1,610 90 30MB
Romanian Pages 178 Year 2012
Table of contents :
scan0001......Page 1
scan0002......Page 9
scan0003......Page 14
scan0001......Page 42
Filiera teoretica, profilul real specializarea matematidi-informatica rdiera vocational a, profilul militar, specializarea matematica-informatica
Marian ANDRONACHE • Dinu SERBANESCU Marius PERIANU • Catalin CIUP ALA • Florian DUMITREL
Matematica pentru examenul de bacalaureat
Ml
~MATEMATICIENILOR
Clubul matematicienilor este un proiect dezvoltat de Grupul Editorial Art.
Cuprins
Copyright © 2012
.-.E.•..•.
~ GNpEditorial Toate drepturile asupra aeestei lucrari apartin editurii. Reprodueerea integrala sau partials a continutului lucrarii este posibila numai cu acordul prealabil seris al editurii.
o
Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE(clasele IX-X)
r:/:J
Tema 1.1 - Multimi de numere. Multimi ~i elemente de logica matematica
.
7 196
Tema 1.2 - Functii definite pe multimea numerelor naturale (~iruri)
10 197
Tema 1.3 - Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice
14 200
Tehnoredactare: Cornel Draghia
Tema 1.4 - Functia de gradull.
19 201
Coperta: Alexandru Da~
Tema 1.5 - Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale............................................. 24 204
Referenti stiintifici:
prof. drd. Livia Harabagiu prof. gr. I. Eduard Buzdugan
Tema 1.6 - Functia exponentlala
Tiparit la C.N.I. "Coresi" S.A.
Functia de gradul alII-lea
~i functla logaritmica.
Ecuatii ~i inecuat]] exponentiate ~i logaritmice
Descrierea
CIP este disponibila
la Biblioteca Nationala
a Romanie]
978-973-124-824-0
Pentru comenzi va puteti adresa:
Departamentului DijUzare
28 207
Tema 1.7 - Numere complexe
32 208
Tema 1.8 - Metode de numarare. Elemente de combinatorlca. Matematici financiare
36 209
Tema 1.9 - Vectori in plan. Geometrie vectcrlala. Geometrie analitica
40 210
Tema 1.10 - Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei produsului scalar in geometria plana
~i ale 46 213
C.P. 22, O.P. 84, Cod: 062650, sector 6, Bucuresti telefon 021.224.17.65 0721.213.576 0744.300.870 Se acorda importante reduceri.
Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1- Permutari. Matrice. Determlnanti
55 216
Tema 2.2 - Sisteme de ecuatii liniare
64 219
• 3
Tema 2.3 - Structuri algebrice..............................................................................74 226 Tema 2.4 - Polinoame
cu coeflclentl intr-un corp comutativ................
Algebra/Ceornetrie
85 235
Clasele IX-X Partea 3. ANALiZA MATEMATICA (clasele XI-XII) Tema 3.1 - Limite de ~iruri. Limite de functll, Functii continue. Functii derivabile........................................... 97 239
Tema 1.1. Mullimi de numere. Mullimi ~i elemente de loqica rnatematica
Tema 3.2 - Primitive.................................................................................................. 118254
Tema 1.2.
(cia sa a IX-a)
Functil definite pe multimea numerelor naturale (slrurl) (cia sa a IX-a)
Te ma 3 •3 - Fri'" u n •..,II In t egra bllI e
124 258
Tema 1.3.
Functil. Proprletati generale. Lecturi grafice (clasele IX-X)
Tema 1.4.
Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE Tema 4.1- Subiecte
date la examenul
(clasa a IX-a)
de bacalaureat
Tema 1.5.
143 280
in anii anteriori de subiecte
propuse
spre rezolvare
Puteri ~i radicali. Ecuatil irationale (clasa a X-a)
Tema 1.6.
Tema 4.2 - Variante
Functia de gradull. Functia de gradul al ll-Iea
Exponentiale ~i logaritmi (clasa a X-a)
156 304 Tema 1.7.
Numere complexe (clasa a X-a)
Tema 1.8. Metode de nurnarare. Elemente de cornblnatorica (clasa a X-a)
Tema 1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorlala. Geometrie analltica (clasele IX-X)
Tema 1.10.
Elemente de trigonometrie. Functli ~i ecuatli trigonometrice (clasa a X-a)
Tema
.
1.1
Multimi de numere . Multimi ~i elemente de logica matematica 1. Partea intreaga ,i partea fraclionara a unui numar real Defini~ie. Fie x
E
lR . Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal dedit x se numeste
par/ea fntreagii a lui x. Se noteaza: [x] = max {p
E
IE I p ~ x} .
Numarul real {x} = x - [x] se numeste partea fractionard
a lui x.
Proprletatl 1. [x]~x 2 2 ' vn_ .
a4 +l, Vn~l,
r#O.
astfel meat as = 7 si
Definilie. Sirul de numere reale nenule (bn
-
suma primilor 20 de termeni ar progresiei
a2 = 4 ~i al + ~ + as + a6 = 30.
8. Determinati aritmetica.
tl este 0 progresie
geometricd de rape q daca
1. bn
= b. . «:
9. Aflati a E IR pentru care numerele 2
2. b; = bn_1·bn+p Vn ~ 2. qn_l bl--, q#l 3.8n= q-l ,unde8n=bl+b2+ { nb., q =1
--- --------------------------
aritmetice
si x+2
E
1
0 -
,
x + 1, 1- x
LI'
stiind ca
2009
si 4 sunt in progresie
To+2 + 1, 2 +1 + 1 sunt in progresie aritmetica. 0
2009
b) 2+6+10+ ... +2010; d) 1+ 5 + 9 + ... + (4n - 3), n
N* ;
(an
sunt in progresie aritmetica.
Variante bacalaureat
10. Calculati sumele. a) 1+4+7+ +100; c) 1+ 3 + 5 + + (2n + 3), n
Vn ~ 1
= 43 .
Variante bacalaureat
numarul real x stiind ca numerele
bn+1 = bn • q (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).
Proprietati
2l
a13•
7. Determinati xEIR stiind ca x, (x_l)2
3. Progresii geometrice
a
b) Stabiliti daca numarul2015 este termen al progresiei? c) Calculati suma T = a2 + as + as + ... + a2012 • 6. Calculati
,Vn~l,unde8n=al+a2+··.+an·
to
•..
~ 1 E
N*.
11. Aratati ca suma primelor n numere naturale impare este un patrat perfect.
LI.
sirul (an Stiind ca pentru orice n E N * are Ioc egalitatea 2 al + a2 + ... + an = n + n , demonstrati ca sirul (an ).;'1 este 0 progresie aritmetica,
12. Se considera
... +bn.
--------------------
IC(
V
~ ~ W
~ ~
• 11
x+(x+l)+ d) 2+5+8+
Variante baca/aureat
14. Determinati al zecelea termen al sirului xpx2,7,10,13, 15. Fie (an ).2c10 progresie aritmetica. Stiind ca
Cl:J
+ al9
2009
... a6
+ a16·
16. Se considera progresia aritmetica (an ).2c1astfel incat a2 + a3 + al9
+ a20 = 8 . Calculati.
= 21,
tl ~i Sn suma primilor
calculati al
18. Aratati ca daca numerele reale a,b ~i geometries, atunci a = b = c .
+ b, + ...+ bn,
aritmetica
(an
LI
cu elemente
numere
naturale.
Aratati
ca ratia
33. Fie progresia geometries
(bn LI
cu toate elementele numere naturale. Aratati ca ratia
progresiei este un numar natural. 34. Stiind cli doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b) = 6 si bs == 24, determinati
n termeni ai progresiei.
a) Daca al + a4 = 100, an_3 + an = 200 ~i Sn = 600, determinati n. b) Daca S3n = 9Sn si a4
== bo
progresiei este un numar natural. 2009
b) a2 +a4 + ... +a20.
17. Se considera progresia aritmetica (an
).~o si S;
astfel tncat b, -bo == 15 si b2 +bo == 5. a) Determinati b2• b) Calculati S8' 32. Fie progresia
= 10, calculati
Variante bacalaureat
a) al +a2 + ...+a21;
b, + b2 == 6 ~i Examen Baca/aureat 2011
31. Se considera progresia geometrica cu termeni pozitivi (bn
+(x+x) =45. +x = 57.
c)
(b') n2c I cu termeni pozitivi, daca
30. Calculati ratia progresiei geometrice b) + b, == 24 .
13. Determinati numarul natural x din egalitatile: a) 1+ 5 + 9 + + x = 231 . b) 1+3+5+ +x = 225.
termenul b.,
Model subiect MEeTS, Bacalaureat 2011
35. Se considera functia /: JR~ JR,lex) == x + 1 . Calculati suma
/(2)+ /(22)+ ...+ /(29).
.
sunt in progresie aritmetica si progresie
C
19. Determinati a,b E JR stiind ca numerele 2,a,b sunt in progresie aritmetica.
sunt in progresie geometrica ~i 2,17,a Variante bacalaureat
2009
20. Fie a.b,c numere naturale in progresie geometries. Stiind ca a + b + c este un numar Variante bacalaureat 2009 par, aratati ca numerele a.b,c sunt pare.
36. Se considers functia
SI = /( (-3t)+
37. Se considera functia
x > 0 stiind ca numerele 1,x -1, x + 5 sunt in progresie geometrica.
SI == /(0)-
22. Fie ecuatia
x2 - 4x + a
S3 == /(2°)-
XI
si x2. Determinati
XI
si x2•
a
E
JR* stiind ca
/((-3y)+
JR,/ (x) == 3x + 1 . Calculati sumele:
/( (_3)2)+ ...+ /(( -3YO)
S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(11).
21. Determinati
= 0, cu radacinile
t :JR~
J :JR~
/(1)+ /(2)-
(x) == 5x -1. Calculati sumele /(3)+ ...+ /(50), S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(50) ~i JR,/
/(i)+ /(22)- /(23)+ ...+ /(29).
XI' x2' 3x2 sunt in progresie geometries. 23. Fie ecuatia
x2 + ax + 2
=
0, cu radacinile
Determinati
a
E
JR stiind ca
XI' x2' x; sunt in progresie geometrica. 24. Determinati primul termen al sirului ao,apa2,4,8,16,32,
....
25. Determinati primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi bp6,b),24, ... Variante bacalaureat
1
26. Se considera numarul real s = 1+ 2 + 27. Aratati ca s = 1-
1
1 1 1 2+"4-8+"'+
28. Fie a=I+ +"'+510
1
5
1
1
22 + ...+ 2100.
Aratati ca s
E
2009
(1; 2).
1 2 22012>"3' 1
1
1
si b=I- +52"-53+"'-SU'
5
1
Calculati
[a]+[b],
unde [x]
este partea intreaga a numarului real x. 29. Aratati ca, pentru orice
t
X E
IR este adevarata egalitatea
(1+ X +X2 + ...+Xll _Xii == (1+ X+X2 + ...+ xIO)(1 + x+ ... + X12) .
• 13
1.3
Tema
3. Functii pare, impare, period ice. Definitie. Fie D ~ JR 0 rnultirne nevida centrata in origine ('v'x ED -x ED).
Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice Fie A ~i B doua multimi nevide. Spunem ca element x E A ii corespunde un unic element I(x)
I: E
A ~ Beste B .
o functie daca fiecaru]
A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste eodomeniul functiei f Dona functii sunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceeasi lege de definitie. Grafieul functiei
f: A ~ Beste
Imaginea functiei
Ix
multimea GJ = {( x,f(x»)
E
f: A ~ B sau (multimea valorilor functieifi Imf = {y
Observatii. 1. M(u, v)
E
E
B I 3.x E A, f(x) = Y} = {j(x)
A} c A x B .
Proprietiiti 1. Daca f: D ~ JR este 0 functie impara ~i
este multimea
I x E A}.
° ED,
D ~ JR. Atunci:
g: D ~ JR, (f. g)(x) = f(x)·
• daca g(x);c 0, 'v'xED, cdtul functiilor hi g este functia
Definitie. Dreapta
funqiilor.
Fie f: A ~ B
~i
Punctul
(L)( x) = f(x) . g g(x)
f: D ~ JR
g : B ~ C doua
functii.
, 'v'XE A, se numeste eompunerea functiilor g ~if
.
E
D, x < y,
avem f(x)::; fey) daca
< fey) ).
(f(x) x,y
E
D, x < y,
M (a, b)
E
f(a+x)
astfel incat a - x, a + xED.
xOy este eentru de simetrie pentru graficul functiei = 2b, pentru orice xED
astfel incat a-x,
f: D ~ JR
a+x ED.
Observatii. 1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy. 2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.
• surjectivd dad pentru orice y
> fey) ).
E
E
A,
XI
;c x2 avem f(xl);c
B , exista x
E
f(xJ;
A astfel incat f(x)
= y;
• bijectiva daca este injective si surjectiva. Definitie. Functia f: A ~ Beste
avem
incat go f = 1A ~i fog
inversabila daca exista
= lB. Notam g =
r'
si spunem ca
0
r'
functie g: B ~ A astfel
este inversa functiei
f
Observatii 1. Functia f :A ~ Beste injective daca ~i numai dad este indeplinita una din conditiile:
Observatii. de variatie
RJ(x,y)
f(x)-f(y)
>0, 'v'x,YED,x;cy,
atunci
x-y
f este
0
graficul functiei f: D ~ JR
x = a este axa de simetrie pentru
• injective daca pentru orice xl'x2
Functia f: D ~ JR este monoton (strict) descrescatoare
functia
0
Definitie. Functia f: A ~ Beste:
functiilor
1 D . aca raportul
I d. . ~ functie para. ProdusuVcatu mtre . 0 functie para. Compunerea dintre
0
S. Functll injective, surjective, bijective, inversabile
Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida. Functia f: D ~ JR este monoton (strict)
(f(x)
daca f(a-x)+
Functia
Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.
I(x) ~ fey)
functie
4. Simetrii ale graficului unei functll
g(x);
g
crescdtoare daca pentru orice X,Y
0
Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) se
daca f(a - x) = f(a + x), pentru orice XED • produsul functiilor j'si g este functiaf·
2. Monotonia
D ~ JR este tot A
a doua functii pare/imp are este impara este 0 functie impara. a doua functii pare/impare este impara este 0 functie impara.
pentru care x + TED.
orice xED
• suma functiilorj''si g este functia j" + g: D ~ JR, (f + g)(x) = f(x) + g(x);
(go flex) = g(j(x»)
.
numeste perioada principala.
Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida si functiile f,g:
gof:A~C,
E GJ
Definitie. Functia f :D ~ JR este periodica cu perioada T daca f(x+ T) = f(x) , pentru
IA(x)=x, 'v'xEA.
1. Operatii cu functii
Compunerea
°
. atunci f(O) = 0(0,0)
2. Suma f + g: D ~ JR a doua functii pare (impare) f,g: para (impara). 3. ProdusuVcatul functie para si una 4. Compuncrea functie para si una
GJ feu) = v.
2. Functia identica a multimii zt este IA :A~A,
a. Functia f :D ~ JR este functie para daca I( -x) = I(x), 'v'X ED. b. Functia f: D ~ JR eeusfunctie imparii daca I(-x) = - I(x), 'v'x ED.
strict crescatoare, iar daca RJ ( x, y)
0, atunci functiaj" este strict crescatoare,
31. Determinati inversa functiei bijective I: JR ~ (0, +00), I(x) = 22x-1 • 32. Determinati inversa functiei bijective I: (0,00) ~ (1,00), I(x) = x2 +
1.4
- sgn(a)
0
sgn(a)
2. Functia de gradul alII-lea Functia
f(x)=ax2+bx+c(cu
f:JR~JR,
a,b,cEJR,a~O),
se nume~tefunclie
de
gradul al II-lea. 35. Aflati a E JR pentru care functia I: (--oo,a] ~ JR, I(x) = x2 -2x+2, 36. Fie
I:
JR ~ JR
0
functie bijectiva cu
1(1) = 2
~i
1(1(1») = 4.
este injectiva,
Calculati
r
1
(4) .
Forma canonica, f(x) = ax' +bx+c = a[ (x+ ;a)2 -
4~2l'
2
unde 11 = b -4ac.
Variante bacalaureal, februarie 2008
37. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ax + b . Aratati di exista (a,b)EJRxJR
pentrucare
0
infmitate de perechi
lol=IR'
semnul f~ 1. 11 < 0
Observatii
~ gradol al don •• f(x)
sgn(a)
f(x) >0, VXEJR~
a>o { 11o { 11:S;0
f(x) t; (3) . d)Determinati m stiind ca 1m (1) = 1m (3) .
+ b este bijectiva.
= ax -
2h - 3
{-I}
.
2008 2010
2 sunt irationale,
17. Determinati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a
18. Determinati multimea valorilor functiei 19. Determinati multimea valorilor functiei
1:~~ R, 1(x)
20. Se considera functia b) Determinati intervalul
a
Bacalaureat
1:~~ R,
l(x)
= x2
+ x+
21. Determinati
E~
1:(0,00) 2 - 2x
=x
2011
1. 2011-model subiect
~ R, l(x) =~ -4x+1.
+2 .
.
stiind ea imaginea functiei
g: (-00, a) ~ R, g(x)
= l(x)
este
[1, +00) .
c) Determinati
2009
E~ \
sa fie strict
2009
care in-
Bacalaureat
Bacalaureat
[a, b]' 1 (x)
stiind ca functia 1: [1,4] ~ [1,7], l(x)
a,b
strict crescatoare
Variante bacalaureat,februarie
.
sunt simetrice fata de dreapta x = 1.
S. Determinati
7. Se considera functiile
1:~~ ~
parabolei y = X2 + mx + 4 .
0(0,0).
astfel incat
E~
x +2x
functia
g sunt simetrice ~ata de:
m
Variante bacalaureat
toate functiile de gradul intiii 0
s 1.
+ 2 . Determinati
= x - 2m
nu intersecteze axa Ox.
a) Determinati imaginea functiei 10101 E~
c) Ix2 -11 < 1. c)lx+21+lx2 -41
16. Aratati ea solutiile ecuatiei x2 + 2x + -2 _1_
Determinati
Variante bacalaureat
4. Sa se determine bijectiva.
x2-3x+2)~0.
X x+4
1 S. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .
1. Determinati functia de gradul I al carei grafic trece prin punctele A(l, 2) ~i B( -1,0) . = 2x
(
) >0; d) (x-2)
(
x-I
b) 112-4xl
deplinesc conditia (f
Probleme propuse
1:~~~, 1(x)
X2 - 16
c)
b) Ix -11 + Ix + 11~ 4 ;
13. Se considera functia = 0, unde
14. Determinati
functia
+1
12. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatiile.
= XI . x2 .
considera
x+2
a) Ix -11 ~ 3 ;
-----------------------------------------------------
2. Se
x
b) -~-;
a) Ix+21 ~ 1; este x2
2008
11. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatiile.
=a
-3XIX2 (XI +X2).
XI ~i x2
xl = l.
10. Rezolvati in multimea nurnerelor intregi inecuatiile. a) 3X2-5x+2~0; b) _2X2+3x+5~0.; c) x4-5x2+4
1 1 1 n + + ... + - --log2 n 1 Ig2·1g4 194·lg8 Ig2n ·lg2 + n+I 1 log21 + log, 2 + ... log2IO
+
°. Aratati ca au loc urmatoarele
a) 19a + b = 19a + 19b ~ a2 + b2 = 7ab ; 3 2 .11 2a+3b _lga+lgb 2
a ~bE
c) g-5--
Functia logaritmica de baza a este concava daca a > 1 si convexa daca a E (0,1) .
---------------------------
-------------------
10 , unde n EN.
1
7. Calculati suma S = [lg 1]+ [lg 2] + [lg3] + ... + [lg10 8. Fie a, b >
2
log31 + log, 2+ ... 1og31O
{I'4'9}.
2. Functiile ex~onentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii strict crescatoare daca a> 1 ~l strict descrescdtoare daca a E (0,1) . 3. Functia exponentiala de baza a este convexa pentru orice a E (0,1) u(1,(0) .
°;
4
e) E=
* 1) este functia f: JR~ (0,00), f(x) = a' . 0, a * 1) este functia g: (0,00) ~ JR, g(x) = log a x .
+ In 2rx + In 3$
* 1, n E N*;
1 2 3 999 .Pf'"C = Ig"2 + 193"+ 19 + ... + 191000 ;
Functia exponentiala de baza a (a> 0, a
-------
Bacalaureat 2009. Variante MEdC
~ Calculati sumele: ,IIf A = log, x+loga x2 +loga x3 + ... +loga x", unde a,x > 0, a
_ d) D -
..•.1 .
2. Funclia expcnentlala ~i functia logaritmica Functia logaritmica de baza a (a>
care verifica conditia 2 < b < log, c.
d) Exprima!i, in functie de a = log, 3 ~i b = log, 5, numarul c = Iog, 60 .
1b)
Schimbarea bazei unui logaritm
2. logo b . log,
·
N* .
b) log3I2 -Iog, 3 -log4 9 ;
/log2012
3·1og3 4· ... · 1og31'32
E
c) Exprimati, in functie de a = log, 5, numarul b = log., 45 .
1. logox+logoy=logo(~)'
~gbx 1. 1ogax=-l--' Va,b,x>O, ogb a
2;
-l~g3 b
b) Exprimati, in functie de a = log2o 2, numarul b = logs 20 .
Operatii cu logaritmi
y = logo (;).
ifj -Iog,
5. a) Exprima!i, in functie de
* 1;
N care indeplinesc .conditia ~
un triplet (a,b,c) E NxNxN
4. Aratati ca: a) log, 5 E (2,3) ; c) 2
3. logo a
E
Calculati: log2 10 + log, 6 -log2 15 ;
,log2
Observatii• 1. Daca a = 10, numarul log., x = 19x se numeste logaritmul zecimal al lui x. 2. Daca a = e ,numiirul loge x = In x se numeste logaritmul natural allui x. 1. alogQx=x, Vx>O;
/"'."
c) logJ2
numeste logaritmul numarului x in baza a si se noteaza logo x . Cu alte cuvinte, logo x
exemplu de numere a,b
*
1 + ... +------19i + 192+ ... + 19iO
2OO8 ] . Bacalaureat 2008. Variante MEdC
echivalente: b) 19a + b = 19a + 19b ~ a = b ; 2 2 drll a+Sb _lga+lgb v g 2J3 2
-3b ~a-
.
Bacalaureat 2008 - 2009. Variante MEdC
9. Aflati domeniul maxim de definitie D al functiei f: D ~ JR, definita prin: a) f(x)
= log2 (2x
c) f(x)
= log, ..)I-x2
e) f(x)
=
- 4) ; ;
log, (x2 -7 x + 12) ;
b) f(x)
= 19(x + 1)+ 19(x -1)
= logx+2(2-x); 1) f(x) = loglxl(x2) ;
d) f(x)
;
i 1
>C(
~
~
:E w
i •
29
10. a) Aratati
ca functia
f: (0,00) ---+ JR, f(x)
=
x+ log , 2x este injectiva.
b) Aratati
ca functia
f: (0,00) ---+ JR, f(x)
=x-
°
11. Fie x E (0,1) u (1,(0) si numerele a, b,c >
log, 2x este injectiva,
astfel incat log, a, log, b, log, c sunt in
progresie aritmetica. Aratati ca a, b, c sunt in progresie geometrica. Bacalaureat 2003
12. Fie numerele
a,b,c,xE(O,I)u(l,oo)
astfel incat
logax,
log,
X,
loge X
a, b,c E (0,00) \ {I} in progresie geometrica. Aratati ca are loc
egalitatea
log x-log
X
a
b
log,
=
log, x-loge
x
loge x
X
c) (0,25)4-x
d) 3x-..[; = 9 ;
= 32 ;
c) log9(2x + 10) ·logx+l 3 = I;
log
log2(x-2),
log, x si log2(x+4)
2
a
x + log
23
a
X
+ log
J.4
a
X
+ ... + log
n(n+1)
a
* 1. Demonstrati = _n_loga n+1
X
ca;
x , pentru orice n E N* .
2
5
2'
16. Rezolvati ecuatiile: a) 2x +4x =20;
625
c) 310g1oox100 = 4 log lOx 10 ;
81
e) log3(5-x)+210g3
v'3-x
d) 101og2x = 21og2x;
= 1;
j) logv'll
(x + 1- v' x + 2)
=2;
26. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia b) 9x _3x = 72;
=2 ;
d) 16x -3·4x
e) 22x+1+ 2x+2 = 160 ,. 1
g) 3 + -10· y+1 + 27 =
°;
log2
= 4;
J) 22x - 3· 2x+1+ 8 = x
h) 2 + 16· TX
= (7 + 4-J3fx
;
b) (v'2+IY
+(v'2-IY
(£ +v'x+
2)+ 210g4 (v'x+2
-£) = log2 x.
• Fie a E (1,00) un numar real flXat. Se considera expresia
°;
= 10. 17. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile: a) (2--J3t
h) log2 (9x + 7) = 2+ log2 (3x + I).
25. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) (3x)1+1og3x=81; b) X1og2(4x)=8;
=%;
4)X '-(125)X-1 e) ( 25 8
2x
°;
°;
24. Se considera numerele reale a,x E (0,00), a
.m
+ 5-x
d) log~ (2x) + 310g2 (4x) = 13 ; 4 2 j) 41g x -10 Ig2 x + 36 =
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
15. Rezolvati in multi mea numerelor reale ecuatiile: 2 a) 4x -5x+6 = 16x; b) 2x .4x+1 .8H2 = 16x+3.,
c) 5x
h) log2 x+log.,J2 x+ log~ x = 14.
23. Aflati numerele reale x> 2 pentru care numerele
r;:;)4+X-x2 3r;:;;; J) ( ...,3 =,,27.
(~JHI
= -1;
j) 1+ log2(x+ 1) = log2 (x+ 2) ;
= 22;
g) log, (9x -6) = x; b) 73-lxJ = 49 ;
= 1;
1)- 210gs(3x-7)
22. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) 210g3 (9x) - 310g27 x = 6 ; b) logx(9x) + log , x = 4;
e) Ig2 x - 51g x + 6 =
a) 24x+1= 512;
d) logs(x+
Bacalaureat 2009, Variante MEdC
,pentru orice x E (0,00) \ {I}.
14. Rezolvati ecuatiile:
c)
g) log2(x+I)+log4(x+I)+log8(x+l)
b) log2 [4 -log3(X+3)]
sunt in
progresie aritmetica. Aratati ca 1+ loge a = 210gb a . 13. Fie numerele distincte
21. Rezolvati ecuatiile: a) log2 (10g3(logs x») = 0; c) 10g3(2x2 + 1) -log3 (x + I) = 1 ; e) log, (x + 4) + log , (2x -1) = log , (20 - x);
Bacalaureat 2009, Variante MEdC
E(x)=~loga~+logx~+
10ga~+IOgx~
,unde xE(I,oo).
a) Verificati egalitatea E(a) = 1.
=6.
18. a) Aratati ca, pentru orice numar real x, numerele 2x, 4x, 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. b) Aratati ca exista un unic numar real x pentru care numerele 2x, 4\ 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 19. Determinati x E lR pentru care numerele 32x-1, 9x _ 3 . 3x ~ ~I + 6 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 20. Rezolvati ecuatiile:
b) Aratati ca E(x) =
~IOga x, daca x > a { ~logx a, daca x
c) Rezolvati ecuatia E(x)
=a
E
.
(l,a)
.
"t
a) log2 bx2
-x-2)
c) log2 (3x-2)+log2
= 3; (x+2)
b) 10gHI (x2 -3x+ = 4;
I) = 1;
d) logH2 (2x2 + 5x + 2) = 2 .
• 31
Tema
2. Aplicatii
1.7
Numere complexe C
2
= {Z = x + iy I x, Y E 1R} ,unde
= -I
i
~.
, este multimea numerelor complexe.
Dad! Z = x + iy , unde x, y E 1R, numerele reale x ~i y se numesc partea reala i . .. ~ respectiv partea imaginara a numarului complex z; notam x = Rez, y = Irnz . Elementele rnultimii ilR* = {iy/ y
E
Proprietati:
1. Zl +z2
= ~ +z2'
= x + iy
\fzl,z2
E
C;
Izi = 1;1, \fz 2 1 ,
E
=x-
C;
_
(
= {~, :::: : : ~
..)
.
ZI - 'i COSqJl+z sm e, ,Z2 = r2 (cos qJ2+iSInqJ2)' 1. ZIz2 = 'ir2 ( cos( qJl+ qJ2)+ i sineqJl+ qJ2)); 2. z" = r" (COSrup + i sin nqJ) ; -r ,
si
y ~
.' qJ+2k7r) _ + I SIn n ' k - 0, I, ..., n -I.
unitiitii fonneaza multimea U t
n
=
{z
E
dzn
E
b-a E
ilR* ;
1R*; b-d -c-d
c-a B'(b'), C'(c'). Atunci:
llU
Ea.
= b -a. c-a
~ ~ .. Radaclmle
de ordinul n ale
= I} = {cos 2k7r +i . 2k7r/ } Ism -- n k = 0' 1,..., n -I . n
b=a(cosa+isina). + isina)
.
YCalculati:
aYi . p .p .....ilO ; ~ (1- i)(1 + 20 - 3(2 - 0 ;
»
Atunci:
ZI r: 4. -=--.L.(cos(qJl-qJ2)+isin(qJ -qJ »). z2 r2 I 2 Fie n E!~' n > 2 R ~d~ . 'L d di I - . a acini e e or. InU n ale numarului complex Z = r(cOSqJ+isinqJ) n
d-c ¢::> --
;
Probleme propuse
0.
3• .!. =.!.( cos( ) ., ( ») Z r -qJ +ISIn -qJ;
sunt Zk =~(cosqJ+2k;r
1R*; e. AB 1- CD
b. Daca C = R~ (B) , atunci c- a = (b -a)(cosa
. Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica = r(COSqJ+isinm)
b-a
E
a. Daca B=R~(A),atunci
Daca x = 0 si y > 0 ,atunci qJ= ; ; daca x = 0 si y < 0 , atunci qJ= 3; .
Z
d-c --
d-c b-a
= arg--
•
AS. Fie R'J.t rotatia de centru M si ungbi u, Consideram punctele A(a), B(b), C(c). Atunci:
a unui numar complex
2, daca x > 0 ~i y < 0
FIe
I.
. hiurile i . ABC' ~I A'B'C' sunt asemenea daca -b'-a' = =--= b-a . b. Tnung lUn e myers onentate c'-a' c-a Observatie. Triunghiul ABC este pozitiv orientat daca sensul A-B-C, parcurs pe cercul circumscris triunghiului ABC, coincide cu sensul direct trigonometric. in caz contrar triunghiul ABC este negativ orientat.
\f Z E C .
si qJ = arctg (-; ) + kst , unde k
+ y2
ZN
a. Triunghiurile la fel orientate ABC si A'B'C' sunt asemenea daca b'-a' c'-a'
iy .
Pentru orice numar complex nenul Z = x + iy exista si sunt unice numerele reale r>O si qJ E [0, 21l") astfel incat Z = r( cos qJ+ i sin qJ) .
= I Z 1=~ x2
-
f. A, B, C sunt coliniare dad! si numai daca b - a c-a
z
A vem r
IZM
I" da b-a . I' g• A, B, C, D sunt concic Ice sau co miare ca --:
este numarul complex ;
2. Zl . Z2 = Zl . Z2' \f Zl ,Z2 E C ; 4. z·; = I Z Observatii. 1. Z E IR daca si numai daca = Z • 2. Z E ilR* daca si numai daca z = -z. '
1. Forma trigonometrica
II CD ¢::>
A4. Fie A(a), B(b), C(c), A'(d),
3.
=
Patrulaterul ABCD este paralelogram daca si numai daca ZA + Zc = ZB + ZD
d. AB
1=~ x2 + l .
2. I Zl . Z2 I = I Zl 1·1 Z2 I, \fzl' Z2 E C . 3. I Zl + z2 I : z = O.
Conjugatul unui numar complex
ale numerelor
~ 1. Formula distantei dintre doua puncte: MN
11)
(l_i)(I_P)(I_P)
(1-
~
2i)(3i
...(I_i
1+ i + P + ... + i10
~
+ i)(3 - 2i) - (1- 2i)(2 - 0 ;
)fr(2 2OO8);
'y2+i)4
_1»)4 .
laY ~
5'
~
;
+(2_i)4;
+~
.
4+~ 4-~' Bacalaureat 2007 - 2009, variante MEdCT
/-
Demonstrati ca: 25 25 u) --+--EZ' ~ 4+3i 4-3i
r:
+3i '
+(3-i.fif E Z; 2008 ? e) ( cos 7r + i sin 7r) E IR ; , 4 4 i,fiY
•..
~ ~ / ~(I
1-3i lll>. --+--E~, 1-3i 1+3i 2008 (I + i)2008+(1_0 EN; + i)2008+ (1- i)2008EN; Bacalaureat 2008 - 2009, variante MEdCT
I 101(
i
v
~ •
33
~) 7l7"
Determinati
x, y
lR stiind ell x(l + 2
E
o + y(2
I
b) Determinap numereJe reale a pentru care ~
2 +ai c) Aflati a /.
lR pentru care numarul
Z
=
E
•
lR.
2 are partea reala egala cu -. a (1)+i + 1-2i 5
Determinati numerele comple~e z care veri fica relatia
.. '/"Dt e errrunap ~
Z E "... Il.-
Z
+ 7i
= 6· ~ .
z+3
Z E C . Aratali ca daca Z2 + ~2
.
\ ~
a) Calculati
..I
..,
ca Z este solutie a ecuatiei Z2 - 4z + 16 = O.
.5
~
\t:~tat~
i ;
~
atati ca daca z E C
~ Anitati ca daca
Z E C'
verifica relatia Z2 -lzl2 + Z 2 = 0, atunci Z2010= ~2010 verifica relatia z+;~ = 0 • atunci
(1:1
J
b) 1~-il=lz-lI;
c)
Iz- il = Iz -11 ;
d) z2 = -2i .
.
=-1.
+.
I Z
~I
I Z
ar ~
a)
z2
= i~ .
b)
-2 ,/Z=IZ.
2
'
c) z - 4z + 5 = 0 ;
e) Z4+8z2-9=0'
d) z2 - 8z + 25
~ ~emonstrati
,
g) z2 - (1+ i)z + i = 0 ;
(Z+I)2 z+1 + -+--+1=0' z-1 z-1 z-1 h) iZ2 + (3 + i)z + 2 - 2i = 0 .
Z
/1'- a) imaginile .•
') 1 O. Aratati ca, daca e este solutie a ecuatiei x2 + x + 1 = 0 atunci tru ori 2 ' nCI, pen once a,b,c E lR 2 are loc egalitatea (a + be + ce )(a + be + ce) ~ O.
x2
-
ax + 1 = 0 au
complexe
ale numerelor complexe
geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x + y = 0 .
Z
care veri fica relatia (z + i~)4 = 0
b) imaginile geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x - y = 0 .
z
care veri fica relatia
E
astfel incat
Izi = 1 , atunci
C astfel Inciit
Izl = 1 , atunci
Demonstrati ca pentru orice z E Care
F·ie
1Tb\{(2k) a E~
'll}' + 1 rc I k E a-
. ( 1 + i tg ip • Aratati ca 1- i tg ip
~l Z
loc relatia
= l-cosa-isina..'
1- i tg nip
z2OO9
I
2~
~
z2~
1~
z
-
_ ;2009) (~2oo9
I;-~I
1+ cos a + I Sill a
In = 1+ i tg nip , oncare .
+
Z2009
(Z2009
j) (Z+I)3
Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT
(2a -1)x + a = 0
ale numerelor
E ~* ~ imaginile geometrice
c) Aratati ca pentru orice z E C are loc relatia
'
-
ca:
b) Aratati ca daca z
= 0 ,.
2ax + a2 + 1 = 0 ,
Dernonstrati ca imaginile geometrice ale solutiilor ecuatiei x3 = 1 sunt viirfurile unui triunghi echilateral.
.
~Rez~lva!i In rnultimea numerelor complexe ecuatiile: a) Z + 100 = 0 ; b) z2 = 2i .
-
sunt varfurile unui patrat.
" Deterrninar] numerele complexe z care veri fica egalitatea: \..,'
2
atunci solutiile ecuatiei
ca oricare ar fi z E C* imaginile geometrice
~:
z, tz,
.
lR
0, z, ~ si z + ~ sunt varfurile unui romb.
•
c~ dac~ z E C~ ver~fica relatia Z2 + Izl2 + ~2 = 0, atunci z2010 = ~ 2010
lal < 2,
si
z+~=lzl;
~o~:trat~
)
a E lR
a)
}'
z
x2
unde a este solutie a ecuatiei
a) Demonstrati ca daca a E lR ~i a > ~ , atunci solutiile ecuatiei ax
tJ. Demonstrati
c) Calculati z2 - ~ , unde z este solutie a ecuatiei z2 + 2z + 4 = 0 .
.:
2
argumentul redus al numerelor complexe nenule z care veri fica relatia:
E;) :l
ca 2 Re a :5; lal ,
WDeterminap
Z E lR .
4
16 + -; , stiind
E
modulele solutiilor ecuatiei 2009x2 - 2 . 2008x + 2009 = 0 .
21z12, atunci Z E lR .
~
x + 1 = 0 , atunci, pentru orice a, b, c
@. Determinati
Baca/aureat 2008, variante MEdeT
. Z5 27 b) Calculati 27 - -; , stiind ca z este solutie a ecuatiei z2 + 3z + 9 = 0 .
II:
J
aElR.
-
(a-bOJ+cOJ2)(a+ba/-cOJ)~O.
au modulul 1. b) Demonstrap ca daca modulul egal cu 1 .
Baca/aureat 2009, variante MEdeT
Z2
Demonstrap
2
~ a\Fie z E C . Aratati ca daca 2z + 3~ E lR , atunci I?J\
~
iind ca --z+11 = _ . stun
~ Determinati numerele complexe z care verifica relatia 2~ + z = 3 + 4i .
~Fie
relOCegalitatea
1
Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT
f
,;4.
E
('\11. Aratati ca daca OJ este solutie a ecuatiei x2
- i) = 4 + 3i .
:5;
(z -
i~t 0 =
2.
2.
+ i2OO9 )
~
0.
2.
Ar~atatl. ca~ R e z = 0 . {
ar fi n E Z si ip E lR\ qrc
I q E Q} . 3S
----------------------------------,---:O:b:s:e:N:a:t:~~.;F~AO~~~n~~~BO~~~m~~~A~:
Tema
-t
1 .8
and functiilor injective f: A ~ Beste egal cu A;;,. 1. Daca n ~ m , num t' _ 1 _ arul functi ilor bijective f: A ~ Beste egal cu Pn - n .. ." Daca m - n , num t' . a •.. . amI functiilor strict crescatoare/descresc toare 3. Daca A, B c IR f?l n ~ m , num t
.
Metode de numarare. Elemente de combinatorica. Matematici financiare
este egal cu
1. Probleme de numirare Pentru orice n
E
nOn (a+b) =Cna n
Numarul submultimiJorunei
multimi finite cu n elemente este 2
Regula produsului. Daca un obiect A poate fi ales in m moduri, iar pentru fieeare astfel de alegere, un obiect B se poate alege in n moduri, atunci alegerea pereehii (A,B) poate fi realizata in m- n moduri. Principiul
ii:l
Newton
cl
+ na
n-Ibl
+ + ck an-k bk + ...+ cnb" , pentru orice a, b E ..,
n
n
Probleme propuse ~eterminati
n!+(n+l)! _~ n E N pentru care (n -1)!+ n! - 4 .
,Determinap
n E N pentru care
2. Elemente de combinatorici 0
~
(Xl,X2,
submultime ••• ,Xk)
ordonatii
k
elemente
a
multimii
A
este
un
k-uplet
!
in care Xi:l=Xj, pentru orice i,j = l,k, i:l=j .
E ~,
~
cu
Determinap
k-ori
•
5
Permutari.
E! este
0
Fie A = {aI' a2,
•.. ,
an}
0
i
multime ordonata formam cu cele n elemente ale multimii A. Orice functie bijective A defineste 0 permutare a multimii A.
Nurnarul permutarilor unei multimi cu n elemente este p" = n! ipermutari de n). Prin conventie, Po
n!+(n+l)! (n -I)!
10 . t'
/
. • a) Rezolvati ecuatia
-:
9. Calculati
10 Cl5
1 .---. -+'rOo Calculati
= Ck+1 n+l
x
b) Determinati
/
+ C~ + C: + ... = c! + c; + C; + ... = 2n-1
Ck+1 Ck _n __ ~
6
C:
•
n luate elite k).
cu k elemente dintr-o multime eu n elemente este
Proprietati
3.
+ 1) (aranjamente de
Numarul submultimilor ... ·(n-k+l) k!
2
ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n
Numarul submultimilor
E
II
~
.4;;+2
100 C2011
+ Cn2 n
=
4
Cl2 16
+
= 3.
/-
2008
Variante bacalaureat, 2008
C13 Cl3 17 18' I02
C +2 CIOI 2011 + 2011 CI02
.
2013
}1: Aratati ca C;+b = C!+b' pentru oricare a,b . ..:I ,(2. Aratati . ca~
.
Variante bacalaureat,
.
N astfel meat Ci~~2
+ Cl5 +
• .
Variante bacalaureat 2009
A; = 30.
•
Aranjamente.
*
---- -------------------------------------------------
Ie
E
. IC f?l n EN.
3. C: se numeste eoeficientul binomial al termenului Tk+l•
card( A uB) = card A + card B - card( A nB) .
incJuderii ~i excJuderii.
B
1 Dezvoltarea binomials are n + 1 termeni. • ~ .. 1', - Ck n=k bk (termenul de rang k + 1) 2. Termenul general al dezvoltarii este k+1 - na
•
Regula sumei. Daca un obieet A poate fi ales in m moduri, iar un obiect B poate fi ales in n moduri, astfel tncat nieio alegere a lui A sa nu coincida eu vreo alegere a lui B, atunei alegerea .Jui A sau B " poate fi realizata in m + n moduri.
.
C;.
3. Binomullui
N* se noteaza cu n! = 1· 2 ..... n si O! = 1.
f .A ~
CIOO 2012
I912
< C 2013'
E
N*.
• 37
C,oo- C,20 + c,ri
~alculati
.• .; •. ....-. Determinati
)B:"
•
~Vu.Calculati
C,~ + C,80 -
0
IO
•18. Fie
a
. h numarul elernentelor unei multimi care are 45 de submultirni cu exact J)eterrDlna t,
2
4
(a.-",)
doulel~ment~* c) Aflal1 n E ""
II>-
E R'
'00 .
n contine
pe
X
din dezvoltarea ( if;+
. Aflati tennenul care-l contine pe
a'
din dezvoltarea
l
30
JOO
(a' + J.;
J
Variante bacalaureat
-1
Y sa fie 20·
X
2
2009
i 5...:
.
c) C,oo+S2Cl~ + ... +S,oc,'g
IS:
(.fi + ifi)'oo .
Variante bacalaureat 2009
32. II) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa fie patrat perfect. b) Deterrninati probabilitatea
.
~
22. Din cei 18 baieti ~i II fete aflati intr-o clasa se alege 0 echipa de 7 elevi. a) Determinati in cate rnoduri se poate alege aceasta echipa. b) Determinati care este numarul de echipe care se poate forma stiind ca sunt 4 baieti.
; ~
23. Determinati nurnarul de segmente orientate cu extremitatils convex cu 100 de laturi.
in varfurile unui poligon
2~ ~ ~ ~
Aflati numarul de submultuni ale multimii {I, 2, 3, ..., 18} care contin elernentul "1".
r) 25. Determinati
. I
~ C
! i
••
i
probabilitatea fie strict crescatoare.
26. Determinati probabilitatea indeplineaseg
ca alegand
0
functie
I:
{1,2,3} ~ {1,2,3,4,S}
aceasta sa
ca, ale~and un nurnar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. . . c) Calculati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa aiba suma cifrelor egala cu 4. d) Calculati probabilitatea ca, alegand trei cifre din multimea {0,1,2, ...,9}, acestea sa fie toate pare.
. . tur I ca, alegand un numar dill pnmele 40 de numere na a e nenule, acesta sa nu con tin a cifra 7. . . j) Deterrninati probabilitatea ca, alegand un numar din pnmele 30 de numere naturale nenule, acesta sa contina cifra I. . g) Se considera multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Alegem la intamplare 0 submultime e) Determinati probabilitatea
nevida B a lui A. Determinati probabilitatea ca B sa aiba toate elementele irnpare. ca, alegand
0
functie
I :{o, I, 2, 3} ~ {o, 1,2, 3} ,
Variante bacalaureat 2009
aceasta sa 33. Calculati probabilitatea
proprietatea 1(0) + 1(1) + 1(2) + 1(3) = 1 .
27. Determinati probabilitatea fie surjectiva.
~ I functiilor c) Aflall. numaru t· d) Aflati numarul functiilor j) Aflati numarul functiilor
oJ
~ :>
I: {1,2,3,4} ~ {1,2,3,4} cu p~op~etate~ 1(1) = 1(4). I· .,{O 1, 2} ~ {2, 3, 4} care venfica . relatia 1(2) = 2. I· .,{O 1, 2 , 3} ~ {0,1,2,3} cu propnetatea. 1(0) = 1(1) = 2. I: {O,I, 2,3,4} ~ {0,1,2,3,4} cu propnetatea 1(1)~=1 . I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4} pentru care 1(1) este numar par. strict monotone I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} .
31. II) ~ 1 functiilor b) Aflap . nurnaru ,
e) Aflati numarul functiilor
21. Calculati sumele: CO 2C' 22 C2 22n+' C2n+' a) 2n+' 2n+' + 2n+' - ... 2n+' . 2 20 b) C~o +3cio +3 C;o + ... +3 C;g.
CI:
d trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8? Cate numere de atru cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7 sau 9? • b) Cate nurnere de p tru ifre nu neaparat distincte, se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7, 9? c) Cate nurnere e pa c , Variante bacalaureat 2009 II)
Aflati numiirul functiilor
Variante bacalaureat, februarie 2008
•
• Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea ~
are 35 de submultimi cu exact
A -_ {O",1 2 ..., 9}. Determinati, numarul submultirnilor multimii A d) Se di tr care exact doua sunt numere pare . care au S elemente, in e Variante bacalaureat 2009
• Determinati x stiind ca suma dintre termenii al treilea ~i al patrulea din dezvoltarea
(2x
pentru care multimea A={1,2, ...,n}
uei elemente. . da mulpmea
c,':
c'oo + c'oo + c'oo + ...+ c'oo
Determinati termenul care nu
(
z:- -;,.4..q(J~"
ca C~ + C~ + C; + ... = 1024 .
. C,ooo+ C,'oo + C,~ + ...+
,
c,'g .
4 6 8 2X . pentru care C0,-,2 10 + L-,o + CIO + C, 0 + C + C'O '0 =
Determinati n stiind
•••.~
~
ltJ>
X E ~
-
ca, alegand
0
functie
I:
ca, alegand un element din multimea
{J;z In EN,
n < 100} ,
acesta sa fie numar rational,
{1,2,3,4,S} ~ {1,2}, aceasta sa
34. Se considers
multimea
A
=
{1,2,3,4,S,6}.
Calculati
probabilitatea
ca, alegand
pereche (a,b) din produsul cartezian A x A, produsul numerelor a si b sa fie par.
28. Un elev se joaca cu cifrele I, 2, 3, 4 si cu literele a, b, c, d, e,J, formand "cuvinte"
CU
0
i I >C(
S astfel de sernne diferite (cifre sau litere) intr-o ordine oarecare.
u
a) Cate "cuvinte" poate forma elevul?
~
b) Cate .cuvinte" se pot forma astfel incat prirnele doua sernne sa fie cifre? c) Cate astfel de "cuvinte" poate forma elevul astfel incat sa foloseasca numai litere?
29. a) Aflati nurniirul de submultimi cu 3 elernente ale multimii
A = {I,2, ..., 8} .
:::E w
~
:::E
• 39
Tema
3. Dreapta in plan.
1.9 cU
Vectori in plan. Geometrie vectortala. Geometrie analitica
Proprietati importante. 1. Dreapta
Consecinta
ABC avem AB + BC = AC .
vedorilor cu scalar. Pentru ~ un vector oarecare din plan si pentru un
care are acelasi sens cu ~ pentru k > 0 si sens opus lui ~ ,pentru k < 0 . Teorema medianei (forma vectoriala). Punctul M este mijlocul segmentului daca si numai daca, pentru orice punct 0 din plan, avem OA + OB = 20M. Pundul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct M
---
--l-k-
astfel incat MA = kMB , avem OM = --OA
l-k
---OB
[AB] E
pentru orice punct 0 din plan
l-k
'
AB
dintre vectorii ii si v este ii·~
=1 ii 1·1 v l·cosM.
~.~=~.~;
,I
(-::-::-) U,V
e/ cos
=
ii . v liil·lvl
J)
~·G+;)=~·~+~·;;
b)
_ _
cl u·v >O~ '/
,.
(-)ii v '2'
1r
4.
arctg
= -arctg
,VxE[-I,t].
J
~
lll> lA. •
~
s.
Daca
tgj(x)
=
°
a) sin 75 cosl5;
tg( arctg
j/]
= y, Vy E lR .
atunci
°
23tr
. tr
12·smU;
b) cos
y E lR, tar
I
j x)=g(x)+kJr,
~ ~
1. etg X= y 2.
¢::>
si x E (~ ,tr ), calculati cosx.
VXE(O,tr); ctg/areetgy)=y,
l
3 arectg(-x)=tr-arcctgx,VxElR.
~
4.
i ~
! ~
Pentru
Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS
x = arcctgy, x E (0, tr), )- E lR .
arcctg(ctgx)=x,
VYElR.
x E lR ecuatia ctg x = y are solutii pentru orice y E R, iar
multimea solutiilor este egala cu {arcdg y + kst I k E Z} . S. Daca ctgj(x)=ctgg(x),atunci 6.
arctgx+arcctgx=-,
~
tr
j(x)=g(x)+kJr,
tg(arcctgx)=~
x
Q!) Fie x un numar real care verifica
Variante bacalaureat 2009
14. Fie multimea
A=
{O''6'7r . tr2' .st:, 37r}. 2
Care este probabilitatea
kEZ.
po
:E X
. sinx-cosx
.
(7r
)'
x
(7r)
E 0'4 .
sin --x
VXElR.
4 r
VXElR·.
-----------------------------------------------------
ca, alegand un element =I?
Bacalaureat 2010.
I >c:C
15. Calculati
si ctg(arctgx)=~,
egalitatea tgx + ctgx = 2 . Aratati cii sin 2x = I .
din multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin:' x + cos'
2 7.
U'
kEZ.
Funqia arcdg : lR ~ (0, Jr) este inversa functiei ctg:(O, Jr) ~ lR . Proprietati.
. tr
c) sm
11. Pentru sin a = ~, a E ( ~ ,tr ). calculati: a) sin 2a; b) tga.
)
,
° . 480 sm .
10. Comparati numerele sin I ~i cos I .
12. Stiind cii sinx = 2~
,
a
9. Determinati eel mai mare element al multimii {sin I, sin 2, sin 3} .
x, "Ix E lR.
tgg(x),
cos'
8. Calculati: y E lR .
multimea solutiilor este egala cu {arctg y + kr: I k E Z} .
2
b) 2sin2 a+l
. sma
~ . ca~ sm . 40° .sm . 140° = cos 2130° . 7. Aratati
)
~
a E R astfel lncat tga = 2 . Calculati:
. tg78° - tgl8° . ° ° , b = sm 108 cos48 -cosl08 6 Calculati a = • 1+tg78° tgl8°
x E lR ecuatia tg x = y are solutii pentru orice
Pentru
s. Fie a)
••. Jr Jr) este mversa . fun cpei .. tg: (Jr-2'2 Jr) ~ Funqla ardg : lR ~ ( -2'2
!
J3
I 4 Ariitati ca --0 - --0 =4. • sin lOcos 10
sina+cosa
VXE[-I,I]. 2
7. sin (arccos
·cos20110.
b) cos l" + cos Z" + ... +cosI79°.
j(x)=±g(x)+2kJr,
,atunci
+ sin 360° ;
3. Calculati: a) tg 1° . tg 2° ..... tg 89°;
Jr- arccos x, "Ix E [--1,1].
multimea solutiilor este egala cu
·sin20110.
b) P=cosIo·eos2°·
XE[O,Jr] YE[-I,I].
4. Pentru x E lR ecuatia cos x = y are solutii doar daca y E [-I, I]. iar
S. Daca
b) P=sinlo·sin2°· 2. Calculati: a) S = sin 1° + sin 2° +
Fun~ia arccos : [-I, I] ~ [0, Jr] este inversa functiei eos: [0, Jr] ~ [-I, I] . Proprietati.
Probleme propuse
16. Daca a E lR astfel Incat sin a + cos a = .!., calculati sin 2a . 3
v
~
:E
~ :E
• 49
J5. 17. Daca a,beR
astfel incat sina+cosb=l
18. Pentru a, b e ( 0, ;) tr
19. Aratali ca cos
g
20. Determinati
x e
=
astfel lncat a - b =:
si cosa+sinb=~
,calculati
sin(a+b).
stiind
considera triunghiul ascutitung.hi~ .ABC. in care. are loc relatia sin B + cos B = sin C + cos C . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel. Variante bacalaureat 2009
.••. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3 . Determinati masura unghiului C. ~. Variante bacalaureat 2009
aratati ca tgb - tga + tgb· tga = -1.
J2;J2 2 .
[0, tr)
se
terminati raza cercului inscris si raza cercului circurnscris unui triunghi cu laturile J1. De
ca numerele
sin x, sin 2x, sin 3x
sunt in progresie
aritmetica. 21. Calculati raza cercului inscris in triunghiul ABC stiind ca AB = A C = 5 ~i BC = 8 . Examen Bacalaureat 2011
3 4 si 5. ~eterminati numerele naturale a pentru care nurnerele a, a+ 1 si a+2 sunt lungimile J8. laturilor unui triunghi obtuzunghic. Variante bacalaureat 2009
39. Calculati: . 1 + arccos a) arcslll
2
22. Se considers triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 4 ~i A = 2; . Determinati.
d) arctg (
a) Aria triunghiului ABC. b) Perimetrul triunghiului ABC.
J3.' 2
J3) + arcctg ( J2) + arcctg ( -J2) ;
- arcctg (-J3)
. (tr"3 - arcsin . c) Sill
23. Se considera triunghiul ABC. Aratati ca daca sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , atunci triunghiul ABC este dreptunghic.
a) sin (2 arcsin ~);
24. Fie triunghiul ABC. Aratati ca daca cos" A + cos" B = 2 cos" C , atunci a2 + b2 = 2c2
d) cos ( tr - arcsin ~ }
•
a) sin x = .!., X e 2
26. Se da triunghiul ABC cu raza cercului circumscris R = 6 ~i A = tr . Calculati BC . 6 27. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ca BC = 3
e) tg (2arctg
2);
2
.
I)
3" ;
3) .
41. Rezolvati ecuatiile.
25. Se considera triunghiul ABC cu A = tr si B = tr . Calculati cos C . 4 3
cosA=-.
e) arcctg ~
40. Calculati:
c) Raza cercului circumscris triunghiului ABC.
J2
b'.I I arcsin (_ J3 3)+ arcsin 1 ,. c'.I I arctg J3 3 - arcsin (2 3
[0, 2tr] ;
b) cosx=--,
e) sin 2x = cosx,
X
xelR.;
2 d) tgx=-J3,
c) sin x + cos x = I, x e [0, 2tr) ; ~l
J2
xe(O,tr);
j) sin x = cosx, x E [0,4tr];
e R,
1
g) sin2x=-
2
28. Se considera triunghiul ABC cu laturile a = 3, b = 3 ~i c = 4 . Calculati. a) AB· AC;
J2,
XE[-tr,O].
2
42. Rezolvati ecuatiile.
b) Raza cercului circumscris.
29. Se considera triunghiul ABC in care a + c = 2b . Aratati ca sin A + sin C = 2 sin B . 30. Aratati ca daca in triunghiul
ABC este adevarata
relatia t'
a2 sin 2B = abc atunci R '
triunghiul este dreptunghic.
a) sin(x+
b) arctg
;)=cos(x-
~}
J3 + arctg x = tr , J3 cos x = 0,
X
31. Calculati sinusul unghiului ascutit dintre diagonalele dreptunghiului ABCD, stiind ca AB = 6 si BC = 8 .
d) sinx = l+cos2
32. Se considera paralelogramul
e) arcsin.!. + arcsin x =!:.,
cu AB = 6,
BC = 4 si m (4:A) = 60·. Aflati
distants de laD laAC.
2
x,
X
•..
E lR..
~
E R.
I X
'5
E [-1,1].
3 Variante bacalaureat 2009
33. Determinati lungimea celei mai mici inaltimi a triunghiului ABC cu laturile 5, 6 si 7. 34. Determinati lungimile aritmetica cu ratia 1.
E lR..
2
c) 3 sin x +
ABCD
X
xElR..
laturilor unui triunghi dreptunghic
cu laturile in progresie
~ ~
III
~ ~
• 51
Partea
Algebra Tema 2.1.
(clasele XI-XII)
Permutari. Matrice. Determinanti (cia sa a XI-a)
Tema 2.2.
Sisteme de ecuatli liniare (clasa a XI-a)
Tema 2.3. Structuri algebrice (clasa a XII-a)
Tema 2.4.
Polinoame cu coeflcienti lntr-un corp comutativ (clasa a XII-a)
2.1
Tema
Permutarl. Matrice. Determinanti 1. Permutari Oefinitia 1. Fie n un numar natural nenul. a functie bijectiva a : {I, 2, ..., n} ~ {I, 2,..., n} se numeste permutare de grad n. Multimea permutarilor de grad n contine n! elemente ~i se noteaza Sn. Exemplu de permutare. Functia
0"
1
=(4
2 3 4) 1 3 2 este
A
0
permutare de grad 4. In
acest caz a(l) = 4, a(2) = 1, a(3) = 3 si a(4) =2. Tnmultirea permutarilor. Fie a si • doua permutari de grad n. Permutarea a 0., unde 0" este operatia de compunere a functiilor se numeste produsul permutarilor a si r ~i se "noteazl!. ar. Proprietati 1. Inmultirea permutarilor este asociativa, deei au sens expresii de forma (/ = 0" . 0" . 0" ... 0" , pentru orice a E Sn si orice numar natural nenul k.
~
k ori
1 2 1 2
2. Permutarea e = (
n)
... ... n
ae = eo = 0" , pentru orice
are proprietatea
0" E
S; , si se
numeste permutarea identica, 3. Daca a
0"(1)
E
S; atunci permutarea ( 1
inversa permutarii a si are proprietatea
0"(2)
...
O"(n»)
2
...
n
0"0"-1
E
Sn se noteaza e', se numeste
= 0"-10" = e.
Inversiuni, semnul unei permutari Oefinitia 2. Se numeste inversiune a permutarii a E S; 0 pereche ordonata (i, j) E x {I, 2, ...n} eu i aU). Numarul inversiunilor unei permutari a se noteaza mea) iar numarul (_l)m(cr)se noteaza &(a) si se numeste semnul permutarii a. Daca &(a) = 1 (deei mea) este par) atunci a se nume~te permutare para, iar daca &(a) = -1 (deci mea) este impar) se numeste permutare impara. E
{l, 2, ... n}
Proprietati 4.&(a.) = &(a)· &(.) oricare ar fi 5.&(e) = 1. 6. &( o") = &(a) oricare ar fi Exemplu. Fie
0" =
0" E
0", T E
Sn. •.•.
1 2 3 4 5) ( 5 1 432
(1,4),(1,5), (3,4),(3,5),(4,5),
:E
S; .
I
.
Inversiunile
permutarii
a sunt (1,2),(1,3),
deei mea) = 7, &(a) = -1 si a este permutare impara.
E_
> este eompatibil nedeterminat S. Daca m = n, atunci sistemul are solutii nenule ¢:> det(A) = O.
{
incompatibil.
• Sisteme omogene Definftje 6. Un sistem liniar se numeste omogen daca top termenii liberi sunt nuli. Proprietiti. Fie un sistem liniar de tip (m, n), de matrice A. 3. Un sistem omogen este compatibil. EI are solutia Xl = x2 = ... = xn = 0, numita solutia nula.
= -3. Sistemul este
-3y+Sz-4t
-3y+Sz-4t=-3
are coeficientul O.
6. Aratati ca matrieea A = [~ ~
o
21] este inversabila
pentru orice valoare reala a lui m.
1 m
,,to. In acest fel, In ecuatiile 2, 3, ... m
• 67
3 32 22J .
16. Rezolvati sistemul
[223
a) Determinati a, b c) Calculati A-I.
IR astfel Incat A2
E
[
o o
0 1 1
3
E
=5
.
=-1
x+5y-4z
= -1.
{ .
2x+y-z=3 x+y-4z=-2
18. Rezolvati sistemul
0 0 1
(1 2)X (1 -1) ,X M2 X(; ~)=(~1 ~). XEM2(1R)· = 2
x + 3Y - 2z 4x+3y+7z=2
4X- y-4z
11. Rezolvati sistemul
9. Rezolvati ecuatiile matriceale:
3 5
{
= aA + bl-;
1 11 11 1IJ
. .. .. 0 8. Determinap inversa matncei A =
a)
=-1
3X+ y+4z
7. Fie A = 2
(1R) .
{
-7x + 3y + 2z 5x-4y+z
= -2 . =2
19. J)etenninali rangul matricei A =
[! !~}
n
b)
1 O. Determinati valorile reale a lui m stiind eli matricea A = ( ;
1) are inversa egala eu ,
20. D~crminap
= [~ ~
rangul matricei A
~I
-1
adjuncta sa. 21. Determinati valorile reale ale lui a Ii b pentru care rangul matricei A = [ : 11. Determinati inve rsa adjunctei matricei A = [~
~( 1 a -2
b)
xC
-1)3 X (10
1)
4 1 -2 ,X
=
_~)=[-~~], -5
I
i
13. Rezolvati sistemul
M2•3 (1R).
~).
~ ~
121
23. Determinati valorile reale a lui m pentru care matricea A
are rangul2.
= [~ - ~ -:)
XEM3•2(1R).
2 -1 m
8
{X+3Y+5Z = 4 2x + Y - 3z = 3 .
!i
24. Determinati rangul matricei [~
=~
~1] in functie de a E a
~1
3
2
5
25. Determinati rangul matricei [~
~
~1
~
~1) in functie de a,b
4 3
2
b
2
a
5x-2y+7z=3
l i
22. Determinati rangul matricei A = [ : E
~)
~ este egal cu 2.
12. Rezolvati ecuatiile matriceale:
~ ;1
{ x+y+z=3 -x + 2Y - 2z = 9 .
14. Rezolvati sistemul
x+4y+4z
= 27
2X-3Y+5Z
=9
x + Y - 2z = -2 .
15. Rezolvati sistemul {
3x+2y+z
26. Determinati rangul matricei [~
~i~~~]
in functie de a.b,c
E
1R.
E
R .
=7
69
a
27. Fie matricea
mx+ y+mz=l
A [2 a ;b ;c) 3a
3b
a, b,
unde
=
C E
34.
lR '.
~iL E MI,3(IR)
IR astfel incat A2
astfel incatA =K· L.
35.
= dA .
Aratati
ca pentru
-x + Y + 2z 2= mare 28.Fie
A
=
(
E
3x- y-2z
{
MJCIR).
x+4y+m
orice
valoare
reala
a lui m
sistemul
de
ecuatii
solutie unica,
1 1 0 X+Y+Z=b+1
b) Aflati rangul matricei
29. Fie matricea A
=
2
36. Determinati
h + A + At.
c) Determinati inv(~rsa2ma~c]ei
2
0
=
si B
a) Determinati rangul matricei
a, b
E
IR pentru care sistemul
Bacalaureat, 2008
t, + A(. 2] 1 .
1 4 -3
37. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare
A·. infinitate de solutii X
0
{
2x + Y + Z = b
E
M3,\
{
=
1
x +Y +Z= 2 x-2y+2z
are eel putin doua solutii.
=-1
x+ay-z
2X- y+3z
5
b) Aratati ca ecuatia AX = Bare
are
0
infinitate de solutii.
=-1
(C) .
Adaptare bacalaureat, 2008
2ax+
30. Fie matricea A = (:
::
1 a) Calculati det(A). b) Aratati ca rang (A)
cu a, b
~ ::~],
1
E
IR .
~ 2, Va,
X+2Y-3Z=3 beR
1001
i•..
x+ y-2z=0
este compatibil nedeterminat.
Adaptare bacalaureat, 2008
39. Fie sistemul
2x-
y+z
nx+ y-2z
= m ,unde m, n
E
1R.
=4
a) Determinati m si n pentru care sistemul admite solutie Xo = 2,yo
A=[~ 0000~ ~ ~] ~i B=[~ 0110~ ~ ~].
= 2,zo = l.
b) Determinati n E IR pentru care sistemul are solutie unica. c) Determinati m si n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.
0000
AB + BA.
b) Aratati ca rang ( A + B)
=0
a
{
a) Calculati
y+z =0
x + 2ay + z
38. Aflati valorile reale ale lui a pentru care sistemul de ecuatii liniare {
i
liniare
z=-3
a) Calculati A3.
31·Fie
este
=12
3x-4y+z=1
Bacalaureat, 2009
0 0 0] 1 0 0
x + y + mz = 3
incompatibil.
b) Aratati ell exista matriceleK EM3,1(1R) E
{
3c
a) Calculati rangul matricei A.
c) Aratati ca exista d
Determinati toate valorile reale ale lui m pentru care sistemul
Bacalaureat, 2009
x+
= rang (A) + rang ( B). {
c) Aratati ca( A + B)" = An + B" , oricare ar fi nEW.
X+2Y =1
i 32. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare
5x - Y = 6 {
X 33. Fie sistemul de ecuatii liniare {
3x-4y
a) Determinati b) Determinati
m m
E E
x+my+(m-3)z
,m
E
IR .
= 2m-l
IR pentru care sistemul are solutie unica. IR pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. Adaptare bacalaureat, 2009
=0
+ 2y+z=1 ax + 3Y + 2z = 0, a E 1R. Aratati ca pentru orice
(a+l)x+
valoare a lui a sistemul are solutie unica.
este incompatibil.
my+2z =1
x + (2m -1)y + 3z = 1
40. Se considera sistemul
Y+z =0
2X-3Y+4Z-5t 41. Se considera sistemul
x+9y+mz+t=3 {
a) Determinati
p
E
=-1
5x-6y+lOz+nt
,m, n,p ElR. =p
IR astfel incat sistemul admite solutia (xo,Yo, zo, to) cu Zo = to = o.
•.•
~ I
dll d, d, EK[X]. Definitia
general, folosim notatia S, = xt + x~ + ... + x: ' unde k este un numar natural nenul
* O. Notaro
p, q
E
radacina a polinomului
q Ecuatia x" - a == 0, a == r (cos a + i sin
E
Q
•..
1= aX" + ... + a,X + ao' cu ao,a" ....a, E Z,
Z, (p, q) == 1. Daca a == Peste
• Ecuatii binome. cu
radacina a + b.Jd , unde a, b, d
a)
E
an
* 0,
~ ~i numerele ~
f, atunci p I ao C , are solutiile
V
si q I an· ~
~
w
!C ~
• 87
Xk
==
nr(
V
r cos
Teoremi. Fie f
a+2k1C .. a+2k1C) __ n +I sm n ' k == 0, n -1 .
• Ecuatii reciproce. Polinomul meste reciproc daca ak == an_k
jreductibile
f == aX" + an_,Xn-' + ...+ a,X + ao E C [X]
pentru orice k == 0, n. in aeest eaz ecuatia
se nu,
f (x) == 0 se
numeste ecuatie reciprocd. proprietiti 10. Produsul a doua polinoame reciproce, catul ~i restul impartirii a doua polinoame reciproce sunt polinoame reciproce. 11. Un polinom reciproc de grad impar are radacina Xo == -1. Pentru a afla radacinile unul polinom reciproc f de grad 2k + I, se imparte f la X + I ~i catul este un polinom reciproc g de grad 2k.Ecuatia
g(x)==O se imparte cu Xk si se face substitutia x+.!.==t. x
Exemplu 4. f == X
5
3X4 + X3 + X2 - 3X + I E C[ X] .
-
-I rezulta ca f == (X + I)g,
5x - 4x + I == 0 x2 +
I I 5 -4
-4
-3 I
unde g == X4 _4X3 + 5X2 -4X
:2 -
4 ( x + ~ ) + 5 == 0
r -2-
+ I. Avem g(x) == 0 X4 - 4x2 + 4t + 5 == 0
r - 4t + 3 == 0, unde
x
ireductibil daca nu exista g,h
E
K [X]
K[X]
de grad mai mare sau egal decat I se numeste
13. Un polinom
14. Un polinom
f
K [X] de grad 1 este ireductibil. f E K [X] cu grad (J) ~ 2 care are 0 radacina f E K[ X] cu gradul 2 sau 3 este ireductibil
radacini in K . 15. Un polinom f
K[ X]
este ireductibil
dad
in
K
IR [X]
grad(J)
este ireductibil
== 2 si Ll < O.
1. Determinati
gradul polinomului
f==(a2-I)X4+(a-I)X2+(a+2)X+IEC[X]
functie de a E C . 2. Aflati catul si restul impartirii polinomului g ==X2 +X -2.
in
f == 3X4 + 4X3 + X2 + 2X - 3 la polinomul
5. Determinati valorile reale ale lui a pentru care resturile impartirii polinomului f == X3 + 2X2 + aX -I la X + 1si X - 2 sunt egale. 6. Determinati, folosind eventual schema lui Homer, catul si restul impartirii polinomului f == X5 +4X3 -2X +5 la: a) X + I; b) X - 2. 7. Determinati restul impartirii polinomului f == X30 - 4X3 + X + 5 la polinomul X2 -1 . L Determinati valorile reale ale lui a pentru care polinomul f == X4 - 3X3 + aX2 + X + 5 X2 + X + 2 divide 3 2 polinomul f == X4 + X + 3X + aX + b . O. Fie f == X4 + X2 + 1 si g == X3 + 2X2 + 2X + 1. Determinati un c.m.m.d.c. al luij si g si
daca ~i numai daca nu are
si numai daca polinomul
si
2 3 EC radacinile sale.
XI'X ,X
a) XI + x2 + x3•
111
este reductibil.
af
este
b)-+-+-. xlx2 xlx3
X2X3
12. Fie f == X3 + 5X2 - 2X + 3 E C [X] si XI' x2' X3 E C radacinile sale. Calculati:
a) x~ +
xi + x; ,
I
I
XIX2X3
in
IR [ X]
daca ~i numai
c) x; + x~ + daca grad (J) == I sav
~
xi .
~
• Fie f==X4-3X3+2X2+X+IEC[X]
a)
(1 -x )(1 l
po
==I -e v
I
b) -+-+-,
Observatii 1. f e C.[X] este ireductibil daca si numai daca grad (J) == 1. E
Probleme propuse
Calculati:
ireductibil, oricare ar fi a E K· .
2. f
fiind pana la
.... ---------------------------------------------------
11. Fie f==X3_3X2+5X+7EC[X]
E
E
unieitatea
un c.m.m.m.c. al luij si g.
cu f == gh si grad (g) ~ I, grad (h) ~ 1.
Proprietiti 12. Orice polinom
I=s.sv=s.,
astfel incat
ordinea factorilor si asociere in divizibilitate (g este asoeiat in divizibilitate eu h daca exista a E K astfel incat g == ah).
t. Determinati valorile reale ale lui a si b pentru care polinomul
x
E
g"g2, ... ,gn EK[X]
(f) ~ 1. Atunci exista in mod unie polinoamele
se divide cu X + I .
ecuatiilor x +.!. == I ~ - x + I == 0 si x +.!. == 3 x2 - 3x + 1 == O.
• Polinoame irecluctibile Definitie 5. Un polinom f
eu grad
t
I 0
t == x +.!.. Rezulta t1 == 1 si t2 == 3, iar cele 4 radacini ale lui g rezulta din rezolvarea
x
K [X]
3. Fie f == (X2 + X + 1)20+ (X2 - X + 1)20 ~i f == a40X40 + a39X39 + ...+ ao forma sa algebrica. a) Calculatiji l), b) Determinati ao + a40· 4. Determinati restul impartirii lui f == ( X3 + 3X2 - 5X + 2 la X -I.
Din schema lui Homer
-3
E
-x2)(1
si
-x3)(1
2 3 4
X"X ,X ,X
-x4),
EC radacinile sale. Calculati:
~
• 89
b) Determinati
a,b
aritmetica ~i 14. Fie 1 = X3 _X2 +3X -5 4
4
C[Xhi
E
X"X2,X3
E
C radacinile sale. Calculati:
4
2
a) Aratati eii
2
2
2
2
+2
15. Fie 1
= ( X2
40
+ X + 1)
+
(2
)40
.
X - X +1
~l
X3X2·
1 = asoX SO + a
X79 + ... + a X + a fi0nna 79 l o
j
aiba radacinile XI,X2,X3
IR astfel incat polinomulfsa
x; + xi + xi
22. Se considera polinoamele
a) XI +X2 +X3 , b) XIx2 +XI X3+X2XI +X2X:!+X3XI
E
=
f
11 .
=X
3
in progresie
Adaptare bacalaureat, 2008 + 2X2 +3X +45E Z[ X] si
este ireductibil in Z2
j
=
x
3
+ X + 1E Z2 [X].
[Xl·
b) Aratati ca 1nu se poate scrie ca produs de doua polinoame cu coeficienti intregi, neconstante. Adaptare bacalaureat, 2009 • 23. Fie polinomul 1 = X 3 +2X
2
+a
Z3 [ X ] .
E
sa algebrica, Calculati: a) Calculati 1(0) + 1(1) + 1(2).
a) aw
b) Pentru a = 2, determinati radacinile luij'din
b) ao +al +a2 + +aso· c) ao +a2 +a4 + +aso·
c) Determinati
16. Fie polinomul 1 = X3 +aX2 +bX +c cu a,b,c a) Determinati a, b, c stiind ca 1 are radacinile b) Sa se arate ca daca/are
radacina
c) Sa se arate ca daca a, b, c
E
J2 , atunci
Z , iar numerele
E Xl
Q.
E
Z3 pentru carej'este
24. Fie polinoamele l,gElR[X],
= X2 =
1 are 1(0)
a
0
1 si X3 = -2.
si
1(1)
ireductibil in Z3 [X].
n]Xl. 1.
b) Demonstrati ca polinomul g nu divide polinomul
sunt impare, atunci
f
c) Determinati restul impartirii lui
1 la
Bacalaureat, 2008
g=X2-3X+2.
1=(X_1)IO+(X_2)IO~i
a) Descompuneti g in factori ireduetibili in
radacina rationala,
Z3'
g.
nu are radacini intregi.
Bacalaureat, 2006 Bacalaureat, 2008
17. Fie 1 = X3 +4aX2 +20X +b cu a, b a) Determinati
XI.
X2,X3 in cazul a
b) Aratati ca (XI -xS
=3
+(XI -xS
E
lR ~i XI,X2,X3
E
C radacinile lui.
= 32a
2 -120.
- 5X2 + 4.
= X4
a) Determinati radiicinile lui
b) Determinati
polinomul
26. Fie
1.
h
E
Q [X] cu h ( 0) = 1 si care are ca radacini inversele
radacinilor luif 19. Fie polinomul 1 = 3X4 - 2X3 + X2 + aX -1
cu a
E
. 1
1
XI
x2
1
lR si x" x2' x3' x4
E
C radacinile
If
+bX +C, cu a, b,
1(3) - 1(1) este
b) Aratati ca x- Y divide I(x)
- I(Y),
CE
Z.
a) Determinati
1=4X3-12X2+aX+b a,b
E lR
1 in factori
1. ireductibili inlR[X]. Bacalaureat, 2008
27. Se considera polinomul 1 = X3 -9X2 - X + 9 cu radacinile XI'X2,X3 E C.
1 la X2
-1 .
oricare ar fi X,Y
1(3x
)
= 0, X
E
lR .
Bacalaureat, 2009
28. Fie polinomul 1 = X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1 cu a E lR si xI'X2,Xl'X4 E C radacinile sale. a) Calculati (1- x~ )(1- xi )(1 - x: )(1 - x;) .
i
b) Determinati valori1e reale ale lui a pentru care x~ + xi + X: + x; = 8 .
par. E
29.Fiepolinomul
Z. Adaptare bacalaureat, 2009
21. Fiepolinomul
b) Pentru a =-3 ~i b = 1 descompuneti
c) Rezolvati ecuatia Bacalaureat, 2008
a) Aratati ea numarul
C radacinile sale.
b) Verificati ca x~ + x~ +xi = 9(x~ + xi + x:) -18.
X3 x4
= aX4
numere reale. a) Determinati valorile lui a si b pentru care g divide
a) Determinati catul si restul impartirii lui
1
b) Determinati restul impartirii luij'la (X c) Aratati ca polinomul 1nu are toate radacinile reale.
20. Fie polinomul 1
E
= n = 1, descompuneti 1 in factori ireductibili in lR[ Xl. Bacalaureat,2009 polinoamele 1 = X4 + aX3 + bX2 - 5X + 6 ~i g = X3 + X - 2, unde a ~i b sunt doua
Adaptare bacalaureat, 2009
sale. a) Calculati -+-+-+-.
lR si Xl' X2' Xl' X4
c) Pentru m
Adaptare bacalaureat, 2008
18. Fie polinomul 1
E
a) Determinati m si n stiind ca Xl = 0 ~i X2 = 1. b) Determinati valorile lui m pentru care x~ + xi + x: + x; = 2 .
si b = O.
+(X2 -xS
25. Fie 1 = X4 + mX2 + n cu m, n
I
cum ElR si X"X2,X3 radacinile sale.
a) Pentru m = 2 determinati radacinile lui
~
1.
~
!
b) Calculati x: + x; + x; .
eu a,bElR.
astfel incat polinomul X2 -1 divide
I=X3-3X+m
f
c) Determinati valorile lui m
E
lR pentru care
1 are
toate radacinile intregi. Bacalaureat, 2009
i • 91
30. Fie
f
== 2X3
f
4X2 + aX + 1 ell a E Z. Detenninati valorile intregi ale lui a pentru care are eel putin 0 radacina rationals. -
31. Se considera polinoamele cu coeficienti complecsi f == X4 -1 si g == X6 -1 .
f
a) Determinati un c.m.m.d.c. ~i un c.m.m.m.c. pentru
g (x) ==
O.
Adaptare bacalaureat, 2009
32. Determinati restul impartirii polinomului a) g ==
f
X'20 + X4 + 3X2 + X + 5 la polinomul:
==
X3-1.
b) h == X2 + X + 1. c) t == XS-1. 33. Determinati restul impartirii polinomului
f
==
xso + 20X3
35. Fie
e
E
C [X]
+ 5X2 + 7 X + 1 la polinomul
X30 (X + 1)20 la polinomul g == X (X _1)2 . catul impartirii polinomului f == X60 - 30X2 + X + 8 la polinomul ==
Calculati e (-1 ) .
g == ( X-It
f
36. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi
X4 - 5X3 + 3X2 - X + 1 si x" X2,
==
X3, X4 E C radacinile sale. a)
Determinati
un
11 x" 11 x2' 11 x3' 11 x4 b) Aratati ca polinomul
gEe
[X],
de
grad
4,
care
are
radacinile
f nu are toate radacinile reale.
f
==
X4 - 2X3 + X2 + X -1 ~i XI. X2,
X3, X4 E C radacinile sale. a) Calculati x; + x~ + x; + x~.
f
0
45. Se considera
polinomul
~i f ==
==
X4 + 2aX3 + 3bX2 + eX + d ~i XI. X2,
a) Calculati
(x,
toate radacinile reale si
39. Se considera polinomul cu coeficienti reali a) Aratati ca polinomul
fare
b) Stiind ca polinomul fare lui q.
E
(0,
j).
-
6X + a, unde
== X3 + aX2 + aX + 1. Determinati
toate radacinile reale.
X
+ 0S9 XS9 + ... +
Determinati
00
cu coeficienti
==
X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1. Determinati
toate radacinile reale.
reali
f
== (
X2 + X + 2
forma sa a 1gebri nca.~
f
multimea
nu are nicio radacina reala. valorilor
intregi
ale
lui
0
f == X3 + X2 + aX + 1 este ireductibil peste Q . 47. Se considera polinomul f == X3 + 2X2 + X + 0 E Z3 [X]. a E Z3' polinomulf polinomulf
f + ( X2 - X + 3f
0, .
b) Aratati ca polinomul 46.
f
pentru
care
polinomul
Aratati
ca pentru
once
este reductibil peste Z3'
f
X3 + X2 + X + 0 E Zs [X]. Determinati
==
0
E Zs astfel incat
sa fie ireductibil peste Zs'
a) Aratati ca polinomul b) Aratati ca polinomul
f f f f f
==
X8 + 4X3 + 3 E Zs [Xl
nu are radacini In Zs' este reductibil peste Zs' == X4 + X3 + X +
2 E Z3 [X].
este reductibil peste Z3 .
b) Determinati un polinomul
g E Z3 [X], ireductibil peste Z3' avand aceeasi functie
+1)2 +(X2 +1)2 +(X3 +1)2 +(X4 +1)2.
b) Stiind ca polinomul fare e si d.
40. Se considera
+ 5X2
polinorniala ca f.
X3, X4 E C radacinile sale.
a
060
60
a) Aratati ca polinomul
nu are toate radacinile reale.
f
+ 4X3
== X4
f
reali
pentru care polinomul fare
valorile reale ale lui
SO. Se considera polinomul
38. Se considera polinomul cu coeficienti reali
f
reali
pentru care polinomul
49. Se considera polinomul
•
37. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi
b) Aratati ca polinomul
0
48. Se considera polinomul
polinom
cu coeficienti
44. Se considera polinomul cu coeficienti reali
a) Determinati
f
polinomul
reale ale lui m pentru care polinomul fare
g==(X+lt 34. Determinati restul impartirii polinomului
cu coeficienti
f are toate radacinile reale. 43. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 -12X + m. Determinati valorile
valorile reale ale lui
f (x)
polinomul
a E [9,(0) . Aratati cli polinomul f nu are nicio radacina reala. 42. Se considera
si g.
b) Determinati numarul solutiilor distincte din C ale ecuatiei
41. Se considera
polinomul
Aratati ca polinomul
0
f
==
0
== b == 2 , determinati valorile lui
X3 - pX2 + qX - r , cu p, q, r > O.
radacina reala strict pozitiva.
toate radacinile reale si p == 3, r == 1 , determinati valoarea cu coeficienti
reali
f
==
X4 + aX3 + aX2 + bX + e, unde
f nu are toate radacinile reale.
• 93
Analiza matematica Clasele XI-xn Tema 3.1
Limite de siruri. Limite de functii, Functll continue. Funqii derivabile
Tema 3.2
Primitive
Tema 3.3
Functli integrabile
Tema
3.1
Limite de slrur]. Limite de functil. Functii continue. Functii derivabile • • 1. $iruri de numere reale $iruri marginite ~irUl (Xn)n~1 este mdrginit superior
daca exista ME
IR astfel mcat Xn
~irUl (Xn)n~1 este miirginit
inferior
~irUl (Xn)n~1 este miirginit
daca este marginit inferior si superior.
dad! exista . m
E
s M,
'
I(x)
=m
X
lim (j(x)-mx)
x-+-oo
•
=n
D ---+ JR si a un punct de acumulare allui D. Dreapta de
x\..a
D n D' daca si numai daca I este
1I I,
E
E, atunci
= g(lim/(x))
JR sunt continue in punctul sunt functii continue
Lg este continua in a.
D ---+ E si g: E ---+ JR. Daca
b = I(a)
I,s :D ---+
max(j,g),min(j,g)
functia
I
este continua in a ED,
go I: D ---+ JR este continua
iar g este
in a. Avem
(0 functie continua comuta cu lirnita).
x-+a
c E (x,,~)
E
I:
I ---+ IR are proprietatea
I si orice A cuprins intre I(x,)
lui Darboux pe ~i l(x2)
,
exista
astfel incat I(c) = A.
o functie I:
I ---+ JR are proprietatea lui Darboux daca ~i numai daca imaginea oricarui
interval prin functia I este tot un interval (cu alte cuvinte, pentru orice interval J c I , rnu1timea I(]) este interval).
o functie cu proprietatea lui Darboux nu are puncte de discontinuitate de speta I. Teorema. Orice functie continua I: I ---+ JR are proprietatea lui Darboux. c
ecuatie x = a este asimptotd verticalii la stdnga (respectiv dreapta) pentru graficul functiei f daca lim I(x) = ±oo (respectiv lim I(x) = ±oo). x/a
JR), I· g,
Proprietati ale funqiilor continue. 1. Fie I: [a,b] ---+ JR 0 functie continua
daca
{!im
x---+oo
--(0)
daca lim I(x) = a (respectiv
D ---+ JR astfel incat
+00
I:
E
intervalul I daca pentru orice x, ,x2
JR , este asimptota orizontala la
acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = mx + n , unde m, n oblica la graficul functiei spre
in
limg(j(x))
X
(respectiv
x-too
Asimptote oblice. Fie
atunci a f + jJg, (a,jJ
a ED,
Proprietatea lui Darboux. 0 functie
acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = a, unde a +00
Operatii cu funqii continue. Daca functiile
Fie functiile
tim(1+x)'-I=r
lim--=lna; x-tO x
lim--=I; x-tO x
E
din limitele laterale nu exista sau este ±oo, a este punct de discontinuitate de speta a II-a.
in a, iar daca g(a)"# 0 , atunci
=e;
a
Puncte de discontinuitate. a E D este punct de discontinuitate de speta I al functiei are limite laterale finite in a ~i nu este continua In a. Dad eel putin una
,
lim(l+x)~
aX -I
eX -1
Asimptote orizontale. Fie graficul functiei spre
x\..a
(1 + .!.)X = e ;
· arcsinx 11m
=A .
= lim/(x)
x/a
= I(a)).
I :D ---+ JR daca
al multimilor
In punctul a daca si
(altfel scris I(a-O)
continua la stanga ~i la dreapta In a , adica daca ~i numai daca I(a - 0) = I(a) = f'(a + 0) .
x-ta
oentru orice sir (x )n~' cD \ {a} astfel incat lim xn = a, atunci !im I(xn)
a) n D, se
(altfel scris I(a + 0) = I(a) ).
Functia I: D ---+ JR este continua in punctul
Multimea punctelor de acumulare a ~nei multime nevide D c JR se noteaza D'. Functia I: D ---+ JR are limita A E JR in punctul a E D' (scriem lim j'(x) = A) daca
(--00,
D este punct de acumulare pentru (a, +00) n D, se spune ca I este continua x\..a
functii
= I(a)
x/a
la dreapta in a daca lim I(x) = I(a)
2. Limite de
= I(a).
x-to
E
astfel tncat
I(a)· I(b) < o. Atunci
exista
(a,b) astfel incat I(c) = 0 .
2. 0 functie continua, care nu se anuleaza pe un interval I, are semn constant pe 1. 1. Teorema lui Weierstrass. 0 functie continua I: [a,b] ---+ JR este marginita ~i I~i atinge marginile (adica exista u, v E [a,b] astfel lncat I(u) = min j''(x) ~i I(v) = max j'(x) ).
4. 0 functie continua S. Daca
I: I -v J
I:
este
I ---+ IR este injective daca si numai daca este strict monotona. 0
functie continua si bijectiva, atunci
1-'
i
J ---+ I este continua.
• 99
Formule de derivare
4. FunClii derivabile Functia
I :D ~ IR
are
derivata
in
punctul
a
E
D n D'
daca
exista
limita
= lim I(x)- I(a) E i (numita derivata functiei j in punctul x = a). x->a x-a Daca I'(a) E JR, se spune ca/este derivabila in punctul x = a. 0 functie I: D ~ lR
I'(a)
este derivabila pe D daca este derivabila in orice punct x ~ I'(x) , xED, se numeste derivata functieij,
a ED.
in acest caz, functia
Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct. Derivate laterale. Daca a E D este punct de acumulare pentru (-oo,a)nD, Ca/are
. .. . I(x)- I(a) derivata la stanga in a daca exista limita lim x/a x-a
Daca a E D este punct de acumulare pentru (a,+oo)nD, . .. . I(x)- I(a) dreapta in a daca exista limita hm x'\,a x-a Functia
I:
D ~ JR are derivata in
nOI,
= Id (a)
geometrica
nOI,
=
I. (a)
z-i« 7. (sinu)'=cosu·u';
u' 9. (tgu)'=-2-; cos u u' 12. (arctgu)' =-1 -2 +u
se spune cal are derivatii la
a derivatei.
0
b. punct de minim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x) ~ I(a),
' 0 astfel incat
si concava pe (a,a + r) sau invers.
sau infinita) ~i este convexa pe (a-r,a)
1.
f
l+u
'a
si (f-l) '(b) = _1_. I '(a)
0
x=a
si 1'(a)=A..
• 101
Teorema lui Cauchy. Daca (a b) astfel tncat g(a) , ,
* g(b)
, atunci exista c
I:
Teorema lui Darboux. Daca :ierivata sa
I
[a,b] ~ IR sunt continue pe [a,b]
f,g:
(a,b)
E
astfel incat f'(c) g'ee)
I ~ JR este derivabila
si derivabile pe =
pe un interval I, atunci
are proprietatea lui Darboux pe 1.
I
Rolul derivatei a doua in studiul funqiilor. Fie derivabila pe un interval 1. Atunci: a. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x
I:
I ~ JR.
0
lui
x-+o
I , atunci I este convexa pe I;
. a, b
U81Hospital. Fie
(a, b) c I c [a, b] . Daca Xo
E
x-txo
b.hi
E
i, a < b.
. I··uruta I·1m --f'(x) c. exista
E
un
cu
interval,
X-+Xo
* 0, Vx
g sunt derivabile ~i g'(X)
atunci exista U
I c JR
=
1
/I,
E
* 0, Vx
E
Un I \ {xo} si limita
Probleme propuse (x2
lim I(x) . x-+co b) Aratati cii functia I este crescatoare pe JR.. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"
2. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = In (1 + eX) - x . a) Determinati asimptotele graficului functieij.
b) Aratati cii functiaj" este strict descrescatoare. c) Determinati imaginea (multimea valorilor) functieij"
a) Aratati cii ecuatia f'(x)
=0
= (x-l)(x-2)(x-3)(x-4).
are exact trei radacini reale.
. ~ 1 1 1 b) Aratati ca --+--+--+--=0. 1'(1) 1'(2) 1'(3)
1
E
JR.
r.
b) Calculati lim (1 + I(x) x-+co c) Determinati multimea valorilor functieij"
= J x2 + 1-
x.
1'(4)
JR, f(x)
lim I(x) = A g(x)
X->Xo
E
i.
2 8. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ~ x -1 . a) Studiati derivabilitatea
functieij" b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"
I este convexa. b) Calculati limita sirului (an unde an = 1(1) +1(2) + +I(n) -In(2n +1) .
a) Aratati cii functia
t~1'
c) Calculati limita sirului (bn t~I' unde b; = 1"(1) +1"(2) + +f"(n) . 10. Fie functia 1:(O,oo)~JR,
I(x) = lnx. x a) Determinati asimptotele graficului functieij. b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.
11. Fie p ~ 2 un numar natural fixat si functia
10: JR~
JR, 10 (x)
numar natural n se considera functia In : JR~ JR, In (x) = ILl (x). a) Aratati cii In (x) = pn e'" , pentru orice x
c) Determinati valoarea minima a functiei f 4. Se considera functia I: (O,oo)~
JR .
9. Fie functia I: (O.oo)~ JR., I(x) = In(l+~).
+ 1).
a) Calculati
3. Se considers functia I: JR~ JR, f(x)
E
a) Aratati cii functia I este strict descrescatoare pe JR. b) Aratati ca functiaj" este convexa. c) Determinati asimptotele graficului functieij.
iiii En...;
1. Fie functia I: JR~ JR, I(x) = x-ln
a) Calculati I'(X) , x
7. Se considers functia I: JR~ JR, I(x)
I \ {xo};
g'(X)
V(xo) astfel ca g(x)
x
6. Se considerafunctia I: JR~ JR, I(x) = +1· x +
=0 .
lim Ig(x)1 =+00 );
(respectiv
X---+Xo
x-Ho
~i
1(;) .
c) Aratati cii e' ~ x + 1 , pentru orice x
[a, b] si I, g :1\ {xo} ~ JR sunt doua functii cu proprietiitile:
a. lim I(x) = lim g(x) =0
5. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = eX -x-I. a) Determinati punctele de extrem ale functieij. b) Calculati lim
E
, x E (0,00).
b) Calculati lim f'(x). x-+co c) Calculati lim f(x) . x-+co
functie de doua ori
b. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x E I , atunci I este concava pe I; c. Daca a E Int(I) este un punct de inflexiune al functieij, atunci I"(a) Regula
f(b)- f(a) . g(b) - g(a)
a) Calculati f'(x)
=
E
JR si orice n EN.
b) Determinati asimptotele graficului functiei In· x-x2ln
x+l . x
1!lI .\ C 1 I . li .t;(a) + 12(a)+ ... + In (a) , un d e a En.... c) a cu an m . n-+co In (a)
•..
= e'": Pentru fiecare
::e I >. x 2 30. Se considera functia f:
sinx ( 0'"27r) --+ JR, f (x)= -x-
.
x E (0,00).
c) Comparati numerele a) Calculati
= ~
lim x" f(x)
Vx + 2 - if;..
, unde a E JR .
X->OO
b) Determinati punctele de extrem local ale functieij"
•
c) Aratati
.
ca ifj + if? > 2V5 .
38. Se considera
functia f: JR --+ JR, f(x)
= x2ex
.
a) Determinati punctele de extrem local ale functieij" a) Calculati f'(x)
, x
E(
0, ~).
b) Aratati ca j 0 si an+1= f(an),
.
= sin AX, unde A E (-1,0) u (0, 1) .
a) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"
b) Aratati ca j 2,
E
N, n
b) Aratati ca, pentru orice n
E
N, n e: 2, ecuatia In (X) =
99. Pentru orice n
a) Aratati ca ill punctul t =
°
°.
E
2
3
n
(n +.!.)2
-In
este strict descrescator.
N, n> 3, se considera functia j, :JR ~ JR, In (X) = sin" x ~i se noteaza
I "(x)
b) Aratati cii sin xn
= n(n-l)sinn-2
=~
In : [0, 2.
= xn+1
-en + 2)x+
n, n E N* .
(0, ~) .
rn , unde
n EN, n
JR, pentru orice n E N, n > 3.
?3.
lim I(xn)
Bacalaureat 2009, varianta 14
1 /
si..siru l( an )
a) Aratati cll functia
b) Aratati cii , 2(k+l)
I'
n_" >1'
an=
1
r+
1 r;;+"'+
1 2" 2
1 r:: n-s n
este strict cresciitoare pe intervalul (0, co) .
1
Jk+i k+l
1 < r. -Jk
t2:1
1 r;-:-:;
-Jk s-).
o
functia F este
(1 +2x)1r
este partea intreaga a numarului real a.
= -.
.. .. d lim F(x) - F(O) eterminati a stun ea = 1.
6. Fie F,f:
10(x + I) + b pentru x > 0
1-{x}) admite primitive, unde {a} este
= [x] cos
primitiva a luij a)
a pentru x=O
I(x)=
parte fractionara a numarului real a.
c) Determinati a stiind ca functia Fare doua puncte de inflexiune.
S. Se considera functia I:JR~JR,
+ cos x pentru x < 0
Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat.
a) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare. b) Determinati a stun
functia
admite primitive.
injectiva dar nu este surjectiva.
primitiva a luij
D
meat
ca orice primitiva a functieij'este strict crescatoare.
d) Determinati punctele de inflexiune ale functiei F.
,I
astfel
{
c) Aratati ca orice primitiva a functiei
.
X
primitiva a
11. Determinati a,bEIR
functieij" b) Demonstrati
.
x-I
x->I
X •
strict crescatoare pe [1, +00) .
2/3
F: JR~ JR, F ( x)
2)
= x(a In2 x + b 10 x + c), f(x) = 102
(0, +00) ~ 1R, F(x)
pentru x
x2lnx+bx+c
=0
pentrux > 0
Determinati a, b, c E IR stiind ca functia F este primitiva unei functii
17. Fie a,b E JR si functia F: JR~ JR, F(x)
=
I :JR~
JR.
.. ax+b, xcl . Determinati numerele { 102 x+ 1, x ~ 1
a si
b pentru care functia F este primitiva unei functiij"
18. Fie a,b E JR si functia
axex -x x s0 I: JR~ JR, I(x) = { ' . Sa se determine xcosx+b, x> 0
numerele a si b stiind ca functiaj este primitiva pe JR a unei alte functii.
• 121
.
!to Determinati
.
a E JR.pentru care functia I: JR.~ JR., I(x) =
{
X
2012
pentru x < 0
c)
2-
admite primitive. ~. Se considera functia f: JR.~ JR.astfel inciit xf (x) a) Determinati b) Pentru f c) Pentru
f(O)
=
~ f'(x)
dx ;
e
e) ff"(X)f(x)-U,)2 f2(X)
arctg x, '\Ix E JR..
(x) dx
Variante bacalaureat 2009
,
stiind ca functiaj admite primitive.
(0) = 1, aratati
25. Se considera functiile
ca orice primitive F a luif este strict crescatoare.
I'im --, F(x) f ( 0 ) = 1, ca 1cu 1an. I"uruta x-++oo X
unde F este
0
primitiva a functieij
a) Calculati
a) f:R~R,
f(x)=
b) f:R~R,
f(X)={S~X,
{
. Inx+smx,
c) Determinati n, pentru care functia
x> 0
.
=
-c-. x +4
n EN.
f-t; ( x ) dx ~i fA ( x ) dx .
b) Aratati ca orice primitiva a functiei
x~O
X,
I, :JR~ JR, fn (x)
•
ca functiile urmatoare admit primitive.
1. Aratati
f rex)
xalnx + x pentru x » 0
h este J"
0
functie bijectiva.
admite primitive injective.
26. Pentru n E N' se considera functiile fn : (0, +00) ~ JR,fn (x) = xn In x . a) Demonstrati ca primitivele functiei
x:;tO
J;
sunt convexe pe intervalul [~, +00) .
1, x=O b)CaJculati
R ~ R, f(x)
elf: '/
= {xe. x, x
s0
Variante bacalaureat 2009 n
27. Se considera functiile
2. Aratati ca functiile urmatoare nu admit primitive. 2 ={ x ,
XE(1,+oo), n~2.
x> 0
smx,
a) f: R ~ R, f(x)
f f~(:)dx,
s0
X
x+3
a) Calculati
.
xlnr +I, x> 0 _{arctg3(X-2), b) f: JR ~ JR, f( x ) x -8
I, :(-3, +00) ~ JR,fn ( x) = _x_, n EN.
fJ; (x)dx
~i ff2 (x)dx.
b) Aratati ca orice primitiva a functiei
h este
crescatoare.
c) Determinati n, pentru care functia fn admite primitive descrescatoare
x:;t2
pe intervalul
(-3,0).
1, x=2
n
c) f:R~R,
f(x)
X
= {xe
28. Se considera functiile
+1, x~O sin x, x> 0
e a) Calculati
3. Fie f: R ~ (0, +00) a) fu(x)
rX
b)
+ cos x- f(x))dx;
X f(x)-e f'(x) f2(X)
n Jl
f(X))dx; x2 + 1 e) f(sinx, f'(x)
c) ff'(x)-
f(x)
"(x) + f'(x))eXdx;
J; (x))dx.
dx ;
eX -cosx·
f(x))dx
c) Aratati ca orice primitiva a functiei f2012 este concava pe intervalul
;
0
(--0
f: [a, b] ~ IR este integrabild pe intervalul
~i)(Xi -Xi-!)
lim :tf(
116~->0i~1
[a, b], daca limita
este finita. Aceasta se noteaza cu
r
b
cootinuape f(x)dx
n
diviziunea
echidistanta
j:
':>
!. Daca f: [a, b ] ~
j: j: ) == (j:':>P':>2' ... '':>n
j:
CU
IR este functie menotoua,
[ a, b ] ~ lR. este functie continua,
~.Daca f: [a, b]
~
f:
':>i
== - i
n
E
[i iJ . Jf ( -I n n
-,-
X)
o
[0,1] ~
lR,
,
1==-I ,n.
si sistemul
f este
atunci
Derivata
unei
integrale.
F(x) == ff(t)dt
f :[a,b] ~ IR este
t.
r
(J(x)
continua
f: [a, b] ~ IR
si F: [a, b] ~ IR ,
0
primitiva a functieij; adica F'(x) == f(x)
.
de speta I, atunci
!:t
f: [a, b] ~ IR continua ~i functia
u: I ~ [a, b],
(I
este un interval)
este
x
derivabila cu derivata derivabila si F'(x)
(~). n
continua,
atunci functia
F:[a,b]~JR,
[a, b]
.
F(x)== ff(t)dt
este
f(u(x))·u'(x).
Daca functia f: [a, b] ~ [0, +00) este integrabila, atunci
.
cu exceptia unui nuroar
[a, b] .
integrabila pe intervalul
==
10. Proprietati de monotonie si marginire.
[a, b]
integrabila pe intervalul
f este
'.1. Fie
r
Daca functiile
s
f(x)dx
r
g(x)dx
f,g:[a,b]~lR.
sunt integrabile
r
f(x)dx
si f(x)~g(x),
~
°. VXE[a,b],
atunci
. defmite. Fie f: [a, b ] ~ IR
0
functie continua.
importante Leibniz-Newton
r
Fie functia
. Atunci functia F este
Aplicatii ale integralei
uij, atunci
f(qJ(t))qJ'(t)dt.
a
dx == lim f n->+«> n i~1
[a, b]
de
Daca~ fun cpa .
atunci f este integrabila pe intervalul
lR. este functie continua pe intervalul
init de puncte de discontinuitate
[0,I],
a intervalului
IR este integrabila pe intervalul [0, I] ,atunci
Formula
f q>-'(a)
a
n
. di nmcte mterme lare
Proprietiti
functie bijectiva,
x
(0 < !< ~ < ...< !!.. == I) -
I. Daca f:
0
a
• De cele mai multe ori In exercitii intalnim urmatorul caz particular.
r :[0, I] ~
~ [ a, b]
q>-'(b)
ff(x)dx== a
,.
n
[a,b)'atunci
.
Observatie•
~ ==
Fie qJ: [c, d]
de variabila.
I
Functia
lim a(J,/j.,~)
de schimbare
tp, qJ-I derivabile, qJ continua ~i tp' (t) '* 0, Vt E [ c, d] . Daca functia f: [a, b ] ~ IR este
ntermediare ~. Definitie•
8. A doua formula
0
(formula
functie integrabila
f(x)dx
==
+ g(x)) dx
==
fundamentals
a calculului
care are primitive, si F este
0
integral).
Dacli
primitiva oarecare a
f(x)dx
+
x::::a si X == b este egala cu
r
r
If(x)
axa Ox si dreptele de ecuatii
I dx .
12. Volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul axei Ox este egal
F(b) - F(a).
r
11. Aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functieij,
r
~.Aditivitatea in raport cu un interval.
g(x)dx
r
.
f(x)dx
3. ==
r
r
r
f(x)dx,
f(x)dx,
Vc
J,.,f(x)dx == J,.,
f(x)dx+
r
CU VI ==
V J,., E
[a,b].
E
lR.
1[
f2(X)dx.
~---------------------------------------------------
• 125
Caleulati urmatoarele integrale (prima formula de sehimbare de variabila): .r; s: e,h I 2 II) Jxsinx dx; b) fx2eosx3dx; c) Vrdx; d) fx-/x2+1dx; o 0 I 0 e In2012 X K "/3 sindx g) . e) f-dx; j) feosx.sin(sinx)dx; ;r/61+eosx I x 0 , Calculati urmatoarele integra Ie (a doua formula de sehimbare de variabila): • dx II) + Idx ; b) eX + 1 .
Probleme propuse 1. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton). I
a) f(x2+1) o
2
dx;
f x-"x r)2
2(
dx;
c)
0
d) 2fx2 +x+l I
b)
dx;
e)
~
I
2r( X+.!..)2 dx;
"X
2fX2 + X + 1 dx ;
1
X
j) f_l_dx; 0 -/x+2
!~ x
1x-/ x
2. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).
~1)2
I
a) f(x-ex)dx;
d)
b) J~ex _ex
),(2'-Z-'jdr;
e)
I
dx;
1 a) f-2-dx; ox+l
1 5)dr; 12- '
J)
3
3
e) fx 2
-x+2
j)
dx;
2
b) Calculati
x -1
g)
If-3x
+
X
1 a) f~dx; o x +1
b)
If 0
1 ~dx; 4-x
.fj d)
fx I
+ x + 2 dx :
~
l-x2
x2 +1
3
d) f~dx·
2" rr:':: -1
dx ;
/4 --dx [KI6sin 2 x
j)
;
2
£"/4 --;dx 2
o I
d) fx{x}dx;
0
I
I
2·
d)
[
etgxdx; KI6
fxeosxdx; e1
e 2
j) fin xdx ;
I
g)
Jx
2
e
In xdx ;
h)
j In x dx ; 1£
= x-sinx.
f I (x ) dx .
x~_r
de grafieul functiei
J,
axa Ox ~i
.b I(t)dt
c) Calculati
Aratati
ca
lim
x2 I,F:JR~JR,J(x)=
F'(x) + 2/(x)
=
x 2 x+2x+2 4
1
~i F(x)=aretg-2- -. x+l
o.
I
b) Calculati
c) Calculati
fl(x)dx. o
n~_
lim fl (t ) dt . o
13. Se considera functia
I:
JR ~ JR, I
(x)
=
ex2 .
I
d) 1x2e-xdx;
J In2 dx . X
eX
Calculati
g : JR ~
e) flnxdx;
JR, g ( x ) = x3 I (x ) , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 . I
c) Aratati ea fl(x}:ix
e2
i)
f
xf (x) dx . o b) Determinati aria suprafetei plane delimitate de grafieul functiei
Il)
-I
c) 1xexdx;
x
n
x
7. Calculati urmatoarele integrale (formula de integrare prin parti): a) fxsinxdx;b)
sr F() X = --eosx .
I.
b) Determinati aria suprafetei plane determinate dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1l .
Il)
j) f\x-aretgx\dx.
-I
2
f I (t ) dt .
2
e) f\x-sinx\dx;
-I
Calculati
/4
c) fx[x]dx;
0
x
K
12.Seeonsiderafunetiile
1:
b) f\x2-1\dx;
a) f\x-l\dx;
lim n-H VnEN,
1
In'
b) Sa se calculeze
dx, Vn EN'.
o
I
0)
LI' In = f( 2X_X2)"
0) Calculati fX2011·/(x)dx. o
X
1
c) Calculati
lim (
n
n..•-scc 2n2 +2'n+12
• Se considera functia
I:
+
+ ...+
n
n2 +2.2n+22
[0,1] ~ JR,J
(x)
=
-.ft -
x2
n
2n2 +2.n2 +n2
).
b) Calculati
lim fxn. n ..• -scc o x
•
e) Arati ca lim X •••
I
f
xf (x) dx . o b) Determinati volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul lui Ox.
0) Calculati
I (x "fix .
-seo
fl(t)dt
E
JR.
1
x
34. Se considera functia f: [0,2] ~ JR,
I (x)
={
pentru x
x + e'
E [0,1]
pentru
x
E (1, 2]
• 131
a) Aratati ~Afunctiaj este inte~abiIA, dar nu admite primitive. b) Determinati ana suprafetei plane determinate de graficul functiei dreptele de ecuatii x = 0 si x = 2 .
f, axa Ox ~i
40. Fie sirul (In
)n~I' In
n+12x-1 =
2
lim
-'.1 __
35. Se considera
0
b) Aratati ca sirul
-
n
n-•.•.eec
functie continua
~i strict crescatoare
f :[0,2012] ~ JR.
Aratap ca
c) Calculati
(In)
g(x)=
ff(t)dt-rf(IOO6)
nuesteinjectiva.
lim n(2 -
41. Se considera sirul (In
o ~I '
In
=
n
f--dx. I x" +1
c) Sa se calculeze
t~1este descrescator, Aratali ca sirul (In t~1este convergent.
b) Aratap ca sirul (In
d) Calculati
lim
fx I
~
~ Q
n~1
a)
0
2
b) Aratati ca sirul (In
~ ~
c) Calculati
lim
n
x
.
+x+1
Bacalaureat 2010
43. Se considera sirul (In
(I n )n~'
.
a) Determinati
a) Calculati 13, 1
2 n=s»
2n-1
'Ix
N,- n> 2 .
\fnE
(I-.!+.!-.!+
3 5 7
n---Hoo
-Ir---
...+(
c
o
f (X2 +x+I)n I
39. Fie sirul (I )
n n~O'
E
e
I-)
I-
• iJ
I = n
2
0
..•
a) Calculati 10,
I:
b) Verificati daca 12 - 10 E Q
-x
. numerele
I
I =
1.
n
2n -I
E
n
0
reale a.b si c 'fstiind ca 'f
I
x3 +X2 +x +I
a bx+c x +I + -2 x -+1
= --
[0,1].
44. Se considers sirul
(In )n~O'
+ II + 10 este rational, pentru orice
- I4n+1
0
I = n
=I .
n
f x3 +X2x +x+I
0
Calculati II + 13 . b) Calculati lim In . a)
•
I d) Aratati ca lim nI n = - . n--++«> 4
. EN.
Q.
f x3 +X2x +x+I dx, 'rIn EN.
Bacalaureat 2011, model subiect
e) Aratati
ca 12n+3+ 12n+1 E JR\Q.
45. Se considera functia g: JR~ JR, g (x) 2
x +x+
n--++«>
dx
x +1
c) Aratati ca 14n+1 E Q oricare ar fi n
E
t~o'
I
Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat
~
I 2
f (x) dx= 0 .
c) Aratati di numarul I4n+2
ca sirul (In t~o este convergent.
e) Sa se arate ca lim
=
b) Calculati 10,
c) Aratap ca numarul 10 +12 +...+12012.este irational. d) Aratari
(x)
c) Aratati ca Rx( x2 + I)6n+1 + X3n+2 o
In •
n
Variante bacalaureat 2009
Jf( x)dx
t~1este descrescator,
b) Sa se arate ca 12 =---12
.
lim In' n--++«>
b) Aratati ca lim fxn n--++«> o
n---H3.
.
IU
~ :E
5...: Testul4
Examen Bacalaureat, august 2012
.
Subiedull
f
1. Aratati ca log2(Ji
~
Testul5 Subledull
+ FJ) + log2(Ji + FJ) = 2.
~ 2. Calculati distanta dintre punctele j f: JR ~ JR, f(x) = x2 +5x+4 cu axa Ox.
de
intersectie
a
graficului
functiei
•
~
e
1. Determinati numarul elementelor multimii A = {x
E
Z Ilx + 11~ 24} .
2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a dreptei
y = 2x -1 cu parabola y = 2x
2
- 3x+1.
3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 3x + 3X+' = 4 .
~ 4. Deterrninati rangul terrnenului care contine
Bacalaureat 2012, Model MECTS (www.edu.ro)
Xl4
in dezvoltarea binomului
(x + l yo , x > 0 .
) S. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctual A(3, 3) si este paralela cu dreapta d ~ deecuape 3x+2y-I=O.
~
~ 6. Determinati masura unghiului C al triunghiului ABC. Stiind ca BC e~ masura unghiului BAC este egala cu 45°.
=
2, AB
=
Ji ~i
,.
. . 3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia ~l + 7x = I+ x . 4. Se considera multimea zt = {I,2,... ,10} . Determinati numarul d~ submultimi cu 3 elemente ale multimii A, submultimi care contin exact 2 numere ~pare. S. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB], unde A(I, -2) ~l B(3, 4). 6. Stiind ca x
E
(0, ;)
si cos 2x = ~ calculati sin x.
Subiedul alII-lea
~
X
Subiectul alII-lea =1
1. Se considera sistemul de ecuatii (a + 2)x + ay + (a + l)z = 1 , unde a { (a+ I)x+(2a-I)y+3z =2
mx + m y + Z = 0, unde m {
E
lR .
a) Aratati cli determinantul matricei sistemuluieste egal cu 3a2 + 9a2 - 3a - 9 b) Determinap valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. e) Pentru a = -2, rezolvati sistemul.
=0
2
1. Se considers sistemul de ecuatii -x+ay+(2a+4)Z
+ my + m' z 2
m x+ y+mz = 0
E
JR .
~
'5
a) Determinati valorile lui m pentru care determinantul matricei si~temului este nul. ~ b) Aratali ca, pentru nicio valoare a lui m, sistemul nu are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu Xo , Yo, Zo numere reale strict pozitive. ~ e) Aratati cli rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m E lR . ~
!
• 147
are doua radacini distincte, complex conjugate, 2. Pe multimea IRse defineste Jegea de compozilie x. y
=~
(x + y + xy + 1) .
e) Determinati
b) Aratati ca legea de compozitie ,,*" admite element neutru. e) Rezolvati ecuatia x * x * x = 3 .
conjugate.
a) Calculati
lim f(x)
-
3x + 2 .
.
t", ' In = £ (1-
a) Calculati /z. b) Demonstrati ca sirul (In
2
x
)
Testul6
t, este convergent.
i
Subiedull
~
1. Aratati ca
~
2. Dete~ati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x parabolei Y = x2 + mx + 4 .
c(
a. :::) U U
•
a) Calculati
-
3x + 2.
f f( -Fx)dx .
b) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei g: [1,2] ~ lR,g(x) = f(x) x de axa Ox. e) Aratati ca (4n+2)
Examen Bacalaureat, iunie 2011
(v'2, .J5)nz
2
2. Se considera functia f: [1,2] ~ 1R,f(x) = x
ndx .
e) Demonstrati ca (2n + 1) In = 2nIn-I, pentru orice n ~ 2.
a:
f are doua radacini distincte, complex
C pentru care polinomul
E
a) Aratati ca functiaj'este strict descrescatoare pe (1,+00). b) Determinati asimptotele graficului functieij" e) Calculati xlim . ...•_ xf(x)
b) Demon~tra? ca functiaj'este descrescatoare pe intervalul [-1,1]. e) Determinati mE IR pentru care ecuatiaj'( x) = mare trei solutii t t' reale disti mete. 2. Se considera sirul (In
a
subiedul allll-lea 1. Se considera functia f: (1,00) ~ 1R,f(x) = In(x+I)-ln(x-1).
H_ fe-x)
iil
p2 0 , stiind ca loga x = 2loga 3- 3loga 2 , unde a > 0, a;t 1. 5. Scrieti ecuatia dreptei care contine punctul A (3,2) si este perpendiculara pe dreapta
i:i2 6 ~ .. d ~ • ."tun ca x
b) Verificati daca
E
R .
se defineste legea de compozitie asociativa x * y
{
.
-65
[1 -2 ,unde x,y,zER
si A=
x+ y+z = 28
3
1
1
1
~3 -8J
sistemului.
=
xy 2xy-x-
y+1
a) Aratati ca rangul matricei A este egal cu 2. b) Rezolvati sistemul in lR.x R x R . c) Determinati numarul solutiilor sistemului din multimea
NxNxN .
matricea asocia4
2.Fie multimea de matrice A
!)I
a,b
= {(:
c) Determinap
z,}.
E
Aratati ca exista
matrice nenula MEA
0
t'
astfel incat [
i)
3.
-1 3'
M
=
[66 06] .
(X _1)2
polinomul XI' X ' X3
2
Subiectul allll-lea
t :JR \{-l}
-+ JR,
/(x)
fn 2~.
C.
reale si m > 0, n > 0, atunci
=
f :JR -+ JR, /(x)
3
= {lx -3x+
2 .
a) Arata!i ca dreapta de ecuatie y = x este asimptota oblica pentru graficul functieij" spre +00. b) Studiap derivabilitatea functieij" in punctul x = -2.
-1
n+1
b) Aratati ca sirul
E
sunt strict pozitive.
1.Fie functia
= arctg~.
x+l a) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij" b) Studiati monotonia functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale functieij"
a) Aratati ca sirul
X3
subiectul allll-lea
functia
2.Fie sirul (InLI,In
x2'
este egal cu O.
c) Aratap ca, daca toate radacinile polinomuluifsunt c) Rezolvati in multimea A ecuatia X2 = 12 .
1.Se considers
XI'
a) Determinati valorile reale m si n pentru care XI = 2 + i . b) Dete.pninati valorile reale m si n pentru care restul impartirii polinomuluifla
a) Determinati numarul elementelor multimi] A. bl '/
a E R pentru care sistemul are solutie unica, 3 2 = X - 3X + mX - n care are radacinile
2.Fie m, n E R si polinomul f
. I' ln j'(x) c) Calcu Iati 1m --. x->+«> Inx
X
LI este strict crescator. (In LI este marginit, (In
2. Se considera functia a) Calculati
c) Calculati n-++oo !im n (2 - In )
f
i :JR -+ JR, / ( x ) =
cos x 2-cos 2 x
•
/(x)dx.
b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este strict crescatoare pe intervalul [ 0, ~ ] .
Testu 110
c) Calculati 1r x/(x)dx.
Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva
2K
Subiectull 1. Aratati ca numarul
i.J2 -1
2.Fie functiile /: JR -+ JR,f(x) pentru care
+ 2z + 3 = 0 . = 2x+ a si g: JR -+ JR,g( x) = x2 -a . Determinati a
este solutie a ecuatiei
Z2
(J g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR.
.Jx
4. ~eterminati numarul elementelor multimii A =
{I, 3
2
3
,
36,39,
•.• ,
320IO}
Examen Bacalaureat, august 2010
2. Determinati multimea valorilor functiei
•
si C ( 6, -3) .
Scrieti ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] , in triunghiul ABC.
3. Determinati m 4.Determinati
E
i .JR -+ JR, / (x)
JR pentru care ecuatia x
2
-
=
Ixl·
2
x + m = 0 are doua solutii reale egale.
numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + \i2t
5.In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2,1),
6. Calculati sin!!.... 12
.
B( -2,3),
C(I,-3)
si
D ( 4, a) , unde a E JR . Determinati a E JR astfel incat dreptele AB ~i CD sa fie paralele.
Subiectul alII-lea
{
Testu 111
1.Care dintre numerele 2if6 si 3ifj este mai mare?
2x + 1 = x + 1 .
-
5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (3,5), B (-2,5)
x+ y+az
JR
Subiectull
0
3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia
1.Fie sistemul
E
i
6. Fie multimea A = { 0; ~ ; ~ ;n; 3; } . Care este probabilitatea ca, alegand un element din ~ =1
x + 2ay + z = -1
, unde x, y,
Z E
JR si a este parametru real.
2ax + y + ( a + 1)z = 0
a) Rezolvati sistemul pentru a = O. b) Verificati daca pentru a = -1 sistemul este compatibil.
multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin" x + cos'
X
= 1?
~
~ w
~ ~
• 153
Subiectul
alII-lea
5. Calculati distanta dintre dreptele paralele de ecuatii x + 2y
1. Fie matricea A =
°° ° °I) .
0 [
1 OJ 1
a 670 a) Aratap ca A20lO = a
n
)(IR) . Pentru n E N*, notam B; = An + A
EO
E
+ An+2
--
subiectul
•
°.
JR pentru care toate matricele B n' n E rf sunt inversabile.
al II-lea
1. Pentru a, b, e E JR' , se considera sistemul
ax+bY+ez
=b
ex + ay + bz
= a , x, Y, z
bx+cy+az
=c
{
a) Aratati ca determinantul sistemului este !!. = ( a
M=lR\{%}. E
*)
(M, *)
(x,
este grup.
= 6, demonstrati ca functia
intre grupurile
c) ~tiind ca a2
lR astfel incat x * Y EM, pentru orice x, Y EM.
b) Pentru m = 6 aratati ca (M,
I: M ~ lR*,f(x)
= 2x-3
este un izomorfism
+ b2 + e2
y, z), astfel indit
2
x
-
ab - ae - be =
+l
i
S u.: •
~
allll-lea
2. Se considera multimea G = {( ~ :) a.b;c
b) Dati un exemplu de matrice A
a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punetul de abscisa x = 0, situat pe graficul functieij" b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functieij'spre +I' -
In
"dx J--::-x_1. x +x+ I
=
0
2
b) Calculati
LI este descrescator.
2. Pentru orice
0
~i det A2 = 0
G.
E
G eu proprietatea
ca
det A
nx
E
:t;
.
G.
~ JR,I(x)
2
1'( x),x
E
n E If
=
x
JR\ {-I} .
Ieste
(-00, -I) . In : JR~ JR,In (x) = Isin nxl si numerele
concava pe intervalul
se considers functiile
In=t!.(x)dx. 1r
Bacalaureat 2010, Model MECTS (www.edu.ro)
X
a) Calculati
r
12( X ) dx .
b) Aratati ca In ~ In 2 .
Subiectull 1. Determinati partea reala a numarului complex
(Jj + i)
c) Aratat! ca In ~3..(_I_+_I_+ 1> n + 1 n + 2
6 •
...+_1). 2n
i I
U
2.Seconsiderafunctia
f:(O,OO)~lR,f(x)=~
.Calculati
(Jof)(SI2).
~
3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia cos 2x + sin x =
~
4. Se considera multimea M = {0,1,2,3,4,S}.
S4
infmitate de solutii
lim In .
u VI w
~ Testul12
I :JR\ {-I}
c) Demonstrati ca functia
~
•
0
+ X + 1. x+I a) Determinati ecuatia asimptotei spre + 0.
x+l c) Calculati
lim x f(x)
.
x ...• '"
165
Testull1
estul12
Subiectull 1. Fie Z E C cu [z] = Iz - 11· Calculap partea reala a lui z. 2. in ~ctiile f, g : R ~ R, .f{x) = x2 -:- 2x :+-.3~i g(x) = -~ + 4x + a, a E R. Detenninati valonle reale ale IUl a pentru care imaginile celor doua functii au exact un element in comun. 2x 3. Rezolvati ecuatia 23x + 1 = 3 , X E IR . 4. Cate submultimi ordonate cu 3 elemente, ale multimii {1, 2, 3, 4, 5}, contin elementul I? S. Fie punctele A(-I, 3) si B(O, 4). Determinati coordonatele simetricului lui B fata de A. . 6. In triunghiul ABC, punctul D E (BC) este piciorul bisectoarei din A a triunghiului si RI R2 sunt razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ACD. Aratati ca dac~ RI =R2, atunciAB =AC.
S&lbledull 1. ~tal1 . f'
Calculati rangul matricei A2 - h.
a)
~
b) Determinati numerele reale a si b astfel incat A2 = aA c) Determinati inversa matricei A. 2. Pe multi mea G = (I,ao
= J12 + an
' n ~ 1.
e-eeo
2. Consideramj": a) Calculati
0
a) Calculati 1/ . b) Aratati ea In+1 ~ In, orieare ar fi n ~ 1. c) Demonstrati ea lim Z, = 0 .
an+1
a) Aratati ea sirul (an)n~1 este crescator. b) Aratati ea sirul (an)n~1 este marginit superior de 4. c) Demonstrati ea lim an = 4 .
1
2. Pentru fieeare numar natural nenul n definim In
= 1 si
b) Calculati
x
JR~ JR ,j{x)
1 1
eX f(x)dx
= x . e-
.
.
f(x) dx .
c) Demonstrati ea lim x->o
r
f(t)dt 2
X
1 =- .
2
z CC :E
•
•
176
17'1
Testul23
restul24
Subiectull
1. Calculati (1 + ifi )(1- ifi + if4) . 2. Fie functia f: JR ~ JR, f(x) = 2+3x. Caleulatij{-10) .~
3. Rezo I vati
1!l)
ill ~
8..-+1
h
ecuapa
=
41
-x
5&lblectull
+ j{-9) +...+ j{9) + j{1O).
1. Calculati partea ~intreaga a numaru lui Ul
2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ea abseisa varfului parabolei f: JR ~ JR ,j{x).= ~ + mx +~1 este ~gala eu 2. 3. Rezolvati ecuatia smx = -1 ill multimea numerelor reale.
.
4. Rezolvati in multimea [0, 21t) ecuatia sinx = ~ . 5. Aratati ca veetorii VI = 7 + 8 J si v2 = 47 - 7 J au module egale. 6. Calculati perimetrul triunghiului ABC stiind caA = 120°, AB = 3 ~iAC
4. Determinati termenul din rnijloe al dezvoltarii (1 + ifif = 7.
~2
E
JR eu sina
u:: I-
c) Aratati ea (A
a:
i
5u:
·
2. Polinomulf
+ BY
=.x - X-I
[0
Z
-e ii: 1&.1
~ ~
• :J
+ en, orieare ar fi n
E
b) Calculati
E
N·.
qX] are radacinile eomplexe
X" X2, X3'
x; + x~+ xi . + X2)
= -2.
1. Consideram functiaj": (-1,
(0) ~ JR ,f{x) = r! - 1 -In(x a) Calculati derivata functieij" b) Aratati ea functiaj''este convexa. c) Demonstrati eaj{x) ~ 0, orieare ar fi x E (-1, (0).
2. Consideram functiaj": (0, (0) ~ JR, f(x)
~
·
a) Calculati
+ 1).
U
Z
o z -e
~
1] 1
[1
°
0]
° °.
si 13 =
1
001
a) Determinati rangul matrieei A2. b) Aratati ca inversa matrieei h - A este h + A + A2. c) Calculati inversa matrieei 13 + A. 2. Pentru fiecare numar natural nenul n consideram polinomul f" = a) Determinati radacinile eomplexe ale polinomuluij]. b) Aflati catul impartirii polinomului S la polinomulji. c) Demonstrati eafi dividef" daca si numai daca 3 nu divide n.
r +X' + 1
a) Aratati ea a ••, - a • 2
2
E
C [x].
~.!., orieare 2
ar fi n ~ 1.
2
2
.!..
c) Demonstrati ea lim a. = 00 •
x
.-+00
ff(x)
2. Fie functiaj": JR ~
dx .
,
b) Calculati
JR, f(x)
= _1_2
l+x a) Scrieti 0 primitiva a functieij"
.n
::t:
~
tg a.
2
1&.1
-e
= _1__
x+I
1&.1
""ci
°°
v2 = 27 - 3J .
b) Aratati ea a • ~ 1+ ~ , orieare ar fi n ~ 1.
1&.1
:i
1
~i
Subiectullll ., 1 1 1 1. Consideram sirul a = 1+ - + - + ...+ - , n ~ 1. • 2 3 n
Subiectullll
U
'"
=
Calculati
.
2
000
a) Aflati restul impartirii luifla polinomul Y - 1. c) Aratati eaj{xi
:J
= An
= 0,6.
sublectulll
1. Fie matrieele A a) Aratati ea rangA + rangB = 3. b) Rezolvati in JR ecuatia det(A + xB) = 0.
v, - v2 , unde v, = 7 - J
5. Caleulati lungimea veetorului 6. Fie a
Subiectulll
1. Consideram matricele A = [ :2
J21_ 2 .
f, f(x
2
)
dx .
c) Determinati valorile lui a E (1, (0) pentru care
b) Calculati
f" f(x) dx
Jt/a
= -1.
c) Calculati
1 1
xf(x) 3
x f'(x)
dx . dx .
.
i I
< U ~
:::E
1&.1
~
:::E
•
•
178
17!i
Testul25
Testul26
Subiectull 1. Aratati ca 100'g7 EN.
subiectull
1. Determinati Z E C stiind ca 2. Aratati ca dreapta de ecuatie
2. Determinati punctul de maxim al functieij": lR~ lR,j(x) = _x2 + 2x + 1. 3. Aratati ca functiaj": lR~ lR,j{x) = x3 + 1 este injectiva. 4. Cate diagonale are un poligon convex cu 10 laturi? S. Calculati distanta de la punctul A(l, I) la dreapta determinata de punctele B(2 3)
C(-1,5). 6. Calculati
' raza cercului circumscris unui triunghi ABC cu AB
Subiectulll
I.Considernmmatricele
....I W a: I~
o ~ ....I
..:(
~
::::>
A=[~
=5
si m(
u VI w
~
Subiectullll
1. Consideram functia J: (0, 0, oricare ar fi x E lR .
Calcu1ati modulul numarului complex z == -3 +4i. ~ Aflati punctele de intersectie ale graficului functiei f: IR ~
3. Rezolvati in IR ecuatia arctg(x + 1) ==
Ox•• Rezolvati ecuatia logec == log252x.
tr .
4
.,.
4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ca n + 135 == C; . 5. Aratati ca unghiul vectorilor ii == 7 -
6.ln triunghiul ABC avem AB
==
5, BC
3]
3
2
•• Calculap C7 - ~ • 5. Aflati a E lR stiind ca dreptele d, : x - 2y == si d2 : ax + y + 5 == 6. Fie x E R astfel tncat sinx + cosx == 1. Calculati sin2x.
°
si V == 27 +] este obtuz.
== 6, CA ==
•
7. Calculati lungimea medianei din A.
COSX
1. Pentru fiecare numar real x consideram matricea A( x) == Si~x
-sinx co; x
OJ ~.
I. Consid,- matrice
A
= [ ~l
a) Calculati detA(x), x
E
lR .
b) Aratati ca A(x) . A(y) == A(x + y), oricare ar fi x, y
E
lR.
t-
~
c) Determinati inversa matricei
Q
u.: ~
f
2. Consideram Xl. X2, X3 E
A(
tr ).
4
ecuatia cu coeficienti reali 2x3 + x2
a) Rezolvati ecuatia pentru m == 0. b) Calculati
'}
c) Determinati m
2 Xl
+
x; + xi . E
IR stiind ca X'X2 == 1.
a: 1&1
I:L.
CII
ffi
x a) Aratati ca functia este strict monotona. b) Determinati asimptotele graficului functieij" c) Calculan ~~(f(I)+ f(2) + ...+ f(n». 2. Fie functiaj": (0, oo] ~ lR ,j{x) == lox.
~
"'"
a) Calculati
o
b) Calculati
1&1
~
o a: Q
Z
13x + m == 0, avand radacinile
. I
I
r
f(x)
1-+0 1>0
r' f(x)
l
dx == -1.
X2, X3,X4·
1
f(x)==
{InX, x-I
x#1
.
I ,x==1 a) Aratati ca functia
f este
b) Calculati lim f(x) - f(l) x-e l x-I c) Aratati caf'(x)
continua in punctul x == 1. .
::; 0, oricare ar fi x > O.
2. Fie M multimea functiilor continuef:
dx .
rex (f(x) + ru» dx .
c) Aratati ca lim
I
== In 1 + x .
~ ;; ~ ~
1
a) Calculati detA. b) Determinati valorile lui a E Z pentru care rangA == 2. c) Calculati £' pentru a == O. 2. Consideram polinomulj'e A" + X-X + l e C [X] cu radacinile complexe r., a) Calculati restul impartirii lui f la polinomul g == X2.
. f 1. F ie :(O,cx:l)~lR,
Subiectullll 1. Consideram functiaj": (0, co) ~ R, f(x)
M3(Z).
Subiectullll
~ ~
sunt paralele.
b) Calculati -+-+-+-. XI x2 X3 x4 c) Aratati ca polinomulfnu are nicio radacina reala.
C.
5
-
2 OlE aJ 3
[
i
°
subiedulll
Subiectulll
~
IR, j{x) == ~ - 3x + 2 cu axa
[0, 1] ~ lR cu
If
(x) dx == ~ .
a) Aratati ca functia g : [0, 1] ~ R, g(x) == x apartine multimii M
b) Functia h : [0, 1] ~ lR , hex) == x2 + X + a apartine lui M Determinati a E lR . c) Demonstrati ca pentru orice functie f E M exista c E [0, 1] astfel incatj{c) = c.
-e
~
•
•
184
185
Testul31
1estul32
Subiectull 5&lbledull
1. Fie a = ~1024 , b = if4 si c =.J4 . Verificati daca ab = c4• 2. Determinati imaginea functieij": [1, 2] ~ IR ,j{x) = 2x + 1.
.12 1.CalculaP modulul numarului comp ex z = l+i .
2)X (5)X+1 = 0 . ( 5" -"2
3. Rezolvati in IR ecuatia
4. Determinati numarul elementelor unei multimi M stiind ca Mare 32 de submultimi cu un numar impar de elemente.
J3 .
s. Fie ABC un triunghi echilateral de latura Calculati lungimea vectorului 6. Aratati ca sinx . sin(x + n) ~ 0, oricare ar fi x E IR .
1. Fie matricea A
= [~ o1
OJ 1 .
o ....• III
i::l Q
~
a) Calculati
1. Fie matricea A = (~
A3 .
b) Determinati rangul matricei A . AI, unde AI este transpusa matricei A.
exista nicio matrice B E M3( C) cu Jil = A. 2. Consideram polinomulJ= (Xo _2)10 -X -2 E C[X]. c) Demonstrati ca nu
c) Demonstrati ca polinomul g = XO
Subiedullll
ii2
1. Fie functiaj": IR ~ JR ,j{x) = x . e-x. a) Calculati limJ(x).
.
~
a~
Z ~
-
c) Demonstrati cap)(x)
= (-Ircx
2. Pentru fiecare numar n EN'
b) Aratati
Q
Z
c
:E
b) Aratati ca A2 - 12A + 36 e) Determinati matricele
daca
X,Y E JR}.
.
h = O2.
B E M2
(JR) cu proprietatea cii
= {cosq1r+
x, Y EM,
~)i
B2
+B =
A .
I q E Q}.
isinq1r
atunci xy EM.
-n) . e-X, oricare ar fi n EN'
notam 1n =
este morfism de grupuri.
1. Consideram sirul (xn)n~1 definit prin ~ = ~ si xn+1= x; - 8xn + 20, n ~ 1.
r'~
~i x E JR.
a) Aratati ca xn ~ 4 , oricare ar fi n ~ 1.
b) Aratati di xn+1- xn ~ 0 , oricare ar fi n ~ 1. dx .
k2x+3
C
s
1) ~i
Subiedullll
b) Aratati ca J(x) ~..!.., oricare ar fi x E JR. e
a) Calculati 12•
z
si multimea M= {( ~
a) Aratati caAX =XA, oricare ar fi X EM
a) Aratati ca
X->CC
2. Fie polinomul P = X4 +3X3
I aE(-I,OO)}.
c) Aratati ca functia j": (0, (0) ~
l l'
b) Aratati caAC = CB. c) Demonstrati ca B" = C-' . An . C , oricare ar fi n E N* .
5
2. Fie M={(I+2a
1)
a) Calculati C-' .
i
~
(01
dx
f"/2
1
a) Calculati
1 --
b) Calculati
!
paralela cu
fW
dx .
= .JI- x2 .
~
x .JI- x2 dx.
c) Calculati aria subgraficului functieij.
.
18
estul36
Testul35 Subiectull
°
1. Consideram progresia aritmetica an = 1 + 7n n> 1 Calculati . '1 t' suma pnnu or 1 terme . 2 Aratati fi ' - . • atap ca gra Ice1e functiilor I: lR. -+ JR ,j(x) = x2 si g : lR. -+ lR. g(x) = _ 2 Ill. au puncte comune. ' 2x + 4x -7 nu
3. Rezolvati in lR ecuatia cos ( x - ; ) = cos ( 2x + 4. Determinati n
2
N stiind ca n
E
5. _Fie 0 punctul
de intersectie
,
d2. '2x-y-l-0
1 Calculati determinantul
b) Determin at,ti m
E
l!l>' ~
para 1e 1ogramului
ABCD.
Calcu1atl' t
t'l
=
c) Rezolvati sistemu1
o
2
-1
-1 .
-3
m
-1
=
2x - y - z = {
~
-
~I'd' 3. -
3X + my - 1 = 0, cu m
-3x+my-z
M={[a+b..fi
°
°
d .:.
is
~ o
!i
=
°
b a-b..fi
1
a,bEQj.
1. Pentru fiecare a
E
(0,00) \ {I} consideram functia
a) Calculati 1:(0).
L,
a) Calculati
C
b) Aratati CaJlt+l s In> 'in~ 1. c) Demonstrati ca sirul (In)n~1 este convergent.
• 190
3
I = X3
-
6X2 + 3X + m
E
qX] , avand
la : IR -+ JR, !, (x) =. aX -
Aratati ca functia
I este
strict crescatoare.
b) Demonstrati ca exista c
x-I
radacinile
XI. X2, X3 E
Calculati ~X2 + X2X3 + X3~ . b) Determinati m E C stiind ca radacinile polinomului sunt In progresie aritmetica. c) Determinati m E C stiind ca ffidacinile polinomului sunt in progresie geometries.
II)
II)
a'
>1 ,n_.
~}
1. Consideram functia I: (0,00) -+ JR, I(x) = x+lnx.
b) Dete~nat~ va1o~le 1ui a pentru care graficu1 functiei are asimptota la +00 c) Determinati va1on1e 1ui a stiind ca!a(x) ~ 0, oricare ar fi x E IR . . 2 . Fie I = rsinn~dx n 2
1. Considemm matricea A ~ ( ~
Subiedullll
Subiedullll
z
:E
ABC avem AB ==2, A(: ==3 si A = 120°. Calculati raza cercului circumscris
2. Consideram polinomul
stiind ca drepte1 e d I. d2, d3 nu sunt concurente.
b) Aratati caXY EM, oricare ar fiX, Y EM c) Demonstrati M formeaza ine1 cu adunarea ~i inmultirea matrice1or.
i
•• in triunghiu1
Calcu1ati A . b) Determinati inversa matricei A5. c) Rezolvati ecuatia X2 = A in multimea M2(JR) .
y
~
z
IR .
°
a) Aratati ca X + Y E M, oricare ar fi X, Y EM
;;
cto = C; + C~ .
50 Determinati distanta dintre dreptele paralele d-: y = x si d2: y = x + 1.
II)
ffi v ~
E
1 -2
stun d ca drepte1e d., d2, d3 sunt concurente. x+ y-2z
2.Fiemu1timea
A
triunghiului.
.
u:
~
cu prima bisectoare a sistemu1ui de coordonatexOy.
subiectulll
1.Sedaudrepteledl:x+y-2=0
;
I
N n divide 12}. Determinati
nUIllarul elementelor multimii A-B.
•• Determinati va1ori1e lui n pentru care
al diagona1elor
E
J. Determinati coordonate1e punctului situat la intersectia graficu1ui functiei I :R -+ R , •
Subiedulll
. 'S f
multimile A = {l, 2, 3, 4, 5, 6} si B = {n
ti 32x+1 9x 36 J. Rezo1vap ill ~l!l> ecuapa + = .
OA+OB+OC+OD. 6. Calculati raza cercului inscris in triunghiu1 ABC in care AB ~ AC = 4 si BC = 6.
a)
,.
I(x) ==1x-21-4,
c;.
4n =
-
f) .
Sllbiedull consideram
1), astfel incatj(c) = 0.
+ ...+ I(n)
.IC 1 1 . li 1(1)+/(2) a cu atl im
CJ
E (~,
n
n-+CXl
2
•
2. Consideram functiaj": (0,00) -+ lR, I(x) = a) Calculati b) Calculati
r r
I(x)dx 2
xl(x )dx
c) Calculati 1im x-+oo
. .
rx l(t) dt . 1
; . x(x +1)
C.
Testul37
restul38
Subiectull
blectull
1 J3. 1. F·ie Z=-+-IEC.
2
Aratati ca Z2 +Zatape(l
2
1ll>
Ell'!..
2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ell x + X + m ~ 0 , oricare ar fi x
.
5. Simetrieul punetului A(1, 2) fata de B(4, a) este C(b, 4). Calculati a + b. E
IR eu tg x = ~.
E
JR.
2
~etul
V(-1, l) este varful paraboiei y = x + ax + b. Calculati 2a + b. 1 . . 12r Rezoivap ecuatia g =. Determinati numarul functiilor s~et monotone I: {I, 2, 3, 4} ~ {1, 2, 3, 4: 5}: I)reptele d, : y = x, d2 : y = 2x + 1 ~I d3 : x + ay + 1 = 0 sunt eoneurente. Determinati a. S. Fie ABC un triunghi in care A = 30°, B = 75° si AB = 4. Calculati raza eereului 6. eireumseris triunghiului.
2.
!:
I(x) = l+x4 este surjectiva,
4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1 + J3)'00
6. Fie x
Calculati tg (x + ; ) .
subiectulll Subiectul "
1. Consideram matrieele A =
1. Fie A matrieea patratica de ordin 3 eu toate elementele egale eu 1. a) Calculati det(A - 313)' b) Aflati n E N stiind ea det(An + 13) = 82. •...• c) Determinati inversa matrieei 13 + A. 1&1
~ i
:I
~ mu Ipmea . 2. C onsiid eram G=
{(a -5b- 4b
Q
.
u:
a) Verificati daca matrieea ( 0
5b a + 4b
JIa
2
1 b) Dernonstrati ea B" = ( 0
}
+9b2 = 1 a b e JR ' , .
apartine lui G.
1.Considerlimfunetia/:JR~
~
a) Aratati ea functia
a ~ ~
ffi
a) Calculati b) Caleulati
r
c) Caleulati
!~
o ~
< ~
• 92
£ I(x)
dx .
I(lnx) dx. x n2 fl/(x) dx .
:) verifica XA = BX
2n) • 1 ' orieare ar fi n EN.
E
qX],
avand radacinile complexe x, X2, X3· g = 2X -1.
b) Calculati (1 - x,)(1 - X2)(1- X3)' . 1 1 1 c) Calculati -+ -+ -. , I-Xl l-x2 I-Xl Subiectullll 1.Consideram
functia I: JR~ JR, I(x) = x+sinx.
a) Aratati ea functia
I este
b) Aratati ea functiaj'este
1 x2 +3x+2
2.Fie/:[0,oo)~JR,/(x)=
1&1
~
I este
strict crescatoare. b) Aratati ca (r + 1)f"(x)j{x) = f'(x), orieare ar fi x E JR. c) Determinati asimptota grafieului funetiei/eatre +00.
II).
~
JR, l(x)=x+.Jx2+1.
~).
a) Determinati catul si restul impartirii luij" la polinomul
:I ~ Subiectul III
~
~i B = (~
c) Calculati A' 00. 2.Fie polinomul 1= 2Xl -3X2 -X +5
5 b) Aratati ea daca X, Y E G, atunei XY E G. c) Demonstrati ea G formeaza grup in raport eu inmultirea matrieelor.
~
(~1~)
a) Aratati ea matrieea X = (~
~J
-1 -
.,
si B au fieeare eate 7 ~le~ente, tar rnultimea A v B are lO elemente.
1. D terrninati numarul eiementelor multimii An B. 2
3. Aratati ea functia I: JR~[I,oo),
A
SII Multirnile A
2.
strict crescatoare. surjectiva.
:.~~m:.:::~::f:~:: :=;'1:~]~ n:
R, f.(x) " {s:~n: ' n,
x=O
r /,,(x) dx, pentru once . Notam In = 1 n E N*. l2
a) Calculati
h
b) Aratati ca I t
c) Calculati
2 n+
hOI3 .
2 . (n+l)1r. fi I = --sm , oneare ar I n n n +1 2
"'T*
E 1'1
.
• 193
Testul39
1estul40
Subiectull
J2
1. Dati exemplu de numar real x astfel Incat + x sa fie nurnar rational nenul. 2. Pentru ce valori reale ale lui m functia j: JR~ JR.j{x) = U + mx + 3 este crescatoars pe intervalul [2, oo)? 3. Determinati valorile reale ale lui x pentru care arcsin x ~
4. Determinati n EN' astfel incat 7· n! < 1000. s. Fie punctele A(1, 2), B(3, 1) si C(-1, 4). Calculati lungimea medianei din A in triunghiul ABC. 6. Demonstrati ca sin 4 < O.
1. Fie matricea A = [~
~
101
~J.
e) Determinati
-s-ea;: Q.
0
E
(
3
.
= O,j{I) = 1 ~1j(2) = 8.
1)6
x +x
-
S.Consideriim puncteleA(l, 0), B(3, 2), C(-I, 3). Calculati cosinusul unghiului BAC . 6.Determinati sernnul numarului cos2 . cos4.
[1
1 OJ 0
1 .
010 a) Calculati £1. b) Aratati ca An - An-2
JR pentru care A3 = uA2 + vA . E
2. Consideram polinomul j = X3 -6X2 E
~ din dezvoltarea
1.Consideram matrieea A = 0
matrice nenula X
a) Determinati m
terminati coeficientullui 4. D e
sublectul /I
a) Calculati rangul matricei A. b) Determinati u, v
Determinati a E JR stiind ca (a, a + 1) (\ (0, ~~;t 0. t rminati functiaj": lR ~ lR de gradul2 stiind caj{O) 2 :z.De e . . Rezo1vati in lR ecuatia Sill 2x = 2 cos x.
1.
3.
1i .
4
Subiectul "
SUbledull
Q stiind ca X-I
M3 (JR) astfel incat AX = 03, +9X +m
E
Q[X].
5
b) Determinati radacinile polinomuJui pentru m = -4 .
';!
e) Aflati valorile lui m e Q pentru care polinomuljare
0
radacina dubla,
orice numar natural n ~ 2 .
c) Calculati A 100.
2.Fie M={(:
divide f.
= A2 - 13 ' pentru
3:) I
a,bEQ}CM2(Q).
a) Aratati ca X - Y E M, oricare ar fi X; Y E M. b) Aratati ea X· Y E M, orieare ar fi X; Y EM.. e) Dernonstrati ca M formeaza corp lmpreuna cu adunarea
A
~l
•
•
inmultirea matncelor.
=> ~
Subiectullll
~
1.Consider1imfunctiaj:JR~
a:
Subiectullll
~
a) Aratati ca functia j nu este derivabila in x
~
b) Calculati f'(x),
w
~
ffi
x
4
JR, j(x)=~(x-I)2(x+I).
E
E
1.Fie functiaj": JR~JR ,j{x) =x -IU 2 a) Calculati lim(~j(x) _x ).
{-I, I}.
x-+
JR\ {-I, I} .
b) Determinati punetele de extrem ale functiei.( . e) Determinati punctele de inflexiune ale functieij. 2 2.Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, j(x) = .Jx + 1.
e) Determinati punctele de extrem ale functieij" 2.Pentru
p,qEN,
p,q~2,notiim
I(p,q)=
1xP-1(l-x)q-1
dx.
II).
.
c:i
a)
w X u -e Z
b) Demonstrap ca Iip, q) = I(q, p), oricare ar fip, q ~ 2.
Calculati 1(3, 3) .
e)Aratatica
+1.
p·I(p,q)=(q-I)·I(p+I,q-I),oricarearfip,
a) Calculati q EN,p~2,q~3.
1
j(x)·
f'(x)
dx .
b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia grafieului functieij in jutul axei Ox. e) Calculati aria subgraficului functieij,
o cr:
Q
Z c(
~
• 194
•
19
Solutii Ml ~ Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE
Tema 1.1
(dasele
c) Propozitia
este
falsa,
pentru
2. Propozitia este falsa, contraexemplu
x = I + J2
egala
[ v'2012 ] + (2 +.J2). {-J2}
b)
cu
3.
a)
[_I +_1 + ... + 1 ] =[I-.!.+.!.-.!.+ 1·2 2·3 2012·2013 2 2 3
=44+3(
e)
2.
-1))
~I-(
[(../3 +v'7t]
2012
\;;fyE lR
elemente. 22. .
= 44+ (2 + .J2)( -J2 c)
= 3·1 +5 ·2+7
+ 2) = 42.
Presupunem
o2=3+2b2-2b.J6
3 ·3+ ... +19·9+10
=>(x,y)=(O,O).
24.
7.
a)
~i
a) deci
9.
[-a + b] = 0 => b ~ a.
avem
Pentru
[X+±J=k+1
x
;to
0
inecuatia
Pentru
(m
2
-I)x
10.
{XElRl(x+2)(X2-4)~0}={-2}U[2,+oo),
11.
A=[I,I~l
deci
B={0,1,2}
~i [2x]=2k+l, x = -b,
+ 2:5 0
are deci
cu
maximul
A = (-2,2) => A nB nZ = {-I} . 14. card(A) =26, card(A)+card(B)-card(AnB)
contradictie.
X2+3XY+4l=(x+Y~J
+13{
26. a) . x2 + l
+(Z_I)2
+ Z2 - (xy + xz + yz) =
Fie
egalitatea
kEZ. este
.
Pentru
evidenta,
=34. 15. ~=0,(142857)
eel
[a - b] = 0 => b :5a. putin
elementul egal
cu
0
Pentru
cautat 2.
12.
card(B) =17, eard(AnB) =>eard(A)=6.
in final
solutie, este
ca,
daca
x E A,
atunci
23.
(../3 -
=>
= a =>
bJ2f
r+2xy+2i=(x+y)2+i=0=>
M
cu
AnN={1,2}. =9
~i card(AuB)
16. 141=0,(36)
~O, \;;fX,YElR.
=0 =>x=-2,y=-3,z=l=>x+ (x - y)2 + (x - z)2 + (y - z
avem
trei
~
ifb = 0 => a = 4,b
= 2,
cazuri:
b) ~
if].
< .J2
. x = y = z.
b) in a)
a) Se aplica inegalitatea mediilor pentru numerele
a+b~2.,Jab,
b+c~2Jj;
si a+e~2~
(,----;)2 "X -I -I
I r=: - ~ x ~ 2" x -I ~ 2
~i obtinem
'....
~ 0 . b) Impartim megahtatea
v'x -I + ~ y -I :5 I , care este adevarata din a). 29. Cum Fa , ~~o, x y
Fa = 0,
ifb = 2 => a = O,b = 16
sau
~ =1, ~ =1=>a=l,b=1
= O. Deci A = {(0,16),(1,1),( 4,0)}. 30. De exemplu
si b = -.J2 .32. c) .!. < 2
n
25.x2+y2+z2+4x+
De exemplu (0,1,9).33.
J5 < .J3
I .J2 = 3- 2
.J3 +.J2
a) In2 [X]=k,
Prin
c)
luam x = a, y = b ~i z = 2 , deci a = b = 2.27.
{{x+y}+z}={x+y+z}={x+{y+z}}.
XE[k,k+±)=>[X]=k,
;to
{../3}=../3-IEA.
sunt irationale, iar suma lor este
... +_I_-_I-J =0. 2012 2013
.J2]+ ... +[.JiOo]
X>I~~E(O,I)~[~J=o.
b)
si y = 1- J2
= 10+[ 2.J2l] = 19.4. a) XE [k,k +±}
b) {x} = ~ => B = { -: ,~,~}.
6.
[.fi]+[
= 46. d)
x2 + y2
x = 1000
=l+../3EA,
x" E A, \;;fnE N· . Fie acum x =../3 -I,
x = 2, 5 si y = 2,5 . b) Propozitia este falsa, contraexemplu
contraexemplu
21. a) ~4+2../3
xy = ac + 3bd + ../3 (ad + be) EA.
IX-X)
Multimi de numere. Multimi ~ielemente de logicii matematica
1. a) Propozitia este falsa, contraexemplu x =.!.. 3
OE{4,5}.
lema 1.2
Funqii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)
4n + 4 4n 12 0 d . . I ( ) • a = ---=( )( ) > , eCI siru an >1 este crescator. n+4 n+3 n+4 n+3 ne
-2.
1
13.
2. an+1- an = (n + 1)2 - (n + I) - n2 + n = 2n > 0, deci sirul
=
• an+1
3.
-
n
1 = __ I + __I + ... + n+2 n+3 2n + 2
n" I
este crescator. b) xn+l - x, =
a)xn+1-x
deci suma deci sirul (xn)
10 cerutliesteegalacu 10. 17. - =0,(769230) =>al +~ +"'+~OI2 =335.(7 +6+9+2+3+0)+7 +6=9058. 13 18. Numerele I ~i 2 sunt printre radacinile ecuatiei x2 + mx + 4 = 0 , deci m E {-5, -4} . 19. Solutia 1. lnIocuind solutiile I si 2 in ecuatia x2 + mx + n = 0 , obtinem sistemul m+n+I=O { 2m + n + 4 = 0 => (m, n) = ( -3,2) . Solatia 2. n = XI. x2 = 2 ~i -m = XI+ x2 = 3 . 20. Observam ca solutiile intregi ale ecuatiei se gasesc printre divizorii lui 4, deci solutiile posibile sunt 1,2 sau 4, adica
e st e
descrescator.
c)
n I v4. a)xn = ~k(k+I)(k+2)
xn+1- xn = (
n+2
I(n I =2 ~k(k+l)
und e marginirea .. . I' b) ~ 21:+1 2 siru U1. ',I x" = L.. k=lk(k+l)
I )(
(an)n~1
I
I
n+I
n+2
este crescator,
I ... __ I = = __ I + 2n 2n + I 2n + 2
rn+2 1 Fn+l ~ n + I + .j;;n < 0, n+2+ n+I n+1
) > 0,
deci eCI
n 1 - ~(k+I)(k+2)
~ ~-_1-2J=I-_1_2 trl..,k (k+l)
)
siru I
>0,
n+I
deci sirul (xn LI
()Xn n,,1
I( I = 2 1- (n+2)(n+3)
(n+l)
I
este
)
crescator.
( I) d E 0'2 ' e
E(O,I). c) Xn=_1_ E(O,I). n+1
l'
5.
a)
b)
Fie r ratia progresiei.
= 18r = 36 =:> r = 2. Os = 00 + 5r = 7 =:> 00 = -3.
023-05
0n=2015=-3+2n=:>n=1009,
deci
=6~1(02+02012)=671.2011=1349381. al +0:1+as +a6 =30=4a1 +llr=>al
2015=01009.
6. Fie
r
ratia
c)
013 = 00 + 13r
T=02+0S+0g+
progresiei.
04-a2=4=2r=:>r=2.
9. 2{Z-°+2 +1) =20-1+ 20+1 +1,
~i notand
~
20=1>0
1)2013
obtinelll
1- --2 (
4 ) / 8 2 ( -+1 =-+2t+1=>/1=--'/2=2,
ecuatia
/
2
tenneni, deei 1+4+7+
5
• 10. a) In suma sunt
a=1.
... +100=3 4(1+100)=1717. 2
503 2+ 6+ 10+ ... + 2010 = -(I 2
deei
deei
b) In suma sunt 201~-2
+ 2010) = 503 ·1006 = 506018.
100-1 --+1=34
+1=503
tenneni,
suma
sunt
2n + 3 - I . d . () ( )2 • . 2 + I = n + 2 tenneru, eel I + 3 + 5 + ... + 2n + 3 = n + 2 . d) In suma sunt n termeni, deci 1+ 5 + 9 + ... + (4n
-3) = ~(4n
2 2 1+ 3 + 5 + ... + (2n -I) = n .
....I W
a: I-
4n-3,
.
x=2n-l,
>< ....I -e a.. ::::I V
.
12.
obtinern deei un sir in progresie
~
::::I o u.:
- 2) = 2n2 - n .
n~l.
11.
Suma
1+3+5+
este
2(
egala
ell
echivalenta
eu
I) 2
122 -1 = II ·13
evident
...+(4n-3) =~(l+4n-3) 2 ... +(2n-I)=n2=225=>n=15=>x=29.
. . . . Fie q ratia progresiei geometrIee,
x+J =-2-(3x)=45=>x(x+I)=30=>x=5.
d)
= %(3n + I) = 57 => n = 6 => x = 17.
Fie
x=3n-l,
14. Ratia progresiei
c) x+(x+I)+
... +(x+x)=
2+5+8+
... +(3n-I)=
n~l.
aritmetiee este egala eu 3, primul tennen
9
termeni,
r < 0, 3k e N' :
ak+1
ca
Presupunem
I-l
S8 = bo-l-q
deei
=
al
q e
alO=28.
15. a6+aI6=a3+aI9=10.
21 => al + a21 = 4. al +Oz +···+Ozl =-(al
2
;;
~ ~
=
10 +Ozl) =42. b) Oz+a4 +···+Gzo =-(Oz
2
17.a) al +a4 +an_3 +an =2(al +an) =300=> al +an = 150. b)S3n=9Sn=>
2
=>al
=.3
S; = ~(al
. b=-2-a + c ~I.
18
( a+
2
=>r=2al
2
2 b =ac=>ac=
+Gzo)=5(~ +azd =20.
+ an) = ~ ·150 = 600 => n = 8.
2
3n(2al+(3n-l)r)=9n(2al+(n_l)r)
a: ~ c}
16. a) Oz+a3+aI9+a20=8=2(al+0z1)=>
C)2
-2-
()2 => a+c
~i 2b = a2 => b = 512.
=4ac=>(a-c)
2
=O=>a=c=b.
19. a -17 = 17 - 2 = 15 => a = 32
~
a+b+
~ Z ;
par, de unde eoncluzia. 21. (x _1)2 = X + 5 => XI = -I, x2 = 4, deei x = 4. 22. Cum aeR' =>4 ,-Xi ;cO
•
24. Sirul este
198
C
20. Fie q ratia progresiei
0
progresie
geometrica
eu ratia 2, deei
(aa)=1
,
Daca x=l,
29. Daca
x;c I,
2
Q\Z
.
Fie
peN
.
Tennenii
= 511 .
q=-
Avem bp+2""
din
(
1-
-S1)12 (
_.!.
a
este echivalenta
a2
32.
serierea
suma
eu
egalitate care se verifica irnediat.
=>bo=1
al = r e Z.
-
a) Fie q ratia
b2=4.
Daca
ea
fractie
b) Suma
ca
presupunem b
Q.
q = ~ e
si
a>1
ireductibila,
b
=os"
36.
) =
din enunt este
+ kr < 0 contradictie. Deei r ~ O. 33. Ratia progresiei este
9 2 -1 + ...+29+9=22_1 +9=1031.
S2:: 1;(1(0)+
egalitatea
egalitatea
I
bP+1
bP+1
(2 SI=31-3+3 S2
•
=aPa--=a--IlN,eontradletle.34. aP+1 a
ratia progresiei, deei ~ = q2 = 4 => '" = :~ =% => ~ = "'q6 = 96.35.
=2+2
b=
=4=>q=2
-3
sunt
1(11)) =210 .37. a) SI =(-5)+(-5~+
in
3
1(2)+
+ ... +3
progresie
... +(-5~+
10)
+
I{ 22)+ II
=
•
•
Fie c ... +
31-(-3)" 1-(-3)
aritmetica
1(50) =-125+250-1
eu
I{ 29) = +11-
ratia
3,
=124.
25-ori
geometriee.
= a{1 + q + q2) = a[1 + q(q + I)J ~i cum 1+ q(q + I) este numar par, rezulta ea a este numar
. xi = 3XIX2=> x2 = 3xI => XI + x2 = 4xI = 4 => XI = I => a = 3. 23.Avem
"
:: ~(1 + 311) + 11.
~
o
"=aP·a
UJ
parte
... +--wi2 = 2
1-
b3 +b4 b3(I+q) 2 -= ( ) = q = 4 => q = 2 . 31. b, +b2 bl l+q
U
este I, deei
alta
1 III s = 1--+---+ 2 4 8
(I-XZt -xl(1-4 =( l-XI)(I-}3),
n = II => x = 41. b) Fie are
de
5
adevarata.
b4-bo=bo{l-I)=bo{l+l){q2-1)=3{I+l)=15=>l
=2n2 -n=23I=>
din suma este
Pe
5
progresiei.
a termenilor
s > 1.
1 I-IT 5 I a=_5 =-(I-IT)e(I,2)=>[a]=I; I-.!. 4 5
aritmetica,
13. a) Forma generals
Evident
27.
in final [a]+[b]=l.
1-;ZJ2 _Xl = I_Xl .1-}3 => ( I-x I-x I-x
•
26.
( 1-- 1) _ 28. 2013 3 2 3
==~(J+5!2)e(0'1)=>[b]=0.
30
=> q = 2 => b, = 3.
an+1= (al + a2 + ... + an+l) - (al + a2 + ... + an) = 2n + 2 => an = 2n ,
Fie x=4n-3=>1+5+9+ n~l.
ceruta
l
6
I 101 1__ 2_-2 I 1__ 2
=_
==-;_(_~)
3
c)
b3 = 24 =
geometrice
I I I -1+-+2"+···+---uiQs= 2 2 2
=0; -Xi =3.
=2. ~ = ~(~ +".!J)=420. 7. 2(x-l)2 =x+(x+2)=>4
8.2(I-x)=(x+I)+4=>x=-1
= 23.
... +02012"=
b) Tennenii sumei sunt in progresie aritmetica, deei S2 = ~(J(O)
2
3
9
c) S3 = 5( 1- 2 + 22 - 2 + ... - 2 ) = ~(1-
210)
+ 1(50)) = 51·124 = 6324 .
•
xi =4xi =>4 =1=>a=-3.
4 = a3 = a023 => ao =.!.. 2
25. Fie q ratia
• 199
Tema 1.3
1.
j(X), \ix
Functii. Proprietiti generale. Lecturi grafice.
f(±)=H}+{l}=~*f(O)=O.
1(0) f(X+2)={X;2}+{X+2}=H}+{x}=f(X)=>2
3. a)
este
perioada
pentru
f
functia
g(X+6)={X;6}+{X;6}=g(X)=>6
5.
f(x)
7.
decifeste
= 41x - 21-412 - xl = 0,
Pentru
este
) < 0,
-I
\ix, y
f(x)=O.
E (I, +00), x
* y,
I
g.
4.
l-a2==0=>a==±1
x E[3,8],f(x) =(8-x) +(x-3) f(x)- f(y) x- y
8.
este descrescatoare,
b
==5.
f(g(x))
~(x) ==
f(l(O))
descrescatoare.
11.
Punand conditia
g(x;) =0, f(
f(O)
=
= O.
12.
i=I,3=>aE{-1,1}.
deci max A = 2. 14.
a) = a ~ a
~
15. Pun em conditia ca ecuatia
3
-
f(x)
13.
f(J(I(x)))=3-8x, f(x) = 0 => x( x2 -4) f(x) Q=>X(X2
9a = 0 ~ a E {-3,0,3}, =
y
\iXEJR, decifeste = 0 => XI=
0,x2 = I,X:J=-L
deci suma ceruta este egala cu O.
x2 (y -l)-x(y
+ I) + y-I
= 2" I(x)
::
solutii reale daca ~i numai daca
deci
Imf==[~,3l16.
YE[O,+oo) , deci
Imf=[O,+oo).
Ecuatia
imaginea
functiei
fog
(gof)(x)=(x-I)2,
este [-1,+00).
Ixl=y
admite
(Jog)(x)=x2-1,
deci
deci imaginea
s=!
functiei
x,",y±~
este
[0, +00). 18. a) I j!' Im f
~
f(x)=+-:o;.!.,
~i in plus
CL
a
:E
f (x)
ecuatia
(-I
c)
f-I)=2~-2"EImf.
x +1 I
= I nu are nicio solutie, ceea ce este adevarat, b)
\ixEJR.
2
19.
!
f(x) ~ -I, \ix
ffi
b)
d.
x2E[4,9]~XE[-3,-2]U[2,3]=rl((3;8]).
11\
w
::t:
E JR.
20.
Deci f(I)=-1
x E r'
a)
max(J)=.!., ~i
in
1 (x)
Z CC
:E
• !OO
=
y
~:o~·
0
0
f(x)
numar natural,
31. deci
Ecuatia l
rl:
(x)
=
=
I(
I
x3
atunci
f2 (x)
~i
-I),
deci
1 nu
deci
x+~
=
f
x + I ),
nu este
este surjectiva. 2
y ~ x - yx + I = 0 ~
=
f(x)=y (y)
(0,+00) ~ JR,r
devine
29. a) Functia j" este strict
1(0)
injectiva, c)
egalitatea
= 2" x + 2" -I,
: JR~ JR,II
vv E [2, +00).
are solutie unica
E[I,+oo)~X=y+~.
singura
are
= i(1 + IOg2y).
unica
solutie
32. Determi-
1-
y
solutie =0 ~
strict
x = -I+~
pozitiva
> 0,
\iy
a
f(X)=y,YE(I,+«.»
ecuatiei
E (1,+00),
deci
rl
:(1,+00) ~ (O,+oo),r
l
(y) =
2 = -I+~.
f (1) = ~
g(3)=a~/(a)=3=>a=0,
33. Daca
plus
de maxim
x=l.
fiind
g(3)+ g(O) = -I
f(x)
x E {±I,±v'3}
d) Ecuatia
are
0
({0;2}).
f(X)E[3,8]~
c)
f(x)=m
= rl
x E [1,+00) => I( x)
pe intervalul
rl (4) = a => I(
1(1(1))
a) = 4 =
fof=IR~f(l(x))=x,
x4_2x2=(X2_1)2_1~_I~
E {0;2} ~
. 34. Pentru
este strict descrescatoare
hElR. ({0;2}) ~
g(O)=b=>/(b)=O=>b=-L
Deci
b)
1
~i cum
este
injectiva
\ixEJR~a2x+ab+b=x,
Deci perechile
TEH~f(x+T)=/(x),
E [5,+00) = Iml =
(1,0)
35. Functia
x
\ixEJR~7;
cu
x-T
rezulta
cli
a=
1(1)
a=1
f
36. Fie
= 2.
37.
b=O sau a=-I 38. verifica cerinta fo/=IR· obtinem I(x-T) =/(x) , \ixEJR~-TEH.
\ixEJR=>
~i (-I,b)EJRxJRcubEJR
\iXEJR ~i inlocuind
f(x+7; +T2)=/(x+7;)=/(x),
[a,+«.» => a = 5.
(-00,1] si strict crescatoare pe [1,+«.», deci a:O;-I.
~i
~i a)
+T2 EH.
sigura radacina daca ~i
i
numai daca m = -I . 21. Punem conditiile
f(l)
==0 si
f(O)
= -I,
deci n = -I
~i
m = O.
22. a) . f(
-x)
=
_x3
lerna 1.4
-f(x),
\ix
T
X
E
JR'.
f(-x)=ln(-x+v'x2+1)=ln
b)
x+
~=-f(X), ~+I
f(-x)=-x3+--=-f(x), \iXEJR.
d)
+2x -x
\ix
E
Funqia de gradull.
..!:
Funqia de gradul alII-lea
u
+.!. =
x
o a::
c
punctul
2
f(X)E(3,+«.»~x2>4~XE(-oo,-2)u(2,+oo)=rl((3,+oo))
U
CC Z
f
Daca
n= I
Pentru
2
CC
ffi
adevarata.
+ IOg2y) E JR, \iy E (0,+«.»,
U ~
n.
dupa
+ 2" -I = 2" (2x+ I) + 2" -I = 2"+1x+ 2"+1-I.
;:)
u
inductie
1(0) = f(l) = I, deci 1 nu este 1(x) = 2 nu are nicio solutie
30. Arlitlim cli ecuatia
x = ~(I
x ~ 2(ax + b) + I = x,
=
11+1-00
2 x+x+ 17.
f(g(x))
27.
c;rescAtoare,fiind suma a doua functii strict crescatoare (1I'/2
nlm ~~~0~(-y+3)(3Y-l)~0~YE[~,3l
.
=0
o ~
E Gf
~_x(e-x+ex)+a=
\iXEJR
.\iX EJR , deci f(I)~f(-1)~~~b~4== atunci f(l) = f( -I) ,declfnu este injectiva,
strict
-4) :O;O=>XE(-00,-2] U[0,2] = A,
sli admita solutii reale ee
Prin
•
evident
deci este injectivli. b)
= g(l(x)),
28
=-2".
f(x) '"'i x + z' -I
y-X (x- y)(x-I)(Y-I) 9.
f(-x)=-f(x),
conditia
1
injectivlL d) Ecuatia 10.
~
I-
f
deci
\ixEJR~2(x+a)-1=2x-l+a~a=0.
...J
pentru
constanta. 6. Pentru
XE(O,+oo) +E(O,I)=> x +1
(x-I)(y-I
perioada
Punem
= - f(O) => f(O) = 0 => 0(0,0)
J6. \fxEIR~a=2"'
b)
.23.
..._[x(ex+e-X)+a] ~a=O. 24. Avem f(-x)=f(x), _(0+ b)+4 ~ a + b = 0 .25. Dacajeste functie para,
f(X+±)={3(X+±)}={3X+l}={3X}==f(X).
2.
E (-3,3)
1. Fie
f(x)=ax+b=>f(I)=2,f(-I)=O=>{a+b=~
-a+b-O
=>a=l=b=>/(x)=x+l.
2.
G/noX={(-~,O)}EGg
~i
(O,I)EGfnOy,deci
g(-~)=o
~
~
w
JR'. c)
f(_x)=ln3+x= 3-x
a)
si g(O)=-1
=>g(x)=-2x-1.
~
• 201
b) Gf nOy={(O,I)} c) Gf nOy
3.Avem
eGg
~i (-~,o)eGfnOx,deci
gGJ=o
= {(O,l)} ~i ( -~,o J e Gf rsOx , deci gG) A(I,O)eGfnGgnOx
~i
=:>g(x)=-2x+I.
, 1• Xv
= 0 ~i g(O) = -1 =:>g(x) = 2x-I.
cum
~I
B(0,3)eGgnOy=:>C(2,3)eGf.
a+b =0 { 2a+b=3=:>a=3,b=-3~
/(1)=0,J(2)=3=:>
si g(O)=1
/(x)=3x-3.
4.
Deci
= 2 =:>- m = 2 =:>m = -4. 2
. X2 + X + I - y = 0 =:>6. > 0 ~ 4y - 3> 0 =:>y e [~,+oo). -
(0,2)
~i crescatoare
[1,+09( a_I)2 -4( a+ 1)(a-I)
a0
31.
•
U
x E Z rezulta cli avem 3 cazuri:
IX+21=0 { Ix2_41=0~XE{-2}.
13.
Ecuatia
/(x)=O
nu
X
are solutii
E 0,
~
X
E0
~i
1X2 - 41= 0 in intervalul
(0,+00),
2m-2::;0~mE(-oo,I].14.
;
Fie l(x)=ax+b~/((J(x)))=a2x+ab+b=4X+3~{a2=4
• 202
~i b(a+I)=3
cum a>O obtinem a=2,b=I,deci
/(x)=2x+1.15.
+ x2 =
2(m-I) m
( IJ ::;0 m E 0'3 .
m+1 =--~o m
conditiile 32.
a)
Daca
a+I*O a=1
~i ecuatia
6. < 0 8( a + 1) < 0 a E (-00, -I) .
4x + 2 > 0 admite solutii, deci nu convine. Daca a * I avem conditiile I a+1 Q -I < 0, 6.::; 0 8( a + I)::; 0 a E (-00,-1] . c) 6. = 0 a = -1 . d) Xv = 2 ~ - a -I = 2 ~ a = 3' 34. Functia
deci punem conditia x, ~ I ~ a ~ _.!.. 35.Functia/este 2
I este
strict crescatoare pe intervalul [xv, +00) ,
strict crescatoare pe intervalul (-00, x.] , deci
xE(-4,2)nZ={-3,-2,-I,0,I}.
16. Notand a = X2 + 2x obtinem ecuatia a +.!. = 2 ~ a = I =:>X2 + 2x -I = 0 => x = I ± a
cazun
b) Daca a = I inecuatia
33. Y = -6. = 2 ~ 4a + 3 = 2 ~ a = ~. v 4a 4 4
0(
g
doua
deci
Z
~
Avem
aE((-- 21x -31::; 0 ~ X E {3} . {IX+21=0 2 ~ 1x - 41= I
j)
mE(o,~J
x-4 =-x->O~
xE(I,+oo)~x-l+x+I::;4~xE(l,2].
'"
X
=x2 -4x+7~
lex)
Img = 12 ([-1,1]) = [%,7]'
c)
~ 0 XE(-I-.!.J. ' 2
b) Pentru xE(-oo,-I)~I-x-I-x~4~xE[-2,-I);
a
U,I
b=7~
Im/2 = [Yv,+oo) =[% +(0) .
c) x2 E(I,4)~xE((-2,-I)u(I,2))nZ=0.
final x E [-2,2] . c) x2 - IE (-1,1) ~ x2 E (0,2) ~ x E (-.J2,.J2)
d
Fie
~ X =.,-2.
4-x) =1~XE[3,4], iar
x2-16 c) x(x+4)
U(I,+oo).
b) XE[ -1,%JnZ={-1,0,1,2}.
~
c).• Cum
23.
~I
b)
XI~
11. a) X-IE(-3,3)~XE(-2,4).
~ U,I
21. xv>O
=.
6.cC
0(
~ ::::l
o
b)
43.
I I r=r
XI
daca
b) m > maxi =.!.= 1(1). 2
c) n::;; mini
=-.!.= 2
::::l
U
(-00,2)
X2
+ 2x
-
13
presupunem
SiEZ,V'iE{O,I,
7. X = ~S-a
a)
atunci
x2=1-.J3,
11.
So=2EZ,
s=Xj+x2=2
45.
+~4+a
2"
n
...
I
I
.!.-1: 2 I-.!.
1
2+22"+"'~ =a
=a
2
~ X2 =9+2~S-a,,4+a
...if6
~2,fi '!'+'!'_3. 2. __ =22 4 6=212=2a~a=-. if4 (,fi + I)(~ + I) (t12 + I) (I~
12. _1_+ 1+ ,fi
1
,fi + .J3
13. ~3-~29-12../5
fi
obtinem
solutiile
X2 +4x-S
= 0 ~ XI = I, ~ = -S.
sunt (1,1),(1,-1),(
rr=:
c=r rrr;
x2-2x-2=0
2"
S 12
I)(~
+ I)
(t12 + I) (t12 - I) = ... = 1,
m l =(,fi-I)+(.J3-,fi)+ 99 + JiOo 100
... +(JiOo-m)=9
- I) = ( ,fi +
+ I) (I~
47.
+ .J31.J4+"'+ 3+ 4
a=xl+x2=3,
-../5 =~3-~(2../5
-3t
-../5 =~3-(2../5 +V3+x)~
VS-x
(1,2)
-s,~),(
~i
(2,1). Pentru
49.
Adunand
cele
X = I ~ Y = ±I, iar pentru
doua
ecuatii
X =-S ~ Y = ±~.
obtinem Solutiile
-s,-Ji3).
15.
JiOi = 10,049 ... ~ a2 = 4.
16.
a)
Conditii
de
.V3+x
=
I:.
X+2~0 {X ~ 0
existents:
·
w
::t
U
-Ii = 1(26
< if5 = 1:tJ53< if4 = 1{j44. b) .J3 = 1(}4
m E [1,+00).
•
24. a) f(x)
d) D=_n_._I n + I Ig2 2
19b ab = ( a; b
==Ig a+1 2 g b (a+3b)2 2..)3
J
~
n In x ·Inx==--; n+I n_Iog22==0;
n+ I
2
P ~ lOP+1 -1. Suma din enunt este egalli
a2 + b2 = 7ab; b), c) - se procedeaza analog;
==aba2+6ab+9b2=12ab(a-3b)
e) (-00,3) u (4,00) ; j) R \ {-I, 0, I} . 10. a) Avem f(x) strict crescatoare, deei injectiva; b) Analog, f(x)
= l.Jx -I + II+1.Jx-I
I)
2
=0a==3b.
i
9. Se impun conditiile de existenta; obtinem: a) (2,00); b) (1,00); c) (-1,1); d) (-2,2) \ {I};
Deei f(x)=IXE[2,5].
~
d) Ig (a+3b) 2..)3
I 5 -I 3 I 5- b og2 - og2 . og3 - a .
10 ==-( 2007.102008 - 2008.102007 + 1)+ 2008. 9
x E (5,+00)
xE[I,2)
eoareee
. ,I I _ a+2 . , CJ ogls 45 - -, a+I
... +--n(n+I)
2·3
atunci [Igk] ==P P ~ Igk < P + I 10k 2007
cu 2008+ 9·
d
(I I
b) B== -+-+ 1·2
d) Ecuatia se serie x + I = (I - 2X)3 =:> 8x3 - 12x2 + 7x = 0 =:> x = 0 .
=3=:>/1-3/+/2/-1/=3=:>
d) 0; e) 5;j) -. 16
- a+2 . b,1 I 20I - --, 'J ogs - -2a+1 1-2a
c) c=lg(L3..~ ..... 998. 999)=lg_I_=_3' 2 3 4 999 1000 1000'
)(/-3)2+)(2/_1)2
9
a ==0, b = 2, c = 27 .3. a) ; b) 2; c) -; 3
c) Ecuatia se serie 1- x = (x + 1)3 =:> x3 + 3x2 + 4x = 0 =:> x = O.
.Jx-I=/~O=:>
x2 - x - 2 ~ 0 =:> x E [0,2] .
< 5 < 8 =:> 2 < log, 5 < 3; b) 8 < 9 =:> 3 < log, 9; 125 < 128 =:> 3 = logs 125 < logs 128 = 7 logs 2.
b) ~x-l=a=:>a3+a=0=:>a=0=:>x=1.
~
206
x ~ 0 inecuatia devine
FunClia exponentiala ~ifunctla logaritmica. Ecuatii ~ilnecuatll exponentlale ~i logaritmice
6. a) A=logax+
o
~
4.11) 4
.fl .J
. I , iar pentru a = 3" =:> x = I .
a:: ~
Pentru
Finalizare xE[-2,2].
1. a ==16, b ==3.2.
u ~ ~
1\[0,+00) = (2,+00)
x+2~0.
1 6 Tema •
= I, x2 = -2 . _x_ = a > 0 =:> a +.!. I-=:> 2 +"x a
cu solutia (2,2).
. . x2 -- -6 smgura solutle
_ 2 -
=0=:>x==2,y==2
x - 2> 0 =:> x E (( -00,-1) u(2,+oo))
-
Pentrli x < 0 inecuatia este satisfacuta.
x2+5x-6=0=:>xl=l,x2=-6,
I -
+(~Y+2-2t
x+2~0,x~0.
c) Ineeuatia se serie 2 - x2
l-
i;:)
(.Jx-I-It
Inecuatie devine x2 b)Condipi
fiind x= I
...I
soMia unieli x = I . j\Il8log se rezolva ~i eelelalte ecuatii: b) x = 3 , c) x ==I , d) x = I , e) x = 8 .
27. a)Condipi
+4 --=a>O x-4
x + 2 ~ 0, x + 3 ~ 0 , iar ecuatia devine x2 + 5x - 6 = 0 =:> x - I
.
= m admite 0 singura solutie
realii, pentrli oriee m E [3, +00) .
26. Eeuapaseserie
solutii sunt bune. b) Conditii
strict crescatoare rezulta ea ecuatia f(x)
25. a) Funepa f: [0, +00) ~ R,f (x) = ~ + if; este strict crescatoare, deei ecuatia f (x) = 2 are
x + 4 > 0, x - 4 > O. Daca notam
sunt
II 2 a +- =-3 =:> al = 3, a2 =- =:> a 3 Conditiile
XI
3
-I = ±2 =:> x = 9 singura solutie,
2
b)
peci f(x)=3x=1.
•
b) Itnf ==[3,+00) si eumfeste
2
e) Conditii de existenta x ~
x+ 2yrc x- 1)(2-x )-1 - =:>xl- -I ,x2- -2
+ 21= 2.Jx-I
+3 .
12. Se inmulteste
relatia
log, x + loge x = 210gb
= x(l + log, 2), deci f este functie de gradul I
= x(1-log3 2), este functie strict deseresclitoare. X
cu log, a ~i se foloseste a doua formula de la
~
:E •
probabilitatea
eerutll este
.!.Q =~ 53 25
. 27
•
Trei dintre numerele
AB = ~42 + (_3)2 = 5, AC = ~(-5r
f(O),f(I),f(2),f(3)
iar al patrulea cu I. Sunt 4 cazuri favorabile, deei probabilitatea
este
=....!.....
~ 4
64
sunt egale cu 0 28. Sunt doar dou'
MBC este isoscel. Fie D prciectia lui A pe Be.
11\
a: ~
M=G.
de
Din teorema bisectoarei
7. AN +BP+CM =.!.(AC+AB)+ 2
7
8. Fie 0 centrul paralelogramului.
deci
~.~=m(m-2)-3=
22.
b=.!..
3.
4. CE=CB+BE=--AB-AD~a=--
:;)
3
__ ) ~.~ _1.3+2.(-1)=_1_. 23.cos ( u,v =I~II~I- -/1+4-/9+1
O~m=3. MBD.
~a_I)2+1~a=1±2J3
1~1=1~~J4+9=
\j\
3
l-
s
21.
y=I~Q(3,1).
cl
cos(~~
+ ~) ,
J
_ 57r 33 Mijlocul segrnentul 6' •
\uI\vI tului AB, atur
panta dreptei AB este
mAB
= 1. Daca d este mediatoarea segrnen
1
( X+- 2I)
d: y --=-1 2
=::;,d'x+ . . y-O.34. a)Fleddreaptaciiutatli.
1.10
Trigonometrie. Aplica~ii ale trigonometriei scalar in geometria plana
a)
S = sin2lo +sin2 2° + ...+sin2 44° +!+cos2 44° + ...+ cos2lo +0 =44,5.
Tema
me= mAD=-I=::;,d:y=-x.b)
~iale produsului
Fie C(x,O)=::;, mAC'mAD= x·~.\·(-I)=-l=::;'x=O=::;'C(O,O). 35.
este mijlocul segmentelor AC
M
37. 38.
~(U_6)2
deci
=~(u_12)2
+(v_12)2
unde panta dreptei d este m=-~,
d:y-5=m(x-2),
unde panta dreptei d este m=-I,
segmentului
deci
[BC] ,
y- YA = mAM(x-xA)
=::;,AD :4x- y-7
=0.41.
deci d i x+ y-3=0. din
AB( -4,2)11 CD(3,a+3)
•
xG=
XA+XB+XC
IXA+YA-11 ~
=
~
,Jf
+f
3
'YG=
3 =,fi'
44.
YA+YB+YC
3
=::;,-4 =_2_
md· md, =-1 =::;, md, = 2 =::;,d':Y- 2 = 2(x-3).
~
d:y-2=-3(x-I).
~
egala
~
:::I
d(M,d)=,I-S+31 ~,fi
=_1 . 48.
y
A( -2011,0)
si
o
!
cu
=::;,a =_2.
a+3
2 .
deci
Fie
d'
d(A,BC)=
cum
;; v
B(-4,3)Ed2·
dreapta
3
are
ecuatia
cantata.
4
d :x - Y + 3 = 0 ,
4
mAD = 4 =::;,mile = -3 =::;, hc :Y + 3 = --3 (x - 2) .
dreptele
sunt
d2
si
d,
50.
2=::;,a=2011±2,fi.
sau
d(d2A)=d(d2A)
Cazull.
[AB]
Fie
d(A,dz)=d(AA)=::;,1-6+41=I--6+4+al=::;,a
5
nu convine. Cazul 2. deB d )=d(B '1
'3-
-
5
5
=0
cazuri: ~i
dar
c:i
nu
convine.
Cazul ~i
3
.
di A d )=d(B '3
~
51.{A(-4,0)}=d2(JOx
~ ~
B'(0,2)=SimOxB.52.{1+2a+b=0=::;,a=_2b=3=::;,a+b_1 -1+a+b=O'
o
~_ I _ -b
~
I -;-2=::;,a=2'
I
212
tg89°
= tglO . tg2°
'3=::;'
=d2 (JOy,
1-6+4+al 5
=::;,a=2a=-4 I' 2
deci
1-12+12+al 5
,
..... tg44° . tg45° . ctg44° . ctg43° ..... ctglO = I.
sin(30° + 10°) = sin 40°
egalitate
adevarata,
2 3 . 2 2 2sin a+1 = sm +~os a =1+3tg2a=13 2 cos a cos a
I. . 0) 2+F3 2(sm900+sm60 =-4-'
23Jr. b) cosU·sm
J6
. (Jr) . (Jr Jr) -,fi c) sin 12 =sm '3-'4 =--4-'
12.
53 m_m-2
.'3--=t=::;,m=2·
55. a) AB:2x+y-I=0
12a + b -II , de unde cerinta,
sina
6. a=tg(7S0-ISO)=F3,
Jr
12=2
1[.
sin
I
3
tga
2
b=sin(lOSO-4S0)= 8.
b)
~.
a)
I U+12Jr) +sm. (23Jr U-12Jr)] =4'
(23Jr
. Jr . 3Jr • sml>sm'4=sm >sm
9'
4
. 3
. 2 . I 2' I 3 . sin -sm = sm2cos2>
0
,
E
I = 2sin x cos x =::;,sin 2x = I. 14. Doar numerele 0 ~i Jr din multimea A verifica ecuatia, deci 2 2
sinx-cosx
probabllitatea ceruta este - 15. ( ) 5 sin !!"-x 4
sinx-cosx r;:;cosx-
,,2
-V
t:
2. 16.
idi
I
Prin n icare a
~sinx ,,2
dar
unde 3
sina+cosa
----=1+-=-
a)
(0 !:) . Finalizare numarul cautat este egal cu sin 2 . 10. I E (!:,!:) =::;,sin I > cos I . '2 42 . 16 4. . 24 sin a 3 a) cos2 a = l-sm2 a =-=::;, cosa = -- =::;, sm2a = 2smacosa = --. b) tga =--= --4' cosa 25 5 25 sin2 x + cos2 X 2 . 2 I I tgx + ctgx = 2 =::;,. 2 =::;, 13. cos x=l-sm x=-=::;'cosX=--. smxcosx 9 3
pentru cii ! ~ 2'2 11.
5.
sin4O°·sin140°=sin2 40 =cos2 50° =( -coS1300t =cos21300.
=::;,a=l.
dl=AB':x-2y+4=0, -.
a)
4 ~ - F3 = 4 ~ !coslOo - F3 sin 10° = 2sinlOo cosf O''~ 2 2 . sinlOo cos l O''
54
le 2sin(a+b)=
•
7 b=-4=::;,a+b=-2
:E triunghiului ABC este egala cu
•
{B(0,-2)}
d)
= sin 1°+ sin 2° + ... + sin I80° + (-sin 1°)+
tglO. tg2°
patrar obtinem sin2 a + cos2 a + 2sinacosa a=2
S
+ (-sinI800) = O. b) P = cosIo. cos2° ..... cos20110 = 0, pentru ca cos900 = 0 . 3.
.
-0 a-
ac ~
a)
(-sin 2°) +
cii
A(-2,I)Edl
I'Gz,
d )---..1-12+12+21_1-12+12+al
Punctul
trei
=4
5
deci
rezulta
Avem
d(d3A)=d(d3,dz).
49.
paralele,
.sin20 ..... sin20110 = 0, pentru ca sinl800 = 0 2.
7.
46. Fie d dreapta cautata. mAD' md = -I =::;,md = -3 =::;,
segmentului
d(dl,dz)=d(A,d2)=1-201+al d(dl,dz)=d(dIA),
'S _
Mediatoarea
d,
~
'"~
45.
. ecuapa
47. Punctul C(-1,2) este mijlocul segmentului [AB], panta dreptei AB este -I .
E
)
=::;,C2,-2 . 43.BC:x+y-I=0,
I I ml = mz =::;,-a = 2 =::;,a = -2
i
:::I
(
39.
are
A
P= sin1°.
b)
2
b) cosIo+cos2° + ...+cosI79° = cosl'' +cos2° + ...+cosS9° +cos900 -cos89° -cosS8° - ...-coslo =0
4o. Fie D mijlocul
3 42
M(7,7).
deci d:x+2y-12=0.
Mediana
D(2,1).
deci
=::;,u=7,v=7,
~i
(I) 5'-~ .
(). D 0,-1 .36. Fie M(x,y)=::;,AM(x+I,y+S)=sAB(3,6)=::;,M
+V2 =~u2 +(V_6)2
d:y-2=m(x-I),
_1=3+/c=::;,C(I,_S)
2-
-1+ YD -I =-2-=::;'
2+XD I =-2-'
~i BD,
1=1+2xc,
de unde cerinta, b) Aria
19. cos!:= S
deci
adunam,
-3 =::;,sin(a+b)=-~. 4 S
~lHR=2SinA=2../3=../3·
27.
b2
2 2 sin A +sin B = 2sin2C ~ ~+-2
2 B) = 2(I-sin2 C) =>
(l-sin
2S.cosC=cos ( tr- ( 4+3
cos" A+cos2 B =2cos2C=> (l-sin2 A)+
24.
c.
ipotenuza
cu
2
a2 +b2 = 2c2
= 2~=>
4R
4R
-J2 +..J6 4 .
26.
b2+c2_a2 2bc
cosA=
162 24=3
A =8.
b)
sin A = )I-i
....• w a: l-
i::::I
o u:
.
29.
a + c = 2b => 2Rsin A + 2RsinC
/J5'
=
= 4RsinB =>sin A +sinC = 2sinB.
30.
25'sinO =---=>sinO=-. 2252
24
I
32.AC=vAB2
SABCD= 48 => SAOD= 12=
=
2 AD·IX·sinD
=,,76. Aria SADC
=
Z
a=3.
.
2sm
2B-2C
2
cos
2B+2C
2
sunt
a, a + I
tgA+ tgB = I => C = !:.. 37. Triunghiuleste dreptunghiccu aria 1- tgAtgB 4
~ ,.., ~
S = 6 = p . r => r = I' , lar R = -5 . 38 • F'Ie A unghiul 2
~
< 0 => a - 2a - 3 < 0 => a e (-1,3) n Z = {O, I,2}.
~
-~+%;
.:
14
2
c) ~-(-~);
a +2 .
Deci triunghiul are laturile 3,4 si 5. 3S.Prin
X
QC
~i
= I + 2sinCcosC =>sin2B = sin2C => tr = 0 => B = C sau B + C = - . Dar triunghiul ABC este ascutitunghic rezulta 2
cli B = C . 36. tgC = tg (tr - A - B) =
0btuz.
2
cos A = a +(a+I)2-(a+2f
acosB = c =>cosB = ~ =>triunghiul ABC este dreptunghic. 31. Fie 0 2 a
dreptunghiului.
n
X E
.
5tr _ 7tr} 42 0\ sin xe {-tr+ , tr+ 8 . . v 8
3
centrul
::::I
= ~ => R = 2s~nA = 2 ~
2(
I) 7 I) . cos ( 2 arcsin"3 = 1-2sLD arcsLD"3=9;
I) _cos(arcsin"3 =-VI-9;
BC=2RsinA=6.
2 AB ·AC = c-b-cos
b)
j)
28.0)
is ;
sin( 2arcsin~) = 2Sin(arcsin~ )cos( arcsin~) = 2~~1-
6.4'sin 2" 2 3 =6../3.
_
=>a,-I,
=> x e {-~ + kr: I k e --2'
a2 -,LD
-l
d)
deci multimea
Dacli notlim
final xe {!:.+2ktrlkez} 2
.
" ec:« ==/2+ 2:C:2k-IB k • k-I
Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1
Permutari. Matrice. Determinanli
= ( 51
1. a) OT
2 3 4 3 2 4
5), 1
TO'
= ( 31
2 4
3 4 1 2
5). 6 5 ,b) o = e. 2. a)(l,
2), (1, 3), (1, 4), (3, 4); E(cr)
1 = 12 +-B 2
;:.[~~~l'
"I
2:C:2k k_1
=
3"-1 2)" -1] = 12 + B '--. 2
12 +-B[(I+ 2
M3=03~Mn=03,n~3.
A=/3+M,
24.
unde
este matricea
de la
000
= I. b)
0'-
1(41325) = 1 2
c) X=O'-I.(I
4.a)
* o,
0'-
5
4
.3.a)k=4.b)412012~a2°12=e.
2 3 4)=(4 431212344312-142
1
2
(I 2 3 4 5 6)
1
Vx
3
= 6
1 4
S6' 5. a) x
E
2
3
=a
_I
3)(1
2
3
4)_(1
2
4 )' 3
b) m(cr) = m(cr- ) = 7. c) X4 este para, Vx
3
4
n(n+3)/2]
1 0
-n
S6, c e impara ~ X4
E
k -- 5 . c/.\ C e I mal. ITIlCnumar .
1
P E
N*
tr(X)X+
tr(X)'X~tr(X)'X=(~
'
k
b'' = e este 6. Daca k = 6c + r, 0 ~ r ~ 5 atunei a = o'" . 0"
--0'.r
I
C aurmare,cy=e
2012 tr~~~l= 3
3
7!
7! ~
-SID-
-2
.
. A2 -- tr ( A ) A,
. A = ( tr ( A ))"-1 A 2 = ( tr(A))
[co~; _
P(2)'
3
~
cos-
0 ~ trCA)r=0 ~:2 ""
A
=2
3
Jfl _ - 2B ~
""
15
= 2
eos-
= ~(~:l=
O • 20. Inductie dupa n.
SID3
3
. n7! n7! -Sin)" cos)" k-I
2
2013
~ A
= _220131 . 2
. . B. Apoi, A = 12 + B ~ A" = (h + B)" ==
tr(X) = 1 ~
X=(4
(A - At)2 = -/2
b
6).28
-2 -3
~ (A _ At
A2=3A~a=3.
a)
•
tOO8 12 . =
29.
b) A_At=(2 Din
2)_(2
1)=(0
1 1
teorema
2 1
lui
Cayley
-I
0
avem
A2 _ 5A _ 212 = O ~ A2 _ 5A - 12 = 12 . Determinantul este egal cu I. 30. 2
A2-3A+212
Prininduc\ie.Cazul
n=l
Obtinem A2 _ B2 =
= 3( A _ B) = (22 -1)( A - B) , deci cazul
afirm
esteevident.Cum
a) Da. b) Vom demonstra ca 2 =02 ~i B _3B+212=02,prins dere
t'
a ia este adevarata pentru
reZU!ta
succesiv
n -I
.
.
n = 2 este adevarat. Presupunem
n -I'
~I n. Din A" - 3An + 2A +1
= O2 ~I
Bn+1 3B" -
+
2B"-1 - 0 -
i ~\,.
ca
~
2'
:i~
nI nI An+1_ Bn+1 = 3( A" - Bn) - 2( A - - B - ) =
:
I
21
-1 AA'= ( 2
2
90)
2
=:>det(AA)
, =81.
, b)
Ca1cu1
direct.
,
32.
-
p ';fPEZ,B=1 ,
b
a I(a)
n»
Q)
dot (A' A)
= dot A' dot A = (dOl A)' > o. b) Prin
unde (a-d)(b-c)=o
calcul obtinern
a) det(A) =-4.
33.
A· A'
b) A2=[~1
= A'
=:J
~1
-I
-I
= ab +cd ; do
. A=> oc+bd
~i A2-A=21
I c
34. Q)
• 3
3
I b
o
=6
~ :] I 2
I
~i A2 - A = 213• 35.
45·11,,\ !l = I
a) Calcul direct. b) Folosind binomul lUi
BE2 = E2B
Br
(A +
= An +
s',
a) A4 = -412•
36.
b = c = 0 ~i d = a, deci
rezulta
b) Fie B = (;
:).
demonstreza
~-2 ~-2
~
t~
~ 'Sa;:
'n=l~
-Sin!:'] ( 2 =:>A 2008 = COS . I004 004 JT sm I
~='6.
3s,
'((I+I)'-(l-i)')=4;'
.
/X:3 X~3 ; /_ X:3 x x x-3 3x-3 =27(x-I). Rezultli x= l.
u ::l
Z
X~3 3x-3
4
JT
sin I004 004 cos l
=
) JT
I
3/
I
; =3(X-I)
I
I
-3
~3 -~ I I
o
~
~
43. dl
=1;a
3
ci ~
b~a b3 _a3
2
c~a /=Cb-a)(c-a)!1 2 2 C-a
c~a c3 _a3
44.
b)
!l
d2
=
A+ 21: :
;H~:
; /=
3
b +2b+3
il=A
'J
c +2c+3 3
1=
1
Fi, P""'"''
I
a'
a
a+3
bI b
3
X(aJ(a).
1/11 3
c
2a
46.
4
1
1= I
a+2=±2a=OsauQ 1 d 1=2 1a + 21-2 -
7 7 . . !l -_ 0 a = __3 . Cum -- 3 IEZ, I1 = 3a + 7 . a) Punctele sun! coliniare
sou observand ca punctul
avem
det(AA'
obtinem
49. a)
a=-3.
!l
= 3
5
1 = 0 . b) Prin calcul
2
2
1
D este rmj··1ocu I se gmentului BC 50. a) Cu notatia
)I
~a;
~a;b;l_
= ~a.b. I
~b.
I
2
I
E {I"2 3} , deci vectorii
"
-
(a.b.-a.b;)2~o.
'-' ;"je{I,2,3} _
I
-:
O~ =o.!
b) Din
J
)
~Xk
=xl
+X2
+.lJ,
det(AA')=O I .
+ bJ-. k = I 2 3 sunt coliniari. Cone k' "
UZIa
Sisteme de ecua~ii liniare . lR _ {3} . ) 0 Cum d et( A) = -a + 3, avem A inversabila a E * . ~) 8 -7. 8 =-4
Tem 2 2
a •
; ;/+/;;
2b
2c
3
;/= 3
3
A-I =~C
*0 ~
• . A inversabila.
3. det(A) =-5
-4}
Z('J(,).
A' -
Cum
A -I -- _I_A'; detCA)
* 0 ~A
, (8
11
A = 8
12
U21•
22
1
inversabila.
s:
s
II -,
8
A-I = det(A)·A
28213 831] 811=1; 821=-~; 831:~ ~ £1=.!.[~1 s:22 8 812 = -3; 822 = 1, 832 5 0 Un U 32 . --5 [ = 0; 823= 0, 83313 23 8 8E MnC33 13 4. ,,=:>"£1 Z ) ~ det(£I) E Z , dar det( A)det (A-1)=det{In)=1 ~I
Y(b./(b).
6 1I =0-2x-y+6=O. 8
I = I , aria este egala cu 2.
. 1.Aesteinversablladet(A
c + a
1
y
1 -1 I
2, det( A) = 29
a
•
rezultli.
~+w+~
I
-I
rezultli a;bj = ai;,i,j
(C-b)(c-a)(b-a)(ab+bc+ca).
;
a +2a+3
! •
=
= I
13a+71 = I, a E Z
I I=(c-b)(c-a)(b-a). C+a
I
~+~+~
B=I; 3
b+a
=Cb-a)(c-a)!
(C-b)(c-a)(b-a)(a+b+c).
o ~
218
b~a 2 b -a
a
III ~Ill:
~
=1;2
42. a) ~
o
-1
prin calcul
::E•
-I
rezulta cerinta. b) Din -2-
~Il=
-31kl
-
1
I = 2 + a, . S ABC = 2I d -1 I a I
2 3
= 1 . 38. 2
JT
x 1 = 0 , deci punctele sunt coliniare, .. b\~ AC. . -1 0 1
OIl2
/~I ~ :t~1 ~ :/=-18. 41.
=-4 .••.
=(3X_3)/X~1 3 X~3
; 3x-3
-
!l
= -4. 48.
I
~
JT
21 1
Z . Cum SXYZ = 1 B ~ SXYZ
1
B = a12. 37. a) Se arata prin calcul direct. b) Se 47.
cos!:. 2 prin inductie. c) A = [ . JT
E
I I _ 0 b\ • = I I I =O-x+ Y- - . 'I il 2 2 1
1
Din BEl = EIB ~i
c1 = 6k , k
Y
x ~ AB:O
Newton rezulta
I b
6
-1 8 det( A) = 2. b) A2 =[~
1 a
, t512= 2;
21 8 =3 22
,
;
~1 0
-:]. 5
s
~
det(A)
=±l.
~
daell det(A)=
,, A = 3
2)
.
-I'
(-1 1
deci X =
B=(I
-I
~1=-8"'0.
Bordatii
lui IIp sunt:
1l1=4 5
(A)
A' .
£1 = _1_.
I:~I
= 2, trebuie ca III = 0,
.
U
'"
w
Z
< III a:
aceastaegalitateladreaptacuA-I)caX=B£1
.
A
vem
11) -6'
b) Notam:
d(e:(A)) A= 1 ~
.
A- _(2 -
-7J
I
-I
4
. (2 , deci X =
~i
tl.2
-4
Deoarece
este
matricea
A.
12.
a)
(_~
-;r
=G
:)=>x=G :)(~ ;
-n=G
11. adjunctei I:
w
~J
b)
z
0 a:
C
• 220
h
:)=>X=[=: 5
=~r=(=:
0 Z
-e ~
2, deoarece
11
I
0 = -1 '" O. Cum
2 -1
~i 3 in
A este 2, pentru ca
0 = 0 si 2
4
0 = 0 . 21. Consideram
626
2 3
0
a =8a-32
2
3
~i 1l2=4
0 5
b
= 4. 22. rang
1 =32-8b.
2
(A)
b = 2, deoarece
det(
A) = -m + 2.
I
0 = -I", 0 . 24. Rangul matricei este cel putin
l2 J. ~3
caz
contrar.
-I
0
2 -3 -I
25.
2
Avem
1 = 0 ~i
5
3
2 -3 -I = -0 + 44, rangul este 2 daca 3
I~
-1
2 1
:1'" 0,
a 2
3
3 1 -1=0,
I
0
4
4 3
2
3
2
8
:)=[-~
-~J.13'
A vem dot ( A) " ••
2
1 4 = -5b + 20, deci rangul este 2 daca 0 = 3, b = 4 si 3 in caz contrar, i.e. a", 3 sau b", 4 .
0
4
3
b
1 -1 3 2
5 = -52 '" 0 , rangul este egal cu 3.27.
NotamcuAmatriceasistemului,
-3 -2
-131 • 0 • doc' """,,"1
dat este Cramer, A vem solutie
urn",
=50-15,
I
a) rang(A) = 1, deoarece liniile matricei A
4 -2 0 ~J(=:
I 2 -1 3
3
sunt proportionale.e) A " [~
1
3
26. Cum 3
X
u -e
19.
2 -1 3
= 0 => a = 4,
Este necesar ca m = 2. Este si suficient, deoarece 11
a = 44
-7) 15 .
A' - det(A)A-1 . -I, ,lpoteza A =A impune det(A)=I~-m-3=I~m=-4. Cum det( A) = 1 avem £1 = A' Atun . AA' _ ' . .. . , . CI - A A = 13 . Dill definitie rezulta ca mversa 10.
W
"" ci
(x,y,z)=(I,I,I).
= 3 '" 0 ~i orice minor de ordin 3 este nul, avand doua coloane egale. 23.
~) . Cum det(A) = I '" 0 => A inversabila => 3A-I. Cum X . A = B, rezulta (inmultind
CL
~ ::::I
3
0 = 1 24 '" 0 , iar bordatii lui IIp sunt nuli: 2 4 6 626
Pentru ca rang
::::I
a: w
18.
x=-5,y=5,z=3.
= -4 '" 0 => rang (A) = 2.20. Rangullui
a) Notam:
1
sistemului.
3 -1
::::I 0 Z
matricea
rezulta
(x,y,z)=(2,I,2).
I~~I
CL
.
A
2 -1
9.
cu A-I) cii X = A-I . B.
la stanga
_14 - 2
IIp=l~
0 => A inversabila => 3A-I. Cum A . X = B,
Observam ca det(A) = -I", egalitate
0
~J
6
= -.L. Cum 6x = -131, 6
cu
s, =36,
Ily =60,
(x,y,z)=(-I,2,0).17.
Cum det(A) = 0 si 3 un minor: III =
Up
Z
= Il = 12 '" 0, deci sistemul dat este Cramer. Solutia este data de
Il Il Il x= ;. ,y= ; ,z=-:;.
15. (x,y,z)=(I,I,2).
A
6
Notam
2 -I 1 A-I = detl(A) . A* = -7 [~2
6
6
144
formulele
3a :b
2a
III
s, =0,
Il y =-131,
[
6
determinam eu ajutorul formulelor lui Cramer: x =-2.., y = ----L,
0
Pentru K"
m"
L" (a b c) avem A " KL.
a2 +2ab +3ac 2 c) A2 = 2a +4ab+6ac [ ~+~+~
ab+2b2 +3bc 2ab+4b2 +6bc W+W+~
A/ternativ,
= K(a + 2b+3c)L
A2 = K(LK)L
ac+ 2bc+3c2 ] 2ac+4bc+6c2 =(a+2b+3c)A, ~+~+~ = (a+2b+3c)KL
=(a+2b
deei d = a+ 2b+3c.
2
1
a
3
2 =2*
o.
a+1
1 m
1
m
1
1
m = m2
3
-I
sistemului este
+3c)A .
rnatricei A a sistemului este 28.a)
A2=[~ I
~ 0
~]'A3=03.b) 0
I
13+A+A =[: I
: :].Cum 1 1
det(13+A+A')=0
~itotiminorii ", E lR
de ordin 2 suot nuli, rezulta ca rang (13 + A + A') = 1. c) 13 + A = [: 1
~ 1
~J;
x+ y+z =1
det(h
+ A) = I;
I
Pentru
- {1,2} .
m = I,
2
I
1
1
1
3 = 23* 0,
deci
-
3m + 2. Sistemul este compatibil determinat pentru
-2
sistemul
x+Y+z =3.
si
Conciuzia rezulta din teorema lui Cramer. 34. Determinantul
este incompatibil, m=2,
Pentru
rangO)
= 3 > rang(A).
deoarece
sistemul
este
in concluzie
prime Ie doua ecuaii ineompatibil,
m e {1,2}. 35.
suot
deoarece
Determinantul
3 -1 12 (J3+Ar'=
1 .(J3+Ar=[~1 det(J3 + A)
0
~
~].29.a)A*=[~
-1 1
6
-~
-~].eumdet(A"}-O ,-
-2
-2
3 -4
•.
matricei A a sistemului este -1
toti minorii de ordin 2 suot nuli, rezulta rang(A"} = 1.
b) Daca X
=[;]
EM3,1( C), ecuatia este echivalenta eu sistemul
4
m2 I
considerand A _
Cramer. 36. Determinantul
matricei A a sistemului este 2
x+4y-3z=5
Z
1
1
Este
1 22 -0 ]
matricea sistemului, [2
I 4 -3
u: •
2 = _m2 -37 * 0, \;1m E lR. Concluzia rezulta din teorema lui
1
1
{;::~;Z:: ;
1
yl
neeesar
1
I
2
1
I -I
ea
rangul
rang
(A)
=2,
deci
a = -1.
11
"
112
= a + 1 . In plus, avem
a -1 Sistemul
este
compatibil
pentru
b+l
b =0¢:>-b-2=0¢:>b=-2.A~adar,
a=-I
~i b=-2.37.DeterminantulmatriceiAa
-1
sistemului este
2 -1
3
1
1 = O. Rangul
1
matricei A
este 2, deoarece
I~~11
= 3 * 0 . Sistemul este
1 -2 2 compatibil, deoarece minorul earacteristic
2 -I
I
I
2
1
este nul. 38. Determinantul
matricei A a
1 -2 -I
sistemului este 2a
2a
1
I
~ = -4( 2a2 + a -I) . Cum sistemul este omogen, rezulta a
E { -I,
~} . 39.
-2
II) inIocuind Xo = 2, Yo = 2, Zo = 1 in ecuatiile sistemului, obtinem n = 2 ~i m = 3 . b) Sistemul admite
1 2 matricei A a sistemului
solutie unica daca determinantul
Rezulta ca n 1 Determinantul
• 222
Conform
matricei extinse a sistemului este
teoremei
lui Kronecker,
sistemul
este incompatibil.
{3} . c) Daca
n
E lR -
det A = 2
-I
n
1
-3 1 = 3- n . 2
{3} , sistemul este eompatibil determinat. Pentru n = 3 re~tli
ci mogul matrieei sistemului este 2. Pentru ca sistemul sli fie eompatibil, rangul matricei extinse trebuie sli fie 2. Obtinem m = 1.
2
5 -1 3 -4
E lR -
este nenul;
deci
rang(A) = 3> rang(A) .
33. Determinantul
matricei A a
40. a) Fie A matricea sistemului.
Avem
det(A)
=
3
este compatibil determinat daca ~i numai daca m e lR - {1,5} .
t:;:~::, I~~I
b) Pentru m = I,sistemul devine:
atunci
A=[~ ~
lx+Y-2z=1
Consideram un minor 1:1p =
1:1c = I
= (m -l)(m - 5), deci sistemul
m-3
m
1
1 rang(A) = 3. Daca m = 1, rang(A) = 1. c) Daca m = I, rang
2
1 m 1 2m-l
~l
~i det(A)
=:
I I -2
II
2~ 3 =0.
I I -
= I * 0 , deci rang(A) = 2. Pentru a determina
rang(A),
calculam
",:1' ,
I
3
I = 0, deci rang(A)
= 2.
Rezulta cli sistemul este compatibil nedeterminat.
Pentru m =:
I -2 I
S, sistemul devine
j
x
+ 9 Y + 3z
=I
x+Sy+2z
l
a=,4 ~i b =' -2 . c) Pentru b = -2 , avem sistemul
x + 2Y + 3z = 6
a::
care este compatibil pentru orice
a E 'l si pentru care (0, 6, -2) este solutia cu toate componenteie intregi. 1 a 0 1:1 = det(A)
=0
2 a = a + I > 0 , V'a E lR , deci det(A) * 0,
I
101
j
s~
·
b) I:1p=l~
...I ~
·
~
nedeterminat
IU
Q.
~ ~
·
V
III IU
trebuie
6-3m=21(n+12)=21(p+2)=0,
ca
sistemului.
Avem
conform
-I
I
IU
I:1c= I
1
"'" ci
o
I
3
-I
• IU
-I I:1c= -I
o a::
-3
m
3
3
=0.
Cramer.
Rezulta
224
la~ l1.=a 1
=1,l:1y=O
10
= 1 9 n S -6
9
S -6
42.
a) Fie
3 =0,
adica
-I = -6
m = -I.
formulele
a
lui Cramer
a
(a2 + 1)2
= -_.2 I
2
la~
=a,I:1,=O
1
Daca
m=l,
ca sistemul
* 0 , deci
b) Pentru
avem
este compatibil.
1:1
; ,Z=-:;,
cum
A
este
matricea
a_a d+l'z-
m
* ±I,
sistemul este compatibil,
rninorul
1:1
Daca
=11 -II I I =2 *0
1:1
m=-I,
= I-I -I ~I*0
~i
-- a
a + I a2 + I
= X·
•
"
•
•
deci x, Y, z sunt in progresie geometrica.
Z ,
2 -1
I 1
7 -I
a
= -Sa
+ 20. Pentru ca sistemul sa fie
compatibil determinat, trebuie ca det(A) * 0 ~ -Sa + 20 * 0 ~ a E lR - {4}. b) Daca 1:1* 0, sistemul este compatibil.
sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este incompatibil
I
atunci
incompatibil daca ~i numai daca I:1c= 2
1 P =:det(A). 1:1= I q
I m
= (m _1)2. b) Dacii
I
m
E
r
p2 1 P ll-,-L, 0 q-p L,-L, r2 0 r- p
4, un minor principal 2
1
-I
1 0~ b
*
* 4.
estel:1
p2 l-p2
2
=\q-p
I~~II·
Sistemul este
2
r-
2
r - p
P
2
q2 -P2\=(P-q)(q-r)(r-p). r - p
f-
ar + bt - e = 0, se obtine: *
este solutie a sistemului. Deoarece 1:1 0, ea este unica. c)
z=a
CUrn (-I, I, l)estesolupaslstemuUl,atunclp ., 1.
=
47. a) Fie A matricea sistemului ~i 1:1
lX = e y=-b
P
b
IC sunt distincte, fiind solutii ale ecuatiei
e- pb + p2a = p3 C-qb+la=l . Rezulta ca c-rb+r2a=r3
det(A) = 1 m
=
Daca 1:1 = 0, deci a
7 -I
~i
2
d+I'
101 2
46. a) Fie A matricea sistemului. Avem 1:1 = det(A) = 2
b) Daca p, q, r
43. a) Fie A matricea sistemului,
1:1
x= ; ,y=
I x= d+l'Y=
.
=a .atunci
p
1
pentru
Avem: y2 =
ll~
III 2
1
3
folosind
2 -3 -I
-3 -S
P
2
se obtine
-I -m m = 3(1- m2).
I -I
Z rang(A) ~ 2. Pentru ca sistemul sa fie
P
GO
C(
a::
Sx- 6 Y=P
S -6
Z C(
x + I > care ar x, y E (-I (0) rezulta a d . ,Y+I>O,deci(x+I)(Y+I»OObp , c x*YE(-I,oo).Avemx> 1 Y> eCI 3xy + 3x + 3y + 2 > -I 4 a) T b .' d nemxy+x+y+ 1 >0~3XY+3x+3Y+3'>0 x* ( .• re uie emonstrat ca oricare ar fi ' Y E 3,(0). Fie x> 3,y > 3 ~ (x- 3)( _ ). I x,y E (3,00), rezulta y 3 >0, deci x*y-2( 3)( ) X,y,ZElR. Avem (x*y)*Z-2()( xy-3 +3>3. b) Fie '
1(
"X
°
este
7.
z = 25(x + 6/ 5)(y+ 6/ 5)( z +6/ 5) - 6/ 5 = x o(y
element
a-c =0. b) Sistemul fiind omogen, el are solutii
a)
0
R (a-42)(z
AVetTI Xoy"*-5,VX,YEZ-{-5}(x+5)(y+5)"*20-a,Vx,YEZ-{5}
a::20.
(x
e e x = x o e = x, Vx e lR xe- 6x- 6e+ a = x, Vx E lR
b) Deoarece
+(2-2e)x
,,*"
e
6e+a==O,VXElR e=7 si a-6e=0a=42.
Atunci'
nu are solutii, deci -2
Avem
Vx,y,z
eox= x=e = x, Vx E (0,2) (e-l)x
°
0(x'+2)=4
I
o Z
6.
Daca x=-2,
_ . m - -5m. b) SlstemuJ fiind
.
. slstemuJui
2) = 4. Daca x"* -2 ~ x' =-x-:-2 -2 eQ , deci toate elementeie
sunt simetrizabile.
a ==42.
II
(xo y) SO.
ee- (x+2)(x'+
(xy-6x-6y+
2
_X02
°
sitTIetrizabil.
3.7
orma. x= A,y= 3A, Z=-5A.
x; + y; + z; 35,,1 7 z; - y; = 15,,12=)
-'''--::lRTI111-'~~~_ ,t0X'==x'ox =
m = 0. c) Daca m = 0, sistemul devine
deci orice solutie nenula a sistemului este de f
=0
1 ~113 =: -
2 = 14m _ 4 . 4
14m - 4 =
49. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) A . 12 \ . tunci d = 3
_ 12 -
II
1 3 -1
I _I
_ I -
asociativa.
cs
t:* y-3 z-3) +3 = 2(X-3)(y-3)(Z-3)+3 =x*(y*z), u am e E lR astfel • • (2e-7)(x-3)=0 V lib meat x*e=e*x=x,VxElR, ' En. Obtinem e = 7/2. 5 I tnI • a) Avem xoy=-(x+2)(y+2)_2. x,YE'\l,X,y~_2. Cum 2 X+2~0,y+2~0~xoY>_2 eox=xoe=x Vx Q I( -. b) , E 2' x+2)(e+2)-2=x,VXEQ(x+2)(e+2)=2(x+2),VxEQ:::::>e=0 c)
deci
"
adica Fie Cum
cu xox'=x'ox=27
x = I, ecuatia (x')o
= 27
(X,)log"x=27.
X'EZ
cu
x"*l,
nu are solutii, deci multimea elementelor
11. a) Cum x 0 2 = 2 0 x = x, Vx E Z rezulta cerinta. exista
Dad
xox'=x'ox=2
atunci x'=2iogx27 simetrizabile
= 12 ~
(AB) (ABr = ABE AI
= AI~I
Daca
este (0,00) - {I} .
b) x E Z este simetrizabiL daca si nurnai daca
x'= 7x-16 3x-7
~3x'=7+_I_.
Atunci
3X'EZ
3x-7
3x -7 E {-I, I} x = 2 , deci singurul eLement simetrizabiL este 2. 12. a) Daca A, BEG BIt
>0.
~ AAI =
= AAI = 12 ~ AB E G, deci G este parte stabila a Lui M2 (R)
In raport cu inmultirea matricelor. b) Cum am demonstrat a), ramane sa verificam In continuare axiomele grupului: GI Operatia .,;" este asociativa. G2 Operatia "." are elementul neutru hE G. G3 Orice element din G este simetrizabil fata de ".": Daca A E G este simetrizabil 3A-1 E GI astfel lncat 1 0404- = A-IA = h. Avem A E G ~ A . AI = h ~ £1 = AI In M2(lR). Verificam AI E G. Rezulta din AI(Alr = AlA = 12• Asadar orice element din G este simetrizabil fata de ".".
13. a) Cum 0'=(1
234 23415
5) ~
0'2=(1
dCCiG contine 4 eLemente. Avem: G = {e, o,
234 34125'
d,~}
5)
0'3=(1
234 41235
(e fiind permutarea identica).
5)
~icr4=e,
e
a-
a-2
e
e
a-
2
b) a-
a-
a-2
aa-3
a-3 a-3
/o,b ° fl
0'2
0'3
e
0'
0'3
0'3
e
0'
0'2 este compunerea permutiirilor
verifi _,
. contmuare axi
ill
element din G este simetrizabil fata de ". ", ceea ce rezulta din ~bla ::~~~nt J-U II
a) Trebuie demonstrat
ca oricare ar fi A, B E M rezulta
x
l4
Ca
AB
E G.
I orne e grupului. G .
neutru ~are este e. G3: Ori~ permutiirilor pe G.
. Fie A
=
(a
I
31.] '1
,ai, b,
b
E
Z
l 3(alb2 + aA)] I a ala2 + 3~b2 si ala2 + 3blb2, alb2 + a2b l E Z, rezulta cii M este parte stabila a lui M (Z) in raport' . , 2 cu inmultirea matricelor. b) Fie :; 0, 1 sau 2 (mod 3). Pe rand, if + I :; 02 + 1 :; 1 (mod 3 if _ 2 a E Z :::>a ) sau. + 1 = 1 + 1 :; 2 (mod 3) sau if + 1 "" 22 + I :;2 (mod 3) deci if + 1 ;j; 0 (mod 3) c) Pr 2 • esupunem pnn absurd ca det(A) - 1 2 21~a-+l=3b2,falsdinb).d)DacaAEM 'A-I -~a -3b =_ _I _I ~I EM:::> det(A) E Z, det(A-I) E Z. C det(A )=det(A·A )=detI2=I:::>det(A),det(£I)E {-I I} . umdet(A). 15. Pentru orice x, y, Z E JRavern (x*( * )_ ' . DIn c) rezulta ca det(A) = 1. y Z -x+ y+z+xy+xz+ yz+ _() . xyz - x * y * Z , deci ,,*" este asociativa, b) Se arata prin inductie ca x * * * 1 1 3 I x2 ••• xn = (XI +1)(x2 +I) ... (xn +1)-1, de unde 3b2] , a2
~i B = (;2 2
.
u:
1*2
OS
I 1 ( -+-+x Y
~ ;:)
.
u ;:
III Q.
•
U
-I =2008.
16.
1]-1 xyz -xy+ + ,rezultiica xz yz
(xoy)oz=
a)
Cum
(x 0y) 0 Z =
(I 1 ]-1 -+-+~ x y
Z
-.!L..
~0~0~0 2 (
'"
... 0_1_ =(~o.!.o~)
3 4
100
1 2+3+4
1
2 3 4 °5°6°
lIP
"este ... 0 100 =(2+3+4rl
1 I) 1 1 1 °5°6 0708° ... 0 100 = (2+3+4+5+6)-lo~0.!.0
xyz
\;I/a.b E G, deci ii,o este element neutru. 3°. V'/a,b E G, 3 f~..!!.. astfel 'incat
= fl
b
;.~
= It,o
b ° fo,b
;.-;;
aplicand
O.
0
matricelor
in
~l=[~
Ina;lnb
ab
0
este asociativa.
In(ab) 1
0 0
o
ab
Elementul
lito
c::i
• III
o ~ ~
Q
Z
CC
~
• 228
demons tram prin inductie
1 5049
y_
a) Calcul direct. b) Vom verifica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat cii oricare ar fi A(x), A(y) E G, rezulta ca A(x) . A(y) E G. Aratand deja punctul a), avem A (x) . A(y) = A(x + y) ~i cum x, y E R, deci x + y E R :::> A(x) . A(y) E G; G1: Inmultirea matricelor este asociativa; G2: Existenta elementului neutru, observam ca Iz = A(O) E G, deci elementul neutru este chiar Iz. ; G3: Orice element din G este simetrizabil fata de inmultirea matricelor. Daca A(x) E G este simetrizabil, 3 A(x') E G astfel incat A(x) . A(x') = A(x') . A(x) = Iz.
Atunci
."
-:3 ,...,
*
*'
*
neutru este
20.
Altemativ,
ox ° ( 1 1 1 ]-1 2 ... ox = -+-+ +_ P 1 1 1 n x x'" . entru XI = - X X _-_ I 1 I 2 x; 2' 2 n 100 :::> -0-0 1 (2 1 2 3 ... 0 100 = +3+ ... +100)-1 =-17 5049 • a) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi f °f 10,,,, ,fo,1>, E G, rezulta f ° f E G Cum a,,,, 0,1>, - 10,0"0,1>,+,,, E G (deoarece ala2 0 pentru a a,,,, 0,1>, . ararat. b) Cum am demonstrat a) ra-ma' x'fi I 0 ~I a2 0), obtinem ceea ce trebuie 1° C ne Sa yen icam in c ti . . ompunerea functiilor este operape asociativa. 20. 3;n Enuare axiomele grupului: 1,0 G,fi.o(x) = x, \;Ix E lR astfel inciitfi.o 0 t'
1=U(ab).
concluzie, (G, .) este grup.
= -x,
deci A(x') = (1- 2x x
-4x 1+2x
x
3 ( -I
*e =e*x
In
4 -1 =(A(l)Y=A(n).
21.
a)
Observand
ca
J si
cum
J
x' E R, obtinem A(x') E G si orice element din G este simetrizabil. c) Observam ca (~I
(102 .99)-1 2
cum
3108)xE (0,00) \ {I} rezulta ca orice element din H este simetrizabil.
Avem A(x) . A(x') = 12:::> A(X + x') = 12:::> x + x' = 0 :::> x'
100
;
I
III
Z
>CC
H, adica
E H este element neutru.
G3: Orice element din H este simetrizabil fata de ,,*". x E H este simetrizabil daca ~i numai daca 3 x'
I)
a) avem
... o_I_=
6 ... 0_1_=
x E H:::> x * y > 0; presupunem prin absurd
X
=
rezulta cli
= I. b) Vom ca \;Ix,y E H:::> x * y E H. Avem x * y = xlO8Y) si x * y = 1:::> xloS)Y = I :::> x = 1 sau y = I, absurd,
in baza 3 avem log, y . log,
= 0,
=I
deoarece x, Y E H. Deci x * y E H.
si
yz __ = xyz + Z xy + xz + yz , ~I
cUID
a
18. a) Din x * y
, deci orice element este simetrizabil.
veri fica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat
Cum ab > 0, rezulta
xy+XZ+ yz
. ' oncare ar fi x, y, Z E (0,
esocranvs 0fo~o
0Z =
x+ y
Pentru orice x, y, Z E (0,00), avem (x 0y) 0 Z = XYZ. . xy+xz+ yz' lar xo(yoz)=xo adica ,,0" este asociativa. c) Folosind fa tul ca 0" ...y
~ ;:)
AB = (alGz + 3~b2 alb2 + Gz~
E Z. Cum
·i .....~:
c
;:) Z CC
as, b2
*...* 2008 =2·2 Z
= /a,b,
xIOSY) = 1, de unde logaritmand
Ii" . . , earn Ope rapa " . este asocianva, ceea ce este evident. G2: Operapa . "
14.
° ii,o
a'
e
0'2
C) Cum operatia "."
= /a,b
/a,b
~1 = A(l) .
x* y=(x-5)(y-5)+5,
din
= x , \;Ix E JR, avem (x - 5)(e - 5) + 5 = x, \;Ix E JR, adica (x - 5)(e - 6) = 0, \;Ix E JR, deci
i
e = 6. b) Din x * a = a * x = a, \;Ix E JR, avem (x - 5)(a - 5) + 5 = a, \;Ix E JR, adica (x - 6)( a - 5) = ~ 0, \;Ix E JR,deci a = 5. c) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi x, y E G, rezulta ca x
*Y
v
E
G. Avem x >
0, y > 5 :::> x - 5 > 0, y - 5 = 0 deci (x - 5)(y - 5) > O. Obtinem xy - 5x - 5y + 25 > 0 :::> xy - 5x - 5y + 30> 5, deci G este parte stabila a lui lR in raport cu legea ,,*". d) Cum am demonstrat c), camane sli verificam in continuare axiomele grupului abelian: G1: Operatia ,,*" este asociativli. Pentru orice z, y, Z
E G, avem (x * y)
* Z = (x-5)(y-
5)( Z - 5) + 5 = x * (y
* z),
deci
,,*" este
asociativli. G2: Elementul
!;i :iE
III
~
:iE •
229
neutru aJ opcranej ,,*" este 6 G·
0 . lernent di G . . nee e emen 10 este sunetnzabil
*" F' e" . re x e G '-5 1 . . "'-' x - +--e(5 G4: Operatia ,,*" este comutativa, Pentru x y e G arb'trar x- 5 ,co). . ' I e, avem x * y = (x _ 5)(y deci operatia ,,*" este comutativa in I' - 5) + 5 = Y * x . cone uzie, (G *) este ' e) 1* 2*3* ... *2012 = (I * 2 *3*4) *5 *(6 *7* ... *2012) =5 d' grup abelian. . ' eoarece x*5=5*x-5 V 1ll> Inductie dupa n. 22. a) (x*y)*z=x.(y*z)~(a-5)(z_ )_ - , xe"". J) x -0, VX,y,zEZ ~ a=5. b) Cutn ell tarn u
.
'
X
3·
meat
x*x'=x'*x=6.
neutru,
c)
~a=5
((-I)*2).((-I).2013)=a
~(
a x* y=6(x+I)(Y+I)-I. Prin inductie rezulta ca x .~. , Obtinem 1* 2 * 3 •... *2013=620'2. 20141-1 ~ A
.
j) Avem
~p=-I.
. e
_6)2
_ 5 ,e - --6
.
. deci
!1: Z,
legea
nu
are
) a-6 =0~aE{4,6}. d) A * -6'-'()( vetn ... x. x, +1 x2 +I) ... (x +1) I • - . x·P=p,VXEZ ~6(X+I)(P+I)=P+I
vem
+
2(
x.x*x=287~36(x+I)3-1=287~x=1
_
.
c) Legea
t: ~
are element neutru
Daca(-co).]
e = I,a = -3 d)
~
daca
~ ~
concluzie
a:$-3,
"2
Z
2
d
(
• a/
X,y:$~
)
I. 2 .3
Ca la 2
2 .
a
Z
II).
o
~
:z: U
Zc
O
~ Z c ~ •
230
2
s: -3
.
e) F' .
punctul antenor,
)
-2e+2
= 1• (2 .3)
de
.2.3 •...*10
+ f(y)
Reciproc,
~< 9 3 a+ 2 _a+ :$-· 2 2 G_( 3)
ie
-
-CO'2
• In
=/(8)*
~X'=~
2
element
1
3
2 (2x + 3) < 2'
neutru.
x, *x2 * ... *x.
Fie
XEG.
. Avem
rezulta ca G este parte stabila. Legea este Cum
.
de
=(-2)'-'._IT
1-'.2......
(XI'
_~)+~, 2
2
deci
2
4
j) Prin inductie se arata di
sunt simetrizabile.
grad
... *2013=3-1.3.5
.... 4023
2
T este
Jl(, ceci
bijectiva,
deci
a E lR
I,
rezulta
... +17)=/(125)=118.
26.
I
este
~b=-3,
a = 1,/ (x) = x -
§i b = -3 . b) Alegem
ca
J1JVIU~LLl.
izomorfism.
bijectiva,
deci
v'"u
b) a)
deci I
3 . Deoarece
izomorfisrn
.
I
este
Atunci
27. a) ~ oX o ... ox. == I(x,)o l(x2)o ... oI(x.) = I(x, +X2 + ... x. +3n) = x, +~ + ... x. +3(n-I). 2 Y f(Xo Y) == I(x+ Y -I) = ex-'e -' = I(x )/(y), deci I este morfism. Cum I este bijectiva, rezulta
cI
functia
I
este
izomorfisrn.
QI(x)4==/(S)~e4X-4=e4~x=2. 0
I(Y)
b)
xoxoxox=S~/(xoxoxox)=I(S)~
28. a) Avem
= (J(x)+
1)(J(y)
xoy=(x+I)(y+I)_I.
este morfism, atunci
I(e) = p
este morfism. Cum I
are elementul neutru p = 2 . b) Daca
=> a = -I . Pentru a = -1 se veri fica usor ca
Trebuie sa demons tram ca I ( x + y) = I ( x ) I (y) , adica
I:
X,YElR'
x e x = (x + I)S -1 => (x + I)S = 2 => x = ifi -1 .
29. 0) Legea ,,0" are elementul neutru e = 3 , iar legea "."
f
Pentru
+ I) -1 = = xy -1 = I( xy), deci I
este bijectiva, rezulta cal este izomorfism. b) xoxoxo
7X+ Y
= T' 7 Y
,
I
este morfism.
30.
ceea ce este adevarat, deci j
Z ~ Q' sa fie izomorfism, stiind ca I morfism (din a), este
necesar ca I sa fie bijectiva, Cum pentru y = -1, nu exista x E Z astfel lncat 7x = y => I nu este SUJjectiva, deci I nu este bijectiva, ceea ce inseamna ca I nu este izomorfism. 31. a) Trebuie demonstrat ca Vx, y E G => x* y E F. Avem x > 4, y > 4, deci x - 4 > O,y - 4> 0; obtinem (x - 4)(y
Cum am demonstrat a), ramane sa verificam in continuare axiomele grupului: G,: Operatia ,,*" este asocianva. Observand cli x. y =(x-
x·e=e.x=x,
24. al v
1* 2 = 0 ~ ~9 + a = 0 ~ - 9 b r:;--~~-a-. ~ Avem (x*y)*z =3IX3+y3+ 3+2 _ ( c " z a -x· y*Z), VX,y,ZEIR. ~ Lege:! are element neutru ~3eElR,x*e=e*x=x,VxElR ~3/x3+ 3 __ \-I ~ e=r-ila dl V e =a -x, vXEll' . v Legea este asociativa §i are element neutru F' 1ll> • " 3/ . ie XE"" Atuncr xox =Xox=e~vx3+x'3+2=_~ ~x' __ 3'4:3. . 'if 4 + x E lR , deci toate elementele sunt
VXEG,
e = S E G este elementul x
1.2*3*
este
ax+b+ay+b+3=a(x+y)+b,Vx,YEIR
rnorfism daca si numai daca
fiJIIctle
+ y), V'x,y
f
ca
rezulta
1(9)* 1(10)* ... * 1(17)=f(8+9+
EG
este simetrizabil,
= _1_,
x'- 4
4)(y-
4) + 4, avem pentru Vx, y, Z E G, (x* y)*z
4)(z - 4) + 4, iar x*(y*
+ 4, deci (x * y) * Z = x * (y * z),
xox'=X'OX=I~(x+~)(x'+~)=.!. 2
deci toate elementele
I,
- 4) > 0, de unde rezulta xy - 4x - 4y + 16> 0, deci xy - 4x - 4y + 20 > 4, adica x* y E (4,00). b)
§i are
+ 7 = x + y -7 = f[x
grad
l(x)./(y)==/(x+y),VX'YEIR~
Il)
+3e+a=0,VxeJR
de unde a:$-3.
X*Y=-2(X-~)(Y_~)+ 2 a
= f(x)
morfism de grupuri. b) Pentru ca
atun . 3 3 3 CI 2·2:$2'
este parte stablla daca §i numai daca
U
~ ffi
rezulta
(
~x
* I(Y) functie
4)(y- 4) + 4] *z = (x - 4)(yasociativa
1&1
.
pentru
X. y=-2(X-~](Y_~]+~
A.
~ ::l
atunci
(-co~].
;;
:$ a::
este parte stabila
2'
~ >cc
3
~ 3e E lR x*e = e*x = V lR , x, XE
f(x)
este
rezultli ca I(x)
23
.
~ a - -3 . b) Daca legea este asociativa, rezulta din punctul ant' a _ 3]( 3) 3 ( )( enor c a - -3. Pentru a = -3 avetn ( x-2 x*y=-2 y-2 +2=> (x·y)*z =4 x-~ y-~)(z-~)+~=x*(y.Z)' Vx,y,zElR. ~
N
(x-5)(x'-5)+5=6_
Avem
eox=xoe=x,VxEZ~x(6e+5)+6e+a=0,VEZ element
fata d t"
G astfel
E
adica
z) =x*[(y - 4)(z- 4) + 4] = (x - 4)(y- 4)/z - 4)
,,*" este asociativa.
adica (x-4)(e-4)+4=x,
VXEG,
de unde rezulta
x' = 4 + _1_. x-4
Cum
e EG
adica (x-4)(e-S)=0,
x' E (4, +00) => orice
simetrizabil fata de G. c) 1:(0,00)~(4,00),f(x)=x+4 (G,*),
G2: Cautam
astfel ineat VXEG,
deci
neutru. G3: Orice element din G este simetrizabil fata de ".". Daca 3x' E G, astfel incat x * x' = x'* x = S, adica (x - 4)(x'-4) + 4 = S, deci
x-4
g1Upul
= [(x-
deoarece
I(x,y)
element
din G este
este morfisrn de la grupul
= I(x) */(y)
(pentru
ca
((O,oo),.)la
l(xy)=xy+4
iar
1[])
fey) = (x + 4). (y + 4) = xy + 4, deci I(xy)
f(x).
unde reZUltli/izomorfism.
= I(x) * I(y»
si de asemenea,
32. a) Prin calcul se verifica usor ca I( xy) = I(x).
I
I(Y),
bijectiva de Vx,y E (0,00) ,
J
simetrizabile. e) Prin inductie dupa n se demonstreaza ca X I
*X * *X 2'"
_ 3
• -
f.
LJXt
3
(I)
+ n-
a, deci
.
decif este morfism. Inversa functieij" este b) Fie
(-I)*0.1*2*3*4- H cU
X
n
»
(~). y
= x· = 1 => ~ e U., rezulta concluzia. r" y
De asemenea,
ca
(akrl
~
rezulta
a: ~
1= COS-+ISlD7
cj
grupul
(5".
ordinul
.
U42este
x e H. Atunci
b) Fie
V'a", al e H => a" . a' = ah+1 e H .
= a" e H (ao = e), deci H este subgrup al grupului lui
a
este
6.
5,,)k 5k". . Skr: =cos-+lslD-~-e2Z 7 7 7
38. 5k 7
14. c) H este subgrupul generat de
is
~(a-I)x=o,V'x,y,zeR,
~
x a y = -2 ~ (x + 2)(y + 2) = 0 ~
11.1
i
deci
a=1. X
= -2
a)
(Ss,-). b) Din calcul
&42= cos30" + isin30" .. deci ordinul
~I4Ik,
e.
=> &42= I.
elementului
.
b)
s
39. Avem
40. a) Observam
cll xoy=(x+2)(y+2)-2.
sau y = -2 . b) Pentru a determina elementele inversabile
de unde
•
xo x' = x'ox = -1 ~ (x + 2)(x'+ 2) = 1 ~ x+ 2 e {-I,l} ~ x e {-3,-I}
e=-IeZ
este element
in
Avem
~
232
2 este morfism de inele
d
eoarec
e vern:
x
T x'=x'
T x=6,
x'eQ-{5}.
adica
Y sa fie
{} 3x' Q-{5} x EQ - 5 , E
Daca
inversabil.
5x _ 24
(x-5)(x
incat 1I
verificat
c
x-5
, rlimane sll arlltllm cll x "*5~
Cum X'EQ,
.. Mal trebuie
x' = -.
, ) _ 6 deci -5 +5 - ,
astfel
~
x-5 If1I I(x) Q ~ ",!,
"*5 ~ 5x - 24"* 5x - 25 , ceea ce . = x + 5 este morfisrn de corpun,
. D· (1f1I 1.. T) este corp. c) Functra I: este evident. eCI ",!, , _ 5 = I (x) 1..I (y) o I(x+ )-x+y+5=x+5+y+5 deoarece 'lfx Y E Q , avem: 1 . Y . bii ctie deoarece , Q l(x)-x+5 este ~I IJe I ' 20. l(xy)=xy+5=/(x)T f(Y)· Funcpa I:Q~, -. .. d) Se " () _ A adar f este Izomorfisrn de corpun V'yeR3Ix=y-5EQ astfe\ mcat I x _yo ~ ) N' si , . .•• T T T x =(x -5)(x2 -5) ...(x. -5 ,cu n E demonstreaza prin inductte dupa n, ca XI x2 .•• I •
43. Demonstram relativ prim cu n. ,,=>" presupunem
;;t, == ~b== 1
neutru fatli de ,,0". Apoi,
A
este elernent inversabil al inelului
'1l
ca a E !LJ•
daell ~i numai dacll este ( Z.,+,· )
3b E Z. cll ~ este inversabila in inelul Z •. Atunci ~=
rezulta
n \ ab -I
cll
_ y e> x:; y( rnodn)).
(arn
Bxista
folosit
deci
faptul
k EZ
cll
~b = i.Cum
astfel tncat
y~
x(rnodn)
incat
=
y(
rnodn) ~
ab - 1= nk .
A~adar
astfel
xo(y.z)=(xoy).(xoz)e>
Z
CC
x-
_2=x-2+y-2+2=/(x)*/(y). /(x+Y)=x+y V'x eZ. 10/(xy)=xy-2=/(x)0/(y), ,Y . 'd. versa rl:Z~Z,rl(y)=y+2. Prin 2. '1l I ( )= x _ 2 este lDversablla, avan lD . I·Z~!LJ, x 41.Avem x.y=eIOg,.IOg,y, fUflctta·. d I inelul (Z +,.) la inelul (Z,.,o). e a tneuu u=« . . _ • _ log,. = x deci e I este lzomorfism urtJIaf , I ( ). deci legea este asoclatlVlI. Cum x· 2 - 2 x -:-e , 10g,.log,yog,' = x. y z, 2 ~.(y*Z)=e ) {} C .z!0gx =2· rezultliclixesteinversabil.Deoarece um x , · (0 00 - I elernent neutru. F ie x e, . • If1I 2 eSte I y+log' log,yxlog" = (x. y) .(x. z}, rezulta cerinta. 42. a) Cliurnrn e e "'! log,>"= X og, '= x I ~.(yz) = x V' If1I adica x + e - 5 = x, 'lfx e Q, deci e = 5 e Q este elernentu 't x 1..e - e 1..x = x , X e",! , 1.." • tli astfel inca . x tru inceput elementul neutru 11 al operatiei " ,cau m .. 1.." b) Determm"m pen neutrU al legll " . _ 'If R adica x + 11 - 5 = x, 'lfx e Q, deci 11 = 5 e Q este , .. "C· lim tfel incat x 1..el = el 1..x - x, X e el E IQ! as ". d t rminam elementul neutru e2 al operatiei "T. aut tul tru pentru ,,1.. . Apoi, e e . T _ 'If EQ adica (x-5)(ez-5)+5=x,'lfxlQ!, deci elemen neu astfel incat x T e2 = e2 x - x, x , .. " e2 E IQ! loX _ 6 E Q este elernentul neutru al operatier "T (am 6) - 0 V'x E Q , de unde rezu L
grad(l)==4;
a==l=> grad(l)=I;
a=-I=>
(1)=2.2.
grad
C=3X2+X+6,
r ==_ 2X + 9. 3. a) I (I) = 320+ 1 ; b) ao + a40 = 4 . 4. r = 1(1) = 1. 5. Se impune I ( -I) = I (2) ¢:>-a 2 4 3 =2a+ 15 ¢:>a==-5. 6. a) c=X4 _X3 +5X2 -5X +3, r=2. b)c=X + 2X + 8X + 16X + 30, r =6S. .f=(X2-I)C+aX+b. 7 Lr=/(-I)=O¢:>
l(l)==a+b I(-I)=-a+b
a+ 8=0¢:> a==-8.
=>{a+b=3 -a+b=9
9.
+b-2.
I=X4
=>{b=6 =>r=-3X+6. a=-3
+X3 +2X2 +X2 +X +2 +(a-I)X
10.
+(b-2)
X2 +X +211 ¢:> a=1 ~i b=2.
A2 A
c) Cum M este 0 submultirne finita a grupului matricelor inve " . stabila :at de inmultire, rezulta cerinta, rsabile din M 3(Z5) , ~I M este parte a 2 49. . a). 3x ==-4 , adica x2 = 1, de unde (x - I)(x + 1) = 0 si y cum (Z 7'+" ) este corp, nu are divizori
u ro,
r
Y21 i
1=(X2+X+l)(X2-X+I),
g==(X2+X+
1).
I)(X+
d==X2+X+I
I 2 b) X +X X X X+X
si
3
m=(X2+X+ •.2
2
2
1)(X2_X+ (
I)(X+ )2
1).11.
(
a) xl+x2+~=3. )
2
., +X2 +X3 == XI+X2 +X3 -2 XIX2+XI~ +X2~ = 5+ X:=-5~+2xi-3,
e emente.
~I
6
=(X2 +X +2)(X2 +I)+(a-I)X 12 =1,2=4,3=2,4=2 A A2 A2 A
Incluziunea inversa provine din 02000= 0,12000= I; 22000= 23'666+2_ A. A2000 A6·333+2 A b Z {AAAAA} -4,3 =3 =2.48 a) a, . I e 5 = 0,1,2,3,4 . Adica fiecare poate lua 5 valori . Atunci CI mu Itimea M va avea 5·5 =•25
ci • ~ ~
Deoarece XI-I ==(det X [2 A2 I
XIX2=[ala2+2blb2 alb2 +a211
r'1 (a-bll
~ ~
~
SO.
Xf E H . Folosind proprietatile lnmultirii in Z5 se arata ca H este grup in raport cu lnmultirea
46.a)FieXI=(~
~
(A) (A) (A) A A A A A 2 ·f 2 ·f 2 =3·3·3=6*-1.
=f
45. a) a.b,c e {0,1,2.3} , deci fiecare poate lua cate 4 va Ion.. A tuner. numarul elementelor multiunn" G
b(a+c)=0,a2 =1 pentru ae{U},c2 =0 pentru ce{O , 2} . D ac•• X_A A atunci. b = 0A D a -I,c = 0, A A A . aca a = I,c =. 2, atunci b = O. Daca a =:3,,_ c = 0 atunci b - OA . D aca a = 3A c - 2A atunci b A A concluzie, avem 4 solutii. ' -, CI = O. In
3• ::> ~= •.•.
A A A)
1(0),:;/2(+2+2 t= y
2
~
rezulta ca f(6) = 1. Avem
~i 1 element neutru in (Z;,.),
element mversabil in Z 12 , rezulta A (d et(A)- I)A' = 12, deci det(Arl A' este inversa matricei A ste . b) Se d emonstreaza prin calcul ca A-I = A
este 4.4.4=64.
...I
element neutru in (Z6'+)
de'
ie{l, 2, 3}.
Fie
4
=2
Sk ==x~+x~ +x~.
9
I 2 3
. b)
-~
7 . 12. a)
XIX2+ XIX3 + X2~ 2 .\ A =-.3 ct vem XIX2~
Prin
insumare
rezulta
ca
+ 2S -9 ==-164. 13. a) I =(X -xl)(X -x2)(X -~)(X -X4) => 1 2 4 (1- xl)(I- Xz)(1- ~)(1- x ) = 1(1) = 2. b) (1- xl)(l- x2)(l- x3)(l- x ) ==l(l) = 2. 14. a) Avem 4 XIX2~X4
S3 =-5S
x: = x~ _ 3x + 5 , i e {I, 2, 3}. Prin tnsumare rezulta S3 = S2 - 3S1 + 15. Analog, deoarece iI i x: = x: _ 3xi + 5x , i e {I, 2, 3}, prin insumare rezulta S4 = S3- 3S2 + 5S,. Cum SI = I si ~ , 5 => S3 =-5 -3 +15=7 ~iS4 =7+15+ =27. b) ~ S2 = (Xl +X2 +~)2 _ 2(XIX2 +X X3 +X2X3)=-5 I c ~(x, + X, +x,Xx,x, +x,x, +x,x,) -3x,x,x, ~ -12. •
t..:x,
1•
+( Z
15. Q)f(-X)=(XZ-X+lrO . .
mfirutate b)
de
radacim
d ,
. eel
)4
X +x+l g
=
=f(x) O.
,
"Ix elR.
ca
Rezultli
g=/(X)-/(-X)
Polinomul
I(X)=/(-X)::::>
a
=0 Zk+1
ao +al +az + ... +aso = 1(1) =340 +
a
I. c)
_ 1(1)+ 0+ az + a4 + ... + aso -
1(-1)
2
::::>als-O -
1(1) = 340+ 1
XI 2 b) (XI- x2) + (X2 - X)/ + (XI- X)2 ==2(X2 + X2 + y2) _ 2( I
a)xl•2=±I'X:!.4==±2;
18.
bl r=l a « 8)X-7.
c)
::::>a ==---4, b == 12. b)
~ at:
;:)
u.:
• >
XlR[X]
" 3 a2 nUdlvldepOlinomulf,decignudividepolinomulj
.24.a)
. Din 1(1)==a+b ~i 1(2)==2a+b rezulta cli a+b=I,2a+b=1 a) 1(0)==n::::>n=01(1)-1 , - +m::::>m==-1. b) S =-2m==2 _ I 1)(X2 X ) 2 ::::>m--. - + I. 26. a) g==(X_I)(X2+X+2); 1(1)==0::::> a+b=-2
::::>b ==-2 - a
Din
x
_
' ~rhr unparp ..•ea 2
)
lui
I
X2+X+2
la
se
2
0
bti pne
-3 ~ .+X+2. 27. a) I==X(X -1)-9(X2-1)==(X2_1)(X_9)::::> b) Rlidlicmlle sunt ±l ±3 . , ,care verifica relatia cl 1(3x) - 0 I" "/ ~
==I si
..
tul implirtirii lui I
,res
la g. Atunci
(_I)==-a+b,f'(-I)=a. /
Pe
2
r = aX + b ~I 1= (X + I) c + aX + b,c e lR[ 0.
avem
= X3 -12x
g(-2)~0
si
~(x-~J
Deci
rezulta cli /(-1)=0,
-I) X
~~O~aE(-oo,-I]U[3,oo).
, ,I -2 2 Un cmmdc este X2 _I . ( ~I un cmmrnc este X2 + I)g b) MI' are 2 elemente deci U U U . u [rmea U4 U6 ==U2 , 4 6 are 8 elemente 32 a) Fie C . lui I la g. Atunei reG) = I( ) _ 2 .: ee 0 rlidliclOli a lui g ~i r restul implirtirii e -3& +2&+6.Fle h==3X2+2X+6 Cum ( -h)() . . r e = 0 , g are trei
236
&5
V3r::::-::xIXZX:!, d eCI. XI = Xz ==X:!=. lOb' tinem q =. 3 40 • 3 Presupunem cli / are toate radacinile reale. Atunci f', deci si f" au toate radacinile reale. Cum
at:
•
/(
r(6)":
XIX2X)
ratIOnale ale lui
Q z c:c :E
Avem
a==-3,b==l. b) r=O ~i
~
o
- 0
,
I.
&) = &4+ 3&2+ e + 6 . Cu argumentele de mai sus rezulta eli r = X4 + 3X2 + a== _ ,~e 0,b-l::::>r-I.25.
CL
~
. ii lui/
.
s.
:E II) 1&1
14
C .
.
.' .• a/ 0) ==l{l) ==L: 0 ::::>I nu are radlicini' Z " Ireduetibil in Z 2[X]. b) Daca I ==g . h cu h e Z i in z : Cum gra~ (f) = 3::::> I este dOminanti I ~i deci grad 'h > 1 [X] ~ grad!, h ~ I ::::>g ~l hare coeficientii , g, - . Rezulta J=s-« in Z [X] c. 1(0) + 1(1) + 1'(2') ==3' , _ ' , . 2 ,lals. 23. a) a + I - I b) X - 2 cl f « d ibil ( . IIre ucn I ~ f tus are rlidlicini inZ ~ -I'
~ 1&1
1 +.
2 2 2 2 -2 XI +x2 +x) +X4 ==92? + 3 ==II ::::>2? ==8 2 _ I 2 X3 - a::::> a = 3 ::::>a = I. ::::>r-4::::>r==±2::::>x ==-1 -I 4 b = 12 22 .• 1'(' " " , I ,X2- ,x3==3::::>a=_
i Q
2
b)h=4X4_5X2
l(x)-I(y)==a(x4_y4)+b(x_y) 2
0
a) XI + x2 + x) = -a ::::>a = 0 . X X +
. , I 2 XIX) + X2X) -- b -- b = - 3 ,XIX X:!= -c ::::>c = 2 b) r;:: r;:: 2 x2 = -,,2 ::::>x) = -a e Q. c) Presupunem lil " . XI = ,,2 ~ . e are 0 rlidliemli k mtreaga Notam ' , polrnomului/la X +k , Atunei I(O)I(l)=(-k)(I -k) ( . g eatullmpartirii 2 g O)g(l)::::>k(k_ 1) impar, fals. 17. a) I=X(X +12X +20)=X(X +1O)(X +2)::::> ==0 _ 16.
. . distinete ~i grad (r - h) ~ 2 , rezulta eli r = h. b) Fie s
are
/
fals. 41. Pentru X e lR ,
nu are nicio radacina iar celelalte
reala. 42.
doua radacini
Cum
ale lui / sunt
+ I . Cum !!. = (a _I)Z - 4 ,fare toate radacinile reale daca ~i numai daca 43.
Folosim
sirul lui Rolle pentru functia derivabila
g:lR~lR,
+ m . Avem ±2 radacini pentru g', / are toate radacinile reale daca ~i numai daca
g(2)~0
+2(x-~)+a+2==0
~
me[-16,16]. ¢:>
44.
Fie
IZ + 21 + a + 2 ==0 , unde
xeC. 1
1 ==X - - • X
Avem Dacli
X
/(x}=O~
e lR ,atunCI
.
1E
lR
,
deei 6~O(:::)4-4(a+2)~O(:::)
S
.
.
2
-1. Daca as -1 , atunci ecuapa 1 + 21 + a + 2 = 0 are r.1dlieinile 11,/2 reale. Cum r.1dl!.cinile din IC 1 I· f .. ··1 2 a e Ul sunt solutiile ecuatu or x - t,x -I = 0 i = 1 2 eU 2 6 = I. + 4> 0 rezulta clifare toate ..x ..•~ . ·1 9 " "luaCIDI e reale. In concluzie, a ~ -1.45. a) Avem al = fl{O) . a
I
Cum /'=30(X2
+x +2f
Cum x2+x+2>0 • .
{2X +1)+30(X2
~i x2-x+3>0
-X
pentruoriee
. .
+3t
XElR
(2X
-I),
"
rezulta eli a =30(229
_329).
l
rezulta ca /{x»O'v' "
1!l>
X E A,
d
,
if
eel
b)
rationale.
fJ
= ±I. Cum q a , rezulta cli / are radacin! rationale daca si numai daca a = -3 sau a = I
Dacli
/ (I)= a + 3,/ ( -I) = Iin concluzie, valorile intregi
/(
= O,p,q
E Z,q;e
ale lui a pentru care/
Daca a = 0, atunci /(0) =0. Dacli a = i, atunci cerinta. 48. Avem /(0)=a'/(1)=a+3, daca si numai daca a E
...• UI
a: l-
i
/1,
p,q
Q
este ireductibil peste
/(2) = 0 . Daca
gradul lui /
a=
unde
rezulta
deci
E
sunt a E Z _ {_3, I} . 47:
2, atunci /(i) = o. Deci/
Rezulrg
are riidlicini In Zs
este 3, rezulta cli polinomul este ireductibil peste
Zs daca ~i numai daca nu are radacini in Zs, i.e. a de
atunci
/(2)=/(3)=/(4)=a+4.
{o,U} . Cum
/(x)=x4+4x4+3=3;e0,
0,
E
P,4} . 49. a) Cum
concluzia.
b)
XS = x, 'v'x E Zs , rezulta cli
/=(X4+1)(X4+3).
50.
3. ANALIZA MATEMATICA (clasele XI-XII)
3.1 Limite de ~iruri. Limite de funqii. Funqii continue. Funqii derivabile
fel1'la
.llinl/(x)=limxl
,.
11,/
nu are
rucio radliCIDlllireala. 46. Cum gradul Iuij" este 3 rezulta cli polinomul est . d ibil .. .. .' e ire ucti I peste Q daca ~I numai daca nu are radacini rationale. Vom determina valorile intregi ale I . tru UI a pen care / are radacini
,.rtea
~
gul
In(x2 + 1))
(
x ....•co
X4CO
a
o
. 'S
:
;:)
o
.
/=(X2+1)(X2+X+2).
b) Cum 3
x3=X,'v'XEZ3,
= g( x), 'v'x E Z3 , unde g = X + X2 + X + rezulta cli g este ireductibil peste Z3 .
2.
Z
.1
2. 0/
Avem
lim lex)
x ...•-«>
= -I
X
la gra ficul functieij''spre I
~
UI
~
•
;:)
(cu
+1
X
2(x2 -I)
;
(x2+lt
(cu L'Hospital!)
~i lim (f(x)
-00. Cum xlim lex) = 0, dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00. ...• oo
Oarboux (fiind continua), este descrescatoare
are rlidlicinile reale functiei/pe
="25. ~I
XI
X2•3
x
x-+co
X-+"""'«l
= 2(2x - 5)(x2 - 5x + 5). Ecuatia
f'(x)
=0
5±.J5 . AI ternativ, . a firmati = -2ana rezu It"x ap I·' tcan d teorema IUl. R0 IIe
~E
-00
f(x)
Cum gradul lui g este 3 ~i g nu are rlidlicini In Z3'
+«>
'\.
0
+++
-I
?
= 2x+I_2x.inx+I,'v'x>0. x +I x = lim/(.!.) y.j.o y
5. a) /'(x)=e"
~E
5
"2
-2-
f'(x)
avem /(X)=X4+x3+x+2=X3+ 2+x+2= X
c) lim lex)
lui
intervalele [1,2] , [2,3], [3,4]. b) Calcul direct. c) min j'(x) = -1 (vezi tabelul de variatie) .
a)
4.0) f'(x)
c) Deoarece / are proprietatea
si lim lex) = +00, lim lex) = 0, rezulta 1m/ = lR .
3. 0) Avem lex) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) ~i f'(x)
HOO
+ x) = 0, deci y = x este asimptota oblica
x ...•-«>
= - eX1+I < 0, 'v'x E lR, deci / este strict descrescatoare,
b) f'(x)
CC A.
2x
X400
pUllctele de inflexiune sunt -I ~i 1.
o ;:)
00
deci j este crescatoare, c) /"(x)
;:)
u.:
X
x400
(x _1)2 b) f'(x)=---~O,'v'XElR, x2+1
lui L'Hospital).
[ooJ .
. In(X2 + I) lim =-=hm-2-=0
=+oo,intrucat
X
-2-
* '\.
0
+++
-I
?
0
b) limf'(x)=
lim(2X+I_2in(I+.!.)X)=2_2ine=o. X +I x
x ...• oo
X-+OO
I
[Q]
= lim y -in(1 + y) = = lim 1- y+1 = lim_lyO / 0 y.j.o 2y y.j.02(y+l)
-I, 'v'XElR.
+00
Functia j' este strict descrescatoare
=.!. (cu L'Hospital!) . 2
pe (-00,0]
si strict crescatoare pe
[0 +00). Singurul punct de extrem al functiei este x = 0 (punct de minim). b) lim ,
x-+o
eX -x-I 2
x
I = -2 (se
U
III UI
Z >CC CD
a:
UI \110
aplica regula lui L'Hospital).
d
x
•
UI
f(x)
~
o
7. a) f'(x) = __ x_
~
rex)
,,/x +1
238
-I =
2
Z CC
•
=e . c) Din tabelul de variatie rezulta 1m/
/(x))"
-I
-00
(x2 + I) x2 + 1
0
-,
>t
1 ,,/x2+J.(X+,,/x2+d
1 ----);=== > 0, 'v'x E lR,
1
0 +++
f'(x)
e o a:
c) Din a) rezulta ca lex) ~ /(0) (:::)eX ~ x + I, 'v'x E lR.
2 6.0) /'(X) = l-x , x e R. b) lim(l+ 2 x +1 x ...•eo
I
-"2
/
+00
0
}I
I
"2
-,
< 0, 'v'x E R , deci
deci / este convexa.
=[-~'~J.
c)
>t
f
0 este strict descresclitoare.
. . hm lex) = lim x ...•ee
x ...•00
b)
1 - 0 deci ~I - , x+ -q x: + I
dreapta y = 0 (axa Ox) este asimptOtli orizontala spre si
-toO.
Apoi,
j;2;1 + y _
= lim y->",
limf'(x)
- -2
_y
I
-0
~ -, y->","y- + I + y
deci dreapta de
f
1 = -2 , rezulta cll
Is '(I) = 2, fd
'(I) = ~ ' decifnu
2
Inf(x)
In(x+lnx) x-I
xJ.1
e derivabila in x = 1 .
f '()
2x x = 3/' VxeJR\{-II} 3~(x2-lf ' . Deoarece lim /'(x) = -0 x,
0, Vx>O X (x + I)
15.41)
x f()lim --= x - x ...•-ool+\x\
. x~
x
.
f'(O)=hm
x ...•o
f(x)- f(O) Ii I = m--=I. x-O x->ol+\x\
continua pe JR ~i derivabila pe JR. , intrucat !,(- -1. Functiaj" este strict crescatoare pe (-1,0]
. f"( ~I
)_
-toO.
=~.
si strict descrescatoare
pe
x +I .
= -.,fe, fd '(-2) =.,fe, adica)"
2 =e ,
=e'~:~1
= eO= I. b) y = e este asimptota orizontala la graficul functiei spre
x.!.o
de unde, conform unei consecinte a
Is '(-2)
x > I avem
_. 10(1+ y) _ [ -I. c)
f(x)
~~7
1
=
-"2'
&AI
0""·nu este derivabila in x = -2.
x f"
* O. Functia
(0,1)
240
f(l-
U (I, co]
derivabilape
daca x < -2
= 3x - 2 X4
'
X
-
3x - 2 ---4
-
,
pentru x> -2 ,
x se anuI aza doar i 2 . e oar III Xo = care este unicul punct de inflexiune aI functiei f, intrucat
i§i schimba semnul de
13. a)
•
f"
c) f"(x)
3'
0 parte
§i de alta a acestui punct (faceti tabeluI de semn!).
0) = f(l) = f(l + 0) = I, deci f (operatii cu functii continue), (O,I)u(l,
~
23 a) I(x)
5
ffi' ~
a
n->a>
0
+
I)] =
n-+a> :::e-I
~(/(:2 )- 1(;)) ~~(:2 I) . c. un 6)
=
I(x) - 1(0) 1 lim ., xto x- 0
+1-(;-1))
I· ( 1- xto x
Jim
-3n2
n->a>1(n3+3n2+1)2
+n{ln3+3n2+I+n2
Jim I(x) x--+-- I nu este derivabila in 1.
2
lim/(x)=-«>.
este asimptota => I
1a
este injective.
I (lR) = R , deci I este
surjectiva,
1
1
1
= /,(0) = 2 .
'(I) = /,(rl(l))
'o X - 0
Deoarece
1- cosx) _ .. I(x) - 1(0) - 1 ~I hfD x x 0 X - 0 0 ~i 1'(0) = 1 . xto
[A2;;L/(I) n~.!. 2n -I
2;;-1] ·-1n
V
0
vecinatate
a lui O. Este
Fie sirurile un =
. (
= lim xJ.o
eX -IJ x + -x
Inu este monotona
sa aratam
1
vn =
~l.
ca exista
= 1 ' rezulta
11.
Ii
II)
= In2 .
(cu
~i
iteriul cnen
derivabila pe R . a,b,e E V,
1
0
n-+a>
3; + 2nf( , n ~ I. Cum
Din faptul ca larctgxl o
Z
u este strict
lim I(x) = O. Cumj" are proprietatea
~I
rezulta cli 1(0,00»)
x-+±oo
~
ca
X-+CIO
Darboux ~i este strict descrescatoare,
'D. II)
deci dreapta de ecuape y = 1 este asimptota (orizontala) la graficul functiei/spre = [(1 + (f(n)
u:(O,co)---+lR,
'] . Cum (f(n»"
', -I) u {O}u(I, co) , care nu este interval, decij" nu are proprietatea lui Darboux.
,x>I
I" , Jd
spre
_~-In(x+l) ( ) - x+1 ,,:J
tui
1
.J 2 x-I
lui I
UI~-'
x
,
.,
Jfaficul
12(X)'
Jim I (x) = Jim _1- = 0 => y = 0 este asimptota x-+a> x-eec X + 1
Cu regula lui L 'Hospital,
,I
apla
+1
X --
-
1(x3+3x+4)2 e) /,(-1)= Jim I(x)-
. deci dre
=0
+X:VX3 +3x+4
p
2'
x
(-00,0) (0 +CO) . XE , E
CIIi=
~ ~
::i •
24
~l.
Pentru x=-l 30. a) f'(x)
X= 1 0 bti pnern
= xcosx; x
C1=-- tt si
2
sin x , '.
2
.intrucat
f(n))
0, deci lim(!(n+I)"""".
°
n
'.I
(n,n + I) astfel
n-+«>
>0 'i~
'
_1_)
I (I = -3
_
2)2
3
a
'OO
•:
.
t unctele de inflexiune ale funcl1el. sun p
2, '
'" A sm
..: tC
.
~
39.11)
°
f(5) < f(3) .
I
n
(n-l)n(n+I)=0=>lim2-'Lik)(0)=-. 3 3n2 n->oon3k=1
I
'
x->OO
singurul punct de extrem al fractiei f c) Inegatitatea s~ sene : · . f tul x f'(x) < ' adicafeste strict descresclitoare pe (0,00). FoIosim apoi ap ca , , . . t 38. II) f'(x) = (x2 + 2x)e ', iar daca
obtinem
v312' x-
+~)
2
X,
~if este strict crescatoare, prin inductie se obtine cli (xn ).~O este strict descrescator. Fiind monoton ~i mlirginit, sirul (xn ).~O este convergent.
xaf(x)=
x ••.•eo
l: VzC
-
2
'-
2 I" lim xaf(x) Pentru a < - rezu l4 3 x->oo
an+l - an = -In(1 + an) < 0, '
~ Y.I
J;+i
sin
-
37.11)
Cumj este continuaobtinem obtinem
--inl_ 2
+ex>
a.
inductie
J;+i
I ~2sm
-in .
+
2xa
f este:
A.
~
(7i
= -+ 2
n
2
b) Tabelul de variatie al functiei
~
pe (-I, 0] ~i este strict crescatoare pe
b
~i
2
f ( n + I) - f( n ) -
• ca't m
36.1I)f'(X)'"
(pe I) si doua solutii pentru me (-00, -I) .
1'(x)
2 ~oo
=(2mr)
. It mativa: Conform teoremei lui Lagrange, pentru orice n ~ I, exista cn Solul1e a e .
obtinem ca ecuatia f(x) = m nu are solutii pentru me (-1,00) , are
~ 32. a) :::)
an
-f'(
c) Folosind sirul lui Rolle pentru functia g: (0,00) -tlR, g(x) = f(x)-m,
•
(Fx)
nO
ae[-I,oo).
ca n-+OO lim c, =
E
l
~=_I x-O
\f(n+l)-f(n)
. Valoarea maxima a functiei este f(l) = -I; rezulta ca
...
intervalul [n,n + I), n
d It' ca f nu are limita la +ex>. b) Pentru orice de un e rezu a -cosFx ' __ tirol-cosFx =_lirol-COSY 2 ,deunderezultaca fAO)x~O (Fx)2 y->O
c) Avero.
....-00
este convexa. b) Existenta punctului
2
'f(n+I)-f(n)=-2sm
+ex>
f
n
. J;+i
°
-00
b) Conditia este echivalenta cu a ~ maxf(x) iil
.!..)n . De aici rezulta
"1 ~ PentrU sirun e
J5.
oare
strict crescatoare pe (0,1] si strict descrescatoare pe [1,00) .
Functiaj'este
881&--
Tabelul de variatie al functiei este:
° ----------
deci
,
N*, iar unicitatea f'( ) d este strict crescatoare pe (0,00). c) Avero fen + I) - fen) = cn' e
din teoreroa IUI rezultA d f tul ca f' .•••'ratA e ap ____
are,
,
-I +++++++++
vx» 0
x-x'
. Lagrange aplicata functieifpe
deci f este strict
(fiind continua),
"( ) -.!. > 0
f
j'(X)",lnX+1,'0=>
llb ••
u: (0,.::.) ~ R, u( x) = xcosx - sin 2 x eSte
deci u este strict
ca
()x
f((O,%)J=(;,I)-
= 1- x, ' 0 ~ x(x+ I)
pentru orice k=l,n-l.
este functie continua, ecuatia
f
n -I
/"(x) = 0 are
are proprietatea
Din
surjectiva. b) (j-I)'(ln2)=
solutie pe
puncte de inflexiune .
este strict descrescatoare,
Iui Darboux.
0
Ca
f
este
= 0, rezulta
ca
deci este injectiva. Cum
f(O + 0) = +00 si
lim f(x)
x ...• oo
(~ )=_1_=_2. /'r (In 2) /,(1)
•.•
Vx > 0 ~ », r= f(1) + fi2)2 + "')+ fen) = ~(n2+ 1»), (V)n ~ I. Rezulta ca Inn+1 Inn+1 2 ==lim In(x+l) =[~]=Iim x +1 =.!.. x ...•co In (x2 + 1) 00 x ...•ec 2x(x + 1) 2
I(x) = In(x + 1) -lnx,
limu ~-.",'
••••
intrucat
--
' rezulta ca f(k+O)
ri x) = __
descrescatoare,
= +00,
x.i.k
b) /'(x) = - t--1-2 *=1 (x-k)
fiecare din intervalele (k,k + I), k = I,n -I . Asadarj'are
xe[O,I)
obtinem I(x) == (x -1)(2 - x), x e [1,2) . Se arata usor ca I este continua pe [0,3]. (x - 2)(3 - x), x e [2,3]
f(x) , x'# O. x
= 0, folosind criteriul cu siruri pentru limite de functii, deducem ca g nu
xtk
Iml = (0,+00), decifeste
~ ~
46
Daca
~
~
ex:
si
2
I
pnn trecere la limita in relatia de recurenta ar rezulta ca I ==kef ==I , ceea ce nu este posibil. Deci
~
atunci If(x)I=lxl·
= I si lim g(y.)
descrescatoare
+00
15
IU
x
x ...•0
adicli dreapta x = k este asimptota verticala,
ecuatia
I
to
(cu regu Ia I'Ul L'Hospital)
n-eec
f(-oo,I»)
0
-m 1+00
> 0, Vx > 0 ~ a. > 0, Vn e N
crescator. Deci (a.
X
are limita in x = 0, ceea ce este echivalent cu faptul cafnu are derivata in x = 0 . 46. II) lim f(x) = 0, deci y = 0 este asimptota orizontala. in plus, limf(x) = -00, lim/(x)
+00
a.
f(x)
I x dH x
intrUcat
.t...J k=1
(cu
/,(0) = 1 , obtinem lim f" (X!+~x' = nt"(O) .
Daca xelQn[-I,IJ,
If-+CX>
-m
g:JR*~JR,g(x)==f(x)-m
3
c)
ri» ==--/"(0)2
Jim f(x) - x = [0] - = lim I '(x) -1 = [0] - ==lim -0 x2 0 x ...• o 2x 0 x ...• o 2
X
II)
este
1'(0) =-= /,(0) 1+ 1(0)
=f(x)-x'~/'-*(X).x*-I=/(X)-x.~(f(x»)'-k .+I.t...J 2 X *=1 X
x ...•
x->O
. I '(x) lim--x ...• o 1+ I(x)
x...•±oo
g
:E •
'tal) .IA f"(x)-x' ospi . c) vem .+1 x
x ...•
lim g(x.)
4e 2 - m
.!. eX, Vx e JR•. Cu ajutorul sirului lui Rolle deducem cli ecuatia are exact doua
-e
. In(I+ I(x») lim : 1.
IJ= In(~' n+l) = In n+1 ~
.fIk+ k=2 k
= 0 ~ y = 0 (axa Ox) este asimptota orizontalilia graficulluifspre
lim I(x)
2
b) f'(x)
1
(I).
I-~
+
~ (- Qk
2
~IimLJTf n ...•eo k=O
(k) (
.
)
3 =4.
= x~; 1, 'Ix > 0 . Valoarea minima a functiei este 2, ~i se atinge in punctul x = 1.
b) f"(x)=";'>O, x
Vx>O~f
esteconvexa.c)
f(x»O,
VneN.Deoarece
'v'x>O~a.>O,
a. =...!... > 0, 'In eN, rezulta sirul este strict crescator, deci are limita. Daca I = ~ a., atunci a. • Ita I I + I adicx! = 0 , ceea ce nu este 0l~lim/(x)=O.
n-+OO
Studiem continuitatea in punctul Xo = 0 . Pentru orice x e JR avem if(x)1 ~ lxi, de unde rezulta ca !~/(x)
= 0 = 1(0), decij'este continua in origine. Asadar.j'este continua pe multimea Au {O} .
c) Nefiind continua cu punctele ~, functiaj'nu este derivabila in aceste puncte. Arlltlim cafnu derivabila in Xo = O. Pentru aceasta consideram sirurile u. = ~ ~ 0 ~i vn = .fi n
Z
a:
Q Z CC
~
• 248
Ss. a) este
n
CC
o
ibil.Deci .' Iimf-(a.) poSI I. Deci I = +00 ~Iatunci
n
~ O.
Cum
.
f(x+l) f(x)
hm --x ••.•""
1(0)
», -0
-;;-0 I(v.)= -= I ~ 1 ~i ~-O n
1(0)
», -0
0-0 . = -= 0 ~ 0 , deducem ca I nu este derivabila in un-O
-
.
an
b) f'( '/
X
)=3x2+1>0
"
VxeJR
deunderezultacal
. .., . a . lim f(x) = +00, rezulta ca este strict cresclltoare, deci este injectiva. Cum I este contmu ~I x ...• :t«> • .. . deci te i rsabila c) Pentru orice f(JR) = R, decifeste surjective. In consecinta,jeste bijectiva, eCIes e mve . l
x>1
avem fW-;)=x+if;+I>x
I I(un)-
n-+CD
2 x3+3x +4x+3_1 3 x ••••ec x +x+1 .
= hm
)-1
1 - . = Lim(l+ 2"
an
~i f(if;-I)=x-(3(~fxf 1
crescatoare, rezulta
f'(x)
if;-\ < rl(x) < if; ¢::> i- if; < if;
Cum
-4if;+I)
X,
o.
Cum
lim Inx = 0 ~i lim Inx = co, rezul.~ X
X~f'(x)=/(x).
b) /(x)=e
(()'
,
x+I)lnx x
lui Lagrange
cxE(x,x+I)
astfel
1
mcat
aplicata
functiei /
. t
pe in erva
/(x+I)-/(x)=f'(cx).
Calcuilim
,V'x>O .
x
lul
[
x , x + I) , x > 0 ,elUstli .
lim/'()
lox
limx:;=lime-:;-
. m obtJIIe
=/(x).X+I-lnx=x:;.x+I-lnx x2
x.
X--+te
si limX+1-lnx=lim(I+.!_lnx)_I
=eo=I
x-+""
z-eec
X
X
x-eco
X
-,
x--+oo
c, = co, rezulta cll ~
Intruciit ;~
. /(x). 57.0) hm--= X
.e-e-ec
I limcos-=I
x ...•co
X
asimptota oblica la graficullui/spre
(I(x + I) - /(x))
= lim /'(c ) x x-+oo
§i lim(/(x)-x)=-lim x ...•""
punct
E
= 0 => y = x
este
(x,x + I) astfel incat /(x + I) - /(x)
= /'(e) X
Cum /,( •
)_ I I. x -COS-+-smx x
I. ~I
x
I 0.
~
~
a functiei inverse obtinem:
derivabila, bijectivll §i I'(x)
= I +_1_ > 0 \I x2 + I ,x
(1-')' (I + ~) =,
ffi
I I (r'(I+~))
/(x) > O·
= _1_
Q
0, \Ix
1'(/-'(1))==
E
... ' oncare a x> 0, pnn inductie obtinem an > 0, \In EN. Din an+,- an = arctgan > 0, \In E N rezulta cll irul ( ) . I . ,§ an n~O este stnct crescator, deci are lirnita. Fie = lim a 0 < I < +co Da II I lR . x ...• '" n» • C E, pnn trecere la limita in relatia de recurenta obtinem
ci ~
e) Avand In vedere ca
a functiei inverse
teorema de derivabilitate a functiei inverse avem:
==(r')'(I)==
exista a
•
12. II)
(J (x) - x) = ~
x-+'"
;; ~
11)0
(x)
Jim /
.
c) Propozitia se rescrie sub forma exists
a:: ~
1'( x)
este strict crescatoare,
Cum
r'(I)
~_I
Deoarece
~nx.
• OS
r'(n+')-
I
0, .
este surjectiva,
bijectivli. b) Cu teorema de continuitate
(n n+ I) ~ 1-' (I) ==1. c) Folosind
==I-i
SUJjectiva. Functia /fiind
[x,x + I], x> I , rezulta existenta unui
::> ~
n
rezulta cli
an+, ~
+co.
~
x
x
=:too => I(lR) = R => I
lim I(x)
x-+±ao
x E R,
0, -
n
1. I-cosy - - Y 1m --- y ...• O
l
x ...•"":;
b) Din teorema lui Lagrange aplicata functiei / pe intervalul C
= I.
CutD
lui Darboux si
I este
. obtinem a,2 + a22 + ...an2_-
V'kEN,
- 0h"
x-+ao
1' cos; _
~
j
= lim f'(x)
I '(x) = 1
II)
ak
+ 1> 0, oricare ar fi
Jinln(u.-I)==~
Deoarec e
d d e ucem cll lim
.,1.
2_ Ok -
se obtine din faptul ell
~Iuzia
I'
x-+""
are proprietatea
.,
-I limeY-I -= y-+O --=1 y
-In-x
X-+CCI
a 2 , deCI. a -0 - . Curn
(J -
c~
x ...•
o x
btitmem: lim nx. ==limr'(~)-r'(O) •...• eo n...•'" ~-O
x ...•
o
este strict crescatoare, 1(0)=0,
==(/')'(0) -
deci este injectiva. Intrucat
limf(x)=co
~i/este
crescatoare,
f
rezulta ell
sUJjectiva. c) Functia / fiind bijectiva, rezulta ca sirul (an a. > 0, \In EN.
ell
a.+, = f-' (a.) >
.
Intr-adevllr,
r' (0) = 0
a It - a n+l = In(1 + a n+I" ) > 0
(pentru 'In
E
ca
din
ipoteza
r'
este
lui Darboux (fiind continua),
f([O,co))=[O,co),
t~oeste bine
avem strict
-- I_I - f'(O) 2
==1+_1_ > 0, \Ix ~ 0, rezulta cll/ x+ I
are proprietatea
x ...•'"
inducpe
I f'(r'(O))
de derivare a
ao > 0,
deci functia
este
defmit. Demonstrlirn prin iar daca
crescatoare).
a. > 0, Din
atunci
faptul
ell
N rezulta ca (a n ) n~O este strict descresclitor. Fiind descresclitor ~i
'" Hill am ' treeiind la limita in relatia de recuren\A obtinern
marginit inferior de 0 , sirul este convergent. Daca / = lim an (0:0; / < 00) , trecand Lalimita in relati recurenta rezulta a In (L+ a ) _n =1+ n+1
an+1
/ + In(l + /) = / 1+In(L
a + n 1
, -.!.....
= n-?!--Ii f(an+l)
lim ~a , n-+oo n+l
.
X" X
{2k I k E
0n+l
I
. f(x)
sunt: 2~-1' 2nl_2' ... ,
I.
~
1-
~
65. a) Cum n" V (n + I) _ I (n ))
rn+i2n + Fn
~•.
egala eu 0 daca. a < ..!. 2 ' cu I daca a _ I
~::
din teorema IUl Lagrange pe intervalul
5
l(k+I)-/(k)=f'(ck)=
-"2
~I.
ca l(x)=k,VXE(2k,2k+1)
"K~.C)
.Jk+1 0 , continuitatee functie
astfelincat
e -x. -1 . •Intrucat x; ~ 0 , rezulta ca lim nxn nxn = 2 + __
In(xn)=O.
f. imp!'" faptul
c) Din f(Xn)=0
obtinem
=3 .
n-+OO
70. a) 1'( x) = nxn-I +..!. > 0,
I.(0 + 0) = -
rezulta
~/(x)
•
[k ' k + I] , k E N* . Atuncict exista . sx
; ~
si f'(x)
ine
b) ArlItam ca ecuatia fn
~ 2
-_ ~I2n+ a~ + I ,Vn ~ I, rezulta ca limita ceruta este
deci (xn).~1 e strict descrescator, Din b) rezulta si l(n+I)-
_
. mtervalul
ca
are trei solutii reale a < b < c , aplicand teorema lui Rolle functiei fn pe fieeare dintre intervalele
~
(rn+i _ Fn)
I din
ale functiei t'
I b) Functia j indeplineste conditiile cu +00 daca a>"2.
xn+l-xn=
JR*. Cum
. b) I(x) - 1(0) = sin..!., Vx E JR* . Cum functia x ~ sin..!., x E lR* nu are limita in Xo = 0,
.~ orig II'
x E JR* , rezulta
= Ixl. \sin ~\ ~ lxi, pentru orice
69. a) f'(x)
k
.
~i 1(2k +0)= k , rezulta ellI
Z} . D·in faptul
"ci:-.CumckE(k,k+l),rezulta-I- 0 , deci F este convexa pe lR
+2 e
limF(x)-F(I) x ...• 1 x-I
b) Fie Goprimitivaoarecare ~
V'XE(O,+«». a luij
.
Deci G'(x)=I(x»O
V'
3. a) Se verifica ca F'(x) = I(x),
G(X)=F(x)+a,
)
G'( x) =
0 x2 + X + 1 > , V'xE lR => G este crescatoare.
10. r(x) -
d) F"(x)=
2x+1
_
( x 2 +x+2 )2 -
i
;:)
. 'S
12. Functia
f. (n)
E
(
I este
=/(1)=0.
;:)
= 9 -4a:5; 0 => a
±F'(I)=e(4 +a)=±=>a=2Ie 2
b) ~F(;~~(i)
;:) Z
c) Ecuatia
«
x + 5x + a + 3 = 0 => 6
u •
c
5. a).lim F(x)-F(O) x ...•o x
•
;:)
~
b) F'(x)~o,
Z
>C
ID
c) F"(X)=I'(
f5
"" ci •
F'(O)=
= ~J!(x-(n-l»)(l-[
-x( -ax
~
lim In2X=+«>.
c)
x ...•.•••
c=2.
2 = x sinx => a
= -I,b
= c,2a+
C
= 0,
deci
de speta I, ea trebuie sa fie
I este
continua pe lR \ Z. Aratam ( n -I» cos
(1+ 2x)
II
2
Id(n) = ~(x-n)(l-(x-n»)
= 0;
I(n)
= 0,
primitive.
ca I este
continua intr-un punct oarecare
n EZ .
= 0;
. Id(n) = lim(x - n )cos (I + 2X)ll
E[~4'
0;
2
x\.n
+co
I( n) = 0, de unde rezulta continuitatea lui!
14. Daca F este primitiva unei alte functii
.
continua pe lR . F'(x) =
J.
!
I:
lR ~ R , rezulta ca F este functie derivabila. F este
4X3 + 1 pentru x < 0 2x ,deci a = I. -2-+ a pentru x o O x +1
15. Daca G este primitiva unei alte functii g: lR ~ lR, rezulta ca G este functie derivabila. Din continuitatea in Xo = 1 gasim b = 1 , iar din derivabilitatea in Xo = 1 gasim a = 0 . 16. Functia F este derivabila
_ a-I
pe
IR. Din continuitatea
in
Xo = 0
gasim
a = c = 0,
iar din
derivabilitatea in Xo = 0 gasim b = 1 .
(
+2x a-2)+4-a)
X
=> a
17. F este functie derivabila,
aE[2,+«»
18.
cu 6=16>0.
= __ 1_, b=~=
In3
I
__ I_ In23 .
In3
f. (0)
=0
= Id
F. (1)
= a + b = Fd (1) = 1.
(0) = b si f's (0)
= a-I = Id
(0)
F", (1)
= a = Fd '(1) = 0 => b = 1.
= I => a = 2 .
19. Avem lim x" In x = 0 pentru a E (0, +«» , deci functia I admite primitive pentru a E (0, +«>) . x ...• o nO
7. F'(x)=a,/3x+I
+(ax+b)
-e ~
8. a) lim F (x) - F(I) = .!./(I) x...•1 x2 -I 2
•
b) F'(X)=I(x)
254
2
b=-2,
-1)J) = 0;
x-en
x?n
-4.
~i 6=16-4a2:5;0.Deci
V'XElR=>a>O )_ X =e
4a > 0 => a E ( -00,
6. F'(x)=T (a-axIn3-bIn3)=xF
III
z
= 13 -
.
lim F(x)= x
ax2 + b) + c(sinx +xcosx)
-sinx(
= 0 are doua solutii distincte, deci
2
~ ~
o
F"( x)
b)
15
x ...•.•••
~
o
-4
=-
C
continua pe lR \ Z . Trebuie aratat ca I este continua intr-un punct oarecare n E Z .
I,(n ) = lim (x -
1
0 => x = --2 punct de inflexiune
2 x +3x+ a) ~ 0, V'x lR => 6
X
=e
4. F'(x)
= 2axcosx
13. Functia
Q
u:
2 b = -, IS
5
b=c=2.
III
~
2
2
de unde rezulta continuitatea luif, decij'admite
.fill + .fill ] . 3 a'-3 - + a ,deci Gnu este surjectiva.
...•
..r;+i
r(x)=aIn2x+(b+2a)Inx+b+c=In2x=>a=l,
I'f, din b) a w , '/ g este strict crescatoare, deci este injectiva.
deci ImG=[-
ax2 + bx + C r=r: =x"x+l => 2 x+l
11. Functia admite primitive ~i cum nu poate avea discontinuitati continua, deci f.(0) = I ( 0) = Id (0 ) => a = b = 1 .
V'XElR.
b) Fie Go primitiva oarecare a luif c) Fie Go primitiva oarecare
(
x E I,+«> => G este crescato
,
[I ,+«>.)
+
= 2x + 2x => a = -,
2 Sax + (4a + 3b ) x + 2b + c
•• (I)
2. a) F'(x) = );(inx-2)+2.Jx~=I(X),
r=r:
c) F'(x)=/(x)=(2ax+b)"x+1
3 2,/3x+1 =
= x../x + I, deci
_ ~ -,,3x+1
=>9ax+3b+2a=6x+2=>a=~
3'
b=~
9.
J2
20. a) I(x)=
1(0),
2 .
f e strict
l
arctgx x x'
descrescatoarepe
0] .
(_I ,
~!
s
tri
b) Pentru ct crescstoare pe [0, +«» .
1(0)=1
*0 admiteprimitivepentru
I(O)=lim/(x)=I. x ...•o
x=O functia admite primitive (pentru ca este continua) ~i l(x»O,
(pentru ca x ~i arctgx au acelasi semn).
V'XE]
.
F(x)
c) lirn --
. = lim 1(x) = 0 .
X
x-++«>
X-H"«)
1 este Id{O) = y~{xlox
21.a)
continua +sinx)
pe
(0,+00)
= O. Deci/este
si
pe
I.{O)=/{O)=O,
(-00,0];
iar
continua pe JR .
b) I este continua pe JR" (functie elementara)
~i
Iim/(x) x ...•
= lim sin x ...•o x
o
x
= I=
I{O),
4
. b) Fie
deci
I
este
continua pe JR , deci admite primitive.
I.
(0) =
f(O)
=0=
fd
r . F4 '(x) J4'
. iti x lui pnrm IV •• a
0
F4(x)
= _x_
x2 + 4 ~ 0, ';Ix e
JR , deci
F4
este injectiva,
3
x __16 =>F4(x)=--4x+8arctg x2 + 4 3
4 2_4+ __ x_=x 14 ( X ) - x2 + 4
litn
c) f este continua pe (O,+oo) ~i pe (-00,0);
F4
= -00 ~i cum
F4 : JR~
x+c,
ceJR.
lim
F4 ( x )
=+00
. ~l
x-+-t-
(0) . Deci j" este continua pe
JR.
dF~. F
0
f.n . Daca n este
pn'tm'u'va oarecare a lui
numar par
F'(x)= fn(x)~O,
';IxelR=>
F
este injectiva. 22. Fiecare dintre functiile are cite un puncte de discontinuitate . .. primittve.
I. (0)
a)
= 0"* fd (0) = I , deci
Xo = 2
Pentru b)
f(J(x)
23.a) b)
JlIf f'(x),
c)
ff'(x)-
...•
~i pentru c)
+ f'(x))exdx arctgx +
Xo = 0 Xo = 0
= eX . f(x)
~(x))dx
=
x +I
de speta a I-a, deci nu admit
este punct de discontinuitate
de speta a l-a,
sunt puncte de discontinuitate
de speta a l-a,
F'(x»O,
Dacl n esteimpar 26 •• ) Fie
F
';Ix e
primitiva oarecare a lui
0
arctg
x+ c.
I b)
a:
i:::;)
eX
f(x) dx= fexf'(x)-eXf(x) e2x
f-dx=~+C. xn I-n
dx= f(x) +c. eX
27 •• )
fJ;(x)dx=
f : dx= x3
d)
-e ...• cr: A.
e) f(sinx, f(x)-
·
:::;) U
U
·
:::;) Z -e
a:
f(sinx. f'(x)+cosx,
f(x))dx
ccs.r - f'(x))dx
eXf(x)-exf'(x) f2(x)
1) f g)
dx
= f(x),sinx+ =-
f(x).
cosx+
C.
ff 2(x)dx=
2 f_x-dx= x+3
·
U 11'1 1&1
24.a)
_ eX « f(x) +C.
b) f(-f'(-x)+
Z
oct CD
c)
a:
·
fl"(x)-
f'(x)
dx
= eX.
d) f(U,)2(X)+
>
f'(x) + C.
F4
o primitivllalui
c) Fie
Fn
0
f4; F4'(X)= xX+3~0,
primitiva a lui
= xn-1 ~3
28._) ffo(x)dx=
f(Jo(x)-
fexf"(x)-exf'(x) e2x
dx= f'(x) +C. eX
f{x)f"(x))dx=f'(x)f(x)+C.
a:
F4
';Ixe(-3,+oo),deci
cr: ~
• 256
R
25.a)
fJ; (x)dx
=
f x2:
este crescatoare.
< 0, ';Ix e (-3,0) => xn-I > 0 ';Ix e (-3,0) => n este numar impar.
J;(x))dx=
=-
b) Fo(x) c) Fie F
fe-xdx=-e-x
0
+C;
l-x
f7dx=
dx= f'(x) I(x)'
:x + C => Fo( 0) = C -I = 0 => C = 1, deci Fo (1) = 1- -;I .
i
primitiva oarecare a functiei
12012=>F"(x)=f'2012(X)
+C
-rdx= eXx +c.
fex _xeX
X
( 2012
eX
-
x) < 0 ';Ix e ( -00,0),
deci
F
este concava pe intervalul
4 dx =±lo(
x2 + 4)+
C,
d) Fie G
In
~
I
j:
(- F
fn ;
20ll
e) ("(x)f(X)-U,)2(x) f2(X)
';Ix e [~,+oo
2
1&1
J: U cr: Z o
=> F"(x) = lox + I ~ 0,
x+
f(-x))exdx=eXf(-x)+C.
e'
1&1 \1'10
ci
+ f'(x))exdx
(
b) Fie
Fn'(x)
f(f'(X)f2(x))dx=~f3(X)+C. f(J"(x)
J; (x)
4
A.
:E
=
C .
1&1
:::;)
J;. F'(x)
';Ixe(-oo,O),deciFnuesteinjectiva.
(1- X:3)dx=X-3lo(X+3)+C. X2 x-3+- 9) dx=--3x+9lo(x+3)+C. x+3
Q
u.:
F'(x) G"(x) = f'n(X)
xn-l~ -x) > 0 ';Ix e(
-00,0) => n este numlir par.
:::I
• 25
Tema 3.3. Functii integrablle
,
1 •
' dx= J(X +2X2 +1)dx=~+3.+1
2)2
4
+1
o 2
2
J(x-v'x)
b)
o
5
IX 2 +z
+l
x
I
x +
= 28
3
14_~ 3
5 dx=-+In2 2
,x
+1
2
'
Kx+-2x 2)
) i -x+2 f~dx= x -1
1.1
t:
OJ
5 ,,2.
'1
2
0
o
••
IJ
II)
o
1
dx=ln(x+.Jx2+1)1'
f J 4-x1
2
3
3
o
2
2
2·
2
0
I
c)
1(2x +TX)dx=(~_ In2
f(2X -2-X)dx=(~+
_I
In2
2
2
--2--2.
.!. e)
I
I
f(,Jix __
1- x
TX)/I =
Jdx=[ ,Jix fY In,Ji
A
If I 1) _lv4-3x2
a)
I
1
OX
+1
f-2-dx
x
f
.!..!.
1 --x 3
O.
+2
I
fF]4 _
Ii
6 4(i-1) - In2 + In3
In../3
x
J~"'4-3x
_I
_1
I
1 x../31 1 2" -- ../3·3· 2
_I
2
-I
F"'=--~--X ../3 x
d --x ,.,3 4
r;
_JI_x212 =!!..+I-~. 0 6 2
r.-?dx=arcsinxI6 2 0 vl- x
1 If 1 1. r=re=:_ ,.,3_ r:; Fdx=-arcsm4 ../3
142
2
3
II =0. -I
3
o
J.
dx+
-../3 +2ln 3+.J8 . 2+../3
0
In2
2
2,Ji 2
2
- 1+ In(1+ ,Ji)
0
f ,....,...--:dx= 2 2 Vx - 1
I
2f I+x 2 J 2 dx= f o 1- x 0J
-I
e)
_111 = 2
0
2
3
dx+ 3
3
TX)/I =_1In2 +_2_ 3In3·
In3
3 x+2 x dx= fJ x-I 2 x -1
2
0
o
d)
2
1 """"'--:1 x2 + 1 + In(x + J x2 + 1)1I =,Ji
V
0
Jx2 _11 +2Inlx+Jx2
)2 I 2x 2x 2X 2 2 b) ~lex - eX dx = 1(e- - 2 + e2x)dx = (_ e- _ 2x + e )/1 _ e - eIn 1
o
fJ
27·
6
2
4)
1(x-ex)dx=..!.-(e-I)=~_e
a)
3
dx = arcsin. -X/I = -" .
0
I
2.
0
=In(I+,Ji).
X
3
0
9
' x + 1 If If 1 fo J x 2+1 dx = J x 2 +1 dx + J x +1 dx =
c)
1 = -.
../3arctg(x../3)11.i.../3"
0
20
o I
3
x2 + 1
I
b)
o v sx + 1
2
X
3ll
1
4
2
1 /1 n f:; + 3 dx = ../3arctg../3 = 6../3 .
j) .
f 2 r::;---;31 dx =..!.,.,3x r::;---;/I +1
IX-IIJI 5 3 =-+In-. x+l
dx= (X2 -+In-
-1
2
2
3
g) fl~dx=..!.lnl--21_)dx=..!.o 3x2 + 1 3x + 1
g)
+2arctgx)I"3 =I+!:.. 6
I
15·
2
dx= J(X2_2xv'x+x)dx= 0
2 .i
c)
Jjf3~~X~2dx= l(x+-i-)dx=(x2
I)
{Xr(
a)
If
= arctg x II= !!.. 0
S.
fSinxdx= 2.
a)
4·
o 1
_ x2
xIf(t)dt
X
.l'-+O
If
b) Aria este egala cu
f'(x)=(x4-4x+3).Jx4+1.
II)
7C
-4x+3).JX4
+1
de extreJD· 17. II) Aria ceruta este egala cu
=(X_I)2(X2
+2x+3).JX4
+1 ~O \fxElR,
decifnu
are puncte
I
II f( x) Idx = arctg x I~=~. o
1
2
b) Functia este strict crescatoare, deci exista limita
Jf(t2)dt.
x~
Avem
o x
C/+l}
12. a) F' ()x
--2
1)21+ ( --2 x
x
2f(
x4+2x2+2=-
) x.
+1
2
0
=-~(arctg~-!:). 2 2
ff(t)dt n->_ 0
-~(F(n) n->_ 2
c) lim
x~(
1
aretgx-~)Ell~
x
2 ff(t )dt
1
+ lim If(t)dt
X->_ I
0
=
..
1= f-xf(x)dx=
x=-I -I e-I - f-_J(-t)dt=
_11+e
11+e
4
- F(O))
= lim
x
E~If(t2)dt:5:
o
e'
I
c)
...w
If (t2}dt +
0
ff(t2)dt+
ff(x)dx=-~F(x)11
o
=
x-H'" 0
I
b)
1
If(t2)dt
lirn
=!:
8 .
.
cz:
Deci
l-
i~
l f l+eX I 21 = _11+ eX f(x) dx= 2aretgxLI
I
Q
=
o
~
::~
I
b)
o I.)
1=;I If(t)dt= ff
I
.!.
(
f-2 ol+t
_11+e ="
dt
f(t)dt.
.
=!:.
4
1)( 1) dy=fif(Y)dy,
-
-2" Y
Y
x
1
f-I
1
I
1L a) f(t3 + l)f(t)dt
u.: •
I
x
\fx>O.
I
•
~
Z cC
ii!
w Q.
~ ~
·
2
14. a) f'(x)=_x_ex.
c)
l+x2
b)
U
c
urn
t
2
t2+1e
I
~O, tElR~
W
>cC III
cz: W
01
x
•
t2
ft2+1eldt~O,
•
x
X->_ (x -
= lim
arctg
x) = +
f(-x)
=
x 2012 ° _xt2+1 f t
c)
. t> e 0 ,Iarpentru
I
= x~~(Jt3
I
f(t)dt
+ Jf(t)dt] I
=
x
f'(x)
x:5:0
notarn
x=-Y,Y~O
si
")""" =---=-. 4 2 4
4
2X~X8 + 1 = 0 ~ x = 0 este punet de extrem. X, f(x) ~ lim ft2dt = +o
~
! z
1..
b)
15. a) limf(x)=o.
:J:
.!.
I·1m XI-- 1 d.t= lim . ( aretgx-X->_ I 1 + t2 x->_
2
c/ X->_ hmf(x)-lim - X->_ f t2 + 1 e Idt ~ rtm f -2-t dt o X->_ 0 t + 1
U
= }i~[ff(t)dt
\fxE(O,+ 0, 'tIx ~ I , decij" este strict crescatoare.
+1
x
+00.
lim I(x) = Iim 2xarcsin~ = +00 , deci graficul functieiI nu are asimptote oblice la +co, x-++«>X x-++«> X +1 1C
o
j
If
~
"2 sin
2 Jsinxdx=cosl.
f~dxS I x
25.
I
o
'S ~ ::> U
c)
x-++
z c
ii2
1&1
A.
.
~
lim (fe-t4dt+ 0
X-H"CO
t4 }e- dt)S I
lim (fe-t4dt+
x-+-+«>
~icum functiaI este strict crescatoare rezulta ca 1mI 23.
II)
25 In--1+2arctg2-2
0
}e-tdt)= I
* R , deci functia
I
In+I-I.=
b)
t4 fe- dt+ lim (~-e-X)eR 0 X-+i
f, deci
I
3
deci
limitliobtinem lim I. = 0 .
26.
0
=
2
I
'tIxeR .
2
" .
2
n-++«> 0
1
4
n
0
dx = Iim _1_ = 0 . n-++«> 2n + I I
c)
27.
264
2013(n-l)
\2 2 x2 +1)1 -2f + 2dx=2lnS-ln2-2(x-arctgx)11 lI x
c) OSJ(1-xtln(x2+I)dxSlnSJ(1-X)2ndx=-lnS
Dar eX ~1+x2 ~-S--~ Je-x'dxS f--dx=!!'-. 0 0 I + x2 4 ex' 1+ x2 n+1 c) In+1- In = fe-x' dx > 0 ~ sirul (In t;'1 este monoton crescator, Este suficient sa arlitliIn
•
- x dx S 0 ~ sirul (I) I este descrescator. •• z I
0
SinX --,x*O. b) I(x) = x a,x=O
I
e,'. I .+2 +2012-1• =-SI n+1 I
•
'tin eN .
n
n+1
- I =fx ••,.+I·ox2+2012
1
x-++«> 0 2
1C
)11 I 2013 +2012 0=2"in2012.
,10< f x dx s; fx·dx=--~ c, - x2+2012 n+1
c) Functia/este continua, deci nu are asimptote verticale.
II)
(2x
I
X
11= x2+2012dx=2"in o
II)
7r
+1
4
21.
If
(2
f arcsin-( -dt +I
I 2 -",+--C I 2n f(1 )2 • UA. .1_ ~ I =C o --CI2 I +-C 2 + I n = 0 -x n 2n 2 • 3·2 2n
II)
F'(x)=_I_+~=/(x), I+X2 I+x
I'
I - 0.
1m • .-++«>
'tIxeR.
26:
n
c)
L
n+k
lim lim kDI -n-+_ an = n-+_ n2 + k2 --
1
1+-
n
k
f ( )dx = -4"In+ -22 ,deci I
r -;;L.., "" -;;rn = f n!.~ k-
'
l+_
X
sirul
0
n2
convergent. !!:-I
~-I
28. a)
1 x2+2x+2
f _I
1 f ( 1)2 dx=arctg(x+l)14 _I x+ +1
4
dx-
.!.-I -I
=1.
I
-2n 2 (1--t
x
fj(t)dt b) lim 0 x-+_
Jim x...•_x2
X
O.
n
c) Ap!icWl criteriul raportului
n)
c) Jim ( + n n-+_ 2n2 + 2. n + 12 n2 + 2. 2n + 22 + ... + 2n2 + 2. n2 + 2 = Jim 2 n n n-+_ k=12n + 2nk + I n I lim - " n-+_nL. k k=12+2-+-
29. a) IXj(x)dx= o
e :,
0
x )dx =arctg2--. " 4
IX~I-X2dx=-.!.(I-X2)%11 3
0
obtinem
o
l-
i
I
i
=.!. 3
b) V
fj2(X)dx=" o
=tt
:»
II I
2" .
g(x)
3
0
I 4n-
Q
4
+ 2)'"
=( X; - 2xl + J[
•
dx =
Ing21"2 1-- =f:Jl-x2dx !im n-+-n n2 k =1 0
L
-3x+
I
X
2 dx =(_ x + 3x- 2ln(X))\2 =~2
I
.!.(2x-3)'( 2
" = fl + cos2t d _ 1 ( Sin2t)/"2 " t-t+-=0 2 2 2 4 .
I
3
dx x-;!,='1(I-t2f
dt = t(l-t2f[1
+2n It2 (l-t2rl
dt =
I
-I
1&1
Z
U
C Z
II.
~
n
• 266
=~I 2n+l
_ 2n n-I - 2n+l'
2n-2 2n-l
~.~.~.~
Z C
~
= -2nIn
+ 2nIn_1 ~ (2n + I)In
= 2nIn_l,
'\;fne N, n ~ 2.
c) O~I
~ 212I, n+
.
J(2X-3)2
-~
2
2)" dx =
1"-1 (x)dx =
I
2
+9)1"-1 (x)dx = -~ J( 4(X2 -3x+ 21
S
JI"-I (x)dx, 21
2) + 1)1"-1 (x)dx =
I I X2011 J--dx=-ln2 2012 oX +1 2012 I b) 0 s n-+_ !im 0Jxn. j(x)dx
de unde rezulta cerinta.
II)
. I n = n...• lim_ 0J X20~2+ 1dx
s n...• lim_
I n 0J~2
1 = n...• lim_ ---) 2 ( n + I = O.
x
4
.....
511 =
J4.J4 (2n+l).(2n-l)
x2 -3x+
22
4
I
.
)"1
I
- ; JI" (x)dx-~
t2 -1)(1 -t 2)n-1 dt
2
2
2
-2n _I f(l-
x2 -3x+
-% J( 4x2 -12x
0
f( 2x-x2f
2ln2 .
2
2
"
2
b) In =
2
2
_Ix2
2 2 2 b) JI" (x)dx = f(x2 -3x + 2)" dx =.!. J(2x-3)'( I I 2I
f(2x-x2)dx=i. o
I
2x
LL
=
14
= O.
= i(X - 3'"
I
30. a) II
si prin trecere la limit! in inegalitati
4
b) Aria ceruta este egala cu
I
f(l-x2)dx=
!im In n-+_
••• oJ J( "')'"
1&1
a:
nIl 4n+2
Jim ~ =.!. e [0,1) ~ lim In = 0 . n-+_ In_I 4 n-+_
Altfel 0~In=--In_I~-In_I~2In-2~"'~-2II
n2
n
...
L
I
e --fj(
In =--1 n I '\;fneN n>2 4n + 2 n-' ,.
2
I +2x+2
n
2)n-1 dx=-2nIn+-In_l~ n 2
2 -- 1)(1 --t 4 4
J 4
I
x
c) Functia F: JR~ JR, F(x) = Jj(t)dt 1
sJ4
I _ -n + I
n
I-I
n+
n +1
f
b) I =2-10-_ n->_ x + X + I n->_ n->_ n + 1 o 0
K
t---
0
t}
t2 + 1
= _1_,
2
2n - 1
• !68
2n-l
I dx
»
fq(x)dxeQ. 0
n2 +2n+l 2 n + 2n
>0.
Xl)
f-
dx=I-Io-. 3 2
n
X I
r
1--- 1 x" + 1
.
Pe de alta parte 11 1 ... +--eR 3 5 2011
\Q
o~
f~
I
1
...+ ()n-I -1
2n - 5
=10 +(-1 )n-I 12 => n
1 ( -1 )n I => --+ 1 0
- -- 1
1 2 2x+l )2 dx= '3arctg J3 1 3 Vol x++2 4
~ _~
I
I
o(f
o
1 = lim [ _x__ -n+112]= lim ( --i~n->_ lim 2f...:.,}x xn n->_ -n+l n->_ I-n
n
lim 2 n->_ xn +1 I
lim In =0.
n->_
I 2n-2 =-----+--1 1 2n - 1 2n - 3 -- 1
lncat
n-++CO
. c) lim I = lim 2 X n +1-1 dx » lim n->_ n n->_! xn + 1 • n->_
Vn e N, n ~ 2.
1
1--31 +---+ 1 1 ... + ()n-I -1 5 7
astfel
. (n 1) = lim. 10( 1+-n1)n =1.
I = 2 X dx= 1-I x+] I I x+l
42. a) ff(x)dx= e'JI I 2n =--- 1
qeQ[X]
cu
X
2
2n-l
n+1
divide
~>O.
n-++ao
2
1 1 1=---102.
11 1 ~ c) 10+12 + ...+12012=10 +1+-+-+ ... +--=-+I+-+-+ 3 5 2011 4 I t" d) O~ln = f~t~--=> o t +I
se
exis. tli
-X
b) I =f~~ n I xn +1
I
b) 12n + 12n-2 = ft2n-2dt o
- X
n+fl2x -1
lim n 10- + n
n-++ 14n+1= f 2 1 o X +
g=q.(X2
2
d) O~ lim In = lim f_l-dx~ n->_ n->_ I x" + I a) II + 12+ 13 =
1
polinomul
2 )4n+l.-1=1 .4n+1 . 0 -1=, ( i +i+l
g(i)=
c) Sirul (In t~1 este descrescator ~imlirginit inferior de 0, deci este convergent.
37.
cli
1
2
b) 1n+1- In = f-+-I -dx Ixn +1
Arlitlim
c)
I
b) O~ lim fxnf(x)dx n-H&2 + e + I = 0,
= 1. g(
&3
&)
=
&( -&
)6n+1+ &3n+2= 0, deci exista
1
q e Q[ X] astfel Incat g
= q.(
X2 + X + 1) =:> f(x2 +X+ 1)q(x)f(x)dx
=
o
n nIl = fe-~ dx s; fe-xdx=-e-xln
O~I
1
fq (x) dx e Q.
3
c'/·• Cum
K
x +x +x+1
x+1
x+}
I
1[
dx=-
2
I
IimI
n+1
n-++oo
3
=0.
=
_
'S -e
d) In+I-In=
32
o
X +x +x+1
I n dx=fxdx=--.
0
1
crescator
rezulta
cli
existsL4 lim In' n-+.•••
Dar
In f-T--d/~ o I + Ion I
f 3 2 dx~O=>~irul OX +X +x+1
(In)
3
In
1
(3
n+I-2n+l)dl=+oo. lim f.:.........1l=lim n-+.•••210 n-+.•••IO( n + 1)
X2012
b) Iimf2012(X)olim~ x-+o x2013 x-+o2013x2012
n+1
xn+1_xn
I
3
l+/.Jt=.!.. f -:--u 013 + 1 2
n-+-toO n
I xn+3 + xn+2 + xn+1 + xn
In
lim f....;...-a/~ n-+.•••212 + 1
o c) In+3+In+2+In+I+In-f
monoton
2
1= - + arctg3 - arctg2 .
I 4
lim-l-=o=:>
0
n-++«>
n-+....
47. a) f4 ()1 + It ()1
lim fxndx=
0
lim In=
4'
I
b) O~ lim fxnf(x)dx~ n~-toO
Altfel.
dx= f OX +x +x+1 o(X+I)(X2+1) 3
este
convergent.
se divide prin (X + 1)( X2 + I).
g = X4n+2 _X4n+1 + X + 1 e Q[X] If
(I)n n~O
sirul Y
este marginit si cum sirul
dx e Q pentru cli polinomul
2
3
o
=
(I n ).~Ieste
3 14 -I + 1 2 I} = f 2 dl = I -I + -22 I +1 2 I +1
14
~I
x4n+2_x4n+I+x+1
c) I4n+2- I4n+1+ II + 10 = f
44. a) II +13
deci sirul (In) n
este ~i monoton crescator, rezulta cli sirul
0
46. a) 14 = f-f---dl 2 I +1
I
=---
1 +1
lim fn(I)=O,deci~irul
n-+....
(In(I))
n~O
esteconvergent.
Q.
~ V U
In+3+ In+2 + In+1+ In = -- 1 ~ 4In+3 => I > n +1 n
•
~
Z
-e
1
In+3+ In+2 +In+1 +l, =--~4In n+1
I
.
4( n - 2) , 1
=> In ~-(
--) 4 n+1
Din
.
ultimele
douli
relatii
avem
ii2
IU Q.
~ • ~
__ n_ n-+.••• n-
V
III IU
Z
~
II: IU !no
d
R (x
•
V
-x
45. a) fg(x)dx= o
~ I
~
Z
C
b) fxSg(x3)dx= o
~
• 270
2n-1
I
IU
Z
2n
o
c) I.+I-In=
+x
2n-2
1
- ... +I)--]dx=----+ x+ 1
1
1
... +I-ln2
2n+ 1 2n
elR
'Q
I
=I-.!..
fe-xdx=-e-xr 0
e
0 I
~-t
I
fxse-~ dx .;
.!. fle-tdl=-.!.Ie-tr
0
30
n+1 fe-~dx>O=:>In+I>In'
3
4
I
+.!. fe-tdl= 0
30
e-2. 3e
monoton descrescator
~i cum sirul este marginit inferior(pentru
cli 0 ~ In = flgnx dx),
rezultli
"6 convergenta.
•
27'
1
-I.
(J·(x))2]dx
I
c)
-t)dt = - fif(t)dt
I
fXf(X)dx = O.
= 2 f!(X)dx, I
~=arctgxl~= 4
f-2
I
= Ff'(X)f(X)]'dx
ol+x
= [f'(x)f(x)JI:
= -2012.
65. 0)
s ff(x)dx
b)
s l.
I
ff(Fx)dx=
fx~en=
o
0
fdx=l.
b)
c)
I
f(x2+2)
o
0
arctg
I
If(x)dx=x1n(x2 o I
-x
b)
g(-x) = ff(t2)dt o
...(t3+n)
x t~II'2f
d,
I I 2 +1\1 - jx+en=1n2-2 110 o x + I t=-y
dx=
f'.!.(-I--_I_) _ 2 2
02
c
X
5
=:> lim x ...•_
g(x) = t«l =:> graficul functiei f nu admite
liI(x)dx=(~~(x+I)31
2
en=
o c)
I
lim
x-I
..... ndt=-;;!,
R 1-_I_)en=1n2_2 0
x2 + I
"-++ sirul (I")
I n~
VneN",
deci, prin trecere la limita, obtinem
n+1 este convergent la I. 3 I
~ +2.
67.
If rrt: 0) II = x-ix: +Ien= o
12(X2+1)2 2
2J2-1 =--. 3
3 o
x
= - ff(i)dy=-g(x),
t«l.
x-++oo
fX[iI(ex)]
b)
VxeR.
0
J2 -(
o
~
0
g(x) = lim g'(x) = t«l =:> graficul functiei g nu admite asimptote oblice la
I
x +1 x +3 dx-
• IU
i
2
x
A= ~iI(x)fJx=
66.0)
=
In
63. 0)
I
2
(x +1)(X2 +2)(X2 +3)
lim x-++«.l
g[) H~- OJ,)
It,(t3)dt= Il(t3+1)(t3+2)
1
0
f(x2+2).h(x2)dx=
~( arctgr ~ - ~
2
=3Ji-3'
-
g(x) = oft2,k + Idt ~ 0ft4dt = ~5
c)
f hO'2(x) dx= f(X+I)(X+2) ...(X+2012) dx= fX+2013 _ hO'2 (x + I) I x+ 2012 dx =x + 1n(x + 2012) + C (x + 2)(x + 3) ...(x + 2013) I
dx:51 =:>
g'(x) = f(x) ~ 0 =:> g este crescatoare pe R.
asUnptoteorizontale la 62. 0)
1
dx _. functia g este constanta, adica ceea ce trebuia demonstra I
1.
I
I
o
0
n + I) fx·.Jx2 + len+ J2 -(n -I) fxn-2.JX2 + len = 2J2 -(n + 1)1. -(n -1)In_2
=:>
68 .
• 276
21
alta
de
pe
parte
0:5:1
I
x·+1
Ifxn+1
O~ f.J
dx:5:-dx
02x+l02
1
I
jx·J2dx=--=> n+l
0
lim In =0 •..•-
~i
n+1
---.,---:- => lim f_x--dx 2(n+2)
J2
I
:5:
n
=0.
•..•-02.Jx+1
in [mal n..• lim nI n = .fi . -eec If
e
e
69. a) fX'/(x)1x= I
fX'lnxdx=~lnxl~ I 2
e
e
b) fl"(x)1x+n I
e
e
'f2.
a)
4 e
rf
2"
= flcos2xldx= o
s.
s:
4
2
fcos2xdx-
fcos2xdx=l. s:
0
4
e
fl"-I(x)1x=
fx'ln' xdx+n fln·-I xdx=xln'
I
I
xr -n fln·-
I
I
x+nfln'-I
I
x=ee.
I
22x dx- bl Y- = 1{If COS ~
1f
Ifl+COS4Xdx=1f[~II 2 2 +.!.Sin4xJI]=1f2 8 0 4 .
0
0
0
c)
I
1 0:5:ft'e dt:5: ft'edt=_e_=> o 0 n+1
...• 1.11
relatia
II: l.
e
"4'+a)
J
f
=> lim I
n..• _ 0
fl"+l(x)1x+(n+l)
fl"(x)1x=ee
I
I
I X,,+l
I
xn+3+ X.+I + xn
o
x +x s I
f
= OXf 3 +x+I - X
I
n-H«I
3
=
0
(n-l)
o
trecem
la
n--++co
!!. 4
1C
'4
==(n-l) Jcos·-2(2X)(I-cos2(2X))dx=
n..• -scc I e
n
(x)dx s:
lim fl"(x)1x=o.
fl"-2(x)dx-(n-l)
fl"(x)dx
0
0
de unde cerinta. limitA
.
70. a) In+3+In+I+I.=
b) In+1- In
lim ft'e1dt=
e
n4>+co
II" o
I,
n+I . e e (x)1x+ lim -. lim n fl" (x)1x = e" => lim n fl" (x)1x =e' .
n+1
s: '4 Jcos· (2x)dx = sin 2xcos"! 2xl: + (n -1) jSin2 (2x )cos·-2 (2x)dx = 2 1C
.!!
0 I
Q
- f~=~. 12
ft'e1dt;
=
I
u: •
1
2
Inx=t I
c) fln' xdx
i ~
e
2
2
73. a) j.t;(x)dx=
1
I
2
jl+(:_x)dx+
!1+(X_l)dx=2ln2.
I
1
dx=--. n+1
b)
Fie F
primitiva
0
1 , X E [0,2013] I' () 2014-x 12013; F '()X = J2013 X = 1 '. --=-=-=-, x> 2013 x-2012
oarecare a lui
1
n
12'XE(0'2013)
dx s; 0, ' 0 pentru orice X E [2,+ (0),decifeste crescatoare pe [2,+ (0)
x
II)
2 I
b)
,...
3p
SUBIECTUL alII-lea
p )=X(O)
aUL a 1111lea SUBIE ;;..-
2p
4p Ip 2p
u·~=3¢:::>a+2=3 a I AB2 + AC2 _ BC2 cosA= 2·AB·AC cosA =_1 5
l.a)
3p
(x(P)i + Ii -I) (P + 1)3 = 8 , deci p = I ~isolutia este X(I)
II)
Submultimile cu 3 t~rmeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: {I, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5} ~l {I, 3, 5} ~ 4 cazuri favorabile
s.
p) astfel incat
= X(7) = X«P
(x(P)i
Ip
0
X2 3.
G , exista X(-I:
J!-*-_I~X(-1-)EG~i -1+P l+p
~
1211-2
2.
E
*- -1 , deci X(p + q + pq) E G
Examen Bacalaureat, iulie 2012 X(P).X(-I:
1.
Ip 3p 2p
Sotutia este (xo, Yo' zo) - (1,1,-1)
f(t)dt = (2t -In(t + 2»
lim
x..•_
2x_In2x+2 x+2 x
x
= 2x -In 2x+2 x + 2 ' pentru x > 0
3p 2p
2
po
:E I
< U
*- 0 , deci matricea sistemului are rangul doi
{2X+ y=-3a z=a~ ~x=-a, x+2y=-3a 2 2 2 2 xo+Yo+zo=3~(-a) + 2 +(_a)2 +a =3 ~ a E {-I, I}
y=-a
.
2p Ip
Testul2
Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva
(30 de puncte) ~ 3p :E
SUBIECTUL I 1. (1+2;) =-3+4; ~J[p~art~e~a~re~al~a~e~st~e~eg~a~~~c~u~-l3
~ :E
2 ---------------~~~
•
281
2. I x,
+X2
=3
pare radacinile
=a
p
1, 3 ~i 4
== (X - l)(X -3)(X -
f(i) == f(3) , decifnu Imfnu
3p
4) = (X
+4)(X + 2)(X + 1)
2p 2p
este injectiva
poate avea 5 elemente, decifnu
este niei surjectiva
t;"ECTUL allll-lea .
3p
(30 de puncte)
3-9x (x2 +3)~X2 +3
~f'(x)
4p
Finalizare lim f(x) == 1 I
~ 3p
.1'--++00
vTt:ill'l4
U" """at'" r - , "~L';asimptota
orizontala spre +00
~
x-+-
~
f(t)
2p
= 2J7
Ip
Imaginea functiei este (-1,2J7) 6.
2p 2p
lim f(x) == I, lim f(x) =-1
°
J
F'==f
b 2p
rt)
2p Aria este egala eu ~ In xjdx = 1
== F(x)
3p
I~1
Ip
e) (p+l)IfP(t)dt
= It,(p+l).
fP(t).~t
=
lit
= It. (lnP+1)'dt
3p ;:)
---1
b)
~
I~~I
;:) V
•
Exista minorul d =
'"
!AI
rangA(O,l,x) = 2 D(O,l,x) = 0
>C CD
D(O,I,x) = 6x(x-l)
Z
!AI
"" d
c)
•
% V C
Z
• 282
~ x = 0 saux =1
I I I
Ip Ip
2Jl)
= xlnP+1
1
3p x- IlnP+1 tdt 1
Ip
2.T
Finalizare
3p
+ nIX + 4 = 0 are solutia x = 2 ~ m = -4 Pentru m = -4 eele doua multimi sunt egale
I x
2p 2p
b 3 x =-_-_ v 2a-2
i
I .\ = 1
I 2p
I !(3).= 6
(30 de puncte)
2
Ip
f(l) = 6
6(b - a)(e - a)(e - b)
Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea spedala
SUBIECTULI
2p
D(a,b,e) = 0 ~ a = b sau b = e sau e = a deei triunghiul este isoseel
=
Testul3 1.
I 2p I 2p
D(a,b,e)
o u:
~
= 2 ~ 0 ~ rangA(O,l,x) ~ 2
D(a,b,e) = 6 ·Ia b e a2 b2 e2
!AI
Q Z C
tl~ - IlnP+1 tdt
Finalizare
A.
u:
1
Ip
z -e ii2 !AI
= t ·lnP+1
+,P 1
Y v
Ip
=_A=_l.
2p
4a 4 Conditie: x> 0
310&,· < 3° x < 1 xe(O,l)
2p
.
2
p!C
Ip
I
~ ~ ~ !AI
~
• 283
nr. cazuri favorabile = nr. cazuri posibile
4. P
2p-
?" .
-
-x-5y+3z=2 X=--
286
4p
1 4 1 y=-z=-9' 9' 9 A
AS
A AS
A
AS
A
AS
A
2.a)
o
b)
f =X8 +X4 +3X4 +3 = X4{X·
c)
•
AS
= 0,1 = 1,2 = 2,3
'I'
1
xP-'{2xer')dx
= 3,4
=
+1)+3(X4
+1)
2p
f = (X· + i)(x· +3)
3p
f(O) =3
Ip
3p
= ..
1( ,
I
er' )xp-'dx = xp-ler'lo - (p -1)
continua
functia
1
3p
er' xp-2dx
2p
f: [0,1] ~ JR, f{x) = xer' sirul
0 ~i punctele intermediare
n (I'en--, + 2e -;t2' + ... + ne"--,.' ) =lim-·I-·e . Ink X-> __ n
hi
I If• = lim _. X-> __ n i=1
(k)- = IJf{x)dx n
0
n
!
n
E [k
de
diviziuni
Ip
-I,!]
n
n
(il' - =
2p 2p
= e- I 2
I
Bacalaureat 2012, Model MEGS (www.edu.ro)
•..
$UBIECTULI
~
1.
-24:'>x+l:'>24
2.
-25:'> x:'> 23 CardA = 49 2x-I= -3x+l
Sp
=4
'
-1)Ip_2 => 2Ip +(p -1)Ip_2 = e
Considerlim
TestulS
X-++CIO
2p
. I lim-· X-> __ n2
1-
2p
ecuatia are solutie /'(x) > 0, ' f este strict crescatoare => f este injective, deci solutia e unica
n i=O,'
Ip 2p 2p
2p 2
ID 2p
2p
Finalizare b)
X
s, = (!) _cu 11,i.11 ~ 1
+1
3p
/,(0) =1
deci
2Ip = e-(p
3
3a+3
= X-> lim__ x+,jx
x2 +1
X-> __ lim(f{x)-2x)= lim{,jX2 +1-x)=O x->-V - 2x este ecuatia asimototei oblice sore +-- X
=
,,
= I+ ~
lim f(x) -I = lim f(x) - f(O) x->o X x->o X - 0
3p
BC = AB =>C=.! sinA sinC 2 m{4:C} - 30°, deoarece m{4:A) > m{4:C}
i:)
3p
(30 de nuncte) 2p
SUBIECTULallll-lea ::----
2p
20-k-!=14~k=4 2 Rangul termenului este 5
1
Finalizare
(30 de p uncte) 3P=-
x=2x=.! I
'2
I >0(
U
3p 2
Punctele de intersectie sunt ( 2,3) ~i (~, 0)
2p
~ ~ 1&1 ~ ~
• 28j
3.
= 1+3x+ 3x2 +X3 x(x +3x-4) = XI = 0, x2 = I, X:J = -4 1+ 7x
4.
5.
Ip
Alegem 2 numere impare din cele 5 in
10 20 Ip
-31
~ 2p
....-
2p
.
c)
1 .Jj
=> smx=
-
1&1
I
~
d=
...• ac
i ::;)
2
m
Q
I
I
I
I I
u.: •
b)
0
c)
::;)
•
::;)
Z
c
2.a)
« 1&1
A.
~
•
b)
::;)
v
'"
Z
ID
m2
1
1
m
I n - I n+l =
1
x2(1- x2)" dx ~ 0 pentru orice n, deci sirul este descrescator
(x. y)* z =.l(x-l)(y
-I)(z -I) + 1 ~i x* (y 4 Finalizare: legea este asociativa
2p 2p
Ip
Finalizare
Ip 2p
* z) =.l(x-I)(y 4
-1)(z -1) + 1
Ip Ip
x*e = x x+e-xe+
3p
2
x -3x
1 = 2x (e+ I)(x-I) *X
= 0, Vx E lR ,deci e =-1
= x, Vx E lR
I
"" C
Ecuatia x * x * x = 3 este echivalenta cu (x - 3) (x2 + 3) = 0 => x = 3
I
~ V -e
0
ac
z C
• 288
3.
2p 2p Ip
b Axa de simetrie a parabolei . este dreapta d'e ecuatie x = Xv = - 2a
2p
X-~E
(30 de puncte) I
5.
2p 3p
{(-It
~ -n(n
~+klflk
n(n-I) =--2-
n(n
1)
a 1 -=1 2
.
2
2p
~~
I
1)
c;
a=-- 1
3
3p
E
z}
3p 2p
2
lim x -3x+2 =-1 x3 + 3x+ 2 -
(30 de puncte)
x E {f,lf}
>0
f(-x)=-x3+3x+2
f'(A) = 3A2
Ip
2
4.
x-.__
b)
I
Examen Bacalaureat, iunie 2011
_m =2=>m=-4
3
~
=
Rezulta ca 2 este singurul numar intreg din intervalul dat
3p
SUBIECTUL allll-lea l.a)
2.
2p
~
Q
-I](l-x2)"-'dx
2 lim x-I = 2
2p b)
Ecuatia. X2 + px + q = 0 , cu p, q E lR , are solutii distincte complex conjugate daca
III 1&1
-x
-2
Ip
I( 1)--I+I-a-i(a-2)+a+(a-2)i Finalizare:
( x+l )-1 - ( x-I )-1
2p
4p
0
2.0)
2p
1 (x)
Ip
Matricea A este inversabila
-x
Ip
continua pe (1,00), deci nu are alte asimptote verticale
= A(x+ y)
X'-Y']
(A(x) - A(y))) = 0) ~ (A(x) - A(y)tll c)
2p
este asimptota verticals
Cu regula lui I'Hospital, limita este x-e+ee lim
4P'
2 (x -y)
0 0
(A(x)-A(y))2
(x+ Y)']
I
x=1
2p
1, de unde conc\uzia
= Iim 10 x + 1 = 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala spre +00 x-+-+aD x-H
, ••••1
~ (30 de puncte)
SUBIECTUL alII lea 1.0)
< 0 pentru orice
lim 1(x) = +00 , deci
Ii;-
1
sin2x
I'(x)
2p
sin" X + cos" X =2 sinx·cosx 1 2sinx·cosx
SUBIECTUL allll-lea loll) f'(x)=_I x+l
S =(-00,0)
I_=--=:L x-I x2-1
4.
Th' = c,ko,fik,k E {0,1,...,10}
2p
• 291
,. 2p Ip 2p 3p
T.+l E IQ>ee- k par
Sunt 6 termeni rationali 5. I BC: x + y -I = 0 12+2-11
Ji
Distanta este 6. I
cos
600
3 =.fi
2p
=2"
AB·AC·cosA
2p Ip
=
=10
(~
(30 ,
.
. ~J=(~
~J(~
( A'
4p
...•
~JEH
f = A2, = ( A2 r =
~ ~
::;) Q
u:
·
C
A.
b)
::;)
o u •
::;) Z
iiC 1&1 A.
c)
::E • ::;) v
:3 z
Restul impartirii polinomului fla
X - i este f (i)
c12:i2P(I + (-It) = 2C12: • (-JY E IR , pentru
1.0)
limf(x)f(2) 2 x-2
Testul8
Iz + il = Iz - iJ
3p
3.
(30 d ~ c --
-
4.
6.
f" (x ) = 20x3 se anuleaza in 0
3p
Deoarece f" are semne opuse de punct de intlexiune.
Z
c)
==14 ==2 x2+x+l-y==0
1D
el este convergent
I"
I
2p 1p
~=4y-3~0
2p 2p
1m! ==[%,+00)
Ip
3
b, =2"
2p
l
2p 2p 3p
log. x ==log. 9 -log.
8
md ==-2"1 ~ md· ==2 unde d 1- d' Ecuatia dreptei d' este y ==2x - 4
2p
=1'(2)
=
9 9 log x ==log - ~ x ==• •8 8
)
1p
Q
2p
3p
-,
1'(2) = 75
~
,deci~irulestecresclitor
Bacalaureat 2011, Model MEGS (www.edu.ro)
==4 b7 =96
2p
1&1
b)
2p •
e-xdx =,!, _1.. 2X ,V'x e [0,1] ~ I. ~ 1.+1V'n , e N" , adieli sirul este descrescator x +x+1 x +x+1 x· x2 +x+ I ~ I, V'x ~ O~ O:S 2 :Sx', V'x e [0,1] ~ x +x+1
2p
X
1
~O:SI.:S
2p 2p
fx'dx=~
o
n+ Ip
lim.,J, = 0 .....
i I
Ip
0 * 2m - 3 = 1 6 2
2
n
Ip 2p
M re zultli O*-6-EM, 2m-3
-""'J
y - 0 asimptota orizontala spre +00
2
detB. =a'(a-l)2
Cum 02m-3 '-6-e
I"
x'*±!
3p
o 2p
sau a=1
'* 6 ,atunei
2 3~(2x+lt'
1
B. =A·-1B1
Daca m
o
(30 d ,
= fxdx=!
Daca m = 6, atunci oricare ar fi x,y e M rezulta cli x * Y
% V
3p
1+1 +1 = 1230x2+x+l
a
x* Y =2(x-~)(y-~)+~+m-6
• 1&1
2p
lim l(x)=O
lim . [(1---
a
2.a)
""c:i
fey), Vx,y e M
~i 1'(0)=0
2oa)
1&1
~
= f(x)·
- --
2 3~(2x-I)2
••..• ec
2p
I
A +A' +A'
y)
x ...•_
=e
B. inversabila ~ det(B.)
v
meat
Ip
2p
67
det(BI)=O~a=O
A.
astfel
y+2-0
2p
Z 1&1
=
lim( _
det(B1) = a( a _1)2
C
I'(x)
=e
• ;:)
Ci2
ULallll-1
0
=
x,=3x 4eM 2x-3
l/2n
Ip
b)
f;:) o
- -- .,-......•. '"
a
A20lO= ( A3
Q
b)
=[~ ~J
A3 = aI3
;:)
.•...
0
A'
Verifiearea relatiei f(x*
1(0)=-2
c)
1.a)
1&1
l.a)
2p
5
-
.,---
2p
p='l:.
----
c)
2p
F·ma rizare: a = -"29 6.
existli
xeM,
Ip
mAll- mCD
1.
cli pentru
Justifiearea faptului ca f este biiectiva.
Sunt II termeni rationali.
5.
faptului
x*x'=x'*x=2 k
4.
Justificarea
Testul12
Bacalaureat 2010, Model MECTS(www.edu.ro)
Ip
SUBIECTUL I II!. 21!.
11.1 z=2 (J3 2+"2i
I) (
=2 eos%+isin"6
(30 de puncte)
1i)
'5 ~ ~ III ~
f2Pl~
•
301
~
6
=2
Z6
2.
3.
COS
6; + isin 6;) = _2
0
f){512)
= f(~)
=2
6.
. (t -I
01 x=
-i
,
~i sin x = 1 .
..
l
r;+ktr,keZ.
"
x-+'"
-
'"
ac: !::
I
I
:I ~
I
1
J5
v'2O =10
AC· AD = (AB + AD). AD = AB· AD + AD
-
,
2
l.a)
u:
'S· 0( Q.
~ 0 U Z
I
..
2p 3p 2p
3p
c)
b)
b
c
a+b+e
b
c
1 b
c
c
a
b = a+b+c
a
b =(a+b+c)
1 a
b
b
c
a
c
a
1 e
a
a+b+c
'"
Q.
c)
~ • ~ v III
I
1 a
b = a2 + b2 + c2 - ab - ae - be , de unde rezulta eonc1uzia
I
'"c::i
2.a)
:z:: '"
b)
I
V
Luam A=G
I
ac:
Q 0(
~
I • 302
..
"
~
3p
det( A) =
2, det ( A2) = 0
x=(~
b) =>X
c)
2
e
= (a
0
f'(x)
2 = x +2~ (x+l)
(x + 1)2
3p
2 = (x+l)3
f"(x)
r
2p
•
Isin 2xl dx =
0
(-00, -I)
r
, deeif este concava pe
sin 2xdx -
k
(-00, -1)
2p
.
2p sin 2xdx
2
2p
+ eos2x\" 2 ~ 2
Ip 3p
2
I = t n
fn(x)dx5.
t
X
ldx X
2p
=ln2
2p 2p
¢:}
t"ISin/ld I = n " I
t
Isin II + .., + I = rmlsin/l c::.:.Jdt + ['+2" c::.:.Jd1 n 1r t Ir+tr t 1 I > r tr+tr ISin/f't+ n - ,,( n + 1) 1
0 pentru x pentru orice x
Subiectull 0
+ lOr = 2al +14r =2(al + 7r) =2a8•
g)(x) = f(g(x»
Deci a8 = 10. = 6x + 4 + a . Rezulta ell
3a + 2 = a + 4, deci a = 1. 3. Pentru x> 0, avem 910113=x Xlog,9= x2, deci ecuatia se serie 2 2X2 = 8 ~ x = 4, deei x = 2, deoarece x> O. 4. Numarul submultimilor nevide este 2s - I '= 31. Numarul submultimilor cu 2,3 sau 5 elemente este -
-
2
- u·v 5. cos 0,
6. sinx+
C; + C; + C; = 21. Probabilitatea
'. . deci unghiul vectonlor
J3 COSX= 2 (.!.Sinx+ J3 cosx) 2
-. U
= 2(SinX cosE.+sin 3
2
2).cum -I
-2
!)
b) Fie X = ( :
A2=(4
o
b) 11.1= " feX cosxdx
::.!. ICfexsinnxdx n 0
2)(4 -I -2
-2
2)=(12 6)=3A,rezultacliA -I -6-3
EM
IC
0
, dx = --eXsinnx I" - fe If
n
0
I "I ~.!.fexlsinnxldx~-feXdx~-(e"
n0
0
0
x
sinx I dx = -- fe smnx dx, rezulta eli n no IC
-I).
n
X'
. I Cum lim-=O,rezultacli ,,-to;)
Subiectull
si, din X2 = 3X, rezulta
z, X
y
E
(0,00).
Y
Avem
11.1 =
. Z, =0. Iim
n
"-+00
( 1 1)-1 ( 1 1 -+= -+-+y z x y
z
1)-1
z
l). Obtinem
2. fe-x)
.1'-+00
.1'-+«1
.1'-+00
.1'-+00
I 2
2 -
x+1 I
2"x +2x+4 "x2+2x+4 deci f este strict descresclitoare. c) Fie g : R ~ R , g(x) = e' - x-I.
x+1
2= I ,,(X+I)2+3
- 2 < 1- 2 = -I < 0 orieare ar fi x
E
JR,
+
l
+ qS) = all(l
+
, V'x E D
= -Jn x-3 = -f(x) x+3 E
(-00, .!.J 2
n
f
[1,
,decifeste
imparli.
00) = 0, deci ecuatia nu are solutii,
3
5. 3 ii- v = 3(21 - 3]) -(4i
(-00, 0) ~i
J104 =
2m.
cosx g(O), V'x E JR*, deci e"> x + I, strict descrescatoare. rezultli cli f(eX) < f(x + I), V'x E JR*.
JR*. Cumfeste
E
2-11) II = Iff eXcosxdx=
1. as +all =al +4r+al 2. (f
(0, 00), din monotonia
E
-
-1 + 3X) , deci det(A + xB) = (2x - 3)(x - 2) - (3x - I)(x - I) -_ 2x2 - 7x + 6 _ 3x2 3-2x
3x + 5. Avem det(A + xB) = 0 ~ ~ + 3x - 5 = 0 cu solutiile XI.2
~
== ~
-3±J29
==
2
• 305
n
o
c) A + B = (
~) . Cum E2 = O2 si h . E = E . h = E, rezulta din formUla
= 12 + E , unde E = ( ~
binomului lui Newton ca (A + Bt = (h + E)n = 12 + C~E = 12 + nE . Daca exista n eN cu (A + B)" ca h + nE = li. deci nE = O2• Rezulta n = 0, fals. "" 1. a) Avem x * y = 3(x + I)(y + 1) - I, x, y e Z . Fie x, y e H, x = 3k + 2,y = 3p + 2, k, p e Z . Re ca x * y = 3(3k+ 3)(3p + 3) -1 = 27(k+ 1)(P + 1)-1 = 3s -1 unde s = 9(k+ I)(P + 1).Cum x :Ul~ 3(s - I) + 2 ~i s - 1 e Z, rezulta cli x * Y E H. b) Daca legea ,,*" ar admite elementul neutru e eY"" Z, atunci 1 * e = 1, deci 6(e + I) - I = I, de unde 3(e + I) = 1. Rezulta cli 3 divide I fals Deci *" 2 ' • "nu ar element neutru. c) Avem (x * x) * x = [3(x + I) - I] * x = 9(x + Ii - 1. Atunci (x * x) * x = 8 ~ 9 e I)3-1=8~(x+I)3=I~x=0. (x+-
h, rezulta
Subiedullll 1.a) Jim
x/(1.) x
X~OO
=
ttezu1tli ca mu1timea
solutiilor ecuatiei este {(_I)k . ~ +
7.
.s. + ktrlk
= 1. ~ sin(x -!!...) = 1.~ x -!!... e {(_l)k 2 4 2 4
__ 1_ ~ _I_sin x __ l-cosx J2 J2 J2
J.sinx-cosx-
••
= [1(2),00) = [a -4,00), rezulta a -4 = 3 ~ a =
z}
e
6
.
% + k1+ e z} n [0, 2n") = {~; , ?;}.
veoarecej{-I) = j{1) ~ij{-2) = j{2), rezulta cli numarul cerut este egal cu numarul functiilor de la 1 2} in {l, 2, 3}, deci 33 = 27. Prelungim semidreapta (DC cu CC' = DC. ~ ACe Beste paraleIogram rezultli cli
to,
1s
+ AC = 2 AM , unde M este rnijlocullui BC. Atunci 1AS + AC 1= 12 AM 1' unde M este mijlocul =..Js.
Y
= lim x(e~ -I) = lim e~ -I = Jim e -1 = l. .r-ecc x-+co 1 y-+O y
. g(x)-g(O) b) lim
0
:a,oo) [f( - :J,oo)
= [-
luiBC. Atunci 1AB + AC 1=12 AM 1= 2AM = 2~1+~
I
X
~e' -I = lim . -_. lim --
x
x ..••
Im/
cum
x ...•0
x
x ..••0
(ii'
-I = lim .
l -Xl
x ...•0
ffl'
l --.
-1 - 1 = Jim .
x2
X
x ..••0
SABC
••
#
x2' = +00 Rezulta cli g nu e
l -
= AB . A C . sin A = 24../3 = 6../3 . Din teorema cosinusului rezulta cli Be- = AF + A
2
4
.
ACcosA=16+36-24=28,decl
BC=2,,7
h
r;;.
.Dbtinem
2 SASC A=~=
e- - UB
.
12J3 [3 2J7 =6 "7·
V
derivabila in 0 si g'(0) = 00.
Subledulll uj a: ....
c) j{-I)
Q
•
'S< CI.
o
• ::>
+ n =
lim
1.. = 0,
n ...•=e"
2. a) II =
rezulta
II ~
ca
dx = ~ x2 + 1
II
0"x2+1
•
~
+ ... +
1.. _ e
n
I+n-
_
1 1 -+-+ 2 e e
1 ... +-= en
.
I
orice x
E
[0, 1], rezulta
,,20
s 1. Cum
x
II
c) In+1= ~
s Ix·
dx.
Cum
0
0
+
I
1
_I_xn < ~ < x" pentru J2 - ~ x2 + I -
I
n+1/1
o
x+lo=n+I'
IXn dx = ~
n-+oo
•
I
dx = Ixn ~ dx = Ixn (~X2 + I)' dx = xn~x2 + x +1 0" x2 + 1 0 2
1
rezulta
R~
a-ecc
0
11 0
I
fnxn-l~x2 + I dx
=
0
n1 + JT;Ix - dx = J2 - n(l + I ). Cum Jim In+1= 0 , 2 2 "x + 1 x +I n+1 n-I n...•co
rezulta cli limn(ln+1 + In_I) = Iim(J2 - I
n+l
J
) = J2 .
W
~ Testul3 Z
Z
~
• 306
l
b
=
=
cl
1 rezulta cli
a = b = c, rezulta A = [ :
a
b-a
c-a
al
bl _al
cl _al
=(b-a)(c-a).1
1 b2 +ab+a2
c2 +~c+a21 =
I: ~I I: :I =
= 0 , daca b - a = c - a
= 0, de unde
a = b = c. Pentru
:
: ) . Cum top minorii de ordinul 2 sunt 0 ~i A "*03, rezulta rangA :: I.
al
al
c) Presupunem cli A-I are toate elementele intregi. Cum det(A)· det(A-I) = det(A- A-I) = detIJ detAeZ,rezultlicli
J
Q~
-e
b
l
al
concIuzia. n
c
a a
b) Dad rang(A)
I
~ Ix' dx ~ I.
cli
a:
Q
a) det(A) =
= (b - a)(c - a)(c2 + ac _b2 - ab) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) .
~
W
s
1.
0
0
1 Cum
= J2 -1.
nI = J2 - n fx - ~ 2 dx = J2 - n 0" x +1
~
e
2
b) Fie x e [0, 1].Atunci I ~"X2 + 1s J2 , deci _1_s __1_ J2 ~ x2 + 1
~
a
1.. -I
0
w CI.
+
Iimita ceruta este _1_ e-I
Z
~
1. -I
e
::>
u
+ ...+ j{-n)
e
i ::>
u.:
+ j{-2)
1 1 1- en -'-e 1-1.
sau b
=c
2.
C~
II)
detAe{-I.I}.Atuncic-b,
c-a,
b-ae
= I si
{-I, 1}.Obpnema=bsaua::c
deci det(A) = 0, fals. 2 e este solutia ecuatiei ~ - x + 1 = 0, rezulta cli e -e = -I, deci (ZI + e)(z2 + 1:) - I: =
= ZIz2+ EZI+ EZ2+ e2 -
I: = ZIZ2 + EZI+ EZ2- 1 = ZI * Z2· . b) Fie G = C \ {- s} ~i Zt. Z2 e G. Cum ZI + &"*0, Z2 + &"*0 rezulta cli (ZI + &)(Z2+ &)"*0, deci ZI • Z2 E G. Rezulta ca ,,*" este lege bine definita pe G. Vom verifica axiomele grupului: • Avem (ZI * Z2) * Z3 = [(ZI + &)(Z2 + &)- s] * z3 = (ZI + &)(Z2 + &)(Z3 + &)- &~i~I * (Z2* :3) = zl ~ [~Z2 + + &)(Z3+ &)- &]= (ZI + &)(Z2+ &)(Z3+ &)- e= (ZI * Z2) * z3, 'v'ZI, Z2, z3 e G, deci legea,,* e asoclattva. • e e G este element neutru ~ Z * e = e * Z = z, 'v'z e G ~ (z + &)(e + &)- & = z, 'v'z e G ~ ~ (z + &)(e + &) = Z + e; 'v'z e G ~ e + e = 1 ~ e = 1 - e. Cum I - e e G, rezulta cli ~
i
Subiectull
e = 1 - seste elementul neutru allegii ••*". '" • Fie Z e G, Z este simetrizabil ~ 3 z' e G astfel incat Z * Z
1.a) (1+ i)S = (1+ i)4. (1 + i) = (2i/(1 + i) = -4(1 + i) => Z =_3_2_ = __ 8_ = -4 + 4i => Rez = -4. -4(1 + i) (1 + i)
..•..... ( + ~\(z'+ &\ = 1 Cum .•.•• Z
e>/
/
•
Z
= Z • Z= e ~
+ I: "* 0 rezulta cli z' = -& + _1_ Z
+e
( + ~(' + &\ &_ I e ~ Z &/ Z / ::::E
e G , deoarece _1_"* Z
+e
0 . Rezulta cli
toate elementele G sunt simetrizabile. c) Avem H = {z eel jz + bj = I}. Fie Zh Z2 e H. Atunci l(zl * Z2) + bj = l(zl + &)(Z2 + &)- s+ lj
~
~
= J(ZI
•
30A
+ &)(Z2 + &)1 = IZI+ bj IZ2+ bj = 1, deei ZI • Z2E H. Fie Z E H. Din punetul b) rezulta eli z' = -& +--L. Z+e'
de unde
Iz' + &1= /_1_/ Z+&
= -I
_1_1 = 1 . Obtinem
Z+&
ca z'
E
H deei H este subgrup al lui G. '
1
•
f
0)
limf(x) x-+o x3
=limx-ar~sinx. x-+o
f'(X). = lim lim-2
.--0
.--0
3x
_x2
= (-
r.-? r.-? vl-x2 (vI-x2 +1)
Aplicam
X
teorema
lui
'X
(-I, 1).
E
L'Hospital
in
~) vI-x2
In
!:: ::::I ~ >c
I deci A = - ff(x)
0
=xlo(2+x)lo- I
::::I
o
= 1.. (1- x2r3/2 . (-2x) = 2
2(R+r
.., ~
CL
.
Rezulta ca f"(x) > 0
ca fix) !>0 pentru
I
xdx ---xlo(2-x)lo+ ox+2
0
xdx --=103+ ox-2 f'
0
Aplicand
Ifx (1----0 x-2
f-2-
1) dx=103+ I 4x dx=
x+2
2+x
2+x
.
lui
L'Hospital
in
cazul
0 0
~
i ~ c:i
..,
obtinem
lim f(x) x-+o 2x
102-x = lim~ x-+o
2x
=
2bc a+ a+b+c
Z
oc ~
• 308
p
-2
)_2a2+ab+ac+2bc a+b+c
2 b +c2+ab+ac+2bc a+b+c
-
=2
2bc
. Avem:
a+b+c
(b+c)2+a(b+c) a+b+c
=
"* O2rezulta ea rang(A) = 1. ~i P(2) sunt
adevarate, presupunem ca An = A. Atunei An+1 = An . A = A . A = A2 = A, deei Pen) este adevarata "In ~ 1. in eoncluzie A2012 = A. Cum 12 . (3A)
.i;'
= (3A)
.(3A)k = 12+
h, folosind binomul lui Newton obtinem (12+ 3A)"
.
t.C:
·3k ·A=12
+A(l+ t.C:3k
-IJ=
=
12+ A[(l+ 3)" -1]=
2.0) Fie (a, b) fji(x,y) E G. Atunei (a, b) • (x, y) = (ax + 2by, ay + bx). Cum a = ax + 2bY E z, 13 = ay 2 2 + bx E Z ~i a - 2/32= (ax + 2by)2 - 2(ay + bxi = tl~ + 4blj - My - 2b2~ = (tl- 2b )(~ - 2y) = 1·1= 1 rezulta ea (a, b) • (x, y) E G. Cum (1, 0) E G rezulta ea G"* 0 ~ide aiei concluzia. b) Din punetul a) rezulta ca "." este lege pe G. Cum (a, b) • (1, 0) = (a, b) = (1,0) • (a, b), V(a, b) E G, rezulta ell "." are pe G elementulneutru (1, 0). c) Fie XI = (3, 2). Cum 9 - 2·4 = 1 rezultli ell XI E G. Notaro CUX2=XI • Xl>X3 =X2 • XI ~iinduetivXn+1=xn• XI. Cum "." este legepe G rezulta ellxn E G, V~ ~ 1. Dacax, = (am bn), atunei eumxn+1 = (am bn). (3,2) = (3an + 4bm 2an + 3bn) rezulta ell an+1= 3an + 4bn ~I bn+~ = 2an + 3bn. Cum al = 3, b, = 2, rezultliell am On E III ., "In ~ 1 ~i an+1> a". Rezultax; Xm "In m, deci multimea {x, 1 n E III .} este infinitli.
"*
Subiectullll A
punetul de pe grafieul lui f, de abseisa 3. Cum f(3) = 27 + 1 = 28, rezulta ea
eoordonatele (3, 28). Cum f'ex) = 3X2 +
t
2+x
A
are
~i f'(3) = 27 + ~ = 8 2, rezulta ea ecuatia tangentei in A 3
este Y - 28 = 82 (x - 3). Deci, ecuatia tangentei este 82x - 3y -162 = o . 3
~ Testul4
Q
'
Cum BA.BC=-6+6=0,
6 J = A. Vom demonstra prin inductie ea An = A, "In ~ 1. Cum P(l) -2 -3
1. 0) Fie
is i
~i BC(-2,3).
"*
10(1+ -2X) = lim 2 + x . --=.L = -1. . Deci Iimita ceruta este _1.. x-+o _~ 2+x 2 2
•
z} deci
=12 +(4n -I)A .
oX -4
= 102 + x = 1o( 2 - X)-I = -10 2 - x = - f(x) , "Ix E (-2, 2), rezulta ca f este impara,
teorema
5. Avem BA(3,2)
b) A2 = ( 4
= ~C:
-I
c)
6
Subiectulll
c)
=103+2101=1027. 4 16
2-x
~
) = 2(
1
::::I
:,(
x E [0, 1],
I
deci ff(x)dx=O
t·
2. Probabilitatea este
1. 0) det(A)= O.Cum A
continua in 0, rezulta ca 0 este unicul
1 pentru x E [0, I] rezulta
0
f'
0
b) Cum fe-x)
(I_X2)3
2+x
0
U ;; ~
2-x
--!>
~.
1
=103+21o/x2-4/1'
este 9· I~·
Cum
I I I I dx = flo(2 + x) dx - flo(2 - x) dx = fx 1o(2 + x) dx - fx 1o(2 - x) dx =
o
..J
~
Cum
0
Q
{(-I/ !!:.+k1r 1 k E
=2(b+c)=AB+AC.
= -( (1- x2rI/2)'
I dx.
..• 2. 0) A = JI f(x)
~
E
rezultli cos(ABC) = O. 6. Fie AB = 2c, A C = 2b, BC = 2a. Atunei R = a si r = §... =
Q
cazul
-I x 1·· j{Xn-I), deci Xn+1> x •. Dad
X.+I = x~ + ~. , rezulta cA /
= /3 +
crescator, rezulta cli x; < I, "In eN,
f
(x.). e rnarginit, atuoci x. ~ / e lR . CUIll
3/3 = 21 1 e { -~,
0, ~}.
(x.). este strict
Deoarece
< 1 , "In ~ 0, fals. Deci (x.). este nemarginit ~i fiind
deci x. < ~
.-- I
I
II
I
rezulta cliI.~
= 1, b = 2, -
•
.1'-+0
tgx -1 f(O) = lim--. x = Iim--tgx-x 2-·
x
1 _-I lim cos2 X
2a + b = 8 a
= -3,
b = 2::::)X ("I)xelR
= (-3 2).
e = O. Deci
o
n+1
II =_2_.J2 0
n+1
Cum lim .J2 = 0, din teorema clestelui rezulta cli lim J, = O. n-tao n + 1 n-tcc
b)Pentru
2
xe(o,E.)
Fie g:(O,~) rezulta
. • teorema lui l'Hospital Aphcand
X
.1'-+(1)
'
cazul -0 obtinem: 0 ' .
2
• I- cos x . 2 sin x2 = lim-. sin x = 0 , decij" . este derivabila In 0 ~if'(O) = o. lim 2 = lim x-+o 2x cos x x-+o X cos x x-+o 2
2x
x-+o
X
x-+o
_X__
I
...
. f(x)1 a) lim
0, "In ~ 1, deci sirul (1.). este marginit,
.+1 c) Cum 0:5: x·"'x2 + 1:5:.J2 x·, "Ix e [0,1], "In e N*, avem 0:5: I. :5:f.J2x· dx =.J2 ~
1&1
2b
siogurul numar cu proprietatea din enunt este O. b) Legea ,,*" are element neutru 3ee lR astfel tncat x * e = e * x = x, "Ix e lR xe + ax + e = x ~i ex + ae + x = x, "Ix e lR x(e + a - I) + e = 0 ~i ex + ae = 0 "Ix e lR e= 0 si e + a - I = 0 a = 1. e) Pentru a = 1 avem x * y = xy + x + y = (x + 1)(y + 1) - 1. Atunci (x * x) * (x * x) = 15 ~ «X + 1)2 _ I) * «x + 1)2 - I) = 15 (x + 1)4 - 1 = 15 (x + 1)4 = 16 x + I = 2 sau
I
b) Cum 1.+1- I. = f(x·+I", x2 + 1 - x·'" x2 + I) dx = fx·'" x2 + 1 (x -I) dx:5: 0, deoarece x'''' x2 + I ~0 o 0 ~i x -1:5: 0, "Ix e [0,1], rezulta cli sirul (1.).>1 este descrescator, deci marginit superior. Cum
x''''x2 +1 ~O, ("I)xe[O,I]
= (1 2 8) a +
= x, "Ix e R ex+ae+x=x,("I)xelRe(x+a)=O,
subiectullll
2. a) II = fx. '" x2 + I dx = .!. f2x'" x2 + I dx =.!. f(x2 + 1)1/2.(x2 + I)' dx = .!.(X2 + 1)3/2 = .!.(2.J2 -1). o 20 20 3 0 3
...•
*x
J.a) Avem e
x+ I =-2, deci x = 1 saux = -3.
erescator, rezulta cli lim x. = 00 .
I
strict
2
COS
tgx
X2 x
x-~inx~osx= x cos X
2x-sin2x. 2X2 cos' x cos2x) > 0, "Ixe(o,~),
g(x) = 2x - sin 2x. Cum g(x) = 2 - 2cos 2x = 2(1-
~lR,
ca g
2
avem f'(x)
este strict crescatoare pe (0, E.), deci g(x) > limg(t) = 0, "Ix e (0, E.). Cumf'(x)
2
II:
i TestulS :>
'Ix e (0, ~)
u.: •
Subiedull
= I ~i lim f(x) =00 ,dincontinuitatea
~
1. a) Avem
~if'(O) = 0 rezulta clifeste
2
,'>0
>0 ,
strict crescatoare pe [0, ~ ), deci este injectivli. Deoarecej(O)
Q
A.
:> U
Y i C ~
luifrezultlicli
Imf= [1, 00), decifeste
surjectiva.
X-+1f12
z+i elR a+(b+l)i eR [a+(b+l)i](1-b-ai) elR (b + 1)(1 - b) I+iz I-b+ai (l_b)2+a2 -Q2 = 0 cl + b2 = I, undez = a + bi. Obtinem izl2= I, deci Izl= 1. 2. f = l (f 0 f)(x) =x, "Ix e lR f(x+a) =X x+a+a = x, Vxe lR, de unde a = O.
r
J.
c) Cum limf(x)
{(-V ~
+ kx Ik e
Z} u {3;
+ 2k1l" Ik e
.l'-+ao
.-+00
=
,
2
fXln dx=
K
I
~
4. Numarul numerelor naturale de trei cifre este 900, iar numarul celor cu toate cele trei cifre pare este
;;
100. Deci numarul cerut este 800.
r' (x) =E..2
Atunci limr'(n) n-tCXl
= E., 2
deci lim x. = E. .
2.a) II
Z} .
continua si inversabilli rezulta lim
2
Ecuatia se scrie sinx = I - 2 sin2x 2sin2x + sinx - I = 0 (2sinx - I)(sinx + I) = 0
sin x = ~ sau siox = -1, deci x e
=00 ~ifeste
.l'-+~
,
I'
12
2 e ---
2 x I - ef-·-dx= 1.2 x
2 2 -x ) lnxdx=-lnxx 2
,
b) 1.+, _ I. = fXln' x(lnx -1) dx:5: 0, "In e N* ,deoarece
2
I'fxdx= 2.
2 e --2
2
I'
2
I+ e =-4 I 4
x
0:5: lox:5: 1, "Ix e [1, e]. Rezulta cli (1.)•.,1 este
I
~
~
5. d(PA)
=
1-3a+ll
00(
JlO
la+21 ~ ,,10
,iar d(P,d2) =
10
CD II: 1&1
II!'
3a+l=a+2sau-3a+l=-a-2
a=--
o
. Atunci d(P, d,) = d(P, d2) 1-3a + II = la + 21 -
1 sau a=-.Decl 3. 4 2
{I 4'2-3} .
ae --
(1.).>1 este marginit.
'
!i
~ 6. Avem .J3 = AB· AC ·sinA AC = = 2, deci triunghiulABC este echilateral. RezultliBC= 2. u 2 smA ~
Q
Z C
Sublectul "
• 10
b) AB =
(1 -2) 2+m
c) 1.+ = ofXln·+1 xdx = '~ ~ 1 I 12 = e2 2
_
n + 1I 2'
lim J, =0.
1. a) Cum Be M2•3(1C)
~
descrescator, deci marginit superior. Cum xln" x ~ 0, "Ix e [1, e], obtinem I. ~ 0, "In ~ 1, deci sirul
7
.
~l
tlp
II 212
= 0
=2
* 0,
.
rezulta cli rangul lui Beste 2, "1m e lR .
. Atunci det(AB) = II + 2m . Rezulta cli m = -- II . 2
,-+00
,
2)'
2 In·+lxdx=~ln·+IX
deci I = ~ __ 2_. I • n +1 n +1
2,
.+,
I" -
2 f~·(n+l)ln'x 12
. Cum sirul (I)
••
2 e ..!.dx=~_0JXln'Xdx= x 2 2,
este mlirginit si lim.-L = 0 , rezultli cli .-+00 n + 1
derivabila in Xo = 1. b) punetele de extrem ale luifsunt
Testul6
x
Subiectull 1. Avem
x;
[X;
I] = 3 3 :5:
x
r'i»
r:' : [2, 00) ~
3. Ecuatia se serie arccos x + 2ft = ft arccos x =!£ ==> 3 3 s => x = cosE. x = 1. . 4. Numarul submultimilor lui A este 2 = 32, iar numarul submultimilor care 3 2 [I, 00), rl(x)
= I +.Jx - 2.
6. ctgx-
+00
A e d, rezulta ea 2 + 2a = 4, deei a = I. Din A e d2 rezulta ea b = I - 2 =-1
eosx sinx tgx= 4 -.----= smx eosx
4-
2
""".
2
eos x-sin smxeosx
x
=
4-
2eos2x """-.--= sm2x
4-
-----
o
,I
C.,
= 00 ,j{l) = 0, f(e) = 1. si limf(x)
Deoarece limf(x)
e
x-+o
= 0, din eontinuitatea luifrezultli
x-+oo
ell ecuatia
j(x) =' m are trei solutii reale m e ( 0, ~) . o
2.11)
A=
II f(x) Idr . Cum
e:
I 2x f(x) = eX - eX = e
I
< 0 pentru x e [-1,0],
rezulta ell Ij{x)
I = --:f{x),
-I
o
1. . 5. Cum 2
0
1+++
I(x)
lui B = {2,3,4,5} , adica 24 = 16. Probabilitatea
contin elementul I este egal eu numarul submultimilor
Ole
f'(x)
1 < 4 ee- 5 :5: < 7 ~ A = [ 5, 7) (\ Z = {5,6} , deci A are doua elemente.
2. Fie y e [2, 00). Atuneij{x) = y Xl - 2x + 3 = y Xl - 2x + 3 - y = O. Cum !:1 = 4y - 8 ~ 0, rezulta ea x = 1 ± Jy -2. Cum x e [1,00) obtinem = 1+ Jy-2 . Ca unnare, inversa funetieifeste
ceruta este
. .,. . .. 1~l e, asa cum se observa din tabloul de vanape al luij de mal JOS:
'Vx e [-1,0], deei A = I(e-X _eX) dr = -(e-x + e")
.
LI = e0
I
+e-2
.
-\
t 2 2 t 1 """eg X= gx=-. 2
b) Fie F
0
primitiva a luif
Atunei F "(x) = f'(x)
I c) Cu teorema lui L'Hospital : lim2" x-+o x.b
Subiedulll
=
e' + e-x > 0, ' a(i) = T(l) => a(i) = i ,fals
2. a) De exemplu, x= y = -~20212 . Atunci x' = l =-1006
:>
= (a4)" -a' =ar
Testul7
5) =e. Fie k.c e Z
in eonc1uzie,
~ U
u
4
(0,00)\ {I} . Cum limf(x)=O=f(I), x-e
Lagrangqi
x I-Inx --,
x
rezulta eafeste
b) detA(m) = 0 3m2 + m - 1 = 0 me { -1-6.Jl3
xe (0, I) , deei f este derivabila pe xe(l,oo)
obtinem limf'(x) x/'I
oj ACO) = -I,
deci f;(1) = -I
si limf'(x) x'>.l
= I, deei f;(1) = 1. Rezulta eafnu
e
Q
,rezulta detA(m)"* 0, ~
deci A(m) este inversabila, pentru oriee me Q.
continua in Xo = 1. Aplicam eorolarullui
l
, -1 +6.Jl3} . Cum me
=[~ : =:J=
1, +B. unde
B
=[~ ~ ~~}
! Cl ""
D~,
B'
=[~ ~ -n
si
B' =0,.
31
rezulta ell B* = 0) pentru one
(A(O»"
k
e
2 3. Tinand eont ell h .B = B . Is, avem:
= (13 +B)" = 13 + C~B + C;B2 = I) +nB + n(n -1) .B2 =[~ 2
o
-r-
~n
-n~:2nJ.
0
I
1) e' ( -----;+--. l+e l+e
I 2.0bservlim eli putem serie X. Y = x2iog,y -_ X Ioa.y= (91no~ I -.. = 9 og,'-Iog,y a) • -I 910a.•1089Y . X Y - ¢> 1 ¢> log9 X -Iog, Y 0 ¢> log, X 0 sau log y 0 ¢> _ 1 b) Cum X. -9Iog,.Jos,y 0 9 x- sauy: 1 y > ,\Ix, y > 0, din punctul a) rezultli cli X. Y E (0 co \ I x, Y E (0, oo] \ {I}, deci "." este lege de compozipe bine defi .tli _' ) { } pentru once continuare axiomele grupului. uu pe G - (0, co) \ {I}. VerifiCli!n '
=
=
=
=
pentru orice x y Z E (0 co] \ {I} ( " , avem x· y).z=x.(Y.z) (x. y). z = 9 log,x-log, Y • z: 9Jos,(9•.••~··9Y)-Jos,z = 91og,.-log,y-log,z
• Asociativitatea:
• Existenta elementului neutru: Cum x. 9 - 91og,·-10899 =X ( X E 0,
•.••
-
i
= 3 ¢> log3 x-I I I,J,. 9 - - ¢> og9 X = ¢> x = 2 ~
c) x· x· x = 3 ¢> 9~'
~ Q
u: Subiectullll •
'S
I 2.+1 II 1 I fx2• dx== _x_ =--. Deci limn fx2'f(x)dx= 0 2n + 1 0 2n + 1 .-+00 _I
0
. ~=-. "~2n+l
2
festul8
Sllbiectull
..
._
_
Ecuatia zZZ + z + 2 = 0 are solutiile z ~I z . Cum z- z = 1 , rezulta cli 1z12 = 1, deci Izl = 1. Daca a 0, atunci f este functie de gradul II care nu este functie monotonli. Pentru a = 0, p> = 2x + 3, decif este strict crescatoare.
i.
*
J.Ecuatiasescrie
(~r
-3(~J
+2=0
¢> ((~J
-IJ((~J
5 ;
b) ~f(x)
(x-I)2 x(x+Ii-'
>0
strict monotone
P.::l=-2,
este 2
C;.
Atunci
C; = 20
2
deci 2a + ~ = 4. Cum ME davem a-2~
•• Presupunem
¢>
C; = 10
de unde a
=-5,
=1
~i
5
cli triunghiul
AD = "/144 - 36 = 6~ orizontalli spre +co, Cum m = Jim f(x) = 0,
=1 sau (~J
=2,
¢> n(n - 1) =
din A pe dreapta d : x - 2y + 5 = O. Cum md . mAM = -1 rezulta
a-I
\I XE[I,~_X-y 2 y x - --, _ +I x+Y y
If 2
hi
k+I In-k->
• I t;2k+I
. pentru once
,de unde t+t
x y E (0 co) "
2. _ =Inr
Z CC
:E
• 314
a)
Aria
suprafetei
II - In(1 + I) II = IneI
b)
este
e.
,x > y .
+ ... + 2nl+1 -2 k 2k+I'
\I k > 1 deei -,
• (rrk+IJ=IIn(n+I). hi k 2
f.
j~
dx. = e' • dx = = 1+ e 0 e (I + e ) I 1(1+ 1)
I
I
/X2f(X)dx=
fI2f(-/)dt+
b) E(f(x)t.= 1 ¢> e(ax) = 1 ¢> e(a) . e(x) = 1 ¢> e(x) = -1 ceea ce demonstreazli echivalenta din enunt, c) Avemj{x) =./fy) ~ ax = cry ~ x = y, decif este functie injectivli. Fie p numarul permutlirilor pare din S. ~i q numarul celor impare. Deoarece f este injectivli ~i duce orice permutare para in una impara, rezulta cli p ~ q. Cum f este injectivli ~i duce orice permutare impara in una para, rezulta q ~ p. Obtinem
p = q = 24 = 12 . Deci oricum iamultim permutarile 2 produsul este diferit de a.
2.
8) Notand E = [~
o err.!__
IlI
1_) dt == 1+1
In(e+ 1)+ In2 = In~ e+I'
x2f (X)dx+
X
) d . 1 In x-I , O. Din teorema lui Lagrange aplicata functiei g: [x, x + I] --+ R, g(t) = lnt rezulta ca
z ac
lui
x2
v
III 11.1
teorema
I
~ :;)
Aplicam
1 eos2x + cos4x = 0
"""
rezultli cli I = 2R sin ~ =.Jj
I x
x(x lim0--1•...• __
l+cos4x 2
-",,3x . cosr = 0 cos3x = 0 sau cosx = O. Cum cos3x = 0, x
I
este izomorfism.
+ I), deci f'(x) =1.. __ 1_=_1_ > 0 V x x + I x(x + I) ,x
t=o
==>x=Y.
cli f este strict crescatoare,
l-
+
numlirul cerut este 53 - 52 = 100.5. Cum Ii ~i
1. a) Cum x > 0, avem.f{x) = Inx-ln(x
....• 11.1 ac
. l+cos2x este echivalenta cu 2
J. Eeuatta
Subiedullll
b)
t=O
enunt devine (n + Ii = 625 n + I = 25 n = 24. J. Avem.f{x) =~(~ - 2) + 3. Cum f(O) = f(.fi) = 3, rezulta clifnu este injectivli.
cosx dx ,rezultli
ca
. n In = -sin I lim 1. •...•"" 2
Atunci,
din =/(cr)
= G
~
!~J !~ =G
:).fals.Deci
f(er)*-G
2
3
4)
atunci e = .f{e) = .f{if) =
3 4 2 ' ~
!~).
Subiedul
III
1. a) limf(x)
subiectul " = lim x + I. XIn(I +.!.) = lim x + I In(I
x-+oo
X
X-JoOO
X
x-+oo
X
+.1)X x
= I . Ine = I, deci dreapta y = I este
asimptota orizontala spre +00. b) f'(x)
= In(1 +.1)_.1, x x
b) A eM=> det(A
x e (0,00). Cum f"(x) =_I __ .1+~ = 2 1 > 0, Vx e (0,00) rezul" x +I x x x (x + 1) ''
~
~ ~
o
u.: •
x = - 2ln2
I' I
0:5;1. =
fTX' I
dx:5;
f2-X
dx =
0
fa
limf(x) xl'I
I
X
< _1_
= _I_(.!. -~) ln2 2 2'
2ln2
0
c) Din teorema de medie, exista c. e[n,n+I]
o
u • ~
lim c, =00, rezulta ca limf(c.)=
lim2- ab 0, din punctul a), deci compunerea functiilor este lege bine definita pe G. Compunerea functiilor este asociativa, are element neutru, deoarece fa 0 It = It 0 fa = fa, Va e JR* , si,
c) fa
Cumf{x) > 0, Vx e JR, rezulta ca
f f(x)dx.
A2 = (a + d)A = A', rezulta cli (a + d)a = a ~i (a + d)d = d,
Cum
a
n+l
ff(x)dx=
I
1
cli det(A) = 1.
2 deCi (a + d)2 = a + d. Daca a + d= 0, atunciA' = 0, deci a= b = 0 ~i if + b -a = O. Daca a + d= I, atunci 2 A =At. Rezulta b = c si d= I-a. Cum ad- bc= 0 obtinem a(I- a) - b = 0, deci if + b2 - a = O.
pentru orice a e JR., fa 0
'* 0, rezulta
Cum fa 0);, si fab au acelasi domeniu de definitie ~i acelasi domeniu de valori, rezulta fa 0 );, = fab .
1 (x + 1) ·In(x + 1)
n
n+l
b) Avem 1.+1-1.
e M cu det(A) = O.
det(A)
Cum
0
de unde rezulta ca lim In(ln(n + 1» = 0 . Ca urmare, limita ceruta este 1. a-eee
0 = A = A' , rezulta A e M
= det(A~ => de~(A) = det(A).
)
!J
e) Fie A = (:
(I 0)
0 . Cum A 2 = 0
2
caf' e strict crescatoare. Dar ~f'(x) c) Avem
(1 0)
,. a) Fie A = 0
I_). (X_1)3
Avem
x= ifi -2. ifi -I
0
=.!.In 1.. 2 2
II
1
0
x +I
II
X
X
c) Cum f(x + 1)- f(x) = IIt 2(t -1) dt :5;0 ,rezulta o t +2
f(x + 1) :5;f(x),
Vx > 0 . Folosind acest lucru, avem:
3f(x + 2):5; f(x + 2) + 2f(x):5; 3f(x) , de unde, conform b), rezulta 3f(x + 2):5; x: 1 :5;3f(x),
fJ
!"(x)=O
Obtinem
_1_:5; 3(x+I)
f(x) :5: _1_, 3(x-I)
de unde
_x_:5; 3(x+I)
xf(x) :5;_x_, 3(x-1)
Vx >
o.
pentru orice x > 1. Cum
1
,
I
1
lim_x_ = lim_x_ =.!. ,rezuita ca lim x f(x) =.!. . x ...•., 3(x + I) x ...•eo 3(x -I) 3 x ...•., 3
31
Testulll Subiectull 1. Fie z(= a + Img =
-00,-
•.'* x = e .!.(x2
i:
''''''''
2
2
4a = (-oo,a+4].
3•.Ecuatia se scrie 8 + ~ ~~x stnct descrescatoare,
2. Imf = [- 4~'~}=
[2,~},
~
(~J+(i- J
= I. Cum functia j": IR ~
JR, f(x) =
(%J +(i-
J
'/este
este
submultimi ordonate cu trei elemente care contin elementul I . .. . . . pe pnma pozipe, Analo pentru submultimile care conpn elementul I pe pozitiile 2 ~i 3. Numarul cerut este 3A; = 36 . g 5. Fie B' simetricul
xB' =2xA -xB =-2
...
w
ex: l-
i:::l Q
~i YB' =2YA - YB =2.
•
§
x ...•o
61bledullll -
1.
Punctul
,I II,
to[:
1.a)Avern A' -I, = rangul cerut este 1.
h) A' =aA +bI, .,,[~~ 16
~~ 16
I I]
1 1 . Cum A2 1 1
h#
-2x,
17
2a 2a 3a+b
2a
2a
x2 ~;
t) Inegalitatea 2j{x) ~ X4 este echivalenta cu ex' -1-
vt
E
x
x-+o x>o
x-+o X>O
lim I(x) = lim eX' -1X4
x-+o
X4
X
I.l. 1.(X2 _1)(y2 -1)(Z2 -I) + 1 = '14 4
~ w
=
~
= ~±(X2 -I). ±(y
-1)(Z2 -I) + I =
~
• Element neutru: e
E
2
2
"
7
x-+o X>O
1(:) .
Cum,
2 (x -1)(/-I)(z2
-I)
16
2 (x -I)(Y:;
•
• Simetri za bili . x I itatea elementelor. FIe
E
lui L'Hospital
cazul
Q
avem
0
+-'
X
1(:»)
.-+0 x I, deci toate elementele din G sunt simetrizabile. Rezulta ca (G, *) este grup.
cste strict crescatoare, deci get) ~ g(O) = 0,
•
:::l
6. Avem
YB' + YB _
lIP ...
J5 .!.(X2 -l)(x' 4
BD = CD. Din teorema bisectoarei avem ca BD = AB deci AB = AC CD AC' .
u.:
'5
xB' + xB = x si 2 A
lui B fata de A. Atunci:
X2 _I
I(X)
deci injectiva ~lj{l) = I, rezulta ca ecuatia are solutia unica r = 1.
A;
-r
•••~l
Atunci 1Imf n Img 1= 1 a +4 = 2 a = -2.
x
4. Exista
~
2
JAtunCi a +b = (a- .. +b ee- 2a-1 = 0 a =t·
-l)(x' 2 _I) + 1 =
4
(1,00) astfel incat
Subiectull 1. Numarul este
~ ~
J3 -I 2
+
J5 - J3 + J7 - J5 + 3 - J7 = I EN. 2
2
2. Cumjf-O
= -j(0), rezulta caj{O) =
~ ~
+ I) = 0 t = O. Deci x =
•
2
0, deci produsul este O. 3. Notaro {/l- x = t . Ecuatia devine t= -
r t(t
1 este unica solutie a ecuatiei, 4. Daca multimea are n elemente, atunci 2"-1 = 16, deci n = 5.
321
s. Fie
h Inaltirnea din A. Cum panta dreptei BC este 1 rezulta ca panta lui h este -I. Ecuatia . lui h este = x + 1. 6. Avem cos2100+cos2500+cos2700= l+cos20° +l+coslOO° +1+cosI40° 3 y 2 2 2 -"'2-!+1 (cos 20° + cosl 00° + cos1400) = 1+1(2cos60°cos40° 2 2 2
+ cos1400) =
2
.
"n
2. a) Aria = J1f(x)
1 + 1 (cos 40° + cos 1400) 2
fals • Deci sirul x; > _ 0 ,v'-In E ",,' 1"1 , y
o
Idx --
(x n ) n2:1 este nemarginit si, fiind descrescator, rezultll cll "-I>«) lim
~
I
2
COSX
. 2 dx J1+ SID 0 x!!
-"J
cosx dx = J~1+ sin2 X 1+/2
0
I
J~=2 2 1+ t
J~= 1+ /2
2
- cos400) =
2
b) Cu schimbarea
de variabila
y
= 2n - x avem:
2 (21Z'_ f K
J .( -1-3 3 9 J = O2 . Rezulta A4 = O
2,
y)
o
deci A E M.
cos(27r - y) dy = 1+ sin 2(27r - y)
solutie a ecuatiei y2 = A ; atunci y4 = A2 = O2, Rezulta cll Y EM=> y2 = O2 ~ A = O2, fals. Deci ecuatia nu are solutii. 2. a) U E (2, (0) este element neutru al legii "." ~ x. U = U. x = x, Vx E (2,00) ¢>
~
-2 = e ~
U
lui
k
y)
fey)
dy =
0
f 27rfey)
dy - 1 ,
0
f 1+co~~ SID Y
dy =27rarctg(sinY)I~"
= 0, deci 1=0.
0
L'Hospital,
cazul
0 0
avem
lim...!...xf(f(t) -I) dt = lim f(x) 2 -I = x ...•o x
x ...•o x2 0
0
(x_2)In(u-2)+2=x, U
teorema
f (27r -
2x
o
Din
co~~ dy = 1+ SID Y
y)
0
f
c1 "
2K
k
de unde se obtine 21 = 27r fey) dy = 27r
.r
~
f (27r -
21f
b) Fie X E M. Atunci 0 = det(02) = det(X') = det\\'), deci det(X) = O. Din teorema lui H '1 ton Cayley, rezulta cll ~ = tr(X) . X, deci X' = tr(X) . = ~(X) . ~ = n-l(X) . X Atunci n-l(X) . X = ;rud tr(n-l(X) . X) = tr(02), de unde tr4(X) = O. Rezulta ell tr(X) = 0, deci ~ = O2. 2, eel
c) Fie Y E M2(1C)
0
o k
1. a) A2 = ( 3 9 -I -3
=!!.... 2
1 = J xf(x) dx = - J (27r - y) f(27r - y) dy =
2
Subiectul "
0
2
=::
1.
l
2aretgtl
0 2"
1+ 1(cos40°
Xn = -00 .
Vx
E
(2,
(0)
(x-2)ln(u-2)=x-2,VXE(2,00)~In(u_2)=I¢> =e+2 E(2, (0). Cum (e + 2). x= eln(x-2)+ 2 =x- 2 + 2 =x, Vx E (2, (0), rezulta ell
cosx -I . 2 . 2 . (..) SIDX SIDX -lim I + sl'n2 x = lim cosx -1- SID x = I'1m -SIDX - SIDXCOSX = li m ------cosx 2 - x...•o x2 x ...• o x x ...•o 2x x ...• o 2x x
----.
3 2
~
= e + 2 este element neutru. b) x E (2, (0) este simetrizabil ~ 3.x' E (2, (0) astfel incat x. x' = x'. x =
Testul13
U
Daca x
'* 3, atunci
In(x - 2)
'* 0 si
U
~
(x' - 2)In(x- 2) = e + 2.
x' = 2 + (e + 2) In(x-2)E (2, (0) , deci toate elementele diferite de 3 sunt
'* e + 2 , deci x = 3 nu este simetrizabil.
c) Avem x. x. x = «x - 2)ln(x-2)+ 2). x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 si x. x. x. x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 . Ecuatia (x - 2)1n'(X-2)= 3 ~
XI =2+e~
Subiectulill
~
•
1n4(X - 2) = 1n3 ~
>2 si x2 =2+e4'iD3
.Jk
_1_
simetrizabile. Daca x = 3, atunci (x' - 2)1n(3-2)= I
se scrie
Subiectull 1. Cum pentru kEN·,
>2.
In(x - 2) =
±\t'll3 ~ x -
2 = e±~.
Obtinem
E Q ~ k este patrat perfect, rezulta cll numarul cerut este egal cu numllrul
plltratelor perfecte cuprinse intre I ~i 2012. Cum 442 = 1976 < 2012 < 2025 = 45~, re~ltll ~ll exista ~ patrate perfecte, deci multimea are 44 de elemente numere rationale. 2. j(0) = 2 implica j" (2) = 0, iar j{-I) = 0 implicllF1(0) =-1. Ca urmare, (f-I ° rl)(2) 3. Avem sinx =-J3cosx
= rl(f-l(2»
= rl(O)
= -I.
sinx =-J3 ~ tg x =-J3 ,x E [0, 2n) ~ x E {2;, 5;}. cosx 4. Exista 4! permutari care au pe prima pozitie numarul 2 ~i 4! permutllri care .au pe p~a pozitie numarul 4. Exista deci 2 . 4! = 48 permutari cu proprietatea din enunt. s. Prin calcul direct, sau 4 4 ~ ~_~=~ . 4 4 folosind relatia C: = C:_I + ,avem: C; + C! + C; + C~ = C4 + s - C4 + C6 - s + 7 6 7 . em 6. Avem 2 sinB cosC = sinA = sin(n - (B + C» = sin(B + C) = sinB cosC + cosB sine. btin ~in! ~
C:~:
C
cosC _ cosB sinC = 0, deci sin(B - C) = O. Cum B - C E (-n, n), rezulta B - C = 0, deci B = C
Subiectul " : ) EM,
X'* O2, Atunci det(X) =
.
b = 0 obtinem a = 0, deci X = O2 fals, iar pentru b
::r:: u
cll J2
w
este numar irational. Obtinem det(X)
CC
Z
ID
consecinta, triunghiul ABC este isoscel.
1. a) Fie X = (;
o cc:
~I,
b) Fie ~ = ( :
~). Atunci AX = XA ~
(
d-- 2b2•
'* 0 rezulta
2
Dacll det(X) = 0, atunci 2b = 2
cll
a IJ = 2,
'* 0, deci X este inversabilll.
!~: ~ )(
) = (:
b)(3 d 4
deci \ a \ - J2 eCI
b -
2) 3 ~
d-. Pentru
, fals pentnJ
(3a+2C 3b+2d)= 4a + 3c 4b + 3d
Q
Z CC
~
• 322
= (3a + 4b 3c+4d
2a + 3b) 2c+3d
~
3a + 2c = 3a + 4b si 3b + 2d = 2a + 3b ~
c = 'lb ~i a = d 0, 'dx
-i,
unicul punct de extrem (minim) a luif
Q.
b) Avem
·
::::I
,f'(X)
1+(I+X)2
0:< ::E
U
- pentru m
E ( --CO, -
2arctg
Z
0< CCI
- pentru m = - 2arctg
Ill: 11.1
- pentru m e ( -2arctg
• 11.1
U
-e
o Z ;
e) Fie x
Z. Cum
r-s:'
= h1
0
h~1 = h1 °/_3P = h1-3P
1.
i)
00) ~i f'
(-i)
2x+1 (I +x2)(2+ 2x+2x2)
= 0, din monotonia lui/rezultA
si 1(--21)=-2arctg- 1. 2
0
i,
e
E
I
l24
'
2. a) 11= fxsinxdx=
=
ca
(1'_ 1Xl' _ 2) = 0 ¢:> l' = 1 sau l' = 2. Solutiile sunt x, = 0 si x2 = 1. 3 4. Fie B = {a, b} c {I, 2, 3, 4}. Cum exists 24 funetiif: {I, 2, 3, 4! ~ ~ ~i exact 2 fun~tii constan j{x) = a, 'Vx E {I, 2, 3, 4} ~ij(x) = b, 'Vx E {I, 2, 3, 4} rezulta ell exista 2 - 2 = 14 functii cu Inif = 1
1
2
-3
lR. Cum X*y = xy + 3x + 3y + 7 = yx + 3y + 3x + 7 = y*x, legea ,,*" este eomutativl'i.
b) (1*2) * 3 = 18 * 3 = 124, iar 1*(2*3)= 1*28= 122 rezulta el'i (1*2)*3 1* (2 * 3) e) Legea ,,*" are element neutru
¢::>
3e
E
= 124 = 122
JR astfel incat x*e = e*x = x, 'Vx
E
JR
14.6=
62. 61 ¢::>
xe + 3x + 3e +
JR
E
¢::>
x(e + 2) + 3e + 7 =0, 'Vx
E
JR
¢::>
e + 2 = 0 si 3e + 7 = 0
¢::>
e = -2 ~i e =
-2
3'
foal
s.
Deci legea ,,*" nu are element neutru.
submultimi eu 2 eiemente ale multimii {I, 2, 3, 4}, rezulta ell numarul eerut esl
84.5. Fie Tmijloeul segmentuIuiAB.
ell panta mediatoarei mediatoare
+ 7 = x, 'Vx
C; = 6
Cum exista
¢::>
Atunci T(-I, 4). Cum pantadrepteiAB
¢::>
a = 4. Sau, AM = ME
¢::>
~4 + (3 - a)2 = ~4 + (S - a)2
+d
1 1 Avem -+-+-= 6. ab ae
a+b+e 2p 2 pr 2 S =-=_.-=-.-=-._-=-=abe abe r abe r abe
¢::>
rezull
¢::>
(3 - a)2 = (5 - a:
4a = 16 ¢::> a = 4.
~ 9 - 6a + d = 2S -lOa 1 be
-1,
are ecuatia y - 4 = 2(x + I), M(-I, a) se afla p
este 2. Atunci mediatoarea
a- 4 = 0
este
2 S r 4RS
1 2rR
1 8
Subiectullil 1. a) Cumf'(x) = £f + 3 ~if'(I) = e + 3, rezulta cl'i ecuatia tangentei in punetul A (1, e + 2) la grafieul functieifeste y - e - 2 = (e + 3)(x - 1). 1 + ...+ e-n - 3n -1 = e-I + b) Avemj{-l) + j{-2) + ...+ j{-n) = e-I - 3 . 1 - 1 + e-2 - 3 ·2+e
-2
+...+e
-n
1 1 ...+n)-n=-+2+···+-e e
-3(l+2+
3n(n + 1)
1 e'
1 1 -+2+ e e
n=
2
Subiectulll a2 2 1. a) det(A) = b -1
...
deci lim(f(-I)+f(-2)+
... +f(_n)+n(3n+5»)= 2
n ..• ec
... +1..)= en
lim.!.(~IJ -1 =_1_. •..• e _ -1 e- I
e
i::I
e) Fie m
~
= 0, rezulta ca g(x) ~ g(0), 'Vx
o
lim(.!.+~+ •..• e e
E
JR pentru carej{x) - mx ~ 0, 'Vx
lui Fermatrezultl'ig'(O)
E
E
JR ~i functia g : JR ~ JR, g(x) = j{x) - mx. Cum g(0) = f{0)
JR, deei x = 0 este punet de minim. Cum g este derivabila, din teorema
= O. Deoarece g'(x) = f'(x)-m=e
Pentru m = 4, consideram functia h : JR ~
x
+3-m
JR, hex) = fix) - 4x =
~ig'(O) =4-m, £f - x-I.
rezulta m =4.
Cum h'(x) = £f - 1, din
monotonia lui h rezulta ell x = 0 este punct de minim global. Rezultl'i ell hex) ~ h(O) = 0, 'Vx ::I Z
-e
a:w Q. ~
;; ~ w
i ~
fix) ~ 4x, 'Vx ERin
E
JR, deei
l' aretgxdx f--2 I+ x
= '!'arctg2x 2
= faretgx. (arctgx)'dx
0
0
I' = -!!.. 1 ()2
2
=~ 32
2 4
0
b) jOl(-X) = arctg 10 I (-x) = -arctglOlx = _jOI(X), deci functia de sub integrala este impara. Rezultl'i ell integral a ceruta este O. e) Cum 0 :5:arctgx s; ~ 'Vx E [0, I], rezulta ca 0 :5:Xl arctg'x :5:x3 (~J
Ix rex) 3
dx:5: (~J
!~(~J
~i cum
:5:(~J
' 'Vx E [0, 1] ~i n EN'.
= 0, rezulta ca limita cerutl'i este O.
:z:
Testul
15
~
• 326
1. ~I024 =
1iF = 2-;;
2. f{-x) = -j{x), 'Vx
2
4
2
1 b2 2
1 1 2 2 2 2 b + 1 = (a - b + 1) b -1 4
2 a +li=a2_1 2
a2 ~i 6. =i +1 2 2
E
E
JR
Q ¢::> n 110 ¢::>
¢::>
n
E
{2, 5, 1O}. Deci multimea contine 3 numere rationale
_xl - X + a = _xl - X - a, 'Vx
E
JR
¢::>
2a = 0
¢::>
a = O. 3. Ecuatia devine
4
0
0
1
2 2 = a2 - b + 1 .
1
3
a2+2i=2d.Cum6.2-26.'=2rezultl'iell6.'~i6.2n 4
pot fi simultan 0, deci rang(A) ~ 2. e) Din punetul b) avem rang(A) = 2 ¢::> det(A) = 0 ¢::> b2 - d = 1 ¢::> (b - a)(b + a) = 1 ¢::> b - a = b + = 1 sau b - a = b + a = -I ¢::> a = 0 si b = 1 sau a = 0 si b = -I ¢::> a = 0 si Ibl = 1. 2. a) x
* x = x ¢::> ~
= x ¢::> 8x = 4x + ~ ¢::> x(~ - 4) = 0, X E (-2, 2) ¢::> x = O. 4+X2 b) Din ipoteza, ,,*" este lege pe G = (-2, 2). Verificam axiomele grupului: 4(x+y) (x * y) * Z = --4+xy
4(4(X+ y) + ) ~ Z *Z = 4( ) 4+~.z 4+xy
4(x+y+z)+XYZ,'VX,y,ZE(-2,2),ii 4+xy+xz+ yz
4(
x+--4(Y+Z») x * (y * z) = x * 4(y + z) = 4 + yz = 4(x + y + z) + xyz , deci legea ,,*" este asociativa 4+ yz 4+x. 4(y+z) 4+xy+xz+ yz 4+ yz • eIementuI neutru: x * 0 = 0 * x = 4x = x , 'Vx E (-2, 2), deci e = 0 este elementul neutru allegii ,,*". 4 .. bil1 ¢::> 3' X E (-2 , 2) astfel ine • simetrizabilitatea elementelor: fie x E (-2,2); atunci . x este simetnza 4(x+x) =O¢::>x+x'=0¢::>x'=-xE(-2,2). 4+xx' simetrizabile, rezulta cl'i (G, *) e grup.
10
II(
a2 b) 6. =i , 1
x*x'=x,~x=O¢::>
o Subiectull z
1
... • asociativitatea:
w
u ~ o a:
a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 b2 -1 b2 b2 + 1
eoncluzie, m = 4.
2. a) ,
Obtinem 0:5:
a2 +2 b2 + 1
1 n(3n + 5) ... +--~--'e' 2' 1 2 2 2 = (a _ b + 1) b -1
....I W a:
a2 +1 b2
Asadar,
toate
elementele
su
4(2(X C) f(x)
'
¢:>
6~~
4~ - 12ab + 9b2 = 4~ + 4b2
¢:>
ix=l + 2x ~;=t. /x+T (x +2 Ii
= ~~
continuli,j este strict crescatoare pe [I,
(0).
Cumj{I) = 0 si lim
lex)
x-+.,
=
00 ,
pe (1, (0). Fiin
rezulta cli Inif = [0,
(0).
¢:>
a * 0, deci x - I = 0, respectiv x-I + ~(y - 2) = 0 ~
.
. .. 6. Din teorema cosinusului
> 0, "Ix > I, deci j este strict crescatoare
On . Cum
exista
[!!.]5
+ I multiplii de 5 de La0 La
n e {30, 31, 32, 33, 34}.
b(5b - 12a) = 0 => b = 0 sau
cos A =
16+36-76 48
pe [I, (0), graficul luij nu are asimptote verticale. b) /'(x)
k= "
2 5. DrepteLe care tree prin A( 1, 2) au ecuatiile a(x - 1) + b(y - 2) = 0 cu a2 + b * O. Distanta de LaB La0 2 la(3-1)+b(-1-2)1 12a-3bl A 12a-3bl_2 ¢:> 12a-3bl=2.Ja2+b astfeL de dreapta este ,....,-;:; ~. vem ~2 2 va + b -sa: + b' -q a: + b'
pereche cu proprietatea din enunt,
~i n=lim(f(X)-m(x»=limx(~X-I_I)=
~i /(1.)+2/(2)=~.Obtinemj{2)=3. 2 2
2
= C* (ifi)* = C* . 2~ e IQl ¢:> 5 I k 4 • Avem T.1+1""
deci Hare 3 elemente.
y*
eR \1Ql. 2. Avem /(2)+2/(1.)=6
d
=
% = 1~ . Obtinem
x-I + 1: (y - 2) = 0
-21 =>
¢:>
a(x - 1) = 0, unde
5x + 12y - 29 = O.
rI .J3 1-"4 = 2.
sin A = ~
•..
:E I
< u Subiectul " t. Fi,
~
A =[ ~ ;
deterrninat ~
:
J
det(A) * 0
matricea
¢:>
sistemului.
Atunci d'~A)
= m -
m - 16 * 0 ~ m *16 ~ me R \ {16}.
16. Sistemul este compatibil
~
• 331
b) Daca m ~ 16 , sistemul este compatibil determinat.
Daca m = 16 atunci det A = 0 , deci rang A S 2 .
3
3 3
c) In+1= j(x - 2)'f"+I(X) dx = (x - 2) r+l(x) Cum dp
3 = 2 1
-11 16 = 50 ~ 0, rezulta ca rang A = 2. Deoarece
3 de = 2
-1 16
3 0 = 170 ~ 0, sistemul
1
3
4
1 -
1
(n + I) j(x - 2)f"(x)(2x
1 3
- 4) dx =
1
3
= -2(n + 1)f(x2
4x + 4)f"(x)dx
-
= -2(n + 1) j(J(x)
1
+ I)f"(x)dx
= -2(n + I)In+1- 2(n + I)In .
1
este incompatibil. Deci nu exista m E lR pentru care sistemul este compatibil nedetenninat. Deci (2n + 3)1
3X - Y + 2z == 3 c) 0 solutie cu componentele
in progresie
aritmetica
este solutie a sistemului
Rezolvam sistemul format din ecuatiile 1, 3 ~i 4; acesta are solutiile
S'
2x + my + 3z == 0 x+3y+z==4 . {
x-2y+z==0 Obtinem prin scaderea ultimelor
S'
. d iill ecuapa. a doua obti oua obtinem m == douli ecuatn.. x = 3 y = 4 z =. 1 'Inlocuin
21 -4.
b) Avem j(I)
= ao + al
ao +a2 + ... +a20 = f(1)+ fe-I) 2
W
a: l-
i::I
Q
u: •
- j(-X)
dreapta x = -4 este asimptotli verticala. Cumf
alte asimptote vertieale.
z~ )=0
n
... ·f(n)=i.~ 5 6
c) Avem f(x) =1 __ 1_, x+4
..... n+3=_4_ ~i lim 1+_4_ n+4 n+4 n...•""( n + 4)
[
= lim (1+_4_)4 n ...•"" n+4
deci !'(x) = __ 1_2 > 0. Rezulta elifeste (x+4)
». +3 xn+1=--4' xn +
desereselitor:
XI
1 > 0, rezulta eli Xn > 0, "in EN'.
~
(z-z)(1
332
1
Z
Z
- z-z z-z---=o zz
ZI2_1) =0 ~ 1Z 12= I ~ Iz 1= l. 00) = [4, 00) . Deci B = [4, 00).
[ - ~,
0
4. Dezvoltarea are 9 termeni, deei eel din rnijloe, este 7; = C:X4 = 70 X4 . Cum Ts = 70, rezulta X4 = 1,
5. AC+EF
6. Avem tg~=_r_= 2
n+41n~4
p=a
= AB+BC+EF
b 2r +c-a
= AB+BC+CB
1. Rezulta ca ~=~,deei 2 4
=AB,
deci IAC+EFI =IABI =1.
A=~. 2
= 00 ~i
Subiedulll
= [: ~
m: J
matricea
sistemului.
Sistemul
.re solutii nenule "" d't(A)
=
0 ""
=e4 .
strict crescatoare pe (-4,00).
~-m-I
Arlitlim prin inductie ca (xn)n este
x2 = f(1) = ~ < XI ~i daca x; < Xn-I, obtinem din monotonia lui f eli j(xn) < j(Xn-I), deci
=O~m=-1.
b) Cum oriee solutie eu proprietatea din enunt este nenula, rezulta ca m = -1. Cum tl =
ca
rangul lui A este 2, deei sistemul este eompatibil nedetenninat,
Pentru z = a E lR sistemul devine: {x + y = a x+2y=0
~ x = 2a, y =
-{J..
I ~ ~ I = 1~ 0 ,
cu necunoseuta secundara z.
Deei Xo = 2a, Yo =
-{J.,
Zo = a, de
unde x~ + y~ + z~ = 6a2 • Obtinem a2 == 1, deei a = ±I si solutiile (2, -1, 1) ~i (-2, 1, -1). 2. a) Avem/a = (x2 - if)c + r eu c, r E lR [x] ~i grad r ~ 1. Daca a = 0, eum/o = 2)('2, rezultli eli r = 0 deoareee X2 divide jj, Daca a ~ ~i r = pX + q cup, q E lR , atuneij(a) = pa + q,j(-a) = -pa + q, de unde pa + q == (2a)12 si -pa + q = (2a)12. Rezulta p = si q = Iz12 . a12, deci r = z12a12. . b) Fie a E lR 0 rlidlieinli reala a luifa. Cum (a + a)12 + (a - a)12 = 0, rezulta eli a + a = a -a = 0, deci a = a = O. Atuncij, =/0 = 2X2 si Oeste rlidlieinli multiplli de ordinulI2. 2 c) Fie z EIC, z = u + vi 0 rlidlieinli a luif, eu u si v ElR. Cum (z + a)12 = -(z - a)I.I~ ~ I(z + a)121 = I (z - a)121 ~ Iz + a 112= Iz - a 112~ Iz + a I = Iz - a I ~ Iu + a + VI = == Iu - a + vi I ~ (u + a)2 + v2 = (u - a)2 + i ~4au = 0 ~ u = 0, deci Re(z) = O.
°
•
1 Z+-=z+-~
_ ...+
rezulta Cum
ElR
ElR
2. Imaginea functieij'este
1. oj Fi, A b)f(I)·f(2)·
+Z +1
2 log 2 3 3. Pentru X > ecuatia se serie x + X ,8 -12 ~ x + x = 12. Functia j": (0,00) -+ lR ,j(x) ==~ + x3 este strict crescatoare, deei injeetivli, iarj(2) = 12; rezulta clix = 2 este uniea solutie a ecuatiei,
este continua pe lR \ {-4}, nu exista
U
= - 2(n + 1) ~i lim In+1 =-1. 2n+3 n...•"" In
z
deeix=±1.
xi--4
~ ::I U
--00,
Z2
Avem
~(Z-Z)(I-
cli
are
= ao - alX + a~
x~±a:l
In
°
Subiedullll 1. a) Cum lim f(x) = 1, dreapta y = 1 este asimptotli orizontala spre ±oo; deoareee limf(x) ~~~f(x) =
== r(-I).
+ a2 - ...+ a20. Rezuita
infmitate de solutii, rezulta elij(X) = j(-X), deei ao + alX + azX2 + ...+ a~o v2oA· • tmICI a2k+1= -a2k+1 deci eel a2k+1= 0, "ik = -0, 9. Rezulta eli a7 = 0. a2A
~
.
= ao -al
In+1
subiedull
=310 +1.
= (x2 - X + 1)10 + (~ + x + 1)10 =j(x). Cum polinomulj(X)
c) Fie x E R, Avemj(-x)
...I
+ a2 + ...+ a20 si j(-I)
= -2(n + 1)ln ,de unde
Testul19 1.
2. a) Fie c.r E lR[X] astfel incat f = (X2 -l)c + r , cu grad r ~ 1. Atuncij(I) = r(I) ~ij(-I) Daca r = aX +b .atunci a+ b = 310+ 1 ~i-a+ b = 1 + 310~ b= 310+ 1 ~i a= 0, deci r= 310+ 1.
1
n+
°
Subiedullll 1. a) Avemf'(x)
= 1 - cosx ~ 0 orieare ar fi x E lR . Deoarece multimea {x E lR I f'(x)
= O} = {x E lR
I cos.x =
I} = {21m / k
Z } nu contine niciun interval nedegenerat, rezulta cafeste strict crescatoare. 3 = lim f(sinx). sin x = tim(sinx)3. f(sinx) = lim fey) = lim y-siny ,->0 sin" x x3 x->O X sin ' x y->O y3 y->O y3 . Cu teorema
b) lim f(sinx) ,->0 x3
. I I' y-siny IU1. L'H'ospita avem 1m 3 y->O y
I' I-cosy = lm--~ y->O 3y2
=~!!
=
2. oj F" F 0 prim, tiva a lui f Atunci F'(x) = ['(x)
=(a2 +b2)
b) Daca a
=
devine 1 + (~)'
-( - (x; I)' ) < 0 pentru orice x
ER
•
de
I
-- 1 = t z +I
variabila
obtinem
f' -( I 1)2 arctg --II ox+ x+
I
dx = IJarctg t dt ==
a2 +1
_b2 +1
2
a2 +b2
_b2 +1
a2 +2
_b2 +2
4
a2 +b2
_b2 +2
0
2
3
'* 0 sau b '* 0 ~
!
det(A) z
x+ y+2z=2
~
{
e
'* 0 ~
. Cum !im Cx = ex), lim lex)
x
-
= 0, rezulta ca lim f jet) dt = 0 .
-
_b2 +1
2
4
_b2 +2
4
sistemul este compatibil determinat. Daca a
= b = 0 sistemul
I cu solutia
x+y=O
x+y+2z=2
aE JR. Asadar
(a,-a,I),
'
sistemul este compatibil
= O.
c) Fie xo, Yo, Zo 0 solutie a sistemului. Scazand prima ecuatie din a doua obtinem: Xo + Yo + Xo + Yo + Zo 2012.
'*
b) Fie
~
1
2 = (a2 +b2)
2
1 = a +b •
= (XI -1)(x2 -1)(X3 -I)(x4 -I) = (1- xl)(I-
X4
= /(1) = -2 , deoarece / = (X - xl)(X
c, E (x, X + 2) astfel incM
~ + 2 - x) = 2/(c,)
2
1
X
I
> O. Cum / este continua, din teorema de medie rezulta ca exist!
_b2
1
1
0
2. a) (1-.1J(I-l...J(I-l...J(I-l...J XI X2 X3
I
= ft' arctg t dt = t arctg till - f+ dt =E. - '!'arctg'!' - .!.In(t2 + 1)1 = E. -.!. arctg'!' -.!.In ~ I 2 It +1 4 2 2 2 1 4 2 2 2 5' 222
f jet) dt = /(c,)(x
_b2
nedeterminat pentru a = b
2
c) Fie x
a2 +b2
z=1
deci F este concava. schimbarea
1
1 _b2
x+l
Cu
_b2
l.a) det(A)=
siny 1 1 = tim-= - , deci limita ceruta este _ y->O 6y 6 6 .
c) Avem x, = .f{xo) = .f{1) = I - sin 1 < I = Xo· Presupunem ca x; < x,...,. Cumf este strict crescatoar rezulta ca.f{xn) 0 :' ipote~. ca ~n > 0 ~btinem.f{xn) > .f{0), deci xlt+' > O. Rezul~ ca ~irul. (xn)n~ este margin it inferior, de: marginit. Fie 1 Xn E JR. Cum Xn E (0, I) ~ 1 E [0, I] ~II 1- sm/, deci sinl O. Rezulta 1== O.
b)
a2
E
i=
1,5.
Deoarece
2
2 2
~I XI + x +
2 X:!
2 4
- x3)(X - x4)
X;
(
+ x~) - (XI + x2 + X3 + x4)
+ x = XI + x2 + X3 + X4
)2
-
.
3
= I,
deci
x) = 4
~i XIX2X3X4 = I .
x: = 4Xi - I, rezulta ca x: = 4x; - Xi' Adunand
x~ + xi + xi + x~ = 4(x~ + xi + .
- x2)(X
x )(1- x )(I2
IX2X3X4
Zo
cele 5 relatii obtinem
Din relatiile lui Viete, x, + X2 + x3 + X4 = 0
2( XIX2 + XIX3 + ... + X:!x4 ) _- 0 , d e un d e XI5 + x 5 + X35 + X 5 -- 0 2 4
•
> O;.f{I) = -2 < 0; .f{2) = 25 > 0 ~i functia polinomiala a lui / este continua, rezulta ca/are doua radacini reale x, E (-1, I) ~i X2 E (1,2). Daca toate radacinile lui/ar fi reale, ar rezulta ca 0 = x~ + xi + X; + x~ > 0 , fals ~i cum numarul radacinilor nereale ale lui/ este par, rezulta ca
-x
c) Deoarece.f{ -1) = 6
2' ._1_ ==1.
_a 2 •.•
1
2"
-
a2,) + a2 ~
-
2"+1
2 '
'It n
~ l.
tt t t .
+
+ ... +
.
+ 1+
==1 +
1,
I: ==--J3 + 2 .
2. a) .( ~ x 2 dx ==-~ 4 - x2 4-x 'Itn
~ 1.
r
r (arcsill"2 . x)'
x b) .lJf(x)'arcsin"2dx==.lJ
. xl·
'arcsill"2dx=="2arcsill"2
2 X II _1.(!!...)2 _ 1(2 0 - 2 6 -72'
n-Iori
Avem
c)
n
==i"lh' ~ 2[Jog,·], deci
an ~ a"'Ioo,"1~ 1 +
~
[log2 n]
~ 1+
log2 n -1 ==1+ log2 n
2
co
2
2'
\In
~ 4,
c) Cu schimbarea de variabila I ==-x, dt ==-dr, avem fJ(x2)
dx ==-
r
f«-I/)
dl == 1f(/2)
dz .
deoarece sirul (a ) ~I este strict crescator, Cum lim log, n ==00, rezulta ca lim a ==00 . n
n
n-+oo
n-+oo
n
Testul26 2. a) De exemplu F: R ~ R ,F(x) ==arctgr. b)
R
o
c)
2
2)' arctgxdx==-arctgx x .£. 2 2
.br x
3
II --
2 0 1+ x
0
.br (x
3
f'(x) dx ==x f(x) II 0
3
)'
I 1( I R1--- I) dx==---+-arctgxl 1( 1 1
2
If I --==-._-x dx 2
2 4
f(x) dx ==1_ 3 2
1+ x2
20
.br~+
8
2
2
dx ==1_ 3 (1- arctg x) 2
1 x
I ==~ 2 0 4'
II ==31(-10 4 0
Subiectull . . 1. Fie z==a +bi, a, b E R . Avem a + bi + 2(a- bl) ==9i 3a ==0 si -b ==9 a =: 0, b ==-9, deci z= -91. 2. x2 - 3x + 2 ==x + 1 x? - 4x + 1 ==O. Cum ~ ==16 - 4 ==12 > 0, rezulta cennta. 3. 3 + 2J2 ==(l + J2)2
, deci
10 Probabilitatea este 32
== -
Testul25 t 6.
Subiectull lg
1. Avem IO
lg
7
==7, deci 100
7
==(101g
7i ==49
EN.
~
x? + xy + 1==o. Cum x? + xy + 1==0 x? + 1 + 2(x + y)2 ==0 ~ X ==Y ==0, rezulta cerinta. Altemativ, f '(x) ==3x ~ 0, decifstrict
..c
S.BC:
ci!
Q.
y-3== 5-3 x- 2 -1-2
5U
6. 2R == AB ==1Q. sinc.J3
i
Subiectulll
~
1. a) detA ==I.
.
crescatoare.
==0 (x-Y)V
ca liniile lui B sunt proportionale ~ range ==I.
'"w z
2. a) ZIZ2Z3==-(-I) ==1.
~
b) Cum
15
c) Polinomul are coeficienti reali si grad impar, deci are eel putin
~
Subiectullll
.
-I
~
d
d'- -
~
z
x
c) Deoarece f'
x
-23J. 2 -3
0
adica 1
dJ
si BA ~
-3 ~ Yc - .
5.J3 .
~J.
==
A2_A==(~
(ac ++ db aJ, c
deci
~)==I2'
b == c si a == b + d. Atunci
., .,. 2 . _b+.Js.b==I±.Js.b.cum db - b2 == O. Ca ecuape ill d, discrurunantul este ~ == 5b , decl d 2 2
1.
a lim f(x) i) x-+Ix3 -1
in conc\uzie
rangE"* I.
==
lim arctg x == 1(/ 4 x-+Ix2 + X + 1 3
deci injectiva, Cum
lim f(x) ==-00 si
x-eec
li x..!
arctg
X
x-eec
x - !!... 2
1
==
X
•
Ca urmare, exista un unic e E (0,00) astfel incat fee) ==0 c-Ine ==1 .
deci dreapta de ecuatie Y ==!!...x-I 2
-7
b)
12
X
_1 -2 lim l±.L x-+«> 1
x-+oo
I!n?f(x) ==00, din continuitatea luif rezulta ca imaginea functiei este R , deci functiaj" este surjectiva.
==!.£.
f(x) x 1 c) limf(x)==oo,Lim--==lim-=-arctgx==-~lx~
Deoarece
x-+O X
;
40
b +b
a
YA+YB+YC 3
Subiectullll
b) limf(x)==lim(1-lnx)==00+00==00.
< 0, functia este strict descrescatoare,
(a + c
YG
;
c) De exemplu, functia parte fractionara.
radacina reala, de moduli, ==00 rezultaj{l) ==0 ~ 1 + a + b - 1 ==0 a + b ==O.
x-+O
==
4
~i C; ==10 cu 3 elemente.
~ J si detB == d'- + bd - b2• Daca detB == 0, aratam ca b == d == 0, adica B == O2, Presupunem
X-+CiO
1. a) f'(x)==-~_1.
== 8 +
b) A2==(~
bJ. , avem AB c d
V
o
1+ 2.J3 2 - .J3
~1==-4·
b, d E IQ , deducem b == d ==o.
I ZI1·1Z21·1Z31==1 ~i I ZI I, I Z2 I , I Z3 I ~ 1 , rezulta I ZI I ==I Z2 I ==I z31 ==1.
limf(x) a"!' sau -1. Cumj{O) ==-I < 0 ~i x-+«>
==
==
M
2. a) Fie I E M si x E R . Avemj{x - I) == j{(x - I) + I) ==j{x), deci -I EM.. < + .b) Fie Ii> 12 E M si x E R . Dinj{x) ==j{x+ II) ==j{x + II - (2) rezulta II - 12 E M, deci M - (R, ).
C)AVem£I==[~
~lj'deCiX==BA-I==(1 1
a
. _ (a
B == (b:
~ :::>
V
~I 0
2,3 si
1+ .J3 tg + tg 1(/ 3 == _2__ 1- tga tg1( / 3 I _ .J3 2
1. a) det(A+IA)==I~
.J3 .
°
XA+XB+XC 3 ~ Xc
S. xG
•
Subiectulll
c) FIe B -
13.1+2.1-131==_8_. ,N + 22 .J13
R ==~
b) B "*
0
==0 x== ysau
4. CI20-10 ==45 -10 ==35.
2x+3y-13==0.Distantaeste
~
+xy+
I)
Xv ==__ 2_== 1.3. j{x) ==j(y)X3+ 1 ==/ + 1 X3-/ 2(-1)
~
==
2. Punctul de maxim este abscisa vfufului
~ ~
2
(a + IE.) g 3
5 16
4. Sunt 25 ==32 submultimi ale lui
x ==2.
== -
f'(x)
== arctg
x + ~ -I , x +1
1( . I' (f() x- x1() 2 2
x
2 . hm -- 2 x-+«> 1+ x
== -1
==
rezulta ca
\I
x
E
R .
limx(arctgx-IE.)_IE.. 2
HOC>
.
(f()
lim x x-+«>
2
x) == -1 _ IE., 2
_ IE.
2
-!!... este asimptota oblica a graficului catre +00. 2
3
2.
a) !x::
4 dx =
4
b) !~dx=.!. X4 + 2
--.rwl-oo /'
!(1- X2: 4) dx = 1- 4 .~ arctg ~ [ = 1- 2 arctg ~ .
!(x +2)'dx=.!.In(X4+2)1' 4 X4 + 2 4
0
t(): Ii A
u.
a(j,6., R,/(x) = ---"2
x +4 '
2 < ...< -nn = 1) ~l. sistemului . . de puncte = (0 < -n1 < -n
intermediare
';'1-- '-k
n
-1 A ~adar
.1
a,
3
1. a2 = 2, as = 16, => q = -
a2
= 8 => q = 2.
2. p..+!L=p2+q2 qp pq
1! + 2k1! , k e Z . •..• 3. x +"41!_1! - 2" + 2k 1!, k e Z => x = "4 formate doar cu numere pare, ~i anume submultimile raman 64 - 8 = 56 de submultimi.
u.:
= (p+q)2_2pq pq
=36-6=10 3
d/=
1
v
+21 .+2
(
In/+-)
2
1 1
1 I· =1n2+--1=1n2--,cuschimbaredevanabile/= 2 2
\I
rx'(x +2x+l)dx=r x'dx=_I_. (x + 1)2 .b
.
2
+1 = .+1
.b
•
c) Avem In ~ 0, deoarece
x"
--2
~
(x+l)
n +1 1
0, ' + x = .
de unde limi = 0 . .-+'" •
x
,y
e[O
,.
l
2.xt+x2=5,xtx2=2,decixt+x2-xtx2=3.
+ y ~ (Xt - y)(x + Y + 1) = 0 ~ x = y, deoarece x + y + 1 > 0 pentru orice
4.C50 =~. 2C50=2.~=100.~=~ 100 50!. 50! ' 99 49!. 50!
1]
6
4. Sunt 2 = 64 de submultimi. Nu convin cele
5.IDA+ABI=IDBI=DB=2.
6. Avem x=51! ,deci 6
3
multimii {2, 4, 6}. Acestea sunt 2 = 8, deci
5. AB· AC = 4·4 -cos
BAG
= 16· cos60° = 16 . .!. = 8. 2
Subiectul " 1 a
2
sin a tg a II9 _ 1 sin2 a + cos" a = 1+ tg2a = 1+ II9 -TO 2
•
nt
subiectull (I+ i)2 1. Z=--2-= l-i
Subiectull
~ Q
~
Testul28
Testul27
w ~
2
k -,no
lim a. = r f(x) dx , deci sirul e convergent. n-+ao
(max)
x+l,dt=dx.
n
.. .. di VIZluml
.b (x + I)
1
+4
1='
/'
x ~/-I r_dx=I-2
2. a) 1 =
=...!..In1. 4 2.
k
c) a. = ~
0
Asadar, x = 1 este singurul punct de extrem (minim) al functieij"
.
1.a) tJ. = 1 b
a2 b2
1
a
0
b-a
50
49!. 50!
tg2x=tg51!
a2
a
1
b2 _a2 c2 _a2
3
ce
bui ea ce tre uta arlitat.
=tg(21!-!!..)=-tg!!..=-fi. 3 3
a2 b+a
0
=(b-a)(c-a)·
50!. 50! '
= (b - a)(c - a)(c - b).
c+a 0 0 c-a c2 b) Deoarece a, b, c sunt distincte, rezultli ca numerele b -a, c - a si c - b sunt nenule si deci tJ. 1
C
Cerinta rezultli din teorema lui Cramer. c) Polinomul f(t) = x + ty + t2z - 13 are radacinile distincte a, b. + b + c,y=-ab-bc-ca,x
C.
* O.
Din relatiile lui Viete rezultli z = a
= abc.
2. a) Avem solutiile x = 3 ~i x = 9. b) Daca x2 =
1,
atunci x e U(ZI2) =
{I, 5, 7, 9} . Toate
cele 4 numere verificli ecuatia. 10 c) Daca x" = 1, atunci x e U(ZI2)' deci x2 = 1. Atunci xlO = 1 ,deci x" = 1~ x . x = 1~ x = 1 . A
A
A
A
A
A
Subiectul III 1. a) Functia f e continua, deci nu are asimptote verticale,
lim f(x) = 0, deci dreapta y = 0 este
_T-io±«>
asimptotli orizontala a graficului spre ±ro. 1 2 b) f'(x) = m ~ ,deci 1'(0) = m . Rezulta m =1. (l+x) c) Avem f'(x) = 0 ~ x = ± I. Pentru m > 0, alclituim tabloul de variatie al functieif:
x f'(x)
x
• 42
f(x)
-0
I
'>0-(2
= -I.
2. Rezolvam ecuapaj{x)
0hi B(2, 0).
2 logsX = logs2x ~
log~
= m2 obtinem
I.
°
dx = e' - r eXf(x)
I
intersectie suntA(I,
~ = 6·5 = 30 => C; -
'j
dx=e-(e-I)=l.
dx=-tlnt-(I-t)=-I+t-tlnt.Cum~tlnt=~~t
3.Avem
v
Subiectulll
r
Subiectull .
S. ii . = I . 2 - 3 . I = -I < 0, deci unghiul vectorilor este obtuz. 2 AB2+Ac2 BC2 25+4936 . 6.ma 2 --4-= -2--"4=37-9=28,decl ma=2J7.
•
+ f(2) + ... + fen») = 00.
Testul30
.
3. x + I = tg!!" => x + I = I => x = 0
n-3
I) = In(n + I) => •...• lim(f(l) .,
,>0 rezultii lim(-I + t -tint) ,~o
Testul29 1. V64 = 4 , IglOO = 2 ~i
n+ n
•
2.a) rlnxdx=xlnxl>
.-1
= 0, iar dreapta x = 0 este asimptota
••0
F' = f > 0 , deci F este strict crescatoars,
lim F(x) = --a:> , deci F(lR) = lR . Functia F este injectiva ~i surjectiva, deci este inversabila
c) Cu schimbarea de variabila t =yl(X)
lim f(x)
x ..••.,
= +00. Fiind continua pe (0,00) ,fnu admite alte asimptote verticale.
,
=A(x+y).
r~
Ji05
= -l±
4
2,3
= 0 => ~
- 3x + 2 = 0 => x, = I ~i X2 = 2. Punctele de
logs 2x = -I Iogs 2 x, deci . log2S2x = -eCI ecuatia. se sene: logs 25 2
= logs2x ~ ~ = 2x, deci x = 2, pnand cont
~ = 5. 5. Panta dreptei d, este
ml
ca
x > O. 4. C; = ~: ~:~ = 35 ;
= 112. Panta dreptei d2 este mz = -a. Din
ml
a = _.1 . 6. Din sinx + cosx = I rezulta sin2x + 2 sinx cosx + cos2x = I => sin 2x = O. 2
Subiectulll 1.a) detA = 3(1 -a). b) Pentru a
*'
I, rangA = 3. Daca a = I, I~I
~
I*'o
implica rangA = 2. Deci a = 1.
A( _{) c) £' =_I_.A• detA
.
=.l.[~3 3 -3
~2 I
~Il. 2
2.a) f = X2(X2
+ I) - X + I = g ·(X2 + I) - X + I. Restul impartirii luiflag
I I I b) -+-+-+-= x, x2 X3
I x4
este -X + I.
2
~
z ~ ca: ~ ~
a
b) ml + x; + xi = (x, + x2 + XJ)2- 2(X,X2 + x,XJ + X2X3) = (_.1)2 _ 2. -13 =.1 + 13 = 2 2 4 3 2 c) Cum X,X2XJ = - m2 ' rezulta XJ= - m, de unde _ m + m + 13m + m = 0 2 4 4 2 ' 2 + 30m = O. Obtinem ml = 0 sau m - m - 30 = 0, de unde m2 = -5 si m3 = 6. Cazul conform
lui a). Daca m = -5,
avem
X3 =
-%
~i 2x3 + ~
-
53 4' adica _m3 + m2 m = 0 nu convine,
13x _ 5 = (2x _ 5)(~
+ 3x
U
+ ~ _
!~
+ I), rndacinile polinomului ~ + 3x + I satisfac X,X2 = 1. Daca m = 6, avem X3 = -3 ~i 13x - 5 = (x + 3)(~ - 5x + 2), cu aceeasi remarca,
Z -e
SubiectulllJ
~
•
c) Pentru orice a
1_ < 0, '0, decifeste x(x+l)
strict descrescatoare pe (000) , .
-
a + I) > 0 . Ca unnare,f
nu are
Subiectul JII 1.a) lim Inx = lim~ = I = f{l) x ..••1 x-I x ..••1 I b) lim f(x)
=
R , avem a" - a + I> 0 , deci f(a) = a4 + (a2
nicio radacina reala,
••••• 1
1. a) Avem f'ex)
E
X,X2XJ + X,X2X4 + X,XJX4 + X2XJX4 -1- I - - . X,X2X3X4 I
- f{l) x -I
, de unde rezulta cerinta.
.1-1 = lim In x - x + I = lim-x-= _.1 . De aici rezulta ~i caf este derivabila in x = I x ..••, (x _1)2 •...•1 2(x -I) 2
c) Avem
I'(x)
x-I-xlnx (x -1/
'
V I x ~ I, x > 0, si F(I) = -2'
definita prin g(x) = x -1- xlnx . Avem
g'(x) = -Inx
si, din tabloul
x
< 0,
2.a)
1
c) Fief
I Xdx=i../ 2
"Ix> O.
in x = I;din tabelul de variatie alaturat, rezulta cerinta. c) Prin inductie,
0
~~~~--~I~~~~
de variatie alaturat, deducem cll g(x) < 0 pentru orice x E (0,1) u(1,co] si, in consecinta'/'(x)
g: (0,oo] ~ IR,
Considerarn functia
f '(x) + + + + + 0 _ _ __
= (-I)n+I(x - (n +
f(x)
2 a) ! = If.-Ldx
- 1/'0
\.
• 0
=..!.,decigEM 2
b) rh(X)dx=X3/1 .I> 3
r
E M Atunci
o
M
+X2/1 +a=..!.+..!.+a·h 2 3 2 '
E
0
r (f(x)-x)dx=O
If(x)dx=..!.= 2.1>.1>xdx~
_ ~ a - -3.
~
. Conform t eoremei . d e medie,
2
nu
+31
n
Subiectull
este strict crescatoare,
I
2
b=43=23
1mf = [1(1),/(2)
r-
=
,
0
rezulta conc1uzia.
I{ .!._1.+
~_1_~5! n+1
n 1 dx= x + II =_1_ n + Ion +I
I, avem
x"
O~_x--~--~O~! 2x + 3 nx + 3
_n_~n!n~..!.~ 5(n+l)
I~
"+
=
1
"+1
s
x
X
9 )dx = (X2 - 3x + 2. In(2x+ 3))1 = -..!.+2.Jn~ . 4(2x + 3) 4 4 8 0 2 8 3
4
~l2
s
X
si j
':.In~ 1.
+ x._1
-
8) ,
n
~
2.
Cum
exista a, b
I+2(a+b+ab) ( -2(a+b+ab)
XY=
x
(-1, (0) astfel incat
E
a+b+ab) 1-2(a+b+ab)
=
(1 +
-2a2a
y=
1-a),a
(1 +
-2b2b
1-b)b .
e(-I (0)
eM,deoareceab+a+b=(a+l)(b+I)-I
,
.
Xn + Xn-I - 8 ~ 0, rezulta ca Xn+1- Xn are acelasi semn cu Xn - Xn-I , deci, inductiv, cu X2 _ X
1)2
(
Cum X2 = 4+"2
I 9 = 4+4" -I), iar inversa matricei U(a) este
U(x) = U(y) ~ X = Y si = U(ab - 1) ~ij(a) j{b) =
Subiectullll 2
r dt "2.b --I 1
U(b) = U(a + b + ab), '-1.
am aratat cli U(a)·
a_
f2 .
2
al/'(x)=2x(x+I)-(x -2) 1. / (x+l)2 b) lim I(x)
x +2x+2,' -r. I+a I+a c) Observant j(a) = U(a - I). Functia este inversabila, deoarece a e (0, (0) ~ a - I e (-I, (0). Functia j este morfism, deoarecej(ab) = U(a-I) U(b-I)= U(a-I +b-l +(a-l)(b-I» = U(ab-I).
U ( __
2
u(a)=(I+2a -2a
este asociativa, are elementul neutru
La
=> / ~ 2. => / = 4 .
2
b) Notand
,
x-JotO
= -1
deci x
0 => X
=
2. a) A + B
/2
=
[
=
= -I , deci y = x-I
este asimptota oblica
= 2, x E (-I,
(0).
Avem ~ + 2x + 2 =
U+
4x + 2
O. b) Cu schimbarea
dx = 1! / 2 .
de variabila
t =!!...- x
avem dt
2
t)
A = _{
X
+1
este asimptota verticala. Functia este continua, deci nu mai
admite alte asimptote verticale. c) Cerinta revine la rezolvarea ecuatieif'(x)
~ ~ + 2x
X
Sin(!!...2 dt 12sin (~ _ t) + cos (~ _ t)
=
r
/2
=
-
3
+ 2k1i 1 kEZ}uL~
< 0, ecuatia nu are solutii.
X-!!..=2x+!!..+2k1i 2 3'
k E Z sau X-!!"=-2x-!!"+2k1i 2 3
'
k E Z.
+ 2~1i 1 kEZ}.
H 2'
o.:.
4. Avem C,2 =
! ~
S. Punctul 0 este roijlocul diagonalelor AC ~i BD, deci OA + OC = OB + OD = concluzia.
~ ~
6. Inaltimea din A este egala cu JI6 - 9 =
• 50
= 21 .
4n - 21 = 0 n E N ~ n = 7 , .
J7 , deci
S =
=
(-a- b.J2 -b)b.J2
y=
0
a + c, b + d E Q .
deoarece
)EM,
pentrucaac+2bd,ad+bc
EQ.
EM.
inmu1tirea matricelor este operane asociativ
hEM
(pentru a = 1, b -- 0) . Cum M este inchisa
-a +
Pentru
VXEA
lim f(x)
= lim
x
x ••••'"
(a
Z
-1-1. ) = 00,
A
•
3J7 . Cum p = 7, rezulta
de unde rezulta
r = §.. = p
3J7 . 7
"(0) -loa-I Ja
-. Z
lim E= 00 , X
z ..••cc
•
rezulta
•
~(a
Z
. deci graficul nu are asimptote
(aZ
I)- lim x --I - x - - Z-+'" X
_1.)=00 x
I +00 Pentru a E (0, 1), a, a .
• .X e +00 Rezulta a E (0, 1). 0 d . - -x - I este asimptota spr . + x + 1) = lim a = , eCIy . IUl'Fermat rez z-+OO d .. x ..••eo _ E IR x = 0 este punct e mlDlm. Dill teorema c) Deoarece Io(x) ~ 10(0) - 0, Vx , f~(O) = 0 ~ lox = I ~ a = e. X
X
•
Nota.Aveme n- 1 = 7 saun- 1 = 2 => n= 8 saun=3.
4.Deoarece
5. Punetul 0(0, 0) apartine dreptei d., Distanta dintre drepte este distanta de la 0 la d2: x - y + 1 = 0, adica
10-0+11
=_1_.
~e+(_1)2 J2
Subiectull 1. Z2 =.!. _1. + 44222
smA
.Jlj = .Jfi . •..•• 3
-2
-2.J3)
t:
( 2•..•• 3 -2
; A3
=
(-8
0
0
-8
6. t (x+!£)=
J =-812,
J... A = 12 , deei
rezulta (TrX)X
2
=X
-212 =( ~
inversa matrieei AS este
e) Avem X2 = xiq, X3 =
±J6
=>trX=
deunde
X =±
=> (Tr X)2 = -2, ecuatie
-.J3) -I
xil.
Din 6 = xl(1 + q +
l),
= 1. . Atunci I 2
(1.) = 0 deci 1. _1 + 1 + m = 0 => m 2' 822
3=x~q(l+q+l),
= -1.
tarn solutii
00
2.a) I(x)
= 1. X
rezulta
b) Notand t =~,
X
xlq=~
det(/3 + A") = (3" + 1)
f/(x)
dt = 2x dx, avem
dx =
3
tf
I(t) dt = ~(5In2 -InI7).
3"-1
In n! 0~-2-~n
.
=0.
X
3"-1 + 1 3"-1 = (3" + 1) 0 I
1
e IR astfel incat{I3 + A){I3 + xA)
a) Avem
-± .
1 0 3"-1
3,-1
0
= 13 ~
lnversa este 13-
±
Inn . si.cum n
1 3"-1 = 3" + 1 => 3" + 1= 82 => n = 4. 0
1
13+ A + xA + xA2 = 13~ A + xA + 3xA = 03 ' de
A . Altemativ, (/3 + Ar = det(/~ + A) . (13 + A)" . l
8
a - 4b = 0, 5b = 1 => b=~,a=~,
care verifica
-5b
= -1,
a+4b=S
~i
= 1, deci matricea apartine lui G.
b) Fie X; Y e G => 3a, b, c. d e IR astfel incat
cerinta.
dx = Inx 14 -1.ln(x2 + 1) 14 = 1.(5 In 2 -InI7) I 2 1 2
f
.J3 =.J3. ~
=>
d + 9b2
. n(n+l) 1 n!. Avem hm--2-=-;n!~nn=> , ..•., 2n 2
X l(x2)
3"-1
unde (4x + I)A = 0 => X =
lim In~! = 0 . Limita este egala cu 1. . (Altemativ, folositi lema Stolz-Cesaro). n 2
+1
IR, deci
-2
1
.
n-too
-+ =>
tgx+ tgtrl6 =.J3 .J3 1- tg X tgtr / 6 1_1
3"-1 + 1 = 0, deci 8 - 24
X
!~Innn = 0, rezulta
e
in IR .
I'(x) = 1+ 1. > 0, Vx> 0, decij'este strict crescatoare.
n(n+l) 2 +···+/(n)=--+In 2
= ~y -1
-.L
h(~ ~).
8
=; -1 < 0 . Din continuitatea functieij'rezulta
X
=>a=3=>a+b=10.
1
2.
1(;)
solutia
e Q ~ k e par, deci k e {O, 2, ..., l00}. Sunt 51 de termeni.
=A,
Subiectullll
b)j{l) = 1 > 0,
= yare
[1, (0). ecuatiajix)
1
- (Tr X). X+ 2h = O2.eumx
e) Cautam
I()
a=2+4 2
2. Este necesar ~i suficient ca
J... A .
2. a) XIX2+ X2X3+ XJXI = 3. b) Daca « XI> X2, X3, atunci 2x2 = XI + X3 => 3X2= XI + X2 + X3 = 6 => X2 = 2. Atuncij(2) + 6 + m = 0 => m = 10.
+
k
e
64
=> (TrX)2=6
~)
Daca detX = -2, atunci (Tr X) . X = X - 2 li = (-1 .J3
.\ 1(1)
4. Tk+1 = ctoo.J3
3. Fie y
3
= detA =4, deci detX= ±2. Daca detX= 2, atunciX
e) Avem detr
6
g
64
c)
e [±,oo).
_1_+_1_
b) Deoareee A6 = 64 h, avem AS.
l.a)
- .J3 i => Z2 + Z = 0 e IR . 22
5.4=I+b=>b=7; 2
3
Subiectulll
=> x2
..fj i = _.!. + ..fj i; z =.!.
d ~ 0 ~ 1- 4m ~ 0 ~ m
f e surjectiva.
6. BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos A = 19 => BC = Jl9 => 2R = ~C => R =
1.a) A2 =
Testul37
C-4d Y= ( -5d
5d) c+4d
d + 9Jl
(ac-9bd-4(ad+bC) . Avem XY= -5(ad+bc)
X _ (a - 4b = c2 + 9Jl = 1 si -5b 5(ad+ bc) ac-9bd+4(ad+bc)'
)eG
5b) a+4b
,
deoarece
.
.
•
_I
1
= a2 + 9b2
(a+4b 5b
-5b)_ a _ 4b -
(a+4b 5b
-5b a - 4b
I
>< v
(ac - 9bd)2 + 9(ad + bd = (a2 + 9b2 )(c2 + 9d2) = 1. e) lnmultirea este bine definita pe G, este asociativa, are elementul neutru h e G (pentru a = 1, b =0), iar inversul elementului X este X
i
)eG.
~ ~
!;( ~
•
35~
Subiedullll .• I'()
1
«a)
x
1
x = +.J
2 X
+1
=
ri:
,J;2;i+x 12""-: v x: + 1
= ~~2
"x
=
rex)
2
+1 f'(x)·
~ x+
c) lim/(x)
=00, lim I(x) = lim(I+~X2
= lim ~ x-eee
2.a) I(x) =
x
x-+oo
x-to 0, rezulta lim I(x) = I .Functia g(x) = .f{x) - X = sinx nu are limita c) Cum X -I ::;; X X x x-eec X
= I. Ca urmare
n
la +00, deoarece x; = mt ~oo,
'
2. a) 12 =
~
.
~
2
=--Slll
2. Xy = -1 = -~ , deci a = 2;
:>
3. li~
Yy
= 1- a + b = b -I ~ b = 2 . Atunci 2a + b = 6.
= ±l. Rezulta ~ = 10 sau x2 =
= 1 ~ I~
1..
de unde x
10'
E{
10 10 __ 1__
-vlU,vW,
6. C= 180° - 30° -75°
= 75° si sinC = sin 75°
~
J6 +.Ji ~ 4
a
R =-4f!= 2smC
. (n+ I) Xo1"12 =
~
1. a) X4 = (:
b) Demonstram
prin inductie
1. De exemplu x =
-Ji + I,
:~.
• 354
'71 tL"
••
~l
deoarece
BI = (~
2; 1J.
Din
f = arcsin f
(n+I)Jl' =. 0 Ded ucem sm---
B
=
s: .B =
(0
1
2 nJ. 1
'(0
1
2J 1 = (I0
2(n 1+ I)J ' n EN·,
rezulta cerinta.
~X
\AI
.Ji +x
s.
Mijlocul
[xy
= 1E Q
cos(n + I)x dx =
I 1= I 3 = ... = I 2013 = r/2dx = -Jl' .
*.
= - ~ , + 00) . Trebuie ca - ~ ::;;2 , deci
.
Functia arcsin: [-I, I] ~ lR este crescatoare, deci x
4. 5! = 120 ~i 6! = 720; rezulta n n 1 +
Din
Subledull
2(J6 -.Ji)
dupa n. Evident,
-00.
Testul39
3. ~J = BX.
r
catre
(n + 1)Jl' 2
2·
n+1
2. Functiaj" este crescatoare pe intervalul
Subiectulll
are asimptote
--Slll---.
. n+1 E c) Daca n e unpar, atunci . -222
I_}
i ~
=2.
g(Yn)=I~I.
JIO'JIO .
~
e
11 D.
r
si Yn =f+mr~oo,
g(xn) = 0 ~O
• 'S Testul38
~
3
/(lR) = R , adicaj" este surjective.
1+1., de unde lim c, = 00 ~i lim
=au
=_1..
3
x~±-o
1
Rezulta ca / nu are asimptote catre +00. Analog, continuitate rezulta ca/nu are asimptote verticale .
1·IAuBI+IAnBI=IAI+IBI~IAnBI=4
/(l)
lR . Deoarece multimea zerourilor functiei f' este fermata doar din
i ...;
~
/'(1) = 6-6-1 x-~
puncte izolate: f'(x) = 0 ¢:) X = (2k + 1)1t, k E Z , rezulta ca functia / este strict crescatoare. b) Avem X -I::;; /(x)::;; X + I, Vx E lR , de unde rezulta ca lim = ±
a
2~0)(~
rezulta _1_+_1_+_1_= X-XI x-x2
X -~
1. a) f'(x) = 1+ cosx ~ 0, Vx
[n, n + I] astfel ca [+1 I(x) dx = I(c ) . n
n
~IJ(~
.f{1) = 2 - 3 - 1 + 5 = 3, deci (l-x,)(I-X2)(I-X3)
lim(f(x)-2x)=
dz
AJoo=H~l
b) Din I = 2(X - x,)(X - X2)(X - X3) deducem .f{1) = 2(1 - x,)(1 - x2)(1 - X3). Pe de alta parte
, de unde rezulta cerinta,
X-+I x-I
C
u:
x>1
·
x-(-I)
x->-I
b) f'(x)
=
I..}
= +