Matematica pentru examenul de bacalaureat M1 978-973-124-824-0

Table of contents :
scan0001......Page 1
scan0002......Page 9
scan0003......Page 14
scan0001......Page 42

Citation preview

Filiera teoretica, profilul real specializarea matematidi-informatica rdiera vocational a, profilul militar, specializarea matematica-informatica

Marian ANDRONACHE • Dinu SERBANESCU Marius PERIANU • Catalin CIUP ALA • Florian DUMITREL

Matematica pentru examenul de bacalaureat

Ml

~MATEMATICIENILOR

Clubul matematicienilor este un proiect dezvoltat de Grupul Editorial Art.

Cuprins

Copyright © 2012

.-.E.•..•.

~ GNpEditorial Toate drepturile asupra aeestei lucrari apartin editurii. Reprodueerea integrala sau partials a continutului lucrarii este posibila numai cu acordul prealabil seris al editurii.

o

Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE(clasele IX-X)

r:/:J

Tema 1.1 - Multimi de numere. Multimi ~i elemente de logica matematica

.

7 196

Tema 1.2 - Functii definite pe multimea numerelor naturale (~iruri)

10 197

Tema 1.3 - Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice

14 200

Tehnoredactare: Cornel Draghia

Tema 1.4 - Functia de gradull.

19 201

Coperta: Alexandru Da~

Tema 1.5 - Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale............................................. 24 204

Referenti stiintifici:

prof. drd. Livia Harabagiu prof. gr. I. Eduard Buzdugan

Tema 1.6 - Functia exponentlala

Tiparit la C.N.I. "Coresi" S.A.

Functia de gradul alII-lea

~i functla logaritmica.

Ecuatii ~i inecuat]] exponentiate ~i logaritmice

Descrierea

CIP este disponibila

la Biblioteca Nationala

a Romanie]

978-973-124-824-0

Pentru comenzi va puteti adresa:

Departamentului DijUzare

28 207

Tema 1.7 - Numere complexe

32 208

Tema 1.8 - Metode de numarare. Elemente de combinatorlca. Matematici financiare

36 209

Tema 1.9 - Vectori in plan. Geometrie vectcrlala. Geometrie analitica

40 210

Tema 1.10 - Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei produsului scalar in geometria plana

~i ale 46 213

C.P. 22, O.P. 84, Cod: 062650, sector 6, Bucuresti telefon 021.224.17.65 0721.213.576 0744.300.870 Se acorda importante reduceri.

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1- Permutari. Matrice. Determlnanti

55 216

Tema 2.2 - Sisteme de ecuatii liniare

64 219

• 3

Tema 2.3 - Structuri algebrice..............................................................................74 226 Tema 2.4 - Polinoame

cu coeflclentl intr-un corp comutativ................

Algebra/Ceornetrie

85 235

Clasele IX-X Partea 3. ANALiZA MATEMATICA (clasele XI-XII) Tema 3.1 - Limite de ~iruri. Limite de functll, Functii continue. Functii derivabile........................................... 97 239

Tema 1.1. Mullimi de numere. Mullimi ~i elemente de loqica rnatematica

Tema 3.2 - Primitive.................................................................................................. 118254

Tema 1.2.

(cia sa a IX-a)

Functil definite pe multimea numerelor naturale (slrurl) (cia sa a IX-a)

Te ma 3 •3 - Fri'" u n •..,II In t egra bllI e

124 258

Tema 1.3.

Functil. Proprletati generale. Lecturi grafice (clasele IX-X)

Tema 1.4.

Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE Tema 4.1- Subiecte

date la examenul

(clasa a IX-a)

de bacalaureat

Tema 1.5.

143 280

in anii anteriori de subiecte

propuse

spre rezolvare

Puteri ~i radicali. Ecuatil irationale (clasa a X-a)

Tema 1.6.

Tema 4.2 - Variante

Functia de gradull. Functia de gradul al ll-Iea

Exponentiale ~i logaritmi (clasa a X-a)

156 304 Tema 1.7.

Numere complexe (clasa a X-a)

Tema 1.8. Metode de nurnarare. Elemente de cornblnatorica (clasa a X-a)

Tema 1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorlala. Geometrie analltica (clasele IX-X)

Tema 1.10.

Elemente de trigonometrie. Functli ~i ecuatli trigonometrice (clasa a X-a)

Tema

.

1.1

Multimi de numere . Multimi ~i elemente de logica matematica 1. Partea intreaga ,i partea fraclionara a unui numar real Defini~ie. Fie x

E

lR . Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal dedit x se numeste

par/ea fntreagii a lui x. Se noteaza: [x] = max {p

E

IE I p ~ x} .

Numarul real {x} = x - [x] se numeste partea fractionard

a lui x.

Proprletatl 1. [x]~x 2 2 ' vn_ .

a4 +l, Vn~l,

r#O.

astfel meat as = 7 si

Definilie. Sirul de numere reale nenule (bn

-

suma primilor 20 de termeni ar progresiei

a2 = 4 ~i al + ~ + as + a6 = 30.

8. Determinati aritmetica.

tl este 0 progresie

geometricd de rape q daca

1. bn

= b. . «:

9. Aflati a E IR pentru care numerele 2

2. b; = bn_1·bn+p Vn ~ 2. qn_l bl--, q#l 3.8n= q-l ,unde8n=bl+b2+ { nb., q =1

--- --------------------------

aritmetice

si x+2

E

1

0 -

,

x + 1, 1- x

LI'

stiind ca

2009

si 4 sunt in progresie

To+2 + 1, 2 +1 + 1 sunt in progresie aritmetica. 0

2009

b) 2+6+10+ ... +2010; d) 1+ 5 + 9 + ... + (4n - 3), n

N* ;

(an

sunt in progresie aritmetica.

Variante bacalaureat

10. Calculati sumele. a) 1+4+7+ +100; c) 1+ 3 + 5 + + (2n + 3), n

Vn ~ 1

= 43 .

Variante bacalaureat

numarul real x stiind ca numerele

bn+1 = bn • q (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).

Proprietati

2l

a13•

7. Determinati xEIR stiind ca x, (x_l)2

3. Progresii geometrice

a

b) Stabiliti daca numarul2015 este termen al progresiei? c) Calculati suma T = a2 + as + as + ... + a2012 • 6. Calculati

,Vn~l,unde8n=al+a2+··.+an·

to

•..

~ 1 E

N*.

11. Aratati ca suma primelor n numere naturale impare este un patrat perfect.

LI.

sirul (an Stiind ca pentru orice n E N * are Ioc egalitatea 2 al + a2 + ... + an = n + n , demonstrati ca sirul (an ).;'1 este 0 progresie aritmetica,

12. Se considera

... +bn.

--------------------

IC(

V

~ ~ W

~ ~

• 11

x+(x+l)+ d) 2+5+8+

Variante baca/aureat

14. Determinati al zecelea termen al sirului xpx2,7,10,13, 15. Fie (an ).2c10 progresie aritmetica. Stiind ca

Cl:J

+ al9

2009

... a6

+ a16·

16. Se considera progresia aritmetica (an ).2c1astfel incat a2 + a3 + al9

+ a20 = 8 . Calculati.

= 21,

tl ~i Sn suma primilor

calculati al

18. Aratati ca daca numerele reale a,b ~i geometries, atunci a = b = c .

+ b, + ...+ bn,

aritmetica

(an

LI

cu elemente

numere

naturale.

Aratati

ca ratia

33. Fie progresia geometries

(bn LI

cu toate elementele numere naturale. Aratati ca ratia

progresiei este un numar natural. 34. Stiind cli doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b) = 6 si bs == 24, determinati

n termeni ai progresiei.

a) Daca al + a4 = 100, an_3 + an = 200 ~i Sn = 600, determinati n. b) Daca S3n = 9Sn si a4

== bo

progresiei este un numar natural. 2009

b) a2 +a4 + ... +a20.

17. Se considera progresia aritmetica (an

).~o si S;

astfel tncat b, -bo == 15 si b2 +bo == 5. a) Determinati b2• b) Calculati S8' 32. Fie progresia

= 10, calculati

Variante bacalaureat

a) al +a2 + ...+a21;

b, + b2 == 6 ~i Examen Baca/aureat 2011

31. Se considera progresia geometrica cu termeni pozitivi (bn

+(x+x) =45. +x = 57.

c)

(b') n2c I cu termeni pozitivi, daca

30. Calculati ratia progresiei geometrice b) + b, == 24 .

13. Determinati numarul natural x din egalitatile: a) 1+ 5 + 9 + + x = 231 . b) 1+3+5+ +x = 225.

termenul b.,

Model subiect MEeTS, Bacalaureat 2011

35. Se considera functia /: JR~ JR,lex) == x + 1 . Calculati suma

/(2)+ /(22)+ ...+ /(29).

.

sunt in progresie aritmetica si progresie

C

19. Determinati a,b E JR stiind ca numerele 2,a,b sunt in progresie aritmetica.

sunt in progresie geometrica ~i 2,17,a Variante bacalaureat

2009

20. Fie a.b,c numere naturale in progresie geometries. Stiind ca a + b + c este un numar Variante bacalaureat 2009 par, aratati ca numerele a.b,c sunt pare.

36. Se considers functia

SI = /( (-3t)+

37. Se considera functia

x > 0 stiind ca numerele 1,x -1, x + 5 sunt in progresie geometrica.

SI == /(0)-

22. Fie ecuatia

x2 - 4x + a

S3 == /(2°)-

XI

si x2. Determinati

XI

si x2•

a

E

JR* stiind ca

/((-3y)+

JR,/ (x) == 3x + 1 . Calculati sumele:

/( (_3)2)+ ...+ /(( -3YO)

S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(11).

21. Determinati

= 0, cu radacinile

t :JR~

J :JR~

/(1)+ /(2)-

(x) == 5x -1. Calculati sumele /(3)+ ...+ /(50), S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(50) ~i JR,/

/(i)+ /(22)- /(23)+ ...+ /(29).

XI' x2' 3x2 sunt in progresie geometries. 23. Fie ecuatia

x2 + ax + 2

=

0, cu radacinile

Determinati

a

E

JR stiind ca

XI' x2' x; sunt in progresie geometrica. 24. Determinati primul termen al sirului ao,apa2,4,8,16,32,

....

25. Determinati primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi bp6,b),24, ... Variante bacalaureat

1

26. Se considera numarul real s = 1+ 2 + 27. Aratati ca s = 1-

1

1 1 1 2+"4-8+"'+

28. Fie a=I+ +"'+510

1

5

1

1

22 + ...+ 2100.

Aratati ca s

E

2009

(1; 2).

1 2 22012>"3' 1

1

1

si b=I- +52"-53+"'-SU'

5

1

Calculati

[a]+[b],

unde [x]

este partea intreaga a numarului real x. 29. Aratati ca, pentru orice

t

X E

IR este adevarata egalitatea

(1+ X +X2 + ...+Xll _Xii == (1+ X+X2 + ...+ xIO)(1 + x+ ... + X12) .

• 13

1.3

Tema

3. Functii pare, impare, period ice. Definitie. Fie D ~ JR 0 rnultirne nevida centrata in origine ('v'x ED -x ED).

Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice Fie A ~i B doua multimi nevide. Spunem ca element x E A ii corespunde un unic element I(x)

I: E

A ~ Beste B .

o functie daca fiecaru]

A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste eodomeniul functiei f Dona functii sunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceeasi lege de definitie. Grafieul functiei

f: A ~ Beste

Imaginea functiei

Ix

multimea GJ = {( x,f(x»)

E

f: A ~ B sau (multimea valorilor functieifi Imf = {y

Observatii. 1. M(u, v)

E

E

B I 3.x E A, f(x) = Y} = {j(x)

A} c A x B .

Proprietiiti 1. Daca f: D ~ JR este 0 functie impara ~i

este multimea

I x E A}.

° ED,

D ~ JR. Atunci:

g: D ~ JR, (f. g)(x) = f(x)·

• daca g(x);c 0, 'v'xED, cdtul functiilor hi g este functia

Definitie. Dreapta

funqiilor.

Fie f: A ~ B

~i

Punctul

(L)( x) = f(x) . g g(x)

f: D ~ JR

g : B ~ C doua

functii.

, 'v'XE A, se numeste eompunerea functiilor g ~if

.

E

D, x < y,

avem f(x)::; fey) daca

< fey) ).

(f(x) x,y

E

D, x < y,

M (a, b)

E

f(a+x)

astfel incat a - x, a + xED.

xOy este eentru de simetrie pentru graficul functiei = 2b, pentru orice xED

astfel incat a-x,

f: D ~ JR

a+x ED.

Observatii. 1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy. 2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.

• surjectivd dad pentru orice y

> fey) ).

E

E

A,

XI

;c x2 avem f(xl);c

B , exista x

E

f(xJ;

A astfel incat f(x)

= y;

• bijectiva daca este injective si surjectiva. Definitie. Functia f: A ~ Beste

avem

incat go f = 1A ~i fog

inversabila daca exista

= lB. Notam g =

r'

si spunem ca

0

r'

functie g: B ~ A astfel

este inversa functiei

f

Observatii 1. Functia f :A ~ Beste injective daca ~i numai dad este indeplinita una din conditiile:

Observatii. de variatie

RJ(x,y)

f(x)-f(y)

>0, 'v'x,YED,x;cy,

atunci

x-y

f este

0

graficul functiei f: D ~ JR

x = a este axa de simetrie pentru

• injective daca pentru orice xl'x2

Functia f: D ~ JR este monoton (strict) descrescatoare

functia

0

Definitie. Functia f: A ~ Beste:

functiilor

1 D . aca raportul

I d. . ~ functie para. ProdusuVcatu mtre . 0 functie para. Compunerea dintre

0

S. Functll injective, surjective, bijective, inversabile

Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida. Functia f: D ~ JR este monoton (strict)

(f(x)

daca f(a-x)+

Functia

Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.

I(x) ~ fey)

functie

4. Simetrii ale graficului unei functll

g(x);

g

crescdtoare daca pentru orice X,Y

0

Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) se

daca f(a - x) = f(a + x), pentru orice XED • produsul functiilor j'si g este functiaf·

2. Monotonia

D ~ JR este tot A

a doua functii pare/imp are este impara este 0 functie impara. a doua functii pare/impare este impara este 0 functie impara.

pentru care x + TED.

orice xED

• suma functiilorj''si g este functia j" + g: D ~ JR, (f + g)(x) = f(x) + g(x);

(go flex) = g(j(x»)

.

numeste perioada principala.

Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida si functiile f,g:

gof:A~C,

E GJ

Definitie. Functia f :D ~ JR este periodica cu perioada T daca f(x+ T) = f(x) , pentru

IA(x)=x, 'v'xEA.

1. Operatii cu functii

Compunerea

°

. atunci f(O) = 0(0,0)

2. Suma f + g: D ~ JR a doua functii pare (impare) f,g: para (impara). 3. ProdusuVcatul functie para si una 4. Compuncrea functie para si una

GJ feu) = v.

2. Functia identica a multimii zt este IA :A~A,

a. Functia f :D ~ JR este functie para daca I( -x) = I(x), 'v'X ED. b. Functia f: D ~ JR eeusfunctie imparii daca I(-x) = - I(x), 'v'x ED.

strict crescatoare, iar daca RJ ( x, y)
0, atunci functiaj" este strict crescatoare,

31. Determinati inversa functiei bijective I: JR ~ (0, +00), I(x) = 22x-1 • 32. Determinati inversa functiei bijective I: (0,00) ~ (1,00), I(x) = x2 +

1.4

- sgn(a)

0

sgn(a)

2. Functia de gradul alII-lea Functia

f(x)=ax2+bx+c(cu

f:JR~JR,

a,b,cEJR,a~O),

se nume~tefunclie

de

gradul al II-lea. 35. Aflati a E JR pentru care functia I: (--oo,a] ~ JR, I(x) = x2 -2x+2, 36. Fie

I:

JR ~ JR

0

functie bijectiva cu

1(1) = 2

~i

1(1(1») = 4.

este injectiva,

Calculati

r

1

(4) .

Forma canonica, f(x) = ax' +bx+c = a[ (x+ ;a)2 -

4~2l'

2

unde 11 = b -4ac.

Variante bacalaureal, februarie 2008

37. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ax + b . Aratati di exista (a,b)EJRxJR

pentrucare

0

infmitate de perechi

lol=IR'

semnul f~ 1. 11 < 0

Observatii

~ gradol al don •• f(x)

sgn(a)

f(x) >0, VXEJR~

a>o { 11o { 11:S;0

f(x) t; (3) . d)Determinati m stiind ca 1m (1) = 1m (3) .

+ b este bijectiva.

= ax -

2h - 3

{-I}

.

2008 2010

2 sunt irationale,

17. Determinati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a

18. Determinati multimea valorilor functiei 19. Determinati multimea valorilor functiei

1:~~ R, 1(x)

20. Se considera functia b) Determinati intervalul

a

Bacalaureat

1:~~ R,

l(x)

= x2

+ x+

21. Determinati

E~

1:(0,00) 2 - 2x

=x

2011

1. 2011-model subiect

~ R, l(x) =~ -4x+1.

+2 .

.

stiind ea imaginea functiei

g: (-00, a) ~ R, g(x)

= l(x)

este

[1, +00) .

c) Determinati

2009

E~ \

sa fie strict

2009

care in-

Bacalaureat

Bacalaureat

[a, b]' 1 (x)

stiind ca functia 1: [1,4] ~ [1,7], l(x)

a,b

strict crescatoare

Variante bacalaureat,februarie

.

sunt simetrice fata de dreapta x = 1.

S. Determinati

7. Se considera functiile

1:~~ ~

parabolei y = X2 + mx + 4 .

0(0,0).

astfel incat

E~

x +2x

functia

g sunt simetrice ~ata de:

m

Variante bacalaureat

toate functiile de gradul intiii 0

s 1.

+ 2 . Determinati

= x - 2m

nu intersecteze axa Ox.

a) Determinati imaginea functiei 10101 E~

c) Ix2 -11 < 1. c)lx+21+lx2 -41

16. Aratati ea solutiile ecuatiei x2 + 2x + -2 _1_

Determinati

Variante bacalaureat

4. Sa se determine bijectiva.

x2-3x+2)~0.

X x+4

1 S. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .

1. Determinati functia de gradul I al carei grafic trece prin punctele A(l, 2) ~i B( -1,0) . = 2x

(

) >0; d) (x-2)

(

x-I

b) 112-4xl

deplinesc conditia (f

Probleme propuse

1:~~~, 1(x)

X2 - 16

c)

b) Ix -11 + Ix + 11~ 4 ;

13. Se considera functia = 0, unde

14. Determinati

functia

+1

12. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatiile.

= XI . x2 .

considera

x+2

a) Ix -11 ~ 3 ;

-----------------------------------------------------

2. Se

x

b) -~-;

a) Ix+21 ~ 1; este x2

2008

11. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatiile.

=a

-3XIX2 (XI +X2).

XI ~i x2

xl = l.

10. Rezolvati in multimea nurnerelor intregi inecuatiile. a) 3X2-5x+2~0; b) _2X2+3x+5~0.; c) x4-5x2+4

1 1 1 n + + ... + - --log2 n 1 Ig2·1g4 194·lg8 Ig2n ·lg2 + n+I 1 log21 + log, 2 + ... log2IO

+

°. Aratati ca au loc urmatoarele

a) 19a + b = 19a + 19b ~ a2 + b2 = 7ab ; 3 2 .11 2a+3b _lga+lgb 2

a ~bE

c) g-5--

Functia logaritmica de baza a este concava daca a > 1 si convexa daca a E (0,1) .

---------------------------

-------------------

10 , unde n EN.

1

7. Calculati suma S = [lg 1]+ [lg 2] + [lg3] + ... + [lg10 8. Fie a, b >

2

log31 + log, 2+ ... 1og31O

{I'4'9}.

2. Functiile ex~onentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii strict crescatoare daca a> 1 ~l strict descrescdtoare daca a E (0,1) . 3. Functia exponentiala de baza a este convexa pentru orice a E (0,1) u(1,(0) .

°;

4

e) E=

* 1) este functia f: JR~ (0,00), f(x) = a' . 0, a * 1) este functia g: (0,00) ~ JR, g(x) = log a x .

+ In 2rx + In 3$

* 1, n E N*;

1 2 3 999 .Pf'"C = Ig"2 + 193"+ 19 + ... + 191000 ;

Functia exponentiala de baza a (a> 0, a

-------

Bacalaureat 2009. Variante MEdC

~ Calculati sumele: ,IIf A = log, x+loga x2 +loga x3 + ... +loga x", unde a,x > 0, a

_ d) D -

..•.1 .

2. Funclia expcnentlala ~i functia logaritmica Functia logaritmica de baza a (a>

care verifica conditia 2 < b < log, c.

d) Exprima!i, in functie de a = log, 3 ~i b = log, 5, numarul c = Iog, 60 .

1b)

Schimbarea bazei unui logaritm

2. logo b . log,

·

N* .

b) log3I2 -Iog, 3 -log4 9 ;

/log2012

3·1og3 4· ... · 1og31'32

E

c) Exprimati, in functie de a = log, 5, numarul b = log., 45 .

1. logox+logoy=logo(~)'

~gbx 1. 1ogax=-l--' Va,b,x>O, ogb a

2;

-l~g3 b

b) Exprimati, in functie de a = log2o 2, numarul b = logs 20 .

Operatii cu logaritmi

y = logo (;).

ifj -Iog,

5. a) Exprima!i, in functie de

* 1;

N care indeplinesc .conditia ~

un triplet (a,b,c) E NxNxN

4. Aratati ca: a) log, 5 E (2,3) ; c) 2

3. logo a

E

Calculati: log2 10 + log, 6 -log2 15 ;

,log2

Observatii• 1. Daca a = 10, numarul log., x = 19x se numeste logaritmul zecimal al lui x. 2. Daca a = e ,numiirul loge x = In x se numeste logaritmul natural allui x. 1. alogQx=x, Vx>O;

/"'."

c) logJ2

numeste logaritmul numarului x in baza a si se noteaza logo x . Cu alte cuvinte, logo x

exemplu de numere a,b

*

1 + ... +------19i + 192+ ... + 19iO

2OO8 ] . Bacalaureat 2008. Variante MEdC

echivalente: b) 19a + b = 19a + 19b ~ a = b ; 2 2 drll a+Sb _lga+lgb v g 2J3 2

-3b ~a-

.

Bacalaureat 2008 - 2009. Variante MEdC

9. Aflati domeniul maxim de definitie D al functiei f: D ~ JR, definita prin: a) f(x)

= log2 (2x

c) f(x)

= log, ..)I-x2

e) f(x)

=

- 4) ; ;

log, (x2 -7 x + 12) ;

b) f(x)

= 19(x + 1)+ 19(x -1)

= logx+2(2-x); 1) f(x) = loglxl(x2) ;

d) f(x)

;

i 1

>C(

~

~

:E w

i •

29

10. a) Aratati

ca functia

f: (0,00) ---+ JR, f(x)

=

x+ log , 2x este injectiva.

b) Aratati

ca functia

f: (0,00) ---+ JR, f(x)

=x-

°

11. Fie x E (0,1) u (1,(0) si numerele a, b,c >

log, 2x este injectiva,

astfel incat log, a, log, b, log, c sunt in

progresie aritmetica. Aratati ca a, b, c sunt in progresie geometrica. Bacalaureat 2003

12. Fie numerele

a,b,c,xE(O,I)u(l,oo)

astfel incat

logax,

log,

X,

loge X

a, b,c E (0,00) \ {I} in progresie geometrica. Aratati ca are loc

egalitatea

log x-log

X

a

b

log,

=

log, x-loge

x

loge x

X

c) (0,25)4-x

d) 3x-..[; = 9 ;

= 32 ;

c) log9(2x + 10) ·logx+l 3 = I;

log

log2(x-2),

log, x si log2(x+4)

2

a

x + log

23

a

X

+ log

J.4

a

X

+ ... + log

n(n+1)

a

* 1. Demonstrati = _n_loga n+1

X

ca;

x , pentru orice n E N* .

2

5

2'

16. Rezolvati ecuatiile: a) 2x +4x =20;

625

c) 310g1oox100 = 4 log lOx 10 ;

81

e) log3(5-x)+210g3

v'3-x

d) 101og2x = 21og2x;

= 1;

j) logv'll

(x + 1- v' x + 2)

=2;

26. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia b) 9x _3x = 72;

=2 ;

d) 16x -3·4x

e) 22x+1+ 2x+2 = 160 ,. 1

g) 3 + -10· y+1 + 27 =

°;

log2

= 4;

J) 22x - 3· 2x+1+ 8 = x

h) 2 + 16· TX

= (7 + 4-J3fx

;

b) (v'2+IY

+(v'2-IY

(£ +v'x+

2)+ 210g4 (v'x+2

-£) = log2 x.

• Fie a E (1,00) un numar real flXat. Se considera expresia

°;

= 10. 17. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile: a) (2--J3t

h) log2 (9x + 7) = 2+ log2 (3x + I).

25. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) (3x)1+1og3x=81; b) X1og2(4x)=8;

=%;

4)X '-(125)X-1 e) ( 25 8

2x

°;

°;

24. Se considera numerele reale a,x E (0,00), a

.m

+ 5-x

d) log~ (2x) + 310g2 (4x) = 13 ; 4 2 j) 41g x -10 Ig2 x + 36 =

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

15. Rezolvati in multi mea numerelor reale ecuatiile: 2 a) 4x -5x+6 = 16x; b) 2x .4x+1 .8H2 = 16x+3.,

c) 5x

h) log2 x+log.,J2 x+ log~ x = 14.

23. Aflati numerele reale x> 2 pentru care numerele

r;:;)4+X-x2 3r;:;;; J) ( ...,3 =,,27.

(~JHI

= -1;

j) 1+ log2(x+ 1) = log2 (x+ 2) ;

= 22;

g) log, (9x -6) = x; b) 73-lxJ = 49 ;

= 1;

1)- 210gs(3x-7)

22. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale: a) 210g3 (9x) - 310g27 x = 6 ; b) logx(9x) + log , x = 4;

e) Ig2 x - 51g x + 6 =

a) 24x+1= 512;

d) logs(x+

Bacalaureat 2009, Variante MEdC

,pentru orice x E (0,00) \ {I}.

14. Rezolvati ecuatiile:

c)

g) log2(x+I)+log4(x+I)+log8(x+l)

b) log2 [4 -log3(X+3)]

sunt in

progresie aritmetica. Aratati ca 1+ loge a = 210gb a . 13. Fie numerele distincte

21. Rezolvati ecuatiile: a) log2 (10g3(logs x») = 0; c) 10g3(2x2 + 1) -log3 (x + I) = 1 ; e) log, (x + 4) + log , (2x -1) = log , (20 - x);

Bacalaureat 2009, Variante MEdC

E(x)=~loga~+logx~+

10ga~+IOgx~

,unde xE(I,oo).

a) Verificati egalitatea E(a) = 1.

=6.

18. a) Aratati ca, pentru orice numar real x, numerele 2x, 4x, 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. b) Aratati ca exista un unic numar real x pentru care numerele 2x, 4\ 8x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 19. Determinati x E lR pentru care numerele 32x-1, 9x _ 3 . 3x ~ ~I + 6 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 20. Rezolvati ecuatiile:

b) Aratati ca E(x) =

~IOga x, daca x > a { ~logx a, daca x

c) Rezolvati ecuatia E(x)

=a

E

.

(l,a)

.

"t

a) log2 bx2

-x-2)

c) log2 (3x-2)+log2

= 3; (x+2)

b) 10gHI (x2 -3x+ = 4;

I) = 1;

d) logH2 (2x2 + 5x + 2) = 2 .

• 31

Tema

2. Aplicatii

1.7

Numere complexe C

2

= {Z = x + iy I x, Y E 1R} ,unde

= -I

i

~.

, este multimea numerelor complexe.

Dad! Z = x + iy , unde x, y E 1R, numerele reale x ~i y se numesc partea reala i . .. ~ respectiv partea imaginara a numarului complex z; notam x = Rez, y = Irnz . Elementele rnultimii ilR* = {iy/ y

E

Proprietati:

1. Zl +z2

= ~ +z2'

= x + iy

\fzl,z2

E

C;

Izi = 1;1, \fz 2 1 ,

E

=x-

C;

_

(

= {~, :::: : : ~

..)

.

ZI - 'i COSqJl+z sm e, ,Z2 = r2 (cos qJ2+iSInqJ2)' 1. ZIz2 = 'ir2 ( cos( qJl+ qJ2)+ i sineqJl+ qJ2)); 2. z" = r" (COSrup + i sin nqJ) ; -r ,

si

y ~

.' qJ+2k7r) _ + I SIn n ' k - 0, I, ..., n -I.

unitiitii fonneaza multimea U t

n

=

{z

E

dzn

E

b-a E

ilR* ;

1R*; b-d -c-d

c-a B'(b'), C'(c'). Atunci:

llU

Ea.

= b -a. c-a

~ ~ .. Radaclmle

de ordinul n ale

= I} = {cos 2k7r +i . 2k7r/ } Ism -- n k = 0' 1,..., n -I . n

b=a(cosa+isina). + isina)

.

YCalculati:

aYi . p .p .....ilO ; ~ (1- i)(1 + 20 - 3(2 - 0 ;

»

Atunci:

ZI r: 4. -=--.L.(cos(qJl-qJ2)+isin(qJ -qJ »). z2 r2 I 2 Fie n E!~' n > 2 R ~d~ . 'L d di I - . a acini e e or. InU n ale numarului complex Z = r(cOSqJ+isinqJ) n

d-c ¢::> --

;

Probleme propuse

0.

3• .!. =.!.( cos( ) ., ( ») Z r -qJ +ISIn -qJ;

sunt Zk =~(cosqJ+2k;r

1R*; e. AB 1- CD

b. Daca C = R~ (B) , atunci c- a = (b -a)(cosa

. Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica = r(COSqJ+isinm)

b-a

E

a. Daca B=R~(A),atunci

Daca x = 0 si y > 0 ,atunci qJ= ; ; daca x = 0 si y < 0 , atunci qJ= 3; .

Z

d-c --

d-c b-a

= arg--

•

AS. Fie R'J.t rotatia de centru M si ungbi u, Consideram punctele A(a), B(b), C(c). Atunci:

a unui numar complex

2, daca x > 0 ~i y < 0

FIe

I.

. hiurile i . ABC' ~I A'B'C' sunt asemenea daca -b'-a' = =--= b-a . b. Tnung lUn e myers onentate c'-a' c-a Observatie. Triunghiul ABC este pozitiv orientat daca sensul A-B-C, parcurs pe cercul circumscris triunghiului ABC, coincide cu sensul direct trigonometric. in caz contrar triunghiul ABC este negativ orientat.

\f Z E C .

si qJ = arctg (-; ) + kst , unde k

+ y2

ZN

a. Triunghiurile la fel orientate ABC si A'B'C' sunt asemenea daca b'-a' c'-a'

iy .

Pentru orice numar complex nenul Z = x + iy exista si sunt unice numerele reale r>O si qJ E [0, 21l") astfel incat Z = r( cos qJ+ i sin qJ) .

= I Z 1=~ x2

-

f. A, B, C sunt coliniare dad! si numai daca b - a c-a

z

A vem r

IZM

I" da b-a . I' g• A, B, C, D sunt concic Ice sau co miare ca --:

este numarul complex ;

2. Zl . Z2 = Zl . Z2' \f Zl ,Z2 E C ; 4. z·; = I Z Observatii. 1. Z E IR daca si numai daca = Z • 2. Z E ilR* daca si numai daca z = -z. '

1. Forma trigonometrica

II CD ¢::>

A4. Fie A(a), B(b), C(c), A'(d),

3.

=

Patrulaterul ABCD este paralelogram daca si numai daca ZA + Zc = ZB + ZD

d. AB

1=~ x2 + l .

2. I Zl . Z2 I = I Zl 1·1 Z2 I, \fzl' Z2 E C . 3. I Zl + z2 I : z = O.

Conjugatul unui numar complex

ale numerelor

~ 1. Formula distantei dintre doua puncte: MN

11)

(l_i)(I_P)(I_P)

(1-

~

2i)(3i

...(I_i

1+ i + P + ... + i10

~

+ i)(3 - 2i) - (1- 2i)(2 - 0 ;

)fr(2 2OO8);

'y2+i)4

_1»)4 .

laY ~

5'

~

;

+(2_i)4;

+~

.

4+~ 4-~' Bacalaureat 2007 - 2009, variante MEdCT

/-

Demonstrati ca: 25 25 u) --+--EZ' ~ 4+3i 4-3i

r:

+3i '

+(3-i.fif E Z; 2008 ? e) ( cos 7r + i sin 7r) E IR ; , 4 4 i,fiY

•..

~ ~ / ~(I

1-3i lll>. --+--E~, 1-3i 1+3i 2008 (I + i)2008+(1_0 EN; + i)2008+ (1- i)2008EN; Bacalaureat 2008 - 2009, variante MEdCT

I 101(

i

v

~ •

33

~) 7l7"

Determinati

x, y

lR stiind ell x(l + 2

E

o + y(2

I

b) Determinap numereJe reale a pentru care ~

2 +ai c) Aflati a /.

lR pentru care numarul

Z

=

E

•

lR.

2 are partea reala egala cu -. a (1)+i + 1-2i 5

Determinati numerele comple~e z care veri fica relatia

.. '/"Dt e errrunap ~

Z E "... Il.-

Z

+ 7i

= 6· ~ .

z+3

Z E C . Aratali ca daca Z2 + ~2

.

\ ~

a) Calculati

..I

..,

ca Z este solutie a ecuatiei Z2 - 4z + 16 = O.

.5

~

\t:~tat~

i ;

~

atati ca daca z E C

~ Anitati ca daca

Z E C'

verifica relatia Z2 -lzl2 + Z 2 = 0, atunci Z2010= ~2010 verifica relatia z+;~ = 0 • atunci

(1:1

J

b) 1~-il=lz-lI;

c)

Iz- il = Iz -11 ;

d) z2 = -2i .

.

=-1.

+.

I Z

~I

I Z

ar ~

a)

z2

= i~ .

b)

-2 ,/Z=IZ.

2

'

c) z - 4z + 5 = 0 ;

e) Z4+8z2-9=0'

d) z2 - 8z + 25

~ ~emonstrati

,

g) z2 - (1+ i)z + i = 0 ;

(Z+I)2 z+1 + -+--+1=0' z-1 z-1 z-1 h) iZ2 + (3 + i)z + 2 - 2i = 0 .

Z

/1'- a) imaginile .•

') 1 O. Aratati ca, daca e este solutie a ecuatiei x2 + x + 1 = 0 atunci tru ori 2 ' nCI, pen once a,b,c E lR 2 are loc egalitatea (a + be + ce )(a + be + ce) ~ O.

x2

-

ax + 1 = 0 au

complexe

ale numerelor complexe

geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x + y = 0 .

Z

care veri fica relatia (z + i~)4 = 0

b) imaginile geometrice ale numerelor complexe sunt situate pe dreapta de ecuatie x - y = 0 .

z

care veri fica relatia

E

astfel incat

Izi = 1 , atunci

C astfel Inciit

Izl = 1 , atunci

Demonstrati ca pentru orice z E Care

F·ie

1Tb\{(2k) a E~

'll}' + 1 rc I k E a-

. ( 1 + i tg ip • Aratati ca 1- i tg ip

~l Z

loc relatia

= l-cosa-isina..'

1- i tg nip

z2OO9

I

2~

~

z2~

1~

z

-

_ ;2009) (~2oo9

I;-~I

1+ cos a + I Sill a

In = 1+ i tg nip , oncare .

+

Z2009

(Z2009

j) (Z+I)3

Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT

(2a -1)x + a = 0

ale numerelor

E ~* ~ imaginile geometrice

c) Aratati ca pentru orice z E C are loc relatia

'

-

ca:

b) Aratati ca daca z

= 0 ,.

2ax + a2 + 1 = 0 ,

Dernonstrati ca imaginile geometrice ale solutiilor ecuatiei x3 = 1 sunt viirfurile unui triunghi echilateral.

.

~Rez~lva!i In rnultimea numerelor complexe ecuatiile: a) Z + 100 = 0 ; b) z2 = 2i .

-

sunt varfurile unui patrat.

" Deterrninar] numerele complexe z care veri fica egalitatea: \..,'

2

atunci solutiile ecuatiei

ca oricare ar fi z E C* imaginile geometrice

~:

z, tz,

.

lR

0, z, ~ si z + ~ sunt varfurile unui romb.

•

c~ dac~ z E C~ ver~fica relatia Z2 + Izl2 + ~2 = 0, atunci z2010 = ~ 2010

lal < 2,

si

z+~=lzl;

~o~:trat~

)

a E lR

a)

}'

z

x2

unde a este solutie a ecuatiei

a) Demonstrati ca daca a E lR ~i a > ~ , atunci solutiile ecuatiei ax

tJ. Demonstrati

c) Calculati z2 - ~ , unde z este solutie a ecuatiei z2 + 2z + 4 = 0 .

.:

2

argumentul redus al numerelor complexe nenule z care veri fica relatia:

E;) :l

ca 2 Re a :5; lal ,

WDeterminap

Z E lR .

4

16 + -; , stiind

E

modulele solutiilor ecuatiei 2009x2 - 2 . 2008x + 2009 = 0 .

21z12, atunci Z E lR .

~

x + 1 = 0 , atunci, pentru orice a, b, c

@. Determinati

Baca/aureat 2008, variante MEdeT

. Z5 27 b) Calculati 27 - -; , stiind ca z este solutie a ecuatiei z2 + 3z + 9 = 0 .

II:

J

aElR.

-

(a-bOJ+cOJ2)(a+ba/-cOJ)~O.

au modulul 1. b) Demonstrap ca daca modulul egal cu 1 .

Baca/aureat 2009, variante MEdeT

Z2

Demonstrap

2

~ a\Fie z E C . Aratati ca daca 2z + 3~ E lR , atunci I?J\

~

iind ca --z+11 = _ . stun

~ Determinati numerele complexe z care verifica relatia 2~ + z = 3 + 4i .

~Fie

relOCegalitatea

1

Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT

f

,;4.

E

('\11. Aratati ca daca OJ este solutie a ecuatiei x2

- i) = 4 + 3i .

:5;

(z -

i~t 0 =

2.

2.

+ i2OO9 )

~

0.

2.

Ar~atatl. ca~ R e z = 0 . {

ar fi n E Z si ip E lR\ qrc

I q E Q} . 3S

----------------------------------,---:O:b:s:e:N:a:t:~~.;F~AO~~~n~~~BO~~~m~~~A~:

Tema

-t

1 .8

and functiilor injective f: A ~ Beste egal cu A;;,. 1. Daca n ~ m , num t' _ 1 _ arul functi ilor bijective f: A ~ Beste egal cu Pn - n .. ." Daca m - n , num t' . a •.. . amI functiilor strict crescatoare/descresc toare 3. Daca A, B c IR f?l n ~ m , num t

.

Metode de numarare. Elemente de combinatorica. Matematici financiare

este egal cu

1. Probleme de numirare Pentru orice n

E

nOn (a+b) =Cna n

Numarul submultimiJorunei

multimi finite cu n elemente este 2

Regula produsului. Daca un obiect A poate fi ales in m moduri, iar pentru fieeare astfel de alegere, un obiect B se poate alege in n moduri, atunci alegerea pereehii (A,B) poate fi realizata in m- n moduri. Principiul

ii:l

Newton

cl

+ na

n-Ibl

+ + ck an-k bk + ...+ cnb" , pentru orice a, b E ..,

n

n

Probleme propuse ~eterminati

n!+(n+l)! _~ n E N pentru care (n -1)!+ n! - 4 .

,Determinap

n E N pentru care

2. Elemente de combinatorici 0

~

(Xl,X2,

submultime ••• ,Xk)

ordonatii

k

elemente

a

multimii

A

este

un

k-uplet

!

in care Xi:l=Xj, pentru orice i,j = l,k, i:l=j .

E ~,

~

cu

Determinap

k-ori

•

5

Permutari.

E! este

0

Fie A = {aI' a2,

•.. ,

an}

0

i

multime ordonata formam cu cele n elemente ale multimii A. Orice functie bijective A defineste 0 permutare a multimii A.

Nurnarul permutarilor unei multimi cu n elemente este p" = n! ipermutari de n). Prin conventie, Po

n!+(n+l)! (n -I)!


10 . t'

/

. • a) Rezolvati ecuatia

-:

9. Calculati

10 Cl5

1 .---. -+'rOo Calculati

= Ck+1 n+l

x

b) Determinati

/

+ C~ + C: + ... = c! + c; + C; + ... = 2n-1

Ck+1 Ck _n __ ~

6

C:

•

n luate elite k).

cu k elemente dintr-o multime eu n elemente este

Proprietati

3.

+ 1) (aranjamente de

Numarul submultimilor ... ·(n-k+l) k!

2

ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n

Numarul submultimilor

E

II

~

.4;;+2

100 C2011

+ Cn2 n

=

4

Cl2 16

+

= 3.

/-

2008

Variante bacalaureat, 2008

C13 Cl3 17 18' I02

C +2 CIOI 2011 + 2011 CI02

.

2013

}1: Aratati ca C;+b = C!+b' pentru oricare a,b . ..:I ,(2. Aratati . ca~

.

Variante bacalaureat,

.

N astfel meat Ci~~2

+ Cl5 +

• .

Variante bacalaureat 2009

A; = 30.

•

Aranjamente.

*

---- -------------------------------------------------

Ie

E

. IC f?l n EN.

3. C: se numeste eoeficientul binomial al termenului Tk+l•

card( A uB) = card A + card B - card( A nB) .

incJuderii ~i excJuderii.

B

1 Dezvoltarea binomials are n + 1 termeni. • ~ .. 1', - Ck n=k bk (termenul de rang k + 1) 2. Termenul general al dezvoltarii este k+1 - na

•

Regula sumei. Daca un obieet A poate fi ales in m moduri, iar un obiect B poate fi ales in n moduri, astfel tncat nieio alegere a lui A sa nu coincida eu vreo alegere a lui B, atunei alegerea .Jui A sau B " poate fi realizata in m + n moduri.

.

C;.

3. Binomullui

N* se noteaza cu n! = 1· 2 ..... n si O! = 1.

f .A ~

CIOO 2012

I912

< C 2013'

E

N*.

• 37

C,oo- C,20 + c,ri

~alculati

.• .; •. ....-. Determinati

)B:"

•

~Vu.Calculati

C,~ + C,80 -

0

IO

•18. Fie

a

. h numarul elernentelor unei multimi care are 45 de submultirni cu exact J)eterrDlna t,

2

4

(a.-",)

doulel~ment~* c) Aflal1 n E ""

II>-

E R'

'00 .

n contine

pe

X

din dezvoltarea ( if;+

. Aflati tennenul care-l contine pe

a'

din dezvoltarea

l

30

JOO

(a' + J.;

J

Variante bacalaureat

-1

Y sa fie 20·

X

2

2009

i 5...:

.

c) C,oo+S2Cl~ + ... +S,oc,'g

IS:

(.fi + ifi)'oo .

Variante bacalaureat 2009

32. II) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa fie patrat perfect. b) Deterrninati probabilitatea

.

~

22. Din cei 18 baieti ~i II fete aflati intr-o clasa se alege 0 echipa de 7 elevi. a) Determinati in cate rnoduri se poate alege aceasta echipa. b) Determinati care este numarul de echipe care se poate forma stiind ca sunt 4 baieti.

; ~

23. Determinati nurnarul de segmente orientate cu extremitatils convex cu 100 de laturi.

in varfurile unui poligon

2~ ~ ~ ~

Aflati numarul de submultuni ale multimii {I, 2, 3, ..., 18} care contin elernentul "1".

r) 25. Determinati

. I

~ C

! i

••

i

probabilitatea fie strict crescatoare.

26. Determinati probabilitatea indeplineaseg

ca alegand

0

functie

I:

{1,2,3} ~ {1,2,3,4,S}

aceasta sa

ca, ale~and un nurnar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. . . c) Calculati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre acesta sa aiba suma cifrelor egala cu 4. d) Calculati probabilitatea ca, alegand trei cifre din multimea {0,1,2, ...,9}, acestea sa fie toate pare.

. . tur I ca, alegand un numar dill pnmele 40 de numere na a e nenule, acesta sa nu con tin a cifra 7. . . j) Deterrninati probabilitatea ca, alegand un numar din pnmele 30 de numere naturale nenule, acesta sa contina cifra I. . g) Se considera multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Alegem la intamplare 0 submultime e) Determinati probabilitatea

nevida B a lui A. Determinati probabilitatea ca B sa aiba toate elementele irnpare. ca, alegand

0

functie

I :{o, I, 2, 3} ~ {o, 1,2, 3} ,

Variante bacalaureat 2009

aceasta sa 33. Calculati probabilitatea

proprietatea 1(0) + 1(1) + 1(2) + 1(3) = 1 .

27. Determinati probabilitatea fie surjectiva.

~ I functiilor c) Aflall. numaru t· d) Aflati numarul functiilor j) Aflati numarul functiilor

oJ

~ :>

I: {1,2,3,4} ~ {1,2,3,4} cu p~op~etate~ 1(1) = 1(4). I· .,{O 1, 2} ~ {2, 3, 4} care venfica . relatia 1(2) = 2. I· .,{O 1, 2 , 3} ~ {0,1,2,3} cu propnetatea. 1(0) = 1(1) = 2. I: {O,I, 2,3,4} ~ {0,1,2,3,4} cu propnetatea 1(1)~=1 . I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4} pentru care 1(1) este numar par. strict monotone I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} .

31. II) ~ 1 functiilor b) Aflap . nurnaru ,

e) Aflati numarul functiilor

21. Calculati sumele: CO 2C' 22 C2 22n+' C2n+' a) 2n+' 2n+' + 2n+' - ... 2n+' . 2 20 b) C~o +3cio +3 C;o + ... +3 C;g.

CI:

d trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8? Cate numere de atru cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7 sau 9? • b) Cate nurnere de p tru ifre nu neaparat distincte, se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7, 9? c) Cate nurnere e pa c , Variante bacalaureat 2009 II)

Aflati numiirul functiilor

Variante bacalaureat, februarie 2008

•

• Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea ~

are 35 de submultimi cu exact

A -_ {O",1 2 ..., 9}. Determinati, numarul submultirnilor multimii A d) Se di tr care exact doua sunt numere pare . care au S elemente, in e Variante bacalaureat 2009

• Determinati x stiind ca suma dintre termenii al treilea ~i al patrulea din dezvoltarea

(2x

pentru care multimea A={1,2, ...,n}

uei elemente. . da mulpmea

c,':

c'oo + c'oo + c'oo + ...+ c'oo

Determinati termenul care nu

(

z:- -;,.4..q(J~"

ca C~ + C~ + C; + ... = 1024 .

. C,ooo+ C,'oo + C,~ + ...+

,

c,'g .

4 6 8 2X . pentru care C0,-,2 10 + L-,o + CIO + C, 0 + C + C'O '0 =

Determinati n stiind

•••.~

~

ltJ>

X E ~

-

ca, alegand

0

functie

I:

ca, alegand un element din multimea

{J;z In EN,

n < 100} ,

acesta sa fie numar rational,

{1,2,3,4,S} ~ {1,2}, aceasta sa

34. Se considers

multimea

A

=

{1,2,3,4,S,6}.

Calculati

probabilitatea

ca, alegand

pereche (a,b) din produsul cartezian A x A, produsul numerelor a si b sa fie par.

28. Un elev se joaca cu cifrele I, 2, 3, 4 si cu literele a, b, c, d, e,J, formand "cuvinte"

CU

0

i I >C(

S astfel de sernne diferite (cifre sau litere) intr-o ordine oarecare.

u

a) Cate "cuvinte" poate forma elevul?

~

b) Cate .cuvinte" se pot forma astfel incat prirnele doua sernne sa fie cifre? c) Cate astfel de "cuvinte" poate forma elevul astfel incat sa foloseasca numai litere?

29. a) Aflati nurniirul de submultimi cu 3 elernente ale multimii

A = {I,2, ..., 8} .

:::E w

~

:::E

• 39

Tema

3. Dreapta in plan.

1.9 cU

Vectori in plan. Geometrie vectortala. Geometrie analitica

Proprietati importante. 1. Dreapta

Consecinta

ABC avem AB + BC = AC .

vedorilor cu scalar. Pentru ~ un vector oarecare din plan si pentru un

care are acelasi sens cu ~ pentru k > 0 si sens opus lui ~ ,pentru k < 0 . Teorema medianei (forma vectoriala). Punctul M este mijlocul segmentului daca si numai daca, pentru orice punct 0 din plan, avem OA + OB = 20M. Pundul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct M

---

--l-k-

astfel incat MA = kMB , avem OM = --OA

l-k

---OB

[AB] E

pentru orice punct 0 din plan

l-k

'

AB

dintre vectorii ii si v este ii·~

=1 ii 1·1 v l·cosM.

~.~=~.~;

,I

(-::-::-) U,V

e/ cos

=

ii . v liil·lvl

J)

~·G+;)=~·~+~·;;

b)

_ _

cl u·v >O~ '/

,.

(-)ii v '2'

1r

4.

arctg

= -arctg

,VxE[-I,t].

J

~

lll> lA. •

~

s.

Daca

tgj(x)

=

°

a) sin 75 cosl5;

tg( arctg

j/]

= y, Vy E lR .

atunci

°

23tr

. tr

12·smU;

b) cos

y E lR, tar

I

j x)=g(x)+kJr,

~ ~

1. etg X= y 2.

¢::>

si x E (~ ,tr ), calculati cosx.

VXE(O,tr); ctg/areetgy)=y,

l

3 arectg(-x)=tr-arcctgx,VxElR.

~

4.

i ~

! ~

Pentru

Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS

x = arcctgy, x E (0, tr), )- E lR .

arcctg(ctgx)=x,

VYElR.

x E lR ecuatia ctg x = y are solutii pentru orice y E R, iar

multimea solutiilor este egala cu {arcdg y + kst I k E Z} . S. Daca ctgj(x)=ctgg(x),atunci 6.

arctgx+arcctgx=-,

~

tr

j(x)=g(x)+kJr,

tg(arcctgx)=~

x

Q!) Fie x un numar real care verifica

Variante bacalaureat 2009

14. Fie multimea

A=

{O''6'7r . tr2' .st:, 37r}. 2

Care este probabilitatea

kEZ.

po

:E X

. sinx-cosx

.

(7r

)'

x

(7r)

E 0'4 .

sin --x

VXElR.

4 r

VXElR·.

-----------------------------------------------------

ca, alegand un element =I?

Bacalaureat 2010.

I >c:C

15. Calculati

si ctg(arctgx)=~,

egalitatea tgx + ctgx = 2 . Aratati cii sin 2x = I .

din multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin:' x + cos'

2 7.

U'

kEZ.

Funqia arcdg : lR ~ (0, Jr) este inversa functiei ctg:(O, Jr) ~ lR . Proprietati.

. tr

c) sm

11. Pentru sin a = ~, a E ( ~ ,tr ). calculati: a) sin 2a; b) tga.

)

,

° . 480 sm .

10. Comparati numerele sin I ~i cos I .

12. Stiind cii sinx = 2~

,

a

9. Determinati eel mai mare element al multimii {sin I, sin 2, sin 3} .

x, "Ix E lR.

tgg(x),

cos'

8. Calculati: y E lR .

multimea solutiilor este egala cu {arctg y + kr: I k E Z} .

2

b) 2sin2 a+l

. sma

~ . ca~ sm . 40° .sm . 140° = cos 2130° . 7. Aratati

)

~

a E R astfel lncat tga = 2 . Calculati:

. tg78° - tgl8° . ° ° , b = sm 108 cos48 -cosl08 6 Calculati a = • 1+tg78° tgl8°

x E lR ecuatia tg x = y are solutii pentru orice

Pentru

s. Fie a)

••. Jr Jr) este mversa . fun cpei .. tg: (Jr-2'2 Jr) ~ Funqla ardg : lR ~ ( -2'2

!

J3

I 4 Ariitati ca --0 - --0 =4. • sin lOcos 10

sina+cosa

VXE[-I,I]. 2

7. sin (arccos

·cos20110.

b) cos l" + cos Z" + ... +cosI79°.

j(x)=±g(x)+2kJr,

,atunci

+ sin 360° ;

3. Calculati: a) tg 1° . tg 2° ..... tg 89°;

Jr- arccos x, "Ix E [--1,1].

multimea solutiilor este egala cu

·sin20110.

b) P=cosIo·eos2°·

XE[O,Jr] YE[-I,I].

4. Pentru x E lR ecuatia cos x = y are solutii doar daca y E [-I, I]. iar

S. Daca

b) P=sinlo·sin2°· 2. Calculati: a) S = sin 1° + sin 2° +

Fun~ia arccos : [-I, I] ~ [0, Jr] este inversa functiei eos: [0, Jr] ~ [-I, I] . Proprietati.

Probleme propuse

16. Daca a E lR astfel Incat sin a + cos a = .!., calculati sin 2a . 3

v

~

:E

~ :E

• 49

J5. 17. Daca a,beR

astfel incat sina+cosb=l

18. Pentru a, b e ( 0, ;) tr

19. Aratali ca cos

g

20. Determinati

x e

=

astfel lncat a - b =:

si cosa+sinb=~

,calculati

sin(a+b).

stiind

considera triunghiul ascutitung.hi~ .ABC. in care. are loc relatia sin B + cos B = sin C + cos C . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel. Variante bacalaureat 2009

.••. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3 . Determinati masura unghiului C. ~. Variante bacalaureat 2009

aratati ca tgb - tga + tgb· tga = -1.

J2;J2 2 .

[0, tr)

se

terminati raza cercului inscris si raza cercului circurnscris unui triunghi cu laturile J1. De

ca numerele

sin x, sin 2x, sin 3x

sunt in progresie

aritmetica. 21. Calculati raza cercului inscris in triunghiul ABC stiind ca AB = A C = 5 ~i BC = 8 . Examen Bacalaureat 2011

3 4 si 5. ~eterminati numerele naturale a pentru care nurnerele a, a+ 1 si a+2 sunt lungimile J8. laturilor unui triunghi obtuzunghic. Variante bacalaureat 2009

39. Calculati: . 1 + arccos a) arcslll

2

22. Se considers triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 4 ~i A = 2; . Determinati.

d) arctg (

a) Aria triunghiului ABC. b) Perimetrul triunghiului ABC.

J3.' 2

J3) + arcctg ( J2) + arcctg ( -J2) ;

- arcctg (-J3)

. (tr"3 - arcsin . c) Sill

23. Se considera triunghiul ABC. Aratati ca daca sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , atunci triunghiul ABC este dreptunghic.

a) sin (2 arcsin ~);

24. Fie triunghiul ABC. Aratati ca daca cos" A + cos" B = 2 cos" C , atunci a2 + b2 = 2c2

d) cos ( tr - arcsin ~ }

•

a) sin x = .!., X e 2

26. Se da triunghiul ABC cu raza cercului circumscris R = 6 ~i A = tr . Calculati BC . 6 27. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ca BC = 3

e) tg (2arctg

2);

2

.

I)

3" ;

3) .

41. Rezolvati ecuatiile.

25. Se considera triunghiul ABC cu A = tr si B = tr . Calculati cos C . 4 3

cosA=-.

e) arcctg ~

40. Calculati:

c) Raza cercului circumscris triunghiului ABC.

J2

b'.I I arcsin (_ J3 3)+ arcsin 1 ,. c'.I I arctg J3 3 - arcsin (2 3

[0, 2tr] ;

b) cosx=--,

e) sin 2x = cosx,

X

xelR.;

2 d) tgx=-J3,

c) sin x + cos x = I, x e [0, 2tr) ; ~l

J2

xe(O,tr);

j) sin x = cosx, x E [0,4tr];

e R,

1

g) sin2x=-

2

28. Se considera triunghiul ABC cu laturile a = 3, b = 3 ~i c = 4 . Calculati. a) AB· AC;

J2,

XE[-tr,O].

2

42. Rezolvati ecuatiile.

b) Raza cercului circumscris.

29. Se considera triunghiul ABC in care a + c = 2b . Aratati ca sin A + sin C = 2 sin B . 30. Aratati ca daca in triunghiul

ABC este adevarata

relatia t'

a2 sin 2B = abc atunci R '

triunghiul este dreptunghic.

a) sin(x+

b) arctg

;)=cos(x-

~}

J3 + arctg x = tr , J3 cos x = 0,

X

31. Calculati sinusul unghiului ascutit dintre diagonalele dreptunghiului ABCD, stiind ca AB = 6 si BC = 8 .

d) sinx = l+cos2

32. Se considera paralelogramul

e) arcsin.!. + arcsin x =!:.,

cu AB = 6,

BC = 4 si m (4:A) = 60·. Aflati

distants de laD laAC.

2

x,

X

•..

E lR..

~

E R.

I X

'5

E [-1,1].

3 Variante bacalaureat 2009

33. Determinati lungimea celei mai mici inaltimi a triunghiului ABC cu laturile 5, 6 si 7. 34. Determinati lungimile aritmetica cu ratia 1.

E lR..

2

c) 3 sin x +

ABCD

X

xElR..

laturilor unui triunghi dreptunghic

cu laturile in progresie

~ ~

III

~ ~

• 51

Partea

Algebra Tema 2.1.

(clasele XI-XII)

Permutari. Matrice. Determinanti (cia sa a XI-a)

Tema 2.2.

Sisteme de ecuatli liniare (clasa a XI-a)

Tema 2.3. Structuri algebrice (clasa a XII-a)

Tema 2.4.

Polinoame cu coeflcienti lntr-un corp comutativ (clasa a XII-a)

2.1

Tema

Permutarl. Matrice. Determinanti 1. Permutari Oefinitia 1. Fie n un numar natural nenul. a functie bijectiva a : {I, 2, ..., n} ~ {I, 2,..., n} se numeste permutare de grad n. Multimea permutarilor de grad n contine n! elemente ~i se noteaza Sn. Exemplu de permutare. Functia

0"

1

=(4

2 3 4) 1 3 2 este

A

0

permutare de grad 4. In

acest caz a(l) = 4, a(2) = 1, a(3) = 3 si a(4) =2. Tnmultirea permutarilor. Fie a si • doua permutari de grad n. Permutarea a 0., unde 0" este operatia de compunere a functiilor se numeste produsul permutarilor a si r ~i se "noteazl!. ar. Proprietati 1. Inmultirea permutarilor este asociativa, deei au sens expresii de forma (/ = 0" . 0" . 0" ... 0" , pentru orice a E Sn si orice numar natural nenul k.

~

k ori

1 2 1 2

2. Permutarea e = (

n)

... ... n

ae = eo = 0" , pentru orice

are proprietatea

0" E

S; , si se

numeste permutarea identica, 3. Daca a

0"(1)

E

S; atunci permutarea ( 1

inversa permutarii a si are proprietatea

0"(2)

...

O"(n»)

2

...

n

0"0"-1

E

Sn se noteaza e', se numeste

= 0"-10" = e.

Inversiuni, semnul unei permutari Oefinitia 2. Se numeste inversiune a permutarii a E S; 0 pereche ordonata (i, j) E x {I, 2, ...n} eu i aU). Numarul inversiunilor unei permutari a se noteaza mea) iar numarul (_l)m(cr)se noteaza &(a) si se numeste semnul permutarii a. Daca &(a) = 1 (deei mea) este par) atunci a se nume~te permutare para, iar daca &(a) = -1 (deci mea) este impar) se numeste permutare impara. E

{l, 2, ... n}

Proprietati 4.&(a.) = &(a)· &(.) oricare ar fi 5.&(e) = 1. 6. &( o") = &(a) oricare ar fi Exemplu. Fie

0" =

0" E

0", T E

Sn. •.•.

1 2 3 4 5) ( 5 1 432

(1,4),(1,5), (3,4),(3,5),(4,5),

:E

S; .

I

.

Inversiunile

permutarii

a sunt (1,2),(1,3),

deei mea) = 7, &(a) = -1 si a este permutare impara.

E_

> este eompatibil nedeterminat S. Daca m = n, atunci sistemul are solutii nenule ¢:> det(A) = O.

{

incompatibil.

• Sisteme omogene Definftje 6. Un sistem liniar se numeste omogen daca top termenii liberi sunt nuli. Proprietiti. Fie un sistem liniar de tip (m, n), de matrice A. 3. Un sistem omogen este compatibil. EI are solutia Xl = x2 = ... = xn = 0, numita solutia nula.

= -3. Sistemul este

-3y+Sz-4t

-3y+Sz-4t=-3

are coeficientul O.

6. Aratati ca matrieea A = [~ ~

o

21] este inversabila

pentru orice valoare reala a lui m.

1 m

,,to. In acest fel, In ecuatiile 2, 3, ... m

• 67

3 32 22J .

16. Rezolvati sistemul

[223

a) Determinati a, b c) Calculati A-I.

IR astfel Incat A2

E

[

o o

0 1 1

3

E

=5

.

=-1

x+5y-4z

= -1.

{ .

2x+y-z=3 x+y-4z=-2

18. Rezolvati sistemul

0 0 1

(1 2)X (1 -1) ,X M2 X(; ~)=(~1 ~). XEM2(1R)· = 2

x + 3Y - 2z 4x+3y+7z=2

4X- y-4z

11. Rezolvati sistemul

9. Rezolvati ecuatiile matriceale:

3 5

{

= aA + bl-;

1 11 11 1IJ

. .. .. 0 8. Determinap inversa matncei A =

a)

=-1

3X+ y+4z

7. Fie A = 2

(1R) .

{

-7x + 3y + 2z 5x-4y+z

= -2 . =2

19. J)etenninali rangul matricei A =

[! !~}

n

b)

1 O. Determinati valorile reale a lui m stiind eli matricea A = ( ;

1) are inversa egala eu ,

20. D~crminap

= [~ ~

rangul matricei A

~I

-1

adjuncta sa. 21. Determinati valorile reale ale lui a Ii b pentru care rangul matricei A = [ : 11. Determinati inve rsa adjunctei matricei A = [~

~( 1 a -2

b)

xC

-1)3 X (10

1)

4 1 -2 ,X

=

_~)=[-~~], -5

I

i

13. Rezolvati sistemul

M2•3 (1R).

~).

~ ~

121

23. Determinati valorile reale a lui m pentru care matricea A

are rangul2.

= [~ - ~ -:)

XEM3•2(1R).

2 -1 m

8

{X+3Y+5Z = 4 2x + Y - 3z = 3 .

!i

24. Determinati rangul matricei [~

=~

~1] in functie de a E a

~1

3

2

5

25. Determinati rangul matricei [~

~

~1

~

~1) in functie de a,b

4 3

2

b

2

a

5x-2y+7z=3

l i

22. Determinati rangul matricei A = [ : E

~)

~ este egal cu 2.

12. Rezolvati ecuatiile matriceale:

~ ;1

{ x+y+z=3 -x + 2Y - 2z = 9 .

14. Rezolvati sistemul

x+4y+4z

= 27

2X-3Y+5Z

=9

x + Y - 2z = -2 .

15. Rezolvati sistemul {

3x+2y+z

26. Determinati rangul matricei [~

~i~~~]

in functie de a.b,c

E

1R.

E

R .

=7

69

a

27. Fie matricea

mx+ y+mz=l

A [2 a ;b ;c) 3a

3b

a, b,

unde

=

C E

34.

lR '.

~iL E MI,3(IR)

IR astfel incat A2

astfel incatA =K· L.

35.

= dA .

Aratati

ca pentru

-x + Y + 2z 2= mare 28.Fie

A

=

(

E

3x- y-2z

{

MJCIR).

x+4y+m

orice

valoare

reala

a lui m

sistemul

de

ecuatii

solutie unica,

1 1 0 X+Y+Z=b+1

b) Aflati rangul matricei

29. Fie matricea A

=

2

36. Determinati

h + A + At.

c) Determinati inv(~rsa2ma~c]ei

2

0

=

si B

a) Determinati rangul matricei

a, b

E

IR pentru care sistemul

Bacalaureat, 2008

t, + A(. 2] 1 .

1 4 -3

37. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare

A·. infinitate de solutii X

0

{

2x + Y + Z = b

E

M3,\

{

=

1

x +Y +Z= 2 x-2y+2z

are eel putin doua solutii.

=-1

x+ay-z

2X- y+3z

5

b) Aratati ca ecuatia AX = Bare

are

0

infinitate de solutii.

=-1

(C) .

Adaptare bacalaureat, 2008

2ax+

30. Fie matricea A = (:

::

1 a) Calculati det(A). b) Aratati ca rang (A)

cu a, b

~ ::~],

1

E

IR .

~ 2, Va,

X+2Y-3Z=3 beR

1001

i•..

x+ y-2z=0

este compatibil nedeterminat.

Adaptare bacalaureat, 2008

39. Fie sistemul

2x-

y+z

nx+ y-2z

= m ,unde m, n

E

1R.

=4

a) Determinati m si n pentru care sistemul admite solutie Xo = 2,yo

A=[~ 0000~ ~ ~] ~i B=[~ 0110~ ~ ~].

= 2,zo = l.

b) Determinati n E IR pentru care sistemul are solutie unica. c) Determinati m si n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

0000

AB + BA.

b) Aratati ca rang ( A + B)

=0

a

{

a) Calculati

y+z =0

x + 2ay + z

38. Aflati valorile reale ale lui a pentru care sistemul de ecuatii liniare {

i

liniare

z=-3

a) Calculati A3.

31·Fie

este

=12

3x-4y+z=1

Bacalaureat, 2009

0 0 0] 1 0 0

x + y + mz = 3

incompatibil.

b) Aratati ell exista matriceleK EM3,1(1R) E

{

3c

a) Calculati rangul matricei A.

c) Aratati ca exista d

Determinati toate valorile reale ale lui m pentru care sistemul

Bacalaureat, 2009

x+

= rang (A) + rang ( B). {

c) Aratati ca( A + B)" = An + B" , oricare ar fi nEW.

X+2Y =1

i 32. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare

5x - Y = 6 {

X 33. Fie sistemul de ecuatii liniare {

3x-4y

a) Determinati b) Determinati

m m

E E

x+my+(m-3)z

,m

E

IR .

= 2m-l

IR pentru care sistemul are solutie unica. IR pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. Adaptare bacalaureat, 2009

=0

+ 2y+z=1 ax + 3Y + 2z = 0, a E 1R. Aratati ca pentru orice

(a+l)x+

valoare a lui a sistemul are solutie unica.

este incompatibil.

my+2z =1

x + (2m -1)y + 3z = 1

40. Se considera sistemul

Y+z =0

2X-3Y+4Z-5t 41. Se considera sistemul

x+9y+mz+t=3 {

a) Determinati

p

E

=-1

5x-6y+lOz+nt

,m, n,p ElR. =p

IR astfel incat sistemul admite solutia (xo,Yo, zo, to) cu Zo = to = o.

•.•

~ I


dll d, d, EK[X]. Definitia

general, folosim notatia S, = xt + x~ + ... + x: ' unde k este un numar natural nenul

* O. Notaro

p, q

E

radacina a polinomului

q Ecuatia x" - a == 0, a == r (cos a + i sin

E

Q

•..

1= aX" + ... + a,X + ao' cu ao,a" ....a, E Z,

Z, (p, q) == 1. Daca a == Peste

• Ecuatii binome. cu

radacina a + b.Jd , unde a, b, d

a)

E

an

* 0,

~ ~i numerele ~

f, atunci p I ao C , are solutiile

V

si q I an· ~

~

w

!C ~

• 87

Xk

==

nr(

V

r cos

Teoremi. Fie f

a+2k1C .. a+2k1C) __ n +I sm n ' k == 0, n -1 .

• Ecuatii reciproce. Polinomul meste reciproc daca ak == an_k

jreductibile

f == aX" + an_,Xn-' + ...+ a,X + ao E C [X]

pentru orice k == 0, n. in aeest eaz ecuatia

se nu,

f (x) == 0 se

numeste ecuatie reciprocd. proprietiti 10. Produsul a doua polinoame reciproce, catul ~i restul impartirii a doua polinoame reciproce sunt polinoame reciproce. 11. Un polinom reciproc de grad impar are radacina Xo == -1. Pentru a afla radacinile unul polinom reciproc f de grad 2k + I, se imparte f la X + I ~i catul este un polinom reciproc g de grad 2k.Ecuatia

g(x)==O se imparte cu Xk si se face substitutia x+.!.==t. x

Exemplu 4. f == X

5

3X4 + X3 + X2 - 3X + I E C[ X] .

-

-I rezulta ca f == (X + I)g,

5x - 4x + I == 0 x2 +

I I 5 -4

-4

-3 I

unde g == X4 _4X3 + 5X2 -4X

:2 -

4 ( x + ~ ) + 5 == 0

r -2-

+ I. Avem g(x) == 0 X4 - 4x2 + 4t + 5 == 0

r - 4t + 3 == 0, unde

x

ireductibil daca nu exista g,h

E

K [X]

K[X]

de grad mai mare sau egal decat I se numeste

13. Un polinom

14. Un polinom

f

K [X] de grad 1 este ireductibil. f E K [X] cu grad (J) ~ 2 care are 0 radacina f E K[ X] cu gradul 2 sau 3 este ireductibil

radacini in K . 15. Un polinom f

K[ X]

este ireductibil

dad

in

K

IR [X]

grad(J)

este ireductibil

== 2 si Ll < O.

1. Determinati

gradul polinomului

f==(a2-I)X4+(a-I)X2+(a+2)X+IEC[X]

functie de a E C . 2. Aflati catul si restul impartirii polinomului g ==X2 +X -2.

in

f == 3X4 + 4X3 + X2 + 2X - 3 la polinomul

5. Determinati valorile reale ale lui a pentru care resturile impartirii polinomului f == X3 + 2X2 + aX -I la X + 1si X - 2 sunt egale. 6. Determinati, folosind eventual schema lui Homer, catul si restul impartirii polinomului f == X5 +4X3 -2X +5 la: a) X + I; b) X - 2. 7. Determinati restul impartirii polinomului f == X30 - 4X3 + X + 5 la polinomul X2 -1 . L Determinati valorile reale ale lui a pentru care polinomul f == X4 - 3X3 + aX2 + X + 5 X2 + X + 2 divide 3 2 polinomul f == X4 + X + 3X + aX + b . O. Fie f == X4 + X2 + 1 si g == X3 + 2X2 + 2X + 1. Determinati un c.m.m.d.c. al luij si g si

daca ~i numai daca nu are

si numai daca polinomul

si

2 3 EC radacinile sale.

XI'X ,X

a) XI + x2 + x3•

111

este reductibil.

af

este

b)-+-+-. xlx2 xlx3

X2X3

12. Fie f == X3 + 5X2 - 2X + 3 E C [X] si XI' x2' X3 E C radacinile sale. Calculati:

a) x~ +

xi + x; ,

I

I

XIX2X3

in

IR [ X]

daca ~i numai

c) x; + x~ + daca grad (J) == I sav

~

xi .

~

• Fie f==X4-3X3+2X2+X+IEC[X]

a)

(1 -x )(1 l

po

==I -e v

I

b) -+-+-,

Observatii 1. f e C.[X] este ireductibil daca si numai daca grad (J) == 1. E

Probleme propuse

Calculati:

ireductibil, oricare ar fi a E K· .

2. f

fiind pana la

.... ---------------------------------------------------

11. Fie f==X3_3X2+5X+7EC[X]

E

E

unieitatea

un c.m.m.m.c. al luij si g.

cu f == gh si grad (g) ~ I, grad (h) ~ 1.

Proprietiti 12. Orice polinom

I=s.sv=s.,

astfel incat

ordinea factorilor si asociere in divizibilitate (g este asoeiat in divizibilitate eu h daca exista a E K astfel incat g == ah).

t. Determinati valorile reale ale lui a si b pentru care polinomul

x

E

g"g2, ... ,gn EK[X]

(f) ~ 1. Atunci exista in mod unie polinoamele

se divide cu X + I .

ecuatiilor x +.!. == I ~ - x + I == 0 si x +.!. == 3 x2 - 3x + 1 == O.

• Polinoame irecluctibile Definitie 5. Un polinom f

eu grad

t

I 0

t == x +.!.. Rezulta t1 == 1 si t2 == 3, iar cele 4 radacini ale lui g rezulta din rezolvarea

x

K [X]

3. Fie f == (X2 + X + 1)20+ (X2 - X + 1)20 ~i f == a40X40 + a39X39 + ...+ ao forma sa algebrica. a) Calculatiji l), b) Determinati ao + a40· 4. Determinati restul impartirii lui f == ( X3 + 3X2 - 5X + 2 la X -I.

Din schema lui Homer

-3

E

-x2)(1

si

-x3)(1

2 3 4

X"X ,X ,X

-x4),

EC radacinile sale. Calculati:

~

• 89

b) Determinati

a,b

aritmetica ~i 14. Fie 1 = X3 _X2 +3X -5 4

4

C[Xhi

E

X"X2,X3

E

C radacinile sale. Calculati:

4

2

a) Aratati eii

2

2

2

2

+2

15. Fie 1

= ( X2

40

+ X + 1)

+

(2

)40

.

X - X +1

~l

X3X2·

1 = asoX SO + a

X79 + ... + a X + a fi0nna 79 l o

j

aiba radacinile XI,X2,X3

IR astfel incat polinomulfsa

x; + xi + xi

22. Se considera polinoamele

a) XI +X2 +X3 , b) XIx2 +XI X3+X2XI +X2X:!+X3XI

E

=

f

11 .

=X

3

in progresie

Adaptare bacalaureat, 2008 + 2X2 +3X +45E Z[ X] si

este ireductibil in Z2

j

=

x

3

+ X + 1E Z2 [X].

[Xl·

b) Aratati ca 1nu se poate scrie ca produs de doua polinoame cu coeficienti intregi, neconstante. Adaptare bacalaureat, 2009 • 23. Fie polinomul 1 = X 3 +2X

2

+a

Z3 [ X ] .

E

sa algebrica, Calculati: a) Calculati 1(0) + 1(1) + 1(2).

a) aw

b) Pentru a = 2, determinati radacinile luij'din

b) ao +al +a2 + +aso· c) ao +a2 +a4 + +aso·

c) Determinati

16. Fie polinomul 1 = X3 +aX2 +bX +c cu a,b,c a) Determinati a, b, c stiind ca 1 are radacinile b) Sa se arate ca daca/are

radacina

c) Sa se arate ca daca a, b, c

E

J2 , atunci

Z , iar numerele

E Xl

Q.

E

Z3 pentru carej'este

24. Fie polinoamele l,gElR[X],

= X2 =

1 are 1(0)

a

0

1 si X3 = -2.

si

1(1)

ireductibil in Z3 [X].

n]Xl. 1.

b) Demonstrati ca polinomul g nu divide polinomul

sunt impare, atunci

f

c) Determinati restul impartirii lui

1 la

Bacalaureat, 2008

g=X2-3X+2.

1=(X_1)IO+(X_2)IO~i

a) Descompuneti g in factori ireduetibili in

radacina rationala,

Z3'

g.

nu are radacini intregi.

Bacalaureat, 2006 Bacalaureat, 2008

17. Fie 1 = X3 +4aX2 +20X +b cu a, b a) Determinati

XI.

X2,X3 in cazul a

b) Aratati ca (XI -xS

=3

+(XI -xS

E

lR ~i XI,X2,X3

E

C radacinile lui.

= 32a

2 -120.

- 5X2 + 4.

= X4

a) Determinati radiicinile lui

b) Determinati

polinomul

26. Fie

1.

h

E

Q [X] cu h ( 0) = 1 si care are ca radacini inversele

radacinilor luif 19. Fie polinomul 1 = 3X4 - 2X3 + X2 + aX -1

cu a

E

. 1

1

XI

x2

1

lR si x" x2' x3' x4

E

C radacinile

If

+bX +C, cu a, b,

1(3) - 1(1) este

b) Aratati ca x- Y divide I(x)

- I(Y),

CE

Z.

a) Determinati

1=4X3-12X2+aX+b a,b

E lR

1 in factori

1. ireductibili inlR[X]. Bacalaureat, 2008

27. Se considera polinomul 1 = X3 -9X2 - X + 9 cu radacinile XI'X2,X3 E C.

1 la X2

-1 .

oricare ar fi X,Y

1(3x

)

= 0, X

E

lR .

Bacalaureat, 2009

28. Fie polinomul 1 = X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1 cu a E lR si xI'X2,Xl'X4 E C radacinile sale. a) Calculati (1- x~ )(1- xi )(1 - x: )(1 - x;) .

i

b) Determinati valori1e reale ale lui a pentru care x~ + xi + X: + x; = 8 .

par. E

29.Fiepolinomul

Z. Adaptare bacalaureat, 2009

21. Fiepolinomul

b) Pentru a =-3 ~i b = 1 descompuneti

c) Rezolvati ecuatia Bacalaureat, 2008

a) Aratati ea numarul

C radacinile sale.

b) Verificati ca x~ + x~ +xi = 9(x~ + xi + x:) -18.

X3 x4

= aX4

numere reale. a) Determinati valorile lui a si b pentru care g divide

a) Determinati catul si restul impartirii lui

1

b) Determinati restul impartirii luij'la (X c) Aratati ca polinomul 1nu are toate radacinile reale.

20. Fie polinomul 1

E

= n = 1, descompuneti 1 in factori ireductibili in lR[ Xl. Bacalaureat,2009 polinoamele 1 = X4 + aX3 + bX2 - 5X + 6 ~i g = X3 + X - 2, unde a ~i b sunt doua

Adaptare bacalaureat, 2009

sale. a) Calculati -+-+-+-.

lR si Xl' X2' Xl' X4

c) Pentru m

Adaptare bacalaureat, 2008

18. Fie polinomul 1

E

a) Determinati m si n stiind ca Xl = 0 ~i X2 = 1. b) Determinati valorile lui m pentru care x~ + xi + x: + x; = 2 .

si b = O.

+(X2 -xS

25. Fie 1 = X4 + mX2 + n cu m, n

I

cum ElR si X"X2,X3 radacinile sale.

a) Pentru m = 2 determinati radacinile lui

~

1.

~

!

b) Calculati x: + x; + x; .

eu a,bElR.

astfel incat polinomul X2 -1 divide

I=X3-3X+m

f

c) Determinati valorile lui m

E

lR pentru care

1 are

toate radacinile intregi. Bacalaureat, 2009

i • 91

30. Fie

f

== 2X3

f

4X2 + aX + 1 ell a E Z. Detenninati valorile intregi ale lui a pentru care are eel putin 0 radacina rationals. -

31. Se considera polinoamele cu coeficienti complecsi f == X4 -1 si g == X6 -1 .

f

a) Determinati un c.m.m.d.c. ~i un c.m.m.m.c. pentru

g (x) ==

O.

Adaptare bacalaureat, 2009

32. Determinati restul impartirii polinomului a) g ==

f

X'20 + X4 + 3X2 + X + 5 la polinomul:

==

X3-1.

b) h == X2 + X + 1. c) t == XS-1. 33. Determinati restul impartirii polinomului

f

==

xso + 20X3

35. Fie

e

E

C [X]

+ 5X2 + 7 X + 1 la polinomul

X30 (X + 1)20 la polinomul g == X (X _1)2 . catul impartirii polinomului f == X60 - 30X2 + X + 8 la polinomul ==

Calculati e (-1 ) .

g == ( X-It

f

36. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi

X4 - 5X3 + 3X2 - X + 1 si x" X2,

==

X3, X4 E C radacinile sale. a)

Determinati

un

11 x" 11 x2' 11 x3' 11 x4 b) Aratati ca polinomul

gEe

[X],

de

grad

4,

care

are

radacinile

f nu are toate radacinile reale.

f

==

X4 - 2X3 + X2 + X -1 ~i XI. X2,

X3, X4 E C radacinile sale. a) Calculati x; + x~ + x; + x~.

f

0

45. Se considera

polinomul

~i f ==

==

X4 + 2aX3 + 3bX2 + eX + d ~i XI. X2,

a) Calculati

(x,

toate radacinile reale si

39. Se considera polinomul cu coeficienti reali a) Aratati ca polinomul

fare

b) Stiind ca polinomul fare lui q.

E

(0,

j).

-

6X + a, unde

== X3 + aX2 + aX + 1. Determinati

toate radacinile reale.

X

+ 0S9 XS9 + ... +

Determinati

00

cu coeficienti

==

X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1. Determinati

toate radacinile reale.

reali

f

== (

X2 + X + 2

forma sa a 1gebri nca.~

f

multimea

nu are nicio radacina reala. valorilor

intregi

ale

lui

0

f == X3 + X2 + aX + 1 este ireductibil peste Q . 47. Se considera polinomul f == X3 + 2X2 + X + 0 E Z3 [X]. a E Z3' polinomulf polinomulf

f + ( X2 - X + 3f

0, .

b) Aratati ca polinomul 46.

f

pentru

care

polinomul

Aratati

ca pentru

once

este reductibil peste Z3'

f

X3 + X2 + X + 0 E Zs [X]. Determinati

==

0

E Zs astfel incat

sa fie ireductibil peste Zs'

a) Aratati ca polinomul b) Aratati ca polinomul

f f f f f

==

X8 + 4X3 + 3 E Zs [Xl

nu are radacini In Zs' este reductibil peste Zs' == X4 + X3 + X +

2 E Z3 [X].

este reductibil peste Z3 .

b) Determinati un polinomul

g E Z3 [X], ireductibil peste Z3' avand aceeasi functie

+1)2 +(X2 +1)2 +(X3 +1)2 +(X4 +1)2.

b) Stiind ca polinomul fare e si d.

40. Se considera

+ 5X2

polinorniala ca f.

X3, X4 E C radacinile sale.

a

060

60

a) Aratati ca polinomul

nu are toate radacinile reale.

f

+ 4X3

== X4

f

reali

pentru care polinomul fare

valorile reale ale lui

SO. Se considera polinomul

38. Se considera polinomul cu coeficienti reali

f

reali

pentru care polinomul

49. Se considera polinomul

•

37. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi

b) Aratati ca polinomul

0

48. Se considera polinomul

polinom

cu coeficienti

44. Se considera polinomul cu coeficienti reali

a) Determinati

f

polinomul

reale ale lui m pentru care polinomul fare

g==(X+lt 34. Determinati restul impartirii polinomului

cu coeficienti

f are toate radacinile reale. 43. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 -12X + m. Determinati valorile

valorile reale ale lui

f (x)

polinomul

a E [9,(0) . Aratati cli polinomul f nu are nicio radacina reala. 42. Se considera

si g.

b) Determinati numarul solutiilor distincte din C ale ecuatiei

41. Se considera

polinomul

Aratati ca polinomul

0

f

==

0

== b == 2 , determinati valorile lui

X3 - pX2 + qX - r , cu p, q, r > O.

radacina reala strict pozitiva.

toate radacinile reale si p == 3, r == 1 , determinati valoarea cu coeficienti

reali

f

==

X4 + aX3 + aX2 + bX + e, unde

f nu are toate radacinile reale.

• 93

Analiza matematica Clasele XI-xn Tema 3.1

Limite de siruri. Limite de functii, Functll continue. Funqii derivabile

Tema 3.2

Primitive

Tema 3.3

Functli integrabile

Tema

3.1

Limite de slrur]. Limite de functil. Functii continue. Functii derivabile • • 1. $iruri de numere reale $iruri marginite ~irUl (Xn)n~1 este mdrginit superior

daca exista ME

IR astfel mcat Xn

~irUl (Xn)n~1 este miirginit

inferior

~irUl (Xn)n~1 este miirginit

daca este marginit inferior si superior.

dad! exista . m

E

s M,

'

I(x)

=m

X

lim (j(x)-mx)

x-+-oo

•

=n

D ---+ JR si a un punct de acumulare allui D. Dreapta de

x\..a

D n D' daca si numai daca I este

1I I,

E

E, atunci

= g(lim/(x))

JR sunt continue in punctul sunt functii continue

Lg este continua in a.

D ---+ E si g: E ---+ JR. Daca

b = I(a)

I,s :D ---+

max(j,g),min(j,g)

functia

I

este continua in a ED,

go I: D ---+ JR este continua

iar g este

in a. Avem

(0 functie continua comuta cu lirnita).

x-+a

c E (x,,~)

E

I:

I ---+ IR are proprietatea

I si orice A cuprins intre I(x,)

lui Darboux pe ~i l(x2)

,

exista

astfel incat I(c) = A.

o functie I:

I ---+ JR are proprietatea lui Darboux daca ~i numai daca imaginea oricarui

interval prin functia I este tot un interval (cu alte cuvinte, pentru orice interval J c I , rnu1timea I(]) este interval).

o functie cu proprietatea lui Darboux nu are puncte de discontinuitate de speta I. Teorema. Orice functie continua I: I ---+ JR are proprietatea lui Darboux. c

ecuatie x = a este asimptotd verticalii la stdnga (respectiv dreapta) pentru graficul functiei f daca lim I(x) = ±oo (respectiv lim I(x) = ±oo). x/a

JR), I· g,

Proprietati ale funqiilor continue. 1. Fie I: [a,b] ---+ JR 0 functie continua

daca

{!im

x---+oo

--(0)

daca lim I(x) = a (respectiv

D ---+ JR astfel incat

+00

I:

E

intervalul I daca pentru orice x, ,x2

JR , este asimptota orizontala la

acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = mx + n , unde m, n oblica la graficul functiei spre

in

limg(j(x))

X

(respectiv

x-too

Asimptote oblice. Fie

atunci a f + jJg, (a,jJ

a ED,

Proprietatea lui Darboux. 0 functie

acumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = a, unde a +00

Operatii cu funqii continue. Daca functiile

Fie functiile

tim(1+x)'-I=r

lim--=lna; x-tO x

lim--=I; x-tO x

E

din limitele laterale nu exista sau este ±oo, a este punct de discontinuitate de speta a II-a.

in a, iar daca g(a)"# 0 , atunci

=e;

a

Puncte de discontinuitate. a E D este punct de discontinuitate de speta I al functiei are limite laterale finite in a ~i nu este continua In a. Dad eel putin una

,

lim(l+x)~

aX -I

eX -1

Asimptote orizontale. Fie graficul functiei spre

x\..a

(1 + .!.)X = e ;

· arcsinx 11m

=A .

= lim/(x)

x/a

= I(a)).

I :D ---+ JR daca

al multimilor

In punctul a daca si

(altfel scris I(a-O)

continua la stanga ~i la dreapta In a , adica daca ~i numai daca I(a - 0) = I(a) = f'(a + 0) .

x-ta

oentru orice sir (x )n~' cD \ {a} astfel incat lim xn = a, atunci !im I(xn)

a) n D, se

(altfel scris I(a + 0) = I(a) ).

Functia I: D ---+ JR este continua in punctul

Multimea punctelor de acumulare a ~nei multime nevide D c JR se noteaza D'. Functia I: D ---+ JR are limita A E JR in punctul a E D' (scriem lim j'(x) = A) daca

(--00,

D este punct de acumulare pentru (a, +00) n D, se spune ca I este continua x\..a

functii

= I(a)

x/a

la dreapta in a daca lim I(x) = I(a)

2. Limite de

= I(a).

x-to

E

astfel tncat

I(a)· I(b) < o. Atunci

exista

(a,b) astfel incat I(c) = 0 .

2. 0 functie continua, care nu se anuleaza pe un interval I, are semn constant pe 1. 1. Teorema lui Weierstrass. 0 functie continua I: [a,b] ---+ JR este marginita ~i I~i atinge marginile (adica exista u, v E [a,b] astfel lncat I(u) = min j''(x) ~i I(v) = max j'(x) ).

4. 0 functie continua S. Daca

I: I -v J

I:

este

I ---+ IR este injective daca si numai daca este strict monotona. 0

functie continua si bijectiva, atunci

1-'

i

J ---+ I este continua.

• 99

Formule de derivare

4. FunClii derivabile Functia

I :D ~ IR

are

derivata

in

punctul

a

E

D n D'

daca

exista

limita

= lim I(x)- I(a) E i (numita derivata functiei j in punctul x = a). x->a x-a Daca I'(a) E JR, se spune ca/este derivabila in punctul x = a. 0 functie I: D ~ lR

I'(a)

este derivabila pe D daca este derivabila in orice punct x ~ I'(x) , xED, se numeste derivata functieij,

a ED.

in acest caz, functia

Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct. Derivate laterale. Daca a E D este punct de acumulare pentru (-oo,a)nD, Ca/are

. .. . I(x)- I(a) derivata la stanga in a daca exista limita lim x/a x-a

Daca a E D este punct de acumulare pentru (a,+oo)nD, . .. . I(x)- I(a) dreapta in a daca exista limita hm x'\,a x-a Functia

I:

D ~ JR are derivata in

nOI,

= Id (a)

geometrica

nOI,

=

I. (a)

z-i« 7. (sinu)'=cosu·u';

u' 9. (tgu)'=-2-; cos u u' 12. (arctgu)' =-1 -2 +u

se spune cal are derivatii la

a derivatei.

0

b. punct de minim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x) ~ I(a),

' 0 astfel incat

si concava pe (a,a + r) sau invers.

sau infinita) ~i este convexa pe (a-r,a)

1.

f

l+u

'a

si (f-l) '(b) = _1_. I '(a)

0

x=a

si 1'(a)=A..

• 101

Teorema lui Cauchy. Daca (a b) astfel tncat g(a) , ,

* g(b)

, atunci exista c

I:

Teorema lui Darboux. Daca :ierivata sa

I

[a,b] ~ IR sunt continue pe [a,b]

f,g:

(a,b)

E

astfel incat f'(c) g'ee)

I ~ JR este derivabila

si derivabile pe =

pe un interval I, atunci

are proprietatea lui Darboux pe 1.

I

Rolul derivatei a doua in studiul funqiilor. Fie derivabila pe un interval 1. Atunci: a. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x

I:

I ~ JR.

0

lui

x-+o

I , atunci I este convexa pe I;

. a, b

U81Hospital. Fie

(a, b) c I c [a, b] . Daca Xo

E

x-txo

b.hi

E

i, a < b.

. I··uruta I·1m --f'(x) c. exista

E

un

cu

interval,

X-+Xo

* 0, Vx

g sunt derivabile ~i g'(X)

atunci exista U

I c JR

=

1

/I,

E

* 0, Vx

E

Un I \ {xo} si limita

Probleme propuse (x2

lim I(x) . x-+co b) Aratati cii functia I este crescatoare pe JR.. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

2. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = In (1 + eX) - x . a) Determinati asimptotele graficului functieij.

b) Aratati cii functiaj" este strict descrescatoare. c) Determinati imaginea (multimea valorilor) functieij"

a) Aratati cii ecuatia f'(x)

=0

= (x-l)(x-2)(x-3)(x-4).

are exact trei radacini reale.

. ~ 1 1 1 b) Aratati ca --+--+--+--=0. 1'(1) 1'(2) 1'(3)

1

E

JR.

r.

b) Calculati lim (1 + I(x) x-+co c) Determinati multimea valorilor functieij"

= J x2 + 1-

x.

1'(4)

JR, f(x)

lim I(x) = A g(x)

X->Xo

E

i.

2 8. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ~ x -1 . a) Studiati derivabilitatea

functieij" b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

I este convexa. b) Calculati limita sirului (an unde an = 1(1) +1(2) + +I(n) -In(2n +1) .

a) Aratati cii functia

t~1'

c) Calculati limita sirului (bn t~I' unde b; = 1"(1) +1"(2) + +f"(n) . 10. Fie functia 1:(O,oo)~JR,

I(x) = lnx. x a) Determinati asimptotele graficului functieij. b) Determinati punctele de extrem local ale functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.

11. Fie p ~ 2 un numar natural fixat si functia

10: JR~

JR, 10 (x)

numar natural n se considera functia In : JR~ JR, In (x) = ILl (x). a) Aratati cii In (x) = pn e'" , pentru orice x

c) Determinati valoarea minima a functiei f 4. Se considera functia I: (O,oo)~

JR .

9. Fie functia I: (O.oo)~ JR., I(x) = In(l+~).

+ 1).

a) Calculati

3. Se considers functia I: JR~ JR, f(x)

E

a) Aratati cii functia I este strict descrescatoare pe JR. b) Aratati ca functiaj" este convexa. c) Determinati asimptotele graficului functieij.

iiii En...;

1. Fie functia I: JR~ JR, I(x) = x-ln

a) Calculati I'(X) , x

7. Se considers functia I: JR~ JR, I(x)

I \ {xo};

g'(X)

V(xo) astfel ca g(x)

x

6. Se considerafunctia I: JR~ JR, I(x) = +1· x +

=0 .

lim Ig(x)1 =+00 );

(respectiv

X---+Xo

x-Ho

~i

1(;) .

c) Aratati cii e' ~ x + 1 , pentru orice x

[a, b] si I, g :1\ {xo} ~ JR sunt doua functii cu proprietiitile:

a. lim I(x) = lim g(x) =0

5. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = eX -x-I. a) Determinati punctele de extrem ale functieij. b) Calculati lim

E

, x E (0,00).

b) Calculati lim f'(x). x-+co c) Calculati lim f(x) . x-+co

functie de doua ori

b. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x E I , atunci I este concava pe I; c. Daca a E Int(I) este un punct de inflexiune al functieij, atunci I"(a) Regula

f(b)- f(a) . g(b) - g(a)

a) Calculati f'(x)

=

E

JR si orice n EN.

b) Determinati asimptotele graficului functiei In· x-x2ln

x+l . x

1!lI .\ C 1 I . li .t;(a) + 12(a)+ ... + In (a) , un d e a En.... c) a cu an m . n-+co In (a)

•..

= e'": Pentru fiecare

::e I >. x 2 30. Se considera functia f:

sinx ( 0'"27r) --+ JR, f (x)= -x-

.

x E (0,00).

c) Comparati numerele a) Calculati

= ~

lim x" f(x)

Vx + 2 - if;..

, unde a E JR .

X->OO

b) Determinati punctele de extrem local ale functieij"

•

c) Aratati

.

ca ifj + if? > 2V5 .

38. Se considera

functia f: JR --+ JR, f(x)

= x2ex

.

a) Determinati punctele de extrem local ale functieij" a) Calculati f'(x)

, x

E(

0, ~).

b) Aratati ca j 0 si an+1= f(an),

.

= sin AX, unde A E (-1,0) u (0, 1) .

a) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

b) Aratati ca j 2,

E

N, n

b) Aratati ca, pentru orice n

E

N, n e: 2, ecuatia In (X) =

99. Pentru orice n

a) Aratati ca ill punctul t =

°

°.

E

2

3

n

(n +.!.)2

-In

este strict descrescator.

N, n> 3, se considera functia j, :JR ~ JR, In (X) = sin" x ~i se noteaza

I "(x)

b) Aratati cii sin xn

= n(n-l)sinn-2

=~

In : [0, 2.

= xn+1

-en + 2)x+

n, n E N* .

(0, ~) .

rn , unde

n EN, n

JR, pentru orice n E N, n > 3.

?3.

lim I(xn)

Bacalaureat 2009, varianta 14

1 /

si..siru l( an )

a) Aratati cll functia

b) Aratati cii , 2(k+l)

I'

n_" >1'

an=

1

r+

1 r;;+"'+

1 2" 2

1 r:: n-s n

este strict cresciitoare pe intervalul (0, co) .

1

Jk+i k+l

1 < r. -Jk

t2:1

1 r;-:-:;

-Jk s-).

o

functia F este

(1 +2x)1r

este partea intreaga a numarului real a.

= -.

.. .. d lim F(x) - F(O) eterminati a stun ea = 1.

6. Fie F,f:

10(x + I) + b pentru x > 0

1-{x}) admite primitive, unde {a} este

= [x] cos

primitiva a luij a)

a pentru x=O

I(x)=

parte fractionara a numarului real a.

c) Determinati a stiind ca functia Fare doua puncte de inflexiune.

S. Se considera functia I:JR~JR,

+ cos x pentru x < 0

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat.

a) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare. b) Determinati a stun

functia

admite primitive.

injectiva dar nu este surjectiva.

primitiva a luij

D

meat

ca orice primitiva a functieij'este strict crescatoare.

d) Determinati punctele de inflexiune ale functiei F.

,I

astfel

{

c) Aratati ca orice primitiva a functiei

.

X

primitiva a

11. Determinati a,bEIR

functieij" b) Demonstrati

.

x-I

x->I

X •

strict crescatoare pe [1, +00) .

2/3

F: JR~ JR, F ( x)

2)

= x(a In2 x + b 10 x + c), f(x) = 102

(0, +00) ~ 1R, F(x)

pentru x

x2lnx+bx+c

=0

pentrux > 0

Determinati a, b, c E IR stiind ca functia F este primitiva unei functii

17. Fie a,b E JR si functia F: JR~ JR, F(x)

=

I :JR~

JR.

.. ax+b, xcl . Determinati numerele { 102 x+ 1, x ~ 1

a si

b pentru care functia F este primitiva unei functiij"

18. Fie a,b E JR si functia

axex -x x s0 I: JR~ JR, I(x) = { ' . Sa se determine xcosx+b, x> 0

numerele a si b stiind ca functiaj este primitiva pe JR a unei alte functii.

• 121

.

!to Determinati

.

a E JR.pentru care functia I: JR.~ JR., I(x) =

{

X

2012

pentru x < 0

c)

2-

admite primitive. ~. Se considera functia f: JR.~ JR.astfel inciit xf (x) a) Determinati b) Pentru f c) Pentru

f(O)

=

~ f'(x)

dx ;

e

e) ff"(X)f(x)-U,)2 f2(X)

arctg x, '\Ix E JR..

(x) dx

Variante bacalaureat 2009

,

stiind ca functiaj admite primitive.

(0) = 1, aratati

25. Se considera functiile

ca orice primitive F a luif este strict crescatoare.

I'im --, F(x) f ( 0 ) = 1, ca 1cu 1an. I"uruta x-++oo X

unde F este

0

primitiva a functieij

a) Calculati

a) f:R~R,

f(x)=

b) f:R~R,

f(X)={S~X,

{

. Inx+smx,

c) Determinati n, pentru care functia

x> 0

.

=

-c-. x +4

n EN.

f-t; ( x ) dx ~i fA ( x ) dx .

b) Aratati ca orice primitiva a functiei

x~O

X,

I, :JR~ JR, fn (x)

•

ca functiile urmatoare admit primitive.

1. Aratati

f rex)

xalnx + x pentru x » 0

h este J"

0

functie bijectiva.

admite primitive injective.

26. Pentru n E N' se considera functiile fn : (0, +00) ~ JR,fn (x) = xn In x . a) Demonstrati ca primitivele functiei

x:;tO

J;

sunt convexe pe intervalul [~, +00) .

1, x=O b)CaJculati

R ~ R, f(x)

elf: '/

= {xe. x, x

s0

Variante bacalaureat 2009 n

27. Se considera functiile

2. Aratati ca functiile urmatoare nu admit primitive. 2 ={ x ,

XE(1,+oo), n~2.

x> 0

smx,

a) f: R ~ R, f(x)

f f~(:)dx,

s0

X

x+3

a) Calculati

.

xlnr +I, x> 0 _{arctg3(X-2), b) f: JR ~ JR, f( x ) x -8

I, :(-3, +00) ~ JR,fn ( x) = _x_, n EN.

fJ; (x)dx

~i ff2 (x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functiei

h este

crescatoare.

c) Determinati n, pentru care functia fn admite primitive descrescatoare

x:;t2

pe intervalul

(-3,0).

1, x=2

n

c) f:R~R,

f(x)

X

= {xe

28. Se considera functiile

+1, x~O sin x, x> 0

e a) Calculati

3. Fie f: R ~ (0, +00) a) fu(x)

rX

b)

+ cos x- f(x))dx;

X f(x)-e f'(x) f2(X)

n Jl

f(X))dx; x2 + 1 e) f(sinx, f'(x)

c) ff'(x)-

f(x)

"(x) + f'(x))eXdx;

J; (x))dx.

dx ;

eX -cosx·

f(x))dx

c) Aratati ca orice primitiva a functiei f2012 este concava pe intervalul

;

0

(--0

f: [a, b] ~ IR este integrabild pe intervalul

~i)(Xi -Xi-!)

lim :tf(

116~->0i~1

[a, b], daca limita

este finita. Aceasta se noteaza cu

r

b

cootinuape f(x)dx

n

diviziunea

echidistanta

j:

':>

!. Daca f: [a, b ] ~

j: j: ) == (j:':>P':>2' ... '':>n

j:

CU

IR este functie menotoua,

[ a, b ] ~ lR. este functie continua,

~.Daca f: [a, b]

~

f:

':>i

== - i

n

E

[i iJ . Jf ( -I n n

-,-

X)

o

[0,1] ~

lR,

,

1==-I ,n.

si sistemul

f este

atunci

Derivata

unei

integrale.

F(x) == ff(t)dt

f :[a,b] ~ IR este

t.

r

(J(x)

continua

f: [a, b] ~ IR

si F: [a, b] ~ IR ,

0

primitiva a functieij; adica F'(x) == f(x)

.

de speta I, atunci

!:t

f: [a, b] ~ IR continua ~i functia

u: I ~ [a, b],

(I

este un interval)

este

x

derivabila cu derivata derivabila si F'(x)

(~). n

continua,

atunci functia

F:[a,b]~JR,

[a, b]

.

F(x)== ff(t)dt

este

f(u(x))·u'(x).

Daca functia f: [a, b] ~ [0, +00) este integrabila, atunci

.

cu exceptia unui nuroar

[a, b] .

integrabila pe intervalul

==

10. Proprietati de monotonie si marginire.

[a, b]

integrabila pe intervalul

f este

'.1. Fie

r

Daca functiile

s

f(x)dx

r

g(x)dx

f,g:[a,b]~lR.

sunt integrabile

r

f(x)dx

si f(x)~g(x),

~

°. VXE[a,b],

atunci

. defmite. Fie f: [a, b ] ~ IR

0

functie continua.

importante Leibniz-Newton

r

Fie functia

. Atunci functia F este

Aplicatii ale integralei

uij, atunci

f(qJ(t))qJ'(t)dt.

a

dx == lim f n->+«> n i~1

[a, b]

de

Daca~ fun cpa .

atunci f este integrabila pe intervalul

lR. este functie continua pe intervalul

init de puncte de discontinuitate

[0,I],

a intervalului

IR este integrabila pe intervalul [0, I] ,atunci

Formula

f q>-'(a)

a

n

. di nmcte mterme lare

Proprietiti

functie bijectiva,

x

(0 < !< ~ < ...< !!.. == I) -

I. Daca f:

0

a

• De cele mai multe ori In exercitii intalnim urmatorul caz particular.

r :[0, I] ~

~ [ a, b]

q>-'(b)

ff(x)dx== a

,.

n

[a,b)'atunci

.

Observatie•

~ ==

Fie qJ: [c, d]

de variabila.

I

Functia

lim a(J,/j.,~)

de schimbare

tp, qJ-I derivabile, qJ continua ~i tp' (t) '* 0, Vt E [ c, d] . Daca functia f: [a, b ] ~ IR este

ntermediare ~. Definitie•

8. A doua formula

0

(formula

functie integrabila

f(x)dx

==

+ g(x)) dx

==

fundamentals

a calculului

care are primitive, si F este

0

integral).

Dacli

primitiva oarecare a

f(x)dx

+

x::::a si X == b este egala cu

r

r

If(x)

axa Ox si dreptele de ecuatii

I dx .

12. Volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul axei Ox este egal

F(b) - F(a).

r

11. Aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functieij,

r

~.Aditivitatea in raport cu un interval.

g(x)dx

r

.

f(x)dx

3. ==

r

r

r

f(x)dx,

f(x)dx,

Vc

J,.,f(x)dx == J,.,

f(x)dx+

r

CU VI ==

V J,., E

[a,b].

E

lR.

1[

f2(X)dx.

~---------------------------------------------------

• 125

Caleulati urmatoarele integrale (prima formula de sehimbare de variabila): .r; s: e,h I 2 II) Jxsinx dx; b) fx2eosx3dx; c) Vrdx; d) fx-/x2+1dx; o 0 I 0 e In2012 X K "/3 sindx g) . e) f-dx; j) feosx.sin(sinx)dx; ;r/61+eosx I x 0 , Calculati urmatoarele integra Ie (a doua formula de sehimbare de variabila): • dx II) + Idx ; b) eX + 1 .

Probleme propuse 1. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton). I

a) f(x2+1) o

2

dx;

f x-"x r)2

2(

dx;

c)

0

d) 2fx2 +x+l I

b)

dx;

e)

~

I

2r( X+.!..)2 dx;

"X

2fX2 + X + 1 dx ;

1

X

j) f_l_dx; 0 -/x+2

!~ x

1x-/ x

2. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).

~1)2

I

a) f(x-ex)dx;

d)

b) J~ex _ex

),(2'-Z-'jdr;

e)

I

dx;

1 a) f-2-dx; ox+l

1 5)dr; 12- '

J)

3

3

e) fx 2

-x+2

j)

dx;

2

b) Calculati

x -1

g)

If-3x

+

X

1 a) f~dx; o x +1

b)

If 0

1 ~dx; 4-x

.fj d)

fx I

+ x + 2 dx :

~

l-x2

x2 +1

3

d) f~dx·

2" rr:':: -1

dx ;

/4 --dx [KI6sin 2 x

j)

;

2

£"/4 --;dx 2

o I

d) fx{x}dx;

0

I

I

2·

d)

[

etgxdx; KI6

fxeosxdx; e1

e 2

j) fin xdx ;

I

g)

Jx

2

e

In xdx ;

h)

j In x dx ; 1£

= x-sinx.

f I (x ) dx .

x~_r

de grafieul functiei

J,

axa Ox ~i

.b I(t)dt

c) Calculati

Aratati

ca

lim

x2 I,F:JR~JR,J(x)=

F'(x) + 2/(x)

=

x 2 x+2x+2 4

1

~i F(x)=aretg-2- -. x+l

o.

I

b) Calculati

c) Calculati

fl(x)dx. o

n~_

lim fl (t ) dt . o

13. Se considera functia

I:

JR ~ JR, I

(x)

=

ex2 .

I

d) 1x2e-xdx;

J In2 dx . X

eX

Calculati

g : JR ~

e) flnxdx;

JR, g ( x ) = x3 I (x ) , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 . I

c) Aratati ea fl(x}:ix

e2

i)

f

xf (x) dx . o b) Determinati aria suprafetei plane delimitate de grafieul functiei

Il)

-I

c) 1xexdx;

x

n

x

7. Calculati urmatoarele integrale (formula de integrare prin parti): a) fxsinxdx;b)

sr F() X = --eosx .

I.

b) Determinati aria suprafetei plane determinate dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1l .

Il)

j) f\x-aretgx\dx.

-I

2

f I (t ) dt .

2

e) f\x-sinx\dx;

-I

Calculati

/4

c) fx[x]dx;

0

x

K

12.Seeonsiderafunetiile

1:

b) f\x2-1\dx;

a) f\x-l\dx;

lim n-H VnEN,

1

In'

b) Sa se calculeze

dx, Vn EN'.

o

I

0)

LI' In = f( 2X_X2)"

0) Calculati fX2011·/(x)dx. o

X

1

c) Calculati

lim (

n

n..•-scc 2n2 +2'n+12

• Se considera functia

I:

+

+ ...+

n

n2 +2.2n+22

[0,1] ~ JR,J

(x)

=

-.ft -

x2

n

2n2 +2.n2 +n2

).

b) Calculati

lim fxn. n ..• -scc o x

•

e) Arati ca lim X •••

I

f

xf (x) dx . o b) Determinati volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul lui Ox.

0) Calculati

I (x "fix .

-seo

fl(t)dt

E

JR.

1

x

34. Se considera functia f: [0,2] ~ JR,

I (x)

={

pentru x

x + e'

E [0,1]

pentru

x

E (1, 2]

• 131

a) Aratati ~Afunctiaj este inte~abiIA, dar nu admite primitive. b) Determinati ana suprafetei plane determinate de graficul functiei dreptele de ecuatii x = 0 si x = 2 .

f, axa Ox ~i

40. Fie sirul (In

)n~I' In

n+12x-1 =

2

lim

-'.1 __

35. Se considera

0

b) Aratati ca sirul

-

n

n-•.•.eec

functie continua

~i strict crescatoare

f :[0,2012] ~ JR.

Aratap ca

c) Calculati

(In)

g(x)=

ff(t)dt-rf(IOO6)

nuesteinjectiva.

lim n(2 -

41. Se considera sirul (In

o ~I '

In

=

n

f--dx. I x" +1

c) Sa se calculeze

t~1este descrescator, Aratali ca sirul (In t~1este convergent.

b) Aratap ca sirul (In

d) Calculati

lim

fx I

~

~ Q

n~1

a)

0

2

b) Aratati ca sirul (In

~ ~

c) Calculati

lim

n

x

.

+x+1

Bacalaureat 2010

43. Se considera sirul (In

(I n )n~'

.

a) Determinati

a) Calculati 13, 1

2 n=s»

2n-1

'Ix

N,- n> 2 .

\fnE

(I-.!+.!-.!+

3 5 7

n---Hoo

-Ir---

...+(

c

o

f (X2 +x+I)n I

39. Fie sirul (I )

n n~O'

E

e

I-)

I-

• iJ

I = n

2

0

..•

a) Calculati 10,

I:

b) Verificati daca 12 - 10 E Q

-x

. numerele

I

I =

1.

n

2n -I

E

n

0

reale a.b si c 'fstiind ca 'f

I

x3 +X2 +x +I

a bx+c x +I + -2 x -+1

= --

[0,1].

44. Se considers sirul

(In )n~O'

+ II + 10 este rational, pentru orice

- I4n+1

0

I = n

=I .

n

f x3 +X2x +x+I

0

Calculati II + 13 . b) Calculati lim In . a)

•

I d) Aratati ca lim nI n = - . n--++«> 4

. EN.

Q.

f x3 +X2x +x+I dx, 'rIn EN.

Bacalaureat 2011, model subiect

e) Aratati

ca 12n+3+ 12n+1 E JR\Q.

45. Se considera functia g: JR~ JR, g (x) 2

x +x+

n--++«>

dx

x +1

c) Aratati ca 14n+1 E Q oricare ar fi n

E

t~o'

I

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat

~

I 2

f (x) dx= 0 .

c) Aratati di numarul I4n+2

ca sirul (In t~o este convergent.

e) Sa se arate ca lim

=

b) Calculati 10,

c) Aratap ca numarul 10 +12 +...+12012.este irational. d) Aratari

(x)

c) Aratati ca Rx( x2 + I)6n+1 + X3n+2 o

In •

n

Variante bacalaureat 2009

Jf( x)dx

t~1este descrescator,

b) Sa se arate ca 12 =---12

.

lim In' n--++«>

b) Aratati ca lim fxn n--++«> o

n---H3.

.

IU

~ :E

5...: Testul4

Examen Bacalaureat, august 2012

.

Subiedull

f

1. Aratati ca log2(Ji

~

Testul5 Subledull

+ FJ) + log2(Ji + FJ) = 2.

~ 2. Calculati distanta dintre punctele j f: JR ~ JR, f(x) = x2 +5x+4 cu axa Ox.

de

intersectie

a

graficului

functiei

•

~

e

1. Determinati numarul elementelor multimii A = {x

E

Z Ilx + 11~ 24} .

2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a dreptei

y = 2x -1 cu parabola y = 2x

2

- 3x+1.

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 3x + 3X+' = 4 .

~ 4. Deterrninati rangul terrnenului care contine

Bacalaureat 2012, Model MECTS (www.edu.ro)

Xl4

in dezvoltarea binomului

(x + l yo , x > 0 .

) S. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctual A(3, 3) si este paralela cu dreapta d ~ deecuape 3x+2y-I=O.

~

~ 6. Determinati masura unghiului C al triunghiului ABC. Stiind ca BC e~ masura unghiului BAC este egala cu 45°.

=

2, AB

=

Ji ~i

,.

. . 3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia ~l + 7x = I+ x . 4. Se considera multimea zt = {I,2,... ,10} . Determinati numarul d~ submultimi cu 3 elemente ale multimii A, submultimi care contin exact 2 numere ~pare. S. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB], unde A(I, -2) ~l B(3, 4). 6. Stiind ca x

E

(0, ;)

si cos 2x = ~ calculati sin x.

Subiedul alII-lea

~

X

Subiectul alII-lea =1

1. Se considera sistemul de ecuatii (a + 2)x + ay + (a + l)z = 1 , unde a { (a+ I)x+(2a-I)y+3z =2

mx + m y + Z = 0, unde m {

E

lR .

a) Aratati cli determinantul matricei sistemuluieste egal cu 3a2 + 9a2 - 3a - 9 b) Determinap valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. e) Pentru a = -2, rezolvati sistemul.

=0

2

1. Se considers sistemul de ecuatii -x+ay+(2a+4)Z

+ my + m' z 2

m x+ y+mz = 0

E

JR .

~

'5

a) Determinati valorile lui m pentru care determinantul matricei si~temului este nul. ~ b) Aratali ca, pentru nicio valoare a lui m, sistemul nu are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu Xo , Yo, Zo numere reale strict pozitive. ~ e) Aratati cli rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m E lR . ~

!

• 147

are doua radacini distincte, complex conjugate, 2. Pe multimea IRse defineste Jegea de compozilie x. y

=~

(x + y + xy + 1) .

e) Determinati

b) Aratati ca legea de compozitie ,,*" admite element neutru. e) Rezolvati ecuatia x * x * x = 3 .

conjugate.

a) Calculati

lim f(x)

-

3x + 2 .

.

t", ' In = £ (1-

a) Calculati /z. b) Demonstrati ca sirul (In

2

x

)

Testul6

t, este convergent.

i

Subiedull

~

1. Aratati ca

~

2. Dete~ati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x parabolei Y = x2 + mx + 4 .

c(

a. :::) U U

•

a) Calculati

-

3x + 2.

f f( -Fx)dx .

b) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei g: [1,2] ~ lR,g(x) = f(x) x de axa Ox. e) Aratati ca (4n+2)

Examen Bacalaureat, iunie 2011

(v'2, .J5)nz

2

2. Se considera functia f: [1,2] ~ 1R,f(x) = x

ndx .

e) Demonstrati ca (2n + 1) In = 2nIn-I, pentru orice n ~ 2.

a:

f are doua radacini distincte, complex

C pentru care polinomul

E

a) Aratati ca functiaj'este strict descrescatoare pe (1,+00). b) Determinati asimptotele graficului functieij" e) Calculati xlim . ...•_ xf(x)

b) Demon~tra? ca functiaj'este descrescatoare pe intervalul [-1,1]. e) Determinati mE IR pentru care ecuatiaj'( x) = mare trei solutii t t' reale disti mete. 2. Se considera sirul (In

a

subiedul allll-lea 1. Se considera functia f: (1,00) ~ 1R,f(x) = In(x+I)-ln(x-1).

H_ fe-x)

iil

p2 0 , stiind ca loga x = 2loga 3- 3loga 2 , unde a > 0, a;t 1. 5. Scrieti ecuatia dreptei care contine punctul A (3,2) si este perpendiculara pe dreapta

i:i2 6 ~ .. d ~ • ."tun ca x

b) Verificati daca

E

R .

se defineste legea de compozitie asociativa x * y

{

.

-65

[1 -2 ,unde x,y,zER

si A=

x+ y+z = 28

3

1

1

1

~3 -8J

sistemului.

=

xy 2xy-x-

y+1

a) Aratati ca rangul matricei A este egal cu 2. b) Rezolvati sistemul in lR.x R x R . c) Determinati numarul solutiilor sistemului din multimea

NxNxN .

matricea asocia4

2.Fie multimea de matrice A

!)I

a,b

= {(:

c) Determinap

z,}.

E

Aratati ca exista

matrice nenula MEA

0

t'

astfel incat [

i)

3.

-1 3'

M

=

[66 06] .

(X _1)2

polinomul XI' X ' X3

2

Subiectul allll-lea

t :JR \{-l}

-+ JR,

/(x)

fn 2~.

C.

reale si m > 0, n > 0, atunci

=

f :JR -+ JR, /(x)

3

= {lx -3x+

2 .

a) Arata!i ca dreapta de ecuatie y = x este asimptota oblica pentru graficul functieij" spre +00. b) Studiap derivabilitatea functieij" in punctul x = -2.

-1

n+1

b) Aratati ca sirul

E

sunt strict pozitive.

1.Fie functia

= arctg~.

x+l a) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij" b) Studiati monotonia functieij. c) Determinati punctele de inflexiune ale functieij"

a) Aratati ca sirul

X3

subiectul allll-lea

functia

2.Fie sirul (InLI,In

x2'

este egal cu O.

c) Aratap ca, daca toate radacinile polinomuluifsunt c) Rezolvati in multimea A ecuatia X2 = 12 .

1.Se considers

XI'

a) Determinati valorile reale m si n pentru care XI = 2 + i . b) Dete.pninati valorile reale m si n pentru care restul impartirii polinomuluifla

a) Determinati numarul elementelor multimi] A. bl '/

a E R pentru care sistemul are solutie unica, 3 2 = X - 3X + mX - n care are radacinile

2.Fie m, n E R si polinomul f

. I' ln j'(x) c) Calcu Iati 1m --. x->+«> Inx

X

LI este strict crescator. (In LI este marginit, (In

2. Se considera functia a) Calculati

c) Calculati n-++oo !im n (2 - In )

f

i :JR -+ JR, / ( x ) =

cos x 2-cos 2 x

•

/(x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este strict crescatoare pe intervalul [ 0, ~ ] .

Testu 110

c) Calculati 1r x/(x)dx.

Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva

2K

Subiectull 1. Aratati ca numarul

i.J2 -1

2.Fie functiile /: JR -+ JR,f(x) pentru care

+ 2z + 3 = 0 . = 2x+ a si g: JR -+ JR,g( x) = x2 -a . Determinati a

este solutie a ecuatiei

Z2

(J g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR.

.Jx

4. ~eterminati numarul elementelor multimii A =

{I, 3

2

3

,

36,39,

•.• ,

320IO}

Examen Bacalaureat, august 2010

2. Determinati multimea valorilor functiei

•

si C ( 6, -3) .

Scrieti ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] , in triunghiul ABC.

3. Determinati m 4.Determinati

E

i .JR -+ JR, / (x)

JR pentru care ecuatia x

2

-

=

Ixl·

2

x + m = 0 are doua solutii reale egale.

numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + \i2t

5.In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2,1),

6. Calculati sin!!.... 12

.

B( -2,3),

C(I,-3)

si

D ( 4, a) , unde a E JR . Determinati a E JR astfel incat dreptele AB ~i CD sa fie paralele.

Subiectul alII-lea

{

Testu 111

1.Care dintre numerele 2if6 si 3ifj este mai mare?

2x + 1 = x + 1 .

-

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (3,5), B (-2,5)

x+ y+az

JR

Subiectull

0

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia

1.Fie sistemul

E

i

6. Fie multimea A = { 0; ~ ; ~ ;n; 3; } . Care este probabilitatea ca, alegand un element din ~ =1

x + 2ay + z = -1

, unde x, y,

Z E

JR si a este parametru real.

2ax + y + ( a + 1)z = 0

a) Rezolvati sistemul pentru a = O. b) Verificati daca pentru a = -1 sistemul este compatibil.

multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin" x + cos'

X

= 1?

~

~ w

~ ~

• 153

Subiectul

alII-lea

5. Calculati distanta dintre dreptele paralele de ecuatii x + 2y

1. Fie matricea A =

°° ° °I) .

0 [

1 OJ 1

a 670 a) Aratap ca A20lO = a

n

)(IR) . Pentru n E N*, notam B; = An + A

EO

E

+ An+2

--

subiectul

•

°.

JR pentru care toate matricele B n' n E rf sunt inversabile.

al II-lea

1. Pentru a, b, e E JR' , se considera sistemul

ax+bY+ez

=b

ex + ay + bz

= a , x, Y, z

bx+cy+az

=c

{

a) Aratati ca determinantul sistemului este !!. = ( a

M=lR\{%}. E

*)

(M, *)

(x,

este grup.

= 6, demonstrati ca functia

intre grupurile

c) ~tiind ca a2

lR astfel incat x * Y EM, pentru orice x, Y EM.

b) Pentru m = 6 aratati ca (M,

I: M ~ lR*,f(x)

= 2x-3

este un izomorfism

+ b2 + e2

y, z), astfel indit

2

x

-

ab - ae - be =

+l

i

S u.: •

~

allll-lea

2. Se considera multimea G = {( ~ :) a.b;c

b) Dati un exemplu de matrice A

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punetul de abscisa x = 0, situat pe graficul functieij" b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functieij'spre +I' -

In

"dx J--::-x_1. x +x+ I

=

0

2

b) Calculati

LI este descrescator.

2. Pentru orice

0

~i det A2 = 0

G.

E

G eu proprietatea

ca

det A

nx

E

:t;

.

G.

~ JR,I(x)

2

1'( x),x

E

n E If

=

x

JR\ {-I} .

Ieste

(-00, -I) . In : JR~ JR,In (x) = Isin nxl si numerele

concava pe intervalul

se considers functiile

In=t!.(x)dx. 1r

Bacalaureat 2010, Model MECTS (www.edu.ro)

X

a) Calculati

r

12( X ) dx .

b) Aratati ca In ~ In 2 .

Subiectull 1. Determinati partea reala a numarului complex

(Jj + i)

c) Aratat! ca In ~3..(_I_+_I_+ 1> n + 1 n + 2

6 •

...+_1). 2n

i I

U

2.Seconsiderafunctia

f:(O,OO)~lR,f(x)=~

.Calculati

(Jof)(SI2).

~

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia cos 2x + sin x =

~

4. Se considera multimea M = {0,1,2,3,4,S}.

S4

infmitate de solutii

lim In .

u VI w

~ Testul12

I :JR\ {-I}

c) Demonstrati ca functia

~

•

0

+ X + 1. x+I a) Determinati ecuatia asimptotei spre + 0.

x+l c) Calculati

lim x f(x)

.

x ...• '"

165

Testull1

estul12

Subiectull 1. Fie Z E C cu [z] = Iz - 11· Calculap partea reala a lui z. 2. in ~ctiile f, g : R ~ R, .f{x) = x2 -:- 2x :+-.3~i g(x) = -~ + 4x + a, a E R. Detenninati valonle reale ale IUl a pentru care imaginile celor doua functii au exact un element in comun. 2x 3. Rezolvati ecuatia 23x + 1 = 3 , X E IR . 4. Cate submultimi ordonate cu 3 elemente, ale multimii {1, 2, 3, 4, 5}, contin elementul I? S. Fie punctele A(-I, 3) si B(O, 4). Determinati coordonatele simetricului lui B fata de A. . 6. In triunghiul ABC, punctul D E (BC) este piciorul bisectoarei din A a triunghiului si RI R2 sunt razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ACD. Aratati ca dac~ RI =R2, atunciAB =AC.

S&lbledull 1. ~tal1 . f'

Calculati rangul matricei A2 - h.

a)

~

b) Determinati numerele reale a si b astfel incat A2 = aA c) Determinati inversa matricei A. 2. Pe multi mea G = (I,ao

= J12 + an

' n ~ 1.

e-eeo

2. Consideramj": a) Calculati

0

a) Calculati 1/ . b) Aratati ea In+1 ~ In, orieare ar fi n ~ 1. c) Demonstrati ea lim Z, = 0 .

an+1

a) Aratati ea sirul (an)n~1 este crescator. b) Aratati ea sirul (an)n~1 este marginit superior de 4. c) Demonstrati ea lim an = 4 .

1

2. Pentru fieeare numar natural nenul n definim In

= 1 si

b) Calculati

x

JR~ JR ,j{x)

1 1

eX f(x)dx

= x . e-

.

.

f(x) dx .

c) Demonstrati ea lim x->o

r

f(t)dt 2

X

1 =- .

2

z CC :E

•

•

176

17'1

Testul23

restul24

Subiectull

1. Calculati (1 + ifi )(1- ifi + if4) . 2. Fie functia f: JR ~ JR, f(x) = 2+3x. Caleulatij{-10) .~

3. Rezo I vati

1!l)

ill ~

8..-+1

h

ecuapa

=

41

-x

5&lblectull

+ j{-9) +...+ j{9) + j{1O).

1. Calculati partea ~intreaga a numaru lui Ul

2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ea abseisa varfului parabolei f: JR ~ JR ,j{x).= ~ + mx +~1 este ~gala eu 2. 3. Rezolvati ecuatia smx = -1 ill multimea numerelor reale.

.

4. Rezolvati in multimea [0, 21t) ecuatia sinx = ~ . 5. Aratati ca veetorii VI = 7 + 8 J si v2 = 47 - 7 J au module egale. 6. Calculati perimetrul triunghiului ABC stiind caA = 120°, AB = 3 ~iAC

4. Determinati termenul din rnijloe al dezvoltarii (1 + ifif = 7.

~2

E

JR eu sina

u:: I-

c) Aratati ea (A

a:

i

5u:

·

2. Polinomulf

+ BY

=.x - X-I

[0

Z

-e ii: 1&.1

~ ~

• :J

+ en, orieare ar fi n

E

b) Calculati

E

N·.

qX] are radacinile eomplexe

X" X2, X3'

x; + x~+ xi . + X2)

= -2.

1. Consideram functiaj": (-1,

(0) ~ JR ,f{x) = r! - 1 -In(x a) Calculati derivata functieij" b) Aratati ea functiaj''este convexa. c) Demonstrati eaj{x) ~ 0, orieare ar fi x E (-1, (0).

2. Consideram functiaj": (0, (0) ~ JR, f(x)

~

·

a) Calculati

+ 1).

U

Z

o z -e

~

1] 1

[1

°

0]

° °.

si 13 =

1

001

a) Determinati rangul matrieei A2. b) Aratati ca inversa matrieei h - A este h + A + A2. c) Calculati inversa matrieei 13 + A. 2. Pentru fiecare numar natural nenul n consideram polinomul f" = a) Determinati radacinile eomplexe ale polinomuluij]. b) Aflati catul impartirii polinomului S la polinomulji. c) Demonstrati eafi dividef" daca si numai daca 3 nu divide n.

r +X' + 1

a) Aratati ea a ••, - a • 2

2

E

C [x].

~.!., orieare 2

ar fi n ~ 1.

2

2

.!..

c) Demonstrati ea lim a. = 00 •

x

.-+00

ff(x)

2. Fie functiaj": JR ~

dx .

,

b) Calculati

JR, f(x)

= _1_2

l+x a) Scrieti 0 primitiva a functieij"

.n

::t:

~

tg a.

2

1&.1

-e

= _1__

x+I

1&.1

""ci

°°

v2 = 27 - 3J .

b) Aratati ea a • ~ 1+ ~ , orieare ar fi n ~ 1.

1&.1

:i

1

~i

Subiectullll ., 1 1 1 1. Consideram sirul a = 1+ - + - + ...+ - , n ~ 1. • 2 3 n

Subiectullll

U

'"

=

Calculati

.

2

000

a) Aflati restul impartirii luifla polinomul Y - 1. c) Aratati eaj{xi

:J

= An

= 0,6.

sublectulll

1. Fie matrieele A a) Aratati ea rangA + rangB = 3. b) Rezolvati in JR ecuatia det(A + xB) = 0.

v, - v2 , unde v, = 7 - J

5. Caleulati lungimea veetorului 6. Fie a

Subiectulll

1. Consideram matricele A = [ :2

J21_ 2 .

f, f(x

2

)

dx .

c) Determinati valorile lui a E (1, (0) pentru care

b) Calculati

f" f(x) dx

Jt/a

= -1.

c) Calculati

1 1

xf(x) 3

x f'(x)

dx . dx .

.

i I

< U ~

:::E

1&.1

~

:::E

•

•

178

17!i

Testul25

Testul26

Subiectull 1. Aratati ca 100'g7 EN.

subiectull

1. Determinati Z E C stiind ca 2. Aratati ca dreapta de ecuatie

2. Determinati punctul de maxim al functieij": lR~ lR,j(x) = _x2 + 2x + 1. 3. Aratati ca functiaj": lR~ lR,j{x) = x3 + 1 este injectiva. 4. Cate diagonale are un poligon convex cu 10 laturi? S. Calculati distanta de la punctul A(l, I) la dreapta determinata de punctele B(2 3)

C(-1,5). 6. Calculati

' raza cercului circumscris unui triunghi ABC cu AB

Subiectulll

I.Considernmmatricele

....I W a: I~

o ~ ....I

..:(

~

::::>

A=[~

=5

si m(

u VI w

~

Subiectullll

1. Consideram functia J: (0, 0, oricare ar fi x E lR .

Calcu1ati modulul numarului complex z == -3 +4i. ~ Aflati punctele de intersectie ale graficului functiei f: IR ~

3. Rezolvati in IR ecuatia arctg(x + 1) ==

Ox•• Rezolvati ecuatia logec == log252x.

tr .

4

.,.

4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ca n + 135 == C; . 5. Aratati ca unghiul vectorilor ii == 7 -

6.ln triunghiul ABC avem AB

==

5, BC

3]

3

2

•• Calculap C7 - ~ • 5. Aflati a E lR stiind ca dreptele d, : x - 2y == si d2 : ax + y + 5 == 6. Fie x E R astfel tncat sinx + cosx == 1. Calculati sin2x.

°

si V == 27 +] este obtuz.

== 6, CA ==

•

7. Calculati lungimea medianei din A.

COSX

1. Pentru fiecare numar real x consideram matricea A( x) == Si~x

-sinx co; x

OJ ~.

I. Consid,- matrice

A

= [ ~l

a) Calculati detA(x), x

E

lR .

b) Aratati ca A(x) . A(y) == A(x + y), oricare ar fi x, y

E

lR.

t-

~

c) Determinati inversa matricei

Q

u.: ~

f

2. Consideram Xl. X2, X3 E

A(

tr ).

4

ecuatia cu coeficienti reali 2x3 + x2

a) Rezolvati ecuatia pentru m == 0. b) Calculati

'}

c) Determinati m

2 Xl

+

x; + xi . E

IR stiind ca X'X2 == 1.

a: 1&1

I:L.

CII

ffi

x a) Aratati ca functia este strict monotona. b) Determinati asimptotele graficului functieij" c) Calculan ~~(f(I)+ f(2) + ...+ f(n». 2. Fie functiaj": (0, oo] ~ lR ,j{x) == lox.

~

"'"

a) Calculati

o

b) Calculati

1&1

~

o a: Q

Z

13x + m == 0, avand radacinile

. I

I

r

f(x)

1-+0 1>0

r' f(x)

l

dx == -1.

X2, X3,X4·

1

f(x)==

{InX, x-I

x#1

.

I ,x==1 a) Aratati ca functia

f este

b) Calculati lim f(x) - f(l) x-e l x-I c) Aratati caf'(x)

continua in punctul x == 1. .

::; 0, oricare ar fi x > O.

2. Fie M multimea functiilor continuef:

dx .

rex (f(x) + ru» dx .

c) Aratati ca lim

I

== In 1 + x .

~ ;; ~ ~

1

a) Calculati detA. b) Determinati valorile lui a E Z pentru care rangA == 2. c) Calculati £' pentru a == O. 2. Consideram polinomulj'e A" + X-X + l e C [X] cu radacinile complexe r., a) Calculati restul impartirii lui f la polinomul g == X2.

. f 1. F ie :(O,cx:l)~lR,

Subiectullll 1. Consideram functiaj": (0, co) ~ R, f(x)

M3(Z).

Subiectullll

~ ~

sunt paralele.

b) Calculati -+-+-+-. XI x2 X3 x4 c) Aratati ca polinomulfnu are nicio radacina reala.

C.

5

-

2 OlE aJ 3

[

i

°

subiedulll

Subiectulll

~

IR, j{x) == ~ - 3x + 2 cu axa

[0, 1] ~ lR cu

If

(x) dx == ~ .

a) Aratati ca functia g : [0, 1] ~ R, g(x) == x apartine multimii M

b) Functia h : [0, 1] ~ lR , hex) == x2 + X + a apartine lui M Determinati a E lR . c) Demonstrati ca pentru orice functie f E M exista c E [0, 1] astfel incatj{c) = c.

-e

~

•

•

184

185

Testul31

1estul32

Subiectull 5&lbledull

1. Fie a = ~1024 , b = if4 si c =.J4 . Verificati daca ab = c4• 2. Determinati imaginea functieij": [1, 2] ~ IR ,j{x) = 2x + 1.

.12 1.CalculaP modulul numarului comp ex z = l+i .

2)X (5)X+1 = 0 . ( 5" -"2

3. Rezolvati in IR ecuatia

4. Determinati numarul elementelor unei multimi M stiind ca Mare 32 de submultimi cu un numar impar de elemente.

J3 .

s. Fie ABC un triunghi echilateral de latura Calculati lungimea vectorului 6. Aratati ca sinx . sin(x + n) ~ 0, oricare ar fi x E IR .

1. Fie matricea A

= [~ o1

OJ 1 .

o ....• III

i::l Q

~

a) Calculati

1. Fie matricea A = (~

A3 .

b) Determinati rangul matricei A . AI, unde AI este transpusa matricei A.

exista nicio matrice B E M3( C) cu Jil = A. 2. Consideram polinomulJ= (Xo _2)10 -X -2 E C[X]. c) Demonstrati ca nu

c) Demonstrati ca polinomul g = XO

Subiedullll

ii2

1. Fie functiaj": IR ~ JR ,j{x) = x . e-x. a) Calculati limJ(x).

.

~

a~

Z ~

-

c) Demonstrati cap)(x)

= (-Ircx

2. Pentru fiecare numar n EN'

b) Aratati

Q

Z

c

:E

b) Aratati ca A2 - 12A + 36 e) Determinati matricele

daca

X,Y E JR}.

.

h = O2.

B E M2

(JR) cu proprietatea cii

= {cosq1r+

x, Y EM,

~)i

B2

+B =

A .

I q E Q}.

isinq1r

atunci xy EM.

-n) . e-X, oricare ar fi n EN'

notam 1n =

este morfism de grupuri.

1. Consideram sirul (xn)n~1 definit prin ~ = ~ si xn+1= x; - 8xn + 20, n ~ 1.

r'~

~i x E JR.

a) Aratati ca xn ~ 4 , oricare ar fi n ~ 1.

b) Aratati di xn+1- xn ~ 0 , oricare ar fi n ~ 1. dx .

k2x+3

C

s

1) ~i

Subiedullll

b) Aratati ca J(x) ~..!.., oricare ar fi x E JR. e

a) Calculati 12•

z

si multimea M= {( ~

a) Aratati caAX =XA, oricare ar fi X EM

a) Aratati ca

X->CC

2. Fie polinomul P = X4 +3X3

I aE(-I,OO)}.

c) Aratati ca functia j": (0, (0) ~

l l'

b) Aratati caAC = CB. c) Demonstrati ca B" = C-' . An . C , oricare ar fi n E N* .

5

2. Fie M={(I+2a

1)

a) Calculati C-' .

i

~

(01

dx

f"/2

1

a) Calculati

1 --

b) Calculati

!

paralela cu

fW

dx .

= .JI- x2 .

~

x .JI- x2 dx.

c) Calculati aria subgraficului functieij.

.

18

estul36

Testul35 Subiectull

°

1. Consideram progresia aritmetica an = 1 + 7n n> 1 Calculati . '1 t' suma pnnu or 1 terme . 2 Aratati fi ' - . • atap ca gra Ice1e functiilor I: lR. -+ JR ,j(x) = x2 si g : lR. -+ lR. g(x) = _ 2 Ill. au puncte comune. ' 2x + 4x -7 nu

3. Rezolvati in lR ecuatia cos ( x - ; ) = cos ( 2x + 4. Determinati n

2

N stiind ca n

E

5. _Fie 0 punctul

de intersectie

,

d2. '2x-y-l-0

1 Calculati determinantul

b) Determin at,ti m

E

l!l>' ~

para 1e 1ogramului

ABCD.

Calcu1atl' t

t'l

=

c) Rezolvati sistemu1

o

2

-1

-1 .

-3

m

-1

=

2x - y - z = {

~

-

~I'd' 3. -

3X + my - 1 = 0, cu m

-3x+my-z

M={[a+b..fi

°

°

d .:.

is

~ o

!i

=

°

b a-b..fi

1

a,bEQj.

1. Pentru fiecare a

E

(0,00) \ {I} consideram functia

a) Calculati 1:(0).

L,

a) Calculati

C

b) Aratati CaJlt+l s In> 'in~ 1. c) Demonstrati ca sirul (In)n~1 este convergent.

• 190

3

I = X3

-

6X2 + 3X + m

E

qX] , avand

la : IR -+ JR, !, (x) =. aX -

Aratati ca functia

I este

strict crescatoare.

b) Demonstrati ca exista c

x-I

radacinile

XI. X2, X3 E

Calculati ~X2 + X2X3 + X3~ . b) Determinati m E C stiind ca radacinile polinomului sunt In progresie aritmetica. c) Determinati m E C stiind ca ffidacinile polinomului sunt in progresie geometries.

II)

II)

a'

>1 ,n_.

~}

1. Consideram functia I: (0,00) -+ JR, I(x) = x+lnx.

b) Dete~nat~ va1o~le 1ui a pentru care graficu1 functiei are asimptota la +00 c) Determinati va1on1e 1ui a stiind ca!a(x) ~ 0, oricare ar fi x E IR . . 2 . Fie I = rsinn~dx n 2

1. Considemm matricea A ~ ( ~

Subiedullll

Subiedullll

z

:E

ABC avem AB ==2, A(: ==3 si A = 120°. Calculati raza cercului circumscris

2. Consideram polinomul

stiind ca drepte1 e d I. d2, d3 nu sunt concurente.

b) Aratati caXY EM, oricare ar fiX, Y EM c) Demonstrati M formeaza ine1 cu adunarea ~i inmultirea matrice1or.

i

•• in triunghiu1

Calcu1ati A . b) Determinati inversa matricei A5. c) Rezolvati ecuatia X2 = A in multimea M2(JR) .

y

~

z

IR .

°

a) Aratati ca X + Y E M, oricare ar fi X, Y EM

;;

cto = C; + C~ .

50 Determinati distanta dintre dreptele paralele d-: y = x si d2: y = x + 1.

II)

ffi v ~

E

1 -2

stun d ca drepte1e d., d2, d3 sunt concurente. x+ y-2z

2.Fiemu1timea

A

triunghiului.

.

u:

~

cu prima bisectoare a sistemu1ui de coordonatexOy.

subiectulll

1.Sedaudrepteledl:x+y-2=0

;

I

N n divide 12}. Determinati

nUIllarul elementelor multimii A-B.

•• Determinati va1ori1e lui n pentru care

al diagona1elor

E

J. Determinati coordonate1e punctului situat la intersectia graficu1ui functiei I :R -+ R , •

Subiedulll

. 'S f

multimile A = {l, 2, 3, 4, 5, 6} si B = {n

ti 32x+1 9x 36 J. Rezo1vap ill ~l!l> ecuapa + = .

OA+OB+OC+OD. 6. Calculati raza cercului inscris in triunghiu1 ABC in care AB ~ AC = 4 si BC = 6.

a)

,.

I(x) ==1x-21-4,

c;.

4n =

-

f) .

Sllbiedull consideram

1), astfel incatj(c) = 0.

+ ...+ I(n)

.IC 1 1 . li 1(1)+/(2) a cu atl im

CJ

E (~,

n

n-+CXl

2

•

2. Consideram functiaj": (0,00) -+ lR, I(x) = a) Calculati b) Calculati

r r

I(x)dx 2

xl(x )dx

c) Calculati 1im x-+oo

. .

rx l(t) dt . 1

; . x(x +1)

C.

Testul37

restul38

Subiectull

blectull

1 J3. 1. F·ie Z=-+-IEC.

2

Aratati ca Z2 +Zatape(l

2

1ll>

Ell'!..

2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ell x + X + m ~ 0 , oricare ar fi x

.

5. Simetrieul punetului A(1, 2) fata de B(4, a) este C(b, 4). Calculati a + b. E

IR eu tg x = ~.

E

JR.

2

~etul

V(-1, l) este varful paraboiei y = x + ax + b. Calculati 2a + b. 1 . . 12r Rezoivap ecuatia g =. Determinati numarul functiilor s~et monotone I: {I, 2, 3, 4} ~ {1, 2, 3, 4: 5}: I)reptele d, : y = x, d2 : y = 2x + 1 ~I d3 : x + ay + 1 = 0 sunt eoneurente. Determinati a. S. Fie ABC un triunghi in care A = 30°, B = 75° si AB = 4. Calculati raza eereului 6. eireumseris triunghiului.

2.

!:

I(x) = l+x4 este surjectiva,

4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1 + J3)'00

6. Fie x

Calculati tg (x + ; ) .

subiectulll Subiectul "

1. Consideram matrieele A =

1. Fie A matrieea patratica de ordin 3 eu toate elementele egale eu 1. a) Calculati det(A - 313)' b) Aflati n E N stiind ea det(An + 13) = 82. •...• c) Determinati inversa matrieei 13 + A. 1&1

~ i

:I

~ mu Ipmea . 2. C onsiid eram G=

{(a -5b- 4b

Q

.

u:

a) Verificati daca matrieea ( 0

5b a + 4b

JIa

2

1 b) Dernonstrati ea B" = ( 0

}

+9b2 = 1 a b e JR ' , .

apartine lui G.

1.Considerlimfunetia/:JR~

~

a) Aratati ea functia

a ~ ~

ffi

a) Calculati b) Caleulati

r

c) Caleulati

!~

o ~

< ~

• 92

£ I(x)

dx .

I(lnx) dx. x n2 fl/(x) dx .

:) verifica XA = BX

2n) • 1 ' orieare ar fi n EN.

E

qX],

avand radacinile complexe x, X2, X3· g = 2X -1.

b) Calculati (1 - x,)(1 - X2)(1- X3)' . 1 1 1 c) Calculati -+ -+ -. , I-Xl l-x2 I-Xl Subiectullll 1.Consideram

functia I: JR~ JR, I(x) = x+sinx.

a) Aratati ea functia

I este

b) Aratati ea functiaj'este

1 x2 +3x+2

2.Fie/:[0,oo)~JR,/(x)=

1&1

~

I este

strict crescatoare. b) Aratati ca (r + 1)f"(x)j{x) = f'(x), orieare ar fi x E JR. c) Determinati asimptota grafieului funetiei/eatre +00.

II).

~

JR, l(x)=x+.Jx2+1.

~).

a) Determinati catul si restul impartirii luij" la polinomul

:I ~ Subiectul III

~

~i B = (~

c) Calculati A' 00. 2.Fie polinomul 1= 2Xl -3X2 -X +5

5 b) Aratati ea daca X, Y E G, atunei XY E G. c) Demonstrati ea G formeaza grup in raport eu inmultirea matrieelor.

~

(~1~)

a) Aratati ea matrieea X = (~

~J

-1 -

.,

si B au fieeare eate 7 ~le~ente, tar rnultimea A v B are lO elemente.

1. D terrninati numarul eiementelor multimii An B. 2

3. Aratati ea functia I: JR~[I,oo),

A

SII Multirnile A

2.

strict crescatoare. surjectiva.

:.~~m:.:::~::f:~:: :=;'1:~]~ n:

R, f.(x) " {s:~n: ' n,

x=O

r /,,(x) dx, pentru once . Notam In = 1 n E N*. l2

a) Calculati

h

b) Aratati ca I t

c) Calculati

2 n+

hOI3 .

2 . (n+l)1r. fi I = --sm , oneare ar I n n n +1 2

"'T*

E 1'1

.

• 193

Testul39

1estul40

Subiectull

J2

1. Dati exemplu de numar real x astfel Incat + x sa fie nurnar rational nenul. 2. Pentru ce valori reale ale lui m functia j: JR~ JR.j{x) = U + mx + 3 este crescatoars pe intervalul [2, oo)? 3. Determinati valorile reale ale lui x pentru care arcsin x ~

4. Determinati n EN' astfel incat 7· n! < 1000. s. Fie punctele A(1, 2), B(3, 1) si C(-1, 4). Calculati lungimea medianei din A in triunghiul ABC. 6. Demonstrati ca sin 4 < O.

1. Fie matricea A = [~

~

101

~J.

e) Determinati

-s-ea;: Q.

0

E

(

3

.

= O,j{I) = 1 ~1j(2) = 8.

1)6

x +x

-

S.Consideriim puncteleA(l, 0), B(3, 2), C(-I, 3). Calculati cosinusul unghiului BAC . 6.Determinati sernnul numarului cos2 . cos4.

[1

1 OJ 0

1 .

010 a) Calculati £1. b) Aratati ca An - An-2

JR pentru care A3 = uA2 + vA . E

2. Consideram polinomul j = X3 -6X2 E

~ din dezvoltarea

1.Consideram matrieea A = 0

matrice nenula X

a) Determinati m

terminati coeficientullui 4. D e

sublectul /I

a) Calculati rangul matricei A. b) Determinati u, v

Determinati a E JR stiind ca (a, a + 1) (\ (0, ~~;t 0. t rminati functiaj": lR ~ lR de gradul2 stiind caj{O) 2 :z.De e . . Rezo1vati in lR ecuatia Sill 2x = 2 cos x.

1.

3.

1i .

4

Subiectul "

SUbledull

Q stiind ca X-I

M3 (JR) astfel incat AX = 03, +9X +m

E

Q[X].

5

b) Determinati radacinile polinomuJui pentru m = -4 .

';!

e) Aflati valorile lui m e Q pentru care polinomuljare

0

radacina dubla,

orice numar natural n ~ 2 .

c) Calculati A 100.

2.Fie M={(:

divide f.

= A2 - 13 ' pentru

3:) I

a,bEQ}CM2(Q).

a) Aratati ca X - Y E M, oricare ar fi X; Y E M. b) Aratati ea X· Y E M, orieare ar fi X; Y EM.. e) Dernonstrati ca M formeaza corp lmpreuna cu adunarea

A

~l

•

•

inmultirea matncelor.

=> ~

Subiectullll

~

1.Consider1imfunctiaj:JR~

a:

Subiectullll

~

a) Aratati ca functia j nu este derivabila in x

~

b) Calculati f'(x),

w

~

ffi

x

4

JR, j(x)=~(x-I)2(x+I).

E

E

1.Fie functiaj": JR~JR ,j{x) =x -IU 2 a) Calculati lim(~j(x) _x ).

{-I, I}.

x-+

JR\ {-I, I} .

b) Determinati punetele de extrem ale functiei.( . e) Determinati punctele de inflexiune ale functieij. 2 2.Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, j(x) = .Jx + 1.

e) Determinati punctele de extrem ale functieij" 2.Pentru

p,qEN,

p,q~2,notiim

I(p,q)=

1xP-1(l-x)q-1

dx.

II).

.

c:i

a)

w X u -e Z

b) Demonstrap ca Iip, q) = I(q, p), oricare ar fip, q ~ 2.

Calculati 1(3, 3) .

e)Aratatica

+1.

p·I(p,q)=(q-I)·I(p+I,q-I),oricarearfip,

a) Calculati q EN,p~2,q~3.

1

j(x)·

f'(x)

dx .

b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia grafieului functieij in jutul axei Ox. e) Calculati aria subgraficului functieij,

o cr:

Q

Z c(

~

• 194

•

19

Solutii Ml ~ Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE

Tema 1.1

(dasele

c) Propozitia

este

falsa,

pentru

2. Propozitia este falsa, contraexemplu

x = I + J2

egala

[ v'2012 ] + (2 +.J2). {-J2}

b)

cu

3.

a)

[_I +_1 + ... + 1 ] =[I-.!.+.!.-.!.+ 1·2 2·3 2012·2013 2 2 3

=44+3(

e)

2.

-1))

~I-(

[(../3 +v'7t]

2012

\;;fyE lR

elemente. 22. .

= 44+ (2 + .J2)( -J2 c)

= 3·1 +5 ·2+7

+ 2) = 42.

Presupunem

o2=3+2b2-2b.J6

3 ·3+ ... +19·9+10

=>(x,y)=(O,O).

24.

7.

a)

~i

a) deci

9.

[-a + b] = 0 => b ~ a.

avem

Pentru

[X+±J=k+1

x

;to

0

inecuatia

Pentru

(m

2

-I)x

10.

{XElRl(x+2)(X2-4)~0}={-2}U[2,+oo),

11.

A=[I,I~l

deci

B={0,1,2}

~i [2x]=2k+l, x = -b,

+ 2:5 0

are deci

cu

maximul

A = (-2,2) => A nB nZ = {-I} . 14. card(A) =26, card(A)+card(B)-card(AnB)

contradictie.

X2+3XY+4l=(x+Y~J

+13{

26. a) . x2 + l

+(Z_I)2

+ Z2 - (xy + xz + yz) =

Fie

egalitatea

kEZ. este

.

Pentru

evidenta,

=34. 15. ~=0,(142857)

eel

[a - b] = 0 => b :5a. putin

elementul egal

cu

0

Pentru

cautat 2.

12.

card(B) =17, eard(AnB) =>eard(A)=6.

in final

solutie, este

ca,

daca

x E A,

atunci

23.

(../3 -

=>

= a =>

bJ2f

r+2xy+2i=(x+y)2+i=0=>

M

cu

AnN={1,2}. =9

~i card(AuB)

16. 141=0,(36)

~O, \;;fX,YElR.

=0 =>x=-2,y=-3,z=l=>x+ (x - y)2 + (x - z)2 + (y - z

avem

trei

~

ifb = 0 => a = 4,b

= 2,

cazuri:

b) ~

if].

< .J2
. x = y = z.

b) in a)

a) Se aplica inegalitatea mediilor pentru numerele

a+b~2.,Jab,

b+c~2Jj;

si a+e~2~

(,----;)2 "X -I -I

I r=: - ~ x ~ 2" x -I ~ 2

~i obtinem

'....

~ 0 . b) Impartim megahtatea

v'x -I + ~ y -I :5 I , care este adevarata din a). 29. Cum Fa , ~~o, x y

Fa = 0,

ifb = 2 => a = O,b = 16

sau

~ =1, ~ =1=>a=l,b=1

= O. Deci A = {(0,16),(1,1),( 4,0)}. 30. De exemplu

si b = -.J2 .32. c) .!. < 2

n

25.x2+y2+z2+4x+

De exemplu (0,1,9).33.

J5 < .J3

I .J2 = 3- 2

.J3 +.J2

a) In2 [X]=k,

Prin

c)

luam x = a, y = b ~i z = 2 , deci a = b = 2.27.

{{x+y}+z}={x+y+z}={x+{y+z}}.

XE[k,k+±)=>[X]=k,

;to

{../3}=../3-IEA.

sunt irationale, iar suma lor este

... +_I_-_I-J =0. 2012 2013

.J2]+ ... +[.JiOo]

X>I~~E(O,I)~[~J=o.

b)

si y = 1- J2

= 10+[ 2.J2l] = 19.4. a) XE [k,k +±}

b) {x} = ~ => B = { -: ,~,~}.

6.

[.fi]+[

= 46. d)

x2 + y2

x = 1000

=l+../3EA,

x" E A, \;;fnE N· . Fie acum x =../3 -I,

x = 2, 5 si y = 2,5 . b) Propozitia este falsa, contraexemplu

contraexemplu

21. a) ~4+2../3

xy = ac + 3bd + ../3 (ad + be) EA.

IX-X)

Multimi de numere. Multimi ~ielemente de logicii matematica

1. a) Propozitia este falsa, contraexemplu x =.!.. 3

OE{4,5}.

lema 1.2

Funqii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)

4n + 4 4n 12 0 d . . I ( ) • a = ---=( )( ) > , eCI siru an >1 este crescator. n+4 n+3 n+4 n+3 ne

-2.

1

13.

2. an+1- an = (n + 1)2 - (n + I) - n2 + n = 2n > 0, deci sirul

=

• an+1

3.

-

n

1 = __ I + __I + ... + n+2 n+3 2n + 2

n" I

este crescator. b) xn+l - x, =

a)xn+1-x

deci suma deci sirul (xn)

10 cerutliesteegalacu 10. 17. - =0,(769230) =>al +~ +"'+~OI2 =335.(7 +6+9+2+3+0)+7 +6=9058. 13 18. Numerele I ~i 2 sunt printre radacinile ecuatiei x2 + mx + 4 = 0 , deci m E {-5, -4} . 19. Solutia 1. lnIocuind solutiile I si 2 in ecuatia x2 + mx + n = 0 , obtinem sistemul m+n+I=O { 2m + n + 4 = 0 => (m, n) = ( -3,2) . Solatia 2. n = XI. x2 = 2 ~i -m = XI+ x2 = 3 . 20. Observam ca solutiile intregi ale ecuatiei se gasesc printre divizorii lui 4, deci solutiile posibile sunt 1,2 sau 4, adica

e st e

descrescator.

c)

n I v4. a)xn = ~k(k+I)(k+2)

xn+1- xn = (

n+2

I(n I =2 ~k(k+l)

und e marginirea .. . I' b) ~ 21:+1 2 siru U1. ',I x" = L.. k=lk(k+l)

I )(

(an)n~1

I

I

n+I

n+2

este crescator,

I ... __ I = = __ I + 2n 2n + I 2n + 2

rn+2 1 Fn+l ~ n + I + .j;;n < 0, n+2+ n+I n+1

) > 0,

deci eCI

n 1 - ~(k+I)(k+2)

~ ~-_1-2J=I-_1_2 trl..,k (k+l)

)

siru I

>0,

n+I

deci sirul (xn LI

()Xn n,,1

I( I = 2 1- (n+2)(n+3)

(n+l)

I

este

)

crescator.

( I) d E 0'2 ' e

E(O,I). c) Xn=_1_ E(O,I). n+1

l'

5.

a)

b)

Fie r ratia progresiei.

= 18r = 36 =:> r = 2. Os = 00 + 5r = 7 =:> 00 = -3.

023-05

0n=2015=-3+2n=:>n=1009,

deci

=6~1(02+02012)=671.2011=1349381. al +0:1+as +a6 =30=4a1 +llr=>al

2015=01009.

6. Fie

r

ratia

c)

013 = 00 + 13r

T=02+0S+0g+

progresiei.

04-a2=4=2r=:>r=2.

9. 2{Z-°+2 +1) =20-1+ 20+1 +1,

~i notand

~

20=1>0

1)2013

obtinelll

1- --2 (

4 ) / 8 2 ( -+1 =-+2t+1=>/1=--'/2=2,

ecuatia

/

2

tenneni, deei 1+4+7+

5

• 10. a) In suma sunt

a=1.

... +100=3 4(1+100)=1717. 2

503 2+ 6+ 10+ ... + 2010 = -(I 2

deei

deei

b) In suma sunt 201~-2

+ 2010) = 503 ·1006 = 506018.

100-1 --+1=34

+1=503

tenneni,

suma

sunt

2n + 3 - I . d . () ( )2 • . 2 + I = n + 2 tenneru, eel I + 3 + 5 + ... + 2n + 3 = n + 2 . d) In suma sunt n termeni, deci 1+ 5 + 9 + ... + (4n

-3) = ~(4n

2 2 1+ 3 + 5 + ... + (2n -I) = n .

....I W

a: I-

4n-3,

.

x=2n-l,

>< ....I -e a.. ::::I V

.

12.

obtinern deei un sir in progresie

~

::::I o u.:

- 2) = 2n2 - n .

n~l.

11.

Suma

1+3+5+

este

2(

egala

ell

echivalenta

eu

I) 2

122 -1 = II ·13

evident

...+(4n-3) =~(l+4n-3) 2 ... +(2n-I)=n2=225=>n=15=>x=29.

. . . . Fie q ratia progresiei geometrIee,

x+J =-2-(3x)=45=>x(x+I)=30=>x=5.

d)

= %(3n + I) = 57 => n = 6 => x = 17.

Fie

x=3n-l,

14. Ratia progresiei

c) x+(x+I)+

... +(x+x)=

2+5+8+

... +(3n-I)=

n~l.

aritmetiee este egala eu 3, primul tennen

9

termeni,

r < 0, 3k e N' :

ak+1

ca

Presupunem

I-l

S8 = bo-l-q

deei

=

al

q e

alO=28.

15. a6+aI6=a3+aI9=10.

21 => al + a21 = 4. al +Oz +···+Ozl =-(al

2

;;

~ ~

=

10 +Ozl) =42. b) Oz+a4 +···+Gzo =-(Oz

2

17.a) al +a4 +an_3 +an =2(al +an) =300=> al +an = 150. b)S3n=9Sn=>

2

=>al

=.3

S; = ~(al

. b=-2-a + c ~I.

18

( a+

2

=>r=2al

2

2 b =ac=>ac=

+Gzo)=5(~ +azd =20.

+ an) = ~ ·150 = 600 => n = 8.

2

3n(2al+(3n-l)r)=9n(2al+(n_l)r)

a: ~ c}

16. a) Oz+a3+aI9+a20=8=2(al+0z1)=>

C)2

-2-

()2 => a+c

~i 2b = a2 => b = 512.

=4ac=>(a-c)

2

=O=>a=c=b.

19. a -17 = 17 - 2 = 15 => a = 32

~

a+b+

~ Z ;

par, de unde eoncluzia. 21. (x _1)2 = X + 5 => XI = -I, x2 = 4, deei x = 4. 22. Cum aeR' =>4 ,-Xi ;cO

•

24. Sirul este

198

C

20. Fie q ratia progresiei

0

progresie

geometrica

eu ratia 2, deei

(aa)=1

,

Daca x=l,

29. Daca

x;c I,

2

Q\Z

.

Fie

peN

.

Tennenii

= 511 .

q=-

Avem bp+2""

din

(

1-

-S1)12 (

_.!.

a

este echivalenta

a2

32.

serierea

suma

eu

egalitate care se verifica irnediat.

=>bo=1

al = r e Z.

-

a) Fie q ratia

b2=4.

Daca

ea

fractie

b) Suma

ca

presupunem b

Q.

q = ~ e

si

a>1

ireductibila,

b

=os"

36.

) =

din enunt este

+ kr < 0 contradictie. Deei r ~ O. 33. Ratia progresiei este

9 2 -1 + ...+29+9=22_1 +9=1031.

S2:: 1;(1(0)+

egalitatea

egalitatea

I

bP+1

bP+1

(2 SI=31-3+3 S2

•

=aPa--=a--IlN,eontradletle.34. aP+1 a

ratia progresiei, deei ~ = q2 = 4 => '" = :~ =% => ~ = "'q6 = 96.35.

=2+2

b=

=4=>q=2

-3

sunt

1(11)) =210 .37. a) SI =(-5)+(-5~+

in

3

1(2)+

+ ... +3

progresie

... +(-5~+

10)

+

I{ 22)+ II

=

•

•

Fie c ... +

31-(-3)" 1-(-3)

aritmetica

1(50) =-125+250-1

eu

I{ 29) = +11-

ratia

3,

=124.

25-ori

geometriee.

= a{1 + q + q2) = a[1 + q(q + I)J ~i cum 1+ q(q + I) este numar par, rezulta ea a este numar

. xi = 3XIX2=> x2 = 3xI => XI + x2 = 4xI = 4 => XI = I => a = 3. 23.Avem

"

:: ~(1 + 311) + 11.

~

o

"=aP·a

UJ

parte

... +--wi2 = 2

1-

b3 +b4 b3(I+q) 2 -= ( ) = q = 4 => q = 2 . 31. b, +b2 bl l+q

U

este I, deei

alta

1 III s = 1--+---+ 2 4 8

(I-XZt -xl(1-4 =( l-XI)(I-}3),

n = II => x = 41. b) Fie are

de

5

adevarata.

b4-bo=bo{l-I)=bo{l+l){q2-1)=3{I+l)=15=>l

=2n2 -n=23I=>

din suma este

Pe

5

progresiei.

a termenilor

s > 1.

1 I-IT 5 I a=_5 =-(I-IT)e(I,2)=>[a]=I; I-.!. 4 5

aritmetica,

13. a) Forma generals

Evident

27.

in final [a]+[b]=l.

1-;ZJ2 _Xl = I_Xl .1-}3 => ( I-x I-x I-x

•

26.

( 1-- 1) _ 28. 2013 3 2 3

==~(J+5!2)e(0'1)=>[b]=0.

30

=> q = 2 => b, = 3.

an+1= (al + a2 + ... + an+l) - (al + a2 + ... + an) = 2n + 2 => an = 2n ,

Fie x=4n-3=>1+5+9+ n~l.

ceruta

l

6

I 101 1__ 2_-2 I 1__ 2

=_

==-;_(_~)

3

c)

b3 = 24 =

geometrice

I I I -1+-+2"+···+---uiQs= 2 2 2

=0; -Xi =3.

=2. ~ = ~(~ +".!J)=420. 7. 2(x-l)2 =x+(x+2)=>4

8.2(I-x)=(x+I)+4=>x=-1

= 23.

... +02012"=

b) Tennenii sumei sunt in progresie aritmetica, deei S2 = ~(J(O)

2

3

9

c) S3 = 5( 1- 2 + 22 - 2 + ... - 2 ) = ~(1-

210)

+ 1(50)) = 51·124 = 6324 .

•

xi =4xi =>4 =1=>a=-3.

4 = a3 = a023 => ao =.!.. 2

25. Fie q ratia

• 199

Tema 1.3

1.

j(X), \ix

Functii. Proprietiti generale. Lecturi grafice.

f(±)=H}+{l}=~*f(O)=O.

1(0) f(X+2)={X;2}+{X+2}=H}+{x}=f(X)=>2

3. a)

este

perioada

pentru

f

functia

g(X+6)={X;6}+{X;6}=g(X)=>6

5.

f(x)

7.

decifeste

= 41x - 21-412 - xl = 0,

Pentru

este

) < 0,

-I

\ix, y

f(x)=O.

E (I, +00), x

* y,

I

g.

4.

l-a2==0=>a==±1

x E[3,8],f(x) =(8-x) +(x-3) f(x)- f(y) x- y

8.

este descrescatoare,

b

==5.

f(g(x))

~(x) ==

f(l(O))

descrescatoare.

11.

Punand conditia

g(x;) =0, f(

f(O)

=

= O.

12.

i=I,3=>aE{-1,1}.

deci max A = 2. 14.

a) = a ~ a

~

15. Pun em conditia ca ecuatia

3

-

f(x)

13.

f(J(I(x)))=3-8x, f(x) = 0 => x( x2 -4) f(x) Q=>X(X2

9a = 0 ~ a E {-3,0,3}, =

y

\iXEJR, decifeste = 0 => XI=

0,x2 = I,X:J=-L

deci suma ceruta este egala cu O.

x2 (y -l)-x(y

+ I) + y-I

= 2" I(x)

::

solutii reale daca ~i numai daca

deci

Imf==[~,3l16.

YE[O,+oo) , deci

Imf=[O,+oo).

Ecuatia

imaginea

functiei

fog

(gof)(x)=(x-I)2,

este [-1,+00).

Ixl=y

admite

(Jog)(x)=x2-1,

deci

deci imaginea

s=!

functiei

x,",y±~

este

[0, +00). 18. a) I j!' Im f

~

f(x)=+-:o;.!.,

~i in plus

CL

a

:E

f (x)

ecuatia

(-I

c)

f-I)=2~-2"EImf.

x +1 I

= I nu are nicio solutie, ceea ce este adevarat, b)

\ixEJR.

2

19.

!

f(x) ~ -I, \ix

ffi

b)

d.

x2E[4,9]~XE[-3,-2]U[2,3]=rl((3;8]).

11\

w

::t:

E JR.

20.

Deci f(I)=-1

x E r'

a)

max(J)=.!., ~i

in

1 (x)

Z CC

:E

• !OO

=

y

~:o~·

0

0

f(x)

numar natural,

31. deci

Ecuatia l

rl:

(x)

=

=

I(

I

x3

atunci

f2 (x)

~i

-I),

deci

1 nu

deci

x+~

=

f

x + I ),

nu este

este surjectiva. 2

y ~ x - yx + I = 0 ~

=

f(x)=y (y)

(0,+00) ~ JR,r

devine

29. a) Functia j" este strict

1(0)

injectiva, c)

egalitatea

= 2" x + 2" -I,

: JR~ JR,II

vv E [2, +00).

are solutie unica

E[I,+oo)~X=y+~.

singura

are

= i(1 + IOg2y).

unica

solutie

32. Determi-

1-

y

solutie =0 ~

strict

x = -I+~

pozitiva

> 0,

\iy

a

f(X)=y,YE(I,+«.»

ecuatiei

E (1,+00),

deci

rl

:(1,+00) ~ (O,+oo),r

l

(y) =

2 = -I+~.

f (1) = ~

g(3)=a~/(a)=3=>a=0,

33. Daca

plus

de maxim

x=l.

fiind

g(3)+ g(O) = -I

f(x)

x E {±I,±v'3}

d) Ecuatia

are

0

({0;2}).

f(X)E[3,8]~

c)

f(x)=m

= rl

x E [1,+00) => I( x)

pe intervalul

rl (4) = a => I(

1(1(1))

a) = 4 =

fof=IR~f(l(x))=x,

x4_2x2=(X2_1)2_1~_I~

E {0;2} ~

. 34. Pentru

este strict descrescatoare

hElR. ({0;2}) ~

g(O)=b=>/(b)=O=>b=-L

Deci

b)

1

~i cum

este

injectiva

\ixEJR~a2x+ab+b=x,

Deci perechile

TEH~f(x+T)=/(x),

E [5,+00) = Iml =

(1,0)

35. Functia

x

\ixEJR~7;

cu

x-T

rezulta

cli

a=

1(1)

a=1

f

36. Fie

= 2.

37.

b=O sau a=-I 38. verifica cerinta fo/=IR· obtinem I(x-T) =/(x) , \ixEJR~-TEH.

\ixEJR=>

~i (-I,b)EJRxJRcubEJR

\iXEJR ~i inlocuind

f(x+7; +T2)=/(x+7;)=/(x),

[a,+«.» => a = 5.

(-00,1] si strict crescatoare pe [1,+«.», deci a:O;-I.

~i

~i a)

+T2 EH.

sigura radacina daca ~i

i

numai daca m = -I . 21. Punem conditiile

f(l)

==0 si

f(O)

= -I,

deci n = -I

~i

m = O.

22. a) . f(

-x)

=

_x3

lerna 1.4

-f(x),

\ix

T

X

E

JR'.

f(-x)=ln(-x+v'x2+1)=ln

b)

x+

~=-f(X), ~+I

f(-x)=-x3+--=-f(x), \iXEJR.

d)

+2x -x

\ix

E

Funqia de gradull.

..!:

Funqia de gradul alII-lea

u

+.!. =

x

o a::

c

punctul

2

f(X)E(3,+«.»~x2>4~XE(-oo,-2)u(2,+oo)=rl((3,+oo))

U

CC Z

f

Daca

n= I

Pentru

2

CC

ffi

adevarata.

+ IOg2y) E JR, \iy E (0,+«.»,

U ~

n.

dupa

+ 2" -I = 2" (2x+ I) + 2" -I = 2"+1x+ 2"+1-I.

;:)

u

inductie

1(0) = f(l) = I, deci 1 nu este 1(x) = 2 nu are nicio solutie

30. Arlitlim cli ecuatia

x = ~(I

x ~ 2(ax + b) + I = x,

=

11+1-00

2 x+x+ 17.

f(g(x))

27.

c;rescAtoare,fiind suma a doua functii strict crescatoare (1I'/2

nlm ~~~0~(-y+3)(3Y-l)~0~YE[~,3l

.

=0

o ~

E Gf

~_x(e-x+ex)+a=

\iXEJR

.\iX EJR , deci f(I)~f(-1)~~~b~4== atunci f(l) = f( -I) ,declfnu este injectiva,

strict

-4) :O;O=>XE(-00,-2] U[0,2] = A,

sli admita solutii reale ee

Prin

•

evident

deci este injectivli. b)

= g(l(x)),

28

=-2".

f(x) '"'i x + z' -I

y-X (x- y)(x-I)(Y-I) 9.

f(-x)=-f(x),

conditia

1

injectivlL d) Ecuatia 10.

~

I-

f

deci

\ixEJR~2(x+a)-1=2x-l+a~a=0.

...J

pentru

constanta. 6. Pentru

XE(O,+oo) +E(O,I)=> x +1

(x-I)(y-I

perioada

Punem

= - f(O) => f(O) = 0 => 0(0,0)

J6. \fxEIR~a=2"'

b)

.23.

..._[x(ex+e-X)+a] ~a=O. 24. Avem f(-x)=f(x), _(0+ b)+4 ~ a + b = 0 .25. Dacajeste functie para,

f(X+±)={3(X+±)}={3X+l}={3X}==f(X).

2.

E (-3,3)

1. Fie

f(x)=ax+b=>f(I)=2,f(-I)=O=>{a+b=~

-a+b-O

=>a=l=b=>/(x)=x+l.

2.

G/noX={(-~,O)}EGg

~i

(O,I)EGfnOy,deci

g(-~)=o

~

~

w

JR'. c)

f(_x)=ln3+x= 3-x

a)

si g(O)=-1

=>g(x)=-2x-1.

~

• 201

b) Gf nOy={(O,I)} c) Gf nOy

3.Avem

eGg

~i (-~,o)eGfnOx,deci

gGJ=o

= {(O,l)} ~i ( -~,o J e Gf rsOx , deci gG) A(I,O)eGfnGgnOx

~i

=:>g(x)=-2x+I.

, 1• Xv

= 0 ~i g(O) = -1 =:>g(x) = 2x-I.

cum

~I

B(0,3)eGgnOy=:>C(2,3)eGf.

a+b =0 { 2a+b=3=:>a=3,b=-3~

/(1)=0,J(2)=3=:>

si g(O)=1

/(x)=3x-3.

4.

Deci

= 2 =:>- m = 2 =:>m = -4. 2

. X2 + X + I - y = 0 =:>6. > 0 ~ 4y - 3> 0 =:>y e [~,+oo). -

(0,2)

~i crescatoare

[1,+09( a_I)2 -4( a+ 1)(a-I)

a0

31.

•

U

x E Z rezulta cli avem 3 cazuri:

IX+21=0 { Ix2_41=0~XE{-2}.

13.

Ecuatia

/(x)=O

nu

X

are solutii

E 0,

~

X

E0

~i

1X2 - 41= 0 in intervalul

(0,+00),

2m-2::;0~mE(-oo,I].14.

;

Fie l(x)=ax+b~/((J(x)))=a2x+ab+b=4X+3~{a2=4

• 202

~i b(a+I)=3

cum a>O obtinem a=2,b=I,deci

/(x)=2x+1.15.

+ x2 =

2(m-I) m

( IJ ::;0 m E 0'3 .

m+1 =--~o m

conditiile 32.

a)

Daca

a+I*O a=1

~i ecuatia

6. < 0 8( a + 1) < 0 a E (-00, -I) .

4x + 2 > 0 admite solutii, deci nu convine. Daca a * I avem conditiile I a+1 Q -I < 0, 6.::; 0 8( a + I)::; 0 a E (-00,-1] . c) 6. = 0 a = -1 . d) Xv = 2 ~ - a -I = 2 ~ a = 3' 34. Functia

deci punem conditia x, ~ I ~ a ~ _.!.. 35.Functia/este 2

I este

strict crescatoare pe intervalul [xv, +00) ,

strict crescatoare pe intervalul (-00, x.] , deci

xE(-4,2)nZ={-3,-2,-I,0,I}.

16. Notand a = X2 + 2x obtinem ecuatia a +.!. = 2 ~ a = I =:>X2 + 2x -I = 0 => x = I ± a

cazun

b) Daca a = I inecuatia

33. Y = -6. = 2 ~ 4a + 3 = 2 ~ a = ~. v 4a 4 4

0(

g

doua

deci

Z

~

Avem

aE((-- 21x -31::; 0 ~ X E {3} . {IX+21=0 2 ~ 1x - 41= I

j)

mE(o,~J

x-4 =-x->O~

xE(I,+oo)~x-l+x+I::;4~xE(l,2].

'"

X

=x2 -4x+7~

lex)

Img = 12 ([-1,1]) = [%,7]'

c)

~ 0 XE(-I-.!.J. ' 2

b) Pentru xE(-oo,-I)~I-x-I-x~4~xE[-2,-I);

a

U,I

b=7~

Im/2 = [Yv,+oo) =[% +(0) .

c) x2 E(I,4)~xE((-2,-I)u(I,2))nZ=0.

final x E [-2,2] . c) x2 - IE (-1,1) ~ x2 E (0,2) ~ x E (-.J2,.J2)

d

Fie

~ X =.,-2.

4-x) =1~XE[3,4], iar

x2-16 c) x(x+4)

U(I,+oo).

b) XE[ -1,%JnZ={-1,0,1,2}.

~

c).• Cum

23.

~I

b)

XI~

11. a) X-IE(-3,3)~XE(-2,4).

~ U,I

21. xv>O

=.

6.cC

0(

~ ::::l

o

b)

43.

I I r=r

XI

daca

b) m > maxi =.!.= 1(1). 2

c) n::;; mini

=-.!.= 2

::::l

U

(-00,2)

X2

+ 2x

-

13

presupunem

SiEZ,V'iE{O,I,

7. X = ~S-a

a)

atunci

x2=1-.J3,

11.

So=2EZ,

s=Xj+x2=2

45.

+~4+a

2"

n

...

I

I

.!.-1: 2 I-.!.

1

2+22"+"'~ =a

=a

2

~ X2 =9+2~S-a,,4+a

...if6

~2,fi '!'+'!'_3. 2. __ =22 4 6=212=2a~a=-. if4 (,fi + I)(~ + I) (t12 + I) (I~

12. _1_+ 1+ ,fi

1

,fi + .J3

13. ~3-~29-12../5

fi

obtinem

solutiile

X2 +4x-S

= 0 ~ XI = I, ~ = -S.

sunt (1,1),(1,-1),(

rr=:

c=r rrr;

x2-2x-2=0

2"

S 12

I)(~

+ I)

(t12 + I) (t12 - I) = ... = 1,

m l =(,fi-I)+(.J3-,fi)+ 99 + JiOo 100

... +(JiOo-m)=9

- I) = ( ,fi +

+ I) (I~

47.

+ .J31.J4+"'+ 3+ 4

a=xl+x2=3,

-../5 =~3-~(2../5

-3t

-../5 =~3-(2../5 +V3+x)~

VS-x

(1,2)

-s,~),(

~i

(2,1). Pentru

49.

Adunand

cele

X = I ~ Y = ±I, iar pentru

doua

ecuatii

X =-S ~ Y = ±~.

obtinem Solutiile

-s,-Ji3).

15.

JiOi = 10,049 ... ~ a2 = 4.

16.

a)

Conditii

de

.V3+x

=

I:.

X+2~0 {X ~ 0

existents:

·

w

::t

U

-Ii = 1(26

< if5 = 1:tJ53< if4 = 1{j44. b) .J3 = 1(}4
m E [1,+00).

•

24. a) f(x)

d) D=_n_._I n + I Ig2 2

19b ab = ( a; b

==Ig a+1 2 g b (a+3b)2 2..)3

J

~

n In x ·Inx==--; n+I n_Iog22==0;

n+ I

2

P ~ lOP+1 -1. Suma din enunt este egalli

a2 + b2 = 7ab; b), c) - se procedeaza analog;

==aba2+6ab+9b2=12ab(a-3b)

e) (-00,3) u (4,00) ; j) R \ {-I, 0, I} . 10. a) Avem f(x) strict crescatoare, deei injectiva; b) Analog, f(x)

= l.Jx -I + II+1.Jx-I

I)

2

=0a==3b.

i

9. Se impun conditiile de existenta; obtinem: a) (2,00); b) (1,00); c) (-1,1); d) (-2,2) \ {I};

Deei f(x)=IXE[2,5].

~

d) Ig (a+3b) 2..)3

I 5 -I 3 I 5- b og2 - og2 . og3 - a .

10 ==-( 2007.102008 - 2008.102007 + 1)+ 2008. 9

x E (5,+00)

xE[I,2)

eoareee

. ,I I _ a+2 . , CJ ogls 45 - -, a+I

... +--n(n+I)

2·3

atunci [Igk] ==P P ~ Igk < P + I 10k 2007

cu 2008+ 9·

d

(I I

b) B== -+-+ 1·2

d) Ecuatia se serie x + I = (I - 2X)3 =:> 8x3 - 12x2 + 7x = 0 =:> x = 0 .

=3=:>/1-3/+/2/-1/=3=:>

d) 0; e) 5;j) -. 16

- a+2 . b,1 I 20I - --, 'J ogs - -2a+1 1-2a

c) c=lg(L3..~ ..... 998. 999)=lg_I_=_3' 2 3 4 999 1000 1000'

)(/-3)2+)(2/_1)2

9

a ==0, b = 2, c = 27 .3. a) ; b) 2; c) -; 3

c) Ecuatia se serie 1- x = (x + 1)3 =:> x3 + 3x2 + 4x = 0 =:> x = O.

.Jx-I=/~O=:>

x2 - x - 2 ~ 0 =:> x E [0,2] .

< 5 < 8 =:> 2 < log, 5 < 3; b) 8 < 9 =:> 3 < log, 9; 125 < 128 =:> 3 = logs 125 < logs 128 = 7 logs 2.

b) ~x-l=a=:>a3+a=0=:>a=0=:>x=1.

~

206

x ~ 0 inecuatia devine

FunClia exponentiala ~ifunctla logaritmica. Ecuatii ~ilnecuatll exponentlale ~i logaritmice

6. a) A=logax+

o

~

4.11) 4

.fl .J

. I , iar pentru a = 3" =:> x = I .

a:: ~

Pentru

Finalizare xE[-2,2].

1. a ==16, b ==3.2.

u ~ ~

1\[0,+00) = (2,+00)

x+2~0.

1 6 Tema •

= I, x2 = -2 . _x_ = a > 0 =:> a +.!. I-=:> 2 +"x a

cu solutia (2,2).

. . x2 -- -6 smgura solutle

_ 2 -

=0=:>x==2,y==2

x - 2> 0 =:> x E (( -00,-1) u(2,+oo))

-

Pentrli x < 0 inecuatia este satisfacuta.

x2+5x-6=0=:>xl=l,x2=-6,

I -

+(~Y+2-2t

x+2~0,x~0.

c) Ineeuatia se serie 2 - x2

l-

i;:)

(.Jx-I-It

Inecuatie devine x2 b)Condipi

fiind x= I

...I

soMia unieli x = I . j\Il8log se rezolva ~i eelelalte ecuatii: b) x = 3 , c) x ==I , d) x = I , e) x = 8 .

27. a)Condipi

+4 --=a>O x-4

x + 2 ~ 0, x + 3 ~ 0 , iar ecuatia devine x2 + 5x - 6 = 0 =:> x - I

.

= m admite 0 singura solutie

realii, pentrli oriee m E [3, +00) .

26. Eeuapaseserie

solutii sunt bune. b) Conditii

strict crescatoare rezulta ea ecuatia f(x)

25. a) Funepa f: [0, +00) ~ R,f (x) = ~ + if; este strict crescatoare, deei ecuatia f (x) = 2 are

x + 4 > 0, x - 4 > O. Daca notam

sunt

II 2 a +- =-3 =:> al = 3, a2 =- =:> a 3 Conditiile

XI

3

-I = ±2 =:> x = 9 singura solutie,

2

b)

peci f(x)=3x=1.

•

b) Itnf ==[3,+00) si eumfeste

2

e) Conditii de existenta x ~

x+ 2yrc x- 1)(2-x )-1 - =:>xl- -I ,x2- -2

+ 21= 2.Jx-I

+3 .

12. Se inmulteste

relatia

log, x + loge x = 210gb

= x(l + log, 2), deci f este functie de gradul I

= x(1-log3 2), este functie strict deseresclitoare. X

cu log, a ~i se foloseste a doua formula de la

~

:E •

probabilitatea

eerutll este

.!.Q =~ 53 25

. 27

•

Trei dintre numerele

AB = ~42 + (_3)2 = 5, AC = ~(-5r

f(O),f(I),f(2),f(3)

iar al patrulea cu I. Sunt 4 cazuri favorabile, deei probabilitatea

este

=....!.....

~ 4

64

sunt egale cu 0 28. Sunt doar dou'

MBC este isoscel. Fie D prciectia lui A pe Be.

11\

a: ~

M=G.

de

Din teorema bisectoarei

7. AN +BP+CM =.!.(AC+AB)+ 2

7

8. Fie 0 centrul paralelogramului.

deci

~.~=m(m-2)-3=

22.

b=.!..

3.

4. CE=CB+BE=--AB-AD~a=--

:;)

3

__ ) ~.~ _1.3+2.(-1)=_1_. 23.cos ( u,v =I~II~I- -/1+4-/9+1

O~m=3. MBD.

~a_I)2+1~a=1±2J3

1~1=1~~J4+9=

\j\

3

l-

s

21.

y=I~Q(3,1).

cl

cos(~~

+ ~) ,

J

_ 57r 33 Mijlocul segrnentul 6' •

\uI\vI tului AB, atur

panta dreptei AB este

mAB

= 1. Daca d este mediatoarea segrnen

1

( X+- 2I)

d: y --=-1 2

=::;,d'x+ . . y-O.34. a)Fleddreaptaciiutatli.

1.10

Trigonometrie. Aplica~ii ale trigonometriei scalar in geometria plana

a)

S = sin2lo +sin2 2° + ...+sin2 44° +!+cos2 44° + ...+ cos2lo +0 =44,5.

Tema

me= mAD=-I=::;,d:y=-x.b)

~iale produsului

Fie C(x,O)=::;, mAC'mAD= x·~.\·(-I)=-l=::;'x=O=::;'C(O,O). 35.

este mijlocul segmentelor AC

M

37. 38.

~(U_6)2

deci

=~(u_12)2

+(v_12)2

unde panta dreptei d este m=-~,

d:y-5=m(x-2),

unde panta dreptei d este m=-I,

segmentului

deci

[BC] ,

y- YA = mAM(x-xA)

=::;,AD :4x- y-7

=0.41.

deci d i x+ y-3=0. din

AB( -4,2)11 CD(3,a+3)

•

xG=

XA+XB+XC

IXA+YA-11 ~

=

~

,Jf

+f

3

'YG=

3 =,fi'

44.

YA+YB+YC

3

=::;,-4 =_2_

md· md, =-1 =::;, md, = 2 =::;,d':Y- 2 = 2(x-3).

~

d:y-2=-3(x-I).

~

egala

~

:::I

d(M,d)=,I-S+31 ~,fi

=_1 . 48.

y

A( -2011,0)

si

o

!

cu

=::;,a =_2.

a+3

2 .

deci

Fie

d'

d(A,BC)=

cum

;; v

B(-4,3)Ed2·

dreapta

3

are

ecuatia

cantata.

4

d :x - Y + 3 = 0 ,

4

mAD = 4 =::;,mile = -3 =::;, hc :Y + 3 = --3 (x - 2) .

dreptele

sunt

d2

si

d,

50.

2=::;,a=2011±2,fi.

sau

d(d2A)=d(d2A)

Cazull.

[AB]

Fie

d(A,dz)=d(AA)=::;,1-6+41=I--6+4+al=::;,a

5

nu convine. Cazul 2. deB d )=d(B '1

'3-

-

5

5

=0

cazuri: ~i

dar

c:i

nu

convine.

Cazul ~i

3

.

di A d )=d(B '3

~

51.{A(-4,0)}=d2(JOx

~ ~

B'(0,2)=SimOxB.52.{1+2a+b=0=::;,a=_2b=3=::;,a+b_1 -1+a+b=O'

o

~_ I _ -b

~

I -;-2=::;,a=2'

I

212

tg89°

= tglO . tg2°

'3=::;'

=d2 (JOy,

1-6+4+al 5

=::;,a=2a=-4 I' 2

deci

1-12+12+al 5

,

..... tg44° . tg45° . ctg44° . ctg43° ..... ctglO = I.

sin(30° + 10°) = sin 40°

egalitate

adevarata,

2 3 . 2 2 2sin a+1 = sm +~os a =1+3tg2a=13 2 cos a cos a

I. . 0) 2+F3 2(sm900+sm60 =-4-'

23Jr. b) cosU·sm

J6

. (Jr) . (Jr Jr) -,fi c) sin 12 =sm '3-'4 =--4-'

12.

53 m_m-2

.'3--=t=::;,m=2·

55. a) AB:2x+y-I=0

12a + b -II , de unde cerinta,

sina

6. a=tg(7S0-ISO)=F3,

Jr

12=2

1[.

sin

I

3

tga

2

b=sin(lOSO-4S0)= 8.

b)

~.

a)

I U+12Jr) +sm. (23Jr U-12Jr)] =4'

(23Jr

. Jr . 3Jr • sml>sm'4=sm >sm

9'

4

. 3

. 2 . I 2' I 3 . sin -sm = sm2cos2>

0

,

E

I = 2sin x cos x =::;,sin 2x = I. 14. Doar numerele 0 ~i Jr din multimea A verifica ecuatia, deci 2 2

sinx-cosx

probabllitatea ceruta este - 15. ( ) 5 sin !!"-x 4

sinx-cosx r;:;cosx-

,,2

-V

t:

2. 16.

idi

I

Prin n icare a

~sinx ,,2

dar

unde 3

sina+cosa

----=1+-=-

a)

(0 !:) . Finalizare numarul cautat este egal cu sin 2 . 10. I E (!:,!:) =::;,sin I > cos I . '2 42 . 16 4. . 24 sin a 3 a) cos2 a = l-sm2 a =-=::;, cosa = -- =::;, sm2a = 2smacosa = --. b) tga =--= --4' cosa 25 5 25 sin2 x + cos2 X 2 . 2 I I tgx + ctgx = 2 =::;,. 2 =::;, 13. cos x=l-sm x=-=::;'cosX=--. smxcosx 9 3

pentru cii ! ~ 2'2 11.

5.

sin4O°·sin140°=sin2 40 =cos2 50° =( -coS1300t =cos21300.

=::;,a=l.

dl=AB':x-2y+4=0, -.

a)

4 ~ - F3 = 4 ~ !coslOo - F3 sin 10° = 2sinlOo cosf O''~ 2 2 . sinlOo cos l O''

54

le 2sin(a+b)=

•

7 b=-4=::;,a+b=-2

:E triunghiului ABC este egala cu

•

{B(0,-2)}

d)

= sin 1°+ sin 2° + ... + sin I80° + (-sin 1°)+

tglO. tg2°

patrar obtinem sin2 a + cos2 a + 2sinacosa a=2

S

+ (-sinI800) = O. b) P = cosIo. cos2° ..... cos20110 = 0, pentru ca cos900 = 0 . 3.

.

-0 a-

ac ~

a)

(-sin 2°) +

cii

A(-2,I)Edl

I'Gz,

d )---..1-12+12+21_1-12+12+al

Punctul

trei

=4

5

deci

rezulta

Avem

d(d3A)=d(d3,dz).

49.

paralele,

.sin20 ..... sin20110 = 0, pentru ca sinl800 = 0 2.

7.

46. Fie d dreapta cautata. mAD' md = -I =::;,md = -3 =::;,

segmentului

d(dl,dz)=d(A,d2)=1-201+al d(dl,dz)=d(dIA),

'S _

Mediatoarea

d,

~

'"~

45.

. ecuapa

47. Punctul C(-1,2) este mijlocul segmentului [AB], panta dreptei AB este -I .

E

)

=::;,C2,-2 . 43.BC:x+y-I=0,

I I ml = mz =::;,-a = 2 =::;,a = -2

i

:::I

(

39.

are

A

P= sin1°.

b)

2

b) cosIo+cos2° + ...+cosI79° = cosl'' +cos2° + ...+cosS9° +cos900 -cos89° -cosS8° - ...-coslo =0

4o. Fie D mijlocul

3 42

M(7,7).

deci d:x+2y-12=0.

Mediana

D(2,1).

deci

=::;,u=7,v=7,

~i

(I) 5'-~ .

(). D 0,-1 .36. Fie M(x,y)=::;,AM(x+I,y+S)=sAB(3,6)=::;,M

+V2 =~u2 +(V_6)2

d:y-2=m(x-I),

_1=3+/c=::;,C(I,_S)

2-

-1+ YD -I =-2-=::;'

2+XD I =-2-'

~i BD,

1=1+2xc,

de unde cerinta, b) Aria

19. cos!:= S

deci

adunam,

-3 =::;,sin(a+b)=-~. 4 S

~lHR=2SinA=2../3=../3·

27.

b2

2 2 sin A +sin B = 2sin2C ~ ~+-2

2 B) = 2(I-sin2 C) =>

(l-sin

2S.cosC=cos ( tr- ( 4+3

cos" A+cos2 B =2cos2C=> (l-sin2 A)+

24.

c.

ipotenuza

cu

2

a2 +b2 = 2c2

= 2~=>

4R

4R

-J2 +..J6 4 .

26.

b2+c2_a2 2bc

cosA=

162 24=3

A =8.

b)

sin A = )I-i

....• w a: l-

i::::I

o u:

.

29.

a + c = 2b => 2Rsin A + 2RsinC

/J5'

=

= 4RsinB =>sin A +sinC = 2sinB.

30.

25'sinO =---=>sinO=-. 2252

24

I

32.AC=vAB2

SABCD= 48 => SAOD= 12=

=

2 AD·IX·sinD

=,,76. Aria SADC

=

Z


a=3.

.

2sm

2B-2C

2

cos

2B+2C

2

sunt

a, a + I

tgA+ tgB = I => C = !:.. 37. Triunghiuleste dreptunghiccu aria 1- tgAtgB 4

~ ,.., ~

S = 6 = p . r => r = I' , lar R = -5 . 38 • F'Ie A unghiul 2

~

< 0 => a - 2a - 3 < 0 => a e (-1,3) n Z = {O, I,2}.

~

-~+%;

.:

14

2

c) ~-(-~);

a +2 .

Deci triunghiul are laturile 3,4 si 5. 3S.Prin

X

QC

~i

= I + 2sinCcosC =>sin2B = sin2C => tr = 0 => B = C sau B + C = - . Dar triunghiul ABC este ascutitunghic rezulta 2

cli B = C . 36. tgC = tg (tr - A - B) =

0btuz.

2

cos A = a +(a+I)2-(a+2f


acosB = c =>cosB = ~ =>triunghiul ABC este dreptunghic. 31. Fie 0 2 a

dreptunghiului.

n

X E

.

5tr _ 7tr} 42 0\ sin xe {-tr+ , tr+ 8 . . v 8

3

centrul

::::I

= ~ => R = 2s~nA = 2 ~

2(

I) 7 I) . cos ( 2 arcsin"3 = 1-2sLD arcsLD"3=9;

I) _cos(arcsin"3 =-VI-9;

BC=2RsinA=6.

2 AB ·AC = c-b-cos

b)

j)

28.0)

is ;

sin( 2arcsin~) = 2Sin(arcsin~ )cos( arcsin~) = 2~~1-

6.4'sin 2" 2 3 =6../3.

_

=>a,-I,

=> x e {-~ + kr: I k e --2'

a2 -,LD

-l

d)

deci multimea

Dacli notlim

final xe {!:.+2ktrlkez} 2

.

" ec:« ==/2+ 2:C:2k-IB k • k-I

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII) Tema 2.1

Permutari. Matrice. Determinanli

= ( 51

1. a) OT

2 3 4 3 2 4

5), 1

TO'

= ( 31

2 4

3 4 1 2

5). 6 5 ,b) o = e. 2. a)(l,

2), (1, 3), (1, 4), (3, 4); E(cr)

1 = 12 +-B 2

;:.[~~~l'

"I

2:C:2k k_1

=

3"-1 2)" -1] = 12 + B '--. 2

12 +-B[(I+ 2

M3=03~Mn=03,n~3.

A=/3+M,

24.

unde

este matricea

de la

000

= I. b)

0'-

1(41325) = 1 2

c) X=O'-I.(I

4.a)

* o,

0'-

5

4

.3.a)k=4.b)412012~a2°12=e.

2 3 4)=(4 431212344312-142

1

2

(I 2 3 4 5 6)

1

Vx

3

= 6

1 4

S6' 5. a) x

E

2

3

=a

_I

3)(1

2

3

4)_(1

2

4 )' 3

b) m(cr) = m(cr- ) = 7. c) X4 este para, Vx

3

4

n(n+3)/2]

1 0

-n

S6, c e impara ~ X4

E

k -- 5 . c/.\ C e I mal. ITIlCnumar .

1

P E

N*

tr(X)X+

tr(X)'X~tr(X)'X=(~

'

k

b'' = e este 6. Daca k = 6c + r, 0 ~ r ~ 5 atunei a = o'" . 0"

--0'.r

I

C aurmare,cy=e

2012 tr~~~l= 3

3

7!

7! ~

-SID-

-2

.

. A2 -- tr ( A ) A,

. A = ( tr ( A ))"-1 A 2 = ( tr(A))

[co~; _

P(2)'

3

~

cos-

0 ~ trCA)r=0 ~:2 ""

A

=2

3

Jfl _ - 2B ~

""

15

= 2

eos-

= ~(~:l=

O • 20. Inductie dupa n.

SID3

3

. n7! n7! -Sin)" cos)" k-I

2

2013

~ A

= _220131 . 2

. . B. Apoi, A = 12 + B ~ A" = (h + B)" ==

tr(X) = 1 ~

X=(4

(A - At)2 = -/2

b

6).28

-2 -3

~ (A _ At

A2=3A~a=3.

a)

•

tOO8 12 . =

29.

b) A_At=(2 Din

2)_(2

1)=(0

1 1

teorema

2 1

lui

Cayley

-I

0

avem

A2 _ 5A _ 212 = O ~ A2 _ 5A - 12 = 12 . Determinantul este egal cu I. 30. 2

A2-3A+212

Prininduc\ie.Cazul

n=l

Obtinem A2 _ B2 =

= 3( A _ B) = (22 -1)( A - B) , deci cazul

afirm

esteevident.Cum

a) Da. b) Vom demonstra ca 2 =02 ~i B _3B+212=02,prins dere

t'

a ia este adevarata pentru

reZU!ta

succesiv

n -I

.

.

n = 2 este adevarat. Presupunem

n -I'

~I n. Din A" - 3An + 2A +1

= O2 ~I

Bn+1 3B" -

+

2B"-1 - 0 -

i ~\,.

ca

~

2'

:i~

nI nI An+1_ Bn+1 = 3( A" - Bn) - 2( A - - B - ) =

:

I

21

-1 AA'= ( 2

2

90)

2

=:>det(AA)

, =81.

, b)

Ca1cu1

direct.

,

32.

-

p ';fPEZ,B=1 ,

b

a I(a)

n»

Q)

dot (A' A)

= dot A' dot A = (dOl A)' > o. b) Prin

unde (a-d)(b-c)=o

calcul obtinern

a) det(A) =-4.

33.

A· A'

b) A2=[~1

= A'

=:J

~1

-I

-I

= ab +cd ; do

. A=> oc+bd

~i A2-A=21

I c

34. Q)

• 3

3

I b

o

=6

~ :] I 2

I

~i A2 - A = 213• 35.

45·11,,\ !l = I

a) Calcul direct. b) Folosind binomul lUi

BE2 = E2B

Br

(A +

= An +

s',

a) A4 = -412•

36.

b = c = 0 ~i d = a, deci

rezulta

b) Fie B = (;

:).

demonstreza

~-2 ~-2

~

t~

~ 'Sa;:

'n=l~

-Sin!:'] ( 2 =:>A 2008 = COS . I004 004 JT sm I

~='6.

3s,

'((I+I)'-(l-i)')=4;'

.

/X:3 X~3 ; /_ X:3 x x x-3 3x-3 =27(x-I). Rezultli x= l.

u ::l

Z

X~3 3x-3

4

JT

sin I004 004 cos l

=

) JT

I

3/

I

; =3(X-I)

I

I

-3

~3 -~ I I

o

~

~

43. dl

=1;a

3

ci ~

b~a b3 _a3

2

c~a /=Cb-a)(c-a)!1 2 2 C-a

c~a c3 _a3

44.

b)

!l

d2

=

A+ 21: :

;H~:

; /=

3

b +2b+3

il=A

'J

c +2c+3 3

1=

1

Fi, P""'"''

I

a'

a

a+3

bI b

3

X(aJ(a).

1/11 3

c

2a

46.

4

1

1= I

a+2=±2a=OsauQ 1 d 1=2 1a + 21-2 -

7 7 . . !l -_ 0 a = __3 . Cum -- 3 IEZ, I1 = 3a + 7 . a) Punctele sun! coliniare

sou observand ca punctul

avem

det(AA'

obtinem

49. a)

a=-3.

!l

= 3

5

1 = 0 . b) Prin calcul

2

2

1

D este rmj··1ocu I se gmentului BC 50. a) Cu notatia

)I

~a;

~a;b;l_

= ~a.b. I

~b.

I

2

I

E {I"2 3} , deci vectorii

"

-

(a.b.-a.b;)2~o.

'-' ;"je{I,2,3} _

I

-:

O~ =o.!

b) Din

J

)

~Xk

=xl

+X2

+.lJ,

det(AA')=O I .

+ bJ-. k = I 2 3 sunt coliniari. Cone k' "

UZIa

Sisteme de ecua~ii liniare . lR _ {3} . ) 0 Cum d et( A) = -a + 3, avem A inversabila a E * . ~) 8 -7. 8 =-4

Tem 2 2

a •

; ;/+/;;

2b

2c

3

;/= 3

3

A-I =~C

*0 ~

• . A inversabila.

3. det(A) =-5

-4}

Z('J(,).

A' -

Cum

A -I -- _I_A'; detCA)

* 0 ~A

, (8

11

A = 8

12

U21•

22

1

inversabila.

s:

s

II -,

8

A-I = det(A)·A

28213 831] 811=1; 821=-~; 831:~ ~ £1=.!.[~1 s:22 8 812 = -3; 822 = 1, 832 5 0 Un U 32 . --5 [ = 0; 823= 0, 83313 23 8 8E MnC33 13 4. ,,=:>"£1 Z ) ~ det(£I) E Z , dar det( A)det (A-1)=det{In)=1 ~I

Y(b./(b).

6 1I =0-2x-y+6=O. 8

I = I , aria este egala cu 2.

. 1.Aesteinversablladet(A

c + a

1

y

1 -1 I

2, det( A) = 29

a

•

rezultli.

~+w+~

I

-I

rezultli a;bj = ai;,i,j

(C-b)(c-a)(b-a)(ab+bc+ca).

;

a +2a+3

! •

=

= I

13a+71 = I, a E Z

I I=(c-b)(c-a)(b-a). C+a

I

~+~+~

B=I; 3

b+a

=Cb-a)(c-a)!

(C-b)(c-a)(b-a)(a+b+c).

o ~

218

b~a 2 b -a

a

III ~Ill:

~

=1;2

42. a) ~

o

-1

prin calcul

::E•

-I

rezulta cerinta. b) Din -2-

~Il=

-31kl

-

1

I = 2 + a, . S ABC = 2I d -1 I a I

2 3

= 1 . 38. 2

JT

x 1 = 0 , deci punctele sunt coliniare, .. b\~ AC. . -1 0 1

OIl2

/~I ~ :t~1 ~ :/=-18. 41.

=-4 .••.

=(3X_3)/X~1 3 X~3

; 3x-3

-

!l

= -4. 48.

I

~

JT

21 1

Z . Cum SXYZ = 1 B ~ SXYZ

1

B = a12. 37. a) Se arata prin calcul direct. b) Se 47.

cos!:. 2 prin inductie. c) A = [ . JT

E

I I _ 0 b\ • = I I I =O-x+ Y- - . 'I il 2 2 1

1

Din BEl = EIB ~i

c1 = 6k , k

Y

x ~ AB:O

Newton rezulta

I b

6

-1 8 det( A) = 2. b) A2 =[~

1 a

, t512= 2;

21 8 =3 22

,

;

~1 0

-:]. 5

s

~

det(A)

=±l.

~

daell det(A)=

,, A = 3

2)

.

-I'

(-1 1

deci X =

B=(I

-I

~1=-8"'0.

Bordatii

lui IIp sunt:

1l1=4 5

(A)

A' .

£1 = _1_.

I:~I

= 2, trebuie ca III = 0,

.

U

'"

w

Z

< III a:

aceastaegalitateladreaptacuA-I)caX=B£1

.

A

vem

11) -6'

b) Notam:

d(e:(A)) A= 1 ~

.

A- _(2 -

-7J

I

-I

4

. (2 , deci X =

~i

tl.2

-4

Deoarece

este

matricea

A.

12.

a)

(_~

-;r

=G

:)=>x=G :)(~ ;

-n=G

11. adjunctei I:

w

~J

b)

z

0 a:

C

• 220

h

:)=>X=[=: 5

=~r=(=:

0 Z

-e ~

2, deoarece

11

I

0 = -1 '" O. Cum

2 -1

~i 3 in

A este 2, pentru ca

0 = 0 si 2

4

0 = 0 . 21. Consideram

626

2 3

0

a =8a-32

2

3

~i 1l2=4

0 5

b

= 4. 22. rang

1 =32-8b.

2

(A)

b = 2, deoarece

det(

A) = -m + 2.

I

0 = -I", 0 . 24. Rangul matricei este cel putin

l2 J. ~3

caz

contrar.

-I

0

2 -3 -I

25.

2

Avem

1 = 0 ~i

5

3

2 -3 -I = -0 + 44, rangul este 2 daca 3

I~

-1

2 1

:1'" 0,

a 2

3

3 1 -1=0,

I

0

4

4 3

2

3

2

8

:)=[-~

-~J.13'

A vem dot ( A) " ••

2

1 4 = -5b + 20, deci rangul este 2 daca 0 = 3, b = 4 si 3 in caz contrar, i.e. a", 3 sau b", 4 .

0

4

3

b

1 -1 3 2

5 = -52 '" 0 , rangul este egal cu 3.27.

NotamcuAmatriceasistemului,

-3 -2

-131 • 0 • doc' """,,"1

dat este Cramer, A vem solutie

urn",

=50-15,

I

a) rang(A) = 1, deoarece liniile matricei A

4 -2 0 ~J(=:

I 2 -1 3

3

sunt proportionale.e) A " [~

1

3

26. Cum 3

X

u -e

19.

2 -1 3

= 0 => a = 4,

Este necesar ca m = 2. Este si suficient, deoarece 11

a = 44

-7) 15 .

A' - det(A)A-1 . -I, ,lpoteza A =A impune det(A)=I~-m-3=I~m=-4. Cum det( A) = 1 avem £1 = A' Atun . AA' _ ' . .. . , . CI - A A = 13 . Dill definitie rezulta ca mversa 10.

W

"" ci

(x,y,z)=(I,I,I).

= 3 '" 0 ~i orice minor de ordin 3 este nul, avand doua coloane egale. 23.

~) . Cum det(A) = I '" 0 => A inversabila => 3A-I. Cum X . A = B, rezulta (inmultind

CL

~ ::::I

3

0 = 1 24 '" 0 , iar bordatii lui IIp sunt nuli: 2 4 6 626

Pentru ca rang

::::I

a: w

18.

x=-5,y=5,z=3.

= -4 '" 0 => rang (A) = 2.20. Rangullui

a) Notam:

1

sistemului.

3 -1

::::I 0 Z

matricea

rezulta

(x,y,z)=(2,I,2).

I~~I

CL

.

A

2 -1

9.

cu A-I) cii X = A-I . B.

la stanga

_14 - 2

IIp=l~

0 => A inversabila => 3A-I. Cum A . X = B,

Observam ca det(A) = -I", egalitate

0

~J

6

= -.L. Cum 6x = -131, 6

cu

s, =36,

Ily =60,

(x,y,z)=(-I,2,0).17.

Cum det(A) = 0 si 3 un minor: III =

Up

Z

= Il = 12 '" 0, deci sistemul dat este Cramer. Solutia este data de

Il Il Il x= ;. ,y= ; ,z=-:;.

15. (x,y,z)=(I,I,2).

A

6

Notam

2 -I 1 A-I = detl(A) . A* = -7 [~2

6

6

144

formulele

3a :b

2a

III

s, =0,

Il y =-131,

[

6

determinam eu ajutorul formulelor lui Cramer: x =-2.., y = ----L,

0

Pentru K"

m"

L" (a b c) avem A " KL.

a2 +2ab +3ac 2 c) A2 = 2a +4ab+6ac [ ~+~+~

ab+2b2 +3bc 2ab+4b2 +6bc W+W+~

A/ternativ,

= K(a + 2b+3c)L

A2 = K(LK)L

ac+ 2bc+3c2 ] 2ac+4bc+6c2 =(a+2b+3c)A, ~+~+~ = (a+2b+3c)KL

=(a+2b

deei d = a+ 2b+3c.

2

1

a

3

2 =2*

o.

a+1

1 m

1

m

1

1

m = m2

3

-I

sistemului este

+3c)A .

rnatricei A a sistemului este 28.a)

A2=[~ I

~ 0

~]'A3=03.b) 0

I

13+A+A =[: I

: :].Cum 1 1

det(13+A+A')=0

~itotiminorii ", E lR

de ordin 2 suot nuli, rezulta ca rang (13 + A + A') = 1. c) 13 + A = [: 1

~ 1

~J;

x+ y+z =1

det(h

+ A) = I;

I

Pentru

- {1,2} .

m = I,

2

I

1

1

1

3 = 23* 0,

deci

-

3m + 2. Sistemul este compatibil determinat pentru

-2

sistemul

x+Y+z =3.

si

Conciuzia rezulta din teorema lui Cramer. 34. Determinantul

este incompatibil, m=2,

Pentru

rangO)

= 3 > rang(A).

deoarece

sistemul

este

in concluzie

prime Ie doua ecuaii ineompatibil,

m e {1,2}. 35.

suot

deoarece

Determinantul

3 -1 12 (J3+Ar'=

1 .(J3+Ar=[~1 det(J3 + A)

0

~

~].29.a)A*=[~

-1 1

6

-~

-~].eumdet(A"}-O ,-

-2

-2

3 -4

•.

matricei A a sistemului este -1

toti minorii de ordin 2 suot nuli, rezulta rang(A"} = 1.

b) Daca X

=[;]

EM3,1( C), ecuatia este echivalenta eu sistemul

4

m2 I

considerand A _

Cramer. 36. Determinantul

matricei A a sistemului este 2

x+4y-3z=5

Z

1

1

Este

1 22 -0 ]

matricea sistemului, [2

I 4 -3

u: •

2 = _m2 -37 * 0, \;1m E lR. Concluzia rezulta din teorema lui

1

1

{;::~;Z:: ;

1

yl

neeesar

1

I

2

1

I -I

ea

rangul

rang

(A)

=2,

deci

a = -1.

11

"

112

= a + 1 . In plus, avem

a -1 Sistemul

este

compatibil

pentru

b+l

b =0¢:>-b-2=0¢:>b=-2.A~adar,

a=-I

~i b=-2.37.DeterminantulmatriceiAa

-1

sistemului este

2 -1

3

1

1 = O. Rangul

1

matricei A

este 2, deoarece

I~~11

= 3 * 0 . Sistemul este

1 -2 2 compatibil, deoarece minorul earacteristic

2 -I

I

I

2

1

este nul. 38. Determinantul

matricei A a

1 -2 -I

sistemului este 2a

2a

1

I

~ = -4( 2a2 + a -I) . Cum sistemul este omogen, rezulta a

E { -I,

~} . 39.

-2

II) inIocuind Xo = 2, Yo = 2, Zo = 1 in ecuatiile sistemului, obtinem n = 2 ~i m = 3 . b) Sistemul admite

1 2 matricei A a sistemului

solutie unica daca determinantul

Rezulta ca n 1 Determinantul

• 222

Conform

matricei extinse a sistemului este

teoremei

lui Kronecker,

sistemul

este incompatibil.

{3} . c) Daca

n

E lR -

det A = 2

-I

n

1

-3 1 = 3- n . 2

{3} , sistemul este eompatibil determinat. Pentru n = 3 re~tli

ci mogul matrieei sistemului este 2. Pentru ca sistemul sli fie eompatibil, rangul matricei extinse trebuie sli fie 2. Obtinem m = 1.

2

5 -1 3 -4

E lR -

este nenul;

deci

rang(A) = 3> rang(A) .

33. Determinantul

matricei A a

40. a) Fie A matricea sistemului.

Avem

det(A)

=

3

este compatibil determinat daca ~i numai daca m e lR - {1,5} .

t:;:~::, I~~I

b) Pentru m = I,sistemul devine:

atunci

A=[~ ~

lx+Y-2z=1

Consideram un minor 1:1p =

1:1c = I

= (m -l)(m - 5), deci sistemul

m-3

m

1

1 rang(A) = 3. Daca m = 1, rang(A) = 1. c) Daca m = I, rang

2

1 m 1 2m-l

~l

~i det(A)

=:

I I -2

II

2~ 3 =0.

I I -

= I * 0 , deci rang(A) = 2. Pentru a determina

rang(A),

calculam

",:1' ,

I

3

I = 0, deci rang(A)

= 2.

Rezulta cli sistemul este compatibil nedeterminat.

Pentru m =:

I -2 I

S, sistemul devine

j

x

+ 9 Y + 3z

=I

x+Sy+2z

l

a=,4 ~i b =' -2 . c) Pentru b = -2 , avem sistemul

x + 2Y + 3z = 6

a::

care este compatibil pentru orice

a E 'l si pentru care (0, 6, -2) este solutia cu toate componenteie intregi. 1 a 0 1:1 = det(A)

=0

2 a = a + I > 0 , V'a E lR , deci det(A) * 0,

I

101

j

s~

·

b) I:1p=l~

...I ~

·

~

nedeterminat

IU

Q.

~ ~

·

V

III IU

trebuie

6-3m=21(n+12)=21(p+2)=0,

ca

sistemului.

Avem

conform

-I

I

IU

I:1c= I

1

"'" ci

o

I

3

-I

• IU

-I I:1c= -I

o a::

-3

m

3

3

=0.

Cramer.

Rezulta

224

la~ l1.=a 1

=1,l:1y=O

10

= 1 9 n S -6

9

S -6

42.

a) Fie

3 =0,

adica

-I = -6

m = -I.

formulele

a

lui Cramer

a

(a2 + 1)2

= -_.2 I

2

la~

=a,I:1,=O

1

Daca

m=l,

ca sistemul

* 0 , deci

b) Pentru

avem

este compatibil.

1:1

; ,Z=-:;,

cum

A

este

matricea

a_a d+l'z-

m

* ±I,

sistemul este compatibil,

rninorul

1:1

Daca

=11 -II I I =2 *0

1:1

m=-I,

= I-I -I ~I*0

~i

-- a

a + I a2 + I

= X·

•

"

•

•

deci x, Y, z sunt in progresie geometrica.

Z ,

2 -1

I 1

7 -I

a

= -Sa

+ 20. Pentru ca sistemul sa fie

compatibil determinat, trebuie ca det(A) * 0 ~ -Sa + 20 * 0 ~ a E lR - {4}. b) Daca 1:1* 0, sistemul este compatibil.

sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este incompatibil

I

atunci

incompatibil daca ~i numai daca I:1c= 2

1 P =:det(A). 1:1= I q

I m

= (m _1)2. b) Dacii

I

m

E

r

p2 1 P ll-,-L, 0 q-p L,-L, r2 0 r- p

4, un minor principal 2

1

-I

1 0~ b

*

* 4.

estel:1

p2 l-p2

2

=\q-p

I~~II·

Sistemul este

2

r-

2

r - p

P

2

q2 -P2\=(P-q)(q-r)(r-p). r - p

f-

ar + bt - e = 0, se obtine: *

este solutie a sistemului. Deoarece 1:1 0, ea este unica. c)

z=a

CUrn (-I, I, l)estesolupaslstemuUl,atunclp ., 1.

=

47. a) Fie A matricea sistemului ~i 1:1

lX = e y=-b

P

b

IC sunt distincte, fiind solutii ale ecuatiei

e- pb + p2a = p3 C-qb+la=l . Rezulta ca c-rb+r2a=r3

det(A) = 1 m

=

Daca 1:1 = 0, deci a

7 -I

~i

2

d+I'

101 2

46. a) Fie A matricea sistemului. Avem 1:1 = det(A) = 2

b) Daca p, q, r

43. a) Fie A matricea sistemului,

1:1

x= ; ,y=

I x= d+l'Y=

.

=a .atunci

p

1

pentru

Avem: y2 =

ll~

III 2

1

3

folosind

2 -3 -I

-3 -S

P

2

se obtine

-I -m m = 3(1- m2).

I -I

Z rang(A) ~ 2. Pentru ca sistemul sa fie

P

GO

C(

a::

Sx- 6 Y=P

S -6

Z C(

x + I > care ar x, y E (-I (0) rezulta a d . ,Y+I>O,deci(x+I)(Y+I»OObp , c x*YE(-I,oo).Avemx> 1 Y> eCI 3xy + 3x + 3y + 2 > -I 4 a) T b .' d nemxy+x+y+ 1 >0~3XY+3x+3Y+3'>0 x* ( .• re uie emonstrat ca oricare ar fi ' Y E 3,(0). Fie x> 3,y > 3 ~ (x- 3)( _ ). I x,y E (3,00), rezulta y 3 >0, deci x*y-2( 3)( ) X,y,ZElR. Avem (x*y)*Z-2()( xy-3 +3>3. b) Fie '

1(

"X

°

este

7.

z = 25(x + 6/ 5)(y+ 6/ 5)( z +6/ 5) - 6/ 5 = x o(y

element

a-c =0. b) Sistemul fiind omogen, el are solutii

a)

0

R (a-42)(z

AVetTI Xoy"*-5,VX,YEZ-{-5}(x+5)(y+5)"*20-a,Vx,YEZ-{5}

a::20.

(x

e e x = x o e = x, Vx e lR xe- 6x- 6e+ a = x, Vx E lR

b) Deoarece

+(2-2e)x

,,*"

e

6e+a==O,VXElR e=7 si a-6e=0a=42.

Atunci'

nu are solutii, deci -2

Avem

Vx,y,z

eox= x=e = x, Vx E (0,2) (e-l)x

°

0(x'+2)=4

I

o Z

6.

Daca x=-2,

_ . m - -5m. b) SlstemuJ fiind

.

. slstemuJui

2) = 4. Daca x"* -2 ~ x' =-x-:-2 -2 eQ , deci toate elementeie

sunt simetrizabile.

a ==42.

II

(xo y) SO.

ee- (x+2)(x'+

(xy-6x-6y+

2

_X02

°

sitTIetrizabil.

3.7

orma. x= A,y= 3A, Z=-5A.

x; + y; + z; 35,,1 7 z; - y; = 15,,12=)

-'''--::lRTI111-'~~~_ ,t0X'==x'ox =

m = 0. c) Daca m = 0, sistemul devine

deci orice solutie nenula a sistemului este de f

=0

1 ~113 =: -

2 = 14m _ 4 . 4

14m - 4 =

49. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) A . 12 \ . tunci d = 3

_ 12 -

II

1 3 -1

I _I

_ I -

asociativa.

cs

t:* y-3 z-3) +3 = 2(X-3)(y-3)(Z-3)+3 =x*(y*z), u am e E lR astfel • • (2e-7)(x-3)=0 V lib meat x*e=e*x=x,VxElR, ' En. Obtinem e = 7/2. 5 I tnI • a) Avem xoy=-(x+2)(y+2)_2. x,YE'\l,X,y~_2. Cum 2 X+2~0,y+2~0~xoY>_2 eox=xoe=x Vx Q I( -. b) , E 2' x+2)(e+2)-2=x,VXEQ(x+2)(e+2)=2(x+2),VxEQ:::::>e=0 c)

deci

"

adica Fie Cum

cu xox'=x'ox=27

x = I, ecuatia (x')o

= 27

(X,)log"x=27.

X'EZ

cu

x"*l,

nu are solutii, deci multimea elementelor

11. a) Cum x 0 2 = 2 0 x = x, Vx E Z rezulta cerinta. exista

Dad

xox'=x'ox=2

atunci x'=2iogx27 simetrizabile

= 12 ~

(AB) (ABr = ABE AI

= AI~I

Daca

este (0,00) - {I} .

b) x E Z este simetrizabiL daca si nurnai daca

x'= 7x-16 3x-7

~3x'=7+_I_.

Atunci

3X'EZ

3x-7

3x -7 E {-I, I} x = 2 , deci singurul eLement simetrizabiL este 2. 12. a) Daca A, BEG BIt

>0.

~ AAI =

= AAI = 12 ~ AB E G, deci G este parte stabila a Lui M2 (R)

In raport cu inmultirea matricelor. b) Cum am demonstrat a), ramane sa verificam In continuare axiomele grupului: GI Operatia .,;" este asociativa. G2 Operatia "." are elementul neutru hE G. G3 Orice element din G este simetrizabil fata de ".": Daca A E G este simetrizabil 3A-1 E GI astfel lncat 1 0404- = A-IA = h. Avem A E G ~ A . AI = h ~ £1 = AI In M2(lR). Verificam AI E G. Rezulta din AI(Alr = AlA = 12• Asadar orice element din G este simetrizabil fata de ".".

13. a) Cum 0'=(1

234 23415

5) ~

0'2=(1

dCCiG contine 4 eLemente. Avem: G = {e, o,

234 34125'

d,~}

5)

0'3=(1

234 41235

(e fiind permutarea identica).

5)

~icr4=e,

e

a-

a-2

e

e

a-

2

b) a-

a-

a-2

aa-3

a-3 a-3

/o,b ° fl

0'2

0'3

e

0'

0'3

0'3

e

0'

0'2 este compunerea permutiirilor

verifi _,

. contmuare axi

ill

element din G este simetrizabil fata de ". ", ceea ce rezulta din ~bla ::~~~nt J-U II

a) Trebuie demonstrat

ca oricare ar fi A, B E M rezulta

x

l4

Ca

AB

E G.

I orne e grupului. G .

neutru ~are este e. G3: Ori~ permutiirilor pe G.

. Fie A

=

(a

I

31.] '1

,ai, b,

b

E

Z

l 3(alb2 + aA)] I a ala2 + 3~b2 si ala2 + 3blb2, alb2 + a2b l E Z, rezulta cii M este parte stabila a lui M (Z) in raport' . , 2 cu inmultirea matricelor. b) Fie :; 0, 1 sau 2 (mod 3). Pe rand, if + I :; 02 + 1 :; 1 (mod 3 if _ 2 a E Z :::>a ) sau. + 1 = 1 + 1 :; 2 (mod 3) sau if + 1 "" 22 + I :;2 (mod 3) deci if + 1 ;j; 0 (mod 3) c) Pr 2 • esupunem pnn absurd ca det(A) - 1 2 21~a-+l=3b2,falsdinb).d)DacaAEM 'A-I -~a -3b =_ _I _I ~I EM:::> det(A) E Z, det(A-I) E Z. C det(A )=det(A·A )=detI2=I:::>det(A),det(£I)E {-I I} . umdet(A). 15. Pentru orice x, y, Z E JRavern (x*( * )_ ' . DIn c) rezulta ca det(A) = 1. y Z -x+ y+z+xy+xz+ yz+ _() . xyz - x * y * Z , deci ,,*" este asociativa, b) Se arata prin inductie ca x * * * 1 1 3 I x2 ••• xn = (XI +1)(x2 +I) ... (xn +1)-1, de unde 3b2] , a2

~i B = (;2 2

.

u:

1*2

OS

I 1 ( -+-+x Y

~ ;:)

.

u ;:

III Q.

•

U

-I =2008.

16.

1]-1 xyz -xy+ + ,rezultiica xz yz

(xoy)oz=

a)

Cum

(x 0y) 0 Z =

(I 1 ]-1 -+-+~ x y

Z

-.!L..

~0~0~0 2 (

'"

... 0_1_ =(~o.!.o~)

3 4

100

1 2+3+4

1

2 3 4 °5°6°

lIP

"este ... 0 100 =(2+3+4rl

1 I) 1 1 1 °5°6 0708° ... 0 100 = (2+3+4+5+6)-lo~0.!.0

xyz

\;I/a.b E G, deci ii,o este element neutru. 3°. V'/a,b E G, 3 f~..!!.. astfel 'incat

= fl

b

;.~

= It,o

b ° fo,b

;.-;;

aplicand

O.

0

matricelor

in

~l=[~

Ina;lnb

ab

0

este asociativa.

In(ab) 1

0 0

o

ab

Elementul

lito

c::i

• III

o ~ ~

Q

Z

CC

~

• 228

demons tram prin inductie

1 5049

y_

a) Calcul direct. b) Vom verifica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat cii oricare ar fi A(x), A(y) E G, rezulta ca A(x) . A(y) E G. Aratand deja punctul a), avem A (x) . A(y) = A(x + y) ~i cum x, y E R, deci x + y E R :::> A(x) . A(y) E G; G1: Inmultirea matricelor este asociativa; G2: Existenta elementului neutru, observam ca Iz = A(O) E G, deci elementul neutru este chiar Iz. ; G3: Orice element din G este simetrizabil fata de inmultirea matricelor. Daca A(x) E G este simetrizabil, 3 A(x') E G astfel incat A(x) . A(x') = A(x') . A(x) = Iz.

Atunci

."

-:3 ,...,

*

*'

*

neutru este

20.

Altemativ,

ox ° ( 1 1 1 ]-1 2 ... ox = -+-+ +_ P 1 1 1 n x x'" . entru XI = - X X _-_ I 1 I 2 x; 2' 2 n 100 :::> -0-0 1 (2 1 2 3 ... 0 100 = +3+ ... +100)-1 =-17 5049 • a) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi f °f 10,,,, ,fo,1>, E G, rezulta f ° f E G Cum a,,,, 0,1>, - 10,0"0,1>,+,,, E G (deoarece ala2 0 pentru a a,,,, 0,1>, . ararat. b) Cum am demonstrat a) ra-ma' x'fi I 0 ~I a2 0), obtinem ceea ce trebuie 1° C ne Sa yen icam in c ti . . ompunerea functiilor este operape asociativa. 20. 3;n Enuare axiomele grupului: 1,0 G,fi.o(x) = x, \;Ix E lR astfel inciitfi.o 0 t'

1=U(ab).

concluzie, (G, .) este grup.

= -x,

deci A(x') = (1- 2x x

-4x 1+2x

x

3 ( -I

*e =e*x

In

4 -1 =(A(l)Y=A(n).

21.

a)

Observand

ca

J si

cum

J

x' E R, obtinem A(x') E G si orice element din G este simetrizabil. c) Observam ca (~I

(102 .99)-1 2

cum

3108)xE (0,00) \ {I} rezulta ca orice element din H este simetrizabil.

Avem A(x) . A(x') = 12:::> A(X + x') = 12:::> x + x' = 0 :::> x'

100

;

I

III

Z

>CC

H, adica

E H este element neutru.

G3: Orice element din H este simetrizabil fata de ,,*". x E H este simetrizabil daca ~i numai daca 3 x'

I)

a) avem

... o_I_=

6 ... 0_1_=

x E H:::> x * y > 0; presupunem prin absurd

X

=

rezulta cli

= I. b) Vom ca \;Ix,y E H:::> x * y E H. Avem x * y = xlO8Y) si x * y = 1:::> xloS)Y = I :::> x = 1 sau y = I, absurd,

in baza 3 avem log, y . log,

= 0,

=I

deoarece x, Y E H. Deci x * y E H.

si

yz __ = xyz + Z xy + xz + yz , ~I

cUID

a

18. a) Din x * y

, deci orice element este simetrizabil.

veri fica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat

Cum ab > 0, rezulta

xy+XZ+ yz

. ' oncare ar fi x, y, Z E (0,

esocranvs 0fo~o

0Z =

x+ y

Pentru orice x, y, Z E (0,00), avem (x 0y) 0 Z = XYZ. . xy+xz+ yz' lar xo(yoz)=xo adica ,,0" este asociativa. c) Folosind fa tul ca 0" ...y

~ ;:)

AB = (alGz + 3~b2 alb2 + Gz~

E Z. Cum

·i .....~:

c

;:) Z CC

as, b2

*...* 2008 =2·2 Z

= /a,b,

xIOSY) = 1, de unde logaritmand

Ii" . . , earn Ope rapa " . este asocianva, ceea ce este evident. G2: Operapa . "

14.

° ii,o

a'

e

0'2

C) Cum operatia "."

= /a,b

/a,b

~1 = A(l) .

x* y=(x-5)(y-5)+5,

din

= x , \;Ix E JR, avem (x - 5)(e - 5) + 5 = x, \;Ix E JR, adica (x - 5)(e - 6) = 0, \;Ix E JR, deci

i

e = 6. b) Din x * a = a * x = a, \;Ix E JR, avem (x - 5)(a - 5) + 5 = a, \;Ix E JR, adica (x - 6)( a - 5) = ~ 0, \;Ix E JR,deci a = 5. c) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi x, y E G, rezulta ca x

*Y

v

E

G. Avem x >

0, y > 5 :::> x - 5 > 0, y - 5 = 0 deci (x - 5)(y - 5) > O. Obtinem xy - 5x - 5y + 25 > 0 :::> xy - 5x - 5y + 30> 5, deci G este parte stabila a lui lR in raport cu legea ,,*". d) Cum am demonstrat c), camane sli verificam in continuare axiomele grupului abelian: G1: Operatia ,,*" este asociativli. Pentru orice z, y, Z

E G, avem (x * y)

* Z = (x-5)(y-

5)( Z - 5) + 5 = x * (y

* z),

deci

,,*" este

asociativli. G2: Elementul

!;i :iE

III

~

:iE •

229

neutru aJ opcranej ,,*" este 6 G·

0 . lernent di G . . nee e emen 10 este sunetnzabil

*" F' e" . re x e G '-5 1 . . "'-' x - +--e(5 G4: Operatia ,,*" este comutativa, Pentru x y e G arb'trar x- 5 ,co). . ' I e, avem x * y = (x _ 5)(y deci operatia ,,*" este comutativa in I' - 5) + 5 = Y * x . cone uzie, (G *) este ' e) 1* 2*3* ... *2012 = (I * 2 *3*4) *5 *(6 *7* ... *2012) =5 d' grup abelian. . ' eoarece x*5=5*x-5 V 1ll> Inductie dupa n. 22. a) (x*y)*z=x.(y*z)~(a-5)(z_ )_ - , xe"". J) x -0, VX,y,zEZ ~ a=5. b) Cutn ell tarn u

.

'

X

3·

meat

x*x'=x'*x=6.

neutru,

c)

~a=5

((-I)*2).((-I).2013)=a

~(

a x* y=6(x+I)(Y+I)-I. Prin inductie rezulta ca x .~. , Obtinem 1* 2 * 3 •... *2013=620'2. 20141-1 ~ A

.

j) Avem

~p=-I.

. e

_6)2

_ 5 ,e - --6

.

. deci

!1: Z,

legea

nu

are

) a-6 =0~aE{4,6}. d) A * -6'-'()( vetn ... x. x, +1 x2 +I) ... (x +1) I • - . x·P=p,VXEZ ~6(X+I)(P+I)=P+I

vem

+

2(

x.x*x=287~36(x+I)3-1=287~x=1

_

.

c) Legea

t: ~

are element neutru

Daca(-co).]

e = I,a = -3 d)

~

daca

~ ~

concluzie

a:$-3,

"2

Z

2

d

(

• a/

X,y:$~

)

I. 2 .3

Ca la 2

2 .

a

Z

II).

o

~

:z: U

Zc

O

~ Z c ~ •

230

2

s: -3

.

e) F' .

punctul antenor,

)

-2e+2

= 1• (2 .3)

de

.2.3 •...*10

+ f(y)

Reciproc,

~< 9 3 a+ 2 _a+ :$-· 2 2 G_( 3)

ie

-

-CO'2

• In

=/(8)*

~X'=~

2

element

1

3

2 (2x + 3) < 2'

neutru.

x, *x2 * ... *x.

Fie

XEG.

. Avem

rezulta ca G este parte stabila. Legea este Cum

.

de

=(-2)'-'._IT

1-'.2......

(XI'

_~)+~, 2

2

deci

2

4

j) Prin inductie se arata di

sunt simetrizabile.

grad

... *2013=3-1.3.5

.... 4023

2

T este

Jl(, ceci

bijectiva,

deci

a E lR

I,

rezulta

... +17)=/(125)=118.

26.

I

este

~b=-3,

a = 1,/ (x) = x -

§i b = -3 . b) Alegem

ca

J1JVIU~LLl.

izomorfism.

bijectiva,

deci

v'"u

b) a)

deci I

3 . Deoarece

izomorfisrn

.

I

este

Atunci

27. a) ~ oX o ... ox. == I(x,)o l(x2)o ... oI(x.) = I(x, +X2 + ... x. +3n) = x, +~ + ... x. +3(n-I). 2 Y f(Xo Y) == I(x+ Y -I) = ex-'e -' = I(x )/(y), deci I este morfism. Cum I este bijectiva, rezulta

cI

functia

I

este

izomorfisrn.

QI(x)4==/(S)~e4X-4=e4~x=2. 0

I(Y)

b)

xoxoxox=S~/(xoxoxox)=I(S)~

28. a) Avem

= (J(x)+

1)(J(y)

xoy=(x+I)(y+I)_I.

este morfism, atunci

I(e) = p

este morfism. Cum I

are elementul neutru p = 2 . b) Daca

=> a = -I . Pentru a = -1 se veri fica usor ca

Trebuie sa demons tram ca I ( x + y) = I ( x ) I (y) , adica

I:

X,YElR'

x e x = (x + I)S -1 => (x + I)S = 2 => x = ifi -1 .

29. 0) Legea ,,0" are elementul neutru e = 3 , iar legea "."

f

Pentru

+ I) -1 = = xy -1 = I( xy), deci I

este bijectiva, rezulta cal este izomorfism. b) xoxoxo

7X+ Y

= T' 7 Y

,

I

este morfism.

30.

ceea ce este adevarat, deci j

Z ~ Q' sa fie izomorfism, stiind ca I morfism (din a), este

necesar ca I sa fie bijectiva, Cum pentru y = -1, nu exista x E Z astfel lncat 7x = y => I nu este SUJjectiva, deci I nu este bijectiva, ceea ce inseamna ca I nu este izomorfism. 31. a) Trebuie demonstrat ca Vx, y E G => x* y E F. Avem x > 4, y > 4, deci x - 4 > O,y - 4> 0; obtinem (x - 4)(y

Cum am demonstrat a), ramane sa verificam in continuare axiomele grupului: G,: Operatia ,,*" este asocianva. Observand cli x. y =(x-

x·e=e.x=x,

24. al v

1* 2 = 0 ~ ~9 + a = 0 ~ - 9 b r:;--~~-a-. ~ Avem (x*y)*z =3IX3+y3+ 3+2 _ ( c " z a -x· y*Z), VX,y,ZEIR. ~ Lege:! are element neutru ~3eElR,x*e=e*x=x,VxElR ~3/x3+ 3 __ \-I ~ e=r-ila dl V e =a -x, vXEll' . v Legea este asociativa §i are element neutru F' 1ll> • " 3/ . ie XE"" Atuncr xox =Xox=e~vx3+x'3+2=_~ ~x' __ 3'4:3. . 'if 4 + x E lR , deci toate elementele sunt

VXEG,

e = S E G este elementul x

1.2*3*

este

ax+b+ay+b+3=a(x+y)+b,Vx,YEIR

rnorfism daca si numai daca

fiJIIctle

+ y), V'x,y

f

ca

rezulta

1(9)* 1(10)* ... * 1(17)=f(8+9+

EG

este simetrizabil,

= _1_,

x'- 4

4)(y-

4) + 4, avem pentru Vx, y, Z E G, (x* y)*z

4)(z - 4) + 4, iar x*(y*

+ 4, deci (x * y) * Z = x * (y * z),

xox'=X'OX=I~(x+~)(x'+~)=.!. 2

deci toate elementele

I,

- 4) > 0, de unde rezulta xy - 4x - 4y + 16> 0, deci xy - 4x - 4y + 20 > 4, adica x* y E (4,00). b)

§i are

+ 7 = x + y -7 = f[x

grad

l(x)./(y)==/(x+y),VX'YEIR~

Il)

+3e+a=0,VxeJR

de unde a:$-3.

X*Y=-2(X-~)(Y_~)+ 2 a

= f(x)

morfism de grupuri. b) Pentru ca

atun . 3 3 3 CI 2·2:$2'

este parte stablla daca §i numai daca

U

~ ffi

rezulta

(

~x

* I(Y) functie

4)(y- 4) + 4] *z = (x - 4)(yasociativa

1&1

.

pentru

X. y=-2(X-~](Y_~]+~

A.

~ ::l

atunci

(-co~].

;;

:$ a::

este parte stabila

2'

~ >cc

3

~ 3e E lR x*e = e*x = V lR , x, XE

f(x)

este

rezultli ca I(x)

23

.

~ a - -3 . b) Daca legea este asociativa, rezulta din punctul ant' a _ 3]( 3) 3 ( )( enor c a - -3. Pentru a = -3 avetn ( x-2 x*y=-2 y-2 +2=> (x·y)*z =4 x-~ y-~)(z-~)+~=x*(y.Z)' Vx,y,zElR. ~

N

(x-5)(x'-5)+5=6_

Avem

eox=xoe=x,VxEZ~x(6e+5)+6e+a=0,VEZ element

fata d t"

G astfel

E

adica

z) =x*[(y - 4)(z- 4) + 4] = (x - 4)(y- 4)/z - 4)

,,*" este asociativa.

adica (x-4)(e-4)+4=x,

VXEG,

de unde rezulta

x' = 4 + _1_. x-4

Cum

e EG

adica (x-4)(e-S)=0,

x' E (4, +00) => orice

simetrizabil fata de G. c) 1:(0,00)~(4,00),f(x)=x+4 (G,*),

G2: Cautam

astfel ineat VXEG,

deci

neutru. G3: Orice element din G este simetrizabil fata de ".". Daca 3x' E G, astfel incat x * x' = x'* x = S, adica (x - 4)(x'-4) + 4 = S, deci

x-4

g1Upul

= [(x-

deoarece

I(x,y)

element

din G este

este morfisrn de la grupul

= I(x) */(y)

(pentru

ca

((O,oo),.)la

l(xy)=xy+4

iar

1[])

fey) = (x + 4). (y + 4) = xy + 4, deci I(xy)

f(x).

unde reZUltli/izomorfism.

= I(x) * I(y»

si de asemenea,

32. a) Prin calcul se verifica usor ca I( xy) = I(x).

I

I(Y),

bijectiva de Vx,y E (0,00) ,

J

simetrizabile. e) Prin inductie dupa n se demonstreaza ca X I

*X * *X 2'"

_ 3

• -

f.

LJXt

3

(I)

+ n-

a, deci

.

decif este morfism. Inversa functieij" este b) Fie

(-I)*0.1*2*3*4- H cU

X

n

»

(~). y

= x· = 1 => ~ e U., rezulta concluzia. r" y

De asemenea,

ca

(akrl

~

rezulta

a: ~

1= COS-+ISlD7

cj

grupul

(5".

ordinul

.

U42este

x e H. Atunci

b) Fie

V'a", al e H => a" . a' = ah+1 e H .

= a" e H (ao = e), deci H este subgrup al grupului lui

a

este

6.

5,,)k 5k". . Skr: =cos-+lslD-~-e2Z 7 7 7

38. 5k 7

14. c) H este subgrupul generat de

is

~(a-I)x=o,V'x,y,zeR,

~

x a y = -2 ~ (x + 2)(y + 2) = 0 ~

11.1

i

deci

a=1. X

= -2

a)

(Ss,-). b) Din calcul

&42= cos30" + isin30" .. deci ordinul

~I4Ik,

e.

=> &42= I.

elementului

.

b)

s

39. Avem

40. a) Observam

cll xoy=(x+2)(y+2)-2.

sau y = -2 . b) Pentru a determina elementele inversabile

de unde

•

xo x' = x'ox = -1 ~ (x + 2)(x'+ 2) = 1 ~ x+ 2 e {-I,l} ~ x e {-3,-I}

e=-IeZ

este element

in

Avem

~

232

2 este morfism de inele

d

eoarec

e vern:

x

T x'=x'

T x=6,

x'eQ-{5}.

adica

Y sa fie

{} 3x' Q-{5} x EQ - 5 , E

Daca

inversabil.

5x _ 24

(x-5)(x

incat 1I

verificat

c

x-5

, rlimane sll arlltllm cll x "*5~

Cum X'EQ,

.. Mal trebuie

x' = -.

, ) _ 6 deci -5 +5 - ,

astfel

~

x-5 If1I I(x) Q ~ ",!,

"*5 ~ 5x - 24"* 5x - 25 , ceea ce . = x + 5 este morfisrn de corpun,

. D· (1f1I 1.. T) este corp. c) Functra I: este evident. eCI ",!, , _ 5 = I (x) 1..I (y) o I(x+ )-x+y+5=x+5+y+5 deoarece 'lfx Y E Q , avem: 1 . Y . bii ctie deoarece , Q l(x)-x+5 este ~I IJe I ' 20. l(xy)=xy+5=/(x)T f(Y)· Funcpa I:Q~, -. .. d) Se " () _ A adar f este Izomorfisrn de corpun V'yeR3Ix=y-5EQ astfe\ mcat I x _yo ~ ) N' si , . .•• T T T x =(x -5)(x2 -5) ...(x. -5 ,cu n E demonstreaza prin inductte dupa n, ca XI x2 .•• I •

43. Demonstram relativ prim cu n. ,,=>" presupunem

;;t, == ~b== 1

neutru fatli de ,,0". Apoi,

A

este elernent inversabil al inelului

'1l

ca a E !LJ•

daell ~i numai dacll este ( Z.,+,· )

3b E Z. cll ~ este inversabila in inelul Z •. Atunci ~=

rezulta

n \ ab -I

cll

_ y e> x:; y( rnodn)).

(arn

Bxista

folosit

deci

faptul

k EZ

cll

~b = i.Cum

astfel tncat

y~

x(rnodn)

incat

=

y(

rnodn) ~

ab - 1= nk .

A~adar

astfel

xo(y.z)=(xoy).(xoz)e>

Z

CC

x-

_2=x-2+y-2+2=/(x)*/(y). /(x+Y)=x+y V'x eZ. 10/(xy)=xy-2=/(x)0/(y), ,Y . 'd. versa rl:Z~Z,rl(y)=y+2. Prin 2. '1l I ( )= x _ 2 este lDversablla, avan lD . I·Z~!LJ, x 41.Avem x.y=eIOg,.IOg,y, fUflctta·. d I inelul (Z +,.) la inelul (Z,.,o). e a tneuu u=« . . _ • _ log,. = x deci e I este lzomorfism urtJIaf , I ( ). deci legea este asoclatlVlI. Cum x· 2 - 2 x -:-e , 10g,.log,yog,' = x. y z, 2 ~.(y*Z)=e ) {} C .z!0gx =2· rezultliclixesteinversabil.Deoarece um x , · (0 00 - I elernent neutru. F ie x e, . • If1I 2 eSte I y+log' log,yxlog" = (x. y) .(x. z}, rezulta cerinta. 42. a) Cliurnrn e e "'! log,>"= X og, '= x I ~.(yz) = x V' If1I adica x + e - 5 = x, 'lfx e Q, deci e = 5 e Q este elernentu 't x 1..e - e 1..x = x , X e",! , 1.." • tli astfel inca . x tru inceput elementul neutru 11 al operatiei " ,cau m .. 1.." b) Determm"m pen neutrU al legll " . _ 'If R adica x + 11 - 5 = x, 'lfx e Q, deci 11 = 5 e Q este , .. "C· lim tfel incat x 1..el = el 1..x - x, X e el E IQ! as ". d t rminam elementul neutru e2 al operatiei "T. aut tul tru pentru ,,1.. . Apoi, e e . T _ 'If EQ adica (x-5)(ez-5)+5=x,'lfxlQ!, deci elemen neu astfel incat x T e2 = e2 x - x, x , .. " e2 E IQ! loX _ 6 E Q este elernentul neutru al operatier "T (am 6) - 0 V'x E Q , de unde rezu L

grad(l)==4;

a==l=> grad(l)=I;

a=-I=>

(1)=2.2.

grad

C=3X2+X+6,

r ==_ 2X + 9. 3. a) I (I) = 320+ 1 ; b) ao + a40 = 4 . 4. r = 1(1) = 1. 5. Se impune I ( -I) = I (2) ¢:>-a 2 4 3 =2a+ 15 ¢:>a==-5. 6. a) c=X4 _X3 +5X2 -5X +3, r=2. b)c=X + 2X + 8X + 16X + 30, r =6S. .f=(X2-I)C+aX+b. 7 Lr=/(-I)=O¢:>

l(l)==a+b I(-I)=-a+b

a+ 8=0¢:> a==-8.

=>{a+b=3 -a+b=9

9.

+b-2.

I=X4

=>{b=6 =>r=-3X+6. a=-3

+X3 +2X2 +X2 +X +2 +(a-I)X

10.

+(b-2)

X2 +X +211 ¢:> a=1 ~i b=2.

A2 A

c) Cum M este 0 submultirne finita a grupului matricelor inve " . stabila :at de inmultire, rezulta cerinta, rsabile din M 3(Z5) , ~I M este parte a 2 49. . a). 3x ==-4 , adica x2 = 1, de unde (x - I)(x + 1) = 0 si y cum (Z 7'+" ) este corp, nu are divizori

u ro,

r

Y21 i

1=(X2+X+l)(X2-X+I),

g==(X2+X+

1).

I)(X+

d==X2+X+I

I 2 b) X +X X X X+X

si

3

m=(X2+X+ •.2

2

2

1)(X2_X+ (

I)(X+ )2

1).11.

(

a) xl+x2+~=3. )

2

., +X2 +X3 == XI+X2 +X3 -2 XIX2+XI~ +X2~ = 5+ X:=-5~+2xi-3,

e emente.

~I

6

=(X2 +X +2)(X2 +I)+(a-I)X 12 =1,2=4,3=2,4=2 A A2 A2 A

Incluziunea inversa provine din 02000= 0,12000= I; 22000= 23'666+2_ A. A2000 A6·333+2 A b Z {AAAAA} -4,3 =3 =2.48 a) a, . I e 5 = 0,1,2,3,4 . Adica fiecare poate lua 5 valori . Atunci CI mu Itimea M va avea 5·5 =•25

ci • ~ ~

Deoarece XI-I ==(det X [2 A2 I

XIX2=[ala2+2blb2 alb2 +a211

r'1 (a-bll

~ ~

~

SO.

Xf E H . Folosind proprietatile lnmultirii in Z5 se arata ca H este grup in raport cu lnmultirea

46.a)FieXI=(~

~

(A) (A) (A) A A A A A 2 ·f 2 ·f 2 =3·3·3=6*-1.

=f

45. a) a.b,c e {0,1,2.3} , deci fiecare poate lua cate 4 va Ion.. A tuner. numarul elementelor multiunn" G

b(a+c)=0,a2 =1 pentru ae{U},c2 =0 pentru ce{O , 2} . D ac•• X_A A atunci. b = 0A D a -I,c = 0, A A A . aca a = I,c =. 2, atunci b = O. Daca a =:3,,_ c = 0 atunci b - OA . D aca a = 3A c - 2A atunci b A A concluzie, avem 4 solutii. ' -, CI = O. In

3• ::> ~= •.•.

A A A)

1(0),:;/2(+2+2 t= y

2

~

rezulta ca f(6) = 1. Avem

~i 1 element neutru in (Z;,.),

element mversabil in Z 12 , rezulta A (d et(A)- I)A' = 12, deci det(Arl A' este inversa matricei A ste . b) Se d emonstreaza prin calcul ca A-I = A

este 4.4.4=64.

...I

element neutru in (Z6'+)

de'

ie{l, 2, 3}.

Fie

4

=2

Sk ==x~+x~ +x~.

9

I 2 3

. b)

-~

7 . 12. a)

XIX2+ XIX3 + X2~ 2 .\ A =-.3 ct vem XIX2~

Prin

insumare

rezulta

ca

+ 2S -9 ==-164. 13. a) I =(X -xl)(X -x2)(X -~)(X -X4) => 1 2 4 (1- xl)(I- Xz)(1- ~)(1- x ) = 1(1) = 2. b) (1- xl)(l- x2)(l- x3)(l- x ) ==l(l) = 2. 14. a) Avem 4 XIX2~X4

S3 =-5S

x: = x~ _ 3x + 5 , i e {I, 2, 3}. Prin tnsumare rezulta S3 = S2 - 3S1 + 15. Analog, deoarece iI i x: = x: _ 3xi + 5x , i e {I, 2, 3}, prin insumare rezulta S4 = S3- 3S2 + 5S,. Cum SI = I si ~ , 5 => S3 =-5 -3 +15=7 ~iS4 =7+15+ =27. b) ~ S2 = (Xl +X2 +~)2 _ 2(XIX2 +X X3 +X2X3)=-5 I c ~(x, + X, +x,Xx,x, +x,x, +x,x,) -3x,x,x, ~ -12. •

t..:x,

1•

+( Z

15. Q)f(-X)=(XZ-X+lrO . .

mfirutate b)

de

radacim

d ,

. eel

)4

X +x+l g

=

=f(x) O.

,

"Ix elR.

ca

Rezultli

g=/(X)-/(-X)

Polinomul

I(X)=/(-X)::::>

a

=0 Zk+1

ao +al +az + ... +aso = 1(1) =340 +

a

I. c)

_ 1(1)+ 0+ az + a4 + ... + aso -

1(-1)

2

::::>als-O -

1(1) = 340+ 1

XI 2 b) (XI- x2) + (X2 - X)/ + (XI- X)2 ==2(X2 + X2 + y2) _ 2( I

a)xl•2=±I'X:!.4==±2;

18.

bl r=l a « 8)X-7.

c)

::::>a ==---4, b == 12. b)

~ at:

;:)

u.:

• >
XlR[X]

" 3 a2 nUdlvldepOlinomulf,decignudividepolinomulj

.24.a)

. Din 1(1)==a+b ~i 1(2)==2a+b rezulta cli a+b=I,2a+b=1 a) 1(0)==n::::>n=01(1)-1 , - +m::::>m==-1. b) S =-2m==2 _ I 1)(X2 X ) 2 ::::>m--. - + I. 26. a) g==(X_I)(X2+X+2); 1(1)==0::::> a+b=-2

::::>b ==-2 - a

Din

x

_

' ~rhr unparp ..•ea 2

)

lui

I

X2+X+2

la

se

2

0

bti pne

-3 ~ .+X+2. 27. a) I==X(X -1)-9(X2-1)==(X2_1)(X_9)::::> b) Rlidlicmlle sunt ±l ±3 . , ,care verifica relatia cl 1(3x) - 0 I" "/ ~

==I si

..

tul implirtirii lui I

,res

la g. Atunci

(_I)==-a+b,f'(-I)=a. /

Pe

2

r = aX + b ~I 1= (X + I) c + aX + b,c e lR[ 0.

avem

= X3 -12x

g(-2)~0

si

~(x-~J

Deci

rezulta cli /(-1)=0,

-I) X

~~O~aE(-oo,-I]U[3,oo).

, ,I -2 2 Un cmmdc este X2 _I . ( ~I un cmmrnc este X2 + I)g b) MI' are 2 elemente deci U U U . u [rmea U4 U6 ==U2 , 4 6 are 8 elemente 32 a) Fie C . lui I la g. Atunei reG) = I( ) _ 2 .: ee 0 rlidliclOli a lui g ~i r restul implirtirii e -3& +2&+6.Fle h==3X2+2X+6 Cum ( -h)() . . r e = 0 , g are trei

236

&5

V3r::::-::xIXZX:!, d eCI. XI = Xz ==X:!=. lOb' tinem q =. 3 40 • 3 Presupunem cli / are toate radacinile reale. Atunci f', deci si f" au toate radacinile reale. Cum

at:

•

/(

r(6)":

XIX2X)

ratIOnale ale lui

Q z c:c :E

Avem

a==-3,b==l. b) r=O ~i

~

o

- 0

,

I.

&) = &4+ 3&2+ e + 6 . Cu argumentele de mai sus rezulta eli r = X4 + 3X2 + a== _ ,~e 0,b-l::::>r-I.25.

CL

~

. ii lui/

.

s.

:E II) 1&1

14

C .

.

.' .• a/ 0) ==l{l) ==L: 0 ::::>I nu are radlicini' Z " Ireduetibil in Z 2[X]. b) Daca I ==g . h cu h e Z i in z : Cum gra~ (f) = 3::::> I este dOminanti I ~i deci grad 'h > 1 [X] ~ grad!, h ~ I ::::>g ~l hare coeficientii , g, - . Rezulta J=s-« in Z [X] c. 1(0) + 1(1) + 1'(2') ==3' , _ ' , . 2 ,lals. 23. a) a + I - I b) X - 2 cl f « d ibil ( . IIre ucn I ~ f tus are rlidlicini inZ ~ -I'

~ 1&1

1 +.

2 2 2 2 -2 XI +x2 +x) +X4 ==92? + 3 ==II ::::>2? ==8 2 _ I 2 X3 - a::::> a = 3 ::::>a = I. ::::>r-4::::>r==±2::::>x ==-1 -I 4 b = 12 22 .• 1'(' " " , I ,X2- ,x3==3::::>a=_

i Q

2

b)h=4X4_5X2

l(x)-I(y)==a(x4_y4)+b(x_y) 2

0

a) XI + x2 + x) = -a ::::>a = 0 . X X +

. , I 2 XIX) + X2X) -- b -- b = - 3 ,XIX X:!= -c ::::>c = 2 b) r;:: r;:: 2 x2 = -,,2 ::::>x) = -a e Q. c) Presupunem lil " . XI = ,,2 ~ . e are 0 rlidliemli k mtreaga Notam ' , polrnomului/la X +k , Atunei I(O)I(l)=(-k)(I -k) ( . g eatullmpartirii 2 g O)g(l)::::>k(k_ 1) impar, fals. 17. a) I=X(X +12X +20)=X(X +1O)(X +2)::::> ==0 _ 16.

. . distinete ~i grad (r - h) ~ 2 , rezulta eli r = h. b) Fie s

are

/

fals. 41. Pentru X e lR ,

nu are nicio radacina iar celelalte

reala. 42.

doua radacini

Cum

ale lui / sunt

+ I . Cum !!. = (a _I)Z - 4 ,fare toate radacinile reale daca ~i numai daca 43.

Folosim

sirul lui Rolle pentru functia derivabila

g:lR~lR,

+ m . Avem ±2 radacini pentru g', / are toate radacinile reale daca ~i numai daca

g(2)~0

+2(x-~)+a+2==0

~

me[-16,16]. ¢:>

44.

Fie

IZ + 21 + a + 2 ==0 , unde

xeC. 1

1 ==X - - • X

Avem Dacli

X

/(x}=O~

e lR ,atunCI

.

1E

lR

,

deei 6~O(:::)4-4(a+2)~O(:::)

S

.

.

2

-1. Daca as -1 , atunci ecuapa 1 + 21 + a + 2 = 0 are r.1dlieinile 11,/2 reale. Cum r.1dl!.cinile din IC 1 I· f .. ··1 2 a e Ul sunt solutiile ecuatu or x - t,x -I = 0 i = 1 2 eU 2 6 = I. + 4> 0 rezulta clifare toate ..x ..•~ . ·1 9 " "luaCIDI e reale. In concluzie, a ~ -1.45. a) Avem al = fl{O) . a

I

Cum /'=30(X2

+x +2f

Cum x2+x+2>0 • .

{2X +1)+30(X2

~i x2-x+3>0

-X

pentruoriee

. .

+3t

XElR

(2X

-I),

"

rezulta eli a =30(229

_329).

l

rezulta ca /{x»O'v' "

1!l>

X E A,

d

,

if

eel

b)

rationale.

fJ

= ±I. Cum q a , rezulta cli / are radacin! rationale daca si numai daca a = -3 sau a = I

Dacli

/ (I)= a + 3,/ ( -I) = Iin concluzie, valorile intregi

/(

= O,p,q

E Z,q;e

ale lui a pentru care/

Daca a = 0, atunci /(0) =0. Dacli a = i, atunci cerinta. 48. Avem /(0)=a'/(1)=a+3, daca si numai daca a E

...• UI

a: l-

i

/1,

p,q

Q

este ireductibil peste

/(2) = 0 . Daca

gradul lui /

a=

unde

rezulta

deci

E

sunt a E Z _ {_3, I} . 47:

2, atunci /(i) = o. Deci/

Rezulrg

are riidlicini In Zs

este 3, rezulta cli polinomul este ireductibil peste

Zs daca ~i numai daca nu are radacini in Zs, i.e. a de

atunci

/(2)=/(3)=/(4)=a+4.

{o,U} . Cum

/(x)=x4+4x4+3=3;e0,

0,

E

P,4} . 49. a) Cum

concluzia.

b)

XS = x, 'v'x E Zs , rezulta cli

/=(X4+1)(X4+3).

50.

3. ANALIZA MATEMATICA (clasele XI-XII)

3.1 Limite de ~iruri. Limite de funqii. Funqii continue. Funqii derivabile

fel1'la

.llinl/(x)=limxl

,.

11,/

nu are

rucio radliCIDlllireala. 46. Cum gradul Iuij" este 3 rezulta cli polinomul est . d ibil .. .. .' e ire ucti I peste Q daca ~I numai daca nu are radacini rationale. Vom determina valorile intregi ale I . tru UI a pen care / are radacini

,.rtea

~

gul

In(x2 + 1))

(

x ....•co

X4CO

a

o

. 'S

:

;:)

o

.

/=(X2+1)(X2+X+2).

b) Cum 3

x3=X,'v'XEZ3,

= g( x), 'v'x E Z3 , unde g = X + X2 + X + rezulta cli g este ireductibil peste Z3 .

2.

Z

.1

2. 0/

Avem

lim lex)

x ...•-«>

= -I

X

la gra ficul functieij''spre I

~

UI

~

•

;:)

(cu

+1

X

2(x2 -I)

;

(x2+lt

(cu L'Hospital!)

~i lim (f(x)

-00. Cum xlim lex) = 0, dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00. ...• oo

Oarboux (fiind continua), este descrescatoare

are rlidlicinile reale functiei/pe

="25. ~I

XI

X2•3

x

x-+co

X-+"""'«l

= 2(2x - 5)(x2 - 5x + 5). Ecuatia

f'(x)

=0

5±.J5 . AI ternativ, . a firmati = -2ana rezu It"x ap I·' tcan d teorema IUl. R0 IIe

~E

-00

f(x)

Cum gradul lui g este 3 ~i g nu are rlidlicini In Z3'

+«>

'\.

0

+++

-I

?

= 2x+I_2x.inx+I,'v'x>0. x +I x = lim/(.!.) y.j.o y

5. a) /'(x)=e"

~E

5

"2

-2-

f'(x)

avem /(X)=X4+x3+x+2=X3+ 2+x+2= X

c) lim lex)

lui

intervalele [1,2] , [2,3], [3,4]. b) Calcul direct. c) min j'(x) = -1 (vezi tabelul de variatie) .

a)

4.0) f'(x)

c) Deoarece / are proprietatea

si lim lex) = +00, lim lex) = 0, rezulta 1m/ = lR .

3. 0) Avem lex) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) ~i f'(x)

HOO

+ x) = 0, deci y = x este asimptota oblica

x ...•-«>

= - eX1+I < 0, 'v'x E lR, deci / este strict descrescatoare,

b) f'(x)

CC A.

2x

X400

pUllctele de inflexiune sunt -I ~i 1.

o ;:)

00

deci j este crescatoare, c) /"(x)

;:)

u.:

X

x400

(x _1)2 b) f'(x)=---~O,'v'XElR, x2+1

lui L'Hospital).

[ooJ .

. In(X2 + I) lim =-=hm-2-=0

=+oo,intrucat

X

-2-

* '\.

0

+++

-I

?

0

b) limf'(x)=

lim(2X+I_2in(I+.!.)X)=2_2ine=o. X +I x

x ...• oo

X-+OO

I

[Q]

= lim y -in(1 + y) = = lim 1- y+1 = lim_lyO / 0 y.j.o 2y y.j.02(y+l)

-I, 'v'XElR.

+00

Functia j' este strict descrescatoare

=.!. (cu L'Hospital!) . 2

pe (-00,0]

si strict crescatoare pe

[0 +00). Singurul punct de extrem al functiei este x = 0 (punct de minim). b) lim ,

x-+o

eX -x-I 2

x

I = -2 (se

U

III UI

Z >CC CD

a:

UI \110

aplica regula lui L'Hospital).

d

x

•

UI

f(x)

~

o

7. a) f'(x) = __ x_

~

rex)

,,/x +1

238

-I =

2

Z CC

•

=e . c) Din tabelul de variatie rezulta 1m/

/(x))"

-I

-00

(x2 + I) x2 + 1

0

-,

>t

1 ,,/x2+J.(X+,,/x2+d

1 ----);=== > 0, 'v'x E lR,

1

0 +++

f'(x)

e o a:

c) Din a) rezulta ca lex) ~ /(0) (:::)eX ~ x + I, 'v'x E lR.

2 6.0) /'(X) = l-x , x e R. b) lim(l+ 2 x +1 x ...•eo

I

-"2

/

+00

0

}I

I

"2

-,

< 0, 'v'x E R , deci

deci / este convexa.

=[-~'~J.

c)

>t

f

0 este strict descresclitoare.

. . hm lex) = lim x ...•ee

x ...•00

b)

1 - 0 deci ~I - , x+ -q x: + I

dreapta y = 0 (axa Ox) este asimptOtli orizontala spre si

-toO.

Apoi,

j;2;1 + y _

= lim y->",

limf'(x)

- -2

_y

I

-0

~ -, y->","y- + I + y

deci dreapta de

f

1 = -2 , rezulta cll

Is '(I) = 2, fd

'(I) = ~ ' decifnu

2

Inf(x)

In(x+lnx) x-I

xJ.1

e derivabila in x = 1 .

f '()

2x x = 3/' VxeJR\{-II} 3~(x2-lf ' . Deoarece lim /'(x) = -0 x,

0, Vx>O X (x + I)

15.41)

x f()lim --= x - x ...•-ool+\x\

. x~

x

.

f'(O)=hm

x ...•o

f(x)- f(O) Ii I = m--=I. x-O x->ol+\x\

continua pe JR ~i derivabila pe JR. , intrucat !,(- -1. Functiaj" este strict crescatoare pe (-1,0]

. f"( ~I

)_

-toO.

=~.

si strict descrescatoare

pe

x +I .

= -.,fe, fd '(-2) =.,fe, adica)"

2 =e ,

=e'~:~1

= eO= I. b) y = e este asimptota orizontala la graficul functiei spre

x.!.o

de unde, conform unei consecinte a

Is '(-2)

x > I avem

_. 10(1+ y) _ [ -I. c)

f(x)

~~7

1

=

-"2'

&AI

0""·nu este derivabila in x = -2.

x f"

* O. Functia

(0,1)

240

f(l-

U (I, co]

derivabilape

daca x < -2

= 3x - 2 X4

'

X

-

3x - 2 ---4

-

,

pentru x> -2 ,

x se anuI aza doar i 2 . e oar III Xo = care este unicul punct de inflexiune aI functiei f, intrucat

i§i schimba semnul de

13. a)

•

f"

c) f"(x)

3'

0 parte

§i de alta a acestui punct (faceti tabeluI de semn!).

0) = f(l) = f(l + 0) = I, deci f (operatii cu functii continue), (O,I)u(l,

~

23 a) I(x)

5

ffi' ~

a

n->a>

0

+

I)] =

n-+a> :::e-I

~(/(:2 )- 1(;)) ~~(:2 I) . c. un 6)

=

I(x) - 1(0) 1 lim ., xto x- 0

+1-(;-1))

I· ( 1- xto x

Jim

-3n2

n->a>1(n3+3n2+1)2

+n{ln3+3n2+I+n2

Jim I(x) x--+-- I nu este derivabila in 1.

2

lim/(x)=-«>.

este asimptota => I

1a

este injective.

I (lR) = R , deci I este

surjectiva,

1

1

1

= /,(0) = 2 .

'(I) = /,(rl(l))

'o X - 0

Deoarece

1- cosx) _ .. I(x) - 1(0) - 1 ~I hfD x x 0 X - 0 0 ~i 1'(0) = 1 . xto

[A2;;L/(I) n~.!. 2n -I

2;;-1] ·-1n

V

0

vecinatate

a lui O. Este

Fie sirurile un =

. (

= lim xJ.o

eX -IJ x + -x

Inu este monotona

sa aratam

1

vn =

~l.

ca exista

= 1 ' rezulta

11.

Ii

II)

= In2 .

(cu

~i

iteriul cnen

derivabila pe R . a,b,e E V,

1

0

n-+a>

3; + 2nf( , n ~ I. Cum

Din faptul ca larctgxl o

Z

u este strict

lim I(x) = O. Cumj" are proprietatea

~I

rezulta cli 1(0,00»)

x-+±oo

~

ca

X-+CIO

Darboux ~i este strict descrescatoare,

'D. II)

deci dreapta de ecuape y = 1 este asimptota (orizontala) la graficul functiei/spre = [(1 + (f(n)

u:(O,co)---+lR,

'] . Cum (f(n»"

', -I) u {O}u(I, co) , care nu este interval, decij" nu are proprietatea lui Darboux.

,x>I

I" , Jd

spre

_~-In(x+l) ( ) - x+1 ,,:J

tui

1

.J 2 x-I

lui I

UI~-'

x

,

.,

Jfaficul

12(X)'

Jim I (x) = Jim _1- = 0 => y = 0 este asimptota x-+a> x-eec X + 1

Cu regula lui L 'Hospital,

,I

apla

+1

X --

-

1(x3+3x+4)2 e) /,(-1)= Jim I(x)-

. deci dre

=0

+X:VX3 +3x+4

p

2'

x

(-00,0) (0 +CO) . XE , E

CIIi=

~ ~

::i •

24

~l.

Pentru x=-l 30. a) f'(x)

X= 1 0 bti pnern

= xcosx; x

C1=-- tt si

2

sin x , '.

2

.intrucat

f(n))

0, deci lim(!(n+I)"""".

°

n

'.I

(n,n + I) astfel

n-+«>

>0 'i~

'

_1_)

I (I = -3

_

2)2

3

a

'OO

•:

.

t unctele de inflexiune ale funcl1el. sun p

2, '

'" A sm

..: tC

.

~

39.11)

°

f(5) < f(3) .

I

n

(n-l)n(n+I)=0=>lim2-'Lik)(0)=-. 3 3n2 n->oon3k=1

I

'

x->OO

singurul punct de extrem al fractiei f c) Inegatitatea s~ sene : · . f tul x f'(x) < ' adicafeste strict descresclitoare pe (0,00). FoIosim apoi ap ca , , . . t 38. II) f'(x) = (x2 + 2x)e ', iar daca

obtinem

v312' x-

+~)

2

X,

~if este strict crescatoare, prin inductie se obtine cli (xn ).~O este strict descrescator. Fiind monoton ~i mlirginit, sirul (xn ).~O este convergent.

xaf(x)=

x ••.•eo

l: VzC

-

2

'-

2 I" lim xaf(x) Pentru a < - rezu l4 3 x->oo

an+l - an = -In(1 + an) < 0, '

~ Y.I

J;+i

sin

-

37.11)

Cumj este continuaobtinem obtinem

--inl_ 2

+ex>

a.

inductie

J;+i

I ~2sm

-in .

+

2xa

f este:

A.

~

(7i

= -+ 2

n

2

b) Tabelul de variatie al functiei

~

pe (-I, 0] ~i este strict crescatoare pe

b

~i

2

f ( n + I) - f( n ) -

• ca't m

36.1I)f'(X)'"

(pe I) si doua solutii pentru me (-00, -I) .

1'(x)

2 ~oo

=(2mr)

. It mativa: Conform teoremei lui Lagrange, pentru orice n ~ I, exista cn Solul1e a e .

obtinem ca ecuatia f(x) = m nu are solutii pentru me (-1,00) , are

~ 32. a) :::)

an

-f'(

c) Folosind sirul lui Rolle pentru functia g: (0,00) -tlR, g(x) = f(x)-m,

•

(Fx)

nO

ae[-I,oo).

ca n-+OO lim c, =

E

l

~=_I x-O

\f(n+l)-f(n)

. Valoarea maxima a functiei este f(l) = -I; rezulta ca

...

intervalul [n,n + I), n

d It' ca f nu are limita la +ex>. b) Pentru orice de un e rezu a -cosFx ' __ tirol-cosFx =_lirol-COSY 2 ,deunderezultaca fAO)x~O (Fx)2 y->O

c) Avero.

....-00

este convexa. b) Existenta punctului

2

'f(n+I)-f(n)=-2sm

+ex>

f

n

. J;+i

°

-00

b) Conditia este echivalenta cu a ~ maxf(x) iil

.!..)n . De aici rezulta

"1 ~ PentrU sirun e

J5.

oare

strict crescatoare pe (0,1] si strict descrescatoare pe [1,00) .

Functiaj'este

881&--

Tabelul de variatie al functiei este:

° ----------

deci

,

N*, iar unicitatea f'( ) d este strict crescatoare pe (0,00). c) Avero fen + I) - fen) = cn' e

din teoreroa IUI rezultA d f tul ca f' .•••'ratA e ap ____

are,

,

-I +++++++++

vx» 0

x-x'

. Lagrange aplicata functieifpe

deci f este strict

(fiind continua),

"( ) -.!. > 0

f

j'(X)",lnX+1,'0=>

llb ••

u: (0,.::.) ~ R, u( x) = xcosx - sin 2 x eSte

deci u este strict

ca

()x

f((O,%)J=(;,I)-

= 1- x, ' 0 ~ x(x+ I)

pentru orice k=l,n-l.

este functie continua, ecuatia

f

n -I

/"(x) = 0 are

are proprietatea

Din

surjectiva. b) (j-I)'(ln2)=

solutie pe

puncte de inflexiune .

este strict descrescatoare,

Iui Darboux.

0

Ca

f

este

= 0, rezulta

ca

deci este injectiva. Cum

f(O + 0) = +00 si

lim f(x)

x ...• oo

(~ )=_1_=_2. /'r (In 2) /,(1)

•.•

Vx > 0 ~ », r= f(1) + fi2)2 + "')+ fen) = ~(n2+ 1»), (V)n ~ I. Rezulta ca Inn+1 Inn+1 2 ==lim In(x+l) =[~]=Iim x +1 =.!.. x ...•co In (x2 + 1) 00 x ...•ec 2x(x + 1) 2

I(x) = In(x + 1) -lnx,

limu ~-.",'

••••

intrucat

--

' rezulta ca f(k+O)

ri x) = __

descrescatoare,

= +00,

x.i.k

b) /'(x) = - t--1-2 *=1 (x-k)

fiecare din intervalele (k,k + I), k = I,n -I . Asadarj'are

xe[O,I)

obtinem I(x) == (x -1)(2 - x), x e [1,2) . Se arata usor ca I este continua pe [0,3]. (x - 2)(3 - x), x e [2,3]

f(x) , x'# O. x

= 0, folosind criteriul cu siruri pentru limite de functii, deducem ca g nu

xtk

Iml = (0,+00), decifeste

~ ~

46

Daca

~

~

ex:

si

2

I

pnn trecere la limita in relatia de recurenta ar rezulta ca I ==kef ==I , ceea ce nu este posibil. Deci

~

atunci If(x)I=lxl·

= I si lim g(y.)

descrescatoare

+00

15

IU

x

x ...•0

adicli dreapta x = k este asimptota verticala,

ecuatia

I

to

(cu regu Ia I'Ul L'Hospital)

n-eec

f(-oo,I»)

0

-m 1+00

> 0, Vx > 0 ~ a. > 0, Vn e N

crescator. Deci (a.

X

are limita in x = 0, ceea ce este echivalent cu faptul cafnu are derivata in x = 0 . 46. II) lim f(x) = 0, deci y = 0 este asimptota orizontala. in plus, limf(x) = -00, lim/(x)

+00

a.

f(x)

I x dH x

intrUcat

.t...J k=1

(cu

/,(0) = 1 , obtinem lim f" (X!+~x' = nt"(O) .

Daca xelQn[-I,IJ,

If-+CX>

-m

g:JR*~JR,g(x)==f(x)-m

3

c)

ri» ==--/"(0)2

Jim f(x) - x = [0] - = lim I '(x) -1 = [0] - ==lim -0 x2 0 x ...• o 2x 0 x ...• o 2

X

II)

este

1'(0) =-= /,(0) 1+ 1(0)

=f(x)-x'~/'-*(X).x*-I=/(X)-x.~(f(x»)'-k .+I.t...J 2 X *=1 X

x ...•

x->O

. I '(x) lim--x ...• o 1+ I(x)

x...•±oo

g

:E •

'tal) .IA f"(x)-x' ospi . c) vem .+1 x

x ...•

lim g(x.)

4e 2 - m

.!. eX, Vx e JR•. Cu ajutorul sirului lui Rolle deducem cli ecuatia are exact doua

-e

. In(I+ I(x») lim : 1.

IJ= In(~' n+l) = In n+1 ~

.fIk+ k=2 k

= 0 ~ y = 0 (axa Ox) este asimptota orizontalilia graficulluifspre

lim I(x)

2

b) f'(x)

1

(I).

I-~

+

~ (- Qk

2

~IimLJTf n ...•eo k=O

(k) (

.

)

3 =4.

= x~; 1, 'Ix > 0 . Valoarea minima a functiei este 2, ~i se atinge in punctul x = 1.

b) f"(x)=";'>O, x

Vx>O~f

esteconvexa.c)

f(x»O,

VneN.Deoarece

'v'x>O~a.>O,

a. =...!... > 0, 'In eN, rezulta sirul este strict crescator, deci are limita. Daca I = ~ a., atunci a. • Ita I I + I adicx! = 0 , ceea ce nu este 0l~lim/(x)=O.

n-+OO

Studiem continuitatea in punctul Xo = 0 . Pentru orice x e JR avem if(x)1 ~ lxi, de unde rezulta ca !~/(x)

= 0 = 1(0), decij'este continua in origine. Asadar.j'este continua pe multimea Au {O} .

c) Nefiind continua cu punctele ~, functiaj'nu este derivabila in aceste puncte. Arlltlim cafnu derivabila in Xo = O. Pentru aceasta consideram sirurile u. = ~ ~ 0 ~i vn = .fi n

Z

a:

Q Z CC

~

• 248

Ss. a) este

n

CC

o

ibil.Deci .' Iimf-(a.) poSI I. Deci I = +00 ~Iatunci

n

~ O.

Cum

.

f(x+l) f(x)

hm --x ••.•""

1(0)

», -0

-;;-0 I(v.)= -= I ~ 1 ~i ~-O n

1(0)

», -0

0-0 . = -= 0 ~ 0 , deducem ca I nu este derivabila in un-O

-

.

an

b) f'( '/

X

)=3x2+1>0

"

VxeJR

deunderezultacal

. .., . a . lim f(x) = +00, rezulta ca este strict cresclltoare, deci este injectiva. Cum I este contmu ~I x ...• :t«> • .. . deci te i rsabila c) Pentru orice f(JR) = R, decifeste surjective. In consecinta,jeste bijectiva, eCIes e mve . l

x>1

avem fW-;)=x+if;+I>x

I I(un)-

n-+CD

2 x3+3x +4x+3_1 3 x ••••ec x +x+1 .

= hm

)-1

1 - . = Lim(l+ 2"

an

~i f(if;-I)=x-(3(~fxf 1

crescatoare, rezulta

f'(x)

if;-\ < rl(x) < if; ¢::> i- if; < if;

Cum

-4if;+I)

X,

o.

Cum

lim Inx = 0 ~i lim Inx = co, rezul.~ X

X~f'(x)=/(x).

b) /(x)=e

(()'

,

x+I)lnx x

lui Lagrange

cxE(x,x+I)

astfel

1

mcat

aplicata

functiei /

. t

pe in erva

/(x+I)-/(x)=f'(cx).

Calcuilim

,V'x>O .

x

lul

[

x , x + I) , x > 0 ,elUstli .

lim/'()

lox

limx:;=lime-:;-

. m obtJIIe

=/(x).X+I-lnx=x:;.x+I-lnx x2

x.

X--+te

si limX+1-lnx=lim(I+.!_lnx)_I

=eo=I

x-+""

z-eec

X

X

x-eco

X

-,

x--+oo

c, = co, rezulta cll ~

Intruciit ;~

. /(x). 57.0) hm--= X

.e-e-ec

I limcos-=I

x ...•co

X

asimptota oblica la graficullui/spre

(I(x + I) - /(x))

= lim /'(c ) x x-+oo

§i lim(/(x)-x)=-lim x ...•""

punct

E

= 0 => y = x

este

(x,x + I) astfel incat /(x + I) - /(x)

= /'(e) X

Cum /,( •

)_ I I. x -COS-+-smx x

I. ~I

x

I 0.

~

~

a functiei inverse obtinem:

derivabila, bijectivll §i I'(x)

= I +_1_ > 0 \I x2 + I ,x

(1-')' (I + ~) =,

ffi

I I (r'(I+~))

/(x) > O·

= _1_

Q

0, \Ix

1'(/-'(1))==

E

... ' oncare a x> 0, pnn inductie obtinem an > 0, \In EN. Din an+,- an = arctgan > 0, \In E N rezulta cll irul ( ) . I . ,§ an n~O este stnct crescator, deci are lirnita. Fie = lim a 0 < I < +co Da II I lR . x ...• '" n» • C E, pnn trecere la limita in relatia de recurenta obtinem

ci ~

e) Avand In vedere ca

a functiei inverse

teorema de derivabilitate a functiei inverse avem:

==(r')'(I)==

exista a

•

12. II)

(J (x) - x) = ~

x-+'"

;; ~

11)0

(x)

Jim /

.

c) Propozitia se rescrie sub forma exists

a:: ~

1'( x)

este strict crescatoare,

Cum

r'(I)

~_I

Deoarece

~nx.

• OS

r'(n+')-

I

0, .

este surjectiva,

bijectivli. b) Cu teorema de continuitate

(n n+ I) ~ 1-' (I) ==1. c) Folosind

==I-i

SUJjectiva. Functia /fiind

[x,x + I], x> I , rezulta existenta unui

::> ~

n

rezulta cli

an+, ~

+co.

~

x

x

=:too => I(lR) = R => I

lim I(x)

x-+±ao

x E R,

0, -

n

1. I-cosy - - Y 1m --- y ...• O

l

x ...•"":;

b) Din teorema lui Lagrange aplicata functiei / pe intervalul C

= I.

CutD

lui Darboux si

I este

. obtinem a,2 + a22 + ...an2_-

V'kEN,

- 0h"

x-+ao

1' cos; _

~

j

= lim f'(x)

I '(x) = 1

II)

ak

+ 1> 0, oricare ar fi

Jinln(u.-I)==~

Deoarec e

d d e ucem cll lim

.,1.

2_ Ok -

se obtine din faptul ell

~Iuzia

I'

x-+""

are proprietatea

.,

-I limeY-I -= y-+O --=1 y

-In-x

X-+CCI

a 2 , deCI. a -0 - . Curn

(J -

c~

x ...•

o x

btitmem: lim nx. ==limr'(~)-r'(O) •...• eo n...•'" ~-O

x ...•

o

este strict crescatoare, 1(0)=0,

==(/')'(0) -

deci este injectiva. Intrucat

limf(x)=co

~i/este

crescatoare,

f

rezulta ell

sUJjectiva. c) Functia / fiind bijectiva, rezulta ca sirul (an a. > 0, \In EN.

ell

a.+, = f-' (a.) >

.

Intr-adevllr,

r' (0) = 0

a It - a n+l = In(1 + a n+I" ) > 0

(pentru 'In

E

ca

din

ipoteza

r'

este

lui Darboux (fiind continua),

f([O,co))=[O,co),

t~oeste bine

avem strict

-- I_I - f'(O) 2

==1+_1_ > 0, \Ix ~ 0, rezulta cll/ x+ I

are proprietatea

x ...•'"

inducpe

I f'(r'(O))

de derivare a

ao > 0,

deci functia

este

defmit. Demonstrlirn prin iar daca

crescatoare).

a. > 0, Din

atunci

faptul

ell

N rezulta ca (a n ) n~O este strict descresclitor. Fiind descresclitor ~i

'" Hill am ' treeiind la limita in relatia de recuren\A obtinern

marginit inferior de 0 , sirul este convergent. Daca / = lim an (0:0; / < 00) , trecand Lalimita in relati recurenta rezulta a In (L+ a ) _n =1+ n+1

an+1

/ + In(l + /) = / 1+In(L

a + n 1

, -.!.....

= n-?!--Ii f(an+l)

lim ~a , n-+oo n+l

.

X" X

{2k I k E

0n+l

I

. f(x)

sunt: 2~-1' 2nl_2' ... ,

I.

~

1-

~

65. a) Cum n" V (n + I) _ I (n ))

rn+i2n + Fn

~•.

egala eu 0 daca. a < ..!. 2 ' cu I daca a _ I

~::

din teorema IUl Lagrange pe intervalul

5

l(k+I)-/(k)=f'(ck)=

-"2

~I.

ca l(x)=k,VXE(2k,2k+1)

"K~.C)

.Jk+1 0 , continuitatee functie

astfelincat

e -x. -1 . •Intrucat x; ~ 0 , rezulta ca lim nxn nxn = 2 + __

In(xn)=O.

f. imp!'" faptul

c) Din f(Xn)=0

obtinem

=3 .

n-+OO

70. a) 1'( x) = nxn-I +..!. > 0,

I.(0 + 0) = -

rezulta

~/(x)

•

[k ' k + I] , k E N* . Atuncict exista . sx

; ~

si f'(x)

ine

b) ArlItam ca ecuatia fn

~ 2

-_ ~I2n+ a~ + I ,Vn ~ I, rezulta ca limita ceruta este

deci (xn).~1 e strict descrescator, Din b) rezulta si l(n+I)-

_

. mtervalul

ca

are trei solutii reale a < b < c , aplicand teorema lui Rolle functiei fn pe fieeare dintre intervalele

~

(rn+i _ Fn)

I din

ale functiei t'

I b) Functia j indeplineste conditiile cu +00 daca a>"2.

xn+l-xn=

JR*. Cum

. b) I(x) - 1(0) = sin..!., Vx E JR* . Cum functia x ~ sin..!., x E lR* nu are limita in Xo = 0,

.~ orig II'

x E JR* , rezulta

= Ixl. \sin ~\ ~ lxi, pentru orice

69. a) f'(x)

k

.

~i 1(2k +0)= k , rezulta ellI

Z} . D·in faptul

"ci:-.CumckE(k,k+l),rezulta-I- 0 , deci F este convexa pe lR

+2 e

limF(x)-F(I) x ...• 1 x-I

b) Fie Goprimitivaoarecare ~

V'XE(O,+«». a luij

.

Deci G'(x)=I(x»O

V'

3. a) Se verifica ca F'(x) = I(x),

G(X)=F(x)+a,

)

G'( x) =

0 x2 + X + 1 > , V'xE lR => G este crescatoare.

10. r(x) -

d) F"(x)=

2x+1

_

( x 2 +x+2 )2 -

i

;:)

. 'S

12. Functia

f. (n)

E

(

I este

=/(1)=0.

;:)

= 9 -4a:5; 0 => a

±F'(I)=e(4 +a)=±=>a=2Ie 2

b) ~F(;~~(i)

;:) Z

c) Ecuatia

«

x + 5x + a + 3 = 0 => 6

u •

c

5. a).lim F(x)-F(O) x ...•o x

•

;:)

~

b) F'(x)~o,

Z

>C

ID

c) F"(X)=I'(

f5

"" ci •

F'(O)=

= ~J!(x-(n-l»)(l-[

-x( -ax

~

lim In2X=+«>.

c)

x ...•.•••

c=2.

2 = x sinx => a

= -I,b

= c,2a+

C

= 0,

deci

de speta I, ea trebuie sa fie

I este

continua pe lR \ Z. Aratam ( n -I» cos

(1+ 2x)

II

2

Id(n) = ~(x-n)(l-(x-n»)

= 0;

I(n)

= 0,

primitive.

ca I este

continua intr-un punct oarecare

n EZ .

= 0;

. Id(n) = lim(x - n )cos (I + 2X)ll

E[~4'

0;

2

x\.n

+co

I( n) = 0, de unde rezulta continuitatea lui!

14. Daca F este primitiva unei alte functii

.

continua pe lR . F'(x) =

J.

!

I:

lR ~ R , rezulta ca F este functie derivabila. F este

4X3 + 1 pentru x < 0 2x ,deci a = I. -2-+ a pentru x o O x +1

15. Daca G este primitiva unei alte functii g: lR ~ lR, rezulta ca G este functie derivabila. Din continuitatea in Xo = 1 gasim b = 1 , iar din derivabilitatea in Xo = 1 gasim a = 0 . 16. Functia F este derivabila

_ a-I

pe

IR. Din continuitatea

in

Xo = 0

gasim

a = c = 0,

iar din

derivabilitatea in Xo = 0 gasim b = 1 .

(

+2x a-2)+4-a)

X

=> a

17. F este functie derivabila,

aE[2,+«»

18.

cu 6=16>0.

= __ 1_, b=~=

In3

I

__ I_ In23 .

In3

f. (0)

=0

= Id

F. (1)

= a + b = Fd (1) = 1.

(0) = b si f's (0)

= a-I = Id

(0)

F", (1)

= a = Fd '(1) = 0 => b = 1.

= I => a = 2 .

19. Avem lim x" In x = 0 pentru a E (0, +«» , deci functia I admite primitive pentru a E (0, +«>) . x ...• o nO

7. F'(x)=a,/3x+I

+(ax+b)

-e ~

8. a) lim F (x) - F(I) = .!./(I) x...•1 x2 -I 2

•

b) F'(X)=I(x)

254

2

b=-2,

-1)J) = 0;

x-en

x?n

-4.

~i 6=16-4a2:5;0.Deci

V'XElR=>a>O )_ X =e

4a > 0 => a E ( -00,

6. F'(x)=T (a-axIn3-bIn3)=xF

III

z

= 13 -

.

lim F(x)= x

ax2 + b) + c(sinx +xcosx)

-sinx(

= 0 are doua solutii distincte, deci

2

~ ~

o

F"( x)

b)

15

x ...•.•••

~

o

-4

=-

C

continua pe lR \ Z . Trebuie aratat ca I este continua intr-un punct oarecare n E Z .

I,(n ) = lim (x -

1

0 => x = --2 punct de inflexiune

2 x +3x+ a) ~ 0, V'x lR => 6

X

=e

4. F'(x)

= 2axcosx

13. Functia

Q

u:

2 b = -, IS

5

b=c=2.

III

~

2

2

de unde rezulta continuitatea luif, decij'admite

.fill + .fill ] . 3 a'-3 - + a ,deci Gnu este surjectiva.

...•

..r;+i

r(x)=aIn2x+(b+2a)Inx+b+c=In2x=>a=l,

I'f, din b) a w , '/ g este strict crescatoare, deci este injectiva.

deci ImG=[-

ax2 + bx + C r=r: =x"x+l => 2 x+l

11. Functia admite primitive ~i cum nu poate avea discontinuitati continua, deci f.(0) = I ( 0) = Id (0 ) => a = b = 1 .

V'XElR.

b) Fie Go primitiva oarecare a luif c) Fie Go primitiva oarecare

(

x E I,+«> => G este crescato

,

[I ,+«>.)

+

= 2x + 2x => a = -,

2 Sax + (4a + 3b ) x + 2b + c

•• (I)

2. a) F'(x) = );(inx-2)+2.Jx~=I(X),

r=r:

c) F'(x)=/(x)=(2ax+b)"x+1

3 2,/3x+1 =

= x../x + I, deci

_ ~ -,,3x+1

=>9ax+3b+2a=6x+2=>a=~

3'

b=~

9.

J2

20. a) I(x)=

1(0),

2 .

f e strict

l

arctgx x x'

descrescatoarepe

0] .

(_I ,

~!

s

tri

b) Pentru ct crescstoare pe [0, +«» .

1(0)=1

*0 admiteprimitivepentru

I(O)=lim/(x)=I. x ...•o

x=O functia admite primitive (pentru ca este continua) ~i l(x»O,

(pentru ca x ~i arctgx au acelasi semn).

V'XE]

.

F(x)

c) lirn --

. = lim 1(x) = 0 .

X

x-++«>

X-H"«)

1 este Id{O) = y~{xlox

21.a)

continua +sinx)

pe

(0,+00)

= O. Deci/este

si

pe

I.{O)=/{O)=O,

(-00,0];

iar

continua pe JR .

b) I este continua pe JR" (functie elementara)

~i

Iim/(x) x ...•

= lim sin x ...•o x

o

x

= I=

I{O),

4

. b) Fie

deci

I

este

continua pe JR , deci admite primitive.

I.

(0) =

f(O)

=0=

fd

r . F4 '(x) J4'

. iti x lui pnrm IV •• a

0

F4(x)

= _x_

x2 + 4 ~ 0, ';Ix e

JR , deci

F4

este injectiva,

3

x __16 =>F4(x)=--4x+8arctg x2 + 4 3

4 2_4+ __ x_=x 14 ( X ) - x2 + 4

litn

c) f este continua pe (O,+oo) ~i pe (-00,0);

F4

= -00 ~i cum

F4 : JR~

x+c,

ceJR.

lim

F4 ( x )

=+00

. ~l

x-+-t-

(0) . Deci j" este continua pe

JR.

dF~. F

0

f.n . Daca n este

pn'tm'u'va oarecare a lui

numar par

F'(x)= fn(x)~O,

';IxelR=>

F

este injectiva. 22. Fiecare dintre functiile are cite un puncte de discontinuitate . .. primittve.

I. (0)

a)

= 0"* fd (0) = I , deci

Xo = 2

Pentru b)

f(J(x)

23.a) b)

JlIf f'(x),

c)

ff'(x)-

...•

~i pentru c)

+ f'(x))exdx arctgx +

Xo = 0 Xo = 0

= eX . f(x)

~(x))dx

=

x +I

de speta a I-a, deci nu admit

este punct de discontinuitate

de speta a l-a,

sunt puncte de discontinuitate

de speta a l-a,

F'(x»O,

Dacl n esteimpar 26 •• ) Fie

F

';Ix e

primitiva oarecare a lui

0

arctg

x+ c.

I b)

a:

i:::;)

eX

f(x) dx= fexf'(x)-eXf(x) e2x

f-dx=~+C. xn I-n

dx= f(x) +c. eX

27 •• )

fJ;(x)dx=

f : dx= x3

d)

-e ...• cr: A.

e) f(sinx, f(x)-

·

:::;) U

U

·

:::;) Z -e

a:

f(sinx. f'(x)+cosx,

f(x))dx

ccs.r - f'(x))dx

eXf(x)-exf'(x) f2(x)

1) f g)

dx

= f(x),sinx+ =-

f(x).

cosx+

C.

ff 2(x)dx=

2 f_x-dx= x+3

·

U 11'1 1&1

24.a)

_ eX « f(x) +C.

b) f(-f'(-x)+

Z

oct CD

c)

a:

·

fl"(x)-

f'(x)

dx

= eX.

d) f(U,)2(X)+

>

f'(x) + C.

F4

o primitivllalui

c) Fie

Fn

0

f4; F4'(X)= xX+3~0,

primitiva a lui

= xn-1 ~3

28._) ffo(x)dx=

f(Jo(x)-

fexf"(x)-exf'(x) e2x

dx= f'(x) +C. eX

f{x)f"(x))dx=f'(x)f(x)+C.

a:

F4

';Ixe(-3,+oo),deci

cr: ~

• 256

R

25.a)

fJ; (x)dx

=

f x2:

este crescatoare.

< 0, ';Ix e (-3,0) => xn-I > 0 ';Ix e (-3,0) => n este numar impar.

J;(x))dx=

=-

b) Fo(x) c) Fie F

fe-xdx=-e-x

0

+C;

l-x

f7dx=

dx= f'(x) I(x)'

:x + C => Fo( 0) = C -I = 0 => C = 1, deci Fo (1) = 1- -;I .

i

primitiva oarecare a functiei

12012=>F"(x)=f'2012(X)

+C

-rdx= eXx +c.

fex _xeX

X

( 2012

eX

-

x) < 0 ';Ix e ( -00,0),

deci

F

este concava pe intervalul

4 dx =±lo(

x2 + 4)+

C,

d) Fie G

In

~

I

j:

(- F

fn ;

20ll

e) ("(x)f(X)-U,)2(x) f2(X)

';Ix e [~,+oo

2

1&1

J: U cr: Z o

=> F"(x) = lox + I ~ 0,

x+

f(-x))exdx=eXf(-x)+C.

e'

1&1 \1'10

ci

+ f'(x))exdx

(

b) Fie

Fn'(x)

f(f'(X)f2(x))dx=~f3(X)+C. f(J"(x)

J; (x)

4

A.

:E

=

C .

1&1

:::;)

J;. F'(x)

';Ixe(-oo,O),deciFnuesteinjectiva.

(1- X:3)dx=X-3lo(X+3)+C. X2 x-3+- 9) dx=--3x+9lo(x+3)+C. x+3

Q

u.:

F'(x) G"(x) = f'n(X)

xn-l~ -x) > 0 ';Ix e(

-00,0) => n este numlir par.

:::I

• 25

Tema 3.3. Functii integrablle

,

1 •

' dx= J(X +2X2 +1)dx=~+3.+1

2)2

4

+1

o 2

2

J(x-v'x)

b)

o

5

IX 2 +z

+l

x

I

x +

= 28

3

14_~ 3

5 dx=-+In2 2

,x

+1

2

'

Kx+-2x 2)

) i -x+2 f~dx= x -1

1.1

t:

OJ

5 ,,2.

'1

2

0

o

••

IJ

II)

o

1

dx=ln(x+.Jx2+1)1'

f J 4-x1

2

3

3

o

2

2

2·

2

0

I

c)

1(2x +TX)dx=(~_ In2

f(2X -2-X)dx=(~+

_I

In2

2

2

--2--2.

.!. e)

I

I

f(,Jix __

1- x

TX)/I =

Jdx=[ ,Jix fY In,Ji

A

If I 1) _lv4-3x2

a)

I

1

OX

+1

f-2-dx

x

f

.!..!.

1 --x 3

O.

+2

I

fF]4 _

Ii

6 4(i-1) - In2 + In3

In../3

x

J~"'4-3x

_I

_1

I

1 x../31 1 2" -- ../3·3· 2

_I

2

-I

F"'=--~--X ../3 x

d --x ,.,3 4

r;

_JI_x212 =!!..+I-~. 0 6 2

r.-?dx=arcsinxI6 2 0 vl- x

1 If 1 1. r=re=:_ ,.,3_ r:; Fdx=-arcsm4 ../3

142

2

3

II =0. -I

3

o

J.

dx+

-../3 +2ln 3+.J8 . 2+../3

0

In2

2

2,Ji 2

2

- 1+ In(1+ ,Ji)

0

f ,....,...--:dx= 2 2 Vx - 1

I

2f I+x 2 J 2 dx= f o 1- x 0J

-I

e)

_111 = 2

0

2

3

dx+ 3

3

TX)/I =_1In2 +_2_ 3In3·

In3

3 x+2 x dx= fJ x-I 2 x -1

2

0

o

d)

2

1 """"'--:1 x2 + 1 + In(x + J x2 + 1)1I =,Ji

V

0

Jx2 _11 +2Inlx+Jx2

)2 I 2x 2x 2X 2 2 b) ~lex - eX dx = 1(e- - 2 + e2x)dx = (_ e- _ 2x + e )/1 _ e - eIn 1

o

fJ

27·

6

2

4)

1(x-ex)dx=..!.-(e-I)=~_e

a)

3

dx = arcsin. -X/I = -" .

0

I

2.

0

=In(I+,Ji).

X

3

0

9

' x + 1 If If 1 fo J x 2+1 dx = J x 2 +1 dx + J x +1 dx =

c)

1 = -.

../3arctg(x../3)11.i.../3"

0

20

o I

3

x2 + 1

I

b)

o v sx + 1

2

X

3ll

1

4

2

1 /1 n f:; + 3 dx = ../3arctg../3 = 6../3 .

j) .

f 2 r::;---;31 dx =..!.,.,3x r::;---;/I +1

IX-IIJI 5 3 =-+In-. x+l

dx= (X2 -+In-

-1

2

2

3

g) fl~dx=..!.lnl--21_)dx=..!.o 3x2 + 1 3x + 1

g)

+2arctgx)I"3 =I+!:.. 6

I

15·

2

dx= J(X2_2xv'x+x)dx= 0

2 .i

c)

Jjf3~~X~2dx= l(x+-i-)dx=(x2

I)

{Xr(

a)

If

= arctg x II= !!.. 0

S.

fSinxdx= 2.

a)

4·

o 1
_ x2

xIf(t)dt

X

.l'-+O

If

b) Aria este egala cu

f'(x)=(x4-4x+3).Jx4+1.

II)

7C

-4x+3).JX4

+1

de extreJD· 17. II) Aria ceruta este egala cu

=(X_I)2(X2

+2x+3).JX4

+1 ~O \fxElR,

decifnu

are puncte

I

II f( x) Idx = arctg x I~=~. o

1

2

b) Functia este strict crescatoare, deci exista limita

Jf(t2)dt.

x~

Avem

o x

C/+l}

12. a) F' ()x

--2

1)21+ ( --2 x

x

2f(

x4+2x2+2=-

) x.

+1

2

0

=-~(arctg~-!:). 2 2

ff(t)dt n->_ 0

-~(F(n) n->_ 2

c) lim

x~(

1

aretgx-~)Ell~

x

2 ff(t )dt

1

+ lim If(t)dt

X->_ I

0

=

..

1= f-xf(x)dx=

x=-I -I e-I - f-_J(-t)dt=

_11+e

11+e

4

- F(O))

= lim

x

E~If(t2)dt:5:

o

e'

I

c)

...w

If (t2}dt +

0

ff(t2)dt+

ff(x)dx=-~F(x)11

o

=

x-H'" 0

I

b)

1

If(t2)dt

lirn

=!:

8 .

.

cz:

Deci

l-

i~

l f l+eX I 21 = _11+ eX f(x) dx= 2aretgxLI

I

Q

=

o

~

::~

I

b)

o I.)

1=;I If(t)dt= ff

I

.!.

(

f-2 ol+t

_11+e ="

dt

f(t)dt.

.

=!:.

4

1)( 1) dy=fif(Y)dy,

-

-2" Y

Y

x

1

f-I

1

I

1L a) f(t3 + l)f(t)dt

u.: •

I

x

\fx>O.

I

•

~

Z cC

ii!

w Q.

~ ~

·

2

14. a) f'(x)=_x_ex.

c)

l+x2

b)

U

c

urn

t

2

t2+1e

I

~O, tElR~

W

>cC III

cz: W

01

x

•

t2

ft2+1eldt~O,

•

x

X->_ (x -

= lim

arctg

x) = +

f(-x)

=

x 2012 ° _xt2+1 f t

c)

. t> e 0 ,Iarpentru

I

= x~~(Jt3

I

f(t)dt

+ Jf(t)dt] I

=

x

f'(x)

x:5:0

notarn

x=-Y,Y~O

si

")""" =---=-. 4 2 4

4

2X~X8 + 1 = 0 ~ x = 0 este punet de extrem. X, f(x) ~ lim ft2dt = +o

~

! z

1..

b)

15. a) limf(x)=o.

:J:

.!.

I·1m XI-- 1 d.t= lim . ( aretgx-X->_ I 1 + t2 x->_

2

c/ X->_ hmf(x)-lim - X->_ f t2 + 1 e Idt ~ rtm f -2-t dt o X->_ 0 t + 1

U

= }i~[ff(t)dt

\fxE(O,+ 0, 'tIx ~ I , decij" este strict crescatoare.

+1

x

+00.

lim I(x) = Iim 2xarcsin~ = +00 , deci graficul functieiI nu are asimptote oblice la +co, x-++«>X x-++«> X +1 1C

o

j

If

~

"2 sin

2 Jsinxdx=cosl.

f~dxS I x

25.

I

o

'S ~ ::> U

c)

x-++

z c

ii2

1&1

A.

.

~

lim (fe-t4dt+ 0

X-H"CO

t4 }e- dt)S I

lim (fe-t4dt+

x-+-+«>

~icum functiaI este strict crescatoare rezulta ca 1mI 23.

II)

25 In--1+2arctg2-2

0

}e-tdt)= I

* R , deci functia

I

In+I-I.=

b)

t4 fe- dt+ lim (~-e-X)eR 0 X-+i

f, deci

I

3

deci

limitliobtinem lim I. = 0 .

26.

0

=

2

I

'tIxeR .

2

" .

2

n-++«> 0

1

4

n

0

dx = Iim _1_ = 0 . n-++«> 2n + I I

c)

27.

264

2013(n-l)

\2 2 x2 +1)1 -2f + 2dx=2lnS-ln2-2(x-arctgx)11 lI x

c) OSJ(1-xtln(x2+I)dxSlnSJ(1-X)2ndx=-lnS

Dar eX ~1+x2 ~-S--~ Je-x'dxS f--dx=!!'-. 0 0 I + x2 4 ex' 1+ x2 n+1 c) In+1- In = fe-x' dx > 0 ~ sirul (In t;'1 este monoton crescator, Este suficient sa arlitliIn

•

- x dx S 0 ~ sirul (I) I este descrescator. •• z I

0

SinX --,x*O. b) I(x) = x a,x=O

I

e,'. I .+2 +2012-1• =-SI n+1 I

•

'tin eN .

n

n+1

- I =fx ••,.+I·ox2+2012

1
x-++«> 0 2

1C

)11 I 2013 +2012 0=2"in2012.

,10< f x dx s; fx·dx=--~ c, - x2+2012 n+1

c) Functia/este continua, deci nu are asimptote verticale.

II)

(2x

I

X

11= x2+2012dx=2"in o

II)

7r

+1

4

21.

If

(2

f arcsin-( -dt +I

I 2 -",+--C I 2n f(1 )2 • UA. .1_ ~ I =C o --CI2 I +-C 2 + I n = 0 -x n 2n 2 • 3·2 2n

II)

F'(x)=_I_+~=/(x), I+X2 I+x

I'

I - 0.

1m • .-++«>

'tIxeR.

26:

n

c)

L

n+k

lim lim kDI -n-+_ an = n-+_ n2 + k2 --

1

1+-

n

k

f ( )dx = -4"In+ -22 ,deci I

r -;;L.., "" -;;rn = f n!.~ k-

'

l+_

X

sirul

0

n2

convergent. !!:-I

~-I

28. a)

1 x2+2x+2

f _I

1 f ( 1)2 dx=arctg(x+l)14 _I x+ +1

4

dx-

.!.-I -I

=1.

I

-2n 2 (1--t

x

fj(t)dt b) lim 0 x-+_

Jim x...•_x2

X

O.

n

c) Ap!icWl criteriul raportului

n)

c) Jim ( + n n-+_ 2n2 + 2. n + 12 n2 + 2. 2n + 22 + ... + 2n2 + 2. n2 + 2 = Jim 2 n n n-+_ k=12n + 2nk + I n I lim - " n-+_nL. k k=12+2-+-

29. a) IXj(x)dx= o

e :,

0

x )dx =arctg2--. " 4

IX~I-X2dx=-.!.(I-X2)%11 3

0

obtinem

o

l-

i

I

i

=.!. 3

b) V

fj2(X)dx=" o

=tt

:»

II I

2" .

g(x)

3

0

I 4n-

Q

4

+ 2)'"

=( X; - 2xl + J[

•

dx =

Ing21"2 1-- =f:Jl-x2dx !im n-+-n n2 k =1 0

L

-3x+

I

X

2 dx =(_ x + 3x- 2ln(X))\2 =~2

I

.!.(2x-3)'( 2

" = fl + cos2t d _ 1 ( Sin2t)/"2 " t-t+-=0 2 2 2 4 .

I

3

dx x-;!,='1(I-t2f

dt = t(l-t2f[1

+2n It2 (l-t2rl

dt =

I

-I

1&1

Z

U

C Z

II.

~

n

• 266

=~I 2n+l

_ 2n n-I - 2n+l'

2n-2 2n-l

~.~.~.~

Z C

~

= -2nIn

+ 2nIn_1 ~ (2n + I)In

= 2nIn_l,

'\;fne N, n ~ 2.

c) O~I

~ 212I, n+

.

J(2X-3)2

-~

2

2)" dx =

1"-1 (x)dx =

I

2

+9)1"-1 (x)dx = -~ J( 4(X2 -3x+ 21

S

JI"-I (x)dx, 21

2) + 1)1"-1 (x)dx =

I I X2011 J--dx=-ln2 2012 oX +1 2012 I b) 0 s n-+_ !im 0Jxn. j(x)dx

de unde rezulta cerinta.

II)

. I n = n...• lim_ 0J X20~2+ 1dx

s n...• lim_

I n 0J~2

1 = n...• lim_ ---) 2 ( n + I = O.

x

4

.....

511 =

J4.J4 (2n+l).(2n-l)

x2 -3x+

22

4

I

.

)"1

I

- ; JI" (x)dx-~

t2 -1)(1 -t 2)n-1 dt

2

2

2

-2n _I f(l-

x2 -3x+

-% J( 4x2 -12x

0

f( 2x-x2f

2ln2 .

2

2

"

2

b) In =

2

2

_Ix2

2 2 2 b) JI" (x)dx = f(x2 -3x + 2)" dx =.!. J(2x-3)'( I I 2I

f(2x-x2)dx=i. o

I

2x

LL

=

14

= O.

= i(X - 3'"

I

30. a) II

si prin trecere la limit! in inegalitati

4

b) Aria ceruta este egala cu

I

f(l-x2)dx=

!im In n-+_

••• oJ J( "')'"

1&1

a:

nIl 4n+2

Jim ~ =.!. e [0,1) ~ lim In = 0 . n-+_ In_I 4 n-+_

Altfel 0~In=--In_I~-In_I~2In-2~"'~-2II

n2

n

...

L

I

e --fj(

In =--1 n I '\;fneN n>2 4n + 2 n-' ,.

2

I +2x+2

n

2)n-1 dx=-2nIn+-In_l~ n 2

2 -- 1)(1 --t 4 4

J 4

I

x

c) Functia F: JR~ JR, F(x) = Jj(t)dt 1

sJ4

I _ -n + I

n

I-I

n+

n +1

f

b) I =2-10-_ n->_ x + X + I n->_ n->_ n + 1 o 0

K

t---

0

t}

t2 + 1

= _1_,

2

2n - 1

• !68

2n-l

I dx

»

fq(x)dxeQ. 0

n2 +2n+l 2 n + 2n

>0.

Xl)

f-

dx=I-Io-. 3 2

n

X I

r

1--- 1 x" + 1

.

Pe de alta parte 11 1 ... +--eR 3 5 2011

\Q

o~

f~

I

1

...+ ()n-I -1

2n - 5

=10 +(-1 )n-I 12 => n

1 ( -1 )n I => --+ 1 0

- -- 1

1 2 2x+l )2 dx= '3arctg J3 1 3 Vol x++2 4

~ _~

I

I

o(f

o

1 = lim [ _x__ -n+112]= lim ( --i~n->_ lim 2f...:.,}x xn n->_ -n+l n->_ I-n

n

lim 2 n->_ xn +1 I

lim In =0.

n->_

I 2n-2 =-----+--1 1 2n - 1 2n - 3 -- 1

lncat

n-++CO

. c) lim I = lim 2 X n +1-1 dx » lim n->_ n n->_! xn + 1 • n->_

Vn e N, n ~ 2.

1

1--31 +---+ 1 1 ... + ()n-I -1 5 7

astfel

. (n 1) = lim. 10( 1+-n1)n =1.

I = 2 X dx= 1-I x+] I I x+l

42. a) ff(x)dx= e'JI I 2n =--- 1

qeQ[X]

cu

X

2

2n-l

n+1

divide

~>O.

n-++ao

2

1 1 1=---102.

11 1 ~ c) 10+12 + ...+12012=10 +1+-+-+ ... +--=-+I+-+-+ 3 5 2011 4 I t" d) O~ln = f~t~--=> o t +I

se

exis. tli

-X

b) I =f~~ n I xn +1

I

b) 12n + 12n-2 = ft2n-2dt o

- X

n+fl2x -1

lim n 10- + n

n-++ 14n+1= f 2 1 o X +

g=q.(X2

2

d) O~ lim In = lim f_l-dx~ n->_ n->_ I x" + I a) II + 12+ 13 =

1

polinomul

2 )4n+l.-1=1 .4n+1 . 0 -1=, ( i +i+l

g(i)=

c) Sirul (In t~1 este descrescator ~imlirginit inferior de 0, deci este convergent.

37.

cli

1

2

b) 1n+1- In = f-+-I -dx Ixn +1

Arlitlim

c)

I

b) O~ lim fxnf(x)dx n-H&2 + e + I = 0,

= 1. g(

&3

&)

=

&( -&

)6n+1+ &3n+2= 0, deci exista

1

q e Q[ X] astfel Incat g

= q.(

X2 + X + 1) =:> f(x2 +X+ 1)q(x)f(x)dx

=

o

n nIl = fe-~ dx s; fe-xdx=-e-xln

O~I

1

fq (x) dx e Q.

3

c'/·• Cum

K

x +x +x+1

x+1

x+}

I

1[

dx=-

2

I

IimI

n+1

n-++oo

3

=0.

=

_

'S -e

d) In+I-In=

32

o

X +x +x+1

I n dx=fxdx=--.

0

1

crescator

rezulta

cli

existsL4 lim In' n-+.•••

Dar

In f-T--d/~ o I + Ion I

f 3 2 dx~O=>~irul OX +X +x+1

(In)

3

In

1

(3

n+I-2n+l)dl=+oo. lim f.:.........1l=lim n-+.•••210 n-+.•••IO( n + 1)

X2012

b) Iimf2012(X)olim~ x-+o x2013 x-+o2013x2012

n+1

xn+1_xn

I

3

l+/.Jt=.!.. f -:--u 013 + 1 2

n-+-toO n

I xn+3 + xn+2 + xn+1 + xn

In

lim f....;...-a/~ n-+.•••212 + 1

o c) In+3+In+2+In+I+In-f

monoton

2

1= - + arctg3 - arctg2 .

I 4

lim-l-=o=:>

0

n-++«>

n-+....

47. a) f4 ()1 + It ()1

lim fxndx=

0

lim In=

4'

I

b) O~ lim fxnf(x)dx~ n~-toO

Altfel.

dx= f OX +x +x+1 o(X+I)(X2+1) 3

este

convergent.

se divide prin (X + 1)( X2 + I).

g = X4n+2 _X4n+1 + X + 1 e Q[X] If

(I)n n~O

sirul Y

este marginit si cum sirul

dx e Q pentru cli polinomul

2

3

o

=

(I n ).~Ieste

3 14 -I + 1 2 I} = f 2 dl = I -I + -22 I +1 2 I +1

14

~I

x4n+2_x4n+I+x+1

c) I4n+2- I4n+1+ II + 10 = f

44. a) II +13

deci sirul (In) n

este ~i monoton crescator, rezulta cli sirul

0

46. a) 14 = f-f---dl 2 I +1

I

=---

1 +1

lim fn(I)=O,deci~irul

n-+....

(In(I))

n~O

esteconvergent.

Q.

~ V U

In+3+ In+2 + In+1+ In = -- 1 ~ 4In+3 => I > n +1 n

•

~

Z

-e

1

In+3+ In+2 +In+1 +l, =--~4In n+1

I

.

4( n - 2) , 1

=> In ~-(

--) 4 n+1

Din

.

ultimele

douli

relatii

avem

ii2

IU Q.

~ • ~

__ n_ n-+.••• n-

V

III IU

Z

~

II: IU !no

d

R (x

•

V

-x

45. a) fg(x)dx= o

~ I

~

Z

C

b) fxSg(x3)dx= o

~

• 270

2n-1

I

IU

Z

2n

o

c) I.+I-In=

+x

2n-2

1

- ... +I)--]dx=----+ x+ 1

1

1

... +I-ln2

2n+ 1 2n

elR

'Q

I

=I-.!..

fe-xdx=-e-xr 0

e

0 I

~-t

I

fxse-~ dx .;

.!. fle-tdl=-.!.Ie-tr

0

30

n+1 fe-~dx>O=:>In+I>In'

3

4

I

+.!. fe-tdl= 0

30

e-2. 3e

monoton descrescator

~i cum sirul este marginit inferior(pentru

cli 0 ~ In = flgnx dx),

rezultli

"6 convergenta.

•

27'

1


-I.

(J·(x))2]dx

I

c)

-t)dt = - fif(t)dt

I

fXf(X)dx = O.

= 2 f!(X)dx, I

~=arctgxl~= 4

f-2

I

= Ff'(X)f(X)]'dx

ol+x

= [f'(x)f(x)JI:

= -2012.

65. 0)

s ff(x)dx

b)

s l.

I

ff(Fx)dx=

fx~en=

o

0

fdx=l.

b)

c)

I

f(x2+2)

o

0

arctg

I

If(x)dx=x1n(x2 o I

-x

b)

g(-x) = ff(t2)dt o

...(t3+n)

x t~II'2f

d,

I I 2 +1\1 - jx+en=1n2-2 110 o x + I t=-y

dx=

f'.!.(-I--_I_) _ 2 2

02

c

X

5

=:> lim x ...•_

g(x) = t«l =:> graficul functiei f nu admite

liI(x)dx=(~~(x+I)31

2

en=

o c)

I

lim

x-I

..... ndt=-;;!,

R 1-_I_)en=1n2_2 0

x2 + I

"-++ sirul (I")

I n~

VneN",

deci, prin trecere la limita, obtinem

n+1 este convergent la I. 3 I

~ +2.

67.

If rrt: 0) II = x-ix: +Ien= o

12(X2+1)2 2

2J2-1 =--. 3

3 o

x

= - ff(i)dy=-g(x),

t«l.

x-++oo

fX[iI(ex)]

b)

VxeR.

0

J2 -(

o

~

0

g(x) = lim g'(x) = t«l =:> graficul functiei g nu admite asimptote oblice la

I

x +1 x +3 dx-

• IU

i

2

x

A= ~iI(x)fJx=

66.0)

=

In

63. 0)

I

2

(x +1)(X2 +2)(X2 +3)

lim x-++«.l

g[) H~- OJ,)

It,(t3)dt= Il(t3+1)(t3+2)

1

0

f(x2+2).h(x2)dx=

~( arctgr ~ - ~

2

=3Ji-3'

-

g(x) = oft2,k + Idt ~ 0ft4dt = ~5

c)

f hO'2(x) dx= f(X+I)(X+2) ...(X+2012) dx= fX+2013 _ hO'2 (x + I) I x+ 2012 dx =x + 1n(x + 2012) + C (x + 2)(x + 3) ...(x + 2013) I

dx:51 =:>

g'(x) = f(x) ~ 0 =:> g este crescatoare pe R.

asUnptoteorizontale la 62. 0)

1

dx _. functia g este constanta, adica ceea ce trebuia demonstra I

1.

I

I

o

0

n + I) fx·.Jx2 + len+ J2 -(n -I) fxn-2.JX2 + len = 2J2 -(n + 1)1. -(n -1)In_2

=:>

68 .

• 276

21

alta

de

pe

parte

0:5:1

I

x·+1

Ifxn+1

O~ f.J

dx:5:-dx

02x+l02

1

I

jx·J2dx=--=> n+l

0

lim In =0 •..•-

~i

n+1

---.,---:- => lim f_x--dx 2(n+2)

J2

I

:5:

n

=0.

•..•-02.Jx+1

in [mal n..• lim nI n = .fi . -eec If

e

e

69. a) fX'/(x)1x= I

fX'lnxdx=~lnxl~ I 2

e

e

b) fl"(x)1x+n I

e

e

'f2.

a)

4 e

rf

2"

= flcos2xldx= o

s.

s:

4

2

fcos2xdx-

fcos2xdx=l. s:

0

4

e

fl"-I(x)1x=

fx'ln' xdx+n fln·-I xdx=xln'

I

I

xr -n fln·-

I

I

x+nfln'-I

I

x=ee.

I

22x dx- bl Y- = 1{If COS ~

1f

Ifl+COS4Xdx=1f[~II 2 2 +.!.Sin4xJI]=1f2 8 0 4 .

0

0

0

c)

I

1 0:5:ft'e dt:5: ft'edt=_e_=> o 0 n+1

...• 1.11

relatia

II: l.

e

"4'+a)

J

f

=> lim I

n..• _ 0

fl"+l(x)1x+(n+l)

fl"(x)1x=ee

I

I

I X,,+l

I

xn+3+ X.+I + xn

o

x +x s I

f

= OXf 3 +x+I - X

I

n-H«I

3

=

0

(n-l)

o

trecem

la

n--++co

!!. 4

1C

'4

==(n-l) Jcos·-2(2X)(I-cos2(2X))dx=

n..• -scc I e

n

(x)dx s:

lim fl"(x)1x=o.

fl"-2(x)dx-(n-l)

fl"(x)dx

0

0

de unde cerinta. limitA

.

70. a) In+3+In+I+I.=

b) In+1- In

lim ft'e1dt=

e

n4>+co

II" o

I,

n+I . e e (x)1x+ lim -. lim n fl" (x)1x = e" => lim n fl" (x)1x =e' .

n+1

s: '4 Jcos· (2x)dx = sin 2xcos"! 2xl: + (n -1) jSin2 (2x )cos·-2 (2x)dx = 2 1C

.!!

0 I

Q

- f~=~. 12

ft'e1dt;

=

I

u: •

1

2

Inx=t I

c) fln' xdx

i ~

e

2

2

73. a) j.t;(x)dx=

1

I

2

jl+(:_x)dx+

!1+(X_l)dx=2ln2.

I

1

dx=--. n+1

b)

Fie F

primitiva

0

1 , X E [0,2013] I' () 2014-x 12013; F '()X = J2013 X = 1 '. --=-=-=-, x> 2013 x-2012

oarecare a lui

1

n

12'XE(0'2013)

dx s; 0, ' 0 pentru orice X E [2,+ (0),decifeste crescatoare pe [2,+ (0)

x

II)

2 I

b)

,...

3p

SUBIECTUL alII-lea

p )=X(O)

aUL a 1111lea SUBIE ;;..-

2p

4p Ip 2p

u·~=3¢:::>a+2=3 a I AB2 + AC2 _ BC2 cosA= 2·AB·AC cosA =_1 5

l.a)

3p

(x(P)i + Ii -I) (P + 1)3 = 8 , deci p = I ~isolutia este X(I)

II)

Submultimile cu 3 t~rmeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: {I, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5} ~l {I, 3, 5} ~ 4 cazuri favorabile

s.

p) astfel incat

= X(7) = X«P

(x(P)i

Ip

0

X2 3.

G , exista X(-I:

J!-*-_I~X(-1-)EG~i -1+P l+p

~

1211-2

2.

E

*- -1 , deci X(p + q + pq) E G

Examen Bacalaureat, iulie 2012 X(P).X(-I:

1.

Ip 3p 2p

Sotutia este (xo, Yo' zo) - (1,1,-1)

f(t)dt = (2t -In(t + 2»

lim

x..•_

2x_In2x+2 x+2 x

x

= 2x -In 2x+2 x + 2 ' pentru x > 0

3p 2p

2

po

:E I

< U

*- 0 , deci matricea sistemului are rangul doi

{2X+ y=-3a z=a~ ~x=-a, x+2y=-3a 2 2 2 2 xo+Yo+zo=3~(-a) + 2 +(_a)2 +a =3 ~ a E {-I, I}

y=-a

.

2p Ip

Testul2

Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva

(30 de puncte) ~ 3p :E

SUBIECTUL I 1. (1+2;) =-3+4; ~J[p~art~e~a~re~al~a~e~st~e~eg~a~~~c~u~-l3

~ :E

2 ---------------~~~

•

281

2. I x,

+X2

=3

pare radacinile

=a

p

1, 3 ~i 4

== (X - l)(X -3)(X -

f(i) == f(3) , decifnu Imfnu

3p

4) = (X

+4)(X + 2)(X + 1)

2p 2p

este injectiva

poate avea 5 elemente, decifnu

este niei surjectiva

t;"ECTUL allll-lea .

3p

(30 de puncte)

3-9x (x2 +3)~X2 +3

~f'(x)

4p

Finalizare lim f(x) == 1 I

~ 3p

.1'--++00

vTt:ill'l4

U" """at'" r - , "~L';asimptota

orizontala spre +00

~

x-+-

~

f(t)

2p

= 2J7

Ip

Imaginea functiei este (-1,2J7) 6.

2p 2p

lim f(x) == I, lim f(x) =-1

°

J

F'==f

b 2p

rt)

2p Aria este egala eu ~ In xjdx = 1

== F(x)

3p

I~1

Ip

e) (p+l)IfP(t)dt

= It,(p+l).

fP(t).~t

=

lit

= It. (lnP+1)'dt

3p ;:)

---1

b)

~

I~~I

;:) V

•

Exista minorul d =

'"

!AI

rangA(O,l,x) = 2 D(O,l,x) = 0

>C CD

D(O,I,x) = 6x(x-l)

Z

!AI

"" d

c)

•

% V C

Z

• 282

~ x = 0 saux =1

I I I

Ip Ip

2Jl)

= xlnP+1

1

3p x- IlnP+1 tdt 1

Ip

2.T

Finalizare

3p

+ nIX + 4 = 0 are solutia x = 2 ~ m = -4 Pentru m = -4 eele doua multimi sunt egale

I x

2p 2p

b 3 x =-_-_ v 2a-2

i

I .\ = 1

I 2p

I !(3).= 6

(30 de puncte)

2

Ip

f(l) = 6

6(b - a)(e - a)(e - b)

Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea spedala

SUBIECTULI

2p

D(a,b,e) = 0 ~ a = b sau b = e sau e = a deei triunghiul este isoseel

=

Testul3 1.

I 2p I 2p

D(a,b,e)

o u:

~

= 2 ~ 0 ~ rangA(O,l,x) ~ 2

D(a,b,e) = 6 ·Ia b e a2 b2 e2

!AI

Q Z C

tl~ - IlnP+1 tdt

Finalizare

A.

u:

1

Ip

z -e ii2 !AI

= t ·lnP+1

+,P 1

Y v

Ip

=_A=_l.

2p

4a 4 Conditie: x> 0

310&,· < 3° x < 1 xe(O,l)

2p

.

2

p!C

Ip

I

~ ~ ~ !AI

~

• 283

nr. cazuri favorabile = nr. cazuri posibile

4. P

2p-

?" .

-

-x-5y+3z=2 X=--

286

4p

1 4 1 y=-z=-9' 9' 9 A

AS

A AS

A

AS

A

AS

A

2.a)

o

b)

f =X8 +X4 +3X4 +3 = X4{X·

c)

•

AS

= 0,1 = 1,2 = 2,3

'I'

1

xP-'{2xer')dx

= 3,4

=

+1)+3(X4

+1)

2p

f = (X· + i)(x· +3)

3p

f(O) =3

Ip

3p

= ..

1( ,

I

er' )xp-'dx = xp-ler'lo - (p -1)

continua

functia

1

3p

er' xp-2dx

2p

f: [0,1] ~ JR, f{x) = xer' sirul

0 ~i punctele intermediare

n (I'en--, + 2e -;t2' + ... + ne"--,.' ) =lim-·I-·e . Ink X-> __ n

hi

I If• = lim _. X-> __ n i=1

(k)- = IJf{x)dx n

0

n

!

n

E [k

de

diviziuni

Ip

-I,!]

n

n

(il' - =

2p 2p

= e- I 2

I

Bacalaureat 2012, Model MEGS (www.edu.ro)

•..

$UBIECTULI

~

1.

-24:'>x+l:'>24

2.

-25:'> x:'> 23 CardA = 49 2x-I= -3x+l

Sp

=4

'

-1)Ip_2 => 2Ip +(p -1)Ip_2 = e

Considerlim

TestulS

X-++CIO

2p

. I lim-· X-> __ n2

1-

2p

ecuatia are solutie /'(x) > 0, ' f este strict crescatoare => f este injective, deci solutia e unica

n i=O,'

Ip 2p 2p

2p 2

ID 2p

2p

Finalizare b)

X

s, = (!) _cu 11,i.11 ~ 1

+1

3p

/,(0) =1

deci

2Ip = e-(p

3

3a+3

= X-> lim__ x+,jx

x2 +1

X-> __ lim(f{x)-2x)= lim{,jX2 +1-x)=O x->-V - 2x este ecuatia asimototei oblice sore +-- X

=

,,

= I+ ~

lim f(x) -I = lim f(x) - f(O) x->o X x->o X - 0

3p

BC = AB =>C=.! sinA sinC 2 m{4:C} - 30°, deoarece m{4:A) > m{4:C}

i:)

3p

(30 de nuncte) 2p

SUBIECTULallll-lea ::----

2p

20-k-!=14~k=4 2 Rangul termenului este 5

1

Finalizare

(30 de p uncte) 3P=-

x=2x=.! I

'2

I >0(

U

3p 2

Punctele de intersectie sunt ( 2,3) ~i (~, 0)

2p

~ ~ 1&1 ~ ~

• 28j

3.

= 1+3x+ 3x2 +X3 x(x +3x-4) = XI = 0, x2 = I, X:J = -4 1+ 7x

4.

5.

Ip

Alegem 2 numere impare din cele 5 in

10 20 Ip

-31

~ 2p

....-

2p

.

c)

1 .Jj

=> smx=

-

1&1

I

~

d=

...• ac

i ::;)

2

m

Q

I

I

I

I I

u.: •

b)

0

c)

::;)

•

::;)

Z

c

2.a)

« 1&1

A.

~

•

b)

::;)

v

'"

Z

ID

m2

1

1

m

I n - I n+l =

1

x2(1- x2)" dx ~ 0 pentru orice n, deci sirul este descrescator

(x. y)* z =.l(x-l)(y

-I)(z -I) + 1 ~i x* (y 4 Finalizare: legea este asociativa

2p 2p

Ip

Finalizare

Ip 2p

* z) =.l(x-I)(y 4

-1)(z -1) + 1

Ip Ip

x*e = x x+e-xe+

3p

2

x -3x

1 = 2x (e+ I)(x-I) *X

= 0, Vx E lR ,deci e =-1

= x, Vx E lR

I

"" C

Ecuatia x * x * x = 3 este echivalenta cu (x - 3) (x2 + 3) = 0 => x = 3

I

~ V -e

0

ac

z C

• 288

3.

2p 2p Ip

b Axa de simetrie a parabolei . este dreapta d'e ecuatie x = Xv = - 2a

2p

X-~E

(30 de puncte) I

5.

2p 3p

{(-It

~ -n(n

~+klflk

n(n-I) =--2-

n(n

1)

a 1 -=1 2

.

2

2p

~~

I

1)

c;

a=-- 1

3

3p

E

z}

3p 2p

2

lim x -3x+2 =-1 x3 + 3x+ 2 -

(30 de puncte)

x E {f,lf}

>0

f(-x)=-x3+3x+2

f'(A) = 3A2

Ip

2

4.

x-.__

b)

I

Examen Bacalaureat, iunie 2011

_m =2=>m=-4

3

~

=

Rezulta ca 2 este singurul numar intreg din intervalul dat

3p

SUBIECTUL allll-lea l.a)

2.

2p

~

Q

-I](l-x2)"-'dx

2 lim x-I = 2

2p b)

Ecuatia. X2 + px + q = 0 , cu p, q E lR , are solutii distincte complex conjugate daca

III 1&1

-x

-2

Ip

I( 1)--I+I-a-i(a-2)+a+(a-2)i Finalizare:

( x+l )-1 - ( x-I )-1

2p

4p

0

2.0)

2p

1 (x)

Ip

Matricea A este inversabila

-x

Ip

continua pe (1,00), deci nu are alte asimptote verticale

= A(x+ y)

X'-Y']

(A(x) - A(y))) = 0) ~ (A(x) - A(y)tll c)

2p

este asimptota verticals

Cu regula lui I'Hospital, limita este x-e+ee lim

4P'

2 (x -y)

0 0

(A(x)-A(y))2

(x+ Y)']

I

x=1

2p

1, de unde conc\uzia

= Iim 10 x + 1 = 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala spre +00 x-+-+aD x-H

, ••••1

~ (30 de puncte)

SUBIECTUL alII lea 1.0)

< 0 pentru orice

lim 1(x) = +00 , deci

Ii;-

1

sin2x

I'(x)

2p

sin" X + cos" X =2 sinx·cosx 1 2sinx·cosx

SUBIECTUL allll-lea loll) f'(x)=_I x+l

S =(-00,0)

I_=--=:L x-I x2-1

4.

Th' = c,ko,fik,k E {0,1,...,10}

2p

• 291

,. 2p Ip 2p 3p

T.+l E IQ>ee- k par

Sunt 6 termeni rationali 5. I BC: x + y -I = 0 12+2-11

Ji

Distanta este 6. I

cos

600

3 =.fi

2p

=2"

AB·AC·cosA

2p Ip

=

=10

(~

(30 ,

.

. ~J=(~

~J(~

( A'

4p

...•

~JEH

f = A2, = ( A2 r =

~ ~

::;) Q

u:

·

C

A.

b)

::;)

o u •

::;) Z

iiC 1&1 A.

c)

::E • ::;) v

:3 z

Restul impartirii polinomului fla

X - i este f (i)

c12:i2P(I + (-It) = 2C12: • (-JY E IR , pentru

1.0)

limf(x)f(2) 2 x-2

Testul8

Iz + il = Iz - iJ

3p

3.

(30 d ~ c --

-

4.

6.

f" (x ) = 20x3 se anuleaza in 0

3p

Deoarece f" are semne opuse de punct de intlexiune.

Z

c)

==14 ==2 x2+x+l-y==0

1D

el este convergent

I"

I

2p 1p

~=4y-3~0

2p 2p

1m! ==[%,+00)

Ip

3

b, =2"

2p

l

2p 2p 3p

log. x ==log. 9 -log.

8

md ==-2"1 ~ md· ==2 unde d 1- d' Ecuatia dreptei d' este y ==2x - 4

2p

=1'(2)

=

9 9 log x ==log - ~ x ==• •8 8

)

1p

Q

2p

3p

-,

1'(2) = 75

~

,deci~irulestecresclitor

Bacalaureat 2011, Model MEGS (www.edu.ro)

==4 b7 =96

2p

1&1

b)

2p •

e-xdx =,!, _1.. 2X ,V'x e [0,1] ~ I. ~ 1.+1V'n , e N" , adieli sirul este descrescator x +x+1 x +x+1 x· x2 +x+ I ~ I, V'x ~ O~ O:S 2 :Sx', V'x e [0,1] ~ x +x+1

2p

X

1

~O:SI.:S

2p 2p

fx'dx=~

o

n+ Ip

lim.,J, = 0 .....

i I

Ip

0 * 2m - 3 = 1 6 2

2

n

Ip 2p

M re zultli O*-6-EM, 2m-3

-""'J

y - 0 asimptota orizontala spre +00

2

detB. =a'(a-l)2

Cum 02m-3 '-6-e

I"

x'*±!

3p

o 2p

sau a=1

'* 6 ,atunei

2 3~(2x+lt'

1

B. =A·-1B1

Daca m

o

(30 d ,

= fxdx=!

Daca m = 6, atunci oricare ar fi x,y e M rezulta cli x * Y

% V

3p

1+1 +1 = 1230x2+x+l

a

x* Y =2(x-~)(y-~)+~+m-6

• 1&1

2p

lim l(x)=O

lim . [(1---

a

2.a)

""c:i

fey), Vx,y e M

~i 1'(0)=0

2oa)

1&1

~

= f(x)·

- --

2 3~(2x-I)2

••..• ec

2p

I

A +A' +A'

y)

x ...•_

=e

B. inversabila ~ det(B.)

v

meat

Ip

2p

67

det(BI)=O~a=O

A.

astfel

y+2-0

2p

Z 1&1

=

lim( _

det(B1) = a( a _1)2

C

I'(x)

=e

• ;:)

Ci2

ULallll-1

0

=

x,=3x 4eM 2x-3

l/2n

Ip

b)

f;:) o

- -- .,-......•. '"

a

A20lO= ( A3

Q

b)

=[~ ~J

A3 = aI3

;:)

.•...

0

A'

Verifiearea relatiei f(x*

1(0)=-2

c)

1.a)

1&1

l.a)

2p

5

-

.,---

2p

p='l:.

----

c)

2p

F·ma rizare: a = -"29 6.

existli

xeM,

Ip

mAll- mCD

1.

cli pentru

Justifiearea faptului ca f este biiectiva.

Sunt II termeni rationali.

5.

faptului

x*x'=x'*x=2 k

4.

Justificarea

Testul12

Bacalaureat 2010, Model MECTS(www.edu.ro)

Ip

SUBIECTUL I II!. 21!.

11.1 z=2 (J3 2+"2i

I) (

=2 eos%+isin"6

(30 de puncte)

1i)

'5 ~ ~ III ~

f2Pl~

•

301

~

6

=2

Z6

2.

3.

COS

6; + isin 6;) = _2

0

f){512)

= f(~)

=2

6.

. (t -I

01 x=

-i

,

~i sin x = 1 .

..

l

r;+ktr,keZ.

"

x-+'"

-

'"

ac: !::

I

I

:I ~

I

1

J5

v'2O =10

AC· AD = (AB + AD). AD = AB· AD + AD

-

,

2

l.a)

u:

'S· 0( Q.

~ 0 U Z

I

..

2p 3p 2p

3p

c)

b)

b

c

a+b+e

b

c

1 b

c

c

a

b = a+b+c

a

b =(a+b+c)

1 a

b

b

c

a

c

a

1 e

a

a+b+c

'"

Q.

c)

~ • ~ v III

I

1 a

b = a2 + b2 + c2 - ab - ae - be , de unde rezulta eonc1uzia

I

'"c::i

2.a)

:z:: '"

b)

I

V

Luam A=G

I

ac:

Q 0(

~

I • 302

..

"

~

3p

det( A) =

2, det ( A2) = 0

x=(~

b) =>X

c)

2

e

= (a

0

f'(x)

2 = x +2~ (x+l)

(x + 1)2

3p

2 = (x+l)3

f"(x)

r

2p

•

Isin 2xl dx =

0

(-00, -I)

r

, deeif este concava pe

sin 2xdx -

k

(-00, -1)

2p

.

2p sin 2xdx

2

2p

+ eos2x\" 2 ~ 2

Ip 3p

2

I = t n

fn(x)dx5.

t

X

ldx X

2p

=ln2

2p 2p

¢:}

t"ISin/ld I = n " I

t

Isin II + .., + I = rmlsin/l c::.:.Jdt + ['+2" c::.:.Jd1 n 1r t Ir+tr t 1 I > r tr+tr ISin/f't+ n - ,,( n + 1) 1
0 pentru x pentru orice x

Subiectull 0

+ lOr = 2al +14r =2(al + 7r) =2a8•

g)(x) = f(g(x»

Deci a8 = 10. = 6x + 4 + a . Rezulta ell

3a + 2 = a + 4, deci a = 1. 3. Pentru x> 0, avem 910113=x Xlog,9= x2, deci ecuatia se serie 2 2X2 = 8 ~ x = 4, deei x = 2, deoarece x> O. 4. Numarul submultimilor nevide este 2s - I '= 31. Numarul submultimilor cu 2,3 sau 5 elemente este -

-

2

- u·v 5. cos 0,

6. sinx+

C; + C; + C; = 21. Probabilitatea

'. . deci unghiul vectonlor

J3 COSX= 2 (.!.Sinx+ J3 cosx) 2

-. U

= 2(SinX cosE.+sin 3

2

2).cum -I

-2

!)

b) Fie X = ( :

A2=(4

o

b) 11.1= " feX cosxdx

::.!. ICfexsinnxdx n 0

2)(4 -I -2

-2

2)=(12 6)=3A,rezultacliA -I -6-3

EM

IC

0

, dx = --eXsinnx I" - fe If

n

0

I "I ~.!.fexlsinnxldx~-feXdx~-(e"

n0

0

0

x

sinx I dx = -- fe smnx dx, rezulta eli n no IC

-I).

n

X'

. I Cum lim-=O,rezultacli ,,-to;)

Subiectull

si, din X2 = 3X, rezulta

z, X

y

E

(0,00).

Y

Avem

11.1 =

. Z, =0. Iim

n

"-+00

( 1 1)-1 ( 1 1 -+= -+-+y z x y

z

1)-1

z

l). Obtinem

2. fe-x)

.1'-+00

.1'-+«1

.1'-+00

.1'-+00

I 2

2 -

x+1 I

2"x +2x+4 "x2+2x+4 deci f este strict descresclitoare. c) Fie g : R ~ R , g(x) = e' - x-I.

x+1

2= I ,,(X+I)2+3

- 2 < 1- 2 = -I < 0 orieare ar fi x

E

JR,

+

l

+ qS) = all(l

+

, V'x E D

= -Jn x-3 = -f(x) x+3 E

(-00, .!.J 2

n

f

[1,

,decifeste

imparli.

00) = 0, deci ecuatia nu are solutii,

3

5. 3 ii- v = 3(21 - 3]) -(4i

(-00, 0) ~i

J104 =

2m.

cosx g(O), V'x E JR*, deci e"> x + I, strict descrescatoare. rezultli cli f(eX) < f(x + I), V'x E JR*.

JR*. Cumfeste

E

2-11) II = Iff eXcosxdx=

1. as +all =al +4r+al 2. (f

(0, 00), din monotonia

E

-

-1 + 3X) , deci det(A + xB) = (2x - 3)(x - 2) - (3x - I)(x - I) -_ 2x2 - 7x + 6 _ 3x2 3-2x

3x + 5. Avem det(A + xB) = 0 ~ ~ + 3x - 5 = 0 cu solutiile XI.2

~

== ~

-3±J29

==

2

• 305

n

o

c) A + B = (

~) . Cum E2 = O2 si h . E = E . h = E, rezulta din formUla

= 12 + E , unde E = ( ~

binomului lui Newton ca (A + Bt = (h + E)n = 12 + C~E = 12 + nE . Daca exista n eN cu (A + B)" ca h + nE = li. deci nE = O2• Rezulta n = 0, fals. "" 1. a) Avem x * y = 3(x + I)(y + 1) - I, x, y e Z . Fie x, y e H, x = 3k + 2,y = 3p + 2, k, p e Z . Re ca x * y = 3(3k+ 3)(3p + 3) -1 = 27(k+ 1)(P + 1)-1 = 3s -1 unde s = 9(k+ I)(P + 1).Cum x :Ul~ 3(s - I) + 2 ~i s - 1 e Z, rezulta cli x * Y E H. b) Daca legea ,,*" ar admite elementul neutru e eY"" Z, atunci 1 * e = 1, deci 6(e + I) - I = I, de unde 3(e + I) = 1. Rezulta cli 3 divide I fals Deci *" 2 ' • "nu ar element neutru. c) Avem (x * x) * x = [3(x + I) - I] * x = 9(x + Ii - 1. Atunci (x * x) * x = 8 ~ 9 e I)3-1=8~(x+I)3=I~x=0. (x+-

h, rezulta

Subiedullll 1.a) Jim

x/(1.) x

X~OO

=

ttezu1tli ca mu1timea

solutiilor ecuatiei este {(_I)k . ~ +

7.

.s. + ktrlk

= 1. ~ sin(x -!!...) = 1.~ x -!!... e {(_l)k 2 4 2 4

__ 1_ ~ _I_sin x __ l-cosx J2 J2 J2

J.sinx-cosx-

••

= [1(2),00) = [a -4,00), rezulta a -4 = 3 ~ a =

z}

e

6

.

% + k1+ e z} n [0, 2n") = {~; , ?;}.

veoarecej{-I) = j{1) ~ij{-2) = j{2), rezulta cli numarul cerut este egal cu numarul functiilor de la 1 2} in {l, 2, 3}, deci 33 = 27. Prelungim semidreapta (DC cu CC' = DC. ~ ACe Beste paraleIogram rezultli cli

to,

1s

+ AC = 2 AM , unde M este rnijlocullui BC. Atunci 1AS + AC 1= 12 AM 1' unde M este mijlocul =..Js.

Y

= lim x(e~ -I) = lim e~ -I = Jim e -1 = l. .r-ecc x-+co 1 y-+O y

. g(x)-g(O) b) lim

0

:a,oo) [f( - :J,oo)

= [-

luiBC. Atunci 1AB + AC 1=12 AM 1= 2AM = 2~1+~

I

X

~e' -I = lim . -_. lim --

x

x ..••

Im/

cum

x ...•0

x

x ..••0

(ii'

-I = lim .

l -Xl

x ...•0

ffl'

l --.

-1 - 1 = Jim .

x2

X

x ..••0

SABC

••

#

x2' = +00 Rezulta cli g nu e

l -

= AB . A C . sin A = 24../3 = 6../3 . Din teorema cosinusului rezulta cli Be- = AF + A

2

4

.

ACcosA=16+36-24=28,decl

BC=2,,7

h

r;;.

.Dbtinem

2 SASC A=~=

e- - UB

.

12J3 [3 2J7 =6 "7·

V

derivabila in 0 si g'(0) = 00.

Subledulll uj a: ....

c) j{-I)

Q

•

'S< CI.

o

• ::>

+ n =

lim

1.. = 0,

n ...•=e"

2. a) II =

rezulta

II ~

ca

dx = ~ x2 + 1

II

0"x2+1

•

~

+ ... +

1.. _ e

n

I+n-

_

1 1 -+-+ 2 e e

1 ... +-= en

.

I

orice x

E

[0, 1], rezulta

,,20

s 1. Cum

x

II

c) In+1= ~

s Ix·

dx.

Cum

0

0

+

I

1

_I_xn < ~ < x" pentru J2 - ~ x2 + I -

I

n+1/1

o

x+lo=n+I'

IXn dx = ~

n-+oo

•

I

dx = Ixn ~ dx = Ixn (~X2 + I)' dx = xn~x2 + x +1 0" x2 + 1 0 2

1

rezulta

R~

a-ecc

0

11 0

I

fnxn-l~x2 + I dx

=

0

n1 + JT;Ix - dx = J2 - n(l + I ). Cum Jim In+1= 0 , 2 2 "x + 1 x +I n+1 n-I n...•co

rezulta cli limn(ln+1 + In_I) = Iim(J2 - I

n+l

J

) = J2 .

W

~ Testul3 Z

Z

~

• 306

l

b

=

=

cl

1 rezulta cli

a = b = c, rezulta A = [ :

a

b-a

c-a

al

bl _al

cl _al

=(b-a)(c-a).1

1 b2 +ab+a2

c2 +~c+a21 =

I: ~I I: :I =

= 0 , daca b - a = c - a

= 0, de unde

a = b = c. Pentru

:

: ) . Cum top minorii de ordinul 2 sunt 0 ~i A "*03, rezulta rangA :: I.

al

al

c) Presupunem cli A-I are toate elementele intregi. Cum det(A)· det(A-I) = det(A- A-I) = detIJ detAeZ,rezultlicli

J

Q~

-e

b

l

al

concIuzia. n

c

a a

b) Dad rang(A)

I

~ Ix' dx ~ I.

cli

a:

Q

a) det(A) =

= (b - a)(c - a)(c2 + ac _b2 - ab) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) .

~

W

s

1.

0

0

1 Cum

= J2 -1.

nI = J2 - n fx - ~ 2 dx = J2 - n 0" x +1

~

e

2

b) Fie x e [0, 1].Atunci I ~"X2 + 1s J2 , deci _1_s __1_ J2 ~ x2 + 1

~

a

1.. -I

0

w CI.

+

Iimita ceruta este _1_ e-I

Z

~

1. -I

e

::>

u

+ ...+ j{-n)

e

i ::>

u.:

+ j{-2)

1 1 1- en -'-e 1-1.

sau b

=c

2.

C~

II)

detAe{-I.I}.Atuncic-b,

c-a,

b-ae

= I si

{-I, 1}.Obpnema=bsaua::c

deci det(A) = 0, fals. 2 e este solutia ecuatiei ~ - x + 1 = 0, rezulta cli e -e = -I, deci (ZI + e)(z2 + 1:) - I: =

= ZIz2+ EZI+ EZ2+ e2 -

I: = ZIZ2 + EZI+ EZ2- 1 = ZI * Z2· . b) Fie G = C \ {- s} ~i Zt. Z2 e G. Cum ZI + &"*0, Z2 + &"*0 rezulta cli (ZI + &)(Z2+ &)"*0, deci ZI • Z2 E G. Rezulta ca ,,*" este lege bine definita pe G. Vom verifica axiomele grupului: • Avem (ZI * Z2) * Z3 = [(ZI + &)(Z2 + &)- s] * z3 = (ZI + &)(Z2 + &)(Z3 + &)- &~i~I * (Z2* :3) = zl ~ [~Z2 + + &)(Z3+ &)- &]= (ZI + &)(Z2+ &)(Z3+ &)- e= (ZI * Z2) * z3, 'v'ZI, Z2, z3 e G, deci legea,,* e asoclattva. • e e G este element neutru ~ Z * e = e * Z = z, 'v'z e G ~ (z + &)(e + &)- & = z, 'v'z e G ~ ~ (z + &)(e + &) = Z + e; 'v'z e G ~ e + e = 1 ~ e = 1 - e. Cum I - e e G, rezulta cli ~

i

Subiectull

e = 1 - seste elementul neutru allegii ••*". '" • Fie Z e G, Z este simetrizabil ~ 3 z' e G astfel incat Z * Z

1.a) (1+ i)S = (1+ i)4. (1 + i) = (2i/(1 + i) = -4(1 + i) => Z =_3_2_ = __ 8_ = -4 + 4i => Rez = -4. -4(1 + i) (1 + i)

..•..... ( + ~\(z'+ &\ = 1 Cum .•.•• Z

e>/

/

•

Z

= Z • Z= e ~

+ I: "* 0 rezulta cli z' = -& + _1_ Z

+e

( + ~(' + &\ &_ I e ~ Z &/ Z / ::::E

e G , deoarece _1_"* Z

+e

0 . Rezulta cli

toate elementele G sunt simetrizabile. c) Avem H = {z eel jz + bj = I}. Fie Zh Z2 e H. Atunci l(zl * Z2) + bj = l(zl + &)(Z2 + &)- s+ lj

~

~

= J(ZI

•

30A

+ &)(Z2 + &)1 = IZI+ bj IZ2+ bj = 1, deei ZI • Z2E H. Fie Z E H. Din punetul b) rezulta eli z' = -& +--L. Z+e'

de unde

Iz' + &1= /_1_/ Z+&

= -I

_1_1 = 1 . Obtinem

Z+&

ca z'

E

H deei H este subgrup al lui G. '

1

•

f

0)

limf(x) x-+o x3

=limx-ar~sinx. x-+o

f'(X). = lim lim-2

.--0

.--0

3x

_x2

= (-

r.-? r.-? vl-x2 (vI-x2 +1)

Aplicam

X

teorema

lui

'X

(-I, 1).

E

L'Hospital

in

~) vI-x2

In

!:: ::::I ~ >c

I deci A = - ff(x)

0

=xlo(2+x)lo- I

::::I

o

= 1.. (1- x2r3/2 . (-2x) = 2

2(R+r

.., ~

CL

.

Rezulta ca f"(x) > 0

ca fix) !>0 pentru

I

xdx ---xlo(2-x)lo+ ox+2

0

xdx --=103+ ox-2 f'

0

Aplicand

Ifx (1----0 x-2

f-2-

1) dx=103+ I 4x dx=

x+2

2+x

2+x

.

lui

L'Hospital

in

cazul

0 0

~

i ~ c:i

..,

obtinem

lim f(x) x-+o 2x

102-x = lim~ x-+o

2x

=

2bc a+ a+b+c

Z

oc ~

• 308

p

-2

)_2a2+ab+ac+2bc a+b+c

2 b +c2+ab+ac+2bc a+b+c

-

=2

2bc

. Avem:

a+b+c

(b+c)2+a(b+c) a+b+c

=

"* O2rezulta ea rang(A) = 1. ~i P(2) sunt

adevarate, presupunem ca An = A. Atunei An+1 = An . A = A . A = A2 = A, deei Pen) este adevarata "In ~ 1. in eoncluzie A2012 = A. Cum 12 . (3A)

.i;'

= (3A)

.(3A)k = 12+

h, folosind binomul lui Newton obtinem (12+ 3A)"

.

t.C:

·3k ·A=12

+A(l+ t.C:3k

-IJ=

=

12+ A[(l+ 3)" -1]=

2.0) Fie (a, b) fji(x,y) E G. Atunei (a, b) • (x, y) = (ax + 2by, ay + bx). Cum a = ax + 2bY E z, 13 = ay 2 2 + bx E Z ~i a - 2/32= (ax + 2by)2 - 2(ay + bxi = tl~ + 4blj - My - 2b2~ = (tl- 2b )(~ - 2y) = 1·1= 1 rezulta ea (a, b) • (x, y) E G. Cum (1, 0) E G rezulta ea G"* 0 ~ide aiei concluzia. b) Din punetul a) rezulta ca "." este lege pe G. Cum (a, b) • (1, 0) = (a, b) = (1,0) • (a, b), V(a, b) E G, rezulta ell "." are pe G elementulneutru (1, 0). c) Fie XI = (3, 2). Cum 9 - 2·4 = 1 rezultli ell XI E G. Notaro CUX2=XI • Xl>X3 =X2 • XI ~iinduetivXn+1=xn• XI. Cum "." este legepe G rezulta ellxn E G, V~ ~ 1. Dacax, = (am bn), atunei eumxn+1 = (am bn). (3,2) = (3an + 4bm 2an + 3bn) rezulta ell an+1= 3an + 4bn ~I bn+~ = 2an + 3bn. Cum al = 3, b, = 2, rezultliell am On E III ., "In ~ 1 ~i an+1> a". Rezultax; Xm "In m, deci multimea {x, 1 n E III .} este infinitli.

"*

Subiectullll A

punetul de pe grafieul lui f, de abseisa 3. Cum f(3) = 27 + 1 = 28, rezulta ea

eoordonatele (3, 28). Cum f'ex) = 3X2 +

t

2+x

A

are

~i f'(3) = 27 + ~ = 8 2, rezulta ea ecuatia tangentei in A 3

este Y - 28 = 82 (x - 3). Deci, ecuatia tangentei este 82x - 3y -162 = o . 3

~ Testul4

Q

'

Cum BA.BC=-6+6=0,

6 J = A. Vom demonstra prin inductie ea An = A, "In ~ 1. Cum P(l) -2 -3

1. 0) Fie

is i

~i BC(-2,3).

"*

10(1+ -2X) = lim 2 + x . --=.L = -1. . Deci Iimita ceruta este _1.. x-+o _~ 2+x 2 2

•

z} deci

=12 +(4n -I)A .

oX -4

= 102 + x = 1o( 2 - X)-I = -10 2 - x = - f(x) , "Ix E (-2, 2), rezulta ca f este impara,

teorema

5. Avem BA(3,2)

b) A2 = ( 4

= ~C:

-I

c)

6

Subiectulll

c)

=103+2101=1027. 4 16

2-x

~

) = 2(

1

::::I

:,(

x E [0, 1],

I

deci ff(x)dx=O

t·

2. Probabilitatea este

1. 0) det(A)= O.Cum A

continua in 0, rezulta ca 0 este unicul

1 pentru x E [0, I] rezulta

0

f'

0

b) Cum fe-x)

(I_X2)3

2+x

0

U ;; ~

2-x

--!>

~.

1

=103+21o/x2-4/1'

este 9· I~·

Cum

I I I I dx = flo(2 + x) dx - flo(2 - x) dx = fx 1o(2 + x) dx - fx 1o(2 - x) dx =

o

..J

~

Cum

0

Q

{(-I/ !!:.+k1r 1 k E

=2(b+c)=AB+AC.

= -( (1- x2rI/2)'

I dx.

..• 2. 0) A = JI f(x)

~

E

rezultli cos(ABC) = O. 6. Fie AB = 2c, A C = 2b, BC = 2a. Atunei R = a si r = §... =

Q

cazul

-I x 1·· j{Xn-I), deci Xn+1> x •. Dad

X.+I = x~ + ~. , rezulta cA /

= /3 +

crescator, rezulta cli x; < I, "In eN,

f

(x.). e rnarginit, atuoci x. ~ / e lR . CUIll

3/3 = 21 1 e { -~,

0, ~}.

(x.). este strict

Deoarece

< 1 , "In ~ 0, fals. Deci (x.). este nemarginit ~i fiind

deci x. < ~

.-- I

I

II

I

rezulta cliI.~

= 1, b = 2, -

•

.1'-+0

tgx -1 f(O) = lim--. x = Iim--tgx-x 2-·

x

1 _-I lim cos2 X

2a + b = 8 a

= -3,

b = 2::::)X ("I)xelR

= (-3 2).

e = O. Deci

o

n+1

II =_2_.J2 0

n+1

Cum lim .J2 = 0, din teorema clestelui rezulta cli lim J, = O. n-tao n + 1 n-tcc

b)Pentru

2

xe(o,E.)

Fie g:(O,~) rezulta

. • teorema lui l'Hospital Aphcand

X

.1'-+(1)

'

cazul -0 obtinem: 0 ' .

2

• I- cos x . 2 sin x2 = lim-. sin x = 0 , decij" . este derivabila In 0 ~if'(O) = o. lim 2 = lim x-+o 2x cos x x-+o X cos x x-+o 2

2x

x-+o

X

x-+o

_X__

I

...

. f(x)1 a) lim

0, "In ~ 1, deci sirul (1.). este marginit,

.+1 c) Cum 0:5: x·"'x2 + 1:5:.J2 x·, "Ix e [0,1], "In e N*, avem 0:5: I. :5:f.J2x· dx =.J2 ~

1&1

2b

siogurul numar cu proprietatea din enunt este O. b) Legea ,,*" are element neutru 3ee lR astfel tncat x * e = e * x = x, "Ix e lR xe + ax + e = x ~i ex + ae + x = x, "Ix e lR x(e + a - I) + e = 0 ~i ex + ae = 0 "Ix e lR e= 0 si e + a - I = 0 a = 1. e) Pentru a = 1 avem x * y = xy + x + y = (x + 1)(y + 1) - 1. Atunci (x * x) * (x * x) = 15 ~ «X + 1)2 _ I) * «x + 1)2 - I) = 15 (x + 1)4 - 1 = 15 (x + 1)4 = 16 x + I = 2 sau

I

b) Cum 1.+1- I. = f(x·+I", x2 + 1 - x·'" x2 + I) dx = fx·'" x2 + 1 (x -I) dx:5: 0, deoarece x'''' x2 + I ~0 o 0 ~i x -1:5: 0, "Ix e [0,1], rezulta cli sirul (1.).>1 este descrescator, deci marginit superior. Cum

x''''x2 +1 ~O, ("I)xe[O,I]

= (1 2 8) a +

= x, "Ix e R ex+ae+x=x,("I)xelRe(x+a)=O,

subiectullll

2. a) II = fx. '" x2 + I dx = .!. f2x'" x2 + I dx =.!. f(x2 + 1)1/2.(x2 + I)' dx = .!.(X2 + 1)3/2 = .!.(2.J2 -1). o 20 20 3 0 3

...•

*x

J.a) Avem e

x+ I =-2, deci x = 1 saux = -3.

erescator, rezulta cli lim x. = 00 .

I

strict

2

COS

tgx

X2 x

x-~inx~osx= x cos X

2x-sin2x. 2X2 cos' x cos2x) > 0, "Ixe(o,~),

g(x) = 2x - sin 2x. Cum g(x) = 2 - 2cos 2x = 2(1-

~lR,

ca g

2

avem f'(x)

este strict crescatoare pe (0, E.), deci g(x) > limg(t) = 0, "Ix e (0, E.). Cumf'(x)

2

II:

i TestulS :>

'Ix e (0, ~)

u.: •

Subiedull

= I ~i lim f(x) =00 ,dincontinuitatea

~

1. a) Avem

~if'(O) = 0 rezulta clifeste

2

,'>0

>0 ,

strict crescatoare pe [0, ~ ), deci este injectivli. Deoarecej(O)

Q

A.

:> U

Y i C ~

luifrezultlicli

Imf= [1, 00), decifeste

surjectiva.

X-+1f12

z+i elR a+(b+l)i eR [a+(b+l)i](1-b-ai) elR (b + 1)(1 - b) I+iz I-b+ai (l_b)2+a2 -Q2 = 0 cl + b2 = I, undez = a + bi. Obtinem izl2= I, deci Izl= 1. 2. f = l (f 0 f)(x) =x, "Ix e lR f(x+a) =X x+a+a = x, Vxe lR, de unde a = O.

r

J.

c) Cum limf(x)

{(-V ~

+ kx Ik e

Z} u {3;

+ 2k1l" Ik e

.l'-+ao

.-+00

=

,

2

fXln dx=

K

I

~

4. Numarul numerelor naturale de trei cifre este 900, iar numarul celor cu toate cele trei cifre pare este

;;

100. Deci numarul cerut este 800.

r' (x) =E..2

Atunci limr'(n) n-tCXl

= E., 2

deci lim x. = E. .

2.a) II

Z} .

continua si inversabilli rezulta lim

2

Ecuatia se scrie sinx = I - 2 sin2x 2sin2x + sinx - I = 0 (2sinx - I)(sinx + I) = 0

sin x = ~ sau siox = -1, deci x e

=00 ~ifeste

.l'-+~

,

I'

12

2 e ---

2 x I - ef-·-dx= 1.2 x

2 2 -x ) lnxdx=-lnxx 2

,

b) 1.+, _ I. = fXln' x(lnx -1) dx:5: 0, "In e N* ,deoarece

2

I'fxdx= 2.

2 e --2

2

I'

2

I+ e =-4 I 4

x

0:5: lox:5: 1, "Ix e [1, e]. Rezulta cli (1.)•.,1 este

I

~

~

5. d(PA)

=

1-3a+ll

00(

JlO

la+21 ~ ,,10

,iar d(P,d2) =

10

CD II: 1&1

II!'

3a+l=a+2sau-3a+l=-a-2

a=--

o

. Atunci d(P, d,) = d(P, d2) 1-3a + II = la + 21 -

1 sau a=-.Decl 3. 4 2

{I 4'2-3} .

ae --

(1.).>1 este marginit.

'

!i

~ 6. Avem .J3 = AB· AC ·sinA AC = = 2, deci triunghiulABC este echilateral. RezultliBC= 2. u 2 smA ~

Q

Z C

Sublectul "

• 10

b) AB =

(1 -2) 2+m

c) 1.+ = ofXln·+1 xdx = '~ ~ 1 I 12 = e2 2

_

n + 1I 2'

lim J, =0.

1. a) Cum Be M2•3(1C)

~

descrescator, deci marginit superior. Cum xln" x ~ 0, "Ix e [1, e], obtinem I. ~ 0, "In ~ 1, deci sirul

7

.

~l

tlp

II 212

= 0

=2

* 0,

.

rezulta cli rangul lui Beste 2, "1m e lR .

. Atunci det(AB) = II + 2m . Rezulta cli m = -- II . 2

,-+00

,

2)'

2 In·+lxdx=~ln·+IX

deci I = ~ __ 2_. I • n +1 n +1

2,

.+,

I" -

2 f~·(n+l)ln'x 12

. Cum sirul (I)

••

2 e ..!.dx=~_0JXln'Xdx= x 2 2,

este mlirginit si lim.-L = 0 , rezultli cli .-+00 n + 1

derivabila in Xo = 1. b) punetele de extrem ale luifsunt

Testul6

x

Subiectull 1. Avem

x;

[X;

I] = 3 3 :5:

x

r'i»

r:' : [2, 00) ~

3. Ecuatia se serie arccos x + 2ft = ft arccos x =!£ ==> 3 3 s => x = cosE. x = 1. . 4. Numarul submultimilor lui A este 2 = 32, iar numarul submultimilor care 3 2 [I, 00), rl(x)

= I +.Jx - 2.

6. ctgx-

+00

A e d, rezulta ea 2 + 2a = 4, deei a = I. Din A e d2 rezulta ea b = I - 2 =-1

eosx sinx tgx= 4 -.----= smx eosx

4-

2

""".

2

eos x-sin smxeosx

x

=

4-

2eos2x """-.--= sm2x

4-

-----

o

,I

C.,

= 00 ,j{l) = 0, f(e) = 1. si limf(x)

Deoarece limf(x)

e

x-+o

= 0, din eontinuitatea luifrezultli

x-+oo

ell ecuatia

j(x) =' m are trei solutii reale m e ( 0, ~) . o

2.11)

A=

II f(x) Idr . Cum

e:

I 2x f(x) = eX - eX = e

I

< 0 pentru x e [-1,0],

rezulta ell Ij{x)

I = --:f{x),

-I

o

1. . 5. Cum 2

0

1+++

I(x)

lui B = {2,3,4,5} , adica 24 = 16. Probabilitatea

contin elementul I este egal eu numarul submultimilor

Ole

f'(x)

1 < 4 ee- 5 :5: < 7 ~ A = [ 5, 7) (\ Z = {5,6} , deci A are doua elemente.

2. Fie y e [2, 00). Atuneij{x) = y Xl - 2x + 3 = y Xl - 2x + 3 - y = O. Cum !:1 = 4y - 8 ~ 0, rezulta ea x = 1 ± Jy -2. Cum x e [1,00) obtinem = 1+ Jy-2 . Ca unnare, inversa funetieifeste

ceruta este

. .,. . .. 1~l e, asa cum se observa din tabloul de vanape al luij de mal JOS:

'Vx e [-1,0], deei A = I(e-X _eX) dr = -(e-x + e")

.

LI = e0

I

+e-2

.

-\

t 2 2 t 1 """eg X= gx=-. 2

b) Fie F

0

primitiva a luif

Atunei F "(x) = f'(x)

I c) Cu teorema lui L'Hospital : lim2" x-+o x.b

Subiedulll

=

e' + e-x > 0, ' a(i) = T(l) => a(i) = i ,fals

2. a) De exemplu, x= y = -~20212 . Atunci x' = l =-1006

:>

= (a4)" -a' =ar

Testul7

5) =e. Fie k.c e Z

in eonc1uzie,

~ U

u

4

(0,00)\ {I} . Cum limf(x)=O=f(I), x-e

Lagrangqi

x I-Inx --,

x

rezulta eafeste

b) detA(m) = 0 3m2 + m - 1 = 0 me { -1-6.Jl3

xe (0, I) , deei f este derivabila pe xe(l,oo)

obtinem limf'(x) x/'I

oj ACO) = -I,

deci f;(1) = -I

si limf'(x) x'>.l

= I, deei f;(1) = 1. Rezulta eafnu

e

Q

,rezulta detA(m)"* 0, ~

deci A(m) este inversabila, pentru oriee me Q.

continua in Xo = 1. Aplicam eorolarullui

l

, -1 +6.Jl3} . Cum me

=[~ : =:J=

1, +B. unde

B

=[~ ~ ~~}

! Cl ""

D~,

B'

=[~ ~ -n

si

B' =0,.

31

rezulta ell B* = 0) pentru one

(A(O»"

k

e

2 3. Tinand eont ell h .B = B . Is, avem:

= (13 +B)" = 13 + C~B + C;B2 = I) +nB + n(n -1) .B2 =[~ 2

o

-r-

~n

-n~:2nJ.

0

I

1) e' ( -----;+--. l+e l+e

I 2.0bservlim eli putem serie X. Y = x2iog,y -_ X Ioa.y= (91no~ I -.. = 9 og,'-Iog,y a) • -I 910a.•1089Y . X Y - ¢> 1 ¢> log9 X -Iog, Y 0 ¢> log, X 0 sau log y 0 ¢> _ 1 b) Cum X. -9Iog,.Jos,y 0 9 x- sauy: 1 y > ,\Ix, y > 0, din punctul a) rezultli cli X. Y E (0 co \ I x, Y E (0, oo] \ {I}, deci "." este lege de compozipe bine defi .tli _' ) { } pentru once continuare axiomele grupului. uu pe G - (0, co) \ {I}. VerifiCli!n '

=

=

=

=

pentru orice x y Z E (0 co] \ {I} ( " , avem x· y).z=x.(Y.z) (x. y). z = 9 log,x-log, Y • z: 9Jos,(9•.••~··9Y)-Jos,z = 91og,.-log,y-log,z

• Asociativitatea:

• Existenta elementului neutru: Cum x. 9 - 91og,·-10899 =X ( X E 0,

•.••

-

i

= 3 ¢> log3 x-I I I,J,. 9 - - ¢> og9 X = ¢> x = 2 ~

c) x· x· x = 3 ¢> 9~'

~ Q

u: Subiectullll •

'S

I 2.+1 II 1 I fx2• dx== _x_ =--. Deci limn fx2'f(x)dx= 0 2n + 1 0 2n + 1 .-+00 _I

0

. ~=-. "~2n+l

2

festul8

Sllbiectull

..

._

_

Ecuatia zZZ + z + 2 = 0 are solutiile z ~I z . Cum z- z = 1 , rezulta cli 1z12 = 1, deci Izl = 1. Daca a 0, atunci f este functie de gradul II care nu este functie monotonli. Pentru a = 0, p> = 2x + 3, decif este strict crescatoare.

i.

*

J.Ecuatiasescrie

(~r

-3(~J

+2=0

¢> ((~J

-IJ((~J

5 ;

b) ~f(x)

(x-I)2 x(x+Ii-'

>0

strict monotone

P.::l=-2,

este 2

C;.

Atunci

C; = 20

2

deci 2a + ~ = 4. Cum ME davem a-2~

•• Presupunem

¢>

C; = 10

de unde a

=-5,

=1

~i

5

cli triunghiul

AD = "/144 - 36 = 6~ orizontalli spre +co, Cum m = Jim f(x) = 0,

=1 sau (~J

=2,

¢> n(n - 1) =

din A pe dreapta d : x - 2y + 5 = O. Cum md . mAM = -1 rezulta

a-I

\I XE[I,~_X-y 2 y x - --, _ +I x+Y y

If 2

hi

k+I In-k->

• I t;2k+I

. pentru once

,de unde t+t

x y E (0 co) "

2. _ =Inr

Z CC

:E

• 314

a)

Aria

suprafetei

II - In(1 + I) II = IneI

b)

este

e.

,x > y .

+ ... + 2nl+1 -2 k 2k+I'

\I k > 1 deei -,

• (rrk+IJ=IIn(n+I). hi k 2

f.

j~

dx. = e' • dx = = 1+ e 0 e (I + e ) I 1(1+ 1)

I

I

/X2f(X)dx=

fI2f(-/)dt+

b) E(f(x)t.= 1 ¢> e(ax) = 1 ¢> e(a) . e(x) = 1 ¢> e(x) = -1 ceea ce demonstreazli echivalenta din enunt, c) Avemj{x) =./fy) ~ ax = cry ~ x = y, decif este functie injectivli. Fie p numarul permutlirilor pare din S. ~i q numarul celor impare. Deoarece f este injectivli ~i duce orice permutare para in una impara, rezulta cli p ~ q. Cum f este injectivli ~i duce orice permutare impara in una para, rezulta q ~ p. Obtinem

p = q = 24 = 12 . Deci oricum iamultim permutarile 2 produsul este diferit de a.

2.

8) Notand E = [~

o err.!__

IlI

1_) dt == 1+1

In(e+ 1)+ In2 = In~ e+I'

x2f (X)dx+

X

) d . 1 In x-I , O. Din teorema lui Lagrange aplicata functiei g: [x, x + I] --+ R, g(t) = lnt rezulta ca

z ac

lui

x2

v

III 11.1

teorema

I

~ :;)

Aplicam

1 eos2x + cos4x = 0

"""

rezultli cli I = 2R sin ~ =.Jj

I x

x(x lim0--1•...• __

l+cos4x 2

-",,3x . cosr = 0 cos3x = 0 sau cosx = O. Cum cos3x = 0, x

I

este izomorfism.

+ I), deci f'(x) =1.. __ 1_=_1_ > 0 V x x + I x(x + I) ,x

t=o

==>x=Y.

cli f este strict crescatoare,

l-

+

numlirul cerut este 53 - 52 = 100.5. Cum Ii ~i

1. a) Cum x > 0, avem.f{x) = Inx-ln(x

....• 11.1 ac

. l+cos2x este echivalenta cu 2

J. Eeuatta

Subiedullll

b)

t=O

enunt devine (n + Ii = 625 n + I = 25 n = 24. J. Avem.f{x) =~(~ - 2) + 3. Cum f(O) = f(.fi) = 3, rezulta clifnu este injectivli.

cosx dx ,rezultli

ca

. n In = -sin I lim 1. •...•"" 2

Atunci,

din =/(cr)

= G

~

!~J !~ =G

:).fals.Deci

f(er)*-G

2

3

4)

atunci e = .f{e) = .f{if) =

3 4 2 ' ~

!~).

Subiedul

III

1. a) limf(x)

subiectul " = lim x + I. XIn(I +.!.) = lim x + I In(I

x-+oo

X

X-JoOO

X

x-+oo

X

+.1)X x

= I . Ine = I, deci dreapta y = I este

asimptota orizontala spre +00. b) f'(x)

= In(1 +.1)_.1, x x

b) A eM=> det(A

x e (0,00). Cum f"(x) =_I __ .1+~ = 2 1 > 0, Vx e (0,00) rezul" x +I x x x (x + 1) ''

~

~ ~

o

u.: •

x = - 2ln2

I' I

0:5;1. =

fTX' I

dx:5;

f2-X

dx =

0

fa

limf(x) xl'I

I

X

< _1_

= _I_(.!. -~) ln2 2 2'

2ln2

0

c) Din teorema de medie, exista c. e[n,n+I]

o

u • ~

lim c, =00, rezulta ca limf(c.)=

lim2- ab 0, din punctul a), deci compunerea functiilor este lege bine definita pe G. Compunerea functiilor este asociativa, are element neutru, deoarece fa 0 It = It 0 fa = fa, Va e JR* , si,

c) fa

Cumf{x) > 0, Vx e JR, rezulta ca

f f(x)dx.

A2 = (a + d)A = A', rezulta cli (a + d)a = a ~i (a + d)d = d,

Cum

a

n+l

ff(x)dx=

I

1

cli det(A) = 1.

2 deCi (a + d)2 = a + d. Daca a + d= 0, atunciA' = 0, deci a= b = 0 ~i if + b -a = O. Daca a + d= I, atunci 2 A =At. Rezulta b = c si d= I-a. Cum ad- bc= 0 obtinem a(I- a) - b = 0, deci if + b2 - a = O.

pentru orice a e JR., fa 0

'* 0, rezulta

Cum fa 0);, si fab au acelasi domeniu de definitie ~i acelasi domeniu de valori, rezulta fa 0 );, = fab .

1 (x + 1) ·In(x + 1)

n

n+l

b) Avem 1.+1-1.

e M cu det(A) = O.

det(A)

Cum

0

de unde rezulta ca lim In(ln(n + 1» = 0 . Ca urmare, limita ceruta este 1. a-eee

0 = A = A' , rezulta A e M

= det(A~ => de~(A) = det(A).

)

!J

e) Fie A = (:

(I 0)

0 . Cum A 2 = 0

2

caf' e strict crescatoare. Dar ~f'(x) c) Avem

(1 0)

,. a) Fie A = 0

I_). (X_1)3

Avem

x= ifi -2. ifi -I

0

=.!.In 1.. 2 2

II

1

0

x +I

II

X

X

c) Cum f(x + 1)- f(x) = IIt 2(t -1) dt :5;0 ,rezulta o t +2

f(x + 1) :5;f(x),

Vx > 0 . Folosind acest lucru, avem:

3f(x + 2):5; f(x + 2) + 2f(x):5; 3f(x) , de unde, conform b), rezulta 3f(x + 2):5; x: 1 :5;3f(x),

fJ

!"(x)=O

Obtinem

_1_:5; 3(x+I)

f(x) :5: _1_, 3(x-I)

de unde

_x_:5; 3(x+I)

xf(x) :5;_x_, 3(x-1)

Vx >

o.

pentru orice x > 1. Cum

1

,

I

1

lim_x_ = lim_x_ =.!. ,rezuita ca lim x f(x) =.!. . x ...•., 3(x + I) x ...•eo 3(x -I) 3 x ...•., 3

31

Testulll Subiectull 1. Fie z(= a + Img =

-00,-

•.'* x = e .!.(x2

i:

''''''''

2

2

4a = (-oo,a+4].

3•.Ecuatia se scrie 8 + ~ ~~x stnct descrescatoare,

2. Imf = [- 4~'~}=

[2,~},

~

(~J+(i- J

= I. Cum functia j": IR ~

JR, f(x) =

(%J +(i-

J

'/este

este

submultimi ordonate cu trei elemente care contin elementul I . .. . . . pe pnma pozipe, Analo pentru submultimile care conpn elementul I pe pozitiile 2 ~i 3. Numarul cerut este 3A; = 36 . g 5. Fie B' simetricul

xB' =2xA -xB =-2

...

w

ex: l-

i:::l Q

~i YB' =2YA - YB =2.

•

§

x ...•o

61bledullll -

1.

Punctul

,I II,

to[:

1.a)Avern A' -I, = rangul cerut este 1.

h) A' =aA +bI, .,,[~~ 16

~~ 16

I I]

1 1 . Cum A2 1 1

h#

-2x,

17

2a 2a 3a+b

2a

2a

x2 ~;

t) Inegalitatea 2j{x) ~ X4 este echivalenta cu ex' -1-

vt

E

x

x-+o x>o

x-+o X>O

lim I(x) = lim eX' -1X4

x-+o

X4

X

I.l. 1.(X2 _1)(y2 -1)(Z2 -I) + 1 = '14 4

~ w

=

~

= ~±(X2 -I). ±(y

-1)(Z2 -I) + I =

~

• Element neutru: e

E

2

2

"

7

x-+o X>O

1(:) .

Cum,

2 (x -1)(/-I)(z2

-I)

16

2 (x -I)(Y:;

•

• Simetri za bili . x I itatea elementelor. FIe

E

lui L'Hospital

cazul

Q

avem

0

+-'

X

1(:»)

.-+0 x I, deci toate elementele din G sunt simetrizabile. Rezulta ca (G, *) este grup.

cste strict crescatoare, deci get) ~ g(O) = 0,

•

:::l

6. Avem

YB' + YB _

lIP ...

J5 .!.(X2 -l)(x' 4

BD = CD. Din teorema bisectoarei avem ca BD = AB deci AB = AC CD AC' .

u.:

'5

xB' + xB = x si 2 A

lui B fata de A. Atunci:

X2 _I

I(X)

deci injectiva ~lj{l) = I, rezulta ca ecuatia are solutia unica r = 1.

A;

-r

•••~l

Atunci 1Imf n Img 1= 1 a +4 = 2 a = -2.

x

4. Exista

~

2

JAtunCi a +b = (a- .. +b ee- 2a-1 = 0 a =t·

-l)(x' 2 _I) + 1 =

4

(1,00) astfel incat

Subiectull 1. Numarul este

~ ~

J3 -I 2

+

J5 - J3 + J7 - J5 + 3 - J7 = I EN. 2

2

2. Cumjf-O

= -j(0), rezulta caj{O) =

~ ~

+ I) = 0 t = O. Deci x =

•

2

0, deci produsul este O. 3. Notaro {/l- x = t . Ecuatia devine t= -

r t(t

1 este unica solutie a ecuatiei, 4. Daca multimea are n elemente, atunci 2"-1 = 16, deci n = 5.

321

s. Fie

h Inaltirnea din A. Cum panta dreptei BC este 1 rezulta ca panta lui h este -I. Ecuatia . lui h este = x + 1. 6. Avem cos2100+cos2500+cos2700= l+cos20° +l+coslOO° +1+cosI40° 3 y 2 2 2 -"'2-!+1 (cos 20° + cosl 00° + cos1400) = 1+1(2cos60°cos40° 2 2 2

+ cos1400) =

2

.

"n

2. a) Aria = J1f(x)

1 + 1 (cos 40° + cos 1400) 2

fals • Deci sirul x; > _ 0 ,v'-In E ",,' 1"1 , y

o

Idx --

(x n ) n2:1 este nemarginit si, fiind descrescator, rezultll cll "-I>«) lim

~

I

2

COSX

. 2 dx J1+ SID 0 x!!

-"J

cosx dx = J~1+ sin2 X 1+/2

0

I

J~=2 2 1+ t

J~= 1+ /2

2

- cos400) =

2

b) Cu schimbarea

de variabila

y

= 2n - x avem:

2 (21Z'_ f K

J .( -1-3 3 9 J = O2 . Rezulta A4 = O

2,

y)

o

deci A E M.

cos(27r - y) dy = 1+ sin 2(27r - y)

solutie a ecuatiei y2 = A ; atunci y4 = A2 = O2, Rezulta cll Y EM=> y2 = O2 ~ A = O2, fals. Deci ecuatia nu are solutii. 2. a) U E (2, (0) este element neutru al legii "." ~ x. U = U. x = x, Vx E (2,00) ¢>

~

-2 = e ~

U

lui

k

y)

fey)

dy =

0

f 27rfey)

dy - 1 ,

0

f 1+co~~ SID Y

dy =27rarctg(sinY)I~"

= 0, deci 1=0.

0

L'Hospital,

cazul

0 0

avem

lim...!...xf(f(t) -I) dt = lim f(x) 2 -I = x ...•o x

x ...•o x2 0

0

(x_2)In(u-2)+2=x, U

teorema

f (27r -

2x

o

Din

co~~ dy = 1+ SID Y

y)

0

f

c1 "

2K

k

de unde se obtine 21 = 27r fey) dy = 27r

.r

~

f (27r -

21f

b) Fie X E M. Atunci 0 = det(02) = det(X') = det\\'), deci det(X) = O. Din teorema lui H '1 ton Cayley, rezulta cll ~ = tr(X) . X, deci X' = tr(X) . = ~(X) . ~ = n-l(X) . X Atunci n-l(X) . X = ;rud tr(n-l(X) . X) = tr(02), de unde tr4(X) = O. Rezulta ell tr(X) = 0, deci ~ = O2. 2, eel

c) Fie Y E M2(1C)

0

o k

1. a) A2 = ( 3 9 -I -3

=!!.... 2

1 = J xf(x) dx = - J (27r - y) f(27r - y) dy =

2

Subiectul "

0

2

=::

1.

l

2aretgtl

0 2"

1+ 1(cos40°

Xn = -00 .

Vx

E

(2,

(0)

(x-2)ln(u-2)=x-2,VXE(2,00)~In(u_2)=I¢> =e+2 E(2, (0). Cum (e + 2). x= eln(x-2)+ 2 =x- 2 + 2 =x, Vx E (2, (0), rezulta ell

cosx -I . 2 . 2 . (..) SIDX SIDX -lim I + sl'n2 x = lim cosx -1- SID x = I'1m -SIDX - SIDXCOSX = li m ------cosx 2 - x...•o x2 x ...• o x x ...•o 2x x ...• o 2x x

----.

3 2

~

= e + 2 este element neutru. b) x E (2, (0) este simetrizabil ~ 3.x' E (2, (0) astfel incat x. x' = x'. x =

Testul13

U

Daca x

'* 3, atunci

In(x - 2)

'* 0 si

U

~

(x' - 2)In(x- 2) = e + 2.

x' = 2 + (e + 2) In(x-2)E (2, (0) , deci toate elementele diferite de 3 sunt

'* e + 2 , deci x = 3 nu este simetrizabil.

c) Avem x. x. x = «x - 2)ln(x-2)+ 2). x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 si x. x. x. x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 . Ecuatia (x - 2)1n'(X-2)= 3 ~

XI =2+e~

Subiectulill

~

•

1n4(X - 2) = 1n3 ~

>2 si x2 =2+e4'iD3

.Jk

_1_

simetrizabile. Daca x = 3, atunci (x' - 2)1n(3-2)= I

se scrie

Subiectull 1. Cum pentru kEN·,

>2.

In(x - 2) =

±\t'll3 ~ x -

2 = e±~.

Obtinem

E Q ~ k este patrat perfect, rezulta cll numarul cerut este egal cu numllrul

plltratelor perfecte cuprinse intre I ~i 2012. Cum 442 = 1976 < 2012 < 2025 = 45~, re~ltll ~ll exista ~ patrate perfecte, deci multimea are 44 de elemente numere rationale. 2. j(0) = 2 implica j" (2) = 0, iar j{-I) = 0 implicllF1(0) =-1. Ca urmare, (f-I ° rl)(2) 3. Avem sinx =-J3cosx

= rl(f-l(2»

= rl(O)

= -I.

sinx =-J3 ~ tg x =-J3 ,x E [0, 2n) ~ x E {2;, 5;}. cosx 4. Exista 4! permutari care au pe prima pozitie numarul 2 ~i 4! permutllri care .au pe p~a pozitie numarul 4. Exista deci 2 . 4! = 48 permutari cu proprietatea din enunt. s. Prin calcul direct, sau 4 4 ~ ~_~=~ . 4 4 folosind relatia C: = C:_I + ,avem: C; + C! + C; + C~ = C4 + s - C4 + C6 - s + 7 6 7 . em 6. Avem 2 sinB cosC = sinA = sin(n - (B + C» = sin(B + C) = sinB cosC + cosB sine. btin ~in! ~

C:~:

C

cosC _ cosB sinC = 0, deci sin(B - C) = O. Cum B - C E (-n, n), rezulta B - C = 0, deci B = C

Subiectul " : ) EM,

X'* O2, Atunci det(X) =

.

b = 0 obtinem a = 0, deci X = O2 fals, iar pentru b

::r:: u

cll J2

w

este numar irational. Obtinem det(X)

CC

Z

ID

consecinta, triunghiul ABC este isoscel.

1. a) Fie X = (;

o cc:

~I,

b) Fie ~ = ( :

~). Atunci AX = XA ~

(

d-- 2b2•

'* 0 rezulta

2

Dacll det(X) = 0, atunci 2b = 2

cll

a IJ = 2,

'* 0, deci X este inversabilll.

!~: ~ )(

) = (:

b)(3 d 4

deci \ a \ - J2 eCI

b -

2) 3 ~

d-. Pentru

, fals pentnJ

(3a+2C 3b+2d)= 4a + 3c 4b + 3d

Q

Z CC

~

• 322

= (3a + 4b 3c+4d

2a + 3b) 2c+3d

~

3a + 2c = 3a + 4b si 3b + 2d = 2a + 3b ~

c = 'lb ~i a = d 0, 'dx

-i,

unicul punct de extrem (minim) a luif

Q.

b) Avem

·

::::I

,f'(X)

1+(I+X)2

0:< ::E

U

- pentru m

E ( --CO, -

2arctg

Z

0< CCI

- pentru m = - 2arctg

Ill: 11.1

- pentru m e ( -2arctg

• 11.1

U

-e

o Z ;

e) Fie x

Z. Cum

r-s:'

= h1

0

h~1 = h1 °/_3P = h1-3P

1.

i)

00) ~i f'

(-i)

2x+1 (I +x2)(2+ 2x+2x2)

= 0, din monotonia lui/rezultA

si 1(--21)=-2arctg- 1. 2

0

i,

e

E

I

l24

'

2. a) 11= fxsinxdx=

=

ca

(1'_ 1Xl' _ 2) = 0 ¢:> l' = 1 sau l' = 2. Solutiile sunt x, = 0 si x2 = 1. 3 4. Fie B = {a, b} c {I, 2, 3, 4}. Cum exists 24 funetiif: {I, 2, 3, 4! ~ ~ ~i exact 2 fun~tii constan j{x) = a, 'Vx E {I, 2, 3, 4} ~ij(x) = b, 'Vx E {I, 2, 3, 4} rezulta ell exista 2 - 2 = 14 functii cu Inif = 1

1

2

-3

lR. Cum X*y = xy + 3x + 3y + 7 = yx + 3y + 3x + 7 = y*x, legea ,,*" este eomutativl'i.

b) (1*2) * 3 = 18 * 3 = 124, iar 1*(2*3)= 1*28= 122 rezulta el'i (1*2)*3 1* (2 * 3) e) Legea ,,*" are element neutru

¢::>

3e

E

= 124 = 122

JR astfel incat x*e = e*x = x, 'Vx

E

JR

14.6=

62. 61 ¢::>

xe + 3x + 3e +

JR

E

¢::>

x(e + 2) + 3e + 7 =0, 'Vx

E

JR

¢::>

e + 2 = 0 si 3e + 7 = 0

¢::>

e = -2 ~i e =

-2

3'

foal

s.

Deci legea ,,*" nu are element neutru.

submultimi eu 2 eiemente ale multimii {I, 2, 3, 4}, rezulta ell numarul eerut esl

84.5. Fie Tmijloeul segmentuIuiAB.

ell panta mediatoarei mediatoare

+ 7 = x, 'Vx

C; = 6

Cum exista

¢::>

Atunci T(-I, 4). Cum pantadrepteiAB

¢::>

a = 4. Sau, AM = ME

¢::>

~4 + (3 - a)2 = ~4 + (S - a)2

+d

1 1 Avem -+-+-= 6. ab ae

a+b+e 2p 2 pr 2 S =-=_.-=-.-=-._-=-=abe abe r abe r abe

¢::>

rezull

¢::>

(3 - a)2 = (5 - a:

4a = 16 ¢::> a = 4.

~ 9 - 6a + d = 2S -lOa 1 be

-1,

are ecuatia y - 4 = 2(x + I), M(-I, a) se afla p

este 2. Atunci mediatoarea

a- 4 = 0

este

2 S r 4RS

1 2rR

1 8

Subiectullil 1. a) Cumf'(x) = £f + 3 ~if'(I) = e + 3, rezulta cl'i ecuatia tangentei in punetul A (1, e + 2) la grafieul functieifeste y - e - 2 = (e + 3)(x - 1). 1 + ...+ e-n - 3n -1 = e-I + b) Avemj{-l) + j{-2) + ...+ j{-n) = e-I - 3 . 1 - 1 + e-2 - 3 ·2+e

-2

+...+e

-n

1 1 ...+n)-n=-+2+···+-e e

-3(l+2+

3n(n + 1)

1 e'

1 1 -+2+ e e

n=

2

Subiectulll a2 2 1. a) det(A) = b -1

...

deci lim(f(-I)+f(-2)+

... +f(_n)+n(3n+5»)= 2

n ..• ec

... +1..)= en

lim.!.(~IJ -1 =_1_. •..• e _ -1 e- I

e

i::I

e) Fie m

~

= 0, rezulta ca g(x) ~ g(0), 'Vx

o

lim(.!.+~+ •..• e e

E

JR pentru carej{x) - mx ~ 0, 'Vx

lui Fermatrezultl'ig'(O)

E

E

JR ~i functia g : JR ~ JR, g(x) = j{x) - mx. Cum g(0) = f{0)

JR, deei x = 0 este punet de minim. Cum g este derivabila, din teorema

= O. Deoarece g'(x) = f'(x)-m=e

Pentru m = 4, consideram functia h : JR ~

x

+3-m

JR, hex) = fix) - 4x =

~ig'(O) =4-m, £f - x-I.

rezulta m =4.

Cum h'(x) = £f - 1, din

monotonia lui h rezulta ell x = 0 este punct de minim global. Rezultl'i ell hex) ~ h(O) = 0, 'Vx ::I Z

-e

a:w Q. ~

;; ~ w

i ~

fix) ~ 4x, 'Vx ERin

E

JR, deei

l' aretgxdx f--2 I+ x

= '!'arctg2x 2

= faretgx. (arctgx)'dx

0

0

I' = -!!.. 1 ()2

2

=~ 32

2 4

0

b) jOl(-X) = arctg 10 I (-x) = -arctglOlx = _jOI(X), deci functia de sub integrala este impara. Rezultl'i ell integral a ceruta este O. e) Cum 0 :5:arctgx s; ~ 'Vx E [0, I], rezulta ca 0 :5:Xl arctg'x :5:x3 (~J

Ix rex) 3

dx:5: (~J

!~(~J

~i cum

:5:(~J

' 'Vx E [0, 1] ~i n EN'.

= 0, rezulta ca limita cerutl'i este O.

:z:

Testul

15

~

• 326

1. ~I024 =

1iF = 2-;;

2. f{-x) = -j{x), 'Vx

2

4

2

1 b2 2

1 1 2 2 2 2 b + 1 = (a - b + 1) b -1 4

2 a +li=a2_1 2

a2 ~i 6. =i +1 2 2

E

E

JR

Q ¢::> n 110 ¢::>

¢::>

n

E

{2, 5, 1O}. Deci multimea contine 3 numere rationale

_xl - X + a = _xl - X - a, 'Vx

E

JR

¢::>

2a = 0

¢::>

a = O. 3. Ecuatia devine

4

0

0

1

2 2 = a2 - b + 1 .

1

3

a2+2i=2d.Cum6.2-26.'=2rezultl'iell6.'~i6.2n 4

pot fi simultan 0, deci rang(A) ~ 2. e) Din punetul b) avem rang(A) = 2 ¢::> det(A) = 0 ¢::> b2 - d = 1 ¢::> (b - a)(b + a) = 1 ¢::> b - a = b + = 1 sau b - a = b + a = -I ¢::> a = 0 si b = 1 sau a = 0 si b = -I ¢::> a = 0 si Ibl = 1. 2. a) x

* x = x ¢::> ~

= x ¢::> 8x = 4x + ~ ¢::> x(~ - 4) = 0, X E (-2, 2) ¢::> x = O. 4+X2 b) Din ipoteza, ,,*" este lege pe G = (-2, 2). Verificam axiomele grupului: 4(x+y) (x * y) * Z = --4+xy

4(4(X+ y) + ) ~ Z *Z = 4( ) 4+~.z 4+xy

4(x+y+z)+XYZ,'VX,y,ZE(-2,2),ii 4+xy+xz+ yz

4(

x+--4(Y+Z») x * (y * z) = x * 4(y + z) = 4 + yz = 4(x + y + z) + xyz , deci legea ,,*" este asociativa 4+ yz 4+x. 4(y+z) 4+xy+xz+ yz 4+ yz • eIementuI neutru: x * 0 = 0 * x = 4x = x , 'Vx E (-2, 2), deci e = 0 este elementul neutru allegii ,,*". 4 .. bil1 ¢::> 3' X E (-2 , 2) astfel ine • simetrizabilitatea elementelor: fie x E (-2,2); atunci . x este simetnza 4(x+x) =O¢::>x+x'=0¢::>x'=-xE(-2,2). 4+xx' simetrizabile, rezulta cl'i (G, *) e grup.

10

II(

a2 b) 6. =i , 1

x*x'=x,~x=O¢::>

o Subiectull z

1

... • asociativitatea:

w

u ~ o a:

a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 b2 -1 b2 b2 + 1

eoncluzie, m = 4.

2. a) ,

Obtinem 0:5:

a2 +2 b2 + 1

1 n(3n + 5) ... +--~--'e' 2' 1 2 2 2 = (a _ b + 1) b -1

....I W a:

a2 +1 b2

Asadar,

toate

elementele

su

4(2(X C) f(x)

'

¢:>

6~~

4~ - 12ab + 9b2 = 4~ + 4b2

¢:>

ix=l + 2x ~;=t. /x+T (x +2 Ii

= ~~

continuli,j este strict crescatoare pe [I,

(0).

Cumj{I) = 0 si lim

lex)

x-+.,

=

00 ,

pe (1, (0). Fiin

rezulta cli Inif = [0,

(0).

¢:>

a * 0, deci x - I = 0, respectiv x-I + ~(y - 2) = 0 ~

.

. .. 6. Din teorema cosinusului

> 0, "Ix > I, deci j este strict crescatoare

On . Cum

exista

[!!.]5

+ I multiplii de 5 de La0 La

n e {30, 31, 32, 33, 34}.

b(5b - 12a) = 0 => b = 0 sau

cos A =

16+36-76 48

pe [I, (0), graficul luij nu are asimptote verticale. b) /'(x)

k= "

2 5. DrepteLe care tree prin A( 1, 2) au ecuatiile a(x - 1) + b(y - 2) = 0 cu a2 + b * O. Distanta de LaB La0 2 la(3-1)+b(-1-2)1 12a-3bl A 12a-3bl_2 ¢:> 12a-3bl=2.Ja2+b astfeL de dreapta este ,....,-;:; ~. vem ~2 2 va + b -sa: + b' -q a: + b'

pereche cu proprietatea din enunt,

~i n=lim(f(X)-m(x»=limx(~X-I_I)=

~i /(1.)+2/(2)=~.Obtinemj{2)=3. 2 2

2

= C* (ifi)* = C* . 2~ e IQl ¢:> 5 I k 4 • Avem T.1+1""

deci Hare 3 elemente.

y*

eR \1Ql. 2. Avem /(2)+2/(1.)=6

d

=

% = 1~ . Obtinem

x-I + 1: (y - 2) = 0

-21 =>

¢:>

a(x - 1) = 0, unde

5x + 12y - 29 = O.

rI .J3 1-"4 = 2.

sin A = ~

•..

:E I

< u Subiectul " t. Fi,

~

A =[ ~ ;

deterrninat ~

:

J

det(A) * 0

matricea

¢:>

sistemului.

Atunci d'~A)

= m -

m - 16 * 0 ~ m *16 ~ me R \ {16}.

16. Sistemul este compatibil

~

• 331

b) Daca m ~ 16 , sistemul este compatibil determinat.

Daca m = 16 atunci det A = 0 , deci rang A S 2 .

3

3 3

c) In+1= j(x - 2)'f"+I(X) dx = (x - 2) r+l(x) Cum dp

3 = 2 1

-11 16 = 50 ~ 0, rezulta ca rang A = 2. Deoarece

3 de = 2

-1 16

3 0 = 170 ~ 0, sistemul

1

3

4

1 -

1

(n + I) j(x - 2)f"(x)(2x

1 3

- 4) dx =

1

3

= -2(n + 1)f(x2

4x + 4)f"(x)dx

-

= -2(n + 1) j(J(x)

1

+ I)f"(x)dx

= -2(n + I)In+1- 2(n + I)In .

1

este incompatibil. Deci nu exista m E lR pentru care sistemul este compatibil nedetenninat. Deci (2n + 3)1

3X - Y + 2z == 3 c) 0 solutie cu componentele

in progresie

aritmetica

este solutie a sistemului

Rezolvam sistemul format din ecuatiile 1, 3 ~i 4; acesta are solutiile

S'

2x + my + 3z == 0 x+3y+z==4 . {

x-2y+z==0 Obtinem prin scaderea ultimelor

S'

. d iill ecuapa. a doua obti oua obtinem m == douli ecuatn.. x = 3 y = 4 z =. 1 'Inlocuin

21 -4.

b) Avem j(I)

= ao + al

ao +a2 + ... +a20 = f(1)+ fe-I) 2

W

a: l-

i::I

Q

u: •

- j(-X)

dreapta x = -4 este asimptotli verticala. Cumf

alte asimptote vertieale.

z~ )=0

n

... ·f(n)=i.~ 5 6

c) Avem f(x) =1 __ 1_, x+4

..... n+3=_4_ ~i lim 1+_4_ n+4 n+4 n...•""( n + 4)

[

= lim (1+_4_)4 n ...•"" n+4

deci !'(x) = __ 1_2 > 0. Rezulta elifeste (x+4)

». +3 xn+1=--4' xn +

desereselitor:

XI

1 > 0, rezulta eli Xn > 0, "in EN'.

~

(z-z)(1

332

1

Z

Z

- z-z z-z---=o zz

ZI2_1) =0 ~ 1Z 12= I ~ Iz 1= l. 00) = [4, 00) . Deci B = [4, 00).

[ - ~,

0

4. Dezvoltarea are 9 termeni, deei eel din rnijloe, este 7; = C:X4 = 70 X4 . Cum Ts = 70, rezulta X4 = 1,

5. AC+EF

6. Avem tg~=_r_= 2

n+41n~4

p=a

= AB+BC+EF

b 2r +c-a

= AB+BC+CB

1. Rezulta ca ~=~,deei 2 4

=AB,

deci IAC+EFI =IABI =1.

A=~. 2

= 00 ~i

Subiedulll

= [: ~

m: J

matricea

sistemului.

Sistemul

.re solutii nenule "" d't(A)

=

0 ""

=e4 .

strict crescatoare pe (-4,00).

~-m-I

Arlitlim prin inductie ca (xn)n este

x2 = f(1) = ~ < XI ~i daca x; < Xn-I, obtinem din monotonia lui f eli j(xn) < j(Xn-I), deci

=O~m=-1.

b) Cum oriee solutie eu proprietatea din enunt este nenula, rezulta ca m = -1. Cum tl =

ca

rangul lui A este 2, deei sistemul este eompatibil nedetenninat,

Pentru z = a E lR sistemul devine: {x + y = a x+2y=0

~ x = 2a, y =

-{J..

I ~ ~ I = 1~ 0 ,

cu necunoseuta secundara z.

Deei Xo = 2a, Yo =

-{J.,

Zo = a, de

unde x~ + y~ + z~ = 6a2 • Obtinem a2 == 1, deei a = ±I si solutiile (2, -1, 1) ~i (-2, 1, -1). 2. a) Avem/a = (x2 - if)c + r eu c, r E lR [x] ~i grad r ~ 1. Daca a = 0, eum/o = 2)('2, rezultli eli r = 0 deoareee X2 divide jj, Daca a ~ ~i r = pX + q cup, q E lR , atuneij(a) = pa + q,j(-a) = -pa + q, de unde pa + q == (2a)12 si -pa + q = (2a)12. Rezulta p = si q = Iz12 . a12, deci r = z12a12. . b) Fie a E lR 0 rlidlieinli reala a luifa. Cum (a + a)12 + (a - a)12 = 0, rezulta eli a + a = a -a = 0, deci a = a = O. Atuncij, =/0 = 2X2 si Oeste rlidlieinli multiplli de ordinulI2. 2 c) Fie z EIC, z = u + vi 0 rlidlieinli a luif, eu u si v ElR. Cum (z + a)12 = -(z - a)I.I~ ~ I(z + a)121 = I (z - a)121 ~ Iz + a 112= Iz - a 112~ Iz + a I = Iz - a I ~ Iu + a + VI = == Iu - a + vi I ~ (u + a)2 + v2 = (u - a)2 + i ~4au = 0 ~ u = 0, deci Re(z) = O.

°

•

1 Z+-=z+-~

_ ...+

rezulta Cum

ElR

ElR

2. Imaginea functieij'este

1. oj Fi, A b)f(I)·f(2)·

+Z +1

2 log 2 3 3. Pentru X > ecuatia se serie x + X ,8 -12 ~ x + x = 12. Functia j": (0,00) -+ lR ,j(x) ==~ + x3 este strict crescatoare, deei injeetivli, iarj(2) = 12; rezulta clix = 2 este uniea solutie a ecuatiei,

este continua pe lR \ {-4}, nu exista

U

= - 2(n + 1) ~i lim In+1 =-1. 2n+3 n...•"" In

z

deeix=±1.

xi--4

~ ::I U

--00,

Z2

Avem

~(Z-Z)(I-

cli

are

= ao - alX + a~

x~±a:l

In

°

Subiedullll 1. a) Cum lim f(x) = 1, dreapta y = 1 este asimptotli orizontala spre ±oo; deoareee limf(x) ~~~f(x) =

== r(-I).

+ a2 - ...+ a20. Rezuita

infmitate de solutii, rezulta elij(X) = j(-X), deei ao + alX + azX2 + ...+ a~o v2oA· • tmICI a2k+1= -a2k+1 deci eel a2k+1= 0, "ik = -0, 9. Rezulta eli a7 = 0. a2A

~

.

= ao -al

In+1

subiedull

=310 +1.

= (x2 - X + 1)10 + (~ + x + 1)10 =j(x). Cum polinomulj(X)

c) Fie x E R, Avemj(-x)

...I

+ a2 + ...+ a20 si j(-I)

= -2(n + 1)ln ,de unde

Testul19 1.

2. a) Fie c.r E lR[X] astfel incat f = (X2 -l)c + r , cu grad r ~ 1. Atuncij(I) = r(I) ~ij(-I) Daca r = aX +b .atunci a+ b = 310+ 1 ~i-a+ b = 1 + 310~ b= 310+ 1 ~i a= 0, deci r= 310+ 1.

1

n+

°

Subiedullll 1. a) Avemf'(x)

= 1 - cosx ~ 0 orieare ar fi x E lR . Deoarece multimea {x E lR I f'(x)

= O} = {x E lR

I cos.x =

I} = {21m / k

Z } nu contine niciun interval nedegenerat, rezulta cafeste strict crescatoare. 3 = lim f(sinx). sin x = tim(sinx)3. f(sinx) = lim fey) = lim y-siny ,->0 sin" x x3 x->O X sin ' x y->O y3 y->O y3 . Cu teorema

b) lim f(sinx) ,->0 x3

. I I' y-siny IU1. L'H'ospita avem 1m 3 y->O y

I' I-cosy = lm--~ y->O 3y2

=~!!

=

2. oj F" F 0 prim, tiva a lui f Atunci F'(x) = ['(x)

=(a2 +b2)

b) Daca a

=

devine 1 + (~)'

-( - (x; I)' ) < 0 pentru orice x

ER

•

de

I

-- 1 = t z +I

variabila

obtinem

f' -( I 1)2 arctg --II ox+ x+

I

dx = IJarctg t dt ==

a2 +1

_b2 +1

2

a2 +b2

_b2 +1

a2 +2

_b2 +2

4

a2 +b2

_b2 +2

0

2

3

'* 0 sau b '* 0 ~

!

det(A) z

x+ y+2z=2

~

{

e

'* 0 ~

. Cum !im Cx = ex), lim lex)

x

-

= 0, rezulta ca lim f jet) dt = 0 .

-

_b2 +1

2

4

_b2 +2

4

sistemul este compatibil determinat. Daca a

= b = 0 sistemul

I cu solutia

x+y=O

x+y+2z=2

aE JR. Asadar

(a,-a,I),

'

sistemul este compatibil

= O.

c) Fie xo, Yo, Zo 0 solutie a sistemului. Scazand prima ecuatie din a doua obtinem: Xo + Yo + Xo + Yo + Zo 2012.

'*

b) Fie

~

1

2 = (a2 +b2)

2

1 = a +b •

= (XI -1)(x2 -1)(X3 -I)(x4 -I) = (1- xl)(I-

X4

= /(1) = -2 , deoarece / = (X - xl)(X

c, E (x, X + 2) astfel incM

~ + 2 - x) = 2/(c,)

2

1

X

I

> O. Cum / este continua, din teorema de medie rezulta ca exist!

_b2

1

1

0

2. a) (1-.1J(I-l...J(I-l...J(I-l...J XI X2 X3

I

= ft' arctg t dt = t arctg till - f+ dt =E. - '!'arctg'!' - .!.In(t2 + 1)1 = E. -.!. arctg'!' -.!.In ~ I 2 It +1 4 2 2 2 1 4 2 2 2 5' 222

f jet) dt = /(c,)(x

_b2

nedeterminat pentru a = b

2

c) Fie x

a2 +b2

z=1

deci F este concava. schimbarea

1

1 _b2

x+l

Cu

_b2

l.a) det(A)=

siny 1 1 = tim-= - , deci limita ceruta este _ y->O 6y 6 6 .

c) Avem x, = .f{xo) = .f{1) = I - sin 1 < I = Xo· Presupunem ca x; < x,...,. Cumf este strict crescatoar rezulta ca.f{xn) 0 :' ipote~. ca ~n > 0 ~btinem.f{xn) > .f{0), deci xlt+' > O. Rezul~ ca ~irul. (xn)n~ este margin it inferior, de: marginit. Fie 1 Xn E JR. Cum Xn E (0, I) ~ 1 E [0, I] ~II 1- sm/, deci sinl O. Rezulta 1== O.

b)

a2

E

i=

1,5.

Deoarece

2

2 2

~I XI + x +

2 X:!

2 4

- x3)(X - x4)

X;

(

+ x~) - (XI + x2 + X3 + x4)

+ x = XI + x2 + X3 + X4

)2

-

.

3

= I,

deci

x) = 4

~i XIX2X3X4 = I .

x: = 4Xi - I, rezulta ca x: = 4x; - Xi' Adunand

x~ + xi + xi + x~ = 4(x~ + xi + .

- x2)(X

x )(1- x )(I2

IX2X3X4

Zo

cele 5 relatii obtinem

Din relatiile lui Viete, x, + X2 + x3 + X4 = 0

2( XIX2 + XIX3 + ... + X:!x4 ) _- 0 , d e un d e XI5 + x 5 + X35 + X 5 -- 0 2 4

•

> O;.f{I) = -2 < 0; .f{2) = 25 > 0 ~i functia polinomiala a lui / este continua, rezulta ca/are doua radacini reale x, E (-1, I) ~i X2 E (1,2). Daca toate radacinile lui/ar fi reale, ar rezulta ca 0 = x~ + xi + X; + x~ > 0 , fals ~i cum numarul radacinilor nereale ale lui/ este par, rezulta ca

-x

c) Deoarece.f{ -1) = 6


2' ._1_ ==1.

_a 2 •.•

1

2"

-

a2,) + a2 ~

-

2"+1

2 '

'It n

~ l.

tt t t .

+

+ ... +

.

+ 1+

==1 +

1,

I: ==--J3 + 2 .

2. a) .( ~ x 2 dx ==-~ 4 - x2 4-x 'Itn

~ 1.

r

r (arcsill"2 . x)'

x b) .lJf(x)'arcsin"2dx==.lJ

. xl·

'arcsill"2dx=="2arcsill"2

2 X II _1.(!!...)2 _ 1(2 0 - 2 6 -72'

n-Iori

Avem

c)

n

==i"lh' ~ 2[Jog,·], deci

an ~ a"'Ioo,"1~ 1 +

~

[log2 n]

~ 1+

log2 n -1 ==1+ log2 n

2

co

2

2'

\In

~ 4,

c) Cu schimbarea de variabila I ==-x, dt ==-dr, avem fJ(x2)

dx ==-

r

f«-I/)

dl == 1f(/2)

dz .

deoarece sirul (a ) ~I este strict crescator, Cum lim log, n ==00, rezulta ca lim a ==00 . n

n

n-+oo

n-+oo

n

Testul26 2. a) De exemplu F: R ~ R ,F(x) ==arctgr. b)

R

o

c)

2

2)' arctgxdx==-arctgx x .£. 2 2

.br x

3

II --

2 0 1+ x

0

.br (x

3

f'(x) dx ==x f(x) II 0

3

)'

I 1( I R1--- I) dx==---+-arctgxl 1( 1 1

2

If I --==-._-x dx 2

2 4

f(x) dx ==1_ 3 2

1+ x2

20

.br~+

8

2

2

dx ==1_ 3 (1- arctg x) 2

1 x

I ==~ 2 0 4'

II ==31(-10 4 0

Subiectull . . 1. Fie z==a +bi, a, b E R . Avem a + bi + 2(a- bl) ==9i 3a ==0 si -b ==9 a =: 0, b ==-9, deci z= -91. 2. x2 - 3x + 2 ==x + 1 x? - 4x + 1 ==O. Cum ~ ==16 - 4 ==12 > 0, rezulta cennta. 3. 3 + 2J2 ==(l + J2)2

, deci

10 Probabilitatea este 32

== -

Testul25 t 6.

Subiectull lg

1. Avem IO

lg

7

==7, deci 100

7

==(101g

7i ==49

EN.

~

x? + xy + 1==o. Cum x? + xy + 1==0 x? + 1 + 2(x + y)2 ==0 ~ X ==Y ==0, rezulta cerinta. Altemativ, f '(x) ==3x ~ 0, decifstrict

..c

S.BC:

ci!

Q.

y-3== 5-3 x- 2 -1-2

5U

6. 2R == AB ==1Q. sinc.J3

i

Subiectulll

~

1. a) detA ==I.

.

crescatoare.

==0 (x-Y)V

ca liniile lui B sunt proportionale ~ range ==I.

'"w z

2. a) ZIZ2Z3==-(-I) ==1.

~

b) Cum

15

c) Polinomul are coeficienti reali si grad impar, deci are eel putin

~

Subiectullll

.

-I

~

d

d'- -

~

z

x

c) Deoarece f'

x

-23J. 2 -3

0

adica 1

dJ

si BA ~

-3 ~ Yc - .

5.J3 .

~J.

==

A2_A==(~

(ac ++ db aJ, c

deci

~)==I2'

b == c si a == b + d. Atunci

., .,. 2 . _b+.Js.b==I±.Js.b.cum db - b2 == O. Ca ecuape ill d, discrurunantul este ~ == 5b , decl d 2 2

1.

a lim f(x) i) x-+Ix3 -1

in conc\uzie

rangE"* I.

==

lim arctg x == 1(/ 4 x-+Ix2 + X + 1 3

deci injectiva, Cum

lim f(x) ==-00 si

x-eec

li x..!

arctg

X

x-eec

x - !!... 2

1

==

X

•

Ca urmare, exista un unic e E (0,00) astfel incat fee) ==0 c-Ine ==1 .

deci dreapta de ecuatie Y ==!!...x-I 2

-7

b)

12

X

_1 -2 lim l±.L x-+«> 1

x-+oo

I!n?f(x) ==00, din continuitatea luif rezulta ca imaginea functiei este R , deci functiaj" este surjectiva.

==!.£.

f(x) x 1 c) limf(x)==oo,Lim--==lim-=-arctgx==-~lx~

Deoarece

x-+O X

;

40

b +b

a

YA+YB+YC 3

Subiectullll

b) limf(x)==lim(1-lnx)==00+00==00.

< 0, functia este strict descrescatoare,

(a + c

YG

;

c) De exemplu, functia parte fractionara.

radacina reala, de moduli, ==00 rezultaj{l) ==0 ~ 1 + a + b - 1 ==0 a + b ==O.

x-+O

==

4

~i C; ==10 cu 3 elemente.

~ J si detB == d'- + bd - b2• Daca detB == 0, aratam ca b == d == 0, adica B == O2, Presupunem

X-+CiO

1. a) f'(x)==-~_1.

== 8 +

b) A2==(~

bJ. , avem AB c d

V

o

1+ 2.J3 2 - .J3

~1==-4·

b, d E IQ , deducem b == d ==o.

I ZI1·1Z21·1Z31==1 ~i I ZI I, I Z2 I , I Z3 I ~ 1 , rezulta I ZI I ==I Z2 I ==I z31 ==1.

limf(x) a"!' sau -1. Cumj{O) ==-I < 0 ~i x-+«>

==

==

M

2. a) Fie I E M si x E R . Avemj{x - I) == j{(x - I) + I) ==j{x), deci -I EM.. < + .b) Fie Ii> 12 E M si x E R . Dinj{x) ==j{x+ II) ==j{x + II - (2) rezulta II - 12 E M, deci M - (R, ).

C)AVem£I==[~

~lj'deCiX==BA-I==(1 1

a

. _ (a

B == (b:

~ :::>

V

~I 0

2,3 si

1+ .J3 tg + tg 1(/ 3 == _2__ 1- tga tg1( / 3 I _ .J3 2

1. a) det(A+IA)==I~

.J3 .

°

XA+XB+XC 3 ~ Xc

S. xG

•

Subiectulll

c) FIe B -

13.1+2.1-131==_8_. ,N + 22 .J13

R ==~

b) B "*

0

==0 x== ysau

4. CI20-10 ==45 -10 ==35.

2x+3y-13==0.Distantaeste

~

+xy+

I)

Xv ==__ 2_== 1.3. j{x) ==j(y)X3+ 1 ==/ + 1 X3-/ 2(-1)

~

==

2. Punctul de maxim este abscisa vfufului

~ ~

2

(a + IE.) g 3

5 16

4. Sunt 25 ==32 submultimi ale lui

x ==2.

== -

f'(x)

== arctg

x + ~ -I , x +1

1( . I' (f() x- x1() 2 2

x

2 . hm -- 2 x-+«> 1+ x

== -1

==

rezulta ca

\I

x

E

R .

limx(arctgx-IE.)_IE.. 2

HOC>

.

(f()

lim x x-+«>

2

x) == -1 _ IE., 2

_ IE.

2

-!!... este asimptota oblica a graficului catre +00. 2

3

2.

a) !x::

4 dx =

4

b) !~dx=.!. X4 + 2

--.rwl-oo /'

!(1- X2: 4) dx = 1- 4 .~ arctg ~ [ = 1- 2 arctg ~ .

!(x +2)'dx=.!.In(X4+2)1' 4 X4 + 2 4

0

t(): Ii A

u.

a(j,6., R,/(x) = ---"2

x +4 '

2 < ...< -nn = 1) ~l. sistemului . . de puncte = (0 < -n1 < -n

intermediare

';'1-- '-k

n

-1 A ~adar

.1

a,

3

1. a2 = 2, as = 16, => q = -

a2

= 8 => q = 2.

2. p..+!L=p2+q2 qp pq

1! + 2k1! , k e Z . •..• 3. x +"41!_1! - 2" + 2k 1!, k e Z => x = "4 formate doar cu numere pare, ~i anume submultimile raman 64 - 8 = 56 de submultimi.

u.:

= (p+q)2_2pq pq

=36-6=10 3

d/=

1

v

+21 .+2

(

In/+-)

2

1 1

1 I· =1n2+--1=1n2--,cuschimbaredevanabile/= 2 2

\I

rx'(x +2x+l)dx=r x'dx=_I_. (x + 1)2 .b

.

2

+1 = .+1

.b

•

c) Avem In ~ 0, deoarece

x"

--2

~

(x+l)

n +1 1

0, ' + x = .

de unde limi = 0 . .-+'" •

x

,y

e[O

,.

l

2.xt+x2=5,xtx2=2,decixt+x2-xtx2=3.

+ y ~ (Xt - y)(x + Y + 1) = 0 ~ x = y, deoarece x + y + 1 > 0 pentru orice

4.C50 =~. 2C50=2.~=100.~=~ 100 50!. 50! ' 99 49!. 50!

1]

6

4. Sunt 2 = 64 de submultimi. Nu convin cele

5.IDA+ABI=IDBI=DB=2.

6. Avem x=51! ,deci 6

3

multimii {2, 4, 6}. Acestea sunt 2 = 8, deci

5. AB· AC = 4·4 -cos

BAG

= 16· cos60° = 16 . .!. = 8. 2

Subiectul " 1 a

2

sin a tg a II9 _ 1 sin2 a + cos" a = 1+ tg2a = 1+ II9 -TO 2

•

nt

subiectull (I+ i)2 1. Z=--2-= l-i

Subiectull

~ Q

~

Testul28

Testul27

w ~

2

k -,no

lim a. = r f(x) dx , deci sirul e convergent. n-+ao

(max)

x+l,dt=dx.

n

.. .. di VIZluml

.b (x + I)

1

+4

1='

/'

x ~/-I r_dx=I-2

2. a) 1 =

=...!..In1. 4 2.

k

c) a. = ~

0

Asadar, x = 1 este singurul punct de extrem (minim) al functieij"

.

1.a) tJ. = 1 b

a2 b2

1

a

0

b-a

50

49!. 50!

tg2x=tg51!

a2

a

1

b2 _a2 c2 _a2

3

ce

bui ea ce tre uta arlitat.

=tg(21!-!!..)=-tg!!..=-fi. 3 3

a2 b+a

0

=(b-a)(c-a)·

50!. 50! '

= (b - a)(c - a)(c - b).

c+a 0 0 c-a c2 b) Deoarece a, b, c sunt distincte, rezultli ca numerele b -a, c - a si c - b sunt nenule si deci tJ. 1

C

Cerinta rezultli din teorema lui Cramer. c) Polinomul f(t) = x + ty + t2z - 13 are radacinile distincte a, b. + b + c,y=-ab-bc-ca,x

C.

* O.

Din relatiile lui Viete rezultli z = a

= abc.

2. a) Avem solutiile x = 3 ~i x = 9. b) Daca x2 =

1,

atunci x e U(ZI2) =

{I, 5, 7, 9} . Toate

cele 4 numere verificli ecuatia. 10 c) Daca x" = 1, atunci x e U(ZI2)' deci x2 = 1. Atunci xlO = 1 ,deci x" = 1~ x . x = 1~ x = 1 . A

A

A

A

A

A

Subiectul III 1. a) Functia f e continua, deci nu are asimptote verticale,

lim f(x) = 0, deci dreapta y = 0 este

_T-io±«>

asimptotli orizontala a graficului spre ±ro. 1 2 b) f'(x) = m ~ ,deci 1'(0) = m . Rezulta m =1. (l+x) c) Avem f'(x) = 0 ~ x = ± I. Pentru m > 0, alclituim tabloul de variatie al functieif:

x f'(x)

x

• 42

f(x)

-0

I

'>0-(2

= -I.

2. Rezolvam ecuapaj{x)

0hi B(2, 0).

2 logsX = logs2x ~

log~

= m2 obtinem

I.

°

dx = e' - r eXf(x)

I

intersectie suntA(I,

~ = 6·5 = 30 => C; -

'j

dx=e-(e-I)=l.

dx=-tlnt-(I-t)=-I+t-tlnt.Cum~tlnt=~~t

3.Avem

v

Subiectulll

r

Subiectull .

S. ii . = I . 2 - 3 . I = -I < 0, deci unghiul vectorilor este obtuz. 2 AB2+Ac2 BC2 25+4936 . 6.ma 2 --4-= -2--"4=37-9=28,decl ma=2J7.

•

+ f(2) + ... + fen») = 00.

Testul30

.

3. x + I = tg!!" => x + I = I => x = 0

n-3

I) = In(n + I) => •...• lim(f(l) .,

,>0 rezultii lim(-I + t -tint) ,~o

Testul29 1. V64 = 4 , IglOO = 2 ~i

n+ n

•

2.a) rlnxdx=xlnxl>

.-1

= 0, iar dreapta x = 0 este asimptota

••0

F' = f > 0 , deci F este strict crescatoars,

lim F(x) = --a:> , deci F(lR) = lR . Functia F este injectiva ~i surjectiva, deci este inversabila

c) Cu schimbarea de variabila t =yl(X)

lim f(x)

x ..••.,

= +00. Fiind continua pe (0,00) ,fnu admite alte asimptote verticale.

,

=A(x+y).

r~

Ji05

= -l±

4

2,3

= 0 => ~

- 3x + 2 = 0 => x, = I ~i X2 = 2. Punctele de

logs 2x = -I Iogs 2 x, deci . log2S2x = -eCI ecuatia. se sene: logs 25 2

= logs2x ~ ~ = 2x, deci x = 2, pnand cont

~ = 5. 5. Panta dreptei d, este

ml

ca

x > O. 4. C; = ~: ~:~ = 35 ;

= 112. Panta dreptei d2 este mz = -a. Din

ml

a = _.1 . 6. Din sinx + cosx = I rezulta sin2x + 2 sinx cosx + cos2x = I => sin 2x = O. 2

Subiectulll 1.a) detA = 3(1 -a). b) Pentru a

*'

I, rangA = 3. Daca a = I, I~I

~

I*'o

implica rangA = 2. Deci a = 1.

A( _{) c) £' =_I_.A• detA

.

=.l.[~3 3 -3

~2 I

~Il. 2

2.a) f = X2(X2

+ I) - X + I = g ·(X2 + I) - X + I. Restul impartirii luiflag

I I I b) -+-+-+-= x, x2 X3

I x4

este -X + I.

2

~

z ~ ca: ~ ~

a

b) ml + x; + xi = (x, + x2 + XJ)2- 2(X,X2 + x,XJ + X2X3) = (_.1)2 _ 2. -13 =.1 + 13 = 2 2 4 3 2 c) Cum X,X2XJ = - m2 ' rezulta XJ= - m, de unde _ m + m + 13m + m = 0 2 4 4 2 ' 2 + 30m = O. Obtinem ml = 0 sau m - m - 30 = 0, de unde m2 = -5 si m3 = 6. Cazul conform

lui a). Daca m = -5,

avem

X3 =

-%

~i 2x3 + ~

-

53 4' adica _m3 + m2 m = 0 nu convine,

13x _ 5 = (2x _ 5)(~

+ 3x

U

+ ~ _

!~

+ I), rndacinile polinomului ~ + 3x + I satisfac X,X2 = 1. Daca m = 6, avem X3 = -3 ~i 13x - 5 = (x + 3)(~ - 5x + 2), cu aceeasi remarca,

Z -e

SubiectulllJ

~

•

c) Pentru orice a

1_ < 0, '0, decifeste x(x+l)

strict descrescatoare pe (000) , .

-

a + I) > 0 . Ca unnare,f

nu are

Subiectul JII 1.a) lim Inx = lim~ = I = f{l) x ..••1 x-I x ..••1 I b) lim f(x)

=

R , avem a" - a + I> 0 , deci f(a) = a4 + (a2

nicio radacina reala,

••••• 1

1. a) Avem f'ex)

E

X,X2XJ + X,X2X4 + X,XJX4 + X2XJX4 -1- I - - . X,X2X3X4 I

- f{l) x -I

, de unde rezulta cerinta.

.1-1 = lim In x - x + I = lim-x-= _.1 . De aici rezulta ~i caf este derivabila in x = I x ..••, (x _1)2 •...•1 2(x -I) 2

c) Avem

I'(x)

x-I-xlnx (x -1/

'

V I x ~ I, x > 0, si F(I) = -2'

definita prin g(x) = x -1- xlnx . Avem

g'(x) = -Inx

si, din tabloul

x

< 0,

2.a)

1

c) Fief

I Xdx=i../ 2

"Ix> O.

in x = I;din tabelul de variatie alaturat, rezulta cerinta. c) Prin inductie,

0

~~~~--~I~~~~

de variatie alaturat, deducem cll g(x) < 0 pentru orice x E (0,1) u(1,co] si, in consecinta'/'(x)

g: (0,oo] ~ IR,

Considerarn functia

f '(x) + + + + + 0 _ _ __

= (-I)n+I(x - (n +

f(x)

2 a) ! = If.-Ldx

- 1/'0

\.

• 0

=..!.,decigEM 2

b) rh(X)dx=X3/1 .I> 3

r

E M Atunci

o

M

+X2/1 +a=..!.+..!.+a·h 2 3 2 '

E

0

r (f(x)-x)dx=O

If(x)dx=..!.= 2.1>.1>xdx~

_ ~ a - -3.

~

. Conform t eoremei . d e medie,

2

nu

+31

n

Subiectull

este strict crescatoare,

I

2

b=43=23

1mf = [1(1),/(2)

r-

=

,

0

rezulta conc1uzia.

I{ .!._1.+

~_1_~5! n+1

n 1 dx= x + II =_1_ n + Ion +I

I, avem

x"

O~_x--~--~O~! 2x + 3 nx + 3

_n_~n!n~..!.~ 5(n+l)

I~

"+

=

1

"+1

s

x

X

9 )dx = (X2 - 3x + 2. In(2x+ 3))1 = -..!.+2.Jn~ . 4(2x + 3) 4 4 8 0 2 8 3

4

~l2

s

X

si j

':.In~ 1.

+ x._1

-

8) ,

n

~

2.

Cum

exista a, b

I+2(a+b+ab) ( -2(a+b+ab)

XY=

x

(-1, (0) astfel incat

E

a+b+ab) 1-2(a+b+ab)

=

(1 +

-2a2a

y=

1-a),a

(1 +

-2b2b

1-b)b .

e(-I (0)

eM,deoareceab+a+b=(a+l)(b+I)-I

,

.

Xn + Xn-I - 8 ~ 0, rezulta ca Xn+1- Xn are acelasi semn cu Xn - Xn-I , deci, inductiv, cu X2 _ X

1)2

(

Cum X2 = 4+"2

I 9 = 4+4" -I), iar inversa matricei U(a) este

U(x) = U(y) ~ X = Y si = U(ab - 1) ~ij(a) j{b) =

Subiectullll 2

r dt "2.b --I 1

U(b) = U(a + b + ab), '-1.

am aratat cli U(a)·

a_

f2 .

2

al/'(x)=2x(x+I)-(x -2) 1. / (x+l)2 b) lim I(x)

x +2x+2,' -r. I+a I+a c) Observant j(a) = U(a - I). Functia este inversabila, deoarece a e (0, (0) ~ a - I e (-I, (0). Functia j este morfism, deoarecej(ab) = U(a-I) U(b-I)= U(a-I +b-l +(a-l)(b-I» = U(ab-I).

U ( __

2

u(a)=(I+2a -2a

este asociativa, are elementul neutru

La

=> / ~ 2. => / = 4 .

2

b) Notand

,

x-JotO

= -1

deci x

0 => X

=

2. a) A + B

/2

=

[

=

= -I , deci y = x-I

este asimptota oblica

= 2, x E (-I,

(0).

Avem ~ + 2x + 2 =

U+

4x + 2

O. b) Cu schimbarea

dx = 1! / 2 .

de variabila

t =!!...- x

avem dt

2

t)

A = _{

X

+1

este asimptota verticala. Functia este continua, deci nu mai

admite alte asimptote verticale. c) Cerinta revine la rezolvarea ecuatieif'(x)

~ ~ + 2x

X

Sin(!!...2 dt 12sin (~ _ t) + cos (~ _ t)

=

r

/2

=

-

3

+ 2k1i 1 kEZ}uL~

< 0, ecuatia nu are solutii.

X-!!..=2x+!!..+2k1i 2 3'

k E Z sau X-!!"=-2x-!!"+2k1i 2 3

'

k E Z.

+ 2~1i 1 kEZ}.

H 2'

o.:.

4. Avem C,2 =

! ~

S. Punctul 0 este roijlocul diagonalelor AC ~i BD, deci OA + OC = OB + OD = concluzia.

~ ~

6. Inaltimea din A este egala cu JI6 - 9 =

• 50

= 21 .

4n - 21 = 0 n E N ~ n = 7 , .

J7 , deci

S =

=

(-a- b.J2 -b)b.J2

y=

0

a + c, b + d E Q .

deoarece

)EM,

pentrucaac+2bd,ad+bc

EQ.

EM.

inmu1tirea matricelor este operane asociativ

hEM

(pentru a = 1, b -- 0) . Cum M este inchisa

-a +

Pentru

VXEA

lim f(x)

= lim

x

x ••••'"

(a

Z

-1-1. ) = 00,

A

•

3J7 . Cum p = 7, rezulta

de unde rezulta

r = §.. = p

3J7 . 7

"(0) -loa-I Ja

-. Z

lim E= 00 , X

z ..••cc

•

rezulta

•

~(a

Z

. deci graficul nu are asimptote

(aZ

I)- lim x --I - x - - Z-+'" X

_1.)=00 x

I +00 Pentru a E (0, 1), a, a .

• .X e +00 Rezulta a E (0, 1). 0 d . - -x - I este asimptota spr . + x + 1) = lim a = , eCIy . IUl'Fermat rez z-+OO d .. x ..••eo _ E IR x = 0 este punct e mlDlm. Dill teorema c) Deoarece Io(x) ~ 10(0) - 0, Vx , f~(O) = 0 ~ lox = I ~ a = e. X

X

•

Nota.Aveme n- 1 = 7 saun- 1 = 2 => n= 8 saun=3.

4.Deoarece

5. Punetul 0(0, 0) apartine dreptei d., Distanta dintre drepte este distanta de la 0 la d2: x - y + 1 = 0, adica

10-0+11

=_1_.

~e+(_1)2 J2

Subiectull 1. Z2 =.!. _1. + 44222

smA

.Jlj = .Jfi . •..•• 3

-2

-2.J3)

t:

( 2•..•• 3 -2

; A3

=

(-8

0

0

-8

6. t (x+!£)=

J =-812,

J... A = 12 , deei

rezulta (TrX)X

2

=X

-212 =( ~

inversa matrieei AS este

e) Avem X2 = xiq, X3 =

±J6

=>trX=

deunde

X =±

=> (Tr X)2 = -2, ecuatie

-.J3) -I

xil.

Din 6 = xl(1 + q +

l),

= 1. . Atunci I 2

(1.) = 0 deci 1. _1 + 1 + m = 0 => m 2' 822

3=x~q(l+q+l),

= -1.

tarn solutii

00

2.a) I(x)

= 1. X

rezulta

b) Notand t =~,

X

xlq=~

det(/3 + A") = (3" + 1)

f/(x)

dt = 2x dx, avem

dx =

3

tf

I(t) dt = ~(5In2 -InI7).

3"-1

In n! 0~-2-~n

.

=0.

X

3"-1 + 1 3"-1 = (3" + 1) 0 I

1

e IR astfel incat{I3 + A){I3 + xA)

a) Avem

-± .

1 0 3"-1

3,-1

0

= 13 ~

lnversa este 13-

±

Inn . si.cum n

1 3"-1 = 3" + 1 => 3" + 1= 82 => n = 4. 0

1

13+ A + xA + xA2 = 13~ A + xA + 3xA = 03 ' de

A . Altemativ, (/3 + Ar = det(/~ + A) . (13 + A)" . l

8

a - 4b = 0, 5b = 1 => b=~,a=~,

care verifica

-5b

= -1,

a+4b=S

~i

= 1, deci matricea apartine lui G.

b) Fie X; Y e G => 3a, b, c. d e IR astfel incat

cerinta.

dx = Inx 14 -1.ln(x2 + 1) 14 = 1.(5 In 2 -InI7) I 2 1 2

f

.J3 =.J3. ~

=>

d + 9b2

. n(n+l) 1 n!. Avem hm--2-=-;n!~nn=> , ..•., 2n 2

X l(x2)

3"-1

unde (4x + I)A = 0 => X =

lim In~! = 0 . Limita este egala cu 1. . (Altemativ, folositi lema Stolz-Cesaro). n 2

+1

IR, deci

-2

1

.

n-too

-+ =>

tgx+ tgtrl6 =.J3 .J3 1- tg X tgtr / 6 1_1

3"-1 + 1 = 0, deci 8 - 24

X

!~Innn = 0, rezulta

e

in IR .

I'(x) = 1+ 1. > 0, Vx> 0, decij'este strict crescatoare.

n(n+l) 2 +···+/(n)=--+In 2

= ~y -1

-.L

h(~ ~).

8

=; -1 < 0 . Din continuitatea functieij'rezulta

X

=>a=3=>a+b=10.

1

2.

1(;)

solutia

e Q ~ k e par, deci k e {O, 2, ..., l00}. Sunt 51 de termeni.

=A,

Subiectullll

b)j{l) = 1 > 0,

= yare

[1, (0). ecuatiajix)

1

- (Tr X). X+ 2h = O2.eumx

e) Cautam

I()

a=2+4 2

2. Este necesar ~i suficient ca

J... A .

2. a) XIX2+ X2X3+ XJXI = 3. b) Daca « XI> X2, X3, atunci 2x2 = XI + X3 => 3X2= XI + X2 + X3 = 6 => X2 = 2. Atuncij(2) + 6 + m = 0 => m = 10.

+

k

e

64

=> (TrX)2=6

~)

Daca detX = -2, atunci (Tr X) . X = X - 2 li = (-1 .J3

.\ 1(1)

4. Tk+1 = ctoo.J3

3. Fie y

3

= detA =4, deci detX= ±2. Daca detX= 2, atunciX

e) Avem detr

6

g

64

c)

e [±,oo).

_1_+_1_

b) Deoareee A6 = 64 h, avem AS.

l.a)

- .J3 i => Z2 + Z = 0 e IR . 22

5.4=I+b=>b=7; 2

3

Subiectulll

=> x2

..fj i = _.!. + ..fj i; z =.!.

d ~ 0 ~ 1- 4m ~ 0 ~ m

f e surjectiva.

6. BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos A = 19 => BC = Jl9 => 2R = ~C => R =

1.a) A2 =

Testul37

C-4d Y= ( -5d

5d) c+4d

d + 9Jl

(ac-9bd-4(ad+bC) . Avem XY= -5(ad+bc)

X _ (a - 4b = c2 + 9Jl = 1 si -5b 5(ad+ bc) ac-9bd+4(ad+bc)'

)eG

5b) a+4b

,

deoarece

.

.

•

_I

1

= a2 + 9b2

(a+4b 5b

-5b)_ a _ 4b -

(a+4b 5b

-5b a - 4b

I

>< v

(ac - 9bd)2 + 9(ad + bd = (a2 + 9b2 )(c2 + 9d2) = 1. e) lnmultirea este bine definita pe G, este asociativa, are elementul neutru h e G (pentru a = 1, b =0), iar inversul elementului X este X

i

)eG.

~ ~

!;( ~

•

35~

Subiedullll .• I'()

1

«a)

x

1

x = +.J

2 X

+1

=

ri:

,J;2;i+x 12""-: v x: + 1

= ~~2

"x

=

rex)

2

+1 f'(x)·

~ x+

c) lim/(x)

=00, lim I(x) = lim(I+~X2

= lim ~ x-eee

2.a) I(x) =

x

x-+oo

x-to 0, rezulta lim I(x) = I .Functia g(x) = .f{x) - X = sinx nu are limita c) Cum X -I ::;; X X x x-eec X

= I. Ca urmare

n

la +00, deoarece x; = mt ~oo,

'

2. a) 12 =

~

.

~

2

=--Slll

2. Xy = -1 = -~ , deci a = 2;

:>

3. li~

Yy

= 1- a + b = b -I ~ b = 2 . Atunci 2a + b = 6.

= ±l. Rezulta ~ = 10 sau x2 =

= 1 ~ I~

1..

de unde x

10'

E{

10 10 __ 1__

-vlU,vW,

6. C= 180° - 30° -75°

= 75° si sinC = sin 75°

~

J6 +.Ji ~ 4

a

R =-4f!= 2smC

. (n+ I) Xo1"12 =

~

1. a) X4 = (:

b) Demonstram

prin inductie

1. De exemplu x =

-Ji + I,

:~.

• 354

'71 tL"

••

~l

deoarece

BI = (~

2; 1J.

Din

f = arcsin f

(n+I)Jl' =. 0 Ded ucem sm---

B

=

s: .B =

(0

1

2 nJ. 1

'(0

1

2J 1 = (I0

2(n 1+ I)J ' n EN·,

rezulta cerinta.

~X

\AI

.Ji +x

s.

Mijlocul

[xy

= 1E Q

cos(n + I)x dx =

I 1= I 3 = ... = I 2013 = r/2dx = -Jl' .

*.

= - ~ , + 00) . Trebuie ca - ~ ::;;2 , deci

.

Functia arcsin: [-I, I] ~ lR este crescatoare, deci x

4. 5! = 120 ~i 6! = 720; rezulta n n 1 +

Din

Subledull

2(J6 -.Ji)

dupa n. Evident,

-00.

Testul39

3. ~J = BX.

r

catre

(n + 1)Jl' 2

2·

n+1

2. Functiaj" este crescatoare pe intervalul

Subiectulll

are asimptote

--Slll---.

. n+1 E c) Daca n e unpar, atunci . -222

I_}

i ~

=2.

g(Yn)=I~I.

JIO'JIO .

~

e

11 D.

r

si Yn =f+mr~oo,

g(xn) = 0 ~O

• 'S Testul38

~

3

/(lR) = R , adicaj" este surjective.

1+1., de unde lim c, = 00 ~i lim

=au

=_1..

3

x~±-o

1

Rezulta ca / nu are asimptote catre +00. Analog, continuitate rezulta ca/nu are asimptote verticale .

1·IAuBI+IAnBI=IAI+IBI~IAnBI=4

/(l)

lR . Deoarece multimea zerourilor functiei f' este fermata doar din

i ...;

~

/'(1) = 6-6-1 x-~

puncte izolate: f'(x) = 0 ¢:) X = (2k + 1)1t, k E Z , rezulta ca functia / este strict crescatoare. b) Avem X -I::;; /(x)::;; X + I, Vx E lR , de unde rezulta ca lim = ±

a

2~0)(~

rezulta _1_+_1_+_1_= X-XI x-x2

X -~

1. a) f'(x) = 1+ cosx ~ 0, Vx

[n, n + I] astfel ca [+1 I(x) dx = I(c ) . n

n

~IJ(~

.f{1) = 2 - 3 - 1 + 5 = 3, deci (l-x,)(I-X2)(I-X3)

lim(f(x)-2x)=

dz

AJoo=H~l

b) Din I = 2(X - x,)(X - X2)(X - X3) deducem .f{1) = 2(1 - x,)(1 - x2)(1 - X3). Pe de alta parte

, de unde rezulta cerinta,

X-+I x-I

C

u:

x>1

·

x-(-I)

x->-I

b) f'(x)

=

I..}

= +