Mathematics 12 [12]

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‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کﻮر د سﻮل‪ 3‬کﻮر د تﻮرې‬

‫هر بچی ﻳ‪ 3‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د !ﻮلـــﻮ کـﻮر دى‬

‫د بـــــلـﻮ'ـــــــﻮ د ازبـکــــــــﻮ‬

‫د پ‪+‬ـــتــﻮن او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــﻮ د تـــاجـکــــــﻮ‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گﻮجــر دي‬

‫پــامﻴــرﻳـــان‪ ،‬نـﻮرســـتانﻴــــان‬

‫براهﻮي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم اﻳمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪4‬ان‬

‫دا هﻴــــــﻮاد به تل ‪$‬لﻴ‪8‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـﻴنــه ک‪ 3‬د آســـﻴـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاوﻳــــــدان‬

‫نﻮم د حق مـــﻮ دى رهبـــر‬

‫واﻳـــﻮ اهلل اکبر واﻳﻮ اهلل اکبر‬

.

. 1398:

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1397

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-

-

( 1 ,

) 0

,0

0

............................................................................................................

....................................................................................

((Minimum)

(Maximum)

:

:

: )

Rolle

133-172

173-198

.......................................................................................................

......................................................

:

:

199-222

..........................................................................................

:

223-260

.......................................................................................................

:

261-281

.....................................................................................................

:

1

2

(o )

r r 4

r r , , r 4 2

.

r 2

n

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a2

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.

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n

an

1

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n

an

n

an*

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.

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(

an

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(

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n 1 ) ... (ii) n n

1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 11 13 15 17 5, , 3, , , , , 2 4 5 6 7

1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1 2 3 4 0 , , , , , 2 3 4 5

bn bn

an

n

n

n cn

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 1 1 1 1 , , , , , 2 3 4 5

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n

n cn

1 ... (iii) n

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2

( 1) n

cn

(1)

(2 )

bn

an

n

. . 4

(limit)

1

n 1 n

bn

: n

1

2

3

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5

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8

9

10

11

...

bn

0

1 2

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5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

10 11

...

b1 0

b2 b3 b4 b5 ... 1 2

3 4 5 n 1 2 , , , , ... , ....... II , 2 3 4 n n III

( )

1

1 1 1 1 , , , ... , ....... I 2 3 4 n 2 , 4 , 6 , ... , 2n ....... ( III ) II

I

. x

(

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0)

a

x

:

x

a

. 0: | x a |

x

a

|x a|

0

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x

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: x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

a

:( x

x

a

: x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

: x

a

( (x

a , x

a a

) a )

5

a )

x

x

.

9

9

x

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x : 9.1 , 9.01 , 9.001 , 9.0001 , ...

9

x : 8.9 , 8.99 , 8.999 , 8.9999 , ...

9 f (x )

a

f (x ) a a

x

a

(

)

f (x )

l

x

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x a f ( x) l

lim f ( x) l : x

a

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l 2

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f (x )

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3

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x

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| f ( x) l | | f ( x ) l | 0)

f ( x)

x

.

6

2x 6

x2 1 x 1 1.001 1.01 1.02

x 1 , f ( x)

:

x 0.98 0.99 0.999 f ( x) 1.98 1.99 1.999

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2.001 2.01 2.02

. f (x)

(1)

x

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0

x (a , a

)

f ( x) (l1

f (x)

a

, l1

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)

0

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l2

0

x (a

, a)

f ( x) (l2

a

, l2

f (x)

)

0 x a x a

lim f ( x) l :

lim f ( x) l

x

a

x

l

a

lim f ( x)

x

a

:

lim f ( x)

:

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x

a

7

x

a

lim f ( x)

x

a

f (x)

l2

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.

x

3

lim x

3

x2 9 x 3

6

: :

. x

3.5 3.1 3.01 3.001 ........ 3

f ( x) 6.5 6.1 6.01 6.001 ........ x

6

2.5 2.9 2.99 2.999 ........ 3

f ( x) 5.5 5.9 5.99 5.999 ........

6

lim

x2 9 x 3

6

lim

x2 9 x 3

6

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x

x

3

. 0

lim x

3

x2 9 x 3

0

6

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0 | x 3|

0 : |x a| x2 9 6 x 3

| f ( x) l | ( x 3)( x 3) 6 | x 3 6| | x 3| x 3

:

.

2

x

8

f ( x)

| x 2| x 2

lim x

3

x2 9 x 3

6

(Properties of limit)

lim ( x 2

x

1

lim x 2

x)

x

lim x

1

x

1

x

1

: f ( x)

x 2

g ( x)

.

(2)

2x

(x

x

3

3)

x

lim f ( x ) lim g ( x)

.

x

2

x

2

lim f ( x) lim g ( x)

.

x

2

x

2

lim f ( x ) lim g ( x)

.

x

2

x

2

: lim g ( x)

: 1) lim Kf ( x) x

a

K lim f ( x ) x

a

2) lim f ( x) g ( x ) x

3) lim f ( x) g ( x ) x

f ( x) g ( x)

x

a

5) lim x

a

n

f ( x)

a

x

x

a

lim f ( x ) x

a

lim g ( x ) x

n

a

lim f ( x ) x

a

B

lim f ( x) x

a

A

x

A B

a

lim f ( x) lim g ( x)

a

4) lim

x

a

KA

lim f ( x) lim g ( x)

a

x

a

A B

A , lim g ( x ) B x a n

A , lim f ( x) x

0

B

A 0

a

. x

a

(x)

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9

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a

x

x

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a

(x)

a

lim f ( x) b x

a

-

-1

lim f ( x) b

f (x)

b

1 ( x)

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a

a

x

a

-2

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. -3

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-4

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.

( x) u ( x)

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2

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3

3

x

x

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1 2x

x

( x)

x

. lim ( x)

( x)

2

9

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1 2x

(II

0

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2) lim ( x 1) x

x

2

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2

x

3

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x

2

2

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2

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x

3

x

3) lim x

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x

0

0

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x

0

0

3

0 3 0 1

3

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f ( x2 )

f ( x1 )

: lim f ( x1 ) x

a

f ( x2 )

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x

a

x

a

lim f ( x2 ) b2

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lim x

a

f ( x1 )

f ( x1 ) b1 f ( x2 ) b2

f ( x2 ) 1 2

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x

lim f ( x1 ) b1

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x

a

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10

1

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2

) b1 b2 (

1

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(

1

2

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. lim f ( x1 ) x

f ( x2 )

a

b1 b2

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x

a

x

a

-2

: :

lim f ( x1 ) f ( x2 ) x

lim f ( x1 ) lim f ( x2 )

a

x

f ( x1 ) b1

1

f ( x2 ) b2

2

a

x

b1 b2

a

f ( x1 ) f ( x2 )

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1

f ( x1 ) f ( x2 ) b1 b2

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b1

2

2

b2

) 1

1

2 2

b1

. lim f ( x1 ) f ( x2 ) x

b2

2

1

1

1

:

2

b1 b2

a

-3

: lim x

a

f ( x) g ( x)

lim f ( x) x

a

lim g ( x) x

a

b1 b2

g ( x) b2 0

,

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1

g ( x) b2

2

f ( x) g ( x)

b1 b2

1 2

b1 b2

: f ( x) g ( x)

b1 b2

b1 b2

1 2

b1 b2

b2 (b1

) b1 (b2 b2 (b2 2) 1

2

b2b1 b2 1 b1b2 b1 b2 (b2 2) f ( x) g ( x) b2 (b1 b2 (b2

b2 1 b1 2 b2 (b2 2) ) 2)

1

b1 b2

11

2

b1 b2 1 2

) b2 1 b1 2 b2 (b2 1 ) b2

1

f ( x) g ( x)

b1 2 b1b2 b1 b2 (b2 2) b1 b2

1 2

2

x

a

2

1

: lim x

a

lim f ( x)

f ( x) g ( x)

x

b1 b2

a

lim g ( x) x

a

a

h(x)

x

f ( x)

g ( x) , f ( x)

g ( x ) h( x ) x

x

a

x

a

x

a

2

x 4

u ( x) 1

x ) 2

u (x)

:

x2 x2 lim(1 ) 1 lim(1 ) x 0 x 0 4 2

lim u ( x) 1 x

(1

)

lim f ( x) b lim h( x)

a

2

lim u ( x)

(x a

lim g ( x) b

.

:

0

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. f ( x)

g ( x)

g (x)

g ( x)

15 x 4 5x 6

:

lim f ( x) lim g ( x )

. x 1

f (x )

x

f ( x)

a

x

15 x 4 5x 6 f ( x) .

a

: g ( x) :

lim f ( x) x

lim g ( x) x

1) lim 6 x 3 x

0

15 x 5x 15 x lim x 5x lim x

2x 2

4 6 4 6

5x 3

15 3 5 15 3 5

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1

2x 5

2

4) lim x

0

5x 7 x (2 x 5) 2 9

5) lim x 2 x

2

12

(9 x 2) 2 4 x 0 x 2x 6) lim 2 x 1 x 4x 1

3) lim

0 , 0 0

x2 y x x2 y x

1

x

.

x

.

x2 1

y

2

x

.

1 1 1 1

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..... 0.

,

,

,

0 0

-

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.

f ( x)

1

x

x

1

0 0

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x 1 x2 1 f (x )

f (x )

x 1

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(

)

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,

2) lim x

x2

2

6x 8 x 2

,

3) lim x

16

x

4 x 16

:

: x2 4 2 x 2

1) lim x

( 2) 2 4 2 2

0 0 0 0

: ( x 2)( x 2) 2 ( x 2)

lim

x

lim ( x 2)

2 2

2

x

6 x 8 2 2 12 8 0 x 2 x 2 2 2 0 ( x 2)( x 4) lim lim( x 4) 2 4 x 2 x 2 x 2

2) lim

4

x2

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x 16

x

4 x 16

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:

0 0 0 0

:

. lim

x

16

x

4 x 16

x x

3 x 1) lim ? x 3 x 1 2 2x 4 2 4) lim x 1 5 ? x 2 x 2

4 4

lim

x

16

( x 16) ( x 16)( x 4)

lim

x

5 5 ? 2) lim 2 x 2 3 x 1 x 1 1 1 5) lim x 3 3 ? x 0 x

14

16

1 x 4

1 8

3) lim x

4

x 4 x 2

?

-II

x 3 3x 8 lim x 2x2 2

f ( x)

x

.

g ( x)

x

.

2 x4

4x 1

x3 2x 4 5

y

x

.

x3

.

x

.

x

x 2 f ( x) g ( x)

0

f ( x) g ( x)

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:

. . lim x

x2 1 3x 2 2

1 2

:

15

lim x

x2 1 :1 3x 2 2

:

x

:

x2 1 2 2 lim x 2 x x 3x 2 2 x x2

2

x 1 lim 2 x 3x 2

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1

1

1 0 3 0

2

3

1 3

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. lim x

x2 2 x 2

-

2 2 x

: .

x2 2 lim x x 2

2 ) 2 x lim x 1 2 ) x2 ( x x2 x 2 (1

2 x2 lim x 2 x x2 1

1 1

2 2

2

1 0 0

1 0

lim

. lim x

x 1 x2 2

-

2

x

x 1 :3 x2 2

1 2

x

: .

lim x

x 1 x2 2

x 2 lim x 2 x x x2

1 x2 2 x2

1 lim x x 1

1 x2 2 x2

1

1 0

1

2

1 0

0 1

0

: :

16

f ( x)

x

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. . .

m n

-1

m n

-2

m n

-3 :4

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5 x 2 6 x 4 x3 x 1 x4 2 x 2 3

)

2) lim x

8 6 x3 x 2 x 5 x3 x 4 6 x 1

3) lim x

3x 2 2 x 1

: lim

5x 2

x

6 x 4 x3 x 1 6x4 lim x x4 2x2 3 x4

8 6x3 x 2 x lim 3 x 5x x 4 6x 1

0

3x 2 2 lim x x 1

.

17

6 :

m n

-1

:

m n

-2

:

m n

-3

: 1) lim

x2 x5 3) lim 4 x x 3x3 5) lim x x x

x4 x2 x 6 2) lim 3 x x 3x 4 3 x x2 x 7 4) lim x x3 x 5

6 x x2 x 9 x2 x 5 2 1

18

(0

lim x

2

1 x2

lim ( x 2 x

3

)

(

)

x 1 4 x2 4 2 x3 4 9) x 3

a 1

.

x 1

. .

x

.

x

f ( x)

.

x

x 1

f ( x) (2 x 1)( x 1)

: (0

(

)

) 0 0

: :

: 8x x 1 x2 9 8x lim( x 1 x 1 x2

1) lim( x

1

9

10 ) ? 2) lim( x 1)( 2 x 1 1 x 10 9 8 1 10 9 18 ) 1 1 1 12 1 0 0

9 x 9 8 x 10 x lim 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 lim lim x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1

1 1 1 2

0 0

19

?

:1 (

: lim

1 ) 2x 3

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2) lim( x 1)( x 1

lim( x 1)( x 1

lim x 1

x

x

2

2

x 1 x 2x 3 2

1 ) ? 2x 3 1 1 1 ) (1 1)( 2 ) 0 2x 3 1 2 3 3 3 (0 ) :

x 1 1 ( x 1)( x 3)

lim x

lim x 1

1 x 3

0

1 0

1 4

. 1) lim( x 1 x

x)

3) lim ( x 5 8 x 3 ) x

5) lim ( x a x

1 1 2) lim ( ) x 1 1 x 1 x2 1 4) lim ( x 2 25) x 5 x 5

x)

20

0

:2

1 ,

lim(1 sin x) x

1 x

0

, 00

?

0

xx

y

0

x

.

1

y

x

.

0

1

.

(1 x) x

, 00

: 0

: lim( f ( x)) g ( x ) x

ln(lim f ( x ) g ( x ) ) lim(ln f ( x) g ( x ) ) lim g ( x) ln f ( x)

a

x

a

x

a

x

a

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. lim(1 n

1 n ) n

2.71828182

an

(1

1 n ) n

n

e

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1 n 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10

9

1

1 n

(1

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 10

9

1 n ) n 2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145926 2.718268237 2.718280469 2.718281828

21

-I

Euler

1 n ) n

lim (1

e 2.71 ...

n

e

2 .718281828

. -II

. 1

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0

)

2) lim (1

e

Ln(1 x) 1 0 x

3) lim x

4) lim

1

2) lim(1 x

u

x

)

x

x

e

1

x

4

1

:

1

1 , x x

ex

0

x

: 1) x

x 1

x

x

)

x

0

lim(1 0

)

lim(1

1 , x x

0

x

1 x ) x

e , x

u

u

0

1

lim(1 u ) u

u

u

0

1 u

x

lim (1 u ) u

u

0

1 , u x

1

lim (1 u ) u u

0

ln(1 x) 0 x

3) lim x

1 x ) x

lim (1 x

lim x

0

x

0

e

1 ln(1 x) x

1

lim ln(1 x ) x x

0

1

ln lim(1 x) x x

0

1 u

, x

1

ln lim(1 x) x x

0

ln lim (1 u

22

u 1 u ) u

ln e 1

u

e

ex 1

4) y

ex 1 y lim x

e

x

x ln(1 y )

1 x

0

y 0 ln(1 y)

lim y

1 1 lim ln(1 y ) y 0 y

lim ln(1 y ) y

x

1 y

1 ln(1 y ) y 1 , y x

v( x)

lim u x

a

lim (1 u 1) x

u 1

u 1 v

u 1

lim (1 x

a

1

)

a

lim (1 x

lim u ( x) lim u ( x)

v( x)

x

x

a

a

eP ,

x

a

lim v ( u 1)

ex

)

0

P

x a

u

u 1

1

lim v ( u 1)

1

lim(1

lim ( v )

)

a

0

: v( x)

x

:1

a

v

0

1 1 1

: v

1 ln(1 y ) lim y 0 y 1 , y x y

0

1 ln e

1 x ln lim (1 ) x x

lim u ( x)

0

y

1

1

1

lim

a

eP

lim v(u 1) x

a

lim(1

.

x

2 x ) x

:1

1

: :

2 , v x x 2 x lim(1 ) eP , P x x 2 x lim(1 ) e P e2 x x

u 1

lim x(1 x

2 1) x

1 x25 lim(1 ) x x

. 1 x25 lim(1 ) x x

2

:2 :

1 :

23

1

: x 5

1 2 ) eP x x 1 x 5 u 1 , v x 2 lim(1

lim v (u 1)

P

x

lim

a

1 lim(1 ) x x

x 5 2

x

e

P

e

1 x 5 (1 1) 2 x

1 2

lim x

x 5 1 ( ) 2 x

lim x

x 5 2x

1 2

e 1

lim(cos x) x x

lim(cos x) x

0

1 x

: 1

u

1 x

cos x , v

lim(cos x)

1 x

0

P

eP

lim v(u 1) x

a

lim x

0

1 (cos x 1) x

cos 2 x cos x cos x 1 x(cos x 1)

lim(cos x) x

? :3

1 :

:

x

0

0

1 x

eP

1 x 2 ) x x x 3 x 2 3) lim ( ) x x 1

1) lim (1

5) lim(cos 2 x) x

e0

cos x 1 0 x

lim x

(cos x 1)(cos x 1) 0 x(cos x 1)

lim x

cos 2 x sin 2 x cos 2 x x 0 x(cos x 1) sin x sin x 0 lim lim 1 x 0 x x 0 cos x 1 2

lim

1

x 1 x 1 ln x 1 n2 4) lim (1 ) n n2

2) lim

1 x

0

24

0

Trigonometric functions Limit

o

C (o , r )

. CA

MB

.

C C

. . : (1 ) lim

: sin

0

OMA

1

.

COA MOA

: : y

1 OA BM 2

OMA

1 r BM 2

C

BM 2

M

1 2 r 2

: COA

O

1 OA AC 2

1 r AC 2

25

AC 2

B

A

x

MOA

OAM

COA

2 r2

: BM r

AC r

sin

tan sin

cos sin

lim

.

1

sin

lim1

0

0

lim1 1

lim cos

0

( 1)

0

1

(1)

1

sin

lim

lim

0

: 1

lim cos

1

0

1 sin

sin

1 cos

1

1

1 lim

sin

lim

1

: lim lim

1

1

0 lim

sin

0

0

. lim

. 0

.

x

x

x

0

sin

2

: :

x

0

sin 2 x x

lim

sin

0

2 lim 0

sin

21 2

2

26

sin 2 x x 2x

2 sin

2

lim

0

:1 :

lim

.

0

x

5 tan 2 x 7x

:2 :

5

5 tan 2 x 7x

sin 2 x cos 2 x 7x

5 sin 2 x 7 x cos 2 x sin 2 x lim 10 x 0 2 x 10 7 lim cos 2 x 7

5 tan 2 x 0 7x

lim x

x

sin 2 x 2x 7 x cos 2 x

sin 2 x 2x 7 cos 2 x

5 2x

10

0

1 cos 2 x :3 x 0 x 2 sin 2 x : lim

. 1 cos 2 x

: 1 cos 2 x lim x 0 x

2 sin 2 x lim x 0 x sin x 2 lim lim sin x x 0 x x 0

210 0 tan 3 x :4 0 sin 5 x

lim x

:

tan 3x lim x 0 sin 5 x

sin 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x

sin 3x 3x lim cos 3x 3x x 0 5 x lim sin 5 x x 0 5x

sin 3x 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x 5x 5x

lim

3x

x

0

cos

cos

lim x

0

lim x

0

x

2 sin

4x 6x 4x 6x sin 2 2 x2 2 sin 5 x sin( x ) 5 sin 5 x sin x 2 lim lim 2 x 0 x 5x x 0 x

2 sin

27

3 5

cos 4 x cos 6 x :5 0 x2

lim

. :

1 31 51

2

sin

2

:

y

: 10 lim y

0

sin( x 0

x

5x

0

sin y sin x lim 10 1 1 10 x 0 y x

1) lim x

0

x

6

)

6 sin x x 4) lim x 0 x tan(2 x 1) 7) lim x 0 4x2 1

sin 2 x 0 x

3) lim

5) lim

tan 2 x 0 sin 3 x

6) lim sin 5 x cos 3x

8) lim cos 2 x cos x 1

9) lim(cos 2 x sin 2 x)

2) lim x

x

x

x

x

0

28

0

1 1 tan 2 x

0

x 1

y

Continuity of Functions .

:

.

x2

f ( x)

. .

4x

x 1

f (x )

x 1

f (x )

: x

: f (x)

.

x

a

f (a )

f (x)

29

y

f (x)

a

-1 -2

a

. lim f ( x)

a

f (a )

-3

x0

.

2

x2

f ( x)

:1

2x 1

:

: 1) 2 Dom f ( x) 2) lim( x 2 x

2

2 x 1) 22

3) f (2)

IR 4 4 1 7

lim f ( x)

f ( 2) 7

1

f ( x)

x

4 1 7

2

. x

:

IR \ { 1}

1

: 1) Dom f ( x) 2) lim x

1

2x 1 x 1 f (x)

:2 :

IR \ { 1}

2x 1 x 1

3 0 x

.

x

:

1

x

f ( x)

2

x2 x

2x 1 ; x 2

2

3

:3

; x 2

:

: lim f ( x)

x

2

lim f ( x)

x

2

1

lim ( x 2 3) 1

x

2

lim f ( x)

lim ( x 2 2 x 1) 1

x

x

lim f ( x)

x

2

2

y

.

x

30

2

lim f ( x) x

2

f ( 2)

2x 1 ; x 1 1 x ; x 1

f ( x)

x 1

.

:4 :

lim f ( x)

lim 2 x 1 3

x 1

x 1

lim f ( x )

lim 1 x

x 1

lim f ( x)

0

x 1

lim f ( x )

x 1

x 1

. f ( g ( x))

x

g (a)

f (x )

x

g (x)

a

: x

: lim f ( g ( x)) x

f (lim g ( x))

a

x

1) lim( f ( x)) x

x

ax

a

IR

a

3) lim log a f ( x) x

,

a

lim f ( x )

2) lim a f ( x ) x

f ( g (a))

a

(lim f ( x))

a

a

log a (lim f ( x))

a

x

a

4) lim sin f ( x) sin( lim f ( x)) x

a

x

x

f (x)

a

:

:

a

.

:5

3 , f ( x)

3

x

:

x2 9 x 3 f ( 3)

x

f (x )

3 x

.

a

f (x)

a x

f

a

:

-1

:

-2

. .

(

)

-3

: .( 31

)

-1 .

. -2

: a ) f ( x)

x 2 5( x 2)7 ; x 3

c) h( x)

8 x2 2x2 5

e) f ( x) | x 3 | x3 g ) f ( x)

x 3

; x

2

; x 3 x

; x

b) f ( x)

0

d ) f ( x) f ) g ( x) h) f ( x )

; x 2

32

x 3 ; x ( x 2 x 5) 2

1 ( x 3)3 | x| x x2 9 x 3

; x 3 ; x 0 ; x 2

1

(f

g )( x )

f ( x) g ( x)

( f g )( x)

f ( x) g ( x )

(f

f ( x) g ( x) , g ( x)

g )( x )

0

. .

f ( x)

x2 1

g ( x)

x 3

f ( x) g ( x)

. :

.

x

c

x

g (x)

c

f (x)

f ( x) g ( x) .1 f ( x) g ( x) .2 f ( x) g ( x) .3

.

:

g ( x)

x 2 3x 2

f ( x) ; g ( x) g ( x)

:1

x2 3

f ( x) x 1

:

33

0 .4

g

f -1

-2

f ( x) g ( x) ( f

. x 1

g )( x) (

f ( x) g ( x) ( f g )( x ) (

:

. 1) Df ( x)

IR

2) lim f ( x) lim( x 2 x 1

3) 4

x 1

3) f (1) (12

3) 4

1) D g ( x)

f

x 1

. IR

2) lim g ( x) lim( x 2 x 1

3 x 2) 12

x 1

3) g (1) (12

31 2 2

3 1 2) 2 x 1

.

g

-2

: ( f ( x)

x2

3 x2

g ( x))

IR

g ( x)

1) D( f ( x) 2) lim f ( x)

lim( 2 x 2

g ( x)

1

x

3x 1

3x 1)

1

x

2 x2

3x 2

6

3) f (1) g (1) (1 3 1 3 2) 6 lim f ( x) g ( x) f (1) g (1) 6 1

x

( f g )( x ) x 2 3 x 2 1) D ( f g )( x) IR 2) lim ( f 1

x

3) ( f

g )(1)

lim ( f x

1

g )( x)

lim 2 x 2 x

(2 x 2

g )( x)

2x2

3x 2

1

3x 1

3 x 1)(1) (f

3x 1 6

6

g )(1)

6 x 1

.

34

( f ( x) g ( x) ( x 2 3)( x 2 1) D( f g )( x) IR 14

2) ( f g ) (1)

3 x 2)

3 13 12

x4

3x 3

x2

9x 6

9 1 6 8

3) lim( f g )( x) 8 x 1

lim( f g )( x) ( f g )(1) 8 x 1

. x

f ( x) g ( x)

2

x 1

f ( x)

x 1 , g ( x)

:2

3x 2

. : 1) Dg ( x)

1) Df ( x)

IR

2) lim g ( x) 3 x 2 3 2 2 x

2

3) g (2) 3 x 2 3 2 2 lim g ( x) x

2

g (2)

2) lim f ( x)

4

x

2

3) f (2)

4

x

lim( x 1) 3 x

2

x 1 3

lim f ( x)

4

f ( x) g ( x) ( x 1)(3 x 2) 3 x 2 D( f g )( x) IR

IR

2

2 x 3x 2 3x 2

f (2) 3

x 2

lim[ f ( x) g ( x)] 3(4) 2 2 12 x

2

( f g )(2)

3(4) 2 2 12

lim f ( x) g ( x) x

2

( f g )(2) 12

f ( x) g ( x)

.

35

-1

. 1) f ( x ) 2) g ( x) 3) h( x)

x3

2( x 1) 5 3 x 5)( x 2 x

(x

2

; x 2 x)

x x 1 ( x 2) 3

.

2

2

; x ; x

x

0

f ( x)

36

1 4 x 3 x

2

-2

a

(

0)

x

a

:

x

a

x

:

.

0: | x a |

x

|x a|

a

0

:( x

x

a )

a

:

x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

a

:( x

x a

:

x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

: x

(

a

a a

)

(x

a )

a , x

x

a ) f (x )

a

f (x ) a

a

x

a

(

l

x a f ( x) l

lim f ( x) l : x

a

C,L

M

lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

L M

2)

lim( f ( x ) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

L M

3)

lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

4)

lim

5)

x

x

x

x

c

c

c

x

f ( x) g ( x)

lim f ( x) x

c

c

x

lim f ( x) x

c

lim g ( x) x

c

lim f ( x) x

c

x

c

c

:

lim g ( x)

M

x

1)

c

f

g

: x

)

f (x )

l

x

:

x

x

c

c

c

L , M M

L M

0 ,

L

37

g ( x) 0

c

lim f ( x) x

c

L

x

a

(x)

: lim ( x) 0

. a

h(x)

x

f ( x)

g ( x) , f ( x)

g ( x ) h( x ) x

(x a

)

lim f ( x) b lim h( x)

a

x

a

x

0 0

. a0 x m a1 x m 1 b0 x n b1 x n 1

... ...

am bn

a0 b0

m

n

.1

0

m

n

.2

m

n

.3

f ( x)

x

:

(0

)

( ,

)

0 0

. 1 lim u ( x)

.

x

v( x)

1

eP

a

,

P lim v(u 1) x

a

(1) lim

sin

1:

0

x

: f (x)

.

f (x )

a a

x

a

f (a) :

f (x)

38

.1 .2

. lim f ( x)

a

:

lim g ( x) b

.

x

f (a)

.3

a

3 x sin x -1 0 x

lim x

a) 2

b) -2

c) 1

d) 3 x2 2 x2

x 6 -2 x 2

lim

x

a) -

5 3

5 3

b)

c) 0

d) 1

lim (2 x 0.3) -3

x

a) 1

b) 3

c) 0

1, 4

d) sin 3x -4 0 tan 2 x

lim x

a) 1

b) 0

c)

3 2

d)

2 3

lim x

a) 2 + 2

b) 2

c)

2

x

b)

1 2

x 4 -5 x 2

d) 4

lim a) 1

4

c)

1 4

2

1 sin x -6 1 cos 2 x

d) 4

-7 1) 3) 5) 7) 9)

x2 2x 5 lim x 3 2x2 1 6 lim 2 x x 7 3x 2 2 lim x x 1 x3 2 x 4 lim x 2 x 3x 2 ax lim x 0 tan bx

2) lim 3 x x

1

x2 x 6 x x 3 3x 4 x 3 5 x 18 6) lim 2 x 2 x 3 x 10 2 x 3x 2 8) lim 2 x 2 x 3 x 10 4) lim

x

1 cos 2 x 10) lim x 0 x cos x

39

x 2 3x x 2 x2 x sin( a 13) lim x 0 tan( a 11) lim

10 2 x) sin( a x) x) tan(a x)

2 x 3 ) 2 2 x x 2 x 2x x2 x2 14) lim 2 x 2x 1 2x 2

12) lim (

cos x sin x tan x 15) lim x 0 x 2 sin x

cos x cos 3 x sin 2 x 16) lim x 0 a x2

2 sin 2 x sin x sin 2 x 17) lim x 0 x2

18) lim

19) lim x

0

2 sin 3 x sin 2 x x tan 3 x

21) lim

u) u)

23) lim

2x2 x 3 x 2 8x 5

u

sin 3( 0 sin 8(

x

25) lim x

2

x

9x

2

9x

x sin 2 x x sin 3 x

x x 2 x 2 1 x2 22) lim x 1 sin x 20) lim

24) lim x

x 5 4

0

2 x 2

8x 4 4x x

1 1 26) lim( ) x 1 1 x 1 x2

1

40

1 x 2

41

(P. Fermat) (I. Newton) (G.W.Leiniz)

.

42

Derivatives

f ( x) f (1) lim x 1 x 1

f ( x)

?

B ( x2 , y 2 )

A( x1 , y1 )

.

x

.

.

P1 P

C P

.

43

1

P1

x2 1

P1

C

P

1

: P tan

c

x

. .

Q

P

2

PQ

P (1,1)

y

.

P

f ( x)

:1

x2

:

. Q

P

:

m PQ

x

2

y y2 x2

4 2.25 1.21 1.0201 1.002001 y1 x1

3

1 .5 2.5

1.1 2 .1

1.01

1.001

2.01

y

2.001 Q(1 h ,1 2 h h 2 )

P (1,1)

x

1 h

h

: f (1 h)

P (1,1)

(1 h) 2

0

1 2h h 2

44

h

(1 h , 1 2h h 2 )

.

Q (1 h ,1 2h h 2 )

: m pq

1 2h h 2 1 (1 h) 1

2h h h

P(1,1)

h( 2 h) h

2 h

PQ

Q

h

x2

mT

( x h) 2 x 2 x 2 x h x lim(2 x h) 2 x h

P ( x, y )

.

:

mT

0

h

0

[ x h , ( x h) 2 ] Q

m

P

lim(2 h) 2 :

PQ

y

P (1,1)

2 xh h 2 h

x2

m

2 xh h 2 h

PQ

P

2x h

0

Q[ x h , f ( x h)]

P[ x , f ( x)]

Newton : f ( x h) f ( x ) f ( x h) x h x h f ( x h) f ( x ) mT lim h 0 h

f ( x)

: x

: mT

f ( x)

P (2 , 0)

.

x

x2

Newton

2

f ( x h) f ( x ) f ( 2 h ) f ( 2) lim h 0 h 0 h h 2 2 ( 2 h) ( 2 h) 2 2 lim h 0 h 2 h 4 4h h 2 2 4 h 4h h 2 lim lim h 0 h 0 h h h( 3 h) lim lim( 3 h) 3 h 0 h 0 h lim

45

lim h

0

3h h 2 h

:2 :

S

t2

f (t ) :

f (t 2 ) f (t1 ) t2 t1

t1

t0

.

lim t

t0

f (t ) f (t0 ) t t0

lim

t

t0

S S0 t t0

t0

t

: S t

: s t

f (t 2 ) f (t1 ) t 2 t1

y

[2 , 5]

.

x2

f ( x)

x2

: y x

f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1

y x

25 4 5 2

: 5

x1

2

:

52 2 2 5 2

f (5) f (2) 5 2

21 7 3

y x

y

x

y

x

-1

. y ? , x y 2) ? , x y 3) ? , x

1)

f ( x)

2x2

4

, (0)

f ( x)

2x

x2

, (3)

f ( x) 3 x 2

5x 4

, (2 , 1) f (t ) 5t 3 3t 1

2, 4

46

-2

lim x

f (x

x) x

x

x

0

f ( x)

a ,b

y

f (x)

. .

(

y ) x

x

:

y

f ( x) y f (x

y y

y y

(x

( x , y)

x) , f ( x

x)

y

y

x

x

x

x

x

y

f (x

y y x

f (x f (x

lim x

0

y x

x) x) y

x) f ( x) / x x) f ( x) x f (x x) f ( x) lim x 0 x

: dy df , , y' dx dx

. lim x

0

y x

dy dx

df ( x) dx

y'

f ' ( x)

lim x

0

y x

:

f ' ( x)

f ( x) 2 x

.

:1 :

: 47

f ' ( x)

lim

f ' ( x)

lim

f (x

0

x

2 x x

0

x

x) x

f ( x)

lim x

f ' ( x)

2( x

x) 2 x x

0

lim x

0

2x 2 x 2x x

2

f ( x)

.

:2

x3

: 3

x) f ( x) x) x x (x lim lim x 0 x 0 x 0 x x x(3 x 2 3x( x) ( x) 2 ) lim 3 x 2 3 x (0 ) 0 2 x 0 x

f ' ( x)

lim

f (x

3

3

3x

x 3 x( x) x

x, x

x

f (x

0

x) x

:3

0

x f ( x)

lim x

x

x x

0

x3

:

: lim

( x)

3

x 0

:

f ' ( x)

2

f ' ( x) 3x 2

f ( x)

.

2

0

:

x

: lim

( x

0

x

x x )( x x x( x x x) x x x lim x 0 x( x x x)

x) lim x

0

1 x

x

lim x

y

x

0

f ' ( x)

x

x 0

1 x

1 2 x x

x

y

0

:

x

x

x

x

0

(

1 2 x

)

x

.

. 1) f ( x)

x x2

2) f ( x)

2x2

48

3) f ( x) 2 x 2

x

0

y P1 P1

.

P1 P0 P1 P0

P0 P0

x

[ a , b]

Q ( x0

. Q

.

f (x )

x , f ( x0

x))

P ( x0 , f ( x0 ))

P x

y x

HQ HP

( x

0)

P

Q

. P ( x0 , f ( x0 ))

.

x

y

y x

0

: P ( x0 , f ( x0 )) Q ( x0 y H

x a x0

x0

x b

x ) , f ( x0

f (x )

:

x)

lim x

x

0

y x

y ' tan

tan

m

: .

x

49

:1

2 x3 1

f ( x)

A(1,1)

. m

:

tan

f ' ( x)

:

f ( x) 2 x 3 1 f ' ( x)

lim

f (x

0

x

lim x

2 x3

0

lim [6 x 2 x

0

x) f ( x) x) 3 1 ( 2 x 3 1) 2( x 2[ x 3 3x 2 x 3x x 2 lim lim x 0 x 0 x x x 2 2 3 3 2 6 x x 6 x( x) 2( x) 1 2 x 1 x[6 x 6 x x 2( x) 2 ] lim x 0 x x 2 2 6 x( x ) ( x ) ] 6 x

A(1,1)

: m

f ' ( x)

6 x2

f ' (1)

6 12

( x) 3 ]

6

: y

y1

m( x

x1 )

y 1 6( x 1)

y

6x 5

.

x0

2

y

:2

x2 1

: x) 2 1 ( x02 1) x 2 2( x) x0 ( x) 2 1 x02 1 lim 0 x 0 x 0 x x x[(2 x0 ( x)] lim lim [2 x0 ( x)] 2 x0 x 0 x 0 x m y ' 2 x0 2 2 y ' lim

( x0

y' m

4

x0

. x

2

x

x0

x0 y x y x y x

f ( x0 ( x0 x02

y y x y x y x

x ) f ( x0 ) x 2 x) x02 x 2 x0 x ( x) 2 x02 x

50

f ( x)

2 x0 x ( x ) 2 x x ( 2 x0 x) x 2 x0

x

x2

:3

f ' ( x0 )

y

y x

lim x

0

lim ( 2 x0 x

x2

f ( x)

x)

0

x0 x0

.

2 x0

:

2

f ' ( 2)

2 2

x0

4

4

2

. f ( x)

.

4

x3

:4 :

f ( x0

y x y x y x

( x0 x0

f ' ( x)

3

lim

0

x

x ) f ( x0 ) x 3 3 x ) x0 x 3 x02 x 3x0 ( x) 2 x y x

lim [3x02 0

x

( x) 3

x0

y x y x y x

3

3 x02 x 3x0 ( x) 2 ( x) 3 x 2 x[3x0 3 x0 x ( x 2 )] x 3x02

3 x0 ( x) ( x 2 )

3 x0 x ( x) 2 ] 3x02

f ' ( x0 ) 3 x02

.

f ( x)

x0

f (x )

1 x

x0

:5 :

f ( x0

y x f ( x0 )

1 x0

f ( x0 )

y

y y y

x) x

x0 x

1 x0

x

x0 ( x0 x0 ( x0

x

: x0 x0 x x 0 ( x0 x) x x x0 ( x0 x) x x x x0 ( x0 x)

y x

1

1 x0

f ( x0 )

x

y x y x

f ( x0 ) 1 x0

lim

x) x)

x

0

y x

f ' ( x0 )

.

lim x

0

y x

f ' ( x0 )

x0 ( x0

x)

1 x0 ( x0

x)

1 x0 ( x0

1

1 0)

1 x02

51

x

2 0

x0

f (x)

2

-1 1) f ( x) 5 x 2

2

2) f ( x )

2 x

-2 1) f ( x)

4x2

,

x0

1 2

2) f ( x )

52

3x 1 ,

x0

1

2x2

f ( x)

.1

:

:

C)y C

( x

. 0

x

.

: y

:

C

. : y

C

y

y

C

y

C

y

y

C C

y x

C C x 0 y lim lim x 0 x x 0 x y' 0

f ( x) 100

.

: f ( x) C

f ' ( x) 0 4

f ( x) f ( x) 100

f ' ( x) 0 f ' ( x) 0

53

f ( x)

4

100

: 4

:

.2

:

n 1

.

n

xn

y

x

. y

. x

.

0

:

: y

x

y

n

x) n

y (x y (x

x)

(x

y

n

x x) n

y

n

x) n

x x)[( x

x[( x

y

x) n

y (x

1

1

x) n 2 x ( x

(x

x) n 2 x ( x

(x

x) n 3 x 2 ... x n 1 ]

x) n 3 x 2 ... x n 1 ]

y x[( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 ] lim x 0 x x 0 x y lim lim ( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 x 0 x x 0 y' x n 1 x n 1 x n 1 ... x n 1 lim

xn

y' nx

1

n

n 1

.

x

1 2

f ( x)

x5

:1 :

f ( x)

x5

f ( x) 5 x 5

1 1 f ( ) 5 ( )4 2 2

2

1) f ( x)

x

4) f ( x)

x3

5

1 16

1

f ' ( x) 5 x 4

5 16

2) x(t )

gt 2

3) t ( x)

2

5) f ( x) 1010

54

x8

.3

:

v u

: v

y

u

v

y

u v

u y

u v

x 0

x

. :

: y y

u v y u y y y

u u

u v

u v u v u v

y x y lim x 0 x

u

v v y v u v

v x lim x

0

u x

lim x

0

v x

y ' u ' v'

v x

lim x

0

v'

lim x

0

u x

.4

: y ' u ' v'

.

u'

y

u v

. y

. v 1

:

55

u

2x 1 2x

:1 :

u ' 1 2 x1 1

2x0

u' 2 v' 0 y ' u ' v'

y ' (2 x)' (1)'

w' 0

v' 3 , u ' 8 x

v 3x , u

w 5

y' 2

: :2

4 x 2 3x 5

y

. :

y' 2 0

4x2

:

y ' u ' v' w' y ' (4 x 2 )

(3 x)' (5)'

y' 8 x 3

:3

. 2) f ( x) 9 x 2 12 x 4

1) y 12 x 7

3) f ( x) 6 x3 2 x 2 6 x 1

f ' ( x) (9 x 2 )' (12 x)' (4)' f ' ( x) 18 x 12

y' (12 x)' (7)' y' 12

f ' ( x) (6 x3 )' (2 x 2 )' (6 x)' (1)' f ' ( x) 18 x 2 4 x 6

.5

:

y

.

u v

u v

v

. .

v

v

u

u

u

y

x

.

0

x

: : y u v y y y y x y lim x 0 x y' y'

(u u )(v v) y (u u v u v v u u v u u v v u u v u v x x u v v lim u lim lim u x 0 x x 0 x x 0 v u ' u v' 0 v ' u ' v v' u

u )(v v v u x lim x

0

v x

56

v)

y

u

v x

y ' u ' v v' u

.

x3 ( x 2

y

.

:1

3)

y u v

:

y ' u ' v v' u u

x3

v

x2

u ' 3x 2 3

x3 ( x 2 3)

y

y ' 3x 2 ( x 2

v' 2 x

3) 2 x ( x3 )

y ' 3x 4 9 x 2

2x4

5 x4

9x2

y

.

y

: y

(5 x 1) 2

u 5x 1 v 5x 1

:2

(5 x 1) 2

(5 x 1)(5 x 1) y ' u ' v v' u y ' 5(5 x 1) 5(5 x 1) y ' 25 x 5 25 x 5 50 x 10

u' 5 v' 5

.6

:

u v

0

v

: .

:

y

y

u v

v, u

. .

x

0

57

x

v

u

y

u v

v

u

: : u v

y

y

y

u u v v u u v y v (v v) v u u v y v (v v) x x u v y lim lim ( x x 0 x x 0 v (v y

y'

u v v

u u u u y v v v v uv v u uv u v v (v v)

y

u v u x x v (v v) v u v u v lim u lim 0 0 x x x) x x v) v lim (v v) v

v

0

u ' v v' u v2

y

. : u u ' v v' u y' v v2 3(1 2 x) [ 2(2 3 x)] y' (1 2 x) 2 3 6x 4 6x 7 2 (1 2 x) (1 2 x) 2

u v

2 3x 1 2x

:1 :

y

u

2 3x

v 1 2x

u' 3 v'

2

x0

.

58

f ( y)

0

y

.

2 y2 3 1 3y

:2 :

: f ' ( y) 2

u 2y 3 v 1 3y

u' 4 y v' 3

4 y(1 3 y) [ 3(2 y 2 3)] (1 3 y) 2 6 y2 4 y 9 (1 3 y)2

f ' ( y) f (0) f (0)

6(0)2 4(0) 9 (1 0)2 9

f (t )

. y

:

u

u v 3

v

2t 1

y

u ' v v' u v2 u' 0 f ' (t ) v' 2

u v

u v

3 2t 1

:3 :

y'

3 x( x 2) 5 t2 4) f (t ) 1 2t 7) f ( x ) 3 x 5 5 x 2

1) f ( x)

4 y 12 y 2 6 y 2 9 (1 3 y)2

0 ( 2t 1) 2( 3) ( 2t 1) 2

2) g ( x) 5) f ( x)

6 (2t 1) 2

(2 x 3)( x 3) 1 2

x 2 8) f ( x) 7 x 3

59

3) f ( x)

(2 x 1) 2

6) f ( x)

ax b cx d

-7

:

y

:

x

x x

.

0

: : y

x y

y x

y x

x

x

x

: ( x

y y x

x

x )( x x x x x 1 y lim x o x x x

x

x) lim x

o

x x x

x x x x 1 x

x

1 x

2 x

1

y

2 x

u v

: u

x x

2

u 1

1 2 x v' 2 x

f ( x) f ' ( x)

x ( x 2 1)

f ( x)

.

v

x

x x

1 2 x

( x 2 1) 2 x

x2 1 2x x 2 x

60

x

x 2 1 4 x( x ) 2 2 x 2 x 1 4 x 2 5x 2 1 2 x 2 x

:1 :

-8

: u

u

y

u

x

!

u

y

u

x

y

.

u x

. y

y y

u u

u

0

u u

u

: ( u

y

u

u )( u u u u u u u u u

u u

y

x

: y x

0

lim

0

x

u'

y'

u

x

u u

u

y lim x 0 x

u)

u

u u u

u

1 x

u

lim 0

x

u

u

0

h( x ) ( x 2 y

: u v

x

x

x v'

u

u' 2 u

.

2

u x u

u' 2x 1 1

h' ( x)

(2 x 1) x

h ( x)

2x x

2 x h ( x)

4x

2

x

x 1

(x2 2 x x2 x

x)( x )

y

u v x)

2 x 2 x x x 5 x 2 3x 2 x 2 x 2

61

:2 :

f ( x) (3 x 1)( x 3)

x 8

.

y

: u

3

v

x 3

x 1

f (8)

1

u v

8 3 33 82

f ( x)

33 x 2 f ( x)

1 3

8 1

1 3

2

3

2

3 x x 3 3 x

n

u

y

:3

u v

:

( x 3) 1(3 x 1) (3 x 1)

11 23 1 : 12 12

x 8

-1 1) f ( x)

1 x 1

2) f ( x ) 3 x

3

3) f ( x)

g ( x) (f

g) ,( f g) ,( f

62

g) g

x2

x 1 0 .

3

f ( x)

x 2 3x

-2

Chain Rule (

dy dx f

x x

)

dy du du dx f (x)

.

g

g ( f ( x))

y

u

x

. x

u u

u u y

y

y u u

y

x

x

0

: : y

y

y x y x

y x y u

lim x

u u

0

y x

: u u u x

lim u

0

y u lim 0 x u x

y '( x )

y '( u ) u '( x )

lim

:

x

0

u x

u '( x )

lim u

0

y u

y '( u )

: y ' nu n

1

u'

63

:

y un

-1

u'

y'

n

n u

y

:

n 1

n

-2

u

: 1) y

(2 x 2 1) 3

4) y

3

x2

2x3

2)

y

5)

y

1 x2 (x2

3) y

(x2

3) 2 2 x 3

3

2)

:

: (2 x 2 1)3

1) y

u

u

2x

2

u 'x

1

y u3

y '( x ) y '( u ) u '( x ) y ' 3(2 x 2 1) 2 4 x 3( 4 x 4

4x

y 'u 3u 2

(12 x 4 12 x 2 3) 4 x 48 x5 48 x 3 12 x 12 x( 4 x 4

u 1 x2 y

u

u '( x ) y

3) y ( x 2 (x2

2x

2 1 x2

3) 2

( x 2 3) 2

y'

2( x 2 3) 2 x 2 x 3 8x 4 ( x 2

v '( x ) 6 x 2

u

x2

x

2

y

2x3 2x

y'

( x 2 2)

x2 2 u '( x ) 2 x u

3

y y'

un

2x3 ( x2

24 x 4

6x2 ( x4

8x 6

24 x 4

6x6

n

60 x 4

3) 2 6x2

36 x 4

54 x 2 u'

y'

u

nn u n

1

2x 6x2 33 ( x 2

y

2 x3 )2

nu n

3( x 2 2)

4

1

u'

2x

64

3) 2

6 x 2 ( x 2 3) 2

3) 6 x 2 ( x 2

3

u '( x ) 2 x 6 x 2

5) y

2x3

8x 6 14 x 6

3

1 x2

y'

u '( x ) 2( x 2 3)(2 x)

4) y

x

y ' u ' v v' u :

3) 2 2 x 3

v 2 x3

12 x(2 x 2 1) 2

2x

y

u' 2 u

'

y u v

u

4 x 2 1)

1 x2

2) y

4 x 2 1) 4 x

6x ( x 2) 4 2

9) 54 x 2

: f ' ( x0 )

( x0 )

( x0 , f ( x0 ))

. x0

.

.I

f

1

x3

f ( x)

f ( x0 ) 1

P (1,1)

:

x0

1

:

: f ' ( x)

lim

x

x0

f ( x ) f ( x0 ) x x0

x 1

( x 1)( x 2 x 1) 1 x 1

lim( x 2

lim x

f ( x) f (1) x 1

lim

lim x 1

x3 1 x 1

x 1) 3

x 1

x0

f ' (1) 3

x

x0

f

.II

. x 0

.

f ( x) | x |

: :

. f ' (0 ) f ' (0 )

f ( x) f (0) x 0 f ( x ) f (0 ) lim x 0 x 0 lim

x

0

( | x| x | x| lim x 0 x lim

x

0

)

x 1 x x lim 1 x 0 x y lim

x

0

f ( x) | x |

x

65

f ' (0 )

f

x 0

f ' (0 )

.

1) y ( x 2 4) y

1 z 1 z

2) 2

2) y

(x3

5) y

3

4 x 2 1)

4

3t 1

3) y 6) y

66

(1 2 x 3 ) 4 1 2 x2

x3

y

1 2

o

3

x

1

1 sin x 1

y sin x

x

sin( x

x) sin x

y x

x

0

: -1

: y sin x : y sin x y

y sin( x y sin( x y y x

2 cos

x) x) sin x

x

x x x sin 2

1 2 cos( x x

y lim x 0 x

x x ) sin 2 2

lim cos( x x

x x 2

0

2 cos

2 cos( x

x x 2 ) lim sin x 0 x 2 2

2x

x 2

sin

x x 2 ) sin 2 x y ' ( x) cos x 1

y' cos x y sin x

y' cos x

67

x 2

f (u )

sin u

y ' u ' cos u :

u

y sin u

sin 4 x

:1

x

y

.

f ( x)

: f ( x) sin 4 x u 4 x u' 4 f ( x) sin u y 'u

cos u

f ( x) sin u

f ( x) u ' cos u

f ( x) sin 4 x

f ( x)

4 cos 4 x

y

.

x 3 csc x

:2 :

f ( x)

3

x csc x 3

u

x

u ' 3x

v

1 sin x

v'

f ( x)

1 x sin x

3

cos x 3 x sin 2 x 3x 2 csc x x3 cot x csc x

f ' ( x) 3x 2 csc x

2

uv' v2

x3 csc x

cos x sin 2 x

3x 2 csc x x3 cot x csc x

: a) y c) y

sin 5 x

b) y

sin x 1 x

1 sin x

68

cos x y

1

o

3 2

2

1

x

5 2

y

y

x

cos( x

f ( x)

cos x

x) cos x

y x

.

x

0

: -2

: y cos x : y

cos x

y

y y

cos( x

x) x) cos x

x x x sin 2 2x x x 2 sin sin 2 2

y

2 sin

y

lim x

cos( x

0

y x

y cos x

x

lim sin( x x

0

y'

x x 2

x x ) lim sin 2 x 0 x 2 2 sin x

69

sin x 1

: sin 2 x cos 2 x 1 1 sin 2 x 1 1 (cos x)' ( 2 sin x cos x) 2 1 sin 2 x cos x

:

1 sin 2 x

cos x

1 1 ( 2 sin x cos x) 2 cos x (cos x)' y

cos u

sin x y'

u ' sin u

x

:

u

y

cos u

:1 1) f ( x) sin 2 x

2 sin x cos x

2) f ( x ) y

: 1) f ( x) sin 2 x

y ' u ' v v' u

2 sin x cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x

f ' ( x ) ( 2 sin x ) cos x (cos x ) 2 sin x f ' ( x ) 2(cos 2 x sin 2 x) 2) f ( x )

u v

x sin x cos x

y ' 2 cos 2 x

x sin x cos x

f ' ( x ) ( x)' (sin x cos x )' ( x )' [(sin x)' cos x (cos x)' sin x] f ' ( x ) ( x)' [cos x cos x ( sin x sin x )] 1 cos 2 x

1) f ( x ) (sec 2 x tan 2 x ) 2

2) f ( x) sin 2 x 2

4) f ( x) csc x

5) f ( x )

70

5 sin 2 x 3 cos 5 x

3) f ( x) sec x

:

y

y tanx

1

2

0

3 2

2

3 2

x

1

2

y

tan x

: -3

: y tan x : sin x cos x ' (sin x) cos x (cos x)' sin x f ' ( x) cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x y tan x 1 y '( x ) sec 2 x 2 cos x f ( x)

tan x

cos x cos x ( sin x)(sin x) cos 2 x

. :1

. y

tan 3 x

: u

tan x

u ' sec 2 x

y

y' n u n

1

u'

tan 3 x

y ' 3 tan 2 x sec 2 x

71

y

un

:

y

. .

y ' u ' v u v'

y

sec x cot x

u

sec x

u ' sec x tan x

v

cot x

v'

sec x cot x y

u v

:

csc 2 x

:

y ' u ' v u v'

y ' sec x tan x cot x sec x( csc 2 x) 1 csc 2 x sec x tan x 2 sec x csc x sec x sec x tan x

a) y

tan x cot x

b) y

(x2

c) y

1 tan x

d) y

tan x sec x cot x

72

x 1) tan 2 x

:2

v'

u', v , u

f '( x )

y '( x )

f ' ( y)

2x2

y

4

y2

xy 1

. : y

f ( x)

y

0

F ( x , y)

y

f ( x)

f (x) y

.

y

x

F ( x , y)

x

2

y

2

25 0

F ( x , y)

y

0

F ( x , y)

0

25 x 2 :

y

.

x2

y2

25

x2

y2

25

F ( x, y ) 0

f (x)

y

. xy 2

y 1 0 :

y

x

f (x)

y

x

y

y

x

f (x)

x

: xy 2 ( xy 2 )

y 1 0 ( y)

(1)

0

1y 2 y'

x(2 y ' y ) y y2 2 xy 1

73

0

y2

2 xyy' y ' y ' ( 2 xy 1)

f ( x, y )

0

.

: y( x )

f( x)

(

y) x

f( y)

(

x)y

y sin

( ,1)

.

f '( x )

f '( y )

,1)

x y ' x (sin )'x (1) x y 1 1 x x 0 cos 0 cos y y y y x y ' y (sin )' y (1) y y x x x x 1 cos ( )' y 0 1 cos 2 y y y y

:1

x 1 0 y

:

1 cos 1 1

1

x y 2y

3

1

cos

2 xy 0 3 0

f '( y)

x2

6y2 f '( x) f '( y)

0 0

2 xy 3 x2

2 xy 3 x2 6y 2

1 x cos y y x x 1 cos y2 y

6y 2 3 2 xy x2 6y2

74

y( x )

1 1

x2 y 2 y3

0

f ' ( x)

f '( y )

y x

1 ( 1)

3x 2 3x 2

f '( x )

x x cos 2 y y

1

y ' ( ,1)

1 x cos y y x x 1 cos 2 y y

x2 y 2y3

f ' ( x)

, y sin

y '( x )

. 2

f '( y )

y

x 1 0 y

: y(

x f '( x )

y '( x )

: y sin

x 1 y

3x 2

:2

y6

f '( x ) f '( y ) y '( x )

y x2

:3

0

2x 6 y5 1 f '( x )

2x

f '( y )

5

6y

2x 6 y5 1

1

: y6

y x2

0

6 y 5 y' y ' 2 x 0 (6 y 5 1) y ' 2 x 2x y' 6 y5 1

. x2

y"( x )

.

y2

:1

1

: x2

y2 1

x2

y2 1 0

f '( x ) ( x 2 )' x ( y 2 )' x (1)' x

2x 0 0 2x

f '( y ) ( x 2 )' y ( y 2 )' y (1)' y

0 2y 0

y '( x )

y( x )

f '( x )

2x 2y

f '( y )

f ( x)

x y

(x2 )x (x2 ) y

f( y)

2y

( y2 )x ( y2 ) y

(1) x (1) y

2x 0 0 0 2y 0

x y

y( x )

y'

: '

y( x )

( x) y y x y2

'

y

yx y

2

y

x x y y2

x : y

y2

x2 y

75

3

1 y

3

y( x )

1 y3

x y

x2

xy

y2

:2

3 0

(1,1)

. y '( x )

(1,1)

:

: f '( x )

2x

y

f '( y )

x 2y f ( x)

y( x )

2x y x 2y

f( y)

y y

y1

m( x x1 )

,

x 2y

0

2x y 2 1 1 x 2y 1 2 y 1 ( x 1) y x 2

: x 2 xy y 2 3 0 2 x y x y ' 2 yy' 0 2 x y ( x 2 y) y' 0 ( x 2 y) y' 2x y 0 ( x 2 y) y' 2 x y 2x y y' x 2y

x2 y3

.

5 y3

:3

x

: x2 y3 5 y3

x 3

0

0 1 2 xy 3 1

f '( x )

2 xy

f '( y )

3 x 2 y 2 15 y 2 0

y '( x )

f '( x ) f '( y )

2 xy 3 1 3x 2 y 2 15 y 2

1 2 xy 3 3x 2 y 2 15 y 2

x sin y

.1

y cos x 5

x3 x2

76

xy 2 y2

y 3

.2

4x 4 y

.3

.

f ( x) sin x f ( x) cos x

.

2 x 4 3x 3 2 x 1

y

:

y

y (n)

y'

f ( x)

f ((xn))

y

f( x)

f ( x)

y

-n

.

... y

f( x) f( x) .

y

.

x3

3x 2

4x 1

:1

: y

x 3 3x 2 2

y

3x

y

6x 6

y

6

4x 1

6x 4

y

y

.

1 3 x 3

:2

:

y' x 2 1 3 y x 3

y y

x

y

77

1 3 x 3 3 2 x 3 x2

x2

y sin x cos x

.

( y (9) ) 2

y2

:3

y2

2 y (9 )

:

:

y sin x cos x y '( x ) cos x ( sin x) cos x sin x y"( x )

sin x (cos x)

y ' ' '( x )

sin x cos x

cos x ( sin x) sin x cos x

f '(( 9x)) cos x sin x ( y (9) ) 2

y2

(cos x sin x ) 2

(sin x cos x ) 2

cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x

2(sin 2 x cos 2 x) 2

2x6

y

.

3x 5

2 x 3 3x 2 1

:4

: y

2 x 6 3x5

y

12 x 5 15 x 4 60 x

y

4

60 x

240 x

y

2 x 3 3x 2 1

3

6x2 3

12 x 6

180 x 2

y

( 4)

720 x

y

(5)

1440 x 360

f n( x)

6x

2

12

360 x

c1 x c2 x 2

c0

c3 x 3

...

cn x n

cn

0

: n

: f ( x)

c0 c1 x c2 x 2

c3 x 3

f ' ( x)

c1 2c2 x 3c3 x

f " ( x)

2c2

6c3 x

2

...

...

ncn x

...

cn

2

n(n 1)(n 2)cn x n

6c3 12c4 x

f n ( x)

n(n 1)(n 2) x ... cn

0

n 1

n(n 1)cn x n

f ' ' ' ( x)

...

cn x n

3

n!cn

f k ( x) 0 :

k

n

-1

. 1) y

4x4

3x 3

3) y

a b c2

2x x ax bx cx 3

2) y c3 x

(5 x 2) 3

4) y sin x

78

f (x)

.

Q( x

x , f (x

x) f ( x) f ( x x) x x x f (x x) f ( x) lim : x 0 x x 0

mT

f ( x)

dy dx

. y x

lim x

0

f (x

lim x

x) x

0

-

Newton

. f (x x

x)) P ( x , f ( x))

f ( x)

f ' ( x)

:

-

f (x )

-

f ' ( x)

y'

( x0 )

f ' ( x)

( x0 , f ( x 0 ))

. x0

x

x0

f (x)

-

. . P ( x 0 , f ( x 0 ))

. y x

lim x

0

y ' tan

tan

f (x)

C

-

m

.

-

.

x0

x

( x0

r , x0

r)

f

-

f lim x

0

f ( x0

x) x

f ( x0 )

:

.

79

x

x0

: 1) f ( x) C 2) f ( x)

f ' ( x) 0

xn

f ' ( x)

3) f ( x) u v 4) f ( x) u v 5) f ( x)

u , v v

u ' v v' u v2

f ' ( x)

0

x

f ' ( x)

7) f ( x )

u

f ' ( x)

u

f ' ( x)

n

1

f ' ( x ) u ' v' f ' ( x) u ' v v' u

6) f ( x )

8) f ( x)

n xn

1 2 x u' 2 u u' n

n

un

1

y '( x )

y '( u ) u '( x ) :

: 1) y

sin x

2) y

cos x

y ' cos x y'

,

y

sin u

y ' u ' cos u

sin x ,

y

cos u

y'

u ' sin u y

-n

y (n)

80

f (x)

f ( n ) ( x) :

.

a) 3

b)

3

d)

f ( x)

[3 , 4]

b) 14

c)

3

c) y ' 4 x

: a) 0

b)

: a) y

5x 2

1 2 x 1 x 1 b) y

x 1 2 x f ( x) 2 x 2 c)

x 3

c) y

d)

a) y'

4x 8

b) y '

5

6 x5 2x3 24x

c) y '

2

4 3 x (1 x 2 ) 5 5 4 x3

sin x (1 cos x) 2

–4

x 1

1 2 x 1

d) y

5x

-6

4x 8 ( x 4)

:

y

(2 x 2 ) 3

–7

c) y '

b) y '

y

c) y' 3( 2 x) 2

d)

y sin x

d ) y'

y

–8

sin x

(1 x 4 )

cos x 1 5

–9

1 (1 x 2 ) 5 5

d)

: a) y'

d ) y' 4 x

6

6

c) y '

-3

–5

: a) y'

1

2x x 4 8 d ) y' ( x 4) 2

b) y' 3(2 x 2 ) 2

b) y ' cos x

2 x 2 3x

3 x2 f ( x)

: a) y ' sin x

-2

x

: a) y'

5

2

d ) 32

y

1 x 2

b) y ' 4 x

2x

14

: a) y ' 4 x 2

-1

x

c) 5

: a) 18

x2

f ( x)

P(3 , 0)

:

b) y '

sin x (1 cos x)

81

cos x 1 cos x sin x c) y' d) (1 cos x) 2 y

–10

. 2 tan 2 x 1 tan 2 x

f ( x)

x x2 x 1 x 2 ( x 1)( x 1)( x 1)( x 4 1) f ( x)

f ( x)

x

f ( x)

82

-3 -4

f ( x) sin x cos x

-5

(sin x cos x) 2 1 sin 2 x y cos x

y sin 2 x cos 2 x x2

-2

4)

f ( x) (3 x 1)(3 x 4

-1

xy

y2

3

-6 -7 -8 -9

83

84

y

y

P (x)

.

h x

l

0

: (.

... : -I

: y

y

f (x )

f (x )

1

a x1 x0

x0 x 2 b

x

a x1 x0

(1)

x2

' 1

' x0 x 2 b

( 2)

(a,b)

x1 , x0

. 85

(1 ) (2 )

x

(2 ) (1 )

.

. . : a, b

( a , b)

f (x)

-1

f (x)

-2

f ( x) 0

. a, b

( a , b)

f ( x) 0

. x

y

: x

y

.

:1

f ( x) x 3 3x 1

.

:

. f ' ( x)

0

: f ( x)

x 3 3x 1

f ' ( x) 3x 2

3

x

.

f ' ( x)

0

3

f ( x) x 3

86

3x 5

:2

f (x )

: f ( x) 3x 2 f ' ( x) 0 3x 2 3x x

2

: f ' ( x) 0

3 0

3 0 3 1 1 x 1

( 1,1)

. y

.

:3

5x 4

:

: Df

IR

f ( x) 5 x 4 f ' ( x) 5 0 f ' ( x) 0

x

.

:4

x2

y

. y' 0

y' 0

: :

y

y

x2

y' 2 x y' 0

x y' y

2x

0

y' 0

2x

2

1

0 0

1

1

0

1

4

0

0

x x

0 2

0 4

87

x

(0,

)

(

,0)

.

ax b

-1

3 x 1 4 3x 1

-2

y y

2x 2

f ( x) y

88

x 2 3x 2

-3 -4

(Minimum

Maximum

)

(Critical Point)

y

x

y

( a , b)

f (x)

:

f (x)

0 ac

x

eb

d

.

(d , e) (c ,d) f (x)

: (Maximum) (Minimum)

x

.

(Critical Point)

89

.

:

( a , b)

:

(2 ) (1 )

.

f' 0

x0

:

.3

:

.1

:

.2

:

.3

y' 0 :

.

a

.2

y' 0 :

( a , b)

f' 0

.1

f' 0

a

b

(1)

f' 0

x0

b

( 2)

x0

y

f (x)

x0

.

(maximum)

x0

y

x0 f (x)

x0

.

(minimum)

x0

x0 x0

.

90

(Inflection Point)

2x

:1

f ( x) 0

x

:

7 2 x 2

x3

f ( x)

:

f '( x ) 3 x 2 7 x 2 f ( x) 0 3x 1 0 x 2 0

( 2)

1 3 2

x1 x2

1 3

x f ' ( x) f ( x)

1

0 2

17 54

Max

1 ( ) 3

2 0 2 Min

f . f ( x)

.

.

x 1 x 2x

:2

2

:

. y'

u ' v uv' : v2

y

u v

x 1 x 2x x 2 2 x (2 x 2)( x 1) f ' ( x) ( x 2 2 x) 2

f ( x)

2

x2 2x 2 ( x 2 2 x) 2

f ' ( x)

. f ' ( x)

0

x2

2x 2 0

b 2 4ac 12 x1

b 2a

2

x2

b 2a

2

12 2 12 2

2.73

x f ' ( x) f ( x)

3

91

1

Min

0.73

1

0

0

2 15

0.73

2.73

0

Max

2

x2

x1

f'

. :(Absolute Maximum & Minimum Points)

.

:

y f (x )

x0 x1 x2

x3

x

x5 x6 x7

x4

f (x ) f (x )

: :(Absolute Maximum)

( x0 , f ( x0 )) f ( x)

f ( x0 ) (x)

f (x )

. .

x0 x0 f ' ( x0 )

f ' ( x0 )

f ( x0 ) x0

0 max

x0

92

f ' ( x0 )

:(Absolute Minimum)

( x0 , f ( x0 )) f ( x)

f ( x0 ) (x)

f (x)

.

-

f ( x0 )

. . x0 f ' ( x0 )

x0 f ' ( x0 )

min

x0

f ( x)

:

x1

0

1 2 x 2

3x

f ' ( x1 )

1 2

1 2 x 3x 2 f ' ( x) x 3 f ' ( x) 0 x 3 0 x 3 f ( 3) lim f ( x) x

x

f (x)

:

y

1 2

x

5 1 1 lim ( x 2 3x ) x 2 2 1 1 lim x 2 3 lim x lim ( ) x x x 2 2 4

f ' ( x) f ( x)

f ' ( x0 )

:1

: f ( x)

x0

9 2

3 0 5 Min

( 3, 5 )

1

2

3

15 2

( 3 , 5)

-5

x

3

. 93

f ( x) x3 3x 2

:2

: : x3 3x 2

f ( x)

f ( x) 3x 2 3 f ( x) 0 3x

2

3 0

3x

2

3

x

2

y ( 1, 4)

(0 , 2)

1

x1 1 , x2 f ( 1)

( 1)

1 3

3( 1) 2

(1, 0)

4

3

f (1) 1 3 1 2 1 3 2 f ( 0) 0 3 0 2 2 f ( 2) 2 3 3 2 2 4 f (1) 0 , f (0) 2 , Max f ( 1) 4 x

0

f ( 1)

5 6 (1,

( 1,1)

.

4

Min f (1) 0

1

2

f ' ( x) f ( x)

x

2

0

0 4 Max

)

1

0

(

2

0

Min

4

, 1)

( 1 , 4)

(1, 0)

: .1 .2 .3 .4 .5 .6

94

y

. .

(

:3

2 x x2

:

) y

.

y

x

x

-1

x

0

y

2 0 0

.

2

y

:

(0 , 2)

y

y x

x

: y

0 , 2 x x2

0

b 2 4ac 2a 1 1 4 2 2 1 , x2 2 b

x1, 2 x1, 2 x1

1 3 2

.

(2 , 0)

( 1, 0)

x

-2 : y

2 x x2 y' 0

: y

1 2x

y

0

1 2x 0 2x x

1

2x 1

1 2 x

y

95

2 0

:

1 2 x

1 2

1 2

x

x y

1 2

2

1 4

2

1 4

1 2 x

y" 1 2

. (

y

1 1 2 ) : 2 4

0 x

.

y" 0

-3

: lim(2 x x 2 )

lim y x

x

lim (2 x x 2 )

lim y

x

x

. y x

1

y' y

0

1 2 0 1 2 4

1 9 ( , ) 2 4

2

x

0

extreme .1 a) f ( x)

x 2 3x 2

b) f ( x )

x 1 x2

c) y 3x 2

f ( x) 3x 3 4 x 2

96

4x 1

min -2

y

x

. y

a

b

x

c

( a , b)

y

f (x)

(b , c )

y

f (x) ( a , b) (b , c )

. : y

y" 0

97

f (x)

.1

y

y

f (x)

.

a

x

b

y

.2

f (x)

y

y

f (x)

. 0

y

a

b

x

. : (Inflection)

.

x

( f ( x) 0 )

x0

y

f (x)

. f ( x)

.

x2

5x 4

:

. x 0 y 4

y x2

:1

:y

-1

:x

-2

(0 , 4 )

0 5x 4 0

x 2 5 x 4 ( x 4)( x 1)

98

x1

4 , x2 1

. x f ' ( x) f ( x)

0

1

4

0

5 2 0 9 4 min

(1, 0)

( 4 , 0) x

y

4

0

x 5 9 ( , ) 2 4

: f ( x) x 2 5 x 4 f " ( x) 2 0

y

2x 5 y" 0

. y

:2

x3 9x 2 6x 1

. : y

x3 9 x 2

6x 1

y 3x 2 18 x 6 6 x 18 y 0 6x 18 x 6 x 18 y 0 6x 18 3 x (

6 x 18

y 0

x

3

y"

0

3,

y

)

(

, 3)

.

99

3 0

f ( x) x 5

:3

5x 3

: x 5 5x 3

f ( x) f " ( x) f " ( x)

20 x 3 30 x 0

20 x 3 30 x

20 x 2 30 0 3 2

f ( x)

x2

0

3 2

x f "(x)

0

x(20 x 2 30) x1 0

x2

f ' ( x ) 5 x 4 15 x 2

0

f (x)

0 x2 3 , 2

3 2

0 0

0 6

13.65

3 2

30 20 x3

3 2

x

3 2

3 2

x 0 x

.

f ( x)

x2

f ( x)

.

100

4

-1

2 x2 1

-2

y

x 1

x 1

ax 2 bx c

y

.

y

. x

.

. . : -1

: Df

.

(

,

)

-2

: : f ' ( x) 2ax b

0

f ' ( x) 0 2ax b 2ax x

0 b

b 2a

101

b 2 b b2 b2 a( a c ) b( ) c 2a 2a 4a 2 2a b 2 2b 2 4ac b 2 4ac 4ac b 2 4a 4a 4a

y y

0

(

. a

0

lim f ( x)

:

x

Min (

. a 0

b 2a

x

:

lim f ( x)

x

b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0

b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0

:

b 4ac b 2 Max ( , ) 2a 4a

.

-3

: b 2a

y a 0

b 2a

x y' y

4ac b2 4a

x Min

(

. a 0

b 4ac b 2 , ) 2a 4

a

y

0

Max

b 2a

x y' y

x

4ac b2 4a

2

.

(

b 4ac b , ) 2a 4

102

b 2a

a 0

x2

f ( x)

.

:1

4x 3

-1 (

.

,

)

-2

:x y

0

x2 4x 3 0 ( x 1)( x 3) 0 x 1 0 x 3 0

(1, 0)

x 1 x 3

, (3 , 0)

-3

:y x 0 y y

0 4 0 3 3

(0 , 3)

-4

Extreme

. f ' ( x)

2x 4 0 2

4 2 3 f ( x)

lim f ( x)

lim x 2

f (2) x x

2

x

2x 1

4

x

2

y

V (2 , 1) min

3

4x 3

x

0

1

y' y

3

0

1

2

3

1

0

2

x

3

( 2 , 1)

Min

f ( x)

.

x2

:2

2x

:

: (

,

-1

)

.

103

-2

:x f ( x) 0 x 2 2x 0 x( x 2) 0 0

x1

(0 , 0)

x 2 0 x2

2

(2 , 0)

-3

:y x 0 f ( x) x2 2x f ( x) 0 2 0 f ( x) 0 (0 , 0)

-4

Extreme

. (

Df

, 2

)

f ( x)

x

f ' ( x)

2x 2

y

2x 0

v (1,1)

2x 2 0 2x x 1 f (1) 1

x

2

x V (1,1) Max

0

1

2

0

1

0

f ' ( x) f ( x)

Max

.

(1,1)

. .

104

f ( x)

2x 2

f ( x)

x2

x 1 x 2

-1 -2

y

x

: : . : y

y y

f (x) x

-1

: a

lim f ( x) x

x

a

. .

y

y

f (x)

-2

:

( y ax b ) x

a

. 105

0

. -3

: y

x

x

x y

c

lim f ( x) c

.

x

x

. f ( x)

.

x 1 2x 4

:1 :

: 2x 4 0 2x

4

x 2

. x

.

lim f ( x)

lim (

x

x 1 ) 2x 4

y

1 2

1 2

. y y

2

:

x

x

x

1 0

0 1 4

1 1

x

106

y

.

x2

2x 1 x

:2 :

: x2

2x 1 x

x 2

1 x

x 2

y

-2

:

: y

-1

:

x2

2x 1 x

x 0

.

-3

: f ( x)

.

( x 3)( x 2) ( x 1)( x 2)

:3 :

:

.1

:

( x 1)( x 2) 0 x 1 0 1 x1

x 2 0 x2 2 x

. : y

lim f ( x) x

lim x

1

x

2

-2

: ( x 3)( x 2) 1 ( x 1)( x 2)

. y

y 1

-3

ax b

.

107

: f ( x)

:

P( x) Q ( x)

n x

.

m n

y

b

m

m

b

m

: n

n

. m

. m

.

.

. 1) f ( x) 3) f ( x)

3x 6 2 x x 2 8 2 x 4

2) f ( x )

2x2 x2 1

108

n 1

:

n

: :

y

. x

. f ( x)

.

1 x

. y x

.

: ax b cx d

f ( x)

: ax b lim x x x cx d x x

lim f ( x) x

cx d

0

cx

b x d x

a lim x

d

c x

. y

a c

d c

-1

)

-2

2x 1 x 3

:1

:( f ( x)

.

:

0

c

:

x 3 0 x 3 x 3

x 3

Do min

109

IR \ {3} :

-1

-2

:x f ( x)

0

1 ( , 0) 2

2x 1 0 2x 1

1 2

x

-3

:y x

0

f (0)

2 0 1 1 0 3 3

1 (0 , ) 3

-4

: a c

f ( x) x

2 2 1 3 3 1

d c

lim

x

2x 1 x 3

2 ,

y

x 3 0

2 :

-

x 3:

-5

. f ' ( x)

2( x 3) (2 x 1) ( x 3) 2

f " ( x)

0 ( x 3) 2 ( 5) 2( x 3) 10( x 3) ( x 3) 4 ( x 3) 4

x

5 ( x 3) 2

0 10 ( x 3) 3

3

f '( x) f "(x) f ( x)

2

2

x 1 x 1 x 1 0

.

x

:2

f ( x)

. Df

1

110

IR \

1

x

1:

-1

y x

0 0

x 1 0

x 1

0 1 0 1

y

1

(1, 0) y

1

(0 , 1)

:x

-2

:y

-3 -4

: x 1 0 lim f ( x)

x

x

1

lim

x 1 x 1

x

-

: f ( x)

y 1

-

: Extreme

. x 1 x 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) f ' ( x) ( x 1) 2

-5

f ( x)

f " ( x)

x 1 x 1 ( x 1) 2

0 ( x 1) 2 2 2( x 1) ( x 1) 4

x f ' ( x) f " ( x)

2 ( x 1) 2

4( x 1) ( x 1) 4

0

4 ( x 1) 3

y

1 1

1

f ( x)

1 1 1

x

1 f ( x)

.

2x 5 x

:3 :

-

x

-1

0

Df

IR \ {0}

-2 :x 2x 5 x

f ( x) 0

-

0

2x 5 0 2x 5

.

x

( 2 .5 , 0 )

5 2

f (x )

y

111

x

0

:y

-

.a

: x

0

x

-

: y

. y

.

2

lim f ( x)

lim

x

x

:

2x 5 x

2:

.b

:

2x 5 x 2 x (2 x 5) f ' ( x) x2 5 f ' ( x) 0 x2

-

f ( x)

2x 2x 5 x2

f ' ( x) 0

. : x f ' ( x) f ( x)

0 2

y

2.5 0

2 y

2

f ( x) f ( x)

112

1 2

x 1 x 3 x x 4

2

x

-1 -2

ax 3 bx 2

y

cx d , a

0

y f' f" f

. x

f ( x)

.

ax3 bx 2 cx d

. . : a

.

f ( x)

0

a

0

-1

ax3 bx 2 cx d

( f

.

0)

. f ( x)

ax 3 bx 2

f ' ( x) 3ax 2 a

0 x f ' ( x)

y

cx d

2bx c

f' 0

x1 0

x2 0

x

f ( x)

113

f ' ( x) 0

f

0

ax3 bx 2

a 0 y

f

-2

cx d

0

. ax 3 bx 2

f ( x)

y

cx d

f ' ( x) 3ax 2 2bx c a 0 f' 0 x f ' ( x) f ( x)

x1 0

x

x2 0

-3 I ( xc , yc )

(

xmax xmin ymax ymin , ) : 2 2

Max

Max

C

C Min

Min

-4

: f ' ( x) 3ax 2

.

x

0 2bx c

0

b 3a

114

f ' ( x)

0

f' 0 a f ' ( x)

f ( x)

0

0

.(2)

f ' ( x)

0

( 2)

(1)

(1)

:1

f ( x) ( x 1)( x 2) 2

. extreme

: . .

f ( x)

x 3 3x 2

f ( x) 3x 2 3x

2

4

:

6x

6x 0

x(3x 6) 0 x1

0 , 3x 6 0

f ( x) 0

x2

2 2

x1

0

, x2

f (0) 03 3 0 2

4

4

f ( 2) ( 2) 3 3( 2) 2

4

8 12 4 0 f " ( x) 0 6x 6 0 6x

6

x

1 f (x )

-5

ax 3 bx 2 cx d

f ( 1) ( 1 1)( 1 2) 2

x

1

2

:

115

I ( 1 , 2) :

: :x y

-

0

( x 1)( x 2) 2

0

x 1 0

( x 2) 2

x 1

x 2 0 x2

0 (1, 0) , ( 2 , 0)

2

:y

-

x 0 03 3 0 2

y

4

4

(0 , 4 )

y x

2

1

0

x

f ' ( x) f " ( x) 0

f ( x)

4

2

max

min

f ( x)

.

:2

x 3 3x 2

:

: -1 3

f ( x)

x

f ' ( x)

3x 2 6 x

f ' ( x) 0 x1 0 ,

3x

2

3x 2 6 x 3x 6 0

0

x ( 3 x 6) 0 3x 6 x2 2

116

: f ( 0)

03

3 02

0

f ( 2)

23 3 2 2

4

( 0 ,0 ) , ( 2 , 4 )

-2

: :x

-

0

y x

3

3x2

0

2

x ( x 3) 0 x1 0 , x 3 0

( 0 , 0)

,

(3 , 0)

3

x2

:y 0

x

f ( x)

03

3 02

(0 , 0)

0

6x 6

-3

f " ( x)

: f ( x)

-

0

x 1 f ( x) x 3 3x 2 f (1) 2 I (1, 2)

-4

: y x f ' ( x)

0 0

f " ( x) f ( x)

1

2

0 0 Min

2

4

x

Max

117

f ( x)

.

x3 3x 2 x

: x

b 3a

:3

x 1 b 3a

:

( 3) 1 f (1) 13 3(1) 2 1 1 0 31 C (1, 0)

a) f ( x)

.

1 3 x 3

x2

x 1

f ( x)

118

2x2

b) f ( x )

6x 3

( x 1)3 -1

-2

y

Rolle Theorem f (x)

f (x)

f ' (c )

P

0

c

a

x

b

y

f (x) f (a)

f (b)

x0

x

.

f (b)

f (a)

a

( a , b)

x

b

f (x)

x0

( a , b)

.

f (a)

f (b)

:

a a

x b

a

x b

x b

x0

f (x) f (a)

. 119

f (b)

f ( x0 ) 0

: f (x )

. f ( x) 0

. x0

a, b

f ( x1 ) 0

f ( x0 )

. f ( x0 )

.

a, b

f ( x2 ) 0

0

(Extreme)

( ,5 )

f ( x)

:1

cos x f( )

f (x)

(5 )

1: ( ,5 )

( ,5 )

sin x

x0

(cos x)' 0

( ,5 )

. ( ,5 )

a, b

.

( ,5 )

sin x 0

4 ,3 ,2

.

-2

(Maximum)

Rolle

.

f (x)

( a, b)

f ( x1 ) 0

x

(cos x)'

-1

(Minimum)

. .

x1 , x2

f ( x) c

f ( x)

1,1

sin x 0

sin x 0

:2

1 x2

: 1,1

1,1

x0

.

f ( 0)

0

f ( x0 ) 0

2x 2 1 x

x 2

1 x

2

u ' ( x) 2 u

y ' ( x)

: f ( x)

f ( 1)

f (0)

0 1 02

120

0

f (1) 0

x0

:(

)

y

.

f (b) f (x)

f (a )

a

x0

PQ

. x

b

f (x)

PQ

: a, b

( a , b)

: f (c )

g ( x)

g (a) g (b)

f (b )

f (a)

f (x)

:

f (c)(b a)

C

f (b) f (a) b a f ( x)

f (a) f (b)

f (b) f (a) x : b a f (b) f (a) f (a)b f (b)a ......... I a b a b a f (b) f (a) f (a)b f (b)a b ......... II b a b a II

:

I

: g ' (c ) 0

121

:

c ( a , b)

g ' ( x) f ' (c )

f (b ) f ( a ) b a f (b) f (a ) 0 b a

f (b) f (a) b a f (b) f (a) f ' (c ) b a f (b) f (a ) f ' (c)(b a )

f ' ( x)

a ,b

.

g ' ( x)

f ' (c )

f ( x) 2 x3 8 x 1

1, 3 1, 3

(1, 3)

f ( x0 )

f (b ) f ( a ) b a

f (3) f (1) 3 1

6 x 2 8 18

.

x0

x1, 2 13 3

f (x)

36 18 2 26 6

(1, 3) (1, 3)

.

f ( x)

0,4

0,3

f ( x)

122

:

x0 , (1, 3)

. f ( x0 )

:

:

c

x

26 6 x

26 6

x(4 x)

x0

-1

x3 3

x0

-2

2x

(L'Hopitall)

lim x

a

f ( x) g ( x)

lim x

a

f ( x) g ( x)

x

.

f ( x)

1

x 2 3x 2 x 1

. f ( x)

x

.

3x 4 3x 2 2 x 1 2 x 2 4 x3 2 x 4

. : ( a, b)

.

g (x)

0 0

x

x

lim

f ' ( x) g ' ( x)

2 x 2 x 10 2 2 2 2 10 x 2 x2 4 22 4 f ' ( x) 4 x 1 4 2 1 9 g ' ( x) 2x 2 2 4

f ( x) g ( x)

a

(

:

) n ...

: lim

f (x )

0 0

0

123

lim x

2

(2 x 5)( x 2) ( x 2)( x 2)

lim x

2

2x 5 x 2

2 2 5 2 2

9 4

:

:

. 1) lim x

0

x sin 2 x x sin 2 x

2) lim x

3

x 4 81 x 3

3) lim x

3x 2 4 x 6 7 x2 2 x 1

: sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x) 1 lim 0 x sin 2 x) 1

x x (x lim x 0 (x lim x

0

0 0 0 0 2 cos 2 x 2 cos 2 x

1 2 1 2

3

: x4 x 3 x (x4 lim x 3 (x

lim

81 3 81 81 81 0 lim x 3 3 3 3 3 3 0 3 3 81)' 4x 4 3 lim 108 3 x 3) 1 1

: 2

3x 7 x2 (3 x 2 lim x (7 x 2 6x lim x 14 x (6 x lim x (14 x lim x

4x 2x 4x 2x 4 2 4)' 2)'

6 1 6)' 1)'

6 14

3 7

. sin x x x 0 sin x c) lim 3 x 0 x a) lim

x5 1 3 1 x 1 x 5 x d ) lim 3 3x x b) lim

124

y

x

20

:1 .

20 x

0 , 20

x

f ( x)

x

:

x(20 x) :

0 , 20

: f ( x) 20 x x 2 f ' ( x) 0 20 2 x 0 2x 20 x 10 f (10) f (0 ) f (20)

20 10 10 2 20 0 0

2

200 100 100

0

20 20 202

400 400

0

. x2 10 x

.

t2

t2 t1

x(3)

4 3

4, t1

3

:

: x( 4 )

100 :2

(t 2)(t 3)

. x( t2 ) x(t1 )

(10 100) x1 10 :

2 0 4 3

125

2

:3

.

: v( x )

4 3 x 3

S( x )

4 x4

dv 4 x 2 ds 8 x 5 C ( F 32) 9

.

dv 4 3x 2 4 x 2 dx 3 ds 4 2x 8 x dx dv 1 x ds 2 (F )

:4

(C ) (F ) (C )

.

C F

f (x

(Vm

: C(F

x) x

5 (F 9

F ) C (F ) F

f ( x)

F 32)

y ) x

:

5 ( F 32) 9

5 9

F

:5

200m

.

: y

x

. :

2x 2 y

200

y 100

x

y 100 x

x y

S

x(100 x) 100 x x 2 , Ds

IR

x

0

x 100

,

y

0

100 x 0

: S

0

S

x 100

100 x x 2

100 2 x

S' 0

100 2 x 0

x 50

S ( 50)

lim S ( x) 0

x

lim S ( x) 0

S' S

x x

0 0

y

2500 0

50

2500 50

50

0

2500

126

Max

100

0 0

50

100

x

2500

.

50

:6

200

. x2

y2

T

x

.

y

y x

200

: :

T( x )

x2

y2

x2

(200 x) 2

x2

x2

2x 2

400 x (200) 2

400 x 40000

T( x ) 4 x 400 T( x )

0

4 x 400 0 x 100

T(100) 20000

:

A

y

.

2 x

A

:7

. 2 A( x, ) x

: x 2 ( A)

OA OA

2

x2

d '( x )

2x4 x3 0

2x4

8

d '( x )

2

x1 d d

( 2)

2

2

y 2 ( A) 4 x2 8

, x2 4 ( 2 )2

A

4 x2

x2

d2

2 x

y

d '( x ) ( x 2 )' (

4 8x )' 2 x 2 x x4

2x

8 x3

2 2

4 2

8 2

4

4

.

127

2

:

:8 24

. y

: x x

y

24

y

x

24 2 x 0

: V

x2 y

V

24 x 2 2 x 3

V

x 2 (24 2 x) V (0 )

y 0

24 0 2 2 03

V ' (0) 0

48 x 6 x 2

V (8)

0 0 0

0

24 (8) 2 2 (8)3 1536 1024 512

x(48 6 x) 0 x1 0 6x

x 12

24 x 2 2 x 3

V ' ( x) 48 x 6 x 2 V ' ( x) 0

48 6 x

:

V (8) 512

0

V (12) 24 (12) 2 2 (12)3 V (12) 0

48

3456 3456 0

x 8 512cm3

.

x3

y

.

x2

-1 -2

1m

.

x 1

. . .

A(3,0)

128

y

x2

-3

a,b

f (x)

a,b

.

f ( x)

0

( a , b)

.

f ( x)

0

( a , b)

f (x)

x x

.

(Maximum) Extreme

.

(Minimum)

. ( x 0 , f ( x0 ))

. f ( x0 )

.

f ( x)

f ( x0 ) x

( x0 , f ( x0 ))

. f ( x0 )

.

f ( x)

Maximum

:

Minimum

:

f ( x0 ) x

f (x) y

f (x)

. f ( x)

.

y

0

f (x)

f ( x)

.

0

. .

Inflection ax b cx d

:

.

129

c

0

a a

x b

a

f (x)

x b

x0

x b

f (a )

f ' ( x0 )

. a,b

( a , b)

a

x0

b

b

( a, b)

.

g (x) 0 0

x

f ' ( x) g ' ( x)

f (x ) x

(

a

0

f (x)

x0

a

f ' ( x0 )

.

f (b )

f (b) f (a ) b a

: f ( x) g ( x)

)

n ...

.

130

.

. -1

[0, b]

: a) f ( x)

0

b ) f ( x)

0

c ) f ' ( x)

0

d ) f ( x)

0

-2

: a)

Minimum b)

c)

Infliction

x 1 x 2x

f ( x)

: a)

Maximum d )

b)

-3

2

c)

d)

–4

: a)

b)

c)

,

)

b) (

, 0)

c) ( 0 ,

a) x

1

b) x

2

)

f ( x)

: c) x

-5

ax 2 bx c

f ( x)

: a) (

d)

d)

2x 1 x 2

1

d) x

-6 2

-7

: a c

a) y

b) x

d c

c a

c) y

d) y

g ( x)

: a) 4

b) 6

c)

6

d)

4 x2 x2

c d 6x 4

-8

4

-9

: f (x) f ' (x) lim x0 g(x) x x0 g' (x)

a) lim x

b) lim f (x) x x0

f ' (x)

131

c) lim x

f (x) f ' (x) lim g(x) x g' (x)

d)

. x2

f ( x)

P (3 ,0)

.1

x f ( x)

3, 4

x2

.3

: 1) f ( x) 2 x

2 ) f ( x) 3 x 2 1

3) f ( x)

2x

.4

: 1) f ( x)

2x 1

,

x0

1

2) f ( x )

x2

,

x0

2

.5

: 1) f ( x)

2 x 4 x2

3x3 1

2 ) f ( x)

.6

: 1) f ( x ) 7 x 2 3x

,

x0

2) f ( x) 6 x 2 2 x 1

,

x0

1 1 2

f ( x) 3 x 5

.

4 x 2 3x

x 3 sec x

2 ) f ( x) sin(3x 1)

.7 .8

. 1) f ( x)

.2

3) f ( x)

cos 2 2 x

.9 .

f ( x)

.

f ( x)

x2 1 x 4x2 x2 1

.10 .11

.

y

sin x

.12

.

y

tan x

.13

132

133

134

Riemann’s Sum

2

2

o

2

. 2

y 10

f ( x)

[ 0 , 4]

8 6

2x 2

.

4 2 1 2 3 4

x

y

2x 2

.

. 1

: 1

x .

135

y

a, b

y

f (x)

f (x)

:

x

:

y

x

o

x0

a x1

xn

x3

x2

1

xn

n

x

b

a, b

x

. i 1, 2 , ... , n

: x0

a , x1

a

b a n

x , x2 a 2 x..., xi

a i x , ... , xn

b

x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ] , ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x f ( xi ) x

: f ( x0 ) x

f ( x1 ) x

n

f ( xn 1 ) x

...

i 1

f ( xi 1 ) x

n

f ( x1 ) x

f ( x2 ) x

f ( xn ) x

...

f ( xi ) x i 1

n

n

f ( xi 1 ) x

A

f ( xi ) x

i 1

A

:

i 1

: n

lim

n

n

f ( xi 1 ) x i 1

lim n

n

lim A lim

n

n

f ( xi ) x i 1

:

f ( xi 1 ) x

i 1

136

n

lim

n

n

f ( xi ) x

f ( xi ) x

i 1

i 1

. :1

[0,2]

x

.

y

x2 1

[0,2] x

b a n

2 0 4

1 2

: 0

,

x0

a

x2

a 2 x 1

x1

x4 2 [ x0 , x1 ]

,

1 [0, ] 2

1 , [ ,1] 2

,

[ x1 , x2 ]

a

x

x3

1 2

a 3 x

3 2

, [ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 3 3 , [1, ] ,[ ,2] 2 2

x

: f ( x)

x 2 1 , f ( 0) 1

1 f ( ) 1.25 , f (1) 2 2 3 f ( ) 3.25 , f (2) 5 2

y 5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

137

3 2 2

:

x

:

y 5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

x

3 2 2

1

1 1 1.25 2 2

2

1 2

3.25

1 2

3.75

y 5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

3 2 2

1 2

2

1.25

3.75

.

[1,10]

A

1 2

3.25

1 2

5

1 2

5.75

5.75

f ( x) 1 x

138

x

:2

:

xi

10 1 9 n n 9 xi 1 [ ] i , n

b a n

x

a

lim

f ( xi ) x lim[ i 1

n

n

n n

:

0,1,2,......

i

n

(1 xi ) x]

n

i 1

lim[ x

lim[ x

lim[

n

lim[

n

n

(1 xi )]

i 1

i 1

n

n

1

n

x

i 1

9 n 9 n

xi ]

i 1

n

n

1

(a

x

i 1

xi)]

i 1

n

1 i 1

cn

i

n ( n 1) 2

i 1

n n

c

i 1

9 n

n

(1 i 1

9 i )] n

n

9 9 n 9 n 1 ( 1 i )] n ni1 n i1 ni1 9 9 9 n(n 1) lim[ n (n )] n 2 n n n 9 9n 2 9n lim[9 (n )] n 2n n 9 2n 2 9n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 9 11n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 2n 2 99 81 lim[9 ] n 2 2n 99 9 58.5 2 lim[

139

i2

n(n

1)( 2 n 6

1)

y

3x

-1

[0 , 3] x

. x

0 .5

-2

: x y

0 14

0.5 20

1 26

1.5 32

0,4

2 38

y 8 2x

2.5 44

3 50

OAB

. y 8 B 6

4 2 0

A 1 2 3 4

140

x

-3

Concept of Integral .

. sum

.

( )

S n

lim

f (x )

dx

n

f ( xi ) x

f ( x)dx

i 1

x

. : Indefinite Integral

F ( x)

-1

2x 2 1

. (-1) f (x )

C

F ( x)

f (x )

141

x6 1

(-1)

: f (x )

F (x)

[ a, b]

f (x )

C

:

F ( x) C f (x )

: f ( x)dx

F ( x) C x dx : 1

. x1 1 C 1 1

x dx

x2 2

C

: 1

. 1 7

x3

dx

x

3 7

dx

x

3 1 7

4 7

x 4 7

C

3 1 7

7

77 4 x 4

C

x3

dx : 2

C

: 3

x 2 dx : 3

. 3 2

x dx

3

1

x2 C 3 1 2

5

x2 5 2

5

2 2 x 5

C

2 5 x 5

C

: a) b) c)

5

x 3 dx

1 dx x4 1 dx x

x 2 dx

d) e)

4 8

x2

x 4 x dx

142

C

:

Properties of Indefinite Integral

k dx [ f ( x)

g ( x )] dx ?

[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x) dx g ( x)

, g ( x)

0

: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)

3x 4 1 x2 sin x cos x 2x3

1 1 x2

: . -1

k

: kdx k dx kx C

5 dx : 5dx 5 dx 5 x C x n dx

xn 1 C : n 1

143

:

n

1

-2

x 4 dx : x4 1 C 4 1 f (x )

x 4 dx

: a f ( x) dx

1 5 x 5

C:

-3

a

a f ( x)dx 2 x 2 dx : 2 x 2 dx

2 x 2 dx

2

x3 3

2 3 x C : 3 g (x) f (x ) -4 C

: [ f ( x)

g ( x )] dx

f ( x) d x

g ( x ) dx

: (2 x 2

3)dx

2 x 2 dx

2 3 x 3x C 3

3dx

(8 2 x )dx 8 dx 2 xdx 8 x x 2

C

-5 : [ f1 ( x )

f 2 ( x ) ...

f n ( x )]dx

f1 ( x ) dx

f 2 ( x ) dx ...

f n ( x )dx

: [x3

6x 2

9 x 1] dx

x 3 dx x4 4

6x 2d x

6x 3 3

9x 2 2

9 xdx

dx

x C

g (x)

: [ f ( x) g ( x)] dx

f ( x) dx

g ( x) dx

144

f (x )

-6

g ( x)

.

x 2

f ( x)

x 1

: : :

[ f ( x) g ( x)] dx

(x2

[( x 1)( x 2)] dx (x2

x 2) dx

x 2) dx

x 2 dx x3 3

2x

x dx

x2 2

2 dx

2x C

: : f ( x) dx

g ( x) dx

( x 1) dx (

( x 2) dx

( x dx

dx)( x dx

2 dx)

x2 x2 x2 x2 x C )( x)( 2x C) ( 2 x) C 2 2 2 2 x3 x2 x2 x2 x)( 2x C ( 2 x) C 3 2 2 2

. g (x)

-7

f (x )

: f ( x) dx g ( x)

f ( x)dx

, g ( x)

g ( x)dx

0

. x2

2x x

x ( x 2) dx x

dx

( x 2) dx

x

f ( x)

x2

2x

: :

: f ( x) dx g ( x)

g ( x)

x2 2

2x C

145

: : ( x2

f ( x)dx

2 x)dx

g ( x)dx

x 2 dx

xdx 1

3

x3 1

xdx

x2

C

x2

2

2 xdx

x3 1 x2 2 1

x2 1 x2 2

3

C

f ( x)dx

f ( x) dx g ( x)

g ( x )dx

.

: a)

17 dx

?

c)

2 x 4 dx

?

e)

(2 x 2

4x3

g)

x3

2x 2 x2

b) d)

dx

5 x 9) dx

?

f)

?

h)

146

(1 x) 2 dx 1 x 1 dx ? x5

?

(2 x 3) 6 dx (2

x) dx

?

?

Definite Integral

4 4

4

. 4

4

4

4

4

n

.

f ( x) 2 x

[2 , 5]

5

: [ a, b]

n

f (x )

f (x )

( x) b

n

lim

n

:

f ( xi ) x

f ( x)dx

i 1

F ( x)

b a

F (b) F (a ) :

x

b

x

a

a

b

.

a 3

x 2 dx

.

:1

1 3

x 2 dx [ 1

3

3

x 3 ]1 3

3 3

3

1 3

27 1 3

26 3

1,4

.

: y

x

:2

3 4

y

3 dx

:

1

3

3

y

. 1 o

x

4

147

: 3 4 ( 1)

3 5 15

4

3 dx

[ 3 x ] 41

3( 4 1)

3 5 15

:

1

y

y

:3

x 1

(3, 2)

0,3

.

x

y x 1

: A1

x

3

0 A2 1

1

: 1 2 2 2 1 1( 1) 2

A1 A2 A1 3

( x 1) dx [ 0

A2 x2 2

:

1 1 .5 2

2

x]30

1 4 2 2 1 1 ( 1) 2 2

[

32 2

3] 0

A2

: 9 3 1. 5 2

A1

:

y

-1 A 1 1

3

n

4

0,1

B 2

(1,2)

x

x

y

2x 1

.

D C

f x

x2

-2 .

148

Properties of definite Integral

b

c dx a b

[ f ( x ) g ( x )] dx

?

a a

f ( x ) dx a

4

.

3k 2

k 1

b

x dx

1,1

.

a 2

(1 3x )dx

. 0

: : b

C

[ a, b]

.

Cdx -1

a b

b

C dx a

C dx

C[ x]ba

Cb a

a

xi

xi

b a n

f ( xi ) C Sn

n

f ( xi ) xi

i 1

C (b a)(

n

C xi

i C ( x1

x2 ...

0 ,1, 2 , ... , n : xn ) C (

i 1

1 n

1 1 ... ) n n

C (b a )

[ a, b]

n

n n

b a n

149

Cdx C (b a) a

i

b a b a ... ) n n

b

C (b a)

:

4

dx

.

:

3 4

dx

[x]34

4 3 1

:

3

k

: b

[ a, b]

-2

f (x )

b

k f ( x)dx

k

a

f ( x)dx a

: lim S n n

lim n

n

k f ( xi ) x lim k n

i 1

n

f ( xi ) x

i 1 b

n

k lim

n

f ( xi ) x i 1

k

b

f ( x) dx

b

k f ( x)dx

a

k

a

f ( x)dx a

2

4 dx

.

:

2 2

2

4dx

4 dx

2

4[ x]2 2

4(2 2)

4(4) 16

2

a, b

: b

f (x )

-3

F (x)

a

f ( x) dx

f ( x) dx

a

b

: lim

n

n

b

f ( xi ) x

i 1

f ( x ) dx

F (b) F ( a)

( F (b) F ( a))

a a

( F (a ) F (b))

b

a

f ( x ) dx

f ( x ) dx

b

a

f ( x ) dx b

3

2

2 x dx

. 2

2 x dx

:

3

:

: 3

2 x dx

[

2x2 3 ]2 2

2(3) 2 2

2( 2) 2 2

2(9) 2

2( 4) 2

18 2

8 2

18 8 2

2 x dx

[

2x2 2 ]3 2

2( 2) 2 2

2(3) 2 2

2( 4) 2

2(9) 2

8 18 2 2

8 18 2

2 2

3

150

10 2 10 2

5 5

3

2

2 x dx 2

2 x dx

:

3

a

f ( x) dx 0

a, b

:

-4

f (x )

a

x

:

:

a

n

f ( xi ) x

lim n

0

f ( x) dx

i 1

F (a ) F (a )

0

a a

f ( x) dx

0

a

3

3x 2 dx

.

:

3 3

3x 2 dx [ 3

3x 3 3 ]3 3

[ x 3 ]33

[33 33 ] 27 27 0

:

[ a , b]

: b

b

[ f ( x)

-5

f (x )

b

g ( x)]dx

f ( x) dx

a

g (x)

a

g ( x ) dx a

: b

n

[ f ( x) g ( x)]dx lim n

a

[ f ( xi ) g ( xi )] x

i 1 n

lim[

n

n

f ( xi ) x

g ( xi ) x ]

i 1

i 1

n

lim

n

b

n

f ( xi ) x lim n

i 1

g ( xi ) x i 1

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

: 1

1

(4 3x 2 ) dx

a) 0

0 3

3

0

0

1

3 x 2 dx

0 3

dx 0

1

4 dx 3 x 2 dx 4 [ x] 10 3 [

0 3

x 2 dx

( x 2 1) dx

b)

1

4 dx

x 3

0

3

x 0

151

3 0

27 3 3

27 9 3

x3 1 ]0 3 18 3

4 1 5 6

a

c b

b, a

c

( a, b )

-6

f (x )

: b

c

b

f ( x) dx

f ( x) dx

a

f ( x) dx

a

y

c

y

C

a, b

f (x )

B

0

b

c

x

b

A a, b

c, b

x

A2

c

f ( x) dx

A1

f ( x) dx : a

b

c

f ( x) dx

b

f ( x) dx

a

f ( x) dx :

a

c

10

8

f ( x) dx

.

f (x)

a, c

c

A2

y

x

b

A1

f ( x) dx a

.

A

10

f ( x) dx 12

8

f ( x) dx 17

0

:

0

:

y b

c

f ( x) dx y

a

f (x )

10

8

0

10

0

x

: 10

f ( x) dx 8

8

f ( x) dx 0

f ( x) dx

17 12 5

0

152

b

f ( x) dx a

f ( x) dx c

8

f ( x) dx

10

a, c

.

A2

a

c, b

f (x )

A

A1

:

10

f ( x) dx 0

f ( x) dx 8

a, b

: b

f ( x)

-7

g ( x)

b

f ( x) dx

g ( x) dx

a

a

b

b

g ( x) dx

b

f ( x) dx

a

a

n

[ g ( x)

f ( x)] dx lim n

a

[ g ( x)

f ( x)] x

x

g ( x)

:

i 1

0

f ( x)

0

: lim n

n

b

[ g ( xi )

f ( xi )] x

0

[ g ( x)

i 1

f ( x)] dx

0

a

b

b

g ( x) dx

b

f ( x) dx 0

a

a b

b

g ( x) dx a

f ( x) dx a

b

f ( x) dx a

g ( x) dx x 1

g ( x) 1

a

x2 2

f ( x) 1

x2 4

: . :

b

x2 (1 ) dx 4 a b

b

1 dx a

[ x] ba

a

2

x dx 4

1 3 b [x ] a 12

b

(1 a

x2 ) dx 2

b

b

1 dx a

a

x2 dx 2

[ x] ba

1 3 b [x ]a 6

: 1 3 1 3 (b a 3 ) (b a) (b a 3 ) / (b a ) 12 6 1 2 1 2 1 (a ab b2 ) 1 (a ab b 2 ) 12 6 / (a 2 ab b 2 ) 1 1 12 6 (b a )

153

(b a ) 0

M,m

[ a , b]

-8

f (x )

b

m(b a)

f ( x) dx

M (b a)

:

a

y

m

:

f ( x)

b

b

m dx y

b

a

a M

M dx a

b

m(b a) o

:

f ( x) dx

a

f (x)

M

m

f ( x) dx a

x

b

M (b a )

. 1

e

.

x2

dx

:

0

M

f (0 ) e

0

1

0 ,1

f ( x)

e

x2

m

:

: f (1) e

1

b

m(b a )

f ( x) dx

M (b a )

a 1

e11 0

e

x2

dx 1 1 0

0 1

e

1

e

x2

dx 1

0

e

1

1 0.3679 e

1

0.3679

e

x2

dx 1

0

0.3679

.

1

[ a , b]

c

-9

f (x )

b

f ( x) dx

f (c)(b a )

a

154

:

a

c b

y

M

M y

K

a

m

b

:

a, b

f (x )

m a

0

c

x

b

b

m(b a)

f ( x) dx

M (b a )

1

m

f (c )

b

b a

f ( x) dx

K

M b

1

K

M

: 1

b

b aa

a

m k

c [ a, b]

:

b a f (c)

f ( x) dx a

a

c b c

b

f ( x) dx a

f ( x) dx

f (c)(b a )

a

f (c)

. . 4

x 2 dx

[

1

x3 4 ]1 3

[1,4]

. [

64 3

1 64 1 ] [ ] 3 3

c

f (c ) c 2

63 3

f ( x)

f ( x)

x

f (c)(b a)

a

: 4

x 2 dx

c 2 (4 1)

21 3c 2

c2

1

k

f (c ) ,

21 c2 7 c 3 f (c ) c 2 ( 7 ) 2 7

7 f (c )

155

x2

7 ,

: :

b

f ( x) dx

f (x )

21

c

:

a, b

k

7

x2

.

1

7

4

k

3

.

f (c)

b a

.

1,4

7

-1

. 1

3

a) ( x 3

2) dx

?

e) 3x dx

1

?

2

5

2

b) 7 x dx

f ) (x3

?

2

1

4

4

g ) (2 x 2

c) ( x) dx ? 2

4

1 4 x ) dx ? 2 1 4 x ) dx 8

?

3

d)

x dx

?

1 1

4

f x dx

5

-2

f x dx

[ 1,4]

1

1 4

f x dx

.

2

1

.

0,2

c

156

f ( x)

x

-3

72

S (t ) v0 t

. .

6

x2

f ( x)

0

h

.

m sec

. . : : -1

: x

F ( x)

f (t ) dt

a, b

x

:

f (x)

a

F ( x)

.

a, b

f ( x ) , x [ a, b]

[ a, x ]

x

f

a, b

f (x ) f (x )

. : F ( x) F ( x) F ( x)

h f ( x) F ( x h) F ( x ) lim h 0 h

f (x )

F (x)

x

lim h

0

F ( x h) F (a ) F (a ) F ( x ) h

F ( x h) F (a) ( F ( x) F ( a )) lim h 0 h

157

lim h

0

F ( x) ax

h

h

F ( x) ax

:

f (t )

: F ( x)

F (t ) ax

lim

h

F (t ) ax

h

h 0

x h

x

f (t ) dt F ( x)

lim

f (t ) dt

a

a

h

h 0

b

a

f (t ) dt

f (t ) dt :

a x h

F ( x) lim

f (t ) dt

a

a

h

0

a

x h

f (t ) dt

x h

f (t ) dt

F ( x) lim x

f (t ) dt lim

a

h

0

h

b

x

f (t ) dt h

x

h

0

h

x h

x

f (c )

c

f (x )

:

1 lim h 0 h

F ( x)

f (x )

1 h

x

x h

f (t ) dt x

h

c

x h

f (t )dt lim f (c) x

c

x

f ( x) F ( x)

.

f ( x) :

x2 1

.

F ( x) 2

1 t

2

1

: :

g ( x)

x

F ( x)

f (t ) dt F ( x) a

u

x2 1

g ( x)

f (t )

F ( x)

F ( x) F ( x)

f (t ) dt a

1 t

2

1

f ( g ( x)) g ( x)

1 ( x 2 1) 2 ( x 1) 1 2x 2 ( x 1)2 1 2

: (x

2

1 2x 1) 2 1

158

-2

: a, b

:

f (x )

F (x)

b

f ( x) dx

F (b ) F ( a )

a x

F ( x)

f (t )dt

:

a

F ( x)

: f ( x) F ( x)

k

f ( x), x f ( x)

a, b

F ( x) k

x

F ( x)

f (t ) dt a

F ( x)

f ( x)

x

f (t )dt

f ( x)

F ( x) k

a x

f (t ) dt F ( x)

k

a

a

:

x

a

f (t ) dt F (a )

k

,

0 F (a)

k

k

F (a)

a

k

: x

f (t ) dt

F ( x)

F (a)

a

b

: b

f (t ) dt F (b)

F (a )

a b

f (t ) dt

. a

159

[ F ( x)]ba

x

F sin x dx cos x dx

b

cos x c

f (t ) dt

sin x c

sec 2 x dx

a

.

tan x c

cos ec 2 x dx

cot x c 1

x 2 dx

.

:

0

: 1

x 2 dx

F (1) F (0) [

0

x3 1 ]0 3

1 3 1 3

1 3 0 3

1 3

-1

. cos t

a) F (t ) sin t t

c) F (t )

cos t

1 4 x

2

dx

4 x2

0

dx

x

cos y dy 1 y2

b 1, ... , 0.4 , 0.2 , 0

1

b ) F (t ) d ) F ( x) F (b)

F (0)

sin t dt t 1 2

f (t )

-2

t

. 2

sin x dx -3

. 0

160

-

2 x 1 x 2 dx

-

4

u

.

2 x 1 dx 0

dx

. x

0

u

2x 1

u

x

u

.

4

: .

F

u

f

g (x)

[ a , b] du

:

g ( x) dx

g (b )

b

f ( g ( x)) g ( x) dx a

f (x )

f (u )du g ( a) 2

.

161

dx 5 x) 2 1 (3

:1

u

: u 3 5x ,

du

5 dx

:

du 5

dx

x 1

2

1

u 3 5x

u 3 5 1

x 2 u 3 5x

u 3 5 2 3 10 7

dx (3 5 x ) 2

1 5

1 1 ( ) du 2 5 2u

u

2

7

2

2 u

du u2

7

1 5

1 u

7

2

1 5u

7

1 5

2

1 7

1 2

1

x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx

.

1 14

:2

0

u

: u 1 2x 3 , x

6 x 2 dx

du

:

1 du 6

x 2 dx

0

u 1 2x3

u 1 2 0 1

u 1

u 1 2 1 3

u

x 1 u 1 2x3 1

3

x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx 0

u5 1

1 du 6

3

3

1 5 u du 61

1 u6 3 [ ]1 6 6

1 36 [ 6 6

1 ] 6

1 729 1 1 728 [ ] [ ] 6 6 6 6 6 728 182 20.2 36 9

.

u

x 2 x 3 1 dx u

.

F ( x) C

. : 162

u

g (x)

f (u )

F (u ) x

: f ( g ( x)) g ( x) dx

f (u ) du x

.

1 4x2 u

: u 1 4 x 2 , du xdx x 1 4x2

:

8 x dx 1 du 8 1 1 ( ) du u 8

dx

:1

dx

1 8

1 du u

1 u 8

1 2

1

du

1

1 u 2 ) C ( 1 8 1 2

1

1 u2 ( ) C 8 1 2

1 u ( ) C 8 1 2

1 (2 u ) C 8

.

x4

2 , du

x 3 cos( x 4

4 x 3 dx , x 3 dx

2) dx

cos u

x 3 cos( x 4 u

: u

1 1 4x2 4

1 du 4

1 du 4

1 cos u du 4 1 sin u C 4 1 sin( x 4 2) C 4

163

C

2) dx : 2 x4

2

:

: 2

a)

cos 3 x dx

?

b)

x x 1 dx

?

1 7

c)

4 3 x dx

?

2 5 (1 4 x) 2 dx

d)

0 5

e)

2 x( x 2 3) 4 dx

?

f) 0

g)

cos x sin x dx

x dx x 10 2

?

164

?

?

(Integration by Parts) .

-

.

x dx x2 1

. 1

3x 2 x 3 1 dx

. 1

x 2 sin x dx

: g ( x)

v

f ( x) g ( x) dx

f ( x)

g (x)

f ( x)

(u v )

u

.

u v v u

v' u

: v u

(u v )

u v

v u dx u v

u v dx

udv u v

.

vdu

«

» v u

a, b

»

. b

v u dx u v a

:

b

b

b

vu dx

a a

udv u v

b

b

vdu

a

a

a

165

«

:1

x sin x dx

.

: u

x

du

,

dx

dv sin x dx , v udv u v x sin x dx

cos x

vdu x( cos x)

cos x dx

x cos x sin x C 1

:2

xe x dx

. 0

: u

x

dv

,

du

x

e dx , v

b

dx e

du

dx

b

b

v u dx u v

,

x

e x dx

v u dx

a

a

a

1

1

xe x dx [ xe x ]10 0

e x dx 0

1

e

0 e

0

e1 e1 e0 1

[e x ]10 e0

: a)

cos d

?

c) x 5 cos ( x 3 ) dx

x cos 2 x dx

?

d)

1

2

b) 0

x e x dx 0

166

?

?

ex

c

y

a, b

y

f (x)

f (x)

: A

x

: n

a, b

x

. i 1,2,.., n

: x0

a , x1

a

x ,

b a n

x2

a 2 x , ... , xi

a i x, ... , xn

b

x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ], ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x n

f ( xi 1 ) x

n

A

i 1

f ( xi ) x

f ( xi ) x

A

:

i 1

F (x)

[ a, b]

f (x )

C f ( x)dx

F ( x) C

:

F ( x) C

f (x )

f (x )

: :

kdx

k dx

a f ( x) dx

kx C a

f ( x) dx

[ f ( x) g ( x)] dx

f ( x) d x

g ( x) dx

[ f1 ( x)

f n ( x)]dx

f1 ( x)dx

f 2 ( x) ...

[ f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x)

f ( x)dx g ( x)dx

f ( x) dx , g ( x)

g ( x) dx 0

167

f 2 ( x)dx ...

f n ( x)dx

[ a, b]

n

f (x )

:

( x) x

: n

x

f (x )

a

b

n

lim

b

f ( xi ) x

f ( x)dx

i 1

F ( x)

b a

F (b) F (a )

a

b

.

a

: b

C dx C (b a) a b

b

k f ( x)dx

k

a

f ( x)dx a

b

a

f ( x) dx

f ( x) dx

a

b

a

f ( x) dx

0

a b

b

[ f ( x) g ( x)]dx

b

f ( x) dx

a

g ( x) dx

a

b

a

c

f ( x) dx a

b

f ( x) dx

f ( x) dx

a

c b

f ( x)

g ( x)

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

b

m(b a )

f ( x) dx

M (b a )

a b

f ( x) dx a

f (c)(b a )

f (c)

1

b

b aa

f ( x) dx

168

a, b

x

f

-1

: : x

F ( x)

f (t ) dt a

.

F ( x)

a, b

f ( x ) , x [ a, b]

a, b

f (t )

F (t )

f

-2

: :

b

f ( x) dx

F (b) F (a)

a

u

g (x)

f (u )

F (u ) x

: f ( g ( x)) g ( x ) dx

f (u ) du

F

.

u

f

g (x)

[ a , b]

f (x ) du

:

g ' ( x) dx

g (b )

b

f ( g ( x)) g ( x) dx

f (u ) du

a

g (a)

f ( x)

g (x) g ( x)

v

f ( x)

f ( x) g ( x) dx u

: (u v )

u v v u v u

: v u dx u v

u v dx

udv u v

169

vdu

. a, b

»

: b

v u dx u v a

b

b

b

vu dx

a a

udv u v

b

b

vdu

a

a

a

170

v u «

-1

: 4

4

1 a) dx 1 x2 0

b) [2 x 4

3

4

1 4 x ] dx 8

2

c) 2 2

3

d ) 4dx

e)

0

f ) (x2

x dx

6

0

1 dx cos2 x

h) [ 2

x 5 ) dx

1

1

g)

1 dx x2

x3 4

3

x2 ] dx 3

i) ( x 3

x 2 )dx

2

6 2

j) [ x

3

2

2

1 2 x 3x 4]dx 2

k ) sin xdx

x 2 dx

l)

0

1

-2

: a)

[sin x 8 x 3 ] dx

b)

[ x5

c) d) e) f)

g)

5

x 3 dx

h)

3x 2 8 x dx x

x(1 2 x 2 ) dx

i)

2 x 2 3 dx

sin x dx

j)

4 x4

x3

2 x2

x] dx

sin 2 x dx 2 sin x (1 x) 2 dx 1 x

k) l)

:

x2

dx x3 2 (1 x)(1 x ) dx x x3 (3x 2

-3

y 7

C

2

(2 x 3) dx 1

B

1 A 1 0

4 x 1) dx

x

D 2

171

-4

: 2

a)

3 cos(2 x 1) dx

g)

dt (3 2t ) 2 0 2

b)

h) x 2 9 x 3 dx

3x 5 dx

0

2 dx x 2

c)

i)

1 dx ( x 10) 7 1

3

j ) (1 x 2 ) 3 xdx

d ) (3x 6) dx

0

e) x

3

x

4

7

2 dx

k ) (4 3x) dx

f ) ( x 3 2) 2 3x 2 dx

l)

x 2 dx 4

x3

2

-5

: a)

x cos x dx

b) sin x cos x dx

f ) x 1 x dx g)

x 2 e 2 x dx

h)

e 2 x sin 3x dx

0

e x cos x dx

c) 2

d ) x cos 3x dx

i)

x 2 e x dx

0

e)

xe x dx

172

173

y

(0,1) (1, 0)

174

x

y

(0 ,1)

x

(1, 0)

(

) 1

log b x

lim(1 x) x x

0

y

f (x)

:

.

1 x

f ' ( x)

g ' ( x)

a x ln a

g ( x)

ax

f ( x) ln x

: -1 y

g ( x)

ln y Lna x

ax x ln a

: y' x' ln a x (ln a)' y y' ln a 0 y 1 y ' ln a y y ' y ln a

g ' ( x)

a x ln a

175

x

-2

f ( x)

ln x

ln ln( x h) ln x (ln x)' lim lim h 0 h 0 h 1 x h 1 (ln x)' lim ln( ) lim ln(1 h 0 h h 0 h x x h h 1 lim ln(1 ) h 0 x x h

u

x h x h h ) x

x h 1 lim ln(1 ) xh 0 h x

0

h x

.

1 u

: (ln x)'

1 1 lim ln(1 ) u u x u

.

. .

1 1 ln lim (1 ) u u x u 1 1 (ln x)' ln e : x x

1 log a e x g ' ( x) (log a g ( x))' log a e : g ( x)

.

lim (1

u

f ( x)

f ' ( x)

x h

u

g (x) f ( x)

1 u ) u

e

log a x

-1

log a g ( x)

-2 : -1

1 loga e x log ( x h) loga x f ' ( x) lim a x 0 h 1 x h 1 h 1 x h lim loga lim loga (1 ) lim loga (1 ) h 0 h h 0 h x x h 0x h x x h h 1 (loga x)' log a lim(1 ) u x x h 1 : u h 0 x u 1 1 u 1 (log a x)' log a lim(1 ) log a e h 0 x u x f ( x) loga x

f ' ( x)

176

x

1 h h lim loga (1 ) xh 0 x

x h

u

(log a g ( x))'

g ' ( x) log a e g ( x)

–2

: : 1 log a e g ' ( x) g ( x)

f ' ( x) (log a g ( x))' (log a g ( x))' g ' ( x) g ' ( x) log a e g ( x) (log a g ( x))' (ln g ( x))'

g ' ( x) g ( x)

a

:

e

-1

Exponential

: ex

y

y

ex

ex

y

: ex

y

ln y

(ln y )' ( x)'

x ln e y' 1 y

x y' y 1 ex y' u' e x :

x

y ' u ' au ln a

y

eu

-2

a 1 y

au

-3

u

:

-4

: y

log a u

y'

u' log a e u

u' log a e u (ln u )' y' ln a

y ' (log a u )' 1 u' u loge a

u' u ln a

. : g ( x)

x2 1

g ' ( x)

2x

(ln g ( x))' (ln( x 2 1))'

g ( x)

g ' ( x) g ( x) ( x 2 1)' x2 1

1 x

2

1

2x

f ' ( x) (ln( x 2 1))'

177

:1

f ( x) ln( x 2 1)

2x x

2

1

x2 1

:

:2

ln( x 2 5 x 4)

f ( x)

.

: f ( x) g ( x)

ln ( x x

2

2

5 x 4)

5x 4

g ' ( x)

2x 5

f ( x) ln

. : log a (log a

1

x2 1 x2 1

log a (

x2 1 ) x2 1

x2 1 2 ) x2 1

x2 1 ) x2 1

x2 1 x2 1

f ( x)

log a

x2 1 x2 1

2x 5 x 5x 4 2

log a

x2 1 x2 1

log a (

x2 1 2 ) x2 1

:3 1

:

1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2

1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2 1 ( x 2 1)' ( x 2 1)' [ 2 log a e log a e] 2 ( x 1) ( x 2 1)

:

(ln

g ' ( x) g ( x)

(ln ( x 2 5 x 4))'

1 x2 1 log a 2 2 x 1

1 2x log a e 2 x2 1 2x log a e 4 x 1

x2 1 ln 2 x 1

g ' ( x) g ( x)

(ln g ( x))'

x 2 1 12 ln( 2 ) x 1

2x x

2

1

log a e

ln

1 1 2 x log a e 2 2 x 1

x2 1 x2 1

ln(

1 x

x 2 1 12 ) x2 1

1 (ln( x 2 1) ln ( x 2 1)) 2

1 1 [ln ( x 2 1) ln ( x 2 1)]' [(ln ( x 2 1)) 2 2 1 2x 2x 2x ( 2 ) 2 4 2 x 1 x 1 x 1

178

(ln ( x 2 1)) ]

2

1

:

. y

e( x

2

1)

y ' ( x 2 1)' e x

2

1

.

y

e( x

y' u' eu :

y

eu

2x ex

2

u

1

y

x

2

( 2) x

1 x

1 x2

x

y

y ' u ' a u ln a

1

1 y ' ( )' 2 x ln 2 x

-4

1)

:

1

: :

2

y

-5

2

au

:

1

2 x ln 2

y

.

:6

x2x

:

: y

x2 x ln x 2 x 2 x ln x

ln y ln y

(ln y )' (2 x ln x)'

y' y

y ' 2(ln x 1) y

y ' 2(ln x 1) x 2 x

2 ln x 2 x

1 x

ax

y

:

:7

y 10 x

.

y ' a x ln a

:

y 10 x y ' 10 x ln10

.

y

u' 3 :

y

:8

e3 x u

3x

:

eu

y' eu u' e3x 3 y' 3 e3x

:9

. 1) y

log( x 4 1)

2) y

log3 (log 2 x)

179

3) y

log x 2 1 x 2 1

: : y

log a u u' log a e u

y ' (log a u )' 1) y

2) y

log( x 4 1)

u' u log e a

4 x3 ( x 4 1) ln 10

y'

log3 (log 2 x)

u' u ln a

(log 2 x)' ln 3 log 2 x

y'

1 x ln 2 ln 3 log 2 x 1

1 ln 2 ln 3 x

3) y

log x 2 1 x 2 1

log e ( x 2 1) log e ( x 2 1)

log e x log e 2

ln 2 ln 3 x

2x y'

x

1

ln( x 2 1) ln( x

2

2x 2

x 1 2 1)

ln x ln 2

y

u v

y'

ln( x 2 1)

. a) f ( x)

ln sin 3x

c) f ( x) ln (5 x 2 6 x 5) e) f ( x )

y

xx

1 ln 3 x ln x

ln( x 2 1) ln( x 2 1)

: 2

1 (ln 2)(ln 3) x log 2 x

b) f ( x ) ln 3x 2 7 d ) f ( x) f) y

180

log10 3x 2

( x 1) 2 ( x 1) ( x 4)3 e x

u ' v v' u v2

y

x

y

f ( x)

x

g ( y)

g

y x

1 x' y

y'x

: f ( x) g ( y)

y ' x x' y

y' y

y ' x x' y 1

y'x

f dy dx

1 dx dy

1 x' y y

.

ax

: :

y

ax

x y 'x

log a y 1 x' y

1 (log a y )'

1 1 log a e y

1 log e a 1 y

y log e a

y ' a x ln a

: 1) (arcsin x)'

1

1 x2 1 3) (arctan x)' 1 x2

2) (arccos x)'

1

1 x2 1 4) (arc cot x)' 1 x2

181

: 1) y arc sin x (arc sin x)' ? dy dx y 'x

x

sin y

1 dx dy 1 x' y

1 (sin y )'

1 cos y

(arcsin x)' 2) y arc cos x (arc cos x)' ? y 'x

1 x' y

x

1 (cos y )'

1 1 sin 2 y 1 1 x2 cos y

1 sin y

(arccos x)' 3) y

arc tan x

x

1 1 cos 2 y 1 1 x2

tan y

(arc tan x)' y 'x cos 2 y 1

1 x' y

1 (tan y )'

cos 2 y sin 2 y cos 2 y

: (arc tan x)'

cos 2 y sin 2 y cos 2 y

1 1 cos 2 y

1 1 tan y 1 1 x 2 1 (arctan x)' 1 x2 2

182

cos 2 y

cos 2 y

4) y

arc cot x

x

cot y

(arc cot x)' ? 1 x' y

1 (cot y )'

sin 2 y

sin 2 y 1

(arc cot x)' y ' x

1 1 2 sin y sin 2 y sin 2 y cos 2 y

sin 2 y

: sin 2 y sin 2 y cos 2 y

1 1 cot 2 y

1 1 x2

y

.

:1

(arctan x)5

: y ' 5(arctan x) 4 (arctan x)' 5(arctan x) 4

1 1 x2

y

.

arc tan x

:

y'

log5 (arctan x) ' (log5 u )'

x

1 (1 x )(arctan x ln 5)

y

0

y'

u' (arc tan u )' 1 u2 1 1 1 1 2

arc tan e '

y ' ( 0)

e0 1 e0

:

2

: x

u

u' u log5 e

1 1 x2 arctan x log5 e

.

:2

log5 (arc tan x)

ex 1 e2 x

183

:3

arctan e x u' e x

ex

u

:

. 1) y (arc sin x) 3 2) y log 2 (arc cos x)

184

:

1

2

1

x 1

x

2

2x 1 x2 1

1

x

2

2 1 x 1

2x 1 x2 1

. 1 x

.

2

2 1

2

5

x 5

x 2

x 1

,

7 x 1

. . : : . : : Pm ( x) Pn ( x)

Pn (x)

: Pm ( x) Pn ( x)

A x x1

B x x2

C x

x3

( 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

.

N x xn

.... C , B , A ) :1 :

: x 3 4 x 2 7 x 10 ( x 5)( x 1)( x 2)

185

C ,B, A

: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

A

B

C

x 5 x 1 x 2 A( x 1)( x 2) B( x 5)( x 2) C ( x 1)( x 5) ( x 5)( x 1)( x 2) Ax 2

Ax 2 A Bx 2 3Bx 10 B Cx 2 ( x 5)( x 1)( x 2)

( A B C)x2

6Cx 5C

( A 3B 6C ) x ( 2 A 10 B 5C ) ( x 5)( x 1)( x 2)

. :

(

A B C 4 A 3B 6C 1 2 A 10 B 5C

)

39 C

: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

B

1

2

3

1

x 5

x 1

x 2

3, A 2

3x 3 6 x 2 20 x 1 x2 2x 8

.

:2

-

: :

3x 3

6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8

3x

A B 4 2 A 4B

A

1

4x 1 4x 1 A B 2 x 2x 8 x 2x 8 x 4 x 2 A( x 2) B( x 4) ( A B) x (2 A 4 B) ( x 4)( x 2) x 2 2x 8

3x 2

2

5 2

,

3 2

B

6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8

3x

186

5 2( x 4)

3 2( x 2)

: n x x0

: Pm ( x) Pn ( x)

A x x0

B ( x x0 ) 2

N ( x x0 ) n 3x 2 6 x 2 x3 4x 2 5x 2

.

:1 :

: x3 4 x 2 5 x 2

( x 1)( x 2)( x 1)

3x 2 6 x 2 x3 4x2 5x 2

3x 2 6 x 2 ( x 2)( x 1) 2 A( x 1) 2

( x 2)

( x 1)

C ( x 1) 2

( 2 A 3B C ) x ( A 2 B 2C ) ( x 2)( x 1) 2

A 2

2 A 3B C A 2 B 2C

B

B ( x 2)( x 1) C ( x 2) ( x 2)( x 1) 2

( A B) x 2

A B 3

A

6

B 1

2

C 1 3x 2 6 x 2 x3 4 x 2 5 x 2

2 x 2

1

1 x 1 ( x 1) 2

: Pm ( x) Pn ( x)

Ax B ax bx c

.

2

5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4

.

187

:1

x 3 3x 2

( x 1)( x 2

6x 4

2 x 4) :

: x2

2x 4

: 5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4

A C 5 A B 2C B 4C 9

8

( Ax B )( x 1) C ( x 2 2 x 4) Ax B C x 2 2x 4 x 1 x 3 3x 2 6 x 4 ( A C ) x 2 ( A B 2C ) x ( B 4C ) x 3 3x 2 6 x 4 A 3 5x 2 8x 9 3x 1 2 B 1 3 2 2 x 3x 6 x 4 x 2 x 4 x 1 C 2

: -1 a)

x 2 2 x 12 x3 2 x2 6 x 5

b)

4 x 2 3x 8 x3 2 x 4

c)

2 x 4 8 x 3 7 x 2 3x 4 x2 9x 3

-2 1 a) 4 x ( x 1) 3x 2 5 x 10 d) 3 x 2x 2 4x 8

3x 2 6 x 2 b) 3 x 4x 2 5x 2

x4 1 c) 2 x ( x 1)

3x 2 18 x 36 e) 3 x 6x2 9x

-3 a) c)

(x2

3x 7 x 1)( x 2 4)

x 2 13x 10 x3 5x 2

b) d)

188

x 2 3x 4 x4 2x2 1 x5 x4 1

log a b

x

ax

b

.

f ( x)

log a x

ax

c

: e x dx

: a x dx

ax ln a

C

ex

C :

ex

(a IR , a 1)

: u

f ( x)

ax

ln a a x dx du du dx x u ln a ln a a du 1 a x dx u dx u ln a ln a 1 1 x ax u a a x dx ln a ln a ln a du

ax ln a

c

189

:

f ( x)

.

2x

3

: :

: 2x

3

2x 23

2 x 3 dx 1 x 2 dx 8

1 x 2 8 1 x 1 x 2 dx 2 dx 8 8 1 2x C 8 ln 2

:2

. 3 x 1 dx

1)

?

2)

6 x 1 dx

?

: 2)

3x 1 dx ?

1) 3x

1

6x

3x 3

3x 3 dx 3 3x dx

6 x 1 dx ?

3

3x C ln 3

1

6x 6

1 x 6 dx 6

1 x 6 6 1 6 x dx 6

. a) d) g)

3 x 1 dx 1 dx ax 4x 3 dx 2x

b) e) h)

2 x dx 2

x

c)

x

3 dx

5x

3x 2x

f)

dx

190

i)

a x b dx 2x dx 3x (1 2 x )dx

1 6x C 6 ln 6

ax

y

.

a x dx ?

y

log b x x

by

: :

f ( x) ln x , ( x

IR )

ln x dx x ln x x C f ( x) log a x ( x , a IR , a 1) :

. loga x dx x log a

x e

: : log a x dx loge x dx ln x dx

x log a

x C e

ln xdx

x log e

x ln x x C

x e

x(log e x log e e)

x(ln x 1) C

191

a

e

-1

-2 log a x dx

x log a u

1 log a e dx x

log a x , du

dv log a x dx

x C e

dx , v

x 1 x log a e dx x

x log a x

x log a x log a e dx x log a x x log a e log a x dx

x log a

x(loga x log a e)

x log a

x C e

x C e

ln 3xdx

:

: :

ln 3 xdx

(ln 3 ln x)dx

ln 3 dx

ln x dx

x ln 3 x ln x x x(ln 3 ln x) x x(ln 3 x 1)

: -I

Substitution

.

:1

:

:

I

a) I

1 e 2

2x 3

u,

1 u e 2

I

2du u

dx 2

1 du 2 2dx x 2

b) I x 2

2x 3

u, 2

1 u e du 4

1 du u

du dx

2 ln u

dx C

du dx

,

1 u e 4

C

du

2 ln x 2

C

192

dx 1 e 4

1 du 2 2x 3

C

f ( x) e 2 x

.

:2 :

: e2 x

f ( x) u

2x

du

2dx

dx

du 2

e2 x

f ( x)

e 2 x dx ?

f ( x)dx

du 1 eu du 2 2 e2 x 1 2x C C e C 2 2

eu

f ( x) dx e 2 x dx

eu 2

1 2x e 2

F ( x)

C

F ' ( x)

1 2x e 2 2

f ( x)

.

e2x

x ln x 2

f ( x) :

:3 :

x ln x 2

f ( x)

f ( x)dx

( x ln x 2 )dx

?

x2

u du

2 x dx

f ( x) dx

1 du 2 1 x ln u du 2x xdx

1 1 ln u du u ln u u C 2 2 1 2 1 2 x ln x 2 x C 2 2

1 1 u ln u u C 2 2

-II

: 1

e 2 x dx

. 1 1

f ( x) e 2 x

e 2 x dx 1

du

2 dx

1, u 2 x x 1, u 2 x

u

1 du 2 2( 1) 2

u

2(1) 2

u x

2x

dx

1

2

e 2 x dx 1

193

1 u 1 u e du e 2 2 2

2 2

3.627

:1

2

:2

2 x ln x 2 dx

f ( x)

.

1

u

x

2

x 1 , u

x2

1 du 2x 1

2 , u

x2

4

du

x

2 x dx

dx

2

4

2 x ln x 2 dx 1

2 x ln u 1

u ln u u

4 1

1 du 2x

4 ln 4 4

4

ln udu 1

1 ln1 1

: a)

ln 2 x 3dx

d)

1 3 log dx x

b)

ln x dx 2

e) 1

4 e

2x 4

dx

194

c)

x log dx 2

2.545

x2

5 3x 2

.

?

?

( x 2)

( x 1)

. : 7 x 12 dx :1 x 6x 8

.

2

:

: 7 x 12 A B dx x 6x 8 ( x 2) ( x 4) A( x 4) B( x 2) Ax 4 A Bx 2 B ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) A B 7 4 A 2B 12 A 7 B 4(7 B) 2 B 12 28 4 B 2 B 12 28 2 B 12 2 B 16 B 8 A 7 8 1 7 x 12 1 8 2 x 6x 8 x 2 x 4 2

( A B) x 4 A 2 B ( x 2)( x 4)

: 7 x 12 dx x 6x 8 7 x 12 dx 2 x 6x 8 2

1 8 dx dx x 2 x 4 1 1 dx 8 dx x 2 x 4 ln | x 2 | 8 ln | x 4 | C ln ( x 2)

1

( x 4)8

ln

ln( x 2)

( x 4) x 2

195

8

C

1

ln( x 4)8

C

5x 9 dx :2 x x 6

. x2

x 6

2

( x 2)( x 3)

:

:

: 5x 9 5x 9 A B x x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 A( x 3) B( x 2) Ax 3 A Bx 2 B ( A B) x 3 A 2 B ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( A B) x 3 A 2 B 5x 9 2

A B

5

3A 2B

A

5 B

5x 9 B

:

A

3( 5 B) 2 B 9 15 5 B 9 5B 24 B

24 5

25 24 5 1 4 5x 9 5 5 x2 x 6 x 2 x 3 1 5x 9 5 dx x2 x 6 x 2 1 ln( x 2) 5

A

5

24 5

ln( x 2)

1 5

1 5

24 1 5 dx x 3 5 24 ln( x 3) 5 ln( x 3)

24 5

1 24 dx x 2 5

ln ( x 2)

1 5

1 dx x 3

( x 3)

24 5

C

: a)

x3

x 2 dx 3x 2 x 3

b)

x 2 dx 2 x 6x 5

196

c)

x4

x6 3x 2

2

dx

.

ex

.

f ' ( x)

f ' ( x)

a x ln a

1 x ln a g ' ( x) (log a g ( x ))' log a e g ( x)

f ' ( x)

. .

1 log a e x

f ( x)

ex

f ( x)

ax

f ( x) log a x f ( x) log a g ( x)

: . Pm ( x) Pn ( x)

Pn (x)

: Pm ( x) Pn ( x)

A x x1

B x x2

C x

N x xn

x3

n x x0

: Pm ( x) Pn ( x)

A x x0

B ( x x0 ) 2

N ( x x0 ) n Pm ( x) Pn ( x)

Ax B ax bx c

.

2

: x

e dx

e

x

C

x

,

a dx

ax C Lna

,

(a

: ln dx

x ln x x C ,

log a x dx x log a

x C e

: f (x)

ex

f ( x ) dx

e x dx

197

ex

C

IR , a 1)

x 2 ) x 2 f ( x) ln x 1

-1

2x2x

-3

f ( x) log x 3

-4

f ( x) ln(

y

-5

. 1)

x 1 2 x x 6

2)

x2 x3

-2

x 1 2x 2 x

3)

2x 2 3 ( x 2 1) 2

-6 1)

5t 7 dt

2)

3)

(2 cos x 5 sin x e x )dx

4)

5)

xe x dx

6)

7)

1 1

x3 3 dx x2 cos x sin xdx 5 dx (2 x 1)( x 2)

3x 2 x3 1 dx

. a) y c) y

ln( x 2 ex

2

1

x 1)

b) y d) y

198

ln(sin x) x

2

–7

199

200

Accounting of Area bounded by one Curve

.

o

:

y 1 x2

( Critical Point )

x

. y 1 x2

x

. y

x

x2

2x x

. :

b

f ( x) dx

_

F (b ) F ( a )

a

[ a, b]

. y

f ( x) y

0

f ( x) 0

.

[ a, b]

.

f (x ) f (x )

x

f (x)

x

201

y

x

f (x)

_

x

y

.

4

:1

y2 y

:

:

: y2

4

x

x'

2y

0

x' 0

4 y2

y

0, x

x

0 , 4 y2 2

y

x

4 0

y2

0

y

0

y

x

4

4

x

(0 , 2) , (0 , 2)

2

(4 y 2 ) dy 2 (4 y 2 )dy 2[4 y 0

2

y3 2 ]0 3

3

A 2 [(4 2

. : y 1

2 8 24 8 ) 0] 2 (8 ) 2 ( ) 3 3 3 1 2 y 1 x x 2 x

16 32 2( ) 3 3

:2 :

1 2 x , y x 2 y 0 x 0

x

0, y 1

y

0 ,1

x1

y2

2

: 2

x 4

[ 2 , 2]

x

A

( 4 , 0)

1 2 x 1 2

1 2 x 0 2 2 , x2

( 2 , 0) , (

y 1

1 2 x 2

1 2 0 2

1

x2

y 1

(0,1)

2, x

2

2

y 1

2 , 0)

2

2 0

202

x

2

2

1 2 x ) dx (1 2 2

A

1 2 x ) dx 2

2 (1 0

1 3 2 x ]0 ) 6

2( [ x

3

( 2) 6 2 ( 2 )3 0) 2( ) 6 6 6 2 2 2 4 2 ( ) 3 3 A 1.8853 A

2( 2

2(

6 2 6

8

)

y

x

x2

:3

3

. x

y

x

x2

3

0, y 3

y

y

: y' 2 x y 0

x

2

3

x

3

0

x

y

0

2

3

3

(0, 3)

0 , x2 3 0

:

y

(

x2

( 3 ,0) , (

3 1.7

1. 7

3 , 0)

( 3 , 0)

3

3 ,0)

3 (0 , 3)

[ 3,

3]

y

x2

3

x

: 3

A1

3

( x 2 3) dx 3

2 ( x 2 3) dx 0

3

3

2 ( x 2 dx 3 dx ) 0

0

1 1 2 ( [( 3 )3 0] 3 [ 3 0]) 2 ( ( 3 )3 3 3 ) 3 3 2 2 2 ( 3 )3 6 3 (1.7 )3 6(1.7) ( 4.913) 10.2 3 3 3 3.2753 10.2 6.9247

203

2 1 2 ([ x 3 ]0 3 [3 x ]0 3 ) 3

9.826 10.2 3

:4

x2 3x

y

[ 1, 4]

.

x

:

: y

x 2 3x

y ' 2x 3 0 x

3 , y 2

2x 3 , x

3 3 ( )2 3( ) 2 2 9 3 9 , (x , y ) ( , ) 4 2 4

x 2 3x 9 4

y

3 2

y

9 2

3 9 ( , ) 2 4 y

y

0

x 3x 0 x( x 3) 0 x 0, x 3

1 0

A

A1

A2

9 4 3

(x

A3 1

A2

1

0 2

1 2 2

3 x) dx

4

(x

2

A3 4

x

3 9 ( , ) 2 4

( x 2 3 x) dx

3 x) dx

0

3

0 x

:

3

A1

2

y" 2

3

1 3 2 0 1 3 2 3 1 3 3 2 4 A [ x3 x ] 1 [ x3 x ]0 [ x x ]3 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 0) ( ( 1) 3 ( 1) 2 )] [( 33 3 ) A [( 0 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 (3) 2 )] (4) 2 ) ( (3) 3 [( ( 4)3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( 27 9) ( 64 16) ( 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 27 27 64 48 27 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 27 64 27 3 27 48 27 65 54 57 48 3 2 3 2

204

(

1 3 0 0)] 3 2

9)

11 9 3 2

22 27 6

49 6

x

y

x2

:5

2x

[ 1,2]

. x

: y

x2

x 1 ,

2x y

:

y ' 2x 2 0 x 1 2x 2 x2

2 x 12

2(1)

1

(1 , 1)

(1, 1)

y

2

(1, 1) :

y

x

y

, x2 2x 0 x( x 2) 0 x1 0 , x2 2

0

0

1

2

x

0

1

1

x

0

[ 1,0]

[ 1,2]

:

x

2

A

(x

2

1

( x 2 2 x) dx

2 x)dx 0

1 8 1)) (( 4) 0) 3 3 4 4 4 4 8 ( ) ( ) 3 3 3 3 3

(0 (

1 [ x3 3 (

1 x 2 ]01 [ x3 3

1 8 1) ( 4) 3 3

205

[0,2]

x 2 ]02 (

1 3 8 12 ) ( ) 3 3

y

x

-1

sin x

y

-2 y

y 2 y 1

2 1

2

y 1

y

y

x3 1

x

1

x

[ 2 ,2 ]

.

y

2x x2 1

-3

x

.

206

x 1

x

0

Accounting of area bounded by two curves A

A1

A2

A1

A2

A

:

x2 1

y2

y1

x

.

1 x2

y1 y2

. ( y1

y2

y2 )

y1 x

. y

y

x 2

x2

. : y2

g ( x)

y1

f ( x)

g (x)

f ( x)

f (x )

x

: b

A

b

f ( x) g ( x) dx a

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

207

[ a, b ]

g ( x)

f (x )

g (x)

b

b

A

[ g ( x)

g ( x ) dx a

g ( x)

x

2

g ( x)

b

f ( x)] dx

a

f ( x)

f ( x ) dx

:

a

f ( x)

2x x

:1

2

. :

: 2 x x 2 , g ( x)

f ( x) f ( x)

g ( x)

2x x

2x x

2

x

2

2x 2x2

y

x2 2

x

1

0

1 3 ( , ) 2 4 1 1 ( , ) 2 4 1 1 2

3 4

0

1 4

2 x(1 x) 0 2x 0

x1

0

1 x

x2

1

0

0

g (x)

2

(1,1)

x f (x)

(0,0)

(1,1)

: 1

b

A

[ f ( x) g ( x)]

g ( x)

[2 x x

2x2 [2 x 2 x ] [ 2 0

2

2 31 x ]0 3 2 x

(1

2 x3 1 ]0 3

2

x ] dx

0

a

[x2

1 2

2 3 2 1 ) 0 3 3 3 2 f ( x) x 6 x 2

:2 . y

f ( x) x 2 6 x 2 g ( x) 2 x x2 6 x 2 x

2

x1

5x

0

2 x

f ( x)

g ( x) 2

x2 6 x 2 2 x

0

x( x 5) 0

1

: (0, 2) (1 ,1)

1

2

x

1

0 , x2 5 (0,2) , (5, 3)

2

3

(5, 3) (1 , 3)

208

f (x)

:

g (x) g ( x)

b

A

[ g ( x)

(2 x x 2

f ( x)] dx

a

6 x 2)dx

0

5

5

( x x2

( x2

6 x) dx

0

[

f ( x)

5

5 x) dx

0

x3 x2 125 25 5 ] 50 ( 5 ) 0 3 2 3 2 250 375 125 6 6

x2

f ( x)

125 125 3 2

:3

4x 2

.

x2

g ( x)

2x 2

: y

x2

f ( x)

x2

g ( x)

(3 , 5)

5

x2

0

1

2x 2

4x 2 x2 2

2x x1

2 (0 , 2)

4x 2 x2

4x 2 x 2

f ( x)

g ( x)

2x 2 2x 2

0

6x 0 x( 2 x 6) 0 0 , 2x 6 x2 3

x

3

(0 , 2) , (3 , 5) g (x)

f (x)

.

209

g ( x)

f ( x)

b

b

[ f ( x) g ( x)]dx

A a

0

a 3

2

3

( x2

g ( x)dx

a 3

3

b

f ( x)dx

(x2

4 x 2)dx

2 x 2)dx

0

2

4x 2x x x 2 x]30 [ 2 x]30 3 2 3 2 1 1 27 2 9 6 0 27 9 6 0 3 3 9 18 9 9

[

9

. . .

y

y

x2

y

x 5

x 1

x2

-1

y2

2x 2

-2

y2

2x 6

-3

4x

y

210

Accounting of rounding things Volume .

.

. . y

:

(a ) y

x

y

f (x)

a

x b

x

x b

f (x) x

a

(a )

y y y

0 x

x

(b)

a

(b) x

r

.

x b

211

x b a

r2 , x

A( x)

. y

r

y

: b

n

v

lim Vn

n

A( x) x

lim

n

i 1

b 2

b 2

r dx

[ f ( x)]2 dx

y dx

a

a

a

x

y

f ( y) y

y

d

y

c

d

y

x

c

r

y

d

x

0

A( y )

c

.

x

r2 , y

r

: b

n

v

lim Vn

n

A( y ) y

lim

n

i 1

b 2

r dy a

b 2

[ f ( y )]2 dy

x dy a

a

: :1

. : x2

. x2

y2

r2

y2

r2

x2

212

y2

r2 :

r

r

y 2 dx

V

(r 2

r

x 2 ) dx

r r

(r 2

2

x 2 ) dx

2 [r 2 x

0

2 [( r 3 2 (

3r

3

3

y

x3 r ]0 3

x

r

x

r3 ) 0] 3 r3 )

r x

0

3

2 ( V(

)

4 3

2r ) 3 r3

:2

. y

x

:

mx

h

y

y 2 dx

V

:

0 h

h

m 2 x 2 dx

y

m 2 x 2 dx

0

0

x3 m [ ]0h 3 h (mh) 2 3 y 2

x

h3 m ( ) 3

o

2

h

.

mx r h 2 r 3 h V r2 3

r

h

H

(h)

x

: y

mx

mh

213

x

y y

mx

r :

r2

: r2

V

h 3

V(

1 2 r h 3

)

x2 a2

x

y2 b2

:3

1

. : : x2 a2 y2 b2

y2 b2

y

1

x2 1 2 a

y

2

a

[b

2

a 2

V

b

2

y dx a

a a

[b

2

2

0

2

b 2 x ]dx a2

b2 2 x a2 b2 2 x ] dx a2

x

b 2 x3 a ]0 a2 3

2

2 [b x

x

a

b2 a3 b2a 2 b a ) 0 ] 2 [ ] a2 3 3 3b 2 a b 2 a 2b 2 a 2 [ ] 2 [ ] 3 3 4 2 4 b a b2a 3 3 2 [(b 2 a

V

y

: 4 a 2b 3

214

x

a

y

:1

x2

y

1

y

. :

: b

1

x 2 dy

V a

V

y

1 2 1 1 y |0 2 2

y dy 0

y 1

2

x x

.

y

3

:2

2x

:

y b

3

3

y 2 dx

V

[ 2 x ] 2 dx

a

0

2

0

2

x dx

2 [

0

V

2 x dx

0

3

V

3

[ 2 x ]2 dx

x 3 ]0 2

9

[ a, b] x

x

b

x

a

y2

g ( x)

g (x)

f (x)

y1

x

3

0

f ( x)

:

:

y y1

x

f ( x)

A(x) (

y2 g( x)

x

a

x

b

)

x

y1

y2

( y1

f (x )

: b

b

( y12

V

y 22 ) dx

a

( y12 a

215

y 22 ) dx

g (x)

y2 )

f (x )

: b

b

( y 22

V

g (x)

y12 ) dx

( y 22

a

y12 ) dx

a

y

x

x2

y

x

:

y

.

y

: y

x

(1,1) y x2

x

(0 ,0)

y1 x 2 y2

x

f ( x)

y1 , g ( x)

y2

g ( x)

x

0

f ( x) 1

b

( y22

y12 ) dx

( x 2 ( x 2 ) 2 )dx 0

a 1

(x2

x 4 ) dx

0

[

x3 3

x5 1 ]0 5

1 1 1 1 0) ( 0)] [ ] 3 5 3 5 5 3 2 2 [ ] [ ] 15 15 15 [(

V

x

x

y

0

-1

sin x x

. x

0

y

8

y

-2

x3

.

216

y

Accounting the Length of Arc

y

[ a, b]

f (x)

AB

. M2

.

M1

x2

x1

[ a, b]

M2

M1 H

. M2H

y

x

M1H

M1 H M 2

. y B

M2

:

y

M1 x

M1 H M 2

H

A a

x1

x2

x

b

M1 H M 2

: (M 1 M 2 ) 2 M1 M 2

( x) 2 ( x) 2

( y) 2 ( y) 2

217

:

: f (t ) x

x t f ' (t )

y t y g (t ) t

,

g ' (t )

,

t

M 1M 2

( x)2

( y)2

M 1M 2

[ f (t )]2 [ g (t )]2

[ f (t )

t ]2 [ g (t )

t ]2

t

: L lim n

n

[ f (t )]2

[ g (t )]2

t

i 1

b

[ f (t )]2

L

[ g (t )]2 dt

a

x2

. x y

y2

r2

:

r cos t r sin t

: 0 t

:

x2

P

y 2 dt

y

0

x

r sin t , y

r cos t r

( r sin t ) 2 (r cos t ) 2 dt

P 0

2

P

2

2

o

2

r sin t r cos t dt 0

r 2 (sin 2 t cos 2 t ) dt

P

r 2 dt

0

P

[ r t ]0

0

(r

r 0)

r

2 r

218

t

r cos t

r sin t

x

: a

x

y

b

-1

f (x)

b

L

1

f

2

( x ) dx

x

:

a

3

0

. f ( x)

x

x

y

4

f ( x)

x2

:

1

3 2

f ( x)

3 2 x 2

: b

1

L

0

4

1

9 x dx 4 1 1 2

L

3 1 ( x 2 ) 2 dx 2

f ( x) dx

a

0

1

4 2

4

4 du 9

u 0

4

1

4 2 u du 90

u 1 du

3

4 u 4 2 2 4 8 [ ] 04 [u ] 0 [ u 3 ] 04 9 1 9 3 27 1 2 8 9 3 4 8 9 x ) ]0 [ (1 [ (1 4) 3 1] 27 4 27 4 8 (10 10 1) 27 a y b

dx 8 ( 10 3 27

x

9 x 4

9 dx 4 4 du 9

1)

-2

f ( y)

y

: b

f 2 ( y ) 1 dy

L a

.

1

y

x

4

219

f ( y)

y

3 2

:

: f ( y) y

3 2

3 y 2

, f ( y)

1

4

b

f 2 ( y) 1 dy

L

( 1

a 4

1

4

9 y 1 dy 4 3 2 4 1

4 2 [u ] 9 3

8 [ (10)3 27 8 [ 1000 27

1 2

u 1

3 2 2 y ) 1 dy 2

4 du 9

u

8 9 [ ( y 1)3 ] 14 27 4 (

9 3 1) ] 4

13 8 ( )3 ] [10 10 4 27

.

9 y 1 4

du

9 dy 4

dy

4 du 9

2197 ] 64

y

1 x

2

0

x 1

t3

x

t2 3

.

220

f ( x)

1 2 x 2

-1 -2

b

f ( x) dx

F (b ) F ( a )

a

x

. f ( x)

y

b x

0 y

a

[ a, b] f ( x)

0

f (x )

g (x)

b

b

a

f ( x) dx

g ( x) dx

a

a

f (x )

: b

b

[ g ( x)

f (x )

b

f ( x) g ( x) dx

A

f (x)

x

:

f ( x)] dx

a

g (x)

b

g ( x)dx

f ( x)dx

a

a

: x

b

x

y

a

f (x)

x

.

x b a y

r

r2 , x

A( x)

y

: v

lim Vn n

n

b

n

lim

i 1

x

y

r

b

y 2 dx

a

y

.

b

r 2 dx

A( x) x

[ f ( x) ]2 dx

a

d

y

a

x

c

A( y )

d c

f ( y)

r2 , y

: b

n

v

lim Vn

n

lim n

i 1

b

r 2 dy

A( y ) y a

f (x)

f (x )

x

.

A

y

x

b

x 2 dy a

221

[ f ( y ) ]2 dy a

: b

[ f (t )]2 [ g (t )]2 dt :

L a

b

L

1 f '2 ( x) dx

(1

1 f '2 ( y ) dy

(2

a b

L a

y2

y

. [0,2 ]

x 5 y

x

-1

0

-2

sin x

. y

. x

. y

x2

4x

6x

x2

y

y

x2

4x 3

-3 -4

6x2

8x

-5

x3

y

x2

2x

. y

-6

sin x cos x

[0,4]

x

x

. 1 2 x 4

y

x

x

2

0

-7

2

. y

x

-8

2

[2 , 6]

x2

x

. y

x

1 x 1 2

y2

2

-9 .

2

. .

x

y

2 2

x

5

222

-10

x 4 y

4 x 3

4 3

-11

223

.

224

IR

S x1

f ( x1 )

f

x2

P( X

f ( x2 )

xi )

f ( xi )

x1 , x 2 , ... , x n

. k2

f (x)

k1

.

f (x)

k1

k2

x

225

xi

E ( xi )

2

2

, E(x

xi )

xi f ( xi ) i 1

xi

. xi 0 f ( xi ) 0.5

E ( xi )

2

f ( xi )

1 0 .5

: . P( X

.

( .

f ( xi )

P( X

x)

-

x

f (x)

x

k2

: k2

P (k1

x

k2 )

f ( x) dx k1

k1

: P (k1

x

k2 )

k2

x

F (k 2 ) F (k1 )

( Expected Value)

x

E (x )

:

n

E ( x)

x1 f ( x1 )

-

x1 , f ( x1 ) , x 2 , f ( x 2 ) , ... , x n , f ( x n )

) F ( x)

xi )

x 2 f ( x 2 ) ......... x n f ( x n )

xi f ( xi ) i 1

226

x

k1

x

x

S2

E (x )

x

x

: S2

2

n

xi

E ( xi ) f ( xi )

i 1

: . . :

. 0 .8

0 .2

:

( Expected Value)

.

x

: :

:

227

x

: :

xi 1 10

f ( xi ) E ( x) xi f ( xi ) 0.8 1 0.8 0.8 0.2 10 0.2 2 0.1 1.2

2

2

xi E( x) ( 1 1.2)2 4.84 (10 1.2)2

77.44

S 2 xi E( x) f ( xi ) 4.84 0.8 3.872 77.44 0.2 15.488 S 2 19.360

S 4.4

-1

. 200 1000

. .

-2

0.003

: 2 2

-b 2

.

228

-a -c

100

.

160

.

7 (.

) (m n)

n

m

. P

n m n

n

m

) q

m

. .

(

( 4

. F

(

T

)

.

229

(

5 )

)

P( X

.

m)

P m (1 P )1

m

P m q1

m

q 1 P

n

P

P n

: P( X

n m

m)

Pmqn

m

0 m n B (m , n , p)

. x

np

S

. 15

4

.

P (3

5)

m

4 i 3

P(3

:

m

:1

3

5 0.4 , q 1 P

P

n Pm qn m 15 (0.4)5 (0.6)10 m 5 15! 0.01024 0.00604661760 5!(15 5)! 22.312554264 0.1859 120 4)

n pq

0 .4

: P (m

q

m

15 (0.4)i (0.6)15 i

:

360360 0.00006191 120

(15 )(0.4)3 (0.6)15 3

i

0.6 , m 5 , n 15

3

(15 )(0.4) 4 (0.6)15 4

4

15! 15! (0.0256)(0.0036279706) (0.064)(0.0021767823) 4!(15 4)! 3!(15 3)! 2730 3270 (0.0001393141) (0.000092876 ) 6 24 0.380327493 3.04261776 0.0633879155 0.12677574 6 24 4) 0.19

4

200 . . .

230

-1

x p xq n n

1) b( x , n , p )

x

2) lim b( x , n , p ) n

x

3) P ( x , )

x

P

-

e x!

n

e x!

P( X

m

e

m)

m

m! P( X

n

n

m)

2 p

n Pmqn m

m

n

P( X

m)

P m

m

e m!

. .

231

e

2.71828

5 np

m

. :

0 .1 , n

np

200

. 3

0.01

200

n

«

P (3)

m)

m

e

n p 200 0.01 2

m!

(2.71828) 3! 0.13533 8 6

2

1 8 (2.71828) 2 2 6 1.08268 0.1804 6 3

1 8 7.3890461584 6

: P( X

m)

n

200

p

0.01

P(3)

P( X

:

» p

: P( X

n Pm qn m q 3)

m

0.99 200 (0.01) 3 (0.099) 200 3

200! (0.01) 3 (0.099)197 3! 197!

:

3

0.1814

. .

232

0.01

: : P( X

e

m)

t

( t)m m! t

m .

t

. . 60

:

: 60

,

4

,

m

t

P(m

4)

e ( t) m!

m

1 81 20.0854 24

3 60

t t 3

e (3) 4!

4

1 20 1 60 3 20 3

(2.71828) (3) 4!

4.03278 24

233

0.168032

4

1 81 (2.71828) 3 4 3 2 1

. _ (

)

. : y

A SA

5

B SB

10

xA

y

xB

x

50

C SC

D

10

SD

xC

50

xD

10

x

80

y F E SF SE

5

10

xE

50

xF

x

80

234

: B

A

D F

C

E

: . f (x)

: f ( x) f ( x) x

s

.

1 x x 2 ( ) s

1

e2

s 2

N ( x , x , s)

3.14189

2.71828

f (x)

x

. .

235

e

:(

)

. 46

1980

. . 46

(

)

. 46

. 1.2

( 1.2

1

8

1

)

4 46

.

0.870 0.2

0.174

.

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0.0

0.5

0.1

1.5

236

2.0

2.0

3.0

D,C , B, A

E

A

B

C

D

237

.

E

y

: y

f (x)

x

s

x

x

x2

x1

.

f (x)

z

x x s

x

x ? s ? 3

2

1

0

1

238

2

3

x

50

x

x

41

x x s

z

x

53

x

41

5

5

s

x

53

: x2 x2

x1

x

x1

x

: x2

f ( x1

x

x2 ) x1

x2

1 f ( x)dx x1 s 2

e

1 x x 2 ( ) 2 s

x2

N ( x , x , s)dx x1

x1

x

x2

. . x

. z

x x s z

. 239

1

z

.

.

z2

f ( z1

z

z2 )

1 z1 s 2

e

z2 2

x x s

z

: z2

dz

N ( z , 0 ,1) dz z1

z1

z

0 z2

x

x2

x

x1

x

z

.

z2

z

z1

z

. . . . z

.

P (0 0

z

240

z

z)

z

0 z1

z

241

(1)

0

z1

(2)

z

242

.

1.5

z 1.56

z

0.06

z 1.56

.

z

0

0.9406

P (0

z 1.56) 0.9406

: :1

952 952

. 4

. 956 952 x

: z1 z2

x x 952 952 4 s 956 952 4 1 4 4

0 4

956 952

z

952

P (0

952

34.13

x

(2 )

z 1) 0.3413

956

. P (0

z

x

952 0

z 1)

P ( z 2 ) P( z1 ) P(1) P(0) 0.8413 0.5000 0.3413

0.3413

x

:

0

1 0

.

z

1

243

956

:2

70 84 54

.

:

: z1 z2

54 70 2 8 84 70 1.75 8

x

: :

P (0

z

0)

P (0

z 1.75 )

2)

z

54

x 84

(2 )

: P( 2

8

.

0.4772

0.9599

. P (0

z 1.75)

p( 2

x z

956

z

54 2

0)

0.9599 0.4772 0.4827

x 0

70

84 1.75

1

948

.

244

N «

»

n

n ?

N

12

: .

: (Code)

.

:

.

: : .

.

(

)

245

.

(

)

. x1 , x2 ... xn

x

f ( x1 , x 2 , ... , x n )

. 5

f ( x1 ) f ( x 2 ) ... f ( x n )

7

. .

5

:

(

)

. x1

x3

.

x2 , x1

:

. x2

x3

.

. x3

. f ( xi )

5 5 1 ( ) xi (1 ) 12 12

xi

xi

x3 f ( x1 , x2 , x3 )

0 ,1 :

x2 , x1

i 1, 2 , 3

p

5 12

x2 , x1

P ( x1

x1 , x2

x2 , x3

x3 ) :

.

5

N

.

25

-1 -2 -3

246

n

xi

i 1

?

n

.

.

2

3

4

. . (

) . (x

.

) x

.

x

. :

x1 , x 2 , .... , x n

f (x)

: x f ( x)

x1 x 2 ...... x n 1 1 1 ...... n n n

247

E ( xn )

xn 1 n

V ( xn )

Sn

2

S

xn n

1

2

x )2

( xi

n 1

2

i 1

2

E(S )

.

2

S2

2

1 n

xn

n

xi i 1

:

: 1 3

f ( x)

x 1 ,

,

2 ,

.

3 x

:

.

:

x

.

x

.

V (x )

: E (x ) :

: x

1 1 3

f ( x)

2 1 3

3 1 3

: :

3

E ( x)

x f ( x)

x 1

1 2 14 (1 2 2 33 ) 3 3 x 1 14 2 E ( x 2 ) ( E ( x)) 2 22 3 3

E(x2 ) 2 x

3

1 (1 2 3) 2 3

x 2 f ( x)

248

:

: (1,1) (1, 2) (1, 3) (2 ,1) (2 , 2) (2 , 3) (3 ,1) (3 , 2) (3,3)

x

1

1 .5

2

1 .5

2

2.5

2

2.5 x

. x f (x )

1 1 9

1.5 2 9

2 3 9

2.5 2 9

3

3 1 9 x

.

y 3 9 2 9 1 9

1 1.5 2 2.5

3

x :

x

E(x)

E ( x 2) 2 x

E ( x)

x 2 f ( x ) 12

V (x) E( x) 2

V (x)

xf ( x ) 1

x

n

1 2 3 2 1 1 .5 2 2 .5 3 9 9 9 9 9

2

1 2 3 2 2 1 (1.5) 2 22 (2.5) 2 3 9 9 9 9 9

E ( x 2 ) ( E ( x )) 2 2 2 3 2

18 9

13 4 3

1 3

:

1 3

249

13 3

:

8

-1

6,4,2

x x

250

S lim n n

)

S n

N n N 1

.

?

Sx

N n N 1

x

S n

s

(

n

N

x1 , x2 , ... , xn

x1 , x2 , ... , xn Sn

2

x1 x2 ... xn

: n

N

2

x

.

z

x

2 x

n

251

2

n

x

1

N n N 1

N 1

.

n

71

:

80

9

.

9

. . 80

.

x

: P( z

80)

x

P( z 1 P( z

80 71 ) P ( z 3) 9 n 9 3) 1 0.9987 0.0013

: P(z

80 )

P(

:

x

80

1 P(z

1)

n 1

71

) P ( z 1) 9 1 0 .8413 0 .1587

(1 )

.

252

P (z )

:

.

250 gr

20 gr

. 240 gr

253

n 16

B

n

A

.

x

: f ( x)

n P x (1 x

p) n

x

x

f ( P)

.

0,1,2,........., n

P

x

n

x1 , x2 , ..., xn

x n P

x

x

nP

x n

P

P V ( x)

n pq

n E ( x)

( Expected Value)

np

P

.

nP

p n p (1 p) n (1

E ( P)

P :

P V ( P)

pq n

p 2

n

x : n

x

P

: f (nP)

x

1 2 P 0, , , .....,1 n n

p)

P

( Expected Value)

p(1 p ) n

z

x np n pq

p p pq n

254

:

n

6

. n

. f ( x)

P( X

6

x)

P

. P

x

P

0 .3

0 .3

: x

.

x

B( x , 6 , 0.3)

:

x 0 , 1 , ... , 6

: x

0

1

f ( x) 0.1176

0.3025

2

3

4

5

6

0.3241

0.1852

0.0595

0.0102

0.0007

5 4 3 2 1 , , , , ,0 6 6 6 6 6

P

1

: P( P

0) P( X 0) 0.1176 1 P( P ) P( X 1) 0.3025 6 x P( P ) P( X x) n

: P

: 0

P

1.6

f ( P ) 0.1176

0.3025

2.6 0.3241

3.6

5.6

1

0.0595

0.0102

0.0007

3

P( P

0.6)

P( x

3.6)

P( x

3)

B( x , 6 , 0. 3)

0.9294

:

x 0

P( P

P

0.27)

P( x 1.62)

P( x 1) 0.1176 0.3025 0.4201

:

.1

0 .7 n

: P

0.05

.

0 .6

255

P

200

.

. . f (x)

. n

( Expected Value)

x

: E ( x)

x

xi f ( xi )

x

i 1

V ( x)

n

S2

E ( xi )) 2 f ( xi )

( xi

i 1

P( X

m)

P m (1 P)1

P( X

m)

n Pm qn m

,

S

x np

m

:

m

:

n pq :

: P( x

m)

m

e m!

: . : f ( x)

1 e 2

1 x x 2 ( ) 2

. b

a

f (x ) b

P (a

x b)

b

f ( x) dx a

a

256

1 e 2

1 x ( 2

)2

:

x

z

. .

: : .

. f ( x1 , x2 , ... , xn )

x

f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xn )

. V ( xn )

1 n

E ( xn )

f (x )

x 2

S2

. n

x

z

.

N

x

2 x

2

x

n

n q 1 p

P

n

x

( Expected Value) V ( x)

n pq

E ( x)

np , P

x : n

x

P

: E ( P) z

P ,

P P pq n

f ( P) ,

n nP

V ( P)

P n P q (1

P)

pq n

257

.1

: . . . P 0.1

.2 400

n

50

.

500

.3

8

10 .4 .

x 2s , x s , x s , x

x 2s

h

x

. . ( x s , 0.6 h)

0 .6 h

x s

x s

.

0.15 h

. 0.15 h

0 .6 h

x 2s

h

0.1354 h

x 2s

0.6067 h

. . 8 .

6

.5 . 8

25

6 . 8

6

7

1 2

.6 :

258

. 5

.

6

.

3

25

.7 0.5

: 25.9

25.2

25

. 24.07

1000

. 24.56 25

.8

90

21000

225

.

n 50

.

A

56%

A A

0 .4

100

60% P n

.

.10

0.4 200

A

259

.9

260

261

: 2 1 .

: (countable) (uncountable)

. .

:1

:

: 12 8

:

30 1000

3

:

100

: . 45

262

30

:

: . :2

.

. t

S

{t

IR : t

t} :

0

. : -1 . -2 .

-1

r

-2 . 4

-3 . 263

5

1

5 2

:

: . i 1, 2 ..., n

.

{ei }

i 1 , 2 , ... , n

S ,

0 P({ei }) 1

264

{e1 , e2 , ... en }

:

: n

P ({e1}) P ({e2 }) ... P({en })

P (ei ) 1 i 1

4: . 1 4

.

S {a , b, c, d} P(a)

{d }

.

G

P (c )

1 : 4

P(d )

{c} ,{b} , {a}

-1

W

R

P(b)

:

0.30 0.26

B

-2 .

5

1

2

3

4

5

6

7

9

8

7

3

10

-3 5

265

A 1

60

3

. 3

1

1 60

60

B

C

1

A

S

S

A

A S : .

. x

x z

: x

y

y, x

:1

( 0,3 ) 1 x 2.5

266

.

A

.

S

: A

:

2.5 1 3 0

A B

P ( A)

1.5 3

1 2

A

0

2

1

2 .5

x

3

B

S

:2 2

. r

r

a 2

a

: =A

S

. a 2

r

P ( A)

.

2 1 2 4 3 r 3 a3

4 (1)3 3 23

6

B A B A

d

-1 O

2

A 3

.

B 0

3 -2

. 267

20 5 15

. 4

:

70

1600

.

2500 80

: :R

.

:M

. .

:F

:

: . : 268

M M

R

R R

R

P( M R) P ( R)

PR ( M )

PR (M )

. P ( B)

S

0

B A

A

PB ( A)

:

P( A B ) P ( B)

B

. : PB ( A)

P(A

B) , PB (A )

P (A

B)

PB (A)

A P (A

B)

PB (A)

A P (A

B)

A

B P( B)

P(B)

PB (A)

A

P(A B) P(B)

B

: P ( A B)

P( B) PB ( A)

P( A

P( B) PB ( A)

P( A)

B)

-1

: :

P( B) PB ( A) P( B) PB ( A)

269

-2

: PA (B )

P( A

B) ,

P( B

A)

PA (B)

B

PA (B)

B P( B

A)

P(B

A)

B

A P(A)

P(A)

PA ( B)

P( A B) P( A)

A B

PA (B)

PA ( B )

P( A B) P ( A)

: PA ( B)

(1 )

PB ( A) P( B) P ( B ) PB ( A) P( B) PB ( A)

-3

Bn , ... , B2 , B1

: PA (Bi )

PBi ( A) P(Bi )

P( A Bi )

P(B1 ) PB1 ( A) ... P(Bn ) PBn ( A)

n k 1

PB1 ( A )

A

B1 P( B1 ) P( B 2 )

PB 2 ( A )

A

B2

P( Bn )

Bn

PB n ( A )

A

270

P(Bk ) PBk ( A)

i 1, 2,..., n

70%

50% 60%

:

. : :B

:A B

PB (A )

.

A :

: PB ( A)

A

P( A) PA ( B) P( B)

PA ( B )

0 .7

0 .5 0 .7 0 .6

B

.

B

P( A) 0.5

B A B

PA (B)

PA (B)

.

PB ( A)

A

B P( B )

0.6

PB ( A )

0.5833 58.33%

A

A B A

271

58.33%

B

A B A

(A

A

B)

B

S

:

B A B

B

A

B A

A (A B)

. .

P(B) PB (A )

: B A

S P(A B)

P(B) PB (A) :

: B

P(B)

P (A

P( A B )

PB (A)

B)

P ( B ) PB ( A)

272

A

P(B) PB (A)

C B A

: P( A)

PA (B)

A

P( A

P( A

B C)

B

PA B (C )

B

C

C)

P ( A) PA ( B ) PA B (C )

. B3 , B 2 , B1

:

:

: :V

. i=1, 2, 3, … ( -i) - Bi

.

35%

22%

: Bi

30%

B1 B2 B3

B1

33.2%

35

B2

46.5%

22

B3

20.3%

30

S

(i 1,2,3) Bi

. Bi

. 3

S

B1

B2

B3

Bi S

-2

i 1

3

V

( Bi i 1

273

-1

V)

: 3

P (V )

3

P

( Bi

V)

3

P( Bi

V)

i 1

i 1

P ( Bi ).PBi (V )

i 1

P ( B1 ) PB1 (V ) P( B2 ) PB2 (V ) P ( B3 ) PB3 (V ) 0.332 0.35 0.465 0.22 0.203 0.3 0.1162 0.1023 0.0609 0.2794 27.94% P ( Bi )

i 1, 2 , ... , n

0

Bn ,...., B2 , B1

: S

. n

P ( A) i 1

A

P( Bi ) PBi ( A) :

(Bayes) A

i 1,..., n P ( Bi )

s

0

i 1,..., n P( A)

: PA ( Bi )

P( Bi ) PBi ( A)

P ( A Bi ) P ( A)

B2

B

B1

B

n

P ( Bk ) PBk ( A) 2

B2

S

: PA ( B)

: Bayes

n k 1

0

B1

P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) P( B) PB ( A)

. 40% 30 % 30%

n 2

C B A

5% 2 % 4%

: .

: (a

. 274

C

(b B

(c :

PA ( D ) 0.04

D

:(a

0.3 0.04

A

P( A ) P(B)

0.96

D

PB ( D) 0.02

D

PA ( D )

0.3 0.3

0.3 0.02

B

0.038 3.8%

P( D)

PB ( D ) 0.98 D

P (C )

0.4

PC ( D) 0.05 D

0.4 0.05

C PC ( D ) 0.95

PD (C )

P( D C ) P( D)

P(C ) PC ( D) P( D)

0.4 0.05 0.3 0.04 0.3 0.02 0.4 0.05

D

:(b

p ( c ) pc ( D ) P( A) PA ( D ) P( B) PB ( D) P(C ) P C ( D) 0.02 0.038

0.526 52.6%

:(c PD ( B)

P( D B) P( D)

P ( B ) PB ( D ) P( D)

0.3 0.98 0.3 0.96 0.3 0.98 0.4 0.95 0.294 0.294 0.288 0.294 0.38 0.962

P( B) PB ( D) P( A) PA ( D) P( B) P B ( D) P(C ) PC ( D )

0.3056 30.56%

1000

. .

6

275

P( A

B)

P ( A) P ( B )

A

.

B

B A B

.

B

A B A

A B

B A P( A

S

.

A

B)

:

P( A) P( B) .

B A

S

B A P(A) P( A

A

P ( A B)

PB (A)

B)

P ( A) P ( B ) P( A B )

B : B A

: P( A B)

P ( A) P( B) (

) :

A

B P( A

:1

( A B) 0 B) P( A) P( B ) (

B A

) :1

: :H :B

. . 276

:2

. :

: P( B

H)

P( B H ) P( B) 2) , An ..... , A2 , A1 PB ( H )

P( H ) P ( B )

(n

PB ( H )

P( H ) :

n:

. :1 B A

B

A

B

A

B A

A, A B, A B

. B A

.

b a B A B :

B B A P( A B) a b P( A B ) a (1 b) a A P ( A B) b(1 a ) P( A B) (1 a )(1 b) 1 a b 1 b 1

C B A

: P( A B )

P( A) P( B)

P( A C )

P( A) P(C )

P( B C )

P ( B) P(C )

P( A B C )

:2

P( A) P ( B) P(C )

:2 : -a -b

. .

: .

:C :

P( A B)

:B .

. P ( B)

1 1 2 2

P ( A) P( B)

277

1 1 2 2

1 , P( A) 2

:A 1 2

:(a

1 2 1 2 1 2

1 2

W

1 2

B

B A

.

W

B W

1 2

B

1 1 1 2 1 1 , P( A) 2 3 2 3 2 2 P( A B) P( A) P( B)

P( B) 1 3 1 2

1 2

W

2 3

W

2 3

B

1 6 1 6

B W

1 3

(a

1 1 2 2 1 4

B

B A

.

:C :3

: B A 0.12 A P ( A B)

B P( A B) ? P( A B)

?

? ?

? ?

0 .6

P(B)

: P ( B ) 1 P( B) 1 0.6 P ( A B ) 0.12 P ( A) P( B) 0 .4

0 .4 0 .3

P( A) 1 P ( A) 1 0.3

0 .7

: P( A

B)

P ( A) P( B )

0.3 0.6

0.18

P( A

B)

P ( A) P( B )

0.7 0.4

0.28

P( A

B)

P ( A) P( B )

0.7 0.6

0.42

. 278

0 .6

:

0.25

30

5 3, 2

Ak A5

A3 , A2

k

.

. .

.

.

. P ( B)

S

0

B A

A

PB ( A)

P( A B ) P ( B)

. B A

: P ( A B)

P ( A) P( B) (

) 279

B

-1 :

: :

: L

-2

3

.

8:50

8

-3

8:45 8:30 8:15

.

5

. R

-4

0,3

.

2

5 -5

3

. -6

: 1

0.088 0.002

0.05 -7

. :

(a

.

(b

.

280