Lo decible y lo indecible en la mecanica cuantica

Table of contents :
Indice......Page 7
Introducción......Page 11
Lista de artículos sobre filosofía cuántica de J . S . Bell......Page 16
Prólogo......Page 19
Agradecimientos......Page 22
Sobre el problema de las variables ocultas en la mecánica cuantica......Page 25
Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen......Page 41
El aspecto moral de la mecánica cuántica......Page 51
Introducción a la cuestión de las variables ocultas......Page 60
Sujeto y objeto......Page 74
Sobre la reducción del paquete de ondas en el modelo de Coleman-Hepp......Page 80
Teoría de los beables locales......Page 89
La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas......Page 104
Cómo enseñar la relatividad especial......Page 109
Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen......Page 127
La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie......Page 141
Variables libres y causalidad local......Page 149
Fotones de cascada atómica y no localidad cuántica......Page 155
La teoría de de Broglie.Bohm. el experimento de la doble rendija con elección retardada y la matriz de densidad......Page 163
Mecánica cuántica para cosmólogos......Page 170
Los calcetines de Bertlmann y la naturaleza de la realidad......Page 197
Sobre la imposible onda piloto......Page 221
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica......Page 234
Beables para la teoría cuántica de campos......Page 238
Seis mundos posibles de la mecánica cuántica......Page 249
Correlaciones EPR y distribuciones EPW......Page 267
¿Hay saltos cuánticos?......Page 274

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J.S. BELL

Lo decible y lo indecible en la mecánica cuántica

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica Recopilación de artículos sobre fiiosofía cuántica

Alianza Editorial

Título original: Speakable and unspeakable in quantum rnechanics

@ Cambridge University Press, 1987 @ Ed cast.: Alianza Editorial, S. A-, Madrid, 1990 Calle Milán, 38, 28043 Madrid; teléf. 200 00 45 ISBN: 84-2062661-9 Depósito legal: M. 45.863-1990 Fotocomposición: EFCA, S. A. Dr. Federico Rubio y Gall, 16. 28039 Madrid Impreso en Lavel. Los Llanos, nave 6. Humanes (Madrid) Printed in Spain

Indice

Introducción

...........................................................................

Lista de artículos sobre filosofía cuántica de J . S. Be11................. Prólogo ................................................................................... Agradecimientos ...................................................................... Sobre el problema de las variables ocultas en la mecánica cuantica ...........................................................................

.

Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen

.................

El aspecto moral de la mecánica cuántica ........................... Introducción a la cuestión de las variables ocultas .............. Sujeto y objeto

................................................................

Sobre la reducción del paquete de ondas en el modelo de Coleman-Hepp ...............................................................

8

Indice

Teoría de los beables locales ........................................

89

La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas ........... 104 Cómo enseñar la relatividad especial ................................. 109 Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen

..........................

126

La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie ........................................................................ 141 Variables libres y causalidad local ..................................... 149 Fotones de cascada atómica y no localidad cuántica ........... 155 La teoría de de Broglie.Bohm. el experimento de la doble rendija con elección retardada y la matriz densidad ........... 163 Mecánica cuántica para cosmólogos .................................. 170 Los calcetines de Bertlmann y la naturaleza de la realidad .. 197 Sobre la imposible onda piloto

.........................................

221

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica .................. 234 Beables para la teoría cuántica de campos .......................... 238

20 . Seis mundos posibles de la mecánica cuántica .................... 249 21 . Correlaciones EPR y distribuciones EPW ........................ 267 22 . ¿Hay saltos cuánticos? ..................................................... 274

A mis padres

Introducción

...Y BELL DIO LA CAMPANADA

Einstein decía que la mecánica cuántica no podía ser una teoría completa ya que, de serlo, nos veríamos abocados a creer en la existencia de una «fantasmal acción a distancia», lo cual él pensaba haber desterrado para siempre de la física gracias a su formulación del principio de relatividad general. Por otro lado, Bohr se esforzaba en explicar que la *acción a distanciar que comporta la teoría cuántica no es de naturaleza dinámica y, por lo tanto, no viola el principio de relatividad. Ahora sabemos que, en esto último, Bohr tenía razón; pero sus argumentos ante los ataques de Einstein no eran excesivamente claros y su idea de la realidad física fluctuaba entre un pragmatismo puramente operacionalista y un idealismo un tanto vergonzante. Pero si la mecánica cuántica no fuera completa, jcómo podría completars se^? (Desde luego, manteniendo tal cual sus aspectos estadísticos, en los que su poder predictivo y su «corrección~son indiscutibles.) La idea que primero salta a la vista es la de introducir unas variables, «oculrás>>al nivel descriptivo de la mecánica cuántica, pero que podrían, en principio, hacerse manifiestas con el concurso de una eventual teoría más «básica». La mecánica cuántica tendría entonces el rango de .aproximación estadística. a una teoría de tipo determinista y objetivo. *

-

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Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

Sin embargo esa idea - e l sueño de Einstein- no parecía ser en modo alguno realizable: von Neumann, en 1932, había probado un teorema que excluía la posibilidad de variables ocultas si se mantenían todos los aspectos puramente estadísticos de la mecánica cuántica (jY quién iba a poner eso en duda!). Una vez más en la historia de la ciencia, el argumento de autoridad se impuso; en esta ocasión de una manera ciertamente comprensible, toda vez que el prestigio matemático de von Neumann era grande y no lo era menos el éxito de la mecánica cuántica. De modo que cuando, en 1952, David Bohm construyó de manera explícita un sencillo modelo de variables ocultas que coincidía, en su dominio de aplicación, con la mecánica cuántica en todos los aspectos estadísticos de ésta, casi nadie se puso nervioso, y el trabajo de Bohm pasó entonces bastante desapercibido. Pero sí hubo unos pocos, los eternos nadadores contracorriente, que no abandonaron el tema. Entre ellos, algunos años más tarde, se encontraba nuestro héroe, John Bell, que en 1964-65 aclaró -si se me permite el fácil juego de palabras- .por quién doblaban las campanas* : en otras palabras, puso los puntos sobre las íes en lo referente al debate teorías de variables ocultas versus mecánica cuántica. En esos años Be11 publicó dos trabajos -los primeros del presente volumen- que han de considerarse ya como verdaderas obras clásicas de la física teórica de nuestra época (aunque el año de publicación del primero en 1966, en realidad se envió a la revista en 1964; las razones de tal demora en su aparición no vienen al caso). En el primero se exponían, con una claridad ciertamente asombrosa, las causas del e f d l o ~del teorema de von Neumann; lo cual al tiempo explicaba cómo Bohm había ~ o d i d osaltárselo olímpicamente al construir su modelo. Asimismo se ponían en su justo lugar teoremas más sofisticados, como el de Jauch-Piron y el poderoso, desde el punto de vista matemático, de Gleason. En este trabajo se barrunta ya el papel fundamental que ha de jugar la no-se~arabilidadpara que una teoría de variables ocultas sea estadísticamente análoga a la mecánica cuántica. Sin embargo, el análisis preciso y detallado de esta cuestión se lleva a cabo en el segundo artículo, en el que se deducen las hoy universalmente famosas .desigualdades de Bell*. Un conocido físico teórico, Henry P. Stapp, profesor en la universidad californiana de Berkeley, ha llegado a afirmar que las desigualdades de Be11 constituyen el hallazgo más profundo de la historia de la ciencia (supongo que debe referirse a la ciencia pura). Ciertamente, esto es bastante exagerado, pero no cabe duda de la

Introducción

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importancia de dichas desigualdades. Hasta su formulación, la cuestión de si existe un mundo subcuántico, con las características de determinismo y objetividad ausentes en la teoría cuántica y del cual ésta de hecho proporcionaría una descripción puramente estadística, solía debatirse a niveles «peligrosamente» próximos a la metafísica. Be11 llevó el debate al terreno de la ciencia positiva: sus desigualdades son - c o n ciertos «perfeccionamientos» de tipo t é c n i c v susceptibles de verificación experimental y proporcionan un procedimiento para distinguir inequívocamente la mecánica cuántica de cualquier teoría de variables ocultas locales (es decir, que cumplan la propiedad tan anhelada por Einstein y sus seguidores). En el trabajo que se acaba de citar (como ya se ha dicho, el segundo de este libro), se consideraba el caso de variables ocultas perfectamente deterministas. La necesidad de determinismo estricto se elimina en el trabajo cuarto del presente volumen, en donde se trata con variables ocultas que pueden poseer un carácter estocástico. Lo esencial es en definitiva la propiedad de localidad -o, mejor, separabilidad- de tales variables. En resumen: la característica esencial de la mecánica cuántica es la no-separabilidad, el hecho de que esta teoría contemple la existencia de *misteriosas>>correlaciones a distancia de una naturaleza absolutamente diferente de las correlaciones usuales o .clásicas>>.La peculiaridad de las correlaciones cuánticas, el ser instantáneas y, por lo tanto, no trasmitirse de manera *dinámica>>entre los sistemas involucrados (y, no obstante, no provenir de propiedades comunes previas como es el caso en las correlaciones *clásicas>>) supone un auténtico rompecabezas para los interesados en la fundamentación de la teoría cuántica. Si se lee con atención el artículo decimosexto de los presentados en este volumen se entenderá bien por qué. Es dicho artículo, .Los calcetines de Bertlmann y la naturaleza de la realidad., un exponente muy significativo de la agudeza de pensamiento y claridad de exposición de John Bell. Es indudable -él mismo así lo confiesa- la influencia sobre Be11 de las ideas de Einstein acerca del carácter objetivo de la realidad física. Pero no puede pasar por alto -él menos que nadie- que los experimentos parecen confirmar el carácter no-separable de dicha realidad. (Cómo formular entonces una teoría análoga a la cuántica en el aspecto estadístico, pero que no necesite en su fundamentación del subjetivismo inherente a la observación, verdadera piedra angular de ésta última? Asegura Be11 en repetidas ocasiones en este libro que la base de una teoría tal fue establecida, hace más de sesenta años, por de

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Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

Broglie y posteriormente ampliada hasta cierto punto por Bohm: la llamada *interpretación de la onda-piloto>>o, también, .de la doble solución>>.Esta interpretación se describe en varios lugares del libro, sobre todo en el capítulo (artículo) decimoquinto. En otros dos artículos, Be11 expone su propia teoría de lo que él denomina ~ b e a bles>> -en contraposición a observables-, que, aunque en un estadio aún primitivo, podría proporcionar una alternativa a la teoría cuántica de campos, con idéntico poder predictivo .estadístico* que ésta, pero con la ventaja de su formulación precisa. Sin embargo, aparte la dificultad de su desarrollo matemático, tal teoría tiene problemas muy serios en relación con la relatividad, que el propio Be11 presenta con toda crudeza (artículos 7 y 19). Querría ahora hacer un breve comentario sobre el título del libro. He preferido traducirlo literalmente -Speakable and unspeakabk in Quantum Mechanics, en inglés- aunque no sé si la palabra .decible>> es muy correcta en español (por boca de un experto me he enterado que puede usarse, sobre todo cuando se hace en contraposición a *indecible.); en cualquier caso, con ella se expresa de manera clara la idea del autor. Idea que se manifiesta a lo largo de toda la obra, pero que tal vez esté bien resumida en el siguiente párrafo del artículo que da el título al libro (el número 18) «El "Problema" entonces es éste: jcómo ha de dividirse el mundo en el aparato decible... sobre el que podemos hablar y el sistema cuántico indecible sobre el que no podemos hacerlo?...B. En casi todos los artículos del libro se plantea este problema de una u otra manera; de hecho, la teoría de los beables antes mencionada trata de resolverlo en el espíritu de de Broglie y Bohm. Para no hacer demasiado extensa esta introducción, añadiré sólo esto: el lector tiene en sus manos una recopilación de los trabajos esenciales de uno de los grandes filósofos cuánticos actuales - e n el sentido tradicionalmente dado a la filosofía natural-. Un físico teórico que, a la vez que profesional en su método de trabajo, parece «amateur* por su entusiasmo y por su valentía al apartarse de los senderos trillados y plantearse cuestiones que la mayoría de sus colegas creen, erróneamente, ya resueltas por las .autoridades científicas competentes* o, en términos del mismo Bell, por d o s padres fundadores B. Cuando esta introducción ya se hallaba en pruebas, me llegó la noticia del inesperado fallecimiento de John Bell, en Ginebra el pasado mes de septiembre, a causa de un fulminante ataque cerebral.

Introducción

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Con ocasión de tan triste suceso, resultaría superfluo el insistir en la opinión que como científico y como persona me merecía John Bell; creo haberla expresado con suficiente claridad en las líneas precedentes. José L. Sánchez Gómez Catedrático de Física Teórica Universidad Autónoma de Madrid

J. S. BELL: ARTICULOS SOBRE FILOSOFIA CUANTICA

O n the problem of hidden variables in quantum mechanics. Reviews of Modern Physics 38 (1966) 447-52. O n the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. Physics 1 (1964) 195200.

The moral aspect of quantum mechanics (con M. Nauenberg) In Preludes in Theoretical Physics, editado por A. De Shalit, H. Feshbach y L. Van Hove. North Holland, Amsterdam (1966), pp. 279-86. Introduction to the hidden-variable question. Foundations of Quantum Mechanics. Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi~,course IL, New York, Academic (1971), pp. 171-81. O n the hypothesis that the Schrodinger equation is exact. TH1424-CERN octubre 27, 1971. Contribution to the International Colloquium on Issues in Contemporary Physics and Philosophy of Science, and their Relevance for our Society, Penn State University, September, 1971. Reproducido en Epistemological Letters, julio 1978, pp. 1-28, y aquí en forma revisada como 15. Omitido. Subject and Object. En The PhysicistJs Conception of Nature Dordrecht-Holland, D. Reidel (1973), pp. 687-90.

Introducción

17

O n wave packet reduction in the Coleman-Hepp model. Helveti-

ca Pbysica Acta 48 (1975), 93-8. The theory of local beables. TH-2053-CERN, 1975 July 28. Presentado en Sixth GIFT Seminar, Jaca, 2-7 junio 1975, y reproducido en Epistemological Letters, marzo 1976. Locality in quantum mechanics: reply to critics. Epistemological

Letters, Nov. 1975, pp. 2-6. How to teach special relativity. Progress in Scientific Culture, Vol. 1, n." 2, verano 1976. Einstein-Podolsky-Rosen experiments. Proceedings of the Symposium on Frontier Problems in High Energy Physics, Pisa, junio 1976, pp. 33-45. The measurement theory of Everett and de Broglie's pilot wave. In Quantum Mechanics, Determinism, Causality, and Particles, editado por M. Flato et al. Dordrecht-Holland, D. Reidel, (1976), pp. 1177. Free variables and local causality. Epistemological Letters, febrero 1977. Atomic-cascade photons and quantum-mechanical nonlocality.

Comments on Atomic and Molecular Physics 9 (1980) pp. 121-6. Charla invitada en Conference of the European Group for Atomic spectroscopy, Orsay-París, 10-13 julio, 1979. De Broglie-Bohm, delayed-choice double-slit experiment, and density matrix. International Journal of Quantum Chemistry: Quantum Chemistry Symposium 14 (1980), 155-9. Quantum mechanics for cosmologists. In Quantum Grdvity 2, editores C. Isham, R. Penrose, y D. Sciama. Oxford, Clarendon Press (1981), pp. 611-37. Versión revisada de ,que trata del problema de la aparente acci6n a distancia. Para aquellos que conocen algo el formalismo cuántico, el artículo 3, .Los aspectos morales de la mecánica cuántica., introduce el infame .problema de la medida>>.Agradezco a Michael Nauenberg, coautor del artículo, su permiso para incluirlo aquí. Al mismo nivel aproximadamente, el artículo 17, .Sobre la imposible onda piloto*, comienza la discusión de las «variables ocultas» y de las demostraciones de *imposibilidad>>relacionadas.

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Discusiones más elaboradas del , queda en pie un problema de principio. Este es el de colocar con ~recisiónel límite entre lo aue debe describirse mediante estados ondulatorios cuánticos por un lado y en «términos clásicos» de Bohr por otro. La eliminación de este evasivo límite ha constituido siempre para mi la máxima atracción de la descripción de la >'. Se han examinado estos intentos en otro lugar y han sido encontrados defectuosos4. Más aún, ha sido explícitamente construida una interpretación de variables ocultas de la teoria cuántica elemental5. Esta

* Trabajo financiado parcialmente por la Comisión de Energía Atómica de EE.UU. Departamento de Física, Universidad de Wisconsin, Madison, Wisconsin.

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interpretación particular tiene ciertamente una marcada estructura no-local. De acuerdo con el resultado que se probará aquí, esto es característico de cualquier teoría de ese tipo que reproduzca con exactitud las predicciones de la teoría cuántica.

2. Formulación Con el ejemplo propugnado por Bohm y Aharonov6, la argumentación de EPR es como sigue. Considérese un par de partículas de espín creadas de algún modo en el estado singlete de espín y que se mueven libremente según direcciones opuestas. Pueden hacerse medidas, por ejemplo mediante imanes Stern-Gerlach, de proyecciones escogidas de los espines al y a2. Si midiendo la proyección al a, donde a es algún vector unitario, se obtiene el valor +1, entonces, según la mecánica cuántica, la medida de 0 2 a debe arrojar el valor -1 y viceversa. Ahora hacemos la hipótesis, y ésta parece al menos digna de ser considerada, que si se llevan a cabo dos medidas en lugares muy distantes entre sí la orientación de un imán no afecta el resultado obtenido con el otro. Puesto que podemos predecir el resultado de la medida de cualquier componente de q,se sigue que el resultado de tal medida ha de estar realmente predeterminado. Como la función de ondas cuántica inicial no determina el resultado de una medida individual, esta predeterminación implica la posibilidad de una especificación del estado más completa. Sean A los parámetros que efectúan la mencionada especificación. Resulta indiferente para lo que sigue que A denote una sola variable o un conjunto, o incluso un conjunto de funciones, y que las variables sean discretas o continuas. N o obstante, escribimos A como si fuera un solo parámetro continuo. El resultado A de medir al - a viene entonces determinado por a y A y el resultado B de medir q b en la misma ocasión viene determinado por b y A, y

4

La hipótesis esencial2 es que el resultado B para la partícula 2 no depende del dispositivo a, del imán para la partícula 1, ni el A del b. Si @(A)es la distribución de probabilidad de A, entonces los valores esperados del producto de 10s componentes al a y q . b es

Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen r

Esto debe ser igual al valor esperado cuántico, que para el estado singlete es

(a,-saz. b)

=

-ao b

(3)

Pero demostraremos que esto no es posible. Algunos preferirían una formulación en la cual las variables ocultas se agrupen en dos conjuntos, con A dependiente de uno de ellos y B del otro; esta posibilidad está contemplada arriba, ya que A representa cualquier número de variables y la dependencia de A y B con respecto a ellas no está restringida. En una teoría física completa del tipo previsto por Einstein, las variables ocultas tendrían significado físico y leyes de movimiento; en ese caso nuestras A pueden imaginarse como los valores iniciales de dichas variables en algún instante apropiado.

3. Ilustración La prueba del resultado principal es muy simple. N o obstante, antes de re sentarla un conjunto de ilustraciones puede servir para ponerla en perspectiva. Primeramente, no hay ninguna dificultad en dar cuenta de las medidas del espín de una sola partícula. Supóngase una partícula de espín un medio en un estado de espín puro con una polarización dada por un vector unitario p. Sea la variable oculta (por ejemplo) un vector unitario 1con distribución uniforme de probabilidad sobre la semiesfera 1 p > O. Es~ecifíqueseque el resultado de la medida de una componente a - a es sign A a',

(4)

donde a' es un vector unitario que depende de a y p de un modo a especificar, y la función signo es + 1 ó - 1 según sea el signo de su argumento. De hecho esto deja el resultado indeterminado cuando A a' = O, pero como la probabilidad de que se dé esto es cero no

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

44

~rescribiremosnada especial para tal eventualidad. Promediando sobre A el valor esperado es

donde 8' es el ángulo entre a' y p. Supóngase entonces que a' se obtiene a partir de a mediante una rotación hacia p hasta

28' - COS Jt

e

donde 8 es el ángulo entre a y p. Entonces obtenemos el resultado deseado

Así pues en este caso simple no hay ninguna dificultad en considerar que el resultado de cualquier medida viene determinado por el valor de una variable extra y que los aspectos característicos de la mecánica cuántica surgen porque el valor de dicha variable es desconocido en los casos individuales. En segundo lugar, no hay dificultad en reproducir, en la forma (2), las únicas características de (3) empleadas corrientemente en discusiones verbales acerca de este problema:

Por ejemplo, sea A ahora el vector unitario A, con distribución de probabilidad uniforme en todas las direcciones y tomemos

A(a, A) = sign a h B(a, b) = - sign b A Esto da

Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen

45

donde 6 es el ángulo entre a y b y la ec. (10) tiene las propiedades de la (8). Como comparación, considérese el resultado de una teoría modificada en donde el estado puro singlete cambia en el transcurso del tiempo a una mezcla isótropa de estados producto; esto proporciona la función de correlación

Probablemente es menos fácil, experimentalmente, distinguir (10) de (3) que (11) de (3). Al contrario que (3), la función (10) no es estacionaria en el valor mínimo -1 (para 6 = O). Se verá que esto es característico de las funciones del tipo (2). En tercer lugar, finalmente, no hay dificultad en reproducir la correlación cuántica (3) si se permite que los resultados A y B dependan de b y a respectivamente al tiempo que de a y b. Por ejemplo, sustitúyase en (9) a por a', obtenida a partir de a por rotación hacia b hasta 2 1-= COS 6,

n

donde 6' es el ángulo entre a' y b. Sin embargo, para valores dados de las variables, los resultados de las medidas con un imán dependen de la disposición del imán distante, que es justo lo que desearíamos evitar.

4.

Contradicción

e es

una

y debido a las propiedades (I), P en (2) no puede ser menor que Puede llegar a -1 para a = b sólo si

- 1.

Probaremos ahora el resultado principal. Puesto que distribución de probabilidad normalizada,

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

excepto en un conjunto de puntos A de probabilidad nula. Aceptando esto, (2) puede reescribirse como

I

P(a, b) = - dAp(A)A(a, A)A (b, A). que si c es otro vector unitario

usando (I), de donde

El segundo término de la derecha es P(b, c), por lo que

Salvo que P sea constante, el miembro de la derecha es en general de orden lb - cl para lb - cl pequeño. Entonces P(b, c) no puede ser estacionaria en el valor mínimo (- 1 en b = c) y no puede ser igual al valor cuántico (3). Tampoco la correlación cuántica (3) puede ser aproximada con precisión arbitraria por la forma (2). La demostración formal de esto puede desarrollarse como sigue. N o nos preocupamos de que la aproximación falle en puntos aislados, así que en lugar de (2) y (3) consideremos las funciones

donde la barra denota el promediar independientemente P ( a f , b') y

Sobre la paradoja de Einstein-Podoisky-Rosen

47

-a' b' sobre los vectores a' y b' dentro de ángulos especificados pequeños alrededor de a y b. Supóngase que para todo a y b la diferencia está acotada por E :

En dicho caso, se probará que E no puede ser arbitrariamente pequeño. Supóngase que para cualquier a y b

Entonces de (16)

donde

IA(a,A)Isi

De (18) y (19), con a = b

ylB(b,A)Isl

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48

Entonces usando (20)

Ahora de (19) y (21)

IP(a, b) - P(a, c)l

1

+ P(b, c) + E + 8

Finalmente, usando (18)

l a - c - a - b l - ~ ( E + O ) S1 - b . c + 2 ( ~ + 6 )

Tómese por ejemplo a c = O, a b = b c = 1/*.

Entonces

Por lo tanto, para 6 pequeño y finito, E no puede ser arbitrariamente pequeño. En consecuencia, el valor esperado cuántico no puede ser representado, ni exactamente ni con un grado arbitrario de aproximación, en la forma de la ecuación (2).

.

Generalización

El ejemplo discutido más arriba tiene la ventaja que requiere poca imaginación el concebir que las medidas involucradas como llevadas realmente a cabo. De un modo más formal7, suponiendo que todo operador Hermític0 con un conjunto completo de estados es un nobservable~,el resultado se extiende fácilmente a otros sistemas. Si los espacios de

Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen

49

estados de los dos sistemas son de dimensión mayor que 2, podemos considerar siempre subespacios bidimensionales y, en su producto directo, definir operadores a, y a2 formalmente análogos a los gxeviamente usados y que son cero para los estados fuera del subespacio producto. Entonces para un estado cuántico al menos, el estado esinglete. en los subespacios combinados, las predicciones estadísticas de la mecánica cuántica resultan incompatibles con una predeterminación separable.

6. Conclusión En una teoría en la que se añaden parámetros a la mecánica cuántica para determinar los resultados de medidas individuales, sin cambiar las predicciones estadísticas, debe existir un mecanismo por el que la colocación de un aparato de medida pueda influir en el resultado proporcionado por otro instrumento no importa lo remoto que se encuentre. Además, la señal involucrada ha de propagarse instantáneamente, de modo que tal teoría no podría ser invariante Lorentz. Si las predicciones de la mecánica cuántica tienen una validez limitada, la situación es por supuesto diferente. Concebiblemente, aquéllas podrían ser aplicadas sólo a experimentos en los que los dispositivos se montan con la suficiente anticipación como para permitir que establezcan una relación mutua por intercambio de señales con velocidades menores o iguales que la de la luz. En relación con esto, experimentos del tipo propuesto por Bohm y Aharonov6, en los que los montajes se cambian estando las partículas en vuelo, resultan cruciales.

Agradecimiento Estoy en deuda con los Drs. M. Bander y J. L. Perring por discusiones muy útiles sobre este problema. La primera versión de este artículo se escribió durante una estancia en la Universidad Brandeis; agradezco a mis colegas allí y en la Universidad de Wisconsin por su interés y hospitalidad.

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Notas y referencias 1 A. Einstein, N. Rosen y B. Podolsky, Phys. Rev. 47, 777 (1935); véase también N. Bohr, Phys. Rev. 48,696 (1935), W. H. Furry, Phys. Rev 49,393 y 476 (1936) y D. R. IngIis, Rev. Mod. Phys. 33, 1 (1961). 2 &Pero,en mi opinión, una suposición ha de mantenerse a toda costa: la situación real de hecho del sistema S2 es independiente de lo que se haga con el sistema S,, el cual está separado espacialmente del anterior.» A. Einstein en Albert Einstein, Philosopher Scientist, editado por P. A. Schilp, p. 85, Library of Living Philosophers, Evanston, Illinois (1949). 3 J. von Neumann, Mathematiscbe Grundlagen der Quanten-mecbanik, Verlag Julius Springer, Berlin (1932), (Traducción al inglés: Princeton University Press, 1955; al español: Publicaciones del C.S.I.C., 1949) J. M. Jauch y C. Piron, Helv. Phys. Acta 36, 827 (1963). 4 J. S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966). 5 D. Bohm, Phys. Rev. 85, 166 y 180 (1952). 6 D. Bohm y Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1.070 (1957). 7 P. A. M. Dirac, Tbe Principies of Quantum Mechanics (3." edición), p. 37. The Clarendon Press, Oxford (1947) (Edición española: Editorial Ariel, Barcelona, 1965).

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102

Este artículo ha intentado ser bastante explícito y general en la cuestión de la localidad, siguiendo líneas sólo esbozadas en previas publicaciones (Refs. 2, 4, 10, 19). En lo que se refiere a la literatura sobre esta materia, soy particularmente consciente de haberme beneficiado del artículo de Clauser, Horne y Shimony3, en donde se presentó el prototipo de (16), y del de Clauser y Horne16. Junto con un análisis general de la materia, este último contiene una valiosa discusión de cuán bien puede aplicarse la desigualdad en la práctica; a él debo en particular el advertir el hecho de que en las desintegraciones a dos cuerpos (en comparación con las de a tres) las ineficacias geométricas básicas entran en (22) de un modo relativamente inocuo. Me he beneficiado también de muchas discusiones sobre el tema con el Prof. B. d7Espagnat.

Referencias N. Bohr, en Albert Einstein, Ed. Schilpp, Tudor (1). J. S. Bell, Physics 1, 195 (1965). J. F. Clauser, R. A. Holt, M. A. Horne y A. Shimony, Phys. Rev. Letters 23,880 (1969).

J . S. Bell, en Proceedings of the Int. School of Physics Enrico Fermi, Academic Press (1971). R. Friedberg (1969, no publicado) citado en M. Jammer". E. P. Wigner, Am. J. Phys. 38, 1005 (1970). B. d'Espagnat, Conceptual Foundations of Quantum Mechamis, Benjamin (1971). K. Popper, en Perspectives in Quantum Theory, Eds. W. Yourgrau y A. van der Merwe, M.I.T. Press (1971). H. P. Stapp. Phys. Rev. D3, 1303 (1971). J. S. Bell, Science 177, 880 (1972). P. M. Pearle, Phys. Rev. D2, 1418 (1970). J. H. McGuire y E. S. Fry, Phys. Rev. D7, 555 (1972). J. Freedman y E. P. Wigner, Foundations of Physics 3, 457 (1973). J. Belinfante, A Survey of Hidden Variable Theories, Pergamon (1973). V . Capasso, D. Fortunato y F. Selleri, Int. J. Theor. Phys 7, 319 (1973). J. F. Clauser y M. A. Horne, Phys. Rev. D 10, 526 (1974). M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics, Wiley (1974). Véanse en particular las referencias a T. D. Lee (pág. 308) y R. Friedberg (págs. 244, 309, 324). D. Gutkowski y G. Masotto, Nuovo Cimento 22B, 1921 (1974). J. S. Bell, en The Physicist's Conception of Nature, Ed. J. Mehra y D. Reidel (1973).

Teoría de los beables locales

103

20 B. dYEspagnat,Phys. Rev. D11, 1424 (1975). 21 G. Corleo, D. Gutkowski, G. Masotto y M. V. Valdés, Nuovo Cimento B25, 413 (1975). 22 H. P. Stapp, Nuovo Cimento B29, 270-6 (1975). 23 D. Bohm y B. Hiley, Foundations of Physics 5, 93-109 (1975). 24 A. Baracca, S. Bergia y M. Restignoli, en Conf. on Few Body Problems, Quebec, Agto. 1974, 68-9. Quebec. Laval Univ. Press (1975). 25 A. Baracca, D. J. Bohm, R. J. Hiley y A. E. G. Stuart, Nuovo Cimento 28B, 453-66 (1975). 26 Para un resumen de los experimentos, véase el artículo número 10 del presente

libro.

Capítulo 8 LA LOCALIDAD E N MECANICA CUANTICA: REPLICA A CRITICAS

El editor me ha pedido replique a un artículo, de G. Lochak', que refuta un teorema mío sobre variables ocultas. Si lo entiendo correctamente, Lochak encuentra que de alguna manera no logré tener en cuenta el efecto del equipo de medida sobre esas variables. Intentaré explicar por qué no estoy de acuerdo. Aprovecharé también la oportunidad para comentar sobre otra refutación2, por parte de L. de la Peña, A. M. Cetto y T. A. Brody, y sobre otra más debida a L. de Broglie3. Todavía otra refutación, por J. Bub4, del mismo teorema ha sido refutada a su vez por S. Freedman y E. P. Wigner5. Recordemos un contexto típico en el cual este teorema es relevante. Un se produce en una región espacio-temporal 3 y activa unos sistemas de contadores, precedidos por imanes Stern-Gerlach, en las regiones espacio-temporales 1 y 2. El sistema en 1 es tal que uno de los dos contadores (*hacia arriba» o «hacia abajo>>)registra cada vez que se hace el experimento: correspondientemente denotamos aquí el resultado por A (= 1 ó - 1). Análogamente el sistema en 2 es tal que uno de los dos contadores registra cada vez que se hace el experimento, dando B (= 1 ó - 1 ). Estamos interesados en las correlaciones entre las cuentas 1 y 2 y definimos una función de correlación

+ +

La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas

105

que es el promedio sobre muchas repeticiones del experimento del producto de A y B. Cierto que sería mejor dar una descripción puramente operacional y en términos tecnológicos macroscópicos del equipo involucrado. Esto evitaría completamente el uso de palabras como «espín» y partícula^, anulando así la posibilidad de que alguien se sienta obligado a formarse una imagen microscópica de lo que sucede. Pero llevaría mucho tiempo el dar tal especificación puramente tecnológica. Así, pues, ruego se acepte que las palabras e , ¿por qué se ignora la representación de la onda piloto en los libros de texto? ¿ N o debería enseñarse, no como el único camino, sino como un antídoto contra la complacencia prevaleciente, para mostrar que la vaguedad, la subjeti-

224

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

y los autovalores correspondientes

0, definidos por Oan(4 = Entonces puede desarrollarse el estado inicial

y la solución de la ecuación de Schrodinger es

Es decir, los diversos paquetes de ondas @ se mueven por separado y, tras un tiempo suficientemente largo, cualquiera haya sido inicialmente el caso, se solapan muy poco. Entonces cualquier resultado probable de una medida de posición sobre la partícula corresponderá a un autovalor particular O,, cuya probabilidad de ser obtenido vendrá dada por la norma del correspondiente paquete de ondas @,, esto es, por el peso del autovector correspondiente en el desarrollo del estado inicial. Tenemos aquí un modelo de algo parecido a un experimento de Stern-Gerlach. Convencionalmente se dice que el proceso amide el observable O con el resultado O,». Para completar esta descripción, a la de Broglie y Bohm, añadimos a la función de ondas Y una posición de la partícula

Si se hace una medida de la posición en el instante t, el resultado es X(t), pero incluso aunque no se realice ninguna medida X(t) existe. La partícula, en esta descripción, tiene siempre una posición definida. La evolución temporal de la posición de la partícula viene determinada Por

226

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

extendidos en todo el espacio y partículas localizadas en puntos concretos. Por supuesto el campo en un punto concreto es lo más relevante de inmediato para el movimiento de una determinada partícula. Aunque Y es un campo real, no se muestra inmediatamente en el resultado de una «medida» individual, sino solamente en la estadística de un número elevado de tales resultados. Es X, la variable de de Broglie-Bohm, la que aparece de inmediato cada vez. Que histórica. mente X sea denominada variable «oculta» en lugar de serlo Y, es una muestra de estulticia histórica. Nótese que desde el presente punto de vista la descripción del experimento como del O no es afortunada. Nuestra partícula no tiene grados de libertad internos. Está guiada sin embargo por un campo con muchos componentes, y cuando éste sufre lo análogo a la refracción óptica múltiple, la partícula es arrastrada por uno u otro camino dependiendo sólo de su posición inicial. Tenemos aquí una ilustración muy explícita de la lección enseñada por Bohr. Los resultados experimentales son productos del montaje total, .sistema>> más .aparato>>, y no han de considerarse como de propiedades preexistentes del aistema» por separado.

3. Los agujeros en las redes Es fácil encontrar buenas razones para que la descripción de de Broglie-Bohm no agrade. N i a de Broglie ni a Bohm les gustaba mucho; para ambos era sólo un punto de partida. Tampoco le gustaba mucho a Einstein. La encontraba , de dicho sistema en movimiento. Pero no nos dice que si el sistema se pone en movimiento de algún modo vaya a ir realmente al *primado>>del estado original y no al de algún otro estado del sistema en reposo. De hecho, generalmente hará esto último. Un sistema puesto brutalmente en movimiento puede quedar despedazado, o partido, o calentado o quemado. En el caso del simple átomo clásico, algo similar podría haber ocurrido si el núcleo, en lugar de moverse suavemente, hubiese sido impulsado violentamente. Los electrones podrían haberse quedado atrás. Además, una aceleración dada es suficientemente suave o no dependiendo de la órbita en cuestión. Un electrón en una órbita pequeña, de alta frecuencia, fuertemente ligada, puede seguir de cerca a un núcleo que otro electrón en una órbita más lejana -o en otro átomo- no podría seguir en absoluto. En consecuencia sólo podemos suponer la contracción de Fitzgerald, etc., para un sistema dinámico coherente cuya configuración quede determinada esencialmente por fuerzas internas y venga perturbado sólo por fuerzas externas que aceleran globalmente el sistema. Hagámoslo así. Por ejemplo, en el problema de los cohetes de la introducción, el material de los cohetes y el del hilo se contraerá. Un hilo lo bastante fuerte mantendría unidos los cohetes e impondría la contracción de Fitzgerald a todo el sistema. Pero si los cohetes son demasiado masivos para ser apreciablemente acelerados por el frágil hilo, éste ha de romperse cuando la velocidad llegue a ser lo suficientemente elevada. Hasta ahora sólo hemos discutido de objetos móviles, pero aún no lo hemos hecho de sujetos móviles. La cuestión de los sujetos móviles no es enteramente académica. Completamente aparte de personas en cohetes, parece razonable considerar como móvil -al menos durante la mayor parte del año- la misma tierra, que orbita alrededor del sol7. El punto importante a señalar en referencia a los observadores móviles es el siguiente, dada la invariancia Lorentz: las variables con primas, introdzicidas más arriba simplemente por conveniencia mate-

120

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

matica, son las que adoptaría de modo natural un observador" que se mueve con velocidad constante y se imagine en reposo. Además, dicho observador hallaría que las leyes físicas expresadas en tales términos son precisamente las que aprendió en reposo (si fue correctamente instruido). Un observador tal tomaría de modo natural como origen de coordenadas espaciales un punto en reposo respecto a él mismo; lo que explica el término Vt en la relación

El factor VI - V2/Z se explica por la contracción de Fitzgerald de sus reglas. ¿Pero no vería él que sus reglas se contraen según se disponen a lo largo del eje z -e incluso que se descontraen al volverse a colocar según el eje x-? No, porque también se contrae su retina, así que las mismas células reciben la imagen de la regla justamente como si ésta y el observador estuvieran en reposo. Del mismo modo, no notará que sus relojes atrasan, porque él mismo pensará más lentamente. Además, al imaginarse estar en reposo, no sabrá que la luz lo adelanta, o se dirige hacia él, con velocidades relativas diferentes en ambos casos c f v. Esto le hará equivocarse al sincronizar relojes en lugares diferentes, de modo que se ve conducido a pensar que

es el tiempo real, pues con esta elección la luz parece viajar de nuevo con velocidad c en cualquier dirección. Esto puede ser comprobado directamente, y es también consecuencia de las ecuaciones de Maxwell ~primadas>>. Al medir el campo eléctrico, utilizará una carga test en reposo con respecto a su equipo, midiendo realmente así una combinación E y B. Definiendo ambos, E y B, con el requerimiento de dar lugar a los conocidos efectos sobre las cargas en movimiento, llegará más bien a E' y B'. Entonces será capaz de verificar que las leyes de la física son como él recuerda y, a la vez, confirmar su buen sentido en las definiciones y procedimientos adoptados. Si algo no sale correcta>' El autor, aprovechando que «observer» (observador) es también femenino en inglés, se refiere aquí a observadoras. Se ha preferido seguir la terminología convencional en español (N. del T.).

Cómo enseñar la relatividad especial

121

mente, hallará que su aparato comete errores (quizás averiado durante la aceleración) y lo reparará. Nuestro observador móvil O', creyéndose en reposo, se imaginará que es el observador estacionario O el que se mueve. Y las variables de este último se expresan fácilmente en términos de las del primero y viceversa X

= xr

z'

y =y'

+ Vt'

z=vix2 t=

+ Vz'/c2 VCTv t'

Sólo cambia el signo de V. El primero dirá que las reglas del segundo se han contraído, que sus relojes atrasan, y que éste no ha sincronizado propiamente los relojes en lugares diferentes. Atribuirá el uso por parte del segundo de variables equivocadas a los efectos tipo Fitzgerald-Larmor-Lorentz-Poincaré en su equipo. Los puntos de vista del primero serán lógicamente consistentes y estarán de acuerdo con los hechos observables. N o habrá manera de que el segundo le persuada de que está equivocado. Esto completa la introducción de lo que se ha llegado a llamar ala teoría especial de la relatividad>>.Surgió a partir del fracaso experimental para detectar cualquier cambio, en las leyes aparentes de la física en los laboratorios terrestres, con la lentamente variable velocidad orbital de la tierra. De especial importancia fue el experimento de Michelson-Morley, quienes intentaron hallar alguna diferencia en la velocidad aparente de la luz según direcciones distintas. Hemos seguido aquí en gran parte el enfoque de H. A. Lorentz. Suponiendo las leyes físicas en términos de ciertas variables (t, x, y, z), se lleva a cabo una investigación acerca de cómo aparecen las cosas para los observadores que se mueven, con su equipo, en términos de dichas variables. Se halla que, si las leyes físicas son invariantes Lorentz, tales observadores móviles serán incapaces de detectar su movimiento. Resulta entonces que no es posible determinar experimentalmente cuál, si alguno, de dos sistemas que se mueven uniformemente se encuentra realmente en reposo y cuál en movimiento. no Todo esto se aplica al movimiento uniforme; la teoría contempla los observadores acelerados.

122

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

El tratamiento de Einstein difiere del de Lorentz en dos grandes aspectos. Hay una diferencia de filosofía y otra de estilo. La diferencia de filosofía es la siguiente. Puesto que experimentalmente resulta imposible discernir cuál de los dos sistemas que se mueven uniformemente se halla de hecho en reposo, Einstein juzga las nociones «realmente en reposo» y «realmente moviéndose» como carentes de sentido. Para él, sólo el movimiento relativo de dos o más objetos que se mueven uniformemente es real. Por el contrario, Lorentz prefería el punto de vista de que existe verdaderamente un estado real de reposo, definido por el &ter>>,por más que las leyes de la física conspiren para impedirnos su identificación experimentalmente. Ningún hecho de la física nos obliga a aceptar una de las filosofías y no la otra. Y no necesitamos aceptar la filosofía de Lorentz para adoptar una pedagogía Lorentziana. Su especial mérito consiste en remachar la lección de que las leyes de la física en cualquier sistema de referencia dan cuenta de todos los fenómenos, incluyendo las observaciones de observadores móviles. Y suele resultar más sencillo trabajar en un sistema único que apresurarse a ir tras el objeto móvil de turno. La diferencia de estilo es que, en vez de inferir la experiencia de los observadores en movimiento a partir de leyes conocidas y conjeturadas de la física, Einstein parte de la hipótesis según la cual éstas aparecerán idénticas para todos los observadores en movimiento uniforme. Esto permite una formulación muy elegante y concisa de la teoría, como sucede frecuentemente cuando puede hacerse una suposición grande que cubre otras varias menores. N o se vea aquí ninguna intención de expresar reserva alguna respecto al poder y la precisión del tratamiento de Einstein. Pero en mi opinión hay algo también que debe decirse para llevar estudiantes al camino trazado por Fitzgerald, Larmor, Lorentz y Poincaré8. A veces la ruta más larga proporciona más familiaridad con el país. En conexión con este artículo, agradezco sinceramente los consejos de M. Bell, F. Farley, S. Kolbig, H. Wind, A. Zichichi y H. @veras. Doy especialmente las gracias a H. D. Deas por discusión temprana de estas ideas.

Cómo enseñar la relatividad especial

Notas y referencias 1 Las notas han de ignorarse en una primera lectura. 2 E. Dewan & M. Beran, Am. J. Phys. 27, 517 (1959). A. A. Evett & R. K. Wansgness, Am. J. Phys. 28, 566 (1960). E. M. Dewan, Am. J. Phys. 31, 383 (1963). A. A. Evett, Am. J. Phys. 40, 1 1 70 (1972). 3 Una aceleración violenta podría romper el hilo simplemente debido a su propia inercia cuando las velocidades son aún pequeñas. Este no es el efecto que interesa aquí. Con una aceleración suave, la ruptura aparece cuando se alcanza una cierta velocidad, función del grado que permite el hilo ser estirado más allá de su longitud natural. 4 Este método de aceleración, aplicar de algún modo una fuerza al núcleo sin ningún efecto directo sobre el electrón, no es muy realista. Sin embargo, como luego se explica, se sigue de la invariancia Lorentz y de las condiciones de estabilidad que cualquier proceso acelerativo suficientemente suave producirá las mismas contracción de Fitzgerald y dilatación de Larmor. Se invita al estudiante a dar un sentido a esta afirmación también en los casos más generales de órbitas que no son circulares y cuando la aceleración no se encuentra en el plano de la órbita. 5 Para una fuente de carga Ze los campos son9, en unidades c.g.s.,

donde

Esos son los campos en la posición r, en un tiempo t causados por una fuente que en el tiempo retardado

tenia posición, velocidad y aceleración

Debido a la aparición de r en el tiempo retardado (5.2), que a su vez se necesita para calcular r, estas ecuaciones son menos explícitas de lo que podría haberse deseado. Sin embargo, si se empieza con una situación en la cual la fuente ha estado en reposo durante algún tiempo, r es justo la distancia instantánea a la fuente. Se puede guardar traza subsecuente de ello integrando la ecuación diferencial

d 2 = S-'r . ,;( - [v]) dt

(5.3)

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica la cual se sigue de

diferenciando con respecto al tiempo, notando que

En el caso particular de movimiento uniforme A = O, las cantidades retardadas pueden expresarse en términos de las no retardadas

I

[A]= A = O [VI= v = constante

I

siendo la última expresión la solución de

Con estas expresiones (5.1) se reduce a (1). Para verificar esto para el átomo de hidrógeno ( 2 = 1) con un radio de la órbita realista, e.g., el radio de Bohr

-

donde a es la constante de estructura fina, 1/137, podría requerirse mucho tiempo de cálculo. La aceleración ha de ser muy suave, porque las fuerzas internas son débiles y porque la órbita se halla cerca de una «inestabilidad de resonancia entera* (en el lenguaje de la teoría de los aceleradores de partículas). Tomando un valor de Z más alto, e.g. Z 70, son posibles aceleraciones mucho mayores y basta con un modesto tiempo de cálculo. La idea de obtener los efectos Fitzgerald y Larmor en un sistema tal, mediante una integración directa de las ecuaciones de movimiento, quizás me surgió de una puntualización de J. Larmorlo. 7 Es concebible que el movimiento de la tierra respecto al sol y el de éste respecto a cualquier sistema inercia1 que adoptemos pudieran conspirar para hacer que la tierra estuviera en reposo momentáneo. Pero esta situación no persistiría según la tierra continúa rotando en torno al sol, suponiendo que éste se mueve bastante uniformemente. Dicho sea de paso, la velocidad orbital de la tierra es alrededor de 3 km/seg. La velocidad de la superficie de la tierra respecto a su centro, debida a la rotación diaria, es alrededor de la centésima parte de la anterior. 8 El único texto moderno, de entre los que conozco, que esencialmente sigue este

-

Cómo enseñar la relatividad especial

125

camino, parece ser el de L. Janossy: Theory of Relativity Based on Physical Reality, Académiaia Kiado, Budapest (1971). Estos campos salen a partir de los potenciales retardados de fuente puntual de Lienard (1898) y Wiechert (1900). Véase por ejemplo, W. K. H. Panofsky y M. Phillips: Classical Electricity and Magnetism. Addison-Wesley (1964). Ecs. 20-13, 20-15. Desgraciadamente, para nuestro propósito, este material se suele presentar en los textos modernos después de capítulos sobre relatividad. Pero la referencia incidental a la relatividad, que pueda entonces aparecer, puede no tenerse en consideración; lo que se tiene entre manos es simplemente el expresar ciertas soluciones de las ecuaciones de Maxwell. J. Larmor, Aetber and Matter. Cambridge (1900) p. 179. El ejemplo es utilizado por Larmor para ilustrar una correspondencia muy general entre sistemas estacionarios y móviles, basado en lo que actualmente se conoce como invariancia Lorentz de las ecuaciones de Maxwell, que Larmor establece hasta el segundo orden en vlc. Nótese que no escribe ecuaciones separadas para las fuentes, como nuestras (3) y (5). El parece tener en mente un modelo en el cual el movimiento de las singularidades viene de alguna manera dictado por las ecuaciones del campo, en analogía al movimiento de los vórtices en hidrodinámica. Larmor resume sus conclusiones generales en la pág. 176: deducimos el resultado, correcto hasta segundo orden, que si las fuerzas internas de un sistema material surgen en su totalidad de acciones electrodinámicas entre los sistemas de electrones que constituyen los átomos, entonces un efecto de impartir a un sistema material firme una velocidad de traslación uniforme es el producir una contracción uniforme de éste en la dirección del movimiento, de valor E-'/' ó 1 - 1/2vZ/CL.Los electrones ocuparán las posiciones que les correspondan en este sistema contraído, pero los desplazamientos etéreos en el espacio en su alrededor no tendrán correspondencia: si (f, g, h) y (a, b, c) son los del sistema móvil, los desplazamientos eléctrico y magnético en los puntos correspondientes del sistema fijo serán los valores que los vectores

+

tenían en un tiempo const. vx/C2 anterior al instante considerado cuando la escala temporal se dilata en la proporción E"',. El ejemplo especial se describe en la pág. 179: como una simple ilustración de la teoría molecular general, consideremos el grupo formado por un par de electrones de signos opuestos describiendo órbitas circulares estables alrededor uno del otro en un sistems en reposo. (En esta ilustración las velocidades orbitales se suponen tan pequeñas que la radiación no es importante); de la correlación podemos asegurar que, cuando este par se mueva a través del éter con velocidad v en una dirección contenida en el plano de sus órbitas, estas órbitas relativas al movimiento traslacional se achatarán según la dirección de v hasta yna elipticidad 1 - 1/2v2/C2, a1 tiempo que habrá un retardo de fase de primer orden en cada movimiento orbital cuando el electrón

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica está por delante de la posición media combinado con una aceleración cuando está por detrás, de modo que al final el período sólo variará en la proporción 1 + 1/2v2/C2,que es de segundo orden. De un modo análogo puede especificarse la modificación orbital producida por el movimiento traslacional en el caso general en que la dirección de dicho movimiento está inclinada respecto al plano de la órbita; también puede extenderse a una molécula ideal constituida por cualquier sistema orbital de electrones por complejo que sea*. Creo que puede ser útil pedagógicamente empezar con el ejemplo, integrando las ecuaciones de alguna manera pedestre, a través de cálculo numérico por ejemplo. El argumento general, al involucrar como lo hace un cambio de variables, puede (me temo) sacar a la palestra un prematuro filosofar acerca del espacio y del tiempo. Nótese que W. Rindler, Am. J. Phys. 38 (1970), 1111, encuentra a Larmor insuficientemente explícito sobre la dilatación temporal: «Aparentemente nadie antes que Einstein en 1905 manifestó la más ligera sospecha de que los relojes en movimiento pudieran atrasar».

Capítulo 10 EXPERIMENTOS EINSTEIN-PODOLSKYROSEN

Se me ha invitado a hablar acerca de «fundamentos de la mecánica cuántica>>-jy a un ~ ú b l i c ocautivo de físicos de altas energías!¿Cómo puedo esperar mantener la atención de una gente tan seria a base de filosofía? Intentaré hacerlo concentrándome sobre un área donde algunos valerosos experimentadores han puesto recientemente la filosofía a prueba experimental. El área en cuestión es la de Einstein, Podolsky y Rosen1. Vamos a suponer, por ejemplo2", que un haz de protones de algunos MeV de energía se hace incidir sobre un blanco de hidrógeno. En ciertas ocasiones alguno de los protones será dispersado, originando que un protón del blanco sufra un retroceso. Supóngase (Fig. 1) que se dispone de contadores telescópicos TI y T2 que registran cuando protones adecuados se dirigen a contadores distantes C1 y C2. Con disposiciones ideales el que ambos, T1 y Ti, registren implicará que C1 y C2 lo hacen también ambos tras los apropiados intervalos temporales. Supóngase ahora que Ci y C2 se hallan precedidos por filtros que dejan pasar partículas de polarización dada, digamos aquellas cuya proyección del espín sobre el eje z es Entonces uno o los dos de Cl y C2 deben quedar sin registrar nada. Ciertamente para protones con una energía adecuada uno y sólo uno de tales

+ r.

128

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

contadores marcará registros en casi todas las ocasiones adecuadas -es decir, en aquellas certificadas como adecuadas por los telescopios T1 y TZ4-. Esto es debido a que la dispersión protón-protón a gran ángulo y baja energía, digamos algunos MeV, tiene lugar principalmente en onda S. Pero la antisimetría de la función de ondas final requiere entonces el estado antisimétrico singlete de espín. En este estado, cuando uno de los espines está «hacia arriba* el otro se encuentra .hacia abajo*. Esto se deduce formalmente a partir de los valores esperados cuánticos

r

donde ~ ( 1 y) 9(2) son los operadores componentes del espín de las partículas. Supóngase ahora que las distancias de la fuente a los contadores son tales que el protón que se dirige a C1 llega a ese contador antes que el otro protón a Ct. Alguien mirando a C1 no sabrá por anticipado si este contador realizará un registro o no. Pero una vez que haya notado lo que sucede a Cl en el momento adecuado, sabrá inmediatamente lo que sucederá subsecuentemente a CZ>sin importar lo lejos que éste se encuentre.

FIGURA1. Experimento ideal de dispersión protón-protón.

Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen

129

Algunos consideran paradójica esta situación5. Tal vez hayan, por ejemplo, llegado a imaginar la mecánica cuántica como algo no determinista fundamentalmente. En particular pueden haber llegado a pensar que el resultado de la medida del espín de una partícula no polarizada (y cada partícula, considerada separadamente, es no polarizada aquí) está absolutamente indeterminado hasta que dicha medida se ha llevado a cabo. Y no obstante he aquí una situación donde el resultado de tal medida es conocido de antemano sin duda alguna. ¿Quedó determinado sólamente en el instante en el cual la partícula distante atravesó el filtro distante? ¿Pero cómo podría cambiar aquí la situación lo que sucede a una gran distancia? ¿ N o es más razonable suponer que el resultado estaba ya de algún modo predeterminado? Discutiré brevemente tres formas de tratar esta situación, las cuales pueden caracterizarse, respectivamente, mediante las tres cuestiones siguientes: ¿Por qué preocuparse? ¿Pero todo esto no es simplemente física clásica? {Pero es realmente cierto?

;Por qué preocuparse l' Puede argüirse que al tratar de ver más allá de las predicciones formales de la teoría cuántica nos estamos complicando la vida a nosotros mismos. ¿ N o fue precisamente esta la lección a aprender antes de que se pudo construir la mecánica cuántica: que es futil tratar de ver más allá de los fenómenos observados? Además, de este ejemplo concreto aprendemos de nuevo que hemos de considerar el dispositivo experimental en su totalidad. N o debemos tratar de analizarlo dividiéndolo en piezas, con cuotas de indeterminación localizadas separadamente. Resistiendo el impulso de localizar y analizar, puede evitarse la molestia mental. Esta es, según la entiendo, la postura ortodoxa, formulada por Bohr6 en su respuesta a Einstein, Podolsky y Rosen. Muchos están satisfechos con ella.

iPero todo esto no es simplemente física clásica? En física clásica existen ciertamente correlaciones similares, y

130

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

nadie se sorprende. Supongamos que saco de mi bolsillo una moneda y, sin mirarla, soy capaz de cortarla de algún modo por la mitad, quedando cara y cruz separadas. Supóngase entonces que, sin que nadie la mire todavía, las dos piezas diferentes se introducen en los bolsillos de dos personas que emprenden viajes distintos. El primero de ellos en mirar, y halle que tiene cara (o cruz), sabrá inmediatamente lo que encontraría el otro subsecuentemente. ¿Son las correlaciones cuánticas algo diferente? Según Einstein7, no ciertamente, si le he entendido correctamente. En el ejemplo de la moneda, cara y cruz fueron siempre cara y cruz, incluso cuando estaban ocultas. La primera persona que miró fue simplemente la primera en saber lo que era cada una de las piezas. Pero de hecho todo estaba determinado desde el momento que se introdujeron las piezas en los bolsillos (e inclusa antes, en una teoría clásica completamente determinista). Por el hecho de no contener de modo explícito las .variables ocultas* que presuponen «cara» o «cruz» (o «arriba» o «abajo>>),antes de la observación, es por lo que la mecánica cuántica hace un misterio de una situación perfectamente simple. Así, para Einstein8: El carácter estadístico de la teoría presente habría de ser entonces consecuencia de la incompletitud de la descripción de los sistemas en mecánica cuántica y no existiría ya base alguna para suponer que una futura ... física deba basarse en la estadística...

Que el aparente indeterminismo de los fenómenos cuánticos se puede simular de forma determinística es bien conocido por todos los experimentadores. Es ahora usual, al diseñar un experimento, construir un programa Montecarlo para simular con el ordenador el comportamiento esperado. El funcionamiento del ordenador digital es completamente determinístico -incluso los así llamados números ualeatoriow están previamente determinados-. Cualquiera de esos programas es efectivamente una teoría determinista ad hoc, para un montaje concreto de los instrumentos, que proporciona iguales predicciones que la mecánica cuántica. Es interesante seguir con esto algo más en el caso citado de las correlaciones de los contadores. Sean A la variable que toma los valores f 1 según que el contador 1 haga o no un registro y B una variable análoga para la respuesta del contador 2. Supongamos que A y B quedan determinadas por ciertas variables A, p, v.. .,algunas de las cuales pueden ser números aleatorios:

Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen

Hay infinitas maneras de elegir variables y funciones de modo que = 1, y viceversa. Se reproducen entonces las correlaciones cuánticas. Considérese, sin embargo, una variante de este experimento. En lugar de tener ambos filtros del espín según la dirección z, los dos están girados, para permitir el pasode espines que .apuntan, a otras direcciones. Supongamos que el filtro asociado al primer contador apunta según un cierto vector unitario a y el asociado al segundo lo hace según b. Para valores dados de las variables ocultas A, p, v,... la respuesta A del primer contador puede bien depender ahora de la orientación a de su propio filtro. Pero uno no esperaría que A dependiera de la orientación b del filtro que está distante. Y podría esperarse que la respuesta B del segundo contador dependiera de la condición local b, pero no así de la a, que se refiere a un instrumento remoto :

B = - 1 siempre que A

+

Defínase la función de correlación P(a, b) como el valor medio del producto AB:

donde la barra denota promediar sobre alguna distribución de las variables A, ,u, y,. .. Para esta situación más general la predicción cuántica es P(a, b) = (singletela o(1)b o(2)lsinglete) = - cos 0

(2)

donde 8 es el ángulo entre a y b. ¿Podemos, mediante algún astuto esquema de variables A, p, v,... y funciones A, B lograr que el promedio (1) tenga el valor (2)? La respuesta es >Y acababa con: Mientras que hemos consecuentemente probado que la función de ondas no nos proporciona una descripción completa de la realidad física, dejamos abierta la cuestión de si existe o no tal descripción. Creemos, sin embargo, que una teoría de ese tipo es posible.

Me parece entonces fuera de toda disputa que había al menos un Einstein, el del artículo de EPR y el volumen de Schilpp, que era totalmente partidario del punto de vista que la mecánica cuántica era incompleta y tendría que completarse -lo cual es el programa de las variables ocultas-. Max Jammer no parece haber encontrado ese Einstein, pero asegura haber encontrado otro. Como evidencia cita párrafos de cartas privadas, y tradición oral, y la conocida adhesión de Einstein a la teoría clásica de campos. Ahora, al creer en la teoría clásica de campos, en «Funciones continuas en el (continuo) cuadridimensional como los conceptos básicos de la teoría26, no excluye en modo alguno la creencia en variables «ocultas». Antes bien, puede verse como una concepción particular de esas variables. La tradición oral era que Einstein esperaba que finalmente la mecánica cuántica entrara en conflicto con el experimento. Pero si tal esperanza lo fuera a excluir de la lista de proponentes de variables ocultas, dudo que alguien pudiera pertenecer a ella. Si se compilara tal lista, creo que en ella estarían los interesados en reproducir experimentalmente los aspectos confirmados de la mecánica cuántica pero

Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen

139

ansiosos de hallar en sus investigaciones alguna pista de dónde habría de buscarse un experimento crítico. Ciertamente, pocos esperarían la reivindicación definitiva de la mecánica cuántica (al nivel estadístico) tan fuertemente como el mismo Einstein en una ocasión2'; «Las relaciones formales que se dan en esta teoría -es decir, su entero formalismo matemático- habrán de estar probablemente contenidas, en forma de inferencias lógicas, en toda teoría futura útil*. Las citas de cartas privadas son de reacciones negativas por parte de Einstein con respecto a las muy particulares variables ocultas de Bohm de 1952. Este esquema reproducía completamente, y con bastante trivialidad, la totalidad de la mecánica cuántica no relativista. Era de gran valor por iluminar ciertos aspectos de la teoría y por poner en perspectiva diversas .pruebas>>acerca de la imposibilidad de una interpretación de variables ocultas. Pero el mismo Bohm no la consideraba como final en modo alguno. Jammer podría haber añadido a sus citas la siguiente, de una cana de Einstein a Born6: ¿ H a notado que Bohm cree (como, por cierto, de Broglie hace 25 años) que es capaz de interpretar la teoría cuántica en términos deterministas? Ese camino me parece a mí facilón en demasía.

Sobre lo cual comenta Born: Aunque esa teoría se hallaba completamente en línea con sus propias ideas ...

Así pues, Born había catalogado también a Einstein como proponente de variables ocultas. Creo que estaba en lo cierto.

Notas y referencias 1 A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, Phys. Rev. 11, 777 (1935). 2 D. Bohm, Quantum Theory, Englewood Cliffe, N . J. (1951). 3 A. Peres y P. Singer, Nuovo Cimento 15,907 (1960); R. Fox, Lettere al Nuovo Cimento 2, 656 (1971). 4 Se supone que estos telescopios no afectan al espín del protón. 5 M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics, Wiley, N . Y . (1974). En los capítulos 6 y 7 se presenta una descripción muy completa de la historia (y prehistoria) de la paradoja EPR. 6 N. Bohr, Discusiones con Einstein, en Ref. 23. 7 Apéndice.

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Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 8 A. Einstein, en Ref. 23, pág. 87. 9 A. Einstein, en Ref. 28, pág. 158. 10 A. Einstein, en Ref. 23, pág. 85. 11 J. F. Clauser, R. A. Holt, M. A. Horne y A. Shimony, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). 12 M. Lamehi-Rachti y W. Mittig, Phys. Rev. D14, 2543 (1976). 13 L. R. Kasday, J. D. Ullman y C. S. Wu, Nuovo Cimento 25B, 633 (1975). 14 G. Faracci, D. Gutkowski, S. Notarrigo y A. R. Pennisi, Lettere al Nuovo Cimento 9, 607 (1974). 15 J. F. Clauser y S. J. Freedman, Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972). 16 F. M. Pipkin, Adv. Atomic and Mol. Phys. 14, 281 (1978). 17 J. F. Clauser, Phys. Rev. Lett. 36, 1223 (1976). 18 E. S. Fry y R. C. Thompson, Phys. Rev. Lett. 37, 465 (1976). 19 Como ha informado A. Shimony, Ref. 22. 20 A. Aspect, Phys. Lett. A54, 117 (1975); Phys. Rev. D14, 1944 (1976). 21 Por simplicidad, en este artículo seguimos la pista a las consecuencias del determinismo, el cual es requerido por la localidad sólo en el caso de correlaciones perfectas. Pero (3) se cumple en una clase mucho más amplia de teorías, locales indeterministas. Véase por ejemplo (con las referencias allí citadas): J. F. Clauser y M. Horne, Phys. Rev. DIO, 526 (1974); B. d'Espagnat, Phys. Rev. D l l , 1424 (1975), y Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin, N . Y . (1976); J. S. Bell, The Theovy ofLocal Beables, CERN, T H 2053 (1975), en Actas del Seminario Internacional del GIFT, Jaca (1975) y Epistemological Letters (Marzo, 1976). 22 A. Shimony, en Foundations of Quantum Mechanics, B. D'Espagnat Edit., Academic Press, Nueva York y Londres (1971), citado con desaprobación por M. Jammer, ref. 5. 23 P. A. Schilpp, Ed. Albert Einstein, Philosopher-Scientist, Tudor, N . Y. (1949). 24 La nomenclatura usual, variables ocultas, es bastante poco afortunada. Aquellos con mentalidad pragmática bien pueden preguntar por qué preocuparse de entidades ocultas que no tienen efecto alguno sobre nada. Por supuesto, siempre que aparece un destello en una pantalla, cada vez que se observa una cosa y no otra, se revela el valor de una variable oculta. Quizá variables incontroladas habría sido mejor, pues tales variables, por hipótesis, por ahora, no pueden ser controladas por nosotros. 25 Ref. 23, pág. 666. Véanse asimismo las observaciones de Einstein en la Introducción de Louis de BrÓglie, Physicien et Penseur, Albin Michel, París (1953), pág. 5 y las cartas 81, 84, 86, 88, 97, 99, 103, 106, 108, 110, 115 y 116, en Ref. 28. 26 Ref. 23, pág. 675. 27 Ref. 23, pág. 667. 28 M. Born, Ed., The Born-Einstein Letters, pág. 192, Macmillan, Londres (1971).

Capítulo 11 LA TEORIA DE LA MEDIDA DE EVERETT Y LA O N D A PILOTO DE DE BROGLIE

En 1957, H. Everett publicó un artículo en el cual desarrollaba lo que parecía ser una radicalmente nueva interpretación de la mecánica cuántica1. Su interpretación ha recibido una creciente atención recientemente2. N o cita las ideas de de Broglie treinta años anteriores3, ni la intervención de Bohm4 en la elaboración de dichas ideas. N o obstante, se argüirá aquí que la eliminación de elementos arbitrarios e inesenciales de la teoría de Everett conduce de vuelta a la teoría de de Broglie y arroja nueva luz sobre los conceptos de éste5. Everett estaba motivado por la noción de una teoría cuántica de la gravitación y cosmología. En una cosmología completamente cuántica, una mecánica cuántica del universo entero, la función de ondas de éste no podía interpretarse de la forma usual. Eso es porque esta interpretación usual se refiere sólo a la estadística de resultados de medidas para un observador que interviene desde fuera del sistema cuántico. Cuando tal sistema es el universo en su totalidad, nada existe fuera de él. Esta situación no presenta ninguna dificultad particular para la filosofía tradicional (o de aCopenhague>>),que sostiene que una concepción clásica del mundo macroscópico posee prioridad lógica sobre la concepción cuántica del microscópico. El mundo microscópico se describe mediante las funciones de ondas que

142

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

se determinan por fenómenos macroscópicos en dispositivos experimentales y tienen implicaciones sobre ellos. Estos fenómenos macroscópicos se describen de modo perfectamente clásico (en el lenguaje de los cbeable~.~,antes que en el de los , de modo que no hay ninguna razón para una cadena sin fin de observadores observando observadores observando...). Desde luego no existe un límite bien marcado entre lo que ha de tratarse como microscópico y lo que es macroscópico, y este hecho introduce una vaguedad básica en la teoría física fundamental. N o obstante, esta vaguedad, debido a la inmensa diferencia de escala entre el nivel atómico en donde los conceptos cuánticos resultan esenciales y el nivel macroscópico en que los conceptos clásicos son adecuados, es cuantitativamente insignificante en cualquier situación contemplada hasta la fecha. Así, pues, es completamente aceptable para muchas personas. N o es entonces sorprendente que un tradicionalista tan consistente como L. Rosenfeld haya llegado incluso a sugerir7 que una teoría cuántica de la gravitación puede resultar innecesaria. Los únicos fenómenos gravitacionales que en realidad conocemos pertenecen al nivel macroscópico e involucran una gran cantidad de átomos. Así que sólo necesitamos el concepto de gravitación a ese nivel clásico, cuyo estatus lógico separado es en cualquier caso fundamental en el punto de vista tradicional. Sin embargo, pienso que la mayoría de los físicos contemporáneos considerarían como provisional cualquier teoría puramente clásica de la gravitación y sostendrían que una teoría realmente adecuada debe ser aplicable, en principio, también al nivel microscópico -por más que allí sus efectos sean insignificantemente pequeños8-. Muchos de esos mismos físicos contemporáneos están perfectamente contentos con la vaga división del mundo en macroscópico clásico y microscópico cuántico inherente a la teoría contemporánea (i.e. tradicional) cuántica. Esta mezcla de preocupación por un lado y complacencia por otro no es en mi opinión tan admirable como la clara y sistemática complacencia de Rosenfeld. A Everett no le complacía la gravitación ni la teoría cuántica. Como preparativo para una síntesis de ambas, trató de interpretar la noción de una función de ondas del mundo. Este mundo contiene ciertamente instrumentos que pueden detectar, y registrar de modo macroscópico, fenómenos microscópicos y de otros tipos. Sea A la parte registrante, o , de tal instrumento, o de un grupo de tales instrumentos, y sea B el resto del mundo. Denotemos las coordenadas de A por a y las de B por b. Sea @,(a) un conjunto completo

La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie

143

de estados para A. Entonces, la función de ondas V(a, b, t )del mundo en un cierto instante t puede desarrollarse en términos de las +n:

Nos referiremos a la norma de

como el de #n en ese desarrollo. Por ejemplo, A podría ser una placa fotográfica capaz de registrar el paso de una partícula ionizante en una muestra de puntos ennegrecidos. Las diferentes muestras de ennegrecimiento corresponden a diferentes estados. Puede entonces demostrarse9, siguiendo las líneas establecidas hace tiempo por Mott y Heisenberg, que los iinicos estados Gn con peso apreciable son aquellos en los que los puntos ennegrecidos forman una secuencia lineal, en los que los enriegrecimientos de placas vecinas o de partes diferentes de la misma placa son consistentes entre sí, y así sucesivamente. De igual modo Everett, permitiendo que A sea una memoria más complicada, como la de un ordenador (o incluso un ser humano), o una colección de tales memorias, prueba que sólo tienen peso apreciable aquellos estados $n en los que las memorias están de acuerdo en una historia más o menos coherente del tipo de aquellas sobre las que tenemos experiencia. Todo esto no es nuevo ni controvertido. La novedad está en el énfasis hecho sobre los contenidos de memoria como el material esencial de la física y en la interpretación que Everett procede a imponer sobre el desarrollo (E). Un exponente del punto de vista tradicional, si se permitiera contemplar una función de ondas del universo, diría probablemente lo siguiente. Una vez que se ha formado un registro macroscópico, estamos tratando de un hecho y no de una ~osibilidady la función de ondas debe ajustarse para tener en cuenta esto. Así que de vez en cuando la función de ondas «se reduce*

donde (N es un factor de renormalización) la suma restringida C ' se

144

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

realiza sobre un grupo de estados @, que son uindistinguibles macroscópicamente>>.El conjunto completo de estados se divide en una gran cantidad de dichos grupos, y la reducción a un grupo en particular acontece con una probabilidad proporcional a su peso total P

El no podrá decir precisamente cuándo o cuán frecuentemente tiene que hacerse esta reducción, pero analizando ejemplos sería capaz de mostrar que la ambigüedad no tiene en la práctica importancia cuantitativa. Everett se libra de esta suspensión imprecisamente definida de la ecuación lineal de Schrodinger mediante la osada proposición siguiente: es sencillamente una ilusión que el mundo físico lleve a cabo una elección particular entre las diferentes posibilidades macroscópicas contenidas en el desarrollo; todas se realizan, y la reducción de la función de ondas no tiene lugar. Parece concebir el mundo como una multiplicidad de mundos .rama>>,correspondiendo uno de ellos a cada uno de los términos #,x,en el desarrollo. Todo observador tiene representantes en muchos de los mundos, pero el representante en una rama concreta es consciente sólo del correspondiente estado de ., Así que recordará una secuencia más o menos continua memoria @ de .sucesos. del pasado, justo como si estuviera viviendo en uno solo de los mundos .rama>> más o menos bien definido, y no tendrá ninguna conciencia de las otras ramas. De hecho Everett va más allá y trata de asociar cada rama particular en el presente con alguna rama particular en el pasado en una estructura de tipo arbóreo, de modo que cada representante de un observador haya vivido realmente a través del pasado que él recuerda en particular. En mi opinión este intento no se logra9 y va en cualquier caso contra el espíritu del énfasis de Everett en el contenido de la memoria como lo verdaderamente importante. No tenemos acceso a los recuerdos pretéritos, sino solamente a los presentes. Un recuerdo presente de que se ha hecho un experimpto correcto ha de asociarse a un recuerdo presente de haber obtenido un resultado correcto. Si la teoría física puede rendir cuenta de tales correlaciones en los recuerdos presentes, ha hecho bastante -al menos en el espíritu de Everett-. Rechazando el impulso de ignorar la teoría de Everett de los mundos múltiples al considerarla ciencia ficción, planteamos aquí un par de cuestiones acerca de ella.

La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie

145

La primera se basa en la siguiente observación: hay infinitos desarrollos de tipo E, correspondientes a los infinitos conjuntos (Hay entonces una multiplicidad adicional de mundos completos correspondiente a los infinitos modos de realizar el desarrollo, así como la correspondiente a los infinitos términos de cada uno de los desarrollos? Creo (no estoy seguro) que la respuesta es no, y que Everett limita su interpretación a un desarrollo particular. Para ver por qué, supóngase por un momento que A es justamente un instrumento con dos lecturas 1 y 2, siendo los correspondientes estados y &. En lugar de desarrollar en $1 y @2 podríamos, como posibilidad matemática, desarrollar en

en.

el

En cada uno de estos estados el marcador del instrumento no toma un valor definido, y no creo que Everett desee tener ramas de ese tipo en su universo. Para formalizar su preferencia introduzcamos un operador R del marcador del instrumento

y operadores Q y P relacionados análogamente con y @.,' Entonces podemos decir que la estructura de Everett está fundamentada en un desarrollo donde se diagonalizan marcadores de instrumentos R, antes que operadores como Q y P. Esta preferencia por un conjunto en particular de operadores no viene dictada por la estructura matemática de la función de ondas q. Se añade justamente (sólo de modo tácito de Everett, y sólo por ello, si lo he entendido bien) en orden a hacer que el modelo refleje la experiencia humana. La existencia de tal conjunto preferido de variables es uno de los elementos en la muy estrecha correspondencia entre la teoría de Everett y la de de Broglie -donde desempeñan un particular papel las posiciones de las partículas-. La segunda cuestión surge a partir de la primera: si se ha de dar un papel tan fundamental a los marcadores de los instrumentos, (no se nos debería decir más exactamente lo que es un marcador de instrumento, o, verdaderamente, un instrumento, o una unidad de almacenamiento o en memoria ...? Al dividir el mundo en piezas A y B Everett sigue una antigua convención de la teoría cuántica de la medida abstracta; que el mundo se reparte netamente entre tales piezas

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Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

-instrumentos y sistemas-. En mi opinión ésta es una poco afortunada convención. El mundo real se compone de electrones y protones y así sucesivamente, y como resultado los límites de los objetos naturales son borrosos, y algunas partículas fronterizas pueden asignarse sólo dudosamente al objeto o al entorno. Yo creo que la teoría física fundamental ha de formularse de modo tal que estas divisiones artificiales sean manifiestamente inesenciales. En mi opinión Everett no ha dado tal formulación; de Broglie sí lo ha hecho. Así pues llegamos finalmente a de Broglie. Hace ya tiempo éste se enfrentó con la dualidad básica de la teoría cuántica. La onda matemática para una partícula se extiende en el espacio, pero la experiencia corpuscular, como un centelleo en una pantalla. Para un sistema complejo, 11> se extiende sobre el espacio completo de configuración y sobre todo n en los desarrollos como (E), pero la experiencia tiene un carácter articular, del tipo del desarrollo reducido (E'). De Broglie hizo esta simple y natural sugerencia: la función de ondas no es una descripción completa de la realidad, sino que debe complementarse con otras variables. Para una sola partícula, añade a la función de ondas q(r, t) una coordenada de partícula x(t) -la posición instantánea de la partícula localizada en la onda extendida-. Esta cambia con el tiempo de acuerdo con

En un conjunto de situaciones similares x se distribuye con pesos Iq(x, t)12dx, situación que se deriva de (G) para todo tiempo si se da en un cierto instante. Para construir un modelo del mundo, un mundo simple consistente en muchas partículas no-relativistas, tenemos sólo que extender estas prescripciones de 3 dimensiones a 3N de ellas, donde N es el número de partículas. En este mundo la función de ondas de N partículas obedece exactamente la ecuación de Schrodinger de N cuerpos. N o existe «reducción del paquete de ondasr alguna y todos los términos en desarrollo del tipo (E) se retienen indefinidamente. N o obstante el mundo tiene una definida configuración (xl, x2, x~...) en todo momento, que cambia según la versión 3Ndimensional de (G). Este modelo es como el de Everett al utilizar una función de ondas del universo y una ecuación de Schrodinger exacta, y al superponer sobre esta función de ondas una estructura adicional

La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie

1-47

que involucra un conjunto preferido de variables. Me parece que las principales diferencias son éstas:

(1) Mientras que las variables especiales de Everett son los vagamente antropocéntricos marcadores (lecturas) de instrumentos, las de de Broglie se relacionan con una estructura microscópica supuesta del mundo. Los aspectos macroscópicos de interés directo para los seres humanos, como las lecturas de instrumentos, pueden extraerse mediante un promedio de un *grosor* adecuado, pero las ambigüedades al hacer esto no se introducen ya en la formulación fundamental. (2) Mientras que Everett supone que todas las configuraciones de sus variables especiales se realizan en cualquier tiempo, cada una en el universo «rama» apropiado, el mundo de de Broglie tiene una configuración particular. N o veo lo que puede conseguirse de útil mediante la supuesta existencia de otras ramas de las cuales no soy consciente. Pero dejemos que el que encuentre inspiradora esta hipótesis la haga; sin duda podrá hacerla igual de bien en términos de las x's como en términos de las R's. (3) Mientras que Everett no realiza ningún intento (o sólo a medias alguno) de unir las sucesivas configuraciones del mundo en trayectorias continuas, de Broglie hace justo esto de una manera perfectamente determinista (G). Ahora bien estas trayectorias de de Broglie, aunque (G) pueda tener un aspecto muy inocente en el espacio de configuración, son realmente muy peculiares en lo que respecta la localidad en el espacio tridimensional ordinario. N o obstante, sabemos por Everett que si estas trayectorias no nos gustan, podemos dejarlas aparte. Podríamos asimismo redistribuir sencillamente la configuración (xl, x2,...) al azar (con peso (I/J(') de un instante al siguiente; porque no tenemos acceso alguno al pasado, sino sólo a recuerdos, y estos recuerdos son justamente parte de la configuración instantánea del mundo. ¿lMediante esta síntesis final, omitiendo las trayectorias de de Broglie y las otras ramas de Everett, se logra una formulación satisfactoria de la teoría física fundamental? 2 0 lo haría mejor alguna variante basada en la teoría relativista de campos? Tiene coherencia lógica y no necesita suplementar con vagas recetas las ecuaciones matemáticas. Pero no me gusta. De manera emocional, me agradaría tomar más seriamente el pasado del mundo (y de mi mismo) de lo que esta teoría lo permite. Más profesionalmente, me siento incómodo acerca de la posibilidad de incorporar la relatividad de un modo

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

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profundo. N o hay duda que sería posible el incorporar el recuerdo de un resultado nulo del experimento de Michelson-Morley y así sucesivamente. ¿Pero podría ser la realidad básica otra cosa que el estado del mundo, o al menos un recuerdo, extendido en el espacio en un único instante d e f i n i e n d o un referencia1 Lorentz preferente? El tratar de elaborar esto sería intentar compartir mi confusión.

Notas y referencias 1 Everett, H., Rev. Mod. Phys. 29,454 (1957); véase también Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys. 29, 463 (1957). 2 Véase por ejemplo: De Witt, B. S. y otros, en Physics Today 23 (1970), n." 9,30 y 24, n." 4,36 (1971) y referencias en ellos. Ideas análogas a las de Everett han sido desarrolladas también por Cooper, L. N. y Van Vechten, D., Am. J. Phys. 37,1212 (1969) y por L. N. Cooper en su contribución al simposio de Trieste en honor de P. A. M. Dirac, septiembre 1972. 3 Para una exposición sistemática, véase de Broglie, L., Tentative d'lnterpvétation Causale et Non-Linéaire de la Mécanique Onduhtoire, Gauthier-Villars, París (1956). 4 Bohm, D., Phys,Rev. 85, 166, 180 (1952). 5 Esta tesis ha sido ya presentada en mi contribución al coloquio internacional sobre temas de la física y filosofía de la ciencia contemporáneas, Penn. State University, septiembre 1971, CERN TH. 1424. Referimos a ese artículo para más detalles en varios argumentos, pero se ha aprovechado la oportunidad de desarrollar aquí algunos puntos sólo mencionados entonces. 6 Bell, J. S., Contribución al simposio de Trieste en honor de P. A. M. Dirac, CERN TH. 1582, septiembre 1972. 7 Rosenfeld, L., Nucl. Phys. 40, 353 (1963) G. F. Chew ha sugerido que la interacción electromagnética debe considerarse aparte (aunque desde luego no sin cuantizar) por su papel macroscópico en la observación (High Energy Physics, Les Houches, 1965, eds. C. de Witt y M. Jacob). 8 Aparte podría ocurrir que la gravitación cuántica microscópica fuera cuantitativamente importante, véase la contribución de A. Salam en el simposio de Trieste en honor a P. A. M. Dirac. 9 Para detalles consúltese el artículo citado en la nota 5. 10 The Physicist's Conception ofiVature, ed. J . Mehra, Reidel (1973).

Capítulo 12 VARIABLES LIBRES Y CAUSALIDAD LOCAL

Se ha argüido1 que la mecánica cuántica no es localmente causal y no puede ser inmersa dentro de una teoría con causalidad local. Tal conclusión depende de que ciertos parámetros experimentales, típicamente las orientaciones de filtros de polarización, puedan tratarse como variables libres. En términos no muy rigurosos, se supone que un experimentador es del todo libre para escoger entre las varias posibilidades que ofrece su equipo. Pero esta aparente libertad podría ser ilusoria. Quizá los parámetros experimentales y los resultados experimentales son ambos consecuencias de algún mecanismo oculto. Entonces la aparente no-localidad podría ser simulada. Esta posibilidad es el punto de partida de un artículo de Clauser, Horne y Shimony2 (CHS en adelante), que es valioso en particular por su cuidadosa formulación matemática de la hipótesis que excluye tal conspiración. En conexión con esto, los autores critican con severidad mi propia .teoría de los beables locales>>'(B en adelante). Mucho en su crítica es perfectamente justo. En B había discontinuidades3 en el argumento, y la hipótesis en cuestión no se expresó en el lugar adecuado, sino más tarde e inadecuadamente. Sin embargo, no estoy de acuerdo con CHS en que dicha hipótesis, formulada cuidadosamente, no sea razonable.

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

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Organizaré las presentes puntualizaciones en torno a las tres frases con que formulé a destiempo la hipótesis en B, sección 8.

I ese ha supztesto que [as disposiciones (montajes) de los instrumentos son variables libres en alghn sentido.. .* Para mí esto quiere decir que los valores de tales variables tienen implicaciones sólo en sus conos de luz del futuro. N o son en ningún sentido un registro de lo que ha ocurrido anteriormente, ni proporcionan información alguna sobre ello. En particular, no tienen implicaciones sobre las variables ocultas en el solape de los conos de luz del pasado:

Esto, como lo explican CHS, es lo usado en el análisis matemático. El símbolo denota la probabilidad de valores particulares dados valores particulares a, b, c, donde c cataloga variables no ocultas en el solape de los conos de luz pasados de ambos instrumentos, y a y b variables no ocultas en lo restante de dichos conos de luz. Las listas a y a' se suponen diferentes en el montaje del primer instrumento, mientras que b y b' lo serían en el del segundo. Nóteses que en lugar de (1) CHS escriben, con toda probabilidad interpretando los sentidos algo diferentemente

Con mi notación, donde a y b son largas listas de variables que describen la situación fuera del solape, esto sería una condición mucho más fuerte que (1) y no sería en absoluto razonable. 2

C..

.digamos al antojo de los experimentadores ....Y

Aquí yo contemplaba la hipótesis de que los experimentadores tienen libre albedrío. Pero según CHS no me resultaría permisible justificar la hipótesis de variables libres .con el apoyo de una postura metafísica no probada y que puede resultar falsa>>.¡Ya es desgracia estar atrapado en una postura metafísica! Pero creo que en este asunto simplemente sigo mi profesión de físico teórico.

Seis mundos posibles de la mecánica cuántica

251

mecánica «cuántica» a fin de sustituir la mecánica «clásica». Por supuesto se llega a nuestras ideas sobre los electrones en los átomos sólo indirectamente, a partir del comportamiento de piezas de materia que contienen muchos electrones en muchos átomos. Pero en condiciones extremas las ideas cuánticas son esenciales incluso para electrones libres, extraídos de átomos, tales como los que crean la imagen en una pantalla de televisión. Es en este contexto más simple en el que aquí introduciremos las ideas cuánticas. En el «cañón de electrones* de un televisor (Fig. . - 1) . se calienta una hilo W, mediante el paso de una corriente eléctrica, de modo que algunos electrones .se evaporan.. Estos son atraídos hacia una superficie metálica, por un campo eléctrico, y algunos de ellos pasan a través de un agujero en aquélla, HI. Y algunos de los que atraviesa el agujero H1 lo hacen también por un segundo agujero H2 en una segunda superficie metálica, para salir finalmente moviéndose hacia el centro de una pantalla de cristal G. El impacto de cada electrón sobre ésta produce un pequeño destello luminoso, una aescintilación>> (chispa). En un televisor en uso el haz de electrones se redirige, mediante campos eléctricos, a las diversas partes de la pantalla, con intensidad variable, para construir así una figura completa. Pero deseamos considerar aquí el comportamiento de los electrones >y supondremos que entre el segundo hueco H2 y la pantalla G no hay campos eléctricos ni magnéticos, o cualquier otro obstáculo para el movimiento . Considérese la cuestión siguiente: ¿Cómo de precisamente podemos hacer que cada electrón que alcanza la pantalla de vidrio lo haga exactamente en el centro? Una cosa a evitar, para este fin, es que los electrones se atropellen entre sí. Esto puede hacerse (es decir, aplicando únicamente durante un período muy corto) el campo eléctrico que atrae los electrones de W hacia H1 y haciendo H2 muy pequeño. En tal caso es muy improbable que emerja más de un electrón del agujero H1 en una ocasión dada. Entonces podría razonablemente pensarse que para evitar que una partícula golpee la pantalla de vidrio lejos del centro bastaría hacer asimismo H2 suficientemente pequeño y central. Hasta cierto punto eso es verdad. Pero más allá de ese punto se produce una sorpresa. Si se reduce más el tamaño de los agujeros no se hace más pequeña la imprecisión del cañón, sino que ésta aumenta. El patrón construido, ~ulsandoel cañón muchas veces y registrando fotográficamente los destellos de los electrones, es algo como lo que aparece en la fig. 2.

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

FIGURA2 . Patrón construido por muchos pulsos del cañón de electrones de lafig. 1.

Los destellos se dispersan sobre una región que aumenta, en lugar de disminuir, cuando los agujeros mediante los que tratamos de determinar la trayectoria del electrón se reduce más allá de una cierta magnitud. Todavía hay una sorpresa mayor cuando el hueco H2 se sustituye por dos agujeros bastante juntos, figura 3. En lugar de añadirse las contribuciones de ambos agujeros, como en la fig. 4, aparece un .patrón de interferencia., como en la fig. 5. Hay lugares en la pantalla

FIGURA3. Cañón de electrones con dos agujeros en la segunda pantalla.

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FIGURA4. Conjetura, en base a la mecánica clásica de partículas, sobre el patrón construido por muchos pulsos del cañón de electrones de la fig. 3.

donde no ~ u e d llegar e ningún electrón, cuando están abiertos los dos agujeros, a los que sí llegan electrones cuando uno u otro agujero está abierto. Aunque cada electrón pasa por uno de los dos agujeros (o así tendemos a pensar) es como si la mera posibilidad de atravesar el otro influenciara su movimiento impidiendo que vaya en ciertas direcciones. He aquí la primera pista de una cierta rareza en la relación entre posibilidad y actualidad en los fenómenos cuánticos. Olvidemos por un momento que los patrones en las figs. 2 y 5 están construidos a partir de puntos separados (recolectados separadamente sobre un cierto período de tiempo) y fijémonos únicamente en la impresión general. Entonces esos patrones recuerdan a los que se dan en física clásica no con partículas sino con ondas. Considérese por ejemplo un tren regular de ondas sobre la superficie del agua. Cuando inciden sobre una barrera con un agujero, fig. 6, continúan más o menos en la misma dirección, en el otro lado, cuando el agujero es grande frente a la longitud de onda. Pero cuando el agujero es más pequeño, divergen tras atravesarlo, fig. 7, y en mayor grado así que el agujero es menor. Esto se llama adifracción de ondas». Y cuando la barrera tiene dos agujeros pequeños, fig. 8, hay lugares detrás de ella donde la superficie del agua no está perturbada con los dos agujeros abiertos, pero lo está cuando cualquiera de ellos separadamente está

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

FIGURA5. Patrón real a partir del cañón de electrones de la fig. 3 .

abierto. Estos son lugares donde las ondas desde un agujero intentan elevar la superficie del agua mientras que las ondas procedentes del otro tratan de bajarla, y viceversa. Esto se llama «interferencia de ondas*. Volviendo entonces al electrón, no podemos anticipar en qué punto de la pantalla incidirá. Pero parece que los lugares donde es probable que lo haga son aquellos que pueden ser alcanzados por un cierto movimiento ondulatorio. Son las matemáticas de este movimiento ondulatorio, que de alguna manera controla al electrón, lo que se desarrolla de modo preciso en la mecánica cuántica. Ciertamente la más simple y natural de las formas equivalentes en que pueden presentarse la mecánica cuántica es denominada justamente «mecánica ondulatoria~.En el caso de las ondas de agua es la superficie del agua la que se ondula. Con ondas sonoras oscila la presión. En física clásica se afirmaba también que la luz era un movimiento ondulatorio. En ese caso se era ya un poco vago acerca de qué es lo que estaba ondulando ... e incluso sobre si la cuestión tenía sentido. En el caso de las ondas de la mecánica ondulatoria no tenemos ni idea de lo que ondula ... y no formulamos la pregunta. Lo que tenemos es una receta matemática

Seis mundos posibles de la mecánica cuántica

FIGURA 6. Propagación de ondas a través de un agujero mucho mayor que la longitud de onda.

para la propagación de las ondas, así como la regla que la probabilidad de que un electrón sea visto en un lugar concreto cuando se busca allí (e.g. introduciendo una pantalla de centelleo) está relacionada con la intensidad del movimiento ondulatorio en dicho lugar. En mi opinión, nunca se enfatizará demasiado lo siguiente: cuando desarrollamos un problema en mecánica ondulatoria, por ejemplo el de qué ocurre en el caso del cañón de electrones exactamente, nuestras matemáticas tratan enteramente con ondas. N o hay indicación alguna en las matemáticas de partículas o de trayectorias de partículas. Con el cañón de electrones la onda calculada se extiende suavemente sobre una porción extensa de la pantalla. N o hay ninguna indicación en las matemáticas de que el fenómeno real sea un destello instantáneo en algún punto concreto de esa región extensa. Y es sólo al aplicar la regla, que relaciona la localización probable del destello con la intensidad de la onda, cuando el indeterminismo entra en

Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica

FIGURA7. Propagación de ondas a través de un agujero mucho menor que la longitud de onda.

juego en la teoría. La mera matemática es la continua, determinista, matemática «clásica»... de las ondas clásicas. Hasta aquí s¿lo el electrón, yendo del agujero H2 a la pantalla de detección G, fue sustituido en las fórmulas matemáticas por una onda. Sobre la pantalla G, en particular, no se discutió en absoluto. Se supuso simplemente que tenía la capacidad de producir destellos. Supóngase que deseamos calcular la intensidad, el color o el tamaño del destello (pues no es realmente un punto). Vemos que nuestro tratamiento previo del cañón de electrones no es ni completo ni exacto. Si deseamos decir más, y ser más precisos, acerca de su operación, entonces debemos más verlo como constituido por átomos, por electrones y núcleos. Hemos de aplicar a esas entidades la única mecánica que sabemos aplicable... la mecánica ondulatoria. Prosiguiendo con esta línea de pensamiento, nos vemos conducidos, en la búsqueda de mayor precisión y completitud, a incluir más y más

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Propagación de ondas a través de dos agqeros pequetlos.

del mundo en el mecanocuántico ondulatorio ... la placa fotográfica que registra los destellos, los productos químicos de revelado que producen la imagen fotográfica, el ojo del observador ... Pero no podemos incluir el entero universo en esta parte ondulatoria. Pues & onda del mundo no es más parecida ai mundo que conocemos que la onda extendida del electrón al pequeño destello en la pantalla. Tenemos que excluir siempre parte del mundo del sistema *ondulatorio» para describirlo de un modo «clásico tipo partícula», involucrando sucesos definidos y no solamente posibilidades ondulatorias. El propósito del cálculo ondulatorio consiste simplemente en proporcionar fórmulas para las probabilidades de sucesos a ese nivel «clásico». Por consiguiente en la teoría cuántica parece que el mundo debe dividirse en un «sistema cuántico* ondulatorio y un resto que es en algún sentido clásico. La división se hace de uno u otro modo, en una aplicación en particular, según el grado de precisión y completitud

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deseado. Es la indispensabilidad y, sobre todo la mudabilidad de tal división, lo que para mí constituye la gran sorpresa de la mecánica cuántica. Ello introduce una ambigüedad esencial en una teoría física fundamental, aunque sea únicamente a un nivel de precisión y completitud más allá del requerido en la práctica. Es la tolerancia sobre tal ambigüedad, no meramente de manera provisional sino permanentemente, y al nivel más fundamental, lo que representa la ruptura total con el ideal clásico. Es esto, antes que el fracaso de cualquier concepto en particular, como >del sistema pequeño se ha «medido» mediante interacción con un instrumento «grande», el cual como resultado se proyecta a uno u otro de los estados x1 o x2, correspondientes a diferentes posiciones del marcador. Esta diferencia macroscópica entre x1 y xz implica que, para una gran cantidad de argumentos r, la multiplicación por j(x - r) de la función de onda reducirá a cero uno u otro de los términos en (12). . . En consecuencia en un tiempo del orden de (1 1) uno de los términos desaparecerá y sólo se propagará el otro. La función de onda se liga muy rápidamente a una u otra de las lecturas del marcador. Además la probabilidad de que sobreviva un término y no el otro es proporcional a la fracción de la norma total que lleve - d e acuerdo con las reglas de la teoría cuántica pragmática-. De modo totalmente general cualquier ambigüedad embarazosa en la teoría usual es sólo momentánea en la teoría GRW. El gato no está a la vez vivo y muerto por más de un minúsculo instante. Nos podría preocupar quizá si el proceso GRW no va demasiado lejos. En la teoría pragmática usual la «reducción» o wolapso~de la función de onda es-un; operación realizada por el teórico en algún instante conveniente. Usualmente lo retrasará hasta que la ecuación de Schrodinger haya establecido una diferencia muigrande entre x1 y x2. El proceso GRW es de la naturaleza y surge tan pronto como la diferencia entre x1 y x2 es lo bastante elevada. Creo que, con valores adecuados de las constantes naturales (8, 9), la teoría GRW estará no obstante de acuerdo en la práctica con la teoría pragmática; pero los estudios sobre modelos serían útiles para afianzar esto.

3. El embrollo cuántico N o existe nada en esta teoría salvo la función de onda. Es en ésta donde debemos encontrar una imagen del mundo físico y, en particular, de la disposición de las cosas en el espacio tridimensional ordinario. Pero la función de onda en conjunto reside en un espacio mucho mayor, de 3N dimensiones. N o tiene ningún sentido el requerir la

¿Hay saltos cuánticos?

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amplitud o la fase o cualquier cosa de la función de onda en un punto del espacio ordinario. N o posee nada de esto hasta que se especifica una multitud de puntos en el espacio tridimensional ordinario. Sin embargo, los saltos GRW (que son parte de la función de onda, no algo fuera de ella) están bien localizados en el espacio ordinario. En verdad cada uno está centrado en un punto concreto (x, t) del espacio-tiempo. Asi que podemos proponer estos sucesos como la base de los ebeables locales>>de la teoría. Estos constituyen las imágenes matemáticas en la teoría de sucesos reales en lugares y tiempos definidos en el mundo real (en distinción de los muchos puramente constructos que aparecen en la elaboración de teorías físicas, de cosas que pueden ser reales pero no localizadas y de los «observables» de otras formulaciones de la mecánica cuántica, de los que no se hace aquí uso alguno). Un trozo de materia es entonces una galaxia de tales sucesos. Como un paralelismo sico-físico esquemático, podemos suponer que nuestra experiencia personal lo es más o menos directamente de sucesos en pedazos concretos de materia, nuestros cerebros, los cuales sucesos están a su vez correlacionados con sucesos en el conjunto de nuestros cuerpos, y estos últimos lo están con los del mundo exterior. En este artículo se hará uso de la noción de localización de sucesos sólo de manera aproximada. Los localizaremos en una u otra de dos regiones del espacio bien separadas que podemos suponer pcupadas por dos sistemas asimismo separados entre sí. Sean los argumentos s y r en (12) referidos a los dos lados, respectivamente, en un dispositivo Einstein-Podoslky-Rosen-Bohm, con L así como M grandes ahora. Una fuente, que por simplicidad omitimos del análisis, emite un par de neutrones (espín +) en el estado singlete de espín. Estos se mueven a través de imanes Stern-Gerlach hacia unos contadores que registran para cada neutrón si éste se ha desviado hacia .arriba. o hacia *abajo. en el correspondiente imán. Según la ecuación de Schrodinger la función de onda resultaría como la de (12), con o 42 correspondiendo a *arriba. o .abajo. en la izquierda y ~1 o x2 a .abajo. o *arriba* en la derecha. Supóngase que los contadores de la izquierda están más cerca de la fuente y, por lo tanto, registran antes que los de la derecha. Es decir, supóngase que $1 difiere macroscópicamente de $2 antes que x1 de ~ 2 En . tal caso los saltos GRW a la izquierda reducen la función de onda rápidamente a uno u otro de los dos términos en (12). Se ha hecho entonces la elección entre x1 y x2, así como entre $1 y &. Los saltos en la

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izquierda son decisivos y los de la derecha no tienen la oportunidad de serlo. En todo esto la descripción de GRW es muy próxima al modo común de presentar la mecánica cuántica convencional, con la .medida>>causando el en algún lugar causando en todas partes-. Pero es importante que en la teoría GRW todo, incluyendo la amedida>>, sigue las ecuaciones matemáticas de la teoría. Esas ecuaciones no son descartadas de vez en cuando sobre la base de prescripciones suplementarias, imprecisas, verbales. En esta situación EPRB, un «arriba» en la izquierda implica un subsecuente