Matematica e immaginazione

Table of contents :
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INTRODUZIONE
NOMI VECCHI E NUOVI
AL DI LÀ DEL GOOGOL
PIE (pi greco, i, e) TRASCENDENTE E IMMAGINARIO
GEOMETRIA ASSORTITA - PIANO E FANTASIA
PASSATEMPI DEL PASSATO E DEL PRESENTE
PARADOSSI VECCHI E NUOVI
CASO E CASUALITÀ
LA GEOMETRIA DI UN FOGLIO DI GOMMA
VARIAZIONE E VARIABILITÀ - IL CALCOLO
MATEMATICA ED IMMAGINAZIONE
INDICE

Citation preview

-

.

Matematica e .

.

'

.

I",maglnazlone ..

d.E. KASNER e J. NEWMAN

• O • . p-. A NI

AVVENTURE UNA RACCOLTA

DEL

PENSIERO

DI VOLUMI IMPENSAT I,

CHE LA.

SCIANO IL LETTORE ORA PENSOSO, ORA COMMOS­ SO,

ORA

SBALORDITO, TRASPORTANDOLO IN UN

MONDO RARAMENTE ESPLORATO DA I LIBRI, Q UASI UN'OASI LONTANA DALLE CURE

E DAI PENSIERI ABITUALI

VOLUME LXII

MATEMATICA E IMMAGINAZIONE di KASNER e NEWMAN

Due eminenti Icient.iati: Edward Kasner, uno dei Bei più illustri motematici del mondo, e James Newman, suo col­ laboratore, in un linguaggio che per essere vivo e chiaro non perde nulla della sua solidità scientifica, guidano il lettore alla scoperta di quelle meraviglie di cui il mondo della scienza non è meno ricco del mondo della fantasia. Nessuno può scorgere la danza vorlicosa degli eleuroni, il più potente telescopio non può rivelare che una minima parte delle stelle più lontane... ma ecco che la mate­ matica, unita all'immaginazione, riesce a ridurre a misure umane questa realtà meravigliosa. Ecco la spiegazione del .. Googolplex", il più grande numero definito, tanto grande che se immaginaste di fare un viaggio fino alla stella più lontana, disseminando su ogni centimetro del percorso uno zero, non trovereste abbastanza spazio per 8criverlo. Ecco le geometrie piane e fantastiche; ecco i rompicapi fllmusi che, divertendo innumerevoli generazioni di uomini comuni, hanno fatttl la storia della matematica; ecco le spiegazioni sciEntifiche del giuoco dei dadi e delle monete ... Questo viaggio nel mondo dei numeri colossali sotto la guida di ,Iue �cienziati è una miniera di piacevoli cognizioni per il ,Iilcttante e un nuovo orizzonte aperto al metematico che I rov"fà a piè di pagina i riferimenti e gli sviluppi scienti­ fi .. i ,lei problemi prospettati nel testo.

Volume di 400 pagine

____

BOMPIANI

AVVENTURE

DEL

PENSIERO VOLUME LXII:

MATEMATICA E IMMAGINAZIONE

I

MATEMATICA E IMMAGINAZIONE DI

EDW ARD E

KASNER

JAMES NEWMAN

VALENTINO

BOMPIANI

1948

Titolo originale MATREMATICS AND TRE IMAGIN ATION a cu.a del P.o!. ENRICO

BOMPIAN

O.d. nella Unie v ni à t

TraJuzione Jall'ingle8. Ji

GIOIETTA BOMPIANI e MARIA CASTELLANI

Stampato in Italia· P.inted in ltaly Proprietà

lotteraria

Soc. An. Ed. VALN E TINO COriO Porla Via Giv o anni

ri.er"ata

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E

In qu�sta ultima decade sono diventate di moda le pu bblicazioni di volgarizzazione della scienza. Anche i giorna li, i supplementi domenicali e le ri­ viste hanno destinato largo spazio alla relatività, alla fisica atomica e alle ultime meraviglie dell'astrono­

mia e della chimica. Sintomatico in tutto quest o è l'a umentato desiderio di conoscere quello che avvie­ ne nei laboratori e neg li osservatori ed anche nei te­

muti ed ispirati conclavi degli scienziati e dei mate­ matici; ciò nonostante gran parte della scienza moderna è avvolta in un velo di mistero, apparen­ temente impenetrabile. Prevale largamente la con­

vinzione che la scienza, simile alla magia e alla alchimia del Medioevo, sia praticata e possa essere compresa soltanto da un piccolo gruppo di iniziati. Il matematico è tuttora rig uarda to come un eremita che conosce poco della vita estranea alla sua cella, che passa il suo tempo, compon en do incredibili e incomprensibili teorie in un gergo strano, aspro ed ermetico. Tuttavia le persone intelligenti che si log ora no nella nervosa esistenza quotidiana, nel pungente urto dei bisogn i di ogni giorno hanno sete di ap­ prendere i risultati di una vita piu calma e contem5

piativa, regolata da un tempo che, deliberatamente procede piti lento . La scienza, particolar.menie la matematica, sebbene appaia meno pratica e me­ no reale delle notizie contenute nell'ultimo comu­ nicato radio, risulta costruttrice di uno dei piti per­ mane.nti e stabili edifici della nostra epoca, ment re altri stanno crollando o sono ridotti in briciole. Con questo non s'intende dire che la scienza non abbia intrapreso mutamenti rivoluzionari. Ma que­ sto è avvenuto in modo calmo e dignitoso. Tutto quello che nOn risultava piti utile è stato respinto sol­ tanto do po matura ponderazione e l'edificio è stato ri­ costruito solido sulle conquiste crea tive del passato. Quindi, in un certo senso la volgarizzazione della scienza (' un dovere da compiere, il dovere d'inf on ­ dere coraggio e conforto agli uomini e, alle donne di buona volomà, ovunque siano, i quali stanno, gra­ dualmente, perdendo la fede nella vita e nella ra­ gione. Per molte scienze il velo del mistero è stato a poco a poco spezzato. La matematica rimane in larga misura ancora da svelare. M alti dei libri di vol­ garizzazione matematica hanno cercato di farlo, sia con discussioni filosofiche, sia mettendo in luce quella materia che una volta era stata appresa, ma poi dimenticata. Sotto questo riguardo lo scopo che ci siamo p refissi, nello scrivere questo libro, è al­ quanto dive rso. « Haute vulgarisatio n» è il termine adottato dai francesi per raggiungere il felice risul­ tato di non offendere, C011 troppa condiscendenza, e di non lasciare oscura una massa di allocuzioni tec­ niche. È nostro scopo di estendere il processo di « haute vulgarisation» a quelle sentin�lle avanzate della matematica che sono menzionate o almeno sussurrate, oppure rife rite anche soltanto per nome; per mostrare la loro completa diversità e rivelare 6

i caratteri della matematica, del suo superbo libero spirito e come essa, sia nelle arti, sia nelle scienze, continui ad eccitare le facoltà creative, che superano l'immaginazione e l'imuizione. Nella limitazione di un cosi breve volume si possono fare solo istanta­ nee e non ritratti. Nondimeno è sperabile che an­

che in questo caleidoscopio vi possa essere stimolo a un ulteriore interesse e a una maggiore conoscenza

di questa superba regina del mondo intellettuale.

1

MATEMATICA E IMMAGINAZIONE

Non mi Jpingerò tanto lontano da aHlfire che il costruire una sto,.ia dd pe1uiero umano unza un profondo Jtudio della coneezio1le mate­ matica nelle diverse. successive epoche sia come omettere Amleto dalla tragedia che porta il JUO nome. QUeJto Jarebbe pretendere troppo. Ma è certammte analogo a tagliarvi lo parte di Ofelia. Tale similitudine è singolarmente esatta. dato che Ofelia è preHoehé eHenziale nell' opera tea­ trale. EHa è molto "ducente, ed un poco folle. Concedeteci che la peruveranza dd matematici

è una divina follia dello Jpirito umano, un rifugio dalla ùlCalzante preJsione degli avveni­ menti contingenti. AL"REO Scienza

NORTH WHITEHEAD Mondo Moderno

e

CAPITOLO PRIMO

N O M I

VECCHI

E

N U O VI

Dai vuchi campi che l'uomo semilla Spunta il nuovo grano ogni allllO Dai vecchi libri ;11 buonI> fede SpuntI> la IIUOI'a scienza che l'uomo apprende. CHAUCER

Di tempo in tempo la matematica fa pulizia nella propria casa. Vocchi nomi sono scartati, al­ cuni altri sono spolverati e rimodernati; nuove teo­ rie, nuove aggiunte entrano nel patrimonio dome­ stico a cui si assegnano un posto e un nome.Cosicché ciò che il nostro titolo veramente significa è nuovi termini in matematica; non veramente nuovi nomi, ma parole nuove, termini nuovi che vengono in par­ te a rappresentare nuovi concetti e in parte a rimet­ terne in auge altri già usati piu o meno recente­ mente in matematica. Vi è certamente un'abbon­ danza di vocaboli in matematica, come in ogni al­ tra materia. Si deve specialmente a parole e pa­ role allacciate insieme come le maglie di una rete se metà della popolazione del globo è stata indotta a credere cose folli e a santificare folli atti. Frank­ Vizetelly, il grande lessicografo, ritiene vi siano 800.000 parole usate nella lingua inglese. Ma i ma­ tematici, sebbene, generalmente, tranquilli e mode­ sti, non sono soddisfatti di queste 800.000 parole; accontentiamoli e diamo loro altri vocaboli. Noi possiamo fare a meno di denominazioni nuo­ ve fino a quando, per il progresso delle scienze, non si acquisiscano nuovi concetti e nuove teorie. II

Una particolarità della matematica sta nel fatto che essa non usa denominazioni cOSI lunghe e com­ plicate come le altre scienze. Oltre a tutto essa è pill conservatrice delle altre e per questo si attacca tenacemente ai vecchi vocaboli. I termini usati da Euclide nei suoi Elementi sono correntemente usati anche nella �ometria odierna. Un fisico del­ l'antica Jonia troverebbe la terminologia della fisica moderna, per dirla alla buona, puro greco. In chimica sostanze non complicate come lo zuc­ chero, il sego o l'alcool hanno nomi come questi: acido metilpropenilenediidrossicinnamenilacrilico, op­ pure O-anidrosulfaminobenzoico, o protocatecuical­ deidemetilene. Non sarebbe veramente comodo usare questi termini in una conversazione corrente. Chi potrebbe immaginare uno, foss'anche un aristocratico della scienza, che domandi al suo vicino alla colazione

del mattino « Per favore, mi passi l'acido O-anidrosul­ faminobenzoÌco» quando volesse soltanto avere zucchero per il suo caffè? Anche la biologia ha i suoi tormentosi scioglilingua. Lo scopo di queste lunghe parole non è quello di sgomentare i pro­ fani, ma di descrivere, con brevità scientifica, quan­ to � uomo di lettere esprimerebbe in una mezza pagllla. In matematica vi sono molte parole facili, come « anello» « gruppo» « famiglia» « curva semplice» « lim ite»etc. Ma questi vocaboli comuni acquistano talvolta un significato molto particolare e tecnico. Infatti, vi è questa spiritosa definizione: « La ma­ tematica è la scienza che usa parole facili per con­ cetti difficili l). In ciò essa differisce dalle altre scien­ ze. Vi sono 500.000 specie conosciute d i insetti e ciascuna di esse ha un lungo nome latino. In ma­ tematica siamo pill modesti. Noi parliamo di « cam12

po» « gruppi» « famiglie» « spazi» sebbene si an­ netta a queste parole molto piu significato di quello che implichi una ordinaria conversazione. E quando il loro uso diviene di piu in piu tecnico, nessuno può indovinare il significato matematico di una pa­ rola, cOSI come nessuno potrebbe indovinare che in una « drug store» C) (farmaceutica) si vendano ge­ lati alla soda e ombrelli. Nessuno potrebbe imma­ ginare il significato di « grupPO» secondo l'uso ma­ tematico. E tuttavia esso è cOSI importante da ri­ chiedere dei corsi completi di lezioni sulla teoria dei « gruppi» e da ispirare centinaia di testi sul­ l'argomento. Ed è perché i matematici vanno avanti con pa­ role comuni che sorgono equivoci molto d iver­ tenti, come, per esempio, con la parola « funzione », h e probabilmente esprime il concetto piu impor­ tante dell'intera storia delle matematiche. Questa

'c

parola

« funzione», ha almeno una dozzina di si­ gnificati, ma pochi intuiscono quale sia quello ma­ tematico. Il significato matematico, di cui parlere­ mo in seguito, è espresso molto se mplicement e da una tabella. Questa tabella dà la relazione tra due quantità variabili, quando il valore dell'una varia­ bile è determinato come conseguenza di quello del­ l'altra. COSI che una quantità variabile può espri­ mere gli anni dal 1800 al 1938 e l'altra il numero degli uomini negli Stati Uniti che usarono il tira­ baffi, oppure una variabile può esprimere in « de­ cibel » (') , l' intensità dei rumori emessi da un ora­ tore politico, oppure le unità di pressione del sangue dei suoi ascoltatori. Voi non potrete mai immagi-

( ' ) « Drug-store)) è un tipo di negozio americano drogheria, si vendono oggetti di ogni sorta. (2)

« Decibel»

unità di

misura

ove,

oltre a generi

di

del 'uono.

13

nare il significato de lla parola « anello», secondo l'uso matematico. Esso è stato introdotto nella nuova a lgebra in questi ultimi vent'anni. La teoria degli

anelli è molto piu recente di quella dei gruppi. Essa si trova ora nella maggior parte dei recenti trattati e non ha niente a che fare c on matrimoni o cam­ panee). Altri vocaboli usati comunemente ndla matema­ tica, con un significato speciale, sono : « dom inio», « integraz i one», « differenziazione». I non iniziati non sono in grado di sospettare che cosa essi rappre­ sentino; solo i matematici ne conoscono il signi ficato . La parola « trascendente» in m atemati ca non ha il significato che ha in fi losofia. Un matematico di­ rèbbe : il numero 1r = 3,14159", è trascendente, perché esso non è radice di una equazion e algebrica a coeffic ie n ti interi. Trascendente è un nome molto grosso per un pic­ c olo numero, ma esso venne coniato quando si ri­ teneva che i numeri trasce ndenti fossero tanto rari quanto i parti quin tupli. L ' opera di Giorgio C antar n nel regno dell'infi­ nito, ha invece provato che di tutti i numeri della matematica i trascendenti sono i piu comuni o, per usare la stessa parola, con un significato alquanto di­ verso, i meno trascendenti. Noi parleremo in seguito riferendoci ad un altro famoso numero t rascendente . e, la base dei l o garitmi naturali. I piu colti possono pensare alla

«

epistemologia tra scend e ntale» di E­

manuele Kant, allorché si usa il vocabolo trascen­ dente; ma in questo essa non ha niente a che vedere con la matematica. (') Il

beli»

=

giuoco di parole è suonare la campana.

(') Giorgio Cantor

intraducibilc:

«

ring )J

=

anello;

« ring

tbe

(1845-1918) è il fondatore dell. lfor;.1 degli insiemi.

Prendiamo ancora la parola « evoluzione» ( '), nel significato di sviluppo, usato in matematica per in­ dicare il procedimento, che molti di noi hanno im­ parato a scuola, e immediatamente poi dimenticato, per effettuare estrazioni di radici quadrate, cubiche, ecc. Spencer nella sua filosofia definisce evoluzione come « una integrazione di materia ed una dissipa­ zione di moto da una indefinita incoerente omoge­ neità fino a una definita, coerente eterogeneità» ecc. Ma questo, fortunatamente, non ha niente a che fare con la « evoluzione» matematica. Anche nel Ten­

nessee uno può estrarre delle radici quadrate, senza essere un fuori legge. Come vediamo, la matematica usa espressioni sem­ plici per concetti complicati. Un esempio di voca­ boli comuni usati in senso difficile è proprio la pa­

rola « semplice ». « Curva semplice » e « gruppo sem­ plice» rappresentano importanti concetti dell'alta ma­ tematica.

Fig.

l

La curva rappresentata in questa figura non è una curva semplice. Per curva semplice si intende una

curva chiusa che non taglia se stessa e può avere la forma della figura 2. Vi sono molti importanti teo­ remi su queste figure, tali da rendere l'espressione « semplice» veramente interessante. Pi6 in là parle­

remo di un altro curioso tipo di matematica, chia(1)

11

termine

«

evoluzione

»

non

è

usato

in

italiano in questo

senso.

inato la « geometria su un foglio di gomma» e avremo tante cose da dire sulle curve semplici e non

Fig.

2.

semplici. Un matematico francese, Jordan, ha dato questo teorema fondamentale: tutte le curve sem­ plici hanno una zona interna ed una esterna. Ossia: ogni curva semplice divide il piano in due regioni� una interna l'altra esterna. Vi sono dei gruppi in matematica de tti « gruppi semplici » La definizione di « gruppi semplici» è in realtà talmente astrusa da non poter essere qui presentata. Per avere una chiara idea di quello che significhi un gruppo semplice noi dovremmo dedi­ care molto tempo a compulsare una grande quan­ tità di testi, e poi, senza una vasta base di cogni­ zioni matematiche, probabilmente non capiremmo nulla. Innanzi tutto, dovremmo avere il concetto di « gruppo», poi dovremmo dare la definizione di sot­ togruppo, e inoltre quella di sottogruppo autoconiu­ gato, solo allora s aremmo nella condizione di .

definire che cosa sia un gruppo semplice. Un « gruppo semplice » è semplicemente un gruppo sen za sottogruppi autoconiugati: semplice, non è vero? La matematica è spesso erroneamente ritenuta la scienza del buon senso comune. Ma di fatto essa può ­

trascendere il senso comune c:; andare al di là di ogni immaginazione o intuizione. Essa è diventata un ben strano e forse anche sgomentante soggetto, intendendola sotto un ordinario punto di vista, ma gli iniziati che riescono a penetrarla vi trovano un vero paese fatato, un paese fatato che è strano assai,

ma che ha un senso anche se questo non è il senso comune. Da un punto di vista ordinario, la matematica tratta di cose strane. Vi proveremo invece che solo occasionaI mente tratta di cose strane, ma, molto piu spesso ha a che fare con cose semplici in modo strano. Se vi guardate in un comune specchio, senza te­ ner conto dei vostri attributi fisici, vi potrete trovare

buffi, ma non strani; una corsa con la ferrovia sot­ terranea (subway) a Coney Island C), e uno sguardo in uno degli specchi curvi, che troverete in questo paese dei divertimenti, vi convincerà che da un

altro punto di vista potete essere al contempo strani e buffi. È soprattutto questione di quello a cui siete abituati. Un contadino russo, recatosi a Mosca per

la prima volta, volle visitarla. Andò allo Zoo e vide le giraffe. E qui, nella sua reazione, voi tro­ verete una morale semplice come nelle favole di La Fontaine. « Guarda», egli disse, « cosa i bolscevichi hanno fatto dei nostri cavalli». Questo può dirsi di ciò che i moderni matematici hanno fatto di una semplice geometria e di una semplice aritmetica. Vi sono altre parole ed espressioni, non cosf note,

le quali sono state inventate di recente. Prendi per esempio la parola « turbina». Questa naturalmente è già usata in ingegneria, ma è completamente nuova in geometria. In matematica questa denominazione ine) Cone}' IsJand, presso

- ,t/atematica

e

New

York,

immagi.nazione.

è

nota come parco di di,'ertimellti.

dica un certo d iagramma . (La geometria, checché n e pensino altri, è lo studio delle diverse forme, molte delle quali veramente belle, aventi armonia, grazia simmetria. Vi sono, naturalmente, dei grossi libri scritti sulla geometria astratta, e sugli spazi astratti, in cui non appare né un diagramma, né una forma geometrica. Questo è un ramo molto importante della geometria, ma non è certo quello studiato dagli Egi­ ziani e dai Greci. Molti di noi, che sappiamo giocare agli scacchi, si accontentano di una scacchiera con scacchi di leg n o, ma vi sono altri che li giocano sen­ za nemmeno vedere o toccare la scacch iera . Si può dire, con adeguata analogia, che la geometri a astratta è simile agli scacchi giocati alla c ieca, senza oggetti

e

concreti).

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