете вероятността случайно избрано число от записаните да се дели на 10. Решение: V73 7= . 6.5 210 . Тъй като Броят на всички наредени тройки с различни цифри е= наредените тройки, започващи с 0, не са трицифрени числа, от този брой трябва да 2 6= .5 30 . извадим броя на вариациите, при които първата цифра е 0, т.е. V= 6 Следователно броят на трицифрените числа, записани с дадените 7 цифри е V73 − V62 = 210 − 30 = 180 . Общият брой на елементарните събития е n = 180. За да се дели на 10 избраното число, то трябва да завършва на 0. Остават 6 цифри, 2 6= .5 30 начина. които могат да заемат първите две празни позиции по V= 6 Следователно броят на благоприятните елементарни събития е m = 30. = m= 30 = 1 . Търсената вероятност е P n 180 6
Към съдържанието
235
ЗАДАЧА 9
Хвърляме два правилни зара. Намерете вероятността на събитието A = {сборът от точките на двата зара е по-голям от 4}. Решение: Множеството от елементарните събития Ω при хвърляне на два правилни зара се състои от всички наредени двойки (p, q), където p и q са някои от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6, т.е. Ω е декартовото произведение на множествата от елементарните събития на всеки един от двата зара. Общият брой на всички елементарни събития е n = n (W) = 6 . 6 = 36. Противоположното събитие на A е събитието
I зар 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
II зар
А ={сборът от точките на двата зара е по-малък или равен от 4}. Благоприятните елементарни събития за А= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)},
ν ( A) 6 1 = = . ν (Ω) 36 6 Вероятността да настъпи събитието A e P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 1 = 5 . 6 6 т.е. m = n А) ( = 6. Следователно P ( A) =
ЗАДАЧА 10 Имаме тесте от 52 карти. Без да гледаме, теглим една от тях. Изобразете графично
множеството от всички елементарни събития и намерете вероятността изтеглената карта да е: а) петица или вале; б) петица или пика. Решение: а) ♣ б) ♣ ♥ ♦ ♠
♥ ♦ ♠
2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
А = {картата е петица (5)} B = {картата е вале (J)} А ∩ В = ∅, P ( A ∩ B ) = 0 А ∪ В = {картата е петица или вале} ) 4= 1 P ( A= ) 4= 1 , P ( B= 52 13 52 13 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) P( A ∪ B) = 1 + 1 = 2 13 13 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
А = {картата е петица (5)} B = {картата е пика (♠)} А ∩ В = {картата е петица пика (5♠)} А ∪ В = {картата е петица или пика} P ( A) = 4 , P ( B ) = 13 , P ( A ∩ B ) = 1 52 52 52 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 4 + 13 − 1 52 52 52 16 P( A ∪ B) = = 4 52 13
ЗАДАЧА 11 Намерете средната аритметична стойност, модата, медианата, първия и третия
квартил на статистическите редове. Конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“: а) 3, 6, 9, 5, 7, 5, 6, 3, 5, 7 , 9, 7; б) 8, 2, 9, 6, 4, 7, 8, 9, 9, 7, 3, 4, 2.
236
Към съдържанието
Решение: а) Подреждаме данните във възходящ ред. 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9; 3, 3, 123 5, 5, 5, 123 6, 6, 123 7, 7, 7, 123 9, 9 123
б) Подреждаме данните във възходящ ред. 2, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9. 2, 2, 3, 123 4, 4, 6, 123 7, 7, 123 8, 8, 123 9, 9, 9 123
2 пъти 3 пъти 2 пъти 3 пъти 2 пъти
2 пъти
2 пъти 2 пъти 2 пъти 3 пъти
Средна аритметична стойност 3. 2 + 5. 3 + 6. 2 + 7. 3 + 9. 2 x= 12 x = 6 + 15 + 12 + 21 + 18 = 72 = 6 12 12
Средна аритметична стойност 2. 2 + 3.1 + 4. 2 + 6.1 + 7. 2 + 8. 2 + 9. 3 x= 13 x = 4 + 3 + 8 + 6 + 14 + 16 + 27 = 78 = 6 13 13
Мода Стойностите 5 и 7 са с най-много повторения. Редът има две моди: Мо1 = 5 и Мо2 = 7.
Мода Стойността 9 е с най-много повторения. Редът има една мода: Мо = 9.
Медиана n = 12 – четно число x +x N Me = 12 + 1 = 6, 5 , Me = 6 7 = 6 + 6 = 6 2 2 2
Медиана n = 13 – нечетно число N Me = 13 + 1 = 7 , Me = x= 7 7 2
Квартили
Квартили
Q1 5
123
Ме 6
123
Q3
Q1
7
Q3
3,5
123
8,5
123
3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9 14243 14243 I половина
Ме
123
2, 2, 3, 4, 4, 6, 7 , 7, 8, 8, 9, 9, 9 14243 14243
II половина
I половина
II половина
Когато медианата не е стойност от статистическия ред, разделяме реда на две половини от по 6 елемента. Медианите на всяка от тях пресмятаме като средно аритметично на 3-та и 4-та единица 6 + 1 = 3, 5 . 2 Q1 = 5 + 5 = 5 , Q3 = 7 + 7 = 7 2 2
Когато медианата е стойност от статистическия ред, я премахваме от реда и го разделяме на две половини от по 6 елемента. Медианите на всяка от тях пресмятаме като средно аритметично на 3-та и 6 + 1 = 3, 5 . 4-та единица 2 8 + 9 = 8, 5 3 + 4 Q1 = = 3, 5 , Q3 = 2 2
Петчислено представяне на данните xmin = 3 Q1 = 5 Me = 6 Q3 = 7 xmax = 9
Петчислено представяне на данните xmin = 2 Q1 = 3,5 Me = 7 Q3 = 8,5 xmax = 9
Диаграма от типа „кутия с мустаци“
Диаграма от типа „кутия с мустаци“
(
Към съдържанието
)
(
)
237
ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА“ 1. Пресметнете стойността на изразите: P .P P7 а) ; б) 4 7 ; P8 P3 . P5 в) V53 + V82 ;
г) C83 − C52 . 2. Намерете броя на новите буквени кодове, които се получават след разместването на буквите в думата КВАРТИЛ. 3. Намерете колко четирицифрени числа могат да се образуват с еднократно използване на цифрите 0, 2, 4 и 8. 4. Намерете по колко различни начина могат да се подредят на рафт 10 книги, така че две от тях, предварително определени: а) да са една до друга; б) да не са една до друга. 5. На един рафт трябва да се подредят 3 книги на английски и 6 – на български език. Книгите на един и същ език трябва да са подредени една до друга. Намерете по колко различни начина може да стане това. 6. Намерете колко четирицифрени числа могат да се образуват от цифрите 0, 2, 5, 6, 7 и 8, така че да не се повтаря нито една от тях. 7. Телефонен номер се състои от 7 различни цифри. Намерете колко са възможностите за останалите 5 цифри, ако номерът започва със 72? 8. Намерете колко нечетни петцифрени числа могат да се образуват с еднократно използване на цифрите 0, 1, 2, 3, 4 и 7. 9. З а баскетболен мач треньор има на раз положение 12 играчи. Намерете по колко различни начина може да се образува началната петица. 10. Дадени са 8 точки, никои три от които не лежат на една права. Намерете броя на правите, определени от тези точки. 1 1 . В една купа има 7 бели и 8 червени топки. Намерете броя на различните начини, по които могат да се изтеглят едновременно: а) 3 бели и 2 червени топки; б) 2 бели и 3 червени топки.
238
1 2. Числата 2, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 17, 15, 18, 20, 21, 24 са написани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин се изтегля едно от тях. Намерете вероятността върху него да е написано: а) четно число; б) число, кратно на 6; в) нечетно едноцифрено число; г) двуцифрено число, кратно на 3. 1 3. Хвърляме два правилни зара. Намерете вероятността сборът от точките им да: а) е равен на 7; б) не е равен на 7; в) е кратен на 3; г) е делител на 12. 1 4. Л итературно произведение се състои от 6 тома. Намерете вероятността при случайна подредба на томовете те да се окажат наредени във възходящ или низходящ ред. 15. По телеграф се предават в случаен ред четири различни букви от 30-те букви на азбуката. Намерете вероятността на лентата да се появи думата МОДА. 1 6. В една кутия има 3 бели и 7 черни топки. Изваждат се по случаен начин 4 от тях. Намерете вероятността извадените топки да са: а) бели; б) черни; в) 1 бяла и 3 черни; г) 2 бели и 2 черни. 1 7. Имаме тесте от 32 карти. Без да гледаме, теглим една от тях. Намерете вероятността изтеглената карта да е: а) дама или червена; б) дама или купа; в) дама или поп; г) купа или пика. 1 8. Намерете средната аритметична стойност, модата, медианата, първия и третия квартил на статистическите редове. Конструирайте петчислено представяне на данните и начертайте диаграма от типа „кутия с мустаци“: а) 6, 7, 8, 5, 6, 8, 7, 8, 5, 6, 8; б) 9, 8, 7, 10, 11, 13, 10, 13, 7, 10, 7, 9; в) 4, 5, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 5, 9, 5, 7, 4; г) 4, 5, 3, 7, 4, 5, 9, 6, 7, 4, 7, 9, 3, 6.
Към съдържанието
Изходно ниво (Урок 65 – Урок 66)
ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ИЗХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ИЗХОДНО НИВО
239
65. ЗАДАЧА 1
ТЕСТ С РЕШЕНИЯ Средната аритметична стойност на реда 7, 4, 3, 9, 4, 7, 4 и х е равна на 5,5. Медианата на реда e: A) 5;
Б) 5,5;
В) 6;
Г) 4.
Решение: 1. 7 + 4 + 3 + 9 + 4 + 7 + 4 + x = 5, 5 8 38 + x = 5, 5 . 8 x = 44 − 38 x=6
ЗАДАЧА 2
2. Подреждаме данните в рангов ред.
3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 9
N Me = 8 + 1 = 4, 5 2 x4 + x5 4 + 6 Me = = =5 2 2
Отг. А)
Ако се съберат третият и петият член на аритметична прогресия, се получава 20, а ако от седмия член се извади сборът на втория и четвъртия, се получава 5. Сборът на първите 11 члена на прогресията е: A) 167;
Б) 176;
В) 175;
Г) 352.
Решение: 1. О значаваме ÷ a1, а2, а3, ..., a11, ... и съставяме системата a3 + a5 = 20 a7 − (a2 + a4 ) = 5. 2. Изразяваме членовете чрез a1 и d и ги заместваме.
a1 + 2d + a1 + 4d = 20 a1 + 6d − (a1 + d + a1 + 3d ) = 5 a1 + 2d + a1 + 4d = 20 d + a + система Решаваме получената aa11 ++63dd −=(10 a1 + 3d ) = 5 чрез събиране. 1 + − a1 + 2d = 5 a1 + 3d = 10 5−da =+152d = 5 + 1 a1 = 10 − 3d 5d = 15 da ==310 − 3d 1 a1 = 1 d =3 a1 = 1
3. Заместваме във формулата за Sn.
240
S11 =
2a1 + 10d ⋅ 11 = 2 + 30 ⋅ 11 = 16 . 11 = 176 2 2
Отг. Б)
Към съдържанието
ЗАДАЧА 3
Сборът S7 на първите 7 члена на геометрична прогресия, за която 2a4 − a3 + a2 = 32 , e: 2a3 − a2 + a1 = 64 Б) 128; A) 64; Решение: 1. Чрез деление решаваме системата
В) 127;
2. Заместваме във формулата
2a1q 3 − a1q 2 + a1q = 32 2a1q 2 − a1q + a1 = 64.
S7 = a1 ⋅
ЗАДАЧА 4
a1q (2q 2 − q + 1) 32 = a1 (2q 2 − q + 1) 64 q=1 2
a1 2 ⋅ 1 − 1 + 1 = 64 4 2 a1 = 64
(
q7 − 1 . q −1
1 −1 ) ( = 64 ⋅ 2 7
2
a1q (2q − q + 1) = 32 a1 (2q 2 − q + 1) = 64
Г) 254.
S7
)
1 −1 2 1 −1 S7 = 64 ⋅ 128 −1 2 127 − S7 = 64 ⋅ 128 −1 2 S7 = 127
Отг. B)
Ако tg a = – 2, то стойността на израза 2 cos (90° − α) + 3 cos (180° − α) е: sin (180° − α) + sin (90° + α) A) 5; Б) 6; A=
В) 7;
Г) – 7.
Решение: Опростяваме израза A. cos(90° − α) = sin α, cos(180° − α) = − cos α ⇒ A = 2 sin α − 3 cos α sin α + cos α sin (180° − α) = sin α, sin(90° + α) = cos α I начин: За да получим tg a, делим числителя и знаменателя на израза A с cos a и получаваме 2 sin α − 3 cos α cos α A= sin α + cos α cos α 2 tg α − 3 A= tg α + 1 2.(−2) − 3 A= −2 + 1 A = −7 −1 A = 7.
Към съдържанието
II начин: От tg a = – 2 получаваме sin α =−2 , sin a = – 2 cos a. cos α Заместваме в опростения израз А. 2.(−2 cos α) − 3 cos α A= −2 cos α + cos α − 4 A = cos α − 3 cos α − cos α A = −7 cos α − cos α A=7
Отг. B)
241
ЗАДАЧА 5
Прав кръгов конус има образуваща 5 cm и повърхнина 24p сm2. Обемът на конуса (в cm3) е: Б) 24 p; В) 36 p; A) 18 p; Решение: C 5
.
A
B
1. В ъв формулата за S1 заместваме с l = 5 cm и решаваме полученото квадратно уравнение. S1 = S + B 24p = prl + pr2 24p = 5pr + pr2 |: p r2 + 5r – 24 = 0 r1 = 3 > 0 – да, r2 = – 8 < 0 – не 2. За правоъгълния AOC (O = 90°) прилагаме питагоровата теорема и намираме височината на конуса. h2 + r2 = l 2 h2 + 32 = 52 h2 = 16, h > 0 h = 4 cm 3. Обемът намираме по формулата
ЗАДАЧА 6
Г) 12 p.
2 V = πr h . 3 2 π . V = 3 .4 = 12π cm3 3
Отг. Г)
В АВС AB = 8 cm и BAC = 60°. Ако лицето на триъгълника е 6 3 cm2, радиусът на описаната около триъгълника окръжност (в сm) е: Б) 7 3 ; В) 7 3; Г) 14. 3 1. От формулата S = 1 bc sin α намираме b. 2 6 3 = 1 b.8. 3 2 2 6 3 = 2 b 3 ⇒ b = 3 cm
A) 7; Решение: C a
b A
60° c=8
B
2. За АВС прилагаме косинусовата теорема и намираме BC = a. a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a a 2 = 9 + 64 − 2.3.8 ⋅ 1 2 2 a = a > ⇒ a = 7 cm , 0 49
3. За АВС прилагаме синусовата теорема и намираме радиуса R на описаната около ABC окръжност. a = 2R sin α 7 = 7 =7 3 R= a = 2 sin α 2 sin 60° 2 3 3 2 Отг. Б)
242
Към съдържанието
ЗАДАЧА 7
Страните на АВС са AB = 18 cm, BC = 12 cm и AC = 15 cm. Лицето на триъгълника (в cm2) е:
Решение: C γ
b= 15
a = 12
A
Г) 135 7 . 4
Б) 135 7 ; В) 135; 2 I начин: 1. За АВС намираме cos g.
A) 135 7;
c = 18
B
2 2 2 2 2 2 cos γ = a + b − c = 12 + 15 − 18 = 2ab 2.12.15 144 225 324 + − = = 45 = 1 2.12.15 2.12.15 8
2. sin γ = 1 − cos 2 γ = 1 − 1 = 63 = 3 7 64 8 8 3. S = 1 ab sin γ 2 S = 1 ⋅ 12.15 ⋅ 3 7 = 135 7 сm2 2 8 4 II начин: За АВС прилагаме Хероновата формула. p = a + b + c = 12 + 15 + 18 = 45 2 2 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c)
(
)(
)(
S = 45 ⋅ 45 − 12 ⋅ 45 − 15 ⋅ 45 − 18 2 2 2 2
)
S = 45 ⋅ 21 ⋅ 15 ⋅ 9 = 9.5.7.3.5.3.9 2 2 2 2 4
S = 3.5.9 ⋅ 7 = 135 7 cm 2 4 4
ЗАДАЧА 8 Решете ирационалното уравнение
Отг. Г)
x2 − 1 + x2 + 4 = 5 .
Решение: Проверка:
x2 + 4 = 5 − x2 − 1
(
x2 + 4 ) = (5 − x2 − 1) 2
2
x 2 + 4 = 25 − 10 x 2 − 1 + x 2 − 1 10 x 2 − 1 = 20 |:110
(
x2 − 1 = 2
x 2 − 1 ) = 22 x2 − 1 = 4 x2 = 5 2
x1, 2 = ± 5
x1 = − 5 5 −1 + 5 + 4 = 4 + 9 = =2+3=5 5=5 x2 = 5 5 −1 + 5 + 4 = 4 + 9 = =2+3=5 5=5
Уравнението има два корена: ± 5 .
Отг. ± 5
243 Към съдържанието
ЗАДАЧА 9
Обемът на правилна триъгълна пирамида е равен на 9 cm3, а ъгълът между околна стена и основата на пирамидата е 45°. Намерете повърхнината на пирамидата (в cm2).
Решение:
1. (АВM; ABC) = OQM = 45° ⇒ MOQ – правоъгълен равнобедрен h = r = x, k = x 2
2. АВС – равностранен
45°
3 , b 2 3. r = 2 3 x = ⇒ r b= 6 2 2 ( 2 3x ) 3 3 b B= = = 3x 2 3 4 4
B. h 3 2 x 3 3. x 9= 3 x3 = 3 3 ⇒ x = 3
4. S1 = S + B
3. V =
2 S1 = 3b.k + b 3 2 4 S1 = 3.6. 6 + 36 3 2 4 S1 = 9 6 + 9 3 = 9 3 ( 2 + 1) cm 2
⇒ b = 2 3.x = 2 3. 3 = 6 cm k = x 2 = 3. 2 = 6 cm
Отг. 9 3 ( 2 + 1) cm 2
ЗАДАЧА 10 Решете дробното уравнение 2 x 2 + 22 − x − 1 = 6. x
Решение: 1. Преобразуваме уравнението във вида
(
)( )
2 x 2 + 12 − x + 1 = 6 , ДС: x ≠ 0. x x
2. Полагаме x + 1 = u . x Повдигаме двете страни на квадрат и получаваме
( x + 1x ) = u 2
2
x 2 + 2 + 12 = u 2 x 2 x + 12 = u 2 − 2. x
3. Заместваме в (1).
244
2(u 2 − 2) − u = 6 2u 2 − u − 10 = 0
u 1,2 = 1 ± 9 = 4
5 2
–2
x
4. Връщаме се в полагането. u1 = −2 x + 1 = −2 x x2 + 2x + 1 = 0 x1 = x2 = – 1 ∈ ДС u2 = 5 2 1 5 x+ = x 2 2 2 x − 5x + 2 = 0 x3,4 = 5 ± 3 4 x3 = 2 ∈ ДС 1 x4 = ∈ ДС 2
Отг. x1 = x2 = −1
x3 = 2; x4 = 1 2
Към съдържанието
66.
ИЗХОДНО НИВО. ТЕСТ № 1 1. Средната аритметична стойност на реда 8, 6, 2, 4, 6, 9, 3 и х е равна на 5. Първият квартил на реда е: А) 2; Б) 2,5; В) 3; Г) 3,5. 2. Седмият член на растяща аритметична прогресия, за която
a2 + a3 = a5 , е: a12 + a2 = 3 А) 10;
Б) 7;
В) 12;
Г) 15.
6. В трапеца ABCD AB = 12 cm, CD = 3 cm и AC = 6 cm. Ако AD = 5 cm, дължината на BC (в cm) е: А) 4; Б) 6; В) 8; Г) 10. 7. В VABC SACB = 120° и ъглополовящата CL дели страната AB на отсечки AL = 35 cm и LB = 21 cm. Лицето на VABC (в cm2) е:
3. Сборът S5 на първите 5 члена на геометрична прогресия, за която
a5 − a4 + a3 = 36 , e: a4 − a3 + a2 = 18
А) 120 3;
Б) 180 3;
В) 240 3; Г) 280 3.
А) 45; Б) 60;
В) 93;
Г) 96.
8. Решете уравнението
4. Стойността на израза A = cos(90° – a)tg(180° – a) + cos(180° – a) при cotg α = − 4 e: 3 5 5 4 3 А) ; Б) ; В) ; Г) 3 . 4 5 5
2x + 5 + x + 3 = 2 .
9. В правилна триъгълна пирамида околният ръб има дължина 4 cm и сключва с равнината на основата ъгъл с големина 60°. Намерете обема на пирамидата.
5. Прав кръгов конус има радиус 2 3 cm, а образуващата сключва с височината на конуса ъгъл 30°. Обемът на конуса (в cm3) е: А) 24 p; Б) 72 p; В) 12 3 p;
Г) 18 3 p.
Към съдържанието
10. Решете дробното уравнение 3 4 − = 1. ( x + 2)( x − 3) ( x − 5)( x + 4)
245
ИЗХОДНО НИВО. ТЕСТ № 2 1. Средната аритметична стойност на реда 5, 3, 10, 4, 7, 3, 7, 6 и х е равна на 6. Третият квартил на реда е: А) 7; Б) 7,5; В) 8; Г) 8,5. 2. За аритметична прогресия е дадено, че 2a5 + 3a15 = 25. Сборът S21 на първите 21 члена на прогресията е: А) 100; Б) 105; В) 120; Г) 210. 3. Петият член на геометрична прогреa + a4 − 3a3 = 48 сия, за която 5 , е: a4 + a3 − 3a2 = 24 А) 32; Б) 124; В) 64; Г) 128. 4. Стойността на израза 2 sin (180° − α).sin (90° − α) A= sin (90° + α) − cos (180° − α) при tg α = − 5 е: 12 5 А) ; 13 5 Б) − ; 13 12 В) 13 ; 12 Г) − 13 . 5. Прав кръгов конус има околна повърхнина S = 135 p cm2 и лице на основата 81p cm2. Обемът на конуса (в cm3) е: А) 196 p; Б) 225 p; В) 240 p; Г) 324 p.
246
6. Около четириъгълника ABCD е описана окръжност. Ако AB = 15 cm, AD = 7 cm, CD = 7 cm и BCD = 120°, дължината на страната BC (в cm) е: D А) 8; C 7 Б) 10; 120° 7 В) 7; A B Г) 13. 15
7. За АВС АВ = 36 cm, BC = 29 cm и АС = 25 cm. Радиусът на вписаната в триъгълника окръжност (в cm) е: C А) 10; Б) 12; В) 8; Г) 6. A B 8. Решете уравнението
2x + 3 + x + 2 = 2.
9. В правилна четириъгълна пирамида околната стена сключва с равнината на основата ъгъл 45°. Намерете повърхнината на пирамидата, ако височината ѝ е 3 сm.
10. Решете дробното уравнение 1 7 + = −1. ( x + 2)( x + 3) ( x + 6)( x − 1)
Към съдържанието
Отговори
247
ОТГОВОРИ ВХОДНО НИВО 2. Входно ниво. Тест № 1 и Тест № 2 Тест № 1 Задача № 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Точки
21. 9 2;
22. 4 3;
А Б Г Г Г Б В
2 2 2 3 3 3 3
23. 5 3;
24. 11 7;
25.
5; 4 6; 27. 6 29. 75;
26.
6 cm 42 cm x ∈ (– ∞; – 6] ∪ (– 3; – 2) ∪ [– 1; + ∞)
6 6
31. − 45;
32.
Отговор
Точки
34. 6 3 = 108 , 7 2 = 98 , 6 3 > 7 2;
Г Б Б Б В Г Г
2 2 2 3 3 3 3
7 cm AB = 4 cm AC = BC = 5 cm x ∈ [– 5; –2) ∪ [2; 4)
6 6 10
ТЕМА 1. ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. ИРАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ 3. Действия с квадратни корени (преговор) 1. 20; 2. 42; 3. 30; 4. 10; 5. 6; 6. 24; 7. 6; 8. 42; 9. 36; 10. 30;
248
18. 11 20. 1;
Отговор
10
Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7
9
12. 252; 14. 6 ; 11 16. 4 ; 3
33. 2 19 = 76 , 5 3 = 75 , 2 19 > 5 3;
10
8
11. 84; 3 13. 5 ; 12 15. ; 13 3 17. ; 7 19. 4;
15 ; 5 28. 6 ; 2 30. 84; 7; 4
35. −8 3 =− 192 , −9 2 =− 162 , −8 3