Matemática Básica [Vol 1, Novena ed.]

Table of contents :
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Relaciones y Funciones
4. Números Reales
5. Relaciones y Funciones en R2
6. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
7. Inducción Matemática
8. Sucesiones
9. Números Complejos
10. Polinomios

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MATEMÁTICA BÁSICA 1 Para U niversidades y C entros de enseñanza superior

La Primera Edición de esta obra filé publicada en Abril de 1982, siendo renovada los años 1984 (2da. Edición), 1986 (3ra. Edición) y 1996 (6ta. Edición) permaneciendo vigente en las ediciones Sétima y Octava hasta la actualidad.

N O V E N A E D IC IÓ N Enero 2006

© Impreso en E diciones Jirón Loreto 1696 Breña - Telefax 423-8469 E-mail: ediciones_2@ hotm ail.com Lima - Perú

Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905

“

HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599 - 2572 RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña

Este libro no se puede reproducir total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor.

I

PROLOGO En la actualidad, en todas las disciplinas de estudio (carreras de cien­ cias, economía,

ingeniería, administración, médicas, etc.) es evidente la

necesidad de tener conocimientos básicos de las primeras áreas de las mate­ máticas (Algebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica). Desafortunadamente, de la misma manera también es evidente que el inte­ rés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creo que en gran par­ te los responsables de este desinterés somos las personas que de una manera u otra tenemos que ver con el proceso de enseñanza-aprendisaje. Este fué el motivo principal para la realización de esta obra. Actualmente, el contenido científico de un libro no es la única preocupa ción de los autores. El aspecto didáctico con lo que se presenta el mate­ rial es tan inportante como el contenido mismo. Haciendo mía esta preocupa­ ción, el contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema de instrucción personalizada, por lo cual los conceptos y propiedades que se presentan a lo largo de los 10 capítulos que consta la obra, (Lógica Conjuntos - Relaciones y Funciones - Los Números Reales - Relaciones y Fun­ ciones en R 2 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas - Inducción Matemáti­ ca - Sucesiones - Los Números Complejos - Polinomios), están suficiéntemente motivados y reforzados con una cantidad amplia de ejemplos ilustrativos como de ejercicios propuestos, de tal manera que en todo el libro se presen tan más de 900 ejemplos y 1800 ejercicios a todos los niveles de dificultad. La obra pretende buscar un equilibrio entre lo formal y lo intuitivo, de tal forma que se prefirió, en algunos casos, ser menos riguroso de lo desea do si se pensaba que ésto produciría un mayor beneficio pedagógico: sin em­ bargo, se trató de ser formal y preciso en la mayor medida posible. Este libro está básicamente enfocado a cualquier persona que desee adqui rir los fundamentos básicos de las matemáticas: así pienso que puede ser un buen auxiliar para los estudiantes que terminaron su educación secundaria como los del primer ciclo de las Escuelas Normales, Universidades y de cua¿ quier curso cuyo objetivo sea capacitar a los estudiantes para iniciarse en los estudios de cursos superiores.

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II

Prólogo

Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a todas la per­ sonas que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus valiosas observacio­ nes a las primeras ediciones» pues sus criticas constructivas hicieron posi ble modificar el orden de algunos capítulos» agregar nuevos temas y mejorar la exposición de otros. Asimismo deseo expresar un especial reconocimiento a la Editorial AMERICA cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resol­ ver las dificultades inherentes a la publicación del texto. Una observación final. Se ha tenido especial cuidado en reducir las erra tas lo más posible. Cada ejercicio propuesto fué resuelto minuciosamente, las respuestas que figuran en la parte final del libro fueron comprobadas más de una vez. Aun cuando todo autor sueña con producir el libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tan to, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistí, do todavía. Ricardo Figueroa García

*

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III

Contenido

C O N T E N ID O LOGICA

1.1

Introdución.

1.3

Proposiciones sim ples y com puestas

1.2 Proposición

2

1

1.4

L a C onjunción

4

1.5

L a Disyunción

5

1.5.1

L a Disyunción Inclusiva

1 .5 .2

La Disyunción Exclusiva.

1.7

L a C ondicional o Im plicación

9

1.7.1

Tabla de verdad de la Condicional o Implicación

9

1 .7 .2

El uso d e las Proposiciones Implicativas

11

1 .7 .3

Proposición R ecíproca

11

1.7 .4

Proposición Inversa.

12

1.8

L a Bicondicional

12

1.9

U so de los S ignos de A grupación

13

1.1 0

E valuación de E squ em as M oleculares por la Tabla de Valores

19

1.11

Proposiciones Equivalentes

21

1 .1 2

O tro uso d e la Implicación

24

1.1 3

L a Inferencia Lógica

27

1.13.1

El M étod o A breviado

29

1.14

Principales Leyes Lógicas o Tautologías

33

1.14.1

Equivalencias N otables

34

1 .1 4 .2

Im plicaciones N otables

43

1.1 5

L a D em ostración M a tem ática. 1.15.1 D em ostración Directa

45

1 .1 5 .2

D em ostración Indirecta

47

1.1 6

Circuitos Lógicos. 1.16.1 Circuitos en S erie

49

1 .1 6 .2

Circuitos en P aralelo

50

6 1.6 La N egación

1 .7 .5 Proposición Contrarecíproca

7

CONJUNTOS 2.1

Definición.

2 .3

D eterm inación d e un conjunto

2 .2 N otación

62

2 .4

Conjuntos Finitos e Infinitos. 2 .5 C onjuntos Num éricos

63

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61

IV 2.6

Contenido Conjuntos Especiales

64

L O G IC A C U A N T IF IC A C IO N A L 2.7

Función Preposicional

66

2 .8

C uantificadores Universal y Existencial

67

2.9

N egación de Proposiciones que contienen Operadores Cuantificacionales

69

2 .1 0

Funciones Lógicas que contienen más de una variable

71

2.11

Relaciones entre Conjuntos: Conjuntos Iguales. Conjuntos equivalentes

81

2 .1 2

Representación Gráfica de los Conjuntos

85

2 .1 3

Unión de Conjuntos.

89

2 .1 4

Intersección de Conjuntos.

2.1 3.1 Propiedades 2.1 4.1 Propiedades

91

2 .1 4 .2 P ropiedades Distributivas de la Unión e Intersección

93

2 .1 4 .3 Leyes de Absorción

94

2 .1 5

Diferencia de Conjuntos.

2 .1 6

Com plem ento de un Conjunto.

2.15.1 Propiedades

2 .1 7

Diferencia Simétrica.

2 .1 8

Núm ero de elem entos de un Conjunto. Propiedades

2.16.1 Propiedades

2.1 7.1 Propiedades

94 96 98 113

RELACIONES Y FUNCIONES 3.1

Introducción.

3.3

Producto C artesiano

3 .2 P ar Ordenado

126

3.3.1

Propiedades del Producto Cartesiano

127

3.3.2

D iagonal de un Conjunto

1 29

3.3.3

Representación Geom étrica del Producto Cartesiano

129

3.4

R elaciones Binarias

134

3.4.1

Dominio de una Relación.

3.4.3

Propiedades del Dominio y R ango de una Relación

136

3.5

Relación Inversa o Reciproca. Propiedades

137

3.6

Composición de Relaciones. Propiedades

138

3.7

Relaciones definidas en un conjunto

1 39

3.8

C lases de Relaciones.

3 .8 .2

Relación Simétrica.

3 .8 .4

Relación d e Equivalencia

3 .8 .5

Relación Antisimétrica

143

3 .8 .6

Relación d e Orden

1 44

3.9

F U N C IO N E S .

154

3 .9 .2

Aplicaciones de A en B

155

3 .9 .3

Función Inyectiva o Univalente

161

3 .4 .2 R ango de una Relación

3.8.1 Relación Reflexiva

3 .8 .3 Relación Transitiva

3.9.1 Dominio y R ango de una Función

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125

135

140 141 142

Contenido

V

3 .9 .4

Función Sobreyectiva o Suryectiva

162

3 .9 .5

Función Biyectiva

163

3 .9 .6

Composición d e Funciones

16 4

3 .9 .7

Función Inversa

166

3 .1 0

O peraciones Binarías Internas

172

3.10.1

Propiedades de las Operaciones Binarías Internas

17 4

NUMEROS REALES 4.1

Introducción.

4 .3

Teorem as sobre la Adición

4 .2 Definición Axiomática de los Núm eros R eales

187

185

4 .4

Teorem as sobre la Multiplicación

189

4 .5

Aplicaciones de R en el Algebra

193

4.5.1

Operaciones de Adición, Multiplicación y Cociente

193

4 .5 .2

n Potencia d e un número real

197

4 .5 .3

Raíces y Radicales

203

4 .5 .4

Ecuaciones Cuadrádricas

213

4 .5 .5

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

222

ORDEN EN R 4 .6

D esigualdades

22 4

4 .7

Teorem as Relativos a Desigualdades

22 4

4 .8

Inecuaciones.

4 .8 .2

Inecuaciones C uadráticas

4.8.1 Inecuaciones Lineales

23 7 239

4 .8 .3

Inecuaciones Racionales

241

4 .9

L a R ecta R eal

245

4 .1 0

Intervalos

246

4.11

O peraciones con Intervalos

248

4 .1 2

Resolución Gráfica de Inecuaciones en R

256

4 .1 3

Inecuaciones Polinómicas

258

4 .1 4

Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales

265

4 .1 4 .2

Inecuaciones con Radicales

267

4 .1 5

Valor Absoluto.

276

4.15.1 Teorem as sobre V alor absoluto

4 .1 5 .2

Ecuaciones con Valor Absoluto

286

4 .1 5 .3

Inecuaciones con Valor Absoluto

287

4 .1 6

El M áxim o Entero de un Núm ero R eal

299

4.16.1

Teorem as sobre el M áxim o Entero de un Núm ero Real

300

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VI

Contenido

RELACIONES Y FUNCIONES EN IR2 RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R 5.1

El Producto C artesiano d e R x R

5 .2

D istancia entre dos puntos

5 .3

G ráficas d e R elaciones d e

5.3.1

G ráficas d e R elaciones Lineales

317

5 .3 .2

G ráficas d e relaciones d e la forma: x^+y2»!2 o (x -h ^ + fy -k ^ t2

317

5 .3 .3

G ráficas d e las relaciones d e la form a: y= a x2+bx+c

320

5 .3 .4

G ráficas d e las relaciones de la form a: A xJ+C yí + D x + E y + F = 0

323

5 .3 .5

G ráficas d e las relaciones d e la form a: A x2-C y2+ D x+ E y+ F ’*0

324

5 .3 .6

G ráficas d e relaciones con valor absoluto

325

5 .3 .7

G ráficas d e relaciones definidas por inecuaciones

331

5 .3 .8

G ráficas d e relaciones inversas

341

5 .3 .9

Criterios generales para graficar una relación

351

I)

313 315

R en R

D esigualdades Lineales.

315

II) D esigualdades C uadráticas

337

FUNCIONES EN R2 5 .4

Funciones reales de varióle real

5 .5

G ráfica de una función.

5.5.1

359 P ropiedades

360

5 .6

C álculo del dominio y rango

5 .7

Funciones Especiales.

5 .7 .3

Función Lineal.

5 .7 .5

Función R aíz C uadrada

5 .7 .6

Función Polinóm ica de grado n

370

5 .7 .7

Función R acional

370

5 .7 .8

Funciones Seccionadas

371

5 .7 .9

Función Escalón Unitario

372

5 .7 .1 Función Identidad

362 5 .7 .2 Función C onstante

5 .7 .4 Función C uadrática

366 367 369

5 .7 .1 0 Función S igno

373

5.7.11

374

Función Valor Absoluto

5 .7 .1 2 Función M áxim o Entero

376

5 .7 .1 3 Funciones P ares

382

5 .7 1 4

Funciones Im pares.

5 .7 .1 5 Funciones Periódicas

•

383

5 .8

A lg e b ra d e las Funciones

397

5 .9

Com posición d e Funciones

409

5 .1 0

Funciones C recientes y D ecrecientes

42 1

5.11

Función Inyectiva o Univalente

422

5 .1 2

Función Sobreyectiva

426

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Contenido

VII

5 .1 3

42 7

Función Biyectiva

5.1 4

Función Inversa

42 8

5.14.1

P ropiedades d e la Función Inversa

42 9

5 .1 5

Im agen Directa de un Conjunto.

Propiedades

44 5

5 .1 6

Im agen Inversa de un Conjunto.

Propiedades

44 7

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 6.1

La Función Exponencial

6 .2

Logaritmos

454 45 7

6.2.1

Propiedades Fundam entales de los Logaritmos

459

6.3

La Función Logaritmo

46 8

6 .4

Ecuaciones Exponenciales

47 3

6 .5

Ecuaciones Logarítmicas

47 7

6 .6

Inecuaciones Exponenciales

483

6 .7

Inecuaciones Logarítmicas

48 7

INDUCCION MATEMATICA 7.1

Introducción.

7.3

Principio de Inducción Com pleta

7 .2 Principio del Buen O rden

499 500

7 .4

Definiciones Recursivas

50 4

7 .5

Sum atorias

509

7 .6

Propiedades de las Sum atorias

513

7 .7

Form ulas importantes de las Sum atorias

514

7 .8

Notación de producto de los términos de una sucesión

518

n 7 .9

P ropiedades de X T f(i)

519

i= l 7 .1 0

Binomio de New ton

523

7.10.1

Propiedades del Coeficiente Binomial

524

7 .1 0 .2

El Teorem a del Binomio

525

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Contenido

VIII

SUCESIONES lü 8.1

Introducción

537

8.2

S ucesiones Aritm éticas y G eom étricas

539

8.3

S ucesiones M onótonas

545

8.4

Limite de un a Sucesión

548

8 .5

Teorem as sobre Límites

551

8.6

Series Infinitas

559

| NUMEROS COMPLEJOS u

Introdución.

9 .2 El Sistem a d e Núm eros Complejos

565

9.3

P ropiedades d e la Adición

566

9.4

P ropiedades déla Multiplicación

5 68

9.5

R com o subconjunto de C

570

9.6

Form a cartesiana de un núm ero com plejo

571

9.7

Representación geom étrica de los números complejos

573

9.8

C onjugado de un núm ero complejo. Propiedades

574

9.9

M odulo d e un núm ero complejo. Propiedades

582

9.10

La raíz cu adrad a de un núm ero complejo

584

9.11

Lugares G eom étricos en C

589

9.12

Form a polar de un núm ero complejo

602

9.13

O peraciones en la form a polar

9 .1 3 .2

C ociente. Interpretación G eom étrica

9.1 3.1 Multiplicación. Interpretación G eom .

604

603

608

9.14

Potenciación de números complejos. El Teorem a de Moivre

9.15

R adicación de números complejos

611

9.15.1

Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos

613

9.1 5.2

R aices primitivas de la unidad

614

9.16

La exponencial com pleja.

616

9 .1 6 .2

O peraciones en la form a exponencial com pleja

9.16.1 Propiedades

618

POLINOMIOS 10.1

Definición y Notaciones.

10.3

S um a y Multiplicación de polinomios

10 .2 Igualdad de polinomios

638

10.4

Algoritmo de la división

639

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637

IX

Contenido 10.5 _

La división Sintética

64 2

10.6

Teorem a del Resto

64 5

10.7

Teorem a del Factor

646

10.8

R aíces de un Polinomio

655

10.8.1

Núm ero de raíces de una ecuación polinómica

65 5

1 0 .8.2

Multiplicidad de un factor

65 6

1 0 .8.3

N atu raleza de las raíces de un polinomio real

65 6

Teorem a 10.8. R egla de los signos de Descartes 1 0 .8 .4

65 9

R aíces racionales de un polinomio

661

Teorem a 10 .10. Teorem a del Valor Intermedio

663

10.9

Acotación de Raíces

66 6

1 0 .10

Relación entre las raíces y los coeficientes

674

R e s p u e s ta s a E jercicio s P ro p u esto s

68 2

LISTA DE SIMBOLOS Pag.

Pag. A

Conjunción "y'1

4

V

Disyunción Inclusiva "o"

6

A

Disyunción exclusiva

7

A

Discriminante

215

%

Negación

7

C

Conjunto de núm. complejos

64

«=>

Implicación, entonces

9

Conjunto vacío o nulo

64

o

Conjunto universal

65

Para todo

67

Bicondicional; si y sólo si 12

Z

Conjunto de núm. enteros

Q

Conjunto ce núm. racionales 64

I

Conjunto de núm. irrac.

64

R

Conjunto de núm. reales

64

63

=

Equivalente

21

i

No es equivalente

22

3

Existe

68

No implica

24

C

Es subconjunto de:

82

28

rj

Incluye a:

82

••

Por lo tanto




Mayor que

47--186

>

No es subconjunto de:

$ P(A) Conjunto potencia de A

82 84

Menor o igual que

224

U

Unión

83

Mayor o igual que

224

n

Intersección

91 96

61

A'

Complemento del conj. A

e

} Conjunto Pertenece, es elemento de.

62

AAB

Diferencia simétrica de los

i

No pertenece

62

N

Conjunto de núm. naturales

63

conjuntos A y B n(A) Número de elementos de A

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98 113

Lista de Símbolos

X

aRb

a está relacionado con b 134

z

Sumatoria

509

Dom(R) Dominio de la relación R 135

n

Notación de producto

518

Ran(R) Rango de la relación R

135

n!

Factorial de n

523

R*=R' 1 Relación inversa de R

137

RoS

0L

Relación compuesta de S por R.

f:A -*■ B

138

f es una función de A en B.

Lim an n-K»

154

Dcn(f) Dominio de la función f

154

Ran(f) Rango de la función f

154

gof

lani

409--164

Función Inversa de f

523

Sucesión

538

Límite de la sucesión

167

Parte real de z

572

Im(z)

Parte imaginaria de z

572

z

Conjugado complejo

Intervalo Abierto

247

[a,b]

Intervalo cerrado

247

exp(z)=ez Exponencial compleja

248

M

Valor Absoluto de a

276

1 1

Función Valor Absoluto

314

1*1

Máximo entero no mayor

compleja P(x)

Plano Cartesiano

313

I

Función Identidad

366

Función Exponencial

455

Función Logaritmo

468

574 582

616

602

Polinomio de variable 638

Polinomio de variable real

R2

eXPb

P(z)

299

que x.

571

Re(z)

Módulo del complejo z 1*1 8=Arg( z) Argumento de z

Intervalo infinito

549

iari) cuando n tiende a

i=(0/l) Unidad compleja

Función conpuesta de f por g .

Coeficiente binomial o número combinatorio

*

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638

ve

K D

INTRODUCCION Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento hunano.

Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deducti­ vo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en ba­ se de sus experiencias específicas, decide aceptar como válido un princi­ pio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habra de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lógica propos icional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.

C D

PROPOSICION__________________________________________H Una preposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de

ser verdadera (V) o falsa q" "Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas". La proposición contra recíproca, "'vq-*■ n,p", es: "Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una mis­ ma recta".

LA BICONDICIONAL Sean p y q dos p-oposiciones con las que se forma la siguiente propo­ sición:

"p + q A q + p"

Esta nueva proposición está formada mediante dos implicaciones y una conjun ción. Podemos escribir esta proposición haciendo uso de un nuevo conectivo; la escribiremos como: El símbolo

es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación. A

la proposición formada la llamamos proposición bicondicional. Formalizando esto último llegamos a la siguiente definición: Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la propo­ sición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recí

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13

Sección 1.9: Uso de los Signos de agrupación

p ro ca: (p

* q)

a

(q

> p)

se d e n o ta “p q)

a

(q

p) = p t|)

V

V V F v

1

F F 1

V

1

C o n c lu im o s a f irm a n d o q u e el v a lo r de v e rd a d de la p ro p o s ic ió n b ic o n d ic io n a l e s tá d ad o p o r la s ig u ie n te re g la :

S i p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional p V (r) = F y V (s) = F

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Capitulo 1: Lógica

16 Entonces: V(A)

■=(F aF) v (F) = (F) v (F) = F

V(B) = [(Vv V) a V] -*■ [(F v F) A Fj = (V) ** V C O = (V - VJ - [(V v V) a F] = (V) - [F] Por lotanto, la EJERCICIO S.

(F) = F =F

alternativa correcta es la b). En cuales de los siguientes casos es suficiente la informa­ ción para conocer el valor de verdad de las proposiciones

correspondientes. A=(pv q) ~

V(1 )=V (Primera fila) y obtenemos en ia tabla: V(p)=V, entonces: A=V - (FA F)=F, luego: A i p

; B=V * (FvF)=V, luego: B = p; C=FvFvF=V,

luego: C = p. Ahora supongamos que: V(r)=V, V(s)=F y V(t)~V (tercera fila), con estos va­ lores obtenemos en la tabla: V(p)=F

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Capitulo 1: Lógica

24 D ad o q u e A y a q u e d ó d e s c a r ta d o , p ro b a m o s co n B y C , e s to es: B = V —» ( F v V ) = F ; lu e g o B = p C = F v F v F = F ; lu e g o C = p Se p u ed e s e g u ir p ro b a n d o q u e p a r a o tro s v a lo re s de v erd ad de r, s y t, la s p r o p o s ic io n e s B y C son v e rd a d e ra s al ig u a l q u e p , en c o n s e c u e n c ia , p o ­ d em o s a firm a r q u e é s ta s so n e q u iv a le n te s a p.

r

s

t

P

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

OTRO USO DE LA IM PLICACIO N Se d ic e q u e u n a p ro p o s ic ió n A im p lic a a o tra p ro p o s ic ió n B , c u a n d o u n id a s p o r el c o n d ic io n a l re s u lta u n a ta u to lo g ía . Se s im b o liz a : A -> B y se lee: “ A im p lic a a B ” , o ta m b ié n , “ A e s c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a ra q u e B ” o “ B es c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra A ” . Si A n o im p lic a a B , se e s c rib e : A -/> B E J E M P L O 1.

S o lu c ió n .

S ean lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = (~ p ) A (~ r) y B = ~ (p D e m o s tra r q u e A im p lic a a B.

a

q ) v ~r.

E n e fe c to , c o n s tru y a m o s la ta b la de v e rd a d de A —> B:

(~P) A(-r)

'> ~

(P

a

q) V

-r

p

q

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

V

Pasos

1

6

4

3

5

2

C om o el re s u lta d o a rro ja u n a ta u to lo g ía , q u e d a d e m o s tra d o q u e: A

B

E J E M P L O 2.

D a d o s lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = p a ~ q, B = q - » - r y C = - p A (q a r); d e te rm in a r si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a la c o n ju n c ió n de A y B. S o lu c ió n .

Si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a ria p a ra A

a

B , e n to n c e s se d e b e p ro -

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Ejercicios: Grupo 2

25

bar que (A a B) ■* C

p

q

r

(p A ^ q )

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

F F V V F F F F

F F V V F F F V

1

3

Pasos

A

-■>-

%p

A

F V V V F V V V

V V F F V V V V

F F F F V V V

V F F F F V V V

V F F F V F F F

2

7

6

5

(q -* pi1^j = p AÍ^pvq)

pAq = qAp

18. Dada la siguiente información:p*q s C^p

* qj Af'q «-* p>

p#q £ C'-p

*-*•' q) v C^q * p)

Evaluar la fórmula: í(p*q)

a

(q v r)] ■* (vptfq) .

19. Dados los siguientes esquemas moleculares: A=p¿('p -» vq , vq * r , vr. Solución.

Aqui las premisas son: p¡=vp ■* vq, p2=vq

r, p3=^r, y la conclu

ción: Q=pv q. Debemos demostrar que: (piA P¡ a Pj)

Q, es una tautología. En efecto, la

tabla de verdad para esta inferencia es:

p

q

r

V V V V F F F F

V V F F

V F V F

V

V

V F F

F V F

(■vp-»- %q )

A

('vq -*■ r

A

(A (q a r) 3 (p * q ) A ( p -*■ r)

d)

p

- (qvr)

3 (p * q) v(p + r)

Leyes de Morgan La negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtie­

nencambiando

la conjunción por

conjunción, y negando

Ejemplos: a) "No es

a)

v(P A q)

b)

H p v q) 2 (y>*"q)

E.8:

E.9:

la disyunción por la

=

C^pv-Vj)

o no está lloviendo"

"No es verdad que las rosas son rojas o las violetas son azules" equiva le a: ”Las rosas

E.7:

o

verdad que hace frío y está lloviendo" equivale a:

"No hace frío b)

la disyunción,

cada uno de los componentes.

no son rojas y las violetas no son azules"

Las leyes del Condicional a)

p * q

3 -vpv q

b)

*(p -

q) 3 p A •*}

Leyes del Bicondicional a)

(p *- q)

3 (p * q) a (q ♦ p)

b)

(p

s (pr.q) v (vp*. *q)

q)

Leyes de la Absorción a)

p A(pvq) s p

b)

p

c)

pv(poq) = p

d)

p v (vpAq) = p v q

a

(vpv q) 3 p a

(¡

Las leyes a) y b) constituyen la absorción del esquema conjuntivo ai disyuntivo. Uno de los miembros del esquema conjuntivo es el esquema absorvente (puede ser una variable o una cadena de disyunciones), y el otro miem bro es el esquema que se absorve (puede ser una disyunción o una cadena de disyunciones). Las leyes c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjun tivo. A diferencia de a) y b) el esquema absorvente es una variable o cade­

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Capítulo 1: Lógica

36

na de disyunciones y el esquema que se absorbe es una conjunción o cadena de conjunciones. Nótese que en a) y c) se absorve toda la disyunción y conjunción, respecti­ vamente, mientras que en b) y d) se absorve sólo la variable que se repite negativamente. Ejemplos. (1) Simplificar: (vr a p)

a fs v

r) a ( M

v

p) a (t v vs)

Aplicando b) a los dos primeros términos del esquema se tiene (vr A

p A

s) A (v t v p) A (tV vs )

En los primeros términos se repite p, luego, según a): (vr a

p

a

s) a

En el segundo término,

vs)

( t v

la variable s se repite negat ivamente, luego, según

b); el esquema equivale a: (2) Simplificar:

s v

''taPASaí

(r a ^s)

Aplicando d) a los dos (s v r)

(p a

v

r a

t)

primeros términos del v

(p a

r

a

esquemase tiene:

t)

La variable r se repite en la cadena de conjunciones del segundo término, luego, aplicando c) el esquema equivale a: E.10:

svr

Leyes de Transposición a)

(p * q) = (vq ■* vp)

b)

(p «-* q) h (vq

vp)

Los miembros de un condicional y bicondicional pueden ser transpues­ tos si se niegan cada uno de ellos. E.ll:

Leyes de Exportación a) (pA q) * r = p - (q * r) b)

E.12:

K P

í a

P

ia

...

aPn ) -

r]

= j(p

,ap,a---- A p n _i) -

Formas normales para la Conjunción y Disyunción F.N. Conjuntiva a)

TaT

F.N. Disyuntiva

T

a)

CvC = C

b)

TaP = p

b)

CvP i P

c)

CAP =

c

c)

TvP a T

(T=Tautologia, E.13:

(Pn * r ) j

s

C=Contradicción, P=Esquema molecular cualquiera)

Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología a)

pA C = C

b) C*T=T

c)

pv

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T=T

Ejercicios Ilustrativos

EJERCICIO 1.

37

Dada la proposición: "Si 3+4=7 entonces 8 es primo, o 4 no es par"

a) Negar oracionalmente la proposición b) Determinar el -valor de verdad de la proposición original. Solución.

Sean: p="3+4=7", q="8 es primo”, r="4 es par" La proposición en símbolos es: (p + q)v vr

a)

Su negación es: '"[(p + qJv^rJ = H p -*■ qjA^far)

(Morgan: E.8b)

= (pAvq)A r

(E.7b y E.l)

Oralmente: "Si 3+4=7, 8 no es primo y 4 es par" b)

En la proposición original: V(p)=V, V(q)=F, V(r)=V Entonces: V[(p + q) v vr] = V[(V + F)vF] = V(F vf)

EJERCICIO 2.

Hallar

otra

forma

=F

equivalente de la

proposición:

"Es

necesario entrenar debidamente y no cometer infracciones para cumplir buen papel deportivo" Solución.

Sean: p="entrenar debidamente", q="cometer infracciones" y r="cumplir buen papel".

Aqui, el antecedente es (pA^q) y el consecuente r, entonces la proposición en símbolos es: r + (p A^q) = V v í p A ’yj)

(Cond. E.7a)

Por tanto, la otra forma de enunciar la proposición dada es: "No cumplir buen papel deportivo, o entrenar debidamente y no cometer in­ fracciones". EJERCICIO 3.

Hallar una proposición equivalente a: P = [(^Pa q) - (r Avr)] a (vq)

Solución.

P = [v(vp^q) v (r A^r)] A(vq) = [(p A -vq )

V

(C)J A (vq)

(Cond. E.7a) (Morgan: E.Sa y T.2)

= [(p Avq)] v (vq) P = vq . S E J E R C I C I O 4. Solución.

(E.12: FNDb) (Abs. E.9a)

Simplificar el esquema: A=(vpA q) + (q + p)

A = \Cvp A q) V (q + p)

(Cond. E.7a)

E (pv'vq) v tvq v p)

(E.Sa y E.7a)

E

v (pv%q)

E (pv-vq)

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(Conm. E.3b) (Idemp. E.2b)

Capítulo 1: Lógica

38

y^EJERCICIO 5.

Si definimos "tt" como: (p#q) =(pv

v( p A q ) ,

q )A

hallar una ex

presión equivalente a p#q. p#q = ( p

Solución.

q)

v

(-qp

a

= í(p v q )A

v

vq)

(Morgan: E.6a)

v p ] v [ ( p v q ) A -yq]


V(p v q) = V(p)+V(q)-V(p).V(q)

Para V(p)=V y V(q)=F

*

V(pvq)=V

Según la definición: V(p)=l , V(q)=0 y V(p vq)=l Como: 1 = l+0-(l).(l)

-

V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p).V(q)

Igualmente se demuestra b) para: V(p)=F y V(q)=V

;

V(p)=F y V(q)=F

c) Podemos escribir: V(p*q) = V[^(vpv ^q)] Según a):

(Morg. E.6a)

V(p*q) = l-V(vpv^q)

y según b):

= l-[V(vp)+V(^q)-V(^p).V(^q)] = 1 - ll-V(p)-H-V(q)-[l-V(p)][l-V(q)]}

de donde:

V(p/\q) = V(p).V(q)

d) V[^(p * q)] = V(p*vq)

(Cond. E.7b)

= V(p).V(q)

(Según c))

= (l-V(^p)Jll-V(q)]

(Según a))

de donde: V[^(p ■* q)] = 1-V(vp)-V(q)+V(vp).V(q) EJERCICIO 8.

Transformar la siguiente proposición compuesta: P - (^p *-* q) A (p * q) a su equivalente condicional mas simple.

Solución.

Sabemos que: v(p

q) s

p

•»

q

A

»

ip

q

•

p 4 g

Luego, en P: Aq) A (p - q) = (p A q) A (vp vq)

P = (p

(Cond. E,7a)

= p A [q A («*p v q)]

(Asoc. E.4b) (Def. Disy. Ex.)

= p A{[q v

P'-p

q)]

A

v[q

a

(vp v q ) 7 }

s p AH q

(*p v q)l

A

ÍV J

V

v(^p

a

fv)

v

(pA^q)Jt

(Asoc. E. 4b y Morg.E.6b)

^P] A [vq]) = p A (vp A vq)

(ldemp.E.2b y Abs.E.9b)

v

= p A {[(q v q) =

p

= [p

A{[q V

v

( a ,p

v

v vp]

]

a

[v(p

A

A

f'V .p A

= [p

v

vq]

a

[vp

v ^(vp

= (p

v vq)

A

[vp

v

v

a

K^p

=

(p

= (p v

v i)

vqj a

T

=

v

v

p)

v

(p

v

v

(Morg. E.6a)

q)]}

-*q)) ]

(Disy. Exc.)

vq)]

(Abs.E.9d y Morg.E.6a)

A

q)]

q] 3(p

v

vjJ

(Morg. E.6a) a

[T

v

qj

p

P s q * p

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(Asoc.E.4b y T.3) (Neutro: E.13c)

Capítulo 1: Lógica

40 EJERCICIO 9.

Se define el conectivo + por la tabla:

a) Expresar ptq en términos de * y v b) Comprobar mediante una tabla de verdad que la expresión hallada en a) es equivalente a p •— vq. Solución.

Obsérvese que los valores de verdad de p + q es la negación de los valores de verdad de p v Q (Morg. E.6b)

Esto es: p + q = v(p v q) = ' p A ^ Se sabe que: p Entonces:

A

q

(p v q)

=

M p

q j

a

p & q = v[v(p v q)] a v(p A q) - "*(p + q)

.'.

A

A

v(vp

+

vq)

p 6 q = (p + q) + (vp + vq)

b) p

q

P

V V F F

V F V F

V V F F

A-q

P

q

(p + q )

F V F V

V V F F

V F V F

F F F V

F V V F

+ (A,p + A/q) F V V F

V F F F

Como los valores de verdad en el operador principal de ambas tablas son ip «-► A-q = (p + q) + (vp + vq)

dénticas, se deduce que:

EJERCICIO 10. Si T es una tautología y p,q

son proposiciones. cuáles de

las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) l [ ( p A T) v Cq

V T jJ

A

b) i[(p v q J v (vp A c)

l[(p v q

S o lu c ió n ,

v

( p v q j l *-► p

a

vq)] a

(p

v

q)l

T

*T) A VT; v l(vp r. T) v T] 1 *-► T

a) ;

1/fp

S lie^T

= lp

T ) v fA-T’; ; A (p vq)}

a

V

p )J

a

(p v

(p v q ) 1 = p

a

(q

a

^T=C=vT)

(Abs. E.9d)

q ;n

(E.12:FNDa y Abs. E.9a)

La afirmación es verdadera, b)= l í f p v q j v M í

H

-v-ip a

v

q ;;

a

(p v

q )(

(p v q l l M p v qJ

(Morg. E.6b) (T.3 y E. 12: FNCb)

La afirmación es falsa. O

= { /M\/ v [T] } =

(Abs.E.9a y E.9c)

T

(Tere. Exc.T.3)

La afirmación es verdadera

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Ejercicios: Grupo 4

1.

Sean:

41

p="Juan

estudia

inglés",

q="Pedro

está

en

casa".

Simplificar y expresar oralmente la proposición: P=^[^(pa "q) ■* pjvq 2.

Determinar el equivalente a la afirmación: "x no es divisor de 3 es con dición necesaria para que x sea primo y no sea mayor que 4".

3.

Determinar los esquemas más simples equivalentes a las proposiciones: a) "'["■(pAq) * vq]v p

c) [(p a q) v (p a ''q)] v (vp A"q)

b 7 ¡(p + q)v Ap; a Cvq e)

[ (vq * vp)

f) g)

-

(vp

M í (vp A vq ) v (p A (vp v q ) ) ]

la

a

proposición

7.

( q v p)

las a firm a cio n es s ig u ie n t e s

c)

v [(p A q ) v r]

= (p

9.

«-► v [ ( p v q ) * q ]

son verdaderas?

r).

b) v(p

q ) == f f t p , )

3

(Morg. E.6a)

= *(pi a Pi A pa a

pn) v q

= fPi a

aPia

(Asoc.E.ía y Conm. E.3b)

pn3 * q

(Cond. E.7a)

(ti) s ( a ) EJEMPLO 2.

Si el contrato no se cumple, entonces la construcción del ecH ficio no se terminará a fin de año. Si la construcción no se

te rm in a a fin de año, entonces el

bancopierde dinero.

contrato no se cumple, entonces el banco pierde Solución.

Por lotanto,

si el

dinero.

Sean p:El contrato se cumple q:La construcción del edificio se termina r:El banco pierde dinero

Entonces, la inferencia es: (vp * vqj A Cvj + r) ■* (vp

r)

Demostraremos que es válida por el método indirecto. En efecto: (vp ~ vq) a v(vp + p) * v(vq + r) (p v ''■q) A v(p v r) * v(q v r) (p v

vq) a (vpa vr) -»(%qA vr)

(vp a vr) a vq -►(\q a vr) vp a

(vr a vq)+ (vq

a vr)

7a y E.7b) (Morg. E.6b) (Abs. E.9b) (Asoc. E.4a)

v r)

(Cond. E.7a)

p v i*(vr a vq) v (vr a vj;]

fA so c. E.4b)

[p v

v(vr

(Cond.E.

a

v q )]

p v [ T ] =T

v

(v q

a

(Tautología)

Por lo tanto, es válida la inferencia.

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(Tere. Exc.T.3)

Sección 1.16: Circuitos Lógicos

49

CIRCUITOS LOGICOS El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor. En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se tiene:

■|

■

»

«

Circuito Cerrado

O ---------------------- H

-

Circuito Abierto

Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p)=V, y está abierto (no pasa corriente) si V(p)=F. De aqui establecemos una identifica­ ción entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico. Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc) pueden repre­ sentarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones com ponentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a pro posiciones compuestas o viceversa.

CIRCUITOS EN SERIE__________________________________y Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie: ----------- 1

P

>|-------- •- ■■

» l----------- *

Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando los dos inte­ rruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de co­ rriente. De aqui tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposi­ ciones p y q. Por tanto: a) p

a