Mathematicaによるテンソル解析 - Tensor Analysis Using Mathematica 4320113799, 9784320113794

Table of contents :
Mathematicaによるテンソル解析 Tensor Analysis Using Mathematica，野村靖一，共立出版(2019)......Page 1
まえがき......Page 3
目次......Page 5
第1章　Mathematica入門......Page 8
第2章　テンソルとは......Page 35
第3章　場の方程式......Page 58
第4章　無限材料中の介在物......Page 112
第5章　有限な媒質内の介在物......Page 213
あとがき......Page 260
参考文献......Page 262
索引......Page 264

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sing

Mathematica による

テンソル解析 SciichiNomura

野村靖一 ［ 著 ］

Mathematicaは WolframR e s e a r c h ,I n c .の登録商標です．なお，本文中では，「R」は 明記しておりません．

まえがき

本書は，理工学分野で広く使われているテンソル解析の効率的処理手法として

Mathematicaの使用を提唱し，主に連続休力学に例をとり解説する．対象として は ， M athematicaに初めて接する理工系の学郁 3年生から大学院生を想定してお り，テンソル量を M athematicaで処理し，煩雑な計算を自動化する方法を説明 する． テンソル式は複雑な式を簡潔に表すことができ，見かけはすっきりしたものと なるが，実際の計算では添字の展開を始めとした煩雑な式を手計算で延々と行わ ざるを得ないまた， MATLABなどに代表される数値解析システムでは数式処 理に対応できない．

これに対し， M athematicaには数式処理システムが組み込ま

れているため，テンソルの恙字を扱う計算が自動化される．

したがって，手計算

に費やしていた時間を本来の問題の追求に充てることができる． 通常，テンソル式は工学系では材料力学で，物理系では相対論で使われるが， 本書では主に工学系の連続体力学で使用されるテンソル量を M athematicaで扱 う方法を解説する特に，連続体力学の一分野であり，材料の微視構造を扱うマ イクロメカニックスでは，テンソル式の処理が不可欠であり， M athematicaの絶 好の応用分野である．マイクロメカニックスとはボイド，亀裂，介在物，転移， 空孔などの材料の微細的構造を解析するもので，ここ数十年の間に複合材料の解 析に必須な手法として，応用上でも璽要な位置を得た．マイクロメカニックス は ， J .D.Eshelbyによる 1957年の楕円球状介在物の弾性場に関する論文に端を 発するとされている．ちなみに，この論文は応用力学で最も引用数が多い論文と されている．

日本では村外志夫がこの分野の発展に大きく貢献した．マイクロメ

カニックスの研究者が比較的少ない一因として，理論が存在しても実際の式の評 価や適用は手計算では困難であり， MATLABなどの数値解析支援ソフトではテ

i v

まえがき

ンソル量を扱えないことが挙げられる．今日では洗練された有限要素法のソフト が利用可能であり，固体力学の多くの問題はモデルを作成してソフトウェアに入 力することで数値解が求められるため，今更なぜマイクロメカニックスが必要か という議論も当然存在する．

しかしながら，有限要素法とマイクロメカニックス

は互いに比較できるものではなく，有限要素法はあくまでも近似である．例え ば，有限要素法で使用される試験関数の場合，異なる相境界での連続条件は完全 には満たさない．物理場が解析的に求められればそれにこしたことはない． 工学・物理系でテンソルを扱う教科書または専門書は多数存在するが，ソフト ウェアを使用しテンソルの実際の計算を解説しているものは容易に見つからな い．数式処理ソフトは 1 9 8 0年代に普及し始め，筆者も当初は REDUCEという

LISPで書かれたソフトを愛用した．商用ソフトでは現在， Mapleと Mathematica が利用可能である. Mapleは MATLAB, MathCADなどの数式処理工ンジンと して数値ソフトの補充に使われているが，単独では M athematicaが多用されて いる． テンソルが使用される分野は材料力学以外にも数多く存在するが，本書では主 として材料の中に物理定数の異なる介在物がある場合の材料の物理場を扱った． 本書で解説する概念を習得すれば，異なる分野に応用できるであろう． 第 1章では，本書に記載されている M athematicaコードを理解するために最小 限必要な M athematicaの文法と概念を解説する． 第 2章では，テンソルの定義を座標変換に基づいて解説し, M athematicaでの テンソルの扱い方を解説する． 第 3章では，連続体力学で使われる諸方程式をテンソル記法を用いて導き，

Mathematicaによる処理方法を解説する． 第 4章では第 3章に基づき，無限媒質中に物理定数の異なる介在物が存在する 場合の弾性場を求める手法を解説する． この章の多くの結果は手計算で得ること が不可能であり， M athematicaによって初めて計算が可能となる． 第 5章では有限媒質中に介在物がある場合の弾性場を求める手法を解説する． この問題は意外にも解析解はなく，従来は有限要素法などの数値解析に依存して きたが， M athematicaを使用することで半解析解が可能であることを示す．

目次

第 1章 1 . 1

Mathematica入門 よく使う関数

......................... 4

.. . ... . . . . . . . . . . .. .. . 6 1 . 2 方程式 ・・・・ ． 1 . 3 微分，積分 ．．．．．．．．．．．．．．． ・・・・・・11

1 . 4

1 子 万U , ベクトル

・・・・・・・・・・・・・・・・・

1 . 5

テンソルの処理

・・・・・・・・・・・・・

・・・・・12 ・・・・15

. . ．．．．

1 . 6

関数

1 . 7

グラフィック

1 . 8

他の有用な関数

1 . 9

Mathematicaのプログラミング

・・・・・

・・・・・22 ．．．．．．． 23

1 . 9 . 1 繰り返しおよび分岐命令

・・・・・

・・・・・・・・・・25

第 2章

・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・19

・・・・・・・・・・・

...

テンソルとは

28

2 . 1

指標と総和規約

2 . 2

座標変換（直交座標）

2 . 3

テンソルの定義

・・・

： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：

・・・・・・・

第 3章 場 の 方 程 式

3 . 1

・・・・18

応カ

．

・・・・・・・

3 . 1 . 1 応力の性質

・・・

3 . 1 . 2 応力の境界条件 3 . 1 . 3 主応カ

....

．

....... ．

・・・・40 5 1

．

・・・・・51

・・・・・・・・・・・55 ・・・・57

・・・・・・・・・

・・・・・・

2 8 37

．

・・・・・59

v i

目次

・ ・ ・・・・・・・・・• ・・・・• • ・・・・・62

3 . 1 . 4 偏差応カ 3 . 2

ひずみ

・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・66 ・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・73

3 . 3 適合条件

3 . 4 構成方程式，等方性，異方性 3 . 4 . 2 弾性係数 3 . 4 . 3 直交異方性

•• •• ••

．． ．． ． ． ．． ． ．

•

67 9 7

・・・・・・ ・・・・・・・・・・・75

．． ．． ． ． ． ． ．． ． ． ．． ． ． ． ． ． ．

3 . 4 . 1 等方性

•• ••

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

........

． ．

3 . 5 流体の構成方程式 ・・・ 3 . 6 場の方程式 ・・・・・．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 . 6 . 1 発散定理（ガウスの定理） 3 . 6 . 2 物質微分 3 . 6 . 4 運動方程式

・・・・

・・・

・・・・・・・・・・・・92

・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・94

・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・94

3 . 7 . 1 テンソル解析

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・94

3 . 7 . 2 曲線座標系でのテンソルの定義・・・・ 第 4章

・・・・・・・89

・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・93

3 . 6 . 8 熱応力効果 3 . 7 一般座標系

・・・・・・・・・89

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・90

3 . 6 . 6 等方性物質の運動方程式 3 . 6 . 7 等方流体

8 6

・・・・・・・・・・87

. . ． ．

・・・・・・

3 . 6 . 5 エネルギ方程式

8 4

・・・・・・・・・・・・・・・86

・・・・・・・・・・・

3 . 6 . 3 連続の方程式

8 2

・・・96 105

無限材料中の介在物

4 . 1 楕円球介在物の E s h e l b yの解 ・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 0 6 4 . 1 . 1 固有ひずみ問題 ．．．．．．．．．．．．． 0 9 ・・・・・ 1 4 . 1 . 2 楕円球介在物の E s h e l b yテンソル・・・・・・・・・・・・ 1 1 1 4 . 1 . 3 非均質（介在物）問題

・・・

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

・・・・・・・・・・・・・ 1 2 0 ・・・・・・・・・・・・ 1 3 0

3 1 4 . 2 . 1 Mathematicaの指標規約の実装・・・・・・・・・・・・・ 1 4 . 2 . 2 ナビエの方程式の一般解

・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 3 4

4 . 2 . 3 2相材料の厳密解 .. ・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 4 2 4 . 2 . 4 3相材料の解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．・ 1 5 0 4 . 2 . 5 2-Dの多相材料の解 4 . 3 熱応カ

．．．．．．．．．．．．・・・・・・ 1 6 4

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 6 5

目次

4 . 3 . 1 熱束による熱応カ

6 5 ・・・ 1

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 7 6

4 . 4 . 2 複素変数の Mathematicaプログラミング 4 . 4 . 3 多相介在物問題

． ．

・・・・・・・・・・・・・・・ 1 7 6

4 . 4 Airyの応力関数・・・・・・ 4 . 4 . 1 Airyの応力関数

． ．

・・・・・・

v i i

・・・・・・・・ 1 8 1

.. ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 8 3

1 9 8 4 . 5 複合材料の有効定数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・1 9 8 4 . 5 . 1 有効定数の上下限 ................. ・ 4 . 5 . 2 セルフコンシステント近似

・・・・・・・・・・・・・・・ 2 0 0

4 . 5 . 3 m i c r o m e c h . mで利用可能な関数 第 5章

・・・・・・・・・・・・・ 2 0 4

206

有限な媒質内の介在物

5 . 1 境界値問題の一般解法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 207 5 . 1 . 1 重み付き残差法

・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ 2 0 7

5 . 1 . 2 レイリー・リッツ法

・・・・・・・・・・

5 . 1 . 3 スツルム・リウヴィル型微分方程式 5 . 2 定常状態の熱伝導方程式・・・・・・・ 5 . 2 . 1 試験関数の導出

5 . 4

おわり:~

..

・・・・

・・・ 2 2 1

・・・・・・・・ 2 3 0

3 1 ・・・・・・・・・・ 2

・・・・

5 . 2 . 2 試験関数を使用した温度分布の導出 5 . 3 有限媒体での弾性場・．．．．．．．

・・・・ 2 1 8

.. ・・・・・・・・ 2 4 0

・・・・・・・・・・・・ 2 4 5

........................ 252

あとがき

253

参考文献

255

索引

257

第 1章

Mathematica入門

本章では Ma t h e m a t i c a 1 lに初めて触れる読者を対象として Mathematicaの一 般的な入門を解説する. Mathematicaの全ての機能を網羅することは不可能だ が，少なくとも第 2章以降の Mathematicaのコードを理解し，変更を加えられる ようになることを目標とする．既に Mathematicaの基本文法を知っている読者 は本章をスキップして第 2章に進んでもよい． 数ある Mathematicaの入門書の中で最良の入門書は Wolfram本人が書いた

Mathematicaブック [ 2 1 ]であろう. Mathematicaシステムをインストールする とヘルプメニューからオンライン版にアクセスできる．印刷本のページ数は

1000ページを越え， Mathematicaの総合レファレンスとして使えるが，最初の 1 0 0ページに Mathematicaの文法の論理機能がわかりやすく記述されているの でこの部分だけでも理解するまで読むことを推奨する．

Mathematicaは Windows, Mac, Linuxの各機種上で動作し 2 ) ' 異なる環境で もほば同じインターフェースを維持している．本書の Mathematicaのプログラ ムは Windows版をベースにしているが，異なる機種でも問題なく動作する．

Mathematicaの最初のバージョンは 1 9 8 8年に発表され，執筆時点でのバー ジョンは 12である．最初のバージョン以来多くの機能が追加されたが，後方互 換性は保たれており，初期のバージョンで作成されたプログラムはほとんどが最 新のバージョンでも問題なく稼働する．本書に掲載されている全てのプログラム l )W o l f r a mは M a t h e m a t i c aの文法および広範なデータベースヘのアクセスを含むシステムの

総名称を

W o l f r a mL a n g u a g e [ 2 0 ]と呼び，この名称を使用することにしているが，本書では

「 M a t h e m a t i c a 」で統一する． 2 )M a t h e m a t i c aはシングルボードコンピュータであるラズベリーパイにバンドルされて無料で

9 8 8年に発売されたステーブ・ジョブズの NeXTコンピュータにもバージョ 入手できる. 1 ン1 . 0がバンドルされていた．

2 第 1章 M a t h e m a t i c a入門 はどのバージョンでも稼働するはずである．

Mathematicaの基本思想はパターンマッチングであり，パターンマッチングの 繰り返しにより高度の記号処理演算が可能になっている．

Mathematicaはしばしば MATLABと比較される． どちらのシステムも科学技 術計算を目的として開発されたものであり， MATLABは主に工学， M athematica は物理数学分野で使用されることが多い．

しかし M athematicaとMATLABの

間には基本的な違いがある. M athematicaでは数値演算と記号演算が同時に混在 することが可能である．一方これに対し MATLABでは S y m b o l i cMathToolbox というツールボックスを使用して別の記号演算システムである M a p l e 3 lを呼び出 して記号計算を実行するため，記号と数値変数を混在させることはできない．

し

たがって MATLABのみで本書に示すプログラミングに相当する計算を実行する ことは不可能である．

Mathematicaは MATLABなどの他の科学技術計算システムと比較し，やや敷 athematicaでは関数の引数 居が高く取っ付きにくいと言われている例えば， M は通常の括弧（ 弧 ［ ［

）ではなく角括弧[

l で囲み，ベクトルや行列の添字は 2重角括

］］で囲むことに違和感を覚えるかも知れない．また M athematicaでは予約

) 命令と内蔵関数の最初の文字が大文字で始まる点も他の言語とは異なっており 4

Wolframのひとりよがりと思われるかも知れない．確かに学習曲線の勾配は急 だが，少し慣れれば M athematicaの一貫した文法の論理が自然と身につき，プロ グラムの書き方も自ずから理解できるであろう．

Ma t h e . m a t i c aに特有で重要な特徴を以下に示す． • 内蔵関数，定数名および予約命令は大文字で始まる．一般のプログラミング 言語も大文字，小文字を区別するが，予約命令，内蔵関数，定数名は普通小 文字である．

しかし M athematicaでは予約命令，内蔵関数定数名は常に最

初の文字が大文字となる． —三角関数サイン sin(x) は Sin[x]

指数関数 e x p ( x )は E x p [ x ]

ー積分

r ,

―"sinxdx

3 )M a p l e(カエデ）は名前が示すようにカナダのウォータールー大学で開発された計算代数シ ステムである． 4 ) これにより関数がシステムの内蔵関数かユーザ一定義の関数かの混乱を避けられる．

3

よ し Integrate[Exp[-x] Sin[x], {x, 0, Infinity}]

ーパイ

T

は Pi

v

ー 平 方 根 i= 二「は I •

関数の引数は丸括弧（．．．）ではなく角括弧［．．．］で囲む． _ e2-3iは Exp[2 - 3 I ]

ー 自 然 対 数 log(x)は Log[ x ] •

乗算は＊またはスペースを使う． - X Xyは X

y . xyは 不 可 （ ス ペ ー ス が な い の で 1変数と解釈される）．

- X*Y も使える． •

全ての予約命令内蔵関数定数の名前は省略されない． —積分は int でなく Integrate [ Cos[ x ],x ]

ー 無 限 ooは Infinity ー 分 数 5/7の 分 母 を 抽 出 す る に は Denominator[5/7] •

リスト，範囲は波括弧｛

｝で囲む．

- sin(x)を [-3,3]の 範 囲 で プ ロ ッ ト す る に は Plot[Sin[x], {x, -3, 3 } ]

ー総和

1

1 0 0

L戸1

1

1 1十汐＋辰十．．．十 1 0 0 2=

n=l

の 計 算 は Sum[1/n-2, {n, 1 , 100}] - cos(xy) を— 2 ＜ド、 4V-n片 ~1916~雲

ば

． ぃ 5 E f f l : 5 t ' " t "

3)

く●

ヽ . , .ヽ'、,.,,.,''へ,.., ヽ ' , . ,.,ヽ … ↑, ,...''"'" " ' ヽ . ' 心 , , ' 心 .,.., , , , . , , , , ・ , . , .

L囲S弱涼豆翌竺竺閂冷邑輝瓶SAdヰ達d渉が．洪海蒲S 圧5沖吾翠さ患漏瓶d

( z )dz ( y )dy11[ f []H)d811[ f b

f I i iー冷媒や痔油斗が S 汁之い中舜S

r iビ品密午呼が．

b

30

第 2章

テンソルとは

=Xj ( ( x d+(鑓＋（鑓） x(x2+炉+z 2 )

または

y国＋炉＋召） または

z (砧＋炉 +z り となる． 2 . XiXiXi

これは指標が 3度繰り返されているので有効な式ではない．

Mathematicaの指標の扱い Mathematicaではテンソルはサポートされていないため，指標やテンソル量間

の演算をユーザーが定義する必要があり，最小限の Mathematicaのプログラミ ングの知識が必要となる. Mathematicaではテンソル星はリストまたは関数とし て定義される． テンソル解析において座標系は指標を使い Xiで表される. Mathematicaにこ れを入力するには以下のように Table関数を使う． I n[ 1 ]: =r=Table[ x[ i ],{ i ,1 ,3 } ] Out[1]= { x [ 1 ] , x [ 2 ] , x [ 3 ] } Table関数はリストの生成に使われ Mathematicaで重要な関数である例えば以

下の命令は iが i= 1から i= 10までの住のリストを作成する． I n [ 2 ]: =T a b l e [ i " 2 , {i, 1 ,1 0 } ] Out[2]= { 1 , 4 , 9 ,1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , 6 4 , 8 1 ,1 0 0 }

位置ベクトル rの座標成分 (x1,xぁ叩）を定義するため，リスト成分{x[[1]], X[[ 2 ] ],X~[3] J}ではなく，関数{x[1], x[2], x[3]}が入力されている. Mathematicaでは 1個の角括弧［．．

］と 2個の角括弧［［．．

］］が区別され，前者は

関数の引数後者はリストの要素を表わす．座標成分を代表させるために関数を 使うことはやや奇異に思われるかも知れないが，以下の理由で適切なことが分か る 例 え ば X [1] は ， xという関数を引数 1に対し，評価して結果を返す．

しかし

X[ 1 ] の定義があらかじめ明示的に与えられていなければ評価されないため，出力

2 . 1 指標と総和規約

3 1

として自分自身 x[1] を返し最初の座標成分を表わす．一方 X [[1]] はリストであ る xの第一成分を返す．

しかし xはあらかじめ宣言され成分の全てが初期化され

ている必要があるため X[[1]] は Oが返り座標成分としては使えない． 例えば以下の関数 g(x,y )=x2+ Y4を考慮する． In[3]: =g [ x _ ,y _ J : = x~2 + y~4 In[ 4 ]: =g[ 2 ,4 ] Out[4]= 260 [ 1 ] In[5]:= g 5 ]= g[ 1 ] Out[

関数 gは引数が 2個ある場合に丑＋炉を返す．

しかし g[1] は引数の数が 1個で

あるため定義はされておらず．評価できないことから g[1] をそのまま返す．こ の仕様を使って Mathematicaでテンソルの指標に関する演算を実行することが 可能になる． Mathematicaでは総和規約はサポートされていないため， X叩 =xt+x§+x~

を意図して X [i]X [i] を入力しても In[6]: =x [ i ] x[i] Out[ 6 ]= x [ i ] 2

のように自動的に展開することはない．

したがって Sum[]関数を明示的に使い

In[7]: = Sum[x[i] x[i], { i ,1 ,3 } ] Out[7]= x[1]2+x[2]2+x[3]2

と入力する必要がある．これではテンソル解析で重要な総和規約が自動的に実行 されず, Sum[]関数と指標の範囲を毎回入力する必要が生じて大変煩わしい． Mathematicaで総和規約を自動的に実行させるには以下の手続きを行う． In[8]: =Unprotect[Times]; x[LSymbol] x[LSymbol] : = r-2; Protect[ T i m e s ];

上記の 3行のコードにより， Mathematica内部で使用される乗算関数 Timesに 新しい規則を追加する．すなわち，パターンマッチングで iをダミー指標とし， x[i] x[i] を芦に自動的に置き換える規則である．乗算が含まれる計算をユーザ

が入力すると， Mathematicaは内部関数の Times関数を自動的に呼び出し，様々 なパターンマッチングのアルゴリズムによって入力された式の簡略化を図る．デ

3 2 第 2章テンソルとは フォルトではシステムによって Times関数が保護されており，そのままではユー ザが改変できない仕様になっている．総和規約とはテンソル量間の乗算に新たな 規則を追加することなので， Unprotect関数を適用し，システムによって保護さ れている Times関数を一旦解除してから総和規約の規則を追加し， Protect関数 で再びユーザにより改変できないようにする. x[LSymbol] x[LSymbol] : =r~2 の行は変数 iが数値ではなく記号であるときに限り

X[ i ] X[ i ]

を自動的に芦に置

き換えるという規則である．以上の 3行を入力した後，例えば x[j) x[j] は自動 的に芦に置き換わる． In[9]:= x[j] x[j] Out[ 9 ]= r 2 In[10]:= x[2] x[2] Out[ 1 0 ]=x [ 2 ] 2 In[ 1 1 ]: = X[ i ]

X[ i ] X[ j ]

Out[ 1 1 ]=r 2x [ j ] In[12]:= x[i] x[i] x[j] x[j] Out[ 1 2 ]= r 4

上記の例で巧巧 i ま芦に置き換わるが，の2x2は添字 2が記号でないため総和規約 は適用されず四 m をそのまま出力する.

x埒 iだけがパターンマッチン グで芦に置き換わる．叩叩巧巧＝（吋＋碕＋碕）（吋＋碕＋碕） =r4は正しく X心 江j は

評価される. M athematicaでは記号計算がパターンマッチングの繰り返しで評価 され，このパターンマッチング機能を使ってより複雑なテンソルの指標計算が可 能となる． クロネッカーのデルタ テンソル解析で重要な記号の一つであるクロネッカーのデルタは 妬＝｛；二 ( 1 ,1 ) ,( 2 ,2 ) または ( 3 , 3 )の場合

で定義される．クロネッカーのデルタの成分は単位行列と同じである．

2 . 1 指標と総和規約

3 3

例 1 . 如 ( 3次元） 3

心 ＝ ど 心 =8 1 1+ 知 ＋ 知 =3 i=l

2 .

ふ 凸 (3次元） 3

妬妬

3

= L と忙 i=lj=l

妬 ＝ ふ 心 ＋ 如 紐 +613613 +6 2 1知

＋ 知 知 +623623

＋ 知 知 ＋ 知 如 十 633633= 3

3 . 6 砂 jj ( 3次元） 3

3

ふ心＝区心とら i=l

j=l

=(on+0 2 2+ 033)(on+ 0 2 2+ 0 3 3 )= 9

4 .

妬 XiXj (3次元） 3

3

L 妬 Xの i=lj=l

妬 X田 =L

＝ 心 X心 1十 如 X心 ＋ 如 X心 3 + 021X虹 1+ 022X虹 2+ 023X虹 3

＋ 知 X⑬ 1+ 032叩 四 十 033X⑬ 3

戸+(x2げ+(x3)2

= (x1

クロネッカーのデルタを Mathematicaで使うには複数の方法がある．以下の コードはクロネッカーのデルタを引数 iとjをとる関数として定義する． In[ 1 3 ]: ; delta[Linteger, j_Integer] : ; If[i ;; j ,1 ,O J In[ 1 4 ]: = delta[ 1 ,2 ] Out[14]= 0 In[ 1 5 ]: = delta[ i ,2 ] Out[ 1 5 ]= delta[ i ,2 ] In[ 1 6 ]: = Sum[delta[ i ,i ],{i, 1 , 3}]

34 第 2章テンソルとは Out[16]= 3 Lintegerは変数 iが整数の場合のみ等号の右辺の定義を適用するという意味で

あり， delta[i, j] は i と jが整数の場合に限り評価される. If[condition, t, f ] 関数は，

conditionが真なら f を返し，偽なら f を返す. 2個の等号（＝＝）は右

辺と左辺が等しいことを表わし， 1個の等号（＝）は代入を表わす． 妬の総和規約 クロネッカーのデルタに総和規約を適用した複数の例を以下に示す． 8 i i=3 , aj8ij=ai,

aij8ik=akj,

8ij8ik=8jk

これらの簡略化を Mathematicaで自動的に実行するには以下のコードを準備 する． In[17]: = SetAttributes[delta, Orderless]; In[18]:= delta[Llnteger, j_Integer] : = If[i == j ,1 ,O ] In[ 1 9 ]: = delta[LSymbol, LSymbol] : =3 ; In[ 2 0 ]: = Unprotect[Times]; Times[a_Symbol[j_Symbol], delta[L, j_Symbol]] : = a[i]; Times[a_Symbol[LSymbol, j_ ] , delta[LSymbol, k _ ] ] : = a[ k ,j ]; Times[delta[LSymbol, j_ ],delta[LSymbol, k _ ] ] : = delta[ j,k ]; Protect[Times]; SetAttributes[delta, Orderless] 関数は deltaの引数 i と jが対称であること

を設定する．これによって deltaの引数 iとjが自動的に標準順序（アルファベッ ， delta[j,i] ト順）で並べ替えられるため．例えば delta[3,1] は delta[1,3] に は delta[i,j] に自動的に置き換わる. iーIntegerは変数 iが整数， LSymbolは変 数 iが記号に限定されるパターンマッチングを表わす. Unprotect と Protectの 間にあるコードは，内部関数 Timesに delta[i,j] に関する総和規約の規則を付 加する. delta同士の掛け算と， deltaと任意の関数 a との掛け算でダミー指標 がある場合は簡略化する．上記のコードの入力後，クロネッカーのデルタの演算 に関する総和規約は自動的に適用される．例えば In[21]: = delta[i, i ] Out[21]= 3 In[22]: =a [ j ] delta[i, j ]

2 . 1

指標と総和規約

3 5

Out[ 2 2 ]= a[ i ] In[23]: ; a[i, j ] delta[i, k ] Out[23]; a[k, j ] In[24]: = delta[i, j ] delta[j, k ] Out[ 2 4 ]= delta[ i ,k ] In[ 2 5 ]: = delta[ 2 ,i ] delta[ i ,2 ] Out[ 2 5 ]= 1 In[26]: = delta[j, i ] delta[j, 2 ] Out[ 2 6 ]= delta[ 2 ,i ] ] In[ 2 7 ]: = delta[ i ,k ] delta[ k ,l ] delta[ l , m] a[m, n Out[27]= a[i, n ]

交代記号 交代記号 Eijkはエデイントンのイプシロン 4 )の特殊な場合であり， 3次元では 以下のように定義される． (ijk)=(123),(231),(312)

い ＝ ｛ 。 >

(ijk)=(213),(321),(132)

その他

~/11;_

)の場合は 1 . 奇置換の場合は— 1. それ すなわち交代記号句 Kは (ijk)が偶置換 5

以外は 0となる. 2個の指標が一致する場合， Eijkは自動的に 0となる． ベクトル解析では交代記号がベクトル積に使用される．ベクトル a と bのベク トル積 a x bの i番日の成分は交代記号 Eijk を使い (axb)i=Eijkajbk

と表される． Mathematicaで交代記号に相当する関数は Signature6) である． 4) 一般化されたエデイントンのイプシロン€釘砂・・・もれは釘 i2 ...inが 1 ,2 ,. . .,nの偶置換の場 合1 , 奇置換の場合 0 , それ以外は 0をとる． 5 )順序 ( i j k )が ( 1 2 3 )から偶数回の置換で得られる場合偶置換といい， そうでなければ奇置換 という． 5 )Signature とは不思議に思われるかもしれないが S i g n , すなわちサイン（符号）のことであ る ．

36

第 2章テンソルとは

In[ 2 8 ]: = Signature[ {1, 2 , 3}] Out[28]= 1 In[ 2 9 ]: = Signature[ {1, 1 , 3}J Out[ 2 9 ]= 0 Signature関数を使用してベクトル積 a x bは In[ 3 0 ]: = Table[Sum[Signature[ {i, j , k}Ja[ j ] b[ k ] , {j, 3}, {k, 3}], {i, 3}J

+a[2]b[3],a[3]b[1]- a[1]b[3], -a[2]b[1]+a[1]b[2]}

Out[30]= {-a[3]b [ 2 ]

のように計算できる．ベクトル解析での回転演算子 rotvは In[ 3 1 ]: = Table[Sum[Signature[ {i, j , k}JDt[ v , x[ k ] ] , {j, 3}, {k, 3}], { i , 3}J

+Dt[v,x[3]],Dt[v,x[1]]- Dt[v,x[3]], -Dt[v,x[ll]+Dt[v,x[2]]}

Out[31]= {-Dt[v,x [ 2 l ]

で計算できる． ここに Dt[f, x] は全微分 d f/ d xを表わす． 行列の乗算 総和規約の例として行列の乗算

AB=C

伽

n

I

[en

ー

>

c l n

＝

l

b n n

¥ー______

en5~en gg~ •••• ．．．． ．．．．

••••

［

加如：

¥ . ー_______

.2

.1

ibn

g~

．．．． ．．．．

11

加加

•••• ••••

b l かl i b

ー l__ー _ _ ー ＼ ＼

． ¥

．．．．

ー

5 仰~〗

11.

12. a a.a

ー l_______ ¥

”~

II 二 □[

を取り上げる．行列要素で書くと以下のようになる．

C=ABの ( i j )要素は n

C i j = ail如

+a,2妬 +ai3如＋．．．十 ainbnj=

L叩 如

=a 砂幻

k=l

と表される．すなわち C の ( i j )要素は Kをダミー指標として A の ( i k )要素と B の( k j )要素を掛け合わせることを意味する． Mathematicaでは行列の要素を記号のまま入力するには以下のコードを使う． In[32]:=mat= Table[a[i, j], {i, 3}, {j, 3 } ] Out[32]= {{a[1,1], a [ 1 , 2 ] ,a [ 1 , 3 ] } ,{ a [ 2 , 1 ] ,a [ 2 , 2 ] ,a [ 2 , 3 ] } ,{ a [ 3 ,1 ] , a [ 3 ,2 ] , a [ 3 ,3]}}

2 . 2 座標変換（直交座標）

37

I n[ 3 3 ]: =M a t r i x F o r m[ m a t ]

C u c['3]/ / M o u i x F o , m -

( : 1 :: i : i i i : : ) i :

M a t r i x F o r m関数はリストを行列の形式で表示する. 2個の行列の積は通常の積で 使用されるスター（＊）またはスペースではなく，

ドット（．）を使う必要がある．

I n [ 3 4 ]: =a m a t=T a b l e [ a [ i , j], { i ,3 } , {j, 3 } ] O u t [ 3 4 ] ={{ a [ 1 ,1 ] ,a [ 1 ,2 ] ,a [ 1 ,3 ] } ,{ a [ 2 ,1 ] ,a [ 2 ,2 ] ,a [ 2 ,3 ] } ,{ a [ 3 ,1 ] ,a [ 3 ,2 ] ,a [ 3 ,3 ] } } i ,3 } , {j, 3 } ] I n [ 3 5 ]: =b r n a t=T a b l e [ b [ i , j], { O u t [ 3 5 ] ={ { b [ 1 , 1 ] ,b [ 1 , 2 ] ,b [ 1 , 3 ] } ,{ b [ 2 , 1 J ,b [ 2 , 2 ] ,b [ 2 , 3 ] } ,{ b [ 3 , 1 J ,b [ 3 , 2 ] ,b [ 3 , 3 ] } } I n [ 3 6 ]: =c m a t=a m a t . b m a t O u t [ 3 6 ] ={ { a [ 1 ,1 ]b [ 1 ,1 ]+a [ 1 ,2 ]b [ 2 ,1 ]+a [ 1 ,3 ]b [ 3 ,1 ] , a [ 1 ,1 ]b [ 1 ,2 ]+a [ 1 ,2 ]b [ 2 ,2 ]+a [ 1 ,3 ]b [ 3 ,2 ] , a [ 1 ,1 ]b [ 1 ,3 ]+a [ 1 ,2 ]b [ 2 ,3 ]+a [ 1 ,3 ]b [ 3 ,3 ] } , { a [ 2 ,1 ]b [ 1 ,1 ]+a [ 2 ,2 ]b [ 2 ,1 ]+a [ 2 ,3 ]b [ 3 ,1 ] , a [ 2 ,1 ]b [ 1 ,2 ]+a [ 2 ,2 ]b [ 2 ,2 ]+a [ 2 ,3 ]b [ 3 ,2 ] , a [ 2 ,1 ]b [ 1 ,3 ]+a [ 2 ,2 ]b [ 2 ,3 ]+a [ 2 ,3 ]b [ 3 ,3 ] } , { a [ 3 ,1 ]b [ 1 ,1 ]+a [ 3 ,2 ]b [ 2 ,1 ]+a [ 3 ,3 ]b [ 3 ,1 ] , a [ 3 ,1 ]b [ 1 ,2 ]+a [ 3 ,2 ]b [ 2 ,2 ]+a [ 3 ,3 ]b [ 3 ,2 ] , a [ 3 ,1 ]b [ 1 ,3 ]+a [ 3 ,2 ]b [ 2 ,3 ]+a [ 3 ,3 ]b [ 3 ,3 ] } }

2 . 2 座標変換（直交座標） テンソル量は座標変換に基づいて定義される．本節では直交座標系同士の座 標変換を扱う．極座標に代表される曲線座標系同士の座標変換は第 3章で解説 する．

. 1で示される位置ベクトル R を考え，基底 ( e 1心 2 )で定義される直交座標 図2

e r ,e 2 )で定義された別の直交座標系へ座標 系から 0だけ回転して得られる基底 ( 変換したときの R の成分の変化を調べる．座標系は変わるが位置ベクトル R は 変わらないことに注意すると以下が成立する．

R =x 1 e 1+x 2釣 ＝ 町 er+x 2 e 2 または

3 8 第 2章 テ ン ソ ル と は X2

x 2

x 1

1

X

図2 . 1 直交座標系での座標変換 叩e : ; ,=X i e ,

( 2 . 1 )

( e 1 , e砂および ( e r ,e 2 )はそれぞれ元の座標系および回転された座標系の基底ベク トルを表わす．基底ベクトルは長さが 1で互いに直交しているので

( e i ,e j )=妬 が成立する．

式( 2 . 1 )の両辺に e 3を掛け，内積をとると 叩

( e ; ; , e 1 )=X i( e i , e 1 )

または

叩 忙 =X i ( e i ,e J ) となりこれは

町＝均凸

( 2 . 2 )

均t三 ( e 1 ,e i )

( 2 . 3 )

と書ける互ここに

7 ) クロネッカーのデルタと任意テンソルの積で，テンソルの

る場合（縮約）

8 i j巧 klrnn... =a,klrnn となり，クロネッカーのデルタは吸収される．

1個の指標が 8 i jの指標と一致す

3 9

ー

e

゜

2 . 2 座標変換（直交座標）

図2 . 2 / 3 1 1成 分

式( 2 . 2 )は具体的に

(:;)~(二゜［二：）（：：）

( 2 . 4 )

と書ける紅例えば / 3 1 1成分は図 2 . 2から e1 と erの内積をとって cos0であるこ とがわかる．他の成分もベクトル同士の角度から同様に導ける．行列 f 3 ] iはユニ タリ行列 9 )であり，変換行列と呼ばれる．変換行列 f 3 ] iの逆行列は式 ( 2 . 4 )の O を— 0 で置換することにより，以下の通り得られる．

w'~( ロニ：二）ー1

~(口~~:!), :::=~)~(二::: ;~';）゜ これから

B

ー

=BT

1

がわかる . Bはユニタリ行列なのでこの結果は当然である．

2次元の変換行列は Mathematicaで以下のように入力できる． In[ 3 7 ]: =( 3 = {{Cos[ 0 ],Sin[ 0 ] } , {-Sin[ 0 ],Cos[0]}} Out[ 3 7 ]= {{C o s [ 0 ] ,S i n [ 0 ] } , {-Sin[0],Cos[0]}}

In[ 3 8 ]: =x new = $ .Table[ x[ i ],{i, 2 } ]

+Sin[0]x[2], -Sin[0]x[1]+Cos[0]x[2]}

Out[38]= { C o s [ 0 ]x [ 1 ]

8 )2列目の成分は

1列目の成分の微分であることに注目すると， この行列を記憶できる

9 )AAT= Jな場合

ある．

A はユニタリ行列と呼ばれる． ここに ATは A の複素共役の転置行列で

40

第 2章テンソルとは

Mathematicaでキーボードからギリシャ文字ベータ

gを入力するには Esc,b ,

E s cの順にタイプする．シータ 0は E s c ,t h e t a ,E s cまたは E s c ,q ,E s cを人力す る10). リスト同士の積はスペースやスターではなくピリオド（．）であることに注 意する．

2 . 3 テンソルの定義 テンソルとは座標変換と共に一定の規則で変換される幾何学的量を指す．テン ソル方程式は座標変換の下で不変であるため，物理的に意味がある方程式はテン ソル方程式で記述されなければならない．

2 . 3 )の座標系同士での変換行列 f3ij( 0 )で定義され 直交座標系のテンソルは式 ( る. 0階と 1階のテンソルはそれぞれスカラー，ベクトルと呼ばれることがある が，線形代数で通常使用されるスカラーとベクトルはテンソルとは無関係であり 別のものである． 直交座標系でのテンソルの定義を以下に示す． 1 . 0階のテンソル（別名スカラー）

0階のテンソ）レまたはスカラー < I > ( x i )は以下の性質を満足する量を指す． ( a )< I > ( x i )は 1個の要素の関数． ( b )< I > ( x i )の X iを x , :で置き換えた量を示( x : , : )で表すと以下が成立する． ~(x:,:) = < I > ( x i ) 例

( 1 )< I > ( x i )デ 1 i I >が定数の場合，いかなる座標系でも定数のままであるため < I > ( x i )はス カラーである．

( 2 )< I > ( x ,y )三 x 2+y 2 xを 元 =xc o s0+ys i n0 , yを fj=-xsin0+ycos0で置き換えると

1 0 )他の記号も同様に入力できる．例えばアルファ

とタイプする

aは E s c ,a ,E s c , 無限遠 CX) は E s c ,i n f ,E s c

2 . 3 テンソルの定義

4 1

否 （ 元 ，y )= 炉 ＋ 祈 =(xcos0+ ysin0)2+ (-xsin0+ ycos0)2 =x2+炉 ＝ 剣x,y) よって < I > ( x ,Y )はスカラーである．砧＋炉は位置ベクトルの長さを表す ので座標系に依存せず < I > 'よ当然スカラーである．

( 3 )< I > ( x ,y )三 x2-y2 o s0+ys i n0 , yを y= -xsin0+ ycos0で置 例 2のように xを 元 =xc き換えると i~9

)=元2 _炉 否 （ 元 ，y

卜，．：入

95

=( xc o s0+ ys i n 0 ) 2- (-xsin0+ycos0 ) 2= /< I > ( x ,y )

’99•99,

；^rぶ， i

よって < I > ( x ,y )はスカラーでない．この例でわかるように，要素が一つ

＇,‘'，•,＇

だけの関数が全てスカラーという訳ではない．

i, ．,：'，：

以下の Mathematicaの コ ー ド は 叩 叩 ＝ 砂 ＋ 炉 が ス カ ラ ー で あ る こ と を

,'J9

示す．

と 99i9:J:

I n[ 3 9 ]: =( 3={ { C o s[ 0 ],S i n[ 0 ] } ,{ S i n[ 0 ],C o s[ 0 ] } }

：」-,i: ＇ i94L

O u t [ 3 9 ] ={ { c o s [ 0 ] , S i n [ 0 ] } ,{ S i n [ 0 ] , c o s [ 0 ] } } I n [ 4 0 ]: =x b a r=( 3 . T a b l e [ x [ i ] ,{ i ,2 } ] O u t[ 4 0 ]={ C o s [ 0 ]x [ 1 ]+S i n [ 0 ]x [ 2 ] ,S i n [ 0 ]x [ 1 ]+C o s [ 0 ]x [ 2 ] } I n [ 4 1 J: =x b a r . x b a r O u t [ 4 1 J =( S i n [ 0 ]x [ 1 ]+C o s [ 0 ]x [ 2 ] ) 2+ ( C o s [ 0 ]x [ 1 ]+S i n [ 0 ]x [ 2 ] ) 2 I n [ 4 2 ]: =S i m p l i f y [ % ] O u t [ 4 2 ] =x [ 1 ] 2 + x [ 2 ] 2 上記のコードで gは 2次元変換行列を表わし， xbarは回転された座標系， は元の座標系を表わす. x , x , ;は Simplify関数を使って簡略化される． 2 . 1階のテンソル（ベクトル）

1階のテンソル叱（四）は以下の性質を満足する量を指す．

( a ) 2次元では 2個 ， 3次元では 3個の成分がある．

( b )Xi を x , ;に置き換えた量を巫とすると

X

42

第 2章

テンソルとは

巫 ={3⑲ j

( 2 . 5 )

が成立する． 例

( 1 ) 剣 =x,妬 =y 巫の成分は座標成分自身なので明らかにテンソル（ベクトル） である．

( 2 )剣 =y,如 =X < I > iが 1階のテンソルであることを示すには，式 ( 2 . 5 )の両辺を独立に評 価して両者が一致するか否かを確認する必要がある．左辺は

否1= y= -xsin0+y c o s 0 , 右辺は

的 叱 =/ 3 1 1剣 ＋ 加 動 =ycos0+xsin0 なので

否Iヂf 3 I j叱 となり両者は一致しないため 4 > iはテンソルではない．この例のように 2個の成分がある量が必ずしも自動的にテンソルになる訳ではない．

( 3 )剣 ＝ ーY ,如 =X この場合左辺は

否1= -y= xsin0-ycos0 右辺は

/ 3 1 j叱 =/ 3 1 1剣 ＋ 加 動 ＝ 一 ycos0+xsin0 となるので両辺は等しくなり

巫 =f31j叱 が成立する． また i=2に関して左辺は

否2=元 =xcos0+ysin0 右辺は

厖叱 =fJ砂 1+f J 2 2如 =ysin0+xcos0

2 . 3 テンソルの定義

4 3

となり両辺は等しくなるので

屈＝厖似 が成立して < P iはテンソルであることがわかる 1 1 ) _

3 . 2階のテンソル 2階のテンソル < P i Jは以下の性質を満足する量を指す．

( a ) 2次元では 4個 ， 3次元では 9個の成分を有する． ( b ) Xi を x ; ;に置き換えた量を否uとすると以下の関係が成立する． 否; , 3 ( x 1 ; ; )=/ 3 , i / 3 幻< P i j( x ） 亙

( 2 . 6 )

例

( 1 )

虹 (~n 全成分が定数なので < I > 1 3も同じく

凡 ＝ （ ； ［ ） となる．この量がテンソルであることを示すには，テンソル変換規則 を全ての成分について調べる必要がある．例えば ( 1 1 )要素をとると

式( 2 . 6 )の左辺は 妬 I=1 右辺は / 3 I i / 3 乃< P i j=/ 3 1 1 / 3 1 1 2 2 》

=/311/311+ 加 加 =cos20+sin20=l

1 1 )( y ,x )は ( x ,y )を反時計回りに 9 0度回転したベクトルであり，座標系に依存しない概念 なのでテンソルであることが理解できる．

44

第 2章

テンソルとは

となるので，

( i j )=( 1 1 )に関しては

孔 =/3Ii/3Ij虹 が成立し，残りの要素に関しても変換則が成立することが示されるた I > i jは 2階のテンソルである 1 2 ) . め ，
2 2

/ 3 1 i / 3 1 j < I > i j=/ 3 1 1 / 3 1 1< I > u

》

=cos20+2cos0sin0+sin20 となるので

否n= J :/ 3 1 i f 3 1 1虹 が成立する．テンソル変換則を満たさないことを示す成分が一つでもあ れば，残りの要素を検証する必要はない．

( 3 ) ~,;

(~:~)

1 2 )< I > i jは単位行列であり単位行列を任意の行列，ベクトルに掛けても変化せず．座標系に依存 しないため < I > i jがテンソルであることがわかる．

2 . 3 テンソルの定義

45

この最は 2階のテンソ）レであることが示される（各自で確かめるこ

と ） 13). 4 . 3階のテンソル 3階のテンソル < I >i jk は以下の性質を満足する量を指す．

( a ) 2次元では 8個の成分， 3次元では 27個の成分を有する． ( b ) Xi を x7に置き換えた量を示り k とすると以下の関係が成立する．

巫:ik=/3,ihj/3kkijk 5 . 4階のテンソル 4階のテンソル R-2}

； 十 Out[49]= n(1+n)(R2)-1 上 記 の コ ー ド で は ， 位 置 ベ ク ト ル r= ( x 1心 2 ,X 3 )が 関 数 x[i] として入力さ れ ， rの絶対値は r に保存される．ラプラス演算子は laplaceで定義される． Mathematicaからの直前の出力はパーセント記号％で代表されるため，その都

度コピーして再入力する必要はない．右矢印記号（→)は，矢の左にある変数を 矢の右にある量で置換する代入規則である． 直交座標での微分 直交座標系で任意階数のテンソル（例えば Vij…)を微分すると，その結果であ 5 ) . る Vij…,kl.. は自動的にテンソルになる 1

（証明）例として

Vi を 1階 の テ ン ソ ル と 仮 定 す る 変 換 規 則 は

v , ;=( 3 いj 1 5 )これは直交座標系でのみ適用され，曲線座標系では成立しない．

( 2 . 8 )

O)filljjll~x1

演

48

[f>y)マ代江

2埠

代⇔が．沖

(2.8)

誨9 ,斗が代 C -

Iぎ塁 芦 ﹁ I

IIB 望娑点 j

16) ー

j

ご

I I 翌星 k(B

ー

1

言

IIB

17)

"k(BT) I I 翌望ざ

K

ざ

(2.9)

吐芦 咲 2 涸喋Sf>y)てd蹂ふい和洛湖 LAぐふ． 嘉活涵 f>y)贔 蔀 粛 中 こ 蝕 湘S 塗 沖 汁f>y)ご サ 翠 中 ミ 塁 K 斤 、ミマ代a 介が．宝 沖江 0活2 1 7：ー8 Eき 江 1 志﹃S7>｀ミマ．き !±2j ! i ' O ) j : , ,

滉︵

2.9)

!

og

j

j

j

が 活 岳 二 げ グh 7 r斤汁が．

7>y)K吋知血滉Sサ 隙 蒋 f>y)マ吋渤沿一竺啜満那言寄井 L 分ぐソ

r i n一吐恒TS

斤5

k蚕 罪 言 早 主d

隙か

A i 3 .:l3J: 論 E雨翠SfYy)マd隅ふ革命 1 ; i H r YBij n •••

1

•••

應 血

耳誠ミ翌蓋 9

こ代汁が． 8回 C苺 翠SfYy)

•••

•••

叩d 沙が aAij ＋ ミ ざ ⋮

︵南活︶ C o j⋮ =aAij 十 ミ ざ ⋮ 代 袖 藩 斗 が 代

さ＋ミざ CijIIR

・ ・ 3 I I忌巴ざー ・ :A ・ B i 1 ・・ t j : ・ ＋翌翌 迂 •••

1 翌： •Cij I I苔翌：・ ( a A i j...＋ミざ…）1評

l 6 )

Vj~x1

迂占EE斗が．

邑 翠

OJUO)

8a8k8 gjg8jg8k 竺濯玉斗が． 17)

g 2伊 i き ぷg

j

⇔S d

︵ 臼 ︶ ー 舒k a 8 j 8 さ

や寧が

6 i k

11

99

1

2 . 3 テンソルの定義

49

定理 2 もし任意の階数のテンソル V i j… =0がある座標系で成立するなら可t ぶ ． は他の任意の座標系でも 0になる．

（証明）

的 . . .=/ 3 , i f 3 ] j ・・ ・ V i j・ . .= / 3 , i / 3 ゎ ・・・O=0 定理 3 もし a i j… =b i j…がある座標系で成立するなら，他の任意の座標系でも 叩…＝妬…が成立する．

（証明） C i j… =a i j…一妬…と定義する．すると

( a )C i j…は定理 1よりテンソルである．

( b )Cij … =0 なので定理 2 からで•J … =a月…ー妬… =0 が成立する． ( c ) したがって叩…＝妬．．．が成立する． これにより，直交座標系でのテンソル方程式は任意の座標系でも不変であるこ とが示された物理法則は座標系に依存しないため，正しい物理法則はテンソル 方程式で表される必要があることがわかる．

商法則 A と C がテンソルで AB=Cが成立すれば， B はテンソルである． 例 1 . 弾性定数 弾性定数 C は第 3 章で解説されるように，応力 a とひずみ€の比例定数と

して び

( 2 . 1 0 )

=CE

として定義される．応力とひずみは共に 2階のテンソルであるため，式 ( 2 . 1 0 ) は び

i j=C心

l

( 2 . 1 1 )

となる 18). a と€ は共にテンソルのため，商法則により C はテンソルでなけ 1 8 )CT の方向と€の方向は必ずしも一致する必要はないため，異なった指標 (ij および kl) を用

い る ．

50

第 2章テンソルとは

2 . 1 1 )左辺の自由指標は i jのため， C の指標は ればならない．さらに．式 ( i j k lである必要がある． したがって 叩 =CijklEkl

を得る.

Cijぃはひずみの

k l成分に対する応力の i j成分と解釈される．

2 . 熱伝導率 熱伝導率 Kは熱流 h jと温度勾配 T , iとの比例定数として

加 =k T , j のように定義される．加および T , jは共に 1階のテンソルであるため， Kは 2階のテンソルでなければならない．

したがって

加 ＝ ー 柘T , j を得る．熱は温度が高い場所から低い場所へ流れるため，負号が導入された．

第 3章

場の方程式

本章では第 2章で導入したテンソルの概念を用いて連続体力学の場の方程式を 導き，同時に式の導出や問題の解に使用される M athematicaのコードも解説す る．全てのトピックを扱うのは不可能なので興味ある読者はファンの著名な教科 書 1) [ 6 ]を参照されたい．

3 . 1 応力 材料の変形を記述するには応力の概念を理解することが不可欠である．剛体の 力学では一点に作用する力だけを考えれば事足り，応力の概念を必要としない． しかし変形する材料では，材料内のある面に作用している面力は面の方向の変化 に伴い変化するため，一点に作用する力という概念はない．応力とは力と，その 力が作用している而の方向を合わせた量 ( 2階のテンソル）で，力 ( 1階のテンソ ル）とは異なる量である． 応力を理解するために図 3 . 1に示すように，入力が n (面に垂直な単位ベクト ル）で出力が面力 tであるブラックボックスを想定し，応力をこのブラックボッ クスとして定義する．入力 nと出力 tの間でこのブラックボックスを実現する最 も簡単なメカニズムは，面力 tを応力 oと単位ベクトル nの積として以下のよう に表わす．

( 3 . 1 )

びn = t

n と tは共に 1階のテンソル（ベクトル）であるため式 ( 3 . 1 )は 1 )Y .C . ファン（大橋義夫訳）．『連続体の力学入門改訂版』培風館

版のようである．

( 1 9 8 0 ) . この本は現在絶

5 2 第 3章 場 の 方 程 式

n~a~t

“一

図3 . 1 ブラックボックスとしての応力

図3 . 2 面に作用する面カ び 巧 =t ,

( 3 . 2 )

と書ける．商法則により，びは jがダミー指標， iが自由指標である 2階のテンソ ルであるよって式 ( 3 . 2 )は びi j巧

=t ,

( 3 . 3 )

となる．式 ( 3 . 3 )よりびij は面 jに作用する面力 tの i成分と解釈される．ここに 面 jとは垂直な単位ベクトルの向きが j軸と平行な面を指す．例えば anは面 1 の垂直成分，び21は面 1のせん断成分である. 2個の指標が同じ場合は垂直応力， 異なる場合はせん断応力と呼ばれる 2 ) . 例応力状態が

叩 ＝ （ ； ー ； ］ ） で与えられている場合，図 3 . 3に示される xyz3=lで与えられる曲面上の点 ( 1 , 2 )垂直応力とせん断応力の差は特定の座標でのみ有効であり，座標系に依存する．

3 . 1 応力

5 3

図3 . 3 曲面上での面カ

1 ,1 )で ， t i (面力成分）， Ni (応力垂直成分）， S i (応力せん断成分）， N ( N iの 絶対値）および s(ふの絶対値）を求める． 解

曲面上での垂直ベクトルを求めるには x yz3=lを全微分して

yげdx+xz3dy+3xyz2dz=0 を得る．これは ( y z 3 ,x z 3 ,3 x y z 2 ) ( 1 , 1 , 1 )= ( 1 ,1 ,3 )が面上の微小線要素 ( d x ,d y ,

d z )に垂直であることを意味しているため，このベクトルを正規化して

n= を得る．

(¾i, v h ,} , )

よって面力 t iは

叩 巧 ＝ （ 畠 ＇ 畠 ＇ 国 ） 15

9

1

ti=

で求められる. Niの絶対値 N は

27 N=t叫 ＝ 一 1 1 で求められる．応力垂直成分 Niの成分は

27 27 Ni=Nni= ( 1 1占 '11置

8 1 1 1

国 ）

5 4 第 3章 場 の 方 程 式 で求められる．応力せん断成分のふはゎと応の差で

1 3 8

Si=t i- N i = (

7 2

7 0

1 1年 ,1 1勾’― 1 1 y ' I T )

で求められる．ふの絶対値は S=v ↑

2皐

謬=

1 1

rv

4 . 6 7 8 0 7

となる． Mathematicaコードを以下に示す．応力成分は

3x3の行列（リスト）として

入力する． In[1]:=sigma= {{2, 1 , 4}, {1, -1, 3}, {4, 3 , -2}} Out[1]= {{2,1,4}, {1,-1,3},{4,3,-2}}

fの勾配を ( 1 ,1 ,1 )で評価したものが正規化前の垂直ベクトルとなる． In[2]:= f = x y z~3 Out[ 2 ]= xyz3

>1 , y>1 ,z> 1} In[3]:= n = {D[f, x], D[f, y], D[f, z]} / . {x Out[3]= {1,1,3}

ベクトルの正規化には Norm関数を使う． In[4]: = n = n / Norm[n] 1 1 Out[4]= { --

3 -

紅’謹’年

叩

｝

nj は行列とベクトルの積として計算できる．

In[5]: = t = sigma.n Out[5]= {

15

9

1

年＼芍’釘

｝

行列とベクトルの積にはドット（．）を使うことに注意する．通常の積はスペース かアステリスク（＊）を使う．結果は N命令により数値で示される． In[6]: = N[t] Out[6]= {4.52267, 2.7136, 0.301511}

垂直応力成分応の絶対値 N はゎと In[7]: = nn= t.n

mの内積として

3 . 1 応力

5 5

27 Out[ 7 ]= ― 11

と計算できる. Niの成分は In[S]:= ni = nn n

27 27 81 Out[ 8 ]= { 石,1101'11『 11y

｝

で計算できる．せん断応力成分ぶの成分は In[9]:= si = t - ni

138 72 70 9 ]= { Out[ 11辺 '1101'-11『

｝

で計算できる．せん断応力成分ふの絶対値 Sは In[ 1 0 ]: = Norm[si] // Simplify

Out[10]=

2亭

11

で計算できる．

3 . 1 . 1 応力の性質 応力は力を拡張した量であるため．力の釣り合いとモーメントの釣り合いが成 立する必要があり，以下の 3個の式が重要である． 1 . (定義） t i

( 3 . 4 )

=CJij巧

この関係はテンソルの商法則から導かれ，応力の定義である． 2 .

(力の釣り合い）

+bi=0

びi j , j

ここにかは体積力 3 ) を表わす． （証明）物体が静的釣り合いにあるとき，境界での面力 ti と内部での体積カ かの和は 0である必要があり，この条件は

i D +l t idS

=0

b idV

( 3 . 5 )

3 )体積力とは力が材料の容積に比例した力のことであり，例として重力や電磁気力がある．こ

れに対して面積に比例する力は面力と呼ばれる

5 6

第 3章 場 の 方 程 式

と表せる．ここに D は材料全体， 8Dはその境界を表わし， dSは微小面積

3 . 5 )の左辺第 1項は応力の定義で 要素， dVは微小体積要素を表わす．式 ( 3 . 4 )とガウスの定理4 ) を使い ある式 (

i D i D t idB=

a砂

l

1d8=

叩，1dV

と書けるので，式 ( 3 . 5 )は

／ （ びii,i+bi)dV=0 D と表されるが， これは任意の領域で成立する必要があるので

( J " i j , j+bi=0 が成立する．

3 . (モーメントの釣り合い）

iは本来は異なる量であるが，モーメントの釣り合いを考慮するこ 叩・とびj とにより対称テンソルであり

i j=U j i

び

が成立することが証明できる． （証明）材料に働くモーメントは面力 tと体積力 bに拠るのでモーメントの 釣り合いは

l

ivrxtdS+

rxbdV= 0

と書け，指標を使うと

i v

匂 K叫

I

dS+

D

句 K巧 似

dV=0

( 3 . 6 )

4 ) ガウスの定理は微分と積分は逆の関係であるという微分積分学の基本定理を 2次元， 3次元

で表したもので

f a v

v f

nivdS=

v , idV

と書ける．左辺の積分は D の境界 8 Dで定義される表面積分で，右辺の積分は D で定義さ れる．

3 . 1 応力

57

3 . 4 )とガウスの定理を使い，式 ( 3 . 6 )の左辺第一項は と表される．式 (

／印砂 九 dS=f 砂 J

Eij BD

BD

JO'kznzdS

I

=

D

(Eij砂 JO'kz), l dV

= / ( 匂 D

k巧 ， l叩 ＋ い 砂 戸 kz,z) dV

＝ ／ 因 心 叩 +Eijk巧 叫 z) dV D

I

=

D

(Eijk叫 + Eijk的 叫 z ) dV

となる．ここで巧， z=心を使った．

したがって式 ( 3 . 6 )は

I D

(Eijk叩 + Eijk巧（び k l , l十 似 ） ）

dV=O

となり，この式は任意の領域で成立する必要があるのでび kl,l +bk =0を 使い 句 印 kj =0

となり， CTkj

=CTjk

が成立する．

3 . 1 . 2 応力の境界条件 2種類の材料が接触しているとき，境界面では応力はいかなる条件を満たす必 要があるであろうか材料が静止しているため境界での面力が連続であることが 必要であり，また材料が剥離しないためには境界面で変位が連続であることが必 要である．

例 1 図3 . 4に示すように 2種類の材料が接触している場合，境界での垂直ベク

トルは

n=(0,1) なので面力の成分は t 1

=u11n1+u12n2= び12

58

第 3章

場の方程式 X2

.0 ク / フr ; 三.

n i↑

——_—ー！

:i~

ふ

rし」、ー：‘＿_.,~し

図3 . 4

,tt;

t 2

X1軸に平行な面での境界条件

=a21n1+ a22切 ＝ び22

， i ヽji

となる. t1およびゎの連続性から a12 とび22が境界で連続であることが必要であ るが． a nは連続である必要がない．

例 2 上記と同様だが境界は図 3 . 5で与えられる． この場合境界面での垂直単位 ベクトル n は n =( 1 / v 2 ,1 / v う）で与えられるので

t i=び11n1+ a12切＝（び11+び12)/v'2 t 2

となる．

=a21n1十び22切＝（び21+び22)/v'2

したがって a u +a12およびび2 1+び2 2は連続であることが必要である

が，個々の応力成分は連続である必要がない． X2 f-~

; f

ふ

5度傾いた面での境界条件 図3 . 5 4

3 . 1 応力

5 9

3 . 1 . 3 主応力 3次元の応カテンソルは 9個の成分があるが，びi j= C T j iが成立するので 6個が 独立であるり

しかし応力解析では 6個の成分全てが必要な訳ではな1なら楕円球は扁長， t1 )および扁球楕円球 ( t1 . 右辺は t 0 && t > 0 , Integrate[tmp1, {u, 0 , cxi}]]; iiij =Assuming[a[1] > 0 && t > 1 , Integrate[tmp2, {u, 0, cxi}]]; Sijkl =Table[O, {i, 3}, {j, 3}, {k, 3}, {l, 3}]; Do[Sijkl[[i, i ,i ,i ] ] = Q a[i]-2 ilij[ [ i , i]] + R iI[[i]]

IISimplify, {i, 3}J

f

In[2]:= Do[If[i j , Sijkl[[i, i , j, j]] = Q/3 a[j]-2 ilij[[i, j]] R iI[[i]], {i, 3}, {j, 3}]

/j, Sijkl[[i, j, i, j]] =Q/6 (a[i]-2 + a[j]-2) iiij[[i, j]] Do[If[ ic + R/2 (iI[[i]] + iI[[j]])], {i, 3}, {j, 3}]

f

j, Sijkl[[i, j ,j , i]] = Sijkl[[i, j ,i , j]]], Do[If[ i {i, 3}, {j, 3}, {k, 3}, {l, 3}] In[ 3 ]: = Sijkl[[1, 1, 1 ,1 ] ]

t(3i(t~( 一 5+2 t2)+3ArcCosh[tJ) ＋）（ご~) 4(1-2v t-A . c C o s h [ e ] ( 1 t 2 ) 5 1 2

Out[ 3 ]=

-1+t'

）

16(1-v)

楕円球が球 ( t=1 )の場合は

s1111= S2222= S3333=

7-5v 15(1-v)'

S1122 = S2211= S1133= S3311 = S2233= S3322=

s 1 2 1 2= S2323= S1313=

4-5v 15(1-v)'

5v-1 15(1-v)'

4 . 1 楕円球介在物の E s h e l b yの解 他の全ての sijkl=o となるが，これは Mathematicaで以下のように確認できる． In[4]: = Limit[Sijkl[[3, 3 ,3 , 3]], t > 1, Direction > "FromAbove"] Out[ 4 ]=

7 - 5ッ 15- 1 5 1 /

>1 , Direction > "FromAbove"] In[5]: = Limit[Sijkl[[1, 2 ,1 , 2]], t Out[5]=

4-51/ 15- 1 5 1 /

→oo)では

円筒状の介在物 ( t

81111=82222=

5-41/

=0 ,

, 83333

8 ( 1-v )

81122= 82211=

1-4ッ

8(-l+v)'

=81133=

82233

3-4ッ

=8(1-v)'

81212

ッ

83322= 83311= 0 ,

2 ( 1ー ツ ） ＇

他の全ての 8ijkl=0 となり， Mathematicaでは In[6]: = Limit[Sijkl[[1, 1 ,1 , 1]], t > oo] Out[6]=

5-4ッ 8-8ッ

In[7]:= Limit[Sijkl[[3, 3 ,3 , 3]], t > oo] Out[7]= 0 In[8]: = Limit[Sijkl[[1, 1 ,2 , 2]], t > oo] Out[8]=

1-4ッ

s(-1+v)

In[9]: = Limit[Sijkl[[2, 2 ,3 , 3]], t > oo] Out[9]=

1

=81313=4 '

82323

V

2-2v

> oo] In[ 1 0 ]: = Limit[Sijkl[[ 3 ,3 ,2 , 2]],t -

1 1 5

1 1 6 第 4章無限材料中の介在物 Out[ 1 0 ]= 0

> oo] In[11]: = Limit[Sijkl[[1, 2 ,1 , 2]], t Out[11]=

3 - 4ッ 8-81/

と確認できる．

a 3→0 )では 円形板状の介在物 (

=1 ,

83333

ッ

=82211=1-v'

83311

1 2 '

81313= 82323= -

他の全ての sijkl=o となり， M athematicaで In[12]: = Limit[Sijkl[[3, 3 ,3 , 3]], t > OJ Out[ 1 2 ]= 1

>OJ In[ 1 3 ]: = Limit[Sijkl[[ 3 ,3 ,1 ,1 ] ],t Dut[13]= -

I /

-1十 ツ

In[ 1 4 ]: = Limit[Sijkl[[ 1 ,3 ,1 ,3 ] ],t > OJ

1 Out[14]= 2

と確認できる． 横断等方性材料の E s h e l b yのテンソル 横断等方性は直交異方性材料の特殊なケースであり，一つの面で等方な性質を 指す．長繊維補強複合材料は横断等方性材料の例であり，実用上，重要な概念で

s h e l b yのテンソ ある. cijklが横断等方性である場合，等方性の材料に比べて E i n [ 1 4 ]は横断等方性材料の E s h e l b yのテンソルを数値積 ルは当然複雑になる. L athematicaを使用して sijkl を解析的に表わ 分を含む式で求めたが，今日では M i nによる結呆を示す．式の導出の詳細は元の論文 すことが可能である．以下に L を参照されたい． 横断等方性材料の弾性定数は 5個の独立な成分があり，の 1-X2平面が横断面の 場合， 5個の成分は Cun, Cn22, 01313, 03333, Cn33

4 . 1 楕円球介在物の E s h e l b yの解

1 1 7

で代表される. L i n [ 1 4 ]によると，横断等方性材料の E s h e l b yの テ ン ソ ル は ら が 定数のとき

1 S i j r n n=-Cpqrnn( G i p j q+G j p i q ) 8 1 r と表される．

ここに 4階のテンソル Gりぃは c i j k zと p三｝の関数である. G i 1 k z

の非零な成分は 冗 ―

1

Gun=G 2 2 2 2=2f o △(1-Xり { [ f( 1-x 2 )+h/討 ］ x[ ( 3 e+d ) ( l-x 2 )+4J/x2]-//x2(1-x 2 ) }dx G 3 3 3 3=4 1 r/1亭 x 2( d ( l-Xり+f尻x 2 )( e ( l-x 2 )+f尻x 2 )dx

゜i f o 1 (1- り { [ f ( l-x 2 )+h/x門

Gn22= G22n=

△

X

x[ ( e+3 d ) ( l-x 2 )+4J/x2]-3//x2(1-x 2 ) }dx Gm3=0 2 2 3 3=2 r r/1△p 2企{ [ ( d+e ) ( l-x 2 )+2f/x頁

゜

x[ f( 1-x 2 )+h/x2]-g 2/x2(1-x 2 ) }dx G 3 3 1 1=G 3 3 2 2=2 J f/1△(1-x 2 ) [ d ( l-x 2 )+J/x門 [ e ( l-x 2 )+J/xり dx

i

゜( l尻x2-(d-e)(!(1-xり+h/り ） dx

G 1 2 1 2= 11△ ( 1-x2ド

△ / 尻x刊1-xり（ e ( l-x 2 )+f尻x 2 )dx ゜

G 1 3 1 3=G 2 3 2 3=( 2 1 r ) である．ここに

1

g

△~l 三 [e(l-xり +fix汀 {[d(l-x り +fixり [f(l-x2)+hp2x2]-g2 p 2 x刊1-x ｝ り および

d= C 1 1 1 1= C 2 2 2 2 , e= ( C 1 1 1 1-C 1 1 2 2 ) / 2 , f= C 1 3 1 3= C 2 3 2 3 , g= C 1 1 3 3+C 1 3 1 3 , h= C 3 3 3 3

1 1 8 第 4章無限材料中の介在物 上記の式は数式処理システムが誕生する前に導かれたものであるが，今日で は Mathematicaで 積 分 を 実 行 す る こ と が 可 能 に な っ た 以 下 に sijぃを C1111, C1122, C1313, C3333, C1133および p の関数として計算した Mathematicaのコード

を示す．最初に積分内の関数は In[15]: = d = c1111; e = (c1111 - c1122)/2; f = c1313; g = c1133 + c1313; h = c3333; t : , . = 1/((e(i - x"2) + f p・2 x"2) ((d(1 - x"2) + f p・2 x"2) (f(1 - x"2) + h p・2 x"2) - g・2 p・2 x・2 ( 1 - x"2))); tmp1111 = Pi/2 / l( 1 - x・2) ((f(1 - x・2) + h p・2 x・2) ((3 e + d ) ( 1 - x・2) + 4 f p・2 x・2) - g・2 p・2 x・2 ( 1 -x"2)); tmp3333 = 4 Pi / l p・2 x・2 (d(1 - x"2) + f p・2 x"2) (e(1 - x・2) + f t : , . ・ 2 x"2); tmp1122 = Pi/2 / l( 1 - x"2) ((f(1 - x"2) + h p・2 x"2) ((e + 3 d ) ( 1 - x"2) + 4 f p・2 x"2) - 3 g・2 p・2 x・2 ( 1 - x"2)); )( 1 - x・2) + 2 f p・2 x"2) tmp1133 = 2 Pi / l p・2 x・2 (((d + e (f(1 - x"2) + h p・2 x"2) - g・2 p・2 x・2 ( 1 - x"2)); tmp3311 = 2 Pi / l( 1 - x"2) (d(1 - x"2) + f p・2 x"2) (e(1 - x・2) + f p・2 x"2); tmp1212 = Pi/2 / l( 1 - x"2)"2 (g・2 p・2 x・2 - ( d- e )( f( 1 - x"2) + h p・2 x・2)); tmp1313 = (-2 Pi) /lg p・2 x・2 ( 1 - x"2) (e(1 - x・2) + f p・2 x・2; g = {tmp1111, tmp3333, tmp1122, tmp1133, tmp3311, tmp1212, tmp1313};

で定義される．次に Sijklの成分は In[ 1 6 ]: =・tmp1 = Integrate[ g ,x ]; gijkl = (tmp1 / . x>1 ) - (tmp1 / . x> O); Gijkl = Table[O, {i, 3}, {j, 3}, {k, 3}, {l, 3}]; Gijkl[[1, 1 ,1 ,1 ] ] = Gijkl[[2, 2 ,2 , 2]] = gijkl[[1]]; Gijkl[[3, 3 ,3 , 3]] = gijkl[[2]]; Gijkl[[1, 1 ,2 , 2]] = Gijkl[[2, 2 ,1 ,1 ] ] = gijkl[[3]]; Gijkl[[1, 1 ,3 , 3]] = Gijkl[[2, 2 ,3 , 3]] = gijkl[[4]]; Gijkl[[3, 3 ,1 ,1 ] ] = Gijkl[[3, 3 ,2 , 2]] = gijkl[[5]]; Gijkl[[1, 2 ,1 , 2]] = Gijkl[[1, 2 ,2 ,1 ] ]= Gijkl[[2, 1 ,2 ,1 ] ] = Gijkl[[2, 1 ,1 , 2]] = gijkl[[6]]; Gijkl[[1, 3 ,1 , 3]] = Gijkl[[1, 3 ,3 ,1 ] ] = Gijkl[[3, 1 ,1 , 3]] = Gijkl[[3, 1 ,3 ,1 ] ] = Gijkl[[2, 3 ,2 , 3]] = Gijkl[[2, 3 ,3 , 2]] = Gijkl[[3, 2 ,2 ,3 ] ] = Gijkl[[3, 2 ,3 , 2]] = gijkl[[7]]; cijkl = Table[O, {i, 3}, {j, 3}, {k, 3}, {l, 3}]; cijkl[[1, 1 ,1 ,1 ] ] = cijkl[[2, 2 ,2 , 2]] = c1111; cijkl[[3, 3 ,3 , 3]] = c3333; cijkl[[1, 1 ,2 , 2]] = cijkl[[2, 2 ,1 ,1 ] ] = c1122; cijkl[[1, 1 ,3 , 3]] = cijkl[[2, 2 ,3 , 3]] = cijkl[[3, 3 ,1 ,1 ] ] = cijkl[[3, 3 ,2 , 2]] = c1133; cijkl[[1, 2 ,1 , 2]] = cijkl[[1, 2 ,2 ,1 ] ]=

4 . 1 楕円球介在物の Eshelbyの解

119

cijkl[[2, 1 ,2 ,1 ] ] = cijkl[[2, 1 ,1 ,2 ] ] = (c1111 - c1122)/2; cijkl[[1, 3 ,1 , 3]] = cijkl[[1, 3 ,3 ,1 ] ] = cijkl[[3, 1 ,1 , 3]] = cijkl[[3, 1 ,3 ,1 ] ] = cijkl[[2, 3 ,2 ,3 ] ] = cijkl[[2, 3 ,3 , 2]] = cijkl[[3, 2 ,2 , 3]] = cijkl[[3, 2 ,3 ,2 ] ] = c1313; Sijkl = Table[Sum[cijkl[[p, q , m, n]] (Gijkl[[i, p ,j , q]] + Gijkl[[j, p ,i , q]])/(8 Pi), {p, 3}, {q, 3}], {i, 3}, {j, 3}, {m, 3}, {n, 3}];

で計算される．リスト Sijkl[[i,j,k,l]] は 叩 が 対 称 軸 の 4階のテンソルであ る ．

この計算の実行は 1分ほど要するため，結果はファイルに保存し，次回以降

はファイルから読み込む方が効率が良い．ファイルの保存には SetDirectory関 数を使い，デフォルトデイレクトリの場所を指定する. Save関数で変数を指定す ると， Mathematicaはこのデフォルトデイレクトリにファイルを保存する．

例えば

Save関数で変数 Sijklの内容を SetDirectory関数で指定されたデイレ

クトリ c:¥tmpにファイル名 eshelby-transverse-isotropic.m6)で保存するには In[17]: = SetDirectory["c:¥¥tmp"]; Save["eshelby-transverse-isotropic.m", Sijkl];

と入力する. Windows版でデイレクトリの区切りを SetDirectory関数で入力す るには，ダブルバックスラッシュ（＼＼）を使用することに注意するり 保存されたファイル eshelby-transverse-isotropic.mを新たな Mathematica セッションに読み込むには In[18]: = SetDirectory["c:¥¥tmp"]; くく e shelby-transverse-isotropic.m;

を入力する. sijklは非常に長い式となるため豆全てを表示する代わりに式の一 部だけを表示するには Short関数を In[19]: = Short[Sijkl[[1, 2 ,1 , 2]], 1 5 ] Out[19]//Short=

1

― (c1111- c1122) 87r

1 (-1r(-((2(c1133+c1313)2p 2+c1111(c1313- c3333p 2 ) + 2

c1122(c1313- c3333p ） り/((c1111-c1122(c1111(c1313- c3333pり+p2 2c1313pり

5 )MATLABの m f i l eと紛らわしいが，拡張子を . mで保存することで Mathematicaのファイル

であることがわかる． 7 )Unixのスタイルで SetDirectory[ "c :/ t m p " ] と書くこともできる． 8 )保存されたファイル e shelby-transverse-isotropic.mのサイズは 256KBと相当大きい．

1 2 0 第 4章無限材料中の介在物 ( c 1 1 3 3 2+ 2c1133c1313+ c1313c3333炉 ） ） ） ） ― くく 1 ≫ ≪1≫ -+( c 1 3 1 3炉(≪1≫) J之 芦 y2y'≪1≫+くく 1 ≫

ArcTan[

J亭

] ) /

(¥/2Vc11332- c1111くく 5≫-/ ご 戸J (c1111(≪1≫)+≪1≫)312))+≪1≫)

のように使う.

Cijklが等方の場合上記の式は当然等方の場合の

E s h e l b yのテ

ンソルとなる．

4 . 1 . 3 非均質（介在物）問題 楕円球内に固有ひずみ叶j が存在する場合の E s h e l b yのテンソルは，上記の通 り求めることができたので，次に，材料全体に無限遠で一定のひずみ〈 Eij〉を加 えたときに，楕円球状の非均質な介在物が存在するときと同じ応力分布を発生さ せるように，この固有ひずみを選べることを示す．

f 1 k 1が周囲の材料の弾性定数 ここで「非均質」は，領域 Q 内での弾性定数 c Cむ k l と異なる場合として定義され，例として複合材料や合金などがある． 図4 . 4に示すように，固有ひずみ叶］が弾性定数 Cふ k lの無限領域内の楕円球状 領域 Q に存在する場合前節で心によって生じた全ひずみ€らは

€ら=

心

Sijkl

となることが示されたここに今は適合条件を満たすひずみで Sijklは E s h e l b y のテンソルである．

図4 . 4 介在物内に

E i jが存在する物体．

4 . 1 楕円球介在物の Eshelbyの解

1 2 1

図4 . 5 無限遠で〈 Eij〉が加えられて介在物内に叶jが存在する物体．

図4 . 6 無限遠で〈 Eij)が加えられている介在物問題． ここで図 4 . 5に示すように，図 4 . 4の物体に無限遠で一様なひずみ〈 Eij〉を受 けている物体を考える．〈 Eij) は一様で

E : j とは独立なため，適合条件9 ) を満た

す Q 内の全ひずみは〈 Eij〉の分だけ増加して，〈 Eij〉+ 1 :らと書ける. ずみ

E:j は全ひ

E i j の非弾性部分なので，びi j に比例する全ひずみの弾性部分は

0 内では

〈叫＋€ら一心で与えられる．よって Q 内の応力は びi j=

+ 1 :伍— Ekz)

cfjkl〈 (Ekl〉

= Cijぃ ( 〈Ekl〉+SklrnnE;,.n- Ekz)

( 4 . 1 6 )

で与えられる． ここで領域 Q において，周囲の材料 Cfjkl とは異なる弾性定数 cfjkl を有する 非均質な介在物問題を考える．固有ひずみは Q 内に存在しない（図 4 . 6 ) . 物体に 介在物が存在せず均質であれば，応力とひずみ分布は物体全体で一様であり〈 Eij〉 9 )

Eij =U ( i , j )

1 2 2 第 4章 無限材料中の介在物 に等しい．

しかし弾性定数 cfjkl の介在物の存在による€らだけの撹乱があるの

で，全ひずみ E i jは 句＝〈叫＋缶 と表され，応力は

叩 =C如（〈€い〉＋€伍）

( 4 . 1 7 )

となる. E shelbyのアイデアは，固有ひずみ E i jによる応力場である式 ( 4 . 1 6 )が ， 非均質（介在物）による応力場である式 ( 4 . 1 7 )と等しくなるよう, E i jを選択で きることを示した点にある．このためには，以下の 3個の連立方程式を解くこと となる． び

i j=c f j k z〈 (E k l〉+ 1 :伍— Ekz)

叩 =C如（〈叫＋€伍） I €ぃ=

* S k l , n n E , n n

上記の連立方程式を解いて€らは形式的に

d )S-C゜）―i(ci-C゜）〈€〉

E'=S((C0-

i j k lの逆テンソル v犀n nは と書ける． ここに 4階対称テンソル V 1 ー 1 i j m n=2( r 5 i m炉 ＋ 如 伍 ） V i j k l V k l m n=I i j m n , l と定義される．

よって無限遠に〈€〉がある介在物問題における介在物内部のひず

みざは

i=E'+ = (I+S((C0-Ci)S-C0) —l(ci-co)) =A

( 4 . 1 8 )

と表される． ここに A は

d )S-C゜）ー i(ci-C゜））

A 三 (I+S((C0-

( 4 . 1 9 )

4 . 1 楕円球介在物の E s h e l b yの解

1 2 3

で定義され，ひずみ比例係数と呼ばれる．式 ( 4 . 1 8 )のひずみざは 0 の形状が回 転楕円体であり，ぴおよび

c oが等方または横断等方性の場合に，介在物内で一

様となる． 式( 4 . 1 8 )の具体的な計算には， Mathematicaのパッケージを作成し，一括して ロードし，介在物内の応力計算に必要な関数を内蔵関数のように呼び出すと効果 的である．このため， Mathematicaのパッケージである m icromech.mが開発され た ． このパッケージには， 2階と 4階の等方および横断等方性のテンソル間の演 算に必要な全ての関数が含まれている．

micromech.mのソースコードは長いため，本書では掲載を割愛しているが，ウェ h t t p : / / z e n . u t a . e d u / k y o r i t s u / )からダウンロード可能である． ブサイト ( micromech.mを使用するには，ファイル m i c r o m e c h . mを作業用デフォルトデイ レクトリに保存して，以下のようにロードする．

I n[ 2 0 ]: =S e t D i r e c t o r y[ "c :¥¥ t m p " ] O u t [ 2 0 ] =c : ¥ t m p i c r o m e c h . m I n [ 2 1 ]: = . J+ 2μJ+ 4μm7 ) ( A m ( 9 μ m)＋ 2μm(8μf+ 7μm)) ￨︵3ンm+2 μ r n ) 6μ 2f μm μ m +(

'

→ '・'", , - ' -, - " - ',_, -ヽ'

,,__ ___

" " '"『,,ャ ー "' ,'"'"沖,,,. _ 心 ヤ

--- ' " ' , , '

B11

"'ヽ←、,,,,, …"'へ''"

'"、,,,, ,,,,

'ヘヤ呵

, .. ,,,,,.,.,,,,,, ,,,,

図

代渕ば芦が．

ー

i j O ' k k 0.212153O

I h b令 ＝ 1 部

4 . 1 楕円球介在物の Eshelbyの解

127

□

＼

~

D

(Am,μm)

／

図4 . 8 円筒状の介在物内の応力場

同様に，円筒状の介在物

( t→oo)内の応力場は CylinderStressFactor関数を

使って求められる．母相および介在物が共に等方性であり，ラメ定数がそれぞれ （ 入r n ,μ r n )および（心い）の場合，円筒状介在物内の応力場は 叩 =Bijkl心

と表される.

Bi1kl の成分は以下のコードで求められる．

In[25]: = CylinderStressFactor[{cf33, cf11, cf31, cf31, cf12, cf44}, {cm33, cm11, cm31, cm31, cm12, cm44}]

+cf33(cf11+cf12+cm11- cm12))(cm11+cm12)+ 2cf31(-cm11+cm12)cm31)/ ((cf11+cf12+cm11-cm12)(-2cm312+(cm11+cm12)c m 3 3 ) ) , ((cm11(3cf11(cm11-cm12)(cm11+cm12)+cf112(5cm11+cm12)） ） ／ cf12(5cf12cm11+cm112+cf12cm12- cm12り ( 3cf11cm11- 3cf12cm11+cm112- cf11cm12+cf12cm12- cm12門 ― ((cm11- cm12)cm31(cf31(cm11+cm12)- (cf11+cf12)cm31))/

Out[25]= {((-2cf312

(-2cm312+(cm11+cm12)cm33))/

+cf12+cm11- cm12)(cm11+cm12)), +cf12+cm11- cm12)+ 2cf31(-cf31+cm31))+2cf31cm11cm33)/ m 3 3 ) ) , ((cf11+cf12+cm11- cm12)(-2cm312+(cm11+cm12)c ((cm11- cm12)(cf31(cm11+cm12)- (cf11+cf12)cm31))/ m 3 3 ) ) , ((cf11+cf12+cm11- cm12)(-2cm312+(cm11+cm12)c ((cm11(cm11(cf112- cf12(cf12- 3cm11)- cf11cm11)+ 3(-cf112+cf1 2 2 )cm12+(cf11- 3c f1 2 )cm122))/ ( 3cf11cm11- 3cf12cm11+cm112- cf11cm12+cf12cm12- cm122)― ((cf11

(-cm31(cf33(cf11

1 2 8

第 4章無限材料中の介在物

( ( c m 1 1-c m 1 2 )c m 3 1( c f 3 1( c m 1 1+ c m 1 2 )- ( c f 1 1+ c f 1 2 )c m 3 1 ) ) / -2c m 3 1 2+ ( c m 1 1+ c m 1 2 )c m 3 3 ) ) / ( ( c f 1 1+ c f 1 2+ c m 1 1- c m 1 2 )( c m 1 1+ c m 1 2 ) ) , c f 4 4

｝

c f 4 4+ c m 4 4

CylinderStressFactor関数は円筒状介在物と母相の弾性定数を引数とする．弾

性定数の順序は，添字規約では{c 3 3 3 3 ,cnn,c 3 3 n ,c 1 1 3 3 ,c 1 1 2 2心 1 3 1 3 } , フォークト 表記では{C 3 3 ,c 1 1 ,C 3 1 ,C 1 3 ,c 1 2 ,C 4 4 }の順である．出力は 6個の成分で B 3 3 3 3 ,B 1 1 1 1 , B 3 3 1 1 ,B 1 1 3 3 ,B 1 1 2 2 ,B1313に対応する．円筒状介在物と母相が等方性の場合，応

力比例係数は I n [ 2 6 ]:= CylinderStressFactor[{2μf + 入f , 2μf + 入f ' 入f ' 入f , 入f'μf}, {2μm+ 入m , 2μm+入m , ふ，入m , 入m ,μ m } ]/ / Simplify 2μf入 (m+μm)(μf+μm)+入 f( 3入mμf+μm(3μf+μm)) O u t[ 2 6 ]= { μm(入f+μf+μm)( 3入m + 2 μ m ) '

入 （f入 (m十μm)( 3入m(3μf+μm)+4μm(5μf+μm))+ μ f+μm)+ 4Amμm(4μf+ 3μm)+ 2μm2(5μf+ 3μm)))/ 2μf( 5〉u記 ( ( 2入 (f+μf+μm)( 3入m+ 2μm)入 (m(μf+μm)+μm(3μf+μm))), mμf( μ f+μm)+入f(-3入mμf+ 3入 mμm+4μm り -2入 2μm(入f+μf+μm)( 3入m+ 2μm) —入mµf 十入fµm

（ 泣 +μf+μm)( 3入m+2μm)' mμm2→ -2μm2(-μf+μm)+入m 2( μ f+μm))+ (-2μf(4入 入f(-3〉 u 記( μ f-μm)+ 4μm2( μ f+μm)+〉1mμm(-3μf+ 7μm)))/

( 2入 (f+μf+μm)( 3入m+ 2μm)入 (m(μf+μm)+μm(3μf+μm))), μf

｝

μf+μm

で計算できる. Cnn= 2 μ十 入 ， C1122=入および C1212=μ に注意する． アスペクト比が t=lまたは t→oo以外の場合等方性材料の Eshelbyのテン ソルは tをアスペクト比. nuをポアソン比として Eshelbylsotropic[t, nu]関数 で計算できる. Eshelbylsotropic[t, nu]からの出力は {83333,Snn,S33n,Sn33, 8 1 1 2 2 , 8 1 3 1 3 }である．この出力は非常に長くなるが， Short関数で出力の一部だ

けを表示することができる ll)_ In[ 2 7 ]: ;S h o r t[Eshelbyisotropic[ t ,n u ],7 ]

1 1 )この出力には複素数 iが含まれているが，実際の計算では主値をとることで実数となる

4 . 1 楕円球介在物の Eshelbyの解

1 2 9

1

Out[ 2 7 ] = {—+ ふ／（油 +μm)/2}; , 2μm+ A m , 油，入m, 入m, μm}; cm= {2μm+入m c i = {2μi + 入i , 2μi +入 i , 入i , 入i , 入i,μi}; afactor = IdentityTensor + TransverseProduct[ TransverseProduct [ e i , Transverseinverse[ TransverseProduct[cm -c i ,e i ]c m ] ] ,c ic m ] ;

例えば t=2の場合 A3333成分は In[ 2 9 ]: = afactor[[ 1 ] ]/ . t> 2 // Simplify Out[29]= ( 3 (入m +2μm)( 入mμm(18μi+ 6μm+ 7V3μiLog[2+ ⑮ ＋ V3μmL o g [ 2+ ⑮ — 6 入i (-6+ V3Log[2+咋］））＋ 2μm2(18μi- V 切 且 Log[2+ V司+ v砂mLog[2+ V司— 4入i(-6十 咋 L o g [ 2+ V3]))+ 3- V3L o g [ 2+咋])+ 3μi(-2+ V3L o g [ 2+ 咋］））））／ 3崖 (μm( ( 3入i(27 湿 (µm(3 —咋 Log[2 + ¥ 1 ' 3 ] )+μi(-2+ V3Log[2+咋］））＋

1 3 0

第 4章

無限材料中の介在物

2 μ面 (μi(-66+ 45嘉 Log[2+嘉］ー 14Log[2+⑮ド）＋ μm( 1 0 8- 49⑮ Log[2+嘉]+ 14L o g [ 2+ V 3 ]り ） ＋ 入mμm(μi(-186+ 117y3Log[2+咋］ー 28L o g [ 2+ 辺] 2 )+

μm( 2 8 2- 1 2 1咋 Log[2+

心 +28Log[2+ y3『 ） ） ） ＋

2( 3入 正 (9μi2(-2+ y3Log[2+喜］）＋ 2 μ面 (-6+ 9y3Log[2十

◎

— 7Log[2

+嘉門）＋

3 ]+ 14Log[2+ y3門 ） ） ＋ ュ μ μm(45- 25y3Log[2十V 2μm2( μ ザ (-66+45⑮ Log[2+⑮ — 14Log[2 + ¥ 1 3 ] 2 )+ 2μm2(-6+ 9⑮ Log[2+嘉］ー 7Log[2+◎り＋

ュ μ μm(132- 63喜

Log[2+

心 +28Log[2+ ¥13]り ） ＋

入mμm(μ ュ 2(-186+117嘉 L o g [ 2+嘉］ー 28L o g [ 2+ ¥ 1 3 ]り＋

10μm2(-6+ 9咋 L o g [ 2+ V 3 ]-7Log[2+ 喜] 2 )+ 1 3 ]+ 98L o g [ 2十V 3 ]り ） ） ） μiμm( 3 9 0- 195⑮ Log[2+ ¥

となる．

Eshelbyは介在物外部の応力場の計算方法も示したが [ 5 ] , 実際の計算は容易で なく， また数値積分も必要となる．

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場 Eshelbyは洗練された手法を使って，無限大に拡がる母相内にある楕円球上介 在物内の弾性場を求めた. E shelbyの貢献は，介在物内の材料定数が等方または 横断等方性の場合，介在物内の応力場が一様になることを示した点にある．

しか

しE shelbyの方法では介在物外の弾性場を解析的に求めることは困難であり，数 値積分が必要となる [ 5 ] . また，図 4 . 9に示すように介在物が同心の別の介在物で 囲まれているような場合， E shelbyの方法では対応できず，異なる解析方法を導 入する必要がある． この間題に関しては C h r i s t e n s e nandL o [ 3 ] ,C h r i s t e n s e n [ 2 4 ] の論文が有名であり，球状の介在物を同心の別の層が囲んでいる場合の応力場が 求められた．ただし，同論文では解は具体的な形式で求められていない．

[ 1 7 ]は同様な問題をより洗練された方法で解いたが，解は具体的に表さ れていない．本節では大島 [ 1 7 ]の手法に従い，微分方程式を直接解くことにより， 大島

任意の数の同心介在物に適用される解析法を解説する． これは， Mathematicaを 使用しなければ解析解が求められない一例である．

4.2

多相の同心状介在物がある場合の応力場

□

131

/
c 1 , 入ー＞入 1 Out[81]=

[ i ,j ] 3EO( 3入1+2μ1)(入m+ 2μm)o 3入1+ 2μ1+ 4μm

｝

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 4 5

In[82]: = tiin= Tractln / . sol2 Out[82]=

. > . . m +2μm)x[i] 3EO( 3入1+ 2μ1)( r( 3入1+ 2μ1+4μm)

2 . 母相内 (a c m , 入ー＞ふ， μ->μm}/ [ i ,j ]+ Out[85]= E o( 3入m +2μm)b [ i ]x [ j ]+ r 28 [ i ,j ] ) 2a3Eoμm(-3入1+3入m- 2μ1+ 2μm)(-3x 丑( 3入1+ 2μ1+4μm)

In[86]: = tiout = TractOut / . sol2 Out[86]=

Eo( 3AID+2μm)x [ i ] r

-

4a3Eoμm(-3入1+ 3AID-2μ1+ 2μm)x [ i ] 丑( 3入1+ 2μ1+4μm)

と計算できる． 沿に対する解 物体が無限遠でひずみのせん断部分である衿i jの下で変形している場合も，上 記と同様に弾性場を求められる． しかし，弾性場を発生するソースがスカラーである Eaの場合に比べて，弾性場 を発生するソースが 2階のテンソルである衿；の場合，計算はより複雑になり，

Mathematicaを使わなければ厳密解の導出は不可能である． 変位 Ui と表面力 tiは 4個の独立な関数の結合で表された． In[ 8 7 ]: = Ui = ui / . soll / . myrule 2 c [ 1 ]

2μc[2]

丑( 5入+7μ)c[3]

—+ 5r5 3丑（入+μ)

Out[87]= (

2入+7μ

+C [ 4 ] ) x [ m ] " f o [ i , m ]+

146

第 4章無限材料中の介在物

亭＋予＋召 C[3])x[i]x[p]x[qいo[p,g J r 2 I n [ 8 8 ]:=Ti= ( S i j x[j]/r / /E x p a n d )/ .m y r u l e/ /S i m p l i f y O u t[ 8 8 ]= (μ(2r 2( 6入2(8c[1]+sざ ( c [ 2 ]-4r5c [ 3 ]+ぎ C [ 4 ] ) )+ 7μ2(24C[1]+51 之( 2c [ 2 ]-3r 5C [ 3 ]+ 3r 3c [ 4 ] ) )+ 入μ (216c [1 ]+ 5r 2( 2 5c [ 2 ]-4 5r 5c [ 3 ]+ 2 7r 3c [ 4 ] ) ) )x [ m ] ' Y o [ i ,m ]-

1 5(入+μ)( 入( 1 6c [ 1 ]+ 1 6r 2c [ 2 ]- 1 9r 7c [ 3 ] )+ 14μ(4C[1]+ 4r2C [ 2 ]-r 7C [ 3 ] ) )x [ i ]x [ p ]x [ q ], y o [ p ,q ] ) ) / ( 1 5r8(入十μ)( 2入 +7μ))

よって介在物内と母相内の変位と表面力は， 4個の独立な関数の線形結合として I n[ 8 9 ]: =D i s p i n=C o l l e c t[ a b l e [ c 1 [ i ] ,{ i ,1 ,4 } ] ] ( U i/ .{ C>c 1 , 入—>入 1, μ->μ1}), T O u t[ 8 9 ]= c 1 [ 4 ]x [ m ]o [ i ,m]+ [ m ]1 o [ i ,m ] c 1 [ 3 ](—丑 (5 入 1 + 7μ1)x +x [ i ]x [ p ]x [ q ] , o [ p ,q J )+ 2入1+ 7μ1 c 1 [ 1 ](-2x[m~::rュ， m] + x [ュ ]x [ p ]x ; ; ], o [ p ,q ] )+ c l [ 2 ](_2μ1x [ m ] , o [ i ,m ]+ x [ i ]x [ p ]x [叫, o [ p ,q ] r 5 ) 3戸（入 1+μ1) I n[ 9 0 ]: =D i s p D u t =C o l l e c t[ a b l e [ c 2 [ i ] ,{ i ,1 ,4 } ] ] ( U i/ .{ C>c 2 , 入—>入m, μ->μm}), T O u t[ 9 0 ]= c 2 [ 4 ]x [ m ]o [i ,m]+

(—

c 2 [ 3 ]

r2 ( 5入m+ 7μm)x [ m ]1 o [ i ,m ] +x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q ] + 2入m + 7 μ m )

c2[iJ(-2x[m~~:[i,m] + x [ュ ]x [ p ]x ; ; ]" f o [ p ,q ] )+ c 2 [ 2 ](-2μmx[mho[ ， ユm ]+ x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q ] r 5 ) 3戸（入m+μm) I n[ 9 1 ]: =T r a c tI n=Ti /. { C>c 1 , 入->入 1 , μ->μ1} 2( sc 1 [ 1 ]+ 5r 2( c 1 [ 2 ]-4r5c 1 [ 3 ]+ r 3c 1 [ 4 ] ) )+ O u t[ 9 1 ]= ( μ 1( 2r 2( 6入1 7 μ 1 2( 2 4c 1 [ 1 ]+ 5r 2( 2c 1 [ 2 ]-3r 5c 1 [ 3 ]+ 3r 3c 1 [ 4 ] ) )+ 入1μ1( 2 1 6c 1 [ 1 ]+ 5r 2( 2 5c 1 [ 2 ]-4 5r 5c 1 [ 3 ]+ 2 7r 3c 1 [ 4 ] ) ) )x [ m ] ' Y o [ i ,m ]-

1 5入 (1+μ1)入 (1( 1 6c 1 [ 1 ]+ 1 6召 c 1 [ 2 ]- 1 9 r 7c 1 [ 3 ] )+ 14μ1( 4c 1 [ 1 ]+ 4r2c 1 [ 2 ]-r 7c 1 [ 3 ] ) )x [ i ]x [ p ]x [ q ] ' Y o [ p ,q J ) ) /

4.2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

147

( 1 5r 8( 入 1+μ1)(2入1+1μ1))

=TractDut =Ti/. {C -> c2, 入ー＞入m, μ->μm} In[92]: Out[ 9 2 ]=(μm( 2召 ( 6入m 2( 8c2[1]+ 5召 (c2[2]- 4竺 c2[3]+ r3c2[4]))+ 7μm2( 2 4c 2 [ 1 ]+ 5r 2( 2c 2 [ 2 ]- 3r 5c 2 [ 3 ]+ 3r 3c 2 [ 4 ] ) )+ 入mμm(216c2[1]+ 5合 ( 2 5c 2 [ 2 ]- 45r5c 2 [ 3 ]+ 27ザ c 2 [ 4 ] ) ) )x[mbo[i,m ]入m十 μm)(入m(16c2[1]+ 16r2c2[2]-19r7c 2 [ 3 ] )+ 15(

14μm( 4c 2 [1 ]+ 4r 2c 2 [ 2 ]- r 7c 2 [ 3 ] ) )x [ i ]x [ p ]x [ q ] ' " Y o [ p ,q ] ) )/ ( 1 5r 8( 入m+μm)( 2入m+7μm))

と表される．

『= 0および c炉 =0となり，また r→OO で u門 → Xぶ］なので c 押 =1および c 罰 =0となる．残りの未知係数は r=a 変 位 叶 は r=Oで有限のため，

C

での変位と表面力の連続条件から決定される． o u t

m

u i =u i

r=a ,

籾 =to u t r=a i i 以下の Mathematicaコードは方程式を定義して未知係数について解く． In[ 9 3 ]: = c1[1] = 0 ; c1[2] = 0 ; c2[ 4 ] =1 ; c2[ 3 ] =0 ; =t mp1 = ((Displn -DispOut) / . r -> a ) // Expand In[ 9 4 ]:

Out[ 9 4 ]=x [ m ] ' Y o [ i ,m ]-

5a 2入1c 1 [ 3 ]x [ m ] ' Y o [ i , m ]_ 2入1+ 7μ1

7a2μ1c 1 [ 3 ]x [ m ]" ( o [ i ,m ] 2入1+ 7μ1

+c 1 [ 4 ] x [ m ] ' Y o [ i , m ]+

2 c 2 [ 1 ] x [ m ] ' Y o [ i , m ] _ 2μmc2[2]x[m]'Yo[i,m] + 3a 3入 (m+μm)

5述

c 1 [ 3 ]x [ i ]x [ p ]x [ q ]ァo [ p ,g J― c 2 [ 1 ]x [ i ]x [ p ]x [ g J" ( o [ p ,q ]_ c 2 [ 2 ]x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q ] a

a s

In[95]:= eql = Coefficient[tmpl, x[m] y o [ i , m]] 5a 2入1c 1 [ 3 ] 7紺 μ1c1[3] 2 c 2 [ 1 ] 2μmc2[2] 1 [ 4 ]+ Out[ 9 5 ]=-1- — + c 2入1+ 7μ1 5a 5 3記（入m+μm) 2入1+ 7μ1 In[ 9 6 ]: =e q2 = Coefficient[ t m p 1 , x[ i ] x[ p ] x[ q ]r y o[ p ,q ] ]

148

第 4章 無 限 材 料 中 の 介 在 物 c 2 [ 1 ]

Out[96]~c1[3] -

a 7

c 2 [ 2 ] -a 5

In[97]: = tmp2 = ((Tractin - TractOut) / . r ->a)// Expand Out[97]= (μ1(2a2(30a2入1 2(-4a 5c 1 [ 3 ]+ a 3c 1 [ 4 ] )+ 1 [ 3 ]+ 3a 3c 1 [ 4 ] )+ 35a2μ12(-3記 c 5a 2入1μ1(-45a 5c 1 [ 3 ]+ 27a 3c 1 [ 4 ] ) )x [ m ]r y o [ i ,m ]-

(1 1+μ1)(-19a7入1c 1 [ 3 ]- 14a7μ1c 1 [ 3 ] )x [ i ]x [ p ]x [ q ] ' Y o [ p ,q ] ) ) / 1 5〉 ( 1 5記（入 1+μ1)( 2入1+ 7μ1))-

召( 8c 2 [ 1 ]+ 5a 2( a 3+ c 2 [ 2 ] ) )+ (μm( 2a 2( 6入n 7μm2( 2 4c 2 [ 1 ]+ 5a 2( 3a 3+ 2c 2 [ 2 ] ) )+ 入mμm(216c 2 [1 ]+ 5a 2( 2 7a 3+ 25c 2 [ 2 ] ) ) )x [ m ]r y o [ i ,m ]-

(m+μm)(14μm(4c2[1]+ 4a2c2[2])+ 15入 入m( 1 6c 2 [ 1 ]+ 16a 2c 2 [ 2 ] ) )x [ i ]x [ p ]x [ q ]r y o [ p ,q ] ) ) / ( 1 5a 8( 入m+μm)(2入m+7μm)) In[98]: = eq3 = Coefficient[tmp2, x[m] r y o [ i , m]] Out[98]= (2μ1( 3 0a 2入1 2(-4a5c 1 [ 3 ]+ a 3c 1 [ 4 ] )+ ]+ 3a 3c 1 [ 4 ] )+ 35a2μ12(-3a5叫 3 5a 2入1μ1(-45a 5c 1 [ 3 ]+ 27a 3c 1 [ 4 ] ) ) ) / ( 1 5a 6( 入 1+μ1)( 2入1+7μ1))(2μm( 6入m 2( 8 c 2 [ 1 ]+ 5a2( a 3+ c 2 [ 2 ] ) )+ 7μm2( 2 4c 2 [ 1 ]+ 5a 2( 3a 3+ 2c 2 [ 2 ] ) )+ 入mμm( 216c 2 [ 1 ]+ 5a 2(27a 3+ 25c 2 [ 2 ] ) ) ) ) /

( 1 5a 6( 入m+μm)( 2入m+7μm)) p ,q ] J In[ 9 9 ]: = eq4 = Coefficient[tmp2, x[ i ] x[ p ] x[ q ] "(O[ μ1(-19a7入1c 1 [ 3 ]- 14a7μ1c 1 [ 3 ] ) Out[ 9 9 ]= — + a 8( 2入1+ 7μ1) μm(1、 1cμm(4c2[1]+4a2c2[2])+、）1 m( 1 6c 2 [ 1 ]+ 1 6a 2c 2 [ 2 ] ) ) a 8( 2入m+ 7μm) In[100]: = sol2 = Solve[{eq1 == 0 , eq2 == 0 , eq3 == 0 , eq4 == O}, {c1[3], c1[4], c2[ 1 ] , c2[2]}][[ 1 ] ] 15入 (mμm+2μmり →o ,c1[4]→ 6入mμ1+ 9入mμm+ 16μ1μm+ 14μm2'

Out[100]= {c 1 [ 3 ]

15話 (μ1-μm)入 (m+μm) →6入mμ1+ 9入mμm+ 16μ1μm+ 14μm2'

c 2 [ 1 ]

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

→

c 2 [ 2 ]

ー

15紺 (μ1-μm)( 入m+μm)

｝

6入mμ1+ 9入mμm+ 16μ1μm+ 14μm2

よって介在物内 ( 0入 1, μ->μ1} I . sol2

Out[102];

(mμm+ 2μm2)r y o [ i ,j ] 15入 6入mμ1+ 9入mμm+ 16μ1μm+ 14μm2

In[ 1 0 3 ]: ; び ijin; S i j/ . {C -> c l , 入ー＞入 1 , μ->μ1} I . sol2 // Simplify Out[103];

30μ1μm入 (m+2μm斤 o[i,j ] 2μm(8μ1+7μm)+入m(6μ1+ 9μm)

In[104]: = tiin = Tractln / . sol2 // Simplify Out[104]=

(m+ 2μm)x[m]" ( o [ i ,m ] 30μ1μm入 r(2μm(8μ1+7μm)+入m(6μ1+9μm))

と表される．

o )の変位，ひずみ，応力および表面力は 母相内 (a c 2 , 入ー＞入m 5r 4(μ1-μm)入 (m+μm)+ Out[ 1 0 6 ]= ((-10a 3竺 (μ1-μm)μm- 6a ]+ r 9(2μm(sμ1+ 7μm)+入m(6μ1+ 9μm))),o[i,j 15a 3(μ1-μm)( x [ j ]( r 2(-r2入m+2記（入m+μm))x[ml,o[i,m]-

） （ 入m+μm)x[i]x[p]x[q]1o[p,q ] )+ ( 7a 2- 5召 召 ((-r2入m+ 2a 2( 入m+μm))x [ i ]x [ m ]1 o [ j , m ]+ [ p ]x [ q ], o [ p ,q ]o [ i ,j ] ) ) ) / (a2-r2)(入m+μm)x

1 4 9

1 5 0 第 4章無限材料中の介在物 ( r 9(2μm(8μ1+ 7μm)+入m(6μ1+9μm))) I n [ 1 0 7 ]:=び i j o u t=S i j/ .{ C>c 2 , 入ー＞入m , μ->μm}I . sol2/ /S i m p l i f y O u t [ 1 0 7 ] = (2μm((-10a3r6( μ 1-μm)μm-6 a 5r 4(μ1-μm)入 (m+μm)+ μ m ) ) )1 o [ i ,j ]+ r 9(2μm(8μ1+7μm)+入m(6μ1+ 9 1 5a 3( μ 1-μm)( x [ j ]( r 2(-r2油 +2 a 2入 (m+μm))x [ m ] , o [ i ,m ]( 7 a 2-記） (Am+μm)x [ i ]x ( p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] )+ r 2( ( r 2入m+ 2a 2( 入m+μm))x [ i ]x [ m ]1 o [ j , m ]+

入 +μm))x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,g J8 [ i ,j ] ) ) ) ) / (-r2μm+ a 2( ( r 9(2μm(8μ1+ 7μm)+入m(6μ1+9μm))) I n [ 1 0 8 ]: =t i o u t=T r a c t O u t/ .s o l 2/ /S i m p l i f y O u t[ 1 0 8 ]= ( 2 μ m ( r 2( 2 4討 ( μ 1-μm)( , ¥ m+μm)-5a 3ざ ( μ 1-μm)( 3泣 +2μm)+ μ m ) ) )x [ m ] ' Y o [ i , m ]r5(2μ:rn(8μ1+7μm)+入m(6μ1+ 9 6 0討 ( a 2-r 2 )( μ 1-μm)入 (m+μm)x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q ] ) ) / ( r 8(2μm(8μ1+ 7μm)+入m(6μ1+9μm)))

と表される．

s h e l b yの結果と一致する． 以上の結果は当然 E 4 . 2 . 4 3相材料の解 単一介在物の外側を同心の別の介在物が覆っているようなケースは，介在物に コーティングを施した問題に該当し，実用上からも重要な問題である．

しかし，

E s h e l b yが解いた単一介在物の問題とは異なり，介在物内部の応力場は一定では h r i s t e n s e nandLo[ 3 ] . Christensen[24]は 3相問題の応力場の方程式を ない. C 導いたが具体的な式は導出していない． しかし本節で解説した方法で 3相問題も 2相問題と同様に扱うことができる．

無限遠の材料に球状の介在物があり，その周囲に同心で別の球状の層がある場 2 . 介在物，層，および 合を想定する．中心の球の半径は a1, 外部の層の半径は a

) . (ふ，四）および（入r n ,μ r n )とする． 母相のラメ定数は（ふ氾1 Eo に対する解

. 1 1に示すような 3相材料で，無限遠ひずみの静水圧部分 Eo に対する弾性 図4 4 . 2 5 )と表面力の一般解である式 ( 4 . 2 6 )に含まれ 場は，変位の一般解である式 (

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 5 1

€,:

0 "”

€

図4 . 1 1 3相材料

る未知係数が r=a 1と r=a 2で連続になる条件から決定できる．

3相材料の変位と表面力の各相での式を以下のように記する． 1 . 第 1相（核）：

u }=

( 三 +) d

い゜

1 1 4dμ1xi 。 C 2 叩（訳 +2μり 。 E + r E

t i= 3 r 4 2 . 第 2相（コーティング）：

叶＝（—i +c~) Xi ゜ E

22 2 2 4c1μXi 。 C 2 X i (訳 +2μり 。 E 十€ 3州 r

. = t i 3 . 母相：

U i= (—三 m

+c『)叩€゜

4c 切μmXi 。 c 炉叫 3炉 +2μ門。

t i =

3州

ここに上添字 " 1 "は内部の介在物， 変位は中心で有限であるため

E + ' r

E

" 2 "はコーティング相， " r n "は母相を示す．

C iは 0である .'r→

CX)

でu ' t , u t

→叫 Eo となる条件

1 5 2

第 4章 無 限 材 料 中 の 介 在 物

か ら ， 咽 は 1となる．よって未知の係数は r=a 1と r=a 2での以下の連続条件 から決定される． 1 2 附 =u i

r=aぃ

m

r= aふ

2.tm・t t t

12 a a ＝＝ rr

2

u i= u i

,.

＝＝

1.t2.2 t t

Mathematicaのコードを以下に示す． In[109]: = Disp1 = Ui / . C -> c1 Out[109]= Eo(-c:;~]

+c1[2J)x[i]

In[ 1 1 0 ]: = Disp2 = Ui / . C -> c2

(—+

Out[ 1 1 0 ]= Eo

c 2 [ 1 ] 3r 3

c 2 [ 2 J )x [ i ]

In[111]: = Dispm = Ui / . C -> cm c m [ 1 ] Out[111]= Eo(- 3r3

+cm[2J)心l

In[112]: = Tract! =Ti/. {μ->μ1, Out[112]=

4rnμ1c1[1]x[i] 3r4

4E0μ2c2[1]x[i] 3r 4

+2μ1)c1[2]x[i] r

4EOμmcm[1]x[i] 3r 4

入—>入 2,

C -> c2}

+2μ2)c2[2]x[i]

Eo(3入2

+

r

In[114]:= Tractm =Ti/.{μ->μm, Out[ 1 1 4 ]=

C -> c1}

Eo(3入1

+

In[ 1 1 3 ]: = Tract2 = Ti / . {μ->μ2, Out[ 1 1 3 ]=

入—>入 1,

入—>入m,

+2μm)cm[2]x[i]

Eo(3入m

+

未知係数 C土 C f , C名および

C -> cm}

r

e rは

In[115]: ; c1[1] ; O ; cm[2] ; 1 ; In[ 1 1 6 ]: = eq1 = (Disp1 -Disp2) / . r -> a1

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

;~:l

Out[ 1 1 6 ]= EO叫 2 ]x [ i ]- Eo(-

+c 2 [ 2 J )x [ i ]

> a2 In[ 1 1 7 ]: = eq2 = (Disp2 -Dispm) / . r-

: [ ; l

Out[ 1 1 7 ]= Eo(-

(1ー：~;l) x[i]

十 -c 2 [ 2 J )x [ i ]- Eo

In[118]: = eq3 = (Tract1 -Tract2) / . r> a1 Out[118]=

ED( 3入1+2μ1)c1[2]x[i] a1

-

4rnμ2c2[1]x[i] 3a 1 4

-

2 [ 2 ]x [ i ] ED( 3入2+ 2μ2)c al

> a2 In[119]: = eq4 = (Tract2 - Tractm) / . rEO( 3入m+2μm)x[i]

=— + a2

Out[ 1 1 9 ]

4Eoμ2c2[1]x[i] 3a24

+

EO( 3入2+2μ2)c2[2]x[i] _ 4rnμmcm[1]x[i] a2

3a24

In[120]:=sol= Solve[{eq1 == 0 , eq2 == 0 , eq3 == 0 , eq4 == 0}, {c1[2],c2[ 1 ],c2[ 2 ],cm[ 1 ] } ][[ 1 ] ] Out[120]= { c 1 [ 2 ]

→9a23入 (2+ 2μ2)入 (m+2μm))/

1 3入1μ2+ ( 9a23入1入2+ 6a23入2μ1+ 12a 2 3入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 6a23入1μ2- 12a13入2μ2+ 12a 4a23μ1μ2- 8a13μ22+ 8a23μ22- 12a13入1μm+ 12a23入1μm+ 12a 1 3入2μm- 8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm), c 2 [ 1 ]

→9a13aが (3入1-3入2+2μ1-2μ2)(入m+ 2μm))/

2 3入2μ1+ 12a13入1μ2+ 6a 2 3入1μ2( 9a23入1入2+ 6a 12a13入2μ2+ 12a23入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ22+ 8a23μ22- 12a13入1μm+ 12a23入1μm+ 12a 1 3入2μm8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm),

→(3aが (3入1+2μ1+4μ2)(入m+2μm))/

c 2 [ 2 ]

2 3入2μ1+ 12a 1 3入1μ2+ 6a 2 3入1μ2( 9a23入1入2+ 6a 2 3入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ212a13入2μ2+ 12a 8a13μ が

+8a2 芦—

12 a 1 3入1μm+ 12a23入1μm+ 12a 1 3入2μm-

8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm), c m [ 1 ]

→(3a23(9a23入1入2+ 9a13入1入m-9a23入1入m- 9a13入2入m +

1 3畑 μ1- 6a 2 3入mμ1+ 12a13入1μ2+ 6a23入1μ26a23入2μ1+ 6a

1 5 3

源

4醤~ 浦涼認益廿 S⇒点歯

12a13>..2μ2+ 12a23>..2μ`2￨6 a13>..mμ2 4a23μ1μ2￨ 8a13μ22十 8 a23μ22十

ー

12a23> . .日 μ 2+ 8a13μ1μ2+

6a13>..1μ`m￨6a23>..1μm￨

6 a13>..2μm+ 4a13μ1μm￨ 4 a23μ1μm- 4 a13μ2μm￨ 8a23μ2μm))/ (9a23> . . 1> . . 2+ 6 a23>..2μ1+ 12a13>..1μ2+ 6 a23>..1μ2￨ 12a13>..2μ2+ 12a23>..2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ2￨ 8a13μ22十 8 a23μ22

ー

12a13>..1μm+ 12a23>..1μm+ 12a13>..2μm

盲＋

ー

8 a13μ2μm+ 16a23μ2μ`m)︸

8a13μ1μm+ 8a23μ`1

行滓油吹芦が．学笠d s際言江 sol// Simplify

I•

1 Disp1 In[121]" 1 1 ui1 1

Out[121]11(9a23EO(A2＋ 2μ2)(>.m+ 2μm)x[i])/ (4a13(3>.1 ￨ 3 ン2 + 2 μ 1￨ 2μ2)(μ2￨ P m )＋ a23(3>.1+ 2 μ 1+ 4μ2)(3>.2+ 2 μ 2+ 4μm))

1 Disp2 1 ui2 1 In[122]:1

sol// Simplify

/•

Out[122]11(3a23Eo(a13(￨3ン1 + 3ン2

ー

2 μ 1+ 2μ2)＋

( > . m + 2 ンm)x[i])/

r3(3>.1+ 2 μ 1+ 4μ2))

︵ 日3 (4a13(3>.1 ￨ 3 ン2 + 2 μ 1 ￨ 2μ2) (μ2

ー

P日︶＋

a23(3>.1+ 2 μ 1+ 4μ2)(3>.2+ 2 μ 2+ 4μm))) 1 ui3 1 1 Dispm /. sol// Simplify In[123]:1 1 Out[123]1

ー

((8(a26(3,¥1+ 2 μ 1+ 4μ2)(3,¥2

ー

3ンm + 2 μ 2￨ 2μm) ￨

4a13r3(3,¥1 ￨ 3ン2 + 2 μ 1 ￨ 2μ`2)(μ2 a13a23(3,¥1

ー

ー

Am)＋

3ン2 + 2 μ 1 ￨ 2μ2)(3,¥m+ 4 μ 2+ 2μm)

ー

a23r3(3,¥1+ 2 μ 1+ 4μ2)(3,¥2+ 2 μ 2+ 4μm))x[i])/ (r3(4a13(3,¥1

ー

3ン2 + 2 μ 1￨ 2μ2)(μ2￨P`m)＋

a23(3,¥1+ 2 μ 1+ 4μ2)(3,¥2+ 2 μ 2+ 4μm))))

In[124]

= :

1 Eij /. C -V c1 Eij1 1

( A l l i

Out[124]11(9a23Ea(>,2 ＋ 2μ2)

/•

行怜さ6hか．学芯ds0斗A -i sol

+ 2μm)8[i,j])/

(9a23A iA 2+ 6a23A2μ`1+12a13>,1μ`2+6 a23>,1μ`2￨ 12a13>,2μ2+ 12a23>,2μ`2+8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ22十 8a23μ22 ￨ 12a13A i μ m+ 12a23A i μ m+ 12a13A 2 μ m 8a13μ1μm+ 8a23μ1μ`m+8a13μ2μm+ 16a23μ2μ`m)

In[125]

= :

Eij2 Eij /, C -V c2

/•

, _ , . , 、,, i

154

sol

ー

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 5 5

Out[ 1 2 5 ]= ( 3a23Eo( 3入1+2μ1+4μ2)(入m+ 2μm)J [ i ,j ] ) / ( 9a23入1入2+ 6a23入2μ1+ 1 2a 1 3入1μ2+ 6a23入1μ212a13入2μ2+ 12a23入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ22+ 8a23μ22- 1 2a13入1μm+ 12a23入1μm+ 12a13入2μm8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm)+ (9a13a23( 3入1-3入2+ 2μ1- 2μ2)( > . . m+ 2μm)

2 (

Eox;~] x [ j ] _ 2Eo3J;~'j])) /

( 2( 9a23入1入2+ 6a23入2μ1+ 12a13入1μ2+6a23入1μ212a13入2μ2+ 12a23入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ22+ 8a23μ22- 1 2a 1 3入1μm+ 12a23入1μm+12a13入2μm8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm)) In[126]:= EijmEij / . C ->cm/. sol

Out[ 1 2 6 ]= E o8 [ i ,j ]+

が (9a23入1入2+ 9a13入1入m+9a23入1> . . m+ 9a 1 3入2 > . . m+ 6a 2 3入2μ1+ (3a 6a13入mμ1- 6a23入mμ1+ 12a 1 3入1μ2+ 6a 2 3入1μ2- 12a13入2μ2+ 12a23入2μ2- 6a13入mμ2- 12a23入mμ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ2- 8a1芦

+ 8a2 芦+ 6a13入1μm-6a23入1μm-

6a13入2μm+ 4a13μ1μmー 4a23μ1μm- 4a13μ2μm- 8a23μ2μm)

2 (XJ~l EO

x [ j ] _ 2Eo38;~ ， ユ j]))/

( 2( 9a23入1入2+6a23入2μ1+ 12a13入1μ2+6a23入1μ212a13入2μ2+ 12a23入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ2J , 2 2- 1 2a 1 3入1μm+12a23入1μm+12a13入2μm8a13μが +8a23/ 8a13μ1μm+ 8a23μ1μm-t-8a13μ2μm+ 16a23μ2μm))

と求められる．各相での応力は In[127]: = uij1 = Sij / . {C -> c 1 , μ->μ1, 入—>入 1} /. sol// Simplify

Out[ 1 2 7 ]= ( 9a23EO( 3入1+2μ1)(入2+ 2μ2)( > . . m+ 2入m )8 [ i ,j ] ) /

）＋ ( 4a13( 3入1-3入2+ 2μ1- 2μ2)(μ2-μ皿 a23( 3入1+2μ1+4μ2)(3入2+2μ2+4μm)) . sol// Simplify In[128]: = uij2 = Sij / . {C -> c 2 , μ->μ2, 入—>入2} /

Out[ 1 2 8 ]= ( 3a23Eo( 入m+2μm)(6a13(3入1-3入2 +2μ1- 2μ2)μ2x[i]x [ j ]+

156

第 4章 無 限 材 料 中 の 介 在 物

ザ (2a13μ2(-3入1+3入2- 2μ1+ 2μ2)+ r 3( 3入2+ 2μ2)( 3入1+ 2μ1+ 4μ2))J [ i ,j ] ) ) / ( r 5(4a13( 3入1-3入2+ 2μ1- 2μ2)(μ2-μm)+ a 2 3( 3入1+2μ1+4μ2)(3入2+ 2μ2+ 4μm))) In[129]: =C J " i j m = Sij / . {C -> c m , μ->μm, 入—>入m} / . sol// Simplify Out[ 1 2 9 ]= E O( 3入m +2μm)入[ i ,j ]+ ( 2a 2 3Eoμm(-aが ( 3入1+2μ1+4μ2)(3入2-3入m+ 2μ2- 2μm)a 1 3( 3入1- 3入2+2μ1-2μ2)(3入m+4μ2+2μm)) (-3x[i]x[j]+r25[i,j]))/ ( r 5(4a13( 3入1- 3入2+ 2μ1- 2μ2)(μ2-μm)+ a 2 3( 3入1+2μ1+4μ2)(3入2+ 2μ2+ 4μm)))

と求められる．最後に各相での表面力は In[130]:= ti1 = Tract1 / . sol Out[ 1 3 0 ]= ( 9a 2 3E o( 3入1+2μ1)(入2+ 2μ2)(入m+2μm)x[i])/ ( r( 9a23入1入2+ 6a 2 3入2μ1+ 12a 1 3入1μ2+ 6a 2 3入1μ212a 1 3入2μ2+ 1 2a 2 3入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ22+ 8a23μ22- 12a13入1μm+ 12a 2 3入1μm+ 1 2a 1 3入2μm8a13μ1μm+8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 1 6a23μ2μm)) In[131]: = ti2 = Tract2 / . sol Out[131]= ( 1 2a 1 3a 2 3E o( 3入1- 3入2+ 2μ1- 2μ2)μ2( 入m+2μm)x[i])/

（ が (9a23入1入2+ 6a23入2μ1+12a13入1μ2+ 6a23入1μ212a 1 3入2μ2+ 1 2a 2 3入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μ が +8a23μ22- 12a13入1μm+ 1 2a23入1μm+ 1 2a 1 3入2μm8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 1 6a23μ2μm))+ (3a23Eo(3入2+2μ2)(3入1+2μ1+4μ2)(入m+2μm)x[i])/ ( r( 9a 2 3入1入2+ 6a 2 3入2μ1+ 12a13入1μ2+ 6a 2 3入1μ212a13入2μ2+ 1 2a 2 3入2μ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ28a13μが +8a23μ22- 1 2a13入1μm+ 12a 2 3入1μm+ 1 2a 1 3入2μm8a13μ1μm+ 8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 16a23μ2μm)) In[132]: = ti3 = Tractm / . sol Out[ 1 3 2 ]=

E o( 3入m+2μm)x[i] r

+

4a23Eoμm( 9a 2 3入1入2+ 9a13入1入m- 9a 2 3入1入m- 9a 1 3入2入m +

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 5 7

6a 2 3入2μ1+ 6a 1 3> . . m μ 1- 6a 2 3泣 μ1+ 12a13入1μ2+ 6a 2 3入1μ21 2a 1 3入2μ2+ 1 2a 2 3入2μ2- 6a 1 3油 μ2- 1 2a 2 3入mμ2+ 8a13μ1μ2+ 4a23μ1μ2-8a13立

+8a23μ22+ 6a13入1μm-6a23入tμm-

6a 1 3入2μm+ 4a13μ1μm-4a23μ1μm-4a13μ2μm- 8a23μ2μm)x [ i ] ) / ( r 4( 9a 2 3入1入2+ 6a 2 3入2μ1+ 12a13入1μ2+ 6a 2 3入1μ2t3μ1μ2+ 4a23μ1μ21 2a 1 3入2μ2+ 12a23入2μ2+ 8a 8a13μが +8a23μ22- 1 2a t3入1μm+ 1 2a 2 3入1μm+12a13入2μm6a23μ2μm)) 8a13μ1四 +8a23μ1μm+ 8a13μ2μm+ 1

と求められるこの場合．核である内部介在物中の応力は一様となる． 沿に対する解

3相の物体が無限遠で一様なせん断ひずみ l i jの下にある場合，弾性場は上記 と同様な方法で求められる．得られる式はパラメータが多くなるため，当然 2相 の場合より複雑になる． 前と同じ記法を使い，変位，表面力は I n [ 1 3 3 ]: =Ui O u t[ 1 3 3 ] = {-

2x [ m l , o [ i ,m ] 5r5

J x [ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q

十 が

2 x [ m l , o [ i , m ] x [ i ] x [ p ] x [ q ] 1 o ( p , q ] 5r2入x [ m l , o [ i , m ] ＋ 3丑（入+μ) r5 ' 2入十 7 μ x [ m ]1 o [ i ,m ] 7ザ μ +x [ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] ,x [ m ]1 o [ i ,m l } 2入+7μ I n [ 1 3 4 ]: =Ti 1 6 μ x [ m ] ' Y o [ i , m ]_ S μ x [ i ] x [ p ] x [ q ] " ( o [ p , q ] O u t[ 1 3 4 ] ={ r a

5ザ

砂 μ x [ m ] ' Y o [ i , m ]+ 4 μ 2 x [ m ] ' Y o [ i , m ] _ 8入μ x [ i ] x [ p ] x [ q ] " ( o [ p , q ]_

丑（入+μ)

3丑 （ 入 + μ ) ザ （ 入 + μ )

8μ2x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q ]

1 6r入μ x [ m ] ' Y o [ i , m ]

丑（入+μ)

2入+1μ

1 4rμ2x [ m ]" ( o [ i ,m ] 1 9入μ x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o ( p ,q ] ＋ ＋ 2入 +7 μ r ( 2入+1μ) 14μ2x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p , q ] 2μx[m]" ( o [ i , m ] r( 2入+1μ)

r

｝

と表される．これらの式を使い，各相での変位は未知係数を使い

1 5 8

第 4章無限材料中の介在物

I n [ 1 3 5 ]: =D i s p 1= ( U i . T a b l e [ c i [ i ] ,{ i ,4 } ] )/ . {入—>入 1, μ->μ1} ]x [ m ] , o [ i ,m ]+ O u t[ 1 3 5 ]=叫4 c1[3](-5r2入1x [ m ] , o [ i ,m ] _ 7召 μ 1 x [ m l , o [ i , m ]+ 2入1+ 7μ1 2入1+ 7μ1 x [ i ]x [ p ]x [ q ] , o [ p ,q ] )+

]x [ p ]x:~ c i [ i ](-2 x [ m ] 5 : : [ i , m ]+ x [ュ

祠 p,q])+

c 1 [ 2 ](2μ1x [ m l , o [ i ,m ]+ x [ i ]x [ p ]x [ q ] , o [ p ,q ] 3戸（入 1+μ1) r 5 ) I n [ 1 3 6 ]: =Disp2= ( U i . T a b l e [ c 2 [ i ] ,{ i ,4 } ] )/ . {入—>入 2, μ->μ2} O u t[ 1 3 6 ]= c 2 [ 4 ]x [ m ]" ( o [ i ,m ]+ x [ m ] ' Y o [ i , m ]_ 7せ μ 2 x [ m ] ' Y o [ ， ュm ]+ c 2 [ 3 ](-5r2入2 2入2+ 7μ2 2入2+7μ2 x [ i ]x [ p ]x [ q ] ' Y o [ p ,q J )+ [叶x [ p ]x ; ; ]" ( o [ p ,q ] )+ c 2 [ 1 ](-2x[m~~:[ュ， m] + x c 2 [ 2 ](2μ2x [ m ] ' Y o [ i ,m ]+ x [ i ]x [ p ]x [ q ] ' Y o [ p ,q ] 3戸（入 2+μ2) r 5 ) I n[ 1 3 7 ]: =D i spm= ( U i .T a b l e[ c m[ i ],{ i ,4 } ] )/ . {入ー＞入m , μ->μm} O u t[ 1 3 7 ]=c m [ 4 ]x [ m ] ' Y o [ i ,m ]+ x [ m ]" ( o [ i ,m ] _ 7ザ μ m x [ m ] ' Y o [ i ,m ]+ c m [ 3 ](-5r2入m 亨 + 7μm 2入m+?μm x [ i ]x [ p ]x [ q ]" ( o [ p ,q J )+

]x [ p ]x ; ; ] ' Y o [ p ,q])+ c m [ i ](-2 x [ m ] 5 : : [ i , m ]+ x [ュ c m [ 2 ]( 2 μ m x [ m ] ' Y o [ i , m ]+ x [ i ] x [ p ] x [ q ] ' Y o [ p , q ] 3戸（入m+μm) r 5 )

と表される． ここに c1[ i ] . c2[ i ]および c m [ i ] は，それぞれ介在物，第 2相，お よび母相の未知係数である．同様に各相での表面力は，上記の未知係数を使い I n [ 1 3 8 ]: =T r a c t 1= ( T i . T a b l e [ c 1 [ i ] ,{ i ,4 } ] )/ . {入—>入 1, μ->μ1} Out[138]=

]x [ m ]" ( o [ i ,m ] 2μ1叫 4

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場 cl[ 1 ](16μ1x [ m l , o [i ,m ] _ 8μ1x [i ]x [ p ]x [ g J1 o [ p ,g J

5 r 6

r 8 ) +

叫 2](2入1μ1x[ml,o[i,m]+ 4μ12x[m],o[i,m] _ り（入 1+μ1)

3丑（入 1+μ1)

[ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] 8μ12x [ i ]x [ p ]x [ g J1 o [ p ,g J 8入1μ1x 丑（入 1+μ1) r 6( 入 1十 μ 1 ) )+

叫 3J(-16r入1μ1x [ m l , o [ i ,m ]_ 1 4rμ1バ [ m ] , o [ i , m ]+ 2入1+ 7μ1

2入1+ 7μ1

[ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] 1 9入1μ1x r( 2入1+7μ1)

＋

14μ12x [ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] r(2入1 + 1 μ 1 ) )

I n[ 1 3 9 ]: =T r a c t 2= ( T i .T a b l e[ c 2[ i ],{ i ,4 } ] )/ . {入—>入 2, μ->μ2} O u t[ 1 3 9 ]=

2μ2c 2 [ 4 ]x [ m ]1 o [ i ,m ] + r

c 2 [ i ]( 1 6 μ 2 x [ m ] " Y o [ i , m ] _ 8μ2x[ュ ]x [ p ]x [ q J1 o [ p ,q])+ r s

5汗

(2入2μ2x[m]呵 i ,m ] 4μ22x [ m J r o[ i ,m ]_ c 2 [ 2 ] ＋ 丑（入 2+μ2) 3丑（入 2+μ2) 8入2μ2x [ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q J 8μ22x [ i ]x [ p ]x [ q J1 o [ p ,q ] 戸（入 2+μ2) ― 戸 （ 入2+ μ 2 ) )+ μ 2 x [ m ]1 o [ ， ュm ]_ 1 4rμ22x [ m J r o[ i ,m ]+ c 2 [ 3 ](-16r入2 2入2+ 7μ2 2入2+ 7μ2 [ i ]x [ p ]x [ q ]r o [ p ,q ] 1 9入2μ2x r( 2入2+ 7μ2)

十

14μ22x [ i ]x [ p ]x [ q ]r o [ p ,q J r( 2入2+ 7 μ 2 ) )

I n[ 1 4 0 ]: =T r a c t m= ( T i .T a b l e[ c m[ i ],{ i ,4 } ] )/ . {入—>入m, μ->μm} O u t[ 1 4 0 ] =

, m ] 2μmc m [ 4 ]x [ m ]吋 i r

+

c m [ l ](16μmx[mJro[i,m] _ 8μmx[ュ l x [ p ]x [ g Jr o [ p ,q])+ 5r 6 r 8 (2泣 μ m x [ m J r o [ i , m ] 4 μ m 2 x [ m ]呵 i , m ]_ c m [ 2 ] ＋ 丑（入m+μm) 3丑（入m+μm) [ p ]x [ g _ J1 o [ p ,g J 8μm2x [ i ]x [ p ]x [ q ]1 o [ p ,q ] 8入mμmx[i]x r 6入 (m+μm) ― r Bふ + μ m ) )+ o [ ， ュm ]_ 14rμm五 [ m J r o [ i , m ]+ c m [ 3 ](-16r入mμmx[m]1 2入m+7μm 2入m+7μm [ i ]x [ p ]x [ g _ J1 o [ p ,g J 1 9入mμmx r( 2入m+7μm)

＋

14μm2x [ i ]x [ p ]x [ g _ J1 o [ p ,q ] r(2入m+ 7 μ m ) )

159

1 6 0

源

・ 1 : E l t w

4景 浦 涸 泣 辛 ヂ モS⇒

代湖ぼ芦が．冷怠江廿ら‘

漑国辻一狂

⇒栄歯

0)

翌

← 8 づ涼惹 L竺合さ｀

cm[4] 1 渉が． 1 1 a n d cm[3] 1 1 0 d

T

d s雙図且 I I芯 S憮堂塗き

B d 沙翌いさ, c1[1] 1 1 c1[2] 1 1 0 A⑳ 母 ︶ 0 9

d

T11

a1

i

1 1; cm[3] 1 1 O; 1 c1[1] 1 1 0; c1[2] 1 1 O; cm[4] 1 In[141]:1

In[142]

= :

tmp1 11( Disp1 - Disp2) /. r -V a1) ︵

1 c1[4]x[m]'yo[i,m] ￨ c2[4]x [ m ] ' " ) ' o [ i ,m] ＋ Out[142]1

c1[3] ( ー

5 a12A ix[m]'yo[i,m] 2ン 1 + 7 μ 1

[ m ] ' " ) ' o [ i ,m] 7 a12μ1x 2ン1 + 7 μ 1 c2[3] ( ￨

告

+ x[i]x[p]x [ q ] ' " ) ' o [ p ,q]) ￨

5a12.X2x[m]'")'o[i,m] 2ン2 + 7 μ 2

￨

7a12μ2x[m]'yo[i,m]

＋

2.X2+ 7 μ 2

x[p]x [ q ] ' " ) ' o [ p ,q]) -

a17 q]) ￨ ＋ c2[1] ( 5 a 1 5 ー2x[m]'")'o[i,m] x[i]x[p]x [ q ] ' " ) ' o [ p ,

違忍互)

a13(.X2 a15 ＋哀2) ＋ c2[2] ( 2 3哀 2 x[m]'yo[i,m] x[i]x[p]

A辻d 隙が．

代

に忠）捗江

yfせ m斤 9 へ

8 贅宝

蛍図⇔益活母ふ汗さ q"/ q 21 0 )~ ) m l0

いS索唸 9

唸 G 2110)蛍]汁}泄血易肉苗ヰ t”咽が． 1 eq1 1 1 Coefficient[tmp1, x [m]')'O[i, m]] 11110 In[143]:1 7a12μ1 5a12.A1 Out[143]1 1 ( ￨ ー︶ ン 7 μ 1 2 1+ 2.A1+ 7 μ 1

2c2[1] c1[3]＋ c1[4] ＋ ￨ 5 a15

7 μ2 23 μ( 2. c 2[2] X 3 a1 5a12. A2 ＋μ2) - ( ￨ 2 ン2 +

一

μ2 7 a μ2 2. A 2127

c2[3]ーc2[4￨ ]ー ￨IO

+

1 eq2 1 1 Coefficient[tmp1, x[i] x[p] x [q] 1 o[p, q]] 11110 In[144]:1 c2[1] c2[2] 1 c1[3] ￨ ー _ ー l _ ￨ _ ￨ _ ￨ c2[3] 11110 Out[144]1 al5 a17

2 ' " f : 0 ) ¥ ￡怠憮常冷瓜︷弁 r 1 1a

u f " "均 ] “

澤ぐミs dririd一吐加ば汁ぐ/. In[145]:

＂

g蒻迂

G 2茜S 溶 k己 心 崎 池 如 温

︵ isp2 - D v a2); tmp2 11( D ispm) /.r -

1 Coefficient[tmp2, x[m]')'o[i, m]] 11110 In[146]" 1 1 eq3 1

gh｀が． 圧 辻 江

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 6 1

2c2[1] 2μ2c2[2] 5a22入2 7a22μ2 2 [ 3 ]+ Out[146]= - 1 - 5a25 + 3a23(入2+μ2) + (-2入2+ 7μ2 - 2入2+ 7 μ Jc c 2 [ 4 ]+

2cm[1] 5年

-

2μmcm[2] 3a が（入m+μm)

==O

In[147]:= eq4 = Coefficient[ t m p 2 , x[ i ] x[ p ] x[ q ] 1o[ p ,q ] ] == 0 Out[ 1 4 7 ]=

c 2 [ 1 ] a27

+

c 2 [ 2 ] a25

+c 2 [ 3 ]-

c m [ 1 ]

c m [ 2 ]

a 2 7

a 2 5

= =0

r= a1 と r=ゅでの表面力連続条件は以下のように入力し，独立な方程式を抽 出できる． In[148]:= tmp3 = ((Tractl - Tract2) / . r> al); In[149]:= eq5 = Coefficient[tmp3, x[m] 1o[i, m]] == 0 1 [ 3 ]+ 2μ1c1[4] _ Out[ 1 4 9 ]= (-16al入1μ1_ 14a1μ12)c 2入+ 7 μ 2入 +7 μ a l 16μ2c2[1] ( 2 入2μ2 + 4 μ 2 2 )c 2 [ 2 ]5a 1 6 - aザ（入2+μ2) 3a14(入2+μ2) (_16al入2μ2_ 14alμ22)c 2 [ 3 ]_ 2μ2c 2 [ 4 ] = =0 al 2入2+ 7μ2 2入2+ 7μ2 p ,q ]J== 0 In[ 1 5 0 ]: = eq6 = Coefficient[ tmp3, x[ i ] x[ p ] x[ q ] "(O[

叫 ）3]+

14μ12 19入1μ1 Out[ 1 5 0 ]= ( ＋ a1( 2入1+1μ1) a1(2入1+ 7μ1)

8μ2c2[1] _ (- 8入2μ2 8μ22)c2[2]a 1 6( 入 2+μ2) a16(入2+μ2) al8 ( 1 9入2μ2 + 1 4 μ 2 2 )c23 ==0 al( 2入2+7μ2) a1(2入2+ 7μ2)

[ l

In[151]:= tmp4 = ((Tract2 -Tractm) / . r> a2); In[152]: = eq7 = Coefficient[tmp4, x[m] , y o [ i , m]] == 0 4μ22 2μm 16μ2c2[1] 2入2μ2 Out[ 1 5 2 ]= --;:;-+ 5a 2 6 + (江（入 2+μ2) + 3aが（入 2+μ2))c 2 [ 2 ]+ 2 [ 3 ]+ 2μ2c 2 [ 4 ]_ (-16a2入2μ2_ 14a2μ22)c a2 2入2+ 7μ2 2入2+ 7μ2

入mμm + 4 μ m 2 )c m [ 2 ]= =0 16μmcm[1] ( 2 5a26 - aが（入m+μm) 3aが（入m+μm)

1 6 2

第 4章

無限材料中の介在物

In[ 1 5 3 ]: = eq8 = Coefficient[tmp4, x[ i ] x[ p ] x[ q ]y o[ p , q]] == 0 Out[ 1 5 3 ]= -

8μ22 8μ2c 2 [ 1 ] 8入2μ2 a2s + (-a26入 (2+μ2) - a26入 (2+μ2))c2[2]+

( 1 9入2μ2 + 14μ22)c2[3]+ a2( 2入2+ 7μ2) a2( 2入2+ 7μ2) 8μmcm[1] _ (a28

8入mμm

8μm2

入m+μm) ―年（入m+μmJ a26(

c m [ 2 ]==0

末知係数に関する連立方程式は In[154]:=sol= Solve[{eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8}, {c1[3], c1[4], c2[1], c2[2], c2[3], c2[4], cm[1], cm[2]}][[1]];

と入力して解ける．

しかし出力は長いのでここでは示さない．最後に各相での変

位，ひずみ，応力および表面力は In[155]: = ui1 = Disp1 / . sol; ui2 = Disp2 / . sol; uim = Dispm / . sol; In[156]: = Eij1 = Sum[Eij[[ii]] c 1[ i i ] , {ii, 1 , 4}] / .

｛入→ 入1 , μ → μ1} I . sol; 豆 j2 = Sum[ Eij[[ i i ] ] c2[ i i ] , {ii, 1 , 4}] / .

｛入→ 入2 , μ → μ2} / . sol; Eijm = Sum[ E i j[[ii]] cm[ i i ],{ii, 1 , 4}] / . ｛入→ 入m, μ → μm} I . sol; , 4}J/ . In[ 1 5 7 ]: =a i j1 = Sum[ S i j[[ i i ]Jci[ii],{ii, 1

｛入→ 入1 , μ → μ1} I . sol; c2[ii], {ii, 1 , 4}] / . ｛入→ 入2 , μ → μ2} / . sol; a-ijm = Sum[ S i j[[ i i ]Jcm[ i i ],{ii, 1 , 4}J/ . ｛入→ 入m, μ → μm} I . sol; びi j2 = Sum[Sij[[ii]]

In[158]: = til =Tract!/. sol; ti2 = Tract2 / . sol; ti3 = Tractm / . sol;

と入力して求められる．例えば中心の介在物のひずみ場は In[ 1 5 9 ]: = Eij1 // Simplify

(2+ 2μ2)μm入 (m+ 2μm) Out[ 1 5 9 ]= (225a23μ2入 ((280a13a22r 2( 5入1+ 7μ1)(μ1-μ2)( 入2+μ2)(μ2-μm)2 1a22( 入 1+μ1)+5r2(5入1+1μ1))(μ1 56a15 (

ー

μ2)( 入 2+μ2)

(μ2-μm)+ 40a17( 7入2μ1( 5入1+ 8μ2)+ 37入1入2(μ1-μ2)+

4 . 2 多相の同心状介在物がある場合の応力場

1 6 3

μ 1-μ2)μ2)( μ 2-μm)+ 7入1(sμ1-5μ2)μ2+49μ1( a 2 7(14μ1( μ 1+4μ2)+入 1(19μ1+16μ2)) (14μ2( μ 2+4μm)+入 2(19μ2+ 1 6 μ m ) ) ) ' Y o [ i ,j ]+ 2 )入 (2+μ2)(μ2-μm) 2 8 0a 1 3( a 1 2-a 2 2 )( μ 1 μ ー

(-3入1x [ j ]x [ m ] y o [ i ,m ]-3入1 x [ i ] x [ m ] ' Y o [ j , m ]+ [ p ]x [ q ] y o [ p ,q ]o [ i ,j ] ) ) ) / ( 2入1+ 7μ1)x 8入1入2( μ 1-μ2)+ ( 1 6 a 1 1 0( μ 1-μ2)( 7入2μ1(4μ1- 19μ2)+ 3 μ 1-μ2)μ2) 7入1(19μ1-4μ2)μ2+ 98μ1( 7入2入m(μ2-μm)+ ( μ 2-μm)( 6入mμ2(7μ2- 12μm)+ 2 μ 2-μm)μm)6入2(12μ2-7μm)μm+ 112μ2( 1 0 0 8a 1 5a 2 5( μ 1 μ 2 )入 (2+μ2)2(14μ1(μ1+4μ2)+入 1(19μ1+ 16μ2)) ー

( μ 2-μm)(2μm(8μ2+ 7μm)+入m(6μ2+ 9μm))+ 2 0 0a 1 7a が （ 入 1入 (2μ2(152μ12+ 23μ1μ2- 112μ22)+

入 が (57μ12-3μ1μ2-54μ22)+ 7μ22(19μ12+7μ1μ2-8 μが ））＋ 7μ1( 2入2μ2( 8 μ り +11μ1μ2-28μ22)+ 2( 2 μ 1 2+4μ1μ2-9μ22)+ 14μ22( μ 1 2+μ1μ2-2μ2り ） ） 3入2 ( μ 2-μm)(2μm(8μ2+ 7μm)+ 入m(6μ2+ 9μm))+ a 2 1 0(2μ2(8μ1+7μ2)+入 2(6μ1+9μ2))

入 1(19μ1+ 16μ2)) (14μ1( μ 1+4μ2)+ (2μm(8μ2+7μm)+入m(6μ2+ 9μm))

入2(19μ2+16μm))+ (14μ2( μ 2+4μm)+ 2 )(14μ1( μ 1+4μ2)+入 1(19μ1+16μ2))(2入2μ2 5 0a 1 3a 2 7( μ 1 μ ー

(3μm( 2 8 μ が +13μ2μm-48μm2)+ 14μm( 1 6 μ 2 2+3μ2μm- 16μm り）＋ 28μ22(2μm( 4 μ 2 2+ 3μ2μm-7μm 門+3入m(μ22+μ2μm-3μmり）＋ 3、 ¥ 2 2( 9入m(3μ22+μ2μm-4μm2)-2μm(-36μ22+μ2μm+2 8 μ m 2 ) ) ) )

で表される．母相のひずみ場は長いので一部のみ示す． I n[ 1 6 0 ]: =E i j m/ /S h o r t O u t[ 1 6 0 ]/ / S h o r t =r y o[ i ,j ]+ (≪1≫)≪1≫+ が( μ 2-μm)入 (m+μm) ―くく 1 ≫ くく 1 > > (- 15a （） 6入mμ2+9入mμm+≪1≫+1 4 μ m 2 くく 1≫)

以上の計算は， 2重のコーティングがある 4相材料に適用することも可能であ る．予想されるように結果は 3相の場合に比べ非常に長くなり，廷々と続く式を 全て印副してもあまり意味はないであろう．解析解が得られても式が何千行にも 及ぶのであれば，数値解に対する解析解のメリットは議論の余地がある．

1 6 4 第 4章 無限材料中の介在物

4 . 2 . 5 2-Dの多相材料の解 前節に解説した手法は， 3次元材料を対象としているが，これを 2次元材料に 適用することも当然可能である．この場合，応力状態は平面ひずみを仮定し，円 筒状の介在物が母相に埋まっているモデルとなる．平面ひずみ下では X 3を対称 軸として， E l 3= E 2 3= E 3 3= 0となる． ギ

it; 、,.‘ ~i;

Eoに対する解

変位と表面力は U i=

(—晶 +c2) が゜ μ。

ti=- c心 i E十 怜

2 (入+μ) C 2 X i E ゜ r

と表される．各相での未知係数 c 1rv c 2は，変位と表面力の連続条件を満足する ように決定できる． 祐・に対する厳密解 変位と表面力は 妬 =C l(XiX 汀

り

K 沿 _x 2 r 4

砂

(XiXjXk沿 μxk沿 +c 2 r 4 十叫+μ))

+C3(叫巧X叫—芦(2入入＋十3ご勺十 C4X心 C 3( x i( 3入2+5入μ+18μ2)XpXqう, ; q-2μr2(7入+9µ)xrn ぅぐ~) ti= 2 r (入+3μ) +C l( 2 μ X r n ' Y f r n_ 叩 ( 3入+lOμ)x砂 q沿 丹

2r7)

+c 2( μ X r n ' Y 品＿叩 ( 3入+lOμ)x砂 q沿 2c 叩X r n協 r3 2 r 5 )+ r と表される．各相での未知係数 C lrv C 4は変位と表面力の連続条件を満足するよ うに決定できる．

4 . 3 熱応力

1 6 5

4 . 3 熱応力 複合材料が高温度下に晒されると温度分布が一様でなくなるため，異なる相の 境界面で熱膨張係数のミスマッチにより，熱応力が発生して材料の破壊に至るこ とがある．このため複合材料の熱応力の解析は重要である．熱応力問題は解析的 には一般弾性体問題で体積力がある場合の特殊なケースとして扱われる．

した

がって，体積力がある場合の弾性場を得られれば，熱応力の問題は自動的に解 ける． 本節では，球状の介在物が無限材料内にあり無限遠で一様な熱流に晒されてい る場合の熱応力解析を解説する． まず温度分布を求め，それに基づいて熱応力を 求めるという 2段階を必要とするが，いずれも Mathematicaで方程式自体を導出 し，その方程式を解くという好例である．

4 . 3 . 1 熱束による熱応力 球状の介在物が母相の中に置かれ，無限遠で一様な熱束に置かれた問題を考え る．介在物の弾性係数，熱伝導率，熱膨張係数は母相と異なると仮定する．この 場合，介在物周辺で温度分布が発生し，各相での熱膨張係数のミスマッチによ り，外部張力がなくても熱応力が発生する． 無限遠で一定な熱束による温度場 半径 aの球状の介在物が無限遠で一様な熱束下に置かれている材料を考える．

i三 T , iとすると 無限遠で温度勾配は一定であるため，この条件は 0 r→ooのとき T →0 砂

k

となる．ここに 0 kは k方向の温度勾配定数である．温度分布が発生するソース

kなので，温度場も当然 0 kに比例するであろうまた，温度は はこの温度勾配 0 0階のテンソル）なので温度場は スカラー (

T=h ( r ) x k 0 k

( 4 . 3 2 )

と表される必要がある．ここに h ( r )は距離 r=J 五五；のみの関数である．熱源 はないので，温度場 Tは以下のラプラス方程式を満たす．

T , i i=0

( 4 . 3 3 )

1 6 6 第 4章無限材料中の介在物

式 ( 4 . 3 2 )を式 ( 4 . 3 3 )に代入すると， h ( r )が満たす微分方程式

r h " ( r )+4 h ' ( r ) Xm0m=0 r

T , i i=

を得る． よって微分方程式油" ( r )+4 h ' ( r )=0を解くことにより

C1

h ( r )=— +C2 丹

を得る．ここに C1と C2は，介在物と母相の境界での温度と熱束の連続条件から 決定できる積分定数である． 温度場 Tは

T = (旦

+C2)Xふ

と表される．温度は介在物内では有限かつ x→ooで T , i→e iなので，介在物内 と母相での温度分布はそれぞれ

T1= C 訟 K肱

( 4 . 3 4 )

T r n =( 旦 +) 1ふ X

( 4 . 3 5 )

となる． ここで上添字 fと m は介在物と母相を表わす．式 ( 4 . 3 4 )と式 ( 4 . 3 5 )か ら各相での熱束は

k J8T1

C1 r

- = k 1一 Xk0知

a n,

K 喜:=km( 2臼 ＋ 亨 ） xふ と表される．ここに k Jと kmはそれぞれ介在物と母相の熱伝導率である．

r=aでの温度と熱束の連続条件から未知係数 C1と C2! ま

岱( k J-km) C1=-

朽 +2km'

C2=

3km

朽 +2km

と解ける．

4 . 3 熱応力

1 6 7

よって各相での温度場は yf=

3 k r n Xk仇 ， 朽 +2krn

( 4 . 3 6 )

Tm=(-::;~二(『)+) 1迅 3

X

( 4 . 3 7 )

と表される． 以下の Mathematicaコードでこの温度場を導くことができる． In[161]: = SetAttributes[O, Orderless]; 0[Llnteger, j_Integer] : = If[ i == j, 1 ,O J; O[LSymbol, LSymbol] : =3 ; Unprotect[Times]; Times[x_[j_Symbol], O[L, j_Symbol]] : = x[i]; Times[L[LSymbol, j _ J , o[LSymbol, k _ ] ] : = X[k, j]; Times[ O[LSymbol, j_ ], 8[LSymbol, k _ ] ] : = 8[ j,k ]; Times[o[LSymbol, j_ ],h_[LSymbol]] : = h[ j ]; Protect[Times]; In[162]: = Unprotect[Power]; Power[ x[LSymbol],2 ] : = r-2; Power[ O[LSymbol, j. . . S y m b o l ] , 2 ] : =3 ; Protect[Power]; In[ 1 6 3 ]: = Unprotect[ D ]; D[a_. r-n_. + b _ . , x[L]] : = D[a, x[i]] r"n + n r-(n - 1 ) x[i] / r a + D[b, x[i]]; D[a_. x[L] + b _ . , x[j_]] : = D[a, x[j]] x[i] + a8[i, j ] + D[b, x[j]]; D[a_. x[Linteger]"n_. + b _ . , x[j_]] : = a n x[i]-(n - 1 ) 8[i, j ] + D[b, x[j]]; D[a_. L[r]"n_. + b _ . , x[L]] : = D[a, x[i]] f[rJ-n + a n f[r]"(n - 1 )が [ r ] x[i] / r + D[b, x[i]]; D [ a . . . L i s t ,b _ ] : = Map[D[#, b ]& ,a ] D[Times[a_, b _ ] , x[L]] : = D[a, x[i]] b + a D[b, x[i]]; Protect[ D ]; In[164]: = temp = h[r] x[k] 0[k] Out[ 1 6 4 ]= h [ r ]x [ k ]0 [ k ] In[165]: = (D[D[temp, x[i]], x[i]] // Simplify) / . x[L] 0[L] >x[p] 0[ p ] /ISimplify Out[165]=

+rh"[r])

x ( p ]0 ( p ]( 4 h ' [ r ]

r

1 6 8

第 4章

無限材料中の介在物

In[166]: = DSolve[(4h'[r] + r h"[ r ] ) == 0 , h[r], r][[1]] Out[166]=

{ 加 ］ →

翌 -

+c[2J}

) x[k] 0[k]; In[167]: = tin= c[1] x[k] 0[k]; tout = ( c [ 2 ] / r-3 + 1 In[ 1 6 8 ]: = eq1 = (((kinD[tin, x[ i ] ] x[ i ] /r )I ISimplify) I . kout D[tout, x[ i ] ] x[ i ] Ir x[i」 0[L] > x[p] 0[p] I ISimplify) I . r -> a Out[168]=

(-a3kout+ a 3kinc [ 1 ]+ 2koutc [ 2 ] )x ( p ]0 ( p ] a4

In[169]: = eq2 = (tin - tout) / . r ->a// Simplify c [ 2 ] Out[169]= (-1+ c [ 1 ]- as)x [ k ]0 [ k ]

In[170]: = sol = Solve[{eq1 == 0 , eq2 == O}, {c[1], c[2]}][ [ 1 ] ] 3kout

→ ， c[2]→ kin+ 2kout

Out[ 1 7 0 ]= {c [1 ]

a3(-kin+kout) kin+ 2kout

｝

In[171]:= tin/. sol Out[171)=

3koutx [ k ]0 [ k ] kin+2kout

In[172]:=tout/. sol Out[ 1 7 2 ]= (1+

a 3(-kin+kout) )x [ k ] 0 [ k ] (kin+ 2kout)r 3

熱応力場 半径 aの球状介在物が，熱伝導率，弾性定数，熱膨張係数が異なる周囲の母相 内に置かれ，無限遠で一定の熱束 0mの下にある熱応力の問題を考える．全ての 物性定数は等方性とする． 式 ( 4 . 3 6 )と式 ( 4 . 3 7 )から各相での温度勾配は

km rt=朽 3 +2kmゎ ° , t

l (+ 朽km+-k t( a ) 。 2km r

戸 = と表された．

3

i_

3(km —朽）＿a30砂 砂i kf+2km

し）性

4 . 3 熱応力

1 6 9

熱効果を含んだ変位の平衡方程式は μ△叩十(μ 十入）巧，j i-(2μ+3 ） 入a T , i=0

( 4 . 3 8 )

と 表 さ れ る こ こ に μ と入はラメ定数で a は 熱 膨 張 係 数 で あ る 変 位 と そ れ か ら 導かれる応力のソースは式 ( 4 . 3 8 )の T , iであることに着目すると，変位がとりう る式は

g ( r )

( 4 . 3 9 )

叩 =J ( r ) 0 i十 一20 砂 砂i

r

に限られる．ここに f ( r )と g ( r )は rだ け に 依 存 す る 未 知 関 数 で あ る ． こ こ で1 /芦 項 は f ( r )と g ( r )の 次 元 が 等 し く な る よ う に 導 入 さ れ た ． 式 ( 4 . 3 9 )を 式 ( 4 . 3 8 )に代入すると

( μ J " ( r )+入 ( +μ)J'(r)+ 2 μ f ' ( r ) r 十

( 、 ) ＼ 十μ ) g ' ( r )

r

+

r

2 g ( r ) (入+μ) 2 μ g ( r ) i r 2 + r2)e

＋（（入十 μ ) J " ( r )- ( 入+ μ ) f ' ( r )

r 2

＋

r 3

+

( 入+ μ)g"( r )

r 2

μg"( r )

十 衿

（ 入+ μ ) g ' ( r ) 2 μ g ' ( r ) 4 g ( r ) (入+μ) 6 μ g ( r ) 丹 十 r 3 ー 州 ― r4)X i 0豆

K

-(2μ+3 入 ）a T , i=0 を得る．

よって f ( r )と g ( r )が満たす微分方程式は以下のようになる．

( 1 ) 介在物内

μ J f " ( r )+ ＋

（ 入f+ μ f ) J ' ( r )

r

+

2 μ J f ' ( r ) ( 入f+ μ f ) g ' ( r ) r + r

) 2 μ J g ( r ) 2 g ( r ) (入1+μ f 3km r 2 十 性 ＝ 町( 2旧 +3朽 ） 朽 +2km' 『

囚 + μ1)f"(r)_ 囚 ＋ 叫 J ' ( r )十 囚 ＋ 町 ） g"( r ) 性

＋

r 3

性

μ J g " ( r ) 入 (j、十 μ J ) g ' ( r ) 2 μ 1 g ' ( r ) r 2 + r 3 + r 3 μ J 9 ( r ) 4 g ( r ) (入1+μ1) 6 r 4 r 4 =0

,. . , 『,,,,,,,,.,, 心』”‘’’べ,,'、,,'●'ぶ,,,,● ' ' ' ヽ , , , 、 ' " " ' , ,.., , 心 ， ．

170

(2)

、 土 意 4観 浦 涸 淀 益 廿S4

豫

l

f , J :t§i*J 3f 、 、

苓

＋

︵ ンm ＋下m f、 ︶

(T)

rr

(r)

＋

2μrr.J、 ( r )

了 ＋ 苓 m ) 9、 ( r )2 ＋ g(r F)( m .¥ ) m 十—+ r 2 r

＋

2μmg(r) r2

︵

4g(r)(>.~+Um)

11am(2Fm+3ンm) 1 + km￨kf(1)3)' ざ ＋ 2krn r

2km~

︵ンm十 苫m)f 、 、( r ) ︵ ン m +享m)f(T)-︵ず＋手m)9 、 、(r)r3 r2 r2

、r ) -︵ンm+ 享m)9( r3

1 -

2μrng'(r) r3

_

r4

( T ) 、 、 r2

享m g

6μrng(r) r4

3am(2μm+3ンm)︵km￨kt)a3 ざ＋

f '

L翌S悔図莱中吋母貯 g璃︿代

f(r)

斤9 (r)江

4、栄磐苫

答 ︶

c 2 C 3 r2 krnr20:1(l2ぷ＋ 35>.tμf+ 18μ}) 1- ￨ ￨ ー ￨ ＋ ￨ C 4+ 1 1c r 2 3r3 lO(kt+ 2krn)μ1(>.1＋ 2

ミ ︶

9

ミ ︶ ミ ︶

C 2 AJ＋μf r 2 ( > . 1＋ 4 g(T)1 1 ￨ ￨ C3ーC4 ( > . 1＋ 3 2 ( 2 > . t+ 3 r3 r

ミ ︶

＋

O:Jkrnr2(12ぷ＋ 35>.tμf+ 18μ})

ミ ︶

l0μ1(k1+ 2 k r n ) ( > . t+ 2

(4.40)

4 . 3 熱応力

1 7 1

2 . 母相内

d1 —畠—『＋戸

f ( r )= ＋

< Y m ( 3入m+2μm)( 5 a 3入m(km-k j ） 畜 +r 3 ( k J+2km)(4入m+9μm)) 30μmr(kJ+2km)(心 +2μ叫 ’ 必 ( - 入m-μm) =—+

芦（知 +4μm)

d 3d 4 g ( r ) r 3 r (入m+3μm) 2 ( 2入m+3μm) 入 、m+2 μm)( 5 a 3 ( k J-km)(入m+4μm)+2 r 3 ( k J+2km)(入m+μm)) _< Y m ( 3 30μmr(kJ+2km)(入m+2μm) ( 4 . 4 1 )

と表される．ここに C l" ' C 4とd 1"'山は，境界条件および連続条件から決定さ

4 . 4 0 )から れる積分定数である．変位は介在物内では有限なので式 ( C2=C3=Q となる．式 ( 4 . 4 1 )の d 1とd 4の決定には応力が無限遠で 0となる条件を使う．こ のため応力の式が必要となる．残りの未知係数の決定には変位と表面力が r=a で連続の条件を使う．応力成分は変位から び

i j=C i j k l( E k l-a 8 k 1 T )= 2 μ E i j+入8 i j E k k-(2μ+3入 ）a T8i1 =μui,j+μu1,i十入8 i j U k , k-(2μ+3入 ）a T 8 i j

と表される．よって母相の応力は式 ( 4 . 3 9 )と式 ( 4 . 4 1 )から

勾＝げ＋芦 D

+ c )( 砂 ＋ 叫 E

F

G

r 7 r 5 戸＋戸十 4G) +(—+-)叫巧叫仇＋（

X砂

k妬

( 4 . 4 2 )

と表される．定数 A"'Fは M athematicaで求められるが，出力が長いためここ では表示しない．式 ( 4 . 4 2 )から．応力が r→CX) で 0となる条件は Cが 0である ことがわかる . Cの具体的な式は

( 3入m+2μJ)(2am( 6入 ; , ,+2 5入mμf+2 4 μ } )+l 5 d 4 μ J (入m+2 μ J ) ) C= 3 0 (入m+2 μ J ) ( 2入m+3 μ J )

1 7 2

第 4章

無限材料中の介在物

で与えられる． よって C=Oを d 4について解くことにより．積分定数の一つで ある山は

2am(2入m+3μm)(3入m+8μm) d 4=15μm(入m+2μm) と決定できる．残りの積分定数の決定には．変位と表面力が r=aで連続である 条件から 4個の連立方程式が得られる．表面力は

t i=O ' i j巧 ＝ 匹i , j巧 ＋ 匹j ,叩＋入虹， k n i-(2μ+3入 ） aTn, で表される． 結果

全ての計算は M athematicaで実行される． 介在物内の応力は

幼 =A'(叩 約 ＋ 亨i-4疇 ふ ） で表される． ここに

2μmμJ(3入f+2μm)(amkf-3afkm+2amkm) A'=μ J )+2μm(μm+4 μ J ) ) ( k J+2km)(入J(3μm+2 母相内の応力は

；

: ； ↑ ‘; i'・・v;99;

勾 ＝ げ ＋ 且 ） (x北 +Xj0i) +(—誓—翌）叫巧叫0k+ (~ —互） X

砂

で表される． ここに

A =a5μJ(am朽 囚 ( 3心 μ , n+6入 叫f-6 μ , n町 +4μ}) , n+1 2入 叫f-2 μ , n旧 +8 μ } ) ) +2μ叫 心 μ ＋ 知( 6 a伊 m(3朽 +2μ叫（心 +2 町 ）

-a , n囚 ( 2 1知 μ , n+6入, n μ f+3 0 μ , n旧 +4μ}) +2 μ , n ( 7 心μ , n+1 2入m旧 +1 0 μ , n町 +8 μ } ) ) ) )

k妬

4 . 3 熱応力

1 7 3

／（（朽 +2知）（心+2μJ)(朽 (3μm+2μJ)+2 μ叫 μm+4μ介 ） ） ， a3 知µJ(km —朽） ( 3心 +2μ1) （ 朽 +2知 ） （ 入m+2μJ)

B= 全 ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ︳ ニ ニ ー ー ー ︱

2 . 0

1 . 5

1 . 0

0 . 5

4

2

゜

10

12

1 4

図4 . 1 2 熱束による熱応力分布

例

図4 . 1 2はび11 を任意に選ばれた材料定数でプロットしたものである．以下の

数値が用いられた． μ入

，, 2 13 ＝＝ ff

μm=1 , 入m =1,

ka

，, 0 12 ＝＝ ff

km=1 , arn=l ，

a =1 , X

0=l .

=lの境界面で応力集中が見られる. X → ooで応力は 0となる．以下の

Mathematicaコードでこの結果が得られる． In[173]:= SetAttributes[8, Orderless]; 8[Linteger, j_Integer] : = I f[ i == j, 1 ,O ]; =3; 8[ L S y m b o J , . , LSymbol] : Unprotect[Times]; Times[x_[j-8ymbol], d[L, j_Symbol]] := x[i];

1 7 4

第 4章

無限材料中の介在物

Times[X_[LSymbol, j _ ] , O[LSymbol, k _ ] J := X[k, j]; Times[O[LSymbol, j_ ],8[LSymbol, k _ ] ] : =O[j, k]; Times[O[LSymbol, j _ ] , h_[LSymbol]] := h[j]; Protect[Times];

= Unprotect[Power]; In[174]: = r-2; Power[ x[LSymbol],2 ] : Power[ 6[LSymbol, j_Symbol],2 ] : =3; Protect[Power]; = Unprotect[D]; In[175]: _ . , x[L]] := D[a_. r-n_. + b D[a, x[i]] r-n + n r-(n - 1 ) x[i] / r a + D[b, x[i]]; D[a_. x[L] + b _ . , x[jー］］：＝ D[a, x[j]] x[i] + a O[i, j ] + D[b, x[j]J; D[a_. x[LintegerJ-n_. + b_., x[j_]] := a n x[i]-(n - 1 ) O[i, j ] + D[b, x[j]J;

， x[L]] := D[a_. L[rJ-n_. + b一 D[ a , x[ i ]J f[rJ-n + a n f[rJ-(n - 1 ) f'[rJ x[ i ] / r + D[ b , x[ i ] ];

=D[a'X[i]J b + a D[b'X[i]J; D[Times[ a _ ,b _ ],x[ i」J : Protect[ D J; In[176]: ; mat ; {km -> 1 , kf -> 10, μm -> 1 , μf -> 1 2 , 入m -> 1 , 入f -> 3, am -> 1 , af -> 2 , a -> 1}; mat ; {}; 1 + vm), μf -> ef / 2 / (1 + vf), rule1 ; {μm -> em I2 / ( 入m -> vm em I (1 + vm) I ( 1 - 2 vm), 入f -> vf ef / (1 + vf) / (1 - 2 vf)}; In[177]: ; um; f[r] 0[m] + g[r] / r-2 X[p] 0[p] x[m]; （＊釦出＊）

j1 ; ( D[ D[ u m , x[ i ] ] // Expand, x[ i ] ] // Expand) / . X[ i ] 0[ i ]> X [p] 0[p]; ( * u i , i m * ) j2; (D[(D[um, x[m]] //Expand)/. x[m] 0[m] -> x[p] 0[p], x[m]]) // Expand;

+(μ 十入）Ui,im*)

( * μ / 1 u m

j3 ;μj1 + (μ+入） j2; fsol ; Coefficient[ j 3 , 0[m]]; gsol ; Coefficient[j3, x[p] 0[p] x[m]]; (*inside*) a1; 3 km/ (kf + 2 km); sol1; DSolve[{(fsol / . {μ->μf, 入ー＞入 f}) ;; a1 af (2μf + 3入f)' ][[1]]; (gsol / . {μ->μf, 入—>入 f}) ;; O}, {f[r], g[r]}, r (*outside*)

4 . 3 熱応力

1 7 5

a2 = (km - kf) / ( k f + 2 km); sol2 = DSolve[{(fsol / . {μ->μm, 入ー＞入m}) == am (2μm + 3 入m) ( 1 + a2 a-3 / r-3), (gsol / . {μ->μm, 入->入m}) == -3 am (2μm + 3 入m) a2 a-3 / r-5}, {f[r], g[r]}, r ][[1]]; In[178]: = (*---------------General solution---------------*) uin = ((f[r] 0[m] + g[r] / r-2 x[p] 0[p] x[m] / . sol1) / . C -> C1) / . {C1[ 3 ] -> 0 , C1[2] -> 0}; uout = (f[r] 0[m] + g[r] / r-2 x[p] 0[p] x[m] / . sol2) / . C -> C2; x---------------*) In[179]:= ( *---------------Stress inmatrュ j1 =D[uout, x[n]]; j2 =D[uout / . m -> n, x[m]]; j1 + j2 ) /2 ; Emnout = ( . n -> m) // Expand) / . x[ m ] 0[ m ] -> x[ p ] 0[ p ] ; Emmout = ((Emnout / びm nout

=2μm Emnout +入m O[m, n] Emmout;

In[180]:= tempout = ((km - kf) / ( k f + 2 km) (a / r)-3 + 1 ) x[p] 0[p]; thermalstressout = (2μm + 3 入m) am tempout; In[181]: ;( * Stress in matrix*) stressoutpre; amnout - thermalstressout 8[m, n]; Collect[Coefficient[stressoutpre, x[ n ] 0[ m ] ],r , Simplify]; solc24 ; Solve[( 2 am (6 入m2 + 25 入m μ m+ 24μ正）＋ 15μm ( 入m + 2μm) C2[ 4]) ;; 0 , C2[ 4]][[ 1 ] ] // Factor; stressout; stressoutpre / . solc24; tracout; Collect[(stressout x[n] / r // Expand) / . x[ n ] 0[ n ] -> x[ p ] 0[ p ],{0[ m ],x[ m ] x[ p ] 0[p]}, Ful1Simplify]; In[182]: = j10 = D[uin, x[n]]; j11 = D[uin / . m -> n, x[m]]; ;E 皿 i n = ((Emnin / . n -> m) // Expand) / . Emnin = (j10 + j11) / 2 x[ m ] 0[ m ] -> x[ p ] 0[ p ] // Ful1Simplify; びm nin =2μf Emnin +入 f Mm, n ] Emmin; tempin = al x[p] 0[p]; thermalstressin = (2μf + 3 入f ) af temp1n; stressin =CTmnin - thermalstressin 6[m, n];

]/ . tracin =Collect[Expand[stressin x[n] / r x[ n ] 0[ n ] -> x[ p ] 0[ p ],{0[ m ],x[ m ] x[ p ] 0[p]}, Ful1Simplify] . r -> a , {0[m], x[m] x[p] 0[p]}]; In[183]:= j20 = Collect[(uin - uout) / j21 =Collect[(tracout - tracin) / . r -> a , {0[ m ],x[ m ] x[ p ] 0[p]}, Simplify]; j20, 0[ m ] ] == 0 ; eql = Coefficient[ j20, x[ m ] x[ p ] 0[ p ] ] == 0 ; eq2 = Coefficient[ eq3 = Coefficient[ j21, 0[ m ] ] == 0 ;

1 7 6 第 4章無限材料中の介在物 eq4 =Coefficient[j21, x[m] x[p] 0[p]] = =O; solall = (solve[{eql, eq2, eq3, eq4}, > {C2[ 2 ],C2[ 3 ],Ct[ 4 ],C1[1]}] / . {c2[ 4 ]-

2am( 2, ¥ m+ 3μm)(3入m +8μm) > O})[[1]] // Ful1Simplify; ,C2[1] 15μm(入m+ 2μm)

. solall, In[184]:= stressinFinal = Collect[stressin / [ m , n] 0[p]}, Ful1Simplify]; {x[n] 0[m] + x[m] 0[n], x[p] O 二 1~~~

l：~こ）：

In[185]:= stressoutFinal = Collect[Expand[stressout / . solall], m , n] 0[p]}, Simplify]; {x[ n ] 0[ m ],x[ m ] 0[ n ],x[ p ] 8[

4 . 4 A i r yの 応 力 関 数 弾性問題を 2次元（平面応力または平面ひずみ）に限定すれば，複素関数を 使った Airyの応力関数により，多くの問題を統一的に解くことができる. Airy の応力関数自体は古典的な解法であり，ほとんどの弾性論の教科書に記載されて いるが，応用例は一様な材料に限られ，複合材に適用されたケースはみかけな い. Airyの応力関数を実際に得るには，複素関数の展開など計算が大変煩雑に なるため Mathematicaを応用する絶好の機会でなる．本節では 2次元介在物の 問題を扱う．

4 . 4 . 1 A i r yの 応 力 関 数 2次元平面応力（薄い平板）の状態ではびzz=0なので，体積力がない場合の 応力の平衡方程式は 四 x ,ぉ ＋ 四 Y,Y = 0 ,

Uy叫 x +匹 Y,Y = Q

( 4 . 4 3 )

と表される．式 ( 4 . 4 3 )はびxx, /Jxyお よ び 匹 yが式 ( 4 . 4 4 )のように単一の関数 cp(x,y)から導出できる場合．自動的に満足される． びxx=< / > , y y ,

ayy= < / > , x x ,

Uxy= ー ,xy

( 4 . 4 4 )

関数 q;(x,y)は Airyの応力関数と呼ばれる．

4 . 4 3 )で応力関数の未知成分は 3個であるのに対し，方程式の数は 2個であ 式 ( るため， Uxx,

四 yおよび Uyyについて解くにはもう一つの方程式が必要となる．

第 3章で 2次元での適合条件はひずみ成分で

4 . 4A i r yの応力関数

1 7 7

叩[ j , k ] l ] =0 と表された. 2次元ではこの式は

+Eyy,xx =2Exy,xy

( 4 . 4 5 )

Exx,yy

だけが独立な式となる. 2次元の等方性材料の応力ひずみ関係は 1

戸 ＝ 万 げxxー 四yy)'

1 Eyy =万（匹 y - l J圧 ），

Exy

l+v O"xy

= E

と表されるので式 ( 4 . 4 5 )は 2(1+ v)び xy,xy = (o む x,yy+ O'yy,xx) - V (o なx,xx+ O'yy,xx)

( 4 . 4 6 )

と表せる．式 ( 4 . 4 6 )は 叩 y を消去してさらに簡略化できる. 2次元平衡方程式 叫 , j =0を m で微分すると びi j , j i

=0

または

+C!yy,yy=- 2四 y,xy

匹 x,xx

( 4 . 4 7 )

を得るので，式 ( 4 . 4 7 )を式 ( 4 . 4 6 )に代入すると

+v) げ）（四 x,xx+びyy,yy)=( 四 x,yy十 匹 y,xx)- Vび (xx,xx+ 匹 y,xx)

2(1

となり，簡略化して結局

△（ 四 x+匹 y )=0

( 4 . 4 8 )

を得る．式 ( 4 . 4 4 )を式 ( 4 . 4 8 )に代入すると

△△￠ ( x , y )=0

( 4 . 4 9 )

となる．式 ( 4 . 4 9 )は重調和方程式と呼ばれ，一般解は複素関数を使い

￠ ( x ,y )=況（ゑ, ( z )+x ( z ) ) と表される．

( 4 . 5 0 )

zは zの複素共役で， r y ( z )と x ( z )

ここに況 ( z )は複素数 zの実部，

は任意の解析関数 12) である 13). 以下の関係式

a a a

-=—+a x 8z a ’ ぇ

8

-

.8

.8

= i -- i —

匈 釦 競

1 2 )複素関数論で解析関数とはえに拠らず zだけの複素関数のことである． 1 3 ) (証明）複素関数論によると

2次元ラプラス方程式

178

第 4章 無 限 材 料 中 の 介 在 物

を使うと，式 ( 4 . 4 4 )と式 ( 4 . 5 0 )をまとめて以下の応力と変位成分に関する式が 導かれる． び

x x+ C J y y=2( " f ' ( z )+ ぅ' ( z ) )

( 4 . 5 4 )

y y-C J x x+2 i C J x y=2ゑ ("(11( z )+ 砧' ( z ) )

( 4 . 5 5 )

び

1 Ux+iuy=- ( " " " f ( z ) z ぅI(z) —砂（る）） 2 μ

( 4 . 5 6 )

こ .i

こ こ

x ' ( z )三 い( z ) △￠ ,=0 の一般解は

叫x ,y )=W( f ( z ) ) で表される．

ここに

Z =① 十

および

f ( z )は複素解析関数 ( zのみの関数）である． i y , Z= X~iy, 8

18

18

--—+—-2釦 2 i8y'

- =

釦

の関係から

=-( z十 ゑ ） ， 2

8

18 2釦

1 y=-(z —ゑ）

2 i

18 2 i8y

-=-----

釦

: zi (:~2 +~)い =

釦

となる．

1

X

=

( 4 . 5 1 )

よって

△△ゆ =0 の解は

△心=! J r( f ( z ) ) となる．

ここに

( 4 . 5 2 )

f ( z )は任意の解析関数である．式 ( 4 . 5 2 )と式 ( 4 . 5 1 )は

羞 （ 塁 ） =!Jr(f(z)) と書け， zについて積分すると

8ゅ

応 ＝ 況 ( !f ( z )dz)三況（土））

( 4 . 5 3 )

となる式 ( 4 . 5 3 )をるで積分すると

心 =R( 巧( z )+x ( z ) ) となる．ここに 解析関数である

x ( z )は積分定数に相当するものだが， この場合は zのみの関数，すなわち

179

~

iry( 4 . 4 A l ) J ; D J J溢緊 ︶ (3[.3.Tい

1 1

＼

図

4.13

内益 L浦涸k芦活が逹 丑 乞 畠 [L J

d 文 (NI)戸 7(N)3粛 料 悲 ゃ 告 ︶ や NI言0ぐ人は雙ごぶい代ぎ洸斗． 汎 与べ油燦笠応). dP江遍惹諏 . i : . . ' : ' . ' : ' . ' : ' .

>-'w

+I I

w

, . . . . . . . . . . . , -

I I

? i

E g

(4.56)

母国団辻 母国0斗 炉

l s光溢三溢翠d 渉 が

Airy( J ) r , t1 J涯 媒 竺 海 0 A 2突 因 怠 悪 寄 豆 濫 内 蒋 ︿ 言 戸 2商

竺 1TS 斤5 kロー

7(N) ： さ (N)

贔塁塗芯ふ沖 d涸宝 L｀ 中 沖 こhf

7ど踪翠

遥笞芦が． 1 . i 冷＝京媒an 代 bn~1*~ 1 J f ! i J

8 古(N)IIMa¥ 711￨8

ぞ︶

8 n I I M ぎN 711￨8

佃誨粛⇔蹴蔀岱ピこ活

m‘ 粛悔滸涵溢竺吐ロー

ふ蔀舛がf47ー泰磋冦拿ざ Oil

9

7 Y要翠活︷澤ざ芦が． 中＝図

`L,EaS峠寂S 土L活母

4.130 )J :g ' ji :: i

ぐソが ぷ' 翌~ ) iJ 0i AJ 09 浦 弼 誨 Aぷ澤却 iJ

屯 茨 や 蝋 沖 が ． 浦 荒 悔d s漆準冷︷き i

⑱ 8喜

89U←

8 g7 3 u← 念8

q8←

8

T← 7

1 8 0 第 4章無限材料中の介在物

である．孔の周縁には表面力がないため，以下の条件が必要である 14).

砂 +y2= a2に 沿 い 柘 =0 ,

ty = 0

領域は二重連結のため， ' Y ( z )とゅ ( z )はローラン級数で以下のように仮定される．

祖）＝戸+~+デ +co+ c1z ゆ( z )=

凸 十2凸 + 凸 +do+d 1 z

z3

z

z

該当する解がなければ項数を増やせばよい．未知係数 C-3 " ' d 1は上記の境界条 件を満たすように選ばれ C-3

=0 ,

C-1

=

C-2

びデ十

(Y oo y

4

=0 ,

幻 =0 ,

,

心

c 1=

a ' : ( ; ' 2 2 oo・ a +aT i, 2

0 -

4

a 2

d-3=-(窄—び:) + i a 4 r 0 0 , dー 2=0 , 0 0

2

a

d-1=--(心＋窄），

do=0 , d 1=

2

0 0 0 0 +iT

び 一 びX•

Y

2

と解ける．応力成分は

びぉ＝

3が( u ' ; ; ° ーu : f : )( x 4-6 x 2炉+y 4 ) 6a2砂炉 ( u 空ー (J"『) ＋ 2(砂 +y平 （ 研 ＋ 炉 ） 3

＋ 心 （ な ＋ 窄 ） ＿ 心( 5窄 ー 3 u : / J ° ) 2(炉 +y 2 ) 3 2伍＋炉） 3 _ 4a 仔 00xy(-3aゲ +3 a 2炉+3が +2 炉y 2炉 ）

田＋炉） 4

+u ， 竺

1 4 )張力と応力成分の関係は X

y

a

a

tx = aい 伍 十 Tny =叩— +T-,

で与えられる．

X

y

a

a

ty=T1 伍 +ayny = T —+ O"y-

4 . 4A i r yの応力関数 3 が(a';'-び ' : ' )(x4-6x2炉 +y 4 ) びy =

24

2(炉 +y)

＋

1 8 1

6a2 丑炉 (a~- び~)

(砂+y 2 ) 3

＿ 心( 5び デー 3窄）＋砧が（窄＋窄） 2( 炉 +yが

＋ T

2(呼＋炉） 3

4a2r00xy(-3a ゲ +3a2炉＋が― 2x2 炉— 3炉） が ＋ 炉 ¥4

OO

十 びy '

=(r00(-3a4企 +18a4砂炉— 3a4y4 +2a2x6- 10a2 企炉—

10a2x2y4

+2a2炉 +x 8+4x6炉 +6 x 4 y 4+4x2炉＋炉） -a2xy(-6a2a ご企+6 a 2 a ' ; / ; ' x 2+ 6a2 びm 炉— 6a2 び: 炉+5a 竺x4

竺x2炉 +2a';' 岱炉— 3心 y4 +5ar;°yり）／国＋炉） 4 -3び戸 +2a と表される．び'/:=T 0 0=0の場合 O"x は

びx =(3a4a~(が― 6武炉 +y4)-a2(研＋炉） (5aごが― 12a~ 砂炉—びご yり +2a ごぼ＋炉） 4 )/( 2 ( x 戸 y予 ） と簡単になる. X = 0 ,y= aの場合，上記の式はさらに 四

び :

=3

となり，応力集中があることがわかる．

4 . 4 . 2 複素変数の Mathematicaプログラミング Mathematicaでは大文字の Iを虚数《コ向として使用する． I n[ 1 8 6 ]: =r2 O u t[ 1 8 6 ]=-1 I n [ 1 8 7 ]: =!~101 O u t [ 1 8 7 ] =i 複素数 Z=X +iyは

I n [ 1 8 8 ] : =z =x + Iy 1 5 )虚数は Esc, i i , Escキーを押して入力できる．

1 8 2

第 4章

無限材料中の介在物

Out[188]= x+ iy

と入力される．

しかし，この後 z3 を入力しても，実部と虚部に自動的に展開さ

れない．理由は x と yが複素数か実数かの情報が Mathematicaに与えられてい ないからである． In[189]:= z-3 Out[189]= (x+iy)3 ComplexExpand関数は全ての記号が実数であると仮定する． In[190]: = ComplexExpand[z-3] Out[190]= x3-3xy2+:n.(3x2y-y り

複素数から実部を切り離すには Re関数，虚部を切り離すには Im関数を使い， その後 ComplexExpand関数で展開する． In[191]: = ComplexExpand[z-3] Out[191]= x3-3xy2+i(3x2y-y3) In[192]: = Im[z-3] Out[192]= Im[(x+iy)汀 In[193]: = ComplexExpand[Re[z-3]] Out[193]= x 3- 3xy2 In[194]: = ComplexExpand[Im[z-3]] Out[ 1 9 4 ]= 3x 2y- y 3 Airy応力関数を定義するために，複素関数の

す必要がある．

zでの微分を x とyの微分に書き直

a=1a ia --

釦

2a x 2o y

このため dZを In[195]:= dZ[L] : = 1/2 D[f, x ] - I/2 D[f, y]; z = x + I y ; zbar = x - I y ;

で定義する．式 ( 4 . 5 4 )と式 ( 4 . 5 5 )をMathematicaで使うには，関数 AiryStressを In[ 1 9 6 ] := AiryStress[ " ' ( _ , ゅ」： = Module[{ o m p l e x E x p a n d [ d Z [ " ' ( ] + Conjugate[dZ[ゆ］］］）， eq1 = (ux + uy == 2 C eq2 = (ux ー びy == ComplexExpand[ R e[ 2 (zbar dZ[ d Z[ " ' ( ] ] + dZ[ゆ］）］］）， eq3 = ( 2 Txy == ComplexExpand[Im[ 2 (zbar dZ[ d Z[ " Y ] ] + dZ[ゆ］）］］）｝， sol = Solve[{eq1, eq2, eq3}, {ux, uy, Txy}];

4 . 4 Airyの応力関数

1 8 3

{sol[[ 1 ,1 ,2 ] ],sol[[ 1 ,2 ,2 ] ],sol[[ 1 ,3 , 2]]} // TrigReduce]

と定義する．関数 AiryStressは 'Y(z) と副 (z)16) の 2個の引数をとり，びxx, びyy お よ び 匹 y をこの順に出力する． 例として 'Y(z)=l/z+z4および心 (z)=

1 /砂を入力すると，

O " x x , びyyお よ び

叩 yは

In[197]:= AiryStress[ 1 Iz + z-4, 1 Iz-3] I ISimplify 1 Out[ 1 9 7 ]={ ( 2 0x 1 1+ 68ざ y 2+ 72x7y 4+ 8x 5y 6-28x3y 8( x 2+y叩 12xy10+y4(-3+ 4y2)- 3豆 (1+4y2)+豆 (18y2- Sy り ） ， -

1

（炉＋ザ） 4

(4x6+ 4x11+ 52x9y 2- 3y4+ 168x7y 4+ 232x5y 6+

148ざ y 8+ 36X y10- 6x2y2(-3+ 2yり—炉 (3 + Syり ） ， 4y(年

+3y2+

xy2(-3+ 2yり

2炒

3炒

( x 2+ y↑ ―（炉十 y 2 ) 4+

( x 2+ y 2 ) 4

)}

を出力する変位を求めるには式 ( 4 . 5 6 )を使い， AiryDisplacementを In[198]: ; AiryDisplacement["(_, 他，肛，μ_] : = Module[ { work ; 1 / (2μ) (K "(- z Conjugate[ d Z[ " ( ] ] - Conjugate[心］）｝， {ComplexExpand[Re[work]] // TrigReduce, ComplexExpand[Im[work]]}]

と定義する. AiryDisplacementは " f ( Z ) , 心( z ) , "'およびμの 4個の引数を要し， 出力として変位 Ux と Uy を返す．例えば "f(Z)=¾ および心 (z)= z2の入力に対 し，変位 uのと Uyは In[199]: ; AiryDisplacement[1 Iz , z-2, k , μ] II Simplify 4+ y 6 ( 1+ k )x 3- x 6+ (-3+ k )xy 2- x 4炉 十 炉 y Out[199]; { 2( x 2 y叩 μ '

+

y(-(-3+k)x2+2 炉— (1+k)y2+4x3 り+ 2xy4

｝

2 (炉十 y守μ と出力される．

4 . 4 . 3 多相介在物問題 Airyの応力関数自体は古典的な解析手法だが，

Mathematicaと組み合わすこ

とにより，従来は困難とされた多くの問題を解くことが可能になる， 例 と し て ， 前 節 で 扱 っ た 2次元 3相 の 介 在 物 応 力 問 題 を Airyの 応 力 関 数 で 解 1 6 )ギリシャ記号 Tおよび心は EscgEscと EscpsiEscで入力できる．

184

第 4章

無限材料中の介在物

く方法を解説する．半径 m および a2の同心の円柱が無限大の母相内にあるとし て ，

r ( z )および心 ( z )をテイラー級数（単連結領域）またはローラン級数 ( 2重連

結領域）で展開する． 00

, ( z )=ど

00

i

CiZ,

心( z )=

i=-00

I :diz'

(4.57)

i=-CXl

ここに g と d iは未知係数で，各相で異なる値をとる． 問題の対称性により， Airyの応力関数を極座標で表示して，極座標での応力， 変位と Airyの応力関数との関係は びr r+ び 00

び0 0-

=2(,'(z)+1(z))e2i0

O " r r+ 2iびr0= 2(乏 , "(z)+

(4.58)

i / J ' (乏 ） e力 8

(4.59)

1 2 μ

Ur+iu0= -(K1(z)- zぅ I( z)― 炒 (z))e―i0

(4.60)

で表される．以下の Mathematicaのコードは，式 (4.58) と式 (4.59) を計算し， AiryStressPolarで ,(z) と訊 ( z ) を入力することによって，極座標での応力成分 ( O " r ,び0 ,Tr0)を出力する． In[200]:= polar= {x > r Cos[0], y > r Sin[0]}; AiryStressPolar["(_, 1 / J _ ] := Module[{ eq1 = ( O " r + び 0 == 2 ComplexExpand[dZ["(] Conjugate[dZ["(]]] / . polar), eq2 = (び 0 - び r == ComplexExpand[ Re[2 (zbar dZ[dZ["(]] + dZ[心]) Exp[ 2 I 0]]] / . polar), eq3 = ( 2 rr0 == ComplexExpand[ I m[ 2 (zbar dZ[ d Z[ " ( ] ] + dZ[ 心 ］ ） Exp[ 2 I 0]]] / . polar)}, sol= Solve[{eq1, eq2, eq3}, { ぴr , び 0, rr0{]; {sol[[ 1 ,1 ,2 ] ],sol[[ 1 ,2 ,2 ] ],sol[[ 1 ,3 , 2]]} // TrigReduce]

例えば "f(z)=l/zおよび心 (z)= 2z+l/z2に対する極座標での応力場（びTハび 00, 巧

e )は

In[201]: = AiryStressPolar[1 / z , 2 z + 1 / z-2] Out[ 2 0 1 ]= {-

2(-Cos[0]+ 2rCos[20 ]+ r 3Cos[20 ] ) r

2(-Cos[0]+ r 3Cos[20 ] ) 2(-Sin[0]- rSin[20 ]+ r 3Sin[20 ] ) r 3

r 3

｝

と計算される．以下の Mathematicaのコードは，式 (4.60)を計算し， ,(z)と心 (z)

4 . 4A i r yの応力関数

1 8 5

を入力すると，極座標の変位成分 (ur,ue)を出力する AiryDisplacementPolarを 定義する． In[ 2 0 2 ]: = AiryDisplacementPolar[ 1_ ,ゆ → 和，μ」： = Module[{ work= 1 / (2μ) ( 1 , , 1 - z Conjugate[ dZ[1] - Conjugate[ゆ]) Exp[ -I 0 ]I . polar}, {ComplexExpand[Re[work]] // TrigReduce, ComplexExpand[Im[work]] // TrigReduce}]

例えば r y ( z ) = l / zとい ( z )=2 z+1 /z 2に対応する変位は In[203]: = AiryDisplacementPolar[1 Iz , 2 z + 1 Iz-2,

K,,

μ] I ISimplify

+r(1- 2r2+1 o , )Cos[20 ]

-Cos[0] Out[203]= {

2ザ μ

+2r(1+2r2- 1 o , )Cos[0])Sin[0]

(-1

｝

2ザ μ

と表される． 図4 . 1 4に示す 3相の材料では，式 ( 4 . 5 7 )の , ( z )と心 ( z )を以下のように選べ ばよい．

( 1 ) 中心介在物内 0: Sr : Sa1

L d i Z '

3

1

, ( z )=Lcizi, 心( z )= i=l

i=l

b

J "

゜ 。b J "

図4 . 1 4 3相材料

( 4 . 6 1 )

1 8 6 第 4章 無限材料中の介在物

( 2 ) 同心外部介在物内 a1: : ;r : : ;a2 1

叫） =

L

CiZi,

1

い(z)= I :い

( 4 . 6 2 )

t

i=-3

i=-3

( 3 ) 母相 a2さ r: : ;oo

t

: Cロ応）＝（心—び~+2i1 mid1 = mid[[ 1 ] ]/ .I J ' X < X l→ 1 out1 = out[[ 1 ] ]/ .I J ' X < X l 一> 1 sigmarr[rー ー］：＝ Boole[r < 1 ] in1 + Boole[r > 1 && r く 2 ] mid1 + Boole[ r >2 ] out1 , 5}, {0, 0 , 2 Pi}] RevolutionPlot3D[sigmarr[ r ,0 ],{r, 0 9

40 152896C o s [ 2 0 ] Out[ 2 1 9 ]= ― 113 174719 112

Out[220]=

8

137664Cos[20]

— +— + 339 339r2 174719

1 74 1 Out[221]= - - -Cos[20] 2 113r2 2

46272Cos[20] _ 61504Cos[20] 174719r4

174719r2

2645208C o s [ 2 0 ]

912456C o s [ 2 0 ]

174719r4

174719r2

+

l99t9999 き 29/9

、99;~

1 . 0

：~、とら

Out( 2 2 2 ]= o . 5

ii9,'

Lr ’；ー・・，―-9 ｀9 ~9ヽ

0 . 0 0 . 5 , -5

5

1 9 8 第 4章無限材料中の介在物

4 . 5 複合材料の有効定数 応用力学の重要なテーマの一つは，非均質な材料（複合材料）を均質な材料と 見なしたときの有効定数を求めることであり，非均質材料の有効定数の研究は

Maxwell以来長い歴史がある．この問題は「多体問題」の範疇に入り，一般に厳 密解は存在しないことが知られている．元々は物理の問題であったが，約 40年 前に複合材料が航空機などに使用されるようになり，それに伴いこの分野の研究 も盛んになった． 有効弾性率 C*の定義には以下の 2つの流儀がある．

( 4 . 6 4 )

=C* 〈び€〉 =C* 〈€〉〈€〉 ここに〈•〉は空間平均で

j-dx

1 V→0 0 V

〈•〉三 lim

( 4 . 6 5 )

V

で定義される．式 ( 4 . 6 4 )の定義は構成方程式に基づき，式 ( 4 . 6 5 )の定義はひず みエネルギに基づ•

].J

または

u1

( L eぃc )

u2

( L e 2 ,c )

UN

( L e N , c ) ( 5 . 5 )

を得る．式 ( 5 . 5 )の左辺の行列は対称行列である．最小二乗法は残差のノル ムが全区間で最小になるため，全体にわたり良い近似を与える．

3 . ガレルキン法 「ガレルキン法」の名称はロシアの数学者 B o r i sG a l e r k i n( 1 8 7 1 1 9 4 5 )に由

iは残差 R ( x )が N 個の 来する．ガレルキン法において， N 個の未知係数 u

2 1 0

潔

5滅

t

ヰ涸汁禁潟苫S＊栄磐

icJ 冥澪溢澪 e 芦心 Q Jハ5 内平 gkf 1 i r冷斗 o

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(5.8)

邑 門

翌塁弔ビ苔舜 S , M l

4)

(Lu.o)11(u•L0)

d 沙 0． 巴 蒻 翌 這 羞 宗 怨 笠 代 ⇔ 悶 雰 ヽ ご くt渉が． 易︵ 5.7)O)fH°UA 活淫菩︵四□速心︶ 3革 竺 紐 菩 遵 芹 怠 4)_ -i.L 翌油浪渕壁 i辻マ︶了ヤv i沿S器溶汁華中d 母 09 皿埠S啓染d 1, ボ芦恒立子 S菩溢 d o k令 が 斤 5⇔冥澪涯翠肉濫 A、注︵編吟↑ぃ控賑斗ぶ．

旦 図 ．

(H)岱ビ竺名(H)

S華吟涅菩︵皿□沖念︶代ぐふ

5 . 1 境界値問題の一般解法

2 1 1

例 1 1次元常微分方程式 ガレルキン法を実際に適用するには多項式の微分，積分の繰り返しが必要であ り，手計算では最初の数項を求めるだけで精一杯である．高次の項まで求める必 要がある場合， Mathematicaの使用は必須である例として以下の微分方程式を 斉次境界条件の下で考えよう． u"(x)-u(x)= x , u ( O )= u ( l )= 0

厳密解は Mathematicaの DSolve( =]2ifferentialEquationSolver)関数を使い I n [ 1 ]: =D S o l v e [ { u ' ' [ x ] -u [ x ]= =x ,u [ O ]= =0, u [ 1 ]= =O } ,u [ x ] ,x ] e→ (-ce+c e i + 2 x十 ef'X- c e 2 + xx )

O u t[ 1 ]={{ u [ x ]→

｝ ｝

+ w -

-1

のように e―x(-e+e 1 + 2 x十 e " ' x-e 2十 " ' x ) u(x)= -1

( 5 . 9 )

+e -

と求められる. DSolve関数では，微分方程式の定義の一部として境界条件 u ( O ) =u ( l ) =0を入力できる. DSolve関数からの出力は複数の解が存在す

る可能性があるため， Mathematicaの代入規則である右矢印（→)を使ってリス ト形式で出力される．解をプロットにするには代入規則を使い I n [ 2 ]: =s o l=D S o l v e [ { u ' ' [ x ] -u [ x ]= =x ,u [ O ]= =0, u [ 1 ]= =O } ,u [ x ] ,x ] P l o t[ u [ x ]/ .s o l ,{ x , 0, 1}] e→ (-ce+< B i + 2 x十 efx- 1 / (a + 1), y-b_. > 1 / (b + 1)}; inner[L, g _ ] : = myint[ fg ]; _ ] : = D[ f ,x ] D[ g ,x ] + D[ f ,y ] D[ g ,y ]; div[f_, g poly[n_, a _ ] : = Sum[a[(i + j ) ( i+j+ 1 ) /2+i+ 1 ] x-j y-i, {i, 0 , n}, { j, 0 , n - i}]; polyseq[ m _ ] : = Flatten[Table[Table[ x -( j -i ) y五， {i, 0 , j}], {j, 0 , m}]] basefunc = polyseq[4] x y ( x- 1 ) ( y- 1 ) ; terms= Length[basefunc]; amat = Table[O, {i, terms}, {j, terms}]; amat = Table[inner[div[basefunc[[ i ] ],basefunc[[ j ] ] ], 1 ], {i, terms}, {j, terms}]; Do[amat[[ j ,i ] ] = amat[[ i , j]], {i, 1 , terms}, {j, 1 , terms}]; bvec = Table[inner[basefunc[[ i ] ], 1 ],{i, terms}]; approx= Inverse[amat].bvec.basefunc Out[ 1 3 ]=

36051(-1+x)x(-1+y)y _ 12243(-1+x)x2(-1+y)y 17876

4469

+

27489(-1+x)分 (-1+y)y_ 3003(-1+x)が (-1+y)y 8938

4469

3003(-1+ x )炒 (-1+y)y_ 12243(-1+x)x(-1+y)y2 8938

4469

＋ ＋

70455(-1+x)炉 (-1+y)y2_ 70455(-1+x)x3(-1+y)y2 8938

8938

+

27489(-1+x)x(-1+y)y3 _ 70455(-1+x)炉 (-1+y)y3 8938

8938

70455(-1+x)炒 (-1+y)y3_ 3003(-1+x)x(-1+y)y4 8938 3003(-1+ X )X(-1+ y)y5 8938 , 1}] In[14]: ; Plot3D[approx, {x, 0 , 1}, {y, 0

4469

十

＋

5 . 1 境界値問題の一般解法

217

0 . 0 6

プログラム中のユーザ定義関数である i n n e r[f, g ]は ， J ( x , y )とg ( x , y )の内積

jjf(x,y)g(x,y)dxdy

( f , g )=

1

0

1

0

を計算する．ユーザ定義関数である div[f, g ] はガレルキン法で使用される積分

f f△Jg心 dyを以下のように

f o 1f o 1J,iigdxdy=-f 1 f 1 J , i g , idxdy 0

部分積分を使って ! , i iを計算する代わりに

0

J , ,を計算することで計算の効率を

o l y s e q [ m ]は，試験関数に使用される多項 図っている砂ユーザ定義関数である p m a tは式 ( 5 . 7 )の成分を計算する．行列 A は対称行列なの 式を生成し，リスト a p p r o xに 4次の多項式を使った近似解 で半分だけ成分を計算すればよい．変数 a が計算される．

Mathematicaは豊富な内蔵関数を有しており，数学の多くの関数が利用可能で ある．ただし，全ての関数が個々の問題に対して最適化されているとは限らない ため，問題によっては関数を自己定義して使用した方が効率的な場合もある．例

y i n t[f] は ， M athematicaの I n t e g r a t e関数の代替で， xと yの関数で えば関数 m

( x ,y ) ,0: Sx: S1 , 0: S y: S1 }上で効率よく積分する．関数 ある多項式を D ={ 5 )数値計算では高階の微分はなるべく避ける．

2 1 8 第 5章 有限な媒質内の介在物 myint[ f ] を使用すると内蔵関数の Integrate関数に比較して処理速度は数十倍増

加する．

/ 2の断面で比較する． 厳密解とガレルキン法による近似解を y=1 In[15]: = approx2 = approx / . y>1 / 2 193467(-1+ x )x

=—+

Out[ 1 5 ]

27489(-1+ x )x 2_

572032

39501(-1+ x )炉

143008

3003(-1+x)x4_ 3003(-1+x)x5

143008

17876

35752

In[ 1 6 ]: = Plot[ {approx2, exact2}, {x, 0 ,1 } ]

0 . 0 6

Out[16]=

0 . 0 4

0 . 0 2

0 . 4

0 . 2

0 . 6

0 . 8

1 . 0

上の圏では厳密解と近似解には実質的な差が見られない．これによって，厳 ; r

密解が存在しない場合でもガレルキン法による近似は正確であることが予想で きる．

5 . 1 . 2 レイリー・リッツ法 レイリー・リッツ法は変分法に基づいて境界値問題を解く数値的方法である． 変分法の詳細については多くの教科書で解説されているので割愛するが，基本的

xの代わりに関数 J ( x )の微小変 な考え方は，変数 xの微小変化（微分）である d 化（変分）である紆を使用することである．

( x )とその微分 y ' ( x )を含む 変分法において，汎関数 Iは 2階微分可能な関数 y 関数 fの積分として

j bf(x,y(x),y'(x))dx

I = = =

a

で定義される．

( 5 . 1 1 )

5 . 1 境界値問題の一般解法

2 1 9

式 ( 5 . 1 1 )で yの変分 < S yをとって部分積分を実行すると 6)

紅 ＝ ［ （ 鳳 (tand皿

~mo如叫叩

【著者紹介】

野村靖ー（のむらせいいち） 1 9 7 4年 東京大学工学部計数工学科卒梁 1 9 8 0年 米 国 デ ラ ウ ェ ア 大 学 よ り P h . D .取得 1 9 8 2年 東京大学より工学博士取得 現 在 テキサス大学アーリントン校機械航空工学科教授 [email protected] 専門応用力学 著 訳 書 『複合材料の構造力学』（共訳日刊工業新聞社， 1 9 8 7 ) MicromechanicswithMathematica( W i l e y ,2 0 1 6 ) Heat乃 ansferi nCompositeMaterials (共著， DEStechP u b l i c a t i o n sI n c . , 2 0 1 7 ) C ProgrammingandNumericalAnalysis:AnIntroduction(Morgan& C l a y p o o lP u b l i s h e r s ,2 0 1 8 )

Mathernaticaによる テンソル解析

著 者 野 村 靖 一 ◎ 2019 発行者南條光章

TensorAnalysis UsingMathematica

発行所共立出版株式会社

2019年 6月 1 5日

初 版 1刷発行

I

〒1 12-0006 東京都文京区小日向 4丁目 6番 1 9号 電話 03-3947-2511 (代表） 0110-2-57035 振替口座 0

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印刷藤原印刷 製本加藤製本 検印廃止 NDC4 1 4 .7 ,4 2 1 . 5 ,5 0 1 . 1

ISBN978-4-320-11379-4

IPrintedinJapan

匡豆' i l l