Lineární algebra pro fyziky

Table of contents :
1. Vektory v Rn......Page 5
2. Skalární soucin......Page 6
3. Vektorový soucin......Page 7
4. Ortogonální projekce a zrcadlení......Page 8
5. Rotace v R2 a R3, dilatace a posunutí......Page 10
6. Matice lineárního zobrazení......Page 11
1. Lineární zobrazení a soustavy rovnic......Page 13
2. Skládání zobrazení a soucin matic......Page 15
3. Inverzní matice......Page 17
1. Odstupnovaný tvar matice......Page 20
2. Rešení soustav a podprostory......Page 22
3. Gaussova eliminace......Page 23
4. Izomorfismus......Page 24
1. Grupa a teleso......Page 26
2. Vektorový prostor......Page 28
3. Generování, lineární (ne)závislost, báze......Page 30
Kapitola 5. Báze a dimenze......Page 32
Kapitola 6. Hodnost matice......Page 37
Kapitola 7. Reprezentace vektoru a lineárního zobrazení......Page 42
Kapitola 8. Lineární zobrazení......Page 47
Kapitola 9. Determinant......Page 51
1. Permutace......Page 52
2. Determinant a jeho výpocet......Page 53
Kapitola 10. Aplikace determinantu......Page 58
1. Vlastní císla a vlastní vektory......Page 61
2. Diagonalizace matice......Page 62
3. Diagonalizace symetrické matice......Page 65
1. Soucet a direktní soucet......Page 67
2. Blokový zápis......Page 69
Kapitola 13. Skalární soucin......Page 73
Kapitola 14. Ortogonalizace......Page 80
Kapitola 15. Ortogonální diagonalizace......Page 85
1. Preurcená soustava......Page 90
3. Pseudoinverzní matice......Page 92
1. Polární báze kvadratické formy......Page 97
2. Signatura......Page 99
3. Sylvesterovo kritérium......Page 100
1. Afinní prostor......Page 102
2. Kvadriky......Page 105
Kapitola 19. Jordanuv tvar......Page 110
Kapitola 20. Exponenciála......Page 116
Kapitola 21. Tenzory......Page 122
Kapitola 22. Tenzory podruhé......Page 130
2. Soucasná diagonalizovatelnost......Page 134
4. Gaussuv integrál......Page 136
5. Adjungovaný operátor jako polynom......Page 137

Citation preview

Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p°edná²ek, 18/19 Verze z 15. kv¥tna 2019

Najdete-li chybu, napi²te mi mail! Díky!

Dalibor ’míd

D¥kuji student·m 1. ro£níku Obecné fyziky v akademickém roce 2017/18 Aneºce Papá£kové, Danielu Rodovi, Janu St°ele£kovi a Michalu Gr¬ovi za velkou pomoc se sepsáním t¥chto skript na základ¥ prezentací a star²í verze skript.

Obsah Kapitola 1.

Vektory a zobrazení v

Rn

5

n

1.

Vektory v

2.

Skalární sou£in

6

3.

Vektorový sou£in

7

4.

Ortogonální projekce a zrcadlení

5.

Rotace v

6.

Matice lineárního zobrazení

Kapitola 2.

R

R2

a

5

R3 ,

8

dilatace a posunutí

10 11

Matice

13

1.

Lineární zobrazení a soustavy rovnic

13

2.

Skládání zobrazení a sou£in matic

15

3.

Inverzní matice

17

Kapitola 3.

Soustavy lineárních rovnic

20

1.

Odstup¬ovaný tvar matice

2.

e²ení soustav a podprostory

22

3.

Gaussova eliminace

23

4.

Izomorsmus

24

Kapitola 4.

20

Vektorové prostory

26

1.

Grupa a t¥leso

26

2.

Vektorový prostor

28

3.

Generování, lineární (ne)závislost, báze

30

Kapitola 5.

Báze a dimenze

32

Kapitola 6.

Hodnost matice

37

Kapitola 7.

Reprezentace vektoru a lineárního zobrazení

42

Kapitola 8.

Lineární zobrazení

47

Kapitola 9.

Determinant

51

1.

Permutace

52

2.

Determinant a jeho výpo£et

53

Kapitola 10.

Aplikace determinantu

Kapitola 11.

58

Diagonalizace

61

1.

Vlastní £ísla a vlastní vektory

61

2.

Diagonalizace matice

62

3.

Diagonalizace symetrické matice

65

Kapitola 12.

Direktní sou£et

67

1.

Sou£et a direktní sou£et

67

2.

Blokový zápis

69 3

OBSAH

4

Kapitola 13.

Skalární sou£in

73

Kapitola 14.

Ortogonalizace

80

Kapitola 15.

Ortogonální diagonalizace

85

Kapitola 16.

Singulární rozklad

90

1.

P°eur£ená soustava

2.

Podur£ená soustava

92

3.

Pseudoinverzní matice

92

Kapitola 17.

Kvadratické formy

1.

Polární báze kvadratické formy

2.

Signatura

3.

Sylvesterovo kritérium

Kapitola 18.

Kvadriky

90

97 97 99 100 102

1.

Anní prostor

102

2.

Kvadriky

105

Kapitola 19.

Jordan·v tvar

110

Kapitola 20.

Exponenciála

116

Kapitola 21.

Tenzory

122

Kapitola 22.

Tenzory podruhé

130

Kapitola 23.

Pozdní sb¥r

134

1.

Cayley-Hamiltonova v¥ta

134

2.

Sou£asná diagonalizovatelnost

134

3.

Ger²gorinovy kruhy

136

4.

Gauss·v integrál

136

5.

Adjungovaný operátor jako polynom

137

KAPITOLA 1

Vektory a zobrazení v Rn 1. Vektory v Rn Vektor v rovin¥ m·ºeme zapsat jako uspo°ádanou dvojici reálných £ísel

 x :=

 x1 . x2

Takové vektory tradi£n¥ znázor¬ujeme jako úse£ky s po£átkem ve zvoleném po£átku kartézských sou°adnic v rovin¥ a ²ipkou v druhém krajním bod¥ o sou°adnicích

(x1 , x2 ).

S£ítání vektor· odpovídá konstrukci úhlop°í£ky rovnob¥ºníka jimi

svíraného:

Z obrázku je vid¥t, ºe sou°adnice modré ²ipky jsou sou£tem sou°adnic ²ipek £ervených, sou£et vektor· tedy m·ºeme denovat i algebraicky

      x1 y1 x1 + y1 + := x2 y2 x2 + y2 Podobn¥

po sloºkách

denujeme i násobek vektoru skalárem (£íslem

 r

x1 x2



 :=

rx1 rx2

r ∈ R):



I tato denice odpovídá tradi£ní geometrické konstrukci: ²kálování vektoru uvnit° jím p°ímky, ve které leºí. Algebraickou denici operací snadno zobecníme na vektory v prostoru (uspo°ádané trojice) nebo rovnou na uspo°ádané

n-tice,

tedy vektory z

Rn ≡ R × . . . × R: | {z } n













x1 y1 x1 + y1  ..   ..    . . x + y ≡  .  +  .  :=   . xn yn xn + yn     x1 rx1     rx ≡ r  ...  :=  ...  xn rxn xi jsou sloºky vektoru x. Vektor, jehoº v²echny sloºky jsou nulové, ozna£uo (nulový vektor ), vektor −x := (−1)x je opa£ný vektor. Mnoºin¥ Rn budeme °íkat n-rozm¥rný prostor. ƒísla

jeme

5

2. SKALÁRNÍ SOU£IN

6

2. Skalární sou£in Skalární sou£in

dvojice vektor· v rovin¥ je denován p°edpisem

x.y := x1 y1 + x2 y2 Pomocí tohoto p°edpisu lze zapsat

velikost (normu) √

kxk :=

x.x ≡

q

vektoru

x21 + x22

Je-li φ ∈ h0, πi úhel mezi vektory x, y ∈ R2 , pak

Tvrzení 1.

x.y = kxkkyk cos φ D·kaz. Ozna£me orientovaný úhel mezi nezápornou £ástí první sou°adné osy

x symbolem α ∈ h0, 2π) β ∈ h0, 2π) pro vektor y. Denujme φ0 := β − α. Pro sloºky x1 = kxk cos α, x2 = kxk sin α, podobn¥ pro sloºky y.

a polop°ímkou sestávající z nezáporných násobk· vektoru a podobn¥ zave¤me vektoru

x

platí

Dosa¤te do denice skalárního sou£inu:

x.y = kxkkyk(cos α cos β + sin α sin β) = kxkkyk cos φ0 φ0 = β − α ∈ h0, πi, pak je úhel mezi vektory φ roven φ0 , tedy tvrzení platí. φ0 ∈ (π, 2π), pak je φ = 2π − φ0 , tedy cos φ = cos φ0 . Pokud φ0 ∈ (−2π, 0), 0 0 pak úhel −φ ∈ (0, 2π) má stejný cosinus a podle p°edchozí úvahy bu¤ −φ nebo 2π + φ0 je rovno φ, stále se stejnou hodnotou cosinu.  Pokud

Pokud

Zavedeme skalární sou£in a normu vektoru analogicky i na

x.y :=

n X

kxk :=

xi yi ,



Rn :

x.x

i=1 V t°írozm¥rném prostoru platí stejné tvrzení o souvislosti skalárního sou£inu a úhlu mezi vektory (viz cvi£ení). V obecném m·ºeme jej (pro nenulové vektory

Rn

x, y)

nevíme, co to úhel mezi vektory je, ale

zadenovat jako

x.y . φ := arccos kxkkyk

Aby

tato denice byla korektní, pot°ebujeme v¥d¥t, ºe

−1 ≤

x.y ≤ 1. kxkkyk

To je d·sledkem následující v¥ty: V¥ta 1 (Schwarzova nerovnost).

Pro kaºdé dva vektory x, y ∈ Rn platí

|x.y| ≤ kxkkyk,

p°i£emº rovnost je spln¥na práv¥ kdyº je jeden z vektor· násobkem druhého. Neº v¥tu dokáºeme, je uºite£né zavést n¥které dal²í pojmy. Dva vektory prohlásíme za

kolmé

(zna£íme

x ⊥ y), práv¥ kdyº x.y = 0, φ = π2 . Mnoºina

tedy kdyº je jeden z nich

nulový nebo kdyº svírají úhel

x⊥ := {y ∈ Rn |x.y = 0} v²ech vektor·

R2

y

kolmých na vektor

je to p°ímka, v

R3

x

se nazývá

ortogonální dopln¥k vektoru x.

rovina, ob¥ procházejí po£átkem:

V

3. VEKTOROVý SOU£IN

Mnoºinám tvaru huje vektor

o,

práv¥

{y ∈ Rn |x.y = c} kdyº c = 0.

7

°íkáme obecn¥

nadroviny. Nadrovina

obsa-

3. Vektorový sou£in Vedle skalárního sou£inu známe ze st°edo²kolské matematiky je²t¥ sou£in vektorový. Pro

x, y ∈ R3

je

x×y

vektor denovaný po sloºkách jako

(x × y)k =

3 X 3 X

εijk xi yj ,

i=1 j=1 kde

ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε213 = ε321 = ε132 = −1

a

εijk = 0,

jsou-li dva indexy

stejné. Díky tomu z devíti £len· dvojité sumy p°eºijí jen dva, tedy

x × y = (ε231 x2 y3 + ε321 x3 y2 , ε132 x1 y3 + ε312 x3 y1 , ε123 x1 y2 + ε213 x2 y1 ) = (x2 y3 − x3 y2 , −x1 y3 + x3 y1 , x1 y2 − x2 y1 )

Nech´ x, y, z ∈ R3 , r, s ∈ R, x a y svírají úhel φ. Pak x × y = −y × x, speciáln¥ x × x = 0

Tvrzení 2.

(1) (2) (3) (4)

x × (ry + sz) = r(x × y) + s(x × z) kx × yk = kxkkyk| sin φ| |(x×y).z| je objem rovnob¥ºnost¥nu denovaného vektory x, y, z, speciáln¥ 0 pro z = rx + sy.

D·kaz nyní nebudeme provád¥t, návod k n¥mu je ve cvi£ení 1. Z druhé £ásti posledního bodu plyne, ºe

x×y

je kolmý na rovinu denovanou

x

a

y.

Oproti skalárnímu sou£inu se nenabízí ºádné p°ímo£aré zobecn¥ní vektorového sou£inu do libovolné dimenze

n.

V

R2

lze vektoru

x

p°i°adit vektor

  x ˜ := x ∈ R3 0 a denovat

x

a

˜ )3 ∈ R. Pak je kx × yk obsah rovnob¥ºníka denovaného x × y := (˜ x×y

y:

Plyne to ze t°etí £ásti tvrzení 2, protoºe

kyk| sin φ|

je vý²ka rovnob¥ºníka.

4. ORTOGONÁLNÍ PROJEKCE A ZRCADLENÍ

Poznámka 1. P°i zobecn¥ní do dimenze

n>3

8

chceme, aby vektorový sou£in

dál po£ítal objemy rovnob¥ºnost¥n·, coº lze splnit denicí

(x1 × x2 × . . . × xn−1 )kn :=

n X n X k1 =1 k2 =1

kde symbol

ε

n−1

εk1 k2 ...kn x1k1 x2k2 . . . xn−1,kn−1 ,

kn−1 =1

ε12...n = 1.

Zobecn¥ný vektorový sou£in tedy jiº není funkce

vektorových argument·, výsledkem je op¥t vektor. Jsou ale spln¥ny

1, 2 a 4 z tvrzení a, b, c, d ∈ R4 je roven

analogie vlastností vektory

n X

je op¥t denován tak, aby m¥nil znaménko p°i vým¥n¥ libovolné

dvojice index· a aby dvou, ale

...

2. Nap°íklad objem rovnob¥ºnost¥nu ur£eného

4 4 4 4 X X X X |(a × b × c).d| = εijkl ai bj ck dl i=1 j=1 k=1 l=1

Cvi£ení 1 Dokáºeme tvrzení 2: (1) Dokaºte body 1 a 2 p°ímým dosazením z denice. (2) Denujme veli£inu

V (x, y, z) :=

3 X 3 3 X X

εijk xi yj zk

i=1 j=1 k=1

V (x, y, z) = V (x + sy, y, z). x, y, z má stejný vektory x + sy, y, z.

S pomocí bodu 2 ukaºte, ºe

Rozmyslete

si, ºe rovnob¥ºnost¥n denovaný vektory

objem jako

rovnob¥ºnost¥n denovaný (3) Bu¤

x1 = y1 = z1 = 0,

nebo je alespo¬ jedno z t¥chto £ísel nenulové.

Ukaºte, ºe

V (x, y, z) = −V (y, x, z) = V (z, x, y) a odvo¤te z toho, ºe v druhém p°ípad¥ bez újmy na obecnosti Pak lze pomocí p°edchozího bodu p°evést vektory

y10 = z10 = 0,

aniº by se zm¥nila hodnota

Rozeberte p°ípad

V

x1 6= 0.

na takové, ºe

nebo objem rovnob¥ºnost¥nu.

x1 = y1 = z1 = 0.

z100 = z200 = 0 a V ani objem rovnob¥ºnost¥nu se nezm¥nily. Dále ukaºte, ºe V (x, y0 , z00 ) = x1 y20 z300 a ºe |x1 y20 z300 | je práv¥ objem rovnob¥ºnost¥nu denovaného vektory x, y0 , z00 . Tím je dokázán bod 4. Z bodu 4 ukaºte, ºe kx×yk je obsah podstavy rovnob¥ºnost¥nu denované vektory x, y. Odtud odvo¤te bod 3.

(4) Ukaºte, ºe vektory lze dále p°evést na trojici

(5)

x, y, z

x, y0 , z00 ,

kde

4. Ortogonální projekce a zrcadlení ortogonální pro-

Pomocí skalárního sou£inu m·ºeme vyjád°it kolmý pr·m¥t (

jekci ) vektoru y

do sm¥ru jiného (nenulového) vektoru

x,

kolmý pr·m¥t do sm¥ru

jeho ortogonálního dopl¬ku a vektor zrcadlený podle nadroviny

x⊥ .

4. ORTOGONÁLNÍ PROJEKCE A ZRCADLENÍ

9

x x.y x = kxk kxk2 x.y Px⊥ (y) = y − Px (y) = y − x kxk2 x.y Zx⊥ (y) = y − 2Px (y) = y − 2 x kxk2 Px (y) = kyk cos φ

Stejné vzorce lze pouºít jako denice projekce a zrcadlení i v obecné dimenzi

n.

Pak platí Tvrzení 3.

(1) (2) (3) (4) (5)

Nech´ x, y ∈ Rn , x 6= o. Pak

Px (x) = x Px (y) = 0 práv¥ kdyº x ⊥ y Px⊥ (y) ⊥ x ∀r, s ∈ R, ∀y, z ∈ Rn : Px (ry + sz) = rPx (y) + sPx (z) Vektor y lze jednozna£n¥ zapsat jako yk + y⊥ , kde yk je násobkem vektoru x a y⊥ je kolmý na x. Navíc pak yk = Px (y) a y⊥ = Px⊥ (y).

D·kaz. První £ty°i tvrzení plynou p°ímo z denic skalárního sou£inu, kolmosti

a normy. Nap°íklad t°etí plyne z

x.(y − Px (y)) = x.y − Z denic

Px

a

Px⊥

x.y x.x = 0 kxk2

a t°etí £ásti tvrzení plyne, ºe kaºdý vektor

y

se dá zapsat jako

y = Px (y) + Px⊥ (y) ≡ rx + z, r je n¥jaký skalár a z ∈ x⊥ . Kdyby bylo moºné zapsat vektor y jako sx+z0 , kde z ∈ x⊥ , pak by (r − s)x = z0 − z. Vektor z0 − z je kolmý na x, tedy (r − s)x.x = 0. 0 Protoºe x 6= o, musí být r = s a tedy i z = z . Rozklad vektoru y na paralelní a kolmou £ást je tedy jednozna£ný.  kde

0

Px

lze chápat jako

prvek

y ∈ Rn

zobrazení,

tedy jakousi  ma²inku , do které se vloºí libovolný

a ona mu p°i°adí jednozna£n¥ ur£ený prvek

Px (y) ∈ Rn .

ƒtvrtá £ást

tvrzení znamená, ºe toto zobrazení zachovává sou£ty a násobení skalárem, geometricky tedy p°evede kaºdý rovnob¥ºník op¥t na rovnob¥ºník. O takovém zobrazení °íkáme, ºe je

lineární.

Px⊥ , Zx⊥ : Rn → Rn ⊥ podle nadroviny x .

Snadno se lze p°esv¥d£it, ºe i

lineární zobrazení, realizující projekci, resp. zrcadlení

jsou

Nyní m·ºeme kone£n¥ dokázat Schwarzovu nerovnost: D·kaz. P°edpokládejme, ºe alespo¬ jeden z vektor· je nenulový, jinak je tvr-

zení triviální. Nech´ je to

x.

Pak lze díky pátému bodu tvrzení 3 zapsat

y

jako

5. ROTACE V R2 A R3 , DILATACE A POSUNUTÍ

sou£et

yk + y⊥ .

Protoºe

yk ⊥ y⊥ ,

10

platí

kyk2 = (yk + y⊥ ).(yk + y⊥ ) = kyk k2 + ky⊥ k2 ≥ kyk k2 yk = Px (y).

Z pátého bodu tvrzení 3 rovn¥º víme, ºe

Dosazením z denice ortogo-

nální projekce a algebraickou úpravou dostaneme, ºe

kyk2 kxk2 ≥ (x.y)2 Protoºe normy jsou nezáporné, sta£í po odmocn¥ní p°idat absolutní hodnotu jen

ky⊥ k2 = 0, tedy práv¥ kdyº y = yk , tedy je-li y 

na pravou stranu nerovnosti. Rovnost nastává práv¥ kdyº kdyº jsou v²echny sloºky násobkem

y⊥

nulové. To nastane práv¥

x.

5. Rotace v R2 a R3 , dilatace a posunutí rotaci ) vektoru y ∈ R2 okolo po£átku o úhel φ proti sm¥ru hodinových

Oto£ení (

ru£i£ek lze zapsat jako zobrazení

 y :=

   kyk cos(α) kyk cos(α + φ) 7→ Rφ (y) := kyk sin(α) kyk sin(α + φ)

Po aplikaci sou£tových vzorc· máme vyjád°ení ve sloºkách:

 Rφ (y) :=

y1 cos φ − y2 sin φ y1 sin φ + y2 cos φ

 = cos φ

    y1 −y2 + sin φ y2 y1

N¥kolik pozorování:

• Rφ je lineární zobrazení. • R0 (y) = y, tedy R0 = Id (identita ). • Sloºení dvou rotací Rφ ◦Rψ je rotace Rφ+ψ . Na po°adí sloºení zde nezáleºí, °íkáme, ºe Rφ a Rψ komutují. • R−φ ◦ Rφ = Rφ ◦ R−φ = R0 = Id, tedy zobrazení R−φ je inverzní k Rφ , R−φ = (Rφ )−1 . 3 Rotaci vektoru y ∈ R okolo osy dané vektorem v (kvk = 1) m·ºeme zapsat nap°íklad pomocí Rodriguesovy formule:

Rv,φ (y) = cos φ y + (1 − cos φ)(v.y)v + sin φ v × y. Návod k jejímu odvození naleznete ve cvi£eních. Rotace v

R3

komutují, pokud mají spole£nou osu, jindy komutovat nemusí.

Vektory

a jejich p°ímo£ará

      1 0 0 e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 0 0 1 n zobecn¥ní do R se nazývají prvky kanonické báze.

Nekomutati-

vita rotací se projeví t°eba na p°íkladu

Re2 , π2 ◦ Re3 , π2 (e3 ) = Re2 , π2 (e3 ) = e1 Re3 , π2 ◦ Re2 , π2 (e3 ) = Re3 , π2 (e1 ) = e2 R3 , pouze  osa 4 jiº nebude p°ímka, ale bude mít dimenzi n−2. P°íkladem rotace v R xující rovinu vektor· e1 a e4 (zna£íme he1 , e4 i) je   y1 y2 cos φ − y3 sin φ  Rhe1 ,e4 i,φ (y) :=  y2 sin φ + y3 cos φ y4 Poznámka 2. Rotaci v

Rn

je moºné denovat podobn¥ jako v

6. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ

Rn

Dal²ím p°íkladem lineárního zobrazení z torem

do

11

dilatace )

Rn

je roztaºení(

fak-

λ ∈ R: Dλ (y) := λy

translace ) o nenulový vektor b ∈ Rn

Naopak posunutí (

Tb (y) := y + b F totiº musí spl¬ovat F (o) = F (0.x+ Tb (o) = b.

lineárním zobrazením není. Lineární zobrazení

0.y) = 0F (x) + 0F (y) = o,

pro translaci ale

6. Matice lineárního zobrazení Jak tedy poznáme, ºe je n¥jaké zobrazení

x∈R

Kaºdý vektor

n

F : Rn → Rn

lineární?

lze zapsat jako

x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en , neboli jako

lineární kombinaci

prvk· kanonické báze. Z linearity zobrazení

F

plyne,

ºe

F (x) = F (x1 e1 + . . . + xn en ) = x1 F (e1 ) + . . . + xn F (en ) = x1 a1 + . . . + xn an , aj ∈ Rn ozna£ili obraz F (ej ) vektoru ej . Ozna£íme-li i-tou sloºku aj jako aij , je to dohromady n2 reálných £ísel, která spole£n¥ zobrazení F

kde jsme jako vektoru

jednozna£n¥ ur£ují. Tato £ísla souhrnn¥ ozna£ujeme jako a zna£íme

matici lineárního zobrazení

A ≡ (aij ).

Zobrazení ur£ené maticí

A ozna£ujeme symbolem FA . Pak tedy m·ºeme zavést

zápis lineárního zobrazení pomocí jeho



matice :



    a11 a12 a1n  a21   a22   a2n        FA (x) := x1  .  + x2  .  + . . . + xn  .   ..   ..   ..  an1 an2 ann    a11 a12 . . . a1n x1  a21 a22 . . . a2n   x2     =:  . . .   .  ≡ Ax .. . . .  .. . . .  .  an1 an2 . . . ann xn Druhou rovností jsme jednak zavedli standardní zápis matice jako tabulky £ísel, v níº první index £ísluje °ádky a druhý sloupce. Zárove¬ jsme také zadenovali

matice a vektoru.

Sou£in matice

A

a vektoru

x

je vlastn¥ lineární kombinací sloupc· matice

koecienty rovnými sloºkám vektoru

A = (a1 |a2 | . . . |an ).

x.

Uºívá se proto také



1 0 0 1  E := (e1 | . . . |en ) ≡  . .  .. .. 0 0 x

... ... ..

.

...

 0 0  . . . 1

vektor

FE (x) = Ex = x1 e1 + . . . + xn en = x, je to tedy identita

FE = Id.

Matici

E

se °íká

A

s

sloupcový zápis matice

Zobrazení s maticí

p°i°azuje kaºdému vektoru

sou£in

jednotková matice.

6. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ

12

Ozna£íme-li symbolem



 ai1  ai2    ˜i :=  .  a  ..  ain i-tý

°ádek matice

vektoru

x

A,

zapsaný ov²em jako sloupcový vektor, pak

v zobrazení

FA

i-tá

sloºka obrazu

je

FA (x)i ≡ (Ax)i = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . ain xn ≡

n X

aij xj ,

j=1

˜i a x. Pokud tedy FA (x)i = 0, a FA (x)i = c, leºí x v nadrovin¥ s rovnicí

coº lze interpretovat jako skalární sou£in vektor· je vektor

˜i .x = c. a

x

kolmý na

˜i . a

Podobn¥ pokud

KAPITOLA 2

Matice V této kapitole se podíváme na matice jako na samostatné objekty a zavedeme na nich operace, jejichº vlastnosti vyplývají z vlastností zobrazení. Za£neme ale tím, ºe se podíváme, jak hledání vzoru ur£itého vektoru v daném lineárním zobrazení vede na soustavu lineárních rovnic.

1. Lineární zobrazení a soustavy rovnic P°íklad 1. Uvaºujme matici a vektor

 A= Zajímá nás, na jaký vektor zobrazí

1 1 FA

   2 −1 ,b = 3 1 vektor

b

a které vektory se naopak zobrazí

na n¥j. V prvním p°ípad¥ snadno spo£teme, ºe

 1 FA (b) = 1

2 3

      −1 1.(−1) + 2.1 1 = = 1 1.(−1) + 3.1 2

x, pro který       2 x1 x1 + 2x2 −1 ≡ = , 3 x2 x1 + 3x2 1

V druhém hledáme obecný tvar vektoru

 1 FA (x) ≡ 1

coº je vlastn¥ soustava dvou rovnic pro dv¥ neznámé rovnicí p°ímky v vektoru

b

R2 ,

x1

a

x2 .

Kaºdá rovnice je

jsou r·znob¥ºné, jediným °e²ením (a tedy i jediným vzorem

v zobrazení

FA )

je jejich pr·se£ík, vektor

 x=

−5 2



Co kdybychom hledali pr·se£nici dvou rovin v

R3 ?

Soustavu

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 lze op¥t interpretovat jako rovnost vektor·

        a11 a12 a b x1 + x2 + x3 13 = 1 a21 a22 a23 b2 Lineární kombinace na levé stran¥ odpovídá denici sou£inu matice a vektoru, aº na to, ºe matice

A nemá stejný po£et °ádk· jako sloupc·. Poj¤me tedy tuto denici

roz²í°it.

m, n ∈ N a a1 , . . . , an A = (a1 | . . . |an ) a její sou£in s

Definice 1. Nech´

denujme matici

jsou vektory z vektorem

Ax := x1 a1 + . . . + xn an ∈ Rm 13

x

Rm , x ∈ R n .

Pak

1. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ A SOUSTAVY ROVNIC

Matice s °íká se jí

m

°ádky a

n

sloupci se ozna£uje jako matice

£tvercová. Pokud a je n¥jaký vektor   a := 

a1 . . .

14

m × n.

Pokud

m = n,

  n ∈R ,

an pak rovnici nadroviny

a.x = c

m·ºeme zapsat pomocí matice

 a1

...

x1 . . .

 an 

1×n

jako

  =c

xn Matice vzniklá z matice

vaná k matici A:

A

vým¥nou °ádk· za sloupce se nazývá



a11  .. A ≡ . am1 T

a12

...

. . .

..

am2

...

.

a1n

T



a11

... ..

  a12   :=   .  .. amn a1n . . .

.

...

matice transpono-

am1



 am2   .  .  . amn

S pomocí operace transponování m·ºeme rovnici nadroviny napsat také jako

c,

p°i£emº sloupcový vektor

a

interpretujeme jako matici

aT x =

n × 1.

P°íklad 2. Vra´me se k hledání pr·se£nice rovin a vezm¥me n¥jakou konkrétní

matici

A

a konkrétní

vektor pravých stran b: 

e²íme tedy

1 1

2 3

     x 1 3  1 x2 = 1 4 x3

soustavu lineárních rovnic (SLR ) x1 + 2x2 + 3x3 = 1 x1 + 3x2 + 4x3 = 1

Nahradíme-li druhou rovnici soustavy rozdílem druhé a první rovnice, mnoºina °e²ení se nezm¥ní (cvi£ení 2). Novou soustavu

x1 + 2x2 + 3x3 = 1 x2 + x3 = 0 vy°e²íme poloºením

x3 := t ∈ R a dosazením do druhé a poté do         x1 1−t 1 −1 x ≡ x2  =  −t  = 0 + t −1 . x3 t 0 1

To je v souladu s o£ekáváním p°ímka procházející bodem vektor

T

(−1, −1, 1)

(1, 0, 0)T

první rovnice:

a mající sm¥rový

.

parametrické vyjád°ení roviny x1 + 2x2 + x2 := t, x3 := s rovny dv¥ma libovolným parametr·m x1 = 1 − 2t − 3s. Vektorov¥ lze mnoºinu °e²ení zapsat jako         1 −2 −3   x = 0 + t  1  + s  0  t, s ∈ R ,   0 0 1

P°íklad 3. Podobn¥ m·ºeme najít i

3x3 = 1.

Poloºíme neznámé

a dopo£teme

tedy jako mnoºinu  bod plus lineární kombinace sm¥rových vektor· . Takový tvar má mnoºina °e²ení kaºdé SLR (cvi£ení 3).

2. SKLÁDÁNÍ ZOBRAZENÍ A SOU£IN MATIC

15

Cvi£ení 2 Nech´

T

(x1 , . . . , xn )

je

a1 x1 b1 x 1

+ +

a 1 x1 (b1 + ra1 )x1

+ +

r ∈ R.

£ísel spl¬ujících SLR1

a2 x2 b2 x2

(x1 , . . . , xn )T

Vyvo¤te z toho, ºe

pro libovolné

n-tice

+ ... + ...

+ an xn + bn xn

= c = d

spl¬uje také SLR2

a2 x2 (b2 + ra2 )x2

+ +

... ...

+ +

an xn (bn + ran )xn

= c = d + rc

Obdobn¥ dokaºte, ºe kaºdé °e²ení SLR2 je i °e²ením SLR1.

Celkov¥ tedy p°i£tení násobku první rovnice do druhé rovnice nem¥ní mnoºinu °e²ení.

Cvi£ení 3 Nech´

T

xP = (xP 1 , . . . , xP n ) a1 x1 b1 x 1

a

je °e²ením SLR1

+ a 2 x2 + b2 x2

+ ... + ...

+ an xn + bn xn

xH = (xH1 , . . . , xHn )T , y = (xH1 , . . . , xHn )T a1 x1 b1 x 1

+ +

a2 x2 b2 x 2

+ +

... ...

= c = d

je °e²ením SLR2

+ +

an xn bn xn

= =

0 , 0

která vznikne ze SLR1 nahrazením pravých stran nulami. Ukaºte, ºe

rxH + syH

je °e²ením SLR1 a ºe libovolná lineární kombinace

xP + xH

je °e²ením SLR2.

K d·kazu tvrzení, ºe mnoºina °e²ení kaºdé SLR je  bod plus lineární kombinace sm¥rových vektor· se pot°ebujeme je²t¥ seznámit s pojmem báze, viz denice 16.

2. Skládání zobrazení a sou£in matic Uvaºujme dv¥ zobrazení

F B ◦ F A : R n → Rp

FA : Rn → Rm

a

F B : Rm → Rp .

Sloºené zobrazení

je op¥t lineární (ov¥°te sami) a jeho matici m·ºeme ur£it tak,

ºe spo£ítáme obrazy vektor·

e1 , . . . , en ∈ Rn :

(FB ◦ FA )(ei ) = FB (Aei ) = FB (ai ) = Bai , tedy pro obecný vektor

x ∈ Rn (FB ◦ FA )(x) = (Ba1 | . . . |Ban )x

To nám dává návod, jak denovat Definice 2. Nech´

A

sou£in matic : m×n

je matice

a

B

je matice

p × m.

Pak denujme

BA := (Ba1 | . . . |Ban ) FB ◦ FA = FBA . BA B.

Z denice automaticky plyne, ºe stejn¥ sloupc· jako

A

a °ádk· jako

je matice

p × n,

tedy má

Výhoda této denice je, ºe je konzistentní s d°íve denovaným sou£inem matice a vektoru, chápeme-li vektor jako matici o jednom sloupci. Element matice pozici

ij

je

bi1 a1j + bi2 a2j + . . . + bim amj ≡

m X

BA

na

bik akj ,

k=1 coº je vlastn¥ skalární sou£in

A.

˜ T .aj i-tého b i

°ádku matice

B

a

Odtud je jednodu²e vid¥t, ºe

Em A = AEn = A, kde

Em , En

zna£í jednotkovou matici

Ozna£me mnoºinu v²ech

m×n

m × m,

resp.

n × n. Rm×n .

matic symbolem

j -tého

sloupce matice

2. SKLÁDÁNÍ ZOBRAZENÍ A SOU£IN MATIC

Tvrzení 4.

16

Nech´ m, n, p, q ∈ N, A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×p , C ∈ Rp×q . Pak (AB)C = A(BC),

tedy sou£in matic je

.

asociativní

D·kaz. Pro libovolný

x ∈ Rq

platí

((AB)C)x = (FAB ◦ FC )(x) = FAB (FC (x)) = = FA (FB (FC (x))) = (FA ◦ FBC )(x) = (A(BC))x, Pokud za a matice

x dosadíme prvek ei , získáme rovnost mezi i-tým sloupcem matice (AB)C A(BC). Ob¥ matice jsou typu m × q , tedy se musejí rovnat.  A, B ∈ Rm×n . Pak sou£et matic A + B denujeme jako      a11 + b11 . . . a1n + b1n b11 . . . b1n . . . a1n    . . . .  .  .. .. .. . . .  =  . + .  . . . . . . . . am1 + bm1 . . . amn + bmn bm1 . . . bmn . . . amn

Definice 3. Nech´



a11

 

. . .

am1

a násobek matice skalárem



r∈R

jako





ra11

a11

...

a1n

. . .

..

am1

...

  .. = . ram1 amn

 r

.

. . .

...

ra1n



..

. . .

 

.

...

ramn

Je to p°irozená denice, protoºe je v p°ípad¥ matic s jediným sloupcem v souladu s denicí sou£tu vektor· a jejich násobení skalárem. Pojmem

nulová matice

ozna£ujeme matici, jejíº v²echny elementy jsou 0, obvykle ji stejným symbolem i zna£íme. Dal²í d·leºitou vlastností sou£inu matic je jeho Tvrzení 5.

distributivita.

Nech´ m, n, p ∈ N, A, B ∈ Rm×n , C, D ∈ Rn×p . Pak (A + B)C = AC + BC A(C + D) = AC + AD,

D·kaz. Nejprve si uv¥domme, ºe

∀x ∈ Rn

(FA + FB )(x) = FA (x) + FB (x) = Ax + Bx FA + FB je lineární (dosazením x = ry + sz a rozepsáním pravé A + B (dosazením x = ei jako p°i hledání matice sou£inu asociativity). Tedy FA + FB = FA+B . Pak, op¥t jako p°i dokazování

Odtud ov¥°íme, ºe

strany) a ºe má matici a dokazování

asociativity, ukáºeme, ºe

((A + B)C)x = (FA+B ◦ FC )(x) = FA+B (FC (x)) = = (FA + FB )(FC (x)) = FA (FC (x)) + FB (FC (x)) = ACx + BCx Rozmyslete si, z jakých p°esných d·vod· platí jednotlivé rovnosti! Jako v d·kazu asociativity vede dosazení

x = ei

v tvrzení se dokáºe analogicky.

k rovnosti

(A + B)C = AC + BC .

Druhá rovnost



3. INVERZNÍ MATICE

17

Maticový sou£in ale ur£it¥ není komutativní. Je-li denován sou£in

AB

BA,

sou£in

denován být nemusí, p°ípadn¥ nemusí být stejného typu:



a1



n   X bn  ...  = bi ai i=1 an    a1 b1 . . . a1   .  ..  ..  .  b1 . . . bn =  .. . an b1 . . . an

b1

...

a1 bn



. . .

 

a n bn

A i B £tvercové matice n × n a tudíº jsou stejného typu i jejich BA, obvykle se tyto sou£iny nerovnají. P°íklad uº jsme vid¥li u rotací

I v p°ípad¥, ºe jsou sou£iny

AB

a

v prostoru, ale kaºdý si snadno m·ºe vyrobit vlastní vygenerováním n¥jakých dvou  náhodných matic, sta£í i Tvrzení 6.

2 × 2.

Je-li A matice m × n a B matice n × p, pak (AB)T = B T AT .

D·kaz. Ozna£me

C = AB ,

cTji = cij =

n X

pak

cij =

aik bkj =

k=1 Poslední suma je práv¥

ji-tý

Pn

k=1

n X

aik bkj .

aTki bTjk =

k=1

element matice

Pak

n X

bTjk aTki

k=1 T

B A

T



.

Cvi£ení 4 Ak jako k = E . Spo£t¥te

Sou£in matic umoº¬uje denovat také mocninu £tvercové matice násobný sou£in matice

A

se sebou samou. Dále denujeme

A

0

v²echny p°irozené mocniny matice

 0 0 0

1 0 0

 0 1 0

Na základ¥ p°edchozího výpo£tu se pokuste najít p°íklady matic, pro které ale

A

k−1

6= 0

pro libovolné

Ak = 0,

k ∈ N.

3. Inverzní matice Chceme-li nalézt inverzní zobrazení k hledat ve tvaru

FB

pro n¥jakou matici

B.

FA : Rn → Rn ,

m·ºeme se pokusit jej

Podmínka

∀x ∈ Rn : (FB ◦ FA )(x) = x ∧ (FA ◦ FB )(x) = x znamená, ºe

B

BA = AB = E (dosa¤te op¥t x := ei ). Naopak pokud taková matice FB ◦ FA = FA ◦ FB = Id, takºe FB je inverzní zobrazení k FA .

existuje, pak

A ∈ Rn×n . Matice A−1 , která spl¬uje AA−1 = A−1 A = E , matice inverzní k A. Pokud matice A inverzní matici má, nazývá se

Definice 4. Nech´

se nazývá

regulární, jinak singulární. Tvrzení 7.

Nech´ A, B, C ∈ Rn×n spl¬ují BA = AC = E . Pak B = C .

D·kaz. Plyne z asociativity sou£inu:

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C 

. Z tohoto tvrzení plyne, ºe inverzní matice k

A

m·ºe existovat nejvý²e jedna.

3. INVERZNÍ MATICE

18

P°íklad 4. Zkusme si inverzní matici spo£ítat pro konkrétní volbu matice



1 A = 1 1 Hledejme

Abi = ei .

 3 4 2

2 3 0

3 × 3 matici B s vlastností AB = E . Pak Pro i = 1 to znamená     x1 1 x2  = 0 , x3 0

kde jsme ozna£ili

i-tý

její

sloupec spl¬uje rovnici

x := b1 .

Soustavu lineárních rovnic je zvykem zapisovat ve tvaru

stavy

roz²í°ené matice sou-

 1 0  0



1 2 3  1 3 4 1 0 2 Kaºdý °ádek matice odpovídá rovnici roviny v

R3 , celá soustava pak hledání pr·niku

t°í rovin. Podobn¥ jako d°íve p°i hledání pr·se£nice m·ºeme první rovnici ode£íst

(−1)-násobku prvního °ádku

od druhé. V roz²í°ené matici se to projeví jako p°i£tení

do druhého. Následn¥ provedeme stejnou úpravu i se t°etím °ádkem.



1 2 3  0 1 1 1 0 2 Symbol

∼ se £te

  1 1 −1  ∼  0 0 0

2 1 −2

3 1 −1

 se p°evede ekvivalentní úpravou na .

 1 −1  −1

Ekvivalentní úpravy

jsou ty,

které zachovávají mnoºinu °e²ení. Po p°i£tení dvojnásobku druhého °ádku do t°etího dostáváme soustavu

 1 −1  −3



1 2 3  0 1 1 0 0 1

Z ní postupným dosazením získáme

x1 + 2x2 + 3x3 = 1 x2 + x3 = −1 ↔ x3 = −3 x3 = −3, x2 = 2, x1 = 6.

M·ºeme také

dosazování nahradit dal²ími ekvivalentními úpravami:



  10 1 2 ∼ 0 −3 0

1 2 0 ∼ 0 1 0 0 0 1 Získali jsme tak stranami

e2

a

e3

x = b1 ,

0 1 0

0 0 1

 6 2  −3

první sloupec inverzní matice. Stejný výpo£et s pravými

dá zbývající dva. Pravé strany nemají vliv na to, které ekvivalentní

úpravy volíme, m·ºeme tedy °e²it v²echny t°i soustavy naráz, symbolicky



1 2 3  1 3 4 1 0 2

1 0 0

0 1 0

  1 0 0 ∼ 0 1 0

0 1 0

0 0 1

6 2 −3

−4 −1 2

 −1 −1  1

Zjistili jsme tedy, ºe matice za svislou £arou je jediná, která spl¬uje rovnost Vynásobením snadno ov¥°íme, ºe i

BA = E ,

tedy

AB = E .

B = A−1 .

Víme ale, ºe tímto postupem získaná matice bude vºdy dávat jednotkovou matici i p°i vynásobení z druhé strany? A ºe lze vºdy bu¤ najít ekvivalentní úpravy, kterými lze

A−1

najít, nebo ukázat, ºe neexistuje?

Cvi£ení 5 A, B ∈ R jsou regulární matice, pak matici AB , a tedy i AB je regulární matice.

Dokaºte, ºe pokud inverzní maticí k

n×n

matice

B −1 A−1

je

3. INVERZNÍ MATICE

19

Cvi£ení 6 A je regulární matice, pak AT je také regulární matice, a T −1 −1 T její inverzní matice (A ) je (A ) , tedy matice transponovaná k A−1 . Dokaºte, ºe pokud

KAPITOLA 3

Soustavy lineárních rovnic V minulé kapitole jsme se setkali s n¥kolika úlohami vedoucími na soustavy lineárních rovnic:

• • • •

hledání pr·se£nice rovin (£i obecn¥ pr·niku nadrovin) hledání lineární kombinace vektor· hledání vzoru vektoru

b

a1 , . . . , an , FA .

která dává vektor

b

v zobrazení

hledání sloupc· inverzní matice

Dal²í p°íklady jsou °e²ení rovnic vyplývajících z Kirchhoových zákon· pro elektrické obvody, chemických rovnic, numerické aproximace °e²ení diferenciálních rovnic, proloºení bod· polynomem nebo jinou funkcí £i k°ivkou a mnoho dal²ích. e²ení soustav lineárních rovnic je nejd·leºit¥j²í úloha lineární algebry. Pokusíme se jí proto co nejlépe porozum¥t.

1. Odstup¬ovaný tvar matice Definice 5.

Elementární °ádkovou úpravou (EÚ ) matice rozumíme bu¤

(1) prohození dvou °ádk· (2) p°i£tení libovolného násobku n¥jakého °ádku do jiného °ádku (3) vynásobení n¥jakého °ádku nenulovým £íslem

Elementární maticí

rozumíme matici, která vznikne z jednotkové matice elemen-

tární °ádkovou úpravou.

4 × 4 elementárních matic jednotlivých úprav      1 0 0 0 1 0 0 0 0 0     1 0  , 0 1 0 0 , 0 s 0 0 ,     0 0 r 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

P°íklad 5. P°íklady

 1 0  0 0 kde

s 6= 0.

0 0 1 0

Vyzkou²ejte si, ºe pokud libovolnou matici

A

jsou

vynásobíme n¥kterou z

t¥chto matic zleva, má to stejný efekt jako provedení p°íslu²né elementární °ádkové úpravy p°ímo na matici

A.

Tvrzení 8. Elementární °ádková úprava roz²í°ené matice soustavy (A|b) nem¥ní mnoºinu °e²ení. Pokud B je matice této EÚ, pak upravená matice je (BA|Bb).

r−r-násobku i-tého °ádku do ºe kaºdé °e²ení (A|b) je také

D·kaz. Kaºdou EÚ lze vrátit zp¥t op¥t pomocí EÚ, nap°íklad p°i£tení

násobku

j -tého.

i-tého

°ádku do

j -tého

se odstraní p°i£tením

Sta£í tedy pro jednotlivé typy EÚ ukázat,

°e²ením upravené soustavy. Tvar upravené matice vyplývá z toho, ºe sou£in matic

x spl¬uje rovnost Ax = b, pak spl¬uje (BA|Bb). 

je denován po sloupcích. Pokud tedy vektor i

BAx = Bb,

tedy soustavu s maticí

e²ení soustavy lineárních rovnic spo£ívá v p°evedení její roz²í°ené matice posloupností elementárních °ádkových úprav do jednodu²²ího, tzv. odstup¬ovaného tvaru. Mnoºina °e²ení se tím nezm¥ní, ale je moºné ji z odstup¬ovaného tvaru snáze získat. 20

1. ODSTUP¬OVANý TVAR MATICE

21

pivot. Maodstup¬ovaném tvaru, pokud má kaºdý pivot vy²²í sloupcový index neº

Definice 6. První nenulový prvek kaºdého °ádku matice se nazývá

tice

A

je v

pivot p°edchozího °ádku. Sloupce, v nichº jsou v odstup¬ovaném tvaru pivoty, se nazývají

pivotní sloupce.

Matice je v

jsou navíc v²echny pivoty rovny jsou rovny

1

redukovaném odstup¬ovaném tvaru,

pokud

a v²echny ostatní elementy pivotních sloupc·

0.

Na obrázku jsou

a1j1



arjr

pivoty, nalevo od nich a pod nimi jsou v matici nuly,

napravo od nich a nad nimi m·ºe být obecn¥ cokoliv. V redukovaném odstup¬ovaném tvaru jsou na míst¥ tmavých obdélník· nuly. Tvrzení 9. Je-li roz²í°ená matice soustavy (A|b) v odstup¬ovaném tvaru, pak má soustava rovnic °e²ení, práv¥ kdyº sloupec pravých stran není pivotní. D·kaz. P°edpokládejme, ºe roz²í°ená matice má

mají sloupcové indexy

j1 < j 2 < . . . < j r .

r

nenulových °ádk· a pivoty

Pokud je sloupec pravých stran pivotní,

pak je sou£ástí soustavy také rovnice, která má na levé stran¥ lový pivot

br .

pravých stran pivotní není, pak je jedním z °e²ení vektor je

xjk = bk

0

a na pravé nenu-

Taková rovnice nemá °e²ení a tedy ani celá soustava. Pokud sloupec

a ostatní sloºky

x

x,

v n¥mº

jsou nulové.

∀k ∈ {1, . . . , r} 

Obecné °e²ení SLR v odstup¬ovaném tvaru získáme, pokud poloºíme kaºdou nepivotní sloºku rovnu n¥jakému reálnému parametru a zp¥tným dosazením dopo£ítáme sloºky pivotní. Nejlépe je to vid¥t na maticích v redukovaném odstup¬ovaném tvaru:

Zvolíme



1 0 −2 −2 0 −3  0 1 3 −1 0 −3 0 0 0 0 1 −2 x6 = t, x4 = s a x3 = r a dopo£teme

 9 2  4

x5 = 4 + 2t x2 = 2 − 3r + s + 3t x1 = 9 + 2r + 2s + 3t P°epsáno do vektorového tvaru

       

x1 x2 x3 x4 x5 x6





      =      

9 2 0 0 4 0





      +r      

2 −3 1 0 0 0





       + s      

2 1 0 1 0 0





       + t      

3 3 0 0 2 1

       

2. EŠENÍ SOUSTAV A PODPROSTORY

22

b pravých stran nemá ºádný vliv na koecienty u parametr· (A|o) (p°íslu²né homogenní soustavy ) je tedy        3 2 2 x1  3   1   −3  x2               x3   = r 1  + s 0  + t 0   0   1   0  x4          2   0   0  x5  0 x6 1 0

V²imn¥me si, ºe vektor

r, s, t.

e²ení SLR s maticí

       

2. e²ení soustav a podprostory Vztah mezi °e²ením nehomogenní soustavy rovnic a p°íslu²né soustavy homogenní se netýká jen soustav v odstup¬ovaném tvaru: Tvrzení 10. Nech´ xP je n¥jaké °e²ení SLR (A|b). Pak vektor xP + xH je °e²ením soustavy (A|b) práv¥ tehdy, kdyº je xH °e²ením p°íslu²né homogenní soustavy. D·kaz. Pokud

xP + xH

je °e²ením soustavy, pak

A(xP + xH ) = b.

Z distri-

butivity maticového násobení plyne

A(xP + xH ) = AxP + AxH = b + AxH Tedy váme

AxH = o. Pokud A(xP + xH ) = b.

Vektoru

xP

°íkáme

naopak

AxH = o,

pak dosazením do rovnosti vý²e dostá-



partikulární °e²ení nehomogenní soustavy. Mnoºin¥ v²ech (A|o) pak jádro matice A, zna£íme Ker A. Mnoºina

°e²ení homogenní soustavy

°e²ení nehomogenní soustavy se v duchu tvrzení zapisuje ve tvaru

xP + Ker A.

Jádro matice má význa£né vlastnosti, které si zaslouºí zavedení nového pojmu:

W ⊂ Rn , která s kaºdými vektory x, y ∈ W obsahuje i v²echny jejich lineární kombinace rx + sy, se nazývá podprostor. Mnoºina tvaru u + W , kde u ∈ Rn a W je podprostor v Rn , se nazývá anní podprostor. Definice 7. Mnoºina

Tvrzení 11.

Jádro kaºdé matice A typu m × n je podprostor v Rn .

D·kaz. Pokud

x, y ∈ Ker A,

pak

Ax = Ay = o.

Pak ale

A(rx + sy) = rAx + sAy = ro + so = o, tedy i

rx + sy ∈ Ker A.



Kaºdý podprostor musí obsahovat nulový vektor, sta£í zvolit implikace, tedy ºe podmnoºina

Rn

r = s = 0. Opa£ná

obsahující nulový vektor je nutn¥ podprostorem,

neplatí (najd¥te protip°íklad!). Anní podprostor

x + W obsahující o ov²em uº x ∈ W . Homogenní a ne-

podprostorem být musí. To nastává práv¥ tehdy, kdyº

homogenní soustavy se tedy li²í práv¥ tím, ºe °e²ením prvních je vºdy podprostor, °e²ením druhých nikdy není podprostor, pouze anní podprostor:

3. GAUSSOVA ELIMINACE

23

3. Gaussova eliminace Kaºdou matici

A

typu

tvaru postupem zvaným

m×n

lze p°evést do (redukovaného) odstup¬ovaného

Gaussova eliminace :

(1) Najdeme první nenulový sloupec, jeho index ozna£íme

j . Pokud neexistuje,

je matice nulová, tedy v redukovaném odstup¬ovaném tvaru. (2) Pokud je

a1j = 0,

pak prohodíme 1. °ádek s libovolným °ádkem i, v n¥mº

aij 6= 0. (3) Pro kaºdé

i-tého

i = 2, 3, . . . , m

p°i£teme

(−aij /a1j )-násobek

prvního °ádku do

°ádku.

(4) Opakujeme postup pro matici bez prvního °ádku. Proces se zastaví bu¤ v bod¥ 1, nebo tím, ºe dojdou nenulové °ádky. Pokud v kaºdém pr·chodu

1 zaznamenáme index j do prom¥nné jk , dostaneme posloupnost j1 < j2 < . . . jr index· pivotních sloupc·, p°i£emº °ádky r + 1 aº m jsou

bodu

nulové.

i = 1, . . . , r vynásobíme i-tý °ádek £íslem 1/aiji k < i p°i£teme jeho (−akji )-násobek do k -tého °ádku.

(5) Pro kaºdé kaºdé

a poté pro

P°íklad 6. Ukaºme si Gaussovu eliminaci na p°íklad¥ roz²í°ené matice SLR:



0  3 3  3  0 0

  3 −6 6 4 −5 −7 8 −5 8 1 ∼ −9 12 −9 6 3   −9 12 −9 6 3 2 −4 4 2 −2  ∼  3 −6 6 4 −5

3 3 0 3 0 0

 −9 12 −9 6 3 −7 8 −5 8 1 ∼ 3 −6 6 4 −5  −9 12 −9 6 3 2 −4 4 2 −2  0 0 0 1 −2

První úprav¥, tedy hledání vhodného pivota, se °íká

pivotace. Po dvou pr·chodech

body 1,2,3,4 jsme dosp¥li zp¥t do 1 a nemáme uº ºádné nenulové °ádky. Bod 5, tedy p°echod do redukovaného tvaru, je efektivn¥j²í provád¥t odspodu:



3  0 0

  −9 12 −9 0 15 1 0 2 −4 4 0 2 ∼ 0 1 0 0 0 1 −2 0 0

 −2 3 0 8 −2 2 0 1  0 0 1 −2

Mnoºina °e²ení soustavy má tvar

   xP + Ker A =   

8 1 0 0 −2

    2             2   + s 1  + t        0       0 

−3 −2 0 1 0

          s, t ∈ R       

Mnoºina v²ech lineárních kombinací n¥jaké mnoºiny vektor· a °íká se jí

M ⊂ Rn

se zna£í

hM i

lineární obal. S tímto zna£ením m·ºeme °e²ení zapsat pon¥kud úsporn¥ji

jako

(8, 1, 0, 0, −2)T + h(2, 2, 1, 0, 0)T , (−3, −2, 0, 1, 0)T i ƒasto se v zápise vynechává i symbol transponování. První 4 kroky Gaussovy eliminace p°evedou do odstup¬ovaného tvaru libovolnou matici. To plyne jednodu²e matematickou indukcí podle po£tu nenulových °ádk· v matici. Je-li jich nula, pak je matice zjevn¥ v odstup¬ovaném tvaru. Pokud je jich

k > 0, pak po provedení prvních 3 krok· získáme sloupcový index j1 prvního pivotu, který je men²í neº sloupcový index v²ech nenulových prvk· v²ech ostatních °ádk·. Z induk£ního p°edpokladu plyne, ºe matice vzniklá vynecháním prvního °ádku se prvními 4 kroky Gaussovy eliminace p°evede do odstup¬ovaného tvaru, p°i£emº sloupcové indexy pivot·

j2 < . . . < j r

musí být v¥t²í neº

j1 .

Výsledná matice je

4. IZOMORFISMUS

24

tedy v odstup¬ovaném tvaru a bod 5 ji p°evede do redukovaného odstup¬ovaného tvaru.

4. Izomorsmus Následující pojmosloví se uºívá pro libovolná zobrazení, nikoli nutn¥ lineární. Zobrazení

f :X→Y

se nazývá

• prosté (injektivní ), pokud má kaºdý prvek z Y nejvý²e jeden vzor, tedy pokud f (a) = f (b), pak a = b. • na (surjektivní ), pokud má kaºdý prvek z Y alespo¬ jeden vzor • vzájemn¥ jednozna£né (bijektivní ), pokud má kaºdý prvek z Y práv¥ jeden −1 vzor, tedy pokud existuje inverzní zobrazení f : Y → X. V p°ípad¥, ºe f je navíc lineární, pouºívají se pojmy monomorsmus, epimorsmus a

izomorsmus.

Z lineárních zobrazení, kterými jsme se zabývali, jsou zrcadlení

Dλ pro λ 6= 0 i rotace izomorsmy (jak vypadají inverzní zobrazení?. n n Projekce Px : R → R není prosté zobrazení, protoºe libovolný vektor z nadroviny x⊥ se zobrazí na o, a není ani zobrazení na, protoºe Px (y) leºí vºdy v hxi. Podobn¥ pro Px⊥ . Zx ⊥ ,

dilatace

f :X→Y

Definice 8. Nech´

pro které existuje se

a∈X

takové, ºe

je zobrazení. Pak mnoºina v²ech prvk·

f (a) = p,

se nazývá

obraz

zobrazení

f

p∈Y, a zna£í

Im f . Obrazu se n¥kdy °íká také Zobrazení

b

v²echna

F A : Rn → R m

A

A

Im f = Y . Ax = b má pro

je na, práv¥ kdyº

je prosté práv¥ tehdy, kdyº rovnice

nejvý²e jedno °e²ení, tedy kdyº

kdyº jsou po p°evodu p°ejde-li

obor hodnot. Zobrazení f

Ker A = {o}.

To nastává práv¥ tehdy,

na odstup¬ovaný tvar v²echny sloupce pivotní, neboli

v redukovaném odstup¬ovaném tvaru na jednotkovou matici, p°ípadn¥

dopln¥nou o n¥jaké nulové °ádky. Soustava

Ax = b

má °e²ení, pakliºe

b

lze zapsat

jako

(a1 | . . . |an )x = x1 a1 + . . . xn an , m neboli Im A = ha1 , . . . , an i. Zobrazení FA je tedy na, práv¥ kdyº ha1 , . . . , an i = R . Lineárnímu obalu sloupc· se °íká sloupcový prostor matice A (analogicky denujeme °ádkový prostor, ten je roven Im AT ). Rovnost ha1 , . . . , an i = Rm formulujeme také m tak, ºe sloupce matice A prostor R generují.

Zobrazení fA : Rn → Rm je bijektivní, práv¥ kdyº A je £tvercová a existuje matice X , pro kterou AX = E . Tvrzení 12.

D·kaz. Je-li

fA

bijektivní, pak pro kaºdou pravou stranu

práv¥ jedno °e²ení. Nem·ºe tedy být

m < n,

b

má SLR

Ax = b

protoºe pak by po p°evodu na od-

Ker A 6= {o}. Nem·ºe b takovou, ºe po eliminaci matice (A|b) bude sloupec pravých stran pivotní. Tedy A je £tvercová. Pro pravou stranu ei ozna£me xi °e²ení soustavy Ax = ei . Pak X = (x1 | . . . |xn ) spl¬uje AX = E . Tím je dokázána první implikace. Dokaºme nyní druhou. Pokud existuje matice X spl¬ující AX = E , pak x := Xb je °e²ením soustavy rovnic Ax = b. Tedy fA je na. Uvaºujme eliminaci roz²í°ené matice (A|E) elementárními úpravami s maticemi B1 , . . . , Bk . Pak stup¬ovaný tvar nemohly být v²echny sloupce pivotní a tedy

být ani

m > n,

protoºe pak by bylo moºné najít pravou stranu

(A|E) ∼ (Bk . . . B1 A|Bk . . . B1 E) = (C|Bk . . . B1 ), kde matice

C

je v redukovaném odstup¬ovaném tvaru. Pokud by m¥la nulový °ádek,

neplatilo by, ºe

n

(A|b)

má °e²ení pro kaºdé

b.

Protoºe je £tvercová, musí tedy mít

pivotních sloupc·, neboli být jednotkovou maticí. Pak ale

j -tý

sloupec sou£inu

4. IZOMORFISMUS

25

Bk . . . B1 je jediným °e²ením soustavy rovnic Ax = ej , jejímº °e²ením je i j -tý X . Tedy Bk . . . B1 = X a XA = E . Tedy X je inverzní matice k A a tudíº i fX inverzní zobrazení k fA .  sloupec

P°ipome¬me, ºe £tvercovou matici A, která má inverzní matici, nazýváme regulární. Z tvrzení a jeho d·kazu plyne, ºe regulární jsou práv¥ ty matice, pro které je

fA

bijektivní, a ºe sta£í ov¥°ovat jen podmínku

AX = E , tedy inverznost zprava.

KAPITOLA 4

Vektorové prostory V prvních t°ech p°edná²kách jsme se zabývali vektory v

Rn

a setkali se p°i tom

mimo jiné s pojmy lineární kombinace, (anního) podprostoru, lineárního zobrazení a kanonické báze. Tyto pojmy je moºné a uºite£né zobecnit na dal²í typy objekt·, které lze mezi sebou s£ítat a násobit je skalárem. Nap°íklad levá strana rovnosti

 0 3 je lineární kombinací

  0 −1 +2 1 −1 2×2

  1 2 + 2 0

  0 0 = −1 1

 2 4

matic, levá strana rovnosti

(3x + 1) + 2(−x3 + x2 − x + 2) + (2x3 − 1) = 2x2 + x + 4 je lineární kombinací polynom·. V obou p°ípadech rovnosti °íkají, ºe matice/polynom na pravé stran¥ je v podprostoru generovaném maticemi/polynomy na levé stran¥. Ozna£íme-li

KM :=

 1 0

  0 0 , 0 0

  1 0 , 0 1

  0 0 , 0 0

 0 , KP := {1, x, x2 , x3 }, 1

m·ºeme kaºdou matici, resp. polynom stupn¥ nejvý²e 3 jednozna£n¥ zapsat jako lineární kombinaci prvk· mnoºiny

KM ,

resp.

KP .

Tyto mnoºiny tedy pro ma-

tice/polynomy hrají podobnou roli jako kanonická báze

{e1 , . . . , en }

pro

Rn .

Rov-

nost vý²e pak intuitivn¥ vyjad°uje totéº jako vztah

        0 2 −1 0  1   0  2 0   + 2  +   =  , −1  0  1 3 4 −1 1 2 pro vektory z

R4 .

Podobn¥ m·ºeme zacházet s mnoha dal²ími objekty, nap°íklad komplexními £ísly, maticemi

m × n,

spojitými funkcemi na daném intervalu, nekone£nými po-

sloupnostmi £ísel a mnoha dal²ími. Tyto podobnosti vybízejí k tomu, abychom pot°ebné vlastnosti vektor· abstrahovali a v²echny související pojmy zavád¥li naráz a obecn¥ pro tyto abstraktní vektory. Dokázaná tvrzení pak budou mít také obecnou platnost. Je²t¥ p°edtím musíme ale zavést pojem t¥lesa, coº je mnoºina, jejíº prvky jsou abstrakcí pojmu skaláru, a pojem grupy, který se v denici t¥lesa i vektorového prostoru vyskytuje a který má i sám o sob¥ pro matematiku a fyziku velkou d·leºitost.

1. Grupa a t¥leso ◦ : G × G → G je binární operace na (G, ◦), která spl¬uje (1) ∀a, b, c ∈ G : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (asociativita) (2) ∃e ∈ G : ∀a ∈ G : a ◦ e = e ◦ a = a (neutrální prvek) −1 (3) ∀a ∈ G : ∃a ∈ G : a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e (inverzní prvky) Pokud navíc ∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a, pak je (G, ◦) komutativní grupa. Definice 9 (Grupa). Nech´

Pak

grupou

nazýváme dvojici

26

mnoºin¥

G.

1. GRUPA A T¥LESO

Pod ozna£ením



27

se m·ºe skrývat jakákoli binární operace, nemusí jít nutn¥ o

skládání zobrazení. Zárove¬ mnoho p°íklad· grup jsou grupy zobrazení s operací jejich skládání. Nap°íklad mnoºina v²ech rotací okolo po£átku v rovin¥

R2

({Rφ : R2 → R2 |φ ∈ h0, 2π)}, ◦) je uzav°ená na skládání (tedy sloºení dvou rotací je zase rotace), obsahuje neutrální prvek

R0 ≡ Id i inverzní prvek R−φ

ke kaºdému

Rφ . Asociativita a v tomto p°ípad¥

i komutativita jsou spln¥ny rovn¥º. Dal²ím typickým p°íkladem, který m·ºeme formulovat pomocí zna£ení zavedeného v minulých kapitolách, je grupa

({Id, R2π/3 , R−2π/3 , Z(1,0)⊥ , Z(1,√3)⊥ , Z(−1,√3)⊥ }, ◦) v²ech zobrazení, která zachovávají rovnostranný trojúhelník s t¥ºi²t¥m v po£átku a vý²kou orientovanou ve sm¥ru druhé sou°adné osy. Podobné grupy symetrií geometrických útvar· v rovin¥ a prostoru jsou základem disciplín jako krystalograe, spektroskopie, kvantová mechanika a dal²ích. Pro nás jsou nyní d·leºit¥j²í grupy zaloºené na mnoºin¥ £ísel s n¥jakou aritme-

(Z, +), (R, +), (C, +) (Rn , +) a matic (Rm×n , +) Neutrálním prvkem je zde 0, inverz-

tickou operací. V p°ípad¥ s£ítání to mohou být t°eba grupy (pro£ ne

(N, +)?)

a grupami jsou také mnoºiny vektor·

se s£ítáním zavedeným v minulých kapitolách. ním prvkem k

x

je opa£né £íslo

−x.

P°íklady grup s operací násobení jsou t°eba

C| |z| = 1}, ·).

1,

Neutrálním prvkem je zjevn¥

(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) nebo ({z ∈ a je a1 . Proto

inverzním prvkem k

0. 2 × 2 s operací násobení matic nám dávají mnoho p°íklad·

také v ºádné z mnoºin nem·ºe být Mnoºiny matic typu

nekomutativních grup. Nap°íklad grupa



   cos φ − sin φ |φ ∈ h0, 2π) , ◦ sin φ cos φ

odpovídající maticím rotací komutativní je, ale pokud zkonstruujeme analogicky grupu matic symetrií rovnostranného trojúhelníka, zjistíme, ºe matice rotací a zrcadlení spolu nekomutují.

T se nazývá komutativní t¥leso, + a · , spl¬ující

Definice 10 (Komutativní t¥leso). Mnoºina

pokud jsou na ní denovány dv¥ binární operace (1)

(T, +)

je komutativní grupa.

(2) Ozna£íme-li neutrální prvek

(T, +)

symbolem

0,

pak

(T \ {0}, ·)

je komu-

tativní grupa. (3)

∀a, b, c ∈ T : a · (b + c) = a · b + a · c

(distributivita)

Název  t¥leso nijak nesouvisí s t¥lesy geometrickými, je jen p°ekladem slova Zahlenkörper z n¥m£iny. Klasickými p°íklady t¥les jsou mnoºiny

Q, R

nebo

operacemi s£ítání a násobení. V algeb°e a informatice nacházejí uplatn¥ní

t¥lesa,

C

s

kone£ná

Zp = {0, 1, . . . , p − 1} s operacemi s£ítání a p. T¥lesa jsou také klí£ová pro teorii °e²ení algebraických

jejichº základním p°íkladem je

násobení modulo prvo£íslo

rovnic vy²²ích stup¬·, s níº p°i²el Évariste Galois v roce 1832. V¥t²ina jeho matematického d¥dictví pochází z dopisu, který napsal dva dny p°ed tím, neº zahynul v souboji. Pokud nepoºadujeme, aby bylo násobení komutativní, zachováme ostatní axiomy a doplníme pravostrannou distributivitu

(b + c) · a = b · a + c · a, pak R3 .

denici

spl¬ují nap°. tzv. kvaterniony, pouºívané pro elegantní popis rotací v Prvky

T

hrají v lineární algeb°e roli skalár·. V¥t²ina text· buduje lineární

algebru nad obecnými t¥lesy, coº znamená strávit n¥jaký £as odvozováním d·sledk· denice t¥lesa a zavád¥ním n¥kterých pojm·, zejména tzv. charakteristiky t¥lesa, která zhruba °e£eno pomáhá od sebe odli²it t¥lesa s nekone£ným po£tem prvk· jako

2. VEKTOROVý PROSTOR

28

R nebo C a t¥lesa kone£ná. Protoºe po£ítání s kone£nými t¥lesy není v matematické fyzice p°íli² £asto k vid¥ní, omezíme na T rovné bu¤ R nebo C a budeme místo pojmu (komutativní) t¥leso pouºívat pojem mnoºinu skalár· zna£it

mnoºina skalár·.

Standardn¥ budeme

F, coº vychází z výrazu eld, který se pro komutativní t¥leso

pouºívá v angli£tin¥.

2. Vektorový prostor Definice 11 (Vektorový prostor). Nech´

nazveme

vektor·

vektorovým prostorem nad F,

F

je mnoºina skalár·. Mnoºinu

pokud je na ní denována operace

V

s£ítání

+:V ×V →V taková, ºe

(V, +)

je komutativní grupa, a operace

násobení skalárem

· : F × V → V, jejíº výsledek pro

r∈F

a

v∈V

ozna£íme

rv ,

a tyto operace spl¬ují

∀u, v ∈ V

a

∀r, s ∈ F 1v = v (násobení jednotkou) r(sv) = (rs)v (asociativita) (3) (r + s)v = rv + sv (distributivita s£ítání skalár·) (4) r(u + v) = ru + rv (distributivita s£ítání vektor·) Neutrální prvek ve (V, +) zna£íme o (nulový vektor ) a inverzní zna£íme −v (opa£ný vektor ). (1) (2)

Tvrzení 13.

(1) (2) (3)

prvek k

v ∈ V

Nech´ V je vektorový prostor nad F. Pak ∀v ∈ V , ∀r ∈ F platí

0v = o (−1)v = −v ro = o

D·kaz. Pro libovolný vektor

v∈V

platí

v = 1v = (1 + 0)v = 1v + 0v = v + 0v, kde jsme pouºili nejprve vlastnost násobení jednotkou z denice vektorového prostoru, pak vlastnost nuly jako neutrálního prvku v mnoºin¥ skalár· (t¥lese), pak distributivitu s£ítání skalár· a nakonec znovu násobení jednotkou. Protoºe je grupa, musí mít

v

opa£ný vektor

−v

(V, +)

a s uºitím asociativity s£ítání v grup¥ plyne,

ºe

o = (−v) + v = (−v) + (v + 0.v) = ((−v) + v) + 0.v = o + 0.v = 0.v, £ímº je dokázáno první tvrzení. Zbylá dv¥ necháváme £tená°i za cvi£ení. Základním p°íkladem vektorového prostoru je



Fn

nad F, tedy mnoºina v²ech n-tic prvk· z F, ve které se s£ítá a násobí skalárem po sloºkách. Dopon sud jsme vektorem rozum¥li prvek R a zapisovali ho jako sloupec £ísel. Od nyn¥j²ka uspo°ádaných

pro nás slovo vektor znamená prvek n¥jakého vektorového prostoru. Vektor·m v p·vodním smyslu budeme od nyn¥j²ka °íkat

aritmetické vektory

a vektorovému

Fn aritmetický vektorový prostor. m×n Symbolem F ozna£ujeme vektorový prostor v²ech m × n matic s elementy z

prostoru

F. Podobn¥ jako u aritmetického vektoru se snadno ov¥°í, ºe je to vektorový prostor nad F s operacemi s£ítání matic a násobení matice skalárem, tak jak jsme je d°íve zavedli. Mnoºina

F (X, F)

v²ech funkcí z mnoºiny

X

do

F

(f + g)(x) := f (x) + g(x) (rf )(x) := rf (x),

s operacemi

2. VEKTOROVý PROSTOR

je vektorový prostor nad denuje funkci

f +g

F.

Jaký je vlastn¥ význam tohoto p°edpisu? První °ádka

její hodnotou v bod¥

tato hodnota sou£tem hodnot funkcí funkce. Pro

29

f

a

g

x,

a to tak, ºe pro libovolné

v

x.

x∈X

je

Druhá obdobn¥ denuje násobek

X = R to dává prostor v²ech funkcí jedné reálné prom¥nné, pro X = N X = {1, . . . , n} je to prostor v²ech

prostor v²ech nekone£ných posloupností, pro

n-prvkových

posloupností, které se s£ítají po sloºkách, coº vlastn¥ není nic jiného

neº aritmetický vektorový prostor Mnoºinu

Fn .

m·ºeme chápat jako vektorový prostor nad sebou samou, nebo

C

jako vektorový prostor nad

R.

Je v tom rozdíl, protoºe v prvním p°ípad¥ je kaºdý

nenulový vektor násobkem kaºdého jiného nenulového vektoru, v druhém ale

1

a

i

nejsou skalárním násobkem jeden druhého. Intuitivn¥ se tedy první verze podobá více p°ímce a druhá více rovin¥. Analogicky má kaºdý vektorový prostor

V

nad

C

svého  dvojníka , ve kterém je dovoleno násobit jen reálnými £ísly. Pokud ale v dal²ím napí²eme

Cn ,

rozumíme tím vºdy vektorový prostor nad

C.

V¥t²ina dal²ích zajímavých p°íklad· vektorových prostor· vzniká jako podprostory jiných vektorových prostor·. Obecná denice podprostoru se prakticky neli²í od té, kterou uº jsme m¥li v

Rn :

V je vektorový prostor nad F a W je neprázdná podmno∀v, w ∈ W , ∀r, s ∈ F platí rv + sw ∈ W . Pak nazýváme W podprostorem vektorového prostoru V , zna£íme W ≤ V . Definice 12. Nech´

ºina

V

taková, ºe

Tvrzení 14. Neprázdná podmnoºina W ⊂ V je podprostorem ve V , práv¥ kdyº je uzav°ená na sou£ty a na násobení libovolným skalárem. D·kaz. Pokud je

vektory

v, w ∈ W

W

jsou ve

uzav°ená na sou£ty a na násobení skalárem, pak s kaºdými

W i rv , sw a rv + sw, pro libovolné r, s ∈ F. r = s = 1, resp. r libovolné a s = 0.

Pro d·kaz



opa£né implikace sta£í volit

Kaºdý vektorový prostor V má dva tzv. triviální podprostory, 0 := {o} (nulový podprostor ) a sebe sama. Symbol 0 se uºívá i pro vektorový prostor obsahující jediný prvek, který samoz°ejm¥ musí být totoºný s neutrálním prvkem v tomto prostoru, tedy nulovým vektorem. Podprostor

W

n¥jakého vektorového prostoru

V

je op¥t vektorový prostor. Tím

myslíme, ºe spl¬uje axiomy z denice vektorového prostoru. Pro ov¥°ení je klí£ové, ºe nám denice podprostoru zaru£uje uzav°enost operací, tedy ºe v²echny sou£ty a násobky skalárem, které se v axiomech vyskytují, jsou op¥t prvky

W,

a to v£etn¥

neutrálního prvku a opa£ných prvk·, které díky prvnímu a druhému bodu tvrzení 13 vzniknou také jako násobky prvku z

W

skalárem.

V je vektorový prostor nad F a r1 , . . . , rn ∈ F, v1 , . . . , vn ∈ r v se nazývá lineární kombinace vektor· vi s koecienty ri . Pro i=1 i i neprázdnou M ⊂ V zna£í hM i mnoºinu v²ech lineárních kombinací prvk· M , neboli její lineární obal. Pro M = ∅ ⊂ V denujeme jako její lineární obal nulový podprostor 0 ≤ V . Definice 13. Nech´

V.

Výraz

Pn

Tvrzení 15.

Nech´ V je vektorový prostor nad F a M ⊂ V . Pak hM i ≤ V .

D·kaz. Sta£í si uv¥domit, ºe sou£et lineárních kombinací prvk·

lineární kombinace prvk·

W

a podobn¥ i pro násobek skalárem.

W

je op¥t



Definice 14. Nech´ V je vektorový prostor nad F, W ≤ V , v ∈ V . Mnoºinu v + W , jejímiº prvky jsou v²echny sou£ty vektoru v s n¥jakým prvkem podprostoru W , nazýváme anní podprostor ve V , podprostor W nazýváme zam¥°ením tohoto

anního podprostoru. Anní podprostor je podprostorem, práv¥ kdyº op¥t za cvi£ení.

v ∈ W.

D·kaz ponecháváme

3. GENEROVÁNÍ, LINEÁRNÍ (NE)ZÁVISLOST, BÁZE

30

3. Generování, lineární (ne)závislost, báze Nech´

W

je vektorový prostor (který m·ºe a nemusí být podprostorem jiného

vektorového prostoru). O mnoºin¥ prostor

W generuje,

p°ípadn¥, ºe

M

M ⊂ W, je

pro kterou

hM i = W , °íkáme, prostoru W .

mnoºinou generátor·

ºe

Typicky existuje mnoho r·zných mnoºin generujících stejný vektorový prostor:

              1 0 1 0 2 1 3 , , , , , R2 , R 2 \ , 0 1 0 1 3 2 4 jsou v²echno mnoºiny generátor· prostoru

R2 .

P°irozenou otázkou je, jak najít pro

daný podprostor mnoºinu generátor· co nejmen²í. Definice 15. Lineární kombinace se nazývá

netriviální,

pokud má alespo¬

M vektorového prostoru V nad F je lineárn¥ závislá , pokud existují vektory v1 , . . . , vn ∈ M a jejich netriviální lineární kombinace Pn i=1 ri vi se rovná nulovému vektoru o. V opa£ném p°ípad¥ je M lineárn¥ nezávislá. jeden koecient nenulový. Podmoºina

P°íklad 7. Mnoºina

      1 0 2 , , 0 1 3

je lineárn¥ závislá, protoºe lze z vektor· vytvo°it lineární kombinaci s koecienty

−2, −3, 1,

která je netriviální a dává nulový vektor v

R2 .

Mnoºina

    1 0 , 0 1 je lineárn¥ nezávislá, protoºe lineární kombinace

    1 0 r +s 0 1 m·ºe být rovna nulovému vektoru pouze pro lineárn¥ nezávislá. Mnoºina závislá v

C

nad

{1, i} ⊂ C

r = s = 0.

Prázdná mnoºina

je lineárn¥ nezávislá v

C

nad

R,



je

ale lineárn¥

C.

Nech´ V je vektorový prostor nad F. Pak platí: M ⊂ V mající alespo¬ dva prvky je lineárn¥ závislá, práv¥ kdyº existuje v ∈ M , který lze vyjád°it jako lineární kombinaci ostatních prvk· M . (2) Nech´ M generuje V . Pak M je lineárn¥ závislá, práv¥ kdyº existuje vlastní podmnoºina N ⊂ M , která generuje V . Pn D·kaz. Nech´ existuje netriviální lineární kombinace i=1 ri vi = o, kde vi jsou z M . Vektory vi si m·ºeme libovoln¥ p°e£íslovat, p°edpokládejme tedy, ºe Pn i r1 6= 0. Pak v1 = i=2 −r r1 vi , tedy v1 lze vyjád°it jako lineární kombinaci ostatních vektor·. Naopak, pokud lze n¥jaký v1 ∈ M zapsat jako lineární kombinaci ostatních Pn Pn vektor· i=2 si vi , sta£í poloºit s1 = −1 a máme lineární kombinaci i=1 si vi = o Tvrzení 16.

(1)

rovnou nulovému vektoru. Tím je dokázán první bod.

v , který je dle bodu 1 lineární kombinací N := M \ {v}. Pak m·ºeme kaºdý vektor u, Pn který je lineární kombinací u = s u vektor· uj ∈ M , zapsat jako lineární j j j=1 kombinaci vektor· z N . Pokud ºádný z vektor· uj není roven v , je to z°ejmé. Pokud Pk n¥který je roven v , sta£í jej nahradit v lineární kombinaci sumou i=1 ri vi a u je pak vyjád°en jen pomocí vektor· z N . Naopak, pokud N ⊂ M , N i M ob¥ generují V a v ∈ M \ N , pak lze v zapsat jako lineární kombinaci prvk· N a tedy podle bodu 1 je M lineárn¥ závislá.  Pro druhý bod vyberme v

ostatních

v =

Pk

i=1 ri vi .

Definice 16. Nech´

V

M

vektor

Denujme

V

je vektorový prostor nad

a zárove¬ je lineárn¥ nezávislá, se nazývá

F. Mnoºina M , která generuje

báze vektorového prostoru V .

3. GENEROVÁNÍ, LINEÁRNÍ (NE)ZÁVISLOST, BÁZE

Základním p°íkladem báze je kanonická báze ºe je lineárn¥ nezávislá a generuje

n

F

{e1 , . . . , en }

v

31

Fn .

Je hned vid¥t,

.

Podle p°edchozího tvrzení je báze

V

taková mnoºina generátor·

odebrání libovolného vektoru uº mnoºinou generátor·

V

V,

která po

není.

Tvrzení 17. Nech´ V je vektorový prostor nad F. Mnoºina M je bází V , práv¥ kdyº lze kaºdý vektor z V vyjád°it jako lineární kombinací prvk· M práv¥ jedním zp·sobem. D·kaz. Pokud je

M

bází

V,

i generuje, a tedy kaºdý vektor z V lze M alespo¬ jedním zp·sobem. Pokud by Pn Pn r v i=1 i i = i=1 si vi , kde alespo¬ jeden koe-

pak

V

vyjád°it jako lineární kombinaci prvk·

v ∈ V m¥l dvojí vyjád°ení r i 6= si , pak by rozdíl t¥chto vyjád°ení Pn (r i=1 i − si )vi rovnou nulovému vektoru.

n¥jaký cient

byl netriviální lineární kombinací

Je-li naopak kaºdý vektor vyjád°en nejvý²e jedním zp·sobem, platí to i pro nulový vektor, jenº je pomocí vektor· z

M

vyjád°en triviální lineární kombinací

(£i kombinacemi). Pak ale nem·ºe být vyjád°en zárove¬ i netriviální lineární kombinací, a tedy je

M

lineárn¥ nezávislá. Zárove¬ je kaºdý vektor vyjád°en alespo¬

jedním zp·sobem, tedy

M

generuje

V. M

je tedy bází

V.



M = {v1 , . . . , vn } je báze vektorového prostoru V nad F. v ∈ V lze podle p°edchozího tvrzení p°i°adit jednozna£n¥ n-tici (r1 , . . . , rn ) prvk· F. Kdyº tedy ur£íme n¥jaké po°adí prvk· M , p°i°azujeme vlastn¥ n vektoru v z V aritmetický vektor r z F . Tomuto vektoru se °íká vektor sou°adnic vektoru v vzhledem k bázi M nebo téº reprezentace vektoru v vzhledem k bázi M . P°edpokládejme, ºe

Kaºdému vektoru

Pokud nap°íklad

 M= je báze

R2×2 ,

(1, 2, 3, 4)T .

1 0

pak je matice

       0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 1 0 0 1   1 2 reprezentována vzhledem 3 4

k

M

vektorem

Po£ítání v rozli£ných vektorových prostorech m·ºeme takto p°evést

na výpo£ty s vektory aritmetickými. Ale jak tyto výpo£ty ovliv¬uje to, jakou bázi ve

V

si zvolíme? Budou mít vºdy p°íslu²né aritmetické vektory stejný po£et slo-

ºek? A dá se vºdy najít báze s kone£n¥ mnoha prvky? Odpov¥di nalezneme v p°í²tí kapitole.

KAPITOLA 5

Báze a dimenze V minulé kapitole jsme denovali bázi jako takovou podmnoºinu vektorového prostoru

V,

která je zárove¬ lineárn¥ nezávislá a zárove¬ tento prostor generuje.

Báze nemusí být nutn¥ kone£ná mnoºina.

M := {1, x, x2 , x3 , . . . , xi , . . .} ve vektorovém polynom· v prom¥nné x je jeho bází, nebo´ kaºdý

P°íklad 8. Mnoºina

P (x, R) v²ech reálných Pk p(x) = i=0 ai xi lze zapsat

jednozna£n¥ jako lineární kombinaci monom·

jakou jinou kone£nou bázi prostor kone£né mnoºiny polynom· neº nejvy²²í stupe¬ v

N

prostoru polynom

N

P (x, R)

xi .

N¥-

mít nem·ºe, protoºe v lineárním obalu

mohou být jen polynomy, jejichº stupe¬ není vy²²í

zastoupený.

Definice 17. Vektorový prostor

V

nad

menze, pokud v n¥m existuje kone£ná báze.

F

se nazývá

prostorem kone£né di-

Tvrzení 18. Nech´ V je vektorový prostor nad F. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: (1) V je kone£né dimenze. (2) Ve V existuje kone£ná mnoºina generátor·. (3) Z kaºdé mnoºiny generátor· V lze vybrat kone£nou bázi V .

2 ⇒ 3. M a n¥jakou (ne nutn¥ kone£nou) mnoºinu generátor· N , pak lze kaºdý prvek M vyjád°it jako lineární kombinaci 0 prvk· N . Ozna£me N mnoºinu v²ech prvk· N , u kterých je ve vyjád°ení n¥kte0 rého prvku M nenulový koecient. Mnoºina N je kone£ná a libovolný prvek V lze 0 0 vyjád°it jako lineární kombinaci prvk· N . Podle druhé £ásti tvrzení 16 je N bu¤ D·kaz. Implikace

Máme-li ve

V

1 ⇒ 2

a

3 ⇒ 1

jsou z°ejmé, sta£í tedy dokázat

kone£nou mnoºinu generátor·

lineárn¥ nezávislá, nebo z ní lze odebrat prvky, aniº by se zm¥nil lineární obal. Tedy odebráním kone£ného po£tu prvk· lze nalézt podmnoºinu

V.

N 00 ⊂ N 0 ,

která je bází

 Ze t°etího bodu tvrzení plyne, ºe v prostoru

V

kone£né dimenze musejí být

v²echny báze kone£né. Dokáºeme-li je²t¥, ºe v²echny báze prvk·, budeme moci zadenovat pojem dimenze

V

V

musejí mít stejný po£et

práv¥ jako tento po£et. Je²t¥

p°ed tím ale mírn¥ redenujme pojem báze, aby sou£ástí denice bylo i uspo°ádání:

V 6= 0 je vektorový prostor nad F kone£né dimenze, pak B = (v1 , . . . , vn ) nazveme bází V , pokud pro kaºdý vektor v ∈ V B existuje jednozna£n¥ ur£ený aritmetický vektor [v] := (r1 , r2 , , . . . , rn )T takový, Pn B nazýváme ºe v = i=1 ri vi . Bází prostoru 0 je prázdná posloupnost. Vektor [v] reprezentace vektoru v vzhledem k bázi B . Definice 18. Nech´

posloupnost

Poznámka 3. Zavést bázi jako posloupnost bychom mohli i u n¥kterých pro-

Pk P (x, R). Reprezentací polynomu p(x) = i=0 ai xi T by pak nebyl aritmetický vektor, ale nekone£ná posloupnost (a0 , a1 , . . . , ak , 0, 0, . . .) .

stor· nekone£né dimenze, jako je

Protoºe lineární kombinace jsou vºdy kone£né sou£ty, bude mít kaºdá taková reprezentace pouze kone£ný po£et nenulových sloºek. 32

5. BÁZE A DIMENZE

33

Zatím hovo°íme pouze o  prostorech kone£né dimenze a  prostorech nekone£né dimenze , ale samotný pojem dimenze denován nemáme. K tomu pot°ebujeme následující velmi d·leºitou v¥tu: V¥ta 2 (O po£tu prvk· báze).

dimenze mají stejný po£et prvk·. Definice 19. Nech´

V

V²echny báze vektorového prostoru V kone£né

je vektorový prostor nad

dimenze, pak denujeme nezáporné celé £íslo

dim V

F.

Je-li

V

prostor kone£né

jako po£et prvk· libovolné

V . Pokud není, pí²eme dim V = ∞. V obou p°ípadech nazýváme tuto hodnotu vektorového prostoru V .

báze

dimenzí

• dim Fn = n • VF je báze nap°. (Eij , i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}), kde Eij ozna£uje matici s jednou jedni£kou na pozici ij a nulami v²ude jinde. Tedy dim Fm×n = mn. • Posloupnost         1 i 0 0 , , , 0 0 1 i 2 n je báze prostoru C nad R. Obecn¥ je dimenze C nad R rovna 2n. • Ozna£me Un (F) = {A ∈ Fn×n |∀i, j, i > j : aij = 0} podprostor v²ech horních trojúhelníkových n × n matic. Pak (Eij |i, j ∈ {1, . . . , n}, j ≥ i) je n(n+1) bází Un (F). Tedy dim Un (F) = 1 + 2 + . . . + n = 2 n • Ozna£me P (x, F) podprostor v²ech polynom· stupn¥ nejvý²e n v P (x, F). 2 n n Jeho bází je t°eba (1, x, x , . . . , x ), tedy dim P (x, F) = n + 1.

P°íklady 1.

m×n

Poznámka 4. Z teorie mnoºin je známo, ºe nekone£né mnoºiny mohou být

spo£etné nebo nespo£etné. Má-li vektorový prostor spo£etnou bázi, pak je moºné tuto bázi se°adit do posloupnosti a zacházet s bázemi a reprezentacemi podobn¥ jako u prostoru

P (x, R)

vý²e. Prostory, které spo£etnou bázi nemají, typicky pro-

story funkcí, se studují jinými metodami. Obvykle se na nich n¥jak zavede pojem normy vektoru, který podobn¥ jako na

Rn

umoº¬uje denovat vzdálenost vektor·.

Se vzdáleností máme denovanou i konvergenci posloupnosti vektor· a tedy i (n¥které) nekone£né lineární kombinace. Nap°íklad k popisu prostoru v²ech spojitých reálných funkcí na uzav°eném intervalu

{cos nx|n ∈ N}∪ {sin nx|n ∈ N},

[0, 2π] je moºné pouºít mnoºinu funkcí {1}∪

jejíº konvergentní nekone£né lineární kombinace

se nazývají Fourierovými °adami a samotná mnoºina pak Fourierovou bází, a£koli to dle na²í denice báze daného vektorového prostoru není. V tomto kurzu se od nyn¥j²ka budeme zabývat pouze vektorovými prostory kone£né dimenze, aniº bychom to nadále explicitn¥ vypisovali. Tyto prostory ale mohou být zadány i jako podprostory n¥jakého prostoru dimenze nekone£né, jako nap°íklad kdyº je prostor

P n (x, R) v²ech polynom· stupn¥ nejvý²e n podprostorem

P (x, R). V¥ta o po£tu prvk· báze plyne z tzv. Steinitzova lemmatu o vým¥n¥: Lemma 1 (Steinitz). Nech´ V je vektorový prostor nad F, M jeho n-prvková mnoºina generátor· a N = {v1 , . . . , vk } lineárn¥ nezávislá mnoºina ve V . Pak k ≤ n a prvky M lze uspo°ádat do posloupnosti (u1 , u2 , . . . , un ) tak, ºe mnoºina {v1 , . . . , vk , uk+1 , . . . un } generuje V .

Nejprve ukaºme, jak z lemmatu plyne v¥ta:

|M | po£et prvk· mnoºiny M . Aplikujeme-li lemma na C ve V , |B| = p, |C| = q , pak p ≤ q , protoºe B je lineárn¥ nezávislá V . Zárove¬ i q ≤ p, protoºe C je lineárn¥ nezávislá a B generuje V . 

D·kaz v¥ty. Ozna£me

dv¥ báze a

C

B

a

generuje

Tedy

p = q.

5. BÁZE A DIMENZE

34

D·kaz lemmatu. Budeme postupovat indukcí podle k . Pokud k = 1, pak N = {v1 }, kde v1 6= 0. Kdyby n = 0, je M prázdná mnoºina, tedy hM i = 0. Protoºe V obsahuje nenulový vektor v1 , není M = ∅ mnoºinou generátor· V . Musí tedy být n ≥ 1 = k , £ímº je dokázána první £ást tvrzení. 0 0 0 Se°a¤me M do posloupnosti (u1 , u2 , . . . , un ). Protoºe M generuje V , existují Pn 0 0 0 £ísla ri taková, ºe v1 = i=1 ri ui , a protoºe v1 6= 0, musí pro n¥který index j 0 0 0 0 být rj 6= 0. Vym¥¬me v posloupnosti (u1 , u2 , . . . , un ) prvek s indexem 1 a prvek s indexem j a ozna£me nov¥ uspo°ádanou posloupnost (u1 , u2 , . . . , un ), analogicky 0 0 p°eve¤me posloupnost koecient· (r1 , . . . , rn ) na posloupnost (r1 , . . . , rn ) vým¥nou prvního a j -tého £lenu. Lze tedy psát ! n X 1 −v1 + u1 = − ri ui r1 i=2

{u1 , . . . , un }, je tudíº také {v1 , u2 , . . . , un } generuje V . Nyní prove¤me induk£ní krok, tedy p°edpokládejme, ºe k > 1 a tvrzení platí pro v²echna p°irozená £ísla men²í neº k . Pokud N = {v1 , . . . , vk } je lineárn¥ nezávislá, pak {v1 , . . . , vk−1 } je lineárn¥ nezávislá, a tudíº podle induk£ního p°edpokladu n ≥ k−1 a M lze uspo°ádat do posloupnosti (u01 , . . . , u0n ) tak, ºe {v1 , . . . , vk−1 , u0k , . . . , u0n } generuje V . Kdyby n = k − 1, ²lo by vk zapsat jako lineární kombinaci vektor· v1 , . . . , vk−1 , coº je spor s lineární nezávislostí N . Tedy n ≥ k . Vektor vk lze pak zapsat jako Kaºdý vektor, který je lineární kombinací vektor· z

lineární kombinací vektor· z

{v1 , u2 , . . . , un },

vk =

k−1 X

ri0 vi +

i=1

£ili

n X

ri0 u0i ,

i=k

0 kde pro n¥jaké j ≥ k musí být rj 6= 0, jinak bychom op¥t dostali spor s lineární 0 0 nezávislostí mnoºiny {v1 , . . . , vk }. Vym¥¬me v posloupnosti (u1 , . . . , un ) vektory k tý a

j -tý

a ozna£me toto nové uspo°ádání

(u1 , . . . , un ),

totéº s koecienty lineární

kombinace. Pak

k−1 X

1 uk = − rk Potom ale kaºdý

v∈V

i=1

ri vi − vk +

n X

! ri ui

i=k+1

je lineární kombinací vektor· z

tedy tato mnoºina generuje

{v1 , . . . , vk , uk+1 , . . . un },

V. W = h(1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, −1), (1, 3, −3, 1)i, (2, 1, −1, −1). Nejprve ov¥°íme, ºe

P°íklad 9. Najd¥me bázi

obsahuje vektory

(0, 1, −2, 0)

a

a

 která

M := {(1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, −1), (1, 3, −3, 1)} je báze

W

a vektory z

N := {(0, 1, −2, 0), (2, 1, −1, −1)}

jsou lineární kombinace

M nahradit dva vektory N . Zkusme to konkrétn¥. Protoºe 1 1 (0, 1, −2, 0) = − (1, 1, 1, 1) + (1, 3, −3, 1), 2 2 m·ºeme t°eba nahradit (1, 3, −3, 1) za (0, 1, −2, 0). V druhém kole pak z rovnosti (2, 1, −1, −1) = (0, 1, −2, 0)+(2, 0, 1, −1) plyne, ºe za (2, 1, −1, −1) musíme vyjmout vektor (2, 0, 1, −1). Získáváme tedy jejích prvk· (prove¤te sami). Dle Steinitzova lemmatu lze v prvky lineárn¥ nezávislé mnoºiny

W = h(0, 1, −2, 0), (2, 1, −1, −1), (1, 1, 1, 1)i Pro£ je posloupnost

((0, 1, −2, 0), (2, 1, −1, −1), (1, 1, 1, 1))

báze

W?

Víme, ºe

generuje, mohli bychom ov¥°it lineární nezávislost. Lep²í ale bude op°ít se o dal²í d·sledek Steinitzova lemmatu:

5. BÁZE A DIMENZE

35

Nech´ V je vektorový prostor nad F dimenze n a M ⊂ V . (1) Je-li M lineárn¥ nezávislá, pak |M | ≤ n. (2) Pokud M generuje V , pak |M | ≥ n Navíc platí-li v n¥kterém z p°ípad· |M | = n, pak je M bází V . D·sledek 1.

N prostoru V a pouºít ji |M | = |N |, plyne z lemmatu, ºe hM i = hN i = V , a tedy ºe M je bází V . Pro druhou £ást naopak bude N hrát v lemmatu roli lineárn¥ nezávislé mnoºiny. Pokud |M | = n a M by byla lineárn¥ závislá, mohli bychom z ní vybrat bázi, která by musela mít mén¥ neº n prvk·. To je ale v rozporu s V¥tou 2.  D·kaz. Pro první £ást sta£í uvaºovat n¥jakou bázi

v lemmatu jako mnoºinu generátor·. Pokud navíc

Lemma 2. Nech´ V je vektorový prostor dimenze n a W jeho podprostor. Pak W je prostorem kone£né dimenze a dim W ≤ n.

W jsou zárove¬ lineárn¥ neV a mají tedy podle D·sledku 1 nanejvý² n prvk·. Zvolme z nich n¥jakou N = {v1 , . . . , vk } s maximálním po£tem prvk·. Pokud by N negenerovala celé W , pak by existoval vektor u ∈ W , pro n¥jº u ∈ / hN i. Kaºdá netriviální Pk lineární kombinace ru + s v = 0 je v rozporu bu¤ s u ∈ / hN i, nebo s lineární 1 i i nezávislostí mnoºiny N , tedy N ∪ {u} je lineárn¥ nezávislá podmnoºina W . Má ale k + 1 prvk·, coº je ve sporu s p°edpokládanou maximalitou N . Tedy N generuje podprostor W , který má kone£nou dimenzi k ≤ n = dim V .  D·kaz. V²echny lineárn¥ nezávislé podmnoºiny

závislé podmnoºiny

Podle dal²ího d·sledku lze bázi podprostoru vºdy doplnit na bázi celého prostoru D·sledek 2. Nech´ V je vektorový prostor dimenze n a W jeho podprostor, N báze W . Pak existuje mnoºina M ⊃ N , která je bází V .

W prostor kone£né dimenze a má tudíº V libovolnou bázi M , pak druhá £ást Steinitzova M 0 := {v1 , . . . , vk , uk+1 , . . . , un }, kde uk+1 , . . . , un jsou V . Protoºe |M 0 | = n, musí to být dle D·sledku 1 báze 

D·kaz. Podle p°edchozího lemmatu je

bázi

N = {v1 , . . . , vk }.

Zvolme ve

lemmatu °íká, ºe mnoºina n¥jaké prvky

M,

generuje

V.

Bude se nám hodit roz²í°it pojem elementární úpravy (EÚ) z posloupnosti °ádk· n¥jaké matice na libovolnou posloupnost jakýchkoli vektor·. ekneme, ºe posloupnost vznikne

elementární úpravou

z vektorového prostoru

V

nad

F,

posloupnosti vektor·

M = (v1 , . . . , vm )

pokud má jeden z následujících tvar·:

M1 =(v1 , . . . , vk−1 , vj , vk+1 , . . . , vj−1 , vk , vj+1 , . . . , vm ) M2 =(v1 , . . . , vk−1 , vk + svj , vk+1 , . . . , vm ) M3 =(v1 , . . . , vk−1 , rvk , vk+1 , . . . , vm ) kde

r, s ∈ F, r 6= 0, j, k ∈ {1, . . . , m}, j 6= k .

Tvrzení 19. Nech´ C je posloupnost vektor· ve vektorovém prostoru V nad F a posloupnost D z ní vznikne elementární úpravou. Pak platí (1) lineární obaly C a D jsou stejné (2) C je lineárn¥ nezávislá, práv¥ kdyº D je lineárn¥ nezávislá (3) C je bází V , práv¥ kdyº D je bází V D·kaz. Protoºe EÚ jsou vratné op¥t pomocí EÚ, sta£í dokázat jen to, ºe

kaºdý prvek

V,

který lze vyjád°it jako lineární kombinaci prvk·

i jako lineární kombinaci prvk·

D.

C,

lze vyjád°it

Uvaºujme elementární úpravu typu

2

a

v =

5. BÁZE A DIMENZE

Pm

i=1 ri vi

36

∈ hCi. Pro pohodln¥j²í zápis p°edpokládejme k < j . Pak lze sumu p°epsat

jako

v=

(1)

k−1 X

ri vi + rk (vk + svj ) +

i=1

m X

ri vi + (rj − srk )vj +

ri vi ,

i=j+1

i=k+1

D. Pro ostatní typy EÚ je postup analogický. C . Uvaºme Pn n¥jaké vyjád°ení nulového vektoru ve tvaru lineární kombinace prvk· C : o = i=1 ri vi . Pravou stranu p°epi²me do stejného tvaru jako v rovnici 1. Z lineární nezávislosti D tedy

v

j−1 X

je lineární kombinací vektor· z

Dále ukáºeme, ºe je-li

D

lineárn¥ nezávislá, pak musí být i

plyne, ºe v²echny koecienty v této lineární kombinaci jsou nulové. To ale znamená

ri = 0,

pokud

i

Pkmani j , i=1 ri vi

není

lineární kombinace

dále

rk = 0,

a díky tomu

musí být triviální, a tedy

Ostatní typy EÚ op¥t p°enecháváme £tená°i.

rj = rj − srk = 0. Tedy C je lineárn¥ nezávislá. 

P°íklad 10. Ur£eme dimenzi lineárního obalu mnoºiny

(1, −2, 3, 1), (−2, 4, 0, 1), (0, 0, 2, 1)}

v

R4 .

M = {(3, −6, 1, −1),

Sestavíme matici, která má tyto vektory

jako °ádky, a provád¥jme EÚ:



  1 −2 3 1 1  3 −6 1 −1 0    −2 4 0 1  ∼ 0 0 0 2 1 0    1 1 −2 3 1  0 0 0 2 1 ∼  0 0 6 3  0 0 0 0 −8 −4

−2 0 0 0

 1 −4 ∼ 3 1  3 1 2 1  0 0 0 0 3 −8 6 2

M je LZ. Lineární obal °ádk· se také zahM i je roven lineárnímu obalu LN mnoºiny {(1, −2, 3, 1), (0, 0, 2, 1)}. dimhM i = 2.

ádky poslední matice jsou LZ, tedy i chovává, tedy Proto

−2 0 0 0

KAPITOLA 6

Hodnost matice V této kapitole se vrátíme k maticím a soustavám lineárních rovnic. Elementy matic a koecienty soustav lineárních rovnic budou prvky mnoºiny skalár· V²echny denice z kapitol 2 a 3 z·stávají stejné i pro matice z

Fm×n ,

F.

máme tedy

denován sou£et a sou£in matic, nulovou matici, jednotkovou matici, pojem matice transponované, inverzní, £tvercové a regulární, matice elementární °ádkové úpravy 5. Snadno se zobecní i v²echna tvrzení, která jsme o t¥chto pojmech dokázali, tedy asociativita 4 a distributivita 5 maticových operací, nutná a posta£ující podmínka existence inverzní matice 12 i fakt, ºe Gaussova eliminace dovede kaºdou matici do redukovaného odstup¬ovaného tvaru. Stejn¥ se denují i jádro a obraz matice: Definice 20. Nech´

A

A = (a1 | . . . an ) ∈ Fm×n , kde ai ∈ Fm . Pak jádrem matice

rozumíme podprostor

Ker A = {x ∈ Fn |Ax = o} ≤ Fn a jejím

obrazem

nebo téº

sloupcovým prostorem

pak

Im A = ha1 , . . . , an i ≤ Fm D·kaz, ºe

Ker A

je podprostorem

Fn

je stejný jako v tvrzení 11.

FA . Protoºe FA (x) = Ax =

Im A

Pn

lze de-

i=1 xi ai , je vektor y ∈ Fm v oboru hodnot FA , práv¥ kdyº je v lineárním obalu sloupc· matice A. Transponování p°evádí °ádky na sloupce, m·ºeme proto ozna£it podprostor Im AT ≤ Fn , £ili lineární obal °ádk· matice A, jako její . ƒtve°ici

novat i jako obor hodnot zobrazení

°ádkový prostor

význa£ných podprostor·, jejichº vlastnostmi se v této kapitole budeme zabývat, dopl¬uje

jádro transponované matice Ker AT ≤ Fm .

Elementární °ádkovou úpravu matice lze realizovat násobením elementární maticí zleva. Elementární matice jsou regulární a stejn¥ tak jsou i sou£iny elementárních matic mezi sebou. Následující tvrzení tedy jen zobec¬uje jiº dokázané vlastnosti elementárních úprav, totiº ºe zachovávají mnoºinu °e²ení homogenní soustavy rovnic (tvrzení 8 to °íká dokonce i pro nehomogenní) a °ádkový prostor (první bod tvrzení 19): Tvrzení 20.

(1) (2)

Nech´ A = (a1 | . . . an ) ∈ Fm×n , R ∈ Fm×m regulární. Pak

Ker(RA) = Ker A Im(RA)T = Im AT

D·kaz. Pokud Ax = o, pak RAx = Ro = o, tedy Ker A ⊂ Ker RA. Protoºe R je regulární, existuje k ní inverzní matice R−1 , která je také regulární. Pak Ker RA ⊂ Ker R−1 (RA) = Ker A. Tím je dokázána i opa£ná implikace. Kaºdý °ádek matice RA je lineární kombinací °ádk· matice A s koecienty T v °ádcích matice R, tedy Im(RA) ⊂ Im AT . Druhá inkluze plyne op¥t z A = −1 R (RA). 

Elementární sloupcové úpravy

(ESÚ) lze denovat jako ty, které lze realizovat

násobením elementární maticí zprava. Op¥t je jednodu²²í vzít místo elementární 37

6. HODNOST MATICE

38

matice libovolnou regulární a dokázat, ºe násobení zprava nem¥ní sloupcový prostor a jádro transponované matice: Tvrzení 21.

(1) (2)

Nech´ A = (a1 | . . . an ) ∈ Fm×n , Q ∈ Fn×n regulární. Pak

Ker(AQ)T = Ker AT Im(AQ) = Im A

Na p°íkladu

 je vid¥t, ºe

Im(RA)

a

1 2

Im A

 0 1 1 1

  1 1 = 1 3

0 0

0 0

 1 3

se rovnat nemusejí a stejn¥ tak

Ker(RA)T

a

Ker AT .

ádkové úpravy tedy sloupcový prostor nezachovávají. Ukáºeme ale, ºe zachovávají jeho dimenzi. První £ást tvrzení 20 m·ºeme p°eformulovat jako

Nech´ A = (a1 | . . . an ) ∈ Fm×n , R ∈ P Fm×m regulární. Ozna£me n 0 0 n RA i=1 si ai = o, práv¥ kdyº Pn =: A0 = (a1 | . . . an ). Je-li (s1 , . . . , sn ) ∈ F , pak s a = o . i=1 i i Lemma 3.

0

D·sledek 3.

Nech´ A, A0 jsou dv¥ matice, A ∼ A0 . Pak dim Im A = dim Im A0 .

D·kaz. Z lemmatu 3 plyne, ºe n¥jaká podposloupnost

matice

A,

kde

i1 < . . . < ik ,

(ai1 , ai2 , . . . , aik ) sloupc·

je lineárn¥ nezávislá, práv¥ kdyº je lineárn¥ nezá-

(a0i1 , a0i2 , . . . , a0ik ) sloupc· A0 . Maximální takové 0 lineárn¥ nezávislé podposloupnosti jsou bázemi Im A, resp. Im A , a po£et prvk· 0 takových bází je roven dim Im A = dim Im A . 

vislá odpovídající podposloupnost

V¥ta 3.

Pro kaºdou matici A ∈ Fm×n platí dim Im A = dim Im AT .

A lze p°evést posloupností EÚ na redukovaný odstup¬ovaný A0 . Posloupnost v²ech nenulových °ádk· A0 je lineárn¥ nezávislá, a je tedy Im A0T . Mnoºina v²ech pivotních sloupc· A0 je lineárn¥ nezávislá a nepivotní

D·kaz. Matici

tvar bází

sloupce jsou lineárními kombinacemi sloupc· pivotních. Tedy posloupnost v²ech

Im A0 . Pivotních sloupc· i nenulových °ádk· A0 je stejn¥, 0T 0 tedy dim Im A = dim Im A . Protoºe °ádkové úpravy A ∼ A zachovávají °ádkový T 0T 0 prostor, platí Im A = Im A . Z d·sledku 3 máme dim Im A = dim Im A , celkov¥ T tedy dim Im A = dim Im A .  pivotních sloupc· je bází

0

Na tvrzení je zajímavé, ºe nám dává rovnost dimenzí dvou podprostor· ve dvou obecn¥ r·zných aritmetických vektorových prostorech, protoºe ale

T

Im A ≤ F

n

. Je to vid¥t i na p°íkladu

 A= kde je bází

Im A ≤ Fm ,

1 1

0 0

 1 , 1

Im A jednoprvková posloupnost ((1, 1)) a bází Im AT

posloupnost

((1, 0, 1)).

Jednoduchý d·sledek v¥ty 3 je tedy , ºe pokud jsou v matici v²echny °ádky násobkem jednoho z nich, pak jsou i v²echny sloupce násobkem jednoho z nich.

A ∈ Fm×n . rank(A).

Definice 21. Nech´

nost

matice

A,

zna£íme

Ēslo

dim Im A ≡ dim Im AT

nazýváme

hod-

Nech´ A ∈ Fm×n , R ∈ Fp×m , Q ∈ Fn×q . Pak rank(RA) ≤ rank(A) a pokud p = m a R je regulární, rank(RA) =

Tvrzení 22.

(1) (2) (3)

rank(A) rank(AQ) ≤ rank(A) a pokud n = q a Q je regulární, rank(AQ) = rank(A) rank(A) = rank(AT )

6. HODNOST MATICE

39

RA pat°i do lineárního obalu °ádk· A, musí být rank(RA) ≤ R je regulární, existuje inverzní matice R−1 , která je rovn¥º re−1 gulární. Platí pak rank(R (RA)) ≤ rank(RA), z £ehoº plyne i opa£ná nerovnost. Druhý bod se dokáºe analogicky, t°etí plyne z v¥ty 3.  D·kaz. Protoºe °ádky

rank(A).

Protoºe

D·sledkem tvrzení je nerovnost

rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} a rovnost

rank(ABC) = rank(B),

pro

A, C

regulární.

Hodnost se tedy dá ur£ovat tak, ºe kombinací °ádkových a sloupcových úprav p°evedeme matici do tvaru, v n¥mº je moºné ji ur£it snadn¥ji, typicky do odstup¬ovaného. Hodnost nese o matici a o p°íslu²ném zobrazení mnoho informací:

(1)

Nech´ A ∈ Fn×n . Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní A je regulární

(2)

rank(A) = n

V¥ta 4.

(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

mnoºina v²ech °ádk· A je lineárn¥ nezávislá mnoºina v²ech °ádk· A generuje Fn posloupnost v²ech °ádk· A je bází Fn mnoºina v²ech sloupc· A je lineárn¥ nezávislá mnoºina v²ech sloupc· A generuje Fn posloupnost v²ech sloupc· A je bází Fn

Im A = Fn Ker A = 0 zobrazení FA je prosté zobrazení FA je na zobrazení FA je bijektivní existuje X ∈ Fn×n , pro kterou AX = E . existuje X ∈ Fn×n , pro kterou XA = E .

D·kaz. Dokáºeme °et¥zec implikací, který propojí v²echna tvrzení ob¥ma sm¥ry.

A−1 spl¬ující A−1 A = E . Násobení regulární maticí nem¥ní hodnost a rank(E) = n, tedy rank(A) = n. 2 ⇒ 3 Protoºe dim Im AT = rank(A) = n, tvo°í °ádky A n-prvkovou mnoºinu generátor· vektorového prostoru dimenze n. Ta je podle d·sledku 1 jeho 1⇒2

Je-li

3⇒5

Mnoºina °ádk·

A

regulární, pak existuje regulární matice

bází a tudíº je lineárn¥ nezávislá.

A

je

n-prvková

lineárn¥ nezávislá podmnoºina v

Fn ,

tedy

je dle d·sledku 1 i jeho bází.

4⇒5

Mnoºina °ádk·

A

je

n-prvková

mnoºina generátor·

Fn ,

tedy je dle d·-

sledku 1 i jeho bází.

2⇒6

2 ⇒ 3. Analogicky máme i 6 ⇒ 8 a 7 ⇒ 8. 5 ⇒ 3, 5 ⇒ 4, 4 ⇒ 2, 8 ⇒ 6, 8 ⇒ 7, 7 ⇒ 2 plynou z denic. Také je 7 ⇔ 9 ⇔ 12, 6 ⇔ 10 ⇔ 11. Odtud plyne ekvivalence výrok· 6 aº 12 s výrokem 13. se dokáºe podobn¥ jako Implikace

13 ⇒ 14 14 ⇒ 15 15 ⇒ 4

Plyne z tvrzení 12. Je dokázáno v druhé £ásti d·kazu 12. Z denice regularity matice pak

14 ⇒ 1. XA

ádky

jsou lineárními kombinacemi °ádk· matice

árním obalu °ádk· libovolný vektor

A

A,

lze tedy v line-

najít libovolný vektor kanonické báze

Fn

a tedy i

Fn . 

6. HODNOST MATICE

V¥ta 5 (O dimenzi jádra a obrazu).

40

Nech´ A ∈ Fm×n . Pak

dim Ker A + dim Im A = n D·kaz. Pro nulovou matici je tvrzení triviální, p°edpokládejme tedy

Matici

A

A 6= 0.

je moºné p°evést pomocí EÚ do redukovaného odstup¬ovaného tvaru,

Ker A, tak dim Im A. Dále vynechejme v²echny nulové °ádky Ker A ani dim Im A nezm¥ní) a ozna£me výslednou matici A0 . Ozna£me k1 < k2 < . . . < kr sloupcové indexy pivotních sloupc· A0 , tedy a0ki = ei ∈ Fr . Ozna£me sloupcové indexy nepivotních sloupc· j1 < j2 < . . . < jp , a tyto sloupce n 0 samotné ci := aj . Uvaºujme vektor x ∈ F , jehoº sloºky s indexy j1 aº jp jsou i 0 zvoleny libovoln¥. Pokud A x = 0, pak

tím se zachovává jak (ani tím se

r X

xks es +

s=1

p X

xjq cq = o,

q=1

neboli



xk 1



p X  ..  x j q cq  . =− q=1 xkr

x. Denujme pro kaºdé i ∈ {1, . . . , p} vektor ui ∈ Fn tak, ºe pro kaºdé q ∈ {1, . . . , p} je jeho jq -tá sloºka rovna q -té sloºce vektoru ei ∈ Fp , a pro kaºdé Pp s ∈ {1, . . . , r} je jeho ks -tá sloºka rovná s-té r sloºce vektoru −ci ∈ F . Pak x = x u , tedy posloupnost M = (u1 , . . . , up ) q=1 Pp jq q 0 generuje Ker A . Zárove¬, pokud by q = o, musí být kaºdý koecient yq q=1 yq uP p roven nule, nebo´ se rovná jq -té sloºce vektoru q=1 yq uq . Tedy M je lineárn¥ nezá0 0 vislá. Musí být tedy bází Ker A, dim Ker A = p. Protoºe dim Im A = r a p + r = n, dostáváme odtud tvrzení v¥ty. 

Tím jsou ur£eny v²echny zbývající sloºky vektoru

Konstrukce báze

A0

M

je názorn¥j²í, pokud

ks = s, jq = r + q ,

tedy pokud jdou v

nejprve sloupce pivotní a pak nepivotní:



1 0  0 1  A0 =  .  .. 0 0

... ...

0 0

c11 c21

..

.

. . .

. . .

...

1

cr1

c12 c22 cr2

 . . . c1p . . . c2p    . .. .  . . . . . crp

Báze jádra pak má tvar

M = {(−c11 , −c21 , . . . , − cr1 , 1, 0, . . . , 0) (−c12 , −c22 , . . . , − cr2 , 0, 1, . . . , 0) . . .

(−c1p , −c2p , . . . , − crp , 0, 0, . . . , 1)} Dimenze jádra

A se nazývá nulita

(téº

defekt ) matice, zna£í se n(A). V¥ta o dimenzi

jádra a obrazu je proto známá téº pod názvem v¥ta o hodnosti a nulit¥:

∀A ∈ Fm×n : rank(A) + n(A) = n Plyne z ní nap°íklad Tvrzení 23.

Nech´ A ∈ Rm×n . Pak Ker AT A = Ker A a rank AT A = rank A. Ax = o, pak jist¥ AT Ax = o, tedy Ker A ≤ Ker AT A. Pokud x AT Ax = 0. Ozna£me y := Ax, pak yT = xT AT a tedy 0 = Musí tedy být y = 0, neboli x ∈ Ker A. Tím je dokázána druhá

D·kaz. Pokud

T

A Ax = Pom, pak yT y = i=1 yi2 .

T

6. HODNOST MATICE

inkluze. Protoºe po£et sloupc·

AT A

41

je stejný jako po£et sloupc·

A,

plyne odsud



rovnost hodností. Tvrzení platí jen pro

reálné matice. Kde selºe d·kaz pro A ∈ Cm×n ? Jak by

se muselo upravit tvrzení, aby d·kaz pro²el? Pomocí hodnosti matice se dá také formulovat kritérium °e²itelnosti SLR:

Nech´ A ∈ Fm×n , b ∈ Fm . Soustava Ax = b má °e²ení, práv¥ kdyº rank(A) = rank(A|b). V¥ta 6 (Frobeniova).

D·kaz. Soustava má °e²ení, práv¥ kdyº je

Im(A|b) = Im(A).

Protoºe

Im A ≤ Im(A|b),

b ∈ Im A,

coº nastává práv¥ kdyº

nastane toto práv¥ kdyº se rovnají



dimenze.

Pomocí hodnosti se dá formulovat i to, kolik °e²ení soustava má. Víme, ºe mnoºina v²ech °e²ení soustavy

Ax = b

je anní podprostor

Fn

ve tvaru

xP + Ker A Z v¥ty o hodnosti a nulit¥ víme, ºe dimenze

Ker A

je

n − rank(A).

KAPITOLA 7

Reprezentace vektoru a lineárního zobrazení V denici 18 jsme zavedli pojem báze a reprezentace vektoru v·£i bázi. Repre-

B = (v1 , . . . , vn ) prostoru PnV nad F dimenze n lze chápat [ ]B : V → Fn , které vektoru v = i=1 ri vi ∈ V p°i°adí aritmetický   r1  r2    [v]B :=  .  ∈ Fn  ..  rn

zentaci vzhledem k bázi jako zobrazení vektor

Toto zobrazení spl¬uje d·leºitou vlastnost: Tvrzení 24. Nech´ V je vektorový prostor F kone£né dimenze, B jeho báze, u, v ∈ V , r, s ∈ F. Pak [ru + sv]B = r[u]B + s[v]B . Pn Pn D·kaz. Nech´ B = (v1 , . . . , vn ), u = i=1 ri vi , v = i=1 si vi . Pak " n # " #B B n n X X X B [ru + sv] = r ri vi + s si vi = (rri + ssi )vi =

i=1

i=1

i=1 T

T

= (rr1 + ss1 , . . . , rrn + ssn ) = r(r1 , . . . , rn ) + s(s1 , . . . , sn )T = r[u]B + s[v]B  Stejnou vlastnost jsme vid¥li poprvé v tvrzení 3 v první kapitole, kde se týkala zobrazení ortogonální projekce

Px , a posléze i u dal²ích zobrazení. Denujme ji nyní

obecn¥:

V , W jsou dva ∀r, s ∈ F, ∀u, v ∈ V

Definice 22. Nech´

zobrazení spl¬ující

vektorové prostory nad

F

a

f :V →W

je

f (ru + sv) = rf (u) + sf (v) Takové

f

nazýváme

Ozna£me

oV

lineární zobrazení.

nulový vektor ve

V

a

oW

nulový vektor ve

W.

D·sledek 4. Nech´ V , W jsou dva vektorové prostory nad F a f : V → W je lineární zobrazení. Pak

(1) (2) (3) (4)

∀u, v ∈ V : f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u ∈ V , ∀r ∈ F: f (ru) = rf (u). f (oV ) = oW ∀v ∈ V : f (−v) = −f (v)

D·kaz. Volíme v denici lineárního zobrazení postupn¥ r = s = 1; s = 0; r = s = 0; r = 0, s = −1 a vyuºíváme základní vlastnosti vektorového prostoru.  P°íklady 2. Krom¥

[ ]B

a p°íklad· uvedených v první kapitole uve¤me je²t¥

n¥kolik dal²ích:



Pokud

A ∈ Fm×n

FA : Fn → Fm FA (x) = Ax, je lineární.

je matice, pak zobrazení

jako v první kapitole p°edpisem

42

zavedené stejn¥

7. REPREZENTACE VEKTORU A LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ



Zobrazení vý²e m·ºeme snadno zobecnit na zobrazení

43

f : Fn×k → Fm×k ,

f (X) = AX mezi prostory matic. g : P n (x, R) → P n−1 (x, R), které p°i°azuje polynomu p(x) jeho d první derivaci dx p(x), je také lineární. • Zobrazení h : F (R, R) → R, které p°i°azuje funkci φ ∈ F (R, R) její hodnotu v n¥jakém bod¥, nap° h(φ) = φ(7), je rovn¥º lineární.



Zobrazení

f : Fn → Fm m·obrazem i-tého vektoru

V úvodní kapitole jsme vyvodili, ºe lineárnímu zobrazení ºeme p°i°adit matici kanonické báze, tedy

A = (a1 | . . . |an ), jejíº i-tý sloupec je f (ei ) = ai . Tuto úvahu m·ºeme roz²í°it

na obecné lineární

zobrazení:

V , W jsou dva vektorové prostory nad F, f : V → W je B = (v1 , . . . , vn ) je báze V , C = (w1 , . . . , wm ) je báze W . Pak

Definice 23. Nech´

lineární zobrazení, matici

 C C C [f ]C B := [f (v1 )] [f (v2 )] . . . [f (vn )] nazýváme

reprezentací lineárního zobrazení f vzhledem k bázím B a C . B

Zvolíme-li za

(e1 , . . . , em )

v

m

F

a

C

kanonické báze

Kn = (e1 , . . . , en )

v

Fn ,

resp.

Km =

, vidíme, ºe

Km m [f ]K |[f (e2 )]Km | . . . |[f (en )]Km ) = (f (e1 )|f (e2 )| . . . |f (en )) Kn = ([f (e1 )] Pro zobrazení

FA

mezi aritmetickými vektorovými prostory je tedy matice

zobrazení podle denice v první kapitole rovna reprezentaci

m [FA ]K Kn

A tohoto FA

zobrazení

vzhledem ke kanonickým bázím.

d p(x), g : P 2 (x, R) → P 1 (x, R), g(p(x)) = dx 2 2 1 a báze B = {1, x, x } ⊂ P (x, R), C = {1, x} ⊂ P (x, R). Reprezentace obecného 2 prvku prostoru P (x, R) vzhledem k bázi B je   c [ax2 + bx + c]B =  b  a P°íklad 11. Uvaºujme zobrazení

Obrazy prvk· báze

B

(£ili derivace monom·) jsou

g(1) = 0,

g(x) = 1,

a jejich reprezentace vzhledem k bázi

  0 C [g(1)] = , 0 tedy reprezentace

g

C

jsou

  1 [g(x)] = , 0 C

vzhledem k

B

a

C

je

  0 [g(x )] = , 2   0 1 0 C [g]B = . 0 0 2



Pokud

Kn

kanonické:

x1 x2



1 7→  1 −2

2

C

FA : R2 → R3 ,  1   x 0 1 ≡ Ax x2 1

P°íklad 12. Uvaºujme lineární zobrazení



g(x2 ) = 2x

dané p°edpisem

3 Fn , pak [FA ]K K2 = A. Zvolme T T T B = ((1, 2) , (1, 3) ), C = ((1, 1, 0) , (1, 0, 0)T , (1, 0, 1)T ).         3 4 1 1 FA = 1 , FA = 1 2 3 0 1

ozna£uje kanonickou bázi v

jiné báze neº Ur£íme

7. REPREZENTACE VEKTORU A LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ

Zbývá najít reprezentaci obou vektor· vzhledem k



1 1 1  1 0 0 0 0 1



3 1 0



4 1 0 0 1 ∼ 0 1 0 1 0 0 1

44

C 

 1 1  2  ⇒ [FA ]C 2 = B 1 0

1 2 0

 1 2 1

Tvrzení 25. Nech´ V , W jsou dva vektorové prostory nad F, f : V → W lineární zobrazení, B báze V , C báze W , v ∈ V . Pak

B [f (v)]C = [f ]C B [v]

. D·kaz. Ozna£me

[v]

B

B = (v1 , . . . , vn ) a zapi²me v =

Pn

i=1 ri vi , kde

(r1 , . . . , rn )T =

, pak

" [f (v)]C =

n X

#C ri f (vi )

=

i=1 Nejprve jsme vyuºili linearitu

n X

B ri [f (vi )]C = [f ]C B [v]

i=1

f , pak linearitu [ ]C

a nakonec denici sou£inu matice



a vektoru. Bijektivní lineární zobrazení se nazývá

izomorsmus.

setkali uº v kapitole 3, a ve v¥t¥ 4 jsme ukázali, ºe

A

FA

S tímto pojmem jsme se

je izomorsmus, práv¥ kdyº

je regulární matice. To se dá snadno zobecnit. Nejprve ale pot°ebujeme dokázat

n¥které vlastnosti izomorsm·: Tvrzení 26. Nech´ V, W jsou vektorové prostory nad F, f : V → W je izomorsmus a (v1 , . . . , vn ) je posloupnost vektor· ve V . Pak (1) (v1 , . . . , vn ) je lineárn¥ nezávislá, práv¥ kdyº (f (v1 ), . . . , f (vn )) je lineárn¥ nezávislá. (2) (v1 , . . . , vn ) generuje V , práv¥ kdyº (f (v1 ), . . . , f (vn )) generuje W . (3) (v1 , . . . , vn ) je báze V , práv¥ kdyº (f (v1 ), . . . , f (vn )) je báze W .

V nulový vektor ve V a oW nulový vektor ve W . Pokud Pn D·kaz. Ozna£me oP n r v = o , pak i V i=1 i i i=1 ri f (vi ) = oW . Je-li tedy (f (v1 ), . . . , f (vk )) lineárn¥ nezávislá, musí být v²echna ri = 0, tedy (v1 , . . . , vk ) je také lineárn¥ nezávislá. Nech´ Pn Pn naopak i=1 ri f (vi ) = oW , pak z linearity zobrazení Pn f plyne f ( i=1 ri vi ) = oW . Protoºe také f (oV ) = oW a f je prosté, musí být i=1 ri vi = oV . Je-li (v1 , . . . , vn ) lineárn¥ nezávislá, znamená to, ºe v²echna ri jsou nulová, tedy i (f (v1 ), . . . , f (vn )) je lineárn¥ nezávislá. Tím jsme ukázali ob¥ implikace, které dohromady dávají tvrzení v prvním bod¥.

f je na, existuje ke kaºdému w ∈ W vektor v ∈ V takový, Pn ºe f (v) = w. (v1 , . . . , vn ) generuje V , P pak existují ri taková, ºe v = i=1 ri vi . Pak ale n z linearity dostáváme, ºe w = r f (v ) , tedy (f (v ), . . . , f (v generuje W . i 1 n )) P i=1 Pni n Naopak, je-li v ∈ V , w = f (v) a w = r f (v ) , pak z linearity f (v− i i=1 i P i=1 ri vi ) = n oW . Protoºe f je prosté, znamená to, ºe v = i=1 ri vi , tedy (v1 , . . . , vn ) generuje V . Tím je dokázán druhý bod. T°etí bod plyne z prvního a druhého.  Protoºe

Pokud

D·sledek 5. Nech´ V , W jsou dva vektorové prostory nad F a f : V → W je izomorsmus. Pak dim V = dim W . D·kaz. Ze t°etího bodu tvrzení 26 plyne, ºe pokud je ve

V

nebo ve

W

kone£ná

báze, pak je v druhém z prostor· také kone£ná báze o stejném po£tu prvk·. Pokud ani v jednom z prostor· kone£ná báze není, pak

dim V = dim W = ∞.



Tvrzení 27. Nech´ V , W jsou dva vektorové prostory nad F kone£né dimenze, f : V → W lineární zobrazení. Pak jsou následující výroky ekvivalentní:

7. REPREZENTACE VEKTORU A LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ

(1) (2) (3)

45

f je izomorsmus

Pro v²echny dvojice bází B ⊂ V , C ⊂ W je [f ]C B regulární Pro n¥kterou dvojici bází je B ⊂ V , C ⊂ W je [f ]C B regulární

f izomorsmus, pak je to i prosté zobrazení, platí tedy f (v) = v = oV . Zvolme bázi B ∈ V a C ∈ W , pak z d·sledku 5 plyne, ºe po£et C m prvk· B a C je stejný, ozna£me jej n. Platí f (v) = oW práv¥ kdyº [f (v)] = o ∈ F B n C C B a v = oV práv¥ kdyº [v] = o ∈ F . Tedy [f (v)] ≡ [f ]B [v] = o, práv¥ kdyº [v]B = o, neboli Ker[f ]C = 0. Protoºe matice [f ]C B B je £tvercová, plyne z toho na základ¥ tvrzení 4, ºe je i regulární. Tím je dokázána implikace 1 ⇒ 2. Implikace n×n 2 ⇒ 3 je z°ejmá, zbývá dokázat 3 ⇒ 1. Pokud [f ]C , B je regulární matice z F C C n pak z tvrzení 4 vyplývá Ker[f ]B = 0 a Im[f ]B = F . Z první vlastnosti plyne, ºe [f (v)]C = o, práv¥ kdyº [v]B = o, tedy f (v) = oW práv¥ kdyº v = oV , tedy f je n n C prosté. Z druhé víme, ºe ke kaºdému y ∈ F existuje x ∈ F takový, ºe y = [f ]B x. B Protoºe ke kaºdému x existuje v ∈ V takový, ºe x = [v] , plyne z toho, ºe pro n C kaºdý y ∈ F existuje v ∈ V takové, ºe [f (v)] = y. Pokud y = [w]C pro n¥jaký C C w ∈ W , pak [f (v)] = [w] a tedy i f (v) = w. Zobrazení f je tudíº nejen prosté, ale také na, je to tedy izomorsmus.  D·kaz. Pokud je

oW

pouze pro

Aplikujme tvrzení 26 na

[ ]B : V → Fn :

D·sledek 6. Nech´ (v1 , . . . , vk ) je posloupnost vektor· ve vektorovém prostoru V dimenze n a B je báze V . Pak

(1) (2) (3)

(v1 , . . . , vk ) je LN, práv¥ kdyº ([v1 ]B , . . . , [vk ]B ) je LN. (v1 , . . . , vk ) generuje V , práv¥ kdyº ([v1 ]B , . . . , [vk ]B ) generuje Fn . (v1 , . . . , vk ) je báze V , práv¥ kdyº ([v1 ]B , . . . , [vk ]B ) báze Fn .

Tento d·sledek nám umoº¬uje p°evést mnoho výpo£t· na hledání hodnosti n¥jaké matice. Nap°íklad

{x2 + x + 1, x2 + 2x − 1, 2x2 − 5x + 3} je LN ⇔         1 2  1 1 1  1 1 ,  2  , −5 je LN ⇔ rank 1 2 −1 = 3   −1 3 2 −5 3 1 Definice 24. Nech´

f :V →W

je lineární zobrazení. Pak mnoºina

Ker f = {v ∈ V |f (v) = o} se nazývá

jádro zobrazení f

a mnoºina

Im f = {w ∈ W |∃v ∈ V : f (v) = w} se nazývá

obraz zobrazení f .

Denice je stejná, jako jsme m¥li pro jádro a obraz zobrazení mezi aritmetic-

Ker FA = Ker A, tedy mnoºina Im FA = Im A, tedy sloupcový prostor

kými vektorovými prostory. Víme uº, ºe tam je v²ech °e²ení homogenní SLR s maticí matice

A,

a

A.

Pokud

M

je mnoºina vektor· z

obraz· mnoºiny vektor· z

M

M

v zobrazení

vzhledem k bázi

f.

V , zavedeme ozna£ení f (M ) pro mnoºinu v²ech B Speciáln¥ [M ] je mnoºina reprezentací v²ech

B.

Tvrzení 28. Nech´ f : V → W je lineární zobrazení, B = (v1 , . . . , vn ) báze V , C = (w1 , . . . , wm ) báze W . Pak

[Ker f ]B = Ker[f ]C B,

[Im f ]C = Im[f ]C B

7. REPREZENTACE VEKTORU A LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ

x ∈ [Ker f ]B , f (v) = oW , coº

D·kaz. Platí

stává práv¥ kdyº

práv¥ kdyº

v :=

je ekvivalentní s

46

Pn

i=1 xi vi ∈ Ker f . To zase naB [f (v)]C = o neboli [f ]C B [v] = o.

x = [v]B , je tím dokázána první £ást tvrzení. C C Vektor y pat°í do [Im f ] , práv¥ kdyº existuje v ∈ V takový, ºe [f (v)] = y. C C B C Protoºe [f (v)] = [f ]B [v] , znamená to rovn¥º, ºe y ∈ Im[f ]B . Tím je dokázána druhá £ást tvrzení.  Protoºe

Bude-li zobrazení

f

ve vztahu

B [f (v)]C = [f ]C B [v]

identita

Id : V → V ,

dostá-

váme z n¥j rovnost

která téhoº

B [v]C = [Id]C B [v] , vyjad°uje reprezentaci vektoru v vzhledem vektoru vzhledem k bázi B .

Definice 25. Nech´

V.

Matice

n×n [Id]C B ∈F

V

k bázi

je vektorový prostor nad

se nazývá

F

C

pomocí reprezentace

dimenze

n, B, C

matice p°echodu od báze C k bázi B .

jsou báze

Id je izomorsmus, je podle tvrzení 27 [Id]C B regulární matice. Ze vztahu B [Id]C [v]C vzniklého vým¥nou bází dostáváme, ºe ∀v ∈ V platí C B [v]B = [Id]B C [Id]B [v]

Protoºe

B

[v] =

v i-tý prvek báze B , máme na levé C ei a na pravé i-tý sloupec matice [Id]B C [Id]B . Ta je tudíº rovna jednotE . Z posledního bodu tvrzení 4 pak plyne, ºe [Id]C B je regulární matice

Pokud do první rovnosti dosadíme za vektor stran¥ vektor kové matici a

[Id]B C

je k ní matice inverzní.

P°íklad 13. Spo£t¥me matici p°echodu od báze C = {(0, 1), (−1, 1)} k bázi B = {(1, 2), (1, 3)} v R2 . Zobrazíme pomocí Id prvky B a hledáme jejich reprezentaci vzhledem k C , tj. °e²íme     1 0 3 4 0 −1 1 1 ∼ 1 1 2 3 0 1 −1 −1   3 4 C . Otestujme p°íkladem: Hledaná matice p°echodu je tedy [Id]B = −1 −1   1 reprezentace vektoru v = jsou 2     3 1 [v]C = , [v]B = −1 0

a skute£n¥ platí

B [Id]C B [v] =



3 −1

4 −1



1 0



 =

3 −1



= [v]C

KAPITOLA 8

Lineární zobrazení Nech´

V, W

jsou vektorové prostory nad

lineární zobrazení a obraz

f :V →W

Im f ≤ W .

Lineární zobrazení mezi dv¥ma vektorovými prostory kone£né

dimenze je moºné reprezentovat maticí

W . Jádro a obraz zobrazení f

báze

F. V p°edchozí kapitole jsme denovali Ker f ≤ V

a dva podprostory s ním spojené, jádro

[f ]C B,

B

kde

je n¥jaká báze

V

a

C

je n¥jaká

je moºné vyjád°it pomocí jádra a obrazu matice

[f ]C B. g : V → W.

Uvaºujme nyní dal²í lineární zobrazení

f +g :V →W

zobrazení

Sou£et zobrazení

f

a

g

je

denované p°edpisem

∀v ∈ V : (f + g)(v) := f (v) + g(v) Pro

r∈F

je

r-násobek f

zobrazení

rf : V → W

denované

∀v ∈ V : (rf )(v) := rf (v) Snadno se ov¥°í, ºe jak

f + g,

tak

rf

jsou také lineární zobrazení.

Tvrzení 29. Nech´ V, W jsou vektorové prostory kone£né dimenze nad F, B je báze V , C je báze W , f, g : V → W lineární zobrazení, r ∈ F. Pak

C C [f + g]C B = [f ]B + [g]B , D·kaz. Nech´

[f +

g]C B

B = (v1 , . . . , vn ). C

= ([(f + g)(v1 )]

C [rf ]C B = r[f ]B

Pak z denic plyne

| . . . | [(f + g)(vn )]C )

= ([f (v1 ) + g(v1 )]C | . . . | [f (vn ) + g(vn )]C ) C = ([f (v1 )]C + [g(v1 )]C | . . . | [f (vn )]C + [g(vn )]C ) = [f ]C B + [g]B Podobn¥

C C C [rf ]C B = ([rf (v1 )] | . . . | [rf (vn )] ) = r[f ]B

 Je-li

U

dal²í vektorový prostor nad

F

h : U → V lineární zobrazení, f ◦ h : U → W je také lineární.

a

op¥t jednodu²e ov¥°it, ºe sloºené zobrazení

pak lze

Tvrzení 30. Nech´ U, V, W jsou vektorové prostory kone£né dimenze nad F, D je báze U , B je báze V , C je báze W , f : V → W , h : U → V lineární zobrazení.

Pak

C B [f ◦ h]C D = [f ]B [h]D D·kaz. Nech´

D = (u1 , . . . , up ), u ∈ U . C

C

[(f ◦ h)(u)] = [f (h(u))] =

[f ]C B

Pak

B D [h(u)]B = [f ]C B [h]D [u]

u i-tý prvek báze D, dostáváme, ºe i-tý sloupec [(f ◦ h)(ui )]C , tedy i-tému sloupci matice [f ◦ h]C D.

Dosadíme-li za vektor

B [f ]C B [h]D

je roven

f

a



f ◦ h je rovna sou£inu matic reh. Speciáln¥ odtud plyne transforma£ní formule pro reprezentaci

Jinými slovy reprezentace sloºeného zobrazení prezentujících

matice

lineárního zobrazení :

47

8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ

48

Nech´ V, W jsou vektorové prostory kone£né dimenze nad F, B, B 0 jsou báze V , C, C jsou báze W , f : V → W . Pak Tvrzení 31.

0

0

0

C C B [f ]C B 0 = [Id]C [f ]B [Id]B 0 D·kaz. Sta£í pouºít tvrzení 30 na sloºení t°í lineárních zobrazení

Id ◦f ◦ Id:

0

0

0

C C B C [f ]C B 0 = [Id ◦f ◦ Id]B 0 = [Id]C [f ]B [Id]B 0 ,

 P°íklad 14. V minulé kapitole jsme m¥li zobrazení

tacemi



1 3 1 [F ]K = K2 −2 kde

B = ((1, 2)T , (1, 3)T ), C  1 1 3 1 0 [Id]K = C 0 0

m·ºeme ov¥°it

 1 0 , 1

 1  2 [F ]C = B 0

F : R2 → R3  1 2 , 1

s reprezen-

= ((1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T , (1, 0, 1)T ). Protoºe   1  −1  3 −1 K2 0 , [Id]B = [Id] = , K2 B −2 1 1

K3 C B 3 [Id]K C [F ]B [Id]K2 = [F ]K2 dosazením:      1 1 1  1 1 1 1 0 0 2 2 3 −1 =  1 −2 1 −2 0 1 0 0 1

 1 0 1

Lineárnímu zobrazení f : V → W se °íká také homomorsmus vektorových prostor· V a W . Zobrazení, pro které V = W , tedy se stejným zdrojovým a cílovým 0 prostorem, se nazývá endomorsmus vektorového prostoru V . Pokud B, B jsou dv¥ báze

V , ozna£me 0 • R := [Id]B B 0 matici p°echodu od B k B B • A := [f ]B matici endomorsmu vzhledem k bázi B . 0 0 • A0 := [f ]B B 0 matici endomorsmu vzhledem k bázi B .

Pak dostáváme

transforma£ní formuli pro matici endomorsmu : 0

0

B B B −1 A0 = [f ]B AR B 0 = [Id]B [f ]B [Id]B 0 = R Dv¥ matice nazývají

A0 , A,

pro n¥º existuje regulární matice

R

taková, ºe

A0 = R−1 AR,

se

podobné. Podobnost je relace ekvivalence. Charakterizovat t°ídy této ekvi-

valence, a tedy um¥t poznat, zda jsou dv¥ matice podobné, se nau£íme v kapitole o Jordanov¥ tvaru. P°ipome¬me z minula, ºe izomorsmus je bijektivní lineární zobrazení. Sloºením dvou izomorsm· je op¥t izomorsmus. Inverzní zobrazení k izomorsmu

f : V → W

díky bijektivit¥ existuje a je také bijektivní. Abychom ukázali jeho

linearitu, denujme pro n¥jaké Pak pro

w1 , w2 ∈ W

vektory

v1 = f −1 (w1 )

a

v2 = f −1 (w2 ).

r, s ∈ F f (rv1 + sv2 ) = rf (v1 ) + sf (v2 ) = rw1 + sw2 , f

−1

(rw1 + sw2 ) = rv1 + sv2 = rf

−1

(w1 ) + sf

−1

tedy

(w2 ).

Dva vektorové prostory, mezi nimiº existuje izomorsmus, se nazývají

izomorfní.

Izomorfnost je relace ekvivalence vektorových prostor·. Uº v d·sledku 5 jsme ukázali, ºe izomorfní vektorové prostory mají stejnou dimenzi. V následující v¥t¥ ukáºeme, ºe pro vektorové prostory kone£né dimenze platí i opa£ná implikace. V¥ta 7. Dva vektorové prostory V, W nad F kone£né dimenze jsou izomorfní, práv¥ kdyº mají stejnou dimenzi.

8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ

D·kaz. Pokud

dim V = dim W =: n,

49

pak zvolme bázi

B

ve

V,

bázi

C

ve

W

a

ozna£me

g := [ ]B : V → Fn h := [ ]C : W → Fn Protoºe

gih

jsou izomorsmy, jsou izomorsmem i zobrazení

h−1 : Fn → W h−1 ◦ g : V → W Tedy

V

a

Nech´ z

V

do

W

W



jsou izomorfní.

V, W

jsou dva vektorové prostory nad

F.

Mnoºina v²ech homomorsm·

je vektorový prostor s operacemi sou£tu homomorsm· a násobení ho-

momorsmu skalárem z

F,

zna£í se

Hom(V, W ).

Ov¥°ení, ºe je spln¥na denice 11

necháváme na £tená°i. V¥ta 8.

Pokud dim V = n a dim W = m, pak dim Hom(V, W ) = mn.

D·kaz. Zvolme ve

V

bázi

[

]C B

B

a v

W

bázi

C.

Zobrazení

: Hom(V, W ) → Fm×n ,

f jeho reprezentaci [f ]C B , je lineární a bijektivní, tedy m×n izomorsmus. Protoºe prostor F má bázi nap°íklad {Eij |i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n} o mn prvcích, je dim Fm×n = mn a tedy také dim Hom(V, W ) = mn.  které p°i°azuje homomorsmu

Vektorový prostor v²ech endomorsm· prostoru zna£í symbolem slovem

End(V ), dim End(V ) = n2 .

V

se místo

Hom(V, V )

£ast¥ji

Prostý homomorsmus se ozna£uje

monomorsmus, pokud je na, pak mu °íkáme epimorsmus.

V¥ta 9 (O zadání homomorsmu hodnotami na bázi). Nech´ V, W jsou vektorové prostory nad F, B = (v1 , . . . , vn ) je báze V a M = (w1 , . . . , wn ) posloupnost vektor· ve W . Pak existuje práv¥ jeden f ∈ Hom(V, W ) takový, ºe

f (v1 ) = w1 ,

f (v2 ) = w2 ,

...,

f (vn ) = wn

Navíc f je monomorsmus, práv¥ kdyº M je lineárn¥ nezávislá a f je epimorsmus, práv¥ kdyº M generuje W . Pn v ∈ V , x := [v]B , pak denujme f (v) := i=1 xi wi . D·kaz, ºe f je homomorsmus ♣, stejn¥ tak d·kaz jednozna£nosti a ekvivalentní podmínky mono-/epimorsmu.  D·kaz. Je-li

V následující v¥t¥ nemusíme p°edpokládat, ºe vektorové prostory mají kone£nou dimenzi. V¥ta 10. Nech´ U, V, W jsou vektorové prostory nad F, f ∈ Hom(V, W ), g ∈ Hom(U, V ). Platí (1) f je monomorsmus, práv¥ kdyº Ker f = 0 (2) f je epimorsmus, práv¥ kdyº Im f = W (3) Jsou-li f, g monomorsmy, pak je f ◦ g monomorsmus. (4) Jsou-li f, g epimorsmy, pak je f ◦ g epimorsmus. (5) Je-li f ◦ g monomorsmus, je g monomorsmus. (6) Je-li f ◦ g epimorsmus, je f epimorsmus. D·kaz. Pokud pro v1 , v2 ∈ V platí f (v1 ) = f (v2 ), je f (v1 − v2 ) = oW a tedy v1 − v2 ∈ Ker f . Tedy Ker f = 0 znamená, ºe v1 = v2 , £ili f je monomorsmus. Naopak pokud f je monomorsmus, nem·ºe být vzorem oW jiný vektor neº oV , tedy Ker f = 0. Tím jsme ov¥°ili první bod, druhý plyne z denic.

8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ

f (g(v)) = oW , pak g(v) = oV , a je-li i g mov = oU . S vyuºitím prvního bodu odtud plyne t°etí bod. Podobn¥, je-li w ∈ W a f je epimorsmus, pak existuje v ∈ V takový, ºe f (v) = w . Je-li g epimorsmus, pak existuje u ∈ U takový, ºe g(u) = v . Celkov¥ tedy pro kaºdý w ∈ W existuje u ∈ U takový, ºe (f ◦ g)(u) = w , £ímº je dokázán £tvrtý bod. Pro pátý bod si sta£í uv¥domit, ºe pokud g není monomorsmus, tedy dle prvního bodu existuje nenulový u ∈ U takový, ºe g(u) = oV , pak i (f ◦ g)(u) = oW , tedy i f ◦ g má nenulové jádro. Podobn¥ ²estý bod vyplývá z toho, ºe vektor, který není v obrazu f , nem·ºe být ani v obrazu f ◦ g .  Pokud

f

50

je monomorsmus a

nomorsmus, musí být

V¥ta 11 (O dimenzi jádra a obrazu).

F, dim V = n, f ∈ Hom(V, W ). Pak

Nech´ V, W jsou vektorové prostory nad

dim Ker f + dim Im f = n D·kaz. Argumentace je jednodu²²í, pokud p°edpokládáme, ºe

Zvolíme-li bázi

B

ve

V

a bázi

C

ve

W,

dim W < ∞.

pak

dim Ker f = dim[Ker f ]B = dim Ker[f ]C B dim Im f = dim[Im f ]C = dim Im[f ]C B Protoºe

n

je rovno po£tu sloupc· matice

[f ]C B,

plyne tvrzení z v¥ty o hodnosti a



nulit¥ pro tuto matici.

Ker f nazýváme nulitou homomorsmu f , zna£íme n(f ). Dimenzi Im f hodností homomorsmu f , zna£íme rank(f ). P°edchozí v¥ta se tedy dá

Dimenzi nazýváme

nazývat i v¥tou o hodnosti a nulit¥ homomorsmu. Plyne z ní Tvrzení 32. Nech´ V je vektorový prostor nad F kone£né dimenze, f ∈ End(V ). Je-li f mono- nebo epimorsmus, pak uº musí být i izomorsmem.

f je monomorsmus, je Ker f = 0, tedy n(f ) = 0. Pak ale dim Im f = dim V . Musí být proto Im f = V , neboli f je epimorsmus a tudíº i izomorsmus. Pokud f je epimorsmus, má d·kaz tytéº kroky, jen v opa£ném po°adí.  D·kaz. Pokud

rank(f ) = n,

tedy

Izomorsmus

f ∈ End(V )

se nazývá

automorsmem

prostoru

V.

KAPITOLA 9

Determinant V první kapitole jsme se dotkli souvislosti vektorového sou£inu a ur£ení objemu rovnob¥ºníka a rovnob¥ºnost¥nu. Ve cvi£ení 1 jsme zavedli veli£inu

V (x, y, z) := (x × y).z ≡

3 X 3 X 3 X

εijk xi yj zk ,

i=1 j=1 k=1 ur£enou trojicí vektor·

x, y, z ∈ R3 .

Ukázali jsme, ºe její absolutní hodnota udává

objem rovnob¥ºnost¥nu ur£eného vektory

3

3

x, y, z ∈ R3 .

D·kaz byl zaloºen na tom,

3

V : R × R × R → R má následující vlastnosti: (1) V (rx1 + sx2 , y, z) = rV (x1 , y, z) + sV (x2 , y, z) (2) V (x, y, z) = −V (y, x, z) = V (y, z, x) (3) V (e1 , e2 , e3 ) = 1 První vlastnost, linearita, je hned vid¥t z denice V . Druhá vyplývá z toho, ºe εijk = −εjik = εjki pro v²echny moºné trojice index· i, j, k ∈ {1, 2, 3}. Pokud

ºe zobrazení

zobrazení p°i vým¥n¥ prom¥nných v n¥jaké dvojici argument· zm¥ní znaménko,

antisymetrické. Je-li antisymetrické v kaºdé úpln¥ antisymetrické. Poslední vlastnost platí,

°íkáme, ºe je v této dvojici argument· dvojici argument·, °íkáme, ºe je

ε123 = 1. Z druhé vlastnosti plyne linearita i ve 2. a 3. argumentu a také, V (x, y, z) = 0, kdykoli se n¥které dva vektory z x, y, z rovnají. Není t¥ºké si rozmyslet, ºe zobrazení V je t¥mito t°emi vlastnostmi ur£eno jednozna£n¥. Chvíli p°edstírejme, ºe denici V neznáme, a pouºívejme jen vlastnosti

protoºe ºe

a jejich d·sledky. Pak

V (x, y, z) = V (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 , z1 e1 + z2 e2 + z3 e3 ) =

3 X 3 X 3 X

xi yj zk V (ei , ej , ek )

i=1 j=1 k=1

= x1 y2 z3 V (e1 , e2 , e3 ) + x1 y3 z2 V (e1 , e3 , e2 ) + x2 y1 z3 V (e2 , e1 , e3 ) + x2 y3 z1 V (e2 , e3 , e1 ) + x3 y1 z2 V (e3 , e1 , e2 ) + x3 y2 z1 V (e3 , e2 , e1 ) = x1 y2 z3 − x1 y3 z2 − x2 y1 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1 Druhá rovnost je d·sledkem linearity ve v²ech t°ech argumentech, ve t°etí jsme z

3.3.3 = 27

s£ítanc· vynechali

21,

které jsou nulové, protoºe se do n¥jaké dvojice

argument· dosazují dva stejné vektory. Nakonec vyuºíváme druhé a t°etí vlastnosti. Výsledné vyjád°ení

V (x, y, z)

se shoduje s jeho denicí pomocí vektorového

a skalárního sou£inu. V této kapitole zobecníme

V

do libovolné dimenze

n

n,

tedy na zobrazení

n

V : R × ... × R → R {z } | n

Jednou z cest by bylo poºadovat op¥t linearitu v kaºdém argumentu, antisymetrii

V (e1 , . . . , en ) = 1. Tím bychom získali jednozna£né V (x1 , . . . , xn ) pomocí sloºek vektor· xi , a znaménka v tomto vyjád°ení by denovala hodnoty εi1 ...in . Zobecn¥né vlastnosti (1),(2) a (3) pak zaru£ují, ºe je V

v kaºdé dvojici argument· a vyjád°ení

51

1. PERMUTACE

52

rozumným vyjád°ením objemu rovnob¥ºnost¥nu denovaného vektory My se vydáme opa£nou cestou: nejprve zobecníme veli£inu

εijk

x1 , . . . , xn .

a vlastnosti (1),(2)

a (3) a s nimi i souvislost s objemem získáme jako d·sledky.

1. Permutace M = {1, 2, . . . , n}, a mnoºinu M . Pak tato mnoºina s operací skládání zobra-

Uvaºujme n¥jakou kone£nou mnoºinu, nap°íklad v²ech bijektivních zobrazení z

M

do

zení spl¬uje denici 9 a je to tedy grupa. Neutrální prvek této grupy, tedy zobrazení identita na

M,

zna£íme

id.

Definice 26. Grupa v²ech bijektivních zobrazení mnoºiny

s operací skládání se nazývá

permutace.

symetrická grupa

a zna£í se

Sn .

{1, 2, . . . , n} do sebe

Její prvky se nazývají

Dva základní zp·soby zápisu permutace si m·ºeme ukázat na p°íkladu

π := 1 f

2f

#

3

4f

&

:6

5

(

 1 7 ≡ 3

2 5

3 7

4 1

5 2

6 6

7 4



V tabulkovém zápisu je kaºdý sloupec tvo°en dvojicí vzor, obraz, tedy nap°íklad

π(4) = 1.

’ipkový zápis m·ºeme p°epsat jako

1O 4o

/3  7

92 5

6Z y

π ∈ Sn . Prvek i ∈ {1, . . . , n} nazýváme samodruºný, π(i) = i. Permutaci π nazýváme cyklus délky k , pokud existuje posloupnost (i1 , . . . , ik ) z {1, . . . , n} taková, ºe pro v²echna j ∈ {1, . . . , k − 1} je π(ij ) = ij+1 a π(ik ) = i1 , a ºe v²echny prvky {1, . . . , n} mimo tuto posloupnost jsou samodruºné. Cyklus délky 2 nazýváme transpozice. Definice 27. Nech´

pakliºe

V pojmosloví i v zápise bývá b¥ºné ztotoº¬ovat cyklus délky alespo¬ slu²nou posloupností nesamodruºných prvk·. Cykly jsou

2

s p°í-

nezávislé, pokud tyto po-

π z p°íkladu pak m·ºeme (1374)(25), tedy jako rozklad na nezávislé cykly délky alespo¬ 2, nebo (1374)(25)(6), pokud vypí²eme i samodruºné prvky coby cykly délky 1. Je

sloupnosti neobsahují ºádný spole£ný prvek. Permutaci zapsat jako jako

snadné si rozmyslet, ºe takový rozklad má kaºdá permutace a ºe je ur£en jednozna£n¥. M·ºeme ho chápat bu¤ jako mnoºinu cykl· v permutaci se vyskytujících, nebo jako sloºení p°íslu²ných permutací, v p°íkladu

(1374) ◦ (25).

Permutace obecn¥ nekomutují, to je vid¥t t°eba na p°íkladu transpozic z

S3



     1 2 3 1 2 3 1 2 3 (12) ◦ (13) = ◦ = = (132) 2 1 3 3 2 1 3 1 2       1 2 3 1 2 3 1 2 3 = (123) (13) ◦ (12) = ◦ = 3 2 1 2 1 3 2 3 1 Pokud ale skládáme nezávislé cykly, na po°adí nezáleºí, permutaci i jako

π

tedy lze zapsat

(25) ◦ (1374).

Podobn¥ jako jsme zapsali cyklus

(i1 , i3 ) ◦ (i1 , i2 ),

(i1 , i2 , i3 ) délky 3 jako sloºení dvou transpozic k zapsat jako

m·ºeme obecný cyklus délky

(i1 , i2 , . . . , ik ) = (i1 , ik ) ◦ (i1 , i2 , . . . , ik−1 ) = . . . = (i1 , ik ) ◦ (i1 , ik−1 ) ◦ . . . ◦ (i1 , i2 ), tedy jako sloºení

k−1

transpozic. Takových rozklad· je mnoho, nap°íklad

(1374) = (14) ◦ (17) ◦ (13) = (13) ◦ (37) ◦ (74) = (47) ◦ (43) ◦ (41) = . . .

2. DETERMINANT A JEHO VýPO£ET

53

Kaºdou permutaci tedy umíme zapsat jako sloºení transpozic, nap° π = (14)◦(17)◦ (13) ◦ (25). Budeme chtít na základ¥ takového rozkladu p°i°adit permutaci hodnotu +1 nebo −1, které bude odpovídat hodnot¥ ijk z úvodu kapitoly. Lemma 4. Je-li π ∈ Sn permutace a (ij) ∈ Sn transpozice, pak ozna£me p, resp. q po£et cykl· sudé délky v rozkladu permutace π , resp. π ◦ (ij) na nezávislé cykly. Pak |p − q| = 1. D·kaz. Rozebereme dva p°ípady. Pokud jsou

závislých cykl· v rozkladu

r, s ∈ N.

π,

i, j sou£ástí dvou r·zných ne(i, i2 , . . . , ir ) a (j, j2 , . . . , js ),

zapi²me tyto cykly jako

Pak

(i, i2 , . . . , ir ) ◦ (j, j2 , . . . , js ) ◦ (ij) = (i, j2 , . . . , js , j, i2 , . . . , ir ) r, s vznikl jeden cyklus délky r + s. Ostatní cykly v (ij) nem¥ní. Jsou-li r, s ob¥ sudá, je i r + s sudé. Je-li práv¥ jedno z r, s liché, je r + s liché. V obou p°ípadech po£et cykl· sudé délky klesl o 1. Jsou-li r, s ob¥ lichá, je r + s sudé a po£et cykl· sudé délky vzrostl o 1. Tedy p a q se li²í vºdy o 1. Jsou-li naopak i, j sou£ástí téhoº cyklu v π , pak pro tento cyklus platí

Tedy ze dvou cykl· délek rozkladu

π

se sloºením s

(i, j2 , . . . , js , j, i2 , . . . , ir ) ◦ (ij) = (i, i2 , . . . , ir ) ◦ (j, j2 , . . . , js ) 

a m·ºeme pouºít tytéº úvahy jako v p°edchozím p°ípad¥.

π ∈ Sn je permutace a π1 , . . . , πk ∈ Sn jsou transpozice π = π1 ◦ π2 ◦ . . . ◦ πk . Pak denujeme znaménko permutace π jako sgn π := (−1)k . Pokud sgn π = +1, mluvíme o sudé permutaci, pokud sgn π = −1, je π lichá permutace. Definice 28. Nech´

takové, ºe

Permutaci

π

lze zapsat jako sloºení transpozic mnoha zp·soby. To, ºe v²echny

vedou ke stejné hodnot¥ znaménka, a tedy ºe je denice korektní, lze ukázat s pomocí lemmatu 4. Protoºe

π1

obsahuje práv¥ jeden cyklus sudé délky a sloºení s

transpozicí podle lemmatu m¥ní po£et cykl· sudé délky práv¥ o je parita (sudost £i lichost) po£tu cykl· sudé délky

π

ale bude platit pro jakýkoli jiný zápis parita £ísla

l

je stejná jako parita

π

1,

nahoru, £i dol·,

k . To π10 ◦ . . . ◦ πl0 , tedy

stejná jako parita £ísla

jako sloºení transpozic

k.

D·sledek 7. Nech´ π, ρ ∈ Sn a p je po£et cykl· sudé délky v rozkladu permutace π na nezávislé cykly. p (1) sgn π = (−1) . (2) sgn(π ◦ ρ) = sgn π sgn ρ −1 (3) sgn π = sgn π P°íklad 15. Grupa

S3

obsahuje

3! = 6

prvk·: identitu, t°i transpozice a dva

cykly délky 3. Jejich znaménka jsou

sgn id = +1

sgn(12) = −1

sgn(123) = 1

sgn(13) = −1

sgn(23) = −1

sgn(132) = 1

Pokud denujeme

ε

επ(1)π(2)π(3) := sgn π V.

a

εijk = 0

jindy, dostáváme p°esn¥ veli£inu

z denice zobrazení

2. Determinant a jeho výpo£et A ∈ Fn×n . Determinantem matice A X det A := sgn π a1π(1) a2π(2) . . . anπ(n)

Definice 29. Nech´

π∈Sn

rozumíme £íslo

2. DETERMINANT A JEHO VýPO£ET

54

n × n matice je tedy sou£et n! s£ítanc·, z nichº kaºdý je aº na n-tice element· matice, z nichº ºádné dva neleºí ve stejném sloupci. Pro 2 × 2 a 3 × 3 matice lze denici pouºít p°ímo k výpo£tu:   a11 a12 det = sgn id a11 a22 + sgn(12)a12 a21 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21   a11 a12 a13 det a21 a22 a23  = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a31 a32 a33 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33

Determinant

znaménko sou£inem °ádku ani

n>3

Pro

je uº po£et pot°ebných operací neprakticky vysoký. D·leºitý speciální

p°ípad je dolní trojúhelníková matice, v níº mutaci

π 6= id

platí, ºe

π(i) > i

aij = 0

π samodruºný. Pak ale ze s£ítanc· a11 a22 . . . ann , ostatní obsahují vºdy

i < j . Pro kaºdou {1, . . . , n}, který není

pro

pro nejmen²í prvek

perv·£i

v denici determinantu zbyde jen ten první alespo¬ jeden £initel

aiπ(i)

rovný nule. Stejn¥

tak i determinant horní trojúhelníkové matice je roven sou£inu jejích diagonálních prvk·. Plyne to i z následující v¥ty: V¥ta 12.

Nech´ A ∈ Fn×n . Pak det A = det AT .

D·kaz. Kaºdá permutace

verzní

ρ := π −1 ,

π

má k sob¥ jednozna£n¥ p°i°azenou permutaci in-

v denici determinantu tedy m·ºeme s£ítat i p°es ni:

det A =

X

sgn(π)a1π(1) a2π(2) . . . anπ(n)

π∈Sn

=

X

sgn(ρ−1 )a1ρ−1 (1) a2ρ−1 (2) . . . anρ−1 (n)

ρ∈Sn Z d·sledku 7 víme, ºe

−1

−1

sgn ρ = sgn ρ−1 . Mnoºina uspo°ádaných dvojic {(1, ρ−1 (1)), (n))} obsahuje tytéº prvky jako mnoºina {(ρ(1), 1), (ρ(2), 2),

(2, ρ (2)), . . . , (n, ρ . . . , (ρ(n), n)}, jen v jiném po°adí. Tedy X X det A = sgn(ρ)aρ(1)1 aρ(2)2 . . . aρ(n)n = sgn(ρ)aT1ρ(1) aT2ρ(2) . . . aTnρ(n) , ρ∈Sn

ρ∈Sn

coº je z denice rovno

det A

T



.

V z úvodu kapitoly. A := (x|y|z). Pak z v¥ty plyne, ºe X X det A = det AT = sgn(ρ)aρ(1)1 aρ(2)2 aρ(3)3 = sgn(ρ)xρ(1) yρ(2) zρ(3)

Ukaºme nyní souvislost determinantu se zobrazením

x, y, z ∈ R3

Pro

denujme

ρ∈S3

=

3 X 3 X 3 X

ρ∈S3

εijk xi yj zk = V (x, y, z)

i=1 j=1 k=1 Determinant je tedy skute£n¥ zobecn¥ním zobrazení ºet jako na funkci, která p°i°azuje £íslo

det(a1 | . . . |an ).

n-prvkové

V

a vyplatí se na n¥j nahlí-

a1 , . . . , an z Fn zobrazení V i jeho

posloupnosti vektor·

Ze t°í vlastností úpln¥ charakterizujících

zobecn¥ní do vy²²í dimenze vidíme tu t°etí ihned:

V (e1 , . . . , en ) = det(e1 | . . . |en ) = 1 Úplnou antisymetrii a linearitu v kaºdém argumentu ukáºeme v následujícím tvrzení: Tvrzení 33.

Nech´ i ∈ {1, . . . , n}, a1 , . . . , an , a0i ∈ Fn , r, r0 ∈ F, ρ ∈ Sn . Pak

2. DETERMINANT A JEHO VýPO£ET

(1) (2)

55

det(a1 | . . . |rai +r0 a0i | . . . |an ) = r det(a1 | . . . |ai | . . . |an )+r0 det(a1 | . . . |a0i | . . . |an ) det(aρ(1) | . . . |aρ(n) ) = sgn(ρ) det(a1 | . . . |an )

D·kaz. Pro první tvrzení sta£í jen roznásobit kaºdý £len sumy

X

sgn(ρ)aρ(1)1 . . . (raρ(i)i + r0 a0ρ(i)i ) . . . aρ(n)n

ρ∈Sn Druhé plyne z úprav vyuºívajících d·sledek 7 a skute£nost, ºe mnoºiny a

{ρ ◦ π|π ∈ Sn }

{π|π ∈ Sn }

jsou totoºné:

X

det(aρ(1) | . . . |aρ(n) ) =

sgn π a1,ρ(π(1)) a2,ρ(π(2)) . . . an,ρ(π(n))

π∈Sn

= sgn ρ−1

X

sgn(ρ ◦ π) a1,(ρ◦π)(1) a2,(ρ◦π)(2) . . . an,(ρ◦π)(n)

π∈Sn

= sgn ρ

X

sgn τ a1,τ (1) a2,τ (2) . . . an,τ (n)

τ ∈Sn



Nech´ A ∈ Fn×n , r ∈ F. Pak Má-li A dva sloupce stejné nebo jeden ze sloupc· nulový, pak det A = 0. ESÚ typu p°i£tení r-násobku sloupce do jiného sloupce nem¥ní determinant. ESÚ typu násobení sloupce £íslem r násobí celý determinant £íslem r. ESÚ typu prohození dvou sloupc· obrací znaménko determinantu. Platí i analogická tvrzení pro °ádky a EÚ.

D·sledek 8.

(1) (2) (3) (4) (5)

D·kaz. První a £tvrté tvrzení plynou z druhé £ásti tvrzení 33, t°etí z jeho

první £ásti. Druhé dostaneme z rovnosti

det(a1 | . . . |ai + raj | . . . |an ) = det(a1 | . . . |ai | . . . |an ) + r det(a1 | . . . |aj | . . . |an ), v níº je druhý £len na pravé stran¥ nula z první £ásti tohoto tvrzení. Pátý bod plyne



z v¥ty 12.

Determinant matice m·ºeme tedy efektivn¥ vypo£ítat pomocí posloupnosti EÚ a ESÚ, které matici p°evedou na jednodu²²í, nejlépe horní £i dolní trojúhelníkovou matici. Zkusme si výpo£et determinantu na p°íklad¥, v rámci n¥jº rovn¥º za£neme pouºívat obvyklé zna£ení determinantu matice nahrazením závorky svislou £árou.

7 3 2 5

2 6 4 −2

1 −9 0 3 1 1 = −6 2 −1

V¥ta 13.

7 4 1 3 = 3 2 3 5 0 7 1 1 −3 2 0 5 3

2 1 2 −3 4 0 −2 3 1 4 0 1 = −6 0 3 0 0 1 0 = −24 0 0

7 4 1 1 = 6 2 3 5 0

1 4 −3 1 = 0 3 3 0 1 1 7 1 4 0 4 −6 −4 −3 = 24 0 2 −12 −2 −5 0 1 12 4 4 1 1 1 7 4 0 1 1 3 1 = −72 0 0 0 6 3 0 0 0 −6 −1 1 1 2 −1

7 6 12 3 7 3 2 0

Matice A ∈ Fn×n je regulární, práv¥ kdyº det(A) 6= 0.

4 3 = 5 1

4 1 = −288 1 2

2. DETERMINANT A JEHO VýPO£ET

56

D·kaz. Regularita i nenulovost determinantu se zachovávají pomocí EÚ a

ESÚ, sta£í se tedy dívat jen na matici v odstup¬ovaném tvaru. Ta je regulární, práv¥ kdyº má v²echny prvky na hlavní diagonále nenulové, coº nastává práv¥ kdyº



je nenulový determinant.

Minorem

nebo téº

subdeterminantem

rozumíme determinant n¥jaké £tvercové

podmatice, tj. matice vzniklé vynecháním n¥kterých °ádk· a sloupc·.

Nech´ A ∈ Fm×n . Pak rank(A) = k, práv¥ kdyº nejv¥t²í °ád nenulového minoru A je k. Tvrzení 34.

rank(A) = k , pak lze ze sloupc· A vybrat n¥jakou bázi (ai1 , . . . , aik ) Im A. Protoºe A0 = (ai1 | . . . |aik ) má hodnost k , lze vybrat k -prvkovou bázi jejího °ádkového prostoru. Výsledná k × k podmatice je regulární a má tedy nenulový determinant. Kdyby v A existoval nenulový minor vy²²ího °ádu, pak by jeho D·kaz. Je-li

prostoru

sloupce byly lineárn¥ nezávislé a tudíº by musely být lineárn¥ nezávislé i p°íslu²né sloupce matice

Im A

A. To je ale v rozporu s tím, ºe kaºdá lineárn¥ nezávislá posloupnost k prvk·. 

má nejvý²e

Ozna£me

Aij

podmatici matice

A

vzniklou vy²krtnutím

i-tého

°ádku a

j -tého

sloupce.

Pak

V¥ta 14 (Laplace·v rozvoj podle sloupce).

det A =

n X

Nech´ A ∈ Fn×n , j ∈ {1, . . . , n}.

(−1)i+j aij det(Aij )

i=1 D·kaz. Protoºe

aj =

det A =

P

i=1

n X

aij ei ,

dostáváme z linearity v

j -tém

sloupci

aij det(a1 | . . . |aj−1 |ei |aj+1 | . . . |an )

i=1 U determinantu v i-tém s£ítanci je t°eba

n−j transpozic na p°esunutí j -tého sloupce i-tého °ádku na poslední pozici, n−j+n−i determinant se tím vynásobí faktorem (−1) = (−1)i+j . Matice A0 , která 0 takto vznikne, má podmatici Ann rovnu Aij , a poslední sloupec en . Její determinant na poslední pozici a

n−i

transpozic na p°esunutí

je s vyuºitím v¥ty 12 roven

det A0 =

X

sgn π a0π(1),1 . . . a0π(n),n

π∈Sn

X

=

sgn π a0π(1),1 . . . a0π(n−1),n−1 a0n,n ,

π∈Sn π(n)=n

π(n) = n, a0π(n),n = 0. Ale a0n,n = 1 a sgn π = sgn π 0 pro π 0 ∈ Sn−1 vzniklou zúºením π na mnoºinu {1, . . . , n − 1}. Tedy X det A0 = sgn π 0 a0π0 (1),1 . . . a0π0 (n−1),n−1 = det(A0nn ) = det(Aij )

kde jsme se v posledním výrazu mohli omezit jen na permutace spl¬ující protoºe pro ostatní je

π 0 ∈Sn−1 Tedy determinant v

i-tém

s£ítanci je roven

(−1)i+j det(Aij ).



Laplace·v rozvoj je vlastn¥ rekurentní p°edpis pro determinant. Z v¥ty 12 plyne, ºe jej lze provést i podle kteréhokoli °ádku. Kombinace úprav a rozvoje podle °ádku £i sloupce s velkým po£tem nul je obvykle nejrychlej²í cesta k výpo£tu

2. DETERMINANT A JEHO VýPO£ET

determinantu:

0 2 3 7 4

0 0 2 1 2

3 0 0 0 3 2 0 3 0 0 3 2 1 0 − 5 2 0 3 0 = 0 = 2 3 2 1 0 7 1 3 0 0 4 2 2 1 4 2 2 1 1 2 0 3 2 2 0 3 0 3 0 3 2 1 + 15 3 2 1 = 2 −11 0 −5 + 15 −1 0 −1 4 2 2 7 4 2 2 1 3 1 3 2 2 3 3 = −2(−10 + 33) − 30(−2 + 3) = −76 − 30 = −2 −1 −1 −11 −5

2 0 0 5 0 2 2 3 7

0 3 1 3 2

57

KAPITOLA 10

Aplikace determinantu Jednou z nejstar²ích aplikací determinantu je explicitní ur£ení °e²ení soustavy lineárních rovnic, tzv. Cramerovo pravidlo:

Nech´ A ∈ Fn×n je regulární matice, b ∈ Fn . Ozna£me Ai,b matici, která vznikne nahrazením i-tého sloupce A vektorem b. Pak i-tá sloºka vektoru x, který je jediným °e²ením soustavy rovnic Ax = b, je rovna V¥ta 15.

xi = D·kaz. Pro °e²ení SLR

Ax = b

det Ai,b det A Pn

platí

det Ai,b = det(a1 | . . . |ai−1 |

n X

j=1

xj aj = b.

Pak

xj aj |ai+1 | . . . |an )

j=1

=

n X

xj det(a1 | . . . |ai−1 |aj |ai+1 | . . . |an )

j=1

= xi det(a1 | . . . |ai−1 |ai |ai+1 | . . . |an ) = xi det A Vyuºili jsme linearitu v nými sloupci je roven váme vyjád°ení

0.

i-tém Je-li

sloupci a fakt, ºe determinant matice se dv¥ma stej-

A

regulární, pak

det A 6= 0,

po vyd¥lení

det A

xi .

dostá-



Jednoduchým p°íkladem uºití Cramerova pravidla je



7 2

4 8     1 3 4 8 x1 4 = , = ⇒ x1 = 3 x2 1 5 7 8 2 3

7 4 2 1 1 =− x2 = 5 7 8 2 3

Pro v¥t²í soustavy je Gaussova eliminace rychlej²í, ale i tak Cramerovo pravidlo nalézá vyuºití v teorii, p°ípadn¥ pro výpo£et konkrétní i-té sloºky °e²ení, která nás zajímá.

(−1)i+j det(Aij ), jimº se °íká algebraický dopln¥k prvku aij . Matice, která má na pozici ij algebraický dopln¥k prvku aji (pozor, indexy jsou obrácen¥!) matice A, se nazývá matice adjungovaná k A a zna£í adj(A). Má jednoduchý vztah k matici inverzní: Ve v¥t¥ o Laplaceov¥ rozvoji se vyskytly výrazy tvaru

V¥ta 16.

Nech´ A ∈ Fn×n je regulární. Pak A−1 =

1 det A

adj(A).

Ax = ej je j -tý sloupec matice A−1 na pozici ij , hodnotu dostáváme, ºe det Ai,ej je roven

D·kaz. Jediným °e²ením soustavy rovnic

A−1 . 1 det A

Podle Cramerova pravidla má

det Ai,ej .

Rozvojem podle

xi ,

i-tého

tedy element

sloupce

det(a1 | . . . |ai−1 |ej |ai+1 | . . . |an ) = (−1)j+i det Aji = adj(A)ij  58

10. APLIKACE DETERMINANTU

59

P°íklady 3.



     1 3 −8 8 3 −8 ⇒ adj(A) = ⇒ A−1 = 3 −2 7 5 −2 7   0 5 − 2 3 2 3 0 1 0 5   0 1  −1   1 2 3   4 0 5 = 1 − 4 5 1 3 − 1 3  ,  1 1 4 5  2  1 1  1 0 1   4 0 − 1 2 1 2 1 0 4 0 1 0  0 −2 10  1 1 −2 7 vy£íslení . Pro v¥t²í matice neº 3 × 3 se uº vzorec nevyplatí, 2 A=

coº je po

7 2

0 2 −8

ale op¥t je uºite£ný pro teorii a pro získání konkrétního elementu inverzní matice bez nutnosti spo£ítat inverzní matici celou. Je-li

A

regulární matice, existuje posloupnost elementárních matic

která p°evede

A

E1 , . . . , Ek ,

na matici jednotkovou:

Ek . . . E2 E1 A = E Pak ale

A−1 = Ek . . . E2 E1

a

A = E1−1 E2−1 . . . Ek−1 ,

a protoºe inverzní matice

k elementární matici je elementární, plyne z toho, ºe kaºdou regulární matici lze zapsat jako sou£in elementárních matic. Determinant elementární matice umíme snadno ur£it:

• • •

matice p°i£tení násobku °ádku do jiného °ádku má determinant 1 matice vynásobení °ádku £íslem

Uvaºujme nyní sou£in

Ei

r

r −1. p°i£emº A = E1 E2 . . . Ek ,

má determinant

matice prohození dvojice °ádk· má determinant

AB

dvou £tvercových matic,

kde

jsou elementární matice. Pak jist¥

det(AB) = det(E1 (E2 . . . Ek B)) = det(E1 ) det(E2 . . . Ek B), protoºe násobení maticí

E1

je °ádková úprava matice

E2 . . . Ek B , která zm¥ní její det E1 . Opakováním

determinant p°esn¥ stejn¥, jako kdyby se vynásobil £íslem stejné úvahy zjistíme, ºe

det(AB) = det(E1 ) det(E2 ) . . . det(Ek ) det(B) det(A) = det(E1 ) det(E2 ) . . . det(Ek ) Odtud plyne V¥ta 17.

Nech´ A, B ∈ Fn×n . Pak det AB = det A det B .

D·kaz. Je-li

singulární i

AB

D·sledek 9.

(1) (2)

A

regulární, plyne v¥ta z úvah vý²e. Je-li

a ob¥ mají determinant

A

singulární, pak je

0.



Nech´ A, R ∈ Fn×n , R regulární. Pak

−1

det(R ) = det1 R det(R−1 AR) = det A

D·kaz. První bod plyne z

det(R−1 ) det(R) = det(R−1 R) = det E = 1, druhý z

det(R−1 AR) = det(R−1 ) det A det R =

1 det A det R = det A det R 

10. APLIKACE DETERMINANTU

60

A je matice [f ]B B n¥ja0 B0 kého endomorsmu f ∈ End(V ) vzhledem k bázi B a A = [f ]B 0 je matice téhoº 0 0 endomorsmu vzhledem k bázi B , plyne z transforma£ní formule, ºe det A = det A . Podobné matice mají tedy stejný determinant. Pokud

Následující denice je tedy korektní: Definice 30. Nech´

báze a

f ∈ End(V ).

Pak

[f ]B B.

V

je vektorový prostor kone£né dimenze nad

determinant endomorsmu f

B = (v1 , . . . , vn ) reálného vektorového C = (w1 , . . . , wn ) vzniklou z posloupnosti B jednou

Uvaºujme bázi nost

F, B

jeho

je determinant jeho matice

prostoru

V

a posloup-

z elementárních úprav

denovaných nad tvrzením 19. Podle v¥ty 9 existuje práv¥ jeden endomorsmus

f1 ∈ End(V ) takový, ºe f1 (B) = C , tedy ºe pro wi . Nazývejme jej elementární endomorsmus. E1 := [f1 ]B B je elementární matice, a ºe det E1

v²echna

i ∈ {1, . . . , n}

je

f1 (vi ) =

Snadno si rozmyslíme, ºe matice je aº na znaménko roven pom¥ru

objem· rovnob¥ºnost¥n· denovaných posloupnostmi

f1 (B) a B . Sta£í si uv¥domit, n − 1 vektor·, které

ºe p°i elementární úprav¥ prvního i druhého typu se zachovává

m·ºeme vzít jako základnu rovnob¥ºnost¥nu, a zm¥na zbývajícího vektoru vý²ku m¥°enou od této základny bu¤ nem¥ní (úprava prvního typu), nebo násobí £íslem

r

(úprava druhého typu). Úprava t°etího typu rovnob¥ºnost¥n nem¥ní, jen ho zadává posloupností vektor· v jiném po°adí. Obecný regulární endomorsmus

A

f

s maticí

A = [f ]B B

m·ºeme s pomocí roz-

E1 E2 . . . Ek elementárních matic chápat jako sloºení elementárních endomorsm· f = f1 ◦ . . . ◦ fk . Protoºe det A = det E1 . . . det Ek je roven sou£inu koecient·, jimiº endomorsmy fi m¥ní objem rovnob¥ºnost¥nu ur£eného posloupností B , m·ºeme det A interpretovat jako podíl objem· f (B) a B . Protoºe det f = det A nezávisí na volb¥ báze B , m·ºeme determinant endomorsmu chápat jako koecient, jímº se m¥ní p°i zobrazení f objem libovolného rovnob¥ºnost¥nu, nebo dokonce jakéhokoli útvaru ve V , který lze rovnob¥ºnost¥ny (innitezimáln¥) kladu

na sou£in

pokrýt. Toto pozorování je základem teorie vícerozm¥rné integrace. Definice 31. Nech´

B = (b1 , . . . , bn )

Rn .

Pokud

det(b1 | . . . |bn )

je

levoto£ivou. Levoto£ivost nebo pravoto£ivost báze nazýváme souhrnn¥ její orientací.

kladný, nazveme bázi

B pravoto£ivou,

je báze

pokud je záporný, pak

Z úvah vý²e vyplývá, ºe elementární úprava nem¥ní orientaci báze, práv¥ kdyº je determinant p°íslu²né elementární matice kladný. Tedy znaménko zda mají báze prostoru

B

a

f (B)

det f

vyjad°uje,

stejnou orientaci. I v p°ípad¥ bází v reálném vektorovém

V , který není aritmetický, m·ºeme zavést orientaci jako rozd¥lení mnoºiny

v²ech bází na dv¥ t°ídy ekvivalence vzhledem k relaci  existuje endomorsmus

f ∈ End(V )

s kladným determinantem, který zobrazuje jednu na druhou nebo

ekvivalentn¥  matice p°echodu mezi t¥mito bázemi má kladný determinant . Dal²í veli£inou, která se zachovává p°i podobnosti je

Pn

stopa matice A ∈ Fn×n ,

Tr A = i=1 aii , tedy sou£et prvk· na diagonále. Pro A ∈ Fn×p , q×n , C ∈ F platí p X q p X q X n n XX X Tr ABC = aij bjk cki = bjk cki aij = Tr BCA,

denovaná jako

p×q

B∈F

i=1 j=1 k=1 tzv.

j=1 k=1 i=1

cykli£nost stopy. Odtud pak Tr R−1 AR = Tr RR−1 A = Tr A

Proto i stopu lze denovat pro libovolný endomorsmus

Tr[f ]B B

f ∈ End(V )

jako stopu

jeho libovolné matice. Dal²í maticové veli£iny, které lze takto vztáhnout na

p°íslu²né endomorsmy (tzv.

invarianty,

potkáme v kapitole o diagonalizaci.

protoºe nezávisí na zvolené reprezentaci)

KAPITOLA 11

Diagonalizace Diagonalizace

n×n

A

matice

  D=

je hledání diagonální matice

λ1

...

0



. . .

..

. . .

  =: diag(λ1 , . . . , λn ),

0

...

.

λn

spl¬ující pro n¥jakou regulární matici

R

vztah

A = RDR−1 Protoºe

Dk = diag(λk1 , . . . , λkn ) k

A = |RDR

a

−1

−1 RDR{z . . . RDR−1} = RDk R−1 , k

D a R k nalezení libovolné mocniny matice A. Protoºe A = [FA ]K K, D = R AR chápat jako transforma£ní formuli

sta£í nám znalost lze vztah

−1

B K K [FA ]B B = [Id]K [FA ]K [Id]B , pro n¥jakou vhodnou bázi

B,

zvanou

báze z vlastních vektor·.

Budeme se tedy

nejprve zabývat tím, jak se taková báze dá nalézt.

1. Vlastní £ísla a vlastní vektory V je vektorový prostor nad F. ƒíslo λ ∈ F je vlastním f ∈ End(V ), pakliºe pro n¥jaký nenulový vektor v ∈ V platí f (v) = λv . Kaºdý vektor, který toto spl¬uje, se nazývá vlastním vektorem f p°íslu²ným vlastnímu £íslu λ. Definice 32. Nech´

£íslem

endomorsmu

f (v) = λv lze p°epsat jako (f − λ Id)(v) = 0. Vlastní vektory jsou Vλ := Ker(f − λ Id) neboli vlastního podprostoru endomorsmu f p°íslu²ného vlastnímu £íslu λ. Dle denice je λ vlastní £íslo f , pakliºe Ker(f − λ Id) 6= 0. Je-li dim V = n a C C C báze V , nastává to práv¥ kdyº [f − λ Id]C je singulární matice. V ozna£ení [f ]C = A Podmínku

tedy prvky

to znamená, ºe

a11 − λ a det(A − λE) ≡ 21 ... an1

a12

...

a22 − λ ..

...

.

. . . =0 ann − λ a1n

n = 2 a n = 3 m·ºeme p°ímým výpo£tem ov¥°it, ºe a12 = (−λ)2 + (a11 + a22 )(−λ) + (a11 a22 − a21 a12 ) a22 − λ

P°íklad 16. Pro

a11 − λ a21

= λ2 − Tr A λ + det A det(A − λE) = (−λ)3 + (Tr A)(−λ)2 + (Tr(adj(A)))(−λ) + det A 61

2. DIAGONALIZACE MATICE

62

Charakteristickým polynomem matice A ∈ Fn×n nazýváme polynom pA (λ) := det(A − λE). Charakteristický polynom endomorsmu f je det(f − Definice 33.

λ Id),

£ili charakteristický polynom jeho libovolné matice

Charakteristický polynom

n×n

[f ]C C.

n a koecient (−1)n u λn , det(A − λE), který k λn p°ispívá,

matice má stupe¬

protoºe jediný s£ítanec v denici determinantu

je ten odpovídající identické permutaci. Protoºe kaºdý s£ítanec odpovídající neidentické permutaci obsahuje alespo¬ jeden £initel nad diagonálou a alespo¬ jeden

λn−1 pouze ze sou£inu diagonálních element· n−1 roven (−1) Tr A u λn−1 . Absolutní £len pA (λ)

£initel pod ní, pochází i koecient

(a11 − λ) . . . (ann − λ) a je tedy je roven pA (0), tedy det A. n−k Obecný koecient u λ roven (−1)n−k

X

det(AII ),

I⊂{1,...,n} |I|=k

AII

k×k

A vzniklá vynecháním v²ech °ádk· aPsloupc·, jejichº n I . Speciáln¥ koecient u λ je roven − i=1 det(Aii ) ≡ − Tr(adj(A)), kde Aii je n − 1 × n − 1 podmatice vzniklá vynecháním i-tého °ádku i sloupce. Nejlépe je to vid¥t, kdyº si p°edstavíme kaºdé λ na diagonále det(A − λE) obarvené jinou barvou a nahlédneme, ºe koecient u i-tého barevného λ je práv¥ det(Aii ).

kde

je

podmatice

indexy nejsou v mnoºin¥

P°íklady 4.

f : P n (x, R) → P n (x, R) d p(x) má jediné vlastní [f (p)](x) := dx

(1) Zobrazení

denované jako derivace polynomu £íslo

0,

vlastní podprostor je tvo°en

konstantními polynomy. (2) Vlastními £ísly

D = diag(d1 , . . . , dn )

jsou

d1 , . . . , dn a p°íslu²né vlastní di ) lineární obaly prvk·

podprostory jsou (pro p°ípad vzájemn¥ r·zných

he1 i, . . . , hen i ∈ Cn . Ax = λx a A je regulární, pak A−1 x = λ−1 x,

kanonické báze (3) Pokud

£ili inverzní matice

má stejné vlastní podprostory, ale p°evrácená vlastní £ísla.

A = Q−1 BQ, pak Ax = λx znamená BQx = λQx, vlastním £íslem B s vlastním vektorem Qx. Podobné matice

(4) Pokud

tedy

λ

je

mají tedy

stejná vlastní £ísla. (5)

det(AT − λE) = det(A − λE)T = det(A − λE), tedy AT £ísla jako A.

má stejná vlastní

2. Diagonalizace matice Vlastní £ísla lze tedy nalézt jako ko°eny charakteristického polynomu. Teorie se zjednodu²²í, kdyº budeme moci p°edpokládat, ºe £ísla také hledáme v

C.

A

je komplexní matice a vlastní

Opíráme se p°itom o tzv. Základní v¥tu algebry:

V¥ta 18. Kaºdý nekonstantní polynom s komplexními koecienty má alespo¬ jeden ko°en v C.

D·kaz je nad rámec kurzu. M·ºeme ale odvodit jednoduchý d·sledek: D·sledek 10. Nech´ p(x) je polynom stupn¥ n > 0 s komplexními koecienty. Pak má n komplexních ko°en· v£etn¥ násobností.

Pn n =P 1 zjevn¥ platí. Nech´ x0 ∈ C je ko°en p(x) = i=0 ai xi . n i i Pak p(x) = p(x) − p(x0 ) = i=0 ai (x − x0 ), coº lze zapsat jako(x − x0 )q(x), kde q(x) je polynom stupn¥ n−1. Ten má z induk£ního p°edpokladu n−1 ko°en· v£etn¥ násobností. Tedy p(x) má n ko°en· v£etn¥ násobností. D·kaz indukcí. Pro

2. DIAGONALIZACE MATICE

63

A se nazývá její spektrum, λi ∈ σ(A) je jeho algebraická násobnost denována jako násobnost λi coby ko°enu pA (λ), a jeho geometrická násobnost jako dimenze prostoru Ker(A − λi E). Analogicky jsou denovány tytéº pojmy pro endomorsmus. Definice 34. Mnoºina v²ech vlastních £ísel matice

σ(A).

zna£í se

Pro

Lemma 5. Nech´ V je vektorový prostor nad F dimenze n, f ∈ End(V ) a pro v²echny prvky mnoºiny M = {λ1 , . . . , λk } je zvolena n¥jaká báze Bi vlastního prostoru Vλi . Pak je mnoºina B = B1 ∪ . . . ∪ Bk lineárn¥ nezávislá.

N ⊂ V nenulových vektor·, v níº kaºdý prvek Vλi . Je-li N lineárn¥ závislá, lze z ní vybrat bázi N 0 = {vi1 , . . . , viq } jejího lineárního obalu, kde vij ∈ Vλij , a vyjád°it n¥jaký vj ∈ Pq Pq N \ N 0 jako vj = p=1 rp vip . Je-li vj ∈ Vλj , pak f (vj ) = λj vj = p=1 rp λj vip , ale D·kaz. Uvaºujme mnoºinu

pat°í jinému vlastnímu prostoru

zárove¬

f (vj ) =

q X

rp f (vip ) =

p=1 Tedy

rp

Pq

p=1 rp (λip

− λj )vip = 0.

q X

rp λip vip

p=1

Protoºe ºádný rozdíl

λip − λj není 0 a i n¥které N 0 . Tedy N nem·ºe být

musí být nenulové, je to ve sporu s lineární nezávislostí

lineárn¥ závislá. Ozna£me nyní

Bi = (wi1 , . . . , wini ) n1 X

a uvaºujme lineární kombinaci ve tvaru

r1i1 w1i1 + . . . +

i1 =1

v1 , . . . , v k

rkik wkik = o

ik =1

Ozna£me jednotlivé sumy jako vektor·

nk X

v1 , . . . , v k ,

pak

vj ∈ Vλj .

Kdyby byly n¥které z

nenulové, pak bychom m¥li jejich lineární kombinaci rovnou nu-

lovému vektoru, coº podle úvahy z prvního odstavce nem·ºe nastat. Tedy musí být v²echny

vj

nulové, a protoºe posloupnosti

nulové i v²echny koecienty Je-li

V

nad

rjij .

Tedy

B

Bj

jsou lineárn¥ nezávislé, musí být pak



je lineárn¥ nezávislá.

C, M = σ(f ) a kaºdé vlastní £íslo f |B| = n a je to tedy na

geometrickou násobnost, pak

má stejnou algebraickou i základ¥ lemmatu báze

V.

Speciáln¥ to musí nastat v p°ípad¥, ºe jsou v²echny algebraické násobnosti v²ech

λi ∈ σ(f ) rovny jedné. Protoºe dim Ker(f − λi Id) je vºdy alespo¬ 1, má B alespo¬ n prvk·, a protoºe je lineárn¥ nezávislá, musí jich mít práv¥ n. P°edpokládejme nyní, ºe pro f ∈ End(V ) v prostoru V máme bázi B = (v1 , . . . , vn ) sloºenou z vlastních vektor· f . Pokud vi ∈ Vλ pro n¥jaké λi ∈ σ(f ), B pak f (vi ) = λi vi , neboli [f (vi )] = λi ei . Pak ale   λ1 . . . 0  . . .  B B .  .. [f ]B =  .. B = [f (v1 )] . . . [f (vn )] . 0 . . . λn λi vzájemn¥ B = (v1 , . . . , vn ) máme

V tomto vztahu na rozdíl od lemmatu 5 nep°edpokládáme v²echna r·zná. Speciáln¥ pro

P°íklad

f = FA

s bází z vlastních vektor·

K B B A ≡ [FA ]K K = [Id]B [FA ]B [Id]K =   λ1 . . . 0   = (v1 | . . . |vn )  ... . . . ...  (v1 | . . . |vn )−1 0 . . . λn   1 1 17. Diagonalizujme matici A = . Char. polynom −3 5

pA (λ) = λ2 − Tr A λ + det A = λ2 − 6λ + 8 = (λ − 2)(λ − 4)

je

2. DIAGONALIZACE MATICE

Tedy

64

σ(A) = {2, 4}. Vlastní podprostory pak jsou      −3 1 1 −1 V4 = Ker = , V2 = Ker −3 1 3 −3

   1 1 = 3 1

Tedy

 A= Má-li

  1 1 = 5 3

1 −3

1 1

 4 0

0 2



1 (−2)



 −1 1

1 −3

A v£etn¥ násobností n vlastních £ísel, pak je její charakteristický polynom

rozloºitelný, tj.

pA (λ) ≡ (−λ)n + Tr A(−λ)n−1 + . . . + det(A) = (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ) = (−λ)n + (λ1 + . . . + λn )(−λ)n−1 + . . . + λ1 λ2 . . . λn det A je roven sou£inu v²ech n vlastních Tr A je rovna sou£tu v²ech vlastních £ísel. Charakteristický polynom, vlastní

Z porovnání absolutních £len· vidíme, ºe £ísel a

£ísla a jejich algebraické i geometrické násobnosti, stopa, determinant i ostatní koecienty charakteristického polynomu se nem¥ní p°i podobnostní transformaci

A → R−1 AR.

Jsou to tedy invarianty, lze je zavést i pro endomorsmy, se zachová-

ním vztah· mezi nimi. Jeden takový, který platí pro

2×2

matice a lze jej snadno

ov¥°it p°ímým výpo£tem, je

1 (Tr(A)2 − Tr(A2 )) 2

det A = Obecn¥ platí, ºe koecienty

pA (λ)

lze vºdy vyjád°it pomocí

Tr(Ak ), k ≤ n.

N¥které endomorsmy a matice diagonalizovatelné nejsou, protoºe lineárn¥ nezávislá mnoºina

B = B1 ∪ . . . ∪ Bk

neobsahuje dost vektor·, aby to byla báze.

P°íkladem je t°eba matice

A= nebo endomorsmus první derivaci podle ji

D

 0 0

1 0

 ⇒ σ(A) = {0},

tedy

V0 =

  1 , 0

D prostoru V = P n (x, C), který p°i°azuje polynomu p(x) jeho 2 n x. Pokud denujeme ve V bázi C = (1, x, x2 , . . . , xn! ), spojuje

do °etízku

0o

D



1o

D



xo



D

x2 2

o

D



... o

D



xn−1 (n−1)!

o

D



xn n!

,

z n¥hoº lze vy£íst, ºe

 0 0   ..  C [D]C =  . 0  0 0

1 0

0 1

... ... ..

0 0 0

0 0 0

.

... ... ...

0 0 0 1 0 0

 0 0   0  0  1 0

Matice tohoto typu se objevují v teorii Jordanova tvaru, která °e²í otázku matic, které diagonalizovatelné nejsou.

R2 o pravý úhel má matici vzhledem     0 −1 cos π2 − sin π2 = ∈ R2×2 ≡A= sin π2 cos π2 1 0

P°íklad 18. Rotace v rovin¥

[FA ]K K

Ta má charakteristický polynom v

R

2

λ2 + 1,

ke

K

tedy nemá reálná vlastní £ísla, ani nemá

ºádné vlastní vektory. Chápeme-li ale

FA

jako endomorsmus prostoru

C2 ,

3. DIAGONALIZACE SYMETRICKÉ MATICE

pak

σ(A) = {i, −i}

65

h(1, −i)i,

a p°íslu²né vlastní podprostory jsou

resp.

h(1, i)i.

Diagonalizace pak má tvar



0 1

−1 0





1 1 −i i

=



i 0

  1 i 0 −i 2i i

 −1 1

Pro obecnou matici rotace se dá analogicky spo£ítat, ºe



− sin α cos α

cos α sin α



 =

1 1 −i i

  iα e 0

0



e−iα

1 2i



−1 1

i i



3. Diagonalizace symetrické matice A ∈ Cm×n , pak A¯ ozna£uje matici stejného typu, jejíº kaºdý element a ¯ij + ¯T je komplexn¥ sdruºený k odpovídajícímu elementu aij matice A. Matice A := A se nazývá matice hermitovsky sdruºená k matici A. Nech´

Nech´ A ∈ Cm×n , B ∈ Cn×p . Pak

Tvrzení 35.

(AB)+ = B + A+

Pokud m = n a A je regulární, pak (A+ )−1 = (A−1 )+ . ¯ . Vztah (AB)+ = B + A+ C plyne, ºe AB = A¯B −1 + + pak plyne z tvrzení 6. Druhá £ást v¥ty vyplývá z (A ) A = (AA−1 )+ = E + = E a jednozna£nosti inverzní matice.  D·kaz. Z vlastností operací na

A+ = A,

Pokud

V¥ta 19.

je reálné.

°íkáme, ºe

Nech´ A ∈ C

n×n

A

je

je hermitovská matice. Pak kaºdé její vlastní £íslo

λ ∈ C, v ∈ C n + vyuºitím A = A

D·kaz. Pokud

¯ +. λv

Pak s

Protoºe

v+ v =

Pn

i=1

hermitovská matice.

spl¬ují

Av = λv,

máme z tvrzení 35 i

v + A+ =

¯ +v λv+ v = v+ Av = v+ A+ v = λv ¯. |vi |2 6= 0 pro v 6= 0, musí být λ = λ



Speciálním p°ípadem hermitovské matice je reálná symetrická matice, tedy

AT .

Pokud

λ∈R

je její vlastní £íslo, pak i

A − λE

A=

je reálná matice a báze jejího

Rn .

jádra sestává z vektor· z

Nech´ A ∈ Rn×n je symetrická matice, λ, µ dv¥ r·zná vlastní £ísla matice A, v, w ∈ Rn p°íslu²né vlastní vektory, tj. v ∈ Vλ , w ∈ Vµ . Pak v ⊥ w. Tvrzení 36.

D·kaz. Z

Av = λv

a

Aw = µw

T

plyne, ºe

µv w = v Aw = v AT w = (Av)T w = λvT w Protoºe

λ 6= µ,

musí být

Má-li matice

A

T

T

vT w = 0,

v²ech

n

neboli

v ⊥ w.



vlastních £ísel vzájemn¥ r·zných, je v bázi z vlastních

vektor· kaºdý vektor kolmý na kaºdý jiný. Takové bázi se °íká

ortogonální. Pozd¥ji

ukáºeme, ºe ortogonální bázi z vlastních vektor· lze najít pro kaºdou symetrickou matici. Z kaºdé ortogonální báze

(v1 , . . . , vn )

v

Rn

lze vytvo°it bázi

( kvv11 k , . . . , kvvnn k )

,

která je stále ortogonální a navíc má kaºdý vektor normu 1. Taková báze se nazývá

ortonormální. Protoºe kvk2 = vT v, plyne odtud Tvrzení 37.

U

T

=U

−1

.

Nech´ B = (u1 , . . . , un ) je ortonormální báze Rn , U = [Id]K B . Pak

D·kaz. Platí

U T U = (u1 | . . . |un )T (u1 | . . . |un ) = E .



3. DIAGONALIZACE SYMETRICKÉ MATICE

66

U s vlastností U T U = E se nazývá ortogonální matice. Pokud tedy A je reálná n × n symetrická matice, která má n vzájemn¥ r·zných T vlastních £ísel, víme, ºe musí existovat ortogonální matice U taková, ºe U AU je Reálná £tvercová matice

diagonální. N¥kolik pozorování k ortogonálním maticím:

FR ∈ End(Rn ), kde R kRvk = vT RT Rv = kvk2 .

(1) Endomorsmus nebo´

je ortogonální, zachovává normu,

2

(2) Zachovává i skalární sou£in, protoºe ten lze vyjád°it pomocí norem

1 (kv + wk2 − kv − wk2 ) 4 2 T T T Sta£í ov¥°it, ºe kv ± wk = v v ± 2v w + w w. Naopak kaºdá £tvercová matice U , která zachovává skalární sou£in, tedy (U v)T U w = vT w pro libovolné v, w, je ortogonální, protoºe (U ei )T U ej = ei T U T U ej se rovná ij -tému elementu matice U T U a ei T ej je 1 práv¥ kdyº i = j , jinak 0. Tedy nap°íklad matice rotace vzhledem ke kanonické bázi vT w =

(3)

je také ortogonální matice. (4) Snadno se ov¥°í, ºe mnoºina v²ech

n×n

ortogonálních matic tvo°í grupu,

U −1 = U T je T matice U RU ,

tedy sou£in dvou ortogonálních matic je ortogonální matice a

U je ortogonální matice. Pak i U, R jsou ortogonální, je ortogonální. Pokud tedy B je ortonormální K B báze a U = [Id]B , pak [FR ]B je ortogonální matice, neboli zobrazení ur£ené ortogonální matice, pokud

kde

ortogonální maticí vzhledem ke kanonické bázi je reprezentované ortogonální maticí i ke v²em ostatním ortonormálním bázím.

FR , kde R je reálná ortogonální matice, jako endomorsmus Cn a v ∈ C je jeho nenulový vlastní vektor p°íslu²ný vlastnímu £íslu λ ∈ C, pak ¯ + v = (Rv)+ (Rv) = v+ R+ Rv = v+ RT Rv = v+ v, λλv

(5) Chápeme-li prostoru

tedy musí být kové kruºnici

¯ = |λ|2 = 1, λλ v C.

neboli vlastní £ísla

FR

musí leºet na jednot-

Podrobn¥ji se t¥mito vlastnostmi budeme zabývat v kapitole o obecném skalárním sou£inu v letním semestru.

KAPITOLA 12

Direktní sou£et P°ipome¬me z první kapitoly ortogonální projekci nenulového vektoru

x∈R

n

Px ∈ End(Rn )

do sm¥ru

:

x.y x kxk2 Zvolme B1 = (rx) bázi prostoru hxi a B2 = (u1 , . . . , un−1 ) n¥jakou bázi ortogonál⊥ n ního dopl¬ku x . Pro bázi R ve tvaru B = (rx, u1 , . . . , un−1 ) má reprezentace Px Px (y) =

jednoduchý tvar

 1 0  [Px ]B B =  .. . 0 Máme tedy dvojici podprostor· jich bází

B1 , B2

0 0

... ... ..

0

.

...

 0 0  . . . 0

W1 := hxi, W2 := x⊥

takových, ºe sjednocením je-

vznikne báze celého prostoru. Práv¥ taková kongurace se popisuje

pomocí direktního sou£tu.

1. Sou£et a direktní sou£et Definice 35. Nech´

prostory. Pak jejich jako sou£et

V

je vektorový prostor nad

sou£tem W1 + W2

w1 + w2 ,

kde

wi ∈ Wi .

R3

a

W1 , W2

jeho dva pod-

W1 ∩ W2 = 0, nazýváme W1 + W2 W1 ⊕ W2 . Pokud W1 ⊕ W2 = V , pak

Pokud navíc

direktní sou£et podprostor· a ozna£ujeme W2 je dopl¬kem podprostoru W1 ve V . P°íklady 5. V

F

je mnoºina v²ech vektor·, které lze zapsat jej

jsou co do moºných dimenzí t°i netriviální p°íklady sou£tu

podprostor·:

* + * + *   + 1 0 1 0 • Dv¥ r·zné p°ímky, nap°. 0 ⊕ 1 = 0 , 1 0 0 0 0 *   + *   + 1 0 0 0 • Dv¥ r·zné roviny, nap°. 0 , 1 + 1 , 0 = R3 , ale sou£et 0 0 0 1 není direktní, protoºe pr·nikem rovin je jejich pr·se£nice. *1 0+ *0+ • Rovina a p°ímka v ní neleºící, nap°. 0 , 1 ⊕ 0 = R3 . 0 0 1 Zbylé moºnosti by zahrnovaly bu¤ triviální podprostory

0

a

R3 ,

nebo situaci, kdy

je jeden podprostor rovný druhému podprostoru nebo je jeho podprostorem. Tvrzení 38. Kaºdý prvek W1 ⊕ W2 lze zapsat jako sou£et vektoru z w1 ∈ W1 a vektoru w2 ∈ W2 práv¥ jedním zp·sobem. D·kaz. Sta£í ukázat jednozna£nost. Pokud by existovaly

W2 takové, ºe w1 + w2 = w10 + w20 , pak w1 − w10 = pat°í do W1 , pravá do W2 , musí tedy být ob¥ nula. 67

w20

− w2 .

w1 , w10 ∈ W1 , w2 , w20 ∈ Levá strana rovnosti



1. SOU£ET A DIREKTNÍ SOU£ET

68

Sjednocení dvou podprostor· obecn¥ není podprostor (sta£í si p°edstavit dv¥ r·zné p°ímky v

R2 ),

ale sou£et ano:

Tvrzení 39. Pokud W1 , W2 jsou podprostory ve V , pak W1 + W2 = hW1 ∪ W2 i, tedy sou£et podprostor· je také podprostor. Pokud M1 je mnoºina generátor· W1 a M2 je mnoºina generátor· W2 , pak jejich sjednocení M1 ∪ M2 generuje W1 + W2 . D·kaz. Kaºdý sou£et vektor·

w1 + w2

je lineární kombinací prvk· z

M1 ∪ M2 .

a lze jej zapsat jako lineární kombinaci prvk· z kombinaci prvk· z

W1 ∪ W2

lze zapsat jako sou£et vektoru z

pro lineární kombinaci prvk· z

W 1 ∪ W2

Naopak kaºdou lineární

W1

a z

W2 ,

stejn¥ tak

M1 ∪ M2 .



Tuto charakterizaci sou£tu m·ºeme roz²í°it na sou£et libovolného mnoºství podprostor·: Definice 36. Nech´

Pak denujeme jejich

W

je mnoºina podprostor· ve vektorovém prostoru

sou£et

V.

jako

* X

+ [

W :=

W ∈W

W

W ∈W

I zde je z°ejmé, ºe sjednocení mnoºin generátor· jednotlivých podprostor· generuje jejich sou£et. Je t°eba si uv¥domit, ºe a£koli mnoºina v

P

W ∈W W

W

m·ºe být nekone£ná,

se vyskytují jen sou£ty kone£n¥ mnoha vektor·.

V¥ta 20 (O dimenzi sou£tu a pr·niku).

dimenze. Pak

Nech´ W1 , W2 ≤ V , oba kone£né

dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ) (u1 , . . . , up ) je báze W1 ∩ W2 . Dopl¬me ji podle d·sledku 2 na (u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq ) prostoru W1 a na bázi (u1 , . . . , up , w1 , . . . , wr ) prostoru Posloupnost (u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ) generuje W1 + W2 , ukáºeme, ºe

D·kaz. Nech´

bázi

W2 .

je lineárn¥ nezávislá. Pokud

p X

ai ui +

i=1

q X

bi v i +

i=1

r X

ci wi = o

i=1

P P P ai , bi , ci , pak ai ui + bi vi = − ci wi je vektor, který je díky tvaru levé strany ve W1 a zárove¬ díky tvaru pravé strany ve W2 . Je tedy ve Pp W1 ∩ W2 a lze jej zapsat jako i=1 di ui . Pak ale pro n¥jaké skaláry

p X

di ui +

i=1

di , ci

ci wi = o,

i=1

coº z lineární nezávislosti posloupnosti koecienty

r X

(u1 , . . . , up , w1 , . . . , wr ) znamená, ºe v²echny

jsou rovny nule. Pak ale

p X i=1

ai ui +

q X

bi vi = o,

i=1

(u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq ) dovodíme, ºe i v²echny ai , bi (u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ) je báze W1 + W2 a sta£í

takºe z lineární nezávislosti jsou rovny nule. Tedy

jen ov¥°it, ºe dimenze spl¬ují

p + q + r = (p + q) + (p + r) − p 

2. BLOKOVý ZÁPIS

Pro direktní sou£et tedy platí sloupnost

(B1 , B2 ),

kde

Bi

je báze

69

dim(W1 ⊕ W2 ) = dim W1 + dim W2 . Navíc poWi , je bází W1 ⊕ W2 . Chceme denovat direktní

sou£et více neº dvou podprostor· tak, aby pro n¥j platily analogické vlastnosti. Mohli bychom zkusit poºadovat, ºe sou£et t°í podprostor·

W1 , W2 , W3

je direktní,

pokud v²echny pr·niky dvojic i celé trojice jsou nulové, ale to nefunguje: sta£í uvaºovat t°i r·zné p°ímky v

R3 ,

z jejich pr·nik· není poznat, zda jejich sjednocení

generuje celý prostor nebo jen rovinu. Zaloºíme tedy denici na tvrzení 38. Definice 37. Nech´

za

direktní,

w i ∈ Wi ,

W1 , . . . , Wk ≤ V . Pak sou£et W = W1 +. . .+Wk ozna£íme w ∈ W zapsat jako sou£et w1 + . . . + wk , kde

pokud lze kaºdý vektor

práv¥ jedním zp·sobem. Ozna£ujeme jej pak

W = W1 ⊕ . . . ⊕ W k ≡

k M

Wi

i=1 V¥ta 21.

Nech´ W1 , . . . , Wk ≤ V jsou kone£né dimenze. Pak dim(W1 ⊕ . . . ⊕ Wk ) = dim W1 + . . . + dim Wk

Wi , pak ukáºeme, ºe (B1 , . . . , Bk ) je báze W1 ⊕ . . . ⊕ w ∈ W1 + . . . + Wk lze zapsat jako sou£et w1 + . . . + wk , kde wi ∈ Wi , a kaºdý wi lze zapsat jako lineární kombinaci prvk· posloupnosti Bi . Tedy w lze zapsat jako lineární kombinaci prvk· posloupnosti (B1 , . . . , Bk ). Kdyby 0 0 0 existoval druhý takový zápis, pak jej zapi²me jako w1 + . . . wk , kde wi je lineární 0 kombinace prvk· Bi . Protoºe sou£et W1 ⊕ . . . ⊕ Wk je direktní, musí být wi = wi pro v²echna i, a protoºe Bi jsou báze, jsou koecienty lineární kombinace tvo°ící wi0 ur£eny jednozna£n¥. Tedy koecienty v zápisu w jako lineární kombinace prvk· posloupnosti (B1 , . . . , Bk ) jsou ur£eny jednozna£n¥, a tedy dle tvrzení 17 (nebo dle denice 18) je to báze W1 ⊕ . . . ⊕ Wk .  D·kaz. Nech´

Wk .

Bi

je báze

Libovolný vektor

Bázi direktního sou£tu, která vznikne z bází jednotlivých s£ítanc·, budeme °íkat

báze pod°ízená direktnímu sou£tu, pop°ípad¥ rozkladu. Direktní sou£et jakoºto

B = ((1, 1), (1, −1)) je h(1, 0)i ⊕ h(0, 1)i = R2 , jejíº prvky neleºí v ºádném z direktních 2 Pokud bychom R zapsali jako direktní sou£et h(1, 1)i ⊕ h(1, −1)i, pak by

podprostor má samoz°ejm¥ mnoho dal²ích bází, nap°íklad báze prostoru s£ítanc·.

B

tomuto rozkladu pod°ízená byla.

2. Blokový zápis V = W = W1 ⊕ W2 a jejich dimenze n = n1 + n2 a m = m1 + m2 . Pokud Bj B je báze Vj , B = (B1 , B2 ) báze V , v = v1 + v2 , kde vi ∈ Vi a xi := [vi ] i , m·ºeme reprezentaci vektoru v zapsat blokovým zápisem    B  x1 [v1 ] 1 B [v] ≡ x = ≡ x2 [v2 ]B2 Uvaºujme dva vektorové prostory a jejich rozklady na direktní sou£et

V1 ⊕ V2

a

Aritmetický vektor o

n

sloºkách je zde zapsán jako vektor sloºený ze dvou blok·,

jimiº jsou aritmetické vektory o Ozna£me ι1

v1 ∈ V .

: V1 → V

n1 ,

resp.

n2

lineární zobrazení

sloºkách.

vloºení

denované p°edpisem ι1 (v1 )

Jeho reprezentace pak spl¬uje

B B1 [ι1 ]B = [v1 ]B = B1 x1 = [ι1 ]B1 [v1 ]

  x1 o

Tedy

    e1 e2 en1 E n1 = . . . =: , o o o 0 lze denovat ι2 : V2 → V .

[ι1 ]B B1 kde

0 ∈ Fn2 ×n1 .

Podobn¥

=

2. BLOKOVý ZÁPIS

70

projekce πi : W → Wi tak, ºe pro libovolný wi ∈ Wi , je πi (w) = wi . Pokud C = (C1 , C2 ) je báze W C a [wi ] i =: yi , pak   y1 C C1 1 1 [π1 ]C = [π1 ]C = y1 C C [w] = [w1 ] y2

Dále zave¤me lineární zobrazení

w ∈ W , w = w1 + w2 , sloºená z bází W1 , W2

kde

m1 ×m2 1 [π1 ]C . C = (e1 | . . . |em1 |o| . . . |o) =: (Em1 0), kde 0 ∈ F C m×n Uvaºujme nyní f ∈ Hom(V, W ) s reprezentací [f ]B = A ∈ F a £ty°i zení fij ∈ Hom(Vi , Wj ), fij = πi ◦ f ◦ ιj . Pro f11 máme reprezentaci    En1 C1 C1 C B [f11 ]B1 = [π1 ]C [f ]B [ι1 ]B1 = Em1 0 A =: A11 ∈ Fm1 ×n1 , 0

Tedy

kde

zobra-

A11 je matice vzniklá vy²krtnutím posledních n2 sloupc· a posledních m2 °ádk· A. Analogicky lze zavést matice    0 C1 C1 C B =: A12 ∈ Fm1 ×n2 [f12 ]B2 = [π1 ]C [f ]B [ι2 ]B2 = Em1 0 A En2    En1 C2 C2 C B [f21 ]B1 = [π2 ]C [f ]B [ι1 ]B1 = 0 Em2 A =: A21 ∈ Fm2 ×n1 0    0 C2 C2 C B [f22 ]B2 = [π2 ]C [f ]B [ι2 ]B2 = 0 Em2 A =: A22 ∈ Fm2 ×n2 En2   A11 A12 dávají dohromady blokový zápis matice A = . A21 A22

z matice

Ty

Nech´ n = n1 + n2 , m = m1 + m2 , p = p1 + p2 , A ∈ Fm×n , s bloky Aij ∈ Fmi ×nj , Bij ∈ Fni ×pj . Pak sou£in C := AB má blokový

Tvrzení 40.

B ∈F

n×p

zápis



C11 C21

C12 C22



 =

A11 B11 + A12 B21 A21 B11 + A22 B21

A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22



D·kaz lze provést rozepsáním

cij =

n X

aik bkj =

n1 X

aik bkj +

k=1

k=1

n X

aik bkj

k=n1 +1

a interpretací obou sum jako element· sou£inu n¥jakých blok· matic

g ∈ Hom(U, V ), U = U1 ⊕ U2 , D = (D1 , D2 ) U a πi0 , projekci V na Vi , rozmyslet si, ºe

m·ºeme zavést vloºení

Ui

do

A, B .

Nebo

pod°ízenou bázi,

ι0i ,

ι1 ◦ π10 + ι2 ◦ π20 = Id ∈ End(V ) a poté odvodit, ºe pro

q, r ∈ {1, 2}

(f ◦ g)pr = πq ◦ f ◦ g ◦ ι0r = πq ◦ f ◦ (ι1 ◦ π10 + ι2 ◦ π20 ) ◦ g ◦ ι0r = (πq ◦ f ◦ ι1 ) ◦ (π10 ◦ g ◦ ι0r ) + (πq ◦ f ◦ ι2 ) ◦ (π20 ◦ g ◦ ι0r ) = fq1 ◦ g1r + fq2 ◦ g2r , odkud dostáváme

C

C

C

B2 p 1 [(f ◦ g)pr ]Dpr = [fq1 ]Bp1 [g1r ]B Dr + [fq2 ]B2 [g2r ]Dr = Ap1 B1r + Ap2 B2r Protoºe direktní s£ítanec v rozkladu

V = V1 ⊕ V2

m·ºe být sám direktním

sou£tem n¥jakých svých podprostor·, mohou mít i jednotlivé bloky matice samy blokovou strukturu. Tvrzení se pak snadno zobecní pro matice s libovolným blokovým £len¥ním, pouze musí pro kaºdý vyskytující se sou£in blok·

Aik

stejn¥ sloupc·, jako má blok

Bkj

°ádk·.

Aik Bkj

mít blok

2. BLOKOVý ZÁPIS

Pro báze

Vi ,

71

f ∈ End(V ), V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk s bází B = (B1 , . . . , Bk ), kde Bi je Bi [f ]B B £tvercové matice [fii ]Bi , a pokud jsou zárove¬

jsou diagonální bloky

blokov¥ diagonální matici, jsou-li blokov¥ horní/dolní trojúhelníkové matici.

mimodiagonální bloky nulové, mluvíme o jen na jedné stran¥ diagonály, o

Pak

Nech´ A = diag(A11 , A22 , . . . , Akk ) je blokov¥ diagonální matice.

Tvrzení 41.

(1) (2) (3) (4) (5)

nulové

∀p ∈ N : Ap = diag(Ap11 , . . . , Apkk ) a jsou-li v²echny Aii regulární, pak i −p A−p = diag(A−p 11 , . . . , Akk ) rank(A) = rank(A11 ) + rank(A22 ) + . . . + rank(Akk ) Tr(A) = Tr(A11 ) + Tr(A22 ) + . . . + Tr(Akk ) det(A) = det(A11 ) det(A22 ) . . . det(Akk ) σ(A) = σ(A11 ) ∪ . . . ∪ σ(Akk ) v£etn¥ algebraických násobností.

Navíc £ásti 3,4 a 5 platí i pro horní/dolní trojúhelníkovou matici s týmiº diagonálními bloky. D·kaz. Sta£í uvaºovat

p + q = n.

k=2

a

A = diag(A0 , A00 ),

kde

A0 ∈ Fp×p , A00 ∈ Fq×q ,

Body 1 a 3 jsou jasné, v bod¥ 4 lze v denici determinantu uvaºovat

pro n¥º π(i) ≤ p pro v²echna i ∈ {1, . . . , p}. Rozloºme π = π 0 π 00 , kde π 0 je sloºení cykl· na mnoºin¥ {1, . . . , p} 00 0 a π sloºení cykl· na mnoºin¥ {p + 1, . . . , n}. Ozna£me ρ ∈ Sp permutaci, která 0 00 00 vznikne zúºením π na mnoºinu {1, . . . , p} a ρ ∈ Sq permutaci denovanou ρ (i) = P 00 π (i) − p. Pak je det(A) = π∈Sn sgn πa1π(1) . . . anπ(n) X X = sgn(π 0 π 00 )a1ρ0 (1) . . . apρ0 (p) ap+1,p+ρ00 (1) . . . ap+q,p+ρ00 (q) pouze permutace

π

π ∈ Sn ,

na nezávislé cykly, pak

ρ0 ∈Sp ρ00 ∈Sq

=

X

X

sgn(ρ0 )a01ρ0 (1) . . . a0pρ0 (p)

ρ0 ∈Sp

sgn(ρ00 )a001ρ00 (1) . . . a00qρ00 (q)

ρ00 ∈Sq

Z bodu 4 plyne 5, protoºe vlastní £ísla jsou ko°eny polynomu det(A − λEn ) = det(A0 − λEp ) det(A00 − λEq ). Bod 2 plyne z Gaussovy eliminace provedené zvlá²´ 0 00 na prvních p °ádk· a zvlá²´ na zbylých q °ádk·, kterou se A , A p°evedou do odstup¬ovaného tvaru, takºe jejich hodnost je rovna po£tu nenulových °ádk· z prvních

p, resp ze zbylých q . Celá matice A se tím rovn¥º dostala do odstup¬ovaného tvaru, takºe její hodnost je rovna po£tu nenulových °ádk· v celé upravené matici. Zobecn¥ní 3 horní/dolní trojúhelníkovou matici je z°ejmé, pro zobecn¥ní uv¥domit, ºe kaºdá permutace, kterou nelze napsat jako zobrazuje alespo¬ jeden index z mnoºiny

{1, . . . , p}

π 0 π 00

4

a

5

si sta£í

dle prvního odstavce,

do mnoºiny

{p + 1, . . . , n}

a

alespo¬ jeden index naopak. Tedy s£ítanec v denici determinantu p°íslu²ný této permutaci bude obsahovat alespo¬ jeden £initel z bloku nad diagonálou a alespo¬ jeden £initel z bloku pod diagonálou, p°i£emº alespo¬ jeden z t¥chto £initel· je



nulový. P°íklad 19. Nech´

hxi

sloºená z bází vektor z

Fn−1 .

a

x



.

x ∈ Rn , kxk = 1, Px (y) = (x.y)x a B = (B1 , B2 ) je báze n−1×n−1 Ozna£me 0n−1 nulovou matici z F a on−1 nulový

Pak

[Px ]B B = a matice zrcadlení



1 on−1

 oTn−1 , 0n−1

Zx⊥ = Id −2Px

[Px⊥ ]B B =



0 on−1

má blokový tvar

[Zx⊥ ]B B

 =

−1 on−1

oTn−1 En−1



oTn−1 En−1



2. BLOKOVý ZÁPIS

Pokud

φ

n=3

a

B2

vzhledem k bázi

je ortonormální báze

B

x⊥ ,

72

pak matice rotace okolo osy

hxi

[Rx,φ ]B B =



oT2 2 [Rφ ]B B2

1 o2



  1 0 0 = 0 cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ 

P°íklad 20. Uvaºujme blokov¥ horní trojúhelníkovou matici

kde

o úhel

je

A ∈ Fp×p , C ∈ Fq×q jsou regulární. Pak platí  −1    −1 A −A−1 BC −1 A B A A = 0 C −1 0 C 0

D :=

A−1 B − A−1 B C −1 C

A 0

B C

 ,



Matice napravo je jednotková, tedy D je regulární a první matice nalevo je rovna D−1 . Jak jsme mohli inverzní matici uhodnout? Sta£í se podívat na výpo£et inverzní matice k 2 × 2 matici s elementy a, b, c z F, a, c 6= 0:    1  −1 b 1 c −b a b − ac a = = 1 0 c 0 ac 0 a c Mezi tvary blokového a neblokového inverzu je z°ejmá analogie, aº na to, ºe matice

A−1 , B, C −1

na rozdíl od prvk·

a−1 , b, c−1

nekomutují a nemusí jít ani v jiném

po°adí vynásobit. Jako ilustraci pouºití blokových matic v d·kazech uve¤me Tvrzení 42.

Nech´ A, B ∈ Fn×n . Pak σ(AB) = σ(BA) v£etn¥ násobností.

D·kaz. Výpo£tem ov¥°íme, ºe



En 0n

Levá strana má tvar

−A En

 AB B

RCR−1 ,

0n 0n

 En 0n

tedy matice

A En C



 =

0n B

a matice

C0

0n BA



na pravé stran¥ jsou

C i C 0 jsou ob¥ 0 blokov¥ dolní trojúhelníkové, platí pro n¥ σ(C) = σ(AB) ∪ σ(0n ), σ(C ) = σ(BA) ∪ σ(0n ) v£etn¥ násobností.  podobné a mají stejná vlastní £ísla v£etn¥ násobností. Protoºe

m×n Tvrzení i d·kaz se snadno zobecní na obdélníkové matice A ∈ C , B ∈ n×m C , pouze se bude u AB a BA li²it algebraická násobnost vlastního £ísla nula.

KAPITOLA 13

Skalární sou£in Skalární sou£in umoº¬uje denovat na vektorovém prostoru geometrické vlastnosti jako vzdálenost, kolmost nebo úhel. To se hodí nejen v geometrii samotné, ale také t°eba k zavedení konvergence posloupností funkcí nebo popisu chyb p°i numerickém po£ítání s maticemi. S komplexním skalárním sou£inem se setkáte v kvantové mechanice p°i popisu pravd¥podobnosti p°echodu jednoho stavu do druhého. Mnoho oblastí matematické fyziky se neobejde bez r·zných variant ortogonálních polynom· a jiných funkcí, p°íkladem mohou být Fourierovy °ady nebo multipólový rozvoj. Metody jako lineární regrese ukazují vyuºití skalárního sou£inu v analýze dat.

Doposud jsme m¥li skalární sou£in denovaný pouze na

Rn

v·£i ortonormální

bázi p°edpisem

x.y =

n X

xi yi ≡ xT y

i=1 Pomocí n¥j jsme pak zavedli velikost vektoru, vzdálenost vektor·, ortogonální dopln¥k, ortogonální projekci, ortogonální matici a dal²í pojmy.

V . UvaB, B 0 a vektory u, v ∈ V v·£i nim vyjád°ené jako 0 y := [v]B , y0 := [v]B . Jelikoº x = Rx0 , kde R je ma-

Tuto denici budeme chtít zobecnit na libovolný vektorový prostor ºujme jeho libovolné báze 0

x := [u]B , x0 := [u]B , 0 tice p°echodu od B k B .

Pak

xT y = x0T RT Ry0 Protoºe

RT R

není obecn¥ jednotková matice, výrazy

sou£in vektor·

u, v ∈ V

xT y

a

x0T y0

se li²í. Skalární

nelze zadenovat jednozna£n¥ pomocí jejich reprezentací,

coº znamená, ºe skalárních sou£in· na V musí být víc. Práv¥ proto je nutné zadenovat n¥jaké základní vlastnosti, které mají spl¬ovat.

V je vektorový V , pakliºe ∀u, v, w ∈ V , r, s ∈ R:

Definice 38. Nech´

je

skalární sou£in (1)

prostor nad

R.

Zobrazení

g :V ×V →R

na

g(ru + sv, w) = rg(u, w) + sg(v, w) g(u, rv + sw) = rg(u, v) + sg(u, w) (2) (3)

∀u, v ∈ V : g(u, v) = g(v, u) ∀u ∈ V, u 6= 0 : g(u, u) > 0

Zobrazení g : V × V → R spl¬ující pouze vlastnost (1) nazýváme bilineární forma, spl¬uje-li navíc (2), pak je symetrická, spl¬uje-li i (3), pak je pozitivn¥ denitní. Ov¥°te sami, ºe zobrazení g : Rn × Rn → R denovaná g(x, y) := xT y, které n se nazývá standardní skalární sou£in na vektorovém prostoru R , tyto vlastnosti spl¬uje. Úvaha nad denicí ukazuje, ºe na jiných vektorových prostorech ºádný  standardní skalární sou£in zavést nem·ºeme. 73

13. SKALÁRNÍ SOU£IN

74

Dal²í potíºe jsou s roz²í°ením denice na komplexní vektorové prostory. Zobrazení

g : C2 × C 2 → C

g(x, y) = xT y

stejným p°edpisem

sice bude spl¬ovat

vlastnosti (1) a (2), ale s vlastností (3) vzniknou potíºe, jak ukazují p°íklady

1

   1 i = 0, 0 i

   0 i = −1, 0 i

 1+i



0 1+i

 = 2i,

.

V je vektorový V , pakliºe ∀u, v, w ∈ V , r, s ∈ C:

Definice 39. Nech´

je

skalární sou£in (1)

prostor nad

C.

Zobrazení

g :V ×V →C

na

g(ru + sv, w) = r¯g(u, w) + s¯g(v, w) g(u, rv + sw) = rg(u, v) + sg(u, w) (2) (3)

∀u, v ∈ V : g(u, v) = g(v, u) ∀u ∈ V, u 6= 0 : g(u, u) > 0

Zobrazení spl¬ující vlastnost (1) se nazývá

seskvilineární forma, termín vychází

z latinského výrazu pro  jeden a p·l , protoºe zobrazení je v druhém argumentu lineární a v prvním

antilineární. N¥kdy se m·ºete setkat i s opa£nou konvencí, kdy je

skalární sou£in denován jako antilineární v druhém a lineární v prvním argumentu.

Cn

Standardní skalární sou£in na

je denován p°edpisem

g(x, y) := x+ y.

Ov¥°te

op¥t sami, ºe spl¬uje vlastnosti (1), (2) a (3). Dvojice

(V, g), kde V

je vektorový prostor a

prostor se skalárním sou£inem

nebo téº

g skalární sou£in na n¥m, se nazývá

unitární prostor.

V je vektorový prostor a g bilineární/seskvilineární forma dim V = n a B = (ui )n1 báze V , pak matice [g]B ∈ Cn×n , jejíº ij g(ui , uj ), se nazývá matice bilineární/seskvilineární formy vzhledem

Definice 40. Nech´

na n¥m. Je-li tý element je

k bázi B . Je-li forma vzhledem k bázi B .

skalárním sou£inem, mluvíme o

Díky vlastnosti (1) matice

G ≡ [g]B

matici skalárního sou£inu

skalárního sou£inu jednozna£n¥ denuje

jeho hodnotu na libovolné dvojici vektor·:

 g(u, v) = g 

n X

xi ui ,

i=1 Vlastnost (2) znamená, ºe víme o

n X



j=1

gij = g¯ji ,

x+ Gx > 0 pro libovolný G = diag(g11 , . . . , gnn ), pak by

x ¯i yj g(ui , uj ) = x+ Gy

i,j=1 tedy, ºe

hermitovské seskvilineární form¥.

plyne, ºe

n X

yj uj  =

G

je hermitovská matice, proto mlu-

Z pozitivní denitnosti (3) pro matici

nenulový

x ∈ Cn .

G

Kdyby byla matice diagonální

x+ Gx = g11 x¯1 x1 + . . . + gnn x¯n xn > 0, coº nastává práv¥ kdyº Definice 41. Je-li

gii > 0 V

pro v²echna

formy g , pakliºe je matice [g]B 0 R = [Id]B B0

g symetrická B 0 = (u0i )n1 ve V

vektorový prostor a

tovská seskvilineární forma na n¥m. Bázi

Je-li

i ∈ {1, . . . , n}. bilineární, resp. herminazýváme

polární báze

diagonální.

matice p°echodu od

B

k

B0,

platí tedy

u0p =

Pn

  n n n X X X + g(u0p , u0q ) = g  rip ui , rjq uj  = rpi gij rjq , i=1

j=1

neboli

[g]B 0 ≡ G0 = R+ GR = [Id]B B0

i,j=1

+

[g]B [Id]B B0

i=1 rip ui . Pak

13. SKALÁRNÍ SOU£IN

75

Tedy matice bilineární, resp. seskvilineární formy se p°i zm¥n¥ báze transformují podle vztah·

G0 = RT GR,

resp.

G0 = R+ GR

Uv¥domte si rozdíl oproti transforma£ní formuli pro matici endomorsmu

R

−1

A0 =

AR. Pokud tedy dokáºeme nalézt matici

R

takovou, ºe

RT GR,

resp.

R+ GR

je dia-

gonální, na²li jsme i polární bázi a m·ºeme ov¥°it, zda je forma pozitivn¥ denitní. še to vºdy jde nám zaru£uje následující v¥ta: V¥ta 22. Kaºdá symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru V kone£né dimenze má polární bázi, stejn¥ tak kaºdá hermitovská seskvilineární.

V d·kazu se nám bude hodit tzv. polariza£ní identita:

Je-li g hermitovská seskvilineární forma na V nad C, pak ∀u, v ∈

Tvrzení 43.

V platí, ºe

1 (g(u + v, u + v) − g(u, u) − g(v, v)) 2 1 Im g(u, v) = (g(iu + v, iu + v) − g(u, u) − g(v, v)) 2 Pro symetrickou bilineární formu na V nad R Re g(u, v) =

g(u, v) =

1 (g(u + v, u + v) − g(u, u) − g(v, v)) 2

D·kaz tvrzení. Sta£í rozepsat dle vlastností (1) a (2)

g(u + v, u + v) = g(u, u) + g(u, v) + g(v, u) + g(v, v) = g(u, u) + 2 Re g(u, v) + g(v, v) 

a podobn¥ pro imaginární £ást. Reálná verze se dokáºe stejn¥.

D·kaz v¥ty. V¥tu dokáºeme pro komplexní p°ípad indukcí podle dimenze

V.

Pro

dim V = 1

není co dokazovat, protoºe kaºdá

1×1

matice je diagonální.

n, g je nenulová. Z polariza£ní identity plyne, ºe existuje n vektor u1 ∈ V , pro který g(u1 , u1 ) 6= 0. Dopl¬me jej na bázi B = {ui }1 prostoru V 0 + a ozna£me G := [g]B . Chceme najít R takové, aby G = R GR byla diagonální. P°edpokládejme nyní, ºe tvrzení platí pro v²echny prostory dimenze men²í neº ºe

V

má dimenzi

n

a ºe

Volme nejprve matici p°echodu ve speciálním tvaru a pi²me blokov¥

  g11 h+ 1 G1 := = ˜ 0 h G   + + g11 r g11 + h = ˜0 g11 r + h G R1+ GR1



1 r

0 E

r+ E



+ ˜ ˜ 0 := G+rh G +hr+ +g11 rr+ je symetrická matice. Protoºe g11 = g(u1 , u1 ) 6= 0, 1 m·ºeme volbou r = − g11 h zajistit, ºe G1 bude blokov¥ diagonální. Podle induk£˜ , ºe R ˜+G ˜0R ˜ je diagonální. Pak ale ního p°edpokladu existuje matice R     1 0 1 0 + ˜ + R1 GR1 0 R ˜ 0 R kde

je hledaná diagonální

G0 .

D·kaz pro reálný p°ípad se provede obdobn¥.

g : R2 × R2 → R s p°edpisem  1 1 y ≡ x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 5x2 y2 1 5

P°íklad 21. Uvaºujme t°eba

g(x, y) := xT





13. SKALÁRNÍ SOU£IN

Pouºijeme-li jako

R1T

matici vhodné °ádkové úpravy, získáme

R1T GR1 = kde polární bázi

[Id]K B.

76



 0 1 1 1

1 −1

1 5

 1 0

  −1 1 = 1 0

 0 =: [g]B , 4

B = ((1, 0), (−1, 1)) £teme jako sloupce matice p°echodu R1 = R zprava se chová jako sloupcová úprava odpovídající °ád-

Násobení maticí

R1T .

kové úprav¥

Vzhledem k asociativit¥ násobení matic je jedno, která z nich se

provede d°ív. Úpravám typu

G → RT GR

se °íká

symetrické úpravy,

jejich kom-

G → R GR hermitovské úpravy. Protoºe 1 a 4 jsou kladná £ísla, je g je pozitivn¥ denitní a B je polární báze. Dal²í symetrickou úpravou, sestávající z vyd¥lení druhého °ádku a druhého sloupce £íslem 2, p°evedeme matici [g]B na +

plexní verzi

jednotkovou. Celý výpo£et se obvykle zaznamenává pomocí roz²í°ené matice



1 1 1 5

1 0

0 1



 ∼

1 0 0 4

1 −1

0 1



 ∼

1 0 0 1

1 − 12

0 1 2

 ,

kde v první polovin¥ matice provádíme symetrické úpravy a v pravé jen odpovídající úpravy °ádkové. Pak je na konci výpo£tu matice vpravo rovna matici

RT transponované k matici p°echodu ˜ = ((1, 0), 1 (−1, 1)) platí [g] ˜ = E . B

do polární báze. V na²em p°ípad¥ tedy pro

B

2

g je skalární sou£in na vektorovém prostoru V kone£né diB je ortogonální báze unitárního prostoru [g]B = E , je B báze ortonormální.

Definice 42. Pokud

menze a

(V, g).

B

je její polární báze, °íkáme, ºe

Je-li dokonce

Skalární sou£in budeme od nyn¥j²ka zna£it místo Definice 43. Nech´

(V, h, i)

g(u, v)

pouze

je unitární prostor. Dva vektory

hu, vi. u, v ∈ V

jsou

kolmé, pakliºe hu, vi = 0, zna£íme u ⊥ v . Je-li M ⊂ V , pak její ortogonální dopln¥k M ⊥ je mnoºina v²ech vektor· V kolmých na v²echny prvky M . Norma vektoru p u ∈ V je £íslo kuk = hu, ui, vzdálenost vektor· u, v ∈ V denujeme pomocí ní jako ρ(u, v) := ku − vk. Jsou-li u, v nenulové, pak jejich úhel denujeme jako |hu,vi| arccos kukkvk

v komplexním a jako

V¥ta 23 (Pythagorova).

hu,vi arccos kukkvk

v reálném p°ípad¥.

Pokud u ⊥ v , pak ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .

D·kaz. Sta£í dosadit do polariza£ní identity a pouºít denici kolmosti.

Ortogonální projekce

na nenulový vektor

v ∈ V

je zobrazení



Pv : V → V

denované p°edpisem

Pv (u) =

hv, ui v kvk2

Ortogonální projekci na ortogonální dopln¥k

Id −Pv ,

v⊥

je pak denována p°edpisem

tedy

Pv⊥ (u) = u −

hv, ui v kvk2

Nech´ V je unitární prostor nad F, u, v ∈ V , v 6= o. Pak Pv , Pv⊥ jsou lineární zobrazení Pv (v) = v , Ker Pv = v ⊥ , Im Pv = hvi, Ker Pv⊥ = hvi, Im Pv⊥ = v ⊥ P v ◦ Pv = Pv , Pv ⊥ ◦ Pv ⊥ = Pv ⊥

Tvrzení 44.

(1) (2) (3) (4)

D·kaz. První bod plyne z vlastnosti (1) skalárního sou£inu. Protoºe

Pv (u) =

hv, ui v = 0 ⇔ u ⊥ v, kvk2

Pv ⊥ =

13. SKALÁRNÍ SOU£IN

77

hv,ui kvk2 = 0, dosazením u = v plyne z denice normy Pv (v) = v . Vektor je vºdy násobkem v a volbou u = λv dokáºeme takto získat libovolný násobek

vidíme, ºe

Pv (u) v , tedy platí i t°etí Pv máme ∀u ∈ V

tvrzení druhého bodu. Obdobn¥ se dokáºe t°etí bod. Z linearity

 (Pv ◦ Pv )(u) = Pv

hv, ui v kvk2

 =

hv, ui hv, vi v = Pv (u), kvk2 kvk2 

a podobn¥ plyne i druhá £ást £tvrtého bodu.

ƒtvrtý bod tvrzení odpovídá obecné matematické denici projekce jako lineárního zobrazení, pro které

P2 ≡ P ◦P = P.

Je dobré si také uv¥domit, ºe první bod

hu,vi kvk2 v , které je antilineární. P°i denici projekce Pv tedy na po°adí vektor· v £itateli záleºí.

by v komplexním p°ípad¥ neplatil pro zobrazení

Pak

V¥ta 24 (Schwarzova nerovnost).

u 7→

Nech´ (V, h, i) je unitární prostor, u, v ∈ V .

|hu, vi| ≤ kukkvk,

p°i£emº rovnost platí, práv¥ kdyº je jeden z vektor· násobkem druhého. v = 0

D·kaz. Pro

Pv (u) ⊥ Pv⊥ (u).

|hu, vi|2 |hu, vi|2 kvk2 + kPv⊥ (u)k2 ≥ 4 kvk kvk2

V posledním kroku platí rovnost, práv¥ kdyº

v.

denice p°i£emº

Z Pythagorovy v¥ty pak

kuk2 = kPv (u)k2 + kPv⊥ (u)k2 = násobkem

v 6= o. Z u = Pv (u) + Pv⊥ (u),

tvrzení platí, p°edpokládejme tedy

ortogonální projekce a jejích vlastností platí, ºe

Násobením £íslem

kvk2

Pv⊥ (u) = o,

tj. práv¥ kdyº

dostáváme Schwarzovu nerovnost.

V¥ta 25 (Trojúhelníková nerovnost).

V . Pak

u

je



Nech´ (V, h, i) je unitární prostor, u, v ∈

ku + vk ≤ kuk + kvk D·kaz.

ku + vk2 = kuk2 + hu, vi + hv, ui + kvk2 = kuk2 + 2 Rehu, vi + kvk2 ≤ kuk2 + 2|hu, vi| + kvk2 ≤ kuk2 + 2kukkvk + kvk2 = (kuk + kvk)2 Ve t°etím kroku jsme vyuºili nerovnost

pro kaºdé komplexní £íslo, ve £tvrtém pak Posloupnost



a2 + b2 ≡ |a + ib|, která platí Schwarzovu nerovnost. 

Re(a + ib) ≤

(w1 , . . . , wk ) ve V , pro kterou platí hwi , wj i = δij (Kroneckerovo a 0 jindy) se nazývá ortonormální.

delta, tj. 1 pro i = j

Nech´ (V, h, i) je unitární prostor, (wi )k1 ortonormální posloupnost v n¥m, W její lineární obal. Denujme PW : V → V p°edpisem Tvrzení 45.

PW (u) := hw1 , uiw1 + . . . + hwk , uiwk ≡

k X

Pwi (u)

i=1

Pak (1) (2) (3) (4) (5)

u ∈ W práv¥ kdyº PW (u) = u; Im PW = W . PW ◦ PW = P W u − PW (u) ∈ W ⊥ ∀u ∈ V : kPW (u)k ≤ kuk, p°i£emº rovnost nastává práv¥ kdyº u ∈ W ∀v ∈ W : ku − PW (u)k ≤ ku − vk, p°i£emº rovnost nastává práv¥ kdyº v = PW (u).

13. SKALÁRNÍ SOU£IN

Podle druhého bodu je tedy togonáln¥ na

u∈V,

W.

projekce a podle prvního promítá vektor or-

PW (u)

ƒtvrtý bod °íká, ºe

je vektor

W,

který je nejblíºe vektoru

a ºe je tento vektor ur£en jednozna£n¥. Nezáleºí tedy na tom, pomocí které

ortonormální báze by

PW

78

(wi )k1

W

zobrazení

PW

zadenujeme. Snadno se ale ukáºe, ºe pokud

nebyla ortogonální bází, pak

Pk

i=1

Pwi

nebude spl¬ovat bod (1) a nebude

tedy projekcí.

PW (u) = u, pak je na pravé stran¥ u a na levé lineární kombiPk (wi )k1 , tedy u ∈ W . Naopak pokud u = j=1 rj wj ∈ W , pak * + k k k X X X PW (u) = wi , rj wj wi = rj hwi , wj iwi

D·kaz. Pokud

nace vektor· z

i=1

j=1

k X

=

rj δij wi =

i,j=1 Odtud plyne i

Im PW = W

a

i,j=1 k X

ri wi = u

i=1

(PW )2 = PW .

hwj , u − PW (u)i = hwj , ui −

k X

Pro d·kaz t°etího tvrzení spo£t¥me

hwi , wj ihwj , ui = hwj , ui −

i=1

k X

δij hwj , ui = 0

i=1

u−PW (u) je kolmé na v²echny vektory z (wi )k1 , tedy i na kaºdou jejich lineární ⊥ kombinaci, pat°í tedy do W . Díky prvnímu bodu je pak u−PW (u) ⊥ PW (u). Podle

Tedy

Pythagorovy v¥ty potom

kuk2 = kPW (u)k2 + ku − PW (u)k2 ≥ kPW (u)k2 , p°i£emº rovnost nastává práv¥ kdyº kdyº

u ∈ W.

PW (u) = u,

Podobn¥ v posledním bod¥ víme, ºe vektor

PW (u).

coº je podle prvního bodu práv¥

Tím je dokázán £tvrtý bod.

PW (u) − v ∈ W

je kolmý na

u−

Z Pythagorovy v¥ty aplikované na sou£et t¥chto vektor· dostáváme, ºe

ku − vk2 = ku − PW (u)k2 + kPW (u) − vk2 ≥ ku − PW (u)k2 , s rovností práv¥ v p°ípad¥ Tvrzení 46.

dimenze. Pak (1) (2) (3) (4)

v = PW (u).



Nech´ (V, h, i) je unitární prostor, W ≤ V je podprostor kone£né

W ⊕ W⊥ = V Ker PW = W ⊥ (W ⊥ )⊥ = W Pokud V je kone£né dimenze, pak dim W = dim V − dim W ⊥

D·kaz. Je-li

u ∈ V,

PW (u) + (u − PW (u)), ze V = W + W ⊥ . Je-li skalárního sou£inu tedy w = o,

pak se dá zapsat jako sou£et

t°etího bodu tvrzení 45 a denice sou£tu podprostor· tedy

w ∈ W ∩ W ⊥,

pak

hw, wi = 0,

z vlastnosti (3)

sou£et je tedy direktní.

v ∈ V jednozna£ný rozklad na sou£et v = PW (v) + (v − PW (v)). První sloºka PW (v) v roven druhé sloºce v − PW (v) ∈ W ⊥ . Tím je

Díky prvnímu bodu má kaºdý vektor vektoru z

W

a vektoru z

W ⊥,

a to

rozkladu je nulová, práv¥ kdyº je dokázáno druhé tvrzení.

w ∈ (W ⊥ )⊥ . Nech´ naopak pak je w ∈ (W ) . Z prvního bodu tvrzení 45 víme, ºe PW (w) ∈ W , ⊥ a ze t°etího bodu, ºe w − PW (w) ∈ W . Pak ale Pokud

w ∈ W,

pak je jist¥ kolmý na v²echny vektory

W ⊥,

tedy

⊥ ⊥

kw − PW (w)k2 = hw, w − PW (w)i − hPW (w), w − PW (w)i = 0 + 0,

13. SKALÁRNÍ SOU£IN

neboli

79

w = PW (w) ∈ W . Poslední bod tvrzení je aplikace v¥ty o dimenzi direktního 

sou£tu.

KAPITOLA 14

Ortogonalizace V minulé kapitole jsme denovali ortogonální projekci unitárního prostoru

V

W.

pomocí ortonormální báze ve

PW

na podprostor

W

Zatím ale nevíme, ºe ta-

ková báze v kaºdém unitárním prostoru existuje. Následující v¥ta °íká, ºe ano, a dává návod na její konstrukci ortogonalizací obecn¥ neortogonální báze. Libovoln¥ dlouhý za£átek zkonstruované báze navíc bude generovat stejný podprostor jako odpovídající za£átek báze p·vodní. V¥ta 26 (Gramova-Schmidtova ortogonalizace). Nech´ (V, h, i) je unitární prostor a B = (u1 , . . . , un ) jeho báze. Pak existuje ortonormální báze C = (w1 , . . . , wn ) prostoru V taková, ºe ∀k ∈ {1, . . . , n} platí hu1 , . . . , uk i = hw1 , . . . , wk i.

n. Pro n = 1 denuv1 a v¥ta platí triviáln¥. Nech´ n > 1 a p°edpoklákv1 k dejme platnost v¥ty pro v²echny prostory dimenze men²í neº n, tedy i pro prostor D·kaz. Budeme postupovat indukcí podle dimenze

jeme

v1 := u1

a

w1 :=

Wn−1 := hu1 , . . . , un−1 i. Podle induk£ního p°edpokladu v n¥m máme ortonormální (w1 , . . . , wn−1 ), kde pro ∀k ∈ {1, . . . , n − 1} platí hu1 , . . . , uk i = hw1 , . . . , wk i. Nyní ortogonalizujeme vektor un :

bázi

vn := un − PWn−1 (un ) = un −

n−1 X

hwi , un iwi

i=1 še je

vn

skute£n¥ kolmý na podprostor

Wn−1 , se m·ºeme p°esv¥d£it jeho skalárním j ∈ {1, . . . , n − 1} tak

vynásobením se v²emi p°edchozími vektory. Pro v²echna dostáváme

hwj , vn i = hwj , un i −

n−1 X

hwi , un ihwj , wi i = 0,

i=1

(wi )n−1 , tedy hwj , wi i je 1 n−1 rovno 1 pro i = j a 0 jinak. Kdyby vn = o, pak by un ∈ h(wi )1 i = Wn−1 . n−1 Z induk£ního p°edpokladu Wn−1 = h(ui )1 i, tedy by (u1 , . . . , un ) byla lineárn¥ n závislá, coº je v rozporu s p°edpokladem, ºe (ui )1 je báze. M·ºeme proto denovat vn wn := kvn k . To je vektor s normou 1, kolmý na v²echny vektory w1 , . . . , wn−1 . Z induk£ního p°edpokladu víme, ºe hw1 , . . . , wk i = hu1 , . . . , uk i pro v²echna k < n, a pro k = n to plyne z denice vektor· vn a wn .  kde poslední rovnost plyne z ortonormality posloupnosti

Sou£ástí d·kazu je i algoritmus výpo£tu. P°i ru£ním po£ítání je výhodn¥j²í normalizaci provést aº na záv¥r se v²emi vektory a

k -tý

krok Gramovy-Schmidtovy

ortogonalizace zapsat jako

vk := uk −

k−1 X i=1

P°íklad 22. V

R

4

hvi , uk i vi kvi k2

se standardním skalárním sou£inem ortogonalizujme po-

sloupnost

(u1 , u2 , u3 ) := ((1, 2, 2, −1), (1, 1, −5, 3), (3, 2, 8, −7)) 80

14. ORTOGONALIZACE

Za£neme vektorem

v2 := u2 −

v1 := u1

81

a dopo£teme vektor

hu2 , v1 i −10 v1 = (1, 1, −5, 3) − (1, 2, 2, −1) = (2, 3, −3, 2) 2 kv1 k 10

Vidíme, ºe skute£n¥

v2 ⊥ v 1 .

Spo£teme

kv2 k2 = 26, hu3 , v1 i = 30

a

hu3 , v2 i = −26,

takºe

30 −26 (1, 2, 2, −1) − (2, 3, −3, 2) = (2, −1, −1, −2), 10 26 op¥t vektor kolmý na v2 i v1 . Ortonormální báze pak bude   1 1 1 C = √ (1, 2, 2, −1), √ (2, 3, −3, 2), √ (2, −1, −1, −2) 10 26 10

v3 := (3, 2, 8, −7) − coº je

Nech´ C = (wi )n1 je ortonormální báze unitárního prostoru (V, h, i). Pak lze kaºdý vektor u ∈ V reprezentovat v·£i C jako Tvrzení 47 (Fourierovy koecienty).



hw1 , ui



  [u]C =  ...  ∈ Cn hwn , ui D·kaz. Sta£í si uv¥domit, ºe ortogonální projekce na podprostor

u = PV (u) =

n X

V

ve

V

je

hwi , uiwi ,

i=1

 Pojmenování Fourierovy koecienty pro takto vyjád°ené sou°adnice vektoru v·£i ortonormální bázi vychází ze souvislosti s Fourierovými °adami. Máme-li na

[−π, π], které jsou line1 , cos x, cos 2x, . . . , cos nx, sin x, sin 2x, . . . , sin nx denován 2 skalární sou£in p°edpisem vektorovém prostoru v²ech reálných funkcí na intervalu ární kombinací funkcí

hf, gi :=

1 π

Z

π

f (x)g(x)dx, −π

1 2 , cos x, . . . , cos nx, sin x, . . . , sin nx mální báze a koecienty ai , bi v rozvoji je zadaná posloupnost generátor·

f (x) =

n

n

k=1

k=1



ortonor-

X a0 X bk sin kx ak cos kx + + 2

mají vyjád°ení

Z 1 π f (x) cos kx π −π Z 1 π bi = hsin kx, f (x)i = f (x) sin kx π −π

ai = hcos kx, f (x)i =

V teorii Fourierových °ad se pak tato my²lenka zobec¬uje na situaci, kdy má prostor funkcí nekone£nou dimenzi a

f (x)

m·ºe být libovolná funkce, pro kterou její

∞ (ai )∞ 0 , (bi )1 konverguje. Z ∞ ∞ X X 1 π 2 2 |ak | + |bk | = f (x)2 dx, π −π

vyjád°ení nekone£nou °adou s koecienty

k=0 který se nazývá dující tvar:

Platí pak vztah

k=1

Parsevalova rovnost. V na²í kone£n¥ dimenzionální verzi má násle-

14. ORTOGONALIZACE

82

Tvrzení 48 (Parsevalova rovnost). Nech´ (V, h, i) je unitární prostor kone£né dimenze, C = (w1 , . . . , wn ) jeho ortonormální báze a u ∈ V . Pak

n X

|hwi , ui|2 = kuk2

i=1 D·kaz. Protoºe

u=

Pn

i=1 hwi , uiwi , dostáváme z denice normy, tvrzení 47 a

vlastností skalárního sou£inu

* 2

kuk = hu, ui =

=

n X n X

n X

n X hwi , uiwi , hwj , uiwj

i=1

j=1

hwi , uihwj , uihwi , wj i =

n X

+ =

|hwi , ui|2

i=1

i=1 j=1

 Zapí²eme-li

u=

Pn

i=1

xi wi ,

dá se Parsevalova rovnost p°epsat jako

kuk = je to tedy vyjád°ení normy na

Cn .

V

p

|x1 |2 + . . . + |xn |2 ,

pomocí standardní normy v prostoru sou°adnic

Obdobný vztah je mezi skalárním sou£inem na

sou£inem na

V

a standardním skalárním

Cn :

Tvrzení 49. Nech´ (V, h, i) je unitární prostor kone£né dimenze, C = (w1 , . . . , wn ) jeho ortonormální báze, u, v ∈ V , x = [u]C , y = [v]C . Pak

hu, vi =

n X

x ¯i yi

i=1 D·kaz.

hu, vi =

n n X n n E X DX X hwj , viwj = hwi , uiwi , hwi , uihwj , vihwi , wj i = j=1

i=1

=

n X

hwi , uihwi , vi =

i=1

i=1 j=1 n X

x ¯ i yi

i=1

 Tvrzení se dá rovn¥º dokázat pomocí polariza£ní identity a Parsevalovy rovnosti (Tvrzení 43 a 48). Skalární sou£in na

V

i na

Cn

se dají vyjád°it pomocí norem, a

ty se rovnají. P°íklad 23. Chceme-li vektor

u := u3 = (3, 2, 8, −7) vyjád°it v·£i C , po£ítáme

místo nehomogenní soustavy rovnic jen t°i Fourierovy koecienty:

√ 1 1 hw1 , ui = √ h(1, 2, 2, −1), (3, 2, 8, −7)i = √ 30 = 3 10, 10 10 √ 1 1 hw2 , ui = √ h(2, 3, −3, 2), (3, 2, 8, −7)i = √ (−26) = − 26, 26 26 √ 1 1 hw3 , ui = √ h(2, −1, −1, −2), (3, 2, 8, −7)i = √ 10 = 10 10 10 Otestujme, ºe platí i Parsevalova rovnost:

kuk2 = 9 + 4 + 64 + 49 = 126 3 X i=1

|hwi , ui|2 = 90 + 26 + 10 = 126

14. ORTOGONALIZACE

83

S Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací úzce souvisí maticový rozklad, který pat°í k nejd·leºit¥j²ím nástroj·m numerické lineární algebry.

Nech´ A ∈ Cm×n je matice s lineárn¥ nezávislými sloupci. Pak existuje práv¥ jedna dvojice matic Q ∈ Cm×n , R ∈ Cn×n taková, ºe V¥ta 27 (QR rozklad matice).

(1) (2) (3)

A = QR sloupce Q tvo°í ortonormální mnoºinu vzhledem ke standardnímu skalárnímu sou£inu na Cm R je horní trojúhelníková matice s kladnými £ísly na diagonále.

A = (a1 | . . . |an ) a budiº (q1 , . . . , qn ) ortonormální posloup(a1 , . . . , an ). PoQ := (q1 | . . . |qn ). Vyjád°ení ak pomocí Fourierových koecient·

D·kaz. Ozna£me

nost vzniklá Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací posloupnosti loºme

ak =

k X

hqi , ak iqi

i=1 zapi²me maticov¥ jako



 hq1 , a1 i hq1 , a2 i . . . hq1 , an i  0 hq2 , a2 i . . . hq2 , an i    (a1 | . . . |an ) = (q1 | . . . |qn )   . . .. . .   . . . 0 ... 0 hqn , an i Pk−1 0 Ozna£me qk := ak − i=1 hqi , ak iqi vektor ortogonální báze, která vzniká v Gramov¥Schmidtov¥ algoritmu p°ed normalizací. Pak

* hqk , ak i =

qk , q0k

+

k−1 X

+ hqi , ak iqi ,

= hqk , q0k i =



i=1

q0k , q0 kq0k k k



= kq0k k > 0

Druhá rovnost platí díky linearit¥ skalárního sou£inu ve druhém argumentu a ortogonalit¥ posloupnosti

(q1 , . . . , qk ).

Tím je dokázána existence

Q

a

R

s danými

vlastnostmi. Jednozna£nost dokáºeme sporem. P°edpokládejme ºe existují dva rozklady,

Q2 plyne Q+ 2 Q2 = E , R1 je + −1 regulární, máme tedy rovnost Q2 Q1 = R2 R1 . Inverzní matice k horní trojúhelníkové matici je horní trojúhelníková, sou£in dvou horních trojúhelníkových matic tedy

A = Q1 R1 = Q2 R2 .

Z ortonormality sloupc·

je rovn¥º horní trojúhelníková, zachovává se i kladnost prvk· na diagonále, z toho plyne, ºe první sloupec matice aº

Q1

n-tý

sloupec

Q2

R2 R1−1

je kladný násobek vektoru

jsou v²echny kolmé na první sloupec

leºí v lineárním obalu sloupc· matice

jejího druhého aº

n-tého

první sloupce mají normu

Q2

Q1 .

e1 .

Tedy druhý

Protoºe první sloupec

a zárove¬ v ortogonálním dopl¬ku

sloupce, musí být násobkem prvního sloupce

1

Q2 .

Oba

a jejich skalární sou£in je kladný, musí se tedy rovnat.

Analogickým zp·sobem ukáºeme rovnost ostatních odpovídajících si sloupc· matic

Q1

a

Q2 .

Pak je ov²em

Q+ 2 Q1 = E

a tedy

R1 = R2 .



A £tvercová, a tedy je Q+ Q = E , který je maticovým vyjád°ením ortonormality + sloupc·, znamená, ºe Q je inverzní maticí ke Q. Ta je ale inverzní i zprava, tedy + QQ = E , neboli ortonormální bázi Cn tvo°í i °ádky matice Q. D·kaz jednozna£nosti se trochu zjednodu²í, kdyº je

£tvercová i

Q.

Vztah

Definice 44. ƒtvercová matice

nazývá

U ∈ Cn×n

s vlastností

U +U = U U + = E

unitární. Reálná unitární matice se nazývá ortogonální.

Tvrzení 50.

unitární matice.

se

Jsou-li U, V ∈ Cn×n unitární matice, pak i U + ≡ U −1 a U V jsou

14. ORTOGONALIZACE

84



D·kaz. P°ímým dosazením do denice.

Tvrzení 51. Nech´ (V, h, i) je unitární prostor, B = (v1 , . . . , vn ), C = (w1 , . . . , wn ) jeho ortonormální báze. Pak je matice p°echodu U := [Id]B C unitární. D·kaz. Z denice matice p°echodu platí

wk =

Pn

i=1

uik vi

a tvrzení 49 pak

dává

δkj = hwk , wj i =

n X n X

uik ulj hvi , vl i =

i=1 l=1 tedy

U +U = E.

Protoºe

U

bázi

B

A :=

uik ulj δil =

i=1 l=1

je £tvercová, tak i

Matice p°echodu v opa£ném sm¥ru je mule pro matici

n X n X

[f ]B B endomorsmu

n X

u+ ki uij ,

i=1

U U + = E.



+ U −1 ≡ [Id]C B = U . Transforma£ní forf ∈ End(V ) vzhledem k ortonormální

pak je

C B B + A0 := [f ]C C = [Id]B [f ]B [Id]C = U AU 0 T nebo v reálném p°ípad¥ A = U AU . Zjistili jsme pozoruhodnou vlastnost, totiº ºe v ortonormálních bázích transforma£ní formule pro endomorsmy a pro bilineární resp. seskvilineární formy splývají. V dal²ích kapitolách se dozvíme, jak toho vyuºít nap°íklad p°i klasikaci kuºelose£ek. Poznámka 5. K £emu se m·ºe

Ax = b,

kde

A

QR

rozklad hodit? Uvaºujme soustavu rovnic

je regulární matice. Máme-li k dispozici

soustavu upravit na tvar

Rx = Q+ b.

Protoºe

R

QR

rozklad

A,

m·ºeme

je horní trojúhelníková matice, lze

tuto soustavu snadno vy°e²it postupným dosazováním odspoda. To je numericky stabiln¥j²í neº Gaussova eliminace, lze totiº ukázat, ºe násobení unitární maticí

Q+

nem¥ní velikost chyby ve vstupních datech (matici

Schmidtova ortogonalizace, která vedla k nalezení

QR

A

a vektoru

b).

Gramova-

rozkladu, sice také není nu-

mericky stabilní, ale existují jiné metody jeho nalezení, pomocí Householderových nebo Givensových transformací. Ty jsou realizovány pomocí unitárních matic a tedy op¥t nezv¥t²ují chyby ve vstupních datech.

KAPITOLA 15

Ortogonální diagonalizace V n¥kterých oblastech matematiky a fyziky (funkcionální analýza, kvantová teorie) se pouºívá místo pojm· (lineární) zobrazení mezi vektorovými prostory pojem

(lineární) operátor. Operátor mezi vektorovými prostory V

a

W

budeme zna£it

velkým tu£ným £i zdvojeným písmenem

A:V →W Av ∈ W ozna£uje obraz vektoru v ∈ V pomocí operátoru A. Budeme p°edpokláV a W jsou unitární prostory nad C a pojmem operátor rozum¥t vºdy line∗ ární operátor. Pokud V = W , mluvíme o operátoru na V . Operátor A : W → V , který spl¬uje ∀v ∈ V , w ∈ W

a

dat, ºe

hw, AviW = hA∗ w, viV , nazýváme operátor

adjungovaný

(£i

sdruºený ) k A. Indexy W, V

rozli²ují, ve kterém

z prostor· skalární sou£in po£ítáme. To je obvykle z°ejmé z kontextu, proto dále zna£íme oba skalární sou£iny jen

h, i. Pokud oba prostory popisujeme v·£i ortonor-

málním bázím, existuje jednoduchý vztah mezi operátorem a jeho operátorem k n¥mu adjungovaným:

n m Tvrzení 52. Nech´ B = (vi )1 , C = (wi )1 jsou ortonormální báze V , resp. W , m×n ∗ ∗ B A = [A]C ∈ C . Pak A existuje a [A ] = A+ ∈ Cn×m . B C Pm D·kaz. Z denice matice p°echodu víme, ºe Avj = i=1 aij wi . Denujme P n ∗ ∗ operátor A hodnotami na bázi C jako A wk := a ¯ v ki i . Ze seskvilinearity i=1 skalárního sou£inu a ortonormality bází plyne

* hwk , Avj i =

wk ,

m X

+ aij wi

i=1 ∗

hA wk , vj i = Pro libovolné vektory

hw, Avi =

w=

m X n X

* n X

+

=

m X

aij hwk , wi i = akj

i=1 n X

aki hvi , vj i = akj . a ¯ki vi , vj = i=1 i=1 Pm Pn k=1 rk wk ∈ W a v = j=1 sj vj ∈ V pak platí

rk sj hwk , Avj i =

k=1 j=1

m X n X

rk sj hA∗ wk , vj i = hA∗ w, vi

k=1 j=1

Z toho plyne, ºe takto denovaný operátor

A∗

spl¬uje denici operátoru adjungo-

+ jk -tý element jeho matice [A∗ ]B C roven akj ≡ ajk . Pokud by existoval jiný operátor B : W → V spl¬ující denici adjungovaného operátoru k A, pak by speciáln¥ musel být pro v²echna k ∈ {1, . . . , n} a j ∈ {1, . . . , m} spln¥n vztah hBwk , vj i = akj . Na levé stran¥ vztahu jsou Fourierovy koecienty vektor· Bwk vzhledem k bázi B . Tyto koecienty vektor Bwk jednozna£n¥ ur£ují a m posloupnost (Bwk )1 zase jednozna£n¥ ur£uje operátor B. 

vaného k

A.

Operace

+

Z jeho denice je



sdruºení operátoru je tedy v ortonormální bázích vyjád°ena operací

hermitovského sdruºení matic. 85

15. ORTOGONÁLNÍ DIAGONALIZACE

86

Tvrzení 53. Nech´ V, W, U jsou unitární prostory, A, B : V → W , G : U → V operátory, k nimº existují operátory adjungované, α, β ∈ C. Pak platí

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

¯ ∗ (αA + βB)∗ = α ¯ A∗ + βB ∗ ∗ ∗ (AG) = G A (A∗ )∗ = A Ker A = (Im A∗ )⊥ , Ker A∗ = (Im A)⊥ Ker A = Ker A∗ A Pokud je navíc dim V = n ∈ N, pak rank(A) = rank(A∗ ) a rank(A) = rank(A∗ A) v ∈ V platí v ⊥ A∗ w. Analo-

D·kaz. První t°i tvrzení plynou okamºit¥ z denice. Pro vektor

Av = 0,

práv¥ kdyº

∀w ∈ W

je

hAv, wi = 0,

tedy práv¥ kdyº

gicky se dokáºe i druhá p·lka £tvrtého tvrzení. Pro d·kaz pátého tvrzení nejprve p°edpokládejme, ºe

v ∈ Ker A∗ A.

Pak



0 = hA Av, vi = hAv, Avi = kAvk2 , coº nastává práv¥ tehdy, kdyº a tedy

A∗ (Av) = 0.

v ∈ Ker A.

Naopak pokud

v ∈ Ker A,

musí

Av = 0

’esté tvrzení odtud plyne aplikací v¥ty o hodnosti a nulit¥ na

£tvrté:

rank(A) = n − dim Ker(A) = n − dim(Im A∗ )⊥ = dim Im A∗ ≡ rank(A∗ ) 

a obdobn¥ i na páté tvrzení.

A : V → V se nazývá • samosdruºený, pokud A = A∗ . • unitární, pokud AA∗ = A∗ A = Id. • normální, pokud AA∗ = A∗ A.

Definice 45. Operátor

Z denice plyne, ºe samosdruºený nebo unitární operátor je nutn¥ také normální. Z tvrzení 52 má samosdruºený operátor vzhledem k ortonormální bázi hermitovskou matici, matice unitárního je unitární. Matice normálního operátoru komutuje se svou hermitovsky sdruºenou, tj.

normální.

A+ A = AA+ .

Taková matice se nazývá

Hlavní výsledek této kapitoly je V¥ta 29 o ortogonální diagonalizaci, která °íká, ºe jsou to práv¥ normální operátory a matice, které lze p°evést na diagonální tvar pomocí unitární matice p°echodu. Nejprve ukáºeme, ºe kaºdý operátor lze takto p°evést na horní trojúhelníkový tvar. Lemma 6. Nech´ V je unitární prostor dimenze n a (w1 , . . . , wk ) ortonormální posloupnost ve V . Pak lze tuto posloupnost doplnit na ortonormální bázi (w1 , . . . , wn ) prostoru V . D·kaz. Sta£í doplnit posloupnost na bázi

V

a pouºít na dopln¥nou posloup-

nost Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci.



V¥ta 28 (Schurova reprezentace operátoru). Nech´ V je unitární prostor kone£né dimenze, A operátor na n¥m. Pak existuje ortonormální báze B ve V taková, ºe matice [A]B B je horní trojúhelníková.

Nech´ A ∈ Cn×n . Pak existují U ∈ horní trojúhelníková matice takové, ºe A =

D·sledek 11 (Schur·v rozklad matice).

C unitární matice a R ∈ C U RU + . n×n

n×n

D·kaz. D·sledek plyne z v¥ty díky transforma£ní formuli a tvrzení 51:

K B B + A = [A]K K = [Id]B [A]B [Id]K = U RU

15. ORTOGONÁLNÍ DIAGONALIZACE

87

Pro d·kaz v¥ty pot°ebujeme D·sledek 10 Základní v¥ty algebry, podle n¥jº má operátor

A

λ ∈ C. Mezi vlastními vektory k tomuto v , tj. kvk = 1. Na základ¥ lemmatu 0 ortonormální bázi C = (v, C ) ve V a reprezentujme operátor   λ xT [A]C = , C o A0

alespo¬ jedno vlastní £íslo

vlastnímu £íslu vyberme n¥jaký normalizovaný 6 zvolme n¥jakou blokovou maticí

0

n−1×n−1 x ∈ Cn−1 je n¥jaký vektor a A0 = [A0 ]C denuje operátor na C0 ∈ C ⊥ 0 0 0 0+ podprostoru v . Z induk£ního p°edpokladu má A Schur·v rozklad U R U , kde 0 0 B0 0 R = [A ]B 0 je horní trojúhelníková matice a B je n¥jaká ortonormální báze v ⊥ . 0 Báze B := (v, B ) je ortonormální a       1 oT λ xT 1 oT λ xT U 0 = [A]B = B o U 0+ o A0 o U0 o R0 kde



Poslední matice je horní trojúhelníková, £ímº je d·kaz dokon£en.

V¥ta 29 (Ortogonální diagonalizace normálního operátoru). Nech´ V je unitární prostor kone£né dimenze. Pro operátor A : V → V existuje ortonormální báze prostoru V , v·£i níº je jeho matice diagonální, práv¥ kdyº je A normální. D·kaz. Existuje-li ortonormální báze

B taková, ºe [A]B B =: D = diag(d1 , . . . , dn )

je diagonální, pak

∗ B B + 2 2 + B ∗ B ∗ B [A∗ A]B B = [A ]B [A]B = D D = diag(|d1 | , . . . , |dn | ) = DD = [A]B [A ]B = [AA ]B Tím je dokázána implikace zleva doprava. P°edpokládejme tedy naopak, ºe

A

je normální operátor a. Dokáºeme indukcí, ºe kaºdá normální horní trojúhelníková

1 × 1 matice je to triviální. Nech´ B je ortonormální báze 0 A := [A]B B je horní trojúhelníková a zárove¬ normální. Matice A

matice je diagonální, pro

V

z V¥ty 28. Pak

v blokových zápisech

 A=

λ o

xT A0



A+ =

,

je tedy také horní trojúhelníková. Podmínka

¯ = xT x

Protoºe

x = 0.

¯ T λx T ¯ x + A0+ A0 x

2



|λ| λ¯ x Pn−1 i=1

|xi |2 ,



 =

¯ λ ¯ x

oT A0+





A+ A = AA+ 2

dává blokov¥

x A0+ AA0+

T

T

¯ |λ| + x x ¯ A0 x



dostáváme z porovnání obou levých horních roh·, ºe

A0 je i normální matice. Z induk£A. Schurova reprezentace normálního 

Z pravého dolního rohu pak plyne, ºe

ního p°edpokladu je

A0

diagonální a tedy je i

operátoru je tedy diagonální matice.

A, která U + AU je dia-

Velmi d·leºitým d·sledkem v¥ty je, ºe pro kaºdou £tvercovou matici je hermitovská nebo unitární, existuje unitární matice

U

taková, ºe

gonální. P°íklad 24. Prove¤me ortogonální diagonalizaci matice



0 A= 2 2 Vlastní £ísla jsou jsou

h(1, 1, 1)i

a

2 0 2

 2 2  0

4 a −2, druhé z nich je dvojnásobné. P°íslu²né vlastní podprostory h(1, −1, 0), (0, 1, −1)i, vidíme, ºe jsou skute£n¥ navzájem kolmé.

Ve druhém z nich pomocí Gramovy-Schmidtovy metody najdeme ortogonální bázi

((1, −1, 0), (1, 1, −2)).

V p°edpisu pro diagonalizaci

A = U DU +

je matice

U

p°e-

chodu od kanonické báze do báze z vlastních vektor· unitární, její sloupce tedy tvo°í normalizované vlastní vektory. V tomto p°ípad¥, kdy bylo moºné vzít v²echny

15. ORTOGONÁLNÍ DIAGONALIZACE

vlastní vektory reálné, je

A

U+ = UT ,

tedy

U

88

je ortogonální matice. Celkov¥ máme

zapsáno jako sou£in

√1 3 √1 3 √1 3

  

√1 2 − √12

√1 6 √1 6 − √26

0



4  0  0

0 −2 0

 0  0  −2

√1 3 √1 2 √1 6

√1 3 − √12 √1 6

√1 3



0

 

− √26

V¥ta 30 (Spektrální rozklad normálního operátoru). Nech´ A : V → V je normální operátor, Pλ : V → V operátor ortogonální projekce na vlastní podprostor p°íslu²ný vlastnímu £íslu λ. Pak

X

A=

λPλ

λ∈σ(A) D·kaz. Nech´

(wi )n1

A diagonální A s vlastním £íslem λ ∈ σ(A), takºe Pλ wi = wi a Pµ wi = 0, pokud µ 6= λ. Pravá i levá strana rovnosti tedy mají na wi hodnotu λwi , rovnají se proto na bázi a tudíº i celkov¥ jako operátory. 

matici. Vektor

wi

je ortonormální báze, vzhledem k níº má

je vlastním vektorem

P°íklad 25. Spektrální rozklad pro matici

chozího p°íkladu, kde ozna£íme

U = (u1 |u2 |u3 ),

A = U diag(4, −2, −2)U T

z p°ed-

vypadá jako

A = 4u1 uT1 − 2(u2 uT2 + u3 uT3 ) Zde

 1 1 u1 uT1 = 1 3 1

jsou matice

[Pu1 ]K K,

 1 1 , 1

1 1 1

resp.



2 1 u2 uT2 + u3 uT3 = −1 3 −1

[Phu2 ,u3 i ]K K

−1 2 −1

 −1 −1 2

jsou matice ortogonálních projekcí na jednot-

livé vlastní podprostory. P°íkladem spektrálního rozkladu unitární matice m·ºe být t°eba

   cos π2 − sin π2 0 −1 ≡ = λ1 w1 w1+ + λ2 w2 w2+ = 1 0 sin π2 cos π2        1 1 1 1 1 1 1 1 √ 1 i +(−i) √ √ 1 −i = i = i√ 2 −i 2 −i 2 2 i 2 

  1 1 i −i 1 2 i

 −i 1

V²imn¥te si, ºe v²echny matice projekcí jsou hermitovské. Z p°íkladu vidíme, jak zapsat matici ortogonální projekce na podprostor

Cn ,

vého prostoru

Im(A)

A ∈ Cn×k s lineárn¥ nezávislými sloupci " k #K X + + = Pq i = q1 q+ 1 + ... + qk qk = QQ ,

matice

[PIm A ]K K

i=1 kde

W ≤

v n¥mº známe ortonormální bázi. Konkrétn¥ ortogonální projekce do sloupco-

Q = (q1 |...|qk )

je matice z

má matici

K

QR-rozkladu

matice

A.

V¥ta 31. Operátoru A : V → V je samosdruºený, práv¥ kdyº je normální a v²echna jeho vlastní £ísla jsou reálná. D·kaz. Je-li operátor samosdruºený, pak je normální. Pokud

a

A = A∗ ,

Protoºe

Av = λv, v 6= 0

pak

2 ¯ λkvk2 = hv, λvi = hv, Avi = hA∗ v, vi = hAv, vi = hλv, vi = λkvk ¯ = λ, neboli λ ∈ R. Naopak je-li A normální operátor, kvk 6= 0, musí být λ

pak lze vyjád°it vzhledem k ortonormální bázi diagonální maticí s vlastními £ísly na diagonále. Jsou-li tato £ísla reálná, je matice hermitovská a tedy

A je samosdruºený. 

15. ORTOGONÁLNÍ DIAGONALIZACE

89

Je-li A ∈ Rn×n symetrická matice, existuje ortogonální matice U taková, ºe matice U T AU je diagonální. D·sledek 12.

D·kaz. Operátor

F A : Cn → Cn

je samosdruºený a tedy má dle v¥ty 31

reálné spektrum a dle v¥ty 29 je diagonalizovatelný. Existuje tedy báze sjednocením bází jednotlivých vlastních podprostor· matice

λ ∈ σ(A) je A − λE

A.

Cn , která je

Protoºe pro kaºdé

reálná matice, lze v kaºdém vlastním podprostoru

Ker(A − λE)

zvolit bázi sloºenou pouze z reálných vektor· a tu ortonormalizovat. Spojením v²ech t¥chto bází je ortonormální báze ortonormální bází této, pak je

U

R

n

Cn

sloºená pouze z reálných vektor·. Ta je

U jako matici p°echodu od kanonické U −1 AU = U T AU je diagonální.

a denujeme-li

ortogonální matice a

báze do



Tvrzení 54. Nech´ V nad C je unitární prostor dimenze n a U : V → V je operátor. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní (1) U je unitární. (2) ∀v ∈ V je kUvk = kvk (3) ∀v, w ∈ V je hUv, Uwi = hv, wi B (4) Pokud B je ortonormální báze V , je U := [U]B je unitární matice. n n (5) Je-li (wi )1 ortonormální báze V , pak je jí i (Uwi )1 . (6) U je normální operátor, jehoº vlastní £ísla leºí na jednotkové kruºnici. D·kaz. Pokud

U∗ U = E ,

pak

∀v ∈ V



2

kvk = hU Uv, vi = hUv, Uvi = kUvk2 , (1) ⇒ (2). Z polariza£ní identity 43 máme (2) ⇒ (3). Platí-li (3), pak z hU∗ Uv, wi = hv, wi po úprav¥ plyne, ºe vektor U∗ Uv − v je kolmý na libovolný ∗ vektor w ∈ V a musí být tudíº roven nule. Pokud ale U Uv = v pro libovolný ∗ ∗ vektor v ∈ V , je U U = Id. Obdobn¥ ukáºeme UU = Id, dohromady máme implikaci (3) ⇒ (1) n Je-li (wi )1 ortonormální báze V , plyne ze (3), ºe tedy

hUwi , Uwj i = hwi , wj i = δij , (5). Ozna£íme-li B = (wi )n1 , pak je [U]B B rovna matici n p°echodu od báze B k bázi (Uwi )1 a díky tvrzení 51 matice je unitární, máme tedy (5) ⇒ (4). Z bodu (4) plyne (1) na základ¥ tvrzení 52. Unitární operátor je normální a z bodu (2) plyne, ºe pro Uv = λv musí být |λ|

tedy dostáváme tvrzení

rovno jedné. Naopak normální operátor je moºné vyjád°it vzhledem k n¥jaké ortonormální bázi diagonální maticí a leºí-li jeho vlastní £ísla na jednotkové kruºnici, pak tato diagonální matice má tvar

D = diag(eiα1 , . . . , eiαn )

pri n¥jaká

αi ∈ R.

Taková matice je unitární a vzhledem k jakékoli jiné ortonormální bázi má matice operátoru tvar

V DV + ,

unitární matice, tedy z

kde

(6)

V

je unitární. Sou£in

plyne

(4).

V DV +

je díky tvrzení 50 op¥t



KAPITOLA 16

Singulární rozklad íkáme, ºe soustava rovnic

Ax = b

je

p°eur£ená,

pokud má více rovnic neº

neznámých a v d·sledku toho nemá °e²ení. Pro takové soustavy rovnic m·ºeme hledat alespo¬ °e²ení aproximativní, pro n¥º má vektor

Ax − b

minimální normu.

Uvidíme, ºe taková úloha je ekvivalentní k hledání ortogonální projekce vektoru na podprostor

Im A.

Podobn¥ pro

podur£ené

b

soustavy, které mají více neznámých

neº rovnic, a v d·sledku toho více °e²ení, m·ºeme mezi t¥mito °e²eními hledat to, které má minimální normu

kxk.

Ob¥ úlohy vedou na speciální tvary tzv. pseu-

A regulární má soustava Ax = b °e²ení x = A−1 b. Pseudoinverzní matice A† umoº¬uje vyjád°it aproximativní °e²ení, které † † navíc minimální normu, ve tvaru x = A b. Matice A se dá spo£ítat pomocí tzv. doinverzní matice. P°ipome¬me si, ºe pro

singulárního rozkladu (n¥kdy téº SVD z anglického singular value decomposition). Ten pat°í mezi nejd·leºit¥j²í maticové metody se ²irokou ²kálou aplikací p°edev²ím v analýze dat.

1. P°eur£ená soustava (u1 , . . . , uk ) posloupnost vektor· unitárního prostoru (V, h, i) k×k této posloupnosti rozumíme matici G ∈ F , jejíº gij = hui , uj i.

Definice 46. Je-li

nad

F,

ij -tý

pak

Gramovou maticí

element je

gij = g¯ji , tedy G je hermitovská A = ([u1 ]B | . . . |[uk ]B ), pak A+ A = G, nebo´

Ze seskvilinearity skalárního sou£inu plyne, ºe matice. Je-li

ij -tý

B

ortonormální báze

element matice

A+ A

V

a

je roven

a+ i aj ≡ hai , aj i = hui , uj i Druhá rovnost plyne z tvrzení 49. Tvrzení 55. Gramova matice posloupnosti (u1 , . . . , uk ) je regulární, práv¥ kdyº je tato posloupnost lineárn¥ nezávislá.



D·kaz. Plyne z ²estého bodu tvrzení 53.

Ukaºme nyní, jak se dá pomocí Gramovy matice formulovat hledání ortogonální projekce na podprostor a najít matici této projekce bez nutnosti hledat v podprostoru ortonormální bázi.

W := hu1 , . . . , uk i podprostor unitárního prostoru V a vektor v ∈ V , w := PW (v) bude lineární kombinací gePk nerátor· W , tedy w = x u pro n¥jaké skaláry xi . Vektor w bude ortogonální i i i=1 projekce vektoru v , práv¥ kdyº je jejich rozdíl kolmý na v²echny prvky mnoºiny generátor· W , tedy pakliºe ∀i : hui , v−wi = 0. Dosadíme-li za w a pouºijeme linearitu skalárního sou£inu ve druhém argumentu, dostáváme pro koecienty x1 , . . . , xk liUvaºujme

který v n¥m obecn¥ neleºí. Jeho projekce

neární rovnice tvaru

hui , vi = x1 hui , u1 i + . . . + xk hui , uk i Ty lze dohromady zapsat jako soustavu matice

G

a pravá strana je

Gx = y ∈ Fk ,

yi := hui , vi. 90

jejíº matice je Gramova

1. P°EUR£ENÁ SOUSTAVA

V ([u1 ] | . . . |[uk ] ). Zvolme ve

n¥jakou ortonormální bázi

B

Soustavu

B

Gx = y

B

91

a ozna£me

b = [v]B ∈ Fn , A =

lze pak p°epsat do tvaru

A+ Ax = A+ b To je tzv.

normální soustava

Ax = b. M·ºeme se na to Ax = b, která je sou°adPk i=1 xi ui = v . Není-li v ∈ W ,

p°íslu²ející soustav¥ rovnic

dívat tak, ºe jsme jakoby nejprve zkou²eli °e²it soustavu

x ∈ Fk takového, aby tedy nemá-li p°eur£ená soustava Ax = b °e²ení, nalezne její normální soustava Pk vektor minimalizující hodnotu k i=1 xi ui − vk nebo ekvivalentn¥ kAx − bk, tzv. aproximativní °e²ení. Najde tedy x takové, pro n¥º se levá strana Ax li²í od pravé strany b nejmén¥, m¥°eno normou vektoru. + Má-li matice A lineárn¥ nezávislé sloupce, je A A regulární a má tedy inverzní + −1 + matici. Pak m·ºeme °e²ení normální soustavy zapsat jako x = (A A) A b. Matici projekce PW m·ºeme pak odvodit z rovnosti nicovým vyjád°ením hledání

B B B [PW ]B B [v] = [PW (v)]B = [w] =

k X

xi [ui ]B = Ax = A(A+ A)−1 A+ [v]B ,

i=1 neboli n¥jaké

+ −1 + [PW ]B A . Je-li W B = A(A A) matice A, m·ºeme tento výsledek

denován p°ímo jako sloupcový prostor zapsat jako

n×k Tvrzení 56. Je-li A ∈ C matice s lineárn¥ nezávislými sloupci a K kanonická báze v Cn , pak + −1 + [PIm A ]K A K = A(A A) Klasický p°íklad uºití aproximativního °e²ení je lineární regrese, tj. prokládání funkce zadané v

n bodech lineární funkcí metodou nejmen²ích £tverc·. Minimalizace

výrazu

n X

|axi + b − yi |2

i=1 vzhledem k

a, b ∈ R

(xi , yi ), i ∈ {1, . . . , n}

se zadanými

vede na aproximativní

°e²ení p°eur£ené soustavy lineárních rovnic



x1

 

. . .

xn

   1   y1   . a . =  ...  , . b 1 yn

jejíº normální soustava je

Pn x2i Pi=1 n i=1 xi

Pn

i=1

xi

n

   Pn  a xi yi i=1 P = n b i=1 yi

Tu je moºné explicitn¥ vy°e²it t°eba Cramerovým pravidlem, tj.

a=

n

P P P x y − xi yi Pi i2 P , n xi − ( xi ) 2

P b=

P P P x2i y − xi xi yi P i2 P n xi − ( xi ) 2

Meze sum jsou pro lep²í £itelnost vynechány. Podobn¥ je moºné spo£ítat libovolnou regresní funkci, která se dá vyjád°it jako lineární kombinace kone£n¥ mnoha daných funkcí, tedy nap°íklad proloºit data polynomem zvoleného stupn¥, nebo hledat regresní funkce více prom¥nných.

3. PSEUDOINVERZNÍ MATICE

92

2. Podur£ená soustava Uvaºujme nyní p°ípad podur£ené soustavy rovnic má mnoºinu °e²ení tvaru

xp + Ker A,

kde

Ax = b, A ∈ Cm×n ,

Ker A 6= {o}.

která

Ortogonální dopln¥k jádra

je °ádkový prostor komplexn¥ sdruºené matice, z £ehoº spolu s tvrzením 46 plyne, ºe

Cn = Ker A ⊕ (Ker A)⊥ = Ker A ⊕ Im A+ Cn a tudíº i kaºdé °e²ení soustavy Ax = b m·ºeme tedy jednozna£n¥ + sou£et x = x0 + xH , kde x0 ∈ Im A a xH ∈ Ker A.

Kaºdý vektor z rozloºit na

xH x0 x x0 + Ker A

Ker A

Obrázek 1. e²ení s nejmen²í normou

x0 , tak xH jsou ortogonální projekcí vektoru x na p°íslu²ný podprostor, x0 = PIm A+ (x). Ze £tvrtého bodu tvrzení 45 plyne, ºe kx0 k ≤ kxk, a tedy x0 má mezi v²emi °e²eními soustavy Ax = b nejmen²í normu. Navíc z x0 ∈ Im A+ m + plyne existence vektoru z ∈ C takového, ºe x0 = A z. Platí tedy Jak

speciáln¥

AA+ z = Ax0 = b AA+ z = b, pak je x0 = A z °e²ením soustavy Ax = b s nejmen²í normou. Má-li A lineárn¥ nezávislé + + + + −1 °ádky, je AA regulární, z je ur£en jednozna£n¥ a x0 = A z = A (AA ) b. To nám umoº¬uje zapsat vztah mezi obecným °e²ením x soustavy Ax = b a °e²ením x0 s nejmen²í normou jako Vektor

z

nemusí být ur£en jednozna£n¥, ale spl¬uje-li soustavu

+

x0 = A+ (AA+ )−1 Ax = [PIm A+ ]K K x ≡ PIm A+ (x), coº nabízí alternativní zp·sob d·kazu tvrzení 56.

3. Pseudoinverzní matice Definice 47. Nech´

(1) (2) (3)

AA A = A A† AA† = A† AA† i A† A jsou

se nazývá

A ∈ Cm×n ,

pak matice

A† ∈ Cn×m

hermitovské matice

Moore-Penroseova pseudoinverze

matice

To je axiomatická denice, není z ní jasné, ºe Pro

A

spl¬ující



A.

A†

existuje nebo ºe je jen jedna.

s lineárn¥ nezávislými sloupci je díky poslednímu bodu tvrzení 53

A+ A

regulární matice a denujeme-li

A† := (A+ A)−1 A+ , A† A = En a K z AA = [PIm A ]K , jak plyne z tvrzení 56. Z v¥t 30 a 31 i z explicitního tvaru matic K projekcí plyne, ºe [PIm A ]K je hermitovská matice, En je o£ividn¥ také. vidíme okamºit¥, ºe první dv¥ podmínky jsou spln¥ny. U t°etí zjevn¥



3. PSEUDOINVERZNÍ MATICE

Podobn¥ pro

A

s lineárn¥ nezávislými °ádky je



93

AA+

regulární a o

+ −1

+

A := A (AA ) z °e²ení podur£ené soustavy víme, ºe spl¬uje podmínky denice 47. Pro Pro obecný p°ípad, kdy

A

A

A† A = [PIm A+ ]K K.

A† tedy A = A−1 .

I takto denovaná

regulární v obou p°ípadech vyjde



nemá lineárn¥ nezávislé °ádky ani sloupce, musíme

A† jinak. Cestou k tomu bude singulární matici A a lze pomocí n¥j jednodu²e napsat

zkonstruovat

rozklad, který existuje pro

kaºdou

matici spl¬ující podmínky

denice 47. Nejprve je²t¥ dokáºeme jednozna£nost:

Nech´ A ∈ Cm×n a matice B, C ∈ Cn×m spl¬ují podmínky denice 47. Pak B = C . Tvrzení 57.

D·kaz. Vlastnost 1 °íká, ºe

AC i AB hermitovské, ABA = A pak plyne

3 jsou

ACA = A,

tedy

AB = ACAB .

Podle vlastnosti

z vlastností hermitovského sdruºení a z rovnosti

ACAB = (AC)+ (AB)+ = C + A+ (AB)+ = C + (ABA)+ = C + A+ = (AC)+ = AC Tedy

AB = AC ,

podobn¥ ukáºeme

BA = CA.

Odtud následn¥ z vlastnosti 2

B = BAB = BAC = CAC = C  ekneme, ºe samosdruºený operátor

B : V → V je pozitivn¥ semidenitní, C ortonormální báze V , pak díky

pokud má v²echna vlastní £ísla nezáporná. Je-li v¥t¥ 29 existuje unitární matice

U

taková, ºe

 λ1  [B]C = U 0 C



0 ..

 + U ,

.

λn kde

λi ≥ 0. Ozna£me D diagonální matici [v]C =: x ozna£me y = U + x. Pak z

zentací

uprost°ed a pro vektor

v ∈V

s repre-

tvrzení 49 plyne, ºe

hv, Bvi = x+ U DU + x = y+ Dy =

n X

λi |yi |2

i=1 Tedy

V.

B

je pozitivn¥ semidenitní, práv¥ kdyº

Pro pozitivn¥ semidenitní operátor



B

hv, Bvi ≥ 0

pro kaºdý vektor

v ∈

pak m·ºeme denovat jeho pozitivn¥

B : V → V operátoru B p°edpisem √  λ1 0 √ C   + .. [ B]C := U  0 U . √ λn

semidenitní odmocninu

Nech´ nyní

A:V →W

je libovolný operátor. Pak operátor

A∗ A

je samosdru-

ºený a

tedy i pozitivn¥

rátoru A.

hv, A∗ Avi = hAv, Avi = kAvk2 ≥ 0, √ semidenitní. Jeho odmocninu |A| := A∗ A

p·vodní operátor. Nenulová vlastní £ísla modulu

hodnoty operátoru A, se

nazýváme

σ1 , . . . , σ r

|A|

se ozna£ují jako

je jich tedy v£etn¥ násobností práv¥

a konven£n¥ bývají °azeny sestupn¥ podle velikosti. Modul

A

Ozna£ují

|A|

m·ºe

nepo£ítá.

D = diagm×n (σ1 , . . . , σr ) rozumíme obdélníkovou matici, na jejíº d11 , d22 , . . . jsou postupn¥ £ísla σ1 , σ2 , . . . , σr a zbytek diagonály i matice

Ozna£ením je nulový.

singulární

r := rank(A).

mít i vlastní £íslo nula, to se mezi singulární hodnoty operátoru diagonále

modul ope-

Modul má díky poslednímu bodu tvrzení 53 stejné jádro i hodnost jako

3. PSEUDOINVERZNÍ MATICE

94

V¥ta 32. Nech´ A : V → W je operátor mezi unitárními prostory. Pak exisC tují ortonormální báze B = (vi )n1 ve V , C = (ui )m 1 ve W takové, ºe [A]B = diagm×n (σ1 , . . . , σr ), kde σi jsou singulární hodnoty operátoru A.

B volme tak, aby v·£i ní byl operátor A∗ A diagonální a ∗ se°azena tak, aby v1 , . . . , vr byly vlastní vektory operátoru A A s vlastními 2 2 σ1 , . . . , σr a zbylé vr+1 , . . . , vn p°íslu²ely vlastnímu £íslu 0. Prvních r prvk· C pak denujme p°edpisem ui := σ1i Avi . Potom   σj2 1 1 1 Avi , Avj = hvi , A∗ Avj i = hvi , vj i = δij , σi σj σi σj σi σj D·kaz. Bázi

byla £ísly báze

(u1 , . . . , ur ) je ortonormální posloupnost. Tu m·ºeme na základ¥ Lemmatu 6 ur+1 , . . . , um na ortonormální bázi prostoru W . Pak Avi = σi ui pro i ≤ r a nula jindy, protoºe z ²estého bodu tvrzení 53 a z vlastností báze B plyne, tedy

doplnit vektory ºe

[Avi ]C C matice [A]B Tedy

je vektor,

jinak samé nuly, tudíº



má poºadovaný tvar.

Je-li operátorem

Cm

Ker A = Ker A∗ A = hvr+1 , . . . , vn i. který má na pozici i vlastní £íslo σi a

A

zobrazení

FA

ur£ené maticí

A∈C

m×n

mezi prostory

A

se standardními skalárními sou£iny, vyplývá z v¥ty 32, ºe lze matici

C

n

a

zapsat

jako

A = U ΣV + = σ1 u1 v1+ + . . . + σr ur vr+ , m×m n×n kde U = (u1 | . . . |um ) ∈ C a V = (v1 | . . . |vn ) ∈ C jsou unitární matice a Σ = diagm×n (σ1 , . . . , σr ). Prvnímu zápisu se °íká singulární rozklad matice A, druhý z n¥j vznikne analogicky jako vznikl spektrální rozklad z v¥ty 30 z ortogonální diagonalizace z v¥ty 29. Na rozdíl od spektrálního rozkladu ale matice nosti

1

ui vi+

hod-

neodpovídají ortogonálním projekcím, t°eba uº jen proto, ºe nejsou nutn¥

£tvercové. Návod k jeho nalezení nám dává d·kaz v¥ty 32:

A+ A jako sou£in A+ A = V ΛV , kde V = (v1 | . . . |vn ) je unitární a Λ = diag(λ1 , ..., λn ) má vlastní £ísla se°azená od nejv¥t²ího po nejmen²í, po£ínaje λr+1 jsou to nuly. √ λi , pro i ≤ r, potom Σ = diagm×n (σ1 , ..., σr ) Singulární hodnoty jsou σi = 1 Prvních r sloupc· matice U je dáno jako ui = σi Avi , zbylé nalezneme

(1) Ortogonální diagonalizací vyjád°íme matici

+

(2) (3)

libovolným dopln¥ním na unitární matici. Singulární rozklad má celou °adu aplikací. Pokud ze sou£tu bereme ur£itý po£et £len· od konce, dostaneme tzv. Dá se ukázat, ºe nap°íklad matice

σ1 u1 v1+

Pr

i=1

σi ui vi+

low-rank aproximaci

ode-

matice

A.

je matice hodnosti 1, která je v ur£itém

A. To se dá vyuºít ke kompresi dat A obrázek o m × n pixelech, dá se jeho aproximace ranku s uloºit r(m + n + 1) £ísel) nebo k tzv. analýze hlavních komponent (PCA), která

p°esném smyslu nejmén¥ vzdálená od matice (nap°íklad je-li jen jako

pomáhá nalézt veli£iny, které nesou nejvíce informací o daném souboru dat. Pomocí singulárního rozkladu lze také popsat, jak lineární zobrazení natahuje

K1 := {x ∈ Rn | kxk = 1} a Matice V v singulárním rozkladu

£i zkracuje vektory. Uvaºujme jednotkovou kouli

n

m

FA : R → R A bude reálná a ortogonální a stejn¥ tak i U . FA = FU ◦ FΣ ◦ FV T . Z tvrzení 54 víme, ºe

zobrazme ji pomocí zobrazení

.

Zobrazení pak m·ºeme zapsat jako

kFV T (x)k = kV T xk = kxk a

VT

je regulární, tedy

rozm¥rný elipsoid v

Rm

FV T (K1 ) = K1 . s poloosami délek

Násobení maticí

σ1 , . . . , σr .

Σ

K1 na rFU op¥t nahradili A její

p°evede

Poslední zobrazení

zachová normu a tedy i délky poloos elipsoidu. Pokud bychom

3. PSEUDOINVERZNÍ MATICE

95

aproximací hodnosti 1, zobrazila by se jednotková koule na úse£ku, která je nejdel²í osou elipsoidu, kdybychom zvolili aproximaci hodnosti 2, byla by výsledkem elipsa, jejíº osy by byly dv¥ nejdel²í osy p·vodního elipsoidu. Tento geometrický pohled poskytuje i intuitivní d·vody, pro£ jsou o°íznuté sumy nejbliº²ími aproximacemi daného zobrazení ranku 1, 2, atd. Na²ím plánem bylo ale p°edev²ím vyuºít singulární rozklad ke konstrukci MoorePenroseovy pseudoinverzní matice. Denujeme-li zor, to není nutn¥ inverzní matice k

Σ),

Σ† := diagn×m (σ1−1 , . . . , σr−1 ) (po-

a

A† := V Σ† U + , pak

AA† A = U ΣV + V Σ† U + U ΣV + = U ΣΣ† ΣV + = U ΣV + = A a podobn¥ ov¥°íme i zbývající podmínky v denici 47. Následující v¥ta osv¥tlí, pro£ matici

A†

°íkáme pseudoinverzní:

Nech´ A ∈ Cm×n , b ∈ Cm . Pak vektor A† b je aproximativním °e²ením soustavy rovnic Ax = b, které má navíc nejmen²í moºnou normu. V¥ta 33.

D·kaz. P°edpokládejme nejprve, ºe

σr > 0 .

A = diagm×n (σ1 , ..., σr ),

kde

σ1 ≥ . . . ≥

Pak

kAx − bk2 =

r X

|σi xi − bi |2 +

i=1

m X

|bi |2

i=r+1

1 bude pro volbu xi = σi bi pro i = 1, . . . , r rovno druhé sum¥, která sama na 2 nezávisí a je minimální moºnou hodnotou výrazu kAx − bk . Norma vektoru

 x= v n¥mº uº máme prvních

. . . = xn = 0.

1 1 b1 , . . . , br , xr+1 , . . . , xn σ1 σr

r

x

T ,

sloºek pevn¥ ur£ených, bude minimální pro

xr+1 =

Celkov¥ tedy

x = diagn×m (σ1−1 , . . . , σr−1 )b = A† b Uvaºujme nyní obecnou matici se singulárním rozkladem

+

+

U Ax − U b x0 := V + x. Tedy tor·

a

Ax − b

A = U ΣV + .

Norma vek-

je stejná. Stejn¥ tak je stejná norma vektor·

x

a

min kU ΣV + x − bk = min kΣV + x − U + bk = min kΣx0 − U + bk 0 x

x

x

a poslední výraz nabývá dle diskuse v první £ásti d·kazu minima s minimální normou práv¥ pro

x0 = Σ† U + b.

Tedy

x = V x0 = V Σ† U + b = A† b.



Poslední aplikací singulárního rozkladu, kterou zde uvedeme, bude v¥ta, na základ¥ níº je moºné kaºdou £tvercovou matici zapsat jakou sou£in unitární a hermitovské matice. Speciáln¥ pro reálné

3×3

matice to znamená rozklad matice

na sou£in matice rotace a matice symetrické, tedy s reálnými vlastními £ísly. To se hodí nap°íklad v mechanice kontinua p°i zavedení tenzoru malých deformací, tedy vlastn¥ k rozd¥lení innitezimálního pohybu kontinua na £ást rota£ní a £ást deforma£ní. Upravme singulární rozklad £tvercové matice

A ∈ Cn×n

na

A = U ΣV + = U V + V ΣV + = W P, kde

W := U V +

je unitární matice a

P := V ΣV +

je pozitivn¥ semidenitní hermi-

tovská matice. V °e£i lineárních zobrazení tato úvaha dává v¥tu o

operátoru:

polárním rozkladu

3. PSEUDOINVERZNÍ MATICE

96

V¥ta 34. Nech´ A : V → V je operátor na unitárním prostoru. Pak existují unitární operátor W a pozitivn¥ semidenitní samosdruºený operátor P takové, ºe A = WP. Navíc P = |A| a pokud je A izomorsmus, pak je W ur£en jednozna£n¥.

V , denujme A := [A]C C . Z konstrukce moC + dulu víme, ºe je ur£en jednozna£n¥ a ºe [|A|]C = V ΣV , kde Σ, V jsou matice + vyskytující se v singulárním rozkladu A = U ΣV . Denujeme-li W na bázi jako C + [W]C := W = U V , je to podle tvrzení 54 unitární operátor. Je-li A izomorsmus, ∗ −1 pak je jím i podle posledního bodu tvrzení 53 A A a |A| =: P. Pak W = AP je rovn¥º izomorsmus a je tímto p°edpisem ur£en jednozna£n¥.  D·kaz. Je-li

V dimenzi

1

C

ortonormální báze

odpovídá polární rozklad zápisu komplexního £ísla v polárních

sou°adnicích:

p b a + i√ a2 + b2 = eiα |z| a2 + b2 a2 + b2 iα pozitivn¥ semidenitní 1 × 1 matici a e ≡ cos α + i sin α 

z = a + ib = Zde lze

|z|

chápat jako

jako unitární

1×1

matici.



KAPITOLA 17

Kvadratické formy 1. Polární báze kvadratické formy g je bilineární forma na V . Zobrazení Qg : V → R deQg (u) := g(u, u), nazýváme kvadratická forma na V p°íslu²ná

Definice 48. Nech´

nované p°edpisem bilineární form¥

g.

P°íklad 26. Bilineární forma na



g(x, y) = xT

1 1

R2



−3 y = x1 y1 − 3x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 1

ur£uje kvadratickou formu

Qg (x) = xT

 1 1

 −3 x = x21 − 2x1 x2 + x22 1

Stejnou kvadratickou formu ov²em ur£uje i bilineární forma

h(x, y) = xT Definice 49. Nech´

rizace



1 −1

g

 −1 y = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + x2 y2 1

je bilineární forma na

jsou bilineární formy denované

∀u, v ∈ V

V.

Její

symetrizace

a

antisymet-

p°edpisy

1 (g(u, v) + g(v, u)) 2 1 gA (u, v) := (g(u, v) − g(v, u)) 2 gS (u, v) :=

Hned vidíme, ºe gS (u, v) = gS (v, u), gS je tedy opravdu symetrická, a podobn¥ gA (u, v) = −gA (v, u), takové bilineární form¥ °íkáme antisymetrická. Protoºe

g(u, v) = gS (u, v) + gA (u, v), dá se libovolná bilineární forma rozloºit na sou£et symetrické a antisymetrické bilineární formy. Pro formu z na²eho p°íkladu je tímto rozkladem

xT Antisymetrie

gA

 1 1

  −3 1 y = xT 1 −1

znamená také, ºe

   −1 0 −2 y + xT y 1 2 0

gA (u, u) = 0,

proto

Qg (u) ≡ g(u, u) = gS (u, u), tedy kvadratická forma je ur£ena pouze symetrickou £ástí bilineární formy

g.

Z

polariza£ní identity 43 plyne, ºe

1 (Qg (u + v) − Qg (u) − Qg (v)), 2 forma gS je naopak ur£ena kvadratickou

gS (u, v) = tj. ºe symetrická bilineární

formou

Qg .

Zjistili jsme tedy, ºe: Tvrzení 58.

Kvadratická forma Qg je jednozna£n¥ ur£ena symetrickou £ástí

gS bilineární formy g .

97

1. POLÁRNÍ BÁZE KVADRATICKÉ FORMY

Je-li

B

B

je

y = [v]

báze

Symetrická £ást

1 2 (G

− GT ).

V

gS

a

G = [g]B

má matici

98

matice bilineární formy, pak pro

g(u, v) = xT Gy GS := 21 (G + GT ),

u, v ∈ V , x = [u]B ,

antisymetrická

gA

matici

GA :=

Kvadratickou formu je moºné psát v sou°adnicích jako

Qg (u) = xT Gx = xT GS x To umoº¬uje tici

matici kvadratické formy [Qg ]B

GS = [gS ]B

vzhledem k bázi

B

denovat jako ma-

symetrické £ásti p°íslu²né bilineární formy. V dal²ím textu budeme

p°edpokládat, ºe symetrická je uº p°ímo

Polární báze kvadratické formy

trické bilineární formy

g,

g,

a tedy

G = GS .

je denována jako polární báze p°íslu²né syme-

B0,

tedy taková

ºe

[g]B 0

je diagonální. Z v¥ty 22 víme,

ºe polární báze existuje a umíme ji nalézt symetrickými úpravami, tedy vlastn¥ hledáním matice p°echodu

R = [Id]B B0

takové, ºe

G0 := RT GR

je diagonální.

P°íklad 27. R·znými posloupnostmi symetrických úprav m·ºeme získat rov-

nosti

 1 0  1 0  4 0

 1 = 1   0 1 = 0 2   0 2 = 0 1 0 0



0 1



1 −1  0 1 2 −1  0 1 1 −1

 −1 1 1 0  −1 1 1 0  −1 2 1 0

 1 1  2 2  1 1

Sloupce poslední matice na °ádku tvo°í vºdy n¥jakou polární bázi symetrické bilineární formy

h

na

R2 .

Jinou moºnost, jak polární bázi najít, dává d·sledek 12. Podle n¥j k symetrické

G0 := U T GU je diagonální matice, jejíº diagonála je tvo°ena vlastními £ísly matice G. Interpretujeme-li matici U jako matici p°echodu od báze B k n¥jaké bázi B 0 , je G0 maticí bilineární formy g vzhledem k této bázi B 0 , tedy je to polární báze. Její prvky jsou vzhledem k bázi B reprezentovány vlastními vektory matice G. Byla-li p·vodní báze B ortonormální v·£i n¥jakému skalárnímu sou£inu ve V , je díky ortogonalit¥ matice U a 0 tvrzení 49 ortonormální i polární báze B . Je to tedy vlastn¥ polární báze pro dv¥ r·zné symetrické bilineární formy na V : pro g a pro onen skalární sou£in. Nap°ín klad pokud je B kanonická báze v R se standardním skalárním sou£inem, pak je 0 0 n 0 0 i B = (ui )1 ortonormální polární báze g , tedy jak Gramova matice ((ui , uj )), tak 0 0 matice [g]B 0 = (g(ui , uj )) jsou ob¥ diagonální, Gramova je p°ímo rovna jednotkové matici

G

existuje ortogonální matice

U

taková, ºe

matici. P°íklad 28. Rovnost



2 0

 0 = 0

√1 2 √1 2

− √12 √1 2

!

1 −1

 √1 −1 2 1 − √12

√1 2 √1 2

!

získáme nalezením vlastních £ísel a normalizovaných vlastních vektor· matice vpravo uprost°ed. Sloupce poslední matice dávají op¥t polární bázi, která je navíc ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu sou£inu. V tomto i p°edchozím p°íklad¥ se jednotlivé matice na levé stran¥, které jsou vyjád°ením

h

vzhledem k

r·zným polárním bázím, li²í. Na rozdíl od endomorsm· tedy nelze mluvit o jednom konkrétním diagonálním tvaru symetrické bilineární formy. Vyuºití ortogonální diagonalizace má výhodu na unitárních prostorech, protoºe zm¥na sou°adnic zachovává velikosti a úhly vektor·. V kapitole o kvadrikách uvidíme, ºe se pak p°i p°echodu do nových sou°adnic zachovají nap°íklad délky poloos

2. SIGNATURA

99

u elipsoidu, zatímco p°i diagonalizaci symetrickými úpravami p°ejde obecn¥ elipsoid v jiný elipsoid s jinou délkou poloos. Výhoda symetrických úprav je zase v tom, ºe nevyºadují výpo£et vlastních £ísel a dají se tedy vºdy provést v p°esné aritmetice. Následující v¥ta ukazuje, ºe a£ je polárních bází i zp·sob· jejich nalezení mnoho, n¥co mají p°ece jen v²echny spole£né:

2. Signatura V¥ta 35 (Sylvester·v zákon setrva£nosti kvadratických forem). Nech´ B, C jsou dv¥ polární báze kvadratické formy Qg na V . Pak je po£et kladných hodnot na diagonále matic [g]B a [g]C stejný, a stejn¥ tak po£et záporných hodnot a po£et nul. D·kaz. Matice

[g]B , [g]C

vzniknou jedna z druhé symetrickými úpravami a

ty zachovávají hodnost, po£et nul tedy musí být stejný. Sta£í proto dokazovat jen shodnost po£tu kladných hodnot, a to sporem. Nech´

B = (ui )m 1

a

C = (vi )m 1

jsou se°azeny tak, ºe v maticích

[g]B = diag(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq , 0, . . . , 0) [g]C = diag(c1 , . . . , cs , d1 , . . . , dt , 0, . . . , 0) jsou v²echna £ísla

ai , ci

bi , di záporná. Víme, ºe p + q = s + t, p > s, jinak m·ºeme prohodit báze B a C . U := hu1 , . . . , up i, W := hvs+1 , . . . , vm i. Pak z v¥ty 20 o kladná a v²echna

bez újmy na obecnosti p°edpokládejme Denujme podprostory

dimenzi sou£tu a pr·niku dostáváme

Tedy

dim U ∩ W = dim U + dim W − dim U + W ≥ p + (m − s) − m ≥ 1 Pp Pm existuje nenulový u = i=1 xi ui = i=s+1 yi vi ∈ U ∩ W a Qg (u) = ([u]B )T [g]B [u]B = Qg (u) = ([u]C )T [g]C [u]C =

p X

ai x2i > 0

i=1 s+t X

di−s yi2 ≤ 0

i=s+1 Nerovnosti vyplývají ze znamének £ísel Jsou ale ve sporu, musí tedy být

p=s

a

ai , dj a q = t.

Sylvester·v zákon umoº¬uje denovat jakoºto trojici nezáporných £ísel

(p, q, n),

nenulovosti vektoru

signaturu sign Qg

(x1 , . . . , xp ). 

kvadratické formy

Qg

která udávají po£et kladných, záporných

a nulových element· na diagonále matice kvadratické formy vzhledem k n¥jaké polární bázi. Víme uº, ºe forma je pozitivn¥ denitní, má-li její signatura tvar

(p, 0, 0), • • • • •

kde

p > 0.

sign Qg sign Qg sign Qg sign Qg sign Qg

Dal²í podobná ozna£ení jsou

= (p, 0, n), kde p, n > 0: Qg je pozitivn¥ semidenitní = (0, q, 0), kde q > 0: Qg je negativn¥ denitní = (0, q, n), kde q, n > 0: Qg je negativn¥ semidenitní = (p, q, 0), kde p, q > 0: Qg je regulární indenitní = (p, q, n), kde p, q, n > 0: Qg je singulární indenitní

Tytéº pojmy se vztahují i na symetrické bilineární formy a symetrické matice. Celý dosavadní výklad v£etn¥ Sylvesterova zákona bychom mohli zobecnit i na p°ípad hermitovské seskvilineární formy, pro který uº jsme formulovali a dokazovali v¥tu 22. Stejn¥ tak m·ºeme mluvit o signatu°e hermitovské matice a samosdruºeného operátoru.

3. SYLVESTEROVO KRITÉRIUM

100

3. Sylvesterovo kritérium G ∈ Rn×n , ozna£me Gk ∈ Rk×k posledních n − k °ádk· a sloupc·. Nech´

její podmatici vzniklou vy²krtnutím

V¥ta 36 (Jacobi-Sylvesterova). Nech´ g je symetrická bilineární forma na V , B = (ui )m ∈ {1, . . . , m} : det Gk 6= 0. Pak 1 báze V , G = [g]B spl¬uje podmínku ∀k Pk má g polární bázi C = (vi )m takovou, ºe v = k 1 j=1 rjk uj pro n¥jakou regulární horní trojúhelníkovou matici R ∈ Rm×m a   1 det G1 det G2 det Gm−1 [g]C = diag , , ..., det G1 det G2 det G3 det Gm

Tedy signatura g je (p, q, 0), kde q je po£et znaménkových zm¥n v posloupnosti (1, det G1 , . . . , det Gm ). V¥ta bývá ozna£ována také jako

Sylvesterovo kritérium

a je to dal²í zp·sob

ur£ení signatury kvadratické formy, která ale musí být regulární. D·kaz trochu p°ipomíná Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci:

1 2 g(u1 , u1 ) g11

= g111 , protoºe g11 = g(u1 , u1 ). P°edpokládejme, ºe jsme zkonstruovali vektory (v1 , . . . , vk−1 ), tedy i prvních k − 1 sloupc· matice R. Zkonstruujme její k -tý sloupec tak, ºe nalezneme Pk vektor vk = j=1 rjk uj tak, aby pro i < k platilo   k k X X g(ui , vk ) ≡ g ui , rjk uj  ≡ gij rjk = 0 D·kaz. Zvolme

v1 :=

1 g11 u1 , pak

g(v1 , v1 ) =

j=1

j=1

g(uk , vk ) = 1, máme pro vektor (r1k , . . . , rkk )T soustavu rovnic s maticí Gk a pravou stranou ek . Protoºe det Gk 6= 0, °e²ení soustavy existuje a je jednozna£né. Z prvních k − 1 podmínek této soustavy platí g(uj , vk ) = 0 pro j < k , a z konstrukce p°edchozích k − 1 sloupc· R máme vj ∈ hu1 , . . . , uj i, tedy g(vj , vk ) = 0 pro j < k . Kdyº takto zkonstruujeme celou bázi C := (vi )m 1 , plyne odtud, ºe [g]C je horní trojúhelníková matice, ale protoºe je zárove¬ symetrická, musí být diagonální. Tedy C je polární báze pro g . Diagonální elementy [g]C získáme P°idáme-li podmínku

Cramerovým pravidlem:

  k X det Gk−1 g(vk , vk ) = g  rjk uj , vk  = g(rkk uk , vk ) = rkk = det Gk j=1 V druhém kroku jsme vyuºili bilinearitu druhém pak podmínku

g

a vlastnost

g(ui , vk ) = 0

pro

i < k,

g(uk , vk ) = 1

P°íklad 29. Ur£eme signaturu kvadratické formy na



1 Qg (x) = xT 0 1

0 −3 3

ve

 R3

 1 3 x = x21 + 2x1 x3 − 3x22 + 6x2 x3 + x23 1

det G1 = 1, det G2 = −3, det G3 = −9. V posloupnosti (1, 1, −3, −9) je sign Qg = (2, 1, 0), forma je indenitní. Znamená vzhledem k libovolné polární bázi bude Qg vyjád°ena diagonální maticí,

Spo£teme

jedna znaménková zm¥na, tedy to, ºe

na jejíº diagonále budou dv¥ kladná a jedno záporné £íslo. Protoºe navíc vºdy lze symetrickou úpravou ud¥lat z kladné diagonální hodnoty

+1

a ze záporné

−1,

3. SYLVESTEROVO KRITÉRIUM

znamená to, ºe lze v

R3

101

zavést nové (£árkované) sou°adnice, pomocí nichº je

Qg (x)

vyjád°ena jako

 x0 Definice 50.

T

1 0 0

 0 0  x0 = (x01 )2 + (x02 )2 − (x03 )2 −1

0 1 0

Nulová mnoºina

kvadratické formy

Qg

je mnoºina

Ng := {v ∈ V |Qg (v) = 0} , obsahující v²echny vektory, které se zobrazí pomocí P°íklad 30. Pro

Qg

na

R

2

je

Ng = h(1, 1)i ∪ h(1, −1)i,

na nulu.

s p°edpisem

Qg (x) = x

mnoºina není podprostorem

Qg

T



1 0

 0 x = x21 − x22 −1

tedy sjednocení dvou r·znob¥ºných p°ímek. Taková

R2 .

Podobná situace nastává u v²ech indenitních

kvadratických forem. Jedna taková, tzv. prostoro£asový interval v rou

(3, 1, 0),

R4

se signatu-

je d·leºitá pro speciální teorii relativity, a její nulové mnoºin¥ se °íká

sv¥telný (nebo téº nulový) kuºel. Jeho trojrozm¥rnou verzí je nulová mnoºina kvadratické formy z p°edchozího p°íkladu, její tvar lze nejlépe nahlédnout v £árkovaných sou°adnicích, v nichº je to rota£ní kuºelová plocha s osou Matice

[g]K K

= G,

A ∈ Rn×n ,

x03 .

která zachovává obecnou kvadratickou formu

musí spl¬ovat

Qg

s maticí

∀x, y ∈ Rn

g(Ax, Ay) = xT AT GAy = xT Gy = g(x, y), AT GA = G. Pro Qg prostoro£asový interval a matici G v základním tvaru G = diag(1, 1, 1, −1) se mnoºina v²ech takových matic A nazývá Lorentzova grupa, neboli

nebo téº grupa Lorentzových transformací. Je v ní obsaºena grupa v²ech rotací v prostoru, ale také st°edová soum¥rnost, symetrie podle £asové prom¥nné a p°edev²ím tzv. vlastní Lorentzovy transformace (

boosty ),

které odpovídají p°echodu do

inerciální soustavy sou°adnic pohybující se v·£i p·vodní soustav¥ n¥jakou rychlostí.

KAPITOLA 18

Kvadriky 1. Anní prostor V zimním semestru jsme zavedli pojem anního podprostoru vektorového pro-

W ≤ V . Podprostor W se nazývá a + W ve V není obecn¥ uzav°ená na s£ítání vektor· a násobení vektoru skalárem, není tedy podprostorem V . S anními storu

V

zam¥°ení

jako mnoºinu

a + W,

kde

a ∈ V

a

anního podprostoru. Podmnoºina

podprostory jsme se zatím setkali p°edev²ím jako s mnoºinami °e²ení nehomogenních soustav lineárních rovnic, které jsme si zvykli zapisovat jako

xP +Ker A, sou£et

partikulárního °e²ení a jádra matice soustavy.

An := {˜ x ∈ Fn+1 |˜ x = (1, x1 , . . . , xn )T } vekn+1 zam¥°ením Vn := {˜ x ∈ F |˜ x = (0, x1 , . . . , xn )T } se

Definice 51. Anní podprostor

torového prostoru nazývá

n+1

F

se

aritmetický anní prostor.

Sloºky vektoru

x ˜0 = 1,

˜ x

£íslujeme od nuly, takºe

An

je také moºno popsat rovnicí

nebo blokovým zápisem

 An =

   1 n ˜= x∈F x x

Aritmetický anní prostor je vhodná struktura, uvnit° níº se dají studovat p°ímky, roviny, nadroviny a dal²í lineární útvary neprocházející po£átkem, ale také kuºelose£ky, kvadratické plochy a dal²í. Neº se k tomu dostaneme, zavedeme na

An

analogie n¥kterých konstrukcí na vektorových prostorech. Jak

An ,

tak

Vn

lze identikovat s mnoºinou

Fn

ιA : Fn → An   1 a 7→ a

pomocí p°irozených bijekcí

ιV : Fn → Vn   0 x 7→ x

body

Prvky prvního typu ozna£ujeme jako

a druhého jako

vektory.

Pro lep²í

odli²ení bod· a vektor· budeme u bod· uºívat hranaté závorky, netu£ný font a obvykle i písmena ze za£átku abecedy:

 1  a1      a ≡  ...  = ι−1 A  ..  , . an an 

a1





 0  x1      x ≡  ...  = ι−1 V  ..   .  xn xn 

x1



Vn a prost°ednictvím bijekcí ιA , ιV Fn :       a1 b1 a1 − b1  ..   ..   ..  a − b := ι−1  V (ιA (a) − ιA (b)), tj.  .  −  .  =  . an bn an − bn

Rozdíl dvou prvk·

An



je prvkem

operaci p°enést i na odpovídající prvky

102

lze tuto

1. AFINNÍ PROSTOR

103

Podobn¥ sou£et bodu a vektoru je



a1







x1



a1 + x1



   ..   . .  + . = . an + xn xn an . . .

 a + x := ι−1 A (ιA (a) + ιV (x)), 

Na vektorech jsou (narozdíl od bod·) samoz°ejm¥ denovány i sou£et a násobek skalárem. Anní p°ímka spojující body

a, b

se dá zapsat jako mnoºina bod·

{a + λ(b − a)|λ ∈ F} ⊂ Fn a + λ(b − a)

Výraz

lze formáln¥ p°epsat i jako

sou£et ani násobek skalárem nedenujeme, výraz

µ+λ=1

je

ιA -obrazem

n¥jakého bodu.

Definice 52. Nech´

spl¬ují

Pk

1 λi = 1.

(1 − λ)a + λb. A£koli na bodech µ ιA (a) + λ ιA (b) smysl dává a pro

a1 , . . . , ak ∈ Fn

λ1 , . . . , λk ∈ F

jsou body a

skaláry, které

Pak výraz

λ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λk ak ,

anní lineární kombinaci

ozna£ujeme jako

daných bod·.

Z p°íkladu s p°ímkou je vid¥t, ºe mnoºina v²ech anních lineárních kombinací bod·

a1 , . . . , ak

je n¥co jiného neº lineární obal v

lineárního obalu odpovídajících vektor·

n+1

F

Fn .

Dá se ale vyjád°it pomocí

jako

ι−1 A ( hιA (a1 ), . . . , ιA (ak )i ∩ An ) a, b je to pr·nik dvourozm¥rného podhιA (a), ιA (b)i v Fn+1 s nadrovinou An , identikovaný pomocí ι−1 A s anní n p°ímkou v F . Podobn¥ pr·nik nadroviny {˜ x ∈ Fn+1 |r0 x0 + . . . + rn xn = 0} a An n je ztotoºn¥n s anní nadrovinou {x ∈ F |r0 + r1 x1 + . . . + rn xn = 0}. n Ztotoºn¥ní anních p°ímek, rovin, nadrovin a dal²ích lineárních objekt· v F n+1 s podprostory vektorového prostoru F by nám spolu s v¥tou o dimenzi spojení V p°ípad¥ anní p°ímky procházející body prostorou

a pr·niku umoºnilo zobecnit standardní teorii o vzájemné poloze dvou p°ímek £i p°ímky a roviny v

R3

do libovolné dimenze. My se analytické geometrii lineárních

objekt· v¥novat nebudeme, p°ejdeme rovnou k objekt·m kvadratickým. Anní prostor vyuºijeme p°edev²ím jako vhodný rámec ke studiu kvadrik, tj. mnoºin ztotoºn¥ných pomocí ιA s pr·nikem nadroviny formy na

Ztotoºn¥ní mezi prvky bijekci

An

s nulovou mnoºinou n¥jaké kvadratické

Fn+1 .

ιA

Fn

a

An

budeme pouºívat natolik £asto, ºe psát v²ude

nebo její inverzi by bylo zbyte£n¥ nep°ehledné, podobn¥ u

Fn

a

Vn .

Obvykle bude z kontextu, ze zna£ení a z pouºitých operací jasné, s jakým typem objektu máme co do £in¥ní. Nap°íklad v následující denici by bylo p°esn¥j²í psát

ιA (a), ιA (b) ∈ An

a místo

Definice 53. Nech´

jako

kb − ak,

b−a

vºdy

ιV (b − a):

a, b ∈ An . Pak vzdálenost ρ(a, b) t¥chto bod· denujeme b − a ∈ Vn v norm¥ indukované standardním

tj. velikost vektoru

skalárním sou£inem. Prostor

An

s takto denovanou funkcí

Snadno se ov¥°í, ºe spl¬uje axiomy

ρ

Definice 54. Metrický prostor je dvojice

R+ 0

se nazývá

metrického prostoru : (X, ρ),

je funkce spl¬ující (1) (2) (3)

ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ X : ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y, z ∈ X : ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z)

kde

eukleidovský prostor En . X

je mnoºina a

ρ:X→

1. AFINNÍ PROSTOR

104

Nech´ A˜ ∈ Fn+1×n+1 . Pak lineární zobrazení FA˜ : Fn+1 → Fn+1 zachovává An a Vn , práv¥ kdyº Tvrzení 59.

A˜ =

 1 r

oT A

 ,

kde A ∈ Fn×n , r ∈ Fn mohou být libovolné. Navíc FA˜ zachovává vzdálenost mezi body An , práv¥ kdyº je A unitární matice. D·kaz. Má-li být nultá sloºka vektoru

sT A

   1 λ A˜ = a r rovna jedné nezávisle na hodnot¥

a,

    1 λ + sT a = a Aa + r

musí být

s=0

a

λ = 1.

Pro matici



v tomto

tvaru pak

oT A

   0 1 A˜ = x r Z denice 53 plyne, ºe

kAxk.

FA˜

    0 0 = x Ax

zachová vzdálenost, práv¥ kdyº

A

Z tvrzení 54 plyne, ºe to nastává práv¥ pro

∀x ∈ Fn

bude

unitární.

kxk = 

Fn×n a bodu z Fn standardn¥, m·ºeme zúºení FA˜ na An psát ve tvaru a 7→ Aa + r. Takové zobrazení na aritmetickém anním prostoru se nazývá anní zobrazení. Je-li A unitární, nazývá se takové zobrazení Zavedeme-li sou£in matice z

izometrie.

Soustava sou°adnic

p ∈ An S se nazývá ortogonální/ortonormální, práv¥ kdyº je ortogonální/ortonormální báze B . Sou°adnicemi bodu a ∈ An vzhledem k soustav¥ sou°adnic S ozna£íme vektor [a]S := [a − p]B ∈ Fn . Definice 55.

a

B = (vi )n1

je báze

Vn .

p

Bod

v

je její

An

je dvojice

po£átek

S 0 = (p0 , B 0 ), jakoºto dal²í soustavu a ∈ An ozna£me x := [a]S , x0 := [a]S 0 ∈ Fn . Pak Zvolme

a=p+

n X

xj vj = p0 +

j=1 Ozna£me dále

U := [Id]B B0 n X

p0 − p

kde

sou°adnic, kde

n X

B 0 = (vi0 )n1 ,

a pro

x0i vi0 .

i=1

a dosa¤me z denice matice p°echodu

xj vj = (p0 − p) +

j=1 Vektor

S = (p, B),

a soustava sou°adnic

n X

x0i

i=1

lze zapsat jako

n X

uji vj .

j=1

Pn

j=1 rj vj , p°i£emº

r := [p0 − p]B .

Pak lze poslední

rovnost upravit na

n X

xj vj =

j=1

n X

rj vj +

j=1

n X n X

x0i uji vj .

j=1 i=1

a z jednozna£nosti reprezentace vektoru v·£i bázi získat vztah mezi vektor·

x, x0

sou°adnic bodu

a

vzhledem k soustavám

xj = rj +

n X

uji x0i

i=1 Ten se dá p°epsat maticov¥ jako

   1 1 = x r

oT U

  1 x0

S

a

S0:

j -tými sloºkami

2. KVADRIKY

105

Podobnost mezi vztahem pro zm¥nu sou°adnic a p°edpisem pro anní zobrazení je jasn¥ patrná a analogická podobnosti mezi maticí p°echodu a maticí lineárního zobrazení ze zimního semestru. P°edpokládáme-li, ºe soustavy sou°adnic jsou ortogonální, je

U

S

a

S0

unitární matice, podobn¥ jako u izometrií.

2. Kvadriky Kvadrika

je podmnoºina reálného aritmetického anního prostoru

An

popsaná

(kvadratickou) rovnicí

˜x ≡ 1 x ˜ A˜ T

kde

c ∈ R, b ∈ Rn

a

x

T





c b

A ∈ Rn×n

bT A

  1 ≡ xT Ax + 2bT x + c = 0, x

jsou bloky matice ozna£ené

T

x 7→ x Ax

víme, ºe v kvadratické form¥

na

R

n

A˜.

Z p°edchozí kapitoly

m·ºeme bez újmy na obecnosti

˜x na ˜ 7→ x ˜ T A˜ A je symetrická, a budeme tak £init. Zobrazení Qg : x ˜ ≡ [g]K a kvadrika je R je rovn¥º kvadratická forma ur£ená symetrickou maticí A pr·nikem její nulové mnoºiny Ng s aritmetickým anním prostorem An . Známými p°íklady kvadrik na A2 jsou elipsa, hyperbola a parabola. Nap°íklad rovnici elipsy se st°edem v 0 a délkou poloos a, b lze p°epsat do tvaru    0 0 1  −1 x2 x2 1 x1 x2  0 a−2 0  x1  = 21 + 22 − 1 = 0 a b 0 0 b−2 x2 p°edpokládat, ºe

n+1

Kvadrika se nazývá

A.

regulární matice

regulární,

pokud je regulární matice

A˜,

a

st°edová,

pokud je

Vlastnosti kvadriky budeme studovat pomocí p°echodu do jiné

soustavy sou°adnic, vzhledem k níº je její rovnice v

kanonickém tvaru,

jako nap°í-

klad vý²e zmín¥ná elipsa. V²echny kanonické tvary kvadrik se vyzna£ují diagonální maticí

A,

coº znamená, ºe se v rovnici kvadriky nevyskytují smí²ené £leny

Zm¥na sou°adnic zm¥ní matici formy



1 o

rT UT

c bT b A



 1 r

Qg oT U

xi xj .

na matici



 =

c0 b0

b0T U T AU

 ,

c0 := c+2bT r+rT Ar a b0 := U T (b+Ar). Protoºe A je symetrická matice, exisT tuje matice U taková, ºe U AU =: D ≡ diag(d1 , . . . , dn ). Je-li kvadrika st°edová, −1 −1 pak existuje A a volbou r = −A b zajistíme, ºe b0 = o. Zárove¬ kde

c0 = c − 2bT A−1 b + bT (A−1 )T AA−1 b = c − bT A−1 b Protoºe



je regulární a regularita se zachovává p°i násobení regulárními mati-

cemi, musí být

c0

nenulové. V nových, £árkovaných sou°adnicích, které s p·vodními

spojuje vztah

   1 1 = x r

0 U

  1 , x0

má rovnice kvadriky tvar

c0 +

n X

di x02 i =0

i=1 Absence lineárních £len· znamená, ºe je mnoºina bod· soum¥rná podle v²ech nadrovin kolmých na sou°adné

x0 ∈ Rn spl¬ujících rovnici n osy v R , dává tedy smysl

x0 = o jako její st°ed. V p·vodní bázi jsou jeho sou−1 rovny x = r + U x = −A b a dají se tedy snadno zjistit uº z p·vodní bez nutnosti hledat U a r. R2 vidíme, ºe r·zná znaménka £ísel d1 a d2 dávají v £árkovaných sou-

ozna£it bod se sou°adnicemi °adnice matice, Na

0

°adnicích rovnici hyperboly a stejná znaménka bu¤ rovnici elipsy, nebo prázdnou mnoºinu, v závislosti na znaménku

c0 .

Znaménka diagonálních element· matice

D

2. KVADRIKY

106

c0 je stejné jako znaménko podílu mezi minanty matice D a matice diag(c , d1 , . . . , dn ). Tyto determinanty mají ale ˜. Platí tedy znaménko jako determinanty matice A a A jsou dána signaturou

A

a znaménko

0

deterstejné

Je-li xT Ax + 2bT x + c = 0 regulární st°edová kvadrika taková, ºe ˜ det A signatura matice A je (p, q, 0) a C := det A , pak pro • q = 0 ∧ C < 0 nebo p = 0 ∧ C > 0 je to elipsoid, • q = 0 ∧ C > 0 nebo p = 0 ∧ C < 0 je to prázdná mnoºina, • p 6= 0 ∧ q 6= 0 je to hyperboloid. V¥ta 37.

P°íklad 31. Uvaºujme kvadriku na

0. x

R2 s rovnicí 3x2 −10xy+3y 2 +14x−2y+3 =

P°epi²me levou stranu maticov¥ jako

y





3 −5

Protoºe

  −5 x +2 7 3 y sign A = (1, 1, 0)

   x −1 +3≡ 1 y

a velká

3×3

matice





x

3 y 7 −1

7 3 −5



  −1 1 −5 x 3 y

je regulární, jedná se o hyper-

bolu. V¥ta umoº¬uje ur£it typ st°edové kvadriky z její rovnice v p·vodních sou°adnicích. Elipsoid je zobecn¥ním elipsy, je to tedy kvadrika s (kanonickou) rovnicí

n X x02 i

i=1 Délky jejích poloos jsou rovny

ai =

q

=1

a2i 0

− dci .

Zvolíme-li matici

U

ortogonální, pak

zm¥na sou°adnic zachovává vzdálenost a stejné délky poloos má elipsoid i v p·vodních, ne£árkovaných sou°adnicích. ƒísla p°ípad¥ rovna vlastním £ísl·m matice

di A,

na diagonále matice

D

jsou v takovém

tedy i ty lze zjistit jiº z p·vodní rov-

nice kvadriky. Sm¥ry poloos jsou v £árkovaných sou°adnicích dány prvky kanonické báze, v p·vodních sou°adnicích to tedy musí být vlastní vektory matice

A.

Obrázek 1. *

Elipsoid:

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1

Tuto diskusi je moºné vztáhnout i na p°ípad hyperboloidu, tedy kvadriky s kanonickou rovnicí

n X i=1

±

x02 i = 1, a2i

kde v²echna znaménka nalevo nejsou stejná. Po£et kladných a záporných, tedy signatura matice

A

umoº¬uje zavést jemn¥j²í d¥lení hyperboloid·, v

R3

jsou dva

2. KVADRIKY

107

- jednodílný a dvojdílný. Odpovídají rota£nímu t¥lesu, jehoº plá²´ je hyperbola, vzniklému rotací okolo dvou hlavních os této hyperboly.

Hyperboloid:

x2 a2

+

y2 b2



Obrázek 2. *

z2 c2

=1

Dvojdílný hyperboloid:

x2 a2

+

y2 b2



z2 c2

= −1

Rozeberme je²t¥ p°ípad nest°edové regulární kvadriky. Stejn¥ jako u st°edové m·ºeme najít ortogonální matici

U

takovou, ºe

0.

jejíº alespo¬ jeden diagonální element je

diag(d1 , . . . , dn−1 , 0).

U T AU

D, D =

je diagonální matice

Nech´ je to ten poslední, tedy

Poslední sloupec matice

c0 b0

b0T D





tedy musí být násobkem prvního vektoru kanonické báze 1

∈ Rn+1 .

Musí to být

násobek nenulový a ºádný jiný sloupec uº násobkem vektoru 1 být nem·ºe, bylo by to v rozporu z regularitou kvadriky. Tedy £ísla nenulová a

rank A = n − 1.

co nejjednodu²²í, ale se singulární maticí Ozna£me

b00 := U T b,

d1 , . . . , dn−1 uº musí být v²echna r, aby b0 = U T (b + Ar) bylo

Chceme op¥t zvolit

A

uº nebude moºné, aby to byla nula.

pak

b0 = b00 + U T AU U T r = b00 + Dr00 , kde

r00 := U T r.

kde

D00 = diag(d1 , . . . , dn−1 )

Pro

0

i ∈ {1, . . . , n − 1} poloºme ri00 := − d1i b00i ,   0 c oT b00n  o D00 o  , b00n oT 0

00

T

00

c0 := c + 2bT r + rT Ar.

a

00T

c = c + 2b U U r + r =c−2

n−1 X i=1

Protoºe

00

r = Ur

b00n 6= 0,

Po dosazení

U AU r = c + 2b r + r00T Dr00 T

00

00 00

n−1

n−1

X 1 X 1 1 00 2 (bi ) + b00n rn00 + (b00i )2 = c − (b00i )2 + b00n rn00 di d d i i i=1 i=1

lze zvolit

rn00

tak, aby

c0 = 0.

Tím jsme zvolili vektor

tak, aby v p°íslu²né soustav¥ sou°adnic m¥la kvadrika rovnici

n−1 X

00 0 di x02 i + 2bn xn = 0.

i=1 Pro

pak má matice tvar

n=2

je to parabola, jejíº rovnici je moºné p°epsat jako

x002 = −

d1 02 x , 2b00n 1

r00

a tedy i

2. KVADRIKY

108

obecn¥ se jedná se o paraboloid. Parametry v rovnici je moºné ur£it z p·vodní matice

A˜,

protoºe

d1 , . . . , dn−1

jsou vlastní £ísla její podmatice

det A˜ = −(b00n )2

n−1 Y

A

a

di

i=1 Na signatu°e matice

A op¥t závisí jemn¥j²í d¥lení typ· paraboloid·, v R rozli²ujeme

eliptický a hyperbolický paraboloid.

Obrázek 3. *

Hyperbolický paraboloid:

Sm¥r osy paraboloidu sou°adnice jsou

en ,



y2 b2

−z =0

je denován jako lineární obal vektoru, jehoº £árkované

tedy jako vlastní vektor

Vrcholem paraboloidu

x2 a2

A

s vlastním £íslem

0,

Ker A. x0 = o.

neboli

je bod ur£ený v £árkovaných sou°adnicích vektorem

Poznámka 6. V této kapitole jsme klasikovali v²echny regulární kvadriky do

t°íd ekvivalence. Ty, které mají vzhledem k n¥jaké ortonormální soustav¥ sou°adnic stejnou rovnici, jsou na sebe p°evoditelné odpovídající izometrií. íkáme, ºe jsou stejného

kací

metrického typu

a seznam t¥chto typ· nazýváme

metrickou klasi-

kvadrik. Metrických typ· kvadrik je nekone£n¥ mnoho, protoºe nap°íklad dv¥

elipsy, které se li²í délkami poloos, jsou r·zného metrického typu.

Anní klasikace kvadrik p°ipou²tí i neortonormální soustavy sou°adnic, jinými anního typu, pokud se na sebe dají p°evést anní

slovy kvadriky jsou stejného

transformací. Anních typ· regulárních kvadrik je kone£n¥ mnoho, v dimenzi 2 jsou to elipsa, hyperbola, parabola a prázdná mnoºina, v dimenzi 3 je to elipsoid, jednodílný hyperboloid, dvojdílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, eliptický paraboloid a prázdná mnoºina. Anní typ kvadriky je moºné ur£it jen ze signatury matic

A

a

A˜.

Klasikací singulárních kvadrik se zabývat nebudeme, podobn¥ jako u regulárních sta£í k ur£ení anního typu nalezení signatur. V singulárních kvadrik

• • • • •

bod:

x21 + x22 = 0

dv¥ r·znob¥ºky: dv¥ rovnob¥ºky: p°ímka: rovina:

x21 = 0 0=0

x21 − x22 = 0 x21 − 1 = 0

P°íklady singulárních kvadrik v

R3

jsou nap°íklad tyto:

R2

jsou typu anních

2. KVADRIKY

Eliptická válcová plocha:

x2 a2

Obrázek 4. *

+

y2 b2

=1

Kuºelová plocha:

109

x2 a2

+

y2 b2



z2 c2

=0

KAPITOLA 19

Jordan·v tvar C, f ∈ End(V ) a λ ∈ C je fλ := f − λ Id pro endomorsmus posunutý oproti f o −λ-násobek identity. Posloupnost nenulových vektor· C = (vi )k1 ve V takovou, ºe fλ (v1 ) = o a ∀i ∈ {2, . . . , k} je f (vi ) = vi−1 nazveme °etízek p°íslu²ný f a λ. Denující vlastnost °etízku je moºné ve zkratce zapsat také formou Nech´

V

je vektorový prostor kone£né dimenze nad

f.

vlastní £íslo endomorsmu

Zave¤me ozna£ení

diagramu











vk 7−→ vk−1 7−→ . . . 7−→ v2 7−→ v1 7−→ o První vektor v °etízku spl¬uje endomorsmu

f.

f (v1 ) = λv1 , pat°í tedy do vlastního podprostoru Vλ

Ostatní vektory uº vlastními vektory nejsou, spl¬ují podmínku

f (vi ) = (fλ + λ Id)(vi ) = vi−1 + λvi Takovým vektor· se °íká £íslu

p°idruºené vlastní vektory

endomorsmu

f

v·£i vlastnímu

λ.

Pokud je

k×k [f ]C C ∈C

C

navíc i báze

V,

pak z denice matice endomorsmu plyne, ºe

má tvar

Jλ,k

Této matici se °íká

 λ 0  0   :=  ...  0  0 0

1 λ 0 0 0 0

Jordanova bu¬ka.

kaºdý endomorsmus

V

0 1 λ

0 0 1

... ... ...

..

..

0 0 0

.

0 0 0

.

... ... ...

0 0 0 0 1 λ 0

 0 0  0   0  0  1 λ

Hlavním výsledkem této kapitoly je, ºe pro

existuje báze

B

(

Jordanova báze

) prostoru

z °etízk· p°íslu²ných jeho vlastním £ísl·m. V·£i této bázi je

[f ]B B

V

sloºená

blokov¥ diago-

nální matice, jejíº diagonální bloky jsou Jordanovy bu¬ky, °íkáme, ºe je to matice v

Jordanov¥ tvaru.

Mají-li v²echny °etízky v Jordanov¥ bázi délku

tvar diagonální matice, a tedy ºe

f

1,

je Jordan·v

je diagonalizovatelný endomorsmus. Druhým

d·sledkem v¥ty o Jordanov¥ tvaru bude, ºe je ur£en pro daný endomorsmus jednozna£n¥ aº na po°adí Jordanových bun¥k. Z toho plyne, ºe matice má netriviální Jordan·v tvar (tj. s alespo¬ jednou Jordanovou bu¬kou °ádu v¥t²ího neº 1), práv¥ kdyº endomorsmus není diagonalizovatelný. V kapitole 11 jsme vid¥li, ºe diagonalizace matice umoº¬uje efektivn¥ spo£ítat její mocniny. Nalezení Jordanovy báze a Jordanova tvaru endomorsmu £i matice umoº¬uje roz²í°it tuto metodu i na matice nediagonalizovatelné. Nejprve dokáºeme, ºe pro komutující matice platí obdoba binomické v¥ty: Lemma 7 (Binomická v¥ta).

Nech´ A, B ∈ Fk×k , AB = BA. Pak n

(A + B) =

n   X n i=0 110

i

An−i B i

19. JORDAN—V TVAR

111

D·kaz. Indukcí s vyuºitím relací pro kombina£ní £ísla, podobn¥ jako u bino-



mické v¥ty pro reálná £ísla.

K ur£ení mocniny endomorsmu tedy sta£í reprezentovat ho v·£i Jordanov¥ bázi a spo£ítat mocninu Jordanových bun¥k na blokové diagonále. Protoºe matice

λE

komutuje s kaºdou maticí, lze pouºít binomickou v¥tu:

n   X n n−i (Jλ,k ) = (λE + J0,k ) = λ (J0,k )i = i i=0   n n n−2 λ nλn−1 2 λ 0 λn nλn−1   0 0 λn =  .  ..  0 0 0 n

n

0

0

0

n n−k+1  k−1λ n n−k+2  k−2 λ 



... ... ..

.

..

.

... ...

n k−3

 λn−k+3    .  . .   n−1 nλ n λ 

λn 0

Vyuºili jsme jednoduchého tvaru mocnin Jordanových bun¥k s vlastním £íslem Pro dostate£n¥ velké

i

(konkrétn¥

i ≥ k)

smy s touto vlastností se nazývají Definice 56.

míme podprostor Nap°íklad

je dokonce

nilpotentní.

Invariantním podprostorem

W ≤V

takový, ºe

W := Ker f

(J0,k )i = 0,

endomorsmu

V

f ∈ End(V )

je invariantním podprostorem, protoºe

spojeného

rozu-

f (W ) ⊂ W .

Podobn¥ je vid¥t, ºe invariantním podprostorem jsou i libovolného °etízku ve

0.

matice i endomor-

Im f

f (W ) = 0 ⊂ W .

a lineární obal vektor·

fλ .

Lemma 8. Jsou-li U, W ≤ V invariantní podprostory pro f ∈ End(V ), pak jsou jimi i U ∩ W a U + W .



D·kaz. Z denic.

Lemma 9. Je-li W ≤ V invariantní podprostor endomorsm· f, g ∈ End(V ) a r, s ∈ F, pak je invariantní i pro endomorsmus rf + sg .



D·kaz. Z denic.

fλ = f − λ Id stejné inf . Zvolíme-li bázi B = (C, B 0 ) ve V tak, ºe C je báze B invariantního podprostoru W , pak prvních dim W ≡ |C| sloupc· matice [f ]B má 0 posledních dim V − dim W ≡ |B | sloºek nulových. Je to tedy blokov¥ horní trojúhelníková matice   A X B , [f ]B = 0 G kde |C| × |C| matici A jde s pomocí zobrazení ι : W → V , π : V → W zavedených C v kapitole o direktním sou£tu zapsat jako A = [π ◦ f ◦ ι]C . Je to tedy matice f|W := π ◦ f ◦ ι ∈ End(W ) zúºení endomorsmu f na podprostor W . Charakteristický polynom p·vodního endomorsmu pf (λ) = det(f − λ Id) je díky tvrzení 41 roven Protoºe pro

Id

je invariantní kaºdý podprostor, má

variantní podprostory jako

det(A − λE) det(G − λE) = det(f|W − λ Id) det(G − λE) = pf|W (λ)q(λ), tudíº kaºdé vlastní £íslo endomorsmu Pro speciální volbu

W

f|W

je i vlastním £íslem endomorsmu

f.

odtud plyne nerovnost mezi algebraickou a geometrickou

násobností vlastního £ísla: Tvrzení 60. Nech´ f ∈ End(V ). Pak algebraická násobnost vlastního £ísla µ endomorsmu f je vºdy v¥t²í nebo rovna jeho násobnosti geometrické.

19. JORDAN—V TVAR

112

W vlastní podprostor f s vlastním £íslem µ, pf|W (λ) = (µ − λ)dim W . Odtud vidíme, ºe µ je ko°enem pf (λ) násobnosti dim W . 

D·kaz. Je-li v p°edchozí úvaze

pak

A = µE ,

alespo¬

tedy

Existenci Jordanovy báze budeme dokazovat ve dvou krocích. Nejprve ukáºeme, ºe mnoºina vektor· v °etízcích je lineárn¥ nezávislá, práv¥ kdyº je lineárn¥ nezávislá posloupnost jejich po£áte£ních vektor·, tedy t¥ch, které se v °etízcích zobrazují na nulový vektor. Druhým krokem bude ukázat, ºe lze sestrojit mnoºinu °etízk· spl¬ujících tuto podmínku, která je dostate£n¥ velká, aby generovala celé

V.

Lemma 10. Nech´ B = (B1 , . . . , Bp ) je posloupnost °etízk· pro f ∈ End(V ). B je lineárn¥ nezávislá, práv¥ kdyº je lineárn¥ nezávislá posloupnost (v11 , . . . , v1p )

jejich po£áte£ních vektor·.

⇒ je zjevná, implikaci ⇐ dokáºeme indukcí podle celkového B1 , . . . , Bq jsou °etízky spojené fλ , tedy jejich po£áte£ní q 1 i vektory v1 , . . . , v1 spl¬ují (f −λ Id)(v1 ) = o, £ili jsou to vlastní vektory f s vlastním £íslem λ. Podívejme se nejprve, na co se zobrazí lineární kombinace prvk· n¥kterého z prvních q °etízk· v zobrazení fλ . Je-li i ≤ q , pak   ki ki ki kX i −1 X X X i i fλ  rji vji  = rji fλ (vji ) = rji vj−1 = rj+1 vji ∈ hBi0 i, D·kaz. Implikace

po£tu vektor· v

B.

j=1

Nech´

j=1

j=2

j=1

Bi0 := Bi \{vki i } je °etízek Bi po odebrání posledního vektoru. Pokud i > q , tedy pokud Bi je °etízek p°íslu²ný jinému vlastnímu £íslu µ, pak je hBi i díky p°edchozí úvaze invariantní podprostor pro fµ , tedy i pro f a tedy i pro fλ . Tedy fλ -obrazem lineární kombinace prvk· Bi bude op¥t n¥jaká lineární kombinace prvk· Bi . Lineární kombinaci v²ech vektor· ve v²ech °etízcích B1 , . . . , Bp rozd¥lme na dv¥ dvojité sumy: první b¥ºí p°es °etízky p°íslu²ející vlastnímu £íslu λ, druhá p°es

kde

°etízky p°íslu²ející ostatním vlastním £ísl·m:

q X ki X i=1 j=1

rji vji +

p ki X X

rji vji

i=q+1 j=1

fλ zobrazí tuto lineární kombinaci na lineární kombinaci vektor· i (B10 , . . . , Bq0 , Bq+1 , . . . , Bp ), kde koecient u vji pro i ≤ q je rj+1 . 0 0 Posloupnost po£áte£ních vektor· °etízk· B1 , . . . , Bq , Bq+1 , . . . , Bp je bu¤ stejná jako posloupnost po£áte£ních vektor· °etízk· B1 , . . . , Bq , Bq+1 , . . . , Bp , nebo je

Endomorsmus z posloupnosti

to její podposloupnost, je tedy lineárn¥ nezávislá. Protoºe posloupnost vektor·

(B10 , . . . , Bq0 , Bq+1 , . . . , Bp ) obsahuje mén¥ prvk· neº posloupnost (B1 , . . . , Bp ), plyne z induk£ního p°edpokladu, ºe první z posloupností je lineárn¥ nezávislá.

o, pak je roven nulovému vekfλ -obraz. Z induk£ního p°edpokladu a tvaru koecient· fλ -obrazu veki tor· z prvních q °etízk· plyne, ºe rj = 0 pro v²echna i ≤ q a j ≥ 2. Opakujeme-li stejnou úvahu s ostatními vlastními £ísly a odpovídajícími zobrazeními fµ dostái váme, ºe rj = 0 i pro i > q a j ≥ 2. Pak má ale p·vodní lineární kombinace tvar Pp i i i i=1 r1 v1 = o a tedy i z lineární nezávislosti po£áte£ních vektor· plyne r1 = 0 pro v²echna i. Tedy v²echny koecienty p·vodní lineární kombinace musí být nulové a posloupnost (B1 , . . . , Bp ) je tudíº lineárn¥ nezávislá.  Poloºme tedy p·vodní lineární kombinaci rovnu

toru i její

V¥ta 38 (O existenci Jordanova tvaru). Nech´ V je komplexní vektorový prostor kone£né dimenze, f ∈ End V . Pak existuje báze B prostoru V taková, ºe [f ]B B je matice v Jordanov¥ tvaru.

19. JORDAN—V TVAR

113

V . Pro dim V = 1 je tvrzení z°ejmé, p°edn = dim V > 1 a pro v²echny prostory niº²í dimenze tvrzení platí. Pro λ ∈ σ(f ) jsou Ker fλ a Im fλ f -invariantní podprostory a protoºe dim Ker fλ > 0, plyne z v¥ty o dimenzi jádra a obrazu, ºe dim Im fλ < n. Protoºe W := Im fλ je invariantní podprostor f , lze z induk£ního p°edpokladu najít Jordanovu bázi C endomorsmu f |W v prostoru W . Nech´ je v C práv¥ r °etízk· i s vlastním £íslem λ. Protoºe C ⊂ Im fλ , lze ke kaºdému koncovému vektoru vk i i takového °etízku najít n¥jaký jeho vzor vk +1 v zobrazení fλ . Lze také doplnit r poi £áte£ních vektor· t¥chto °etízk· na bázi Ker fλ , tím získáme dal²ích dim Ker fλ − r vektor· tvo°ících °etízky délky 1 spojené fλ . Tím jsme z C získali novou posloupnost °etízk· B , v níº je o D·kaz. Indukcí podle dimenze

pokládejme tedy, ºe

r + (dim Ker fλ − r) = dim Ker fλ = n − dim Im fλ = n − |C| n

vektor· více, má tedy celkem

prvk·. Podobnou úvahou jako v d·kazu lemmatu

5 odvodíme, ºe sjednocení lineárn¥ nezávislých mnoºin, z nichº kaºdá leºí v jiném vlastním podprostoru, je lineárn¥ nezávislá mnoºina. Mnoºina ních vektor· v

C

C1

v²ech po£áte£-

je z induk£ního p°edpokladu lineárn¥ nezávislá, tedy je lineárn¥

f , speciáln¥ i s Ker fλ , který C10 . Mnoºina B1 v²ech po£áte£ních vektor· v B vznikla dopln¥ním C10 na bázi Ker fλ a p°idáním v²ech ostatních prvk· C1 , je tedy lineárn¥ nezávislá. Podle lemmatu 10 je B lineárn¥ nezávislá a jelikoº má n prvk·, je to báze V .  nezávislý i její pr·nik s kaºdým vlastním podprostorem

ozna£me

P°íklad 32. Zkonstruujme Jordanovu bázi pro endomorsmus

F A : C4 → C4

ur£ený maticí

 3 0  A= 0 1

1 2 0 0

 −1 1  0 4

0 0 3 0

σ(A) = {3}, dim Ker(A−3E) = 2 a (A−3E)3 1 0. Zvolíme vektor v3 tak, aby se nenacházel v jádru matice

Spo£teme postupn¥

 −1  1 (A − 3E)2 =  0 1 v31 := (1, 0, 0, 0)T .

nap°íklad

v31 =

A−3E

v21 :=

 0 0 0 0 , 0 0 0 0

−1 1 0 1

A − 3E

Násobením maticí

= 0, (A−3E)2 6=

v11 :=

A−3E

zleva získáme °etízek

A−3E

(1, 0, 0, 0)T 7−→ (0, 0, 0, 1)T 7−→ (−1, 1, 0, 1)T 7−→ o v11

Vektor

Ker(A − 3E) nap°. vektorem v12 := (0, 0, 1, 0)T . Z (v11 , v21 , v31 , v12 ) lineárn¥ nezávislá, je to tedy hledaná Jordanova báze. tvar matice A je diag(J3,3 , J3,1 ). doplníme na bázi

lemmatu 10 je Jordan·v

Zapi²me

[f ]B B

diag(J, K), kde blok J zahrnuje v²echny Jordanovy λ a K v²echny ostatní Jordanovy bu¬ky. Pak k -tá mocnina matice [fλ ]B B je     (J − λE)k 0 0 0 = , 0 R 0 (K − λE)k

blokov¥ jako

bu¬ky p°íslu²ející vlastnímu £íslu existuje

kde

R

k ∈ N,

ºe

je regulární matice. Nejmen²í takové

z °etízk·

B1 , . . . Bq

tice, je podprostor

Ker[(fλ )k ]B B ).

k

je rovno délce nejdel²ího °etízku

λ. Protoºe R je regulární mak B vyjád°en jako Ker([fλ ]B B) = k roven Ker(fλ ) . Poslední vyjád°ení

p°íslu²ejících vlastnímu £íslu

Zλ := hB1 , . . . , Bq i

To znamená, ºe samotný

v·£i bázi



je

19. JORDAN—V TVAR

závisí pouze na endomorsmu novy báze

f

114

a jeho vlastním £ísle

λ,

ale uº ne na volb¥ Jorda-

B.

f ∈ End(V ), λ je vlastní £íslo endomorsmu f a k ∈ N je Ker(fλ )k = Ker(fλ )k+1 . Podprostor Zλ := Ker(fλ )k nazýváme zobecn¥ný vlastní podprostor f p°íslu²ný vlastnímu £íslu λ. Definice 57. Nech´

nejmen²í takové, ºe

Rozmyslete si, ºe tato denice

Zλ souhlasí s denicí v p°edchozím odstavci. Ideu

nezávislosti na volb¥ báze vyt¥ºíme v následujícím tvrzení, jehoº d·sledkem bude, ºe po£ty a délky °etízk· musí být v kaºdé Jordanov¥ bázi daného endomorsmu stejné. Tvrzení 61. Nech´ V je vektorový prostor kone£né dimenze n nad C, f ∈ End(V ) a λ ∈ σ(f ). Pak k (1) Zλ ⊕ Im(fλ ) = V , dim Zλ je rovno algebraické násobnosti λ (2) Je-li σ(f ) = {λ1 , . . . , λm }, pak V = Zλ1 ⊕ . . . ⊕ Zλm (3) Po£et °etízk· p°íslu²ných λ s délkou alespo¬ j je roven

dim Ker(fλ )j − dim Ker(fλ )j−1 (4)

Po£et °etízk· p°íslu²ných λ s délkou práv¥ j je roven − dim Ker(fλ )j+1 + 2 dim Ker(fλ )j − dim Ker(fλ )j−1

D·kaz. Nech´

B

je Jordanova báze

f

a matice

J, K

jsou zvoleny stejn¥ jako

vý²e. Matice

[(fλ )k ]B B

 =

(J − λE)k 0

0 (K − λE)k



 =

0 0

0 R



má blokovou strukturu, v níº je rozm¥r nulové matice v levém horním rohu roven rozm¥ru

J,

neboli po£tu výskyt·

λ

na diagonále horní trojúhelníkové matice

[f ]B B,

λ. Ozna£me rozm¥r regulární matice R jako k B Im[(fλ )k ]B B = hem+1 , . . . , en i a Ker[(fλ ) ]B = he1 , . . . , em i. Jádro a k B [(fλ ) ]B tedy tvo°í direktní sou£et rovný Cn , z £ehoº

jinými slovy algebraické násobnosti

n − m.

Zjevn¥

obraz matice

Ker(fλ )k ⊕ Im(fλ )k = V Druhé tvrzení získáme indukcí z prvního a z pozorování, ºe

µ 6= λ.

To je op¥t nejlépe vid¥t z maticového vyjád°ení, protoºe

Zµ ⊂ Im(fλ )k pro matice K obsahuje

µ. Pro ov¥°ení t°etího Ker(fλ )j leºí z báze B práv¥ ty vektory, které pat°í do n¥jakého °etízku spojeného fλ a jsou vzdáleny od po£áte£ního vektoru nejvý²e o j − 1 ²ipek. ƒtvrté tvrzení plyne ihned ze t°etího.  na diagonále v²echny Jordanovy bu¬ky s vlastním £íslem

tvrzení si sta£í rozmyslet, ºe v

ƒtvrtý bod vyjad°uje po£et °etízk· délky

j

spojených



nezávisle na zvo-

lené Jordanov¥ bázi. Kaºdému takovému °etízku odpovídá v matici bu¬ka

Jλ,j .

[f ]B B

Jordanova

Z toho plyne

V¥ta 39. Jordan·v tvar endomorsmu f ∈ End(V ) je ur£en jednozna£n¥ aº na zm¥nu po°adí Jordanových bun¥k.

P°i praktickém hledání n¥jaké Jordanovy báze postupujeme po jednotlivých

Zλ , v kaºdém nejprve zjistíme strukturu °eKer(fλ )j . Konkrétní vektory v °etízcích nejsou ur£eny jednozna£n¥,

zobecn¥ných vlastních podprostorech tízk· z dimenzí

n¥jakou vhodnou volbu m·ºeme získat následujícím postupem:

k nejmen²í takové, ºe Ker(fλ )k = Ker(fλ )k+1 najd¥me nejprve n¥jakou bázi Ker fλ ∩ Im(fλ )k−1 , ozna£me ji jako  nové po£áte£ní vektory a poloºme j = k − 1. Pro

Následn¥:

19. JORDAN—V TVAR

115

(1) Prohlásíme nové po£áte£ní vektory za staré po£áte£ní vektory a prodlou-

j+1

ºíme je na °etízky délky

opakovaným hledáním vzor· v zobrazení

fλ . (2) Doplníme staré po£áte£ní vektory novými po£áte£ními vektory na bázi (3)

Ker fλ ∩ Im(fλ )j−1 Je-li j = 1, skon£íme,

jinak sníºíme

j

o

1

a jdeme na bod

1.

Tento postup zaru£uje, ºe vzniknou °etízky s lineárn¥ nezávislými po£áte£ními vektory a správnými délkami. Pro malé matice je n¥kdy výhodn¥j²í konstruovat °etízky od konce, protoºe hledání obrazu v



je jednodu²²í neº hledání vzoru v n¥m. Pak

ale nemusí po£áte£ní vektory vyjít lineárn¥ nezávislé a je nutné to dodate£n¥ ov¥°it. P°íklad 33. Matice



0 A = −3 2 má spektrum

σ(A) = {1, 2}

 1 3 1

1 4 −1

a vlastní podprostory

V1 = Ker(A − E) = h(1, 2, −1)T i, V2 = Ker(A − 2E) = h(1, 3, −1)T i. 1 má algebraickou násobnost 1, je V1 uº roven Z1 . Prostor Ker(A − 2E)2 = h(0, 0, 1), (1, 3, 0)i je roven Z2 , protoºe uº má dimenzi rovnou algebraické násobnosti vlastního £ísla 2. Dimenze V2 je 1, bázi Z2 tedy bude tvo°it jeden °etízek délky 2. Vektory v n¥m m·ºeme najít bu¤ jako (nap°.) (1, 3, −1) a n¥jaký jeho vzor v FA−2E , nebo jako (nap°.) (0, 0, 1) a n¥jaký jeho obraz v FA−2E . Obraz se spo£te snáz a je roven (1, 3, −1). Nalezená Jordanova báze a Jordan·v tvar jsou pak         1 0 1 0 0 1 B =  2  ,  3  , 0 , JA = 0 2 1 −1 1 0 0 2 −1 Protoºe

Mocniny matice

A

lze spo£íst jako

n −1 R , R := [Id]K An = RJA B.

Poznámka 7. P°i numerickém hledání Jordanova tvaru naráºíme na problém,

ºe libovoln¥ malá zm¥na vstupních dat m·ºe zm¥nit strukturu °etízk·. Nap°íklad matice

 0 N= 0

1 0



není diagonalizovatelná a je sama svým Jordanovým tvarem. K ní blízká matice

 A=

ε 0

1 −ε



diagonalizovatelná je, protoºe má prosté spektrum

{ε, −ε}. Její Jordan·v tvar tedy

je

 JA = h(1, 0)T i matice N .

Vlastní podprostory vlastní podprostor

a

ε 0

h(1, −2ε)T i

0 −ε



matice

A

pro

ε=0

splynou v jediný

KAPITOLA 20

Exponenciála Ozna£ení 1. Standardn¥ zna£íme maticové elementy matice

V n¥kterých p°ípadech, nap°íklad u inverzní matice (nap°.

a−1 ij )

bylo zavád¥jící. Proto budeme zna£it

pot°eby také

(A)ij .

Naopak

(aij )

ij -tý

A−1 ,

A

symbolem

aij .

by ozna£ení element·

element matice

A

v p°ípad¥

bude ozna£ovat matici, jejíº elementy jsou

aij .

Pomocí Jordanova tvaru umíme spo£ítat libovolnou mocninu libovolné komplexní matice a tedy i dosadit matici do polynomu. Je moºné matici dosadit i do mocninné °ady?

m×n m×n (Bq )∞ , pak matici B ∈ C q=0 posloupnost matic z C nazveme limitou limq→∞ Bq posloupnosti, pokud ∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈ {1, . . . , n} platí limq→∞ (Bq )ij = (B)ij . Definice 58. Je-li

Sou£et nekone£né °ady matic je pak denován jako limita jejích £áste£ných sou£t·. Denici limity m·ºeme p°eformulovat i pomocí zavedení matic vztahem

kBk := maxi,j |(B)ij |.

normy

na mnoºin¥

Platí

m×n Nech´ (Bq )∞ . Pak B ∈ Cm×n je q=0 je posloupnost matic z C její limita, práv¥ kdyº limq→∞ kBq − Bk = 0. Lemma 11.



D·kaz. Jednoduché cvi£ení. Definice 59. Pro libovolnou £tvercovou matici

exp A = Lemma 12.

°ada.

A

denujme její

exponenciálu

∞ X 1 q A q! q=0

Pro libovolnou £tvercovou matici je exp A absolutn¥ konvergentní A ∈ Cn×n . Pro v²echna q ∈ N platí nerovnost kAq k ≤ nq−1 kAkq , dokáºe indukcí. Pro q = 1 je tvrzení triviální. P°edpokládejme, ºe q ∈ N. Pak

D·kaz. Nech´

která se snadno platí pro n¥jaké

kAq+1 k = kAq Ak = max | ij

X X (Aq )ik (A)kj | ≤ max |(Aq )ik ||(A)kj | ≤ ij

k

k

≤ nkAk max |(Aq )ik | = nkAkkAq k ≤ nq kAkq+1 , ik

kde jsme v posledním kroku pouºili induk£ní p°edpoklad. Pak ale pro libovolné

Q∈N

Q Q Q X X X 1 1 nq q q |(A )ij | ≤ kA k ≤ kAkq ≤ enkAk q! q! q! q=0 q=0 q=0

 116

20. EXPONENCIÁLA

117

P°íklad 34. Pokud je n¥jaká mocnina matice

A nilpotentní matice. Pak Jordanova bu¬ka J0,k :

je °ada

exp A

A

rovna nule, °íkáme, ºe je

dána kone£ným sou£tem. P°íkladem je

1 1 exp J0,k = E + J0,k + (J0,k )2 + . . . + (J0,k )k−1 2 (k − 1)! U n¥kterých speciálních matic je moºné spo£ítat obecnou mocninu p°ímo a i °ada se dá pak se£íst. To je p°ípad diagonální matice

 exp

a 0 0 b

 =

 ∞ X 1 aq q! 0 q=0

0 bq



 =

ea 0

 0 , eb

ale také nap°íklad matic



   t cosh t sinh t = , 0 sinh t cosh t

0 exp t V¥ta 40.

(1) (2) (3) (4)



0 exp t

   −t cos t − sin t = 0 sin t cos t

Nech´ A, B, Q ∈ Cn×n , Q regulární. Pak

Pokud AB = BA, pak exp(A + B) = exp A exp B exp A je regulární a (exp A)−1 = exp(−A) exp(Q−1 AQ) = Q−1 exp(A)Q det exp A = exp Tr A

D·kaz.

exp A exp B

exp A

a

exp B

jsou dv¥ absolutn¥ konvergentní °ady, jejich sou£in

je tedy roven °ad¥

p ∞ X ∞ ∞ X X X 1 1 1 (A)q (B)r = Aq B p−q = q! r! q!(p − q)! p=0 q=0 r=0 q=0 p   ∞ ∞ X 1 X p q p−q X 1 = A B = (A + B)p , p! q p! p=0 q=0 p=0 v poslední rovnosti jsme vyuºili lemma 7. Tím dostáváme první tvrzení. Druhé plyne

A a −A komutují a exp 0 = E na základ¥ p°ímého dosazení. T°etí QAq Q−1 = (QAQ−1 )q a v¥ty o aritmetice limit. −1 Poslední tvrzení dokáºeme pomocí v¥ty o Jordanov¥ tvaru. Pokud A = QJA Q , kde JA je Jordan·v tvar A, pak platí det exp A = det exp JA ze t°etího bodu a vlastností determinantu a exp Tr A = exp Tr JA z vlastností stopy. Z tvaru mocnin Jordanových bun¥k vidíme, ºe exp JA je horní trojúhelníková matice, která má na λ diagonále £ísla e i , i ∈ {1, . . . , n}, kde λi jsou vlastní £ísla A, kaºdé tolikrát, kolik z prvního, protoºe

je d·sledkem vlastnosti

je jeho algebraická násobnost (viz téº níºe explicitní tvar exponenciály Jordanovy bu¬ky). Pak ale

det exp JA =

n Y

eλ i = e

Pn

i=1

λi

= eTr JA

i=1

 Jordan·v tvar umoº¬uje explicitn¥ spo£ítat exponenciálu libovolné matice. Pro

A = QJQ−1 , kde J je Jordanova bu¬ka stupn¥ J = λE + N je rozklad na sou£et dvou komutujících

jednoduchost se v¥nujme p°ípadu

n

s vlastním £íslem

λ.

Pak

20. EXPONENCIÁLA

118

matic, takºe díky prvnímu bodu p°edchozí

exp A = Q exp(J)Q−1 = Q exp(λE + N )Q−1 = Q exp(λE) exp N Q−1 = Qeλ exp N Q−1   1 1 1 1 1! . . . (n−1)! 2! 1 1  0 1 . . . (n−2)!  1!    −1 λ . . .. .. = Qe  .. Q . . . .    0 ... 0  1 1 1! 0 ... 0 0 1 Pokud

t ∈ C,

lehkým zobecn¥ním tohoto postupu plyne

1

t

t2 2!

...

  0  tλ  . exp(tA) = Qe  .  .  0 0

1

t

...



..

... ...

.

..

0 0

.

tn−1 (n−1)! tn−2 (n−2)! . . .

1 0

    −1 Q ,   

t 1

coº, jak za chvíli uvidíme, je výsledek klí£ový pro °e²ení soustav lineárních diferenciálních rovnic. P°íklad 35. Hledáme dv¥ funkce

s po£áte£ní podmínkou

x1 , x2 : R → C

spl¬ující rovnice

dx1 (t) = −x1 (t) − x2 (t) dt dx2 (t) = −4x1 (t) − x2 (t) dt x1 (0) = 2, x2 (0) = 1. Zadání m·ºeme

kompaktn¥ p°epsat

jako

 x˙ = Ax,

kde

A=

−1 −4

−1 −1



, x(0) = (2, 1)T

Taková úloha se nazývá homogenní soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního °ádu s konstantními koecienty. Ukáºeme, ºe její obecné °e²ení má tvar

x=

exp(tA) · c. Definice 60. Derivací maticové funkce

lim

h→0

Q : R → Fm×n

v bod¥

t ∈ R rozumíme

Q(t + h) − Q(t) dQ(t) ˙ =: Q(t) ≡ h dt Q(t) (Q(t))ij .

Je z°ejmé, ºe derivací maticové funkce jsou derivacemi maticových element·

je matice

˙ (Q(t)) ij ,

jejíº elementy

Nech´ P, Q : R → Fm×n , A ∈ Fn×p , B ∈ Fn×m , R : R → Fn×p , f : R → F a funkce P, Q, R, f mají derivaci v bod¥ t. Pak Lemma 13.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

dP (t) dQ(t) d dt (P (t) + Q(t)) = dt + dt dQ(t) d dt (Q(t)A) = dt A dQ(t) d dt (BQ(t)) = B dt dQ(t) dR(t) d dt (Q(t)R(t)) = dt R(t) + Q(t) dt df (t) dQ(t) d dt (f (t)Q(t)) = dt Q(t) + f (t) dt

Pro A £tvercovou platí

d exp(tA) = A exp(tA) dt

20. EXPONENCIÁLA

119

D·kaz. Prvních p¥t tvrzení plyne okamºit¥ z vlastností derivace £íselných

funkcí a denic maticového s£ítání a násobení. Pro poslední pot°ebujeme v¥tu z matematické analýzy, která °íká, ºe mocninná °ada, která vznikne derivací mocninné °ady £len po £lenu, má stejný polom¥r konvergence a uvnit° kruhu konvergence

(exp tA)ij

je rovna derivaci sou£tu p·vodní °ady. Mocninná °ada v²echna

t ∈ R,

tedy její derivace v

t

konverguje pro

je rovna





X tq−1 (Aq )ij d d X tq (Aq )ij (exp(tA))ij = = = (A exp(tA))ij dt dt q=0 q! (q − 1)! q=1  Poznámka 8. Poslední tvrzení se dá také dokázat £ist¥ algebraicky p°echodem

k Jordanovu tvaru

exp(tD)

exp(tN )

a

exp(tA) = U exp(tJ)U −1 = U exp(tD) exp(tN )U −1 ,

kde matice

explicitn¥ známe.

Nech´ A ∈ Cn×n , c ∈ Cn . Pak jediná funkce x : R → Cn , spl¬ující ˙ rovnici x(t) = Ax(t) s po£áte£ní podmínkou x(0) = c je x(t) = exp(tA)c. V¥ta 41.

D·kaz. Rovnosti

x(t)

˙ x(0) = exp(0)c = c a x(t) = A exp(tA)c = Ax(t) y(t) spl¬ovalo tyto rovnosti také, pak platí

jsou pro

z v¥ty spln¥ny. Pokud by

d ˙ (exp(−tA)y(t)) = exp(−tA)y(t) + (−A) exp(−tA)y(t) dt = exp(−tA) [Ay(t) − Ay(t)] = 0, exp(−tA)y(t) =: d y(t) = exp(tA)c ≡ x(t). tedy

je konstantní vektor. Protoºe

P°íklad 36. Matice



−1 −4

−1 −1

y(0) = c,

platí

d = c.

Tedy

 A 

z úvodu tohoto oddílu je diagonalizovatelná, platí

=

1 4



1 −2

1 2



1 0

0 −3



2 2

−1 1



−1 1



2 1

e²ení soustavy rovnic je pak



x1 (t) x2 (t)



  t  1 1 1 e 0 2 −2 2 0 e−3t 2 4  t  −3t 1 3e + 5e = −6et + 10e−3t 4 =

Budeme-li interpretovat vektorovou funkci

(x1 (t), x2 (t))



jako pohyb bodu v rovin¥,

x01 (t) = c01 et , x02 (t) = 0 −3t c2 e . Bod (s, 0) na vodorovné ose se tedy z po£áte£ního stavu vzdaluje s rostoucím £asem do nekone£na, bod (0, s) na svislé ose konverguje k nule. Body mimo osy se

pak v sou°adnicích vzhledem k Jordanov¥ bázi má °e²ení tvar

pohybují po drahách trochu p°ipomínajících hyperboly sm¥rem k bod·m Tyto dráhy jsou v kaºdém bod¥

x ∈ R2

te£né k vektoru

je integrálními k°ivkami vektorového pole Kaºdá

2×2

VA (x) := Ax

(±∞, 0).

a nazýváme

V A : R2 → R2 .

reálná matice se dv¥ma r·znými vlastními £ísly je diagonalizo-

vatelná a její vlastní £ísla jsou bu¤ ob¥ reálná, nebo jsou komplexn¥ sdruºená. V

λ = k + iω a vytkn¥me spole£ný faktor ekt :  tλ   itω  e 0 e 0 −1 tk exp(tA) = Q Q =e Q Q−1 ¯ 0 e−itω 0 e−tλ

druhém p°ípad¥ ozna£me

20. EXPONENCIÁLA

120

Unitární matici uprost°ed je moºné unitární transformací p°evést na matici rotace a ob¥ matice p°echodu slou£it do jedné:

1 e Q 2 tk



i −i

1 1



cos(tω) − sin(tω)

sin(tω) cos(tω)



−i i 1 1 

tk

= Pe P

Je vid¥t, ºe

P

cos(tω) − sin(tω)

sin(tω) cos(tω)



P −1 .

má parametrické vyjád°ení

γc (t) = e k = 0

Q−1 =

musí být reálná matice. Integrální k°ivka v sou°adnicích vzhledem k

bázi ze sloupc·

Pro





tk

je to kruºnice, pro

cos(tω) − sin(tω)

k < 0

sin(tω) cos(tω)



spirála sm¥°ující k



c1 c2

(0, 0),

pro

k > 0

spirála

sm¥°ující k nekone£nu. Na soustavu lineárních diferenciálních rovnic prvního °ádu s konstantními koecienty lze p°evést i soustavy °ád· vy²²ích. Jednoduchým p°íkladem je rovnice harmonického oscilátoru

y¨(t) = −ω 2 y(t) Denicí

x1 (t) := y(t) ˙

x2 (t) := ωy(t), lze rovnici p°epsat jako      x˙ 1 (t) 0 −ω x1 (t) ˙ = x(t) ≡ x˙ 2 (t) ω 0 x2 (t)

a

a tuto soustavu pak vy°e²it:



    −ω cos ωt − sin ωt x1 (0) x(0) = 0 sin ωt cos ωt x2 (0)

0 x(t) = exp t ω

Tím dostáváme standardní °e²ení harmonického oscilátoru ve tvaru

y(t) =

1 1 x2 (t) = y(0) ˙ sin ωt + y(0) cos ωt ω ω

Soustavy s pravou stranou lze °e²it pomocí tzv. variace konstant:

Nech´ A ∈ Cn×n , b : R → Cn . Pak v²echna °e²ení nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic V¥ta 42.

˙ x(t) = Ax(t) + b(t) ˙ jsou tvaru x(t) = exp(tA)c(t), kde c : R → Cn je funkce spl¬ující c(t) = exp(−tA)b(t). ˜ (t) jsou x(t), x ˜ (t) je °e²ením x(t) − x

D·kaz. Pokud

jejich rozdíl

dv¥ °e²ení soustavy homogenní soustavy

˙ x(t) = Ax(t) + b(t), pak ˙ x(t) = Ax(t). Sta£í tedy

najít partikulární °e²ení nehomogenní soustavy. Pokud ho budeme hledat ve tvaru

xP (t) = exp(tA)c(t),

pak s vyuºitím lemmatu 13 dostáváme

d ˙ + A exp(tA)c(t) = exp(tA)c(t) ˙ + AxP (t), (exp(tA)c(t)) = exp(tA)c(t) dt ˙ porovnání s rovnicí dostáváme c(t) = exp(−tA)b(t). Obecné °e²ení nehomo-

x˙ P (t) = a po

genní soustavy je

x(t) = exp(tA)c(t) + exp(tA)d = exp(tA)(c(t) + d), a protoºe

d dt (c(t)

˙ , + d) = c(t)

mají v²echna °e²ení poºadovaný tvar.

P°íklad 37. Zajímavá speciální situace nastává, kdyº

s vlastním £íslem

λ

a pravá strana je ve tvaru

b(t) = eµt v.

˙ c(t) = exp(−tA)b(t) = e(µ−λ)t v,

A

má vlastní vektor

Pak

 v

20. EXPONENCIÁLA

£ili

y(t) = exp(tA)c(t) = Pokud

λ

frekvencí

121

1 1 e(µ−λ)t exp(tA)v = eµt v µ−λ µ−λ

µ jsou ryze imaginární, popisuje výsledek periodický pohyb 1 . ƒím jsou si λ a µ blíºe, tím µ a amplitudou úm¥rnou µ−λ

i

s úhlovou více roste

amplituda. Dostáváme tedy jednoduchý model rezonance p°i p·sobení vn¥j²í síly s frekvencí blízkou frekvenci vlastních kmit· systému.

KAPITOLA 21

Tenzory Nech´

V

je vektorový prostor nad

lineární forma

(n¥kdy téº

F.

Lineární zobrazení

lineární funkcionál

kovektor ).

£i

φ:V →F

se nazývá

P°íklady 6. Lineárních zobrazení uº jsme vid¥li mnoho, lineární formy jsou

pouze ty z nich, jejichº hodnoty jsou skaláry, nap°.:

• • • •

φ : R2 → R, φ((x1 , x2 )T ) = 2x1 − 5x2 φ : Rn×n → R, φ(A) = Tr A φ : P (x, R) → R, φ(p) = p(0) R1 φ : C 0 ([0, 1], R) → R, φ(f ) = 0 f (x)dx

1 B = (ei )n1 báze V , pak 1×n matice [φ]K B = (φ(e1 ), . . . , φ(en )) reprezentuje 1 φ v·£i bázím B ve V a K1 = (1) v F . Je to tedy °ádkový vektor, který budeme od nyn¥j²ka zna£it [φ]B . Pro v ∈ V platí

Je-li

B B 1 φ(v) = [φ]K B [v] = [φ]B [v]

Hom(V, F) v²ech lineárních forem na V se nazývá duální ∗ i n ∗ i T Posloupnost B := (e )1 ⊂ V , kde [e ]B = ei (neboli duální báze k B .

Definice 61. Prostor

prostor k V

a zna£í se

ei (ej ) = δji ),

se nazývá

V ∗.

Zd·razn¥me, ºe v denici

• ei • ei • ei

zna£í zna£í zna£í

i-tý vektor kanonické báze i-tý vektor báze B ve V i-tý vektor duální báze B ∗

v

Fn

ve

V ∗.

Rozli²ování typu objektu pomocí pozice indexu je jedním z hlavních rys· tenzorové notace. Dal²ím je tzv. suma£ní konvence, kdy výskyt dvojice stejných index· v horní a dolní poloze znamená, ºe se p°es tento index s£ítá. Je-li nap°íklad reprezentací

[v]B = (v 1 , . . . , v n )T ,

v∈V

s

m·ºeme psát

v=

n X

v i ei =: v i ei

i=1 Proto také sou°adnice vektor· budeme jiº od te¤ psát vºdy s horním indexem. Pro prvky

B∗

platí

  n n n X X X ei (v) = ei  v j ej  = v j ei (ej ) = v j δji = v i j=1 £ili i-tý prvek duální báze bázi

B.

B∗

j=1

p°i°adí vektoru z

j=1

V

jeho i-tou sou°adnici vzhledem k

Pro lep²í pochopení jsme ve výrazech zachovali sumy, se suma£ní konvencí

by stejné odvození bylo zapsáno

ei (v) = ei (v j ej ) = v j ei (ej ) = v j δji = v i Sou°adnice vektor

[α]B

αi := α(ei )

kovektoru

α ∈ V∗

budeme psát s indexy dolními. ádkový

je vlastn¥ roven transponovanému sloupcovému vektoru 122

[α]B



, který

21. TENZORY

reprezentuje

α

123

V ∗:

vzhledem k bázi

α(v) = [α]B [v]B = αi v i = αi ei (v) = (αi ei )(v) Protoºe rovnost platí pro libovolný vektor

v ∈ V,

zobrazení

α

a

αi ei

z

Hom(V, F)

jsou si rovna. Pokud

V = Fn ,

ozna£me

K

jeho kanonickou bázi, její prvky



1

εi := ei

a

n

K := {ε , . . . , ε } bázi ke

K

duální. Zobrazení

ε

i

tedy p°i°azuje vektoru

x ∈ Fn

jeho

i-tou

sloºku.

V = R2 , M = {(3, 2), (4, 3)} ≡ {e1 , e2 }. Prvky duální báze 1 1 2 2 1 2 zapsat jako e = aε + bε , e = cε + dε , kde a, b, c, d jsou

P°íklad 38. Nech´



1

2

M = {e , e }

lze

n¥jaká £ísla. Podmínky na duální bázi °íkají, ºe

e1 (e1 ) = aε1 (e1 ) + bε2 (e1 ) = 3a + 2b = 1 e1 (e2 ) = aε1 (e2 ) + bε2 (e2 ) = 4a + 3b = 0 e2 (e1 ) = cε1 (e1 ) + dε2 (e1 ) = 3c + 2d = 0 e2 (e2 ) = cε1 (e2 ) + dε2 (e2 ) = 4c + 3d = 1 To je vlastn¥ maticová rovnice



a c

b d



3 2

4 3



 =

1 0

0 1

 ,

£ili úloha na inverzní matici. Jejím výpo£tem dostáváme duální bázi

{3ε1 −4ε2 , −2ε1 +

2

3ε }. Je-li

B

0

B 0 = {e01 , . . . , e0n }

V

jiná báze

a

R := [Id]B B0

je matice p°echodu od

B

k

, pak

e0j =

n X

ei (R)ij =: Rji ei

i=1 První vyjád°ení vychází z denice 25 matice p°echodu, druhé op¥t roz²i°uje na²i konvenci: °ádkový index matice p°echodu pí²eme naho°e a sloupcový dole, sumu p°es

i

vynecháváme. Rovnost

B [v]B = [Id]B B 0 [v]

0

, nejprve bez suma£ní konvence a

poté s ní, nabývá tvaru

vj =

n X

(R)ji v 0i ≡ Rij v 0i

i=1 nebo téº

v 0j = (R−1 )ji v i

Nech´ B ∗ = {e1 , . . . , en }, B 0∗ = {e01 , . . . , e0n }, jsou báze V ∗ duální k bázím B a B , R je matice p°echodu od B k B 0 , α ∈ V ∗ . Pak Lemma 14.

0

e0i = (R−1 )ij ej αi0 = Rij αj D·kaz. Pokud

v ∈ V,

pak

v 0i = (R−1 )ij v j .

Protoºe

v j = ej (v), v 0i = e0i (v),

plyne odtud

 e0i (v) = (R−1 )ij ej (v) neboli rovnost zobrazení

e0i = (R−1 )ij ej .

Podobn¥

αi0 = α(e0i ) = Rij α(ej ) = Rij αj 

21. TENZORY

124

Doposud odvozené transforma£ní vztahy m·ºeme shrnout do tabulky:

Objekt prvky báze prvky báze

e0i 0i

V V∗

sou°. vektoru

dientní

k

V

e0i = Rij ej e0i = (R−1 )ij ej . v 0i = (R−1 )ij v j αi0 = Rij αj

a sou°adnice kovektoru se transformují

kontravariantn¥.

dva objekty

tenzorov¥

= j ej Rji P e = j (R−1 )ij ej 0 ([v]B )T = ([v]B )T (R−1 )T [α]B 0 = [α]B R

sou°. kovektoru íkáme, ºe prvky báze

maticov¥ P

(R−1 )T =: R−T

Matice

kovariantn¥, zbylé kontragre-

se nazývá matice

R.

Vidíme z ní, ºe typ transformace objektu je ur£en polohou indexu. Objekty s

R, tzv. kovariantn¥. Objekty s indexem kontravariantn¥.

indexem dole se transformují pomocí matice naho°e se transformují pomocí Definice 62. Nech´

t¥chto mnoºinách. Jejich

X, Y

R−1 ,

tzv.

jsou mnoºiny a

f : X → F, g : Y → F

tenzorovým sou£inem

dv¥ funkce na

rozumíme funkci

f ⊗g :X ×Y →F : (x, y) 7→ f (x)g(y) Tenzorový sou£in není komutativní (f (x)g(y) musí být denováno, pokud

X 6= Y ),

6= f (y)g(x),

dokonce to ani ne-

ale je asociativní:

((f ⊗ g) ⊗ h)(x, y, z) = f (x)g(y)h(z) = (f ⊗ (g ⊗ h))(x, y, z) Má tedy smysl psát prost¥

f ⊗ g ⊗ h.

Platí také

((r1 f1 + r2 f2 ) ⊗ g)(x, y) = r1 f1 (x)g(y) + r2 f2 (x)g(y) = = r1 (f1 ⊗ g)(x, y) + r2 (f2 ⊗ g)(x, y) a podobn¥ v druhé sloºce, je tedy bilineární, nebo p°i roz²í°ení na více neº dva £initele multilineární. Tenzorový sou£in dvou lineárních forem forma

α ⊗ β,

α:V →F

a

β:V →F

je bilineární

která spl¬uje

(α ⊗ β)(v, w) = α(v)β(w) Jsou-li

i

α=e,β=e

j

prvky báze

B∗,

i

j

pak

(e ⊗ e )(v, w) = v i wj Je-li

H ∈ Fn×n

matice, pak

h := (hij ei ⊗ ej )(v, w) = hij v i wj = ([v]B )T H[w]B je bilineární forma, jejíº matice 40 je rovna

H.

[h]B = (h(ei , ej ))

vzhledem k bázi

B

dle denice

Poprvé vidíme výraz, kde jsou dv¥ dvojice index·, p°es které se

s£ítá. Narozdíl od matice p°echodu, u níº nás konvence  donutila psát °ádkový index jako horní a sloupcový jako dolní, u matice bilineární formy musíme psát oba indexy dole. Bilineární forma typu

[α ⊗ β]B = ((α ⊗

α⊗β

β)(ei , ej ))ni,j=1

má matici hodnosti

=

(α(ei )β(ej ))ni,j=1

1: = [α]TB [β]B

α ⊗ β ⊗ γ , bázové trilineární formy Tijk ei ⊗ ej ⊗ ek . P°ejd¥me rovnou k obecné

Podobn¥ bychom mohli zavést trilineární formu

ei ⊗ ej ⊗ ek

a jejich lineární kombinace

denici: Definice 63. Nech´

V, W

jsou dva vektorové prostory nad

pro zobrazení

T : V × ... × V → W {z } | k

F, k ∈ N.

Pokud

21. TENZORY

platí, ºe

125

∀u, v, v1 , . . . , vk ∈ V , ∀λ, µ ∈ F

T (v1 , . . . , vi−1 , λu + µv, vi+1 , . . . , vk ) = = λT (v1 , . . . , u, . . . , vk ) + µT (v1 , . . . , v, . . . , vk ), nazýváme ho

F,

mluvíme o

multilineárním nebo speci£t¥ji k-lineárním zobrazením. Pokud W = multilineární form¥.

Tenzorový sou£in

k

lineárních forem je

V

lineárních forem na vektorovém prostoru

k -lineární

forma. Mnoºinu v²ech

ozna£me symbolem

Tk (V ).

k-

Pak tenzo-

rový sou£in denuje také zobrazení

⊗ : Tp (V ) × Tq (V ) → Tp+q (V ) Lemma 15.

Nech´ B = {e1 , . . . , en } je báze V . Ozna£me ei1 ...iq := ei1 ⊗ . . . ⊗ eiq ∈ Tq (V ) | {z } q

Mnoºina (B ∗ )q := {ei1 ...iq |i1 , . . . , iq ∈ {1, . . . , n}}

tvo°í bázi prostoru Tq (V ) a ∀T ∈ Tq (V ) platí T = Ti1 ...iq ei1 ...iq ,

kde Ti1 ...iq = T (ei1 , . . . , eiq )

jsou sou°adnice T vzhledem k (B ∗ )q . Pokud B 0 = {e01 , . . . , e0n } a R je matice p°echodu od B k B 0 , pak i

e0i1 ...iq = (R−1 )ij11 . . . (R−1 )jqq ej1 ...jq j

Ti01 ...iq = Rij11 . . . Riqq Tj1 ...jq D·kaz. Podle denice tenzorového sou£inu

ei1 ...iq (v, . . . , w) = v i1 . . . wiq Pak ale

T (v, . . . , w) = T (v i1 ei1 , . . . , wiq eiq ) = Ti1 ...iq v i1 . . . wiq = (Ti1 ...iq ei1 ...iq )(v, . . . , w) T = Ti1 ...iq ei1 ...iq . Odtud zárove¬ plyne, ºe (B ) generuje Tq (V ). Pokud by existovala £ísla Si1 ...iq , pro n¥º Si1 ...iq ei1 ...iq = 0, pak po dosazení vektor· ej1 , . . . , ejq do levé strany plyne Vztah platí pro libovolnou

q -tici

vektor·

v, . . . , w,

takºe

∗ q

i

(Si1 ...iq ei1 ...iq )(ej1 , . . . , ejq ) = Si1 ...iq δji11 . . . δjqq = Sj1 ...jq = 0, £ili v²echny koecienty musí být nulové a

(B ∗ )q

je také lineárn¥ nezávislá.

Multilinearita tenzorového sou£inu dává

e0i1 ...iq ≡ e0i1 ⊗ . . . ⊗ e0iq = i

i

= (R−1 )ij11 ej1 ⊗ . . . ⊗ (R−1 )jqq ejq = (R−1 )ij11 . . . (R−1 )jqq ej1 ...jq a poslední tvrzení plyne z

j

j

Ti01 ...iq = T (e0i1 , . . . , e0iq ) = T (Rij11 ej1 , . . . , Riqq ejq ) = Rij11 . . . Riqq Tj1 ...jq 

21. TENZORY

126

£ísel (T (ei1 , . . . , eiq )) ozna£ovat jako reprezentaci multilineární formy [T ]B . Je to vlastn¥ zobecn¥ná matice s více neº dv¥ma Na základ¥ tvrzení budeme sadu

indexy,

nq

q -rozm¥rná m°íºka £ísel. Tab...k a Sli...t jsou sou°adnice T ∈ Tp (V )

Pokud

a

S ∈ Tq (V )

v·£i

M,

pak

(T ⊗ S)ab...t = Tab...k Sli...t jsou sou°adnice

T ⊗ S ∈ Tp+q (V )

v·£i stejné bázi, jak je lehce vid¥t z lemmatu.

0 P°íklad 39. Sou°adnice lineární formy α se transformují podle vztahu αa = r Ra αr , maticov¥ [α]B 0 = [α]B R. Pokud g je bilineární forma, má transforma£ní vztah 0 gab = Rar Rbs grs 0 T maticovou podobu G = R GR, kde interpretujeme sou°adnice G = (gab ) jako

B . Pro trilineární formu T m·ºeme interpretovat n × n × n krychli£ku £ísel, nebo jako °ádkový vektor matic

matici bilineární formy vzhledem k sou°adnice

Tabc

bu¤ jako

(T1bc , T2bc , . . . , Tnbc ) =: (((T1 )bc ), ((T2 )bc ), . . . , ((Tn )bc )) Transforma£ní vztah

0 Tabc = Rar Rbs Rct Trst se pak dá p°epsat jako

(T10 , . . . , Tn0 )

n X

=

T

ri1 R Ti R,

n X

i=1

T

ri2 R Ti R, . . . ,

i=1

n X

! T

rin R Ti R

i=1

Samoz°ejm¥ nás nic nenutí vzít jako  maticové indexy zrovna ty dva poslední a jako  vektorový ten první. Zavedení matic

Ti

je jenom po£etní a nota£ní pom·cka,

coº je zd·razn¥no i tím, ºe jsme v posledním vztahu nepouºili suma£ní konvenci a zapsali elementy

rij

R

matice

tak, jak jsme zvyklí z d°ív¥j²ka.

V¥ta 43 (Duál duálu). Nech´ V je vektorový prostor kone£né dimenze nad F. Pak existuje izomorsmus V a (V ∗ )∗ , který nezávisí na volb¥ báze ve V .

fv : V ∗ → F, jehoº hodnota fv (α) pro libovolnou lineární formu je rovna £íslu α(v). Platí, ºe fv je lineární forma ∗ ∗ na V , protoºe ∀α, β ∈ V , ∀r, s ∈ F platí D·kaz. Nech´

v ∈ V.

Denujme homomorsmus

fv (rα + sβ) = (rα + sβ)(v) = rα(v) + sβ(v) = rfv (α) + sfv (β). Máme tedy zobrazení

Φ : V → (V ∗ )∗ : v 7→ fv Toto zobrazení je homomorsmus, protoºe

∀v, w ∈ V , ∀r, s ∈ F, ∀α ∈ V ∗

platí

[Φ(rv + sw)](α) = frv+sw (α) = α(rv + sw) = rα(v) + sα(w) = rfv (α) + sfw (α) = r[Φ(v)](α) + s[Φ(w)](α) Zobrazení

Φ(rv + sw)

a

rΦ(v) + sΦ(w)

se rovnají pro v²echna

α ∈ V ∗,

jsou tedy

totoºná. Dále ov¥°íme, ºe

Φ

je prosté. Podle denic

Ker Φ = {v ∈ V |Φ(v) = 0} = {v ∈ V |∀α ∈ V ∗ , fv (α) = 0} = {v ∈ V |∀α ∈ V ∗ , α(v) = 0} Pro kaºdý nenulový vektor

v

Sta£í nap°íklad zvolit dopln¥k

ale existuje lineární forma

W

prostoru

hvi

ve

V

α,

α(v) 6= 0. α(u + rv) = r pro

pro kterou

a denovat

21. TENZORY

127

u ∈ W a r ∈ F (ov¥°te sami, ºe takto denované α je lineární forma). Ker Φ musí být nulový podprostor. ∗ Protoºe dim V = dim V = dim(V ∗ )∗ , musí být (díky v¥t¥ o dimenzi jádra a obrazu Φ) izomorsmus. Byl denován bez výb¥ru báze, £ímº je tvrzení dokázáno.  libovolné Tedy

Zobrazení toºnit prvky

Φ

V

se nazývá

(vektory) a

kanonickým izomorsmem V ∗ ∗

(V )

(V ∗ )∗

a umoº¬uje zto-

(  ko-kovektory ). V nekone£né dimenzi to obecn¥

kanonické vno°ení V

izomorsmus není, máme pouze

a

zde znamená  nezávislý na volb¥ báze . Prostory

V

do a

(V ∗ )∗ . Slovo  kanonický V ∗ jsou samoz°ejm¥ také

izomorfní, protoºe mají stejnou dimenzi. Jedním z moºných izomorsm· m·ºe být

B a vektoru v ∈ V p°i°adit kovektor α ∈ V ∗ , jehoº sou°adnice [α] jsou rovny [v]B . Pro r·zné báze B ⊂ V dostaneme takto mnoho r·zných ∗ izomorsm· V a V , ºádný z nich není lep²í neº ty ostatní. zvolit ve

B∗

V

bázi

Kanonický izomorsmus nám umoº¬uje interpretovat vektory jako lineární formy na kovektorech a na základ¥ toho denovat prostor na kovektorech, kterým budeme °íkat

T q (V )

v²ech

q -lineárních

forem

multivektory. Zcela analogicky jako v lemmatu

15 dostáváme Lemma 16.

Nech´ B = {e1 , . . . , en } je báze V . Ozna£me ei1 ...iq := ei1 ⊗ . . . ⊗ eiq ∈ T q (V ) {z } | q

Mnoºina B q := {ei1 ...iq |i1 , . . . , iq ∈ {1, . . . , n}}

tvo°í bázi prostoru T q (V ) a ∀T ∈ T q (V ) platí T = T i1 ...iq ei1 ...iq ,

kde T i1 ...iq = T (ei1 , . . . , eiq )

jsou sou°adnice T vzhledem k B q . Pokud B 0 = {e01 , . . . , e0n } a R je matice p°echodu od B k B 0 , pak j

e0i1 ...iq = Rij11 . . . Riqq ej1 ...jq i

T 0i1 ...iq = ((R)−1 )ij11 . . . ((R)−1 )jqq T j1 ...jq Sadu

nq

£ísel

T (ei1 , . . . , eiq )

budeme op¥t zna£it

[T ]B

a nazývat reprezentací

multivektoru. P°íklad 40. Sou°adnice bivektoru

g = g ab ea ⊗ eb ∈ T 2 (V )

se transformují

podle p°edpisu

g 0ij = (R−1 )ia (R−1 )jb g ab Denujeme-li matici bivektoru jako

(G)ij := g ij ,

pak se dá transforma£ní vztah

zapsat jako

G0 = R−1 G(R−1 )T T = T abc ea ⊗ eb ⊗ ec lze chápat jako n × n × n krychli£ku, ijk 0 0 nebo jako °ádek matic (T1 , . . . , Tn ), kde (Ti )jk := T . Pak je (T1 , . . . , Tn ) rovno  Pn P n −1 )1i R−1 Ti (R−1 )T , . . . , i=1 (R−1 )ni R−1 Ti (R−1 )T i=1 (R Sou°adnice trivektoru

Multilineární formy ozna£ujeme také jako jako typ·:

kontravariatní tenzory.

kovariantní tenzory

a multivektory

Nejobecn¥j²í typ tenzoru je kombinací t¥chto dvou

21. TENZORY

Definice 64. Nech´

V

128

je vektorový prostor. Symbolem

Tqp (V )

ozna£íme mno-

ºinu v²ech zobrazení

T : V ∗ × . . . × V ∗ × V × . . . × V 7→ R, | {z } | {z } p

q

p-krát kontravariantních a q -krát kovariantních tenzor· na V nebo téº o tenzorech typu (p, q). ƒíslo p + q se ozna£uje jako stupe¬ tenzoru. Sou°adnicemi £i reprezentací [T ]B tenzoru která jsou lineární v kaºdém argumentu. Mluvíme o mnoºin¥

T ∈ Tqp (V )

B = (ei )n1

vzhledem k bázi

ve

V

rozumíme soubor £ísel

i ...i

Tj11...jqp := T (ei1 , . . . , eip , ej1 , . . . , ejq ) O dolních indexech hovo°íme jako o

indexy kontravariantními.

indexech kovariantních

a horní se nazývají

Na smí²ených tenzorech máme denován tenzorový sou£in

p+k ⊗ : Tqp (V ) × Tlk (V ) 7→ Tq+l (V )

B

a reprezentace vzhledem k

B p × (B ∗ )q

bázi

v

je tvo°ena ve skute£nosti sou°adnicemi vzhledem k

Tqp (V ): i ...i

i ...i

j ...j

T = Tj11...jqp ei1 ⊗ . . . ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq ≡ Tj11...jqp ei11...ipq Tqp (V ) ≡ V ⊗ . . . ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ . . . ⊗ V ∗ , {z } | {z } | p

q

(p, q)

které vyjad°uje, ºe libovolný tenzor typu binaci tenzorového sou£inu

p

vektor· a

q

lze zkonstruovat jako lineární kom-

kovektor·.

T11 (V ) ≡ V ⊗ V ∗ je p°irozen¥ ztotoºn¥n s prostorem End(V ) v²ech endomorsm· na V . Prvek v ⊗ α, kde v ∈ V a α ∈ V ∗ , denuje lineární zobrazení fv⊗α : V → V p°edpisem P°íklad 41. Prostor

fv⊗α (u) := α(u)v Odpovídá to vlastn¥ £áste£nému dosazení do druhého argumentu zobrazení

v⊗α:V ×V∗ →F {ei ⊗ ej |i, j ∈ {1, . . . , n}} v T11 (V ) sm· majících na bázi B hodnoty

Báze

je v tomto ztotoºn¥ní sloºena z endomor-

(ei ⊗ ej )(ek ) = ei δkj , [ei ⊗ ej ]B B má na pozici ij ⊗ ej má na bázi hodnoty

neboli matice endomorsmu Endomorsmus

T :=

Tji ei

jedni£ku a v²ude jinde nuly.

T (ek ) = (Tji ei ⊗ ej )(ek ) = Tji ei δkj = Tki ei , jeho matice vzhledem k

M

je proto

Tki ,

kde horní index chápeme jako °ádkový

a dolní index sloupcový. V²imn¥te si, ºe to je stejná konvence jako pro matice p°echodu. To není p°ekvapivé, vzhledem k tomu, ºe matice p°echodu se dá denovat jako speciální p°ípad matice endomorsmu. Odtud je také jasn¥ vid¥t, ºe p°i°azení

T11 (V )

a

End(V )

je opravdu izomorsmus. Kroneckerovo delta

δki

je pak matice

identického endomorsmu, která je v·£i kterékoli bázi stejná, rovná jednotkové matici:

(1V )(ek ) = δki ei = ek

Nech´ V je vektorový prostor, B = {e1 , . . . , en }, B 0 = {e01 , . . . , e0n } dv¥ báze v n¥m, T ∈ Tqp (V ). Pak V¥ta 44.

0i ...i

b

a ...a

Tj11...jqp = (R−1 )ia11 . . . (R−1 )iapp Rjb11 . . . Rjqq Tb11...bqp

21. TENZORY

D·kaz spo£ívá jen v dosazení vztah·

e0j = Rjb eb

129

a

e0i = (R−1 )ra ea

do denice

sou°adnic. P°íklad 42. Smí²ený tenzor f typu (1, 1) se transformuje p°edpisem (R−1 )ia Rjb fba . Pro matici F s elementy (F )ab := fba z toho dostáváme

fj0i =

F 0 = R−1 F R tedy vlastn¥ standardní vztah pro zm¥nu matice endomorsmu p°i zm¥n¥ báze.

T = Tkij ei ⊗ ej ⊗ ek typu (2, 1) ij elementy (Ti )jk := Tk . Pak

Sou°adnice smí²eného tenzoru nap°íklad jako

n-tici

matic s

Ta0 =

n X

m·ºeme zapsat

(R−1 )ai (R−1 Ti R)

i=1 Pro tenzor typu

j (1, 2) se sou°adnicemi zapsanými maticemi (Ti )jk := Tik

Ta0 =

n X i=1

(RT )ai (R−1 Ti R)

máme

KAPITOLA 22

Tenzory podruhé Pokud do

k -tého

kovektorového argumentu tenzoru

T : V ∗ × . . . × V ∗ × V × . . . × V 7→ R, {z } | {z } | p

z

Tqp (V )

q

α,

dosadíme pevný kovektor

vzniklé zobrazení

T˜ := T (·, . . . , ·, α, ·, . . . , ·) je lineární ve v²ech zbylých argumentech ozna£ených te£kami, je to tedy tenzor typu

(p − 1, q). Nech´ nap°.

g ∈ T20 (V )

je bilineární forma a

v ∈V,

pak je zobrazení

g(·, v) :V → F u 7→ g(u, v) lineární forma a podobn¥

g(v, ·).

Vzhledem k bázi je

g(u, v) = gij ui v j ,

sou°adnice

obou lineárních forem tedy budou

[g(·, v)]B = (g1j v j , . . . , gnj v j ) [g(v, ·)]B = (gi1 v i , . . . , gin v i ) Podobn¥ z tenzoru

T (·, v) :=

Tji ei ej (v)

T := Tji ei ⊗ ej ∈ T11 (V ) = Tji v j ei se sou°adnicemi

dostaneme dosazením

v ∈ V

vektor

[T (·, v)]B := (Tj1 v j , . . . , Tjn v j )T Kaºdému

T ∈ T11 (V )

tedy lze p°i°adit operátor

T

p°edpisem

Tv := T (·, v), i n [T]B B = (Tj )i,j=1 ≡ [T ]B . Toto p°i°azení jsme v p°edchozí kapitole 1 kanonický izomorsmus mezi T1 (V ) a End V .

jehoº reprezentace nazývali

Tvrzení 62.

Nech´ g je regulární bilineární forma na V . Pak zobrazení [g :V → V ∗ v 7→ g(·, v)

je izomorzmus prostor· V a V ∗ . D·kaz. Vzhledem tomu, ºe

je prosté. Nech´ Vyjád°íme

g

g(·, v)

V

a

V∗

[g u ∈ V je g(u, v) = 0. za u = ei , pak

mají stejnou dimenzi, sta£í ukázat, ºe

je nulový kovektor, pak pro v²echna

vzhledem k bázi

B = (e1 , . . . , en )

a dosadíme

g(u, v) = g(ei , v j ej ) = v j gij = 0 Protoºe

(gij )

je regulární matice, musí být v²echna 130

vj

nulová a tedy i

v = 0.



22. TENZORY PODRUHÉ

131

V je reálný vektorový prog ≡ gab ea ⊗ eb symetrická bilineární forma na n¥m, pak jsou kovektory g(·, v) g(v, ·) totoºné. V sou°adnicích máme Nej£ast¥ji se s tímto izomorzmem setkáváme, kdyº

stor a a

[g v ≡ ([g v)i ei = (gij ei ⊗ ej )(·, v) = gij v j ei , tedy kovektor

[g v

spu²t¥ní indexu Pokud

má sou°adnice

([g v)i = gij v j .

Proto se zobrazení

[g

nazývá

a ozna£uje odpovídajícím hudebním symbolem.

(V, g)

je unitární prostor, pak se p°edpokládá, ºe spu²t¥ní indexu p°í-

metrickému tenzoru ) g a sou°adnice kovektoru [g v bývají

slu²í skalárnímu sou£inu ( ozna£eny místo

(V ∗ )∗

([g v)i = gij v j

pouze

vi .

Ze symetrie

g

a interpretace

v

jako prvku

pak

([g v)(u) = g(u, v) = g(v, u) = v(g(·, u)) = (v ◦ [g )(u) [g v = v ◦ [g m·ºeme denovat spou²t¥ní index· pro libovolný tenzor Tqp (V ) s p > 0. Nap°íklad pro T ∈ T13 (V ) je T ([g ·, ·, [g ·, ·) tenzor typu (1, 3) vzniklý Z rovnosti

spu²t¥ním prvního a t°etího indexu. Jeho sou°adnice jsou

Ta bcd := T ([g ea , eb , [g ec , ed ) = T (gai ei , eb , gcj ej , ed ) = gai gcj T ibjd Pí²eme

Ta bcd

b Tacd ,

místo

abychom dokázali rozli²it, které indexy byly spu²t¥ny a

které ne.

g −1 := g ab ea ⊗ eb , jehoº sou°adnice spl¬ují g ac gcb = δba , −1 £ili matice skalárního sou£inu g a bivektoru g jsou navzájem inverzní. Dosazením Denujme bivektor

transforma£ních vztah· pro bilineární formy a bivektory snadno odvodíme, ºe tato denice nezávisí na volb¥ báze. V·£i ortonormální bázi matice a tedy

g

−1

je pozitivn¥ denitní symetrická

duální metrický tenzor. Zobrazení

B = (ea )n1 je i g ab jednotková ∗ bilineární forma na V , tzv.

]g :V ∗ → V α 7→ g −1 (·, α), které v sou°adnicích nabývá tvaru

]g α ≡ (]g α)i ei = (g ij ei ⊗ ej )(·, α) = g ij αj ei , tj.

(]g α)i = g ij αj ,

nazýváme

zdviºení indexu. Protoºe

(]g [g v)i = g ij gjk v k = δki v k = v i , je

]g

inverzní izomorzmus k

[g .

Podobn¥ jako u

[g

pak

]g α = α ◦ ]g

a zdviºení

indexu lze aplikovat i na tenzory vy²²ího stupn¥. M·ºete se divit, pro£ se v·bec zaobíráme situací, kdy

(gab )

není jednotková

matice, kdyº ortonormální bázi lze zavést pro kaºdý skalární sou£in. Existují t°i oblasti, kv·li nimº je d·leºité nau£it se po£ítat s obecným metrickým tenzorem. Jsou to k°ivo£aré systémy sou°adnic, kde se metrický tenzor m¥ní v prostoru (je to vlastn¥ tenzorové pole), speciální teorie relativity, kde není pozitivn¥ denitní (mluvíme o

pseudometrickém tenzoru ),

a analytická mechanika, která se popisuje

pomocí pojm· symplektické geometrie, v níº je  skalární sou£in antisymetrický. Na²e formulace se dá snadno adaptovat i na tyto t°i odli²né situace. Zp¥t k operátor·m. Stopa

Tr T =

T ∈ End(V )

je rovna

n X

([T]B )ii ≡ Tii = (Tba ea ⊗ eb )(ei , ei ) ≡ T (ei , ei )

i=1 Na volb¥ báze

B

nezáleºí, protoºe

T (e0a , e0a ) = T ((R−1 )ac ec , Rab eb ) = δcb T (ec , eb ) = T (eb , eb ) a

Tr m·ºeme chápat jako zobrazení z T11 (V ) do skalár· T00 (V ) := F. Konstrukci lze

zobecnit:

22. TENZORY PODRUHÉ

V je vektorový a ∈ {1, . . . , p}, b ∈ {1, . . . , q}. Zobrazení Definice 65. Nech´

prostor,

132

(ei )n1

je báze

V , p > 0, q > 0,

p−1 Cab : Tqp (V ) → Tq−1 (V )

T 7→ T (. . . , ei , . . . , ei , . . .) a

se nazývá a

b-tý

b

kontrakce tenzoru (n¥kdy téº zúºení nebo stopa ) p°es a-tý kontravariantní

kovariantní index.

Na unitárním prostoru lze zkombinovat kontrakci a zdvihání/spou²t¥ní indexu. Pokud

g

je metrický tenzor a nap°.

T ∈ T30 (V )

trilineární forma, pak

Tij i ej = g ik Tijk ej = C11 T (·, ·, ]g ·) ∈ T10 (V ) Ze symetrie

g

T iji ,

plyne, ºe

tedy kovektor vý²e lze zapsat i jako

C12 T (]g ·, ·, ·).

Kovektory

Ti ij ej ≡ C11 T (·, ]g ·, ·)

nebo

Tj ii ej ≡ C12 T (·, ]g ·, ·)

se ale od n¥j obecn¥ li²í. Pokud

v ∈ V , α ∈ V ∗ , lze hodnotu α(v) = αi v i chápat jako kontrakci C11 (v⊗α)

tenzorového sou£inu. Analogicky lze pomocí tenzorového sou£inu a kontrakcí zapsat hodnotu libovolného tenzoru stupn¥

p+q

na (ko-)vektorech

v, . . . , w:

T (v, . . . , w) = (C ◦ . . . ◦ C)(T ⊗ v ⊗ . . . ⊗ w), {z } | p+q

T ∈ Tq0 . Pak denujeme úplnou symetrizaci, T p°edpisem ∀v1 , . . . , vq ∈ V

Definice 66. Nech´

antisymetrizaci

tenzoru

[πS (T )](v1 , . . . , vq ) :=

1 X T (vρ(1) , . . . , vρ(q) ), q!

resp.

úplnou

resp.

ρ∈Sq

[πA (T )](v1 , . . . , vq ) :=

1 X sgn(ρ)T (vρ(1) , . . . , vρ(q) ) q! ρ∈Sq

Snadno se ov¥°í, ºe

πA ◦ πA = πA πS ◦ πS = πS πA ◦ πS = πS ◦ πA = 0 Sq (V ) ≡ S q (V ∗ ) Λq (V ) ≡ Λq (V ∗ ) úpln¥

Ob¥ zobrazení jsou tedy projekce na dva podprostory, podprostor úpln¥ symetrických kovariantních tenzor· a podprostor

antisymetrických tenzor·, v jejichº pr·niku je pouze nulový tenzor. Pro

q=2

denice °íká, ºe

1 (Tab + Tba ) =: T(ab) 2 1 = (Tab − Tba ) =: T[ab] 2

[πS (T )]ab = [πA (T )]ab

Zde jsme zavedli tradi£ní závorkovou notaci pro symetrizaci a antisymetrizaci in-

T(ab) = T(ba) a T[ab] = −T[ba] , tedy matice (T(ab) ) je symetrická a (T[ab] ) antisymetrická. Vlastnost Tab = T(ab) +T[ab] znamená, ºe kaºdý tenzor (0, 2) je moºné (jednozna£n¥) rozloºit na jeho symetrickou a antisymetrickou

dex·. Zjevn¥ platí matice typu

22. TENZORY PODRUHÉ

133

£ást

T = Tab ea ⊗ eb = T(ab) ea ⊗ eb + T[ab] ea ⊗ eb 1 1 = T(ab) (ea ⊗ eb + eb ⊗ ea ) + T[ab] (ea ⊗ eb − eb ⊗ ea ) 2 2 (ab) [ab] = T(ab) e + T[ab] e [ab] je práv¥ tolik, kolik je dvouprvkových mnoºin  e n (ab) £ísel z {1, . . . , n}, tedy . Po£et tenzor· e se zase rovná po£tu dvouprvko2  n+1 2 vých kombinací s opakováním z {1, . . . , n}, tedy 2 . Sou£et obou £ísel je n , coº 0 je rovno dimenzi T2 (V ), jak jsme mohli p°edpokládat na základ¥ v¥ty o dimenzi Lineárn¥ nezávislých tenzor·

spojení a pr·niku. (Anti)symetrizaci index· m·ºeme zavést i pro tenzory vy²²ích stup¬·:

T(a...b) :=

1 X T (ρ(ea , . . . , eb )) q! ρ∈Sq

T[a...b]

1 X := sgn(ρ)T (ρ(ea , . . . , eb )), q! ρ∈Sq

ρ(ea , . . . , eb ) znamená p°euspo°ádání posloupnosti vektor· ea , . . . , eb permutací {ea...b } v Tq0 (V ) dostáváme prvky e(a...b) a e[a...b] , q ∗ q ∗ které tvo°í bázi v S (V ) a Λ (V ). Je vid¥t, ºe   n+q−1 dim S q (V ∗ ) = , q   n dim Λq (V ∗ ) = . q Pro q > n tedy uº ºádné netriviální úpln¥ antisymetrické tenzory nejsou, zatímco prostor úpln¥ symetrických tenzor· je nenulový pro v²echna q . Pro q > 2 stále platí, q ∗ q ∗ ºe S (V ) ∩ Λ (V ) = 0, ale narozdíl od p°ípadu q = 2 je

kde

ρ.

(Anti)symetrizací prvk· báze

dim S q (V ∗ ) + dim Λq (V ∗ ) < dim Tq0 (V ), tedy existují tenzory, z nichº po ode£tení úpln¥ symetrické a úpln¥ antisymetrické £ásti je²t¥ n¥co zbyde. (Anti)symetrizaci m·ºeme úpln¥ stejn¥ zavést i pro kontravariantní tenzory, p°ípadn¥ pro tenzory smí²ené. U smí²ených má ale smysl provád¥t ji p°es indexy stejného typu. Pomocí zdvihu a spu²t¥ní indexu je moºné denovat kontrakci p°es libovolné dva indexy: tenzor

C12 T := C11 T ([g ·, ·, ·) má sou°adnice

Ta ac = gai T iac = gia T aic = T aa c . Pokud je

T

úpln¥ symetrický, pak se v²echny jeho kontrakce rovnají,

Ta ac = gai T iac = gai T cia = T ca a , T úpln¥ antisymetrický, gab máme

Je-li trii

apod.

jsou v²echny jeho kontrakce nulové, nebo´ díky syme-

Ta ac = gai T iac = gai (−T aic ) = −gia T aic = −Ti ic

KAPITOLA 23

Pozdní sb¥r Tato kapitola obsahuje zajímavá a uºite£ná tvrzení, která bychom bývali zvládli formulovat a dokázat uº d°íve, ale zavedlo by nás to stranou od hlavního výkladu.

1. Cayley-Hamiltonova v¥ta Dosazením

2×2

matice do jejího charakteristického polynomu získáme pozo-

ruhodnou rovnost:



a c

2  b a − (a + d) d c

V¥ta 45 (Cayley-Hamilton).

nom. Pak pA (A) = 0.

  b 1 + (ad − bc) d 0

0 1



 =

0 0

 0 0

Nech´ A ∈ Cn×n a pA její charakteristický poly-

Qm σ(A) = {λ1 , . . . , λm }, pA (λ) = ± i=1 (λ−λi )ki , J = R−1 AR = diag(Jk1 , . . . , Jkm ) Jordan·v tvar A, kde Jki je ki × ki blok obsahující bu¬ky s vlastním £íslem λi . Protoºe D·kaz. Nech´

pA (λ) = det(A − λE) = det(RJR−1 − λRR−1 ) = det(J − λE) = pJ (λ), pA (A) = pJ (A). Zárove¬ Aq = RJ q R−1 pro v²echna q ≥ 0, tedy i pJ (A) = RpJ (J)R−1 . Protoºe Jki −λi E má na blokové diagonále Jordanovy bu¬ky s vlastním k £íslem nula velikosti men²í nebo rovné ki , platí (Jki − λi E) i = 0. Charakteristický Qm ki polynom má tvar pA (λ) = i=1 (λi − λ) , tedy   m Y (Jk1 − λ1 E)k1 K 0 pJ (J) = (−1)n (J − λi E)ki = = 0, 0 L i=1 Qm ki kde K je matice i=2 (J − λi E) . První blok na diagonále je tedy nulový, ale obdobnou úvahou musí i v²echny ostatní bloky skryté v matici L být nulové, protoºe obsahují nulový £initel.  platí

Z Cayley-Hamiltonovy v¥ty plyne, ºe nap°íklad pro

2×2

An je lineární kombinace matic E, A, . . . , An−1 ,

matice

A2 = (Tr A)A − (det A)E Lze odtud nap°. spo£ítat rekurentn¥ libovolnou mocninu matice, aniº bychom pot°ebovali znát její spektrum. Pro nap°íklad pro

2×2

A

regulární lze takto vyjád°it i inverzní matici,

matice

A−1 =

1 ((Tr A)E − A) det A

2. Sou£asná diagonalizovatelnost A, B ∈ End(V ), AB = BA, λ ∈ σ(A), W ≤ V vlastní λ. Pak W je invariantní podprostor A a pro v ∈ W platí

Nech´ p°íslu²ný

A(Bv) = B(Av) = B(λv) = λBv 134



Bv ∈ W

podprostor

A

2. SOU£ASNÁ DIAGONALIZOVATELNOST

Zúºený operátor

B|W

má vlastní £íslo

µ

dim V ,

w ∈ W je A, B. Kdybychom takových vektor·

a jemu p°íslu²ný vlastní vektor

spole£ný vlastní vektor komutujících operátor· na²li

135

m¥li bychom bázi, vzhledem k níº jsou oba operátory reprezentovány

diagonální maticí. íkáme pak, ºe mnoºina operátor·

diagonalizovatelná. Obecn¥ platí

A = {A, B}

sou£asn¥

je

V¥ta 46. Nech´ A ⊂ End V je mnoºina diagonalizovatelných operátor·. Pak A je sou£asn¥ diagonalizovatelná, práv¥ kdyº kaºdé dva operátory v ní komutují.

⇒ je snaz²í. Pokud A, B ∈ A a existuje báze C DB := [B]C C jsou diagonální, pak

D·kaz. Implikace

ºe

DA := [A]C C

a

ve

V

taková,

C C C C [AB − BA]C C = [A]C [B]C − [B]C [A]C = DA DB − DB DA = 0 tedy

A

a

B

nutn¥ komutují.

n = dim V . Operátory na prostoru 1 × 1, které spolu komutují v²echny a v²echny jsou automaticky diagonální, takºe není co dokazovat. Uvaºujme A mnoºinu komutujících diagonalizovatelných operátor· na V dimenze n > 1, zvolme ve V bázi B a ozna£me A0 mnoºinu v²ech matic operátor· z A vzhledem k bázi B . P°edpokládejme, ºe tyto n × n nejsou v²echny násobkem jednotkové matice, jinak 0 by nebylo co dokazovat. Vyberme A ∈ A , která není násobkem jednotkové matice −1 a regulární matici R takovou, ºe D := R AR je diagonální. Pro kaºdou matici 0 −1 X ∈ A platí, ºe Y := R XR komutuje s D. Matici D m·ºeme psát v blokov¥ Druhou implikaci dokáºeme indukcí podle

V

dimenze

1

jsou reprezentovány maticemi

diagonálním tvaru



λ1 En1  0   . .  . 0 kde

λi

0 λ2 En2 ...

...

0 0

..

. . .

.

0

jsou navzájem r·zná. Zapí²eme-li

a porovnáme odpovídající bloky sou£in·

   , 

λm Enm

Y ve stejné blokové struktu°e jako má D DY a Y D, je snadno vid¥t, ºe Y musí být

také blokov¥ diagonální



Y1  0  Y = .  .. 0 Yi ni ×ni

kde

F

∈ Fni ×ni .

... ..

...

.

0

 0 0   , . .  . Ym

Podle induk£ního p°edpokladu existují regulární matice

takové, ºe pro v²echny takto získané matice



S1  0  S :=  .  .. 0 je

0 Y2

S −1 Y S

0 S2

... ..

...

.

0

diagonální matice. Pak pro v²echna

Y

Si ∈

a

 0 0    . .  . Sm X ∈ A0

a

diagonální matice.

Q := RS

je

Q−1 XQ 

V¥tu m·ºeme formulovat i tak, ºe pokud mnoºina matic komutuje, pak lze najít spole£nou bázi z vlastních vektor·. Je-li spektrum prosté, sta£í spo£ítat vlastní vektory jedné matice a ty budou vlastními vektory i pro ostatní. V¥ta má význam v kvantové mechanice a kdekoli, kde jsou d·leºité symetrie.

4. GAUSS—V INTEGRÁL

136

3. Ger²gorinovy kruhy n×n Kaºdé vlastní leºí pro n¥jaké P £íslo A ∈ C i ∈ {1, . . . , n} v kruhu o st°edu aii a polom¥ru j6=i |aij |. V¥ta 47 (Ger²gorinovy kruhy).

D·kaz. Pro

((A − λE)x)i = 0

λ ∈ σ(A)

zvolme

x ∈ Vλ

a

i

tak, ºe

xi = 1

a

∀j 6= i, 1 ≥ |xj |.

Pak

dává

X X X |aij ||xj | ≤ |aij | aij xj ≤ |λ − aii | = j6=i j6=i j6=i  Matice je

diagonáln¥ dominantní, pokud |aii | > A

pak neobsahují po£átek, tedy

P

j6=i

|aij |. Ger²gorinovy kruhy

musí být regulární. Dal²í aplikací je odhad chyby

a test ukon£ení iterativních algoritm· pro výpo£et vlastních £ísel. P°íkladem takového algoritmu je matice s QR-rozkladem

A0 = QR,

QR-algoritmus. Je-li A =: A0 reálná £tvercová

denujme

A1 := RQ = QT QRQ = QT A0 Q = Q−1 A0 Q A0 a A1 jsou podobné, mají stejné spektrum. Bez d·kazu uve¤me, ºe pokud A symetrická, dá se iterací tohoto postupu získat posloupnost, která konverguje k diagonální matici, jejíº diagonální prvky jsou vlastní £ísla A. Pro v¥t²inu ostatních matic konverguje algoritmus k matici blokov¥ diagonální s bloky velikosti 1 a 2 (ty

Protoºe je

odpovídají dvojici komplexn¥ sdruºených ko°en·). P°íklad:



3 A= 1 −1

1 3 −1

  −1 5.9940 5 iterací −1 −→  0.0284 5 −0.1323

0.0284 2.0002 −0.0009

 −0.1323 −0.0009 3.0058

Z v¥ty o Ger²gorinových kruzích plyne odhad spektra

σ(A) = {5.9940 ± 0.1607, 2.0002 ± 0.0293, 3.0058 ± 0.1332}

4. Gauss·v integrál O

Gaussov¥ integrálu

R∞ −∞

2

e−x dx je známo, ºe je roven



π . Odtud snadno pro

λ1 , . . . , λ n > 0 Z

2

2

e−λ1 x1 −...−λn xn dx1 . . . dxn =

r

Rn

πn λ1 . . . λn

A ∈ Rn×n je pozitivn¥ denitní symetrická matice a U ortogonální T kterou U AU = D = diag(λ1 , . . . , λn ), pak Z Z T T −xT Ax e dx1 . . . dxn = e−x U DU x dx1 . . . dxn

Pokud pro

Rn

matice,

Rn

| det U | = 1, substituce x0 = U T x zachovává dx1 . . . dxn =: dx. Protoºe det A = det D, dostáváme Protoºe

Z e Rn

−xT Ax

Z dx =

e Rn

−x0T Dx0

objem, tedy

r 0

dx =

πn det A

dx01 . . . dx0n =

5. ADJUNGOVANý OPERÁTOR JAKO POLYNOM

137

5. Adjungovaný operátor jako polynom Tvrzení 63. Nech´ N je normální operátor na unitárním prostoru V dimenze n. Pak existuje komplexní polynom p stupn¥ nejvý²e n takový, ºe N∗ = p(N). D·kaz. Ozna£me

N

matici

N

Pro tyto matice a unitární matici p°echodu

N + = U D+ U + p(D) pro n¥jaký

N∗ ,

BaD C zaru£ené v¥tou 29. N = U DU + . Protoºe

vzhledem k libovolné ortonormální bázi

jeho diagonální matici vzhledem n¥jaké ortonormální bázi

U

pak platí

D+ je moºné vyjád°it jako ¯1, . . . , λ ¯ n ). polynom p. Je-li D = diag(λ1 , . . . , λn ), pak D = diag(λ ¯ i pro v²echna i lze zkonstruovat jako Lagrange·v Polynom, pro který platí p(λi ) = λ interpola£ní polynom pro k vzájemn¥ r·zných vlastních £ísel operátoru N.  je matice

sta£í jen dokázat, ºe