Matematica indolore. Per applicazioni economiche, politiche, sociali, manageriali [1° ed.] 8834853512, 9788834853511

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GIANFRANCO GAMBARELLI - STEFANIA MERCANTI

MATEMATICA INDOLORE PER APPLICAZIONI ECONOMICHE, POLITICHE, SOCIALI, MANAGERIALI con tavole di Bruno Bozzetto

G. GIAPPICHELLI EDITORE- TORINO

C CO!').,;pl2005- G. GIAPI'IOIELU EDITORE- TORINO '1-l.HO. ~I- TEl.. Oll-81.53.lll- FAX 011-81.25.100 hllp:/t...,..,..giappicbclli.i!

ISBN 88-34&-5351-2

l

D

me IV

-CEI.SB. Bcrpmo, l990 -CEI.SB.Bcrpmo.l992 CEI.SB, Bcrpmo, 2001

Le COIIIpdtmr...., di GiaDfnDc:o Gambonlli n:lative al pn:senle volume sono devolule, per opere di bene, al Gni!opoC"IIIlA!Ia. Saioae di Bcrpmo. deU'Associaziooe Noziooale Alpioi.

Lo - d i Bnmo Bozuuo 1000 51a1e disegnale 8J31uitamenle. Shk:i ddla preiCDIC opera sooo riponati sul volume di Gianfranco Gambarelli Anche i matematici /~anno un'ani... ?- rol./1 S.rioJilll. VD cd. Campuouo, Udioe, 2004. Pn ddla PresemazioDe ~ trana dagli Atti del Convegno LA Matematica e le sue applicazioni organizzato doli'- di Scieau,l...eften: cd Arti di Bagamo, Edizioni dell' Aleoeo (G. Gamban:lli ed.), Bergamo, 2001 .

c-p..jtioft O è il segmento orientato CD , mentre quello relati· vo al passaggio da x a x+ h1 , con h1 >, si può quindi scrivere Paolo JR gelato oppure (Paolo, gelato) E R . Una relazione può anche sussistere fra due insiemi coincidenti: si parlerà allora di relazione di un insieme su se stesso o più semplicemente di relazione in un insieme. Una relazione JR può avere diverse proprietà, ad esempio:

• Proprietà riflessiva: una relazione 1R in un insieme S è riflessiva sse ogni elemento dell'insieme è nc:na relazione IR con se stesso. V'x ES (xJRx) oppure V'x ES ((x,x) EIR). Ad esempio la concentricità fra circonferenze @ ha la proprietà riflessiva.

• Proprietà simmetrica: una relazione 1R in un insieme S è simmetrica sse per ogni coppia di elementi dell'insieme che appartiene a IR, anche la coppia ottenuta scambiando fra loro le componenti appartiene a IR . Vx,yES (xJRy-+yiRx) oppure Vx,y ES ((x,y)E IR -+ (.v,x) E R ). Esempio: ancora concentricità (se la circonfe':nza x ha lo stesso centro della circonferenza y, allora la y ha lo stesso centro d1 x). 21

•

· · antmmme · · rr·IC.. una relazione lR in un insieme S è antisimmetrica • • s.-ro è soddisfatta per 01 = 3, az =O e a1 =-l. reaztonea1:! +02:! +O>:!--

Jf,

59

o of,

lnv= i Ire vetton. ! •-[1 - .

~"""" "''~~w

lineannente indipendenti. .

of

~'=[o

e ~l

=[O

~; ,..~;

ttori fondamentali di IR l

·

o .

-l -si dicono ve~on ,; fondamie~"' • R• ' '""'"'"';''m~erale, W:a componente e nulle tutte le a tre. n - . ctascuno . dei quah ha ugua e a dipendenti e•

=[l o

of of

~'=[o

e'=[O

O ···

lf.

- Eposstte . .b.l dimostrare che ogni vettore :! =[x.. x2 x, r e IR n può escombinazione hneare dei vettori fondamentali sere espresso mediante la 2 " 1

l

~l,t/", ...,f!.",infatti :!=X1f!. +X2f!. + ... +Xnf!.

•

Per esempio:

[!] =2[~]u[~]

l7.HiH:HH Diciamo che lo sno•;o vettoriale V ha dimensione m sse estste un s · ottoinsieme0 di v costituito da mrvettori linearmente indipendenti :!1, •••, :!'" (che st. ch"aman 1 ombase per lo spazio vettoriale) tali che ogni vettore di V si può esprimere come c binazione lineare di tali vettori.

~·,

In particolare è possibile affennare che gli n vettori fondamentali ···• l costituiscono una base (detta base canonica) per lo spazio vettoriale IR n e si te d" e perciò che Il. • è uno spazio vettoriale n-dimensionale.

unaÈbase. PDSsibile dimostrare che ogni spazio vettoriale V di dimensione m ha più di 1

Per CSempio in Il. (spazio tridimensionale) la base canonica è costituita dai tre vettori fondamentali ! 1·!' ·!1 , ma anche i tre vettori x1 =[1 l of' !' =[1 e l costituiscono una base di -11. l.

° IF ~·=[o

60

IF

1.12. Prodotto interno e norma Lo spazio R " ha una struttura assai più ricca di quella che appare dalla definì· zione di spazio vettoriale. Infatti non solo si possono eseguire in R" operazioni come sonuna di vettori e prodotto di vettori per scalari, ma si può anche introdurre, ad esempio, una "distanza" tra punti. Questa possibilità non consegue dalle pr~ prietà algebriche di questo spazio, ma da altre proprietà comuni agli spazi euclidei, che ora illustreremo. Siano ! e ~ due vettori dello spazio n-dimensionale R" . Si dice prodouo intemo di ! per

~

.

il numero reale, indicato con , cosi definito:

..

=,!r · y=x,y, +X2Y2 +... +x.y. =Lx,y,. , Il prodotto interno è un'applicazione R"xR"--+R che possiede le

-

seguenti proprietà: '~!·~e~eR"

e "Vo.eR

l)=

2) = O. 3)

=+

4) ;::o e=O~ !=Q.

Da queste proprietà segue anche: = o. e =+ .

Esempio. Calcoliamo il prodotto internO dei vettori ! = [l

-2]'e~=[3

-1

of.

=1·3+3·(-1)+(-2) · 0= o.

· < > = O Per esempio la base canonica Due vettori si dicono ortogonah sse ! •~ · in R. " è costituita da vettori a due a due ortogonali.

. . s· h"ama norma di -x e si indica con il simbolo S1a x un vettore d1 R". 1 c 1 R h soddisfa le seguenti proprietà: una qualunque applicazione R • --+ c e

1!1

'~!.~e R.• e"Vo.eR 61

n l!I~O; l!I=O ++:!=Q 2)

la!l=lai·W\

J)

~+ dsW+k~ (detta disuguaglianza triangolare). Dato un vettore :!: e R •, alcune particolari nonne di uso comune sono:

-la norma assoluta

-la norma euclidea

-la norma infinita

Per n S 3 la norma euclidea corrisponde alla classica definizione della lun· ghezza del segmento associata al vettore :!: •

EsemjHo.

:!:=[3 -8 o JSr.siha: W,= ~lx• l=131+1-sl+!oJ+Iv'SI= ll+v'S Sia

w,= Vf:ix; 'f.; =~9+64+0+5 =.fi8 W.= .~~Jx,l =8. 1.13. Caratterizzazione to Cerchiamo di rapprese tar

. . polog•ca de1 punti di un insieme

IR' l"aJlllrelentato in fi.,,~dael con una fonnula ben fonnata l'insieme dei punti di .,_. rettangolo A:

62

;:::::o o

2

4

5 6 7 .,

La simbologia adoperata per descrivere l'insieme A è molto utile nel caso di insiemi nello spazio n-dimensionale, dove i grafici sono impossibili.

Proviamo ora a rappresentare, con una formula ben formata, il seguente insieme Bin /R 2 • '2

....!!215 ------7--------, l

' ... -~ ... "

6 5

B

4

3 2

o

l

2

4 9 5 6 7 .,

2

L'insieme B, come si può osservare, ha una parte comune all'insieme A, ma in

. ha il semicerchio di centro (92,7) e raggio. 23·Qu' di· p1ù 10

B

·

={!e JR21 3S x1 S6A2:S x2 ~n}v{! e IR 21{!·(~· 7 )) 5 %}

Si consideri ora il seguente insieme: 63

l'insieme C è costituito dai punti dell'insieme B privato di tutti i suoi punti di ascissa uguale a 3. ma compreso il punto di coordinate (3,7). '2

15

.J!...

7--------, 6 4

3 2

o

l

2

49

2

s

6 7 •t

Per scrivere l'equazione caran . . ,. . tomo basta togliere tutti · . d' ensttca dell msteme C privo di tutto il suo con· 1 segm 1 uguale. Sia A un insieme di punti di /R. • • PaDto illterao Un punto -• x st· """ ~'-interno ad A sse es. ste 1m no un intorno cin:oJare di l a ex . !o tutto contenuto in A: -• llllernoadA =~ 3• fR+ -, . ue (/~(!o)c A) PIUito este1110 Un PIDIIo y

l

'

· d'

-• SI

•ce esterno ad A

. sse ~. non appaniene . comune con enoA·un tntomo circo) are dt. ~. non avente PIDIIt. m

ad A ed esiste alm

!c.t esterno actA==

· "'t

64

~ 0 t!AA30e/R+(/ (

) ~~o l"'\ A =0)

A

O' ' ,--'

• lo• \

A

;

... ,

'-

Ad esempio si consideri la corona circolare descritta dalla seguente formula ben formata: A=biR'Il:sd{!,f):>2}. Si anali22i il punto J: in figura. È un punto interno all'insieme A? Esiste cioè un intorno di questo punto tutto contenuto nell'insieme? No! 4 È un punto esterno, perché esiste un intomo di quel punto la cui intersezione 3 con l'insieme A è l'insieme vuoto. 2

o Punto di frontiera Un punto !o si dice di frontiera per A sse non è né interno né esterno ad A. Si può verificare che in ogni suo intorno circolare esistono sia punti di A che punti che non appartengono ad A:

\ 0 2 3

'

4 5

6

7 8

x,

'

l

'

'

A

!o punto di frontiera per A = dtf. \Ili E .1R + 3!:, i: E l, (! 0 )(i E A "i: i! A). È giusto dire che un punto !o è di frontiera per A sse esistono dei punti di un intorno che appartengono ad A (ad esempio!') e altri che non appartengono ad A (ad esempio!")? No!!! Osserviamo i seguenti disegni:

:o·: -·x"', '

'

x'

- _•:,

l

A

. bbe di frontiera sia nel primo caso Stando all'ultima definizione, ti punto ;!:osare 65

. . • è unto esterno di A e nel secondo ;o è che nel sccondo • ma nel pnmo d1segno ~· P

punto interno. . Deve invece accadere che ogni mtorno circolare di :o abbia almeno un punto che appartiene ad A e almeno uno che non appartiene ad A.

_. ... : : ~ , ,'t~; - - ' '~'---\\~ ''

Un pm~to di frontiera appartiene all'insieme? '2

Consideriamo l'insieme C già visto. !2 n punto ! appartiene all'insieme c e co- 2 mm~que si consideri un intorno di tale punto, 7 in quell'intorno vi sono almeno Wl punto dell'insieme e almeno uno non dell'insieme: il 6 punto! è quindi di frontiera per l'insieme C. S Consideriamo ora il punto x che non ap- 4 3 partiene all'insieme dato. Anche in questo caso in ogni intorno cir- 2 colare di x cadono almeno un pWito di C e uno non di C: anche il punto x è dunque di frontiera per C. o

\

!

l

l l

v.

'

l

\

l

-

c

l

2

49

2

s

6

7 XI

. Quindi ~ punto di frontiera può appartenere, oppure non appartenere, ali 'insieme consulerato. Punto isolato Un punto ~. si dice punto isolato dell'insieme A sse appartiene ad A ed esiste un suo intorno che, all'infuori di ~•• non contiene altri punti di A, cioè:

~.punto isolato="" w e AA3!\e fR• ('V

l L ) A) :!E 6~o -~.~:!!!! . · esempio, 1' insieme dei punti a coordinate

. -O

Consideriamo, ad

z ' =z x z .

intere

..[(, -----\!) •

o • -2

Consideriamo il punto di coordinate

l

•

I..Jì

4

x,

8

(v'i, J6} esso non appartiene a z

2•

Rispetto a Z 2 questo punto è esterno, perché esiste un suo intorno la cui intersezione con l'insieme z 2 è vuota. Consideriamo ora il punto di coordinate (1,-2). Esso appartiene a Z

2•

È interno all'insieme z 2 ? No. Infatti non esiste alcun intorno di questo punto tale che tutti gli elementi dell'intorno appartengono all'insieme. È esterno all'insieme z 2 ? No. Il fatto che tale punto appartiene all'insieme Z un punto esterno.

2

implica che non può essere

È un punto di frontiera per Z 2 ? Si. Comunque si prenda un intorno del punto, a tale intorno appartiene un punto di Z 2 (è il punto stesso considerato) e un punto non appartenente a Z 2 -

Oltre che essere di frontiera, tale punto è isolato, perché esiste un intorno di

(1,-2) tale che tutti i punti di tale intorno, ad eccezione di (1,-2), non appartengono all'insieme . Si osservi ~he ogni punto isolato di qualsiasi insieme A è anche punto di fronhera per A. 67

Pnto di accumulazione Un punto Lo (che può oppure no appartenere ad A) si dice punto di accumuJa. ziooe di A sse in ogni suo intorno sono contenuti infiniti punti di A o, equivalente· mente. sse in ogni suo intorno è contenuto almeno un punto di A distinto da Lo . Se infani in ogni suo intorno v'è un punto di A allora ve ne sono infiniti: basta considerare, per esempio, l'intorno con centro in Lo e raggio r, poi quello con rag· gio r/2, r/3, r/4 ... e cosi via. È facile verificare che ogni punto interno ad A è punto di accumulazione di A; nessun punto esterno ad A è punto di accumulazione di A; un punto della frontiera di A può essere o isolato o di accumulazione. Ad esempio il punto (1,-2) dell'esempio precedente non è un punto di accurnu· lazione. Frontiera di un insieme per~.defmisce frontiera di A e si indica con F(A), l'insieme dei punti di frontiera Chiusura di un insieme Si defmisce chiusura di A l'" · , chiusura di A A F(msteme ottenuto dali unione di A con la sua frontiera: =44. u A). Negli esempi grafici fani all'inizio d 1 gica dei punti di un insieme ri ha h e .para~fo sulla caratterizzazione topolo, su c e B e la cb tusura dell'insieme C. l•te111o di un Insieme . Si definisce interno dell'insieme A . . . stemeA privato della frontiera: est mdtca con lnt(A) (oppure con A0 ) l'in· lni(A) ="'f. A l F(A).

~~?te,l:intemo di ogni insieme è e A e pnvo dt frontiera, l'intem

,. . . .anche l tnsteme dei suoi punti interni. o COtnctde con A.

Insieme derivato Si defmisce insieme deri . cumulazione di A vato dt A e si indica , ,. . . Vale la · con A l msteme dei punti dt ac· seguente relazione: lnt(A) ç;; A' l•aleme chiuso Un insieme A . . !.mela con buccia) e chtuso sse coincide con la h" · sua c •usura, cioè A = A v F(A) 68

Si p~ò ve~ficare che A è chiuso sse contiene tuni i propri punti di accumulazione, CIOè A ç A . Per gli insiemi chiusi valgono le seguenti proprietà: i) l'insieme vuoto 0 e l'intero spazio IR" sono insiemi chiusi· ii) l'intersezione F. di un numero finito o di infiniti insiemi• chiusi F• è un in-

n

. UF•

sieme chiuso; iii) l'unione

•

di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

hcl

Insieme aperto Un insieme A è aperto sse coincide con il suo interno, cioè sse A = Int(A) (mela sbucciata). Ovviamente A è aperto sse ogni suo punto è punto interno. Per gli insiemi aperti valgono le seguenti proprietà: i) l'insieme vuoto 0 e l'intero spazio IR" sono insiemi aperti; di un numero finito o di infiniti insiemi aperti ii) l'unione

uo.

o.

è un insieme

h

aperto; iii)l'intersezione

no.

di un numero finito di insiemi aperti è un insieme aperto.

h= l

Si osservi che l'insieme vuoto 0 e l'intero spazio IR" sono i soli due insiemi sia aperti che chiusi. Insieme denso in un altro Si dice che l'insieme B è denso nell'insieme Asse qualunque intorno di un qualunque punto di A contiene almeno un punto di B: B denso in A =dO

con n pari con ae(O,I)v(l,+oo)

Esempio. Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: • /(x)=~ .t'+I

x' +l ,o O

• /(x)=Vxl-S.t+6

1

x .. -l

XoO-(

D :(-oo,-J)v(-J,+