Lineaire algebra Dl. 2. [1e dr. ed.] 9789065620750, 9065620753

Citation preview

LINEAIRE A GEBR~A~~~~---J _ _ _ _MATRIXREIH' dan en slechts dan als AX = Om. X in eI> ,dan en slechts dan als AX = B. eI>H is niet leeg omdat AO n = Om. Laat nu U en V oplossingen zijn van SH' dus AU = Om en AV = Om. Gebruikmakend van de rekenregels voor de matrixvermenigvuldiging volgt nu: A(U + V) = AU + AV = Om + Om = OmAC\U) = ",AU = ",Om = Om. Dus als U en V in eI>H' dan zijn ook U + V, en ",U voor ieder getal", in (I>H. Blijkbaar is eI>H deelruimte van IRn (C n). Stel nu dat S niet strijdig is. Dan heeft S tenminste één oplossing, zeg P; dus AP = B. Dan is de algemene oplossing (I> van S een lineaire variëteit in IRn (C n), eI> = {P} + eI>H'

§4û

137

Bewijs. Laat U een willekeurig gekozen oplossing van SH zijn; dus AU = Om' Dan is A(P + U) = AP + AU = B + Om = B, en P + U is ook oplossing van S. Dit toont dat

{P} + ~:l '

UI

Dl

r.

r

XI -

V,

=

een vlak en Q een lijn in C3 .

x, + (I-Ox, = 3+ i,

Q [::]

Bereken de ortogonale projektie van P op

r

=

[::1J +À[:}

À

E

C.

en van P op Q.

d) Bewijs de stelling van Pythagoras voor en. e) U is een vektor in Cn. Voor elke X in en geldt = 0. Bewijs dat U = On .

53

Ortonormale basis. Stelling 12 van Gram-Schmidt Laat f = (F, I i := I (I )k) een k-tal vektoren in IRn (C n) zijn. f heet ortogonaal als ieder tweetal vektoren van f onderling loodrecht is; = 0, i =1= j, i,j := l(I)k . Is f ortogenaal en heeft iedere vektor van f de lengte 1, dan heet fortonormaal. fis ortonormaal

~

= oij,

i,j := l(I)k.

Als f in en is gelegen, dan volgt dat FrFj = oij en als f in IRn is gelegen, dan volgt FiTFj = oij,i,j := 1(I )k. Merk op dat we iedere vektor V in IRn kunnen opvatten als een vektor in en. In die zin geldt voor V dat VH = VT. Als fortonormaal is, dan is f onafhankelijk. n Bewijs. Stel .~ ÀjFj J=1

= On.

Dan moeten we aantonen dat hier noodzakelijk uit volgt

dat alle Àj nul zijn; Àj = 0 , j := l(I)k. Kies i in IN en 1 ~ i ~ k. k

k

k

k

0= = = .~ = .~ À/Fj,Fj> = .~ ÀjO jj = Àj. J=1 J=1 J=1 J=1 Dus Àj = 0, i := 1(I)k.

0

~ -

178

--.---------

§53

Is f basis van een deelruimte ti van IRn (C n) en is fortonormaal, dan heet f een ortonormale basis voor ti. De natuurlijke basis is een ortonormale basis voor IRn (C n). In hoofdstuk 3 hebben we gezien dat het inprodukt van twee vektoren in de ruimte zich alleen eenvoudig laat uitdrukken in de koördinaten van die vektoren als de basis ortonormaal is. Ook in IRn en en is dat het geval. Daarom heeft het voordelen ook in een deelruimte van IRn (en) over een ortonormale basis te kunnen beschikken. De vraag is echter of iedere deelruimte van IRn (C n) wel een ortonormale basis heeft, en als dat inderdaad het geval is, hoe zo'n ortonormale basis te konstrueren is. Laat b = (Bi I i := 1(1 )k) een willekeurig gekozen basis voor de k-dimensionale deelruimte ti van IRn (en) zijn. We zullen uit b met behulp van het zogenaamde GramSchmidt proces in k stappen een ortonormale basis f = (F, I i := 1(1 )k) konstrueren.

Eerste stap Definieer G I

= BI

en FI

= B2

-

= GI /IIGI Ii . FI

heeft dan duidelijk de lengte 1.

Tweede stap De fini irueer G 2

~~: :~~ ~ GI

I ,B2 ) G (G (G ,G I, I I)

is de loodrechte projektie van B2 op GI. Er geldt G2 1 G I.

Immers, (G I,G 2 ) -- (G 1> B2

(G1>B 2 ) (G I B2 ) ' (G G ) G I) = (G1>B 2 ) (G1>G I) = O. 1> I (G1>G I) Ook is G 2 i: On' Want anders zou B2 een lineaire kombinatie van G 1, en dus van BI zijn, wat betekent dat (BI,B2 ) afhankelijk is. Maar (B1,B2 ) is onafhankelijk als deel van basis b. -

-- -~

/"

-"8 ./ 2 ---

8,

§53

179

Definieer F2 door F2 = G 2/IIG211 , dan is (FbF2) een ortonormaa1 tweetal vektoren in Ll. Merk op dat F2 deel uitmaakt van L(BJ,B 2) en dat L(F1,F2) = L(BJ,B 2). Derde stap " G d G - B (GJ,B3)G (G2,B3)G D e fmieer 3 oor 3 - 3 - (GJ,G ) 1 - (G 2· 1 2,G2) G 3 ontstaat door B3 te verminderen met de loodrechte projekties van B3 op G 1 en G 2. Er geldt: G 3 1 G 1 en G 3 1 G 2. (G2,B3)G) 1mmers, (G J,G 3) -- (G 1, B3 - (GJ,B3)G (G ) 1 - (G 2 bG 1 2,G2) ) - (G B) (GJ,B3) (G G) (G 2,B 3) ( 1, 3 - (G ) J, 1 - (G G1,G2 1,G1 2,G2)

~g~:~:~.o

= (GJ,B3) - (G 1,B 3) -

= 0, en

(GJ,B3)G (G 2,B3) G )(G 2,G) 3 '" (G 2,B3 - (GbG ) 1 - (G 2 1 2,G2) - (G B) ~GJ,B3)(G G) (G2,B3) (G G ) 2, 1 - (G 2, 2 ) 2, 3 - (G bG 1 2,G2) (G 1,B 3))· 0 - (G 2,B3) -- 0 . -- (G 2,B) 3 - (GJ,G 1

G3 +- On· Want anders zou B3 een lineaire kombinatie zijn van G 1 en G 2, dus van BI en B2, terwijl (BI' B2, B3) onafhankelijk is als deel van basis b. Definieer F 3 door F3 = G 3/IIG311 . Dan is (F b F2, F3) een ortonormaal drietal in Ll met hetzelfde lineaire omhulsel als (BI, B2, B3), omdat F3 een lineaire kombinatie van Bb B2 en B 3 is. Zo kunnen we doorgaan. Stel eens dat we voor Q < k uit (Bi I i := 1(l )Q) in Q stappen het ortonorma1e Q-ta1 (F i I i := 1(l )Q) hebben gekonstrueerd via het Q-tal (G i I i := 1(l )Q) met de eigenschappen: 1) Fi in L(B j Ij := l(l)i) voor i:= l(l)Q . 2) L(Fj Ij := 1(l )Q) = L(B j Ij := 1(l )Q). (Q

+ 1I-de stap

Q

Definieer G Q+} door G Q+ 1 = BQ+l - .~ (~á'.Bá~)I) c, Dan staat G Q+ 1 loodrecht op Gj, . 1-1 l' 1 J := 1(l )Q. Q Q+ 1)G i,BG.) I mmers, (G j, G Q+l ) -- (G j,B Q+ - . :'": (G (G. i1 1-1

- (G B -

j,

Q+l

)

i;

-._

1-1 .

1>

1

(Gi,BQ+l)(G G)(G. G.) l'

1

j,

i -

Q

= (Gj,BQ+}) - .~ (G i,B Q+ 1)5 ij = (Gj,BQ+l) - (Gj,BQ+1) = O. 1=1 G Q+ 1 +- On' Want anders zou BQ+ 1 een lineaire kombinatie van (Gil i := l(l)Q), en dus van (Bi I i := 1(l )Q) zijn en zou (Bi I i := 1(l)Q + 1) afhankelijk zijn, wat in tegenspraak is met het gegeven dat b een basis is.

Definieer FQ+ 1 door FQ+ 1 = GQ+ 1/IIGQ+ 1 11 . Dan is (Fil i:= 1(l)Q+1) ortonormaa1. Voorts is FH 1 in L(Bïli:= l(lW+l), en L(Fïli:= l(l)Q+l) = L(Bïli:= l(l)Q+l).

180

§53

Als Q+ 1 = k , dan hebben we de basis b omgesmeed tot een ortonormaal k-tal f = (F, I i := 1(l )k), dat dus onafhankelijk is, en net als b de deelruimte ~ opspant. f is dus een ortonormale basis voor ~. We leggen deze uitkomst vast in een stelling.

Stelling 12 {Gram-Schmidt}

Iedere deelruimte ~ van IRn «Cn) heeft een ortonormale basis. Is b = (Bil i := 1(l )k) een basis voor ~ , dan kan men uit b als volgt een ortonormale basis f = (Fil i := I (l )k ) konstrueren

. B G k'= k

k-l

'"

-.~ 1-1

(G. B ) I' k G (G. G .) j ,

· . F k .=

"I

Voorbeeld 1 In IR4 is b = (BI ,B2 ,B 3 ) een basis voor de deelruimte

tonorrnale basis f

GI

(F"F"F,l voor

r. BI

H

:~ ~ BI =

~

G

IiG kk l\ '

r. We konstrueren

uit been or-

~ m, ~ ~-~l' ~ ~-tl·

(G"G,) = I' + I' + 0' + I'

B,

~

3;

B,

IIG,II =.,(3. F I = IIg:1I

~'*m

.

o 4

3" 5

-3

o 1

3"

; (G 2,G 2)

= (~l + C3s ) 2 + 0 2 + (1)2 = ~2;

IIG2 11

= 1~

§53 181 4 "3 5 G 2 = -3- - 3 F2 ._ .- IIG 2 11 V42 0

1

[4j.

.=V4ï

- 5

~

1

3

4

=

[t

5

!{-tJ r-tJ -tm -~2

0

-3

4

-7

""3 5

-3

= 2)" =

0

2

-7

=

-1

1

6 '7

"3

4

-7 = (- 74)2 + (-2)2 + (_ 1)2 + (.2.)2 = 105. 7 7 49 '

no 3 I1 = LW 7V

lVJ .

2

-7 7 F3·0=-..Jï05 -1

=

6

7

_4j [

1

- 2

=VI05 - ~

1

[Ij [ 4j~ ' [_4J~ 1

-5

1

= (0 ~ , V42

1

-2

y'W5 _

).

is b = (B}, B2 ) een basis voor een deelruimte F in

(C3 °

°

Dus f

Voorbeeld 2

In

(C3

ortanormale basis f

GI

:=

BI

=

G 2 := B2 -

[ 1] 2. 1-1

BI

=

[1];

= .~ xj + .~ Yj = .~ XjO sj + .~ yr O =

+

= Xs

°;:;

1=1

J=1

1=1

J=1

Xs = 0, voor s := 1(1 )k. Dus Y =

1=1

J=1

.±yjGj , en g spant /).1 op.

J=1

2) Iedere vektor U in IRn (Cn) is op precies één manier te schrijven als een lineaire k

kombinatie van de basis h . U

k

Q

= 1=1 .~ xjFj + .~ YjGj. J=1

Daarmee is X

= 1=1 .~ xjFj in

/).

Q

ondubbelzinnig bepaald en is evenzo Y = .~ YjGj in /).1 ondubbelzinnig bepaald terwijl U

J=1

= X + y.

3) Uit 2) volgt onmiddellijk IRn (C" ) = /). + /).1. 4) Stel dat U in /).

n

/).1.

Dan is U in /). en U is in

/).1.

Daar U in /)., is U t e schrijven Q

k

als U

= .~

1=1

k .~

Dus

1=1

xjFj, en daar U in /).1, is U te schrijven als U Q

= .~

xjFj

J=1

YjGj

k ~ .~

1=1

Q

xjFj -

.~

J=1

YjGj

= On'

= .~

J=1

YjGj.

Daar h onafhankelijk is zijn alle

Xj en Yj noodzakelijk nul; Xj = 0 , i := l(1)k en Yj = 0 , j := 1(1 )Q. Dus U = On, en

/). n

/).1

=

{On}.

5) Daar /).1 deelruimte is geldt 1) ook voor tJ..1 ; dim (/).1) + dim (/).1)1 = n. Blijkbaar hebben /). en (/).1) 1 dezelfde dimensie. (tJ..1 wordt als volgt gekenmerkt. Z in (/).1)1 ~ Z 1 /).1 ~ Z 1 Y voor iedere Y in /).1. Maar voor iedere X in /). geldt ook : Xl Y voor iedere Y in /).~ Dus /). C ( /).1)1. Daar dim /). = dim (/).1)1. volgt uit stelling 8 dat /). = (/).1.t. 0

l

De eigenschap 2), die overigens gelijkwaardig is met het tweetal eigenschappen 3) en 4) uit de stelling verwoordt men door: IRn (Cn) is de direkte so m van /). en /).1 . Notatie : IRn (Cn) = /). EIl /).1. Voorbeeld Laat ep het vlak in (C3 zijn bepaald door de vergelijking x, - X2 + (1 - i)x3 = 0. ep is een 2-dimensionale deelruimte van (C3 . Volgens stelling 13 is ep1 een I-dimensionale deelruimte van (C3 . Uit de vergelijking zien we onmiddellijk dat de vektor G =

[ 1]

loodrecht staat op iedere vektor X in ep. Blijkbaar

-1

1+ i

36,3 1

l()8 3600 24 365

dagen.

> 3,45 jaar.

Men ga zelf eens na hoeveel tijd nodig is om op een dergelijke snelle rekenmachine een 14 x 14 stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met de regel van Cramer. Het is duidelijk dat, afgezien van bijzondere matrixen en matrixen van lage orde, de rechtstreekse berekening van een determinant met de definitie erg tijdrovend is. We zoeken daarom naar een snellere berekeningswijze. Daartoe beginnen we met een stel eigenschappen van determinanten af te leiden. Daaronder zijn de reeds in § 36 verwoorde en aldaar voor n = 3 bewezen eigenschappen. De nummering in § 36 stemt overeen met de hier gebezigde. Nummers boven gelijktekens slaan terug op de aldaar gebruikte eigenschap van determinanten. Uit de af te leiden eigenschappen zal als vanzelf een

§62 213

vlotte berekeningswijze voor determinanten voortspruiten, en het zal blijken dat deze veel overeenkomsten vertoont met de eliminatiemetode voor het oplossen van een st elsel lineaire vergelijkingen. Eigenschap 0

Laat A een n x n-rnat rix zijn met een kolom{rij ) di e slechts uit nullen bestaat. Dan is det A = O. Bewijs. Voor ied ere permutatie a van J n bevat het produkt al,a(l )a2,a(2)' ..an,a(n)

precies één element uit iedere kolom en uit iedere rij van A. Voor iedere a uit Sn b evat al ,a(l)' ..an,a(n) dus een faktor 0 afkomstig van de nul-kolom (-rij), zodat detA= I: sgnaal ,a(I) . ..an,a(n) =O. a E

s,

0

Eigenschap 1

De determinant van de eenheidsmatrix In is gelijk aan 1, det In = 1. Bewijs. det I., =

I:

.5 n,a(n) = " {Als a =1= E, dan is er een p in Jn

sgna5 1 ,a(I)5 2,a(2)"

a E Sn

met a{p) =1= p, zodat 5 p,a(p) = O. Daaruit volgt dat voor a =1= E geldt : 5 1,a(n) ...5 n,a(n) = O}" = sgnE5 115 22 .. .5 nn = 1. 0 Eigenschap 2

Is A een boven- of een benedendriehoeksmatrix van de n-de orde, dan is detA gelijk aan het produkt van de n hoofddiagonaalelementen van A.

Bewijs:

a) detA =

I: sgna al,a(l)a2 ,a(2) ' .. an,a(n)' We tonen aan dat voor iedere a uit Sn die a E Sn

ongelijk aan E is, geldt dat al ,a(l)a2,a(2)' . .an,a(n) = O. Dan volgt dat detA = sgn€alla22' ..a nn = alla22' ..a nn en zijn we klaar. b) Kies willekeurig een a uit Sn, maar a =1= E. Dan is er een p in Jn met a{p) =1= p. Stel a{p) = q, dan is afp < q, afp > q. bI) Stel p < q; dus 1 ~ p < q ~ n, en a{p) > p. Als A benedendriehoeksmatrix is, dan is ap,a(p) = O. Daaruit volgt dat al,a(l)' ..ap,a(p)· ..an,a(n) = O.

.

p

q

A=

Voor het geval dat A een bovendriehoeksmatrix is, tonen we vervolgens aan dat er ook een r in Jn bestaat waarvoor geldt dat a{r) < r.

214 §62 1 a

p q

= ( aO )

n)

q a(q)

a(n) .

Daar q door a aan p is toegevoegd zijn er voor de n - p getallen p + 1, . .. ,q - l ,q,q + 1, ... ,n van Jn nog maar n - p - 1 getallen groter dan p om door a aan te worden toegevoegd; namelijk , de getallen p + 1, ... ,q - l ,q + 1, ... .n. Daar a bijektief is, is er dus een r in Jn , groter dan p, waarvoor a(r ) ~ p. Stel a(r) = t.

r...

n)

1 . .. t ... p ... q ... . a= ( aO ) . . . aCt) ... q ... t ... a(q ) ... a(n) .

< r is ar,a(r) = 0

Daar a(r) dat

als A een bovendriehoeksmatrix is, zodat dan ook geldt

al ,a(l) ' .. ar,a(r)· .. an,a(n)

= O. r

t

I

I

A=

~) St el p

'> q ; dus 1 ~ q

< p ~ n.

Daar a bijektief is levert een, met het geval bI overeenkomstige, redenering dat er een r in Jn bestaat met de eigenschappen: l ~ r ~ p - l ~ a(r ) ~ n.

{p

r...

n)

1 ... q ... p ... t ... a= ( ot I) ... a(q) ... t . . . q ... ott) ... a(n) . Dus a(p)

r zodat geldt dat

al,a(l)' ..ar,a(r)· .. ap,a(p)' ..an,a(n)

= 0,

of A nu boven-, dan wel benedendriehoeksmatrix is.

o

Uit het bewijs onder b trekken we de slotsom dat de enige permutatie a van Jn waarvoor geldt dat a(i) ~ i voor elke i in Jn de identieke permutatie e is. Evenzo is e• de enige permutatie a van Jn waarvoor geldt dat a(i) ~ i voor elke i in Jn. Eigenschap 3

Laat A een n x n-rnatrix zijn . Dan geldt: detAT

Bewijs. Stel B detB

=

= AT,

dan moeten we bewijzen dat det B

~ sgnabl,a(1)b 2,a(2)"

a E Sn

= detA.

.bn,a(n)

=

= det A.

~ sgnaa a(l) ,laa(2),2"

a E Sn

.aa(n),n

=

§63

215

" {De vermenigvuldiging in IR en in

en anderzijds

k-1

k-1

Blijkbaar geldt .L aiÀi\1 = ,L aiÀk\1, hetgeen gelijkwaardig is met 1=1

1=1

k-1 L a'(À' i=1 1 1 - Àk)\T;1

=0n. k-1

Omdat (\1 , i := 1(l)k -1) onafhankelijk is volgt uit i~1 ai(Ài - Àk)\1 = On, dat ai(Ài - Àk) = 0,

i := l(1)k-1.

244 §68

°

Maar alle eigenwaarden zijn verschillend, dus uit aiO\i - Àk ) = volgt dat ai = 0, i := I (l)k - 1. Dat betekent dat Vk = On, hetgeen in tegenspraak is met het gegeven dat Vk een eigenvektor is. Uit deze tegenspraak volgt dat de beginveronderstelling onjuist is. Dus is het r-tal (Vj, i := I(l)r) onafhankelijk. 0 Omdat iedere eigenrimte van een matrix tenminste I-dimensionaal is, volgt uit deze eigenschap dat een n x n-matrix ten hoogste n verschillende eigenwaarden heeft. Immers, ieder (n + I )-tal vektoren in en van XI naar een persoon X 2 , enzoverder. Allerlei redenen leiden ertoe dat het niet zeker is dat een persoon die een bepaalde informatie krijgt, diezelfde informatie weer doorgeeft aan de volgende persoon. We nemen aan dat de informatieverspreiding plaats vindt zoals beschreven in de volgende tabel. Zegt een persoon Xi dan zegt de volgende per soon Xi +1

devaluatie

ik weet het niet

4

devaluatie

10

ik weet het niet

10

2

4

10

6

rs

2

10

10

2

ïö ïO

2

geen devaluatie

geen devalu ati e

4

4

10

Dat betekent dat wanneer Xo "devaluatie" zegt tegen XI, de kansen op wat XI weer tegen X 2 zegt in de eerste kolom van de tabel staan. Dus XI zegt "devaluatie" met een kans van 40 %, zegt "ik weet het niet" met een kans van 40 %, en zegt "geen devaluatie" met een kans van 20 %. Zegt Xo echter "ik weet het niet", dan lezen we uit de tweede kolom dat X, "devaluatie" zegt tegen X 2 met een kans van 20 %, "ik weet het niet" met een kans van 60 %, en "geen devaluatie" zegt met een kans van 20 %; enzovoort. Laat nu M de reële 3 x 3-matrix zijn bepaald door de getallen uit de tabel.

M=

4 10

2 10

2 10

4

rs

6

ïO

4 10

2 10

2 10

4 10

={~

I

3 2

n

§69 247

Laat voor i in IN de vektor Yj in IR3 als volgt de kansen bergen op wat de persoon X, tot de persoon Xi +1 zegt.

J

kans dat x, "devaluatie" zegt Yj = kans dat X, "ik weet het niet" zegt , [ kans dat X, "geen devaluatie" zegt

i> O.

Het is duidelijk dat Y1 = MYo ; er is één tussenpersoon. Evenzo is Y2 = MY1 • Met Y1 = MYo volgt Y2 = M2 y o ; er zijn twee tussenpersonen. Bij drie tussenpersonen volgt Y3 = M3 y o, enzovoort. In het algemeen beschrijft de matrixvergelijking i

E

IN

de informatieverspreiding van persoon X, naar persoon Xi+l' Zo 'n vergelijking heet een rekurrente betrekking voor de rij CYj):'o' Samen met de zogenaamde beginvoorwaarde Yo, bepaalt deze ondubbelzinnig de hele rij. Yr kunnen we met de rekurrente betrekking, teruglopend , uitdrukken in M en Yo . Yr -- MYr-l -- M2 y r-2 -- M3 yr-3 -- . . . -- Mr- 1 Y1 -- MrY,

°.

~ beschrijft de informatieverspreiding bij r tussenpersonen. Willen we weten hoe het gerucht zich zal verspreiden bij 100 tussenpersonen, dan moeten we MlO O berekenen. Van de onderhavige matrix M zijn de eigenwaarden berekend en een onafhankelijk drietal eigenvektoren bepaald in het voorbeeld van paragraaf 67 .

Dit drietal eigenvektoren laten we nu de kolommen zijn van een matrix P.

P

=

[

0] 1 1 2 -1 - 1 . 1

0

1

We zullen laten zien dat Peen diagonaliserende matrix voor M is. Omdat het drietal eigenvektoren van M onafhankelijk is, bestaat P- 1 . Dit kenmerk is beslissend voor het sukses van de metode. In de volgende paragraaf zullen we het neerleggen in stelling 15. Met het rekenschema uit paragraaf 15 vinden we

P-1=t[ ~ -~ -~] . - 1 - 1

3

248

§69

MP = PD ~ "{links vermenigvuldigen met P- 1}" ~ P-1MP = D, en P is een diagonaliserende matrix voor M. MP = PD ~ "{rechts vermenigvuldigen met P- 1}" ~ M = PDP- 1.

MlOO

= (PDP-1 )100 = PD100p-1 = P

[~(;)'oo ~ ]

P- 1.

o

(ti OO

0

Daar (p4 al zeer veel kleiner is dan het grootste element van de 3 x3-matrixen P en p- 1 is het niet onredelijk in het raam van dit probleem te stellen dat

o o o o

~]P-l [~1 -~0 -~]1 [~0 ~0 ~]t[ ~ -~ -~]3 0 -1 -1 =

o o [ o o -1

~] ~ -~ -~] = -1

3

1

"4 1

2" 1

4"

1

"4 1

2" 1

4"

=

1

"4 1

2"

= N.

1

4"

1

4"

Y100 ~ NYo

=

t

voor de drie mogelijke beginwaarden voor Yo. We zien hieruit dat

1

"4

de verspreiding van het gerucht over een mogelijke devaluatie van de gulden niet afhangt van de door de eerste persoon Xo geleverde informatie. Verder blijkt dat met 1

4"

toenemende r Yr steeds beter benaderd wordt door

t . We geven dat aan door 1

4" 1

"4

lim Yr

r-.. 00

=

1 -2

1

4"

,en trekken er de slotsom uit dat van het deel van de bevolking dat

§69 249

het gerucht verneemt

!' dat is 50 %, er geen

!' dat is 25 %, zal menen dat er een devaluatie zal plaatsvinden, mening over zal hebben en ! de mening zal zijn toegedaan dat

er geen devaluatie zal plaatshebben.

Opgave 72 a) Herhaal de berekening uit bovenstaand voorbeeld in de volgende drie gevallen waarin M achtereenvolgens vervangen is door 611

10

( i)

10

3

10

8

10

3

10

10

,(ii)

211

652

10

10

7

10

10

10

8

W

10

7,

(iii)

I

10

10 2

10

10 1

10

1

16

112

337

10

10

10

10

10

10

W

10

10

Verklaar waarom deze matrixen alle de eigenwaarde 1 hebben en ga de betekenis na van de eigenvektor bij eigenwaarde 1 voor de uitkomst van het probleem. b) Voor de wijze van vakantie houden van Nederlanders nemen we het volgende aan. Houdt een Nederlander in zeker jaar in eigen land vakantie, dan is de kans 80 % dat hij het jaar daarop volgend weer in Nederland vakantie houdt terwijl de kans 20 % is dat hij dan in het buitenland zijn vakantiebestemming zoekt. Voor de Nederlander die in zeker jaar in het buitenland vakantie houdt, zijn de overeenkomstige kansen achtereenvolgens 40 % en 60 %. Bereken wat op den lange duur het percentage der Nederlanders is dat in Nederland, en dat in het buitenland zijn vakantie doorbrengt. c) De rij van Fibonacci is de rij (Xj)';:O van reële getallen bepaald door Xo x, = 1 en Xj+2 = Xj+I + x., i E IN. Toon aan dat X100 gelijk is aan het gehele getal dat het dichtst ligt bij

= 0,

_1 (1 + 0/00

02

Aanwijzing: Beschouw de rij (Yj):o van vektoren in IR? bepaald door

IJ ' i EIN.

Yj = [:: +

Leid uit Xj+2 = Xj+I + Xj een rekurrente betrekking af voor de rij (Yj):o' d) Een kansmatrix is een reële m x n-matrix A met de eigenschappen: 1) ajj ~ 0, i := I(l)m, j := I(l)n. m

2)

~

Ï=I

ajJ' = 1

'

j:= I(l)n

Toon aan dat iedere vierkante kansmatrix eigenwaarde 1 heeft.

250

§70

70 Gelijkvormigheid van matrixen

en stelling 15

We leggen nu enige begrippen vast die het spreken over deze zaken in het vervolg vergemakkelijkt. Laat zowel A als Been n x n-matrix zijn. A heet gelijkvormig met B als er een inverteerbare matrix P bestaat met de eigenschap dat B = P-1AP. Deze betrekking tussen n x n-matrixen is symmetrisch; dat wil zeggen, als A gelijkvormig is met B, dan is ook B gelijkvormig met A. Immers, uit P-1AP = B volgt door links met P en rechts met p- l te vermenigvuldigen dat A = PBP- l = (P- l f l BP- l . Uit het eerder besproken voorbeeld blijkt dat de matrix

M

=

iU ~

n

gelijkvormig is met D

=

[~

n

;

Als A en B komplexe matrixen zijn en er bestaat een unitaire matrix P, dus p- l zodat

= pH,

dan zeggen we dat A unitair gelijkvormig is met B. Voorbeeld

D e k omp 1exe matrix " [1

1

-5 -1

[2i -4] o -2i

=

IS

1 +2i -

1 omdat de matrix

J" unitair "" geliikJ vormig" met d e komnlexe rnatri [2i omp exe matnx 0

V6

V6

-1 + 2i

1

V6

V6

1

1 + 2i

V6

Y6

-1 + 2i

V6

1

V6

unitair is, terwijl er geldt:

H

[

~5 ~lJ

I

1 + 2i

.J6

.J6

-1 + 2i

V6

I

V6

Als A en B reële matrixen zijn en er bestaat een ortogonale matrix P, dus p- l zodat

dan zeggen we dat A ortogonaal gelijkvormig is met B.

= PT

-4J

-2i

'

],

§ 70 251 Voorbeeld De reële matrix

[_~

omdat de matrix

: ] is ortogonaal gelijkvormig met de reële matrix [ _

~ ~

J,

r 001

ortogonaal is terwijl er geldt:

-J2 J2J

[-

~~

] =

r0 ~] [-~ r 00]. -JZ V2

T

: ]

-JZ J2

Is de matrix A gelijkvormig met een diagonaalmatrix D, dan noemen we de matrix P waarvoor geldt dat D = p-l AP een diagonaliserende matrix voor A. In het voorbeeld

van paragraaf 69 hebben we in de matrix

[~ -~ -~] al een diagonaliserende 101

matrix voor de matrix M =

t [~

1

~ ~] ontmoet. 1

2

In de volgende stelling bewijzen we het in het vooruitzicht gestelde kenmerk voor het gelijkvormig zijn van een vierkante matrix met een diagonaalmatrix.

Stelling 15 Laat A een n xn-matrix zijn. De volgende twee uitspraken zijn dan gelijkwaardig. 1) A heeft een n-tal eigenvektoren dat onafhankelijk is. 2) A is gelijkvormig met een diagonaalmatrix, ofwel er bestaat een diagonaliserende matrix voor A. Is A gelijkvormig met een diagonaalmatrix L, dan is elk element van de hoofddiagonaal van L een eigenwaarde van A. Is Q een diagonaliserende matrix voor A dan is iedere kolom van Q een eigenvektor van A.

Bewijs a) Laat (Vj, i := 1(l )n) een onafhankelijk n-tal eigenvektoren van A zijn. Dus bestaan er getallen Ài, waarvoor geldt dat AVj = ÀiVj, i := l(l)n. Merk op dat de getallen Ài niet alle verschillend hoeven te zijn. Definieer de matrix P door pO) = Vi en de diagonaalmatrix D door dii = Ài , i:= l(l)n.

P=

I .. Vn ,en D

I

=

252

§7ü

I I I I =

I

À1

I

À2

= PD.

VI V2 ... Vn

I I

Àn

Omdat het n-tal (Vi> i := I (l )n) onafhankelijk is bestaat volgens stelling 3 P- 1• AP

= PD

~ "{links vermenigvuldigen met P- l

}"

~ p- l AP

= D.

Dus A is gelijkvormig met een diagonaalmatrix, en P is een diagonaliserende matrix voor A. Blijkbaar volgt uit uitspraak 1) noodzakelijk uitspraak 2). b) Laat nu Q een diagonaliserende matrix voor A zijn. Dan is A gelijkvormig met de diagonaalmatrix L bepaald door L = Q-I AQ, Uit Q-1AQ = L volgt AQ = QL.

AQ

QL

=A

=

I I

I

Q(l) Q(2) . ... Q(n)

I

=

I

I

I

AQ(I) AQ(2).,. AQ(n)

I

Q(2) " ' . Q(n)

=

Uit AQ = QL volgt: AQ(j) = QjjQ(j), j := I (l )n. We maken hieruit drie gevolgtrekkingen: I. Voor j := I (l)n is Qjj een eigenwaarde van A, omdat Q(j) 4= On' Dus, als A gelijkvormig is met een diagonaalmatrix, dan is elk hoofddiagonaalelement van die diagonaalmatrix eigenwaarde van A. 11 Voor j := I (l)n is Q(j) een eigenvektor van A. Dus, als Q een diagonaliserende matrix voor A is, dan is iedere kolom van Q een eigenvektor van A. 111 Daar Q inverteerbaar is vormt het n-tal kolommen van Q een onafhankelijk stel eigenvektoren van A. Dus uit uitspraak 2) volgt noodzakelijk uitspraak 1). 0

§70 253

Opgave 73 a) Onderzoek voor i := 1(1)7 of de reële matrix Aj gelijkvormig is met een diagonaalmatrix. Al = [

As =

4 -1

1

J, Az =

2

[-3 1-1] -7

-6

[1 1 1]

5 -1

0 -1 -2 ,A 3 = 0 0 1

,A 6 =

lS 2 -1

6 -2

0 0

0 3 -2 1 1 0 0

[1 -3 3] 6 -6

n l~ 7

A

n n

[0 -1

3 ,A 4 = I 0 400

3 -5

=

I 0 0 0

0 2 0 0

b) Onderzoek voor i := I (l)4 of er een diagonaliserende matrix bestaat voor de komp1exe matrix Bj. BI = [ _

~ ~ J, Bz = [: =~ J ' B

3

=

[I ~

i

I + iJ

4

,B 4 =

[i 3 - 3i

3 + 3iJ -5i .

c) C is de reële matrix bepaald door C = [ 10 3 -2J 3' Bereken een matrix waarvan het kwadraat gelijk is aan C. d) De reële 3 x 3-matrix D (geen diagonaalmatrix) heeft de eigenwaarden -8,

en 8. VI = [

jl

V, = [

=n

en V, = [

-n

rijn eigenvektoren van D.

DVI = -8VI, DVz = Vz en DV3 = 8V3 . Bereken een matrix M met de eigenschap M3 = D. e) E, F, G en H zijn reële n x n-matrixen waarvan G en H diagonaalmatrixen zijn. E is gelijkvormig met G, en F is gelijkvormig met H. Voor i:= l(l)n geldt dat lsul < 1 en Ihijl ~ 1. F heeft eigenwaarde I en de vektor V is een basis voor de bij I horende eigenruim te I] van F. (Xj):'o en Oi):'o zijn twee rijen vektoren in IRn die achtereenvolgens voldoen aan de rekurrente betrekking Xj+1 = EX j en Yj+l = FYj, i E IN. Als Xo =1= On, laat dan zien dat .lim X, = On' 1->00

Als Yo =1= On' laat dan zien dat Iim Yj gelijk is aan of V, öf On' Geef aan voor 1->00 welke Yo geldt dat Iim Yj = V. 1->00

f) FI en F z zijn twee verschillende reële n xn-matrixen. De n getallen Ài>

i := l(l)n zijn alle verschillend en vormen de eigenwaarden van zowel FI als Fz. Bewijs dat FI gelijkvormig is met Fz . g) GI en G z zijn twee verschillende reële n x n-ma trixen. De r getallen Jli, i := 1(l)r, waarbij r < n, zijn alle verschillend en vormen tezamen de eigenwaarden van zowel G] als G z . Is G] gelijkvormig met G z ? Zo ja, bewijs dat; zo nee, geef een voorbeeld.

254 § 71 h) A, B en R zijn reële n xn-matrixen. A is gelijkvormig met R en R is gelijkvormig met B. Bewijs dat A gelijkvormig is met B.

71

Spoor en karakteristieke veelterm van een matrix Laat A een n x n-matrix zijn. Het spoor van A, notatie sp A, is de som van de hoofddiagonaalelementen van A. n

~

sp A =

i=l

a··. 11

Voorbeeld 1 +i 7 N = [ 8 -i

2 - 3i 6

~i] ; sp N = (l + i) + (-3i) + 10 = 11 -

2i.

10

We zullen zien dat zowel het spoor van A als de determinant van A in betrekking staat tot de wortels van de karakteristieke vergelijking van A. Laat t een getal zijn. Schrijven we det (tIn - A) met behulp van de definitie van determinant als som van n! termen dan volgt

det (tIn - A)

= -am

= (t -

-a n2

"

t - a nn

all)( t - a22) . . . (t - a nn) + overige termen.

Werken we de n! termen uit en sorteren we vervolgens naar machten van t, dan blijken de "overige termen" slechts machten van t te behelzen met macht kleiner dan of gelijk aan n - 2. De term (t - all)(t - a22) ... (t - a nn) = t n - (all + a22 + . .. + ann)tn-l + (machten van t met macht kleiner dan of gelijk aan n - 2). De konstante term, dat is de term van t O , van de zo ontstane ontwikkeling naar machten van t van det (tIn - A), is (_l)n det A. Immers, tot die term worden beide uitdrukkingen teruggebracht nadat t = 0 ingevuld wordt, en det(OI n - A) = det(-A) = (-l)ndetA. Blijkbaar geldt

det Itl., - A) = t n - spAot n- 1 + . . . + (-l)ndetA. Voor n = 2 volgt in het bijzonder det (tI 2

-

A)

=

t - all -a21

I

§ 71 255 De karakteristieke vergelijking van een 2 x2-matrix kunnen we hiermee rechtstreeks opschrijven. Van de matrix Voor n

=3

luidt die t 2 - 8t + 13

= O.

rekene men zelf na dat

det (tI 3 - A)

= t3 -

[~ ~ ]

=

t - all -a21 - a31

(all + a22 + a33 )2 t + (Iall a21

Merk de cyclische verwisseling op van de termen bij 1. Het toepassen van de formule voor n = 3 is, in tegenstelling tot die voor n = 2, niet altijd minder bewerkelijk dan het rechtstreeks uitrekenen van det (tI - A). Het functievoorschrift t -+ det (tIn - A) is blijkbaar dat van een veelterm van de graad n. Deze veelterm heet de karakteristieke veelterm van A die we aangeven met D.A' Is A een kompie xe matrix, dan is D.A een komplexe veelterm gedefinieerd op i := 1(I )n, dan kunnen we D.A schrijven als

Werken we dit produkt van n faktoren uit en sorteren we vervolgens naar machten van t, dan volgt

Vergelijken we deze formule met de eerder afgeleide formule voor D.A (t) dan zien we dat n

sp A

n

= i:l ~ IJ· l'

en

det A

= i:l n IJ·.1

Zijn alle mulpunten van D. A verschillend, dan heeft A n (verschillende) eigenwaarden; ieder nulpunt bepaalt één eigenwaarde. Blijkbaar geldt dan sp A is de som van de eigenwaarden van A, det A is het produkt van de eigenwaarden van A. Is

IJ

een k-voudig nulpunt van D.A' dat wil zeggen dat de faktor t -

IJ

precies k keer

n

voor komt in D.A(t)

= 1=1 Il (t -

IJi) ,

dan zegt men dat de door

IJ

bepaalde eigenwaarde

256

§7l

X, dus X = IJ, de algebraïsche multipliciteit k heeft, of dat X k-voudiq is. We geven dat aan door cx(X) = k. Heeft A reigenwaarden Xj , j := 1(1 )r , dan volgt uit de bovenstaande formules voor sp A en det A dat sp A

r

= i=1 L X·cx(X·) J J

en

Deze formules gelden voor iedere komplexe vierkante matrix A, maar uiteraard niet voor iedere reële vierkante matrix. Zo heeft de reële matrix

[_~

_ ~ ] als karakteristieke

veelterm t --* t 2 + 4, en deze veelterm heeft geen nulpunten. De twee formules gelden echter wel voor die reële n x n-matrixen waarvan de karakteristieke veelterm n al of niet samenvallende nulpunten heeft. Voorbeeld

De reële 3 x 3-matrix M

~t

n~ n

heeft als karakteristieke veeItenn

t --* (t -l)(t - t)2. De formules zijn dus toepasbaar. We gaan die even na. M heeft twee eigenwaarden Xl = 1 met cx(Xl) = 1 en X2 = t met cx(X2) = 2 . 2

L X·cx(X·) = lol + 1.2 = 15 = 15 + 15 + 15 = sp M. i=1 I I 5

ft X·cx(X

j=1

j)

= llo(li = -1... 5

I

2

detM =

1

1

S

S- S

2

3

s 1

5

5 1

S

25

2 1 2 5 =3 5 1 2 5 2

1 3 1

1 2 2

1 1 -3 -1

2 CJf_-L - 5 -2 3

1 2 11_ 0 --11- 5 3 -3 - 1 0

1 25'

Tot slot van deze paragraaf vermelden we zonder bewijs de stelling van CayleyHamilton die luidt dat een n x n-matrix A nulpunt is van zijn karakteristieke veelterm Li A; dus LiA(A) = O. Hamilton bewees de stelling in een heel andere gedaante rond 1850 voor het geval n = 3, terwijl Cayley de stelling slechts vermeldde in zijn, in hoofdstuk 2 genoemde, artikel uit 1858. Pas in 1878 bewees Georg Frobenius (1849-1917) de stelling voor willekeurig gekozen n. We passen deze stelling toe en berekenen er als volgt de inverse van bovenstaande matrix M mee. A () _ ( 1)( t - 5"1)2 _- t 3 - st 7 2 11 1 ~M t - t + 25 t - 25' Volgens de stelling geldt nu: M3

-

~M2 + ~~M -

21513 =

O.

§71

-

3

257

3

M - ~M2 + i~M 21513 = 0 ~ M _~M2 + i~M = 1513 ~ 2 ~ M(M 2 - ~M + i~13) = 215 13 ~ M(25M - 35M + 111 3) = 13, Blijkbaar is M- I = 25M 2 - 35M + 1113 =

~ 25'i, [':2

I: I~] -35'{~

~

Opgave 74 a) A is een reële 3 x 3·matrix; A (i)

(ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

~

n11 [~ +

U=~

0] [4 -1 -1]

o

1

o = -2 -1

3 -2 .

-1

Bereken sp A, det A en geef de karakteristieke vergelijking b.A van A. Bereken de eigenwaarden van A en vermeld hun algebraïsche multipliciteiten. Ga voor A de stelling van Cayley-Hamilton na. Bereken A-I uit (ii) en leid uit (ii) de karakteristieke veelterm van A-I af. Bereken getallen x, y en z zodat A8 = xA2 + yA + zI. Bereken de eigenwaarden van Al. Leid uit (v) de karakteristieke veelterm van A-I af en vergelijk het antwoord met dat van (iii) .

matrix; B =

[p7

+

07

= -5.

B is een reële 2 x2-

0J.

-p

Geef de karakteristieke veelterm van B. Bereken met behulp van de stelling van Cayley-Hamilton B27, B28, B29, B- 1 , B- 10 en s".

c) C is een 2 x 3-m atrix en D is een 3 x 2-m atrix ;

C

4

n

b) p , 0 en 7 zijn reële getallen waarvoor geldt p2

(i) (ii)

1

o

~ [~ _~

-n,

D

~

2] -1 ~ -~ [

.

Bereken sp CD en sp DC. d) R is een m x n-matrix en S is een n xm-matrix. Bewijs: sp RS = sp SR. In het bijzonder geldt dus voor ieder tweetal n xn-matrixen A en B dat spAB = sp BA.

258

§72

Opgave 75 A en B zijn met elkaar gelijkvormige n x n-matrixen. A heeft eigenwaarde À. en de dimensie van de eigenruimte r;\ van A bij À. is k. Bewijs de volgende uitspraken. a) det A = det B. b) sp A = sp B. c) A en B hebben dezelfde karakteristieke veelterm. d) À. is eigenwaarde van B, en de algebraïsche multipliciteit van À. betrokken op B is gelijk aan die betrokken op A. e) De dimensie van de eigenruimte van B bij À. is ook k.

72 Dimensies van eigenruimten en nogmaals stelling 15 Laat A een n x n-matrix zijn met eigenwaarde À.. De dimensie van de eigenruimte r;\ van A bij À noemt men wel de meetkundige multipliciteit van À.. Deze is kleiner dan of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit van À., dim

~ ~ a(À.).

Bewijs Stel dim r;\ = k . Kies een ortonormale basis (Vj, j := I (l )k) voor r;\ en breid die vervolgens uit tot een ortonormale basis v = (Vj, j := I (l )n) voor 0 en detD> O.

280 §76 (ii ) P > 0 en detD > O. Toon aan dat de funktie

f(xJ, x2 ) = pXf + 2a x lx2 + 7xi een kleinste waarde heeft in (0,0). (iii) Ga na welke van de onderstaande funkties een kl einste, en welk e een grootste waarde in (0 ,0) hebben.

= 2x f + 6XIX2 + 5xi + h(XI,X2) = - 5Xf + 2XIX2 - 6xi

g(Xl,X2 )

8,

+ 9,

k(xJ, x2 ) = 2Xf + 4XIX2 + xi + la. e) p, a, E =

[~ ~

;].

13 i

0:

(i)

13 en i zijn reële getallen en E is een reële symmetrische matrix ;

T, 0:,

Als E definiet positief is, bewijs dan dat p > 0, en det

[~ ~ ]

> 0 en

detE> O. (ii) Als p

>0

en det

[~ ~ ]

> 0 en detE > 0, bewijs dan dat E definiet

positief is. Aanwijzing. Voer geschikte elementaire rijbewerkingen op det E uit en bewijs daar uit dat T > 0, "Y > 0, Ti - 13 2 > 0 en Pi - 0: 2 > O. Leid daaruit af dat de karakteristieke veelterm van E alleen positieve nulpunten heeft. (iii) Onderzoek welke van de volgende reële matrixen definiet positief zijn ;

[ ~lo ~l ~l]' [~ ~ ~] , [~ ~ ~] , [~l ~l =~] . -1

2

1 4 1

1 2 3

-1

-1

2

(iv) Geef e.en noodzakelijke en voldoende voorwaarde, overeenkomstig met opgave d(i), opdat E positief is. f) M is een reële m x n-matrix ; F = MTM. (i) Toon aan dat F positief is. (ii) Rang M = n. Toon aan dat F definiet positief is.

76 Kwadratische

vormen

Laat A een reële n x n-matrix zijn . Een reële kwadratische vorm op IR" is een funktie f: IR" --+ IR van de gedaante

f(X) = f(

r~l J) ~ ~ .

x"

=

a.ix.x..

i =1 j =1 IJ 1 J

§76

281

We kunnen f als volgt in matrixvorm gestalte geven. n

~ aI 'x'

j=I

J J

n

n f(X )

=

~

n . ~ aijXiXj

i=I J=I

n

= .~

1=1

n Xi.~ aijXj

J=I

= [x ,

all al2 ... aln . a2n a21 a22

= [Xl

x2 ' . 'Xn 1

~ a2' x' J J

j= 1

=

Xl X2

= XTAX.

X2' .. xnl anI a n2 ... a nn

Xn

f is duidelijk niet lineair. Er geldt echter voor iedere a in IR:

We stellen ons de vraag of er een koördinatentransformatie bestaat, met nieuwe koördinaten Yj, i := 1(I )n, waarmee f(X) overgevoerd kan worden in een som van zuiver e kwadraten van de nieuwe koördinaten. Met andere woorden, kunnen we een t ransfo rm atie vinden waarvoor er getallen Pi, i := 1( L)n bestaan zodat n

f(X)

=

~ Piyr i=I

Met behulp van stelling 17 kan men bewijzen dat dat inderdaad het geval is voor iedere reële kvadratische vorm op IRn. Uit die stelling volgt tevens dat die transformatie ortogonaal is. Dat wil zeggen, dat de transformatiematrix ortogonaal is. Hoe men te werk moet gaan om die transformatie op te sporen tonen we aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld Laat g de reële kwadratische vorm op IR3 zijn, bepaald door:

We kunnen g, zoals hierboven voor f gedaan is, als volgt in matrixvorm schrijven:

282 § 76 We kunnen g echter ook beschrijven met behulp van een symmetrische matrix, zeg R:

= Xf + 4XIX2 + 6XIX3 + 2xi + 4X2X3 + x~ =

g(X)

"{splits de gemengde termen in twee gelijke stukken}"

= (xl + 2XIX2 + 3XIX3) + (2X2XI + 2xi + 2X2X3) + (3X3XI + 2X3X2 + x~) = XI(XI + 2X2 + 3X3) + X2(2xI + 2X2 + 2X3) + X3(3xI + 2X2 + X3) =

= [x ,

X2 X3]

[2:~ : ~:: : ~::] = [x, X2 X3] [~ ~ ~] [::]. 3XI + 2X2 + X3

.

3 2 1

X3

\

De matrix R

=

[

123]

2 2 2 321

is inderdaad symmetrisch, terwijl geldt dat g(X)

= XTRX.

Volgens stelling 17 bestaat er een ortogonale diagonaliserende matrix Q voor R. We sporen de eigenwaarden en eigenvektoren van R op en bepalen vervolgens Q.

det(t 13 - R)

t - 1 -2 -3 -2 t - 2 -2 -3 -2 t - 1

=

t - 1 -2 -3 = (t + 2) -2 t - 2 -2 -1 0 0

T=

t - 1 -2 -3 -2 t - 2 -2 -t - 2 0 t +2

t - 4 -2 = (t + 2) -4 t - 2 0 0

-3 -2 1

=

I:

CD

= (t

+ 2)(t 2

6t)

-

De eigenwaarden van R zijn : t'1 Nu de eigenvektoren. Bij À. I

= O.

~ [~ [ 3~ 2~ ~!~] 1:0 1 0 -+

i'

U]

= (t = 0,

+ 2)(t - 6)t. À. 2

=6

en À. 3

Los X op uit RX

:2 ~4!~] J -4 -8: 0

bij eigenwaarde 0 en met lengte 1. Bij À. 2 = 6. Los X op uit (61 3 - R)X

[~

-+

weg

is een oplossing. Na nonnering volgt dat VI

= -2. = O.

=

-1:0J

.

~[~] een eigenvektor van R is

= O.

5 -2 1[5 -2 t -3:0]@1 -2 4 -2: 0 -+ 8 o -3:0] -8 ~ 0 *~ @ [ -3 -2 5 : 0 -8 o 8 : 0 weg

t

o

-2 -4: 0

-+

[0 -2 1

o

:::

§76

[:] is een oplossing. Na nonnering is V,

) :=

=

0[:]

283

een eigenvektor van R bij eigen-

waarde 6 en met lengte 1. Bij À. 3 = -2. Volgens stelling 17 staat iedere eigenvektor van R bij eigenwaarde -2 loodrecht op de eigenvektoren van R bij de eigenwaarden 0 en 6. We berekenen nu een eigenvektor bij -2 door het uitprodukt te berekenen van

D],

een eigenvektor

bij 0, met [:] , een eigenvektor bij 6.

" =[

iJ]'

Na nonnering volgt dat V,

=

0[iJ]

een eigenvektor van R

is bij eigenwaarde -2 en met lengte l. We definiëren nu Q door 1

1

-/6 -J3 Q=

VI V2 V3

=

2

1

-ft -J3 1

I I

1

-::J6 -::J3

1

..fi 0 1

--;)2

Daar het drietal (VI, V2, V3) een ortonormale basis voor IR3 vormt is Q een ortogonale matrix. Met stelling 15 volgt nu dat Q-IRQ = QTRQ = diag(O,6,-2). We bepalen de ortogonale koördinatentransformatie, met Yb Y2 en Y3 als nieuwe koördinaten door

Dan volgt dat g(X) = XTRX = (QylRQY = yTQTRQY = yTQ-IRQY = = y Tdiag(O,6,-2)Y = [YI

Y2

Y3]

0] [00 o 0 6

0

0 -2

[YI] Y2 = Oyf + 6yl- 2yf = 6yl- 2yf. Y3

Daarmee is de gewenste som van zuivere kwadraten voor g(X) gevonden en de bijbehorende ortogonale koördinatentransformatie bepaald.

284

§76

We zien dat stelling 17 toepasbaar is in het voorbeeld omdat R symmetrisch is. We laten zien dat iedere reële kwadratische vorm f(X) = XTAX beschreven kan worden door een symmetrische matrix S. Definieer daartoe A+AT S=--2

Omdat XTAX een I x I-matrix is, is die gelijk aan zijn gespiegelde, zodat XTAX =(XTAXl = XTATX. Daarmee volgt dat

=

Men kan bewijzen dat S de enige symmetrische matrix is waarvoor geldt f(X) = XTSX. Op grond van stelling 17 bestaat er een ortogonale diagonaliserende matrix P voor S zodat

Met de ortogonale koördinatentransformatie

py

=p

[U :J =[

= X, n

volgt dan, evenzo als voor g, dat F(X) = L PiY/' Ieder der getallen Pi, i := I (l)n is Ï=J

een eigenwaarde van S. De rang van de reële kwadratische vorm f is bij definitie de rang van S. Er geldt: rang f is het aantal der getallen Pi, i := I (l)n dat niet nul is.

Opgave 83 a) Bewijs de laatste hierboven genoemde bewering. b) Onderzoek voor i := I (l)5 of de funktie bi: lR3 ~ lR een kwadratische vorm is op lR3 . b1(X) = XIX2 + xl + xi + 3X2X3 b 2(X) = b 3(X) =

xl + xl + 1 xl - 3xl + X2 xl - xl - 3XIX2

b 4(X) = bs(X) = (x, - 2X2 + 3X3)2 Bereken de rang van bovenstaande kwadratische vormen. c) gb g2, g3 en g4 zijn reële kwadratische vormen; gl, g2 en g3 zijn gedefinieerd op lR3 en g4 op lR4.

§76 285 Bepaal voor i := 1(1)4 een ortogonale koördinatentransformatie die gj(X) overvoert in een som van zuivere kwadraten en geef die som. Bereken tevens voor i := 1(1)4 de rang van gj. gl(X) = x? + 4XIX2 - 2XIX3 + 2xi - l2x2x3 - 7xl, g2(X) = 7x? - 4XIX2 + 6xi - 4X2X3 + 5xl, g3(X) = 2x? + 5XIX2 + 5XIX3 + 2xi + 5X2X3 + 2xl, 5 1

o -4

-3o 6] 6

-2 2

4

X.

1

d) Van twee krommen in het platte vlak zijn hun koördinatenvergelijkingen gegeven ten opzichte van een ortonormale basis e = (el, e~). (i) 2x? + 6XIX2 + 5xi = 1 bepaalt de eerste kromme, (ii) 2x? + 6XIX2 - 4xi = 1 bepaalt de tweede kromme. Ga na welke van de twee een ellips, en welke een hyperbool is. e) g is de volgende reële kwadratische vorm op lR2. g(X) = x? + 4XIX2 + 3xi. Bereken de grootste en de kleinste waarde van g op de volgende twee verzamelingen. (i) x? + xi = 1, (ii) x? + xi = 4. n f) A is een reële positieve n x n-matrix. f is de reële kwadratische vorm op lR bepaald door f(X) = XTAX. Toon aan dat f zijn kleinste waarde aanneemt in Ong) De reële kwadratische vorm h op IR3 is bepaald door h(X) = x? + xi + 3xl + 2XIX3 + 2X2X3· Bereken de grootste en de kleinste waarde die h aanneemt op de verzameling x? + xi + xl = 1.

Opgave 84 Laat A een nxn-Hermite-matrix zijn. Een komplexe kwadratische vorm is een funktie f: