MATEMATICA pentru Evaluarea Nationala 2014 - 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a Manual
4,100 252 4MB
Romanian Pages 301 Year 2014
Polecaj historie
Table of contents :
_00-coperta......Page 1
0 - pagini tehnice......Page 2
0 - breviar teoretic......Page 11
1 - sectiunea1......Page 54
2 - sectiunea2......Page 74
3 - sectiunea3......Page 94
4 - sectiunea4......Page 179
5 - sectiunea1_bareme......Page 188
6 - sectiunea2_bareme......Page 205
7 - sectiunea3_bareme......Page 225
8 - sectiunea4_bareme......Page 297
Citation preview
Buburuza
matematician
Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu Dana Radu • Marius Farcaş
ediţi e
dig it
ală
MATEMATICĂ Evaluarea naţională 2014 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 12 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V – VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 – 2013 răspunsuri, rezolvări, bareme ditura
Caba
MATEMATICĂ pentru Evaluarea Naţională 2014
Buburuza
matematician
Gina Caba • Constantin Apostol • Romică Zăbrăuţanu Marinela Canu • Nadia Bărbieru • Marilena Faiciuc Adrian Ciupitu • Florentina Enea • Ana Poştaru Doina Moldoveanu • Costică Lupu • Marinela Georgescu Dana Radu • Marius Farcaş
ediţi e
dig it
ală
MATEMATICĂ Evaluarea naţională 2014 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a breviar teoretic 12 teste recapitulative cuprinzând materia din clasele V – VII 16 teste pentru aprofundarea materiei din clasele V – VII şi a VIII-a (semestrul I) 70 teste pentru recapitulare finală variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 – 2013 răspunsuri, rezolvări, bareme ditura
Caba
© Copyright 2014, 2013, 2012, 2011, 2010 Editura CABA Toate drepturile sunt rezervate. Nicio parte din aceastã carte nu poate fi reprodusã sau transmisã în orice formã sau prin orice mijloace fãrã acordul prealabil scris al Editurii CABA.
Tehnoredactare: Cãtãlin Georgescu Oana Georgescu, Cristian Stănescu Copertã: Alina Păun Colecþia Didactica Seria Examene e-Evaluare Naţională 2014
e-00017
Publicat: ianuarie 2014
Informaţii şi comenzi: Editura CABA Telefon/fax: Telefon fix: Telefon mobil:
021/327.32.44 031/431.11.18 0723.563.570 0747.048.670
e-mail: site internet: adresă poştală:
[email protected] www.edituracaba.ro OP 39-CP D4, sector 2, cod 021711 Bucureşti
Cuprins PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014 ............................
6
CALENDARUL de desfăşurare a Evaluării Naţionale 2014 .................10 BREVIAR TEORETIC...........................................................................11
Secţiunea 1
Recapitularea materiei din
clasele V-VII ................................................54
Testele 1-12 (enunţuri) ............................... 54
Secţiunea 2
Recapitularea materiei din
clasele V-VII şi a VIII-a semestrul I ........... 71
Testele 13-28 (enunţuri) ............................ 71
Secţiunea 3 Recapitulare finală .................................... 94
Secţiunea 4
Testele 29-98 (enunţuri) ............................ 94
Variante de probe scrise date la examene în perioada 2010 –2013.........179
Testele 99-103 (enunţuri) ......................... 179
Răspunsuri, rezolvări, bareme ...................................... 188
Secţiunea 1 ................................................ 188
Secţiunea 2 ................................................ 205
Secţiunea 3 ................................................ 225
Secţiunea 4 ................................................ 297
PROGRAMA pentru disciplina matematică - Evaluare Naţională pentru elevii clasei a VIII-a, anul şcolar 2013-2014 I. STATUTUL DISCIPLINEI Pentru anul şcolar 2013/2014, în cadrul Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, matematica are statut de disciplină obligatorie. Testul la matematică este o probă scrisă cu durata de 2 ore.
II. COMPETENŢE DE EVALUAT 1. 2. 3. 4. 5.
Utilizarea noţiunii de număr real şi a relaţiilor dintre mulţimile de numere studiate Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale Aplicarea operaţiilor cu numere reale în calcule variate Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor, proporţiilor Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii, rezolvarea acestora şi interpretarea rezultatului obţinut 6. Aplicarea în rezolvarea problemelor a elementelor de logică şi de teoria mulţimilor 7. Utilizarea elementelor de calcul algebric 8. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe funcţionale sau calculul probabilităţilor 9. Aplicarea teoriei specifice funcţiei de forma f : → , f(x) = ax + b, a, b є 10. Utilizarea proprietăţilor figurilor geometrice şi a corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie si de calcul 11. Reprezentarea, prin desen, a unor figuri geometrice şi a unor corpuri geometrice utilizând instrumente geometrice 12. Transpunerea în limbaj matematic a enunţului unei situaţii-problemă 13. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unei probleme practice cu referire la figurile geometrice şi la unităţile de măsură 14. Investigarea valorii de adevăr a unor enunţuri şi construirea unor generalizări 15. Redactarea coerentă şi completă a soluţiei unei probleme
III. CONŢINUTURI
ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ Mulţimi Mulţimi: relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); submulţime; operaţii cu mulţimi (reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian). Mulţimi finite, mulţimi infinite. Mulţimile: , , , , \ , ⊂ ⊂ ⊂ Scrierea numerelor naturale în baza zece. Propoziţii adevărate şi propoziţii false.
6
Împărţirea cu rest a numerelor naturale. Divizibilitatea în : definiţie, divizor, multiplu; proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate; criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3; numere prime şi numere compuse; numere pare şi numere impare; numere prime între ele; descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime; cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun. Divizibilitatea în : definiţie, divizor, multiplu. Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezentări echivalente ale fracţiilor; fracţii ireductibile. Scrierea unui număr raţional sub formă de fracţie ordinară sau fracţie zecimală. Reprezentarea pe axă a numerelor reale. Compararea şi ordonarea numerelor reale Valoarea absolută (modulul), partea întreaga şi partea fracţionară a unui număr real. Opusul şi inversul unui număr real. Rotunjirea şi aproximarea unui număr real. Intervale în : definiţie, repezentare pe axă. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect; algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său. Reguli de calcul cu radicali. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilor de sub radical. Raţionalizarea numitorului de forma a b , a ± b , cu a є Z*, b є Z. Operaţii cu numere reale: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor. Factorul comun. Media aritmetică şi media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive. Media geometrică a două numere reale pozitive. Rapoarte şi proporţii: raport; proprietatea fundamentală a propoţiilor; proporţii derivate; aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie; mărimi direct proporţionale şi mărimi invers proporţionale; regula de trei simplă. Procente: p% dintr-un număr real; aflarea unui număr raţional când cunoaştem p% din el; aflarea raportului procentual. Rezolvarea problemelor în care intervin procente. Calculul probabilităţii de realizare a unui eveniment.
Calcul algebric
Calcul cu numere reprezentate prin litere: adunare, scadere, înmulţire, împarţire, ridicarea la putere cu exponent număr întreg. 2 Formulele de calcul prescurtat: (a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2
(a + b )(a − b ) = a 2 − b2 (a + b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelor de calcul prescurtat; gruparea termenilor şi metode combinate. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Simplificare. Operaţii cu rapoarte (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent număr întreg).
7
Funcţii Noţiunea de funcţie. Funcţii definite pe mulţimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei funcţii, reprezentarea geometrică a graficului. Funcţii de tipul f : A → , f(x) = ax + b, a, b є , unde A = sau o mulţime finită; reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f ; interpretare geometrică.
Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii
Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a є *, b є . Ecuaţii echivalente. Rezolvarea în x a sistemelor de ecuaţii de forma: a1x + b1 y = c1 , a1, a2 , b1, b2 , c1, c2 ∈ a2 x + b2 y = c2
Rezolvarea în a inecuaţiilor de forma ax + b ≤ 0, (), unde a є *, b є . Probleme cu caracter aplicativ care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii. Utilizarea metodelor aritmetică sau algebrică pentru rezolvarea unor probleme.
GEOMETRIE Figuri şi corpuri geometrice 1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul • poziţii relative, clasificare; convenţii de desen şi de notaţii • paralelism şi perpendicularitate în plan şi în spaţiu: axioma paralelelor, unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare; dreapta perpendiculară pe un plan; • distanţa de la un punct la un plan; plane paralele; distanţa dintre două plane paralele; • teorema celor trei perpendiculare; distanţa de la un punct la o dreaptă; • proiecţia ortogonală a unui punct, segment sau a unei drepte pe un plan; • unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment; • unghiul dietru; unghiul plan corespunzător unui unghi dietru; măsura unghiului a două plane; plane perpendiculare; • simetria faţă de un punct în plan; simetria faţă de o dreaptă în plan. • calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate. 2. Triunghiul • perimetrul şi aria; • suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; • unghi exterior unui triunghi; • linii importante în triunghi şi concurenţa lor; • linia mijlocie în triunghi; • triunghiul isoscel si triunghiul echilateral - proprietăţi; 8
• •
criteriile de congruenţă a triunghiurilor; triunghiul dreptunghic-teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora şi reciproca ei; sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta; rezolvarea triunghiului dreptunghic; • teorema lui Thales şi reciproca ei; • teorema fundamentală a asemănării • triunghiuri asemenea – criteriile de asemănare a triunghiurilor. 3. Patrulaterul convex • perimetrul şi aria (paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul); • suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex; • paralelogramul – proprietăţi referitoare la laturi, unghiuri, diagonale; • paralelograme particulare (dreptunghi, romb, pătrat) – proprietăţi; • trapezul; linia mijlocie în trapez; • trapeze particulare (isoscel şi dreptunghic) – proprietăţi. 4. Cercul • centru, rază, diametru, disc; • unghi la centru; • coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între două coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru); • unghi înscris în cerc; măsura unghiului înscris în cerc; • lungimea cercului; aria discului; • calculul elementelor (latură, apotemă, perimetru, arie) în poligoane regulate; triunghi echilateral; pătrat. 5. Corpuri geometrice • Paralelipipedul dreptunghic, cubul: prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral, pătrat sau dreptunghi; piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată. • reprezentarea lor prin desen; convenţii de desen şi de notaţii; • descrierea elementelor lor (vârfuri, muchii, feţe laterale, baze, diagonale, înălţimi); • desfăşurări; • aria laterală, aria totală, volumul. NOTĂ:
Programa pentru Evaluarea Naţională 2014 la disciplina matematică este realizată în conformitate cu prevederile programelor şcolare în vigoare. Subiectele pentru evaluarea naţională din anul 2014 se vor elabora în baza prezentei programe.
9
Anexa la O.M.E.C.T.S. nr. 5606 /31.08.2012 privind organizarea şi desfăşurarea Evaluării Naţionale pentru elevii clasei a VIII-a, în anul şcolar 2013 — 2014
CALENDARUL DE DESFĂŞURARE A EVALUĂRII NAŢIONALE PENTRU ELEVII CLASEI A VIII-A, ÎN ANUL ŞCOLAR 2013 — 2014
13 iunie 2014 16-18 iunie 2014 23 iunie 2014 24 iunie 2014 25 iunie 2014 27 iunie 2014 27 iunie 2014 28 iunie-30 iunie 2014 1 iulie 2014
10
Încheierea cursurilor pentru clasa a VIII-a Înscrierea la Evaluarea Naţională Limba şi literatura română - probă scrisă Limba şi literatura maternă - probă scrisă Matematica - probă scrisă Afişarea rezultatelor (până la ora 1600) Depunerea contestaţiilor (orele 1600 – 2000) Rezolvarea contestaţiilor Afişarea rezultatelor finale după contestaţii
BREVIAR TEORETIC ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ MULŢIMI Relaţii între mulţimi. Mulţimi finite. Apartenenţă
Incluziune, submulţime
A 1
2 5 6
7
1
D
2
5 6
B 7
D ⊂ A; D submulþime a lui A B nu este submulþime a lui A
1∈A 7∉A ∅⊂A
A
„∈“ — aparþine; „∉“ — nu aparþine; „⊂“ — inclus Mulþimea vidã ∅ este submulþime a oricãrei mulþimi. Orice mulþime este inclusã în ea însãºi. Egalitatea a două mulţimi Considerăm mulţimile C şi D.
C = {6, 5}
D
5
6 5 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D
5 ∈ C, 6 ∈ C ⇒ D ⊂ C D=C
Mulþimile D ºi C sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte. Mulþimi finite Exemple: A = {1, 2, 5, 6}, B = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã, C = {0, 2, 4, 6, ..., 2012} sunt mulþimi finite. Operaţii cu mulţimi Reuniunea
Intersecţia
A∪B A 1
2
A∩B
B 5 6
7
A ∪ B = {x | x ∈A sau x ∈B}
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
A
B
5 7 6 A ∪ B = {x | x ∈A ºi x ∈ B} 1
2
11
Diferenţa
Diferenţa simetrică
A\B A
A∆B
B\A B
A
5 7 6 A \ B = { x | x ∈A ºi x ∉B} B \ A = { x | x ∈B ºi x ∉A} 1
2
1
1
2
5
6
7
A D B = (A \ B) ∪ (B \ A)
B 7 6 5
(1, 7) (2, 7) (5, 7) (6, 7) (1, 6) (2, 6) (5, 6) (6, 6) (1, 5) (2, 5) (5, 5) (6, 5)
5 6
2
Produsul cartezian
A×B
B
A
B×A (5, 6) (5, 5) (5, 2) (5, 1)
(6, 6) (6, 5) (6, 2) (6, 1)
(7, 6) (7, 5) (7, 2) (7, 1)
5
6
7
B
A × B = {(x, y) | x ∈A ºi y ∈B}
A 6 5 2 1
B × A = {(y, x) | y ∈B ºi x ∈ A}
def
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ºi b = d.
Mulţimi infinite: , , ,
12
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, ...}
mulþimea numerelor naturale Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
mulþimea numerelor naturale nenule Z* = Z \ {0}
mulþimea numerelor întregi
mulþimea numerelor întregi nenule
a * Q = | a ∈ , b ∈ b
Q* = Q \ {0}
mulþimea numerelor raţionale
mulþimea numerelor raţionale nenule
I=
{
}
2 , 3 , − 5 , ,...
Toate fracþiile infinite neperiodice sunt
mulţimea numerelor iraţionale
numere raþionale.
R = Q ∪ I
R* = R \ {0}
mulþimea numerelor reale
mulþimea numerelor reale nenule Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Incluziunile Ì Ì Ì − 3
R\Q
–4,93 Q\Z Z\N
–
9 5
2
p
1 7
0,(3)
–
R 13 2
Q
7,5
Z N –2014
–3 –2 –1
0 1 2 3 4
2014
Scrierea numerelor naturale în baza 10 În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1, 2, ..., 9. De exemplu, putem scrie: 48 = 4 · 10 + 8 sau 48 = 4 · 101 + 8 · 100 526 = 5 · 100 + 2 · 10 + 6 sau 2 1 0 526 = 5 · 10 + 2 · 10 + 6 · 10 7 342 = 7 · 1 000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 2 sau 3 2 1 0 7 342 = 7 · 10 + 3 · 10 + 4 · 10 + 2 · 10 În general, în baza 10: Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a · 10 + b, a ≠ 0, a, b ∈{0, 1, 2, ..., 9}. Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a · 100 + b · 10 + c, a ≠ 0, a, b, c ∈{0, 1, 2, ..., 9}. Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d, a ≠ 0, a, b, c, d ∈{0, 1, 2, ..., 9}. Un numãr de m + 1 cifre se scrie: amam – 1...a1a0 = am · 10m + am – 1 · 10m – 1 + ... + a1 · 10 + a0, unde am, am – 1, am –2, ..., a1, a0 ∈{0, 1, 2, ..., 9}, am ≠ 0, m ∈ N*. Propoziţii adevărate şi propoziţii false O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este adevãrat sau fals, într-un anumit context. Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr A; dacã este falsã, i se atribuie valoarea de adevãr F. Exemple: propoziþia p: „3 + 5 = 8“ este adevãratã (A); propoziþia q: „3 + 5 > 9“ este falsã (F). Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
13
Împărţirea cu rest a numerelor naturale Pentru numere naturale:
Pentru numere întregi:
Dacã a ∈ N, b ∈N*, atunci existã q ∈N, r ∈N astfel încât a = bq + r, cu 0 r < b.
Dacã a ∈Z, b ∈Z*, atunci existã q ∈Z, r ∈ Z astfel încât a = bq + r, cu 0 r < |b|. Exemplu: a = – 23, b = – 4 – 23 = (– 4) · 6 + 1 cât rest
Exemplu: a = 23, b = 4 23 = 4 · 5 + 3 cât rest
Divizibilitatea în şi Definiţii, divizori, multipli: În N: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈N* astfel încât b = a · c.
În Z: a divide b def a | b ⇔ existã c ∈Z* astfel încât b = a · c.
a se numeºte divizor al numãrului natural b; b se numeºte multiplu al numãrului natural a. Exemplu: 2 | 14; 7 | 14.
a se numeºte divizor al numãrului întreg b; b se numeºte multiplu al numãrului întreg a. Exemplu: –2 | 14; 7 | (–14).
Definiţie:
Divizori improprii, divizori proprii în Divizorii –a, –1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii.
Orice alt divizor al lui a ∈ Z se numeºte divizor propriu. Exemple: DN18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18; DZ18 = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui 18. Numerele ±2, ±3, ±6, ±9 sunt divizori proprii în Z ai numãrului 18. 14
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. Fie a, b, d ∈N*, m ∈N. d se numeºte divizor comun dacã d | a ºi d | b. m se numeºte multiplu comun dacã a | m ºi b | m. Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se noteazã (a, b). Cel mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se noteazã [a, b]. Reþineþi! (a, b) · [a, b] = a · b. N N Exemple: D12 = {1, 2, 3, 6, 12}, D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} c.m.m.d.c.(12, 18) = 6; N N M12 = {0, 12, 24, 36, ...}, M18 = {0, 18, 36, ...} c.m.m.m.c.[12, 18] = 36; Verificare: (12, 18) · [12, 18] = 12 · 18.
Definiţii:
Numere pare, numere impare {x | x = 2n, n ∈ Z} = {..., –2, 0, 2, 4, ...} mulþimea numerelor pare. {x | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {..., –1, 1, 3, ...} mulþimea numerelor impare. Numere prime, numere compuse def
p 2, p ∈N, p numãr prim ⇔ D Zp = {–p, –1, 1, p}. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse. Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 20, 21 ...
Definiţie:
Numere prime între ele Douã numere a, b ∈N* pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele. Exemple: (2, 3) = 1; (3, 5) = 1; (5, 9) = 1. Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere prime Exemple: 18 2 18 = 2 · 32 12 2 12 = 22 · 3 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 Observăm că: C.m.m.d.c. (12, 18) = 2 · 3 = 6; c.m.m.m.c. [12, 18] = 22 · 32 = 36.
|
|
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
15
Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N *
1.
a | a , ∀a ∈N .
2.
1 | a , ∀a ∈N.
3.
a | 0 , ∀a ∈N .
4.
a|b * ⇒ a = b, ∀a, b ∈N . b|a
5.
a|b * ⇒ a | c, ∀a, b ∈N , c ∈N. b|c
6.
a|x * ⇒ a | x + y, ∀a ∈N , x, y ∈N. a|y
6'.
a|x * ⇒ a | x – y, ∀a ∈N , x y ∈N. a|y
7.
a | x ⇒ a | xy, a ∈N*, unde x, y ∈N.
8.
a | x ºi b | x * ⇒ ab | x, unde a, b ∈N , x ∈N. (a, b) = 1
*
} } } }
}
Definiţie:
Fracţii O pereche ordonatã de numere întregi de forma
Definiţie:
5 15 −342 29 2 581 . , , , , 4 10 39 −3 100
a O fracþie (b ≠ 0) se numeºte: subunitarã, dacã a < b; b echiunitarã, dacã a = b; supraunitarã, dacã a > b
Definiţie:
Exemple:
a (b ≠ 0) se numeºte fracþie. b
a c a c Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem = , dacã ad = bc. b d b d
Acestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã. 15 3 6 sunt echivalente. Exemplu: , , 10 2 4
2)
Definiţie:
Amplificarea:
(2
Simplificarea:
(5
30 15 3 = = . 20 10 2
O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã. Exemple:
16
3 6 = . 2 4
3 5 8 , , . 2 6 7 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Definiţie:
Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, 10 000 etc.) se numesc fracþii zecimale finite. Exemple:
543 3 49 37 527 . , , , 10 100 1 000 10 000
Scrierea fracţiilor sub formă zecimală
partea fracþionarã
35 478 579 7 138 = 13,8; = 0,07; = 0,579; = 3,5478 10 000 1 000 100 10 partea întreagã
Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare 25 8 34 1 234 567 2,5 = ; 0,34 = ; 0,008 = ; 12,34567 = . 10 1 000 100 100 000 Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite! 19 19,00000... 150 Exemplu: 150 15 0 0,1266... =4 00 =3 00 1 000 900 = 1000 900 100 Fracþia zecimalã 0,12666... se scrie 0,12(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu perioada 6.
|
Fracţii periodice simple 175 48 Exemple: = 58,(3); = 4,(36) etc. 3 11 Fracţii periodice mixte Exemple: 12,34(567) ; partea neperiodicã
partea periodicã
1,2(345); 1,23(45); 1,234(5); 0,32(7) etc.
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
17
Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară 15 238 3 0,(3) = ; 0,(15) = ; 0,(238) = ; 99 999 9 2,(6) = 2
6 9
sau 2,(6) =
26 − 2 24 = ; 9 9
21 1 521 − 15 1 506 = sau 15,(21) = ; 99 99 99 34 872 − 34 34 838 872 = 34,(872) = 34 sau 34,(872) = . 999 999 999 Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor. 15,(21) = 15
Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară 25 − 2 23 126 − 12 114 = = 0,2(5) = ; 0,12(6) = ; 90 90 900 900 315 − 3 312 346 − 34 312 = 0,3(15) = ; 3,4(6) = ; = 990 990 90 90 51137 − 511 50 626 = 5,11(37) = ; 9 900 9 900 12,3(456) =
123 456 − 123 123 333 = . 9 990 9 990
Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.
Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă Numere naturale 0
1
2
3
N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}; N* = {1, 2, 3, ..., n, ...};
Numere întregi –3 –2
–1
0
1
2
3
numere opuse
* Z = {..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}; Z = Z \ {0}; – a este opusul numãrului a.
18
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Numere raţionale Se numeşte număr raţional mulţimea fracţiilor echivalente cu o fracţie dată. –3
–2
–1
0
1
1 2 a 2 3 −4 Q = a, b ∈ , b ≠ 0 ; , , b 4 6 −8
2
3 7 3
reprezintă numărul raţional
m * Q = Q \ {0}; Z = m ∈ , deci Z ⊂ Q. 1 a b este inversul numãrului raþional (a, b ≠ 0); b a 6 25 2 2 291 numãr raþional sub formã fracþionarã: ; , , , 5 100 3 990 numãr raþional sub formã zecimalã: 1,2; 0,25; 0,(6); 2,3(14). fracþii finite fracþii infinite periodice
Numere iraţionale Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale. Numerele – d , d , unde d nu este pãtrat perfect, sunt numere iraþionale.
– 2
2
1 0
2
1
|x| =
x0 {–x,x, dacã dacã x < 0
se numeºte modulul numãrului real x.
|x| 0, oricare ar fi x ∈R.
Proprietăţi x = [x] + {x}, [x] ∈ Z, 0 {x} < 1 Exemple: [3,27] = 3; {3,27} = 0,27; [–3,27] = –4; {–3,27} = 0,73.
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
k
x
k+1
{
Definiţie:
Numere reale Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea numerelor reale.
[x] {x}
partea fracþionarã a numãrului x
partea întreagã a numãrului x
19
Compararea şi ordonarea numerelor reale Dacã a, b ∈N* ºi a < b, atunci
Dacã a, b ∈R+ ºi a < b, atunci:
a b n n < ºi > (n ∈N*). n n a b
an < bn (n ∈N*);
a < b ;
1 1 < . a b
Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã: a, b < 0 ºi |a| < |b|, atunci a > b. a b a b.
Intervale în R: definiţii, reprezentări pe axă Fie a, b ∈R ºi a < b. Intervale mãrginite:
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
[a, b] = {x ∈ R | a x b}
[a, b) = {x ∈ R | a x < b}
a
(a, +∞) = {x ∈R | a < x}
[a, +∞) = {x ∈R | a x}
(–∞, a) = {x ∈R | x < a} (–∞, a] = {x ∈R | x a}
x
[
a
x
[
a
(a, b] = {x ∈ R | a < x b} Intervale nemãrginite:
x
(
x
(
a a [
x
b ]
b )
b ]
+∞ +∞ +∞ +∞
b
(
x
)
a )
a ]
x
+∞
x
+∞ +∞ +∞
a
Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale Adunarea 1. Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 0: a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a ∈R. 3. Opusul oricãrui numãr real a este –a: a + (–a) = (–a) + a = 0. 4. Comutativitatea: a + b = b + a, oricare ar fi a, b ∈R. 20
Înmulţirea 1. Asociativitatea: (a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi a, b, c ∈R. 2. Elementul neutru este 1: a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi a ∈ R. 1 3. Inversul oricãrui numãr real nenul a este : a 1 1 * a · = · a = 1, oricare ar fi a ∈ R . a a 4. Comutativitatea: a · b = b · a, oricare ar fi a, b ∈R.
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Ridicarea la putere cu exponent întreg Fie a ∈R, n ∈N*. an = a⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , n 2.
Fie a, b ∈R, p, q ∈Z*. ap · aq = ap + q
n factori
a = a; a0 = 1, a ≠ 0 1n = 1; 0n = 0 1 a–n = n , a ≠ 0 a 1, n par (–1)n = −1, n impar
a p : a q = a p – q, a ≠ 0 (a p)q = a pq
1
(a · b) p = a p · b p (a : b) p = a p : b p, b ≠ 0 −p
p
a b = , a, b ≠ 0 b a ... 01 10–n = 0, 00
...0 10 n =100
n zerouri
n cifre
Radicali Definiţii:
Fie a ∈Q, a 0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x ∈Q astfel încât a = x2. Fie a ∈Q, a 0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a este numãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a).
Proprietãþi: 2 1. a = a, a ∈Q+ .
( )
2. a 0, a ∈Q+ . Reguli de calcul cu radicali a ⋅ b = a ⋅ b , a, b ∈Q+ a b = a 2 b , a, b ∈Q+ x a ⋅ y b = xy ab , a, b ∈Q+ x a ± y a = ( x ± y ) a , a ∈Q+ Raţionalizarea numitorilor b) x x b = ab a b a− b
)
x a+ b
a+ b
)
x a− b
= =
(
x a− b a −b 2
(
x a+ b a −b 2
) )
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
3.
a nu existã dacã a < 0.
4.
a 2 = |a|, a ∈Q.
a = b
a b
, a, b ∈Q+ , b ≠ 0
a 2 b = a b , a ∈Q, b ∈Q+ x a y b
=
(x a )
n
x a , a, b ∈Q , y b y, b ≠ 0 + = x n a n , a, b ∈Q+
Exemple: 3) 2 2 3 = 3 3 2− 3
)
1 2+ 3
3+ 2
)
5 3− 2
= =
2− 3 = 2− 3 4−3
(
5 3+ 2 9−2
) = 5 (3 + 2 ) 7
21
Medii Fie a, b ∈ R , p, q ∈N . a+b ma = este media aritmeticã 2 pa + qb map = este media aritmeticã ponderatã p+q *
*
mg = ab este media geometricã
Exemple: Fie a = 3 – 5 , b = 3 + 5 .
ma =
mg =
3− 5 +3+ 5 = 3; 2
(3 − 5 ) (3 + 5 ) =
9 − 5 = 2.
Rapoarte şi proporţii a RaportulProprietatea numerelor raþionale a ºi b (b ≠ 0)aeste numãrul . Definiţii. fundamentală proporţiilor b Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate de mãsurã. Numãrul r =
a a se numeºte valoarea raportului . b b
Egalitatea a douã rapoarte
a c = (b, d ≠ 0) se numeºte proporþie. b d
a c = produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc. b d Aflarea unui termen necunoscut a c = b d Într-o proporþie
a=
bc d
b=
ad c
c=
ad b
d=
bc a
Proporţii derivate a−b c−d = b d
a b = c d
d c = b a
a+b c+d = b d
a c = b−a d −c
a c−a = b d −b
a c = b d a a+c = b b+d 22
a c = b+a d +c
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Şir de rapoarte egale a c e x a + c + e + ... + x = = = ... = = f y b + d + f + ... + y b d Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă {a, b, c}
direct proporþionale
{a, b, c}
invers proporþionale
a b c = = x y z a b c = = 1 1 1 x y z
{x, y, z}
{x, y, z}
Definiţie:
Procente Fie p ∈Q*+ . Raportul
p se numeºte raport procentual. 100
a p = se numeºte procent. b 100 p Notãm p%. Avem p% din a = · a. Exemplu: 15% din 700 = 105. 100 Aflarea unui numãr când cunoaºtem p% din el: 100 p ·x=a⇒x=a· . Exemplu: 15% din x = 105 ⇒ x = 700. p 100 Aflarea raportului procentual: a ⋅100 p a 3 p = ⇒p= . Exemplu: = ⇒ p = 37,5. b b 100 8 100 Numãrul p din proporþia
Probabilitatea realizării unui eveniment numãrul cazurilor favorabile evenimentului numãrul cazurilor posibile Exemple: 1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 13 bile negre. Se extrage o bilã. Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este: 17 numãrul bilelor albe = 30 numãrul total al bilelor
p=
(
)
2. Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 36 (toate perechile (x, y), unde x, y sunt numere naturale de la 1 la 6). 1 Probabilitatea sã aparã dubla 3: (existã 1 caz favorabil: (3, 3)). 36 2 1 ((2; 5) ºi (5; 2)). Probabilitatea sã aparã 2, respectiv 5: = 36 18 Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
23
CALCUL ALGEBRIC Reguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere ax + bx + cx = (a + b + c) · x a · (x + y + z) = ax + ay + az (a + b) · (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz Formule de calcul prescurtat
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b)(a – b) = a2 – b2 Descompunerea în factori
Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab – ac + ad = a(b – c + d) Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Exemple: 4x 2 + 6xy + 9y 2 = (2x + 3y)2 4x 2 – 6xy + 9y 2 = (2x – 3y)2 4x 2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y) Gruparea termenilor ºi metode combinate: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) ax + ay – bx – by = a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b) a(x2 ± 2xy + y2) = a(x ± y)2 x2 ± 2xy + y2 – a2 = (x ± y)2 – a2 = (x ± y – a)(x ± y + a) a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) Exemple: 5x2 – 30x + 45 = 5(x2 – 6x + 9) = 5(x – 3)2 ; 4x2 + 4x + 1 – 16y 2 = (2x + 1)2 – 16y2 = (2x + 1 – 4y)(2x + 1 + 4y).
24
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere
amplificarea
simplificarea (c
c)
a ac , b, c ≠ 0 = b bc adunarea sau scãderea
a c a±c , b ≠ 0 ± = b b b puterea cu exponent natural n an a = n , b ≠ 0, n ∈N* b b puterea cu exponent întreg negativ −n bn a = n , a, b ≠ 0, n ∈N* b a
a a:c , b, c ≠ 0 = b b:c înmulþirea a c a⋅c ⋅ = , b, d ≠ 0 b d b⋅d împãrþirea
a c a d : = ⋅ , b, c, d ≠ 0 b d b c
FUNCŢII
Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan y axa ordonatelor ordonata punctului M
y
M(x, y)
axa absciselor x
0
x abscisa punctului M
Oricãrei perechi ordonate (x, y) i se poate asocia un punct M din plan.
Definiţie:
Noţiunea de funcţie Fiind date douã mulþimi nevide, A ºi B, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãrui element x din A sã-i corespundã un unic element y din B, spunem cã am definit o funcþie pe A cu valori în B ºi scriem f : A → B. Exemplu: 1 1 2 2 3 4 3 5 2 6 domeniul de definiþie
f (x) = x 2
legea de corespondenþã
Im f = {y ∈B | y = f (x), x ∈A} imaginea funcþiei
codomeniul (mulþimea în care funcþia ia valori)
Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
25
Definiţie:
Funcţii de tipul f : A → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R, A = mulţime finită Fie f : A → B. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimea Gf = {(x, f (x)) | x ∈A} ⊂ A × B. y
Deci (a, b) ∈Gf ⇔ f (a) = b ºi a ∈A, b ∈B. Graficul G al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul A. f
D
7 C
5
Exemplu: Fie funcþia numericã f : {0, 1, 2, 3} → R, datã prin f (x) = 2x + 1. Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} iar reprezentarea sa geometricã este mulþimea punctelor: A, B, C, D.
B
3 1 A
x
1 2 3
0
Funcţii de tipul f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈R Cum domeniul de definiþie este R, atunci Gf este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã. y
y
b a=0
b
−
b a
x 0 Gf b Gf ∩ Ox = − , 0 , Gf ∩ Oy = (0, b) a
Gf x
0
a≠0
Un punct M(x, y) ∈Gf ⇔ y = ax + b. Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte.
ECUAŢII ŞI INECUAŢII Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a ∈R*, b ∈R ax + b = 0, x ∈D ⇔ ax = – b ⇔ x = –
b . a
b b b ∈D ⇒ S = − . Dacã – ∉D ⇒ S = ∅. a a a Am notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor. Exemplu: 3 –7x + 3 = 0 ⇔ –7x = – 3 ⇔ x = . 7 3 În Q avem S = ∅, dar în R avem S = . 7
Dacã –
26
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Rezolvarea în R a ecuaţiilor de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈R, a ≠ 0
*
Pentru a rezolva în R ecuaþia ax2 + bc + c = 0, a ≠0, a, b, c ∈R, calculãm discriminantul D = b2 – 4ac. Vom avea urmãtoarele situaþii: I. D < 0 ⇒ S = ∅.
b II. D = 0 ⇒ S = − . 2a
−b − ∆ −b + ∆ , III. D > 0 ⇒ S = . 2a 2a * Notă: Această temă nu este cuprinsă în programa pentru evaluare naţională.
Rezolvarea în R × R a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute Metoda substituþiei (exemplu) y = 5− x y = 5− x y + x = 5 ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − 15 + 3x = 0 2 x − 3 y = 0 2 x − 3 (5 − x ) = 0 y = 5− x y = 5− x x = 3 ⇔ ⇔ ⇒ S = {(3, 2)} . 5 x − 15 = 0 x = 3 y = 2 Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã; înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã, obþinându-se o componentã a soluþiei; revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei. Metoda reducerii (exemplu) x + 4 y = 11 ⋅ 3 3x + 12 y = 33 ⇔ 2 x − 3 y = 0 ⋅ 4 8 x − 12 y = 0
11x / = 33 ⊕ x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔ x + 4 y = 11 3 + 4 y = 11 4 y = 8 y = 2 Etapele metodei substituþiei: se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr; adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute; se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale. Rezolvarea în R a inecuaţiilor de forma ax + b 0 (), a ∈R*, b ∈R b − a +∞ b –∞ ] Dacã a > 0: ax + b 0 ⇔ x – a b –∞ +∞ Dacã a < 0: ax + b 0 ⇔ x – [ a b − a Analog, pentru formele . Exemple: 3 3 1. 2x + 3 < 0 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2. –2x + 3 0 ⇔ –2x –3 ⇔ 2x 3 ⇔ x . 2 2 3 3. –2x – 3 > 0 ⇔ –2x > 3 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < – . 2 Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
27
GEOMETRIE
MĂSURARE ŞI MĂSURI Unităţi de măsură pentru lungime mm
cm
dm
m
dam
hm
km
submultiplii metrului multiplii metrului 1 m = 1 000 mm 1 dam = 10 m 1 m = 100 cm 1 hm = 100 m 1 m = 10 dm 1 km = 1 000 m Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ...
1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam 1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Unităţi de măsură pentru arie mm2
cm2
dm2
m2
dam2
hm2
km2
submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dam2 = 100 m2 2 2 2 1 m = 10 000 cm 1 hm = 10 000 m2 1 m2 = 100 dm2 1 km2 = 1 000 000 m2 Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100, 10 000, 1 000 000, ...
1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2 = 0,01 dam2 1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2 = 0,0001 hm2 2 2 1 dm = 0,01 m 1 m2 = 0,000001 km2 Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100, 10 000, 1 000 000, ... 1 ha = 10 000 m2 1 ar = 100 m2 Unităţi de măsură pentru volum mm3
cm3
dm3
m3
dam3
hm3
km3
submultiplii metrului cub multiplii metrului cub 1 m3 = 1 000 000 000 mm3 1 dam3 = 1 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 000 cm 1 hm = 1 000 000 m3 3 3 3 1m = 1 000 dm 1 km = 1 000 000 000 m3 Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ...
1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,001 dam3 3 3 3 1 cm = 0,000001 m 1 m = 0,000001 hm3 3 3 3 1 dm = 0,001 m 1 m = 0,000000001 km3 Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, ... 28
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Unităţi de măsură pentru capacitate ml
cl
dl
l
dal
hl
kl
submultiplii litrului multiplii litrului 1 l = 1 000 ml 1 dal = 10 l 1 m = 100 cl 1 hl = 100 l 1m= 10 dl 1 kl = 1 000 l Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100, 1 000, ...
1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal 1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl 1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 kl Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100, 1 000, ... Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm3 = 1l Unităţi de măsură pentru masă mg
cg
dg
g
dag
submultiplii gramului submultiplii kilogramului 1 g = 1 000 mg 1 g = 100 cg 1g= 10 dg
1 mg = 0,001 g 1 cg = 0,01 g 1 dg = 0,1 g 1 q = 100 kg chintalul
hg
kg
1 dag = 10 g 1 hg = 100 g 1 kg = 1 000 g 1 g = 0,1 dag 1 g = 0,01 hg 1 g = 0,001 kg 1 t = 1 000 kg tona
Unităţi de măsură pentru timp Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s).
Alte unitãþi: minutul: ora: ziua: sãptãmâna: luna: anul: deceniul: secolul: mileniul:
Breviar teoretic Geometrie
1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 zi = 24 h 1 sãptãmânã = 7 zile 1 lunã are 28, 29, 30 sau 31 zile 365 zile sau 366 zile (an bisect) 10 ani 100 ani 1 000 ani 29
FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple. A Punctul nu are „întindere“. A, B ∈d B A C∉d d C d = AB Dreapta este nemãrginitã ºi „nu are grosime“. B A ∈a B∉a d d ⊂ AB a AB ⊄ a Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã). A
Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare. Planul conþine drepte.
Semidreapta este mãrginitã la un capãt, numit origine.
C ∈[AB D ∉[AB Semidreapta deschisã (AB sau semidreapta închisã [AB.
Segmentul de dreaptã este mãrginit la ambele capete.
C ∈[AB] D ∉[AB] Segmentul deschis (AB) sau segmentul închis [AB].
A
D
D
O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte în douã semiplane. a
A
B C
C B
C ∈(dA B ∈[dA D ∉[dA
D d A B C
În desen am haºurat semiplanul deschis (dA. Douã semidrepte având aceeaºi origine formeazã un unghi.
A O
B
. Notãm AOB sau AOB 30
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
UNGHIURI FORMATE DE DOUĂ DREPTE TĂIATE DE O SECANTĂ Douã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri: alterne interne: 3 , 5 , 4 , 6 s
( ) ( ) alterne externe: (1, 7 ) , ( 2 , 8 ) corespondente: (1, 5 ) , ( 2 , 6 ) , (3 , 7 ) , ( 4 , 8 ) interne de aceeaºi parte a secantei: ( 4 , 5 ) , (3 , 6 ) externe de aceeaºi parte a secantei: (1, 8 ) , ( 2 , 7 )
a
1 2 4 3
b
5 6 8 7
Axioma lui Euclid Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã. Criterii de paralelism s a 4 6 b 4 ≡ 6 ⇒ a || b
s
s
a
a
s 2
a
4
4 b 5
b 8
b 7
4 ≡ 8 ⇒ a || b
4 , 5 supl. ⇒ a || b
2 , 7 supl. ⇒ a || b
Axiomele geometriei în spaţiu A1 Douã puncte distincte determinã o dreaptã. A2 Trei puncte necoliniare determinã un plan. A B E Punctele A, B determinã dreapta AB. G F E, F, G necoliniare determinã planul (EFG). Existã puncte exterioare unei drepte. Existã puncte exterioare unui plan. d H C
C ∉d.
A3 Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan.
b
I
a H ∉a A4 Dacã douã plane au un punct comun atunci au o dreaptã comunã. g L
J
I, J ∈b ⇒ IJ ⊂ b
δ K
A5 Spaþiul este o mulþime de puncte. Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului. Breviar teoretic Geometrie
K, L ∈δ ∩ g ⇒ δ ∩ g = KL
31
Determinarea planului I. Trei puncte necoliniare determinã un plan. III. Douã drepte paralele determinã un plan. b A planul (b, c) c planul (ABC) C B II. O dreaptã ºi un punct care nu îi aparþine determinã un plan. D planul (D, a) a
IV. Douã drepte concurente determinã un plan.
d
e
planul (e, d)
Poziţiile relative a două drepte în spaţiu
Drepte coplanare paralele a∩b=∅ a a
concurente a ∩ b ≠ ∅
a∩b=∅ a
a I b
A
b
a
a, b ⊂ a; a ∩ b = {I}
a, b ⊂ a; a || b
Drepte necoplanare
b
a
b ⊂ a; a ∩ a = {A}
Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan Dreapta este paralelã cu planul d
Dreapta este inclusã în plan
a
Dreapta este inclusã în plan d A
d
a
a d || a
d⊂a
d⊂a
Poziţiile relative a două plane Plane secante
Plane paralele
a a
d b
b a || b 32
a∩b=d
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Definiţie:
Unghiul a două drepte în spaţiu Unghiul a douã drepte în spaþiu este orice unghi ascuþit sau drept cu vârful în orice punct al spaþiului având laturile paralele cu dreptele date. Drepte perpendiculare în spaţiu
d
g
a
( )
def a ⊥ b ⇔ m a , b = 90° b
d, g necoplanare A
O B OA || d ⇒ d , g = OAB OB || g
( )
Definiţie:
Dreapta perpendiculară pe un plan Se numeºte dreaptã perpendicularã pe un plan o dreaptã care este perpendicularã pe orice dreaptã din plan.
Criteriul de perpendicularitate Dacã o dreaptã este perpendicularã pe douã drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendicularã pe plan.
d
}
d⊥a ⇒d⊥a a⊂a
a a
}
d
d⊥a a, b ⊂ a ⇒ d ⊥ (a, b) a∩b≠∅
b a a
Teoreme de perpendicularitate şi paralelism
Douã plane perpendiculare pe aceeaºi dreaptã sunt paralele. a ⊥ d ⇒ a || b b⊥d
}
a
Douã drepte perpendiculare pe acelaºi plan sunt paralele. a ⊥ a ⇒ a || b b⊥a
}
b d
Breviar teoretic Geometrie
a
b
a
33
Definiţii:
Perpendiculare şi oblice O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºte oblicã faþã de plan. d d ∩ a = {P} def P ⇔ d este oblicã faþã de planul a a ≠ 90° m d, a
( )
}
A
Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.
P
a
def
AP ⊥ a ⇔ d(A, a) = AP
Definiţie:
Distanţa dintre două plane paralele Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimea unui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele.
A
a
}
AB ⊥ a ⇒ d(a, b) = AB AB ⊥ b
B
b
Definiţie:
Proiecţii ortogonale pe un plan
Definiţie:
34
A
Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan. A′ = pra A, AA′ este proiectanta punctului A pe a Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan. A′B′C′ = praABC
A′
a
A
a
C B C′
A′ B′
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Proiecţia unei drepte pe un plan d Teoremå: Proiecþia unei drepte pe un plan este o dreaptã sau un punct.
d
d′ a
{A} = prad
Definiţie:
d′ = prad
A
a
d
Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe care aceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan. (d, a) = (d, d′), unde d′ = prad
A a
d′
Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan B
Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimea segmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suport a segmentului cu planul. Aplicaþie: A′B′ = 5 cm, AB = 10 cm. A′B′ 1 5 = ⇒ u = 60°. = Avem cos u = 2 AB 10
A u A′ B′ a A′B′ = AB cos u
Teorema celor trei perpendiculare
d⊥a a⊥b a, b ⊂ a
d
}
⇒ c ⊥ b a
Distanþa de la un punct la o dreaptã MP ⊥ a a⊥b ⇒ MA ⊥ b ⇒ d(M, b) = MA a ∩ b = {A} a, b ⊂ a
}
b
a P M
a
c A c
a P
b A
Teoremele reciproce ale teoremei celor 3 perpendiculare Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c c⊥b ⇒ a ⊥ b a a, b ⊂ a P a ∩ b = {A} a
}
A doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d d⊥a c a⊥b ⇒ d ⊥ a a c⊥b P a, b ⊂ a a
}
Breviar teoretic Geometrie
b A
b A 35
Unghiul diedru
Definiţii:
Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douã semiplane delimitate de aceeaºi dreaptã.
Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiul determinat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanele ce formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedrului ºi fiind perpendiculare pe aceasta. a ⊥ d, b ⊥ d ⇒ (a, b) este unghiul plan al diedrului de muchie d.
a d
b
Definiţie:
Plane perpendiculare
Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept.
Teoremå: Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan, atunci cele douã plane sunt perpendiculare. d⊂a ⇒a⊥b d⊥b
d a
}
b
Definiţii:
Simetria în plan
Definiţii:
Spunem cã douã puncte A ºi A′ sunt simetrice faþã de un punct O, dacã O este mijlocul segmentului [AA′].
Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al unei figuri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetric faþã de O tot un punct al figurii.
Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte.
36
O
A′
A ºi A′ sunt simetrice faþã de O
O
F
O este centrul de simetrie al figurii F
s
A
A′
O A, A′ sunt simetrice faþã de dreapta s
s Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetric faþã de dreapta s tot un punct al figurii.
A
F s este axa de simetrie a figurii F
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Triunghiul Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria P
AABC =
A
perimetrul triunghiului
=a+b+c ABC baza · înãlþimea 2
aria triunghiului
c
sau AABC = AB · AC · sin A 2
()
()
b a
B
C D
()
+m C +m B = 180°. m A
ACD este unghi exterior triunghiului ABC. Triunghiul isoscel A
[AB] ≡ [AC] ⇔ B ≡ C
B C Triunghiul echilateral =m C = 60°. A [AB] ≡ [BC] ≡ [CA] ⇔ m A = m B
l h l
B
l
C
PABC = 3l; l 3 h= ; 2 l2 3 AABC = . 4
()
()
()
Linii importante în triunghi Definiţie:
Mediatoarea
Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijlocul segmentului.
A
Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.
O B
Definiţie:
Bisectoarea
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente.
A I
Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris.
B
Definiţie:
Mediana
Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi mijlocul laturii opuse.
Punctul de intersecþie a medianelor se numeºte centrul de greutate al triunghiului.
Breviar teoretic Geometrie
C
C A
G B
M
C 37
Definiţie:
Înălţimea
A
Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pe
latura opusã. Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul triunghiului.
H B
M
C
Definiţie:
Linia mijlocie în triunghi Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte linie mijlocie.
Teorema asupra liniei mijlocii Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtate din lungimea acesteia. MN || BC MN linie mijlocie ⇒ BC MN = 2 Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [AM] ≡ [MB] BC ⇒ [AN] ≡ [NC] ºi MN = 2 MN || BC
}
Aplicaþie: Fie M, N mijloacele laturii [AB], respectiv [AC] ale unui triunghi. Atunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful A aparþin dreptei MN.
A
B
C A N
M B
M B
38
N
M
C
A N
C
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Criteriile de congruenţă a triunghiurilor A
A′
Definiţie:
B
C
} } } } }
B′
C′
[AB] ≡ [A′B′]; A ≡ A′; def [BC] ≡ [B′C′]; B ≡ B′; ⇔ DABC ≡ DA′B′C′ [CA] ≡ [C′A′]; C ≡ C′
[AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] B ≡ B′
B ≡ B′
Cazul LUL
Cazul ULU
Cazul LLL
Cazul LUU
[BC] ≡ [B′C′] C ≡ C′ [AB] ≡ [A′B′] [BC] ≡ [B′C′] [CA] ≡ [C′A′] [AB] ≡ [A′B′] B ≡ B′ C ≡ C′
⇔ DABC ≡ DA′B′C′
⇔ DABC ≡ DA′B′C′
⇔ DABC ≡ DA′B′C′
⇔ DABC ≡ DA′B′C′
Criteriile de asemănare a triunghiurilor
Definiţie:
A
}
B
A′
C
B′
C′
A ≡ A′; B ≡ B′; def ⇔ DABC ~ DA′B′C′ C ≡ C′ AB BC AC = = A′ B′ B′C ′ A′C ′
Criteriul 1 de asemãnare: AB AC A ≡ A′; ⇒ DABC ~ DA′B′C′ = A′ B′ A′C ′ Criteriul 2 de asemãnare: A ≡ A′; B ≡ B′ ⇒ DABC ~ DA′B′C′ Criteriul 3 de asemãnare: AB BC AC = = ⇒ DABC ~ DA′B′C′ A′ B′ B′C ′ A′C ′ Breviar teoretic Geometrie
39
A
Teoreme Fie triunghiul ABC ºi punctele D ∈ AB, E ∈AC. Teorema lui Thales AD AE DE || BC ⇒ = DB EC
B
C
D
Teorema reciprocå a teoremei lui Thales AD AE = ⇒ DE || BC DB EC
E
A D B
E
Teorema fundamentalå a asemånårii AB AC BC = = =r. DE || BC ⇒ DADE ~ DABC ⇒ AD AE DE
E C D A
B
C
Triunghiul dreptunghic Triunghiul dreptunghic isoscel A m A = 90°
Triunghiul dreptunghic oarecare A AB ⊥ AC sau m A = 90°
()
B C D
()
AB ⋅ AC AABC = 2
B
C
[AB] ≡ [AC] ⇔
() ()
= 45° =m C ⇔m B
Teorema înålÆimii m A = 90° ⇒ AD2 = BD · DC AD ⊥ BC
()
}
Teorema catetei m A = 90° ⇒ AB2 = BC · BD, AC2 = BC · CD AD ⊥ BC
()
}
Teorema lui Pitagora m A = 90° ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2
()
AB 2 = BC 2 – AC 2 AC 2 = BC 2 – AB 2
Teorema reciprocå a teoremei lui Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ m A = 90°
()
Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic c b A sin B = , cos B = a a c b b c tg B = , ctg B = c b B C a sin B 1 , ctg B = tg B = cos B tg B sin B = cos C 40
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Tabele trigonometrice a
30°
45°
60°
sin a
1 2
2 2
3 2
cos a
3 2
2 2
1 2
1
3
funcþia
1
tg a
3
ctg a
1
1
3
3
Patrulaterul convex Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°.
Paralelogramul Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numeºte paralelogram. def
AB || CD; BC || DA ⇔ ABCD paralelogram. Teoremå referitoare la laturi În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente. ABCD paralelogram ⇔ [AB] ≡ [CD] ºi [BC] ≡ [DA]. Teoremå referitoare la unghiuri În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare. ABCD paralelogram ⇔ A ≡ C; B ≡ D. A, B suplementare. Teoremå referitoare la diagonale În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. [OA] ≡ [OC]; ABCD paralelogram ⇔ [OB] ≡ [OD]. Definiţie:
{
Dreptunghiul Paralelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi. def ABCD paralelogram, m A = 90° ⇔ ABCD dreptunghi.
()
Teoremå referitoare la unghiuri În orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte. ABCD dreptunghi ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D. Breviar teoretic Geometrie
A
B
D
C A
B
D
C A
B
D
C
A D
B O
C
A
B
D
C
A
B
D
C 41
Definiţie:
Teoremå referitoare la diagonale În orice dreptunghi diagonalele sunt congruente. ABCD dreptunghi ⇔ [AC] ≡ [BD]. Rombul Paralelogramul care are două laturi consecutive congruente se numeşte romb. def ABCD paralelogram, [AB] ≡ [BC] ⇔ ABCD romb.
A
B
D
C A
D
B C
Teoremå referitoare la laturi În orice romb toate laturile sunt congruente. ABCD romb ⇔ [AB] ≡ [BC] ≡ [CD] ≡ [DA].
A D
B
Teorema 1 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt perpendiculare. ABCD romb ⇔ AC ⊥ BD.
C A
Definiţie:
Teorema 2 referitoare la diagonale În orice romb diagonalele sunt bisectoare. ABCD romb ⇔ [BD] bisectoarea unghiului D.
D C
Pãtratul Un paralelogram care are un unghi drept şi două laturi consecutive congruente se numeşte pătrat. def ABCD dreptunghi ºi romb ⇔ ABCD pãtrat.
Proprietăţile pătratului
Toate unghiurile sunt drepte.
Definiţii:
Toate laturile sunt congruente.
A
B
D
C
Diagonalele sunt Diagonalele sunt perpenbisectoarele pãtratului. diculare, congruente ºi au acelaºi mijloc.
Trapezul Patrulaterul convex care are două laturi opuse paralele şi celelalte două neparalele se numeşte trapez. def AB | CD ºi AD } BC ⇔ ABCD trapez. Trapezul dreptunghic Trapezul care are una dintre laturile neparalele perpendiculară pe bază se numeşte trapez dreptunghic. def = 90° ⇔ ABCD trapez, m A ABCD trapez dreptunghic.
()
B
A
B
D
C A
B
D Linia mijlocie în trapez Segmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia mijlocie a trapezului. 42
C
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Teorema asupra liniei mijlocii în trapez
A
AB + CD [AM] ≡ [MD]; [BN] ≡ [NC] ⇔ MN || AB; MN = . 2
M
Definiţie:
ABCD trapez, [AD] ≡ [BC] ⇔ ABCD trapez isoscel.
N
D
Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez AB + CD [AM] ≡ [MD]; MN || AB ⇔ [BN] ≡ [NC]; MN = . 2 Trapezul isoscel Trapezul care are laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel.
B C
A
B
M
N
D
C A
def
B
D
C
Teoremå referitoare la unghiuri ABCD trapez isoscel ⇔ A ≡ B ºi D ≡ C.
A
B
D Teoremå referitoare la diagonale ABCD trapez isoscel ⇔ [AC] ≡ [BD].
C A
B
D
C
Perimetrele şi ariile poligoanelor Paralelogramul A B h
d
l
L
D PABCD = 2(L + l) AABCD = L · l
D C PABCD = 2(L + l) AABCD = L · h AABCD = L · l · sin B
A
Pãtratul
Rombul A l B
Dreptunghiul L A B l
h
C
D PABCD = 4l AABCD = l · h d ⋅d AABCD = 1 2 2
d = L2 + l 2
C
PABCD = 4l AABCD = l2 d=l 2 Breviar teoretic Geometrie
C
Trapezul A b B
B l
D
l
h D
B PABCD = AB + BC + CD + DA (B + b ) ⋅ h AABCD = 2
C
43
Cercul coardã diametru
Definiţii:
Mulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r. Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºte coardã. Coarda care trece prin centrul cercului se numeºte diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.
O
centrul razã
C (O, r)
Definiţii:
Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã puncte distincte ale cercului se numeºte arc de cerc.
semicerc
Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mici decât raza, formeazã interiorul cercului.
O
Mulþimea punctelor cercului C(O, r) reunitã cu interiorul cercului se numeºte disc de centru O ºi razã r: D(O, r).
arcul mic AB
Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse, atunci arcul se numeºte semicerc.
Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului.
r
A
B O
interior exterior
O
Definiţii:
Unghi la centru; sector de cerc Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghi la centru.
Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerc cuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îl subîntind.
D
A
B
O
(
)
(
ADB = m AOB m
B
Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund arce congruente.
)
C
A
D
⇔ [AB] ≡ [CD] AB ≡ CD 44
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin mijlocul arcului subîntins de coardã.
O A
Teoremå privind coardele egal depårtate de centru Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã sunt egal depãrtate de centru. [AB] ≡ [CD] ⇔ d(O, AB) = d(O, CD)
B
A
C
B Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente.
A D
D
O
B C
O
AB || CD ⇒ AB ≡ CD
Definiţie:
Unghiul înscris în cerc
Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douã coarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc.
O
Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale.
Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cerc O dreaptã poate avea cu un cerc: a) douã puncte comune b) un punct comun t s r
O
secantã
d(O, s) < r
Breviar teoretic Geometrie
O
tangentã
OT ⊥ t OT = d(O, t) = r
B
A
( ) ( ) 2 =m m ( AOB ) ( AB) C
m ACB =
m AB
c) niciun punct comun e O
dreaptã exterioarã cercului d(O, e) > r
45
T
Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente ºi numai douã la cerc.
A
O T′
Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerc a) [TA] ≡ [T ′A]; ′ ; b) [AO este bisectoarea unghiului TAT ′ ; c) [OA este bisectoarea unghiului TOT d) OA este mediatoarea segmentului [TT′]. Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsura arcului cuprins între laturile sale. Aplicaþie: = 60°. BT = 4 3 cm, m ATB
(
T
A
O
)
B
(
)
= m ATB ºi raza r. Se cere mãsura arcului mic BT Soluþie: m BT m BT = 120°. ⇔ 60° = ⇔ m BT m ATB = 2 2 = 30°. Triunghiul TOB este isoscel cu baza (TB). Deducem uºor cã m OTB
Se obþine r = 4 cm.
(
)
( )
( )
( )
A
Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacã laturile triunghiului sunt tangente la cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului.
O
Centrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþia bisectoarelor triunghiului.
B
Definiţie:
Cercul circumscris unui triunghi
46
C A
Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacã vârfurile triunghiului sunt situate pe cerc. În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris în cerc.
Centrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþia mediatoarelor triunghiului.
2
( )
Definiţie:
( )
m AB
O
B
C
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc Lcerc = 2pR; Adisc = pR2 npR 2 npR R ; Asector circular = Larc = 360 180 n° Aplicaþii: 1. Aflaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 20p dm2. Soluþie: pR2 = 20p ⇒ R = 2 5 dm; Lcerc = 2p 5 dm. 2. Aflaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru corespunzãtor n° = 60°. 60 pR npR ⇔ 15p = ⇒ R = 45 cm. Soluþie: 15p = 180 180
Elemente în poligoane regulate Triunghiul echilateral l
Pãtratul
R
R 30°
O ap
R
l
O R 45°
l=R 3 R ap = 2
Breviar teoretic Geometrie
O R
ap
l=R 2 ap =
Hexagonul regulat
R 2 2
l
R 60°
R ap
l = R; ap =
R 3 2
P = 6l; A =
3l 2 3 2
47
Corpuri geometrice. Poliedre Prisma dreaptã Cu baza triunghi echilateral
Cu baza hexagon regulat
Cu baza pãtrat
înãlþime
muchie lateralã
diagonalã
faþã lateralã
vârf muchia bazei
bazã
Paralelipipedul dreptunghic
Cubul D′
înãlþime
A′
B′
D
lãþime lungime
Feþele unui paralelipiped dreptunghic sunt dreptunghiuri, douã câte douã congruente.
C
A B Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi sunt congruente. D′ C′ C C′ C′ D′ D
Desfãºurarea cubului
C′
B′ A′ A
B B′
A′ Piramida V înãlþimea vârful
piramidei
B
B
D
D C
C baza
piramidei
În funcþie de natura bazei, folosim denumirile: piramidã triunghiularã, patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã.
48
A
Definiţii:
E
A
Tetraedrul
piramidei faþã lateralã
muchie lateralã
B′
Punctele necoplanare A, B, C, D determinã poliedrul cu cel mai mic numãr de feþe numit tetraedru. Reuniunea feþelor tetraedrului se numeºte suprafaþa tetraedrului.
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Definiţie:
V O piramidã care are baza poligon ºi muchiile laterale congruente se numeºte piramidã regulatã.
Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele (congruente).
C
apotema piramidei înãlþimea piramidei
M O B
A
apotema bazei
Definiţii:
Piramida regulată, tetraedrul regulat Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei. Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei. Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat.
în piramidã
în prismã
Secţiuni paralele cu baza în poliedre
planul de secþiune
Planul de secþiune este un poligon (cu toate punctele interioare) congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem douã prisme de acelaºi tip cu prisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici.
planul de secþiune
Planul de secþiune este un poligon asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârf este vârful piramidei iniþiale iar baza poligonul (cu toate punctele interioare) ºi un trunchi de piramidã.
Definiţii:
Trunchiul de piramidă
Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometric obþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul de secþiune.
laturã a bazei mici muchie lateralã
baza micã faþã lateralã
Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului. laturã a bazei mari
Breviar teoretic Geometrie
baza mare
49
Corpuri rotunde Cilindrul circular drept O A
OR
B
D C
razã generatoare suprafaþã lateralã bazã
A
R
A
D C
B
B
Bazele unui cilindru au formã de disc.
Definiţii:
Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului. Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului.
Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi.
Conul circular drept A
V vârf generatoare
B
O
A
V
bazã
B R
O
A
Baza unui con are formã de disc.
Definiţii:
50
Raza bazei se numeºte raza conului. Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc.
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde în cilindru circular drept
în con circular drept
planul de secþiune
planul de secþiune
Planul de secþiune este un disc congruent cu bazele ºi paralel cu acestea. Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cu cilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici.
Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con.
Trunchiul de con
Definiţii:
Se numeºte trunchi de con corpul geometric obþinut prin secþionarea unui con circular drept printrun plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului mic obþinut.
Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului.
Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de con este un sector de coroanã circularã.
baza micã suprafaþa lateralã
generatoarea
raza bazei mici înãlþimea trunchiului
raza bazei mari baza mare
Breviar teoretic Geometrie
51
Sfera; descriere. Bila
O
R
O
Sferã de centru O ºi razã R S (O, R) S (O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP = R} Prin rotaþia unui cerc în jurul unui diametru al sãu obþinem o sferã având raza egalã cu raza cercului de rotaþie ºi centrul în centrul cercului de rotaþie.
R
Bilã de centru O ºi razã R B(O, R) B(O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP R} Planul de secþiune este un disc asemenea cu baza ºi paralel cu aceasta. Obþinem un con mic, al cãrui vârf este vârful conului iniþial, iar baza discul de secþiune ºi un trunchi de con.
Definiţie:
Secţiuni axiale în corpuri rotunde
Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului are simetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului.
G
G R s
G R s
R s
Secþiunea axialã este triunghi isoscel cu baza dreptunghi de dimensiuni 2R ºi laturile R 2R ºi G
52
R
trapez isoscel cu baza micã r, baza mare R ºi latura neparalelã G
s disc de razã R
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Ariile şi volumele corpurilor geometrice Prisma dreaptã
Piramida regulatã
h
Trunchiul de piramidã regulatã
h
Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + 2Ab V = Ab · h
h
Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + Ab A ·h V = b 3
Al = suma ariilor feþelor laterale At = Al + AB + Ab h V = AB + Ab + AB ⋅ Ab 3
(
)
Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare. Conul Cilindrul Trunchiul de con
r
h
G R
G=h Al = 2pRG At = 2pR(R + G) V = pR2h
R
G2 = h2 + R2 Al = pRG At = pR(R + G) pR2h V = 3
Paralelipipedul dreptunghic b
d c a At = 2(ab + bc + ca) V = abc d = a2 + b2 + c2
Breviar teoretic Geometrie
G
h
Cubul
a At = 6a2 V = a3 d=a 3
G
h R
G2 = h2 + (R – r)2 Al = pG(R + r) At = Al + AB +Ab ph V = · (R2 + r2 + Rr) 3 Sfera R
d a a Asferei = 4pR2 4pR3 Vbilei = 3
53
Testul 1 (Autor: prof. Ana Poştaru)
(Bareme la pagina 188)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 2,34 este .......... (5p) 2. Jumătate din sfertul numărului 48 este .......... (5p) 3. Dacă 3x – 2y = 16 , atunci 73 – 6x + 4y este egal cu.......... (5p) 4. Triunghiul MAT are perimetrul 108 cm. Dacă Q, P, S sunt mijloacele laturilor (AM), (AT) respectiv (MT), atunci perimetrul triunghiului QPS este egal cu.......... cm. (5p) 5. Aria unui cerc, având lungimea de 10 π cm, este egală cu .......... cm2. (5p) 6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate peste zi pe muntele Semenic în ziua de 10 ianuarie 2012. Temperatura medie înregistrată peste zi este ..........°C (5p) ora 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 temp. – 3 – 2 – 2 – 1 0 0 +1 +2 +2 +2 +1 0 0 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb MATE cu m ( A ) = 40°.
(5p)
2. Arătaţi că oricare ar fi cifrele x şi y nenule 10 xy − 10 yx 15.
(5p)
(
3.
)
Profesorul de sport doreşte să aşeze participanţii la o întrecere sportivă în coloane de câte 4, 6 sau 9 elevi, dar constată că rămân de fiecare dată câte 2 elevi neîncolonaţi. a) Care este numărul elevilor, ştiind că este cel mult egal cu 50? (5p) b) Care este numărul minim de elevi ce pot fi aşezaţi în coloane de 4, 6 sau 9 elevi? (5p)
4. Fie mulţimea A = { x ∈ | −3 ≤ 2 x − 1 < 5}. Calculaţi suma elementelor mulţimii A.
5. Fie A = 1, 44 ; 14, 4 ;
1 3 6 ; − π; ; 0 . Calculaţi A \ . 4 2
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este schiţa unei grădini ornamentale.
Semicercurile mici sunt identice şi au razele r egale
cu jumătate din raza R a semicercului mare.
a) Exprimaţi perimetrul întregii figuri în funcţie de r şi
numărul iraţional π.
B
(5p) (5p)
D
r
R r
C
(5p)
d) Câte kg de seminţe de gazon sunt necesare, pentru cultivarea suprafeţei ABCD în cazul
r = 2 3 m, dacă 1 kg de seminţe ajunge pentru 30 m2? 54
r R
c) Calculaţi aria suprafeţei dreptunghiulare ABCD, ştiind
că r = 2 3 m.
r
b) Calculaţi aria semicercului colorat cu gri, pentru
r = 10 m şi π = 3,14.
A
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
D
C
(5p) A
E
2. O suprafaţă de forma unui trapez dreptunghic ABCD
trebuie pavată cu plăci de gresie.
CD = 3 m; AD = 2 CD; m ( B ) = 45°.
a) Calculaţi aria trapezului ABCD.
b) Calculaţi câtă gresie trebuie cumpărată,
ştiind că 10% din cantitate se pierde la tăierea
acesteia. Exprimaţi în număr întreg de m2.
(5p)
Testul 2 (Autor: prof. Gina Caba)
45°
B
(Bareme la pagina 189)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 15 − 2 ⋅ 9 este egal cu ..........
(5p)
(5p)
3. Mulţimea divizorilor întregi ai numărului 12 este ..........
(5p)
este egală cu ..........m.
(5p)
n
2. Numărul 3 ⋅ 3 se scrie ca putere astfel .......... 4. Lungimea laturii unui pătrat cu aria de 36
m2
5. Un trapez dreptunghic ABCD are m ( A ) = 90°, AB = 6 dm, BC = 5 dm, CD = 9 dm. Atunci perimetrul trapezului este egal cu ..........dm. (5p)
6. În graficul de mai jos, este prezentată evoluţia euro/leu în perioada 31 august 17 septembrie 2012. Cel mai mare curs s-a înregistrat în ziua de ..........
(5p)
lei
1-17 septembrie 2012
(sursa: www.cursbnr.ro)
1. Recapitularea materiei din clasele V – VII
55
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un romb cu o latură de 3 cm şi un unghi ascuţit de 30°. (5p) 2. Un elev are 14 ani. Peste câţi ani va avea de trei ori vârsta de acum?
(5p)
3. Într-o urnă sunt 50 de bile numerotate de la 1 la 50. Care este probabilitatea ca, luând la întâmplare o bilă, pe aceasta să fie scris:
a) un număr prim?
b) un număr pătrat perfect?
(5p)
(5p)
4. Stabiliţi dacă numărul A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 − 6 3 este pozitiv, negativ sau zero. 5. Simplificaţi fracţia
(5p)
2n +1 ⋅ 3n , unde n ∈ *, astfel încât să obţineţi o fracţie ireductibilă.(5p) 2n ⋅ 3n +1
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Figura alăturată reprezintă schiţa unui teren împărţit
3
4
în două triunghiuri dreptunghice având catetele
de lungimi 3 m, respectiv 4 m, şi un triunghi echilateral.
a) Terenul se împrejmuieşte cu gard a câte 6 rânduri de
sârmă.
Câţi m de sârmă trebuie cumpăraţi?
b) Pe suprafeţele triunghiurilor dreptunghice se însămânţează gazon, necesarul fiind de
0,025 kg seminţe pe metrul pătrat, iar costul pe 1 kg gazon este 32 lei.
Cât a costat gazonul? (5p)
c) Pe suprafaţa triunghiului echilateral s-au trasat patru ronduri (ca în figură) fiecare în
4
3
(5p)
formă de triunghi echilateral asemenea cu triunghiul iniţial, având lungimile laturilor de 4 m, 3 m, 2 m, respectiv 1 m. Pe fiecare latură de rond s-au plantat tufe de trandafiri la distanţe egale cu 0,5 m între ele.
Câte tufe de trandafiri au fost necesare şi cât s-a plătit, ştiind că la piaţă se vând 3 tufe la 10 lei? (5p)
2. Cercul din desenul alăturat are raza de 12 cm. Calculaţi:
a) lungimea laturii triunghiului echilateral înscris în cerc; (5p)
b) apotema triunghiului echilateral înscris în cerc;
(5p)
c) raportul dintre aria triunghiului şi aria discului.
(5p)
56
12
l
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 3
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 191)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 564 la 10 este ..........
(5p)
2. Dintre numerele 2,34 şi 2,3(4) este mai mic numărul ..........
(5p)
3. Fie mulţimea A = {0; 3; 5; 6; 8; 9}. Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din A,
acesta să fie divizibil cu 3, este egală cu ..........
(5p)
4. În triunghiul ABC dreptunghic în A, [AM] este mediană având lungimea de 18 cm.
Lungimea ipotenuzei este egală cu .......... cm.
(5p)
gardului ce-l înconjoară este de 50 m. Lungimea
dreptunghiului este egală cu .......... m.
8m
5. Lăţimea unui teren dreptunghiular este 8 m, iar lungimea (5p)
6. În schema de mai jos este prezentată:
Cea mai mare valoare s-a înregistrat în anul ..........
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 12 muncitori termină o lucrare în 15 zile. În câte zile vor termina aceeaşi lucrare 18 muncitori?
(5p)
2. Preţul unui produs este egal cu 120 lei. Prima dată preţul creşte cu 50% şi apoi scade
tot cu 50%.
Care va fi preţul final al produsului?
1. Recapitularea materiei din clasele V – VII
(5p)
57
3. Se consideră numerele:
−2
1 10 1 8 1 −3 x = − : − ⋅ − 3 3 3
şi y =
(2 −
5) +
(
2
5 − 3) + ( −3) . 2
2
a) Comparaţi numerele x şi y.
(5p)
b) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor x şi y.
(5p)
4. Dacă a = 2 − 3 + 2 + 3 , calculaţi a2 şi ( a − 6 )
1000
.
(10p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-un parc se delimitează un teren de joacă de forma unui triunghi ABC, cu AB < AC. Se consideră (AM bisectoarea unghiului BAQ, exterior triunghiului ABC, unde M aparţine semidreptei (CB, şi fie N simetricul lui M faţă de A. În punctele M şi N se plantează arbuşti ornamentali. Bisectoarea unghiului BAC intersectează (BC) în D, iar în punctul E de intersecţie a dreptelor DN şi AC se fixează o bancă. A
Arătaţi că:
a) triunghiul DMN este isoscel;
(5p)
b) ∆AMB = ∆ANE;
(5p)
c) aleile AD şi BE sunt perpendiculare;
(5p)
d) aleea BE este paralelă cu aleea MN.
(5p)
B
C
2. O sală de sport are forma unui paralelogram ABCD, cu m ( A ) = 60°, AB = 10 m şi AD = 6 m. Fie M mijlocul segmentului [AB], N este mijlocul lui [DC]; MP ⊥ AB, P ∈ DC şi NQ ⊥ DC, Q ∈ AB.
a) Demonstraţi că terenul MQNP este un dreptunghi. b) Sportivii Mihai şi Andrei parcurg traseele ABCD, respectiv AQPD.
Cine a parcurs traseul cel mai lung? D P
A
58
M
(5p) (5p)
N
Q
C
B
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 4
(Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 192)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului:
(– 1)3 + (– 1)2 + (– 81) : (+ 3) este egal cu ..........
(5p)
2. Inversul numărului 3 + 7 este ..........
(5p)
3. Dacă 25 x 3 , atunci valoarea lui x este ..........
(5p)
4. În triunghiul ABC, m ( A ) = 90°; AB = 8 cm; AC = 12 cm.
Aria triunghiului este egală cu ..........cm2.
5. Într-un dreptunghi ABCD, BC = 7 cm, AC ∩ BD = {O} şi m ( AOD ) = 60°. Lungimea diagonalei [AC] este egală cu ..........cm. 6. La un test de matematică elevii unei clase au obţinut următoarele note:
(5p) (5p)
Nr. elevi 7 6 5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 Nota
Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mare decât 6 este ..........
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. 2. 3.
Desenaţi un trapez dreptunghic MNPQ. (5p) O cutie de bomboane costă 12,5 lei. Dacă o persoană plăteşte suma de 62,5 lei, câte cutii de bomboane a cumpărat? (5p) Fie numerele a1 = 2; a2 = a1 · 1 + 1; a3 = a1 · 2 + 2; ...; a10 = a1 · 9 + 9. a) Aflaţi suma acestor numere. (5p) b) Cât la sută reprezintă suma numerelor pare din suma numerelor impare? (5p)
4. Arătaţi că numărul A =
182 + 242 6 2 + 82
+ 2 ⋅ 262 − 242 este natural.
(5p)
5. Descompuneţi în factori: 4x3 – 24x2 + 36x.
(5p)
1. Recapitularea materiei din clasele V – VII
59
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1.
Un parc este de forma unui trapez isoscel ABCD, cu AD BC, AC ⊥ CD şi m ( DAC) = 30°, iar AB = 6 dam. a) Dacă parcul este înconjurat cu un gard, aflaţi lungimea acestuia. (5p) b) Calculaţi aria trapezului. (5p) c) Aflaţi aria triunghiului ABC. (5p)
B
A
C
fig. 1
2. Figura 2 reprezintă schiţa unei grădini cu flori în formă B
de dreptunghi, cu AB = 10 m, BC = 10 3 m, şi BM ⊥ AC. Dreapta BM se prelungeşte astfel încât BM ∩ AD = { N } . a) Aflaţi lungimile segmentelor [AC] şi [BM]. (5p) b) Arătaţi că m ( CBM) = 60° (5p) AMN c) Determinaţi valoarea raportului . (5p) ADC
Testul 5
(Autor: prof. Florentina Enea )
D C
M A
N
fig. 2
D
(Bareme la pagina 194)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 + 5 : 5 este egal cu .......... (5p) 2. Media aritmetică a numerelor 8, 9, 11, 18 este .......... (5p) 3. Dacă 2 este soluţia ecuaţiei mx – 5m = 15, atunci valoarea parametrului m este .......... (5p) 4. Un triunghi echilateral are o latură cu lungimea de 8 3 cm. Raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) A B 5. Dacă aria dreptunghiului ABCD este 24 cm2 şi M ∈ (CD), M atunci aria triunghiului AMB este egală cu ..........cm2. D C (5p) 6. În graficul alăturat este reprezentată evoluţia inflaţiei în perioada ian. 2010–dec. 2010. Inflaţia a avut cea mai scăzută valoare în luna ....................... (5p)
(sursa: reflectiieconomice)
60
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel de baze [AD] şi [BC].
(5p)
2. Calculaţi 2–1 + 3–1 + 6–1.
(5p)
3. Fie A = {– 9; 4; – 10; 7} şi B = {2x – 1; – 32; 5y; (– 2)2} cu x, y ∈ .
a) Ştiind că x = 0 şi y = 2, scrieţi elementele comune mulţimilor A şi B.
(5p)
b) Ştiind că A = B, determinaţi valorile numerelor x şi y.
(5p)
4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 3x – 2 y > 0 şi x2 + y2 = 10, x · y = 4. Calculaţi x + y şi x – y. (5p)
(
3. Recapitulare finală
) (
) (
)
109
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un agricultor are un teren în formă de trapez ABCD, AB || CD. a) Cu ajutorul unei drepte, împărţiţi terenul în două loturi cu aceeaşi arie. A
(5p)
A B figura 2 H G F E J I C C D M N D b) Agricultorul face următoarele măsurători (figura 1): AM = 12 m, DM = 9 m, MN = 20 m, NC = 16 m. Terenul trebuie împrejmuit cu panouri având lungimea de 6 m şi înălţimea de 1,8 m; fiecare panou costă 250 lei. Aflaţi cât costă gardul. (5p) c) Pentru o anumită cultură, agricultorul împarte terenul în dreptunghiuri cu lăţimea de 3 m ca în figura 2. Aflaţi aria suprafeţei cultivate. (5p) 2. Un stadion este în formă de trunchi de piramidă C' D' patrulateră regulată. Pătratul ABCD are latura AB = 72 m, M iar pătratul A'B'C'D' are latura A'B' = 240 m. B' A' Un spectator situat pe ultimul rând în punctul M, D C P d mijlocul lui (A'D'), se află la înălţimea de h = 35 m faţă N de pământ. A B a) Care este distanţa de la spectatorul situat în punctul M la portarul situat în punctul N, mijlocul lui (AD)? (5p) b) Calculaţi distanţa de la spectatorul situat în punctul M la dreapta d, care desemnează mijlocul terenului. (5p) c) Pentru a moderniza stadionul, administratorul doreşte schimbarea scaunelor şi din acest motiv trebuie să calculeze suprafaţa tribunelor. Ce suprafaţă au acestea? (5p)
Testul 42
B
figura 1
(Autor: prof. Marius Farcaş)
(Bareme la pagina 240)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1,2 · 1,3 + 5 este egal cu ..........
(5p)
4 , a є *, sunt ......... a
(5p)
2. Fracţiile supraunitare de forma
3. În sezonul reducerilor, preţul unui palton care era de 324 lei se reduce cu 25%. Preţul după reducere va fi de ..........lei. (5p) 4. Trapezul ABCD, AB || CD are lungimile bazelor de 8 cm şi 14 cm. Lungimea liniei mijlocii este egală cu ..........cm. (5p) 32 3 + 120 5. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 8 cm şi aria totală de cm2. Înălţimea prismei este egală cu ..........cm. (5p)
(
110
)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
6. Toţi elevii unei clase practică unul dintre sporturile: fotbal, handbal, volei, tenis şi baschet, după cum indică diagrama. Dacă în clasă sunt 5 elevi care joacă handbal, atunci în clasă sunt ..........elevi. (5p)
fotbal 40%
handbal
20%
16%
16% 8%
baschet tenis
volei
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Un teren de formă dreptunghiulară este înconjurat cu 112 m de gard. Ştiind că lungimea este cu 20 m mai mare decât dublul lăţimii, aflaţi lungimea şi lăţimea terenului. (5p) 3. Anul acesta numărul elevilor din şcoala noastră a scăzut cu 5% faţă de anul trecut, dar procentul fetelor a crescut de la 50% la 60% din numărul elevilor. a) Dacă anul trecut în şcoală erau 1200 elevi, câţi elevi sunt anul acesta? (5p) b) Câte fete sunt anul acesta în şcoală, dacă anul trecut erau 600? (5p) 4. Fie funcţiile f : → , f(x) = x – 2 şi g : → , g(x) = f(2x + 1). Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. (5p) 5. Aflaţi numerele reale x şi y care verifică egalitatea: 2x2 + 4y2 + 4xy – 8x + 16 = 0. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Într-o competiţie sportivă sunt înscrise 5 echipe de fotbal. Fiecare echipă joacă câte un meci cu fiecare din celelalte echipe. Pentru o victorie se dau 3 puncte echipei câştigătoare şi 0 puncte echipei învinse, iar pentru un meci egal se dă câte un punct fiecărei echipe. a) Aflaţi câte meciuri s-au jucat în competiţie. (5p) b) La final s-a înregistrat următorul clasament: Echipa I: 10p; Echipa II: 8p; Echipa III: 5p; Echipa IV: 2p; Echipa V: 1 p. Precizaţi care meciuri s-au încheiat cu o victorie şi cine a câştigat, precum şi ce meciuri s-au încheiat la egalitate. (5p) c) Stabiliţi dacă la finalul competiţiei, se poate întâmpla ca în clasament, fiecare două echipe vecine să fie despărţite de exact două puncte. (5p) 2. Un constructor de jucării are o piesă în formă de G H tetraedru regulat DBGE cu latura de 8 cm şi doreşte să construiască patru piramide triunghiulare regulate E F AEDB, CGDB, FEBG şi HEDG, care împreună cu tetraedrul să formeze un cub. C D a) Cât trebuie să fie muchia laterală a piramidelor? (5p) b) Aflaţi lungimea înălţimii care pleacă din A spre faţa A B (EDB) în piramida AEDB. (5p) c) Aflaţi suma ariilor feţelor laterale ale celor 4 piramide triunghiulare. (5p)
3. Recapitulare finală
111
Testul 43
(Autor: prof. Marius Farcaş)
(Bareme la pagina 241)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.
(lei)
1. Rezultatul calculului (–2) · (–3) + (–5) este egal cu .......... (5p) 2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 11 este D11 = {..........}. (5p) 3. La sfârşitul unei lucrări, doi muncitori au primit o primă de 500 de lei împărţită invers proporţional cu numărul pieselor defecte predate de fiecare. Dacă primul a avut 3 piese defecte, iar al doilea doar una, suma de bani primită de primul este de ...........lei. (5p) 4. În dreptunghiul ABCD, O este punctul de intersecţie a diagonalelor. Dacă AC are lungimea de 10 cm, atunci lungimea lui OB este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un tetraedru regulat are aria totală de 81 3 cm2. Muchia tetraedrului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) 6. În graficul următor este prezentată evoluţia cursului euro-leu şi dolar-leu în prima săptămână a lunii septembrie. curs EURO Diferenţa dintre valoarea unui euro şi valoarea unui dolar în ziua de marţi este de ..........lei. (5p) curs USD
luni
marţi
miercuri
joi
vineri
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH. (5p) 2. Toţi cei 18 băieţi ai unei clase se întâlnesc o dată pe săptămână pentru a juca fotbal (în ziua de luni) sau baschet (joia). Numărul băieţilor care joacă fotbal este de 2 ori mai mare decât al celor care joacă baschet, dar sunt 3 băieţi care joacă şi baschet şi fotbal. Câţi băieţi din această clasă se întâlnesc în ziua de luni la fotbal? (5p) 3. La festivitatea de deschidere a unei competiţii sportive, dacă se aşază participanţii în coloane de câte 5, 7 sau 10, rămâne de fiecare dată ultima coloană cu 4 sportivi. a) Verificaţi dacă numărul participanţilor la competiţie poate fi 214. (5p) b) În final, participanţii au fost aşezaţi în coloane de câte 12 sportivi şi formaţia a fost completă. Aflaţi numărul participanţilor, ştiind că este mai mic de 500. (5p) 4. Reprezentarea grafică a funcţiei liniare f intersectează axele de coordonate OX şi OY în punctele A, respectiv B. Abscisa punctului A este egală cu triplul ordonatei punctului B. Triunghiul determinat de axa OX, axa OY şi Gf se află în cadranul I şi are aria de 6u2. Determinaţi funcţia f. (5p) 112
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
5. Aflaţi numerele raţionale x şi y care verifică egalitatea: x 2
( 2 +1)- y = 8 +
2(1- y ) .(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru un depozit în euro, o bancă comercială percepe următoarele comisioane: comision de deschidere cont de 20 de euro, care se încasează la deschiderea contului, comision de administrare cont de 0,2% pe lună din suma aflată în cont, impozit de 1% din dobândă şi acordă o dobândă de 6% pe an. Dobânda se calculează şi se acordă la fiecare 3 luni. Tot atunci se calculează şi se încasează comisionul de administrare a contului pentru fiecare din cele 3 luni şi se reţine impozitul pe dobândă. a) O persoană are 10 020 euro şi îşi deschide un cont pentru 3 luni. Ce sumă va lua de la bancă după această perioadă?
(5p)
b) Care este suma minimă pe care o persoană trebuie să o depună la bancă pentru ca după 3 luni să nu scoată mai puţin decât a depus?
(5p)
c) Ce perioadă (multiplu de 3 luni) trebuie să ţină la bancă o persoană suma de 820 euro (din care plăteşte comisionul de deschidere cont) pentru a avea profit?
(5p)
2. Marcel şi-a construit în grădină o piramidă ornamentală formată din trei bare de lemn
S
SA = SB = SC = 2 m. Pentru stabilitate a fixat punctele de sprijin A, B şi C la distanţe de 2 m, două câte două. În punctul S a legat o sfoară de care este prins
C
A
un ghiveci cu flori.
M
Lungimea sforii din S până la coş este de 1 m, iar înălţimea ghiveciului este de 20 cm.
B
a) Dacă ar dori să acopere feţele SAB, SAC şi SBC cu sticlă, care este suprafaţa acestora? (5p) b) La ce înălţime faţă de sol se află coşul?
(5p)
c) La un moment al zilei punctul S are umbra în punctul M, mijlocul lui (BC). Calculaţi lungimea umbrei sforii.
3. Recapitulare finală
(5p)
113
Testul 44
(Autor: prof. Ana Poştaru)
(Bareme la pagina 242)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 22 + 12 : 4 este egal cu ..........
(5p)
2. Dintre numerele −4,3 şi 4,3 mai mic este .......... . 3 2 6 3. Numărul x din proporţia este .......... = x 2
(5p) (5p)
4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 dm este egal cu ..........dm. 5. O prismă triunghiulară regulată dreaptă cu volumul de 30
cm3
(5p)
şi aria bazei de 10
cm2
înălţimea egală cu ..........cm.
ºC 6. În cele şapte zile ale unei 3 săptămâni au fost măsurate, la aceeaşi oră, 2 1 temperaturile şi notate în graficul alăturat. 0 −1 Conform graficului, temperatura −2 medie a săptămânii este de ..........ºC −3
are (5p)
l
ma
m
j
v
s
d
zilele săptămânii
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V şi baza (MAC). (5p) 2. Un produs costă 10 lei şi se ieftineşte cu 10%. Cât va costa după ieftinire?
(5p
3. Corina doreşte să-şi aranjeze cărţile pe rafturile bibliotecii sale. Dacă pune 30 de cărţi pe un raft, îi rămân 5 cărţi, iar dacă pune 40 de cărţi pe un raft îi rămân tot 5 cărţi.
(5p)
a) Poate Corina să aibă 65 de cărţi?
(5p)
b) Care este numărul cărţilor Corinei, dacă acesta este cuprins între 350 şi 400?
(5p)
4. Fie ecuaţia x − 3 = 5 . Verificaţi care din numerele: 8; 5; −2 sunt soluţii pentru ecuaţia dată. 5. Arătaţi că 4x2 + 4x + 3 > 0, pentru orice x Î .
(5p) (5p)
5m
x
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 10 m 1. Desenul alăturat reprezintă un parc; partea haşurată reprezintă A2 aleile, iar partea punctată spaţiul verde. a) Exprimaţi în funcţie de x A1 aria destinată spaţiului verde. (5p) b) Care este valoarea lui x astfel încât aria suprafeţei destinată spaţiului verde x să fie egală cu aria suprafeţei aleilor? (5p) c) Pentru împrejmuirea spaţiului verde se folosesc module din lemn cu lungimea de 80 cm. Calculaţi de câte module este nevoie, ştiind că x = 1,4 m. (5p) d) Calculaţi suma necesară pentru împrejmuirea întregului teren cu un gard, ştiind că x = 2 m şi preţul unui metru de gard este de 67 lei. (5p) 114
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
E
2. Pentru confecţionarea unui panou publicitar se foloseşte un cadru metalic format din pătratul ABCD şi
B
A
triunghiul dreptunghic isoscel BEC, m(E) = 90º, situate în plane perpendiculare. Ştiind că lungimea laturii pătratului este de 4 m şi pentru susţinere se unesc şi punctele E cu D şi E cu A, calculaţi:
C
D
a) Câţi metri de cadru metalic se folosesc la confecţionarea panoului? Aproximaţi rezultatul prin adaos la unităţi.
(5p)
b) Câţi metri pătraţi de pânză sunt necesari pentru „îmbrăcarea“ suprafeţelor (EDA) şi (EBC), ştiind că 1,5 m2 se pierd la tăierea şi montarea acesteia?
Testul 45
(Autor: prof. Ana Poştaru)
(5p) (Bareme la pagina 243)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul raţional care este soluţie a ecuaţiei −4 x + 1 = 5 este egal cu ..........
(5p)
2. Mulţimea divizorilor întregi ai lui 6 este D6 = {...............}.
(5p)
3. Media geometrică (proporţională) a numerelor 2 şi 8 este egală cu ......... 4. Aria unui trapez cu lungimea liniei mijlocii de 10 cm şi a înălţimii de 4 cm este de
(5p) .........cm2.
5. Un paralelipiped dreptunghic are în total un număr de ......... muchii.
(5p) (5p)
6. Partea haşurată reprezintă numărul elevilor unei clase, care au ochii căprui, partea punctată, a celor cu ochii verzi, iar cea nemarcată a celor cu ochii albaştri. Din numărul total de elevi, un procent de ......... au ochii albaştri.
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub, notat ABCDA'B'C'D'.
(5p)
2. Maria are 8 ani, iar mama ei, de patru ori mai mult. Ce vârstă avea mama Mariei, atunci când s-a născut Maria?
(5p)
3. Un grup de elevi doresc să cumpere un cadou unui coleg, cu ocazia zilei de naştere. Dacă fiecare elev pune 10 lei, mai trebuie 6 lei, iar dacă fiecare elev pune 11 lei, rămân 6 lei. a) Câţi elevi sunt în grup?
(5p)
b) Care este preţul cadoului?
(5p)
4. Un caiet costă 1,2 lei şi un pix costă 2 lei. Marius are 8 lei. Verificaţi dacă poate cumpăra cu aceşti bani 2 caiete şi 3 pixuri. Dar 3 caiete şi 2 pixuri? (5p) 5. Fie E(x) = 3x2 − 2x − 4. Arătaţi că E( 2 ) < 0.
3. Recapitulare finală
(5p)
115
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Pentru confecţionarea unor ornamente, se foloseşte o coală color pătrată cu latura de 50 cm, din care se decupează un disc de diametru maxim (desenat punctat pe figură). Concentric cu primul disc se desenează al doilea disc cu raza de 10 cm.
a) Care este deschiderea compasului la construcţia primului cerc? (5p)
b) Ce suprafaţă din coala color se pierde în urma decupării primului disc?
50 cm
(5p)
c) Calculaţi câţi metri de şnur cu mărgele se folosesc pentru a fi lipiţi pe circumferinţa celor două discuri (pentru calcule se foloseşte π = 3,14). 2. Laura doreşte să construiasă în curte un bazin pentru broscuţele ţestoase Kiki şi Riki,
(5p)
sub forma unui cilindru cu diametrul de 2 m şi adâncimea de 1 m. a) Calculaţi volumul bazinului şi verificaţi dacă se pot pune în bazin 4000 l de apă. b) Ştiind că ţestoasele au nevoie de minim 1000 l de apă, calculaţi dacă este suficient
(5p)
să se pună apă până la jumătatea bazinului. (5p) c) Pentru izolarea bazinului se cumpără folie cu lăţimea de 1,20 m, iar de pe rola de folie se taie doar un număr întreg de metri. Calculaţi câţi metri de folie trebuie cumpăraţi, ştiind că pierderile sunt de 5%?
Testul 46
(5p)
(Autor: prof. Ana Poştaru)
(Bareme la pagina 244)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 2 6 (5p) = este egal cu ......... . x 9 2. Cel mai mic multiplu comun pentru numerele 12 şi 15 este ......... . (5p) 3. Într-o clasă sunt 30 de elevi dintre care 20% sunt fete. Numărul fetelor este ......... . (5p) 4. Un dreptunghi are lungimea de 14 cm şi perimetrul de 36 cm. Lăţimea dreptunghiului este ........ (5p) 5. Un cub are un număr de ......... feţe. (5p) 1. Numărul x din proporţia
6. Rezultatele testului la biologie sunt notate în tabelul de mai jos. Media clasei este egală cu ........(5p) nr. de elevi 2 3 5 2 4 3 1 nota
10 9
8
7
6
5
4
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH, una dintre baze fiind ABCD. (5p) 2. Ioana şi-a cumpărat 4 caiete cu 2 lei caietul. Ce rest a primit dacă a plătit la casă cu o bancnotă de 10 lei? (5p) 3. Un elev citeşte dintr-o carte în 4 zile în felul următor: începând cu ziua a doua, citeşte dublul numărului de pagini citite în ziua precedentă. a) Câte pagini a citit în cele 4 zile, dacă a doua zi a citit 28 de pagini? (5p) b) Câte pagini are cartea ştiind că numărul acestora trebuie să fie multiplu de 16, mai mic decât 240? (5p) 116
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
4 4. Fie mulţimea A = − ; 2; −3;0;5π ;10 . Specificaţi care dintre elementele mulţimii A 5 sunt numere raţionale. (5p) 5. Fie f : → , f(x) = 2x − 1, g : →, g(x) = −3x şi h: → , h(x) = 4. Verificaţi care dintre reprezentările grafice ale funcţiilor de mai sus conţin originea sistemului de axe. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. C 1. Curtea lui Cristi are formă dreptunghiulară, D AD = 6 m şi a fost amenajată în felul următor: bazin de apă sub formă de semicerc cu diametrul EF = 6 m, gazon pe porţiunea haşurată (AE = FB = 3 m), în spaţiul rămas punându-se pietriş şi două bănci. A B 3m E 6m F 3m (Pentru calcule se ia π = 3,14.) a) Calculaţi aria suprafaţei alocate bazinului. (5p) 2 b) Aflaţi preţul plătit pentru semănarea gazonului, ştiind că pentru 1 m costul este de 20 lei. (5p) c) Calculaţi aria suprafeţei amenajate cu pietriş. (5p) d) Câţi metri de gărduleţ decorativ trebuie cumpărat pentru împrejmuirea bazinului, ştiind că nu se vând decât număr întreg de metri? (5p) 2. Pentru amenajarea unei minisere, Miruna îşi cumpără un vas de sticlă în formă de prismă hexagonală regulată dreaptă, cu latura bazei de 40 cm şi muchia laterală de 30 cm. a) Calculaţi suprafaţa pe care Miruna o are la dispoziţie, pentru fixarea plantelor. (5p) b) La achiziţionarea plantelor, Miruna este sfătuită ca pentru fiecare plantă să asigure un volum de cel puţin 2000 cm3 de aer. Care este numărul maxim de plante pe care le poate achiziţiona?
Testul 47
(Autor: prof. Ana Poştaru)
(Bareme la pagina 245)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 13 1. Fie fracţia . În urma scoaterii întregului din fracţie se obţine ......... . 5 2. Dintre numerele 2 3 şi 2 5 , mai mic este ......... . 3. Media aritmetică a numerelor 14 şi 4 este ......... . 4. Dacă perimetrul unui pătrat este 24 cm, atunci aria acestuia este de ......... cm2. 5. O piramidă patrulateră regulată care are lungimea înălţimii de 9 cm şi lungimea laturii bazei de 5 cm, are volumul de ......... cm3. 6. În tabelul de mai jos sunt notate cele opt familii ce locuiesc într-un bloc şi numărul de copii ai fiecărei familii. Numărul familiilor care au cel puţin doi copii este ........ . F 1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 familia nr. de copii
2
−
3
(5p)
1
2
−
−
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
4
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată dreaptă cu bazele notate DANI şi RELU.
(5p)
3. Recapitulare finală
117
2. Alexandra are 54 lei şi mai primeşte de la mama sa 40 lei. Câte CD-uri, cu 29 lei bucata, poate să-şi cumpere Alexandra cu suma pe care o deţine? (5p) 3. Un automobil parcurge un traseu în trei zile în felul următor: în prima zi 30% din traseu, a doua zi 50 % din traseu, iar a treia zi restul de 52 km. a) Ce procent din drum a parcurs a treia zi? (5p) b) Care este lungimea drumului? (5p) 4. Un elev are la fizică notele: 6; 6; 9. Verificaţi dacă o notă de 9 l-ar ajuta pentru mărirea mediei. (La această disciplină, elevul nu dă teză). 2 x −1 5. Arătaţi că fracţia x + 2 x − 3 , în urma simplificării, devine , unde x Î \ {−3}. 2 x+3 x + 6x + 9
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. B A 1. Grădina bunicilor are forma din figura alăturată,
30 cm
ABCDE, partea haşurată fiind destinată unui foişor x pentru depozitarea diverselor obiecte de grădinărit, restul (ABDE) pentru cultura de legume. C a) Dacă BC = x, exprimaţi perimetrul grădinii ABCDE. (5p) b) Pentru x = 40 m, calculaţi aria suprafeţei destinate E D efectiv culturii, ştiind că 10% din suprafaţă este ocupată de cărări (alei). (5p) 2 c) Dacă pe 40% din suprafaţa destinată culturii se seamănă ardei, iar pe 1 m se investesc 10 lei şi se obţin 16 lei, calculaţi profitul obţinut pe cultura de ardei. (5p) 2. Nemulţumit de oferta din magazine, Andrei se hotărăşte să îşi construiască un acvariu mai mare, sub forma unui paralelipiped drept cu L = 60 cm, l = 40 cm şi h = 30 cm, ca în figura alăturată. a) La confecţionarea capacului, dimensiunile cm 0 4 acestuia trebuie să fie cu un centimetru mai mari 60 cm (ca să nu cadă în acvariu!). Calculaţi aria capacului. b) Calculaţi volumul paralelipipedului. c) Calculaţi nivelul la care se ridică apa în acvariu, dacă se pun 60 l de apă.
Testul 48
(Autor: prof. Ana Poştaru)
(5p) (5p)
(5p)
(Bareme la pagina 246)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. 20% din 100 este egal cu ......... . (5p) 2. Multiplii lui 7, mai mici decât 20 sunt ......... . (5p) 3. Numerele naturale care verifică 3 x + 1 ≤ 7 sunt ......... . (5p) 4. Un triunghi dreptunghic are măsura unuia din unghiurile ascuţite de 40º. Măsura celuilalt unghi ascuţit este egală cu ......... . (5p) 2 5. Aria laterală a unei prisme patrulatere regulate drepte este de 20 cm . Aria unei feţe laterale este egală cu ......... cm2. (5p) 118
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
6. În tabelul alăturat sunt prezentate încasările unui vânzător de produse lactate în 5 zile lucrătoare.
ziua încasări (lei)
I
II
III
IV
V
120
100
140
90
115
Cât a încasat în medie pe zi?
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub şi haşuraţi bazele.
(5p)
2. Într-o clasă sunt 15 băieţi. Numărul fetelor reprezintă 60% din numărul băieţilor. Câţi elevi sunt în clasă?
(5p)
3. Un elev are la matematică, la oral, notele 6; 7; 7; 9 şi în teză nota 8. a) Calculaţi media semestrială a elevului.
(5p)
b) Verificaţi dacă încă o notă de 8 la oral i-ar mări acestuia media.
(5p)
4. Verificaţi care dintre numerele −3; 0; 4; 1,5 sunt soluţii ale inecuaţiei 3x − 2 > 1.
(5p)
5. Arătaţi că intersecţia reprezentărilor grafice ale funcţiilor f : → , f(x) = x − 1 şi g : → , g(x) = 2x − 3 este punctul de coordonate (2; 1).
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Familia Ionescu doreşte să-şi renoveze căsuţa de vacanţă, aceasta fiind reprezentată în desenul alăturat printr-un paralelipiped dreptunghic, iar acoperişul printr-o prismă a) Calculaţi aria suprafeţei ce trebuie zugrăvită ştiind că dimensiunile uşii sunt 2,2 m şi 2 m, iar cele trei
3m
triunghiulară regulată dreaptă.
geamuri identice au dimensiunile de 1,2 m şi 1,5 m. (10p)
8m
4m b) Care este costul zugrăvitului dacă pentru 1 m2 se plătesc 35 lei?
(5p)
c) Calculaţi de câte ţigle este nevoie pentru schimbarea acoperişului ştiind că pe 1 m2 intră, în medie, 24 de bucăţi. (Suprafeţele haşurate sunt placate cu lemn.)
(5p)
d) Pentru cumpărarea unui cazan de încălzire centrală trebuie să se cunoască volumul spaţiului încălzit. Calculaţi acest volum, ştiind că o încăpere a casei, având formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 1,5 m; 2 m şi 2,5 m, nu este încălzită.
(5p)
e) Calculaţi câte bucăţi de grinzi sunt necesare la acoperiş pentru a le înlocui pe cele vechi, ştiind că ele se vând la bucăţi de 4,5 m liniari (grinzile ce trebuie înlocuite la acoperiş reprezintă toate muchiile prismei).
3. Recapitulare finală
(5p)
119
Testul 49
(Autor: prof. Doina Moldoveanu)
(Bareme la pagina 247)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 330 : 33 : 10 · 2 este .......... .
(5p)
2. Din vânzarea a 350 kg de mere de acelaşi fel s-au obţinut 700 lei. Preţul unui kilogram de mere este egal cu .......... lei.
(5p)
3. Soluţia reală a ecuaţiei 7 – x = 4 este x = .......... 4. Rezultatul calculului
2 ⋅ 3 : 6 este egal cu .......... .
(5p) B 10%
(5p)
5. Diagrama reprezintă procentele corespunzătoare situaţiilor A, B, C. Situaţiei D îi corespunde ..........%. 6. Aria unei feţe a unui cub este de 9 este egală cu
..........dm2.
dm2. Aria
(5p)
totală a cubului
A 30%
(5p)
C
40%
D
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Câte case sunt pe partea dreaptă a unei străzi dacă numerele sunt de la 2 la 48, fiecare casă are un număr şi nu sunt numere dublate (spre exemplu, nu există numărul 8 bis)? 2. Aflaţi elementele mulţimii: A = {x Î | −3 < x + 2 ≤ 4}.
(5p) (5p)
3. Calculaţi preţul mediu pentru un kilogram de fursecuri dacă se amestecă două kilograme de fursecuri care costă 10 lei kilogramul cu trei kilograme de fursecuri care costă 12 lei /kg?
(5p)
Verificaţi care dintre elementele mulţimii {2; 3; 5} este soluţie pentru ecuaţia x2 − 7x + 10 = 0.
(5p)
a) măsura unghiului ADC şi măsura unghiului CMB;
(5p)
b) perimetrul patrulaterului AMCD.
(5p)
4. 5. Un trapez isoscel ABCD are bazele AB = 12 cm şi DC = 6 cm, iar m(DAB) = 60º. Dacă M este mijlocul segmentului [AB], calculaţi:
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Măsurile unghiurilor A, B, C, D ale patrulaterului convex ABCD sunt direct proporţionale cu numerele 1, 2, 5 şi 4. Dacă M este mijlocul segmentului [AB], unde AB = 12 cm şi CM ||AD, aflaţi: a) măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD;
(5p)
b) dacă m(A) = 30º, m(B) = 60º şi m(C) = 150º, calculaţi aria triunghiului MBC;
(5p)
c) în aceleaşi condiţii, calculaţi aria patrulaterului DCMN, unde N Î (AD), MN ^ AD.
(5p)
2. Cutia de lapte pe care o primesc elevii la şcoală are forma unui tetraedru regulat ABCD cu latura de 8 2 cm. a) Desenaţi tetraedrul regulat ABCD.
(5p)
b) Calculaţi aria totală a cutiei, precum şi suprafaţa cartonului folosit pentru confecţionarea ei, ştiind că la îmbinare se foloseşte 10% din suprafaţa totală a cutiei. c) Calculaţi volumul cutiei precum şi cantitatea de lapte din ea când este plină. 120
(5p) (5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 50
(Autor: prof. Doina Moldoveanu)
(Bareme la pagina 248)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 250 mai mic decât 700 este .......... . (5p) 2. Scris cu cifre, numărul două sute trei mii este .......... . (5p) 3. Un lot agricol în formă de dreptunghi are dimensiunile de 200 m, respectiv 400 m. Exprimată în m2, aria sa este egală cu .......... . (5p) 4. Dacă măsura unui unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic este de 40º, măsura celuilalt unghi ascuţit este de ..........º . (5p) 5. Rezultatul calculului 7 · (8 − 2) este egal cu .......... . (5p) 6. O maşină, care merge cu viteza constantă de 80 km/h, va străbate în două ore şi jumătate ..........km.
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' . (5p) 2. Un produs costă 200 lei. Cât va costa acest produs după o scumpire cu 15%? (5p) 3. Dacă la suma de bani pe care o are fiecare elev dintr-o clasă se adaugă încă 2 lei, se obţine relaţia funcţională dată de formula f(x) = x + 2. Reprezentaţi grafic această funcţie ştiind că suma cea mai mică pe care o avea unul dintre elevi era de 1 leu, iar cea mai mare era de 7 lei. (5p) 4. a) Efectuaţi înmulţirea (3x − y) · (y + 3x). (5p) x+6 b) Rezolvaţi, în mulţimea numerelor naturale, inecuaţia x − 2 ≤ . (5p) 3 5. Secţiunea diagonală într-un paralelipiped dreptunghic este un pătrat cu latura de 6 cm. Calculaţi volumul paralelipipedului dacă baza este tot pătrat.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În centrul O al dreptunghiului MATE cu AT = a şi m(AOT) = 60º, se ridică perpendiculara a 3 OD = pe planul său. 2 a) Calculaţi distanţa de la D la A. (5p) b) Aflaţi măsura unghiului format de planul (DAT) cu planul dreptunghiului.
(5p)
c) Arătaţi că planul (SET) este perpendicular pe planul (DON), unde N este mijlocul segmentului [MA], iar S un punct oarecare din spaţiu, S Ï ET.
(5p)
d) Demonstraţi că planele (NOB) şi (MED) sunt paralele, B fiind mijlocul lui [DT]. 2. Figura alăturată reprezintă o prăjitură tăiată în 10 felii egale în formă de paralelipiped dreptunghic. Suprafaţa unei felii are dimensiunile de 10 cm şi respectiv 6 cm.
(5p)
Dacă o felie de prăjitură cântăreşte 210 g, folosind relaţia 1 dm3 = 1 kg, aflaţi: a) volumul prăjiturii; b) înălţimea prăjiturii; 3. Recapitulare finală
(5p) (5p) 121
Testul 51
(Autor: prof. Doina Moldoveanu)
(Bareme la pagina 248)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia reală a ecuaţiei x − 7 = 0 este .......... .
(5p)
2. Un elev are 12 creioane colorate, iar colegul său are cu 8 creioane mai puţin. Colegul său are .......... creioane.
(5p)
3. Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Perimetrul său este egal cu .......... cm.
(5p)
4. De la ora 10 şi 10 minute, până la ora 11 trec ..........minute.
(5p)
5. Un autoturism parcurge o distanţă în 2 ore. Dacă păstrează aceeaşi viteză şi nu se opreşte din drum, parcurge o distanţă de trei ori mai mare decât prima în .......... ore.
(5p)
6. Dacă un elev de gimnaziu are, la chimie, pe semestrul întâi, notele: 7, 8, 10, 7, atunci media semestrială va fi .......... .
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi şi notaţi o piramidă triunghiulară regulată de vârf T şi bază EZA.
(5p)
2. Citind oferta „cumperi un produs, al doilea îl plăteşti la jumătate de preţ“ şi ştiind că reducerea se aplică produsului mai ieftin, cât va plăti o persoană care vrea să cumpere un produs de 160 lei şi unul de 120 lei?
(5p)
3. Mama cumpără copiilor săi 40 de napolitane, iar bunica le cumpără 28 de batoane de ciocolată. Ştiind că aceste dulciuri se împart în mod egal copiilor, câţi copii pot fi în acea familie? 4. Un dreptunghi ABCD are laturile AB = 4 cm şi BC = 6 cm. Calculaţi aria şi perimetrul
(5p)
dreptunghiului.
(5p)
5. Se consideră funcţia f : → , f(x) = (a + 1) · x + 5, unde a este un număr real. a) Aflaţi valorile lui a pentru care punctul A(a; 25) aparţine graficului funcţiei f.
(5p)
b) Pentru a = 4, reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de axe perpendiculare xOy. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul echilateral ABC, punctele M şi P sunt mijloacele laturilor[AB], respectiv [AC]. Dacă AB = 4 cm, calculaţi: a) aria triunghiului ABC;
(5p)
b) aria triunghiului BMP.
(5p)
2. În cubul ABCDA'B'C'D', punctul M este mijlocul segmentului [BC] şi A'M = 9 cm. a) Arătaţi că lungimea segmentului [AB] este egală cu 6 cm. b) Calculaţi aria totală a piramidei triunghiulare regulate A'C'BD.
(5p)
(5p)
c) Fie P mijlocul segmentului [A'B']. Demonstraţi că dreapta D'P este perpendiculară pe planul (AA'M).
(5p)
d) Stabiliţi poziţia dreptelor MQ şi PN, unde M şi P sunt punctele folosite anterior, iar N şi Q sunt mijloacele segmentelor [DC], respectiv [A'D']. 122
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 52
(Autor: prof. Doina Moldoveanu)
(Bareme la pagina 249)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. A treia parte dintr-o oră are .......... minute.
(5p)
2. Se consideră funcţia f : → , f(x) = 2x + 3. Valoarea funcţiei pentru x = 2 este .......... . (5p) a 3 3. Valoarea numărului a din proporţia = este .......... . (5p) 6 2 4. Scris ca produs de două numere naturale, numărul 115 este egal cu .......... . (5p) 5. Latura unui lot agricol în formă de pătrat este de 200 m. Gardul care va înconjura acest teren va avea o lungime de .......... m.
(5p)
6. Cel mai mic număr natural nenul care se poate împărţi exact la 2 şi la 15 este .......... . (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cerc de centru O şi rază r, diametrul [AB], raza [OC] şi o coardă MN < AB. 2. Într-o cutie sunt 24 bile albe şi negre. Dacă probabilitatea de a extrage o bilă albă este
(5p) 1 , 6
câte bile albe sunt în cutie?
(5p)
3. Suma vârstelor a doi fraţi este 19. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 29?
(5p)
4. Perimetrul unui lot de pământ este de 1232 m. Câţi lei va costa gardul care înconjoară terenul, dacă se folosesc două rânduri de sârmă şi un metru liniar de sârmă costă 0,20 lei?(5p) 5. Fie expresia E(x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1, unde x este număr real. a) Calculaţi valoarea expresiei E(x) pentru x = 1.
b) Fie N = x4 − 2x3 + x2. Arătaţi că N ≥ 0 pentru orice x număr real.
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Numărul a reprezintă 60% din numărul b.
a) Demonstraţi că a şi b sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi respectiv 3.
(5p)
b) Aflaţi a şi b, ştiind că 2a + 5b = 310.
(5p)
2. Fie prisma dreaptă ABCA'B'C', cu baza ABC triunghi echilateral. Latura bazei are lungimea de 24 cm şi înălţimea prismei are lungimea de 12 cm. a) Desenaţi prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral ABCA'B'C'.
(5p)
b) Calculaţi aria totală a prismei.
(5p)
c) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (A'BC).
(5p)
d) Calculaţi valoarea sinusului măsurii unghiului format de dreptele AB' şi A'C.
(5p)
3. Recapitulare finală
123
Testul 53
(Autor: prof. Doina Moldoveanu)
(Bareme la pagina 251)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Calculând (0,42 + 1,78) : 2 se obţine .......... . (5p) 2. Un sfert din suma 784 lei reprezintă .......... lei. (5p) 3. Dacă o pâine costă 1,50 lei, patru pâini de acelaşi fel vor costa .......... lei. (5p) 4. Calculând 1,5% din 200 se obţine .......... . (5p) 5. Curtea şcolii are formă de dreptunghi. Dacă lungimea este de 50 m şi lăţimea este de 30 m, lungimea gardului care o înconjoară este de .......... m. (5p) 6. La teză se pot lua note de la 1 la 10. Probabilitatea ca un elev să nu ia mai puţin de nota 8 este .......... .
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic notat ALGEBRIC şi puneţi în evidenţă pe desen o secţiune diagonală. (5p) 2. a) Arătaţi că (2x − 1)(3 + x) = 2x2 + 5x − 3. (5p) 2 2 2 b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2(x − 2) −3(x + 1) = −3x −19x + 8. (5p) 3. Un autoturism parcurge o distanţă de 150 km în două ore. Cu ce viteză medie a mers? 4. În desenul alăturat este reprezentat graficul unei funcţii liniare f. a) Determinaţi funcţia f.
(5p)
b) Care este valoarea funcţiei pentru x = 3?
(5p)
5. Un frigider costa 1500 lei. După o reducere de preţ, frigiderul se vinde cu 1200 lei. Cu câte procente s-a redus preţul frigiderului? (5p)
6 5 4 3 2 1
(5p) B
A 1 2 3 4 5
0
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul dreptunghic ABCD, AD || BC, AD < BC şi m(A) = 90º, perpendiculara d pe latura [DC] în mijlocul ei E, intersectează pe BC în punctul F, care este mijlocul lui [BC], DC = 20 cm, AD = 9 cm, AB = 12 cm.
a) Arătaţi că BD ^ DC. b) Calculaţi aria trapezului ABCD.
(5p)
c) Calculaţi aria triunghiului FCE.
(5p)
a) aria laterală a piesei;
(5p)
b) volumul piesei;
(5p)
c) masa piesei dacă densitatea oţelului este
124
70 cm
50 cm
70
cm
(5p)
100 cm
70
Respectând dimensiunile indicate, calculaţi:
cm
cm 20 0
2. În figura alăturată este reprezentată o piesă din oţel.
ρ = 7,8 t/m3 şi m = ⋅ρ .
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 54 (Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 252)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.
Numărul de probleme
1. Rezultatul calculului 3 · (–4) + 2 este egal .......... (5p) 2. Complementul unghiului 34°15' este egal cu ........... (5p) 3. Un triunghi echilateral cu latura de 8 cm are înălţimea egală cu .......... cm. (5p) 4. Aria totală a unui cub este de 192 cm2. Latura cubului este egală cu .......... cm. (5p) 5. Soluţia ecuaţiei 4x – 8 = 12 este egală cu .......... (5p) 6. Un grup de prieteni au rezolvat fiecare un număr de probleme de matematică. Numărul de probleme este trecut în graficul de mai jos. În total au rezolvat .......... probleme. (5p) 10 8 7 5 3 Ana
Ioana
Alex
Dana
Doru
Grupul de prieteni
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă triunghiulară regulată MNPM'N'P'. (5p) 2. Dorel are într-un clasor 252 de timbre. Dintre acestea o treime i le dă colegei sale Irina. Câte timbre îi mai rămân lui Dorel? (5p) 3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 2, 3 şi respectiv 5 şi diferenţa dintre numărul cel mai mare şi cel mai mic este 36. a) Aflaţi numărul mijlociu. (5p) b) Ce procent reprezintă numărul cel mic din cel mare? (5p) 4. Se consideră ecuaţia (x + 2)2 – 9 = 0. Verificaţi dacă x = 1 şi x = –5 sunt soluţiile acestei ecuaţii. (5p) 5. Arătaţi că: x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3 – y)(x + 3 + y), pentru orice y număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat un teren ABC, în care avem: m( A) = 90°, AC = 6 3 m, AB = x (x este o distanţă exprimată în metri).
A
C
x
O R
3. Recapitulare finală
B
125
a) Exprimaţi, în funcţie de x, aria suprafeţei ABC. (5p) b) Dacă O este mijlocul laturii [BC], arătaţi că suprafaţa terenului AOC este egală 3x 3 cu . (5p) 2 c) Aflaţi x ştiind că triunghiul AOB are toate laturile egale. (5p) d) Dacă x = 6 şi notăm cu R piciorul perpendicularei din A pe BC, atunci aflaţi de câte ori este mai mare suprafaţa lui ARC faţă de suprafaţa lui ABR. (5p) C 2. Figura alăturată reprezintă un bazin care are M O forma unei piramide triunghiulare regulate ABCD D B în care înălţimea bazinului este AO = 4 dm, iar înălţimea unei feţe laterale a bazinului este AM = 5 dm. a) Aflaţi suprafaţa totală a piramidei. (5p) b) Dacă bazinul se umple cu apă, atunci încap în el 61l de apă? Justificaţi.(5p) A
Testul 55
(Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 253)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie x = 2 + 3 şi y = 3 . Atunci x – y este egal cu .......... 2. 12 % din 25 este egal cu .......... 3. Un triunghi are două unghiuri de 80° şi 45°. Cel de-al treilea are măsura de .......... 4. Dacă MN = 8 cm şi măsura unghiului format de dreapta MN cu planul α este de 60°, atunci lungimea proiecţiei segmentului MN pe planul α este egală cu ..........cm. 81x 2 − 64 y 2 5. După simplificare, fracţia devine .......... 9x − 8 y 6. 250 de elevi fac parte dintr-un club sportiv. Numărul de elevi care au performanţe în acest an este reprezentat în diagrama alăturată. Conform diagramei numărul celor care nu au obţinut performanţe sportive în ultimul an este ........... (5p)
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
12 elevi baschet
nu au performanţe
4 elevi înot 52 elevi atletism
12 elevi gimnastică
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată VABCD. (5p) 2. Un vânzător vinde o ladă cu mere care conţine 40 kg şi încă o lădiţă care are de 5 ori mai puţin. Câte kg de mere vinde vânzătorul? (5p) 3. Aflaţi toate numerele naturale mai mici decât 1100 care împărţite cu 24; 30 şi 18 dau de fiecare dată restul 7. a) Verificaţi dacă numărul 1087 îndeplineşte condiţiile date. (5p) b) Determinaţi numerele care au această proprietate. (5p) 126
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
4. Determinaţi funcţia f : → , f(x) = ax + b unde a, b є , care trece prin punctele A(–2; –4) şi B(1, 5). 5. Arătaţi că x3 + 2x2 – x – 2 = (x + 2)(x – 1)(x + 1), pentru orice x număr real.
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O cameră avea forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 10 m B E A AD = 7 m. Se măresc dimensiunile camerei cu BE = DG = x m. D C a) Care este perimetrul noii camere formate AEFG F G (în funcţie de x)? (5p) b) Determinaţi suprafaţa pardoselii AEFG. (5p) c) Aflaţi valoarea lui x ştiind că distanţa GE = 15 m. (5p) d) Se consideră BE = 2 m. O persoană doreşte să cumpere vopsea albă pentru suprafaţa pardoselii ABCD şi vopsea crem pentru pardoseala BEFGDC. Care este preţul pe care îl va da persoana pe vopsea ştiind că 1 l de vopsea costă 11 lei şi se ocupă o suprafaţă de 10 m2. (5p) 2. Figura alăturată reprezintă schematic un depozit sub forma unui paralelipiped C' dreptunghic ABCDA'B'CD'. Unghiul dintre dreapta D'B D' şi planul (ABC) are măsura de 30°, BC = 5 m, 10 A' B' iar înălţimea DD' = 10 m. a) Aflaţi aria totală a paralelipipedului dreptunghic. (5p) D C b) Verificaţi dacă distanţa de la C la dreapta 30° 5 AC' este de 5 3 m. (5p) A B
Testul 56
(Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 254)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 este egal cu .......... 3 2. Fie mulţimile A = {2, 5, 8, 10} şi B = {10, 2, 8}. Mulţimea A \ B este egală cu ......... 3. Cel mai mic număr întreg par de trei cifre este ........... 4. Lungimea unui cerc este de 12π cm. Atunci raza cercului este egală cu .......... cm. 5. Diagonala unui cub este de 15 6 cm. Atunci latura cubului este egală cu .......... cm. 6. În figura alăturată este reprezentat graficul unei funcţii y liniare. Conform reprezentării grafice, punctul C are ) ;2 coordonatele .......... (5p) –1 1. Rezultatul calculului (−1 − 3 − 5 + 2 + 4 + 6 ) :
B(
A(–3; 0)
3. Recapitulare finală
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
C
O
x
127
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'.
(5p)
2. Fetele care fac parte din clasa a VIII-a C sunt 7, iar băieţi sunt de trei ori mai mulţi decât fetele. Câţi elevi are clasa a VIII-a C?
(5p)
3. Preţul unei bluze este de 25 lei. După o ieftinire cu 20%, urmată de o scumpire, noul preţ este de 23 lei. a) Aflaţi cât costă bluza după ieftinire.
(5p)
b) Determinaţi procentul de scumpire a bluzei. 1 4. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = x − 4 . Determinaţi a, ştiind că A(a; 2a – 13) 2 aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei.
(5p)
5. Se consideră numerele: x = 4 − 2 3 şi y = 4 + 2 3 . Arătaţi că (x + y)2 = 12.
(5p)
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren
C
B
agricol ABCD, trapez isoscel cu: AB = BC = CD = 10 dam, AD = 22 dam, CN ⊥ AD , CN = 8 dam, MN = x. a) Determinaţi, în funcţie de x, suprafaţa terenului CMD. (5p) b) Arătaţi că suprafaţa ABCN este de 104 dam2.
(5p)
A
M
D
N
c) Aflaţi x, ştiind că ABCM este romb.
(5p)
d) Dacă terenul va fi înconjurat cu un gard de sârmă, acesta fiind susţinut de stâlpi de lemn care se află la distanţa de 2 m unul faţă de celălalt. Aflaţi cât costă investiţia, ştiind că sârma se vinde cu preţul de 5,5 lei/m, iar costul unui stâlp este de 12 lei.
(5p)
2. În figura alăturată este reprezentat schematic un cort. V
VABCD piramidă patrulateră regulată cu VAC triunghi echilateral VA = 6 2 m. a) Calculaţi suprafaţa laterală a cortului.
P
(5p)
b) Dacă P este mijlocul [AV], aflaţi distanţa de la P la planul (VBD).
128
D
C O
(5p)
A
B
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 57
(Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 255)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 32 : 4 + 6 este egal cu ..........
(5p)
2. Inversul numărului 7 este ..........
(5p)
3. 6 robinete umplu un bazin în 2 ore. Dacă se închid două robinete, atunci cele 4 robinete rămase umplu acelaşi bazin în ..........
(5p)
4. Dacă lungimea unui dreptunghi este de 10 cm şi lăţimea de 2 cm, atunci aria dreptunghiului este egală cu ..........cm2.
(5p)
5. Volumul unei piramide patrulatere cu latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 9 cm este egală cu ..........cm3.
(5p)
6. Mediile generale ale unei clase de elevi sunt reprezentate în graficul de mai jos. Câţi elevi au
număr de elevi
media generală mai mare sau egală cu 8?
(5p)
9 7 5 2 6-6,99
7-7,99 8-8,99
media generală
9-9,99
10
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'.
(5p)
2. În două depozite de află 500 t de porumb. Ştiind că în primul depozit se află de 4 ori mai mult porumb decât în cel de-al doilea, aflaţi cantitatea de porumb din depozite.
(5p)
3. Suma a două numere naturale este 48, iar cel mai mare divizor comun al celor două numere este 6. a) Aflaţi cele două numere care îndeplinesc condiţiile.
(5p)
b) Verificaţi dacă raportul celor două numere poate fi 7.
(5p)
4. Fie funcţia f : {–2; 0; 1; 5} → , f(x) = |x – 2|. Reprezentaţi grafic funcţia.
(5p)
5. Arătaţi că
(x − 3)2 + 2 (x − 3) + 1 2
x −4
3. Recapitulare finală
=
x−2 , pentru x ∈ − {±2} . x+2
(5p)
129
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este reprezentat schematic un teren
E
A
C
agricol de forma ABCD şi o suprafaţă de păşune ADC. Ştim că AC = 200 dam şi DB = 40 dam, iar ED = x. a) Aflaţi, în funcţie de x, suprafaţa păşunii ACD.
(5p)
b) Determinaţi suprafaţa terenului agricol ABCDA.
(5p)
D
c) Dacă E este mijlocul lui (AC), iar m( EAD) = 60°, determinaţi valoarea lui x.
B
(5p)
d) Ştiind că pe terenul agricol se cultivă grâu, iar recolta de grâu a fost de 3000 kg/ha, aflaţi câte tone de grâu s-au recoltat.
(5p)
2. Un foraj marin este ilustrat schematic în figura de mai
B
jos. VABCD este o piramidă patrulateră regulată iar (MNP) || (ABC). Dacă AC = 30 8 m; MP = 10 8 m,
A
D
iar O'O = 18 m. a) Determinaţi aria trapezului ACPM.
N
(5p)
cu ciment.
Testul 58
O'
M
b) Aflaţi volumul VMNPQ, ştiind că acesta va fi umplut
C
O
P
Q
(5p)
V
(Autor: prof. Nadia Bărbieru)
(Bareme la pagina 256)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: (–2)0 + (–1)3 · 5 este egal cu..........
(5p)
2. Media aritmetică a numerelor a = 8 − 3 şi b = 6 + 3 este ..........
(5p)
3. Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + 1 < 5x – 3 este ..........
(5p)
4. Suplementul unghiului de 70° este egal cu .......... 5. Volumul unui cub este egal cu 216
cm3. Aria
(5p)
totală a cubului este egală cu ..........
cm2.
(5p)
6. Într-un depozit s-a adus marfă, astfel încât depozitul a fost plin. Conform diagramei, procentul de smochine din cantitatea de marfă reprezintă ..........%
(5p)
28% pere
42% mere
ne 26% sm portocale hi
oc
Cantitatea de marfă
130
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi cubul ABCDA'B'C'D'. 2 2. Un turist parcurge un drum în două etape. În prima etapă a parcurs din drum, iar în 3 ultima etapă a parcurs 150 km. Aflaţi lungimea drumului.
(5p) (5p)
3. a) Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că: 3a + 2b = 5b − a + 27 .
{
b) Fie mulţimea A = − 27;
3
256; 0, 4; 2 ;
(5p)
}
5; 8, 4(3) .
Aflaţi elementele mulţimii B = {x | x є A, x є – }. 1 4. Fie funcţia f : → , f ( x) = 2 x − . Calculaţi f(1) + f(2) + f(3) + ....+ f(10). 5
(5p)
5. Arătaţi că x4 – 256 = (x – 4)(x + 4)(x2 + 16).
(5p)
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un triunghi este reprezentat în figura alăturată. A
Avem: BC = 8 cm, m( BAC) = 90°, m( ABC) = 60°, AD ⊥ BC . a) Aflaţi lungimile laturilor AB şi AC.
(5p)
b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
(5p)
c) Dacă DE || AB, E є (AC), aflaţi CE.
(5p)
B
C
D
d) Aflaţi raportul dintre aria suprafaţei ADC şi aria suprafeţei ABC. (5p) A'
2. În figura alăturată, ABCA'B'C' este un trunchi de piramidă
M' O' B'
triunghiulară regulată cu O ′C ′ = 2 3 dam, OC = 3 3 dam, CC ′ = 7 3 dam. a) Aflaţi suprafaţa laterală a trunchiului.
(5p)
b) Calculaţi volumul ABCA'B'C'.
(5p)
C'
A O
M
C
B
3. Recapitulare finală
131
Testul 59
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 257)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: (216 : 2 – 23) · 4 este egal cu .......... (5p) 2. După o reducere cu 10%, preţul unei cărţi a devenit 27 lei. Preţul iniţial a fost .........lei. (5p) 3. Fie mulţimile A = {1; 4; 7} şi B = {0; 4; 7}. Mulţimea A ∩ B = {.........}. (5p) 4. Un cerc are diametrul de 20 cm. Lungimea cercului este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un zar are muchia de 8 mm. Aria laterală a zarului este egală cu .......... mm2. (5p) 6. Un canal plin cu apă este mărginit de dreptele paralele d şi d'. Acest canal este traversat de un pod p ca în figura de mai jos. Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Unghiurile 1 şi 7 sunt congruente“ este ......... (5p) 1 7
d d'
p
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază ABC. (5p) 2. Ce notă trebuie să obţină un elev la istorie, dacă el are deja o notă de 5 şi una de 6 şi doreşte să aibă media 7? (5p) 3. Pentru a face înconjurul unei grădini pătrate, o persoană are nevoie de 12 minute. Aceasta face 100 de paşi pe minut. Lungimea unui pas este egală cu 50 cm. a) Aflaţi perimetrul grădinii. (5p) b) Care este suprafaţa grădinii? (5p) x4 − 5x2 + 4 reprezintă un număr natural, oricare ar fi x natural mai 4. Arătaţi că raportul x3 − 2 x 2 − x + 2 mare decât 2. (5p) 5. Fie f : → , f(x) = –3x + 4. Aflaţi punctul de pe grafic ale cărui coordonate sunt numere opuse. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. . 1. Se consideră trapezul isoscel ABCD, AB || CD, [AD] ≡ [DC] ≡ [CB], CB = 5 cm, m( A) = 60° a) Arătaţi că AC ⊥ BC . b) Dacă M este mijlocul laturii [AB], arătaţi că ADCM este romb şi DM ⊥ AC . c) Dacă AD ∩ BC = {P}, calculaţi perimetrul triunghiului PAB. 2. Dintr-o prismă de metal, triunghiulară regulată, cu latura bazei de 3 dm şi înălţimea de 6 dm, se scoate o piramidă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime cu prisma. Din metalul rămas se toarnă, prin topire, o nouă prismă triunghiulară regulată cu înălţimea de 1 dm. a) Aflaţi volumul prismei de metal. (5p) b) Calculaţi volumul piramidei care se scoate. (5p) c) Determinaţi lungimea laturii bazei prismei noi obţinute. (5p) 132
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 60
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 258)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.
(
)
1. Rezultatul calculului: 18 - 50 : (2 2 ) este egal cu .......... 2. 3 dm3 = ..........l. 6a a 3. Dacă = 9 , atunci are valoarea .......... 2b − a b 4. Un triunghi isoscel ABC are m( ABC) = 30° şi [AB] ≡ [AC]. Măsura unghiului BAC este egală cu ..........°. 5. Rezultatul calculului: 18 - 50 : 2 2 este egal cu .......... C D 6. Într-o grădină, terenul este împărţit în 2 parcele: una în formă de pătrat ABCD cu AB = 10 m şi alta de forma unui triunghi dreptunghic isoscel ADE, ca în figura alăturată. Aria terenului EBCD este egală cu ..........m2. (5p) E B A
(
)
(5p) (5p) (5p)
(5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Suma a două numere naturale este 95. Împărţindu-l pe unul dintre ele la celălalt obţinem câtul 3 şi restul 15. Aflaţi cele 2 numere. (5p) 2 2. Fie A = {x | x є şi |x| ≤ 3} şi B = {x | x є R, x – 1 = 0}. Determinaţi elementele mulţimii A ∩ B. (5p) 3. 8 caiete şi 6 pixuri costă 52 lei iar 7 caiete şi 14 pixuri costă 63 lei. Cât costă un caiet şi cât costă un pix? 4. Cinci muncitori termină o lucrare în 2 ore şi 48 minute. Câţi muncitori trebuie să lucreze pentru a termina aceeaşi lucrare în 1 oră şi 45 minute? (5p) 5. Se dă funcţia f : → , f(x) = 3x – 5. Să se determine a є , astfel încât punctul M(a; a – 2) є Gf . (5p) x−2 , unde x є \ {±3}. 3 x −9 Rezolvaţi ecuaţia E(x) = 5.
6. Se dă expresia E ( x) =
2x + 6 2
⋅ (2 x − 6 ) +
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O sală de conferinţe de formă dreptunghiulară cu lungimea de 24 m şi lăţimea de 15 m se parchetează cu parchet având forma de dreptunghi, cu dimensiunile de 25 cm şi 8 cm. Aflaţi: a) aria podelei sălii de conferinţe; (5p) b) câte bucăţi de parchet sunt necesare pentru acoperirea podelei întregii săli? (5p) c) cu câţi dm2 trebuie mărită aria sălii pentru a se obţine aria unui pătrat cu latura de 19 m? (5p) 3. Recapitulare finală
133
2. Acoperişul unui turn este de forma unui tetraedru regulat ABCD cu aria totală egală cu 36 3 cm2. a) Arătaţi că înălţimea AO a acoperişului are lungimea egală cu 2 6 cm. (5p) b) Calculaţi volumul acoperişului. (5p) c) Calculaţi distanţa de la mijlocul M al laturii [CD] la faţa (ABC). (5p)
A
B
D M C
Testul 61
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 259)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Fie numărul n = 33 – 32 · 0,(3). Valoarea lui „n“ este ..........
(5p)
2. Se dă fracţia 4 x . Fracţia este număr natural dacă x є {.........}. 6
(5p)
3. Într-un coş sunt 60 de mere dintre care 10 sunt stricate. Probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să fie bun, este egală cu .......... (5p) 4. Un gard de forma unui pătrat are 16 m. Diagonala pătratului este egală cu .........m. (5p) 5. Pentru a vopsi o faţă a unui cub este necesar un kg de vopsea. Pentru a vopsi întregul cub este nevoie de ..........kg de vopsea. (5p) 6. Triunghiul ABC oarecare are aria egală cu 80 cm2. Fie D simetricul lui B faţă de dreapta AC. Aria patrulaterului ABCD este egală cu .........cm2. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, o bară în formă de prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'. (5p) 80 5 10 5 0 104 2. Fie x = (– 3) : 27 + 3 : (–9) + (–5) . Verificaţi dacă x є (2 ; ∞). (5p) 3. Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă fiecare persoană contribuie cu câte 25 lei, nu ajung 50 lei, iar dacă fiecare persoană dă câte 35 lei, sunt în plus 40 lei. (5p) a) Câte persoane sunt? (5p) b) Cât costă obiectul? (5p) 3 . 2 a) Aflaţi m є astfel încât reprezentarea grafică a funcţiei trece prin A(1; 4). b) Pentru m = 1, calculaţi aria cuprinsă între graficul funcţiei şi axele de coordonate.
4. Fie funcţia f : → , f ( x) = (3m − 2) ⋅ x +
134
(5p) (5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un bidon cu 10 l de vopsea este suficient pentru a vopsi o suprafaţă de 50 m2. Câtă vopsea este necesară pentru a vopsi lambriului unei clase, ştiind că lungimea clasei este de 8,50 m, lăţimea de 6 m, iar înălţimea lambriului este 1,20 m? (Nu luăm în considerare golurile ferestrelor şi uşa). (10p) 2. Pentru construcţia unei clădiri se folosesc cărămizi cu dimensiunile de: 6 cm, 12 cm şi 24 cm. Întreaga clădire are 46 m3 de zidărie, iar într-un metru cub de zidărie intră 440 de cărămizi. a) Câte cărămizi sunt necesare? (5p) b) Care este volumul cărămizilor? (5p) c) Câţi metri cubi de mortar se folosesc pentru construcţia clădirii? (5p) d) Cât la sută din volumul zidului reprezintă mortarul la metrul cub de zidărie? (5p)
Testul 62
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 260)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. ì 9 9ü 1. Fie mulţimea A = ïí2, (3); -1, 75; ; 7; - 3; ïý . Elementele din mulţimea A care au ïîï 4 10 ïþï valoare absolută mai mică decât 2 sunt.......... (5p) 2. 3 dintr-o oră reprezintă ..........minute. (5p) 4 3. Într-o clasă sunt 40 de elevi din care 55% sunt fete. Numărul băieţilor din clasă este egal cu .......... (5p) 4. Unghiul dintre acele unui ceasornic ce arată ora 3 şi 30 de minute, are măsura de .........°. (5p) 5. O cutie are forma de prismă dreaptă cu baza pătrat. Latura bazei este 2 dm, iar muchia laterală 5 dm. Volumul cutiei este egal cu ..........dm3. (5p) 6. Un triunghi isoscel ABC are laturile egale AB şi AC cu lungimile de 10 cm, iar baza BC este de 16 cm. Înălţimea (AD) a triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi pe foaia de examen, un rezervor de forma unui paralelipiped dreptunghic. (5p) 2. Poetul Mihai Eminescu a trăit 39 de ani şi 5 luni. Ştiind că a murit la 15 iunie 1889, aflaţi la ce dată s-a născut poetul. 3. Într-un club sportiv sunt mai puţin de 200 de copii. Dacă se împart în echipe de câte 6, de câte 7 sau de câte 8 copii, rămâne de fiecare dată o echipă incompletă de câte 3 copii. Câţi copii sunt în acel club sportiv? (5p)
3. Recapitulare finală
135
4. O bucată de sfoară trebuie tăiată în două părţi ale căror lungimi să fie în raportul
5 , iar 3
5 prima parte trebuie să fie cu 5 cm mai lungă decât din toată bucata de sfoară. Aflaţi 9 lungimile celor două părţi. 5. Un trapez isoscel are baza mare egală cu x + 12, latura neparalelă egală cu x – 1 şi perimetrul egal cu 4x + 12. Aflaţi baza mică a trapezului (exprimată cu ajutorul lui x).
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Piciorul unui munte este la 900 de m deasupra nivelului mării şi vârful muntelui la 1500 m. Un teleski care porneşte de la piciorul muntelui până la vârful lui are o lungime de 800 m. La 300 m de la vârful muntelui se află o cabană. La ce înălţime deasupra nivelului mării este situată cabana? (10p) 2. Pe un teren în formă de triunghi dreptunghic cu cateta AB = 30 m şi ipotenuza BC = 34 m se marchează un dreptunghi DEFA, înscris în acest teren (D є [AB], E є [BC], F є [AC]). Perimetrul dreptunghiului este 34,8 m. Pe acest contur DEFA se sapă o piscină în formă de paralelipiped dreptunghic având adâncimea de 7,5 m. Aflaţi: a) lungimea catetei [AC]; (5p) b) dimensiunile dreptunghiului DEFA; (5p) c) aria bazei piscinei; (5p) d) volumul piscinei exprimat în l. (5p)
Testul 63
(Autor: prof. Marinela Canu)
(Bareme la pagina 261)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă x = 2 + 3 atunci x +
1 este egal cu .......... x
(5p)
2. Ultima cifră a produsului 1 · 2 · 3 · 4 · .... · 99 este egală cu ..........
(5p)
3. Soluţia reală a ecuaţiei 4x + 7 = 27 este ..........
(5p)
4. O placă dreptunghiulară este de două ori mai lungă decât lată. Perimetrul este egal cu 24 m. Aria plăcii este egală cu .......... m2.
(5p)
5. Un vas de forma unui paralelipiped cu baza pătrat, a cărui arie este 400 dm2 are înălţimea de 2 ori mai mare decât perimetrul bazei. Volumul vasului este egal cu ..........m3.
(5p)
6. O busolă are acul magnetic de forma unui romb cu diagonalele de 30 mm şi 16 mm. Perimetrul rombului este egal cu .......... mm.
136
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful V în jos şi baza ABCD. 2. Suma numerelor ce reprezintă vârstele a doi fraţi este 21. Peste câţi ani suma vârstelor lor va fi 29? 3. a) Dacă a + b = 5, calculaţi a2 + a + 2ab + b + b2. b) Ştiind că x2 – y2 = 70 şi x – y = 5, aflaţi media aritmetică a numerelor x şi y.
(5p) (5p) (5p)
1 4. Trei ingineri au executat un proiect astfel: primul 40% din proiect, al doilea din rest plus 3 5% din tot proiectul, iar al treilea restul proiectului. (5p) a) Cât la sută din proiect a executat al treilea inginer? (5p) b) Ce sumă de bani a primit fiecare inginer, dacă întregul proiect a costat 4 000 lei? (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un panou publicitar este dreptunghiular, are lungimea de 9 ori mai mare decât lăţimea şi perimetrul de 20 m. Aflaţi: a) dimensiunile dreptunghiului; (5p) b) câte cutii de vopsea sunt necesare pentru a vopsi panoul, dacă la 60 dm2 se consumă o cutie? (5p) c) perimetrul unui pătrat echivalent cu dreptunghiul. (5p) 2. a) O masă de biliard se sprijină pe 4 picioare egale ce au forma unor prisme drepte cu bazele triunghiuri echilaterale. Latura bazei este de 6 cm, iar înălţimea piciorului de 8 dm. Să se afle volumul lemnului folosit la construcţia picioarelor. (5p) b) Masa de biliard are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 2 m şi lăţimea de 1,5 m. Aflaţi câţi m2 de material sunt necesari pentru a acoperi tăblia mesei. (5p) c) Ştiind că 1 m2 de material costă 35 lei, calculaţi preţul materialului folosit la acoperirea mesei. (5p)
3. Recapitulare finală
137
Testul 64
(Autor: prof. Costică Lupu)
(Bareme la pagina 262)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 225 : 15 + 25 este egal cu .......... .
(5p)
2. A 2009-a zecimală a numărului 1,(16) este .......... .
(5p)
3. Media geometrică a numerelor a = 2 2 −
7 şi b = 2 2 +
7 este .......... .
(5p)
4. Desenaţi un trapez dreptunghic. Dacă lungimile bazelor sunt egale cu 4 şi respectiv 6 cm, atunci lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu ..........cm . 5. Un cub are volumul de 8
cm3.
Lungimea diagonalei cubului este egală cu .......... cm.
(5p) (5p)
6. Suma a două numere este 66 7 şi unul dintre ele este 10% din celălalt număr. Media geometrică a celor două numere este egală cu .......... .
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Două CD-uri şi un stick costă 84 lei, iar 1 CD şi 2 stick-uri costă 117 lei. Care este costul fiecărui obiect?
(5p)
2. Tatăl şi fiul au împreună 48 de ani. Ce vârstă are fiecare, dacă tatăl este de 3 ori mai în vârstă decât fiul?
(5p)
3. Se consideră funcţiile: f : → , f(x) = x + 1 şi g : → , g(x) = −x + 2. a) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii.
(5p)
b) Aflaţi valoarea sumei S = f(1) + f(2) + ... + f(2012) + g(1) + g(2) + ... + g(2012). 4. Calculaţi numerele naturale a, b, c, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele 2, 3, 5
(5p)
şi că 2a + 5b + 7 c = 108.
(5p)
5. Calculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x −2 3
)2
+ | 3 − 1 − x|.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura bazei de 12 cm şi înălţimea VO de 8 cm. a) Calculaţi aria laterală a piramidei.
(5p)
b) Întoarcem piramida cu vârful în jos şi o umplem cu apă. Câţi mililitri de apă încap?
(5p)
c) La ce distanţă faţă de bază trebuie să vărsăm apa astfel încât volumul apei rămase să fie jumătate din volumul piramidei pline? d) Aflaţi valoarea sinusului unghiului diedru determinat de planele (VAB) şi (ABC).
(5p) (5p)
2. Familia Ionescu doreşte să construiască un cort de forma unui paralelipiped dreptunghic având lungimea de 4 m, lăţimea de 3 m şi înălţimea de 2,5 m. a) Calculaţi lungimea fierului beton necesar construirii cadrului metalic al cortului dacă la partea de deasupra se mai sudează două bare ce unesc mijloacele lungimilor şi respectiv lăţimilor.
(5p)
b) Aflaţi câţi m2 de pânză sunt necesari pentru acoperirea cadrului metalic, dacă la coasere se pierde 10% din suprafaţa pânzei. 138
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 65
(Autor: prof. Costică Lupu)
(Bareme la pagina 263)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este .......... . 7 2. Scrisă sub formă de număr zecimal, fracţia este.......... . 4
(5p)
3. Dacă |2x + 3y − 5| + ( x − 2 y + 3) 2 ≤ 0, atunci perechea (x, y) este .......... .
(5p)
(5p)
4. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 bile roşii. Probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare o bilă, aceasta să fie roşie este .............. .
(5p)
5. Volumul unui paralelipiped dreptunghic care are dimensiunile (în cm) proporţionale cu numerele 2, 4, 6 şi diagonala de 4 14 cm este egal cu .......... .
(5p)
6. Un obiect costă 500 lei. Preţul obiectului, după o scumpire cu 10% şi apoi o reducere cu 20%, va fi ..........lei .
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x +1 1. Aflaţi valorile întregi ale lui x pentru care fracţia Î − {1}. x −1 2. Determinaţi cel mai mic număr natural, diferit de zero, care împărţit la 24 dă restul 10,
(5p)
împărţit la 40 dă restul 26 şi împărţit la 50 dă restul 36.
(5p)
3. Se consideră funcţiile: f : → , f(x) = 2x − 1 şi g : → , g(x) = −2x + 3. a) Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii.
(5p)
b) Calculaţi suma S = f(1) + f(2) + ... + f(2012) + g(1) + g(2) + ... + g(2012).
(5p)
4. Produsul a două numere este 1242. Dacă din primul număr se scade 6 atunci produsul se micşorează cu 324. Aflaţi numerele.
(5p)
5. Calculaţi partea întreagă a lui E(0), dacă E(x) = (x + 2 3 )2 + | 3 −1 + x|.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă triunghiulară regulată VABC de bază (ABC), iar M este mijlocul laturii (BC). a) Realizaţi desenul piramidei şi al segmentului [VM].
(5p)
b) Ştiind că latura bazei este de 12 cm, iar perimetrul unei feţe laterale de 32 cm, calculaţi aria laterală a piramidei. c) Calculaţi înălţimea piramidei.
(5p)
(5p)
d) Aflaţi volumul piramidei.
(5p)
2. O cutie fără capac, din tablă, având forma unui paralelipiped dreptunghic, se desfăşoară după un dreptunghi cu lungimea de 36 cm şi lăţimea de 4 cm şi un altul lipit cu dimensiunile de 12 cm, respectiv 6 cm. a) Aflaţi suprafaţa cutiei fără capac.
(5p)
b) Calculaţi volumul cutiei.
(5p)
3. Recapitulare finală
139
Testul 66
(Autor: prof. Costică Lupu)
(Bareme la pagina 264)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 20 1. Soluţia reală a ecuaţiei 1,(3)x + 4 = este .......... . 3 9 2. Scris sub formă de număr zecimal, fracţia este .......... . 4 3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 63 şi 72 este .......... .
(5p) (5p) (5p)
4. 20 de robinete umplu un bazin în 12 ore. 15 robinete umplu acelaşi bazin în .......... ore. (5p) 5. Un cub are aria totală egală cu 1176 cm2. Latura cubului are lungimea egală cu .......... cm. (5p) 6. Radu este cu 4 ani mai mare decât Mircea, iar suma vârstelor celor doi copii este 32 ani. Vârsta lui Radu este de .......... ani. SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 2 x + 3 y = 7 1. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii . 3 x − y = 5 2. Să se rezolve ecuaţia
1 1 1 1 x − 3 − 3 − 3 − 3 = 0 . 2 2 2 2
(5p)
(5p) (5p)
3. Se consideră funcţia f : → , f(x) = 2x + 1. a) Determinaţi coordonatele punctelor A, B de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axele Ox respectiv Oy.
(5p)
b) Aflaţi valoarea sumei S = f(−2012) + f(−2011) + ... + f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(2011) + f(2012). (5p) 4. Într-o magazie sunt 930 kg de pere şi 1170 kg de mere. În fiecare zi se scot câte 30 kg de pere şi 30 kg de mere. După câte zile cantitatea de pere din magazie va fi cât trei sferturi din cantitatea de mere? 5. Aflaţi lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de: 9 cm, 12 cm şi 15 cm.
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul piramidei şi fixaţi centrul bazei O. (5p) b) Ştiind că latura bazei este de 16 cm, iar aria secţiunii ce trece prin mijloacele a două laturi opuse ale bazei şi vârful V este 48 cm2, calculaţi aria laterală a piramidei. (5p) c) Aflaţi volumul piramidei. (5p) d) Calculaţi distanţa de la centrul bazei O la planul (VBC). (5p) 2. În cubul ABCDA'B'C'D', se consideră punctele: M mijlocul segmentului (A'D') şi P mijlocul segmentului (DC). a) Aflaţi lungimea muchiei cubului, ştiind că MP =5 6 cm. (5p) b) Dacă N este mijlocul muchiei AD, calculaţi volumul corpului rămas după eliminarea piramidei MNDD'P. 140
(5p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 67
(Autor: prof. Costică Lupu)
(Bareme la pagina 265)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia ecuaţiei 3x − 1 = 2 este .......... .
(5p)
2. Numărul soluţiilor naturale ale inecuaţiei 3x < 17 este.......... .
(5p)
3. Aria totală unui tetraedru regulat cu muchia de 6 cm este egală cu .......... .
(5p)
4. Rombul cu diagonalele de 6 cm şi 10 cm are aria egală cu .......... .
(5p)
5. Punctul de coordonate egale ce aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f : → , f(x) = 4x − 6 este .......... .
(5p)
6. Diferenţa a două numere este cât a cincea parte din numărul mic. Raportul celor două numere este .......... .
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. n 2 + 4(n + 1) este număr natural pentru orice n Î .
(5p)
2. Calculaţi media geometrică a numerelor 5 − 2 6 şi 5 + 2 6 .
(5p)
1. Arătaţi că
3. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90º şi AD ⊥ BC, iar BD = 4 cm, DC = 9 cm. a) Calculaţi lungimea înălţimii AD.
(5p)
b) Calculaţi sin(m(B)).
(5p)
4. Într-o clasă numărul fetelor este de 3 ori mai mic decât numărul băieţilor. Dacă pleacă 4 băieţi şi vine o fată, numărul băieţilor va fi de 2 ori mai mare decât al fetelor. Câţi băieţi şi câte fete sunt în clasă? 5. Câţi litri de apă încap într-un vas cubic cu muchia de lungime 2 m?
(5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza (ABCD) şi centrul bazei O. a) Realizaţi desenul de piramidei şi fixaţi centrul bazei O.
(5p)
b) Ştiind că latura bazei are lungimea 16 cm şi muchia laterală face cu planul bazei un unghi de 60º, calculaţi înălţimea piramidei.
(5p)
c) Aflaţi volumul piramidei.
(5p)
d) Calculaţi distanţa de la punctul O la muchia VA.
(5p)
2. Ştiind că latura cubului are lungimea 12 cm, aflaţi: a) lungimea diagonalei cubului;
(5p)
b) sinusul unghiului dintre diagonala cubului şi planul bazei.
(5p)
3. Recapitulare finală
141
Testul 68
(Autor: prof. Costică Lupu)
(Bareme la pagina 266)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x(x + 5) = 0 este .......... .
(5p)
2. Cel mai mare număr natural care verifică inegalitatea 3x − 4 < 17 este .......... .
(5p)
3. Diagonala cubului cu muchia de 3 dm are lungimea egală cu .......... cm.
(5p)
4. Aria totală a tetraedrului regulat cu muchia de 2 cm este egală cu
.........cm2.
5. Numărul real m pentru care ecuaţia 2x − 3 = mx, x Î , are soluţia 1 este .......... . −2 −3 6. Dintre numerele şi mai mic este numărul .......... . 3 2
(5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1 1 47 + − 1. Fie E(n) = ·7, n Î . Demonstraţi că E(2) este natural. (5p) n + 3 7(6 n + 5) n +1 2. Fie expresia E(x) = 2x − 1, x Î . Aflaţi soluţia negativă a ecuaţiei |E(x)| = 5.
(5p)
3. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90º, ipotenuza BC = 28 cm şi raportul 3 catetelor este . 4 a) Calculaţi lungimile catetelor.
(5p)
b) Dacă M este mijlocul lui [BC], calculaţi valoarea sin (m(AMB)).
(5p)
4. Mihai are cu 80 lei mai mult decât Alexia. Dacă Mihai cheltuieşte un sfert din suma sa, iar Alexia o jumătate din suma sa, băiatul are tot cu 80 lei mai mult decât fata. Ce sumă are fiecare copil?
(5p)
5. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC, ştiind că sunt direct proporţionale cu numerele 1, 2 şi 6.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie o prismă dreaptă cu baza un triunghi echilateral ABC, a cărei secţiune ce conţine axa centrelor bazelor şi o muchie laterală de 4 cm este un dreptunghi de arie 12 3 cm2. a) Realizaţi desenul prismei.
(5p)
b) Calculaţi aria laterală a prismei.
(5p)
c) Aflaţi volumul prismei.
(5p)
d) Determinaţi valoarea tangentei unghiului determinat de o diagonală a secţiunii şi planul (ABC).
(5p)
2. În triunghiul ABC, cu m(A) = 90º şi m(C) = 30º, construim înălţimea AD, D Î BC. a) Demonstraţi că BC = 4BD.
(5p)
b) Dacă BD = 4 cm, calculaţi aria triunghiului ABC.
(5p)
142
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 69
(Autor: prof. Marilena Faiciuc)
(Bareme la pagina 267)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Cel mai mare număr par de 3 cifre este .......... (5p) 2. Un divizor al numărului 18 este .......... (5p) 3 3. Efectuând 3 obţinem .......... (5p) 4. Perimetrul unui pătrat este 16 cm. Atunci latura pătratului este egală cu ..........cm. (5p) 5. Dintre următoarele două numere: 3,12 şi 3,2 este mai mare .......... (5p) 6. Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu laturile bazei de 6 cm şi 8 cm şi înălţimea de 5 cm este egală cu ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un tetraedru regulat. (5p) 2. La un magazin, din cele 72 kg de banane, s-a vândut în prima zi o treime din cantitate, iar a doua zi jumătate din cantitatea rămasă. Aflaţi câte kg de banane au rămas în magazin. (5p) 3. Dacă elevii unei clase se grupează în rânduri de câte 6 elevi atunci nu rămâne niciun elev negrupat. La fel, dacă se grupează câte 8 elevi pe un rând, nu rămâne niciun elev negrupat. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi 32 de elevi. (5p) b) Aflaţi câţi elevi sunt în clasă, ştiind că numărul acestora este mai mic decât 40. (5p) 4. Un produs care a fost ieftinit cu 20% costă acum 120 lei. Aflaţi preţul produsului înainte de ieftinire. (5p) 2 5. Arătaţi că (2x – 3) – 16 = (2x – 7)(2x + 1), pentru orice x număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. C 1. O grădină de formă dreptunghiulară ABCD are D lungimea de 12 m şi lăţimea de 6 m. a) Dacă se construieşte un gard care împrejmuieşte P N grădina format din 5 rânduri de sârmă, aflaţi A lungimea sârmei necesare. M B b) Calculaţi distanţa cea mai mare dintre două puncte ale grădinii. c) Dacă se construieşte o magazie de forma unui pătrat MBNP în colţul grădinii cu latura MB = 1 m, calculaţi aria suprafeţei rămase pentru cultivat. d) Dacă, după construirea magaziei, suprafaţa rămasă a grădinii se împarte în suprafeţele AMPD şi DCNP, calculaţi ariile celor două suprafeţe. 2. Un bloc turn are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D' D' C' cu dimensiunile AB = 16 m, BC = 10 m, AA' = 30 m. A' a) Calculaţi distanţa de la D' la AC. B' b) Dacă trebuie izolat acoperişul blocului şi se ştie că un muncitor izolează 1 m2 în 2 ore, aflaţi câţi muncitori trebuie angajaţi D C pentru a termina izolarea blocului în 5 zile, dacă toţi au acelaşi ritm de lucru şi lucrează 8 ore pe zi. A B 3. Recapitulare finală
143
Testul 70
(Autor: prof. Marilena Faiciuc)
(Bareme la pagina 268)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 2 + 12 · 5 este ..........
(5p)
2. Un multiplu al numărului 12 este .......... 4 2 3. Numărul natural exprimat din egalitatea = este .......... x 5
(5p) (5p)
4. Volumul cubului cu latura de 3 m este egal cu ..........m3.
(5p)
5. 320 m = ..........dm. (5p) 6. La teza la matematică notele unei clase au fost: 2 note de 4; 3 note de 5; 4 note de 6; 6 note de 7; 5 note de 8; 3 note de 9 şi 2 note de 10. Media notelor obţinute de elevi la teză este ......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată. 2. Un agricultor are 30 kg de miere pe care le pune în borcane de câte 500 g fiecare. Aflaţi de câte borcane are nevoie pentru a pune întreaga cantitate în borcane. 3. Fie f : → , f(x) = 2x – 5. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. b) Determinaţi coordonatele punctului de pe reprezentarea grafică a cărei ordonată este egală cu triplul abscisei. 4. Fie E(x, y) = x2 + y2 – 6x + 4y + 13. a) Calculaţi valoarea expresiei pentru x = 2 şi y = 3 2 . b) Arătaţi că E(x) ≥ 0 pentru orice x şi y numere reale.
(5p (5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, este reprezentată o pârtie pe care C D schiorii pornesc din C şi ajung în B. Se ştie că m( CAB) = 90°, AB = 100 m şi AC = 20 m. a) Arătaţi că lungimea pârtiei (BC) este mai mică A B de 102 m. (5p) E b) Calculaţi tangenta m( CBA). (5p) c) Câţi m are înălţimea (DE) la care se găseşte un schior care a parcurs o cincime din lungimea pârtiei? (5p) D' C' 2. Trebuie săpat un şanţ în formă de paralelipiped dreptunghic lung de 20 m, adânc de 1,5 m şi A' B' C D lat de 1 m. B a) Care este volumul şanţului? (5p) A b) S-a calculat că o echipă de 3 muncitori ar finaliza lucrarea în 30 de ore. După 10 ore rămân doar 2 muncitori. Aflaţi după câte ore aceşti 2 muncitori vor termina lucrarea dacă păstrează acelaşi ritm de lucru? (5p) c) Câţi cm ar mai trebui săpaţi în adâncime pentru ca volumul să fie de 40 m3? 144
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 71
(Autor: prof. Marilena Faiciuc)
(Bareme la pagina 269)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 1 5 + − este egal cu .......... 2 3 6
(5p)
2. Scrisă ca interval, mulţimea {x є s 1 ≤ x P 5} este ...........
(5p)
3. Media geometrică a numerelor 4 şi 9 este ..........
(5p)
1. Rezultatul calculului
4. Aria totală a unui cub cu latura de 4 cm este egală cu .......... (5p) 5. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 12 cm, 16 cm şi 15 cm are lungimea egală cu .......... cm.
(5p)
6. Soluţia ecuaţiei 36 : x = 12 este ...........
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic. (5p) 2. Pentru o serbare se cumpără 2 kg de bomboane cu preţul de 15 lei kilogramul şi 3 kg cu 10 lei kilogramul. Aflaţi preţul mediu al unui kg de bomboane. (5p) 3. Într-un bloc sunt 55 de apartamente, unele cu 2 camere şi altele cu 3 camere, în total 145 de camere. a) Stabiliţi dacă în bloc pot fi 20 de apartamente cu 3 camere.
(5p)
b) Calculaţi câte apartamente sunt cu 2 camere şi câte cu 3 camere.
(5p)
(
2
)
(
2
)
4. Calculaţi 3 - 5 + 2 - 5 . 5. Determinaţi valoarea lui x є pentru care egalitatea (x – 3)2 = (x – 2)(x – 5) este
(5p)
adevărată.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie rombul ABCD, cu AB = 6 m şi m(rBAD) = 60°. A a) Calculaţi lungimea diagonalei (AC).
(5p)
b) Calculaţi distanţa de la B la CD. (5p) c) Dacă paralela prin A la BD intersectează dreapta CD în
B
punctul M, calculaţi lungimea segmentului (AM). (5p) 2. O piesă are forma unei piramide patrulatere regulate VABCD cu latura bazei AB = 12 cm şi muchia laterală VA = 2 34 cm.
O
D
C V
a) Calculaţi lungimea înălţimii piramidei. (5p) b) Arătaţi că (VAC ) ^ (VBD) (5p) c) Calculaţi distanţa de la punctul de intersecţie a diagonalelor bazei la o faţă laterală.
D
(5p) A
3. Recapitulare finală
C
B
145
Testul 72 (Autor: prof. Marilena Faiciuc)
(Bareme la pagina 270)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12 – 5 · 3 este .......... (5p) 2. Scris ca putere cu baza 2 numărul 16 este egal cu .......... (5p) 3. Un produs are preţul de 150 lei. După o reducere de 10% acesta va costa .........lei. (5p) 4. Apotema unui triunghi echilateral cu latura de 2 3 cm este egală cu ..........cm. (5p) 5. Pe planul pătratului ABCD cu latura AB = 4 cm se ridică perpendiculara AM ^ ( ABC ) cu AM = 1 cm. Distanţa de la M la BD este egală cu ..........cm. (5p) 6. Volumul unei piramide triunghiulare regulate cu latura bazei de 5 cm şi înălţimea de 12 cm este egal cu ........... cm3. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un trapez isoscel ABCD. (5p) 4 2. Un elev a citit 160 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă din totalul numărului de 5 pagini. Aflaţi câte pagini are cartea. (5p) 3. Fie expresia E ( x) =
x−3 2
x − 5x + 6
, unde x є \ {2; 3}.
a) Calculaţi E(–1) + E(1).
(5p)
1 . x−2
(5p)
c) Aflaţi x є , pentru care E(x) є .
(5p)
b) Arătaţi că E ( x) =
4. Calculaţi
( 2-
3+ 5
) + 126 + 2
10 15 + 10
.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. Triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC = 13 cm şi BC = 10 cm, iar MNPQ este un pătrat cu M, N є (BC) P є (AC) şi Q є (AB). P Q a) Calculaţi aria triunghiului ABC. (5p) b) Dacă MN = x cm, exprimaţi aria triunghiului PNC în funcţie de x. (5p) B M N C c) Determinaţi valoarea lui x. (5p) 2. Un cort are forma unei piramide patrulatere VABCD cu latura bazei AB = 24 dm şi V înălţimea VO = 16 dm. a) Calculaţi aria suprafeţei laterale a piramidei. (5p) b) Calculaţi tangenta măsurii unghiului diedru D C format de o faţă laterală cu planul bazei. (5p) c) Calculaţi sinusul unghiului format de VA cu planul (VBD). (5p) O A B 146
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 73 (Autor: prof. Marilena Faiciuc)
(Bareme la pagina 271)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 3,5 · 6 este .......... 2. Dintre 5 2 şi 7 mai mare este numărul ......... 3. Dacă A = {1, 2, 8, 9} şi B = {1, 2, 3, 5} atunci A ∪ B = .......... 4. Aria unui cerc cu raza de 5 cm este egală cu ........... cm2. 5. Lungimea diagonalei unui cub cu latura de 6 cm este egală cu ..........cm. 6. Volumul unui tetraedru regulat cu latura de 3 m este egal cu ..........m3.
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată.
(5p)
2. Pentru o intrare la o piscină, un elev trebuie să plătească 7 lei, iar un abonament pentru o lună costă 50 lei. Un elev vrea să meargă la piscină într-o lună de 8 ori. Este rentabil să-şi facă abonament? Justificaţi răspunsul. (5p) 3. Un turist parcurge 320 km în 3 zile astfel: în prima zi parcurge 20% din drum, a doua zi 50% din cât a rămas şi în a treia zi restul drumului. a) Aflaţi câţi km a parcurs în prima zi. (5p) b) Aflaţi câţi km a parcurs în a treia zi. (5p) 4. Fie funcţia f : → , f(x) = 2x – 4. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) b) Aflaţi a є , pentru care f(a) = 4a – 12. (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. N C D 1. O curte are forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 24 m, AD = 15 m, MB = 10 m, unde M M є (BC) reprezintă ieşirea din curte, iar AM ∩ DC = {N } . A B a) Calculaţi distanţa d(A, M). (5p) b) Calculaţi distanţa pe care o parcurge un copil pe o bicicletă, dacă porneşte din A, trece prin M şi ajunge în punctul N. (5p) c) Aflaţi ce procent din aria dreptunghiului ABCD reprezintă aria triunghiului AMB. (5p) 2. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 50 m, lăţimea de 20 m şi adâncimea de 3 m. a) Calculaţi volumul bazinului. (5p) b) Dacă bazinul se umple cu apă până la înălţimea de 2,5 m, calculaţi câţi litri de apă intră în bazin. (5p) c) Dacă bazinul se umple prin 10 robinete prin care curg 250 l pe minut din fiecare, aflaţi în cât timp (exprimat în ore şi minute) se va umple bazinul până la înălţimea de 2,5 m. (5p) 3. Recapitulare finală
147
Testul 74 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)
(Bareme la pagina 272)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 8 + 64 : 8 este egal cu .......... æ 1ù 2. Cel mai mare număr întreg din intervalul çç-¥; - ú este .......... çè 2 ûú
(5p) (5p)
3. 40% din 50 este egal cu .......... (5p) 4. Într-un cerc BC este diametru. Punctul A se află pe cerc astfel încât arcele AB şi AC sunt congruente. Dacă raza cercului este de 5 cm, atunci lungimea coardei AB este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un tetraedru regulat are muchia de 4 cm. Aria totală este egală cu ..........cm2. (5p) 6. În figura de mai jos, în sistemul de axe XOY sunt reprezentate punctele A şi B. Lungimea segmentului (AB) este egală cu .......... (5p) y
B
4 3 2 1
A
O
6 x 1 2 3 4 5 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH. (5p) 2. Un biciclist parcurge într-o zi 72 de km, iar a doua zi de două ori mai puţin. Ce distanţă a parcurs în cele două zile? (5p) 3. Într-un coş sunt mai multe nuci. Dacă nucile se împart în mod egal unui grup de 4, 5 sau 6 copii, în coş rămân de fiecare dată 3 nuci. a) Verificaţi dacă pot fi 183 de nuci. (5p) b) Care poate fi cel mai mic număr de nuci din coş înainte ca acestea să fie împărţite copiilor? (5p) 4. Se consideră funcţia f : (2; + ∞) → , f(x) = x – 2. Verificaţi dacă punctele M(2; 0) şi N(3; 1) aparţin reprezentării geometrice a graficului funcţiei. (5p) 3 5. Arătaţi că (a – 2) – a + 2 = (a – 1)(a – 2)(a – 3), pentru orice a, număr real. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD = 12 cm, iar punctul M є (BC). N a) Dacă BM = x, exprimaţi în funcţie de x, aria triunghiului ABM. (5p) b) Aflaţi BM = x , astfel încât AABM = ADMC. (5p) D 148
B
M C
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
c) Ştiind că BM = x = 6 cm, arătaţi că aria triunghiului AMN, unde N este mijlocul segmentului [AD] este egală cu 22 1 cm2. 2 d) Fie P mijlocul segmentului (DC). Demonstraţi că ABPD este paralelogram, iar aria S trapezului este egală cu trei ori aria triunghiului APD. 2. În figura alăturată, SABCD este o piramidă patrulateră regulată cu SA = 3 6 dm şi latura bazei AB = 6 dm. a) Aflaţi volumul piramidei SABCD. (5p) D b) Calculaţi distanţa de la punctul A la faţa laterală (SBC). (5p) O A B
Testul 75 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)
(5p)
C
(Bareme la pagina 273)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 9 · 7 – 7 este egal cu .......... 2. Se consideră mulţimea A = {x є s 2 ≤ x < 11}. Numărul elementelor mulţimii A este egal cu .......... 3. Media aritmetică a două numere este 25. Suma celor două numere este egală cu .......... 4. Un romb are perimetrul egal cu 48 cm. Lungimea unei laturi este egală cu ..........cm. 5. Diagonala unui cub este egală cu 4 3 cm. Volumul cubului este egal cu .........cm3. 6. Se consideră un disc. Porţiunea haşurată reprezintă din întregul disc un procent de ..........%. A B
(5p)
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
45° O
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.
(5p)
2 din cele 18 ouă de care dispune la prepararea unui tort şi alte două ouă 3 pentru omletă. Câte ouă îi rămân? (5p) 3. Trei numere sunt direct proporţionale cu 6, 7 şi 15. a) Exprimaţi raportul dintre cel mai mic şi cel mai mare număr sub formă zecimală. (5p) b) Aflaţi cele trei numere dacă, împărţind numărul cel mai mare la cel mai mic obţinem câtul 2 şi restul 6. (5p) 4. Se consideră f : → , f(x) = 2x – 3a. Aflaţi a є , astfel încât punctul M(1; 5), să aparţină graficului funcţiei.
2. Mama foloseşte
5. Arătaţi că
3x + 6 2
x + x−2
=
3. Recapitulare finală
3 , pentru x є \ {–2; 1}. x −1
(5p)
149
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, patrulaterul ABCD este trapez 10 A B AB || CD, AB = BC = AD = 10 cm şi AC ⊥ AD a) Arătaţi că AC este bisectoarea unghiului BCD. b) Calculaţi unghiurile trapezului. c) Fie BE || AD, E є (CD). Demonstraţi că ABED este romb. d) Calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD.
(5p) (5p)
10
10
(5p) (5p) D
C
H
2. În figura alăturată, ABCDEFGH este prismă patrulateră regulată cu lungimea laturii bazei de 2 2 dm şi muchia laterală de lungime egală cu 2 3 dm. a) Determinaţi măsura unghiului format de planele (ACF) şi (ACH). (5p) b) Verificaţi dacă într-un vas cu dimensiunile prismei ABCDEFGH încap 32 de litri de apă. (5p)
E
G F
D B
A
Testul 76 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)
C
(Bareme la pagina 273)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 16 – 16 : 4 este egal cu .......... ì ü 3 2. Se consideră mulţimea A = ïí 9; - 16; ; 14 ïý. Mulţimea A ∩ = {..........} ïîï ïïþ 5 3. Dacă 5% din numărul a reprezintă 0,5, atunci valoarea lui a este .......... 4. Perimetrul unui pătrat este egal cu 20 cm. Aria pătratului este egală cu .........cm2. 5. O prismă patrulateră regulată are înălţimea de 8 cm şi latura bazei de 4 cm. Volumul este egal cu ..........cm3. 6. În figura de mai jos, este reprezentat graficul funcţiei f : D → . Mulţimea D are elementele: {..........}.
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
y
3 2 –1
1 O
–1 150
1
2
3
4
5
x
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă patrulateră regulată, SABCD, de vârf S. 2. Dorina are cu 54 de nuci mai multe decât Andreea, ceea ce înseamnă că are de 7 ori mai multe nuci decât aceasta. Câte nuci are fiecare? 3. După două scumpiri succesive, una de 5%, cealaltă de 4%, un obiect costă 546 lei. a) Aflaţi preţul iniţial al obiectului. b) Dacă preţul iniţial a fost 500 lei, aflaţi preţul după prima scumpire. 4. Determinaţi funcţia liniară f : → , f(x) = ax + b, dacă punctele A(2; 3) şi B(–1; – 3) aparţin reprezentării grafice a funcţiei f. 5. Arătaţi că E(y) = (y2 – 3)2 – 2(y2 – 3) + 1 se poate scrie ca un produs de pătrate perfecte.
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB || DC, m( B) = 90°. Ştim că AB = 3 cm, BC = 8 cm, DC = 5 3 cm şi M є (BC). a) Să se afle BM = x, astfel încât triunghiul AMD să fie dreptunghic în M. (5p) b) Pentru x = 3, aflaţi AAMD. (5p) D c) Pentru x = 3, calculaţi tg(m( MDC)). (5p) A d) Exprimaţi sub forma unui număr zecimal raportul ABCD , pentru x = 3. AAMD 2. Prisma triunghiulară regulată ABCDEF are latura bazei AB = 4 3 cm, iar înălţimea 3 3 cm. Calculaţi: a) volumul prismei; (5p) b) distanţa de la punctul A la planul (BCD). (5p)
3. Recapitulare finală
M C (5p) C
B
A E
B
F
D
151
Testul 77 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)
(Bareme la pagina 274)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 22 · 32 – 16 este egal cu .......... 2. Valorile naturale ale lui x pentru care 2x – 4 ≤ 0 sunt .......... 3. Dacă
(5p) (5p)
y 2 = , atunci numărul y este egal cu .......... 9 3
(5p)
4. Aria unui dreptunghi este egală cu 42 cm2 iar lungimea sa este de 7 cm. Lăţimea este egală cu ..........cm. (5p) 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 2, 3 respectiv 5 cm. Volumul este egal cu ...........cm3. (5p) 6. Figura alăturată reprezintă graficul unui drum km pe care-l face un elev de la şcoală până 1 A acasă: O (şcoala) şi A (acasă). Distanţa parcursă a fost de ..........m. (5p) D 0,5 B O
C
10 14
20 23
30
minute
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată VABC de vârf V şi bază (ABC). (5p) 2. Doi fraţi au economisit pentru vacanţă 200 lei. Cât a economisit fiecare, dacă suma unuia este cu 20 de lei mai mare decât a celuilalt? (5p) 3. Fiul şi tatăl au vârsta de 16 ani, respectiv 40 de ani. a) Cu câţi ani în urmă tatăl a fost de trei ori mai în vârstă decât fiul? (5p) b) Peste câţi ani tatăl va fi de două ori mai în vârstă decât fiul? (5p) 4. Arătaţi că produsul numerelor a = 27 − 75 şi b = 12 − 48 este un număr întreg. (5p)
(
)
5. Rezolvaţi inecuaţia: 1- 2 x + 2 £ 2 2 în – (mulţimea numerelor întregi negative). (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În dreptunghiul ABCD cu AB = 10 cm şi AC = 20 cm, se duce BM ⊥ AC şi se prelungeşte astfel încât BM ∩ AD = {N}. a) Calculaţi aria dreptunghiului. (5p) b) Aflaţi raportul
AM MC
c) Calculaţi MN. d) Arătaţi că AADC = 12 · AAMN 152
(5p)
A
N
D
M B
C
(5p) (5p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
S
2. O piramidă triunghiulară regulată SABC are latura bazei AB = 6 cm şi înălţimea SO = 3 cm. a) Calculaţi aria laterală şi volumul piramidei. (5p) b) Arătaţi că SB ⊥ AC . (5p)
A O
B
Testul 78 (Autor: prof. Adrian Ciupitu)
C
(Bareme la pagina 275)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului
3 10 este egal cu .......... + 13 13
(5p)
2. Numărul a 2a este divizibil cu 5. Valoarea cifrei a este egală cu ........... 3. Produsul dintre un număr şi inversul lui este egal cu .......... 4. Aria rombului cu diagonalele de 6 cm şi 8 cm este egală cu ..........cm2. 5. O prismă triunghiulară are toate feţele laterale pătrate egale cu latura de 6 cm. Volumul prismei este egal cu ..........cm3. 6. Dacă 7 = a , a > 0, atunci a este egal cu ..........
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' de bază (ABCD). (5p) 2. Calculaţi suma elementelor mulţimii [–3; 4) ∩ . (5p) 3. Calculaţi aria unui trapez cu bazele de 10 cm, 3 2 cm şi înălţimea de 10 - 3 2 cm. (5p) 4. Pentru a confecţiona 4 bluze şi 2 rochii, un croitor are nevoie de 14 m de pânză, iar pentru a confecţiona 2 bluze şi 3 rochii, de acelaşi fel, are nevoie de 13 m de pânză. a) Aflaţi câţi metri de pânză îi trebuie croitorului pentru a confecţiona o bluză, respectiv pentru o rochie (5p) b) Câţi metri îi sunt necesari pentru a confecţiona 3 bluze şi 4 rochii de acelaşi fel? (5p)
(
5. Se dă expresia: F ( x) =
)
x−2 4− x x−4 1 − + , x є \ {2}. Arătaţi că F ( x) = x − 1 . x−2 2− x 2 2
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă dreptunghiul ABCD. Dimensiunile dreptunghiului sunt egale cu x + 3 m, x - 3 m, iar diagonala AC = 14 m. a) Aflaţi valoarea lui x. b) Pentru x = 2, calculaţi perimetrul şi aria dreptunghiului. c) Calculaţi distanţa de la B la diagonala AC. d) Calculaţi aria discului cu diametrul egal cu AC. 2. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 8 cm, BC = 8 3 cm, iar triunghiul ACC' este isoscel. Calculaţi: a) diagonala paralelipipedului; b) aria totală şi volumul.
(
)
3. Recapitulare finală
(
(5p)
)
(5p) (5p) (5p) (5p)
(5p) (5p) 153
Testul 79 (Autor: prof. Florentina Enea)
(Bareme la pagina 276)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 5 + 65 : 5 este egal cu ........... 2. Fie mulţimile A = {–3; –1; 0; 1; 3} şi B = {–1; 1; 2}. Mulţimea A ∪ B = {.........} 3. Se aruncă un zar. Probabilitatea să iasă numărul 5 este egală cu .......... 4. Lungimea unui cerc este de 10p m. Lungimea diametrului cercului este de ..........m. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6, 8 şi respectiv 10 cm. Lungimea diagonalei paralelipipedului este de ..........cm. 6. Într-o clasă de 25 elevi, la teza de la matematică s-au obţinut următoarele rezultate: 4 note de 4, 5 note de 5, 3 note de 6, 5 note de 7, 3 note de 8, 4 note de 9 şi o notă de 10. Media clasei este ......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un tetraedru ABCD. 2. O trotinetă costă 55 lei şi o bicicletă cu 40% mai mult. Care este costul bicicletei? 1 şi suma lor tot atât. Aflaţi: 4 a) media aritmetică a numerelor b) media geometrică a celor două numere. 4. Se consieră funcţia f : → , f(x) = 2x + 1. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
(5p) (5p) (5p)
3. Raportul a două numere este
5. Simplificaţi fracţia
1 − 2 x − 3x 1 − 9x
2
2
1 , x є \ ± . 3
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie triunghiul ABC, m( A) = 90°; m( B) = 60°; BC = 8 cm şi AD ⊥ BC , D є (BC), ca în figura alăturată. B a) Calculaţi lungimea catetelor şi a înălţimii AD. (5p) D b) Calculaţi distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC. (5p) c) Dacă DE || AB, E є (AC), aflaţi EC. (5p) d) Aflaţi raportul dintre aria (ABD) şi aria (ABC). (5p) A 2. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura V bazei de 12 cm şi apotema de 10 cm. a) Calculaţi volumul piramidei. (5p) b) Verificaţi dacă, într-un vas confecţionat sub formă D C de trunchi de piramidă dintr-un corp cu dimensiunile piramidei VABCD, prin secţionarea cu un plan paralel M O cu baza, situat la un sfert din înălţime faţă de bază, A B ar încăpea jumătate de litru de apă. (5p) 154
5p) (5p) (5p) (5p)
C
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 80 (Autor: prof. Florentina Enea)
(Bareme la pagina 277)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 252 − 152 este egal cu .......... (5p) 2. Fie mulţimea A = {x є | –2 < x + 1 ≤ 3}. Elementele mulţimii A sunt.......... (5p) 3. Probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea cifrelor, acesta să fie prim este......... (5p) 4. Un paralelogram cu diagonalele de 2 2 cm, respectiv 3 cm şi măsura unghiului dintre ele de 45° are aria egală cu ..........cm2. (5p) 5. Un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm are aria totală egală cu ..........cm2. (5p) 6. În figura alăturată, punctele D, E şi F, G împart laturile M (MN ) respectiv (MP) în trei segmente congruente. F D Dacă GE = 4 cm, atunci NP = ..........cm. (5p) G E N SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară regulată. 2. Dacă suma a două numere naturale consecutive este 29, determinaţi produsul lor. 3. După două scumpiri succesive una cu 5%, cealaltă cu 4% un produs costă 546 lei. a) Aflaţi preţul iniţial al produsului. b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a mărit preţul preţul produsului, după cele 2 scumpiri. 4. Se consideră funcţiile f, g : → , f(x) = x + 2, g(x) = –2x – 7. Determinaţi punctul de intersecţie a reprezentărilor grafice ale celor două funcţii.
P
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
x − 1 2 x − 1 3x + 3 + 1 ⋅ , x є \ {–1}. Determinaţi x є pentru 5. Fie expresia E ( x) = − 2⋅ x + 1 4 x + 1 care E(x) є .
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic în A, având bazele (AD) şi respectiv (BC) de lungimi D A 12 m şi 16 m şi m( C) = 60°. a) Determinaţi perimetrul trapezului. (5p) b) Dacă ABCD reprezintă suprafaţa unui apartament, determinaţi câţi m2 de parchet sunt necesari pentru parchetarea întregului apartament. (5p) B c) Dacă 1 m2 de parchet costă 30 lei, verificaţi dacă 2900 lei sunt suficienţi pentru cumpărarea parchetului necesar. (5p)
3. Recapitulare finală
C
155
2. O piramidă triunghiulară regulată are măsura unghiului format de muchia laterală cu planul bazei egal cu 60° iar lungimea înălţimii (VO) a piramidei egală cu 12 cm. a) Arătaţi că AB = 12 cm. (5p) b) Calculaţi d(O; VBC). (5p) c) La ce distanţă de vârf trebuie secţionată piramida cu un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale acelor două corpuri formate să fie egale? (5p)
V
A
60°
C O B
Testul 81 (Autor: prof. Florentina Enea)
(Bareme la pagina 278)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului
1 − 0, 2 este egal cu .......... 5
(5p)
2. Un divizor propriu al numărului 28 este .......... 3. Dacă a = 4 şi b + c = 19, atunci suma ab + ac este egală cu .......... 4. Un triunghi dreptunghic are catetele de 9 şi respectiv 12 cm. Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu ..........cm. 5. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 120 cm. Aria cubului este .........cm2. 6. În figura alăturată sunt reprezentate notele obţinute 20% note de cei 25 elevi ai unei clase la evaluarea naţională, între 5 şi 7 pe tranşe de note. Numărul elevilor care au obţinut 20% note sub 5 note între 7 şi 10 este ......... (5p) note între
(5p) (5p) (5p) (5p)
7 şi 10
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o piramidă patrulateră regulată SABCD. (5p) 2. Suma a două numere naturale este 12, iar suma inverselor lor este 0,6. Aflaţi numerele. (5p) 3. Aflaţi cel mai mic număr de mere care împărţit la cinci copii dă restul 3, împărţit la 6 copii dă restul 4 şi împărţit la 8 copii dă restul 6. (5p) 4. Determinaţi aria suprafeţei determinată de axele de coordonate şi reprezentarea grafică a funcţiei f : → , f(x) = x + 2. (5p) n 2 + 4n + 3 este număr natural, oricare ar fi n număr natural. n+3 æ x + 2 ö÷2 x 2 - 4 x + 3 x 2 + 4 x + 4 x -1 × = : b) Arătaţi că çç , oricare ar fi çè x - 3 ÷÷ø x 2 + 4 x + 3 x +1 x2 - 9
5. a) Arătaţi că
x є \ {–3; –2; –1; 3}. 156
(5p)
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic în A având bazele (AD) şi (BC) de 3 cm, respectiv, 8 cm D şi m( DMC) = 90°, unde M este mijlocul laturii [AB]. A a) Dacă AB = 2x, exprimaţi MD şi MC în funcţie de x.(5p) b) Construiţi DE ⊥ BC şi exprimaţi CD în funcţie de x în două moduri, determinând x. (5p) B c) Calculaţi perimetrul trapezului. (5p) d) Determinaţi aria trapezului. (5p) 2. Cubul ABCDA'B'C'D' are muchia de 4 cm. a) Calculaţi măsura unghiului format de dreptele CD şi A'C'. (5p) b) Calculaţi d(B,(A'C'D)). (5p)
C
D'
A'
C'
B' D
A
C
B
Testul 82 (Autor: prof. Florentina Enea)
(Bareme la pagina 279)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 84 mai mic decât 143 este egal cu .......... 2. Dintre numerele a =
(5p)
14 şi b = 7,45 mai mic este numărul.......... 2
(5p)
3. Un sfert de oră are ..........minute. (5p) 4. Un pătrat are lungimea diagonalei de 6 cm. Aria pătratului este egală cu ..........cm2. (5p) 5. O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm şi înălţimea de 10 cm. Aria laterală a prismei este egală cu ..........cm2. (5p) 6. Imaginea funcţiei f : {0; 1; 3} → , a cărei reprezentare y grafică este dată în figura alăturată, este mulţimea{..........}. (5p) 2
1 0 –1
1
3
x
–2 SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ALGEBRIC. 2. Perimetrul unui triunghi este egal cu 72 dm, iar lungimile laturilor lui sunt direct proporţionale cu numerele 6, 8 şi 10. Aflaţi aria triunghiului. 3. Recapitulare finală
(5p) (5p) 157
3. Dovediţi că numărul: é a) p = êê 1 + 2 ë
(
)+ 2
ù 3 - 2 2 ú × 32 este pătrat perfect. ú û
(5p)
b) q = (1 + 3 + 5 + ......+ 219) · 110 este cub perfect. 4. Fie funcţia f : → , f(x) = 2x + 3. Determinaţi distanţa de la punctul P(3; 0) la Gf. 5. Aflaţi valorile reale ale numerelor x şi y pentru care expresia
(5p) (5p)
E ( x) = x 2 − 6 x + 9 + 9 y 2 + 6 y + 10 are valoare minimă.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. A 1. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu BC = 36 cm şi AB = AC = 30 cm. Aflaţi: a) aria triunghiului şi lungimea înălţimii din B; (5p) b) cos(m( BAC)); (5p) c) lungimea cercului circumscris triunghiului ABC ; (5p) B d) distanţa de la centrul cercului circumscris triunghiului ABC la dreapta AB.
C (5p)
2. Fie ABCA'B'C' o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral şi BA' ∩ AB' = {O}, BC ∩ CB' = {O'}, AA' = 6 cm şi AB = 8 cm. a) Calculaţi d(B, OO'). (5p) b) Aflaţi aria totală a prismei. (5p)
C'
A' B'
A
O'
O
C B
Testul 83 (Autor: prof. Florentina Enea)
(Bareme la pagina 280)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Restul împărţirii numărului 406 la 9 este .......... 2. Valoarea expresiei 4x3 – 2x2 + 8x – 90 pentru x = 2 este .......... 3. Cel mai mare număr de trei cifre care împărţit la 9 dă câtul 45 este .......... 4. Un trapez isoscel are baza mică de 7 cm, baza mare de 15 cm şi un unghi ascuţit de 45°. Aria trapezului este egală cu ..........cm2. 5. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 5, 4 şi respectiv 10 cm. Aria paralelipipedului este egală cu .........cm2. y 6. Funcţia al cărui grafic este reprezentat în figura A(0; 2) alăturată este f : → , f(x) = ..........
158
O
B(2; 0)
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
x
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un cub ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Rezolvaţi inecuaţia 2 x − 4 > x 5 − 2 5 . (5p) 3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că 2a + 6b = 3b − 2a + 8 . (5p) 4. Fie funcţia f : → , f(x) = –2x + 5. a) Determinaţi tangenta măsurii unghiului pe care îl face reprezentarea grafică a funcţiei cu axa Ox. (5p) 6 f ( x) + 18 b) Aflaţi x є astfel încât 2 є , x ∈ − {1; 4} . (5p) f ( x) − 9 2
2
5. Arătaţi că numărul (ab) - (ba) este divizibil cu 9, unde ab reprezintă un număr scris în baza 10, cu a ≠ 0 şi b ≠ 0. (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul ABC, AD ⊥ BC , iar M, N şi P sunt mijloacele laturilor [AB], [BC] şi respectiv [AC]. A a) Demonstraţi că DNPM este trapez isoscel. (5p) b) Dacă AB = 30 cm, BC = 50 cm, AC = 40 cm, P stabiliţi natura triunghiului ABC şi calculaţi M perimetrul trapezului. (5p) c) Calculaţi aria trapezului. (5p) B D d) Demonstraţi că MDP ≡ BAC. (5p) N 2. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', O mijlocul segmentului BD şi M mijlocul segmentului AB. a) Demonstraţi că OM ⊥ A′B . b) Dacă paralelipipedul de dimensiuni a, b şi c îşi măreşte dimensiunea a cu x > 0, dimensiunea b cu 2x, iar dimensiunea c se micşorează cu 3x astfel încât aria totală rămâne neschimbată, arătaţi că noul paralelipiped nu poate fi cub.
3. Recapitulare finală
C
(5p)
(5p)
159
Testul 84 (Autor: prof. Marinela Georgescu)
(Bareme la pagina 282)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului
64 : 4 + 16 este egal cu ..........
ì ü 7 2. Fie mulţimea A = ïí-8; 1; ; 2; 0ïý. Mulţimea A ∩ = {..........} ïîï ïïþ 2 2 1 3. Cel mai mare dintre numerele şi este .......... 3 2
(5p) (5p) (5p)
4. Latura unui triunghi echilateral are lungimea de 8 cm. Lungimea fiecărei linii mijlocii a triunghiului este egală cu ..........cm. (5p) 2 5. Aria laterală a unui cub este egală cu 36 cm . Muchia acestui cub are lungimea egală cu ...........cm. (5p) 6. Toţi cei 30 de elevi ai clasei a V-a B au participat la 4 concursuri pe discipline organizate în şcoală, 10% fiecare elev participând numai la un concurs. Astfel, 40% conform diagramei au participat 40% la matematică, 20% 20% la biologie, 10% la geografie şi restul la concursul sportiv. Numărul elevilor care au participat la concursul sportiv este de .......... (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen un cub ABCDA'B'C'D'. (5p) 2. Preţul unei cărţi este 27 lei iar preţul unui caiet este de 3 ori mai mic. Ştefania cumpără o carte şi un caiet. Câţi lei a plătit? (5p) 3. Un grup de copii a primit cărţi. Unul dintre ei a primit 4 cărţi iar ceilalţi câte 6 cărţi fiecare. Ştiind că, dacă fiecare copil ar fi primit câte 4 cărţi, ar fi rămas 28 nedistribuite, aflaţi: a) Câţi copii sunt în grup? (5p) b) Câte cărţi au fost în total? (5p) 4. Fie funcţia f : → , f(x) = ax – 3; a є . Determinaţi numărul real a ştiind că M(2; 17) aparţine reprezentării geometrice a graficului funcţiei f. (5p) 5. Arătaţi că (1 + x)3 · (1 – x)2 = 1 + x – 2x2 – 2x3 + x4 + x5, pentru orice x număr real. (5p)
200 m
F
100 m
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. x 1. În figura alăturată sunt ilustrate schematic două G parcele de teren agricol: ABCD şi BEFG, fiecare D C având formă de dreptunghi. Se ştie că AB = 500 m, AD = 100 m, EF = 200 m, GF = x (x este o distanţă exprimată în metri). A B 500 m
E
a) Exprimaţi, în funcţie de x, perimetrul terenului agricol format din cele două parcele. (5p) 160
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
b) Determinaţi x astfel încât ariile suprafeţelor celor două parcele să fie egale. c) Pentru x = 2,5 hm, aflaţi aria (în
hm2)
a parcelei BEFG.
(5p) (5p)
d) Se consideră x = 250 m. Parcela ABCD va fi însămânţată cu grâu, iar BEFG va fi însămânţată cu porumb. Pentru sămânţa de grâu, magazinul acordă o reducere de 5%, în cazul în care cantitatea cumpărată este mai mare de 1000 de kg. Se ştie că pentru 1 ha cultivat cu grâu sunt necesare 250 kg sămânţă, preţul grâului fiind 1,5 lei/kg, iar pentru
a) Câţi litri de apă încap în acvariu? b) Câţi
m2
(5p)
0,1 dm 4 dm
10 000 m2 cultivaţi cu porumb trebuie 17 kg sămânţă de porumb, preţul fiind 10 lei/kg. Cât costă în total sămânţa pentru cele două parcele? (5p) 2. Figura alăturată reprezintă schema unui acvariu (fără capac) confecţionat din geam cu grosimea de 0,1 dm. Acvariul are forma unui paralelipiped dreptunghic. Se ştie că pentru bază s-a folosit o bucată de geam cu dimensiunile de 6 dm şi 3 dm, iar perpendicular pe aceasta s-au lipit pereţii laterali conform desenului. m Preţul unui m2 de geam este 45 lei. 3d 6 dm
de geam au fost necesari şi cât a costat, ştiind că au fost pierderi de 11,6%?
Testul 85 (Autor: prof. Marinela Georgescu)
(5p)
(Bareme la pagina 282)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 6 – 6 · (–2) este egal cu .......... 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 40 şi 60 este ..........
(5p) (5p)
2 3. Fie mulţimea A = 1; ; 2; − 2; π; 3 . Probabilitatea ca la extragerea unui element din A 5
Număr răspunsuri corecte
acesta să fie număr raţional este egală cu .......... (5p) 4. Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral este de 4 cm. Înălţimea triunghiului are lungimea egală cu ..........cm. (5p) 2 5. Aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 9 cm este .........cm . (5p) 6. Elevii clasei a IX- a A au participat, în cadrul unui proiect educativ la un concurs. Ei au vizitat 5 muzee (A, B, M, S, T) şi apoi au completat un chestionar onnline cu 50 de întrebări referitoare la cunoştinţele acumulate în urma vizitei la cele 5 muzee (câte 10 întrebări despre fiecare muzeu). Muzeu Pentru fiecare răspuns corect au primit 5 puncte iar pentru fiecare răspuns greşit au fost penalizaţi cu 2 puncte. A B M S T În graficul alăturat sunt reprezentate rezultatele obţinute. Clasa a IX-a A a obţinut un punctaj final de .......... puncte. (5p) 3. Recapitulare finală
161
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi o prismă dreaptă cu baza pătrat. (5p) 2. Într-un magazin, cutii cu obiecte de acelaşi fel sunt aşezate pe 3 rafturi. Pe primul raft sunt 24 de cutii, pe al doilea cu 11 mai putin decât pe primul iar pe al treilea sunt 33 de cutii. Câte cutii se află în total pe cele trei rafturi? (5p) 3. În clasa a VIII-a B numărul de băieţi este egal cu 40% din numărul elevilor clasei. a) Verificaţi dacă în clasă pot fi 35 de elevi.
(5p)
b) Cât la sută din numărul băieţilor reprezintă fetele? 4. Se consideră funcţia f : → , f(x) = 2x – 4. Reprezentaţi grafic funcţia f.
(5p) (5p)
5. Arătaţi că, oricare ar fi x є \ {–2}, avem egalitatea
x2 + 5x + 6 x2 + 4 x + 4
=
x+3 . x+2
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic D' C' un teren cu gazon sintetic, pentru fotbal, al unui C D club sportiv, reprezentat prin dreptunghiul ABCD cu dimensiunile AB = 55 m , şi AD = 100 m, iar porţiunea haşurată reprezintă pista pentru atletism x din jurul terenului, lăţimea acesteia fiind de lungime x (x este o distanţă exprimată în metri). a) Exprimaţi în funcţie de x, aria porţiunii haşurate. (5p)
B
A
b) Pentru ce valoare a lui x, perimetrul
B'
A'
dreptunghiului A'B'C'D' este egal cu 350 m?
(5p)
c) Pentru x = 5 m, calculaţi aria porţiunii haşurate.
(5p)
d) Ştiind că fiecare metru pătrat construit al terenului de fotbal costă 24 de euro (incluzând gazonul sintetic, granulele de cauciuc reciclabil, nisipul) şi că pentru această lucrare clubul a obţinut o sponsorizare de 21% din sumă, aflaţi câţi euro mai sunt necesari pentru a achita lucrarea.
(5p)
2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul (cu capac) în care se face dezinfecţia termică a substratului de cultură la ciupercile Pleurotus. Acesta este în formă de prismă ABCDA'B'C'D' dreaptă cu baza pătrat cu latura AB = 3 m.
D' A'
a) Calculaţi aria (în m2) a capacului.
(5p)
0,5 m
b) Calculaţi volumul (în m3) al bazinului.
(5p)
A
162
B''
A''
C'
D
B' 3m
C 3m
B
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 86 (Autor: prof. Marinela Georgescu)
(Bareme la pagina 283)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1,3 +
12 este egal cu .......... 5
(5p)
1 7 2. Fie mulţimile A = −2; 4; 6; ; 3 şi B = 2; 6; 3; . Mulţimea B \ A = {.........} (5p) 2 2 3. Aproximarea cu o zecime prin lipsă a numărului
1+ 5 este egală cu .......... 2
(5p)
BC = .......... EF
(5p)
4. Dacă ∆ABC ∼ ∆DEF , iar AB = 8 cm şi DE = 5 cm, atunci
5. Aria laterală a unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral este egală cu 150 cm2, iar înălţimea prismei este egală cu 10 cm. Latura bazei are lungimea egală cu ..........cm.
(5p)
6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute de elevii clasei a VIII-a C la teza de matematică. Media aritmetică ponderată obţinută de clasa a VIII-a C este .......... Nota Nr. elevi
4 0
5 3
6 2
7 4
8 4
9 8
(5p) 10 9
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen o piramidă triunghiulară regulată.
(5p)
2. Aflaţi cu câţi ani în urmă vârsta tatălui era de trei ori mai mare decât vârsta fiului, dacă în prezent tatăl are 38 de ani iar fiul are 14 ani? (5p) 4 3. Raportul dintre numerele naturale x şi y este . Media geometrică a celor două numere 9 este 48. a) Aflaţi x şi y.
(5p)
b) Calculaţi media aritmetică a celor două numere. f (0) + f (1) + f (2) + ...... + f (19) 4. Fie funcţia f : → , f(x) = x + 1. Calculaţi n = 20
(5p)
şi f(s) unde s =
0 + 1 + 2 + ....... + 19 . 20
5. Fie expresia E ( x) =
x −1 6 2 ⋅ : , x є * \ {1; –4}. Arătaţi că E(x) = x + 4. 3 x2 − x x2 + 4 x
3. Recapitulare finală
(5p) (5p)
163
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. S A 1. Într-un parc din oraş s-a amenajat o porţiune
R
dreptunghiulară PQRS, ilustrată grafic în figura alăturată. Astfel: ►
s-a plantat gazon (partea haşurată);
►
s-au pavat două alei (reprezentate cu gri pe figură);
►
s-a delimitat spaţiul de joacă adică o porţiune în formă
N
O
circulară (centrul cercului din care provine fiind la jumătatea
C
distanţei dintre centrul O al dreptunghiului ARBH şi punctul H); ►
s-au plantat arbuşti ornamentali în punctele de pe
P
cerc H, M, C şi N.
H
B Q
M
Se ştie că AR = 12 m şi BR = 16 m. a) Arătaţi că punctul M se află la jumătatea distanţei dintre H şi B, iar N la jumătatea distanţei dintre A şi H. b) Arătaţi că aria spaţiului de joacă este mai mică de 79
m2.
(5p)
(5p)
c) Calculaţi distanţa dintre arbuştii ornamentali H şi C.
(5p)
d) Dacă pentru spaţiul de joacă s-au achiziţionat 4 leagăne şi 3 balansoare la preţul de 400 de lei bucata, respectiv 500 de lei bucata, iar magazinul a făcut o reducere de 15%, calculaţi câţi lei s-au plătit în total. 2. Figura alăturată reprezintă schematic bazinul de înot al şcolii. ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic cu înălţimea AA' = 3 m, AB = 30 m
câţi
m2
de gresie sunt necesari?
C'
D' B'
A' D
şi BC = 10 m. a) Dacă feţele laterale şi baza sunt placate cu gresie,
(5p)
A
C B
(5p)
b) Calculaţi volumul apei din bazin, ştiind că bazinul conţine apă până la înălţimea de 2,5 m.
164
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 87 (Autor: prof. Marinela Georgescu)
(Bareme la pagina 284)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.
(
1. Rezultatul calculului 2 - 3
2
) +4
3 este egal cu ..........
(5p)
2. Dintre numerele –17 şi −12 2 mai mare este ..........
(5p)
3. Dacă 76 x 3 atunci x є {..........}.
(5p)
4. Punctele A şi B aparţin cercului de centru O şi rază 3 cm. Dacă lungimea coardei AB este egală cu 3 cm, atunci perimetrul triunghiului AOB este egal cu .........cm.
(5p)
5. Diagonala unui cub are lungimea egală cu 4 6 cm. Muchia acestui cub este de ........cm.(5p) 6. Tabelul de mai jos prezintă cheltuielile efectuate în anul precedent de societatea agricolă „FLORA“ pentru un hectar (hm2) de teren cultivat cu rapiţă. Costul total pentru cultura de rapiţă din anul precedent dacă au fost cultivate 50 de hectare cu rapiţă este ..........lei. Cheltuieli (în lei) pe 1 ha Lucrări mecanice Materiale Arat
Discuit
Semănat
Recoltat
Tratamente fito-sanitare
Transport tehnologic
Sămânţa
Insecticide
Fungicide
200
102
90
128
34
30
425
18
45
(5p)
Aprovizionare
Forţa de muncă
98
30
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic.
(5p)
2. Dacă 4 muncitori execută o lucrare în 6 zile, aflaţi în câte zile termină aceeaşi lucrare 8 muncitori.
(5p)
3. Într-o şcoală sunt 170 de elevi. Fiecare elev ştie cel puţin una din limbile străine engleză şi franceză. Ştiind că 150 ştiu limba engleză şi 100 ştiu limba franceză, aflaţi: a) numărul elevilor care ştiu numai limba engleză;
(5p)
b) numărul elevilor care ştiu ambele limbi străine.
(5p)
4. Fie funcţiile f : → , f(x) = x + 2 şi g : → , g(x) = 2x + 3. Punctul M(a; b) aparţine reprezentărilor grafice ale celor două funcţii. Aflaţi a şi b. 5. Arătaţi că
(x2
+
3x)(x2
+ 3x + 10) + 25 este pătratul unui număr real, oricare ar fi x є .
3. Recapitulare finală
(5p) (5p)
165
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrat schematic decorul pentru piesa de teatru „Vizită“ de I.L.Caragiale, 5m
reprezentând un perete în formă de dreptunghi
Porţiunea plină a peretelui este acoperită cu tapet.
fereastră
240 cm
uşă
x (x este o distanţă exprimată în metri).
120 cm
a) Calculaţi x astfel încât aria porţiunii pe care se x
aplică tapetul să fie egală cu 14,64 m2. (5p)
3,6 m
fiind decupate, iar lăţimea uşii având lungimea
120 cm
cu dimensiunile din figură, uşa şi fereastra
3,6 m
b) Pentru x = 0,8 m, calculaţi suma care s-a plătit la achiziţionarea tapetului ştiind că preţul unui metru pătrat de tapet este 25 lei.
(5p)
c) În cazul în care înălţimea uşii ar fi egală cu 2 m şi aria peretelui (fără fereastră şi uşă) ar fi egală cu 14,64 m2, calculaţi lăţimea uşii.
(5p)
d) Calculaţi valoarea raportului dintre aria ferestrei şi aria uşii, dacă x = 0,8 m.
(5p)
2. În figura alăturată este reprezentat schematic un
D'
pavilion destinat Târgului Educaţional. ABCEA'B'C'E' este un paralelipiped dreptunghic
D
iar CDEC'D'E' este o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral. AB = 6 m; BB' = 10 m; B'C' = 6 m şi DE = 6 m.
C'
E'
E
C
A
B
A'
B'
a) Calculaţi distanţa de la D la baza (ABB') (înălţimea cortului).
(5p)
b) Calculaţi câţi m2 de prelată sunt necesari pentru a confecţiona pavilionul (feţe laterale şi acoperiş). Rezultatul se va aproxima prin adaos la cel mai apropiat număr întreg.
166
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 88 (Autor: prof. Marinela Georgescu)
(Bareme la pagina 284)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului
1 2 3
+
1 2+ 3
{
este ..........
2. Fie mulţimea A = x Î / 2 £ x < 20
(5p)
} . Numerele naturale din mulţimea A sunt........
3. Dacă a şi b sunt numere reale pozitive şi a ≠ 1 iar
(5p)
175 = a b , atunci a + b este
egal cu ..........
(5p)
4. Punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O şi rază 6, iar m( ACB) = 45°. Măsura unghiului AOB este egală cu ..........grade. 5. Aria totală a unei piramide patrulatere regulate este egală cu 96 este egală cu 60
dm2.
dm2
(5p)
iar aria laterală a sa
Volumul piramidei este egal cu ..........litri.
(5p)
6. În graficul alăturat sunt prezentate valorile temperaturilor măsurate la ora 1400 în fiecare aritmetică a temperaturilor din săptămâna respectivă este egală cu ............°C.
(5p)
Temperatura
zi a unei săptămâni din luna decembrie. Media
5 4 3 2 1
–1 –2
°C
6
2 3 1
4 5
ziua
7
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral.
(5p)
2. Daniel şi sora lui au în total 52 de mere. Daniel îi dă surorii lui 10 mere şi astfel ei au acelaşi număr de mere. Calculaţi numărul merelor pe care le-a avut Daniel.
(5p)
3. Pentru serbarea de Crăciun s-au primit 300 de portocale, 120 de napolitane şi 150 de tablete de ciocolată. Acestea vor fi distribuite copiilor în pachete cu acelaşi conţinut (fiecare pachet având portocale, napolitane şi ciocolată). a) Verificaţi dacă pot fi făcute 15 pachete cu acelaşi conţinut.
(5p)
b) Aflaţi cel mai mare număr de pachete care se pot face cu acelaşi conţinut.
(5p)
4. Fie funcţia f : {7; 1} → {4; 2}. Ştim că pentru a < b avem f(a) > f(b). Reprezentaţi grafic funcţia f.
(5p)
– a este divizibil cu 3, oricare ar fi a є .
(5p)
5. Arătaţi că numărul n =
3. Recapitulare finală
a3
167
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura alăturată este ilustrată schematic grădina unei pensiuni agroturistice în care
D 2 S
au fost cultivate flori şi gazon. Grădina are
gazon
3
(5p)
alee
gazon
lalele
exprimate în metri. b) Câţi m2 sunt cultivaţi cu flori?
alee
şi AD = 5 m. Cele două alei au fost pavate
(5p)
crizanteme
trandafiri
cu gresie iar dimensiunile din figură sunt
3
A
T 2 C
3
gazon
forma dreptunghiului ABCD în care AB = 12 m
a) Câţi m2 sunt cultivaţi cu gazon?
P1Q 1R
ghiocei
H 1F
E 1G
3
B
c) Cât costă gresia necesară acoperirii celor două alei dacă un metru pătrat costă 28 lei? (5p) d) În cazul în care AD = x (x este o distanţă exprimată în metri şi x > 0), arătaţi că valoarea raportului dintre aria suprafeţei cultivate cu flori şi a celei cultivate cu gazon este constantă.
(5p)
Q
2. Figura alăturată reprezintă schematic o vază din
P
D
sticlă în care apa poate ocupa numai forma unui cub ABCDA'B'C'D'. Corpul SMNPQ este o piramidă patrulateră regulată cu înălţimea SO = 40 cm,
M
latura bazei MN = 60 cm, iar punctele A, B, C, D aparţin bazei (MNPQ) şi A', B', C', D' aparţin muchiilor
C
A
B D'
O'
N
C'
B'
A'
laterale ale piramidei astfel încât AA' || SO. a) Calculaţi aria laterală a piramidei SMNPQ.
(5p)
b) Calculaţi volumul maxim (în litri) de apă pe care îl poate conţine vaza.
168
S
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 89 (Autor: prof. Constantin Apostol)
(Bareme la pagina 285)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numărul cu 10,01 mai mare decât 10,10 este .......... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 2 – (x – 3) = 3 este ..........
(5p) (5p)
a 3a 2b , valoarea raportului este .......... = b 5 7
(5p)
4. Soluţia întreagă a ecuaţiei x 2 − 9 + 3 − x = 0 este ..........
(5p)
5. Aria paralelogramului ABCD, cu AB = 15 3 cm, AD = 10 3 cm şi m( A) = 60°, este egală cu .......... 6. Produsul 2a este cu 3 mai mic decât a. Numărul a este ..........
(5p) (5p)
3. Ştiind că
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi linia mijlocie, (MN), a trapezului ABCD, cu AD || BC. (5p) 2. Determinaţi numerele pozitive x, y, z ştiind că sunt direct proporţionale cu 3, 2 şi 5, iar suma pătratelor lor este egală cu 76. (5p) 3. Arătaţi că suma S = 2 + 22 + 23 + ....+ 212 se divide cu 21. (5p) 4. Se dă expresia E(n) = 220 · 2n + 1 · 32n + 1 + 318 · 22n + 1 · 3n + 1; arătaţi că E(1) este şi pătrat perfect şi cub perfect. (5p) 5. Demonstraţi că orice triunghi care are două laturi proporţionale cu 2 şi 3 , iar unghiul dintre ele de 30°, este dreptunghic. (5p) 6. Rezolvaţi în ecuaţia (3x – 5)(5x – 5)(7x – 5) = 0. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În trapezul isoscel ABCD, cu AB || DC, au loc egalităţile: AB + DC = AC = 3 3 . a) Calculaţi înălţimea trapezului. b) Calculaţi aria trapezului.
(5p) (5p)
2. Se dă piramida patrulateră regulată VABCD. Ştiind că apotema piramidei este de două ori mai mare decât apotema bazei, iar latura bazei are lungimea de 6 cm, calculaţi: a) aria totală a piramidei; (5p) b) volumul piramidei; (5p) c) distanţa de la punctul O la planul (VBC), unde {O} = AC ∩ BD; (5p) d) cosinusul măsurii unghiului planelor (VAD) şi (VBC). (5p)
3. Recapitulare finală
169
Testul 90 (Autor: prof. Constantin Apostol)
(Bareme la pagina 286)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Soluţia negativă a ecuaţiei
2 x = este .......... x 2
2. Numărul a (de o cifră) pentru care 56a se divide cu 9 este .......... 3. Lungimea unui cerc este de 6 p cm. Diametrul cercului are lungimea de .........cm. 4. A treia cifră a câtului împărţirii 0,0721 : 7 este .......... 5. Calculând suma 6. Ştiind că
2
2
(1- 2 ) + (2 - 2 )
(5p) (5p) (5p) (5p)
obţinem ..........
(5p)
a 3 5 = = , atunci, dintre numerele a şi b, mai mare este .......... 3 b 7
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă centrul său de greutate, G. (5p) 2. Determinaţi cea mai mică valoare n є * pentru care numărul 18 · 3n + 21 · 3n +1 este şi pătrat perfect şi cub perfect. (5p) 3. Calculaţi măsurile unghiurilor A şi B din triunghiul ABC, ştiind că m( C) = 30°, AC = 2 6 cm şi BC = 3 2 cm. 4. Rezolvaţi în ecuaţia:
x+2 x+3 x+4 x + 2009 + + + ..... + = 2008. 3 4 5 2010
(5p)
5. Din vârful A al triunghiului ABC, cu aria 24 cm2 şi în care BC = 8 cm, se duce perpendiculara pe bisectoarea unghiului B. Calculaţi distanţa de la piciorul acestei perpendiculare la dreapta BC. (5p) 6. Se dă numărul real P(x) = 2x2 + 3x – 7. Aflaţi valorile întregi ale lui a, pentru care P(a) este divizibil cu 5. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Se dă un pătrat cu latura de 1 cm. a) Construiţi un triunghi cu vârfurile pe laturile pătratului, având centrul de greutate în centrul pătratului. (5p) b) Este adevărat că un vârf al triunghiului este mijlocul unei laturi a pătratului? (5p) c) Calculaţi aria acestui triunghi. (5p) d) Acest triunghi poate fi isoscel? (5p) e) Poate fi acest triunghi echilateral? (5p) 2. În tetraedrul regulat VABC, M şi N sunt mijloacele muchiilor (VA), respectiv (BC), acestea având lungimea de a cm. Determinaţi lungimea segmentului (MN). (5p) 170
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 91 (Autor: prof. Constantin Apostol)
(Bareme la pagina 287)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Efectuând calculul (53 · 22) : (5 · 2) obţinem .........
(5p)
x2 − 1 = 3 , x ≠ 1, atunci x este egal cu .......... x −1
(5p)
2. Dacă
3. O fracţie ordinară din care provine fracţia zecimală periodică 0,(3) este .......... 4. O diagonală a unui pătrat este 3 2 cm. Aria acestui pătrat este egală cu ...........
(5p) (5p)
1 1 = 3 , atunci suma x 2 + 2 este egală cu .......... x x
(5p)
6. Dintre numerele 0,(5) şi 0,(51), mai mare este ..........
(5p)
5. Dacă x +
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi dreptunghic şi puneţi în evidenţă proiecţiile catetelor pe ipotenuză. (5p) 1 2. Precizaţi care sunt valorile lui x pentru care A(x) este definită: A( x) = x + 4 + 2 (5p) x −9 x+2 x−2 = , x ∈ − {±3}. 3. Rezolvaţi în ecuaţia (5p) x−3 x+3 4. Determinaţi aria bazei unui tetraedru regulat, ştiind că aria desfăşurării sale este egală cu 72 cm2. 5. Se dă funcţia f : → , astfel încât f(x + 1) = 2x + 2. a) Calculaţi f(2). b) Precizaţi dacă punctul A(2; 4) aparţine graficului acestei funcţii.
(5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În triunghiul ABC cunoaştem AB = 12 cm, m( A) = 75° şi 4m( C) = 3m( B). a) Aflaţi măsurile unghiurilor B şi C. b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC. c) Aflaţi aria triunghiului ABC. 2. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' în care AB = 36 2 cm şi BC = BB ′ = 12 3 cm. Calculaţi: a) lungimea diagonalei (AC'); b) sinusul măsurii unghiului format de diagonala (AC') cu faţa (BCC'B'); c) cosinusul măsurii unghiului dintre diagonala (AC') şi diagonala (BD').
3. Recapitulare finală
(5p) (5p) (5p)
(5p) (5p) (5p)
171
Testul 92 (Autor: prof. Constantin Apostol)
(Bareme la pagina 288)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1 1 = 2 , atunci suma x3 + este egală cu ........... x x3 2 y 2 2. Ştiind că = = , atunci, dintre numerele x şi y, mai mare este ........... x 3 3 2 a −9 = 7 , a ≠ – 3, atunci a este egal cu ........... 3. Dacă a+3 x 4. Valoarea raportului , unde x = 3 2 şi y = 2 + 8 , este egală cu .......... y 1. Dacă x +
5. Împărţind în , numărul 2 la numărul 3, obţinem restul egal cu .......... 6. Efectuând adunarea (–2)2 + (–2)3 + (–2)4, obţinem suma .......... SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' şi puneţi în evidenţă diagonala (BD'). x − 3 x −1 = , x ∈ − {1; 3} . 2. Rezolvaţi, în mulţimea , ecuaţia x −1 x − 3
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
(5p) (5p)
3. Se dă triunghiul ABC, în care I este centrul cercului înscris în triunghi. Calculaţi m( BIC), ştiind că m( BAC) = 70°. (5p) 4. Arătaţi că a şi b sunt numere inverse, unde a = 3 − 5 + 9 − 4 5 şi (5p) b= 7 − 1 − 11 − 4 7 . 5. Arătaţi că toate ecuaţiile de gradul al II-lea cu coeficienţii diferiţi din mulţimea {2; 1; –3}, au o rădăcină comună. (5p) 6. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe semidreptele (BA şi (CD se iau punctele M, respectiv N, astfel încât BM = BD şi CN = CA. Să se arate că MN || BC. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Un dreptunghi este împărţit de o dreaptă paralelă cu una dintre laturi, în două dreptunghiuri cu ariile de 12 cm2 şi, respectiv, 36 cm2. Determinaţi dimensiunile dreptunghiului iniţial, ştiind că unul dintre cele două dreptunghiuri este pătrat. (5p) 2. a) Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC, ştiind că suplementele unghiurilor A şi B sunt proporţionale cu 8 şi 7, iar suplementele unghiurilor B şi C sunt proporţionale cu 14 şi 15. (5p) b) Determinaţi rapoartele constante ale măsurii unghiului C. (5p) 3. a) Dacă 3 x = 3, a , care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare?(5p) b) Dacă 7 x = 9, b , care este cel mai mic număr cu care poate fi egal x? Dar cel mai mare?(5p) c) Aflaţi x când a) şi b) au loc în acelaşi timp. (5p) 172
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 93 (Autor: prof. Constantin Apostol)
(Bareme la pagina 290)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Dacă împărţim numărul 20a – 16 la –4, câtul este egal cu ........... 2. Soluţia reală a ecuaţiei 0,4 – x = –1,6 este ........... 3. Dacă complementul unghiului A are măsura egală cu 72°, atunci suplementul unghiului A are măsura egală cu .......... 4. Ştiind că a = 3 + 32 + 33, numărul divizorilor naturali ai lui a este egal cu .......... 5. Dacă
2x 1 x este egal cu ........... = , atunci 3y 2 y
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi un triunghi ABC şi puneţi în evidenţă punctul G, centrul de greutate al triunghiului. 9 + 12n + 4n 2 3 2. Simplificaţi raportul , n ∈ − ± . 2 2 4n − 9
{ }
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
(5p) (5p)
3. Punctele A, B, C şi D sunt într-un plan, iar M este în afara planului şi au loc egalităţile MA = MB = MC = MD. Arătaţi că există un cerc care să conţină punctele A, B, C, D. (5p) 4. Se dă funcţia f : → , f(x) = mx + 2. Determinaţi pentru ce valoare a lui m, reprezentarea grafică a funcţiei conţine punctul M(2m; 10). (5p) 5. Cele trei dimensiuni ale unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporţionale cu numerele 5, 3 şi 2. Calculaţi volumul acestui paralelipiped, ştiind că o diagonală a sa are lungimea egală cu 342 cm. (5p) 6. Determinaţi cifrele x şi y, astfel încât numărul 3 x5 y să se dividă cu 15. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Arătaţi că dacă piramida VABCD, cu baza ABCD pătrat, muchiile laterale sunt congruente, atunci înălţimea piramidei are piciorul în centrul pătratului. (5p) 2. Determinaţi numerele pozitive a şi b, ştiind că sunt direct proporţionale cu b – 6 şi a, respectiv invers proporţionale cu a + 12 şi b. (5p) 3. Arătaţi că media aritmetică a numerelor x = 19 + 6 2 − 2 3 şi y = 13 − 4 3 − 3 2 este un număr raţional. (5p) 4. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC. Pe semidreapta (AC se consideră punctul D, astfel încât BA = BD, iar pe semidreapta (AB se consideră punctul E, astfel încât CA = CE. Notăm cu M, mijlocul segmentului (AD) şi cu N, mijlocul segmentului (AE). Dacă {P} = BM ∩ CN, arătaţi că AP ⊥ BC . (5p) 2n 2 − 4n + 3 5. Arătaţi că pentru nicio valoare întreagă a lui n, raportul nu este număr n 2 − 3n întreg, n ∈ − {0, 3} . (5p) 6. Într-un triunghi, un unghi are măsura de n°, iar laturile au lungimile de 3 cm, 3k1 cm şi 3k2 cm, unde k1, k2 є *. Aflaţi măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului. (5p) 3. Recapitulare finală
173
Testul 94 (Autor: prof. Dana Radu)
(Bareme la pagina 291)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Numerele întregi care se află în intervalul éê- 3; 3 ùú sunt .......... ë û 2. Media aritmetică a numerelor 5, 8 şi 8 este .......... 3. Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 4 cm este ........... 4. Un obiect costă 45 lei. După o scumpire cu 10% el va costa.......... 5. Fie ABCD un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 12 cm. Aria totală a tetraedrului este egală cu ..........cm2. 6. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu muchia egală cu 6 cm. Distanţa de la A' la BC este egală cu ..........cm.
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O rochie costă 600 de lei. Rochia se ieftineşte cu 20% şi apoi se scumpeşte cu 15%. a) Aflaţi cât costă rochia după scumpire. (5p) b) Aflaţi cât costă rochia după ieftinire. (5p) c) Aflaţi cu cât la sută trebuie modificat preţul final pentru a costa la fel cu cel iniţial. (5p) 2. Stabiliţi dacă următoarele numere sunt raţionale: a = 1 + 3 + 5 + .... + 2011 , b = 25n + 23 , unde n є . (5p) a 5 + b + 7 = 3 5 − 3 a + 2 b + 1 3. Determinaţi numerele raţionale a şi b ştiind că . (5p) 4. În triunghiul ABC, m( A) = 90°, m( B) = 60°, AB = 40 cm, iar D este proiecţia punctului A pe BC. Calculaţi: a) lungimea segmentului (BC); (5p) b) lungimea segmentului (AD). (5p) 5. În patrulaterul ABCD, AB || CD, AB = 10 cm şi CD = 6 cm. Dacă M, N, P, Q sunt respectiv mijloacele segmentelor (AD), (BC), (AC) şi (BD): Calculaţi: a) lungimea segmentului (MN); (5p) b) lungimea segmentului (PQ). (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie VABC o piramidă triunghiulară. Un plan α paralel cu dreptele VB şi AC intersectează muchiile VA, AB, BC, VC, în punctele M, N, P respectiv Q. a) Arătaţi că MN || VB. (5p) b) Arătaţi că MNPQ este paralelogram. (5p) c) Dacă VM = 5 cm, AM = 2 cm, VB = 14 cm, AC = 35 cm, calculaţi perimetrul patrulaterului MNPQ. (5p) 2. Fie ABCD un paralelogram şi a, b, c, d patru drepte perpendiculare pe planul paralelogramului care trec prin punctele A, B, C respectiv D. Un plan α intersectează dreptele a, b, c, d în punctele A', B', C', D'. Arătaţi că: a) Planele ADD'A' şi BCC'B' sunt paralele. (5p) b) A'B'C'D' este paralelogram. (5p) c) Dacă AA' = 8 cm, BB' = 6 cm, CC' = 7 cm, m( A) = 90°, AB = 6 cm, BC = 10 cm, calculaţi distanţa de la D la D'. (5p) 174
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 95 (Autor: prof. Dana Radu)
(Bareme la pagina 292)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului (5 + 9)2 – 52 – 92 este .......... (5p) 2. Numărul divizorilor întregi ai lui –38 este .......... (5p) 3. Restul împărţirii numărului 13 la 46 este ........... (5p) 4. Se aruncă două zaruri. Probabilitatea ca suma punctelor obţinute pe cele două zaruri să fie un număr natural pătrat perfect este .......... (5p) 5. Aria unui trapez care are lungimile laturilor egale cu 4 cm, 4cm, 4 cm, 8 cm este egală cu ..........cm2. (5p) 6. O prismă regulată are 18 muchii toate de lungime egală cu 4 cm. Perimetrul bazei prismei este ..........cm. (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Simplificaţi fracţia
4 x2 + 5x − 9 2
−8 x + 13 x − 5
{ }
, x ∈ − 1:
5 . 8
2. Aflaţi preţul iniţial al unui obiect, care după două scumpiri succesive cu 20% costă 288 lei. 2 3. Fie f : → , f(x) = x + 2 . 3
(5p)
(5p) (5p)
a) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului lui f cu axa absciselor. (5p) b) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) 4. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A iar D piciorul înălţimii duse din A pe BC. Ştiind că BD = 9 cm şi AC = 20 cm. Aflaţi: a) Perimetrul şi aria triunghiului ABC. (5p) b) Distanţa de la D la centrul cercului circumscris triunghiului ABC. (5p) 5. În triunghiul ABC (AB = AC) fie puncul E є AC astfel încât m( ABE) = m( CBE). Ştiind că m( C) = 72°, arătaţi că BC2 = AB · EC. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie O, A, B, C patru puncte necoplanare astfel încât OA ⊥ OB ⊥ OC ⊥ OA . a) Să se arate că OB este perpendiculară pe AC. (5p) b) Arătaţi că proiecţia lui O pe planul (ABC) este ortocentrul triunghiului ABC. (5p) c) Dacă OA = a, OB = b şi OC = c arătaţi că lungimea segmentului [OH], unde H este abc proiecţia lui O pe planul ABC este egală cu OH = . (5p) 2 2 a b + b2c2 + c2 a 2 2. O piramidă patrulateră regulată are apotema bazei egală cu 3 2 cm şi înălţimea egală cu 3 2 cm. Calculaţi: a) aria totală şi volumul piramidei; (5p) b) măsura unghiului format de două feţe laterale opuse; (5p) c) la ce distanţă de bază trebuie dus un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale corpurilor formate să fie egale? (5p) 3. Recapitulare finală
175
Testul 96 (Autor: prof. Dana Radu)
(Bareme la pagina 293)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului –42 + 33 este .......... 1 ïì ïü 2. Mulţimea í 8; - 6; 0; - 2; - 8 ; 9, 7(65); 36 ý - ( - ) = este egală cu .......... ïîï ïïþ 3 3. Cel mai mic număr natural care împărţit la 15 dă restul 3 este ........... 4. Dacă 5 saci cu grâu cântăresc 200 kg, în câţi saci de acelaşi fel au loc 560 kg de grâu? 5. Perimetrul unui romb cu lungimea laturii egală cu 3 cm este ...........cm. 6. Un bazin sub forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile egale cu 3 m, 8 m, 50 m. Câţi litri de apă încap în acest bazin?
(5p) (5p) (5p) (5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Aflaţi două numere naturale, ştiind că unul este de 8 ori mai mare decât celălalt, iar diferenţa lor este 287. (5p) 2. Fie f : → , f(x) = 2x – 3. Determinaţi punctul de pe reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f care are abscisa egală cu ordonata. (5p) 3. Fie a, b, c trei numere naturale direct proporţionale cu 6, 12, 18. Aflaţi cele mai mici numere a, b, c. (5p) 4. Paralelogramul ABCD are m( B) = 120°, AB = 16 cm, AD = 8 cm. a) Aflaţi aria paralelogramului ABCD. (5p) b) Calculaţi
AMBC , unde M este mijlocul lui [CD]. AABMD
(5p)
5. Hexagonul regulat ABCDEF are lungimea laturii egală cu 10 cm. Aria triunghiului ACE este ...........cm2. (5p) SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Fie ABCDA'B'C'D' o prismă regulată cu baza ABCD, lungimea muchiei AB = 5 cm iar A'B = 10 cm. Să se calculeze: a) aria totală şi volumul prismei; b) măsura unghiului format de D'C cu planul (ABC); c) suma distanţelor unui punct M din interiorul prismei la feţele prismei. 2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm şi 16 cm, iar apotema trunchiului de 4 2 cm. Calculaţi: a) suprafaţa laterală şi volumul trunchiului; b) măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei mari; c) aria secţiunii obţinute prin intersectarea trunchiului de piramidă patrulateră regulată dat cu un plan paralel cu bazele dus prin mijlocul înălţimii acestuia. 176
(5p) (5p) (5p)
(5p) (5p) (5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 97 (Autor: prof. Dana Radu)
(Bareme la pagina 294)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului –52 + 5 · 12 : (–2) este ........... (5p) 2. Numărul de 4 ori mai mare decât 28 este .......... (5p) 3. C.m.m.m.c. al numerelor 24 şi 36 este ........... (5p) 4. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 5 cm, 12 cm, 13 cm este egală cu ...........cm. (5p) 5. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu lungimea catetei de 3 cm este egală cu ...........cm. (5p) 2 6. Aria unui cerc cu raza de 4 cm este egală cu .......... cm . (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Calculaţi −32 + 5 :| −1| − | −3 | ⋅ 7 + 841 . 5 x+ y =3 2. Rezolvaţi în x : 2 x − 2 = y − 5 3. Fie f : → , f(x) = ax + b. a) Determinaţi funcţia f al cărei grafic trece prin punctele A(2; 2) şi B(–3; –3); b) Stabiliţi dacă punctul M(–1; 34) aparţine graficului funcţiei f determinate anterior. 4. Arătaţi că triunghiul care are lungimile laturilor proporţionale cu 4, 3, 5 este dreptunghic. 5. Arătaţi că într-un trapez laturile neparalele determină, pe dreapta paralelă cu bazele care trece prin punctul de intersecţie a diagonalelor trapezului, două segmente congruente. (5p)
(5p) (5p)
(5p) (5p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Trapezul ABCD are AB || CD, măsura unghiului A este de 90°, AD = AB = 4 cm şi DC = 8 cm. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul trapezului. Dacă AM = 4 cm, calculaţi: a) Distanţa de la punctul M la DC, respectiv BD. (5p) b) Aria triunghiului MBD. (5p) c) Volumul unei prisme triunghiulare regulate cu înălţimea egală cu AM şi baza echivalentă ABCD. (5p) 2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 9 cm, AD = 15 cm şi AA' = 20 cm. a) Calculaţi suprafaţa laterală, volumul şi diagonala paralelipipedului. (5p) b) Care este sinusul măsurii unghiului format de diagonala BD' şi planul (ABC)? (5p) c) Calculaţi distanţa de la punctul B' la diagonala (AD'). (5p) 3. Recapitulare finală
177
Testul 98 (Autor: prof. Dana Radu)
(Bareme la pagina 295)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Calculaţi: –3 + 5 – 8 + 6 + (–54) – (–8) 2. Un obiect costă 20 lei. După o ieftinire cu 30% el va costa .......... 3. Media aritmetică a numerelor
2
2
( 5 - 3) şi ( 5 + 3) este ...........
(5p) (5p) (5p)
4. Aria unui romb cu lungimile diagonalelor 4 cm şi 8 cm este egală cu ......... cm2. (5p) 5. Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimile muchiilor egale cu 4 cm, 5 cm şi 6 cm este egală cu ..........cm2. (5p) 6. Volumul unui cub cu muchia egală cu 4 cm este egal cu ........... (5p) SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Aflaţi x є , astfel încât numerele 2x, 6x – 8 şi 16 – 2x, să fie lungimile laturilor unui triunghi. (5p) 2 2 2. Găsiţi x, y є astfel încât: x + y + 2y + 5 = 4 · (x – y – 2). (5p) 3. Pentru plata unei lucrări efectuate de trei muncitori sumele au fost atribuite proporţional cu numărul de ore lucrat de fiecare muncitor. Ştiind că al doilea muncitor a lucrat de două ori mai multe ore decât primul şi de trei ori mai puţine ore decât al treilea, aflaţi ce sumă de bani a primit fiecare muncitor, ştiind că împreună au primit 7200 lei. (5p) 4. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC şi M mijlocul laturii [BC]. Ştiind că AABC = 15 cm2, calculaţi: a) AABG ; (5p) b) raportul dintre aria triunghiului MGC şi ABM. (5p) 5. În triunghiul ABC fie M, N puncte pe laturile [AB], respectiv [AC], astfel încât MN || BC. Ştiind că
AM = 3 şi AC = 16 cm, calculaţi NC. MB
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O piramidă patrulateră regulată VABCD are apotema egală cu a iar unghiul format de două feţe laterale opuse de măsură 60°. Calculaţi: a) aria totală a piramidei VABCD; (5p) b) volumul piramidei VABCD; (5p) c) distanţa de la O la planul (VBC). (5p) 2. Fie ABDA'B'D' o prismă triunghiulară regulată cu feţele laterale pătrate cu latura de 6 cm. Fie C simetricul lui A faţă de BD. Calculaţi: a) aria totală şi volumul prismei ABDA'B'D'; (5p) b) distanţa de la A' la dreapta BD; (5p) c) tangenta măsurii unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABD). (5p) 178
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Testul 99 (sesiune specială 2010)
(Bareme la pagina 296)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 624 : 3 este egal cu .......... 2 2. Inversul numărului este egal cu .......... 3
(5p) (5p)
3. Fie mulţimea A = {x Î |0 £ x £ 3}. Scrisă sub formă de interval mulţimea A este egală cu .......... (5p) 4. Un romb ABCD are diagonalele AC = 5 cm şi BD = 4 cm. Aria rombului este egală cu ........... cm2. (5p) 5. O prismă dreaptă ABCA'B'C' are ca baze triunghiurile echilaterale ABC şi A’B’C’. Dacă AB = AA' = 4 m, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu .............. m. (5p) 6. În graficul de mai jos, diferenţa dintre temperatura cea mai mare şi cea mai mică este egală cu .......... ºC. 35 30 25 20 15 10 5 0 −5 −10
ian.
feb.
mar.
apr.
mai.
iun.
iul.
aug.
sep.
oct.
(5p)
noi.
dec.
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC. (5p) 2. Media aritmetică a două numere naturale este 17,50 şi unul dintre ele este 7. Determinaţi al doilea număr.
(5p)
3. Preţul unui telefon mobil a scăzut cu 10% şi, după o săptămână, noul preţ a scăzut cu încă 10%. După cele două modificări de preţ, telefonul costă 81 de lei.
a) Arătaţi că preţul iniţial al telefonului a fost de 100 de lei.
(5p)
b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două ieftiniri? (5p)
4. Determinaţi valoarea numărului real a, ştiind că punctul A (2; a) aparţine graficului funcţiei f : → , f (x) = (2 − a) · x + 2. 5. Simplificaţi raportul
x 2 - 2 x -15 x 2 -10 x + 25
4. Variante date la examene
cu x − 5, unde x Î \ {5}.
(5p) (5p) 179
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D
1. Figura 1 reprezintă schiţa unui cort în formă de prismă dreaptă care are ca baze triunghiurile echilaterale ABC şi DEF. Se ştie că BC = 2 m şi CF = 3 m.
a) Calculaţi distanţa de la punctul A la planul (BCE). (5p)
b) Calculaţi volumul cortului.
c) Verificaţi dacă, pentru confecţionarea cortului,
A
(5p)
E
F
sunt suficienţi 22 m2 de pânză specială (toate feţele cortului sunt din pânză, inclusiv podeaua).
B
(5p)
C
Figura 1
2. Figura 2 reprezintă schiţa unui teren al cărui arie A este de 8 hectare.
P
D
a) Exprimaţi aria terenului în m2.
Pe acest teren, se sapă un şanţ [BP] pentru
canalizare (P Î AD). Unghiurile ABP şi PBC
sunt congruente. Valoarea raportului dintre aria
triunghiului ABP şi aria dreptunghiului ABCD este 0,25.
(5p)
b) Arătaţi că BC = 2AB.
(5p)
c) Calculaţi lungimea, exprimată în metri, a şanţului [BP] şi aproximaţi rezultatul
cu cel mai apropiat număr natural.
B
C
Figura 2
(5p)
Testul 100 (variantă dată la examen, mai 2010)
(Bareme la pagina 297)
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului 2 + 4 : 2 este egal cu ..........
(5p)
2. Media aritmetică a numerelor 2 şi 8 este egală cu ..........
(5p)
3. Dacă A = {1; 2; 3} şi B = {3; 4}, atunci mulţimea A Ç B este egală cu {..........}. 4. Un triunghi echilateral are latura de 4 m. Aria triunghiului este egală cu .......
(5p)
m2.
(5p)
5. O prismă dreaptă are ca baze triunghiurile echilaterale ABC, respectiv A'B'C'.
Măsura unghiului dintre dreptele AB şi B'C’ este egală cu ..... º.
vehicul pe parcursul a 5 ore. În această perioadă,
vehiculul staţionează timp de .......... ore. (5p)
Distanţa parcursă în km
6. Figura alăturată reprezintă graficul deplasării unui
(5p)
50 40 30 20 Timpul în ore
10 1
180
2
3
4
5
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf S şi bază ABC. (5p) 2. Un elev cumpără 10 cărţi, de literatură şi de matematică. El plăteşte 9 lei pentru o carte de literatută şi 7 lei pentru o carte de matematică, cheltuind astfel 76 lei. Câte cărţi de matematică a cumpărat elevul?
(5p)
3. O persoană are o sumă S de bani. În prima zi cheltuieşte 30% din suma S, a doua zi
1 din suma S. 4 a) În ce zi cheltuieşte cel mai puţin persoana respectivă?
(5p)
b) Persoanei îi rămân 100 de lei după cele 3 zile. Determinaţi valoarea sumei S.
(5p)
cheltuieşte 40% din suma S, iar a treia zi cheltuieşte
4. Reprezentaţi grafic funcţia f : → , f (x) = −x + 1. 5. Arătaţi că numărul p =
(5p)
2
( 5 + 2 ) - 2 ( 5 + 2 )- 5 ( 2 - 2 5 ) este natural.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. D'
1. Figura 1 reprezintă schiţa unui bazin în formă de paralelipiped dreptunghic
A'
ABCDA'B'C'D'. Baza ABCD are
B' C
D
AB = 12 m şi BC = 4 m, iar înălţimea paralelipipedului este AA' = 3 m.
C'
A
B
Figura 1
a) Calculaţi distanţa dintre punctele A şi C'.
b) Calculaţi aria laterală a bazinului.
(5p)
c) În bazin se află 96000 litri de apă. Calculaţi înălţimea la care se ridică apa în bazin.
(5p)
2. Figura 2 reprezintă schiţa unui patinoar format dintr-un dreptunghi MNPQ care are lungimea MN de 40 m şi lăţimea de 30 m şi din două semicercuri de diametre [MQ], respectiv [NP].
a) Patinoarul este înconjurat de un gard.
A
Q B M
(5p)
P C
Figura 2
N
Calculaţi lungimea gardului care înconjoară patinoarul.
(5p)
b) Verificaţi dacă aria patinoarului este mai mică decât 2000 m2. (3,14 < p < 3,15)
(5p)
c) Un patinator parcurge distanţele AB, BC şi CA. Punctele B şi C sunt mijloacele segmentelor [MQ], respectiv [NP] şi A este mijlocul segmentului [PQ].
Calculaţi valoarea sinusului unghiului ABC.
4. Variante date la examene
(5p)
181
Testul 101 (variantă dată la examen, iunie 2011)
(Bareme la pagina 298)
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai răspunsurile. 1. Rezultatul calculului 6 + 16 : 4 este egal cu ..........
(5p)
2. Într-o urnă sunt 7 bile albe şi 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila
extrasă să fie albastră este egală cu ..........
(5p)
3. Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate
costă .......... lei.
3 4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu din lungime. 4 Lăţimea dreptunghiului este de .......... cm.
(5p) (5p)
5. În figura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' care are
toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele AB' şi CC'
este egală cu .......... °.
C'
B'
(5p)
A'
C
B
A Figura 1 6. În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute
la un concurs. Note mai mici decât 5 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 Nr. de elevi 8 12 25 20 15 8
Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu ..........
10 2 (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V
şi bază ABC.
(5p)
2. Determinaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea 3 a −1 = . 2 b +1 3. Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. După un timp, noul preţ al televizorului
s-a micşorat cu 10%. După aceste două modificări televizorul costă 1980 lei.
Determinaţi preţul iniţial al televizorului.
182
(5p)
(5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
4. Se consideră funcţia f : → , f (x) = – x + 2.
a) Reprezentaţi grafic funcţia f.
b) Determinaţi coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata şi aparţine graficului
(5p)
funcţiei f.
(5p)
5. Arătaţi că numărul a = ( 3 + 2 ) ⋅ ( 5 − 6 ) + ( 2 − 1) − 3 3 este natural. 2
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Prisma patrulateră dreaptă ABCDA'B'C'D' cu bazele pătrate (figura 2), reprezintă
schematic un suport pentru umbrele. Segmentul [AP] reprezintă o umbrelă care se
sprijină în punctul C'. Se ştie că AB = 30 cm, AC = CC' şi AP = 90 cm.
a) Calculaţi înălţimea suportului.
(5p)
b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta AP şi planul (ABC).
(5p)
c) Determinaţi distanţa de la punctul P la planul (ABC).
(5p)
D' A'
B'
P
C'
C
D B
A
Figura 2 2. Figura 3 reprezintă schiţa unei grădini dreptunghiulare în care sunt plantate flori
în trei zone, una în formă de cerc şi două în formă de semicerc, care intersectează
laturile [AD] şi [BC] doar în punctele A, B, C, D, E şi F. Zona circulară intersectează
cele două zone semicirculare doar în punctele M şi N. Se ştie că AB = 16 m.
a) O albină aşezată pe o floare situată în mijlocul diametrului [AB] zboară în linie
dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul M, apoi mai departe, tot în linie
dreaptă, până la o floare situată în punctul D. Calculaţi distanţa parcursă de albină.
b) Calculaţi aria suprafeţei din
grădină plantată cu flori.
c) Arătaţi că aria suprafeţei reprezentată
de porţiunea haşurată este mai mică
decât 111 m2. (3,14 < π < 3,15) (5p)
(5p)
M
B 4. Variante date la examene
E
A
(5p) D
N
F Figura 3
C 183
Testul 102 (variantă dată la examen, iunie 2012)
(Bareme la pagina 300)
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 12 + 12 : 4 este egal cu .............
(5p)
2. Media aritmetică a numerelor 7 şi 23 este egală cu .............
(5p)
3. Se consideră mulţimea A = {x ∈ | 2x ≤ 4}. Mulţimea A este egală cu intervalul ...........(5p) 4. Perimetrul unui romb cu latura de 4 cm este egal cu ............. cm.
(5p)
5. În figura 1 este reprezentat cubul ABCDEFGH cu muchia de 5 cm. Aria totală a cubului este egală cu ............. cm2.
H
(5p)
G
E
F
D
C
A
B Figura 1
6. În diagrama de mai jos sunt reprezentate rezultatele obţinute de elevii unei clase la un test. Numărul elevilor din clasă care au obţinut la test cel puţin nota 8 este egal cu ............. (5p) Numărul elevilor care au obţinut nota n
7 6 5 4 3 2 1 4
184
5
6
7
8
9
10
Nota n obţinută la test
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf V şi bază ABCD. (5p) 2. Se consideră numerele a = două numere.
4 şi b = 15 : 3 + 1 . Calculaţi media geometrică a celor 5 +1 (5p)
3. Într-o clasă sunt 26 de elevi. Dacă din clasă ar pleca două fete şi trei băieţi, atunci numărul fetelor ar fi egal cu dublul numărului băieţilor. Determinaţi numărul fetelor din clasă.
(5p)
4. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = −2 x + 3.
a) Reprezentaţi grafic funcţia f în sistemul de coordonate xOy.
b) Determinaţi numărul real a pentru care punctul A (a, –a) aparţine graficului funcţiei f. (5p)
(5p)
x −1 2− x , unde x este număr real, : x + 1 ( 2 x + 1)2 − ( x + 2 )2 x ≠ 1 şi x ≠ –1. Arătaţi că E ( x ) = 9 , pentru orice x număr real, x ≠ 1 şi x ≠ –1. (5p)
5. Se consideră expresia E ( x ) = 1 +
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat. Înălţimea vazei este de 40 cm, iar latura bazei este de 10 cm. În vază se toarnă trei litri de apă.
a) Calculaţi aria laterală a vazei.
(5p)
b) Determinaţi înălţimea la care se ridică apa în vază.
(5p)
c) În vază se introduc patru cuburi din piatră, fiecare cub având muchia de 4 cm. Determinaţi cu câţi centimetri creşte nivelul apei din vază, după introducerea celor patru cuburi din piatră. (5p)
2. În figura 2 este reprezentată schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu AB = 28 cm, şi BC = 21 cm.
D
A
E
C
B
Figura 2
a) Calculaţi lungimea segmentului (DB).
(5p)
b) Determinaţi aria triunghiului EAB, unde E este mijlocul laturii (CD).
(5p)
c) Arătaţi că sinusul unghiului AEB este egal cu
4. Variante date la examene
12 . 13
(5p) 185
Testul 103 (variantă dată la examen, iunie 2013)
(Bareme la pagina 301)
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 2 ore. SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 4 × 4 + 10 este egal cu ............. a 5 2. Dacă = , atunci numărul a este egal cu ............. 6 2 3. Cel mai mare număr natural care aparţine intervalului (3,9] este numărul ...........
(5p)
4. Perimetrul unui pătrat cu latura de 8 cm este egal cu ............. cm.
(5p)
(5p) (5p)
5. În figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH cu latura de 3 cm. Volumul cubului este egal cu ............. cm3.
H
(5p)
G
E
F
D
C
A
B Figura 1
6. În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obţinute la un test de elevii unei clase.
Notă Număr de elevi
1 0
2 1
3 3
4 1
5 4
6 5
7 6
8 5
La acest test, nota 8 a fost obţinută de un număr de ............. elevi.
9 4
10 1 (5p)
SUBIECTUL II (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful S şi baza ABC. (5p) 2. Arătaţi că
2 + 8 − 3 2 = 0 .
(5p)
3. Ana şi Bogdan au împreună 7 mere, iar Ana şi Călin au împreună 8 mere. Determinaţi câte mere are Ana, ştiind că, împreună, cei trei copii au 12 mere. 4. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x + 2. a) Calculaţi f ( 0 ) + f ( −2 ) .
b) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy.
186
(5p) (5p) (5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
x 2 1 , unde x este număr real, − 2 : ( x − 2 x − 4 x − 2) ( x + 2)
5. Se consideră expresia E ( x ) =
x ≠ – 2 şi x ≠ 2. Arătaţi că E (x) = 1, pentru orice număr real x, x ≠ – 2 şi x ≠ 2.
(5p)
SUBIECTUL III (30 puncte). Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. 1. În figura 2 este reprezentat un loc de joacă în formă de dreptunghi ABCD, cu AD = 20 m şi diagonala BD = 40 m. D
C
A
B
Figura 2
a) Arătaţi că AB = 20 3 m .
b) Verificaţi dacă unghiul dintre diagonalele dreptunghiului ABCD are măsura egală cu 60°.(5p)
c) Arătaţi că aria suprafeţei locului de joacă este mai mică decât 700 m2. Se consideră cunoscut
(5p)
faptul că 1, 73 < 3 < 1, 74 .
(5p)
2. În figura 3 este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Dimensiunile stupului sunt AB = 4 dm, BC = 6 dm şi AA' = 8 dm. H G E
F
D A
C B
Figura 3
a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD.
(5p)
b) Determinaţi aria totală a paralelipipedului ABCDA'B'C'D'.
(5p)
c) Arătaţi că PQ = 13 dm, unde {P} = AB' ∩ A'B şi {Q} = BC' ∩ B'C.
(5p)
4. Variante date la examene
187
BAREME DE EVALUARE ŞI DE NOTARE SUBIECTUL I • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte. • Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Total 100 puncte din care 10 sunt din oficiu. • Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Testul 1 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 2
2. 6
3. 41
4. 54 cm
5. 25 π
6. 0°
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.
Desenează corect.
(5p)
2.
10 (10 x + y − 10 y − x ) = 10 ( 9 x − 9 y ) = 90 ( x − y ) 15
(2p)
3.
4.
188
(3p)
a) n = nr. elevilor
n = 4c1 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 4 n = 6c2 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 6 ⇒ n = 9c3 + 2 ⇒ n − 2 ∈ 9 [ 4; 6; 9] = 36
(4p)
⇒ n − 2 ∈ 36 ⇒ n = 38.
(1p)
b) [4; 6; 9] = 36 ⇒ 36 copii
(5p)
– 3 ≤ 2x – 1 < 5 | + 1
(1p)
– 2 ≤ 2x < 6
(1p)
| : 2
– 1 ≤ x < 3
(1p)
A = {0; 1; 2}
(1p)
Suma elementelor este 3.
(1p) Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
5. 1, 44 = 1, 2 ∈ .
6
(1p)
1 = 4
Numerele iraţionale ale mulţimii A sunt
25 5 = ∈ 4 2
1, 44 ; − π;
(1p)
3 . 2
(3p)
SUBIECTUL III (30 puncte) 1.
a) Pfigurii = l + lBC + lCD + DA = πr + πR + πr + 2 R; cum R = 2r AB ⇒ Pfigurii = πr + 2r π + πr + 4r = 4πr + 4r = 4r ( π + 1) m b) Afig. colorată =
(2p) (3p)
πR 2 π 2 2 = ⋅ 4 r = 2πr 2 = 20π = 20 ⋅ 3,14 = 62, 8 m 2 2 12
(5p)
c) AABCD = AB ⋅ BC = 2r ⋅ 4r = 8r 2 = 8 ⋅12 m 2 = 96 m 2 d) 1 kg x kg x= 2.
96 = 3, 2 kg 30
(5p)
m2
30 96 m2
(2p)
(3p)
a) CD = 3 m; AD = 2 CD ⇒ AD = 6 m ADCE = dreptunghi ⇒ CE = 6 m În triunghiul CEB; m ( E ) = 90°; m ( B ) = 45° ⇒ triunghiul CEB este dreptunghic isoscel ⇒ CE = EB = 6 m. ( CD + AB ) ⋅ AD 12 ⋅ 6 3 = = 36 m 2 AABCD = 2 21
(1p) (1p) (1p) (1p) (1p)
b) Notăm cu x cantitatea cumpărată 10 100 ) x− ⋅ x = 36 100
(2p)
4
90 100 ⋅ 36 ⋅ x = 36 ⇒ x = = 40. 100 1 90 Trebuie să cumpere 40 m2 de gresie.
(2p) (1p)
Testul 2 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. –3
3n + 1
2.
(5p)
(5p)
3. {– 12, – 6, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
4. 6
5. 24
6. 13 sept. 2012
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
Răspunsuri, rezolvări, bareme
189
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.
Desenează corect unghiul.
(2p) 30°
Desenează corect laturile congruente. (3p) 2.
3.
14 · 3 = 42 ani reprezintă triplul vârstei actuale 42 – 14 = 28 Răspuns: peste 28 de ani.
(2p) (3p)
a)
numărul numerelor prime mai mici decât 50 numărul total al bilelor ▪ Sunt 15 numere prime 15 3 = ▪ . 10 10 ▪ P (număr prim) =
(2p) (2p) (1p)
b)
numărul pătratelor perfecte mai mici decât 50 numărul total al bilelor ▪ Sunt 7 pătrate perfecte mai mici decât 50 7 ▪ 50 ▪ P (număr pătrat perfect) =
4.
(1p) (2p)
Scriem ca pătrate perfecte: 4 − 2 3 = 3 − 2 3 + 1 = ( 3 − 1) ; 4 + 2 3 = 3 + 2 3 + 1 = ( 3 + 1) 2
(
A= 5.
(2p)
2n +1 ⋅ 3n n
n +1
2 ⋅3
3 − 1) + 2
=
(
2 ⋅ 2n ⋅ 3n 2n ⋅ 3n ⋅ 3
3 + 1) − 6 3 = 2
=
3 −1 +
2
3 + 1 − 6 3 = −4 3 < 0
2 3
(2p) (3p) (5p)
SUBIECTUL III (30 puncte) 1.
190
a) ▪ Ipotenuza triunghiului dreptunghic având catetele de 3 m şi respectiv 4 m are lungimea de 5 m (se află aplicând teorema lui Pitagora). ▪ Perimetrul terenului în formă de pentagon este egal cu 4 + 3 + 4 + 3 + 5 = 19 m. ▪ Gardul are 6 rânduri de sârmă, deci necesarul este 6 · 19 = 114 m.
(2p) (2p) (1p)
b) 3⋅ 4 ▪ Suprafaţa celor două parcele în formă de triunghi dreptunghic este 2 ⋅ = 12 m 2 . 2 ▪ Necesarul:12m 2 ⋅ 0, 025 kg/m 2 = 0, 3 kg gazon. ▪ 0, 3 ⋅ 32 = 9, 6 lei a costat gazonul.
(2p (1p)
c) ▪ Pe primul rond se plantează 8 · 3 = 24 tufe, pe al doilea 6 · 3 tufe, pe al treilea 4 · 3 tufe, iar pe rondul central 2 · 3 tufe. ▪ Necesarul este 24 + 18 + 12 + 6 = 60 tufe de trandafiri. ▪ 1 tufă costă 10 : 3 lei, deci 60 tufe vor costa 200 lei.
(3p) (1p) (1p)
(2p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
2.
a) ▪ Înălţimea triunghiului echilateral este 18 cm. 18 3 18 36 ▪ sin 60° = ⇔ = ⇒l = ⇒ l = 12 3 cm. l l 2 3
(2p) (3p)
b) ap = 6 cm.
(5p)
c) ▪ A∆ = ▪ A∆ =
l2 3 4
(12 3 )2 ⋅
▪ A discului ▪
(1p)
3 144 ⋅ 3 ⋅ 3 = = 108 3 cm 2 4 4 = πR 2 = 144π cm 2
(1p) (1p)
A∆ 108 3 3 3 = = A disc 144π 4π
(2p)
Testul 3 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 4
2. 2,34
3.
2 3
(5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte) 1.
(5p)
12 muncitori 1 muncitor 18 muncitori
4. 36 cm
5. 17 m
6. 2008
(5p)
(5p)
(5p)
15 zile 15 · 12 zile 15 ⋅12 zile 18
Răspuns: 10 zile 2.
3.
(2p) (1p)
50 ⋅ 120 = 60 lei (creşterea); 120 + 60 = 180 lei (preţ după creştere); 100 50 ⋅ 180 = 90 lei (scăderea); 100
(2p) (2p)
180 – 90 = 90 lei (preţ final)
(1p)
1 ; y = 10 ⇒ x < y 9
(5p)
91 10 ; Mg = 18 3
(5p)
a) x =
b) M a =
4.
(1p) (1p)
a2 = 2 − 3 + 2 ⇒ (a − 6 )
1000
(2 −
3 ) ( 2 + 3 ) + 2 + 3 ⇒ a2 = 6 ⇒ a = 6 ( a > 0) ⇒
(10p)
=0
Răspunsuri, rezolvări, bareme
191
SUBIECTUL III (30 puncte) 1.
a) ∆MAD ≡ ∆NAD ( LUL ) ⇒ DM = DN ⇒ triunghiul DMN isoscel
(5p)
M ≡ N ( triunghiul DMN isoscel ) ULU b) [ AM ] ≡ [ AN ] ipoteza ⇒ ∆ ABM ≡ ∆ AEN MAB ≡ EAN ( acelasii complement )
(5p)
c)
∆ ABM ≡ ∆ AEN ⇒ [ AB ] ≡ [ AE ] ⇒ triunghiul ABE isoscel ⇒ AP ⊥ BE (5p) Notam AD ∩ BE = {P} ; ( AP − bisectoare d)
MN ⊥ AD ⇒ MN BE BE ⊥ AD
a)
PM ⊥ AB ⇒ MP ⊥ DC AB DC
2.
(5p)
⇒ m ( M ) = m ( P ) = m ( N ) = 90° ⇒ MQNP este dreptunghic
(5p)
b)
PABCD = 2 ⋅ (10 + 6 ) = 32 m (a parcurs Mihai)
AQPD – trapez isoscel (AQ || DP şi AD = MN = PQ) BQ = DP DP + AQ = BQ + AQ = AB = 10 m PAQPD = AQ + QP + PD + DA = 2 · 6 + (AQ + DP) = = 12 + 10 = 22 m (a parcurs Andrei)
(5p)
Testul 4 SUBIECTUL I (30 puncte) 1.
2.
3.
4.
5.
6.
– 27
3− 7 2
x ∈ {2; 5; 8}
48
14
15
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
SUBIECTUL II (30 puncte) Q
1.
P
Desenează corect.
M
2. 192
62,5 : 12,5 = 5 cutii
(5p)
N (5p)
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
3.
a) a2 = 3; a3 = 6; a4 = 9; a5 = 12; a6 = 15; a7 = 18; a8 = 21; a9 = 24; a10 = 27 a1 + a2 + ... +a10 = 137; Suma numerelor impare este: a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 75; Suma numerelor pare este: a1 + a3 + ... + a9 = 62 b)
4. 5.
(2p) (1p) (1p) (1p)
P ⋅ 75 = 62 ⇒ P% = 82, ( 6 ) % 100
A=
(5p)
324 + 576 900 + 2 ⋅ 675 − 576 = + 2 ⋅ 100 = 3 + 2 ⋅10 = 23 ∈ . 36 + 64 100
(5p)
4 x3 − 24 x 2 + 36 x =
= 4 x ( x2 − 6 x + 9) = 2 = 4 x ( x − 3)
(2p) (3p)
SUBIECTUL III (30 puncte) 1.
a) m ( DAC ) = 30° AD ⇒ ⇒ CD = 2 m ( ACD ) = 90°
B
C
⇒ AD = 12 dam ⇒ CA = 6 3 dam. 30° Fie CQ ⊥ AD ⇒ CQ = CA = 3 3 dam; A 2 AQ 3 cos 30° = ⇒ AQ = 3 6 3 ⋅ = 9 dam ⇒ QD = 3 dam AC 2 ABCD = trapez isoscel ⇒ PQ = BC = AD – QD · 2 PQ = 12 – 3 · 2 = 6 dam ⇒ AB = BC = CD = 6 dam PABCD = AB + BC + CD + AD = 6 · 3 + 12 = 30 dam b) AABCD =
( AD + BC ) ⋅ CQ (12 + 6 ) ⋅ 3 3 = = 27 3 dam 2 2 2
(1p) D (1p) (1p) (1p) (1p) (5p)
c) AABC = AABCD − AACD (2p) AACD = 2.
6 3 ⋅6 = 18 3 dam 2 ⇒ AABC = 27 3 − 18 3 = 9 3 dam 2 2
(3p)
a) AC = 100 + 300 = 20 m. Aplicăm teorema catetei în ∆ABC ⇒ AB2 = AM · AC ⇒ AM = 5 cm ⇒ MC = 15 m; BM = AM ⋅ MC = 5 3 m (2p) ∆ BMC ~ ∆ NMA ⇒ BM =
BM MC 15 5 3 25 3 5 3 m = ⇒ = ⇒ MN = = MN MA 5 MN 15 2
AM ⋅ MC = 5 3 m
(2p) (1p)
3
b) sin ( m ( MBC ) ) = MC = 15 = 15 3 = 3 ⇒ m ( MBC ) = 60° BC 10 3 2 10 2 ⋅ 3 Răspunsuri, rezolvări, bareme
(5p) 193
c) AAMN = AADC
AM ⋅ MN 5 3 1 25 3 2 = 5⋅ ⋅ = m 2 3 2 6
25 3 A AD ⋅ DC 10 ⋅10 3 1 = = = 50 3 m2 ; AMN = 6 = 2 2 AADC 50 3 12
(5p)
Testul 5 SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 6
2. 23
(5p) (5p) SUBIECTUL II (30 puncte)
3. –5
4. 8
5. 12
6. mai 2010
(5p)
(5p)
(5p)
(5p)
1.
Desenează corect.
(5p)
2.
1 1 1 6 + + = =1 2 3 6 6
(5p)
3.
a) B = {– 1; – 9; 10; 4}; A ∩ B = {– 9; 4}
(5p)
b) x, y ∈ ⇒ 2x – 1 = 7 şi 5y = 10 ⇒ x = 4 şi y = 2
(5p)
4. 5.
3x < 7 ⇔ x