Matematica Discreta Y Sus Aplicaciones 5ta Ed (optimizado)

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Matemática Discreta y sus Aplicaciones S.ª edición

Kenneth H. Rosen Laboratorios A T& T

Traducción: José Manuel Pérez Morales Investigador titular del CIEMAT Profesor asociado Universidad Carlos 111 de Madrid Julio Moro Carreño Titular de Universidad Departamento de Matemáticos Universidad Carlos 111 de Madrid Ana Isabel Lías Quintero Departamento de Matemático Aplicado Universidad Politécnica de Madrid Pedro Antonio Ramos Alonc Departamento de Matemáticos Universidad de Alcalá

MADRID• BUENOS AIRES• CARACAS • GUATEMALA• LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK• PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL •NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIONEY • SINGAPUR • SAN LUIS• TOKIO • TORONTO

1

MATEMÁTICA DISCRETA Y SUS APLICACIONES Quinta Edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS© 2004, respefto a !a quinta edición en español, por McGRAW-HILLIINTERAMERICANA DE Edificio Valrealty, l.ª planta

PANA, S. A. U.

Basauri, 17 28023 Aravaca {Madrid) Traducido de la quinta edición en inglés de Discretc Mathematics and Its Applications Copyright © MMill por the MacGraw-Hill Companies, Inc. ISBN: 0-07-242434-6 ISBN: 84-481-4073-7 Depósito legal: M. 24.365-2004 Editora: Concepción Fernández Asistente editorial: Amelia Nieva Cubierta: CD-Form impreso en Nomos S.A IMPRESO EN COLOMBIA - PRINTED IN COLOMBIA

Contenido Sobre el autor ...................................................................................................................... .. Prólogo ............................................................................................... ~.................................

ix xi

La página web de ayuda ... .......... ........................ ................................. ....... ............... ...........

xix

Al estudiante ......................................................................................................................... .

xxi

l . Los fund~mentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones ... 1.1. Lógica ...... :........................................................................................................ l.2. Equivalencias proposicionales ......................................................................... 1.3. Predicados~' cnantificaclores ................................. ,........ ,..................... ;............ 1.4. Cuantificadores anidados ........ .. .. ....... .............................. ........... ......... ............ 1.5. Métodos de demostración................................................................................. l.6. Conjuntos ....... ,.................................................................................................. l.7. Operaciones con conjuntos ............................................................................... 1.8. Funciones ...................................... ........................................... ..... .. ..... ............. Material fin del Capíhilo ............................. ....................... ..............................

1 19 26 40 52 71

79 90 103

2. Los fundamentos: algoritmos, números enteros y matrices ............. 109 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

AJgorü.1nos ........................................................................................................

Crecimiento de funcioues ................................................................................. Complejidad de algoritmos .............................................................................. Enteros y división ............................................................................................. Enteros y algoritmos ......................................................................................... 2.6. Aplicaciones de Ja teoría de números .......... .................... ................. ................ 2.7. 11atrices ............................................................................................................ Material fin deJ Capítulo ..... .............. ........ ....... ................... ..... .. .......... ..... .......

3.

Razonamiento matemático, inducción y recursividad ........................ 199 Estrategias de demostración ............................................................................. Sucesiones y sumatorios ................................................................................... Inducción matemática ....................................................................................... Definiciones recursivas e inducción estructural ............................................... Algorit1nos recursivos ............. ................ ......................... ......................... ....... Verificación de programas ............................................................................... Material fin del Capítulo ..................................................................................

239

Recuento .................................................................................................................

279

4.1. Fundamentos de combinatoria ...................................................... .,.................. 4.2. Principios del palomar...................................................................................... 4.3. Permutaciones y combinaciones ............................................................ :......... 4.4. Coeficientes binomiales ............................................................................ ....... 4.5. Permutaciones y combinaciones generalizadas ..... ...................... ... ..................

279 290 297 303 31 1

3.1.

·3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

4.

109 120 132 140 155 167 181 191

199 210 222 255

264 270

V

vi

C'o111c11ido

Generación de pemrntaciones y combinaciones ................ .. ...... .. .. .................. Material fin del Capítulo ..................................................................................

320 324

Probabilidad discreta .......................................................................................

329

Una introducción a la probabilidad discreta ..................................................... 5.2. Teoría de la probabilidad .................................................................................. 5.3. Valor esperado y varianza ................................................................................ Material fin del Capítulo ..................................................................................

329 336 352 366

6. Técnicas avanzadas de recuer do...................................................................

373

Relaciones de recurrencia ................................................................................. Resolución ele relaciones de recurrencia .......................................................... Algoritmos de divide y vencerás y relaciones de recurrencia .......................... Funciones generatrices ..................................................................................... Principio de inclusión-exclusión ...................................................................... Aplicaciones del prir1cipio de inclusión-exclusión ........................................... Material fin del Capítulo ..................................................................................

373 384 396 405 420 426 433

Relaciones...............................................................................................................

439

7.1.

Relaciones y sus propiedades ........................................................................... Relaciones 11-arias y sus aplicaciones ............................................................... Representación de relaciones ........................................................................... Cierre de relaciones .......................................................................................... Relaciones de equivalencia .............................................................................. Órdenes parciales ............................................................................................. Material fin del Capítulo ..................................................................................

439 ..W9 456 463 473 481 495

Gr afos.......................................................................................................................

503

Introducción a los grafos ...... ........................................................................... Terminología en teoría de grafos...................................................................... Representación de grafos e isomorfismo de grafos .......................................... Conexión ................................................ ............................................... ........... Caminos eurelianos y hamiltonianos ................................................................ Caminos de longitud mínima ........................................................................... Grafos planos ..........................................!......................................................... Coloreado de grafos ................................ ......................................................... MateriaJ fin del Capítulo ..................................................................................

503 511 521

4.6.

5.

5.1.

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

7.

7.2.

7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

8.

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8.

9.

53 l 540 554 564 573 581

Árboles ....................................................................................................................

589

Introducción a los árboles ................................................................................. Aplicaciones de los árboles .............................................................................. Recorridos en árboles ....................................................................................... Árboles generadores ................................................................. 4 ...................... Árbol generador mínimo .................................................................................. Material fin del Capítulo .. ........ .... .... ...... .................... .............. ........ ........... .....

589 601 615 628 641 646

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Contenido

10.

11.

vii

Álgebra de Boole

653

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

653 660 664 670 684

Funciones booleanas.... ...................................... ............ ........ ....... .................. Representación de funciones booeanas ....................... ............... ............ ........ Puertas lógicas............................................................................. .................... Minímízación de circuitos .............................................................................. Material fin del Capítulo .. .. .... .. ............... ................... .... ..... ...... .......... ... .. .. ....

Modelos de computación ................................................................................. 689 11.1. 11.2. l 1.3. 11.4. 11.5.

Lenguajes y gramáticas .................................................................... ....... .... .. . Máquinas de estado fini to con salida .................................................. ........... Máquinas de estado finito sin salida............................................................... Reconocimiento de lenguajes ........... ......................................... .... ..... ...... .... .. Máquinas de Turb1g ............ .............................. ................. ................. ........ .... Material fin del Capítulo .. .. ...... ........ .. ...... .... .. .. .. .. .... ....... .... .. ......... ..... ...........

689 700 706 713 722

729

APÉNDICES A-1.

Funciones exponencial y logarítmica ...................................................... 735

A-2.

Pseudocódigo ..................................................................................................... 739

Lecturas recomendadas ................................................................................................. 745

Respuestas a los problemas impares .........................................................................

753

Fotografías ......... ........ ...... ......... ...... ..... .. .... .. .. ...... ... ..... .. .. .... .. .. .. .. ..... .... ......... ...... ..... ....... .. 829

Índice onomástico ........................................................................................................... 831 Índice analítico..................................................................................................................

833

Sobre el autor

K

H. ROSEN es un miembro distinguido del personal técnico de .los Laboratorios AT&T en Middfotown, Nueva Jersey, Estados Unidos. Bl doctor Rosen se graduó en Matemáticas en la Universidad de Mlchigan, Ann Arbor (1972) y se doctoró en el M.I.T. (Boston) en 1976, donde escribió su tesis en el área de teoría de números bajo la dirección de Harold Stark. Antes de ingresar en los Laboratorios Bell en 1982, fue associate professor de matemáticas en la Universidad de Colorado, Boulder; la Universidad del Estado de Ohio, Columbus, y en la Universidad de Maine, Orono. Mientras trabajaba en los Laboratorios AT&T, Ken fue profesor en la Universidad de Monmouth, donde enseñó matemática discreta, teoría de codificación y seguridad en datos. El doctor Rosen ha publicado numerosos artícutos en revistas profesionales de las áreas de teoría ele números y modCiado matemático. Es autor de Jos libros de texto Elementary Number Theory muí Jts App/ications, actualmente en su cuarta edición, pnblicado por Addisoñ~ WesJcy, y Matemárica distreta y sus aplicaciones, en su quinta edición, publicado por McGraw~Hill. Ambos libros se han usado ampliamente en centenares de universidades. Es coautor de UNIX: The Complete Reference, UNIX System V Release 4: An lntroduction y Best UNIX Tips Ever, publicados por Osbome McGraw-Hill. Estos libros han vendido más de cien mil copias, con traducciones al chino, alemán, español e italiano. Ken es también editor del Handbook of Discrete and Combinatoria[ Mathematics, publicado en 2000 por CRC Press, y es supervisor de edición de la serie CRC de libros sobre matemática discreta. Ken también está interesado en la integración del software matemático en entornos profesionales y didácticos y ha trabajado en proyectos con el programa MAPLE de la empresa Waterloo en estas áreas. .En Jos Laboratorios Bell, y act uaJmente en AT&T, el doctor Rosen ha colaborado en un amplio abanico de proyectos, entre Jo.