Lineaire algebra Dl. 1. [1e dr. ed.] 9789065620729, 9065620729

Citation preview

o

LINEAIRE ALGEBRA---_ _ _ _ MATRIXREI j, i,j := l(l)n, dus alle elementen onder de hoofddiagonaal zijn gelijk aan nul. Een bovendriehoeksmatrix waarvan alle diagonaalelementen gelijk aan nul zijn, noemen we een strikte bovendriehoeksmatrix. Enkele voorbeelden van bovendriehoeksmatrixen zijn :

A"U

~l r~

4 -1

B"

0

~l

3 5 0 -1 0 2 0 0

U -~l 7 -1 0 3

en C"

0 0

0 0

Hiervan is C een strikte bovendriehoeksmatrix. Evenzo definiëren we: Is A een nxn-matrix en is aij = 0 alsj > i, i,j := l(I)n, dan heet A een benedendriehoeksmatrix van de orde n. Is bovendien aii = 0, i := l(1)n, dan noemen we A een strikte benedendriehoeksmatrix. Enkele voorbeelden zijn:

D"H ~lE"r~l 0 2

0

0 2 2

0 0 1 3

~l

en F"

[~

0 0 7 0 4 -1

0 0

~l

Hiervan is F een strikte benedendriehoeksmatrix.

Opgave 22 a) A is een idempotente matrix, A *0. Bewijs dat voor ieder positief geheel getal p geldt AP = A. Geef een veelterm van de kleinste positieve graad waarvan A nulpunt is.

44

§13 b) x en y zijn reële getallen. B

= [~

-~ ]

is een idempotente matrix. Bereken

x en y. c) Toon aan dat C =

2 -23 -2]3 een nilpotente matrix is met index 2

-3

[

5 -5 -5

d) x, y en z zijn reële getallen. D

~ [: ~

n

is een nilpotente matrix met

index 2. Bereken x, y en z. e) E is een nilpotente matrix van de orde n met index 2. Bewijs dat voor ieder positief getal p geldt dat E(I + E)P = E. f) x en y zijn reële getallen. F

= [~ ~ ]

is een nilpotente matrix met index 2. Bereken x en y.

g) Toon aan dat G

~ r~

7

o o o

3 -1

0 0

6. . . 4] ~ een mlpotente matnx IS.

Bereken zijn index r. Onderzoek of er een veelterm met graad i:= 1Cl )r, [A I I J overgevoerd he b ben in [ I I B J .

[A I IJ

[ I I B J.

Als we vervolgens deze bewerkingen ei vervangen door hun bijbehorende omgekeerde elementaire rij bewerking e; en die dan in omgekeerde volgorde, I

ei,

i:= r(-l)!,

ten uitvoer leggen op [I I B], dan is het onmiddellijk duidelijk dat [I I B J daardoor weer overgevoerd wordt in [A I IJ. Evenzo is [I I A

[B I I]

J.

Hieruit blijkt inderdaad dat A de oplossing is van BX = I en dat B een en ander nog eens zien aan de matrix B uit het voorbeeld. 6

-Iö

l.. 10

3 10 5 10

[BII]= [

5 10

3

2

10 5 10

-10

8

22

-10

10

3

8

-10

-1

2

10

-Iö

1

0

22 10 2

1

o o

-ïO -1

o o

o

1

o

-2

1

0 1

o

o 22

3 -2

o

o

o

3]l

o 1

o o

1

o

1

o o -55-1 1

1

10

o o

1

o

2 -10

1

o

2

A-I. We laten het

o o o

:}_I

1

=

1:0

~ -:]r ~ f

-:h~ b ~

2o -3 5] 5 -1 111

= [I I A

J.

56

§ 15

Uit het voorga;mde trekken we de slotsom: Is A een nxn-matrix waarvoor een stel elementaire bewerkingen bestaat dat na tenuitvoerlegging [ A I I] doet overgaan in [ I I B ], dan is B = A-I . Anders geformuleerd: Als AB = I, dan is B = A-I. Omdat dan AB = BA = I geldt ook: dan is B- 1

= I,

Als AB

= A.

Een gevolg van het bovenstaande is: Zijn M en N twee vierkante matrixen van de n e orde, dan zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig. 1) 111 = N, 2) N- 1 = M, 3) MN = In' 4) NM = In. Hiermee hebben we het in het vooruitzicht gestelde rekenschema, of algoritme, gevonden om de inverse van een matrix te berekenen. Kunnen we dan met dit rekenschema ook vaststellen of een matrix geen inverse heeft? Ja, vanzelf; het lukt dan niet de matrix B rechts van de streep te vinden, doordat minstens één der op te lossen stelsels met A als koëfficiëntenmatrix strijdig blijkt te zijn. De mogelijkheid dat de op te lossen stelsels waar het schema voor staat één of meer vrijheidsgraden zouden hebben, en dus meer dan één oplossing zouden hebben, is natuurlijk uitgesloten omdat de inverse van een matrix ondubbelzinnig bepaald is. Gebruikmakend van het rekenschema zullen we laten zien

dat de zogenaamde telefoonmatrix A =

[~ [~

2 5 8

3 6 9

3 2 -3 -6 0

0

1

0

0 0

1 0

1

-4

[~ ~

n~? ~ [~ 0

1 1 -2

: ] geen inverse heeft

2 3 -3 -6 -6 -12

1

0

-4 -7

1 0

~J ~

--*

n

Blijkbaar is in dit geval de laatste vergelijking van zelfs alle drie de op te lossen stelsels vals. Er bestaat dus geen matrix B zodat AB = I. A heeft geen inverse. Een singuliere matrix is een vierkante matrix die geen inverse heeft. De telefoonmatrix is een singuliere matrix. Een reguliere matrix is een matrix die een inverse heeft. Een reguliere matrix is dus een vierkante matrix en wordt ook wel een niet-singuliere matrix of een inverteerbare matrix of een omkeerbare matrix genoemd. Is A een reguliere matrix, dan bestaat de omgekeerde van A, die we aangeven met A-I. Nu zou de gedachte kunnen postvatten dat we voor A-i ook weIl kunnen schrijven . Maar het bezwaar van die schrijfwijze in berekeningen is dat ons zicht op de volgorde der faktoren van een produkt erdoor verloren raakt, wat in die gevallen waar de faktoren niet verwisselbaar zijn tot fouten leidt. Bijvoorbeeld:

~

-

~

- -

-

--------------

---- -

--

----

§15 Is

l

nu gelijk aan A-I B of is

l

gelijk aan BA-I?

*

*

Daar in de meeste gevallen A-I B ongelijk is aan BA- I is de notatie dus niet gedefinieerd. Daarom verwerpen we de notatie voor A-I.

dubbelzinnig en

Opgave 31 a) Bereken van de volgende matrixen, zo mogelijk, de inverse.

3] [2-1 I]

2 3 5 5 12

A=[:

m

aen

D=[ -I~

-10

r~

1 3 3

G=

4

0 6 2 1 2 4 4

,B =

-11 -8

8 -7 6 -5

-H E=r~

1 3 3 2

1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

~l H=

2 4

3 3 3 3 1 0 0

,C =

[2 -I

1 -3 1 7

n

:]l ' F=r~0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

5 5 7 5 9 , K= 1 11 0 1

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

1

4

1l 1 2 3 0 0

1 2 3 2 0

e) x is een getal. Onderzoek voor welke waarden van x elk der volgende matrixen inverteerbaar is. x+l p = [ 1 ,R= x+3 x+l x+I ], Q = -; o x-4 x2 7 3 x+l -2 -x o .

~

3]

[~

Opgave 32 n

2 3 2 1

b) Bereken de inverse van diag 0,2, -3, I~). c) Formuleer een noodzakelijke en voldoende voorwaarde opdat een diagonaalmatrix inverteerbaar is. d) Formuleer een noodzakelijke en voldoende voorwaarde opdat een bovendriehoeksmatrix inverteerbaar is. Laat zien dat de inverse van een bovendriehoeksmatrix, mits die bestaat, weer een bovendriehoeksmatrix is.

~

a) Bewijs dat het matrixprodukt

U]

[5

I

b) A is een 3 x I-matrix en B is een 1 x3-matrix. Bewijs dat AB een singuliere matrix is. c) À, J.1, a,

~,

"(, 0, € en I{J zijn getallen.

[l-X

57

~].

2] niet inverteerbaar is.

58

§16

Bewijs dat het matrixPfOduk{

~ ~] [ ~

(3 €

; ] niet inverteerbaar is.

d) C is een 3 x 2-matrix en D is een 2 x 3-matrix. Bewijs dat CD een singuliere matrix is. e) À-i, i:= 1(1)m zijn getallen. E is de (m + 1) xm-matrix bepaald door eij = Ó ij,

i := l(l)m

ern+l ,j = À- j

I

j := l(1)m

F is een willekeurige m x(m + 1)-matrix. Bewijs dat EF een singuliere matrix is.

Opgave 33 a) A is een vierkante matrix waarvoor geldt dat A2 + 31 = O. Bewijs dat A omkeerbaar is. b) B is een vierkante matrix waarvoor geldt dat B2 + SB + I = O. Bewijs dat B regulier is. c) C is een vierkante matrix die nulpunt is van de veelterm 2e - 8t 2 + 3t - 4. Bewijs dat C niet-singulier is. d) f is een veelterm van de graad r; f(O) i= O. D is een vierkante matrix die nulpunt is van f. Bewijs dat D omkeerbaar is. e) E is een vierkante matrix waarvoor geldt dat E 2 = O. Bewijs dat E singulier is.

o Bewijs dat 1+ E regulie'r is. g) Bewijs dat f(E) regulier is. h) Welke matrixen hebben zichzelf als inverse?

16

Stelling 3 over vierkante stelsels Eerder hebben we gezien dat de matrixvermenigvuldiging nuldeIers kent, en dat daarmee samenhangt dat onder andere de wegstreepregel voor de matrixvermenigvuldiging niet geldt. We beschouwen deze in het algemeen ongeldige regel andermaal. Laat A een reguliere matrix van de orde n zijn en laat B en C n xp-matrixen zijn waarvoor geldt dat AB = AC. Vermenigvuldigen we beide leden links met A-I dan volgt: A-I(AB) = A-I (AC) ~ (AIA)B = (A-1A)C ~ IB = IC ~ B = C. Blijkbaar geldt de verfijnde wegstreepregel Als A regulier is, en als AB = AC, dan is B = C. Overeenkomstig kan men gemakkelijk bewijzen dat als A regulier is, de matrixvergelijking AX = B ondubbelzinnig oplosbaar is.

....... -

-

-

>

-

-----------------~~

- - - -

-

---

§16

59

Opgave 34 a) Bewijs de laatste hierboven uitgesproken bewering. b) P is een reguliere matrix en Q is een matrix waarvoor geldt dat PQ = O. Bewijs dat Q = O. c) S is een reguliere matrix en R is een matrix waarvoor geldt dat RS = O. Bewijs dat R = O. d) U en V zijn vierkante matrixen, beide ongelijk aan 0, waarvoor geldt dat UV = O. Bewijs dat zowel U als V singulier is.

Opgave 35 A, B, C, en D zijn de 3 x3-matrixen gedefinieerd in opgave 31. Los de volgende matrixvergelijkingen op: a) AX = C, b) YB = C, c) AZB = C, d) ADWDB = C. We beschouwen een stelsel S van lineaire vergelijkingen in evenveel onbekenden als het vergelijkingen heeft; zo'n stelsel wordt vaak een vierkant stelsel genoemd. Laat A, een vierkante matrix van de orde n, de koëfficiëntenmatrix van S zijn, en laat B, een kolommatrix van de orde n, de bekende termen van S bergen. In matrix-vorm heeft S dan de gedaante AX

= B.

Is A regulier, dan is ons gebleken uit opgave 34, dat het stelsel S precies één oplossing heeft. We draaien de vraag nu om. Stel dat het stelsel S precies één oplossing heeft. Is A dan regulier? Als het stelsel precies één oplossing heeft, zijn er precies n getallen ci, i := l(1)n, al of niet verschillend, zodat i := 1(1)n.

~t :

Dat houdt in dat het stelsel S gelijkwaardig is met het stelsel T waarvan In de koëfficiëntenmatrix is en waarvan de getallen ci, i:= l(1)n de bekende termen vormen. Laat die getallen de n e orde kolom matrix C bepalen, dan heeft T in matrixvorm de gedaante

t en uitgeschreven

60

§17

T

elemen taire rijbew erUit de gelijkw aardig heid van de stelsels S en T volgt dat er een stel overvo ert in [In IC]. kingen bestaa t dat, na tenuitv oerleg ging, de nx(n+ l)-mat rix [AIB] ingen, na ten Maar dan bestaa t er een n xn-ma trix M, zodat hetzel fde stel bewerk beteke nt dat uitvoe r legging, de nx2n- matrix [A I In] overvo ert in [In I M]. Dat M = A-i. Daarm ee hebbe n we de volgen de stelling bewez en.

Stelling 3. (eerste vormgeving) als zijn koëffi ciënte nEen vierka nt stelsel heeft precies één oploss ing dan en slechts dan matrix regulie r is. In volgen de paragr afen zullen we deze stelling nog verfijn en.

17

Reguliere 2x2-m atrixe n r zijn van 2 x 2We zullen in deze paragr aaf een eenvou dig kenme rk voor het regulie regulie re matrix . matrix en afleide n alsmed e een formu le voor de inverse van zo'n kelde rekens chema Laten a, ~, 'Y en D getalle n zijn. We pogen met het eerder ontwik

[~ ~J te bereke nen.

de omgek eerde van A = (i)

We verond erstell en eerst dat a

[~ ~ I ~J I 0

f!.

J

ex

ex

_ 131'

[: ö

1 ex

ex

i=

O.

*& ~ [~

~

~J cy~

1

a

a

I

0

~J

ste één valse vergelijAls D - i3a'Y = 0, dan staat de laatste rij van het schem a voor tenmin king zodat A singulier is. Voorts geldt:

We vervolgen dus met de extra eis dat aD -

[~ [~

~ a

D 0 I

~ DJ -1 1 * ex

_ i3'Y a

a

~

a

aS -i3'Y

~ 1+ Q-'Y Q"Q( 1: aS - i3'Y

~'Y

['0 .

i=

O. i

~ a

-

a

-1'

aS - i3'Y

-~~ÎhJ =[~ ao

",~J4~

0

S aS - i3'Y

I

-1

ao-ih

-a ]

aS - i3'Y a ao -th

.

--

.....

--

--

-

--~~---

-

-

--~

--

--

§ 17

61

Blijkbaar geldt Als a

=1=

0 en a8 -(31'

=1=

0, dan is A-I =

ao5~I3'Y[ -~ -~l

( ü)

We veronderstellen nu dat a = O. Als ook (3 = 0 zien we onmiddellijk aan het rekenschema dat A-I niet bestaat. We eisen daarom dat (3 =1= O. I

1

o

8

1

7J

o

1

7J 05

-73 Als l' = 0, dan is het duidelijk dat A niet-omkeerbaar is. We eisen daarom ook dat l' Nu is

I-i a~

[~ ~ ~

[

~ [~ I-î' tJ = [~ ~

0

o

! 0J) -11' ~

J

-(3 ao5~l3'Y

aS-h

Blijkbaar geldt Als a = 0 en a8 -(31'

=1=

[8

1 0, dan is A- 1 = ao5-l3'Y -1'

-~J. ...

Samenvattend komen we tot de slotsom:

[~ ~J ij-

is regulier dan en slechts dan als a8 - (31'

Als a8 - (31'

=1=

0, dan

. [a

1S

l'

=1=

O.

[8

1 -(3 J 8(3J -1 = aS -~'Y -1' a .

Opgave 36 a) Bereken, zo mogelijk, de inverse van de volgende matrixen.

A=[; 1

A5

~],A2=[~ !],A3=[~

= [~2 ~3

].

150]'A4=[7 3.:4].

=1=

O.

62

§18

b) Bereke n met behulp van a) de inverse van

l~

B. =

2 3

0 0

0 0

2

4

~J

en

l~

B, =

0 0 2 3

2

4 0 0

n

0 0 0

0 0 0

0

0

6 8

7 9

2

0 0

0 0

c) Bereke n de inverse van 6

0 0 0 0

Cl =

0 3

0 2

4 0 0

5

0 0

0 0 0 1 3

0 0 0

5

en C2 =

2

4

0 0 0 0

3

4

d) a, {3 en 'Y zijn getalle n .. -sina ] , . Dl = [cosa cosa sma

o ~J D'=[~Q Q

'Y , D3 = -{3 -'Y 0

[0a

dj

0 'Y {3 'Y 0

.

voorw aarOnder zoek voor elk van de drie boven staand e matrix en aan welke n, zo den a, {3 en 'Y moete n voldoe n opdat die matrix regulie r is. Bereke mogelijk, de inverse van elk van de matrix en.

18 Rekenregels voor het inverteren van

matrixen

op het omker en van We leiden nu nog een stel rekenr egels af die betrek king hebbe n en van dezelfd e een matrix . Allere erst zij opgem erkt dat als A en B reguliere matrix orde zijn, zowel A + B als A - B singulier kunne n zijn.

[~ ~J

Zo is 12 = li er en 12

-

M=

[

regulie r en M = 0

-IJ ' . 2

[~ ~1

J

regulier, maar h + M =

[~ ~

J

is singu-

IS smgu li er.

Laat A een reguliere nxn-m atrix zijn. Dan geldt

d is hoeven we slechts Bewijs. Omda t de inverse van een matrix ondub belzin nig bepaal l = B. Maar er één matrix , zeg B, te vinden die voldoe t aan Al B = I. Dan is (A-Ir 0 geldt Al A = I. Dus de gezoch te B is juist A. Passen we de rekenOp dezelf de wijze worde n de volgen de drie rekenr egels bewez en. ing van een matrix , regel toe die de matrix vermen igvuld iging verbin dt met de spiegel T dan volgt uit 1 = I = (AAI) T = (AI)T AT dat

(ATr l = (Al)T .

1!

§19

63

Is À een getal ongelijk aan nul, dan volgt uit (ÀA)( XAI) = À(1 /À)(AA- I ) = AA- I = I dat (ÀAr l = lAl À

Is B een reguliere matrix van dezelfde orde als A, dan volgt uit (AB)(B- I Al) = = A(BB- I )A 1 = AIA- I = AAI = I dat (ABrI = B-IA- I. Let weer op de volgorde van A en B in het linkerlid en van B- I en Al in het rechterlid. Deze laatste rekenregel kunnen we weer op twee manieren veralgemenen: 1) Voor ieder natuurlijk getal k geldt

Deze regel rechtvaardigt de schrijfwijze A-k voor (Akr l en (A- I )k. 2) Vormen Ai, i:= 1(1)r een r-tal reguliere matrixen van dezelfde orde, dan geldt (A I A 2 · .. Ar_IArfI = A-/A/- I · . .AlAl.

Opgave 37 a) Bewijs met volledige induktie de twee bovenstaande rekenregels. b) B is een reguliere symmetrische matrix. Bewijs dat B- I symmetrisch is. c) C is een reguliere scheefsymmetrische matrix. Bewijs dat Cl scheefsymmetrisch is. d) P en Q zijn vierkante matrixen van dezelfde orde. P is regulier. Bewijs: (pool QP)2 = p-IQ2 P. e) Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal k geldt: (p-IQp)k = p-IQk p . f) R en S zijn vierkante matrixen waarvoor geldt: RS = SR. Bewijs dat voor ieder positief geheel getal p geldt: RP S = SRP.

g) Als R bovendien regulier is, bewijs dan dat voor ieder geheel getal k geldt: RkS = SR k.

19 Komplexe matrixen Tot slot van dit hoofdstuk brengen we komplexe matrixen of matrixen over CI: ter sprake; het zijn matrixen waarvan de elementen komplexe getallen zijn.

Voorbeelden 3 +i 1 - 2i [ 4 + Si

2 + 2i

3 + IOi

3 - 7i 1

3i 2 - 6i

1+i 2 - 8i 3i

J

is een komplexe 3 x 4-matrix.

64

§19

S- i 2 - i 1 + Si S

3 +i

o [

1 -0 Si

3 - 4iJ 8 + 6i 7 - 7i

i]

110i 1+i

is een komplexe vierkante matrix van de orde 3.

is een komplexe bovendriehoeksmatrix van de orde 3.

1 +0 iJ is een komplexe diagonaalmatrix van de orde 2.

Daar we de reële getallen IR l~unnen identificeren met de kompIe xe getallen waarvan het imaginaire deel nul is, kunnen we IR opvatten als een deelverzameling van de komplexe getallen O

À>O

Jl>O

À i : = 1(1)r} een r-tal vektoren in D met de eigenschap dat er voor iedere Q in D r ondubbelzinnig bepaalde getallen Yi, i := 1(l)r bestaan, zodat r

d = ~ Yibj, i=l dan ligt in dit gegeven onmiddellijk besloten dat: 1) het r-tal {bi> i : = 1(1)r} D opspant, en r

-

2) 0 = ~ 0 gi de enige lineaire combinatie is die de nulvektor oplevert. Dit laatste i=l punt houdt in dat het r-tal {~i, i := l(1)r} onafhankelijk is.

Blijkbaar is {~i, i := l(1)r} een basis voor D. Deze kenmerkende eigenschap van een basis gebruikten we hierboven al toen we een basis vaststelden voor een lijn door 0, een vlak door en voor de ruimte. In de akkolade-notatie voor een verzameling ligt geen volgorde besloten voor de elementen van de verzameling. Dus {el,e2te3} = {e2,el,e3}. We eisen in het vervolg voor de vektoren van een basis dat die wel een geordend stel vektoren vormen. Dat de vektoren ai> i := 1(1 )r, in deze volgorde, gezamenlijk een basis vormen brengen we tot

°

§25

81

uitdru kking door de haakje s-nota tie (ai, i := l(1)r). Dus (el,e2, e3) ;/= (e2,el, e3). Tot slot van deze paragr aaf definië ren we het begrip koördi natens telsel.: dit is een oorspr ong met een basis.

25 De aan de analytische meetkunde ten grondslag liggende stelling 4 Laat (~l ,~2 ,~3) een basis voor de ruimte zijn, en laat ~ een vektor zijn met koördi naten Xl, X2 en X3 ten opzich te van die basis; ~ = Xl~l + x2~2 + x3~3. Dan is ~ door de basis (~h~2,~3) onlosm akelijk verbon den met het georde nd rijtje van zijn koördi naten: Xl, X2 en X3. In hoofd stuk 2 hebbe n we in de vorm van matrix en leren rekene n met georde nde rijtjes getalle n; immer s, iedere matrix is een georde nde groepe ring van getallen. We zouden nu de koördi naten van een vektor in de vorm van een 1 x3-ma trix

r

[x, x, x, lof een 3xI-matrix ~:l kunnen op bergen_ Omdat de koördinaten van

een vektor ten opzich te van een basis ondub belzin nig bepaal d zijn, ontsta at er zo een één-éé nduidi ge toevoe ging tussen vektor en en, bijvoo rbeeld , reële 3 x I-matr ixen. Maar er is meer. Laat veen andere vektor zijn met koördi naten Yl, Y2 en Y3 die we

-

toevoegen aan de 3x l~matriX r~:] Dan is de som ~ + ~ = (x,,,, + X,"-, + x,,,-,) + +

(Yl~l

van

~

+

+ ~

Y2~2 + Y3~3) = (Xl + Yd~l + (X2 + Yl)~l + (X3 + Y3)~3. De koördi naten zijn dus Xl + Yl, X2 + Yl en X3 + Y3, zodat we ~ + ~ toevoe gen aan de

3xl-m atrix

r::: ~:l· X3 + Y3

Volgens de optelli ng van matrix en geldt:

Blijkb aar laat deze toevoe ging van vektor en aan matrix en de uitkom st van de optelli ng in die beide verzam elingen onverl et. Is À een reëel getal, dan is À~ = À(Xl~l + X2~2 + X3~3) = ÀX1~1 + ÀX2~2 + ÀX3~3. De

n :::::::r:: (~::Àl~_ Z~:I::sS )~:' ~::e:~g::;::a:a:ee~: :oa::~:::t a:: d:e::ë:eldt n LÀX3

ook dat À

rL::] X3

=

I~::l.

LÀX3

82

§26

Blijkbaar laat d,eze toevoeging van vektoren aan matrixen ook de uitkomst van de vermenigvuldiging met een getal in beide verzamelingen onverlet. We zullen dit resultaat vastleggen in een stelling nadat we eerst een geschikte notatie hebben ingevoerd voor de toevoeging van vektoren aan kolommatrixen. Die toevoeging hangt natuurlijk ten nauwste samen met de basis (~1 ,~2,~3); immers, een andere basis, dan ook andere koördinaten. Daarom willen we in die notatie de in gebruik zijnde basis tot uitdrukking brengen. We korten (~1,~2,~3) af tot e. Is ~ = Xl~l + X2~2 + X3~3, dan stellen we die toevoeging van vektoren aan kolom matrixen voor door

C~]e heet de koördinatisering van ~ ten opzichte van de basis e. Indien er geen misverstand kan ontstaan over de gebruikte basis, schrijven we ook gemakshalve

Stelling 4 Laat e een basis voor de ruimte (het platte vlak) zijn. De toevoeging van vektoren aan reële 3x I-matrixen (2x I-matrixen), waarbij de elementen van de matrixen achtereenvolgens de koördinaten van de vektoren ten opzichte van de basis e zijn, is één-éénduidig. Bovendien laat deze toevoeging de uitkomsten van de optelling en van de vermenigvuldiging met een reëel getal in beide verzamelingen onverlet. Dit betekent, in de hierboven ingevoerde notatie, dat voor ieder tweetal vektoren ~ en ~ van de ruimte (het platte vlak) en ieder reëel getal À geldt: [~

+ ~]e

= [~]e

+

[~]e

[À!!.]e = À[:!:!f

Deze stelling vormt de grondslag van de analytische meetkunde. Stelling 4 maakt het mogelijk meetkundige lichamen zoals lijnen, vlakken, driehoeken, viervlakken; kegelsneden, omwentelingsoppervlakken te beschrijven door formules voor de koördinaten van de punten van die meetkundige lichamen. Met behulp van die formules kan men bepaalde meetkundige vraagstukken, zoals het vaststellen van een snijpunt van een lijn met een kegelsnede, algebraïsch oplossen. Omgekeerd kan men aan sommige resultaten uit de algebra een meetkundige betekenis verbinden. Analytische meetkunde is, kortom, het bedrijven van meetkunde met algebraïsche metoden.

26 Aigebràisering van

lijnen

Laat Q een lijn zijn, niet noodzal.:elijkerwijze door de oorsprong O. Q is bepaald door twee van zijn punten P en Q.

§26

83

Q

--+

Laat.!! de vektor zijn die verschuivingsgelijk is aan het pijltje PQ. Dan is het duidelijk dat er voor iedere vektor ~ van Q precies één getal À. bestaat zodat ~ = E + À.~. Omgekeerd bepaalt ieder getal J.l. door I = E + J.l. ~ precies één punt r van Q. Een volledige beschrijving van Q geeft de volgende vektorvoorstelling van Q, À. E IR.

E heet een

steunvektor en ~ heet een richtingsvektor van Q. Merk op dat ieder punt

van Q kan optreden als steunvektor van Q en dat iedere vektor die evenwijdig is aan L, maar die niet nul is, kan dienen als richtingsvektor van Q. Is L de lijn door 0 die evenwijdig is aan Q, en waarvoor {~} dus een basis is, dan zouden we Q kunnen opvatten als de som van Ü~} en L:

.,

Laat V en W twee verzamelingen van vektoren zijn. De som van V en W, notatie V + W, is de verzameling S waarvoor geldt: ~ in S, dan en slechts dan als er een vektor ~ in V en een vektor '!!. in W zijn, zodat §. = ~ + ~. Q is dus de som van een uit één punt bestaande verzameling {.E} en een deelruimte L. Een dergelijke verzameling heet een lineaire variëteit. Gaat Q niet door 0, dan is Q geen deelruimte. We hebben tot nog toe alleen aan deelruimten een dimensie toegekend. Maar dat Q geen deelruimte is komt doordat de door ons gekozen oorsprong 0 toevallig niet op Q ligt. Zouden we de oorsprong zo kiezen dat het een punt van Q is, dan zou Q wèl een deelruimte zijn. Meetkundig is er geen verschil tussen Q, die niet door 0 gaat, en L, die wel door 0 gaat. Het ligt daarom voor de hand het dimensiebegrip uit te breiden tot lineaire variëteiten. Is E een punt, en Deen deelruimte, dan heet de verzameling T = {E} + D een lineaire variëteit, en de dimensie van T, notatie dimT, is gelijk aan de dimensie van D. Dus of de lijn wel door 0 gaat of niet: dimQ = 1. Men zegt ook wel eens dat een lijn één vrijheidsgraad heeft; daarbij sluit men aan bij het natuurkundig beeld dat langs een lijn maar één bewegingsrichting mogelijk is. Laat e = (~1,~2,~3) een basis voor de ruimte zijn. Stel:

84

§26

Dan kunnen we Q als volgt ten opzichte van de basis e beschrijven:

À E JR.

Deze beschrijving van Q noemen we een parametervoorstelling van Q met À als enige parameter. In hoofdstuk 2 hebben we gezien dat we de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen in de vorm van een kolommatrix kunnen gieten. Als we deze parametervoorstelling van Q zo opvatten betekent dat, dat we de koördinaten van de punten van Q opvatten als oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen in drie onbekenden Xl, X2 en X3 met één vrijheidsgraad, vanwege de ene parameter À. Dit stelsel zal dus gelijkwaardig zijn met een gereduceerd stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden. Ter toelichting volgt een voorbeeld. Voorbeeld

De lijn m heeft ten opzichte van de basis e de volgende parametervoorstelling

J.l.

Hierui~

E

JR.

leiden we af, gebruik makend van de definitie van gelijkheid van matrixen, dat

X2

= 1 - J.l. = 2 + 3J.l.

X3

= 3 - 5J.l.

l

Xi

•

Ons doel is nu anders dan dat in hoofdstuk 1. In hoofdstuk 1 hadden we het stelsel gegeven en zochten we de oplossing. Nu hebben we de oplossing en zoeken we het stelsel. Toen parametriseerden we een onbekende, nu gaan we de parameter J.l. elimineren ,of verwijderen. We pogen J.l. uit te drukken in de onbekenden Xl, X2 en X3.

l

Xi X2

= 1 - J.l. = 2 + 3J.l.

X3

= 3 - 5J.l.

(3)

T

T l 5

--+

3Xl

-5Xl

+ +

Xi

= 1 - J.l.

X2

= 5

X3

= -2.

Blijkbaar kunnen de punten van m, dat wil zeggen hun koördinaten, opgevat worden als de oplossingen van het volgende gereduceerde stelsel in drie on bekend en : 3Xl {

-5Xl

=5

+ X2 +

X3

= -2.

Dit stelsel heeft één vrijheidsgraad, zoals we in hoofdstuk 1 gezien hebben, en we stellen vast dat dit overeenstemt met het uit de natuurkunde stammende begrip van één vrijheidsgraad. Uit het stelsel waar we nu aangeland zijn, kunnen we natuurlijk weer een

§26 · 85

parametervoorstelling van m afleiden door één van de onbekenden van het stelsel te parametriseren. Bijvoorbeeld: Stel xl = a, dan is X2 = 5 - 3a en X3 = -2 + Sa, en er volgt

a

Merk op dat

f-n

E

IR.

in de oude gegeven parametervoorstelling optreedt voor 11

= l.

Het gevonden stelsel vergelijkingen kenmerkt blijkbaar de lijn m, daarom schrijven we

m:

3XI { -5Xl

+

X2

= 5

+ X3 = -2.

Het is duidelijk dat we nu ieder stelsel lineaire vergelijkingen in drie onbekenden met één vrijheidsgraad kunnen opvatten als een lijn in de ruimte. De onbekenden zijn dan de koördinaten van de punten van de lijn ten opzichte van een basis voor de ruimte. Laat vervolgens n en r lijnen zijn met de volgende ten opzichte van de basis e gegeven parametervoorstellingen

We vragen of deze lijnen m snijden. n snijdt m dan en slechts dan als er een getal v bestaat zodat :l;(l = 1 - v, X3 = -31..1 voldoen aan het hierboven gevonden stelsel dat m bepaalt: 3( 1 - v) + 41..1 = 5 { -5(1 - v) + (7 - 7v) = -2

~

{

V =2 -21..1 =-4

X2

~

= 41..1

v

en

= 2.

Blijkbaar bestaat zo'n getal v en dus bestaat het snijpunt ~ van m en n, waa~van we de koördinaten vinden door v = 2 in de parametervoorstelling van n in te vullen: [ale =

f~~

l

We gaan evenzo voor r te werk.

P + (1 + p) = 5 { P + (4 + p) = -2

2p = 4

~ { 2p

=-6

.

Het stelsel in de onbekende p is strijdig, dus is er geen snijpunt van m en r; m en r kruisen elkaar. We hebben hier een voorbeeld hoe we een meetkundig probleem,

86

§26

namelijk het al of niet snijden van twee lijnen, op algebráische wijze tot klaarheid hebben gebracht. We pakken nog eens zo'n probleem bij de kop. Laat nu s en t lijnen zijn die elk als volgt gegeven zijn door een stelsel vergelijkingen. ten opzichte van de basis e. en We vragen of deze lijnen evenwijdig zijn aan m. Het is duidelijk dat s en t niet door de oorsprong gaan. Immers, dan zou de nuloplossing een oplossing zijn van de stelsels die s en t bepalen. Maar beschouwen we nu de bij deze stelsels horende homogene stelsels, dan bepalen die lijnen s' en t' die wel door 0 gaan. en Bovendien is s' evenwijdig aan s. Immers, de stelsels die s en s' bepalen hebben dezelfde koëfficiëntenmatrix. Met het rekenschema uit hoofdstuk 1 kunnen we die stelsels, in elkaar geschoven denkend, in één veegprocedure oplossen. Bij beide kunnen we dus dezelfde parametrisering kiezen, wat betekent dat beide voor een richtingsvektor dezelfde koördinaten ten opzichte van de basis e hebben; met andere woorden: s en s' zijn evenwijdig. Evenzo zijn t en t' evenwijdig. Nu heeft de lijn m':

[::l

= 11

[~n,

11

E

IR, dezelfde richtingsvektor als m; m' is

dus evenwijdig aan m. Bovendien gaat m' door O. Blijkbaar geldt:m is evenwijdig aan s, dan en slechts dan als m' = s'; -en m' = s' dan en slechts dan als de koördinaten van de richtingsvektor van m' voldoen aan het stelsel dat s' bepaalt. Na invulling blijkt dat Xl = -1, X2 = 3 en X3 = -5 wel voldoet aan 2XI - X2 - X3 = 0 {Xl + X2 - 2X3 = 0 K l .. k . ' maar niet voldoet aan 2 . enne IJ IS S {3 Xl + X2 =0 X2 + X3 = 0 wel evenwijdig aan m, en is t niet evenwijdig aan m.

m

I

m =

5

I

5

27

§27

87

Op overeenkomstige wijze kunnen we van een lijn Q in het platte vlak ten opzichte van een basis (~1 ,~2) een parametervoorstelling geven À E IR.

Zo'n parametervoorstelling is weer om te vormen tot een stelsel lineaire vergelijkingen, nu in twee onbekenden, met één vrijheidsgraad; dus één vergelijking in twee onbekenden. Iedere echte vergelijking in twee onbekenden is op overeenkomstige wijze op te vatten als een lijn in het platte vlak.

27 Aigebraïsering van vlakken Laat Veen vlak zijn in de ruimte dat niet noodzakelijk door de oorsprong 0 gaat . V is bepaald door drie van zijn punten, mits die niet op één lijn liggen. Laat P, Q en R drie niet op één lijn liggende punten van V zijn. Laat u en v de vektoren zijn die achtereenvolgens verschuivingsgelijk zijn aan de pijltjes en Pit

PO

Volgens al eerder te berde gebrachte stellingen uit de meetkunde volgt dat er voor iedere ~ in V precies twee reële getallen À en IJ. bestaan zodat ~ = E + À~ + IJ.'!.; immers, E en'!.. zijn niet evenwijdig aan elkaar omdat P, Q en R niet op één lijn liggen. Omgekeerd hoort bij elk tweetal reële getallen a en (3 precies één punt I van V, b~paald door I = .E + a~ + (3y: Het vlak V wordt volledig beschreven door de volgende vektorvergelijking

V : ~ = E + À~ + IJ.'i...,

E. heet weer een steunvektor en

À,IJ. E IR.

~ en 'i... heten richtingsvektoren van V. Bedenk dat ieder punt van Vals steunvektor van V kan optreden, en dat ieder tweebeen dat evenWijdig is aan V bruikbaar is als een stel richtingsvektoren van V. Het vlak V' dat evenwijdig is aan V en door 0 gaat is een deelruimte waarvoor het tweetal (~,'!.) een basis vormt . Het vlak V is een lineaire variëteit met dimensie twee, omdat V te schrijven is als de Som van de uit één punt E bestaande verzameling {E} en de deelruimte V',

88

§27

v

= {p}

+ V',

terwijl dimV ' = 2.

In aansluiting met het natuurkundig beeld dat er in een vlak twee onderling loodrechte bewegingsrichtingen mogelijk zijn, zegt men wel dat een vlak twee vrijheidsgraden heeft. Evenzo kent men de ruimte, waarin men zich drie onderling loodrechte bewegingsrichtingen kan denken, drie vrijheidsgraden toe. Laat e

= (~1,~2,~3)

een basis voor de ruimte zijn. Stel:

Dan kunnen we V ten opzichte van de basis e door de volgende parametervoorstelling beschrijven À,JJ.

E

IR.

Vatten we deze parametervoorstelling op passende wijze op als de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen in de drie onbekenden Xl, X2 en X3, dan heeft dat stelsel, gezien de twee parameters À en JJ., twee vrijheidsgraden en bestaat dus uit één echte vergelijking. Deze vergelijking is gemakkelijk te vinden door À en JJ. te verwijderen uit de drie vergelijkingen voor de koördinaten van de punten van V. We lichten dit toe met een Voorbeeld

Het vlak W heeft ten opzichte van de basis e de volgende parametervoorstelling,

ex,{3

E

IR.

Voor de koördinaten van zijn punten volgen de vergelijkingen

=4+ex = -1

= -3

Blijkbaar voldoen de koördinaten van de punten van Waan de vergelijking -2XI + X2 + x3 = -3. Omgekeerd kunnen we deze vergelijking, door er twee geschikte onbekenden van te paramatriseren, weer in een parametervoorstelling van W omzetten. Stellen we bijvoorbeeld Xl = 1 en X2 = 8, dan is X3 = -3 + 21 - 8, en er volgt

- {j.

§27

89

"t,D E IR. Merk op dat invulling van a van W

[-n

= -3

oplevert. Verder is

en {3

= -1

in de oude gegeven parametervoorstelling

m~ -I' mI' m UJ ~ Ul-I' [n +

en

2'

hetgeen toont dat de zojuist gevonden richtingsvektoren inderdaad liggen in het vlak W' dat door 0 gaat en evenwijdig is aan W. De gevonden vergelijking kenmerkt blijkbaar het vlak W, reden waarom wij schrijven :

Het zal duidelijk zijn dat iedere echte vergelijking in drie onbekenden opgevat kan worden als een vlak in de ruimte . De onbekenden zijn dan de koördinaten van de punten van het vlak ten opzichte van een zekere basis. Trekken we deze gedachte door, dan is een gereduceerd stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden op te vatten als de verzameling punten die tot twee vlakken behoren; dus de snijlijn van die vlakken. Dit is geheel in overeenstemming met de hierboven gevonden beschrijving van lijnen in de ruimte door stelsels van twee lineaire vergelijkingen. Laat het vlak U gegeven zijn door de vergelijking

We vragen naar een parametervoorstelling van de snijlijn f van W en U. f : { - 2X I + X2 + x3 = -3 Xl + 2X2 + 3X3 = 6

Ç3) ~ {- 2X I '(

+ X2 + X3 = -3

7XI - X2

= 15

1

CD

~

{5XI + X3 = 12 7XI - x2 = 15.

Stel Xl = I.{) , dan is X2 = -15 + 71.{) en X3 = 12 - 51.{). Een parametervoorstelling van f is

I.{) E

IR.

~.

We gaan nu eens na hoe we een stelsel van drie echte vergelijkingen in drie onbekenden meetkundig kunnen opvatten. Laat de drie vergelijkingen achtereenvolgens staan voor de vlakken VI , V2 en V3 • Het is duidelijk dat het stelsel ten hoogste twee vrijheidsgraden heeft. Heeft het stelsel twee vrijheidsgraden, dan zijn alle vergelijkingen ervan veelvouden van elkaar, en stellen elk één en hetzelfde vlak voor: VI = V2 = V3 •

90

§27

~3

Heeft het stelsel één vrijheidsgraad, dan kunnen we de algemene oplossing ervan opvatten als een lijn. Het zou kunnen zijn dat dan twee van de vlakken Vl , V2 , V3 samenvallen. Ook is het mogelijk, zie de figuur, dat elk tweetal vlakken uit Vl , V2 en V3 dezelfde lijn k bepalen.

~3

Heeft het stelsel nul vrijheidsgraden en is het niet strijdig, dan heeft het precies één oplossing. De lijnen Q3, Ql en Q2 die achtereenvolgens de snijlijnen zijn van Vl en V2 , V2 en V3 , en V3 en VI snijden elkaar in één punt B.

§27

91

~3

~1

Is het stelsel strijdig, dan hebben VI, V2 en V3 geen punten gemeen. Het zou kunnen zijn dat twee, ja zelfs drie van de vlakken onderling evenwijdig zijn, of dat de lijnen m3, mi en m2 die achtereenvolgens de snijlijnen zijn van VI en V2, V2 en V3, en V3 en VI evenwijdig aan elkaar zijn.

~1

92

§27

We zien hier dus een voorbeeld hoe aan een algebraïsch resultaat, namelijk de oplosbaarheid van een stelsel lineaire vergelijkingen, een meetkundige betekenis kan worden verbonden.

Opgave 42 e is een basis voor de ruimte. Alle onderstaande koördinatiseringen en vergelijkingen zijn betrokken op deze basis.

a) A, B en C zijn punten;

UJ

[~l =

[hl

=[~J =Ul en [,l

BC..

Geef een parametervoorstelling van de lijn door A, die evenwijdig is aan Geef een vergelijking van het vlak door A, B en C. b) Bereken voor i := 1(1)3 de koördinaten van het snijpunt van de lijn kj met het vlak Uj.

kl

k,

u, k3 :

[::

l Hl +a [-n =

a E ffi; U I

[~:l = Hl +fn

PE

+

+

2X2

+

X2 -

X,

+ 2x,

= 6.

ffi;

[~:J = [=n +7Ul +snJ Xl { 2x 1

2xI +

7,S ER

X3 = 3 X3 =

0

c) Ga voor i := 1(1)4 na of de lijnen mj en Qj elkaar snijden, danwel kruisen, danwel evenwijdig aan elkaar zijn, danwel samenvallen. Ql:

Q2:

[::] {n +aHl [::]=U]+{n

Q3: {

3X

l Xl

+ +

4X2 X2

a E

mI

'Y

E

IR.;

x3 = -2 =

-1 '

U:J =[!] +p[jJ

IR.;

m3:

m2:

{

Xl 3Xl

{-Xl Xl

+

+

2X2 -

X2 -

X3 =

X2

=

3X3 =4

+

X3 = -2.

1 5.

{3

E

IR..

§27

d) k en Q zijn lijnen, D en E punten. Geef een parametervoorstelling van de lijn die k en Q snijdt en die evenwijdig is aan DE. ~

k

[:;J{nuUJ "ER;~: [::l=[-n+{n

ÀER;

(4)=m,[e)=[~n e) m is een lijn, U een vlak, en F een punt. Geef een parametervoorstelling van de lijn door F die m snijdt en evenwijdig is aan U.

m

U

[:J [-rl ~Hl ~E [=H [=:1 =Ul urn +~[!J 1m{-i} 1maf-n~ J =

+

[fl

R;

=

aftE R

f) n is een lijn, V en W zijn vlakken. Geef een vergelijking van het vlak door n,

dat evenwijdig is aan de snijlijn van V en W.

n

[::

=

+

V

[::

=

+

VER; W 2X1 - 4x, - 3x,

+ [ :

aft

E

= 5;

R

g) g is een lijn, Y een vlak en R een punt. Bereken de koördinatiseringen van de punten P in het vlak Y en Q op de lijn g, die zo gelegen zijn dat de oorsprong het zwaartepunt is van de driehoek PQR.

h) r en s zijn lijnen. Geef een vergelijking voor de verzameling van de middens van de lijnstukken waarvan het ene uiterste punt op r en het andere uiterste punt op s ligt.

93

94

§28

i) a is een getal, f en t zijn lijnen en S is een punt.

f

[§[

r::] m ~l ~ =

=

+{

~;

E

rn

t

r::] m rn =

+T

T E

~;

Geef een parametervoorstelling voor de verzameling van de zwaartepunten van de driehoeken waarvan één hoekpunt op f ligt, een tweede hoekpunt op t ligt, en waarvan S het derde hoekpunt is. Bereken a als de oorsprong het zwaartepunt van zo'n driehoek is. Bereken in dat geval de koördinatiseringen van de hoekpunten die op f en t liggen.

28 Het inprodukt.

Rekenregels

We weten uit de natuurkunde dat op een puntmassa m die zich onder invloed van een kracht, voorgesteld door de vektor k, verplaatst over een rechtlijnige weg, voorgesteld door de vektor ,!!, een arbeid A wordt uitgeoefend die gelijk is aan de projektie van ~ op de weg ~ vermenigvuldigd met de lengte van ~. ~

mA

.w

Is e de hoek tussen w en l, dan is A = 1I~llllkll cosO. Zo'n uitdrukking met vektoriële grootheden komt meer voor in de natuurkunde; bijvoorbeeld voor de hoeveelheid stof die met een zekere snelheid door een oppervlak stroomt. Ook in de wiskunde blijkt zo'n produkt van vektoren doelmatig; met name voor de berekening van afstanden en hoeken. Laat ~ en ~ vektoren zijn. Het inprodukt, of inwendig produkt, of skalairprodukt van ~ en Q, notatie ~. Q., is een reëel getal dat als volgt is bepaald. 0 als ~ = Q of Q = Q. 2) Als ~ noch Q.. gelijk is aan Q, en 1)

~. Q. =

~'Q

= II~IIIIQII cose.

e de

hoek is tussen ~ en Q, dan is

§28 ~

Merk op dat : a'b> 0 Ê'Q < 0 Ê-'Q = 0

~ ~

< () < ~ < () < 7r () = 1- of ~ =

95

0

~

Q of Q = Q.

DL. L. L. ~'Q

>

~,~

0

,f) heet positief georiënteerd of rechtsdraaiend als, gezien vanuit het eindpunt van f, de hoek waarover we ~ tegen de klok in zouden moeten verdraaien om hem de richting van Q te geven, kleiner is dan 1T. (~,Q,~) is negatief georiënteerd of linksdraaiend, ais die hoek groter is dan 1T. Men zou ook kunnen zeggen: (~,J?,f) is rechtsdraaiend als een rechtse schroef, draaibaar evenwijdig aan het vlak V dat opgespannen wordt door Ë: en 12, of draaibaar in een richting loodrecht op V, bij draaiing van ~ naar Q over de (kleinste) hoek tussen ~ en Q, beweegt naar de kant van V waar ook f naar wijst. De wijze waarop we hier onderzoeken of een driebeen rechtsdraaiend is noemt men wel een onderzoek met de kurketrekkerregel.

112

§3l b

o

o (~.!:?E) rechtsdraaiend

(~.!:?E.) li nksdraaiend

'k :

0, ,

v

,,

-a

(~.!:?E) rechtsdraaiend (~.!:?Q) linksdraaiend

Merk op dat als een driebeen (~,Q,~) rechtsdraaiend is, dat dan ieder uit dit driebeen door cyclisch verwisselen van de vektoren verkregen driebeen, ook rechtsdraaiend is; dus zowel (Q,~,~) als (~,~,Q) is rechtsdraaiend. Maar worden twee vektoren verwisseld, dan klapt de oriëntatie om; dus zowel (Q,~,~) als (~,Q,~) is dan linksdraaiend. Is (Ql,.Q2,Q3) een basis voor de ruimte en is (121,122,123) rechtsdraaiend, dan heet (Ql,Q2,Q3) een rechtsdraaiende of positief georiënteerde basis voor de ruimte. Laat g en 12 twee vektoren in de ruimte zijn. Het uitprodukt, of uitwendig produkt, of vektorprodukt van a en"b, notatie ~xQ, is de vektor !! die als volgt bepaald is. (i) !! = Q als g en Q evenwijdig aan elkaar zijn, dus als het tweetal {~,Q} afhankelijk is. (ii) Als ~ en Q niet evenwijdig aan elkaar zijn, en \{) is de hoek tussen ~ en Q, dan geldt voor!! bij definitie: I) II!!II = II~IIIIQII sin\{) = A{~,Q} is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door -a en -b. 2) !! staat loodrecht op zowel ~ als Q. 3) (g,Q,!!) is een rechtsdraaiend driebeen.

xQ

o II~X.!?II

=

1I~111I!:?llsin i := 1(1)n zijn. Laat de n xn-matrix A de koëfficiëntenmatrix van S zijn en laat de n x I-matrix B de bekende termen van S herbergen. Voor j := 1(1 Jn definiëren we de n xn-matrix Cj als volgt: Cj ontstaat uit A door de j-de kolom van A te vervangen door B. Men kan bewijzen dat als det A =1= 0, dat dan detC j X·=-I detA'

i := 1(1)n.

Deze formules staan bekend onder de naam regel van Cramer. Voorbeeld

3X I + 4X2 - X3 = -12 S: Xl - 2X2 + x3 = 16 -Xl + x2 + x3 = -2

j

detA = -16; Cl =

C2

=r~

A=r~

-1

12 -2 1 , B = r-16 1 . 4 -11

1

1

-2

-12 4 -48 16 -2 -11 ~ ,detC I = -48; Xl = -16 = 3. -2 1

r

-12 _ 64 _ 16 -11 ~ ,detC2 = 64; X2 - -16 - -4. -1 -2

~

4 12 -80 -2 - 16 1 ,detC 3 = -80; X3 = -16 = 5. C3 = r -1 1 -2 De regel van Cramer is genoemd naar de Zwitser Gabriel Cramer (1704-1752) die in 1750 een nadien zeer veel gelezen boek over algebraïsche krommen schreef waarin hij de regel vermeldde. De regel staat historisch gezien aan het begin van de ontwikkeling van de determinantentheorie. Heden ten dage zijn er nog twee soorten noeste werkers die dankbaar van de regel gebruik maken. De eerste is die van de onderzoekers die hem met vrucht gebruiken in sommige theoretische verhandelingen, daar waar koëfficiënten of bekende termen afhangen van parameters. De tweede is die van de schrijvers van beginnerscursussen lineaire algebra die de regel steevast vermelden, toelichten aan de hand van een voorbeeld, en er vervolgens een rist sommen over ontwerpen.

§36 127 Het gebruik van de regel dient echter in de praktijk afgeraden te worden, omdat er zeer veel rekenwerk mee gemoeid is; dit bezwaar geldt ook, of misschien nog wel sterker, bij berekeningen op een computer, waar immers tijd geld is. Men rekene zelf eens het verschil in aantal vermenigvuldigingen na dat nodig is om het stelsel uit het voorbeeld op te lossen met de regel van Cramer en met het rekenschema uit hoofdstuk 1. Toch ontmoet men dikwijls lieden die, waarschijnlijk in het besef van het vele rekenwerk dat toepassing van de regel met zich meebrengt, blij en tevredengesteld het oplossen staken nadat zij de fonnules Xi = detCi/detA, i := I(1)n hebben neergeschreven, en deze bij wijze van keurmerk hebben voorzien van het stempel 'volgens de regel van Cramer'. Maar dezulken hebben in feite het vraagstuk slechts anders geformuleerd en de oplossing, ja zelfs een benadering van de oplossing, geen stap dichterbij gebracht, omdat er ter verkrijging van de oplossing nog maar liefst n + I determinanten van de n-de orde moeten worden berekend. Zij zijn te vergelijken met lieden die naar Engeland willen varen en zich tevreden stellen met de oplossing dat daar een schip voor nodig is. Overigens beseffe men dat de regel van Cramer alleen toepasbaar is op vierkante stelsels waarvan de koëfficiëntenmatrix regulier is, en dat het rekenschema van hoofdstuk I op elk stelsel toepasbaar is. We breiden stelling 3 uit hoofdstuk 2 uit met een paar resultaten uit dit hoofdstuk. Deze uitbreiding geldt voor n xn-matrixen, hoewel wij slechts bewijzen hebben geleverd voor n = 3.

Stelling 3 (uitbreiding) n is een natuurlijk getal; n ~ 2. Laat A een nxn-matrix zijn. Dan zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig. 1) Een stelsel lineaire vergelijkingen met A als koëfficiëntenmatrix heeft precies één oplossing. 2) A is regulier, dat wil zeggen: A-I bestaat. 3) detA =1= o. 4) De n kolommen (rijen) van A zijn koördinatiseringen van een n-tal vektoren dat onafhankelijk is.

Opgave 49 a) Bereken onderstaande detenninanten.

m 1

3 1 -2 11 25 36 15 16 17 7 -3 8 9 11 5 , -1 2 4 , 27 12 41 , 18 19 20 , 12 27 39 21 22 23 8 8 3 -4 3 1 8 -30 3576 9845 312 521 86 93 799 16 -61 1 0 0 1 6 0 0 10041 -32 100 3982 570 613

3 6 -3 2 1 3 -1 3 1 11

31 50

b) x, y en z zijn getallen. Bereken elk der onderstaande determinanten en geef de aan x, y en z te stellen voorwaarden opdat de determinant niet nul is.

128

§37 1 1 1 x y Z x 3 y3 Z3 y+z Y Z

1 1 1 x 2 y2 z2 x 3 y3 z3

x z+x z

x Y x+y

x y z yz zx xy 1 x y + z 1 Y z+x , Y z X, x 2 y2 Z2 1 z x+y z x Y x Y z (y + Z)2 xy xz (z + X)2 yz xy (x + y)2 yz xz

c) À is een getal. Los À op uit de onderstaande vergelijkingen. À 2 3 2 À 3 3 2 À

4 2 À-2 = 0, 1 À-I 2 À+3 2 0

À+ 1 2À + 1 3À + 2

2À + 1 3À + 1 5À + 3

À 2 2 = 0, 4 À 5 3 5 À

= À2

+ 7À,

3À + 1 4À + 1 = O. 10À + 7

d) a, {3 en 'Y zijn getallen. Onderzoek voor welke waarden van a, {3 en 'Y onderstaande matrixen een inverse hebben; bereken voor die waarden de inverse.

J,c =

-sina o

cosa

37

cos(3 sin{3

Ol

o

1

o

,E =

cosasin{3 rcosacos{3 sinacos{3 sinasin{3 -sin{3 cos{3

r-1 a la Ol 0 , {3 'Y 1 -sinal

cosa

.

o

Het uitprodukt in samenhang met vlakken en lijnen We keren terug naar het uitprodukt. Laat e = (~l ,~,~3) een rechtsdraaiende ortonormale basis voor de ruimte zijn, en laat ~ en Q een tweetal vektoren in de ruim te zijn. De formule voor het uit produkt ~xQ laat zich met de volgende fop determinant gemakkelijk onthouden. "

axb

=

al

a2 a3

b 1 ~1 b2 ~

b 3 ~3

Men ontwikkelde naar de 3 e kolom:

"

§37

129

Laat Veen vlak zijn met steunpunt E en richtingsvectoren!! en ~. Een vektorvergelijking van V is dan V: ~ = 2 + al:! + {3~,

a, (3

E

IR.

Hebben p, ~ en ~ achtereenvolgens de koördinatisering

[pI'

=

r~U '[~)'

=

l~:l

en [v)'

=

r:;J

dan is een parametervoorstelling van V:

a,{3E IR.

We hebben gezien hoe we hieruit een vergelijking voor V kunnen maken door a en (3 te verwijderen uit de drie vergelijkingen voor de koördinaten van de punten van V. De koëfficiënten van een vergelijking van V zijn, omdat de basis e ortonormaal is, de koördinaten van een vektor die loodrecht staat op V; dus zowel loodrecht staat op !! als op ~. Maar dan is !!X~ een vektor die loodrecht staat op V. Voorbeeld

Laat het vlak W gegeven zijn door de volgende parametervoorstelling ten opzichte van de basis e.

'Y, {)

E

IR.

We berekenen het uitprodukt van W's richtingsvektoren.

"2 2

6 4

~2

3 -1

~3

~1

"

= -14~1 + 20~2

-4~3

= -2(7~1

-10~2

,+

2~3).

Een vergelijking Voor Wis: 7Xl - 10x2 + 2X3 = konstante. De gegeven steunvektor van W voldoet aan deze vergelijking en bepaalt de konstante; konstante = 7(1) - 10(0) + 2(1) = 9, zodat W: 7Xl - 10x2 + 2X3 = 9. Het is niet moeilijk in te zien dat een vergelijking voor V (en W) door middel van een determinant gestalte gegeven kan worden. Immers, voor iedere K in V zijn er getallen a en {3 zodat: ~ = .12. + a!:! + {3~ ~ 1 (~- E) - a~ - {3~ = Q. Blijkbaar is voor iedere ~ in V het drietal {~- Q, ~,~} afhankelijk. Zie ook de figuur Waaruit blijkt dat ~ -.12.,!:! en X een ontaard blok opspannen voor iedere ~ in V.

130

§37

Het skalartripelprodukt (x - p)·uxv is dus nul, en de bijbehorende determinant der koördinatiseringen van x - p, u en v is dus ook nul. De vergelijking voor V kan derhalve geschreven worden als

V:

Xl -PI X2 -P2 X3 -P3

UI U2 U3

VI V2 V3

= 0,

en die voor W als W:

Xl - 1 X2 X3 - 1

2 6 2 4 3 -1

= 0.

Laat de lijn Q gegeven zijn ten opzichte van de basis e door het volgende tweetal vergelijkingen Q: {a I XI + a2x2 + a 3X3 =

C

bI Xl + b 2X2 + b 3x 3 = d. Laat de eerste vergelijking staan voor het vlak Y en de tweede vergelijking voor het vlak Z. Dan is, omdat e ortonormaal is, de vektor

~ met[l::e] = [::] een vektor die loodrecht

staat op Y. Evenzo is de vektor !? met l!?]e ~

=

~:

een vektor die loodrecht staat op Z.

staat dus loodrecht op iedere lijn in Y en evenzo staat Q loodrecht op iedere lijn in Z. Zowel ~ als Q. staat dus loodrecht op de snijlijn Q van Y en Z. Maar dan is ~ x Q evenwijdig aan Q en kan ~xQ dienen .als richtingsvektor voor Q.

o.

z.

§37

131

In al die gevallen waar men voor de rest van een vraagstuk slechts een richtingsvektor van de door twee vergelijkingen gegeven lijn Q van node heeft, verdient het middel van het uitprodukt de voorkeur boven het oplossen van het stelsel dat Q bepaalt. Voorbeeld

Laat de lijn m ten opzichte van de basis e gegeven zijn door m:

2Xl - X2 + 3X3 = 7 { 2Xl + X2 - 5X3 = 5.

Gevraagd wordt een parametervoorstelling van de lijn m', die evenwijdig is aan m en

gaat door g; [gl'

"

2

~1

-1 1 3 -5

2

~2

=

DJ.

"

= 2~1 + 16~2 + 4~3 = 2(~1 + 8~2 + 2~3) is een richtingsvektor van

~3

m, en dus een richtingsvektor van m'.

Opgave 50 Alle koördinatiseringen in dit vraagstuk zijn ten opzichte van een rechtsdraaiende ortonormale basis e == (~1 ,~2'~3)' a) Bereken voor i := 1(1)3 de oppervlakte van de driehoek die Ai' Bi en ei tot hoekpunten heeft.

[~,] =

Ul -;l [~.l Ul [~21 jl [Q,]

2 [S:2] =[ -1 -11

0],

--

=[

a3 =

=

=[

[bi = [

~n

~1, b 3 = ~2, C3 = ~3' I

b) Bereken voor i :=.1 (1)3 de inhoud van het blok opgespannen door

~ DiEi' DiFi en Dilii'

-

132

~

-

---------

~

----~

-

§37

c) Geef een vektorvoorstelling van de snijlijn der vlakken

Xl -

4X2 -

X3

= 0

Maak daarbij gebruik van het uitprodukt. d) Geef een parametervoorstelling van de lijn door 0 die zowel loodrecht XI

r

staat op de lijn _ XX23 ]

=a

[1] 23

,a

E

IR als op de lijn

+

{Xl Xl -

X2 2X2

9

+ X3 = + X3 = 10.

Maak daarbij gebruik van het uitprodukt. e) Q is een lijn en A, B en C zijn punten.

B en C liggen op Q. De oppervlakten van de driehoeken OAB en OAC zijn beide gelijk aan 9. Bereken de koördinatiseringen van B en C. f) D, E en F zijn punten, m is een lijn.

[dl

~ [IJ. [~l ~ men ~ [fl

[-iJ

m [::]

~ [IJ + ~[n ~

ER

(i) Geef een vergelijking van het vlak door D, E en Findeterminantvorm. (ii)Bereken de koördinatisering van een punt G op m met de eigenschap - - DF - - en DG --+ juist 3 is, dat de inhoud van het blok opgespannen door DE, - - ----+ ----+ en het drietal (DE, DF, DG) rechtsdraaiend is. g) À is een getal. Ga voor i := 1(1)2 na voor welke waarden van À het drietal vektoren pi, 9.i en !i afhankelijk is. Ga voor die waarden van À waarvoor Ü?i ,9.i ,n} onafhankelijk is de oriëntatie na van (Ei ,gi '!).

[Ed

~[

-n

[9d

~ [ -iJ. [Dl ~ [

-a

§37

h) P, Q en R zijn punten, a en (3 zijn getallen.

(i) (ü)

Bereken a als px(p +aq)"r = 3. Bereken (3 als IT(E+(3g)~!.II-=...[3.

Opgave 51 a) ~ en Q zijn vektoren in de ruimte waarvoor geldt dat II~II = II.!?II = lI~x!?1I = 1. Toon aan dat !!".J? = 0 en bewijs dat voor alle vektoren ~ geldt dat (~"(~xQ»2 = ~"~ _ Ü:"~)2 _ (~" .J?)2. b) Q en m zijn lijnen die elkaar kruisen en achtereenvolgens!! en ~ tot richtingsvektor hebben. Als P en Q punten van achtereenvolgens Q en m zijn, bewijs dan dat de afstand van Q tot m gelijk is aan

III~ :~II" (p -

g)

I.

.. d at d e afstan d van een punt Rt 0 tQ ge l·ok BeWIJS IJ IS aan lI(r-p)xull 111:!1I . 0

Opgave 52 Uit het dagboek van Peer de Schuimer. "Loop van de galg naar de eik. Maak daar aangekomen een rechte hoek naar links en loop nog eens dezelfde afstand. Steek daar een mes in de grond en ga terug naar de galg. Loop van de galg naar de berk en maak daar aangekomen een rechte hoek naar rechts en loop nog eens dezelfde afstand. De schat ligt precies midden tussen jou en het mes." De schurk Borre Knijf voer naar het eiland, maar trof de galg niet meer aan. Dankzij zijn kennis van de vektorrekening vond hij toch de schat. Waar lag de schat begraven?

133

~----

134

--

an twoorden

Antvvoordenlijst La. b. c. d.

{(a,{3,-4a + 7{3 - 2'Y + 68 + 9,'Y,8)la,{3,'Y,8 {(a,2{3 - 6'Y - 8 + 12,{3,'Y,8 )la,{3,'Y,8 E IR}. {(a,{3,'Y,8,a - 4)la,{3,'Y,8 E IR}. {(2,a,{3,'Y,8)ltx,{3,'Y,8 E IR}.

E

IR}.

2.a. {(a,o,{3,-a + {3)la,{3 E IR}. b. {(4a,7a,-7a,Sa)la E IR}. c. {(a,2a,0,-3a)la E IR}. 3.a. b. c. d. e.

strijdig. {(2 - 3{3 - 2'Y,-1 - 2a + {3,a,{3,'Y)la,{3,'Y {(4,-8,-2,a,{3)la,{3 E IR}. {(a,2,{3,-1 ,-l)la,{3 E IR}: {(S,a,8,{3,'Y)la,{3,'Y E IR}.

4.a. p

p b. p p p

c. p p p

E

IR}.

= 1:

strijdig. 1 . p 3p - 1 -=1= 1. {(--I' pp- 1 ,0,- --I)}. p= 1: {(-1,2 - À,-4À,À)IÀ E IR} = 4: {(3À - 1,-À + 2,-À,À)IÀ E IR} -=1= 1 en p -=1= 4: {(-1,2,0,0)}. = 0: strijdig. = 2: {(2À,0,-À,1 - À)IÀ E IR} -=1= en p -=1= 2: {(0,-4,~,1 -

°

i)}.

S.a. p = 2. {(-~ -lja - ~{3,-~ - ~la - ~{3,a,{3)la,{3 E IR}. b. p = 0, q = 1. {(7a - 2,-4a + 1,3a - 1,a)la E IR}. 6.a. {(-1'!,1)}. b. {(2,-1,-1)}. c. {(-6,4,3)}. 7.a. {(S - 4i)a,(-3 + 7i)a,a)la E