Lineare Übertragungssysteme [1 ed.]
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German Pages 64 Year 1961
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- Otto Föllinger
- Gerd Schneider
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- Technique
- Communication: Telecommunications
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Mitteilungen
aus
dem
Institut für Automation
der AEG
Lineare Übertragungssysteme Eine exakte Begründung
ihrer Theorie
mittels verallgemeinerter Funktionen und Operatoren
Otto Föllinger und Gerd Schneider
ALLGEMEINE
ELEKTRICITATS-GESELLSCHAFT
Inhaltsverzeichnis Seite Otto
Föllinger und Gerd
Schneider
Einleitung Inhaltsübersicht
Otto Föllinger und Gerd Schneider 1. Das
lineare Übertragungssystem
mathematische Beschreibung Gerd
und
seine
Schneider
2. Über die vollständige mathematische rationaler Übertragungssysteme
Beschreibung
Gerd Schneider 3. Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs und exakte Begründung des Rechnens mit Ö-Funktionen
16
Otto Föllinger 4. Beschreibung
von
27
Übertragungssystemen
mit Vorgeschichte mit Hilfe des ö-Kalküls
Otto Föllinger 5. Operatoren
35
als Symbole von Abbildungen
Gerd Schneider 6. Die Lösung von Differentialgleichungen unter ausschließlicher Otto
Benutzung
Föllinger
7. Die Beschreibung des Übertragungsverhaltens bei vektorieller
Darstellung
der Systemgrößen
und das Anfangswertproblem
Herausgeber und Verlag:
ALLGEMEINE
ELEKTRICITATS-GESELLSCHAFT
Berlin-Grunewald. Schriftleitung:
Klaus Johannsen, Berlin-Grunewald.
Die hier veröffentlichten Originalarbeiten weitere Genehmigung vorausgesetzt, daß genau
43
der Operatorenrechnung
angegeben
jede
werden,
bei der Veröffentlichung Verfasser und Quellen und der Schriftleitung nach dem
zwei Belegexemplare vollständigem
können ohne
auszugsweise wiedergegeben
zur Verfügung
Erscheinen
gestellt werden.
Nachdruck und Übersetzung
bitten wir jedoch, vorher Genehmigung
Bei
in fremde Sprachen
einzuholen.
Photokopieren einzelner Teile, auch für berufliche Zwecke, wird erlaubt. Bestellungen
und sonstige Mitteilungen
Schriftleitung, Berlin-Grunewald, Eingereicht am 19. Juni 1961
sind zu richten an die
Hohenzollerndamm
150.
47
Einleitung
Man
wird
die
Theorie
eines
physikalischen
oder
tech-
nischen Erfahrungsbereiches nur dann als befriedigend ansehen können, wenn sie einerseits mathematisch exakt
begründet ist und sich andererseits möglichst eng an die Erfahrungstatsachen anschließt. Zwischen beiden Forderungen
besteht
ein
gewisser
Widerspruch;
denn
eine
mathematisch strenge Beschreibung der Wirklichkeit bringt
leicht Einschränkungen in den Voraussetzungen und Umständlichkeiten in der Behandlung der Probleme mit sich und läßt dadurch den engen Anschluß an die Erfahrungstatsachen vermissen. Auf der anderen Seite tendieren Begriffsbildungen, die unmittelbar den realen Verhältnissen entnommen sind, zur Ungenauigkeit und führen daher leicht zu unzutreffenden Schlußfolgerungen.
Bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens linearer Übertragungssysteme
mathematischer
Wirklichkeit
tritt
Exaktheit
besonders
an
diese
und
Diskrepanz
engem
zwei
Anschluß
Stellen
hervor.
zwischen
an
die
Zunächst
einmal bei der Betrachtung der Zeitfunktionen, welche die Einund Ausgangsgrößen charakterisieren. Unter ihnen
der treten
Übertragungssysteme nämlich häufig Funk-
tionen auf, die sich sprungartig ändern und dabei Systeme wirken, die durch Differentialgleichungen schrieben werden. Lehnt man sich unmittelbar an
auf bedie
realen Verhältnisse an, so wird man die Wirkungsweise dieser Systeme durch die Annahme zu erfassen suchen, daß die Differentiation von Sprungfunktionen zu Impulsen von großer Höhe und sehr geringer Breite führt, also zu Impulsfunktionen nach Art der Diracschen ö-Funktion. Diese Vorstellung ermöglicht in vielen Fällen eine zügige und übersichtliche Behandlung der Probleme. Versucht man aber, mit ihr systematisch zu arbeiten, so werden sich
alsbald Widersprüche einstellen. Diese Widersprüche rühren daher,
tionen
ihren
keine
Funktionen
Werteverlauf
daher auch
wandfreies
nicht den
der
üblichen
charakterisiert
Operieren
üblichen
mit
daß
die
Impulsfunk-
Art sind, die
werden.
Rechenregeln.
ihnen
erforderlich, den Funktionsbegriff Erweiterungen liegen vor in den
zu
durch
Sie genügen Um
ermöglichen,
ein ein-
ist es
zu erweitern. Solche „Distributionen“ von
L.Schwartz und den „Operatoren“ von J.Mikusinski. Diese mathematischen Begriffsbildungen sind aber sehr allgemeiner Natur und nicht speziell auf die Theorie
der Übertragungssysteme zugeschnitten. Mit ihnen wird der Funktionsbegriff viel stärker verallgemeinert, als es für die Beschreibung des Übertragungsverhaltens mittels Impulsfunktionen notwendig ist. Demgemäß ist der mathematische Aufwand für das hier angestrebte Ziel zu groß.
Eine zweite Stelle, wo mathematische Strenge und unmittelbarer
Anschluß
an
die
Wirklichkeit
sich
nicht
decken,
ist
die Beschreibung des Einflusses eines Übertragungssystems auf seine Eingangsgrößen. Ein sehr einfaches und leicht zu
handhabendes
Operator
wegen regeln
Hilfsmittel
hierzu
in seiner ursprünglichen
ist
Form.
der
Heaviside-
Er kann
jedoch
der unzureichenden Begründung seiner Rechenzu Fehlschlüssen führen und versagt überdies bei
der Behandlung Anfangswerten.
von Problemen
mit nichtverschwindenden
Diesen Schwierigkeiten unterliegt die Laplace-Transformation nicht. Es muß aber: als ein Umweg erscheinen, wenn
man zur Behandlung von Funktionalbeziehungen zwischen reellen Zeitfunktionen diese erst in komplexe Funktionen
verwandelt,
und
zwar
durch
eine
der Stetigkeit von Funktionen
usw.
so
komplizierte
analy-
tische Begriffsbildung wie ein uneigentliches Parameterintegral. Hierdurch werden Schwierigkeiten in die Behandlung der Probleme hineingetragen, die nicht aus der Sache stammen, die vielmehr den Begriffsbildungen der Analysis anhaften, wie Fragen nach der Existenz von Grenzwerten, Die
vorliegende
gründung
der
Aufsatzfolge
Theorie
hat
linearer
das
Ziel,
eine
Be-
Übertragungssysteme
zu
geben, die einerseits mathematisch streng ist und sich andererseits möglichst unmittelbar an die Wirklichkeit anschließt.
Dies
geschieht
durch
zwei
Operationen.
Zu-
nächst wird durch eingehende Analyse des Übertragunasverhaltens eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs
geschaffen, die dem Verhalten der Übertragungssysteme besonders angepaßt ist. Auf dieser Grundlage wird dann
ein den von sind
Operatorbegriff eingeführt, der sich unmittelbar an ursprünglichen Heaviside-Operator anschließt, aber dessen Nachteilen frei ist. Beide Begriffsbildungen aus der Beschäftigung mit Problemen der industriellen
Regelungstechnik erwachsen. Wenn man den Umfang der mathematischen Ausführungen in dieser Aufsatzfolge beurteilt, muß man berücksichtigen, daß hier die Theorie mit den gesamten Beweisen abge-
wickelt wird. An mathematischen Voraussetzungen werden jedoch nur einige einfache Sätze der Differential- und Integralrechnung sowie die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung
einer
linearen
Differentialgleichung
benutzt.
Nur
für den letzten Aufsatz werden zusätzlich die Grundregeln der Matrizenrechnung benötigt.
In der vorliegenden Arbeit wird nur die Begründung der Theorie linearer Übertragungssysteme behandelt. Eine Darstellung der Theorie selbst und ihrer Anwendungen
auf der Basis des hier entwickelten zwar
für
die
Belange
des
Begriffssystems,
Regelungstechnikers,
wird
und
in
dem Buch „Dynamisches Verhalten von Regelkreisen — Beschreibung und Untersuchung mittels Strukturbild, Frequenzkennlinien und Analogrechner” von O. Föllinger
und G. Gloede gegeben, das demnächst im Rahmen der AEG-Veröffentlichungen erscheinen wird. Dort ist bei der Darstellung des Rechnens mit verallgemeinerten Funk-
tionen
und
Operatoren
mathematischen
kein
Wert
auf
Ausführung
der
Beweise gelegt, vielmehr liegt das Schwer-
gewicht auf der Anwendung. Die vorliegende Aufsatzfolge bildet daher die Ergänzung dieses Buches nach der mathematischen Seite hin.
Die hier gegebene Begründung der Theorie linearer Übertragungssysteme, einschließlich einer Anwendung auf Tot-
zeit-
Prof.
und
W.
Abtastsysteme, Oppelt
ist der
angeregten
Gegenstand
einer
zweisemestrigen
von
Vor-
lesung, die von G. Schneider am Institut für Regelungstechnik der Technischen Hochschule Darmstadt ge-
halten wird.
Otto Föllinger und Gerd Schneider .
Inhaltsübersicht
I. Das
lineare
Hier werden
Übertragungssystem
die im folgenden
und seine mathematische
benötigten
Grundbegriffe
Beschreibung
eingeführt.
Es
soll das Verhalten der Übertragungssysteme von einem gewissen Zeitpunkt t=0 ab untersucht werden, der etwa durch die Aufschaltung äußerer
Größen oder die Vornahme von Parameteränderungen gegeben ist. Die Zeitfunktionen x*(f), welche die Systemgrößen für alle Zeiten beschreiben, interessieren also erst für # > 0. Man kann daher von den x*(t) zu den verkürzten
Funktionen
x(t)
übergehen,
die für # >
0 mit den
x*(f)
über-
einstimmen, für F< 0 jedoch “verschwinden: :Man--erhält sie aus. den x* (f), indem man diese Funktionen mit dem Einheitssprung of) multipliziert, der
für
t 0
gleich
1
ist:
x() =x*{f) oft).
Besteht zwischen den verkürzten Eingangsfunktionen x£(f) und der verkürzten Ausgangsfunktion x, (f) eines Übertragungssystems ein ein-
deutiger linearer Zusammenhang, so kann dieser als eine Abbildung der xelf) auf x,(f) aufgefaßt werden und sei als lineares Übertragungs-
glied
bezeichnet.
Das
lineare
Übertragungsglied
beschreibt
also
das
Verhalten des Übertragungssystems für t > 0, hat aber vor diesem Zeitpunkt nichts mit dem realen System zu tun, Das Übertragungssystem werde dann für den Zeitraum f > 0 ebenfalls als linear bezeichnet. Die für regelungstechnische Untersuchungen wichtigste Übertragungsglieder ist dadurch charakterisiert, daß
Klasse linearer die Eingangs-
funktion xg(f) mit der Ausgangsfunktion x, (f) durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und verschwindender Anfangsbedingung verknüpft ist, sofern x£(f) genügend oft stetig differenzierbar ist. Übertragungsglieder dieser Art seien als rationale Übertragungsglieder (R-Glieder) bezeichnet. Übertragungssysteme, die für t > 0 durch rationale Übertragungsglieder und Summierungsstellen schrieben werden, seien rationale Übertragungssysteme genannt.
be-
2. Die vollständige mathematische Beschreibung rationaler Übertragungssysteme Für ein gegebenes
Systemgröße
X
Übertragungssystem
infolge
der
kann
der
unvermeidlichen
zeitliche
Meßfehler
Verlauf
niemals
einer
exakt
ermittelt werden. Man erhält vielmehr in der X-t-Ebene nur einen gewissen Streifen endlicher Breite, von dem man weiß, daß in ihm die Systemgröße verläuft. Im Rahmen der hierdurch gegebenen Unsicherheit
kann
jede
gelegen
Funktion
ist, zur
x{t), deren
näherungsweisen
Kurvenzug
innerhalb
Darstellung
des
dieses
Streifens
zeitlichen Verlaufs der
Systemgröße X herangezogen werden. Damit kann die Abhängigkeit einer Systemgröße von der Zeit wahlweise durch unstetige, stetige oder
den können, d.h. durch Funktionen, die außer an isolierten Ausnahmestellen beliebig oft differenzierbar sind, bei Annäherung an eine Aus-
nahmestelle samt ihren Differentialquotienten endliche links- und rechts-
seitige Grenzwerte haben und für t< 0 verschwinden, Die vollständige Beschreibung des Übertragungsverhaltens, nämlich seine Beschreibung für beliebige zulässige Eingangsfunktionen, ist dann durch das
Gleichungssystem r
YyE =
ein- bzw. mehrfach differenzierbare Funktionen dargestellt werden. Welche der Möglichkeiten man wählt, wird im allgemeinen nur von der Einfachheit der Darstellung bestimmt. So wird man z.B. den zeitlichen Verlauf einer Systemgröße durch die bequem zu definierende Sprungfunktion beschreiben, wenn der gemessene Verlauf eine solche Dar-
(m)
: tr
idarh
en
axXı
tr
.
ApXı
=
boxg
+
biXg
(m)
anyat:--
{m-1)
gegeben
ist, so
ist diese
Beschreibung
unvollständig,
da
man
bei
ihrer
Verwendung gezwungen ist, den zeitlichen Verlauf der Eingangsgröße durch n-mal differenzierbare Funktionen darzustellen. Diese Beschränkungen
werden
gesetzt,
daß
Hier wird
im
zweiten
nämlich
von den
sie für # >
3. Verallgemeinerung
Aufsatz
beseitigt.
vorkommenden
0 durch
zulässige
des Funktionsbegriffs
Systemgrößen
nur voraus-
griff der verallgemeinerten
man
durch
komplexen
Erweiterung Zahl
erhält.
des
Funktion,
Begriffs
Dieses
und
der
Begründung
des Rechnens
auf
reellen
durch
ähnliche
Zahl die
den
Weise,
Begriff
Erklärung
wie
der
eines
allgemeinerten Funktionen erklärt, nämlich mit Elementpaaren {f N; k} aus einer zulässigen Funktion f(f) und einer ganzen, nichtnegativen
Zahl k. Dabei werden insbesondere bezüglich der Addition, der Faltung und der Ableitung folgende Festsetzungen getroffen:
EHEN = + SF... Salldr;kifürkzi, (k-1)-fach
=tflolik+l,
EikyY=tlik+t}.
Man kann zeigen, daß bezüglich dieser Operationen die speziellen verallgemeinerten ‚Funktionen {fi ; 0% mit den zulässigen Funktionen identifiziert
werden
dürfen,
wobei
die
Bildung
der
Ableitung
einer
mit verallgemeinerten
Funk-
überall differenzierbaren zulässigen Funktion f(t) dem Übergang zum gewöhnlichen Differentialquotienten df/dt = f(t) entspricht. Aus diesen Festsetzungen
ergeben
sich für das
Rechnen
tionen ganz entsprechende Regeln wie für das Rechnen mit zulässigen Funktionen, Eine besondere Rolle spielen in diesem Kalkül die Ableitun-
gen der Sprungfunktion o (t-t9), die der Reihe nach als erste Ableitung der ö-Funktion, usw., bezeichnet werden:
tt) So,
wie
man
jede
let) =, komplexe
Zahl
{a;
b)
diejenige Funktion, die k-mal zwischen den
und
Rechnens mit Paaren (a; b) reeller Zahlen und der anschließenden Identifikation der speziellen Zahlenpaare (a; 0) mit den reellen Zahlen a und der Bezeichnung des speziellen Zahlenpaares (0; 1) als imaginäre Einheit j. Ganz entsprechend wird hier ein Rechnen mit ver-
Ekel:
gegeben. Das heißt: Man integriere die gegebene Eingangsfunktion xg£ zunächst so oft (k-fach) zwischen den Grenzen 0 und t, bis eine mindestens n-mal stetig differenzierbare Funktion y£ entsteht, Diese Funktion yg wähle man als Eingangsfunktion zur ursprünglichen Differentialgleichung und bestimme deren Lösung y, für verschwindende Anfangswerte. Die gesuchte Ausgangsfunktion x, erhält man schließlich als
wer-
zwar
geschieht
t
beschrieben
exakte
d-Funktion,
= in der
Form
a + bj darstellen
{n)
+buve;
S x, )de=yı 0 k-fach
Funktionen
Die Einführung der ö-Funktionen erfolgt durch eine Erweiterung des im zweiten Aufsatz eingeführten Begriffs der zulässigen Funktion zum Be-
.
tbiVet---
(m-1)
bxg:
,0=x,(0)=...=x,0=0
:
tayatapnambove
y,‚0)=...=y,,0=0,
(n) +...t+
XE (er) dr,
k-fach
stellung mit hinreichender Genauigkeit zuläßt. Wenn deshalb die mathematische Beschreibung eines Übertragungssystems für #t > 0 durch das rationale Übertragungsglied Ama
f 0
yj
Grenzen
0 und ft integriert,
ergibt. mit
ö-Funktionen
kann, kann auch jede verallgemeinerte Funktion als Summe einer zulässigen Funktion und einer Linearkombination von ö-Funktionen und deren Ableitungen geschrieben werden. Man erhält so folgende Gegen-
überstellung:
Reelle Zahlen a, b
Zulässige Funktionen
Komplexe Zahlen «= (a; b)
Verallg.
Imaginäre
Einheitj
ö-Funktionen
lt),
a=a+bj
eh
ls
f {t)
Funktionen o (f) = {f(t) ; k} und
ihre Ableitungen:
to...
M+L
k-1 2
a)
20
F,ö”lt-t,)
Unter Benutzung verallgemeinerter Funktionen kann die im zweiten Aufsatz formulierte vollständige Beschreibung des Übertragungsverhaltens eines rationalen Übertragungssystems wesentlich einfacher gefaßt werden. Man erhält sie nun einfach dadurch, daß man die Differentialgleichung des rationalen Übertragungsgliedes als eine Differentialgleichung zwischen verallgemeinerten Funktionen auffaßt und daher die
gewöhnlichen meinerten
aM)
Differentialquotienten durch die Ableitungen
Funktionen
+...+
der veralige-
ersetzt:
aXı + agxı = boxe + bixe +...
+bxeln.
Jede solche Differentialgleichung hat bei gegebener verallgemeinerter Eingangsfunktion x£ eine eindeutig bestimmte verallgemeinerte Funktion x, als Lösung. Betrachtet man die Lösung dieser verallgemeinerten Differentialgleichung für den Fall, daß als Eingangsfunktion die ö-Funktion bzw. eine ihrer Ableitungen gewählt wird, so zeigt sich, daß man diese Lösungen näherungsweise auch dadurch erhalten kann, daß man als Eingangsfunktionen die in der Literatur zur Erklärung der ö-Funktion bzw. ihrer Ableitungen benutzten Folgen aus sehr hohen, sehr schmalen Impulsen verwendet. Damit ist der Anschluß an die übliche Betrachtungsweise hergestellt.
4.
Beschreibung
In den
deren
drei
von
ersten
Verhalten
im
Übertragungssystemen
Aufsätzen
werden
Bereich
t >
Eingangsgrößen durch eine lineare Koeffizienten
beschrieben
wird,
0
für
mit
Vorgeschichte
Übertragungssysteme genügend
oft
die
Hilfe des
differenzierbare
Differentialgleichung
wobei
mit
betrachtet,
mit konstanien
Anfangswerte
der
Ausgangs-
größe und ihrer Differentialquotienten verschwinden.
Es treten nun aber
häufig
Anfangswerte
Übertragungssysteme
auf,
bei
denen
diese
von
Null verschieden sind. Beispiele hierfür bilden elektrische Systeme mit Kapazitäten, die bei f= 0 eine Ladung besitzen, sowie mechanische
ö-Kalküls Sprünge handelt,
aufweisen können. Diese Frage wird im wobei sich die folgende Antwort ergibt.
Der Zusammenhang durch
eine
vierten
be-
zwischen den Funktionen x£ und x, wird wiederum
Differentialgleichung
hergestellt,
sofern
man
verallgemeinerte Funktionen auffaßt und demgemäß rentiation anwendet:
+
Aufsatz
+ aa
x£
und
x,
als
die erweiterte Diffe-
= borelt) +... + bre N + st.
Systeme mit Teilen, die zu Beginn der Betrachtung bereits in Bewegung sind, sich in Spannungszuständen befinden, usw. Stets dann, wenn ein Übertragungssystem zu Beginn der Untersuchung gespeicherte Energie
In dieser Differentialgleichung der verallgemeinerten Funktion
Anfangswerten zeigen. Jedoch gibt es auch andere Möglichkeiten für das Auftreten von Null verschiedener Anfangswerte. Auf jeden Fall aber sind sie durch das Verhalten des Systems vor dem Beginn der Betrach-
auf, in welchem der Einfluß der Vorgeschichte des Systems enthalten ist.
in
irgendeiner
Form
enthält,
wird
sich
dies
in
nichtverschwindenden
tung bestimmt, entstammen also dessen Vorgeschichte. Die Behandlung solcher Systeme mit Vorgeschichte wirft keine besonde-
tritt aber
nun
ein
Störglied
in Gestalt
st) = All) +... + A, m Die Koeffizienten A}... . , A] hängen nämlich von den Werten xE (- 0), “e
(-0),...
und
xA (-0), x
(-0),....
ab,
mit denen
die
Ein-
und
Aus-
ren Schwierigkeiten ‚auf, solange die Eingangsgröße im Bereich t >0 genügend oft differenzierbar ist und sich die Ausgangsgröße samt ihren Differentialquotienten bei t = 0 stetig an den vorhergehenden Verlauf anschließt. Ist dies aber nicht der Fall, so ist die Differentialgleichung
gangsgröße und ihre Differentialquotienten in den Zeitpunkt f = 0 einlaufen. s (t) werde deshalb als Speicherfunktion des Systems mit Vor-
der Ausgangsgröße lassen sich nicht mehr ohne weiteres aus der Vorgeschichte des Systems ablesen. Es erhebt sich daher die Frage, durch welche Funktionalbeziehung zwischen xg(f) und x,{f) das Verhalten eines Systems mit Vorgeschichte im Zeitraum t > 0 beschrieben wird, wenn die Ein- und Ausgangsgröße samt ihren Differentialquotienten
Die Funktionalbeziehung zwischen x; und x, läßt sich in zwei Differentialgleichungen zerspalten, von denen die eine xg(f), die andere s({f) als Eingangsfunktion besitzt und deren Ausgangsgrößen addiert werden.
nicht mehr
auf
5. Operatoren
die
Eingangsgröße
anwendbar,
und
die
Anfangswerte
geschichte
bezeichnet.
Ist
die
Eingangsgröße
für
>= 0
genügend
differenzierbar, so geht die Funktionalbeziehung zwischen x£ und in die übliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingung über.
oft
x,
Ein Übertragungssystem mit Vorgeschichte kann somit durch die Summierung zweier rationaler Übertragungsglieder beschrieben werden.
als Symbole von Abbildungen
In den Aufsätzen 1 bis 4 wird das Verhalten einzelner Übertragungsglieder untersucht. Es ist aber häufig notwendig, Systeme mehrerer Übertragungsglieder zu betrachten, beispielsweise dann, wenn das dynamische Verhalten technischer Anlagen analysiert und verbessert
sprüngliche Heaviside-Kalkül nicht bewältigen konnte. Die Erfassung der Vorgeschichte eines Übertragungssystems mit Hilfe des neuen Operatorbegriffs ist aber ohne weiteres möglich, da diese Vorgeschichte in der
verschiedensten Weise umgeformt werden, z. B. durch Vertauschung von Gliedern, Zusammenfassung mehrerer Glieder zu einem einzigen, Zerlegung eines Gliedes in einfachere. Die Durchführung solcher Umformungen ist aber sehr schwerfällig und unübersichtlich, wenn man sie mit den Differentialgleichungen der Übertragungsglieder ausführt. Wie im fünften Aufsatz gezeigt wird, läßt sich diese Schwierigkeit beheben, wenn man die Auffassung des Übertragungsgliedes als eindeutige Abbildung der Eingangsfunktionen x£({f) auf die Ausgangsfunktionen x, (f) zugrunde legt und als Symbol dieser Abbildung den Heavisideschen Operator G(p) wählt. Ein solches Vorgehen ist durch die Einführung verallgemeinerter Funktionen ermöglicht, da hierdurch der grundlegende Satz gilt, daß zu einer gegebenen Eingangsfunktion xg(f) eine eindeutig bestimmte Lösung x,(f) der Differentialgleichung des Übertragungsgliedes gehört. Dadurch fallen die Schwierigkeiten bezüglich des Anfangswertproblems weg, die der ur-
Das Übertragungsglied wird also nunmehr durch die Operatorgleichung
werden
soll.
Hierzu
muß
das
System
der Übertragungsglieder
6. Die Lösung von Differentialgleichungen
in der
den
können.
Die
damit yuN=oeEt)
Lösung
Operatorgleichungen
der
wobei
sich
gy(f)
aus
7. Die
Beschreibung
der
des
sofort angegeben
Differentialgleichung
tert...
(n-m) + nmel
des
wer-
R-Gliedes
lautet
bleiben,
und
der
insbesondere
Partialbruchzerlegung
Übertragungsverhaltens
mit
also
ihnen nur
nutzen. Dies ist vor allem dann
durchführbaren
die
ergibt.
Für
den
bei vektorieller
spe-
Darstellung
gewöhnliche
der Fall, wenn
Rechenoperationen Differentiation
zu
die Ausgangsgröße
zu
be-
des
Übertragungsgliedes durch ein numerisches oder graphisches Verfahren, beispielsweise mit Hilfe eines Digitalrechners, bestimmt werden soll, da diese Verfahren nur auf Funktionen angewandt werden können, die
durch
ihren Werteverlauf
gegeben
sind.
Funktion
ist, auf welche
angewandt
der
werden
Operator
wie
auf
jede
kann.
x) = GP) xelN
charakterisiert. Auf Grund der Tatsache, daß der Operator G(p) das Symbol einer Abbildung ist, hat er eine wohlbestimmte inhaltliche Be-
deutung,
aus der die
gefolgert
werden
mit dem um die
Rechenregeln
können.
formalen
Produkt
Das
für die Operatorgleichungen
Ergebnis
ist überaus
einfach,
exakt
Man
kann
G(p) x({f) so rechnen, als ob es sich wirklich
ein Produkt von Zahlen handele, sofern man auf die Operatoren vier Grundrechenarten und auf die Zeitfunktionen Addition, Sub-
traktion und Faltung anwendet. Damit ist insbesondere das Ziel einer einfachen und übersichtlichen Umformung der Systeme von Übertragungsgliedern erreicht, vor allem dann, wenn man sich zur anschaulichen Darstellung der Operatorgleichungen
des
Strukturbildes
bedient.
Es ist dann
ziellen Fall m > n erhält man als Darstellung der Ausgangsgröße unter der Voraussetzung, daß die Eingangsgröße eine zulässige Funktion ist,
das Duhamel-Integral: f
xlt)
= (xek)
golt-) de
+ coXelf)
mit cg = 0
fürm
>
n.
0
Das
Verfahren
zur
Lösung
der
Differentialgleichung
fachen, wenn es gelingt, die gegebene sung einer solchen Differentialgleichung funktion darzustellen, also in der Form
läßt
sich
verein-
Eingangsfunktion selbst als Lömit der ö-Funktion als Eingangsxe£(t}) = Gg£(p} ält). Der zu einer
solchen Differentialgleichung gehörende Operator G£(p) geht in die Laplace-Transformierte der Funktion xg(f) über, wenn man das Symbol p
+ golf) *xel),
So zweckmäßig die Beschreibung und Untersuchung des Übertragungsverhaltens mittels verallgemeinerter Funktionen auch ist, so treten doch Fälle auf, in denen es notwendig wird, im Bereich der gewöhnlichen
Funktionen
enthalten
unter ausschließlicher Benutzung der Operatorenrechnung
Indem man die Differentialgleichung eines rationalen Übertragungsgliedes als Operatorgleichung schreibt, wird nicht nur das Rechnen mit Differentialgleichungen als Ganzes sehr vereinfacht, sondern es eröffnet sich eine Möglichkeit, die Lösung der Differentialgleichung explizit anzugeben. Dies wird im sechsten Aufsatz gezeigt. Die Bestimmung der Lösung beruht darauf, daß auf Grund der im fünften Aufsatz eingeführten Rechenregeln zu jedem Operator G(p) eine Partialbruchentwicklung existiert. Ihre Glieder stellen einfache Operatoren dar, für welche die
Lösungen der zugehörigen
Speicherfunktion
verallgemeinerte
erforderlich,
vom
Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen zum Rechnen mit gewöhnlichen Funktionen überzugehen. Dies wird dadurch ermöglicht, daß man auf Grund der im dritten Aufsatz angegebenen Tabelle jede verallgemeinerte Funktion als einen Vektor
durch
die
der
komplexe
Systemgrößen
auffassen
wobei
kann,
die erste
Variable
s ersetzt.
und das Anfangswertproblem
der
endlich
Komponente
oder
unendlich
eine zulässige
viele
Funktion
Komponenten
ist, während
hat,
alle
übrigen feste Zahlen sind. Dabei treten die letztgenannten Komponenten nur auf, wenn die verallgemeinerte Funktion keine gewöhnliche Funktion darstellt. Die Wirkung des Übertragungsgliedes, die in einer Abbildung der Eingangsfunktion x£(f) auf die Ausgangsfunktion x,(t) besteht,
kann nun aufgefaßt werden Euy von
der
xg£(f)
auf
Gleichungen
die
als eine Abbildung
Komponenten
zwischen
den
Auflösung nach den Unbekannten ten und letzten Aufsatzes.
Dabei
zeigt sich folgendes:
allgemeinerten gleichung mit
At),
beiden
Auv
von
der Komponenten x, (f).
Die
Komponentengruppen
A {f), Au
ist Gegenstand
Die Differentialgleichung
Funktionen xg und x, zerfällt in gewöhnlicher Differentiation, also
E{f),
Herleitung
und
des
ihre
sieben-
zwischen den ver-
eine eine
DifferentialDifferential-
gleichung Alt), und
der ein
Anfangswerten
üblichen Art, zwischen den ersten Komponenten E({t) System gewöhnlicher linearer Gleichungen zwischen
E (+ 0), E(+0),...
und den
und A (+ 0), A (#0), ..... sowie den
weiteren Komponenten Euv und AuvLöst man dieses nach den A,, und den Anfangswerten von A{f) auf,
Gleichungssystem was in sehr ein-
facher Weise möglich ist, so ist A(t) durch die Differentialgleichung einschließlich dieser Anfangswerte eindeutig bestimmt. Treten in E{f),
A(t) oder deren Differentialquotienten für t > 0 Sprünge auf, so gilt die Differentialgleichung zwischen E(t) und A(f) intervallweise, nämlich von Sprungstelle zu Sprungstelle, und zu Beginn jedes intervalls tritt eine neue Anfangsbedingung auf, die sich aus dem linearen
Gleichungssystem ergibt." Die "Bestimmung der Komponenten von x A aus denen
von
xg£ enthält
somit
werte A (+ 0), A(+0),...
als. Kernpunkt
. Diese Aufgabe
die
Ermittlung
muß
der
auf jeden
Anfangs-
Fall gelöst
1. Das lineare Übertragungssystem
werden, auch lediglich A(t)
Der
dann, wenn xg und x, gewöhnliche aus E(t) zu ermitteln ist.
Zusammenhang
zwischen
den
Funktionen
Komponenten
von
xg
sind,
also
x,
kann
und
sehr übersichtlich in Matrizenform geschrieben werden. Geht man von den verallgemeinerten Funktionen zu ihren Komponenten über, so wird also das Übertragungsglied nicht mehr durch einen Operator, sondern durch eine Matrix charakterisiert, die nun an die Stelle des Operators tritt und deshalb als Operatormatrix bezeichnet sei. Der Verknüpfung mehrerer Übertragungsglieder entspricht dann die Verknüpfung der zugehörigen Operatormatrizen. Dabei gehört zur Reihenschaltung der Übertragungsglieder, ganz analog wie bei den Operatoren, die Multi-
plikation der Operatormatrizen, während der Parallelschaltung. nicht wie bei den Operatoren die Addition, sondern eine kompliziertere Opera-
tion,
die
Verschiebungsaddition,
entspricht.
und seine mathematische Beschreibung
Otto Föllinger und Gerd Schneider
j0
Die in einem realen System, etwa einem technischen Gerät, vorkommenden zeitveränderlichen Größen kann man unterteilen in unabhängige, deren Werteverlauf in gewissem
Umfang frei gewählt werden kann, und in abhängige, deren Werteverlauf durch die unabhängigen Größen ein-
deutig festgelegt ist. Diese Größen werden für alle Zeiten t durch Funktionen der Zeit beschrieben, die durch einen Stern gekennzeichnet seien, um sie von anderen Zeitfunktionen zu unterscheiden, die die Systemgrößen nur für gewisse Zeitintervalle beschreiben. Die durch einen Stern gekennzeichneten Zeitfunktionen repräsentieren die System-
größen
hinsichtlich der mathematischen
Beschreibung voll-
ständig, so daß man zwischen ihnen und den Systemgrößen nicht zu unterscheiden braucht.
Definition 1.1
Wenn man zur Lösung einer bestimmten Aufgabe von einem System nur zu wissen braucht, wie einige seiner abhängigen Größen x{(t) , x%, (f), ... von einigen seiner unabhängigen Größen xf, (t), x% (f), --. beeinflußt wer-
den,
so
bezeichnet
man
das System
in diesem
Zusam-
Mrs
Ne
| überzugehen,
au
durch Kay
=
(t)
0
fürt >0 x,
voraus,
sie
seien
festgelegter Weise zeitlich veränderlich.
konstant
oder
in
in zahlreichen
Fällen,
z.B.
in den
gesamten regelungstechnischen Anwendungen, nicht für beliebige Zeiten t interessiert, sondern erst von einem gewissen Zeitpunkt ab von Interesse ist. Dieser Zeitpunkt kann durch Aufschalten oder Ändern einer Eingangsgröße
oder
meter
auch
des
gewöhnlich
Betrachtung,
durch
Verändern
Systems
mit t=0; d.h.,
von
gegeben
er
ihm
eines
sein.
ist der ab
oder
Man
mehrerer
bezeichnet
Anfangszeitpunkt
wünscht
man
den
Para-
ihn
der
Zusam-
menhang zwischen xz, (f),x&% (f) ,... und xi, (1), x%, (f),.-.
zu
kennen,
wogegen
der
Verlauf
dieser
La2..,
(2)
SO
25
1,
v-
’
(t)
(3) (4)
eg
den
verkürzten
Funktionen
xsı {f), xe2 (f), ...
und
xaı {f),
Funktionen
xeı {t),
XA2 (t), si:
Eine
Funktionalbeziehung, eine
die
den
weitere
Funktion
x, (t) zuordnet,
werde als eine Abbildung der Funktionen xeı (f), xe2 (f),. ..
Die mathematische Beschreibung eines Übertragungssystems besteht somit aus den Vorschriften, durch die man bei gegebenen Eingangsgrößen xf, (f) , xt, (f), ... die unbekannten Ausgangsgrößen x%, (f) , x%, {f), bestimmen kann. Es ist nun sehr wesentlich, daß das Verhalten eines
Übertragungssystems
(N)
(5) v=-12..., (ol), x, N=xf bezeichnen kann. Bei ihnen handelt es sich um Funktionen, die mit den Ein- und Ausgangsgrößen des Übertragungssystems für + >0 übereinstimmen, für = 0 von diesen aber ganz verschieden sein können. Die Beschreibung des Übertragungsverhaltens für den Betrachtungszeitraum t > 0 ist dann gegeben durch Funktionalbeziehungen zwischen
xe2 (f), ... eindeutig
Größen
9)
v=1,2,...,
mit Hilfe des Einheitssprunges
u"
abhängigen
un-
S
fürt>0 fürt =0
Definition 1.2
Dabei setzt man von den verbleibenden
(t)
0
menhang als ein Übertragungssystem mit den Eingangsgrößen xt) ,xtalt), ... und den Ausgangsgrößen x%, (f),
ul)...
fürt
x,
die man
_ auch
fürt>0’
Funktionen
vor
diesem Zeitpunkt nicht interessiert. Um keine unnötigen Werte mitschleppen zu müssen, ist es daher zweckmäßig,
bei der Beschreibung des Übertragungsverhaltens in dem allein interessierenden Beirachtungszeitraum t > 0 zu den verkürzten Funktionen
auf die Funktion XA (f)
=G
xı (t) bezeichnet:
[xsı (t), XE2 (f),
Bu
.]
Im Hinblick auf die anschauliche
.
"
Darstellung funktionaler
Zusammenhänge durch Strukturbilder sagt man auch, durch die definierte Abbildung sei ein Übertragungsglied mit den Eingangsgrößen xeı (f), xea {f), und der Ausgangsgröße xı (t) gegeben.
Zu einem Übertragungssystem mit m Ausgangsgrößen gehören somit mindestens m Abbildungen oder m Übertragungsglieder, die die mathematische Beschreibung des Systems darstellen. Wird ein Übertragungssystem mit m Ausgangsgrößen durch mehr als m Übertragungsglieder
beschrieben, so treten
im Falle von M
(M > m) Übertra-
gungsgliedern M-m innere Größen auf, durch die man einen Einblick in die Struktur des Übertragungssystems erhält, insbesondere, wenn man sich zur anschaulichen Darstellung einer solchen Beschreibung eines Strukturbildes !) Diese die durch
Bezeichnungsweise
Zuordnungsvorschrift eine
darf explizit
Differentialgleichung
nicht
so
verstanden
vorliegen; gegeben.
z.B.
werden,
ist x, (ft)
als oft
müsse implizit
bedient, wie risiert ist:
es
durch
die
folgende
Definition
charakte-
Definition 1.3
Gegeben
als
sei eine Menge
mathematische
von
Übertragungsgliedern
Beschreibung
eines
(etwa
Übertragungs-
systems), wobei vorausgesetzt werde, daß jede der vorkommenden Größen höchstens einmal als Ausgangsgröße in Erscheinung tritt. Das zur Menge der Übertragungs-
glieder gehörende Strukturbild ist die anschauliche Darstellung der Verknüpfungen, die zwischen den Übertragungsgliedern bestehen. In dieser Darstellung sind die Übertragungsglieder durch Blocks symbolisiert, die mit
einer Kennzeichnung der funktionalen Abhängigkeit versehen sind. Die Größen eines Übertragungsgliedes werden durch gerichtete Linien symbolisiert, die in den zugehörigen
Block hinein- bzw. aus ihm herausführen, je nachdem, ob die Größen Eingangs- bzw. Ausgangsgrößen des Übertragungsgliedes sind. Tritt dieselbe Größe in mehreren Übertragungsgliedern auf, so werden die zugehörigen gerichteten Linien zu einem gemeinsamen, gerichteten
Linienzug, der Wirkungslinie der Größe, verbunden. Man
bedient
schreibung
sich
des Strukturbildes,
des dynamischen
weil
es bei der
Be-
Verhaltens eines technischen
Aufstellung des Strukturbildes eine enge Beziehung zu der Geräteanordnung
des
Systems,
sprechung von Bauelementen schreibung
was
sich
in
einer
werden.
Für lineare Übertragungsglieder gelten zwei wichtige Sätze: Satz 1.1
Jedes lineare Übertragungsglied mit m Eingangsgrößen kann man sich aus m linearen Übertragungsgliedern mit einer Eingangsgröße mengesetzt denken.
Der Begriff durch die
der
und
Summierungsstelle
festgelegt
Definition 1.5
Unter einer Summierungsstelle (S-Stelle) versteht man ein. lineares Übertragungsglied mit m Eingangsgrößen xeı {f), . , XEm (f), für dessen Ausgangsgröße xy (t) gilt: xıl)=
txalt)E...Exmlf).
Die Linearität einer Summierungsstelle folgt dabei ohne weiteres aus Definition 1.4. Wenn man den funktionalen
zwischen
mehreren
Übertragungsgliedern
ff), ... , XEm (t)]
(6)
durch ein Strukturbild graphisch darstellt, so wird für die Summierungsstelle das in Bild 1.1] angegebene Symbol verwendet. Zum Beweis von Satz 1.1 sei ein lineares Übertragungsglied durch
und Wirkungslinien äußert, wodurch der Überdem realen System in die mathematische Be-
und umgekehrt
sehr erleichtert wird. Zweitens
seine
Blocks
in ihre
elementaren
Bestandteile
zer-
Bild 1.1. xılt)
Dabei ist es durchaus möglich, daß Übertragungsglieder auftreten, die nicht als Beschreibung eines realen Übertragungssystems aufgefaßt werden können, die aber dennoch bei der Untersuchung realer Systeme von Nutzen
=
Glxeı
gegeben. Auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsprinzips von Definition 1.4 ergibt sich hieraus Ss
= ).C0,...,0,x,0, 0,...,0), wobei
die Übertragungsglieder
xt)
= G,%.,f]l=
Definition 1.4
Bild 1.2.
XA (t) =
GIxsı
(t), sw
als linear bezeichnet,
wenn
A] Se Elke
fh
es
Rn
folgendes
gilt:
Wr aa
+ Re
Superpositionsprinzip:
G [xeı (f) + ver), .-. , XEm (f) + YEm f)] = G [xeı (f),..., Xem N] + Glyeı (f),..., Yem f)]. ein Übertragungssystem
schon bewiesenen Satzes 1.1 dargestellt. Satz 1.1 hat zur
Folge, daß eine Theorie der linearen Übertragungsglieder im wesentlichen als Theorie von Übertragungsgliedern mit einer einzigen Eingangsgröße aufgebaut werden kann.
5 XEm (t)]
G Tee
(8)
mit der einzigen Eingangsgröße x;,, (f) auf Grund der Linearität des Übertragungsgliedes (6) ebenfalls linear
sind. Der Inhalt des damit ist in Bild 1.2 anschaulich
Ein Übertragungsglied
6l0,..., Xu (lda..., 0],
“=|1...m,
sind. Beispielsweise kann dies dann vorkommen, wenn ein
Übertragungsglied, das ein reales Übertragungssystem beschreibt, in einfachere Glieder zerlegt wird, denen dann nicht sämtlich reale Teilsysteme zu entsprechen brauchen. In allen folgenden Aufsätzen wird vorausgesetzt, daß die betrachteten Übertragungsglieder die Eigenschaft der Linearität haben, die wie folgt definiert ist:
(7)
u=|
welche speziellen Systeme durch sie beschrieben werden,
Kann
ist hierbei
zusam-
Ent-
legt; das ist für die Berechnung von Einschwingvorgängen vorteilhaft. Bei den folgenden Untersuchungen von Übertragungsgliedern sind ausschließlich deren allgemeine Übertragungseigenschaften von Interesse, und es ist gleichgültig,
werde
einer Summierungsstelle "
und Blocks, von realen Ver-
ist die gegenseitige Beeinflussung der verschiedenen Übertragungsglieder im Strukturbild weit besser zu überblicken als im Gleichungssystem. Und drittens stimmt das Strukturbild mit dem Koppelplan des Analogrechners überein, wenn
man
genannt
Zusammenhang
Systems gegenüber dem System der Funktionalgleichungen mehrere Vorzüge aufweist. Erstens besteht bei geeigneter
bindungen gang von
glieder beschrieben werden, so soll es ein lineares Über-
tragungssystem
durch lineare Übertragungs-
Satz
1.2
Setzt sich ein Übertragungsglied aus endlich vielen linearen Übertragungsgliedern zusammen, so ist es ebenfalls linear. Beweis: Es sei ein Übertragungsglied von Funktionalgleichungen
durch
das
System
mit den Anfangswerten
xl)
= xaı (f),
x,
= 6, [Ka (f), X Mi; Ku (Mh nun %, Me
(9)
gegeben
val...n,
gegeben (Bild 1.3). Dies schließt die Voraussetzung ein, daß durch die Funktionalgleichungen (9) die Funktion xı (f) eindeutig bestimmt ist. Da die durch die Gleichungen (9) Xg1 XE2
(m—]
0 Kann
ul... Er
ist.
ein
Übertragungssystem
gungsglieder
so soll werden.
es
durch
rationale
Übertra-
Übertragungssystem
genannt
und Summierungsstellen
ein
rationales
|
an
Kl
beschrieben werden,
A viam "rk
m
MA
Bild 1.4.
Die
Linearität
der
rationalen
Übertragungsglieder
folgt
unmittelbar aus Definition 1.4. Im Strukturbild wird für ein rationales Übertragungsglied vorläufig das in Bild 1.4 an-
Bild 1.3.
gegebenen Übertragungsglieder
nach Voraussetzung
sind, folgt
exılt)
linear
= cxu ff),
ex,M=Glexuyl),.:..,c%n(M; ER) aus EM];
(10)
vy=]...n,
d.h., die Funktion cxı(t) löst zusammen mit den Funktionen cxa,lt), ?=2...n, das Gleichungssystem (9) für die Eingangsfunktionen cx;,(t), #=1... m. Da die Lösung eindeutig ist, ist damit nachgewiesen, daß die erste Bedingung von Definition 1.4 erfüllt ist. Entsprechend ergibt
sich aus den Gleichungen (9) zusammen mit YA (t)
=
yMN
Yıv (t)
=
G, lysı
+ YEm (t);
ya Hl,
m
G, [X;ı (t) + Ypı (t) rare
v’—=1.::h,;
gilt, d.h., die
Funktion
Agm ()+
(12)
YEm (t);
Yan
die durch
rationalen
?»=2...n,
mit
das Glei-
die folgende
Definition
gekenn-
Übertragungsglieder.
einem
rationalen
Übertragungsglied
(R-Glied)
ver-
‚steht man ein lineares Übertragungsglied mit einer einzigen Eingangsgröße xe(t), dessen Ausgangsgröße x; {f)
bei n-mal stetig differenzierbaren!) Eingangsfunktionen xe {f)
für alle t durch die Lösung der Differentialgleichung (m)
AmXA
+...
.
+
QaIXA ®
+
3.xt)
=0
(n)
,
!) Unter einer O-mal stetig differenzierbaren stetige Funktion verstanden werden.
fürtsO, (m—1)
iv)
>
n
a,xi * _=
(vr)
2b,x
Am;
Pn#0,
t>d.
vr=0
v-=0
Die Voraussetzungen
]
und
3 besagen,
daß
das
System
m+0, Funktion
xA(t) = xi (t). Hieraus
+0 soll
hierbei
folgt
wegen
Voraussetzung
5,
daß die Funktionen xe(t) und xA(f) die Differentialgleichung in Definition 1.6 erfüllen. Schließlich ist I»
v=0,1,...,m-
setzung 3 sämtlich
1], und
iv)
iv)
xı (+0) = xi(+0) = xi(-0) diese Werte sind wegen
für
Voraus-
Null, so daß xı (ft) die Anfangsbedin-
gung in Definition 1.6 erfüllt. Ein Übertragungssystem, das die Voraussetzungen ] bis 5 erfüllt, werde als ein bis zum
Zeitpunkt
t=0
in Ruhe
befindliches
rationales
Übertra-
gungssystem bezeichnet. Sein Übertragungsverhalten wird für t>0- ja sogar für alle t — durch ein rationales Übertragungsglied beschrieben.
Wenn
mindestens
t n
bestimmte
Vermutung,
wie
im
allgemeinen
Fall
der
Übergang zur vollständigen Beschreibung vorzunehmen ist. Diese Vermutung werde sogleich als ein Satz formuliert. das
Übertragungsverhalten
eines
Systems
im
Zeit-
raum t >0 für n-mal stetig differenzierbare zulässige Eingangsfunktionen durch die Abbildung (m) AmXa
+...
+ aıxa
(m-1)
ad
eeseirurt
bare Funktion
+
x
=
boxe
+
bixe
+...
feiner
+
men
gegeben
durch
das
(42)
Gleichungssystem
'
(43)
ye= [| xedr.°)
+
, aıya
+ ya
= boye
+
j bıye
+...
+
Hilfssatz
ye(t).
Wegen
zur Folge, daß
ist. Man
kann
leicht zeigen, daß
dann
auch
2.1
Fiii= Diese
Eir)dr.
Funktion
(44)
f(t) kann
durch
ft) = Fit-0)
(45)
[ade = v
(m +])
eindeutig
eine
zu-
lässige Ausgangsfunktion zu, so daß sie gemäß Postulat2 und Satz 2.4 die Erweiterung der Beschreibung (42) darstellt.
bedeutet:
Man
integriere
die
gegebene
Eingangs-
funktion xg zunächst (m + 1)-mal zwischen den Grenzen 0 und f, wodurch man eine mindestens m-mal stetig differenzierbare Funktion ye erhält; wegen m >n ist ye dann auch mindestens n-mal stetig differenzierbar. Dieses ye wähle man als Eingangsfunktion zur ursprünglichen Differentialgleichung (42) und bestimme deren Lösung yı für
verschwindende Anfangswerte. Die gesuchte Ausgangsfunktion xy erhält man schließlich als diejenige Funktion, 5) Hier und im folgenden wird (m + 1)-fache Integration zwischen
t. FR(t)= [Fir-O)de. Ö Sind
ı h
Insbesondere
Am wichtigsten Zusammenhang
erhält so das Resultat
59t-1,)0o (t-t0) =
2 fh,
ist o(to-t#,) = 1 und
so daß
a
x(alt-t0)=XMolt-t)+
= o(t-t,).
o(t-1,)-0(fo-t,)
stellung von x (t), so gilt
folgt.
Damit
folgt aus (10) die Gleichung
Funktion
(k)
f(t-0)=X(t-0)
x) alt-t0] = x (ft) o(t-t0) + X (to-0) 0’ (t-t0). Man
ist
abgesehen,
(11)
sieht, daß diese Differentiationsregel ganz analog der
Produktregel
der gewöhnlichen
Differentiation gebaut ist.
Wendet man die Formel (11) nochmals an, so erhält man [x (t) o (t-t0)]” = [x (f) o (to) =x”(t)o(t-to)
+ X (to—0) 0” (t-to) =
+ Xı (to-0) 0’ (t-to)
+ X (to-0) 0” (t-to),
(12) 29
WW
wobei Xı (t) der zulässige Bestandteil in k-1
=
+I N X," "(t-t,) u
(13)
v=0
)
X, =X(u +0)-X (rn -0) die Sprunghöhe des v-ten Differentialquotienten, die auch Null sein darf, so gilt (n)
x) =X-0) +22
ist. Um ihn zu bestimmen, geht man von der Darstellung X (t) = {X (t); 1} aus. Bezeichnet man die Sprungstellen
von mit
(0)
X(f) mit z,, die Sprunghöhen
(0)
X,
und
subtrahiert
IX, o(lt-n), x
so
X(t)
die
erhält man
eine
überall
Rest-
ist (0)
X
t)= Xslt; 1} + 2X, ölt-n).
Wie
bereits
Sa, [url
A
von
X (ft) ab, so ist
X(t) = Xs(t), und daher gilt an allen Stellen t X (t-0) = Xs (t-0), so daß
xt) = X(t-0) + SX,ölt-n). zulässige
Bestandteil
in x’(t)
v0 Nach Satz 4.2 gilt
ist also
X (t-0).
Damit
v0
+
worin
#1)
A
(-0)0’(t-t0)
A(t) die zulässige
+...
Funktion
+ A (to-0)oW
’
In dieser Weise fortfahrend, erhält man den
vl
(t)- A (to-0) 0’ (t-t0)-...-Alto—0) ob (t to).
Eine ganz entsprechende Formel gilt auch für xe®) (t)o (t-to).
Setzt man diese Ausdrücke in (19) ein, so erhält man
Satz 4.2
(Differentiationsregel für die verkürzte Funktion): Es ist [x (t) o (t-t0)]9 = x
(ft) o (to)
Ss a, m
+ X (to-0) 0’ (t-t0) +...+ X (to-0) ol (t-#0),
(15)
wobei X (t) die zulässige Funktion in der vektoriellen Darstellung der verallgemeinerten Funktion x (t) ist. Nebenbei hat sich beim Beweis dieses Satzes eine weitere
Regel für das Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen ergeben. Setzt man nämlich (14) in (13) ein, so erhält man die Differentiationsregel für die vektorielle Darstellung der
verallgemeinerten
Funktion,
auf die n-te Ableitung chen sei.
in dem
die
samt
folgenden
X)
(t)
_
v=|
+
(n-1)
ihrer
Satz
Erweiterung ausgespro-
r—1
-Za, [Alb-0)0’ (t-t0) +... + Alto-0) ob) (F-10)] = v=-0
= 3 b,xeb) (f) -
(20)
v=(0
n
(v-1)
-Db,[Elto-0)0’(t-t0) +... + E(to-0) ob) (t-to)], v=|
wobei
E (t) die zulässige
stellung von xe {f) ist. Die zweite ist gleich
Summe
auf
Funktion der
in der vektoriellen
linken Seite dieser
Dar-
Gleichung
aıA (to—0) 0’ (t-to)
+ 2A (to-0) 0’ (t-to) + a2A (to-0) 0” (t- to)
Satz 4.3
(Differentiationsregel für die verallgemeinerte Funktion in vektorieller Darstellung): k-1
(v)
Itxt)=Xth)\ +33 0 X, 6 (t-t,)! und sind r, die Sprung-
0
stellen von X{t),
X, =X(n
so ist .
(0)
=XLt-0) +IXöt-D) A
+0)-X (rt, -0) die Sprungk-1
HIN
X,,D(t-t,).
(16)
u v»=0
Sind allgemeiner r, die Stellen, an denen mindestens einer n-]
schließlich 30
(t-to),
in der vektoriellen Dar-
= XP
der
(18)
olt-t)] = 2 b, [ee lt) o(t-t)]. (19)
[x (f) o (t-t0)]” =
"N
nun-
zwischen x: (f) und x (f)
x” (t) a (t-10) + X (to-0) 0’ (t-t0) + X (to-0) 0” (to).
höhen,
werden
alt=xrl)elt-t)
stellung von x; (t) ist. Infolgedessen ist x (t)o(t-to) =
folgt aus (12)
wurde,
zb) = Ira (t) olt-toj]e) = xar) (6 (t-40) +
(14)
A
Der
bemerkt
Um den Funktionalzusammenhäng
X = (&slt-0), 0) + 2%, ölt=n). Ausnahmestellen
in Abschnitt 4.1
zu erkennen, drückt man in der Differentialgleichung (4) die Funktionen xe(t) und xA (f) durch Xe(t) und X (f) aus. Hierzu wendet man auf (4) die Operation der Verkürzung an. Nach Satz 4.] entsteht dann die Gleichung
und somit
den
(17)
Die Funktionalbeziehung zwischen der verkürzten Eingangs- und Ausgangsfunktion eines rationalen Übertragungsgliedes
xl)=xelf)o(t-to),
(T-O)dr=Xslt),
Sieht man von
(t-4,).
4.3
eingeführt.
Da Xs (t) stetig ist, gilt nach Hilfssatz 2.1 die Beziehung
(%
X,
u v=0
mehr bei einem beliebigen rationalen Übertragungsglied an Stelle der Funktionen xe (f) und xı ({f) die bis zur Stelle to verkürzten Funktionen
ä
also
XKönlt-n)+
v=0
+22
Treppenfunktion stetige
(n-1-»}
k-1
X (r, +0)-X (, -0)
von
funktion Xs (t). Damit
A
n-1
ersten
X (t)
Differentialquotienten
selbst)
einen
Sprung
von
aufweist,
X(t)
und
(ein-
ist
tm)
(m-2)
+ amA (to-0) 0’ (t-t0) + amA (to-0)0” (t-%) +... + mA
.
(to -0) om) (to)
=
(m-1)
= [014 (0-0) + mA (to-0) +... + amA (t0-0)] 0’ (t- to) (m -2)
+ [0A (to-0) +... + @amA (t0-0)] 0” (to) + mA (to0) om (to). Da Entsprechendes auch für die zweite Summe auf der rechten Seite von (20) gilt, kann man (20) in der folgenden Form schreiben:
/()
SERTONESSIRALIOEN
v=0
m
v=0
O-
(m-»v)
+3
[a,A(to-0) +... + amA (to-0)] oW) (10) -—
v-]
n
(n-»)
-S[b, Elto-0) +... + baE (to-O)]ow(t-t0).
(21)
R
u(t)
v=]
Dieses Resultat sei in einem Satz formuliert.
a C
Satz 4.4
Y
Liegt ein beliebiges rationales Übertragungsglied vor, das durch die Differentialgleichung m
n
Zaxır=N%b,xer, v=0
a,,b, konstant,
Bild 4.1
am, bn #0,
v=(
beschrieben wird, wobei xe(f) und xı (f) verallgemeinerte Funktionen sind, so ist der Zusammenhang zwischen den bis auf die Stelle t9 > 0 verkürzten xlt)=xello(t-t),
Funktionen
>> ax
v=0
x; (-0)
(22)
m
+... +
{m-»)
mA
(to-0)] a
der
Eingangs-
bzw.
Ausgangs-
bringt. s (ft) sei als Speicherfunktion
einzelnen
Werte
x?(-0),...
n-1
, 2-0)
bzw.
x? (-0),....
,
(m-1)
werten, die durch xe(+0)=x?(+0),... und x (+0) = xı (+0), ... gegeben sind. Nur dann, wenn x? (f) und x7 (f) in t= 0 genügend oft stetig differenzierbar sind, fallen
(t- to) —
v=]
(n-v)
-0 t-t0), )]om() bnE (to-O +... + (o -Z[b,E N
als Speicherwerte
zur Auswirkung
x% |-0) als Speicherwerte der Eingangs- bzw. Ausgangsgröße. Sie sind wohl zu unterscheiden von den Anfangs-
v=0
Dabei ist
s(t) = 3 [a,Alto-0)
(m-1)
des Übertragungssystems mit Vorgeschichte bezeichnet, die
+ s{t)
= Zbxer
sich im Zeitraum #0
Alt)=xalt)o(t-to)
durch die Funktionalbeziehung
gegeben.
O-
v=]
wobei E(t) bzw. A(f) die zulässige Funktion toriellen Darstellung von xe (f) bzw. xı (t) ist.
(23)
in der vek-
Speicher-
Funktionen
und
und
Anfangswerte
zusammen.
ihre Differentialgquotienten
Weisen
diese
aber Sprünge
bei t = 0 auf, welcher Fall hier gerade interessiert, so sind Speicherwerte und Anfangswerte verschieden. Als Beispiel werde das in Bild 4.1 dargestellte RC-Netzwerk betrachtet, bei dem sich der Strom i(t) in Abhängig-
Beschreibt das hier betrachtete rationale Übertragungsglied . keit von der vorgegebenen Spannung u(f) ändert. Zum insbesondere ein reales Übertragungssystem, so sind xe (f) Zeitpunktt = 0, in welchem der Kondensator nicht geladen und xı (t) zulässige
Funktionen,
m)
I»)
und
es ist dann
sei, werde
E (to—-0) = xe(to-0) = xt (to-0), 9)
A(to—0)
iv)
iv)
, um Bit
= xı(to-0) = x (to-0).
Führt man nunmehr in den Gleichungen (22) und (23) to als
neuen ÄAnfangszeitpunkt ein und bezeichnet die Funktionen, in die x: (f) und X, (f) dabei übergehen, mit xe (f) und xı {f), so erhält man die Funktionalgleichung m
Sax) = Ebremft+sl),
v=0
v0
m>n,
am, bn+0,
(24 a)
mit
st=
m
[2 a,A-9)+...+
m
wobei
(24 b)
die Koeffizienten
sind.
b, mit » > n Null zu setzen
an
der
weiterhin
(25)
Das Verhalten des Netzwerks interessiert aber erst von einem Zeitpunkt to > 0 ab, so daß man zu den Funktionen
ult)=ulf)olt-to) , i(f) = ilt)o(t-to) übergeht.
Das
Integral
in (25) stellt die Ladung
zur Zeit t auf dem
Kondensator to
Qt) = fide= 0
..— bunxt (-0)] or) (1) = SA, om (t), v=]
aufgeschaltet,
1% lid.
t
Im-v)
mi -0)-b,xf(-0)-...
v=]
(m-»)
die Spannung
beliebige sprungartige Änderungen vorgenommen werden dürfen. Dann gilt die Gleichung
r)
Kondensator
Für Q@ (t) kann man
dar, die sich
t
fidr + fidr. 0 ir
Das erste dieser beiden
auf dem
Qt)
befindet. Für t > to ist
Integrale ist die zum
befindliche Ladung
dann im Zeitraum t > to
Zeitpunkt to
@b = Q (to—0).
t
Man
darf annehmen, daß durch die Gleichungen (24) das
Übertragungssystem mit Vorgeschichte für beliebige zulässige Eingangsfunktionen xe (t) beschrieben wird, und im folgenden Abschnitt wird gezeigt werden, daß dies in der Tat der Fall ist. Zuvor seien aber noch einige Bezeichnun-
gen eingeführt, sowie die Herleitung der Gleichungen (24)
an einem einfachen Beispiel veranschaulicht. Die Funktion s (t) gemäß (24 b) repräsentiert das Gedächtnis des Übertragungsgliedes, das gewisse Daten aus der
alt) = Qlto-0) + fidr t 0 schreiben. Damit geht (25) in die Gleichung Q (to —0
1: +7 Sid 'o über. Multipliziert man diese mit o (t-to), so gehen sämtliche Funktionen in die zugehörigen verkürzten Funktionen über und man erhält u=Ri+ en el
31
t ji) dr. 'o Diese Gleichung beschreibt das Verhalten des Netzwerkes
ut) = Rilt) + Qtbo-0) = 9 o(t-to) +
im Betrachtungszeitraum t> to, wobei aus der Vorgeschichte des Systems der Term Q (to—0) eingeht. Um zur Differentialgleichung überzugehen, hat man den erweiterten Differentiationsbegriff zu verwenden, da die
auftretenden Funktionen im allgemeinen _ weisen. Man erhält so die Gleichung v(t) = Ri’ (f) ae, oder wegen
(t to)
Sprünge
auf-
Q (to-0) = Cu (to-0)-RCi(to—0):
Nullpunkt i(to—0)
=
man
der
nun
nachträglich
Zeitachse
* (to—0),
machen
u (to-0)
= u* (to
die
und
Stelle
so
zum
wegen
0):
Diese Gleichung, die hier aus den physikalischen Verhältnissen des speziellen Systems abgeleitet wurde, ergibt sich
natürlich sofort aus den Gleichungen (24), wenn man von der aus (25) folgenden Differentialgleichung RCi’ + i = Cu’ ausgeht.
Nunmehr soll bewiesen werden, daß die Gleichungen (24)
tatsächlich das Übertragungssystem mit Vorgeschichte nach Definition 4.1 beschreiben, und zwar für beliebige zulässige Eingangsfunktionen. Der Gedankengang hierzu ist folgender: Man bildet aus der Eingangsgröße xe (t) und den Daten aus der Vergangenheit des Systems den Vektor
r= bel); 2-0),
..., 82-0);
(m-1)
xi(-0),..., x (-0)]
wie
über, nerte diese kurz
Funktion X: (t) und (24a) geht in die a0Xı
=
Xe (t)
die nach Satz 3.3 eindeutig durch eine verallgemeiFunktion xı (t) lösbar ist. Es ist leicht zu sehen, daß sogar zulässig ist. Die so erklärte Abbildung werde durch
symbolisiert. Ist r insbesondere n-mal stetig differenzierbar,
d.h., hat xg (ft) diese Eigenschaft für + > O und erfüllt überdies (3), so läßt sich zeigen, daß die Abbildung xı = Fr in die durch (1) und (2) definierte Abbildung übergeht, also
eine Erweiterung derselben auf den Bereich aller Vektoren x darstellt. Diese Erweiterung ist stetig, d. h., zwei Bild-
beliebig wenig
voneinander ab,
wenn nur der Unterschied der zugehörigen Vektoren r genügend klein ist. Da nun leicht einzusehen ist, daß es nur eine einzige stetige Erweiterung der durch (1) und (2) definierten Abbildung auf den Bereich aller Vektoren x gibt, hat man in (24) diese stetige Erweiterung gefunden. Weil die durch das reale Übertragungssystem bewirkte
Abbildung
gewiß
stetig
sein
muß,
beschreibt
also
(24)
zwangsläufig das Verhalten aller realen Systeme, für die im Spezialfall n-mal stetig differenzierbarer Vektoren die
Gleichungen (1), (2) gelten, also das Verhalten aller Über-
tragungssysteme mit Vorgeschichte im Sinne der Definition 4.1. Im folgenden Abschnitt wird das hier umrissene Programm im einzelnen ausgeführt.
32
+
‚
(26)
(27)
oz = Aıo +...
o (ft). Somit
sie
in
Gestalt
der
+ Am om)
auffassen,
und
zwar
mit
ist xa(t)=y(f)+z{f)
Speicherfunktion
s(t)
der
eine
auftreten,
wöhnliche Funktionen entspricht.
vorauser dem für ge-
Hilfssatz 4.1
Ist x (f) irgendeine
verallgemeinerte
Funktion, so gilt
x(t)*o(l)=x{t).
(28)
Ist nämlich x {t) = {f{t) ;k}, also nach Definition 3.2
xt)rot)=
{HN *ol);
so
ist
k+1}=
=; K= xl.
x’ (t) = {f(t);k +1},
ffl)dr;
(24b) in (24a) ein, so erhält man
Da,
(t)=Nb,xen(t) +
v0
v0
v=|
k+1}= die Gleichung
A, or) (f)
(29)
{m-»)
A,=a,xil-0)+...+
am (-0)-b,xt(-0)-... (m-»)
...— bmx: (0), wobei zu beachten ist, daß b, = 0 für » > n. Wendet man nun auf (29) (m + 1)-mal nacheinander die Faltung mit o {f) an und berücksichtigt,
= Fe
funktionen xı (f) weichen
+ bnxe")
gänzlich vermeidet. Hierzu wird ein Hilfssatz geschickt, der auch an sich von Interesse ist, da Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
mit
+
+...
zulässige Funktion. Nunmehr werde die Abbildung xa = Fr auf eine Form gebracht, welche die Verwendung nicht zulässiger Funktionen,
Differentialgleichung +...
+...
Differentialgleichungen
Setzt man
AmXaT)
boxe
y(t) nach Satz 3.3 ebenfalls eine zulässige Funktion dar. Dasselbe gilt auch für z (t), denn (27) kann man in der Form
und faßt (24) als eine Abbildung auf, die jedem solchem Vektor eindeutig eine Funktion xı (t) zuordnet. Setzt man nämlich x in die rechte Seite von (24a) ein, so wird diese eine verallgemeinerte
=
aufspaltet, diese nach y und z auflöst und die beiden Lösungen addiert. Da xe(f) zulässig und m > .n ist, stellt :
Eingangsfunktion
RCi’(t) + i{f) = Cu’ (f) + [RCi* (-0)- Cu*(-0)] 0 (#).
(n-1)
+...+0y
AmzM) +...+002=sit)
den
t =to
erhält
amyIm)
schreiben, wo die A, feste Zahlen sind, kann (27) also als eine Differentialgleichung vom Typ der in Satz 3.3 vorkommen-
Cu’ (t) + [RCi (to —0) - Cu (to—0)] 0’ (t- to). kann
x; (f)
dadurch erhalten, daß man (24a) in die beiden Gleichungen
Amz
+ ei)
RC’ (f) + il) =
Hierin
4.4 Eigenschaften der Abbildung xı = Fr Man kann die zum Vektor r gehörige Bildfunktion
daß für eine zulässige
Funktion
die
Faltung mit o (t) die Integration von O bis + bedeutet, so
wird
beispielsweise
wegen
aus
(28) zunächst
xe(f)
xe"(f) und
nach
dann
!
»-maliger
ff
ö
xe(r)dr.
Faltung
Es ent-
(m+1-»)
steht so die Gleichung t
Am | XA dr+...+ 0
+A
ft
t
(m +1)
Bezeichnet man dieses Polynom
fredr = yelt), [ade = yalt), 0 (m+1) met) so kann man für (30) auch schreiben + aoya {m-1)
= boye
yı()=...=yı(0)=0.
(30)
mit P (t) und setzt
r
+...
(m+1-n)
ot)
zT
t
bn fxe dr 0
(m +1)
"Hanf
(m) Amya
t
aofxa dr = bofxe dr+...+ ö d
{n) +... + bnye+
(31)
Plt)o(t),
(32)
Die Gleichungen (31) und (32) sind äquivalent zu den Gleichungen (24) und stellen daher eine zweite Form dar, in
der die Abbildung xa = Fr geschrieben werden kann, Sie ist geeignet nachzuweisen, daß diese Abbildung
für
n-mal stetig differenzierbare Vektoren r in die durch (1), (2) definierte Abbildung übergeht. Ist xe(f) für t>0 n-mal differenzierbar,
so
ist
ye(t)
(m + n +
1)-mal
damit die Lösung ya (f) von (32) (2m + 1)-mal stetig differenzierbar. Somit kann man die Differentialgleichung (32) noch (m + T)-mal differenzieren, wobei wegen (31)
(m +1)
Xg0 (+0)
und
X
x.(1) P xo(-0)
(m +1)
yalt)=xılt) und yelt)=xeflt) ist. Mit b=0 für v>n kann man die Differentialgleichung (32) für t>0 auch in der Form (m) AmYA
+...
+
aoya
FA An Feet
=
boye
+
...
+
(m) bmyEe
+
- Bild 4.2
Ana Am-1o7+ mt Am;
Differenziert man sie einmal und läßt dann t— + 0 gehen,
so erhält man
AmXa (+ 0) = bmxe (+ 0) + Am =
gilt, also die weiteren Komponenten von r in der n-Umgebung der weiteren Komponenten von xo liegen. Der n-Streifen um xeo (f) ist dabei nach Bild 4.2 definiert?) und, völlig entsprechend, der e-Streifen um xao (t). Um
bmxe (+ 0) + amxi (- 0) — bmxt (-0),
wegen
0
(33)
schreiben.
woraus
Kt)
nun die Stetigkeit der Abbildung xa = Fr zu beweisen,
zerlegt man sie nach (26) und (27) in zwei Teilabbildungen,
x: (+ 0) = xt (-0)
xı (+0) = xi(-0)
(34)
folgt. Differenziert man nun (33) für t>0 läßt dann t— +0 streben, so ergibt sich
zweimal
und
deren
In
dieser
Weise
xe(+ 0) = xE (-0)
fortfahrend,
gelangt
man
nach
m-maliger Differentiation von (33) für t > 0 zu der Gleichung (m-1)
xa(l+0)
(m-1)
= xx (-0).
Die (m + 1)-malige Differentiation von (33) für # > 0 liefert
schließlich die Differentialgleichung (m)
AmXa
+...
+ GoXa
differenzierbaren
+ bmXeE.
x in der
zu dem
Tat
durch
r=
ro = [xeo (f) ; x5, -0) ,...,xi, (-0)]
[x (f) ;xt(-0),...,xx (-0)]
zwei
xao (t) und xA(f) ihre Bildfunktionen.
beliebige
Dann
Vektoren,
heißt die AbTr
in dem e-Steifen um xao(t) liegt, sofern nur xe(t) für 0n. Damit folgt aus (26) m
m
v0
v=0
Zn a,p alt)=
42
Zb,prxuel)+
ia)
m
3 mS,prolt).
v=]
durch
Az)
Satz 4.5
Am
=,
1
v=]|
S=—=-—[arl-0)+...+
die-
bı =C sowie x,*(-0) = i* (-0) und x#(-0) = u* (-0). Man erhält daher in diesem speziellen Fall aus Bild 5.5 das in
(26)
Speicherfunktion
1
b, 1 +..+—a —get+S,0+S,.,1
v=(0
schreibt
a,
des Systems
durch das Bild 5.4
veranschaulicht, welches also lediglich das in die Operatorschreibweise übersetzte Bild 4.3 ist. Man kann aber das Übertragungssystem auch in anderer Weise im Strukturbild
den
jenigen Werte dar, die man auf die Ausgänge der einzelnen Integratoren zu schalten hat, um die Vorgeschichte
Bild 5.4
Diese drei Operatorgleichungen
a,
Sie
Am | ya)
auf diese Gleichung
hervorgeht, daß man hinter jedem Integrierglied eine Summierungsstelle einfügt, in welche die Funktion S, o {f) eingespeist wird. Bild 5.5 zeigt, wie das rationale Übertragungssystem mit Vorgeschichte, insbesondere also die Speicherfunktion, durch eine Analogrechenschaltung realisiert werden kann. Hieraus wird die reale Bedeutung der Koeffizienten A, = amS, der Speicherfunktion ersichtlich:
ot),
xy S(p)
man
an, so ergibt sich
mit Vorgeschichte
betrachtet. Die Gleichungen von Satz 4.6, die sein Verhalten charakterisieren, können jetzt als Operatorgleichungen geschrieben werden. Ist
A(p)=
Wendet
Bild 5.6
6. Die Lösung von Differentialgleichungen Benutzung der Operatorenrechnung
unter ausschließlicher
Gerd Schneider Im vorangehenden Aufsatz wurden die in Tabelle 5.1 zusammengestellten Rechenregeln für Operatorgleichungen verwendet, um gewisse Umformungen im Strukturbild —
wie
z.B.
die
Zerlegung
eines
R-Gliedes
in elementare
Glieder — durchzuführen. Das Ergebnis hiervon war ein besserer Einblick in den vorliegenden Wirkungszusammen-
hang, wodurch unter anderem die Nachbildung dieses Wirkungszusammenhangs auf dem Analogrechner ermöglicht wurde; ein Weg zur expliziten Darstellung der Ausgangsgröße in Abhängigkeit von der Eingangsgröße war jedoch damit nicht gegeben. Ohne daß weitergehende
mathematische
Hilfsmittel
—
wie
z. B.
die
Theorie
der
Laplace-Transformation — Verwendung finden, ist es jedoch unter alleiniger Verwendung der in Tabelle 5.1] angegebenen Regeln möglich, auch diese Aufgabe zu lösen,
d.h., die Lösung einer Differentialgleichung Amka) Am
+...+
+ 0,
bn
explizit anzugeben. zeigt werden.
N)
Dies soll im vorliegenden
Die Lösung der Differentialgleichung 1. Schritt:
beliebig
Zurückführung gegebener
tialgleichung
der
Lösung
Eingangsfunktion
(1) für die
spezielle
der
Aufsatz
Differentialgleichung
x; (ft) auf
die
Lösung
der
in
(1)
bei
Differen-
Eingangsfunktion ö {t).
Hierzu wird die Differentialgleichung (1) durch die Opera-
torgleichung xl
bo + bıp +... + bnp?
xe(t) =
= G (pl
ao+
ap-Tr...+
Amp”
q
—k
ka
für n>
0
Qi) =
(2) (3)
Damit erhält man gemäß der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen (Tabelle 5.1) aus den Gleichungen (2) und (3):
Definition
6.1
Unter der Gewichtsfunktion
xılt) = G(p)xe(f)
sei
standen:
(4)
g (f) zur Differentialgleichung
ihre
Lösung
für
xe(f) = ölt)
ver-
st)=C(plöh.
(5)
Somit ergibt sich auf Grund der Gleichung (4) die Lösung der Differentialgleichung (1) für eine gegebene Eingangsfunktion xe (f), indem man letztere mit der zugehörigen
Gewichtsfunktion g {t) faltet:
aN=gl)*xel). 2. Schritt:
Zurückführung
Differentialgleichung
der
(6) Bestimmung
(1) auf die
der
Bestimmung
Gewichtsfunktion spezieller
einem
|
Gewichts-
bekannten Satz [1] kann die rationale Funk-
G(s) =
ao
+
bns”
aıs-+t...+ Ams”
n-m;
für :
fürnm i=0 Bildet man nun den Operator
zur
funktionen.
Nach
m.
i=1
n-m
ersetzt. Nach Satz 3.2, Regel 11 bzw. 19, gilt
xl) = Glp)[ölt) * xelt)] = [G(p)ölt] * xeli).
m vom
Ir;=
Durch Gleichung (11) wird offenbar die Bestimmung der allgemeinen Gewichtsfunktion g (t) auf die Bestimmung der
xe (ft)
xelt) = xelt)*ölt) = ölt)*xelt).
füralles,
(ST ai]*
Das Polynom ist hierbei n
n.
3. Schritt: Bestimmung der speziellen Gewichtsfunktionen
Zur
Ermittlung
von
g(f)
(k = 1,2,...)
der Fall k = 1 betrachtet
(12) und (13)
werde
zunächst
=.1
16)
Die zugehörige Differentialgleichung lautet: g’-agı
=Ö.
(17)
=etoh)
ist, verifiziert man sofort durch Anwendung
Satz 4.3, Gleichung (16). Es soll nun durch vollständige
Induktion
daß g« (f) durch
9 =
ü
dargestellt chung (18)
N = enteo,
gezeigt
118)
von
werden,
kl...
|
(19)
werden kann, was für k=]1 gemäß Gleigewiß der Fall ist. Angenommen, die Bezie-
tung des Satzes 3.2 und der Tabelle 5.1:
=
rd,
120)
-— a].
(21)
=
ml),
(22)
=
[ga
(3
-— sm],
=
m),
=
[e “tg (t)] * en
= ame o = En
(24)
15) ertg (t)
‚
erert-Ndr|olt),
- ertc(f),
(26) (27) (28)
_ — etc). auch
Gleichungen
n-m
gt) =-2 q N
(9), (11), (19) und q
‚HU (t) + co
T
z
Cik 2 Roy
wir
3
m
;1
cia
für k= m + 1. Damit
pn
X,
sammenfassend der folgende Satz, wenn man bei der Bildung des Produktes g (t)* xe(t) die Regel 19 von Satz 3.2
Satz 6.1:
Die Lösung der Differentialgleichung AmXka)
+... + aoxa = boxe +... + bnxe,
ned,
bed
(32)
ist darstellbar in der Form
slt)=glt)*xelt), (33) wo gt) die zur Differentialgleichung gehörige Gewichtsfunktion bedeutet. Lautet die Partialbruchzerlegung des zugehörigen
Operators n-m
.
Gp)=Scpi+ i=0
so
ist
die
durch
n-m
gegeben.
q
fr
3
37:
7
vektorielle
n=Zemm+|z °
Iri=m,?
PT
Darstellung q
q
Cik
der
heit
(34)
Gewichtsfunktion
Serie" [a i
z
en } (35)
fi
:
2 KENT
tkle
af
| | off)
(36)
für den zulässigen Bestandteil der Gewichtsfunktion lautet damit
die
explizite
Darstellung
der
Lösung:
Alt) = 2j=0 cell (t) + [golt) *xe(f] -2) Im
Strukturbild
entspricht
der
Partialbruchzerlegung
2) Hierbei entfällt die erste Summe für m > n.
Co c4
p-04 C21
44
!
Mit der Abkürzung
golf) = | 2
0-Q2
Bild 6.1
ot) , 2) (31)
cp
.
-1 08 Meet
tri=m
Comp”
n-m
(30):
ie1 Über die Lösung der Differentialgleichung (1) gilt also zu-
(29)
Gleichung (19) besteht somit ist sie für alle k bewiesen.
(30)
beachtet:
hung (19) sei für k= m als richtig nachgewiesen. Dann folgt aus den Gleichungen (12), (18) und (19) unter Beach-
In
hit) = piölt) = SUR).
Für die allgemeine Gewichtsfunktion g (t) erhält man damit
aus den
Daß die Lösung dieser Differentialgleichung durch _ gegeben
Die Bestimmung von h;{f) (j=1,2,...) besteht offenbar darin, daß man die der Operatorgleichung (13) entsprechende Differentialgleichung anschreibt:
Cm1 P-Am
u
(37) von
G (p), auf der letztlich das ganze Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Operatorenrechnung beruht, die Zerlegung eines rationalen Übertragungsgliedes in die Parallelschaltung einfacherer Übertragungsglieder, wie dies für den Fall, daß das Nennerpolynom von G(s) keine mehrfachen Nullstellen hat, in
Bild 6.1 angegeben wurde. Satz 6.1 soll nun noch für den wichtigen Fall ausgesprochen
werden, daß durch die Differentialgleichung (32) das Verhalten eines rationalen Übertragungssystems wiedergegeben wird. Satz 6.2:
Wird
das
Übertragungsverhalten
durch die Abbildung
eines Systems
= Giplxehl, Gip)= HOP FH
für t>0
mMt+0,mn#+0,m2n
(38) der zu-
gt)=gol)+coölt) mtco=0 fürm>n, (39) wobei der zulässige Anteil go (ft) nur bei t= 0 eine Aus-
nahmestelle hat. Für zulässige Eingangsfunktionen xg erhält man also eine explizite Darstellung der Abbildung (38)
durch
XA (t) = f xe (7) 90 (t- r) dr + coxe {f) 0
mitco=0 Wird
fürm>n.
an Stelle der
funktion
(40)
Gewichtsfunktion
g (t) die
u(t) = G(p) o(t) zur Kennzeichnung
verwendet, so ist für zulässige Abbildung (38) auch durch f
Übergangs-
des Systems
Eingangsfunktionen
xg die
.
xl) =Sxellultt-T-O)de+u(+0)xe(t) 0
(41)
gegeben.
Da der erste Teil dieses Satzes einen speziellen Fall der Aussage von Satz 6.1 darstellt, muß nur noch die Möglichkeit einer Darstellung (41) nachgewiesen werden. Diesbezüglich folgt wegen
utt)=glt)*olt)
(42)
ut=gltrolt)+cöl)*olt),
(43)
ul
(44)
aus Gleichung (39)
un mit
ul + oh)
us n=f
(do(t-r)dr
= je
(ddr.
(45)
Auf Grund von Hilfssatz 2.] ergeben die Gleichungen und (45) unter Beachtung von o[t-0)=0 für alle t womit
ut-)=
gl),
sich
der
aus
v(+0)= co,
Darstellung
(40)
(44)
(46) unmittelbar
stellung (41) ergibt, was zu beweisen war.
die
Dar-
Die Anwendung des Satzes 6.1 soll nun an Hand eines Beispiels erläutert werden. Gefragt sei nach der Lösung der Differentialgleichung X
+
2x
+
5x
=
15 xE-6xE -
xXE
ist. Gemäß
(47)
für die Eingangsfunktion
(48)
Gesucht wird also die explizite Darstellung einer Funktion,
die implizit durch die Operatorgleichung _15-6p-p? _15-6p-p?
ee
zunächst die Gewichts-
_15-6p-p?
GP) = 57 2p + pP}
=
in Partialbrüche 3)
|
„1226,02 +61:
womit sich nach Satz 6.1 ergibt, daß die zu G(p) rende Gewichtsfunktion g (f) durch
gehö-
gt) =-Öölt) + [-2-6jJet'+2dt + (-2 +6j)et}-2i]o(t) (22) bzw. gt) =-Ö(t) + [-4et(cos2t-3sin2t)] o {f)
(53)
das Faltungsprodukt aus letzterer und der Gewichtsfunk-
tion gebildet werden. Dazu wird von den Gleichungen
und (52) ausgegangen
und beachtet, daß
[eo] * [er ot]=1— gilt, wie
man
sich leicht überlegt.
(48)
“+ß (54)
3 (lee) ]olt) , So erhält man
xl) = 1-6) + [-2-6j)et1+2Dt
+. c.c.]o(t)] * [et o(t)]
(55)
= et ot) + [= 2-65) [e-'+20t 01] *[eto(t] + c.c.] (56) = toll) 4 ge let2üt-eN\ol)+cc] (7) lt) = etl-1 +13 + j(eeit-1) + c.c]loh) (58) = e*t[5-2(3cos2t + sin2t)] o {f)
(59)
Damit ist die explizite Darstellung funden.
der Funktion
Aus diesem Beispiel ersieht man, daß die Faltungsproduktes aus der Gewichtsfunktion
(47) ge-
Bildung des und der ge-
gebenen Eingangsfunktion mühsam wird, wenn weder g {f) noch xe (t) eine einfache Darstellung haben. Deshalb ist es wichtig zu wissen, daß man immer dann diese Faltungsmultiplikation vermeiden kann, wenn es gelingt, die Eingangsfunktion xe (f) selbst als Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung (T) darzustellen. Gilt nämlich
xe(f) = Ge (p)ölt),
(60)
so folgt auf Grund der Multiplikationsregel ren (Tabelle 5.1) aus Gleichung (2)
für Operato-
xt) = [6 (p) Ge (p)] 5 (f),,
(61)
und die Bestimmung von x, (t) ist damit auf die Ermittlung der Gewichtsfunktion zum Produkt G (p) Ge (p) der beiden Operatoren G(p) und Ge(p) zurückgeführt, wozu keine Faltungsmultiplikation
mehr
nötig ist.
Im obigen Beispiel sieht man leicht, daß die Eingangsfunktion (48) die Lösung der Differentialgleichung xEe +xe=
Öff)
(62)
ist, d.h.
xEf) = Ge(p)ölt) = T+p° Setzt man
dies in Gleichung
3) Die Bestimmung
xelt)=etoft).
Satz 6.1 wird
geliefert wird. Um die Lösung der obigen Differentialgleichung für die Eingangsfunktion (48) zu erhalten, muß
BT,
beschrieben, so lautet die vektorielle Darstellung gehörigen Gewichtsfunktion g(t) = G (p) 6 {t)
gegeben
funktion g (f) zur Differentialgleichung (47) bestimmt. Hierzu zerlegen wir den Operator
von
G (s) kann
im
der Koeffizienten
chung (8) mit dem Koeffizienten der so
allgemeinen
).
(63)
(49) ein, so findet man: c;, in der Partialbruchentwicklung
dadurch
erfolgen, daß
man
die
(8)
Glei-
Nennerpolynom von G(s) multipliziert und die entstehenden Polynome einander gleichsetzt. Wenn
jedoch das Nennerpolynom
von G (s) nur einfache Nullstellen hat — wie
im gerade betrachteten Fall —, so erhält man die ce daß man Gleichung (8) mit (s-«;) multipliziert und setzt.
einfacher dadurch, anschließend s = a;
45
15-6p-p?
XA (t)
Es stimmt
= T+p)6+2p+p
also
die Lösung
ö (t) .
der Differentialgleichung
G (p)
G(p=
7
+ p)
(5
+
2p
+
(65)
p?)
gegeben ist. Da das Nennerpolynom.. .von..-G.(s) Ge (s) offenbar die einfachen Wurzeln ı =-1, 2,3=-1+#2j hat, kann man für die Partialbruchzerlegung von G (s) Ge (s)
folgenden Ansatz machen: 1
_
Gl) Gel)= IT ts woraus
c31
cC3]
mtr
ohne Mühe cı=5,
16 )
cı=-3H+j,
c3ı = -3-j,
GP) Ge(P= Si
..
8ei
p+ 1-27
+ c.c.]
of),
(68) (69)
= et[5-2(3cos2t + sin2t)]o (f), was mit Gleichung An
Hand
=
(N)
Boye + ... + Bye;
(78)
(M-1)
man)
aufgefaßt werden, woraus sich nach Gleichung (2.83)
ef}
= H)Etolt}
(7?)
Fi)=sF (si!
(80)
F(s)=F(s)
(81)
bzw. Damit
__sd#]
pr1+2]
+ :.. + Aoya
yAı(0)=...=yA(0) =0 t Sfre)de= ya
(67)
folgt. Auf Grund der Gleichungen (61) und (68) findet man nun durch Anwendung von Satz 6.1 x lt) = [5 e+-[(3-j)e1+2
AmyA
66
d.h. bb
{M)
ergibt. Wegen Gleichung (77) folgt hieraus
:
zer alles,
[o(r)dr
men
(47)
für die Eingangsfunktion (48) mit der Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung überein, deren zugeordneter Operator durch 1526 , _ -op-Pp
t
ye=
(64)
(70)
(59) übereinstimmt.
dieses Beispiels sieht man, daß es nützlich wäre,
für alle s.
ist der erste Teil des Satzes bewiesen.
Ist andererseits die Laplace-Transformierte einer sigen Funktion f(f) eine rationale Funktion F(s), deren
Zählergrad
nach Satz 6.1 durch
kleiner als ihr Nennergrad.
tt)=F(p)ö(t)
et}
Damit wird
(82)
gewiß eine zulässige Transformierte — wie
d.h.
zulässo ist
Funktion gegeben, deren Laplacebereits bewiesen — gleich F(s) ist,
= el).
(83)
ein Verzeichnis zu besitzen, in dem für häufig vorkommende zulässige Funktionen x£ eine Darstellung xe (ft) =
Da sowohl f (t) als auch f(t) zulässige Funktionen sind, wo-
jedoch
Gleichung (83)
Ge (p)ö(t)
gegeben
hervor,
bereits existieren.
daß
wird.
Aus
dem
umfangreiche
folgenden
Tabellen
Satz
dieser
geht
Art
= fl)
Ist die zulässige
Funktion
Differentialgleichung
f(t) als
mit dem
Gewichtsfunktion
Operator
einer
F(p) darstellbar:
ft) = F(p)öt),
(71)
so ist ihre Laplace-Transformierte
F()= [filertdt
(84)
(72)
0
tt)=F(p)ölt),
(85)
was zu beweisen war.
Auf Grund des Satzes 6.3 sind die vorhandenen Tafeln zur Laplace-Transformation auch für unsere Zwecke verwendbar, sofern man sich bei den Laplace-Transformierten auf rationale Funktionen beschränkt. Durch eine solche Tafel
wird dann im Sinne von Satz 6.3 ein Verzeichnis gegeben, das man benutzen kann,
F(s)=F(s)
für alle s
(73)
1. um
ft) =FiP)öh).
(74)
Beweis: Aus Gleichung (71) folgt zunächst, daß m >.n gilt, da nach Satz 6.1 nur dann die Gewichtsfunktion einer Differentialgleichung (1) eine zulässige Funktion ist. Nach
öl) = pol)
(75)
Fl) = [pf (pl ot) = Hp) o (#)
(76)
kann Gleichung (71) auch durch ersetzt werden, wobei
man
jetzt in
Bo + B .... + BupN An + Aıp +... + AmpM M> N annehmen darf. Auf Grund der Gleichungen und (77) kann nach Satz 3.3.3 f(t) auch als Lösung r
Hp) = pFlp) 2
Gleichungssystems
zu
einer
gegebenen
zulässigen
Funktion
f(f)
die-
Übergang
von
jenige Differentialgleichung (in Operatorschreibweise) zu finden, deren Gewichtsfunktion mit f(t) überein-
gegeben. Ist umgekehrt die Laplace-Transformierte einer zulässigen Funktion f(t) eine rationale Funktion F(s), so kann f(t) als Gewichtsfunktion der Differentialgleichung mit dem Operator F(p) dargestellt werden:
46
für alle t,
d.h.
Satz 6.3:
durch
mit sich ihre Funktionswerte an Sprungstellen eindeutig aus Funktionswerten an Stetigkeitsstellen ergeben, folgt aus
stimmt.
Dem
entspricht
in der Tafel
der
einer gegebenen Zeitfunktion zur zugehörigen Laplace-
Transformierten;
2. um zu einer gegebenen Differentialgleichung (in Operatorschreibweise) die zugehörige Gewichtsfunktion zu finden. Dem entspricht in der Tafel der Übergang von einer
gegebenen
rigen Zeitfunktion.
Laplace-Transformierten
zur
zugehö-
Um stets zulässige Funktionen zu erhalten, hat man hierbei unter Umständen lediglich die in der Tafel angegebenen Zeitfunktionen für t 0 gibt, erhält man aus der Diffe-
rentiationsformel des Hilfssatzes 7.1. = da
Et-0)+E(+0)0(f), ja
E(-0)=A(-0)
=
x/=AÄ(lt-0)+A(+0)0’(f), ist, also
(0)
E=E(+0)
und
(0)
A=
A (+0) gilt. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein und be-
rücksicht die Additionsso erhält man
und
Faktorregel
in Hilfssatz
7.1,
TÄ(-0)+ A +TA(+0)0 f) = KTE(-0)+KTE(+0)0 (f).
erhält mit A =
der Gleichheitsregel
in Hilfssatz 7.1
t>0,
TÄM+AN=KTEN),
(m-1)
Ayo
’
fiziert werden. Aus dem betrachteten
+
nochmals
Beispiel
durch
erkennt
Einsetzen
man
veri-
xt)
+ Arolm) +
A
[am
A
+...
+
2A
a1Aı
+
+
(0)
a1 A
+
aoAı] 0’
(0)
+...+mA
+
aoA2]
oc"
(0)
+
[amA
+
[amAı
+
Am-ıÄı
+...+
+...
01Am
+
+
aoAm]
om)
a0Am+1]
om+1)
müssen.
Nach
Hilfssatz
7.]
müssen
also
die
entsprechen-
den Komponenten übereinstimmen. Dies führt zu dem Gleichungssystem in Tabelle 7.1, wobei die b, mit »>n Null
zu setzen sind. Die Untersuchung
der Gleichungen
dieser Gleichungen sowie
in den beiden folgenden
Tabellen wird
durch das folgende Indizesgesetz sehr erleichtert: In jedem
Term
muß
die Summe
der
Indizes der
beiden
Faktoren
gleich der Nummer der Gleichung sein, in welcher der Term steht; die Ordnungen der Differentialquotienten sind
dabei als negative Indizes zu zählen.
Dieses Gleichungssystem zerfällt in drei Teile, die durch römische Ziffern am linken Rand bezeichnet sind. Teil (Il) besteht lediglich aus der Differentialgleichung, welche die
Beziehung
(0)
zwischen E(t) und
A({f) herstellt. Teil (ll) setzt
sich aus den Gleichungen zusammen,
()+...,
v}
Term
= Alt-0)+ A (+0) + Ar ou (+...
am-ı
+mA(t-0) 0)
Einen völlig entsprechenden Ausdruck erhält man für die rechte Seite der Differentialgleichung (1). Beide Ausdrücke stellen verallgemeinerte Funktionen dar, die gleich sein
E(+0)0’(f) +... + E(+0)oW(f)
(A-1)
+
(m -2)
das Prinzip,
schen den weiteren Komponenten von xe und xı, also den Koeffizienten der o-Ableitungen, herstellen. Das hiermit umrissene Programm werde für den Fallm>n ausgeführt. Dazu wendet man die Differentiationsformel von Hilfssatz 7.1 auf xe(f) und xı (f) an, wodurch man
(A
A
.
fangswerten von Et) und A(t) sowie gegebenenfalls zwi-
+ E04
(m-1)
[am
+
von xe und xa. Alle anderen sind gewöhnliche lineare Gleichungen, welche die Beziehungen zwischen den An-
(A-1)
a
(m -2)
t>0 gültige Differentialgleichung mit gewöhnlicher Differentiation zwischen den ersten Komponenten E({t) und A {f)
(A)
+
(0)
(m)
nach dem die Herleitung des Zusammenhangs zwischen den Komponenten der Ein- und Ausgangsgröße erfolgt: Die Differentialgleichung (1), in der die erweiterte Differentiation auf die Funktionen x£ und xı angewandt wird, zerfällt bei vektorieller Darstellung dieser Funktionen in ein System mehrerer Gleichungen. Eine dieser Gleichungen ist eine für
xt) =E(t-0)+
u
Ao’+...+Aom-N
= mAlt-0)+...+a1A(t-0)
xe(t) = E(t) erfüllt, folgt unmittelbar aus der Heraber
(m-2)
Ayolm+)
+
+...]
.
(9)
der Anfangsbedingung (9) die Funktion A (t) eindeutig. Daß die so bestimmte Ausgangsgröße xı(t) = A (t) tatsächlich die Differentialgleichung (7) zu der gegebenen Eingangskann
(0)
+ ao [A (t-0) + A1o’ + A2c” +...]
tritt. (8) stellt eine Differentialgleichung mit gewöhnlicher Differentiation für A(f) dar und bestimmt zusammen mit
xı,
in die
+0 der
+ a1[Ält-0) + A 0 + Arc” +...]
die Anfangsbedingung
leitung von
(m-1)
+ am1[Alt-0)+
(8)
A(+0)=KE(+0)
größe
diese Ausdrücke
+A0+...+Aom
Azcm+29 +,...]
TA(+0)=KTE(+0).
Da für t>0 E({t) und A{f) keine kritischen Stellen aufweisen, also stetig differenzierbar sind, gilt die Differentialgleichung wozu
(m)
[A (t-0)
Um
TÄ(t-0) + Alf) = KTE(t-0),
. Setzt man
Kürze halber weggelassen wird, so erhält man für die linke Seite dieser Differentialgleichung die verallgemeinerte Funktion
Jede Seite dieser Gleichung ist eine verallgemeinerte Funktion in vektorieller Darstellung, nämlich von der Form
X(t) + Xı 0’ (t). Nach folgt daher
1,2,...
Differentialgleichung (1) ein, wobei das Argument
(v)
A=A(+0),
die mindestens einen
v=0,1,...,m-1,
enthalten,
wäh-
rend das Teilsystem (Ill) aus Gleichungen besteht, in denen
(0)
(+... +A(+ 0) (ft)
nur
Koeffizienten
A,
der
o-Ableitungen
aus
xı(f)
auf-
treten.
Tabelle 7.1 (m)
|
mAlt-0)+...+ 1Alt-0) + aA (t-0) [1]
Il
{m-1) AmÄ +
(m -2) am-ıÄ +...+
(m -2) (0) mA +...+mA +
[2]
[m + 1]
A)
=
aıAı
+
aA:
(0)
[m]
II | [m+2]
(0) aA +
AmÄ+
AmAı
+
Am-ıA2
+...
AmÄ2 +...
+ Am.
+ a1Amıı
.
(m-1) bnE +
\
...+
=
(m - 2) bm-ıE +... {m - 2) bmE +... +
=
—
+ QpAmı2
{n)
— boE (t-0) + biE(t-0) +... + bnE(t-0)
bmEı
90Am
=
+
bm-ıEa
(0) + biE +
boEı
(0) baE +
bıEı
(0)
bmE
+...
+
+
bm-ıEı
boEr
+...
+
boEm
+ boEmaı
bmE2 +... + biEm:1ı + boEm+2
49
Gleichungen
Es werde zunächst das Teilsystem (Ill) untersucht. Wenn xe
Man
ö-frei ist, also alle E, = 0 sind, ist dieses Gleichungssystem homogen.
Falls mindestens ein Koeffizient E, + 0 ist, sei der höchste
bnEm+v.n. =...=0
alle
Summanden
vor
dem
von
so
[{Ill), also
als zweites
N DE,o®
xe=E()+
derartige Koeffizient En. Betrachtet man dann die rechte Seite der Gleichung [m + v], so verschwinden wegen
bn.ı = bnı2=...=0
hat
aus
[m+D],
...,
Zwischenresultat:
mit
N>m-n,
It
[m +1].
m>n
und
so ist xa=Aft)+
v=]
D
SA, ob) mit D=
Glied
N-(m-n).
Die Koeffizienten Aı, ..., An
v=]
Andererseits verschwinden wegen En-ı = En.2 sämtliche Summanden _ hinter _c
erhält man aus dem folgenden
bmiv-nEn. Ist daher m +» —-n>N, so müssen alle Glieder auf der rechten Seite der Gleichung [m + »] Null
AmÄD
!
=
Am-1Ap + AmAD-ı
sein. Es werde nun zunächst der Fall betrachtet, dßBNN, und zwar für » = 1,2,..., also für alle Gleichungen des Teilsystems (Ill). Nach dem soeben Gesagten verschwinden
deuten, daß jede derartige Zeile mit steigendem Index der A, bzw. E, so weit nach links fortzusetzen ist, bis ent-
Welche
weder An bzw. En erreicht ist oder aber der Koeffizient ao bzw. bo auftritt. Ist im letzteren Fall die linke Randspalte noch nicht erreicht, so ist die Zeile durch Nullen zu ver-
Die
daher alle rechten Seiten von (Ill), d.h.: (III) ist ein homogenes Gleichungssystem für die A, . Lösung
hat nun
dieses Gleichungssystem®
Da alle
A, von einem bestimmten Index ab verschwinden, etwa für» >M, tritt in (III) schließlich eine Gleichung amAm = 0 auf. Wegen
am +0
folgt aus
ihr Am = 0. Die
vorherge-
x
mit N0
bnENn-ı
=
+ AmA
+ m
mit
Differential-
ersetzen,
man zu der Darstellung in Tabelle 7.2 gelangt.
der Gleichungen
können
um
quotienten
[Im +D+1], [m +D+2],.... verschwinden. Daraus folgt wie oben, daß Au = Au-ı =... = Ad.ı = 0 ist.
Die A,
Punkte
gültige Gleichungssystem für den Fall m>n, wie es in Tabelle 7.2 dargestellt ist. Da die Differentialgleichung (Il) nur für +>0 von Interesse ist, kann man die Grenzwerte
.... Hier stm+r=m+D+u,
die rechten
stehenden
Gewißheit verschwinden. Kehrt man außerdem die Reihenfolge der Gleichungen von (ll) um und setzt das auf (10) reduzierte Teilsystem (Ill) vor (ll), so erhält man das end-
u=1,2,..., und dmt m+v-n=m+DH+u-n= m + N-(m-n)+u-n=N+u>N. Wie oben ge-
zeigt, müssen
Zeilen
system (ll) zu, so hat man zu beachten, daß b, = 0 für v»>nsowieE,=0fürv»>N und A,=0für» > N+n-m
Nunmehr werde der Fall N>m-n untersucht. Die Differenz N-(m-.n), welche größer als Null ist, sei vorübergehend mit D bezeichnet. Man betrachte wiederum
das
unteren
Gleichungssysteme, ohne daß dies jedes Mal ausdrücklich gesagt wird. Bisher wurde ausschließlich das Teilsystem (Ill) von Tabelle 7.1 ausgewertet. Wendet man sich nun dem Teil-
fortfahrend, erkennt man, daß sämtliche A, verschwinden. Man erhält so als erstes Zwischenresultat: It m > n und
N oder xg=E(f) +NE,o®
den
vollständigen. Entsprechendes
hende Gleichung lautet am-ıÄm + QmAm-ı = 0. Wegen Am=0 erhält man aus ihr Au-ı = 0. In dieser Weise
xe=Ef{t)
in
+ baEmanıı ...+ bufm-n
=
(0) ... + bn-ıEı + BE
=
boEı
(0) +bıiE+...
+
(n-1) E
{m-1)
(m-1)
r
A = A (+0), aus denen
diese eindeutig bestimmt wer-
den können. In dem weitaus wichtigsten Fall, daß also xe(t) ö-frei ist, lautet dieses Gleichungssystem Tabelle 7.2: (0)
AmÄA
N = 0, gemäß
= (0
(0) Am-1A +
m AmA
(0) MÄ+
Satz 7.1
(m-n)
mııÄAH+...+
am
A
In der Differentialgleichung (1) sei m>n. Die Eingangsgröße xe (f) weise für t >0 keine kritischen Stellen auf, und N
(0) =
hervor und kann auch leicht verifiziert werden. Sie ist daher die gesuchte Ausgangsgröße. Die bisherigen Resultate seien abschließend in einem Satz
zusammengefaßt, der die Ergänzung zu Tabelle 7.2 bildet:
=0
ı)
Die so bestimmte Funktion xA(f) stellt in der Tat eine Lösung der Differentialgleichung (1) zu der gegebenen Eingangsgröße xe(f) dar; dies geht aus ihrer Herleitung
b,E
es sei xe=E(tf)
(0)
aA
0)
+
(Im)
+ am
mÄAH+...
(0)
A
= bıiE + bE
m
Der erste Fall sei auch durch Dann
(n-1)
eine
der
einzige
vorhergehenden,
nacheinander bestimmen (0)
(m-n-1)
A=0,...,
A
Unbekannte
auftritt
so
daß
man
die
kann. Man erhält so
und
=0,
(0) [Bn-ıE +
O
werten von E (t) ab, und zwar
ist
0,
’=0ü,1: .„m-n-] 40)
A=
|
U,in-mulE
mM +
U, wien
#
+01
ex.
vn E
-m)
m=n
gilt
nur
die
zweite
Zeile
dieser
Formel.
(12) Die
Koeffizienten u, werden ausschließlich durch die a, und b,, d.h. durch die Struktur des Übertragungsgliedes, bestimmt und können in der oben skizzierten Weise berechnet werden. Ihre zeigen.
physikalische
Bedeutung
2
A, ob(t)
v=]
(
Die Komponenten A (t) und belle 7.2. It Nm-n.
A, von xı erhält man aus Tafällt das Teilsystem (Ill) weg sind Null zu setzen. Aus dem erhält man die Anfangswerte
{m-1)
wird
sich weiter
Der Fall mn zu behandeln. Das Gleichungssystem, welches den Zu-
sammenhang zwischen beiden Komponentengruppen herstellt, ist in Tabelle 7.3 wiedergegeben. Analog zu Satz 7.1 hat man den
n
v»=m-n,..,„m-]| Für
A t)+
aus Teilsystem (Ill) und At) aus Teilsystem (Il).
m
an
usw. Die Anfangswerte von A (t) hängen also von den Anfangs-
In
N = O charakterisiert.
A=A(+0)... A= A (+0) von Alt), die zusammen mit der Differentialgleichung (l) A (t) eindeutig bestimmen. It N> m-n, so erhält man zunächst die Koeffizienten A,
1) (m - n) brE - am-ı A ]
Ambn1-am.ıbn en
mit En #0.
für N m und gelten
von Satz 7.1, so ist
A,oW(f)
im
mit Anın-m#0.
v=]
Die
Komponenten
system system
A,
von
xı
erhält
man
aus
dem
Teil-
(Ill) von Tabelle 7.3. Setzt man sie in das Teil(ll) dieser Tabelle ein, so ergeben sich die An(0) (m-1)
fangswerte
A, ....,
A , womit
A(t) als Lösung
der Diffe-
(III)
rentialgleichung (l) eindeutig bestimmt ist. Ist speziellN = 0, so fallen die Gleichungen [n + N], ..., [In + 1] weg und in den restlichen Gleichungen sind die A, mit v>n-m sowie die E, Null zu setzen.
dieses System von derselben Bauart ist wie das soeben betrachtete Teilsystem (ll), erhält man die Unbekannten in der gleichen einfachen Weise wie dort. Setzt man diese A, in das Teilsystem (Il) von Tabelle 7.2 ein, so treten als ein-
Es werde nun ein Beispiel betrachtet, bei dem das Ergebnis nicht von vornherein auf der Hand liegt. Und zwar möge die Übergangsfunktion des Operators
m-]
A (+ 0), womit A (t) eindeutig bestimmt ist. Im Falle N>
m-.n
löst man als erstes das Teilsystem
aus Tabelle 7.2 nach den N-(m-.n) Unbekannten A; auf, welche die Koeffizienten des ö-Anteils von xı bilden. Da
(0
m-]
zige Unbekannte nur noch die Anfangswerte A, .. A von A (f) auf, die man nun wieder sukzessive aus (Il) berechnen
kann. Sie hängen (n-1)
E
von
E(t)
auch
außer von von
den
den Anfangswerten Koeffizienten
ö-Anteils von xe ab. Sind die Anfangswerte
kannt, so ist A (t) durch (I) eindeutig bestimmt.
(0) E, ....,
Eı, ..., En (0)
A,...,
(m -1)
A
des be-
_
G (p) .
bap* + bap? + bap? + bıp + bo ap? +aıp + ao
mit aa, b4 + 0 bestimmt werden. Hier ist m=2undn = 4, womit der Fall n > m vorliegt. Da die Übergangsfunktion die Reaktion des Systems auf den Einheitssprung darstellt,
ist xe = o(f) und somit E{f) = 1 WW)
=1,E=E(+0)=0
(0)
für alle t>0,E=E(+0)
für» > 1, sowie N = 0. Nach Satz 7.2
51
Tabelle 7.3 (m)
|
:
mAl)+...+mAlt)+mAlt) [n
+ N]
=
AmÄNsn-m
=
[r + N-1] | am-1Ansn-m + AmAnsn-m-ı
—
[n]
[m
+
...
QGmÄn-m
1]
...
+
amÄı
:
bnENn
...
(m-1)
aAı +m1A+...+am
A
+
...
bn-ıEı
+
bmkı
+
+
b.E
(0) bmsıE +...
(0)
=
(0)
1]
t>0
bn-ıEn + baEn-ı
=
... + Am-1Aı + mA
{n)
+biElt) +... + Elf),
—
(0)
[m]
Il
+
.
bee)
+bn
In-m-1) E
(n- m)
2... + bm-1Eı + bmE +... + bn E
\
(0)
=
{n-1)
boEı+biE +...
+bnE
m0
aıy(+0)+...+amy(+0) = bixe(+0)+...+ bnxe(+0)
[4]
a2A2
=b4
Amz (+ 0)
[3]
a1A2 + aaAı
= b3
. (m-1) : aız(+0)+...+ am zZ (+0) = Aı=
[2]
(0)
aoA2 + aıAı + a2A aoAı
+ aA
(0)
beziehungsweise
=b2 (ı)
+ mA
+ am X (-0)-bix} (-0)-...-bn
ı)
Übertragungses im vierten Übertragungs-
systemen mit Vorgeschichte mit Hilfe des ö-Kalküls” behandelt wurde, um den allgemeinen Zusammenhang zwi-
schen den Anfangs- und Speicherwerten der Ausgangsgröße xı (ft) zu bestimmen. Es sei daran erinnert, daß die
Zeitfunktion x} (f) die Ausgangsgröße für alle Zeiten beschreibt, während xA(t) = xi {f} o ({f) ist, also mit x7 (f) für + > 0 übereinstimmt, und daß Entsprechendes für x? (f) und xe (ft) gilt. Nach Satz 4.6 kann ein Übertragungssystem mit
Vorgeschichte durch die drei Gleichungen
+... +a1z’ +a02 = Arc’ +... + Ama), xı=yHtz
entsprechenden
der
(v)
+ z(+0)
und
x4(+0) = y(+0)
die Terme mit x(-0)
die linke Seite, so erhält man
auf
=0
(16)
or [a (+ -xtl-O +... + ml xa (+ 0)- xt[-0j] = (n-1)
(n-1)
bi [xe (+) -xf(-0)]) +... + bn[ xe (+ 0)- xt (-0]. Dieses Gleichungssystem v)
ist von derselben
(r)
Form wie (11),
(r)
Ve
statt A hier xa(+0)-xi (-0), statt E
xe(+ 0)
(v)
(v)
(14)
(v)
ist. Wegen m >n und xe {f) = E({f) sind nach Satz 7.1 auch y(t) und z{t) ö-frei, also y(t) = Y{t) und z{t)=Z{t). Das zu der Differentialgleichung (13) bzw. (14) gehörige Gleixe
letzten
v)
(r)
ist, bringt außerdem
am (x, (+0)-x%(-0)]
beiden
v)
- xt (-0) steht. Setzt man daher diese Ausdrücke für A und
(15)
von
Gleichungen
(13)
beschrieben werden, wobei hier abweichend von der Bezeichnung in Satz 4.6 statt xaı und xa2 y und z geschrieben
Komponenten
die
nur daß
Amy +... +a1y’+aoy = boxe + bıxg +... + bnxe),
den
x} (-0).
Systeme und beachtet, daß wegen (15)
A auf, so ist hierdurch x (f) eindeutig bestimmt.
zwischen
(-0) +...
Satz 4.5, Gleichung (40), entnommen, und es ist berücksichtigt, daß alle b, mit v» > n verschwinden. Addiert man nun
(0)
chungssystem
ai {n-1)
Hierbei sind die Koeffizienten A, der Speicherfunktion aus
=bı
Als weitere Anwendung werde ein reales system mit Vorgeschichte betrachtet, wie Beitrag dieses Buches „Beschreibung von
= Am = amxXi (- 0)
(m-1)
Löst man diese Gleichungen sukzessive nach A», Aı, A und
52
der b, einzusetzen sind. Es lautet, bei Berücksichtigung der Gleichheit von xe und E, y und Y, z und Z:
Äl)+aÄlt)+aAl)
[1]
Amz
bzw. o und z kann direkt aus dem Gleichungssystem (11) erhalten werden, wobei im letzteren Falle die A, an Stelle
y
E in (12) ein, so erhält man
die
Lösung
des
letzten
Glei-
(v)
chungssystems. Bringt man hierin die Terme x% (-0) wieder auf die rechte Seite, so ergibt sich
(+0) (m-n-])
x
= xt(-0) (+0)
=
(m
-n-])
0)
(17)
(m-1)
setzen. Man kann das Gleichungssystem dann als die fol-
+ 0
=
-0)+ welt 0)-r2(-0)]
(+0)
= xt (-0)+ mlxel+ xt CO] +...
gende Matrizengleichung schreiben:
\ (m -1)
(n-1) (n-1) +u[x(+0)-x(-0].
Als Resultat erhält man
(im
realen
Sinne
der
xa(+0),...,
Übertragungssystem
Definition
4.1)
sind
mit Vorgeschichte
die
Anfangswerte
xı (+ 0) der Ausgangsgröße xı (f) durch das
zienten u, allein von den a, und b, abhängen. Da x: (+ 0) ist, hängt
Sprunghöhen
der
die
Funktion
Differentialquotienten
rechte
x% (t)
in t = 0
Seite von und
ab. Wenn
ihrer
(17) von n-1
den
ersten
xi(-0),...
7.3
, “ (-0)
überein, sonst aber
(1) zwischen den verallgemeinerten Funktionen xe(f) und xı (f), da in ihr ja lediglich die gewöhnliche Differentiation
angewandt wird. Sie kann daher nicht als Operatorgleichung A(p)xA(t)=B(p)xe(t) oder xi(t) = G(p)xe{f) geschrieben werden, da der Operator p ein Symbol für die erweiterte Differentiation ist. Kennzeichnhet man zum Unterschied hierzu die gewöhnliche Differentiation durch das Symbol q, so kann man die Differentialgleichung (I) in der Form
“(q) = mg"
0
A
0
Om-1
Om
A
0
a
@3... Um
bzw. Alt)=y(dER
(18)
+...+ag +,
zu
der
gegebenen
Funktion
E(t)
gar
nicht eindeutig bestimmt, vielmehr müssen noch die Anfangswerte A(+0), AA(+0),... aus den weiteren Gleichungen von Tabelle 7.2 bzw. 7.3 hinzugenommen werden. Mit den rationalen Funktionen » (g) ist jedoch genau so zu
rechnen wie mit den rationalen Funktionen G(p), also gemäß den in der Definition 5.2 angegebenen Rechenregeln. Betrachtet man nunmehr zunächst Tabelle 7.2, also den Fall m>n, und hier wieder den Fall Nm-n, allo n+N>m, so wird das Gleichungssystem von Tabelle 7.2 durch die folgende Matrizengleichung dargestellt: a(g)
0
0...
0
Um
0...
0
Om-1
Om
0
a 0
19)
ist.!) Die Gleichung (18) ist lediglich eine abgekürzte Schreibweise für die Differentialgleichung (l), welche für das Folgende zweckmäßig ist. Sie ist jedoch keineswegs eine Operatorgleichung, so wenig wie y(g) ein Operator, d.h. das Symbol einer Abbildung, ist. Denn durch (I) allein ist A(t)
—
0
At) Älsn-m
.
Aı
—
(0)
v (q) Aa) «.(q)
Funktion
(0)
a
Pig) = bang’ +... + big + bo,
die
lan
En
Die Operatormatrix
«(JAlt)=PlaElt
Am
nicht.
Die Gleichungssysteme in den Tabellen 7.2 und 7.3 werden übersichtlicher, wenn man sie in Matrizenform darstellt. Hierzu muß zunächst eine einfache symbolische Schreibweise für die Differentialgleichung (l) eingeführt werden. Sie ist keineswegs identisch mit der Differentialgleichung
schreiben, wobei
o
also x? (t) samt
diesen Differentialquotienten stetig durch t = 0 geht, stimmen die Anfangswerte von xı(f) mit den Speicherwerten m-1
0
0
{m-1)
(v)
(v)
©...
{m -i)
Gleichungssystem (16) bzw. (17) gegeben, wobei die Koeffi-
= xt(+0)
oo
N)
so den
Satz 7.3
Bei einem
“()
natürlich vermieden,
A,
sind
auch um
Null
Alg),
zu
Blg),
Verwechslungen
ao
:
0
0
Plq) 0 0
0
Am
0
0...00...Qm-1
Am
0
0
0
bn
0..
bi
bn
0
.
.
(m-)) A
Ef) En
bo 0
0
"
A
Ei bo .
(21)
(0)
b
0...bo...bn-ı
0 bn
E .
(n-1)
Die quadratischen Matrizen sind ebenso aufgebaut wie (20), haben aber jetzt den Rıngn+ N +1.
in
Im Falle m n die Anfangswerte der ÜbergangsR-Gliedes, aber erst vom (m-n)-ten an,
sie für mn und schalte die Eingangsgröße xe = om") (f) auf. Dann it n + N = m. Daher wird xe durch den Vektor X: mit den Elementen 0, 1, 0, ... repräsentiert. Die Ausgangsgröße ist die (m —n)-te Ableitung der Übergangsfunktion?). Ihr Vektor Xa
1 0
E(t),
(0)
Um die Bedeutung der u, zu erkennen, betrachte man zu-
IxXık=dB
(q) 1,
E, verschwinden, welcher Fall durch N=0 charakterisiert sei. Dann wird der Zusammenhang zwischen den Kompo-
einfach mit u,, so ist also
0
Komponenten
stetig differenzierbar ist und entweder En =# 0
mit un], so geht die zweite, dritte, ... Gleichung in die erste, zweite, ... des vorhergehenden Systems über. Daher ist u2 = un, U = um, ..., allgemein un, = u, v1, v=2,3,.... Somit hat u2 die Elemente 0, 0, un, un, . Ganz entsprechend zeigt man, daß uz3 die Elemente 0,0, 0, U, U12, ... aufweist, usw. Bezeichnet man schließlich v1,
no
seine
ein R-Glied werde die Eingangsgröße x£e(t) =E{f) N + 3 E,oW) (f) geschaltet, wobei E (t) für t>0 beliebig oft
AmU21
»
Für
Auf
Am-2U21 + Am-ıU22 + AmU23 = bn1
s-o
AXı=
Satz 7.5
alsouo=0,
0
(+0),....
in der Übergangsfunktion des R-Gliedes dar. Zusammenfassend erhält man den
=,
=0,
u
u
man xe{t) = o{t) auf, so itm sind,
mit t,, 4 = 1,2,..., bezeichnet und außer ihnen noch die
Stelle to = 0 zu den
t,, gerechnet,
ganz
gleich, ob sie kri-
tisch ist oder nicht. Ist t, insbesondere eine ö-Stelle von xe, so ist mindestens ein E,,+ 0, und es gibt dann eine positive Zahl
N. derart, daß E,,
N, +0
ist, aber sämtliche E,,,
mit» >N, verschwinden. "Alle N, sind kleiner oder höch-
stens öleich einer festen Zahl k. Ist t, keine ö-Stelle von xe, so verschwinden alle zugehörigen E, und es werde dann N, = 0 gesetzt. Falls t, > 0 ist, liegt in diesem Fall eine
Ausnahmestelle von E (t) vor, und es muß daher mindestens einer der Differentialquotienten von E (ft) (zu denen auch
E (t) selbst gerechnet wird) bei t,
Es muß
also mindestens
einen Sprung
einer der Werte
(v)
aufweisen. (v)
E, = Eit,+ 0)
(v)
-Eit,-0) von Null verschieden sein. Die vektorielle stellung von xe kann dann auf die Form N,
xelt)=EN)
+NN u
Em
v=]
Dar-
ol) (t-#,)
(29)
gebracht werden. Die Ausgangsgröße Form angesetzt:
xl) =
xa (f) wird nun in ganz entsprechender Mi,
Al+N SA, u
v=]
ot),
(30)
wobei die t, dieselben sind wie in xe. Hierbei ist also insbesondere angenommen, daß die von Null verschiedenen kritischen Stellen von xı in denen von xe enthalten sind; von xg auch eine kritische Stelle von xı ist. Es zeigt sich, daß dieser Ansatz eine Lösung der Differentialgleichung (1) zu der Eingangsgröße (29) liefert. Da die Lösung von (1) nach Satz 3.3 eindeutig bestimmt ist, hat man damit in der
Tat die Ausgangsfunktion x, (f) gefunden. Geht man mit den vektoriellen Darstellungen (29) und (30) in die Differentialgleichung (1) des R-Gliedes hinein und nimmt
dann
einem
ganz
dieselben
Umformungen
gleichung
vor wie
entsprechenden
Ergebnis.
(l) von Tabelle 7.1 zwischen
Die
At)
nach wie vor und
nimmt wieder die Form
ar
.
Alt)+.
in dem
Spezialfall, so gelangt man
in
zu
Differential-
und Et)
ist, und
gilt
.
.+ a1A(t) + a0A(f) = boE (f) + biE (f) +
(31)
an, sofern man die Ausnahmestellen von E (f) ausschließt. An die Stelle des Gleichungssystems (Il, III) von Tabelle 7.1
tritt für t = 0 sowie für jede kritische Stelle I, 0 ein völlig analoge: Gleichungssystem, wobei E, durch E,,, A y w)
v)
durch A,, ‚E durch E,=E(t, (v)
A
R
+0)-E(t,-0)
A,„= Alt, +0)-Alt, -0) ersetzt ist. 56
r
Au
und A durch
in ganz
dies mit (Il, Il) in ist, so erhält man xe (f) an der Stelle charakterisiert, der
dann
mit
entsprechen-
den Abschnitten 7.2 folgendes Resultat: t, werde durch den mit e, Nullen be-
für mn+N,
den
Elementen
Ey:
N:
u
Es
EE, ...fortsetzt. Der Vektor r,, beschreibt das irreguläre Verhalten von xe an der Stelle t, , insofern er die Koeffizien-
ten der o-Ableitungen tialquotienten
Verhalten
von
von
Ef)
und die Sprunghöhen enthält.
Ganz
xA (f) bei t, durch
mit den Elementen
A ur M,
den
‚ Au,
analog
der Differenwerde
das
Spaltenvektor
0)
0
Ay,
Au
ra,
... charakte-
risiert, wobei JS 0
für N, m-n
-.n)
ist, also im ersteren
Fall keine
A,
auftreten.
Bezeichnet
man nun die Matrix, die man aus A bzw. B durch Streichen
der ersten Zeile und Spalte erhält und in der also außer Nullen
nur
die
Elemente
a,
bzw.
b,
vorkommen,
mit
A
bzw. 3, so gilt für jede Stelle t, die Matrizengleichung AU,,= dr, Diese
u=d, 1,2,....
Matrizengleichungen
rentialgleichung
treten
(32)
also noch
(31) hinzu. Gibt es keine
zu der
Diffe-
kritische Stelle
von xe, die größer als Null ist, so liegt (32) nur für « = 0 vor, und dann stellen (31) und (32) zusammen gerade die
Gleichung (25) des Spezialfalles dar.
Betrachtet man die zur Stelle t, gehörige Matrizengleichung (32), so stellt diese ein unendliches Gleichungssystem dar. Aus den r, ersten Gleichungen dieses Systems, wo Pu das Maximum von m und n + N ist, erhält man die Koeffizienten Ag v=|],..., N,, der zu t, gen’
hörigen
o-Ableitungen
{m-1)
.,
A,
der
m
an der Stelle t
in x,
ersten
Hat man
sowie
die Sprunghöhen
Differentialquotienten
von
(0)
A,
Aft)
so die A,,, für alle Stellen t, er-
mittelt, so ist der ö-Anteil von xı (t) bekannt. Die Berechnung des zulässigen Anteils A (t) kann nun stück-
weise
erfolgen. ({m-1) _%
Da
man
die
Anfangswerte
(0)
Ay = A(+0),
1)
..., An=A(+ 0) kennt, läßt sich A(f) als Lösung der Diffsrentinlgleichung (31) im Intervall O0