# Mathematics 11 [11]

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1 C

1

1 2

1 1

1

5

3

3 4

1

1

6 10

1 1

4 10

5

1

.

. 1398

-----------------------------------------------------: : : : : : : 1398 : : : #,++’#,(,)!)*\$ &*- "% : ------------------------------------------------------

. .

"

.

"

.

1397

. . . . .

. .

.

. .

3 5 9 13 17 19 23 27 29 33 39 43 46

51 57 61 65 71 77 81 91 93

97 99 103 105 107 109 111 113 115

119 121 129 133 137 141 143 147 149

153 157 159 163 167 171

n n

175 179 183 185 189 193 197 199

205 209 213 215 217 221 223 227

2 2

229 231 235 239 243 245

249 251 253 255 259

(Gouse)

261 265 275 277

281 283 285 287 289 291 295 299 301

305 309 311 313 317 319 322 323

1

2

Conic of section

v

D D

v

V

D D

D

. .

.

3

.

.

(Circle) .

. .

(Ellipse)

(Parabola)

(Hyperbola) .

-1 -2 -3 .

4

Ellipse

F F . FF ' 2c

. : F F

.

A' , F , F ' , M , M A

3 M ' ( 1, ) 2

| AA' |

MF , MF '

. MF

.

5

MF ' | AA' |

M( 1,

M

| MF | | MF '|

| M ' F | | M ' F '|

.

3 ) 2

. : ( 2a )

. A'

.(

A ).

F F

AA' 2a

| M ' F | | M ' F '| 2a , | MF | | MF '| 2a | M ' F | M ' F ' | | MF | | MF ' |

:

A Major

(

A'

)

axis M

Minor

FF '

BB

AA

axis

.

AA'

AA' 2a

. BB

BB ' 2b

. B'

B

M .

MF

MF '

: MF

MF ' 2a

2MF MF

2a a

6

:

: : a2

b2

c2

c2

a2 b2 a2 b2

c

AA' a

BB'

c

. (O)

. OA OA' a OB OB' b OF

OF ' c :(Eccentricity)

.

e e

2c 2a

0 e 1

e

c a

e

1

c a 0 c

a

b2 a2

.

7

e

:

. 1

e

.

–1 2 3

–2 .

8

Equation of Ellipse

x

. M ( x , y)

. M

. MF ' MF

. : MF

MF '

( x c)2

2a

( y 0) 2

( ( x c) 2 ( x c) 2 x2

cx

( x c) 2

y 2 )2 y2

4a 2

(cx a 2 ) 2

x2

2cx c 2

4 a ( x c) 2 y2

a2

( x c) 2

y2

4a 2

4a ( x c) 2

a ( x c) 2

y 2 )2

2a 2cx a 4

a 2 [( x c) 2

c2 x2

2a 2cx a 4

a2 x2

a2 x2

c2 x2

y2]

2a 2cx a 2c 2

a 2c 2

a4

x 2 (a2

c2 ) a2 y 2

a4

x 2 (a2

c2 ) a2 y 2

a 2 (a 2

y2

y 2 / ( 4)

c2 x2

a2 y2

y2

cx a 2

(a ( x c) 2

2a

y 2 )2

4 a ( x c) 2

y2

a ( x c) 2

( y 0) 2

( x c) 2

(2 a

4a 2

2cx c 2

4cx

:

a2 y2

0

a 2c 2 c2 )

9

y2

y2

b2

a2 c2

a2

b2 c2

. x 2b 2

a2 y2

a 2b 2 / a 2b 2

x 2b 2 a 2 y 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 x2 y2 1 , a b a2 b2

b

a

:

x

. B( 0 b ) B ' (0 b )

A( a 0 ) A' ( a , 0)

F ( c 0) F ' ( c 0)

y

:

y2 a2

x2 b2

1

:

. y

| AA' | 6

| BB' | 4

:1 . :

AA'

2a

6

BB'

2b

4

2

x b2

2

y a2

a

3

b

2

2

1

x 4

y2 9

1

b

.

| AA' | 2a 10

a

:2

x

| BB' | 2b 8

. : | A A' | 2a 10

a

5

| B B ' | 2b 8

b

4

10

:

A' ( 5 , 0) A(5 , 0) : B' (0 , 4) , B(0 , 4) :

c

: o

a2

b2

c2

c2

25 16

(5) 2 c2

(4) 2

c2

9c

3

F' (-3 , 0) , F (3 , 0) e

4x2

c a

3 5

y2

16

: : :3 . 16

: 4x2 16

y2 16

x2 4 y

16 16

.

y2 16

:

1 a

b

: a2 b

2

16 4

a b

4 2

A(0 4) A (0

4)

B ( 2 0) B ( 2 0)

: c2

a 2 b2

c2

( 4) 2 ( 2) 2

c2

16 4 12

F (0, 12 ) , F ' (0,

c

12

12 )

11

:4

P (2 , 4)

.

F ' ( 3 2 0)

F (3 2 , 0 )

:

. | PF | | PF '| 2a....I

PF

( 2 3 2)

2

42

PF PF

.

PF '

. (2 3 2)

2

42

( 2 3 2)

4 12 2 18 16

2

38 12 2

76 2 1444 288 4a 2 76 2 34 4a 2 144 144 4a 2 36 a 6 a2 4 AA 2a 2 6 12

4a 2

76 68 4a 2

a2 b2

(3 2 ) 2 b2

2a

( 2a ) 2

38 12 2 2 (38 12 2 )(38 12 2

c2

42

2a

4 12 2 18 16

38 12 2 ) 2

( 38 12 2

42

(2 3 2 ) 2

(6 ) 2 b 2

18

BB

b

2b

9 2 36 b 2 9 2

2 3 2

b 3 2

6 2

–1

. x2 a) 36

y2 16

x2 b) 100

1

.

0.8

y2 36

1

–2

12

x

.

(h , k )

F' F

.

P ( x, y )

F' F

B' , B A ' , A

( h, k )

. :

: PF '

:

PF

PF '

x2

2a

PF

[ x (h c )]2

( y k )2

PF '

[ x (h c)]2

( y k)2

[ x (h c)]2

( y k )2

[( x h) c ]2

( y k)2

[ x (h c)]2

PF

( y k)2

2 x (h c ) ( h c ) 2

4a 2 4a 2

[ x (h c)]2 2a

( y k)2

[ x (h c)]2

4a [ x (h c)]2 4a [ x (h c)]2

13

2a

( y k)2

( y k )2 ( y k )2

/( ) 2

[ x (h c)]2 x2

( y k)2

2 x(h c) (h c ) 2

x2

2hx

4( a 2

4hc 4cx a2

hc cx x)

a2

c ( x h)

a2

c(h

h2

2cx

2hc

c2

4a 2

4a [ x (h c)] 2

a [ x ( h c)] 2

a [ x (h c)] 2

x2

2hx

h2

2cx

c2

2hc

k) 2

(y

a [ x (h c)] 2

k)2

k)2 / 4

(y

(y

a [ x (h c)] 2

(y

k)2

/ ( 1)

k) 2

(y

: c 2 ( h x) 2

2ca 2 ( x h) a 4

a 2 [{x (h c)}2 ( y k ) 2 ]

c 2 ( x h) 2

2ca 2 ( x h) a 4

a 2 [( x h) c]2

c 2 ( x h) 2

2ca 2 ( x h) a 4

a 2 ( x h) 2

c 2 ( x h) 2 a 2 ( x h) 2 a 2 ( y k ) 2 ( x h ) 2 (c 2 a 2 ) a 2 ( y k ) 2

a2 ( y k )2

2 a 2 c ( x h) a 2 c 2

a 2c 2 a 4

a 2 (c 2 a 2 )

( x h) 2 ( a 2 c 2 ) a 2 ( y k ) 2

a 2 (a 2 c 2 ) a2 c2

: b 2 ( x h) 2

a2 ( y k )2

a 2 ( y k )2

a 2b 2 /

( a 2b 2 )

( x h) 2 a2

( y k )2 b2

b2

1

:1 ( x 6) 2 36

.

( y 4) 2 16

1

: a2

36

a

6

b 2 16

b

4

c

a2 b2

36 16

20

(6 , 4)

x

.

2 5

: A(h a k )

A(6 6

A' (h a , k ) (6 6

4) 4)

A(12 A' (0

4) 4)

: B (h, K b)

B (6

B (h, K b)

B ' ( 6 , 4 4)

4 4)

B(6 ,0) B ' (6

8)

14

: F (h c k )

(6 2 5

F ' (h c k )

(6 2 5

y

.

4) 4)

: 2

( x h) 2 ( y k) 1 2 b a2 A(h , k a) A (h , k a )

B (h b , k ) , B (h b , k ) F (h , k c) F (h , k c)

A

Ax 2 Cy 2

C

A 0 C

16 x 2

.

0

25 y 2

Dx Ey F A 0 ,C

0 0

64 x 50 y 311 0

25 y 2

64 x 50 y

311

16( x 2

4 x) 25( y 2

16( x 2

4 x 4 4) 25( y 2

16[( x 2) 2

2 y ) 311

16( x 2)

2 y 1 1) 311

4] 25[( y 1) 2 1] 311

16( x 2) 2 64 25( y 1) 2 2

:2 :

. 16 x 2

:

25( y 1)

2

16( x 2) 2

25 311

400

15

25( y 1) 2

311 64 25

( x 2) 25

2

( y 1) 2 16

1

400

.

(2 –1)

.

:3

. x2 9 y 2

4 x 18 y 23 0

:

: x2

9y2

4 x 18 y 23 0

4 x 9( y 2

2 y ) 23 0

x2

4 x ( 2) 2

(2) 2

9[ y 2

2 (1) 2

x2

4 x ( 2) 2

(2) 2

9( y2

2 y (1) 2 ) 9 23 0

x

2

( x 2) 2

9( y 1) 2

9 4 23 0

( x 2) 2

9( y 1) 2

36 0

2

2

( x 2)

9( y 1)

36

2)2

(x

36 ( x 2) 2 62

(1) 2 ] 23 0

9 ( y 1) 2 36 2 ( y 1) 1 22

36 36

36

:

–1

. a)

( x 3) 2

2

( y 1) 9

( 6 , 2)

2

1

b) x 2

2 y2

4 x 12 y 20 0

(1 , 2) .

-2 (4 6) -3

. a) 9 x 2

25 y 2

b) 16 x 2

36 x 150 y 36 0

16

4 y2

96 x 8 y 84 0

Parabola

K F M KM FM

. .

D

(F)

. MF

(Directrix )

MK .

D . . S

FH (e 1)

17

S

. BB '

. LL '

.

FH

18

.

.

y

. .

x . M

F .

M ( x , y)

K

(

)

K F

. K ,M F,M MF

MK

: :

| MF | | MK | x

:

y2

p x

2

p MK

MF

y2

MK

( p x) 2

x

( y 2 ( p x))2 y2

p2 y2

2 px x 2

MF

p p)2

(x x2

2 px

p2

4 px

x .

19

x

.

F ( p , 0)

p

.

p

0

p

0

.

:1

F ( 2 , 0)

P

2

0

: P

: y2

4 px

y2

4 2x

y2

2

x

. .

8x y2

8x

x

2

: y2 y

8 2 4

y 2 16

: M ( 2 , 4) , M ' ( 2 , 4)

20

x

D

y

(F )

:

. M ( x , y)

:

:

| MF | | MK | | MF |

x 0

2

y

| MK |

x x

2

[ y

p

x2

p)2 2

x2

y

x2

y 2 2 py

x2

2 py 2 py

p

y

p ]2

x2 ( y

x2

2

y

(y y p2

p

2

p p

2

p ) 2 /( ) 2

2

y2

p2

2 py

4 py

y

. .

y

F (0 , p )

p

.

p

0

.

p

0

21

x2

.

:2

12 y

y p

: 4 P 12

x2

4 py

P 3 P

. x2 0 3y 0

x 0 y 0

S 0,0

p

–2

(

–3

3:

y

–1

) x2

.

0

–1

:

F (0 , 3) : y

:

2y

y2 4x 0

–2

: a) S (0 , 0)

F (0 , 5)

b) S (0 , 0)

F ( 2 , 0)

22

(h , k ) x

. M

F

M ( x , y)

.

N

(

N,M F,M

: S (h , k )

. N

:

M F

:

:

MF

.

p)]2 ( y k ) 2

[ x (h

: x2

2(h

p)]2

( y k )2

p ) x (h

p)2

p )]2

(y

2ky k 2

x2

[ x (h y2

(h

p, y )

MN

[( x (h

[( x (h

)

23

y)2 2(h

p ) x (h

p) 2

p)]2 ( y

y)2

: y2

2ky k 2

4 px 4 ph

2

y k 4p x h S (h , k ) y

.

k

x

p h

F (h

. .

.

F ( h, k

p

0

p

0

(h , k )

y

:

p , k)

p)

( x h) 2

s(h , k )

.

y

k

p

x

. .

24

4 p( y k )

h

p

0

p

0

x 1

2

:1

12 y 2

. k=2 h=1: 4 p 12

p

2

x h 12 4

4p y k

3

S(1,2)

.

F (h k

:

p ) F (1 2 3) F (1 5 ) :

y k p

y 2 3

x h

1

:

x 1

y

:

y 5 x 1

2

12 5 2

2

2

12 3 36 x 1 x 1 x 1 6 6 1 5 x1 6 1 7 , x2 L7 5

L'

5 5

y 4

2

:2

6x 3

. k 4p

4 h

3

S

6

p

3 2

3 4

:

3 2

P

. F h x

h

p

p k x

3 : 2 y k

F(

9 4) 2

y

4 x

.

25

0

9 2

y 4

2

y 4

2

y 4

2

M1(

Ax 2

A

y2

3 4 7

y1

C

6 x 3 9 6( 3) 2 9 3 y 4 3 4 1

9 9 M 2 ( ,1) ,7) 2 2 2 Cy Dx Ey F 0

. (C 0 A

0

C

0A

x h

. y2

:

0 ) 2

4p y k

: :3

2 y 8 x 25 0

. y

:

A=0

:

y 2 2 y (1) 2 (1) 2 8 x 25 0 ( y 1) 2 8 x 24 0 ( y 1) 2

8( x 3)

k 1, h F (h

x h y

4p

3

p , k) p

( y 1) 2 8( x 3) 0

S

8

2 0

3 ,1

:

F ( 3 2 1) x

p

3 1

F ( 5 1)

:

4

:

y 1

k

:

–1

: S (1,3), F ( 1,3) ( y 1) 2

. 6 y 8 x 41 0

–2 –3

. a) y 2

12( x 4)

b) x 2

26

2 x 6 y 53 0

Hyperbola

M ' M , F ' , F , A' , A

| AA' |

.

| MF '| , | MF | | MF '| | MF |

. | AA' |

.

| M ' F ' | | MF |

M'

.

| M F ' | | M F | | MF ' | MF

2a

.

. : (Hyperbola)

| MF '| | MF | | AA'| 2a :

M' M

.

F' F FF '

a

.

c FF ' 2c

27

AA' 2a

FF '

.

.

FF '

.

A

(Transverse axis)

:

FF '

.

A

.

| AA' | 2a

. FF '

B B

(Conjagate axix)

.

OB OB' b | BB' | 2b

. c2

a2

b2

c b,a

. c

a

:

c, b, a

e 1

e

. .

.

28

1

b2 a2 e

c a

. F F

.

P( x , y)

F F‘P

.

.

PF

. : PF ' | | PF x c

x c

2

2a y2

2

x c

y2

2a

2

y2

2a 2

x c

y2

: x2

2cx c 2

y2

4cx 4a 2

cx a 2 c2 x2

c2 x2

4a

4a ( x c ) 2

a ( x c) 2

2a 2 cx a 4

(c 2

4a 2

a2 )x2 a2 x2

a2 x2

a2 y2

x c y2

2

y2

x2

2cx c 2

/ 4

y2

:

2a 2 cx a 2 c 2

a 2 (c 2

a2 y2

a2 )

a 2 y 2 a 2c 2 a 4 c 2 a2 b2

c2

a2

b2

.

29

y2

PF

b2 x2

a2 y2

x2 a2

a 2b 2 / a 2b 2

y2 b2

1

x

. y

: y2 a2

x2 b2

AA'

:

1

. y

x c a

e

.

y

a e

a2 b2 : a

c a

.

a2 c

a e

.

x

a e

y x

(

)

. . y 2a 2

x 2b 2 a 2b 2

y 2a 2

b2 (x2 a2 )

y

b a2 x 1 2 a x

y2

b2 2 a2 x ( 1 ) a2 x2

30

x2 a2

y2 b2

1

a2 x2

x

b x a

y

(1

.

a2 ) x2

x

.

a x b

y

y x2 16

y2 4

:1

1

. a 2 16 b2

c

a

4

b

a2

b2

4

A ( 4 0)

2

A' ( 4 0) :

B ( 0 2)

16 4

B ' (0

:

2)

2 5

:

F (2 5 0) F ' ( 2 5 0) x

a e

4 5 2

8 5: 5

x

: : y x

b x a 2y

2 x 4 x 2y 0 y

y2 4

.

x2 9

x 2y

:2

1

. : .

31

y

0

a2

4

b2

c

a

9

2

a

2

b 2

b

A(0 , 2) A' (0 , 2)

3 2

B (3 , 0) , B ' ( 3 ,0)

c

13 ) F ' (0 ,

F (0

:

2

4 9 13

c

13

:

13 )

y

: :

a2 c

a e

y

4 13 , 13

y1

4 13 y2

4 13 13

4 13 13 y

a x b

y

3y

y

y

2x

y

:

2 x 3

3y 2x

: 0 ,

3y 2x

0

4 13

4 13

4x 2

.

32

y2

16

2

(h , k )

. . B,B' A,A'

x

F' F

P( x , y)

F' F

(h , k )

PF '

.

:

PF

2a

:

P( x , y)

33

| PF '| | PF | 2a x (h c)

2

( y k )2

x (h c)

2

( y k )2

x (h c) 2a

2

( y k )2

x (h c)

2

2a

( y k )2

.

x ( h c) x (h c) x2

2

2

( y k )2

( y k )2

2 x(h c) (h c) 2

2

2a

4a 2

4a

4a 2

4a

x (h c x (h c)

2

2

x ( h c)

( y k )2 ( y k )2

2

2

x (h c) 2

( y k )2

x2

( y k )2

2 x(h c) (h c) 2

: cx (ch a 2 )

a

x (h c)

2

( y k )2

c 2 x 2 2cx(ch a 2 ) (ch a 2 ) 2

a 2 x ( h c)

2

a2 ( y k)2

: c 2 x 2 a 2 x 2 2c 2 hx 2a 2 hx c 2 h 2 a 2 h 2 a 2 ( y k ) 2 x 2 (c 2 a 2 ) 2hx(c 2 a 2 ) h 2 (c 2 a 2 ) a 2 ( y k ) 2 (c 2 a 2 )( x 2 2hx h 2 ) a 2 ( y k ) 2 (c 2 a 2 )( x h) 2 a 2 ( y k ) 2

a 2 (c 2 a 2 )

a 2 (c 2 a 2 )

a 2 (c 2 a 2 ) c2

: b 2 ( x h) 2 a 2 ( y k ) 2

a 2c 2 a 4

a 2b 2

34

a2

b2

a 2b 2

: b 2 ( x h) 2 a 2b 2 ( x h) 2 a2

a 2 ( y k )2 a 2b 2 ( y k )2 b2

a 2b 2 a 2b 2

1

A(h a , k ) ,

A' (h a , k )

B ( h , k b) ,

B ' ( h , k b) :

F (h c , k ) , y

:

F ' (h c , k )

:

b ( x h) k a a x h e

: :

y

: : ( y k )2 a2

( x h) 2 b2

1

. : Ax 2 A

B

A

B

By 2 A, B

Dx Ey F

0

0

. 9( x 3) 2 4( y 1) 2

144

:1

. 9( x 3) 2 144 ( x 3) 2 16

4( y 1) 2 144 ( y 1) 2 36

1

.

:

1

35

a 2 16

a

A(3 4

1) A 7

A' 3 4

1

4

A'

: 1 1

1

b 2 36 b 6 B 3 6 1 B (3 5) B ' (3

6 1) (3

7)

: c2

a2 b2

c2

16 36 52

c

52

2 13

F ( 52 3 1) F ' ( 52 3 1) b 6 y ( x h) k y ( x 3) 1 a 4 y 2y 2y

:

3 ( x 3) 1 / 2 2 y 3( x 3) 2 2 3( x 3) 2 2 y 3x 11 3( x 3) 2 2y 3x 7 2 x 2 8 x 3 y 2 18 y 31 0

:2

. : 2( x 2 4 x) 3( y 2 6 y ) 31 0 2 x 2 4 x 22 22 2 ( x 2)

2

4

3 y 2 6 y 32 3 2

3 ( y 3)

2

2( x 2) 2 8 3( y 3) 2

9

31 0

31 0

27 31 0

2( x 2) 2 3( y 3) 2 12 0 2( x 2) 2 3( y 3) 2 12 12

: 2( x 2) 2 12

3( y 3) 2 12

12 12

( x 2) 2 6

36

( y 3) 2 4

1

h

2

O(2 , 3)

. b2

4

c

a 2 b2

b

a2

2 , 6 4

a

6

6

10

: F ( h c, k )

F (2

10 , 3) ,

F ' (2

10 , 3)

: A(h a, k )

A(2

6 , 3)

,

A' (2

6 , 3)

: B (h, k b)

B(2 , 1)

,

B ' (2 , 5)

: x h

y k

y

a e

a e

x

b ( x h) a

2 x 2 6

3/. 6

6 y 2x 4 3 6

2

x

b ( x h) k a

y

6 y 2x 4 3 6

6 10 10

h

6y

2( x 2) 3 6

0

0

37

3 10 5

2

:

k

3

.

9x2

38

4 y2

54 x 16 y 79 0

–1

O

. .

: : . y

.

x2

x 3

y2

9

:1

(-3,0) (0 3)

: y

. .

y

x 3

x2

y2

9

2x 2 6x

x 2 ( x 3) 2 0

x2

9

0 , x2

x1

3

y

. y y2

0 3 3 3

y1

3

y2

0

x2 6x 9 9 0 y

x 3

x

(-3,0) (0 3)

.

39

y

x .

. Y

.

0

-1

0

-2

0

-3

.

(0 , 3)

X

( 3 , 0)

.

. x2

3 y 4 x 15 0

y2

2x 4 y 4

0

:2

. :

. x2 x

2

y2

2x 4 y 4 0

2 x (1) 2 (1) 2

( x 1) 2

( y 2) 2

y2

4 y ( 2) 2 ( 2) 2

4 0

9 , c (1, 2) x

.

(1,-2)

3

. 3 y 4 x 15 0

3y

4 x 15

y

4 x 5 3 x

y .

4 ( x 1) 2 ( x 5 2) 2 9 3 4 x 2 2 x 1 ( x 7) 2 9 3

40

Y

16 2 4 x 14 x 49 9 9 3 25 2 50 9 x 9 x 9 41 0 9 3 25 x 2 150 x 369 0

3 y 4 x 15 0

x2

5

X (1, 2)

2x 1

b2

4ac

22500 36900

14400 0 0

. y x2 1 0

.

0

y

:3

x 1

: y

x 1

y x2 1 0

( x 1) x 2 1 0

x 1 x2 1 0

x2

b 2 4ac

x

0

( 1) 2 4(1) 0

:

1 0

1 ,

y

. y x2 1 0

.

0

y

x 1

0

. x2

x1, 2

x

0 b

1 1 2

2a

x1 1

x2

0

: (0, 1) (1,0)

. ( x 2) 2 9

y2 4

1

x

:4

5

. 41

x

.

5

:

(5 2 ) 2 y 2 9 4 2 y 1 1 4

y

y2 4

1

9 9

y2

0

1

b 2 4ac 0

x

0

. :

. Ax 2 By 2 Dx Ey F A, B, D, E , F IR

0

: . . A

.

B

A

B

-1

A

B

-2

A

B

-3 -4

. Ax 2

Bx Cy D

Ay 2

0 ,

By Cx D

0

-1

. a) y 2 2 y x 3 0

b) 9 x 2 9 y 2

c) 25 x 2 16 y 2

d ) x2

e)

400

y2

27 0

y2 6 y x 2 0 y

. .

y

x

9x 2

3

x2 2 y 2

42

4

4 y2

36

-2 -3

: . :

F' F

. | AA' | 2a :

.

x2 y2 a2 b2 a b

1

x2 b2

2

3

( x h) 2 a2

y2 a2

1

( y k )2 b2

(0, a), (0, a)

4

( x h) 2 b2

Cy 2

x

.

( h b, k ) ( h, k

x

y

Dx Ey F

( h c, k )

y

(h, k )

Ax 2

(0, c), (0, c)

( h, k b )

( h, k a ) .

A

x .

(h, k )

1

(b,0), ( b,0)

y

.

( h a, k )

1

(c,0), ( c,0)

.

.

( y k)2 a2

y

x

.

(0,0)

1

(0, b), (0, b)

(a,0), ( a,0)

(0,0)

c)

.

0 C

. : .

43

D

.

C

(F)

1

y2

4 px

S (0,0)

F (P,0)

x

p

y

0

2

x2

4 py

S (0,0)

F (0, p)

y

p

x

0

3

( y k )2

4 p ( x h)

S ( h, k )

4

( x h) 2

4 p( y k )

S ( h, k )

Ax 2

A

.

cy 2

e 1

44

F (h

p, k )

F ( h, k

Dx Ey

p)

F

x

h

p

y

k

y

k

p

x

h

: .

x2

y2

a2

b2

y2

x2

a2

b2

( x h )2

1

S ( 0 ,0 )

1

x

( 0 ,b ) ,( 0 , b ) y .

( 0 ,a ),( 0, a ) y

( y k )2 2

( y k )2

( x h )2

a2

b2

1

S ( h ,k )

1

S ( h ,k )

A( h ,k

.

e 1

a)

By 2

F ( c ,0 )

x

a c

y

b x a

y

a c

y

a x b

x h

a c

y

y

a c

y k

F' ( c ,0 ) x .

F ( 0, c ) y

.

A( h a ,k )

Ax 2

B

( b ,0 ),( b ,0 ) x

.

b

A

( a ,0 ),( a ,0 ) .

2

a

S ( 0 ,0 )

B( h ,k b )

.

F ( h c ,k )

B( h b ,k )

F ( h ,k

Dx Ey F

0

.

45

c)

k

k

b (x h) a

a (x h) b

A

B

. -1

: -d

-c

-b

-a -2

: -b

.

-d

.

-c

.

2a

.

-a

. F

F

M

-3

: a) MF

MF

2a

b) MF

MF

a

c) MF

MF

2a

d ) MF

MF

0

-4 a) e

a c

c a

b) e

c) e

b c

d) e

c b

-5

: a) a 2

b2 e2

b) a 2 b 2

c2

c) a 2

b2

d ) a2

c2

e2

.

b2 P

-b

.

( x 1) 2

:

b) F ( 1, 4)

-a -c

. 8 ( y 2)

c) F ( 1, 2)

-7

d ) F (4, 1)

p

F ,F

. 46

-6

4 p ( x h)

.

-d

. a ) F ( 1 2)

( y k )2

0

-8

a) PF

PF

a

b) PF

PF

2a

c) PF

PF

0

d ) PF

PF

2a x2

y x

-9

-b

y

-a

-d

y x

-c

-10 a) e 1

b) e

1

c) e 1

d) e 1

x2 4

: x

y2

-11

1

-b

y

y

-d

-a

x

-c -12

: a ) (2,4)

y2

-b

-a

-d

-c -13

4( x 2)

b) (4,2)

c) (2,0)

d ) ( 2,0)

4x2

:

4 y2

-14

8y 3 0

-b

-a

-d

-c . -1 :

a) x 2 c) 16 x

4 y2 2

b) 9 x 2

4

96 x 9 y

2

90 y 225 0

d) x

47

2

2 y2

15

12 x 120 y 288 0

-2

: .

y

.

x

2 , (0,0)

-a

64 , (0,0)

-b

e 0.5 , a e

0.5 , b

-3 . a) 4( x 1)

2

y

2

4

x2 b) 4

y2 9

1

-4

. a) x 2 11y

b) y 2 4 y 4 x 2 0

0

-5

. a) 4 x 2

y 2 8 y 32 0

b) 2 y 2

4 y x 2 10 x 25 0

-6

(4,0) ( 4,0) 5 x 4

y

.

-7

(1,3) ( 1,3)

4

. .

( x 1)2 4

( y 2) 2 9

48

1

y

2x

-8

49

3 miles 50

Law of sine

B c A

a

a

124.3

C

41.6

C

b

ABC

. . sinC

CH 3

sinB

BH 2 , AH 1 AH 1

ACH 1 ABH1

. sinA

BH 2

BCH 2

ABH 2

sinC

. . ABH1

:

ACH 1

sin B AH 1 sin C AH 1 c sin B b sin C / bc

sin B b

:

sin C ........ c

51

: AH1 AH1 c AB c sin B............. (1) AH1 AH1 b AC b sin C .......... (2)

( 2) (1)

BCH 2

: sin A sin C

BH 2 c BH 2 a

BH 2

c sin A ........ (3)

BH 2

a sin C ........ (4)

ABH 2

c sin A a sin C / ac :

4 3

sin A sin C ........ II a c sin A sin B sin C : a b c a b c sin A sin B sin C

II I

(law of sine)

. (A,B,C)

b ,a )

ABC

: (c

: a sin A

b sin B

c sin C C

c

CE

b 180

a

. .

C

sin(180

C)

:

: sin(180 AD ........ (1) b AD sin B ........ (2) c sin C c : sin B b

sin C

C ) sin C

: :

52

sinC c

sin A sin B sin A sin B sinA a

sinB ........ I b CE ........ (3) b CE ........ (4) a a : b sinB ........ II b

: AEC

:

BCE

:

4 3 : II

: sinA a

sinB b

sinC c

a sin A

I

b sin B

c sin C

. :1

. .

:

: c sin C

b sin B

6 3 sin C

9 sin 60

sin C

3 3 9

sin C 9 9

1

6 3 sin 60 9

sin C

6 3

3 2

9

1

.

53

C

90 :

sin 90

1 :

A B C 180

:

A 180

(B C)

A 180

(60

A 180

150

90 ) A 30 a

. sin A a

sin B b

a

b sin A sin B

9

9.sin 30 sin 60

1 2 3 2

9 3

9 3 3

3 3

a 3 3cm B

:2

A

.

sin A

:

sin C

: sin C sin A c a a.sin C 422 ft sin 110 c sin A sin 30

sin 30

: c

422 0.9396 ft 0.5

c 793. 0224 ft

54

0.5

sin 110

0.9396

:3 . .

180

: .

A 180

(31

20 )

A 180

51

A 129 a

: sin A a a

sin B sin 129 b a sin 129 210cm sin 20

sin 20 210

sin 129

: a a

0.7771 210cm 0.342 477.166cm

163.191cm 0.342

sin C c

sin 20 210

sin 31 c

c

: c

210cm 0.5150 0.342

sin 20

0.342

477.166cm

: sin B b

0.7771

108.1500cm 0.342

sin B sin C b c 210cm sin 31 sin 20 sin 31

316.228cm

55

c

0.5150

: ( AAS ) :

(SSA) : Side

.

c 10m

S

Angle

A

-1

b 6 m , a 8m

. ..

B

A

56

-2

Law of cosine x

4cm

60

(x)

a

A

ABC

c

.

C

b H

.

B

AC

B

. Aˆ

ABC

AH

. . . ABC

BH

. CH

x

b

x

:

AH

x BH

:

HBC

b

c

BC a

a2

2

CH

2

BH

(b x) 2

h 2 ........

h

: h

2

c

2

(b

x) 2

a2

b2

2bx

a2

b2

c2

c2 x2

x2 c2

x

HAB

2

h2

: a2

2

h:

x2

2bx

57

I

AHB

:

x c

cos A

a2

b2

c2

a2

x

.

b2 c 2 a 2 cos A a2 2bc 2 b c2 a2 2bc cos A cos A 2bc :

b2

a 2 c 2 2ac cos B

c2

b2

cos B

a 2 2ba cos C

b2

c2

2bc cos A ...I

:

...III

.

III II

.

:

: (SAS)(

). (SSS) (

).

:

(

3

) (SSS)

(

) (SAA)

(

) (ASA) (

) (SAS)

(

) (AAA)

.

.

58

c cos A

b 2 c 2 2bx

a 2 c 2 b2 ...II 2ac a2 b2 c2 2ab

cos C

x

A

.

:1

ABC

. 28 , b

a a

b

2

c

2

4 , c

6 , A ?

2bc cos A

( 28 ) 2 (4) 2 (6) 2 2 4 6 cos A 28 16 36 48 cos A 28 52 48 cos A 48 cos A 52 28 48 cos A 24 24 1 cos A 48 2 Aˆ 60 b 10 ft , a 16 ft ABC :2

c

.

C 110

: . c2

b2

c2

(10) 2 (16) 2

c

2

a 2 2ab cos C 2(16)(10) cos110

100 256 320 cos110

cos110

0.342 :

c2

356 320( 0.342)

c2

356 109.44

c 2 465.44 c 21.57

c

465.44

100m

.

:3 60

. : cos 60

OL OH

x 100 cos 60

x 100 x 100

1 2

50m

59

OHL

:

: HL HL HL HL HL

OH

2

sin C

: a2 2

c2 b2 (8)

cos 60

2

2

(100)

2

2OH OL cos 60 1 (50) 2 100 50 2

OL 2

2

2

10000 2500 5000

2

7500 m 2

HL

(5) 1 2

Aˆ 60

a2

a2

89 40

sin C

c

:4

.

sin C

a

:

49

a

7

sinC

.

sin C

ABC

2 8 5 cos 60

1 2

sin C

50 3 m

2bc cos A 2

a 2 64 25 80

c sin C

7500m

50 3 m

b 5, c 8

a

a

2

a sin A

sin C

c sin A a

8 sin 60 7 3 8 2 7 4 3 7

sin 60

:

Aˆ 45

.

b

4 ft , a 5 ft

ABC

3 2

-1

. c

.

60

b

60

9cm , a

3cm

-2

Law of Tangent

D

.

sin a sin A

D

.

b sin B

. . . . . a b a b

A B 2 A B tan 2 tan

: a sin A

b sin B

:

D

:

D

a b D , sin A sin B a D sin A ... I b

:

D

D sin B ... II

61

: a b

D (sin A sin B)

a b D (sin A sin B)

: a b a b

sin A sin B sin A sin B

: A B A B cos 2 2 A B A B sin A sin B 2 cos sin 2 2 A B A B 2 sin cos a b sin A sin B 2 2 a b sin A sin B 2 cos A B sin A B 2 2 a b A B A B tan cot a b 2 2 A B tan a b 2 : a b tan A B 2 sin A sin B 2 sin

A B A B cos 2 2 A B A B sin cos 2 2 sin

cot

A B 2

1 A B tan 2

. c a c a

tan tan

C C

A 2 2

A

,

b c b c

B C 2 B C tan 2 tan

. C B

A 90

b c b c

1 ABC 3

:1 .

62

.

:

:

A B C 180 B C 180

A 180

90

B C 45 2 B C B C tan tan b c 3 2 2 b c tan B C 3 tan 45 2 3 B C tan 3 2

B C

90

: 3 B C 2 3 B C 30 2 B C 60 .....

tan

150

tan

B C 75

( 2) 75

B

B

60 60

75 C

C

C

60

C 15

a 925 cm , c 432cm , B 42 30

ABC

. A B C 180 A C 179 60 A C 2 a c a c

3 3

tan 30

B C 2

(1 )

.

1

(1)

90 .....

B C 2B

tan 30

tan 45

:

137 30 2 A C tan 2 A C tan 2

A C 180 4 2 30 A C 2

A C 180

B

42 30

A C 137 30 136 90 2

925 432 925 432

68 45

tan 68 45 A B tan 2

63

1357 493

tan 68 45 A B tan 2

:2

1357 tan

A C 2

tan 68 45

2.571

493 tan 68 45

A C 0.363 2.571 2 A C 43 2 A C 86 . A C 86

tan

tan

tan

A C 2

A C 2

493 . tan 68 45 1357 :

0.933

A C 137 30

A

A C 86 A C 137 30 2 A 223 30

A C

2 A 222 90

137 30

C 136 90 C

136

A 111 45

90

C

.

A 136 90 111 45

25 45

b

. b sin B

c sin C

b 432

sin 42 30 sin 25 45

b c.

sin 25 45

0.434

sin 42 30

0.676

b 432

0.676 0.434

sin B sin C

672 885

. , a 35 ft

-a

B 75 , b 37cm , A 45

-b

C

. .

75 , B 60

64

Trigonometric Identities ( a b) 2

a2

2ab b 2

b a . sin 2

cos 2

1

B A : cot csc

A

B

1

csc cot

1

0 30 45 60 90

B A

. .

: . cot csc

. .

65

1

csc cot

1

:

Y

sin 2

. P r

O

=1

C ( o, r )

y x

cos 2

OM P

:

X

M

:

y r

sin

x r

cos

: x2

cos 2

x2 y2 r 2 r2 r2 r2 x y ( )2 ( )2 1 r r x r

1:

r2

r2

:

sin 2

y2

cosa

y r

sina

: sin 2

cos 2

1

,

1 tan 2

sec 2

1 cot 2

,

csc 2

: cos . sec

cot cot

1

,

sin . sec

1 tan cos sin

, ,

.

1

,

tan . cot 1 sec cos sin tan cos 2 1 tan sec 2

x2 x2 x2

y2 x2

r2 x2 : r ( )2 x

y 1 ( )2 x 1 tan 2

sec 2

:

y2

y x

66

tan

1

,

r2: x2

r x

sec

csc

1 sin

:

: 1 cot 2

csc 2

,

1 tan

cot

,

1 cos

sec

.

.

. .

. . sin cos tan cot 1 sin 2

.

tan a

:1

:

:

sin cos cos sin cos 2 sin cos sin tan 2 cos cos

sin

sin cos tan cot 1 sin 2

cos

sin 2

.

cot 2

cos 2

tan 2

tan 2

:2 :

sin

2

cot

sin 2 sin 2 1 tan

2

cos 2

2

cos sin 2

cos 2

cos 2

1

tan

2

tan 2

sin cos 2

2

tan 2

2

67

(1 sin 2 )(1 sec 2 )

cos

.

:3 :

(1 sin cos 2

2

2

)(1 sec ) 1 (1 ) cos 2

cos 2 ( cos 2

cos 2 cos 2

1

)

1 cos ) 2

(sin

(sin

cos ) 2

:4

2:

:

. (sin

cos ) 2 (sin

sin 2

2 sin cos

2 sin

2

2 cos

2

cos ) 2 cos 2

2(sin

2

2

sin 2 cos

2

2 sin cos )

2

21 2

:5

. sin A 1 cos A 1 cos A sin A sin A 1 cos A 1 cos A sin A

cos 2

2 csc A

sin 2 A 1 2 cos A cos 2 A sin A(1 cos A) sin 2 A cos 2 A 1 2 cos A 1 1 2 cos A sin(1 cos A) sin A(1 cos A) 2 2 cos A 2(1 cos A) 1 2 2 csc A sin(1 cos A) sin A(1 cos A) sin A

. 1 tan 2 A 1 cot 2 A

tan 2 A

68

:6

:

: 1 tan 2 A sec 2 A 1 cot 2 A csc 2 A 2

sec A csc 2 A

1 cos 2 A 1 sin 2 A

2

tan A

sin 2 A cos 2 A

.

(sin

cos )(cot

.

cos

sin

(

sin A 2 ) cos A

tan )

tan 2 A

1 cos

1 sin tan

(sin

cos )

cos sin

sin cos

1 cos

(sin

cos )

cos 2 sin 2 sin cos

1 cos

(sin

cos )

1 sin cos

sin

(sin

cos )(cot

sin

:

1 sin cos sin cos

cos

1 cos

1 sin

1 sin

:

cos( x y ) cos x sin y

.

cot

1 sin

1 cos

tan )

:7

tan x cot y

:8 :

cos( x y ) cos x sin y

cos x cos y sin x sin y cos x sin y cos x cos y sin x sin y cos y cos x sin y cos x sin y sin y cot y tan x tan x cot y

sin 2

x tan x sin x 2 2 tan x 1 cos x 2 1 cos x ) : 2 2

sin 2

. x 2

(

69

sin x cos x

:9 :

sin 2

x 2

tan x sin x 2 tan x

1 cos x 2

tan x sin x 2 tan x tan x : tan x tan x tan x cos x 2 tan x

tan x 1 cos x tan x 2 sin x tan x ( ) cos x cos x 2 tan x

.

tan x sin x 2 tan x 1 sin x cos x

cos x 1 sin x

2 sec x

:10 :

(1 sin x) 2 cos 2 x cos x(1 sin x)

1 sin x cos x cos x 1 sin x

1 2 sin x sin 2 x cos 2 x cos x(1 sin x) 1 2 sin x 1 2 2 sin x cos x(1 sin x) cos x(1 sin x ) 2(1 sin x) 2 1 2 cos x(1 sin x) cos x cos x 2 sec x

2 sec x

-1

: a)

sin 25 0

sec 2

b)

1

c)

cos 25 0

cos 8 0 sin

: a) cot cos

,

1

b) cot 2

: a)

csc

cos

cot tan sin sin 2 c) 1 cos cos 2

tan x cot x 1 2 cos 2 x tan x cot x 1 tan 2 x cos 2 x d) 1 tan 2 x

b) tan

-2

70

-3

y

Trigonometric Equations sin 2 r

cos 2

y

o

.

x

x

1 tan 2

1

sin

sec 2

cos

1

1 2 sin

0

: 1 2 sin

1 tan 2

0

sec 2

0 30 60 90 0 1 tan 2

1 2 sin

.

sec 2 1 tan 2 1 2 sin

sec 2 0

: : . . .

71

a sin x b

0 :

:

. Y

sin x

.

1

2 sin x 1 0

1 2

6

:1

2 sin x 1 0

.

:

2 sin x 1

sin x

X

O

1 2

sin

.

1 2

6

Y

1 2

sin x

6

6

X

. x

1 2

. x

6

,3

6

6

,2

6

6

A2 A

, 2

6

6 , 3

x / x 2k

,5

6

x/ x

2k

6

,...

,. . . sin x

,4

6

6 ,5

, ...

6

, ...

x 2k

6

6

k Z

: A

sin

sin

: A1

,4

1 2

x

2k

k

72

Z

1 2

x

( 1) n

n

n

0 ,1, 2 , 3 , .....

: :2

2 sin x 3 0

.

2 sin x 3 2

.

3

,

2 3 2

.

sin x

3 : 2

2 1 sin x 1

sin a cos x b 0 :

:

. 2 cos x

.

3

cos x

. 2 cos x

3

0

2 cos x

3

cos x cos

y

6

.

x

x

0,

6

6

3 2

cos

6

x

6

x x

A

, 2.

6 2n

6

, 2

x/ x

,4

6

...

... 6 n 0 ,1, 2 , 3 , ... 6

2k

,4

6

x 2k

:

: 6

k

73

:

3 2

cos x

3 2

cos x

:1

0

Z

: A

x/ x

2k

x

2k

, k

ZI

0,2

.

2 cos x

2

:2

0

: 2 cos x

2

2 cos x

0 2

2 2

cos x

3 : 4

x

A

x / x 2k

cos 3 4

3 , k 4

x 2k

2k

x

2k

3 4 3 4

k 0

x1

k 1

x2

2 2

:

0,2

. x

Z

3 4

3 4 5 4 a tan x b

:3

0:

. tan x

. tan x tan x

3

.

3 :

tan

:1

0

tan x

3

tan x

3

(

x

2

: ,

2

)

60

3

3

Y

x 3

3

3

X

x

,2

3

74

3 ,3

,4

3

3 ,5

, ...

3

,...

: A

x/ x k

(2k 1)

3

3

,k

Z

: A

x/x k

,k

Z

:2

: 1 3 1 3

tan x tan x

A

0,2

x/ x k

tan (2 x

4

)

x

6

tan( x

:

6

, k

3

Z

:3

)

. : tan( 2 x 2x x

4

)

tan( x

k

3

3

)

2x

x

4

k

4 7 12

k

(x

3

)

k

0,2

. x

k

A

x/x

k 1

k

7 ,k 12

7 12

x1

k 0

7 12

x2

Z

7 12

:

75

19 12

:4

a cot x b 0 :

. :1

cot x 1 0

.

: cot x 1 0 cot x 1

x

4

. x

4

,2

x

4

4 , 3

, 4 4

4 ,5

, ... 4

. A1 A2

4

, 2

4

4 , 3

, 4

4

4

, ...

, 5

, ...

4

: A

x/ x k

A

x/x k

4

, (2k 1)

4

, k Z

k Z cot 3x

. cot 3x cot x

3x

k

x

2x k

. a) 3 cos x 5 0

b ) tan x

3

76

:2

cot x x

k 2

,

k Z :

, ...

.

d

:

. a sin 2 x b cos 2 x c sin x cos x d d

.

6 sin 2 x 5 sin x 1 0

.

y

: 6 y2

5y b

2

( 5) 2

4ac

y2

4(6)(1)

1

5 1 5 1 6 , y1 12 12 12 5 1 4 1 12 12 3

y1

1 2

: sin x

y1

sin x

y2

1 2 1 3

x

. x

2k

A

n

( 1) n

sin x

6

6

x (2k 1) x

6

x 19 30'

:

1 2

k Z 6 x

n

( 1) n

n

6

77

0 , 1 , 2...

:1 :

1 0

25 24 y1 , 2

sin x

c ,b, a

:

19 30'

.

sin x

1 3

1 3

19 30

. 13 120

x 2k A

k Z

13 120

x (2k 1)

cos 2 x sin x

.

:2

0

cos 2 x 1 2 sin 2 x

: 1 2 sin 2 x sin x

0

2 sin 2 x sin x 1 0 y sin x

. 2 y2

y 1 0

2y 1 0 y 1 0

(2 y 1)( y 1) 2y

y2

1

y1

0 1 2

1 y sin x

. sin x

y1

sin x

y2 1

1 2

78

:

sin x

«

sin x 1 A

1 2

sin x A1

, 2

2

2

(

1 ) 2

2 7 x 6

, 4

2

7 , 4 6

2

A2

x

7 6

x

.

1 2

sin x

»

, ...

7 ,6 6

7 , ... 6

: A

x

n

( 1) n

,

2

x 2n

7 6

, n 0 ,1, 2 , 3 ...

2 sin 2 x

2 sin x

0 :3

: sin x(2 sin x sin x

0

2) 0

2 sin x

2

2 sin x

2

0

2 2

sin x

0

x1

x2

4

: A1 A2

0 , , 2 , 3 , 4 , 5 , ... 4

,

4

,2

4

,3

4

, ...

79

. x -1 2 3 cos 2 x 2 cos x 5 0 - 2 cos 2 x 1 2 sin 2

sin 2 x (1

80

3 ) sin x cos x

3 cos 2 x

0 -3

: : sin x sin y x y

:

a

cos x cos y x y

a

y x

.

a

: sin x siny a ... I x y ............. II

I 2 sin x

x

y 2

y

cos

x

y

a ... I

2

.... II

. 2 sin

cos

2 x

cos

x 2

y 2

y

I

II

:

2 sin

x

y

a ... I

a 2 sin

2

I

2

: 1

a 2 sin

81

1 2

:

a2 4 sin

4 sin 2

a2 2

4 sin

a2

4 sin 2

a2

4 sin 2

1 4 sin 2

1:

2

2

2

2

2

2 2

0

:1

. sin x sin y 1 x

y

2

.

(

a2

a

: 1 4 sin 2 2 0 2 2 1 4( ) 2 0 2

2

1 4 sin 2 1 4

2 4

4

0

a 1

4 sin 2

2

: 0

0 1 2 0

1 0

)

. 2 sin

x

y 2

cos

x

y 2

:

1

. x

.

y 2

x y 2 sin cos 1 4 2 x y x y 2 cos 1 2 cos 1 2 2 2 2 x y 1 x y cos cos cos 2 4 2 2 x y ,x y 2 4 2

82

4

x

y

2

x y x

2

y

2

2x

........ II

2

y

2

......... I

2 y

2

2 2

2x

x

2

y

:

2 2 y 0

x

. x y sin x cos y

: x y sin x sin y

a

x y cos x cos y

a

y x

. cos 2

a

2

sin 2

a a

:

2

:2

. x y .......I sin x sin y 1.....II

:

a 1

.

cos 2

a sin 2

2

cos 2 sin 2 cos 2

:

2

2 2

2 cos 2

sin 2

2

a sin 2

2

0

:

1

:

2

0 a 1 II

: 2 sin x sin y

cos( x

y ) cos( x

.

y)

.

83

sin x sin y 1 :

cos( x y ) ( 1)

cos( x cos( x x

x

y) 2 1

y)

cos( x

y ) cos

2:

x

cos( x y ) 1 2

:

cos

cos( x

2

: y

: 1:

y) 1

y ) cos 0

y 0 x y 2

2

cos( x y ) cos( x

x

y x x

,y

2x

x

:

2

: x y sin x sin y

x y cos x cos y

a

: a

y x

.

a

:3

. x

y

sin x sin y

2 3

:

: . sinx siny sinx siny sin x sin y

3 1 3 1 x 2 sin

y 2

cos

x

y 2

sin x sin y

2 cos

x 2

. 2 cos 2 sin

x x

y 2 2

y

sin cos

x x

y 2

y

3 1 3 1

2

84

y

sin

x

y 2

cot

4

tan

x

3 1 3 1

y 2

x

:

y 2

x

4

cot

. tan

3 1 tan 15 3 1 x y tan tan 15o 2 30

x y x y 2x x

x

3

2

y

15o

6

6 6

4 12

3

6

y

2

2

y

1

4

:

4 6

y

. x

2

3 1 3 1

x y 2

x y

y

6 y

y

3 2

6

x

6 y

6

:

: x y tan x tan y

x y cot x cot y

a

y

. a2

4 4a cot

x .

0:

85

a a

:4

. x

y

3 tan x tan y tan( x

y)

2 3 tan

:

:

3

: tan( x

y)

tan x tan y 1 tan x tan y tan x tan y 1 tan x tan y

3

( 2 3)

: 2 3 1 tan x tan y

tan x tan y

3

. 2 1 tan x tan y

1

1 tan x tan y

2

tan x tan y

tan x tan y

3..............I

tan x tan y

2 3.......II

3

II

I

. tan x

3

tan x

2 3 tan y

( 2 3 tan y ) tan y

3

tan 2 y 2 3 tan y 3 0 3) 2

(tan y

0

tan y

3

tan x

3

tan y

I

. tan x tan y

0

x

3 3

tan x

3 3

3 3 3

3

86

3

y

3

y

tan x

3

2 3

x

:

: x y tan x tan y

a y

.

x

1 a cos 1 a

1

a

1

:5

. x

y

7

6 tan x tan y

0

. sin x.sin y cos x. cos y 1 sin x sin y cos(x y) cos(x y) ........ I 2 1 cos x cos y cos( x y ) cos( x y ) ........ II 2 1 [cos(x y) cos(x y)] : tan x. tan y 2 1 [cos(x y) cos(x y)] 2 tan x. tan y

I

. cos( x

y ) cos 7

cos( x

y ) cos 7

tan x tan y

y ) cos 7

cos( x

y ) cos 7

6

x

6 6

: cos( x

:

0

6

87

II

y

cos( x

y ) cos 7

0:

6

cos 7

: cos( x

y)

cos( x

y)

3 2

6

3 2

0

3 2

x

5 6

y

: x y

5

x

7

y 5

2x

6 6 7

...I ...II

6 12 6

2x

x

12 , x 12 y

: x

y 5

5 y 6 5 y 6 6 5 y 6 y

y 5

6

6

6

6

88

I

x

:

: x y tan x tan y

a

a 1 sin a 1

1

1:

:6 x

y

2

tan x tan y

.....I 3.....II

II . tan x tan y tan x tan y

3 1 3 1

2

. sin( x y ) sin( x y ) cos x cos y 2 sin( x y ) sin( x y ) cos x cos y 2 sin( x y ) sin( x y )

2

: 2 sin( x sin( x

y ) sin y)

: x

y

x

y

1 2

2 x

6

1 y

6

:

6 2

89

x

y

2

: x

y

x

y

2x

6 2

6

.....II

2 3 6

2x x

.....I

4 12

4 6

3

x y y

y

6 2 6

y

3

I

y

. 6

y

6

3

6

6

. a)

x

x y

y

b)

4 tan x tan y 1

90

sin x cos x

3 2

x

ABC

: :

sin A a

sin B b

sin C c

. ABC

b a

c

:

. a2

b 2 c 2 2bc cos A

b2

a 2 c 2 2ac cos B

c2

a 2 b 2 2ab cos C

. c

ABC

b a

:

. a b a b

A B 2 A B tan 2 tan

c a c a

,

tan tan

C C

A 2

A

,

B C 2 B C tan 2

tan

b c b c

2

: . : .

.

91

: sin x sin y x y

a

cos x cos y x y

a

: x y sin x cos y

a

x y sin x sin y

a

x y cos x cos y

a

: x y sin x sin y

x y cos x cos y

a

a

: x y tan x tan x

a

x y cot x cot y

a

: x y tan x tan y

a

: x y tan x tan y

a

92

. a

:

c

.

a) 16.4cm

7cm

b) 16cm

c) 15.9cm c 10 ft

B

: a) 28.5

b) 29.4

a) 8 ft

b) 2.52 ft

b) IR

c) IR

.

b)

1 tan x

sin C a c 10cm

B

–4 –5

d ) tan 2 x

c) cot x

: b 5 ft c 8 ft b 5cm , a 8cm

A 30 b

C B

–3

9.5 ft

0 d ) IR sec x (sec x cos x)

: a) tan x

d ) 28 22 , A 48

c) 9 ft d) x arc sec y

: a) IR

d ) 4.176cm b 5 ft , a 8 ft –2

c) 29 a 5 ft

b

:

A 20 -1

b 10cm

c b

A 30

-1 -2 B A

3 2

ABC

-3

. A . 30 60km

cos

.

93

-4

40km

sin

cot 2

-5

-6

: a)

sin 2 A 1 cos 2 A

1 1 1 d) 1

tan A

b)

c) tan A cot A 2 csc 2 A e)

cos A 1 sin A

A ) 2

tan(45

cos 2 A tan 2 A cos 2 A cos A cos B cos( A B ) cos A cos B cos( A B )

f ) cos cos(6 0

) cos(6 0

)

tan

1 cos 3 4

-7

:

2 tan 15 1 tan 2 15 c) cos 4 x 2 sin 2 2 x

b) 1 2 sin 2

a)

A B cot 2 2

cos 2

d ) (cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x) 2 2 sin 2 x cos x

2 cos 2 x sin x

-8

. :

a) cos 2 x cos 4 x c) 4 cos

2

b) tan 2 x 4 tan x 3 0

0

0

d ) cos x

2

e) cos x 3 sin x cos x

3 sin x 1

1

. tan x tan y 1 a)

cos x cos y

2 2

-9

b)

sin( x

y ) cos( x y ) tan x tan y 1

94

-10

95

.

96

.

. : :Postulates .

. :Logical Reason . :Theorem

. .

(

:

) :

. (

) . .

: : . :

.

:

. . :

.

:

.

97

:

.

. .

. . .

. : : . :

. : . .

(

) .

.

: : :

–1 –2

.

–3

.

98

.

: . . . . –1 . p

O

.

:

–2 . p

d

: .

99

–3 d

.

p

:

: -1

.

-2 .

-3 .

:

100

–1

: : . P'

–2

:

. P'

.

P

P

AB

A

B

: . P'

.

101

P

-3

RT

p

p

p

R T

–2

p

K M

p

–3

AB

AB

p

P'

C

B, A

C

P P'

102

–1

P

B, A

-4

: .

: .

A

.

p

d1

A A

d1

. : . p

A

d1

: . A

d2

p

.

d2 d2

P

A

103

d1

d1

p

d1

. : . : Q

d2

d1

P A B

d2

Q

.

d2

A

.

d1

d1

Q p

d2

B .

–1 . F

L2

E

F E

L1

. F E

L2 // L1

p

F E

p F

p E

104

–2 –3

.

X ' O' Y '

. O'Y '

O' A'

OY

OA

O' X '

OX

O' B'

.

XOY

OB

OA A'O '

. O ' A' B'

OAB

. :

. XOY

X ' O' Y ' OY // O'Y ' O' X '

:

OX // O' X '

OX

. O ' A'

OA

. OO '

OA A'O '

BB '

. OB O' B'

AB OA

A' B' A'O ' AB

AB B' A' .

A' B'

OAB

O ' A' B'

AOB A' O' B'

105

.

180

.

: .

–1 –2 .

d2

.

106

d1

-3

.

p

p

d d

p Q p

Q p d

( d2

)

d1

. . :

. . p d1

d

: p

p

. . p

d

. p

d .

p

p 107

: . Q p

: d

O

Q p

d Q p d

. d2

d1

(O)

:

. d1'

d '2

(O)

d2

P

d '1

2

1

3

d1 d2

d2

3

(O)

d2

. d '2

d1

d1'

d '2

.

:

2

,

d1

1

d1

–1 –2 p

p

. 108

P

(O) (O)

.

OX , OY (O)

. OA'

.

B

OY

p

OZ

. OA OX

M

.

C

OZ

(O)

: (O) OY

.

OX

:

(O) P

P

.

OZ

. OA'

OA

P

OX OZ

C

OY

. 109

B M

:

OY

AA'

OX

BA BA' CA CA'

M C B

A' BC

. MA'

: MA

MA

MO

.

MAA

OZ

Q P

C B

x Q P

A

.

.

.

A'

MA'

AA'

BC

ABC

Q P

. x

BC

d2 L

P

L

P

110

d1

–1 –2

A

.

2

1

A 1

B B

2

2

d2

1

d1

. A

2

1

B

d2

d1

. : . A )B

2

d1

p p

(

d1

2

. 111

:

1

. d2

1

2

Q

1

d2

Q p d1

1

p

d1 d2

2

Q

.

Q p

1

d2

2

Q p

d2

E

d1

d1

Q p

.

L2

d2

.

L1

F

L2

112

L1

E F

-1 :Postulates .

.

:Logical Reason . :Theorem

. .

(

:

) :

. .

(

)

.

: : . :

.

:

. . :

* .

:

.

*

: .

* .

.

(

:

) .

: :

.

113

* .

: * * * * * * * * * *

. . . O

O

114

P

. P

B A

B A

P P

: AB AB

-b

AB

-d

AB

–1 -a

AB

–c

–2

p

: p

-a

p

-b p

-c -d

p

–3

. -b

-a

-d

-c -4 -a

p d

'

. '

.

-b

'

-c

'

-d

. . p

. a) 0

b) 1

c)

–5

p

2

d)

115

p

. E

L2

F E

L1

–1 F

L1 // L2

–2 L3

.

P2

p

P1

–3

L2 , L1

P2

–4

P1

-a

C

-b ABCD

. DFC

-d

116

EDˆ F

-c

117

118

Sequences .

a1, a2 , a3 ,..., an

.

. an

-n

.

a1

2 , 4 , 6 , 8 , ... , 2n 1, 3 , 5 , 7 , ... , 2n 1 5 ,10 ,15 , 20 , ... , 5n n

: an

2n

,

n 1, 2 , 3 , ...

bn

2n 1 ,

n 1, 2 , 3 , ...

cn

5n

n 1, 2 , 3 , ...

,

: .

{a n } {

. . . 119

n 1 } n ( 1) n an n

1

1 1 1 1 , , , ... , 5 10 15 5n

. 3 n

bn

. bn

an

:1

n2

an

: .

an

n 2 1, 4 , 9 ,16 , 25 , 36 , ...

bn

3 3 3 3 3 , ,1, , , ... n 2 4 5

-n

.

2

5

5

-n

2n 1 :

an

.

:2

1 , 2 ,4 , 8 ,...

n n 1

an

: :3

5

n 1, 2 , 3 , 4 , 5

:

. an

n2 n 1

n 1

,

a1

n 2

,

a2

n 3

,

a3

n 4

,

a4

n 5

,

a5

1 1 1 22 2 1 32 3 1 42 4 1 52 5 1

1 2 4 3 9 4 16 5 25 6

-1

n

. 1, 3 , 5 , 7 , . . . 1 1 1 1 , , , , ... 3 5 7

.

6

an

120

( 1) n n

1

-2

Arithmetic Sequence

5 , 8 ,11,14 ,17 , 20

:

. : : . d

(Common difference) (d 0)

d

. (d 0)

: 2 , 5 , 8 ,11,14 ,17 , ... d d d

5 2 3 8 5 3 11 8 3

d

3 0

.

121

d

0

. 4 , 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , ... d d d d d

0 4 4 4 0 4 8 ( 4) 4 12 ( 8) 4 16 ( 12)

4 0

d 4

d

. 3 2

2

.

d

0

:1 a1

2

3 2

: .

a1 , a2 , a3 , ... a2

a1

d

a2

a1

d

a3

a2

d

a3

a2

d

a4

a3

d

a4

a3

d

a2

d

a1

d

d

d

a1 3d

a1 , a2 , a3 , ... , an

: a1 , (a1 d ) , (a1 2d )

d

, (a1 3d ) , ...

3 3 3 3 ,( 2) , ( 2 2) , ( 2 2 2) , ... 2 2 2 2 3 7 11 15 , , , , ... 2 2 2 2

:2

. 3 5 7 1, , 2 , , 3 , , 4 , ........ 2 2 2 1 , 2 , 4 , 8 ,16 ........

(a (b

122

:a

. 3 5 7 1, , 2 , , 3 , , 4 2 2 2 3 1 3 1 d d 2 1 2 2 2 2 5 1 7 1 d 3 d 3 2 2 2 2 7 1 d 4 4 2 1 2

. :b 1

2 d

2 1 1

4 d

4 2

2

8 d

8 4

4

d

16 16 8 8

. -n d

-n

a

. . 5 , 7 , 9 ,11, ... d

7 5

2

5 , (5 2) , (5 4) , (5 6) , ... 5 , (5 2) , (5 2 2) , (5 2 2 2) , ... 5 , (5 2) , (5 2 2) , (5 2 3) , ... a1 , a2 , a3 , ... a1 , (a1 d ), (a1 2d ), (a1 3d ) , ...

: 123

: -n a

a d

a1

a 2d

a2

a 3d ........

a3

a4 an a1 ( n 1) d

.

a (n 1)d

....... ........

an an

n , d , a1

2 , 5 ,12 , ...

.

30

:1 :

2

a1

d 5 ( 2) n 30 a30 ?

7

an a (n 1)d 2 (30 1)7 a30 2 29 7 a30 2 203 a30 a30

201

:2

. 35 , 40 , 45 , ... , 2000

: an a1

35

d

40 35 5

an n ?

2000

a1 ( n 1)d 2000 35 ( n 1) 5 2000 35 5n 5 2000 30 5n 2000 30 5n 1970 5n 1970 n 5 n 394

124

:

a10

10

a1

:3

3

d

: : a1

3

d

? 30

an

n 10

an

a1 (n 1)d

30 30 30 27

3 (10 1) d 3 9d 3 9d 9d

d 3

a3

.

1

an

d

4 , a1

1

an 2an

1

[a1 (n 2)d ] [a1 nd ]

1

[a1 nd 2d ] [a1 nd ] [a1 nd 2d an

11

an 1 , an , an

n 2 , 3 , 4 , ...

. an

a2

a1 nd ]

[2a1 2nd 2d ] 2[a1 (n 1)d ] 2an

1

an

1

an

1

an

an

an

1

1

2

23 7

: 7 23 2

an

:1

30 15 2

: x

.

:2 .

2 x 1 , 2 x 4 , 3x 3 an

1

an

125

an

1

:

. an

an

2x 4

an

1

1

2x 4

2 5x 4 2

2 x 1 3x 3 2

4 x 8 5x 4

5x 4 2

4x 5x

4 8

12 x 12 , x 2( 12) 1 , 2( 12) 4 , 3( 12) 3 24 1 , 24 4 , 36 3 23 ,

28 ,

33 ,

38 43...

–m

. an

–n

a (n 1) d ...

:

,

am

a (m 1)d ...

: II

. an am n m

d

. –m

. .

–n

am

47

27

:3 9 .

. ,

,

,

, 27 ,

,

,

, 47

:

. an

47

n 9 m 5 am 27

d

an am n m

d a

? ?

an

a1 (n 1) d

27

a1 (5 1) 5

27

a1

47 27 9 5

20 4

5

:

20

a1

d

an

7

126

7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 , 37 , 42 , 47

: an

d

2

.

bn

2 , 4 , 6 , 8 ,10 , ...

:1

1 an

1 1 1 1 1 , , , , ,... 2 4 6 8 10

. .

:

– n

:2

.

1 1 1 1 , , , ... , 2 3 4 n 1 an n

1,

3 a1

d

1 4

:3 . :

1 1 1 1 1 ,( 3) , ( 3 3) , ( 3 3 3), ( 3 3 3 3) , ... 4 4 4 4 4 1 11 23 35 47 , , , , , ... 4 4 4 4 4

.

-n an

1

, an , a n 1

: .

n

2 , 3 , 4 , ...

1

1 1 , an a n 1

1

:

an

127

1 an 1

1 an

1 an 1 2

a n 1 an 1 ( an 1 )(an 1 ) 2

an 1 an 1 1 (an 1 )( an 1 ) 2

1 an

: an

1 an

an 1 an 1 2(an 1 )(an 1 )

2(an 1 )(an 1 ) an (an

1

an 1 )

2(an 1 )(an 1 ) an 1 a n 1

an

8 2

.

an

2(2 8) 2 8

2 16 10

32 10

2(an 1 )(an 1 ) an 1 an 1

an

:

: :

3 .2

2 , 5 , 12 , . . .

35

-1

3 5 , 1, 4 4

-2

.

.

.

-3

16 2 , 2 2

. d

a10

84 , a1 2

1 2

-4 -5

9 5 11 , , ,... 4 2 4 3 , 6 , 6 , 12 , . . 2,

128

Geometric Sequences

64

) (

3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ...

.

. : q an 1 an

q

an

: an q, n 1, 2 , 3 , ...

1

: q

a1

. .

:1

96 , 48 , 24 , 12 , 6 , ...

. q 96

48 q

48 96

1 2

a2 a1

:

24 q

24 48

1 2

12 12 24

q

. 129

1 2

6 q

6 12 q

1 2 1 2

a3

a4

.

a2

q

a1

3

2 q 1

.

q 1

.

q 1

.

:2

2700 , 900 , 300 , 100 , ...

. a1

2700

q

900 2700

9 27

1 3 q 1

. -n q

n

a

. a1 , a2 , ... , an

:

-n a1

aq

aq 2

aq 3

a1

a2

a3

a4

a1

a1

q

a2 a1

q

a3

a2 q

a1q q

.. q... .

a3 a2 a4 a3

a4

a3 q

a1q 2 q

q

an an 1

a2

a1 q

an

an

1

q

a1q 2 a1q 3

(a1q n 2 ) q

a1q n

130

1

aq 4 ......... aq n 1 a5

......... an

-n

.

an

5 , 10 , 20, 40. . .

10 5

q n 6 a6

: a1q n

an

1

2 a6 5 ( 2) 6 1 a6 5( 2) 5 a6

5 ( 32)

160

a6

?

1

:1

. a 5

a qn

8, 4 , 2 ,.. .

.

:2 :

n 12 a 8

a12

1 2

a12

q

aq n

an

1

1 1 1 8( )12 1 8( )11 8 11 2 2 2 3 8 2 1 2 3 11 2 8 11 11 2 2 28

M a

b M M b

.

b

a

M2

1 256

a b

ab

a

(Geometric Mean)

131

M

3 , 12

.

:3

M

:

ab

:

a 3 b 12

M

3 12

36 6

M

2,

. a1

2

a5

32

a5 q4

q ? n 5 a2 a1 q

6

a q n 1 32 2q 5 32 16 q 4 16 2

1

,

,

:4

, 32

32 2q 4 q4

a2

2 2 4 , a3 a1 q 2

a4

2 2 3 16

24

q

a3

2 22

2

8 , a4

a1 q 3

2 , 4 , 8 , 16 , 32 :

q

n -n

an

q

.

x :5

. x 1 , x 3 , x 1 a

M

M 2

a b

x2 6 x 9

. a)

2 , 3

b

( x 3) 2 x2 1

( x 1)( x 1) 6 x 10 0 , x

5 16 2 2 , , 3 3

10 6

x

5 3

5 2 , ... 3

5 -1 -2 b)

.

4 , 2 , 0 , 2 , 4 , ...

5,

5 5 , , ... 2 4

. .

1 , ? , ? , ? , 27 3

132

-3 3 4

3

-4 -5

.

2 , 4 , 6 , 8 , ...

. :

.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 110

4 6 10

n

n

100 10000

. n

a1 , a2 , a3 , . . . an

.

n

a1

a2

a3 ... an

ai i 1

. 1 n

. i

. n

n

2k k 1

n

2i i 1

n,k , j

2j

21 2 2 2 3

2n

:

j 1

7

. i 1

133

1 i

:1

: 7 i 1

1 1 1 i 1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1089 420

:2

. a) 1 3 5 7 b) 1 4 9

...

( 2n - 1 ) n2

...

: n

a) 1 3 5 7

...

(2n 1)

(2i 1) i 1

b) 1 4 9

...

n

n

2

i2

i 1

:3

. n

i(i 2) ? i 4

: 4(4 2) 5(5 2) 6(6 2) 7(7 2) 24 35 48 63

...

...

n ( n 2)

n ( n 2) 10

.

n 7

n 1 n 1

:4 :

10 n

n 1 7 n 1

7 1 7 1 8 9 6 7 15396 3024

8 1 9 1 10 1 8 1 9 1 10 1 10 11 4032 3888 3780 3696 8 9 3024 5132 108

134

n (an )

: a1

a2

a3 ... an ...

ai i 1

i

. (series)

. -n

.

ai i 1

an

a1 a2 a3 ,...

n . ak

a1

a2

n

a3 ... an ...

k 1

Sn

: S1

a1

S2

a1 a2

S3

a1 a2

a3

Sn

a1 a2

a3 ... an ...

-n

.

ak k 1

.

1 2 3 .... n ...

s8

s6 :5

: S 6 1 2 3 4 5 6 21 S8 1 2 3 4 5 6 7 8 36

135

c

bk

an

k 1

n 1

: n

c c ... c

nc

k 1 n

n

cak k 1 n k 1

c

ak k 1

( ak

bk )

n

n

ak

k 1

bk

k 1

-1

. 3

( 4k 2

6

-c

3k )

k 1

i 1

1

6

-b

i 1

i

-2

. 1 4 9 ... n 2

1 2

2 3 19 ... 3 4 20 1 3 5 7 ... (2n 1)

(b

n

3i 2 i 1

136

(c

n

n

(c

i 1

(a

-3

. (2 5i )

-a

i 1

i (i 2)

(b i 4

(a

n a1 , a2 , a3 , ..., an

.

a1 a2

a3 ... an

. an

d

a

: S

a (a

d ) (a 2d ) (a 3d ) ... (an 2d ) (an

S

an ( a n d ) ( an

d ) an ......... I

2d ) (an 3d ) ..... (a 2d ) (a d ) a .......... II

II I

. 2S

(a an ) (a an ) (a an ) (a an ) ... (a an ) (a an ) a an n ( a an )

2S

n(a an )

S

n (a an )..........I 2

. an

25 , a

:1

4

.

137

8

:

: a 4 an 25

S

n 8

S

n (a1 an ) 2 8 (4 25) 4

S

4(29) 116

1

an

: S an S

n (a1 an )......1 2 a1 (n 1)d n [a1 a1 (n 1)d ] 2

S

n [2a1 (n 1)d ] .......... III 2

n

.

201

. a1

III

7

7 11 15 ... d 4 n n 201 S [2a1 (n 1)d ] 2 Sn ?

S S S

201 [2 7 (201 1)4] 2 201 (14 200 4) S 2 81807

201 (14 800) 2

138

201 814 201 407 81807 2

:2

-n . n

:3

2 4 6 8 .....

. : 2 4 6 8 ... d

a d Sn

2 2 ?

4 2

2

n [ 2 a ( n 1) d ] 2 n [ 2 2 ( n 1) 2] Sn 2 n n Sn [ 4 2n 2] (2 2n) 2 2 S n n ( n 1) Sn

2 4 ...

.

200

:4 :

a

2

S 200(200 1) S 200 200(200 1)

d 2 n 200 S 200 S 200 ? S 200

200(201) 40200

.

139

-n

.

-1

i) 2 , 0 , 2 , 4 , ... ii) 1, 5 , 9 ,13, ... iii) 2 , 1, 0 ,1, 2 , ...

2,5,8,11,...

. a ) S8

b) S10

140

-2

n

.

q

a

q

.

n

. .

: {S n }

.

. Sn

: Sn

a1 (1 q n ) 1 q

a1 a1q a1q

Sn

a1q a1q 2 Sn q

S n (1 q)

Sn

2

0

... a1q n

1

.......... I

:

II

: Sn q

n

a2 ...an

q 1 1 q

Sn

a1

q

I

a1q 3 .... a1q n .......... II

a1 aq n n

a1 (1 q )

a1 (1 q n ) Sn

a1 (1 q n ) (1 q)

a1 (q n 1) q 1

II

: ,

q 1

:

(-1) n

.

141

I

5.

1 2

q

a1

:1

2

10

.

: a1 q S

1 2( ) 0 2 2 1 2( ) 1 2 1 31 1 2( ) 2 2 4

a1

2 1 2 ?

a2 a3

Sn

(1 q n ) a1 1 q

S10

1023 1024 2 1 2

a4 a4 1 2

a5

S10

1 1 ( )10 2 2 1 1 2

1023 4 1024 1

4092 1024

1 S10

2

1 2( ) 4 1 2 1 1 2( ) 8 4 1 1 2( )5 1 2( ) 4 2 2

1 1024 2 1 2

2

1 16

1 8

1024 1 2 1024 1 2

3.99609375

:2

80 2 , 6 , 18 , ...

:

. a ( q n 1) q 1

S a

2

6 2 n ? q

S

80

2[(3) n 1] 3 1 80 (3) n 1

80 3

(3) 4

81 3n n

80 1 (3) n 3n

4

10

. . 484

142

2 2 , , ... 3 9 3,6,12, ... ,384

-2

4,12,36, ...

-3

2,

-1

.

(q

1)

. Divergent series

. Convergent

.

q

S

:

1 qn 1 q

a(

q

n

aq a q 1

S

a

aq a q 1

a q 1

1

qn 1 ) q 1

:

1

S 1 3 9 27 ...

.

r

:

3 1

S

:

: (q n

q n (n

0)

)

: S

a

1 qn 1 q

S

a aq n 1 q

a a 0 1 q

a 1 q

143

n

S

a

1 qn 1 q

(q a

S 1

. 1 2

q

1 2

1 4

1 1 2

1)

1 q

:

1 1 ... 8 16 1 ,a 1 q 2

:1 : .

1

1 2

1 4

a 1 1 ... 8 16 1 q

q

1 1 1 2

1 3

1 2 1

1 1 2

a1

2

:2

27

. q

. a a1 a 2 ...

1 3

1 1 3

:

a

1 q 1 1 1 27 27 9 3 1 ... 1 3 9 27 1 3 3 81 27 40 .5 2 2

27 3 1 3

27 2 3

:3

0.623

. : 0.623 0.6232323... 0.6 0.023 0.00023 0.0000023 ... 6 23 23 23 ... 10 1000 100000 10000000 6 23 1 1 [1 ( ) ...] 10 1000 100 10000 6 23 1 1 2 [1 ( ) ...] 10 1000 100 100

144

1 1 100

. a

S

1 1 100 1 99 1 100 100 100 6 23 1 1 1 10 1000 99 1 100 100 100 6 23 594 23 99 10 990 990

1

1 q

1

6 23 10 1000 6 23 10 1000 617 0.623 990

617 990

:4

0.3

.

: 0.3 0.3333 0.3 0.03 0.003 0.0003 ... 3 3 3 3 ... 10 100 1000 10000

q

. 3 10 S 1 q 1 1 10 3 10 3 1 10 9 10 9 10 1 0.3 3 a

1 10

1 1 10

3 1 10 10 1 10 3 1 9 3

145

a

0 .3

:

-1

. 1 1 ... 2 3 33 1 1 5 1 ... 5 52

1

1 3

(ii

-2

. a ) 0. 5

146

(i

b) 0.24

: a1 , a2 , a3 ,..., an

a1 .

-n

.

an

: . an 1 , a n , a n

:

:

1

an

an

.

an

1

1

2

q

: . aq n 1 :

an an

1

an

an

n :

1

an

.

(an 1 )(an 1 ) :

2,3,4,...

n

: a1 a2

a3

...

an

ai 1 i

Series

.

n

n

.

a1

n

n [2a (n 1)d ] 2

n (a1 2

an )

: Sn

ak k 1

: S

a3 ...

a2

a1 (1 q n ) 1 q

q 1

147

n

a

n

1 q

aq k

.

k 1

1

q

1

a 1 q

n

q S

:

148

1

. : a)

n 1 n

n 3 n 2 11 7

b)

: a) 3

c)

n n c

c) 5

d) 6 9, 5, 1,3,...

: b) 38

c) 35 d) 0.1 , 0.4 , 0.7 , 1 , 1.3,...

: a) 0.3

a)

b ) 0 .1 c ) 0 .3 96, 48 ,24, 12 ,6,... :

1 2

1 2

b)

3 512

1 qn a 1 2

S

c) S

a

0

-2

38

-4 -5

n b) S

1 qn 1 q

-6

-7

qn 1 a q 1

d)

: a) q

3n 1 2n 1

d ) 0 .2

: a)

-1

-3

2 2 d) 3 3 5 5 5 5 5, , , , , ..... 2 4 8 16 3 5 c) d) 512 512

5 512

b)

-n

c)

: a)

an

n

b) 4

a) 35

3 4 5 2, , , ,... 2 3 4 n 1 d) n

q

-8

b) | q | 1

c) | q | 1

149

d)

. -1 31 21

. 21

3720

n

,

-2

,

,31

124

-3 100

.

-4

3,5,7,9,11,...

192

.

6

-5

17

8

-6

. -7

. 0.1 0.01 0.001 0.0001 ...

1 9

9

-8 .

.

4 3

2

.

2 3

,

-9

,

,96

8 .

d

3 ,a

-10 4

-11 -12

. a) 2. 8

,

2 ... 9

n 12

.

96 3

b) 3.57

150

151

152

y

Exponential functions

y

x2

x 2 , f ( x)

f ( x) 2

x

0

x2

2x

x

x x

0

f ( x)

2

x

2x

, f ( x)

x2

a

f ( x)

a

. IR

{1} x

R f : IR f ( x)

.

.

f ( x)

2x

ax

a 1

a

IR ax

2

f ( x)

x ZI (

2

x

, f ( x)

2x

. f ( x)

.

1 ( )x 2

: .

f ( x) 2 x

x ZI

153

x

, f ( x)

ZI )

y f ( x)

2

f ( x)

2x

f ( x)

2x

2x

y y

. a

. a

y 2

2

x

x

y

2

y

2x

y

2 1:

2x

y

2 0

y

2

2x

y

y

. x

2x

y

2

x

x

x y

3 1 8

2 1 4

: y

2x

y

2x

1 0 1 2 3 1 1 2 4 8 2

(0 ,1)

x

y

x y

f ( x)

.

3 8

2 4

1 0 2

1

2

x

1 1 2

2 1 4

3 2x

3 1 8

:

f ( x) 3 2 x

: a

y

x

.

154

2

y

y 3 2x x 3 2 1 0 1 2 3 f ( x) 0.375 0.750 1.5 3 6 12 24

x

f ( x) a x

x, y

: f (x

y)

f ( x) f ( y )

f (x

y)

f ( x) f ( y)

f (a x)

( f ( x))a

: -1 . x1

(injective)

x2

-2 f ( x1 )

.

. .

y

a 1

a 1

(0,1)

g ( x) a x , f ( x) a x

155

f ( x2 )

-3 -4 -5

.

-6

log a x y

.

. a ) f ( x ) 2 .3 x b ) f ( x ) 2 .3 x 1 c) f ( x) ( ) x 2 d ) f ( x ) ( 4) x

156

log a x

y

ax

Logarithm

: y(

)

ax (

) x(

0.0001

0.001

10

)

0.01

100

1000

10000

3

104

4

2

10

3

(1 ) : : . y

ax

log a y

x

y (Base)

.

a

. . 157

10

: log10 0.001 log10 10

3

3 a 0,a 1

. (

:

) .

log 2 8 3 log10 1000 3

: 23 8

log 2 8 3

103 1000

log10 1000 3

-1

. a)

log10 N

b)

log 1 36

x 2

6

c)

log 9 81 2

d)

log 5 5 1

-2

. a)

43

256

b)

25

32

c)

10 4

d)

10

e)

y

21

f)

y

3x

10000 10 y

1

158

.

f : IR

1

IR , f 1 ( x) log a x

: IR

ax a

0,a 1

a

: f

R , f ( x)

,

a IR , a 1

: f ( x) f 1 ( x)

.

y

ax x ay

log a x

y y

log a x

x log x

159

f ( x)

0

ax

1

a

0

1

x1 , x2

:

IR

a 1

log a x1

. y

.

log3 x

y

log a x2 , x1

2 1 9

y

y 3x

x 1 y log3 1 1 3

y

log3

x y

1 3 1

:

1 0 1 2 1 1 3 9 3

y

:

x

:1

3x

. x

x2

x 3 y log3 3

(1, 0)

1 3

y

0

log3 3 1

1

3

1 0

1

1

log3 x

(3 ,1)

y

1 ( , 1) 3

y 3x

y log3 x x

1 ( )x , 2x 2

x 1, 2

.

log a x

: log1a

0 , log aa

1 , a IR , a 0 , a 1

160

:

f (1) , f (3 2 ) , f (9) , f (3)

f ( x) log 3 x

:2 .

x

: f ( x)

log3 x

f (3)

log3 3 1

f ( x)

log3 9

f (9)

log3 32

2

f (3 ) f (1)

log3 3

2

:

2

2

log3 1 0

x

.

log 3 x

4

:3 :

: log 3 x

34

4

x

x 81

: -1

.

-2

log a 1 0 x0

.

(1.0)

. x1

1

(injective )

x2

-3 .

.

f ( x) log 2 x

x 16 ,

.

f ( x1 )

f ( x) log 2 x

x

f ( x) log 2 x

f (16) log 2 16

log 2 2 4

f ( x) log 2 x

1 1 f ( ) log 2 ( ) 8 8

log 2 2

161

4 3

3

f ( x2 )

:4 :

x

.

f (32) , f (

.

28 ,

2

1 ) , f (1) , f (2) 32 1 f ( ) , f (1) 81

162

f ( x) log 2 x

f ( x)

log 2 x

-1

f ( x)

log3 x

-2

Common logarithm and Natural logarithm

3 2

1

e

.

10

Briggs)

:

10

-1

: (Briggs)

.

(

log

. : IR log10x , f ( x) log10x

f : IR

log x

100 101 102

.

103

10

1

: :

log 10 0

y

10 y

10 0

y

log 10 1

y

10 y

10 1

y

log 10 2

y

10 y

10 2

y

2

log 10 3

y

10 y

10 3

y

3

log 10

1

log 10 n

y

10 y

y

10 y

10

1

10 n

0 1

y y

1 n

163

x

:

y

y log a x

1 0 1

x

10

...10 3 10 2 10 1 100 101 102 103 log x ... 3 2 1 0 1 2 3 x

Natural

e .

f : IR

-2

: ln

.

logarithms

IR , f ( x) loge x ln x

e

e 2.718281828

e

x f ( x) e x

e

.

ex

y

1 x ) x

.

Exp( x) e x

. x

(1

y

ax

. y

ex

. x y

ex

2 1 7 .3

1 1 2.71

0 1

1

2

2.71

7.34

164

x y

e

x

2

1

0

7.34

2.71

1

y

.

x

e y

e

y

x

. 1 1 2.7

y

ex

x

y

e

x

2 1 7.3

y

ex

x

y

:

ln x

. ln e1 , ln e 2 , ln e3 , ln e0 ln e 1 , ln e

. y

ln e1

y

ey

e1

2

y

e

y

2

y

2

ln e3

y

ey

e3

y

3

ln e0

y

ey

e0

y

0

ln e

e

ln x

y 1

ln e

1

y

ey

e

1

ln e

2

y

ey

e

2

y

1

y

2

165

loge x :

2

: :

y

:

ln x

y y

2 1

1 e

1

1

e

ln x

x

e2

. .

: 1 e3

a) loge e8

b) ln

c) log 0,01

d ) log

1 10 2

166

1 e7 log 0.0001 y

ln

Law of logarithm

. . . . .

I

:

a IR , a 1, log a a 1 a IR I {1} a1

.

a

:

log a a 1

log5 5 1

I

.

51

5

: :

a IR I {1} , a 0 1

log a 1 0

log 5 1 0

( 5 )0

1

: : : .

log a ( x y ) log a x log a y

167

:

:

:

x a p ........... I a q .......... II

y

x y

a p aq

ap

II I

: qp

: loga ( x y)

q

p q

loga ( x y) loga x loga y

:1

50

. log 50 log(5 10)

log 5 log10 log 5 1

:

log 4 2 log 4 8 ? :2

: log 4 2 log 4 8 log 4 (2 8)

log(2 2 4)

log 4 (4 4)

log 4 4 log 4 4 1 1 2

. log a ( x

y ) log a x log a y

log a ( x y ) log a x log a y

: log a

x y

. x ap

........... I

log x

p

y aq

.......... II

log y

q

x y

ap aq

ap

q

x log a ( ) y

log a x log a y

y

aq

: x ap

:

II I

p q :

168

x log a ( ) y

.

q p

log a x log a y .

log 2 0.3010 , log 5 0.6900 log

5 2

log

5 :1 2

log 5 log 2 0.6900 0.3010 0.3890

: :2

log y (10 y 2 x) log y (2 xy)

:

: log y (10 y x) log y (2 xy )

10 y 2 x log y 2 xy

log y (5 y )

log y 5 log y y

log y 5 1

: log a x n

n log a x

: :

log a x n

log a ( x x x ... x)

log a x n

log a x log a x ... log a x n log a x

log a x n 1

log a n x

log a ( x) n

1 log a x n

:

n log a x :

5 log 625 ? :1

log 625 log 54

4 log 5 4(0.6990)

2.7960

: log 3 3 9

2

log 3 3 9

log 3 3 32

log 3 (3) 3

2 log 3 3 3

169

2 2 1 3 3

? :2

:

: log 3 (0.12) ?

log 5 8

?

-1 . a) log 4 (5 x 2 ) ?

b) log10 (10 x 2 y ) ?

c) log10 5 log10 20 ?

d ) log12 36 log12 14 ?

-2 . 63 ? 49 c) loga ( x 2 a ) log a x 2 a) log7

125 ? 80 d ) log10 1000 log10 100 ?

b) log ?

-3

: a) log10 (0.0001)

b) log 2 ( 8)

170

1 3

.

: log a m log a b

:

log b m m by

log a m

log b m log a b y

log a m

y log a b

y

:

a

:

y

: log b m log b m log a b log b m

log a m log a b

log b m. log a b log b b

log b m log a b

log b m

log 9 b log9 27 ? :

. log 9 27

log 3 27 log 3 9

log 3 (3) 3 log 3 (3) 2

3 log 3 3 2 log 3 3

31 2 1

3 : 2

: log3 75 ? :2

. log 3 75

log 5 75 log 5 3

log 5 (3 52 ) log 5 3

log 5 3 2 log 5 5 log 5 3

log 5 3 2 log 5 3

: :

(clog) Co log arithm

: log a

1 M

log a M

co log a M

171

log 2 log 2

1 32

log 2 1 log 2 32 log 2 1 log 2 25

log a M

1 log M a

0 5 log 2 2

x

: :

log M a x

x log M a 1

?:

5

: 1 log M a

: 1 log M a

51

1 32

x

:

1 .......... I

1

:

I

1 log M M log M a x

log M M

ax M log a M

x

log a M

a

1 log M a

x

:

log125 5 1

log125 5

log125 (5) 2

1 log125 5 2

1 2 log 5 125

1 2 log 5 53

1 6 log 5 5

? :1

1 6

:

. log 64 2 ?

log 4 256

?

: log a n x

:

1 log a x n

log a x

. n

log a x

x am

m

x (a m ) n

m

x (a n ) n

172

m

:

m log a n x n 1 log a n x log a x n

log a n x

1 m n

: m

: :

1) log a n x m

m log a x n

2) log 1 n

1 x

3) log a n x n

log n x

log a x

. log 25 125 ? :1

log 25 125 log 5 2 53 : 3 log 5 5 2

3 1 2

3 2

log a n x m

:

m log a x n

log

1 3

(27) 2

? :2

3

: log

1

(27) 2

log

1

(33 ) 2

3

1 (3) 3

3

log

1 3

(3) 6

6 log 3 3 6( 3) log 3 3 1 3

. a)

log 3 6 ?

b) log8 3 4

173

?

18 1

18

e 10 b,a

.

b,a

x

log b x log a x log a b b 10

: log

log e x log e 10

10

log e x

a e

log10 x. log e 10

:

ln x log e 10. log x ln x

2,326. log x log10 x log10 x log10 e log10 x log x log e x. log10 e

b e

a 10

:

log x log e. ln x log10 e 0,4343 :

:

log x

0 , 4343 . ln x

ln 4.69 ?

.

:

ln x 2.3026 log x ln 4.69 2.3026 log 4.69 ln 4.69 2.3026 0.6712 1.5455 ln 6.73 1,9066 .

log 6 , 73

log x 6,4343. ln x log 6,73 0,4343. ln 6,73 0,4343.1,9066 0,8280

. 4

?

b) log 9 27 ?

c) log 8 4 ?

3

d ) log121 14641 ?

e) ln 672000

f ) ln 0.00927

g ) ln 0.235

174

: :

:

a) log 1 3

:

:

log 0,501 log 5,01

Characteristic and Mantissa : log10 1000 3 , log10 100

2 , log10 1 0

log 50,1 log 501 x

S 10 n

x

.

n, 1

.

x

. log x log( s.10 n ) log s log10

n

n

log s n log10 log s n 1

log x

:

s 10

s 10

log s

log x

.

0 log s 1

.

. 0.001

10

3

log 0.001 10 3

0.01

10

2

1

10

0

1000

10

3

4

10

0.602

log 1 10 2

0.001 0 .01

7

10

0.845

10

1 10

log10 7 3

0.602

100 10

175

log 1

10 0

20 101.390 10

20

1

.

( 1

.

10

2

.

100

. 10

1

)

x 10 x 100 x 1000

:

. . Scientific notation N

10

: n

.

N

1 a 10

:1

. a) 2573

a 10 n

b) 573216

c) 0.0028

: a) 2573 2.573 103 b) 573216 5.73216 105 c) 0.0028

28 10,000

28 104

28.10

4

2,8.10.10

176

4

2,8.10

3

: . log526.9 .

:2

3 1 2

:

. log0.002

:3 :

log 0,002 log(2.10 3 ) log 2 log10 3 log 2 log10 log 2 3

. .

log 89435

5 1

4

log 56.784

2 1

1

log 0.995

0 1

1

log 0.0789

1 1

2

177

-3

a) log 0.9560

b) log 956.0

c) log 9560

d ) log 0.0009560

e) log 3.875

f ) log 2345

178

(

) .

10 10

.

.

. :1

log 765 ? log 765 log(7.65.102 )

:

log 7.65 log 102 log 7.65 2

179

76

2

.

0.8837

5

0.8837

765

. N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.8808

0.8814

0.8820

0.8825

0.8831

0.8837

0.8842

0.8848

0.8854

0.8859

74 75 76 77 78 79

log 765 0.8837 2

2.8837 log 70.9 ? :2

. log 70.9

log(7.09 10) log 7.09 log101

:

log 7.09 1

N

0

70

8451

.. .

1 8457

2

3

4

5

6

7

8

8463

8470

8476

8482

8488

8494

8500

9 8506

79

.. .

8506

9 70.9

. log 70.9

70

70.9 0.8506

0.8506 1 1.8506

.

log 0.0247 ? :3

: log 0.0247 log(2.47 10 2 ) log 2.47 log10 log 2.47 2 log 0.00247 log 2.47 3

2

180

0.3927

.

log 0.0247 log 2,24 2 0.3927 2

7

24

2,3927

: . log 0.0247 3927 2

2.3927

log 9280 ?

. 0.007 ,

3 , 900 ,105 , 15 4

:4 .

log 15 (3 5) log 3 log 5 0.47712 0.69897 1.17609 log(105) log(5 3 7) log 5 log 3 log 7 0.69897 0.47712 0.84570 2.01079 log(900) log(9 102 ) log 9 log 102 0.95424 2 2.95424

0.95424 2 log 10

3 log( ) log 3 log 4 0.47712 0.60206 4 0.12494 log(0.007) log(7 10 3 ) log 7 log 10

3

3 .84510

181

0.84510 3

10 1.0000

9 0.95424

8 0.90309

7 0.84570

6 0.77815

5 0.69897

4 0.60206

3 0.47712

2 0.30103

0.0000

1

-1 . a) log 222

b) log 0.921

c) log 928

d ) log 527

e) log 0.024

f ) log 2400

g ) log 0.00024

h) log 24

. a) log(2.73)3

b) log 5 0.0762

182

-2

Anti Logarithm

y

x

anti log x :

.

34

y

log a y

.

x

log 34 1.5315

1.5315

N

log N

:

2.8779

. 0. 8779

. . 2 .

: 5

75.5

N

2.9939 :1

log N

N

.

75

0.9939

: .

.

0.9939

9.86

9.86

3

2 N

986

log 986 2.9939 anti log 2.9939 986 9.5 9.6 9.7 9.8 N

0.9912

0.9917

0.9921

0.9926

0.9930

0.9934

0.9939

0.9943

0.9948

0.9952

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

183

log N

0.9791 :2

9791

:

953

: N

9.53

log 9.53 0.9791 anti log 0.9791 9.53 N

.

.

log N

3.0531 :3

: .

1

.

. N

:

0.9469

8

885 N

0.000885

anti log( 3.0531) 0.000885

: :4

. a) 2

b) 0.2

c) 0.02

d ) 0.0002

: a) log 2 0.3010 b) log 0.2 0.3010 1 1 .3010 c) log 0.02 0.3010 2

2 .3010

d ) log 0.0002 0.3010 4

4.3010 0.3010

.

a) anti log( 5.0521)

b) anti log 4.9479

184

B

30

Linear Interpolation A

C B

.

A

C

log C

B

B

. C

A

log B b , log A a

c

log C

log C

b,a a

b

. : . 1.2345

. log 5.235 :1

: 5.240

. 185

5.230

5.235

. log 5.230 0.7185 log 5.240 0.7193 log 5.230 log 5.235 log 5.240

5.230 5.235 5.240 :

.

0.7185 log 5.235 0.7193 0.7185 x 0.7193

: log 5.235

:

x

. 5.240 0.010

0.005

0.7193 0.0008 x d 0.7185

5.235 5.230

: d 0.0008

0.005 0.010 5,235

d

0.005 0.0008 0.010

d

0.0004

d 0.0004 0.7185 0.7189

.

log 5.235 07189

: log 0.0007957 :2

: log 0.0007957 log(7.957 10 4 ) log 7.957 log10 4 log 7.957 4 log10 log 7.957 4

.

186

-4

:

7.96

7.95

7.957

. log 7.96 0.9009 log 7.95 0.9004

log 7.950 log 7.957 log 7.960

7.950 7.957 7.960 :

log 7.957

.

0.01

0.007

7.96

0.9009

7.957

x

7.950

0.9004

0.007 0.01 0.007 0.0005 0.01

x

0.0005

d

d 0.0005 d

0.00035 0.0004

d

. 0.9004 0.0004 0.9008

.

0.0007957

log 0.0007957 0.9008 4 4.9008

x

.

:3

4.5544

. x

anti log 4.5544

: :

log x

4.5544 4 0.5544 log( t 104 )

log t log104

log t 4

187

0.5551

d

0.5544

x

.

0.01

0.5539

3.59

0.5551

t 3.58

0.5544 0.5539

0.0005 0.0012 0.0005 0.01 0.0012 0,0042

0.0005

0.0012

d 0.01 d d

0,000005 0,0012

0,0041667

d

. t

3.58 d 3.5842

log x log x

3.58 0.0042

log(3.5842 104 ) log 35842

: x 35842

x

a) z

log 0.001582

b) x log 6.289

188

t

Exponential and logarithm equations

.

log 2 ( x

2

1) 3 5

x

5

1 x 2 2

x

. (

.

) 2x

1

32

:1

. 2x

1

25

x 1 5 ,

x

:

6 83 x 1

83 x

1

24

2 3( 3 x

1)

24

:2

24

.

:

3(3 x 1) 4 9x 3 4

9x

9x 7

x

8 8

3

7 1 9

7 3 3

2

2 2

4

4

4

2

8 8

4 3 7 9

7 1 3 4 3

24 2

4

4 3 3

(2 )

24

:

4

189

(16) x

x

1

64 x

2

:

. : log 2 ( x 2 1) 3 :

:1

x

log 2 ( x 2 1) 3 x 2 1 23 x2 x2

1 8 9

x2

9

x

3

:

.

log 3 ( x 2)

2 log3 9

:

x

:2 :

log3 ( x 2) 2 log3 9 log3 ( x 2) log3 9 2 x 2 92 x 81 2 79

x 2 81 x 79

log

5

x log 5 3 log 5 5 log

190

5

4 0

x

:3

:

. log

x

5

log

5

3 log

5

5 log

4

5

3.5 4

log

5

15 4

x

15 4

log3 (32 x

x

2)

x 1

:4

: log 3 (32 x

2)

x 1

32 x

32 x 3 x 1 2 0 32 x (3 x ) 2 3.3 x 2 0

2 3x

3 3x

:

1

2 0

:

3x

t

t 2 3t 2 0 (t 1)(t 2) 0 t 1 0 t 1 t 2 0 t 2 3x 1 3

x

3x

2

x2

30

x1

0

log3 2 x

log( x 2

36) 2 log( x) 1

:5 :

log( x

2

36) 2 log( x) 1

log( x

2

36) log( x) 2

log x2

1

x 2 36 x 2 36 log 10 10 x2 x2 36 10 x 2 10 x 2 x 2 36 0

9 x 2 36 0 9x 2 x2

36 4

191

x

x12

2,

a) 113 x c)

1

x1 11

log x 3 4

2,

x2

2 b) 7 2 x

1

d ) log5

3x

3

x 1 x 2

192

2

.

log M N

log M

log N

. 3.17 88.2

.

:

.

:

log(3.17 88.2) log 3.17 log 88.2 0.5011 1.9455 2.4466 0.4466

.

0.4472 , 0.4456

: anti log 0.4472 2.80 anti log 0.4456 2.79

0.01

2.79

0.4456

t

0.4466

2.80

0.4472

d

0.0006

0.0016

193

d 0.0006 0.01 0.0016 0.01 0.0006 0.0006 d 0.00375 0.0016 0.0016 t 2.79 0.00375 2.79375

:

log x log(2.79375 102 ) x 279.375 anti log 2.4466 279.375 3.17 88.2 279.375

.

. 74.2 62.0 ?

log

M N

log M

log N

. 8750 3.49

. log

8750 3.49

:1

log 8750 log 3.49

: :

log 8750 3.9420 log 3.49 05428 log 8750 log 3.49 3.9420 0.5428 3.3992

194

.

8750 3.49

anti log 3.3992

2507.16

2507

: 374 16,2

.

. (1.05)6

.

: :

log(1.05)6

6 log1.05 6 (0.0212) 0.1272

anti log 0.1272 1.340

.

.

2

(694) 3

195

?

:

-1

:

-2

0.097 7.78 ?

a)

32.2 25.1

?

b)

8 737 2

:

196

(964) 3

-3

f ( x) a x

a

.

a 1

a

:

: . f ( x)

. x1

0,x

(injective)

x2

f ( x1 ) a 1

a 1

.

(0,1)

. x

g ( x) a , f ( x) a x

y

.

f ( x2 )

: y

ax

log a y

x

.

.

: -1

. log a 1 0

.

x0

1

(1.0)

. f ( x1 )

.

f ( x2 )

x1

x

.

g ( x)

-2

-3

x2 log 1 x

-4

f ( x) log a x

a

10 .

:(

log

Briggs system e

. log e x

)

ln x

197

log a a 1 : log a 1 0 : log a ( x. y ) log a x log a y : x y

log a

log a x log a y :

log a x n

n log a x : 1 : log m a

log a m

log a m log a b

log b m

1 log a x : n

log a n x

n

1 S 10 , log x

:

n log s

:

. (logs)

.

:

. x

y

log a y

x

: y

anti log x :

: .

. .

: . : . -

198

. 1 log 2 ( ) 4 d) 3

: a) 4

b)

4

c) 3

b

: a)

1 4

b) 81

c)

b) 4

c) 6

b) 3

4

c) 4

b) 3

-4

x

d ) 13.5

log 2 16 ? -5

: a) 4

-3

d) 9 log 18 log 2 x log 3

: a) 2

-2

log3 81 log 0,01 ?

: a) 0

1 4

logb 4 81 d)

81

-1

c) 5

d)

4

log 1 125 -6

:

5

a) 3

b)

3

c) 4

d) 5

log 1

: 1 a) 2

2

1 2

b)

c) 1

d)

a) x

3

b) x 9

c) x

1

3x

: 9

b) 1

c) 2

1

x

9

d) x 3 log 234,21

: a) 0

1 log a m

b) log a m

-8 -9

d) 3

-10

: a) log a m

1 -7 2

1 log a m

199

c) log a m

1 log a m

d)

33 x

a) 3 x

2

b) 32 x

94 x 1

1

64 x 2 b

c) log 3 ( x 2) 2 log 3 9

d ) 16 x

e)152 x

f ) log x 1 1

1

7x

-1

x

:

1 log x 2 h) log 5 ( x 1) log 5 ( x 2) log 5 2

1

g ) log(4 x 3) 2 log 20

-2

: a) log 3 (12 x 2 ) log 3 (8 x 3 y 2 ) log 3 (2 xy 2 ) ? b) log 5 ( c) log

4ab x ) log 5 ( )b ? x 100ab

2

43 2

?

-1

: a) log 8 3 4

1 ? 243 8 d ) log( ) ? 128

?

c) log10 4 100

b) log 3

?

3

e) log10

10 0,1

-2

: a) 1.7300

b) 0.8954

c) 4.5682

d ) 2 .1987

-3

: a) 89500

b) 91

c) 65.3

d ) log 0.002

-4

: a ) 2,01 52 99

b) (0,0062) ( 34,8)

-5

: a) 0.888 256

b) 17.3 7.47

-6

: a) (7.42) 3

?

b) ( 84.7) 2

c)

418

200

d)

0.21

201

202

203

204

Matrixes

(5 5 25)

.

M ( x , y)

.

M ' ( x' , y ' )

x

.

M ( x , y)

. ) S ', S

y

P

P'

.

(

:

x

x'

1x

0 y

x'

y

y'

0x

1y

y'

.

1

0

0

1

M

M '

y

y'

x

M'

x'

1 0 0 1

M x' y'

.

205

x y

1 0

. S ', S

1 0

P' , P

0 1

1 0 1 , 0 1 0

0 1

0 1

. 1 0

0 1

1 0 0 1

1

0 1

0

: Matrix

. ... C , B , A

.

.

. . 2 3 4

A

1 7 2

4 5 1

B

1 2 3

C

i

j

0

4 7 3

2

a

aiJ

j i

i 1, 2 , 3 ... , j 1, 2 , 3 ... .

A

a11 a12

a13 ...a1n

a21 a22

a23 ...a2 n

am 1 am 2

am 3 ...a m n

n :

m n

m

A ( m n)

A

A

. 206

ai j

m n

. 2 3 4 1 5 6

C

1 3 5

B

A

( x) 1

2 3 1 5 1 2

A

D

a c

b d

A

1

. :

. a) (a i j ) 2

2

(i

j) 2

b) (aij ) 3

2

(i j ) 3

2

2

: :

2 2

a

a11 a12 a21 a22 aij

i

j

a11 1 1 2 , a12 1 2 3 , a21 2 1 3 , a22 2 2 4 2 3 : 3 4

2

: a11

a12

a21

a22

a31

a32

3

3 2

a11 1 1 1 , a21 2 1 2 , a31 3 1 3 a12 1 2 2 , a22 2 2 4 , a32 3 2 6

a11

a12

a21

a22

a31

a32

1 2 2 4 3 6

:

.

207

(b

b

2

a

a b

1

2 3

1 2

2 : 3

. 1 , 1 2 2

: A

1 2 4 2 5 6 3 6 0

1 3 1 0

B

2 4

–2

: a) ( 2 i 3 j ) 3

3

b)

i j

–1

3 3

208

:Row Matrix A ( 4 5 9 0 )1

–1

4

:Column Matrix 5 3 2

A

: 3 1

:Zero Matrix 0m

. 02

4

0 0 0 0 0 0 0 0

03

2

2 4

A

0 0 0 0 0 0

A

–3

n

3 2

:( square Matrix ) (m

: 1 3 4 5 7 9 1 0 2

–2

–4

n)

3 3

a11 , a22 , ... , ann

Main Diagonal

a1n , ... , a n1

. 209

Minion Diagonal

a11 a12

...a1n

a21 a22

...a2 n

an1 an

...an n

4 1 1 3

:Diagonal Matrix

:5

: B

1 0 0 5

1 0 0 0 3 0 0 0 3

A 2 2

3 3

:Scalar Matrix

–6

: K 0 0 K A

0 :

0 :

0 ... 0 ... K ... :

0

0

0 ...

0 0 0 : K

n n

K

.

8 0 0

8

:Unit Matrix I

. I2

1 0 0 1

,

I3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

,

In

1 0 0 0

210

0 1 0 0

0 ... 0 0 ... 0 1... 0 0 ...1

0 8 0

0 0 8

: –7

3 3

. 3 3

. . -1 Triangular Matrix

.

Upper Triangular Matrix Lower Triangular Matrix

. B

. A

1 0 0 2 4 0 3 7 9

,

A

1 2 3 0 7 9 0 0 4

B

A

( A)

A aij

.

: ( A)

. A (a i j ) m

n

A ( a i j )m

)

A

.

m n

(

n

:

A

2 1 2

4 2 3

5 0 4

A

2 1 2

4 2 3

5 0 4

211

a) A

3 1 0

4 2 1

5 3 0

b) B

d) D

3 0 0

0 3 0

0 0 3

e) E

g) G

3 2 1 0

h) H

0 0 0

0 0 0

5

0 0 0

c) C

1 0 0 1 0 0

6 7 8

f) F

1

3 1

212

1 0

2

0 0 1

Addition and subtraction of Matrix .

–1 B (b i j ) m

A B C

bij

aij

A (a i j ) m

n

n

Ci J

Cij

. Am

n

Bm

C

n

( a i j )m

m n

n

( b i j )m

( a ij

n

b i j )m

n

(cij ) m

n

: A

1 2 2 0 1 7

B 3 2

1 2 1

A B

2 0 7

3 1 0

2 2 4

3 1 0

2 2 4

3 2

1 3 2 1 1 0

2 2 0 2 7 ( 4)

4 1 1

4 2 3

C3

2

–2 . B ( bi j ) m

. Am

Bm

n

.

n

( a i j )m

n

( b i j )m

n

B

A B.

213

( a ij 2 3

b i j )m 1 4

n

A ( ai j ) m

n

(cij ) m n C m n

A

2 3

1 1

n

-1 A B

B

A

A B B A ( A B) C A ( B C )

-2

. ( Identity Element) A 0 0 A

A B

?.

11 1

5

0

3

0

2

5

6

B

A

-3

A. 1

2

3

2

5

4

6

0

1

:1

. A B

: 1 2 3 2 5 4 6 0 1

11 1 5 0 3 0 2 5 6

A B

.

1 2 6

A B.

11 0 2

2 1 5 3 0 5

.

A B

B

3 1 3 2 5 1

3 5 4 0 1 6

B

10 1 2 2 4 5

A 1 2 3 4 0 6

A

:2

B A B

3 2

.

: A

2 3

. a) A

1 4

b) A

2 1

2 1 2 1

3 0

,

,

B

B

3 0 2 1

1 1 2 1

0 1 , c) A

1 1 2 0 1 3

214

,

2 4 5

B

1 3 4 1 0 1

a b c d

A

K

.

KA

a b c d e f g h i

A

K

a b c d e f , KA g h i

A

. 5 0 0 5

B

.

. . KA .

ai j

A (ai j )

K IR

K

C

ci j

ci j

KA

:

K

A

2

1 3 6 2 1 0 1 0 1

K ( ai j )

: :

1 3 6 KA 2 2 1 0 1 0 1

21 2 2 12

3 2 12 0 2

6 2 0 2 12

215

2 4 2

6 2 0

12 0 2

(

) B A

: a)

( A B)

b) ( c)

(

A

B

)A

A A

A) (

)A

( A)

2,

3 6 3 9

3, A (

.

A) (

)A

: ( A)

: ( A) (

3 2

3 6 3 9

3

23 62 32 92

) A (3 2)

3 6 3 9

6

3 6 3 9

A) 2 3

3 6 3 9

2

33 36 33 93

A) (

)A

( A)

( (

3

1

3

6 12 6 18

63 66 3 6 96 2

9 9

18 36 18 54 18 18

18 27

18 36 18 54

1 0 , A 1 0

2 , B

36 54

2 1

0 1

–1

. .

1 A K

KA

216

K 3

A

5 1 1 0 1 2 0 0 1

–2

Multiplication of two Matrixes B A A B B A

B ( bi j ) n

. C ( ai j ) m

p

A ( ai j ) m

p

n

.

.

. Am

n

Bn

C

p

m p

:

. . . n

( ai j ) m

n

( bi j ) n

ai j bi j ( Ci j ) m

p

:

p

i, j 1

.

A B

B

217

1 0 1

A

1 2 0 1 0 1

:1

:

: 1 0 1

1 2 0 1 0 1

A B

11 2 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 1)

1 0 0 1 0 1

1 2

. . A B

1 3 2 0 12

B

.

A

2

3 2 1

1 2

:2 . :

2 2

A B

3 1

2 3

1 3 2 0

1 2

1

A B 2 1 2

2 3

1 2

1 2

3 2

3 1 0

2 1 3 2 ( 1)( 1)

2 3 3 0 ( 1) 2

1

2

( 2)(1) 1 2 2( 1)

2(3) 1 0 2 2

1

3

2 6 1 2 2 2

2 1

2

3

2 1

2

0 2

A B

.

B

6 0 2 6 0 4

3 2 0 6 1 7

A

9 2

1 3 5 2

4 2

2 2

:3 :

AB

1 3 5 2

3 2 0 6 1 7

13 3 6 53 26

1 2 31 5 2 21

3 18

2 3

0 21

21 5

15 12

10 2

0 14

27 12 14

218

21

10 37 50 27

BA AB

B

4 0

2 1

0 3

2 0

A

1 1

. DC CD

3 4

D

4 3

C

2 1

1 2

:4 . :

CD

DC

2 1

1 2

3 4

4 3

2 ( 3) ( 1)( 4) 1 ( 3) 2( 4)

6 4 8 3

2

11

3 8 4 6

11

2

3

4 2

1

3 2 41

4

3 1

2

4 2 1 ( 3)

6 4

3 8

2

11

8 3

4 6

11

2

2 4 ( 1)( 3) 1 4 2 ( 3)

3 4 2 4( 1) ( 3) 2

CD DC

.

A

:1 AB

C B,A

:2

.

( AB) C A ( BC )

B

BA

: :3 :

a) A ( B C) AB AC b) ( A B) C AC BC c) K ( AB) ( KA) B A (KB) K IR d ) IA AI A

219

: a)

0 2

c) 3

1 0

5 0 0 1 2

1

? 2 1 1

2 1

b)

d)

2 4

3 2 3 2

3 4

?

3 2

?

220

Transpose of a Matrix

1 2 1

A

1 0 3 1 0 2

. . . (m

n

)

:

. . .

T

A

1

0

2

1

3

4

A :

AT

.

n m

A

1 2 3 0 1 4

A 3 2

1 4 5 4 2 3 5 3 0

A : 2 3

AT

Symmetric Matrix

:

1 4 5 T

A

a b c b c f

: .

c f d

221

A

T

A

4 2 3 5 3 0

:

. ( AT )T

T

( ai j )T

A

( a ji )T

ai j

A

A :

( AT )

aij

(a j i )

: T

A B

AT

BT

A B C ...

T

AT

BT

CT

...

AB

T

B T AT

A

T

AT

( A)T

AT

2 5

B

B T , ( A B )T

AT

IR

:

AT

: ( A B )T

:

3 2

A

3 2

C

5 2

7 1

0

6

3

B

,

:

BT

:

. 1 4

2 1

3 1

2

1 0

3

2 3

3 3

: B

3 1 2 1 0 1

C

3 5

4 0

2 6

BT 2 3

7 1 3

C

T

3 3

3

1

1

0

2

3

3 2

1

4

0

5 7

2 1

6 3

3 3

B A

. A

1 0

2 1

3 5

0

2

3

, 3 3

.

B

0 4

4 5

2 3

2

3

0

-1

3 3

4

222

3

–2

.

A

. a11

a12

a21

a22

A

detA

|A|

a11 a12

A

a21 a22

. n

n

n n

A

. a11

a12 ... a1 n

| A | det A a12

a 22 ...a 2 n

an1

a n 2 ...a

nn

n

ai j

.

n n

n

n

2 2

| A|

a c

b d

a b c d

A

: a d bc 3 7

A

. | A|

3 7

4 2

A

.

223

4 2

3 2 7 4 6 28

1 6

4 3

: 22 :

A3

: a11

a12 ... a1 n

| A | det A a12

a22 ...a2 n

an1

an 2 ...an n

:3 3

3

n n

A

.

:

2 2

: .

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

(a12 a23 a13 a22 )a31 2 2

: .

a11 a12 a13 a21 a22 a23

(a11 a23 a21 a13 )a32

a31 a32 a33 2 2

: .

a11 a12 a13 a21 a22 a23

(a11 a22 a12 a21) a33

a31 a32 a33

A

3,2,1

: .

a11 a12 a13 | A | a 21 a22 a23

(a12 a23 a13 a22 ) a31 (a11 a 23 a21 a13 ) a32 ( a11 a22 a12 a21 ) a33

a31 a31 a33 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a 21 a13 a32 a11 a22 a33 a12 a21 a33

224

B

2 5 4

6 1 1

3 2 . 7

: :

2

6

3

I) 5

1

2

4

1

7

6 2 1( 3) 4

2

6

3

II) 5

1

2

4

1

7

2

6

3

III) 5

1

2

4

1

7

12 3 4 15 4 60

(2 2 5( 3))( 1)

(2 1 5(6)) 7

I II III 60 19 196

4 15 19

(2 30) 7

28 7

196

117

A

.

3 4 1

0 3 2 1 1 0

:

: : a11 a12 a13 a11 a12 A a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

:

A

| A | (a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 ) (a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 )

.

225

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a33 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23

:2

: |M |

3 2 1 4 3 0 5

|M |

3 4 5

2 1 3 3 0 4 2 6 5

2 6

2 3 2

3 3 6 2 0 5 ( 1)( 4)( 2) ( 1) 3 5 3 0( 2) 2( 4) 6 : (54 0 8) ( 15 0 48) 46 63 109

2 1 0 1 2 3 . 1 2 1

| A|

| A|

-1

. a)

c)

1 2

0 4

b)

1 1 0 2 1 3 1 5 6

5 3

2 7 0 4 2 5 1 3 2 1 5

d)

-2

. a)

3 5 1 2 4 1

6 0 7

b)

226

1 5 1

2 1 2

3 7 3

.

| A|

1 2 3 1 2 3

0 0 0 1 2 3

| A|

2 1 4

2 1 4

2 1 3 T

|A |

| A|

| AT | | A |

0

0

0

a d

b c e f

0 ,

| A|

-1

m

0

a

b

0 0

c d e f

0

A A

A

n m

| A |n

. | A|

.

| A|

.

4 2 6 5 4 1

A

.

-2

| A |mxn a a

b c b c

d

e

| A|

f

a a

b c b c

d

e

.

0

f

–3

A nxn

. a | A|

b a

d

c b

e

c f

a a

b c b c

d

e f

( 0) 0

.

| A| 0

. | AT |

-4

| A|

. 227

. .

2 | A| 1

1 2

4 2

3

1

0

:1 :

. 2 A

B

1 4

1 2 3 1

2 0

(0 6 4) (24 4 0)

1 2 2 1

4 2

1 3

0

10

(0 24 4) (4 6 0)

20 10 10

A A

B

: k . . 16 3 22 8 2 21 20 1 25

A

4

. | A|

| A|

.

16 3 22 8 2 21 20 1 25

:

4 3 22 4 2 2 21 5 1 25

.

: 0 1 2 a) 0 3 4 0 5 6

:2

1 2 4 b) 7 9 11 0 0 0

3 5 8 c) 0 4 2 0 0 1

228

2 2

Multiplicative Inverse of 2 2 Matrix

d

a .

.

2 1 3 2 2 1 3 2

A

A

.

B

. B

A (ai J ) n

:

n

AB BA I n : A

1

A AA

1

B

A 1 A In

.

(singular) A

| A| 0

:

non – singular

| A| 0

. . B

7 2

3 ,A 1

1 2

3 7

:1 :

A B

1 2

7 6 14 14

3 3 6 7 7 2

B A

.

3 7

3 1

7 2

3 1

( 1) ( 7) 3( 2) 2( 7) ( 7) ( 2)

( 1) ( 3) 3( 1) 2( 3) 7( 1)

1 0 0 1 1 3 2 7

7 6 2 2

21 21 6 7

B A

1 0 0 1

AB BA

229

I .

(

)

a b c d

K

1 2 5 7

d c

b a

7 5

2 1

| A| 0 . a b

. A

1

a b c d

A c d

|A|

0 2 2

: | A|

3

2

5

6

6 8 5 8

2 8 3 8

3 5

A

2 6

:1

18 10 8 0

:

. A1

3

2

5

6

1 8

3 4 5 8

6

2

5

3

1 4 3 8

9 4

5 4 15 15 4 4

3 4 5 4 a b

A

A

.

1

3 4 5 8 3 4 9 4

1 4 3 8

1

0

0

1

:

I

c d

1 | A|

d

b

c

a

| A| 0

-1

. a) A

5

1

10

2

b) B

5

19

4

15

-2

. 1) A

1 2 3 1

2) B

1 1

2 3

3) C

230

1 1

3 1

a1 x b1 y

:

a2 x b2

c1 c2

. . . . A

a11

b12

a 21

b22

x

X

,

B

,

y

x

B

IX A

1

A

A B

1

AX

A x y

X

1

B

A

1

(A

1

A) X

A

1

1

A .

B

B x 2y 5 x 3y 7

. 5 7

B

X

x y

1 2

x

5

1 3

y

7

A

C2

B .

AX

C1

1 2 1 3

,A

1 2 1 3

:1 :

3 2 1 0

231

| A| 0

: 3 1

1

2 1 3 1

1 | A|

X

A 1B

X

x y

2 1

1

A

3 1

X

2 1

3.5 2.7 1.5 1.7

1 ,x 1 , 2

3 1

1 1

2 1

3 1

2 1

5 7 15 14 5 7

2

y

5x 2 y 2 3x y 3

.

:2 :

B | A|

2 3

, X

5 3

2 1

,

A

5 3

5 6 1

A

0

x y

2 3

: A

1 1 Adj A | A| 1

1

X

A 1B

X

x y

x 4,

1 3

2 5

1.5 2.3 3.2 5.3

1 3

2 5

1 2 3 5

2 3 2 6

2 15

4 6

y 9

232

:

y x 2x

3y

4

4x

6y

1

A

2 4

2 4

3 6

| A|

2 4

3 6 x y 3 6

4 1

B

4 1

x 12

X

x y

A1B 12

12 12 0

A .

233

:3

. a)

2x y 1 5x 2 y 2

b)

3 p 5q 7 2 p 4q 6

c)

a b 11 4a b 9

234

Crammer's Rule x, y, z

A

.

a11 x a12 y a13 z d1 a21 x a22 y a12 z d 2 a31 x a32 y a33 z d 3 A

a11

a12

a13

a21

a22 a23

a31

a32 a33

| A| 0

! x y z

z

| Ax | | A| | A y| | A| | A z| | A| | Az|

y,x

z

y,x

.

| A y| , | Ax|

. a11

a12

a13 d1

a21

a22

a23 d 2

a31

a32

a33 d 3

235

(

(x

)

|Ax|

)

| A y|

3 3

. )

| A z|

(y

) 3 3

3 3

.

| Az|

| A y | , | A x| x 3y 3 2x y 2

.

:1 :

A 1 2

x

y

1 2

3 1

1 ( 6) 1 6 7 0

3 3 1 2 | A x| | A| | A y| | A|

3 2

3 1 | A|

1 3 2 2 7

3 ( 6) 7 2 6 7

3 6 7

9 7

4 7

:2

. 3x 2 y 2 z 4 x 3y z 5 2 x 2 y z 11

236

: 3 | A| 1 2

2 3 2

2 3 1 1 1 2

2 3 2

9 4 4 12 6 2 21 8 29 0 | A| 0

. 4

2 2

4

2

5

3 1 5

3

11

2 1 11

2

| Ax| | A x| A

X

58 29

4

23

4

| A y| 1

5

1 1

3

2

11

1 2 11

| A y|

58 29

A

| Az |

10 68

58

2

3

y

12 22 20 (66 8 10)

15 8 22 ( 20 33 4) 23 22 57

58

2

3

2

4 3

2

1

3

5

1

3

2

2

11 2

2

99 20 8 ( 24 30 22)

71 16 87 z

| Az | A

87 29

3

z

. 3)(2) 2(2) 2( 3) 4

4

2 3(2) 3

6 4 6

4 2 6 3 8 3

2(2) 2(2) ( 3)

5

4 4 3 11

5

5

11 11

237

y,x

:

: 2x 3y 3 x 2y 5

-1

: a)

x y z 1 x y z 2 2x y 2z 1

b)

x y az 0 ax 2 y z 0 2 x ay 2 z 0

238

Gouse y,x

z

Gouse

R1 , R2 ...

.

. x 2y 5 :1 x 3y 7

:

. . 1 2 :

5

1 3 :

7

R1 R2

R2

1 2

5

0

2

1

R2 ( 1)

R2

(-1)

.

1 0

2: 5 1: 2

y 2,

y

: x 2y 5 x 2( 2) 5

x

5 4

x 1

. x 2y 2x y

Gouse

3 4

239

x

:2

. 2x 3y z 5 3x y 2 z 11 4x 2 y z 3

R1 2 3

1 5

R2 3 1

2 11

R3 4 2

1 3

:

.

3

. 2 3 4

3 1 2

1 2 1

5 11 3

2 R2 0 4

3R1 2 R2

3 7 2

1 7 1

5 7 3

–2

. 2 0 4 7 R3

3 7 2

1 7 1

5 7 3

2 R1

R3

2 R3 0 0

3 7 8

1 7 3

y

8 R2

. 2 0 0

3 7 8

1 7 3

5 7 7

8R2

7 R3

2 R3 0 0

240

3 7 0

1 7 35

5 7 105

5 7 7

z

. 35 z

105

105 , z 3 35

z

y

. 7 y 7z 7y

7

14

7y 7 3 7 14 7

y

,

7y

y

z

7 21

2

x

.

z y

2 x 3(2) 3 5 2x 6 3 5 0 2x 2 0 ( x , y , z ) (1 , 2 , 3)

x 1 y,x

z

: 2 1 3 2 3 5

2 6 3 5

,

:

5 5

3 1 2 2 3 11

3 2 6 11 , 11 11

4 1 2(2) 3 3

4 4 3 3 , 3 3

Gouse

.

:3

2x1 4x2 6x3 18 4x1 5x2 6x3 24 2x1 7x2 12x3 40 2

:

( - 1) . 2 4

4 5

6 6

18 24

2

7 12

40

R2 R3

2 R3 0 0

2R1 R2

4 3 0

6 6 0

2 R2 0

4 3

6 6

18 12

2

7

12

40

18 12 10

241

R1 R3

2 R3 0

4 3

6 6

18 12

0

3

6

22

. x3 , x2 x1

. 10

.

: x2

x3

0

x1

x3

2

x1

x2

0

: .

Gouse

. a)

3x

5

y

x 3y

5

b)

2 x 4 y 10 z 3 x 9 y 21z x 5 y 12 z

242

2 0 1

2x 2 y 2 c) x 2 y 3 3y

6

: Matrix

. .

:

.

:

.

:

.

:

.

:

.

.

.

:

1

.

:

: Am

Bm

n

ai J

n

bij

m n

m n

ai J

bij

1) A B B A 3) ( A B ) C A ( B C ) 5) A ( A) A A 0

K (a i j ) m n C i j a)

Cm

( A B)

b) ( c)

A

)A

AB

5)

k ( A B)

Ci j

Cm

m n

)A

A (a i J )

K

IR

(

A) A B ( ai j ) m

n

(b i j ) n

B (b i j )n

p

p

(C i j ) m

A (ai j )m

p

Cm

n

2) ( AB )C A( BC ) AB ( k A) B

n

A

BA

3) A( B C )

m n

B

A

( A) (

:

2) A B B A 4) A 0 0 A A

:

n

: 1)

.

4) I A

AC

A I

A( k B )

Am x n

.

: AT

243

p

:

. . AT

A

: .

A

A

: det A |A|

.

.

: -1

A nxn

| A| 0

-2

| A| 0

-3

A nxn

A

.

| A| 0

AT

B

A (ai j ) n

A

A A A

1

A

1

:

n

1

AB A

I

BA I n

.

Gouse

244

| A| - 4

A

1

. | A| a)

1 3

b) 9

1 9

c)

1 2

2m 3 1 1 m

b) m 1

Ax

.

a) c)

9 5 25 14

A

c) m 0

5

25

16

d) m 1 ,

x

1

d)

-d

y 2x

9

5

25

12

0 -c

y

b) x

3 5

1 2

-3

3 ,1

c) x

-4

2x

-b

x

y

1 ,3 2

d) x

2 1 3 0 1 2 1 3 4

.

a) 29

b) 39

245

-a

1 x x2 1 2 4 1 3 9

x

a ) x 1, 2

1 2

A

2 1 2 1 y 0

-2

9 5 25 14

b)

9

-1

| A| 3

d) 3

m a) m 1 ,

1

c) 19

-5 3, 2

-6

d) 9

. 5 2

B

: a) 3A 2B

,

1 3

1 3 0 4

, A

-1

b) 4 A 3B 2 1 2

B

0 3 1

1 0 1 0

A

AB

. 2 0

C

4 1

3 2

, B

4 2

, A

2 0

2 3

-2 BA

4 1

BA AB

-3

. A

. M

.

a)

3x

y z

x1

b)

2 x2

2 x1 4 x2

4

0 0

5x 4 y 2 z

0

b)

3x

y 1 0 4x 3y 2 0

-5

5

-7

2x 3y 7 1 2 y 27 2

-8

: a)

-4

4

Gouse

. 2 x 3 y 3z a) 3x 2 y 5 z

5 9

1 2 1

-6

. 2x y z 6 x 2 y 2 z 10

2 3

1 2 1 0 2 1

b)

y 2 1 x 2y x

246

247

248

.

. . . (Position Vector)

.

B(5,5)

. .

. : :

: .

(a

b) AB

. 249

b

a

-1

AB

0

-2

Zero Vector

-3

. OA

AO

AO a

ax

a

OA

a

ax

:

ay y

.

2 3

b

.

y

ay

x

a

3 2

:1

:

:

y 3

2

b a

o

3

x

o

x

2

: .

1

. .

-1 (a (b

.

(c

250

.

Q ( 4 , 4)

: y

P(1, 2)

PQ Q (4,4)

4

PQ

P (1,2)

1

x

4

: y

P ( x1 , y1 ) Q( x2 , y2 )

y2

y2 y1

a

y1

a

P ( x1 , y1 ) N x1

x2

x1

x2

x

P

Q( x2 , y 2 )

ax

x2

x1

ay

y2

y1

PQN a

Q

PQ

M

xm ym

ax

2

x1 y1

by

2

a

:

x2 2

y2

PQ

-

2

.

251

Q(4,4)

.

:1

P(1,2)

:

:

y

Q(4 , 4)

4 3

M

M

2

P (1,2) 1

xm ym

x

2.5 4

P

M

.

5 2 6 2

1 4 2 2 4 2

2 .5 3

2.5 3 Q

: PQ

ax2

a 2y

x1 ) 2 ( y2

( x2

y1 ) 2

B(5,5)

(4 1)2

(4 2) 2

32

M

AB

7 2 9 2

xm ym x2

x1

2

y2

(i):

B(2,7)

A(3,4)

(ii):

N (5,1)

M (1,5)

(iii):

Q(8,8)

y1

:

3,5 4,5 2

5 2

2

5 4

P(1,8)

252

13

:2

A(2,4)

: 2 5 2 5 4 2

22

2

9 1

10

.

IR 2

x, y : x, y

IR

: ( x, y )

.

P

x y

. u

u

( x, y )

P

x y a

v

IR

x' y'

u

x y

: ) u v

(

x y

x' y'

)a u a

(

x' x y' y x y

:(i)

ax :(ii) ay

: IR 2

. :

253

i

j

1

0 1

j

y

1 0

i

2

:

1

x y

u

0

i

2

1

y

x y

u

: 0

x 0

x

y

1 0

y

0 1

xi

yj

x

y

.

j

x

i

P (x , y)

u 0

yi

.

x

xi

v

: ? :(iii)

u v

4u 2 v

u

2 5

u

? :(ii)

: (v)

?

1 3

:1 ?

u u

? :(iv)

:

: 1

i) u v

2

3

5

v)

u

.

3 3

12

4 4

5

12 10 1 2 3 5

1

0

2

0 1 9

2u 4 v

8 1

5 3 3

3i 2 j

2

2

2

1

iv ) u u

2

3

1

3

3 5

1

i i) 4 u 2 v 4 i ii ) u v

1 2

:(i)

u v

8

2

8i 2 j

i 8j

0 10

u 2v u 2v

254

v

3 2

u

2 1

-1

IR 3

( x, y , z )

IR 3

IR IR IR

( x, y , z ) / x, y, z

IR .

p3 , p2 , p1

. z

(z ,

x

. o

y

) y

O

. z

.

y

x

x A( x1 , y1 , z1 )

. x y

x ( x, y )

z z

255

.

.

.

B ( 2, 3,3) A(2,4,3)

. v

IR 3

u

a

. x y z

u v

x a y z

a u

v 2w

.

x' y' z'

2w v w

x x' y y' z z'

ax ay az

v w

( 1 4 0

w

ii )

v w

2 1 3

1 4 0

2 1 1 4 3 0

v w

2 1 3

1 4 0

2 1 1 4 3 0

1 iii ) 2 w 2 4 0

iv)

v 2w

2 1 3

2 1 3

v

1 5 3 3 3 3

2 8 0

2 8 0

16 49 9

2 2 1 8 3 0

4 7 3

74

256

42

)

)

v

. i)

(

( 7) 2 32

w

:2 :

0 0 1

k

j

0 1 0

1 0 0

i

:A i z

.

v

x 0 0

0 y 0

0 0 z

xi

1

y x

x y z

y j zk

op1

op2

p1 ( x1 , y1 , z1 )

:B

:

p 2 ( x2 , y 2 , z 2 )

:

z

OP1 P1P2 OP2

p1

P1P2 OP2 OP1

x2 x1

p2 y

o

k

v

: x y z

y

p1 p2

y2 y1 z2 z1

x p2

: p1 p2

x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1

2

P2

.

p1

P1

:C

( x1 , y1 , z1 ) (0 ,0 ,0)

( x2 , y2 , z2 ) ( x , y , z )

: p1 p2

x 0

2

y 0

2

z 0

2

x2

257

y2

z2

a ( 5 , 4 , 5)

:2 :

: a

x2

y2

.

z2 w

( 5) 2 4 2 52 6 i 9 j 3k

v

25 16 25 4 i 6 j 2k

(i): u 2 v

66 u

2i 3j k

:(a

(ii): u v w ? :

i) u 2 v

:3

:(a

2 i 3 j k 2(4 i 6 j 2 k ) 2 i 3 j k 8 i 12 j 4k 10 i 15 j 5 k

ii) u v w 2 i 3 j k 4 i 6 j 2 k 6 i 9 j 3 k u v w

8i 12 j 2k

( 8) 2 ( 12) 2

22

64 144 4

3 b) | u

212

-1

v u

.

a) 2 u 6 v 4 w ?

8 i 12 j 2 k

w

u v

-2

1 v 2w| ? 3

u

w

w

v v

u

-3 -4

w u, v

258

: ,

r

: OP

r

OA

rz

OB

rx

OC

ry

r

: cos cos cos

x r y r z r

x

r cos

y

r cos

z

r cos

:

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

v

x2 r2 r2 r2

OP

y2 r2

z2 r2

x2

1

xi

y2 r2

:

z2

x2

y2

z2

r2

y j zk

k

: 259

j

i

v

: v

. cos 2

v

x y z

x y z

cos 2

xi

cos 2

v 1.

x2

y j zk

:

y2

z2

:

vx v

.

v

vy

v

v

v

OP

vz v

w

:

5i

a) u 2v w ? 3

j 3k

v

3 i 2 j 2k

b ) v 3w ?

i (

u

i 2j k

-1

c) 3v w ?

-2

1) j 2 k

260

. a b

a b cos

v

: u v

u v cos

v v

0

a b

b a

u

u v

:

.

u u

: i i 1, j j 1, k k 1

(i

i j 0 , j k 0, k i 0 (ii u v

u.v

. a .b

b

0

a2 i b2 j

v

a

u

(iii

:(iv

a1 i b1 j a1a2 b1b2

. a

v u

a b

a1 i b1 j c1 k

. :

261

b

a2 i b2 j c2 k

w

c

:

v

u

:

u v 0

v

(i

v u

(ii

) u ( v w) u v u w

(iii

) (c u ) v c ( u v )

(iv

) u v

( ( ( v

u

a2 i b2 j c2 k

u

:1

a1 i b1 j c1 k

. :

: (a1 i b1 j c1 k )(a2 i b2 j c2 k )

u v

a1 a2 ( i i ) a1b2 ( i j ) a1c2 ( i k ) b1a2 ( j i ) b1b2 ( j j ) b1c2 ( j k ) c1 a2 ( k i ) c1b2 ( k j ) c1c2 ( k k ) a1 a2

b1 b2

c1 c2

x2

w

:

v

y2

P

x1

:2

y1

v w

w

x1 x2

:

v w 2

v w

2

v

2

w

2 v w cos

v

: x1 x2

2

y1 y 2

2

2 x1 x2 2 y1 y 2 x1 x2

y1 y 2

x12

v w

x1 x2 y1 y 2

y12 x22

y 22

2 v w cos

2 v w cos

w v cos

v w

262

w

x2 y2

v

x1 y1

y1 y2

v

i 2j k

u

:3

i 2j k

:

: u v ( i 2 j k ) ( i 2 j k ) i2

v

4 i 3 j 4k

4 j2

u

k2

1 4 1 6

:4

2 i 4 j 5k

. :

: u v (2i 4 j 5k ) ( 4 i 3 j 4 k ) (2) (4) ( 4) ( 3) (5) ( 4) 8 12 20 0

u

v

. 3i

j

k

2i

:5

j 5k

. : u v (2 i

j 5 k ) (3 i

3 i 4 j 4k

j

k) 0

i 3 j 5k

2i

u.v

0

v

u

6

5

0 ,

1

:6

j k

.

C

BC

A

:

i 3 j 5k

AB

2i

:

B

263

j k

:

AB BC

. AB BC AB

k

j

0

(2 i j k )( i 3 j 5k ) (2)(1) ( 1)( 3) (1)( 5)

2 3 5 0

BC

v

i

-1

a i b j ck c

: i ) a 2 b 2 c 2 2bc cos A

b

a

-2

ABC

ii ) a b cos C c cos B cos(

) cos cos

264

sin sin

:

-3

The Cross Product

u v

(

n v

)

u v

u

v u

v

u u v

u v

v

u

u v

v

. ( u v sin ) n

:

n

(0

u

(Right hand rule)

.

u)

(Cross ) v

( ) v

u

v

u

:

. -1

: . .

1

,

2

,

3

...

a 1 , a 2 , a 3 ... a n

n

a

a1 , a 2 , ... , a n

.

a2

i 2 j 2k

.

2 ,

2

1

a1 1

a1 2i

5

2

a 2 ....

j 3k

n

an

:1

. :

a

5a1

2a 2

5( 2i

j 3 k ) 2 (i 2 j 2 k )

10i 5 j 15 k

2i 4 j 4 k

12i 9 j 11k

a1

(2 , 3 )

.

a2

a2

(5 ,1 ) . .

a1

a1

265

a a2

a2

a1

:2

a (6 , 5 )

:

a

(6 , 5)

1

(2 , 3)

(6 , 5) (2

1

(6 , 5) (2

1

2

1

3

1

5

2

2

,3

2

,

2

1

2

)

)

6

2

5

2

: 3 2 2 3 6 6

1

2

1

2

1

1

1

2 2

2

2

1

6

2

5

2

15 2

1

13 2

5

1

IR :

2

(5 ,1)

,3 1 ) (5 5

,

1

18 10 28

28 13

2

28 6 13 140 6 2 13 62 1 13 5

a

(6 , 5)

a

(6 , 5)

1

6

1

62 26

(2 , 3)

140 13 31 13 2

78 140 13

(5 , 1)

31 28 (2 , 3) (5 , 1) 13 13 a

.

a2

a1

2

a2

a

n

(

1

a1

)

. -a

( x1 , x2 ) ( x1 , 0) (0 , x2 ) x1 (1 ,0) x2 (0 ,1)

.

e2

(1 , 0)

: e1

(0 ,1)

( x1 , x2 ) e1 x1 e2 x2 :

266

: ( x , y)

( x , 0) (0 , y )

x(1, 0)

xe1

yj

ye2

xi

y (0 ,1)

-b

. ( x1 , x2 , x3 )

( x , y , z)

( x1 , 0 , 0) (0 , x2 , 0) (0 , 0 , x3 )

x1 (1, 0 , 0) x2 (0 ,1 , 0) x3 (0 , 0 ,1)

e3

: ( x1 , x2 , x3 ) ( x , y , z)

x1e1 xi

x2 e2

yj

(0 , 0 ,1)

e2

(0 ,1, 0) , e1

(1, 0 , 0)

x3e3

zk

n ( x1 , x2 ... xn )

-c

( x1 , 0 . . .0) (0 , x2 . . .0) . . . (0 , 0 , ... , xn ) x1 (1 , 0 , ... , 0) x2 (0 ,1, ... , 0) ... xn (0 , 0 , ... ,1) x1 e1

x2 e1 ... en xn

e1 , e2 ,...., en

. a1 , a2 , ... , an

a

1 1

2

a2 ...

n

an

0

. .

:

1

S

S

....

2

0

n

(1 ,0 ,0) ) (0 ,1 ,0) (0 ,0 1)

a1 , a2 , ... , an : a

1 1

2

.

a2 ...

n

an

0 1

,

2

, ... ,

: .

.

:

.

:

.

267

:

n

:

. a1

(1, 2 , 0) , a2

(0 , 3 ,1) , a3

a1 , a2 ,...., an :

(2 , 3 ,1)

. :

: 1

a1

2

a2

3

a3

1

(1, 2 , 0)

2

(0 , 3 ,1)

3

( 2 , 3 ,1)

0

: :

(

1

(

1

,2

1

, 0) (0 , 3 2 ,

0 2

3

,2

3

1

2

) (2

3

2

3

,0

3

,3 3,

3

2

) ( 0 , 0 , 0) 3

) ( 0 , 0 , 0)

: 0

1

2

3

1

0

2 3

2

2

0

3

0

3

2

0

3

2

1

3

1 2

2

3

2

1

0 2 1

0

,

3

0 1

,

2

:

3

3

0

) 3

2

3

1

3

3

3

3

0

2

1

0 ,

1

0

0 0

3

2

2

3

3

0 3

2

3

3

3(

1

2

3

2

. 2

0

3

3

2

0

0

3 3

0

0

0

.

1

v u u v

i k i

j k k k j j

268

j

k

i i

0

2

3

0

u u

j

k

0

u v

v u

i

: v

:

u

:

i)

u u 0

ii)

u v

iii)

u ( v w) u v u w

iv) .

u (kv) (ku ) v k (u v ) , k

v

v u

a2 i b2 j c2 k

u

IR

:1

a1 i b1 j c1 k

: u v

i a1

j b1

k c1

a2

b2 c2

(b1 c2 c1 b2 ) i (a1 c2 c1 a2 ) j (a1 b2 b1 a2 ) k

:

: u v (a1 i b1 j c1 k ) (a 2 i b2 j c2 k ) a1a2 ( i i ) a1b2 ( i

j ) a1c2 ( i k ) b1a 2 ( j i ) b1b2 ( j j ) b1c2 ( j k )

c1a 2 ( k i ) c1b2 ( k j ) c1c2 ( k k ) i

j

k

i k

j

j i

k

,

j k

i

k i

j

k j

, i

i i

0

j j

0

k k

0

a1b2 k a1c2 j b1a2 k b1c2 i c1a2 j c1b2 i (b1c2 i c1a2 j a1b2 k ) (c1b2 i a1c2 j b1a2 k )

269

(b1c2 c1b2 ) i (c1a 2 a1c2 ) j ( a1b2 b1a 2 ) k (b1c2 c1b2 ) i (a1c2 c1a 2 ) j ( a1b2 b1a 2 ) k u v

i

j

k

a1

b1

c1

a2

b2

c2

(b1c2 c1b2 ) i (a1c2 c1a 2 ) j (a1b2 b1a 2 ) k

b

a b

4i 2 j k

a

2i

:2

j k a b

.

i 6 j 8k

:

: a b

(2 i

j k ) (4 i 2 j k ) 8( i i ) 4( i

j ) 2( i k )

4( j i ) 2( j j ) ( j k ) 4( k i ) 2( k j ) ( k k ) 0 4k 2 j 4k 0 i 4 j 2 i 0

3i 6 j

Triple Product(

) : . (i

(a b ) c b, a c c

. ( a b)c

.

b

(b c ) a

(c a ) b

(c a )b

(b c ) a

a a1 a 2 a3 a (b c )

b1 b2 b3

(ii

c1 c2 c3 a b c

b (c a )

a ( a b)

0

270

c (b a )

(iii (iv

a(b c)

z

c b,a h a

e

e c

b c

o

b

:

|b c |

: V | b c | (a e ) b (a c ) e

y

V

b (a c ) | b c | h

x

b

2i

j 2k

a

-1

4i 3 j k

a b

: :

a b

i

j

k

4 2

3 1 1 2

7 i 6 j 10 k

b

a b

a

b

: b a

i 2 4

j k 1 2 3 1

7 i 6 j 10 k

7 i 6 j 10 k a

(7 i 6 j 10k )

b a

a b

-2 sin(

y

) sin

cos

A

sin

OB

OA

: x

x

0

sos

B

271

y

x

. AOB OB

cos(

) i sin(

)j

OA cos

i sin

ˆ :

ˆ

j

: OA OB

(cos i

j ) (cos i

sin

k ( sin cos OA

sin cos )

OB

j)

sin

k sin(

i cos cos

k sin( )

c

b sin B

c sin C

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: ABC

: A

A

c

B

a b c b

b c C

B

C

a

c

: (b c ) c

a c

(b c ) ( c c ) c c

0

b c

a c c a

-3

ABC

:

CA BC

k 0 0

)

) sin(

a sin A

j sin sin

c a b c

c a

272

AB

0

a

...(i )

: b c Sin(

A)

b c SinA b SinB

c a Sin(

c a SinB a SinA

B) bSinA aSinB

.......... (ii )

SinB b

SinA a

.......... (ii )

b

: (b c ) b

i

a b b a

(b b ) ( c b ) b a

:b b 0 c b sin A

(c b ) b a b a sin C

c sin A a sin C / ac a c sin A sin C

...iii ,

sin A a

sin C c

...iii

(iii) (ii)

: a sin A

v v

b sin B

u

c sin C

-4

:

u

. :

u

h

u sin

h

u sin

v

:

v

u v sin

273

u v

. : : 1 ( 2

1 (u v ) 2

)

V

u

a3

3t 2

2t

2

a2

2t 2 t , a1

t2 t 2

-1

. b

4i 6 j 8k , a

-2

2i 3 j 4k

. -3

B (2,1, 1) A(1, 1,1)

C ( 1,1, 2) ABC

.

-4

R(2, 1,4) Q( 1,2.4), P(0,0,0)

S (1,1, 8)

v

4i

v u (iii

274

2j

k

u

2i

u v (ii

j

k

-5

u u (i

: . Position Vector

. ay

y

. Q ( x2 , y 2 )

a

ax ay

P( x1 , y1 )

x2 y2

a

a

:

x1 y1

ax2

a

a

:

ax ay

a

ax .

x

a

PQ

1 0

:

PQN

a y2 , ( x2

x1 ) 2 ( y2

Q

x1 x2 2 y1 y2 2

xm

M

PQ

y1 ) 2

ym

P

Q

P

: . j

x

k

0 0 1

0 1 0

j

z

.

i

0 1

i

1 0 0

y

y x

: u v

u v cos

275

:

v

u

v

u u v

: u v v

u

v

u v sin

n

u

u v

. : u v u V u v

v

u

a

.

a1 i b1 j c1 k

a b

b

: b

a

a2 i b2 j c2 k

: a b

i a1 a2

j b1 b2

k c1 c2

b1 b2

c1 i c2

a1 a2

c1 a j 1 c2 a2

b1 k b2

: b

a

: u

h

u sin

v

u v

276

b

:

4 i 3 j 2k

a

3i

a b :(b

OQ

OP

a b :(a

Q(61 2) xi

CD

B(2,0) A(1, 1)

:(2

P(2,3)

PQ

yj

:(3

AB D ( 2,2

C

: 2 CB 2 CA

w

5i

j 3k

(2, 6)

? :(iii)

v

:(1

j 5k

B

( 1,1)

3 i 2 j 2k

u

:(4

(2,5)

A

? :(ii)

2 AB CB

C ( 1,3

AB ? :(i)

:(5

i 2j k

: i) : u

2v

ii ) : v 3 w

w

w b a

v

iii ) : 3 v w

?

u

: (iv

a b

b

:(6

a b a

a

a b b

: a b

4i 2i

j 2k j k

:(iv)

a

3i 2 j k

b

i

j

:(iii)

a

i

j

b

i

j

:(ii)

a

2i

b

i

j k j k

:(i) :(7

: i ) : P(0,0,0), Q (2,3,2), R ( 1,1,4) i i ) : P(1, 1, 1), Q(2,0, 1), R (0,2,1)

277

:(8

: i ) : A(0,0,0), B(1,2,3), C (2, 1,1), D(3,1,4) ii ) : A(1,2, 1), B(4,2, 3), C (6, 5,2), D (9, 5,0) iii ) : A(1, 1,1), B( 1,2,2), C ( 3,4, 5), D ( 3,5, 4)

:(9 i) : u

5i

j k, v

ii ) : u

i 2 j k, v

j 5k , w i

j k, w

15i 3 j 3k 2

278

i

2

j

279

150kg ? 170cm 280

Coefficient Variations

.

150kg ? 170cm

. . .

.

. CV : CV

(

)

S x

. 100

. CV % 100

S x

data

.

data

.

data

. . 281

data data

data

. 1

3

X

S2

:1

5

xi

1 3 5 9 3 n 3 3 ( xi x ) 2 (1 3) 2 (3 3) 2 n 3

S

2.67

CV

S x

2.67 3

(5 3) 2

4 4 3

8 3

2.67

0.543

A

:2 1875

B

1495

B

310 280

. (

A

) : :A

C D SA

SA XA

280 1495

CV A % 0.87 100 18.7%

0.187

:B C D SB

SB xB

310 1875

0.165

CVB % 0.165 100 16.5%

A

.

CV A

-1

: 1

3

CVB

4

5 6

10

282

6 4

-2 -3

Normal Carve ": x

3S x

2S

x

S

x

x

S x

2S x

".

3S

.

B A

.

A B

. . S

x

68%

(x S , x S)

. 96%

( x 2S , x 2S )

. 283

( x 3S , x 3S )

99%

. 3S

2S

data

data .

3S

. 12500

: 700

: (

. 1400

x 3S

.

(

x 2S , x S

(

S

1500 700

X S

11800-13200

68%

X 2S

11100-13900

96%

X 3S

10400-14600

99.6%

1400

1500

:

S

1400 x

: 1500

.

2 .1 x

.

99.73%

95.45%

2S

1400

( x s , x s)

.

284

68.28%

A B XA

XB data data

.

data .

: -1

:(skewness) .

.

.

:

(

. 3

1 n

x )3

( xi S3

. 3

3

0

3

0

3

0

. SK

P

3( x med ) S

:

:

285

(

. -2

:(kurtosis) . : 1 n 4

( xi

x)

S4

1 n

x )4

f i ( xi S4

S

.

x

xi

fi

. . :

4

3 (

.

)

: 3

4

3

.

.

4

. 3 .

.

4

(

)

-1

. 4

6

10

4

4

2

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

. 286

.

. data

. . . . . . . . .

287

: :

.

(1, 8) , (2 ,3) , (1,7) , (3 , 5) , (2 , 4)

. data -

.

data

:

: 1

2

3

4

5

1

2

1

3

2

8

3

7

5

4

:

1 2 3 4 5

1 2 1 3 2

8 3 7 5 4 .

data

-1

288

y

Scater Diagram

x

.

1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5

. . .

data

. y

. y

. x

y Y

: 1, 8 , 2 , 3 , 1, 7 , 3 , 5 , 2 , 4

1

2

X

3

. . data . . 289

:

:

( )

(

( )

)

()

y

( )

x

(

x

)

( ) y

. x

y

x

( )

.

y

x

() y

. y

(5000)

.

( )

y ( ) (

. (

)

290

)

y

D C B A

y4

y3

y2 y1 x1

x2

x3

x

x4

.

(

)

( )

( )

()

y y x

( ) ( ( ) (

)

) () ( )

y x y

() ( )

() ( ) ( ) (

) x

291

y

x

.

y

. r

. y

x

( x

n

r

( x

)( y

)( y

xy xy n sx s y

)

)

data : . (x)

(y)

y x

1 2 1 3 2

1 2 3 4 5

8 3 7 5 4

9

8 6 7 15 8

27

44

. y

n 5

y

: x

S 2x

S y2

9 1 .8 5

x

y

x

x

28 5 .6 5 (1 1.8) 2 (2 1.8) 2 (1 1.8) 2 (3 1.8) 2 (2 1.8) 2 5 0.64 0.04 0.64 1.44 0.04 2.8 0.56 5 5 (8 5.4) 2 (3 5.4) 2 (7 5.4) 2 (5 5.4) 2 (4 5.4) 2 5 6.76 5.76 2.56 0.16 1.96 17.2 3.44 5 5 y

292

:

y

x

x

data

y n

(1 8) (2 3) (1 7) (3 5) ( 2 4) 5

10.2 (1.8)(5.6) 0.74 1.86

r

0.12 1.376

44 5

8.8

0.09 :

0.09

y x

. :

: x

y

x

y

x

1 3

1

2

1 2 .5

2 5

2

6

2 5 .5

3 7

3

6

3 6.5

4 9

4 10

4 8.5

y

y

y

x

(

y

x

x

)

( )

( )

.

( (

)

)

( ) . ( )

( ) ( )

: x

S 2x

10 4

. 2 .5

x

y

(1.5) 2 (0.5) 2

24 6 4 (0.5) 2 (1.5) 2

4

293

:(

(

)

)

2.25 0.25 2.25 4

5 1.25 4

32 12 12 32 4

y y

x 70

x

2.5

x

=1.25 y

x 72

x

2 .5

x

=1.25 y

9 1 1 9 20 5 4 4 (1 3) (2 5) (3 7) (9 4) 3 10 21 36

(2.5)(6) 17.5 15 2.5 4 1 2.5 1.25 5 6.25 24 :( ) 6 y 4 16 0 0 16 y 4 2 12 18 40 72 (2.5)(6) 3 4 0.9486 1.25 8 10 23 y 5.75 4 y 4.6875

x

8

:( )

-

16.75

4

16.75 (2.5)(5.75) 1.25 4.6875

x y

(.

70

2.375 5.858

0.9812

y

)

-1 1

.

.

data -1

x 1 2 3 4 5 y 4 3 2 1 0

. -2

294

Regression : y

ax b

.

y y

(

ax b

.

Dy

a, y

b

Dx

b

) ax b

x

y x y

. x

.

y y

0

0

a

ax b

ax b

y a

a

y

ax b ax b

0

.

y

d3 1

.

-

d1 1 d2

2 x

d1

. a

2

d2

2

y

d3

2

d1 d 2

d3

ax b

a

a

295

.

y

ax b

( x , y)

.

. - 1 +1 . x

y :

y ax b

:

( x4 , y4 ) ( x3 , y3 )

( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

y

( .

ax b

)

.

(Minimum) :

data

x 1 5 9 y 6 5 7

: y

y

0.5

3

0.5 2 1

1

x

x

( )

(

296

)

(

)

( ) .

( ) ( ( 2) ( 1) 3 0 : (0.5) ( 1) 0.5 0 :

. 2 . ( 2) 2 (0.5) 2

:

(

)

( 1) 2

( 1) 2

(3) 2 14

(0.5) 2 1.5

( ) .

(

)

y

y

: (y

y )2

y (ax b)

2

( y b ax) 2 y1 ) 2

(ax1 b

(ax2 b

.

y2 ) 2 ...

b a

y x

b a . a

b

r

Sy

y

Sx

x

y ax

,

b

x y nx y x

2

nx

xy

2

x2

. 297

b

a

)

: . data :

. x 1 2 3 4 5 y 4 3 2 1 0

x

.

y :

: xi

1 2 3 4 5 5 n yi 4 3 2 1 0 5 n 2 ( xi x) 4 1 0 2 5 2 ( yi y ) 4 1 0

x y Sx

2

Sy

2

1 4

n 1 n

2

Sx

2

2

Sy

2

1 4

n 5 4 6 6 4 0 20 4 5 5 1 (4 (6)) xy ( x)( y ) 5 sx s y 2 2

xy

r

15 3 5 10 2 5

4 6 2 2

2 2

1

: a b

y

sy

( 1) 2 1 1 a sx 2 y a x 2 ( 1)3 2 3 5

r

. y ax b

y

2

x

x

x 5:

y

298

y

2x 3

:

: C V

.

S x

CV

data

100

data .

.

: . . data

: . SK P

3

: 3( x med ) S

Sk p

3

1 n

( xi S3

. 1 n

4

( xi

x) 3

4

x )4

S4

. : .

. . . .

299

S : x

: . . ( ( ( -

: . . y

x

.

(

)

.

r

1 n

xy ( x )( y) sx sy Sx

y

y

y

x

x

xy

x

y

. (

x

Sy

:

) .

b a .

y

x

x

a

r

b

y

Sy Sx ax

r x

Sx y

Sy

.

300

y

S2

y

64

x

-1

50

2 x 10

y

x

-2

20%

-3

.

x

S x x S

x

2S x

x

2S

x 3S

x

x

3S

-4 . (

( ( -5

20%

: (2,10) , (3,10) , (3,14) , ( 4,10) , (4,14) (5,14) , (5,16) , (6,12) , (6,16) , (6,18) (7,14) , (7,18) , (7,20) , (8,16) , (8,18)

. .

(

) Data -6 x 1 1 2 3

.

y 1 5 4 2 y

-7

. - 1 +1

y

301

-8

12

-9

B A

. A: B:

65 68

63 66

67 68

64 65

62 69

70 66

66 68

68 65

67 71

78 67

69 68

71 70

: .

(

b a .

. x

y

Sx

1 x b 2 3) y x b

1) y

( ( y x

Sy 2) y 4) y

20

1 x b 2 x b 20%

-10

-11 .

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

10

16

6

10

6

16

18

12

8

18

10

14

10

6

10

10

14

18

8

10

16

20

19

18

17

16

15

14

13

12

12

14

14

6

12

18

16

10

12

16

14

12

8

12

12

16

12

6

-

. 1.5

-12 .

0

5

10

20

30

40

50

90

10

118

122

126

132

136

. .

302

(

) (mm)

303

304

Permutation

.

: n

:

:

n (n 1) ... 2 1

nn

n n ... n n

n

(1 2 3 ….n)

) n! .

1! 1

n

0! 1

-1 (

n (permutation)

n

-2 ) Pn

(. Pn

305

n! :

n

k

Pn(k )

: Pn( k )

n! , k k!

n

: 8! 5! 3!

-1

n! (n 1) n !

-2

n! 1 2 3 ... n ! :

:1 :

3! 1 2 3 6 5! 1 2 3 4 5 120 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 40320 n! 1 2 3 4...n (1 2 3....n 1).(n)

n(n 1)!.

:2

: 16

:2 .

16 . 16! k Pn( k )

n! k!

n ,

(k

n)

: 16 4

: P16( 4)

16! 16! 13 14 15 16 (16 4)! 12!

306

43680

:

pn

( k1 , k 2 ,...k n )

n

k1 , k 2 ,...k n n! k1!, k2!, k3! , ... , kn !

p ( k1 , k 2 , ... , k n )

: 55544

: P3 (2 , 3)

5! 10 2! 3!

:3 :

: :

55544 55454 54554 45554 45545 45455 44555 45455 54455 55445

5

"

-

"

:4 3

5

:

3 5 3 15

(

:

5 278

)

:5 :

:

3

4

2

4 4 3

307

3

2

.

: P (43)

4

4! 24 (4 3)! 4 3 2 1! 24 1!

2

.1 . 10

.2

. 4

2 .(

308

3

.3 )

Combination 2 1 2 1

. .

. k

n k

n

: k

: n k

n! k! (n k )!

, k , n IN ,

2 k

0 k

n

( a b) 2 k

a b

2

Ck2 a 2 k b k

a2

ab

b2

k

n IN n

n 0

IN

2 2

n n

. .

n k

0 ,1, 2

0 ,1, 2 ,

2 0

1

1

( a b) n k

0 ,1, 2 , 3 , 4

4 k

. . 309

2 k

0

:

nk n

k

n 0 n r

n

:

n n

1 , n r 1

r

n :

1

( I)

n 1 r

(II)

r

:( III ) C(nr )

7

.

:

4 7 7 7 4

C(74 )

7! 4!(7 4)!

4

:

4 7 6 5 4! 35 6 4!

: 4

7

:2

. B

A B

ABCD A

C CABD

D

C D

. 7 4

. P( 4)

7

7! 4!

7 6 5 4 3! (7 4)!

7 6 5 4 3! 840 3!

4

-1

G,F,E,D,C,B,A

-2 3

310

2 .

6

4

-3

Combination

3

5 . 3

5

. . n n

k

:

k

. : n

C(nk )

k C(nk )

k n k

n n k

n! , k!(n k )!

311

0 k

n :

:

4

30 4

C430

30

4

30! 30 29 28 27 26! 27405 4!(30 4)! 26! 4!

3 : C35

5 3

:1

27405

. :

30

5! 1 2 3 4 5 3!(5 3)! 1 2 1 2 3

A

:2

1 2 3 4 5

5 3

:

2 5 10

7

10

-1 10

7 5 -2

. n

312

Pn( 2 ) Cn( 2 )

36

-3

Variation 10

k

-n k

....

: n

k

: .

vkn

4

k! Ckn

variation

vkn

: k!

n! k!(n k )!.

k! Ckn

n! (n k )!

vkn

n! (n k )!

30

:

30

4

: :

313

v430

30! (30 4)!

30 29 28 27 26! 657520 26!

k n

k

permutation

n

Pn

combination

Ckn

Variation

vkn

k

n! , n

k!

n k

Pkn

k

n! k!(n k )!

n k

n! (n k )!

n

n! k!

n k 1

Ckn

k

vkn

nk

: 1 2

. .

T=

STSS

S=

T

SSTT

314

):

4 1, 2 , 3 .

0 0

1

2

1

0

1

1

3

4

2

1 0

1

1

1

1 16

1

4

2

6

3

4

4

1 16

8

3

4

3

1

16

16

8

2

2

0

4

2 1

8

8

16

.

. 315

( a b) (

)

. ( a b) 0

1

(a b)1

1a

1 b

( a b) 2

1 a2

2 ab

1 b2

( a b) 3

1 a3

3 a 2b

3 ab 2

1 b3

( a b) 4

1 a4

4 a 3b

6 a 2b 2

4 ab 3

a b

: a b

n

Crn a n r b r n k 0

n n0 0 a b 0

1

b3

k

n

n n1 a b 1

...

n n ab n n 1

1

n nn n a b n

n nk k a b k

k n

P(

)=

k : 2n

12 -1 2

20

316

-2

1 1 1 1 1 1

3 4

5

1 2 6

10

1 3

1

4 1 10 5 1

a b

2

a2

ab

a b

3

a3

a 2b

ab 2

a b

4

a4

a 3b

a 2b 2

b2 b3 ab3

b4

A' A

A. A

. A'

. 1 .

A

P( A)

P

P ( A)

? .

A 2

n

K

0

1 P

1

P0 1 P

2 2 p 1 p 2

11 n

p (1 p)

2 k 1

n k 0

n k p (1 p) n k n k p (1 p) n k

k

k

:

317

2

n k p (1 p) k k B (n , p , k )

: B (n p k )

2

2P 1 P

10

2

2 0

2

?

k

.

n :

2 Pk

n

k

? 1 365

:

. 365

:

k

1 1 (365)k

:A k 365

: P( A )

365 k

A

A

. ___

k

A

.

365! (365 k )!

P( A) 1 P( A) 1

A

1

365 k

1

365! 1 (365 k )! 365 k

: n 0

n 1

( 1)n

n n

n 0

n 1

n n

2n

318

0

(I ) ( II )

.

2

P 0 k

n

n

k

n

n (p )

k

:

.

p . n

p

k : 319

1 P

n q 1 p

-

n

n . P p k . (1 p) k 0 k

( )k

k

n

1 2

:1 1 2

: n k

pn

k

1 p

k

n 1 k 1 n . ( ) . (1 ) k 2 2

k

k

n 1 1 . . k 2 2

2

n k

n k 2n

k

n . 5

:2

. q 1

:

1 2

1 2

1 : 2 5

,P

2 25

. 4

10 25

6

.

5 16

:3 3

p

2 6

1 3

3 q 1

:

4

6 1 2 . . 4 3 3

4

1 3 2

: 2 3

20 243

0.3333 33.33%

0.0823 8.23%

.

320

3

1 3

:4

. p

: 1 P

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